Rozpravy České akademie věd a umění

OF THE

U N l VER.S I TY
OF ILLINOIS

500
C^r
v. as

Digitized by the Internet Archive
in 2017 with funding from
University of Illinois Urbana-Champaign

https://archive.org/details/rozpravyceskeaka2319cesk

Obsah XX11I. ročníku.

Číslo

/. V. Želízko, Nové naleziště diluviální fauny u Volyně. (Se 2 obr. v textu

a 1 tab.) . 1

MUDr. Josef Roček, Příspěvek k poznání tvorby praecipitinů v těle zví¬
řecím. (S tabulkou.) . 2

Dr. Jindřich Svoboda, Výpočet radiantu roje meteoritů z elementů dráhy
komety a důkaz souvislosti Aquarid a Orionid s kometou Halley¬
ovou. (Se 4 obr. v textu.) . . . 3

i7. Slavík, O nových fosforečnanech z Greifensteinu v Sasku. (Se 7 obrazci

v textu.) . 4

MUDr. Viktor Guttmann, Amoeba v cystě dentální. (S 2 tabulemi.) . 5

Dr. B. Macků, O udržení konstantních obrátek strojů. (S 2 obrazci

v textu.) . . . 6

Dr. B. Macků, Energetické poměry netlumených oscillací ve dvou spřa-

žených kruz.ch. (S obr. v textu.) . . . . . 7

Zdenko Frankenberger, O předhistorických psech z okolí Podbaby

u Prahy. (S 2 obrazci v textu.) . 8

V. Švambera, Šumavská jezera. II. Velké Javorské jezero. (S I mapou

a 1 tab.) . 9

Radim Kettner, O lakkolithových intrusích porfyrů mezi Mníškem a Vlta¬
vou. (S geologickou mapou, přílohou profilů a 3 obr. v textu.) .... 10
Prof. Dr. Otakar V . Srdínko, Funkcionální architektura sklovité chru¬
pavky žeberní u Člověka. (Se 4 tabulkami.) . 11

Dr. Václav Simandl, O zobecněném cylindroidu . 12

Prof. Dr. Otakar V. Srdínko, Štěpitelnost sklovité chrupavky a její vztah

k funkcionální struktuře. (Se 3 tabulkami.) . 13

Dr. František Rádi, O kaskádní transformaci differenciálních rovnic li¬
neárních. (Pokračování k R. Č. A. XXII. č. 32, 41.) . 14

Dr. Václav Simandl, Příspěvek ku theorii lineárních systémů lineárních

komplexů . 15

V. Švambera, Šumavská jezera. III. Prášilské jezero. (S 3 obr. a mapkou.) 16
/. Sobotka, Některé potenční vlastnosti ploch druhého stupně . 17

čísl o

Dr. K. Žorawski, O jistých vlastnostech polár . 18

Dr. Vladimír J. Novák, O formách kvádrových pískovců v Čechách. (Se

4 tab.) . 19

V. Švambera, Šumavská jezera. IV. Laka. (S 1 tabulkou a mapkou.) .... 20
Dr. Jindřich Svoboda, O tvaru meteorického roje komety Halleyovy.

(S 9 vyobrazeními v textu.) . 21

Prof. E. V otoček a doc. Dr. V. Veselý, O štěpení racemických cukrů op¬
ticky činným amylmerkaptanem a o některých nových merkap-

talech . 22

Dr. L. Kaplanova, Krystalografie betainu a některých jeho sloučenin.

(Se 6 obrazy v textu.) . 23

Vládní rada prof. Vine. Jarolímek, O imaginárně prostorové křivce ku¬
bické. (S 5 obr. v textu.) . 24

Dr. Josef Klobouček, Souvislost úplného systému oo5 lineárních kom¬
plexů piímkových se všemi přímkovými plochami druhého stup¬
ně, které procházejí Čtyřmi pevnými body nebo se dotýkají Čtyř

pevných rovin . 25

Dr. Sig Thov , Příspěvky k seznání vedulí fauny kavkazské dle sbírky

p. Jul. Komárka. (S 11 obr. v textu.) . 26

Julius Komárek, Příspěvky k zoogeografii Kavkazu a rusko-perského

pomezí. (S 8 obrázky v textu.) . 27

Vladimír Václav Heinrich, O měření hvězdných azimutů v digressi. (Po¬
zorování na velikém Repsoldově altazimutu hvězdárny Strass-

burgské.) . 28

Fy. Velísek, Dělení roviny v infinitesimální rhomby kružnicemi stálých

poloměrů . 29

Prof. Dr. L. Syllaba a prof. Dr. K. Weigner, Anatomický podklad po¬
klepového ztemnění slezinného. (S 34 obrazy textovými.) . 30

Jan Obenberger, Holarktické Anthaxie. (Coleoptera-Buprestidae.) Část
specielní. I. Revise kratomeroidních Anthaxií. (S 10 obrazci v textu.) 31
Dr. Václav Posej pal, Příspěvek ku studiu resonančního spektra par iodo-

vých a poznámka k fluorescenční absorpci. (Se 3 obr. v textu.) . 32

M. Lerch, Příspěvky k vlastnostem sférických Čar šroubových. (S dvěma

obrazy na zvláštní tabulce.) . 33

Dr. Karel Scháferna, O novém kavkazském druhu rodu Dikerogamma-

rus. (Se 2 tabulkami.) . 34

Dr. Jindřich Svoboda, Odvození pohyblivého radiantu Lyrid z tvaru

meteorického roje. (S 1 obrazcem v textu.) . 35

J . Sobotka, O zvláštním způsobu určení kuželů a několik příslušných

úloh cyklografických. (Se 3 obrazci v textu.) . 36

Prof. Dr. Cyril Krauz, O novém způsobu titrace kyanovodíku a jeho

solí. Část 1 . 37

Dr. Václav Simandl, O sborcených hyperboloidech v souvislosti s line¬
árními komplexy . 38

Číslo

B. Bydzovský, Příspěvek k theorii elliptické křivky normální . 39

Dr. Bohuslav Hostinský, Příspěvek ku geometrii kulových ploch . 40

J. Sobotka, Konstrukce oskulačních rovin některých křivek a několik

deskriptivně geometrických applikací. (S 15 obr. v textu.) . 41

Vládní rada professor Vincenc Jarolímek, Ke konstrukci normál
bodem mimo kuželosečku. (S 2 obrázky do textu vloženými.) . . 42

Dr. František Bayer, Revise našich ještěrů křídových . 43

Ant. Vimmer, Několik poznámek k morfologii larev Dipter. (S 3 tabul.) 44
Dr. Václav Dědina, Příspěvek k poznání morfologického vývoje České

tabule, křídové. (S 6 obr. v textu.) . 45

Dr. Jaroslav Peklo, Studie o inaktivaci fotosynthetické assimilace chlo-

rofyllu. Část III. O mutabilitě chlorell . . 46

J. Sobotka, Prostorová obdoba Steinerovy paraboly. (Se 6 obr. v textu.) 47

• |r.t 'f,i v \ ' VA -u.

• , V\ ; • , V' ■. s A\ :fi.

"-Jí íJ.-í!« •'/! \

■ • r.ii i.r/i : ; ! :jv»L«

! ;.‘í:í 'Ji! -i.! '/

' • •• i] ■ ■<:

■ : / •• - ■ : ,\.u i

\

■ / : -í -I !

■’ ! • , ; • "-V. ‘/A - r : JJM. H í

•'!. J i ic ‘ ) jilsVídr

třída ii.

ČÍSLO i.

&oc>

CILSa--

v. 2.-2

ROČNÍK XXIII.

Nové naleziště diluviální fauny u Volyně.

Podává

j. v. želízko.

Předloženo dne 28. listopadu 1913.

Úvod.

V lednu 1913, tedy čtyři léta po uveřejnění mého pojednání o dilu¬
viální fauně zechovické,1) obdržel jsem od ředitelství ,, Jihočeských dolů
na vápenec a nerosty “ ve Volyni zprávu o novém výskytu diluviální zví¬
řeny, nalezené při lámání vápence na tak zvaném Děkanském vrchu, se¬
verně od Volyně.

Laskavostí správce uvedeného podniku, pana M. Boháče, byly
mně také zaslány některé, v nové lokalitě nalezené kosti, zuby a jiné
zbytky, pocházející z divokého koně a soba. Později, při čistění kostí,
nalezl jsem v hlíně, jíž byla dutina jedné koňské kosti vyplněna, ještě
femur nějakého diluviálního hlodavce.

Většina kostí byla nápadně na koncích ohlodána, což svědčilo, že
nálezy pocházejí asi z podobného úkrytu dravců, jako u Zechovic. Abych
mohl zajímavé naleziště na Děkanském vrchu shlédnouti, a jej později
zevrubněji prozkoumati, zajel jsem o Velikonocích téhož roku do Volyně.
Neutěšené, deštivé léto a naprostý nedostatek k výkopům spolehlivých
dělníků zavinily, že mi nebylo možno, během uplynulých prázdnin práci
ukončiti, což ale mělo pro mne zase jinou výhodu, jak hned dále povím.

Koncem července podařilo se mi totiž, dík zvláštní náhodě, obje-
viti v odkrytém profilu diluviálního nánosu hnízdo, obsahující množství
hlodavčích pozůstatků, kůstek, čelistek a zoubků, takže mohl jsem se
nerušeně jeho vykořisťování věnovati, což vyžadovalo mnoho dní trpě¬
livé a na nejvýš opatrné práce. Odkrytí a prozkoumání ostatní diluviální
pokrývky v rozměru mnoha čtverečných metrů, ponechal jsem pak na
dobu pozdější.

9 Diluviální fauna od Volyně v jižních Čechách (Rozpravy České Akademie.

R. XVIII. Č. 9. 1909).

2

Ze ale jsou již dosavadní výsledky velmi zajímavé a cenné, svědčí
n'že podaná zpráva.

Konám jen milou povinnost, pakli zde s vděčností vzpomínám
pánů: E. Lederera, býv. ředitele ,, Jihočeských dolů na vápenec a
nerosty “ a M. Boháče, správce tohoto podniku, kteří výzkumy mé
všemožně podporovali.

Rovněž i panu K. J. Maškovi, řediteli c. k. vyšší reálky v Telči,
srdečně děkuji za přátelskou výpomoc při určování sporného materiálu
jakož i panu J. Kniesovi, nadučiteli v Sloupu, za určení některých
arvicolid.

Naleziště a jeho geologické poměry.

Děkanský vrch, zvaný tak v obecné mluvě proto, že náležel dříve
i s okolními pozemky k volyňskému děkanství, nachází se u samé Volyně,
hned nad zimní hospodářskou školou.

Je to spíše nepříliš vysoký pahorek, s příkrým svahem k severu,
který byl ještě před třiceti léty úplně holý. Teprve zásluhou dřívějšího
nájemce, zesnulého pana F. Boháče, byl pak zalesněn.

Děkanský vrch pozůstává převážně z prahorního vápence, prostoupe¬
ného různými žilnými horninami, jehož podloží tvoří rula (viz profil obr. 1.).

V době diluviální táhla se po celé skoro délce vršku od východu k zá¬
padu vápencová stěna, která byla během dlouhých dob sesouvající se
prstí a kamením zpola zasypána, čímž takto nanesený materiál utvořil
podél stěny násep s dosti příkrým sklonem k severu.

V nedávné době zakoupen byl Děkanský vrch správou ,, Jihočeských
dolů na vápenec a nerosty" , která jej dala po novém roce 1913 v samém
středu vymýtiti, k vůli založení většího vápencového lomu. Aby pak
mohl býti odstřelovaný kámen pohcdlně odklízen, učiněn nánosovým
příkrovem od jihu k severu asi dva metry široký průkop, který poskytl
dva pěkné profily, jak vidno z tuto přiložených obrázků (obr. 1. a 2.).

Na profilu prvním vidíme, že diluviální nános spočívá dáem na vá¬
penci, prostoupeném žilnými horninami, dílem leží též na rule. Tento
nános, pozůstávající z hnědé, plastické hlíny, promísené většími i men-
šímy kusy vápence a jiných hornin, jakož i kostmi větších ssavců, je ne¬
stejné mocnosti, která v úžlabině u skalní stěny asi 85 cm měří.

Délka uloženin, k severu se vykliňujících, obnáší od skalní stěny
až do konce 7 metrů. Sklon jich, podmíněný sklonem pevného podkladu,
jest 10 — 15°. Diluviální nános ztrácí se na severním konci ve směsi drob¬
ného alluviálního štěrku.

V úžlabině při samé skalní stěně, nachází se partie jemné, písčité,
lésovité hlíny barvy temněhnědé (profil obr. 1 b), která přechází ve hlínu
barvy poněkud světlejší, jež je pronášena bělavými úlomky vápence a
která tvoří za sucha velmi kompaktní shluky. Hlína tato střídá se pak
s jinými temnějšími partiemi, obsahujícími vedle úlomků vápence též

I.

3

různé písčité součástky (profil obr. 1 a, s křížky kolkolem). Dotčená hlína
důležitá je tím, že obsahovala množství hlodavčích a jiných zbytků.2)

S. ' I-

Obr. 1. Průřez vrstev na Děkanském vrchu u Volyně od severu k jihu.

A alluvium, B diluviální hlína se zbytky větších ssavců, prc míšená kusy vápence
a jiných hornin, a hnízdo obsahující hlodavci a j. zbytky, h partie jemné lésovité
hlíny, C, pravápenec, G rula, D, E, F žilné horniny.

J-

S.

Obr. 2. Průřez vrstev na Děkanském vrchu u Volyně od jihu k severu.

A alluvium, B diluviální hlína se zbytky koně a soba, promísená kusy vápence a j *
hornin, x naleziště měkkýšů, C pravápenec, G ruda, E, F, H žilné horniny.

2) Podrobný rozbor diluviální hlíny z Děkanského vrchu, provedený panem
drem B. Heinitzem ve výzkumné stanici lesnické v Písku, bude uveřejněn
po ukončení mého výzkumu.

I.

4

Alluviální uloženiny, nabývající u skalní stěny 120 cm mocnosti,
skládají se z temné, hnědé hlíny, barvy tabákové, promíšené množstvím
drobného štěrku z vápence a ruly. V profilu 2. jeví se již poněkud jinak
poměry uložení diluviálního a alluviální ho nánosu.

Diluviální nános, mající i zde podobný podklad jako v profilu pře¬
dešlém, je poměrně mocnější, kdežto alluviální pokrývka je celkem ne¬
patrná. Hlína tohoto profilu poskytla pozůstatky koně a soba a dva
pěkně Zachovalé měkkýše Helix ( Isognostoma ) personata a Patula ( Discus )
rotundata (na obr. 2. dotyčné místo křížkem vyznačeno).

Prokopání uvedeného profilu k západu slibuje v budoucnosti slušný
vědecký výtěžek.

Diluviální fauna.

Diluviální zvířena na Děkanském vrchu nenacházela se podobně jako
u blízkých Zechovic v žádné trhlině, nýbrž v nánosu se shora budto spla¬
veném nebo sesutém.

Strmá vápencová stěna, táhnoucí se středem vrchu, skytala mezi
balvany bezpečné skrýše k dočasnému pobytu dravců, kteří sem svoji
kořist zanášeli. Zejména úžlabina při stěně (obr. 1 a) byla asi vhodným
hodovištěm sněžní sovy, soudě dle množství zbytků malých hlodavců,
jež byly nashromážděny toliko na jednom místě. Následkem častých
deštů v létě 1913 nasákla hlína vodou, takže se mnohé z kostí a čelistí
hlodavčích úplně rozmočily. Jakmile byla jednou hlína tyto zbytky obsahu¬
jící vodou nasycena, nepomohlo k záchraně čelist ek ani pozdější vysušo-
vání je chovajícího materiálu, ježto se vše pak na vzduchu rozpadalo.

Hnízdo s hlodavčími zbytky obsahovalo vedle několika měkkýšů
též četné zbytky koňských a sobích kostí. Kosti těchto zvířat, vyskyt¬
nuvší se zvláště hojně při zakládání vápencového lomu, jsou ponejvíce
světlohnědé, místy šedé s černými skvrnami. Jsou často přeráženy a na
koncích nějakou velkou šelmou ohlodány. Rovněž i čelistky hlodavčí vy¬
značují se světlehnědou barvou. Jen několik čelistek a kůstek je úplně
černých.

Podél vápencové stěny takto nashromážděné zbytky byly později
sesouvající se zemí, štěrkem a balvany z vyšší polohy vrchu zaneseny,
podobně asi jako u Zechovic.

Dosud nalezené pozůstatky patří charakteristickým druhům zví¬
řeny glaciální čili tundrové a štěpní. Zástupci této obojí zvířeny vyskytují
se na Děkanském vrchu společné.

V této nové lokalitě nalezená dodnes zvířena náleží následujícím
druhům :

I.

5

Mammalia. — Ssavci.

Mustelidae. — Kunovití.

Putorius ( Ictis ) Erminaeus Ow. (Hranostaj).

Nalezena pravá dolní Čelistka bez klů, které byly ale nalezeny zvlášť.
Souhlasí úplně co do velikosti i podoby s Woldřichovým exem¬
plářem uvedeného druhu ze Sudslavic ,3) jakož i Nehringovým ze
Schweizerbildu 4.)

Ze Zechovic máme pouze dva atlasy.

Sciuridae. — Veverovití.

Spermophilus rufescens Keys & Blas.

(Sysel orenburský.)

Jedna dobře Zachovalá stolička.

U Zechovic nalezena pravá dolní čelistka. Jinak v Čechách dosti
hojný.

Arvicolidae. — Hraboši.

Myodes torquatus Pall.

(Lumík velký.)

Z tohoto nej význačnějšího zástupce arktické zvířeny nalezeny tři
levé a tři pravé poloviny dolních čelistí a jeden fragment z hořejší čelisti
s několika zoubky.

Fossilní lumík velký znám je dosud v Čechách od Sudslavic, Trniic
a Zechovic, odkudž pochází přední části lebky, a několik čelistek.

Arvicola agrestis Blas.

(Hraboš polní.)

Čtyři poloviny dolních čelistí.

Vyskytl se u Zechovic. Fossilní uvádí se též od Sudslavic a z Kot¬
lář ky.

3) Diluviale Fauna von Zuzlawitz bei Winterberg im Bóhmerwalde (Sitzungsb.
d. k. Akademie der Wiss. I. Abth., Bd. LXXXIV., II. Thdl, Taf. II. Fig. 7.). Vídeň
1881.

4) Die kleineren Wirbelthiere vom Scliweizerbild bei Schaffhausen (Denkschr. d-
Schweiz. Naturfor. Ges. Bd. XXXV., Taf. II., Fig. 13.). Basel 1895.

I.

6

Avvicola avvalis Sélys.

(Hraboš obecný.)

Čtrnáct polovin dolních čelistí.

V Čechách nalezen na několika místech, mezi jinými i u Zechovic.

Avvicola amphibius Desm.

(Hraboš vodní.)

Úlomky dolních čelistek, kly a kůstky (femury).

Vyskytl se hojně u Zechovic a v jiných českých lokalitách.

Avvicola gvegalis Desm.

(Hraboš sibiřský.)

Dvacet šest úplných i fragmentárních polovin dolních čelistí.

Také u Zechovic vyskytl se dosti hojně. Mimo to uvádí se též od
Sudslavic a z Bulovky.

Avvicola vatliceps Keys. & Blas.

(Hraboš severní.)

Pravá a levá polovice dolní čelisti.

U Zechovic dosti hojný. Jinak je uváděn v literatuře toliko od Sud¬
slavic.

Avvicola subtevvaneus Sélys.

(Hraboš podzemní.)

Sedm polovin dolních čelistí.

Uvádí se od Sudslavic a z Podbapy. Rovněž i u Zechovic nalezli jsme
několik čelistek.

Leporina. — Zajícovití.

Lepus vaviabilis Pall.

(Zajíc sněžný.)

Úlomek metacarpu, hořejší kloub z tibie, metatarsus a jiné kůstky.
U Zechovic vyskytly se jeho zbytky dosti hojně. Z Čech uváděn
také od Sudslavic a z Bulovky.

I.

7

Lagomys pusillus Pall.

(Pišťucha zakrslá.)

Jedna pravá a jedna levá polovina dolní čelisti a úlomek hořejší
čelisti s několika zoubky.

Tento význačný typ zvířete výhradně stepního znám je také od
Zechovic, Sudslavic a z Bulovky.

Perisodactyla. — Kopytnatci lichoprstí.

Equus fems Pallas (= Equus Prževalskii Polj .)

(Kůň.)

Názvem tímto označena v novější době menší robustní forma dilu-
viálního koně, identická s Equus caballus ( fossilis ) var. minor Woldř .

Zástupce uvedeného druhu zastal slavný ruský cestovatel N. M.
Prževalskij v solné poušti džungarské v střední Asii, severně od
východního Thien-šanu.

Dr. Otto Antonius ve Vídni chystá právě o fossilních koních
k tisku větší publikaci, v níž bude o uvedeném druhu obšírně pojednáno.

Na Děkanském vrchu nalezené koňské zbytky náležejí několika
starším i mladším individuím, jak vidno na pi\ z četných horních i dolních
stoliček, jichž jsme dosud nalezli přes šedesát. Kromě toho nalezeny
zadní části lebky dvou individuí, obě polovice dolní čelisti se všemi sto¬
ličkami a jeden fragment se třemi stoličkami. Z hořejší čelisti pochází
úlomek se třemi a jiný se čtyřmi nápadně otřelými stoličkami Konečně
nalezeny dva fragmenty ze dvou hořejších čelistí, jeden se třemi a jiný
se čtyřmi řezáky, vedle několika řezáků po různu nalezených.

Rovněž i jiné kosti byly velice hojné, na př. zbytky pánví, meta-
tarsů, tibií, dále metacarpy., phalangy, astragaly, ulny atd.

Krátce, diluviální kůň zastoupen je na Děkanském vrchu ze všech
zvířat nejčetněji. Dosud zde nalezené pozůstatky stály by již samy za
vědecké zpracování.

Artiodactyla ruminantia. — Sudoprstci přežívá ví.

Bison priscus Riitm.

(Zubr.)

Nalezena distální část tibie nad kloubem ohryzené.

Zubr považován mnohými autory za zástupce pastvi nné anebo
lesní zvířeny. Že ale jej možno spíše za zvíře štěpní považovati, o tom svědčí
náhled N e h r i n g ů v5), který i my sdílíme.

5) TJeberTundren und Steppen der Jetzt- und Vorzeit. Sir. 139 a 206. Berlin 1890.

8

U Zechovic zubr dosud zjištěn nebyl, jinak ale vyskytl se jinde v Čechách
dosti hojně.

Rangifer tarandus Jard.

(Sob.)

Zajímavá je pěkně Zachovalá větévka z parohu, pak dolní část pa¬
rohu s lebeční kostí. Ostatní zbytky jsou většinou dravci rozkousány
a na koncích ožrány. Nalezen byl humerus, rádius, metatarsus, II. phalang
a jiné.

U Zechovic vyskytly se ze soba také úlomky čelistí se zuby, za to
ale parohy nebyly nalezeny.

Aves. — Ptáci.

Rasores. — Kur ovití.

Lagopus albus Vieill.

(Kur rousný, sněhule severní.)

Tři kůstky ; mezi nimi rádius a ulna. Uvedený pták vyskytl se
také u Zechovic a Sudslavic.

Mollusca. — Měkkýši.

Pan Zd. Frankenberger v Praze určil laskavě tyto druhy:

Helix ( Isognostoma ) personata Lam . Dva exempláře.

Helix ( Chilotrema ) lapicida L. Jeden exemplář.

Patula ( Discus ) rotundata Mul. Dva exempláře.

Clausilia ( Curmitzia ) dubia Dráp. Jeden exemplář.

Clausilia (Pirostoma) ventricosa. Jeden exemplář.

Clausilia sp. Pouhý vrchol, blíže těžko určitelný.

Tyto druhy, až na Clausilia dubia (holocaení), jsou také u Zechovic
zastoupeny. Patula rotundata byla u Zechovic teprve v poslední době zji¬
štěna spolu s Helix pomatia L., takže jest úhrnný počet měkkýšů z této
lokality 13 druhů.

Z níže přiloženého přehledu dosud na Děkanském vrchu u Volyně
nalezených diluviálních obratlovců zřejmo, že je zvířena glaciální cha-
rakterisována šesti a zvířena štěpní devíti druhy. Zvířena pastevní a lesní ,
která je u Zechovic a Sudslavic pěkně zastoupena, na Děkanském vrchu
prozatím konstatována nebyla.

Přes to, že se v nové lokalitě volyňské vyskytují druhy, které ve¬
směs také v Zechovicích, resp. i v Sudslavicích přicházejí, jsou za to mnohé
z nich dokumentovány jinými osteologicky významnými zbytky.

I.

9

Přehled diluviálních obratlovců z Děkanského vrchu u Volyně.

1

1

Druh

<*>

Typ

glaciální

Typ

štěpní

1

Putorius (Ictis) Erminaeus Ow. — - Hranostaj

+

2

Spermophilus rufescens Keys. & Blas. —

Sysel orenburský .

+

3

Myodes torquatus Pall. — Lumík velký . . .

+

—

4

Arvicola agrestis Blas. — Hraboš polní ....

—

+

5

Arvicola arvalis Sélys. — Hraboš obecný . . .

—

+

6

Arvicola amphibius Desm. — Hraboš vodní.

—

T

7

Arvicola gregalis Desm. — • Hraboš sibiřský .

+

—

8

Arvicola ratticeps Keys. & Blas. - — Hraboš

—

+

severní . . . .

—

+

9

Arvicola subterraneus Sélys. — Hraboš pod¬
zemní .

+

10

Lepus variabilis. — Zajíc sněžný .

+

—

11

Lagomys pusillus Pal. — Pišťucha zakrslá . . .

— •

+

12

Equus ferus Pall. — Kůň .

—

+

13

Bison priscus Růtm. — Zubr .

—

+

14

Rangifer tarandus Jard. — Sob .

+

- -

15

Lagopus albus Vieill. — Kur rousný .

+

—

Úhrnem .

6

9

I.

Tab. I.

Erosivní údolí Volyňky mezi Bízkovým a Stulíkovým mlýnem. V levo nahoře zimní
hospodářská škola, u ní na právo Děkanský vrch, naleziště diluviální fauny. V pozadí
horské, převážně rulové pásmo. — (Pohled od východu.)

Děkanský vrch r. 1913. Uprostřed vápencový lom s diluviální faunou.

(Pohled cd severu.)

ROČNÍK XXIII.

TRIDA II.

ČÍSLO 2.

Příspěvek k poznání tvorby praecipitinů
v těle zvířecím.

Podává

MUDr. JOSEF ROČEK,

assistent c. k. hygienického a bakteriologického ústavu.

(S tabulkou.)

(Předloženo dne 16. ledna 1914.)

Při výrobě antilátek, při nichž se používá co antigenu některého sera
krevního — zejména hovězího nebo koňského — postupuje se dle návodu
Uhlenhuthova a Weidanzova obyčejně tím způsobem, že se většímu počtu
králíků vstříkne v krátkých intervalech časových několik značných dávek
sera krevního. Při větším počtu králíků se podaří, že přece některý z nich
přestojí mohutnou a tím i životu nebezpečnou reakci takto vyvolanou.
Zvíře toto po uplynutí normální doby k proběhnutí reakce potřebné hodí
se k získání velmi působivého, na praecipitiny bohatého sera, které ještě
i ve velikých stupních zředění dává s příslušným antigenem reakci prae
cipitační.

Při pokusech immunisačních, které byly předmětem této práce, bylo
použito cesty jiné, tím charakterisované, že jednak s novou dávkou immu-
nisaČní se vždy vyčkalo, až zej měna místní příznaky anafylaktické na místě
vpichu úplně vymizely, po případě až sérum zvířete nedávalo již žádné
reakce praecipitační, jednak že při takovém dalším opětovaném vstřiko¬
vání byla postupně volena dávka sérová vždy menší.

Použitím této methodiky dospělo se k některým zajímavým po¬
zorováním, jež osvětlují uvedené pokusy.

Prvé dva pokusy vyrobiti praecipitiny byly provedeny se šerem
hovězím a koňským přesně dle návodu Uhlenhuthova a Weidanzova,
toliko- s tím rozdílem, že místo většího počtu zvířat byl k immunisaci vzat
vždy králík jediný. Příslušné sérum applikováno intravenosně v množství
3 ccm každých 5 dní. Králík praeparovaný šerem koňským zhynul za zjevů
anafylaktických při třetí injekci, králík immunisovaný šerem hovězím
neměl po třetí injekci náležitě působivého sera a zhynul po injekci čtvrté.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 2. 1

II.

9

Immunisační pochod opakován znovu opět se šerem hovězím a koň¬
ským. Tentokráte však byla prováděna pečlivá každodenní kontrola
vážením zvířete a pozorováním jeho celkového stavu.

Sérum hovězí.

Králík šedý č. 5

1. III. 1910.

Váha zvířete 2450 g.

Vstřiknuty intravenosné 2 ccm sera hovězího. Sérum k injekcím po¬
užívané bylo vždy získáno čerstvé ze zvířat v jatkách poražených. Krev
z přeťatých cév krčních vystřikující byla po odtoku první části zachycena
do sterilního válce skleněného. Sérum, které se průběhem 24 hodin vy¬
tlačilo, bylo vždy při vyšetření bakteriologickém sterilní.

7. III.

Váha 2605 g.

Vstřiknuty 3 ccm sera intravenosné.

14. III.

Váha 2650 g.

Vstřiknuty 4 ccm sera instravenosne.

Druhého dne po této injekci zvíře nežere, jeví celkově stav chorobný
a jeho váha klesla na 2430 g. Průběhem 3 dnů podstatné zlepšení, načež
opět náhlé poklesnutí váhy tělesné až na 2200 g.

22. III.

Váha 2400 g.

Odejmuty z vény ušní 2 ccm krve venepunkcí.

Se získaným šerem vykonána zkouška praecipitační. Výsledek této
zanesen v tabulce I.

Tabulka I. Sérum ze dne 22. III.

Sérum hovězí
zředěno:

1 : 100
1 : 500
1 : 1000
1 : 5000
1 : 10.000

Množství k re¬
akci použité:

1 ccm
1 ccm
1 ccm
1 ccm
1 ccm

Sérum

praecipitinové :

0,1 ccm |
0,1 ccm >
0,1 ccm )
0,1 ccm
0,1 ccm

Výsledek

reakce:

Intensivní zá¬
kal okamžitě.

Zákal po 3 min.
Negativní.

Pokud se provádění reakce týče, používali jsme originálního zařízení
dle Uhlenhutha a Weidanze. Antigen zřeďován dle systému 1, 5, 10 a použit

II.

3

vždy v množství 1 ccm. Zkoušený praecipitin přidáván přesnými pipetami
na 0,001 dělenými s celkovým obsahem 0,1 ccm v množství 0,1 ccm. Zku¬
mavky vloženy do thermostatu o 37° C, v němž po chvilkách kontrolo¬
vány. Po uplynutí jedné hodiny vyjmuty a ponechány dále při tempe-
ratuře pokoje.

Výsledek reakce jsme vždy kvalifikovali:

1. Dobou potřebnou k prvému objevení se reakce.

2. Rozsahem reakce, to jest největším zředěním antigenu, v němž
ještě reakce jest positivní (bez ohledu na dobu).

3. Intensitou reakce, te jest mohutností vytvořeného zákalu.

Ad 2. a 3.: Výsledky tyto odečítány po 2 hodinách od nastavení
reakce (1 hodina v thermostatu 37° C, 1 hodina při temperatuře pokoje).

Ke kvalifikaci této vedla pozorování, že nepřibývá ani neubývá vždy
těchto faktorů reakce praecipitinové paralellně a že tedy k řádnému celko¬
vému ocenění reakce je potřebí zvláště vytknouti všechny 3 veličiny.

Na základě výsledků sděleného v tabulce I. přikročili jsme k dalším
injekcím. Téhož dne (22. III.) vstřiknuty zvířeti intravenosně 4 ccm sera
hovězího a 30. II í. 3 ccm subkutánně, načež po následujících 6 dnech
odejmuto opět malé množství krve z vény ušní k reakci praecipitinové.

Výsledek této zkoušky nelišil se v podstatě od předcházející. Tvořil
se totiž okamžitý zákal opět pouze do zředění hovězího sera 1 : 1000, ve
zředění 1 : 5000 nástával po 2 minutách, ve zředění 1 : 10.000 byla opět
reakce negativní.

Po poslední injekci objevila se v místě vpichu infiltrace v podobě
ohraničeného zatvrdnutí, jaké často jsme vídali při immunisaci králíků
ricinem neb abrinem a jež empiricky uvykli jsme považovali za lokální
příznaky anafylaktické a znamení, že s injekcemi nutno vysaditi.

Tak učinili jsme i v tomto případě.

Od této doby tělesný stav zvířete se postupně lepšil, až asi po měsíci
váha jeho dostoupila 2700 g a konečně také zmíněná infiltrace kolem místa
vpichu úplně vymizela. Zároveň však praecipitační mohutnost jeho sera
klesla na nulu, o čemž svědčí reakce praecipitinová se šerem ze dne 27. V.,
která jest v každém ohledu negativní.

Tohoto dne vstřiknuty opět zvířeti 3 ccm sera hovězího intravenosně.

Po následujících 5 dnech — tedy dne 1. VI. — odejmuta zkouška
krevní z vény ušní. Tu objevil se překvapující effekt immunisační, jehož
titr možno oceniti jako 20 krátě vyšší, než vůbec kdy před tím u tohoto
zvířete bylo dosaženo, když vezmeme ku srovnání reakci momentálně se
dostavující. Při porovnání rozsahu reakce vůbec, bez ohledu na čas k do¬
stavení se zákalu potřebný, byl effekt immunisační nyní 64 krát větší.

Ve stejné mohutnosti praecipitační udržuje se i zkouška krevní po
následujících 6 dnech odejmutá, jejíž hodnoty jsou patrny z tabulky II.

1*

II.

4

Tabulka II. Sérum ze dne 6. VI.

Zředění sera hovězího:

Výsledek reakce:

1 : 100
1 : 500
1 : 1000
1 : 5000
1 : 10.000
1 : 20.000
1 : 40.000
1 : 80.000 |
1 : 160.000 |
1 : 320.000
1 : 640.000

Zákal za 6 minut.

Lehký zákal za 13 minut.
Negativní.

Okamžitě velmi inten¬
sivní zákal.

Intensivní zákal za 3 min.

Po příznivém výsledku této reakce praecipitační odejmuli jsme
zvířeti z vény ušní značné kvantum krve (as 30 ccm) , z níž získané sérum
uchováno v zásobě ve sterilních íiolkách z hnědého skla bez přísady anti-
septika. Udrželo se v dostatečné působivosti po dobu téměř dvou let.

Při této příležitosti zkontrolovali jsem účinek tak značné ztráty
krevní na praecipitační titr, odejmuvše za dvě hodiny po té opět malé
množství krve k reakci praecipitační. Nenalezli jsme však podstatné
úchylky ni co do doby reakční, ni co do rozsahu.

Od této doby udržováno zvíře pokud možno v příznivých podmínkách
životních, což jevilo se pravidelným přibýváním na váze, která na konec
dostoupila až 3150 g.

V různých intervalech časových odnímali jsme zkoušky krevní a sto¬
povali jsme krok za krokem ubývání praecipitačního effektu reakcí kvan¬
titativně prováděnou.

Již za dva dny po ztrátě krevní pozorováno súžení rozsahu reakce,
které potrvalo v nezměněné formě plných 14 dní, jak patrno na zkouškách
ze dne 9. VI. (tab. III.) a 24. VI.

Tabulka III. Krev odejmutá dne 9. VI.

Zředění sera hovězího: Výsledek reakce:

I : 100
1 : 500
1 : 1000
1 : 5000

Okamžitě silný
zákal.

1 : 10.000
1 : 20.000
1 : 40.000 \
atd. (

Reakce i po delší
době negativní.

II.

5

Reakce praecipitinová se zkouškou krevní ze dne 24. VI. liší se na¬
nejvýše tím, že ve zředění 1 : 20.000 jest zákal poněkud méně intensivní
než býval, přece však dostavuje se okamžitě.

V následujícím týdnu nastal však náhlý pokles praecipitacní hodnoty,
jak patrno z tabulky IV., v níž zaznamenán výsledek reakce se šerem
odejmutým zvířeti dne 2. VIII.

Tabulka IV. Sérum ze dne 2 VII.

Zředění sera hovězího:

1 : 100
1 : 500
1 : 1000
1 : 5000 J
1 : 10.000 \
l : 20.000 I
1 : 40.000

Objevila se tu tedy proti předešlé reakci značná prolongace časová'
zároveň pak klesla značně i intensita jednotlivých zákalů, za to rozsah
reakce zůstal celkem zachován. Vezmeme-li za základ pozorování a vzá¬
jemného srovnávání positivní reakci momentálně se dostavující, jest již
nyní effekt praecipitační roven nule.

Úplné vymizení reakce nastalo pak za následujících 9 dní. V žádném
zředění hovězího sera neobjevila se stopa zákalu, i když doba pozorovací
byla prodloužena na několik hodin.

V této době podnikli jsme opět zákrok immunisační. Tentokráte
bylo použito dávky poloviční té, která dne 27. V. způsobila tak znamenitý
effekt immunisační, Injikovali jsme dne 18. VII. pouze 1,5 ccm sera ho¬
vězího. Králík injekci zcela dobře snesl a byl i dále normálního vzhledu.

Za 5 dní po této druhé reimmunisaci odejmuta opět krev ke zkoušce
praecipitinové, kterou se zjistilo, že titr reakce momentálně se dostavující
dosáhl opět téže výše jako po injekci 3 ccm, jenom rozsah se již na původní
výši ne vyšinul.

Fakta jsou patrna z tabulky V.

Výsledek reakce:

Nepatrný zákal po 3 min.

Slabý zákal teprve po
25 minutách.
Negativní.

Tabulka V. Sérum ze dne 23. V TIL

Zředění sera hovězího:
1 : 100
1 : 500
1 : 1000
1 : 5000
1 : 10,000
. 1 : 20.000
1 : 40,000
1 : 80.000

Výsledek reakce:

Okamžitý velmi intensivní
zákal.

Zákal po 4 minutách
Negativní.

11.

6

Ještě dne 1. VIII. odejmutá zkouška krevní drží se i co do doby
i co do rozsahu na stejné výši.

V následujících 5 dnech nastalo značné zlenění reakce aspoň v nej-
vyšších zředěních a i malé zmenšení rozsahu reakce, jak patrno ze zkoušky
krevní dne 6. VIII., jejíž výsledek zanesen v tabulce VI.

Tabulka VI. Sérum ze dne 6. VIII.

Zředění sera hovězího:

1 : 100 |

1 : 500
1 : 1000
1 : 5000
1 : 10.000
1 : 20.000
1 : 40.000

Výsledek reakce:

Okamžitý zákal

Zákal za 2 minuty.
Zákal po 4 minutách.
Negativní.

Ještě u větší míře jeví se toto zlenění u zkoušek krevních ze dne
11. VII I. a 18. VIII. při poměrně malém omezení rozsahu reakce.

Od této doby pak nastává pokles v obou směrech, přece však do¬
znívání reakce se prodloužilo na více než 2 měsíce.

Krátký přehled podává tabulka VIL a VIII.

Tabulka VII. Sérum ze dne 11. Vílí. a 18. VIII:
Zředění sera hovězího: Výsledek reakce dne:

11. VIII.

18. VIII.

I : 100 .

1 : 500 .

1 : 1000 .

. 1

. j

| Slabý zákal |

| za i/ž min.

| Za 1 min. slabý
| zákal.

1 : 5000 .

Zákal za 1 min.

Za 2 y2 min.

1 : 10.000 .

Stopa za 4 min.

Stopa za 7 min.

1 : 20.000 .

Negativní.

Negativní.

Tabulka VIII:

Zředění sera

Výsledek reakce dne:

hovězího: 30. VIII.

15. IX. 26. IX.

30. IX. 10. X.

1 : 100 Zfal

za 2 mm.

Velmi sla- ~

bý zákal p°^a. Za 15 min. Za 20 min

za lo mm.

za 10 mm.

1 : 500 za 4 min.

neg.

neg.

neg. neg.

1 : 1000 neg.

neg.

neg.

neg. neg.

Ještě dne 20. X. objevil se nepatrný zákal po delší době v kon¬
centraci 1 : 100.

II.

7

Konečné zkouška krevní ze dne 30. X. jest negativní.

V této době přistoupili jsme opět k reimmunisaci, tedy třetí, a snížili
jsme opět dávku reimmunisační na polovici dávky předchozí.

7. XI. vstřiknuto zvířeti 0,75 ccm sera hovězího intravenosně. Po
následujících 7 dnech odejmuta zkouška krevní.

I po této malé dávce objevil se značný vzestup titru praecipitačního.
Rozsah reakce byl jen o málo menší než při předešlé reimmunisaci na
dávku dvojnásobnou, avšak rychlost reakční ve větších zředěních zůstala
již značně menší. Výsledek uveden v tabulce IX.

Tabulka IX. Sérum ze dne 14. XI.

Zředěni sera hovězího:

Výsledek reakce:

1 : 100 |

1 : 500

Okamžitý mohutný zákal

1 : 1000 J

1 : 5C00 .

. . Zákal za 2x/4 minuty.

1 : 10.000 .

. . Zákal za 2 y? minuty.

1 : 20.000 .

. . Stopa za 30 minut.

Po této čtvrté immunisační etapě nedošlo již k dalšímu zkoumání
pohyby titru sera praecipitačního, poněvadž krátce po odejmutí poslední
zkoušky krevní stiženo bylo zvíře paraplegií zadních končetin, jíž násle¬
dovala smrt.

Chronologický i věcný přehled všech těchto pokusů provedených
na jednom zvířeti během 8 měsíců je podán v textu následujícím a také
v grafickém znázornění, které jest připojeno.

Immunisace :

Injekce 1. Dne 1. III. 2 ccm sera intravenosně.

Injekce 2. Dne 7. III. 3 ccm sera intravenosně.

Injekce 3. Dne 14. III. 4 ccm sera intravenosně.

Zkouška sera. Dne 22. III. Výsledek v tabulce I.

Injekce 4. Dne 22. III. 4 ccm sera intravenosně.

Injekce 5. Dne 30. III. 3 ccm sera subkutánně.

Infiltrace v místě vpichu. Pokusy přerušeny.

Zkouška krevní. Dne 27. V. negativní.

Reimmunisace I.

Injekce. Dne 27. V. 3 ccm sera intravenosně.

Zkouška krevní. Dne 1. VI.

Zkouška krevní. Dne 6. VI. Tabulka II.

Odejmuto 30 ccm krve z vény ušní. Dne 7. VI.

Zkouška krevní. Dne 9. VI. Tabulka III.

II.

8

Zkouška krevní. Dne 24. IV.

Zkouška krevní. Dne 2. VII. Tabulka IV.
Zkouška krevní. Dne 11. VIL Negativní.

Reimmunisace II.

Injekce. Dne 18. VII. 1,5 ccm sera intravenosně.
Zkouška krevní. Dne 23. VII. Tabulka V.
Zkouška krevní. Dne 1. VIII.

Zkouška krevní. Dne 6. VIIT. Tabulka VI.
Zkouška krevní. Dne 11. VIII.

Zkouška krevní. Dne 18. VIII.

Zkouška krevní. Dne 30. VIII., 15. IX., 26. IX.
Tabulka VIII.

Zkouška krevní 20. X.

Zkouška krevní 30. X. Negativní.

Tabulka VII.

30. IX., 10. X.

Reimmunisace III.

Injekce. Dne 7. XI. Intravenosně 0,75 ccm sera.

Zkouška krevní. Dne 14. XI. Tabulka IX.

Pokud se grafického znázornění týče, tu při konstrukci jedné křivky
(tečkované) vzata za základ reakce momentálně se dostavující, u druhé
křivky pak rozsah reakce vůbec.

Z této druhé křivky patrný jest rozdíl ve způsobů ubývání praeci-
pitační mohutnosti sera po druhé a třetí immunisaci. Kdežto po druhé
immunisaci nastalo v krátké době súžení reakce, které potrvalo nezměněno
24 dní, načež v následujících 9 dnech klesla rapidně praecipitační aktivita
sera na nulu, po immunisaci třetí ubývalo pozvolna rozsahu reakce
plných 89 dní.

Pokusy se šerem hovězím opakovali jsme ještě jednou tentokráte
pararelně na 4 králících. Zamýšleli jsme kontrolovati podrobně vzestup
i sestup titru praecipitačního v několika následných immunisaci cb . Leč
individualita zvířat, jež při všech pokusech immunisačních hraje velikou
roli, tentokráte našemu pokusu nepříznivá, zmařila u dvou zvířat reimmu-
nisaci vůbec, u druhých dvou pak nepřinesla reimmunisace žádoucího
vzestupu praecipitační mohutnosti sera.

Objevil se tu však jiný zajímavý fakt, totiž vztah mezi reaktivností
zvířete a velikostí nebezpečí hrozící anafylaxie, jak patrno z uvedených
protokolů.

K r á 1 í k č. 7., 8., 9., 10.

Prvá injekce dne 12. VIII. 1910.

Vstřiknuto všem zvířatům intravenosně po 2 ccm sera hovězího.

Zkouška krevní odejmuta dne 19. VIII.

II.

9

Výsledek immunisační po prvé injekci byl zejména u dvou zvířat
velmi uspokojivý (8 a 9), u druhých dvou byla reakce praecipitační ne¬
patrná. Tabulka X.

Tabulka X. Sérum ze dne 19. VIII.

Zředění sera

Výsledek reakce

u zvířete

hovězího:

č. 7.

č. 8.

č. 9.

č. 10.

1 : 100

Stopa po

| Intens. zákal

Po Vo min.

Stopa po

1 minutě.

i po y2 min.

2 min.

1 : 500

1

Po 1 min

1 : 1000

negativní.

Po 1 min.

Po 10 min.

Negativní.

1 : 5000

1 : 10.000

Stopa po 3 min. \
Negativní.

Negativní.

Druhá injekce dne 19. VIII.

Vstřiknuto všem zvířatům po 3 ccm sera intravenosně.

Zkouška krevní odejmuta dne 26. VIII.

Z této zkoušky krevní jest patrno, že druhá intravenosní injekce
přinesla zlepšení u dvou zvířat s malou immunitou (7 a 8), za to značné
zhoršení intensity i doby reakce u druhých dvou po prvé injekci pěkně
reagujících (8 a 9). U těchto nutno pravděpodobně přičísti zhoršení reakce
praecipitační stavu anaiylaktickému, který u obou zvířat po následující
injekci propukl a končil v krátké době exitem. Výsledek této zkoušky
krevní zaznamenán v tabulce XI.

Tabulka XI. Sérum ze dne 26. VIII.

Zředění sera

Výsledek

reakce u zvířete

hovězího :

č. 7.

č. 8.

č. 9.

ě. 10.

1 : 100

1 Zákal

\ Stopa po

\ Stopa |

Okamžitý

1 : 500

j okamžitě

J y2 min.

| po 1 min. |

zákal.

1 : 1000

Za 1 min

Po 2 min.

Po 5 min.

Zákal po 1% min.

1 : 5000

Za 3 min.

Po 3 min.

Po 10 min.

Po 4 min.

1 : 10.000

Negativní.

Negativní.

Negativní.

Negativní.

Intensita reakce u králíků č. 8 a 9 jest velmi malá, zákal sotva vidi¬
telný jako jemná opalescence.

Třetí injekce dne 26. VIII.

Vstřiknuto všem intravenosně po 4 ccm sera. Po této třetí injekci
zhynul králík č. 8 a 9 v několika dnech za příznaků anafylaktických.
Oběma zbylým odejmuta dne 3. IX. zkouška krevní.

V této zkoušce objevilo se podstatné zlepšení u obou zejména rych¬
losti reakční. Objevila se i reakce okamžitá u králíka č. 7. do zředění ho¬
vězího sera 1 : 500, u králíka č. 10 do zředění 1 : 1000.

II.

10

Čtvrtá injekce. Dne 4. IX.

Oběma zbylým zvířatům injiko ván o subkutánně po 4 ccm sera ho¬
vězího.

Zkouška krevní dne 10. IX. Výsledek této zanesen v tabulce XII.

Tabulka XII. Sérum ze dne 10. IX.

Zředění sera Výsledek reakce u zvířete

hovězího:

ě. 7.

č. 10.

1 : 100

1 : 500

1 Okamžitý intens.

) zákal.

| Okamžitý intens.
zákal.

1 : 1000

Za V4 minuty.

1 : 5000

Za y2 minuty.

Zákal za y2 min.

1 : 10.000

Negativní.

Negativní.

Jak patrno, zůstal rozsah reakce u obou těchto zvířat omezen zře¬
děním 1 : 10.000 jako negativním.

Tím ukončena první etapa immunisační. Vyčkávali jsme opět, až
reakce praecipitaění vymizí, což nastalo as po uplynutí 1% měsíce od
poslední injekce.

Přistoupili jsme tedy k reimmunisaci, tentokráte hned s dávkou
menší, než nej menší k immunisaci použitá.

Injekce dne 20. XI.

Vstřiknuto oběma zvířatům po 1,5 ccm sera hovězího intravenosně.

Po této injekci objevil se sice malý vzestup ti tru praecipitaěního,
avšak pouze do koncentrace sera hovězího 1 : 100, nedosáhl tedy ani z da¬
leka výše immunity původní. Za to obě zvířata stala se zřejmě nemocnými
a v krátké době po injekci zhynula.

Pokusy se šerem koňským.

Zmínil jsem se nahoře, že pokus immunisační byl prováděn současně
se šerem hovězím i koňským.

1 u tohoto antigenu měla immunisace a vzestup titru praecipitaěního
podobný průběh, j enom že tu podařilo se docíliti pouze dvou etap immuni¬
sační ch, po nichž zvíře za zjevů anafylatických zhynulo.

Králík černobílý č. 6.

Váha 3100 g.

Čtyři intravenosní injekce v množství:

2 ccm, 3 ccm, i ccm, 4 ccm, dne 19. II., 24. II., 1. LIT., a 7. III.

Zkouška krevní dne 12. III.

Výsledek její zanesen v tabulce XIII.

Ii.

11

Tabulka XIII. Sérum ze dne 12. III.

Zředění sera koňského:

Výsledek reakce:

1 : 100

Zákal okamžitě.

1 : 500

Zákal za y2 minuty

1 : 1000

Za y2 minuty.

1 : 5000

Za 3 minuty.

1 : 10.000

Za 7 minut.

1 : 20.000

Negativní.

Vzhledem na nebezpečí anafylaxie applikovány další 2 injekce sub-
kutánné a intraperitonealné v množství 2,5 a 3 ccm dne 14. III. a 22. III.,
jichž účinkem stoupl titr okamžité reakce praecipitinové až na zředění sera
koňského 1 : 1000. Za to rozsah reakce zůstal ohraničen zředěním 1 : 10.000.

Nastavšími komplikacemi v podobě nekrosy ohraničené na místo
vpichu ve stěně břišní, k níž se připojil později rozsáhlý proces hnisavý,
působený dvěma varietami micrococcus pyogenes (aureus i albus) a b.
pyocyaneem, přerušeny byly pokusy a zvíře přiměřeně ošetřené ponecháno
po dobu 6 měsíců v klidu, to jest tak dlouho, až veškeré příznaky chorobné
— čítaje v to i zatvrdliny inguinalních uzlin — vymizely.

Po této době odejmuta dne 4. X. zlcoužka krevní a vykonána reakce
praecipitinová. Měla přirozeně výsledek negativní.

Přikročeno tedy k reimmunisaci.

Injekce dne 7. X. Vstřiknuto intravenosně 3 ccm sera koňského.

Zkouška krevní odejmuta dne 14. X.

Při této opět zjištěn zajímavý fakt mohutného tvoření se praecipitinu
tím zajímavější, čím delší doba uplynula od předcházejícího stavu nepříliš
vysoké immunity, a čím větší převraty za dobu la tence tělo zvířete pro¬
dělalo (rozsáhlé hnisavé processy.)

Tabulka XIV. Sérum ze dne 14.

Zředění sera koňského:

1 : 100 . j

1 : 1000 . J

1 : 5000 .

1 : 10.000 .

1 : 20.000 .

1 : 40.000 .

1 : 80.000 .

I toto sérum získáno venepunkcí
ve fiolkách zatavené, dlouho působivé.

X.

Výsledek reakce:

Okamžitá reakce. V krátké
době stává se velmi mohut¬
nou. Sediment hrubých vločků.
Zákal za y2 minuty.

Zákal za 1 min.

Zákal za 2 min.

Zákal za 20 min.

Negativní.

ve větším množství a uchováno

II.

12

Nyní vyčkávali jsme opět vymizení reakce praecipitinové, což na¬
stalo přibližně po uplynutí jednoho měsíce, tak že dne 18. XII, mohli
jsme přistoupiti k nové reimmunisaci.

Toho dne vstřiknuta poloviční dávka než při reimmunisaci před¬
cházející, totiž 1,5 ccm sera koňského intravenosně, avšak zvíře v krátké
době po injekci zhynulo.

Uvědomíme-li si v krátkosti význačná pozorování, která při pokusech
předchozích byla učiněna, přicházíme k následujícím výsledkům:

Nej zajímavější jeví se pozorování, že při reimmunisaci může se do-
staviti mohutná tvorba praecipitinů i po dávce nepatrné, a že při reimmu¬
nisaci menší dávka sera může přivoditi mohutnější tvorbu praecipitinů,
než větší dávka sera k první immunisaci použitá.

Pozorování posléze uvedené budící dojem, jako by tvoření se praeci¬
pitinů postupovalo neodvisle od velikosti dávky sera k reimmunisaci po¬
užité, nedá se upraviti v obyčejný rámec zkušeností biologických, ve smyslu
kterých bychom očekávali, že menší dávka sera při reimmunisaci použitá
nepovede ku větší tvorbě praecipitinové, nýbrž naopak ku menší. (Rovněž
se uvedený výsledek nedá uvésti v analogii s nějakým jiným známým po¬
chodem biologickým.)

Poněvadž však na úchylky cd obyčejných zkušeností biologických
dlužno teprve v druhé řadě pomýšleti, jsme vedeni tedy k závěru, že účinek
závislý na velikosti dávky mohl by býti zakryt vlivem nějakého nově
přistouplého faktora.

Za takových okolností stává se blízkým závěr hledati tento nově
přistouplý faktor v oněch změnách následkem immunisace nastalých,
které dle Pirqueta allergií se označují.

Po stránce praktické staví pozorování vytknutá do popředí možnost
užiti reimmunisace — vsunutím potřebných mezer časových mezi zákroky
immunisační za sebou následující - ku získání ser s vysokým titrem praeci-
pitačním.

Lze tak usuzovati z té příčiny, že jednak — jak z pozorování svrchu
vytknutých vyplývá — je možno dosíci i pomocí poměrně malých dávek
sera vysokých titrů praecipitačních, jednak z té okolnosti, která ze¬
jména novějšími zkušenostmi při vstřikování tuberkulinu byla zjištěna že
náležitým odstupňováním dávek lze úspěšně čeliti jevům anafylaktickým

Byly to právě jevy anafylaktické, které vedly Uhlenhutha a Weidanze
k té formě methody na získání ser s vysokým titrem praecipitačním, jak
těmito autory bylo navrženo.

Že v případě, o který se jedná, by náležitému odstupňování dávek
příslušela tím větší důležitost, vyplývá zejména z toho pozorování v před¬
chozích pokusech učiněného, že totiž zvířata nápadnou reaktivností na
vstřiknutí reagující podléhala nápadně brzo anafylaxii.

TI.

13

Jest ovšem věcí dalších pokusů, zda k účelu zjednání ser s vysokým
titrem praecipitačním cesta právě naznačená, t. j. menší dávky sérové
a reimmunisace se vsunutím potřebných mezer časových jest způsobilá,
aby se dospělo k výsledkům prakticky upotřebitelným.

Další zajímavé pozorování týká se sestupu ti tru praecipitačního,
kterýžto sestup na křivce k pojednání připojené jasně jest znázorněn. Lze
viděti v tomto grafickém znázornění, že v pokusu dotyčném byl sestup
titru immunisaěního po immunisaci prudký, po reimmunisaci nenáhlý.

Tento různý sestup titru praecipitačního mluví opět pro to, že se
jedná o reakci za změněných poměrů biologických. Závěr, že také v tomto
přípedě se jedná o jevy stojící v souvislosti s allergií Pirquetovou, jest
opět velmi blízký.

Jestliže výklad, že jisté zvláštní svrchu vytknuté jevy v pokusech
námi vykonaných se uplatňující spadají v rámec allergie Pirquetovy,
jest správný - — jinaký pravděpodobný výklad za daných poměrů jest sotva
možný - — pak by se tu jednalo o nové, dosud neznámé projevy allergie.

Vedle těchto hlavních pozorování jeví se účelným poukázati konečně
k několika vedlejším.

Sem spadá jednak, že latentní stav immunity praecipitinové není
zmařen rozsáhlými processy infekčními (hnisavými), jednak že značná
ztráta krevní nemá vlivu na praecipitační aktivitu sera a konečně, že
dobrou pomůckou immunisaění techniky jest kontrola váhy zvířete a po¬
zorování lokální reakce při subkutánní applikaci.

Jest mi milou povinností vzdáti dík prof. M. U. Dr. Gustavu Kabrhe-
lovi, přednostovi c. k. hygienického ústavu, za thema k této práci a mnohé
rady, jež mi laskavě v průběhu jejím udílel.

II.

MUDr. Josef Roček: Příspěvek k poznání tvorby praecipitinů v těle zvířecím.

NJ

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. XXIII., čís.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 3.

Výpočet radiantu roje meteoritů z elementů dráhy
komety a důkaz souvislosti Aquarid a Orionid
s kometou Halleyovou.

Podává

Dr. Jindřich Svoboda.

(Se 4 obr. v textu.)

Předloženo 17. ledna 1914.

ÚVOD.

V dosavadních methodách k důkazu souvislosti roje meteorického
s kometou postupovalo se tím způsobem, že počítaly se elementy dráhy
jednotlivých meteoritů na základě pozorování a výsledky se porovnávaly
s elementy komet. Methody tyto osvědčují se však jen v těch případech,
kdy dráha komety protíná dráhu zemskou, nebo se jí přibližuje nedaleko
od uzlu.

V methodě dole uvedené postupuje se způsobem zcela odlišným.
Vychází se z elementů známé komety a hledá se směr jejího pohybu
vzhledem k Zemi v místech, kde je dráha komety dráze zemské nej bližší.
Představíme-li si totiž, že meteority tvoří souvislý proud obklopující
dráhu komety po celé její délce, můžeme předpokládati, že směr meteo¬
ritů v kolmém řezu ku dráze komety bude se směrem komety přibližně
stejný. Zvolíme-li tedy na dráze zemské v místech, kde je dráze komety
nejblíže, řadu bodů — na př. posice Země v intervallech dvou dnů —
a vedeme-li těmito body normálně roviny ku dráze komety, můžeme
vžiti za směr meteoritů, které Zemi v těch místech potkávají, směry
komety v bodech, ve kterých protínají příslušné normálně roviny dráhu
komety. Směry opačně vzaté dávají nám souřadnice radiantu skutečného.
Znajíce skutečnou rychlost meteoritů, kterou počítáme pro těleso pohy-

Rozprava: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 3. 1

III.

2

bující se ve dráze komety ve vzdálenosti Země, a rychlost Země, odvodíme
lehce souřadnice radiantu zdánlivého. Najdeme-li v tabulkách rojů meteo¬
rických pro dobu, kdy je dráha komety Zemi nejblíže, roj, jehož radiant
má souřadnice s vypočtenými přibližně stejné, můžeme s největší pravdě¬
podobností souditi na souvislost tohoto roje s uvažovanou kometou. Před¬
ností této methody jest, že lze najednou užiti všech výsledků pozorování
za dlouhou dobu vykonaných (souřadnice radiantu zdánlivého) a že lze
odvoditi souvislost komety s rojem meteorickým i v případě, kdy dráha
komety jest nejblíže dráze Země ve větší vzdálenosti od uzlu.

* *

*

Základní systém souřadný O X Y Z (Obr. 1.) volíme tak, že rovina
O X Y splývá s rovinou ekliptiky, osa O X směřuje k bodu jarnímu a osa
O Y k 90° délky. Druhý systém souřadný O X' Y' Z' má rovinu OX'Y'
v rovině dráhy komety, a osa O Y' směřuje k perihelu. Konečně volíme
ještě v rovině ekliptiky pomocný systém osový OXx Yx (Z), jehož osa O X

směřuje k uzlu výstupnému. Střed Slunce leží ve společném počátku
těchto systémů. Rovina O Z Z', v níž leží také osa O Yx protíná rovinu
O X Y v přímce O L, která jest tedy zpětným prodloužením osy O Yx.

i II.

3

Je-li © geocentrická délka Slunce, jest heliocentrická délka Země
130 + © ; r budiž příslušný rádius vektor. Pak souřadnice Země v systému
OXYZ jsou

X — - Y COS ©

y — — r sin ©

Souřadnice Země v systému O X1Y1 jsou

xt = x cos Sl + y sin Sl
y2 = — x sin £1 + y cos Sl,

kdež Sl jest délka uzlu výstupného komety. Z těchto souřadnic snadno
odvodíme souřadnice Země v systému O X' Y' Z':

x' = x1 sin o? — y1 cos o cos i
y' = x1 cos 03 + y1 sin 03 cos i
z’ — — yx sin i,

(3)

kde značí co vzdálenost perihelu komety od uzlu výstupného a i sklon
dráhy komety k ekliptice.

Bod na dráze zemské kometě nej bližší obdržíme takto. Nejprve
geometrickou konstrukcí najdeme jeho přibližnou polohu. Kolem této
přibližné polohy zvolíme si řadu bodů, nejlépe posice Země v intervallech
dvou dnů, a počítáme pro každý bod nej kratší vzdálenost od dráhy komety.

Budtež v systému souřadnému O X' Y' Z ' souřadnice bodu na
dráze komety x'G> y'0, pak čtverec vzdálenosti od bodu x', y', z' na dráze
zemské jest

/2 = (V -xy+ (y0’ — y') 2 + *'• (4)

Pro minimum (resp. maximum) obdržíme

V — x' + (y0' — y’) =0 (5)

s podmínkou, že souřadnice xG , y0' hoví rovnici dráhy komety

a) e 1 1 i p s y

(Vo + s )2 ,
a 2 ^ b 2

= 1

(6),

kde a jest velká, b malá poloosa,
a s lineární excentricita dráhy.

b) paraboly

V2 = — + P2 (6')>

kde p jest parametr dráhy.

Z rovnic (5) a (6) resp. (5') a (6') obdržíme pro minimum (resp.
maximum) podmínku

l *

III.

4

x^+Ax^+Bx^+Cxq+D = 0 (7),
kde

.4 =

R =

2 b2 *'

Mjt'2 + a 2 b2rj'2 — b 2 £4

9 A4 /v'

C = — =—Ab*

D =

8"

b« x2
74

= y' -f s

Rovnice (7) dává čtyři hodnoty
*0', z nichž jen dvě hoví podmínce
minima

a á3 q'Yb2- Xq — s2(b2- x0'2) 2 > 0 (8) ,

kterou obdržíme z druhé derivace
(4) a z rovnice (6). Znaménko od¬
mocniny v (8) volíme totéž, jaké
má 7]', neboť první člen musí být
kladný. Tím již jest dáno také zna¬
ménko odmocniny v rovnici (9) pro
výpočet příslušných y0':

Va =TV&2- V2

(9)

x0'3 -f- A x0' -j- B — 0 (7') ,

kde

A = p2 + 2 py'
B = — 2 p2x'

Rovnice (7') dává tři hodnoty #0',
z nichž jen dvě hoví podmínce mi¬
nima

3xo'2 + A>0 (8'),

kterou obdržíme z druhé derivace
(4) a z rovnice (6') . Iv těmto dvěma
hodnotám obdržíme příslušné y0'
z rovnice

}'o

ň2

2p

(»')■

Z dvojic x0', y0' vezmeme tu, pro kterou jest výraz

(V — *')2 + (yó — y»Y

menši.

Ve skutečnosti provádí se toto zdánlivě obtížné hledání x0' a y0' tak, že
kořeny rovnice (7) resp. (7') najdou se přibližně graficky a počítá se pak
jen ta hodnota x0', která se hodnotě x' nejvíce blíží. Tímtéž způsobem
řídíme se při vypočítávání příslušné hodnoty y0f, takže k výrazům (8)
a (8') hleděti nepotřebujeme.

Když jsme byli zároveň provedli výpočet dvojic x0', y0' příslušných

ku souřadnicím Země x'} y' v časech . obdržíme dosazením

do výrazu (4) nej kratší vzdálenosti lx, l2, l2 ... . Snadno pak určíme,
pro které t jest hodnota l nej menší. Za základ dalšího výpočtu mohou
se položití příslušné ku t hodnoty x', y' a x0', y0', které se snadno inter¬
polací obdrží. Poněvadž však radiant bývá činný po několik dnů, jest lépe

III.

5

prováděti parallelně výpočet dále, při čemž se ovšem omezíme na časy
hodnotě t nej bližší.

Tímto způsobem obdrželi jsme řadu bodů na dráze komety x0\
y0', které leží v normálných rovinách vedených ku dráze komety z bodů
dráhy zemské x', y'. Z důvodu, na který v úvodu bylo poukázáno, možno
vžiti za směr meteoritů, které potkávají Zemi v posici x', y', směr komety
v bodě Xq , y0', t. j. směr tangenty ku dráze komety v tom bodě

Směrové cos. této tangenty jsou

v> + v2 ’

_ -V

V>2 + V2

v = 0

Z

Nazveme-li g úhel, který svírá směr meteoritů s osou 0 X1 , pak jest
cos g = A a sin G = p ;

jsou tedy souřadnice pravého radiantu W (obr. 2.) v systému 0 X' Y' Z'

A/ = 180° + g, /V =0.

č2 (Vo + «)

-Vjr+íř^* ’

Vhl + e2x^

v = 0.

III.

6

Ekliptikální souřadnice Ax, /3X pravého radiantu v systému 0 X Y Z

7t 7t

obdržíme z trojúhelníka K Q W , kdež KW = Ax + « — — ^ = — + (<> + ©),

Z z

KQ=K-Sl a QW

cos /31 sin (Aj_ — íi) = cos (<? + ra) cos ř
cos ($L cos (Ax — Sl) = — sin (a + »)
sin = cos ((? -j- co) sin z

Vlivem pohybu zemského vidí pozorovatel na Zemi přicházeti meteo¬
rity jiným směrem, který jest dán souřadnicemi t. zv. radiantu zdánlivého.

Úchylku od pravého směru (obr. 3.) nazveme % a výplněk úhlu, který
svírá pravý směr se směrem pohybu Zorně, označímo Prodloužený směr
pohybu zemského protne sféru v apexu A (obr. 4.) a opačně vzaté směry,
pravý a zdánlivý, v radiantu pravém W a zdánlivém S. Poněvadž všecky
tři směry vedeny z jednoho bodu leží v jedné rovině, leží body A, S, W
na největším kruhu, který svírá s ekliptikou úhel

Pokládáme-li dráhu Země za kruhovou, odvodíme snadno, že délka
apexu L = 270° + O Při přesnějším výpočtu nutno užiti vzorce pro
elliptickou dráhu Země (Bauschinger: Die Bahnbestimmung, p. 584).

L — 270° + ® H - Z—— sin (0 — d>),

sm 1 v '

kdež e jest výstřednost dráhy zemské a gj délka perihelu Země.

III.

7

Z trojúhelníka AQW (obr. 4.), kde A W =fr, A Q = Xx — L a
Q W = obdržíme

sin tž sin = sin

sin cos \J> = cos sin (Ax — L)

cos tř = cos cos (Ax — L) .

Volíme-li fr v mezích 0° až 180°, můžeme pokládati sin vždy za
kladný; úhel ^ probíhá pak ovšem v mezích 0° až 360°.

Z obr. 3. obdržíme ještě potřebný úhel %

tg% =

sin

v

y~ + COS

kdež v jest skutečná rychlost meteoritů a V rychlost Země v bodě x', y'.
Pro poměr jejich obdržíme

III

8

Ekliptikální souřadnice radiantu zdánlivého A, /3 obdržíme řešením
t rojúhelníku A R S (obr. 4.), kdež 4 S = # — x> AR = A — L a R S — (5:

cos /3 sin (A — L) = sin (-O- — x) cos ^

cos (5 cos (A — L) — cos

sin /3 = sin (# — x) S4n

Poněvadž souřadnice radiantů jsou udávány v souřadnicích aequa-
toreálních, převedeme známým způsobem vypočtené souřadnice eklipti¬
kální na aequatoreální.

Schéma výpočtu.

Z geometrické konstrukce dráhy Země a komety obdrží se pro nej menší
vzdálenost dráhy Země a komety přibližně čas t.

Další výpočet provádíme parallelně pro časy tx, t3 ... ., které
volíme tak, aby čas t padl asi doprostřed.

Délka Slunce ® =

Rádius vektor v =

x = — r cos O
y — — r sin ® .

Délka uzlu výstupného Sl =

Vzdálenost perihelu od uzlu co =

Sklon dráhy k ekliptice i =

xx — x cos £1 + y sin Sl
yx = — a; sin Sl +. y cos Sl

x' = xx sin o — yx cos co cos i
y' — xx cos 09 -j- yx sin co cos i
z' = — yx sin i

b) parabola
Vzdálenost perihelu q =

Parameter p = 2 q

A =p2 * + 2 py*

B = — 2 p2x'

a) e 1 1 i p s a:

Velká poloosa a =

Malá poloosa b —

Výstřednost lin. e — V a*' _ 52 _ ae

^ = y' + £

A 2 b2 xr
A = - - -

B =

b4x'2-— b2s 4 + a 2b2 r]'2

2 b4 x'

C = — —A = — Ab2

D =

b*x'2

III.

9

jv0/4 + A xo'3 H- Bxo'2 “l- Cx0' 4~ D — 0
a ¥ rjf Vb2—x0'* — £2 ( b 2 — V2) > 0

V3 + ^4 #0' + 5 =0

3 V2 + A > 0

y0

P2— XQ

i2 = (xo-x')2 + (.yo-y')2 + Z'2

Pro časy tv t2, t3 ... . obdržíme lv l2, l3, . . . . V dalším výpočtu
ponecháme jen Časy nej bližší času minimálního l.

x= — ,.=

« Xr

V&4+a2V2 Vž,4 + f2

v = 0

'2

A =

f* =

Xp2 + V2 ’ X p* + V2

v = 0

cos a = A
sin c — «

A/ = 180° + o, fa' =0.

cos /3j sin (At — íž) = cos (<? + co) cos z
cos /?! cos (Aj — Sl) = — sin (cy + co)
sin fa = cos ((? + co) sin ■/.

L = 270° + © 4 - r— rry- sin (© — Č5)

smi

-^--=57-6' m = 101° 13'-2 + l'-028 (*— 1900)
smi 7

sin 0- sin tf; = sin /3X

sin *1 cos t// = cos fa sin (Ax — L)

cos = cos fa cos (A, — L)

ti v mezích
0° — 180°

, sin &

tgx =- -

-y 4- cos tl

III.

10

cos p sin ( . — L) = sin (# — %) cos ^
cos p cos (A — L) = cos (# — x)
sin p = sin (# — x) s^n $

sin m sin M = sin p
sin w cos M — cos p sin A
cos m = cos p cos A

cos sin « = sin w cos (M + e)

cos d cos a = cos m

sin ó = sin m sin (M + e)

* *

*

Výpočet radiantu roje meteorického souvisícího s kometou

Halleyovou.

Elementy dráhy komety Halleyovy (A. N. 4406. a Annuaire Astro-
nomique 1913. p. 161.)

« = IIP 42' j
Sl = 57° 16 1910*0

i = 162° 13 I
q = 0*5872

a = 17-9456
a = 17-3587

Konstrukcí dráhy komety bylo nalezeno, že dráha komety je nej¬
blíže dráze zemské kolem 4. května a 18. října.

Výpočet rádi
Z Berl. Jahrb. 1910.

Květen

i.

3.

0 =

40° 11'

42° 8'

log r —

0 00339

0 00361

log x —

88647

9„- 87377

log y =

9»- 81311

9W- 83023

X1 =

-0-96337

— 0*97336

yx =

+0-29607

+0-26326

Xr —

—0-99934

—0-99707

y' —

+0-09426

+0 12697

2' =

—0-09043

—0-08040

ntu květnového.

5.

7.

9.

44° 4'

46° 0'

47° 56'

0-00382

0 00403

0-00424

9* 86027

9 n 84580

9n- 83031

9« 84611

9„* 86096

9, ; 87486

— 0*98219

— 0-98987

—0-99645

+0-23039

+0-19721

+0-16377

—0-99372

—0-98916

—0-98351

+0-15932

+019153

+0*22354

—0-07037

—0-06023

—0-05002

III.

11

Květen

1.

3.

5.

7.

9.

A =

— 01374

—0*1371

—01367

—0-1360

—01353

B =

+ 1*6685

+ 1-7522

+ 1-8348

+ 1-9185

+ 2*0011

C =

+ 2-8474

+ 2-8409

+ 2-8314

+ 2-8184

+ 2-8023

D =

—0-0978

—0-0974

—0-0967

—0-0958

—0*0948

V =

—1-0273

—1 0095

—0-9916

—0-9730

—0-9545

yo =

0123

0139

0156

0172

0-188

B =

0-0255

0-00677

0-00497

0-00470

0 00464

Interpolací obdržíme pro 11.

květen l 2

= 0-0609

1 =

0-16

0-083

0-070

0-068

0-068

a pro 1 1 . květen 0* 7 8

Země je nejblíže dráze komety mezi 5. a 9. květnem. Dle „Companion
to the observátory" jest mezi 1. a 6. květnem činný radiant v souhvězdí
Vodnáře: Aquaridy [AR = 338°, ó — -2°). Vypočítáme tedy souřadnice
radiantu pro 5. a 7. květen.

Květen

5.

7.

log l =

9n- 87548

9„87919

logft =

9n- 81995

9„- 81504

a =

221° 21'

220° 47'

Souřadnice radiantu pravého

*1 =

355° 22'

355° 57'

A =

15° 48'

15° 43'

Souřadnice apexu

L =

313° 17'

315° 13'

Z toho vypočítáme

0- =

44° 26'

43° 10'

t =

22° 53'

23° 20'

Pro poměr rychlosti obdržíme

v

1-4004

1-4007

Úchylka zdánlivého směru od pravého

X = 18° 19' 17° 48'

Souřadnice ekliptikální zdánlivého radiantu jsou

Á = 337° 35' 338° 45'

( 3 = 9° 51' 9° 46',

z nichž obdržíme aequatoreální souřadnice zdánlivého radiantu

a = 335° 37' 336° 43'

d = 0° 26' 0° 47'

III.

12

Porovnáme-li naše výsledky se souřadnicemi A quarid (a = 338, d - 2°),
vidíme, že souhlas jest až nápadný, takže souvislost A quarid s kometou
Halleyovou můžeme pokládati za více než pravděpodobnou.

Na možnost souvislosti roje meteorického s kometou Halleyovou,
zdá se, první upozornil O. C. Wendel, který však málo šťastně vypočetl
radiant meteoritů pro 12. květen (1910) ( Popular Astronomy 16. p. 518.)
a později ještě nešťastněji pro 18. květen (1910) (Popular Astronomy 18.
p. 518.). Domněnku o souvislosti Aquand s kometou Halleyovou vyslovil
asi první Denning, který v r. 1910 upozorňoval na tento roj meteoritů
a vyzýval k pečlivému pozorování ve dnech 1. — 6. května 1910 (Nátuře
80. a 83. p. 320.). Z pozorování vykonaných 4., 5., 11. a 13. května 1910
odvodil Ch. P. Olivier (Publ. Astronomical Society of the Pacific, 22.,
141.: ,,The Aquarid Meteors") *) parabolické elementy Aquarid a ukázal
na úzkou souvislost tohoto roje s Halleyovou kometou. Rovněž v pozdější
své práci ,,175 parabolic orbits and other results deduced from over 6200
meteors",)*) vydané v ,,Transactions of the American Philosophical
Society' ť, probírá vedle jiného též otázku souvislosti Aquarid s kometou
Halleyovou. Konečně sem patří též práce (z r. 1912) C. Hoffmeistera:
„Uber den Zusammenhang der Mai-Aquariden mit dem Halleyschen
K ometen" (Astron. Nachrichten, 191. p. 251.), který z radiantu Aquarid
(a = 337°' 5, d — 3°; maximum 6. května), odvozeného z pozorování
spolupracovníků Bureau Central Météorique, vykonaných v r. 1910 a
1911, vypočítává elementy dráhy tohoto roje a na základě podobnosti
jejich s elementy dráhy komety Halleyovy ukazuje na velmi pravdě¬
podobnou souvislost Aquarid s kometou.

V ý p o č e t

radiantu

říjnového.

en

17.

19.

21.

23.

© =

203° 12'

205° 11'

207° 10'

209° 10'

log r ■=

9-99838

9-99813

9-99789

9-99766

II

*

b£

9-96176

9-95476

9-94712

9-93878

logy =

9-59381

9-62705

9-65741

9-68550

=

+0-82530

+0-84365

+0-86096

+0-87739

Ví =

— 0'55808

—0-52888

—0-49908

—0-46849

#' =

+0-96331

+0-97007

+0-97566

+0-98016

y* =

+0-18862

+0-15600

+0 12323

+0-09009

z ' =

+0 17045

+016153

+0 15243

+0-14309

*) O obsahu prací Olivierových bylo mi možno dosud informovati se jen
v ,,Astr. Jahresbericht."

III.

Říjen

13

17.

19.

21.

23.

A =

01325

01334

0- 1342

01348

B =

1-9108

1-8293

1-7434

1-6575

C =

—2-7447

—2-7640

—2-7799

—2-7927

D =

—0-0909

—0-0922

—00932

—00941

%' =

+0-9595

+0-9792

+0-9991

+ 10186

y*' =

+0-183

+0-166

+0-149

+ 0-131

/2 -

0 02913

0-02626

0-02445

0 02362

i =

01707

0-1620

0-1564

01537

a interpolací pro 25. říjen l — 0.1545.

Země je tedy nejblíže dráze komety asi 24. října. V době

mezi 18.

a 30. říjnem jsou činný následující

radianty:

18. — 20. říjen

Orionidy

(a 92°, 8 + 15°), 23. říjen (a 100°, 8 + 13°) a 29.

říjen (a 109°, 8 + 23°).*)

Vypočítáme souřadnice radiantu pro 19., 21

. a 23. říjen. (Souřadnice

radiantu pro 29. říjen vypočítáme

pak interpolací).

Říjen 19.

21.

23.

log A = 9„- 87786

9n87397

9n-87003

log (i = 9-81670

9-82198

9-82677

a = 139 °ť

138° 25'

137° 51'

Souřadnice pravého radiantu

At = 75° 42'

76° 16'

76° 49'

0, = —5° 47'

—5° 58'

— 6° 8'

Souřadnice apexu

L = 116° 6'

118° 5'

120° 5'

Z toho vypočítáme

,4 = 40° 45'

42° 10'

43° 37'

t = 171 °T

171° 6'

171° 6'

Pro poměr rychlostí obdržíme

y = 13915

1-3911

1-3908

Úchylka zdánlivého směru od pravého

X = 16° 54'

17° 28'

18° 4'

Ekliptikální souřadnice zdánlivého radiantu jsou

A = 92° 30'

93° 39'

94° 48'

P = —3° 35'

—3° 42'

—3° 50',

z nichž obdržíme aequatoreální souřadnice zdánlivého radiantu

« = 92° 39'

93 0 52 '

95 0 5'

8 = 19° 51'

19' 41'

19 0 33'.

*) Companion to the observátory 1911. p. 6.

III.

14

Vypočtené souřadnice radiantu pro 19. říjen blíží se až nápadně
souřadnicím Orionid (Říjen 18. — 20. a = 92°, d = + 15°) *), takže o sou¬
vislosti tohoto roje meteorického s kometou Halleyovou nelze pochybovali —
Velmi dobře souhlasí vypočtené souřadnice také se souřadnicemi radiantu
Orionid odvozenými z pozorování konaných v r. 1909 v Kasanu (Rusko)
\a = 88° ± 2*9° (stř. ch.), Ó = + 21° ± 1*7° (stř. ch.)]**) — . Zdá se, že
také radianty z 23. a 29. října pocházejí od meteoritů komety Halleyovy,
neboť interpolací obdržíme pro 29. říjen a = 98.7°, d = 19.3°.

Při prohlížení příslušné literatury nenalezl jsem nikde zmínky
o souvislosti Orionid s kometou Halleyovou, takže myslím, že v mé práci
jest to poprvé dokázáno. Příčinou toho, že tato souvislost nebyla dříve
konstatována, jest pravděpodobně značná vzdálenost místa, kde meteory
Zemi potkávají, od uzlu (30°), což, jak v úvodu již bylo podotknuto, není
při této methodě na závadu.

Zdá se, že jest to také první případ, kdy Země na své dráze kolem
Slunce potkává týž roj dvakráte. Okolnost, že při prvním setkání jedná
se o meteority, které běží nad rovinou dráhy komety a při druhém setkání
o meteority pod rovinou dráhy komety, jest velmi důležité, neboť nasky-
tuje se nám příležitost vniknouti hlouběji do stavby tohoto ohromného
roje meteorického, který proudí podél dráhy komety Halleyovy. Vý¬
sledky v tomto směru nalezené podám v práci další.

*) 1. c.

**) Astronom. Nachr. 4418.

III.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 4.

O nových fosforečnanech z Greifensteinu

v Sasku.

Podává F. SLAVIK.

Předloženo ve schůzi 16. ledna 1914.

(Se 7 obrazci v textu.)

I.

Na severním, saském svahu Krušných hor přesahují souvrství s vorová
z Čech od Jáchymova aVýprt k Mittweidě, odkud pak se táhne pruh svoru
rovnoběžně se hlavním hřbetem hor Krušných přes Geyer a Ehrenfriedens-
dorf do krajiny mezi Saskou Kamenicí a Freibergem. Západně a jihozá¬
padně od Ehrenfriedersdorfu proráží svor žula, jejíž výchozy tvoří dva
větší ostrůvky, Greifenstein západně od Ehrenfriedersdorfu a Ziegelberg
severozápadně od Geyeru, i menší Geyersberg jihovýchodně od tohoto
města; není pochyby, že všecky tyto tři výskyty souvisí pod zemí a jsou
částí jediného batholithu, jak dokazují shody v petrografické povaze růz¬
ných odrůd žulových ze všech tří míst i v poměrech úložných, které dří¬
vějším dolováním na cín byly dosti dokonale odkryty.

Žulový batholith ehrenfriedersdorfský byl předmětem pozornosti
již starších badatelů, počínaje A. G. Wernerem; r. 1865 popsal jej
po stránce makroskopicky petrografické, geologické a montanistické velmi
důkladně A. W. Stelzner1)a dokázal, že žula jest mladší nežli svor,
kterým diskordantně prostupuje; později doplnil jej mapující geolog sas¬
kého zemského ústavu geologického F. S c h a 1 c h 2) ve vysvětlivkách
k listu ,, Geyer" saské speciální mapy geologické, dodav k popisu Stelzne-

Ů A. W. Stelzner, Die Granite von Geyer und Ehrenfriedersdorf sowie
die Zinnerzlagerstátten von Geyer, Beitráge zur geognostischen Kenntnis des Erz-
gebirges. Heft I., Freiberg 1865.

2) F. S c h a 1 c h, Erláuterungen zur geologischen Specialkarte des Konig-
reichs Sachsen, Blatt 127. Section Geyer, 1878, zvi. str. 44 — 61. Druhé vydání,
jež revidoval E. W e i s e, vyšlo r. 1900.

Rozpravy. Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 4.

1

2

rovu podrobnosti o ohraničení a úložných poměrech ostrůvků žulových
a podrobiv různé odrůdy žulové i výzkumu mikroskopickému, jenž vedl
k vytčení strukturně i mineralogicky odlišných, ale ponenáhlu v sebe
přecházejících variet žuly greifensteinské ; podal též chemickou analysu
žuly z lomů pod Greifensteinem, níže uvedenou k charakteristice matečné
horniny nerostů, o nichž zde jest řeč.

Důležitý pokrok v poznání těchto zajímavých intrusí žulových
učinil v letech osmdesátých minulého století F. von Sandberger:
poznal slídu temnou, jež jest nepříliš hojnou součástkou žul ehrenfrieders-
dorfských i geyerských, jakožto protolithionit s podílem kysličníku lithna-
tého a zdůraznil souvislost všech žul ve SmrČinách, východních i západních
horách Krušných i v pohoří Karlovarském, které mají společnými znaky
lithnatou povahu slídy i častou příměs turmalinu, topasu, kassiteritu a
jiných známých nerostů pneumatolytické družiny lokalit cínovcových
a greisenovitou neb topasovcovou přeměnu žuly.3)

Pneumatolytického rázu jest i kontaktní metamorfosa žulou prora¬
žených hornin vrstevnatých, v jejíchž produktech zjistil P. O. B 6 h m i g 4)
hojně turmalinu, topasu i fluoritu. Cínovcová naleziště sama vyskytuji se
právě v okolí Ehrenfriedersdorfu a Geyeru v typické svojí podobě a ve
stejně těsné souvislosti se žulami jako na ostatních lokalitách hor Krušných
a sousedních, jsou stejně provázena greisenovou přeměnou pneumatoly-
tickou a obsahují tytéž význačné minerály. Z bývalých dolů na cínovec
u obou měst pochází největší Část nálezů,5 6) které do nedávná přicházely
do sbírek mineralogických; zvláště byly známy ehrenfriedersdorfské pěkně
krystalované apatity, fluority, topasy a j., z fosforečnanů byl — mimo
apatit — v Geyeru konstatován i triplit podobný slavkovskému a z Ehren¬
friedersdorfu (z dolu Morgenrote) popsal r. 1828. W. Haidinger poprvé
vzácný herderit, jenž později byl seznán jako fluorofosforečnan berylnato-
vápenatý.

Nerosty, které jsou předmětem této studie, pocházejí z nalezišť v žule ,
mimo žilníky cínovcové. Žula greifenůeinská podle výzkumů Stelzne-
rových, Schalchových a v. Sandbergerových jest vy¬
značena malým podílem slídy a přítomností lithia v ní, strukturou stejno¬
měrně středně zrnitou přecházející do porfyrovité a hrubozrnně pegmati-

3) F. v. Sandberger, Ueber Lithionitgranite mit besonderer Růcksicht
auf jene des Fichtelgebirges, Erzgebirges und des nórdlichen Bóhmens, Sitzungs-
berichte d. bayr. Akademie, Múnchen 1888, mat.-phys. Kl. 3, 423 — 492, zvi. 470 sq.
Srovn dále W. Salomon a His, Zeitschr. d. deutsch. geol. Ges. 1888, str.570
a E. W e i s e ve druhém vydání Schalchových vysvětlivek (1. c. 2) str. 35.

4) P. O. B ohrni g, Beitráge zur Kenntnis der Gesteine des Greifensteins,

Tschermaks Mineralog, u. petrogr. Mitteil. 1899 (XVIII.), 289 — 303.

6) Nálezy minerálů těch sestavil A. Frenzel ve svém ,,Mineralogisches
Lexicon fůr das Kónigreich Sachsen" r. 1874; paragenesi jich uvádí velmi podrobně
A. Breithaupt, Die Paragenesis der Mineralien, Freiberg 1849, str. 141 — 143
a doplňuje A. W. Stelzner 1. c. str. 55.

IV.

3

tické, s Častými druzovitými dutinkami, zvláště v posledním případě;
živce jsou dílem Červené orthoklasy, dílem bělavé plagioklasy. Chemické
složení celkové, jak je stanovil F. S c h a 1 c h, charakterisuje se zvláště
značným množstvím alkalií, speciálně kysličníku sodnatého, tak že R o-
senbusch6) řadí výskyt greifensteinský mezi žuly alkalické do oddělení
,,Alkaligranititů<ř. Reprodukuje zde čísla analysy Schalchovy pozna¬
menávám, že podle pozdějšího výzkumu Sandbergerovajest dodati
ještě kysličník lithnatý, Schalchem od druhých alkalií neoddělený
a vůbec přehlédnutý:

SiOo .

. 75-96%

ai2o3 .

. 1501

Fe2Oo .

MgO .

. 0-33

CaO .

. 2-70

Na2 0 . . . .

. 449

K20 .

. 1-53

h2o .

so3 .

. sledv

F . . .

100-02%

Z úkazů druhotné přeměny rázovitým způsobem mění vzhled žuly
greifensteinské vznik epidotu ze živců, jenž celé hornině dodává barvy
žlutozelené anebo se šíří po puklinách povlékaje je tenkými korami, a vznik
Černých druhotných sloučenin manganových, jimiž jednotlivé partie hor¬
niny jsou velmi význačně skvrnité.

Velmi typickým zjevem jest desko vitý rozpad žuly v silné lavice, od
středu massivu v mírné klenbě k periferii spadající; jím jest podmíněn ori¬
ginální obraz, jejž poskytují skály na vrcholu Greifensteinu.

Nedaleko vrcholu zapadlé obvaly starých prací hornických svědčí,
že i v greifensteinské partii žulové se dolovalo na cínovec, ač daleko ne v těch
rozměrech jako u Geyeru a u samého Ehrenfriedersdorfu.

Jako na všech podobných nalezištích Krušných a sousedních hor,
i zde se setkáváme s úkazem, že minerály cínovcových žil se opakují též
jako akcesorické součásti i v samé žule, která jest nositelkou žil. Stelzner
ve spise citovaném7) uvádí ze žuly topas, turmalin, fluorit, apatit, nakrit,
druhotný wad a podle starších zpráv i kassiterit ; S c h a 1 c h dodává
ojedinělý nález ilmenitu v pegmatitické partii.

Teprve v nej novější době rozhojnily se nálezy nerostů v žule grei¬
fensteinské, v níž jest založeno několik velkých lomů. První zprávu o novém

6) H. Rosenbusch, Mikroskopische Physiographie der massigen Gesteine.
IV. Aufl. 1907, str. 74.

7) 1. c. str. 14—16.

IV.

1*

4

výskytu minerálu, do té doby jen z málo nalezišť známého, podal F. K o 1-
beck8), popsav childrenit inž. C. v. Fircksem nalezený. Po něm až
dosud toliko R. G o r g e y9) zcela stručně registruje podle zprávy K o 1-
beckovy a podle akvisic dvorního musea vídeňského mimo dříve již
známé nerosty, pak childrenit a arsenopyrit, též ,, krásné exempláře krysta¬
lovaného herderitu, krátké hnědé sloupce nového minerálu blízkého fillowitu,
dále krásné krystaly epistilbitu, sloučené ve vějířovité skupiny".

V posledních letech druzové minerály greifensteinské žuly se sbíraly
v hojném počtu a rozšířily se po sbírkách mineralogických; že jsem mohl
podniknout i detailnější výzkum jich, děkuji laskavosti p. dvorního rady
K. Vrby, jenž mi svěřil ke zpracování veškerý materiál, akvirovaný pro
Museum království českého a pro mineralogický ústav české university,
téměř veskrze od p. dipl. inž. W. Mauchera v Mnichově, který se zna¬
lostí a porozuměním zachoval velikou část nálezů, a přátelské ochotě horli¬
vého sběratele a znalce nerostných výskytů saského Rudohoří, p. lékárníka
Waltera Roscherav Ehrenfriedersdorfě. K nemenší vděčnosti jsem
zavázán za ochotné provedení chemických analys pp. dvornímu radovi
K. Preisovi a kolegům Dr. E. Skarnitzlovi a Dr. A. Jílkovi.

II.

Ježekit, nový minerál.

Za epistilbit byl pokládán podle zevního .vzhledu a sloupcovitě-tabul-
kovitého, na koncích domatického vývoje monosymmetrických krystalů
nerost ve druzových dutinkách greifensteinské žuly vykrystalovaný, čirý,
dosti silně skelně lesklý, vzniku zřejmě pozdějšího než ony minerály, které
ze žuly samé přesahují do jejích druzo vitých dutin, ale staršího nežli zemité
a pod. produkty rozkladu. Jeho naprostou různost od epistilbitu jsem však
zjistil již na prvém materiálu, kterého bylo velmi poskrovnu, podle určené
hustoty značně vyšší než u epistilbitu a kteréhokoliv jemu příbuzného
zeolithu, podle krystalových úhlů zcela odlišných i podstatného obsahu flu¬
oru, jejž jsem konstatoval jednoduchou zkouškou v zatavené rource se solí
fosforečnou. Později získaný hojnější materiál umožnil soustavný rozbor
kvalitativný, jejž se souhlasnými výsledky provedli pp. prof. Dr. Jar.
Milbauer a Dr. E. Skarnitzl, i výzkum krystalografických a fy-
sikálních vlastností domnělého epistilbitu. Kvantitativní pak rozbor, laskavě
vykonaný p. Drem Skarnitzlem, stanovil chemický vzorec nového
minerálu, který bud pojmenován ježekitem na počest milého kolegy a pří¬
tele doc. Dra B o h. Ježka.

8) F. Kolbeck, Mitteilungen aus dem Mineralogischen Institut der Berg-
akademie Freiberg, II. Das erste deutsche Childrenitvorkommen aus dem Granite
des Greifensteins bei Ehrenfriedersdorf im sáchsisclien Erzgebirge. Centralblatt fiir
Mineralogie str. 1908, 333 — 335.

9) R. G o r g e y, Schóne und bedeutende Mineralfunde, Fortschritte der
Mineralogie, Kristallographie und Petrographie 2. Band str. 149, 1912.

IV.

5

Ježekit jest kromě agregátů stébelnatě zrnitých v podkladu svých druž
zpravidla vykrystalován ve sloupcovitých a zároveň orthopinakodiálně
sploštělých jedincích, jakostí svých ploch nepříliš příznivých výzkumu
goniometrickému; přece však bylo možno měřením sedmi lepších kry¬
stalků dospěti těchto výsledků:

Soustava jednoklonná.

Elementy:

a : b : c = 0-8959 : 1 : 1-0241
p = 105° 31 y2r.

Rada krystalová jest nepříliš obsáhlá, majíc pouze devět tvarů:

c (001). a (100). b (010). m.(110). ? (011). r (012).

č(I01). d (102). g (104). (Obr. 1.)

Tvar g (104) byl nalezen toliko na jediném
krystalu a se značnou diferencí mezi měřeným a vy¬
počteným úhlem ku ploše spodové, měl by tedy býti
ještě potvrzen ; ostatní tvary byly konstatovány na
všech zkoumaných krystalech.

Jakost ploch téměř veskrze jest nevalná, toliko
plochy základního prismatu m (110) častěji, plochy
c (001) a (100) i q (011) ojediněle jeví poněkud lepší
reflexy, ostatně bylo vykonáno měření jen na velmi
slabé signály nebo na třpyt. Nemálo přispívá k ne¬
příznivé jakosti ploch i svislé rýhování ploch pásma
vertikálního, vždy zcela zřetelně vyvinuté.

Přehled měřených a vypočtených úhlů ježekitu jest:

Měřeno:

Vypočteno:

Hran:

a (100)

: m (110) =

* 40° 48'

8

: c (001)

* 74 28%

12

c (001)

:q (011)

* 44 37

3

: r (012)

26 10

26° 15%'

5

: b (010)

88 16

90 0

1

: m (110)

79 3

78 19

1

:e (101)

57 37

57 47

5

:d (102)

25 52

25 32

6

:g (104)

15 52

14 21

1

m (110)

: m' (110)

81 20

81 36

5

: r (012)

62 26

61 55

1

b (010)

: a (100)

89 33

90 0

3

: m (110)

49 2

49 12

5

IV.

6

Z uvedených elementů plynou pro tvary ježekitu posiční úhly:

? P

c

(001)

90°

0'

15

0 311/2'

a

(100)

90

0

90

0

b

(010)

0

0

90

0

m

(110)

49

12

90

0

9

(011)

15

ioy2

46

42

r

(012)

28

29

30

1 31/ 4

e

(101)

90

0

42

151/2

d

(102)

90

0

41

3%

a

b

(104)

90

0

29

521/2

Mimo uvedené již rýhování svislé na plochách pásma vertikálního
alteru je přesnost měření též leckdy se vyskytující rýhování Lna ploše spo¬
dové, jdoucí rovnoběžně ke klinodiagonále, i zaoblení plochy spodové
směrem ke klinodomatům, nepatrné rozměry klinopinakoidu a ploch ortho-
domatických i obvyklý hypoparallelní srůst jedinců krystalových.

Habitus krystalů jest celkem na všech exemplářích téměř stejný, jak
jej znázorňuje obr. 1. Jen někdy bývají krystalky ježekitu ještě více pro¬
táhlé podle vertikály, až skoro jehličkovité.

Méně dokonalá a hustěji seskupená krystalová individua hromadí se
v agregáty a krystalické kůry o povrchu hroznovitě ledvinitém a slohu
stébelnatém.

Krystalky ježekitu bývají úplně čiré, jindy bílé nebo na povrchu slabě
nažloutlé i nahnědlé. Lesk skelný bývá dosti intensivní.

Tvrdost == 4i/2.

Hustota — 2-940 (určena suspensí).

Štěpnost je dokonalá podle orthopinakoidu (100), nedokonalá podle
plochy spodové (001).

Vlastnosti optické .

V mikroskopu ve světle rovnoběžném štěpné lupénky podle ortho¬
pinakoidu zhášejí rovnoběžně ke hranám s plochou spodovou i hranolem,
a směr parallelní s vertikálou jest vždy směrem menší lámavosti světelné
nežli směr orthodiagonalní.

Na štěpném lupénku podle plochy spodové je zhášení taktéž rovno¬
běžné k orthodiagonále i klinodiagonále, směr prvý je vůči druhému nega¬
tivní (slaběji lomný).

Na řezu klinopinakoidalním svírá jeden směr zhášení s vertikálou
úhel 29° v tupém úhlu meziosním, druhý 131/2° s klino diagonálou v úhlu
ostrém. Křemenným klínem ukáže se prvý směr býti opticky negativním
vůči druhému.

IV.

7

Ve světle konvergentním se pozoruje na orthopinakoidu šikmý
výchoz jedné osy optické ve směru podélném, na basi šikmý výchoz
bissektrice.

Z toho plyne optická orientace ježekitu (obr. 2.):

6 = P

c : a = 29° v tupém P
a : y = 13^2° v ostrém <^C P

Rovina os optických (010).

Všecky tři exponenty lomu jsou zřetelně vyšší
než v kanadském balsámu. Immersní methodou při¬
bližně určeno:

a = 155
P = 1*56
Y = 1*59

Vlastnosti chemické.

Zjistiv, jak uvedeno, v prvém nepatrném množství ježekitu přítomnost
fluoru, na tria a lithia na základě zbarvení plamene a zkoušky se solí fosfo¬
rečnou v uzavřené baňce, odevzdal jsem z později došlého materiálu větší
partii vybrané čisté hmoty pp. prof. Dr. Jar. Milbauerovia Dr.
E. Skarnitzlovi s prosbou o soustavný výzkum chemický. Kvalita¬
tivní analysa vedla u obou pánů k výsledkům souhlasným, kvantitativní
vykonal p. Dr. S k a r n i t z 1, jemuž za jeho laskavou ochotu vzdávám
srdečné díky. Resultáty jeho zkoušek jsou tyto:

Ježekit před dmuchavkou se rozpaluje a jasně svítí, pokropen byv
roztokem dusičnanu kobaltnatého barví se při novém žíhání modře, plamen
zbarvuje intensivně žlutě a modrým sklem lze pozorovati též purpurové
zbarvení; obsahuje tedy ježekit prvky AI, Na, Li.

Ve studené kyselině sírové a v luČavce královské nerost se rozpouští
jen neúplně, zbytek nerozpustný má barvu čistě bílou a je krystalický.
V horké kyselině sírové se rozpouští úplně; na dně nádoby se usazují při
rozpouštění bublinky plynného FH.

Celkem zjistil kvalitativní rozbor přítomnost aluminia, kalcia, natria,
lithia, fluoru, hydroxylu a fosforu; ve stopách konstatováno též železo.

Zkouška na berylium dala výsledek záporný, rovněž při spektrosko¬
pickém výzkumu nezjištěn ani draslík ani mimo Na a Li jiný kov alkalický.

Při rozboru kvantitativním stanoven byl

hliník jako orthofosforečnan,

vápník jako kysličník,

sodík a lithium vyloučeny ve formě chloridů a odděleny me¬
thodou amylalkoholovou ;

kysličník fosforečný sražen jako fosfomolybdenan ammonatý
a převeden v pyrofosforečnan hořečnatý;

r

Obr. 2.

IV,

8

fluor stanoven a vážen podle methody Freseniovy10) ja¬
kožto fluorokřemík ;

hydroxyl určen výpočtem ze ztráty na váze při žíhání.

Čísla kvantitativní analysy jsou:

I. 0-6204 g

minerálu

poskytlo 0-1625 g AlPO 4

= 0-1360 g Al20 .

0-6204 g

) 9

,,

0-0837 g CaO '

0-6204 g

) 9

0-2946 g NaCl

= 0-1161 g Na

0-6204 g

y y

,, 0-0836 g Zi2S04

= 0-0053 g Li

II. 0-6734 g

,,

,, 0-3200 g Mg2P207

= 0-2040 g P205

III. 0-5863 g

,,

0-2620 g SiFi

= 0-0477 g F

IV. 0-3245 g

pozbylo na váze žíháním

0-0500 g

Z těchto výsledků plyne složení ježekitu:

Molekulární kvocienty

p2o5

30-30%

0-2134 přibližně =1-01

ai203

21-92

0-2096

= 1-00

Fe2Os

sledy

—

—

CaO

13-50

0-2403

„ = 1-15

Na

18-71

‘ l 0-8239

„ .= 3-93

Li

0-86

0-0122 /

F

8-15

0-4278

„ = 2-04

OH

úhrnem

7-26

100-70%

0-4268

„ = 2-01

Chemické složení ježekitu jest tudíž:

P205 . Al203 . CaO . 2 NaF . 2 NaOH,

což by se mohlo psáti též v podobě basického fosforečnanu hlinito-vápenato-
sodnatého s částí sodíku zastoupenou lithiem a s polovinou hydroxylu zastou¬
penou fluorem :

[P04]2 F2 [OH]2 AI [AI . OH] CaNa 4 .

Rozpočtouce teoretický vzorec ten obdržíme čísla velice blízká na-

lezenému složení ježekitu:

Nalezeno:

Vypočteno:

30-30%

30-60%

Al203

21-92

22-01

CaO

13-50

12-07

NaF

1 7 *94 u)

18-09

NaOH

17-0411)

17-23

100-92%

100-00%

10) Viz: Fresenius, Quantitative Analyse I., VI. Abdr. (1910), str. 431.
u) t. j. ( Na , Li) F resp. {Na, Li) OH.

IV.

9

Ježekit a morinit.

AI. L a c r o i x12) popsal r. 1891 ze známého naleziště amblygonitu
(montebrasitu) u Montebras v depart. Creuze nový minerál, jejž nazval
morinitem a později (1908) znovu podrobněji zkoumal spolu s A. Car-
n o t e m 13) ; analysa krystalinních mass růžové barvy, na nichž byly len
velmi pořídku narostlé jehličko vité krystaly o souměrnosti monosym-
metrické, poskytla Carnotovi těchto čísel (po odpočtení přimíšené
Si02 a hygroskopické vody):

Pé\

33-50%

Al20 3

17-80

CaF2

27-00

Na20

5-20

h2o

17-90

101-40%.

Složení to vede ku vzorci:

3 AlPOá . HNaPOt . 3 CaP2 .8 H20 = HNa2 \AIF]Z [CaF]3P4<916 . 8 H20.

Od ježekitu se liší toto složení velmi nápadně vyšším podílem vody,
fluoru — 13-20, j. 8-15 — , pak mnohem menším množstvím kysličníku
sodnatého. Za to drobné jehličky narostlé na krystalinických aggregátech
morinitu shodují se s ježekitem do podrobností;

Tvar krystalový
Habitus

Povrchová j akost ploch

Kombinace

Štěpnost

Tvrdost

Hustota

Zhášení na (010)
Rovina os optických
Indexy lomu

Jehličky na morinitu

monoklinický

vertikálně protáhlý a splo-
štělý podle (100)

silně rýhovány v pásmu
vertikálním směrem podél¬
ným

(100) (010) (110) (001)

(100)

4

2-94

c : a = 30° v tupém < p
(010)

prňm. 1-55 — 1-56

Ježekit
monoklinický
stejný

zcela stejně

tytéž plochy + klino-
domata a orthodomata

(100) a (001)

±7*

2-94

c : a = 29° v tupém < (J
(010)
a = 1-55
P = 1-56
y = 1-59

n) Bulletin de la Société fran9aise de Minéralogie XIV. 187.

13) Sur la compositicn de la morinite, tamtéž XXXI. 149 — 152. Minéra¬
logie de la France (1910), tome IV. p. 539—540.

IV.

10

Pan prof. Dr. AI. Lacroix v Paříži poskytl mně laskavě několik
úlomků ze vzácného materiálu morinitového z původního (a dosud jedi¬
ného) naleziště. Jsou to štěpné massy barvy růžové až malinové, s do¬
konalou štěpností jedním směrem; tvrdost = 4%> hustota = 2*95.

V čistě vybraném podílu stanovil p. Dr. Skarnitzl množství
vody 18*41%, tedy na %% shodně s Carnotovým rozborem; tím zajisté
je dostatečně prokázána správnost Car notových údajů a naprostá
rozdílnost tohoto kusového morinitu od ježekitu.

Zdá se však jistým, že jehličky narostlé na morinitu, prozkoumané
Lacroixem, jsou od něho různé a totožné s ježekitem. Ten by tudíž
měl dosud známá dvě naleziště, obě v charakteristické paragenesi nerostů
žulové pneumatolysy, obě v blízkých vztazích k výskytu žil cínovcových.
V těžkých tekutinách o hustotě nad 2*94, v nichž kousky lamelárního
morinitu dosti rychle klesají na dno, plave ježekit i ony jehličky, snížením
hustoty pak obojí zároveň počínají vzplývati v každé poloze.

III.

Roscherit, nový minerál.

Druhý nový fosforečnan greifensteinsky dovoluji si nazvati rosche¬
rit cm na počest pana lékárníka W. Roschera, horlivého sběratele a znalce
nerostů ehrenfriedersdorfských, jehož ochotě dekuji za značnou část
materiálu výzkumného. P. inž. W. Maucher označil roscherit jako
„minerál podobný fillowitu“ a též R. Gorgey v citovaném sdělení
podobně jej uvedl. Roscherit jest veskrze krystalován, monoklinický a typu
různého, někdy i na téže druže: 1. krátké sloupce nebo tlusté tabulky osmi¬
boké, někdy zúžením klinopinakoidu skoro šestiboké, na kterých mimo tři
pinakoidy jsou vyvinuty dost široké, ale velmi nedokonalé, jenom slabě
třpytné plochy základního hranolu m (110); pouze na dvou krystalech
shledána hrana mezi plochou spodovou a zadním orthopinakoidem otupena
uzounkou, slabě třpytnou facettou, již možno vžiti za positivní orthodoma
základní (101) — viz obr. 3. ; — 2. tenčí tabulky podle plochy spodové, s obry¬
sem obdélníkovým, na rozích otupeným jen úzkými plochami hranolovými;

delší stranou obdélníku jest tu hrana
s orthopinakoidem, někdy tak pro¬
táhlá, že ráz krystalků přechází do

orthodiagonálně sloupcového (obr. 4.). Shledáváme se ovšem často i s kry¬
stalky přechodních tvarů mezi oběma uvedenými nej význačnějšími.

IV.

11

Krystalky roscheritu jsou na svém podkladu, kterým bývá křemen,
orthoklas, jednou též childrenit, narostlé jednotlivě, nahloučeny nepra¬
videlně i seskupeny někdy v hroznovité agregáty o slohu helminthickém,
složené z basálně sploštělých individuí.

Hypoparallelní srůst drobných krystalků roscheritových, i mimo tako¬
véto helminthické shluky častý, jest velikou překážkou exaktního stanovení
elementů roscheritu, neboť jen velmi zřídka nalezneme jednotně reflektující
plochy krystalové.

Jen orthopinakoidy dávají zřetelný až dobrý signál, klinopinakoidy
a base jen velmi nedokonalý, prisma (110) a doma (101) vždy pouze slabý
třpyt.

Za těchto okolností výsledky měření, získané na pěti relativně nej-
lepších krystalcích vybraných z velikého jich množství, nemohou být i než
přibližné.

Celkem jsem obdržel tato úhlová data:

Měřeno:

Meze úhl. hodnot:

Vypočteno:

Hran:

a (100) : c (001) * 80° 10'

V

r—H

CN

o

O

00

1

v

o

o

O

00

—

2

: b (010) 90 27

87 58* — 91 24

90° 0'

9

: d (Í01) * 52 2

51 43 — 52 21

— ■

2

: m (110) * 42 48

42 14 — 43 27

—

3

b (010) : c (001) 90 7

90 0

1

Elementy roscheritu blíží se

tedy hodnotám:

11

o

0-94 : 1 : 0-88

P = 99° 50'.

Řada krystalová jest pak velmi skrovná:

a (100) . b (010) . c (001) . d (101) . m (110).

Posiční úhly <p a p pro tvary tyto plynou velmi jednoduchým způsobem

přímo z uvedených dat pozorovacích:

9

P

a (100)

90° 0'

o

o

b (010)

0 0

90 0

c (001)

90 0

9 50

d (Í01)

90 0

37 58

m (110)

47 12

90 0

Roscherit se štípe zcela zřetelně podle klinopinakoidu (010), lépe
podle plochy spodové (001).

Tvrdost = 4%.

Hustota = 2-916, určena v roztoku jodidu rtuťnatobarnatého.
Lom světelný ve všech polohách jest o mnoho vyšší než v kanadském
balsámu.

IV.

12

Pleochroismus jest zřetelný, absorpce značná.

Na plochách (001) zhášení jest rovnoběžné k orthodiagonále, jejíž
směr vykazuje menší lámavost světelnou a prosvítá barvou žlutou do oli¬
vová, směr kolmý k orthodiagonále, optického rázu positivního, barvou
žlutohnědou do zelenává s větší absorpcí.

Na klinopinakoidu (010) svírá směr bližší vertikále s ní 15° v ostrém
úhlu meziosním a jest opticky negativní, olivově hnědožlutý, směr k to¬
muto kolmý, opticky positivní, prosvítá barvou kaštanově hnědou se značně
větší absorpcí.

Dvoj lom jest prostředně silný.

V konvergentním světle vystupuje na klinopinakoidu ostrá negativní
bissektrix velmi velikého úhlu os optických (2 Em > 120°), ležícího v rovině
na klinopinakoid kolmé a od vertikály o úhel 75° v tupém (3 odchýlené.

Skřížená disperse jest velmi silná, p > o.

Jest tedy optická orientace roscheritu (obr. 5.):
b = oc

c : y = 75° v tupém <£ (3
c : (3 = 15° v ostrém <3č (3

Střední lámavost světelná:

P625- 1*63

c

/8

y-~. . .

a - -

' /

/

" . — 4...

Absorpce y > (3 > oc.

Analysa kvantitativní, za niž

děkuji laskavosti

p. dvorního rady K. P r e i s e, potvrzuje, že roscherit
Byloť v něm nalezeno:

p2o5

35-98%

Alfiz

13-01

FeO

9-58

MnO

13-70

CaO

10-87

Alkalií

sledy

h2o

11-52

Nerozpust¬
ného podílu

4-58

99-24

Obr. 5.

jest minerál nový.

Po odečtení nerozpustného podílu na 100 přepočítán, poskytuje rozbor
těchto Čísel:

38-00

0-2675

ai203

13-75

0-1345

FeO

10-13

0-1410

MnO

14-47

0-2040

CaO

11-48

0-2047

H20

12-17

0-6757

100-00

IV.

13

Poměr kysličníků shoduje se dobře s jednoduchou relací:

PA : Al203 : FeO : MnO : CaO : H20
= 4:2 : 2 : 3 : 3 : 10

a za suposice, že dvoj mocné kovy se isomorfně zastupují, obdržíme vzorec
(MnFeCa)2 AI [OH] P208 . 2 H20.

Při poměru Mn : Fe : Ca = 3:2:3 vyžaduje formule ta složení
velmi blízkého nalezenému:

Po05

38-44%

Al203

13-84

FeO

9-73

MnO

14-42

CaO

11-38

H20

12-19

10000.

Chemicky náleží roscherit do skupiny basických fosfátů s kovy dvoj-
a trojmocnými, jsa nejblíže příbuzným s isomorfní dvojicí childrenitu a eos-
foritu, jak vysvitne ze srovnání:

roscherit 4 RO . Al203 . 2 P2Os . 5 H20

childrenit a eosforit 2 RO . Al203 . P205 . 4 H20

Roscherit liší se od obou druhých hlavně poměrným nedostatkem
kysličníku hlinitého a značným podílem kysličníku vápenatého mezi mon-
oxydy. Isomorfní směs Ca-Mn-Fe upomíná na jiné složitější fosforečnany,
zvláště anapait.

Od nedokonale známých fosforečnanů týchže kovů: kalcioferritu
a attakolithu jest roscherit podstatně rozdílný i složením kvantitativním
i vlastnostmi zevními a fysikálními.

IV.

Lacroixit = domnělý herderit.

Vzácný fluorofosfát berylnatý a vápenatý, herderit, byl popsán právě
z Ehrenf riedersdorfu ; jest tedy přirozeno, že byly za herderit pokládány
též nově nalezené neúplně vyvinuté krystaly nerostu
zevně podobného herderitu, jež pocházejí taktéž
z druzových dutin žuly greifensteinské. Nejlépe
vyvinut jest krystal ze sbírky p. lékárníka R o-
s c h e r a, narostlý v malé druzové dutince; měří
asi iy2cm a přístupná jeho Část má sedm ploch
krystalových, vyvinutých přibližně jak znázorněno
obr. 6. Celý kus není příliš veliký, tak že bylo
možno krystal nesňatý s podkladu měřiti na dvoj-

IV.

14

kruhovém goniometru. Reflexy ploch však jsou špatné, Často zmnožené;
namnoze možno měřiti toliko na třpyt. S plochou 1 v pólu obdržel jsem
opětovným měřením tyto výsledky:

2 . 180° 0'

3 . — —

4 . 72° 10' — 75° 28'

5 . 139° 9' — 140° 28'

6 . 72 38 — 75 58

7 . 0° 0' 14)

P

0° 0'

71° 40' — 72° 27'
(80° 39')

20° 43' — 21° 56'
87° 31' — 88° 14'
41 58 — 43 5

53 30 — 55 0

Z toho plynou v hrubé aproximaci úhly měřené (t. j. p) :

1 : 2 = 72° 1 : 5 = 88°

: 3 = (80V2) : 6 = 42%

: 4 = 2172 . : 7 = 54,

a vypočtou se, nehledě ku příliš špatně vyvinuté ploše 3, další úhly:

5 : 6 = 72°
4:2 = 79%
4:5 = 79%

2:6= 87i/2°
2:5 =43
6:7 =54
5 : 7' = 54

Morfologicky jest tudíž krystal kosočtverečný a spojkou tvarů:

(111) = plochy 1, 2, 5, 6

(110) „ 3, 4

(010) „ 7.

Vzhledem na malou přesnost dat měřicích, zjevnou z uvedených dat,
stačí zajisté vyjádřit i elementy krystalu pouze

a : b : c = 0 82 : 1 : 1*60.

Oproti tomu však jsem pozoroval na zkoumaném krystale zcela zře¬
telnou štěpnost pouze podle ploch 1 a 2, v dalších pak úlomcích, jež jsem měl
k disposici, taktéž jsem nemohl zjistiti Čtverou stejně zřetelnou štěpnost
odpovídající jehlanu kosočtverečnéruu, nýbrž jen dvojí, místy až téměř
dokonalou. Mimo to jsou některé krystaly, neúplně vyvinuté, podél hrany
obou zřetelných ploch štěpnosti až sloupcovitě protáhlé.

Též práškové preparáty mikroskopické nemohly věc úplně jistě roz¬
hodnout/ ježto právě štěpnost neposkytuje zcela rovných, přesněji měři¬
telných omezení postranních na lupéncích štěpných; na těchto vystupuje
v konvergentním světle šikmo jedna osa.

14) t. j. čísla pro qp u ploch 4, 5, 6 vzata jednak za předpokladu qp7 = 0° 07, jednak
92=180° 0'; měření, ač pásmo (2, 1, 7) jest zřejmé, poskytlo cp1a,cp7 v podobných mezích
kolísající jako u druhých ploch.

IV.

15

Pravdě nej podobněji tedy jest nový nerost jako herderit jednoklonný
s velikou aproximací k souměrnosti kosočtverečné, ale teprve další nálezy
dokonalejšího a hojnějšího materiálu mohou otázku jeho souměrnosti rozhod-
nouti. Nazývám nový minerál lacroixitem na počest slovutného badatele
francouzského, jenž prvý zjistil přirozený ternární fosfát o konstituci pří¬
buzné a jenž laskavým propůjčením materiálu morinitového přispěl i k do¬
plnění výsledků této práce.15)

Od herderitu odlišuje lacroixit přes souhlas v některých úhlech již
úklon štěpných ploch 72° (u herderitu nedokonalá štěpnost podle základního
hranolu tvoří úhel 64° 29' vypočtený z Penfieldova poměru parametrů
0-63075 : 1 : 0-42742, p = 89° 54').

Lacroixit jest bělavý, nažloutlý aneb světle nazelenalý; lesk skelný
někdy poněkud přechází do mastného.

Tvrdost = 4: y2 (herderit = 5).

Hustota = 3-126 (h. == 3-012, P e n f i e 1 d).

Střední lámavost světelná přibližně = 1-57 (h. = 1*61).

Rozdílnost lacroixitu od herderitu byla zplna potvrzena výzkumem
chemickým, jejž laskavě provedl p. Dr. A. Jílek, asistent chemicko-
analytického ústavu České vysoké školy technické v Praze. Celkem nalezeny
v lacroixitu součástky tytéž jako v ježekitu, ale kromě toho i značný podíl
kysličníku manganatého ; obsahuje tedy lacroixit jako podstatné součástky:

P205, A/203, CaO, MnO, Na20, F, H20.

V kyselině solné rozpouští se minerál za chladu ponenáhlu, za tepla
snadno; v koncentrované kyselině sírové rozkládá se okamžitě, vyvíjeje
nemnoho fluorokřemíku.

Analysa kvantitativná byla vykonána p. kol. Jílkem na úlomcích
větších krystalů; výsledek její jest:

P205 28-83%

Ál2Os 18-87

Fe2Os sledy

MnO 8-43

CaO 19-46

MgO sledy

Na20 14-92

LLO sledy

F 6-53

Ztráta žíháním 5-46

Si02 0-95

103-45

— O za F2 2-75

_ _ 100-70%.

15) Název lacroixit, jejž dal H. Lienau (Chemiker-Zeitung 1903, XXVII. 15)
nahodilé směsi dialogitu s rhodcnitem, jest neplatný.

IV.

16

Při rozboru byl minerál nejprve rozpuštěn v kyselině solné; ne¬
patrný zbytek Si02 sfiltrován a odpařeno několikráte s kyselinou dusičnou.
Po okyselení touže kyselinou sražen ve filtrátu kysličník fosforečný molyb¬
denovou solucí. Ostatní součástky určeny po odstranění P205 pomocí Sn02
za přítomnosti HN03 několikerým odpařením k suchu ; sfiltrováno, oky¬
seleno HCl, odpařeno a v slabě chlorovodíkovém roztoku sražen cín
sirovodíkem, sfiltrováno a ve filtrátu určen kysličník hlinitý, za horka
sražený octanem ammonatým. Pak ve filtrátu octovou kyselinou a bro¬
movou vodou určen mangan jako Mn02 a vyžíhán na Mn30±, v dalším
filtrátu kysličník vápenatý šťovanem ammonatým po neutralisaci.

Alkalie určeny v podílu, rozpuštěném na platinové misce v kyselině
fluorovodíkové za přítomnosti sírové; odpařeno pak k suchu, okyseleno
kyselinou solnou a neutrál isováno ammoniakem a šťovanem ammonatým ;
vyloučená sraženina sfiltrována, alkalisována hydrátem barnatým, odpa¬
řeno několikráte k suchu, filtrováno a nadbytek Ba[OH]2 vyloučen uhli¬
čitanem ammonatým ; po sfiltrování, okyselení HCl a odpaření k suchu
vážen chlorid sodnatý. Zkouška na draslík dala výsledek záporný.

Určení Si02 , ježto je přítomen fluor, bylo provedeno takto: minerál
roztaven se sodou, vylouženo vodou a neutralisováno kyselinou solnou,
pak ponechán roztok několik hodin v klidu po přidání ammoniakálného
roztoku hydroxydu zinečnatého ; sfiltrováno, spláchnuto do porcelánové
misky a odpařeno s HCl k suchu ; zbytek nerozpustný v kyselině solné
identifikován jako Si02 (čištěný fluorovodíkem).

Fluor byl určen v jiném podílu nerostu, jenž vytaven se sodou a ve
sfiltrovaném roztoku, do něhož přešel fluorid sodnatý a fosforečnan alka¬
lický, provedeno dělení kyseliny fluorovodíkové a fosforečné vypočteným
dusičnanem stříbrnatým (podle Treadwella). Fluor ve filtrátu pak
určen jakožto fluorid vápenatý.

Po odečtení Si02 a přepočtení analysy na 100% obdržíme Čísla:

0/

/o

Molek. kvoc.

p205

28-92

0-2036

ai2o3

18-92

0-1851

MnO

8-45

0-1192 |

CaO

19-51

0-3483 1 °'4675

NaF

14-47

0-3444 | 0-4823

NaOH

5-51

0-1379 1

h2o

4-22

0-2343

10000

Předpokládáme-li, že vápník s manganem a fluor s hydroxylem se
zastupují isomorfně, pak se blíží poměr součástek v lacroixitu proporcím:

Na (F, OH) : (< Ca,Mn ) O : Al203 : P205 : H20
= 8 : 8 : 3 : 3 : 4,

IV.

17

což by vedlo ke složité formuli:

Na4{Ca,Mn)4Al3P3016(F,OH)4 . 2 H20 .

Od jednodušších proporcí

2:2:11:1,

čili vzorcem

2 NaR 11 [A 10] P04F . H.fi,

lišily by se nalezené podíly hlavních součástek o 1-6 — 3-1%. Jistého však
ani tu nelze nic říci, ježto výzkum byl proveden jen s malým množstvím
materiálu, nad to podezřelého z počínajícího rozkladu; bylyť krystalové
úlomky, jichž jedině bylo možno k rozboru použiti, oproti značně průsvit¬
nému měřenému krystalu téměř neprůsvitné a mnohem slaběji, poněkud
mastně lesklé. I po stránce chemické jest tedy pokládati údaje o novém
minerálu za provisorní.

Zůstává jistým toliko to, že lacroixit jest nový, velmi basický a fluorem
bohatý fosforečnan hlinitý, vápenatý, manganatý a sodnatý, od ježekitu
rozdílný hlavně značně vyšším podílem monoxydů (CaMn) O. Přítomností
manganu jest podmíněna jeho hustota, vyšší nežli u ježekitu, ač tento
jest značně nižším hydrátem.

Snad přispěje toto upozornění na nový minerál k pátrání po homo¬
genním a čerstvém materiálu krystalovaném, na němž by bylo možno pro¬
zkoumat i zajímavý nerost dokonaleji.

V.

Poznámka o childrenitu.

Childrenit popsal, jak uvedeno, z Greifensteinu před několika lety
F. Kolbeck16) a uvedl i vyobrazil na něm tři nej obyčejnější tvary tohoto
nerostu:

a (100) m (110) s (121).

Tyto jsem shledal též já na četných krystalech
childrenitu greifensteinského mnou pozorovaných, mimo
ně pak i hranol pro childrenit nový * u (140),
jenž přiostřuje dosti širokými plochami postranní hranu
prismatu základního.

Nový tvar byl zjištěn z měření (na signály jen
nedokonalé)

u (140) : a (100) = 71° 41' měř., 72° 11' vypoČt.

Habitus krystalu s novým tvarem tím i některých
jiných lišil se od childrenitů Kolbeckem vyobraze¬
ných širší rozlohou makropinakoidu a zúženým hranolem základním (obr. 7.).

16) 1. c. (8).

Obr. 7-

Rozpravy. Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 4.

IV.

2

18

Celkem poskytlo

měření

čtyř krystalů

mimo uvedený úhel

těchto dat :

Měřeno:

Vypočteno:17)

Hran:

5 (121) : s'

(121)

81° 51'

82° 7 1/2'

1

: s'"

(121)

49 44

49 56 1/2

2

: a

(100)

65 45

65 2

1

m (110) : a

(100)

37 49

37 53

4

: m'

(110)

76 34

75 46

1

Pouze jednotlivé plochy jehlanu s (121) byly poněkud lépe vyvinuty,
ale i ty Často jeví povrch i makroskopicky druzovitý; plochy makropinakoidu
a obou hranolu reflektují vždy velmi nedokonale.

VI.

Další, neurčené minerály.

Jako ,,eosforiť‘ etiketovány jsem shledal dva exempláře, z nichž na
jednom byly nedokonale vyvinuté krystaly childrenitu a orthoklasu povle¬
čeny krystalickou korou barvy bledě růžově fialové, na druhém ve druzové
dutince nahromaděny jemně růžové, téměř Čiré krystalky isometrické
nebo krátce sloupcovité. Kusé výsledky měření na krystalcích těch nedovo¬
lují sice definitivního úsudku o povaze nerostu, jehož jest tak poskrovnu,
ale vzbuzují pochybnosti o tom, že by to byl eosforit.

Dosti Častý jest minerál podobný bary auditu, jenž tvoří jemné bra¬
davky a kuličky slabě průsvitné, barvy bělavé, nažloutlé neb našedlé; hu¬
stota 3-123, značně vyšší než u barranditu a wavellitu, dokazuje různost
greifensteinského minerálu od těchto obou.

VII.

Paragenese fosforečnanů.

Greifensteinské fosforečnany jsou nerosty druzových dutin lithnaté
žuly: okolo dutin těch, jako na četných analogických nalezištích (Baveno,
Striegau atd.) nabývá žula slohu hrubozrnnějšího a součástky její: křemen,
živec a lithnatá slída přesahují z horniny do druž tak, že nelze vésti ani při¬
bližně ostřejší hranice mezi součástkami žuly a nerosty druzovými. U druž
dostavuje se ve hrubozrnnější žule hojně turmalin v černých i zelených je¬
hličkách, taktéž přesahujících do dutinek, a naše fosforečnany. Z těch jediný
lacroixit náleží ještě této přechodní fasi a vězí leckdy zpola v hornině, jsa
prvním fosforečnanem, jenž tu vznikl; ostatní všecky jsou nerosty vý¬
lučně druzové.

17) Z Millero va poměru poloos 0‘77801 : 1 : 0 52575, srovn. Dana, Mine¬
ralogy, 6th ed. 850.

IV.

19

Pozoroval jsem tyto jednotlivé případy sukcese:

1. Lacroixit — • childrenit,

2. lacroixit — ježekit,

3. lacroixit — nerost podobný barranditu (= ,,B“) — roscherit,

4. ner. B — roscherit,

5. ježekit — ner. B,

6. childrenit — roscherit,

7. childrenit — domn. eosforit (= ner. E),

8. ner. E — ner. B.

Apatit jsem nezastihl společně s druhými fosfáty, ale v kusech, které
jsem viděl, jest taktéž nerostem pozdějším, již rozhodně druzovým.

Posloupnost nových fosforečnanů mezi sebou není z uvedených pří¬
kladů jednoznačně a obecně platně stanovena, a snad též vznikaly i dva neb
tři současně, ale přece jest patrno, že lacroixit jest vždy starší, roscherit mladší
ostatních fosforečnanů ; childrenit, ježekit, dva dosud neurčené minerály
a pravděpodobně také apatit dobou svého vzniku zaujímají střední posta¬
vení mezi oběma. Postupem časovým — a patrně zároveň klesající tempe-
raturou — změnila se povaha krystalujících fosforečnanů tak, že po vy-
krystalování lacroixitu, obsahujícího oxydy typu R20, RO i R203 pohromadě,
nastala rozluka kysličníků a soustředily se alkalie, fluor, skoro všechen
CaO a část R203 v ježekit u, kysličník manganaty, železnatý a zbytek Al<f)3
v childrenitu, krystalisace pak zakončena roscheritem, bohatým oxydy RO
a prostým alkalií i fluoru.

IV.

ROČNÍK XXIII.

třída ii.

ČÍSLO 5.

Amoeba v cystě dentalní.

Sepsal

MUDr. VIKTOR GUTTMANN, s. docent laryngologie.

(Z ústavu pro všeobecnou biologii a experiment morfologii prof. dra. VLADISLAVA RŮŽIČKY a z laryngol.
ústavu prof. dra. O. FRANKENBERGRA při č. lék. fakultě.)

(S 2 tabulemi.)

Předloženo dne 16. ledna 1914.

V případu cysty dentální shledány v dutině cysty amoebovité útvary,
jež jsem učinil předmětem následující práce.

Cysta, jež pravděpodobně vycházela ze zbylé dutiny po extrakci
vykotlaného zubu, získána byla operativním zákrokem vek. českém la-
ryngologickém ústavu prof. dr. O. Frankenbergra a ve formolu
konservována. Řezy byly barveny jednak Delafieldovým haematoxylinem,
jednak Heidenhainovým železitým haematoxylinem. Teprve při vyšetřování
fixovaného materiálu byly amoeby konstatovány. Vyšetření konal jsem
v ústavě prof. dra. V. Růžičky.

Jakkoliv bylo v řezech několik set útvarů podobných amoebám
uloženo, a jakkoli velikou píli tomu jsem věnoval, přece nepodařilo se
mně všechna stadia vývojová zjistiti, která bylo lze očekávati na základě
analogie amoeb s j iných stran popsaných. Na tom vinu nesou j ednak zvláštní
poměry životní dotyčné amoeby, jednak upotřebená fixační methoda,
málo vhodná ku studiu amoeb. Nalezl jsem i velmi mnoho obrazů, které
bylo lze pojímat i také jako epithelové buňky změněné pathologicky v útvary
amoebám podobné. Snad i z oněch četných obrazů, jež zdály se podporovati
výklad, že jde o degenerativní změny chromidialních zvířat, některé jest
uvésti na takové buňky epithelové. Samozřejmo, že nahodilý nález vylu¬
čoval také vyšetření amoebovitých útvarů za živa, což by vzhledem ku
určení druhu zaplašení různých pochybností a ku rozmanitým biologickým
momentům bylo velmi žádoucno bývalo.

Ačkoli tedy uvedené okolnosti umožnily jen neúplný popis a velmi
znesnadnily správné posouzení vyskytujících se. obrazů, přece myslím, že
uveřejnění jich je oprávněno.

Nález amoeby v pathologickém případu je zajisté zajímavým i tehdy,
když nelze tu pathogenetického vztahu zjistiti. Jakkoli nemožno otázku

pathogenetického působení samozřejmě bez pokusu řešiti, a pokus ovšem
zde možným nebyl, tedy přece dovoluji si zde k tomu poukázati, že nalezeny
byly amoeby nejen v dutině cysty samé, nýbrž i v epithelu ano i pod epi-
thelem, ba dokonce i dosti hluboko ve vazivu stěny cystové. Mimo to jde
o případ vzácný, ne-li jedinečný. Nález amoeb nabývá avšak ještě větší
zajímavosti tím, nelze-li je identifiko váti s organismy, na něž by mohlo
v podobném případu býti pomýšleno. A k této eventualitě by došlo, kdyby
část mnou pozorovaných obrazů skutečně měla náležetik životnímu cyklu
nějaké amoeby. Než případ mnou popsaný byl by i tehdy zajímavý, kdyby
se ukázalo, že část vyskytujících se obrazů nepochází od amoeb, nýbrž od
pathologické změny epithelií stěny cystové, ježto by z toho vyplynulo,
jak opatrně takové nálezy dlužno posuzovati. Naleziště připouštělo by
zajisté možnost, že se zde jedná o Entamoebu buccalis, jež dostala se z du¬
tiny ústní do dutiny cystové a zde se rozmnožila. Třeba že, jak již podotknuto
vyšetření intra vitam bylo nemožno, přece bližším studiem, jak v násle¬
dujícím líčení se ukáže, objevily se jisté odchylky, které jen s reservou by
připustily stotožnění s Entamoebou buccalis. Rovněž nemůže býti zaměněn
s Entamoebou coli, již bychom konečně snad též v úvahu bráti mohli, jak
každému znalci zajisté bude zřejmo.

Do podrobnější klassifikace nalezené amoeby nechtěl jsem se však
vzhledem ku četným nedostatkům ve vyšetřování pouštěti, ježto kompli¬
kované poměry v obsahu cystovém nedovolují žádného zcela bezpečného
soudu.

Jelikož pozorování in vivo nebylo možným, může ovšem stanovení
vývojového cyklu míti jen hypothetickou cenu. Nicméně posuzoval jsem
skepticky nalezené obrazy a opíral se o ověřená fakta z literatury, takže
závěry, k nimž dospívám, zajisté s jistou pravděpodobností pojímány býti
mohou.

Velkost cystální amoeby ve vegetativním stavu jest, jak ve většině
případů bývá, velmi různá; obnáší 13 — 66 [x, jestliže veliké buňky také
ještě k amoebám počítáme; Není však vyloučeno, že představují jen pře¬
měněné buňky epithelialní. Tvarem připomíná moje amoeba, pokud možno
z fixovaných preparátů usuzovati, většinou t. zv. amoeby hlemýžďové (Limax-
amoeben) (Obr. 2, 10, 13, 31). Rozlišení mezi ekto-a entoplasmatem bylo
jen na malém počtu jedinců možno. (Obr. 1, tento připomíná nápadně
Entamcebu buccalis) ; jet známo, že působením zevních vlivů může hranice
mezi nimi býti smazána, anebo vymizí vůbec často na fixovaných objektech.
Ve vegetativních jedincích shledány někdy četné vak' oly, chovající obsah,
jejž nebylo možno blíže určití. Někdy mohl jsem ve vakuolách nalézti červené
krvinky. (Obr. 13.) Ačkoli dutina cystální místy dosti četné bakterie obsa¬
hovala, přece nenalezl jsem ani jedné bakterie ve vaki olách amoeby.

Struktura protoplasmatu nebyla nikterak jednotnou. Nalezena byla
typická alveolární struktura s malými a většími alveoly; na jiných exem¬
plářích shledána vláknitá plsťovitá struktura, jež jevila se bud hustou

nebo řídkou, mnohdy jevila vlákna rozvětvení nebo provazcovitý průběh.
Tyto vláknité struktury vyvolávaly význačný dojem proudů a vírů proto-
plasmových. Vlákna sama byla buď hladká a bezstrukturná anebo obsahovala
do délky protáhlé chromatinové drobty anebo velmi malé kulovité chro-
mioly, jež dodávaly jim vzhledu chondromitů. Formy právě popsané
budí často podezření bud na degeneraci amoeb, mohly by však i jako
degenerované, změněné epithelie býti pojaty. Ačkoli t. zv. přechodní obrazy
jsou rázu velmi subjektivního, připomínám přece, že jsem mezi epitheliemi
stěny cystové nalezl přechody k těmto posléze popsaným formám. Dle toho
by cysta byla obsahovala amoeby smísené s epitheliemi různého stupně
degenerace.

Rovněž vzhled jádra není nijak jednotný. Vegetativní individua jeví
velmi často zdánlivé karyosomové jádro (Obr. 1.) jehož centriola pomocí
lininových vláken jest spojena se zevní hranicí zóny jaderní šťávy; tato
vlákna nejsou však v jiných stadiích viditelná, takže pak centriola leží úplně
volně uprostřed pásma jaderní šťávy (Obr. 4, 6.) Na periferii zóny jaderní
mohou (jak vidno z obr. 1.) chromatinová zrnéčka nahromaděna býti,
pásmo jaderní šťávy může však jich býti zcela prosto.

Na jednotlivých exemplářích (Obr. 2.) možno konstatovati obrazy,
jež poukazují na to, že z centrioly zdánlivého karyosomového jádra odlu¬
čují se chromatinová zrnéčka, jež sledujíce průběh lininových vláken,
ubírají se k perifernímu věnci chromát inovému. Zdá se, že toto pozorování
poukazuje k tomu, že v obr. 1, 4, 6, zobrazená zdánlivě jednotná centriola
vlastně představuje karyosom, v němž nedošlo ještě k differencování
centrioly a zevního jádra. Tento výklad potvrzen je vzhledem jader zcela
mladých amoeb, jež (obr. 4, 31.) jeví jen centrioly a pásmo jaderní šťávy chro-
matinu prosté. Je-li tento výklad správným, pak bylo by asi zapotřebí
obr. 2. vykládat i jako první naznačení oněch cyklických dějů v jádru,
jež u amoeb ponejprv Hartmannem pozorovány byly. Tyto jevy
jest tak pojímati, že vychází z centrioly množení chromatinu, jenž pak
směrem ku periferii je pošinován.

Nalézáme pak na př. obrazy, kde centriola leží v karyosomu chroma¬
tinu prostém, obdaném pásmem šťávy jaderné, jež vykazuje radierní lini-
nová vlákna, a obklíčeném věncem chromatinových zrnek (obr. 5.) jež
tedy již v cytoplasmatu uložena jsou. Obraz tento však je dosti pochybný
a představuje, možná, přeměněnou buňku epithelovou.

Obraz 6 a 3 náležející zcela nepochybným amoebám jeví jak se
zdá fási, náležející mezi stadia obrazu 5 a 2. V obrazu 6. nalézáme na hra¬
nici karyosomu ještě několik málo chromatinových zrnek, kdežto zevní
ohraničení pásma šťávy jaderní chová hojně chromatinu. V cytoplasmatu
objevují se již ve skupinách malá k jádru radierně uložená chromatinová
zrnéčka. V obr. 3. obdáno jádro již z části dosti silnou vrstvou těchto
zrnéček.

4

Co se týče dělení vegetativních útvarů, mohl jsem konstatovati řadu
obrazů, jež tento pochod, ač nikoliv bez mezer, přece však s pravděpo¬
dobností osvětlují.

Vezmou-li se za východisko obrazy 1 nebo 10, můžeme pak obrazy
9, 11, 13, 14, nechati následovat; zde jeví se již karyosom zaškrcený ; obr.
14 pak asi jeví již také zaškrcení těla buněčného. Chceme-li tato stadia
na základě viditelných jevů vyložiti, aniž bychom něčeho do nich vkládali,
co by pozorováním nebylo oprávněno, nemůžeme asi jinak, než tento
modus dělení označiti jako amitosu. Neboť není zde ani chromosomů,
ani vřeten ani ploténe.k aequatoriálních. Centriola se zaškrcuje, karyosom
a pravděpodobně i cytoplasma sleduje toto zaškrcování analogickým po¬
chodem.

Než tento způsob dělení nebyl jediným, jaký jsem ve svých prepa¬
rátech mohl zjistiti. Obr. 15, 16, 17, 18, 19, 20, 27 svědčí pro mitolické
dělení. Obr. 18, 19, 20 jeví ve zřejmé chromosomy rozloženou aeqr atoriální
plotenku. Obr. 19 a 20 pojímám jako dělení aequatoriální ploténky ; na pólech
obou figur lze centrioly dosti zřetelně konstatovati.

Dvojí průběh dělení jaderného, jaký jsem u amoeby v cystě přítomné
právě zjistil, není u amoeb žádným zvláštním nálezem. (Viz. k. př. Prowazek ,
Arb. a. d. kais. Gesundheitsamt 22. 1905).

V době, kdy aequatoriální plotenka jednotnou se jeví, viděl jsem
centrální vřetena jen homogenní; naproti tomu jeví se ve stadiu obrácení
se chromosomů k pólům spojovací vlákna úplně, paprsky pólové pak aspoň
z části (obr. 18, 19, 20.) zřetelnými.

Chromosomy možno na několika exemplářích z různých řezů zřetelně
spočítati, dle těchto obrazů vytvářejí se 4 chromosomy. V hotových klidných
jádrech mladých i starších forem však počet přítomných chromatinových
drobtů kolísá v širokých hranicích; mladá jádra obsahují na periferii ka-
ryosomu zpravidla 5 chromatinových drobtů (obr. 32.) Popsaný pochod
dělení jádra není zcela identický s popisem pro Entamoebu buccalis, již
podal Prowazek (Arb. aus d. kais. Ges. 21. 1904) Obrazů, jež by po¬
ukazovaly na vícenásobné dělení, nalezl jsem dosti málo. Obr. 22. jeví zdán¬
livě vegetativní individ um s třemi jádry, obr. 23. individuum se dvěma;
Obrazy dovolují několikerý výklad: bud jedná se v obr. 23 o tvorbu
druhotných jader z chromidia nebo jde o degeneraci dvoj jaderného zvířete
anebo konečně o degenerované epithelie. Tento výklad zdá se mi vzhledem
ku pochybnostem, jež v poslední době vůči výše citovanému vzniku jádra
u amoeb byly projeveny, a vzhledem ku zvláštním poměrům cysty,
pravdě podobněj ším.

Řada obrazů poukazuje, jak se zdá, na pohlavní pochody. Cysty,
s nimiž v řezech dosti často se setkáváme, jsou malé, průměrně měří asi
22 p., kulovité, mnohdy se zřetelnou dvojitou membránou (obr. 25, 26, 27.)
Obr. 25, 26 jeví klidnou cystu. Na obr. 27 lze pozorovati dělení jádra cy¬
st ového ; obr. 28 ukazuje rozdělené jádro (cysta nezdá se však zcela normální) .

V.

5

Na obr. 29 znázorněno je vícenásobné dělení jaderní v cystě. Obr. 30 mohl
by představovati důležité stadium, jelikož by mohl býti vykládán jako
počátek gamet ogonního rozpadu cysty (vakuola!). Zda nějaký zbytek
těla se zanechává, nemohu udati. V obr. 31 jsou vyznačeny útvary, jež by
bylo lze míti za gamonty, odvoditelné ze stadia s předešlým analogního.
Všecka právě popsaná stadia jest však s velkou reservou vykládat i, ježto byla
jen vzácně pozorována a ve směsi s degeneruj ícími epitheliemi snadno
jsou možný záměny a klamné výklady. Velmi důležité stadium podařilo se
mně, jak míním, zachytiti v obr. 32. Představuje, jak z porovnání s erythrocy-
ty v okolí ležícími vysvítá, malý útvar, jenž obsahuje dvě dobře vyvinutá
jádra karyosomová a vedle toho ještě dva v bezbarvých dvorečkách uza¬
vřené chromát inové drobty. Jak velikost tak i podoba jádra odpovídají,
jak plyne ze srovnání s obr. 12, následujícímu výkladu. Celý útvar je zřejmě
velmi dobře zachován ; načež obzvláštní důraz kladu. Neboť myslím, že
nezacházím příliš daleko, když popsaný obraz pojímám jako právě pro¬
běhlé redukční dělení před kopulací. Kopulaění děj sám nemohu však
bohužel žádným obrazem doložiti. Zda snad útvary jako obr. 21 za kopulu
považovány býti mohou, neodvažuji se rozhodovati z důvodů již častěji
uvedených. Za autogamní děje mohou, jak již H a r t m a n n (A. f. Prot.
24. 1912) upozornil, neprávem býti pokládány degeneracní jevy uvnitř
buňky amoebové. Takové obrazy, vysvětlitelné abnormální situací popsané
amoeby, pozoroval jsem velmi často a vyobrazuji dva nápadnější pří¬
pady v obr. 16 a 33b, z nichž poslední živě Hartmannovo vyobrazení
(A f. P. 24. Tab. 16. obr. 31 (recte 32) připomíná. Degeneraění jevy byly
v mém případě vůbec velmi četné, což je snadno vysvětlitelno. Obzvláště
objevovaly se degeneracní příznaky na cystách a chro.midiálních zvířa¬
tech. Zhroudovatělá jádra, špatná 1 arvítelnost jich, jež by při nedo¬
statečném ohledu na možnost degenerace mohly podnítiti myšlenku na
íysiologickou atroíii jader e v. vznik jich z chromidiálních sítí*) ; tvoření
se pigmentu v karyosomu (obr. 34.) a j., byly častým nálezem. Jako
pravidelný jev mohl jsem konstat ováti nepřítomnost jader v útvarech,
která by mohla býti pokládána za chromidiální zvířata.

Domnívám se, že jádra jejich byla vyvržena, neboť jich uložení na¬
značeno prázdnou dutinou. (Obr. 35, 36, 37, 41.) Skutečnou příslušnost
těchto buněk nebylo mi lze určití. Mnohdy shledána však v takových
zvířatech zhroudovatělá (obr. 16, 42) nebo špatně se barvící (obr. 38) nebo
zase zcela normální, ba dokonce i dělící se jádra (obr. 39.) Mnohé z těchto
obrazů lze pravděpodobně pojímati jako degenerativní pochody v útvarech
epithelialních. Domnívám se, že vyhradíme-li si pozdější opravy , jež vzhledem
ku zmíněným již nedostatkům a mezerám pozorování, jakož i záměnám

*) Tím nemá, jak se samo sebon rozumí v pochybnost býti brána údaj Hert-
wiga, Popoffaa j., již tyto důležité jevy na jiných objektech zjistili. Touto
větou chci jen naznačit i, že jsem nenalezl žádných bezpečných podkladů proto,
že by podobný děj nastával i u amoeby mnou pozorované.

V.

6

s epitheliemi jsou mozny — bylo by lze životní cyklus amoeby mnou na¬
lezené stručně shrnouti následovně: Vegetativní individua množí se jedno¬
duchým neb vícenásobným dělením. Během přechodu z vegetativního
života k pohlavnímu možno zaznamenati značné rozmnožení chromatinu
cytoplasmového. Následuje pak encystace, na počátku tohoto děje a v mladých
cystách je rovněž mnoho chromidií přítomno. V cystách množí se jádra, a
dochází pak konečně, když byly chromidie vymizely, k rozpadu cyst v malé,
jednojaderné amoebky, jež fungují jako isogamonty, splývajíce vždy po
dvou a nechávajíce kopulovati za úkazů redukčních svá jádra.

Jelikož obraz, který v tomto smyslu pojímám (obr. 32), sotva jiného
vysvětlení připouští, a rovněž obr. 30 asi jinak vyložen býti nemůže, než
jak mnou bylo udáno, nemůže zajisté ani závěr na kopulaci býti v pochybnost
brán, ačkoli se mně nepodařilo zachytiti obraz, na kterém by splynutí
isogamontú bez námitky mohlo býti konstatováno. Je-li tento výklad
správným, pak jevila by moje amoeba podobný sexuální děj, jako Enta-
moeba blattae dle M er ci e r-a (A. f. Prot. 20. 1910) a Amoeba minuta dle
Popoffa (A. f. Prot. 22. 1911.)

Po dokončené kopulaci roste amoeba vytvářejíc nové chromidie,
až nastoupením nového rozmnožování dělením její vývojový cyklus se
uzavře resp. počne znova.

Ještě jednou jest mi upozorniti na obtíže, jež se výkladu jednotlivých
obrazů v mém případě v cestu kladou, tak že stále zůstává možnost, že
přece by mohlo snad jiti o Entamoebu buccalis poněkud změněnou ab-
normními podmínkami životními. Jako známky, jim ž se moje amoeba liší
od typické Entamoeby buccalis, uvedl bych:

1. moje amoeba nejeví většinou žádného rozdílu mezi ekto- a en-
toplasmatem, jenž je pro E. buccalis význačný. Ovšem jsem pozoroval
pouze fixovaný materiál.

2. je velikosti dvojnásobné. Dlužno však míti na mysli možnost
záměn s degeneruj ící mi epitheliemi, jež by mohly býti brány právě za
ony veliké formy amoebovité.

3. obsahuje v jádru dosti mnoho chromatinu a má tenkou blánu
jaderní; E. buccalis v obojím se chová opačně.

4. moje amoeba jeví velmi málo potra vinných vakuol, jež nikdy
neo’ sáhují ani bezpečných bakterií, ani lenkocytů. Co se toho týče, bylo by
však uvážiti abnormální životní poměry, v nichž amoeba žila, ač na druhč
straně cysta obsahovala dosti bakterií.

5. děje dělení jaderního a děje množení liší se od dějů těch u E.
buccalis, pokud byly dosud popsány. Než právě v obrazech poukazujících
na gamet ogonii nejsou v mém případě vyloučeny záměny ev. klamné vý¬
klady, vzhledem k degeneracím přítomných epithelií a k fixaci pro amoeby
nevhodné.

Vzdor těmto odchylkám neodvažuji se však na základě mého materiálu
otázku identifikace rozhodnouti.

V.

7

Poznámky všeobecně biologické.

Na konec poukázal bych na několik theoretických otázek všeobecně
biologických, k nimž má pozorování se upínají. Jest to především poměr
mitosy k amitose, k němuž ony organismy, vyznačené dvojím průběhem
dělení jaderného poskytují příspěvek sotva nesrozumitelný. Ačkoliv ještě
stále tu a tam zastáváno je tvrzení, že amitotické dělení nedosahuje téhož
významu jako mitotické, nemůže přece toto tvrzení u organismu, u něhož
oba druhy dělení jádra zastoupeny jsou aneho navzájem se střídají, podržeti
platnost. Uváží-li se, že Gurwitschovi mechanickým zákrokem
(centrifugováním) , Haeckerovi, Natansohnovi aj. chemickými
vlivy se podařilo mitosu v amitosu převésti, je jasno, že způsob dělení
jádra závisí od zevních a vnitřních činitelů, jež na průběh dělení orga¬
nismu samého a s ním spojené okolnosti (k. př. dědičnost) nemusejí vykoná váti
žádného vlivu. Vzpomeneme-li si okolnosti, že narkotiky možno mitosu
amitosou zatlačiti, že narkotika pravděpodobně na lipoidy buněčné pů¬
sobí, že ale konečně dle Prowazka (Zool. Anz. 34. 1909. — Biol-Centrtl.
29, 1909) lipoidům velký význam v morfologii buňky přináleží — pak ne¬
bude snad možno domněnku, že závisí způsob dělení jádra na ovládajících
právě poměrech lipoidů buničných, a priori zamítnouti. Otázka tato bude
podrobena dalšímu výzkumu, jak zajisté zasluhuje.

Několika slovy zmínil bych se o vytváření se chromidií, speciálně
o otázce místa jejich vzniku. Werner a Hartmann vyslovili tvrzení,
že u Entamoeba histolytica první vznik chromidií z karyosomu odvoditi
nutno. Tomuto výkladu odpovídají mé obrazy, 8, 6, 3. Hartmann
vyslovil domněnku, že chromidie vynikají heteropólovým dělením karyc-
somu, a že se snad vůbec nejedná o žádné pravé chromidie, nýbrž o od-
škrcení malých totipotentních jader. Tato domněnka souvisí s jeho theorií
póly energidních jader. Jsem dalek toho, abych tuto theorii jejíž oprávněnost
v celé řadě případů nelze popříti, podroboval kritice, než zdá se mi přece
odvážným spatřiti v každém od jádra odškrceném fragmentu chromati-
novém celé malé jádro, když jiné důvody k tomu nenutí. Ostatně souhlasí
mé obrazy (6, 8) úplně s udáním Schaudinnovým, dle něhož pravé
chromidie vznikají ze zevního chromatinu karyosomu.

Správno je, co Hartmann uvádí o okolnosti, že jádro neobsa¬
huje nikdy tolik chromatinu, kolik ho později v cytoplasmatu je obsaženo.
Nutno prý připustiti, že se chromatin rozmnožuje. Ovšem zda se to děje
dělením, nelze rozhodnouti. Vždyť mohlo by se i na to pomýšleti, že hmoty
cytoplasmové samy přímo v chromatin proměniti se mohou, asi tím způ¬
sobem, jak Růžička byl zjistil pro první zrno chromatinové spor bakterií.
K tomu poukazovaly by u mé amoeby dvě okolnosti. Poprvé enormní
množství chromidií, jež konečně těla vegetativních zvířat vyplňuje a jež
zřejmě ve tvaru chromiol seřazených plastinových vláknech se objevují
a velmi živě připomínají chondromity známé z jiných objektů. Za druhé

V.

8

okolnosti, že tato forma tvorby chromidií mnohdy u téhož zvířete sou¬
časně s karyosomální zjištěna býti může, a to na místě od jádra daleko
vzdáleném (obr. 3.), aniž co na nějaký genetický vztah obou poukazuje.
Karyosomální chromidie vyznačují se svou granulární formou. V cyto-
plasmatu nalézají se však často také podlouhlé chromatinové drobty (obr.
16, 17, 31, 34) nebo pruhy (obr. 15) ba dokonce i provazce (obr. 22, 42).
Poslední nacházejí se však většinou v buňkách, o nichž soudím, že asi pro¬
padávají již degeneraci a jichž příslušnost k amoebě není zcela nepochybná.

Několika slovy zmínil bych se ještě o cyklických proměnách chro-
matinových, popsaných nejprve Siedleckim u Caryotropha mesnili.
(Bull. Ac. sc. Krakov 1905) a oceněných co do jich významu pro amoeby
Hart mannem. Jedná se při tom o vzrůst karyosomu a centrifugální
transport jeho chromatinu. Jest to zjev povšechnějšího významu, jelikož
byl také pozorován u centrálních zrn heliozoí a u některých centrosom
vaječných. Mohla by se namanouti otázka, není-li možno třeba jen do¬
mněnkou tuto metal olickou strukturu kausálně vyložiti. Pozoruj eme-li
tyto obrazy, zvlášť ovšem ona stadia, kde centriol dvěma nebo třemi koncen¬
trickými chromát: novými kruhy jest obdán, tu mimovolně vzpomeneme
siná Kústrem nedávno studované Liesegangovy diffusní kruhy
(Uber Zonenbildung in kolloidalen Medien. Jena 1913). Dle toho jednalo
by se asi při oněch cyklických chromatinových přeměnách o jevy diffusní,
jichž centrum by leželo v centr iole. Rhytmika jich dala by se pak pochopit i.
na základě fakt Růžičkou (Rozpr. č. akad. XVII 23. 1908 a XIX
15. 1910) zjištěných.

Dle jeho výkladů představuje chromát in fysikálně labbnější plasmové
sloučeniny; mohl též ukázati, že množství chromatinu je v přímém poměru
ku čilosti přeměny látkové. Na základě těchto výsledků je možno cyklickou
měnu chromatinu jader amoebových pojímati jakožto výraz rythmických
pochodů přeměny látkové. S názory Růžičkovými lze uvést i v sou¬
vislost též pozorování o tvorbě chromidií. Za vegetativní periody hromadí
se chromidie, kdežto za doby klidu v cystě, kdy není žádná potrava přijí¬
mána, pozvolna jich ubývá. Tak dala by se pochopiti jak tvorba karyoso-
ná nich i cytoplasmatických chromidií, diffe rentování karyosomálního
zevního chromatinu a konečně i vegetativních chromidií s jednotného sta¬
noviska a v případech, kde se vyskytují oba druhy chromidií, jež dle vý¬
kladů Růžičkových (Struktur u. Plasma, Wiesbaden 1907), R.
Hert wigových (1907.) aj. jen kvantitativně se různí, na jedné —
ovšem nej širší — basi spojiti.

Na konec ještě bych podotknul, že centriolu ve všech pozorovaných
zajištěných normálních stadiích životního cyklu amoeby s bezpečností
podařilo se zjistiti, čímž nálezy a postuláty Hartmannovy došly
potvrzení.

MUDr. Viktor Guttmann: Amoeba v cystě dentalní.

Tab. I.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 5.

MUDr. Viktor Guttmann: Amoeba v cystě dentalní.

Tab. II.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 5.

MUDr. Viktor Guttmann: Amoeba v cystě dentalní.

Tab. II.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 5.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 6.

O udržení konstantních obrátek strojů.

Napsal

Dr. B. Macků.

Předloženo dne 17. ledna 1914.

Jednou z nej těžších úloh, jež souvisí s problémem výroby elektrických
oscillací dynamoelektrickým strojem, jest udržení konstantního kmitočtu
oscillací aneb, což totéž jest, konstantních obrátek stroje. Důležitost
úlohy této spočívá v tom, že kolísání kmitočtu elektromagnetických vln
je pro zachycení jich skoro ekvivalentní zvýšení jich útlumu.

Abychom našli nějaké možné řešení udané úlohy, můžeme vyjiti
od hledání podmínek obecných,1) jež
jsou nutný pro docílení konstantních
obrátek.

Úloha tato byla by rozřešena,
kdybychom dovedli udržeti konstant¬
ními jak pracovní effekt do stroje
dodávaný, tak i effekt v něm spo¬
třebovaný 2 * *) Obě podmínky však, a
jmenovitě druhou, není prakticky
možno dostatečně přesně realisovati.

Znázorníme-li si skutečné po¬
měry graficky, pak obdržíme asi
obr. 1, v němž slabě vytažené křivky
značí horní a spodní mez effektu do stroje dodávaného, jak závisí tento
na obrátkách stroje. (Budiž vzat za podklad třebas stejnosměrný motor
elektrický poháněný akkumulatory, u něhož jsou poměry velmi příznivé.)
Silně vytažené křivky značí opět horní a spodní mez spotřebovaného

J) Budiž připomenuto, že pravidla dále odvozená platí pro dynamickou rovno¬
váhu i jiných energií než jen kinetické, po případě mohou býti obdobně odvozena.

2) Nečítaje v to ovšem změnu kinetické energie, neboť v tu přebytečná do-5-

dávaná energie se mění, respektive z ní nedostatek dodávané se uhrazuje.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 6. 1

VI.

2

effektu ve stroji (když motor je zatížen, ku př. stejnosměrným dynamem;
při tom ztráty v motoru samotném jest ovšem třeba čítati k zatížení
motoru).

Ploška omezená všemi čtyřmi křivkami (v obraze vy čárko váná)
dává všemi svými body všechny možné poměry, t. j. pokud počtu obrátek
se týče, může tento kolísati mezi oněmi hodnotami a eo2 (přesně dě¬
leno 2 n), jichž rozdíl jest dán horizontální šířkou této plošky

Jedná se tedy o to zvoliti poměry takové, aby tento rozdíl (správněji
procentová jeho hodnota) byl co nej menší. Rozdíl tento se zmenší, jestliže
hraničení čáry se k sobě více posunou. Tím nabýváme však dříve zmí¬
něné podmínky, již nad jistou (nevyhovující) mez nelze splniti Předpo¬
kládejme tedy, že nedovedeme zmenšiti určité procentové kolísání obrátek,
t. j. že nedovedeme zmenšiti procentovou vertikální vzdálenost k sobě
příslušných křivek.

Rozdíl — co2 vyjde však pak menší, zmenší-li se úhel neb a2>
což však značí následující požadavky.

1. Zvoliti takový motor, při němž strojem přijímaný pracovní effekt
v okolí žádaného počtu obrátek s rostoucím jich počtem rychle klesá.
(Pro stejnosměrný motor elektrický jest možno snadno vhodné podmínky
stanovití. Není však vyloučeno, že dobré služby konati by mohly i motory
indukční, u nichž sice dá se očekávati značné kolísání následkem nestá¬
losti proudového zdroje, za to však mají velmi prudký spád přijímaného
effektu v blízkosti synchronismu.)

2. Anebo voliti takové zatížení motoru, při němž spotřebovaný pra¬
covní effekt rychle s rostoucími obrátkami roste. Z tohoto důvodu jest
zatížení stejnosměrným dynamem, značně výhodnější než pouhé brzdění.
Nejvýhodnějšdio zatíženi jest však možno docíliti kmitajícím resp. oscil-
lujícím systémem. A tato okolnost jest jádrem celé věci.

Kdežto při zatížení jakýmkoliv rotujícím systémem spotřebovaný
pracovní effekt (W) dá se vyjádřiti formou

W = A0-}-A1Gt-t-A2 a2

kdež při vhodné konstrukci možno dosíci i vyšších mocnin obrátek co)
Naproti tomu při oscillujícím systému o vlastním kmitočtu & : 2 n a loga-
rithmickém dekrementu b bude týž effekt dán tvarem:

B

W= W0 +

kdež W0 značí ztráty, jež s vlastním oscillováním systému nemají co činiti.
Ztráty tyto jsou ovšem závislý od co avšak v blízkosti resonance jest změna
jich s počtem obrátek značně menší než členu druhého.

VI.

3

Případ motoru zatíženého systémem oscillujícím jest schematicky
znázorněn obrazem 2. Srovnáme-li obraz tento s předešlým, pak pozo¬
rujeme, že při stejném procentovém kolísání effektů vyjde nyní ploška
ona (čárkovaná) velmi úzkou, neboť
v blízkosti resonance vzrůstá spotře¬
bovaný effekt při málo tlumeném
systému velmi prudce, a příkrost
vzrůstu tohoto může býti ještě v me¬
zích možné proměny útlumu libo¬
volně regulována.

Budiž tu výslovně upozorněno,
že oscillující systém nemusí býti
elektrický.1) Jest pouze třeba, aby
vyhovoval těmto podmínkám.

1. Kmitočet tohoto systému
musí býti procentově aspoň tak da¬
leko konstantní, jak mají býti konstantními žádané obrátky. Podmínku
tuto jest možno jistě jak mechanicky, tak elektricky splniti.

2. Zvýšení křivky spotřebovaného effektu, způsobené oscillujícím
systémem, musí býti značně veliké alespoň proti kolísání tohoto effektu.
Značný tento pracovní effekt spotřebuje se v oscillujícím systému. Tím
však nemá býti řečeno, že by energie tato musila se proměniti j en v teplo,
nýbrž je nutno, aby přešla v takovou nějakou formu, jež nemůže se přímo
v tomže systému proměniti zpět v kinetickou energii motoru (může však
býti ku př. vyzářena jako energie elektromagnetická).

3. Zmíněné zvýšení křivky musí býti dostatečně strmé. To však
vyžaduje, aby systém byl málo tlumený. Následkem podmínky 2. musí
však v systému tomto nashromážděná energie býti značně veliká, jistě
větší nežli energie za jednu periodu v celém systému spotřebovaná.

4. Žádanému počtu obrátek musí odpovídati bod na vzestupné
části křivky. S tím souvisí však, že oscillující systém nesmí býti s počtem
obrátek v resonanci, nýbrž jeho kmitočet musí býti poněkud vyšší.

Užijme nyní pravidel těchto na soustrojí sestávající z motoru a dy-
namoelektrického stroje na oscillace. Na první pohled mohlo by se zdá ti,
že podmínky ony jsou tu zachovány, avšak není tomu tak.

1. Všechny známé dynamoelektrické stroje na oscillace nejsou systé¬
mem málo tlumeným, nýbrž silně tlumeným, a z toho důvodu křivka
spotřebovaného effektu není dosti příkrou.

2. Při sladěných strojígh (jak se jich užívá) dostáváme se na vrchol
oné křivky, tedy do polohy, jež při nedostatečně klesající křivce dodáva¬
ného effektu může býti dokonce labilní.

*) Velmi známým příkladem jsou jakékoliv hodiny mechanicky regulované.

1*

Obr. 2.

VI.

4

Dle toho je pro stabilitu kmitočtu oscillací dynamoelektrického
stroje vyhověti těmto podmínkám:

1. Počet obrátek stroje musí býti poněkud nižší než by odpovídal
vlastnímu kmitočtu stroje samotného.

2. Dynamoelektrický stroj na oscillace je nutno proměniti v systém
málo tlumený. Jak je možno proměnu tuto provésti, o tom jedná obšírněji
pojednání zvláštní.1)

Brno, česká technika.

i

*) B. Macků. Energetické poměry netlumených oscillací ve dvou spraže-
ných kruzích. Budiž tu však připomenuto, že v případě bx ]> b2 je pak nutno přejiti
maximum až na levou jeho stranu, čímž však výhodné poměry jen málo se zhorší.

VI.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 7.

Energetické poměry netlumených oscillací
ve dvou spřažených kruzích.

Napsal

Dr. B. Macku.

S obr. v textu.

(Předloženo dne 16. ledna 1914.)

Všechny dynamoelektrické generátory elektrických oscillací před¬
stavují oscillující kruhy silně tlumené, neboť je nutno u strojů těchto jich
magnetická pole vyplniti železem; mění se tedy v nich v každé periodě
značná část nahromaděné energie v nevyužitelnou energii tepelnou.
Povstává tu tedy důležitá otázka, zda jest vůbec možno, po případě jak by
bylo možno tyto ztráty zmírniti. Nejvíce na snadě leží tu způob ten,
ve stroji povstalou energii elektrických oscillací ze stroje pokud možno
rychle odvésti, což může se státi oscillačním kruhem na stroj připřaženým.
Jedná se tedy o to, najiti podmínky pro nej vhodnější konstrukci tohoto
připřaženého kruhu.

Ve dvou spřažených oscillujících kruzích vznikají oscillace o kmitočtu
i útlumu různém než jsou kmitočty a útlumy kruhů nespřažených. Mohlo
by se tedy zdáti, že daná úloha jest rozřešena, volíme-li podmínky takové,
aby jedna ze skutečně vznikajících vln byla pokud možno málo tlumená
a aby kmitočet netlumených oscillací stroje byl roven jejímu kmitočtu.
Tak jednoduchou však úloha tato není, neboť má-li systém tento jako
celek býti považován za málo tlumený, pak nestačí ještě, aby jedna z jeho
vln byla málo tlumenou, nýbrž musí mimo to energie této vlny býti značnou
proti oné, jež jest značně t uměna.

Měla-li by se pak úloha touto cestou řešiti, pak povstává značná
početní obtíž v tom, že útlumy oscillací skutečně vznikajících závisí nejen
od rozdílu kmitočtů kruhů nespřažených, nýbrž i od koefficientu spřažení.1)

x) Viz B. Macků: Jahrbuch f. drahtl. Telegr. III. 1910 pg. 332, rovnice 13.

Rozp ravy: Roč. XXIII. TL II. č. 7. 1

VII.

2

Jest tedy nutno nastoupiti cestu jinou. Vhodnou jest ta, při níž ve¬
zmeme v úvahu různé tu se vyskytující energie.

Pro jednoduchost počtu bude stroj v něm representován pouze je¬
diným oscillujícím kruhem (t. j. oním o nej vyšším kmitočtu)

Zn čí-li

E = E0 sin co t

elektromotorickou sílu stroje pro utlumené oscillace pak platí pro dva
spřažené kruhy:

L‘ 7T + «■•'■

Lt-EE + R,Jt+ -=?- \J2dt=M

ěS-

dt = E + M —E
cl t

d Jx
d t

aneb

jestliže značí

V/' + 2 V/ + b, V1 = bx E + k

V 2" + 2 č2 V 2 + b2 V 2 = k21 V x

12 v;

■h =

Cl V 1

■h =

Úl — -

Ei

II

<N

*0

2 Lx

h -

1

h —

°i —

t;c7

h - -

mc2

h —

«i2 —

Li Cx

«2i —

-^2 v 2

R2

2 L2

1

1^7

MC1

L2C2

k 2 — ^12 ^21

Pro stationarní stav platí pak:

Vx — E1 sin (co t
V 2 = E2 sin (co t + s2)

kdež znamená:

J x = C1E1co cos (co t + fx)
J2 = C2 E2 co cos (co t - f e2)

E i2 =

(b2 — <a2)2 + 4 d22 (as

-P2 + <?

&2i £02

£22 = &
tg* 1 = —
tg H = —

hl _ ďl Uf!

L, P2 + ()2 2 0

(Ď2 — co2) 9 — 2 ó2 CO P
(b2 — co2) P + 2 c) 2 00 Q

Q_

p

P = (b1 — co2 (b2 — co2) — 4 ó1 d2 co 2 — k 2 co4

<3 = 2 <a { ! (&2 — 6J2) + ď2 (6, — (ú2)}

Energie, jež se za každou periodu spotřebuje v kruhu primárním
(Wx) neb sekundárním (W^), je dána výrazy:

vil.

3

2 n

b)

W1 = R± \ Jx2 d t =

o

2 7T

W2 = R2 \ J2 d t =

n m á1 ( b2 — co2)2 + 4 ů22 co2

~L1 P2+g2

7t CJ Ó2 k2 CJ4 „ „

“TT P+T £°

a energie IV, jež se spotřebuje v celém systému,

TF - TF, + TF, = — AÍ& _- <°2)2 + 4 V ^i_±.fe2 <>2 <*_ E?

VV VV 1 -f- VV 2 ^ p2 _|_ ^2 ^0

Celá energie nahromaděná v kruhu primárním (C7J neb sekun¬
dárním (č/2) je rovna maximální elektrostatické a tedy:

JT _ !r p2_ 1 (&2 — O2)2+4ď22C022

ui — 2 Ul 1 — 2 L± P2 -f Q2 1 0

1

k2

tj — _r f 2 —

2 “ 2 2 2 2 LX P2 + <?

a energie v celém systému nashromážděná

1

b2 E>

v~v i V - * Ž>1 {(ž>2 — ÍO2)2 + 4 <y22 O)2} + 62 o4

u — ui + u2 — ~YL 7 p2 + ga

Poněvadž logarithmický dekrement útlumu pro jednoduchý oscillu-
jící kruh jest (při malém útlumu) též dán poměrem oné energie, jež za
jednu periodu v kruhu tom se spotřebuje (promění v teplo, záření atd.),
k energii v kruhu tom nashromážděné, budu v dalším logarithmickým
dekrementem systému rozuměti výraz tímto poměrem (pro systém) defino¬
vaný.1)

V případě našem vychází pro logarithmický dekrement horním způ¬
sobem definovaný:

z/ =

■. , A _ _

oj ó\ ó\ ( b2 — co2)2 + 4 d22 co2

K

b<

k 2 co 4

b i (b2— o.2)2 +4ú2

2 „2

Výraz tento bude co nejmenší (předpokládaje d'2 značně menší než dx)

a sice bude se blížiti hodnotě bude-li splněna podmínka, že

b 2

(b2 — a.2)2 + 4 ó22 uj2 jest malé proti k 2 «4.

J) Není .snad zbytečno upozorniti na to, že tento poměr jest závislý od formy
oscillací skutečně v kruhu probíhajících, a že tedy byl by jiný pro oscillace tlumené,
jež by vznikly po vypnutí zdroje, než je při netlumených oscillacích zdrojem udržo¬
vaných.

VII.

4

Podmínka tato vyžaduje však

1. Aby kmitočet nespřaženého sekundárního kruhu byl pokud možno
blízký kmitočtu netlumených oscillací (t. j. b2==co2).

2. Aby koefficient spřažení byl značný (aspoň proti rozladění sekun¬
dárního kruhu)

Pro ten případ, že platí
obdržíme

b2 = co,

z7 =

d2 co

i , iAA

^ k20i )2

i , A AA i A

^ 62 &2«2

Je-li tedy koefficient spřažení dostatečně veliký, pak rozhoduje
o dekrementu celého systému dekrement málo tlumeného kruhu sekun¬
dárního.

Pokud se týče závislosti dekrementu A od relativní velikosti b1 a b2,

4 ó

je patrno, že závislost tato následkem malé hodnoty výrazu 1~- jest

nepatrná, přece však dekrementu toho s ubývajícím bx ubývá. Pro specielní
případ

vyjde

b2 = co bx = o

z/ =

(x .iAA)

b2 V ' k 2<b2 /

Právě jako dekrement útlumu z7 jest důležit též poměr (rj) energií
spotřebovaných v kruhu sekundárním a primárním. Neboť malý dekrement
by neměl žádné ceny, kdyby větší část energie byla bez užitku v primárním
kruhu proměněna v teplo. Má-li totiž útlum kruhu sekundárního původ
svůj především v záření tohoto kruhu, pak udává udaný poměr též poměr
energie využité (v záření proměněné) k oné, jež se v primárním promění
neužitečně v teplo. Ale ovšem i v tom případě, že jenom část energie v sekun¬
dárním kruhu spotřebované se vyzáří, roste ekonomie systému s rostoucím
poměrem rj.

Z dřívějších rovnic vychází:

W2 _ ó2 k2CO*

V - W, (b.2 — to2)2 + 4 ď22 co2

Z výrazu tohoto je patrno, že podmínka pro malý dekrement jest
identickou s podmínkou pro ten případ, aby co nejvíce ze spotřebované
energie připadalo na kruh sekundární, a vychází tedy odtud, že s ubýva¬
jícím dekremen^em systému roste jeho ekonomie. —

Pro poměr (s) energie nashromážděné v sekundárním a primárním
kruhu vychází

VII.

5

U2 _ b2 tfw*

(b2 — oj2)2 +4ásV

•aneb s ohledem na rovnici předcházející

1 ^2
d2 &

Z relace této vychází, jakž se dalo čekati, že při malém útlumu
■systému se energie hromadí především v málo tlumeném kruhu se¬
kundárním.

Všimněme si ještě blíže výrazu pro celou spotřebovanou energii,
neboť výraz tento charakterisuj e výkonnost systému.

Dle dřívějšího platí

n co d\ {(6 — co2)2 + 4 ú22 co2\ + k2 d2 í»4 2

L1 {(b, - o2) (b2 - w2) - 4 Sl <?2 o2 - 62 e>4}2 + 4 ra2^ (&2 - o2) + <í2 (6X - to2)}2 f 0

w

Pro nej příznivější případ, totiž

Znázorníme-li W graficky
jako funkci co pro různé hodnoty
b± (zachovávajíce b2 stále týmž),
pak obdržíme křivky tvaru, jak
schematicky jsou provedeny na
obr. 1 a to

křivka I pro bx^> b>

II ,,‘b <b2
„ III „ b± = o

b2 = oj2

•obdržíme na křivkách bod tento vždy značně daleko od maxima křivky
(ba blízko minima, jestli jaké má) a to tím dále, čím těsnější jest spřažení.
Výsledek tento praví však, že v nej příznivějším případě (t. j. pro nejmenší
dekrement) jest výkonnost systému malá a mohla by býti zvětšena jen
zvětšením elektromotorické síly zdroje E0, což ovšem není vhodné.

Z důvodu toho hledejme, jak daleko zůstanou splněny příznivé
poměry (t. j . malý útlum a \ elký poměr mezi spotřebovanou energií v kruhu
sekundárním a primárním) nesplní me-li, podmínku pro případ nej vhod¬
nější ( b2 = co), ale volíme-li co tak, abychom docílili přibližně maxima
výkonnosti (výrazu W).

Považuj eme-li W za funkci co, pak dává resonanční křivku systému
a pro maxima této platí (s dostatečnon přesností 4)

b1 + b,

2 (1 — k2)

+ (i - v) (

h— b_i

bi + b2

b Macků, 1. c. pg. 333.

VII.

6

Omezme se v dalším na tři specielní případy, totiž

1. bx = o 2. b± = b2 3. bx = 2 b2

a volme spřažení tak těsné, aby bylo (b2 — co2)2 proti 4 ó'22 co2 velikým,,
takže toto proti onomu můžeme přibližně zanedbati. Mimo to omezme
se na maximum bližší hodnotě co2 == b2, t. j. na maximum vyšší.

1. Pro první případ vychází

co

2

l — k2

2 k2 dx
b~

#2
k 2 d

Poněvadž i při těsném spřažení zůstane tu k 2 proti 1 dostatečně
malým, dává případ tento poměry velmi příznivé.

2. Pro druhý případ, t. j. b± = b2 = b vychází:

Ců~

2 b

V tomto případě jsou poměry málo příznivý. Dekrement útlumu
klesne jen as na poloviční hodnotu (je-li proti $2 značné) a v kruhu
primárním spotřebuje se značně více energie než v sekundárním.

3. Konečně v třetím případu, t. j. b± = 2 b2, obdržíme, jestliže za¬
nedbáme vyšší mocniny k 2 proti jedničce,

Gi

2

M 1 — 2 k2)

l — k2

k2 d\ + (1 — 2 k2)2 d2
2 + (1 — 2 k2)2
á (1 — 2 k2)2

Tedy i v tomto případě nabudeme vhodných poměrů.

Z uvažovaných speciálních případů je možno souditi, že příznivé
poměry potrvají i pro ty případy, kdy volíme b2 tak, aby bylo dosaženo
maxima výkonnosti (t. j. hodnoty W), předpokládaje však, že zůstane b2
značně rozdílným od bv

VII.

Resumé. Jest dokázáno, že těsným phpřažením slabě tlumeného
oscillujícího kruhu na kruh silně tlumený je možno dosíci pro utlumení
oscillace systému slabě tlumeného. V systému tomto spotřebuje se (vy¬
září) většina energie v kruhu sekundárním. Výkonnost systému může
býti stupňována až k jejímu maximu. Podmínky pro poměry tyto nutné
jsou udány v pojednání samém.

Poznámka 1. Úvahy byly zde prováděny za předpokladu, že zdrojem
netlumených oscillací jest dynamoelektrický generátor. Není však vy¬
loučeno, ba velmi pravděpodobno, že tytéž vhodné podmínky mohou býti
docíleny i při generátoru obloukovém.

Poznámka 2. Otázka, zda kruh sekundární bez praktických obtíží
může zastupovati ihned anténa, může býti řešena v prvé řadě jen pokusně,
a proto není možno na ni dáti definitivní odpověď.

Brno, česká technika.

VII.

'v

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 8.

O předhistorických psech z okolí Podbaby u Prahy.

Napsal Zdenko Frankenbergev v Praze.

S 2 obrazy v textu.
(Předloženo dne 28. listopadu 1913.)

Domácí psi z českých nalezišť předhistorických nejsou zjevem zrovna
nejhojnějším a proto také naše literatura z oboru toho je u srovnání s ci¬
zími, hlavně německou a francouzskou, více než chudá. Nepočítáme-li
práce o diluviální fauně (W Oldřich, ostatně nekritické, Maška,
Kafka, Kříž a j.), kde domácím zvířatům vůbec věnováno poměrně
málo pozornosti a které jsou jedinými prameny literárními o našich Ca-
nidách, nenalézáme vlastně ničeho, kde by byly zmínky o domácím psu
z mladších dob předhistorických. Proto byl jsem velice povděčen p. MUC.
J. J í r o v i, jenž svěřil mi ku zpracování svůj materiál předhistorických psů
z Podbaby, kteří byli nalezeni na jakémsi hřbitůvku psím s průvodem
koloniální keramiky římské a jež p. Jíra datuje asi do 2. — 4. století po
Kristu. Úvodem budiž mi dovoleno podati stručný přehled dnešního stavu
otázky o původu psích rass vůbec.

Názory o původu dnešních rass psích byly až do konce předešlého
století velmi nejasné. Zcela zbytečně vyhledáváni předkové dnešních psů
mezi jejich recentními příbuznými, při čemž bráni v úvahu nej různější
zástupci čeledi Canidae : vlci, šakalové, australský dingo atd., a nepová-
ženo, že tito divocí příbuzní našich psů stojí k nim v takovém asi poměru,
jako dodnes žijící některé divoké druhy Bovid (zubr, yak, buvoli) k domá¬
címu skotu nebo volně žijící Equidae (zebry, kvaggy) k domácímu koni.
Teprve Th. S t u d e r x) (1901) vyslovil názor, že předka psa domácího
nutno hledati v některé diluviální formě, jež není identická ani s vlkem,
ani šakalem, ani Cuonem neb kterýmkoli jiným druhem fossilních (nebo
i recentních) Camd , nýbrž ve tvoru, jenž jistě již patří k tvarovému okruhu
druhu Canis familians L. nebo již přímo k tomuto druhu, ale stojí níže

h Die práhistorischen Hunde in ihrer Beziehung zu den gegenwártig lebenden
Rassen. Abh. d. Schweiz. paláontologischen Gesellschaft XXVIII. 1901.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 8.

VIII.

I

2

než všecky recentní rassy psí. Taková forma skutečně také později zjištěna
v diluviu ruském (z Bologoje) knížetem P. A. Puťatinem a nazvána
Canis Poutiatini (T h. Studer2). Tato diluviální forma podobá se nej¬
více australskému dingo, nebyla asi ještě úplně domestikována a byla jen
průvodcem palaeolithického člověka na jeho lovech. Teprve později byla
domestikována a dala původ různým rassám bud přímým vývojem a
vlivem domestikace, nebo křížením s divokými Canidami (resp. vlkem).
Přímými potomky byli by: Canis familians intermedius, Woldř. z doby
bronzové, jenž jest předkem honicích psů v nejširším slova smyslu (ohaři,
španělé, brak, setter atd.), a C. /. matris optimae Jeitt. (rovněž v době
bronzové), z něhož vyvinul se čistý pes ovčácký; mimo to z menší formy
tohoto diluviálního předka, Canis Mikii Woldř., povstal C. /. palnsiris
Ríitim. z kolových staveb švýcarských (R ú t i m e y e r 1860, 62), jenž
opět jest praotcem malých rass: pinčů, špiclíků, terrierů, čínského čau-čau
a některých menších psů polárních. Chrti představují dle Studer a
domestikací změněné potomky páriů, které možno odvod iti přímo z dilu-
vialního předka. Ostatní velké rassy psů povstaly křížením s vlkem;
jsou to neolithický C. Inostranzewi Anučin, ÍK e 1 1 e r e m pokládaný za
vlka), jenž je předkem velkých psů eskymáckých (sibiřských a skandi¬
návských), psa svatobernardského a novofoundlandského a posléze dogg,
bulldogů, boxerů a pod.) a C. Lcmeri Stud., pocházející rovněž z neolithu,
předek hrubosrstého chrta škotského (deerhound) a irského vlkodava.
O původu jich z křížení divokého psa a vlka svědčí též ta okolnost, že
ještě dnes skřížením některé primitivnější rassy psí (na př. psa ovčáckého)
s vlkem dostaneme potomky blízké d.oggám (ať moderním nebo prae-
historickým) (Th. Studer 1907).

Tak zdál se problém původu rass psích zcela vyjasněn; avšak
Maška3) zjistil, že Woldř i chův C. Mikii není nic jiného nežli
liška a rovněž zbytky, na jichž základě popsán C. hercynicus Woldř.,
dříve již jen za štěně pokládaný, patří lišce (polární). Tím vypadl sice
jeden dosti důležitý spojný bod mezi psy diluviálními a mladšími rassami
předhistorickými, ale v celku názor S t u d e r ů v zůstane asi správným.
Mimo to obohatil Maška faunu českých fossilních Canid nálezem
druhu Cuon (recte Cyon) europaeus Bourg., ze Srbské sluje u Berouna,
jenž dosti hojně přichází sice v štramberských jeskyních na Moravě, ale
z Čech až do té doby nebyl znám. Proti tomuto monofyletickému názoru
o původu psích rass, jehož hlavním — a skoro jediným — zastancem
je dnes Th. Studer, stojí názor t. zv. polyfyletický, dle něhož jednotlivé
rassy psí povstaly z různých druhů rodu Canis L., jejichž charakter i nyní

2) Étude sur un nouveau chien préhistorique de la Russie. L’Anthropologie
XVI. 1905. — Uber einen Hund aus der paláolithischen Zeit RuBlands. Canis Pou¬
tiatini. Zoologischer Anzeiger XXIX. 1906.

3) Diluviální pes v Čechách a na Moravě. Věstník IV. sjezdu českých přírodo-
pytců a lékařů 1908.

VIII.

3

ve své domestikované formě více méně věrně podržují. První s názorem
takovým vystoupil Geoffroy St. Hilaire, později též L. H.
J e i 1 1 e 1 e s 4) a N e h r i n g 5) se k podobné theorii přidali, a v době
nejnovější velice houževnatě ji hájí proti Studerovi C. K e 1 1 e r.6)
Dle těchto autorů povstaly jednotlivé rassy psí z různých divokých předku
na různých místech; a tu nej původnějším obyvatelem Evropy je skupina
špiclů, jež pomocí druhu Canis familiaris palustris Rútirn. ze staveb ko¬
lových odvozuje se přímo od šakalů, snad přímo od C. aureus L.

Poměrně nízko stojící rassou jsou psi ovčáčtí, jejichž tvar ukazuje
spíše na předky vlkovité ; nejspíše uznává se za předka toho indická forma
našeho vlka zvaná Canis pallipes Sykes. Do Evropy byl zaveden zároveň
s kulturou bronzovou, jejíž původ klade se do Orientu a zachoval se nám
z doby té jako C. familiaris matris optimae Jeitt. Třetí forma ze starších
dob předhistorických, C. intermedius Woldř., povstala snad zkřížením
obou forem jmenovaných (palustris a matris optimae) a spolu s vlivy ještě
později zavedených prvků dala původ psům honicím. Pro celou velkou
skupinu chrtů hledá K e 1 1 e r praotce v Africe, kde habešský dlouhonohý
a dlouholebý Canis simensis Růpp. zdá se mu nejspíše vyhovovati před¬
stavě předka těchto už ze starého Egypta známých psů. Konečně velké
rassy dogg, psů svatobernardských a novofoundlandských, bulldogů
a (zmenšením těchto povstalých) mopsi ů odvozuje od tibetského mastif fa
(tarače), známého už ze starověku, jenž jest prý nejspíše domestikovaným
potomkem tibetského vlka (Canis niger Sclater).

Každý z těchto dvou názorů (monofyletický i polyfyletick}^) má
prosebe značnou dávku pravděpodobnosti, a rozhodnouti dnes dle pouhých
znaků anatomických jest velmi obtížno, ne-li nemožno. Snad bylo by lze
očekávati přesné rozluštění sporu od moderního badání biochemického
na základě specifických reakcí krevních, v němž s úspěchem pracují
zvláště Nuttal, Uhlenhuth a j., a jež přispělo již k vyjasnění
poměrů v jiných otázkách systematických ; při našich skrovných po¬
měrech vědeckých není ovšem na něco takového ani pomyšlení, ale pro
nákladně zařízené ústavy cizí bylo by zde vděčné pole pro rozhodnutí
otázky prvořadé důležitosti.

Tolik považoval jsem za nutno předeslati aspoň jako nej stručnější
úvod k vlastní mé práci, neboť, jak řečeno, u nás nebylo dosud o otázce
o původu domácího psa ničeho uveřejněno, a při zpracování podbabského
materiálu nutno tuto literaturu znáti. Zabýval jsem se zatím toliko studiem
lebek, které poskytují vždy nej jistější znaky k určení rassy nebo aspoň
příbuzenstva k určité rasse (ovšem vedle celkové velikosti a zvláště vý-

4) Die Stamraváter unserer Hunderassen. Wien 1877. .

5) Zoologische Jahrbiicher 1889.

Ú Die Abstammung der áltesten Haustiere. Zur Abstammungsgeschichte
unserer Hunderassen. Eine Abwehr geg. Herrn Prof. Tli. Studer. Vierteljahrschr.
der naturf. Gesellsch. in Zurich. 1903.

VIII.

4

značných tvarů končetin, jako dlouhých u chrtů a rhachiticky znetvo¬
řených u jezevčíků). Tu bylo mi možno zjistiti dva hlavní typy: 1. doggu,
jen jediným kusem zastoupenou, a 2. více kusů příbuzných nejblíže psu
ovčáckému.

Z lebky (opatřené číslem P. 2331), již připisuji některé z dogg řím¬
ských, jest zachována celá zadní část lebky (obr. 1.), příslušící starému
individuu se švy silně obliterovanými, svrchu až po začátek nasalií, jež
jsou při kořeni srostlá synostoticky s írontale, na spodu schází již horizon¬
tální část ossis palatini. Ze předu je vidět os ethmoidale (lamina cribrosa
a část laminae perpendicularis), kdežto labyrinthy, až na několik zbylých
střípků, scházejí. Celý předek lebky (chrup a čenich) schází úplně, z oblouků
zygomatických zachován}/ jen processus zygomatici ossis temporalis;
rovněž otlučeny jsou processus supraorbitales a s nimi proražena i vnější
stěna sinuum front alium. Pokud bylo lze, změřil jsem lebku tu a dle ana¬
logie s jinými snažil se rekonstruovati původní délku, již odhaduji asi na
230 mm, tedy délka velice značná, jíž by odpovídala tělesná výška v ra¬
menou rozhodně aspoň 75 cm. Mozkovna je značně protáhlá, úzká, málo
klenutá, takže parietalia spadají silně (střechovitě) dolů, a zaškrcení spán-
kové příliš nevystupuje; za to arcus zygomatici byly asi hodně široké,
soudě dle směru zachovaných zbytků, a odhaduji největší šířku v nich
na 140 — 150 mm. Crista parietalis je velmi mohutná, vysoká a vybíhá
v cípovitě vzad protáhlý hrbol týlní, který značně přečnívá přes svislou
tečnou hořeního' okraje foraminis magni. Kondyly okcipitální jsou silné,
processus postglenoidales v kloubu mandibulárním rovněž silné a dolů
protáhlé. Pianům nuchale ukazuje mohutné drsnatiny pro inserce svalové,
cristae temporales je ohraničující jsou též silně vyvinuty. Kosti jsou barvy
temně šedé, poněkud fossilisovány (lnou dosti silně k jazyku) a pokryty
pevně na nich lpící krustou hlinitou. Rozměry, pokud by1 o lze zjistiti,
jsou následující (v mm):

Osa basikraniální (od předního kraje for. magni k sutuře sphenoi-

dální) .

Délka mozkovny (od horního okraje for. magni ke kořenu nosu)

(S'C) . . .

Od hrbolu týlního ke kořenu nosu (AC) .

Výška pianům nuchale od spodního okraje for. magni k hrbolu

týlnímu (5Z1) .

Výška foraminis magni ( S S') .

Šířka foraminis magni (Y Y') . . .

Největší šířka v kondylech okcipitálních (O O1) .

Největší šířka mozkovny (F F') .

Vzdálenost crist temporálních (E E') .

Vzdálenost vnějších zvukovodů .

Zaškrcení spánkové (G G') .

71 mm

127 „
134

66

21

26

50

74

80

68

44

VIII.

o

Obr. i. Lebka doggy z Podbaby
shora (zmenšeno), b )

(Invent. č. sbírky Jírovy P. 2311). a) Pohled
táž lebka pohled se strany pravé

VIII.

6

Nej menší šířka mezi očnieemi . 47 mm

Délka pianům frontale (od kořene nosu ke švu korunovému)

(BC) . 66 „

Šířka čela v processus supraorobitales (/-/') (jen přibližně) .65 — 67 ,,

Příslušné indexy, pokud lze je zjistiti, jsou následující:

Index cephalicus . . 58.3 mm

Index front alis (pro porušení proč. supraorbitales jen při¬
bližně) asi . 100. — ,,

Index occipitalis ; . 121.2 }>

Index foraminis magni . 80.8

Jedná se patrně buď o zbytek některé z oněch velikých římských
dogg, jichž se užívalo ke štvanicím na divoké kance, zubry, tury a j. zvěř,
nebo snad též o psa válečného, jichž barbarské národy středoevropské
hojně užívaly. (O podobné, jenže menší lebce zmiňuje se S t u d e r 7)
z doby Hallstattské ; jeho vyobrazení je naší lebce podbabské [až na ve¬
likost] dosti podobno.)

Vedle této velké lebky jest v materiále Jírově obsaženo 10 úplných
lebek (až na některá nepříliš závažná porušení), dvě části obličejové více
méně poškozené a několik úlomků mandibul. Vzhled jejich jest zcela jiný
než u popsané již doggy; jsou totiž barvy celkem žluté až žlutohnědé,
což patrně podmíněno poměry uložení, povrch není tak silně kryt hlinitou
vrstvou, a patří vesměs rasse daleko menší. Proberu nejprve v krátkých
popisech jednotlivé lebky a ku konci shrnu výsledky, které z podrobného
prostudování vyplývají. (Jednotlivé exempláře uvádím s inventárním
označením sbírky Jírovy.)

P. 2309. Veliké, dospělé individuum, velmi široké v lících (arcus
zygomatici) a s poměrně úzkou mozkovnou. Crista parietalis silná, morda
poněkud vpřed protáhlá. Zuby dobře zachovány, schází v levo Pmv
Pm2 a Pm3, v právo Pm2 ; v mandibule vyznačené hákovitými processus
angulares schází v levo Jlf J2 a /3, jakož i M3, v právo M3. Kosti celkem
málo fossilisovány.

P. 2310. Velmi staré individuum se švy lebečními úplně obliterova-
nými a zuby silně opotřebovanými; kosti málo fossilisovány. Zachována
celá lebka mimo arcus zygomatici, jež scházejí na obou stranách, a mandi-
buly rovněž scházející. Crista temporalis silně vyvinuta, ze zubů zacho¬
vány na straně levé C, Pm^, Pm2, Pm 4, a M2, na pravé pouze Pm3,
Pmá a M2.

P. 2465. Dospělé a ne právě již nej mladší individuum s velmi obsáhlou
mozkovnou a skoro úplně scházející crista parietalis, málo fossilisované.
V levo zachován Jlt Pm 4, Mx a M2, v právo J1 a /3, C, Pm4 a Mx ; M2 i s pří-

7) Schádel eines Hundes aus einer práhistorischen Wohnstátte der Hallstatt-
zeit bei Karlstein, Amtsgericht Reichenhall. Bern 1907.

VIII.

7

slušným alveolem úplně schází, aniž možno nalézti stopy porušení (ať
za živa či postmortálně) . Mandibula schází.

P. 2484. Staré individuum se švy silně obliterovanými a zuby opo¬
třebovanými. Nápadna je značně úzká a podlouhlá mozkovna a poměrně
široké patro. Kosti jsou málo fossilisovány, ze zubů v horních čelistech
zachovány v levo C, Pmlf Mt a M2, v právo Pm2, Pm 3, Pm4, M1 a M2;
v mandibule schází na levé straně jen Pmx a M3, v právo Jx a J2, Pmv
u něhož je zajímavo, že měl d.va kořeny (či byly tu dva zuby?) a M3. Pro¬
cessus angulares silně vyvinuty a hákovitě zahnuty.

P. 2485. Lebka podobná nejvíce č. P. 2465 a též asi stejně starému
psu náležející; erista parietalis jen o málo vyšší. V horní čelisti v levo
schází Pmx a Pm2, v právo J2 ; v dolní jen v levo schází Pmx a M3, v právo
chrup úplný. Mimo to uražen pravý processus supraorbitalis, čímž otevřen
pravostranný sinus írontalis i částečně calva.

P. 2486. IJplně zachovaná lebka staršího psa s dosti otřelými zuby,
jež v hořeních čelistech zachovány všecky, v dolní schází v levo Jv J2,
/3 a M3, v právo Jv J2, J3 a Pmv Kosti lnou poměrně dosti silně k jazyku
a jsou tedy více fossilisovány.

P. 2601. Značně porušená lebka dosti starého psa, poměrně dosti
fossilisována ; kosti lnou více k jazyku než ostatní (vyjma ovšem č. 3882).
Oba arcus zygomatici jsou uraženy, praemaxillare uraženo až po zadní
okraj alveolů pro /3 (na obou stranách), processus pterygoidei otlučeny,
calva v části okcipitální proražena velkou dírou, která zničila skoro celé
levostranné pianům occipitale, hrbolek týlní a část strany pravé. Crista
parietalis dosti nízká. Ze zubů zachovány v levo Pm2, Pm3 a Pm4, Mx
a M2 (alveolus pro Pmx úplně oblit ero váný) ; v právo Pm3 a Pw4, M1 a M2
(alveolus pro Pm2 úplně obliterován) .

P. 2626. Dospělé individuum, ač ne příliš staré, jak zřejmo z dobře
zachovaných kónusů zubních. Kosti málo fossilisovány. Schází levý arcus
zygomaticus, ze zubů v horní čelisti zachovány na obou stranách pouze
Pw4, Mx a M2, ve spodní čelisti na levé straně Pm3, Mx a M2, na pravé
Mx a M2.

P. 2627 a. Obličejová část staršího psa, zachovaná až po spojení obou
temporálních čar na os front ale v crista parietalis, na spodině pak až po
sutura sphenoidalis. Ze zubů zachovány na každé straně toliko Pw4 a M2.
Kosti jsou značně fossilisovány, podobajíce se stavem zachování nejvíce
č. 2601. Dále leží pod tímto číslem (jakožto P. 2627 b a P. 2627 c) dvě
levé spodní čelisti, z nichž P. 2627 b, zachovaná až po přední okraj rámus
mandibulae, má Pm2, Pm3, Pm 4 Mx a M2 uchovány a náležela poměrně ma¬
lému individuu, kdežto od. P. 2627 c jest zachována pouze dolejší část
(bez rámus mandibulae) s Pm2, Pm 4, Mx a M2 a pochází z individua značně
většího.

P. 2628. Pravostranná mandibula velkého individua s uraženou nej-
přednější částí ; ze zubů zachován pouze M2.

VIII.

8

P. 3269. Zachovány následující části dosti starého psa malé veli¬
kosti: obličejová část lebky až po sutura coronalis (v právo), kdežto v levo
uražena i celá ala magna ossis sphenoidalis ; v právo zachováno celé os
zygomaticum, v levo jen přední kus spojený s processus zygomaticus
maxillae. Chrup vlevo úplný, vpravo schází J2,P7n1> Mx. Dále dolní čelisti:
levá s uraženým horním okrajem processus coronoidei a scházejícími
Jv J 2 a Jz a kusem Pm3, u pravé uražen celý rámus mandibulae a ze zubů
schází /j a M2. Kosti jsou poněkud fossilisovány.

P. 3882. Lebka patří dospělému individuu; schází na levé straně
celý arcus zygomaticus, na pravé jeho zadní část, ze zubů pak na levo
Jx a J2, na právo Jx a J2, /3 pak je uražen ; v dolní čelisti v levo schází Jv
druhé dva incisivi jsou uraženy, pak uražen Pm3 a schází M2 a Aí3; v právo
schází Jv J2 i /3 a Pmx. Nápadno je, že lebka tato vykazuje značné stopy
činnosti ohně: zuby jsou úplně černé, kosti samy mají zvláštní nádech
do hněděrůžova, lnou velice silně k jazyku jako nej starší kosti diluviální,
a vydávají kovový zvuk.

P. 3884. Jedna z nejúplněji zachovaných lebek. (Obr. 2.) Dospělé
individium, ne staré, poměrně málo fossilisované, s velmi nízkou cristou
parietální. V dolních čelistech chrup úplný, v hořeních na levé straně
rovněž neporušen, na pravé schází jen J2, Pmx a Pm2.

Lebky tyto mají celkem dosti jednotný charakter, blížíce se nej¬
spíše tvaru menšího psa honícího nebo ještě spíše ovčáckého s mordou
podlouhlou, v zadních částech dosti širokou, do předu značně zúženou
(více než u honících psů to spatřujeme) ; lebka obsahem svým není ani
příliš velká ani malá, shodujíc se tvarově též nejlépe se psem ovčáckým
dosti statné postavy (asi v rozmezí 64 — 70 cm v ramenech, dle velikosti
lebek) , nespadajíc střech ovitě, ale nevykazujíc také oněch značně nadmutých
tubera parietalia, jak hlavně u menších rass psích silně jsou vyvinuta.
Crista parietalis je různě silně vyvinuta; kdežto u některých vyniká jako
mohutný hřeben až i před sutura coronalis protažený, končí u jiných už
před sutura coronalis a je velmi nízká nebo i sotva naznačena. Oblouky
zygomatické jsou dosti rovné a až vzadu náhle k os temporale zahýbající,
tak že v přední části tvoří skoro jen pokračování přímky vedené od alveolu
Špičáku k trháku. Čelo je dosti široké, ploché a málo šikmo vpřed spada¬
jící, očnice střední velikosti, hrbolek týlní normálně vyvinut.

Zdánlivě dosti značná různost rozměrů a indexů z nich vypočítaných
nesmí nás ovšem mýliti, neboť jednak nelze předpokládati, že již v tak
dávné době byly by chovány rassy tak čisté, a mimo to i mezi lebkami
dokázané k téže recentní rasse náležejícími možno shledati rozdíly sotva
menší, operuj eme-li s dosti velkým materiálem. Možno tedy jako výsledek
stanoviti, že římští kolonisté nebo domácí obyvatelstvo u Podbaby žijící
chovali rassu psí nejblíže dnešnímu ovčáckému psu stojící, jež pochází
bezpochyby od C. f. matris optimae Jeitt. z doby bronzové; národ ten

VIII.

9

Obr. 2. Lebka psa ovčáckého z Pcdbaby. (Invent. č. sbírky Jírovy P. 3884.)
a) Pohled shora (zmenšeno). Exemplář s dosti obsažnou mozkovnou, cristou ne
příliš mohutnou, b) Táž lebka se strany levé. c) Spodní čelisti téže lebky se

strany levé.

VIII.

10

choval patrně ve větším množství dobytek, k jehož hlídání užíval tohoto
psa, jehož jako svého věrného přítele a sluhy si dobře dovedl vážiti, jak
zřejmo z toho, že mu dokonce zřídil jistý druh hřbitovu.

V následující tabelle podávám přehled rozměru a indexů jednotlivých
lebek psích z Podbaby mnou zkoumaných. Volil jsem methodu měřicí
dle E. H u e, Musée ostéologique, Paris 1907 — 8, a proto bude snad
záhodno uvésti zde pojmenování hlavních osteometrických bodů dle to¬
hoto autora, k nimž vztahují se písmena na levém okraji tabulky.

A = nejdistálnější bod hrbolu týl-
ního.

A' = bod na sutura lambdoidea,
nejblíže k bodu A položený.

B == bregma.

C = kořen nosu. '

C' — konec nasalií přední.

C2" — bod mezi Špičákem a Pmi
kolmo pod C' .

D = gnathion.

E = laterální okraj lineae ťem-
poralis ossis temporalis.

F F' = největší šířka mozkovny.

G G' — zaškrcení spánkové.

H H' — největší šířka mezi arcus
zygomatici.

I — processus supraorbitalis.

J — přední okraj očnice.

K = foramen infraorbitale.

L = alveolus Špičáku.

M — zevní okraj otvoru nosního.

OOr= největší šířka mezi zevními
okraji kondylů okcipitálních.

P = nejdistálnější bod processus
postglenoidalis ossis tempo¬
ralis .

Q = distální konec suturae pala-
tinae medianae.

R = processus maxillaris (za al-
veolem M2).

5 = dolení (čili přední) okraj fo-
raminis magni.

S[ = hoření (čili zadní) okraj fo-
raminis ma^ni.

O

T = spatium interalveolare mezi
Pm4 a Mx.

IJ = foramen palatinum (vnitřní
okraj ) .

V = foramen incisivum (vnější
okraj).

W = processus frontalis ossis zy-
gomatici.

VW' = největší délka očnice.

Y Y' — šířka foraminis magni.

Z Z' — výška očnice maximální.

a = processus angularis mandi-
bulae.

b = přední konec symphysy
mandibul.

c — střední bod kondylu mandi-
bulae.

d — processus coronoideus man-
dibulae.

e c' — největší výška rami mandi-
bulae.

g gr — výška mandibuly u trháku

(M,).

h h'~ = výška mandibuly' u Pm x.

i i' = šířka maňdibuly u trháku

m.

k Id = šířka mandibuly u zadního
kraje symphysy.

IV — šířka mandibuly u alveolu
Špičáku.

m m' — šířka kondylu mandibuly.

c cř = vzdálenost středních bodů
obou kondylů.

VIII.

11

P 2309

P.2310

P.2465

P.2484

P.2485

P.2486

P.2601

P.2626

P.2627

P.3269

P.3882

P.3884

, A B

57

61

54

64

56

56

50*

58

48

( 1

\ BC

62

59

57

57

52

56

57

59

55*

54

59

49

cc

71

68

66

68

64

62

67

79

70

61

60

68

\ CD

109

101

96

108

94

98

100*

102

103

91

95

104

• BD

165

153

149

163

148

152

154*

159

—

142

159

150

A D

212

207

195

214

187

195

200*

208

—

—

192

199

\ SQ

85

80

74

84

68

73

83

77

—

—

77

75

1 QD

109

101

97

108

95

100

100*

105

101

91

95

97

i SD

194

18C

169

192

163

173

180*

182

—

—

171

172

SR

87

81

74

90

68

75

83

78

—

—

77

75

i R D

110

102

99

107

97

101

102*

106

102

92

98

101

, A A'

13

17

12

13

12

11

—

13

—

—

10

11

AS

50

54

47

53

45

47

56*

5]

—

—

49

46

| BS

77

77

68

77

65

72

77

73

—

j—

67

72

|

81

77

71

78

65

75

78

75

—

68

77

70

QJ

62

57

53

57

54

55

59

60

57

50

57

54

I IV'

20

—

21

21

20

23

23

21

—

20

23

21

: w W'

32

—

30

31

31

32

30

30

—

29

30

30

1 Z Z'

31

30*

29

31

30

31

32

31

—

29

33

28

j CQ

53

54

48

52

47

52

54

50

51

45

50

49

' C C"

34

34

31

33

31

34

31

32

30

27

33

31

CS'

110

109

103

113

100

101

111

108

—

—

101

100

1 SS'

17

19

18

15

15

15

16

16

—

17

15

EE'

76

74

65

69

62

65

67

70

—

—

67

65

1 FF'

67

65

63

65

62

62

65

68

—

—

62

63

GGf

36

42

41

39

42*

35

36

39

31

32

41

41

j H H*

115

115*

100

115*

98

110

115*

115*

—

100*

110*

105

1 II'

62

64

53

55

52*

52

53

54

46

• 45

61

55

i JJ'

50

60

46

48

47

48

48

48

50

42

52

51

KK'

46

43

38

43

39

42

39

41

41

38

40

41

j Lť

42

41

39

42

38

39

36

41

38*

35

41

38

! MM'

27

27

23

26

24

23

23

23<

23

23

26

25

j 0 0'

44

43

39

40

38

35

42

40

_

_

38

36

PP'

62

58

49

58

52

53

54

52

_

_

55

53

RR'

38

41

27

41

30

31

35

33

33

33

37

33

> TT,

64

67

57

67

52

60

63

62

60

55

64

59

i U U'

25

24

21

28

21

23

23

23

20

21

21

24

V V'

13

13

11

15

11

12

12

12

12

12

12

10

j XX'

13

11, 12

11

12

13

11

12

11

11

10

11

10

i y y'

22

21

20

19

20

18

21

19

_ _

_

19

18

‘ a b

162

—

—

18)

137

144

—

150

—

131

144

144

j c b

159

—

—

155

137

144

—

149

—

131

142

144

í a d

43

—

—

48

40

44

—

45

—

41

44

42

e e'

60

—

—

63

53

57

—

57

-

50*

62

55

: gť

26

—

—

39

23

26

—

28

_

25

27

26

htí

23

22

18

21

—

21

—

20

20

21

Hvězdičkou opatřená měření bylo možno pro porušenost příslušných
částí skeletních provésti jen přibližně.

VIII.

12

P.2309

P.2310

P.2465

P.2484

P.2485

P.2486

P.2601

P.2626

P.2627

P.3269

P.3882

P.3884

ccf

67

_

_

64

60

62

55

60*

68

61

i V

14

—

—

13

12

13

—

14

—

11

13

13

kk'

13

—

—

13

12

13

—

14

—

11

13

13

IV

14

—

—

14

13

13

—

14

—

12

14

13

m m!

29

—

—

29

25

27

—

28

—

24

27

28

J . ceph.

60-9

59-6

—

57-5

62

61-4

58-6

63

—

—

61-4

63

J. front.

100

108-5

—

96-5

100

92-9

93

91-5

89-1

83-3

103-4

112-2

J. fac .

69-7

73-7

—

70-6

671

72-4

74-7

72-3

—

70-4

72-7

70

J. nas.

24-7

26-7

—

24

25-5

24-5

23*

22-5

22-3

25-3

27-4

24

/. orbit.

96-9

100*

—

100

96-8

96-9

106-6

103-3

—

—

110

93-3

J . palat.

58-7

06-3

—

62

54-7

60

63*

59

59-4

60-3

67-4

60-8

J. occip.

152

137

—

130

137-8

138-3

119-6

137-3

—

—

136-7

141-3

J . for. m.

77-3

90-5

—

79

75

83-3

76-2

84-2

—

—

89-5

83-3

J . man.

41-4

—

—

40

43-8

43

—

36-7

i

—

45-8

47-2

42-4

Rozměry lichých mandibul:

a b

cb

a d

e e'

gg

hlť

i ť

kk'

IV

mm'

P.

26276

_

_

_

_

25

20

12

13

13

_

P.

2627c

—

—

—

—

26

24

14

14

15

—

P.

2628

147*

147*

51

63

26

20

14

11

12

30

*) Hvězdičkou opatřená měření bylo možno pro porušenost příslušných
částí skeletních provésti jen přibližně.

VIII.

ROČNÍK XXIII.

TRlDA II.

ČÍSLO 9.

v

Šumavská jezera.

ii.

Vellxé Javorské jezero.

Napsal V. Švambera.

(S 1 mapou a 1 tab.)

(Předloženo dne 16. ledna 1914.)

Výzkum Velkého Javorského jezera provedl jsem hlavně v 1. 1907
a 1908. Po přípravné návštěvě koncem června 1907 pořídil jsem za přízni¬
vého počasí ve dnech 7. až 14. září mapu jezera a změřil hloubky v přední
(východní) části jezera. Celkem bylo tehdáž měřeno 140 hloubek v 7 pro¬
filech. Při tom byla provedena obvyklá měření teploty sloupce vody,
teploty přítoků a odtoku a pozorována průhlednost a barva vody. V zadním
(západním) bassinu byla provedena měření hloubky pouze na zkoušku
a byla tu konstatována největší hloubka 10 m, tudíž o 1 m více, než měřil
svého času dr. Wagner a více, než jsem sám očekával, počítaje právě v zadním
bassinu s velikým zanášením jezera.

Navštívil jsem jezero opětně uprostřed září 1908 především za účelem
systematického změření hloubek v zadním bassinu. Tentokráte mi počasí
nepřálo, změřil jsem však přece ve 3 profilech 68 hloubek. Tím bylo mě¬
ření hloubek na V. Javorském jezeru dokončeno.

Další krátké návštěvy uprostřed září 1909 a ve druhé polovici srpna
1911 byly věnovány prohlédnutí okolního terrainu a fotografování. Po¬
slední revisi provedl jsem koncem září 1913, při čemž měřena průhlednost
vody o něco větší, než dříve. Ostatně jsem však seznal, že se obrysy i cel¬
kový zjev jezera od r. 1907 vlastně nezměnily.

Při výzkumu zúčastnili se střídavě se mnou moji posluchači pp. Basi,
Bělohlávek, Hamáček, Soušek, Vitásek, Vrba a Wízek.

Než pojednám o svém vlastním výzkumu, pokládám za vhodno
podati přehled toho, co až dosud bylo vykonáno.

Rozpravy Roč. XXIII. Ti. II. Čís. 9.

IX.

1

2

Nej starší zmínka o V. Javorském jezeru nalézá se, pokud mně známo,
v darovací listině Konráda II. Gúntherovi, představenému kláštera,
v Rinchnach.1) Značná část pohraničního lesního území připadla tím
klášteru. Hranice byly vedeny právě podle jezera: ,, . . . per des censům
Regin fluminis usque in villam Petrách que duarum Petraha media interfluit,
et sic sursum per eandem Petrah usque ad lacum qui est in monte Hatvvich,
et inde sicut intercisum est usque in exortum Svvarzaha, et sic inde uscque
Buchohimberch . . .“. O pravosti této listiny z r. 1029 se nepochybuje,
za to však jiná2) podobného obsahu z r. 1009 pokládá se za falsum. V té
udává se hranice jinak . . . et per descensum Regin fluminis usque in villam
Piberahb, que duarum Pibera media interfluit, et sic sursum per eandem
Piberaha usque ad lacum qui ex monte Hadavvich et per cursum acque
que vocatur Seebach, et sic inde, ut modo terminatum est, usque ad locum
ubi Kelbirbach čadit in album Regin. . . Zfalšování této listiny klade se
do počátku Xll. století. Ze znění obou listin lze souditi, že již r. 1029
V. Javorské jezero bylo dobře známo, když ho bylo použito za hranici.
V listině falešně na r. 1009 datované, skutečně však z poč. XII. století,
zvětšuje se právě v těchto místech území kláštera a uvádí se poprvé odtok
jezera (Seebach), z čehož lze usuzovati, že končiny zdejší byly asi během
XI. století lépe seznány a pokládány za důležité.

Potom vzpomíná se jezera až teprve v stol. XV. a sice nehezky
u Aventina: ,,Allda ist auch Hádweg der hochst berg oberhalb Passauw,
auf dem ein groBer See, darumb die Behemen und Bayern noch kriegen,
wer stercker kempfft, wirlt den anderen in See“. Hledal jsem tuto větu
v sebraných spisech Aventinových, nemohl jsem ji vsak nikde nalézti.
Místo to bylo vztahováno vždy na Velké Javorské jezero, nepokládal bych
však za vyloučeno, že by tím mohlo býti míněno i Malé Javorské jezero.

Také Velké Javorské jezero vyskytuje se po prvé na mapě F. Apiana,
o níž jsem se zmínil již v práci o Malém Javorském jezeru. Na mapě té
vyskytuje se ovšem bezejmeně, přímo na jih od hory V. Javoru, jež na
mapě označena jest jako Aetwhá mons. Jezero má zde podobu, jež blíží
se značně kruhu a při tom rozměry aspoň třikráte tek velké jako Malé
Javorské jezero. Uprostřed východního břehu odtéká „Seepach" do
Velké Režné (Gros Regen fl.) směrem, jenž proti skutečnosti uchyluje se
na mapě Apianově příliš na jih, celkem však dosti správným. Geografická
poloha Velkého Javorského jezera podle mapy Apianovy jest 33° 49-3'
až 33° 52-4' v. d. a 49° P2' až 49° 2-6' s.š. Platí tu totéž, co jsme napsali
o poloze Malého Javorského jezera na mapě Apianově, nepatrná chyba
v zeměpisné šířce, větší v zeměpisné délce.

Ů Monumenta Boica. Vol. XI. Monachii 1771. p. 145 (Designatis Territorii
Celle S. Guntheri hodie Rinchna concessi. An. 1029).

2) tamt. p. 139. (Imperialis concessio Territorii ad cellam Guntheri, hodie,
Rinchna. An. 1009.)

IX.

3

Ve své Topografii zmiňuje se Apian o Velkém Javorském jezeru na
dvou místech: ,,Mons admodum excelsus et clarus, quem nonnuli Etwha,
allii ab herbis et plantis Herbae montem, quod multis raris et haud vulga
ribus plantis abundet, dictum estimant. In huius summa pláni cie, quae
perampla est, lacus consistit, in quo trottarum copia inexhausta. Rivus
ex eo emanans per catadupa orientem versus devolvitur. Ad hune versus
aquilonem rupes exsurgit altissima, quae longe lateque conspici, etiam
in Vindeliciae partibus potest,"1) a na jiném místě2): „Seepach autem rivus
ex lacu et monte Artwha decidens, longus 6 m. p. in Regenum incidit,
4 m. p. supra vicum ZwiseR. Již z podrobných čísel, udávajících délku
odtoku jezerního jakož i z celé kresby na mapě lze souditi, že také zde
pracoval Apian na základě autopsie.

O jeden a půl století později shledáváme se s Velkým Javorským
jezerem na mapě Múllerově 3) . Proti mapě Apianově jest tu sice zlepšena vzá¬
jemná poloha obou Javorských jezer, za to však jest tu zakresleno
Velké Javorské jezero v podobě téměř čtverce a sotva poloviční Malého
Javorského jezera, což sotva odpovídalo tehdejším poměrům. Na Wie-
landově zmenšeném vydání plocha V. Javorského jezera jest poměrně
velká vůči původní mapě Múllerově. Pozoruhodno jest, že na mapě Múlle¬
rově zakreslena jest hranice česko-bavorská těsně po východním břehu
jezera a po celém levém břehu jezerního potoku, což ostatně přejal také
Fin ck do své mapy,4) jenž ovšem jezero posunul zase příliš na jih od
vrchu Javoru.

V důležitém jinak díle Flurlově5) očekávali bychom o jezeru
aspoň zmínky, ale marně. Pouze mapa jeho jako první pokus petrogralické
skizzy této končiny má pro nás jistý zájem. Jsou tu vyznačena obě jezera
Javorská a jezero Roklanské, všechna téměř stejně velká, podle koloritu
mapy vesměs v žule. Asi v téže době botanisoval zde a na Velký Javor
vystoupil s prof. D. Mikanem proslulý později cestovatel Tadeáš
H a e n k e.6)

Nej důležitějším pro V. Javorské jezero dílem za celou první polovici
stol. XIX. jest mapa katastrální.7) Zde jsou asi obrysy jezerní dosti
správně zakresleny. Hladina jezerní jest tu asi táž jako na naší mapě;

Ú Philip Apian’ s Topographie von Bayern. Herausg. v. d. Historischen Vereine
von Oberbayern. Miinchen 1880, p. 362.

2) tamt. p. 364.

3) Mappa geographica Regni Bohemiae auct. J. C. M u 1 1 e r. Ed. 1720.

4) Mappa Electoratus et Ducatus Bavariae. Auspic. Ac. R. Sc. Berol. 1766.

Fol. II.

6) Flur 1 Mathias, Beschreibung der Gebirge von Baiern und der oberen
Píalz. Můnchen 1792.

6) M a y e r J., Sammlung physikalischer Aufsátze, besonders die Bohmische
Naturgeschichte betreffend. III. Dresden 1793, p. 285.

7) Bavorská mapa katastrální. N. O. XLVII. 50. K. L. Kótzting und Regen.
1842. 1 : 5000.

1*

IX.

4

slati měly hlavně ve střední části u malého poloostrůvku a naproti němu
rozsah snad ještě o něco větší než dnes. Tok Geigenbachu (přítok jezera)
i odtoku jest tu zaznamenán s veškerými podrobnostmi. Úřední jméno
jezera jest zde ,,Arber See“.

Teprve uprostřed století XIX. vyskytuje se V. Javorské jezero v lite¬
ratuře turistické a odborné. V té době, aspoň jak z díla Grueberova
a Múllerova1) můžeme souditi, nalézal se zde při samém jezeře
ještě divoký prales, jenž se otvíral na jednom místě, totiž při odtoku.
Slatě a bažiny obemkly jezero tak, že jen po kmenech, jež zde všude le¬
žely, bylo lze jezero, ovšem nikoliv pohodlně, obejiti. Výslovně však při¬
pomíná dílo Gruebera a Múllera, že zde krajina ani z daleka není tak
chmůrná, jako na jezeru Roklanském. Ostatně mimo poznámku, že jsou
zde pstruzi (Steinf orellen) , nedovídáme se ze zmíněného díla ničeho pod¬
statného. Současné dílo Winebergerovo2) věnuje Velkému Ja-
vorskému jezeru jenom několik řádek. Udává plochu vodní na 18 Tgw.
a poznamenává, že voda jest čistá a chladná, při tom bohatá na pstruhy.
Hloubka není známa. Na geognostické mapě Winebergerově zakreslena
jsou obě Javorská jezera přesně na hranici svoru a horniny, již nazývá
,,Gneuss-Graniť‘. Hochstetter, jenž mapoval geologicky Šumavu
r. 1853 a násl., určil3) barometrický nadmořskou výšku jezera na 2931-5'
a poprvé se zmiňuje4) o charakteristické pro jezero Nuphar luteum. V sou¬
časném nepodepsaném článku, jehož autorem byl patrně Sendtner5),
udává se nadmořská výška jezera na 2925, délka na 1300 a šířka na 1000 stop.
Z díla Sendtnerova,6) jehož práce na Šumavě spadají do 1. 1854 — 57,
seznáváme pro V. Javorské jezero pouze určení nadmořské výšky na
2925 pař. stop. Také v díle prof. K r e j čího7) jest jen několik poznámek.
Krejčí nalezl zde ještě vysoký les. Přecenil plochu jezera, již udává na
40 jiter, správně však položil končinu tu do ruly. Stejně skoupé jest veliké
dílo Gumbelovo.8) Na hrázi jezerní měřil Gúmbel barometrický nad¬
mořskou výšku jezera na 2909 pař. stop. Mimo to sděluje nadmořskou

0 Grueber B. u. A. M u 1 1 e r, Der Bayrische Wald. II. Ausg. Regens-
burg 1851 (I. vyd. tamt. 1846), p. 206 a n.

2) Winebergcr L., Versuch einer geognostischen Beschreibung der
Bayerischen Waldgebirges und Neuburger Waldes. Passau 1851, p. 27.

3) Hochstetter F., Die Hóhenverháltnisse des Bohmerwaldes. Jahrb.
der k. k. Geol. Reichsanstalt, VII. 1856, p. 325.

4) Aus dem Bohmerwald. Ausserord. Beilage zu Nr. 220 der Allg. Zeitung,
8. August 1855, p. 3515.

5) Ansichten vom bayerischen Walde. Beilage zu Nr. 229 der Neuen Můn-
chener Zeitung v. 25. September 1855.

6) Sendtner O., Die Vegetations-Verháltnisse des Bayerischen Waldes.
Munchener Zeitung v. 25. September 1855.

7) J. Wenzig u. J. Krejčí, Der Bohmerwald. Prag 1860, p. 48.

8) Gůmbel W., Geognostische Beschreibung des Ostbayerischen Grenz-
gebirges. Gotha 1868.

IX,

5

výšku 2858 pař. stop podie topografického bureau bavorského. Plochu je¬
zera udává stejně jako Krejčí na 40 jiter. Poprvé tu však v textu i na mapě
nalézáme moderní petrografickou charakteristiku této končiny. Stěnu
jezerní přičítá Giimbel dislokaci. Na různý od dnešního vzhled ukazuje
charakteristika, jak ji tehdáž Gúmbel podal: „V hluboké, nepřívětivé
prohlubni kotlinné leží temné jezero, zbytek většího dříve reservoiru
vodního". Na jiném místě praví však Gúmbel: ,, Ačkoliv celkem odpovídá
chmůrnému obrazu jezera Roklanského a Lakka, přece okolí V. Javorského
jezera jest trochu přívětivější a veselejší, kdežto Malé Javorské jezero
úplně opětuje divokost a chmurnost horských jezer jižní Šumavy". Pohled
na jezero, jak je shledáváme na illustraci Gúmbel ově, zdá se příliš schema¬
tickým; na severním břehu jsou tu zakresleny značné skály, kdežto ve
skutečnosti jest tu jen několik balvanů. V novějším svém díle1) přijímá
Gúmbel výšku jezera 934 w a plochu jezera 13 ha. Na několika místech
popírá zde s důrazem vyhloubení jezera erosí ledovcovou nebo nadržením
za morénou. Pohled na jezero, známý z jeho staršího díla, nalezne se zde
hned dvakráte, na str. 416 a 451. V červnu 1871 dlel tu za účelem zoolo¬
gického výzkumu Dr. A. F r i č s assistentem H. B. Hellichem a sbě¬
ratelem J. Staskou. To co sám sdělil2) v zasedání math .-přírod . třídy
kr. české společnosti nauk 15. července 1871, jakož i poznámky v pozdější
práci H e 1 1 i c h o v é,3) jsou, pokud mi známo, dosud jediným launi-
stickým příspěvkem pro V. Javorské jezero vůbec. V září 1881 navštívil
jezero prof. Partsch, jenž vyslovil náhled, že zde není vůbec žádné
z balvanů nakupené hráze, takže celé jezero jest vyhloubeno v pevné
skále.4) Právě s tím projevil nesouhlas F. Bayberge r,5) jenž dlel zde
patrně roku následujícího. Bayberger měřil na jezeru apparatem Geist-
beckovým v jednom podélném a jednom příčném profilu celkem 23 hloubek.
Třebas nelze hloubky ty na mapě správně lokalisovati, přece jsou to první
údaje hloubkové, blížící se aspoň poněkud skutečným poměrům, neboť
Mochelovy zprávy o jezerech z r. 1877 jsou fantastické. Willkomm přejal
údaje Mochelovy r. 1878, Rivnáčův průvodce r. 1882 a dokonce ještě
G. Vogel r. 1906 docela bez kritiky. Bayberger mohl, jak udává, nahléd-
nouti ješté u hráze jezerní do studny asi 10 m hluboké, jež od té doby zmi¬
zela. Málo důvěry vzbuzuje ovšem mapa Baybergerova v měřítku 1 : 6000.
Jezero jeví se na ní jako pravidelná podélná vana, při čemž rozdíl mezi

0 Gúmbel W., Geologie von Bayern. II. Cassel 1894.

2) F r i č A., Ober die Fauna der Bóhmerwald-Seen. Sitzber. d. kgl. Ges.
d. Wissensch. g. 1871. II. Halbjahr, p. 9.

3) Heliích Bohuši., Perloočky země České (Cladocera). Archiv pro přírodov.
prozkoum. Čech, III, 4. Praha 1873, p 120 a n.

4) Partsch J., Die Gletscher der Vorzeit. Breslau 1882, p. 108.

5) Bayberger F., Geographisch-geologische Studien aus dem Bóhmer-
walde. Gotha 1886. (Ergánzungsheft zu Petermanns Geogr. Mitteilungen. Nr. 81)
p. 30, s mapou.

IX.

6

západním a východním bassinem úplně mizí. Tam, kde dnes konstatujeme
zúžení jezera, nalezneme podle Baybergera největší hloubku jezera t. 15 m.
Že snad není zakreslen pouze přední, východní bassin, to dokazuje délka
jezera, podle mapy Baybergerovy 456 m. Ostatně nelze tu mysliti na tak
rychlé vyplnění jezera za čtvrtstoletí, a i v tom případu postrádáme zase
větších hloubek ve východní části jezera. Sklon stěny udává Bayberger,
jako u jiných jezer, přehnaně na 70°. Bayberger pozoroval také — vlastně
jest to první pokus na šumavských jezerech — průhlednost vody a udává
ji na 0-4 m. Číslo to jest tak nízké, že musíme tu počítati s nějakou vadou
při pozorování, nebo s nesprávným záznamem. Publikace Baybergerova
vyvolala exkursi vídeňských odborníků (Penck, Bohm, Rodler),
kteří pozorování jeho podstatně opravili.1) Pokud se jedná o Velké Ja-
vorské jezero, tu byly především opraveny a doplněny Baybergerovy
údaje o přepážce odtokové. Stručně charakteris ováno též skalisté pozadí
jezera a střední sklon stěny odhadnut na 35 — 40° proti 70° Bayberge-
rovým. Časově následuje práce Metzgerov a.2) Podává první che¬
mickou analysu vody jezerní. Za celých 20 let potom máme pro V. Ja-
vorské jezero pouze jedinou práci, jež ovšem obsahuje nejvíce novinek
a respektuje také pozorování starší. Napsal ji P. W ag n e r,3) jenž pra¬
coval na jezeru v srpnu 1896. Wagnerova stať o V. Javorském jezeru
jest nej lepší celého jeho díla. Topografický popis doplňuje zprávy před¬
chůdců, chemie vody podána podle Metzgera, biologické poměry podle
Friče. Po prvé tu na základě jednoho podélného a 5 příčných profilů,
celkem 55 hloubek, aspoň přibližně správně charakteris ován relief dna
a rozpoznány 2 bassiny. Zvláště dlužno upozorniti na pozorování tepelných
poměrů vody, jichž tu provedl Wagner nepoměrně více, než na ostatních
jezerech šumavských, celkem 11 řad. Jsou mezi nimi také pozorování
sloupce vodního v noci, první pozorování toho druhu na jezerech šu¬
mavských. Rovněž po prvé tu měřena barva vody a lze říci i průhlednost,
neboť starší udání Baybergerovo nelze, jak již řečeno, uznati za správné.
Wagner sebral po prvé také některé zprávy o stavu sněhu a tlouštce ledu
na jezeru.

Zbývá ještě zmíniti se o V. Javorském jezeru na mapách.

Pravili jsme, že se po prvé správně objevuje na bavorské mapě kata¬
strální. Trvalo však dlouho, než se objevilo ve správné poloze a se správ¬
nými obrysy na ostatních mapách úředních. Časově nej bližší starší speci¬
ální mapa královstvím Českého4) zaznamenává V. Javorské jezero v ob-

9 Penck, Bóhm u. Rodler, Bericht uber eine gemeinsame Ex-
cursion in den Bóhmerwald. Zeitschrift der Deutschen geologischen Gesellschaft,
1887, p. 76.

J) Metzger C., Beitráge zur Kenntnis der hydrographischen Verhált-
nisse des bayrischen Waldes. Erlangen 1882, p. 8.

3) Wagner P., Die Seen des Bohmerwaldes. Leipzig 1897, p. 28 — 36.

4) Spezialkarte des Kgr. Bohmen. 1 : 144000. Bl. XXIX.

IX.

7

rysech zcela nesprávných, což se opakuje ještě na posledním jejím vydání
z r. 1876, ačkoliv v té době existoval již dotyčný list topografického atlantu
Bavorska,1) jenž po prvé správně jezero i s okolním terrainem uvádí -do
mapové literatury. Pro hladinu jezera udává nadmořskou výšku 934 m.
Nová speciální mapa Rakousko- Uherska 2) přejala tuto část mapy i s výškou
934 m, rovněž novější mapa Německé říše,3) tato však s nadmořskou výškou
jezera 932 m.

Velké Javorské jezero zapadá do východního svahu V. Javoru, vlastně
do hřbetu, jenž pokračuje k jihu od V. Javoru a jest také proti východu
otevřeno. Ať již jdeme sem s české strany od Bav. Eisensteinu, nebo
s bavorské strany od Regenhútte, spatříme hladinu jezera — jako u všech
ostatních šumavských — teprve když staneme na jeho břehu. V obou
případech vyjdeme poblíž nového pavillonu, jenž stojí nedaleko odtoku.
Hledíme-li k západu, tu zdvihá se proti nám v pozadí jezera mohutná
stěna, z největší části vegetací krytá; v jižní části této stěny nalézají se
však rozsáhlé holé skály. Geigenbach v severu a Bárenbach v jihu zařezal
se vedle této stěny v pozadí jezera tak, že tím polokruhovité vyústění stěny
k odtoku jak na severu tak na jihu jest těmito zářezy přerušeno, takže nelze
tu mluviti o nějakém typickém .cirku. Giimbel soudí, že právě zde podklad
pro dnešní vytváření předurčen byl dislokací. Od stěny k odtoku jest svah
povlovný. Jižní svah dosahuje jen v západním, t. j. zadním bassinu těsně
hladiny vodní, kdežto dále k východu, nalézá se mezi ním a jezerem plochý
pruh půdy, podle některých mohutných stromů soudě, již od delší doby
nad vodou. Potok s jižní strany spadá k jezeru se sklonem podle Wagnera
18° a to jest asi také sklon jižního svahu při odtoku. Jinak jest tomu při
břehu severním. Zde zadní bassin jest ohraničen slatinnou plochou, kdežto
ve východní části svahy spíše dosahují jezera. Sklon severního svahu
dosahuje místy podle Wagnera až 25°.

Severní břeh jest dosti jednotvárný, kdežto jižní břeh vykazuje
téměř uprostřed poloostrov dosti daleko do jezera vybíhající. Poloostrov
tento znamená hranici mezi oběma bassiny. Jest značně obklopen vegetací
vodní, jež ještě nedávno zúžovala zde jezero mnohem více než dnes. Na vý¬
chodě tohoto celkem nízkého poloostrova, krytého jehličnatými stromy
nevelkého stáří, vyvinula se malá zátoka, nyní vyplněná z největší části
vodní vegetací a skoro stejně jest tomu i na straně proti západnímu bassinu,
zde ovšem ve směru spíše na jih. Z tohoto poloostrova lze nejlíp celé jezero
přehlédnouti.

Západní bassin má jenom z malé části pevné břehy. Od zmíněného
poloostrova k jihu pokračuje tu nízký břeh lemovaný mělčinami a travna¬
tými ostrůvky, ovšem nepatrného rozsahu. Dále k jihu sklání se vykácený

9 Topographischer Atlas d. Kgr. Bayern. 1 : 50000. Bl. 20. Zwiesel (west) 1870.

2) Spezialkarte der Osterreich - Ungarischen Monarchie. 1:75.000. Z. 9.
•C. VIII. Eisenstein u. Viechtach. I. vyd. z r. 1882.

3) Kartě des Deutschen Reiches. Bl. 582 Zwiesel. 1 : 100.000. Herausg. 1891.

IX

8

svah až k samému jezeru. Na západe přechází jezero ve slať, dnes proti
hladiné ostře ohraničenou. Tato slať dělí se na část severní a jižní, mezi
nimiž volná trať vodní vede k ústí Geigenbachu. Jižní trať jest částečně
porostlá, nízkým, řídkým stromovím. Také severní slať — dosud bez stro¬
moví — jest již stejně pevná, tak že s jistou opatrností lze se zde postaviti.
My jsme tu již mohli upevniti provazce pro měření profilů a pracovati zde
s tachymetrem. Ve směru ku stěně nalézají se za slatí ještě pruhy volné,
ovšem mělké vody, jak ukazuje přiložený obraz.

Hranice slatě proti jezeru jest, jak již řečeno, ostrá a následkem
odstranění části slati, většinou přímočarná. Voda zde zasáhá jistě ještě
pod slať samu a hned vedle slati nalezneme hloubku přes 2 m. Ještě za po¬
bytu Wagnerova zaujímala slať proti jezeru mnohem větší plochu než dnes.
Na podnět kníž. hohenzollernského lesního v Bav. Eisensteinu žádal
Waldverein vládu bavorskou, aby povolila náklad na odstranění slatí z jezera.
Skutečně povolen byl značný obnos, myslím asi 60.000 M, a také sekce
Bohmerwaldvereinu B. Eisenstein, Rabenstein a Zwiesel přispěly, takže
r. 1898/99 jezero z valné části bylo vyčištěno od slatí.1) Přední část slati
byla roztrhána dynamitem, načež jednotlivé části byly silnými háky
zachyceny a odplaveny. V pozadí ovšem slatě zůstaly. Wagner2) mluví
zde o slatích mocnosti 1 m. Dnes jsou místy asi dvakráte tak mocné.

Bayberger mohl ještě konstatovati ohromnou spoustu kmenů v je¬
zeře, jehož dno jest kryto jich setlelými odpadky. Bylo mu sděleno, že
jest zde takové množství bahna, že tyč prorazí vrstvu bahna 2 m mocnou,
prve než narazí na pevný podklad.3)

Vyjdeme-li dnes od pavillonu při ústí jezera po jižním břehu jezera,,
dostaneme se zcela pohodlně do pozadí jezera, kdež můžeme projiti
dolejší částí stěny. Vidíme zde romantické partie skalní a máme na něko¬
lika místech nádherné průhledy na celé jezero a zvláště na slať v pozadí
jezera. V krásných kaskádách řítí se Geigenbach se stěny a vine se po¬
tom v rovince, jež jest reminiscencí na bývalou hladinu jezerní. Mohutné
skály, jež v pozadí vystupují, znamenají zde dřívější břehy jezera. Také
od ústí Geigenbachu lze se bez velkých obtíží dostati ke kaskádám a na
cestu probíhající stěnu javorskou. Asi od r. 1909 lze z pozadí jezera obejiti
jezero po nově zřízené pěšině i na jeho severním břehu. Ovšem jest cesta
tato ještě velmi měkká a za vlhkého počasí málo schůdná.

Zde, pod stěnou v pozadí jezera, nalézá se vlastní romantická část
břehů jezerních. Na tato místa vztahují se patrně první zmínky o divoké
přírodě zdejší, jež najdeme v díle Grueber-Múllerově a v článku Hoch-
stetterově. Grueber4) líčí nesnáze, jaké se v té době skýtaly pochůzce

x) G. V o g e 1, Des Waldes Hochburg Eisenstein. Eisenstein 1906, p. 96.

2) Wagner, Seen des Bóhmer waldes, p. 31.

3) Bayberger, Geographisch-geologische Studien aus d. Bóhmerwalde, p. 3E

4) Grueber B. u. A. M u 1 1 e r, Der Bayrische Wald. Regensburg 1851„
p. 207 a n.

IX.

9

okolo břehů jezemích; byla tu všude spousta odumřelých kmenů, po
nichž sice zdejší lidé dostanou se ku předu, nikoliv však necvičený turista.
S tím srovnává se líčení Hochstetterovo x) , jenž pokusil se podle břehů
jezerních vystoupiti na V. Javor. Práce Baybergerova1 2) jest
s to uvésti v omyl, neboť bychom podle ní mohli souditi, že stěna počíná
u samé hladiny vodní a sice se sklonem 70° (podle Penckovy citace 75°).
Ve zprávě o exkursi Penckově3) nalézáme první určitější poznámky
o stěně a tu Penck redukuje sklon stěny na 35 — 40°. Stěna spadá stupňo¬
vitě a spád jednotlivých stupňů tvoří cleavagové plochy, jichž pokračo¬
vání ve směru do stěny můžeme pozorovati v řadě otevřených komínů.
Hořejší plochy zmíněných stupňů jsou kryty troskami stupňů vyšších.
Penck také konstatoval, že jezero nesáhá až ku stěně, nýbrž že se vzdaluje
na 200 m od ní. Stopuje Geigenbach směrem nahoru měl za to, že se tu
snad vyskytne stejný zjev, s jakým se před tím shledal na stěně nad jezerem
Čertovým, totiž paralelní rýhování. Wagner4) mohl již po stezce,
kterou pořídili lesníci, dostati se snadněji na stěnu a tu konstatoval, že
očekávání Penckovo se nesplnilo. ,, Vidíme balvany ohromné jako domy,
jež se od pevné skály oddělily v kolmých rovných plochách, v poloze jen
o několik metrů nižší. Mezi nimi vznikly úzké komíny. Paralelní, horizon¬
tální směr odpovídal vždy původnímu zvrstvení. Uprostřed širokého pra¬
lesa s jeho vlhkou půdou a kapradinami zvýší člověka a hustým porostem
můžeme pozorovati vysoké stěny skalní, někdy vodou jako jemným zá¬
vojem tak povlečené, že v slunci se lesknou. Jsou to skvostné kluzné
plochy, podle nichž kolmo se hornina odlamuje. Pokračují ještě do pevné
skály. Rula zde mívá většinou strukturu plástevnou, ježto křemenné,
jemnozrné a pevné vrstvy střídají se s některými s vorovými. Touto struk¬
turou jest podmíněno vzezření mnohých kluzných ploch, u nichž tvrdé
vrstvy jeví úplně Zachovalé ohlazení, kdežto měkké ustupují jako rýhy
obloukovitě prohloubené/*

Relativní výšku stěny udával Bayberger na 400 m; při tom ovšem,
jak již řečeno, asi dvojnásobně přecenil sklon. Také Wagner schematicky
kreslil profil stěny s jezerem a sice od nej vyšší výšky 1215 m až po výtok,
při čemž stěna má sklon přijatelný. S tím se však neshoduje text Wagnerův,
v němž udává bod 1345 m jako největší absolutní, a 411 w jako relativní
výšku stěny, jejíž relativní výška jenom v největší části blíží se 400 m.

Jezer ní hráz, tedy právě končina, jež při všech šumavských jezerech
jest velmi zajímavá, byla zde již za návštěvy Wagnerovy budovami a

1 HochstetterF., Aus dem Bóhmerwald. Ausserord. Beilage zu Nr. 220
der Allg. Zeitung, 8. Aug. 1855, p. 3515.

2) Bayberger F., Geographisch-geologische Studien aus dem Bóhmer-
walde. Gotha 1886, T. 2.

3) Penck, Bohmu. Rodler, Bericht uber eine gemeinsame Excursion
in den Bóhmerwald, p. 76.

*) Wagner P., Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 29 a n.

IX.

10

cestami tak přetvořena, že Wagner pokládal vniknutí do stavby této
hráze téměř za nemožné. První, jenž odtoku V. Javorského jezera věnoval
pozornost, byl professor Partsch.1) Ovšem, vše, co uvádí, jest výrok:
,,při V. Javorském jezeru neexistuje vůbec hráz z kusového materiálu;
zde jest zcela zřejmo, že jezerní bassin jest vana vyhloubená v pevné
skále". Tomu částečně odporuje Bayberge r,2) jenž po něm přišel.

,, Odtoková část nemá sice určitě vyslovený ráz náspu nakupeného, tolik
však jest jisto, že jezerní odtok razí si cestu hrází nakupených balvanů
nej různější velikosti, jež jest pouze zbytkem bývalé větší přehrady, která
jezero kdysi uzavírala. Jest zajímavo, že se zde nalézají dobře znatelné
valouny vedle rohatých balvanů pod pískem a krupičnatou hlínou, takže
obsah celé hráze ihned upomíná na usazeniny morénové. Až do 10 m nad
dnešním stavem jezera jsou tyto stopy znatelný. Ve vyschlé studni vyko¬
pané do hráze bylo lze pozorovati tyto zajímavé usazeniny." Bayberger
pozoroval glacialní stopy pouze na jižním břehu; jsou úplně isolovány,
neboť dále po odtoku opětuje se rozpadávání se skal; směrem nahoru —
znamená zde asi od odtoku — mohl je zde pozorovati na 30 m. Orogra-
ficky nebylo lze zde nic pozoruhodného, než velkolepá hromada balvanů,
ovšem bez výrazné formy barrierové. Dalšímu pozorování překážela
pokrývka mechová.

Exkurse Pe neková3) konstatovala o hrázi jezerní: „V. Javorské
jezero leží ve východním svahu Javorského hřbetu a jest na venek obem¬
knuto náspem balvanů, zdvihajícím se asi 10 m nad hladinu, jehož ráz
živě připomíná hráz na Černém a Čertovu jezeru, ježto také zde koncentruje
se zvlášť hojný výskyt balvanů na hráz jezerní; dále i to, že zde v šedém
jílu vyskytují se pestře promíšeny a v různých velikostech rozličné druhy
hornin j. svor, amfibolová břidla, pegmatit. Potok, jenž odvádí vodu je¬
zerní, neotvírá poklad těchto balvanitých uloženin, stejně jako jest
tomu u Černého a Čertova jezera". Bayberger ovšem konstatuje, že si
prorval odtok mezi balvany, shroucenými sem s vyšší polohy. Plyne z po¬
čátku jenom se sklonem velmi mírným, pouze 5°, a teprve později s větším
spádem, asi 120.4)

Dospěj eme-li na hráz jezerní s české strany, tu máme v levo pěkný
pavillon, z nej krásnějších celé Šumavy, v právo, směrem k západu prostírá 1
se Velké Javorské jezero. Pavillon a stavby k němu náležející činí končinu
tu příjemnou a milou. Nebylo tomu vždy tak. Gúmbel, jak již uvedeno,
líčil jezero jako chmurné a také náš Krejčí 5) praví o něm: ,, Sestoupíme

Partsch J., Die Gletscher der Vorzeit. Breslau 1882, p. 108.

2) Bayberger F., Geographiseh-geologische Studien aus dem Bóhmer-
walde. Gotha 1886, p. 31.

3) Penck, Bohm u. Rodler, Bericht uber eine gemeinsame Ex-
■cursion in den Bohmerwald, p. 76.

4) Wagner P. , Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 30.

6) J. Wenzig u. J. Krejčí, Der Bohmerwald. Prag 1860, p. 48.

IX.

11

(s Javoru) do velké rokle, kde mezi vysokými skalami a vysokými kmeny
lesa zastrčeno jest Velké Javorské jezero v hluboké osamělosti' ‘. Rekne-li
se to o V. Javorském jezeru, tu to lze ještě větším právem tvrdit i snad
o všech šumavských. Záleží tu hlavně na počasí, za něhož na jezero při¬
jdeme. Kdybych měl ze šumavských jezer přiřknouti některému chmurný
ráz, tu bych to nejspíš učinil při jezeru Roklanském, kdežto V. Javorské
jezero pokládám naopak na základě zkušeností jistě většíc , než mých
předchůdců, za poměrně nej přívětivější z nich. Úsudek Gumbelův a
i Krejčího předpokládá docela jiný ráz břehů, než jak jest dnes. Tehdáž
tu byl prales. Mohutné stromy na březích jakož i spousta odumřelých
kmenů a vegetace v jezeře byly s to ospravedlniti úsudek Gumbelův.
Dnes jest tomu jinak. Z bývalého pralesa, jenž ještě v létech padesátých
stol. XIX. jezero obklopoval, zříme dnes jen ojedinělé stromy na jižním
břehu východního bassinu a v pozadí jezera. Severní břeh vykazuje již
jen mladší les, nej vyšší právě poblíž odtoku. Jehličnaté stromoví na březích
jezera jen ojediněle jest přerušeno několika břízkami a jeřábkem.

Pokud se jedná o krajinný dojem, jejž činí šumavská jezera, moje mí¬
nění o tom jest, že by bylo lze na všech těch jezerech, i těch nej smutnějších,
jako jest ku př. jezero Roklanské, vyvol ati náladu daleko vlídnější zří¬
zením lidského obydlí a úpravou břehů. Kdo však má cit pro velkolepost
neporušené přírody, ten bude se vždy přimlouvati za uchování bassinů
jezerních, tak jak dnes jsou. Chrániti je před zanášením, to jest hlavní
úloha, jež právě při V. Javorském jezeru správně byla pochopena.

Jméno jezera. Tam, kde se v listinách po prvé o jezeru mluví,1) označuje
se j ako ,,lacus qui est in monte Hatvvidť ‘ . Po dlouhou dobu bývá na mapách
zakresleno beze jména a teprvé v XIX. století setkáváme se, pokud vím,
s určitým jménem a sice po prvé asi na mapě katastrální se jménem ,,Arber
See", jež se potom opakuje na všech mapách úředních, t. v topografickém
atlantu Bavor, Kartě des Deutschen Reich es 1 : 100.000 i na Spezialkarte
der Osterr.-Ung. Monarchie 1 : 75.000. V literatuře však téměř bez výjimky
nalézáme označení ,,Grosser Arbersee" jistě spíše na rozdíl od Malého
Javorského jezera než k označení jeho velikosti. Chceme-li česky jezero
pojmenovati, tu máme volbu mezi jezerem Javorským nebo Velkým
Javorským jezerem. Název ,, Velké Javorské jezero" zdá se nám vhodnějším,
ježto jest určitější než ,, Javorské jezero".

Mapa jezera. První mapa jezera, provedená na základě skutečných
měření, jest, jak na jiném místě uvádím, bavorská mapa katastrální.2) Dr.
Wagner reprodukoval ji3) a zakreslil při tom podle odhadu stav vodní
plochy, jak se jevil za jeho zdejšího pobytu. Ostrůvek, jejž zaznamenává
poblíž odtoku při severním břehu, za našich návštěv jsem nespatřil. Teprve

h Monumenta Boica. Vol. XI. Monachii 1771, p. 145. v. v pr.

2) Bavorská mapa katastrální. N. O. XLVII. 50. K. L. Kótzting und Regen.

1842. 1 : 5000.

3) Wagner P., Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897. T. I. 1 : 5000.

IX.

12

r. 1913 jevil se tu jistý náběh k němu. Mapa, již před Wagnerem uveřejnil
Bayberger,1) sotva odpovídala tehdejším poměrům a lze míti za to, že zde
jde jen o hrubou skizzu, při níž rozdíl mezi západním a východním bassinem,
pokud se týče obrysů horizontálních, úplně zmizel. Wagner poznamenal již,
že mapy Baybergerovy naprosto nelze užiti. Podle mapy Wagnerovy ob¬
nášela by délka jezera asi 460 m, nej menší šířka asi 115 m, největší šířka
asi 155 m, ovšem ve východní části, tedy celkem rozměry, jež se zdají
pravděpodobnými. Wagnerovi tvrdil hostinský na jezeře, že ještě před
9 lety, tedy asi r. 1887 nebylo tu ještě onoho zúžení, jež dnes dělí jezera
ve 2 bassiny. Něco snad na tom jest, neboť tak příliš nesprávné obrysy
jezerní nebyly by přece ušly exkursi Penckove ; že by však skizza Bayberge-
rova byla správná, pokládám za vyloučeno. Třeba jenom nahlédnouti na
dotyčný list topografického atlantu bavorského 2) z r. 1888, abychom zde
poloostrovní onen výběžek konstatovali. Moje mapa byla pořízena s po¬
užitím tachymetm podle stavu r. 1907 a 1908 v měřítku 1 : 1000 a později
redukována na měř. 1 : 2000. Od té doby až do r. 1913, kdy jsem posléze
jezero navštívil, nenastaly zde žádné podstatné znk ny v obrysech hladiny
jezerní. Bayberger projevil náhled, že by při stejném postupu zanášení,
jako dosud, celé jezero proměnilo za 50 — 60 1. v slať. Wagner to označil
jako trochu přehnané, třebas tu připouštěl značně rychlý postup v zaná¬
šení jezera. Já sám mám za to, že bude třeba neustálé péče a úsilovné ná¬
mahy, aby jezero bylo uchováno aspoň přibližně v dnešních obrysech.
Jistě nesnadno bude zach ováti jezeru hloubku aspoň poněkud odpoví-
jící dnešní.

Nadmořská výška jezera. Asi ve stejných létech měřili nadmořskou
výšku jezera rakouský geolog Hochstetter 3) a bavorský botanik Sendtner,4)
oba barometrický. Hochstetter udává 2931-5 vid. stop = 926-6 m, Sendtner
1925 pař. stop = 910-15 m. Gumbel měřil později na hrázi jezerní 2909 pař.
stop = 925 m a sděluje také nadmořskou výšku 2858 pař. stop = 928-4 m
podle bavorského topografického bureau.5) V topografickém atlantu Ba¬
vorska 6) nalezneme výšku 934 m a tu potom i autoři t. Gumbel ve sv.
geologii Bavorska, Wagner i cizí mapy j. Spezialkarte der Oesterr.-Ungar.
Monarchie 1 : 75.000 přejímají, kdežto úřední Kartě des Deutschen Reich es

0 Bayberger F., Geographisch-geologische Studien aus dem Bohmer-
walde. Gotha 1886. T. 2. 1 : 6000.

2) Topographischer Atlas 9. Kgr. Bayern, 1 : 50.000. Bl. 50. Zwiesel (west
1870. Revid. 1888.

3) Hochstetter F., Die Hohenverháltnisse, des Bóhmerwaldes. Jahrbuch
der k. k. Geol. Reichsanstalt, VII., 1856, p. 325.

4) Sendtner O., Die Vegetations-Verháltnisse de Bayerischen Waldes.

Munchen 1860, p. 140.

6) Gumbel C. W., Geognostische Beschreibung des Ostbayerischen
Grenzgebirges. Gotha 1868, p. 66.

6) Topographischer Atlas d. Kgr Bayern. 1 : 50.000. Bl. 50. Zwiesel (west)-
1870. Revid. 1888.

IX.

13

1 : 100.000 a s ní rakousko-uherská Generalkarte von Mitteleuropa 1 : 200.000
mají výšku 932 m. Z těchto čísel, jež ovsem vznikla z materiálu velmi
různorodého a jež se liší od sebe až o 24 m, přijímám výšku topografického
bureau 934 m.

Plocha hladiny jezerní byla až dosud různě udávána. Některá z těch
čísel postrádají vůbec vážného podkladu, tak čísla v různých průvodcích
uváděná, ku př. ing. Mochel jednou 26-5, po druhé 10 ha, Rivnáč podle
Mochela 26-5, starší dílo Wenzig a a Krejčího 23 ha (40 jiter), jenom prů¬
vodce Detterův 7 ha. Z odborných prací právě v nejstarším díle, totiž
Winebergerově nalezneme přijatelné číslo 18 Tgw. = 6-233 ha, kdežto
Gúrnbel udává ve starším díle 40 Tgw. = 13-63 ha, v novějším 13 ha,
obě nekriticky. Wagner patrně omylem cituje z díla Gúmbelova číslo
48 Tgw. =17 ha. Sám počítal pro hladinu vodní jenom 4.3245 ha. To
vztahuje se ovšem na stav r. 1896 a Wagner také na mapce zakresluje
rozdíl proti bavorskému katastru, jenž udává pro jezero i se slatí 8-086 ha.
Číslo Wagnerem udávané zdá se mi i pro onu dobu trochu nízkým. Já
sám jsem zjistil podle své mapy terčovým planimetrem Coradiovým pro
celé jezero rozsah 7-020 ha, z čehož připadá na zadní (západní) bassin
3-140, na přední (východní) bassin 3-880 ha. Při tom za konvencio-
onalní hranici pokládám profil 6 VII. Ve skutečnosti leží při severním břehu
hranice mezi oběma bassiny asi spíše směrem k odtoku; nemohl jsem však
svého času vésti tento profil, tak jak bych byl chtěl, ježto se v těchto
místech nalézalo příliš mnoho vodní vegetace.

Rozdíl mezi - číslem, jež Wagner udává a jež já jsem naměřil, jest
značný a týká se především zadního bassinu, ačkoliv i při předním bassinu
mám za to, že Wagner plochu poněkud podcenil. Různost čísel lze částečně
— pravím částečně — vysvětliti tím, že od návštěvy Wagnerovy slať
v zadním bassinu a také vegetace mezi zadním a předním bassinem byla
z valné části odstraněna. Číslo námi uvedené vztahuje se pouze na hladinu
vodní. Hranice proti slati se ovšem mění podle toho, jak velká část slatě
se toho kterého roku odstraní, celkem však během posledních 6 let zů¬
stala téměř nezměněna. V střední části, na hranici mezi oběma bassiny
bylo však jezero v té době od vegetace značně vyčištěno.

Obrysy jezera za vysoké a nízké vody mění se právě u V. Javorského
jezera méně, než u kteréhokoliv jiného na Šumavě. Naše měření byla pro¬
váděna za stavu vody velmi vysokého, takže za nej vyššího stavu stoupne
voda jen asi o 40 cm, při čemž obrysy předního bassinu změní se pouze tak,
že stromy trčí přímo z vody. Hladinu vodní lze uměle jenom málo snížit,
pouze asi o 1 m, tedy daleko méně než na jiných jezerech šumavských.
Následek toho jest ovšem, že množství vody v jezeře jenom poměrně
kolísá.

Přírůstek plochy dna proti hladné jezerní podle hodnot, jež dále,
na svém místě uvádíme, jest mezi jednotlivými isobathami:

IX.

14

Ve východním

v západním

bassinu:

bassinu:

Mezi isobathou:

m2

m2

0 — 1 m . . .

. 78

66

1— 2 „ . . .

. 115

6

2— 3 „ ...

. 110

34

3 — 4 „ ...

. 73

44

4— 5 ,, ...

. 56

32

5— 6 „ ...

. 108

24

6— 7 ,, ...

. 90

19

7— 8 „ ...

. 113

29

8— 9 „ ...

. 110

14

9—10 „ . . .

. 84

4

10—11 „ . . .

. 66

—

11—12 „ . . .

. 65

—

12—13 „ . . .

. .... 45

—

13—14 „ . . .

. 35

—

14—15 „ . . .

. 22

—

15—16 ,. . . .

. 4

—

Celkem . .1174

286

Úhrnem pro celé jezero 1460 m 2

Rozměry jezera co do délky a sirky poprvé udával Sendtner před
60 lety1) a sice na délku na 1300, šířku na 1000 stop. Překvapuje zde při
pozorovateli jako byl Sendtner, značná šířka jezera, jež zdá se nasvědčo-
vati tomu, že poloostrov, jenž dnes jezero zúžuje, tehdáž neexistoval.
Potom teprve Wagner udal délku jezera ve směru od západu k vý¬
chodu na 441 m (podélná osa podle jeho mapy byla by asi 460 m), šířku —
míněna tu asi největší — na 144 m. Mnou měřená podélná osa jezera,
ovšem počítáme-li od nejzazšího bodu při ústí Geigenbachu, obnáší 530 m.
Nepočítáme-li s úzkým průchodem od ústí Geigenbachu mezi severní
a jižní slatí, tu měří nejdelší osa jezera 510 m. Značný rozdíl proti Wagne-
rovi vysvětluje se tím, že veliká plocha slatě byla zvláště v zadním bassinu
odstraněna. Pokud se jedná o šířkové rozměry jezera, tu naměřil jsem jako
nej menší Šířku tam, kde jezero na hranici mezi předním a zadním bassinem
nejvíce se zúžuje, 127 m, největší šířku v předním bassinu ok. 150, v zadním
přes 200 m. Kdyby nebylo poloostrova téměř uprostřed jižního břehu do
jezera zasahujícího, bylo by lze říci, že jezero šíří se vždy více směrem
od odtoku ku stěně.

Bathymetrie V. Javor ského jezera. První číslo pro hloubku V. Javor-
ského jezera udává M o c h e 1 2) a sice 33 m jako největší hloubku jezera,

Ú Sendtner, Ansichten v. bayerischen Walde. Beilage zu Nr. 229 der
Neuen Miinchener Zeitung v. 25. Sept. 1855.

2) M ó c h e 1, Fuhrer auf d. Bahn Pilsen-Eisenstein. Pilsen 1878, p. 118.

IX.

15

jinde1) udává 34 m, ale to jsou jistě údaje, jež se nezakládají na nějakém
měření. Cituje to potom nekriticky W i 1 1 k o m m. Ještě dr. Wagner
sděluje, že asi před 3 léty (tedy okolo r. 1893) měřili tu lesníci hloubku
33 m. Že číslo to neodpovídá skutečnosti, jest nepochybno a měření to,
ač-li vůbec bylo vykonáno, jest jistě nesprávné. Ostatně není vyloučeno,
že se tu jedná o nějakou tradici, jež byla již podkladem údaje Mochelova.
Ve velkém průvodci Detterově udává se největší hloubka na 20 m. Jako
první skutečný badatel přichází sem Bayberger. Čteme u něho,2) že
v září 1870 měřili tu lesníci ,, přesně" 60' = 17-54 m. Bayberger zdá se po-
chybovati o přesnosti jich měření — myslím, že neprávem — a staví na¬
proti tomu svoje, jež prý provedl s největší přesností týmž strojem, jímž
měřil AI. Geistbeck v bavorských Alpách. Kdo prý jednou jezero viděl,
může již z celého utváření břehů seznati, že nemá žádnou značnou hloubku.
Bayberger měřil zde od západu k východu hloubky: 2, 5, 8-5, 14, 14, 15,
15, 15, 13-5, 13-5, 11, 10, 5, 3, 2 m, od jihu k severu 4, 10, 12, 15, 15, 13, 10,
5 m. Věřím, že tyto hloubky byly dobře měřeny, mám však pochybnosti
o jich správném lokalisování, nehledě k zvláštním okrajům jezera na mapě
Baybergerově. Jsou to první určitá data o hloubkách V. Javorského je¬
zera, jež odstraňují fantastické číslo Mochelovo a jistě nejsou vzdálena
skutečnosti. Co zvláště bych z čísel a mapky Baybergerovy konstatoval, jest
poměrně značný spád dna od břehů. Na mapě Baybergerově jeví se jezero
jako jednotný bassin tvaru pravidelného obdélníku. Mám za to, že zde
Bayberger neodhadl správně vzdálenosti při dotyčném profilu. Kdo z praxe
ví, jak veliký někdy bývá rozdíl mezi odhadnutou a přesně měřenou vzdá¬
leností při plavbě na jezerech, ten pochopí, co zde míním.

Přesnější jsou již měření Wagnerov a,3) jenž zde v srpnu 1896
měřil 1 podélný a 5 příčných profilů. Podélný profil od západu k východu
vykazuje tato čísla: 3, 8-5, 9, 8, 4-5, 2, 3-5, 8*5, 13, 14-5, 15, 15, 15, 15, 15,

15, 14-5, 13, 11-5, 8-5, 5-5, 3, 1 m, a dále příčné profily a sice v profilu

nejblíže k odtoku od jihu na sever:

c. d. 4, 6, 8-5, 9-5, 3 m , l. m. 5, 14, 15, 11-5, 7 m\

e . /. 7, 10, 13, 14, 15, 15, 15, 11-5, 4-5 m\

g. h. (= profil v nej užší části jezera, asi souhlasný s naším pro¬
fil. m 6 VII 0-8, 2-5, 1-5, 0*8 m. Ze zadního bassinu sděluje Wagner příčný
profil i. k., asi souhlasný s naším 7 VIII. Vykazuje čísla: 5-5, 7, 7, 6, 5-5,
7, 8, 4, 1-5 m.

Mapa Wagnerova po prvé aspoň odpovídá schematicky skutečným
poměrům. Wagner podle své mapy vypočetl plochu pro jednotlivé stupně
hloubkové takto:

9 týž, Bohemia 1877 Nr. 191.

2) Bayberger, Geographisch-geologische Studien, p. 31., s mapou.

3) Wagner, Die Seen des Bóhmerwaldes, p. 31, s mapou.

IX.

16

mezi 0—

-2 m —

1 ha

29 a

15

m 2

2-

5 „ =

0 „

95 „

85

>9

,, 5-

-io „ =

0 „

CO

00

10

9 9

„ 10-

-15 „ =

0 „

75 „

60

9 9

15 „ =

0 „

33 „

75

y>

Já sám jsem měřil v září 1907 v předním bassinu 140 hloubek
v 7 profilech a r. 1908 v zadním tassinu ve 3 profilech 68 hloubek.

Měření byla provedena v předním bassinu většinou u vzdálenosti
od 5 ku 5, v zadním u vzdálenosti od 10 ku 10 m.

Profil 1 I.

| —4, —5, —6, -7-5, —8, —7, —5, — 2, — |

Profil 2 II.

| 1-5, 4, 5y4, 7, 8-6, 10-2, 11-3, — 12-5, 13*2, 15-5, 13-4, — 12-5,
— 10, —5-4 — 1 |

Profil 3 III.

i 2-8, 4-4, 6V4, 81/* 10V4, 12V4, 13-6, 15, 15-5, 15-7, 15-7, 15-8. 15-9,
153/4, 15-7, 15-5, 15-2, 14-7, 13V4, 12, 10-4, 7-3, 5-5, 3-2 — |

Profil 4 IV.

! 1, 23/4, 5-5, 63/4, 8-6, 10-5, ll3/4, 12-9, 133/4, 14-5, 15, 15-4, — , 15V4
15%, 16, 16, 153/4, — 153/4, — 15-5, — 13, — 9, — 5, — 33/4 — |

Profil 5 V.

1 P/4, —3, — 51/,, 8, 9-2, 10-5, 1 21/ 4, 131/,, 141/,, 14-7, 15-4, 15-5,

15-6, 15-6, 15-8, 15-7, 15 8, 15-6, 15-5, 14-9, 13 V4, 11-4, 9, 7, 43/4, 23/4, 23/4,

1, — !

Profil 5 VI.

| 1-4, 1-8, 23/4, 3-7, 4-5, 5-7, 6-6, 73/4, 8-6, 10-2, 10-9, 12, 12-4, 13, 13-6,

14-2, 14-4, 14-6, 14-5, 14-4, 14%, 133/4, 13V4, 12-4, 11-6, 93/4, 7-9, 5-6, — j

2%, — 1

Profil 6 VII.

| 1-6, 1-6, l3/4, — , l3/4, —, 23/4, — , 3-9, 3-8, — 33/4, —, 3%

— , 33/4, —, 3-8, — , 3-9, -3-1, 2, —0-7, — |

Profil 6 IX.

| — , 1-5, — , 1-5, -1-5, -1-5, -1-5, 1-5, —2, — 33/4, — 51/* — ,
6% — 7%, — 83/ 4, — 91/ 4, — , 93/4, — 10, — , 10, — , 93/4, — , 83/4, — , 5,
— , 3, — 2-5 |

Profil 6 X.

| — , P/4, — , 1V4> — , 1*5, — , P/4, — , P/4, P/4, — , 1-5, — , 2, — 3V4,
— , 5, — , 63/4, —, 8, — , 9, 9-5, — , 9-5, — , 83/4, — 63/4, — , 4-5, — , 2-5,

-, 23/4, — , 2, —, l3/4, — , 1, -, 3/4, — , — 0-5, — |

IX.

17

Profil 7 VIII.

I — , — , 1-5, — 2-5, 3-5, — , 4, 3-5, — , 3V4,

1V4, — , 1-5, — , 2, — , 3-5, — 4-5, — , 6, — , 6, — , 5»/4, — , 4l/4,
2, — 1-5, — 2, P/4> — , »/*. — I

2

— , 3,

Hustota měření hloubkových jest v předním bassinu značně větší
než v zadním. Připadá tu 140 měření na plochu 3-880 ha, tudíž jedno
měření na 227 m 2, kdežto v zadním bassinu připadá na plochu 3-140 ha
68 měření, tedy jedno měření na 460 m2. Při tom ovšem počítám profil
6 Vil plně k přednímu bassinu. Počítáme-li s jezerem jako celkem, tu
připadá jedno měření hloubkové na 337-5 m2. Největší neměřená plocha
nalézá se v jihozápadní části zadního bassinu.

Na základě těchto měření pořídil jsem přiloženou bathymetrickou
mapu j ezera, z níž pak pomocí měření planimetrických a kurveometrických
dosaženo výsledků, jež shrnuji v následující tabulce, při čemž rozlišuji
přední (východní) a zadní (západní bassin). Kdybych počítal jenom s je¬
diným bassinem, tu by morfometrické hodnoty skutečně zkreslovaly sku-.
tečný stav. Zvláště o hodnotách pro střední sklon to platí.

Přední jezero. Zadní jezero.

Vrstva

mezi iso-

bathami

Plocha hla¬
diny mezi
isobathami
v m3

Vývoj

isobath

v m

Obsah

vodní

v m3

Úhel

sklonu

Plocha hla¬
diny mezi
isobathami

V W2

Vývoj

isobath

v m

Obsah

vodní

v m3

Úhel

sklonu

0— 1

4402

845

36555

10° 39'

3820

777

33276

10° 3'

1— 2

2650

810

33032

16° 27'

7766

650

32471

4° 44'

2— 3

2458

755

30486

16° 42'

5312

635

22445

6° 30'

3— 4

3262

720

28802

11° 57'

3274

575

16128

9° 23'

4 — 5

2494

660

24747

12° 3'

3200

507

12769

8° 6'

5 — 6

2186

620

22405

15° 32'

1778

395

8921

9° 23'

6— 7

1868

595

20392

17° 15'

1616

345

7054

8° 44'

00

1

I-

1678

565

18820

18° 9'

1366

280

5458

10° 8'

OO

1

1536

535

17016

18° 42'

1370

220

4091

8° 6'

9—10

1460

510

15501

18° 49'

1704

170

2638

3° 52'

10—11

1482

485

14032

16° 42'

(218)

(60)

11 — 12

1544

465

"12515

16° 13'

12—13

1916

433

10783

12° 17'

13—14

2024

402

8801

10° 31'

14—15

2356

350

6600

7° 48'

15—16

5136

295

5312

2° 20'

16

320

125

—

—

Úhrn . .

38772

305799

31424

145278

Střední sklon

14° 44'

. 7° 57'

Rozpravy. Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 9. 2

IX.

18

Lze tudíž množství vody v celém jezeře počítati na 451.100 w®,
střední hloubku předního bassinu na 7-88 m, zadního na 4'61 m a celého
jezera na 642 m.

V číslech výše uvedených jsou zvláště nápadný hodnoty zaznamenané
pro sklon v zadním bassinu. Neobyčejnou hodnotu pro sklon ve vrstvě
0 — 1 m vysvětlujeme vertikálním useknutím slatě do hloubky větší než
1 m. Velmi nízký sklon mezi 1 — 2 m podmíněn jest zvláště plochým dnem
v jihovýchodní části zadního bassinu. Připomínám, že plochy uvnitř
isobathy 16mv předním bassinu a uvnitř isobathy 10 m v zadním bassinu
pokládám za horizontální.

K vůli úplnosti uvádím, že Wagner, ovšem na základě docela jiných
čísel, vypočítal střední hloubku jezera na 6*1 m, číslo, jež se blíží hodnotě
mnou udané.

Množství vody v jezeře obnáší podle něho 265.162-5 m3, z čehož
připadá

na isobathu 0—2 m .... 12 915 mz
„ „ 2—5 „ .... 33 547-5 „

„ „ 5—10 „ . . . . 73 575 „

„ „ 10—15 „ .... 94 500 „

„ „ 15 „ .... 50 625 „

Zde připomínám prozatím, že tato čísla Wagnerova nelze přímo
srovnávati s mými, ježto vrstvy vodní u Wagnera jsou míněny ve smyslu
docela jiném, než u mne.

Podle isobathycké mapy rozlišíme na V. J. j., jak již řečeno, zcela
určitě dva bassiny, východní a západní, oddělené od sebe v celé šířce jezera
širokým prahem. V příslušném profilu nedosahuje jezero nikde hloubky ani
4 m. Jest s podivením, že Bayberger o tomto prahu ani se nezmiňuje a
poloostrov z jihu do jezera vybíhající ani v textu ani na mapě neuvádí.
Teprve Wagner konstatoval tu dva bassiny. Ovšem i Wagner považuje
patrně zmíněný polostrov za útvar zcela nový, vzniklý snad teprvé od
návštěvy Baybergerovy, neboť praví: „Jest nápadným, že ještě Bayberger
neví ničeho o rozdělení jezera ve dvé; jeho mapa zaznamenává v místech
dnešního průplavu hloubku 14 m. Přihlížíme-li při tom ku výpovědi zdejšího
hostinského, že oba výběžky, jež dnes jezero zúžují, ještě před 9 léty
(tedy asi okolo r. 1887) neexistovaly, máme tu doklad, jak neobyčejně
rychle se jezero zanáší. “ Mám za to, že Bayberger pořídil svou mapu
příliš od oka. V té době vegetace vodní pokrývala asi hladinu tak, že sku¬
tečné obrysy pobřežní nepřišly k platnosti. Ze poloostrov jest data dosti
moderního, o tom na základě místního ohledání nepochybuji. Zde hladina
vodní utrpěla veliké ztráty.

Bassin přední, t. j. východní, tvoří zcela pravidelnou vanu. Dno
klesá tu v severu i v jihu velmi pravidelně, kdežto v západu a zvláště na
východě směrem k odtoku jest sklon povlovnější. Poměrně značně roz-

IX.

19

sáhlá jest plochá hlubinná část jezera, ohraničená isobathou 15 m, již
lze pokládati za úplně rovnou; obnáší značně přes 5000 m2. Jistý po¬
vlovnější přechod od většího sklonu pobřežního lze konstat ováti již od
isobathy 12 m a určitě od 13 m. Na 3 příčných profilech měřil jsem na
vzdálenosti 50 a více m, tudíž více jak x/3 šířky jezerní hloubku nad 15 m
celkem 26krát, hloubku plných 16 m ovšem jenom dvakráte na profilu 4 IV.

Porovnáme-li hloubkové poměry tohoto bassinu s ostatními jezery
šumavskými, tu nejvíce blíží se mu jezero Prášilské. Rozdíl není tu sice
velký (západní bassin V. J. jezera má při ploše 38.700 ní 2 vody 305.800 m3,
jezero Prášilské při ploše 37.200 m 2 274.000 m2), ukazuje však přece na
větší sklon dna než při jezeru Prášilském.

Zadní bassin (západní) hloubkovou osou svou nalézá se kolmo na
hloubkové ose předního bassinu a podélné ose celého jezera vůbec, ovšem
nikoliv tak, jak soudil svého času Wagner, za jehož návštěvy ovšem slať
právě od západu sáhala mnohem dále do jezera než dnes. Zvlášť mělká
jest severovýchodní a jihovýchodní část tohoto bassinu. Kdyby hladina
jezera byla snížena jenom o 2 m, tu místo štíhlého dnes poloostrova objevil
by se poloostrov poměrně rozsáhlý ; jiný menší by vznikl v severu. Ostatně
však, počínaje již isobathou 3 m — nehledě k jejímu uchýlení na východě —
jest sklon mezi isobathami 3 až 9 m pravidelný, ovšem i zde všude povlov¬
nější než v bassinu východním. Plochou hlubinnou končinu ohraničuje
isobatha 9 m.

Hloubku 9 m konstatoval jsem tu v profilu 6 IX na vzdálenosti
50 m čtyřikrát a hloubku 10 m dvakráte, kdežto na profilu 6 X hloubku
pře 9 m třikráte. Slať přímočárně, ovšem uměle useknutá spadá místy
ihned do hloubky 2 m. Řada drobných vegetačních ostrůvků, táhnoucích
se podle jihovýchodního břehu, ukazuje, odkud dnes hrozí jezeru zanášením
největší nebezpečí.

Jezero sbírá vodu s plochy poměrně značné, již Wagner odhadoval
na 220 ha, tudíž daleko více, než kterékoliv jiné jezero šumavské. Bývalou
lirnovou plochu pokusil se na základě dnešních poměrů orografických
odhadnouti Bayberger, a sice na 3 km2. Dnes přitéká sem hlavní množství
vody Geigenbachem se svahů Javoru do západní části jezera. Geigenbach
tvoří velmi krásné kaskády, při svém ústí má však již klidný vinutý tok.
Jiný menší přítok, zaznamenaný dosud jenom bez jména na mapce Wagne-
rově, ústí do jižní části zadního bassinu; byl mi jmenován jako Bárenbach.
Mimo to ústí ještě od severu skrovný potůček do severovýchodní části
jezera.

Vývoj břehů jezcrních obnáší 1350 m. Obvod kruhu, jenž má stejnou
plochu jako jezero, jest 942 m. Jeví se tudíž vývoj břehů vyjádřen po¬
měrem 1 : 1-43.

Největší vzdálenost od břehu obnáší v předním bassinu 75 m a sice
na isobathě 15 m, málo na východ od hloubky 14-2 m v profilu 5 VI.

IX.

2*

20

V zadním bassinu jest tato vzdálenost asi o 10 m větší a sice asi 10 m na
sever od hloubky 5 m v profilu 6 X.

Teplota vody. Wagner provedl právě na V. Javorském jezeru svá
nej lepší a nej cennější pozorování teploty. Hodlal provésti zde systematická
pozorování souvisle po několik dnů a nocí v mezerách Šestihodinných.
Prudká bouřka překazila již druhé noci pobyt na jezeru a také třetí
noci silný déšť zahnal jej z jezera, přece však jsou to první noční pozorování
teploty sloupce vodního na šumavských jezerech.

Uvádím nejprve pozorování Wagnerova v srpnu 1896 a potom svá
pozorování v září 1907.

Pozorování dra P. Wagnera r. 1896.

19. srpna

20.

srpna

21. srpna

22. srpna

vzduch

6 A p.m.

\2h a. m.
(pSlnoc)

6 &a. m-

\2h m.

ih p. m.

6*p. m-|

6&a. m,

12 h m.

6^ p.m.

12 a.m.

6 h a. m.

I2^m.

6Ap.m,

10-5°

7*5°

8-5°

18°

20-5°

]1°

12°

16°

14-75°

12-5°

13*5°

13*5°

12°

0 m

13-3

12-5

12-0

13-3

15-3

13-75

14-8

15-3

14-75

14-5

14-75

14-5

1 „

12-75

12-5

12-0

12-5

15-5

13-5

14-5

13-25

—

13-25

13-25

14-5

2 „

12-25

12-0

12-0

12-0

12-25

12-0

12-25

12-5

—

12 1

12 1

12-1

3 „

11-75

11-75

11-75

11-9

11-9

11-75

11-75

11-75

—

11-75

11-75

116

4 „

11-75

11-3

11-0

11-25

11-0

11-4

11-4

11-4

—

11-0

—

11-0

5 „

8-75

9-0

9-0

9-7

9-0

8-75

9-5

9-2

—

9-0

—

9-2

6 „

7-5

7-25

7-0

7-75

7-25

7-6

7-2

7-0

—

7-2

—

7-0

7 „

7-0

e-5

6-3

e-5

6-0

6-5

e-o

6-25

—

6-2

—

6-0

8 „

6-0

5-5

5-5

5-5

5-5

5-6

5-25

5-9

—

5-6

—

—

9 „

5-0

5-0

5-0

5-2

5-2

5-0

5-1

5-3

—

5-1

—

—

10 „

5-0

—

—

5*5

5*0

4-8

5-0

5-0

—

5-0

—

5-0

11 „

4-75

—

—

4-8

—

—

—

—

—

—

—

—

12 „

—

—

—

—

—

4-75

4-7

4-6

—

4-6

—

13 „

14 „

15 „

4-75

—

—

4-75

—

4-5

—

—

— ■

—

—

—

—

—

—

—

4-6

4-6

4-6

—

— -

| —

—

—

Celkem provedl zde Wagner za 4 dny 126 měření teploty vil sloupcích.

Postup povětrnosti v těchto dnech charakterisuje Wagner: Dne
18. srpna sucho. První slunečný den 19. srpna. Dne 20. srpna slunečno,
slabý vítr střídavého směru. O půlnoci na 21. srpna bouřka s deštěm (2-6 mm)
a silným větrem. Ráno 21. srpna až do 6 h 30 m mlha, potom mírně za¬
mračeno, dusno a bezvětří. V noci na 22. srpna silný déšť (5-7 mm), ráno
mraky v celé kotlině, od 9 h déšť (teplota vody dešťové 15°), odpoledne
zamračeno. Teplotu přítoků a odtoku měřil Wagner v poledne 20. srpna.
Teplota jižního přítoku byla 9*5, severního přítoku 10-5, odtoku 12-5.
Teplota vzduchu při tom 18°.

IX.

21

Vlastní pozorování v září 1907.

Počasí před tím i v době pozorování vesměs pěkné.

12. září 1907

13. září 1907

14. září 1907

ok. 7 h dop.

ok. 5 h 30 m odp.

mezi 12 a 1 h odp.

vzduch

9-5

14-25

17-0

0 m

13-5

16-8

17-5

1 „

13-4

14-6

15-0

2 ,,

13-2

13-7

14-0

3 „

12-7

13-0

130

4 „

12-2

12-4

12-5

5 „

110

10-5

10-5

6 „

9-0

8-6

8-9

7 „

8-1

7-5

7-5

8 „

7-6

6-7

7-0

9 „

7-1

6-3

6-5

10 „

7-0

5-9

6-0

11 „

6-5

—

—

12 „

6-0

—

—

13 „

14 „

15 ,,

5-6

—

— -

Z

_

Z

15-5- „

1

—

5-3

—

Pozorování tato byla provedena překlopným teploměrem Negretti-
Zambra ve sklopce Uleově.

Dne 14. září ve 4 h. odp. byla také provedena měření teploty
malého severního přítoku (v nevelké vzdálenosti od pavillonu), jenž vyka¬
zoval teplotu pouze 6°, kdežto odtok ve vzdálenosti asi 10 m pod splavem
měl 16-75° C.

Pozorováním teploty budeme ovšem ještě věnovati pozornost v srov¬
návací stati o jezerech šumavských.

Průhlednost vody. První pokus zjistiti průhlednost vody ve Velkém
Javorském jezeru učinil Bayberger.1) Praví, že voda jest tu prů¬
hledná sotva do 0-4 m. Bayberger neudává, jak tuto průhlednost zjistil,
ježto však při Černém jezeru mluví o tom, že sonda byla viditelná ještě
v hloubce 8 m, lze míti za to, že i na V. Javorském jezeru pozoroval stejně.
Snad tu máme co činiti s přepsáním a má snad státi 4 m. Nesprávnost

9 Bayberger F., Geographisch-geologische Studien aus dem Bóhmer-
walde, p. 31.

IX

22

zmíněného čísla 04 m vytkl již Wagner,1) jenž pozoroval zde mosazné
části teploměru ještě do hloubky 3 m a bílou desku průměru 0-30 m do
hloubky 4 1 m. O nesprávnosti čísla Baybergerova nemůže býti pochyb¬
nosti. Pozoroval jsem sice na jednotlivých jezerech šumavských veliké
proměny v průhlednosti vody, nikdy však jsem nepozoroval průhlednost
menší než 1-5 m. Na V. Javorském jezeru měřil jsem sám za krásného
slunného dne 13. září 1907 ok. 4 h. odp. průhlednost 4*5 m a za stejného
počasí 26. září 1913 rovněž 4*5 až 4*7 m, tedy v obou případech o něco,
ač nikoliv o mnoho více, než Wagner.

Barva vody. O této otázce vyslovují se autoři velmi různě. První
poznámku nalézáme u Winebergera,2) jenž mluví o čisté chladné vodě.
Ostatně jen ještě H e 1 ] i ch 3) označuje vodu jako čistou a bezbarvou.
Zde míněna jest patrně voda, jak se jeví ve sklenici: Móchelovi4)
zdálo se jezero temně modrým a stejně udává D e 1 1 e r,5) jenž (ovšem na
jiném místě) udává barvu temně zelenou. U obou autorů jedná se prostě
o dojem, jejž vyvolává odraz oblohy nebo stín stromoví jezero obkliču¬
jícího. Mluví-li G ú m b e 1 6) na jednom místě a rovněž Bayberger7)
o černé hladině jezerní, lze míti za to, že míněn jest tím dojem při pohledu
na jezero s hůry. V tom případu zdávají se ovšem jezera temnými až čer¬
nými. Ostatně však Gúmbel a již před ním Sendtner správně pochopili
skutečné zabarvení jezera. Sendtner8) první odhaduje barvu všech
šumavských jezer jako temně kávově hnědou, Gúmbel9) jako temně
hnědou a v jiném svém díle 10) ji i vysvětluje. Stejně Metzger11) ozna¬
čuje barvu jezer šumavských jako temnou následkem slatí na okraji jezer.
Skutečné pozorování barvy vody podle určité skály provedl zde přede

Ů Wagner, Die Seen des Bohmerwaldes, p. 34.

2) Wineberger L., Versuch einer geognostischen Beschreibung des
Bayerischen Waldgebirges, p. 27.

3) Heliích B., Perloočky země České (Cladocera). Arch. pro přír. pro¬
zkoumání Čech. Praha 1873, p. 120.

4) Móchel H., Der Ftihrer auf der Bahn Pilsen-Eisenstein-Deggendorf.
Pilsen 1878, p. 118 a 121.

5) Detters Illustrierter Fůhrer durch d. unteren Bayer- u. Bóhmerwald.
II. Deggendorf, 1904, p. 178.

6) tamt. p. 354.

7) Gu m b e 1 C. W., Geognostische Beschreibung des osťbayerischen Grenz-
gebirges, p. 24.

8) Sendtner O. (anonym), Ansichten vom bayerischen Walde. Beilage
zu Nr. 229 der Neuen Munchener Zeitung v. 25. Sept. 1885.

Sendtner O., Vegetationsverháltnisse des Bayerischen Waldes. Munchen
1860, p. 75.

9) Gúmbel C. W., Geognostische Beschreibung des ostbayerischen Grenz-
gebirges, p. 552.

10) tamt., p. 413 a 416.

u) Metzger C., Beitráge zur Kenntnis der hydrographischen Verháltnisse
des bayrischen Waldes, p. 7.

IX

23

mnou jedině Wag ne r1) ok. 20. srpna 1896. Označuje ji jako značně
hnědou — stejně jako jezera Čertova — a stotožňuje ji s č. 15 skály prof. Ule.
Já jsem porovnával barvu vody s toutéž skálou Uleovou 13. září 1907
Byla mezi číslem 15 a 16, spíše bližší k číslu 16. Pozorování, jež jsem pro¬
vedl tu s některými posluchači 26. září 1913, potvrzovala totéž. Pokládám
Velké Javorské jezero za temnější než jezero Čertovo a po jezeru Ro-
klanském za nej temnější ze všech šumavských.

Sníh. Data o sněhu a ledu uveřejnil dosud jenom Wagner 2) , podle
sdělení tehdejšího hostinského na jezeře.

První sníh 1893 padal

„ „ 1894 „

„ 1895 ,,

2. listopadu, poslední sníh

15. října, 5. dubna 1894

17. října, 22. května 1895

6. května 1896

největší výška
sněžné pokrývky

48 cm
137 cm
163 cm

Na jezerní stěně ležel sníh r. 1896 ještě až do 10. června. R. 1896/97
bylo ho při odtoku až 1-25 m, pod stěnou až 2 m. Na jiném místě udává
Wagner 3) pro Javor a V. Javorské jezero 2 až 3 m sněhu v zimě 1896/97
Ph tom dlužno připomenout!, že zima r. 1896/97 byla zde neobyčejně
mírná. Na ledě bývá sněhu pod jezerní stěnou více než při odtoku. Na jaře
řítí se laviny se stěny a strhují s sebou balvany ledové a kmeny; stržení
skal nebylo pozorováno.

Mne sdělil zdejší hostinský Ludwig Krieger, muž intelligentní, jenž

jeStwZde.°d L dubna 1901- že bývá sněhu někdy ještě více. Přihodí se, že
sneziva jiz okolo 1. října; sníh taje v dubnu a tání jeho potrvá někdy až
6 týdnů. J

v, Led ■ Také 0 ledu sdělil dosud pouze Wagner některá data. Ještě
počátkem března 1896 byly vyříznuty kusy ledu 73 cm tlusté a t. r. utvořil
se první led 10. listopadu, uzavřená pokrývka ledová 18. listopadu. V zimě
1896/97 byla tlouštka ledu 70 až 80 cm. Podle pozorování Ičriegerových
zamrzává jezero obyčejně uprostřed listopadu. Krieger vyprávěl mi
o různém zvrstvení ledu během zimy. Střídají se tu vrstvy ledu a sněhu
az prý do maximální tlouštky 2 y2m. Jest to samozřejmé a měl jsem
ostatně sám příležitost pozorovat! to na jezeru Čertovu. Na jaře led pů¬
sobením slunce znenáhla roztaje a jen slabé a nevelké kry proplují propustí
v hrázi. Zpravidla bývá prý jezero okolo 7. nebo 8. května ledu prosto.

Chemické složení vody jezerní známe dosud z jedné analysy, provedené
C. Metzgere m.4)

j Wagner P., Die Seen des Bóhmerwaldes, p. 34.

2 Wagner P., Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 35.

Gren7JhWagrner,JP" dÍ6 Schneeverháltnisse im bayrisch-bóhmischen

Grenzgebirge. Leopoldina. XXXIII., p. 138.

bavrischefwi/61^?" Beitráge ZUr Kenntnis der hydrogr. Verháltnisse des
ayrischen Waldes. Erlangen 1892, p. 8, 9 a 22.

XI.

24

V 1000 cmz vody:

Suchý zbytek 0-0287, kyslík potřebný k oxydaci 0-00755.

V 1000 cw3 vody jest: což odpovídá v litru:

NaCl .

. . . 0 002532

Na2S04 .

. . . 0-000772

k2so4 .

. . . 0-001788

CaS04 .

. . . 0-002420

CaC03 .

. . . 0-001936

MgC03 .

. . . 0-003068

Si02 .

. . . 0-004000

Fe203 |

. . . . 0-0009000

ai2o3(

0-017416 g

Na20

. . . . 0-002210

k2o

. . . . 0-000966

CaO

. . . . 0-002080

Mg O

. . . . 0-001080

Cl

. . . . 0-002144

so3

. . . . 0-002480

Si02

. . . . 0-004000

Fe202 \

. . . . 0-000900

ai203 \
co2

. . . . 0-002040

0-017900 g

Ve 100 dílech zbytku po odpaření bylo:

Na20
K20
CaO
Mg O
Cl

so3

Si02
Fe203 1
A1203 |
C02 váz

12- 34%
540%

11-62%

6-03%

12-26%

13- 86%
22-36%

5-02%

11-40%

100-29%

O zvířené V. J. jezera psali, pokud mi známo, dosud jenom prof.
A. Fric a Bohuslav Hellich, oba patrně na základe výzkumu, jejž zde
podnikli v červnu 1871.

Fric1 *) shrnuje výsledky své takto:

Velké jezero Javorské jest ne] bohatší (ze všech šumavských) na
Holopedie, v jichž společnosti vyskytuje se kulovitá kolonie vírníků (Cono-
chylus volvox?)

U silně porostlého břehu v zadní části jezera byly uloveny:

Lynceus hamellatus, velmi často Lynceus lacustris, L. truncatus
a L. sphaericus, oba zhusta, dále řidčeji L. ovatus, L. nanus a L. exiguus,
Sida crystallina, Cyclops minutus, C. coronatus, Polyphemus oculus,
Diaptomus castor.

i) A. Fric, Ober die Fauna der Bóhmerwaldseen. Sitzungsberichte d. H|

bohm. Ges. d. Wiss. Ig. 1871. II. Halbj., p. 8 a 9. Prag 1872.

IX.

25

Uprostřed jezera v hloubce 3 stop (Heliích udává: až do hloubky
3 ní) hojně Holopedium gibberum, Cyclops minutus, Daphnia longispina,
D. pulex, D. quadrangula.

Z infusorií byl pozorován nálevník (Stentor) jakož i nálevníci bičí-
kovití (Flagellata, Fric píše Flagelliferen) .

BohuslavHellich1) doplňuje tyto zprávy Fricovy speciálním
výzkumem perlooček. Zvířena pobřežní jest tu na druhy bohatší než v Čer¬
ném a Čertovu jezeře. Z perlooček má V. Javorské jezero nej větší množství,
a sice ze 24 v šumavských jezerech známých zde 16 a sice:

Sida elongata, Holopedium gibberum, Daphnia ventricosa, Simo-
cephalus vetulus, ScaphoJeberis mucronata, Ceriodaphnia reticulata,
Eurycephalus lamellatus, Acroperus leucocephalus, Alonopsis elongata,
Alona affinis, Alona costata, Pleuroxus excisus, Pleuroxus nanus, Pleuroxus
truncatus, Chydorus sphaericus, Polyphemus pediculus.

Hospodářský význam V. Javorského jezera jest týž, jako u ostatních
jezer šumavských — jak se o tom stala zmínka již při M. Javorském jezeru.
Na jaře užívá se vody jezerní připlavení dříví. Ježto, jak již bylo uvedeno,
lze hladinu vodní jen nepatrně, asi o 1 m snížiti, naplní se jezero zase
velmi rychle během 10 až 12 hodin. V létě trvá ovšem 4 až 5 dnů, než
jezero po vypuštění dosáhne zase nej vyššího stavu. Jest ze všech šu¬
mavských nej hoj něj i navštěvováno turisty a výletníky a sice jak s ba¬
vorské tak i s české strany. Vábí tu hlavně moderně zařízený a vedený
pavillon, jenž má telefonické spojení s Bavorským Eisensteinem i s ho¬
stincem na vrcholu Javoru, padá tu na váhu sjízdnost cest s bavorské
i české strany a ovšem především ta okolnost, že těsně podle jezera vede
hlavní cesta na nejvyšší vrchol Šumavy. Již po řadu let těší se jezero
v zimě zvláštní oblibě lýžařů. V zimě trvá hlavní saisona podle sdělení
p. L. Kriegera od vánoc do 20. ledna; lýžaři však přicházejí pravidelně
až do velikonoc. První ochranná chýše, t. zv. „Sechausel", ovšem velmi
primitivní, byla prý tu zřízena r. 1860. Později byla tu zřízena skutečná
hostinská živnost. Se stavbou dnešního moderního pavillonu bylo započato
na podzim r. 1903. Dokončena byla na jaře r. 1904 a slavnostně otevřena
17. července 1904. Umožněna byla jenom muniíicencí knížete Leopolda
z Hohenzollern-Sigmaringen.

Jezero náleží z větší, severní části knížecí rodině Hohenzollern-
Sigmaringen, v jižní části jest státním majetkem bavorským.

Při práci na Velkém Javorském jezeru byli mně radou i skutkem
nápomocni p. Lehnert, kníž. hohenzollerský nadlesní tehdáž v Bavorském
Eisensteinu, do jehož obvodu jezero náleželo, a p. L. Krieger, hostinský
na jezeře. Vzdávám oběma upřímné díky.

X)B. Heliích, Perloočky země české (Cladocera) .Archiv pro přírodo¬
vědecké prozkoumání Čech. III. díl, č. 4. Praha 1878, pag. 120 a 121.

IX.

Pohled na Velké Javorské jezero se stěny přes slať směrem k odtoku. Fot- v- švambera.

V ŠVAMBERA . Velké Javorské jezero

podle měření v září 1907 e v září 1908

Rozpravy I. třídy České Akademie roč. 1914 čís. 9.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 10.

O lakkolithových intrusích porfyrů
mezi Mníškem a Vltavou.

Sděluje Radim Kettiier v Praze.

(S geologickou mapou, přílohou profilů a 3 obr. v textu.!
Předloženo dne 16. ledna 1914.

Úvod.

V povltavském algonkiu mezi Svatojanskými proudy a ústím Be¬
rounky rozeznávám celkem dva typy vyvřelin portýro¬
vých. První prorážejí vrstvami napříč tvoříce bud p n ě (k o z o-
horský porfyr u Nového Knína) neb útvary podobné pravým
žilám a bývají doprovázeny horninami basickými („pásmo j í 1 o v-
ské“ v okolí Jílového a Svatojanských proudů), druhé vyskytují se vždy
ve tvaru dokonalých ložních žil a jeví vždy ráz hornin ky¬
selých nejsouce spiaty geneticky s vyvřelinami basickými. Oba typy
porfyrů, byť i si byly navzájem petrograficky velmi podobné, nelze při
práci v poli omylem mezi sebou zaměniti, jsouť v terrainu určitě loka-
lisovány a od sebe odděleny širokými pásmy algonkických vrstev vyvřelin
portýrových prostých.

Porfyry druhého typu zajisté nezůstanou nepovšimnuty
od těch, kteří plaví se parníkem od Zbraslavi ke Štěchovicům. Vystupují
velmi výrazně na Vltavě, zvi. proti ústí Károvského potoka, na Strnadu,
na Víru proti Vranému, u Davte a u sv. Kiliána, kdež jsou v četných lomech
dobývány a slouží jako výborný materiál při vodních stavbách. Počínaje
před 3 léty soustavné mapování v Povltaví mezi Svatojanskými prou i v
a Modřany, věnoval jsem hned od počátku pozornost vyvřelinám těmto,
jejichž pravidelný výskyt v podobě ložních žil mi býval vždy velmi ná¬
padný, zvláště při značné délce (až 7 km), na kterou žíly tyto vnikají do
mezivrstevních prostor algonkického souvrství. V lomech u Vltavy svrchu
uvedených bylo možno konstatovati u ložních žil, stejně jako u sedimentů,
jimiž žíly prostupují, zpravidla směr sv a úklon k jv, takže se zprvu zdálo,
jakoby žíly tyto byly vysílány vějířovitě z bassinu středočeské žuly a po-

Rozpravy: Roč. XXIII. Tr. II. Čís. 10. 1

X.

2

užily při intrusi mezivrstevních ploch. Tomu zdál se nasvědčovati zvláště
názor J. L. BARVÍRŮV, podle kterého všecky vyvřeliny povltavské jsou
vázány na společný bassin magmatický, z něhož pochází i spousta středo¬
české žuly.

Později však jsem nalezl v údolí potoka Bojovského v krásných
odkryvech na trati mezi Bojovém a Méchenicemi porfyry, které zde rovněž,
tvořily velmi dokonalé ložní žíly, u nichž však úklon byl obrácen k severu,
tedy na opačnou stranu od středočeské žuly. Okolnost tato vzbudila ve
mně tím více zájmu o tyto horniny a zároveň i nedůvěru k mému pů¬
vodnímu názoru, zvláště když se mi podařilo dokázati na několika místech,
že ložní žíly porfyrů byly společně s vrstvami algonkickými zvrásněny
a že tudíž musí býti o mnoho starší, než vyvřeliny ostatní, které pro¬
stupují vrstvami napříč. Konečným výsledkem mých studií bylo dokázání
fakta, že z povltavských porfyrů ony, které se vyskytují v podobě lož¬
ních žil, náleží jednomu společnému eruptivnímu
tělesu, jehož intruse musila se udáti před zvrásněním vrstev
algonkických. Podrobné odůvodnění tohoto mého tvrzení a zároveň úplné
vylíčení všech geologických zjevů vztahujících se k porfyrům našim je-
úkolem této práce. Petrograficky zpracovány budou porfyry tyto v práci
iiné.

I.

Povšechný přehled geologických poměrů studovaného území.

Nejvíce rozšířeným útvarem v krajině mezi Svatojanskými proudy,.
Mníškem a ústím Berounky jsou t. zv. břidlice příbramské,,
jichž algonkické stáří jsem dokázal ve své práci z roku 1912,1)
popsav výskyt effusivního spilitu jižně od nádraží Zbraslav-
Závist. Algonkium tvořeno jest tu hlavně z polymiktních drob a dro-
bových neb j ílovitých břidlic, jichž hlavními součástkami jsou vedle kře¬
menných zrn a sericitu zvláště ostrohranné živce, jmenovitě lamellovaré
plagioklasy; ba v některých ukázkách ustupují křemeny oproti plagio-
klasům silně do pozadí, takže sedimenty taková blíží se svou skladbou
horninám arkosovitý m.2) Jest význačno pro algonkický pruh
táhnoucí se územím naším od Říčan přes Nový Knín a Dobříš k Příbrami ,.
který budeme prostě nazývati pruhem příbramsko-říčanský m,.
že tu není typických buližníků, t. j. takových zkřemenělých
břidlic, jichž vznik dlužno položiti již do doby algonkické a které na jiných
místech v českém algonkiu bývají složkou tak význačnou. Na okolnost

^R. Kettner: O některých vyvřelinách z povltavského algonkia. Roz¬
pravy. České akademie, roč. XXI., čís. 30, Praha 1912.

2) R. Kettner: Ein Beitrag zur Kenntnis der geologischen Verháltnisse-
der Umgebung von Konigsaal (Bohmen). Verhandlungen d. k. k. geol. Reichs-
ánstalt, Wien 1914.

X.

3

tuto poukázal již FR. POŠEPNY 3) ve své práci o montanicko-geolo-
gických poměrech okolí příbramského, a já pak bych k tomu dodal i tolik,
že v celém pruhu příbramsko-říčansktm kromě jediného výskytu na Zá¬
visti není též vyvřelin spilitových, s kterými jsou bu-
ližníky v genetickém spojení.

Buližníkům podobné horniny vyskytující se v kraiině mezi Mníškem
a Vltavou (nejblíže od Prahy na př. na Čihadle u Točné a u Jiloviste) jsou
zcela jiného původu než pravé buližníky algonkické a jsou i značně mladší
než tyto. Nevynikají též tak nápadně nad okolní povrch jako buližníkové
kamýky na sev. od Prahy, v poříčí Mže a j. V práci této se k nim ještě
vrátíme a vyložíme podrobně jejich vznik.

Vrstvy algonkické jižně od spilitu závistského až ke Skochovicům
zapadají vesměs k jv a jsou tudíž, jakožto nadloží spilitu závistského,
mladší tohoto. Upozomiti sluší, že mezi Říčany a Dobříší vyskytují se
v algonkiu slepence známé až dosud z Modřanské rokle a okolí, od
Kuří u Říčan, z okolí Jesenic, z údolí potoka Libeřského, z údolí potoka
Zahořanského, od Petrova, z údolí Sázavy u Pikovic, z jižního okraje porfyru
v Davli, z poříčí Kocáby v pruhu mezi Hrasticemi, Mokrovraty, Pouštěmi
a Vojnovým mlýnem, z Větrného vrchu u Dobříše, od Lhotky, z krajiny
mezi Dubnem a Dubencem u Příbrami a j. Vrstvy tyto zdají se býti jed¬
notným význačným horizontem v algonkiu pruhu pří-
bramsko-říčanského značíce periodu krátkého vyzdvižení vrstev algon-
kických nad hladinu tehdejšího moře.

K posouzení relativního stáří vrstev, zvláště pak poměru slepenců
ke spilitu zavistskému, budiž zde uvedeno faktum zjištěné na nové silnici
ze Závisti do Točné. Zde vystupují dvě ložní žíly porfyrové. Mezi oběma
u telegrafní tyče označené číslem 68 nalézáme vrstvu algonkických sle¬
penců, která sem zasahuje jakožto pokračování slepenců Modřanské rokle
a z níž svrchnější část byla nadložním porfyrem částečně urvána a v úlom¬
cích v porfyru uzavřena. Porfyry pokračují odtud jz. směrem přes Hra¬
diště u Závisti, zachovávajíce stále týž úklon jako okolní vrstvy, t. j. k jv.,
a vycházejí v údolí vltavském při ústí Károvského potoka, tedy v nadloží
spilitu závistského. Poněvadž pak obě ložní žíly chovají se tektonicky
jako vrstvy, jest tím podán důkaz, že i pokračování slepenců Modřanské
rokle jest mladší spilitu závistského. Naopak zase případ tento ukazuje,
že ložní žíly porfyrové mezi Jilovištěm a Točnou
intrudují přibližně v niveau slepenců algonkických
(srv. str. 14) .

Z okolnosti, že algonkické slepence a tudíž i všecky vrstvy od ústí
Károvského potoka na jih až asi k Davli jsou určitě mladšími spilitu zá¬
vistského, domnívám se, že větší díl pruhu příbramsko-říčanského tvoří

3) Beitrag zur Kenntniss der montangeologischen Verháltnisse von Příbram,
Archiv fůr prakt. Geologie II., str. 624.

X.

1*

4

asi samostatný stupeň českého algonki a, mladší kom¬
plexu spilitového. Stupeň tento byl by pak charakterisován nepřítom¬
ností spilitů a buližníků a jeho basální vrstva - — horizont slepencový —
značila by pak nejen krátké přerušení sedimentace v době algonkické, ale
snad i ukončení sopečné činnosti českého algonkia. Mám ta to, že sou¬
stavný výzkum pruhu příbramsko-říčanského a zvi. krajiny rožmitálské
a blovické přinese další příspěvky k řešení tohoto problému.

V ohledu tektonickém poskytne krajina naše časem ještě mnoho
zajímavého. Zjišťovati dislokace bývá zde, jako vůbec jinde v algonkiu,
stiženo jednotvárností algonki ckých sedimentů, mezi nimiž nelze snadno
nalézti význačného horizontu. Proto ložní žíly portýrové, prostupující
v území povltavském vrstvami až na vzdálenost několika kilometrů, jsou
vítanými při řešení místních problémů tektonických, neboť mohou dobře
zastupovati význačnou vrstvu.

Hlavní vrásnění souvrství algonkického v Povltaví mezi Svato¬
janskými proudy a ústím Berounky spadající do staršího palaeozoika
nebylo právě nej intensivnějším. Vrásy nejsou příkré a jsou dosti značné
amplitudy. Drobnější svraštění břidlic jest jen lokálního rázu. K vy¬
tvoření přesmyků, jež v ostatních souvrstvích ,,pánve Barrandeovy" tak
hojně pozorujeme, zde nedošlo. Jedině hranice algonkia proti silurským
vrstvám jest podmíněna ohromným přesmykem, který probíhá od Mníšku
přes Jilovišté k Závisti a Modřanské rokli a dle něhož vytrácejí se postupně
vrstvy spodního siluru (Dd^, Ddpf a Dd2). Je-li tento přesmyk pokračo¬
váním příbramské rozsedliny jílové, jak J. KREJČÍ a K. FEISTMANTEL4)
ve svém ,,Orografickém a geotektonickém přehledu území silurského' ‘
uvádějí, nelze dnes ještě s určitostí dokázati.

K pozdějším řasím vrásnění palaeozoického náleží vytvoření zlomů
směru sz. — jv. a s. — j. Zlomy tyto, podobně jako všude v našem palaeo-
zoiku podmiňují rozčlenění krajinné jsouce základem dnešních údolí.
V území našem, jak jsem již jednou ukázal a jak ostatně již J. KREJČÍ
a K. FEISTMANTEL5) uvádějí, jsou naznačeny hlavně úhrnným tokem
Vltavy.

II.

Přehled starších údajů o porfyrech povltavských.

Pokud se týče starších údajů, ať literárních, ať v geologických mapách,
o porfyrech povltavských, dlužno předem upozorniti, že jsou většinou
velmi chatrné a mnohdy i nesprávné. Geologická mapa Povltaví našeho
vydaná říšským geologickým ústavem vídeňským, kterou sestavil r. 1859

4) Archiv pro přírodovědecký výzkum Čech, V. 5. 1890, Praha.

5) R Kettner: O terasách vltavských mezi Svatojanskými proudy
a Zbraslaví. Sborník čes. společ. zeměvědné 1913; Krejčí, Feistmantel:
Orograf. a geotektonický přehled území silurského etc.

X.

5

J. KREJČÍ, jest v území azoických břidlic velmi nepřesná. Jest pocho-
pitelno, že v době, kdy J. BARRANDE odkrýval nesmírné bohatství
palaeontologické ve vrstvách mladších pásma azoického, věnováno bylo
více pozornosti vrstvám zkameněliny chovajícím než jednotvárným sou¬
vrstvím azoickým. Celkem znázorňuje geologická mapa mezi Štěchovicemi
a Zbraslaví 5 pruhů porfyrových, z nichž však jest v celku
správným pouze nej severnější. Jsou to pruhy:

1. pruh vedený od Čihadla u Točné přes rokli mezi Dolními Břežany
a Závistí, Hradištěm ke Strnadu na 1. břehu vltavském a odtud levým
břehem vltavským proti Vranému k Jilovisti ;

2. pruh vedený j. od Skochovic přes mlýn Holubov směrem k jz.
(mnou nebyl vůbec zjištěn) ;

3. pruh přestupující Vltavu j. od Měchenic ;

4. pruh vedený z lesnatých návrší vých. od Hvozdnice k Davli , přes
ostroh ,,Sekanku(< mezi Vltavou a Sázavou k Olešku na pravém břehu
vltavském ;

5. pruh vedený z pravého břehu vltavského záp. od Hradistka přes
sv. Kiliána k Masečínu.

Jest zajímavo, s jakého stanoviska pohlížel tehdy J. KREJČÍ na
naše vyvřeliny porfyrové, jichž zřejmá konkordance s okolními břidlicemi
mu byla nápadnou. Citujeme doslovně onu partii jeho práce z r. 1862: 6)
,,Dieser Felsitporphyr bildet . . . einen máchtigen Streifen in den Příbramer
Schiefern, der im Streichen derselben (Stunde 3) liegt und genau wie die-
selben nach Súdost einfállt. An seinen beiden Enden wird dieser Streifen
důnner und geht allmálig in die Schiefer uber, eben so hat er in seinen
Mittelpartien Stellen, wo das Gestein dem Tonschiefer áhnlich wird.

Ein eigentliches Lager bildet dieser Felsitporphyr daher nicht, viel
weniger einen Gang, sondern das Vorkommen desselben wird am besten
charakterisiert, indem man denselben ais eine Zone von Tonschiefer be-
zeichnet, welche stellenweise mehr, stellenweise weniger in Felsitporphyr
úbergeht. “ — Pozorujeme tedy z uvedených řádků zajímavý doklad
neptunismu, pod jehož vlivem KREJČÍ stál.

KREJČÍMU ušel při tehdejším mapování mohutný pruh porfyrový
budující hřbet ,,Děsiny“ mezi Zahořany u Mníšku, Bojovém a Sloupem.
Mnohem bedlivěji pozoroval současně v roce 1859 vždy spolehlivý badatel
KAREL FEISTMANTEL,7) jenž uvádí zcela správně porfyry z okolí
Mníšku mezi Rymání a Davlí, zvi. od Čisovic a z kopců u Bojová, Hvozdnice
a Sloupu. FEISTMANTEL si představoval tehdy, maje na mýsli synkli-
nálu, v níž vrstvy palaeozoické jsou složeny, že porfyry v jižním křídle
jejím v okolí Mníšku, Davle atd. odpovídají porfyrům pásma křivoklátsko-

6) Bericht uber die im Jahre 1859 ausgefuhrten geologischen Aufnahmen
bei Prag und Beraun, Jahrbuch d. k. k. geol. Reichsanstalt, 1862, S. 229.

7) Die Porphyre im Silurgebirge von Mittelbóhmen ; Abhandl. d. kgl. bohm.
Gesellschaft d. Wiss., Praha 1859, str. 42.

X.

6

rokycanského a jiným porfyrům vyskytujícím se v severním křídle syn-
klinály.

V KREjCI-HELMHAC KEŘOVÉ8) mapě okolí pražského sahající
pouze něco málo za Jilovistě vyznačen jest porfyrový pruh jdoucí od Bře-
žanského údolí přes Hradisko u Závisti, na levý břeh vltavský nad cihelnou
„na Strnadu “ a k „Víru” proti Vranému. Směrem k jihu se tento pruh
na této mapě velmi silně rozšiřuje, což se s pravdou nesrovnává. Vedle
toho kreslí mapa KREJČ1-HEIMHAC KEŘOVÁ na 1. břehu vltavském
ještě užší pruh porfyrový parallelní s prvním po jeho sev. straně. Dobře
jest vyznačeno v mapě přetržení porfyrů u ústí Károvského potoka způ¬
sobené zlomem vltavským mezi Jarovem a Chuchlí. Ve vysvětlivkách
k mapě 9) pokládá se porfyr jako současně vytvořený s břidlami a drobami.
Jak jsem již jednou uvedl,10) nesrovnávají se v partii u Závisti profily
HELMHACKEROVY ani s mapou ani s textem.

V petrologických studiích BORICKÉHO u) vytčeny jsou v Povltaví
jižně od Zbraslavi pruh porfyrový jdoucí Hradištěm u Závisti a směřující
k Víru, pak porfyr u Davle. Oba označeny jsou BORICKYM jako f e 1 ši¬
ti c k é porfyrity slídnaté.

Mapka KREJČÍHO ke spisu J. KREJČÍHO a K. FEISTMANTELA:
,,Orografický a geotektonický přehled území silurského ve stř. Čechách"
jeví oproti mapám říšského ústavu značný pokrok v tom, že vynechává
správně neexistující porfyrový pruh u Skochovic a zaznamenává porfyrový
hřbet mezi Zahořany, Bojovém a Hvozdnicí ; nesprávně však dosud nechává
pruhy j. od Davle a pak, jak jsem již jednou na to poukázal,12) lemuje
nesprávně porfyrový pruh mezi Březanskou roklí a Vírem, jejž prodlužuje
příliš k jihu, po obou stranách a f a n i t e m. Hlavní zlomy vltavské
jsou v mapce KREJČÍHO vyznačeny zcela správně.

V novější době popsány byly porfyry j. od Záběhlic na Vltavě po
stránce petrografické B. MÁCHOU,13) který zde zjistil 7 žil konkordantních
s ostatními vrstvami. Vrátíme se k práci MÁCHOVÉ při petrografickém
zpracování porfyrů. Zmínky o některých porfyrech krajiny mezi Mníškem
a Vltavou nacházíme též v četných pracích BARVÍŘOVYCH.14) BARVÍŘ
uvádí poprvé výskyty porfyrů na Zlatém vršku u Mníšku, pak pod Pleší
u Nové Vsi a v Hoře u Čisovic.

8) Archiv pro přírodovědecký výzkum Čech, 1879.

9) Erláuterungen zur geol. Kartě der Umgebungen von Prag, Archiv pro
přírod, výzkum Čech, Praha 1879, str. 16.

10) R. K e 1 1 n e r: O některých vyvřelinách z povltavského algonkia, str. 3.

n) Bořický-Klvaňa: Petrologická studia portýrových hornin v Če¬
chách, Archiv pro přírodověd, výzkum Čech IV. díl. 1850.

12) R. K e 1 1 n e r: O některých vyvřelinách etc., str. 3 — 4.

13) O žilných horninách od Záběhlic a diabasu od Hodkoviěek, Věstník král.
čes. spol. nauk, Praha 1900.

14) Srv. zvi.: Geologische und bergbaugeschichtliche Notizen uber die einst
goldfuhrende Umgebung von Neu-Knín und Štěchovic in Bóhmen, Sitzungsber.

X.

III.

Rozšíření porfyrů v krajině mezi Mníškem a Vltavou.

Rozšíření porfyrů, tak jak mnou bylo na exkursích stanoveno, zná¬
zorněno jest na přiložené geologické mapě. Podotýkám, že vzdálené
a osamocené pruhy portýrové mezi Jilovištém a Točnou v mapu pojaty
již nebyly, protože nejsem dosud hotov s geologickým výzkumem partie
křemenců drabovských mezi Jilovištém a Berounkou, a pak i z důvodů
praktických. Ostatně odkazuji na přehlednou geol. mapku v měřítku
1 : 150.000 v mé práci o terasách vltavských ze Sborníku čes. společnosti
zeměvědné,15) kde pruhy porfyrové mezi Jilovištém a Točnou jsou sche¬
maticky vyznačeny.

Budiž připomenuto předem, že v žádném případu v oboru mé mapy
nebyla shledána žíla porfyrová, která by prostupovala vrstvami napříč.
Ve všech případech, kde kontakty porfyrů s břidlami a drobami byly od¬
kryty a přístupny pozorování, zjištěna byla velmi dokonalá povaha ložních
žil. Mohla by se vyskytnouti domněnka, že snad porfyry, jevící koňko r-
dantní uložení s okolními vrstvami, jsou starými příkrovy, čemuž
by mohl nasvědčovati i starý názor KREJČÍHO, že porfyry jsou téhož
stáří jako sousední azoickě vrstvy. Proti této domněnce svědčí ovšem
ta okolnost, že jak v podloží, tak i v nadloží porfyrů jsou sedimenty algon-
kické proměněny kontaktně v horniny adinolovité. Rovněž hojná pří¬
tomnost ostrohranných úlomků břidlic a drob uzavřených v porfyrech
nedaleko nadložního kontaktu zřejmě svědčí pro povahu žilnou.

Než přikročíme k podrobnému popisu výskytů porfyrových, třeba
uvésti, že v sousedství porfyrů jsou břidlice zpravidla temně zbar¬
vené a zkřemenělé, takže činí dojem algonkických b u 1 i ž n í k ú.
Okolnosti té povšiml si již BARVÍR.16) Jest nepochybno, že tyto buližní-
kové horniny jsou v genetickém vztahu k vyvřelinám porfyrovým —
v jakém, vysvitne z následujícího popisu, kde budeme si všímati výskytu
buližníkových hornin stejně jako výskytů porfyrových.

* *

*

Jdeme-li od Kocáby pod „Kolní strání “ k sz. údolím potoka Boja-
novického, nalezneme poněkud nad soutokem s potůčkem od dvorce Ma-
jorky přitékajícím ložní žílu porfyrovou a v jejím nadloží buližníkové
horniny. Směr vrstev jest zde sv.— jz., úklon mírný k jv. Žíla porfyrová
se směrem k sv. záhy vykliňuje nedosahujíc již Majorky, k jz. pak lze ji
sledovati přes planinu zvanou „Na Klínku “ do rokle pod Klínkem a po¬
tí. kgl. bóhm. Ges. d. Wiss. Praha, 1904, str. 9 — 10 a Úvahy o původu zlata
u Jílového, Archiv pro přírod, výzkum Čech, 1901.

15) 1. c. 5).

16) Geologische und bergbaugeschichtliche Notizen uber die einst goldfuhrende
Umgebung von Neu-Knín und Štěchovic; S. 9.

X.

8

sléze až ke Kocábe nad Fafkovým mlýnem, kdež asi končí. Jv. strana této
žíly jest po celé délce od Major ky až ke Kocábe nad Fafkovým mlýnem
lemována buližníkovými horninami.

Pokračujíce údolím Bojanovického potoka dále na sv. k Bojano-
vicům pozorujeme, že droby a břidlice v podloží uvedené žíly směrem
k vesnici opětně nabývají podoby buližníkových hornin, až při ústí potůčku
vtékajícího s levé strany do potoka Bojanovického u východního konce
Bojanovic shledáváme opětně porfyr. TJklon vrstev a nadložní omezující
plochy tohoto portýru je obrácen opětně k jv., pouze v údolí Bojanovického
potoka v podloží výše zmíněné žíly portýrové lze stanovití nepatrné ano¬
málie (srv. profil č. 7.). Nej bližší okolí Bojanovic spočívající na portýru
zakryto jest eluvialními a svahovými hlinami tvořícími se ze zvětralého
portýru.

Sledujíce dále k sz. prolil náš, přijdeme v hlubokém úvoze cesty
obracející se sz. od Bojanovic prudce k jz. do úzkého pruhu zvětralých
buližníkových hornin, jež lze směrem k sv. sledovati nepřetržitě až za obec
Hvoznici, které však v jihozáp. pokračování záhy se v portýru vyklínL
Sz. od tohoto pruhu buližníkových hornin následuje opětně portýr tvořící
mohutný hřbet ,,Désiny“ (srv. prof. č. 7.).

Konáme-li souběžný profil s prvním od Bratnnova podél nové silnice
do Čisovic, neshledáme více proužku buližníkových hornin (jež jsme kon¬
statovali prve sz. od Bojanovic) majíce před sebou hned od okraje lesa
u Bratřínova až téměř k výchozu silnice z lesa na sz. svahu ,,Désiny“
proti Cisovicňm samý porfyr. Pouze v zákrutech silnice, asi v místech,
kde na mapě 1 : 25.000 stojí slovo ,,Walď‘, nalezl jsem v portýru vložku
zvětralých břidlic (srv. prof. č. 8.).

Široký pruh porfyrový hřbetu Désiny můžeme sledovati nepřetržitě
od Zahořan až ke Sloupu. Sz. úpatí tohoto hřbetu, v němž jednak Mlejnský
potok od Cisovic k Bojovu tekoucí, jednak i dráha poskytla pěkných od¬
kryvů, jest tvořeno však již z břidlic a drob algonkických, a což zvláště
s důrazem zde poznamenávám, zcela normálních, v buližníko-
vité horniny nepřeměněných. Vrstvy zapadají do stráně,
tedy k jv. Ze zubovitě vykrajované hranice portýrů proti sedimentům
vychází na jevo, že porfyry tvoří zřetelně konkordantní nad-
loží jejich. Nebýti roklí stékajících k Mlejnskému potoku, byla by
hranice téměř přímočará. Proto tím více nás překvapuje, když mapujíce
ve stráních vých. od Bojová shledáváme najednou, že hranice náhle se
nepravidelně počíná ohýbati poněkud k záp. straně, takže nahoře nad
Bojovém v lesních partiích zvaných ,,v Louce(< a „Nad Loukami “ stále
ještě jsme na půdě portýrové.

Vysvětlení tohoto úkazu nám však poskytují zářezy železniční sev.
od zastávky bojovské. Jak uvedeno, jest úklon drob a břidlic na trati mezi
Čisovicemi a Bojovém k jv. (40 — 50°) ; avšak již na levém břehu Mlejnského
potoka proti bojovské zastávce měříme směr v. — z., úklon mírný (10°)

X.

9

k severu. V zářezu dráhy pak u km 23*3 pozorujeme zřetelný ohyb vrstev
ze směru sv. a úklonu k jv. do směru téměř v. — z. a úklonu velmi příkrého
(až 80°) k severu. Jsme zde právě v ose antiklinály, ve kterou
jsou vrstvy složeny. Zároveň pak můžeme pozorovati, že v nadloží drob
(normálních!) se ve svahu nad zářezem u km 233 souhlasně se sedimenty
ohýbá též mohutná žíla portýrová (srv. prof. 4. a 5.). Její spodní kontakt
odkryt jest v zářezu železničním mezi km 23’ 3 a 23-4 (blíž tomuto), horní
kontakt pak jest patrný u km 23*7. Následkem ohnutí jest portýr značně
rozpukán a jeví známky rozkladu. U km 23- 6 jeví portýr zřejmou strukturu
brekciovitou s uzavřeninami světlejšího portýru v temnějším porfyrovém
tmelu.

Dále na sever od zmíněného antiklinálního ohybu vrstev a portýru
zjistíme v zářezech železničních mezi Spáleným mlýnem a tunelem 6 ložních
žil portýrových zapadajících souhlasně s drobami příkře k s. až ssz. Droby
jeví tu krásné desko vité vrstvení a bývají na kontaktu s porfyry přemě¬
něny v horniny adinolovité.

Vraťme se nyní zpět na porfyrový hřbet Désiny. U Bratřínova jsme
zjistili jediný pruh porfyrový největší šíře; viděli jsme dále u Bojanovic,
že tento pruh se rozděluje buližníko vitými horninami ve dva pruhy užší.
Buližníkovité horniny stávají se směrem ke Hvozdnici znatelnějšími a do¬
sahují sev. od Hvozdnice již značné mocnosti (srov. prof. 4. a 5.). Jižnější
z obou pruhů portýrových jde od Bojanovic k sv. severním svahem Zižkova
vrchu (có. 400) do rokle vých. od Hvozdnice a jest na jv. straně lemován
širokým pruhem černých zkřemenělých břidlic (prof. 4.). V hvozdnické
rokli pozorujeme, že dosavadní směr vrstev a portýrové žíly (sv. — jz.)
náhle se mění ve směr s. — j., jakže vrstvy a kontaktní plocha portýrová
zapadají k východu. Portýr poblíž nadložního kontaktu nabývá vzezření
felsitického a jeví četné strukturní plochy vzniklé při ochlazení magmatu,
které souhlasně s nadložními vrstvami zapadají k vých. V dolní části
hvozdnické rokle zjistil jsem v drobách ještě jednu 1 — 2 m mocnou ložní
žílu portýrovou.

Portýr, který vychází na den ve stráních levého břehu vltavského
nad hřbitovem proti Mandátu a jižně od kostela sv. Kiliána jakož i vrstvy
algonkické v podloží i nadloží k němu se družící jeví uložení odchylné
od pruhu porfyrového mezi Bojanovicemi a hvozdnickou roklí zapadajíce
příkře do stráně (srv. prof. 3. )Z Jest patrno, že okolí hřbitova a kostela
sv. Kiliána, jakož i rokle hvozdnické jest prostoupeno zlomy, které pravdě¬
podobně souvisí s mohutným poruchovým pásmem údolí vltavského mezi
Štěchovicemi a Davlí.

Severnější a širší pruh porfyrový oddělený u Bojanovic, který, jak
jsme viděli, mezi Bojovém a Spáleným mlýnem se antiklinálně ohýbá
v okolí Sloupu najednou se prstovitě rozděluje v řadu,
ložních žil menší mocnosti, oddělených od sebe buližníko-
vitými horninami (srv. mapu a prof. č. 3 — 1.). Část žil se v polích jv. od

X.

10

Sloupu vykliňuje a vytrácí, tři však pokračují až k Davli (viz obr. 1.
v textu) a k cihelně sev. od Davle. V lomech u řeky jsou žíly tyto zřetelně
odkryty. Úklon vrstev a ložních žil měřený v úbočích vltavských nad
Davlí obnáší 30—40° a jest obrácen na jv. Avšak již v zářezu staré silnice
z Davle do Sloupu (ještě na sz. konci Davle) zjistíme úklon odchylný,
totiž 20° k východu. Dále na severu u samoty ,,U Jaborka“ pozorujeme
pak zřetelně úklon 40 — 50° na sz., jenž pokračuje nepřetržitě (nepřihlíží-
me-li k lokálnímu svraštění vrstev na silnici jižně od Měchenic) až k bo-
jovskému potoku.

Z toho jest tedy patrno, že podobně, jako jsme konstatovali v želez¬
ničním zářezu u km 23-3 u Bojová , i zde tvoří vrstvy anti-

Obr. 1. Lom porfyrový v Davli, v němž zřetelně vystupuje dokonalá konkordance
porfyrů (P.) a algonkických břidlic (Bř.). Hl. z svahové hlíny.

(Fotogr. autor.)

k 1 i n á 1 u a sice u Vltavy dosti příkrou. Povšimneme-li pak si na geolog,
mapě partie u Sloupu, poznáváme z anomálií směru a úklonu vrstev u této
vesnice, j akož i z omezení portýrových žil, že tudy právě pro¬
chází osa sedlová. Pak si též snadno vyložíme výskyt jednotli¬
vých ložních žil v údolí bojovského potoka u Spáleného mlýna jako pokra¬
čování prstovitě se rozdělivších žil u Sloupu a Davle v severním křídle
antiklinály (viz profily).

Žíly portýrové vystupující v odkryvech železničních u Spáleného
mlýna přestupují bojovský potok na levý břeh, ale jsouce jen málo mocné
záhy se vykliňují. Pouze ona žíla mezi km 23*3 a 23-7, která zřejmě souvisí

X.

11

s ústředním tělesem porfyrovým lesního hřbetu Désiny a na níž jsme
konstatovali antiklinální ohyb, rozšiřuje se značně na levém břehu bo-
jovského potoka budujíc lesnaté kopce jižně od Lišnice. Její severní hranice
lemována jest buližníkovými horninami. Ze značné šíře její lze souditi,
že úklon její, k severu obrácený, jest mírný.

Vršek s kotou 411 j. od Lišnice jest tvořen z buližníko vitých hornin
a podrobným mapováním vychází na jevo, že jest to zachovaný zbytek
původního nadloží porfyrové žíly (srv. mapu a profil č. 7., tab. II.) . Směrem
k západu se porfyrová žíla štěpí ve dvě žíly slabší, které pak od koty 400
(sev. od Čisovic) k jz. snadno můžeme v polích sledovati. Kromě uvede¬
ných žil zjistíme mapováním v mírně sklonitém svahu na levém břehu
Mlejnského potoka mezi Čisovicemi a Bojovém ještě dvě ložní žíly porfy¬
rové, podle všeho mírně k sz. zapadající.

Všecky čtyři žíly porfyrové pokračují pak od Čisovic, přestupujíce
údolí Mlejnského potoka, k jz. k Rymáni a Zahořanům a v nadloží jejich
všude opětně vystupují buližníko vé horniny. V zářezech dráhy záp. od
Čisovic mezi km 17*3 a 17*5 zjistil jsem velmi zřetelně odkryté kontaktní
plochy ložních žil, jež zapadají pod úhlem 40° k sz.

Ve vesnici Čisovicích zastihneme břidlice s úklonem 20° k jv., ale
již na západním konci obce obrací se úklon na sz. Jest tedy patrno, že
výše sledovaná osa antiklinály pokračuje právě Čiso¬
vicemi. Zřetelněji ještě vidíme to na silnici z Čisovic do Mníšku na pravém
břehu Mlejnského potoka, právě asi pod severním svahem ,,Hory“ (có 414).
Normální droby algonkické tvoří tu mírnou antiklinálu a v nadloží jejich
souhlasně ohýbá se též nej jižnější z uvedených čtyř porfyrových žil, táž,
která pokračuje vrcholem ,,Hory“ do Zahofan. Žíla tato sprostředkuje
zároveň, jak se zdá, spojení s mohutným porfyrovým tělesem Désiny ;
vysoko ve stráni na trati u km 18’ 3 zapadá již jen zcela mírně na sz. Por-
íyrový vršek záp. od čisovického nádraží představuje nám pak přímé
pokračování její. Podrobným mapováním vychází na jevo, že porfyr
tohoto vršku, jenž na mapě činí dojem spíše malého pně, než žíly (srv.
mapu), jest vlastně denudací od žíly Hory oddělená kra spočívající sou¬
hlasně na vodorovně uložených drobách, které kol dokola porfyrového
vršku na den vycházejí (srv. profil č. 8., tab. II.).

Sledované porfyrové žíly od Čisovic se v polích mezi Rymáni a Za¬
hoř any vykliňují, pouze nej jižnější přicházející od vrcholu Hory nabývá
tu značnější šíře a zahýbá se v mapě zároveň do Zahofan. Zdá se, že žíla
tato souvisí pod Zahoř any s jižním koncem nej širšího tělesa porfyrového
lesního hřbetu Désiny, které též nápadně se zahýbá k Zahořanům. Spojení
obou porfyrů bohužel však pozorovati nelze, jeť celé nej bližší okolí Zahofan
zakryto svahovými uloženinami.

Celé jižní okolí Zahofan tvořeno jest buližníkovými horninami, které
sahají až k Senešnici a budují vrchol Pleše (có. 490). Jest nepochybno,
že se vyskytují zde v nadloží porfyru v hloubi ukrytého. Porfyr zastihneme

X.

12

opět na sz. svahu Plese a na sev. od obce Nové Vsi. Na počátku nové
silnice z Nové Vsi k sanatoriu na Pleši jest odkryt zřetelně kontakt poríyru
s nadložními bupžníkovými horninami, na němž opětně můžeme konsta-
tovati dokonalou konkordanci. Směr je zde v. — z., úklon 50° k j. Porfyr
sev. od Nové Vsi je lemován koldokola buližníkovými horninami a jest
dislokován ve směru téměř s. — j. (srv. mapu a prof. č. 10.).

Obr. 2. Porfyrová ložní žíla (P.) v algonkických drobách (B.)

proti ústí Károvského potoka. (Fotogr. autoi.,

Mezi Mníškem, Malou sv. Horou a Rymání jsou vyvinuty^ normální
břidlice a droby algonkické a z úklonů jejich jest patrno, že tvoří zde
synklinálu. Sz. křídlo této synklinály jest příkře zdviženo, což zajisté
souvisí s blízkým přesmykem algonkia přes vrstvy silurské. Jz. od Mníšku
nalezneme v sev. křídle synklinály dvě ložní žíly porfyrové. Jedna jde
přes Zlatý vršek (có. 452), odkud byl porfyr již BARVÍŘEM 17) uveden

17) Výskyt zlata u Mníšku, Hornické a hutnické listy IV, 1903, str. 59 — 60.
Připomínám, že Barvířova udání úklonů vrstev v okolí Mníšku nesouhlasí s mým
pozorováním (srov. mapu).

X.

] 3

(jako ,,čok“), druhá jde hřbetem mezi Mníškem a Malou svátou Horou (mezi
silnicemi dobříšskou a kytínskou) přes kotu 482. Jest zajímavo, že i zde
všude vystupují v nad loží žil černomodré zkřemenělé břidlice, kdežto
v podloží žil vždy nalezneme normální droby a břidlice (srv. profil č. 10.).

Tím by byly vyčerpány výskyty porfyrové zjištěné mnou mezi
Mníškem a Davlí a než pozorování naše v krajině této shrneme, povšimneme
si porfyrů mezi Jilovistém a Čihadlem u Točné, které též, jak již uvedeno,
vyznačují se povahou ložních žil. Po celé délce mezi Čihadlem a Jilo-
vištěm možno sled, ováti dvě žíly, z nichž jižnější jest mocnější. Obě žíly
nedosahují již samého Jilovisté, nýbrž vykliňují se v polích vých. od vesnice.
Y lemech u řeky ,,na Víru“ proti Vranému, pak sev. od cihelny na Strnadu
jsou porfyry velmi pěkně odkryty, takže můžeme měřiti na kontaktních
plochách jejich směr sv.— jz., úklon průměrně 40° k jv. Na pravém břehu
vltavském vystupuje jižnější z obou uvedených žil u ústí Károvského
potoka, tedy značně severněji než na levém břehu. Jsou zde pruhy por¬
týrové porušeny vltavským zlomem směru s.— ., dle něhož vrstvy pra¬
vého břehu vltavského poklesly a snad též k severu byly posunuty. Dále
vystupují obě žíly na Hradišti u Závisti, v údolí břežanského potoka pod
Nic ke r 1 o v o u deskou a na silnici ze Závisti do Točné. Vedle
těchto dvou nej mocnějších žil vyskytují se v pruhu mezi Jilovištěm a
Točnou porfyrové žíly méně mocné, jež lze jen na nepatrnou délku sle¬
dovat!. Tak na př. proti ústí Károvského potoka otevřena jest v lomu asi
2 m mocná ložní žíla směrem po stráni vzhůru se vykliňující (viz obr. 2.
v textu) ; místy jest porfyr žíly této vyvinut brekciovitě. Jinou žílu uvedl
jsem V profilu jižně od výskytu spilitového na Závisti, jiné konečně vy¬
stupují u Záběhlic poblíž hlavního přesmyku algonkia přes silur. B. MÁ¬
CHA 18) uvádí v údolí vltavském na 1. břehu mezi Strnadem a Záběhli¬
cemi 7 žil.

Také v nadloží těchto porfyrů vystupují přeměněné buližníkům
podobné břidlice. Zvi. pěkně můžeme je pozorovati nad cihelnou na
Strnadu a v zářezech silnice do Točné a na Čihadle (383) (srv. profil č. 2.
v mé práci ve Verhandl. d. k. k. geol. R. A., 1. c.2)).

IV.

Souhrn části popisné (III.); způsob intruse a stáří porfyrů;
buližníkovité horniny.

Podle předchozí části popisné máme v Povltaví mezi Svatojanskými
proudy a ústím Berounky dvě oblasti rozšíření ložních žil porfyrových :
oblast mezi Mníškem a Davlí a oblast mezi Jilo¬
vištěm a Čihadlem u Točné.

18) 1. c. 13).

X.

14

V oblasti první pozorovali jsme jeden mohutný pruh pro-
fyrový (vlastně jednu mohutnou ložní žílu) budující hřbet Désiny a celou
řadu ložních žil menší mocnosti. Porfyrové ložní žíly od spojnice Zahořany-
Davle na j. zapadají většinou k jv., porfyry severně od ní zapadají na s.
až sz. Způsob prstovitého rozštěpení hlavního pruhu Děsiny v řadu menších
ložních žil, jak jsme to mapováním u Sloupu s naprostou jistotou dokázali,
antiklinální ohyb porfyrové žíly pozorovaný v zářeze železničním u km 23' 3,
spojení žíly této s hlavním pruhem Děsiny a vůbec veškeré poměry tekto¬
nické dovolují nám předpokládati, že i všecky ostatní ložní
žíly porfyrové, dnes zdánlivě samostatné, před denudací sou¬
visely s hlavní ložní žilou Děsiny vycházejíce z ní po¬
dobným způsobem, jako žíly u Sloupu. Podle toho pak nám
představují veškeré porfyry mezi Zahořany a
Davlí jedno společné těleso eruptivní. Nejmocnější ložní žíla budující
hřbet Děsiny jest jeho ústřední částí, částí sytnou, dodávající
potřebný materiál eruptivní k vytvoření žil vedlejších, méně mocných.
Naopak můžeme označiti tyto méně mocné ložní žíly jako
a p o f ý s y hlavní ložní žíly hřbetu Děsiny.

Pokud se týče porfyru ze sev. svahu Plese a od Nové Vsi a vzdá¬
lených ložních žil velmi malé mocnosti jz. od Mníšku, mám za to, že i tyto
výskyty porfyrové jsou vázány na eruptivní těleso mezi Zahořany a Davlí.
Severovýchodní omezení porfyrového tělesa sev. od Nové Vsi a Pleše
dáno jest zlomem probíhajícím od Senešnice k Mníšku; podle zlomu
toho buď hlavní těleso porfyrové mezi Zahořany a Davlí pokleslo, nebo
území mezi Mníškem a Novou Vsí bylo vyzdviženo.

Poměry zcela analogické panují v oblasti mezi Jilovištém a Točnou .
Dvě žíly největší mocnosti, které jsme sledovali od Jilovišté až na Čihadlo ,
zdají se býti ústředím, na něž jsou vázány veškeré ostatní drobné
ložní žíly. Na základě pozorování tektonických soudím, že porfyry této
druhé oblasti povltavské, třeba že jsou geologickým útvarem stejné jakosti
a snad i stejnodobým, přímo s porfyrovým tělesem Děsiny nesouvisí.
Zdá se však, že porfyry obou oblastí intrudují do při¬
bližně stejného niveau. Uvedli jsme výše v této práci výskyt
slepenců mezi oběma žilami vystupujícími na silnici do Točné ; rovněž
BARVÍŘ19) zmiňuje se o slepencích na jižním okraji porfyru u Davle
(srv. str. 3.).

Jest nyní otázka, jak máme tělesa porfyrová, jež jsme v Povltaví
zjistili, klassifikovati po stránce geologické a jak si máme představiti
způsob in truse.

Podle theorie o intrusivních tělesech eruptivní ch mohou tyto vnikati
do souvrství dvojím způsobem. Buď prorážejí vrstvami napříč tvo¬
říce tak pravé žíly, pně, batholithy a j., nebo vnikají p o

19) 1. c. 16), str. 10.

X.

15

plochách mezivrstevních jako klín, čímž vznikají ložní
žíly a lakkolithy. Již G. K. GILBERT,20) jenž první vymezil
pojem lakkolithu, uvádí, že mezi oběma útvary: ložní žilou a lakkolithem
vlastně existují jen rozdíly graduelní a že lze mezi oběma zjistiti nej různější
přechody. Ložní žíla zachovává zpravidla ve všech svých částech při¬
bližně touž mocnost, naopak u lakkolithu ubývá mocnosti od centra
směrem ku krajům velmi rychle, takže lakkolith má spíše podobu tělesa
čočko vitého než desko vitého. Jako podstatný znak lakkolithu bývá
uváděno zpravidla klenbovité vyzdvižení nadložních vrstev.

Pohledneme-li nyní na příčné profily vedené tělesem porfyrovým
mezi Davli a Zakovaný , shledáváme, že nad ústřední částí jeho nejsou
vrstvy klenbovitě vyzdviženy ani jinak deformovány. Zároveň jest patrno,
že plošné rozměry tělesa ft. j. ve směru po vrstvách) značně převládají
nad rozměry příčnými (mocností). Úhrnná mocnost části ústřední (Děsiny),
obnášející něco přes 500 m, jest příliš nepatrná proti značné ploše, již
těleso v souvrství algonkickém zaujímá, než abychom směli těleso označiti
jako lakkolith. Naopak však rozštěpení ústřední části tělesa v řadu ložních
žil spíše jest znakem lakkolithu než obyčejné ložní žíly. Profily naše velmi
připomínají známý obraz t. zv. lakkolithu typu cedrového
zjištěného v pohoří La Plata v Koloradu 21) \ i u tohoto tělesa eruptivního
vycházejí na všecky strany po prostorách mezivrstevních četné apofýsy
ve formě ložních žil.

Z úvahy této jde na jevo, že porfyrové těleso mezi Za¬
kovaný a Davlí nejlépe lze geologicky označiti jakožto přechodní
tvar mezi ložní žilou a lakkolithem t. zv. cedro¬
vého typu (Zederbaumtypus) .

K vytvoření eruptivního tělesa takové podoby, aby všude zacho¬
vávalo dokonalou konkordanci k okolním vrstvám, jest třeba zvláštních
podmínek. Předně musí vrstvy, do kterých má magma vnikncuti ve
formě ložní žíly nebo lakkolithu, býti prosty příčných puklin, tak aby
plochy mezivrstevní byly plochami nej menšího odporu. Aby této pod¬
mínce bylo vyhověno, jedná se zpravidla u intrusí podoby ložních žil neb
lakkolithu o vrstvy, které nebyly dosud vrásněním postiženy a tudíž
jsou uloženy zcela vodorovně. Druhá podmínka vzniku ložních žil jest
snadná pohyblivost intruduj ícího magmatu.

Tím dostáváme se zároveň k otázce o stáří povltavských ložních
žil porfyrových.

I v našem případě jest nutno předpokládati, že porfyry vnikly do
souvrství algonkického ještě před hlavním zvrásněním va-

2°) Report ón the Geology of the Henry Mountains, Washington 1877; při
následujících úvahách užito bylo zvi. výborného spisu F. v. Wolffova: Der
Vulkanismus I. Bd., Algemeiner Teil, str. 214 — 236 Stuttgart 1913.

21) Whitman Cross: The Laccolithic Mountain Groups of Colorado,
Utah and Arizona, 14 Ann. Rep. U. S. Geol. Survey II. 1894, S. 157 _ 241.

X.

16

risským. Jest nemyslitelno při mnohonásobném rozpukání algonkických
vrstev, jež všude v Povltaví, a zvláště v poříčí Kocáby tak výrazně vy¬
niká, aby magma portýrů do vrstev intrudující raději si volilo mezery
mezivrstevní než příčné diaklasy 22) menší odpor mu stavící. Diaklasy
tyto musí býti tudíž mladší než intruse portýrů, což ostatně možno přímým
pozorováním v přírodě dokázati. Ložní žíly portýrové jsou namnoze pro
stoupeny příčnými puklinami v témž směru, jako okolní vrstvy (zvi.
dobře jest to patrno v údolí potoka tekoucího od Bojanovic do Kocáby).
Druhý důkaz o větším stáří portýrů jest zřetelné zvrásnění porfyrového
lakkolithového tělesa, na něž jsme v části III. této práce vícekrát upo
zornili.

Podle předchozích vývodů představuji si iritrusi portýrů způsobem,
jak jest na schematickém obrazci č. 3. znázorněno. Přívodný kanál arci
není v přírodě nikde učiněn přístupným pozorování, jest však nutno ho

Obr. 3. Ideální průřez porfyrovým lakkolithovým tělesem před jeho zvrásněním.

z theoretických d.ůvodů předpokládati. Jak bylo lakkolithové těleso por¬
týrové při zvrásnění deformováno, vysvítá zřetelně z profilů 1 — 10 na
tab. II., ostatně podrobnosti o tom budou ještě ke konci této práce vy¬
loženy.

Vedle portýrů jest algonkické souvrství mezi Mníškem a Davlí pro¬
stoupeno místy žilami diabasovými. Diabasy tyto prorážejí vrstvami
napříč, zpravidla téměř svisle a volí si obyčejně diaklasy směru ssv. — jjz.
Největší počet diabasových žil v sousedství portýrů najdeme v okolí Davle
a právě zde na porfyrovém vršku (có. 262) nad Davlí podařilo se mi do¬
kázati, že diabas portýrem prostupuje (srv. profil č. 1. a mapu).

Jsou tedy ložní žíly portýrové v krajině mezi Svato¬
janskými proudy a Zbraslaví vedle spilitu závistského, jenž jest stáří algon-
kického, nejstaršími eruptivními horninami. Podle

22) Prv. R. Kettner: O příčné břidličnatosti v oboru vrstev praekambri-
ckých mezi Štěchovicemi a Novým Knínem. Sborník klubu přírodovědeckého v Praze
r. 1911.

X

17

prací J. L. BARVÍ ROVÝCH jsou veškeré žilné vyvřeliny povltavské
a tudíž i naše ložní žíly portýrové (BARVÍ Ř cituje na pí\ MÁCHOU po¬
psané porfyry od Záběhlic) vázány na společný magmatický
bassin středočeské žuly, z něhož část žil odštěpila se před,
část až po vystoupení středočeské žuly. Vystoupení hlavního magmatu
žuly lze klásti podle BARVÍ ŘE 23) do doby největších převratů tekto¬
nických v oboru komplexu etáží B a r r a n d e-ových, tedy pravdě¬
podobně do pozdější doby devonské.

Vrásnění palaeozoické (varisské) započalo v Čechách velmi záhy,
pravděpodobně již počátkem svrchního devonu (svrchní devon v Čechách
schází) a lze rozeznati u něho několik fasí. Již J. KREJČÍ a K. FEIST-
MANTEL24) rozlišovali tři systémy v různých dobách vzniklých roz¬
sedlin a zlomů v českém palaeozoiku a novější dobou zvi. podrobným
výzkumem K. HINTERLECHNEROWM25) v Českomoravské vysočině
ještě více fasí vrásnění palaeozoického bylo seznáno. K jedné z těchto
fasí náleží též vystoupení žulových massivů. Jednotlivé fase vrásnění
palaeozoického v Českomoravské vysočině zdají se býti analogickými
oněm, jež lze zjistiti ve středočeském palaeozoiku nepřeměněném a proto
soudím, že výsledků HINTERLECHNEROWCH lze dobře i použiti pro
území naše. Protože přesnější známost stáří středočeské žuly a zvláště
poměru jejího k celé stavbě okolních území má nemalou důležitost při
řešení nejednoho geol. problému, zvi. v Povltaví, vyžádal jsem si od pana
Dra K. HINTERLECHNERA mínění jeho o stáří žulových massivů
středočeského a Českomoravské vysočiny a poměru jejich ke stavbě Česko¬
moravské vysočiny. Laskavostí jeho dostalo se mi asi tohoto vysvětlení:

Mezi žulovými massivy středočeským a Českomoravské vysočiny
není vlastně podstatných rozdílů. Granity Českomoravské vysočiny po¬
stiženy jsou poruchovými pásmy (Quetschzonen) a zlomy, které stojí
přibližně kolmo na tangentách vedených k vrstevním obloukům a sig-
moidám, jež HINTERLECHNER 25) dokázal. Jsou tudíž starší než tyto
zlomy. Všecky tyto zlomy jsou mladší než oblouky. Naopak však musí
býti granity mladší než vznik oblouků a sigmoid ; kdyby byly starší, musily
by nésti stopy horotvorného tlaku. To však dosud dokázáno nebylo.
Pravděpodobně vznikem horizontálních vrás (oblouků a sigmoid) bylo
vystoupení žulových massivů uspíšeno (ne však přímo způsobeno).

Z uvedeného obsahu dopisu p. Dra HINTERLECHNERA a vůbec
na základě jeho prací soudím, že vystoupení žulových massivů jest vlastně
zakončením nej mohutnějších fenoménů tlakových (vlastního vrásnění) ;

23) Úvahy o původu zlata u Jílového, Archiv pro přírod, výzkum Čech,

1901, str. 57 a 98.

24) Orografický a geo tektonický přehled etc.

26) Geologische Mitteilungen uber ostbóhmische Graphite und ihre strati-
graphische Bedeutung fur einen Teil des kristallinen Territoriums der bóhmischen
Masse; Verhandl. d. k. k. geol. Reichsanstalt, 1911, S. 365 — 380.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 10.

X.

2

18

zlomy příčné jsou pak zjevy, které vrásnění bezprostředně následovaly
a vyrovnávaly nestejná napjetí v nově vzniklém útvaru tektonickém
dosud panující.

Pokud mi jest známo z mého pracovního území, panují v Povltaví
u Svatojanských proudů poměry zcela podobné. Kdežto ještě pásmo
jílovské, t. j. komplex vyvřelin, jenž podle BARVÍ RE 26) odštěpil
se z původního mag matického bassinu z největší části nedlouho před
vystoupením žuly, nese zřetelné stopy mol utného tlaku horotvorného
jsouc namnoze zbřidličnatěno ve směru ssv. — jjz., neshledal jsem dosud
známek tlakových na žule.

Vraťme se nyní k ložním žilám portýrovým. Porfyry ty prodělaly
veškeré tase vrásnění varisského : byly zvrásněny, byly prostoupeny
diaklasami směru ssv. — jjz. (odpovídajícími tlaku, jímž jest zbřidličnatěno
, .pásmo jílovské' ') a posléze dislokovány. Do které epochy spadá tudíž
jejich intruse? Možnosti jsou dvě. Bud se tu jedná o eruptivní tělesa
samostatná, na bassin středočeské žuly nepoutaná, a pak jsou to vyvřeliny
velmi staré, jichž intrusi lze v té nesmírně dlouhé periodě od usazení vrstev
algonkických až do jich zvrásnění zajisté velmi těžko vymeziti. Druhá
možnost — a k té bych se nejspíše klonil — jest, že porfyry povltavské
jsou, jak BARVÍ R soudí, vázány na společný magmatický bassin středo¬
české žuly. V tom případě nutno položití intrusi portýrů do konce střed¬
ního devonu, na nejvýše na počátek svrchního devonu. Pak by byly
ložní žíly portýrové v Povltaví snad současnými útvary s některými ložními
žilami diabasovými v pásmu Eex českého siluru. Několikeré erupce roz¬
ličných žilných vyvřelin, které v různých dobách před vystoupením žuly
středočeské, i po ní v okolí Jílového , Nového Knína a j. se odehrávaly,
jsou svědectvím nesmírně dlouhého trvání činnosti magmatického bassinu
středočeské žuly. Z toho důvodu lze pohlížeti na povltavské ložní žíly
portýrové jako na předvoj rojů vyvřelin, které v době nej¬
větších tektonických poruch vystupovaly a zároveň snad jako na p o-
č á t e k nebo úvod celého ohromného a dlouho trvajícího horotvorného
a erupčního processu palaeozoického.

* *

*

V části této třeba vzpomenouti ještě černých, buližníkům
podobných zkřemenělých břidlic v sousedství portýrů
se vyskytujících, jež jsme v části popisné všude uváděli, a vysvětliti jejich
vznik i poměr k portýrům.

Výskyt jejich jest všude nápadně omezen pouze na nadloží
portýrových žil, z mapy pak jest patrno, že mocnost jejich jest
odvislá od mocnosti žil. Výslovně podotýkám, že v podloží žil

26) O výskytu zlata na některých důležitějších naleziskách českých se stano¬
viska petro graf icko-geologického, Věstník král. čes. spol. náuk, 1896, str. 22.

X.

19

všude vyskytují se droby a břidlice algonkické v buližníkovité
horniny nepřeměněné. Dokladů pro to bylo uvedeno v části
popisné s dostatek. Objevuj í-li se buližníkovité horniny též v podloží
nějaké žíly, pak nejsou vázány na tuto, nýbrž tvoří nadloží žíly jiné.
Odchylek od tohoto konstatovaného fakta jsem nikde neshledal a výskyt
buližníkových hornin, na čerstvě zoraných polích vždy zřetelně patrných,
byl mi vždy dobrým vodítkem při mapování porfyrů.

O obyčejnou kontaktní přeměnu vrstev se tu nejedná. Pro¬
dukty kontaktní přeměny jsou horniny adinolovité, šedé barvy
a rohovcovitého vzhledu, které všude, jak na místech, kde jsou kontakty
porfyrových žil přístupny, bylo lze dokázati, v úzkých proužcích lemují
nadloží i podloží porfyrů. Buližníkové horniny však, jak jsme viděli,
omezují se výhradně na nadloží a tvoří mnohdy pruhy velmi mocné.

Soudím tudíž na základě učiněných pozorování a z kyselé povahy
porfyrů, že zkřemenělé černé břidlice v nadloží porfyrových žil jsou pro¬
dukty jakési přeměny pneumatolytické. V době tuhnutí do
prostor mezivrstevních vniklého magmatu vycházely z tohoto do nadloží
horké roztoky přinášející kyselinu křemičitou, jíž sedimenty byly im-
praegnovány.

V.

Podrobnosti tektonické a morfologické odvozené z učiněných

pozorování.

Z vrásněné lakkolithové těleso porfyrové mezi Zahořany a Davlí jeví
se na geologické mapě jako e 1 1 i p s a. Vrstvy v nadloží jeho nezachová¬
vají koldokola pravidelný směr sv. — jz., nýbrž ukazují zřetelné odchylky.
Obvyklý směr sv. — jz. zachován jest na sz. od tělesa pouze mezi Rymání
a Lisnicí (s úklonem k sz.), na jv. od tělesa pak mezi Bratřínovem a Hvozd-
nicí (s převládajícím úklonem k jv.). Na sev. od Bojová však jsme pozo¬
rovali směr vsv. — zjz. až čistě v. — z., úklon příkrý (až 80°) k severu; též
u Zahořan zdá se, že směr vrstevní se točí. V Davli, na staré silnici do
Sloupu byl zjištěn směr s. — j., úklon 20° k východu.

Podle měření těchto nečiní tudíž lakkolithové těleso mezi Zahořany
a Davlí obyčejnou antiklinálu, nýbrž spíše klenbu ve směru sv. — jz.
ellipticky protaženou.27) Výklad takového tektonického útvaru jest velmi
jednoduchý. Porovnáváme-li mezi sebou jednotlivé příčné profily vedené
porfyrovým tělesem, vidíme, že antiklinála, již nám profily představují,
není všude stejně příkrá. Kde jest profil veden napříč ústřední žilou
Desiny, jest antiklinála mírnější, naopak v místech, kde hlavní žíla se
rozštěpuje v řadu žil menší mocnosti, jest antiklinála příkřejší. Nej-

27) Útvar takový bývá označován zpravidla jako „brachy antikli-
n á 1 a"; srv. O. Wilckens: Grundzůge der tektonischen Geologie, Jena 1912,
str. 24.

2*

X.

20

příkřejší antiklinální ohyb vrstev lze pozorovati konečně na levém břehu
vltavském mezi Davlí a Měchenicemi. Jest tedy klenba (brach y-
antiklinála) mezi Zahořany a Davlí útvarem podmíněným
nestejnou vrásnitelností hornin. Ústřední 500 m mocná
ložní žíla portýrová stavěla vrásnícímu tlaku značný odpor — tudíž se
vrásnění na ní zaráželo, méně mocné ložní žíly byly podajnějšími a byly
proto zvrásněny intensivněji.

Konstatováním klenbové stavby krajiny mezi Zahořany a Davlí
jest podán klíč k vysvětlení značně odchylných poměrů úložných vrstev
na pravém břehu vltavském u Březové, Oleska, ústí Zahořanského potoka
a Sázavy, a zároveň i k objasnění povahy zlomu vltavského mezi Davlí
a Méchemcemi. Kdežto na levém břehu vltavském sev. od Sloupu a Davle
převládá směr vsv. — zjz. a úklon k s., jižně od Davle pak směr čistě sv. — jz.,
úklon k j v., jest směr vrstev na pravém břehu vltavském u Sázavy ssv. — jjz.,
u ústí Zahořanského potoka skoro s. — j., a u Oleska a Březové dokonce
ssz. — jjv. ba i sz. — jv. Úklony obráceny jsou většinou na východní stranu.
Teprve, směrem k Okrouhlu a Libři anomálie se vyrovnávají a dostavuje
se opětně pravidelný směr ssv. — jjz. až sv. — jz. Z uvedených měření
vrstev na pravém břehu jest vidno, že směr vrstevní se tu točí. Po mém
soudu jedná se tu o pokračování klenby (brach yantiklinály)
konstatované na levém břehu. Příkřejší přechod vrstev na levém břehu
vltavském ze směru sv. — jz. a úklonu k jv. ve směr vsv. — zjz. a úklon
k ssz., než přechod vrstev pravého břehu ze směru ssv.' — jjz. do směru
sz.— jv. lze vyložiti tím, přijímáme-li, že vrstvy levého břehu jsou spod¬
nější (t. j. vnitřnější) částí klenby (brach yantiklinály) než vrstvy pra¬
vého břehu, čili že vrstvy levého břehu jsou starší než vrstvy pravého
břehu. Jinými slovy vznikl zlom vltavský mezi Davlí a Mě¬
chenicemi poklesem vrstev pravého břehu.

Dalo by se očekávati, že během vývoje elliptické klenby (brach y-
antiklinály) , ve kterou lakkolithové těleso portýrové i obalující je vrstvy
algonkické byly zvrásněny, vznikly příčné zlomy. Takových jsem
však v území mezi Zahořany a Davlí, přes to, že jsem po nich bedlivě
pátral, neshledal nikde. Veškeré zlomy, jež se mi podařilo konstat ováti, jsou
vůči elliptické klenbě portýrové spíše zlomy tangentiálními, pe-
riferickými. Jest to na př. zlom probíhající od Mníšku k Senesnici,
dále zlom sv. — jz. směru u ústí bojovského potoka a zvi. zlomy vltavské.
Horizontálního posunu vrstevního mezi Mníškem a Čisovicemi podél údolí
Mlejnského potoka, jak ho BARVÍŘ28) uvádí, jsem zjistiti nemohl.

Údolí Mlejnského ( Bojovského ) potoka, přes to, že jednotlivé části
jeho při pohledu na topografickou mapu zdály by se tomu nasvědčovati,
nemohu zváti údolím tektonickým. Jedině jeho nej dolejší část mezi
mlýnem ,,v Luhu“ a ústím do Vltavy sleduje zlom směru sv. — jz., zřejmý

28) Výskyt zlata u Mníšku, Hornické a hutnické listy IV, 1903.

X.

21

z nestejného uložení vrstev po obou březích. Na 1. břehu zapadají vrstvy
mírně k sv., na pravém příkře k ssz. Příčný průlom Bojovského potoka
porfyrovými žilami mezi bojovskou zastávkou a Spáleným mlýnem zdá
se býti podmíněn epigenesí, pro niž máme důvody v nedalekých
uloženinách miocenních u Sloupu a Klínce .29) Uloženiny tyto
musily před zaříznutím dnešních údolí býti v krajině naší daleko rozší¬
řenějšími než dnes, jak svědčí porůznu roztroušené valounky křemenné
v okolí Lisnice a j. Též vých. od Bojová v lesích pod Babkou (có. 397)
nalezl jsem ve vývratu lesním křemenný štěrk totožný s nánosy klineckými.

Třeba vzpomenouti ještě jedné okolnosti, která by snad mohla býti
uvedena jako námitka proti našemu pojímání porfyrů jako jednoho lakko-
lithového tělesa. Jest nápadno při pohledu na geologickou mapu, že
rozštěpení ústřední ložní žíly Děsiny děje se pouze jednostranně, totiž
k sz. Na základě pozorování mých v údolí Kocáby, vykonaných před
početím soustavného výzkumu ložních žil poríyrových, domníval jsem se,
že souvrství algonkické mezi žulou slapskou a pásmem jílovským a por¬
týrovým pruhem Děsiny tvoří jednoduchou synklinálu. Dalo
se tudíž očekávati, že bude nalezeno pokračování ložních žil poríyrových
též v kopcovité krajině mezi Kocábou a slapskou žulou a pásmem jílovským.
Přes to, že území toto jest mi do největších podrobností známo, nikde
neshledal jsem tu porfyrů.

Nechceme-li tudíž předpokládati u našeho lakkolithového tělesa
hned od počátku podobu assymmetrickou (tedy útvar po¬
dobný ,,h e m i 1 a k k o 1 i t h u“ STÁRKOVU 30)) , nutno dedukovati
z uvedených fakt veliký zlom, či snad soustavu zlomů
údolím Kocáby probíhajících, podle nichž udál se pokles kry algonkických
sedimentů mezi Kocábou a žulou i jílovským pásmem. Tomu zdál by se
nasvědčovati celkový průběh údolí Kocáby a i celá řada jiných důvodů,
z nichž některé uvádím: Na některých místech nepřestupují diabasové
žíly v údolí Kocáby z jednoho břehu na druhý31); pásmo roubíkových
břidlic mezi Velkou Letící a Malou Letící ; lokální svraštění vrstev (zvi.
pod Malou Letící) a nestejné úklony vrstev na obou březích pozorované
na mnoha místech ; konstatovaná porucha vrstevní ve srázu mezi Kolní
strání a Fafkovým mlýnem31), výchoz poruchového pásma ve srázu levého
břehu vltavského sev. od Štěchovic (poblíž přístaviště parníků). Možná,
že i mnohonásobná příčná břidličnatost v údolí Kocáby tak nápadně
vystupující souvisí s předpokládanými vrstevní mi poruchami.

Podrobné vyšetření průběhu i povahy celého poruchového pásma
podél Kocáby odvozeného z prozkumu ložních žil poríyrových bude dalším

29) Radim Kettner: O uloženinách třetihorních štěrků a jílu u Sloupu
a Klince ve stř. Čechách, Věstník král. čes. spol. nauk, Praha 1911.

30) Michael Stark: Formen und Genese lakkolithischer Intrusionen,
Festschrift d. naturwiss. Vereins a. d. Univ. Wien 1907.

31) Srv. R. Kettner: O příčné břidličnatosti etc. 1. c.22).

X.

22

tektonickým problémem zajímavého a geologicky dosti složitého okolí
Štěchovic a Svatojanských proudů.

* *

*

Ke konci této geologické části práce o ložních žilách porfyrových
v povltavském algonkiu jižně od Zbraslavi budiž mi dovoleno vzdáti
vřelé díky slavné správní komisi Barrandeova fondu při Museu
král. Českého za udělenou podporu, zvláště pak panu profesoru CYRILLU
RYTÍRI PURKYNI, jenž vždy se zájmem práci mou sledoval a všemožně
radou i poskytnutím ústavních pomůcek mne podporoval. Nemenším
díkem zavázán jsem za přečetné pokyny i panu profesoru Dru FRANT.
SLAVÍKOVI.

Hlavní výsledky práce.

1. V povltavském algonkiu mezi Svatoj anskými proudy a ústím
Berounky lze rozeznati dva typy porfyrových vyvřelin s geologického
stanoviska naprosto odlišné: první prorážejí vrstvami napříč a tvoří
útvary podobné pňům neb pravým žilám (kozohorský porfyr u Nového
Knína, porfyry pásma jílovského), druhé vyskytují se vždy v podobě
dokonalých ložních žil.

2. Ložní žíly porfyrové omezují se tu na dvě oblasti: na krajinu
mezi Mníškem a Davlí a na pruh mezi Jilovištěm a Čihadlem u Točné.

3. V oblasti mezi Mníškem a Davlí bylo určitě dokázáno, že ložní
žíly porfyrové mezi sebou souvisí a tvoří vlastně jedno jediné společné
těleso eruptivní. Nej mocnější ložní žíla budující hřbet Děsiny jest jeho
částí centrální, z níž ostatní méně mocné ložní žíly vycházejí prstovitě
jako apofýsy.

4. Konstatováním tohoto fakta zdá se, že i ložní žíly porfyrové
v oblasti mezi Jilovištěm a Točnou podobným způsobem mezi sebou
souvisí.

5. Tato eruptivní tělesa porfyrová lze označiti s geologického sta¬
noviska jako přechodní tvar mezi ložní žilou a lakkolithem typu cedrového.

6. Z nálezu slepencových vrstev v těsném sousedství porfyrů obou
oblastí zdá se, že obě lakkolithová tělesa porfyrová intrudují do přibližně
stejného niveau, totiž v niveau slepencového horizontu.

7. Obě lakkolithová tělesa porfyrová byla zvrásněna a dislokována,
dlužno tudíž položiti intrusi jejich do doby, kdy vrstvy algonkické byly
dosud vodorovně uloženy, tedy na nejvýše do počátku svrchního devonu.

8. Jest pravděpodobno, že ložní žíly porfyrové jsou již vázány na
společný magmatický krb středočeské žuly. V tom případě nutno pohlížeti
na tyto porfyrové ložní žíly jako na předvoj rojů vyvřelin z krbu toho
odštěpených a jest pak intruse magmatu porfyrového ve formě ložních

X.

23

žil úvodem k ohromnému a dlouho trvajícímu horotvornému a eruptivnímu
processu palaeozoickému.

9. Černé, zkřemenělé, buližníkům podobné břidlice vyskytující se
vždy v nadloží portýrových ložních žil nejsou produkty obyčejné kon¬
taktní metamorfosy, nýbrž vznikly působením horkých roztoků obsahu¬
jících kyselinu křemičitou, které v době tuhnutí vniklého porfyrového
magmatu do nadloží portýrů vycházely.

10. Lakkolithové těleso portýrové oblasti mezi Mníškem a Davlí
bylo následkem nestejné vrásnitelnosti hornin z vrásněno v klenbu ve
směru sv. — jz. ellipticky protaženou, čili ve tak zv. brachyantiklinálu.

11. Zlomy vltavské vznikly většinou poklesem vrstev pravého břehu.

12. Údolí Mlejnského (Bojovského) potoka procházející portýrovými
ložními žilami oblasti mezi Mníškem a Davlí jest z největší části původu
epigenetického, nikoliv tektonického.

13. Z okolnosti, že ústřední část lakkolithového tělesa porfyrového
krajiny mezi Mníškem a Davlí rozštěpuje se v řadu ložních žil menší moc¬
nosti pouze jednostranně, t. j. k sz., nutno odvoditi veliké poruchové
pásmo probíhající údolím Kocáby, podle něhož kra algonkických vrstev
mezi Kocábou a středočeskou žulou i pásmem jílovským musila pokles-
nouti.

Mineralogicko geologický ústav c. k. české vysoké
školy technické v Praze.

X.

Připomenutí k mapě.

Přiložená geologická mapa, v níž hlavní zřetel byl brán k rozšíření ložních žil
porfyrových, má za topografický podklad zmenšený negrografický otisk (i : 25.000)
barevných „Podrobných map zemí koruny České" Dra Bělohlava, vydáva¬
ných nákladem F. Topiče v měřítku 1 : 75.000 . K účelu naší mapy určeno bylo pů¬
vodně měřítko 1 : 50.000 ; nedopatřením však nebylo udané zmenšení v reprodukčním
ústavě provedeno správně, čímž vysvětluje se nezvyklé měřítko 1 : 48.000 naší
mapy. Mapa sestavena byla podle původních výzkumů autorových, provedených
v létech IQ12 — 13.

Omezení buližníkových hornin jest jen subjektivní, jelikož přechody jejich
do normálních algonkických drob a břidlic jsou zcela povlovné. Z diabasových žil,
které dosahují mnohdy jen zcela nepatrné mocnosti, byly v mapě vyznačeny jen nej-
důležitější. Jednotlivé diluviální terasy vltavské nebyly na mapě zvlášť rozlišeny,
na některých místech však, t. zvi. u Sázavy a Brunšova, lze všecka 3 niveau dilu-
viálních nánosů snadno rozeznati. Pokud se týče průběhu hlavních zlomů, odkazu¬
jeme k práci autorově ve Sborníku čes. společnosti zeměvědné 1913, roč. XIX.

UT. V. ŠTUMPER PRAHA.

Rozpravy II. trTdy České Akademie, ročník 1914vČís.10.

Geologická mapa krajiny mezi
Mníškem a Davlí

Sestavil Radim Ketlner

2

Méřítko 1 48 000

"I Algonhtrké břidlice
J a drobí/

| | A Igonkické slepence

□ Třetihory ímiocén)

| | Důuviálni štěrky (terasové)

svahové a duviální

\Algonkiché, břidlice přemininé I I ///w ,,

| vmliinik. horniny | | ssu?'

□ Porfyry < loinv žily)

| Vyvrtlé, pásmo j Horské
| I | Diubasy
m MmetCy uBrunšova

Alluvium

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 11.

Funkcionální architektura
sklovité chrupavky žeberní u člověka.

Napsal

Prof. Dr. OTOKAR V. SRDÍNKO v Praze.

Z ústavu pro histologii a embryologii české lékařské fakulty; přednosta

prof. Dr. J. V. Rohon.

Se 4 tabulkami.

Podporou II. třídy České akademie císaře Františka Josefa v Praze.
(Předloženo dne 16. ledna 1914.)

Ze tří skupin podpůrných tkání v těle živočišném byla nejprve
tkáň kostní podrobena studiu vzhledem k otázce, existuj e-li nějaký vztah
mezi strukturou nebo architekturou tkáně a funkcí její. Bourgery ve
své francouzské anatomii z r. 1832 kreslí průřez horním koncem femoru
a soudí, že v ,,čáře tlaku ‘ jsou trámce spongiosy zvláště husté a pevné,
kdežto mimo onu čáru jsou trámečky jemnější.

O vazivu naznačil r. 1865 His, že při jeho vývoji hrají mechanické
momenty značnou roli, neboť působí i na uspořádání elementů i na růstové
pochody v nich. Kde působí trvalý tlak na vazivo (nebo tah často se opa¬
kující), tvoří se fibrosní pruh, šlacha, v níž směr vláken jest shodný se
směrem tahu. Kde působí tlak, tvoří se fibrosní ploténka vrstevnatá, v níž
vlákna se kříží v rovině, která stojí kolmo na směr tlaku. Kde konečně
působí na vazivo napětí — v různém směru po sobě, vyvine se vazivo
řídké se skříženými vlákny, v němž je hojně hmoty hlenovité nebo tuku.

Chrupavka byla podrobena studiu v tomto směru teprvé v době
přítomné, neboť starší autoři byli celkem toho náhledu, že „chrupavka
není schopna vytvořiti architekturu' (Dekhuyzen). Chci zde podati
obraz přítomného stavu otázky o funkcionální struktuře podpůrných
tkání, při čemž stručněji to učiním o kosti a vazivu, zevrubněji však o chru¬
pavce sklovité, protože touto jsem se delší dobu obíral a došel k výsledkům,
které jednak jsem již publikoval jednak v této práci sdělím.

& Rozpravy: Ro5. XXIII. Tř. II. Čís. 11. \

XI.

•2

Funkcionální struktura fibrosní tkáno.

O této otázce poprvé souborně pojednal r. 1892 S o 1 g e r. Vedle
názoru H i s o v a, nahoře uvedeného, referuj e Solger o práci Rou-
x o v ě, která jedná o vazivové struktuře v ocasní ploutvi delphina. Vazi¬
vová struktura, Rouxem popsaná, spočívá v systémech vláken, které se
pod pravým úhlem kříží a typicky jsou zakřiveny. Vznik oné komplikované
struktury vysvětluje Roux domněnkou, že specifický funkcionální popud
každé tkáně nebo vykonávání funkce má zároveň trofický účinek, neboli,
jinými slovy, povzbuzuje k hypertrofii resp. k hyperplasii a že naopak,
není-li popudu nebo funkce, mizí části tkáňové. Specifickou funkcí vlákna
vazivového jest podle Rouxe odpor vláken proti tahu, působícímu ve
směru vláken a proti tlaku, kolmému na směr vláken. Při trofickém účinku
funkce nastoupí v tom směru, ve kterém síly nej silněji účinkují, aktivní
hypertrofie, kdežto vlákna uložená v jiných směrech pozvolna mizejí.
Tento princip má platnost s malými změnami označení právě tak pro
útvary z kosti, jako z chrupavky nebo jiné tvary podpůrných tkání.
Ač o normálním životě tkaniv málo dosud se zná, považuje Roux za
pravděpodobné, že k vytvoření fibrill jest třeba tahu ze zevnějška
působícího.

Funkcí fibrosní tkáně zabýval se dále Thurler a vysvětluje
skladbu jednostranně mechanicky, nevšímaje si ani histogenesy ani buněk
vaziva. Jako v chuchvalci vaty se tahem dají různosměrná vlákna při-
vésti do polohy přibližně navzájem rovnoběžné, tak vzniká tahem paralellní
uspořádání vláken vazivových.

Solger sám soudí, že ve fibrosní tkáni vystupuje zřejmě funkci¬
onální struktura, kterou lze viděti jak na tkáni mezibuněČné tak i v ulo¬
žení buněk.

Funkcionální struktura byla popsána kromě ve šlaše ještě ve fasciích,
perimysiu vnitřním, ligamentech, ploténkách meziobratlových, bubínku
ušním, chlopních semilunárních a v ocasní ploutvi delphina, jak nahoře
bylo již blíže uvedeno.

Z novějších prací spadají sem dvě experimentální studie žáků Rou-
xových, a sice L e v y h o ,,o vlivu tahu na tvoření vláknitého vaziva ' a Ka¬
ne k o v a o umělém vytvoření margines falciformes a arcus tendinei (obě
práce z r. 1904).

Levý prováděl různě modifikované tenotomie šlachy Achillovy
králíka a došel k těmto závěrům:

Po jednoduché tenotomii vzniká z mladého bujícího vaziva za vlivu
silného intermittujícího tahu svalstva s počátku komplikovaně propletená
jizva, která však později jest přetvořena v strukturu pravidelně, podélně
a rovnoběžně vláknitou.

Při tenotomii spojené s neurektomií nervi ischiadici, jest differencování
buněk s počátku opožděno, protože chybí tah svalu, později však, když

XI.

se sval smršťuje, vzniká jizva jako při jednoduché tenoíomii pravidelně
podélně a rovnoběžně vláknitá.

Při tenotomii a exstirpaci části svalu jest differencování buněk
tkáně v ráně opožděno a vlákna, která se později vytvoří, jsou navzájem
nepravidelně propletena.

Jestliže na mladou tkáň předešlého pokusu působil umělý tah příčně
na osu šlachy, vznikl vazivový provazec mladých vláken, uložených napříč
průběhu šlachy.

Ze všeho toho soudí Levý, že mechanický tah podporuje differen¬
cování vláknitého vaziva, že dále má vliv na směr vláken vazivových a
že konečně zachovává při životu vlákna již vytvořená.

Pro všecky tyto zjevy hodí se Levý mu k výkladu nejlépe theorie
R o ux o v a, spočívající na trofickém působení funkcionálního dráždidla ;
Levý opakuje na počátku své publikace (str. 185 — 194) hlavní věty Rou-
x o v y o funkcionálních strukturách.

Kanekovi se podařilo uměle na libovolně zvoleném místě vytvo-
řiti vazivové útvary typické struktury. Buňky granulací, které jsou v ranách
fascií a svalů, differencují se v směru převládajícího silného tahu a jest
proto možno docíliti z indifferentní nebo ještě mladé granulační tkáně
účelným umělým dráždidlem utvoření libovolného uspořádání. Kde diffe¬
rencování tkáně jest již skončeno, tam vytvoření nového útvaru se nedo¬
sáhne, nýbrž tkáň působením silného dráždidla atrofuje. — Působí-li na
řídké vazivo konstantní mechanické dráždi dlo, jest ono vazivo nahrazeno
pruhem vláken, differencovaným oním dráždidlem. K a n e k o soudí, že
by se daly uměle vytvořiti všecky vazivové útvary, kdybychom dovedli
napodobiti věrně dráždění, jež organismus sám provádí.

Funkcionální struktura kosti.

První kresby o vnitřní architektuře kostí nalézají se ve francouzské
anatomii Bourgeryově zr. 1832. W a r d ve své osteologii z r. 1838
kreslí rovněž obraz vnitřní architektury koxálního konce femoru a první
připomíná podobnost jeřábu s horním koncem femoru, v němž popisuje
trojí různé skupiny trámců. Architekturou femoru, obratlů, talu a kalkaneu
obírá se dále Američan W yman r. 1849 a 1857.

V německé literatuře poprvé obírá se architekturou kostí (femoru
a tibie) J. E n g e 1, professor anatomie v Praze r. 1851. Dále sluší uvésti
Angličana G. M. Humphryho (1858) a Němce W. A. Freunda (1861),
kteří oba, studujíce architekturu kostí, v mnohých bodech správně posoudili
význam trámců spongiosy.

Po těchto předběžných pracích přišli v r. 1867 Hermann šl.
M e y e r společně s Culmannem se svými přesnými pozorováními,
podepřenými matematickými podklady grafické statiky, kterou C u 1 m a nn
založil. Wolfi v r. 1870 upozorňuje na práci Meyrovu a zdůrazňuje

1*

XI.

4

objev Culmannův, že architektonické uspořádání v některých kostech
se shoduje s theoretickými čarami grafické statiky. Wolfi zabývá se
hlavně horním koncem femoru a kalkaneem a zjištuje kromě jiného, že
trámce spongiosy se kříží pod pravým úhlem. Po roce 1870 zabývali se
architekturou kostí Wolfermann, Zaaijer, Aeby, Barde-
leben, Langerhaus, Bigelow, Dwight a Meyer. R. 1892 vy¬
dal Wolfi velkou publikaci s názvem: ,,Das Gesetz der Trans formation der
Knochen ," ve které shrnuje jednak výsledek dosavadních prací, jednak vy¬
slovuje zákon o transformaci kostí. Wolfi dokazoval na základě architek¬
tury kostí normálních i pathogicky změněných nej prvé, že následkem všech
změn zevní formy a statického zatížení kostí vzniká také změna vnitřní
architektury. Naopak také změna vnitřní architektury přináší sebou se¬
kundární změny zevní formy kostí. R. 1884 dokazoval W o 1 f f, že změny
funkce kostí mají za následek i změnu architektury spongiosy i změnu
zevního tvaru kosti, ať jsou to změny funkce samy vzniklé následkem
pathologických poruch, nebo změny funkce uměle vyvolané ; konečně
dokazoval Wolfi, že lze tvar kostí deformovaných přivésti ve tvar nor¬
mální, zavede-li se normální statická funkce kostí. Všechna tato svá pozo¬
rování shrnul Wolfi v zákon o transformaci kostí, čímž se rozumí zákon,
podle kterého následkem primárních změn tvaru a funkce nebo také
pouze následkem změny funkce vznikají určité změny vnitřní architektury
kostí, které se dají matematickými pravidly předem určiti, a určité sekun¬
dární změny zevní formy kostí podle těchže matematických pravidel.

Křivky tahu a tlaku realisované v trámcích spongiosy (t. z v. trajek¬
torie) mají tyto vlastnosti: Tlak a tah není v nich konstantní, nýbrž od
jednoho konce k druhému tahu neb tlaku ubývá v křivkách. Kde jest
minimum tlaku neb tahu, tam stojí křivky normálně k neutrální ose; kde
jest maximum tlaku a tahu, tam jsou křivky rovnoběžný jednak s ne¬
utrální osou, jednak vespolek. Křivky protínají neutrální osu pod úhlem
45° a navzájem se kříží pod pravým úhlem. Ve směru křivek není žád¬
ných sil střižných.

Wolfi zamítá theorii tlakovou (že pod tlakem kosti ubývá) a staví
nauku o funkcionálním tvaru normálních i pathologicky změněných
kostí. Tvar kosti nezávisí na poloze kosti a na tlaku okolních částí, nezá¬
visí na vlastní intensitě růstu kosti na povrchu neb uvnitř, nezávisí na
kloubním tlaku, nezávisí na elasticitě, stlačitelnosti neb povolnosti tkáně
kostní, nýbrž na statickém upotřebení t. j. na funkci. Pouze statická upo¬
třeb itelnost a nutnost nebo statická zbytečnost rozhodují o existenci a
uložení každé částečky kosti a tudíž i o celém tvaru kosti. Apposice, inter-
posice, scvrkání, mizení expanse a resorpce, to jsou všecko děje, kterými
se změny tvarů dějí a tyto děje jsou projevy funkcionálního přizpůsobení
kostí. Důsledky ze zákona o transformaci kostí pro ostatní tkáně jsou, že
funkcionální dráždění vytváří funkcionální strukturu t. j. strukturu, při
které se vytvoří pouze čáry silnější funkce a při které daná funkce se vyko-

XI.

o

nává minimem materiálu nebo podle R o u x e daným materiálem se vyko¬
nává maximum funkce. Forma tkání není stabilní a normální, nýbrž exi¬
stuje schopnost tkání přijmouti účelnou formu, která odpovídá úkonu.

Proti Wolffovi vyslovili řadu námitek š 1. Recklinghausen,
Solger, Zschocke aBáhr. Wolff r. 1899 se hájí proti námitkám,
připouští, že není všude orthogonalita trámců spongiosy a že některé
trámce nespadají v trajektorie. Uzavírá však opětně, že tvar kosti za po¬
měrů normálních i pathologických jest jaksi matematickým obrazem všech
požadavků, které na onu kost mohou býti kladeny při činnosti různých
svalů a při různém zatížení oné části těla.

Gerbhardt (1901) studoval význam uložení fibrill v zubech.
Dochází k závěru, že i mikroskopická struktura kostí jest přizpůsobena
funkci. Autor však klade váhu také na pochody a zákony vývoje. Konečná
architektura jest resultátem fysiologické reakce tkáně na trofické dráždění
funkce.

V r. 1900 vyšla řada prací Albertových, ve kterých popsal
autor architekturu ulny, radia, humeru, femoru, tibie a fibuly na základě
důkladnějšího studia než se dosud dělo. Albert vykonal -j menovanými
kostmi jak celé serie řezů ve všech třeeh hlavních směrech, tak také řezy
v rovinách šikmých a váhu kladl na studium této otázky na podkladě
srovnávací anatomie a vývoje.

T r i e p e 1 (1904) nesouhlasí s Wolffem a považuje názor jeho,
že zevní i vnitřní struktura kosti spočívá na funkci, za jednostranný.
T r i e p e 1 praví, že důkaz o shodě trámců spongiosy s trajektoriemi me¬
chaniky chybí. Připouští možnost, že v mnohých případech Wolffových
maximální napětí jest insubstancováno, že však jest třeba podati důkaz
pro každý případ zvláště. Již Solger upozornil, že stavba kostí po změně
funkce může zůstati za některých okolností po léta ve starém tvaru. Re¬
akce kosti na změnu napětí nastupuje velmi zvolna.

Dále upozorňuje T r i e p e 1, že při transformaci třeba přihlížeti
nejen ku tkáni intercellulární, nýbrž také k buňkám, které vykonávají
činnost kost rušící nebo tvořící a že třeba přihlížeti také k výživě buněk.
Trajektorielní strukturu uznává Triepel pouze pro hlavičku a krček fe¬
moru. Jindy jest často struktura ona zastřena zaokrouhlením úhlů na prú-
sečných bodech trámců. Podmínkou trajektoriální struktury jest Tr iepe-
lo v i orthogonalita trámců; kde ta chybí, nelze mluviti o trajektoriální
struktuře. — Při změně struktury jdou vedle sebe dva děje: snaha po za¬
chování starého tvaru a jeho přeměna. Snad věk má vliv na intensitu
jednoho nebo druhého pochodu. Triepel uzavírá takto: Po nastalé
změně funkce kostí mohou se části staré struktury uchovati po léta. Nastu¬
puje však také řada transformací, která aspoň částečně závisí na změně
funkce. Na některých místech jest možno, že nastupuje trajektoriální struk¬
tura spongiosy kostní, dokázati přímo se to však nedá; na jiných místech
se trajektoriální struktura jistě nevytvořuje. Architektura spongiosy se

XI.

6

celkem vzato nedědí. Trajekt oriální struktura, známá na středním řezu
hlavičkou a krčkem femoru jest zjednána během individuálního vývoje.
Vznik trajekt oriální architektury spongiosy v normálním skeletu jest
následek funkce. Funkce však není to jediné, co působí na uspořádání
elementů spongiosy.

Otázce, jak se chovají elementy tkáně kostní v trámcích spongiosy,
věnoval pozornost již S o 1 g e r ve své práci z r. 1892. S o 1 g e r odpovídá
k otázce, zda se buněčné elementy kosti chovají jako ve šlaše, ve vazivu,
záporně. Trámec kostní se chová jako celek, jehož elementy jsou hmotou
tmelovou spojeny v jednolitou massu. Buňky kostní jsou podle S o 1 g e r a
uloženy v částečce trámce v různých směrech a rovněž fibrilly. S o 1 g e r
soudí, že funkcionální struktura kosti neexistuje v tom smyslu jako ve
vazivu. Fibrilla kostní se chová v kostěné hmotě interfibrillární jinak
než fibrilla vazivová. Tmelová hmota mezi fibrillami různých druhů poj i v
má různou konsistenci a fibrilly jsou ve vazivu, chrupavce a kosti tak různě
upevněny, že síly tahu a tlaku musí různým způsobem míti vliv na strukturu
těch tkání.

Funkcionální struktura chrupavky sklovité.

Dekhuyzen soudil, že chrupavka není schopna vytvořiti archi¬
tekturu. Rauber vyslovil náhled, že na koncích kloubních jsou vytvořeny
koncentrické ploténky mezibuněčné hmoty a ty že nesou tlak na příslušnou
část skeletu působící ; pro svou větší měkkost, než má kost, připouští
chrupavka vytvoření architektury jen v obmezené míře. Tito i jiní badatelé
vyslovovali se tímto způsobem vzhledem k chrupavce dospělé. Jiní však
všímali si chrupavky provisorní, totiž té, která se přetvoří v kost a shledali
v ní záhy určité uspořádání jak buněk, tak hmoty základní. Rosenthal
popsal poprvé na tibii králičího embrya divergenci sloupců chrupavkové
hmoty. Na podélných řezech jsou dle jeho popisu postranní sloupce v lehkých
obloucích nakloněny k jádru epifysy, uprostřed probíhají sloupce přímo.
Kolem jádra epifysy jsou buňky chrupavkové uspořádány v kruhy event.
v elipsy. Rosenthal vysvětluje uspořádání buněk přitažlivými silami,
které vycházejí z ossifikačního centra a soudí, že jest možno, že tyto archi¬
tektonické křivky jsou právě tak typickými pro chrupavku, jako uspořá¬
dání spongiosy pro kosti.

Kassowitz soudí, že v prvních stadiích vzniku kosti nelze mluviti
o zvláštní architektuře, kterou by bylo možno nazvati funkční, že však
existuje pro každou část skeletu zvláštní architektura růstu.

S o 1 g e r udává tři vrstvy v chrupavce kloubní a soudí, že nejsou
podmíněny funkcí. Rovněž uspořádání hmoty mezibuněčné nedá se vysvět-
liti mechanickým vlivem ba ani struktura základní hmoty t. j. uložení fibrill
není takové, aby z toho bylo lze souditi na funkční strukturu. -S výkladem
Roset halovýmo atrakčním centru při ossifikaci Solger nesouhlasí
a míní, že pravidelné uspořádání buněk chrupá vkových má jinou morfo-

XI.

logickou cenu než uspořádání spongiosy kostní. Uspořádání ono jest pod¬
míněno růstem buněk od zárodečného centra, tedy že jest to architektura
roštová, jak ji naznačil Kassowitz.

Hultkrantz zkoumal chrupavky kloubní a shledal, že povrchní
vrstvy základní hmoty jsou rovnoběžné s povrchem a sice bud v jednom
hlavním směru, nebo se snopce křižují. Zkoumal dále soudržnost hmoty
chrupavek kloubních a shledal, že trhliny vznikají paralellně se silami,
které za normální funkce na chrupavku působí a naznačují, kde jest větší
pevnost chrupavky na tah.

T r i e p e 1 zkoumal hyalinní chrupavku na tah, tlak a jiné síly. Tah
působí na chrupavku ve formě tření v kloubech ; tato síla však jest nepatrná,
takže sice může míti vliv na vytvoření jemnějších struktur, ale nezpůsobuje
patrnějších změn tvaru. Tah dále působí na jednotlivé chrupavky hrtanové
na místech, kde se inserují svaly. Důležitější jest tlak. Ten způsobují hlavně
jednak svaly, které táhnou přes kloub; při kontrakci jich působí pravidelně
určitá komponenta jako tlak na kloub. U chrupavek kloubních dolní
končetiny jest důležitý tlak celého hořejšího dílu těla. Tah i tlak zároveň
účinkují při různých ohnutích chrupavek tracheálních a žeberních. Chru¬
pavka žeberní při dýchání podléhá komplikovaným silám. Jednak jest
otáčena podél své dlouhé osy, jednak ohýbána. Chrupavky tracheální jsou
ohýbány tahem svalů na svých koncích a rovněž tak chrupavka štítná.

Na tah projevuje chrupavka sklovitá větší elasticitu než vazivo
vláknité ale menší než šlachy. Na tlak jest chrupavka sklovitá velmi po¬
jištěna. T r i e p e 1 podle svých výpočtů soudí, že pevnost chrupavky na
tlak jest lOkráte větší, než jest největší možný tlak za života.

Friedlánder na popud Albertův studoval vztah architek¬
tury kostní k struktuře chrupavky ; došel však k náhledu, že nelze zachytiti
žádného vodítka při řešení této otázky ani v uspořádání buněk ani v uspo¬
řádání chrupavkové hmoty základní. Za to popisuje určitou pravidelnost
v uspořádání cev krevních při ossifikaci chrupavky.

Morner r. 1888 našel v tracheální chrupavce starších individuí
hovězích barevné differencování, na mladších chrupavkách nikoliv. Mor¬
ner nazval hmotu ležící při buňkách ,,Choudrinballen(l (barví se methyl,
violetí, fuchsinem), kdežto ostatní základní hmota, která se nebarví oněmi
barvivý, tvoří síť trámců (Balkennetz) . Další práce Mórnerovy,
Schmiedebergovy a Hansenovy obírají se podrobně chemickou
skladbou chrupavky sklovité a všeobecnou histologií chrupavky ; o otázce
funkční struktury se nerozšiřují.

Hansen se zmiňuje rovněž o síti trámců, nevšímá si však její
architektury blíže a pouze o této otázce soudí všeobecně takto:

,, Zvláštní architektonický obraz, který tvoří červená trámčipa
v chrupavkách, pozorovaných jako celek, vzbuzuje samoděk myšlenku,
že různý celkový tvar trámčiny v periferních a hlubších vrstvách chru¬
pavky má také význam mechanický (analogie architektuře spongiosy

XI.

8

v kostech). Červená trámčina označuje umístění (Lokalitáten) nezakrytého
(nemaskovaného) a lehčeji odkryt elného kollagenu, dá se zjistiti v uspo¬
řádání, které v podstatě souhlasí dokonce v těch chrupavkách a v těch
partiích, kde ji basofilie normálně zakrývá ; a ona místa nezakrytého neb
nej snadněji odkryt elného kollagenu jsou dále ty partie základní hmoty,
v níž vazivové fibrilly, absolutně vzato, jsou nej hustší, v nichž je nejvíce
kollagenu. Uspořádání trámčiny v chrupavce kloubní vedle celého způsobu,
jak se trámčina různí podle tvaru a mechanického vztahu chrupavky,
dílem navzájem, dílem k okolním tkáním (svalům, kostím, vazům atd.),
dále průběh fibrill v trámčině, o čemž později bude mluveno, poukazují
rovněž rozhodně k tomu, že mechanické poměry ve svých hrubých rysech,
piece však nikoliv výhradně, jsou spolu rozhodnými pro uspořádání trám¬
činy. Totéž platí o poměru trámčiny k buňkám a skupinám buněčným,
jichž uspořádání (rovněž jako hlavní směry fibrill v různých vrstvách chru¬
pavky) souhlasí jak povědomo v celku s mechanickými principy. Pravím
výslovně, že mechanický princip nerozhoduje sám, neboť vlastní ,, forma -
tivní schopnosti" buněk a základních hmot jsou rozhodujícími, jak to
jemné histologické poměry dosti jasně ukazují, pro růst a primární poměry
tkaniva, kdežto akkomodace vzhledem k mechanickým požadavkům a
úlohy, které vedle toho nacházíme, jsou kompromissem (resultantou)
mezi mechanickými ,, ohledy" a mezi ostatními histologickými a histoche-
mickými poměry tkaniva. Bylo by jednostranné považovati nějaký princip
za jedině ovládající, ježto vše nasvědčuje tomu, že poměry, jak je nalézáme,
značí harmonické rozluštění četných různých, mezi nimi taKé čistě mecha¬
nických úkolů, jež jsou kladeny na tkáň. Jest ovšem něco jiného, že mecha¬
nický ohled často nejvíce bije do očí, kdežto jeho úko] rovněž tak často ve
skutečnosti jest přiřazen jiným úkolům a jest rozhodujícím pouze pro hrubé
obrysy. Chtěl jsem pouze naznačiti mechanické hledisko, které vskutku
přehlédnout i se nesmí, nebudu se však blíže zabývati speciálním vyše¬
třováním o chrupavce, které by si všímalo její stavby, směru skulin a pod.
přihlížeti k mechanickým úkolům chrupavky (kloubní chrupavky) nebo
k významu, jaký mají pro histologii tkaniva."

„Lze s klidem předpověděti, že zde jest široké pole pro budoucí, důle¬
žitá badání mezi jiným s poukazem na velmi zajímavé a význačné výsledky,
které přineslo vyšetřování J. W. Hultkrantzovo o směru skulin
kloubních chrupavek a o závislosti směru fibrill na mechanických po¬
měrech kloubu."

„Ovšem okolnost, že určité strukturní poměry chrupavky zobrazují
akkomodaci (účelnost) na mechanické principy, nám prozatím nikterak
neosvětluje pochodů, kterými ony zvláštní strukturní poměry v první řadě
vznikají. S druhé strany poukazují histiologické a histiochemické poměry
chrupavky k velké úloze, kterou hraje vztah základní hmoty k buňkám.
Jednak jsou základní hmoty chrupavky, o čemž jinde budu mluviti, aspoň
z velké části v určitém genetickém ‘vztahu k buňkám, ačkoliv některá

XI.

9

základní hmota během určitých period jest tvořena extracellulárně ; jednak
zdá se, že má význam odlehlost od buněk neb skupin buněčných .“

,, Rovněž průběh fibrill jest resultantou jednak mechanických vlivů,
jednak zvláštních poměrů růstu, vývoje a výměny látek živé tkáně/4

Co se speciálně týče mechanických poměrů, získal H a n s e n pro svou
osobu náhled, že „ohled na mechanické požadavky jest značně rozhodujícím
pro makroskopické, hrubé poměry při rozdělení elementů a hustotě pod¬
půrných tkání speciálně fibrill. Rovněž jako se jeví mechanický princip v ko¬
stech, v organisované tkáni kostní, nej jasněji v uspořádání trámců spongiosy
a v podobných hrubých stavebních poměrech, kdežto jemné poměry struk¬
turní poukazují na zvláštní strukturní růst a t. d. kostní tkáně a určité
části tkáně kostní, na př. obsah dutin spongiosy jakož i výstelka osteo-
blastů s primárním tvořením tkáně vazivové jakož i buňky dřeňové a
ostatní obsah dřeně teprve v třetí neb čtvrté řade se řídí mechanickými
ohledy - právě tak děje se v chrupavce: v jemných poměrech a v prostorech,
v mechanickém ohledu více indifferentních, mohou se vlastní děje životní
tkáně nejjasněji a nejvolněji manifest ováti, kdežto mimo tyto prostory
působí mechanické ohledy, které opět pro své vyrovnávající působení
mohou simulovati zdánlivou jednoduchou odvislost od mechanického prin¬
cipu/4

T h o m a (1907) připisuje chrupavce podobnou pevnost, jakou má
kost, ale menšího stupně. Chrupavkový primordiální skelet foetu podléhá
zvláště při pohybech svalových v podobné míře mechanickým silám,
jako kosti dospělého a lze ono zatížení sklovité chrupavky, jejíž homoge¬
nita jest rušena pouze přítomností chrupavkových buněk, stejným způ¬
sobem rozložití v systémy oar tlaku a tahu, které se navzájem křižují pod
pravými úhly, jak to učinili Meyer a Culmann pro kosti. Při silnějším
zatížení a při větších rozměrech, nestačí dále malá, třebas dokonalá elasti¬
cita chrupavky a proto na místo chrupavky nastupuje materiál stejně doko¬
nalé, ale vyšší elasticity, totiž pevná hmota kostní. V dalším dochází však
T h o m a k omezení úplné homogenity chrupavky, neboť j sou v ní dutiny a
skuliny vyplněné buňkami. Proto není rozdělení trajektorií tlakových
v chrupavce docela stejnoměrné, což právě jest patrno na uložení buněk.
Thoma soudí, že i růst tkáně chrupavkové jest závislý na tlaku. Co se
růstu buněk týče, rozšiřuje rostoucí buňka dutinku buněčnou vždy ve
směru nej menšího odporu tak daleko, až tlak a protitlak na každý průměr
dutinky buněčné jest stejně velký. Tím dáno jest postavení buněk chru¬
pavkových do řad, neboť převládá-li napětí podélné, dosáhne se tlakové
rovnováhy teprve tehdy, seřadí-li se buňky v řady rovnoběžné s podélnými
trajektoriemi. Pak jest rozdělení tlaku v bezprostředním okolí každé buňky
symetrické k ose, která jde středem řady buněčné. Tvar buňky chrupavkové
jest přizpůsoben struktuře a funkci hmoty mezibuněčné jako tvar buňky
vazivové. Thoma soudí, že existuje také vztah mezi proliferací buněk
chrupavkových a zatížením chrupavky. Nemůže však udati, je-li to vztah

XI.

10

přímý, či nepřímý a jak se utváří. Postavení buněk chrupavkových do řad
jest následek té okolnosti, že longitudinální, radiální a tangentiální napětí
v chrupavce jest převážně neseno v chrupavce hmotou mezibunečnou.

Nastoupení ossifikace vykládá Thoma takto: Když při vzrůsta¬
jícím zatížení kloubnich ploch napětí podélné dosáhne uprostřed diafysy
určité horní meze, nastoupí za normálních poměrů zvápenatění hmoty
mezibuněčné. To způsobí zvýšení pevnosti chrupá vkové hmoty mezi-
buněčné na tlak, což chrání nerušený průběh tvoření kosti v oddílu chru¬
pavky, jehož hmota mezibuněčná jest zatížena až na hranice svých exi¬
stenčních podmínek. Rovněž ossifikace v epifysách počíná na místě nej¬
většího zatížení nebo napětí a postupuje na všecky strany ovšem ne stejnou
rychlostí. Také zakončení ossifikace na hranicích diafysy a epifys závisí na
podmínkách mechanických.

M o 1 1 i e r (1910) referuje o práci Romeisově, který studoval
vztah architektury kosti a chrupavky při ossifikaci dlouhých kostí králíka,
žáby a kalkaneu králíka. První trámce kostní souhlasí svým průběhem
s trámci základní hmoty chrupá vkové. Molier to považuje za odkrytí
,, mechanické struktury v chrupavce/' o níž Wolf f, Albert, Triepel,
Friedlánder a j. pochybovali."

R o m e i s (1910) se nejprve zmiňuje o tom, že na otázku, zda archi¬
tektura kostí jest naznačena již v embryonální době, či zda vzniká teprve
později z materiálu indifferentního, odpovídali dosud badatelé různě. Tak
W o 1 f f soudil, že ona architektura se zakládá již v kostech intrauterinně,
tedy před funkcí a že jest tedy zděděna. Kassowitz vystoupil proti
W o 1 f f o v i a tvrdil, že v prvních stadiích růstu kostí není stopy po
funkční architektuře a že lze pouze mluviti o architektuře roštové. V diafyse
rourovité kosti je centrum růstu, od toho se počíná ossifikace a děje se růst
kosti a proto zbytky chrupavkové hmoty i řady buněk od tohoto místa
směrem k epifyse divergují. Roux soudil, že je možno, že funkcionální
struktura v kosti vzniká tak, že kost skládající se s počátku z nepravidelného
sítiva, jest vystavena tlaku a tahu a že trámce, které spadají do směru
sil, zmohutní, kdežto trámce ostatní atrofují z nečinnosti. Roux rozeznává
při vývoji dobu první, kde části se vyvinují na základě potencí zděděných
a při tom současně vyvinují něco funkcionální struktury, a periodu druhou,
kde funkce vytvoří strukturu funkcionální a kde k udržení té struktury
je třeba funkce co dráždidla. S ch mi d t soudí, že spongiosa kostí embryo¬
nálních jest pouze v hlavních tazích podobna kostem dospělým. Albert
považoval za důležité hledati souvislost mezi hotovou architekturou a
jejím vývojem. Friedlánder došel k negativnímu výsledku, hledaje
souvislost onu na popud Albertův, zato však shledal, že embryonální
chrupavka jest záhy prostoupena cévami, které mají týž směr, jako později
lamelly kostní.

R o m e i s studoval ossifikaci tibiae a kalkaneu králíka až do konce
embryonálního života. Na onom stupni vývojovém, kde celá pozdější

XI.

11

kost se skládá z malého chrupavkového základu, obklíčeného silným
obalem mesenchymu, nepozoruje se nic více, než že většina buněk chru¬
pá vkových jest uložena svou dlouhou osou napříč dlouhé osy základu.
Tím vzniká zvláště při menším zvětšení dojem, že jsou tam určité, ale ne¬
pravidelné pruhy, směřující od jedné podélné strany chrupavky k druhé.
U staršího stadia (embryo králíka 16 dnů) jsou příčné pruhy buněčné
patrnější, ježto základní hmoty přibylo; pruhy ony jsou však prohnuté,
konkávní směrem k diafyse. U embrya 18 dnů starého vytvoří se peří¬
ch ondrální kostěný obal, uvnitř kterého jest v diafyse velkobuněčná chru¬
pavka t. j. velké, světlé dutiny s degenerovanými buňkami chrupavkovými.
Směrem k oběma koncům diafysy následuje chrupavka sloupcová s buň¬
kami stlačenými, jichž dlouhá osa křižuje dlouhou osu chrupavčitého
základu. V okrsku chrupavky velkobuněčné nemohl R o m e i s nalézti
žádné architektury, za to v chrupavce sloupcové jsou zřetelné příčné
pruhy, k diafyse konkávní. U embrya 20 dnů starého zaujme dutina
s jemným vazivem a cévami místo, kde byla chrupavka velkobuněčná.
V chrupavce, která následuje od dutiny k jednomu i druhému konci diafysy,
jest nejprve vrstva velkobuněčná a pak vrstva chrupavky sloupcové, ve
které jsou vytvořeny dva systémy pruhů: jedny jsou parabolické oblouky
podélné, které konvergují k střední podélné ose chrupavky, druhé jsou
oblouky příčné, konvexitou obrácené k diafyse. Příčné oblouky jsou zřej¬
mější a četnější ale užší než oblouky podélné. Kříží se často pod pravým
úhlem navzájem. Tato architektura jest nej patrnější v doleních dvou tře¬
tinách okrsku chrupavky sloupcové.

U embrya 24 — 26 dnů starého v proximální epifyse tibiae jsou po¬
délné pruhy, ve skutečnosti lamelly hmoty chrupá vkové, rovnější a příčné
lamelly plošší, tedy rovněž rovnější. Zb}/tky základní hmoty chrupavkove,
trčící volně do dutiny dřeňové, považuj e Romeis za podpůrné sloupce
pro ploché, příčné oblouky a za podklad pro primární enchondrální trámce
kostní. Směr těchto trámců jest cd osy šikmo dolů k plášti perichondrál-
nímu. Kromě trámců podélných a příčných nalezl autor na příčných
řezech třetí systém lamell radiárních.

Rovněž nad ossifikačním bodem v kalkaneu králíka 24 dnů starého
popisuje Romeis tři systémy lamell podélných, příčných a radiárních.

Popsanou architekturu nalezl s různými modifikacemi Romeis také
u kočky, ovce a člověka a uzavírá svou práci takto: Chrupavkový základ,
který předchází kosti, má určitou konstrukci, kterou lze nazvati archi¬
tekturou chrupavky, která ušla dosud pozornosti badatelů, ač theoreticky
byla předpokládána. Přehlédne-li se vývoj některé kostěné části skeletu,
která má nejprve vazivový a potom chrupavkový základ, sezná se, že při
změně materiálu a tvaru, funkce zůstává stálou ; autor z toho soudí, že pro
funkci nutné technické zařízení je stejné při všech třech druzích materiálu.
Již ve stadiu vazivovém by se mělo nalézti řešení technické úlohy, autor
však soudí, že asi by bylo obtížno poznat i zde konstruktivní princip. Ve

XI.

12

stadiu chrupá vkovém vede vývoj k jasnému vytvoření konstruktivního
principu a tento jest konečně převzat od následné tkáně kostní a přiměřeně
funkcí dále vyvinut. V embryonální chrupavce objevují se určité struktury,
které z větší části pravděpodobně jsou vyvolány mechanickou funkcí.
Autor vyšetřoval také permanentní chrupavku u Selachií a našel v chru¬
pá vkovém skeletu jejich určité architektonické struktury, o nichž slíbil
podati zprávu. Popsané struktury odvozuje autor z Části zděděním, z části
z vlivů mechanických, čehož potvrzení očekává od pokusů.

Schaffer vystoupil proti výkladům Romeisovým v „Ana¬
tomické společnosti" r. 1911. Avšak již v dřívějších pracích tohoto autora
nalézáme zmínky o architektuře chrupavky. Tak r. 1901 popisuje syncy-
tiální základ chrupavky a praví, že hranice buněčné tvoří sítivo, jehož me¬
zery jsou vyplněny těly buněčnými. Toto sítivo, které má funkcionální
uspořádání, odpovídající tlaku roštovému, tvoří prochondralní základní
nebo tmelovou hmotu. Dále popisuje morfologické a mikrochemické změny
v chrupavce ocasní ploutve mihule říční a podklad oněch změn vidí v ,,me-
chanicko-funkcionálních momentech". Romeisův náhled, že archi¬
tektura chrupavky jest předběžným stupněm architektury kostní, Schaf¬
fer nesdílí, nýbrž soudí, že architektura Romeisem popsaná nemá
nic společného s pozdější funkcionální strukturou kostí; již proto ne,
protože architektura kostí vystupuje lelativně pozdě a pod vlivem funk¬
cionálního upotřebení v době, kdy původní embryonální a foetalní chru¬
pá vkový skelet jest úplně zrušen.

To, co Romeis nalezl, jest správně popsáno, ale výklad třeba
hledati jiný. Ten podává Schaffer, přihlížeje k poměrům růstu chru¬
pavky. Z počátku mají buňky chrupavkové schopnost ve všech třech
směrech stejnoměrně se děliti a rozestupovati od sebe (Lankaster).
V každém chrupavkovém základu krátké neb dlouhé kosti vidíme buňky
stejnosměrné hustě uspořádány. Růst děje se od středu ve směru radi-
árním, centrifugálním, později, když střed zvápenatí, jsou buňky v něm
veliké a základní hmota jest uspořádána ve tvar koncentrických kulovitých
ploten, které jsou spojeny radiárně uloženými stěnami. Již zde jest tedy
architektonická struktura, která však není vyvolána nějakým mechanickým
zatížením, nýbrž jedná se zde o architekturu roštovou, vyvolanou tlakem
expansi vního centra. Jakmile přestane možnost ve všech směrech stejno¬
měrně se děliti a rozestupovati, mění se architektonický obraz. K tomu
dojde v chrupavce skeletních základů, jakmile zvápenatělé centrum dojde
až k perichondrální vrstvě, kde jest utvořen kostěný plášť. Pak nemůže
chrupavka růsti do tlouštky a následek toho jest, že řady buňek a lamelly
původně v oblouku napříč kosti uložené se vzpřimují, takže probíhají
víc a více podélně v kosti. Současně původní zvápenatělé centrum po re-
sorpci se stane dutinou dřeňovou a na jeho místo nastupují dvě centra
uložená směrem k oběma koncům v podélné ose; centra tato postupují
stále dál a dále od středu kosti a hranici jejich tvoří oblouk jednak kon-

XI.

13

vexní na jedné straně k dutině dřeňové, jednak konvexní na druhé straně
k epifyse. Tak vznikají pruhy nebo lamelly základní hmoty chrupá vkové,
které MollieraRomeis popsali jednak jako systém pruhů příčných,
jednak systém pruhů podélných. Schaffer soudí, jak již r. 1889 se
vyslovil, že význam embryonální transitorní chrupavky spočívá v tom, že
roste stejným krokem jako okolní měkké části a že tak zanechává, tvoříc
model, prostor zvolna rostoucí tkáni kostní. Funkcionální architektura
v embryonální chrupavce neexistuje, nýbrž toliko architektura roštová.
Za to v chrupavce permanentní připouští Schaffer funkcionální archi¬
tekturu, kterou lze srovnati s architekturou kostí. To zvláště vystupuje
v chrupavkách, kde je málo základní hmoty. Autor popsal již r. 1896 v chru¬
pavkách žaberních ammocoeta morfologickou stavbu vyvolanou mecha¬
nismem funkce a upozornil, že i na chemickou skladbu má vliv funkce.
Architektonické uspořádání základní hmoty v chrupavce žeberní ammo¬
coeta podmiňuje elasticitu při ohybu. Rovněž v plout evních paprscích
9 y2 cm dlouhého ammocoeta popisuje Schaffer architekturu chrupá v-
kové základní hmoty a vysvětluje její vznik mechanismem funkce. Ko¬
nečně se zmiňuje Schaffer o konstrukci chrupá vkové hlavičky hu-
meru žáby. Jsou v ní territoria buněčná a substance inter teritoriální v tra-
jektorielním uspořádání. Odporučuje studovati tento objekt polarisačním
mikroskopem. Gebhardt sdílí náhled Schafferův a klade váhu na
poměry napětí, vyvolané růstem.

Vlastní pozorování.

Ve sklovité chrupavce embryonální i dětské pozorují se dva typy
dělení buněčného: dělení buňěk do skupin a dělení buněk do řad. Upozornil
jsem na to již ve své práci ,,0 histologii a histogenesi chrupavky “ r. 19021) a
podrobněji zabýval jsem se tímto zjevem v pozdější práci z r. 1911, : 2) kde
pokusil jsem se o výklad, proč nově vznikající buňky chrupá vkové se někdy
seskupují do okrouhlých skupin, jindy do podélných řad. Materiálem, na
kterém jsem tuto otázku studoval, byly mi věsmes chrupavky lidské;
chrupavek jiných obratlovců použil jsem jen ke srovnání. Z lidských chru¬
pavek zvláště se hodí chrupavka patelly a chrupavka žeberní z periody
embryonální, dětské i pozdější. Výsledek mých zkušeností možno shrnouti
takto: V sklovité chrupavce patelly a žeber nelze poznati v první polovici
embryonálního života žádného určitého uspořádání buněk. Tyto jsou tvaru
oválního, polygonálního, vřetenovitého nebo j ehlancovitého a jsou nepravi-

x) O. Srdínko: Studie o histologii a histogenesi chrupavky II. Rozpr. čes.
akademie, tř. II. roč. XI., č. 23, v Praze 1902; Beitrag zur Histologie und Histogenie
des Knorpels. Anat. Anz. B. XXII., No. 20 u. 21, pag. 442. 1903.

2) O Srdínko: O významu isogenetických skupin a řad buněčných v hyalinní
chrupavce. Věstník kr. č. společnosti nauk v Praze, 1912. (Předloženo 24. listo¬
padu 1911.)

XI.

dělně rozloženy v základní hmotě na řezech, jakýmkoliv směrem vedených.
Teprve v druhé polovici embryonálního života začnou se objevovati v chru¬
pavce patellární i žeberní buňky vřetenovité nebo jehlancovité orientované
svými dlouhými osami stejnosměrně. Tím vznikají zóny nebo pásy (pruhy)
stejnosměrně uložených buněk, mezi kterými jsou buňky neorientované.
V dětském věku jest tato orientace buněk do zon ještě patrnější, takže možno
na př. na řezu horizontálním z chrupavky žeberní rozeznati určitě pět
vrstev lišících se směrem uložení buněk. Povrchní vrstva pod perichon-
driem přední plochy chrupavky žeberní má buňky uložené rovnoběžně
s povrchem. V druhé vrstvě směr dlouhých os buněk se křižuje, jsa šikmo
postaven k perichondriu a ve vrstvě třetí, nej širší, jsou buňky uloženy
dlouhou osou kolmo na povrch chrupavky, směřujíce od přední plochy
žebra k zadní. Směrem k zadní ploše přechází tato třetí vrstva s orientova¬
nými buňkami do vrstvy uspořádané jako vrstva druhá a za touto násle¬
duje tenká vrstva buněk rovnoběžných s povrchem, jako tomu jest ve
vrstvě první pod perichondriem přední plochy chrupavky žeberní. V chru¬
pavce patellarní nelze sice rozeznati určité vrstvy, jako v chrupavce žeberní,
orientace buněk do pásů vedle buněk nepravidelně uložených jest však
i zde zřejmě patrna.

Na orientaci buněk v tkáních podpůrných mají vliv zevní mecha¬
nické síly, zvláště tah a tlak. Pro vazivo to bylo dokázáno pokusy K a n e-
kovými a Levyho, provedenými v laboratoři R o u x o v ě. Tlak
obyčejně jest odporem podložky, na kterou působí, měněn v sílu, která
působí kolmo na směr primárního tlaku a rovná se tahu, působícímu rovno¬
běžně s podložkou. Jakmile začne na embryonální tkáň působiti zevní
síla, začně orientování buněk, které se protahují a ukládají dlouhou osou
do směru tahu nebo kolmo na směr tlaku. Nej nápadněji jest to viděti v liga-
mentech a šlachách. Rovněž jest patrno z přehledu literárního, že zevní
síly mechanické mají velký vliv na organisaci tkáně kostní. Jest otázkou,
zda také chrupavka reaguje nějakým způsobem na zevní mechanické
vlivy. Existuj e-li tato reakce, jeví se na buňkách či také na základní hmotě
a na které součásti základní hmoty?

V chrupavce patelly ke konci embryonálního života, zvláště však po
porodu jeví se tak význačná orientace buněk do řad, že na první pohled
vznikne u pozorovatele domměnka, že vznik řad má souvislost se silami,
které na tkáň onu působí. Dokud končetiny dolní se značněji nepohybují
t. j . asi do 7. měsíce těhotenství, nejsou v chrupavce patelly buňky význačně
orientovány. Od 7. měsíce však, když plod vykonává čilejší pohyby, za¬
čínají se v patelle objevovati buňky protáhlé; po narození však, jakoby na
povel, orientují se buňky do zon a dělí se do řad, nechávajíce mezi zónami
skupiny buněk nepravidelně roztroušených. Rovněž v chrupavce žeberní
objevuje se od 5. měsíce skrovná orientace, která jest v 7. měsíci určitější,
v chrupavce žeberní dětské však velmi typická. I to svědčí o souvislosti
s pohyby jednak respiračními jednak celkovými, které v druhé polovině

XI.

13

plod vykonává (i respirační) *) a které ovšem po porodu nabudou veliké
intensity.

Tyto mnou popsané řady buněčné odvozuji od působení zevních
sil, hlavně tahu a tlaku. Kde takové význačné síly působí, nastává orien¬
tace buněk chrupá vkových, kde síly nepůsobí nebo se ruší, jsou skupiny
buněčné nepravidelné.

Rady buněk chrupá vkových nalézáme ještě jindy v chrupavce a
sice před ossifikací. Řady tyto se však liší od dříve popsaných řad; dlouhá
osa chrupá vkových buněk v řadách, vyskytujících se při ossifikací, stojí
kolmo na dlouhou osu řady buněčné, t. j. buňky jsou protáhlé napříč řady
buněčné, kdežto v případech mnou popisovaných jsou buňky protáhlé
ve směru řady buněčné. Rady prvního druhu popsal R e n a u t* 2) a připisuje
jim význam, že způsobují růst chrupavky do délky, kdežto dělením buněk
chrupavkových do skupin roste chrupavka interstitiálně ve všech směrech.
Renautovo pozorování vztahuje se na materiál od Raja batis. Podle
jeho údajů množí se buňky až do ossifikace do skupin, teprve před ossifi¬
kací se vytvoří řady. Renaut tedy vidí rozdíl mezi chrupavkou s buň¬
kami ve skupinách a chrupavkou s buňkami v řadách (možno říci ossifi-
kačních) v tom, že tato chrupavka jest schopna růsti v jednom směru (do
délky), ona ve všech směrech. O další příčině těchto dvou druhů dělení
buněk se Renaut nevyslovuje. Pokud lze souhlasiti s Renautem,
vyslovil jsem se v publikaci z r. 1911. To však podotýkám poznovu, že
řady ossifikační nejsou identické s řadami, které se vyskytují v chrupavce
mnohdy velmi dávno před ossifikací, mnohdy pak v chrupavce, která
vůbec k ossifikací se nedostane. Orientace buněk v těchto řadách jest
vyvolána pravděpodobně zevními silami.

To, co právě ve stručnosti jsem předeslal, zjistil jsem na praeparatech
barvených obvyklou methodou haematoxylinem a eosinem. Praeparáty
tyto dávají vystoupí ti hlavně buňkám, kdežto diffusně se barvící základní
hmota tak nevystupuje do popředí. Praeparáty tyto možno nazvat i posi¬
tivními pro buňky, negativními (negativy) však vzhledem k základní
hmotě. V posuzování otázky, jaký odpor klade chrupavka zevním silám,
však větší význam zajisté přísluší základní hmotě než měkkým buňkám.
Odpor onen zajisté jest nesen hmotou mezibuněčnou a vliv zevních sil
na chrupavku jest hledati v první řadě v uspořádání základní hmoty a
organisace čili architektura chrupavky, existuj e-li, je jistě patrna v první
řadě 11a základní hmotě. Uložení buněk, ačkoliv tyto jsou primární sou¬
částkou chrupavky, jest sice ukazatelem směru sil, které v chrupavce
účinkují (buňky dělí se všeobecně snáze ve směru menšího odporu), není
však hlavním výrazem architektury, nýbrž pouze zjevem doprovodným.

9 B. Dědek: K otázce vývoje dýchacích pohybů u lidského plodu. Lékařské
rozhledy roč. XX., sešit 2. 1913.

2) J. Renaut: Sur les groupes isogéniques des éléments cellulaires du cartilagc,
Comptes rendus del’ Acad. de Sciences. Paris 1878.

XI.

16

Úlohou mou tedy bylo hledati jinou methodu pro zhotovení prae-
parátů a sice takovou, kterou by základní hmota vystoupila do popředí.
Podařilo se mi pak zvláště pro lidskou chrupavku žeberní docíliti spolehlivé
methody , kterou přesvědčivým způsobem učiníme ve j menované chrupavce
patrným celý systém trámců (na řezech) resp. plotének jve skutečnosti)
hmoty mezibuněčné, jak to přiložené obrazce znázorňují.

Materiál a methoda.

K práci této použil jsem výhradně sklovité chrupavky člověka.
Největší počet řezů zhotoven z chrupavky žeberní nej různějšího stáří:
z první polovice embryonálního vývoje, z druhé polovice, z věku dětského
od novorozeného dítěte až do dokončení růstu skeletu i z chrupavky do¬
spělého člověka od 20. r. až do nej pozdějšího stáří (79. r.). Kromě toho
studoval jsem embryonální chrupavku na dlouhých i krátkých částech
kostry zárodků lidských od konce 3 měsíce až k porodu.

Řezy z každé chrupavky žeberní zhotovil jsem vždy ve třech hlavních
směrech: příčně k dlouhé ose žebra neboli sagittální, podélné neboli horizon¬
tální a plošné neboli frontální. Chrupavku vzal jsem vždy z větší vzdále¬
nosti od spojení jejího s kostěným žebrem, nejméně 1 cm, protože bližší
partie chrupavky u kosti jsou skladby úchylné od normálního typu. Abych
také seznal, jak se chová chrupavka žeberní v partiích kosti bližších, zho¬
tovil jsem řezy ve všech třech nahoře udaných směrech z okrsku přechodu
chrupavky v kost, kterou ovšem dříve jsem odvápnil.

Embryonální chrupavku stopoval jsem vzhledem k její architektuře
v dlouhých i krátkých částech dolní i horní končetiny, z nichž zhotovil
jsem serie a na žebrech, z nichž rovněž zhotovil jsem serie ve všech třech
směrech.

Objekty byly fixovány různými methodami. Embrya lidská byla
fixována bud v sublimátu neb v tekutině Carnoyově nebo ve forma¬
línu. Chrupavky dětské a dospělé jsem fixoval 10% formalinem po 7-14 dnů
a pak je přímo řezal nebo dříve vypral po 1-2 dny ve vodě, pak vložil do 80%
líhu a řezal. Menší částečky chrupavky řezal jsem mikrotomem na zmrznutí,
větší kousky, které bylo možno bez zalití sevříti ve svorce mikrotomu,
mikrotomem obyčejným ; embrya jsem řezal v celoidinu.

Řezy z chrupavky fixované formalínem jsem barvil bud haemato-
xilinem a eosinem, bud podle H a n s e n a směsí kyseliny pikrové s kyselým
fuchsínem, nebo konečně směsí Biondiovou (kyselý fuchsin + methy¬
lová zeleň + orange g).

Barvivém Biondiovým barvil se vždy asi 10 minut (také déle),
po opláchnutí půlpctní kyselinou octovou se řezy vyperou v 70% líhu,
pak v absol. líhu se odvodní, vloží na 2 min. do origánského oleje a uloží
se do pryskyřice. Výsledek barvení jest tento: základní hmota chrupavková
se barví celkem červeně, buňky zeleně, krev, kde přichází, oranžově; po-

XI.

17

drobnosti a odchylky uvedeny budou při popisu jednotlivých praeparátů.
Zbarvením tímto vystoupí základní hmota na praeparátech velice do
popředí, takže na první ráz v každém praeparátů lze říci, zda trámce
základní hmoty mají nějakou orientaci či nikoliv.

Jak jest známo z prací Mornerových a Schmiedeber-
gových, obsahuje základní hmota chrupavky hyalinní tyto chemické
komponenty.: 1) kollagen, 2. sloučeniny kyseliny chondroitinosírové
s bílkovinami, hlavně ve formě chondromukoidů a 3. v dospělé chrupavce
albuminoid, který v mladé chrupavce chybí. Tyto chemické součástky
chrupavky hleděl dokázati histologicky F. C. C. H a n s e n, což se mu
specifickým barvením také zdařilo. Všeobecné resultátv Hansenovy
jsou shrnuty v těchto bodech:

1. Základní hmota chrupavky obsahuje směs látek basofilních a
acidofilních. 2. Látky tyto mohou se navzájem zastírati (maskovati).
3. Obyčejně v chrupavce dobře konservované (alkoholem, formalín-alko-
holem, sublimatem, Zenkerovou tekutinou) dominuje basofilie zvláště
uvnitř chrupavky; blíže k povrchu basofilie ubývá. 4. Acidofilie jest vý¬
značná při povrchu chrupavky a kolem cev. Uvnitř chrupavky jest acidofilie
menší, ba mnohdy jsou hmoty acidofilni úplně zastřeny basofilními. 5. Ně¬
které okrsky základní hmoty jsou současně basofilní i acidofilni. 6. Baso¬
filie i acidofilie a jich rozdělení v základní hmotě chrupavky jsou v urči¬
tém vztahu k buňkám a k různým strukturám základní hmoty. 7. Možno
docílit i různými methodami, že základní hmota svou basofilii ztratí
a stane se silně acidofilni ; toho se docílí demaskováním hmot acidofilních.
Hansen hleděl specifickým barvením zjistiti, které části základní hmoty
jsou basofilní a které acidofilni. Basofilie podle něho jest založena na přítom¬
nosti kyseliny chondroitinosírové ; odstraníme-li tuto na př. roztokem louhu,
ztrácejí řezy z chrupavky úplně svoji basofilii. Nejlépe zachová se basofilie
chrupavky alkoholem. Kyselina chondroitinosírová a její sloučeniny jsou
nejvíce obsaženy v interfibrillární základní neboli tmelové hmotě. Jako
basofilního barviva užil Hansen hlavně methylenové modře. Acidofilni
jest v základní hmotě chrupá vkové kollagen hlavně ve tvaru fibri 11. Barví
se při upotřebení směsi Hansenovy (kyselina pikrová a kyselý fuchsin)1)
intensivně červeně. Skládá se tedy základní hmota typické hyalinní chru¬
pavky z kollagenního vaziva, differencovaného z větší části ve fibrilly,
které jsou uloženy v hmotě tmelové, která jest amorfní směs různých bílko¬
vin, chovající kyselinu chondroitinosírovou. Kollagen v chrupavce jest buď
nemaskovaný, který se barví na obyčejných basofilních řezech červeně
a maskovaný, který se zbarví teprve po odmaskování totiž po odstranění
kyseliny chondroitinosírové resp. po zrušení nebo uvolnění jejího s kolla-
genem.

ň Detailní popis methody Hansenovy nalézá se v jeho práci v ,,Ana-
tomische Hefte" I. Abt. 27. B. 1905, pag. 618 a 619.

Rozpravy: Roč. XXIII, Tř. II. Čís. 11. 2

XI.

18

Z uvedeného vysvítá, že praeparáty směsí Biondiovou barvené
mladé žeberní chrupavky člověka vykazují silnou acidofilii, kdežto basofilie
vystupuje pouze za určitých okolností, na které bude při popisu poukázáno.

Pro posuzování otázky architektury chrupavky jest sice užitečno
znáti chemickou skladbu základní hmoty její, nepadá však tak podle mého
soudu na váhu, je-li hmota, která zevním silám má klásti odpor basofilní
neb acidofilní. Ostatně vysvitne později, že basofilie a acidofilie ve své
intensitě se v základní hmotě chrupá vkové mění, takže okrsky základní
hmoty mohou z acidofilie přejiti do basofilie.

Praeparáty barvené přesně methodou Hansenovou neobjevily
se tak instruktivními pro studium architektury, jako praeparáty fixované
formalínem a barvené směsi Biondiovou.

V případech, kde řezy nechtěly se dosti intensivně zbarviti červeně,
stačilo vložiti je na nějakou dobu (1 — 2 hodin) do 1 — 2% roztoku louhu
sodnatého nebo draselnatého a žádané červené zbarvení základní hmoty
se opět dostavilo.

Při popisu praeparatu bude třeba, vzhledem k uvedeným výsledkům
prací Hansenových, míti na paměti, že každý trámec nebo ploténka
základní hmoty, které se jeví na mých praeparátech červeně zbarveny,
mohou při barvení jinou methodou okázati vedle součástí acidofilní ch také
součásti basofilní. Pro nás však tvoří oboje součásti jediný, nosný trámec
a různá chemická skladba, zjevená specifickou tinktoriální reakcí, nepadá
tak na váhu. V chrupavce pouze buňky nenesou tělem svým žádného zev¬
ního tlaku nebo tahu, veškeré okrsky základní hmoty, třeba různé che¬
mické skladby, jsou částkami spletitého systému nosného. Pokud částky
tohoto systému slouží za oporu zevním silám a pokud snad mají jiný účel
(ochranu buněk, cev), to jsou otázky, které čekají v budoucnosti na roz¬
řešení. Možno však tvrditi, že hlavním úkolem onoho systému nosného co
celku jest klásti odpor zevním silám, kdežto ony jiné účele jsou dojista
významu podružného.

Architektura roštová a funkcionální.

Není pochyby, že nelze všecky zjevy v základní hmotě chrupavko vé,
které poukazují na orientaci buněk a trámců základní hmoty, považovati
za strukturu funkcionální. To platí zejména pro chrupavku embryonální
a pro chrupavku při ossifikaci. V těch určitě jsou zjištěné pravidelnosti
v uspořádání buněk a základní hmoty vyvolány poměry roštovými, takže
právem Schaffer mluví o architektuře roštové.

Jest tedy třeba činiti rozdíl při posuzování struktury základní hmoty
a mluviti zvláště o

1. architektuře chrupavky embryonální,

2. architektuře chrupavky při ossifikaci,

3. architektuře chrupavky permanentní.

XI.

19

Složky, kterými může architektura býti vyjádřena, jsou: 1. orientace
buněk, 2. orientace trámců základní hmoty a 3. orientace fibrill v základní
hmotě.

Ač hlavním předmětem dosavádních mých výzkumů byla architektura
chrupavky permanentní, mohu i k prvním dvěma otázkám uvést i již nyní
některé poznámky.

Architektura roštová.

Architektury roštové dotkl se poprvé r. 1880 Kassovitz a sice
u kosti. Konstatoval, že v prvních stadiích růstu kosti lze těžko mluviti
o zvláštní architektuře, kterou by bylo možno případně nazvati architek¬
turou funkční, že však existuj e pro každou část skeletu zvláštní architek¬
tura roštová. Podle Kassovitze nelze odvozovati architekturu dospělých
kostí od struktury foetálních a dětských kostí.

Schaffer aplikoval architekturu roštovou také pro chrupavku
a sice pro periodu ossifikační. Zvápenatělé centrum v chrupavce některé
dlouhé části skeletu má takovou architekturu roštovou: jest to na průřezu
kruhovitá, ve skutečnosti kulovitá skupina větších buněk chrupavkových,
mezi kterými jest uspořádána základní hmota ve tvaru koncentrických
kulovitých misek (dutých koulí), které jsou spojeny navzájem rádi ární mi
příčkami. Protože pak buňky v onom centru se zvětšují i příslušné jim du¬
tinky, vzniká tlak celého útvaru na okolí, jehož následek jest, že buňky
nad centrem a pod centrem zvápenatělým jsou tlačeny do ploch kulovitých,
takže na průřezu vidíme buňky v oblouko vitých řadách, při čemž konvexita
oblouků směřuje ku koncům části skeletu.

Podávám na tab. I. obr. 1. příklad takové architektmy zvápenatělého
centra v metat arsu lidského zárodku. Zvápenatělé centrum rozšířilo se
právě až k povrchu střední části diafysy, kde vytvořen jest již kostěný
plášť. Architektura roštová patrna jest do značné vzdálenosti směrem
k oběma koncům obloukovitými řadami buněčnými a příslušnými oblouky
základní hmoty, které jsou spojeny radiárními příčkami.

Úplně shodné obrazy u zárodků lidských nalezneme nejen ve všech
základech dlouhých částí skeletu, nýbrž i v kostech krátkých jako na př.
v karpálních, tarsálních, v obratlech, v hlavičkách žeber a j.

Další osudy a přeměny této architektury podal R o m e i s na obra¬
zech, vzatých z ossifikace tibiae a kalkaneu králíka a vyložil je na základě
schémat v textu publikace obsažených jako architekturu funkcionální.
Schaffer odmítl tento výklad Romeisův a označil popsané uspo¬
řádání základní hmoty jako architekturu roštovou. Pro posouzení dů¬
vodů k oběma výidadům musím se přidati ku stanovisku Schaffrovu
a považuji tudíž s určitou pravidelností uspořádanou základní hmotu
chrupavky při ossifikaci aspoň z největší části za projev účinku vnitřních
sil, růstem vyvolaných. Tím ovšem není vyloučeno, že v chrupavce em¬
bryonální může býti zjištěna také architektura funkcionální a to zvláště

2*

XI.

•20

v chrupavce embryonální, která má ješte daleko do ossifikace, nebo která
se nalézá v místech, kde ossifikace vůbec nenastoupí, nýbrž kde v dospělosti
najdeme chrupavku permanentní.

Kromě architektury roštové při ossifikaci možno poukázati ještě na
pravidelné uspořádání buněk chrupavkových v zcela mladých, zakláda¬
jících se chrupavkách, na př. žeberních. Na příčném řezu předním koncem
žebra u embrya lidského 3 měs. starého (tab. II. obr. 31 vidíme na povrchu
pod perichondriem často řadu mladých buněk, které jsou tvaru kubického
a jichž basis je rovnoběžná s povrchem chrupavky, příčné hranice pak
jednotlivých buněk stojí kolmo na povrchu; základní hmota není dosud
vytvořena neb jest zastoupena pouze oním rozhraničením buněk. Někdy
nejen první řada buněk pod perichondriem jest takto pravidelná, někdy
i druhá a třetí a teprve ve čtvrté a v dalších vrstvách ona pravidelnost
mizí. Příčný řez takovým embiy orálním koncem žebra připomíná velice
na příčný řez vegetačním vicholem rostlin. I tento případ sluší zařaditi
mezi uspořádání buněk a hmoty mezibuněčné, růstem vyvolané.

Romeis a Mollier soudí, že architektura kosti má již v embryo¬
nální chrupavce své předchůdce a že tedy jest vztah mezi architekturou
kosti a chrupavky. Konstruktivní princip, který jest v chrupavce, jest podle
autorů těchto převzat tkání kostní a dále vyvinut. Schaffer rovněž
zamítá tento názor hlavně z toho důvodu, že funkcionální struktura kosti
vystupuje teprve v pozdní době, kdy chrupavkovitý skelet jest již dávno
úplně rozrušen.

Podle mých zkušeností leží asi pravda uprostřed, což v následujícím
dokládám. Trámce základní hmoty chrupavkové ve vzdálenosti asi 2 cm
od hranice ossifikaění v žebru dítěte 1 r. starého jsou orientovány od přední
plochy žebra směrem k zadní ploše, tedy na přič dlouhé osy žebra. Blížíme-li
se k čáře ossifikaění, mizí orientace trámců a vytvořuje se nepravidelné
houbovité uspořádání, které přejde dále v uložení sloupců základní hmoty
chrupavkové podélné s osou žebra; tyto podélné sloupce široké spojeny
jsou napříč četnými, tenkými příčkami. Část těchto podélných sloupců
základní hmoty v čáře ossifikaění jest i s buňkami ossifikaění tkání rozru¬
šena, druhá část přechází do kosti, tvoříc podélné osy, kolem nichž se tkáň
kostní ukládá. Na obr. 2. (tab. I.) viděti jest dole onu houbovitou zónu chru¬
pavky (acidofilní) , která přechází do sloupcové zóny (basofilní, vyjímajíc
některé temnější pruhy na obrazci, které se zbarvily stejně acidofilně jako
zóna houbovitá) a zbytky sloupců basofilních lze stopovati jako bílé pruhy
uvnitř mladé kosti, která má průběh trámců rovnoběžný s osou žebra.
Z uvedeného teay jest patrno, že se v chrupavce při ossifikaci připravuje
v zóně sloupcové taková orientace základní hmoty, jaká jest potom
v mladé kosti. Vzhledem ke sporu Romei s-S chaffrovu dlužno tedy
vytknouti, že jest tedy určitý vztah mezi chrupavkou chystající se k ossi¬
fikaci a mladou právě vytvořenou kostí. Oběma jest společný podélný
směr trámců základní hmoty.

XI.

21

Architektura funkcionální v permanentní chrupavce.

Přistoupím nyní k popisu praeparátů, zhotovených methodou na¬
hoře udanou z chrupavek žeberních lidských různého stáří. Popisu žeberní
chrupavky dětské a dospělé předešlu dvě stadia embryonální.

Embryo člověka ze 4. més.

Na řezech vedených horizontálně a paralellně s dlouhou osou žebra
vidíme mezi předním a zadním perichondriem červeně zbarvenou základní
hmotu, v níž nalézají se dutinky chrupá vkových buněk různého tvaru,
ovální, kulaté, protáhlé, vřetenovité, kuželovité i nepravidelné. (Tab. II.
obr. 4.) Pruhy základní hmoty, které jsou mezi dutinkami, jsou nestejně
široké a nejeví žádnou orientaci právě tak, jako dlouhé osy protáhlých
buněk uloženy jsou v nej různějších směrech. Toliko buňky nej bližší peri-
chondriu (tato partie na obrazci není přítomna) jakož i základní hmota
kol nich jeví orientaci rovnoběžnou s povrchem.

Embryo člověka ze 7. més.

Rez horizontální chrupavkou žeberní tohoto stadia liší se značně od
předcházejícího. Na obou stranách pod perichondriem předním i zadním
jest zřetelně vyznačena úzká vrstva buněk i trámců paralellních s peri¬
chondriem. Za touto vrstvou následuje rovněž ne příliš široká vrstva,
kde trámce tvoři nepravidelnou síť struktury houbovité ; trámce peri-
chondria jsou uchýleny od perichondria pod ostrým úhlem a dlouhé osy
buněk neb skupin buněčných rovněž. Ostatní celý prostor mezi posled¬
ními dvěma vrstvami vyplněn jest chrupavkou, ve které zcela patrna
jest orientace trámců základní hmoty od předního perichondria k zad¬
nímu, tedy kolmo na povrch; rovněž tak orientovány jsou dlouhé osy
dutinek buněčných, obsahujících jeden neb více buněk v řadě. Část této
prostřední vrstvy zobrazena jest na tab. II. obr. 5.

Dítě iy4 roku staré.

Obr. 6. na tab. II. znázorňuje část sagittálního (příčného) řezu žeberní
chrupavkou dítěte IV4 r. starého. Pod perichondriem přední plochy žeberní
(na obrazci nahoře) i zadní plochy (na obr. dole) viděti pruhy přibližně
rovnoběžné s povrchem; vrstvička tato jest velice úzká. Pak nahoře i dole
následuje vrstva s pruhy nepravidelnými, takže vzniká struktura houbo¬
vitá. Široká prostřední část obsahuje pruhy zřejmě orientované od přední
plochy k zadní, které jsou spojeny šikmými příčkami. Dutinky mezi pruhy
jsou vyplněny řadami chrupá vkových buněk.

Dítě 2 r. staré.

Obr. 7. na tab. II. znázorňuje část horizontálního řezu (podélného)
chrupavkou žeberní dítěte 2 r. starého při značném zvětšení. Na obrazci

XI.

2 7

znázorněna vrstva pod periehondriem přední plochy chrupavky žeberní,
pak druhá vrstva houbovitá a začátek prostřední vrstvy. Jest viděti, že
trámce první vrstvy, čím vzdálenější jsou od povrchu, tím více zaujímají
šikmý směr ku povrchu, fakže pak vrstva první přejde do vrstvy druhé,
jejíž tramce obyčejně do mírného oblouku prohnuté, uzavírají s povrchem
přibližně úhel 45°. Na přechodu z druhé vrstvy do třetí zahýbají trámce
do směru kolmého na povrch přední plochy chrupavky.

Díté 5 r. staré.

Obr. 8. tab. III. znázorňuje prostřední zónu horizontálního řezu
chrupavkou žeberní dítěte 5 r. starého. Typická orientace trámců této
vrstvy, směřujících od přední plochy žeberní k zadní, jest při tomto sil¬
nějším zvětšení velmi patrna. V trámcích znatelný jsou tu a tam kollagenní
fibrilly, které mají směr společný s trámci.

Podotknouti dlužno, že toto typické uspořádání základní hmoty
chrupá vkové v žebrech dětských Jest na některých místech porušeno
cévami. V okolí cev totiž do určité vzdálenosti jest obyčejně základní
hmota uspořádána houbovitě i když céva probíhá třetí t. j. prostřední
vrstvou. Druhá změna v okolí cev týká se reakce základní hmoty, která
projevuje více basofilie a barví se proto na řezech po použití barvivá
Biondiova zeleně, jako těla buněk.

Díté 2 r. staré.

Obr. 9. tab. III. znázorňuje prostřední ěást frontálního řezu žeberní
chrupavkou dítěte 2 r. starého. Řezy frontální t. j. rovnoběžné s přední
a zadní plochou žebra jsou velmi pouěné, neboť nám osvětlují blíže archi¬
tekturu prostřední vrstvy chrupavkové, která se jeví na řezech sagittálních
a horizontálních jako pruhy orientované od přední plochy žeberní k zadní,
které ohraniěují podlouhlé dutiny, orientované stejně jako trámce. Na řezu
frontálním zasáhneme ony dutiny příěně a tu vidíme, že rozměry tohoto
příčného průřezu dutin jsou menší než jsme viděli na řezech sagittálních
a horizontálních a že většina dutin jest na řezu frontálním obrysů kulatých
neb vej čitých. Pruhy základní hmoty kolem dutin tvoří následkem toho
v prostřední vrstvě strukturu na řezu houbovitou, která se neliší od vrstvy
druhé. Řezy frontální střední vrstvou typické žeberní chrupavky jsou tak
charakteristické, že je každýma prvý pohled pozná od řezu sagittálního
a horizontálního.

Díté 10 r. staré.

Obr. 10. na tab. III. vzat jest z příčného neboli sagittálního řezu
žeberní chrupavkou 10 r. starého dítěte a znázorňuje hoření okraj hrany
žebra, kde přední plocha přechází do zadní plochy. Uspořádání pruhů
základní hmoty není třeba popisovati, jest dobře na obrázku patrno.
Orientace dutin buněčných a trámců ve směru od předního perichondria

XI.

23

k zadnímu jest i v hraně žeberní patrna, ač není takového stupně, jako na
další části řezu.

Člověk 79 r. starý.

Zkoumal jsem dále řezy všemi třemi směry vedené ze žeberní chru¬
pavky člověka starého 19, 21, 26, 29, 46, 54 a 79 roků a shledal jsem, že
místa složená z typické chrupavky, t. j. místa bez cev a bez přeměny
asbestové, shodují se s nálezy popsanými v chrupavce dětské. Toliko
snad v množství základní hmoty jest ten rozdíl, že v starších chrupavkách
bývají dutinky buněčné menší a méně četné a trámce základní hmoty
širší. Jako doklad slouží obraz 11. na tab. III., vzatý z prostřední vrstvy
horizontálního řezu žeberní chrupavkou člověka 79 r. starého.

Uložení fibrill.

Dosud všímali jsem si orientace toliko dutin buněčných (event.
buněk) a trámců základní hmoty. Zbývá všímnouti si směru kollagenních
fibrill. Fibrilly na preaparátech našich jsou patrny již v chrupavce dětské
a v starších chrupavkách jsou tím patrnější a sice hlavně ve vrstvě pro¬
střední, s trámci na povrch chrupavky kolmými. Ve vrstvě houbovité lze
je viděti jen tu a tam jako velejemné pletivo, ve vrstvě povrchní, rovnoběžné
s povrchem, jsem je nenašel. Tlouštka jejich jest různá, což zvláště jest dobře
patrno na řezech frontálních. Obr. 12. na tab. III. znázorňuje nám fibrilly
podélně zasažené ve prostřední vrstvě žeberní chrupavky člověka 26 r.
starého na řezu horizontálním. Reakce fibrill jest různá, ba i reakce jediné
fibrilly v celé její délce není často stejná; část fibrilly jeví acidofilii, část
basofilii. Jindy jest fibrilla současně acidofilní i basofilní, z čehož plyne
její zbarvení do červeno-modra. Část základní hmoty kolem buněk jest bez
fibrill a jeví basofilii. Z obrazce jest patrno, že směr fibrill se shoduje se
směrem trámců prostřední vrstvy, že tedy i fibrilly jsou orientovány od
předního perichondria k ploše zadní. Stejnou orientaci fibrill ukazují řezy
vedené příčně (sagittálně) žeberní chrupavkou.

Jinak však tomu jest na řezech frontálních. Na těch zasáhneme
většinu fibrill příčně jako body různé velikosti, ba někde vidíme celé sva-
zečky fibrill příčně říznuté. Takovou část frontálního řezu prostřední vrstvou
chrupavky žeberní člověka 26 r. starého vidíme znázorněnu na obr. 13.
tab. III. I zde okolí buněk, basofilní v menší míře než samotný buňky,
jest fibrill prosto.

Poznamenal jsem nahoře, že v okolí cev a tam, kde se objevuje
asbestová přeměna chrupavky žeberní, bývá v prostřední vrstvě místo
podélné orientace struktura houbovitá s basofilii. V takových místech také
orientace fibrill bývá jiná; fibrilly uloženy jsou nej častěji radiárně od
cévy; v místech asbestové přeměněných jsou fibrilly mnohdy paralelku
s dlouhou osou žebra, jindy šikmé k perichondriu, jindy jest orientace
obyčejná, totiž napříč dlouhé osy žebra.

XI.

24

Podaný popis řezů žeberními chrupavkami nej různějšího stáří slouží
za podklad schematického obrazu na tab. IV., kterým znázorněna jest
architektura typické žeberní chrupavky, tedy chrupavky hyalinní v ta¬
kových místech, kde není v ní cev ani jiných přeměn. Schéma obsahuje
jednak přední plochu žeberní chrupavky s perichondriem, jednak 5 řezných
ploch. Z těch tři náležejí řezům příčným neboli sagittálním (tyto jsou kolmé
k dlouhé ose žebra), jedna plocha patří řezu horizontálnímu a jedna plocha
řezu frontálnímu, vedenému od hoření hrany žebra doprostřed chrupavky
směrem k hraně dolejší. Schéma znázorňuje nám tedy vnitřní architekturu
základní hmoty v části skeletu, složené z hyalinní chrupavky, kterážto
část má tvar prutu se dvou stran zmačknutého (na příčném průřezu tedy
tvar přibližně elipsovitý) ; takové části představují nám po většině chru¬
pavky žeberní, spojující kosti žeber se sternem.

Určitá architektura základní hmoty v sklovité chrupavce lidských
žeber jest tedy dokázána. Všude tam, kde přítomna jest typická chru¬
pavka hyalinní bez cev a bez sekundárních přeměn, s popsanou archi¬
tekturou se určitě shledáme. Řezy frontální následkem toho se na první
pohled liší od řezu sagittálních a horizontálních. Nastává otázka, jak tuto
architekturu vyložiti. Proč největší část žeberní chrupavky, totiž ona mo¬
hutná prostřední zóna má orientovány dutiny buněčné a ploténky zá¬
kladní hmoty napříč dlouhé osy žebra v rovině horizontální? Proč není
orientace ona provedena s dlouhou osou žebra paralellně nebo proč ploténky
a dutiny nesměřují od hoření hrany k dolení?

Různé okolnosti nasvědčují tomu, že popsanou architekturu sluší
považovati z velké části za funkcionální.

Pro tento názor svědčí nej prvé vývoj a časový vznik onoho uspořá¬
dání v chrupavce. V prvních měsících embryonálního vývoje nevidíme
v chrupavce žeberní oné architektury. Ta se začíná jeviti teprve v druhé
periodě embryonální, takže již v 7. měsíci ji lze zjistiti. V chrupavce dětské
pak zvláště jest patrna a zachová se v permanentní chrupavce žeberní
až do pozdního stáří. Vylíčený časový rozvoj dá se uvésti ve spojení jedině
s funkcí těchto části skeletních. Funkce pak vzniká, jakmile vznikají pohyby
a to buď celého těla, bud pohyby dýchací. Pohyby celého těla nabývají
u plodu v druhé polovině nitroděložního života značného rozsahu, kromě
toho však tvrdí Ahlfeld, Dědek a j., že i pohyby dýchací již v této
době se začínají jeviti. Po porodu ovšem obojí pohyby nabudou velké inten¬
sity. Kromě toho však chrupavka žeberní může býti ve funkci aniž vůbec
nějaké pohyby tělo vykonává. Taková funkce vzniká, je-li chrupavka nucena
spolunésti tlak ostatních částí výše uložených, když na př. tělo leží na jed¬
nom boku nebo na zádech neb na přední ploše hrudníku. Tato funkce nastu¬
puje také, kdykoliv zevní síla tlačí kdekoliv na hrudník. A právě tato
funkce vyžaduje největšího odporu, jaký žeberní chrupavka musí vyvinout,
aby zevní sílu překonala. Jest třeba přihlédnout i poněkud blíže k takovému
případu. Každý pár žeber, upevněný na páteři a spojený chrupavkami

XI.

25

s kostí hrudní, možno považovati za jeden nosný systém, který tvoří klenutý
oblouk kolem dutiny hrudní. Klenba tato určena jest k tomu, aby zadržela
veškeré nárazy a tlaky zevního světa, směřující do dutiny hrudní. Mezi
nej častější síly takové, takto na klenbu hrudníku působící, náleží tlak vzni¬
kající při horizontální poloze těla. Tlak takový způsobí nepatrné zmáčknutí
klenbového oblouku, ostatní tlak se přenese do oblouku klenbového, kterým
jest nesen. Právě pak jako konstrukce klenby na př. z cihel jest břemenem
na ni tlačícím, stlačována tak, že jedna cihla, uložená na přič klenby styčnou
plochou tlačí na obě cihly sousední, dlužno si představiti, že jeden příčný
(sagittální) řez klenby žeberní tlačí na příčné řezy nebo segmenty sousední.
Tlak přenesený tedy působí ve směru dlouhé osy žebra tak, že na každý
myšlený příčný segment žeberní chrupavky působí tlak z jedné i druhé
strany. Na takový často se opakující tlak, který hledí chrupavku v dlouhé
ose jednak stlačiti, jednak ohnouti, reaguje základní hmota takovým ulo¬
žením trámců, že tyto jsou orientovány kolmo na tlak. A skutečně tomu
tak jest, jak tato theoretická úvaha vyžaduje. Orientace trámců základní
hmoty chrupá vkové jest provedena kolmo na dlouhou osu žebra, v kteréžto
ose uložen jest směr tlaku v chrupavce. Tím však ještě není vysvětleno
úplně uložení trámců. Orientace kolmo na dlouhou osu chrupavky žeberní
mohla by býti realisována také uložením trámců od hoření hrany žebra
k dolení, tedy v rovině vertikální ; proč však tomu u žebra tak není a proč
jest sice orientace kolmo na dlouhou osu žebra avšak v rovině horizontální?
Uvažuj eme-li o této otázce, dojdeme k poznání, že pevnost klenby proti
zevnímu tlaku jest větší při orientaci trámců v rovině horizontální než by
byla při orientaci v rovině frontální (vertikální). V posledním případě
by byla ohebnost chrupavky větší a opačně pevnost její na ohnutí menší
a proto vyklenutí její do dutiny hrudní neb na venek snazší.

Proti ohnutí v rovině frontální jest chrupavka žeberní dosti vyzbro¬
jena svým tvarem, na průřezu protáhle oválním. Tyč neb ploténka takového
příčného průřezu se ,,přes hranu" hoření neb dolení nesnadno ohýbá.
Snazší by bylo ohnutí přes plochu přední neb zadní tedy v rovině horizon¬
tální; tu snadnost zmenšuje orientace trámců základní hmoty v rovině
horizontální. Jest tedy pro ochranu obsahu dutiny hrudníkové výhodnější
orientace, jaká skutečně existuje t. j. kolmo na dlouhou osu žebra avšak
v rovině horizontální. Připustiti ovšem dlužno, že touto větší výhodností
není horizontální orientace vysvětlena do té míry, jako jsme se pokusili
vysvětliti zevní silou orientaci napříč dlouhé osy. Netřeba dokládati, že
orientace základní hmoty rovnoběžně s dlouhou osou by činila chrupavku
ještě ve větší míře ohebnější, kromě toho však tlak, šířící se v chrupavce
ve směru dlouhé osy, takovou orientaci zabraňuje.

Dosud věnovali jsme pozornost pouze prostřední vrstvě žeberní chru¬
pavky a vysvětlili jsme její architekturu funkcionálně. Druhá vrstva, která
kolkolem obklopuje vrstvu prostřední, má strukturu houbovitou. Vzhledem
k okolnosti, že trámce této vrstvy namnoze jsou oblouky, které navzájem

XI.

26

se křižujíce, dávají vznik oné houbovité vrstvě, považuji tuto vrstvu za
elastickou vložku, jejíž trámce působí jako pružná péra, zmírňujíce náhlý
účinek zevních sil a přenášejíce zevní sílu na nosnou vrstvu prostřední.
Jest možno, že na vytvoření této vrstvy mají vliv síly, které se snaží
chrupavku kroutiti kol její dlouhé osy.

Zevní vrstva pod perichondriem nemá podle našeho soudu strukturu
funkcionální, sloužíc toliko spolu s perichondriem ke spojení chrupavky
žeberní s tkání okolní.

Ještě jednu důležitou okolnost dlužno připomenouti : Popsaná archi¬
tektura vyskytuje se v žeberní chrupavce zřejmě oploštělé; čím více jest
chrupavka žeberní ploténkou s určitě vyznačenou přední a zadní plochou
a s hoření a dolení hranou, tím určitěji v ní najdeme popsanou architekturu.
Čím více se příčný (sagittální) průřez chrupavkou blíží kruhu, tím více jest
ona struktura neurčitou.

Nevěnoval jsem při hořejším výkladu žádné pozornosti silám, kterými
kontrakce jednotlivých svalů účinkují na chrupavku. Podle mého mínění
nejsou tyto síly v jednotlivých bodech, kde na povrch chrupavky tahem
působí, takové intensity, aby mohly na celkovou architekturu chrupavky
zvláště v její prostřední vrstvě míti vliv. Jmenované síly mohou vyvolati
určité struktury pouze v perichondriu a snad v povrchní vrstvě chrupavky.
Vnitřek chrupavky žeberní dlužno považovati za celek, na jejíž strukturní
orientaci účinkuje toliko stále se opakující síla, jakou jest stlačování chru¬
pavky při dýchání a pak tlak ze zevně jška na klenbu hrudní.

Podle podaného výkladu jest chrupavka žeberní nejvíce vyzbrojena
na tlak, účinkující na ni od konců v dlouhé její ose od hranic její v kostí
žeberní a hrudní. Za to lze dedukovati, že na tah v dlouhé ose jest slabě
zařízena. Je-li tomu tak, musí býti štěpit elnost chrupavky napříč dlouhé
osy její velmi značná, kdežto paralelně s osou dlouhou žádná neb nepatrná.
Budu míti v dalším pojednání příležitost popsati pokusy se štěpitelností
chrupavky žeberní, které naši theor etickou dedukci úplně v praxi potvrzují.

Shrnu-li výsledky dosavádních svých pozorování o architektuře
hyalinní chrupavky v přehled, zjistil jsem:

1. V typické hyalinní chrupavce žeberní u člověka nalézáme vždy
totéž určité uspořádání základní hmoty i buněk. Uspořádání toto jest
shodné v každém věku člověka a objevuje se již v posledních měsících doby
embryonální.

2. Uspořádání základní hmoty na řezech horizontálních a sagittálních
(u těchto nepřihlížejíc k hoření a dolení hianě) jest obdobné a záleží z 5
vrstev: dvou povrchních s trámci paralellními s perichondriem, dvou násle¬
dujících stiuktury houbovité a jedné vrstvy prostřední, největší část
tlouštky chiupavky žeberní zaujímající, s hlavními trámci orientovanými
kolmo na obě perichondria. Na řezech frontálních viděti jest, že ony trámce
jsou stěny dutin, protáhlých ve směru dorsoventrálním.

XI.

3. Buňky a skupiny buněčné jsou ukazateli orientace základní
hmoty, stavíce se svými dlouhými osami paralellně s trámci ve vrstvě
první a třetí a jsouce nepravidelně rozloženy ve vrstvě druhé, houbovité.
Stejně se skupinami buněčnými chovají se dutinky pro buňky.

4. Fibrilly v základní hmotě mají v prostřední vrstvě stejný směr
jako trámce základní hmoty. Zastihneme je tudíž v této vrstvě na řezech
sagittálních a horizontálních v průběhu podélném na řezech frontálních
příčně jako body.

5. Popsaná architektura v žeberní chrupavce člověka dá se z velké
části vyložiti funkcionálně. Orientace základní hmoty i buněk v prostřední
vrstvě napříč dlouhé osy klenby žeberní jest způsobena jednak zevním
tlakem, kterému klenba hrudníku jest vysazena, jednak stlačováním chru¬
pavky při dýchacích pohybech. Prostřední tato vrstva jest vlastní nosnou
vrstvou v chrupavce žeberní a stavba její jest obdobná, jako vidíme v klen¬
bách zdivá. Vrstva houbovitá působí jako elastická vložka při přenášení
sil na vrstvu nosnou a má snad vztah se silami, které se snaží žebro kroutiti
kol dlouhé osy. Zevní vrstva sprostředkuje spojení s perichondriem a okol¬
ními tkáněmi.

6. Typická tato architektura jest porušena všude v okolí cev, do chru¬
pavky vnikajících a pak do určité vzdálenosti od čáry ossifikační.

7. Při pochodu ossifikačním vyskytuje se rovněž určité uspořádání
základní hmoty chrupavkové, které však aspoň v prvních stadiích nelze
vyložiti funkcionálně, nýbrž silami vnitřními, růstem ossifikačního centra
vyvolanými. Architekturu onu možno proto nazvati roštovou, jak S c h a f-
f e r učinil.

8. V embryonální chrupavce žeberní v posledních měsících může
býti vedle sebe přítomna i architektura funkcionální i architektui a roštová.
Tato na předním konci již zkostnatělé části žebra, kde chrupavka se na¬
lézá v processu ossifikačním, ona v určité vzdálenosti od čáry ossifikační.
Podobně tomu jest v chrupavce dětské.

9. Pronesený výklad o funkcionální architektuře hyalinní chrupavky
žeberní u člověka jest třeba podepříti biologickým pokusem. Dokud ten
se nezdaří, nutno se spokojiti s pokusem fysikálním o štepitelnosti této
tkáně. Pokusy tyto, o nichž podám zprávu co nejdříve, potvrzují hoření
výklad.

10. Otázkou zůstává, zda popsaná architektura se získává funkcí
při vývoji ontogenetickém či zda některé její složky byly získány fylo-
genií a nyní se pouze dědí.

11. Mezi konstruktivním principem chrupavky žeberní a kosti žeberní
jest určitá shoda; v chrupavce žeberní jest v prostřední vrstvě orientace
základní hmoty horizontální a v kosti nalézáme horizontální ploténky.

XI.

28

VYSVĚTLENI K TABULKÁM.

Tab. I,

Obr. 1. Sagittální řez diaphysou III. metatarsu lidského embrya ze 3. měsíce.
Reich ert ok. 2, obj . 4.

Obr. 2. Horizontální řez z ossifikační čáry žebra dítěte 2 r. starého. Dole hou¬
bovitá trámčina základní hmoty chrupavkové, uprostřed zóna basofilní s podélnými
trámci základní hmoty, nahoře mladá kost s trámci rovněž podélnými. Reichert
ok. 4, obj. 4.

Tah. II.

Obr. 3. Část příčného řezu chrupavkou žeberní 10. žebra při konci sternálním
zárodku lidského ze 3. měs. Reichert ok. 4, obj. 8a.

Obr. 4. Část horizontálního řezu (prostřední zóna) žeberní chrupavkou lidského
embrya ze 4. měs. Reichert ok. 4, obj. 8a.

Obr. 5. Část horizontálního řezti (zóna prostřední) žeberní chrupavkou lidského
embrya ze 7. měs. Reichert ok. 4, obj. 8a.

Obr. 6. Část sagittálního řezu žeberní chrupavkou dítěte R/4 r. starého. Rei¬
chert ok. 2, obj. 4.

Obr. 7. Část horizontálního řezu žeberní chrupavkou dítěte 2 r. starého. Rei¬
chert ok. 4, obj . 8a.

Tab. III.

Obr. 8. Část prostřední zóny horizontálního řezu žeberní chrupavkou dítěte 5 r.
starého. Reichert ok. 3, obj. 8a.

Obr. 9. Část prostřední zóny frontálního řezu žeberní chrupavkou dítěte 2 r.
starého. Reichert ok. 3, obj. 8a.

Obr. 10. Sagittální řez hoření hranou žeberní chrupavky dítěte 10 r. starého.
Reichert ok. 3, obj. 4.

Obr. 11. Část prostřední zóny horizontálního řezu žeberní chrupavkou člověka
79 r. starého. Reichert ok. 3, obj. 8a.

Obr. 12. Fibrilly v prostřední zóně horizontálního řezu žeberní chrupavkou
člověka 26. r. starého. Z e i s s komp. okul. 6, obj. 2 mm.

Obr. 13. Fibrilly v prostřední zóně frontálního řezu žeberní chrupavkou člověka
26. r. starého. Z e i s s komp. okul. 6, obj. 2 mm.

Tab. IV.

Obr. 14. Schematický obrazec architektury v sklovité žeberní chrupavce člověka.
Podle návrhu autorova nakreslil p. M. U. Dr. A. P ů 1 k ra b e k, sek. lékař kr. z. na-
lezince v Praze.

XI.

LITERATURA.

Albert E.: Einfíihrung in das Studium der Architektur der Róhrenknochen . Wien 1900.

— Architektura kosti stehenní u člověka. Čes. akademie. 1900.

— Die Architektur der Tibia. Wiener mediz. Wochenschr. 1900.

— Die Architektur des menschl. Talus. Wiener kliň. Rundschau. 1900.

— Die Architektur des menschl. Fersenbeines. Wiener mediz. Presse. 1900.

— Architektura kosti ramenní u člověka. Čas. čes. lék. 1900.

— Die Architektur d. m. Ulna. Wiener kl. Rundschau 1900.

Aeby: Zur Architektur der Spongiosa.

Centralblatt ftir die mediz. Wissensch. 1873.

K. Bardeleben: Beitráge zur Anatomie der Wirbelsáule. Jena 1874.

Bigelov: The true neck of the íemur. The Boston med. and surg. Journ. 1875.
Bourgery: Traite complet de T anatomie de 1’homme. Paris 1832.

Butschli O.: Zur Kenntnis der Teilungsprocesse der Knorpelzellen. Zeitschr. f. wiss,
Zoll. Bd. 29. 1877.

— Untersuchungen liber Stiukturen. Mit Atlas. Leipzig. 1898.

Culmann: Die graphische Statik. Ztirich 1866.

Dwight: On the „True Neck". Journ. of Anat. and Physiol. 1875.

Ebner: tíber den feineren Bau der Knochensubstanz. Wiener Sitzgsber. 1875.

— Untersuch. tib. d. Ursachen der Anisotropie organisierter Substanzen. Leipzig 1882,
Engel J.: Uber die Gesetze der Knochenentwickelung. Sitzb. d. Wiener Acad. d.

Wiss. VII. B. 1851.

Friedlánder: Beitrag z. Kenntnis der Architektur spongióser Knochen. Anat. Hefte
1904.

Gerbhardt: Uber den funktionellen Bau einiger Zahne. Roux Arch. Bd. X. 1901.

— Ueber funktionell wichtige Anordnungsweisen der gróbern und feineren Bauele-

mente des Wirbeltierkncchens. Roux Archiv 1901. Bd. XII. S. 191.

Hammer J. A.: Ueber den feineren Bau der Gelenke I. Die Gelenkmembran II. Der
Gelenkknorpel. Arch. f. m. Anat. Bd. 43. 1894.

Hansen F. C. C.: Eine zuverlássige Bindegewebsfárbung. Anat. Anz. Bd. 15. 1898.

— Uber die Genese eigener Bindegewebssubstanzen. An. Anz, Bd. 16. 1899.

— Untersuchungen liber die Gruppe der Bindesubstanzen I. Hyal. Knorpel. Anat.

Hefte. 1905.

Hultkrantz J. W.: Das Ellenbogengelenk und seine Mechanik 1897.

Humphry G. M.: A treatise of the human skeleton. Cambridge. 1858.

Kaneko J.: Ktinstliche Erzeugung von Margines falciformes und Arcus tendinei.

Arch. Entwicklungsmech. XXIII. B. 3. H. 1904.

Kassowitz M. : Die normále Ossification u. die Erkrankungen etc. Mediz. Jahrbticher
1879. Ibid. 1880.

Langerhans R.: Beitráge zur Architektur der Spongiosa. Virchows Archiv 61. B.
Lankester E.: Skeletotrophie Tissues and coxal glands etc. Quarterby journal of Mi¬
kroskop. scien. Vol. XXIV.

Lewy O.: Ueber den Einfluss von Zug auf die Bildung faserigen Bindegewebes. Arch.
f. Entwickl. Med. B. XVIII, 2. H. 1904.

Meyer G. H.: Die Architektur der Spongiosa. Arch. f. Anat., Physiologie u. wissensch.
Medizin v. Reichert-Du Bois-Reymond 1867.

— Die Statik u. Mechanik des menschl. Knochengertistes. Leipzig 1873.

XI.

30

Meyer G. H.: Der Mechanismus der Kniescheibe. Arch. f. Anat. u. Physiologie. Anat.
Abt. 1880 pag. 280.

Meyer H v.: Zur genaueren Kenntnis der Subst. spong. der Knochen. Festschrift f.

Bischoff. Stuttgart 1882. Separatabdr. aus den Beitrágen zur Biologie.

Mollier: Ueber Knochenentwickelung. Sitzber. d. Ges. f. Morphol. u. Physiol. Munchen
1910. 10. Januar.

Morawitz P : Zur Kenntnis der Knorpelkapseln and Chondrinballen des hyalinen
Knorpels. Anat. Anz. 60. B. 1902.

Morner C. Th.: Histcchemisclie Beobachtungen uber die hyalinen Grundsubstanzen.
des Trachealknorpels. Z. 1 physiol. Chemie. Bd. 12. 1888. Chemische Studien
uber den Trachealknorpel. Skandinav. Arch. f. Physiologie. Bd. 1. 1889.
Morochowetz L.: Zur Histochemie des Bindegewebes. Verh. d. naturhist.-med.

Vereins in Heidelberg. I. B. 1876.

Prenant A.: Traité ďhistologie. T. I., pag. 650.

Ranvier L.: Traité technique ďhistologie. 2ěme ed. Paris 1889.

Rasumowsky W.: Beitrag zur Architektonik des FuBskelettes. Inter. Monatschr. f.
Anat. u. Phys. Bd. VI. 1889.

Renaut J.: Sur les grcupes isogéniques des éléments cellulaire du cartilage.

Compt rendus de 1’Acad. de Sciences 1878.

— Traité ďhistologie practique. T. I, p. 389 — 399.

— Sur la bandě articulaire, la formaticn cloissonante et la substance chondrochroma-

tique des cartilages diarthrodiaux. Compt. rendus. Tome 104. 1887.

Romeis: Die Architektur des Knorpels vor der Osteogenese und in der ersten Zeit
derselben. Arch. Entw. Mech. Bd. 31. 1911, p. 387-422.

Rosenthal O. : Úber die Veránderungen des Knorpels vor der Verknóclierung. Inaug.
Dissert Berlin 1875.

Roux: Struktur eines hoch differenzierten bindegewebigen Organs. Arch. f. Anat.
u. Physiol. Anat. Abt. 1883.

Schaffer: Die Verknocherung des Unterkierfers u. die Metaplasiefrage. Arch. f. mikrosk.
Anat. B. 32. 1888. pag. 374.

— Ueber das knorpelige Skelett von Ammocoetes branchialis etc. Zeitschr. Wiss.

Zool. Bd. 61. 1896, p. 62.

— Ueber den feineren Bau u. Entwickelung des Knorpelgewebes. Zeitschr. f. wiss.

Zool. Bd. 70. 1901.

- — Knorpelkapseln und Chondrioballen. Anat. Anz. 1903.

— Uber den feineren Bau und die Entwickelung des Knorpelgewebes und úber ver-

wandte Formen der Stutzsubstanzen. Zeitschr. f. wiss. Zoologie, 80. B. 1906.
- — Trajektorielle Strukturen im Knorpel. Vehandl. d. anat. Gess. 1911. Ergánzheft
z. XXXVIII. Bd.

Schmiedeberg O.: Ueber die chemische Zusammensetzung des Knorpels. Arch. f . exper.
Pathol. u. Pharmak. Bd. 28. 1891.

Schmiedt. R.: Vergleichend anat. Studien úber den mechanischen Bau der Knochen
und seine Vererbung. Leipzig 1898.

Solger B: Ueber die Schrumpferscheinungen am hyalinen Knorpelgewebe des Menschen
und deren Beziehung zu den Fibrillen. Arch. f. m. Anat. Bd. 31. 1888
- — Uber die Architektur der Stútzsubstanzen. Leipzig 1892.

- — Der gegenwártige Stand der Lehre von der Knochenarchitektui . Untersuch. zur
Naturlehre d. Menschen u. d. Tiere. 16. Bd. 1896.

■ — Spongiosaarchitektur in einer geheilten Fraktur des Oberschenkelhalses und in
einem Pirogofísclien Stumpfe. Deutsche mediz. Wochenschr. 1901.

Studnička F. K. : Uber einige Pseudostrukturen der Grundsubstanz des Hyalinknorpels.
Arch. f. m. A. 66. B. 1905.

XI.

31

Srdínko O.: O významu isogenetických skupin a řad buněčných v hyalinní chrupavce.
Věstník král. čes. společ. nauk. 1911.

Strelzoff: tíber die Histogenese des Knochens. Unters. aus d. pathol. Inst. zu Ziirich.
Eberth. I. H. 1873.

Thoma R.: Synostosis suturae sagit. cranii. Ein Beitrag zur Histomechanik des Ske-
letts etc. Virchows Archiv 1907.

Thiirler: Studien uber die Funktion des fibrosen Gewebes. Inaug Dissertation. Zurich
1884.

Triepel: tíber mechanische Strukturen. Anat. Anz. 23. Bd. 1903.

- — Einfiihrung in die physikalische Anatomie. I-II. Th. 1902, III. Th. 1908.

Ward F. O.: Outlines of human Osteology. London 1838.

Wolfi J. : tíber die innere Architektur der Knochen, Virchows Arch. 1870 Bd. L. S. 389.

— Das Gesetz der Transformation der Knochen. Berlin 1892.

— Die Lehre von der funktionellen Knochengestalt. Virchows Arch. 1899. Bd.

CLV. S. 307, 309.

■ — tíber die normále u. pathol. Architektur der Knochen. Arch. f. Physiologie, Jalirg.
1901. Suppl. B.

Wkdfermann: Beitrag z. Kenntnis der Architektur der Knochen. Reicherts u. Du
Bois-Reymonds Archiv 1872.

Wolters: Zur Kenntnis der Grundsubštanzen und der Saftbahnen des Knorpels. A. f.
m. A. Bd. 37. 1891.

Zaaijer: De Architektur der benderen. NederlandschTijdschrift voor geneeskunde 187.1 .

XI.

O. Srdínko: Architektura hyalinní chrupavky,

Tab. I

Obr. i.

Obr. 2.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 11

O. Srdí inko : Architektura hyalinní chrupavky.

Tas. II .

i

Obr. 6.

Obr. 7.

„UNIE" PRAHA .

E Netušil ad nátur, delin.

Rozpravy II. třídy České Akademie roč.1914 čís. 11.

•O. Srdínko: Architektura hyalinní chrupavky.

Tab.III.

í Netušil ad nátur, delin.

Obr. 11.

4

M

■m

'

0br 12- Obr. 13.

Rozpravy Ií. třídy České Akademie roč.1914 čís. 11

„UNIE" PRAHA .

O. Srdínko : Architektura hyalinní chrupavky.

Tab.IY

UNIE ’* PRAHA .

DTA.Půlkrabek dělili.

Rozpravy II. třídy České Akademie roč.1914 čís. 11

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 12.

O zobecněném cylindroidu.

Napsal Dr. Václav Simandl,

assistent české techniky v Brně.

Předloženo dne 30. ledna 1914.

Obsah:

I. O zobecněném páru osovém lineárního komplexu.

1. Společné konjugované poláry vzhledem k dané ploše 2. stupně W1 a

k danému lineárnímu komplexu.

2. Speciální případy.

II. O zobecněném cylindroidu.

3. Zobecněný cylindroid jest sborcená plocha stupně čtvrtého se dvěma

dvojnými řídicími přímkami.

4. Sestrojení zobecněného cylindroidu. Dvě význačné involuce přímek na

něm.

5. Případ, kdy absolutní plocha 9l2 jest plochou sborcenou.

6. Sestrojení rovinného řezu plochy P4 a jejího obrysu při promítání

centr álném.

7. Speciální polohy základní kongruence komplexového svazku S1 ku

absolutní ploše 2l2.

8. Zobecněný cylindroid pro absolutní plochu degenerovanou.

Z theorie svazku lineárních komplexů jest známo, že geometrické
místo os lineárních komplexů svazku jest sborcená plocha stupně třetího
cylindroid a někde též Plúckerův konoid zvaná. V této práci budeme
studovati syntheticky projektivně zobecnění tohoto geometrického místa,
to jest budeme studovati geometrické místo t. ř. zobecněných párů oso¬
vých lineárních komplexů daného svazku. Zobecněným párem osovým
daného lineárního komplexu rozumíme společný pár konjugovaných
polár daného komplexu a určité pevné plochy stupně druhého, kterou
nazývati budeme plochou absolutní, neboť když ji nahradíme absolutní
neboli kulovou kružnicí v nekonečnu bude náš zobecněný pár osový pře-

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 12.

XII.

I

2

cházeti v obyčejnou osu lin. komplexu a k ní kolmou přímku v rovině
nekonečně vzdálené. Takto definován jest zobecněný pár osový v knize:
Clebsch-Lindemann: Vorlesungen uber Geometrie (II, 1) pag. 348., kde
dále též jest stanovena rovnice plochy „zobecněných párů osových" li¬
neárních komplexů daného svazku, rovnice t. ř. zobecněného cylindroidu.

I.

O zobecněném páru osovém lineárního komplexu.

1. Společné konjugované poláry vzhledem k dané ploše 2. stupně a k danému

lineárnímu komplexu.

Dána bud plocha 2. stupně 5l2 a lineární komplex Y. Polaritou
plochy 2í2 přísluší komplexu T určitý lineární komplex Y'. Oba lineární
komplexy TaT' pronikají se v určité lineární kongruenci, jejíž řídicí přímky
o a o' jsou konjugovánými polárami ku 5Í2 i ku V. Pár přímek těchto
budeme nazývati zobecněným párem osovým komplexu Y vzhledem
ku 2Í2 jako ploše absolutní. V případě obecném existuje k danému line¬
árnímu komplexu jeden zobecněný pár osový, neb snadno lze nahlédnouti,
že kdyby existovalo jich více, že by se komplex Y stotožnil s komplexem Y',
neb dva lineární komplexy mohou mí ti pouze jednu lineární kngruencx
společnou, aniž by se stotožnily. Nastal by tu případ, kdy lineární komplex
jest vzhledem ku W polárně invariantním a o tom pojednáme zvlášť.
Máme pak větu:

V případě obecném existuje jen jeden pár konjugova-
ných polár vzhledem k dané ploše 2. stupně W a k danému
lineárnímu komplexu Y. Pár ten nazývati budeme zobecně¬
ným párem osovým komplexu T vzhledem ku 5l2 jako ploše
absolutní.

U sborcené plochy 2. stupně (srv. Sturm: Liniengeometrie I., pag. 101)
vytíná lineární komplex z každého systému jejich přímek dvě přímky
tak, že dostáváme prostorový čtyřúhelník. Pár diagonál tohoto prosto¬
rového čtyřúhelníka jest patrně párem konjugovaných polár i vzhledem
k naší ploše 2. stupně i lineárnímu komplexu a tedy zobecněným párem
osovým.

Provedme konstruktivní úlohu:

Lineární komplex jest dán dvěma páry konjugovaných
polár, jest sestrojiti jeho zobecněný pár osový vzhledem
k dané absolutní ploše 5l2.

Označme si páry daných konjugovaných polár daného lineárního
komplexu a, a ; b, /3; kteréžto přímky, jak z nauky o lineárních kom¬
plexech známo, musí býti voleny tak, aby tvořily hyperboloidickou čtve-
řinu přímek. Budte a' , a ; b' , /3' postupně jejich konj. poláry vzhledem
ku $l2. Sestrojme si dále obě transversály čtyř přímek: a, a, a' , a a označme

XII.

3

si je r, r'. Podobně transversály přímek: b, p, b', p’ , budtež s, s'. Páry
transversál r, r' ; s , s' ; jsou opět páry konj. polár absolutní plochy, neboť
každý tento pár jest párem transversál dvou párů konj. polár absolutní
plochy. Zároveň vidíme, že přímky r, v', s, s' jsou čtyřmi přímkami kom-
plexovými a tudíž jejich obě společné transversály o, o ' lze pokládati za
pár konj. polár daného lineárního komplexu. Avšak též tvoří přímky o, o'
pár konj. polár plochy W1 a to zase z důvodu, že jsou transversálami dvou
párů konj. polár této plochy, totiž párů r, r' ; s, s'. I vidíme, že pár přímek
o, o' jest hledaným zobecněným párem osovým našeho lineárního kom¬
plexu.

Nahradíme-li plochu absolutní kulovou kružnicí v nekonečnou,
dostáváme osu našeho lineárního komplexu jako orthogonální transver-
sálu orthogonálních transversál párů mimoběžných přímek a, a; b, p.

2. Speciální případy.

Uvažujme ten speciální případ, že jeden systém přímek absolutní
plochy 2l2 náleží lineárnímu komplexu T, jehož zobecněný pár osový
hledáme. V druhém systému přímek plochy 2l2 budou tyto tvořiti oby¬
čejnou involuci, jejíž páry jsou páry konj ugovaných polár komplexu V
a dvě přímky samodružné a, b jsou dvěma přímkami náležejícími kom¬
plexu T. Vidíme ihned z toho, že komplex V jest polárně invariantním
vzhledem ku 2l2, neboť páry jeho konj. polár v druhém systému přímek 9I2
polaritou samy v sebe přecházejí. Dokážeme větu:

Je-li lineární komplex T ku absolutní ploše %2 polárně
invariantním, tu má oo2 zobecněných párů osových, které
vyplňují lineární kongruenci, jejímiž řídicími přímkami jsou
samodružné přímky a, b involuce konj ugovaných polár kom¬
plexu, kterou tento v jednom systému přímek %2 indukuje.

Libovolné přímce p lineární kongruence [a b] jakožto spojnici bodů
A, B na přímkách a , b odpovídá jako konj ugo váná polára plochy W
přímka p' jako průsečnice rovin a, p přímkami a, b. Roviny a, p, jsou
patrně tečnými rovinami plochy 9l2 v bodech A , B ; zároveň pak jsou
tyto body nullovými body oněch rovin v nullovém. systému komplexu V,
neboť přímky a', b', ve kterých roviny a, p ještě %2 protínají, jsou přím¬
kami systému, který celý náleží komplexu. Jsou tedy p, p' též konjugo-
vanými polárami F, jak bylo dokázati.

Že jiné páry konj. polár mimo polárně invariantní páry lineární
kongruence [a b ] nemůžeme pokládati za zobecněné páry osové vyplývá
z toho, že tečné roviny ku průsečíkům libovolné přímky s plochou 5l2
nejsou nullovými rovinami těchto bodů.

Když nahradíme absolutní plochu 5Í2 kulovou kružnicí v nekonečnu,
tu máme každý speciální lineární komplex, který má svou osu neboli
-řídicí přímku v rovině nekonečně vzdálené, polárně invariantním vzhledem

XII.

4

ku kulové kružnici. Naši lineární kongruenci oc2 os tohoto specielního
komplexu representují zde jednak všecky přímky roviny nekonečně
vzdálené, jednak prostorový svazek přímek procházejících polem ří¬
dicí přímky speciálního komplexu vzhledem ku kulové kružnici.

Všimněme si nyní speciálního případu, kdy 5l2 degeneruje v kuželo¬
sečku nebo v kužel druhé třídy.

Dán budiž lineární komplex F
a absolutní kuželosečka a2 v rovině %.
Budiž P nullový bod roviny % v nul-
lovém systému definovaném komple¬
xem F. Poláru bodu P vzhledem
ku a2 označme o. Jest pak speciální
lineární komplex T' o řídicí přímce o
polárním ku komplexu V vzhledem
ku a2. V polaritě kuželosečky a2 od¬
povídají přímky rovinného pole n
přímkám komplexu Y, které v ro¬
vině n neleží. Přímkám komplexu Y
v n ležícím odpovídají zase přímky
komplexu F' v n neležící.

Dán budiž lineární komplex Y
a absolutní kužel druhé třídy a2
o vrcholu P. Budiž n nullová ro¬
vina bodu P v nullovém systému
definovaném komplexem F. Po¬
láru roviny % vzhledem ku a2 označ¬
me o. Jest pak speciální lineární
komplex Y' o řídicí přímce o po¬
lárním ku komplexu Y vzhledem
ku a2. V polaritě kužele a2 odpoví¬
dají přímky prostorového svazku P
přímkám komplexu T, které bo¬
dem P neprocházejí. Přímkám kom¬
plexu T bodem P procházejícím od¬
povídají zase přímky komplexu Y'
bodem P neprocházející.

Pronik komplexů T a T' jest lineární kongruence o řídicích přím¬
kách o, o', kde o' jest ku o konjugovaná polára vzhledem ku komplexu Y.
Pár o, o' můžeme pak považovati za zobecněný pár osový komplexu Y
vzhledem ku naší degenerované ploše absolutní.

II.

O zobecněném cylindroidu.

3. Zobecněný cylindr oid jest sborcená plocha stupně čtvrtého se dvěma dvoj¬
nými řídicími přímkami.

Bud dán svazek lineárních komplexů 5X a budte m, n řídicími piím-
kami základní lineární kongruence tohoto svazku. Zobecněné páry osové
jednotlivých komplexů našeho svazku vyplňují určitou plochu sborcenou,
kterou budeme nazývati zobecněným cylindroidem. Ježto každé dva
páry konjug ováných polár téhož lineárního komplexu leží na hyperboloidu
neboli tvoří hyperbol oidickou čtveřinu přímek, můžeme náš problém též
takto formulovati.

Jest nalézti geometrické místo párů konjugovaných polár dané
plochy 2Í2, které s danými dvěma mimoběžkami tvoří hyperboloidickou
čtveřinu přímek.

XII.

5

Sestrojme ku přímkám m, n jich konj. poláry vzhledem ku 5Í2, ty
si označme m' , rí. Buďte pak p, q společné transversály čtyř mimobežek
m, n, m' , rí. Tyto transversály p, q jsou patrné párem konjugovaných
polár 2l2, neboť jsou transversálami dvou párů konj. polár vzhledem ku
této ploše. Na přímce p vytknéme si libovolný bod P a uvažujme svazek
paprskový v roviné 7t tímto bodem a transversálou q proložené. Jednot¬
livé přímky tohoto svazku (. P rí) stanoví s přímkami m, n sborcené hyper¬
boloidy a tak dospěj eme ku speciálnímu svazku těchto ploch prostorovým
čtyřstranem procházejících, jehož strany tvoří m, n, q a transversála ve¬
dená bodem P ku mimoběžkám m, n, totiž přímka p. Přímky první
soustavy těchto hyperboloidů jsou přímky lineární kongruence o řídicích
přímkách p, q. Vytknéme si v této kongruenei svazek přímek (Pf rí), který
jest polárné konjugován svazku (P n) vzhledem ku 2Í2. To jest vždy mežno,
ježto kongruence [p, q\ jest vzhledem ku 2l2 polárně invariantní. Přímky
svazku (P' rí) náleží jednotlivě též hyperboloidům našeho speciálního svazku
těchto ploch. Odpovídají si tudíž jednotlivé přímky svazku (P %) a jednot¬
livé přímky svazku (P' rí) jako páry přímek, které s přímkami m, n tvoří
hyperboloidickou čtveřinu. Avšak též přímkám svazku (P *) možno
přiřaditi přímky svazku (P' rí) jako konj. poláry vzhledem ku absolutní
ploše 3l2. Mamě tedy v rovině %' a o vrcholu P' dva projektivně svazky
paprskové a dvěma koincidenčním paprskům této projektivity přísluší
dva paprsky ve svazku (P rí). Tak máme stanoveny každým bodem P
přímky p dvě přímky, z nichž každá se svou konj. polárou vzhledem ku W
tvoří s přímkami m, n hyperboloidickou čtveřinu. Tyto naše dvě přímky
bodem P proťnejtež q v bodech Qf, Q". I přísluší tak každému bodu P
na p dva body Qr, Q" na q. Zcela analogicky se dokáže že každému bodu
na q přísluší dva body na p. Máme tedy bodové řady dvou mimobežek p, q
vztaženy k sobě určitou korrespondencí [2, 2] a výtvorem této korrespon-
dence jest, jak známo, sborcená plochastupně čtvrtého o dvou řídicích
přímkách dvojných, totiž přímkách p, q. Máme tedy věty:

Geometrické místo párů konjugovaných polár dané
plochy 2. stupně 2l2, které s libovolnými dvěma přímkami m, n
tvoří hyperboloidickou čtveřinu, jest sborcená plocha P4
stupně čtvrtého se dvěma řídicími dvojnými přímkami. Tyto
dvojné přímky jsou společné transversály přímek m, n a jich
konj. polár m’ , rí vzhledem ku 2í2.

Považuj eme-li 5l2 za absolutní plochu, možno plochu P1
považovati za geometrické místo zobecněných párů osových
lineárních komplexů svazku o základní kongruenci \m, rí],
a nazvati zobecněným cylindroidem.

Specielním případem této definice zobecněného cylindr oidu pro
Píuckerův konoid jest patrně definice tohoto jako geometrického místa
vrcholových tečen všech orthogonálních hyperbolických paraboloidů da¬
nými dvěma mimoběžkami proložených.

XII.

6

4. Sestrojení zobecněného cylindr oidu. Dvé význačné involuce přímek

na ném.

Našemu zobecněnému cylindroidu P4 náleží též páry přímek m, m' ;
n, rí\ že jsou konjugovány vzhledem ku 9l2, plyne z předpokladu, mimo
to pak prvý pár jest párem konj. polár vzhledem ku speciálnímu line¬
árnímu komplexu našeho svazku o řídicí přímce m, druhý pak ku speci¬
álnímu lineárnímu komplexu o řídicí přímce n.

Přistupme nyní ku konstrukci naší plochy. Budte p, q opět spo¬
lečné transversály čtyř přímek m, n, m’ , n' , Vytkněme si libovolnou
přímku l lineární kongruence \m, n\ bud V konj. polára této přímky vzhle¬
dem ku 2l2. Sestrojíme-li pak společné transversály r, s čtyř mimoběžek
l, V, p, q, máme již dvě povrchové přímky naší plochy. To jest dokázatň

Že r, s jsou konj. polárami 2l2, jest patrno z toho, že jsou společnými
transversálami dvou párů konj. polár plochy 2l2. Aby bylo patrno, že r, s
jsou skutečně zobecněným párem osovým nějakého komplexu našeho
svazku komplexového, zbývá dokázati, že čtyři přímky m, n, r, s leží
na hyperboloidu. To však lze nahlédnout! z toho, že tyto čtyři přímky
protínají vesměs tři přímky p, q, l, čili, že jsou obsaženy v druhém sy¬
stému přímek hyperboloidu (p, q, l).

Ježto přímka l může nabýti oo2 různých poloh v lineární kongruenci
[m, n], zdálo by se, že tímto způsobem dospějeme ku oo2 párům přímek r, s,
avšak ku oo1 polohám přímky l v prvním systému hyperboloidu (p, q, l)
přísluší týž pár přímek r, s. Existuje tedy oo1 párů r , s jež vyplňují zobec¬
něný cylindr oid P4.

Jelikož každý pár r, s s pevným párem přímek m, n leží na hyper¬
boloidu, tu tvoří, jak z theorie ploch stupně čtvrtého o dvou dvojných
přímkách známo [Sturm: Liniengeometrie III., pag. 106], tyto páry
involuci na P4, která má však čtyři samodružné elementy, ježto plocha P4
jest nositelem rodu 1. S každou takovou involuci, jak známo, existuje
,, spojená involuce", totiž souhrn párů přímek na ploše, které s kterýmkoli
pevným párem přímek původní involuce tvoří hyperbol oidickou čtveřinu
přímek. Tak ku kterémukoli pevnému páru involuce přímek r , s existuje
spojená involuce, které přísluší patrně páry m, n\ mr, n' ; tuto involuci
nazveme první význačnou involuci na zobecněném cylindroidu,
involuci pak s touto první involuci spojenou, totiž involuci přímek r, s,
ku které náleží též zejména páry m, m' ; n n' nazveme diuhou význač¬
nou involuci na zobecněném cylindroidu. Páry této druhé vý¬
značné involuce jsou zároveň páry konjugovaných polál plochy 5l2. Z toho
ihned plyne, že samodružné čtyři přímky této involuce leží na ploše
a že tyto čtyři přímky jsou částí proniku zobecněného cylindroidu s abso¬
lutní plochou.

U Plůckerova konoidu tvoří patrně první involuci páry přímek od
středu konoidu stejně vzdálených a ležících v rovinách osou konoidu pro¬
ložených, které svírají stejné úhly s oběma přímkami konoidu středem

XII,

7

jeho procházejícími. Druhou význačnou involuci tvoří páry přímek sklá¬
dající se z kterékoli přímky konoidu a přímky k ní kolmé v rovině neko¬
nečně vzdálené, kteroužto rovinu nutno ke konoidu počítati, když k němu
docházíme specialisací zobecněného cylindroidu P4, když absolutní plochu W
nahradíme kulovou kružnicí v nekonečnu. Svrchu uvedená konstrukce
párů přímek r, s zobecněného cylindroidu jest, jak snadno lze seznati,
projektivním zobecněním z deskriptivní geometrie známé konstrukce
přímek konoidu Plůckerova jako os ku ose a ku kterékoli příčce dvou
libovolných mimoběžek v prostoru.

o. Případ, kdy absolutní plocha 9I2 'jest plochou sbovcenou.

Je-li absolutní plocha 5Í2 sborceným hyperboloidem, docházíme
zejména ku některým jednoduchým konstruktivním výsledkům realitou
přímek plochy 2l2 podmíněným a proto o tomto případě pojednáme zvlášť.

Buďte zase m, n řídicími přímkami základní kongruence komple-
xoveho svazku Sý. Tento komplexový svazek 5^ vytíná komplexovými
přímkami jednotlivých svých lineárních komplexů z každého systému
přímek plochy 2t2 páry obyčejné involuce J1 a J2 a páry těchto involuci
témuž komplexu odpovídající jsou si projektivně přiřazeny. Každý pár
se sobě přiřazeným párem tvoří prostorový čtyřúhelník a pár diagonál
tohoto čtyřúhelníka jest párem přímek na zobecněném cylindroidu P4
neb jest patrně i párem konj. polár plochy 2l2 i lineárního komplexu svazku,
který čtyřúhelník na 5Í2 vytíná.

Vytínejtež dva lineární komplexy T1 a T2 našeho komplexového
svazku o základní kongruenci [m, n\ z přímek prvního systému plochy 9Í2
přímky av b1; a2, b2\ z přímek pak druhého systému přímky a{ , 6/;
a2, b2. První dva páry těchto přímek stanoví involuci Jv druhé pak
involuci J 2. Ukážeme, kterak z těchto párů přiřazených párů sestrojíme
další svrchu uvedenou projektivností přiřazené páry obou involuci Jx a J2.

Bud a3, b3 libovolný pár involuce Jv ku kterému jest sestroj iti pro¬
jektivně přiřazený pár involuce J2. Uvažujme libovolný bod P přímky a3
(nebo též b3), bodem tím jsou současně vytčeny dvě roviny, totiž tečná
rovina tc hyperboloidu 5l2 v tomto bodě a rovina p stanovená přímkou a3
a transversalou v bodem P ku řídicím přímkám m, n vedenou. Vidíme, že
proběhne-li bod P přímkou a3, že dostaneme na této přímce jakožto ose
dva projektivně svazky rovin n a rovin q. Dvě samodružné roviny těchto
projektivných svazků rovinových vytínají z přímek druhého systému
plochy 2l2 přímky a3 , b3 , jež v projektivností našich involuci odpovídají
páru přímek a3, b3.

Dále dokážeme větu:

Každou pro j ekti vnost dvou libovolných obyčejných in-
volucí přímek v různých přímkových systémech daného hy¬
perboloidu lze pokládati za proj ektivnost indukovanou ně-

XII.

8

jakým svazkem lineárních komplexů. Svazků komplexových
této vlastnosti existuje oo1.

Buďte av bx ; a2, b2 ; a3, b3 libovolné páry involuce v prvním systému
a ax bx ; a2, b2 ; &3' páry involuce v druhém systému hyperboloidu

postupně projektivně prvním párům odpovídající. Buďte m1 nx diagonál-
nými stranami prostorového čtyřúhelníka o stranách a1 bx; ax, bx, a
m2, n2 diagonálnými stranami čtyřúhelníka a2, b2 ; a2 b2 . Dva svazky
lineárních komplexů Sx a 5/' o základních lineárních kongruencích [m1 %]
a \m2 stanoví komplexový lineární systém stupně třetího S3, totiž
systém všech oo3 lineárních komplexů procházejících komplexovými
přímkami u, v, kde u, v jsou společnými transversálami čtyř piímek mv
nv m2, n2. Uvažujme nyní libovolný lineární komplex T ze svazku všech
komplexů procházejících přímkami a3, a3 , u, v. Tímto komplexem T pro¬
ložme svazek lineárních komplexů Sx", kterýžto svazek obsahuje též
komplexy ze svazků Sx a 5 To provedeme způsobem analogickým
úloze v geometrii bodové: „sestroj iti příčku dvou mimoběžek daným bodem
procházející". Komplex T stanoví se svazky komplexovými Sx a S^'
lineární systémy komplexů lineárních stupně druhého, jež si označíme
S2 a S2". Jelikož oba tyto lineární systémy stupně druhého nalézají se
v témže lineárním systému stupně třetího S3> jest pronikem jejich určitý
systém komplexový stupně prvního a sice hledaný svazek S/", který
vytíná na obou systémech přímek našeho hyperboloidu svrchu dané pro¬
jektivně involuce.

Jelikož komplex T ve svazku lineárních komplexů stanoveném
komplexovými přímkami a3, a3 , u, v postupně může znamenati který¬
koli z oo1 komplexů tohoto svazku, vidíme, že existuje oo1 svazků Sx"
vlastnosti nahoře uvedené. Tím jest věta uvedená dokázána.

Dokážeme nyní větu:

Páry diagonál oo1 sborcených čtyřúhelníků na hyper¬
boloidu, jejichž dvě a dvě protější strany si odpovídají jako
přidružené páry dvou projektivních involucí v různých
systémech přímkových hyperboloidu, vyplňují sborcenou
plochu stupně čtvrtého P4 se dvěma řídicími dvojnými přím¬
kami. Tyto dvojné přímky tvoří pár diagonál sborceného
čtyřúhelníka, jehož dvě a dvě protější strany tvoří páry sa-
modružných přímek v obou involucích.

Výtvorem projektivních involucí Jx a J2 v obou systémech přím¬
kových hyperboloidu jest prostorová křivka stupně čtvrtého prvního
druhu. Označme si tuto křivku p 4. Kterákoli z obou našich involucí,
budiž to na př. Jv vytíná na p 4 určitou involutorní korrespondenci [2, 2].
Hledáme nyní geometrické místo přímek, které spojují odpovídající si
body v této korrespondenci [2, 2] na p 4.

Bud l libovolná přímka v prostoru a A libovolná rovina touto přímkou
procházející. Rovina A protíná p 4 ve čtyřech bodech, a poněvadž každému

XII.

9

z těchto bodů naší involutorní korrespondencí [2, 2] opět odpovídají dva
body na p 4, odpovídá rovině A celkem osm rovin A'. A podobně kterékoli
rovině A' odpovídá osm rovin A. Máme tedy ve svazku rovin o ose l určitou
korrespondenci [8, 8], která má 16 rovin samodružných. Jelikož z těchto 16
samodružných rovin čtyři roviny připadají na čtyři koincidenční body
involutorní korrespondonce [2, 2] na p^, měli bychom dospěti ku sborcené
ploše stupně 16 — 4 to jest dvanáctého. Tento stupeň plochy však se sníží
na polovinu, t. j. 6, když uvážíme právě involutornost naší korrespon-
dence [2, 2] a, že tudíž každou přímku této plochy bychom mohli pova-
žovati za dvojnásobnou. K této ploše náleží však též sborcený hyper¬
boloid 9l2, totiž jeho druhý systém přímek, který jest nositelem involuce J2.
Spojuje totiž každá přímka systému druhého dva body křivky p 4, které
tam vy tínají odpovídající jí přímky v systému prvním. Zbývá nám tudíž
sborcená plocha P4 stupně čtvrtého, jak bylo dokázati.

Plocha tato P4 jsouc cylindroidem zobecněným, má, jak jsme dříve
ukázali, dvě řídicí přímky dvojné. Tyto řídicí přímky sestrojíme, když
sestrojíme obě transversály čtyř libovolných přímek na ploše, které ovšem
nesmí tvořiti hyperboloidickou čtveřinu. Budte x, y samodružné přímky
involuce Jx na 5l2 a x' , y' samodružné přímky involuce J2 v druhém systému.
Všecky tyto čtyři přímky jsou přímkami plochy P4. Neboť na př. přímce x
odpovídají v druhém systému dvě přímky. Tyto protínají x ve dvou bodech,
a ježto x jest samodružnou přímkou involuce Jv zastupuje každý z těchto
bodů dva vrcholy jednoho našeho sborceného čtyřúhelníka na 2t2. Přímku x
možno považovati za diagonálu jeho a tudíž též za přímku plochy P4.
Podobně platí to o přímkách y, x’ , y'. Dvojné řídicí přímky plochy P4,
t. j. společné transversály čtyř přímek této plochy x, y, x' , yf, které tvoří
též sborcený čtyřúhelník na ploše 5l2, jsou patrně diagonálami tohoto
čtyřúhelníka sborceného, jak bylo dokázati.

Co se týče proniku ploch 2l2 a P4, který jest prostorovou křivkou
stupně osmého, můžeme vysloviti větu, jež z úvah předchozích jest přímo
patrna. Věta ta zní:

Pronik zobecněného cylindroidu P4 s absolutní sborcenou
plochou 5Í2 jest prostorová křivka stupně čtvrtého prvního
druhu p 4 vytvořená projektivními involucemi J1a.J2 v různých
systémech přímkových $l2, a čtyři přímky sborceného čtyř¬
úhelníka, jehož dvě a dvě protější strany jsou samodruž-
nými elementy obou involucí Jx a e/2-

6. Sestrojení rovinného fezu plochy P4 a jejího obrysu v promítání centrálním.

Řezem plochy P4 libovolnou rovinou jest křivka rovinná k 4 řádu 4.
se dvěma dvojnými body, kteréžto body v této rovině vytínají patrně
obě dvojné přímky plochy. Duálně dostáváme s libovolného bodu ku
ploše dotyčný kužel 4. třídy se dvěma dvojnými tečnými rovinami, rovi-

XII.

10

námi to s vrcholu kužele dvojnými přímkami plochy proloženými. I vi¬
díme, že obrys plochy P4 při centrálném promítání s určitého bodu na určitou
rovinu jest rovinná křivka x4 třídy 4. se dvěma dvojnými tečnami.

Libovolným třem párům přímek v involuci Jx na %2, totiž párům:

a1 , b1 \ d2 , b2 \ , 63

odpovídej tež projektivně v involuci J2 v druhém systému přímkovém 2Í2,
postupně páry:

d^ , b\ ] ^2 y ^2 > ^3 ) ^3 >

a protínej tež tyto přímky rovinu,
jejíž řez hledáme, v bodech, které si
postupně označíme

Ax, B1 ; At, B2; A„ B ,
A/, B,' ; .A;, Bs’ ; A,’, At'

Ježto jsou tyto tři a tři páry
páry určitých involuci na kuželo¬
sečce d 2, budou spojnice prvých tří
párů procházeti určitým bodem 5 a
druhých tří párů určitým bodem S'.
O vrcholech 5 a S' máme pak dva
projektivně svazky, jež na d2 vy-
tínají projektivní involuce bodové.
Kuželosečka d2 jest řezem naší ro¬
viny s %2.

Ukážeme, jak lze konstruovati
vždy dva body průsečné křivky k 4.
Veďme bodem 5 libovolný paprsek p,
který protne d2 v bodech A B, a
bodem. S' projektivností naší mu
přiřazený paprsek p' protínej d2
v bodech A ', B'. Jsou pak body C,
D jakožto průsečíky spojnic:

C = AB’ x A H3
D = A^A' x BW

dvěma hledanými body křivky k 4.

Lze totiž snadno nahlédnouti,
že body C, D jsou průsečíky naší ro¬
viny s diagonálami sborceného čtyř¬
úhelníka a, b, ď, b' na 9Í2, jehož pro-

a promítej tež se tyto přímky z urči¬
tého středu promítání na rovinu
průmětnou jako přímky, které si
postupně označíme:

ai > Pl i a2 > @2 > a3 > Pz >

ai y P\ > a2 > @2 > a3 > @3 >

Ježto jsou tyto tři a tři páry,
páry určitých involuci na kuželo¬
sečce a2, budou průsečíky prvých
tří párů ležeti na určité přímce <r
a druhých tří párů na určité přím¬
ce ď . Na přímkách a a ď máme
dvě projektivně řady bodové, jež
na a2 stanoví dve projektivně invo¬
luce v tečnách. Kuželosečka a 2 jest
centrálným průmětem 9l2.

Ukážeme, jak lze konstruovati
vždy dvě tečny obrysové křivky x4.
Vytkněme si na přímce <? libovolný
bod P, a buďte tečny z něho ku a2
označeny a, p a na přímce o' z bodu
P' předešlému naší projektivností
přiřazeného vedme ku a 2 tečny
P'. Jsou pak přímky y, d jakožto
spojnice průsečíků:

y = (a X P') (a' X P)
á == (a X «') (fi X P')

dvěma hledanými tečnami křivky x4.

Lze totiž snadno nahlédnouti,
že přímky y, d jsou průměty dia-
gonálných stran sborceného čtyř¬
úhelníka d, b, ď, b' na 2l2, jehož pro-

XII.

11

tější strany jsou dva páry našich
involucí projektivně přiřazené.

Dvojné bodyP, R naší křivky
k 4 dostaneme jako průsečíky spojnic:

P = X~Y' x XďY’

R == ÍT x YY',

kde X Y jsou dotyč. body tečen
z bodu S a X' Y' dotyčné body tečen
z 5 1 ku a2 vedených.

tější strany jsou dva páry našich
involucí projektivně přiřazené.

Dvojné tečny it, q naší křiv¬
ky x4 dostaneme jako spojnice prů¬
sečíků

*==(!* v') (ť x v)

Q = (I x i') (v X i)') ,
kde rj jsou tečny v průsečících
přímky a a £', t{ tečny v průsečí¬
cích ď s kuželosečkou a2.

Správnost této poslední konstrukce jest patrna z věty dříve uve¬
dené, že diagonály sborceného čtyřúhelníka ze samodružných přímek
v obou involucích jsou dvojnými přímkami plochy P4. Body X , Y , X' , Y\
jsou stopami stran#, y, #', y' , tohoto čtyřúhelníka, přímky pak f, rj,
průměty jejich.

7. Speciální polohy základní kongruence komplexového svazku Sx ku abso¬
lutní plose.

Uvažujme nyní některé speciální polohy řídicích přímek m, n zá¬
kladní kongruence našeho svazku Sx lineárních komplexů. Buďte tyto
specielní polohy:

1. m, n jsou konj. polárami absolutní plochy %2.

2. m, n se svými konj. polárami vzhledem ku 5l2 tvoří hyper-

boloidickou čtveřinu.

3. jedna z přímek m, n náleží ploše W.

4. obě přímky m, n náleží ploše 2l2.

Případ první.

V případě prvním jsouce m, n konj. polárami plochy %2 jsou společ¬
ným zobecněným párem osovým všech lineárních komplexů svazku Sj a
máme tudíž zde projektivně zobecněný svazek souosých lineárních kom¬
plexů. Dokážeme větu:

V projektivně zobecněném svazku souosých lineárních
komplexů existují dva komplexy polárně invariantní vzhle¬
dem ku absolutní ploše.

Vytkněme si v prostoru libovolný svazek paprskový (S o) a budiž
svazek (S' ď) k onomu polárný vzhledem ku 2l2. Jednotlivými paprsky
svazku (S a) jako přímkami komplexovými jsou stanoveny jednotlivé
komplexy svazku Sv Tento svazek komplexový přiřazuje k sobě jednot¬
livé přímky svazků (S a) a ( S' o) jakožto komplexové přímky téhož kom¬
plexu, zároveň pak odpovídají jednotlivým paprskům svazku paprsko-

XII.

12

vého (S a) určité paprsky svazku [Sr ď) jako konj. poláry vzhledem ku
ploše 2l2. Máme tedy v (S' ď) dva kollokální projektivně svazky paprskové,
jejich dva samodružné paprsky rí, v' odpovídají dvěma paprskům u, v
ve svazku (S g). Páry konj. polár u, rí ; v, v' jsou pak vždy dvěma kom-
plexovými paprsky jednoho každého z dvou vzhledem ku W polárně in¬
variantních komplexů svazku komplexového Sv čímž jest jejich existence
dokázána.

Lze snadno nahlédnouti, že každý z těchto dvou polárně invariant¬
ních lineárních komplexů jest stanoven přímkami m, n jako svými konj.
polárami a vždy přímkami jednoho systému z obou systémů přímkových
na W1 jako přímkami komplexovými. Avšak, jak jsme ukázali v odstavci 2.,
má každý vzhledem ku absolutní ploše polárně invariantní lineární kom¬
plex oo2 zobecněných párů osových, které vyplňují lineární kongruenci
přímkovou, jejímiž řídicími přímkami jsou samodružné přímky involuce
konj. polár komplexu, kterou tento v jednom systému přímek 2t2 indukuje.
Jsou to patrně obě komplexové přímky v tomto systému. V případě našem,
vezmeme-li v úvahu oba polárně invariatnní komplexy svazku, jsou to
protější strany prostorového čtyřúhelníka, který přímky lineární kon-
gruence [m, ri\ z plochy 9t2 vytínají. Můžeme pak vysloviti větu:

Geometrické místo párů konj. polár dané plochy 2. stup¬
ně 5l2, které s určitým párem m, n konj ugovaných polár této
plochy tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek, jsou páry
přímek dvou lineárních kongruenci. Řídicími přímkami
těchto kongruenci jsou vždy dvě protější strany prostoro¬
vého čtyřúhelníka, který přímky kongruence \m, n\ z W vy¬
tínají.

Geometrické místo toto můžeme považovati za geo¬
metrické místo zobecněných párů osových zobecněného
vazku souosých lineárních komplexů.

Případ druhý.

V druhém našem případě speciálním tvoří m, n hyperboloidickou
čtveřinu se svými konj. polárami m' , rí vzhledem ku 2l2. Mysleme si
čtyřmi přímkami m, n, m' , rí proložený hyperboloid P2, hyperboloid ten
jest patrně vzhledem ku 9l2 polárně invariantním. Páry pak involuce
konj. polár plochy 5l2, kterou tato indukuje v jeho systému (m, n, m' , rí)
jsou patrně zobecněnými páry osovými jednotlivých lineárních kom¬
plexů svazku S1 a lze tudíž hyperboloid P2 pokládati za speciální případ
zobecněného cylindroidu P4. Zmíněná involuce konj. polár zastupuje
zde druhou význačnou involuci na P4.

Zbývá ještě dokázati, že každá přímka l v prostoru, která se svou
vzhledem ku $l2 konj. polárou a s přímkami m , n, tvoří hyperboloidickou
čtveřinu, leží na P2. Čili jest nám dokázati, že šest přímek: m , m' , n, rí,

XII.

13

l, V leží na témže hyperboloidu, když víme, že existují tři hyperboloidické
čtveřiny: (m, n, m\ n') ; (m, n, l, V) ; (m' , n’ , l, l’). To bude patrno z věty
pomocné, kterou zde zvlášť vytkneme, ježto jí ještě v této práci použijeme.

Věta ta zní:

Máme-li tři páry přímek v prostoru té vlastnosti, že
vždy dva páry těchto přímek tvoří hyperboloidickou čtveřinu,
tu všech šest těchto přímek leží na hyperboloidu.

Tři páry přímek, z nichž vždy dva tvoří hyperboloidickou čtveřinu
označme si av b1”, a2, b2 ; a3, b3 a stanovme si páry: av b1; a3, b3 jako páry
konj. polár určitý lineární komplex O, což zajisté jest možno, ježto dle
supposice tyto dva páry tvoří hyperboloidickou čtveřinu. Podobně páry
a2, b2\ a3, b3 stanovme si komplex T. Jelikož komplexy O a T mají na
hyperboloidu (av bv a2, b2) po páru konj. polár av b1 resp. a2, b2 má každý
z těchto komplexů na tomto hyperboloidu oo1 párů konj . polár, kteréžto
páry vytvořují dvě obyčejné involuce. Společný pár těchto dvou involucí
jest párem společných konj. polár obou komplexů O a T. Avšak dle
hořeního ustanovení těchto dvou komplexů jest patrno, že tímto spo¬
lečným párem jest pár konj. polár a3, b3. I musí se pár a3, b3 stotožniti
se společným párem obou uvažovaných involucí a tudíž ležeti na hyper¬
boloidu (av bv a2, 62). Leží tedy našich šest přímek skutečně na hyper¬
boloidu, jak bylo dokázati.

Vidíme tedy, že v našem speciálním případě hyperboloid P2 úplně
nahrazuje zobecnělý cylindroid. Ježto jest P2 vzhledem ku 5Í2 polárně
invariantním, má s společný sborcený čtyřúhelník. Jeden pár protějších
stran tohoto čtyřúhelníka tvoří patrně dvě přímky kongruence [m, n ]
a tudíž tento náš druhý speciální případ můžeme charakterisovati též tím,
že dvě přímky základní lineární kongruence \m, n ] náleží 2l2.

Máme pak větu:

Náleží-li dvě přímky základní kongruence komplexového
svazku Sj absolutní ploše 2l2, tu přechází příslušný zobec¬
něný cylindroid v hyperboloid ku 2l2 polárně invariantní
a řídicími přímkami základní kongruence procházející.

Případ třetí.

Případ třetí jest specialisací případu předešlého. Specialisace ta
závisí v tom, že jedna z přímek m, n, na př. přímka m splývá se svou kon-
jugovanou polár ou m’ . Z předešlého případu jest též patrný výsledek, ku
kterému bychom zde dospěli:

Náleží-li jedna řídicí přímka základní kongruence kom¬
plexového svazku S1 absolutní ploše přechází zobecněný
cylindroid tohoto svazku v hyperboloid ku polárně in¬
variantní a řídicími přímkami základní kongruence pro¬
ložený.

XII.

14

Případ čtvrtý.

Uvažujme posléze případ, kdy obě přímky m, n náleží ploše W.
Označme si systém přímek plochy W, ku kterému přímky m, n náleží
jakožto první systém přímek této plochy. V tomto případě jsou všecky
lineární komplexy komplexového svazku 5X ku W polárně invariantními.
To jest patrno z toho, že libovolný komplex P svazku Sx obsahuje jeden
polárně invariantní pár polár, to jest pár polál m, n, a potom dvě polárně
invariantní komplexové přímky u, v, totiž dvě přímky, které má komplex T
s prvním systémem přímek plochy W společné. A ku polární invarianci
určitého lineárního komplexu stačí polární invariance jeho lineární kon¬
gruence a jedné přímky komplexové, čemuž v případě daném jest vyho¬
věno. Proběhne-li komplex T všemi komplexy o základní kongruenci
\m,n], tu pár přímek u, v proběhne všemi oo1 polohami párů přímek oby¬
čejné involuce v prvním systému plochy 9l2, jejímiž samodružnými přím¬
kami jsou přímky m, n.

Dle věty, kterou jsme vyslovili v odst. 2. o zobecněných párech
•osových lineárních komplexů vzhledem ku absolutní ploše polárně invari¬
antních, vidíme, že geometrické místo zobecněných osových párů našeho
libovolného komplexu T ve svazku lineárních komplexů Sv jest lineární
kongruence o řídicích přímkách u, v. Zobecněné páry osové pak všech
komplexů svazku Sv vyplňují přímky všech oo1 lineárních kongruenci,
jejichž řídícími přímkami jsou jednotlivé páiy u, v, involuce v prvém
přímkovém systému plochy 5P o přímkách m, n jako přímkách samo-
družných. Pak dle známého Chas^es-ova vytvoření lineárního komplexu
jakožto souhrnu všech přímek, které protínají vždy dvě přímky plochy
2. stupně, které si jsou v libovolné involuci na ploše přidruženy, vidíme,
že přímky všech oo1 lineárních kongruenci \u, v] vyplňují lineární kom¬
plex. Přicházíme zároveň k nové definici lineárního komplexu a výsledek
našich úvah můžeme vysloví ti větou:

Geometrické místo konj. polár plochy 2Í2, které tvoří
es dvěma přímkami m, n této plochy hyperboloidickou čtve-
řinu přímek, jest komplex lineární. Kterýkoli pár involuce
přímek na 5l2, jejímiž samodružnými přímkami jsou přímky
m, n, jest párem konj ugovaných polár komplexu.

Lineární komplex tento lze pokládati za geometrické
místo zobecněných párů osových lineárních komplexů svazku
o základní kongruenci \m, ri\, považuj eme-li 2l2 za plochu
absolutní.

8. Zobecněný cylindr oid pro absolutní plochu degenerovanou.

Budte m, n opět řídicími přímkami základní kongruence komplexo¬
vého svazku našeho Sv Budiž a2 kuželosečkou absolutní, ve kterou de¬
generuje absolutní plocha 5l2, bud dále it rovina, ve které leží a2. Konjugo-

XII.

15

váné poláry přímek ni, n leží patrně v n, označme si je m' , rí a bud P jejich
průsečík. Příčka p ku přímkám m, n bodem P vedená a přímka q průsečíky
M, N těchto přímek s rovinou n procházející tvoří pár dvojných řídicích
přímek zobecněného cylindroidu příslušného našemu svazku vzhledem
ku a2 jako kuželosečce absolutní. Jelikož však zobecněný cylindroid jest
ku absolutní ploše polárně invariantním, musí v našem speciálním případě
ležeti jeho oo1 přímek v rovině 7t. Neboť jinak by nemohlo býti polární
invarianci vzhledem ku a2 vyhověno. Těchto oo1 přímek musí ale býti
obsaženo v lineární kongruenci \p, q], ježto, jak jsme ukázali, jest celý
zobecněný cylindroid v ní obsažen. To není ale jinak možno, než že těchto oo1
přímek tvoří svazek v rovině % o vrcholu P. Jelikož ku ploše stupně čtvrtého
P4 náleží paprskový svazek (P ar), musí býti zbývající část sborcenou
plochou stupně třetího, kterou si označíme P3. Přímka p jest dvojnou
řídicí přímkou plochy a přímka q jednoduchou přímkou řídicí.

Úvahy tyto, jako jsme provedli pro kuželosečku, mohli bychom
způsobem zcela duálním provésti pro kužel druhé třídy, a dospěli bychom
pak patrně zase k výsledku, že P4 se rozpadá v P3 a svazek paprskový.

Můžeme pak vysloviti větu:

Degeneruj e-li plocha 5í2 v kuželosečku nebo v kužel
druhé třídy, tu rozpadá se zobecněný cylindroid danému
komplexovému svazku příslušný v sborcenou plochu stupně
třetího P3 a rovinný svazek paprskový.

Z našich dvou význačných involucí má význam na P3 pouze první
význačná involuce, kdežto v druhé význačné involuci odpovídají přím¬
kám plochy P3 přímky rovinného svazku (P %). První význačnou involucí
jest souhrn párů přímek, které tvoří hyperboloidickou čtveřinu s libovolnou
přímkou plochy P3 a jí vzhledem ku a2 konj. polárou. Pár přímek m, n
náleží patrně této involuci.

Ploše P3 náleží též obě tečny tv t2 vedené z bodu P v rovině n ku
absolutní kuželosečce a2. Lze totiž každou z těchto tečen považovati za
komplexovou přímku určitých dvou lineárních komplexů A1 a A2 našeho
svazku, a tedy za pár splývajících polár těchto komplexů. Jelikož pak
každou z těchto tečen t1t2 můžeme považovati za pár splývajících konj.
polár ku a 2, vidíme, že tx a t2 tvoří dva páry zobecněných splývajících
párů a tedy, že náleží P3. Tyto přímky t1} t2 tvoří patrně s jednoduchou
řídicí přímkou q řez plochy P3 s rovinou %. Podobně bychom dostali vý¬
sledek duální.

U Plůckerova konoidu jsou přímky tv t2 nahrazeny imaginárným
párem tečen vedených z nekonečně vzdáleného bodu osy konoidu ku kruž¬
nici kulové v rovině nekonečně vzdálené. Čili jsou isotropickými přím¬
kami v nekonečnu osu konoidu protínajícími.

XII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 13.

Štěpitelnost sklovité chrupavky a její vztah
k funkcionální struktuře

Napsal

Prof. Dr. Otakar V. Srdínko.

Z ústavu pro histologii a embryologii české lékařské fakulty; přednosta
prof. Dr. J. V. Rohon.

Se 3 tabulkami.

(Předloženo dne 30. ledna 1914.)

Jest možno rozeznávati tkáně na tah (tahové) a tkáně na tlak
(tlakové). Mezi první jest čítati tkáň svalovou, kollagenní a elastické
vazivo, mezi druhé chrupavku a kost. Tkáně tahové jsou ponejvíce vy¬
dány účinkům primárního tahu, kdežto tkáně tlakové nalézáme ponejvíce
tam, kde jest třeba klásti odpor tlaku. Naznačený rozdíl není ovšem vý¬
hradně platný, neboť i na chrupavku a kost působívá přímý tlak a snad
i na tkáně tahové může působiti tlak kolmo na jejich podélný průběh
(T r i e p e 1) .

Vliv materiálu na tvar, velikost a výkonnost tvrdého útvaru jest
podle R a uber a velmi značný. K tomu možno již předem dodati,
že charakter materiálu má také velký vliv na vnitřní uspořádání (strukturu,
architekturu) tvrdých útvarů v těle živočišném.

Při tkáních živočišných zvláště při pojivech (tkáních podpůrných)
jest třeba znáti jejich pevnost a pružnost. Tyto dvě vlastnosti byly také
zjištěny vzhledem k různým silám, které na podpůrné tkáně mohou půso¬
biti. Síly takové jsou: tah, tlak, ohnutí, zlomení, kroucení a j. Shledalo
se při tom, že chrupavka má zcela jiné poměry pružnosti a pevnosti
než kost.

Modul pružnosti chrupavky žeberní jest 0-875, modul pevnosti na
tah 0-17, na tlak 1-57. Modul pružnosti kompaktní kosti ve směru podélném

1

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 13.

XIII.

jest 1800 — 2500, modul pevnosti na tah 9-25 — 12-40, na tlak 12-56 — 16-80
(Rauber).

Z toho viděti jest, že jednak pevnost kosti na tlak jest větší než
její pevnost na tah, jednak že pevnost chrupavky v obou směrech jest
daleko menší. A sice jest vidno, že pevnost chrupavky na tlak jest devět¬
krát větší než její pevnost na tah. Nehodí se tedy chrupavka jako samo¬
statná část tam, kde jest nésti značný tah. Rovněž se nehodí za dlouhé
nosiče, kdež výhodnější jest kost. Vzhledem k uvedeným vlastnostem
chrupavky a kosti vysvítá, že větší tvorové, žijící na souši, nemohou
existovati se skelettem chrupavčitým; pouze materiál kostěný umožňuje
jejich život na zemi. Skelett chrupavčitý pro mnohé vodní živočichy
ovšem dostačí.

O fysikálních vlastnostech tkání zvláště podpůrných nalezneme
souborné kapitoly v knize Triepelově. Chci zde uvésti jen některé
okolnosti o chrupavce sklovité.

Použití chrupavky hyalinní v živém těle jest různého. druhu. Použití
na tah jest uskutečněno ve všech kloubech při tření chrupavek o sebe;
tah vzniká v povrchních vrstvách chrupavky a jest rovnoběžný s po¬
vrchem chrupavky. Velikost napětí tahových není značná, takže sice
může míti vliv na vytvoření jemnějších struktur, nemůže však způsobiti
značnější změny tvaru. Dále jest uváděn tah, který způsobují svaly
na místech úponu na jednotlivé chrupavky hrtanové.

Častější jest použití chrupavky na tlak. Tomu jsou vysazeny všechny
chrupavky kloubní. Tlak vzniká jednak napětím svalů, které táhnou
přes klouby a na ně tlačí, jednak tahem svalů, z něhož jedna komponenta
pravidelně jako tlak v kloubu se uskutečňuje. V kloubech dolní končetiny
jest značný tlak, vznikající váhou částí těla výše uložených.

Tah a tlak jsou zastoupeny při upotřebení chrupavky na zlomení,
s čímž se shledáváme u chrupavek žeberních, tracheálních, hrtanových.

Co se týče pružnosti na tah, stojí chrupavka mezi vazivem ela¬
stickým, méně pružným a vazivem šlachovým, mnohokráte pružnějším.

Pevnost chrupavky na tlak jest tak veliká, že poskytuje v živém
těle desateronásobnou záruku proti rozmáčknutí chrupavky.

O práci T h o m o v ě, z r. 1907, ve které se pojednává o mecha¬
nických příčinách proměny chrupavčitého skelettu v kostěný, referoval
jsem již v dřívější své publikaci.

V této práci sděluji výsledky, k jakým jsem došel při vyšetřování
štěpitelnosti sklovité chrupavky. Štěpitelnost pak jsem vyšetřil u chru¬
pavky žeberní, tracheální, u chrupavek hrtanových a chrupavky v pro-
cessus xyfoideus ; veškeré chrupavky pocházely od člověka různého stáří.

Ke svému zkoumání použil jsem methody, které upotřebil H u 1 1-
kran z, aby poznal směr uložení povrchních vrstev v chrupavkách kloubu
koleního. Hultkranz nej prvé učinil do chrupavky (patelly, dolního
konce femoru a horního konce tibiae) četné vpichy kulatým sídlem a pak

XIII.

3

vetřel do plochy chrupavky černou, olejovou barvu. Ačkoliv vpichy byly
učiněny hrotem kuželovitým, nepovstaly na povrchu chrupavky body.
nýbrž čárky neboli trhlinky, které naznačují, kde jest větší pevnost v tahu,
Z docíleného výsledku poznal H u 1 1 k r a n z, že povrchní vrstvy zá¬
kladní hmoty kloubní chrupavky jsou paralelní s povrchem a sice bud
v jednom hlavním směru, neb se snopce křižují.

Usoudil jsem, že ke zkoumání chrupavek jiných, nikoliv kloub¬
ních, jest třeba přihlížeti nikoliv k povrchu chrupavky, nýbrž k vnitřku
a proto že jest nutno studovati štěpitelnost chrupavek žeberních a ostat¬
ních, které jsem nahoře uvedl, na řezech. Řezy ony vedl jsem vždy v ně¬
kolika navzájem paralelních rovinách horizontálních, v několika rovinách
sagittálních a v rovině frontální. Chrupavky byly budto čerstvě z mrtvoly
vyjmuty, nebo uloženy nějaký čas (1 — 4 týdny) v 10% formalínu, nebo
po fixaci formalínové v alkoholu; výsledky se shodují.

Eo řezné plochy na př. vedené v rovině horizontální uprostřed mezi
horním a dolním okrajem (hranou) kousku chrupavky žeberní (ve vzdále¬
nosti 1 — 2 cm od hranice s kostěným žebrem) učinil jsem tlustší jehlou četné
vpichy jak v blízkosti předního a zadního perichondria, tak i všude v pro¬
středních částech řezné plochy. Pak vtíral jsem lopatkou nebo nožem
černou olejovou barvu do řezné plochy a po dostatečném vetření omyl
jsem přebytečnou barvu lihem, takže zbyla bílá řezná plocha s černými
tečkami nebo čárkami, jak ihned bude blíže popsáno.

Na tab. I. obrazec la znázorňuje nám fotografii osmkrát zvětšeného
horizontálního řezu žeberní chrupavkou dítěte 3 dni starého. Směr puklin,
vetřenou barvou černou znatelných, směřuje od předního perichondria
kolmo na přič dlouhé osy žebra k zadnímu perichondriu. Jinak uložených
štěrbin na obrázku není.

Na řezu sagittálním (obr. lb ) z téhož objektu vidíme z hrubá
uložení štěrbin od přední plochy k zadní.

Na řezů frontálním (obr. lc) z téhož objektu není viděti vyzna¬
čené čárky neboli pukliny, nýbrž spíše hrubé body.

Obr. 2a znázorňuje horizontální řez žeberní chrupavkou dítěte
6Y2 r. starého. Kromě štěrbin čárkovitých, uložených v prostřední zóně
řezné plochy napříč dlouhé osy žeberní chrupavky, vidíme pod perichond-
riem čáry rovnoběžné s povrchem a pod těmito vrstvu bodů, což zvláště
jest patrno na pravém okraji obrázku.

Obr. 2b, řez sagittální, jest velmi charakteristický jak pro povrchní
čáry rovnoběžné s povrchem, tak pro čáry, směřující od předního peri¬
chondria k zadnímu. Mezi oběma okrsky těchto čar vidíme při levém
okraji několik bodů.

Obr. 2c znázorňuje řez frontální a liší se úplně od řezu horizontál¬
ního a sagittálního. Čáry chybí na tomto řezu zvláště na levé straně
obrázku a přítomny jsou jemné i hrubší body.

1 *

XIII.

4

Obr. 3a jest zvětšenou fotografií dvou horizontálních řezů žeberní
chrupavkou dítěte lU/a r- starého. Pod perichondriem vidíme úzkou
zónu čar rovnoběžných s povrchem, pak jest rovněž úzká zóna bodů
a pak široká prostřední zóna čar, uložených napříč dlouhé osy žebra.

Obr. 3b na tab. II. jsou dva řezy sagittální stejného stáří, jako
obr. 3a, a shodují se, co se uložení čar dotýče, s obr. 2b.

Obr. 3c jest řez frontální chrupavkou žeberní téhož dítěte jako
v obr. 3a a rozdíl tohoto řezu od řezu horizontálního a sagittálního jest
tak nápadný, že není třeba zbytečně slovy to popisovati.

Obr. 4a jest fotografie zvětšeného řezu horizontálního, obr. 4b
sagittálního a obr. 4c řezu frontálního žeberní- chrupavkou člověka 29 r.
starého. Uložení čar v zásadě se shoduje s uložením čar v chrupavce že¬
berní dětské.

Připojím ihned popis dalších obrázků na tabulce III., vzatých
z jiných chrupavek a pak přistoupím k vysvětlení těchto pokusů na
štěpitelnost chrupavky.

Obr. 5a na tab. III. jest zvětšená fotografie horizontálního řezu
chrupavkou tracheální člověka 20 r. starého. Každá čára černá, stojící
kolmo na zevním i vnitřním perichondriu, povstala jedním vpichem,
učiněným uprostřed šířky řezu. Vpichy učiněny úmyslně řídko, t. j. dosti
vzdáleně od sebe, aby vzniklé trhliny, černí vyplněné, byly přehledné.
Vpichy při okraji chrupavky u perichondria nebyly učiněny žádné. Již
zde poznamenávám, že jeví se nám chrupavka tracheální jako obloukovitá
klenba, sestrojená podle stejného principu jako klenby ze zdivá.

Obr. 5b jsou dva sagittální řezy tracheální chrupavkou člověka
20 r. starého, a vidíme na nich stejně orientované pukliny jako u chru¬
pavky žeberní.

Obr. 5c nám znázorňuje předcházející chrupavku na řezu fron¬
tálním a na první pohled opětně vidíme učiněné vpichy nikoliv jako čárky,
nýbrž jako skutečné body. Liší se tedy tento řez frontální od řezů horizon¬
tálních a sagittálních stejně jako tomu bylo u chrupavky žeberní.

Obr. 6a jest zvětšená fotografie sagittálního řezu chrupavkou
prstencovou člověka 20 r. starého. Orientace puklin jest tatáž jako byla
na sagittálních řezech chrupavkou žeberní a tracheální.

Ir Obr. 6b jest frontální řez předcházející chrupavkou a vystupují
na něm přesvědčivě vpichy jako pouhé body.

Obr. 7a jest horizontální řez a obr. 7b sagittální neboli vertikální
řez chrupavkou štítovou dítěte 5 r. starého. Orientace trhlin se shoduje
s příslušnými řezy chrupavek dříve uvedených.

Obr. 7c jest frontální řez chrupavkou štítovou 5 r. starého dítěte
a vpichy znatelný jsou opětně jako pouhé body.

Obr. 8. znázorňuje zvětšenou fotografii příčného průřezu chrupav¬
kami hrtanovými dítěte S1/^ r. starého. Chrupavka štítná vykazuje stejnou
orientaci puklin, jako jsme viděli na obr. 5a u príidušnice; jeví se nám

XIII.

tedy zde konstrukce klenby zcela zřetelně. Chrupavka hlasivková dává
na zasaženém řezu poznati rovněž klenbovité uspořádání avšak s opáčně
vypuklým obloukem.

Obr. 9. konečně jest sagittální řez chrupavkou a částečně kostí
výběžku mečovitého člověka 20 r. starého. I zde vidíme orientaci puklin
v chrupavce od předního perichondria k zadnímu a což jest velice pozoru¬
hodné, také v kosti na pravé straně obrázku vidíme určitou orientaci
proříznutých plotének tkáně kostní od předu do zadu.

Poznali jsme tedy štěpitelnost sklovité chrupavky na různě vede¬
ných řezech různých chrupavek dítěte i dospělého člověka a můžeme
tedy v této štěpitelnosti takto se pronésti.

Chrupavka žeberní, tracheální, štítová, prstencová i chrupavka
mečovitého výčnělku jsou štěpit elny na řezech horizontálních a sagittál¬
ní ch nikoliv však na řezech frontálních. Štěpitelnost na řezech horizontál¬
ních a sagittálních směřuje od jednoho perichondria k druhému v rovině
horizontální a zaujímá téměř celou řeznou plochu ; pouze pod perichondriem,
a to jest zvláště viděti u chrupavky žeberní, protože jest větších rozměrů,
zbývají dvě úzounké zóny a sice zevní, štěpitelná rovnoběžně s povrchem
a vnitřní málo štěpitelná, neb vůbec nic.

Jest otázkou nyní, co znamenají štěrbiny nebo pukliny, které vzni¬
kají při bodnutí jehlou. Napětí, které vznikne ve hmotě chrupavky kolem
vbodnuté jehly, působí jako tah a způsobí porušení souvislosti hmoty
chrupavko vé v těch místech, kde soudržnost její jest menší než ono napětí ;
porušení ono nastane ve způsobě trhliny. Orientace pak oněch trhlin,
ukazující směr štěpitelnosti chrupavky, zároveň tedy nám činí zřejmým,
ve kterém směru jest pevnost chrupavky na tah menší a ve kterém větší.
U všech zde popsaných chrupavek jest tedy soudržnost v rovinách horizon¬
tálních v dlouhé ose menší než v ose dorsoventrální a v rovinách sagittál¬
ních ve vertikální ose menší než v ose dorsoventrální. Z toho logicky
plyne, že pevnost na tlak, který se jeví sekundárně jako tah uchýlený
o 90°, jest větší v rovinách horizontálních v ose předo-zadní, v rovinách
sagittálních rovněž v této ose dorso-ventrální. Jinými slovy, zkoumané
chrupavky sklovité, jako tkáně určené na tlak, zařízeny jsou na snešení
tlaku, který účinkuje od dvou konců chrupavky (přihlížejíc k řezům
horizontálním) k jejím částem prostředním. Tento tlak při chrupavkách
žeberních, které jsou se zřetelem k délce značně široké a vysoké, účinkuje
hlavně stlačováním jejich součástí, u chrupavek tracheálních a hrtano-
vých relativně delších však ke stlačování se přidružuje také ohýbání
chrupavek. Takto účinkujícímu tlaku svou výslednicí se rovná tlak
účinkující na kterýkoliv bod chrupavkového oblouku neboli klenby chru-
pavkové při současném upevnění konců neboli krajů klenby.

Konstruktivní princip popsaných chrupavek se tedy shoduje s prin¬
cipem klenby zdivá, kde pevnost na tlak ve směru oblouku jest nej důleži¬
tější. Nejpatrněji jest to viděti na horizontálních řezech chrupavkami

XIII.

6

tracheálními a hrtanovými. Vedle toho však jest při klenbách chrupavko-
vých určitá pevnost na ohnutí, kterému jsou vysazeny chrupavky tra-
cheální př. kontrakci svalů napnutých mezi konci chrupavkových prstenců
a chrupavka štítová při kontrakci musculi thyreopharyngei.

Body, které vidíme na řezech frontálních, dosvědčují, že soudržnost
hmoty chrupavkové v rovinách frontálních jest ve všech směrech stejná
a že tedy není chrupavka na těchto řezech ani ve směru vertikálním ani
ve směru horizontálním štěpitelná. Totéž vidíme na úzké zóně chrupavky,
která se na horizontálních a sagittálních řezech nalézá mezi úzkou zonou
štěpitelnou paralelně s povrchem a širokou zonou štěpitelnou kolmo
na povrch.

Přihlédněme nyní, jaký vztah má zjištěná štěpitelnost chrupavky
k její histologické struktuře. Zjistil jsem v dřívější práci, že sklovitá
chrupavka žeberní u dětí i dospělého člověka se vyznačuje určitým uspo¬
řádáním trámců nebo plotének základní hmoty i buněk. Orientace dlouhých
os buněk a dutin buněčných jakož i pruhů základní hmoty provedena
jest na řezech horizontálních a sagittálních (u těchto nepřihlížejíc k hoření
a dolení hraně žeberní chrupavky) do zon: dvou povrchních s orientací
paralelní s perichondriem předním a zadním, dvou následujících struktury
houbovité a jedné zóny prostřední, zaujímající největší část tlouštky chru¬
pavky žeberní s hlavními trámci orientovanými kolmo na přední a zadní
perichondrium. Tyto hlavní trámce prostřední zóny spojeny jsou na¬
vzájem tenkými, vedlejšími, šikmými spojkami. Porovnáme-li nyní
obrazce histologické struktury s obrazci štěpitelnosti, přesvědčíme se,
že úplně spolu korespondují. To jest nejlépe patrno z porovnání obr. 6., 7.
i ostatních na tab. II. a III. nebo schematického obrazce na tab. IV.
dřívější práce*) s obrazem 3a (tab. I.) a 3b. (tab. II.) této publikace
vzhledem k řezům horizontálním a sagittálním a obrazce 9. na tab. III.
dřívější práce s obr. 3c na tab. II. této práce.

Štěpitelnost chrupavky sklovité jest podmíněna její histologickou
strukturou a protože štěpitelnost nám naznačuje, ve kterých směrech
a rovinách jest hmota chrupavky pevnější na tlak event. na tah, nelze
pochybovati, že funkce chrupavky sklovité stojí v určitém vztahu k její
struktuře. Uvedl jsem v dřívějším pojednání důvody, které svědčí pro
názor, že popsaná struktura ve sklovité chrupavce jest funkcionální.
Pokusy se štěpitelnosti chrupavky hořejší názor potvrzují.

Architekturou chrupavek tracheální a hrtanových jsem se v dří¬
vější publikaci neobíral. Pokusy o štěpitelnosti těchto chrupavek předem
naznačují, že i histologická struktura těchto chrupavek nebude odchylná
od chrupavky žeberní.

*) O. Srdínko: Funkcionální architektura sklovité chrupavky žeberní u člověka.
Rozpravy Čes. Akad. tř. II. oč. XXIII. č. 11.

XIII.

i

Štěpitelnost chrupavky mečovitého výčnělku rovněž se shoduje
v zásadě s chrupavkami ostatními a také struktura její, jak z toho bylo
lze souditi, jest shodná. Kromě toho však z obrázku 9. na tab. Tli. jest
patrno, že orientace v chrupavce a v sousední kosti jest stejná a že tedy,
ač se jedná o různý tkáňový materiál, princip konstruktivní v chrupavce
i v kosti jsou v určitém vztahu. Při chrupavce, která jest méně pevná
než kost, jest přirozeně použito quantitativně více materiálu než při
kosti. Dotýkám se zde těchto okolností pouze stručně, neboť chci ve
zvláštním pojednání se obírati otázkou, jaký jest vztah mezi konstruk¬
tivním principem částí skeletních, složených z chrupavky a částí slože¬
ných z kosti.

❖ *

Ze všech fakt, dosud různými badateli zjištěných, jest myslitelno,
že vznik určité tkáně jest v kausálním vztahu k funkci její. Tkáně tahové
jsou v první řadě vytvořovány tahem, tkáně tlakové tlakem, není však
pochyby, jak Triepel hned k tomu poznamenává, že k tomuto
jednomu tkánětvornému momentu přistupuji ještě jiné.

Jednoho však nesmíme zapomenouti, přijmeme-li možnost, že
tkáň jest určována druhem a velikostí napětí, totiž té skutečnosti, že
ona napětí jsou zcela jiná u dospělého a dítěte než v době embryonální.
Vidíme-li proto určité struktury, které v době dospělosti pokládáme za
funkcionální, vystupovati již v době embryonální, kdy o funkci nelze
v takovém rozsahu ještě mnoho mluviti, není možno než v četných pří¬
padech vypomoci si hypothesou, že ony struktury nepo vstávají teprvé
znovu při vývoji ontogenetickém, nýbrž že získány byly během phylo-
genese a dědičností byly přeneseny na nové individuum. Jak z mé publi¬
kace vysvítá, při vzniku struktury v chrupavce žeberní nebylo by třeba
vypomáhati si touto hypothesou, nýbrž stačilo by vysvětlení oné struktury
funkcí při vývoji individuálním.

A jak si jest představovati přímý účinek funkce (napětí) na vznik
struktury tkáně? Není pochyby, že napětí účinkuje jak na buňky, tak
na základní hmotu pojiv. Protože však tato jest časově sekundární sou¬
částí tkáně, účinkuje napětí časově dříve na buňky a teprvé později také
na hmotu mezibuněčnou.

O způsobu dějů, které nastupují v buňce mechanickým vlivem,
vyslovují někteří badatelé hypothesu, že v živé buňce děje se pohyb mo¬
lekul neb komplexů molekulárních a zevním mechanismem že onen pohyb
lze změniti. Dá-li se onou změnou pohybu popud k tvoření tkáně nebo
metaplasii, lze očekávati, že největší dimense tvořených tkáňových ele¬
mentů bude souhlasiti se směrem napětí, čímž se dává základ určité orien¬
taci, patrné v chrupavce sklovité na buňkách i na hmotě mezibuněčné.

XIII.

Vysvětlení k tabulkám.

Obr. 1. Že berní chrupavka dítěte 3 dni starého a) řez horizontální; b) íez
sagittální; c) řez fiontální.

Obr. 2. Žeberní chrupavka dítěte r. st. : a) řez horizontální; b) řez sagit¬
tální; c) íez frontální.

Obr. 3. Žeberní chrupavka dítěte ll1^ r. st.: a) řezy horizontální; b) řezy
sagittální; c) řez frontální.

Obr. 4. Žeberní chrupavka člověka 29 r. st. : á) řez horizontální; b) řez
sagittální; c) řez frontální.

Obr. 5. Chrupavka tracheální člověka 20 r. st.: a) řez horizontální; b) dva
řezy sagittální ; c) řez frontální.

Obr. 6. Chrupavka prstencová hrtanu člověka 20 r. st.: a) řez sagittální; b) řez
frontální.

Obr. 7. Chrupavka štítová dítěte 5 r. st.: a) íez horizontální; b) ez sagittální ;
č) řez frontální.

Obr. 8. Chrupavky hrtanové dítěte 81/2 r. st. na příčném řezu.

Obr. 9. Processus xyfoideus člověka 20 r. starého na řezu sagittálním.

Všecky obrazce jsou zvětšeny asi 8krá .

LITERATURA.

Hultkrantz J. W.: Das Ellenbogengelenk und seine Mechanik. 1897.

Rauber A.: Lehrbuch der Anatomie des Menschen. VI. Aufl. 1902.

Srdínko O.: Funkcionální architektura sklovité chrupavky žeberní u člověka.

Rozpravy Čes. Akademie tř. II. roč. XXIII. č. 11.

Thoma R.: Synostosis suturae sagit. cranii. Ein Beitrag zur Histomechanik des
Skelet ís etc. Virchows Archiv 1907
Triepel H.: Einfuhrung in die physikalische Anatomie. 1902.

— Ober mechanische Strukturen. Anat. Anz. 23. B d. 1903.

XIII.

I. Srdínko- Stěpitelnost sklovité chrupavky.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 13.

Srdínko-- Štěpitelnost sklovité chrupavky.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 11.

é

i

.

'

0. Srdínko: Štěpitelnost sklovité chrupavky.

Tab.lll.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 13.

.

.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 14.

O kaskádní transformaci diferenciálních rovnic

lineárních.

(Pokračování k R. Č. A. XXII. č. 32, 41.*)

Napsal Dr. FRANT. RADL.

(Předloženo dne 13. února 1914.)

1. Při transformaci diff. rovnice lin. R v kaskádní řadu
. . R _ 1, . . ., R _ ,1} R, Rlt . . Ri, . . .

může nastati případ, že rovnice původní se po několikeré transformaci
opakuje, na př. že R< = R. V řadě opakuje se pak sled rovnic R, Rv . . ., Ri— 1,
řada jest periodická, při čemž perioda má i členů. Poněvadž je řada
v tomto případě nekonečná, zdálo by se, že transformace je pro integraci
bezúčelná. Lze však ukázati, že lze pak vždycky nalézti kvadraturou parti¬
kulární integrál rovnice R a tím ji převésti na rovnici jinou o řád nižší,
která nemusí dávat řadu periodickou.

Je-li na př. i = 3, lze psát R resp. Rv R2 ve tvaru dle I. (i)

yí — hy = 0 , yx = y' + p y ,

y% —Kvi= y2 = yi + Pi Vv

y{ —h2y2= 0, y3 = y2' + p2 y2>

při čemž k vůli jednoduchosti jsme položili transformační funkci a — 0.
Položíme-li y3 = y, plyne z poslední rovnice, do níž dosadíme za y2', y2
hodnoty z rovnic třetí, čtvrté a pak za y/, yx z rovnic první, druhé,

(K + Pi p2) y' + [K P + h p2 + p ^ pz — 1) y = 0,
odkudž lze stanovití partikulární integrál rovnice R kvadraturou. Podobně
při a 0 a při všeobecném i. Při všeobecném řádu rovnice ukazuje se
týmž postupem, že lze řád tento o 1 snížiti a tudíž též alespoň jeden
partik. integrál kvadraturou stanovití.

Transformaci kaskádní možná přirovnat dělení dvou čísel deka¬
dických a sice, je-li kaskádní řada zakončena, dělení zakončenému, je-li

*) V násl. označováno I., II.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 43. - 1

XIV.

2

periodická, zlomku periodickému. Jako tento lze vyjádřit tvarem zakon¬
čeným, tak i rovnice, které dávají řadu periodickou, lze zakončené integrovat
alespoň co se týče integrálu částečného.

Můžeme tedy vysloviti theorém, jenž p:i 2 proměnných zůstal as
nepovšimnut :

U rovnice diff. lin. obyt. nho řádu, která dává kaskádní řadu perio¬
dickou, lze nalézti alespoň jeden partikulární integrál kvadraturou.

V následujícím probrán specielně případ i = 1, 2; jiné jsou těžko
přístupné.

a) Rx ht- R

2. Určití jest rovnici, která se jedinou kaskádní transformací o 2 in¬
variantech reprodukuje. Předpokládejme nejdříve, že funkce transfor¬
mační a — 0 ; tento případ možná totiž snadno řešit pro libovolný řád
rovnice. Pak dle I. (ičj platí především podmínka

- z'

Pi + n— 1 - = pv

tudíž z = — = const, na př. h = — cn. Vzhledem k tomuto výsledku
platí dle téhož vzorce (R-j) další podmínky

P2 Pa — p2>

Ps — p2 + Pa" — Ps>

p *-l — p'n- 2 +... + (— 1) ”-2 PS~* = Pr^l ,

~T =P»>

z nichž soudíme, že koěfficienty px, p2, . . ., pn__ 2, pn jsou konstantní
na př. pi = cv p2 = c2, . . ., ^n_2 == Cn—2, pn — cn\ poněvadž pak dle I. (4)

k =~pn+ fn-l 1 )np1n~1 ,

jest též součinitel pn—i stálý, na př. pn—i = c»_i. Hledaná rovnice, o níž
platí R1 = R, jest tudíž o stálých koěfficientech

yn + Ciyn_L + _ + ^ y =0> (!)

Abychom našli její řešení (uváděné pouze k vůli souvislosti s ná¬
sledujícím), pišme ji dle I. (1) ve tvaru

yí + cny =0, y1.= yn~l + c± yn~2.-j- . . . + cn-i y,

neboť qi = d. Poněvadž se však rovnice transformací reprodukuje, jest y1
rovno y až snad na jistou konstantu C. Pro yx — Cy nabudou poslední dvě
rovnice tvaru

XIV.

3

y = e 0 (až na konstantu integrační),
y"”1 + ^r2+... + (cn_x —C)y= 0,
i určeny jsou jimi dvě neznámé C, y. Abychom obdrželi C, dosaďme první
rovnici do druhé, při čemž k vůli pohodlí místo — ^ pišme a. Tím vznikne
známá karakteristická rovnice

oc“ + q a”-1 + . . . + = 0

o kořenech o*, a dosazením do první rovnice obdržíme n integrálů Cť eai*
i = 1, 2, . .

Neni-li funkce transformační a rovna nulle, mají při rovnici 2. řádu
y" + p y' + q y = o

platnost dle I. (12), (13) podmínky

, r h'
a + b-~h =p,

clo a — a -j - h — q.

h *

Poněvadž b = p a, soudíme z první rovnice, že h = stálé, na př.
d, spoj íme-li druhou podmínku s relací pro h I. (12)

h = b' -f- ab — q ,

obdržíme pro koěfficienty

p == 2 a -f c

q = a2 + ď + a c + d. ( c , d jsou stálé).

Tudíž rovnice

y -f (2 a -f- c) y' + (a2 + a! + a c + d) y = 0 (2)

kaskádní transformací dle funkce a zůstává nezměněna.

Její integraci provedeme, píšeme-li ji dle I. čl. 5. ve tvaru

Ví + a yx + d y = 0, yx = y' -f (a + c) y.

Pro yx Cy obdržíme z těchto rovnic dvě podmínky pro C, y

/ + (* + r = o, y' + (« + c — C) y = 0.

Eliminací y obdržíme C a dosazením do jiné z obou rovnic y. Píšeme-li

k vůli pohodlí — místo C, obdržíme pro a karakt. rovnici

a2 -f a c -f d =0,

a na př. první z obou rovnic určujících C, y dává
y — (C1 ea i * + C2 adx .

XIV.

4

Rovnice nho řádu téže vlastnosti zní

D (y, yv y2, • • y») =0*),

při čemž analogicky dle předešlého yt = Ci ea*x~ f adx. Od vodíce totiž
koěfficienty této rovnice můžeme se dodatečně přesvědčiti, že se transfor¬
mací reprodukuje. Tak zní rovnice řádu 3ho

y"' -f- (3 cl -f- q) y" ($2 -f- 3 ď 2 cl q -|- q) y [^3 3 cl cl - (-

+ (a2 + a') Ci + ac2 + c3]y = 0. (3)

3. Stanovme podobně rovnici, která se nezmění kaskádní transfor¬
mací o 4 invariantech. Předpokládáme-li nejdříve, že transformační
funkce a, b jsou rovny nulle, má být dle II. (13) vyhověno podmínkám

pi = pi, i = 1, 2, . . ., n, (4)

čímž určeny jsou koěfficienty pi\ při tom

pi = . v . + Uj + uf + . . ., y = 0, 1, . . ., i.

Snadno se přesvědčíme, že systému těchto n rovnic vyhovuje řešení
pi = a jako v čl. 2. Pak totiž jest h — — Cn—i, H = — cn, tudíž

Uj = (— 1 ){ ( ) [n — i + / — 17~ n — i + j — 2/_i

— w — i — li (w — 4 + / — l/_i — w — ř — j — 2^_2)

+ » — h — i + / — 1/ — 2 — ^ — i 4- j — 2/_8)

+ (— l)í w — 2< (w — í + j — lj-i — n — i + / — 2;_i_i)],

/ =1,2,. . \ , i.

Binomické koěfficienty v hranatých závorkách dávají nullu, tudíž
Uj = 0, je-li j > 0, u0 = 1. Rovnice (4) znějí pak cji = p{ a dosadíme-li
= q, obdržíme identity. Tudíž rovnice transformací kask. o 4 inv.
se neměnící jest opět rovnice (1) o stálých koěfficientech.

Chceme-li ji na základě této vlastnosti integrovati, pišme ji dle
II. (2) ve tvaru

y" + Cn- 1 y' + Cn y = 0, yx = y”-2 + q y + . . . -f c„_2 y ;

připoj íme-li vztah yx = C y a vylouČíme-li C, yx, obdržíme integrál y. Vy¬
loučením yx vznikne především

y" + C~- y' + y = 0, yM~2 -f q yM~3 + . . . + (c„_2 — C) y =0.

Je-li a jeden z kořenů rovnice C á 2 + c„_i a -f c„ =0, dává první
z obou rovnic y = ; dosadíce tuto hodnotu do druhé rovnice a píšíce

*) Schlessinger, Hdbch der lin. Diff.-Gl. I. p. 36.

XIV.

5

c =

Cn—lK +

«'

obdržíme pro a opét karakt. rovnici a týž integrál

jako v čl. 2.

Odvoďme nyní rovnici, o níž platí R1 = R, je-li a 0, b -ff- 0, a sice
pro komplikovanost jen pro případ n — 3. Poněvadž ve II. odvozeny
koěfficienty rovnice R1 jen při a — b — 0, nutno transformovati R na Rx
i v tomto obecném případě.

Rovnici 3ho řádu R

ý" + P\ y" + P2 y' + p*y — o

lze při libovolném a, b psát buď

y/' + a Ví' + b yx — hy' — K y — 0, yt = y' -f q y

nebo

yť + qyiBky' — Ky = é, yx = y" + a y’ + b y,

kde

q =Pi — a,

h =2q’ + a q -f b — p2,

H = q" -f a q' + b q — p3,
k = ci ď- b -j- cl q — p%,

K — b' + b q — p3 .

Vyloučímeďi yx z (5), vznikne transformovaná rovnice Rl

y±" + pi y" + p2y' + P*y =o>

kde

px — a -f q — D l (q h — H), i

p2 = a' + b -j- a q — h — a D l (q h — H), l

Pz =bf + bq — W — H + (h — b) Dl (q h — H) . I

(5)

(6)

(7)

Koěfficienty rovnice transformací touto se neměnící jsou tudíž
dány rovnicemi

Pi = Pi> P2 — p2> P3 — Pz-

První z těchto rovnic dává (px — a) h — H = cv tedy druhá vzhledem
k hodnotě h dle (6) určuje

3

Pi —^2 a + C2>

třetí, dosadíme-li za H výraz dle (6), stanoví

Pz — a' + a c2 + c3 ;

konečně dává táž třetí rovnice

A — a2 ,

h~T +

~ř* CL ď -j“

/ a2 , a' \ a . .

+ ~2~ J C2 + ~2 63 + c2 CS + CV

XIV.

6

Koěfficienty jsou tudíž na b nezávislé a tytéž jako v (3), dosadí-
me-li ~ místo a. Tudíž rovnice tvaru (1), (3) se reprodukují kaskádní

transformací o 2 i o 4 invariantech.

4. Při dvou proměnných probrána v Darbouxových „Surfaces”
(t. II. p. 31.) podobná úloha a udáno, že rovnice transformací Lapla-
ceovou se neměnící zní

W Z

T - * =°-

d x o y

Lze však všeobecněji vysloviti, že nemění se podobnou transformací
lineární rovnice nho řádu o m proměnných se stálými koěfficienty. Nejsou-li
koěfficienty stálé, nelze ovšem pro m ^ > 2 ani při n = 2 rovnici takto
vůbec transformovati.

Tak na př. pro n — 3, m = 2 lze rovnici psát ve tvaru

Jjh

3 x
32 z

Zi =

dx*

+ «

3 y

V' z
dxdy

b z1 — h

3 y

a 3 2 2 . 3 z

P d v2 + y 3 *

k z = 0,

■ ^

s z ,

Eliminací z1 obdržíme původní rovnici, vyloučíme-li z, vznikne
rovnice v zx s původní totožná.

Z této vlastnosti plyne i integrace těchto rovnic jako při jediné
proměnné v čl. 2. Dosadíme-li zx =C z, máme soustavu tří rovnic pro
neznámé z, zlt C. První rovnice dává

d z
3 x

+ (a~ 4) Iv + (b~ t)z =0’ tedy z-emx+ny’

kde m, n je pár kořenů rovnice m -\- (a — ^sjnJrb^-^-=0, z mz

C

plyne

C =

h n + k

m + a n + b '

Dáme-li do druhé rovnice hodnoty z1=Cz, z =emx + ny a právě
stanovenou hodnotu C, obdržíme pro m, n známou karakt. rovnici 3ho
stupně; dosazením do z = emx + ny máme všeobecné řešení z = Z! C em^ + ny^
Jest patrné, že totéž platí pro libovolné m, n.

b) R2 = R

5. Nalézti jest rovnici o jediné proměnné, která se reprodukuje,
transformuj eme-li ji kaskádhě dvakrát za sebou. Při dvou proměnných

XIV.

7

poznamenává Darboux*) o téže úloze, že lze ji převésti na integraci rovnice

o2 OJ

3 z 3 v

2 (eM

e~M),

(8)

aniž by úlohu dále prováděl. Jmenovitě není uvedeno, že rovnici dávající
řadu periodickou lze na základě této vlastnosti alespoň částečně integro-
vati. Poněvadž při jediné proměnné pro n = 2 platí dle I. (14) analogické
relace, jichž užil Darboux při 2 proměnných, dojdeme k rovnici k (8)
analogická.

Označme při rovnici R řádu 2ho — při řádu vyšším jest úloha ne¬
snadná ■ — koěfficienty p, q a invarianty h, k, při Rx podobně plf q v h1, kv
při R2 pak p2, q2, h2, k2. Pak jest hx = k, kx =h a poněvadž invarianty
h, k určují koěfficienty p, q a obráceně, jest úloha vyslovena podmínkami

~~ p > i
?2 = q \

čili

h2=h, 1
k2 == k. f

Dle I. (14) možná však psát (předpoklad a 4= 0 úlohu zde nijak
nekomplikuj e)

2 h — 2 k — -2 D2 1 h — D2 1 k — 0
2h—2k — D2lh = 0.

Odečtením obdržíme

D2 1 h k = 0 čili hk=eCiX+c*.

Zvolme pro zjednodušení úlohy integrační konstanty C1 C2 = 0,
Pak k = ~ a podmínka zní

C.u.

dosadíme-li pro h = e2o), obdržíme

íč2 «

= eí

analogicky k (8).

Abychom úlohu dokončili, pišme

čili

= 2 hyi> sin (2 u)

(i <a V

\ ~cT% ) ~ ^ s^n2 03 c°nst í

položíme-li const = 0, obdržíme rovnici

4- = 2 hyp sin oj,
d x

*) Surfaces, t. II. p. 31.

XIV.

8

jejíž řešení jest

a při zpětné substituci

(O — l

1 + č2*
1 _ i&x

h=(k^y • ^ *=(ttí)-

Dle vzorců I. (14) najdeme

4 e2x

P - 2 a + + c

q — a' + a2 + -

4 č:

2*

. a

f 1 — g y

V 1 + č2* / ’

čímž úloha rozřešena, ovšem ne v úplné všeobecnosti, poněvadž jsme
položili tři konstanty integrační nulle rovny, řešení provedeno jen pro
n — 2 a pro 2 invarianty.

Tudíž rovnice

'" + (

2 a

1 — e

— + c) y' + jý + 1

(l— £2* \21

(t+77) J y = °.

4 «2*

,4 a:

(9)

kde a je libovolná funkce x, pak c libovolná konstanta, dvojí kaskádní
transformací postoupně provedenou se nezmění.

Znajíce tuto vlastnost, která rovnici patrně charakterisuje, můžeme
nalézti též řešení rovnice. Pišme ji totiž ve tvaru dle I. (1)

yi + a Ví — h y — 0, = y’ + (p — <*) y,

při čemž eliminací y obdržíme transformovanou rovnici Rv Pišme opětně
Rx v podobě

y2' + a y2 — hY yx = 0, y2 = y/ + {p± — a) ylf

tak že eliminací y1 vznikne rovnice R2. Poněvadž R2 = R, jest y2 =y
a rovnice lnl a 4tá nebo 2háa 3U dají po eliminaci yx rovnici prvního řádu,
v níž se vyskytuje toliko y, kteréž obdržíme tedy kvadraturou.

Tak dosadíme-li na př. do třetí rovnice y2 = y a z druhé yx = y' +
-f- ( p — a) y, vznikne

tedy

y =

y'+

C1 ex +M

,2x

1 — e2x

c(l — í**)*]

= 0,

1 + e2x

4 «2* J y

u-i‘(

:*v **)

-/

d x

jakožto partitulární integrál rovnice (9). Kvadraturou najdeme tudíž
i druhý integrál partikulární

XIV.

9

C2 ex+M C (1 — eKx) e~

i

-M

,2x

d x.

1 + č2*

Rovnice (9) jest nej jednodušší pro a = c = 0 ; píšeme-li pak ještě x
místo e2x, nabude tvaru

-■ 2 ' 1 (4^)V=»

l — x-

4

a má řešení

Cl , c2 (1 + *3)
y 1 + X + (1 + x) Yx ’

6. Při dvou proměnných jsou úvahy zcela analogické. Rovnice
dvojí kaskádní transformací se reprodukuj ící pokládáme za dánu, jsou-li
dány její invarianty h, k; tyto však určeny jsou rovnicemi

3 2lh
3 x 3 y

1_

T '

Všeobecné řešení těchto rovnic jest obtížné. Avšak jakékoli parti¬
kulární řešení udává rovnici partiellní, jejíž řešení alespoň z části lze pro-
vésti t. j. lze je přenésti na integraci rovnice s derivacemi partiellními
řádu lho.

Tak na př. uhodneme dle předešlého čl. specielní řešení

h =

/ 1 e2(x + y) \2

\ 1 — e2<x + y) ) '

takže rovnice dvojí kaskádní transformací se neměnící zní
32 z 4 e2(x + y) 3 z / i — e2(x + y) \ 2

d X d y 1 - e*(x+y) 3 x \ l ^ e2[x + y) ) z

Pišme ji ve tvaru

3 z-t 3 z

— - \- b zx — hz = 0, zx = — - b a z.

3 x 3 y

Eliminací z obdržíme rovnici transformovanou, tu pak můžeme opět
psát ve dvou rovnicích

3 z2 3 z-.

“g^-+ Kh =0, Z2=-jy+a1Zl.

Druhá a třetí z těchto rovnic, vyloučíme-li z nich zx a položíme-li
z2 = z, dává pro z rovnici řádu lho

3 z í 1 ^2 (x + y) \ 2 0 ^ ^2 (* + y) M — _ ^2 (x + y)^

~d~x~ \ 1 -f d2(* + y)’/ 3 y (1 ^2 (x + y) j 3 ^ = 0»

jejíž všeobecný integrál jest partikulárním řešením rovnice (10).

XIV.

ROČNÍK XXIIT.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 15.

Příspěvek ku theorii lineárních systémů
lineárních komplexů.

Napsal

Dr. VÁCLAV SIMANDL,

assistent české techniky v Brně.

(Předloženo dne 13. února 1914.)

OBSAH:

I. O zobecněných kongruencích W álschových.

1. Definice, řád a třída zobecněných kongruencí Wálschových.

2. O involutorně přidružených kongruencích C33 a C'33.

3. O systémech ploch v kongruencích C33.

4. Speciální polohy základního hyperboloidu komplexového systému S2

ku ploše absolutní 5I2.

5. Zobecněné kongruence Wálschovy pro absolutní plochu degenerovanou.

II. O zobecněném A2 komplexu.

6. Zobecněný A2 komplex jest komplexem quadratickým.

7. Vytvoření zobecněného A2 komplexu ze dvou polárních svazků lineár¬

ních komplexů a jeho plocha singulární.

8. Věta o zobecněném A2 komplexu.

9. Sestrojení komplexových křivek a kuželů.

10. Speciální polohy základních přímek komplexového systému Ss vzhle¬

dem ku absolutní ploše.

11. Zobecněný A2 komplex pro absolutní plochu degenerovanou.

12. O plochách P4 a hyperboloidech v zobecněném A2 komplexu.

13. Applikace na A2 komplex a konoid Plúckerův.

14. O kongruencích C33 v zobecněném A2 komplexu.

III. O geometrických místech konjugovaných polár společných vždy dvěma
lineárním komplexům ze dvou komplexových systémů.

15. Případ, kdy polarita absolutní plochy při dříve uvažovaných geo¬

metrických místech nahrazena jest polaritou lineárního komplexu.

16. Rozšíření úvah v odstavci předešlém.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 15. 1

XV.

2

Z theorie lineárních systémů lineárních komplexů jest známo, že
geometrické místo os všech lineárních komplexů lineárního systému dru¬
hého stupně S2 jest kongruence druhé třídy a třetího řádu, jejímž studiem
zejména E. Wálsch se zabýval. Při lineárním systému třetího stupně S3
representuje pak geometrické místo os všech lineárních komplexů tohoto
systému určitý quadratický komplex dle Sturma nazvaný A2 komplex.
V této práci budeme studovati syntheticky projektivně zobecněná tato
geometrická místa, t. j. budeme hledati společné konjugované poláry
dané plochy 2. stupně W a jednotlivých komplexů ze systémů S2 resp. S3.
Plochu 5l2 budeme pak nazývati plochou absolutní. Provedeme zde ana¬
logické úvahy při komplexových systémech S2 a S3 jako jsme provedli
při komplexovém svazku ve článku: ,,0 zobecněném cylindr oidu/''
uveřejněném též v tomto ročníku Rozprav České Akademie v čísle 12.

Posléze si též v práci této povšimneme případu, kdy polarita abso¬
lutní plochy jest nahrazena polaritou lineárního komplexu a vyšetříme
geometrická místa párů konj. polár společných vždy dvěma lineárním
komplexům ze dvou různých lineárních systémů komplexových.

I.

O zobecněných kongruencích Wálschových.

1. Definice, řád a třída zobecněných kongruencí Wálschových.

Bud dán lineární systém druhého stupně S2 lineárních kom¬
plexů. Bud H2 sborcená plocha řídicích přímek všech speciálních
komplexů systému, t. ř. základní hyperboloid systému, a označme si
systém přímek hyperboloidu H2, který vyplňují tyto řídicí přímky jakožto
systém 2J a budiž dále U' druhý systém přímek hyperboloidu H2. Systém
přímek 27 jest patrně souhrn všech komplexových přímek společných
všem oo 2 lineárním komplexům systému S2. Každé dvě přímky systému 27
lze pokládati za konjugované poláry vzhledem k určitému svazku line¬
árních komplexů obsaženému v S2. Máme pak problém: nalézti geometrické
místo zobecněných párů osových, čili ježto každé dva páry konj. polár
téhož komplexu tvoří hyperboloidickou čtveřinu, můžeme naše geometrické
místo definovati jako souhrn páiů konjugovaných polár absolutní plochy
2l2, které s kterýmikoli dvěma přímkami jedné soustavy daného hyper¬
boloidu H2 tvoří hyperboloidickou čtveřinu.

Hledáme společné konj . poláry vzhledem ku W1 a vzhledem ku všem
lineárním komplexům systému S2. Geometrické místo to nalezneme,
nalezneme-li vždy obě transversály r, s kterýchkoli dvou přímek l, k sy¬
stému 27 hyperboloidu H2 a jejich konj. polár k' vzhledem ku 9l2. Lze
totiž transversály r, s pokládati vždy za pár konj . polár určitého komplexu
systému S2, kterýžto komplex jest stanoven právě tímto párem konj.
polár a pak kteroukoli přímkou systému 27 . A vzhledem ku 2Í2 jsou r, s

XV.

3

konjugovány, ježto jsou transversálami dvou párů konj. polár plochy %2,
totiž párů 1,1'; k, k' .

V systému 27' hyperboloidu H2 lze si vytknouti go2 dvojin přímek
lf k a tak dospějeme ku oo2 párům přímek r, s, které vyplní hledanou kon-
gruenci, kterou si označíme C33, ježto jest třetího řádu a třetí třídy, což
ihned dokážeme.

Sestrojíme si ku přímkám systému 27' plochy H2 vzhledem ku 2l2
polární systém 27/ a hledáme všecky páry přímek, které protínají současně
dva páry si odpovídajících přímek v systémech 27' a 27/.

Mysleme si libovolným bodem P
prostorový svazek přímek. Každá
přímka p z oo2 přímek tohoto svazku
protíná dvě přímky g, h systému
27'. Přímkám g, h polaritou plochy
2l2 odpovídají přímky g' h ' systému
27/. Příčku p' bodem P ku přím¬
kám g' , h' přiřaďme příčce p. Tímto
přiřazením příček p ku příčkám p’
dospíváme ku kollineaci ve svazku
prostorovém P, která má tři páry
samodružné odpovídajících si pří¬
ček p, p' . Jdou tedy každým bodem
prostoru tři příčky dvou si odpo¬
vídajících párů přímek polárně kon-
jug ováných systémů 27' a 27/.

Jest tedy naše kongruence tře¬
tího řádu.

Mysleme si v libovolné rovině tc
rovinné pole přímek. Každá přímka
p z go2 přímek tohoto pole protíná
dvě přímky g, h systému 27'. Přím¬
kám g, h polaritou plochy 5Í2 odpo¬
vídají přímky g' , K systému 27/.
Příčku p' v rovině % ku přímkám
g', h' přiřaďme příčce p. Tímto
přiřazením příček p ku příčkám
p' dospíváme ku kollineaci v rovin¬
ném poli it, která má tři samodružné
páry odpovídajících si příček p, p'.
Leží tedy v každé rovině tři příčky
dvou si odpovídajících párů přímek
polárně konjugovaných systémů 27'
a 27/.

Jest tedy naše kongruence třetí
třídy.

Můžeme pak vysloví ti věty:

Geometrické místo párů konjugovaných polár dané
plochy 2. stupně 5Í2, které tvoří hyperboloidickou čtveřinu
s kterýmikoli dvěma přímkami téhož systému 27 daného hy¬
perboloidu H2 jest v sobě duální kongruence třetího řádu
a třetí třídy C33.

Považuj eme-li 5l2 za absolutní plochu, možno kongru-
enci C33 považovati za geometrické místo zobecněných párů
osových lineárního systému 2. stupně S2 lineárních kom¬
plexů stanoveného hyperboloidem H2 a jeho systémem 27 jako
souhrnem řídících přímek speciálních komplexů systému S2.
Můžeme proto kongruenci C33 nazvati zobecněnou kongruencí
W álscho vou.

Kongruence Wálschovy, které obdržíme, když 5l2 nahradíme ku¬
lovou kružnicí v nekonečnu, jsou třetího stupně a druhé třídy. O kon-

XV.

1*

4

gruencích těch pojednal E. Walsch v pojednání: „Uber ein Strahlen-
system beim Hyperboloid". (Wiener Sitzungsberichte, svazek 95. II.

r. 1887, pag. 781.)

2. O involutorně přidružených kongruencích C33 a C33'.

Walsch ve svém zde právě citovaném pojednání o kongruencích
(3, 2) objevil zejména charakteristickou vlastnost těchto kongruencí, že
se dají vždy dvě takové kongruence k sobě tak přiřadí ti, že každá taková
kongruence se skládá ze všech os párů mimoběžných přímek druhé kon¬
gruence. Dokážeme, že věta ta projektivně zobecněná platí pro naše
kongruence (3, 3).

Před tím si vytkneme pojem involutorně přidružených kongruencí
C33' ku kongruencí m C33. To vyslovíme větou:

Týmže způsobem, jako jsme dospěli od systému pří¬
mek ZJ hyperboloidu H2 ku kongruenci C33, dospíváme od
druhého systému ZJ' tohoto hyperboloidu ku určité kongru¬
enci C33'. Kongruenci C33' nazveme involutorně přidruženou
kongruenci C33.

Patrno jest, že jako kongruence C33 jakožto geometrické místo zobec¬
něných párů osových přísluší systému komplexovému S2, že kongruence
C33' přísluší komplexovému systému, který jest s tímto v involuci a který
si označíme S2. Všechny lineární komplexy systému S2' mají společné
přímky systému ZJ plochy H2 a systém přímek Ě’ této plochy vyplňují
řídící přímky speciálních komplexů systému S2. Z důvodu involutornosti
systémů S2 a S2 nazvali jsme kongruence C33 a C33' involutorně při¬
druženými.

Každá z kongruencí C33 a C33' jest patrně ku absolutní ploše 2l2 po¬
lárně invariantní. Jednotlivé polárně invariantní páry jejích přímek
budeme nazývati konj ug o vánými přímkami těchto kongruencí.
Dokážeme pak větu:

Sestroj íme-li obě společné transversály dvou párů kon-
jugovaných přímek zobecněné kongruence Walschovy, tu
jsou tyto transversály párem konj ugovaných přímek kon¬
gruence k prvé involutorně přidružené.

Mysleme si v kongruenci C33 dva páry konjugovaných přímek r , r' ;

s, s' ; a budtež t, ť jejich obě společné transversály. Pár přímek r, r' pro¬
tínej systém ZJ hyperboloidu H2 v přímkách a, b, a pár s, s' v přímkách c, d.
Dva páry přímek a, b ; c, d možno považovati za dva páry konj . polár
určitého lineárního komplexu JH, náležejícího komplexovému systému S2,
a tedy páry přímek r, r' ; s, s' , které předešlé páry protínají možno pova¬
žovati za přímky komplexu r. Avšak obě transversály kterýchkoli čtyř
přímek lineárního komplexu tvoří pár konj. polár tohoto komplexu. I jsou
transversály t, ť konj. polár ami komplexu r, zároveň pak jsou t, ť konj.
polárami 2t2, neboť jsou transversálami dvou párů konj. polár této plochy.

XV.

5

totiž párů r , / ; s, s\ Jsou tedy t, ť zobecněným párem osovým komplexu T .
Jelikož pak komplexu r jakožto komplexu systému S2 náleží systém
přímek 2' hyperboloidu H1 2, tu musí zobecněný pár osový, který protíná
dvě určité přímky systému Z! též proti nati jejich vzhledem ku 5t2 konj.
poláry. Avšak tímto způsobem přicházíme od systému ŽJ' hyperboloidu H2
ku kongruenci C33'. Jsou tedy přímky t, ť skutečně přímkami této kongru-
ence, jak bylo dokázati.

Ukážeme nyní, kterak se tento důkaz modifikuje pro ten speciální
případ, že absolutní plocha 2Í2 jest nahrazena kulovou kružnicí v neko¬
nečnu. Dostaneme tak zároveň jiný důkaz pro větu než kterým ji dokázal
Wálsch ve shora citovaném svém pojednání (p. 782).

Ta věta Wálschova zní:

Sestrojíme-li ku dvěma párům přímek téže soustavy
hyperboloidu osy, tu osa těchto os jest osou páru dvou pří¬
mek druhé soustavy.

Dva páry prvních dvou přímek lze pokládati za dva páry konjugo-
vaných polár určitého lineárního komplexu. Osu tohoto lineárního kom¬
plexu sestrojíme, když sestrojíme osy obou párů přímek a osu těchto os.
Přímky druhé soustavy náleží vesměs lineárnímu komplexu. Jelikož osa
lineárního komplexu protíná jen komplexové přímky k ní kolmé, musí
býti ty dvě přímky hyperboloidu, které protíná, jejími kolmicemi. Tím
věta dokázána.

3. O systémech ploch v kongruencích C33.

V tomto odstavci budeme se zabývati systémy význačnějších ploch
v zobecněných kongruencích Walschových a sice zejména ploch stupně
druhého. Význačnější ty systémy jsou:

1. systém oo4 * párů konjugovaných sborcených ploch stupně šestého.

2. systém oo2 sborcených ploch stupně čtvrtého se dvěma dvojnými
přímkami

3. systém oo1 hyperboloidů.

Libovolná píímka d v prostoru vede ku sborcené ploše M6 stupně
šestého v dané kongruenci C33 obsažené. Tato přímka d jest řídicí přímkou
plochy M6 a sice trojnásobnou, ježto každým bodem jejím procházejí

3 paprsky kongruence C33, a všecky roviny přímkou d vedené protínají M6
ještě ve třech přímkách, ježto v každé rovině leží 3 paprsky kongruence.
Jest to speciál isace známého obecného případu, kdy u kongruence \jn, n]
dospíváme k sborcené ploše stupně m -f n. Ježto kongruence C33 jest
polárně invariantní vzhledem ku 9l2, lze každé ploše M6 o řídicí přímce d
přiřaditi plochu N6, která jest ku M6 vzhledem ku polární. Patrno, že
šest přímek, ve kterých se proniká kongruence C33 s lineární kongruenci

o řídících přímkách d, ď , jest částí proniku polárně konjugovaných ploch
M6 a N6.

XV.

G

Lineární systém lineárních komplexů S2 obsahuje oo2 svazků li¬
neárních komplexů, kteréžto svazky vedou ku systému oo2 zobecněných
cylindroidů P4, nalézajících se v kongruenci C33. Ku jednotlivým zobec¬
něným cylindroidům dospějeme od jednotlivých oo2 párů přímek m, n
systému ŽJ základního hyperboloidu H2. Každý cylindroid P4 má dvě
dvojné řídicí přímky p, q, jež tvoří pár konj. polár ku $í2. Dospíváme
tak zároveň ku oo2 párům přímek p, q, které vyplňují určitou kongruenci
a sice kongruenci C33' involu torně přidruženou kongruenci C33. To jest
dokázati.

Lze totiž p, q pokládati za pár přímek kongruence C'33, neboť
jednak jsou konj. polárami vzhledem ku W jednak tvoří hyperboloidickou
čtveřinu s oo1 páry přímek systému ŽJ' základního hyperboloidu. Totiž
s těmi oo 1 páry přímek x,y které mají se U' společné jednotlivé hyper¬
boloidy speciálního svazku těchto ploch čtyřmi přímkami: m n p, q
procházejících. Tím důkaz proveden. Těchto oo1 párů x,y tvoří oby¬
čejnou involuci v U' a jednotlivé páry této involuce stanoví s přímkami
p, q oo 1 zobecněných cylindroidů P4. Z toho vidíme zároveň, že každým
párem konj ugo váných přímek kongruence C33 prochází oo1 ploch P4 v této
kongruenci obsažených. Ježto párů konj ugo váných přímek v C33 existuje
oo 2 a každým párem prochází oo1 ploch P4, zdálo by se, že existuje oo3
ploch P4 obsažených v kongruenci C33. Toto množství oo3 redukuje se
však na oo2, když uvážíme, že na P4 existuje oo1 párů konj. přímek. Jsou
to patrně ty páry, jež tvoří involuci, kterou jsme nazvali druhou význačnou
involuci na P4.

Výsledky naše můžeme shrnouti ve větu:

V zobecněné kongruenci Wálschově existuje oo2 zobec¬
něných cylindroidů, dvojné řídící přímky těchto cylindroidů
vyplňují involutorně přidruženou kongruenci.

Uvažujme libovolnou přímkou t kongruence C33' sborcenou plochu,
kterou vyplňují přímky kongruence C33 přímku t protínající. Jest to plocha
6. stupně M6, jak jsme dříve vytkli, zároveň však jsme seznali, že každou
přímku kongruence C33' možno považovati za jednu dvojnásobnou přímku
cylindroidů P4 v C33 obsaženého. To možno jest však jen tehdy, když
plocha IVJ 6 se rozpadá v plochu P4 a určitý hyperboloid Q2.

Tím dospíváme ku systému hyperboloidů Q2 v kongruenci C33. Po¬
dobně existují hyperboloidy Qx2 v involutorně přidružené kongruenci C33'.
Vidíme dále, že přímky kongruence jedné lze považovati za přímky dru¬
hého systému na hyperboloidech kongruence involutorně přidružené.
Přímek t jest v kongruenci C33' sice oo2 našich hyperboloidů Q2 jest však
pouze oo 1 a to proto, že oo1 přímek t, které náleží druhému systému hyper¬
boloidu Q2 vedou k témuž hyperboloidu Q2. I máme větu:

Přímky každé kongruence C33 dají se uspořádati v oo1
prvních systémů přímkových oo1 hyperboloidů. Druhé sy-

XV.

7

stémy těchto hyperboloidů vyplňují kongruenci C33', která
jest prvé involutorně přidružena.

Ku kongruenci C33 náleží patrně též systémy přímek 2J, 2J1 hyper¬
boloidů H2 a Hj2, které jsou vzhledem ku 2Í2 polárními. Ku kongruenci C33'
náleží pak druhé systémy přímkové ŽJ', tohoto základního hyperbo¬
loidu H2 a hyperboloidu Hx2 k němu vzhledem ku 3Í2 polárního.

Wálsch ve svém citovaném zde pojednání ukázal, že systém ploch
2. stupně v jeho kongruenci (3, 2) jest koaxiální. Dokážeme zde projek¬
tivní zobecnění této věty, totiž větu:

Všecky hyperboloidy v kongruenci C33 mají společný
polárný čtyřstěn.

Společný ten polární čtyřstěn jest polární Čtyřstěn základního hyper¬
boloidu H2 a absolutní plochy 5l2 a patrně též. hyperboloidu H^. Uva¬
žujme libovolný pár ze tří párů koni. hran tohoto čtyřstěnu, označme si
ten pár u, v. Především vidíme, že pár přímek u, v jest párem konju-
govaných přímek kongruence C33, neboť protíná vzhledem ku W polárné
páry přímek systémů 2J' a 2/ hyperboloidů H2 a Hj2. Podobně jest u, v
párem konjugovaných přímek kongruence C33', ježto protíná přímky
dvou polárních párů systémů U a našich dvou hyperboloidů. Náleží
tudíž hrany našeho polárního čtyřstěnu oběma involutorně sdruženým
kongruenci m.

Konjugovanými polárami u, v jakožto řídicími přímkami stanoveny
jsou dva zobecněné cylindroidy P1 a Px4 příslušné kongruenci m C33 a C33'.
V prvém případě třeba u, v pokládati za přímky kongruence C33', v pří¬
padě druhém za přímky kongruence C33. Uvažujme na P4 libovolný pár
přímek a, b, který náleží k druhé význačné involuci na P4. Každým
párem těchto přímek a , b kongruenci C33 náležejících prochází určitý
hyperboloid Q2 našeho systému. To abychom dokázali, vytkněme si v li¬
neární kongruenci [u, v] příčky c, d tak, aby tyto s příčkami a, b tvořily
prostorový čtyřúhelník. Příčky c, d lze považovati za pár přímek konju¬
govaných involutorně přidružené kongruence C33', neboť jsme k nim do¬
spěli tím způsobem, že ku čtyřem přímkám kongruence C33, totiž přímkám
a, b, u, v jsme sestrojili obě společné transversály. A jest nyní patrno,
že ku hyperboloidu Q2 dospíváme od přímky c, nebo d týmže způsobem,
jako jsme k němu dospěli dříve od přímky t. Hyperboloid Q2 obsahuje
prostorový čtyřúhelník a, b, c, d i jest patrno, že diagonálně strany u, v
tohoto čtyřúhelníka jsou párem konj. polár tohoto hyperboloidu.

Od oo 1 přímkových párů a, b druhé význačné involuce na P4 dospí¬
váme ku oo1 sborceným čtyřúhelníkům a, b, c, d a tak ku oo1 hyperboloidům
našich kongruenci. Konj. poláry u, v zůstávají při tom konj. polárami
všech Q2. Tím věta svrchu uvedená dokázána.

Poznámka. Kongruence naše C33 jsou speciálním případem kon
gruencí (3, 3), ku kterým dospějeme od dvou projektivních lineárních
systémů druhého stupně lineárních komplexů tím že uvažujeme geo-

XV.

8

metrické místo řídících přímek všech oo2 lineárních kongruencí, ve kterých
se pronikají korrespondující komplexy obou systémů. Specialisace naše
závisí v tom, že projektivita případu obecného jest nahrazena polaritou
absolutní plochy. Kongruence (3, 3) takto vytvořené jsou identické s kon-
gruencemi (3, 3), které vyplní přímky oo1 hyperboloidů, ve kterých se
pronikají vždy tři korrespondující lineární komplexy tří projektivních
svazků lineárních komplexů [viz Sturm: Liniengeometrie I., pag. 217].
Vidíme, že kdybychom byli naše kongruence C33 převedli na tento výtvor
ze tří projektivních svazků lineárních komplexů, že by byla existence
hyperboloidů v nich se nalézajících ihned patrna.

4. Speciální polohy základního hyperboloidu komplexového systému S2

ku ploše absolutní 2l2.

V tomto odstavci ukážeme v jaká geometrická místa zobecněné
kongruence Walschovy přecházejí při některých ku absolutní ploše 5Í2
zvláštních polohách základního hyperboloidu H2 komplexového systému S2.
Budtež zase 2, 2' oba systémy přímek na H2, kde prvý vyplňují řídicí
přímky speciálních komplexů systému S2, druhý komplexové přímky
společné všem komplexům systému S2.

Speciální polohy H2 ku W budtež:

1 . 5l2 obsahuj e řídicí přímku j ednoho speciálního komplexu systému S2.

2. H2 jest ku 2Í2 polárně invariantní.

3. H2 se stotožňuje s <ň2.

Případ první,

2

Označme si d za společný paprsek, který má systém 2 plochy H~
s absolutní plochou 5í2. Mají tedy též systém 2 a systém 21 prvnějšímu
vzhledem ku W polárný společný paprsek d. Všech oo2 lineárních kom¬
plexů systému S2 lze si mysliti rozděleno na oo1 svazků Sj těchto kom¬
plexů tak. že řídicími přímkami příslušných oo1 lineárních kongruencí
jest přímka d a vždy jedna z oo1 přímek x systému 2. A geometrické
místo zobecněných párů osových komplexů systému S2 budeme hledati
jakožto souhrn oo1 zobecněných cylindr oidů příslušných cxj1 lineárním
kongruencím [d, x]. Avšak při třetím speciálním případu v odstavci 7.
citovaného zde na počátku pojednání ,,0 zobecněném cylindroidu"
uveřejněného v 12. Čísle ,, Rozprav Akademie" tohoto ročníku jsme
odvodili, že zobecněné cylindr oidy v případě, že jedna přímka z ří¬
dicích přímek příslušné kongruence leží na W přecházejí v polárně in¬
variantní hyperboloidy vzhledem ku 9X2, řídícími přímkami základní
kongruence proložené. Vidíme tedy, že naši hledanou kongruencí vyplňují
první systémy oo1 hyperboloidů přímkami d, x, x' stanovené, kde x' jest
konj. polára přímky x vzhledem ku 5l2.

Označme si hledanou kongruenci C22 a kongruencí, již vyplňují řídicí
systémy systémů (d, x, x') na našich hyperboloidech jako kongruenci C22'.

XV.

9

Z libovolného bodu P promítej -
tež se hyperboloid H2 a k němu
vzhledem ku W polárný hyper¬
boloid Hj2 kužely druhé třídy se2 a
jc/. Přímka d stanov s bodem P
rovinu d, jest to jedna ze 4 společ¬
ných rovin tečných kuželů x2 a x2-
V rovině ó dostáváme dva projek¬
tivní svazky paprskové bodem P
procházející, odpovídají si totiž vždy
dva paprsky vyťaté tečnými rovi¬
nami kuželů x2 a x1 stanovené vždy
dvěma vzhledem ku 5l2 konjugo-
vanými přímkami hyperboloidů H2
a Hj2. Dva v této projektivitě ko-
incidenční paprsky u', v' jsou patrně
dvěma paprsky kongruence C22' bo¬
dem P procházejícími. Jest tedy
kongruence C22' druhého řádu.

Přímky u' , v' náleží řídicím sy¬
stémům přímek dvou určitých hy¬
perboloidů. Bodem P procházejí
patrně ještě přímky u, v, které ná¬
leží původním systémům těchto hy¬
perboloidů v kongruenci C22 obsa¬
ženým. Jelikož mimo přímky u\ v'
jiné přímky řídicích systémů našich
oc1 hyperboloidů bodem P neprochá¬
zejí, nemohou bodem P také pro-
cházeti jiné přímky z původních
systémů těchto hyperboloidů, kromě
přímek u, v.

Jest tedy kongruence C22 dru¬
hého řádu.

Libovolná rovina n protínej ž zá¬
kladní hyperboloid H2 a k němu
vzhledem ku %2 polárný hyperbo¬
loid v kuželosečkách k 2 a kf.
Piůsečík přímky d s rovinou n budiž
D, jeden ze 4 společných bodů ku¬
želoseček k 2 a k-f. V bodu D co
vrcholu dostáváme dva projektivní
svazky paprskové v rovině n ležící,
odpovídají si totiž vždy dva pa¬
prsky procházející body na kuželo¬
sečkách k2 a k j2, vyťatými vždy
dvěma vzhledem ku %2 konjugo-
vanými přímkami hyperboloidů H2
a Hj2. Dva v této projektivitě ko-
incidenční paprsky u' , v', jsou patrně
dvěma paprsky kongruence C22' v ro¬
vině 7t ležícími. Jest tedy kongru¬
ence C22' druhé třídy.

Přímky u' , v' náleží řídicím sy¬
stémům přímek dvou určitých hy¬
perboloidů. V rovině it leží patrně
ještě přímky u, v, které náleží pů¬
vodním systémům těchto hyper¬
boloidů v kongruenci C22 obsaže¬
ným. Jelikož mimo přímky u' , v'
jiné přímky řídicích systémů našich
oc1 hyperboloidů v rovině tc neleží,
nemohou v it také ležeti jiné přímky
z původních systémů těchto hyper¬
boloidů kromě přímek u, v.

Jest tedy kongruence C22 druhé
třídy.

Patrno jest, že přímka d jest dvojnou přímkou kongruence C22,
neboť pro každý její bod nebo pro kteroukoli rovinu jí proloženou oba
paprsky kongruence splývají v d.

Můžeme pak vysloví ti větu:

Leží-li řídicí přímka jednoho speciálního lineárního
komplexu lineárního komplexového systému S2 na absolutní
ploše 5Í2, tu jest geometrickým místem zobecněných páru
osových kongruence druhého řádu a druhé třídy.

XV.

10

Případ druhý.

V druhém případě má základní hyperboloid H2 s absolutní plochou 2í2
dvě přímky m, n systému 2J společné a tedy musí s ní míti společné též
dvě přímky m', rí druhého systému U'. Hyperboloid H2 maje s 2Í2 společný
prostorový čtyřúhelník o stranách m, n, m', rí jest vzhledem ku 2Í2 po¬
lárně invariantním a libovolné přímce x systému 2J odpovídá polaritou
plochy 2l2 přímka y téhož systému tak. že přímky m,n ji od přímky x
oddělují harmonicky. Páry x,y tvoří patrně involuci o samodružných
přímkách m, n. Všechny oo2 komplexy systému S2 můžeme uspořádati
v oo 1 svazků Sv jichž základní lineární kongruence mají za řídicí přímky
páry přímek x, y na hyperboloidu H2. Ježto řídicí přímky x,y jsou konj.
polárami vzhledem ku 5Í2, jsou naše oo1 svazky S1 projektivně zobecněnými
souosými svazky lineárních komplexů (viz 1. případ speciální v odst. 7.
citovaného již pojednání ,,0 zobecněném cylindroidu"). Ukázali jsme též na
onom místě, že každý svazek projektivně zobecněných souosých lineárních
komplexů o zobecněném páru osovém x,y stanoví dva vzhledem ku absolutní
ploše polárně invariantní lineární komplexy, které mají oo 2 zobecněných párů
osových, jež vyplňují u každého z dotyčných dvou komplexů lineární kon-
gruenci, jejímiž řídicími přímkami jsou dvě protější strany prostorového
čtyřúhelníka, který přímky lineární kongruence [x, y] z plochy 5l2 vytínají.

* Jedním párem protějších stran oo1 sborcených čtyřúhelníků, které
přímky všech oo1 lineárních kongruencí [x,y] z 5l2 vytínají, jest pái přímek
m' , rí, který jest patrně všem oo1 sborceným čtyřúhelníkům společný.
Druhý pár protějších stran těchto čtyřúhelníků sborcených označme u, v
a snadno lze nahlédnouti, že všecky oo1 páry u, v tvoří involuci, jejímiž
samodružnými přímkami jsou přímky m. n. Vidíme, že souhrn všech
lineárních kongruencí \u, v] jest dle Chas! esová vytvoření lineárního kom¬
plexu určitý lineární komplex F, který ježto obsahuje jeden systém přímek
absolutní plochy, jest vzhledem ku této polárně invariantním.

Vyplňují tedy zobecněné páry osové v tomto speciálním případě
lineární kongruencí [m' rí] a lineární komplex r procházející dvěma přím¬
kami m, n jednoho systému a všemi přímkami druhého systému absolutní
plochy. Přímky rrí , rí jsou patrně komplexové přímky všech komplexů
našeho systému S2, které leží na 2Í2.

Kdybychom uvažovali tomuto případu involutorně přidružený
případ, to jest kdyby řídicí přímky všech speciálních komplexů systému S2
vyplňovaly systém hyperboloidu H2, tu by vyplňovaly zobecněné páry
osové lineární kongruencí \m, n\ a lineární komplex r' procházející přím¬
kami m,n a všemi přímkami toho systému přímek absolutní plochy, který
tyto přímky neobsahuje.

Naše výsledky pak můžeme shrnouti ve větu:

Je-li základní hyperboloid H2 lineárního systému S2 li¬
neárních komplexů vzhledem ku absolutní ploše 5l2 polárně

XV.

11

invariantním, tu jest geometrickým místem zobecněných
párů osových komplexů systému S2 lineární kongruence a
ku %2 polárně invariantní lineární komplex r.

Řídicími přímkami této lineární kongruence jsou dvě
přímky všem komplexům systému S2 společné a na %2 ležící.
Komplex /"jest pak stanoven involucí svých konj ugovaných
polár na W‘, jejímiž samodružnými přímkami jsou dvě řídicí
přímky dvou speciálních komplexů systému S2 na ploše 2Í2
ležící.

Případ třetí.

Dokážeme větu:

V případě, že základní hyperboloid H2 se stotožňuje
s absolutní plochou W2, vyplňují naše geometrické místo
všecky přímky prostoru.

Bud zase 27 systém přímek hyperboloidu H2, který vyplňují řídicí
přímky speciálních komplexů našeho systému S2. Bud k , k' libovolný
pár konj. polár absolutní plochy W. Tyto poláry protínají dvě určité
přímky t, v v systému 27. Každý pak pár x,y involuce přímek v 27, jejímiž
samodružnými přímkami jsou t, v tvoří s polárami k, k' hyperboloidickou
čtveřinu. To jest patrno z toho, že dva páry přímek x,y\ k, k' lze poklá-
dati za dva páry konj ugovaných polár téhož lineárního komplexu, totiž
lineárního komplexu stanoveného párem konj . polár k, k' a určitou přímkou
systému 27', řídicího to systému systému 27 hyperboloidu H2.

5. Zobecněné kongruence Wálschovy pro absolutní plochu degenerovanou.

V rovině 7t bud dána absolutní kuželosečka a2. Polaritou kuželo¬
sečky a 2 odpovídá systému přímek 27' na základním hyperboloidu H2
systém přímek v rovině nJ které obalují určitou kuželosečku s2, která
jest vzhledem na a 2 polární ku kuželosečce h 2, kterou v % vy tíná hyper¬
boloid H2. Vytkněme si v systému 27' hyperboloidu H2 dvě přímky l, k
a sestrojme si jejich vzhledem ku a2 konj. poláry V }k' . Ježto l' , k' leží
v n, leží v té rovině též jedna ze dvou transversál r, s čtyř přímek /, k,
V , k'. Tuto transversálu, na př. r, dostaneme jako spojnici bodů L, K,
které přímky /, k v rovině n vytínají. Pár přímek r, s lze pokládati za zobec¬
něný pár osový určitého lin. komplexu našeho komplexového systému S2.
Přímky r náleží tudíž příslušné zobecněné kongruenci Wálschově C33,
tyto přímky r zaujmou však všech oo2 poloh v rovině %. ježto je můžeme
vésti jakožto spojnice všech oo2 dvojin bodových L, K na kuželosečce h2.

Náleží tudíž rovinné přímkové pole % naší kongruenci C33, jejíž
třída se tudíž sníží o 1, jest pak tedy 2. třídy. I máme větu:

Je-li absolutní plocha W nahrazena kuželosečkou a2,
tu jest geometrickým místem zobecněných párů osových
všech lin. komplexů systému S2 kongruence třetího řádu

XV.

12

a druhé třídy C32 a rovinné pole přímek, jichž nositelem jest
rovina kuželosečky a 2.

Úvahami zcela duálními dospíváme při degeneraci 2Í2 v kužel 2. třídy
«2 ku vétě:

Je-li absolutní plocha 9X2 nahrazena kuželem 2. třídy a2,
tu jest geometrickým místem zobecněných párů osových
všech lin. komplexů systému S2 kongruence druhého řádu
a třetí třídy C23 a prostorový svazek všech přímek procháze¬
jících vrcholem kužele a2.

Při kongruencích C32 jest rovina it absolutní kuželosečky a2 singu¬
lární rovinou 2. stupně této kongruenc„, neboť obsahuje oo1 přímek kon¬
gruence, které obalují kuželosečku a2. Lze totiž kterýkoli z oo2 párů tečen
kuželosečky a2 v rovině n pokládati za pár přímek jednoho z oo2 cylindroidů
P3 v kongruenci C32 obsažených.

Dále existuje při našich kongruencích C32 právě tak jako při kongru¬
encích Wálschových 10 singulárních lovin prvního stupně, jichž existenci
dokážeme právě tak, jako jest při těchto kongiuencích dokázána (viz
Sturm: Liniengeometrie I. p., 185.).

Komplexový systém S2 obsahuje 4 speciální lin. komplexy, jichž
řídicí přímky protínají absolutní kuželosečku a 2, jsou to čtyři přímky
systému hyperboloidu H2. Označme si je ov o2, o3, o4. Tečny v jejich
stopách v rovině n ku kuželosečce a2 buďte /v t2, t3, r4. Všecky papisky
každého svazku paprskového fů* ti) tvoří patrně s tečnou t zobecněné
páry osové speciálního komplexu o řídící přímce o*. Tak dostáváme 4 sin¬
gulární roviny (o* ti). Kombinuj eme-li vždy dvě řídící přímky ze čtyř
přímek ox, o2, o3, o4, dostáváme 6 svazků komplexových o 6 základních
kongruencích [pí, o*]. Ježto zobecněný cylindroid třetího stupně každého
z těchto komplexových svazků obsahuje dva svazky paprskové, totiž
svazky (o i ti), Ok 4), musí býti zbývající jého část též paprskový svazek,
a to jest jeden z dalších 6 paprskových svazků, stanovících dalších 6 sin¬
gulárních rovin prvního stupně kongruence C32.

Zcela duálně k analogickému výsledku dospěli bychom při kon-
gruencích C23.

II.

O zobecněném A2 komplexu.

6. Zobecněný A2 komplex jest komplexem quadratickým.

Dán budiž lineární systém třetího stupně S3 lineárních komplexů
Dvě společné přímky komplexové všem oo3 komplexům systému S3 označme
si m, n. Jsou to základní přímky systému. Hledáme geometrické místo
vzhledem ku absolutní ploše 212 zobecněných párů osových jednotlivých
lineárních komplexů systému. Dostáváme tak oo3 párů konj. polár abso¬
lutní plochy, které vyplňují určitý komplex. Jelikož tento komplex jest

XV.

13

zobecněním známého A2 komplexu když kulovou kružnici v nekonečnu
nahradíme absolutní plochou %2, budeme jej nazývati projektivně zobec¬
něným, nebo kratčeji zobecněným A2 komplexem.

Jinak lze patrně zobecněný A2 komplex též definovati jakožto geo¬
metrické místo konj. polár k dané ploše W, které tvoří hyperboloidickou
čtveřinu přímek vždy s jedním párem přímek dané lineární kongruence
\m,n\. K té definici dospíváme zase z důvodu, že dva páry konj. polár
téhož lineárního komplexu leží na hyperboloidu.

Zobecněný A2 komplex jest komplex quadratický, což dokážeme
tím, že v každém svazku přímek v prostoru leží dva paprsky komplexu.

Vytkněme si v libovolné rovině q bod R. Ku takto stanovenému
svazku paprskovému (R q) sestrojme si vzhledem ku W polárně kon-
jugovaný svazek (R' q'). Vezměme v úvahu roviny svazku rovin o ose r,
spojnici to bodů R a R' . Libovolné rovině /x tohoto svazku rovin jakožto
rovině nullové a bodu R jako příslušnému bodu nullovému přísluší svazek Sx
lineárních komplexů v našem systému S3. Opíše-li rovina svazek rovin
kol r, dospějeme tak ku oo1 svazkům lineárních komplexů, čili ku oo2
lineárním komplexům, které mají společné komplexové přímky m, n, r
a tedy též přímky jednoho systému hyperboloidu jimi stanoveného. Označme
si takto vzniklý lineární systém oo2 lineárních komplexů jakožto systém S2.
Nullové body příslušné rovině q' vzhledem ku jednotlivým komplexům
systému S2 vyplňují tuto rovinu. Můžeme je však uspořádati tak, že leží
na oo 1 přímkách s této roviny, jež odpovídají jednotlivým oo1 svazkům Sv
Speciální lineární komplex o řídicí přímce l, transversále to základních
přímek m, n bodem R procházející, náleží všem oo1 svazkům Sv neboť
náleží mu všecky oo1 svazky přímek ( R , fi), z nichž každý jest společný
vždy všem komplexům vždy jednoho svazku Sv Procházejí tudíž všecky
přímky s, přímky to nullových bodů komplexů svazků v rovině q'
bodem L, průsečíkem to přímky l s touto rovinou. Jest totiž bod L mílio¬
vým bodem roviny q' vzhledem ku našemu speciálnímu lineárnímu kom¬
plexu o řídící přímce l.

Budiž / průsečnice rovin q, (>', jednotlivé přímky s svazku ( L q')
protínají ji v bodech, jež jako nullové body přísluší rovině q' vždy v jednom
komplexu každého z oo1 svazků Sv Přísluší tedy přímkám svazku (R q)j
spojnicím to bodu R s body přímky /, přímky svazku (R' q'), průsečnice to
nullových rovin s nullovou rovinnou q', jako konj. poláry vzhledem
k určitým komplexům našeho systému. Přímkám svazku (R q) přiřazeny
jsou však přímky svazku (R' $') též polaritou vzhledem ku W. Stanoví
tedy polarita komplexů i polarita absolutní plochy 5Í2 ve svazku (R' q')
a rovněž tak ve svazku (R q) dva soumístné projektivně svazky paprskové
a dva samodružné paprsky v každé této projektivitě jsou vždy dvěma
komplexovými paprsky v každém z těchto svazků paprskových. Tím jest
tedy dokázáno, že náš zobecněný A2 komplex jest komplexem quadrati-
ckým. Budeme tento komplex označovati též co T2 komplex.

XV.

14

Ukážeme dále, že našemu r2 komplexu náleží 4 lineární kongruence.
[m, rí], [nť , rí], [ m, nť], [n, rí],

kde nť, rí jsou konj. polárami základních přímek m, n vzhledem ku ab¬
solutní ploše 2l2.

K našemu quadratickému T2 komplexu náleží lineární kongruence
[m, n\ a k ní vzhledem ku 9l2 polární kngruence [m/ rí], ježto polárně při¬
řazené přímky těchto kongruencí tvoří zobecněné osové páry všech spe¬
ciálních komplexů systému S8. Dále náleží k našemu komplexu též line¬
ární kongruence [m, nť] a [n, rí]. Můžeme si totiž přímkou n jakožto pa¬
prskem komplexovým položití vždy lineární komplex AJ jehož jeden pár
konj. polár tvoří pnmka u kongruence [m, nť] a přímka rí vzhledem
ku %2 přímce u konjugovaná, jež též kongiuenci [m, nť] náleží, ježto jest
tato kongruence vzhledem ku W polárně invariantní. Lineárnímu kom¬
plexu A náleží též přímka m, jest tedy komplex A komplexem našeho
systému S3 a přímky u, rí jakožto konj. poláry komplexu A a plochy
náleží našemu zobecněnému A2 komplexu D2.

Tímže způsobem lze provésti důkaz o přímkách kongruence \n, rí]
že náleží quadratickému komplexu T2.

7. Vytvoření zobecněného A2 komplexu ze dvou polárních svazků lineárních
komplexů a jeho plocha singulární.

Z theorie quadratických komplexů jest známo, že obsahuj e-li quadra-
tický komplex jednu lineární kongruenci, že obsahuje jich oo1 a sice,
dva systémy oo1 lineárních kongruencí analogicky jako sborcená plocha
druhého stupně dva systémy přímek. Komplex takový lze, jak známo,
vytvořiti dvěma projektivními svazky lineárních komplexů. V následu¬
jícím ukážeme že za tyto dva svazky můžeme pokládat! svazek lineárních
komplexů o základní lineární kongruencí [m, rí] a svazek o základní lin.
kongruenci [nť , rí], k prvému svazku vzhledem ku W polární. Polarita
absolutní plochy W sprostředkuje zde projektivitu obou svazků kom-
plexových o základních lin. kongruencí ch [m, rí] a \m' , rí]' .

Uvažujme v těchto komplexových svazcích dva lineární komplexy
T a Tv které jsou vzhledem ku %2 navzájem polárními. KompDxy T
a Tx protínej tež se v přímkách lineární kongruence [g, g'] a o přímkách
této kongiuence dokážeme, že náleží našemu projektivně zobecněnému A2
komplexu. Uvažujme libovolnou přímku t lineární kongruence [g, g']
a k ní vzhledem ku W1 konj. poláru ť, která patrně musí opžt náležeti
kongruenci [g, g1], ježto tato kongruence jest vzhledem ku W polárně
invariantní. Jest pak dokázati, že v kongruenci [m rí] existuje pái přímek,
které s přímkami t, ť tvoří hyperboloidickou čtveřinu.

To dokážeme tím, že přímkami m, n proložíme lineární komplex,
jehož jeden pár konjugovaných polár tvoří přímky t, ť. Hledaný ten li¬
neární komplex, který označíme O obdržíme jako společný lineární komplex

XV.

15

lineárního systému 3. stupně všech lin. komplexů procházejících přímkami
m, n a pak svazku lineárních komplexů o základní lin. kongruenci \t, ť].
Aby však náš komplexový systém 3. stupně a svazek komplexový se v ně¬
jakém komplexu pronikaly, jest nutno, aby se nacházely v témže kom-
plexovém lineárním systému 4. stupně; což jest v geometrii bodové ana¬
logické tomu, že v prostoru pětirozměrném R5 prostor třírozměrný ič3
má s přímkou R± ieden bod společný jen v tom případě, že R3 a Rx na¬
cházejí se v nějakém prostoru čtyřrozměrném R4 obsaženém v R5. Pro¬
story Ri značily nám patrně lineární prostory. A v daném případě lineární
komplexový systém 3. stupně o základních přímkách m, n a komplexový
svazek o základní kongruenci [ 1, ť] nacházejí se v lineárním komplexo-
vém systému stupně 4., totiž v systému všech oo4 lineárních komplexů,
které jsou ku komplexu T polárně invariantními. Jest totiž svazek lin.
komplexů o základní kongruenci \t, ť] ku T polárně invariantním, ježto
všecky komplexy jeho obsahují pár konj. polár t, ť , které jsou přímkami
komplexu T. A to jak z theorie lineárních kamplexů známo, ku polární
invarianci úplně postačí. Rovněž tak všechny <x>3 lineární komplexy
přímkami m, n procházející jsou ku T polárně invariantními, ježto jejich
společné komplexové přímky m,.n jsou párem konj. polár lineárního kom¬
plexu r. Tím jest existence lineárního komplexu 0 dokázána.

Ku libovolné přímce h lineární kongruence [m, ri] příslušná konj.
polára h' vzhledem ku lin. komplexu 0 náleží opět této kongruenci, neboť
přímky m n jsou přímkami komplexu 0. I tvoří libovolný pár přímek t, ť
ku %2 konj ugo váných a v polárně invariantní vzhledem ku 9l2 kon¬
gruenci [g, gr] ležících s párem přímek h, ri kongruence \m, ri] hyperbo¬
loid! ckou čtveřinu přímek, jakožto dva páry konjugovaných polár kom¬
plexu 0. A to bylo dokázati, aby bylo patrno, že zobecněný A2 komplex
lze pokládati za výtvor dvou polárních komplexových svazků o základ¬
ních lin. kongruencích [m, ri] a [m,r ri].

Obč transversály p, q čtyř mimoběžsk m, n, rri , ri náleží patrně
ku všem oo1 lineárním kongruencím, které vyplňují náš zobecněný A2
komplex a jsou, jak z theorie qvadratických komplexů známo/dvojnými
přímkami toho komplexu. Komplex tohoto typu označuje se

| (11) 1111]

kteiéžto označení, jak známo, vzato jest z Weierstrassovy th^orri zá¬
kladních dělitelů.

Z theorie quadratickýcb komplexů jest dále známo (viz Sturm:
Liniengeometrie III., p. 393), že řídicí přímky obou systémů lineárních
kongruenci vyplňujících quadratický komplex přísluší téže sborcené ploše
stupně čtvrtého, která jest singulární plochou tohoto komplexu. Uva¬
žujme pár přímek x,y, které jsou řídicími přímkami jedné lineární kon¬
gruence v zobecněném A2 komplexu a tedy přímkami smgulární plochy.
Kongiuenci -.[x, y] lze považovati za pronik dvou lineárních komplexů

XV.

16

W a 7S?1, které si odpovídají v cbou komplexových svazcích o základních
kongruencích \m, rí] a \m' , rí] jakožto navzájem polární komplexy vzhle¬
dem ku 5l2. Jsou pak přímky x,y konjugovanými polárami vzhledem
ku W, libovolnému to komplexu komplexového svazku o základní kon-
grumci [m, rí]. Ježto pak x, y jsou též párem konjugovaných polár vzlde-
dem ku W, můžeme x,y pokládati za zobecněný pár osový libovolného
lín. komplexu ze svazku o základní kongruenci [m, rí]. Vyplňují tedy
řídící přímky xy zobecněný cylmdroid P4, příslušný lineární kongruenci
[m, rí], který jest tedy singulární plochou zobecněného A2 komplexu.

Výsledky naše můžeme shrnouti ve věty:

Geometrické místo konj. polár dané plochy 2. stupně 2Í2,
které s libovolnými dvěma přímkami dané lineární kongru-
ence \m, ri\ tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek, jest
quadratický komplex o dvou mimoběžných přímkách dvoj¬
ných, které dostaneme jakožto transversály řídících přímek
kongruence [m,rí] a přímek k těmto vzhledem ku 3í2 polárným.
Komplex tento nazveme zobecněným A2 komplexem.

Singulární plochou tohoto komplexu jest plocha sbor-
cená 4. stupně o dvou přímkách dvojných, již vyplňují páry
konjugovaných polár 2l2, které s řídicími přímkami kongru¬
ence \m, n] tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek. Dvojné
přímky singulární plochy jsou dvojnými přímkami přísluš¬
ného zobecněného A2 komplexu. Plocha ta jest zobecněným
cylindroidem.

Náš zobecněný A2 komplex lze pokládati za geometrické
místo zobecněných párů osových, které náleží všem lineár¬
ním komplexům systému S3. Singulární plochou tohoto kom¬
plexu jest zobecněný cylindroid příslušný svazku lineárních
komplexů, který jest se systémem S3 v involuci.

Ukázali jsme dříve, že našemu zobecněnému A2 komplexu naleží
lineární kongruence [m, rí], [mr , rí], \m, nť], [n, rí] a dále, že náleží náš
komplex do kategorie quadratických komplexů, které obsahují dva sy¬
stémy oo1 lineárních kongruenci. Řídicí přímky těchto dvou systémů
lineárních kongruenci vytínají, jak z theorie těchto komplexů jest známo
[Sturm: Liniengeometrie III., p. 393], na singulární ploše tohoto kom¬
plexu dvě spojené involuce. V našem případě jsou m, n \ m' , rí páiy jedné
a m,m' \ n, rí páry druhé s prvou spojené involuce. Jsou to patrně naše
dvě význačné involuce na zobecněném cylindroidu. Máme tedy výsledek:

Zobecněný A2 komplex lze pokládati za souhrn všech
lineárních kongruenci, jejichž řídící přímky tvoří páry první
nebo druhé význačné involuce na zobecněném cylindroidu.

Vezmeme-li v úvahu diuhou význačnou involuci na konoidu Plú-
ckerově, dostáváme vytvoření A2 komplexu co souhrnu všech přímek,
které protínají kolmo jednotlivé přímky konoidu Plúc keřová.

XV.

17

8. Věta o zobecněném A2 komplexu.

Dokážeme větu:

Geometrické místo hran polárných tetraedrů vzhledem
ku dané ploše 2. stupně 2i2 a vzhledem ku jednotlivým oo3
plochám 2. stupně, procházejícím danými přímkami m, n jest
zobecněný A2 komplex.

Uvažujme libovolný lineární komplex T procházející přímkami m, n.
Jelikož však v systému všech, oo6 ploch 2. stupně daného lineárního kom¬
plexu vždy existuje jedna plocha (viz Sturm: Liniengeometrie I., pag. 307)
danými dvěma přímkami komplexovvmi procházející a dané konjugované
poláry lineárního komplexu rovněž za konj. poláry mající, můžeme ku
každému lineárnímu komplexu T jdoucímu přímkami m, n přiřaditi jednu
plochu 2. stupně přímkami m, n procházející tak, že Ta ona plocha mají
společné konj. poláry. Každé ploše odpovídají však tři lineární kom¬
plexy, jejichž tři páry konjugovaných polár tvoří tři páry polár na po¬
lárním tetraedrů.

Tím věta dokázána.

Nahradí me-li 9t2 kulovou kružnicí v nekonečnu, tu dostáváme větu
o osách všech oo3 ploch 2. stupně, jdoucích dvěma mimoběžnými přím¬
kami na kterou upozornil pan Dr. Klobouček v práci ,,Methodické po¬
známky ku theorii A2 komplexu ‘ (Rozpravy České Akademie r. 1905).

9. Sestrojení komplexových křivek a kuželů.

Poněvadž jsme dokázali, že ku zobecněnému A2 komplexu náleží
lineární kongruence \m, rí], \m' , rí], [m, mr], \n, rí] stačí stanovití si v libo¬
volné rovině n průsečíky čtyř přímek m, n, m' , rí, a tyto průsečíky spojití
přímkami tak, abychom dostali čtyři přímky z uvedených čtyř lineárních
kongruencí. Tu máme hned čtyři tečny komplexové kuželosečky. Pátou
tečnu dostaneme jako spojnici průsečíků přímek r, s, které tvoří pár druhé
význačné involucs na singulární ploše P4 našeho komplexu a které sestro¬
jíme dle způsobu udaného v odstavci 4. citovaného zde mého pojednání
,,0 zobecněném cylindroidu". Tím jest komplexová kuželosečka libovolné
roviny stanovena.

Způsobem zcela duálním stanovil by se komplexový kužel v libo¬
volném bodě jakožto svém vrcholu.

V případě, že absolutní plocha %2 obsahuje reálné přímky, dospíváme
k jednodušší konstrukci komplexových křivek a kuželů a proto o tom
případě pojednáme zvlášť. Přicházíme zároveň při sborcené absolutní
ploše ku jiné definici projektivně zobecněného A2 komplexu, která zní:

Vytkneme-li na hyperboloidu 9l2 v každém systému jeho
přímek obyčejnou involuci a přiřadíme-li tyto involuce pro¬
jektivně, dostáváme na 2l2 oo1 sborcených čtyřúhelníků, jejichž
diagonály jsou řídícími přímkami oo1 lineárních kongruencí,

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 15. 2

XV.

18

jejichž přímky vyplňují quadratický komplex o dvou mimo-
běžnýcb přímkách dvojných, který jsme nazvali zobecněnýA2
komplex.

Tyto dvojné přímky tvoří pár diagonál sborceného čtyř¬
úhelníka, jehož dvě a dvě protější strany tvon páry samo-
družných přímek v obou daných involucích.

Singulární plochou tohoto komplexu jest zobecněný cy-
lindroid P4 diagonálami všech oo1 sborcených čtyřúhelníků
vyplněný.

Patrno jest, že oba systémy přímek plochy W náleží zobecněnému A2
komplexu. Páry diagonál uvedených sborcených čtyřúhelníků tvoří patrně
druhou význačnou involuci na P4.

Při konstrukci komplexových křivek a kuželů užijeme týchž ozna¬
čení, jako jsme byli užili při konstrukci řezu a obrysu P4 v odstavci 6.
citovaného zde již pojednání: ,,0 zobecněném cylindroidu".

Libovolná rovina n piotínejž hyperboloid %2 v kuželosečce a2. Páry
přímek obou projektivních involuci v obou systémech přímek plochy
W vytínají na kuželosečce a2 dvě obyčejné involuce indukované body
S,S'. Svazky paprskové o vrcholech S, S' jsou projektivně, jejich výtvo¬
rem jest určitá kuželosečka l2. Sestroj íme-li ku kuželosečce l 2 kuželosečku k2,
která jest k ní vzhledem ku kuželosečce a2 polární, sestrojili isme již hle¬
danou kuželosečku komplexovou k 2. To jest ovšem ještě dokázati.

Uvažujme libovolný bod E kuželosečky l 2 a protínej tež spojnice
AS, ES' kuželosečku a2 v párech bodových A,B; A' , B' , takže:

E = AB x Á^'

a dále si označme:

C = A~B' x A7' B

D = A~A' X BB’.

Body C, D , body to quartiky řezu (viz odst. 6. pojednání ,,0 zobec¬
něném cylindroidu") jsou zároveň průsečíky jednoho páru druhé význačné
involuce na P4. Jest tedy spojnice C D přímkou komplexu. Avšak v po¬
lárném trojúhelníku E, C, D jest E bod to kuželosečky l2, pólem poláry
C D. Jest tedy správnost konstrukce hoření dokázána, zároveň podán
důkaz quadratičnosti zobecněného A2 kom plexu, když absolutní plocha W
jest plochou přímkovou.

Zcela duálně sestrojíme komplexový kužel o libovolném vrcholu P.
Z bodu tohoto promítají se přímky plochy 5Í2 tečnými rovinami kužele 2.
třídy a2. Páry přímek v obou projektivních involucích v obou systémech
přímek plochy W promítajíce se tečnými rovinami kužele a2, stanoví dvě
projektivní involuce v tečných rovinách tohoto kužele. Budte <5, o' ro¬
vinami vrcholem P kužele a2 procházejícími, které indukují tyto invo¬
luce v tečných rovinách a2. V rovinách ď máme dva projektivní svazky
paprskové o témžo vrcholu P. Výtvorem jejich jest kužel 2. třídy, který

XV.

19

•označíme A2. K tomuto kuželi A2 vzhledem ku a 2 polárný kužel x2 jest
komplexovým kuželem bodu P. Důkaz jest zcela duální hořenímu dů¬
kazů při stanovení komplexové kuželosečky k 2, proto důkaz ten zde zvlášť
již uváděti nebudeme.

10 Speciální polohy základních přímek komplexového systému S3 vzhledem

ku absolutní ploše.

Uvažujme zase dle řady čtyři speciální polohy základních přímek
m, n zobecněného A2 komplexu, jako jsme uvažovali pro řídicí přímky
m, n základní kongruence [m, ri\ zobecněného cylindr oidu v odst. 7.
pojednání ,,0 zobecněném cylindroidu".

Čtyři ty speciální polohy byly:

1. m, n jsou konj. polárami absolutní plochy W.

2. m, n se svými konj. polárami vzhledem ku 2ÍŽ tvoří hyperbo-

loidickou čtveřinu.

3. jedna z přímek m, n náleží ploše 91 2 .

4. obe přímky m, n náleží ploše 5Í2.

Případ první.

Jsou-li základní přímky m, n lineárního komplexového systému stupně
třetího S3 konj. polárami absolutní plochy 9Í2, můžeme oo3 lineárních
komplexů systému S3 uspořádati tak, že tento systém jest sestaven
z oo2 svazků lin. komplexů a řídicími přímkami základních lin. kongruencí
těchto svazků jsou vždy dvě přímky t, ť lineární kongruence \m, ri\, které
jsou současně konj. polárami absolutní plochy. Každý z těchto oo2 svazků
komplexových o základních lin. kongruencích \t, ť ] jest patrně projektivně
zobecněným svazkem lineárních komplexů souosých o společném zobec¬
něném páru osovém [t, ť'\. Jak jsme na "počátku odst. 7. v citovaném
pojednání „O zobecněném cylindroidu“ odvodili, existují v každém
projektivně zobecněném svazku souosých lin. komplexů dva vzhledem
ku absolutní ploše polárně invariantní lineární komplexy, z nichž každý
má oo 2 zobecněných párů osových, kteié vyplňují určitou lineární kon-
gruenci. Tak zde při našem komplexovém systému S3, ve kterém, jak
jsme právě ukázali, existuje co2 lineárních komplexů vzhledem ku W
polárně invariantních, zdálo by se na první pohled, že dospíváme ku oo4
zobecněným párům osovým, tudíž ku všem přímkám prostoru. Ukážeme
však, že tyto přímky ve skutečnosti vytvořují dva lineární komplexy, že
tedy zobecněných párů osových existuje ve skutečnosti pouze oo3.

Lze totiž oo2 párů konj. polár t, ť v lineární kongruenci [m, ri\ uspo¬
řádati v oo1 prvních systémů přímkových určitých hyperboloidů H2, z nichž
každý má s plochou absolutní společný prostorový čtyřúhelník, čili z nichž
Laždý jest vzhledem ku absolutní ploše polárně invariantním.

2*

XV.

20

Toto uspořádání jest možné, neboť libovolnou přímkou x1 prv¬
ního systému přímek na absolutní plose W a přímkami m, n stano¬
vený hyperboloid (xv m, n) má s plochou 2Í2 společné dvě přímky u2, v 2
druhého systému přímek plochy 5í2, totiž ty přímky u2, v2, které tvoří
jeden pár protějších stran sborceného čtyřúhelníka, který konj. poláry
m, n z plochy 5l2 vytínají. Ježto má tedy hyperboloid (xlf m, n) s plochou 2Í2
společné dvě přímky soustavy druhé u2, v2, musí míti společné též dvě
přímky soustavy první, a to vytčenou již přímku x1 a pak určitou přímku yv
Dle druhé věty vytčené v odst. 7. citovaného zde stále pojednání vidíme*
že jsou přímky x, y± řídicími přímkami lineární kongruence zobecněných
párů osových vždy jednoho vzhledem ku 5l2 polárně invariantního lineár¬
ního komplexu, stanoveného jedním párem involuce konj ug ováných po-
ár v přímkách druhého -systému ku 2l2 polárně invariantního hyperbo¬
loidu (x, m, n), kterou tam 2l2 indukuje. Tedy vždy 00 1 ku 2(2 polárně
invariantních lin. komplexů stanovených plochou (x, m, n) má společnou
lineární kongruenci zobecněných párů osových, totiž kongruenci [xvy1\.

Všechny páry přímek xv yx tvoří obyčejnou involuci na 5l2 o samo-
družných přímkách uv vv které s přímkami u2, v2 výše vytčenými tvoří •
souhrn stran prostorového čtyřúhelníka, který z 9I2 konj . poláry m, n
vytínají. Všechny pak lineární kongruence [xv yj vyplňují dle známého
Chaslesova vytvoření lineárního komplexu lineární komplex T. Způso¬
bem týmž, v druhém systému přímek absolutní plochy involutorní páry
x2, y2 o samodružných přímkách u2, v2, vytvořily by určitý lineární kom¬
plex Tv Lineární komplexy r a F1 zastupují patrně v našem speciálním
případě zobecněný A2 komplex. Každý z nich ježto obsahuje vždy jeden
systém přímek plochy 5l2 jest ku této polárně invariantním

Můžeme pak vysl oviti věty:

Jsou-li základní přímky m, n lineárního systému line¬
árních komplexů stupně třetíhoS3 párem konj ugovaných polár
absolutní plochy 9l2, tu příslušný zobecněný quadratický A2
komplex rozpadá se ve dva ku 5l2 polárně invariantní line¬
ární komplexy.

Tyto lineární komplexy stanoveny jsou dvěma involu-
cemi svých konj ugovaných polár v obou přímkových sy¬
stémech plochy 9l2. Samodružnými přímkami těchto involuci
jest vždy pár protějších stian sborceného čtyřúhelníka,
který z $l2 přímky m, n vytínají.

K větám těmto mohli bychom též dospeti vytvořením zobecněného
A2 komplexu ze dvou vzhledem ku W polárních svazků lineárního kom¬
plexů, kteréžto vytvoření jsme též dříve byli odvodili. V daném speciál¬
ním případě mají tyto komplexové svazky společnou svoji základní line¬
ární kongruenci [m, n\. Komplexy T a r± jsou dvěma vzhledem ku W po¬
lárně invariantními lineárními komplexy kongruenci \_m, ri\ procházejícími.

XV.

21

Existenci takových dvou lin. komplexů jsme dokázali na počátku odst. 7.
citovaného zde pojednání ,,0 zobecněném cylindroidu". •

K důkazu našich vět jsme volili hoření delší cestu z toho důvodu,
že jest z ní patrno uspořádání lineárních komplexů systému S3 v této spe¬
cielní poloze, zejména pak uspořádání projektivně zobecněných souosých
svazků systému S3.

Případ druhý.

V případě, že základní piímky m, n našeho komplexového systému
S3 tvoří se svými vzhledem ku 2l2 konj. polárami m' , rí hyperboloidickou
čtveřinu přímek, mají polární svazky lineárních komplexů o základních
kongruencích \m, ri\ a [mr, rí J polohu peispektivní. Lze totiž dvěma páry
přímek m,n\ m’ , rí jakožto páry konjugovaných polár stanovití určitý
lineární komplex A, který jsa ku ploše W1 polárně invariantním jest oběma
našim polárním svazkům komplexovým společný. Označme si jako první
systém přímkový na absolutní ploše ten systém, se kterým lineární kongru-
cnce \m, rí] má společné dvě přímky, které si označíme ult vv Snadno lze
pak nahlédnout!, že polárně mvaiiantní lineární komplex A obsahuje
všecky piímky prvního systému plochy 2í2, neboť každou přímkou xx
prvního systému a párem svých konj. polár m, n jest týž stanoven. Ob¬
sahuje pak komplex A všecky přímky prvního systému plochy W, ježto
obsahuje tři přímky toho systému, totiž přímky xlf ult vv Zobecněný
A2 komplex rozpadá se tedy v lineární komplex A a nějaký jiný ještě
lineární komplex Av který máme nalézti.

Ku hledanému lin. komplexu Ax náleží patrně všecky přímky dru¬
hého přímkového systému absolutní plochy, neboť vědeme-li si libovolnou
přímkou x2 tohoto druhého systému jakožto přímkou komplexovou a
párem přímek m, n jakožto párem konj ugo váných polál určitý komplex
lineárný, tu polárně vzhledem ku 2l2 odpovídající komplex tomuto kom¬
plexu bude prochýzeti zase přímkou x2. Náleží tudíž všecky přímky x2
diuhého systému plochy 9Í2 komplexu Ax našimi perspektivními a polár¬
ními svazky komplexovými vytvořenému. Komplexu A± náleží však
též dříve vytčené přímky uL vv A jest tedy lineární komplex Ax stanoven
všemi přímkami druhého systému plochy W1 a dvěma přímkami prvého
systému této plochy jakožto svvmi přímkami komplexovými.

Máme pak věty:

Tvoří-li zák]adní přímky m,n systému S3 lineárních
komplexů se svými, vzhledem ku 2t2 konj ugovanými polárami
m’ , rí hyperboloidickou čtveřinu přímek, rozpadá se systému
S3 příslušný zobecněný A2 komplex ve dva lineární kom¬
plexy AaAv které jsou vzhledem ku W polárně invariantními.

Komplex A jest stanoven dvěma páry svých konjugo¬
vaných polár m,n',m',rí a obsahuje přímky prvního systému
plochy^2. Komplex^ jest stanoven involucí svých konj ugo-

XV.

22

váných polár v prvním systému přímek plochy W, jejímiž
samodružnými přímkami jsou přímky, které z tohoto sy¬
stému lineární kongruence [m, ri\ vytíná.

V tomto druhém speciálním případě obsahuje komplexový systém
S3 oo 1 projektivně zobecněných svazků souosých lineárních komplexů.
Společné zobecněné páry osové jednotlivých těchto svazků tvoří invo-
lučí na řídícím systému hyperboloidu [m, n, m’ , rí).

Případ třetí.

Třetí speciální případ, kdy jedna ze základních přímek m n, na
př. přímka m leží v druhém systému přímek absolutní plochy 2l2 jest
speciálním případem případu předešlého. Lze snadno nahlédnouti, že
lineární komplex A v případě druhém uvažovaný přechází v tomto pří¬
padě v speciální lineární komplex, jehož řídící přímkou jest základní
přímka m na ploše 2l2 ležící.

Případ čtvrtý.

Uvažujme případ, že obě základní přímky m, n komplexového sy¬
stému S3 leží na absolutní ploše W a že obě náleží témuž systému přím¬
kovému této plochy. Pak můžeme všechny oo3 lín. komplexy systému S3
uspořádati v oo2 projekt vině zobecněných souosých svazků komplexo-
vých, jejichž společným zobecněným párem osovým jest vždy jeden pár
z oo 2 párů konj. polár plochy 5l2 obsažených v lineární kongruenci [m, n\.
Ježto každý projektivně zobecněný svazek souosých lineárních kom¬
plexů má dva vzhledem ku W polárně invariantní lineární komplexy,
z nichž každý obsahuje oo2 zobecněných párů osových, dospíváme tak
ku oo4 párům přímek, to jest ke všem přímkám prostoru.

A sice každému páru p, q konj. polár v lineární kongiuenci [m, ri\
náleží dva polárně invariantní lineární komplexy, z nichž zobecněné páry
osové u jednoho vyplňují vždy lineární kongruenci \m, ri\ u druhého pak
určitou lineární kongruenci, jejímiž řídícími přímkami jest vždy jeden
z oo 2 párů přímek r, s plochy W, které s přímkami m, n tvorí vždy sbor-
cený čtyřúhelník z plochy vyťatý párem konj. polár této plochy p, q.
Všech oo 2 lineárních kongruenci [r, s] obsahuje všecky oo4 přímky pro¬
storu.

Máme pak větu:

Leží-li obě základní přímky m, n systému S3 lineárních
komplexů na absolutní ploše 2l2, tu přechází příslušný zobec¬
něný A2 komplex ve všecky přímky prostoru.

To lze nahlédnouti též snadno z vytvoření zobecněného A2 kom¬
plexu pomocí polárních svazků komplexových. Ty jsou v našem daném
případě kollokálními, majíce lineární kongruenci \m, ri\ společnou. Ježto
pak všechny lineární komplexy základní kongruence \m, n\ v tomto pří-

XV.

23

pádě jsou polárně invariantními vzhledem ku %2 (jak jsme dokázali při
čtvrtém speciálním případu v odst. 7. pojednání „O zobecněném cylin¬
droidu") přechází zobecněný A2 komplex v souhrn všech oo1 lineárních
komplexů svazku o základní lin. kongruenci \m, n\. Tyto oo1 lineární
komplexy vyplňují patrně svými přímkami celý prostor přímkový.

11. Zobecněný A2 komplex pro absolutní plochu degenerovanou v kuželo¬
sečku nebo v kužel druhé třídy.

Absolutní plocha 2Í2 budiž nahrazena absolutní kuželosečkou a 2
v rovině n. Sestrojme ku základním přímkám m, n komplexového sy¬
stému S3 konj. poláry m' rí. Ty se protínají v bodě P roviny n a buďte p, q
transversálami čtyř přímek m, n, mr , rí . Transversála p prochází bodem P
a transversála q leží v rovině n. Uvažujme speciální lineární komplex
systému S3 o řídící přímce q. Tento lin. komplex má oo2 zobecněných
párů osových. Lze totiž všem oo2 přímkám roviny tc přiřaditi přímky,
které s nimi tvoří zobecněné páry osové. Každá přímka % roviny n tvoří
s osou q určitý paprskový svazek a v tomto existuje vždy jedna přímka %' ,
která jest konjugovanou polárou přímky x vzhledem ku a2. Pár x, x' ,
pár to konj. polár absolutní kuželosečky, jest zobecněným párem osovým
speciálního lin. komplexu o řídicí přímce q, ježto x,xr jsou současně patrně
též párem konj. polár toho komplexu.

Rovněž prostorový svazek přímek o vrcholu P náleží našemu zobec¬
něnému A2 komplexu, který si v tomto speciálním případě označíme jakožto
komplex A2. Neboť všechny přímky prostorového svazku P jsou konju-
govánými polárami ku q i vzhledem ku speciálnímu lineárnímu kom¬
plexu o řídící přímce q i vzhledem ku kuželosečce a2.

I vidíme, že náš A2 komplex obsahuje i prostorový svazek přím¬
kový P i rovinné pole přímek n. Ku výsledku zcela analogickému bychom
dospěli v případě duálním, když bychom nechali W degenerovati v kužel
druhé třídy a2.

Ku A2 komplexu jakožto ku zobecněnému A2 komplexu lze dospěti,
jak jsme dříve byli ukázali, dvojím způsobem ze zobecněného cylindroidu,
který přísluší komplexovému svazku, který jest ku našemu komplexovému
systému S3 v involuci. A sice, jak jsme ukázali, lze jej vytvořiti dvojím
způsobem jakožto geometrické místo dvou systémů lineárních kongru-
encí, jejichž řídicí přímky tvoří páry dvou význačných zobecněných in-
volucí na zobecněném cylindroidu. Vezmeme-li v úvahu druhou význačnou
involuci, která zde přechází, jak jsme v odst. 8. pojednání ,,0 zobec¬
něném cylindroidu" dokázali, v projektivní přiřazení přímek našeho zobec¬
něného cylindroidu P3 a přímek svazku ( P rí) tu vidíme, že komplexu A2
náleží dvě parabolické kongruence přímkové o splývajících řídících přím¬
kách tA, t2, které jsou tečnami z bodu P ku a2.

Přímky tyto tv t2 jsou dvojnými přímkami komplexu A2, neboť
každému bodu T1 na př. přímky t± přísluší paprskový svazek příslušné

XV.

24

parabolické lin. kongruence jakožto svazek paprsků komplexových a svazek
ten obsahuje patrně též přímku tv Avšak komplexu A2 přísluší též pa¬
prskový svazek [T1 ji) ježto, jak jsme právě ukázali, všecky přímky rovin¬
ného pole n přísluší komplexu A2. Přímka tx jsouc pro každý svůj bod Tx
společnou přímkou dvou komplexových svazků, jest patrně dvojnou
přímkou quadratického komplexu A2. Podobně to platí i o přímce t2.

Dále jsou přímky p, q dvojnými přímkami komplexu A2, což vyplývá
z toho, že jsme to dokázali o těchto přímkách při obecnějším komplexu,
totiž r2 komplexu. Obsahuje tedy komplex A2 čtyři dvojné přímky

Pí q> tlt t2,

uspořádané ve dva páry tak, že první pár p, q jsou přímky mimoběžné,
druhý pak pár tv t2 jsou různoběžky, které leží v rovině absolutní kuželo¬
sečky a 2, které protínají přímky p, q. A sice tvoří tento druhý pár dvoj¬
ných přímek s jednou dvojnou přímkou p prvního páru prostorový troj-
hran a s druhou přímkou q prvního trojúhelník. Quadratický komplex
obsahující čtyři přímky dvojné této vlastnosti náleží mezi quadratické
komplexy, kterým dle symboliky v klassifikaci quadratických komplexů
obvyklé přísluší označení (viz Sturm: Liniengeometrie III., pag. 438):

[ (1 1) 2 2].

Singulární plochou našeho komplexu A 2 jest zobecněný cylindr oid
3. stupně P3 a mimo to jest patrně každý bod roviny 7t bodem singulárním
a každá rovina prostorového svazku rovin bodem P procházejících ro¬
vinou singulární. To jest patrno z toho, že komplexu A2 náleží všecky
přímky v rovině n a všecky přímky bodem P jak jsme dříve ukázali.

Kdybychom $l2 nechali degenerovati v kužel 2. třídy «2, dospěli
bychom k výsledkům zcela duálním, jež netřeba zvlášť vyvozovati. Mů¬
žeme pak o našem komplexu A2 vysl oviti věty:

Degeneruj e-li absolutní plocha %2 v kuželosečku a2 nebo
v kužel 2. třídy a 2, tu přechází zobecněný A2 komplex v kom¬
plex quadratický o čtyřech přímkách dvojných, jichž jeden
pár jest mimoběžný a druhý pár s jednou přímkou prvního
páru tvoří trojhran a s druhou přímkou tohoto páru tvoří
troj úhelník.

Singulární plochou tohoto komplexu jest zobecněný
cylindroid 3. stupně P3 a dále všecky

body roviny#, v níž leží abso¬
lutní kuželosečka a2 a všecky
roviny bodem P, ve kterém
dvojná řídící přímka zobecně¬
ného cylindroidu P3 rovinu #
protíná.

roviny vrcholem P absolut¬
ního kužele 2. třídy a2 a všecky
body roviny kterou dvojná
řídící přímka zobecněného cy-
Hndroidu P3 s vrcholem P sta¬
noví.

XV.

25

Čtyři naše dvojné přímky u A2 komplexu, který jest patrně speci¬
álním případem našeho A 2 komplexu, tvoří hlavní osa základní kongru-
ence komplexového systému S3, přímka k ní kolmá v rovině nekonečně
vzdálené a dvě isotropické přímky v nekonečně vzdálené rovině prochá¬
zející bodem hlavní osy základní kongruence.

12. O zobecněných cylindroidech a hyperboloidech v zobecněném

A2 komplexu.

Zobecněný A2 komplex neboli T2 komplex, jak jsme jej dříve označili,
obsahuje co3 párů konjugovaných polár, oo4 zobecněných cylindroidů
a oo3 zobecněných kongruencí Wálschových. To jest patrno z toho, že
v lineárním komplexovém systému 3. stupně S3 jest obsaženo oo3 lineár¬
ních komplexů oo4 komplexových svazků a oo3 lin. kompletových systémů
2. stupně.

Libovolná přímka k v našem komplexu P2 stanoví určitý lineární
komplex systému S3. Lineární komplex ten určen jest přímkou k a její
vzhledem ku W konj. polárou k' jakožto párem svých konjugovaných
■polár a jednou ze základních přímek m, n jakožto přímkou kom-
plexovou.

. Libovolné dvě přímky komplexu T2. přímky x, y stanoví určitý
svazek komplexový v našem komplexovém systému S3 a zároveň určitý
zobecněný cylindr oid v tomto systému. Zobecněný ten cylindr oid ozna¬
číme si Px4. Ježto přímkových párů x, y v komplexu T2 existuje co6, zdálo
by se na první pohled, že existuje oo6 ploch Px4 v komplexu T2. Množství
toto redukuje se však na co4 ježto na každé ploše P24 můžeme přímko vv
pár x, y zvoliti na oo2 různých způsobů. Dvojné přímky d, ď zobecněného
cylindroidů Px4 píímkami x,y procházejícího nalezneme jako obě společné
transversály čtyř přímek x, y, x' , y\ kde x',y' jsou konjugovanými polá-
rami přímek x,y vzhledem ku absolutní ploše. Každému páru x,y pří¬
sluší však ještě určitý pár přímek u, v , řídicích to přímek základní kon¬
gruence komplexového svazku přímkami x,y stanoveného. Pár přímek
u, v musí býti patrně vždy obsažen v lineární kongruencí [m, n\, kde m, n
jsou zase základními přímkami komplexového systému S3, zároveň pak
musí ale též protínati obě dvojné přímky d, ď zobecněného cylindroidů
P/. Sestrojíme tedy řídicí přímky u, v , základní kongruence komplexo¬
vého svazku vytčeného v systému S3 dvěma přímkami x y komplexu T2,
jakožto obě transversály čtyř přímek d, ď , m, n.

Dvojné přímky d, ď kteréhokoli cylindroidů Px4 v T2 komplexu ob¬
saženého jsou párem konj. polár absolutní plochy, ježto jsou párem trans-
versál dvou párů konj. polár této plochy, totiž párů x x' ; y, y'. Zobecněný
cylindr oid P34 jeví se nám zde jako pronik komplexu r2 s lineární kongru¬
encí [d, d']. A každý pár p, p' konj. polár absolutní plochy lze pokládati
za dvojné řídící přímky jednoho z oo4 zobecněných cylindroidů Pj4 v kom-

XV.

26

plexu r2 obsažených, neboť lze vždy vytknouti (dokonce na oo2 způsobů)
pár přímek x, y lineární kongruence [p, p'\ které náleží T 2 komplexu,
a které vedou ku určité ploše Pj4. Dostáváme tedy celý systém oo4 ploch
Pj4 v komplexu T2 obsažených iako proniky všech co4 vzhledem ku W
polárně invariantních lineárních kongruencí s tímto komplexem.

Ukážeme nyní souvislost singulární plochy našeho komplexu T2,
kterouž jsme označovali jakožto zobecněný cylindroid P4 s oo4 zobecněnými
cylindroidy Px4, které jsou v komplexu T2 obsaženy. Bud zase d, ď libo¬
volný pár konj. polár plochy 9Í2. Máme-li pak sestrojiti pronik lineární
kongruence [d, ď] s komplexem P2, můžeme sestrojiti postupně oo1 párů
transversál čtyř přímek, z nichž dvě jsou přímky d, ď a další dvě vždy
jeden pár z první nebo druhé význačné involuce na singulární ploše P4
komplexu T2. Ukázali jsme totiž dříve, že komplex P2. který jest zobec¬
něným A2 komplexem, můžeme považovati za souhrn oo1 lineárních kon¬
gruencí, jejichž řídící přímky tvoří páry první nebo druhé význačné in¬
voluce na jeho singulární ploše, zobecněném to cylindroidu P4.

Máme tedy následující souvislost:

Dán-li zobecněný cylindroid P4 a sestroj íme-li ku urči¬
tému páru d,ď konj ugovaných polár absolutní plochy a po¬
stupně ovšem párům první nebo druhé význačné involuce
na P4 páry společných transversál, tu vyplňují tyto páry
opět zobecněný cylindroid, který označíme Px4. Poláry d,ď
jsou dvojnými řídícími přímkami tohoto nového zobecněného
cylindroidu.

Takto existuje ku každému zobecněnému cylindroidu P4
systém oo4 zobecněných cylindroidů Px4, o kterých budeme
říkati, že jsou s prvým v involuci.

K pojmenování, že Px4 jsou ku P4 v involuci nás opravňuje fakt.
že všechny <x>4 cylindroidy Px4 přísluší oo4 komplexovým svazkům v kom-
plexovém systému S3, t. j. systému všech lineárních komplexů základ¬
ními přímkami m, n procházejících, kterýžto systém jest v involuci ku
komplexovému svazku o společných konjugovaných polárách m, n, t. j.
komplexovém svazku, který přísluší zobecněnému cylindroidu P4.

Každému jednotlivému zobecněnému cylindroidu P,4 našeho systému
přísluší involutorně určitý zobecněný A2 komplex, kteiý si označíme
T2. Říkáme ,, přísluší involutorně" poněvadž svazek komplexový, kterému
přísluší P^ jest v involuci s lineárním komplexovým systémem 3. stupně,
kterému přísluší komplex T2. Přísluší tedy každému komplexu T2 oo4
komplexů T2. Budeme pak z důvodu shora uvedeného říkati, že oo4 kom¬
plexů T2 jest v involuci ku komplexu T2. V každém komplexu T2 existuje
zase, ježto tento komplex jest zobecněným A2 komplexem, systém oo4
zobecněných cylindroidů a jedním z těchto zobecněných cylindroidů jest
patrně singulární plocha P4 komplexu T2 příslušného našemu komplexo-

XV.

27

vému systému S3. Tímto zobecněným cylindroidem P1 prochází tedy
systém všech oo4 komplexů T 12.

Shrneme-li výsledky naších úvah, máme věty:

Každým zobecněným cy¬
lindroidem P4 prochází oo4 zo¬
becněných A2 komplexů, jež
si označíme jakožto komple¬
xy T2. Dvojnými přímkami
těchto oo4 komplexů IJ2 jsou
všechny oo4 páry konjugova-
ných polár absolutní plochy.
Každému z těchto oo4 kom¬
plexů r,2 přísluší involutorně
určitý zobecněný cylindroid

PA

Přísluší tedy ke každému
zobecněnému cylindroidu P4
systém co4 zobecněných cylin-
droidů Px4, o kterých říkáme,
že jsou v involuci se zobec¬
něným cylindroidem P4.

V našem komplexovém systému S3 existuje go2 komplexových svazků,
jejichž základní kongruence mají tu vlastnost, že vždy dvě přímky každé
z těchto kongruencí náleží absolutní ploše 9l2. Neboť k libovolné přímce s
lin. kongruence \m, ri\ existují dvě přímky s\ s" v této kongruenci svrchu
uvedené vlastnosti. Nalezneme je následujícím způsobem: přímka s
vytíná z každého systému přímek na absolutní ploše $l2 vždy dvě přímky:
ly, rt ; l2, t 2 ’> přímky s',s" dostaneme pak vždy jako druhé transversály
čtyř mimoběžek: m, n, lv rx resp. m, n, l2, r2. První transversály tvoří
patrně vždy přímka s. Ukázali jsme však v odst. 7. pojednání ,,0 zobec¬
něném cylindroidu", že v případě, když řídicí přímky základní kongru¬
ence komplexového svazku protínají tytéž přímky absolutní plochy, že
v tomto případě přechází zobecněný cylindroid v hyperboloid vzhledem
ku 2Í2 polárně invariantní řídicími přímkami základní kongruence svazku
proložený. Párů přímkových s, s' resp. s, s" existuje oc2 právě jako
přímek s lineární kongruence [m, ri\. Obsahuje tedy komplex P2 oo2 hyper¬
boloidů, které jsou ku W1 polárně invariantními a sice dva systémy, po¬
něvadž máme dva druhy piímkových párů s s' a s s" , od kterých k našim
hyperboloidům přicházíme.

Involuce konjugovaných polár na těchto hyperboloidech absolutní
plochou indukovaná vede ku lineárním komplexům, které zastupují zde
quadratické T2 komplexy. Jest tedy nutno, aby těchto co2 lineárních

V každém zobecněném A2
komplexu, který si označíme
r2 leží oo4 zobecněných cylin-
droidů Pj4. Dvojnými přím¬
kami těchto oo4 ploch Px4 jsou
všechny oo* páry konjugova¬
ných polár absolutní plochy.
Každému z těchto oo4 zobec¬
něných cylindroidů P^4 pří¬
sluší involutorně určitý kom¬
plex T2

Přísluší tedy ke každému
komplexu T1 systém oo4 kom¬
plexů I\2, o kterých říkáme,
že jsou v involuci s tímto
komplexem T2.

XV.

28

komplexů procházelo vesměs zobecněným cylindroidem P4 příslušným

dostáváme dvoj větu:

základní kongruenci [mri\.

Shrneme-li naše výsledky

Zobecněný A2 komplex ob¬
sahuje dva systémy oo2 hyper¬
boloidů polárně invariantních
vzhledem ku absolutní ploše.

Zobecněným cylindroidem
procházejí dva systémy oo2
lineárních komplexů polárně
invariantních vzhledem ku ab¬
solutní ploše.

Ukážeme ještě jiný způsob, jak lze dospěti ku systému oo2 vzhledem
ku 5í2 polárně invariantních hyperboloidů v zobecněném A2 komplexu
obsaženvch.

Mysleme si druhou význačnou involuci na P4 a uvazujme libovolný
pár její r;r'. Vzhledem ku 2Í2 polárně invariantní lineární kongruence
[z, z'] náleží našemu zobecněnému A2 komplexu a oo2 přímky této kon¬
gruence lze uspořádati ve dva systémy oo1 vzhledem ku 5Í2 polárně inva-
riatních hyperboloidů. Každý tento systém tvoří speciální svazek hyper¬
boloidů o základním piostoiovém čtyřúhelníku, který ihned určíme.

Proti nají-li z, z' v obou systémech plochy 2í2 dva páry piímek:
u1,v1] u2,v2, tu jsou prostorové čtyřúhelníky o stranách z z', uv a
z, r' , u2, v2 základními čtyřúhelníky našich speciálních svazků hyperboloidů.
Ježto existuje na P4 go1 párů z, z ' a každý pár uičuje oo1 hyperboloidů,
dospíváme tak ku oo2 hyperboloidům. A sice ku dvěma různým systémům
oo2 těchto ploch, dle toho, zda béřeme v úvahu první nebo druhý systém
přímek na 2Í2.

Mimo právě dva vytčené systémy oo2 vzhledem ku 5Í2 polárně in¬
variantních hyperboloidů existuje ještě jeden systém oo2 hyperboloidů,
obsažených v našem zobecněném A2 komplexu, kteréžto hyperboloidy
však nejsou vzhledem ku 9Í2 polárně invariantními. Ku nějakému hyper¬
boloidu z tohoto systému oo2 hyperboloidů dospěl eme od kterékoli dvojiny
párů přímek, z nichž každý náleží jedné význačné involuci na P4. Ta¬
kových dvojin existuje oo2. Budtež dva páry z, z'; u, v takovou dvojinou
párů. Dle vlastnosti obou význačných našich involuci, že kterýkoli pár
jedné musí se všemi páry druhé tvořiti hyperboloidickou čtveřinu, tvoří
takovou čtveřinu čtyři přímky z, z' ; u, v. Řídicí systém hyperboloidu
(z, z', u, v) náleží patrně našemu zobecněnému A2 komplexu.

A tak dospíváme ku oo2 hyperboloidům, které jsou v našem zobec¬
něném A2 komplexu obsaženy. Pr úsečná křivka 8. stupně zobecněného
cylindroidu P4 a kteréhokoli hyperboloidu z tohoto systému rozpadá se
v 8 přímek. Přímkami těmi jsou vždy 4 přímky z, z', u , v a pak obě dvojné
řídící přímky t>, q zobecněného cylindroidu P4, z nichž se každá počítá
dvojnásobně. Hyperboloidy tyto nemohou býti vzhledem ku 9Í2 polárně
invariantními, neb kdyby jimi byly, tu by mimo uvedených 8 přímek
měly ještě 2 přímky s P4 společné, totiž přímky u',v', které jsou konj.

XV.

29

polárami přímek u, v vzhledem ku absolutní ploše. To jest však nemožné,
aby hyperboloid a plocha P4 měly 10 přímek společných. Tím jest zároveň
dokázáno, že tento systém oo2 hyperboloidů není totožným se dvěma sy¬
stémy dříve uvažovaných, vzhledem ku polárně invariantních hyper¬
boloidů.

Považujme dva páry přímek r, r' ; u, v za dva páry konj. polár urči¬
tého lineárního komplexu. To zajisté jest možné, neboť tyto přímky,
jak jsme dříve ukázali, tvoří hyperboloidickou čtveřinu. Pak vidíme, že
kongruence ( 2 , 2), v níž takto určený lineární komplex náš zobecněný
quadratický A2 komplex proniká, rozpadá se ve dvě lineární kongruence
'[>,/] a [u, v]. Existuje tudíž oo2 lineárních komplexů, které zobecněný
A2 komplex pionikají ve dvou lineárních kongruencích.

Poznámka. Systém oo2 hyperboloidů, které protínají P4 v 8 přím¬
kách a; systém oo2 lineárních komplexů, které zobecněný A2 komplex pro¬
nikají ve dvou lineárních kongruencích, existuje při všech plochách přím¬
kových 4. stupně se dvěma dvojnými řídícími přímkami resp. při všech
quadratických komplexech, které lze vytvořiti ze dvou projektivních
svazků lin. komplexů. To vyplývá z toho, že vlastnosti, kterých jsme
ku vyhledání těchto systémů použili při P4 a při zobecněném A2 komplexu,
jsou zároveň vlastnostmi přímkových ploch 4. stupně se dvěma dvojnými
přímkami, resp. quadratických komplexů, lineární kongruence obsahujících.

13. Applikace na A2 komplex a Pluckerův konoid.

Věty, které v tomto odstavci stručně odvodíme, jsou specialisací
vět v odstavci předešlém, když nahradíme absolutní plochu W kulovou
kružnicí v nekonečnu.

Libovolné dvě přímky y obsažené v A2 komplexu příslušném
komplexovému systému S3 o základních přímkách m, n stanoví určitý
komplexový svazek v tomto systému obsažený a tedy též určitý Plúcke-
rúv konoid Kx3 tomuto svazku komplexovému příslušný. Osu o konoidu Kx3
nalezneme patrně jako osu mimoběžek x,y. Pár přímek u, v , které protí¬
nají osu o kolmo, a které jsou současně transversálami mimoběžek m, n
jest párem řídících přímek základní kongruence komplexového svazku,
kterému přísluší Pluckerův konoid Kx3.

Tento Pluckerův konoid náleží A2 komplexu, ježto svazek komple¬
xový, kterému přísluší jest v komplexovém systému S3 obsažen. Do¬
stáváme pak tento konoid jakožto souhrn všech přímek A2 komplexu,
které protínají přímku o kolmo. Jako v případě obecnějším jsme dospěli
ku systému oo4 zobecněných cylindr oidů P34, tak dospíváme zde ku oo4
Plůckerovým konoidům Kx3 od všech oo4 přímek o prostoru. Konoid
Pluckerův příslušný komplexovému svazku, který jest s komplexovým
systémem S3 v involuci, označme si K3,

XV.

30

Uvědomíme-li si v pojednání zde citovauém „O zobecněném cylin-
droidu“ vytčený význam obou význačných involucí na Plúckerově konoidu
pro vytvoření A2 komplexu, tu dospíváme ku dvěma větám, jež jsou spe¬
ciálním případem první věty v odstavci předešlém. Podotýkáme ještě, že
slovem ,,involuce na Pliickerově konoidu “ rozumíme zkráceně první vý¬
značnou involucí na této ploše.

Věty naše pak znějí:

Dán-li Pliickerův konoid K3 a libovolná přímka o v pro¬
storu, tu geometrické místo orthogonálních transversál
přímky o a postupně v.šech přímek konoidu Plůckerova K3
jest opět určitý konoid Plúckerův Kx3, jehož osou jest
přímka o.

Dán-li Plúckerův konoid K3 a libovolná přímka o v pro¬
storu, tu geometrické místo všech párů přímek, které protí¬
nají kolmo přímku o a vždy jeden pár involuce na Plúckerově
konoidu K3 jest opět určitý Plúckerův konoid Kx3, jehož osou
jest přímka o.

Od všech oo4 přímek o v prostoru dospíváme tak vzhledem
ku pevnému Plúckerově konoidu ku oo4 Plúckerovým ko-
noidům K13. O konoidech Kx3 budeme říkati, že jsou vzhle¬
dem ku kqnoidu K3 v involucí.

Speciálním případem dalších vět v předešlém odstavci jsou věty:

V každém A2 komplexu leží
oo4 Pliickerových konoidů Kx3.

Každou přímku v prostoru
lze považovat! za dvojnou
přímku jednoho z těchto oo4
konoidů Kj3.

Každému z těchto oo4 ko¬
noidů přísluší involutorně
určitý Ax2 komplex. Přísluší
tedy každému A2 komplexu
systém oo4 Ax2 komplexů, o kte¬
rých říkáme, že jsou s A2 kom¬
plexem v involucí.

Každým Plúckerovým ko-
noidem K3 prochází oo4 Aj2
komplexů.

Kazdou přímku v prostoru
lze považovati za v konečnu
ležící dvojnou přímku jed¬
noho z těchto oo4 Ax2 kom¬
plexů.

Každému z těchto oo4 Aj2
komplexů přísluší involutor¬
ně určitý Plúckerův konoid
Kx3. Přísluší tedy každému
Plúckerově konoidu K3 systém
oo4 Plúckerových konoidů Kx3,
o kterých říkáme, že jsou
s konoidem K3 v involucí.

Dva systémy oo2 vzhledem ku absolutní ploše polárně invariantních
hyperboloidů v zobecněném A2 komplexu, zastupuje nám při A2 kom¬
plexu oo 2 svazků paprskových. Tyto svazky leží v oo2 rovinách proložených
všemi přímkami p Plůckerova konoidu jakožto singulární plochy A2 kom¬
plexů a sestávají z paprsků ku p kolmých.

XV.

31

Dále ukážeme, že druhý systém oo2 hyperboloidů v zobecněném
A2 komplexu, které protínají jeho singulární plochu vždy v 8 přímkách,
zastupuje při A2 komplexu systém go2 orthogonálních paraboloidů protí¬
najících Plúckerův konoid vždy v 6 přímkách.

Uvažujme libovolný pár x,y involuce přímek na konoidu Plúcke-
rově K3. Budiž pak t třetí libovolná přímka konoidu K3. Hyperboloid
(x,y, ť) jest paraboloidem, ježto jeho přímky x,y, t jsou rovnoběžný s ří¬
dící rovinou konoidu K3. Jest pak orthogonálním paraboloidem, ježto
má dvě kolmé řídicí roviny, totiž řídicí rovinu konoidu K3 a rovinu ku t
kolmou. Šest přímek proniku .našeho orthogonálního paraboloidu s ko-
noidem K3 jsou přímky x, y, t, u^, o , kde u ^ jest přímkou konoidu v ne¬
konečně vzdálené rovině a o jeho osou, kterou jakožto dvojnou přímku
nutno dvakrát počítati. Pár přímek x, y možno zvoliti na go1 způsobů,
rovněž na oo1 způsobů možno voli ti t, dospíváme tedy skutečně ku oo2
orthogonálním paraboloidům svrchu uvedené vlastnosti. Zároveň pak
můžeme vysloviti větu:

Geometrické místo druhých přímkových systémů oo2
orthogonálních paraboloidů procházejících vždy jedním
z oo1 párů involuce na Pluckerově konoidu jest A2 komplex,
který jest s konoidem v involuci:

Snadno lze nahlédnouti, že první přímkové systémy těchto oo2 ortho¬
gonálních paraboloidů tvoří všecky přímky osu o konoidu Plúckerova
kolmo protínající.

14. O kongruencích C33 v zobecněném A2 komplexu.

Vytkněme si v zobecněném A2 komplexu T2 základními přímkami
tn, n komplexového systému S3 stanoveném tři přímky x, y, z . Ty nám
stanoví v T2 určitou zobecněnou kongruenci Wálschovu C33. Neboť dva
páry ze tří přímek x, y, z stanoví dva svazky komplexové, kteréžto svazky
stanoví určitý komplexový systém S2 a tomuto systému přísluší C33. Ježto
každou ze tří přímek x, y, z můžeme voli ti na oo3 způsobů, zdálo by se,
že v komplexu T2 existuje oo9 kongruenci C33, množství to se sníží však
o 6, když uvážíme, že každá z našich tří přímek může zaujmouti v kongru¬
enci C33 oo2 různých poloh. Jest tedy v komplexu T2 go3 kongruenci C33.

Stanovme základní hyperboloid H2 kongruence C33, když jest dána
třemi přímkami x, y, z v komplexu T 2 obsaženými. Buďte x' , y' , z' konju-
govanými polárami ku prvým třem přímkám vzhledem ku absolutní
ploše. Sestrojme nyní ku třem čtveřinám přímek:

x, y, xr , y' ; x, z , x’, z' ; y, z, y', z'
páry společných transversál:

txy> t %y \ tx z, t xz, ty ,

t yz

XV.

32

a dále sestrojme ku jednotlivým těmto párům přímkovým a páru základ¬
ních přímek m, n vždy dvě společné transversály:

M/XV) VXy, MxZ) VXZ, My z, Vy Z.

Tyto poslední páry transversál jsou patrně páry řídících přímek zá¬
kladních kongruencí tří komplexových svazků, stanovených páry přímek:

x, y ; x, z ; y, z ;

Tyto tři komplexové svazky leží v témže komplexovém systému 2. stupně
S2 a tedy všech 6 přímek uxy , vxy , uXZ) vXZ) uyZ) vyz musí ležeti na základ¬
ním hyperboloidu H2 tohoto systému. Tím jsme základní hyperboloid H2
stanovili.

Páry transversál txy, ť xy, atd. jsouce transversálami vždy dvou
přímek x, y kongruence C33 a dvou přímek %' , y' 'prvým vzhledem ku
konjugovaných, jsou páry přímek kongruence C'33, která jest involutorně
přidružená ke kongruenci C33, jak jsme v odstavci 12. byli dokázali. Dvě
takové involutorně přidružené kongruence přísluší dvěma komplexovým
systémům druhého stupně, které jsou v involuci. V našem případě označme
si tyto systémy S2 a S2. Ježto ale S2 leží v S3, musí S2 obsahovati svazek
komplexový, který jest ku S3 v involuci a to jest komplexový svazek
o základní kongruenci \m, n] a o zobecněném cylindroidu P4. A když
C33 leží v komplexu T2, musí C33' obsahovati zobecněný cylindroid P4.
Můžeme tedy vyšlo viti věty:

V zobecněném A2 komplexu
jest obsažno oo3 zobecněných
kongruencí Wálschových C33.

Kongruence C33' těmto involu¬
torně přidružené procházejí
zobecněným cylindroidem P4,
který jest ku našemu zobec¬
něnému A2 komplexu v invo¬
luci.

Uvažujme speciální případ, kdy absolutní plocha W1 jest nahrazena
kulovou kružnicí v nekonečnu. Budiž singulární plochou vzniklého A2 kom¬
plexu Plúckerův konoid K3. Ježto A2 komplex lze považovati za geo¬
metrické místo všech přímek, které protínají kolmo přímky konoidu K3,
zvolme si tři přímky x, y, z této vlastnosti. Ty nám stanoví určitou Wál-
schovu kongruenci v A2 komplexu obsaženou, její základní hyperboloid
nalezneme následujícím způsobem:

Sestrojme si tři orthogonální transversály txy, txz, txy vždy dvou
přímek, z přímek x, y, z. Sestroj íme-li pak na třech hyperboloidech.:

(m, n, txy); [m, n, txz); (m, n, tyz)

Zobecněným c^Uindroidem
P4 prochází oo3 zobecněných
kongruencí Wálschových C33'.
Kongruence C33 těmto involu¬
torně přidružené leží v zobec¬
něném A2 kompl exu, který jest
ku zobecněnému cylindroidu
P4 v involuci.

XV.

33

vždy dvě přímky druhých systémů přímkových, které vždy přímky txy,
txz, ty z protínají kolmo, tu 6 těchto přímek:

Mxy, Vxy, Mx Z> V x Z , Myz, Vy z

leží na základním hyperboloidu Wálschovy kongruence přímkami x, y, z
v A2 komplexu vytčené.

III.

0 geometrických místech konjugo váných polár společných vždy
dvěma lineárním komplexům ze dvou komplexových systém;.

15. Případ kdy polarita absolutní plochy při dříve uvažovaných
geometrických místech nahrazena jest polaritou lineárního komplexu.

Přistupme ku případu, že polarita absolutní plochy W jest nahrazena
polaritou určitého lineárního komplexu A a studujme geometrická místa
společných konjugovaných polár, které mají společné lin. komplexy v da¬
ných lineárních komplexových systémech s konjugovanými polár ami
pevného lineárního komplexu A. Budeme patrně rozeznávati tři případy
a sice budeme hledati společné konjugované poláry lin. komplexu A a jed¬
notlivých lin. komplexů postupně komplexových systémů 5X, S2 a S3.

Případ první.

Buďte m, n řídicími přímkami základní lineární kongruence kom-
plexového svazku S1. Konjugované poláry mr , rí těchto přímek vzhledem
ku lineárnímu komplexu A tvoří s přímkami m, n hyperboloidickou čtve:
řinu přímek, ježto dva páry konj. polár téhož lineárního komplexu tvoří
vždy hyperboloidickou čtveřinu. Označme si G2 jakožto hyperboloid pro¬
ložený touto čtveřinou přímek. Hyperboloid tento G2 jest patrně vzhledem
ku lin. komplexu A polárně invariantním, a v jeho systému pnmek ( m ,
n, m' , n') existuje involuce konj. polár komplexu A a páry a, a' této involuce
jsou patrně společnými konjugovanými polárami komplexu A a vždy
jednoho komplexu v komplexovém svazku 52.

Jiné páry konjugovaných polár lineárního komplexu A mimo páry
a, a' na G2 ležící nemohou hověti našemu geometrickému místu. Neboť
každý pár r, r ' přímek našeho geometrického místa musí tvořiti sou¬
časně s m, n a s m' , rí hyperboloidickou čtveřinu přímek, ale dokázali
jsme v pomocné větě v odstavci 7. často zde citovaného pojednání
,,0 zobecněném cylindroidu", že v tomto případě pár přímek r, r* musí
ležeti na hyperboloidu (m, n, m' , n') a tudíž můžeme tento pár po-
kládati za jeden z párů a, a' naší involuce.

Můžeme tedy vysloviti větu:

Geometrické místo konjugovaných polár společných da¬
nému lineárnímu komplexu A a jednotlivým lin. komplexům

Rozpravy: RoS. XXIII. Tř. II. Čís. 15. 3

XV.

34

svazku S± jest vzhledem ku komplexu A polárně invariantní
hyperboloid proložený řídicími přímkami základní kon-
gruence komplexového svazku Sv

Případ druhý.

Označme si H2 jakožto základní hyperboloid daného komplexového
systému S2 a budiž Z ten systém přímek tohoto hyperboloidu, který vy¬
plňují řídící přímky všech speciálních komplexů systému S2, Z' pak systém
přímek, který vyplněn jest komplexovými přímkami společnými všem oo2
lineárním komplexům systému S2. Dvě přímky, které má systém přímek Z
společné s daným pevným lineárním komplexem A označme si u v, přímky
pak systému Z' v komplexu A ležící budtež u' , v'. Dokážeme, že každý
pár t, ť z oo2 párů konj. polár lin. komplexu A, obsažených v lineární kon-
gruenci \u', v'] lze pokládati za pár konjugovaných polár vzhledem k urči¬
tému lineárnímu komplexu systému S2.

Stanoví totiž libovolná přímka k systému Z a k ní vzhledem ku A
konjugovaná polára k' s přímkami t, ť určitý ku A polárně invariantní
hyperboloid K2, který přísluší jakožto geometrické místo společných párů
konj. polár komplexu A a určitému komplexovému svazku S1 v S2 obsa¬
ženému. Řídícími přímkami základní kongruence svazku jest přímka
k a určitá přímka i, které hyperboloid K2 ze systému Z vytíná. A vytíná
tyto dvě přímky proto, poněvadž má se systémem Z' téhož hyperboloidu H2
dvě přímky u', v' společné. A ve svazku komplexovém Sx o základní kon-
gruenci [i, k\ existuje patrně určitý lineární komplex, který s komplexem
A má společný pár konj. polár t, ť .

V systému S2 existuje oo2 svazků komplexových a každému svazku
tomu přísluší určitý hyperboloid K2 a všecky tyto hyperboloidy K2 jsou
obsaženy v lineární kongruenci [V, v']. Nemohou tedy našemu geometri¬
ckému místu hově ti jiné páry přímek t, ť , než právě jen ty, které jsou ob¬
saženy v lineární kongruenci [V, v']. Řídící přímky u' , v' této kongru¬
ence jsou patrně dvěma komplexovými přímkami lineárního komplexu A,
které má tento komplex společné se všemi komplexy systému S2. Jsou to
patrně též základní přímky lineárního systému lineárních komplexů stupně
třetího S3, stanoveného v tomto systému obsaženým systémem S2 a kom¬
plexem A.

Můžeme pak vysloviti větu:

Geometrické místo konjugovaných polár společných da¬
nému lineárnímu komplexu A a jednotlivým lineárním kom¬
plexům komplexového systému S2 jest lineární kongruence,
jejímiž řídícími přímkami jsou dvě komplexové přímky,
které mají všechny lin. komplexy systému S2 s lin. kom¬
plexem A společné.

XV.

35

Případ třetí.

Buďtež m, n základními přímkami lineárního komplexového systému
S3. Proložme si opět základními přímkami m n vzhledem ku lineárnímu
komplexu A polárně invariantní hyperboloid (m, n, vrí , rí) a budtež rí, v'
přímkami tohoto systému našeho hyperboloidu, které se nalézají v lin.
komplexu A. To jest rí, v' jsou samodružnými přímkami involuce konju-
govaných polár m, m' ; n rí. Společné přímky pak řídicího systému přím¬
kového hyperboloidu (m, n, rrí , rí) s komplexem A označme si u, v. Uspo¬
řádejme si nyní oo2 přímek lineární kongruence [m, rí] v oo1 systémů pří¬
mek 2, jež přísluší oo1 hyperboloidům H2 přímkami u, v procházejícím.

K těmto oo 1 hyperboloidům H2 dospějeme patrně, když si v naší
kongiuenci \m, rí] vytkneme libovolný svazek paprskový a jednotlivými
paprsky tohoto svazku a přímkami u, v prokládáme hyperboloidy. Máme
tu patrně speciální svazek všech hyperboloidů procházejících prostorovým
čtyřúhelníkem. Těchto oo1 hyperboloidů H2 můžeme pokládati za základní
hyperboloidy oo1 lineárních systémů 2. stupně S2 obsažených v našem
komplexovém systému S3. A lze snadno nahlédnouti, že těchto oo1 sy¬
stémů S2 vyplňuje úplně systém S3. Systémy přímkové 2 všech oo1 hyper¬
boloidů H2 mají s komplexem A přímky u, v společné. Druhé pak přím¬
kové systémy 2' jednotlivých těchto hyperboloidů mají s lineárním kom¬
plexem A společné jednotlivé páiy involuce konjugovaných polár kom¬
plexu A na hyperboloidu (m, n, vrí , rí) a samodružným párem této invo¬
luce jsou přímky rí, v'.

Jednotlivé páry přímek této involuce, jak v předešlém jsme uká¬
zali, lze pokládati za řídicí přímky lineárních kongruencí, které jsou vy¬
plněny přímkami, jež jsou společnými konjugovanými polárami lin. kom¬
plexu A a jednotlivých lineárních komplexů určitého systému S2 z našich
vytčených oo1 systémů S2 v systému S3. Přímky pak všech našich line¬
árních kongruencí, jejichž řídící přímky tvoří shora vytčenou involuci,
vyplňují patrně lineární komplex, který jest ku lineárnímu komplexu A
polárně invariantním. Tato polární invariance jest patrna z polární in¬
variance vytčených oo1 lineárních kongruencí.

Můžeme tedy vyšlo viti větu:

Geometrické místo konjugovaných polár společných
danému lineárnímu komplexu A a jednotlivým lineárním
komplexům lineárního komplexového systému 3. stupně S3
jest ku A polárně invariantní lineární komplex stanovený
základními přímkami systému S3 jakožto párem svých kon¬
jugovaných polár.

16. Rozšíření úvah v odstavci předešlém.

Dále rozšíříme naše úvahy tak, že místo komplexu A si budeme
mysliti celý lineární komplexový systém Tk a hledáme pak geometrická

3*

XV.

36

místa konjugovaných polár společných vždy jednomu lin. komplexu ze
systému S* a jednomu lin. komplexu ze systému Tu- Bude patrně třeba
vyšetřiti pouze dva případy, totiž vyhledati společné páry konjugovaných
polár vždy dvou lin. komplexů z různých komplexových svazků Sx a T1
a za druhé z komplexového systému S2 a svazku Tv

Případ první.

Máme nalézti geometrické místo společných konj. polár vždy ku
dvěma lineárním komplexům ze dvou komplexových svazků a Tv
Budtež s, s' ; t, ť páry řídicích přímek základních kongruencí těchto kom¬
plexových svazků. Problém náš jest patrně totožný s problémem: nalézti
všecky páry přímkové v prostoru, které současně se dvěma danými páry
přímkovými 5, sr ; t, ť tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek.

Budiž p, q pár přímek, který hoví této podmínce. Obě sborcené
plochý 2. stupně (s, s', p, q) a [t, ť , p, q) ježto mají společné dvě přímky
p, q téhož přímkového systému, mají též společné dvě přímky druhého
systému. To nemohou však býti jiné přímky než společné transversály u,
v čtyř mimoběžek s, s', t, ť. Náleží tudíž všecky páry přímek p, q lineární
kongruenci \u, v].

Avšak též všecky přímky lineární kongruence \u, v] lze uspořádati
tak, aby hověly naší úloze. Budiž # libovolná přímka naší kongruence
[u, v ], tu jí odpovídá vždy druhá přímka y této kongruence, kterou do¬
staneme v průseku hyperboloidů (s, 6', x) a ( t , ť, x ).

Ježto přímky u, v jsou společnvmi komplexovými přímkami všech
lineárních komplexů obou komplexových svazků S± a Tv můžeme vzhledem
ku docíleným výsledkům vysloviti větu:

Geometrické místo společných párů konjugovaných po¬
lár vždy vzhledem ku dvěma lineárním komplexům ze dvou
různých komplexových svazků jest lineární kongruence,
jejímiž řídicími přímkami jsou obě společné komplexové
přímky všech lin. komplexů z obou svazků.

V případě, že řídicí přímky obou základních kongruencí [s, s'] a
\í, ť} tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek, přechází naše lineární kon¬
gruence \u, y] v řídicí přímkový systém hyperboloidické čtveřiny (s, s',

t, ť). Lineární systém lin. komplexů 3. stupně S3 oběma komplexovými
svazky SJ a Tx stanovený a jehož základními přímkami jsou patrně přímky

u, v, přechází v určitý kompletový systém 2. stupně S2 o hyperboloidu
(s, s', t, ť) jakožto hyperboloidu základním.

Případ druhý.

Máme nalézti geometrické místo společných konjugovaných polár
vždy ku dvěma lineárním komplexům z komplexových systémů S2 a Tv
Budiž H2 základní hyperboloid systému S2 a 2 zase jeho přímkový systém

XV.

37

jakožto souhrn všech řídicích přímek speciálních komplexů systému S2.
Řídicí přímky základní kongruence svazku T1 budtež t, ť .

Geometrické místo naše bude patrně určitý komplex, neboť každý
z oo 1 lín. komplexů svazku T 3 můžeme spojiti s kterýmkoli z go2 lín. kom¬
plexů systému S2 a tak dospíváme ku oo3 dvojinám lineárních komplexů,
jejichž oo3 páry společných konj. polár vytvoří zmíněný komplex.

Ukážeme, že tento komplex obsahuje oo2 lineárních kongruencí,
kterážto vlastnost přísluší jedině komplexu lineárnímu, a že tedy náš
komplex jest komplexem lineárním. V systému 2J základního hyperbo¬
loidu H2 můžeme si vytknouti oo2 párů přímek x, y a lineární kongruence
[x, y] jakožto kongruence základní stanoví vždy jeden z oo2 komplexových
svazků Sv obsažených v systému S2. Sestrojíme-li vždy ku jednomu z oo2
párů x, y a páiu t, ť obě společné transversály p , q, tu dle věty předešlé
jsou lineární kongruence \p, q\ geometrickým místem společných konj.
polár vzhledem ku lineárním komplexům ze svazků S1 a ze svazku T1.

Náleží tudíž všechny go2 lineární kongruence [p, q\ našemu hledanému
geometrickému místu, které jest tudíž lineárním komplexem. Tomuto
lineárnímu komplexu náleží patrně i řídicí přímky t, ť základní lin. kon¬
gruence svazku komplexového Tx i přímkový systém Z základního
hyperboloidu komplexového systému S2. Jest tedy náš lineární komplex
těmito dvěma útvary jednoznačně stanoven. Výsledek našich úvah mů¬
žeme shrnouti ve větu:

Geometrické místo společných párů konj ugovaných po¬
lár vždy vzhledem ku dvěma lineárním komplexům jednoho
z daného komplexového systému 2. stupně S2 a jednoho
z daného komplexového svazku T1 jest lineární komplex.
Lineární komplex tento jest stanoven řídicími přímkami
speciálních komplexů systémů S2 a T1 jakožto přímkami
komplexovými.

Uvedeme ještě jiný tvar této věty, která zároveň nam odhaluje
jednu vlastnost lineárního komplexu:

Geometrické místo párů přímek, které tvoří hyperboloi-
dickou čtveřinu s danými dvěma přímkami a s libovolným
párem přímek jednoho přímkového systému daného hyper¬
boloidu, jest lineární komplex oněmi dvěma přímkami a tímto
přímkovým systémem hyperboloidu procházej ící.

XV.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 1 6,

Šumavská jezera.

ni.

Prášilslxé jezero.
Napsal V. Švambera.

Se 3 obr. a mapkou.

(Předloženo dne 13. února 1914.)

Historie výzkumu 'ezera Prášilského není rozsáhlá. První zmínky o něm
nalezl jsem v Josefínském katastru. Jezero na panství Prášilském mělo býti
tehdáž ,, podle vysokého nařízení ze dne 30. června 1785 geometricky
změřeno". Záznam v Josefínském katastru sděluje o tom: ,,Toto jezero,
jež se nalézá v panském lese zv. Seerucken a hraničí na panský les Mittag-
berg, změřil geometricky 16. srpna 1785 nadporučík v. Pemler. Jezero
má plochu 5526% čtv. sáhů čili 3 jitra 726% sáhů. Pokud po lidském
rozumu lze souditi, nebude možno tohoto j ezera pro j eho vysokou a divokou
polohu nikdy a nijakým způsobem zužitkovati".1) Rozloha jezera udávaná
Josefínským katastrem jest příliš nízká, než abychom mohli zmíněné
měření pokládati za správné; spíše se tu jedná, jako při Josefínském ka¬
tastru jistě i jinde, pouze o hrubý odhad. Můžeme sice připustiti, že hladina
jezera před umělou úpravou odtoku ve stol. XIX. byla nižší než dnes,
že by však byla klesla na polovici dnešní, není možno. Nadporučík v. Pemler
patrně nepořídil ani žádné skizzy a tak objevuje se jezero Prášilské teprve
při stabilním katastru poprvé v určitých obrysech na mapě.2) Katastrální
mapu této končiny shotovil geometr Karel Struska r. 1837. I v textu pro¬
vázejícím mapu katastrální jest jezero bezejmenné, ačkoliv se tu podrobně
udávají jeho rozměry. Ovšem jest jezero schematicky a beze jména pod
nejmenovanou horou zakresleno již na mapě Kreybichově.3) Na známé
mapě Múllerově z počátku XVIII. stol. ještě po něm není stopy. Nějaké

x) Josefínský katastr. Dominium Stubenbach. Položka č. 162 a zvláštní
protokol. 1786.

a) Stabilní katastr. Stubenbach. I. Teil. Bl. VIII, 1 : 2880. 1837.

3) Fr. Jac. H. Kreybich, Chartě vom Prachiner Kreise. Prag 1831.

Rozpravy II. tř. Roč. XXIII. Cis. 16.

XVI.

2

určitější zprávy přináší poprvé Sommer.1) „Jezero nalézá se ve vysoké po¬
loze na Seerucken ve skalní kotlině, má plochu 7 jiter a hloubku 9 sáhů.
Stavidlem v skalisté hrázi lze vody jeho použiti ku plavení dříví na jezerním
potoku. Potoky jsou bohaté na pstruhy a někdy vyskytují se v nich i lososi/'
Určitější, authentické zprávy přináší na základě vlastní návštěvy F. Hoch-
stetter. U něho2) nalézáme poprvé zmínku o zvlášt typické přírc dní hrázi,
jež v severu a na východě jezero obkličuje. Hochstetter udává její výšku
20 — 30 stop, v jiné současné zprávě3) na 30 — 40 stop. Právě na tomto
jezeru konstatoval Hochstetter důležitou hranici mezi žulou a ruku.
Hochstetter také sdělil4) první měření nadmořské výšky jezera a sice
3352 stop jako průměr ze dvou pozorování barometrických. Pro Polední
horu měřil 4164*4 stop, kdežto trigonometrické měření úřední udává
4213*74 stop. Na první speciální mapě úřední5) nedostalo se jezeru ani
jména, ba ani toho označení jako na mapě Kreybichově; jest tu sice
správně, ale beze všeho označení zaneseno. Krejčí jezero asi sám
viděl, nepodává však 6) vůči Hochstetterovi nic nového.

Nej bližším rozmnožením vědomostí o jezeru Prášilském jest zpráva
A. F r i Č e,7) jenž navštívil jezero v červnu 1871. Frič se svým assistentem
H. B. Hellichem a sběratelem J. Staskou nemohl na voru pořízeném
z čerstvých kmenů podniknouti plavbu po jezeře, takže nebylo mu lze
zoologický výzkum úplně provésti. Hloubku jezera odhadoval jenom asi na
15 stop. K tomuto výzkumu pojí se také publikace Bohuši. Hellich a.8)

Časově následuje nové mapování vojenského geografického ústavu
ve Vídni r. 1878. Zdejší sekce původního mapování9) poprvé podává
terrain ve správné formě. Na starší mapě speciální v měř. 1:144000 byl
naznačen ještě schematichy, nyní poprvé vidíme tuto končinu s detail-
lem celkem správným a poprvé na mapě číslo nadmořské výšky (1079 m).
Speciální mapa v měř. 1:75000 10) jest zde celkem věrným zmenšením
původní mapy v měř. 1:25000.

x) J. G. Sommer, Das Kónigreich Bóhmen. IX. Budweiser Kreis. Prag 1841,
p. XXX, 258.

2) t., Geognostische Studien aus dem Bóhmerwalde. Jahrbuch der k. k. Geolog.
Reichsanstalt, VI. 1855, p. 26 a 27.

3) F. Hochstetter, Aus dem Bóhmerwald. Beilage zu Nr. 220 der
Allg. Zeitung, 8. August 1855, p. 3515.

4) t., Hóhenverháltnisse des Bólimerwaldes. Tamt. VII., 1856, p. 143.

5) Spezialkarte von Bóhmen, 1 : 144.000. List č. 29.

6) J. Wenzig u. J. Krejčí, Der Bóhmerwald. Prag 1860, p. 42.

7) A. F i č, Uber die Fauna der Bóhmerwald seen. Sitzber. d. k. bóhm
Ges. d. Wiss. Prag 1871, II., p. 6, 9, 10.

8) B. Hellich, Perloočky země České (Cladocera). Archiv pro přír. prosk.
Čech. 3. díl č. 4. Praha 1878, p. 120 a 121.

9) Copien von Militár-Aufnahms-Sectionen der Osíer-Ung. Monarchie, list Z. 9,
C IX., S. W. 1 : 25.000.

10) Spezialkarte der Osterr.-Ung. Monarchie, list Z. 9, C. IX., 1 : 75000.
I. vyd. 1882.

XVI.

3

Botanik Willkomm1). navštívil patrně osobně jezero P., ale z díla
jeho dovídáme se nově jenom to, že hráz jezera jest částečně kryta klečí.
Nadmořskou výšku ezera, jež se mu zdálo nehybným, udával Willkomm
ok. 3500 stop. Z různých průvodců pro turisty zaslouží zmínky jenom
Ř i vná ců v,2) jenž udává nadmořskou výšku 'ezera na 1060 m, výšku
stěny na 160 m, plochu ok. 4 ha. Poprvé čteme tu jméno ,,Alte Schwelle"
pro bývalé sousední jezero.

O decennium později po Fricovi přichází sem F. B a y b e r g e r. 3)
Také on neměl zde možnost spustiti se na hlad nu vodní a musil se obmeziti
jenem na pozorování s břehu. Přišel sem ve chvíli, kdy se zakládalo nové
stavidlo a tu děkujeme právě Baybergerovi některé nové poznatky. Korri-
guje také Fricův názor o mělkém jezeru. Mapu jezera Bayberger nepřináší,
pouze přehnaný profil stěny a jezera pod ní se nacházejícího.

Poslední můj předchůdce na jezeře Prášilském byl D r. P. W a g n e r,4)
jenž zde dlel uprostřed srpna 1896. Podává především novou petrogra-
fickou charakteristiku nej bližšího okolí jezera. O hrázi jezerní nepřináší
nic nového. Wagner upozornil také na ,,Alte Schwelle", jež jest sice v sekci
původního mapování správně, ale beze jména označena, a soudil, že zde
jistě bývalo jezero, související s Prášilským. Wagnerovi také děkujeme
první skutečná fysicko-geografická pozorování ve vodách jezera Prášil-
ského. Měřil tu vedle hloubek i teplotu a průhlednost vody. Jeho mapa
v měřítku 1 : 25.000 jest kopií sekce původního mapování; pouze jméno
„Alte Schwelle" jest tu nově - — nehledě ovšem k manuskriptním mapám
lesním — zaznamenáno. Pokud se týče údajů jež se nalézají v různých
průvodcích, víme, že se tu nejedná nikdy o nějaká positivní měření, nýbrž
často jenom o fantastické, ničím neodůvodněné údaje.

Já sám jsem provedl výzkum jezera Prášilského koncem srpna
a v první polovici září 1906 za počasí aspoň z počátku velmi příznivého.
Knížecí schwarzenberská lesní správa dala mi zde poříditi vor, na němž
veškerá měření provedena. Při měření profilů pracoval jsem s jistými
obtížemi, neboť mi byl v nej důležitěj ší chvíli nepovolanou rukou odstraněn
drát přes jezero napjatý. Domácí obyvatelé báli se vody, a jediný po¬
mocník, jehož se mi za jistého nátlaku lesní správy podařilo získati, opustil
mne pro churavost hned v prvním týdnu. Asi 2 dny vypomohl mi p. učitel
Sollner z Dušovic, ale potom zůstal jsem na jezeru úplně osamocen. Činnost
na jezeru skončil jsem toho roku 19. září. Celkem provedl jsem v té době
úplné změření hloubek a sice 258 v 10 profilech. K tomu pojilo se přes

9 M. Willkomm, Der Bolimerwald und seine Umgebung. Prag 1878,
pag. 189.

2) Řivnáčův průvodce po království Českém. Praha 1882.

3) F. Bayberger, Geographisch-geologische Studien aus dein Bóhmer-
walde. Ergánzungsheft Nr. 81 zu Petermanns Geogr. Mitteilungen . Gotha 1886,
p. 35 a 36.

4) P. Wagner, Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 48 a n.

XVI.

1*

4

90 pozorování teploty vody jezera a jeho přítoku, pozorování průhlednosti
a poprvé pozorování barvy vody. Na mapu katastrální jsem nespoléhal,
rovněž ne na mapy lesní, jež jsou v měřítku pro limnologický výzkum
příliš malém, pročež pořídil jsem na základě vlastních měření mapu jezera
v měřítku 1 : 1000, jež odpovídá tehdejšímu stavu vody 1-5 m pod niveau
hráze.

O prázdninách r. 1907 zavítal jsem třikráte na j. P., vždy ovšem
jenom na krátko, a sice 28. června, potom 15. srpna, kdy jsem měřil teplotu
sloupce vodního a barvu, kdežto měření průhlednosti bylo překaženo
bouřkou, jež zrovna s orkánovou prudkostí vypukla, a konečně 18. září,
kdy jsem mohl měřiti teplotu a průhlednost vody.

V létě 1908 sdělil mi p. M. Bronec, kníž. schwarzenberský lesní
v Neubrunnu, že hladina jezerní nalézá se na nejnižším téměř stavu. Za¬
vítal jsem sem 26. srpna s posluchači p. Baslem a Hamáčkem, a nalezl
jezero skutečně jen 20 cm nad nejnižším stavem. Poněvadž tu nebylo
plavidla, nemohli jsme měřiti na vodě, navštívili jsme však ještě ,,Alte
Schwelle". Prohlídce terrainu jezero obklopujícího a zvláště hráze jezero
obkličující věnována byla ještě návštěva ve dnech 7. až 9. září 1910.

Při různých těch pobytech na j. P. setkal jsem se s velkou ochotou
kníž. revírníka ve Prášilech p. Marxi a a jeho ná tupce p. Prantla a nalezl
jsem zvlášť účinnou podporu jmenovaného již lesního p. Bronce, jehož
myslivna nalézala se nejblíže jezeru P. Týž sledoval s velkým zájmem moji
práci a zacvičil se sám v technice měření teploty vodní mým reversním
teploměrem Negretti-Zambra za účelem pozorování z mnich, jež také pro¬
vedl počátkem března 1913. Pan Bronec rád by byl pokračoval v těchto
pozorováních, ale náhlá obleva, jež ve dnech nej bližších nastala, překazila
jeho úmysly.

Přístup k jezeru Prášilskému z osady Prášil poprvé stručně líčil
Hochstetter:1) ,,Z Prášil lze pohodlně za iy2 hodiny dosíci jezera
Prášilského, položeného jihovýchodně od Prášil na severním úpatí vysoké
Polední hory (Mittagsberg 4087') a na zadním úpatí Seerucku (3992').
Sledová vše dlouho Jezerní potok a vystoupivše po rulových a žulových
balvanech, stojíme najednou překvapeni před válem 20 — 30 stop (j nde
udává Hochstetter 30 — 40 stop) vysokým, j enž částečně se ; avá z kolo¬
sálních balvanů. Teprve když vystoupíme na tuto přírodní hráz, máme
pohled na chmurnou, černou, jako zrcadlo hladkou plochu jezera, se všech
stran vysokými horami a temnem smrkového lesa obklopeného. Na západní
straně trčí příkré stěny, jichž severní část skládá se z hrubozrné žuly ve
velikých kubických balvanech, jižní část naproti tomu sestává z ruly
nebo vlastně z více méně slídnaté křemencoví té břidlice, jejíž velké rovné,
břidlové nebo vrstevnaté plochy zapadají v hodině 7*10 se sklonem 45°

x) F. Hochstetter, Geognostische Studien aus d. Bóhmerwalde. Jahr-
buch d. Geol. Reichsanstalt, VI. 1855, p. 26 a 27.

XVI.

o

k severovýchodu, tak že zde rula na své nej jižnější hranici nalézá se nad
krystallinickými břidlicemi." V jiné své práci poznamenává H o c li¬
st e 1 1 e r, 1) že severní a východní břehy jezera Prášilského objímá věnco-
vitě mohutný val ze žulových a rulových balvanů, jenž se v západu při-
mýká na příkrou stěnu Polední hory.

Dnes jest přístup k jezeru jistě daleko snadnější, než za časů Hoch-
stetterových. Z osady Prášil jdeme p) cestě bílou a modrou barvou
značené nejprve mezi mokrými loukami, později po kostrbaté cestě ne¬
valně pěstěným selským lesem a konečně lesem knížecím. Cesta k je¬
zeru jest vlastně nej horší u Prášil samých. Nedaleko před jezerem cesta
se trochu snižuje a zde máme pohled na hráz jezero obklopující. Teprve,
když vystoupíme úplně na hráz, spatříme před sebou jezero. Cesta
z Prášil až sem trvá necelou hodinu. Ještě blíže jest sem z Neubrunnu
a nej bližším obydlím jest hájovna něco přes 1/4 hodiny cesty pod jezerem.

Mimo Hochstettera podal stručné líčení krajinného rázu B a y-
b e r g e r,2) jenom že zde nesprávně udává orientaci jezera podle světových
stran. Poprvé mluví o neobyčejně konickém tvaru bassinu a klade podle
odhadu největší hloubku doprostřed jezera. Vlastní pozorování Bayberge-
rova omezují se zde vlastně na val jezero obklopující. Bayberger byl zde
r. 1883, v době, kdy jezero za účelem pořízení nového stavidla bylo vy¬
puštěno o 2 — 3 m. ,, Hluboké vykopá vky, jež při tom byly udělány, nedály
se v pevné skále, nýbrž mezi volnými balvany (in losen Blocken)."

Bayberger praví, že může jen nepatrně něco připoj iti k poznámkám
Kre čího a Wiik mn a. Val, jenž místy jeví se skutečně tak jako by byl
nasut, jest tak výrazný ano nápadný každému, že docela i u zdejšího oby¬
vatelstva vyškytalo se mínění, že byl uměle vybudován nějakým starým
kmenem (,,daB er von alten Volkem gebaut worden sei"). K jakému účeli,
nemohl průvodčí Baybergerův říci. Dílo ruky lidské jest tu ovšem vylou¬
čeno. Bayberger sledoval tento val, pokud nebyl kryt křovím — jak praví — -
velmi důkladně a dospěl k úsudku, že zde dlužno jen a jedině počítati
s prací geologickou. ,,Tak dokonalé vytváření se válu nebylo dosud na
žádném jiném jezeru pozorován o. " ,, Dlužno podotknouti, že balvany na
sobě neb vedle sebe ležící nejsou identické s rulou nebo žulou, nýbrž vyka¬
zují jich variety; tak se střídá hrubo- a jemnozrná slídnatá rula se žulou,
jež jest různého rázu, různé velikosti, zpravidla os tr obranná a rohatá.
,,Nirgends vérmochte ich eine Abnutzung beobachten." ,, Zvětrání balvanů
řevná se až podnes nule, nej bezpečnější důkaz, že nevznikly větráním. Plochy
zlomové (Bruchlinien) jsou dosud úplně čerstvé a neporušeny." Nějakého
stmelení nemohl B. najiti. ,, Během doby počala prsť výplňová ti mezery.

Ú t., Aus d. Bóhmerwald. Beilage zu Nr. 220 d. Allg. Zeitung, 8. Aug. 1855,
p. 3515.

2) F. Bayberger, Geographisch-geologische Studien. Gotlia 1880,
p. 35 a 36.

XVI.

6

Tak vzniklo takové zaoblení válu, že to skutečně snadno svádí k úsudku,
spatřovati v takové dokonalosti práci lidskou ; j est to mimo vši pochybnost
moréna. Analogicky ostatním jezerům šumavským jest odtok ve směru
dolů provázen spoustou nesmírných trosek (von enormen Trúmmer-
haufen begleitet)." Bayberger nemá žádnou mapu j. P., uvádí však
příčný profil od vrcholu Polední hory ve směru od jz. k sv. přes jezero
(P. 2), při čemž stěna spadá v sklonu 75°, jezero má konický tvar s nej¬
větší hloubkou 30 m a odtok Jezerním potokem děje se ve sklonu 11°.

Petrografickou charakteristiku břehů studoval Dr. Wagner r. 1896.1)
Stejně jako Hochstetter konstatuje, že se zde nalézáme na důležité hranici
petrografické. Hochstetter označuje jižní část stěny jako z ruly a slídnaté
křemencoví té břidlice, ale podle Wagnera byly výbrusy úplně bez živce,
takže musíme zde mluviti o svoru. ,,Jest tu hojně biotitu a muskovitu,
ale muskovit Často tak roztříštěn a zvlákněn, že jej můžeme označiti spíše
jako sericit; také cirkony a apatity vyskytují se v hornině; křemen pravi¬
delně přimíšený tvoří silné lože. Místy vytvořuje hydroxyd železitý rudé
zabarvení. Čistou křemencovitou břidlici bylo lze konstatovati pouze
v balvanech, nikoli však v pevné skále. S vorové vrstvy zapadají N. 100° E.
a lysá místa jeví zapadání 50° ku jezeru. Veliký výstupek svoru vyčnívá
se sklonem 40 — 45°, ano místy i 60°. Potom skály trochu ustupují, aby
zase znovu podruhé vyrazily v křemité břidlici a potřetí v značně
tvrdé žule (sklon 45°). Marně hledáme nějaký topografický ohlas této změny
horniny, již lze ostře sledová ti až po samu hladinu vodní. Svor i žula
tvoří stejně utvářené útesy. Dva vnějškem podobné výběžky obklopují
jezero v jihu a v severu; ovšem jest zde žulová strana více balvanitá. Na
východní straně setkáme se konečně s onou klasickou balvanitou hrází,
jež dosud byla na první pohled každému nápadnou. “I prof. Laube, jenž
po několik prázdnin prozkoumával Šumavu a s velkou skepsí se Wagne-
rovi vyslovoval o ledových stopách na Šumavě, zde přece připouští „einen
Firnmoránencharakter/' ,,Asi na 3 m zvedá se tato hráz od hladiny.
Mohutné balvany žuly, svoru a křemencovité břidlice, spojené volnou
vrstvou humusovou, skládají tento val, jenž spadá vně jezera asi na 10 m
a jest v okolním terrainu tak znatelným jako žádný jiný na Šumavě. Při
odtoku jest dnes uměle vyzděn, tak že lze jezero dosti vysoko nastaviti.
Zde jezerní potok řítí se přes mohutné spousty balvanů. “

Wagner připomíná, že ,, nádherný vysoký les“ korunuje tuto hráz.
S tím sotva lze souhlasiti. Ještě dnes tento les celkem velmi málo imponuje.
Jezerní břehy jsou pokryty smrkovým lesem nevelkého stáří — větší
stromy jscu asi od velkého polomu, 35 — 40 let staré, ostatní mladší.
Celá hráz jest pokryta takovým lesem, jenom několik výminečně starých
smrků, asi přes 70 let starých nalézá se u odtoku.

ů P. Wagner, Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 49.

XVI.

Na břehu jest jednotvárný porost smrkový přerušen jednotlivými
stromy listnatými, tak zvláště na sever od stěny. Nalezneme tu jeřáby,
osyky, stromovité i křovité jívy. Zvlášť typickým stromem pro severní
břeh jest jedna stará bříza a veliká rozložitá osyka. V jisté výši nad jezerem
nalezneme ojedinělé buky.

Měřil jsem hloubky jezera za prostředního stavu, viděl jsem však
jezero i za nej vyššího stavu v září 1910, kdy chyběl jen nějaký decimetr,
aby jezero přetékalo, i za zcela nízkého v srpnu 1908, kdy nalézalo se jen
20 cm nad nej nižším stavem.

Za tohoto nízkého stavu r. 1908 vynořil se podél celého břehu jezera,
vyjma část západní, kde skály do jezera příkře spadají, pruh suché půdy
asi 6 — 10 m široký. Úbytek hladiny jezerní jevil se zvláště vzadu, totiž
v jižní části jezera, potom severozápadně od odtoku a nejvíce asi u košatých
stromů proti odtoku při našem bodu č. 2. Velmi smutný dojem zvyšují
právě v těchto místech spousty velikých starých kmenů zde ve vodě ležících,
zbytků to bývalého pralesa, jenž ještě před polomem v 1. 60tých jezero ob¬
klopoval. S jistou opatrností a stoupajíce po kmenech z vody vyčnívajících
neb docela na suchu ležících dosáhli jsme od odtoku samé stěny. Zcela jiný
jest vzhled za vysoké vody. Tu jezero sáhá ve všech směrech bud po příkrou
skálu, j. v západu, nebo až po samé kmeny stromů. Odumřelé kmeny
zmizí úplně pod vodou a jen tu a tam vyčnívá nějaká jich část. Bažinatý
břeh jest v tu dobu nejspíše ještě znatelný v jižní části jezera. Přítok,
jejž na naší mapě zakreslujeme uč. 4, zanáší jezero s této strany a lze zde
konstatovati jistý vzrůst půdy, ač nevelký a pomalý. Mezi ústím tohoto
přítoku a cestou na Polední horu jest terrain dosti plochý, a již zde jest
počátek oné hráze, jež na dlouho lemuje jezero. Tam, kde cesta na Polední
horu odbočuje od jezera, jest hráz tato již znatelně vyvinuta. Nej vyšší
její část zdvihá se zde sotva 2 m nad nej vyšší stav jezera. Čím dále k od¬
toku, tím určitější stává se hráz. Jest dnes zcela porostlá lesem. Pěšina vede
po ní u vzdálenosti několika metrů od jezera. Odtok proráží hráz mezi
množstvím balvanů. V této končině nalézá se niveau hráze místy aspoň 10
ano snad až 15 m nad potokem. Ojediněle vyskytují se vedle potoka ohromné
balvany. Tam, kde odtékající potok zahýbá okolo hráze, překročil jsem jej
ve směru východním na druhou stranu a shledal jsem, že pravý jeho břeh
lemován jest rovněž mírnou vypnulinou, za níž nalézá se zase skleslina.

Malá, sotva znatelná pěšinka tudy vede. Od zmíněného záhybu potoka
pokračuje skleslina mezi oběma vypnulinami dále ke svahům Polední hory.
Hráz velmi určitě a krásně vyvinutá obmýká jezero i v severu až k bodu
č, 2 n é mapy. Zde odlučuje se od svahu Polední hory ponenáhle, stejně
jako tomu bylo na druhé straně.

Na žádném ze šumavských jezer nespadá vlastní stěna tak bez¬
prostředně a tak příkře do vody jako na jezeru Prášilském. Platí to ovšem
jenom o nej dolejší části stěny, jež tu jako skála z celého svahu vystupuje
a od ostatního okolí se odlišuje menším množstvím vegetace. Spadá do

XVI.

8

jezera v jeho západní Části. Ovšem ani na této stěně není sklon tak příkrý,
jak jej udává Bayberger,1) jenž kreslí profil stěnou a jezerem a přičítá
stěně výšku 250 m (Wagner správněji 235 m) a sklon 75°. Sotva s polovičkou
toho sklonu lze počítati, čemuž asi odpovídá schematický profil, jejž
podal Dr. Wagner.2) Obraz stěny, jejž připojujeme, byl pořízen od bodu
č. V. naší mapy.

Do jezera ústí jeden přítok v jižní části a jeden nedaleko odtud na
jihovýchodním břehu. Avšak vedle těchto přítoku zjistil jsem ještě dva
přítoky, jež v nepatrné hloubce jako podzemní ústí do jezera mezi č. 6 a 7
a severně č. 4 mé mapy. Jsou to asi táž neobyčejně chladná místa ve vodě,
jež lesníci — jak Wagner sdělil — svého času při koupání v jezeru konsta¬
tovali.

Jezero vylévá se v severovýchodu (čís. I. na mapě) odtokem, jejž
lze regulovati, pode jménem Jezerního potoka (Seebach) směrem ku Prá¬
šilům do Křemelné a touto do Vydry. Na přiloženém obrázku — asi
první fotografie z této končiny — jeví se typicky hráz, fotografovaná
zd la nahoru. Oblast, z níž jezero sbírá vodu, odhadoval Wagner pouze na
50 ha, tedy nejméně ze všech šumavských. Za to počítá zde Bayberger
s bývalou fir novou plochou příslušnou k Polední hoře, o rozloze 5*5 km2,
tudíž nejvíce při jezerech šumavských. Že čísla tato, jichž dosáhl Bay¬
berger na základě dnešních poměrů horopisných, dlužno přijímati s nej¬
větší skepsí, nemusím snad zvláště odůvodňovati.

Téměř na jih od jezera Prášilského, s malou jen úchylkou k východu
nalézá se končina, již lesní mapy označují jako ,,Alte Schwelle". Dostaneme
se sem, jdeme-li od hájovny mezi Neubrunnem a jezerem Prášilským ku
pramenům Jezerního potoka, jež končinu tu odvodňují. Cestu tu nazývá
Wagner ,,Seebachsteig“. Já jsem navštívil místo to 26. srpna 1908. ,,Alte
Schwelle" jest dnes úplně plochá a lesem porostlá. V západu a jihu a částečně
i na východě zvedají se poměrně příkré stěny, tak že zde stojíme v cirku
vlastně typičtějším, než jak se jeví na jezeru Prášilském. Wagner, jenž
navštívil ,,Alte Schwelle" r. 1896, uvádí, že jest vyplněna slatí značné
mocnosti. Úřední dobrozdání lesní správy praví, ,,že by se následkem nedo¬
statečného spádu odvodňování zde sotva vyplatilo". ,,Z toho vidíme zřejmě,
jak ploché jest údolí před námi, a nepochybujeme, že jest to bývalé jezero
cirkové/'

Katastr (Wagner p. 50) udává pro ,,Alte Schwelle" rozměry 2 jitra
1481 čtv. sáhů = 1 ha 6835 m2. Mně se zdají rozměry ty příliš malými
a mám za to, že rovná plocha zdejší převyšuje rozměry jezera Prášilského.
Stejně jako Wagner mám za to, že zde máme co činiti s bývalým jezerem.
Bohužel nemáme tu rozhledu a chceme-li si skutečně shlédnou ti zdejší

9 Bayberger F., Geographisch-geologische Studien aus dem Bohmer-
walde. Gotha 1886. T. II.

J) Wagner P., Die Seen des Bohmerwaldes. Leipzig 1897, T. II.

XVI.

9

terrain v souvislosti, tu učiníme nejlépe, když od Neubrunnské mysli vny
sledujeme západní svah Seerucku. Z paseky mezi kótami 1235 a 1265 m
máme tu z dálky pohled na jez. Prášilské a ,,Alte Schwelle". Já jsem za
přispění p. lesního Bronce vyhledal místo to několikráte, bohužel však byl
jsem tu vždy za počasí mlhavého, tak že nebylo určitých obrysu. Podle
sekce původního mapování — mapa Wagnerova jest tu prostou kopií —
nalézá se „Alte Schwelle" uvnitř isohypsy 1120 m.

Jméno jezera. V josefinském katastru a na původní mapě stabilního
katastru vyskytuje se prostě označení „See". Na mapě Kreybichově
nalézá se jezero vůbec ještě bez jakéhokoliv označení. Jméno „Stuben-
bacher See" první asi do literatury uvedl F. X. M. Zippe.1) Nej bližší osadou
Stubenbach (Prášily) ovšem není, nýbrž Neubrunn. Krejčí ve svém známém
díle mluví také o „See des Mittagsberges“ . V češtině ujalo se jméno jezera
Prášilského, ačkoliv stejně často užívá se i označení „jezero Stubenbašské".

Mapa jezera. Poprvé objevuje se jezero v určitých obrysech na mapě
katastrální, potom v menším měřítku dosti správně, ale jak již řečeno
bezejmeně na starší mapě speciální. Při novém mapování a na nové mapě
speciální vyskytuje se poprvé udání výšky nadmořské. Sekce původního
mapování celkem správně podává terrain. Mapy lesní mohly by býti nej-
lepšími mapami pro tuto končinu, kdyby při nich bylo dbáno — jako se to
děje hned v bavorském sousedství — poměrů výškových. Já jsem pro
novou konstrukci mapy jez. P. použil na pevném stativu Schmalkaldské
busoly s velmi přesným dělením a jehlou délky 10 cm. Na všech ostatních
jezerech šumavských pracoval jsem bud s tachymetrem neb theodolitem.
Původní mapu pořídil jsem, jako na jiných jezerech, v měřítku l : 1000,
a redukoval jsem ji v příloze na měř. 1 : 2000.

Poloha jezera jest podle mapy speciální 49° 4-5' s. š., 31° 4' v. d. F.
nebo 13° 24' 14" v. d. G.

Nadmořská výská jezera. Poprvé výšku j. P. měřil F. Hochstetter,
jenž jako průměr ze dvou pozorování udal 3352-6 stop = 1060 m. Toto
pozorování platí, ovšem s příslušnou redukcí, jež odpovídá změně pražského
normálu, až podnes. Přejal je Krejčí i průvodce Rivnáčův nezměněně
kdežto Partsch 2) provedl opravu a zaokrouhlil je na 1080 m. Willkomm
jednou přijímá neredukované číslo Hochstetter ovo, na jiném místě udává
však 3500' = 1106 m jako vlastní pozorování. Jak vidno z rozdílu 50 stop
při měření výšky Polední hory, jež provedl Hochstetter a vojenským
měřením trigonometrickým (Hochstetter 4164-4 stop, A 4213-74'), nelze
dosud číslo pro nadmořskou výšku jez. P. udávané pokládati za bezpečné.

Plocha jezera. Josefínský katastr z r. 1785 udává 3 jitra 726% čtv.
sáhu čili 1-9877 ha. Číslo to jest jistě i pro onu dobu nízké a sice i v tom pří-

0 J. G. S o m m e r, Das Kónigreich Bóhmen. VIII. Prachiner Kreis.
Prag 1840, p. XXX.

2) J. Partsch, Die Gletscher der Vorzeit in den Mittelgebirgen Deutsch-
lands. Breslau 1882, p. 106.

XVI.

10

pádě, že připouštíme pro tehdejší dobu hladinu značně nižší než dnes a po¬
čítáme se značným zvýšením hladiny jezerní následkem regulovaného
odtoku. Katastr z r. 1837 udává již 6 jiter 1150 čtv. sáhů č. 3-8615 ha,
tedy číslo, jež se blíží dnešním poměrům. Sommer zaokrouhluje patrně
číslo to na 7 jiter = 4-0282 ha, kdežto Mochel uvádí nesmyslné číslo
15-6 ha, pro něž jistě není důvodů. Wagner vypočítal pro hladinu jezera
3-5757 ha, číslo patrně trochu nízké. Za stavu hladiny, při níž jsem měřil,
určil jsem povrch jezera na mapě terčovým planimetrem Coradiovým na
3-7200 ha. Při nej vyšším možném stavu, jenž jest asi o 1 m vyšší, než
onen, při němž jsem já hloubky měřil, zvětší se plocha jezera značně,
asi o 1900 m2 a obnáší potom 3-9100 ha.

Rozměry jezera podle délky a šířky udával posud jedině Dr. Wagner a
sice největší délku na 290 a největší šířku na 175 m, s čímž souhlasí i jeho
mapka. Čísla ta neliší se podstatně od mých, neboť podle mé mapy měří
nej delší osa jezera 283 m a největší šířka jezera asi směrem od odtoku
k západu ok. 185 m.

Nejvzdálenejší bod jezera od břehu nalézá se v severním výběžku
isobathy 14 m, spíše směrem trochu k východu, a obnáší tu největší vzdá¬
lenost od břehu 90 m.

Přírůstek dna proti hladině (základní hodnoty uvedeny na svém místě)
jest u jezera P. tento:

Mezi isobathou 0 (hladinou, při níž jsem měřil) a nej vyšší možnou
hladinou asi o 1 m vyšší = 142 m2, mezi isobathou 0 a 1 m = 78 m2,
mezi 1 a 2 m — 65-7 m2\ 2 a 3 m = 63-4 m2\ 3 a 4 m = 78-5 m2\ 4a 5 m =
= 75-1 m2; 5 a 6 m = 60-3 m2\ 6 a 7 m = 57 m2; 7 a 8 m = 97-2 m2\ 8 a
9 m — 52-5 m2\ 9 a 10 m = 46-9 m2) 10 a 11 m = 28-8 m2; 11a 12 m =
= 27-9 m2 ; 12 a 13 m= 19-8 m2; 13 a 14 m = 10-8 m2; 14 a 14-5m = 3 m2.

Vnitřek isobathy 14-5 m dlužno pokládati za úplně plochý a platí to
vlastně již o celé ploše uzavřené isobathou 14 m. Obnáší tudíž přírůstek
dna proti hladině, při níž jsem měřil, 765 m2, a proti nej vyšší možné hla¬
dině 907 m2.

Vývoj břehů má ze všech šumavských jezer Prášilské nej menší;
není tu žádné zátoky, není tu žádného poloostrova. Obvod jezera — délka
břehů — obnáší za hladiny námi měřené 730 m a zvýší se za nej vyššího stavu
jenom asi o 20 m. Ovšem není tu ani vzrůst plechy nějak zvláště značný,
nejvýše asi ok. 1900 m2 (podle měření 1920 m2). Za nej vyšší vody rozšíří
se hladina nejvíce v severozápadní části jezera, asi mezi našimi body 1 a 3,
jak z mapy vidno, dále v jižní Části jezera a u odtoku. Západní břeh spadá
téměř všude do jezera v tak velkém sklonu, že zde stav vodní ve směru
horizontálním nejeví nějak zvláště znatelných rozdílů. Poměr mezi ofc-
vedem jezera při hladině námi měřené k obvodu kruhu, jehož plocha
jest stejně velká jako plocha jezera, lze vyjádřiti poměrem P07 : 1. Počí-
táme-li nej vyšším možným stavem vodním, tu poměr ten se mění jen ne¬
znatelně ; nebo vlastně téměř se nemění .

XVI.

11

Relief dna. První zmínku o nějaké hloubce jezera Prášilského na¬
lezneme u Sommera,1) jenž ji udává na 9 sáhů = 17 m. Právě tento
údaj ze všech starších jest nej pravděpodobnější, blíží se nejvíce skuteč¬
nosti a spočívá asi na nějakém měření. Po dlouhé době shledáváme se zase
s odhadem u A. F r i č e,2) jenž soudí na hloubku 15 stop uprostřed jezera
a dokládá, že jezero jest trochu hlubší než Lakka. Také assistent jeho
Heliích3) podceňuje hloubku jezera výrokem, že jezero Štubenbašské
a Lakka mají hloubku nepatrnou. Připouštím, že v době návštěvy FriČovy
a Hellichovy jezero Lakka činilo snad dojem hlubšího než dnes, ale k zmí¬
něnému úsudku a odhadu vzhled jezera Prášilského jistě nikdy neopráv-
ňoval. Podle Willkomma4) platí jezero v ústech lidu za bezedné.
Mochel 5) uvádí hloubku 23 m, neuvádí však pramenu pro toto číslo.
Čísla Mochelem pro šumavská jezera citovaná nezasluhují vůbec víry.
Baybergerovi6) sdělil j eho průvodce, že lesní z Prášil měřil s j eho
assistencí na 3 místech otvorem v ledu prosekaným hloubku jezera na
16 sáhů (= 30 — 36 m). Bayberger měl za to, že Číslo toto zasluhuje víry
a že podle celkového vzhledu nezdá se odpor ováti faktům známým z ji¬
ných jezer. Snad tu byly zaměněny metry za sáhy! Bayberger zastihl
jezero na nízkém stavu a z koní gurace pobřežní soudil na neobyčejně
konický tvar bassinu jezerního, ale odhad na takovou hloubku nebyl
přece dosti kritický. Mně samotnému sdělil r. 1910 p. Eggerth, majitel
papírny v Prášilech, jehož údaj lze pokládá ti za hodnověrný, že počátkem
let šedesátých stol. XIX, jako mladík měřil hloubku uprostřed jezera
mezi 50 a 60 stopami. Dr. Wagner 7) uvádí, že prý před 50 léty, tedy asi
v létech 40tých stol. XIX. lesník jménem Gulasch (!) měřil hloubku 24 sáhů.

To jsou vesměs odhady nebo nezajištěná měření neodborníků. První
a až po můj výzkum jediná měření odborná provedl Dr. Wagner uprostřed
srpna 1896.

Wagner měřil tu jeden podélný profil {a b), asi trochu na východ
od našeho bodu 1 k ústí potoka do jižního cípu jezera, a sice 2*5, 8, 12-5,
15, 13*5, 11, 4 m a potom 4 profily příčné, z nichž jeden [a /) vede asi od
našeho bodu I ku bodu 3, s hloubkami 2*5, 3, 3, 2*5, druhý ( e /) od našeho
bodu I ku bodu 3 s hloubkami 3, 7, 12, 11, 7, třetí ( e d) odpovídá asi našim
bodům I 6 a vykazuje hloubky 2, 6, 11-5, 14, 15, 14-5, 11*5, 4, čtvrt

9 J. G. S o m m e r, Das Konigreich Bóhmen. VIII. Prachiner Kreis.
Prag 1840, p. 258.

a) A. F r i č, Ober die Fauna des Bóhmerwaldsees. Sitzungsbericlite der
kgl. bohm. Ges. d. Wiss. Prag 1871, II, p. 9.

3) B. Heliích, Perloočky země České (Cladocera). Archiv pro přírod,
prozkoumání Čech. 3. díl, č. 4. Praha 1878, p. 120.

4) M. Willkomm, Der Bóhmerwald. Prag, 1878, p. 189.

5) Mochel, Průvodce na tiati Plzeň-Eisenstein-Deggendorf. 1878.

8) F. Bayberger, Geographisch-geologische Studien aus dem Bóhmer-
walde. Gotha 1886, p. 36.

T, P. Wagner, Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 50.

XVI.

12

c d) shoduje se asi s naším směrem IV. 6, s hloubkami 2, 7, 9*5, 6 m. Celkem
měřil Wagner v 5 profilech 28 hloubek a konstruoval první ba thy metrickou
mapku jezera v měřítku 1 : 5000, podle níž má jezero skutečně pravidelnou
konickou, ano kráterovou podobu.

Mám za to, že Wagner sice správně měřil, ale soudím zároveň, že-
měření svá nesprávně lokalisoval. Odhadování vzdálenosti podle počtu
temp veslových předpokládá poměrně klidnou hladinu vodní, neoby¬
čejně obratného a zkušeného veslaře a dobrého plavidla. Aspoň ty dvě
poslední vlastnosti při měření Wagnerově scházely. Hajný Prokop Schmid
zde jako veslař nikterak nemohl stačiti a také vor nebyl tu plavidlem
bezvadným. Měl jsem sám za svého pobytu na jezerech šumavských
místy výborné veslaře, pionéry, sportovní veslaře a dokonce i člena rak.-uh.
válečného loďstva s nepoměrně jiným porozuměním práci, a přece bychom
bez napjetí drátů nebyli bývali s to pracovati s příslušnou jistotou. Pokud
se jedná o největší hloubku jezera Prášilského, tu Wagner domníval se,
že se nalézá uprostřed jezera, zatím však byl značně blíže břehu západnímu.

Niveau vodní, při němž jsem já pracoval, bylo asi stejné (spíše
nižší), jako ono, při němž měřil Wagnei, jak mi dosvědčil průvodce Wag-
nerův, hajný Prokop Schmid a rovněž hajný Mayer, muž jistě spolehlivý,
jenž za třídenního zdejšího pobytu Wagner ová také jeden den na je¬
zeru dlel.

Za mého měření nalézala se hladina jezera 150 cm pod niveau hráze
jezerní u odtoku.

Vlastní měření v srpnu a září 1906 .

Profil 1 I.

Západní břeh | P/4, 1-5, l3/4, 2, 2, 21/*, 2l/4> 2-5, 23/4, 3, 3-2, 3, 31/,.
3-3, 3-3, 3-5, 2, 2-6, 2-6, 2-6, 2-1, 2-1, 1-5, 1-1, M | Východní břeh.

Profil 2 I.

Západní břeh | l3/4, 2, 23/4, 43/4, 5, .,5, 63/4, 7, 73/4, 8, 8-1, 81/* 8*5,

9V3, 9*4, 91/4, 8-4, 8, 8-1, 7 , 7 , 6*3, 6, 5-4, 5, 23/4, 23/4, l3/4, 1, 2-3 |

Profil 3 I.

Západní břeh | 1, 1*5, 3, ., 6, 7*3, 10, ., 10-2, .,12, .,13, 13

., 13, ., 12-3, ., 12, ., 11, ., 9-5, ., 7, ., 6, ., 4, ., 2, P/4 |

Profil 4 II.

Západní břeh | ., 2-6, 4-6, 6-6, 7*9, 9-9, 11-5, 12-6, 12-9, 13-3, 13-9,
14-6, 14-6, 14-9, 14-9, 14-8, 14*8, 14-6, 14-6, 14-4, 14-4, 14-2, 13-9, 13-1,
12-6, 12-5, 11-4, 9-9, 8-1, ., ., ., ., . |

XVI.

13

Profil 5 I .

Západní břeh | 2-5, 3, 33/4, 5, 73/4, 10, ll3/4, 13, 13, 13, 13V4, 14-2,

14-5, 14-8, 14-9, 14-9, 14-9, 14-8, 14-8,

14-6, .

. Hl/4,

133/4> .. 123/4,

11-2, 9-4, 7, .

, 6, ., 8-4, 2 |

Profil ,

5 III.

Západní břeh

| 3-5, 3-5, 5, 7-5, 93/4, 12, 12-6, 12-8, 12-8, 12-8, 13,

13-1, 13-8, 14-5, 14-5, 14-5, 143/4, 143/4

, 14-7, 14-5, 1474,

13 3/4, 13i/4, 12-5,

12, 11, 9l/4, 73/4i 7,

6, 5, 4, 2 |

Profil

6 III.

Západní břeh

| 2-8, 31/4, 6, 8, 9-3, 11,

12, 131/.,

13i/4, 147., 147 4-

147., H-5, 14-4, 1 41/ 4 , 14-1, 13 3/4, 137., 12-5,

11-5, 11*5, 10, 8-5, 8, 7-2,

6-2, 5-3, 4-1, 3, 2 |

Profil

6 IV.

Západní břeh

| 23/„, 4, 5-3, 7-3,

8-5, 9,

1M, 11-8,

12-2, 12-4, 12-8,

12-6, 12-5, 121/4, 11-5, 10, 8-1, 6-8, 5 3/4,

, 4-9, 3-8, 23/4, 2-1,

. 2, 174 1

Profil

6 V.

Západní břeh

| 2, 2-7, 4, 4, 5, 63/,

„ 73/4, 81/,,, 81/., 8-3, 8-8, 9, 9-6, 9i/4,

9, 8, 6-1, 4-3, 21/4,

i3/4. IV*. o-s 1

Profil

7 V.

Západní břeh

| 1, 1, 2, 2-5, 2-5, 23/4, 2-8,

3, 37* 5,

31/4, 2-5, 2-1, 1-8,

1*6, 1, . |

Hloubka

Plocha

Vývoj

isobath

Obsah vrstvy

mezi isobathon m

ni* %

m

v m3

0 a 1

3232 8-6

břeh

730

35.569

1 — 2

3392 9 1

1

690

32.152

2—3

3080 8 3

2

645

29.018

3—4

2256 6 1

3

605

26.362

4—5

2000 5 37

4

585

24.210

5—6

2248 6-09

5

560

22.008

6—7

2128 5-7

6

536

20.019

7—8

2104 5-7

7

505

17.806

8—9

1864 5-0

8

480

15.821

9 —10

1816 4-85

9

460

13.215

10 —11

1640 4-4

10

425

12.251

11 —12

2104 5 7

11

400

10.375

12 —13

1984 5 33

12

365

8.322

13 —14

3632 9 76

13

320

5.448

14 —14*9

3720 10 0

14

240

1471

(14*5— 14-9)

(100)

145

(40)

—

274.047 w3

XVI

14

Při nej vyšším stavu vody zvýší se obsah vodní o 38.150 w3 a
obnáší potom 312.197 m 3. Čísla ta lze zaokrouhliti na 274.000 a na
312.200 w3.

Wagner udává obsah vodní v m3:

ve vrstvě 1 — 5 m při ploše 18.596 m 2 . . . 46.490 mz

5 — 10 „ „ „ 9.156 „ . . . 68.670 „

„ 10—15 „ „ „ 7.352 „ . . . 91.900 „

15 „ „ „ 623 „ . . 9.795 „

3 ha 57 a 57 m2. . . 216.855 m 3

Wagner pokládá nejhlubší vrstvu za válec ode dna ku povrchu a
ostatní za prstenové obaly tohoto válce, kdežto já počítám tento obsah
podle jednotlivých horizontálních vrstev, jak ode dna ku povrchu za sebou
následují. Lze tudíž mezi hodnotami jeho a mými srovnávati pouze plochu
jednotlivých vrstev, nikoli však jich vodní objem. Ovšem lze z čísel mnou
udaných vyvoditi i hodnoty konformní Wagner ovým.

Podle mého měření dlužno pokládati za jisté, že relief dna není tak
neobyčejně souměrný, jak Wagner udává. Vysvětlil jsem již, jak asi dospěl
ku svému náhledu o pravidelně konickém tvaru bassinu jezerního s nej¬
větší hloubkou uprostřed. Tak tomu není; sklon se strany západní, tedy
od stěny, jest mnohem příkřejší, než s ostatních stran. Zvláště příkrý jest
sklon až po isobathu 12 m. Isobatha 13 a 14 m jeví charakteristické vypnutí
ve směru na západ a také nejhlubší místo 14*9 m jest posunuto značně
na západ od středu jezera. Při břehu západním přichází velmi mnoho
nánosu do jezera, neboť zde mohl jsem na více místech bez velkého na¬
máhání zaraziti tyč na do bahna. Na straně jižní přičiňují se pří¬

toky o zmenšení jezera; zde také vegetace postupuje zvolna do jezera.
Na tabulce II., této práci přiložené, vidíme, jak ohromné množství ve¬
getace přichází polomem do jezera.

Hladina jezera jest celkem klidná, mimo Laka snad nejklidnější
ze všech jezer šumavských.

V Prášilech mně ovšem říkali, že jest nebezpečný vír v jezeře.

Teplota vody. První a až po náš výzkum jediné pozorování teploty
vody jezera Prášilského sdělil P. Wagner,1) jenž zde pozoroval 16.
srpna 1896.

Wagnerovi zdálo se zde nápadným rychlé ubývání teploty vody do
hloubky. Ježto lesníci při koupání našli dvě neobyčejně studená místa
v jezeře, zdá se mu jistým, že zde chladná voda není snad jen následkem
zimy (Winter) nebo tání sněhu, nýbrž že zde skryté pod hladinou pří¬
toky neustále přivádějí novou chladnou vodu.

i) P. Wagner, Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 51.

XVI.

15

Pozorování Wagnerovo :

Vzduch

. . .

9°

Pramen Jezer ního potoka měl 4-5° ;

Povrch

vody

15°

první

jeho ústí 9-5,

druhé 9-25,

1 m .

14-9

třetí malý potok 10°, Schwellbach

2 „ •

.

14-25°

(míněn tím snad odtok?) 9°.

3 „ .

12°

4 „ •

.

8°

5 „ .

6°

6 „ .

5-3°

7 „ .

.

4-9°

8 „ .

. . .

4-5°

9 „ .

4-5°

14 „ .

. . .

4-2°

Vlastní pozorování r.

1906 a

1907.

S\&

c jd

^ S

as o 2

^ CO ^

^ ^ .s

a

§ S O

—1 co .

ří 1906*)

. 30 min.

6 hod.

2 ň'
§22

1-1 ^ -rr

Z? • t5

•na 1907*)
až 5 hod
dpol.

ti 1907*)
až 3 hod-
dpol:

a

“7

O <N

CL o

B-g89
o .

o*-*

1. zář
hod.

4 hod

13. zá
5 hod
až

19. zá
2 hod
ž 1 ho

L5. srp
hod .
0

18. zá
hod:

o

vzduch . . . .

CO rH

18° C

co lO

15.75

co

22-5

6-25

rH 03

9

^ <N

25-5 9-5

povrch vody .

15

16-5

18-5

13

10-75

20-1 12-5

1 m . . .

14

14-5

15-5

12-5

10-25

19-5 12-5

2 „ . . .

13-5

13-5

14-25

12-5

10

17-5 12-5

3 ,, . . .

12-75

12-5

12-75

12

9-9

13-5 12-4

4 . . .

9

9-25

9

9

9-5

10-5 10-6

5 ,, . . .

7

7

7

6-7

6-75

8 8-5

6 „ . . .

6

6

6

—

6

6-5 6-75

7 ,, . . .

5

5-2

5-25

■ — -

— •

5-8 5-8

3 „ . . .

5

5

5

—

- — ■

5

9 „ . . .

4-75

5

4-8

—

■ — -

— — -

10 „ . . .

4-75

— •

4-75

— -

4-6

— ■ —

11 „ . . .

4-75

- — -

4-5

—

—

— —

12 „ . . .

13 „ . . .

14 „ . . .

4-5

4-5

—

4-4

—

— •

dno: 4-5

_ _

_ _

_

14-6

_ _

14-5 „ . . .

—

—

14-4

— -

—

— — .

x) Slunečno ; také několik dnů před tím slunečných.

2) Dopoledne prší, odpoledne celkem jasno, jenom chvílemi zachmuřeno;
před tím po několik dnů silné deště.

*) V tu dobu slunečno, před tím, dopoledne prší, později zase pod mračno.

4) Slunečno a větrno, později prudká bouřka.

5) Podmračno, v noci před tím déšť.

XVI.

16

Zajímavá pozorování tepelných poměrů jezera v zimě provedl podle
mého návodu a s mými nástroji pan M. Bronec, lesní v Neubrunnu v březnu
1913. Měřil zde 9. března 1913 po 5. h. odpoledne. Nalezl na jezeře led
tlouštky 0-65 m skládající se z 5 až 6 vrstev. V den měření bylo při severo¬
západním větru chladno a chvílemi sníh. Ve dnech předcházejících bylo
špatné počasí, větrno, chladno, při tom vlhký sníh. Vrstva sněhu poblíž
stěny a uprostřed jezera, asi 30 m od odtoku obnášela asi 15 cm, u břehu
poblíž odtoku bylo navátého sněhu ok. 40 cm. Stav vody byl nízký. Pozoro¬
vání byla konána skoro uprostřed jezera a potom v mělké části jezera, asi
30 tn od odtoku směrem ku stěně.

9. března 1913,

Uprostřed jezera :

. , ve 3 h 30 m odp.

Vzduch ... * . ť

v 6 h

povrch vody .

1 m .

2 „ .

3 „ .

4 „ .

5 . .

6 „ .

7 „ .

8 „ .

9 „ .

10 „ .

11 „ .

12 „ .

13 ,, (dno) .

5 h — 6 h o d p .

V mělké části jezera

+ 0-2°

— 25°

—

0*5

0-5°

1 *2°

1°

—

1-5°

2-5°

2°

- —

3°

3°

dno 2-8°

3-5°

3*7°

4°

Teplota vody odtoku obnášela 5*6°.

Tato pozorování teploty vody jezerní v zim ě jsou první, jež ze šu¬
mavských jezer sděluji. Až do r. 1913 nemáme vůbec žádného zimního pozo¬
rování na jezerech šumavských. Teprve 7. ledna 1913 konal první taková po¬
zorováni s mými nástroji můj posluchač p. Kříž na j ezeru Plockensteinském.
V únoru t. r. vypravili jsme se s mým assistentem drem V. Dvorským za tím
účelem na jezero Čertovo, kdež však nepodařilo se nám prosekat led. Přece
však měřil Dr. Dvorský teplotu vody v únoru 1913 na jezeru Černém, kdež
byly poměry příznivější. V lednu 1914 měřil opětně p. Kříž teplotu vody na
jezeru Plockensteinském. To jsou veškerá dosud pozorování teploty vody
jezer šumavských v zimě, jež až podnes byla provedena.

XVI.

17

Barva vody. První zmínku o nějaké barvě vody jezera Prášilského
učinil F. Hochstetter,1) jenž ji nazývá temnou, a v jiném svém pojednání 2)
mluví docela o černé hladině jezera Prášilského, rovné jako sklo. To opětuje
Krejčí3) i Bayberger.4) Také P. Wagner neměl ještě při svém zdejším po¬
bytu skálu barev k disposici, soudí však od oka, že barva jezera odpovídá
asi Č. 13 — 14 skály Uleovy, při čemž poznamenává — ostatně správně —
že se zdá povrch vodní temnějším, než ve skutečnosti jest. Já sám provedl
jsem první skutečné měření barvy vody jezera Prášilského podle skály
Prof. Ule 30. srpna 1906 a konstatoval jsem, že odpovídá asi č. 16 skály
Uleovy a že jest tudíž značně temnější, než Wagner od oka odhadoval.
Toto pozorování potvrdil ostatně můj bývalý posluchač prof. Nový, jenž
o 3 hodiny později se mnou měřil, a ještě 13. září dospěl jsem za počasí
zcela jiného k témuž číslu. S tím shodovalo se ostatně i moje pozorování
15. srpna 1907.

Průhlednost vody měřil poprvé Dr. Wagner 5) 16. srpna 1896 na 35 m.
Já sám měřil jsem ji za slunečného dne 30. srpna 1906 v poledne několikrát
uprostřed jezera i nedaleko břehu, vždy na 4 — 4*20 m, ve 3 h odp. okolo
5 m. Jevil se tu tudíž během dne rozdíl dosti znatelný. Za dosti slunného
dne 13. září 1906 měřil jsem průhlednost zase 4 m. Při nové návštěvě
18. září 1907 ve 4 h odp. za počasí dosti slunečného měřena průhlednost
zase 5 m. Mohu říci, že průhlednost tato mne dosti překvapila, neboť
právě na jezeru Prášilském neočekával jsem podle vzhledu jezera prů¬
hlednost větší 4 m.

O chemii vody jezera Prášilského nebylo dosud sděleno ani slova,
lze však souditi, že není tu proti jiným jezerům šumavským něco vými-
nečného.

O živo čiš štvu jezer ním první poznámky nalézáme v líčení Hoch-
stetterově6) jenž praví: ,,Der See ist von den kostlichsten Forellen,
aber schon hier spuken die Seejungfergeschichten, die noch allgemeiner ver-
breitet sind an den beiden nórdlichsten Gebirgseen."

Pokud se jedná o pstruhy v jezeru Prášilském, byl by výrok Hoch-
stetterův vzácným svědectvím, ovšem neni-li tu mýlka a nevztahuj e-li
se poznámka Hochstetterova spíše na jezero Lakka (to jest mé mínění)
a nevznikla-li nějakou nepřesností deníku.

1) F. Hochstetter, Aus dem Bohmerwalde. Beilage zu Nr. 220 der
AUgem. Zeitung, 8. August 1855, p. 3515.

2) F. Hochstetter, Geognostische Studien aus dem Bohmerwalde.
Jahrbuch der k. k. Geol. Reichsanstalt VI. 1855, p. 26.

3) J. Wenzig u. J. Krejčí, Der Bóhmerwald Prag 1860, p. 42.

4) Bayberger F., Geographisch-geologische Studien aus dem Bóhmer-
walde. Gotha 1886, p. 36.

5) Wagner P., Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 51.

6) Hochstetter F., Aus dem Bóhmerwald. Beilage zu Nr. 220 der
Allg. Zeitung, 8. August 1855, p. 3515.

XVI.

2

18

Za svého pobytu na jezeru Prášilském a i pozdějších na něm ná¬
vštěv nepozoroval jsem zde jediného pstruha.

Podle sdělení pana revírníka Prantla nasadila tam lesní správa
asi r. 1908 nebo 1909 něco pstruhů, patrně však s nevalným výsledkem.
Novější pokus vedl snad k lepšímu výsledku, neboť při mé návštěvě
v létě 1914 sdělil mi revírník p. Kroh, že sé pstruzi v jezeře ujali
Pokus o zoologický výzkum učinil na jezeru Prášilském posud jedině
prof. Dr. A. F r i č s assistentem H. B. Hellichem v červnu 1871.1)
Provázel je sběratel komitétu pro přírodovědecký výzkum Čech J. Staska.
Ježto vor shotovený z čerstvého dřeva se potápěl a nesnesl plavce, použil
jej Frič tím způsobem, že zavlékl jej na místo, odkud vanul vítr, upevnil
na voru síť do hloubky asi 3 stop a Čekal na druhém břehu, až vítr tam vor
zanese. Výsledek toho sdělil Frič ve slovech: Přes vědčili j sme se, že uprostřed
jezera v hloubce 3 stop Holopedium gibberum se nevyskytuje. Velmi bo¬
hatá byla — jak Frič praví — ; kořist podél břehu. Zjištěny byly tu: Cyclops
serrulatus, C. coronatus, C. minutus, Diaptomus castor, Daphnia longispina,
D. quadrungula, Linceus truncatus, L. sphaercius, L. affinis, L. exiguus,
L. quadrangularis, L. leucocephalus, L. exiguus, L. lamellatus, Poly-
phemus oculus.

V tabellárním přehledu crustaceí žijících v jezerech šumavských
udává ovšem Frič pro Diaptomus castor značku negativní, patrně omylem.
Chtěje zjistiti, zdali se v jezeru nalézají pstruzi, učinil Frič pokus s dyna¬
mitovými patronami, jež zatížil kameny a nechal v hloubce vybuchnouti.
,, Detonace nebyla pro hloubku silná, vystoupily plyny v obvodu asi 10 sáhů
a po několika vteřinách zvířila se voda jako malý geysir, ale na hladině
neobjevila se žádná ryba“. Frič praví:,, Jsou tu dvě možnosti: bud v obvodu
tom bylo jenom málo ryb, jež prchly při šumění zapalovače, nebo usmrcené
ryby zůstaly ležeti na dně, jak prý bylo v novější době často pozorováno".
Mám za to, že jest zde, nebo byla docela dobře i třetí možnost, totiž ta,
že zde pstruhů vůbec nebylo. Fričův assistent Hellich 2) řadí jezero Prá-
šilské zvířenou ještě ku jezerům v okolí Eisensteinu. Hellich patrně pod¬
ceňuje hloubku jezera, neboť praví: ,,V jezeře štubenbašském a Laka, která
hloubku nepatrnou mají, nebyly žádné druhy jezerní vyloveny."

Hellich vypočítává tyto perloočky: Simocephalus espinosus, Cerio-
daphnia reticulata, Acroperus leucocephalus, Alonopsis elongata, Alona
Leydigii, Alona affinis, Pleuroxus excisus, Pleuroxus nanus, Pleuroxus
truncatus, Chydorus sphaericus, Polyphemus pediculus. Autor podotýká,
že barvy těchto perlooček jsou vesměs a zvláště u lynceidek temnější, než
druhy žijící v rybnících.

x) Frič A., Uber die Fauna der Bóhmerwaldseen. Sitzungsberichte der
k. bóhm. Ges. d. Wiss. Prag 1871, II., p. 6, 9 a 10.

*) H e 1 1 i c h B., Perloočky země české (Cladocera). Archiv pro přírodo¬
vědecké prozkoumání Čech. 3. díl, č. 4. Praha 1878, p. 120 a 121.

XVI.

Wagner1) soudil, že jezero činí týž mrtvý dojem jako jezero Čertovo.
Za mého pobytu v září 1910 zdržoval se na jezeře malý roháč, jehož pobyt
jistě nepodporoval pokus s násadou pstruhů, jejž lesní správa nedlouho
před tím učinila.

Hospodářsky má jezero P. pouze ten význam, že tvoří reservoir vody
pro plavení polenového dříví.

To děje se obyčejně asi po 8 dnů v měsíci květnu. Ráno se stavidlo
vytáhne a vypustí se nutné množství vody, totiž tolik, aby se voda v po¬
toku jezerním nevylévala na luka. Na noc se odtok zase zastaví. Někdy,
když v lesích jest ještě hojně sněhu a dny jsou již teplé, nebývá ani vody
jezerní třeba, neboť tu stačí na plavbu dřívi voda vzniklá táním sněhu;
jindy ovšem, když nastane v červnu sucho a na Vydře jest málo vody,
vypomůže se zase vodou jezera Prášilského. Podle toho, jak mnoho jest
sněhu v lese, a ovšem i podle množství srážek naplní se zase jezero za
2 až 4 týdny. Vyjímaje dobu, kdy se dříví plaví, udržuje se jezero zpra¬
vidla na vysokém stavu.

Jezero Prášilské náleží ku kníž. schwarzenberskému revíru v Prášilech
(panství Dlouhá ves).

Turisty jest méně vyhledáváno, než ostatní jezera na české straně;
po Malém Javorském snad nejméně ze všech šumavských. V první polo¬
vici září r. 1906 nespatřil jsem tu po celé dny jediného turisty a také
v ostatních měsících letních jsou návštěvy na jezeru daleko řidčí než
na ostatních.

i) WagnerP., Die Seen des Bóhmerwaldes. Leipzig 1897, p. 52.

V. ŠVAMBERA: JEZERO PRÁŠILSKÉ

TAB. I.

Pohled přes jezero Prášilské směrem ku stěně za nejnišží vody.

Fot. V. Švambera.

Rozpravy II. tř. České Akademie XXIII. (1914) čís. 16.

v. ŠVAMBERA: JEZERO PRÁŠILSKÉ

TAB. II,

Rozpravy II. tř. České Akademie XXIII. (1914) čís. 16,

Západní břeh jezera Prášilského za nejnižší vody od severu.
Fot. V. Švambera.

V. ŠVAMBERA: JEZERO PRÁŠILSKÉ

TAB. III

Odtok jezera Prášilského.

Fot. V. Švambera.

Rozpravy II. tr. České Akademie XXIII. (1914) čís. 16,

V. ŠVAMBERA : Jezero Prášilské

podle měření v září 1906.

Rozpravy H. třídy České Akademie,ročníkXMÍ1914),čís.16.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA ÍI.

ČÍSLO 17.

Některé potenční vlastnosti ploch 2. stupně.

Napsal

J. Sobotka.

Předloženo dne 27. února 1914.

1. Pojem potence má v geometrii kruhové a kulové důležitou úlohu.
Přenesení tohoto pojmu na kuželosečky a na plochy 2. stupně vzbuzuje
již z toho důvodu jistý zájem. Proveďme své úvahy ihned pro prostor,
neboť obdobné vztahy pro rovinu jsou v oněch obsaženy a možno je z nich
jednoduchým přechodem vyvoditi.

Při obecných souřadnicích rovnoběžných jest potence bodu k ploše
kulové dána výsledkem dosazení souřadnic bodu do levé strany rovnice
/ (x, y, z) = 0 plochy kulové, je-li tato rovnice psána v obvyklém tvaru,
kdy čtverce proměnných mají koeficient 1. Vzhledem k tomu zavedeme
jako potenci bodu ku ploše 2. stupně metrický vztah, který jest charakte-
risován polohou bodu ku ploše a tudíž jest nezávislý na soustavě souřadné,
ke které plochu vztahujeme, jehož pak analytické vyjádření souvisí co
•možno jednoduše s výsledkem substituce souřadnic bodu do levé strany
rovnice plochy předpokládané ve tvaru / (x, y, z) =0.

Úlohou naší bude vyhledati takovéto vztahy a vyvoditi obdobně
pojem potence roviny ku ploše 2. stupně, jakožipodati některé vlastnosti
těchto ploch, které s pojmy těmi souvisí. Budiž zde poukázáno na význačnou,
obsažnou práci J. Neuberga: ,,Théorie des indices des points, des droites
et des plans par rapport á une surface du second ordre“ uveřejněnou
v Nouvelles Annales de Mathématiques (1870), ve které rovněž vyvozen
jest pojem potence bodu ku ploše a pak pojem potence přímky resp. ro¬
viny na základě potencí dvou resp. tří bodů.

Východiska i výsledky úvahy Neubergovy jsou však většinou ji¬
ného druhu než v úvaze této. Pojem potence, který jest zde podáván,
jest v úzké souvislosti s problémem normál ploch 2. stupně, k němuž
veden jsem byl poznámkou v knize Salmon-Fiedler: Anály tische Geometrie
des Raumes, I. Teil (1898), str. XV. a jejíž obsah připisuje se M. H. Taylo-

Rozpravy: Roč. XXIII: Tř. II. Č. 17.

XVII.

1

rovi. Podal jsem některé z těchto vztahů příležitostně v jihoslovanské
Akademii věd v Záhřebu*) a uvádím je za příčinou souvislosti znovu,
abych připojil k nim další příslušné úvahy.

I.

2. Vztahujme nejprve plochu 2. stupně k tetraedrální soustavě
souřadné o základním tetraedru Ax A2A3A± a budiž

f (x) = £ ai k Xi xk =0 (1)

i

její rovnice; diskriminant této jest

A =

11

^12

a13

«14

'21

^22

&

ií

co

^24

31

^32

a:3

^34

'4 L

^42

^43

^44

kde aik = dki ; adjunkty členů am značíme Aik a polovinu parciální deri¬
vace funkce / (x) dle %i značíme /* (x).

Daný bod P měj souřadnice x{ \ pak jest

h h (*') + h t (*') + h h (*') + f« f i (*') = o

čili (2)

V /i (i) + /, (I) + *»' h (I) + V /« (I) = o

rovnice polární roviny L bodu P vzhledem ku ploše a tudíž jest

(I) = ai4 Šl “í- ^24 ^2 “i- ^34 £3 ^44 £4 ~ ^ (^)

rovnice polární roviny N bodu Aá.

Vedme přímku P A4 a budte L4, iV4 resp. P4 její průsečíky s rovinami
L, N, resp. Ax A2 A3. Souřadnice Xi libovolného bodu přímky A±P
možno psáti

X1 — l x-l', X2 = A x2> X3 = l x3, V4 = 1 + A x±.

Pro průsečík této přímky s rovinou

jest pak

ui xi + ^2 x2 + % x3 + u\ x\ — ^

_ _ _ — ^4 _

U1 X1 + U2 X2 + U3 X3 + Xl

takže jest pro bod L4

hW

fW)

*) Pro pamětní spis na počest jejího předsedy T. Smiciklasa, který měl
během t. r. vyjiti.

XVII.

3

pro

bod Na

'44

a pro bod P4 konečně

A =

/ 4 (*')

— 1

(5)

(6) .

Z rovnic (4), 5), (6) plyne

(APT AT ) t Í- i - ) (A p T p ) — **J± ÍT )

[Ai ť Li iVl) ~ «44 / (%o ’ ^ - TM”

(d4PlV4P4)

Z těchto rovnic plyne dále

(d4PP4lV4) (d4PlV4P4) =
(d4PL4P4) (d4PlV4P4) =

a44 *4

/«(*')

V A (*')

/(*')
^44 *4'2

/ (*0 *

Přicházíme odtud k rovnicím

/ (*') = V /. (*') (4i4P ív4 £«) M4PP4 wj
= «44 V2 (-4 4 P P4 (-44 P Pí Nt)

a dále k rovnicím

'2 4 ^4 ^4)

(i')

1 / f\ /o (-<4 4 ^ -^4 A/4)

/ (*') — a44 a;4 2 ; Á ^ ^

— $44 ^4

(^4PL4P4)2 ~44 4 (^PA^PJ2

(44PP4)2

(i)

(d4PP4) (d4PlV4)

3. Pól S4 roviny ^4X .d2 -43 má souřadnice ^14, ^24, ^434, ^444 a souřad
nice libovolného bodu přímky S4P možno psáti ve tvaru

x í — x 1 d- ^ A i 4 •

Pro průsečík přímky S4P s rovinou 2 m %i — 0 j est pak

^ Aj

2uiAii

Tudíž jest pro průsečík P4' přímky P S4 s rovinou L

/ (**')

l =

A%' '

ježto zde 2 Ui Au —21 fa (x') Au a 27 aik Au = 0 pokud k =j= 4, kdežto

2 ai4c A — ^4 .

Dále jest pro průsečík Q 4 přímky PS4 s rovinou ^4i^2^43

A =

A

44

XVII.

1*

4

takže

(P S, w Q,) = -ý^2- / (Xi')

a

/ (**') = 4r4-- (p s* L*' &) = -4r- p & L*') • (n)

/i 44 44

Obdobné výsledky obdržíme vzhled m k ostatním vrcholům souřad¬
ného tetraedru. Tím nenabýváme sice výrazů nezávislých na soustavě sou¬
řadné, ale přicházíme za to ke geometrickému významu substitučního
výsledku / {%'). Dále sezná váme, že / (x') jest kladné resp. záporné, mají-li
veličiny (A 4 P iV4 L4) , au znaménka stejná resp. nestejná. Obdobně
soudíme ze vzorce (II.) o znaménku hodnoty / {%').

4. Vzorce (I) pozbývají významu, je-li ^44 — 0, t. j. leží-li bod na
ploše. V tomto případě možno užiti obdobných vzorců pro jiný vrchol A{.
Jen tehdy, je-li tetraedr A1A2A8Aá ploše vepsán, není možno vzorců (I)
vůbec užiti. Možno však v tom případě obecně užiti rovnic (II), ježto
předpokládáme mlčky stále A- j= 0, tedy uvažuj emenedegenero vanou plochu
2. stupně. Výjimka nastává jen tehdy, jestliže jeden ze ětyřstranů
z hran tetraedru A1A2A3A4; utvořených náleží ploše, v kterémžto pří¬
padě možno rovnici plochy uvésti na tvar

/ (*) = .*•*.***- + 1=0. (7)

Zde vedeme daným bodem P (x/) příčku ke hranám A i A *, Ai Am
souřadného tetraedru a vyhledáme na ní bod L, ku P vzhledem ku
ploše sdružený, který jest tedy průsečíkem tří rovin:

di k Xk ti “k di k Xi tk ~i~ dl m tl T" di m %l tm — = 0

Xk ti %i tk == 0

Xm tl %l tm — 0,

takže pro jeho souřadnice plyne z těchto rovnic

ti : tk : ti : &

dl m dl m # di k &i k

Xk ’ Xi ’ Xn! ’ Xi

(8)

Přímka P L protínej hranu A i Ak v bodě Tik a hranu Ai A m v bodě
Tim. Souřadnice bodu Tím pišme ve tvaru x/ + |», souřadnice boduP**

ve tvaru %í + A2 ti, načež z (8) plyne

takže

- _ Xi Xk . _ Xi xn

ŽLj — - , ^2 —

dl nt dik

(P LTim Tik) — —

di k Xi Xk
dl m Xi Xm

XVII.

5

Ježto pak

(. PTlmLTik ) = 1 — [P L Ti mTik),

dostáváme konečně

/(*') - (PTim L Tik). (III)

5. Přejděme nyní k úvahám duálním. Budte uí , u2' , uí souřadnice
dané roviny P a budte A* stěny vrcholům A{ souřadného tetraedru proti¬
lehlé ; L budiž pol roviny P, JV* pol stěny A* vzhledem k uvažované ploše.
Rovnici plochy v rovinových souřadnicích možno psáti ve tvaru

F (u) = E AikUiUk = 0. (9)

Ptejme se pak po významu výrazu F (u'), který obdržíme, vložíme-li
do levé strany rovnice F (u) = 0 souřadnice dané roviny P.

Zde odpovídají rovnicím (I') duálně rovnice

F K) - < P4 («') (A4 P 2V4 L) (A4 P Aá iV4)

= Au u^ (A4 P A, L) (A4 P Aá Ní) (IV')

a rovnicím (I) rovnice

F (u') = A á4 u 4'2

(A4PAiV4)

(A4PU4)2

= Au uí2

(A4 P iV4 L)
(A4PiV4i4f

'2

(A4P^4)2

(A4 P Nt) (At P L)

(IV).

Polární rovina S4 bodu Aá má souřadnice au, a24, a3á) au a libovolná
rovina j doučí průsečnicí g rovin S4 a P má souřadnice u^ = uí + A au ;
prochází-li bodem E %íUí — 0, jest pro ni pak

^ _

E Xi Ui

Fj Xi Gii^

pro rovinu g L jest tedy

A =

F («')

A

a pro rovinu g A± jest

ní

^44

takže

(PS.LAJ =

^44 7;

A uí 2

a

A '2 A u '2

F («0 = (P S4 L A,) = (p4 s4 i Ai) t (V')

řř44 ^44

kde P4, S4 jsou průsečíky přímky A4 L s rovinami P a S4.

XVII.

6

Obecně jest tedy

F («') = AjííA (Pk sh L A„) . (V)

dkk

F (ď) jest tudíž kladné nebo záporné dle toho, zdali (A* P Ni L) a Ait
mají stejná nebo různá znaménka. Obdobně soudíme při užití rovnic (V').

6. Vzorce (IV) nebo vzorce odpovídající jim cyklickou záměnou vedou
k určitým hodnotám pro F (ď), pokud plocha není vepsána tetraedru
souřadnému, kdežto vzorce (V) dávají hodnotu pro i7 (u') kromě případu,
že plocha jest tetraedru tomu opsána, takže zbývá ještě případ, kdy plocha
jest tetraedru současně vepsána i opsána, čili kdy j eden z hran jeho utvořený
čtyřstran leží na ploše. V tomto případě možno rovnici plochy psáti
ve tvaru

F («) = —— +1=0. (10)

ClimUiUk

Vedme zde příčku pólem L dané roviny P (u/) ku přímkám Ai Ak,
Ai Am, která protínejž P, Ai Au, Ai Am v bodech P, Tik, Tim. Souřadnice
bodu L jsou zde

%l Cii k dyn , Xyn di k dl , %i dl wi dk , Xk dl yn di

a pro souřadnice x” bodu P obdržíme poměr

x" : %m' : Xi

: xk

1 # e — _1_ ,

d{ ' Um' ’ di ’ dk

Pro body Tik, Tim obdržíme, píšeme-li jejich souřadnice ve tvaru
%' + Aj x" , resp. x' + A2 x" , parametry

- dik dyn dl , A2 - dl yn di dk ,

takže

(L PTik Tím) =

di k dm dl
dl m di Uk

Ježto pak

(. LTikPTim. ) = 1 — (LPTikTim),

dostáváme konečně

F (ď) = (PTimLTik) (VI)

nebo, je-li h spojnice průsečíků hran Ai Am, Ai Ak s rovinou P a jsou-li H ť*,
H im, L roviny h Ai Ak, h Ai Am, resp. h L, jest též

F(ď) = (PRimLHik). (VI')

II.

7. Přejděme k obecným souřadnicím kartesiánským a zabývejme se
výrazem / (x'f y' , z'), který obržíme zavedením souřadnic x' , y', z' daného

XVII.

bodu do levé strany rovnice plochy f ( x y, z) — 0. Tuto rovnici pišme
ve tvaru

an x2 -f ^22 y2 + a33 z<2 + ^ «12 x y -f 2 a23 y z + 2 a31 z x

2 CL X -j- 2 ^24 y *T 2 č?34 £ -f- ^44 — t) (11)

analogicky k předcházejícímu označení, jež zde též v dalším užijeme.

Dále položme

qp (% y, z) = an x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2 a12 xy + 2 a23 y z + 2 a31zx. (11')

Volíme-li se zřetelem k dosavadním úvahám počátek souřadnic O
v bodě A 4 a body Av A2> Aa považujeme za úběžné body os x, y, z, pro-
tneme-li dále polární roviny bodů O, P ku ploše s přímkou O P v bodech N
a L, dávají rovnice (I) pro naše specielní předpoklady

/ {%/’ = (OPI)4(OPiV)' = (P 0N)(P°L)- (12)

Rovnice (II) dávají, značí-li La průsečík polární roviny bodu P se
spojnicí bodu P se středem 5 plochy,

/ (*', y', z') = ~ (P S L„) . (12')

^44

Je-li daná plocha plochou centrickou, jest vzorec (12') pro vlastní
plochy (nedegenerované) vždy platný, kdežto vzorec (12) jen tehdy, neleží-li
počátek O na ploše.

Jest tedy nej přirozenější definovati jako potenci bodu P k centrické
ploše 2. stupně dělicí poměr (P S La).

Je-li plocha paraboloidem, je-li ledy Au = 0, platí zde, pokud
počátek O na ploše neleží, vzorec (12), kdežto vzorcem (12') hodno 'a výrazu
/ [x'y y', z') není určena; musili bychom tu spojiti na př. pol S3 roviny x y
ku ploše s bodem P a spoj nici protíti s polární rovinou bodu P v bodě L3
a s rovinou xy v bodě Q3 ; pak bylo by

/(*', y', z') =-£— (S3PQ3Ls').

A33

Dvoj poměr, k němuž zde přicházíme, závisí však na soustavě sou¬
řadné. Proto užijeme zde jiného způsobu.

8. Vedme bodem P rovnoběžku k hlavní ose plochy. Souřadnice |, r\, %
libovolného jejího bodu možno vyjádřiti pomocí parametru g ve tvaru

S = X' + * ^14> V = y' + * ^24> ř = *' + * ^34- (13)

Stanovme nyní v konečnu ležící průsečík P0 této rovnoběžky s parabo¬
loidem. Příslušný parametr a plyne z rovnice

/ (*', /, ť) + 2 <7 [fx (x'} /, z ') Au + f2 (x'} y', z') A2á + f3 (x't /, z')

(f (^14> *^24> ^34) =

XVII.

8

Vzhledem ku Au = O jest zde qp (Alá, A2i, A 34) = O, a výraz v závorce
při <7 jest roven A. Plyne tudíž

— / (%', y', z')

2 A

a souřadnice bodu P0 nabývají hodnot

/ (*'. ý *0

i = *'

2 A

A„,

2 A

J “* - 2l - ^

34

(14)

Položíme-li P0 P = s a

# (V, Y, Z) = X2 + Y2 + Z2 + 2 V Y cos x y + 2 V Z cos y z

+ 2 Z X cos z x ,

pak jest, jak známo,

s2 — 0 (| — rj — y', £ — - z')

a vzhledem ke (14)

■«.. ř(x',y’,ť)

S — £ ^2 ^ VA14> ^24> 34/ >

následkem toho jest

f [x ,y , z) = ■ _ . — .

(^i4. A2i, A3í)

(15)

(16)

Délku LaP = 2s označme jako potenci bodu P vzhledem k para¬
boloidu. Vedme také počátkem O rovnoběžku k hlavní ose paraboloidu,
která nechť protíná jej v konečnu v bodě O0 a položme O0O = s0. Pak
plyne z (16), ježto pro bod O jest / (%', y' , z') = ’a44, vztah

V 0 (^414, A 24, y434)

takže konečně obdržíme

/ (*', y', z’) = au p (17)

60

čímž hodnota výrazu / (x't y', z') dána jest jednoznačně i co do znaménka.

Leží-li však bod O na paraboloidu, pak není možno užiti vzorce (17)
a musíme omeziti se na vzorec (16), načež nutno znaménko jmenovatele
správně stanovití. Zvolme za tím účelem bod D tak, že jeho souřadnice
jsou úměrný veličinám ^114, A24, ^434, tedy rovny ft^414, í*^424, ^^34, při
čemž ji volme kladně; pro tento bod jest, ježto a44 = 0,

/ (*', y', Z') = 2/iA,

při čemž vzhledem ku (16) jest

O D = [i V 0 (yl14, A2i) A 34) .

XVII.

9

Stanovme nyní, že O D, tedy směr od bodu O k bodu (p Au, fi A24,
fiA3á), má míti vždy totéž znaménko jako má A; pak jest

/ (*', y', z') = 2 | —

V O ( A

14. ^24> ^ 3l)

I ».

(18)

a / [%' , y', z') jest při positivním A kladné nebo záporné, dle toho, zdali
s = P0P a 0 D mají smysl souhlasný nebo nesouhlasný, kdežto při nega¬
tivním A jest naopak.

Dále plyne z (14)

x' — j __ ý — n __ Z' — Ě _ f (x'} y', z')

A 14 ^4 21 -^4 34 2 A

z kterýchžto rovnic můžeme rovněž seznati znaménko výrazu f (x't y' , z').
Vzorce (18) možno užiti také ve specielním případě

f (x, y, z) — axyAr^z\ (19)

plyne zde z něho

/ (*', y', z') = b (z' — z0) = b . P0P, (20)

značí-li z0 souřadnici z průsečíku P0 rovnoběžky ku z bodem P vedené,
což plyne přímo z toho, že a x' y' + b z0 = 0.

Ze (14) plyne též

«14 (*' — I) + «24 (y' — v) + «34 (*' — S) = Y / (*'. y'. *')•

Protíná-li P P0 polární rovinu ^ (a;, y, z) = a14 x + a24 y + aM z + 044
počátku O v bodě R, jest

(PP0R) =

x (*', y'. *')

Z (x',y',z')— — / (*', y', «')

= 0

takže

/(*', y', z') = 2(P0RP)x(x', y', z'),

kterýžto vztah platí i pro <z44 = 0.

9. Můžeme si získá ti též jinou cestou interpretaci hodnoty / (x', y', z')
značí-li f (x, y, z) = 0 zkratku zavedenou pro rovnci (11). Za účelem tím
uvedme plochu / (#, y, 2) = 0 v souvislost s plochou kulovou, která má
bod P (x'f y', z') za střed a jejíž rovnice tudíž jest

x2 + y2 + + 2 # y oi12 + 2 y 2: co23 -j- 2 z x co31 — 2 x (x' y' fói2 +

z' ^13) — ^ y (a/ gi2i + yr + 2r ^>23) — 2 (a;' g?31 -f- y ' C932 + 2;') -j- a;'2 -j-

y'2 + z'2 + 2 xf y' co12 + 2 y' z co23 + 2 z' x' g>31 — q2 — 0, (21)

kde q značí poloměr koule a kde cd12 = a21 = cos x y, ta23 = g>32 = cos y z ,

CO3I = (013 = COS Z X.

Položme

x'2 y' 2 ^'2 _|_ 2 y' w12 -(- 2 y' 2' o?23 -f- 2 z' x' oi31 = 9 (a;', y', 2:')

XVIT.

10

a označme 0 (x, y, z) levou stranu rovnice (21) bez posledního členu, takže
rovnici (21) možno zkráceně psáti

0 (%, y, z) — (j2 = 0.

Konečně zavedme obvyklé zkratky

W (u, v, w) = —

1

®12

«13

u

0J21

1

^23

v

°hl

C032

1

w

U

V

W

0

1

®12

í013

«n

0512

®13

Sl =

®21

1

«23

C02i

C022

W23

W31

W32

1

®31

C032

^33

(22)

a označme Slik adjunkty příslušné ku coik v determinantu Sl, při čemž
coa = 1.

Vzhledem k těmto označením jest

— q2 0 [u, v, w) + {%' u + y' v + z' w + l)2 Sl = 0 (23)

rovnicí plochy kulové (21) v souřadnicích rovinových ; ve tvaru rozvedeném
jest tedy

Q2 (' U 2 &n -f &22 + w2 tys + 2 u v Sl12 + 2 v w Sl23 + 2 w u Sl31 —

— (%' u + y' v + z' w -f l)2 Sl — 0

čili

(e2 ^11 — *'2) n2 + (p2 Sl22 — y'2) v2 + (p2 Sl33 — z'2) w2 + 2 (p2 &12 —

— ■ x' y' Sl) u v + 2 (( j 2 Sl23 — y' z' Sl) v w + 2 (p2 &31 — • z' x' Sl) w u —

2 %' Sl u — 2 y' Sl v — 2 z' Sl w — Sl = 0.

Zvolme plochu kulovou tak, aby dané ploše 2. stupně byla harmo¬
nicky vepsána, aby tedy byla vepsána v nekonečně mnoho polárních
tetraedrú plochy 2. stupně a naopak aby nekonečně mnoho z jejích polár¬
ních tetraedrů bylo ploše 2. stupně vepsáno. Analytická podmínka pro
to jest

^11 ((*2 *^11 % 2 ty “1“ ^22 í^2 *^22 y 2 ty 4" a33 ( Q 2 ^33 % 2 ty 4~

+ 2 a12 (p2 ty2—x' y' Sl) + 2 a23 (p Sl23—y' z' ty + 2 a31 (p2 Sl31 —

— z' x' Sl) — 2 (au x' -f aM y' + aM z ') Sl —
ježto, jak známo, tato podmínka pro plochy

jEj Cti k %i %k ~~ 0 , Bi k Mi Mk 0

jest obecně vyjádřena rovnicí

2J etik Bik = 0

Z rovnice (24) pyne

/ (#', y\ z') . Sl

au Sl = 0,

(24)

(24')

Q2 =

hl *^11 4” ^22 *^22 4- ^33 *^33 4“ 2 í?12 Sl^2

2 a13 Sll3 + 2 a23 Sl23

XVII.

11

Položme

D = $n *&n + $22 *^22 + ^33 *^33 2 $12 ^12 + 2 $13 &13 + 2 íř23 &23>

načež jest

f[x\ y', z') =

D_

Sl

(25)

10. Uveďme poslední vzorec v souvislost s problémem normál plochy
2. stupně.

Uvažujme nejprve centrickou plochu, kterou vztahujme k jejím
hlavním osám jako osám souřadným. Pak možno její rovnici psáti

■v2 A ;2 r/2

G(*. y. ^)=^ + ^r+^-l = 0

(26)

volíme-li za a, b, c libovolné hodnoty reálné nebo ryze imaginárně.

Souřadnice x, y, z pat normál z bodu P o souřadnicích X, Y, Z splňují
rovnice

x — X y — Y z — Z

takže

% —

x — X =

a2X
a2 + A '

-IX

y_ _

b2

y =

= — K

, y ■ — Y =

b2 Y
b2 + A '

A Y

z —

c2Z

(27)

(28)

7 ~XZ

, z — Z = -

$2 -j~ A w * &2 + A ' ~ c2 + A

Pro délku n normály od paty k východisku P máme tedy výraz
X2 . Y2 . Z2

n2 = A2

+

($2 + A)2 1 [b2 + A)2 1 ( c 2 + A)2

kdežto pro vzdálenost p středu plochy od tečné roviny

1 = 0

]■

(29)

X£YV

.9. I 1 I TO 1 *1 ”T"

b2 + A 1 c2 + A

paty (x, y, z) platí výraz
p2 =

X2

+ -»

Y2

Z2

($2 + A)2 1 (b2 + A)2 ( c 2 + A)

takže

(30')

p2 n2 = A2.

Beřme p a n kladně ve směru od středu k tečné rovině, takže mů¬
žeme v souhlase s (27) psáti

p n = A. (30)

XVII.

12

Dosadíme-li hodnoty (28) souřadnic paty (. x , y, z) do rovnice plochy,
přicházíme k rovnici

[(. a 2 +A) [b2 + X) {c2 + A)]2 — a 2 X2 [(b2 + A) {c2 + A)]2
— b2 Y2 [( c 2 + A) {a2 + A)]2 — c2 Z2 [( a 2 + A) ( b 2 +A)]2 = 0,

která jest v A stupně 6. a vede jak známo k šesti normálám z bodu P na
plochu spuštěným. Z této rovnice plyne

K + A2 + . . . + A6 - — 2 (a2 + b2 + c2) (31)

X1 A2 . . . A6 = H = cfi ¥ c4 (l —

X2 Y2

2 b2

Z 2

Má tudíž součet X pi pro všecky body P prostoru touž konstantní

i

hodnotu.

A dále jest

(32)

H = —a*bU*G(X, Y, Z),
jak seznal H. M. Taylor.

11. Užijme vzorce (25) pro případ naší specielní soustavy souřadné.

3

Zde jest Sl = &Ti = 1, kdežto S2ik =0, pro i =$= k, a D nabývá hodnoty ,
klademe-li

_i=J_ + J_ + J_

q 2 a2 b2 c2 }

čímž obdržíme

3 Q2

z kteréžto rovnice plyne

Q 2 =

G (X, Y, Z) —

2

H

á 2 b2 c2 ( a 2 b2 + b2 c2 + c 2 a2)

(33)

(33')

Vložíme-li právě získanou hodnotu pro q do rovnice (25), máme
konečně

D H

f {%', y't z) = — a a2 ^2 J2 + fe2 c2 + C2 •

Mohli bychom tedy P resp. i/: a2 52 c2 (a2 b2 + b2 c2 + c 2 a2) rovněž
zavěsti jako potenci bodu P k naší centrické ploše; dřívější její definice
jest však jednodušší. Dále obdržíme

/(*', /, *') _ q2D

G (X, Y, Z) 3 &

(34')

12. Zavedme ještě následující obvyklá označení.
Budiž

B = dlt =

^11 ^12 ^13
^21 ^22 ^23
^31 ^32 ^33

XVII.

13

a Bik budiž adjunkt příslušný prvku a konečně kladme

C = Bn + B22 + B33 + 2 B12 co12 + B22 o923 -f 2 B3l ra31.

Vztahuj eme-li danou plochu ke třem sdruženým průměrům jako
osám souřadným, jest

«u' *2 + «22' y2 + *33' *2 + = °

její rovnice. Při tom jest

&

#11 -j~ Ci22 -j“ ^33 — o * ^11 ^22 H~ ^22 ^33 ^33 ^11 — r»

C_

&

Ul m,22 ^33

5_

&

Pro poloosy a, b, c plyne odtud

2 A i& A 2

a = — -£rr-r . &2 = - > c =

5 a

11

B a

22

Jest tudíž

A C

a2 + b2 + c2 = - T)9 - , a2 b2 + b2 c 2 + c2 a2 —

B íř33

A2 D

B2
a 2 62 c2 =

£3

,43&

£4

a z (33') plyne

dále z (34) máme

B1 H

t / f / /\ £7 #

/ (*', /, * ) = -J5

45£-

při čemž vzhledem ku (34')

/ (ť, /. z')

H =

= —gr f « y', *0

g (x, y, z)

A_

B

kdežto (31) a (36) dává

6 a r

Znipi = 2^—.

Porovnáme-li (37') s (12'), obdržíme

/(*'. /, z') = A (P S I.) =

takže pro íř nabýváme výrazu

^46 &2

# = -- (P S L.)

(35)

(36')

(36)

(37)

(37')

(38)

(37")

XVII.

14

13. Naše vzorce vedou však také k významu výrazu / (x', y', z')
danému rovnicí (12').

Značí-li opět S střed plochy, položme S P = d, a svírá-li S P s klad¬
nými směry os úhly a, (i, y, plyne z (33)

Q

2

/ X2
\ a 2

Y2
b 2

a ježto

X — d cos a, Y = d cos (5, Z = d cos y,

obdržíme vztah

2 _ _?1 f cos2o; COČJ3 cos? y_ \ 1

Q 3 L V a2 + b* + c2 ) XJ '

(33')

Položme nyní S L — l, při ěemž L opět značí bod přímky 5 P sdru¬
žený ku P vzhledem ku ploše, a budiž ax délka (reálná nebo imaginárná)
plošného poloměru ležícího na S P , takže j eho koncový bod má souřadnice
ax cos a, ax cos /3, cos y.

Zavedme tyto souřadnice do rovnice plochy, čímž obdržíme pro ax

výraz

1 O O /I o

cos 2 y

a,2 a 2 1 b 2

+

vzhledem k němuž a ke vztahu l d = a^2 obdržíme z (33')

,2 _

1 =

^1=-|-(P5L). (39)

Ježto vzhledem ke vzorcům (36) jest

— + u H — —

_1_

62

ít o* c

plyne z posledního výrazu pro q2, že

^ a

2 _

4 4 D

(P S L)

odkud následkem vzorce (25) obdržíme

BD

A &

(39')

/ (*', /, z')

Z (39) plyne rovnice

X(PSL)= A

44

A,

íř-.-o.

(40)

která umožňuje konstrukci p pro každý bod P v prostoru. Vytkneme totiž
v libovolné rovině přímkou 5 P kuželosečku, která má v bodě 5 střed
a v přímce S P osu a jejímiž vrcholy jsou průsečíky přímky S P s plochou,
kdežto druhé dva vrcholy leží na ploše kulové opsané kolem středu S

XVII.

15

poloměrem y - ; p jest pak její polotetivou ku 5 P kolmou a bodem P

jdoucí; snadno získáme též q dle (39) z poměru (P S L).

14. Vzorce (39) uvedeme snadno v souhlas se vzorcem, který odvodil
Neuberg (viz str. 319 u. m.). Tam jest východiskem známá věta Newto¬
nova, které použito v té formě, že vedeme-li pevným bodem P sečnu
plochy o koncových bodech M, M' a sestroj íme-li průměr k ní rovno-

P M .P M'

běžný, jehož délka jest 2 af() jest výraz - g - nezávislý na směru

sečny. Tento výraz nazývá Neuberg indexem bodu P (x, y, z) a značí
jej Ix. Vedeme-li sečnu SP, jest dle toho

P M .P M' _ (— d + ax) (— d — a±) _ d2 — a2

h =

CLyr

tedy se zřetelem k (40)
L =

44

/(*'. y. o = (spl),

jak Neuberg skutečně dostává, kterýžto vztah podal bez důkazu již před
tím Faure, jak Neuberg sám poznamenává.

15. Má-li pro různé body prostoru býti / (x', y' , z') konstantním, musí

^2 _ a 2 , ^2

- -g-F- míti konstantní hodnotu x ; musí proto býti — g- = 1 + 71 > tedy

rovněž konstantní, a bod P popisuje plochu s danou plochou soustřed¬
nou a homothetickou, která v niká z dané použitím modulu

í

A — A4i f {%', y', z')
Pro parabolo dy platí nejprve vzorec (25)

f(x', y', z') =

při čemž opět určíme q2 z rovnice redukované na roviny hlavní a tečnou
rovinu ve vrcholu:

G (x, y, z) = — 2 x + X- + = 0.

m n

Položme zde

(41)

kde q značí vzdálenost bodu harmonického k vrcholu dle ohnisek hlavních
řezů paraboloidu od vrcholu samého, pak jest pro libovolný bod P (. X , Y, Z),
analogicky ke vzorcům (25) a (33),

G (X, Y, Z) = - y2 .

7

XVII.

16

Vedme bodem P rovnoběžku ku ose paraboloidu, která nechť protíná
jej v konečnu v bodě P0 o souřadnicích x, Y, Z.

Ježto tedy

n

plyne odečtením od rovnice

Y2

— 2X + —
m

Z 2

— ~2

(ř = q (% — X).

Proto jest, klademe-li jako dříve X — x = P0P = s,

> ^ _ _ vja

f (*', ý, z') =

Sl

G {X, Y, Z) = — 2 s.

(42)

a

/ (A, y', *') = G (X, Y, Z) (42'),

Neleží-li počátek O na ploše a položíme-li, jako dříve, O0O = s0,
dává první vzorec (42)

_ D qs0

^44 — £2 *

a tudíž

/ (*', y', «') = au -T ,

čímž docházíme opět ke vzorci (17).

Můžeme tedy pro libovolný bod P poloměr q považovati za pořadnici
bodem P v parabole, která má za osu rovnoběžku bodem P k ose
paraboloidu vedenou, její v konečnu ležící průsečík s paraboloidem za

vrchol a -í za parametr, při Čemž pořadnice jest měřena kolmo k ose

paraboly a kladný směr osy paraboly j est dán úsečkou P0 P, j e-li q kladné
a úsečkou PP0, je-li q záporné.

Dále vidíme, že posuneme-li paraboloid libovolně ve směru jeho
osy, jeho body mají vzhledem k poloze původní stejné potence.

16. Uvedme také naše výsledky pro paraboloid v souvislost s pro¬
blémem normál. Rovnice normály k paraboloidu

2 2

G (x, y, z) = — 2 x — - — =0 (43)

v J ' m n

v jeho bodě (x, y, z) jsou

-[X-x)=^r{Y-y) = ^(Z-z)=Z.

XVII.

17

Pro normály jdoucí daným bodem P ( X , Y, Z) jsou tedy paty vy¬
jádřeny rovnicemi

čili

^ , m Y n Z

x = X k, y = - - , z = - - .

m + a n -f A

y , y -r - Y A - i? A

x — X = X,y—Y = - - , z — Z — - — r

m - {-A n -f- A

Pro délku l normály cd paty k vý hodisku P plyne odtud
[: ■ Y2

p = i +

+

z2

],

(m + A)2 (n + A)2
Tečná rovina v patě normály (x, y, z) jest dána rovnicí

- f + -~T +

— X — A - 0

(44)

(44')

(45)

(46)

m -f- A n + A

pro vzdálenost její p od bodu R ( — X, O, 0) obdržíme se zřetelem na (45)

7 2

P2 =

i + ~

Y2

+

Z2

/2 '

(47).

(m + 4)2 1 (n + A)2

Jest tudíž p 2 1 2 = A4, tedy

a = vp~i

Pro reálné normály jest A reálné a />, / nutno bráti se souhlasným
znaménkem; z (44') soudíme, že A jest kladné, je-li x — X kladné. To s u-
hlasí s naším předpokladem o orientaci délky /. Neboť kolmice bodem R
k rovině (46) má rovnice

š + x _ n(tn + A) __ ř(n+,) __

— 1 “ Y Z

při čemž pro průsečík této kolmice s řečenou rovinou jest

g= i+ y2 rj _ g_:

^ (m + ;.)2 T n+ iy

tudíž jest 6 kladné, je-li A kl dné, takže vzhledem ku (44') jest (£ + X)
kladné, je-li X — x) kladné. Béřeme-li tedy na právě uvažované kolmici
jakož i na normále plochy, jejíž délku měříme od paty k východisku, směr
cd bodu R k rov ně (46) za kladný, vidíme, že p a l jsou současně s A kladné
nebo záporné.

17. Dosadíme-li souřadnice z (44) do rovnice (41) paraboloidu, plyne

— 2 [X + A) +

m Y2
(m + A)2

n Z2
(n + A)2

= o,

o

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 17.

XVII

13

kterážto rovnice jest v A stupně 5. a vede k patám normál bodem P (. X , Y, Z)
ku ploše vedeným.

Pro kořeny této rovnice platí vztahy

;1 + V-f • • + ;5 = — 2 {X + 2 m + 2 n), (48)

Y2 Z2

/ 1 A2 . . A5 = w2 w2 ( — 2Z +

w

)

(49)

První z těchto rovnic pr ví, že součet 2J Yui pi pro všecky body,

i

které leží v téže rovině kolmé k ose paraboloidu, má konstantní hodnotu.
Při tom jest nutno bráti Ykpi s tím znaménkem, které přísluší rozdílu
X — - %i, kíe %i náleží patě příslušné normály, tedy se znaménkem ne¬
souhlasným k A.

Druhá rovnice dává se zřetelem na právě zmíněnou okolnost ve
příčině znaménka V lt p{ ,

H = Wj^. l2 p2 . . . l5p5 = — m2n2 G (X, Y, Z). (49')

Jest tudíž obecně pro libovolné rovnoběžné souřadnice dle (42')

D qH DH

2 Sl m2 n2

H

Sl mn [m + n)

(50)

(50')

Zavedeme-li opět invarianty rovnice paraboloidu ,

uí

jako při centrických plochách, dostáváme právě tak jako tam

/ , y', z') =

a dle (42) jest

qs =

. — , H = 2 m2 n2 s.

m n (m + n)

a tedy

m n

A -<i D v A

~c?r’m + n = -c r

2

£L

I)

(50")

(50"')

takže můžeme ve vzorcích (50), (50') výrazy m n, m + n, q nahraditi
právě vyvozenými výrazy ze součinitelů rovnice.

18. Zvláštního povšimnutí zasluhují rovnostranné plochy 2. stupně.
Plocha centrická takového druhu jest budto jednoplochý nebo dvoj plochý
hyperboloid ; pro ni platí podmínka

o2

b2 + c2 °

a obecně, je-li plocha vztažena k libovolné soustavě souřadnic rovno¬
běžných, podmínka D = 0, takže pak z (25) plyne, že q2 =co. Tato pod¬
mínka praví dle (24') nejprve, že asymptotickému kuželi plochy může

XVII.

býti vepsáno nekonečně mnoho pravoúhlých trojhranů, že kužel ten jest
tedy rovnostranným. Zde přechází harmonicky vepsaná plocha kulová
v kružnici kulovou v nekonečnu, které musí býti tedy nekonečně vzdálená
kuželosečka plochy harmonicky opsána. Určitá hodnota pro / (xř, y' , z')
dána jest rovnicí (12').

Rovnice (33)

C[X, Y. 2,_(-L + _L + i)„-

praví, že středy všech koulí vepsaných ploše a majících stejný poloměr
leží na ploše F, k dané ploše soustředné a podobně položené; blíží-li se

-Jg- + -^g - + -^g- = ó2 k nule, blíží se pro určité q výraz G (X, Y, Z) rovněž

k nule, tedy středy ploch kulových blíží se k dané ploše, neboť Čtverce
poloos plochy F mají hodnoty

a2 (1 + d2 v2) , b2 (1 + d2 Q2) , c2{ 1 + d2 p2) .

Jest tudíž každá plocha kulová, která má střed na rovnostranném
hyperboloidu, ploše té harmonicky vepsána. Z toho plyne věta, dokázaná
zde zatím pro plochy centrické:

Výšky všech orthocentrických tetr cedrů , které možno rovnostranné ploše
2. stupně vepsati, protínají se v bode této plochy.

Specialisuj eme-li tuto větu na rovinu, obdržíme známou větu, že prů¬
sečíky výšek trojúhelníků vepsaných rovnostranné hyperbole, leží na této
hyperbole.

Pro rovnostranný paraboloid jest — — j- — == 0, tedy m + n — 0;

m n

může to býti tudíž pouze paraboloid hyperbolický a okolnost, že pro bod
na ploše neležící jest q = oo , praví, že jeho řídící roviny jsou navzájem
kolmé a že j est nekonečně mnoho navzáj em kolmých troj in površek plochy ;
jedna přímka takovéto trojiny jest vždy jedna nebo druhá vrcholová
přímka paraboloidu.

Věta právě odvozená pro centrické plochy rovnostranné platí také
pro rovnostranné paraboloidy, jak obdobným postupem možno dokázati.

III.

19. Aplikuj me nyní vzorce (IV') a další pro případ obecné kartesiovy
soustavy souřadné. Zvolme opět A4 jako nekonečně vzdálenou rovinu
a označme S střed plochy, L pól dané roviny P («', v', w'), P průsečík
roviny P s přímkou L S, H průsečík roviny té s O S a K průsečík s OL,
při čemž tedy P, K, H leží na přímce.

XVII.

2*

20

Víme dá1^, že plochu

#n x2 -j- . . . -f- 2 #12 v y + . . • + • 2 #14 v T~ • • • “h ^44 — - 0
lze v souřadnicích rovinových vyjádřiti rovnicí

F (u, v, w) = An u2 + A22 v2 + A 33 w2 Ar 2 A12 u v + 2 ^423 v w -f
2 ^43i ^ ^ + 2^14'# + 2 M24 ^ + 2 /134 zč> + ^444 = 0 ,

a že obecné naše vzorce převedeme na naše specielní souřadnice, klademe-li
uí = u, u2 = v, u3 = w, = 1.

Tak dostáváme z (IV')

F («', v', w') — F, (u', v', w') ( L S P) (S O H) = A 44 (L OK) (S O H). (51')

Z (XV) dále plyne
F [n' , v' w'

A JčMF A iklP

44 (OLKf 44 (O S H 2

[51)

kteréžto vzorce užitím věty Menelaovy, že totiž

(O LK) (LSP) (S OH) = 1

v sebe přecházejí.

Můžeme nyní (S LP) zavěsti jako potenci roviny P ku ploše, ježto
A

závisí na volbě soustavy souřadné. Zavedeme však raději jiný

výraz, na (S LP) závislý, za potenci tu, k němuž ihned dospějeme.

Pro plochu kulovou jest specielně

— q2 [uy v, w) + LI (« u + P v -j- y w + l)2 = 0, (23)

jsou-li «, /?, y souřadnice jejího středu.

Značí-li d vzdálenost počátku O od roviny Pad vzdálenost středu 5
plochy kulové od této roviny, jest

(LOK) ==* LP : o

a vzhledem k (51) jest

C p T P 2 O

F K, ť, w') = a . S P . L P

L P o2 o 2

= ~SP(LS + SP) = §-(*-?■

Jinak jest

_ (a u' + li v' + y w' + l)2 íi Si

V («', y', ze*') ’ 0 ~ -qs (U’} v>t -

takže skutečně obdržíme
(> _

^ (^ — ^>2) = (« «' + p V + y wf + l)2 LI— ^ 2 ^ « v', w') =

= i7 («', z/, ze;').

XVII.

21

Vidíme z toho, že výraz F (u', v', w') vzhledem ku ploše kulové
není již nezávislým na volbě soustavy souřadné.

Za potenci roviny u' x .+ v' y+ ze>' 2 + 1 = 0 ku ploše kulové
F (u, v, w) = 0 zavedeme výraz

Ft

F [u' , v', w')

F « v'> = ď2 — o2

<F(u\ v ', w') *

= dl,

je-li LP = 1.

Obdobně můžeme pro centrickou plochu 2. stupně zavěsti za potenci
roviny součin d . I, kde d značí vzdálenost středu 5 plochy a l vzdálenost
pólu L dané roviny P od této roviny.

Především jest

d .1 — l2 (S L P).

Je-li pak o vzdálenost bodu O od P, dává (51) hodnotu potence

n = d .i = i2

(| 0 L Kf

F [ur , v', w') —

F (u'f v', w')

44

44

FIF u' , v', w')
Au lF [ur , v' , w')

takže

Z7 / , / ^44 w (u'> v'> Wf) n

F (u , v', w ) = - - n - - LI

(53)

Z toho soudíme, že potence roviny k centrické ploše 2. stupně jest
rovna potenci této roviny k soustředné ploše kulové, jejíž poloměr jest
dán výrazem

(j2 = d (d — l) .

20. Sestroj íme-li tedy ku ploše 2. stupně a k soustředné s ní ploše
kulové společnou rovinu tečnou, má každá rovina k této rovnoběžná touž
potenci k oběma plochám, ježto pro obě plochy má poměr l : d touž
hodnotu s a ježto TI = d2 s.

Ptejme se nyní po geometrickém místě rovin, které mají vzhledem
k centrické ploše 2. stupně stejnou potenci. Vztahujme plochu k jejím
hlavním osám, takže její rovnice jest

H («, v, w) = a2 u2 + b2 v2 + c2 w2 — 1 = 0. (54)

Vyjděme od roviny

U' x + V' y + W' z + 1 = 0 (55)

a sestrojme k ní rovnoběžnou tečnou rovinu plochy. Její rovnice bude
U' x + V' y + W' z + a = 0, (56)

její souřadnice budte u, v, w.

Jest tedy

U' = o u, V' = g v, W' = aw. (57)

XVII.

22

Vzdálenosti d, q počátku O od rovin (55), resp. (56) jsou dány vztahy

v2 1 a s2

1 jj'2 + V'2 + W'2 ’ ^ U'2 + V'2 + W'2 ’

takže potence 77 roviny (55) vzhledem ku ploše má hodnotu

n = °2 = ~jj'2 + V'2 -f W'2 ■

Souřadnice u, v, w splňují rovnici (54) ; jest tudíž se zřetelem na (57)

<72 = a2 JJ'2 _J_ b2 y* 2 + q2 W'2

Dosadme tuto hodnotu pro n2 do rovnice (58), obdržíme

(a2 U'2 + b2 V'2 + c2 W'2 — 1) + 77 (U'2 + V'2 + W'2) = 0, (59)

kterážto rovnice charakterisuj e soustavu ploch koní okálních s danou naší
plochou 2. stupně.

21. Získané výsledky není možno pFmo přenésti na paraboloidy, neboť
pro tyto jest A44 = 0. Proto upravme tyto výsledky tak, aby skýtaly
také pro paraboloidy příslušné vzorce.

Přenesme nejprve vzorec (V) na rovnoběžné souřadnice. Protíná-li
opět přímka O L rovinu P v bodě K, polární rovinu O bodu O v bodě Q,
dává naše úprava vztah

F («', v', w') = — (O LQK) . (PO)

íř44

Body O, L sestrojme rovnoběžné roviny G, H k rovině O. Značí-li Uoo
nekonečně vzdálenou rovinu, jest

(O L Q) =sý(G H O Uoo).

Protněme přímku O S s P resp. O v bodech H resp. G. Nekonečně vzdálená
přímka r roviny O jest polárou přímky O S vzhledem ku ploše a póly
rovin G, H, O, U m jsou tudíž na O 5 a jsou to body G, H, O, S. Jest
tudíž

[O LQ) — [G H O S) = (S O H G) = (H G S O).

Tím přechází (60) ve výraz

F («', v', w') = — (L O K) (H G S O) , (61)

d44

kterého možno také užiti jen tehdy, neleží-li O na ploše. Vztah ten však í
snadno lze přenést na paraboloidy.

Průsečíky H, P přímek OS, L S s rovinou P jsou zde průsečíky
rovnoběžek body O resp. L vedených k ose paraboloidu a jejich spojnice
jde průsečíkem K přímky OL s rovinou P. Ježto zde jest S v nekonečnu,
nabývá poslední rovnice tvaru

F{u>, v’, w') = 4- (LO K) (G H O) = A- • • (62)

a 44 a44 n

XVII.

Souřadnice bodu G možno psáti ve tvaru

^ ^14> ^ ^ 24’ ** ^34’

kde o obdržíme, dosadíme-li tyto hodnoty souřadnic do rovnice

$14 % ^24 V ^ 3 ^ ^44 ~

čímž dostáváme

takže bod G má souřadnice

UU A ^44 A ^44 a

^14’ ^ " /124> ^ ^34 >

načež

OG=^0(A14, a 4, ^34.

Rovnice (62) dává pak

F («', v' , w') =

LP

0~H2

14’

^24’ ^34)

(63)

(64)

Pro rovinu O jest u0 ==

14

Vn =

w0 = — a tidíž, jak i

^44

z (62) plyne

77 / \ ^ (^-14’ A 24, ^34)

F («0, % wj = — = - čG -

Béřeme-li O G vždy kladně, nutno bráti V 0 (A14, A24, A34) kladně
nebo záporně dle toho, mají-li A, $44 znaménka stejná nebo různá.
Obdobným postupem obdržíme

V 0 (A14, A 24 , A34)

F4 (#', v', w')

Splyne-li rovina («', v', w') s O, jest ií = G a ježto F4 (u0, v0, w0) = - ,

au

vidíme z toho, že odmocnina ve výraze pro O H má totéž znamení jako
v (63). Proto obdržíme z (64) rovnici

F («', w') = j-^F4(u',v', w') = -

14’ ^ 4’ ^34

— F42( u', v', w'), (05)

která platí i v případě, že paraboloid prochází počátkem O.

22. Abychom mohli v (64) rozhodnouti o znaménku odmocniny
tehdy, leží-li bod O na ploše, sestrojme rovinu O, rovnoběžnou k tečné
rovině bodu O,

$14 X -f“ $24 V 4~ ^34 ^ -j- Z — 0

jejíž souřadnice u, v, w budou tedy

^24

z

XVII.

24

Jest pak, píšeme-li H místo H, ježto #44 = 0,

F (u, v, w) = ~4- , P = H, LP = 2 0 H

a rovnice (64) dává

0 H

v O (A14, A2í, Am) =A.——.

Protíná-li rovina O osy souřadné v bodech X, Y , Z a klademe-li
O X — x, O Y — ý, 0 Z = z, plyne z rovnice této roviny, že

z z z

^14 ^24 ^34

tudíž jest

V® (Au, A24, Am)

A

a 14

9JL.

^24 ý ^34

Můžeme tedy konečně místo (64) psáti rovnice

F (u', v'y w')

LP

OH

A LP_
^24 ý ’ O i?

_A_

« 4^

. (04')

Z

LP

OŘ

,(64")

které mají vždy význam, ježto a14, a2i, aM nemohou býti současně rovny
nule.

23. Vztahuj eme-li paraboloid k jeho hlavním rovinám a tečné ro¬
vině vrcholové jako rovinám souřadným, možno jeho rovnici psáti

R (U, V , W) = — 2 U - m V2 + n W2 = 0.

Má-li rovina P souřadnice U' , V' , W' , jest P4 (LP, V', W') = — U'
tudíž vzhledem k (65), jakož i (64)

J P TI' T P -

R (U' V', W) = - = J-- V® {Au, A2, A3í)

\ ) ^ Q H \ 14’ 2 > 34/

a ežto nyní U' = - w yr > íest zde

U LL

R (U't V', W')

LP

OH 2

(66)

tedy

y O (Alá, A 24, A g4) — + 1.

Konečně jest pak

LP — -jjTz R (U\ V', W') .

24. Kdybychom označili nezávislou na soustavě souřadné délku LP
jako potenci roviny P, měly by tečné roviny paraboloidu, který vzniká

rovnoběžným posunutím daného o délku Ř- L P, touž potenci vzhledem

XVII.

25

k danému paraboloidu. Zavedeme však v dalším jinou délku jako potenci
roviny.

Vypočtěme úhel co, který tvoří rovina P s osou paraboloidu. Jest
dle známých vzorců

P sin co = —

14 tu21

0,

^14 C011 + ^24C012 + ^34

d

u' ,

Wll>

\ 0 (Au. Ah,

^34)

v' ,

®21»

w' ,

W31>

+ A24 co22 -J- A

34 W23>

A 14 <

°31 + ^24 0932 “Ú ^3 ^33

'12

?22

CO

13

CO

23

32

kde Ó značí vzdálenost počátku O od roviny P.

Ježto hodnota tohoto determinantu jest rovna

( — Au u' — A24 v' — A34 w') P,

máme pro žádaný úhel

<)

sin co = _ _ = F4 (u'} v', w') ,

' (A14, A24, A 34)

a ježto

1 2

jest

sin2, co =

y? (uf , v', w')

£1 F42 («', v', w')

W(u',v',w') • & (A14, A24, A34)

Dosadíme-li z poslední rovnice plynoucí hodnotu pro F42 (u', v', w')
do druhého tvaru (65), jest

-nit, ^ K, v', w') V 0 (A A24, A34) .

r (u , v , w ) == - - - - - — — — - — - — — . L P sm 2 co, (67)

yw

při čemž znaménko odmocniny podléhá předchozímu určení.

J ako potenci p roviny P (u', v', w') vzhledem k paraboloidu zavedme
orthogonální průmět její kolmé vzdálenosti od pólu L na osu parabo¬
loidu.

Jest tedy

p = LP sin 2 cj.

Je-li paraboloid dán rovnicí v soustavě pravoúhlé

R(U, V, W) = — 2 U + m V2 + n W2 = 0,

jest

R (U', V', W') = (U'2 + V'2 + W'2) L P sin 2 co = L P sin2 co ,

značí-li ó vzdálenost vrcholu paraboloidu od P.

XVII

26

Souřadnice rovin stejné potence p vzhledem k paraboloidu splňují
tedy rovnici

— 2 U' + m V'2 + n W'2 — p ( U /2 + V'2 + W'2) = 0 ;
roviny ty obalují tedy opět plochu k dané konfokální.

IV.

25. Uveďme konečně ještě některé souvislosti s problémem normál.
Uvažujme v pravoúhlých souřadnicích řez centrické plochy 2. stupně:

T
b 2

G ( x , y , z) = ,- |
jejíž rovnice v souřadnicích rovinových tedy jest

1 = 0

a 2 u2 + b2 v2 + c2 w2 — 1 == 0, (68)

s rovinou P

u0 x + ^0 y + wo z + 1 =0- (69)

V této rovině leží dvě normály nv n2 plochy, které nechť protínají
se v bodě Q (|, rj, J) ; neboť možno ku ploše sestroj iti dvě tečné roviny
jdoucí přímkou, vedenou pólem P roviny P kolmo k této rovině.

Souřadnice bodu P jsou

x0 = — a2 u0) y0 — — b2 v0, z0 = — c2w0. (70)

Paty Qv Q2 normál n1, n2 leží tedy v rovině P, dále v průměrové
rovině R plochy, která jest sdružena ke směru ku P kolmému a konečně
na ploše samé. Jejich souřadnice jsou tedy dány rovnicemi

+ v0y + w0z + 1 = 0,

(71)

^ + -p-y + ^" = °.

(71')

v2 z 2

+ -p + — 1 = °-

(71")

Z těchto rovnic souřadnice x, y, z bodů Qv Q2 snadno mimochodem
vypočítáme. Položí me-li

• c 2 (a2 — - b2)2 u2 v02 + a2 (b2 — • c2)2 v02 w02 + b2 (c2 — a2)2 wtí2 w02 = E,
obdržíme

x = — u0 [ c 2 ( a 2 — b2) v02 + b2 (a2 — c2) w0 2] ±_ v0 w0 ( b 2 — c2) .

CL

VE — • (b2 c2 u{)2 + c 2 a 2 v02 + a2 b2 w tí2) ,
odkud výrazy pro y a z obdržíme cyklickou záměnou.

XVII.

17

Pro bod Q dostaneme pak

EH

— a i 2

[c2 ( a 2 — b2) Vy2 + b2 (a2 — c2) w^\2

( a 2 — b2) (c2 — a2) u0

(i b 2 — c2)2 v o2 w2 [E — ( b 2 c 2 Uq2 + c2 a2 v02 + a 2 b2 w 02)]

odkud opět cyklickou záměnou plyne rj, %.
Dle předchozího jest

a2 | _ b2 rj ^ _ c2 ;

a2 + a ’ y ~ J2 + A ’ 2 “ c2 + T '

(28)

Zavedeme-li tyto hodnoty do rovnice (71'), obdržíme vzhledem
k (71) po jednoduché úpravě, klademe-li a2 -f- b2 + c2 = 3 l2, rovnici

A2 + (3 12 + a2 u0 ' + b2v0r]-{- c2 w 0§) l — a2b2c2 I + V + ?) = 0

v A kvadratickou; kořeny Aj, A2 této rovnice splňují vztahy
Ai + *a — — 3 l2 — a2 #0 £ — ů2 i>0 r) — c2w0£,

nebo, dosadíme-li souřadnice bodu P z (70) do (72),

3 l2 — x0 | -f- y0 ij + z0 f.

(72)

(73)

(72')

Popíšeme-li tedy onu ku ploše soustřednou plochu kulovou o polo¬
měru r, vzhledem ke které jsou body P, Q sdruženy, jest

^2 = ^i + A2+3/2. (72")

Polární rovina Q bodu Q vzhledem ku ploše má souřadnice

u' = ~i’ v' = -i’ = - <73')

takže vzhledem k tomu můžeme (73) též nahraditi rovnicí

= u0 «' + vo V + w'. (73")

Popíšeme-li tedy onu plochu kulovou poloměru (j, ke které jsou
roviny P, Q navzájem sdruženy, jest

2

a2 b2 c2
^1^2

(73'")

Je-li tudíž Px orthogonální průmět bodu P na spojnici středu 5
plochy s bodem Q, jest

SQ.SP1 = n1p1-\-n2p2-\-?>l2} (74)

přísluší-li fii, pi opět význam v předchozím vytčený. Dále soudíme z (73'"),

\ VII.

28

že protíná-li kolmice s bodu 5 na rovinu Q spuštěná rovinu tuto v bodě Q *
a rovinu P v bodě P*, jest

/t2 7)2 r2

SP*.SQ* = — ~—~r • (75)

n1p1.n2p2

26. Uvažujme nyní všecky normály nv n2, . . . nfi, které jdou bodem Q
k dané ploše. Spustíme-li s pólu Pik každé z rovin (ni nu) kolmici na 5 Q
o patě Pik, dává rovnice (74) nový vztah:

SP12 + SP13+. . . + 5P1, + 5P23 + . • - + SP5fi =

Ježto

-g-Q K />! + napi+ ■ ■ ■ »6 P* + 9 /2) .

2J ntpi — — 2 a2 + b2 + c2) = — 6 l2,

plyne z poslední rovnice

SP12+SP13

S P,, =

5 (&2 + 62 + c2)

SQ

(31)

(76)

Protíná-li dále 5 * roviny (m Uk) v bodech P» **, platí vzhledem k (75)

[a b c)30

S p * cd * cp* c p * _ _

12 ’ 13 23 ‘ 56 SQ**(nlp1n2fi2...n«ptíy

z kteréžto rovnice plyne vzhledem k (32)

— a 2 b2 c2

G (£, >/, s) —

5 (J *3 \ S P12 * . S P13 * . . . SP

> (76')

77)

50

Je-li

/ (#, y, z) = 0

rovnice plochy 2. stupně v obecných parallelních souřadnicích, jest, značí-li
x', y' , z' souřadnice bodu Q, vzhledem ku (34'), (36),

/ (*', /, z') = - A G (*, ,, ?), —a* 62 c2 =

tudíž jest

/ (# , y , 2') - - - ,

P5 . S (J*3. tSP12* . SP13* . . . SP5i}*

kdežto vzhledem k (36)

SP12 + SP13 + . . . + SP53 =

5 4 C

B2.SQ ‘

(77')

(76")

Z posledních dvou rovnic soudíme, že pro všecky body Q, které mají
od 5 stejnou vzdálenost, má součet

SP12 + SP13 + . . . + SP56

konstantní hodnotu, a že pro všecky body Q, které leží na ploše k dané
koncentrické a homothetické má součin

XVII.

29

SQ

* 15

5 P12* :S Pj

konstantní hodnotu.

27. Rovnicí (77') dána jest tedy souvislost potence bodu Q ku centrické
ploše 2. stupně s polohou normál z něho ku ploše jdoucích a to užitím
úseček ležících na kolmici vedené středem plochy k polární rovině Q bodu.
OznaČíme-li Q patu kolmice s bodu Q na rovinu Q a e potenci bodu Q,
jest dle (12')

s

QQ

SQ*

B

A

f (x', y', z')

a (77') dává tudíž relaci

SQ

SP*. SP

13

SP *

° 56

A3 Si

Vzorec (37") podává, že zde

ni Pl • ^2 ftž ’ • ■ ^3 —

A3 a2

B8

QQ

SQ * '

Dosadme toto jakož i hodnoty pro a, b, c do rovnice (76'), čímž
obdržíme nejprve

A15 &5

S P12* . 5 Pia* . . \SPM* =

13

56

B20 .SQ*10 . QQ5

Užijme dále vzorce (53) na náš případ. Jest tu

TP I , , ,x BW(u', v', w') yr

F («', v', w') = - K— - . SQ* .QQ,

takže konečně

F [u' , v', w') =

A3 W (u', v', w')

B3 . S Q* . \ S P12 * . S P13 * ... S P58

(77'

a označíme-li opět II potenci roviny Q ku ploše, obdržíme rovnici

A3 &

S Q* yjS P12* . S P13* . . . S P 5z* =

B1 II ’

čímž dospíváme ku analogickým souvislostem pro potenci roviny Q s po¬
lohou normál vedených ku ploše pólem Q této roviny.

Porovnáme-li konečně vzorce (12'), (53), obdržíme

/ (v, /, z') _ a a

F \u't v', w') ~ B2 w') .SQ*2

nebo, značí-li Q0 patu kolmice spuštěné s počátku O na rovinu Q

/ (*', /, z') _ A O Q2
F [n\ v ', w') B2 ' S Q*2 '

jakožto poměr substitučních výsledků souřadnic bodu a jeho polární

XVII.

roviny k ploše 2. stupně do levých stran jejích rovnic v souřadnicích bo¬
dových resp. rovinových.

28. Pro paraboloid

v2 z2

2 x -j- — - b — = 0

m n

přechází rovnice (71') v rovnici

y Z

v0 — - - = 0.

m n

Dosadíme-li do ní hodnoty (44)

ni 7]

n £

^ m-\- A ’ Z n + A

obdržíme, se zřetelem k rovnici u0 1 V + wo £ + 1 =

u0 + [%> im + n) + í + 1] & + w w ^ w0 - - ^ = ^ *

Proto jest zde

žj "j- žg -f- W -j— 71 — - £

Ui

KK = j

m n

Vo_ Ji
u0 m

7 o £

w

Pól P roviny P má souřadnice

1

*o = — , yo =
l0

771 V0

n Wi

u0 u0

a polární rovina Q bodu Q má souřadnice

1 . 7]

u —

v =

771 (

W =

n é

takže

(78)

(79)

^1 + ^2 J- 771 J- 71 — - ' (í + *0),

- ^ — - — UQ u' 4- Vn v' + Wn w' .

tti n x0 £

Rovina P protíná osu paraboloidu v bodě T o úsečce

O T = — x0;

«o

označíme-li Q' orthog. průmět bodu Q na tuto osu, jest O Q' = |, pročež
— {6 + *q)=OT — OQ' = Q'T,

tedy Q'T = ^ + A2 + m + n. (78')

Uvažujme nyní normály nv ti2, ... n5, vedené bodem Q k para¬
boloidu ; průsečíky rovin (nt Tik) s osou paraboloidu budte Tik a kombi-

XVII.

31

nujme normály po dvou všemi možnými způsoby; tím rovnice (78')
dává rovnici novou:

Q'T12 + Q'T1Z + . . . + Q'TU + Q'T22 + . . . + Q'T„ =

4 (Ax + l2 + ; . + Ab) + 10 (w + n) .

Ježto

+ ^2’H- • • H- ^5 — — 2 ({ + 2 w -f- 2 w) , (48)

obdržíme z poslední rovnice

(?' ^12 + (?' ^13 + • • • + Q'T& = — 8 i — 6 (m + n) ;

jest tudíž součet Z1 Q'Tik konstantní pro všecky body každé roviny kolmé
k ose paraboloidu.

29. Analogicky k předchozímu označme zde Q*, Pik * patu kolmice
s vrcholu S paraboloidu na rovinu Q spuštěné, resp. průsečík její s rovinou
(nink), při čemž označíme průsečík osy paraboloidu s tor to rovinou Xik
a s rovinou Q pak QCI).

Vzorec (79) vede obdobně k předchozímu k relaci

m n . S Qoy . S Xik
ž* kk

S Q* . S Pik *

(79')

ze které plyne

(tnn)™SQ™.SXlt.SXlz. . ,5^. . .SZ45

(*i • • ^)4

SQ*™.SP12*.SP13*. . . SP45*.

(80')

Ježto

ž4 A2 . . ž5 — — y74 p1 \ l2 p2 . . \ls pz = — 2 m2 n2 s ,

jak plyne ze souvislosti rovnic (49), (49'), (50'), při čemž s = Q0Q, značí-li Q0
v konečnu ležící průsečík paraboloidu s rovnoběžkou k ose bodem Q ve¬
denou, plyne proto z poslední rovnice

s; p * c p *

° *12 » 0 *13

SP&*

sx».sxin:.:šx*

S Q<

m2 n2

S Q*10 ’ 16 s4 ’ ^

Značí-li (p úhel, který tvoří rovina Q s osou paraboloidu a pro který
50* v , , ,

sin (p _ — — , možno poslední rovnici psáti, se zřetelem ku (50"),

^ Y (o

n , S ^12* -s P13* ■ . .5 P45* ^ m2 n2 _ A* a*

S Xl2 . 5 X13 ... 5 X45 16 s4 sin10(p 16 C4 s4 sin10(p ’

a snadno ji lze uvésti v souvislost s / (x't y', z'), kde x\ y', z' značí souřad¬
nice bodu Q v obecné parallelní soustavě a / (x, y, z) = 0 značí rovnici para¬
boloidu v téže soustavě.

XVII.

32

Dosadíme-li za s hodnotu z (16), máme

A 6 Sl2 1

/4 (*', y', z') = -ČT^-^W~(AU, A2il Ast) ■ 9K

a dosadíme-li do (81) za

2 s sin (p = — 2 Q Qu sin (p =

^7

sin (/)

kde n značí potenci roviny Q, hodnotu

— Sl F (u\ v', w')

2 s sin 2 (p —

V («', »') W (4 14- ^24- ^3l)

která plyne z (67), máme konečně

jF4 (n', v', ze;')

(82)

Sl2 C4 sm2 (p

. «» « k,') (^14) ^24, ^34) . — . (83)

XVII.

ROČNÍK XXIII.

* TŘÍDA II.

ČÍSLO 18.

O jistých vlastnostech polár.

Napsal

Dr. K. Žorawski,

professor university v Krakově.

(Předloženo dne 27. února 1914.)

Je-li dána algebraická křivka m-tého stupně a uvažuj eme-li poláry
některého jednoduchého, v konečnu položeného bodu křivky vzhledem
k téže křivce, pak jde každá polára tím bodem a má s křivkou společnou
normálu. Účelem tohoto článku jest urciti na této normále polohy středů
křivosti různých polár a řešiti analogickou otázku pro (n — l)-dimensio-
nálnou algebraickou množinu m-tého stupně v ^-rozměrném euklidickém
prostoru. Vyšetřování v tomto obecnějším pojetí lze snadno provésti a
užiti konečně na obecné analytické množiny.

1. Mějme formu m-tého stupně proměnných yv y2, •••> y«+i-

Fm (yv y2, yn+ 1).

Dosadíme-li do této formy na místě každé proměnné yk součet
yk+ Qbk a výsledek dle mocnin q rozvineme, dostaneme výraz tvaru:

Q

1!

d\ Fm + d~h Fm + . • • + r dh Fm,

Qm

m\

kde JbFm značí Z-násobné provedení polární operace

.1 r v, 7 a Tm

db Fm — žjk Uk ~

i dyk

Myslíme-li si veličiny ylf y2, . . ., yn+i jakožto homogenní souřadnice
bodu v w-dimensionálném prostoru, představuje rovnice

Fm (Ví, yt, .... Vn+l) = o (1)

(n — l)-dimensionálnou algebraickou množinu m-tého stupně v tomto
prostoru a rovnice •

JbFm = 0 (l = 1, 2, ..., m — 1)

dávají první, druhou, atd., až (m — l)-tou poláru bodu bv b2, ..., 6,1+1
vzhledem ku množině (1).

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. £ 18. 1

XVIII.

Veličiny

*1

y i

yn + l ’

*2 =

yn + l ’

• • • > %n

yn

yn+i

(2)

bucfte Descartovy parallelní souřadnice. Má-li rovnice (1), uspořádána
jsouc dle mocnin yn+i, tvar

m , m—l . m — 2 . , A / Q\

tyo yn + l + (p\ yn + l + (p2 yn + l + • • • + <)Pn — 0,

jest každá funkce cpr formou r-tého stupně vzhledem ku proměnným
yv y2, . yn a rovnici množiny (1) v Descar to vých souřadnicích par al-
lelních vyjádřenou můžeme dostati tak, že v rovnici

<^+^1+92+ • • • + <pm — 0

na místě proměnných y& dosadíme proměnné Xk.

Předpokládejme nyní, že bod bv b2, . . ., bn+ 1 jest v konečnu, t. j.,
že bn+ 1 4= 0. Dále můžeme voliti počátek systému parallelní ch souřadnic
v tomto bodě, t. j., lze voliti b1 = b2= ... = bn = 0. Abychom nalezli
rovnice polár tohoto bodu vzhledem ku množině (1), můžeme klásti bn+i — 1
a na základě rovnice (3) vypočítati koefficienty rozvoje funkce

Zy <fr (yn + l + Q)m~r
o

dle mocnin q. Pro tuto funkci plyne však výraz

m m—l

v / ,m — 1\ m—r — l

ZlQ1 2Jr{ l ) yn + l <pr,
o o

a pro z/z6 Fm dostáváme tedy formuli

m—l

Á Fm = Ur (m — r) (m — r — 1) . . . (m — r — l + 1) y»+i 1 (pr.

o

Pak dostáváme v Descartových parallelních souřadnicích pro poláry
počátku vzhledem ku množině (1) tyto rovnice:

m—l

2Jr (m — r) (m — r — 1) ... (m — r — l + 1) cpr = 0, [l — 1,2, . . . m - 1),

o

kde ve formách (pr jsou nahrazeny proměnné y* proměnnými Xk. Těchto
rovnic použijeme, když uvažovaný bod, t. j. počátek souřadnic, leží na
množině (1) m-tého stupně. Supponujeme tedy, že cp0 = 0 a dostáváme
pro uvažované poláry rovnice:

<Pi +

9>i

m — 2

m — 1
■m — 3

^2 +

m — 3

m

m

(m — 1) (m — 2)

l V* + • • • + i V™-1 — °’

... +

(pm—2 — 0,

(m — 3) (m — 4)

1 (m ■ — ■ 1) [m — 2) ^ 3

(4)

9,1 + ^=T<P2 = 0’

•Pi = 0.

XVIII.

3

Všechny tyto množiny mají počátek jako společný bod s množinou
w-tého stupně a za supposice, že forma není rovna nulle identicky,
mají v tomto bodě s množinou (1) společnou tečnou množinu o rovnici

<Pi = 0.

Zavedme nyní nový systém parallelmch souřadnic zv z2, • . • , zn,
jehož počátek splývá s dřívějším počátkem a jehož množina z» = 0 jest
tečná množina (p1 = 0.

Pak jedním z transformačních vztahů jest

a c/i = zn,

kde a jest vhodně volený a odnully různý faktor a můžeme psáti rovnice
množiny (1) a polár v nových souřadnicích takto:

Zn = $2 + Zn + A Zn + • • • >

zn = — - 1 - - (^2 + ^1 Z* + A zl) + . . . ,

m — i

(1 = 1, 2, . . . , m — 2, m — 1),

(5)

kde ip2 jest forma druhého stupně proměnných zv z2> . . zn-i, ^ forma
prvního stupně těchže proměnných, A koefficient a zanedbané členy,
jestliže skutečně se vyskytují, třetího a vyšších řádů vzhledem ku pro¬
měnným zv z2, . . ., zn. Pak pro množinu (1) samu i pro poláry můžeme
proměnnou zn dle mocnin proměnných zv z2, . . ., zn- 1 v okolí počátku roz-
vinouti a dostaneme vzhledem ku relacím (5) mocninné řady:

z» = 1>2 + 1>a + $* +

m — 1 — l , . . , , ,

Zn = - 1 - ^2 + $3l + ^4* + - -V

m — i

(1 = 1, 2, . . ., m — 2, m — 1),

(6)

kde i\>2 značí dřívější formu druhého stupně a 1 1>3, 1>8im> • • • Í0JmY

třetího, čtvrtého atd. stupně proměnných zv z2, ..., Tyto členy

třetího, čtvrtého a vyšších stupňů nebudeme blíže vyšetřovati a obrátíme
se k odvození těch vlastnosti polár, jež ze členů druhého stupně v íoz
vojích (6) vyplývají.

2. Budiž nejprve n = 2, t. j. bud množina (1) křivkou rovinnou.
Naše rozvoje (6) dávají analytický průběh křivky té v okolí některého
jejího bodu v konečnu, jenž není bodem mnohonásobným a může být
zvolen za počátek souřadnic. Rozvoje (6) mohou býti v tomto případě
psány:

z2 = a2 z x2 + z^ + íř4 2 14 +

z2 = — - zi + aai zi + zi + • • • »

m — 1

(/ = 1, 2, ..., ni — 2, m — 1),

při čemž poznamenejme, že z2 = 0 jest tečna křivky v počátku a písmeno a
s indexy značí koefficienty. Ježto při tomto vyjádření koefficient u zx
jest úměrný křivosti křivky v počátku, přicházíme k této větě:

XVIII.

4

Na normále algebraické rovinné křivky m- tého stupně vedené libo¬
volným, konečným, jednoduchým jejím bodem lze polohy centra křivosti
křivky a center křivosti první, druhé atd. až ( m — 2)-hé poláry toho bodu
počátečního vzhledem k dané křivce algebraické znázorniti řadou veličin

m — 1 m

R> ... ív

1

m

m — 3

R, . . . , (m — 1 ) R, oo ,

jež jsou rádie křivosti, jež od společného bodu křivek nutno nanésti na touž
stranu normály.

Přejdeme-li k w-dimensionálnému prostoru, učiňme především po¬
známku, že, je-li indikatrix křivosti množiny (1) dána v počátku rovnicí

— hy

kde h značí vhodnou konstantu, jest charakterisována indikatrix křivosti
l- té poláry v tom bodě rovnicí:

m — 1 — l

Tyto indikatrice můžeme si mysliti položeny na společné tečné množině
a dospíváme k následující větě:

Jestliže průvodiče, jež z libovolného, konečného, jednoduchého
bodu algebraické ( n — 1) -dimensionálně množiny m- tého stupně v w-dimen-
sionálném prostoru k bodům indikatrice křivosti této množiny ve jméno-

V/yyi -

- - - =- -krátě zvětšíme, obdržíme na jich konci

m — 1 — l

indikatrix křivosti l-té poláry v tom bodě vzhledem ku jmenované alge¬
braické množině m-tého stupně.

Závislost vlastností týkajících se křivosti zmíněných polár jmeno¬
vaného bodu od oněch vlastností množiny (1) v témže bodě jest tím úplně
charakterisována, chceme však ještě řadu našich úvah uvésti, jimiž jmeno¬
vaná tato závislost přijde v blízkou souvislost s první větou tohoto čísla.
Protněme množiny (6) lineární množinou:

Z2 = Z3 = . = Zn- 1 = 0.

Dostaneme pak řadu rovinných křivek, jichž rovnice v této rovinné
množině mohou býti psány ve formě:

Zn = b2 Zf + 63 V + h V + • • • ,

/yyí _ 1 _ 7

* = -5ř=j— + h * z ' + •••’

(1 = 1, 2, . . . , m — 2, m — 1), ,

kde b s indexy značí koefficienty. Pro tyto rovinné křivky platí ve spo¬
lečném počátku zjevně ty vlastnosti, jež v dřívější větě tohoto čísla jsme
vytkli.

XVIII.

5

Jestliže dále na místě souřadnic zv z2, . . zn takové nové Descartovy
parallelní souřadnice zx', z2, . . . , zn' s týmž počátkem zavedeme, aby ro¬
vina zú = 0 splývala s rovinou zn = 0, to jest, užijeme-li transformace
tvaru

Zk = Zxf + Z2 + ... + hn Zn y

(k = 1, 2, ..., n — l)

Zn ~~ ^nn Zn y

kde koefficienty A jsou tak zvoleny, že tato změna proměnných jest trans¬
formací dvou systémů parallelních souřadnic, pak budou v novém systému
rovnice množin (6) v okolí počátku dány rovnicemi:

Zn = ll>2 + + W + • • • >

/yyi _ *J - 7

= — — t— *»' + *»'« + ♦**+••■.

ífl - 1

(l = 1,2, . . . , m — 2, m — 1),

kde i\)2 ; ^3', ^3C t/>4'> ^4C . . . jsou formy druhého, třetího, čtvrtého, . . .
stupně v proměnných z /, z2i . . ., Protneme-li množiny (7) množinou

z2 = V = . . . =. Ci = 0, (8)

dostaneme rovinné křivky, jež ve společném počátečním bodě opět dří¬
vější vlastnosti křivosti mají. Povšimneme-li si však, že nový systém
souřadnic může býti tak zvolen, že množina (8) jest libovolná lineární
množina dvou dimensí, jež obsahuje počátek, ale v tečné množině zn = 0
není obsažena, přicházíme k následující větě:

Protneme-li (n — l)-dimensionálnou množinu m-tého stupně v n- di-
mensionálném prostoru a poláry vzhledem k této množině některého libo¬
volného, konečného, jednoduchého bodu lineární dvoj dimensionální mno¬
žinou, jež obsahuje zmíněný bod, ale v lineární tečné množině množiny
w-tého stupně v daném bodě není obsažena, obdržíme řadu rovinných
algebraických křivek, jichž rádie křivosti v daném bodě na téže straně
společné normály leží a mohou býti znázorněny délkami

m — 1 m
K, - 7T- K,

m — 2

m — 3

R, . . . , [m — 1) R, oo

3. Označíme-li jako dříve formu &-tého stupně v proměnných
zv z2, . . ., zn~ i, a představuj í-li tyto proměnné ve spojení se zn Descartovy
parallelní souřadnice bodu v w-násobném prostoru, jest rovnicí

Zn = ll>2 + ý3 + ■ ■ ■ + ým (9)

definována ( n — l)-dimensionálná algebraická množina wí-tého stupně,
jež může býti zvána parabolickou množinou. Na základě rovnic (4) určují
rovnice

m — 2 ( , m — 3 , . , 1

Zn ~ - T~ ^2 + — - t ^3 + • » • + - - ýtn - 1 ,

m — 1 m — 1 m — 1

XVIII.

6

^3 + • * • +

(m — 1) (m — S) *

2 rpm-2

1

Zn = - . ^2>

m — 1

Zn = O

první, druhou, atd. až (m — l)-ní poláru bodu z1 — z2 — . . . = = 0

vzhledem ku množině (9) samotné, při čemž tyto poláry jsou rovněž bud
parabolickými neb rovinnými množinami.

Budiž nyní dána analytická ( n — 1) -dimensionální množina a uva¬
žujme některý v konecnu položený její bod, v němž má množina určitou
(n — 1) -dimensionální tečnou množinu. Zvolíme-li tento bod jako počátek
souřadnic a tečnou množinu jako jednu z (n — 1) -dimensionálních množin
souřadnic, jest dána v okolí toho bodu uvažovaná množina rozvojem

Zn — /2 + fs + • • • + fp + • • • ,

(10)

kde fp jest forma ft-tého stupně v proměnných zv z2, . . ., zn-i. Existuje
nekonečně mnoho [n — l)-dimensionálních algebraických množin, jež s mno¬
žinou (10) uvažovaný bod, (n — 1) -dimensionální lineární tangenciální
množinu a indikatrix křivosti v tom bodě mají společné. Jako jednoduché
příklady takových množin mohou býti uvedeny parabolické množiny tvaru

Zn ^ /2 + ^3 + ^4 + • • • +

kde formy pro q > 2 nemusí nutně býti rovny formám fq. Uvažuj eme-li
(n — 1) -dimensionální algebraickou množinu m-tého stupně, jež jest
zmíněného druhu vzhledem ku množině (10) a uvážíme-li poláry, jež náležejí
danému bodu vzhledem ku zmíněné algebraické množině m-tého stupně,
přicházíme k této větě:

Jestliže rádie vektory, jež z libovolného, konečného, regulárního
a jednoduchého bodu analytické (n — l)-násobné množiny v n-dimensio-
nálném prostoru k bodům indikatrice křivosti této množiny ve jmeno-

VŤH - 1

- — — - -krátě zvětšíme, obdržíme na jich konci

m — 1 — l

indikatrix křivosti l-té poláry v tom bodě vzhledem ku algebraické,
(n — l)-násobné množině m-tého stupně, jež daný bod, (n — l)-násobnou
lineární tečnou množinu a indikatrix křivosti v tom bodě s danou analy¬
tickou množinou má společné.

Lze poznamenati, že v této větě vhodnou volbou čísel lam pod od¬
mocninou se nalézající číslo může býti libovolným positivním racionálním
číslem, jež jest větší než 1.

Poslední věta může býti analogicky úvahám čísla 2 též uvedena
na jinou formu. O tom se zde dále nešíříme.

XVIII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 19.

O formách kvádrových pískovců v Čechách.

Podává

Dr. Vladimír J. Novák.

Předloženo dne 30. ledna 1914.

Pískovce křídového věku v severovýchodních Čechách, označované
jako kvádrové, vystupují v některých formách, jakých u jiných hornin
v našich krajinách neshledá váme. Proto poutaly již dávno pozornost
nejen geologů, nýbrž i zeměpisců. Zvláště o geomorfologii Saského Švý¬
carska a pískovcových oblastí na Broumovsku a v sousedním Kladsku
jednají obšírné a důležité práce (Gutbier, Hettner, aař.Obst,
a). Avšak o partiích v nitru Čech, zejména o nej rozsáhlejší z nich mezi
Jičínem a Turnovem, jež jsouc sice menších rozměrů než Saské Švýcarsko,
je přece právě tak zajímavá jako malebná (,, Český ráj“), dosud nebylo
uveřejněno pojednání, které by bylo v první řadě věnováno stránce mor-
fologické Proto na podnět p. prof. Dra Daneše zabýval jsem se v letě
r. 1913 studiem této oblasti, potom kratší návštěvy věnoval oblasti Brou-
movské a Saskému Švýcarsku, abych mohl zjistiti, jak daleko jde po¬
dobnost mezi formami v těchto třech končinách. Zvláštní pozornost jsem
věnoval momentům, jež by mohly přispěti k rozřešení dosud sporných otázek,
týkajících se vzniku těchto forem.

I. Orografie kvádrových oblastí.

1. V oblasti Jičínsko-Turnovske je převahou z kvádrových pískovců
složeno několik dosti rozsáhlých vyvýšenin, kdežto v údolích, která tyto
vyvýšeniny oddělují, většinou jest odhalena opuka, tvořící podloží těchto
pískovců. Místy se jeví i nad pískovcem nebo uprostřed něho slínitá neb
jílovitá souvrství značnější mocnosti.

Můžeme zde rozeznává ti tyto dobře individualisované vyvýšeniny
pískovcové: 1. Partie na s. od údolí Libuňky, kterou Kořistka (s. 75)

Rozpravy: Roč. XXIII; Tř. II. Č. 19. i

XIX,

2

nazývá Sokolské hory, Zahálka (s. 78) méně případně Turnovské skály .
Na j. od Libuňky pne se 2. Hruboskalská vysočina až k těsnému údolí potoka
Žehrovky. Na jv. následuje méně rozsáhlá vyvýšenina, korunovaná štíh¬
lými jehlany Trosek, již chceme se Zahálkou nazývati 3. Troskovicko. Ještě
dále v tomto směru následují 4. Prachovské skály, na jz. od Hruboskalské
vysočiny pak 5. Žehrovský les s kuželem Mužské Hůry. Pískovec vyvýšenin
ještě dále k j. vystupujících, V elisského hřbetu, Markvartické a Chlomecké
vysočiny, je prostoupen četnými a silnými vrstvami slinu. V nich nedo¬
chází k vývoji forem, pro kvádrové oblasti charakteristických.

Pozoruj eme-li některou z vyvýšenin dříve vypočítaných z větší
vzdálenosti, zdá se nám, že tvoří plosinu, obyčejně v některém směru
mírné skloněnou. Na okrajích však spadají tyto plošiny poměrně příkře,
někdy též ve stupních ku podloze ohraničujících je údolí. Zvláště případné
se mně zdá srovnání takových vypnulin s víky rakví. Když však přichá¬
zíme blíže, vidíme, že tyto plošiny jsou rozbrázděny četnými, více méně
hlubokými roklemi, které jsou poměrně úzké a mají příkré steny. Těmito
roklemi jsou vyvýšeniny roztrhány na mnoho malých částí. Tak v Pra¬
chovských skalách na jz. nacházíme plochý hřbet ve výši asi 440 m. Na
s. odtud jsou menší plošiny Na Vodách a Hrádek, asi 430 m. Ještě dále
v tomto směru, za Pařezskou Lhotou, vypíná se táhlé návrší něco málo
nad 400 m. Proto díváme-li se na Prachovské skály od z., vidíme v nich
plošinu k s. skloněnou. Troskovicko jest okrouhlá vysočina se sráznými
okraji, ale na povrchu jen mírně se zvedající k úpatí vlastních Trosek;
rokle běží většinou od okraje paprskovitě ke středu, ale nesahají daleko.
Sokolské hory jsou plošinou, k s. a v. zdviženou. Na j. mají 320 — 360 m
výše, na s. ve vrchu Sokolu dosahují 559 m. Hruboskalská vysočina má
na s. 390 — 400, na j. 340 — 350 m, uprostřed, na s. od zámku Hrubé skály
však 424. Plošina Žehrovského lesa si zachovává v celku od v. k z. stejnou
výšku, 350 — 360 m.

Tu a tam je pravidelnost těchto plošin přerušena návršími podoby
kuželovité nebo kupovité. Takovým návrším je Mužská Hůra, pnoucí se
do výše 462 m (70 — 90 m nad pískovcovou plošinou Žehrovského lesa),
ve Hruboskalské vysočině Vyskeř, 465 m (asi 60 m nad okolní plošinou),
pak malé, pouze asi 5 a 10 m nad jihozápadní hřbet Prachovských skal
vynikající kužely Malé a Velké Svincice (452 m absolutní výše). Tato
návrší, podobně jdikoTrosky (vrchol vyššího zobou jehlanů, Panny, 514 m),
jsou vzhledem k pískovci úplně cizorodá, jsouce složena z čediče.

Budiž ještě uvedeno několik cót, označujících výšku podlohy ve
hlavních údolích. Údolí Jizery, které lze zhruba označiti jako západní
hranici naší oblasti (z význačných partií pískovcových jen t. zv. Drábovna,
naproti Sokolu, leží na západním, pravém jejím břehu) se sklání ze 261 m
na s., u Malé Skály, na 211 pod Mnichovým Hradištěm. Údolí Václavky
ze 330 u vsi Václavi na 270 při vtoku do Libunky. Tato se spojuje s Jizerou
ve výši 244 m. Žehrovka má u Mladějova, kde vstupuje do kvádrové oblasti

XIX.

3

(jižní výběžky Troskovicka) , asi 275 m výše, při ústí do Jizery 228. Široká
Vokšická dolina , oddělující Prachovské skály od Velišského hřbetu, leží
na j . od Svinčice ve výši 285 m, na východním konci, kde ústí do úvalu
Cidliny, asi 260. ^ Vidíme z toho, že relativní výšky pískovcových vyvý-
šenin, i s čedičovými homolemi na nich nasazenými, nejsou veliké. Největší,
asi 300 m, je na s. (Sokol), uprostřed činí 200—250 (Mužský, Trosky), '
na j. méně než 200 (Přivišín, na v. ód vlastních Prachovských skal). Třeba
tedy naši oblast označiti jako pahorkatinu.

Uložení pískovcových a shnitých vrstev zdejších s výjimkou Sokol¬
ských hor neliší se znatelně od vodorovného. Jsou sice též místní od¬
chylky zvláštního rázu, ale o těch promluvíme později. Tu a tam možno
pozorovati vržení, většinou menších rozměrů.

Mocnost čistě pískovcových souvrství činí podle Zahálky (s. 150)
pod Mužskou Hůrou, Vyskří a u Valdštejna asi 90 m, u Hrubé Skály a So¬
kola asi 120. Podobně v Prachovských skalách, na jz. u Svinčice, kde je
pískovcové souvrství nejlépe zachováno, odhaduji mocnost jeho na 120 až
13° m. Plošný rozsah kvádrových partií zdejších činí asi 200 kw2.

v Pískovce a s nimi souvisící sliny této oblasti byly všemi geology,
kteří se jejich studiem zabývali, pokládány za nejvyšší a tedy nejmladší
obzor české křídy. K r e j č í (s. 45) a Frič (a) je označují jako Chlo-
mecké pískovce. Bývají nyní parallelisovány s oddílem Emscher svrchní
křídy (mezi turonem a senonem; Sturm, s. 41, 47 _ 52).

2. V oblasti Broumov sko-Kladské zaujímají kvádrové pískovce střed
ploché synklinaly, tvořené vrstvami kamenouhelnými, permskými a kří¬
dovými. Na z. od míst Adersbachu a Teplic (Wekelsdorfu) tvoří vyvý-
šeninu elliptického půdorysu, jejíž stěny se příkře zvedají nad mírně
zvlněnou oblast opuky. Vyvýšenina tato je prorvána přečetnými roklemi,
na okrajích pak místy úplně rozkouskována na tisíce věžovitých nebo
pilířovitých skal. To jsou světoznámá ,, skalní mésta(l , nazvaná podle sou-
sedních, výše jmenovaných míst. Nej vyšší, na j. strmící vrchol této vy¬
výšeniny, Storchberg , dosahuje 784 m, kdežto podloha údolí Metuje, jež
ji na v. obtéká, sestupuje asi s 500 (u vchodu do Adrsbašských skal) na
464 w (u nádraží Teplického); je tedy relativní výška této vyvýšeniny
skoro stejná jako u Sokolských hor. Na v. i na j. od ní pnou se menší iso¬
lované vyvýšeniny (Holstenberg, Ostaš a j. v.), též silně rozčleněné, jejichž
vrchní část je z kvádrového pískovce, spodek však z opuky, ač zakryt
sřícenými balvany pískovcovými (Flegel, s. 126). Z kvádrů se skládá dále
úzký hřbet na v. odtud, Polické steny (Kořistka, s. 105) neboli Falken-
gebirge. Na slemeni tohoto hřbetu a v údolích na povlovnějším jihozá¬
padním svahu (Kovářova rokle a Pánova cesta), setkáváme se s týmiž
íoimami jako ve ,, skalních městech". Na mohutné plošině Hejšoviny,
]iž na půdě Kladské, je nižší a vyšší souvrství pískovce, jež jsou oddělena
od sebe opukou o značné mocnosti. Vyšší kvádr tvoří vlastní Velkou a Malou
Hefsovinu (919 a 896 m), vynikající velmi sráznými stěnami, kdežto

l*

XIX.

4

témě jejich je ploché, tak že mají typický tvar stolových hor]1) i do nich
však jsou místy zaryty hluboké rokle. Z kvádru je konečně ve své svrchní
části složen též na z. od Hejšoviny se pnoucí, víku rakve podobný Bor
(německy Spiegelberg) . V severozápadní části j eho hřbetu nachází se blu¬
diště chodeb, zvané ,,Wilde Locher“.

Mocnost pískovce ve skalách Adrsbašsko-Teplických činí jistě aspoň
150 m, na Hejšovině u spodního obzoru 60 — 80, u svrchního skoro 100.
Rozlohu kvádrové oblasti při značném rozkouskování není snadno určiti,
ale myslím, že nečiní více než 60 km 2.

Spodní kvádr na Hejšovině a ve skalách Adrsbašsko-Teplických
je o něco starší než Chlomecký, totiž středoturonského veku; svrchní Hejšo-
vinský pravděpodobně náleží Emscheru , jako Chlomecký.

3. V Saském Švýcarsku pískovec tvoří rozsáhlou plošinu rozbrázděnou
roklemi (,,Grúndef‘) řek a potoků. Místy se nad tuto plošinu zvedají pří¬
krými stěnami vyvýšeniny, většinou nepříliš rozsáhlé (,,Steine“). Některé
mají podobu stolových hor (Konigstein, Lilienstein) , jiné více rozkousko-
vané připomínají v miniatuře velehorské štíty a turné (Schrammsteine) .
Na levém břehu labském jsou tyto vyvýšeniny isolovány, na pravém mezi
Žandavou a Jetřichovicemi splývají v jednotný pás. Nej mohutnější
vyvýšenina celé oblasti je Vysoký Sněžník, 721 ni.

Mocnost pískovce obnáší podle Hettnera místy nejméně 300 m,
rozloha asi 450 km2; hlavní souvrství jeho je věku středoturonského.

II. Složení a vznik kvádrového pískovce.

Kvádrové pískovce ze všech tří popsaných oblastí jsou si až na malé
výjimky tak podobné, že vzorky jejich nelze rozezná ti.2) Skládají se vět¬
šinou z drobných zrn křemitých s malým množstvím kaolinického , neb méně
čistého jílovitého tmelu. Zrnka křemene, z nichž zvláště větší bývají zaoblena,
menší, o průměru 0- 1 — 0*3 mm obyčejně ostrohranná, nejčastěji nepřesahují
velikostí zrnka máku, řidčeji, ač aspoň v oblasti Jičínsko-Turnovské ne
zrovna vzácně, vyskytují se též zrna velká asi jako hrách. Zahálka
uvádí (s. 128, 132 a 147), že na s. jejím přicházejí na dvou místech též
oblásky velké jako lískový ořech; sám jsem dosud těchto hrubých pí-
skovoů neviděl. Křemen zrn je nej častěji bezbarvý, řidčeji našedivělý neb
načervenalý. Příznačné zbarvení pískovců pochází však většinou od tmelu.
Je-li čistěji kaolinický, dotyčný kus horniny nabývá barvy bílé. Téže
barvy dodává pískovci tmel vápnitý a křemitý, které se však vyskytují
zřídka. Kde je ke tmelu přimíšen limonit, barva je nažloutlá neb světle
hnědá; tyto dva odstíny vídáme u kvádrů nej častěji. Kysličník železitý ko-

x) Partsch (s.72) nazývá Hejšovinu ,, nejčistší stolovou horou celého Ně¬
mecka' ‘ .

2) Velmi podobné jsou jim z části též pískovce cenomanské.

XIX.

5

nečně barví pískovec na růžovo neb na červeno, což však není zjevem příliš
hojným. Složení tmelu a s ním i barva střídají se velmi nepravidelně a často
na nepatrné vzdálenosti, i na kouscích jako pěst velkých vídáme nezřídka
střídání pruhů tmavších a světlejších. Tyto barvy však pozorujeme z pra¬
vidla jen na čerstvém lomu. Kde povrch pískovce po řadu let byl vystaven
ovzduší, mívá barvu našedivělou, které mu dodává tenká pokrývka
nízkých organismů rostlinných, jež se usídlily mezi jednotlivými zrnky
křemene.1)

Kvádrový pískovec je většinou tak měkký , že i čerstvé, nezvětralé
kusy této horniny rozpadají se pod prvním úderem kladiva v písek. Jen
výjimečně je dosti tvrdý, aby bylo lze ho užiti ke stavbám neb sochař¬
ským práčem.

Příčinu toho sluší hledati ve způsobu stmelení křemenných zrn. To
je zpravidla tak volné, že bez jakékoli námahy, dokonce i nehty můžeme
jednotlivá zrna odškrábati. I makroskopicky můžeme rozeznati četné
i menší prázdné prostory (,,pory“) mezi zrny. Jinak již vypadá věc tam,
kde tmel obsahuje mnoho železa. Tu bývají zrna křemene mnohem lépe
stmelena a vznikají tak tvrdší partie uprostřed měkčího okolí. Někdy
mají podobu hlíz, jindy tvoří vrstvičky, bud s vrstvami pískovcovými
rovnoběžné, anebo vlnitě zprohýbané; obyčejně se tyto konlcréce svou
tmavohnědou, až černou barvou odrážejí zřetelně od ostatního pískovce.
Tlouštka jejich činí zpravidla 2 — 5 cm. Častěji vídáme několik takových
vrstviček nad sebou. V Saském Švýcarsku pod Schrammsteinem jsem
viděl na části stěny asi 2 m vysoké neméně než 20 takových vrstviček.

V lomech, kde pískovec není odkryt do přílišné hloubky, často není
znáti nijakého zvrstvení. Ve větších vídáme, že tvoří zpravidla vrstvy
velmi silné, 2w i více, a následkem toho malé lomy někdy odkrývají pouze
jednu vrstvu jeho. Na ovětralých stěnách skalních však bývá vrstevnatost
velmi zřetelná a vrstvy obyčejně jen 0T — 0’2 m silné. Často pozorujeme
též, že se mezery vrstevní na venek nálevkovitě rozšiřují a čela vrstev
mezi nimi bývají zaoblena (,, sklad suken"). Všecky zjevy tohoto druhu
se vyskytují i u jiných pískovců.

Kdežto skutečný sklon vrstev pískovcových ve větší Části oblasti
Jičínsko-Turnovské je tak nepatrný, že pouze srovnáním nadmořské výše
jeho podlohy ve vzdálenějších profilech lze zjistiti jeho existenci, vidíme
tu a tam nepravidelné zvrstvení ; vrstvy bývají místy skloněny 15° i více
a někdy vidíme různý sklon jich i v témže profilu.

Všecky vlastnosti našich pískovců ukazují, že vznikly usazením ve
mělkém moři, do něhož někde u Vranova ústila značnější řeka. Již Forch-
h a m m e r pozoroval, jakým způsobem vzniká v obdobných usazeninách,

Ú Kaolin v pískovcích obsažený zadržuje na nich se usazující prach, a následkem
toho původně bílé pískovce z lomu vynesené brzo nabývají tmavší barvy. Sr.
Hirschwald, s. 313 a násl.

XIX.

6

v přítomnosti se tvořících, nepravidelné zvrstvení; jak dále povstává
hojné střídání vrstviček jílu s vrstvami písku a že, když v pozdější době
jsou tyto vrstvy vystaveny silám ovzduší, vrstvičky jílu se vyplavují
a vyniká jemnější vrstevnatost. Vznik popsaných konkrécí železitých třeba
přičítá ti prosakující vodě, jež usadila místy v mezerách pískovce železité
hydroxydy, jež ponejvíce asi dříve rozpustila a odnesla z větrajícího če¬
diče (Graber).

Všimněme si nyní jiného zjevu, jenž zavdal podnět ku pojmenování
kvádrových pískovců. Jsou totiž prostoupeny dvěma soustavami svislých
mezer, které stojí navzájem skoro v kolmém směru. Ve spojení s vodo¬
rovnými mezerami vrstevními působí, že se pískovec rozpadá v kusy, jež
lze zhruba oznaČiti jako rovnoběžnostěny . A ježto je zvykem rovnoběžno¬
stěny z kamene vytesané nazývati kvádry, přešlo toto jméno na naše
pískovce. Každý, kdo jen poněkud je obeznámen s průběhem sedimentace
ve vodách, uzná vznik těchto svislých mezer za zjev druhotný. Na druhé
straně je jisto, že nevznikly jen větráním, neboť se vyskytují i v lomech
na skalách čerstvě odkrytých, a tedy nezvětralých, ač ne jako otevřené,
široké trhliny, nýbrž jen jako úzké rýhy nebo místa menší soudržnosti.
Již delší dobu převládá o jejich vzniku mínění, poprvé Daubréem
vyslovené a též experimentálně odůvodněné (s. 251), že vznik jejich je
v souvislosti s horotvornými zjevy, jak dokazuje souhlas jejich směru s tek¬
tonickými čarami oblastí, v nichž se vyskytují. Vznikly pravděpodobně
nepravidelnými pohyby klesajících ker vrstevních, jež při tom jako by
byly bývaly krouceny (tamtéž s. 236 — 40 a 266). I v oblasti Jičínsko-Tur-
novské jeví se jejich rovnoběžnost s tektonickými čarami význačným
způsobem. Z měření na mnoha místech konaného jsem shledal, že jeden
systém tamějších svislých puklin, jenž je v celku lépe patrný, jde směrem
S 50 — 65° Z (hora 20 — 21), druhý, méně zřetelný, S 45 — 50° V (h. 3).
Nej bližší velká dislokace, naznačená hranicí mezi permským a křídovým
útvarem, Železnická flexura, má mezi Rovenskem a Železnicí směr asi
S 60° Z.

III. Větrání kvádrových pískovců.

Účinky větrání chemického a mechanického u kvádrových pískovců
jsou quantitativně velmi rozdílné. Větrání chemické je porušuje tak ne¬
patrně, že ani během geologických dob nepadá Činnost jeho příliš na váhu.
Křemen a jíl jsou totiž ve vodě nerozpustné, i když tato obsahuje kysličník
uhličitý. Silněji působí chemické větrání toliko na některé akcessorické
součástky kvádrových pískovců. Důkazem toho je, že voda ze skulin pí¬
skovce na den prosakující obsahuje stopy kyselin, zejména sírové, a na
chráněných místech vytváří krystallky sádrovce a kamence (Beyer).
Poněvadž však zmíněné akcessorické součástky jsou obsaženy ve tmelu
kvádrového pískovce jen ve velmi malém množství, nemůžeme mysleti,
že by odnášení jich mělo znatelnější účinek na rozpadávání pískovce . Za

XIX.

7

to není v té příčině bez významu na povrchu skal se usazující sádrovec
a kamenec, avšak k tomu se vrátíme později.

Naproti tomu zřetelné jsou účinky větrání mechanického. Z jeho
mnohonásobných činitelů můžeme uvésti v první řadě mráz.1) Mrznoucí
voda v pórech, zvláště jemnějších, se roztahuje, tím zmenšuje soudržnost
horniny a udrobuj e zrnka z ní (H i r s c h w a 1 d, s. 394) . Ale současně účinkuj e
týž faktor stejným způsobem v měřítku mnohem větším, zvětšuje starší
trhliny a utrhuje tak někdy i velké balvany ze skály. Méně vydatný, jako
v našich krajinách vůbec, je účinek střídání teploty.

Pozornosti zasluhuje dále mechanické působení dešťové vody, jež do¬
padá na pískovcové skály. Působí nejen na povrchu, nýbrž též v nitru jich,
neboť se z velké části ztrácí v pórech horniny. Podle Hirschwal-
d o v ý c h pokusů (s. 216 a 218), které ovšem nevyhovují zcela podmínkám
v přírodě, kvádr se Saského Švýcarska může pojmouti do pórů množství
vody, jež činí asi 8% jeho váhy, kdežto žula 0-4 — 0-6, hlinité břidlice
0*4 — 1*0%. Jen při velkých lijácích vídáme prouditi vodu též na povrchu
pískovcových plošin. Velmi brzo po dešti mizí všecka v pórech pískovce
nebo v písku, který pokrývá v kvádrových oblastech značné prostory,
třeba obyčejně osazen rostlinstvem. Proto pískovcové oblasti jsou svým
suchem pověstné. Dráhy v nitru pískovce, jimiž se takto vssátá voda
bere, liší se ovšem značně od sítě trhlin, které nacházíme ve vápenci, jak
lze při vlastnostech pískovce předem oČekávati a prohlídka umělých
zářezů snadno dotvrdí. Není tu podzemních dutin se silnými toky vod¬
ními, s jakými se setkáváme v krasových oblastech. Voda se táhne úzkými
průlinami nad podlohou pískovce, sledujíc její sklon, zcela tak, jako proudy
spodní vody v písčitých neb štěrkových nánosech řek, tvoříc podobnou
„hladinu* *. Kde přijde vsáklá voda na neprostupná, jílovitá neb slinitá
mezivrství, odtéká po nich ven. Avšak při tom vyplavuje částečky tohoto
mezivrství, podobně jako u j ílovitého tmelu. Bylo již řečeno (s. 6.), že
během času se takto vyplavují celá jílovitá mezivrství, a voda potom pro¬
sakuje hlouběji. Silnější prameny se vyskytují nevysoko nad neprostupnou
podlohou pískovců na okraj nich svazích, nebo ve hlubších zářezech údolních,
zkrátka tam, kde hladina spodní vody vychází na povrch zemský. V oblasti
Jičínsko-Turnovské obyčejně sliny neb čediče pod pískovcem ležící za¬
vdávají podnět ke tvoření pramenů. Často pak vidíme, jak voda nad ta¬
kovouto neprostupnou podlohou prosakuje ne v jednom prameni, nýbrž
na všech stranách, jako ze stlačené mycí houby.

Ať se táhne nitrem, neb oplachuje povrch pískovcových skal, voda
vyplavuje jílovitý tmel a tím uvolňuje zrnka křemene. Budeme míti níže
příležitost poukázati na důkaz, že na povrchu není tato činnost příliš
intensivní, ale tu a tam se jeví její účinky přece. Na Kladském Boru, jakož

Ů Bohužel nebylo mně dosud možno navštíviti některou kvádrovou oblast
v zimě a tak přímo pozorovati účinky mrazu.

XIX.

8

i na několika místech v Saském Švýcarsku jsem viděl na plochých skalách
podlouhlé, zaoblené výstupky na způsob žeber, 5 — 15 cm vysoké. Při¬
pomínaly mně skrapy vápencových oblastí.1) Na rozdíl od nich však ne¬
vznikly chemickou činností dešťové vody, nýbrž mechanickou, vyplavo¬
váním tmelu. Pravděpodobně již Gutbier připadl na správný výklad,
že jednotlivá hrubší zrnka křemene dala první podnět ke vzniku těchto
malých vyvýšenin. Vedle tohoto účinku dešťová voda stékající po
stěnách pískovcových skal jistě též napomáhá v udrobování jednot¬
livých zrn.

Všimněme si ještě, jakou měrou vegetace přispívá k rozrušování
pískovce. Průkopníky jejími jsou nízké organismy, které se usídlují na
povrchu skalním. Zanechávajíce po svém odumření látky uhlíkaté a du¬
síkaté umožňují existenci vyšších rostlin. Kořeny stromů, které rostou
na pískovcových plošinách, vnikají do trhlin horniny a rostouce vyplňují
je úplně, ano někdy i skálu roztrhnou.

Všecky tyto druhy mechanického větrání trhají a drobí skály pískov¬
cové, ale trhliny jsou vždy ve tmelu, nikdy nerozpolťuji zrnek křemene.
Mohou vésti tak daleko, že se pískovec zase rozdrobí v zrnka, jichž stme¬
lením povstal. Zmínili jsme se již, že písek takto vzniklý leckde ve kvá¬
drových oblastech nacházíme, ač mnoho ho jistě voda hned po vzniku pryč
odplaví. Obyčejně se však brzy pokryje rostlinstvem; v prachu, který
se vyskytuje mezi křemitými zrnky (ta sama o sobě jsou ovšem sterilní),
nízké organismy rostlinné nacházejí životní podmínky a podobně jako
na skalách připravují cestu travinám, jejichž kořeny písek poněkud upev¬
ňují a brání jeho odnášení větrem a aspoň částečně též dešťovou vodou.
Sterilní, volně ležící písek jsem viděl jen na několika místech, a vždy jen
v nevelkém množství, v Teplických skalách a v Saském Švýcarsku. Leží tu
na úpatí skal, na jejichž stěnách se patrně udrobil a sesypal dolů. Po-
zoruhodno je, že skalní stěny nad takovými hromadami písku trčící ne¬
mají obvyklé našedivělé barvy zvětralých kvádrů, nýbrž jsou žluté, jako
pískovec na čerstvém lomu. Patrně na drolící se skále nemohou se uchytiti
ani nízké organismy rostlinné, které dodávají jiným skalám onoho šedého
zbarvení.

Vidíme z toho druhou důležitou činnost rostlinstva v oblastech
kvádrových: Spolu s pískem, kořeny pohromadě drženým, chrání horninu
před dalším větráním mechanickým. Zvětralá pokrývka, v níž rostliny
mají kořeny, humus, však bývá na skalách kvádrových tenká, mnohem
tenčí než na př. u opuky. Kde není písku odjinud sesutého nebo spla¬
veného, nýbrž kde je pouze eluvialní, nemívá větší mocnosti než 20 — 25 cm.
Jako v eluvialní pokrývce jiných hornin, i v tomto písku nacházíme často
ještě kompaktní úlomky pískovce, které však následkem menší pevnosti
této horniny nejsou ostrohranné, nýbrž zaokrouhlené jako oblásky. Po-

Ů Teprve později jsem zvěděl, že totéž srovnání učinil již Gutbier (58 — 60),

XIX.

9

dobné úlomky, Často velkých rozměrů (jako lidská hlava), nacházíme též
v hojnosti na pískovcových plošinách a mírněji skloněných stráních.1)

Poněvadž mělká půda na pískovcích je suchá a obsahuje málo látek,
bývá tu jen chudé rostlinstvo. Les pokrývá zpravidla větší část pískov
cových oblastí. Na plosinách ještě nejlépe se daří skromné borovici, kdežto
na vlhčích stráních roklí, pokud nejsou příliš příkré, vídáme růsti smrky,
k nimž je tu a tam přimíšen nějaký buk. Často můžeme pozoro váti stromy,
které přímo jako na skále přilepené hledají svými kořeny trhlinu, kde by
se mohly zachy titi a trochu výživných látek načerpati (tab. II., 1.). Při
kácení stromů je třeba mí ti pozor, aby se mělký humus nevytrhl s kořeny,
neboť jinak bývá opětné vysazování stromků obtížné. Z polních plodin
lze v těchto půdách s úspěchem pěstovati jen oves a brambory.

V celku třeba ochranu, již rostlinstvo kvádrovým skalám poskytuje,
pokládati za velmi vydatnou. Kdyby ho nebylo, voda a vítr by rychle od¬
straňovaly všechen písek větráním vznikající a vydávaly útokům ovzduší
nové a nové plochy; zmenšování pískovcových plošin by jistě pokračovalo
mnohem rychleji než nyní.

Několikrát se mně naskytla příležitost aspoň zhruba odhadnouti,
jak rychle pokračuje děnu dače na pískovcových skalách. V Prachov¬
ských skalách jsem viděl mnoho jmen a dat, vyškrábaných turisty na
stěnách skalních neb porůzno ležících balvanech. Ježto zřejmě ukazují,
že byly jen na rychlo nějakým primitivním nástrojem vyškrábány, mů¬
žeme s jistotou souditi, že byly jen mělce zaříznuty, jistě ne více než 1 cm,
a přece jsou čitelné ještě po 27 letech. Ve „skalním předměstí" Adrsbaš-
ském je na skalních stěnách mnoho nápisů barvou malovaných, většinou
ježtě dobře znatelných; obsahují jména turistů s daty z let 70. a 80. Pře¬
svědčil jsem se, že barva neproniká hlouběji než asi na 1 cm do pórů hor¬
niny, a proto soudím, že v obou případech byla v době 30 — 40 let denu-
dována na stěnách kvádrových vrstva nejvýše asi 05 cm silná. V Adrsbaš-
ských skalách jsou dále pamětní nápisy, týkající se upravení cest v nich
z let 20. a 40, minulého století, vyryté do pískovcových tabulek, jež jsou
ještě dobře Zachovalé. Podobné nápisy bývají vryty 2, nejvýše 3 cm
hluboko a tak lze vrstvu, odnesenou v 70 — 90 letech sotva odhadnouti
výše než 1 cm. Ale z desky, připomínající příhodu dvou Angličanů r. 1772,
již nápis zmizel.2) Všecky tyto nálezy zdají se souhlasně nasvědčovati,

0 Někdy bývají takové úlomky neb ještě větší balvany též svaleny neb spla¬
veny níže, na výchoz vrstvy jiné povahy. V oblasti Jičínsko-Turnovské, jak výše
řečeno, se pod nebo mezi pískovcem vyskytují zejména vrstvy slínové, a je potřeba
často napjaté pozornosti, abychom zjistili, kde přestává pískovec a začíná slin. To
tím spíše, že sliny, větrajíce též chemicky, bývají pokryty silnou vrstvou hlíny a ne¬
hodíce se k technickým účelům, nejsou téměř nikdy v lomech otevřeny. Velmi často
jsme odkázáni na nepatrné odkrytí jich v malých příkopech, nebo na indicie, jako je
přítomnost pramenů a rybníků, eluviální hlíny atd.

2) Tato deska je na rozdíl od dříve uvedených šikmo nakloněna a proto zejména
působení deště více vydána, než výše uvedené nápisy na stěnách skoro svislých. — Ve

XIX.

10

že průměrně na stěnách, jichž polcha se blíží svislé, bývá denudována vrstva
1 cm silná v 80 — 90 letech ; pravděpodobně exposice k různým stranám svě¬
tovým modifikuje poněkud tuto hodnotu. Bohužel, neznám podobných dat
o jiných horninách (u nichž asi namnoze je denudace méně rovnoměrná)
vyjímajíc pestrý pískovec v Rýnské Falci, u kterého H á b e r 1 e stanovil
ústup stěn o 10 cm \ době 220 — 230 let, (a, s. 176), tedy asi čtyřikrát tak
velký jako u kvádrového pískovce.1) V celku nemyslím, že by denudace
kvádrových pískovců byla ve srovnání s jinými horninami tak nepoměrně
veliká, jak soudil Fric (a, s. 5), ale s druhé strany též ne tak minimální,
jak se domnívá Obst {a, 161). Zdá se mně, že správně asi vystihuje
stav věci Zahálka, když prohlašuje, že pískovce vzdorovaly denudaci
více , než sousední vrstvy slínité (s. 149).

Při té příležitosti chci se též dotknouti myšlenky, u nás častěji opa¬
kované, o ochraně, kterou cedíce poskytují pískovcům. Dovedu si mysleti
jen dvojí způsob této ochrany: Pokrytí proudy nebo příkrovy lávovými nebo
ztužení na kontaktu. V oblasti Jičínsko-Turnovské nenacházíme nikde
ani proudů ani příkrovů lávových. Kdyby byly pokrývaly a tím chránily
celé vyvýšeniny pískovcové, není myslitelno, že by byly později beze stopy
zmizely. Ještě menší vliv vykonával čedič ztužením okolní horniny na
kontaktu. Tu a onde v bezprostřední blízkosti sice proměnil pískovec, ale
tato proměna nesahá dále od čediče než asi na 1 m a nepřispěla též ke
ztvrdnutí pískovce. Jinde zase prorážejí žíly z jednotlivých čedičových
center vybíhající opuku a pískovec, ale nikde nelze pozor ováti, že by tyto
žíly byly způsobily ztužení hmoty pískovcové.

Nynější relief namnoze též ukazuje, že ve víře v ochranu pískovců
čedičem nesmíme zacházeti příliš daleko. Nej vyšší partie Prachovských
skal, Přivišín, skládá se výhradně z pískovce. Malé homole obou Svinčic
zvedají se nepatrně nad hřbet pískovcový, který zachovává stejnou výšku
ještě asi 1 km dále k v. Čediče v nynějším Vokšickém údolí, jež vězely
původně v pískovcovém obalu (Dubolka, Houser, Sv. Anna), nebyly
sto tento obal uchrániti před denudaci. Nelze popírati, že čedičové výlevy
na jednotlivých místech uchránily před denudaci pískovcové souvrství, po
němž se rozlily. Ale naznačovati, že snad celá pískovcová oblast Jičínsko-
Turnovská byla jen čediči udržena, je jistě nesprávné.

IV. Formy údolí a skal.

Bylo již řečeno, že kvádrové vyvýšeniny jsou rozbrázděny množ¬
stvím úzkých roklí s příkrými stěnami. Zvláště v hořejší části rokle bývají

skalách Teplických u „hrobky" lze viděti čtyřhranné otvory, jistě umělé, které podle
sdělení vůdců pocházejí od trámů, jež prý sem zaráželi obyvatelé z okolí, uchýlivše se
do skal v době husitských válek. Kdyby věc byla bezpečně zjištěna, mohla by posloužit
k odhadu o postupu denudace v době ještě značně delší, než v případech hořejších.

Ů Třeba dodati, že rozdíly tamějšího a našeho podnebí nejsou tak velké, aby
padaly v naší otázce na váhu.

XIX.

11

stěny svislé, v dolejší však obyčejně se připojuje k nim mírnější svah,
po němž bývají roztroušeny větší i menší balvany pískovcové. Na celé
řadě umělých zářezů v takových svazích mohl jsem konstatovati, že se
skládají z hrubších i drobnějších úlomků, se strání a plošin nad nimi spad¬
lých, po případě též větrem sfouknutých. Tento sypký materiál ovšem se
nemůže držeti pod úhlem tak velkým, jako kompaktní stěna skalní, a tím
vzniká ohyb ve stráni rokle. Nápadný bývá rozdíl, když přejdeme z oblasti
pískovcové do jiné, kde převládá na př. opuka. Údolí hned se rozšiřují
a stráně jejich stávají mnohem povlovnějšími.

Častěji můžeme v pískovcových oblastech viděti formy, jež pravdě¬
podobně 'představují různá stadia ve vývoji roklí. Na příkrých svazích
tamějších vyvýšenin, kde skály tvoří rozsáhlé amfiteátry, můžeme po¬
zor ováti užší neb širší zářezy, které se již svým směrem jeví jako svislé
mezery, o nichž jsme dříve mluvili, větráním a proudy dešťové vody roz¬
šířené. Vídáme též, jak se tyto zářezy spojují nebo křižují s jinými, k jejich
směru kolmo stojícími, jak to souhlasí se dvěma soustavami trhlin, (tab.
II., 1). Patrně tu máme před sebou zárodky roklí. Když některý takový
zářez svou vhodnou polohou upoutá k sobě větší proud dešťové vody,
zvětšuje se a zpětnou erosí zasahuje dále do nitra vyvýšeniny. Ve mnoha
případech asi též řícení balvanů se stěn přispívá k jeho rozšíření. Protože
však jen občas tu proudí voda, (při velkých deštích a tání sněhu), není
spád jejich vyrovnán, nýbrž zůstává velmi příkrý. Císařskou chodbu s je¬
jími krátkými pobočkami, jejichž podloha se vesměs příkře skláni k ústí,
lze uvésti jako příklad tohoto pokročilejšího stadia. Teprve když stále
tekoucí potok proudí některou roklí, její spád se zmírní.

Myslím, že tímto způsobem lze jedině vysvětliti existenci Četných
a hlubokých roklí v kvádrových oblastech , na niž nebyl, pokud vím, dosud
nikdy položen náležitý důraz.1) Dvě soustavy puklin je prostupující po¬
skytly větrání a dešťové vodě vhodná místa k útoku. Ale rokle v nynější
své podobě jsou z největší části dílem vody. To dosvědčuje uspořádání
roklí, jež tvoří pravidelnou síť toho způsobu, že menší z nich ústí do větších,
jako vídáme u vodních toků. Spád jejich je stejnosměrný, až na malé
výjimky, jež lze snadno vysvětliti druhotnými příčinami, jako sří cením
balvanů na dno roklí.2) Domněnce o vzniku roklí z puklin zdánlivě od¬
poruje okolnost, že vždycky směr obou nesouhlasí. Pozoroval jsem to
v Prachovských skalách a Petrascheck totéž uvádí o skalách Adrs-
bašsko-Teplických (s. 613). Ale myslím, že to není vážná námitka. Rokle

Ú Rathsburg (s. 162) uvádí jako možnost, že četné rokle v některých
částech Saského Švýcarska byly vytvořeny v dobách (ledové), kdy bylo více vody.
Ale pak by něco podobného muselo existovati též v oblastech jiných hornin, čehož na¬
prosto není.

2) Velká Hej šo vina je rozryta chodbami, jež jsou na obou stranách slepé.
Loziňski (s. 11) to asi správně vysvětluje tak, že vznikly ze svislých mezer
větráním, bez spolupůsobení tekoucí vody.

XIX.

12

patrně namnoze vznikají z puklin, které neležely v jedné čáře, nýbrž byly
spojeny puklinami příčnými. Při rozšíření rokle namnoze tato původní
stavba byla zahlazena, ale přece jako upomínku na ni častěji vídáme, jak
roh kvádrové partie přesahuje do rokle. Jiné rokle pak se ohýbají více-
kráte v pravých úhlech, což je zřejmým dotvrzením právě vyslovené my¬
šlenky.1) Někdy též vržení určila směr roklí.

Příkré stěny v hořejší části roklí jsou dokladem, že oplachování jejich
destovou vodou není příliš intensivní z důvodů výše naznačených (s. 7.) . V tom
je shoda s oblastmi vápence, v jehož trhlinách se rovněž voda ztrácí. I horní
závěr roklí bývá stejně příkrý. Často jdouce po plošině pískovcové staneme
nenadále nad stěnou spadající 20 — 30 m hluboko ku podloze rokle, jež má
tu svůj horní konec2) V tom připomínají tyto rokle poněkud suchá ko¬
ryta (wadi) pouští.

Budiž řečeno ještě několik slov o svahu ssuti u paty sten. Jsou to
podobné haldy, jaké nacházíme, ovšem v rozměrech mnohem větších,
ve velehorách. Zpravidla je podle stěn tolik ssuti rovnoměrně nahroma¬
děno, že se haldy táhnou souvisle po celé délce jejich, jsouce nahoře skoro
přímočárně omezeny. Jen výjimkou jsem pozoroval kužely od sebe od¬
dělené, zvláště pěkně ve Weberschlúchte, na s. od Převyšské brány v Saském
Švýcarsku. O velkých haldách v této krajině dokázal Hettner ( a ,
s. 299), že často obsahují jádro z pevného pískovce, ale nevím, platí-li to
též o některých, vesměs menších v oblasti Jičínsko-Turnovské ; sám jsem
nikdy něco podobného nepozoroval.

Skalní partie mezi roklemi mívají nejrůznější rozměry a obrysy.
Povrch jejich bývá zpravidla plochý, mnohem řidčeji, a to, pokud vím
jen v Saském Švýcarsku, se vyskytují homolovité vrchy, korunované
skupinou kvádrů, jež živě připomínají zříceniny hradní. Pískovcová
plošina nepřechází však v boční stěnu zpravidla ostrou hranou, nýbrž
plochou, zakulacenou působením atmosferických činitelů. Denudace na
plosinách chráněných rostlinstvem postupuje pravděpodobně velmi po¬
malu. Stává se sice na plochách poněkud skloněných, že tenká, zvětralá
pokrývka, která lne méně ku podlaze než u hornin hlinitě větrajících,
klouzá pomalu dolů; z Prachovských skal jsou mně známy dva takové
případy. Ale jiný způsob denudování, v jiných horninách, jak se zdá,
značně rozšířený a Gotzingrem podrobně popsaný, totiž slézání
ssuti, je při mělkosti zdejší půdy sotva myslitelný.

Za to na srázných okrajích plosin vídáme Četné doklady, že denudace
rychleji postupuje; k takovým dokladům náležejí zejména osamělé skalní

Ú Salamon na základě prací svých žáků ve Falckém Lese došel k názoru,
že tamější svislé pukliny, zcela podobné našim, měly rozhodující vliv při tvoření údolí.

2) Mladá údolí též v oblastech jiných hornin mívají srázné stěny. Avšak v na¬
šem případě ukazuje okolnost, že v kvádrových oblastech jsou srázné stráně údolní
zjevem všeobecným, v sousedních oblastech řídkým, že se jedná o zjev způsobený
vlastnostmi horniny a ne stadiem vývoje.

XIX.

13

pilíře, často velké výše. Někdy jsou široké, podobné domům, jindy štíhlé,
věžovité. Nezřídka nabývají bizarních tvarů, které jsou nej známějším a pro
laika nej zajímavějším rysem kvádrových oblastí. V Jičínsko-Turnovské
oblastí nej častěji mívají půdorys elliptický, jsouce protaženy jedním směrem,
od z. k v. Patrně třeba to přičítá ti větší hojnosti a intensitě svislých mezer
tohoto směru. V Adrsbašských skalách mívají půdorys více kruhovitý.
Tyto pilíře, které stojí jako přední stráže před rozsáhlejšími plošinami,
pískovcovými, jsou zbytky dřívějšího většího rozsahu těchto plosin a lze
pro ně užiti v Alžírsku obvyklého názvu svědecké skály. Popsali jsme
výše, jak větrání a dešťová voda rozšiřují svislé pukliny, čímž bývají
kusy plošin isolovány a jeví se nám jako právě popsané pilíře. Daleko
pokročilé stadium takového pochodu ukazuje Přivišín, jenž je již úplně-
rozkouskován v řadu skalních ,,domů“. Taková osamělá skaliska bývají
ovšem ze všech stran větráním napadána a proto se zmenšují poměrně
rychleji než souvislá stěna skalní, která hlavně jen s jedné strany je mu
vystavena. Původně úzké štěrbiny mezi jednotlivými vrstvami šíří se
při tom Často tou měrou, že svrchní část pilíře vypadá jako balvan na
vrcholu spodní části položený.

V. Morfologický vývoj oblasti Jičínsko-Turnovské.

Nelze pochybovati, že zdejší vyvýšeniny pískovcové nyní údolími
oddělené původně spolu souvisely. Když před začátkem senonské doby moře
opustilo Cechy, oblast Jičínsko-Turnovská poskytovala nejspíše podobný
obraz, jako nyní východní část Pádské nížiny, byla úplnou rovinou. Ne¬
rovnosti, které nyní nacházíme, byly způsobeny v pozdější době. Bylo
by zajímavo věděti, jak mocné asi bylo původně souvrství pískovců
a slínů, ale nedostává se nám k tomu spolehlivých dokladů. Ani
o nej vyšším obzoru nynějším nevíme bezpečně, je-li vůbec nej vyšší
vrstvou, v českém křídovém moři usazenou, aneb byly-li ještě vyšší de-
nudací odstraněny beze stop. Zahálka sice dokazuje (s. 95, 104 a 115), že
sliny zachované pod čedičovými homolemi Mužského, Vyskře a Trosek
jsou stejného věku s nej mladšími vrstvami křídovými v Čechách nale¬
zenými, ale při nedostatku zkamenělin není přece všechna pochybnost
vyloučena.1) Ostatně i tehdy, je-li Zahálkova domněnka správná, je možno,
že jíly byly původně mocnější. V době vulkanické činnosti, která vytvo¬
řila čedičové homole naší oblasti a již podle analogie s Českým Středohořím
můžeme klásti, aspoň z největší části, do svrchního oligocénu (Hibsch),
ležel povrch zemský jistě značně výše než nyní. Hlavním svědectvím toho
je právě zmíněňý slin, pod ochranou čedičových homolí zachovaný. Bylo

Ú Na severovýchodním svahu Vyskře ve výši asi 430 m, tedy značně vysoko nad
povrchem slinu, jsem nalezl pískovcovou kru, kterou asi též Fric viděl (c, s. 36) ; tím
se vysvětluje „omyl", který mu Zahálka vytýká (s. 165). Je ovšem možno, že tento
pískovec nebyl původně uložen nad slínem, nýbrž z jeho podloží čedičem vyzdvižen.

XIX.

u

již řečeno, že je méně resistentní než pískovec a proto není myslitelno,
že by byl již před obdobím výbuchů sopečných vynikal nad okolí, jako
nyní. Musíme se proto domnívati, že průměrná úroveň povrchu zemského
ležela tehdy ve stejné nebo něco větší výši než povrch těchto pískovců
(400 — 440 m).1) Čedičové homole samy jsou silně denudovány. Nikde
v jejich okolí není stop láv ani tufíů, poznáváme v nich jen ztvrdlou výplň
kráterů nebo hmotu, která ztuhla ještě hlouběji pod povrchem zemským
a teprve pozdější denudací byla odkryta.

Bylo již řečeno, že mezi roklemi nacházíme malé plošiny, z nichž
se sousední svou výškou obyčejně značně blíží. Je na snadě tyto plošinky
v mysli spojiti a obdržíme pak mírně zvlněnou pahorkatinu. Ježto pak
na některých nižších návrších jsou značná lože říčního štěrku, můžeme si
snadno představiti na těchto místech mělká údolí, k nimž se stráně pa¬
horků mírně sklánějí. Zkrátka, dojdeme tak k obrazu značně dozrálé
topografie a lehce můžeme v něm viděti skutečnou minulost naší krajiny,
než znovu oživená erose vyryla rokle a vytvořila nynější relief. Kdyby
se jednalo o vrstvy, v nichž větrání a erose pracují normálním způsobem,
pak by, myslím, nebylo proti takovému výkladu námitek. Ale postup
těchto činitelů v kvádrových oblastech není normální, jak bylo v před¬
cházejících odstavcích ukázáno. Všecka zkušenost ukazuje, že i poslední
zbytky kvádrových vyvýšenin zachovávají si příkré boky2) a potoky ne¬
tekou po povrchu jejich, nýbrž jsou do nich zaryty v roklích. Podmínky
těchto zvláštností existovaly jistě aspoň od doby oligocenní, kdy byly
pravděpodobně vytvořeny svislé pukliny.

Dotkněme se krátce právě zmíněných loží štěrkových. Na několika
místech na plošinkách Hruboskalské vysočiny, u vsi Krčkovic a samoty
Stadel (na v. od Vyskře) ve výši asi 380 m, au Drahoňovic na s. odtud
asi 400 m vysoko jsem našel větší množství oblásků, o nichž se zmiňuje
též Zahálka (s. 113a 142), a které nedopouštějí pochybnosti, že byly
sem přineseny tekoucí vodou. Tyto nálezy jsou však úplně isolovány,
nejspíše asi jen poslední zbytky nánosu někdy mnohem rozsáhlejšího a tak
nelze z nich ničeho usuzovati o toku řeky, která je nanesla. Mnohem sou¬
vislejší štěrky nacházíme na Velišském hřbetě, jehož povrch se nám jeví
jako podle pravítka nakreslený, odmyslíme-li si ovšem čedičové homole
Veliš a Loretto. Můžeme tento štérk sledovati ve výši 360 — 370 m od
Loretta až za ves Štidla v mocnosti 6 — 10 m. Velmi podobné štěrky na¬
cházíme na táhlém hřbetě východně od Sobotky, mezi Zajakuramia Sté-
blovicemi ve výši 375 — 380 m, mocnost jeho je 4 — 5 m. Uložení tohoto

0 Byla-li před tím naše oblast denudací zarovnána až ke stadiu peneplainu,
jako ve stejné době střední Čechy, nemohu zatím s určitostí rozhodnouti. Avšak s ohle¬
dem na neklid půdy v bezprostřední blízkosti při zvedání Sudet, jež snad spadá též do
doby oligocénní, se mně to nezdá příliš pravděpodobno.

2) Tak na př. malé partie cenomanských pískovců v okolí Prahy, na př. na
Vidovli, pnou se příkrými stěnami nad své okolí.

XIX.

15

štěrku, jehož podloha se na vzdálenost 10 km nesklání .více než asi 20 m,
dosvědčuje, že řeka, od níž byly naneseny, měla vyrovnaný tok. Podle
materiálu štěrku můžeme dále souditi, že .řeka ta tekla od Železného
Brodu.1) Studium starých říčních nánosů v úvodí horní Cidliny, jehož
výsledky budou jinde uveřejněny, umožnilo mně parallelisování těchto
štěrků s říčními nánosy v jiných částech Čech. V souhlase s Engel-
m a n n e m pokládám je za současné s jeho terasou A v oblasti Labsko-
Vltavské a se svrchní terasou Purkynovou v úvodí Mže a Vltavy. Engel-
mann naznačuje jako dobu, myslitelnou pro vznik svrchní terasy (A),
svrchní pliocén a starší diluvium ( b , s. 91, 92), Půrky ně pouze dilu¬
vium. Pokládajíce podle toho popsané štěrky za starodiluviální , dojdeme
k názoru, že ve dlouhé dobé od výbuchů čedičových až ku počátku diluvia,
t. j. během celého neogénu pokročilo prohlubování údolí značné méně, než
ve mnohem kratším diluviu.

Můžeme tedy do jisté míry sledovati postup prohlubování údolí,
ale nesnadnější, jako obyčejně, je to u snižování vyvýšenin. Nedovedeme
říci, oč byly sníženy od doby čedičové a oč od doby diluvialní, ač jisté
snižování oplachováním je nepochybné. Snad bedlivější studium stupňů,
které tu a tam na plošinách nacházíme, objasní poněkud tuto nesnadnou
otázku.

VI. Sřícené balvany.

Zmiňovali jsme se již několikráte o balvanech ležících porůznu po
stráních pískovcových vyvýšenin nebo pod nimi. U veliké části poloha
zřejmě ukazuje, že sem spadly oddělivše se od skal výše se vypínajících.
Někde svým počtem a velikostí ovládají tyto spadlé balvany scenerii.
V končinách mně známých je to v první řadě jihozápadní svah Prachov¬
ských skal, řada roklí zvaná Babinec. Častěji u velehorských a středo-
horských partií užívaný název ,,moře balvanů' ‘ se hodí dobře na zdejší
poměry, být i les, který bují na celém tomto prostranství, nedovoloval
je přehlédnouti. Balvany tu zaujímají všemožné polohy, jsou skloněny
pod nej různějšími úhly, namnoze též o sebe opřeny, čímž vznikají přiro¬
zené branky a loubí. Některé jsou velmi značných rozměrů; měřil jsem
několik, jichž obsah činí 50 — 70 m3, tak že váhu třeba odhadnouti při
nejmenším na 1200 — 1400 <7. Nevidíme tu ostatně jen jednotlivých bal¬
vanů, spočívajících přímo na rostlé skále, nýbrž na některých místech je
jich takové množství na sebe nakupeno, že vznikly z nich pahorky až
50 m vysoké, v nichž zůstaly tu a tam mezi balvany dosti velké mezery,
aby se jimi člověk mohl protáhnouti na vzdálenost mnoha metrů. Mezery
takového způsobu jsou jeskyně Lachmannova a Kladivo. Nyní je již na¬
prosto nemožno zjistiti, odkud sem ty nesčíslné balvany napadaly. Většinou

J) Bylo to patrně pokračování horního toku nynější Jizery, neboť jen na ně
se může vztahovati výrok E n g e 1 m a n n ů v (a), že nej vyšší štěrky Jizery vedou
k Cidlině.

XIX.

16

jistě nevznikly ,,in šitu", t. j. prostě rozpadnutím skály, která by snad
byla dříve zaujímala jejich místo, jak to z velké části lez říci o žulových
,, mořích balvanů/' Spíše je pravděpodobno, že tu kdysi hlavní hřbet Pra¬
chovský spadal právě tak příkře, jako dosud se sklání na s., do Císařské
chodby. Vidíme tu podobné horní závěry roklí do hřbetu zaříznutých,
avšak dno jejich bylo vyvýšeno spoustou napadaných balvanů, mezi
nimiž pozůstalé studňovité prohlubiny jasně ukazují, že tu nejde o jedno¬
litou skálu, nýbrž o hromadu trosek. Jiné balvany zatarasily pokračování
těchto roklí.

Otázky, které se nám tu především naskýtají, jsou asi tyto. Proč
práv é na tomto miste došlo ke sřícení tak četných balvanů ? Událo se toto
sřícení v kratším období , katastrofálné, či je to výsledek dlouho pokračují¬
cího processul Do které doby třeba vznik tohoto ,,moře balvanů11 klástU.
S ohledem na první otázku nedospěl jsem k uspokojivé odpovědi. Myslil
jsem na vliv exposice, že totiž skalní stěny k j. obrácené a nejvíce záření
slunečnímu vystavené se ve dne zvláště silně ohřívají, a proto účinky
střídání teploty jsou u nich mocnější, voda v jejich pórech častěji taje
a znova zase mrzne, a že proto jsou více rozrušovány než jinde.1) Ale
tuto myšlenku jsem opustil uváživ, že dále na v. ve stejné exposici není
již patrnějšího nahromadění spadlých balvanů. Naproti tomu je místy
dosti balvanů na severních svazích. Podobnou nesrovnalost vidíme v Tep¬
lickém ,, skalním předměstí": stráň k s. obrácená poseta je nesčetnými
sřícenými balvany, které zasuly zářez potoka tak, že si nyní prodírá jimi
cestu ve hloubce 6 — 7 m\ protější stráň s jižní exposicí však je jich prosta.
Loziňski uvádí, že rozhoduje též tvrdost pískovce; měkčí se rozpadal
v písek, který byl snadno odstraněn, tvrdší v balvany (s. 16). Ale žádná
jiná známka nenasvědčuje rozdílu v pevnosti pískovce u spadlých bal¬
vanů v Babinci a u ska] v jiných částech Prachovského okrsku, kde není
balvanů.

Ke druhé otázce lze odpověděti, že katastrofální padání balvanů
je mnohem méně pravděpodobné než povlovné. Není vyloučeno, že tu a onde
některý balvan, již předem uvolněný, sřítil se následkem otřesu zeme.
Ale aby tak velká spousta spadlých balvanů byla nahromaděna, byl by
se musel naj ednou sřítiti ohromný komplex skal ; myslím, že by na to sotva
stačilo nej silnější zemětřesení. Mimo to by byly jeho účinky bývaly sotva
omezeny na malou plochu Babince (leč že by se jednalo o zemětřesení
sopečné, na které však zde v době posttercierní, do níž řícení balvanů
očividně spadá, nelze mysleti). Myslím proto, jako všichni badatelé v no¬
vější době, kteří se podobnými zjevy zabývali, že padání balvanů se dělo po¬
stupně, v delších intervalech. Někdy velká trhlina mrazy způsobená,

Ú Neznal jsem tehdy ještě studie Lozinského, který připisuje exposici
stejný účinek a vedle toho též velký vliv na tvoření drobných forem na stěnách
skalních (s. 8 anásl). Avšak uváživ pcdrobněji všecky okolnosti dospěl jsem v obojí
příčině k odchylnému mínění.

XIX.

17

jindy blesk, ještě jindy snad otřes země daly poslední popud k oddělení
balvanu již v labilní poloze trvajícího. Také pohyby kořenů stromových
ve spárách pískovcových skal, když stromy jsou zmítány větrem, leckdy
přispívají k uvolnění neb vytržení jednotlivých balvanů. Jiná věc je,
nebylo-li některé období minulosti svými zvláštními poměry nad jiná
příznivo řícení balvanů; tím se dostáváme k otázce třetí.

Zdá se mně, že v té příčině mnoho pro sebe má myšlenka O b s t o v a [a,
s. 1 75) , kterou skoro současně vyslovil též L o z i ň s k i (s. 1 5) , že v době čtvrto¬
horní, kdy bylo podnebí ve střední Evropě chladnější a též výstřednější, ná¬
sledkem častějších mrazů pískovec se více trhal a proto pády balvanů byly
hojnější. Že by spadnutí větší části těch balvanů, které nyní nacházíme,
bylo se událo před čtvrtohorní dobou, nelze mysleti. Byly by jistě z větší
části již podlehly větrání, kdyby byly tak dlouho ležely isolovány. Poloha
některých ukazuje, že hloubka Vokšické doliny jistě nebyla při jejich pádu
mnohem menší než nyní, avšak celá dolina pod úrovní Vokšického hřbetu je
pravděpodobně dílem erose v době čtvrtohorní. Ale i přímé důkazy svědčí
pro věk čtvrtohorní. V lomech na v. od Babince byly opětovně nalezeny
zbytky čtvrtohorních zvířat. První zmínku o těchto nálezech činí Šnaj dr
(a), podrobněji získaný materiál prozkoumal Woldřich. Oba poukazují
na to, že díry a jeskyňky pod balvany a mezi nimi, kde byly kosti nalezeny,
sloužily za skrýše šelmám, které sem zatahovaly svůj lup. Kosti se vy¬
skytují ve hlíně, již Woldřich prohlašuje za spras a která je silně promí-
šena pískem, jenž sem se stěn napadal. Bohužel v žádném z obou popisů
není místo přesně vytčeno, ale myslím, že jde o lom zvaný „Na ro¬
vince" pod „Čertovou kuchyní". Nálezy kostí se tam i nyní opětují.* 1)
Pokud jsem mohl zjistiti, jsou poměry, ve kterých se kosti nacházejí,
zcela takové, jako líčí Šnajdr: bud leží pod sřícenýni balvany, anebo ve
svislých puklinách ve skále, obaleny pískem a hlínou. Původní stav této
lokality je ovšem dlouholetým lámáním pískovce velmi změněn. Myslím,
že i pro tyto nálezy je nej pravděpodobnější výklad Woldřich ův. Tento
geolog zjistil ve zbytcích, jež mu byly z těchto míst zaslány, kosti živo¬
čichů, jež řadí ke své poledové fauně pastvin, s výjimkou tura, jenž je pří¬
slušníkem zvířeny glacialní. Šnajdr však je spíše nakloněn odkázati tyto
nálezy do poslední doby meziledové ( b , s. 184, pozn. 59 b).

Některé pády balvanů však jistě připadají do geologické přítom¬
nosti, ano z jiné části Prachovských skal je mně znám jeden případ i z pq-
sledních desítiletí. Pod Hrádkem leží několik velmi objemných balvanů
přímo v zářezu potůčku, na př. ty, jež tvoří „Pelíškův most". Je viděti,
že od doby jejich pádu erose neudělala vůbec žádného pokroku. V rokli
Na Vodách leží menší balvan v řečišti potoka, který tu tvoří miniaturní
,, vodopád". Tak malou překážku by potok jistě odstranil v době po-

c

1) Byly prý tam nalezeny též pazourkové artefakty, avšak nebylo lze zvěděti,
co se s nimi stalo.

2

XIX.

18

měrně velmi krátké a jde tedy jistě o sřícení balvanu velmi pozdní
Pokud se týče výše naznačeného případu z poslední doby, udál se v Cí¬
sařské chodbě asi před 20 lety (bližšího data jsem nemohl zjistiti.)1) I z ostat¬
ních dvou kvádrových oblastí jsou zaznamenány podobné případy . (O b s t,
a, s. 14 9, G u t b i e r, s. 101), a tak dospíváme ku přesvědčení, že pa¬
dáni balvanů v pískovcových oblastech je zjev , opakující se v geologické pří¬
tomnosti i době čtvrtohorní. Při tom zcela připouštíme možnost, že v době
extremního podnebí diluvialního se opakovalo častěji než nyní.

VII. Drobné formy na pískovci.

Tyto formy vyskytují se někdy v ohromném množství na stěnách
kvádrového pískovce, jsouce pro něj velmi příznačné, kdežto v jiných
horninách našich krajin, pokud mně známo, se nenacházejí, s výjimkou
jen pestrého pískovce?) Jinde bývá povrch pískovcových stěn hladký,
ještě jinde na něm lze rozeznati nesčetné, tenounké (sotva 1 cm) plátky,
jež byly případně přirovnány k lístkům máslového těsta.

Pod hořejší pojem drobných forem shrnuji vystupující lišty a římsy,
dále důlky a díry nej různějších rozměrů i podoby. Lze mezi nimi roze¬
zná váti tyto druhy, při čemž ovšem existují též tvary přechodní:

1 Římsy, vznikající tam, kde hořejší část skály skoro v pravém
úhlu přečnívá přes nižší část stěny. V Jičínsko-Turnovské oblasti jsem
tento zjev viděl jen ve dvou nebo třech případech.

2. Listy, t. j. vodorovné aneb mírně nakloněné pruhy menší tlouštky
(od několika cm do několika dm), jež ční více ku předu, než vrstvy
vyšší i nižší. Jsou zjevem ve všech kvádrových oblastech zcela oby¬
čej ným.

3. Otvory a výklenky, sahající ve srovnání ke své světlosti hluboko
do nitra skal. Shrnuji sem zase formy nej různějších rozměrů i obrysů.
Nacházíme dirky ne širší než 2 — 3 cm. jež pokračují dovnitř skály rourkou
šikmo vzhůru obrácenou a končící slepě ve vzdálenosti 8 — 10 cm. Na
druhé straně vídáme výklenky, 1 m i více vysoké, nahoře zaoblené, dole
někdy rovné, někdy však též obloukovitě omezené, tak že nabývají tvaru
blížícího se kruhu nebo ellipse. Velmi často bývají sestaveny v řadách,
souhlasících s výchozem vrstev, ať pravých neb nepravidelných, a mají
mezery vrstevní za podlohu (tab. II., 2). Někde na vysokých stěnách
skalních bývají též dvě neb i více řad nad sebou, ač při tom je jedna zpra-

0 Pilíř, s něhož se balvan sřítil, byl mně již před tím, než jsem zvěděl o této
události, nápadný tím, že horní část je převislá a obrysy její velmi ostré.

2) Je to hlavně střední oddíl stejnojmenné střední části německého triasu,
označovaný jako hlavní pestrý pískovec (Hauptbuntsandstein), křemitý, nejčastěji
červený pískovec s malým množstvím tmelu, tedy velmi podobného složení jako
křídové kvádry, jenž je nositelem těchto forem. Nejlépe vyvinut je ve Falckém lese,
severním pokračování Vogéz. Sr. Háberle a a b.

XIX.

19

vidla lépe vyvinuta, Na užších pilířích skalních bývají někdy takové
otvory proraženy naskrz (tab. III., 1) a tak vzniká přirozené okno. Pod-
loha těchto výklenků bývá někdy vodorovná, někdy však se též mírně
zvedá do nitra skály. V některých případech jsou výklenky tak blízko sebe,
že oddělující je část stěny se súží na sloupek, často uprostřed zvláště tenký
(„přesýpací hodiny"). Dutiny tyto vnikají často 1 m i hlouběji do skály,
ale pak končí slepě, právě tak jako výše popsané rourko vité otvory. Často
je jejich podloha pokryta dosti silnou vrstvou písku. Někdy nabývají
takové výklenky tak značných rozměrů, že je musíme zváti jeskyněmi.
V Saském Švýcarsku je jich větší počet (H e 1 1 n e r, a, s. 295), v oblasti
Jičínsko-Turnovské však, pokud vím, pouze jeden zasluhuje toho jména.
Nalézá se ve „skále sv. Prokopa" při cestě ze Sedmihorek na Hrubou
Skálu a nemá mnohem více než 2 m délky. Snad též brány ve skalních
stěnách, jako Převyšská, vznikly spojením dvou velkých výklenků z opač¬
ných stran do skály se prohlubujících.

V oblasti Jičínsko-Turnovské nejvíce oplývá takovýmito výklenky
vysočina Hruboskalská, zvláště v severní své části. Ale ani v některých
částech Prachovských skal (v Laholi) a v okolí hradu Kosti nejsou vzác¬
ností. Velmi mnoho jsem jich viděl v různých částech Saského Švýcarska
(Bastei, okolí Převyšské brány, Schrammsteine) ; rozhodně řidčeji se vy¬
skytují v oblasti Broumovsko-Kladské, ač ani tam je nelze nazvati vzác¬
ným zjevem.

4. Jiného druhu jsou dutiny v podobě polokoulí neb válců , jejichž okraje
jsou mnohem ostřeji vyznačeny, než u otvorů právě popsaných. Průměr
jejich bývá, pokud jsem viděl, nejčastěji asi 0'2-0'3w, ale podle zpráv
Obstových někdy též přes 1 ni [a, s. 114 a násl.). Viděl jsem je v dosti
hojném poctu ve vyšším kvádru Hejšovinském, jenž je značně tvrdší než
jiné odrůdy této horniny. Je zásluhou Obstovou, že je poprvé vý¬
slovně odlišil od nepravidelných výklenků.

5. Konečně třeba uvésti mřežování neb voštinové důlky. I v této

kategorii je značná různost. Někde shledáváme mělké, ploché důlky misko-
vité podoby, jež bývají od sebe více vzdáleny. Jinde jsou přehrad v mezi
nimi úzké a ostré, nabývajíce podoby mřížek (tab. III., 2.). Namnoze v ta¬
kovém mřížoví vynikají vodorovné přehrady, jež pak můžeme stotožňovati
s lištami. Leckde jsou tyto mřížky velmi jemné, jejich oka nemají více
než 2 3 cm světlosti, a celé pletivo jich pokrývá jako závoj nebo krajka

10 i více m vysoké skály (tab. I., 2.). Někde končí mřežování náhle a dále
nacházíme již jen lišty aneb hladkou skálu.

Nej pěknější vývoj takovýchto mřížek a voštin jsem viděl v Pra¬
chovských skalách v Babinci a v Čertově kuchyni, méně hojné, ač místy
též typicky vyvinuté, jsou v Císařské chodbě. Často je nacházíme dále
v okolí Mladějova, Kosti a v Boru, na z. od Rovenska; méně často ve
vysočině Hruboskaiské a na Trosko vičku. Řídkým zjevem jsou ve všech

2*

XIX.

20

částech oblasti Broumovsko-Kladské, které jsem navštívil.1) V Saském
Švýcarsku se s ním zase setkáváme mnohem častěji. Viděl jsem je v po¬
době zvláště typické a značné hojnosti na jihozápadních stěnách Schramm-
steine a na severním srázu Edmundovy rokla u Hřenska.

Pokud se týče všeobecného pravidla jejich rozdělení, pozoroval jsem
v celku totéž, co G u t b i e r (s. 92, 93 a 99): že jsou hojnější v nižších
partiích, při úpatí skal, v roklích a chodbách, zvláště kde je skála za¬
stíněna hustým stromovím ; na pilířích a stěnách vysoko a o samotě strmí¬
cích jich zpravidla nenalézáme, aspoň ne v takové hojnosti a tak typicky
vyvinutých.

U některých z uvedených forem nečiní vysvětlení vzniku obtíží.
Hladké stěny se vyskytují tam, kde rovnoměrně složený pískovec se na
všech místech stejně drolí. Vyčnívající lišty bývají často tvořeny výše
(s. 5.) popsanými konkrécemi železitými nebo pruhy pískovce, jejichž
tmel obsahuje více limonitu než okolí. V obou případech větší tvrdost
způsobila, že takový pruh se pomaleji rozpadal v písek a během času vy¬
niknul nad okolí. Někdy snad touž úlohu, jako jinde limonit, hrála ky¬
selina křemičitá, proniknuvši a ztuživši tmel.

Mnohem více sporů bylo vedeno o otázku vzniku výklenků a mře -
žování. Výzkumy v pouštech ukázaly, že tamější skály bývají pokryty
formami zcela podobnými (sr. na př Walther, zvláště obr. 12. a 20.).
Již Hettner se zabývá touto podobností ( b , s. 609 a násl.) a uvažuje,
nelze-li v důsledku jejím mysleti, že řečené formy u nás vznikly za stejných
podmínek klimatických, totiž v podnebí suchém, jež ve střední Evropě
převládalo v mladším diluviu. Zavrhuje však tuto myšlenku a prohla¬
šuje zvláštnost horniny za důvod jejich vzniku (tamt. s. 626), hlavně
proto, že jsou omezeny na pískovce, v jiných horninách jich nenalézáme.
Avšak Passarge se později znova uchopil té věci a O b s t byl od
něho pověřen úkolem, aby ji podrobněji prozkoumal. Ten došel k závěru,
že skutečně celá fysiognomie pískovcové oblasti Broumovsko-Kladské
s velkými i drobnými formami je pozůstatkem z dob suchého podnebí
diluvialního a že především vítr byl na modellování jejím zúčastněn. Tyto
výklady mu vynesly prudkou polemiku s Hettnerem (Hettn er c,
a Obst, b). Později Rathsburg znova studoval tuto otázku v oblasti
Broumovsko-Kladské a dospěl k mínění úplně opačnému než Obst, shod¬
nému s Hettnerem.2) Na základě svých zkušeností v oblasti Jičínsko-
Turnovské mohu k této sporné otázce podá ti následující příspěvek.

x) Jak poměrně vzácné je v Teplických skalách, viděti z toho, že vůd¬
cové na ně na jednom místě zvláště upozorňují, ač je prostší, než na mnoha
místech v Prachovských skalách. Pěkný výskyt z Adrsbašských skal zobrazuje
Petrascheck (s. 615).

2) Obdržev práci Ratsburgovu teprve, když tento článek byl již v podstatné
části své hotov, mohl jsem s potěšením konstatovati, že většinou jeho názory o morfo¬
logii pískovcových oblastí s mými plně souhlasí.

XIX.

21

V severozápadní části Prachovských skal jsou zříceniny malého hradu
Pařezu . Ze zdí nezbývá již mnoho, ale lépe je zachováno několik nevelkých
sklepení, vyhloubených v pískovcové skále. Podoba jejich nedopouští
nej menší pochybnosti o jejich umělém vzniku, a na stěnách místy dobře
ještě vidíme stopy Špičáků. Avšak vedle toho pozorujeme na nich též
prohlubiny docela podobné miskovitým dutinám, jaké často nacházíme
na přirozených stěnách pískovcových. Zvláště na stěně zašpičatělého okna
na západní straně největšího sklepení a pak naproti němu v obdélníkovém
výklenku, v němž snad býval zasazen nějaký trám, jsou tyto skulptury
zřetelné (tab. IV., 2.). Nemůže býti pochybnosti, že se utvořily na stěnách
jistě původně hladkých přirozenou cestou po vyhloubení sklepení, v době
několika posledních století.1) Po tomto nálezu jsme zajisté oprávněni
považovati i miskovité prohlubiny na přirozených stěnách pískovcových
za zjev v geologické přítomnosti vytvořený. Mám však za pravděpodobné,
že mřežování s tenkými příčkami není než pokročilejší stadium vývoje
miskovitých děr. Našel jsem v nejednom případe oba typy zastoupené
na jedné skále a vidíme mezi nimi též všemožné přechody.2) Proto ani
mřežování nemůžeme připisovati tak velký věk.3) Všecko zdání ovšem
mluví též proti tomu, že by drobné formy se byly zachovaly v tak hojném počtu
na pískovci poměrné dosti měkkém až z doby diluvialní.

Jaké argumenty může naproti těmto faktům uvésti theorie ,,pou-
števní"? Podle Obstova výkladu asi tyto: Pískovec je velmi resistentní,
voda naň skoro vůbec nepůsobí, střídání teploty, mráz a vítr za nyněj¬
ších podmínek klimatických jen velmi slabě. V geologické přítomnosti
se proto nedějí s pískovcem téměř žádné změny a kdyby i nynější síly
působily po sebe delší dobu, nemohly by pískovci vtisknouti jeho nynější
fysiognomii. Bylo to v diluvialní době štěpní, kdy vítr a silnější střídání
teploty vymodelovaly pískovec způsobem, jenž se zachoval až na naše
dny. Snažil se tedy O b s t pro svůj názor vésti hlavně důkaz negativní
(b, s. 340.).

Optejme se tedy: Je tento negativní důkaz skutečně tak pevný,
aby mohl vzdorovati faktům výše uvedeným a stlačiti snad jejich význam
na pouhé výjimky? Není skutečně síly, která by při nynějších podmín-

0 Přesněji dobu určití nemůžeme, neboť o hradu tomto není historických
zpráv. Od Balbína víme, že byl zříceninou již v XVII. stol., je tedy jistě nejméně již
300 let opuštěn (Sedláček s. 269).

2) Nechci však vylučovati též možnost, že závisí na různém rozdělení tmelu
pískovcového, vytvoří-li se dirky miskovité neb mřežování. Není tak snadno rozhod-
nouti se pro jednu z těchto dvou možností, ale pro otázku o stáří těchto forem ne¬
padá to tolik na váhu.

3) Háberle připomíná ze starého hradu ve Falckém lese mřežování, které
prý se též vytvořilo teprve v posledních stoletích, ale důkaz tu není tak nepochybný,
jako v našem případě ( a , obr. č. 10) Tvoření děr na pískovci, užitém ke stavbám, jichž
stáří činí 150 — 300 let, vidíme na fotografiích Hirschwaldo vých (obr. 176,
177 a 184).

XIX.

22

kách klimatických mohla tvoři ti ono bohatství drobných forem, jež v pí¬
skovcových oblastech nacházíme? A tu najdeme řadu badatelů, kteří
odpovídají na tuto otázku s rozhodností kladně. Ukázali jsme výše, jak
na snadě leží myšlenka, četnými případy jasně dotvrzená, že lišty na
pískovcových stěnách vznikají nestejně rychlým rozpadáváním pískovce
různé stmeleného. Nebylo by lze mysleti, že z podobných důvodů na jiných
místech skal vývětrávají dirky? Již Bischof připadl na to, že ta¬
kovéto selektivní větrání by mohlo vysvětliti drobné formy ve skalách
Adrsbašských (s. 486). Stejně se vyslovuje Hettner (a, s. 51). V tom pří¬
padě vystačíme zcela se silami, jež dosud na pískovce působí, mechanickou
činností vody uvnitř i vně pískovců. Zbývá pouze jedna otázka. Jak vzniklo
zvláštní rozdělení resistentnejších partií uprostřed méně resistentních?
Na to uspokojivou odpověď dal v nedávné době H á b e r 1 e (s. 205 až
207). Podle něho prosakující voda místy tmel, zejména železitý, vypla¬
vila neb rozpustila a odnesla, jindy jej zase usadlia. Na místech usazování
jeho stěny rourek, jimiž voda prosakovala, ztvrdly, a pozdější denudace
tyto tvrdší partie vypreparovala. Podle Bayerových výzkumů
můžeme souditi, že též usazování kamence a sádrovce mělo vliv na modi¬
fikaci resistence pískovců; kamenec ji zmenšoval, sádrovec zvětšoval.
Velkou oporou této infiltrační theorie je, že pískovec mřížek, lišt atd.
skutečně ve většině případů již svou váhou, barvou atd. ukazuje na vetší
obsah limonitu než okolí a dále že síť jejich shoduje se s našimi představami
o síti drah vody, v pískovci kolující. Majíce tak uspokojivé vysvětlení,
jak mohou mřížky vznikati silami dosud působícími, můžeme negativní
důkaz Obstův směle prohlásí ti ze odbytý.

Pro jeho ,,pouštevnť‘ neb eolickou thoerii by tedy zbýval jen důkaz
podobnosti s formami z pouští nynějších. Ale uvážíme-li, že taková po¬
dobnost Často klame, že známe dosti případů, kdy zcela stejné formy,
drobné i velké, jsou vytvářeny silami různými (na př. zjevy glacialní
a pseudoglacialní) , nebudeme jistě ani okamžik na rozpacích, prohlásiti
i tento důkaz za nedostačující a dáti přednost theorii infiltrační před
eolickou.

Nechci tvrditi, že by vítr byl býval úplně bez účinku na vytváření
forem kvádrových oblastí. Sám o sobě nemůže sice na pevné skále provésti
nej menší změny, ale zmocňuje se odvětralých zrnek křemene a pomocí
nich může pak skály škrábá ti a hladiti (korrase). Ale v našich kvádro¬
vých oblastech mu následkem rozmáhání se pokrývky rostlinné tento
účinný nástroj, volně ležící písek, obyčejně úplně chybí.1) A též tam,
kde se vyskytuje, bývá obyčejně trochu vlhký a lne pohromadě, tak že
se ho vítr nemůže tak snadno zmocniti. Viděl jsem to zejména při své
návštěvě chodby zvané Schrammtor, v západní části Schrammsteine,

Ú Něco málo ho poskytuje kácení nebo vyvracení stromů, jež odhaluje podlohu
pískovcovou, ale to nemůže mnoho padati na váhu.

XIX.

23

kde se nachází největší množství volného písku, jaké jsem kdy v kvá¬
drových oblastech viděl. Ačkoli několik dní před tím nepršelo a vál vý¬
chodní vítr, který je tam nej příznivější zvedání písku, přece se ani zrnko
písku nehnulo.1) Můžeme z toho souditi, že formy eolického původu jsou
u nás poměrně vzácné.

Je možno přece některé formy připisovat i činnosti větru? Odpověď
na tuto otázku není snadná. Nejlépe zjištěná a nej typičtější známka jeho
činnosti, ohlazené plochy, jako u známých hranců, se tu nikde nevysky¬
tují; pískovec ovšem svým složením není jejímu vyvinutí a zachování
přízniv. Beck přičítá jí jiné formy z lokality Schrammtor právě uvedené,
totiž dutiny oválního tvaru, navzájem oddělené sloupky v podobě pře¬
sýpacích hodin. Dokládá však sám hned, že i normální větrání může
takové formy vytvořiti, když rozdělení tmelu v pískovci j e tomu příznivé.
Pokud se týče mřežování, soudí Bec k, že je větrem ničeno a ne tvořeno
(s. 545)2). Z oblasti Jicínsko-Turnovské neznám jediného místa, kde by bylo
lze s takovou aspoň jistotou jako ve Schrammtoru mluviti o formách
eolických ; jsou-li tu vůbec , jsou jistě výjimkami.

Dosud jsme mluvili více o vzniku mřížek a voštin, zbývá ještě při-
hlédnouti ke tvoření hlubších děr a výklenků. Bohatství tvarů, jež tu na¬
cházíme, mne přivedlo na myšlenku, že se asi nejedná jen o jeden způsob
vzniku. Soudil bych na tyto případy:

1. Mezery vrstevní, vzniklé vyplavením hlinitého mezivrství, se
zvětšují. Vytvářejí se tím podlouhlé výklenky, jejichž tvar připomíná
lidské oko neb obočí. Dalším vývojem z nich pravděpodobně vznikají
výklenky, jichž výška je větší než šířka.

2. Rourkovité dráhy vodní se rozšiřují, vznikají nejprve výše popsané
rourky o světlosti 2 — 3 cm, pak i rozsáhlejší výklenky. Podoba otvoru
v tomto případě je kruhová neb elliptická.

3. Množství tmelu se mění méně rychle než u mřížek, proto normální
větrání dává vznik větším děrám. Tvar otvoru v tomto případě může
býti velmi různý.3)

Ů Pan prof. Purkyně mne upozorňuje, že zimní období bývá u nás bohatší na
pískové vánice, což je vysvětlitelno tím, že zima je u nás obdobím poměrně suchým.

2) De Martonne předvádí obrázek (tab. XXXII. B), kde vidíme na
zříceninách Beaux v Provenci dutiny velmi podobné miskovitým v našich pís¬
kovcích a ve vysvětlení praví, že byly vyryty mistralem a podobají se formám na
skalách pouští. Je to zajímavé tím, že se jedná o případ z podnebí, pokud se týče
vlhkosti podobného našemu. Bohužel nepodává auktor vysvětlení, proč je pokládá za
dílo větru (exposice?).

3) Frič [a s. 9 a násl.) poukazoval ještě na jiný možný způsob vzniku po¬
dobných děr, totiž z mořských hub. Petrascheck však podotýká (s. 616), že již
tvar děr ve kvádrech Adrsbašských a Teplických nelze uvésti v soulad s takovýmto
způsobem vzniku, a já podle všeho, co jsem po té stránce viděl, mohu s tím jen sou-
hlasiti. Frič ostatně opírá svoji domněnku jen o nález křemitých jehlic z hub
v opuce u Chocně ( b , s. 55) ; lze sotva pokládati za správné, když bez dotvrzení
dalšími nálezy přenáší tento výklad i na pískovce a dalekosáhle jej sevšeobecňuje.

XIX.

24

Je docela přirozená myšlenka, že velké výklenky vyžadovaly ke svému
vytvoření mnohem déle trvajícího větrání, že jsou mnohem starší než nepatrné
poměrně mřežování. Největší měrou to ovšem platí o jeskyních tohoto druhu
v pískovci. Tu lze docela dobře mysleti, že základ k jejich tvoření byl
položen již v době diluviální, aě proto nemusíme vítr pokládá ti za jejich
původce, nýbrž větrání stejného druhu, jako působí dosud, ač z části snad
účinnější následkem většího střídání teploty a častějších mrazů v tehdej¬
ším stepním podnebí.

Dlouho jsem uvažoval, jak by bylo možno vysvětliti hojnost voštin
v některých a nedostatek jich v jiných částech pískovcových skal (sr.
s. 20.), ale nedošel jsem k uspokojivému závěru. Dříve se mně zdálo
nej pravděpodobnějším vysvětlovati je různým způsobem větrání, v expo¬
novaných polohách že je směrodatný mráz, ve chráněných prosakující
voda, jež se tam tak snadno nevypařuje a proto déle a mocněji působí.
Došel jsem však později, jak právě vyloženo, ku přesvědčení, že vznik
drobných forem je podmíněn v první řadě růzností ve způsobu stmelení pís¬
kovce, že jsou výsledkem selektivního větrání ; nemá na ně valného vlivu,
která síla větrání působící převládá, neboť všechny mají stejné účinky,
drobíce pískovec v písek. Proto nemohu se zastávati výkladu právě pro¬
neseného a musím ponechati řešení svrchu nadhozené otázky na dobu
pozdější.

* *

*

Shrnuje ke konci hlavní výsledky své práce odpovídám k otázkám,
jež jsem položil na počátku, takto:

1. Podobnost forem v kvádrových oblastech Jicínsko-Turnovské, Saského
Švýcarska a Broumov sko-Kladské jde do podrobností, aě je mezi prvními
dvěma ještě větší než mezi nimi a třetí. Příčinu toho třeba pravděpodobně
hledati v malé odchylce ve složení pískovce, která by se snad ani podrob
nému zkoumání mineralogickému a chemickému neobjevila.1)

2. Poměry oblasti Jicínsko-Turnovské rozhodně ukazují, že zvláštní
formy pískovcových oblastí z valné většiny nelze považovati za pozůstatek
z dob, kdy vládlo jiné podnebí, nýbrž že děkují za svůj vznik vlastnostem
kvádrového pískovce, na němž se vliv ovzduší projevuje jinak než na jiných
horninách.

Ú Snad by bylo možno z části to připisovati okolnosti, že tu není čedičových
homolí a proto též ne tak silné infiltrace pískovců železitými vodami z nich přicháze¬
jícími.

XIX.

Citovaná literatura.

Otto Bayer: „Alaun und Gips ais Mineralbildungen und ais Ursachen
der chemischen Verwitterung in den Quadersandsteinen des sáchsischen Kreidege-
bietes.“ Zeitschrift der Deutschen Geologischen Gesellschaft, sv. 63, 1911.

R. B e c k: „Uber die corrodierende Wirkung des Win des im Quadersandstein-
Gebiet der sáchsischen Schweiz" Z. D. Geol. Ges., s. 46, 1894

Karel B i s c h o f : ,,Das Felsen-Labyrinth zu Adersbach in Bohmen". Neues
Jahrbuch fůr Mineralogie etc., ročn. 1844.

A. Daubrée : , , Syntlietische Studien zur Experimentalgeologie" Deutsche
Ausgabe von Adolf Gurt. Brunšvík, 1880.

Richard Engelmann, a) Mitteilungen der k. k. Geograph. Gesellschaft in
Wien, sv. 56, s. 114; 1913.

b) „Dié Terrassen der Moldau-Elbe zwischen Prag und dem bohmischen Mit-
telgebirge." Geographischer Jahresbericht aus Osterreich, sv. IX. 1911.

Kurt Flegel; „Heuscheuer und Adersbach—' Weckelsdorf." 82. Jahresbericht
der Schlesischen Gesellschaft fůr vaterlándische Cultur. 1905.

J. G. Forchhammer : ,,Geognostische Studien am Meeres-Ufer"
N. Jahrb. f. Minerál, etc., sv. 24, 1841.

Antonín Fric, a) ,, Studie v oboru křídového útvaru, VII. část, Chlomecké
vrstvy". Archiv pro přírodovědecký výzkum Čech, díl 10, 1897.

b) ,, Studie . . ., IV. část, Jizerské vrstvy." Archiv . ., díl 5. 1885.

c) ,, Studie. . ., VI. část, Březenské vrstvy". Archiv . . ., díl 9., 1893

Gustav Gótzinger : „Beitráge zur Entstehung der Bergrúckenformen"
Geographische Abhandlungen, díl IX., seš. 1. 1907.

H.V. Graber: „Eisenreiche Kernkonkretionen aus dem Quadersandstein der
nordbóhmischen Kreideplatte" N. Jahrb. f. Minerál etc., příloh, sv. XXV., 1908.

A- v- Gutbier: „ Geognostische Skizzen aus der Sáchsischen Schweiz"
Lipsko, 1858.

Daniel Haberle, a) ,,Ůber Kleinformen der Verwitterung im Hauptbund-
sandstem des Pfalzerwaldes." Verhandlungen des Naturhistorisch-Medizinischen
Veremes zu Heidelberg, sv. IX., 1911.

b) ,,Der Pfálzerwald " Geographische Zeitschrift, ročn. XVII. 1911
c , Alf^ed H e 1 1 n e r : „Gebirgsbau und Oberfláchengestaltung der sáchsischen
c weiz. Forschungen zur deutschen Landes-und Volkskunde, sv. II. seš. 4 1887

b) Die Felsbildungen der sáchsischen Schweiz". Geogr. Zeitschr. r. IX 1903.

c) , , Wústenformen in Deutschland?" Geogr. Zeitschr., r. XVI., 1910.

T n J* E; H 1 b s c h : Beitráge zur Geologie des bohmischen Mittelgebirges, II."
Ischermak’s mmeralogische und petrographische Mitteilungen, sv. 19. 1900.

Berlín 19 12^ Í r S ° h W a 1 ^ * "Hand^uch ^er bautechnischen Gesteinsprůfung."

Karel Kořist ka : „Popis hor Jizerských a Krkonošských s jižním a vý-
cnodmm podhořím jejich". Archiv . . . , díl II. 1877.

XIX.

Jan Krejčí: „Studie v oboru křídového útvaru v Čechách. I. Všeobecné
poměry". Archiv, díl. I. 1870.

W. Loziňski: „Uber meclianische Verwitterung der Sandsteine im ge-
mássigten Klima." Bulletin international de 1’académie de Sciences de Craeovie. Classe
de Sciences mathém et nat., 1909, I. sémestre.

Emanuel deMartonne: „Traité de Géographie physique". Paříž 1909.

Erich O b s t a ) ,,Die Oberfláchengestaltung der schlesisch-bohmischen Kreide-
ablagerungen." Mitteilungen der Geograph. Gesellschaft in Hamburg; sv. XXIV.
1909.

b) ,,Wústenformen in Deutschland?" Geograph. Zeitschr. r. XVII., 1911.

Josef P a r t s c h : ,,Schlesien I. Das ganze Land." Vratislav 1896.

Wilhelm Petrascheck : ,,Die Oberfláchen-und Verwitterungsformen im
Kreidegebiet von Adersbach und Weckelsdorf." Jahrbuch der k. k. geolog. Reichs-
anstalt, sv. 58, 1908.

Cyril rytíř P u r k y n ě : „Terasy Mže (Berounky) a Vltavy mezi Touškovem
nad Plzní a Prahou". Sborník Č. společnosti zeměvědné, sv. XVII., 1912.

Alfred Rathsburg: „Zur Morphologie des Heuscheuergebirges" . 18.
Bericht der naturwissenschaftlichen Gesellschaft in Chemmitz, 1912.

Salomon: „Die Bedeutung der Messung und Kartierung von gemeinen
Kluften und Harnischen, mit besonderer Berucksichtigung des Rheintalgrabens".
Z. D. Geol. Ges., sv. 63, 1911.

Sturm: „Der Sandstein von Kieslingswalde in der Grafschaft Glatz
und seine Fauna". Jahrb. der K. Preussischen geolog. Landesanstalt ; sv. 21, odd.
III. 1900.

Ludvík Š n a j d r, a) „Zbytky diluviální fauny v Prachovských skalách
u Jičína". Vesmír, ročn. 12. 1883.

b ) „Památky nej dávnější činnosti lidské v Českém Polabí". Pravěk, r. V., 1909.

Johannes Walther : „Das Gesetz der Wustenbildung". Berlín, 1900.

Jan N. Woldřich: „Diluviale Fauna in den Prachover Felsen bei Jičin in
Bóhmen." Jahrb der k. k. geolog. Reichsanst., sv. 37, 1888.

Čeněk Zahálka : „Pásmo X. křídového útvaru v Pojizeří". Věstník král.
č. společnosti nauk, r. 1905, rozpr. XVII.

XIX.

V. Novák. O formách kvádrových pískovců.

Tab. I.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roc. 1914, čís. 19

1. Císařská chodba v Prachovských skalách. 2. Partie z Babince v Prachovských skalách.

Příklad hluboké, bezvodé rokle, jejíž dno spadá ve pří- Mezi dvěma skalami svislá mezera, v níž jsou vklí-

krých stupních. Škál)’ poboční ukazují jemné zvrstvení něny balvany shora spadlé. Na skále v právo jemné

a svislé mezery, jdoucí v celku rovnoběžně s chodbou. mřežování.

V. Novák: O formách kvádrových pískovců.

Tab. II.

1. „Skalní město “ nedaleko Valdštejna.

Skalní pilíře, navzájem oddělené svislými mezerami obojí soustavy, ukazují
formy větráním zaoblené. Na mezerách vrstevních se místy tvoří velké

výklenky.

2. Lahole v Prachovských skalách.

Jedna vrstva se tu zřejmě jeví zvláště příznivá ke tvoření velkých výklenků.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, Čís. 19.

I

k : . ...

V. Novák: O formách kvádrových pískovců.

Tab. III.

>0J

o

o

'OJ

c n
>u
TO
C/3

o

>

'£

'Cti

>

O

>N

OJ

>U.

£

cti

C

<u

Vh

O

Pí

e

<u

cn

<u

N

>, >i'<U J,

P PU

JD *52 p

> o

.. r> r* co
2 Cti

>ÍJ k ^ o
O Ph ^2

■S >

p * >n ~

OJ >
4-> +->

3 Cfl

-go g

<s j-j-3

h o.s m p

><P ' > X3 O

to « 0 ”

^T1 > T3 vQJ °

s ^

o > «

>0) o

P o

'rt '°
OJ

>Ul [O rr< ^

'OJ Pí ^

P >0J ^

&!i° =

cti ^ o ,x: o
3 ® >c£ >

Cti V i-' jj

£ S&SS

<*> Cti P £ ^
. ^ O 'g >
^ P 'w P N

Rozpravy České Akademie. Třída II., roc. 1914, Čís. 19

1. Partie z Babince.

Spadlé balvany ukazují vyvětralé lišty.

2. Stěna sklepení na hradě Pařezu.

Na mnoha místech, zvláště ve výklenku viděti dirky, zcela podobné těm,
jež nacházíme na přirozených, ovětralých stěnách skalních (srv. tab. III.,

2., v levo).

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. 1914, čís. 19.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 20.

Šumavská jezera

IV.

Laka.

Napsal V. Švambera.

(S 1 tabulkou a mapkou.)

Předloženo dne 13. března 1914.

Poprvé objevuje se Laka, pokud víme na mapě Kreybichově1)
ovšem beze jména. Nedlouho na to bylo jezero skutečně změřeno při po¬
řizování stabilního katastru r. 1837, 2) při čemž udány také jeho plošné
rozměry. Jméno jezera označuje se zde jako Laka See. V známém díle
Sommerově3) jest jen zmínka, že jezero chová hojně pstruhů. Nad¬
mořskou výšku jezera určil Hochstette r,4) jemuž se jezero nezdálo
nijak zajímavým. Na starší speciální mapě5) kr. Českého nalézáme
jezero již zakresleno s obrysy odpovídajícími měřítku mapy a s označením
,,Laka See“. Dílo Wenziga a Krejčího6) přináší asi první obrázek
jezera, jenž se ovšem naprosto liší od dnešního; jinak dovídáme se
z tohoto díla jenom to, že jezero nalézá se osaměle v divokém lese.

F r i č 7) při své návštěvě r. 1871 správně odhadnul hloubku jezera
na 8 až 10 stop. Výtěžek zoologické kořisti jeho i assistenta H e 1 1 i c h a 8)

x) Kreybich F. J. H., Chartě vom Prachiner Kreise. Prag 1831.

2) Katastrální mapa: Stadler III. Antheil (slavisch: Stadlowsky odjí 30 díl).
Aufgen. v. Geometer Karl Kozell. VIII. sekční list, 1 : 2880. 1837.

3) Sommer, Das Kónigreich Bóhmen. VIII. Prachiner Kreis. Prag 1840,
p. XXX a 242.

4) Hochstetter F., Die Hóhenverháltnisse des Bóhmerwaldes. Jahrb. d. k. k.

Geol. Reichsanstalt. VII. 1856, p. 325, a t. Aus dem Bóhmerwald. AuBerordentliche
Beilage zu Nr. 220 der Allg. Zeitung, 8. August 1855.

6) Specialkarte v. Bohmen, 1 : 144.000, list 29.

6) Wenzig J u. Krejčí J., Der Bóhmerwald. Prag 1860, p. 49 a 51.

7) Fric A., Uber die Fauna der Bóhmerwaldseen. Sitzungsberichte d. kgl.
bóhm. Ges. d. Wiss. in Prag, 1871, II. (1872) p. 5 u. 9.

8) Heliích B., Perloočky země České (Cladocera). Archiv pro přír. prczk.
Čech. 3. díl, č. 4, Praha 1878, p. 121.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 20. 1

XX.

2

tvoří až dosud souhrn našich vědomostí o fauně jezera. Fantastické roz¬
měry a hloubku 20 m (!) udává pro jezero Mochel.9) Zcela krátké
líčení jezera nalezneme u W i 1 1 k o m m a,10) jenž patrně jezero sám
navštívil. V té době bylo jezero podle břehů velmi bažinaté a také uprostřed
jezera nalézala se velká plocha rákosí. Břehy byly již patrně upraveny,
neboť Willkomm mluví zde o lávkách. Nové mapování vojenského ústavu
geografického ve Vídni bylo tu provedeno r. 1878 a nová mapa spe¬
ciální11) vydána na jeho podkladu r. 1882. Nalezneme na ní pro jezero
nadmořskou výšku 1096 m. Časově následuje lesní mapa12) zdejšího
panství hohenzollernského s nadmořskou výškou jezera 1080 m a o rok
později cestovní průvodce Řivnáčů v,13) jenž přejímá údaje Willkom-
movy, redukuje však značně plochu jezera. Bayberger14) sám na
jezeru nebyl, zaznamenává však o něm, že lesníci zdejší nestaví jej na
roveň ostatním jezerům šumavským. Z řady různých turistických prů¬
vodců uvádíme jenom největšího Detterov a,15) v němž nalezneme
nesmyslně velké číslo pro hloubku jezera. Teprve po dosti dlouhé řadě let
objevuje se tu nový badatel — dr. P. Wagner.

Při návštěvě 14. srpna 1896 zastihl Wagner jezero na nejnižším
stavu, neboť právě tehdáž bylo za účelem lovu pstruhů úplně vypuštěno,
takže jenom v části u odtoku nalézala se louže ne více než 0*75 m hluboká.
Celé ostatní dno jezera mohl tu Wagner spatřiti a právě proto jest tento
první a jediný popis jezera Laka zajímavým.

Wagnerovi děkujeme první petrografické poznámky o březích jezera,
jakož i poznámky o teplotě přítoku, odtoku a hladiny jezerní a také na
základě mapy katastrální skizzu jezera v měřítku 1 : 5000 doplněnou za¬
kreslením ostrovů podle tehdejšího stavu.

Já sám věnoval jsem výzkumu Laka hlavně dny 25. až 27. července
1907, při čemž jsem provedl obdobná měření jako na ostatních jezerech šu¬
mavských. Zúčastnili se při tom p. assistent Maule, p. Kracík a p. učitel
Erhardt ze Sušice. tJčinně podporovali nás p. farář Ivan Soukup z Hůrek
a p. revírník Weiss tamtéž. Ještě dvakráte navštívil jsem toho roku jezero
a sice 13. a 27. srpna. Také v létech následujících zastavil jsem se někdy
na jezeru. Z těchto návštěv uvádím zvláště onu 10. září 1910 s p. lesním
Broncem a koncem září 1913 s menší exkursí posluchačů.

9) Mochel, Průvodce na trati Plzeň-Eisenstein-Deggendorf. Plzeň 1878.

10) Willkomm M., Der Bohmerwald. Prag 1878, p. 12 a 14.

u) Spezialkarte der Osterr.-Ungar. Monarchie. Z. 9 C. VIII. Eisenstein und
Viechtach. 1 : 75.000. 1882. Sekce původního mapování Z. 9 C. VIII, SO. 1 : 25.000.

12) Kartě der Forstverwaltungsbezirke Bóhmisch-Eisenstein, Deffernik-Hur-
kenthal u. Bayer. Eisenstein. gez. v. J. Stehlik im J. 1881. M. 1 cm — 331'20m.

13) Řivnáčův Průvodce po král. Českém. Praha 1882. p. 585.

14) Bayberger F., Geographisch-geologische Studien aus dem Bóhmerwalde.
Gotha 1886. p. 36 a 37.

15) DettePs Illustrierter Fúhrer durch den unteren Bayer- u. Bohmerwald
mit Můhlkreis. II. Aufl. Deggendorf 1906. I. Bd., p. 347.

XX.

3

Asi % hod. cesty od farní osady Hůrek na 49° 6-5' s. š. , 30° 59-5' v
d. F. (13° 19-6' G.) nalézá se malé jezírko, jež v literatuře’ různě bývá
označováno, nej častěji Lakka n. Laka, také však Lackensee a docela
i Laccensee. V české literatuře označuje se někdy jako „Pleso", s čímž
nemohu projeviti souhlas.

Jezírko nenalézá se těsně pod stěnou jako některá jiná jezera šumavská
nýbrž v jisté vzdálenosti. Ostatně stěna činí dojem menší příkrosti, než
u jiných jezer, což potvrzuje také Wagner, jenž udává zde průměrný
sklon na 12°, a jen místy na 30° a na strmých, lysých skalách 40°. Re¬
lativní výška stěny činí 250 m, při čemž dlužno ještě míti na paměti značnou
lineární vzdálenost vrcholového bodu od jezera.

Gůmbel na své mapě zakreslil jezero v rule, jež zde vykazuje dvě
lože žulová. Wagner, jenž se právě zde věnoval petrografickému ohledání
břehů, nemohl pro porost tato místa zjistiti; pouze na jednom místě kon¬
statoval směr vrstev N. 35° W, a zapadání jich v úhlu 55° k jihu. Podle
výbrusu zjistil v hornině mimo biotit, muskovit a křemen ještě sillimanit
a nerost blížící se orthoklasu ; plagioklas se nevyskytl. Wagner praví, že
nelze tudíž tuto horninu označovati jako rulu nýbrž nejvýše jen jako
rulovitý svor (Gneis-Glimmerschiefer).

Dále na stěně však bylo lze konstatovati žulu a na jednom potůčku
varietu svoru velmi bohatého na granáty.

Jezero má, jak z mapy lze viděti, podobu dosti pravidelného obdél-
níku ve směru od jjz. k ssv. Hráz, přepažující jezero v sv. při odtoku,
činí převahou dojem umělý. Byla pořízena již v létech 30tých stol. XVIII.,
kdy majitel panství Krištof Ábele dal zvýšiti stav jezera. Že jezero již
jednou bylo ještě menší než dnes, tomu nasvědčují kořeny velkých stromů
přirozeně ve dně zarostlé, jež mohl Wagner r. 1896 při vypuštění jezera
konstatovati. Podruhé byla hráz upravena r. 1888. Stavidlo nalézá se
uprostřed hráze a lze jím jezero úplně vyprázdniti. Přes toto sta vidlo děj e se
hlavní odtok, kdežto starším odtokem na východě odtéká nyní jezero
jenom pri vyšším stavu. Také v severozápadním cípu jezera prosakuje
na jednom místě voda, jak jsem seznal r. 1910. V hrázi nalézají se větší
balvany v hnědém jílu. Vykazují místy rovné kluzné plochy,
•částečně jsou také zaobleny a mírně poškrábány. Také balvany při cestě
jsou pěkně zaobleny, jak Wagner konstatoval.

Na jezeře se nalézá několik plovoucích ostrůvků, jichž poloha se
každoročně mění ; jenom velký ostrov nejdále k jihu posunutý a jen úzkým
pruhem vody od východního břehu jezera oddělený má již jistou sta-
bilnost ; na tomto ostrůvku zachytila se řada smrčků, z nichž nej vyšší
jsou již přes 3 m vysoké. Ostatně roste na těchto ostrůvcích ostřice a v ni
suchopýr ; podklad tvoří většinou rašeliník a mezi tím se nalézá Vaccinium
oxycoccos.

Na břehu jezera vládne úplně smrk a jenom místy nalézá se nějaký
jeřáb; ostatní porost tvoří hlavně borůvky a kapradí.

XX.

1*

4

Celé jezírko lze dnes na pohodlné cestě obejiti. Není tu ani stopy
po nějaké divokosti přírody; spíše působí Laka dojmem přívětivého parko¬
vého jezírka. Na březích objevují se balvany, ovšem nikoliv tak veliké,
jako jinde. Celý ráz končiny v pozadí mezi oběma přítoky, kde dnes
stojí krásné smrky aspoň 90 let staré, ukazuje, že zde jezero sáhalo dříve
dále ku stěně, jež dnes nikde nedostupuje k jezeru. Vyjdeme-li zde v jiho¬
východním cípu jen několik metrů nahoru, vidíme, jak terrén v odstavcích
jest plochý. Již oba přítoky v pozadí do jezera vtékající účinkují velmi
značně na zanášení se jezera. Rovněž methoda potopování plovoucích
ostrůvků nákladem kamenů v zimě sem svežených urychlí vlastně ]ei
jeho vyplnění. V pozadí jezero přechází ve slať a zde postupují mladé
smrčky vůčihledě, následkem čehož bude zbahnělá část ještě více upevněna.
Bude zapotřebí veliké dbalosti kníž. hohenzollerské lesní správy, aby
Laka jako jezírko ještě na delší dobu bylo zachováno.

Jezero odtéká Jezerním potokem do Křemelné a touto do Vydry.

Nadmořská výská jezera. První číslo pro nadmořskou výšku hladiny
Laka sdělil Hochstetter podle vlastního měření, t. 3369-4 vid. stop = 1065 m
Toto číslo Hochstetterovo citují potom Móchel i Willkomm, kdežto
Krejčí udává 3370 stop = 1065 m, což jest jenom zaokrouhlené číslo.
Partsch korriguje je na 1080 resp. 1082 m, ježto nadmořská výška zá¬
kladního bodu Hochstetterova ukázala se jinou, než s jakou Hochstetter
počítal. Toto číslo přejímá také lesní mapa Hohenzollernská (1080 m)
i Bayberger (1082 m), kdežto Gůmbelmá 1090 m. Speciální mapa 1 : 75.000
udává 1096 ni a totéž číslo podle ní Wagner. Nelze nám oddůvodniti
správnost tohoto čísla. 1096 m, ježto však lze všeobecně souditi, že vj^šk^
měřené při novém mapování voj. geografického ústavu r. 1878 za¬
sluhují přednost před čísly Hochstetterovými, přijímáme pro nadm. výšku
hladiny Laka 1096 m. Jest to tudíž nejvýše položené jezero ze všech
šumavských.

Plochu jezera udává poprvé stabilní katastr na 4 jitra 1465 čtv. sáhů,
podle úředního přepočítání 2-8288, podle mého 2-8294 ha. Různí autoři
později udávají bez důvodů různá čísla pro plochu Laka, tak Willkomm
7 jiter, Móchel 12 ha, Řivnáčův průvodce 3-5 ha, Detterův 3 ha. Nové
planimetrické měření podle mapy provedl Dr. Wagner, jenž dospěl k vý¬
sledku 2-5317 ha.

Já jsem provedl rovněž nové planimetrické měření podle vlastní
mapy a dospěl jsem k výsledku 2-7840 ha.

Z této plochy připadalo podle stavu v létě 1907 asi 1600 m2 na ostrovy,
z nichž největší, částečně již upevněný zaujímá ok. 1100 m. O vývoji
břehů nelze zde dobře mluviti, neboť jezero vykazuje vlastně jenom
linie přímočárné bez zátok a výběžků. Délka břehů obnáší 870 m.

N ej vzdálenější bod jezera od břehu - — * asi 44 m — nalézá se v části
odtokové. Podélnou osu, tedy délku jezera udával Wagner na 374, nej-

XX.

5

větší šířku na 86 m. Podle mých měření jest tu rozdíl nepatrný, spíše
o několik metrů méně.

O hloubkových poměrech první zmínku činí A. Fric, jenž ji —
celkem asi správně — odhadnul na 8 až 10 stop. Nesmyslné číslo 20 m
udal r. 1878 Mochel a stejně fantastický jest údaj v průvodci Detterovu
o průměrné hloubce 16 m. Prostý pohled na jezero poučí i úplného
laika o nemožnosti takových čísel. Wagner viděl r. 1896 jezero úplně
vypuštěné za účelem lovu pstruhů. Zbývala tu jenom při odtoku louže
vody nejvýše 0-75 m hluboká. Umělá strouha spojovala ji s hlavním
přítokem a ,, serpentiny “ vedly ku druhému přítoku. Několik ostrovů,
jež ostatně plovou na vodě, spočívalo na bahnitém dnu, v němž tyč dlouhá

3- 6 m ještě nenalezla pevného dna. Četné kořeny v zadní části jezera
a podél jeho břehů ukazovaly, že jezerní plocha bývala ještě menší, dokud
ji člověk uměle nezvětšil. Na jemném šedém bahnu šířily se, jak již uve¬
deno, Myriophyllum, Potamogeton a modrošedé algy. Wagner slyšel od
rybáře zdejšího, že během posledních 10 let usadilo se tu aspoň 1 m bahna,
a přikládá tomu víry. Podle Wagnera mělo by jezero, když by dosáhlo
nejvyšší možné hladiny, hloubku 3*75 m, při čemž zbývá až ku niveau
hráze 0-5 m. To shoduje se s mým pozorováním.

Celkový ráz jezera nelákal mne, abych provedl zde profilové měření
jako na ostatních jezerech. Nebylo třeba sondovacího stroje, stačila tyč
sebraná na břehu jezera, abych konstatoval jeho hloubku.

Podle sdělení p. revírníka Weisse bylo jezero r. 1906 pokud lze vy¬
čištěno od bahna. Týkalo se to jistě hlavně části u odtoku, kde jsem
skutečně v odvodňovací rýze nalezl hloubku 3-9 m. Právě v části odtokové
jest jezero trochu hlubší, než dále ku stěně, celkem však jedná se tu všude
o hloubku nepatrnou. Udává-li Wagner 2 m jako střední hloubku jezera,
tu musím dnes pokládá ti toto číslo za příliš vysoké. Více jak T4 m střední
hloubky nemohu Laka i za nej vyššího stavu vody přizná ti. Následkem
toho pokládám také Wagnerovo číslo 50.634 m3 jako objemu vody za
příliš vysoké, a odhaduji jej přibližně na 40.000 m 3.

O teplotě vody jezerní bylo dosud známo jenom to, co pozoroval Dr.
Wagner.16) ,, Teplota pramene na jezerní stěně 14. srpna 1896 byla

4- 75°, prvního přítoku 10°, druhého přítoku 8*75°. V zadní části jezera
bylo lze kons tato váti 6 pramenů, jež obyčejně ústí pod hladinou a mají
teplotu 4 — 5°. Zdejším lidem byly známy podle studeného proudění
v této části jezera. Povrch jezera měl teplotu 14*5°, odtok 13°, vzduch
současně 11-5°.“

Pozorování teploty vykonaná za mé exkurse v červenci a srpnu 1907
sestavuji zde v přehledu:

16) Wagner P., Die Seen des Bohmerwaldes. Leipzig 1897, p. 54.

XX.

6

vzduch ....

14-7

17-5

—

—

—

15-5

15

21-5

22-3

povrch vody

14-75

14

15

14

15

14-5

14-5

17-5

14

1 m .

13-5

13-25

' 14

13-5

12-7

14

14

16-3

13-2

2 m .

11

11-5

12

12

12

11-5

14-1

13

3 m .

dno 3-7 m .

10-75

10-75

10-5

10-5

10-5

10-5

10-7

12-75

11-2

Tato měření byla vesměs provedena v nejhlubší části jezera poblíž
odtoku.

Teplotu pramene na jezerní stěně u „Kanzel", jehož také Wagner
vzpomíná, měřil jsem v poledne 27. července 1907 na 5°.

Teplota přítoků a odtoku měřena byla vícekráte, ovšem vždy jen
nedaleko ústí:

Přítok : dojz.

cípu jezera:

do jv. cípu jezera

25. VII. 1907 v 7 h. večer . .

. . . 9-25°

7-75°

26. VII. 1907 v 10 h. dop. . . .

. . . 10-5°

8-5° (10 m dále

26. VII. 1907 v 1 h. odp .

. . . 10°

8-5°

27. VII. v 10 h. 30 m. dop. .

. . . 9-75°

8°

13. VIII. 1907 ve 4 h. odp. . .

... 11-5°

9-5°

27. VIII. 1907 ve 4 h. odp. . .

... 10°

9°

Jeví se tudíž jihozápadní přítok vždy o 1 až 2° teplejším, než přítok
jihovýchodní.

Odtok :

25. VII. 1907 v 6. h. večer hlavní odtok. . . 13-25°

27. VIL 1907 v 11 h. dop. „ „ ... 13-5°

27. VHL 1907 ve 3 h. odp. „ „ ... 13-5°.

Průhlednost a barva vody. Měřil jsem poprvé průhlednost i barvu
vody na Laka. Za krásného, slunečného počasí 25, července 1907 v 5 h. odp.

17) Krásné, slunečné počasí jako den před tím.

18) Dopoledne pěkně, ve 3 h. začalo slabě poprchávat — měřeno za deště —
po 4 h. značný déšť.

19) Po značném dešti.

20) Za pěkného počasí.

21) Podmračno.

22) Pěkně počasí rovněž 2 dny před tím; diíve velké deště.

XX.

7

bílá deska o průměru 30 cm byla viditelná v nej hlubší části jezera v hloubce
4 m, t. j. až na dně. Pozorovali jsme průhlednost vody ještě 26. července
ve 3 h. 30 m. po dešti. Bylo ji ještě dobře viděti na dně v hloubce 3*5 m
a byla by zde jistě viditelná v hloubce ještě větší.

Barvu vody odhadoval jsem sám 26. července 1907 v 6 h. odpoledne
a 27. července 1907 ve 12 h. v poledne pp. Erhardt, Kracík a Maule každý
zvlášť okolo stupně č. 15 skály Uleovy, spíše o něco temnější.

O sněhu na Laka udává Wagner, že v zimě 1896-97 byla na jednom
místě stěny měřena výška jeho 2*5 m, a také prý v údolí byla podle značek
konstatována výška 2 — 3 m. V přední části jezera, t. j. u odtoku bývá
prý sníh poněkud odvát. Wagner výslovně podotýká, že podle všeho
nepřichází zde se stržemi sněhovými žádné balvany se stěny do nižších
poloh.

Mně sdělil p. revírník Weiss, že v zimě r. 1906-7 bylo na jezeře sněhu
průměrně asi 1*5 m. Jezero zamrzlo podle jeho zprávy v listopadu 1906
a uvolnilo se od ledu .teprve uprostřed května 1907. Ještě počátkem
května bylo lze jezditi s potahem přes jezero. Tlouštka ledu byla měřena
v té zimě poblíž odtoku na 3/4 m.

O chemii vody jezerní nemáme dosud žádného pozorování. Pozoro¬
vání v tomto směru nebyla, jak již praveno, vůbec v mém programu.

O biologických poměrech jezera víme pouze tolik, co vynesla návštěva
A. Friče a jeho assistenta B. Hellicha v létě r. 1871. Frič23) srovnávaje
Laka s jezerem Prášilským, praví, že Laka pro svou mělkost (sotva 8 — 10')
činí docela jiný dojem, než j. Prášilské. Není tu Holopedium, a jenom
Polyphemus oculus upomíná zde na horská jezera. Veškeré ostatní druhy
byly v Čechách nalezeny také v nížinách, především na tichých místech
a v tůních polabských.. Frič nalezl v Laka tyto druhy: Daphnia longispina,
D. sima, D. quadrangula, D. mucronata, Lynceus lacustris, L. lamellatus,
L. leucocephalus, L. affinis, L. sphaericus, Macrothrix laticornis, Polyphe¬
mus oculus. Nápadným jest, že zde naprosto se nedostává Cyclops a
Diaptomus castor, jenž jinak všude se vyskýtá.

Heliích 24) nalezl zde tytéž druhy perlooček jako v jezeru Prášilském
a mimo to ještě Simocephalus vetulus, Scapholeberis mucronata, Macro¬
thrix laticornis, Streblocerus serricaudatus, Eurycercus lamellatus.

Za své návštěvy r. 1907 pozoroval jsem na Laka ohromné množství
pstruhů. Celé jezero ozývalo se zrovna vymršťováním se pstruhů nad
povrch. Za to jindy nepozoroval jsem zde při celé návštěvě ani jediného.
Revírník p. Weiss sdělil mi že se jich tu ročně uloví 400 — 500, aniž by

23) Frič A., Uber die Fauna der Bóhmerwaldseen . Sitzungsberichte d. kgl.
bóhm. Ges. d. Wiss. Prag. 1871, II., p. 9.

M) Heliích B., Perloočky země české (Cladocera). Archiv pro přírodov. prosk.
Čech. 3. díl, č. 4. Praha 1878, p. 121.

XX.

8

bylo znáti nějaký úbytek. Toto veliké množství pstruhu v Laka konsta¬
toval již dávno Sommer ve svém díle a já sám jsem přesvědčen, že na
žádném jezeru šumavském není tolik pstruhů jako na Laka.

Také jezera Laka užívá se ku zvýšení stavu vodního v potocích
při plavení dříví polenového.

Jezero náleží ku kníž. hohenzollerskému revíru v Debrníku
(Deffernik).

XX.

V. Švambera: Šumavská jezera. IV. Laka.

Pohled na Laka s hůry od ,,Kanzel“.

Fot. V. Švambera.

Pohled přes jezero od hlavního přítoku ku odtoku.

Fot. V. Švambera.

Rozpravy České Akademie. Třída II., roč. XXIII., čís. 20.

v. švambera ■. Laka ( 1096 m.)

podle měření v srpnu 1907.

Rozpravy ILtrídy České Akademie, ročník XM(1914),čís.20.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 21.

0 tvaru meteorického roje komety Halleyovy.

Napsal

Dr. JINDŘICH SVOBODA.

(Předloženo dne 26. března 1914.)

S 9 vyobrazeními v textu.

"Rovina, kom«tij

kometu

V předešlé své práci o souvislosti Aquarid a Orionid s kometou
Halleyovou vyšel jsem z předpokladu, že meteority vyplňující dráhu
komety po celé její délce jsou v místech, kde Země proud potkává, roz¬
loženy souměrně kol dráhy komety, že totiž normálným řezem roje jest
kruh (obr. 1., I.). Tento předpoklad jest jaksi středním případem mezi
dvěma krajními. Jeden krajní

případ by byl, že meteority
jsou v největším množství roz¬
loženy v rovině dráhy komety
— normálným řezem roje byla
by protáhlá ellipsa, jejíž velká
poloosa ležela by v průsečnici
normálného řezu s rovinou
dráhy komety (obr. 1., II.).

Tento předpoklad sloužil dosud
za východisko při odvozování
souvislosti rojů meteorických
s kometami, neboť objevování
se meteoritů bylo hledáno
v uzlu dráhy komety s dráhou
zemskou. Proto nebylo možno

také dospěti touto cestou k nalezení souvislosti Orionid s kometou Halle¬
yovou, neboť roj objevuje se kolem 19. října a Země jde uzlem až v druhé
polovici listopadu ve značné vzdálenosti od dráhy komety.

V druhém krajním případu byly by meteority rozloženy hlavně
kolmo k rovině dráhy komety — normálným řezem byla by protáhlá
ellipsa, jejíž velká osa je kolmá k rovině dráhy (obr. 1., III.).

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 21. 1

Roui.no, drátuj komety

Obr.

XXI.

2

Na obr. 2. jest nakreslena vzájemná poloha dráhy zemské a dráhy
komety Halleyovy. Body A a A' značí polohu Země, kdy jde nad a pod
dráhou komety, t. j. když kolmice spuštěná se Země na rovinu dráhy
komety protíná dráhu v bodech B a B'.

Applikujme tyto tři případy na náš roj. Všimneme-li si vzájemné
polohy dráhy Země a komety, vidíme, že v případě I. by mělo nastati
maximum objevování se meteoritů v době, kdy Země jest dráze komety
nejblíže. Kdyby platil případ II., objevovaly by se meteority v největším
počtu blíže k uzlům (í l ', ??'), tedy až po době, kdy Země je dráze komety
nejblíže, kdežto v případě III. mělo by maximum Aquarid a Orionid
nastati před touto dobou, tedy blíže k místům A' a. A.

Z výsledků, k nimž došel jsem v první práci při hledání nej kratší
vzdálenosti Země od dráhy komety, dá se odvoditi, že Země

je nejblíže dráze komety 8. — 9. května a 24. — 25. října ve vzdále¬
nosti 10 a 23 milí. km,

jde uzly asi 18. května a 18. listopadu ve vzdálenosti asi 20 a 60
milí. km,

jde nad a pod dráhou komety 5. května a 18. října ve vzdálenosti
11 a 25 milí. km.

Dle pozorování vykonaných v posledních létech připadá maximum
Aquarid na 6. květen a maximum Orionid na 19. říjen, což se velmi blíží
dobám 5. května a 18. října, kdy jde Země nad a pod dráhou komety,
t. j. případu III. (obr. 1.).

Vedeme-li tedy normálný řez ku dráze komety v místech, kde roj
Zemi potkává, prochází nejvíce meteoritů protáhlou ellipsou, jejíž velká
poloosa stojí k rovině dráhy komety kolmo. Jest přirozeno, že přechod

XXI.

3

kolem maxima není náhlý, ale je zajímavo, že není k maximu symetrický.
Tak Aquaridy začnou se objev ováti již od 1. května a přestávají krátce
po 6. květnu, ačkoli se Země dráze komety ještě přibližuje. Rovněž Orio-
nidy objevují se v době od 17. října až skoro do konce října. Nápadné
jest, že maximum nepadá doprostřed těch dob. U Orionid mohli bychom
to v^ysvětliti velikou vzdáleností Země od dráhy komety před 18. říjnem,
ale u Aquarid tento výklad připustí ti nelze. Kdyby meteoritů ubývalo
směrem od maxima na obě strany stejnoměrně, objevovaly by se mnohem
delší dobu po 6. květnu než před 6. květnem, neboť se Země dráze komet
po 6. květnu ještě blíží. Z toho můžeme souditi, že meteoritů ubývá
směrem od maxima k Slunci ponenáhlu, kdežto směrem od Slunce velmi
rychle, jak viděti na obr. 3., který udává rozdělení drah meteoritů v řezu
vedeném průvodičem kolmo k ro¬
vině dráhy komety; tečkované čáry
naznačují průchod Země rojem
v jednotlivých průřezech.

Tím jsem naznačil tvar roje
v blízkosti míst, kde potkává Zemi.

Z výsledků odvozených v předešlé
práci lze však souditi také na tvar
roje podél dráhy.

Dle pozorování jsou souřadnic

\ I /

i®:

/ 1 \

O-

Hadi us vektor _ . - , :-vgy

e radiantu

2*i. X '%

i&r

Obr. 3.

AR 3

Aquarid: 6. květen 338° — 2°,

Orionid: 19. říjen 92° -f 15°.

Výpočtem obdržel jsem souřadnice radiantu

Aquarid: 6. květen 336-2° + 0-6°,

Orionid: 19. říjen 92-7° + 19-8°.

Kdežto v rektascensi jeví se rozdíly malé (+1-8° a — 0-7°), jsou
rozdíly v deklinaci nápadnější ( — 2-6° a — 4-8°).

Výpočet souřadnic radiantu byl tu proveden za předpokladu, že
meteority v roji běží parallelně s dráhou komety, t. j. že meteority potká¬
vající Zemi mají směr jako kometa v bodě tomu místu na dráze zemské
nej bližším. Kdyby tento předpoklad byl splněn, měl by roj na základě
toho, co bylo nahoře dokázáno, tvar obruče a dráha každého jednotlivého
meteoritu běžela by stále rovnoběžně s dráhou komety. To však ne¬
odpovídá skutečnosti, neboť meteority běžící nad nebo pod dráhou komety
musí se nutně pohybovati v rovinách k rovině dráhy komety skloněných
a průsečnice všech těchto rovin procházejí Sluncem. Než v první práci
byl tento předpoklad nutný a úplně by byl pro naši úlohu dostačoval
udávaje průměrný směr meteoritů Zemi potkávajících, kdyby uzlové body
drah jednotlivých meteoritů byly po celé dráze komety stejnoměrně roz-

l*

XXI.

4

troušeny. Jest tedy hledati příčinu nesouhlasu vypočtených souřadnic
radiantů se souřadnicemi odvozenými z pozorování v tom, že u meteoritů
Zemi potkávajících převládá určitý směr, čili jinými slovy, že uzly drah
jednotlivých meteoritů padají většinou ke dvěma místům na dráze
komety.

Která jsou to místa na dráze komety, najdeme následující úvahou.
Vedme body B a B' (obr. 2.) oskulační roviny ku dráze komety a zvolme
je za nákresné roviny pro obr. 4. a 5. Přímka E, E' značí v obou pří¬
padech průsek oskulační roviny
s rovinou ekliptiky a body A, Af
jsou ony posice Země nad a pod
dráhou komety.

V případě Aquarid (obr. 4.)
sestupují v místě A meteority pod
ekliptiku; má tedy radiant severní
heliocentrickou šířku. Při prvním
výpočtu byla brána jako úhel, který
svírá opačný směr tečny ku dráze
komety v místě B (BT resp. AT')
s rovinou ekliptiky . Poněvadž ale de¬
klinace a tedy také heliocentrická šířka pozorovaná jest menší, převládá
u meteoritů Zemi potkávajících směr T"A, který se více přiklání k rovině
ekliptiky. Z toho vidíme, že dráhy Aquarid rozbíhají se většinou směrem
od perihelu s dráhou komety, čili jinými slovy, výstupné uzly jejich drah
s dráhou komety padají větším dílem k perihelu, uzly sestupné pak k afelu
komety .

Heliocentrická šířka Orionid
(obr. 5.) jest jižní, neboť meteority
v místě A' vystupují nad ekliptiku.

Počtem vychází deklinace kladná
a jest příliš veliká proti pozoro¬
vané. Vy^kazu jí tedy dráhy meteoritů
k ekliptice větší sklon (T"A') než do
počtu vzatý směr komety v bodě B'

( TB ' resp. T' A') Z toho vidíme, že
dráhy Orionid se větším dílem sbíhají
s dráhou komety směrem k perihelu,
kam tedy padá většina uzlů vý¬
stupných. S velkou pravděpodobností můžeme souditi, že meteority,
které jdou v místě B pod dráhou komety a v místě B' nad dráhou ko¬
mety, mají většinou uzly sestupné v perihelu komety.

Obíhá tedy většina meteoritů v rovinách, jichž průsečnice s rovinou
dráhy komety svírají se spojnicí perihelu a afelu komety jen malé úhly
nebo leží dokonce v ní.

XXI.

5

Co jsme svrchu odvodili jen přibližnou úvahou, pokusíme se do-
ložiti počtem. Vypočítejme souřadnice radiantu Aquarid a Orionid za
předpokladu, že dráhy meteoritů jsou shodné ellipsy s dráhou komety
Halleyovy, a že roviny těchto drah tvoří svazek, jehož osou jest spojnice
perihelu s afelem komety. Tento předpoklad velmi blízce odpovídá tomu,
co jsme nahoře o tvaru meteorického proudu dokázali: Uzly drah me¬
teoritů s dráhou komety padají do perihelu a afelu komety a meteority
vyskytují se v největším množství na obou stranách dráhy komety skoro
kolmo k rovině dráhy.

Otočením dráhy komety kol osy SP (obr. 2.) povstane rotační
ellipsoid. Na povrchu tohoto ellipsoidu v pásu rozkládajícím se po obou
stranách dráhy komety a zúžu jícím se směrem k afelu a perihelu jsou
rozloženy dráhy většiny meteoritů. Ellipsoid protíná dráhu zemskou ve
dvou bodech. Nalezením těchto bodů, ovšem jsou-li dráze komety dosta¬
tečně blízko, obdržíme doby, kdy se meteority objevují v největším
množství.

Jsou dány elementy dráhy
komety

o, £1, i , (p), a , e

a elementy dráhy meteoritů
Zemi v určitém bodě její dráhy
potkávajících budtež

®', i', (: P ), e-

Když do rovnice dráhy
komety (obr. 6.)

P

y = - - -

1 + e cos cp

dosadíme za v vzdálenost Země
od Slunce v místech, kde meteority Zemi potkávají, jest cp pravou ano¬
málií bodu ellipsy, který při jejím otáčení kolem osy SP padne na
dráhu zemskou. Pak

p — r
cos cp = - — —
r e

(i)

Do kterého kvadrantu patří <p, rozhodneme následovně. Má-li kometa
periheí nad rovinou ekliptiky, musí býti nutně pro uzel

výstupný sestupný

cp § 180° (p g 180°

Je-li perihel komety pod ekliptikou, jest tomu naopak.

Vzdálenost perihelu od uzlu

o' = 360° — cp | 09' = 180° —cp . . . (2)

XXI.

6

Z trojúhelníka K M P (obr. 7. a, b) vypočítáme

. sin co . .

sm v = — - - sm i . (o)

sm co

Označíme-li délku oblouku KQ = u& MQ = v, obdržíme z pravoúhlých
trojúhelníků K Q P a M Q P

tg U = COS í /g 03

/g v = cos ť' čg co'

Ji — íi — K M = w — v
Ji/ — - - 1J -I- Ji

tg u ■= — cos ř tg ca1)
tg v = — cos i' tg co'

15' — 15 — KM = v — u

= v — u + íi . . (4)

Je-li ® délka Slunce v době, kdy meteority Zemi potkávají, jest
© = + 180° | © = Sl' .... (5)

Pro takto vypočtené © najdeme v efemeridách příslušné datum.

Řešení rovnic (1) — (5) nelze provésti najednou, neboť neznáme
přesně r. Poněvadž ale délka prů vodiče Země se pomalu mění, dostaneme
žádané datum s dostatečnou přesností, když za r dosadíme hodnotu,
která odpovídá přibližně době, kdy meteority Zemi potkávají. Jedná-li
se o nalezení dosud neznámé souvislosti, stačí při prvním výpočtu do-
saditi r = 1, vypočísti ©, k tomu najiti v efemeridách příslušné r a počet
opakovati, až je úplná shoda, čehož docílíme velmi brzy. Vzdálenost
Země od dráhy komety v místě, kde roj potkává, obdržíme velmi přibližně,
když vypočítáme délku oblouku, který opíše bod M (obr. 7.) při otočení
dráhy komety kol osy 5 P. Je-li r úhel, který svírá dráha meteoru s dráhou
komety, jest

sin i /0,

sm x = — - - sm — Sl)

sm co

Pak délka oblouku, který opíše bod M, a tedy velmi přibližně vzdálenost
Země od dráhy komety jest

l ==r are r . sin co' . (6)

Ú u a v v mezích 0° — 180°.

XXI.

7

Poněvadž úhel r musí býti malý, aby Země roj potkávala, můžeme arcus
nahraditi sinem a psáti

l ==r sin i sin (Sl' — *£) . (6')

Do roviny dráhy meteoritu Zemi potkávajícího položíme souřadný
systém 0 X' Y' (obr. 6.) tak, že počátek 0 leží ve středu Slunce a osa 0 Y'
směřuje k perihelu.

Bod A' má souřadnice

x' = r cos a = — r sin gp
y' — r sm a = r cos gp.

Směrnice tečné v tom bodě jest

d y' sin gp

— y— = - — — = tg a}

d x' e cos gp

když o jest úhel, který svírá tečna s kladným směrem osy X'. Úhel o vy¬
počítáme z rovnic

sin w

SUl 6 = - ■--- - . - _

v (e + cos gp)2 -f sin 2 gp

(7)

COS 6

e -j- cos gp

y (e + cos gp)2 + sin1 gp

Jsou tedy souřadnice pra¬
vého radiantu W (obr. 8.) v sy¬
stému O X' Y'

X" = 180° + 6, p" = 0.

Ekliptikální souřadnice
pravého radiantu v systému
0 X Y Z X, p obdržíme z troj¬
úhelníka M R W (obr. 8.), kdež
M W = X" + co' — 90° ==

90° + (*+ ©'), M R = X'

— RW= p : Obr. 8.

cos p' sin (X' — &') = cos (o -J- co') cos i'
cos P' cos ( X ' — Sl') = — sin (<? + co') .
sin P' = cos (p + co') sin i'.

Y

(8)

Známým způsobem pak přejdeme k aequatoreálným souřadnicím zdánli¬
vého radiantu.

XXI.

8

Schéma výpočtu.

Jsou dány elementy dráhy komety

co, i, (p)} a , e

přibližné průvodiče Země v místech, kde roj tuto potkává v uzlu
výstupném sestupném

cos (jp =

p — r
r e

(1)

Je-li perihel komety nad ekliptikou, jest

9>i >180° | <p2 < 180°,

je-li perihel pod ekliptikou, jest

% < 180°
fij|/ - 360° — qPj

(jp2 > 180°

g>2 = 180° — y>2

sm i ==

s rn co
sw co'

Sm z

% % = í ^ w

/g- = COS V % <0/

= #J - Dj + íi

% = — cos i tg co
tg V2 = — cos i2' íg 6)2'

©1 = *Y

180°

£>.

®, =

(2)

(3)

(4)

(5)

Je-li mezi ©ar souhlas dostatečný, najdeme v efemeridách pro ®
příslušné časy

t2 .

Není-li souhlas mezi r a © dostatečný, opakujeme řešení rovnic
(1) — (5) znovu vycházejíce od r, které jsme našli v efemeridách pro právě
vypočtené ©, až jest souhlas patřičný.

I — r sin i sin (£1' — £1)
sm (p

sm o =

cos <* = —

vor -|- cos <jp)2 + sin2 9
e + cos (jp

V (e -f cos (p)2 -j- sin 2 (jp

(6')

(7)

cos p' sin (A' — íi') = cos (<r o') cos i'

cos P' cos (A' • — £1') = — sin (ď + co')
sw p' = cos (a + co ') sm řv

(8)

XXI.

9

L 270° + 0 H - . C 1 . sin (0 — cj)

sm 1

= 57 -'6 , & = 101° 13-2' + 1V028 U — 1900)

sm 1

sin & sin ty = sin /?'

sin & cos ty = cos ($' sin (A' — L) ....

cos & = cos /3' cos (A' — L)

sin

v

V

+ cos

cos p sin (A — L) = sin — %) cos ty

cos cos (A — L) = cos (9- — x)

sin (5 = sin (9 — x) s^n $

sin m sin M = sin (5

sin m cos M = cos fl sin A . . .

cos m = cos (i cos A

cos á sin a = sin m cos ( M + s)

cos d cos a = cos m

sin d = sin m sin ( M + «)

• (9)

(10)

(ID

(12)

(13)

(14)

Výpočet.

€0= 111° 42' j
Sl= 57 16 l 1910-0
i = 162 13 I
a = 17-9456
0-9673
p = 1 1744.

Uzel výstupný, Uzel sestupný,

Orinoidy. Aquaridy.

Řešení rovnic (1) — (5) provedl jsem trojím parallelním výpočtem pro

17.. říjen r = 0-9963 4. květen r = 1-0086

19. „ r = 0-9957 6. „ r% 1-0091

21. ,, y = 0-9952 8. „ r = 1-0096

XXI.

10

Z toho obdržel jsem

280° 39'

280 42
280 44

| 79° 21'
a = | 79 18

l 79 16

| 163° 13'
i' = | 163 13
l 163 13

u = 67° 19'

( 101° r

v = | 101 9

l 101 12

| 23° 28'

£1' = | 23 23
l 23 23

( 203° 28'

© = l 203 26
l 203 23

Pro vypočtené © najdeme
a 6. května.

Ze vzorce (6') obdržíme pro
komety

l — 0-169 == 25 milí. km

800 1 3'

80 15
80 17

99° 47'

99 45
99 43

163° 16'

163 16
163 16

112° 41'

100° 12'

100 10
100 8

44° 47'

44 45
44 43

44° 47'

44 45
44 43

v Berl. Jahrb. 1910 data 17. října
ty dny vzdálenosti Země od dráhy
0-067 == 10 milí. km.

Tyto výsledky velmi dobře souhlasí s hořeními předpoklady. V pří¬
padě Orionid nastává maximum 19. října, jest tedy poněkud posunuto,
což jest přirozené (obr. 3.), k době, kdy dráha komety jest dráze zemské
nejblíže (24. — 25. října). V případě Aquarid jest souhlas úplný, neboť
dráha komety jest v té době již dosti blízko dráze zemské.

V dalším počítal jsem pro ty dny (17. říjen a 6. květen) souřadnice
radiantu.

Z formulí (7) obdržel jsem

a = 139° 32' 139° 4'

a z (8) ekliptikální souřadnice pravého radiantu

XXI.

A' = 73° 22'

/T = — 12° 59'

11

355° 17'
-f 12° 52'

D/lka apexu

L = 114° 24'
Z formulí (9)

^=160° 38'
»= 42° 41'

(10)

y- = 1 3919

(11)

X= 17° 41'

313° 57'

18° 45'
43° 53'

1-4006

18° 6'

Pro ekliptikální souřadnice zdánlivého radiantu obdržel jsem z (12)
tyto hodnoty

1= 90° 39' 338° 32

/3 = — 8 4 +82,

které pomocí vzorců (13) a (14) (a
aequatoreální:

a= 90° 41'

ď= + 15° 23'

23° 27') převedl jsem na souřadnice

337° 10'

— 0° 55'.

Dostáváme tedy výpočtem souřadnice radiantu:

AR ó maximum

Aquarid 337-2° — 0-9° 6. květen,

Orionid 90-7° 15-4° 17. říjen,

které mnohem lépe než souřadnice odvozené v práci prvé souhlasí s pozo¬
rovanými souřadnicemi:

Aquarid 338° — 2° 6. květen,

Orionid 92° +15° 19. říjen.

Rozdíly v rektascensi (+ 0-8° a + 1-3°) i v deklinaci ( — 1-1° — 0-4°)
leží úplně v mezích pozorovacích chyb.

XXI.

12

Tím jest velmi pravděpodobně doložena svrchu uvedená domněnka ,
že dráhy většiny meteoritu v roji komety Halleyovy jsou shodne ellipsy s dráhou
komety a roviny jejich protínají se ve spojnici perihelu s afelem komety.
Jinými slovy: Otočením dráhy komety Halleyovy kolem spojnice perihelu
s afelem vznikne rotační ellipsoid, na jehož povrchu kol dráhy komety
jsou rozloženy dráhy většiny meteoritů v pásu zužujícím se směrem k pe¬
rihelu a afelu (obr. 9.).

□ □ □

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II

ČÍSLO 22

0 štěpení racemických cukrů opticky činným amyl-
merkaptanem a o některých nových merkaptalech.

Podávají

prof. E. Votoček a Doc. Dr. V. Veselý.

Předloženo dne 24. dubna 1914.

Racemickými nazýváme, jak známo, takové opticky inaktivné slou¬
čeniny1) organické, jež vznikly kombinací ekvimolekulárných množství
dvou optických antipodů, anebo ony, jež se dají v antipody řečené roz-
ložiti.

Methody ku štěpení racemických látek (po případě inaktivných
směsí [d + /]) podal v klassických svých pracech P a s t e u r. Jsou to:

1. Methoda biochemická, při níž působením vhodného mikroorga¬
nismu odstraní se jedna z aktivných složek, takže zbytek skládá se z opticky
činné složky druhé. Tak na př. zpracovává plíseň penicillium glaucum
kyselinu hroznovou (resp. její soli) na opticky aktivnou formu tím, že
zruší složku d (kyselinu pravovinnou) , načež zbývá složka l (kyselina

lev o vinná) .

2. Samovolné štěpení racemické látky v enantiomorfné krystally,
jež dají se mechanicky od sebe odděliti; tak se rozpadá ku př. hroznan
sodnato-ammonatý, krystallu je-li pod 28°, v pravovinan a levovinan.

3. Štěpení pomocí opticky aktivných činidel, jimiž složky dané
látky racemické převádíme v deriváty nestejnýrh vlastností fvsikálných
(zvláště nestejné rozpustnosti), jež rovněž více méně snadno lze od sebe
krystallisací odděliti. Tak sráží se z kyseliny hroznové alkaloidem chi¬
ninem pravovinan chininu (tíže rozpustný), kdežto levovinan zásady té
zbývá v roztoku.

i) Vedle racemických sloučenin známe též inaktivné směsi optických antipodů,
vzniklé z ekvimolekulárných množství látky právo točivé a levotočivé bez chemického
sloučení.

Rozprava: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 22.

XXII.

1

2

Těchto tří klassických method Pasteurových bylo během doby s úspě¬
chem použito ku štěpení (po případě aktivování) přečetné řady sloučenin
racemických nebo směsí inaktivných. Až do r. 1903 bylo vsak methody
pod 3. uvedené používáno jen na štěpení inaktivných kyselin aktivnými
zásadami nebo inaktivných zásad aktivnými kyselinami, kdežto v řadě
vlastních karbonylových sloučenin, zvláště cukrů aldehydických, první
pokusy toho druhu provedl jmenovaného roku teprve C. Neuber g.
Užil totiž /-menthylhvdrazinu k rozštěpení racemické arabin.osy a za
nějaký čas potom spolu s M. Federerem íTamylfenylhydrazinu
k štěpení racemické arabinosy i racemické galaktosy v opticky složky
aktivné.

Ještě před tím, než jmenované práce vyšly, zabývali jsme se my¬
šlenkou užiti k štěpení racemických cukrů snadnosti, s jakou látky ty se
kondensují u přítomnosti koncentrované kyseliny solné s alkylmerkaptany
v merkaptaly dle schématu :

Jd HSR ySR

C< + H2C + C<

; XH HSR | XSR

(CH . OH)n (CH . OH)n

I |

CH., . OH CH2.OH

K dosažení cíle našeho potřebovali jsme ovšem opticky aktivného
merkaptanu a jako takový uznali jsme za poměrně nej přístupnější pří¬
slušný derivát opticky aktivného amylalkoholu, jehož přípravu v čisté
formě umožnil Marckwald svými methodami. Mezi tím, co jsme
byli zaměstnáni zdlouhavou přípravou řečeného í/- amylalkoholu , vyšly
zmíněné práce z laboratoře Neuber govy. V druhé z nich nalezli jsme po¬
známku, že autoři hodlají ku Štěpení racemických sloučenin karbonylových
užiti též přeměny v alkoholy, acetaly, merkaptaly atd. Se zřetelem na to,
že si autoři toto t herna na čas vyhradili, upustili jsme tehdáž od dalších
svých pokusů ve směru merkaptalů a jali se v nich pokračovati teprve
roku loňského, tedy osm let po uveřejnění jmenovaných prací, jelikož
jsme se právem mohli domnívati, že autoři řečení thematu toho zanechali.

K účelům svým upravili jsme si větší množství drahocenného, čistého
d- amylalkoholu, převedli tento v příslušný amylsíran a z něho získali
d-amylmeikaptan dle reakce:

.OK /OK

SO< + KSH = SO.< + C5HnSH

X)C5Hn xOK

Opticky aktivným amylmerkaptanem tímto rozdělili jsme race-
mickou arabinosu v d-amylmerkaptal /-arabinosy a i-arabinosy, z čehož

XXII.

3

vyplývá, že lze methody té vskutku použiti ku karakterisaci racemických
nebo obecně ( d + l) sloučenin.

Aby se získal opticky aktivný amylalkohol z prodejného amyl-
alkoholu, jenž jest směsí ^-amylalkoholu s inaktivným iso amylalko holém ,
jest třeba oba tyto alkoholy od sebe odděliti. Tento velmi nesnadný úkol
rozřešil Marckwald dvěma způsoby, z nichž prvý zakládá se na různé
rozpustnosti obou amylestherů kyseliny 3-nitroftalové v benzolu,1) druhý
na různé rozpustnosti obou příslušných amylsíranů barnatých ve vodě.2)
V obou případech jest však rozdíl rozpustnosti pouze nepatrný, neboť
tvoří obě látky v obou případech krystally smíšené a jest tudíž třeba
k jich oddělení podjati se velmi pracné krystallisace frakční. Dělíme-li oba
alkoholy kyselinou 3-nitroftalovou, hromadí se v podílu tíže rozpustném
amylalkohol opticky aktivný, kdežto užijeme-li methody druhé, získáváme
z tíže rozpustného amylsíranů barnatého isoamylalkohol. Poněvadž jest
při frakční krystallisaci vždy snazší úlohou úplně vyčistiti část nesnad¬
něji rozpustnou, užili jsme k přípravě íč-amylalkoholu methody prvé,
kdežto isoamylmerkaptan získali jsme dle methody druhé.

Příprava d-amylalkoholu .

20 litrů přiboudliny melasové3) z lihovaru J. Wertheimera v Par¬
dubicích zrektifikováno za užití deflegmatoru Le Bel-Henningerova

1 získáno 5600 g frakce mezi 127 — 132° vroucí a jevící otáčivost v trubce

2 dm ocD = — 4-44°, což odpovídá 46%ům aktivného alkoholu. Frakce tato
nasycována suchým chlorovodíkem a zahřívána v silnostěnných lahvích
od šampaňského, uzavřených zátkami kaučukovými, po 4 hodiny na 105°
v lázni solné. Frakční destillací získáno z produktu takto zpracovaného
740 g amylalkoholu, jenž obsahoval dle otáčivosti své [aD = — 7T9° pro
l = 2] 75% amylalkoholu opticky činného. Působením kyseliny 3-nitro¬
ftalové a frakční krystallisaci z benzolu i zmýdelněním čisté estherkyse-
liny získali jsme 132 g čistého, opticky aktivného amylalkoholu.4)

Náš výtěžek čistého d- amylalkoholu byl méně uspokojivý nežli
výtěžky, jež udává Marckwald, což beze vší pochyby mělo v tom
svou příčinu, že výchozí přiboudlina naše již sama sebou byla chudší
opticky aktivným amylalkoholem nežli Marckwald ova.

b B. B. 34,479 a B. B. 37,1038.

2) B. B. 35,1595.

3) Nutno užiti vždy přiboudlin melasových, neboť obsahují, jak Marckwald
poprvé ukázal, mnohem více opticky činného amylalkoholu, nežli přiboudliny původů
jiného, na př. z lihu bramborového a p.

4) Bod tání čisté estherkyseliny té byl mezi 114.8 — 115-2°, kdežto Ma r c k w a 1 d
udává jej při 113.5 — 114.5°, Klages a Sautter při 111 — 112°.

XXII.

1*

4

Příprava isoamylalkoholu.

Ku 410 g prodejného amylalkoholu, jevícího pouze malou otáčivost
[aD = — 1*82° při l = 2], přidáno po malých dávkách za chlazení ledem
552 g koncentrované kyseliny sírové. Nažloutlá směs ostavena 24 hodin
při teplotě pracovny a přesně neutralisována hydroxydem barnatým .
Z roztoku, zbaveného síranu barnatého filtrací a zahuštěného na vodní
lázni na malý objem., vyloučil se po vychladnutí amylsíran barnatý v bez¬
barvých šupinkách, které, podrobeny pracné frakční krystallisaci, po¬
skytly 180 g čistého inaktivného amylsíranu barnatého. Z této esthersoli
látky získán zmýdelněním. opticky naprosto nečinný isoamylalkohol, jehož
pak použito k přípravě čistého isoamylmerkaptanu.

Příprava opticky aktivného amylmerkaptanu .

Potřebný d- amylsíran připraven takto: 35 g čistého dk amylalkoholu
vneseno v malých dávkách a za chlazení ledem do 50 g koncentrované ky¬
seliny sírové. Směs velmi slabě nažloutlá ostavena po 24 hodin při teplotě
pracovny, pak vylita na led, přesně zneutralisována hydroxydem barna¬
tým, zbavena vyloučeného síranu barnatého filtrací, zalkalisována přeby¬
tečnou potaši, sfiltrována od vyloučeného uhličitanu barnatého a odpařena
na vodní lázni asi na 150 cm3. Takto získaný roztok íč-amylsíranu drasel-
natého nasycen sirovodíkem, načež přidán čerstvě připravený roztok
sulfhy drátu draselnatého, získaný z 50 g KOH a 100 cm3 vody uváděním
sirovodíku za chladu, až příbytek na váze obnášel 24 g. Směs destillována,
při čemž prováděn kapalinou nepřetržitý proud sirovodíku a to z toho
důvodu, aby se jednak zamezilo přílišné bouchání alkalické kapaliny,
jednak aby se uváděním sirovodíku stlačila pro výtěžek merkaptanu
škodlivá reakce

/OK /OK

SO/ + KOH = S02< + C5HuOH

xOC5Hn xOK

na míru nej menší.

Destillováno tak dlouho, až úplně přestaly přecházeti kapičky olejo-
vité, což vyžadovalo asi 12hodinné destillace. Obdrželi jsme tak 12*4 g
olej ovitého produktu, jenž poskytl — oddělen byv od vody, vysušen a
rektifikován — 10-4 g čistého d-amylmerkaptanu, vroucího mezi 119°
až 121°. Látka jevila hutnotu 0*8415 při 23°, a otáčela slabě v právo,

M”-— ffW = +3'21,i>K2s,c-

* *

*

Abychom štěpení racemické arabinosy mohli provésti pokud možno
úsporně (vzhledem k nemalé ceně výchozích produktů), připravili jsme si

XX LI.

předem merkaptany obou aktivných arabinos, neboť bylo zřejmo, že tím
způsobem usnadníme si vyhledání podmínek vhodných pro štěpení.

d- Amylmerkaptal l-arabinosy.

K 1 g /-arabinosy, rozpuštěné \ 1-5 cm3 dýmavé kyseliny solné, při¬
dáno 14 g íZ-amylmerkaptanu a směs třepána za mírného ohřívání na
30 — 35° tak dlouho, až zprvu vzniklá emulse přešla v kapalinu čirou.
Tato ostavena na 2 — 3 hodiny při obyčejné teplotě a pak zředěna vodou,
čímž vyloučil se merkaptal ve způsobe sněhobílé hmoty krystallické. Po
dvojnásobném překrystallování ze zředěného alkoholu získali jsme produkt
čistý jakožto dlouhé ploché jehličky bodu tání 114 — 116°.

Budiž výslovně podotknuto, že při stanovení bodu tání merkaptalů
musí látka do špičky kapilláry býti pevně napěchována, jinak nedochází
se k výsledkům shodným.

d-Amylmerkaptal d-arabinosy .

Látka připravena stejně, jako právě popsaný derivát /-arabinosy.
Liší se od něho již bodem tání, jenž leží zde při 118 — 120°, zvláště však
svým. tvarem krystallickým. Kdežto íZ- amylmerkaptal /-arabinosy vy¬
lučuje se v dlouhých sploštělých jehličkách, tvoří derivát íZ-arabin osový
šupinky lesku perleťového, jež pod drobnohledem jeví tvar šestihranných
tenkých destiček. Oba tvary krystallické jsou od sebe tak odlišný, že je
lze již pouhým okem bezpečně rozeznat i. I rozpustnost jest rozdílná a to
větší u derivátu /-arabinosového: 100 dílů alkoholu 96%ního rozpouštělo
za obyčejné teploty asi 4*1 dílů derivátu /-arabinosového, kdežto derivátu
d- arabinosového vcházely v roztok pouze 2 díly.

Štěpení r-arabinosy ve způsobe d-amylmerkaptalů.

1-4 g r-arabinosy rozpuštěno ve 2 cm3 dýmavé kyseliny solné, přidáno
1*8 g íZ-amylmerkaptanu a vyloučen merkaptal způsobem nahoře uda¬
ným. Produkt ten, jenž tál neostře mezi 106 — -110°, podroben frakční kry-
stallisaci z 96%ního alkoholu. Po pětinásobném přehlacení jevil tíže roz¬
pustný podíl bod tání 118 — 120° a byl již čistým íZ-amylmerkaptalem
íZ-arabinosy, neboť neměnil svého bodu tání ani po přimíšení čZ-amylmer-
kaptalu, získaného z pouhé čZ-atabinosy. Též tvar krystallů byl karakte-
ristický pro derivát íZ-arabinosový. V posledních matečných louzích na¬
hromadil se čZ- amylmerkaptal /-arabinosy, jak plynulo zřetelně z jeho
tvaru krystallického. Vzhledem k malému množství látky, s níž jsme
pracovali, nebylo lze docíliti bodu tání 114 — 116°, jaký vyznačuje úplně
čistý íZ-amylmerkaptal /-arabinosy.

XXII.

6

d-Amylmerkaptaly rhodeosy a f úkosy.

Obdobný pokus štěpný, jako s (d + /)-arabinosou, hleděli jsme pro-
vésti též s racemickou sloučeninou rhodeosy a fukosy. Zanechali jsme
však úmyslu toho, když jsme se předběžnými pokusy přesvědčili, že body
tání d-amylmerkaptalů jmenovaných dvou cukrů liší se od sebe toliko
o 2° a že také rozdíly v rozpustnosti jsou dosti nepatrný, takže by dělení
a jeho kontrola spojeny byly se značnými obtížemi, a to tím spíše, že i roz¬
díly ve tvaru krystallickém lze postřehnouti toliko pod drobnohledem.

* *

*

Jako dodatek k práci naší uvádíme ještě píípravu několika merkap-
talů cukrů aldehydických a to z toho důvodu že dosavadní udání o bodech
tání amylmerkaptalů, v literatuře se vyskytující, jsou vesměs nesprávná,
Tyto chyby starších autorů vznikly tím, že používáno bylo amylmerkap-
tanu z prodejného amylalkoholu, t. j. směsi isoamylmerkaptanu s d-amyl-
merkaptanem, kdežto naše pokusy provedeny byly vesměs s čistým,
opticky aktivným amylmerkaptanem a čistým isoamylmerkaptanem.
Kromě toho připravili jsme též dosud neznámé ethyl- a ethylen-merkaptaly
cukrů rhodeosy a íukosy.

V přehledu níže uvedeném sestaveny jsou tabelárně čisté merkaptaly,
námi připravené. Připravili jsme je methodou E. Fischerovou.)

Aldosa

Merkaptan

Bod tání
merkaptalu

Vhodné

rozpustidlo

Stanovení

síry

1

/-arabinosa

d-amyl-

merkaptan

114—116°

zřed. alkohol

—

/-arabinosa

isoamyl-

merkaptan

121—124°

> y yy

d- arabinosa

d- amyl-
merkaptan

118—120°

” ”

d-arabinosa

isoamyl-

merkaptan

121—124°

y y ) y

/-arabinosa

isoamyl-

merkaptan

113—115°

y y yy

rhodeosa

d- amyl-
merkaptan

136—138-5“

1

alkohol

theor. 5 18‘08
nal. S 18-41

i) B. B. 27,673.

XXII.

Aldcsa

Merkaptan

Bod tání
merkaptalu

Vhodné

rozpustidlo

Stanovení

síry

rhodeosa

isoamyl-

merkaptan

151—152*5°

>>

theor. 5 18*08
nal. 518*33

fukosa

řř-amyl-

merkaptan

140—142°

>>

theor. 5 18*08
nal. 518*13

íukosa

isoamyl-

merkaptan

151—152*5°

>>

theor. 5 18*08
nal. 5 18*27

í-fukosa ( =
í-rhodeosa)

isoamyl-

merkaptan

160—162°

) )

—

rhamnosa

isoamyl-

merkaptan

108—110*5°

zřed. alkohol

theor. 5 18*08
nal. 5 18*21

íč-glukosa

d-amyl-

merkaptan

138—139°

alkohol

—

d-glukosa

isoamyl-

merkaptan

142—144°

-

d-galaktosa

d- amyl-
merkaptan

123—124°

alkohol

—

d-galaktosa

isoamyl-

merkaptan

122—123°

—

rhodeosa

ethyl-

merkaptan

167—168*5°

alkoh. n. voda

theor. 5 23*70
nal. 5 24*01

fukosa

ethyl-

merkaptan

167—168*5°

alkoh. n. voda

theor. 5 23*70
nal. 5 23*92

rhodeosa

ethylen-

merkaptan

191—191*5°

alkohol

theor. 5 26*58
nal. 5 26*26

fukosa

ethylen-

merkaptan

191—191*5°

) )

theor. 5 26*58
nal. 5 26*65

Ke konci budiž nám dovoleno vysloviti obzvláštní díky p. prof.
Dr. C. Neubergovi, v Dahlemu u Berlína, jenž nám rychlejší ukon¬
čení práce umožnil laskavým zasláním chemicky čisté <7-arabinosy.

Z laboratoře organické chemie na c. k. české
vysoké škole technické v Praze.

XXII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 23.

Krystalografie betainu a některých jeho sloučenin.

Podává

Dr. L. Kaplanové v Praze.

(S 6 obrazy v textu.)

Předloženo dne 24. dubna 1914.

Předem dovoluji si vysloviti svůj uctivý dík panu dvornímu radovi
prof. Dru K. Vrbovi za laskavost, s jakou mi dovolil pracovati ve
svém ústavě. Nemenším díkem jsem povinna panu prof. Dru F. Sla¬
víkovi za četné rady a zájem o mou práci a panu správci Výzkumné
laboratoře cukrovarské V. Staňkovi, který mi poskytl materiál. Tři
ze sloučenin zde popsaných, totiž bromoplatičitan, bromhydrát a jod-
hydrát betainu, byly jím vyrobeny poprvé.

•Betain C5Hn . N02 . HgO.1)

Rhombicky bipyramidální

a:b :c= 0,8800 : 1 : 0,7093.

Tvoří bezbarvé, průhledné krystaly, silně hygro-
skopické a málo dokonalé, s plochami i hranami oby¬
čejně zaoblenými. Měřené krystaly reflektovaly signály
nezřetelné a zřídka jednotné ; výpočet není tudíž na¬
prosto přesný.

Tvary vyskytující se na krystalech betainu jsou
a (100), b (010), t (021), o (111). Habitus krystalů je
téměř vždycky tabulkový dle (100) (obr. 1.). Některé
tabulky jsou jednodušší, postrádajíce pyramidy.

a : o

100 : 111

Vypočteno:

Měřeno:

*56° 40'

b : t

010 : 021

—

*35 10

: o

010 : 111

61 47,

61 7

t : o

021 : 111

37 56

37 54x/2

Ú Chemicky popsal Scheibler, Berliner Berichte 3. 155.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 23.

XXIII.

o

Štípe se nedokonale dle 001 a dle 010. Rovina os optických leží
v 001 ; makrodiagonála je ostrou bissektricí; směr

a = a
b = y
c = p

Úhel os optických 2 ENa = cca 103°.
Disperse je silná p > v.

Hustota = 1,257.

Fosfát betainu C5HnN02 . H íP04.2)

Monosymetricky prismatický,
a : b : c = 1,2296 : 1 : 0,8242
P = 83 0 49'.

Krystaly jsou bezbarvé, průhledné, jsou
to nej častěji tabulky dle 100, (obr. 2.), někdy
je tvar skoro isometrický, jindy prodlouže¬
ním vertikály vzniká sloupec poněkud splo-
štělý dle 100, nebo jsou krystaly nepravi¬
delné nestejným vývojem různých ploch
téhož tvaru.

Pozorovány byly tvary a (100), c (001),

Obr.

2

m (110),

x (101),

n (011), s

(ni)-

Vypočteno:

Měřeno:

c : a

001

100

—

*83°

49'

: n

011

—

*39

20

: m

110

86

5V>

86

2

: x

101

31

5172

31

47

: s

Til

48

433/4

48

34

a : m

100

110

—

*50

43

: x

101

51

577a

51

45

: n

011

85

13

85

28

: s

loo

lil

66

24

66

2574

m : x

110

101

67

8

67

40

: n

011

57

4%

57

12

: s

no

lil

45

11

45

8

x : n

101

011

48

56

48

40

: s

íll

71

57

71

23

n : s

011 :

íll

28

23

28

2273

2) Chemicky popsal Andrlík, Listy Cukrovarnické 22. 397.

XXIII.

3

Štípe se dokonale dle 101, méně dokonale dle 001, zřetelně dle 010.
Štěpné lupénky dle 010 zhášejí šikmo v úhlu ca. IP/20 k délce. Směr bližší
vertikále, ukloněný do tupého úhlu, je a.

Hustota = 1,474.

Bromoplaíičitan betainu (C5Hn . N02 . HBr)2 PtBr4 . 2 H20.3)
Rhombicky bipyramidální,

a :b :c = 0,6796 : 1 : 0,7263.

Obr. 3.

Tvoří krystaly temně červené, kovově lesklé, sloupcovité. Na všech
je dominujícím tvarem základní prisma, jehož dvě rovnoběžné plochy
jsou obyčejně nepoměrně širší než ostatní. Touto okol¬
ností trpí pravidelný vývoj pyramid, v pásmu širších
ploch prismatických bývá vyvinut jen tvar (112) a to

nahoře i dole, kdežto v pás
mu užších ploch přistupuje
ještě pyramida základní. Na
krystalech s jediným volně
vyvinutým koncem činí roz-
dělení ploch dojem souměr¬
nosti sfenoidické. Obr. 3.
znázorňuje skutečný, obr. 4.
idealisovaný vývoj.

tvary m (110), o (111), s (112) vyskytují se
#(101) a vzácně n( 021).

Mimo uvedené
a (100), b (010) jako velmi úzké plošky

ještě

Vypočteno:

Měřeno:

a : m

100

110

—

*34°

12'

: s

112

63

193/4

63

12

b : x

010

101

90

—

90

3

: o

111

63

311/.

63

31

m : x

110

101

52

5074

52

56

: n

021

62

2574

62

29

: o

111

37

44

37

47

: s

112

—

*57

8

: o'

lil

73

472

73

12

: s"

1 12

78

2872

78

25

s : s

112

ÍÍ2

53

2073

53

151/:

Štěpnost nedokonalá dle b (010).

Pleochroism slabý, || c větší absorpce, zbarvení červené, || a absorpce
menší, zbarvení oranžové ; vertikála je směrem negativním.

Hustota = 2,510.

3) Podle sdělení p. správce V. Staňka.

1*

XXilI.

4

Bromhydrát betainu C5Hn N02 . HBr.4)

Monoklinicky prismatický,

a : b : c = 0,8224 : 1 : 1,2846
(i = 81 0 46'.

Pozorovány tvary: a (100), b (010),
c (001), l (230), n (011), o (111), s (lil).

Bezbarvé, často kostro vité krystaly
jsou dvojího typu: a) tlusté tabulky dle
(001) s tvary (010), (011), (111), (íll) (obr.
5.) ; b) orthodiagonální sloupečky, na nichž jsou (001) a (100) přibližně
v rovnováze; mimo ně jsou vyvinuty tvary (230), (010), (111).

Vypočteno:

Měřeno:

c : a

001 : 100

—

*81° 46'

: l

: 230

84°

477/

85 20

: n

: 011

51

483/4

51 42

: o

: 111

58

337,

58 35

: s

: lil

—

*68 48

a : l

100 : 230

50

403/4

51 23

: n

: 011

84

557/4

84 42

: o

: 111

43

227.

43 13

: s

100 : íll

—

*48 38

b : o

010 : 111

57

11

57 3

: 5

: íll

53

4174

53 47

s : s

íll : ííl

72

37%

72 22

Na tabulkách dle (001) je orthodiagonála směrem negativním, klino-
diagonála positivním.

Hustota = 1,592.

Obdobná sloučenina chlorová, chlorhydrát betainu C^H^NO^ . HCl,
byla již r. 1870 připravena v krystalech Scheiblerem a studována
krystalograficky G r o t h e m, téměř současně připravena L i e b-
reichem a měřena Rammelsberge m.5) Jest taktéž mono-
symmetrická a při nej jednodušších symbolech nalezených tvaru:

a (100), b (010), c (001), m (110), ? (011), o (111), co (lil), 5(211)
má poměr parametrů

a:b:c = 1,2690 : 1 : 0,8167,

P = 83° 13'.

Srovnáme-li poměr tento s hořejším, shledáváme velmi přibližnou
relaci klinodiagonály chlorhydrátu k bromhydrátu 3 : 2, vertikály 2 : 3,
tak že při sblížených úhlech meziosních

chlorhydrát 001 : 100 = 83° 13'
bromhydrát 001 : 100 = 81° 46'

4) Viz pozn. 3) na str. 3.

5) Viz Grothovu CJienúsche Kristallographie III. Bd. ^1910) str. 101.

XXIII.

5

máme u skutečně pozorovaných tvarů úhly

chlorhydrát 100 : 1 10 = 51°333/4'
bromhydrát 100 : 230 = 50°403/4'
a supponujíce klinodoma u chlorhydrátu posud nenalezené
chlorhydrát 001 : 032 = 50°343/4'
bromhydrát 001 : 011 = 51°483/4' ;

tudíž

2 3

chlorhydrát —a:b: — c= 0,8460 : 1 : 1,2252, p = 83°13'

bromhydrát a :b :c = 0,8224 : 1 : 1,2846, p = 81°46'

Kdybychom posici danou chlorhydrátu G r o t h e m adoptovali
pro bromhydrát, obdržely by plochy obou konstantně se vyskytujících
pyramid (111) a (lil) složité symboly (964) a (964), naopak bylo by pro
chlorhydrát ze tvarů výše jmenovaných m = (230), q — (203), o = (469)
co = (469), £ — (433) ; vhodnější zajisté jest ponechati oběma sloučeninám
posice, píi nichž typické jich tvary mají indexy nej jednodušší, a označiti
vztah mezi chlorhydrátem a bromhydrátem betainu jakožto vzdálenější
relaci isomorfní, asi toho druhu, jako na př. mezi samsonitem AgJVlnSb2S6
a pyrostilpnitem Ag6Sb2S6 nebo mezi barytem BaS04 a anhydritem CaSOi}
datolithem CaB(OH)SiO 4 a euklasem BeAl{OH)SiO 4 a pod.

Jodhydrát betainu C5 Hn N02 . HI.6)

Trojklonný pinakoidalní,

a :b :c = 1,2290 : 1 : 0,5492
cc = 78° l2/3', p = 121° 52', y = 108° 222/3'.

Průhledné, bezbarvé nebo slabě nažloutlé krystaly jsou tabulky dle
a na kterých užšími plochami jsou zastoupeny tvary b (010), m (120),

n (011), r (011) (obr. 6.), protiplocha k r, Olí, však často schází.

6) Viz pozn. 3) na str. 3.

XXIII.

G

Vypočteno:

Měřeno :

a : b

100 : 010

— ■

*75° 40'

: m

: 120

—

*53 21

: n

: 011

55 26

55 26

: r

: Oll

—

*70 38

b : n

010 : 011

—

*66 13

: r

0Í0 : Oll

—

*61 30

m : n

120 : Oll

56 11

56 9

Štípe se dokonale dle (011).
Hustota = 1,620.

Mineralogický ústav
c. k. české university v Praze.

XXIII.

I

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 24.

0 imaginárně prostorové křivce kubické.

Podává

vládní rada prof. VINC. JAROLÍMEK.

S 5 obr. v textu.

(Předloženo dne 24. dubna 1914.)

1. Tuto křivku L i3 obdržíme na př.- pronikem dvou imaginárných
ploch kuželových 2. stupně xx* 2 3, x22 druhu třetího1), jež mají reálné středy
sv s2 a společnou površku reálnou s1s2 = A. Kužel x2 můžeme na př.
stanovití dalšími třemi reálnými površkami Bv Cv D1 a to tak, aby čtyř-
hran sx (A Bx Cx Dx) byl konvexní, a reálnou tečnou rovinou rv která
jednu površku odděluje od tří ostatních2); kužel pak x22 reálnými po¬
vrškami A, B2, C2, D2 a reálnou tečnou rovinou r2 za týchž podmínek.

Zvolíme-li reálné površky kuželů tak, aby se navzájem protínaly,
na př. (B1 B2) = b, (C1 C2) = c, (D1 D2) = d, bude křivka Li 3 reálné body
b} c, d obsahovati; ježto pak i středy slf s2 jí náležejí, lze říci:

Imagindrnd 'prostorová křivka kubická múze míti ( nejvýš ) pet bodů
reálných.

Duálně lze Li 3 obdržeti vratnou křivkou imaginárně rozvinutelné
obalové plochy třetí třídy A111, jejíž roviny dotýkají se dvou imaginárných
kuželoseček K^} K22, jež ležíce v rovinách reálných gv g2, společné jejich
průsečnice g±g2=A se dotýkají. Společné tečné roviny kuželoseček,
vyplňující svazek rovinový III. třídy q111 a obalující plochu A111, jsou
oskulačními rovinami křivky Li3. Imaginárnou kuželosečku K x2 můžeme
na př. stanovití dalšími třemi tečnami Bv Cv Dx v rovině c1 a bodem tx
vhodně zvoleným3), kuželosečku pak ič22 v rovině g2 reálnými tečnami
A, B2, C2 , D2 a bodem t2 v případné k nim poloze. Zvolíme-li tečny tyto
tak, aby se navzájem protínaly (na přímce A)} aby tedy ležely v rovinách
(Bx B2) = ji, (Cj C2) = y, (Dx D2) = d, budou i reálné roviny /?, y, 6 osku-

x) Jarolímek, Geometrie polohy, III. pag. 101.

2) Ibid. pag. 86: Kužel h±2 je promítkou imag. ellipsy druhu 3. z bodu
* v prostoru.

3) Geometrie polohy III., pag. 88.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tr. II. Č. 24. 1

XXIV.

lačními vzhledem ke křivce L*3; ježto pak i roviny av a2 jsou tečnými
ku Am a tudíž oskulačními ku Li3, lze říci:

Imaginárná prostorová křivka kubická může míti (nejvýš) pét osku-
lačních rovin reálných.

2. Pěti libovolnými reálnými body v prostoru 1 , 2, 3, 4, 5, z nichž
žádné čtyři neleží v jedné rovině, prochází oo2 reálných křivek 3. řádu,
jež tudíž tvoří dvojmocný svazek prostorových kubik 2J L3. Neboť přím¬
kami 12, 13, 14, 15 prochází oo1 kuželových ploch 2. stupně, a tolikéž
přímkami 21, 23, 24, 25 ; každý pak kužel svazku jednoho seče každý

Obr. 1.

kužel svazku druhého ve společné površce 12 a v křivce kubické, jež
prochází danými pěti body. Body tyto jmenujeme základními body svazku
2J L3, nebo také vrcholy prostorového pětiúhelníka 12345. Po dvou lze
tyto vrcholy spojiti deseti přímkami a po třech deseti rovinami. Celý
tento útvar nazveme úplným prostorovým pětiúhelníkem; spojnice 12,
13, . . . 24, ... jsou jeho hranami, roviny (123), (124), . . . (245), . . .
jeho stěnami. Každé hraně, např. 23, odpovídá určitá stěna protější (145).
Pronik TI úplného pětiúhelníka s libovolnou rovinou q, která neprochází
žádným jeho vrcholem, skládá se z deseti bodův a z deseti přímek (obr. 1.) ;
průsečíky hran 12, 13, . . . s rovinou o označme prostě 12, 13, . . ., prů-

XXIV.

3

sečnice stěn (123), (124), . . . s rovinou q značme 123, 124, . . . Každým
bodem procházejí tři přímky a naopak každá přímka obsahuje tři body.
Tuto konfiguraci TI možno narýsovat v rovině q přímo i bez pětiúhelníka
1...5 takto: zvolíme dva perspektivné trojúhelníky (obr. 1.), na př.
13, 14, 15 — a 23, 24, 25 (centrum 12) ; strany jejich, paprsky homo-
logických vrcholů 123, 124, 125 a osa perspektivná 245 (spojnice prů¬
sečíků homologických stran) skládají pronik IT. Neboť A 345 pěti¬
úhelníka v prostoru promítá se skutečně z vrcholů 1 a 2 na rovinu q do
dvou trojúhelníků perspektivných.

3. Rovina q seče každou křivku svazku 2J L3 ve třech bodech m, n, p
(z nichž dva mohou býti pomyslné), jichž spojnice mn=P, mp=N,
np=M — bisekanty křivky — omezují trojúhelník mnp. Veškeré
tyto trojúhelníky jsou polárné v témž polárném poli1), jehož direkční
kuželosečka K 2 jest reálná nebo imaginárná2) . Připadne-li bod p na
křivku K2 (obr. 1.), stane se polára P tečnou křivky v pólu p, polára pak M
pólu m tečnou kubiky L3 (kdežto n=p, N =P, a polárný A mnp
smršťuje se v úsečku m p). Jest tedy kuželosečka K2 geometrické místo
dotyčných bodův oněch kubik, které procházejíce bodu 1 ... 5, dotýkají
se dané roviny q ; křivek takových jest tedy oo1. Každým bodem křivky K2
a body 1 ... 5 jest jedna z nich určena, a lze ji ze šesti bodů přímo se¬
stroj iti.

Jestliže však i bod m = p, M =P, jest rovina q oskulační ke křivce L3
v bodě p, v němž také křivky L3 a K2 se dotýkají (viz bod x). K zobrazení
kuželosečky K2 netřeba kubik svazku 2J L3 strojiti. K tomu užijeme
výhodně kubik degenerovaných. Kterákoli hrana základního pětiúhelníka,
na př. 12, určuje zvrhlou kubiku spolu s kuželosečkou, která prochází
vrcholy 3, 4, 5 a průsečíkem hrany 12 na rovině (345). Takových
kuželoseček je svazek jednomocný, tedy kubik, zvrhlých v přímku a ku¬
želosečku, oo1. Nejvýhodnější však budou kubiky, jež rozpadají se (každá)
ve tři přímky. Dvě mimoběžné hrany pětiúhelníka, na př. ~12, ~45 , a příčka
jejich procházející vrcholem 3 [průseČnice rovin (123) a (345)] sklá¬
dají kubiku zvrhlou ve tři přímky. Takových ve svazku U L3 jest toliko
patnáct 3). Podle toho průsečík kterékoli hrany pětiúhelníka, na př. 12,
s rovinou q dá pól 12 (obr. 1.), a průsečnice protější stěny (345) s ro¬
vinou q příslušnou poláru 345 kuželosečky K2; Tpólu 13 přísluší polára
245 atd. Ze tří pólův a příslušných polár lze pak kuželosečku K2 snadno
sestroj iti.

*) Reye, Geometrie der Lage, vyd. 4., díl II., pag. 205.

2) Svazek Z L3 dává na rovině q oo 2 polárných trojúhelníků; tyto nevyplňují
tudíž polárné pole celé, jež obsahuje polárných trojúhelníků oo3, čili: není každý
polárný trojúhelník kuželosečky K2 pronikem roviny q s určitou křivkou svazku 2 L3.

3) Z deseti hran úplného pětiúhelníka lze totiž vybrati patnáct dvojin hran
mimoběžných. Anebo: Každým vrcholem pětiúhelníka procházejí tři příčky, totiž
ke třem dvojinám protějších hran, jež spojují ostatní čtyři vrcholy.

XXIV.

1*

4

Je-li q o skula ční rovinou určité kubiky Z,3 ve svazku X obsažené,
promítá se křivka L3 z každého bodu svého, na př. 1, kuželovou plochou
2. stupně, jíž rovina p seče v kuželosečce X 2 (obr. 1.) procházející body
12, 13, 14, 15 a dotýkající se (jak nahoře již ukázáno) kuželosečky K2
v určitém bodě x. Druhá kuželosečka téže vlastnosti Y2 dotýká se křivky K 2

v bodě y1). Body 1, 2, 3, 4, 5, x určena jest jedna, body 1, 2, 3, 4, 5, y
druhá kubika, která procházejíc vrcholy základního pětiúhelníka oskuluje
danou rovinu q. Tím zároveň jest řešena úloha: sestrojiti křivku kubickou,

x) Je samozřejmo, že každá kuželosečka v rovině q, která prochází čtyřmi
body, jichž značky v jedné cifře se shodují, tedy na př. 12, 23, 24, 25, a dotýká
se kuželosečky K 2, dává tyž dotyčný bod x resp. y.

XX ív.

5

jež dána jest péti body v prostoru a jednou rovinou oskulační ; výsledky

jsou dva.

4. V našem případě (obr. 1.) jest tato křivka reálná. Jde však nyní
o to, jak pětiúhelník 1 ... 5 upraviti, aby kubika Li3 o dané oskulační
rovině q byla imaginárná. Případ ten nastane, bude-li kuželosečka K 2
pomyslná. Polárné pole 77 v rovině q a direkční jeho křivka K 2 jsou s do¬
statek určeny polárným trojúhelníkem a mimo to jednou družinou (pólem
a polárou). Zvolme tedy v rovině q (obr. 2., kdež rovina q učiněna půdo¬
rysnou) přímky 123 = B, 345 = A, na nich body resp. 12 = a, 45 = b,
tak že A ab c (kdež c = A B) je polárný. Aby pak kuželosečka K 2 byla

Obr. 3.

najisto imaginárná, vytkněme další pól d = 25 vnitř A a b c, poláru
jeho D = 134 vné (nebo také naopak) ; označme průsečíky (A D) =34,
(B D) = 13. Tím jest elliptické polárné pole 7J stanoveno; další bod,
na př. 15, můžeme vytknouti na spojnici ad = 125 kdekoli, načež
spojnice b, 15 protne D v bodě 14, spojnice a, 14; b, 25 protnou se
v bodě 24, dále 24, 34 seče B v bodě 23, posléze d, 23 přímku A
v bodě 35, který i na spojnici 13, 15 připadnouti musí. Tím jest kon¬
figurace 77 v rovině q sestrojena; z ní základní pětiúhelník 1 ... 5 v pro¬
storu odvodíme takto. Bodem 12 veďme mimo rovinu q přímku M libo¬
volným směrem1), vytkněme na ní body 7, 2, spojme bod 1 (v prostoru)

h Tato konstrukce provedena v obr. 2. toliko v náryse.

XXIV.

6

s bodem 13 (na rovině q) přímkou N, bod 2 s bodem 23 přímkou P;
průsečík (N P) = 3 . Spojnice 1, 14; 2, 24 protnou se v bodě 4, spojnice
1, 15 ; 2, 25 v bodě 51). Obě kubiky dané body 1 ... 5 a oskulační ro¬
vinou q jsou pomyslné. Z toho jde:

Imaginárná prostorová křivka kubická může míti pět reálných bodův
a jednu reálnou rovinu oskulační.

Existuje tedy deset reálných rovin, z nichž každá seče tuto imagi-
nárnou kubiku Li 3 ve třech bodech reálných; jsou to stěny úplného pěti¬
úhelníka 1 ... 5. Křivka Li3 má deset skutečných bisekant: 12, 13, . . .
23, . . . 45.

5. Z mnohých případů speciálních vyjímáme tuto jediný. Dejme
splynouti vrcholům 2 = 3 na dané přímce T a vrcholům 4 = 5 na dané
přímce U, mimoběžné k T ; přímky tyto jsou tudíž tečnami kubiky Z,3
v bodech 2 resp. 4. Mimo to dán bud bod 1 a oskulační rovina q. Pronik
základního pětiúhelníka s rovinou q redukuje se na tvar v obr. 3. zobrazený
(kdež q učiněna půdorysnou). Aby však křivka Li3 byla imaginárnou,
zvolme místo řečených útvarů v rovině q stopu A roviny ( 1T ) =(123),
na ní stopu b = 12 = 13 hrany 12, stopu B roviny (2 U) = (245),
a na ní stopu a = 4 5 tečny U. Dále vytkněme vnitř polárného A ab c
bod d = 14 = 15 jakožto stopu hrany 14 a poláru jeho D vně A ab c,
načež průsečík JA D) =23 je stopou tečny T, (B D) = 24 = 25 = 34 = 35
stopou hrany 24. Z tohoto proniku 77, jenž určuje elliptické pole polárné
a direkční kuželosečku K 2 pomyslnou, odvodíme data v prostoru takto:
bodem 23 vedme přímku T (viz nárys v obr. 3.) mimo rovinu p, vytkněme
na ní bod 2 = 3, spojme bod 2 se stopou 12 přímkou E, a týž bod 2
se stopou 24 přímkou F, vedme bodem d příčku G k mimoběžkám E, F.
Přímka G seče F v bodě 4 = 5 a přímku E v bodě 1; posléze spojme
a 4 = U (pětiúhelník 1 ... 5 zobrazen toliko v náryse). Útvary 1 ... 5, q
určují imaginárnou kubiku Li3. Z toho vychází:

Imaginárná prostorová kubika může míti dvé tečny a oba dotyčné
body reálné, mimo to ještě jeden bod reálný a jednu oskulační rovinu reálnou.

6. Duálně k odstavci 2. pěti libovolnými rovinami 7, 77, 777, IV, V,
z nichž žádné Čtyři neprocházejí týmž bodem, určeno jest oo2 reálných
svazků rovinových III. třídy, jež obalují dvojmocnou osnovu rozvinutel-
ných ploch III. třídy & Am; vratné pak křivky těchto ploch tvoří osnovu
křivek kubických Sl L3, jež daných pět rovin oskuluje. Roviny tyto šlovou
základními v osnově a omezují pětistěn. Deset průseČnic základních rovin
dává hrany, a po třech protínají se roviny v deseti vrcholech úplného pěti-
stěnu. Každé hraně, na př. 77 777 odpovídá určitý vrchol protější (I IV V).

1) Ježto bod 15 zvolili jsme na přímce a d kdekoli, bodem 12 lze vésti

v prostoru oo2 přímek M, a na každé vytknouti body 1 a 2 po libosti, je patrno,

že táž kuželosečka K 2 v rovině y přísluší oo5 různým pětiúhelníkům v prostoru.

Béřeme-li však bod 15 za pevný, jímž určena jest konfigurace /I dokonale, shledá¬

váme, že týž pronik II v rovině 9 náleží 00 4 úplným pětiúhelníkům v prostoru.

XXIV.

7

Z libovolného bodu v prostoru r, který neleží v žádné stěně úplného pěti-
stěnu, promítají se hrany a vrcholy jeho deseti rovinami a deseti paprsky.
Označme tuto promítku TI.

Bodem r procházejí tři tečné roviny p, v, n (z nichž dvě mohou být
pomyslné) ke každé plose osnovy Sl X111 x), které omezují trojhran. Hrany
jeho p v = P, p n = N , v 7t = M jsou bitangentami plochy A111 čili bipla-
nárami rovinového svazku III. třídy. Veškeré tyto troj hrany jsou po¬
lárné v témž polárném svazku prostorovém r , jehož direkČní plocha ku¬
želová x* 2 jest reálná nebo imaginárná. Připadne-li výjimkou přímka P
na kužel x2 (obr. 4.), bude polárná rovina n tečnou kužele podél P, po¬
lárná pak rovina p (pro poláru M) tečnou rovinou příslušné plochy A111
(kdežto v = 7t, N = P a polárný trojhran
r (p v tt) smršťuje se v úhel p n), a po-
vrška její P prochází bodem r. Jest tedy
kuželová plocha x2 geometrickým místem
površek oněch ploch III. třídy, které do¬
týkajíce se rovin I ... V procházejí bo¬
dem r; ploch takových jest tedy oo1.

Jestliže však i rovina p = 7t, M = P, jest
bod r o skula ční na ploše Am v rovině %

(neboť jím procházejí tři soumezné po-
vršky M = N = P), t. j. leží návratné
křivce její Z,3; šesti rovinami oskulačními
I ... V, 7t ]e stanovena křivka kubická L3, která prochází daným bodem r.

Kužel x2, jehož je třeba k určení roviny tc, sestrojíme nej výhodněji
zase pomocí ploch A111 degenerovaných. Kterákoli hrana základního
pětistěnu, na př. I //, určuje zvrhlou plochu A111 spolu s kuželem q2, který
se dotýká roviny q, položené hranou I II a průsečíkem ( III IV V)} a rovin
IIIt IV, V. Takových kuželů q2 je však svazek jednomocný, tedy i ploch
A111, zvrhlých v přímku a kužel, jest oo1. Nejvýhodnější však budou plochy,
z nichž každá rozpadá se ve tři přímky. Dvě mimoběžné hrany pětistěnu,
na př. I II, IV V, a příčka jejich 5 ležící v rovině III (spojnice prů¬
sečíků hran / II, IV V na rovině III) skládají plochu zvrhlou ve tři
přímky2). Takových jest v osnově íi A1 11 patnáct (srovnej s odst. 3.).
Podle toho dá rovina určená daným bodem r a kteroukoli hranou pěti¬
stěnu, na př. I II polárnou rovinu (r, I II), a spojnice protějšího vrcholu
(III IV V) s bodem r příslušnou poláru kužele x2. Polárné rovině (r, I III)
přísluší pól (II IV V) atd. Ze tří družin polárného svazku 12 lze pak di-
rekční kužel x2 sestroj iti snadno (pomocí proniku s libovolnou rovinou o,
která nejde vrcholem r).

*■) čili: bodem r procházejí tři oskulační roviny ke každé kubické křivce
osnovy Sl L3.

2) Svazek rovinový III. třídy, určený rovinami I, II, III, IV, V, (S, I II)

rozpadá se ve tři svazky rovinové I. třídy na osách III, IV V, S.

Obr. 4.

XXIV.

8

Je-li r oskulalním bodem určité plochy A111, tedy bodem vratné
její křivky Ls, seče plochu A111 každá tečná její rovina, na př. I, v kuželo¬
sečce K2. Tato křivka promítá se z bodu r kuželem |2, který dotýká
se rovin (r, I II), (z, I III), {r, I IV), {r, IV) a mimo to (jak svrchu do¬
kázáno) i kužele x2 podél určité površky X. Druhý kužel téže vlastnosti rj2

dotýká se kužele x2 podle přímky Y. Rovinami oskulačními I, II, III,
IV, V, | určena jest jedna, rovinami I, II, III, IV, V, druhá kubika
(konstrukce známá), která oskulujíc roviny základního pětistěnu, pro¬
chází daným bodem r1). Tím jest zároveň řešena úloha: sestrojili křivku
kubickou, jež dána jest jedním bodem a pěti rovinami oskulačními ; vý¬
sledky jsou dva.

x) i, rj jsou tečné roviny kužele x2 podél X, Y.

XXIV.

9

7. Tato křivka L3 je zároveň s kuželem x2 reálná či imaginárná.
Aby byla najisto pomyslná, zvolíme (místo rovin I . . . V) polárný svazek TT
tak, aby byl elliptický. Za tím účelem proložme daným bodem r (obr. 5.)
dvě libovolné roviny a, /3 jakožto polárné, bodem r v rovině a přímku B
jakožto poláru roviny /3, a v rovině přímku A jakožto poláru roviny a,
tak že, označíme-li průsečnici a (3 = C a rovinu (A B) = y, jest r (A B C)
polárný troj hran ve svazku TI. Další pak družinou (D á) bude již polárný
svazek TI stanoven. Aby byl najisto elliptický, vedme poláru D vrcholem v
vnitř troj hranu (. A BC), polárnou pak rovinu jeho d bodem r libovolně,
ale tak, aby byla celá vně téhož troj hranu1). Z těchto prvků lze již i prvky
ostatní jakož i roviny základního pětistěnu / . . . V vyvoditi takto:

Přímka A ať promítá (z bodu r) průsečík rovin (III IV V) ~ a ,
protější rovina a tedy hranu I II ; přímka B promítá průsečík (I II III) = b,
rovina /? hranu IV V, přímka D průsečík (I III IV) =. d, rovina d hranu
II V. Rovina (A D) promítá hranu III IV, polára její a d = E bod
(I II V) = e, rovina (B D) hranu I III, polára její (fič) =F bod (II IV V)
= /. Zvolme dále v rovině (A D) poláru r G, jež promítati bude průsečík
rovin (I II V) = g, načež ostatní prvky promítky TI obdržíme takto 2) :
rovina (B G) protne á v poláře H promítající bod (II III V) ~h, roviny
(A H) a (B D) protnou se v přímce / promítající bod (I III V) = j, dále
rovina (/ E) seče rovinu /3 v přímce K promítající bod (I IV V) = k,
rovina (D K) rovinu a v přímce L promítající bod (I II IV) =1, která
i do roviny (F G) zapadnouti musí.

Tím je promítka II z bodu r sestrojena. Základní pětistěn I ... V
vyvodíme z ní tímto postupem: v rovině a = (B E) zvolme kdekoli hranu
M = 1 II = el, proložme hranou M libovolně roviny I, II, stanovme
průsečnici N = 1 III roviny I s rovinou (B D J), označme body (B N) =
(I II III) = b, (D N) = (I III IV) = d, (J N) = (I III V) = j, dále sta¬
novme průsečnici P = II III roviny II s rovinou (B G H), označme body
(G P) m (II III IV) = g, (H P) m (II III V) = h ; rovina (N P) == III.
Obdobně průsečnice roviny I s rovinou (K L) a průsečnice roviny II
s rovinou (F L) stanoví rovinu IV, posléze průsečnice roviny I s rovinou
(E J) a průsečnice roviny II s rovinou (E H) =d určují rovinu V.

Rovinami I . . . V jako oskulačními a bodem r jest imaginárná
kubika LP stanovena. Z toho vychází:

Imaginárná prostorová křivka kubická může míti jeden bod reálný
a pét oskulačních rovin reálných.

Existuje tedy deset reálných bodů, z nichž každým procházejí tři reálné
oskulační roviny imaginárně kubiky Li3', jsou to vrcholy pětistěnu I . . . V.

1) Nebo D vně troj hranu {ABC) a rovinu S tak, aby pronikala nitrem téhož
troj hranu.

2) Ku provedení všech těchto konstrukcí užijeme s výhodou proniku s libo¬
volnou rovinou o, jak v obr. 5. naznačeno; pronik ten vyvodí se z polárného troj¬

úhelníka a1bxc1 a družiny d1Dí právě tak, jako v odst. 4. na rovině q (obr. 2.).

XXIV.

ROČNÍK XXIII.

třída ii.

ČÍSLO 25.

Souvislost úplného systému oc5 lineárních komplexů přím¬
kových se všemi přímkovými plochami druhého stupně,
které procházejí čtyřmi pevnými body nebo se dotýkají

čtyř pevných rovin.

Napsal Dr. Jos. Klobouček,

professor reálky v Karlině.

Předloženo dne 12. května 1914.

,V, následuílcl práci podány jsou nejprve některé doplňující úvahy
tykající se zobrazení oo4 přímkových ploch druhého stupně, jichž po¬
vrchové přímky jedné soustavy nacházejí se v daném komplexu tetra-
edralmm na přímkový prostor. A sice týkají se úvahy tyto systému ploch,
ere procházejí vrcholy základního tetraedru ; úvahy vzhledem ke plochám
dotýkajícím se stěn základního tetraedru jsou zcela obdobné a teprve ke
konci práce učiněna o nich zmínka.

v, Přihlédnuto také zběžně ke plochám druhého stupně, jichž povrchové
přímky různých soustav náležejí dvěma různým komplexům tetraedrálním
a dáno jejich zobrazení na bodový prostor.

Dále odvozeny jsou zvláštní resp. obecné lineární komplexy, jichž
paprsky zobrazují systémy oo3 pioch druhého stupně procházejících vrcholy
tetraedru základního, jichž povrchové přímky jedné soustavy jsou obsa¬
zeny v daném komplexu tetraedrálním a které dále procházejí daným
bodem resp. oddělují harmonický daný pár bodů. Současně poukázáno
oo párům bodovým, které současně s původním párem všecky tyto plochy
harmonicky oddělují a vyvinut pak pro všecky bodové páry prostoru
přís ušný systém oo° prostorových křivek stupně čtvrtého prvního druhu,
na nichž jednotlivé bodové páry jsou rozloženy a určeny patřičné spojující
soustavy přímek těchto párů. Potom jsou určeny systémy oo4 těchto ploch
v různých tetraedrálních komplexech a stanovena v případě, že tyto
p ochy oddělují harmonicky všecky bodové páry téže křivky čtvrtého
stupně, dislokace všech zobrazujících přímek vzhledem k jistému kva¬
dratickému komplexu, jehož singulární plocha redukuje se opět na jistou
plochu druhého stupně, která prochází jen třemi vrcholy základního

Rozpravy. Roč. XXIII. Tř. II. Č. 25. .

XXV.

2

tetraedru a dotýká se jim protilehlých stěn. V těchto oo5 kvadratických
komplexech přidružených oo5 křivkám čtvrtého stupně určeny jsou dále
konsingulární systémy o oo2 komplexech.

Konečně uvedeny jsou některé poznámky týkající se ploch druhého
stupně s pomyslnými přímkami povrchovými, vyznačeny páry přímek
zobrazující tutéž plochu ve dvou různých komplexech tetraedrálních a vy¬
šetřeny dva různé systémy redukovaných křivek čtvrtého stupně, každý
o oo4 elementech.

* *

*

Paprsky tetraedrálního komplexu dají se, jak známo, seskupit
v oo 4 ploch druhého stupně, které vesměs procházejí vrcholy základního
tetraedru.

Je-li rovnice tohoto komplexu

A Pl2 Psi B Pm p^2 + C pil P 23 = O*

lze rovnice povrchových přímek tohoto systému oo4 ploch psáti ve tvaru*)

B |

P 23 = Q P 12 r \ a P 13 •

o [ p

A ^ C + ^ A

Pzi — X P 13 ^ Q Pil >

, A ~b ji

P 12 ~ 0 Pil ^ p T P 12 >

veličiny q , 6, x, [i jsou libovolné stálé, určující soustavu povrchových
přímek jedné plochy, obsaženou v daném tetraedrálním komplexu.

Jest patrno, že hořejší tři rovnice jsou rovnicemi tří lineárních kom¬
plexů zvláštních a že soustava (p, a, x, n) jest tvořena přímkami, které
jsou těmto třem lineárním komplexům společné.

Osy těchto komplexů mají — jak snadno zjistíme — souřadnice
Plůckerovy q&, ga" q & dány těmito hodnotami:

12

13

14

23

42

34

q»

0

0

— 1

0

b + ř*
c + (1

Q

//

qik

— 1

0

0

C + p

A + p®

X

0

///

qik

0

— 1

0

a

0

A -j- n _

B -Yi*

*) C. M. Jessop: A treatise on the line complex. Cambridge 1903 pag. 116.

XXV.

3

a náleží současně druhé soustavě povrchových přímek plochy, na níž jest
soustava (p, <r, z, p) položena; jmenujme a značme první soustavu krátce

druhou

\.pik\ •

M •

Jest zajímavo určití rovnice soustavy [^] ; jmenujeme-li

a",

tři stálé, budou souřadnice tvaru

qik = a' qik + a" qik a" qik ,
načež vložením hodnot z hořejšího schématu najdeme

q‘a +

. A -\- u

Vm — 9 9u + ~ T 9i3

9\2 — r 9.12 “1“

B + ^

B 4- ,,

C -\- i*

G9u

Eliminaci všech čtyř hodnot q , a, z, ^ z těchto tří rovnic nelze však
nyní pro věsti jako v případě hořejších tří rovnic pro soustavu [piú\, kdy
nabýváme, jak známo, rovnice původního tetraedrálního komplexu, jest
možno pouze eliminovati tři hodnoty q, o, z a výsledek eliminační jest
rovnice tvaru

9l2 $34

A fi

?13 9á2 | 9l4 923 n
b + ii^č +7~ ;

která určuje tetraedrální komplex obsahující soustavu [qik] .

Jak z formy rovnice vysvítá, má tento komplex s původním tentýž
základní tetraedr společný. Je-li x dvoj poměr komplexu původního to
jest, je-li

P12P34

^ ^ P 14 P 23

jest dvoj poměr x' tohoto komplexu dán vzorcem

x =

V

C + /x.

z Čehož vyplývá, že veličina ^ určuje dvojpoměr x' .

Z toho soudíme, že veškeré plochy našeho systému dělí se na 00 1 jiných
systémů, z nichž každý obsahuje pouze oo3 ploch, jichž druhé soustavy náležejí
jinému komplexu tetraedr álnímu.

XXV.

1*

4

V případě, že v! = jí, stotožňují se obě soustavy přímek povrchových
a příslušné plochy přecházejí v komplexové plochy kuželové daného
tetraedrálního komplexu, což odpovídá hodnotě

lim u = oo .

Vyšetřme zobrazení našeho systému ploch na prostor bodový resp.
rovinový a přímkový.

Rovnici obecné plochy tohoto systému můžeme určiti bud pomocí
tří přímek pA , pik, pik nebo q#, qik, qá ; při čemž prvé tři přímky jsou
opět osy tří lineárních komplexů zvláštních určujících soustavu [q^] a
jich souřadnice Plůckerovy jsou dány hodnotami:

12

13

14

23

42

34

pik

0

0

— 1

0

- 6

C A li
A+t* Q

pik

— 1

0

0

- Q

A A- li
BAliT

o •

pik

0

— 1

0

B + n

C + fi a

0

— X

1

Položíme-li nyní na okamžik

B A l1 C [x , A A [i

— — — — = a , — - L tm b , -p: - - = c

C — 1_ íí A n B -p {x

a provedeme-li počet, nalezneme rovnici

%2 x3 (c — • 1) X + x2 x± (b — 1) Q + x3 x4 (a - 1)(7 +

+ x1 x4 (a b — 1) q 6 + x± x3 (a c — 1 )a x -\- xíx2(b c — 1) p r = 0.

Zavedme nyní místo hodnot q , a, x nové veličiny X*. i = 1, 2, 3, 4,
tak že

X =

x4 x3

9 = 5

čím pro koefficienty poslední rovnice nalezneme hodnoty:

*^12 = - X3 X4 (5 - C) (C + (i) [A + li) ,*aM = X, X2 (B ~C)(B- f fi) [A + fi) ,
*a13 = — X2X4 (C — A) ( A + n) (B + #i) , *a42 = X4X3 (C - A) (C A p) (B + p),
*au = -X2X3 W - B) (B A fi) (C + rt, *a23 = X4X4 M -5) (.4 + p) (C + p).

Veličiny X* můžeme pokládati za tetraedrické souřadnice bodu
v prostoru, který jest při určité hodnotě přiřaděn jisté ploše systému;
za základní tetraedr pro tento systém souřadnic můžeme voliti na př.
tetraédr původního komplexu tetraedrálního.

XXV.

Jest patrno, že tyto rovnice podávají nám způsob, kterým jest možno
systém oo3 přímkových ploch druhého stupně jdoucích čtyřmi pevnými
body, jichž obě soustavy povrchových přímek mají na tetraedru určeném
těmito body dané dvoj poměry, zobraziti na bodový nebo záměnou hodnot
Xi a na rovinový prostor.

Dle toho vidíme, že plochy našeho systému degenerují ještě pro
body Xi položené ve stranách základního tetraedru při kterémkoliv p,
nebo pro hodnoty [i = — A, — B, — C, kterým odpovídají redukované
tetraedrální komplexy o dvoj poměrech x — 0, 1, oo při libovolném Xt.

Pro hodnotu lim [i = oo obdržíme zobrazení všech komplexových
kuželových ploch tetraedrálního komplexu na bodový prostor; srovnáním
příslušných rovnic nalezli bychom, že zobrazující bod a vrchol příslušného
kužele jsou dva korespondující body v involuci středové, jejímž středem
jest vrchol A1 tetraedru základního a rovinou involuční protější strana

^2^3 ^4-

Zobrazení naše jest také skutečně jednoznačné, neboť při daných
hodnotách nalezneme:

Y • Y • Y • Y _ 1 • C ^ • ^12 ^ ^ • ^13 ^ C

2 3 4“ • a^A_B • B — C ' aM C — A 9

_ (C — A)2Ba12aM — (B — C)2 A a13 aá2
( C A)2 a12 ( B C)2 a13 a^2

při čemž, aby zvolená plocha ## náležela systému ploch obsažených v pů¬
vodním tetraedrálním komplexu, musí platiti předně

au = 0

a, jak snadno zjistíme, také

[A — B) (C — A) a12a34 + (B — C) (A — B) a13 ai2 + (C — A) (B — C) aua23 = 0.

Tento vztah dává nám zároveň zobrazení celého systému ploch na
přímkový prostor.

Označíme-li Plůckerovy souřadnice zobrazující píímky pik , můžeme
zobrazující vzorce psáti na př. ve tvaru:

*P 12 = [A B) a12, *Pm = (C A) ^34?

*Pl3 — {B C) ^13 *^42 = {A B) ^42

*P 14 = A) ^"i4> *p 23 = {B C ) a23,

čímž obdržíme současně známé zobrazení celého tetraedrálního komplexu
na bodový resp. rovinový prostor.

Vidíme nejprve, že

X1:Xi

X9:XA

^ . P 14 . P 12 . P 13

P*2 P 23 Pm

a

a =

B C p12 p3$. H C A p13 />42 H A B ^>14 p23

A P 12 ^34 *T B P 13 ^42 d~ C />14 P

23

XXV.

6

poslední rovnice praví, že zobrazující přímky systému ploch, který od¬
povídá pevné hodnotě ji, tvoří opět tetraedrální komplex.

Volíme-li na př. pro souřadnice pik zase původní tetraedr, nalezneme,
že při hodnotě lim [i = oo zobrazující přímky tvoří původní tetraedrální
komplex, což, jak známo, shoduje se s tím, že veškeré komplexové plochy
kuželové tetraedrálního komplexu zobrazeny jsou všemi paprsky téhož
komplexu.

Věta tato však platí všeobecně, neboť rovnice pro [i dá se přičtením
H2 + {i (A -f- B + C) -násobné identity

Pl2 Pm "l" P\Z P\2 “1" ^14 P 23 = ®

přepsati na tvar

Pl2 P 34 I P 13 7^42 _|_ P 14 P2Z _ q

A (í B -|- C

z něhož hned vyplývá, že komplex přímek pik jest totožný s tetraedrálním
komplexem přímek q# a že tedy všecky přímkové plochy druhého stupně
obsažené v jistém tetraedrálním komplexu , jichž druhé soustavy povrchových
přímek náležejí jinému tetraedr álnímu komplexu , zobrazeny jsou všemi
přímkami tohoto druhého komplexu.

Zobiazující přímky nejsou však položeny na zobrazených plochách,
neboť rovnice soustav [£#] resp. [$*] lze vhodnou úpravou přepsati do
tvaiů:

Pl2 Pl2 4“ P 23 P 23 x i P 13 Pl% ~ ® ’

Pvi P 13 4~ ^34 ^34 + ^ P 14 Pj& = ® >

jl _ 1 ^

P 14 P 14 4“ Pl2 P±2 4“ “ ~ Pl2 Pl2 = ^ »
a

Jí

X #12 P 12 4- * #23 P2Z ^ ^13 ^13 = ^ ’

X7 (jí - 1) r r f t

X (jC7 - íj~#13 ^13 #34 ^34 4- * #14 Pl& = ^

/ /

X X

x ^ #14 ^14 4“ ■■ Y" #42 ^42 4~ #12 Pl2 = 0'

při čemž vzat zřetel k tomu, že přímky pikr a ^ témuž tetraedrálnímu
komplexu o dvojpoměru x' náleží; jest nyní patrno, že druhá skupina
rovnic přechází na prvou, učiníme-li x' rovné x a p:šeme-li p& místo
není však vyplněna, vložíme-li místo pa . . . <7#.

Připomeňme, že rovnici plochy systému jest možno psáti:

x2x3 Xj V4x' (x — 1) + *2#4 X1 V3x (x- — 1) (x' — 1)— %3^X1X2xx' (x' — 1)
— x1 #4 V2 X3 x (x' — 1) — x1 x3 X2 X4 x' (x — 1) fx' — 1)

+ ^2 X3 I4 x x' (x — 1) = 0 .

XXV.

7

Zaveďme do rovnice této plochy souřadnice zobrazující přímky p& ;
tím obdržíme pro dané hodnoty %i rovnici zvláštního lineárního komplexu

x1x2 , x± x3 , x± x4
P 12 + B — C ^13 +

B

+

v. a;.

A — B

Pl2

C — A

X3 X4

C — A

Pu +
Pú = o

B—C

P 23

jehož osa má souřadnice p*k dané hodnotami

12

13

14

23

42

34

Pik

*2 *4

*2 X3

*1 *3

*1 *2

C — A

A — B

B — C

C — A

B — C

A—B

Tato osa p*k náleží vždy původnímu komplexu tetraedrálnímu.

Dle toho, uvažujíce plochy systému procházející dalšími pevnými
body mimo vrcholy základního tetraedru ležícími, můžeme říci, že třemi
dalšími body obecně položenými procházejí celkem čtyři plochy, jichž
povrchové přímky obou soustav mají dané dvoj poměry jí, jí'. Zobrazující
přímky těchto ploch jsou přímky společné tří lineárních a jednoho tetra-
edrálního komplexu o dvojpoměru jc'.

Zobrazující přímky ploch, které oddělují harmonicky dva body
xf\ xf\ tvoří obecný lineární komplex o rovnici

M J*) 1 rW J*)

. , - %i %3 ~r *3 %i , t

P12 H - B — C - ^13

Jf) A}) 1 rW Jk) Jk) 1 Jk)

l x2 A3 -f- X3 X2 , X2 X4 -f- X4 X2 ,

‘I - - - - - p 23 H - A — B - r 42

A—B

-

*?>*?» +

5 — C

C — d

^34 — 0

K Schubertově*) charakteristice = 2 našeho systému ploch můžeme
tedy ještě připoj i ti, že lze vésti dvě plochy systému, které současně od¬
dělují harmonicky čtyři obecně položené páry bodové, nebo lze vésti čtyři
plochy oddělující tři páry bodové harmonicky a mající dané dvoj poměry
na obou soustavách přímek povrchových. Podobně jest možno určití
čtyři tyto plochy mající společný pól a polární rovinu, resp. které mají
společný střed.

Volíme-li dále body X{} xí , a dáme-li plochám původního

systému oddělovati harmonicky páry (#*#/), (xtyj), (y< x/), y/) , jsou
přímky spojující body xi} yt a xí , yí konjugované poláry těchto ploch.
Vidíme tedy na př., že obecně dvě plochy systému mají v dané přímce
jednu svou osu.

*) Dr. R. Sturm: Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie
I., pag. 347.

XXV.

8

Úvahy naše jest v zájmu celku doplnit! rozborem předchozích rovnic
v případě, že plochy systému procházejí danou přímkou.*)

Volme nejprve přímku pik daného tetraedrálního komplexu; jak
známo, tvoří zobrazující přímky ploch, které tuto přímku obsahují, prosto¬
rový svazek, jehož vrchol x »* nalezneme jakožto průsečík os tří zvláštních
lineárních komplexů daných první skupinou rovnic na str. 6., jejichž osy
'pik mají souřadnice

12

13 14

23

1

42

34

p$

0

0

P 23

0

*-i ^

P 12

p%

P 34

0

0

*pu

P\z

0

p g>

0

Pťl

0

Pu

0

plt

X

Bod Xi* dán jest poměrem koordinát

r * * r * = 1 • ^14 • ^12 • ^13

3 ’ 4 ' P,2 ’ P 23 ’ P 34 '

Lze nyní snadno ukázati, že osa p% zvláštního lineárního komplexu,
jehož paprsky zobrazují plochy systému procházející bodem %f3 jest
totožná s přímkou pa, která koresponduje bodu %i* dle schémata daného
na str. 7.

Skutečně schéma toto podává pro bod ( 1, , - r — 1 sou-

' ^42 ^23 Pm '

řadnice osy takové, že vyplývá

-ptk = pik ,

použij eme-li při tom vztahů

* (A— B) = pu p2z , * [B — C) = p12 pM , * (C — A) = £13 P&

vyplývajících z rovnice daného tetraedrálního komplexu.

Vzhledem ku předchozím úvahám můžeme oo2 paprsků tohoto svazku
prostorového o vicholu Xi* roztřídí ti v oo1 komplexových kuželových ploch
druhého stupně téhož svazku, které příslušejí systému oo1 tetraedrálních
komplexů o původním základním tetraedru, tak že každá tato kuželová
plocha zobrazuje svými přímkami oo1 ploch, které procházejíce přímkou
pfk odpovídající bodu %i* v daném tetraedrálním komplexu mají po¬
vrchové přímky druhé soustavy obsažené v onom tetraedrálním komplexu,
ve kterém jest obsažena i příslušná zobrazující kuželová plocha.

*) Ibid. Str. 369, po stránce synthetické. '

XXV.

9

Mají-li nyní plochy systému obsahovati přímku q která nenáleží
původnímu komplexu tetraedrálnímu, jsou příslušné zobrazující přímky
společnými přímkami tří zvláštních lineárních komplexů daných druhou
skupinou rovnic na str. 6., v nichž dvojpoměr x vytknut jest již zvolenou
přímkou qtk. Poněvadž nyní simultánní invarianty těchto tří komplexů
jsou různé od nuly, tvoří tyto zobrazující přímky soustavu [pik] o dvoj-
poměru x jisté plochy našeho systému, která přímce q& dle našeho zobra¬
zení jest přidružena.

Jsou-li xf\ xf] dva body této přímky, jimž přiřaděny přímky pfk ,
pa , jest bodu

x?\+Xxlk)

přiřaděn paprsek komplexu o souřadnicích

* pik = pik T X Ijh + A2 plk ,

značí-li rovnice

S Ijh pjh = 0

rovnici obecného lineárního komplexu, jehož paprsky zobrazovaly plochy
systému harmonicky oddělené body xf\ xf] .

Současně však platí, jak z původních vzorců snadno vyplývá,

S Ijh pfh = 0 , Ijh pfh ~ ^ >

tak že přímky pfk , pfk komplexu náležejí, a označíme-li dále symbolem
Jn invariant tohoto komplexu, jest platný vztah

e/fl + S pik pfh = 0 .

Tyto rovnice jsou skutečně také nutný, má-li přímka pik náležeti
téže soustavě [pik] jako přímky pfi , plk .*)

Komplex lik stává se zvláštním, jsou-li body xf^ , x\k) položeny na
paprsku pfk , který náleží původnímu tetraedrálnímu komplexu. Osa jeho
prochází průsečíkem x »* přímek pfk , pfk , který koresponduje současně
přímce pfk , avšak osa tato nenáleží tomuto tetraedrálnímu komplexu,
jak jednoduchý rozbor příslušných rovnic snadno potvrdí.

Dle toho můžeme veškeré zobrazující zvláštní komplexy lineární,
jichž osy procházejí pevným bodem, takto charakterisovati :

Komplexy , jichž osy jsou povrchovými přímkami komplexové plochy
kuželové původního tetraedrálního komplexu, zobrazují svými paprsky plochy
procházející jednotlivými body přímky, která v tomto tetraedrálním komplexu
přísluší tomuto pevnému bodu\ komplexy , jichž osami jsou všecky ostatní
přímky tohoto prostorového svazku, zobrazují systémy ploch, jež oddělují
harmonicky bodový pár položený na této přímce.

*) C. M. Jessop: A treatise on the line complex. Pag. 66.

XXV.

10

Syntheticky vyplývá věc tato následující úvahou.

Mají-li plochy systému oddělovati harmonicky body , xf\ jest
třeba, aby na spojnici jejich q^ vytínaly páry involuce bodové, jejíž dvojné
body jsou tyto dva body; jednotlivým párům bodovým této involuce
odpovídají však v tetraedrálním komplexu původním páry přímek, polo¬
žených na ploše korespondující přímce qm, které tvoří involuci konjugo-
vaných polár příslušného lineárního komplexu, jenž tedy takto jest Chasle-
sovým způsobem vytvořen.

Náleží-li nyní spojnice bodů x , x\k) našemu tetraedrálnímu kom¬
plexu, obdržíme involuci konjugovaných polár na komplexové ploše kuže¬
lové, která přísluší této spojnici a příslušný lineární komplex vytvořen
Chasleovým způsobem dává nyní zvláštní lineární komplex, jehož osou
jest osa involuce těchto sdružených polár. Tato osa prochází, jak patrno,
vrcholem této kuželové plochy, jenž odpovídá spojnici obou zvolených bodů.

Učiníme-li dále body xf\ x nekonečně blízké, ponechávajíce při
tom přímku je spojující pevnou, jsou i dvojné elementy příslušné involuce
konjugovaných polár nekonečně blízké, a tedy involuce sama jest para¬
bolickou; příslušný lineární komplex jest vždy zvláštní; osou jeho jest
paprsek tetraedrálního komplexu určující sjednocený dvojný element této
parabolické involuce. Náleží-li spojnice těchto dvou nekonečně blízkých
bodů tetraedrálnímu komplexu, zapadne osa tato na komplexový kužel
příslušný této spojnici.

Procházej í-li plochy systému současně oběma nekonečně blízkými
body, to jest, dotýkají-li se dané přímky v daném bodě, tvoří příslušné
zobrazující přímky lineární kongruenci paprskovou o nekonečně blízkých
základních osách, která jest společná dvěma nekonečně blízkým lineárním
komplexům určeným oběma body. Tato kongruence jest, jak patrno , tvořena
tečnami plochy systému, která odpovídá společné tečné, v bodech povrchové
přímky odpovídající dotyčnému bodu.

Snadno lze dále poznati, že všecky plochy druhého stupně obsazené —
dle dosavadních pojmů — v daném tetraedrálním komplexu a dotýkající se
dané přímky zobrazeny jsou paprsky zvláštního kvadratického komplexu,
který jest tvořen všemi tečnami plochy systému korespondující společné tečné.

Dle toho bylo by možno charakteristiku v4 = 32 také tímto způsobem
odvoditi; totéž číslo našli bychom také pro plochy, jichž povrchové přímky
obou soustav mají dané dvoj poměry na tetraedru základním a které se
dotýkají tří obecně daných přímek.

Obraťme se nyní k lineárnímu komplexu o souřadnicích

Jest především patrno, že kterýkoli z oo5 lineárních komplexů prostoru
lze tímto způsobem uplatniti, ježto hodnoty lze považovati za neodvisle
proměnné; poněvadž však všecky body prostoru lze seskupiti v oo6 párů
bodových, musí témuž lineárnímu komplexu příslušeti oo1 párů, a tedy
každá z oo 3 ploch systému, kteié jsou přímkami tohoto komplexu zobra¬
zeny, musí současně harmonicky oddělovati oo1 párů bodových.

XXV.

11

Za příčinou bližšího rozboru volme jakožto první bodový pár určující
náš komplex body %{, %í a pišme proměnné části koordinát vzhledem
k pevnému komplexu tetraedrálnímu

* lik = xt Xk + Xk Xi, i^k]

souřadnice spojnice těchto dvou bodů znamenejme pik', pak platí rovnice:

P 12 hi P\± ^23 "i" Al2 ^13 = 0;

P 13 ^42 + P 12 44 "f" P 23 ^14 = ^

Pil 43 “1“ P 13 W2 H- P 34 42 = 0;

stanovící tří zvláštní lineární komplexy, které obsahují spojnice párů
bodových, jež podávají týž komplex /#• Spojnice tyto tvoří tedy soustavu
povrchových přímek jisté plochy druhého stupně procházející taktéž vrcholy
základního tetraedru ; jmenujme soustavu tuto spojující soustavou kom¬
plexu kk a značme ji [/#] .

Jak patrno z těchto rovnic, jest tato soustava obsažena vždy v tetra-
edrálním komplexu o rovnici

Pik pjh hk Ijh — 0 •

Naopak eliminací hodnot x{ nalezneme rovnice

I34 H- %3 -^4 l\2 %3 I42 %2 ^4 43 — d,

X\ I3& 4“ %3 ^4 42 X1 X^ I2 3 X2 X$ /14 = 0 ,

tytéž rovnice však vzhledem k hodnotám xí by vyplývaly eliminací
veličin x^ z čehož jest patrno, že jednotlivé páry bodové, které příslušejí
témuž lineárnímu komplexu a které tedy současné harmonicky oddělují každou
z 00 3 ploch systému zobrazených paprsky tohoto komplexu, tvoří prostorovou
křivku stupně čtvrtého jevící se jakožto průsek dvou ploch druhého stupně
daných posledními rovnicemi.

Rovnici plochy obsahující spojující soustavu [/#] obdrželi bychom
použitím os tří posledních lineárních komplexů ; srovnáním s rovnicemi
na str. 4. nalezli bychom rovnici, kterou lze odvoditi z rovnic posledních
násobením faktory /12' l34j — -I1JI23 resp. l13j l^J — KJ I3I a sečtením.*)

*) Prof. Dr. Corrado Segre, jemuž jsem výsledky práce před uveřejněním
zběžně sdělil, upozornil mne, že v XXI. svazku Battaglini-ho časopisu ,,Giornale
di matematiche“ v úvaze nadepsané ,,Su una trasformazione irrazionale dello spazio
e sua applicazione allo studio del complesso quadratico di Battaglini e di un com-
plesso lineare di coniche iscritte in un tetraedro“, str. 355, uvažoval systém oo5 roz-
vinutelných ploch 4. třídy o těchže souřadnicích q Cik = «<&* + ak či, duální k sy¬
stému go5 křivek stupně 4. shora odvozených. Jak z uvedeného pojednání patrno,
nese se použití našeho systému křivek k souvislosti úplného systému všech 00 5 line¬
árních komplexů se všemi přímkovými plochami druhého stupně, které procházejí
čtyřmi pevnými body, kdežto úvahy Segrovy týkají se ponejvíce theorie komplexu
Battaglini-ho.

XXV.

12

Bylo ji ž ukázáno, že komplex Uk stane se zvláštním, jakmile spojnice
pik bodů %i, %i náleží původně danému komplexu tetraedrálnímu ; skutečně
z rovnic předchozích vyplývá obecně, zavedeme-li současně tři konstanty
a, p, y

a = 4 3 4 2 ^12 44 = P 14 p2Z>

P = /14 /23 43 42 ^ Pl2 P 34’

P = 42' 44 44 43 = ^13 Al2>

a vzhledem na původní tetraedrální komplex najdeme dále

* / ' / ' _ /) J_

^12 ^34 — xl 1

43' hí = B + J*, * /;

14

/ ' — r

^23 — °

z čehož vysvítá předně, že spojující soustava [4J náleží celá původnímu
komplexu tetraedrálnímu, jak musí také vzhledem k poučkám na počátku
odvozeným býti, a dále, že osa fe tohoto komplexu náleží tetraedrálnímu
komplexu o dvoj poměru

x*

A + ^

TT— - X ,

C + /x

v němž se také nachází druhá soustava povrchových přímek příslušná
soustavě [lik].

Dalším srovnáním, příslušných souřadnic shledáme, že osa tohoto
zvláštního lineárního komplexu zobrazuje vzhledem k původnímu tetraedrál¬
nímu komplexu plochu, na které se příslušná spojující soustava nachází.

Ježto osa tato jevila se jakožto osa jisté involuce povrchových přímek
na kuželové ploše odpovídající v původním tetraedrální m komplexu spojnici
obou bodů a jest tedy vlastně polárou roviny obsahující oba dvojné paprsky
této involuce, platí mezi těmito osami a zvoleným párem bodovým tento
vztah :

Veškeré páry bodové položené na kterémkoliv paprsku původního tetra-
edrálního komplexu seskupeny jsou v oo1 involutorních korespondencí typu [ 2 ];
každá z těchto korespondencí dává svými jednotlivými páry vznik oo1 zvláštním
lineárním komplexům, jichž osy tvoří komplexovou plochu kuželovou jiného
tetraedrálního komplexu.

Přihlédněme nyní blíže k systému těchto křivek stupně čtvrtého:

Jest patrno, že každá tato křivka jest jedním párem bodovým úplně
určena a všecky tvoří systém oo5 elementů jednoznačně korespondující
vzhledem k danému tetraedrálnímu komplexu všem oo5 lineárním kom¬
plexům prostoru.

Vzhledem k plochám, které systém těchto křivek určují, vysvítá,
že na každé ploše druhého stupně, která prochází dvěma protilehlými
hranami základního tetraedru, nachází se oo2 těchto křivek; jest totiž
každá z těchto ploch dána vytknutím dvou párů hodnot:

^12 » 434 > ^13 » ^42 > H4 » ^23

XXV.

13

Je-li korespondující lineární komplex zvláštním, hově jí tyto souřad¬
nice jisté homogenní rovnici druhého stupně a na každé této ploše nachází
se pouze oo1 křivek.

Ježto všech oo5 křivek našeho systému prochází vrcholy základního
tetraedru a všechny plochy druhého stupně jdoucí týmiž čtyřmi vrcholy
tvoří systém téže mohutnosti, obsahuje každá obecná plocha tohoto systému
oo 1 našich křivek, ježto i každou křivkou prochází oo1 těchto ploch.

Jak příslušné vzorce ukazují, jest každá naše křivka spojena jednou
plochou druhého stupně s každým párem protějších hran základního
tetraedru a její čtvrté stopní body na rovinách tetraedru jsou body o sou¬
řadnicích :

(0, l12 , /13 , ) ; (l21 , 0, l2 3 , l2 4 ) ; (/3 1 , /32 > 0, /34) ; (/41 , /42 , /43 , 0) .

Celý tento systém oo5 křivek stupně čtvrtého jest však nejen jedinému
tetraedrálnímu komplexu adjungován, nýbrž všem tetraedrálním kom¬
plexům o společném základním tetraedru.

Jak příslušné vzorce ukazují, dají se souřadnice kk lineárního kom¬
plexu příslušného bodům Xi, %í a tetraedrálnímu komplexu o dvoj-
poměru x psáti:

* / _ / ' * / _
*12 — *12 *13 —

* / _

*14 —

lví

X — 1 ’

^34 -

'34

X— 1

hz — hz

Souřadnice tyto, volíme-li body %í pevné, dávají pro proměnné x
systém oo1 lineárních komplexů, které svými paprsky zobrazují v různých
tetraedrálních komplexech o společném tetraedru systém oo4 přímkových ploch
druhého stupně, tak že každá plocha tohoto systému odděluje harmonicky
oo1 párů bodových téže prostorové křivky stupně Čtvrtého.

Tento systém oo1 lineárních komplexů jest také stupně druhého,
neboť komplexové roviny těchto komplexů pro libovolný bod prostoru
obalují kuželovou plochu stupně druhého a vrcholy komplexových svazků
paprskových vytvořují v dané rovině jistou kuželosečku, jak snadno lze
poznati napsáním rovnice příslušného nulsystému.

Značme literami A B C tři zvláštní lineární komplexy, tak že:

A = /12 P 12 + ^42 ^42 — 0;

B = 4.3 pxz + /23 p2z — 0,

C = lu pu + 4l P 34 == ^ ’

rovnice našeho systému lineárních komplexů jest dána pak ve tvaru
A x (x — 1) — B (x — 1) -f G x = 0 .

Každá přímka prostoru jest komplexovým paprskem dvou komplexů
našeho systému; vložíme-li souřadnice této přímky do poslední rovnice.

XXV.

14

obdržíme dvě hodnoty pro dvoj poměr x a tedy i dva tetraedrální kom¬
plexy určené základním tetraedrem a těmito hodnotami. V těchto dvou
tetraedrálních komplexech nacházejí se plochy druhého stupně, které
zvolená přímka vzhledem k nim zobrazuje; druhé soustavy povrchových
přímek těchto dvou ploch nacházejí se dle předchozích úvah v tetra-
edrálním komplexu určeném zvolenou přímkou a základním tetraedrem.

Pozorujme nyní dva nekonečně blízké lineární komplexy tohoto
systému, které odpovídaií dvěma nekonečně blízkým hodnotám veli¬
činy z.

Komplexové roviny jejich pro libovolný bod dávají, jak patrno,
průsekem svým povrchovou přímku shora zmíněné kuželové plochy,
a spojnice dvou soumezných vrcholů příslušných svazků komplexových
paprsků v libovolné rovině jest tečnou řečené kuželosečky. Z toho soudíme,
že veškeré paprsky našeho kvadratického systému lineárních komplexů obsa¬
žené vždy ve dvou soumezných komplexech tvoří kvadratický komplex.

Rovnice tohoto komplexu nalezneme, položíme-li diskriminant rovnice
celého systému rovný nule a tvar její, jak snadno zjistíme, jest

A2 + B2 + C2 — 2AB — 2AC — 2B C = 0.

Z úvah těchto současně i plyne jednoznačná korespondence mezi
povrchovými přímkami komplexových kuželů resp. body komplexových
kuželoseček a systémem hodnot x.

Každému paprsku tohoto komplexu přísluší dvě splývající plochy
a jak patrno, tvoří komplex tento rozhraní mezi všemi přímkami prostoru,
jimž přísluší dvě reálné resp. pomyslné plochy obsažené v uvažovaném
systému oo4 ploch.

Poukažme nejprve k charakteru tohoto komplexu.

V našem kvadratickém systému lineárních komplexů jsou obsaženy
čtyři speciální komplexy; tři z nich odpovídají speciálním tetraedrálním
komplexům o dvoj poměrech oo, 0, 1, a to jsou již jmenované komplexy
o rovnicích

A = 0, B = 0, C = 0;

čtvrtý speciální lineární komplex odpovídá tetraedrálnímu komplexu o dvoj-
poměru

_ ^14 ^23 ^13 U2

"4 7 ' 7 ' _ 1 ' 1 '

*12 *34 *13 *42

X 1 —

Tento tetraedrální komplex jest komplex o rovnici

pik Pjh lik Ijh — 0,

a ten dle předchozích úvah obsahuje spojující soustavu harmonických
párů bodových jediné křivky čtvrtého stupně příslušné celému tomuto
kvadratickému systému lineárních komplexů.

XXV.

15

Zavedeme-li dle dřívějších sjednání pro *4 tvar - a uvážíme-li,

že platí vztah

« + /?+ Y = 0,

lze rovnici čtvrtého zvláštního lineárního komplexu psáti ve tvaru

Osa tohoto komplexu má souřadnice pik dané hodnotami

12

13

14

23

42

34

Pik

/ '

*34

7 '

*42

^23

lu

hz

^12

Y

a

P

Y

p

a

poněvadž však plocha zobrazená přímkou pik v tomto tetraedrálním
komplexu o dvoj poměru x4 má obecně lovnici

— — ( Xx %2 p 12 ~b xi X2 Ťi2 ) “1 [X1 X3 Pl3 X2 X3 PlZ )

+ — (X1 Xi Pii + X3 Xi P 34 ) ~ 0 ,

obdržíme, vložíme li za pik příslušné hodnoty z posledního schématu,
rovnici

@ x2 ^34 ' “f" %3 x\ ^12 ) Y {X1 X3 ^42 H"~ Xi X2 ^13 ) H~ K (X1 Xi ^23 4“ %2 X3 ^14 ) = 0 ,

která, jak patrno z předešlého, jest rovnicí plochy obsahující spojující
soustavu křivky čtvrtého stupně příslušné našemu systému lineárních
komplexů.

Dle toho nabývá věta vyslovená na str. 12. všeobecné platnosti,
a lze tudíž říci:

Plocha obsahující spojující soustavu křivky Čtvrtého stupně příslušné
danému bodovému páru jest zobrazena vždy osou zvláštního lineárního kom¬
plexu vzhledem k onomu tetraedrálnímu komplexu , který obsahuje paprsek
spojující daný bodový pár a sice tak, že paprsky tohoto lineárního komplexu
zobrazují vzhledem k tomuto tetraedrálnímu komplexu plochy systému od¬
dělující harmonicky daný bodový pár a současné i všechny ostatní bodové
páry určené spojující soustavou na příslušné křivce . tupne čtvrtého.

Každý z těchto čtyř zvláštních lineárních komplexů má s uvažo¬
vaným kvadratickým komplexem dvojnásob počítanou lineární kongruenci
společnou, a sice:

A = 0, B — C = 0;

B = 0, C — A = 0;
c = o , A — B = 0;

XXV.

16

a ^ (i y a2 /3Ž

Z toho však lze souditi, že všecky kompiexové kuželosečky našeho
komplexu kvadratického protínají osy těchto čtyř zvláštních komplexů
a dotýkají se v těchto bodech příslušných paprsků těchto čtyř kongruencí.
Podobně i veškeré kompiexové plochy kuželové dotýkají se těchto čtyř
os v bodech, ve kterých paprsky těchto kongruencí vedené vrcholem
komplexového kužele osy tyto protínají.

Druhé základní přímky těchto čtyř kongruencí jsou osy dalších
čtyř zvláštních lineárních komplexů o rovnicích:

A + B — C = 0,
a

-*2-ýil B + C— A = 0.

C+ A — B = 0 ,

• r

^14 ^23 ^ j_ ^12 g i ^13 ^42 Q __ q

a 1 (i y

Osy prvých čtyř lineárních komplexů jsou stationární přímky našeho
kvadiatického komplexu, a singulární plochou jeho jest dvojnásob po¬
čítaná plocha druhého stupně společná komplexům

A = 0, 8 = 0, 0 = 0.

Dle obecné theorie komplexů tohoto druhu*) seznáváme, že tento
kvadratický komplex obsahuje oo1 lineárních kongruencí, jejichž základní
piímky tvoří na této singulární ploše páry involutorní korespondence
typu [2], tak že na př. komplexová kuželosečka v libovolné rovině polo¬
žená jest řídící křivkou involutorní korespondence bodové na kuželosečce,
která jest průsekem této roviny se singulární plochou.

Jedná-li se o piípad, že veškeré přímkové plochy druhého stupně
procházející čtyřmi vrcholy základního tetraedru obsahují ještě další
pevný bod x\} jsou tyto plochy tvořící systém oo4 ploch rozděleny do oo1
tetraedrálních komplexů po systémech čítajících oo3 elementů. Osy oo1
zvláštních lineárních komplexů, které svými paprsky tyto j ednotlivé plochy
zobrazují, nacházejí se ve třech zvláštních lineárních komplexech o rovnicích :

^42 X2 P 14 X1 ~ 0 }

Pm *4 — P 13 *1 = 0,

P 23 X3 P 12 *1 .= 0 ,

tak že předchozí kvadratický komplex přechází na komplex tečen plochy
druhého stupně určené těmito třemi lineárními komplexy, to jest na kom¬
plex tečen příslušné singulární plochy bodu %{.

*) Dr. R. Sturm: Die Gebilde etc. III. Str. 449 a násl.

XXV.

17

Ježto každá tato singulární plocha obsahuje v obecném případe
přímky

pik

A

12

13

14

23

42 j 34

0

/ '
^42

0

0

0

l\2

Pik

B

0

0

/ '
^23

0

Ů3

0

Pih

C

/ '

0

0

lu

0

0

jakožto osy prvých tří základních komplexů lineárních, jest patrno, že
všecky tyto singulární plochy tvoří systém oo3 ploch druhého stupně pro¬
cházejících vrcholy A3, Aá, A2 tetraedru základního a dotýkajících se
stěn protilehlých těmto vrcholům.

Avšak pro všecky páry bodové v prostoru, které seskupeny jsou
v oo 5 křivek čtvrtého stupně zde uvažovaných, obdržíme systém oo5 kva¬
dratických komplexů typu právě popsaného, který svými komplexovými
kuželi a kuželosečkami vyplňuje celý kuželový a kuželosečkový prostor.
Dle toho jest tedy patrno, že z těchto oo5 komplexů jest jich vždy oo2 kon-
singulárních.

Skutečně, volíme-li jistý systém hodnot /#', jest tím dána i určitá
singulární plocha kvadratického komplexu vytknutá komplexy A = O,
B = O, G = O, avšak tato plocha i tyto tři komplexy se nezměni, na-
hradíme-li hodnoty /#' hodnotami:

l\2 > ^42 > l\z , ^23 > ^14 > ^-C ^34 >

při čemž Aa, AB, Ac značí tři libovolné faktory. Kvadratické komplexy
příslušné libovolným hodnotám těchto parametrů dávají tedy systém
oo2 komplexů konsingulárních o třech pevných stationárních přímkách
Pa> Pb> pc •

Čtvrtý zvláštní lineární komplex, jehož osa stanoví čtvitou statio-
nární přímku těchto kvadratických komplexů, jest dán rovnicí

AB c — Ar b

+

B

Aq a — Aa c

kde klademe současně

a = /14 l2 3 b = /12 ^34 , c = /13 /42 •

Rovnice tato dává však oo1 různých lineárních komplexů zvláštních,
neboť invariant tohoto komplexu vymizí pro kterékoliv hodnoty para¬
metrů dávaje identitu

a (Ab c — Aq b) -f- b (Ac a — Aa c) -f- c (Aa b — AB a) = O ,

2

XXV.

18

a osa jeho nachází se na pevné singulární ploše a náleží k soustavě přímek
Pa, Pb, pc a může zaujmouti zae pouze ao1 poloh.

Má li poslední rovnice stanovití týž lineární komplex pro dvě různá
terna parametrů Aa, AB, Ac, musí platiti rovnice

AB c — Ac b = q ÍAb' c — Ac' b) ,

Ac a — Aa c = q (Xq a — Aa' c) .

Aa ů — Ab ol ~ q (Aa' ů — Ab íř) ,

z nichž eliminací faktoru q plyne vztah

který tedy váže parametry komplexů, jež mají všecky čtyři stationární
přímky pevné.

Ježto tato čtvrtá stationární přímka zobrazovala vzhledem k tetra-
edrálnímu korrtplexu, který obsahoval spojnice párů bodových daných
hodnotami /#', plochu obsahující spojující soustavu křivky čtvrtého stupně
příslušné těmto hodnotám jsou tímto způsobem nalezeny též veškeré
spojující soustavy resp. křivky čtvrtého stupně zobrazené pevnou přímkou
vzhledem k tetraedrálním komplexům o dvoj poměru

_ Ab (Ac cl — Aa c)

4 Aa (Ab c — Xq b)

kde nutno ovš jm nové hodnoty Aa', AB', Ac' vzhledem k Aa, AB. Ac tak volit,
aby hověly poslední relaci.

Dvojpoměr x určený čtvrtou stationární přímkou jakožto přímkou
zobrazující na tetraedru základním jest pro tyto hodnoty parametrů
invariantní, jak z hořejších rovnic plyne, neboť

x _ __ b (Ac a — Aa c)
ol (Ab c — Ac b)

Předposledním vzorcem dány jsou také příslušné tetraedrální komplexy
o společném tetraedru základním, v nichž daná pevná přímka zobrazuje
spojující soustavy párů bodových seskupených v ao1 křivek stupně čtvrtého
vytknutého typu tak, že celý zvláštní lineární komplex, jehož osou jest tato
přímka, zobrazuje svými paprsky vzhledem k těmto tetraedrálním komplexům
systém oo4 přímkových ploch druhého stupně, které procházejí vrcholy základ¬
ního tetraedru a z nichž vždy oo3 ploch odděluje harmonicky všecky příslušné
páry bodové položené na jedné z těchto křivek.

Vytkneme-li totiž čtvrtou stationární přímku, určí tato jednoznačně
i svou singulární plochu a tím i prvé tři zvláštní lineární komplexy základní
atím také základní systém hodnot a poměr prvého terna Aa : AB:AC,

XXV.

19

jak snadno plyne z posledních úvah a z polohy singulární plochy k tetraedru
základnímu.

Jest také patrno, že mezi oo2 konsingulárními komplexy našeho druhu
nachází se jeden speciální tečnový komplex společné singulární plochy.
Porovnáme-li skupiny rovnic příslušných lineárních komplexů, seznáme,
že osy těchto komplexů stanoví povrchové přímky různých soustav jedné
a téže plochy, platí-li pro souřadnice bodu %i, který tento tečnový komplex
uručje, vztah

/ ' / ' i '

x ■ x ■ x • * — 1 • I23_ •

*13 *14 *12

jak srovnáním promítacích rovin těchto přímek snadno zjistíme.

V systému oo4 ploch druhého stupně, jenž každý zvláštní lineární
komplex shora uvedeným způsobem zobrazuje, nachází se vždy systém
x3 ploch, které tímto bodem %i procházejí, a sice jsou to plochy zobrazené
paprsky tohoto lineárního komplexu vzhledem k onomu tetraedrálnímu
komplexu, který obsahuje osu tohoto zvláštního lineárního komplexu.

V tomto případě musí tedy x4 = x, což ale nutně vyžaduje, aby
nové terno parametrů dáno bylo poměrem

Aa' • AB' : = a : b : c ,

neboť dvoj poměr x4 lze pro dvě příslušná terna parametrů psáti ve tvaru

= _ V ( Ac a — Aa c)

4 Aa' (Ab c — Ac 6)

Nové hodnoty 1&, dané nyní výrazy

CL 2 .> ^ IaO » ^15 i ^ ^99 J C ^14 » C l

U2 *

13 ^

23 >

14 *

/34 í

podávají vložením do příslušných vzorců na str. 11. křivku čtvrtého stupně
která se rozpadává na spojnice zmíněného bodu s vrcholy základního
tetraedru, tak že příslušné plochy druhého stupně tento bod obsahují.

Jako každý zvláštní lineární komplex, tak i každý obecný lineární
komplex zobrazuje svými paprsky vzhledem ke všem tetraedrálním komplexům
o společném tetraedru základním jistý systéme1 ploch stupně druhého, v němž
ovsem nenachází se systém' oo3 ploch jdoucích týmž dalším bodem X{, mimo
vrcholy tetraedru ležícím.

Systém tento najdeme, volíme-li dle vzorců na str. 13. při pevných
koordinátách ku dvoj poměr x tetraedrálních komplexů, k nimž zobra¬
zujeme, jako parametr. Hodnoty /#' takto stanovené vytknou systém
x1 křivek čtvrtého stupně příslušných tomuto systému.

Předešlé výsledky nutno doplnit^ ještě následujícími úvahami:

Libovolná plocha druhého stupně procházející vrcholy základního
tetraedru vytknuta jest souíadniccmi a «, i ^ k a nachází se, jak již dříve
bylo řečeno, ve dvou tetraedrálních komplexech, které obsahují příslušné

2*

XXV.

20

soustavy povrchových přímek. Dvojpoměry x, x' těchto tetraedrálních
komplexů podává rovnice

(X 1) íl j2 ^34 X ÍÍ42 X (x 1) ^14 ^23 — ú ,

která vznikla přepsáním rovnice na str. 5. uvedené. Diskiiminant této
rovnice dá se psáti ve formě determinantu:

0

a ía

a 13

au

aJ2

0

^23

a24

a 13

^23

0

^S4

au

^24

^34

0

a shoduje se, jak patrno, s diskriminantem plochy

Dvojpoměry x, x' jsou reálné, je-li D 2^ 0, což odpovídá skutečným
přímkovým plochám ; pro D < 0 nemá plocha a# reálných povrchových
přímek,*) a také i hořejší rovnice podává pro dvojpoměry x, x' komplexní
konjungované hodnoty.

Vezmeme-li v úvahu také imaginární přímky v prostoru, máme
vzhledem k reálnému tetraedru základnímu výsledek, že veškeré reálné
nepřímkové plochy druhého stupně procházející vrcholy základního tetraedru
zobrazeny jsou imaginárními přímkami o souřadnicích tvaru (str. 5.).

* pn = a12, * pti = (* — 1) «34,

* pn = — * a v), * Pn = «42 >

* pu = (x — 1) «14 , * pzŠ = -*«!!■

vzhledem k imaginárnímu tetraedrálnímu komplexu o dvojpoměru x = a -f ib

a o stejném tetraedru základním, při čemž dvoj poměr x jest jedním z kon-
jugovaných komplexních kořenů rovnice hořejší. Tato zobrazující přímka
určuje na základním tetraedru dvoj poměr x' = a — i b, a jednotlivé po¬
ví chové imaginární přímky plochy a# jsou opět přímky společné třem
speciálním lineárním komplexům, první nebo druhé skupiny, známým
z úvah předchozích, v nichž za souřadnice zobrazující přímky vloženy
jsou hořejší hodnoty.

Nechtějíce se od cíle vytknutého této práci novými úvahami týka¬
jícími se těchto pomyslných přímek příliš vzdalovati, poznamenáváme
pouze, že příslušné rovnice podaly by pro každou plochu stupně druhého
našeho systému systém oo2 pomyslných přímek povrchových rozdělených
ve dvě různé soustavy, iak také úvahy jinými autory provedené dokazují.**)

Obraťme pozornost opět ke skutečným přímkovým plochám druhého
stupně. Lze nejprve snadno ukázati, že každá tato plocha v našem systému
ploch obsažená obsahuje dvě křivky stupně čtvrtého uvažovaného typu, a pří-

*) Enrico ďOvidio: Geometria analitica. Torino 1903, pag. 409.

**) Na př. Dr. Konrád Zindler: Liniengeometrie mít Anwendungen . I. Lipsko,
1902, pag. 272.

XXV.

21

slušné spojující soustavy jednotlivých párů bodových těchto křivek jsou sou¬
stavy povrchových přímek vytknuté plochy ; každá z nich přísluší jen jedné
křivce.

Jsou-li totiž hodnoty a^ dány, ho vějí hodnoty Uk určující tyto
křivky resp. jejich spojující soustavy podmínkám

* ^34 • — ^12> * 42 * y — ^13; * 43 • a — ^14 >
*42 ' = * 43 V — a42> * 44 • a — ^23 ’

jak z rovnice plochy obsahující spojující soustavu křivky vyplývá
(str. 15.).

Řešení těchto rovnic vzhledem k hodnotám vyžaduje vlastně
stanovení hodnot výrazů a, y, avšak výrazy tyto, jak patrno, ho vějí
relacím

^12 ^34 ^ ■ V “h ^13 ^42 ^ H- ^14 ^23 P ’ 7 ~ ^
a

« + P + V = o.

Eliminuj eme-li nyní na př. y, obdržíme pro poměr — tutéž rovnici,

která vázala dvoj poměry x, x povrchových přímek plochy o#, tak že
hodnoty určující naše křivky jsou dány výrazy

* / ' _
^2 —

* / ' _
^34 —

^34

^12

X

* 7 ' _
^13 ~

* 7 ' _
^42 —

^42

X— 1 '

^13

X— 1 '

* 44 — ^23 í

* / ' —

^23 — “l4 •

pro obě hodnoty dvoj poměru x příslušné ploše aa.*)

Odtud hned také vvplývá, že na každé kuželové ploše druhého stupně
procházející vrcholy základního tetraedru nachází se jen jedna z těchto křivek ,
jejíž spojující soustava tvořena, jest povrchovými přímkami této' plochy.

V souvislosti s těmito výsledky jest také poukázati k tomu, že každá
plocha našeho systému zobrazena jest obecně dvěma přímkami pty resp.
p\ jp, k tetraedrálním komplexům stanoveným opačnou přímkou p^p resp.
na tetraedru základním.

Souřadnice těchto přímek dány jsou opět hodnotami na str. 20.
vyznačenými pro obě hodnoty x, x' určené plochou zobrazenou, a jak
patrno, stanoví přímky tyto na tetraedru základním dvoi poměry, pro
přímku pVjj . . . x pro p^ý . . . x .

Přímky tyto jsou mimoběžné ; jich simultánní invariant Jp(k)pi*)
jest dán rovnicí

JjtoJV) =

p p

D

li a ^ a 23

*) Podobně platí i pro rozvinutelnou plochu 4. třídy, duální k této křivce
4. stupně, jak prof. Dr. Corrado Segre také i ve jmenované již práci uvádí.

XXV.

22

V případe, že zobrazená plocha jest plochou kuželovou, splývají obé
přímky v jedinou. Dle toho jsou veškeré kuželové plochy druhého stupně
našeho systému zobrazeny jednoznačně všemi přímkami prostoru; roz¬
dělení těchto ploch a zobrazujících přímek v oo1 tetraedrálních komplexů
dáno bylo na str. 8.

Napíšeme-li skutečně souřadnice přímek pty , p^] , nalezneme, že
vždy mezi nimi platí vztahy:

P&-P® P%] = 0,

P?i Pis - 0'

Pfl Pi P — Ptl Pu - 0 -

vvtkneme-li tedy jednu zobrazující přímku, na př. pf^ jest tím vytknut
také jen jeden dvojpoměr a, který tato přímka určuje na tetraedru základ¬
ním, kdežto druhý v! , jenž určuje tetraedrální komplex, k němuž zobra¬
zujeme, zůstává volný. Tyto druhé přímky p$ příslušné dané přímce pf^
hovějí posledně psaným rovnicím, které jsou téhož tvaru jako rovnice
stanovící tři základní komplexy A = 0, B = 0, G — 0 a určují soustavu
[plf] povrchových přímek jisté plochy druhého stupně náležející do
systému oo3 singulárních ploch uvažovaných na str. 17. K této soustavě
náleží, jak ihned patrno, také daná přímka p^ , určující jednoznačně
celou tuto soustavu a žádné dvě její přímky nenáležejí témuž tetra-
edrálnímu komplexu, neboť v opačném případě by bylo možno těmito
dvěma přímkami a vrcholy A2, A3, A4 tetraediu základního proložiti
jedinou plochu stupně druhého, která by dle úvah na str. 8. uvedených
nutně procházela také vrcholem Ax a nenáležela by tedy obecně v systém
singulárních ploch. Současně také pozorujeme, že, vytknsme-li místo pů¬
vodní přímky p\ jp jinou přímku soustavy [p{%] jakožto přímku základní,
jsou její přidružené přímky opět přímky této soustavy [/><*)] .

Dle toho tedy tvoří páry přímek jednotlivými zobrazenými plochami
sobě vzájemné přidružených oo4 parabolických involucí rozložených na oo3
singulárních plochách druhého stupné dříve popsaných.

Ke konci chceme poukázati k některým zvláštním případům křivek
čtvrtého stupně zde uvažovaným.

Pišme dislaiminant svazku ploch které každou tuto křivku určují,
ve tvaru

ž4 A 4- A3 © + & O + l ©' A' ;

kde hodnoty invariantů A, A'. ©, ©', O dány jsou výraz}/

A = (l12 4 4 /13 4 2 )2

d — (l12 4 4 ^14 ^23 )2>

© = 4 l12 /34 (/12 lM i13 4 2),

® ^ 42 44 (42 44 44 43 4

o = 2 (3 i122 44'2 — 42' 4/ i13 42'

4 o' l

12 34

44 43

43 42 44 43 ) •

xxv.

23

Naše křivka čtvrtého stupně rozpadá se na křivku prostorovou
třetího stupně a jednu její dvojnásobnou sečnu, jestliže rovnice čtvrtého
stupně vzhledem k A, kterou obdržíme, položíme-li hořejší diskriminant
na roven nule, redukuje se na čtverec jisté rovnice druhého stupně, což
vyžaduje podmínky

— e'*d = o,

©3 -j- 8 z/2 & — 4 z/ & 0 = 0
a příslušná rovnice druhého stupně jest pak tvaru
2 d & A2 + © A + 2 z/' & = 0 .

První ze dvou hořejších podmínek jest identicky vyplněna pro
kteroukoliv naši křivku čtvrtého stupně; druhá redukuje se po vložení
příslušných hodnot invaiiantů na podmínky dvojího druhu: bud která¬
koliv jedna z hodnot lik' = 0, nebo má platnost rovnice /12' lu' — l13' /42'= 0 .

První případ vede obecně k šesti systémům prostorových křivek třetího
stupně, které procházejí jen dvěma vrcholy základního tetraedru a protější
hranu tetraedru dvakrát protínají tvoříce s ní dohromady naši křivku stupně
čtvrtého.

Druhý případ l12' /34' — l13 /42' = 0 má ještě dva další obdobné a sice
l12' lM' — /14' /2 3' = 0, jenž plyne z podmínky

®'3 + 8 ď* & — 4 A & O = 0 ,

která vyplývá z obou původních, a případ /13' /42' — /14' hz = 0; který
obdržíme stejným způsobem jako oba předcházející, vezmeme-li v úvahu
třetí plochu druhého stupně, která spojuje danou křivkou čtvrtého stupně
s třetím párem protilehlých hran tetraedru základního ; rovnici této plochy
obdržíme vzájemným odečtením rovnic prvých dvou ploch uvedených
na str. 11. Tyto druhé podmínky vedou ke třem systémům křivek čtvrtého
stupně, které se rozpadají ve dvě kuželosečky.

Abychom první systém degenerovaných křivek obdrželi, musí,
volíme-li bod x/ libovolně, druhý Xj býti v rovině

Xi Xk + Xk X{ = 0 ,

která s rovinou

Xi x^ — Xk Xi = 0.

jež obsahuje bod x/, odděluje harmonicky stěny základního tetraedru

%i =0 , Xk = 0 .

Dle toho obdržíme na každé hraně základního tetraedru involuci rovin,
jejíž jednotlivé páry obsahují páry bodové — obecně jedna rovina jeden
bod — , které jednotlivé křivky tohoto systému určují.

Jeden pár přidružených rovin v involuci, jejíž osou jest hrana Aj Ah ,
určuje oo 4 párů bodových, a tedy také právě tolik křivek tohoto systému.

XXV.

24

Všecky tyto křivky rozpadají se na hranu Aj Ah a na křivky třetího stupně,
které vesměs procházejí vrcholy At, Ak základního tetraedru a hranu
A] Ah dvakráte protínají. Každý další pár přidružených rovin v involuci
rovin na hraně Aj Ah vytíná z každé této zbývající křivky třetího stupně
bodový pár určující jednu přímku spojující soustavy příslušné této křivce.
Jest patrno, že mezi tyto spojující přímky náleží také hrana Aj Ah a že
průsečíky této hrany s každou zbývající křivkou třetího stupně tohoto
systému jsou harmonicky odděleny vrcholy Aj, Ah. Tečny křivek vedené
v těchto průsečných bodech zapadají do dvou konjugovaných rovin pří¬
slušné involuce.

Každý další pár involuce rovin na hrané Aj Ah stanoví harmonická
pole bodová určující tentýž systém degenerovaných křivek stupné čtvrtého,
neboť každou tuto křivku lze určití kterýmkoliv z oo1 příslušných párů
bodových.

Poznamenejme ještě obecně, že tečny téchto křivek vedené ve vr chotích
základního tetraedru náležejí vždy mezi přímky spojující soustavy této křivky.
Věta tato plyne následující jednoduchou úvahou: Jsou-li souřadnice
určující tuto křivku dány a volíme-li za jeden bod určujícího páru jeden
vrchol tetraedru základního, musí druhý určující bod tohoto páru býti
tomuto vrcholu nekonečně blízký, mají-li oba body harmonicky oddělovati
plochu, která současně tímto vrcholem prochází ; spojnice těchto dvou
soumezných bodů náleží pak také příslušné spojující soustavě.

V hořejším případě máme skutečné tečny křivky ve vrcholích At, Ah,
kdežto tečny ve vrcholích Aj, Ah přecházejí ve hranu tetraediu je spojující.

Obraťme se k druhému případu křivek redukovaných ve dvě kuželo¬
sečky.

Platí-li skutečně podmínka na př.

/ • i > _ / '7 ' — o

1 12 ^34 *í3 *42 — v,

rozpadá se jedna z ploch křivku určujících na roviny

•^1 ^42 ^4 ^12 = ^2 ^13 % 3 ^12 = ^

a křivka sama redukuje se na dvě se protínající kuželosečky položené
v těchto rovinách a z nichž každá obsahuje po dvou vrcholech protějších
hran základního tetraedru. Spojující soustava příslušná této křivce rozpadá
se v tomto případě na dva svazky paprskové položené v rovinách těchto
dvou kuželoseček a jejich vrcholy jsou póly těchto protějších hran vzhledem
k těmto kuželosečkám. Tyto póly leží také na průsečnici rovin obou
kuželoseček. To plyne jednak z poslední věty o tečnách našich křivek
vedených ve vrcholích tetraedru, jednak také rovnice příslušné výsledek
potvrzují. Na př. tetraedrální komplex, v němž se spojující soustava
nachází, redukuje se v tomto případě na dva lineární komplexy

P\b = 0* ® •

XXV.

Tento systém redukovaných křivek obdržíme vždy, volíme-li určující
pár bodový tak, aby příslušná spojnice protínala některou hranu tetraedru
základního. Dostáváme v tomto případě tři systémy takto přidružených
kuželoseček, na každém páru protilehlých hran tetraedru jeden, a každý
z nich obsahuje opět oo4 elementů. —

Veškeré dosavadní naše úvahy týkaly se systému oo5 přímkových
ploch druhého stupně - obsažených po systémech o oo4 elementech v oo1
tetraedrálních komplexech o společném tetraedru základním. Zcela ob¬
dobné úvahy mohli bychom vsak také vésti o go5 přímkových plochách druhého
stupně resp. třídy dotýkajících se stěn tohoto tetraedru a které jsou také
po systémech o oo4 elementech obsaženy v předchozích tetraedrálních
komplexech.*) V příslušných formulích bylo by třeba zaměniti souřadnice
pih za duální souřadnice jr# téže přímky a souřadnice bodů za souřadnice
rovin. Místo našeho systému oo5 křivek čtvrtého stupně obdrželi bychom
systém oo5 rozvinutelných ploch čtvrté třídy, jichž C. Segre ve své práci
použil.**) Tím byla by dána i souvislost úplného systému oo5 lineárních
kompletů se systémem těchto ploch.

*) C. M. Jessop: A treatise on the line complex. Cambridge 1903, pag. 117-

**) C. Segre: Giornale di matematiche. Vol. XXI, pag. 355.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 26.

ROČNÍK XXIII.

Příspěvky k seznání vodulí fauny kavkazské
dle sbírky p. Jul. Komárka.

Podává

Dr. Sig Thor.

(S 11 obr. v textu.)

Předloženo dne 8. května 1914

I. První sbírka stenothermních forem
z chladných vod.

A. Úvod.

Na zoologické exkursi podniknuté v létě 1913 na Kavkaz a rusko-
perskou hranici podařilo se p. J. Komárkovi z Prahy nasbírati
v různých horských potocích a pramenech mezi jiným také jistou část
zástupců skupiny vodulí, jež mi ku zpracování zaslal, začež mu zde vy¬
slovuji svůj dík.

Ačkoliv jest sbírka Hydrachen mně zaslaná zcela malá, zasluhuje
přece zvláštní pozornosti, nebo kraje kavkazské byly po hydrachnologické
stránce úplně neznámé.

Ve sbírce nalezl jsem některé norvéžské a více švýcarských steno¬
thermních vodních forem, spolu s dvěma, s jmenovanými příbuzné druhy,
které pokud vím nebyly dosud popsány ; proto zde podávám j ej ich popisy
jako dvou nových druhů. Dvě jiné formy odlišují se jako variety (snad
lokální formy) známých druhů. O charakteru této fauny promluvím na
konci této práce.

Nejprve podám popis a seznam druhu a jejich nalezišť.

Rozprava: Roč. XXII. Tř. II. Cis. 26.

XXVI.

1

2

B. Seznam nalezišť.

1. Malý horský potok nedaleko městečka Ordubatu na rusko-perské
hranici (rod Megapus).

2. Horský potok u vesnice Migri na rusko-perské hranici (rod Sper-

chon) .

3. Horský potok nedaleko obce Cageri u řeky Cchenes-Cchali v Min-
grelii ( Lečchumský újezd), Kutaiská gubernie (rody Sperchon a Megapus).

4. Horský potok u vesnice Mestia v horním údolí Inguru = Svanetie
(. Lečchumský újezd) Kutaiská gubernie (rod Lebertia).

5. Lesní pramen u Mestie, Svanetie, Kutaiská gubernie (rody Sperchon
Lebertia, Rivobates a Feltria).

C. Rody a druhy z horských pramenů kavkazských.

Počet nalezených druhů jest 9, jež náleží 5 rodům, totiž Megapus
Koch, Rivobates S i g T h o r, Sperchon K r a m e r, Lebertia Neu¬
man (podrod Pseudolebertia S i g T h o r) a Feltria K o e n i k e.
Každý druh zastoupen jest několika málo exempláry (1, 2 neb 3, v jednom
případě 7).

I. Čeleď: Sperchonidae Sig Thor 1900.
a) Rod: Sperchon Kramer 1877.
a) Podrod: Hispidosperchon Sig Thor 1901.

1. Sperchon ( Hispidosperchon ) plumifer Sig Thor 1902.

Naleziště: 2 exempláry nalezeny 7. července 1913 v horském
potoce u osady Migri na rusko-perské hranici ; 7 exempl. (zřejmě Nymphy)
25. Července 1913 v horském potoce u obce Cageri v Mingrelii.

P) Podrod: Squamosperchon Sig Thor 1901.

2. Sperchon ( Squamosperchon ) glandulosus K o e n i k e 1886.

Naleziště: 1 Nympha nalezená 5. srpna 1913 v lesním pra¬
menu u Mestie, Svanetie. Kutaiská gubernie.

XXVI

3

II. Čeleď: Hyfjrobíitidae s. str. (Koch 1842) Sig Thor 1900.
b) Rod: Megapus Neuman 1880.

3. Megapus nodipalpis Sig Thor 1899. var. Kaukasiensis var. nov.

Epimery více srostlé. Area genitalis daleko vzadu. Velký trn 4tého
makadlového článku upevněn daleko na zadu.

Naleziště: 1 a 1 Nympha nalezeny 25. července 1913
v' horském potoce pobliž Cageri v Mingrelii.

4. Megapus arcuatus Sig Thor, nov. spec. Obr. 1 — 9.

S druhem Megapus nodipalpis Sig Thor nejblíže příbuzný,
odlišuj e se však od tohoto druhu j ak tvarem makadel tak tvarem epimeru ;
area genitalis charakteristicky odlišná.

Sameček.

Velikost. Délka těla 590 ; šířka 430 ku. Kůže jest

měkká (nepanceřovaná) , hustě pokrytá zvlášť jemnými
pruhy.

Vzdálenost očí 100 .

Ústní orgán 112 fi dlouhý, 72 u široký, směrem
k distalnímu konci slabě zaškrcen.

Makadla (obr. 1) jsou asi 230 /< dlouhá. Délky
jednotlivých článků1) jsou následující:

I. Článek 30 [i ; XI. čl. 54 [i ; III. čl. 60 g ; IV. čl. 80 ;
V. čl. 30 [i.

Tvar makadla ukazuje vcelku obvyklý typus rodu
Megapus. Druhý článek má skoro stejnou tlouštku (výšku)
jako délku: 50 g. Na ventralní straně není vlastního vý¬
běžku, nýbrž jen kulovitá vyvýšenina, jež dodává článku
zaokrouhlený tvar.

Na dorsalní straně stojí 4 — 5 štětin, z nichž 2 di-
stalné jsou poněkud delší.

Třetí článek pokryt, kromě 4 — 5 silnějších dorsalních štětin, větším
počtem jemných chloupku, z nichž 3 — 5 jsou umístěny na vnitřní straně.

Obr. 1. Megapus
arcuatus Sig
Thor J.

4 články levého
makadla z vnitř¬
ní strany.

7) Zdě jako vždy měříme článek v největším jeho rozsahu. Ta část tedy,
která vězí v jiném článku, jest také zaměřena.

XXVI

1*

4

Čtvrtý článek j est tlustý (rozšření na ventrální straně) s hustým pokryvem
zahnutých chloupku (zvláště na dorsalní straně) a 2 ventralními chloupky.

Silný trn vnitřní strany tohoto článku
j est upevněn více distálně než u pří¬
buzného druhu, asi před středem tohoto
článku. Poslední článek jest štíhlý, jinak
obligátní stavby.

Epimeralní články (Obr. 2.) rela¬
tivně velké tvoří souvislý štít, asi 300 p
dlouhý a 360 p široký. Zadní okraj 4tého
epimeralního páru skoro rovný jen na
vnitřním rohu trochu zaokrouhlen. Zadní
okraje prvního páru sahají daleko na zad
a vysílají do zadu postranní rohy pod
a vedle 3 tího páru. Zvláště třeba při
pomenouti, že desky 2ho a 3ho páru na
každé straně docela srůstají, takže vzadu
i vrubu neb rozhraničení postrádají.

Nohy neukazují nic nápadného. Po
slední článek lho páru (Obr. 3.) jest silně
zahnut a podobá se onomu u M. nodipalpis, jest ale slabší, což možno
nejlépe seznati porovnáním. Obr. 3. a 4.

Area genitalis (Obr. 5.) leží daleko vzadu a jest pro tento druh cha¬
rakteristická ; předně jest daleko menší než u M. nodipalpis. (Obr. 6.)

Obr. 2. Meg. arcuatus Sig Thor
Obrys článků epimerálních a pravé
makadlo. (Zadní část (4 epimérit)
pravé strany rozbita.)

Obr. 3. Meg. arcuatus Sig Tlior d-
2 poslední články nohy prvního páru
(„srpovitý článek").

Obr. 4. Meg. nodipalpis Sig Tlior d
2 poslední články nohy prvního páru
(„srpovitý článek").

Tři skoro okrouhlá ,, stigmata" každé strany jsou stejně veliká a leží vedle
sebe ve volném oblouku (proto název ,, arcuatus ‘). Na vnitřní straně
těchto vedle otvoru genitalního leží 9 — 12 jemných, chloupky opatřených
pórů (do oblouku seřazených) ; podobné póry, ale ve větším počtu (asi 16)
leží u vnějšího okraje desky genitalní, vzadu pak ještě 3 — 4 páry. Elliptická

XXVI.

5

(vzadu užší) genitalní deska nemá vzadu ono zřetelné vykrojení jako
příbuzný druh (Obr. 6). Genitalní deska jest 100 p dlouhá i široká. Délka
stigmatu jest průměrně 30 x, šířka 25 x. Jak z obrázku 6. vidno, jest tvar
a uložení stigmat u M. nodipalpis úplně odlišné ; zvláště střední stigma

Obr. 5. Meg. arcuatus Sig Thor (ý.
Area genitalis, póry žláz, ústí exkrečn.
orgánu.

t

Obr. 6. Meg. nodipalpis Sig Thor <ý.
Area genitalis, póry žláz, ústí exkrečn.
orgánu.

posunuto jest ke straně (lateralně). Chitinový orgán podpůrný (sloužící
za oporu pro penis), jež na praeparatu zřetelně prosvitá, má obyčejnou
podobu.

Ve vzdálenosti 30 % od area genitalis, přibližně 40 p vzdálen od zad¬
ního tělesného kraje, leží tak zv. ,, analní otvor ‘ (ústí exkrcčního orgánu)
slabě zchito: ůsován a provázen obvyklými póry žláz a chloupku.

Samička.

Velikost. Délka těla 755 p, šířka 515 //. Povaha kůže a ústního orgánu
jako u (ý.

Makadla liší se (Obr. 7.) od makadel sa¬
mečka, což u tohoto rodu je pravidlem, větší
délkou, štíhlostí a nepřítomností hrbolkovité roz-
šířeniny. Délka jejich obnáší asi 300 a;. Délky
jednotlivých článků jsou následující: I. článek
30 p, II. čl. 70 u ; III. čl. 90 p, IV. čl.

V. čl. 34 p.

Druhý článek není na ventralním
úplně hladký a může býti označen jako jemně

zoubkovaný. Pokryv štětinový a chloupkový °br- M^^vcuatus
ostatních článku shoduje se úplně s oním u sa- Levé dfkadlo z vnitřní
mečka. Dlouhý trn 4tého článku upevněn ještě strany, ale s prosvíta-
více distálně. jícím trnem 4. článku.

Epimeralní články nesouvisí tak přesně do¬
hromady jako u (ý ; mezi 2 a 3tím párem je jemná skulina. První epi
meralní pár jest krátkv ; tím povstává za tímto a mezi ostatními 3mi

XXVI.

6

páry velký tříhranný prostor. Zadní okraj 4tého článku jest trochu
více zahnut.

Nohy jsou tenké, bez zvlášť charakteristických znaků. ,,Srpovitý“
článek (poslední) lho páru noh jest pokryt stejnými štětinami a chloupky
jako u příbuzného druhu; naproti tomu jest článek předposlední směrem
k distalnímu konci méně rozšířen a zadní ze 2 velkých trnu upevněn jest
poněkud více do zadu (proximalně) . — Poloha orgánu genitalního jest
asi táž jako u samečka.

Area genitalis (Obr. 8.) jest 155 n dlouhá a stejně široká. Nesr os tlé
desky stigmat o vé jsou krátké (113 n), obloukovité a jen málo širší stigmat,

Obr. 8. Meg. arcuatus Sig Thor 9.
Area genitalis, póry žláz, ústí exkre
čního orgánu.

Obr. 9. Meg. nodipalpis Sig Thor 9.
Area genitalis.

jež leží (jako u tf) v pravidelném oblouku. Přední 2 stigmata jsou elliptická
(37 p dlouhá, 23 ^ široká), zadní stigma jest skoro kruhovité (průměr 28 ku).
Na předním konci každé desky leží 4 malé chloupkové póry, jinak jen
docela malý počet jich je na vnějším okraji desek. Pro srovnání poukazuji
na genitalní orgán M. nodipalpis 9 (Obr. 9.).

Naleziště: 1 nalezen 10. července a 1 9 17. července 1913
v horském potoce nedaleko městečka Ordubat na rusko-perské hranici.

c) R o cl Rivobates Sig Thor 1897 2)

5. Rivobates noroegicus 2) Sig Thor 1897.

Naleziště : 1 X uloven 5. srpna 1913 v lesní studánce u osady Mestia,
Svanetie, Kutaiská gubernie.

£) Dr. R. Piersig popsal r. 1898 (Zoolog. Anz. v. 21 p. 524) tentýž druh
jako nový pod druhovým jménem polyporus. ani jeden znak není odlišný. Písemná
neb tisková chyba v Piersig-ově díle (Tierreich 13 Lief. p. 191) zmenšuje velikost

XXVI.

7

111. Čeleď: Lebertiidíiie Sig Thor 1900.
d) R o d Lebertia Neuman 1880.
a) Podrod Pseudolebertia Sig. Thor 1897.

6. Lebertia (. Pseudolebertia ) lineata Sig. Thor 1906

Naleziště: 1 9 nalezena 7. srpna 1913 v horském potoce,
u Mestie, v horním údolí řeky Inguru, Soanetia, Lečchumský újezd.

7. Lebertia (, Pseudolebertia ) Komáreki Sig. Thor, sp. nov. Obr. 10.
až 11.

Nejblíže příbuzná s Pseudolebertia glabra Sig. Thor 1897, a patří
tedy do skupiny ,, glabra11 rodu Pseudolebertia.

Kůže jest totiž pruhována jako u Ps. glabra lineata, t. j. pokrytá
delšími, jemně vyvýšenými chitinovými trámečky. Tyto jsou u Ps. Komá¬
reki delší, četnější a hustěji u sebe položeny než u Ps. glabra. Proužky pro¬
bíhají na dorsalní straně v podélném směru (od předu na zad), na malé,
volné břišní části (za epimeralní a genitalní partií) příčně neb parallelně
s okraji. Pórovitost jest stejně málo zřetelná jako u Ps. glabra. Skoro
celá neutrální část jest pokryta silně zchitinisovaným pancířem se zřetelně
rozvětvenými póry. (Obr. 11.)

Velikost: Délka těla (s výběžky epimeralními) 760 ^u; šířka 660 p ;
tvar těla při pohledu se shora jest (vyjímaje epimeralní výběžky) skoro
kruhovitý.

Barvu nelze dle konservo váného exempláru spolehlivě udati, ale
zdá se, že byla hnědožlutá se slabě vynikajícími tmavohnědými hřbetními
skvrnami, jako u příbuzného druhu.

u R. norvegicus na 260 (i, místo 1100— 1300ju. délky a na 340 místo 1000 [i šířky
etc. Sig Thor, Norges Hydr. I, ,,Arch. f. Math. und Naturwis." v. 19, no. 6,
p. 39 — 41). Udává-li Piersig počet stigmat u H. polyporus 20 — 24, kdežto u R.
norvegicus se jich čítá 19 — 25 (u kavkazské formy 15 — 17), nespočívá v tom
žádný rozdíl, jak již Dr. C. Walter (,,Hydracarinen der Schweiz" Re v. Suisse Zool.
1907 v. 15 p. 530) ukázal. Dr. R. Piersig chtěl dále spojiti rod Rivobates s rodem
Hygrobates Koch. Ježto jej v tom i jiní následovali, ku př. Dr. F. Koenike a Dr.
Wolcott, musím vytknouti, že považuji rod Rivobates za oprávněný velkým počtem
stigmat genitalního orgánu právě tak jako mnohé jiné nové rody ku př. Georgella,
Gnaphiscus, Neobrachypoda, Panisus, Dadaya, Sporadoporus atd., jež byly Koe-
nikem a Wolcott-em zavedeny. Důkladné odůvodnění musí býti uveřejněno na
jiném místě.

XXVI.

8

Ústní orgán jest normálně vytvořen; má přibližně tytéž rozměry
jako u Ps. glabra; délka 208 (i. Výška asi 135 ju.

Makadla (Obr. 10.) měří v zahnuté poloze 180 — 238 u. Délky jednot¬
livých článku jsou asi tyto: I. článek 36 ^ ;

IX. či. 105 ft; III. čl. 87 n, IV. čl. 120 /x ;

V. čl. 38

Tvar a štětiny prvních dvou článků
nevykazují nic odchylného. Štětina na
ohybové straně 2ho článku jest 50 — 60 p
dlouhá a chloupky ji pokrývající jsou
skoro neznatelné. Evě zadní z 5ti dlou¬
hých makadlových štětin 3tího článku jsou
vzdáleny od sebe více než u příbuzné
formy, 2 dorsalní štětiny naopak se více
k sobě přibližují. Z chloupků na straně
opačné (oproti straně ohybové) na 4tém
článku posunuly se 2 do zadu. Dvě jamky
(póry) na straně ohybové a distalní chi-
tinový výběžek takový jako u Ps. glabra.

11.) po-

skytuje dobré rozpoznávací znaky. Veli¬
kost jeho je ihned patrna nebo ponechává
jen malou část břišní strany volnou. Délka
jeho obnáší 620 /i, šířka 650 ku. Postranní
výběžky (křídla), zvláště trny velké, jsou
silně vyvinuty. Oproti Ps. glabra jsou
chitinové okraje u Ps. Komár eki velmi
slabě chitinisovány. Ba zadní okraj 4tého
epimeralního páru zdá se postrádati ztlu¬
stlého okraje a zdá se jednoduše přechá-
zeti v obyčejnou pokožku. Čtvrtý pár
epimeru jest velmi široký, skoro čtyř¬
hranný, neboť přední lištna srůstajících
epimerů jest skoro parallelní se zadním
okrajem. Rozloha její je velmi mocná.
Zadní konec 2ho epimeralního páru jest
úzký.

Záhyb, v němž leží ústní orgán
jest 160 dlouhý. Stejně dlouhý je zá¬
hyb genitálního pole, jenž má největší
šířku 145 //. Vzdálenost obou těchto zá
řezů činí asi 125 k«.

Pátý článek je velmi štíhlý.
Epimeralní pancíř (Obr.

Obr. 11. Lebertia ( Pseudolebertia )
Komár eki Sig Thor.
Epimerální Články, genitální orgán,
zadní konec těla. Klikaté čáry ozna¬
čují ony části pancíře (na pravé
straně těla), jež bjdy při praepa-
raci roztrženy.

Obr. 10. Lebertia [Pseudolebertia)
Komár eki Sig Thor.

Levé makadlo z vnitřní strany.

XXVI.

9

Na stavbě noh neshledal jsem žádné zvláštní odchylky. První článek
4tého páru noh opatřen jest obvyklými 5 trny na rovné straně.

Plovací štětiny scházejí úplně. Nepatrný chloupek na jednotlivých
konečcích článků nemůže býti vykládán jako plovací štětina; podobné
chloupky nacházejí se zvláště na prvním páru noh. rápky konečné nejsou
redukovány.

Délky noh jsou asi tyto: I. noha 650 p; II. n. 810 p; III. n. 640 p;
IV. B. 1140 p.

Area genitalis (Obr. 11.) vyniká ze záhybu pancíře ven. Přední tří-
hranné podpůrné tělísko jest silně, zadní slabě vyvinuto. Délka genitalních
desek obnáší 163 p ; šířka každé desky 75 jx. Počet párů medianního okraje
desek jest malý (asi 12).

Délky stigmat jsou: I. (přední) pár 50 p ; II. pár 45 p; III. (zadní)
pár 38 p.

Charakteristickým pro tento druh, což se dá velikostí epimeralního
štítu lehko vysvětliti, jest poloha ústí exkrečního orgánu (,, análního otvoru")
a provázejících jej otvorů žláz, skoro docela na zadním okraji těla.

Naleziště : 2 exempláry (pravděpodobně cJď) ukořistěny společně
s podobnou nymphou 5. srpna 1913 v lesní studánce u Mestie, Svanetie,
Kutaiská gubernie.

8. Lebertia (Pseudolebertia) schechtelii Sig. Thor. 1913 var .
globifera var. nor.

Varieta odlišuje se od typu zvláště tlustší kůží, jež je pokryta ještě
hustěji kulovitými (vlastně polokulovitými) kožními papillami ; vyvýšené
proužky chitinové, na nichž se papilly pozvedají, jsou ještě nezřetelnější
a často (zvláště na dorsalní straně) úplně mizí. Mezi papillami lze pozor ováti
velmi malinké tečky, jež pravděpodobně se dají vysvětliti pórovitostí kůže.

Tlustší chitinové části (Epimeralní pancíř, area genitalis, ústní orgán
a makadla) mají temnější barvu, což snad pochází od fixace neb konservace
(v glycerinu).

Naleziště: S předešlým druhem pohromadě nalezen 1 $
5. srpna 1913 v lesním pramenu u Mestie, Svanetie, Kutaiská gubernie.

IV. Čeleď : Aturidae Sig Thor 1900.

í) Rod Feltria K o e n i k e 1892.

, 9. Feltria muscicola F i e r s i g 1898.

Naleziště: 2 99 nalezeny 5. srpna 1913 v lesní studánce
u Mestie, Svanetie, Kutaiská gubernie.

XXVI.

10

D. Povšechná část.

Velikou předností výzkumu J. K o m á r k a je, že vztahují se zvláště
na zvířenu tekoucích vod (horských potoků). Téměř všechny dřívější
sbírky z Asie pocházejí z jezer a rybníku neb klidně tekoucích hlubších vod,
jejichž Fauna v tomto směru má stejný ráz jako fauna jezerní.

Vidíme proto velký rozdíl mezi touto sbírkou Komárkovou a dří¬
vějšími sbírkami ze západní Asie a přilehlých krajů. Hlavní díl dřívějších
sbírek (ku př. D. P e d a š e n k oV y z Turkestanu, Dr. A. Behningovy
z Turkestanu a úvodí Volgy atd.), jsou rody Eylais, Hydrachna , Hydryp-
hantes, Limnesia, Arrenurus, Atax a Piona, zřejmě eurythermní teplomi-
lovné formy kosmopolitického charakteru.

Docela jinak má se to se zde zpracovanou sbírkou Komárkovou
z Kavkazu. Formy zde přicházející mají vysloveně stenothermní charakter
zvířat studených vod. Takové druhy rodů Sperchon, Megapus, Rivobates,
Feltria a Lebertia (zvláště Pseudolebertia) jež byly na Kavkaze sbírány,
obývají hojně potoky, řeky, chladné prameny atd. ve Švýcařích, Sasku,
Haliči, Norsku a jinde. Žijí hlavně v rychle tekoucích, kyslíkem bohatých
lesních a horských potocích, v nichž se udržuj e relativně nízká temperatura
a zařazujeme je proto mezi stenothermní, studené vody milující formy.

Vznik této fauny má asi svůj původ v glacialním prakmenu. Na
základě sbírky Komárkovy nalézám dále úzkou souvislost mezi
faunou vodulí kavkazských a severo- neb středoevropských. Přirozeně bylo
by ukvapené činiti z toho dalekosáhlé závěry.

Při zpracování materiálu bylo mi nápadno, že nenacházím žádný
druh rodů Hygrobates Koch, Atractides Koch, Aturus K r a m e r
a jiných podrodu rodu Lebertia (Pilolebertia, Hexalebertia, N eolebertia) ,
nebo tyto bývají vždy průvodci forem výše citovaných. Ovšem je také
možno, že potoky a prameny Kavkazské mají snad jiné složení fauny než
potoky evropské. Prozatím je lépe se domnívá ti, že výzkum byl příliš
krátký a neúplný.

Doufám, žep. Julius Komárek bude v započatém výzkumu
pokračovati, k čemuž zdařilý počátek tolik povzbuzuje.

D r a m m e n 14. dubna 1914.

XXVI.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 27.

Příspěvky k zoogeografii Kavkazu
a rusko-perského pomezí.

Napsal

JULIUS KOMÁREK v Praze.

(S 8 obrázky v textu.)

Předloženo dne 8. května 1914.

V letě minulého roku podniknul jsem společně s Dr. J indřichem
Veselým, za podpory slavné II. třídy České Akademie studijní cestu
na Kavkaz a do jižní Armenie.

Vědecký výsledek cesty naší jest velmi bohatý. Nalezeno nejen
hojně pro vědu nových forem, ale získána i četná zajímavá data pro poznání
končiny v zoogeografickém směru po některých stránkách buď velmi
málo známé neb vůbec neprozkoumané.

Materiál získaný zpracovávám nyní jednak sám, jednak svěřen byl
různým odborníkům. Na tomto místě chci podati stručný popis cesty,
jakož i zoogeografických a faunistických výsledků zatím zjištěných.

Práce tato jest jaksi úvodem ku sérii článků, jež postupně budou
o materiálu nasbíraném uveřejněny a má zejména i obrazovými doklady
znázornit i ráz krajinný, hlavně ovšem biologický charakter důležitějších
typických nalezišt.

Cesta nastoupena v polovině Června 1913a vedla přes Oděssu, Černým
mořem na Batum a do Tiflisu. Delší zastávky lodi v Novorosijsku po¬
užito ku sbírání na pobřeží. V malém potoce ústícím u přístaviště do
moře nalezen kromě jiného (hlavně Coleoptera a Plecoptera ) také náš Gam-
marus pulex a Planaria gonocephala .

V Tiflise, kde nám bylo třeba čekati na vydání nezbytných místo-
držitelských pasů, podnikli jsme několik exkursí do okolí města a sice
na sever od Tiflisu k solným jezírkům ležícím nedaleko stanice Avčali
a do předhor Kavkazských na východ od Mzchetu a gruzinské silnice.
Solná jezírka jsou tři v řadě za sebou; okolí jejich je pusté a v této roční

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 27. i

XXVII.

2

době bylo již vše sluncem sežehnuto. V malé, na štěstí ještě nevyschlé
tůňce, nalezl jsem korýše (. Diapiomus ). Jinak sestávala kořist naše jen
z Coleopter. V předhorách nalezl jsem v horském potoku u osady G a 1-
d a p y opět Pl. gonocephala .

1. července opustili jsme Tiflis jižní zakavkazskou drahou, jež měla
nás dovézti na poslední stanici této trati, do osady D ž u 1 f a, ležící na
rusko-perské hranici. Dvanáctihodinová zastávka v Alexandropoli, umož¬
nila nám v}det pod sopku A 1 a g 6 s. Okolí města je vysoká planina
obklopená holými hřbety, bez vegetace ačkoliv z okolních hor stékají
četné prameny a bystřiny. Proto byla zde naše kořist, co se quantity
týče, nejchudší ze všech našich pozdějších lokalit. Zmínky zasluhuje jen
nový druh rodu Planaria nalezený v předhorách Alagosu.

Ploštěnka ta podobá se zevním habitem při zběžném pohledu velmi
značně Pl. alpina, takže jsem byl sám, naleznuv ji, velmi překvapen
a pokládal jsem ji v prvních okamžicích za Pl. alpinu. Ovšem přihledl-li
jsem pak blíže, uviděl jsem, že se jedná o docela jiný druh. Již délka
je menší než u zaměňované formy; měřit 8 — 12 mm při šířce 2 — 3 mm.
Barva těla je černá neb černozelená, na spodu bledá a okraje těla tvoří
dva světlé pruhy. Tělo skoro všude stejně široké ukončuje v ostrou špici.
Hlava je poměrně k tělu dosti velká a vybíhá v postraní laloky, široké
a na konci hladce zaokrouhlené. Čelní okraj vybíhá ku předu v slabou,
mírně vyčnívající vychlípeninu, jež představuje třetí lalok a nese na spodu
úzkou, dosti dlouhou přísavnou skulinu. OČi jsou umístěny na nejužším
místě hlavy velmi blízko u sebe, takže jejich vzájemná vzdálenost se rovná
délce oka. Vzdálenost zadního konce očí, kde leží pigmentová skvrna,
od Čelního okraje je asi rovna šířce těla v partii oční. Pharynx leží na
začátku poslední třetiny těla. Rozdělíme-li zbývající třetinu na tři díly,
leží otvor genitalní na začátku druhé třetiny. — Nejprve nalezena v malé
studánce, z níž pramenil potok. Vyškytala se ve velkém množství lezouc
po písčitém dně a po kamenných stěnách. V potoce nebyla tak hojná,
ačkoliv i tam se vyskytovala. I ve dvou sousedních potocích stékajících
z těchto hřbetů jsem ji nalezl. Ráz všech těchto bystřin je týž. Vznikají
na horách obklopujících alexandropolskou pláň, voda jejich je celý rok
velmi studená, některé vysýchají v horkou letní dobu a ostatní po krátkém
toku dostihnou pláně a rázem se změní v obyčejný luční potok s pro¬
hřátou vodou. Můžeme předpokládati, že tato ploštěnka má jistě větší
rozšíření a jsouc formou stenothermní obývá horní toky všech potoků
pramenících na sopce Alagós a na okolních horách.

3./VIII. dorazili jsme do Džulfy a téhož dne k večeru do městečka
Ordubatu, jejž zvolili jsme za východisko svých sběratelských exkursí
na rusko-perských pohraničních horách. Ráz fauny zdejší je dosti zvláštní,
což souvisí s tvářností a polohou kraje. Celé okolí Ordubatu jsou hory,
holé, skalnaté, jež obklopují malou úplně vyprahlou rovinu prostírající

XXVII.

3

se po levé straně řeky Araxu. Jedině zde na břehu řeky jest trochu zeleně
a sem také koncentruje se většina fauny. Holé a sežehnuté skály a hory
jsou mnohem chudší ale i ty mají své zvláštní druhy; konečně jsou horské
bystřiny, jež mají faunu horskou, upomínající celkem na naše poměry.
Nej zajímavější je údolí řeky Araxu, jež má mnoho endemitů, ale také
řadu forem kaspické oblasti, takže patří pobřeží toto k nej zajímavějším
částím Ordubatského okolí a co se některých skupin týče, k nej bohatším
nalezištím vůbec. Druhá lokalita naše byla osada Migri, vzdálená půl
dne cesty koňmo na východ od Ordubatu. V Migri protéká mohutný
horský potok, celé okolí je vlhčí, vegetací pokryté a v horách nalezneme

Obr. 1. Osada Migri ; v popředí mezi stromovím protéká bystřina, v níž nalezena
Blepharocera armeniaca Komár, a vodule Dr. Sig. Thorem popisované.

lesy. Fauna zdejší liší se trochu, vyjímaje vodní formy, od fauny Ordu-
batské, což je zaviněno právě lesy a celkovou vlhkostí.

Zde jakož i na celé nastávající cestě chtěli jsme se věnovati hlavně
studiu fauny sladkovodní, hmyzu a i jiných suchozemských skupin bez-
obratlovců. O obratlovcích zmiňuji se jen k vůli úplnosti. Z větších
ssavců vyškytá se v okolí Ordubatu nej hoj něj i koza bezoarová (i Capra
aegagrus) a zajíc. V údolí řeky Araxu žije dosti hojně, jak dle množství
stop bylo patrno, vydra; občas objevuje se v horách, hlavně na perské
straně levhart. Tygr zastřelen zde naposledy před 7 lety. Ornis těchto
krajů je daleko bohatší. Sám pozoroval jsem zde tyto druhy: Monticola
saxatilis, Šita Neymayeri, Coracias garrula přehojně v hlinitých březích
a stráních v samém Ordubatě, Picus rustica, Pyrhocorax graculus , Columba

1*

XXVII.

4

liria (?). Bělořita, strnada, volavku, orebici a různé dravce viděl jsem
z povzdálí nemoha je blíže určití.

Nejobsáhlejší Částí obratlovčí fauny tamější jsou plazi; ježto jsme
se ale setkali s německým sběratelem K u 1 1 z e r-em, který odvážel
právě odtud kompletní sbírku plazů pro jistého mnichovského herpetologa,
nebrali jsme k této skupině zřetel.

Jako všude i zde tvoří hmyz převážnou většinu fauny a jsou to
bez odporu Coleoptera, jež jsou nej typičtější a nej zajímavější částí zdejšího
tvorstva. Všichni brouci Ordubatští jsou koncentrováni na vegetaci prosté
pláni a pobřeží ruského břehu řek}’’ Araxu. Nejvíce typických a ende-

Obr. 2. Řeka Arax a pohled na perský břeh. Na levé straně obrázku viděti skály,
pod nimiž leží studánka, v níž nalezen nový Dikerogammarus a Pl. gonocephala.

mických forem má skupina Krasců a jsou to druhy Julodis variolaris s. sp.
Faldermanni , Julodis onopordi s. sp. sulcata, charakteristický endemit
Julodela globithorax, jež se zde vyškytají, zvlášť poslední druh, v ohromném
počtu; dále rod Sphenoptera, jehož příslušníci vyškytají se hlavně v po¬
břežní zóně. K známým zdejším druhům: Sphenoptera Scovitzi, Sph. meso-
potamica , Sph. hispuiula, Sph. Bcckeri, Sph. sancta, Sph. ignifrons při¬
stupují 3 nové druhy nalezené Dr. Jind. Veselým a popsané p. J.
Obenbergerem z Prahy jako specie Sph. araxana O b g. n. sp.
Sph. Veselyi O b g. n. sp. a Sph. angelica O b g. n. s p. Naváté pískové
duny oživovány jsou charakteristickými druhy Tenebrionidů a konečně
celá řada nosatců doplňuje faunu této části ordubatského okolí. O rodu
Malosia (vzácné skupiny Cerambycidů) třeba připomenouti, že se vyškytá

XXVII.

5

vysoko v horských lesích severně od Ordubatu a ne jak Reitter falešně
udává v údolí řeky Araxu.

I co do množství i co do poctu druhů uvésti lze na druhém místě
hmyz rovnokřídlý (Ortkopterá) , z něhož pořízena hlavně Dr. Veselým
skoro úplná kollekce. Orthoptera tvoří opět největší část fauny holých
skalních strání a hřbetů.

Z hmyzu dvojkřídlého podařilo se mi nalézti zde nový druh velmi
vzácné čeledi Blepharoceridae. Jest to skupina obývající výhradně kraje
horské a velehorské; vývoj prodělávají všechny druhy v horských bystři¬
nách a zmíníme se o biologii těchto forem Šíře při popisování fauny kav-

Obr. 3. Pohled na horu Džangu-tau a Tetnuld. Na konci údolí na úpatí ledovců
pramení potok, v němž nalezeny nové druhy Blepharocerid.

kazské. Larvy mají housenkovitý tvar a přidržují se pomocí 6 příssavek
na kamenech v nej prudších místech bystřin. Kukla je sploŠtělá a je břišní
stranou pevně přilepena na kamenech pod hladinou vody. Dospělý hmyz
je velikosti asi komára, nohy jsou dlouhé a poměr jejich k tělu je asi takový
jako u rodu Tipula. Dosud známo bylo 20 druhů o 9 rodech z nichž většina
náleží Americe severní i jižní ostatní Evropě. Z Asie, vyjímaje Ceylon,
nebyl dosud znám ani jediný zástupce této čeledi, ačkoliv možno říci, že
náleží snad k nejhojnějším a nej charakterističtějším formám velehorské
vodní fauny. Jak jsem se zmínil nalezl jsem v Ordubatě a v bystřinách
okolí Migri nový druh Blepharocera armeniaca Komár.,1) blížící se

h ,,Neue Blepharoariden aus dem Kaukasus und Armenien" von Jul. Komárek.
Sitzungsb. d. konigl. boh. Gesell. d. Wissensch. Prag. 1914.

XXVII.

6

jihoevropské formě Bleph. fasciata Wstd. tvarem očí, ale naprosto odlišné
apparátem ústním. Tato specie vyškytá se na zmíněných lokalitách
v larválním stavu ve velikém množství a domnívám se právem dle cha¬
rakteru krajiny (jež nemá s Kavkazem nic společného), že jest rozšíření
této diptery daleko větší a že zabírá jistě celé údolí Araxu a severní Persii.

Jinou skupinou, v níž neznali jsme dosud žádného zástupce těchto
končin, jsou vodule. Podařilo se mi lapit v Migri a později v Ordubatě
v malých horských potocích několik vodulí, v nichž v právě dohotovené
práci rozpoznal Dr. S i g Thor nový druh — Megapus arcuatus S i g

Obr. 4. Pohled na Tetnuld z větší blízkosti. V popředí vlastní lokalita Blepharocerid.

Thor. nov. s p. Přikládám zde obrázek, jenž ukazuje jednu z lokalit
Migerských.

Korýši sbíráni byli jen ve studánce ležící těsně u břehu Araxu na
prudké zatácce řeky nedaleko perské celnice a konečně i v řece samé.
V těchto studených pramenech, jež souvisí toliko horem s řekou, vyškytá
se hojně jeden druh Amphipodů. Prof. Dr. K. Scháferna, jenž
se laskavě ujal celé mé sbírky blešivců, určil jej jako typický, tedy nový
druh rodu Dikerogammarus , odchylný od příbuzné formy obývající Kaspické
moře. Kromě této lokality pozoroval jsem téhož blešivce v jiné studánce*

XXVII.

avšak opět na břehu Araxu; v horách, ač jsem je hledal, jsem Amphipody
nenašel. Velmi hojným jest zde sladkovodní krab Telfusa fluviatilis.

Z měkkýšů sladkovodních nasel jsem v řece Araxu pouze 2 druhy
a sice rod Limnea a Neretina. Také zde (t. j. v okolí Ordubatu v potocích
a studánkách) vyškytá se na všech příhodných místech Planaria gono-
cephala, s níž jsem se již sešel v předhorách Kavkazských. Domnívám
se, že jest rozšířena i po celé severní Persii a Kurdistaně. Planaria aborensis,
jež byla popsána Whitehouse-m z krajiny A bor v Himalájích,

Obr. 5. Údolí vedoucí k průsmyku mestijskému a na severní svah Kavkazu. Po
straně na obrázku leží skrytý pramen, v němž nalezeny některé z vodulí Dr. Sig.

Thor-em popisovaných..

nezdá se býti ničím jiným než Pl. gonocephala a snad jest na základě mého
nálezu oprávněna domněnka, že tento druh obývá celou hornatou p a-
laearktickou Asii a Evropu. — V malé studánce u osady
Legvas poblíž M i g r i nalezena byla forma asi totožná s Planaria
vitta. Nález této formy zde jest velmi zajímavý, neboť byla dosud
sbírána jen ve střední Evropě.

XXVII.

8

20. července opustili jsme Ordubat a vrátili se zpět zamýšlejíce pro-
cestovati nejméně známý kraj kavkazský t. zv. Svanetii, ležící na
horním toku řeky Inguru v LeČchumském újezdě Ku-
taiské gubernie. Po dvoudenní cestě na sever od Kutaisu do¬
razili jsme do údolí řeky C c h e n e s-c c h a 1 i a do osady C a g e r i.
Zde sbíráno v horském potoce a listnatých pralesích nedaleko Cageri.
Mollusca, Apterygogenea, Coleoptera , Diplopoda, Crustacea ( Gammarus
pulex), Hydracarina (nová varieta Megapus nodipalpis Sig. Thor var.
Kauhasica) Lumbricidae a opět Pl. gonocepkala byly naší kořistí. Fauna
má ještě ráz předhor jak z nepřítomnosti Blepharocerid patrno.

Po Cageri naší příští zastávkou byla obec Čvelieri ležící pod
průsmykem L a t-p a r i. Nic zvláště zajímavého nebylo nalezeno až na
to, že se zde již objevují Blepharoceridy a sice nalezl jsem v řece Cchenes-
cchali larvu dosud nepopsaného druhu, jež se ode všech Kavkazsk}>ch
forem nápadně odlišuje dlouze trnitými štítky umístěnými na hřbetní
straně každého Článku. Také zde jest Gammarus pulex. Na průsmyku
Lat-pari, jenž vede do Svanetie, vyskytuje se přehojně Plectes biebersteini
a nalezeno několik exemplářů Vipera Renardi ve výši více než 2000. Osada
Káli pod průsmykem L a t-p a r i byla naší první zastávkou ve Svanetii.

Na exkursi údolím vedoucím k ledovci D ž a n g u-t au a Tet-
n u 1 d (viz o b r. 3.) severně od Káli nalezeny dvě nové Blepharoceridy.
Údolím protéká ledovcová říčka a poblíž jejich pramenů vyvěrají na levé
straně údolí železité kyselky; v bezprostřední blízkosti jich teče malý
potok (viz obr. 4.) v němž byly oba nové druhy nalezeny. Jsou to:
Liponeura (Blepharocera) platy frons Komárek nov. spec., imago 9
s neobyčejně širokým Čelem, širším než u kteréhokoli druhu příbuzného.
L a b r u m-e pipharynx a hypopharynx velmi zkráceny.
Larva má krátká, dvouclánková tykadla a každý článek tělní nese na
hřbetě malý bodlinatý štítek. Nalezena ve společnosti formy druhé;
sameček neznám. Liponeura (. Blepharocera ) brevirostris var. Kauhasica
Komár. nov. var. Imago 9 podobá se velmi typu ; larva je odlišná,
tykadla jsou sice neČlánkovaná ale krátká, kromě toho nese několik menších
odchylných znaků.

Tyto dvě specie jsou velmi zajímavé po stránce systematické. V starší
systematice veden byl rod Liponeura jako odlišný rodu Blepharocera , což
spočívalo v tom, že byly známy pouze dva zástupci rodu Liponeura, lišící
se velmi, zvláště larvami, od rodu Blepharocera. K e 1 1 o g g, který popsal
řadu forem rodu Blepharocera , ukázal, že charakteristické znaky, jež měly
oba rody oddělovati, nejsou správné a sloučil proto obě skupinky v jeden
rod Blepharocera a sice dle stejné struktury křídel. B e z z i podržel staré
rozdělení, přidav toliko správné, skutečně existující rozdíly, postačující
pro dosud známé formy. Při zpracování nových forem byl jsem na roz¬
pacích Čeho se mám přidržeti, a ježto opět celá řada znaků starší syste-
matiky i Bezzi-ho se naprosto nehodila, zvláště co se týče larev, přidržel

XXVII.

o

jsem se prozatím názorů K e 1 1 o g g-o v ý c h. Teprve později po bedli¬
vějším srovnávání přesvědčil jsem se, že rod Liponeura a Blepharocera
nutno podržeti, přes to, že starší názor užíval znaků skutečně nesprávných,
a rozdělení Kellogg-ovo nutno zavrhnouti, ačkoliv systematické jeho
důvody byly v podstatě dobré. Nebudu zde tuto věc blíže rozvádéti,
neboť se jedná o nové charakteristiky, které vyplynuly z poznání většího
počtu zástupců a za druhé protože jsem chtěl toliko vysvětliti, proč užívám
jiné nomenklatury než v práci původní.

Obr. 6. Část lesa z okolí Mestie. V popředí obrázku leží skrytá tůňka (na fotografii
je zakryta keřem), jež byla naším nejbohatším nalezištěm vodní fauny.

Co se týče rozšíření^ těchto zvířat na Kavkaze, třeba uznati/ že snad
žádná^vodní forma nevystupuje v takovém počtu exemplářů. Často jsou
jedinými a to úžasně Četnými obyvateli ledovcových řek, v nichž se pro
strašnou dravost, ledovou vodu a nečistotu, jež Činí vodu skoro kašovité
hustou, skoro žádný život neudrží. Obyčejně pokrývají v koloniích vyční¬
vající a pevné balvany na straně proti proudu obrácené. Menším lesním
bystřinám se vyhýbají, alespoň jsem je tam nikdy nenalezl. Zajímavo je.

XXVII.

10

že jsem skoro na každé lokalitě sbíral jiný druh, bohužel byly to jen larvy,
často ještě nedospělé, takže právě popisované druhy jsou jediným případem,
kdy nalezl jsem imaga. Zdá se, že zde hraje velkou úlohu lokální isolace
podmíněná nedostupnými hřbety, jež údolí od sebe oddělují; proto se
vyskytuje ve Svanetii, na místě poměrně malém, tolik různých forem.
Při bedlivějším studiu nalezne se na Kavkaze ještě více nových druhů
jak tomu bylo i v Americe.

Z Káli vydali jsme se do obce M e s t i a, největší osady ve Svanetii,
ležící na řece Mulách. Okolí Mestie je otevřenější, ledovce nejsou tak
blízko a proto i klima je mírnější. Jak již jsem se zmínil, není v hlavních

Obr. 7 Pohled z Mestie na východ na luka a pastviny, jimiž protékal čistý, pstruhový
potok, kde chyceni zvláště Harpacticidi.

řekách, kromě Blepharocerid a Plecopter žádná fauna. Ráz takových
dravých vod a ledovcových údolí ukazuje obr. 5. kde nalezeny v postraním
praménku některé vodule.

Veškera skoro vodní fauna koncentruje se proto v postraních čistých
bystřinách, lesních a lučních pramenech neb tůňkách. Hlavními nalezišti
byla zde malá lesní tůňka poblíž Mestie za řekou Mulách a pstruhový
potok přitékající do Mestie po lukách z východní strany.

Zmíněná tůňka byla stálou vodní nádržkou a proto zde byl takový
bohatý život. Chyceny zde byly různé druhy forem i u nás na podobných
místech obvyklých, Cladocera, Copepoda, Ostracoda, Hydrometridae, Noto -
nectidae, Lumbriculidae ale zároveň zvířata čistě vysokohorská, jako jsou
vodule určené Dr. Sig. Thorem. Kromě toho chycena nová Dalyella iyortex)

XXVII.

11

jež připomíná trochu na formu chycenou Plotnikovem v jezeře
Sevanga (Gogča).

Lokalita druhá nebyla tak bohatá ale i zde chyceny některé věci,
zvláště Harpacticidi. Obyčejně získán drobný materiál tím způsobem,
že byl přinesen nálev neb různé vodní mechy a rostliny rostoucí na dně
potoka a doma teprve byly drobné formy vybrány. Také v pralesích
okolí mestijského bylo sbíráno, ale s malým výsledkem. Byly to hlavně
Coleoptera , z nichž zde chycen nový druh Stenus Veselyi Rarnb., Collembola,
Formicidae, Mollusca.

Po Mestii byla naší příští stanicí osada Beco, ležící den cesty na

Obr. 8. Pohled s průsmyku Chida na jihozápad do Mingrelie. Četné strouhy v po¬
předí jsou koryta bystřin, v nichž nalezeno nové Dendrocoelum.

západ od Mestie pod ledovcem Užba. Předchozí lokalita a tato byly
z našich nej bohatších nalezišť. V lesním potoce uloveni Harpacticidi
a chycena zvláštní Mermis. V hlavní řece vytékající z ledovce Užba na¬
lezena nová Blepharocera, bohužel jen v larválním stadiu. Odlišuje se
od ostatních forem hlavně šířkou a silou těla a dlouhými, hustě sesta¬
venými tělními chloupky. Podle charakteru příssavek přesvědčil jsem se,
že náleží rodu Liponeura.

Odtud nastoupena cesta k moři a sice po horské stezce vedoucí po
jižním svahu Elb ruské skupiny do Abcházie a na Suchum. Z Beco dorazili
jsme prvý den do aulu Taurar; druhý den jsme překročili průsmyk Utwir.
Třetího dne jsme vystoupili na průsmyk Chida a přenocovali. Zde
byla chycena následujícího dne nová plostěnka z rodu Dendrocoelum.

-XXVII.

12

Zevnější formou podobá se Dend. Mrázeki, až na to, že není slepá. Maxi¬
mální délka činí asi 20 — 25 mm, šířka 3 — 4 mm. Tvar těla velmi štíhlý.
Barva je mléčně bílá s prosvitajícím růžově zbarveným střevem. Hlava
je malá, sužuje se do zadu velmi silně v štíhlou a dlouhou ,, krční" část.
Okraje hlavy tvoří dva hladce zaokrouhlené laloky. Čelní okraj je bud
rovně uťat neb vchlípen do vnitř. V zataženém stavu, vybíhají kolmo
do předu dva úzké, ostré laloky. Vzdálenost očí činí třetinu příslušné
tělní šířky; vzdálenost od čelního okraje obnáší skoro dvojnásobnou délku
rozstupu očí. Zadní střevní větve se nespojují a mají po 14 — 16 lalocích.
Otvor pharyngealní leží skoro na konci třetí Čtvrtiny těla. Otvor pohlavní
vyúsťuje před koncem horní poloviny poslední čtvrtiny.

Průsmyk Chida tvoří dlouhé sedlo přetínající napříč mohutné pohoří
a je na jižní straně rozerván přečetnými koryty sněhových bystřin, jak
na přiloženém obrázku lze viděti. V těchto bystřinách žije naše Dendro-
coeliim a sice ne pod kameny, ale v husté spleti rostlinných kořenů a mechů
a to v ohromném množství. Jest to forma přísně stenothermní, jež ne¬
snese nej menší kolísaní temperatury, jak jsem se při pokusu o transport
sám přesvědčil. Právě pro tuto vlastnost nebude mít asi většího rozšíření.
Na prvním průsmyku Utwir jsem ji nenalezl. Snad se jedná o čistě místní
formu, nač by hlavně charakter krajiny ukazoval. — To byl náš poslední
nález. Po několikadenní namahavé cestě a přenocování v lesích dospěli
jsme do abchazské osady Čchalta a nastoupili jsme cestu k domovu.

XXVII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 28.

O měření hvězdných azimutů v digressi.

(Pozorování na velikém Repsoldově altazimutu hvězdárny Strassburgské.)

Napsal Vladimír Václav Heinrich v Praze.

(Předloženo dne 30. ledna 1914.

K fixování azimutu užívá se odedávna s výhodou pozorování hvěz dy
polární (a Ursae minoris) v digressi. Jak známo opisují tu hvězdy oblouk,
jehož konkávní strana leží směrem severním, ježto pak je pohyb v azimutu
neobyčejně malý, lze zcela pohodlně sledovati hvězdu azimutálním šroubem
mikrometrickým až k momentu extremního azimutu, který odpovídá
vrcholu oblouku shora dolů neb naopak proběhnutého.

Taková azimutální měření za účelem určení šířky prováděti navrhl
poprvé někdejší ředitel Pražské hvězdárny Josef Jiří Bóhm.1)

Avšak myšlenka nebyla ani v praxi ve větším rozsahu zkoumána
ani theoreticky diskutována a dále rozvinuta. Mezeru tuto vyplniti hodlají
především následující řádky.

Pro srovnání uvádíme nej užívanější methody měření šířkových.

1. V meridiánu Horrebow-Talcott. Prostředky jsou citlivé niveau
a mikrometr.

2. V prvním vertikálu, Bessel-Struve, niveau a dobré hodiny.

3. Výšky circummeridianní. Methoda tato užívá jemně děleného
kruhu vertikálního a rtuťového nadiru.

K tomu připojujeme:

4. Měření azimutů v digressi, mikrometr, niveau a jemně dělený
kruh azimutálný (srovnej ad a). Měření tato jsou prosta vad chodu hodin
ad 2. anomálií refrakčních a zejména ohybu dalekohledu následkem tíže ad 3.

Za svého půlletého pobytu na hvězdárně Strassburgské (květen až
září 1908) prováděl jsem na popud zvěčnělého ředitele E. Beckera azi¬
mutální měření v digressi na velikém Repsoldově altazimutu (objektiv
5 palců).

*) J. G. Bóhm: Methode, geographische Breite und Azimut zugleich aus
blossen Azimutbeobachtungen der Circumpolarsterne ohne Kenntnis und Hilfe der
Zeit auf das genaueste zu finden. Abhandlungen der bóhm. Gesell. d. Wiss. in
Prag 1855.

Rozpravy. Roč. XXIII. II. Tř. Čís. 28.

XXVIII.

1

2

Během té doby získal jsem asi v 60 dnech a nocích 117 digressních
azimutů, v celku na 2000 vláknových pointací. Kromě toho 10 azimutů
polárky a mír a na 66 meridianních průchodů hvězd časových a polárných
za účelem určení různých instrumentálných konstant.

Tato pozorování jakož i pozdější theoretické diskusse vedly k násle¬
dujícím výsledkům:

a) Měření azimutů v digressi poskytují velmi krásnou, systema¬
tických chyb (refrakce, ohybu dalekohledu a hodin) prostou cestu k určení
výšky pólu.

Hlavní přednost určení tkví po mém soudu v tom, že lze získati
šířku při vhodném arranžování pozorované řady, omezující se na polární
hvězdy zenitu blízké — beze vlivu chyb děleného kruhu azimutálního , které
resp. deset- a vícekrát zmenšeny do výsledku vcházejí. Nicméně je obor
příslušných polárných hvězd relativně velmi úzký obnášeje asi 2° od ze¬
nitu, takže již hvězdy, pro něž* asi d — <p> 15° nehodí se k měřením šířko¬
vým, nýbrž jenom k fixování azimutu.

b) Vliv chyb instrumentálných se zkoumá. Výsledek zní: Při vhodném
svrchu zmíněném arrangement jsou zdrojem chyb v praxi nikdy ideálně
nesplněné postuláty.

1. Konstance azimutu (ostatně během doby libovolně krátké, volí-li
se dvojice hvězdná).

2. Bezvadné niveau osy horizontální (z té příčiny radno stroj velmi
dobře vynivellovati a resp. užiti dvou niveau vedle sebe).

3. Dokonalý mikrometrický šroub.

c) Když získána differenciální rovnice pro vliv místa hvězdného na
pozorování šířková, ukáže její diskusse, jakož i příslušné tabulky coeffi-
cientů :

Měření azimutů v digressi hodí se daleko spise ne z k určení výsky pólu
ku vlastním fundamentálním měřením deklinacním.

Výsledek ad a) uvedený platí ve zvětšené míře i o těchto.

Avšak obor měření deklinačních je daleko širší a zahrnuje všecky
tak zvané hvězdy polární a to tak, že ve středních šířkách je vliv chyb
dělení kruhu, i vystoupí-li se z oboru d — • €p > 2°, zmenšen nejméně na 1/z
v případě extremním.

Tento způsob určení deklinace polárních hvězd, sám v sobě poněkud
bizarrní, ukazuje — tuším — pohodlnou cestu k určení konstant aber-
račních.

Měření sama ve svém provedení upomínají velice na methodu Horre-
bow-Talcott, podstatou i zdrojem chyb jsou takřka identická s měřením
v prvním vertikálu. Co tam jsou hodiny, je zde kruh azimutálný, při
čemž chyby obou silně stlumeny. Rozhodně však neobstojí srovnání
s methodou výšek cirkummeridianních.

XXVIII.

3

d) Diskusse získaných azimutů skýtá výšku pólu pro Strassburg se
střední chybou výsledku ± 0-09".

Práce ve své praktické části vznikla na popud zvěčnělého prof.
E. Beckera, který mi také zmíněný stroj dal k disposici.

Původně doufal jsem, měření na základě získaných zkušeností opa-
kovati a směrem ad c) naznačeným arranžovati. Okolnost tato, jakož
i zaneprázdnění zcela jinými studiemi v posledních létech, nesou vinu, že
jsem po pět let nenalezl příležitosti všecky početní redukce dopodrobna
provésti. Teprve, když v letošních prázdninách podniknuto vyměření
všech chronografických záznamů, měl jsem práci usnadněnu.

Úkolu tohoto podjala se se vší nevšední a obětavou pečlivostí k tomu
potřebnou moje matka, paní Karla Heinrichová, kteréž na
tomto místě netoliko za tuto, ale i mnohou jinou podporu během dlouho¬
letých studií nej srdečnější díky vyslovuji.

Vedle toho vděčností zavázán jsem svému příteli panu Dr. Juliu
Liebmannovi, astronomu hvězdárny Strassburgské, za ochotné
sdělení definitivních korrekcí hodin, které mi velice usnadnilo redukční
počty, zejména určení momentů digresse.

Skizza ku theorii měření hvězdných azimutů v digressi. O vlivu
chyb instrumentálných. Diferenciální rovnice zlepšení výšky pólu

a místa hvězdného. § 1.

Nechť značí — jakož zvykem a, z , a, t, d, q resp. azimut čítaný
od severu, zenitovou distancí, rektascensi, hodinový úhel, deklinaci a úhel
parallaktický.

Fundamentálný trojúhelník hvězda, zenit, pól dává

sin t cot a = sin cp cos t — tg á cos cp

(i)

Derivací a užitím

sin z cos q — sin cp cos á — sin d cos cp cos t
sin z sin a — — sin t cos ú.

neb též pomocí

— cos q = cos t cos a -f* sin a sin t sin cp

zjednáme

d a __ sin a
d t sin t

sm a

Pro digressi platí ex definitione q = 90°, = 0

XXVIII.

4

Trojúhelník je tedy pravoúhlý, což dává známé obecně formule
základní

cos t =

tg<p
tgd ’

sm a

cos ó
cos (p

cos z =

sm (p
sin d

sin t = ^sin (* + SP) sin (ď — 9) , cos = \sin (d + cp) sin (ď — y)
cos (p sin d' cos cp

Vsm (d -f- <p) sin (d — <p)

sm z =

sin ú

cos d

t = Vsím (ď + 9P) sím (ď — <p) , tg a = —

sm cp cos á ’ "V sm (<ř + 9) sm (ú — 9))

£ ==

ysm (ú + 9) sm (ú — <p)

sm cp

(2)

přechodem na poloviční úhel získáme ještě vzorec výhodný pro počet

V sin (d ■ — cp)
sin (ó + cp)

Vzorce (2) jsou možné jenom při podmínce á > cp, kteráž ukazuje,
které hvězdy mohou vůbec do digresse přijíti, zoveme je polárnými, kterýž
název se obecně nekryje s pojmem hvězd cirkumpolárných a mnohdy
neprávem zaměňuje.

Vzorce (2) slouží ku výpočtu malých ephemerid pro namíření daleko¬
hledu. Doporučuje se jednou pro vždy sestroj iti pro dotyčnou hvězdárnu
tabulky.

Tu jest cp konstantou a jediným argumentem jest ú.

Vzorce (2) pro ephemeridu nahraditi lze též následujícími, které za¬
vádějí pomocný úhel (Bohm 1. c.)

cos t =

tg < p

tg d

tg X = cos t cot ó

Hvězdný čas digresse dán

sm ó sm (cp 4- x)

cos z — - — - -

cos x

cos ó

sm a = - -

cos cp

(3)

z = T's t + a na západě
z = — 1,3 t + a na východě.

Všimnouti si jest, že nic nevisí ve vzorcích (2) (3) od rektascense,
nýbrž jenom od deklinace. To je také pochopit elno se stanoviska geo¬
metrického názoru.

Hvězda v digressi je v azimutu stationární, veškeren denní pohyb
děje se od shora dolů neb naopak v digressi resp. západní, východní.

XXVIII.

5

Je to pravý opak poměrů průchodů meridianních, zde úhly horizon¬
tální měří hodinový úhel, v digressi deklinaci, úhly vertikální deklinaci
v digressi hodinový úhel.

Poslední rovnice ad 3. ukazuje, že změření úhlu azimutálního v digressi
dává přímo výšku pólu při známé deklinaci beze znalosti času (Bóhm).

Měření takové lze s přesností velmi velikou provésti, jak známo př.
z pozorování hvězdy polární v digressi za účelem fixování azimutu, které
je všeobecně obvyklé.

Hvězdu lze totiž ustavičně sledovati azimatálním šroubem mikro-
metrickým až se stane stationární a pak chod svůj v azimutu obrátí.

Ve skutečnosti pozoruje se tak, že na hvězdu v okolí digresse staví
se ustavičně pohyblivé vlákno šroubu a pokaždé se odečte čas i mikrometr,
pomocí intervalu Časového mezi jednotlivým postavením vlákna a mo¬
mentem digresse lze měření převésti na digressi a tím způsobem pointace
hvězdy jakoby multiplikovati.

Ku změření mezidoby není třeba hodin přesných, stačí zcela oby¬
čejné kapesní hodinky. V případě mých pozorování Strassburgských byl
čas k vůli pohodlí registrován. Zmíněnou redukci na digressi lze ostatně
provésti též měřením rozdílů výškových. Bychom příslušné redukce od¬
vodili, získáme pomocí rovnice (1) diferenciální quotienty

d a
a t
d 2 a
TW

d3 a

SÍn2 CL

— t — 7T — ( — tg d cos y cos t 4- sin op) = 0
sm2 t

sin d cos d

cos y sm t

3 cos d sin d cot t

(4)

d t3 cos y sin t

a z rovnice sin d = sin y cos z - f cos y sin z cos a

d a
d z
d? a

TJ

d3 a

0

tg &

sin 2 d

tg*

sm z

3 tg á cos z

cos d V sin (d + (p) sin (d — y)
2>.sin2č siny

sm t cos y
3 sin y

(40

d z 3 sin2 z cos d sin (d + y) sin (d — y) cos2 y sin2 1 cos d

Zní tedy příslušné rozvoje

A a =

sin d cos d 2 sin2 \ A t

cos y sin t sin 1"

. sm d cos d 2 sin2 l A t ,
A a — - - — s- — -\

sin d cos d ,4 sin3 \ A t

cot t - 7—^Ti - h

cos y sm t

sin V

cos y sm t sin l" — 2

1 K3

Při tom je — — sin2 1" = (2-59839

153 , sin d cos d

- sm2 1 - 7 — r cot t ( A t )3

(5)

cos y sm t
10), kde pravá strana dává log.

XXVIII.

6

Hodnoty numerického faktoru prvního termu udávají př. tabulky
Albrechtovy.1) Ostatně lze tytéž dostati také pomocí (6*73672 — 10) /j t2
(Coef. je log; /4 1 všude v Časových sec.). — Dále obdržíme*

/4 a = —

tgd

sin 1'

cos (p sin t
(4-38454 — 10)

2 ^
tgH/tf
cos cp sin t

sin (p

sin2 V

cos d sin2 t cos 2 (p

(Jty

(9-07012 — 20)

sm cp

cos d cos 2 cp sin2 1

{/ty

(5')

O volbě znamení lze snadno rozhodnouti.

Př. jednej se o redukci určitého vláknového měření na digressi,
dělení postupuj na kruhu ve směru astronomicky čítaných azimutů (od
jihu přes západ, jako u altazimutu Strassburgského) : pak vezmeme na
východě horní znaménka po digressi, dolní znamení před digressi, na zá¬
padě před digressi znamení horní, ale součet obou termů substrahujeme>
po digressi znamení dolní, a algebraický součet obou termů odečteme atd.

Obraťme se k následující jednoduché otázce:

,,Z měřených digressních azimutů dvou hvězd nalézti přímo výšku
pólovou' Budiž jedna digresse na východě, druhá na západě. Azimut
čítán od severu. Pak platí dle (2)

| cos dj = cos cp sin al
j cos d2 = cos cp sin a2,

Kombinací obou rovnic najdeme, klademe-li ax + a2 = D (veličina
daná pozorováním)

2 cos dj cos ds
cos 2 cp

cos ( a2 — ct-[) — cos D

odtud po snadné úpravě (eliminací av a2):

cos d2 cos d2 = — cos D cos2 cp + V(ces2 cp — cos2 dj) {cos2 cp — cos2 d2)
z této rovnice určíme

cos cp —
sin cp ==
tg2<p =
kdež kladeno:

"V cos 2 d1 + cos2 d2 + 2 cos dx cos d2 cos D
sin D

V sin 2 D — {cos2 á1 + cos 2 d2 + 2 cos d\ cos d2 cos D)

(6)

sin D

sin2 D
K

— 1

K — cos2 dx + cos2 d2 + 2 cos dt cos d2 cos D.

*) Albrecht, Formeln und Tafeln fur geografische Ortsbestimmnngen. Leipzig
1908 IV. Auflage sub XXVI. p. 208 et seq.

XXVIII.

7

Pro áx == ú2, ax — a2 t. j. tutéž hvězdu pozorovanou v digressi vý¬
chodní a západní degeneruje formule (6) na

cos á cos á

cos op = - - 7-- = — . - ,

. D sin a

sm —

A

což ad 2. již udáno.

Differencujme nyní rovnici (6) považujíce za proměnlivé všechny
v ní obsažené veličiny

bude tu

sin2 D cos 2 cp = cos 2 áx -f cos2 ď2 -f 2 cos á± cos d2 cos D

(cos D cos2 cp + cos cos d2) d D —
cos

. ~ sm á, 4- sm ch cos cos D , .

= cos cp sm cp sm D a cp - - - - - ; — =-^ - d o,

T sm D

cos d2 sin d2 + sin d2 cos cos D

aneb po snadné úpravě
d D = tg cp (tg ířj + tg #2) d tp

sin ó\

cos a1 cos cp

sin D

d á-,

dá.

sin dc

cos a2 cos cp

dá, (7)

což je fundamentální rovnice differenciální pro zlepšení výšky pólu resp.
pro zlepšení deklinace (místa hvězdy).

I. Nechť jedná se o měření šířková. Pak je v (7) d cp odvisle pro¬
měnnou.

Všimněme si především významu d D. Předpokládáme-li, že šířka
známa přibližně, a že vypočteme s touto přibližnou hodnotou konstanty
rovnice, pak udává d D rozdíl mezi měřeným rozdílem digressních azi-
mutů D a mezi rozdílem týchž (a1 + a2) jak plyne ze supponovaného cp.

Každé měření azimutální dáno — jak z theorie altazimutu resp.
theodolitu známo

Ai ~Li-\-i1 co>g z c cosec z s1 cosec z

kdež značí Lx čtení horizontálního kruhu, i sklon horizontální osy, c kollimaci
dalekohledu, s rozdíl šroubový mezi vláknem pohyblivým a pevným, pro
nějž kollimace platí.

Pokud se týká znamení, visí toto od příslušných poměrů. V případě
Strassburgského altazimutu pokračovalo Čtení azimutů ve smyslu astro¬
nomickém od jihu přes západ, sever a východ dokola, míněné veličiny
vztaženy byly na konec osy, na němž umístěn byl dalekohled, znamení
hořejší platila pro dalekohled v právo (FR), což značíme v dalším po¬
let cu I na rozdíl cd polohy II (FL) dalekohled v levo.

Je tedy d D dáno

d D = A j — A 2 — (íí| -f* #2) •

XXVIII.

8

Bychom vyšetřili vliv chyb instrumentálných na měření šířkové,
předpokládejme pro jednoduchost, že se jedná o touž hvězdu ve východní
a západní digressi. Pak platí

2 tg (p tg a d <p = Lx — L2 4- [ix — i2) cot z + (cx — c2) cosec z 4I
— / \ , 2 sin d

4- (s, — Sn) cosec z H - do (8)

cos a cos (p

1. Vliv sklonu horizontální osy dán v extrémním případě

d ( p cos (p

d i cos d

To nahlédneme z rovnice (8) pomocí fundamentálních vzorců (2)
pro tg a, cot z. Ježto obecně je ú > (p, přechází sklon celou svou hodnotou
do měření , pro hvězdy pólu blízké dokonce zvětšen. Není proto s výhodou
ku měřením šířkovým hvězd pólu blízkých užívati.

Z těchto důvodů nivellaci pokud možno často korrigujeme a užíváme
libell co nej jemnějších (nejlépe dvou vedle sebe).

d <p = - 0S-^r d i tabulováno pro di — 1 -00"
cos d

1

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

65°

70°

75°

80°

85°

1°

n

1-01

n

1*01

n

1-02

1*02

tr

1-02

v

1-03

n

1-03

1-04

n

1-05

1*07

n

Ml

n

1-25

2°

1-02

1-03

1-03

1-04

1-04

1-05

1-07

1-08

Ml

1-15

1-25

1-67

3°

1*03

1-04

1-05

1-06

1-07

1*08

M0

1*13

1-17

1-24

1-42

2-50

40

1-04

1-05

1-07

1-08

1-09

Ml

1*14

1*18

1-24

1-36

1-66

4-99

5°

1-06

1-07

1-08

1*10

1*12

1*15

1*18

1-24

1-32

1-49

1-99

6°

1-07

1-09

M0

1*12

1*15

1*18

1-23

1-30

1-41

1*65

2-48

70

1-08

M0

1-12

1*15

1*18

1-22

1-28

1-37

1-52

1*86

3-32

8°

1-10

1*12

1-15

1*18

1-21

1-26

1*33

1-45

1-65

2-12

4-98

9°

1-11

1*14

1*17

1*20

1*25

1-31

1-39

1*53

1-79

2-48

9-95

10°

1*13

1*16

1-19

1-20

1-29

1-36

1-46

1-63

1*97

2*97

2. Vliv šroubu a kollimace je dán, jak z (8) vysvítá
d cp = tg á cot (p d c.

Rovnice ukazuje, že délka mikrometrem měřená přejde do výsledku
měření šířkového celou svou vahou.

Jedná-li se o hvězdy blízké zenitu, není zvětšena , což je důležito po-
dotknouti. Jak známo násobí se údaj šroubový při azimutálním měření
cosec z, to dává blíže zenitu hodnoty velmi veliké. Pozorovatel vidí tu
při redukčním počtu svoje chyby jakoby abnormálně zvětšeny, karriko-
vány. Z té příčiny neužívá se zenitových hvězd k fixování azimutů. Ale
v případě měření výšky pólu, netřeba si těchto chyb všímati, zde naopak

XXVIII.

9

jsou tyto zdánlivě disharmonující pointace žádoucí, na výšku pólu vlivu
nemají, poněvadž přisaipuje k nim v dalším počtu zmenšovací faktor.

Pokud se týká kollimace, jest její vliv dán týmž vzorcem, ale na
měření šířková téměř nepůsobí. Je to veličina zpravidla konstantní, aspoň
pro dobu mezi oběma digressemi, i bude v rovnici (8) cx — c2 = c a člen
odpadá, jedná-li se o digresse téže hvězdy. V případě dvou hvězd různých
je sice cotz1^cotz2, avšak vhodnou volbou hvězd lze docíliti, že jich
zenitové distance pro digressi jsou téměř stejné. Takto zmenšený vliv
kollimační lze pak eliminovati ještě řadou pozorování uspořádaných
v obou polohách stroje.

Při velmi stabilních strojích je ostatně s výhodou přeložiti během
digresse po vzoru měření Struveho v prvním vertikálu.

Proti této manipulaci mluví poněkud delší počet redukční (ježto
pointace jsou pak částečně dále od digresse, nutno vžiti v rozvojích termy
vyššího řádu) a u strojů méně solidně postavených obava o změnu azimutu.

Tak v případě alt azimutu Strassburgského manipulace ta, ač samo¬
činným strojovým překladačem velmi ulehčená, se neosvědčila pro výšku
věže lépe než způsob první.

Vliv šroubu a kollimace illustruje následující tabulka:

-9>V

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

65°

70°

75°

o

O

00

85°

1°

1*04

1-04

tr

1*04

n

1-04

rr

1-04

n

1-04

1-04

n

1-05

n

1-06

n

1-07

n

1*11

n

1-25

2«

1-08

1-07

1-07

1-07

1-07

1-08

1-09

M0

1*12

1*16

1-25

1*67

3°

1-12

1*12

1-11

Ml

Ml

1-12

1*13

1*15

1*19

1-26

1-44

2-51

4°

1*17

1*16

1*15

1*15

1-15

1*17

1*18

1-21

1-27

1-38

1-68

5-01

5°

1-21

1-20

1*19

1*19

1-20

1-21

1-24

1-28

1-36

1-52

2-02

6°

1-26

1-24

1-23

1-23

1-24

1-26

1-30

1-35

1-46

1-69

2-52

7°

1-29

1-29

1-28

1-28

1-29

1-32

1-36

1-44

1*58

1-91

3-36

8°

1-35

1-33

1-32

1-33

1*34

1*37

1-43

1-53

1-71

2-18

5-05

9°

1-40

1-38

1-37

1-38

1-40

1-44

1*50

1-63

1-87

2-55

10-10

10°

1-45

1-43

1-42

1-43

1-45

1-50

1-59

1-74

2-06

3-06

11°

1*51

1-48

1-47

1*48

1*52

120

1-56

1-53

1-53

1-54

3. Vliv fundamentální posice hvězdné. Tento je dán poměrem dle (8)
d cp = tg á cot (p d d

a platí o něm táž tabulka jako ad 2. Vzorec ukazuje zřetelně, že hvězdy
pólu blízké, již asi d > cp -j- 15° nehodí se k měřením šířkovým, neboť
pak chyba v deklinaci přechází do měření šířkového dokonce zvětšena.

Stran eliminace místa hvězdného zmiňujeme: Volí-li se k měření
hvězdy dvě, jedna zenitu, druhá pólu blízká, obdržíme určení šířky, po-,
zorujeme-li zenitovou v jedné a pólu blízkou v obou digressích, prosté

XXVIII.

10

vlivu d á, třeba neznámé hvězdy poslednější, ale nikoli hvězdy zenitové.
(Užije se rovnice (7) (7').

4. Vliv chyb děleného kruhu a proměnlivosti azimutu dán, jak
ukazuje rovnice (8), poměrem

d w = Y sin (w + d) sm (á — cp) d L.

T 2 cos ó

V této rovnici tkví veliká cena methody.

V tabulce, která následuje, udány jsou měny azimutu digresse pro
měnu šířky o 1", tak vidíme, že pro šířku 50° a deklinaci < 51° hlásí se
měna ve cp posuvem v azimutu as lOkrát větším. Příkladně kolísání pólu
obnáší průměrem 0-5 " — d cpx toto kolísání ohlásí se v azimutu pošinutím
lOkráte větším 5", které lze již spolehlivě měřiti třeba kruhem, který
dává čtení jenom na 1".

Zároveň je patrno, každý koefficient tabulky, násoben dvěma (pro
touž hvězdu) nebo součet dvou koefficientů příslušných dvěma různým d
(téže kolumny) udává kolikráte zmenší se chyby děleného kruhu při mě¬
ření šířkovém.

Vliv těchto chyb je enormně malý, pokud omezíme se na hvězdy
cp + 2° > d cp, zvětší se při překročení této meze, nicméně je ještě
asi 10° od zenitu příznivý, redukuje se as na 1/3. Teprve tam, kde klesne
tabulovaný koefficient pod 1/2, nelze více měření dep prováděti s pro¬
spěchem.

d a

cos d tg cp

V sin (ď -f- cp) sin (á — cp)

= d cp pro d cp = 1 -00'

s- v y

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

65°

70°

75°

80°

85°

0° 20'

n

7-01

it

7-72

n

8-45

11

9-22

10-06

11-00

n

12-11

13-62

n

15-18

14-26

n

21-51

"

29-74'

0° 40'

4-93

5*43

5-94

6-48

7-06

7-72

8-47

9-41

10-61

12-24

14-81

19-88

1°

4-01

4-40

4-81

5-26

5-73

6-27

6-87

7-61

8-51

9-82

11-76

15-26

2°

2-80

3-08

3-35

3-96

3-96

4-32

4-72

5-21

5-79

6-56

7-60

8-58

3°

2-25

2-54

2-69

3-18

3-18

3-45

3-75

4-11

4-52

5-03

5-59

5-00

4°

1-91

2-09

2-29

2-69

2-69

2-91

3-16

3-43

3-74

4-07

4-27

234

5°

1-69

1-85

2-01

2-36

2-36

2-54

2-74

2-96

3-18

3-38

3-29

-

6°

1*51

1-66

1-81

2-10

2-10

2-26

2-42

2-59

2-75

2-83

2-49

7°

1-39

1*50

1-64

1-90

1-90

2*04

2-17

2-30

2-40

2-38

1-79

8°

1-27

1-39

1-51

1-73

1-73

1-85

1-96

2-06

2-10

1-99

1-16

9°

1*18

1-28

1-39

1-60

1-60

1*69

1-78

j 1-85

1-85

1-65

0-57

10°

M0

1*20

1-29

1-48

1-48

1-56

1-62 1-66

1-62 1-34

1

Pokud se tkne proměnlivosti azimutu, lze tuto zcela zanedbati při
stabilně stavěných strojích, zejména, je-li mezidoba obou digressí pokud
možno malá (po vzoru methody Horrebow-Tallcott). Proto je výhodnější

XXVIII.

11

užívati vždy hvězd dvou, které nejdéle asi ve čtvrt hodině přijdou jedna
do digresse východní, druhá západní.

Poněvaě měření je pro ohroženou konstanci azimutu tím přesnější,
čím méně pohybů (i jen ve vertikální rovině) v mezidobě učiněno, je za¬
jisté radno voliti obě digresse asi v stejné výši nad horizontem.

Ideální arrangement měření bylo by dle toho následující:

A) Analogon metody Horrebow-Talcott.

Dvojice hvězd přibližné stejné deklinace , ó < <p -f- 2°, mezidoba ně¬
kolik minut.

Namíření dalekohledu a odečtení azimutálního kruhu i niveau osy
horizontální.

Jakmile se objeví první hvězda v zorném poli dalekohledu , několik
pointací vláknem vertikálním.

Namíření dalekohledu na druhou hvězdu v korrespondující digressi na
opačné straně meridiánu.

Pointace vertikálním vláknem.

Odečtení kruhu azimutálního a niveau.

Pozorování den ode dne v různých polohách stroje.

Kde jedná se o stroje větší stabilnosti, lze udati ještě arrangement
dle vzoru metody Stru ve v prvním vertikálu.

B) Dvojice hvězd jako ad A).

Namíření dalekohledu, odečtení kruhu i niveau.

Několik pointací — přeložení stroje — další pointace v druhé opačné
poloze.

V poslednější poloze namíření na druhou digressi.

Pointace — přeložení — další pointace.

Odečtení kruhu a niveau.

Tyto ideální vzory lze ostatně při stabilnějších strojích modifikovat!
takto :

ad A) Serie digressi na jedné straně meridiánu, serie digressi na
straně opačné, obě v téže poloze stroje.

ad B) Serie digressi na jedné straně meridiánu, přeložení stroje
a serie digressi na téže straně meridiánu v opačné poloze.

Serie digressi na druhé straně meridiánu v poslednější poloze, pře¬
ložení a zas serie ' digressi.

Zbývá několik slov o případu dvou digressi na téže straně meri¬
diánu, kterýž případ při odvození rovnice differenciální (7) (8) nebyl
uvažován. Příslušná rovnice analogická (7) zní pak jak laskavý čtenář
bezprostředně nahlédne

d D = tg <p (tg a, — tg #,) d <i

sin ůj

cos ax cos cp

dá i +

sin dr

cos a2 cos cp

d*r (7')

XXVIII.

12

Diskusse zcela analogická soudům hořejším ukazuje, že rovnice
výhodná není. Zejména vliv kollimace je velký i tenkrát, volí-li se, což
radno vzhledem k chybě sklonu horizontální osy, jedna hvězda zenitová,
druhá pólu blízká.

II. Jedná se nyní o měření deklinacní, pak ve fundamentální rovnici
(7) bude d á odvisle proměnnou. Supponujme pro jednoduchost touž
hvězdu i bude platiti

COS a COS (p a ^ ^2 4~ (*1 *2) C°t z 4- (si S2) COSCC Z

41 (ci — C2Í c°sec z — 2 tg cp tg a d (p (9)

1. Vliv sklonu horizontální osy na měření udává vztah:

d d sin cp

d i sin á

O jeho průběhu poučuje názorně tabulka:

dá— Sm d i pro d i — 1 -00"
sm á

d — cp

40°

50°

60°

70°

0° 30'

tt

0-99

tt

0-99

tt

1-00

tt

1-00

1°

0-98

0-99

0-99

0*99

2°

0-96

0-97

0-98

0-99

3°

0-94

0-96

0-97

0-98

40

0-93

0-95

0-96

0*98

5°

0-91

0-94

0-96

0-97

10°

0*84

0-89

0-92

0-95

15°

0-79

0-85

0-90

0-94

20°

0-74

0-82

0-88

25°

0-71

0-79

0-87

30°

0-68

0-78

35°

0-65

0-77

40°

0-65

45°

0-65

2. Vliv šroubu a kollimace dán relací

to jest chyba vchází svojí celou hodnotou algebraicky nezměněnou do
výsledku měření. Také zde bude v azimutech určených jednotlivými
pointacemi karrikovaná disharmonie, kteráž však netýká se měření dekli-
načního, zmenšíc se v dalším počtu redukčním přistupujícím faktorem.

3. Vliv chyby neznámé pólové výšky udává vztah

XXVIII.

13

d d = tg <p cot ó d cp

který illustruje tabulka, je všeobecně zmenšen.

d d = tg (p cot d d (p pro d (p = 1 -00"

- 9 y

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

65°

70°

i°

0-96

0-96

0-96

0-97

0-97

0-96

0-96

0-95

0*95

2°

0-92

0-93

0-93

0-93

0*93

0-93

0-92

0-91

0-89

3°

0-89

0-90

0-90

0-90

0*90

0*89

0-88

0-87

0-84

4°

0-86

0*86

0-87

0-87

0-87

0-86

0-84

0-82

0-79

5°

0-82

0-83

0-84

0-84

0-83

0-82

0-81

0-78

0*74

6°

0-80

0-81

0-81

0-81

0-80

0-79

0-77

0*74

0-69

7°

0-77

0-78

0*78

0-78

0-77

0-76

0-74

0-70

0-63

8°

0-74

0-75

0*76

0-75

0-74

0-73

0-70

0-66

0-58

9°

0-71

0-72

0-73

0-73

0-72

0-70

0-67

0-61

0*53

10°

0-69

0-70

0-70

0-70

0-69

0-67

0-63

0-57

0-48

11°

0-66

0-68

0-68

0-67

0-66

0-64

0-60

0-53

0-44

12°

0-64

0-65

0-66

0-64

0-63

0-61

0*56

0*50

0-39

13°

0-62

0-63

0-63

0-62

0-61

0-58

0-53

0-46

0-34

14°

0-60

0-61

0-61

0-60

0-58

0-55

0-50

0-42

0-29

15°

0-58

0-60

0-59

0-58

0-55

0-52

0-46

0-38

0-24

16°

0-56

0-57

0-57

0-55

0-53

0-49

0-43

0-34

0-19

17°

0*54

0-55

0-54

0*53

0*51

0-46

0-40

0*30

0*14

18°

0-52

0-53

0*52

0-51

0*48

0-44

0-37

0-26

0*10

19°

0-50

0-51

0-50

0-49

0-46

0-41

0-34

0-23

0-05

o

O

<N

0-48

0-49

0-48

0*47

0-43

0-38

0-30

0*19

21°

0-47

0-47

0-46

0-44

0-41

0*36

0-27

0-15

22°

0-45

0-45

0*45

0*42

0-39

0-33

0-24

0-11

23°

0-43

0-44

0-43

0-40

0-36

0-30

0 21

0*08

24°

0-42

0-42

0-41

0-38

0-34

0-28

0-18

0-04

25°

0-40

0-40

0-39

0-36

0-32

0-25

0-15

26°

0-39

0-39

0-37

0-34

0-30

0-23

0-12

1

27°

0-38

0-37

0-36

0-32

0-28

0-20

0-09

28°

0-36

0-36

0-34

0*31

0-25

0-18

0-06

29°

0-35

0-34

0*32

0-29

0-23

0-15

0-03

30°

0-33

0-33

0-30

0-27

0-21

0-12

31°

0-32

0-31

0*29

0*25

0*19

0-10

32°

0-31

0-30

0-27

0-23

0*17

0-07

33°

0-29

0-28

0-26

0-21

0-15

0*05

34°

0-28

0-27

0-24

0-19

0-12

0-03

35°

0-27

0-26

0-22

0-18

0-10

36°

0-26

0-24

0-21

0-16

0-08

37°

0-24

0-23

0-19

0-14

0-06

38°

0*23

0-21

0-18

0-12

0-04

39°

0*22

0-20

0-16

0-11

0*02

40°

0*21

| 0-19

0-15

0-09

XXVIII.

14

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

65°

70°

41°

0-20

0-17

0-13

0-07

42°

0-19

0-16

0-12

0-05

43°

0-16

0-15

1*10

0-03

44°

0-15

0-14

0-09

0*02

45°

0-14

0-12

0-07

46°

0-13

0*11

0-06

47°

0-12

0-10

0-04

48°

0-11

0-09

0*03

49°

0-10

0-07

0-01

50°

0-09

0-06

51°

0-08

0-05

52°

0-07

0-04

53°

0-06

0-02

54°

0-05

0-01

55°

0-04

56°

0*03

57°

0-02

58°

0-02 j

59°

0-01

60°

4. Vliv chyb děleného kruhu a proměnlivosti azimutu dán je tento¬
kráte relací

d ý — jsin (ď + <p) sin (ď — y)

2 sw d

Tabulka udaná v následujícím poučuje o velikosti měn azimutu
digresse pro měnu deklinace o 1". Jako ad 4. I. je citlivost v případě
hvězd zenitových enormní, tak př. pro cp = 50°, ó — 50° 20', dává vý¬
chylka v deklinaci 0-1" celou 1" v azimutu. Jinak lze též říci, každý koeffi-
cient tabulky násoben dvěma udává, kolikrát zmenší se chyby děleného
kruhu.

Na rozdíl od 4. ad I. jest zdůrazniti, že citlivost neomezuje se na
úzký pruh hvězd blízkých zenitu, nýbrž týká se (v míře arci zmenšené
směrem k pólu) všech hvězd, pro něž d > cp.

Koefficient příslušný neklesá nikde pod 1, t. j. měření je všude
možné a chyba dělení ztlumí se v případě nej nepříznivějším na 1/s, jedná-li
se o touž hvězdu.

Lze tedy říci, že měření azimutů v digressi daleko lépe se hodí k určení
deklinačním nežli šířkovým.

Odtud dedukujeme arrangement takových měření totéž, co ad I.

Vyberou se dvě hvězdy, jedna známé, druhá neznámé deklinace,
které brzy po sobě vstupují do digressi a užije se ideálního způsobu A)
bud po vzoru methody Horrebow-Talcott B ) neb dle vzoru Struveho
měření v prvním vertikálu.

XXVIII.

15

Za hvězdu známé deklinace volí se tu s prospěchem hvězda pólu
blízká, u níž malá neznámá chyba v deklinaci v azimutu se příliš zvětšená
nejeví.

Pozorování téže hvězdy v obou digressích dává přímo deklinaci jako
jedinou neznámou. Proti meření tohoto druhu mluví délka mezidoby
a jí ohrožená konstance azimutu, takže lze z toho těžiti jenom pro hvězdy
zenitu velmi blízké, které v krátké době obě digresse passírují. Za to je
postup takový naskrze výhodný při použití strojů větších a stabilnějších.

_ sin á

d a — , , - . . — i d ó\

^ sin (ó + (p) sin (d — <p)

tabulka obsahuje hodnoty výrazu pro dó= 1-00"

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

65°

70°

0° 20'

7-10

7-81

8-55

1

9-33

10-17

11-16

12-27

13-72

15-46 .

0° 40'

5-06

5-57

6-08

6-63

7-23

7-91

8-70

9-70

11-01

1°

4-17

4-58

5-00

5-45

5-94

6-50

7-15

7-96

9-02

2°

3-02

3*30

3-60

3-92

4-27

4-66

5-13

5-72

6-49

3°

2*52

2-75

2-99

3-25

3-54

3-86

4-25

4-74

5-39

4°

2-23

2-43

2-64

2-86

3-11

3-40

3-74

4-17

4-75

5°

2-04

2-22

2-40

2-60

2-82

3-08

3-39

3-79

4-32

6°

1-90

2-06

2-23

2-41

2-62

2-85

3-14

3-51

4-01

7°

1-80

1-94

2-10

2-27

2-46

2-68

2-95

3-30

3-78

8°

1-71

1-85

2-00

2-15

2-33

2-54

2-80

3-13

3-60

9°

1-65

1*77

1-91

2-06

2-23

2-43

2-68

3-00

3-46

O

o

1-59

1-71

1-84

1-98

2-14

2-34

2-5*8

2-89

3-34

11°

1*54

1-66

1-78

1-92

2-07

2-26

2-49

2-80

3-25

12°

1-50

1-61

1-73

1-86

2-01

2-19

2-42

2-72

3-17

13°

1-47

i'57

1-69

1-81

1-96

2-13

2-36

2-66

3-11

14°

1-44

1-54

1-65

1-77

1-91

2-08

2-30

2-60

3-06

15°

1-41

1*51

1*61

1-73

1-87

2-04

2-26

2-62

3-01

16°

1-39

1-48

1-58

1-70

1-84

2-00

2-22

2-52

2-98

17°

1-37

1-46

1-56

1-67

1-80

1-97

2-18

2-48

2-95

18°

1-35

1-44

1*53

1-64

1-78

1-94

2-15

2-45

2-94

19°

1-34

1-42

1*51

1-62

1-75

1*91

2-12

2-43

2-93

20°

1-32

1-40

1-49

1-60

1-73

1-89

2-10

2-41

2-92

21°

1-31

1-39

1-47

1-58

1-71

1-87

2-08

2-39

22°

1-29

1-37

1-46

1*56

1-69

1-85

2-06

2-38

23°

1-28

1-36

1-44

1-55

1-67

1-83

2-05

2-37

1

24°

1-27

1-35

1-43

1-53

1-65

1-81

2-03

2-37

25°

1-26

1-34

1-42

1-52

1-64

1-80

2-02

2-37

26°

1-25

1-33

1-41

1-51

1-63

1-79

2-02

27°

1-25

1-32

1-40

1-50

1-62

1-78

2-01

28°

1-24

1-31

1-39

1-49

1-61

1-77

2-00

29°

1*23

1-30

1-38

1-48

1-60

1-76

2-00

30°

1-23

1-29

1*37

1-47

1-59

1-76

2-00

XXVIII.

16

8 - cp V

o

O

CO

35°

40°

45°

50°

55°

60°

65°

o

O

Ir-

31°

1-23

1-28

1-36

1-46

1-58

1-75

32°

1-21

1-28

1-36

1-45

1-58

1*75

33°

1-21

1-27

1-35

1-45

1-57

1*75

1

34°

1-20

1*27

1-35

1-14

1-57

1*74

35°

1-20

1-26

1-34

1*44

1*57

1-74

36°

1*19

1-26

1-33

1-43

1-56

37°

1*19

1-26

1*33

1-43

1*56

38°

1*19

1-25

1-33

1-43

1*56

39°

1-18

1*25

1-32

1-43

1-56

40°

1*18

1-24

1-32

1-42

1-56

41°

1*18

1-24

1-32

1-42

42°

1-18

1-24

1-31

1-42

43°

1*17

1*23

1-31

1-41

44°

1*17

1-23

1-31

1-41

45°

1-17

1*23

1-31

1-41

46°

1*17

1-23

1-31

47°

1-17

1-23

1-31

48°

1-16

1-23

1-31

49°

M6

1-22

1-31

•

60°

1*16

1-22

1*31

51°

1-16

1-22

52°

1-16

1-22

53°

1*16

1*22

54°

1*16

1-22

1

55°

1*16

1-22

1

56°

1*16

57°

1*16

58°

1*16

59°

1*15

60°

1*15

Zbývala by ještě poznámka o prospěšnosti takových měření dekli-
načních. Pro hvězdy pólu blízké, které již daleko od zenitu meridiánem
procházejí, byla by taková fundamentální měření vždy užitečná, již proto,
že eliminují zúplna vliv refrakce a ohybu dalekohledu a kromě toho silně
tlumí chyby dělení kruhu. V případě systematické řady pozorovací, která
by trvala alespoň celý rok, lze měření těch užiti k získání důležitých kon¬
stant astronomických.

Pan Kůstner činí v pojednání ,,Zur Bestimmung der Aberrations-
konstante aus Meridianzenitdistanzen unabhángig von den Schwankungen
der Polhohe", Astron. Nachr. 3015, Bd. 126., p. 240 následující poznámku:

,,Methoda v prvním vertikálu dává velmi ostrá určení (míněných
konstant) pro malé positivní hodnoty (p — d a lze její platnost také s pro¬
spěchem rozšířiti na malá negativní y — č, vystoupíme-li maličko s ro¬
vinou instrumentu z prvního vertikálu. “

XXVIII.

7

Pan Kústner myslí patrně na methodu Dollenovu,1) která jest již
přechodem z prvního vertikálu k digressi.

K tomu podotýkám jenom, že naše projektovaná měření v případě
čistých digressi a specielně digressi pólu blízkých daleko lépe eliminují
vliv neznámé pólové výšky. Srovnej o tom tabulku ad II. 3.

Pan J. C. Kapteyn navrhl svého času k určení ročních parallax
pozorování rektascensijních rozdílů. Pokud získané resultáty ukazuj í>
zaslouží ona měření úplné důvěry. Dle všeho bylo by možno stejně jistých
výsledků dojiti z rozdílů deklinačních hvězd pólu ekliptiky blízkých —
kdyby bylo lze při poslednějších měřeních zúplna eliminovati hlavní
zdroje chyb — anomálie refrakční a ohyb dalekohledu následkem tíže.

Skutečně zdá se, že míněná fundamentální měření mezeru tuto
zúplna vyplňují, an případ digresse dle našeho rozboru § 1., p. 5. skýtá
právě komplementární obraz poměrů meridianních.

Přejdeme nyní k uspořádání počtu redukčního.

Předpokládejme, že digresse téže hvězdy během celé pozorovací
řady měřeny po dnech více či méně od sebe vzdálených.

Především vybereme (resp. ostřeji vypočteme) zdánlivá místa hvězdy
pro příslušné epochy z Berl. Jahrb. neb z hvězdných katalogů, a stačí
vžiti na 0 1scc.

Po té určíme pro míněnou hvězdu jisté konstanty (resp. jich rozvoje),
které budou platit pro všechny digresse

A =

cos Ó tg (p

= tg a tg q> , sin a =

cos d
cos (p

V sin (d '+ <p) sin (d — <p)m

ad (2) ad (7)

si n o co 9 n

B — (6-73672 — 10) _ ^ koef. též dle Albrechtových

B' s= (2-59839 — 10)
d log B = 0-43429 . ^2 cot 2

cos (jp sm t

tabulek 1. c. p.
sin ď cos d

cot t

cos (pjm t

cot2t

^ d d, při čemž

d tsec =•

d ó

/

cot t

d a = —

sin d cos

koef. log je 9-63778

sin d d d

cos cp cos a y sm (ú + (p) sin (d — (p)

15 sin d cos d
sin d d d

-ad (5)

(10)

(11)

(12)

*) Srv. též B. Wanach: Dóllens Methode der Breitenbestimmung in derNáhe
des ersten Vertikals. A. N. 3244. Bd. 136.

F. Contarino, Sulla determinazione della latitudine col metodo di Dóllen
A. N. 3263. Bd. 136.

Také Witkowsky, Spisy topografického oddělení ruského generálního štábu,
sv. XI. 1885.

o

Rozpravy: Ro6. XXIII. Tr. II. č. 28.

XXVIII.

18

za <jp brána tu hodnota přibližná, z které vycházíme, kalkul 4 — ámístný.

Dále určíme ostře (6 — 7místně) pomocí supponovaného téhož <p
a formule

cos ó

sm a = - ad 2.

cos cp

azimut první epochy. Když tento určen, dány ostatní pomocí formule
pro d a . Obdobně určíme pro první epochu exaktně t dle

cos t = tg cp cot á resp.

t t = \jsin (ď — <p)
^2 ) sin (ó + cp)

ad 2.

Tytéž veličiny pro ostatní data dává d i (3 — 4místně).

Z daných a a vypočtených t určíme dále momenty digresse pomocí

a ip (horní znamení na východě) a převedeme je na stav hodin, neboť

celý další počet zjednoduší se supposicí znalosti momentu digresse. Není-li
Čas znám (na hvězdárnách přímo od stroje průchodního), stačí ho inter-
polovati z maxima šroubové polohy.

Uvažme v dalším redukci jednotlivé digresse. Počet všude 4 — 5
místný.

1. Každý měřený rozdíl šroubový nutno násobiti cosec z, za tím
účelem určíme z pro digressi prvního dne dle

cos z —

ad 2.

sm d

pětimístně. Pro ostatní dni dostaneme zenitovou distanci digresse pomocí

d z

sin (p
sin z

cos d
sin 2 ó

d d

■ cos z sm w cos d _ .

resp . d cosec z = - - - — d d

sm 3 z sinz d

(13)

(14)

Pointace dějí se však pomocí časových údajů mimo digressi, i bude
třeba rozvojů

cosec z = cosec z pí 15 sin l" cosec z cot z cos d z/ tséc (15)

V koefficientech u Jt stačí vžiti z pro všechny dny totéž, patřící
prvnímu z nich. Užije-li se místo měření intervallu časového rozdílů výško¬
vých stačí patrně užiti těchto pro multiplikaci šroubu.

Také udání sklonu osy horizontální nutno násobiti cot z i platí
pro měření téže digresse

cot z = cot z + 15 sin 1" -C°S-f z/ tsec (16)

sm 1 z

pro digresse ostatních dní

XXVIII.

19

d cot z — —

1

sin 3 z

sin ep cos d
sin 2 d

d d

(17)

2. Každou jednotlivou pointaci dlužno převésti pomocí měřeného
intervallu časového (neb výškového) na moment digresse, což může se
dítí pro všechny jednotlivé dny s týmiž konstantami dle vzorců ad (5).

Znamení ve vzorcích (15) (16) určí se hned z okolnosti, že na východě,
blíží-li se hvězda k zenitu, roste cot i cosec, na západě je tomu naopak.

Podobně určili bychom jakého znamení užiti pro redukci na azimut
digresse (srv. (5) p. 5., 6.).

Z určených azimutálných hodnot pointaci ad 1. a jich redukce na
digressi ad 2. utvoříme po jich algebraickém sloučení střed, který dává
azimutálnou hodnotu šroubu v digressi.

Zbývá vyšetřiti vliv denní aberrace na azimuty a epochu digresse.

Vyjděme ze známých výrazů pro denní aberraci v rektascensi a dekli¬
naci (srv. př. Berl. Jahr. 1908, p. 376).

z/ a — -f- 0-02135 cos (p cos — a) sec d pro <9 = a ^ t

z/ d = -f- 0-320" cos qp sin (® — a) sin d S — a = 4I t ltph

i dostaneme pomocí (11) a (12)

z/ r = + 0"0426 cos t - C°S ^

COS ()

zJ a — + 0-320" sin d.

Chyba činí in maximo 0-3" v azimutu, ježto však jde vždy o rozdíly,
vypadne docela dosahujíc sotva několik setin obloukové sekundy.

Epochu digresse stačí znáti — tehdy, když za účelem zjednodušení
počtu ji supponujeme — as na 0-lsec, bude tedy míti výraz zí t význam
jen pro hvězdy pólu velmi blízké.

Určení konstant hvězdných i redukcí děje se 4 — 5místně, jen ostrá
určení hypothetických azimutů resp. momentů digresse dějí se (jak svrchu
uvedeno) z části sedmi neb šestimístně.

Počet sám není asi delší než redukce pozorování v prvním vertikálu,
zvláště omezíme-li se jen na pointace v blízkosti maxima a uspořádáme-li
je nad to symmetricky k digressi, v kterémž případě členy druhého řádu
se zruší, Při předběžných redukcích čítáme ostatně mnohem rychleji,
tak že př. ad 1. vjddedáme z udání šroubových maximální resp. minimální
z nich a násobíme je cosec z, zatím ostatní pointace vynechávajíce.

Redukční počet v případě měření deklinačních je zcela analogický.

Kratšeji lze dojiti cíle přímým výpočtem korrekcí dep (ad I, II)
jedná-li se o digresse téže hvězdy, ovšem bez přímého určení azimutů.
V případě digressi dvou různých hvězd o malém deklinačním rozdílu lze
rozvojem dle této veličiny zJ d dospěti rovněž k velmi stručnému výsledku.

2*

XXVIII.

20

Od poslednějšího uspořádání počtu upuštěno jednak vzhledem ku
výběru hvězd, jednak že za účelem určení různých konstant stroje bylo
výhodnějším zjistiti současně též azimuty samé, pokud možno ostře.

Popis užitého stroje a manipulace pozorovací. § 2.

Veliký Repsoldňv altazimut hvězdárny Strassburgské umístěn v se¬
verní věži budovy meridianní na konickém pilíři as 5 metrů hluboko do
země zapuštěném a od věže samotné zcela isolovaném. Poněkud vysoká
poloha souvisí s původním jeho účelem, pozorováním azimutů a výšek
měsíčních.

Je to theodolit obrovských rozměrů. Bližší popis nalezne čtenář
v pojednání Schurově,1) z něhož vyjmeme jen poznámky, které nás v dalším
interessují.

Dalekohled má ohniskovou dálku 1-30 m objektiv 013 m (5 palců),
okulární mikrometr horizontální a vertikální. V zorném poli napjaty
kromě toho dva systémy vláken horizontálných a vertikálných. Otočky
mikrometrů děleny ve 10° dílců, jichž desetiny lze ještě odhádati. Zorné
pole opatřeno osvětlením, které lze změniti v komplementérní osvětlení
vláken.

Dalekohled opatřen jemnými šrouby pro pohyb ve výšce i azimutu.

K pozorováním zenitovým nutno užívati lomeného zenitového okuláru
pro úhly zenitu vzdálenější stačí okulár přímohledný.

Dalekohled připevněn na jednom konci horizontální osy, na druhém
kruh vertikálný.

Horizontální osa je v podstatě konstrukce Hansen-Repsoldovy po
vzoru aequatoreálu Gothského. Na ose horizontální spočívá libella, kterou
lze samočinným zařízením (důmyslným systémem pákovým) přeložit i,
odečítá se dalekohledem. Přeložení stroje v čepech provádí se rovněž
automaticky.

Azimutální kruh, jehož jediné při našich pozorováních používáno,
má poloměr 32 cm. K jeho odečítání slouží 4 mikroskopy, každý z nich
má po dvou párech pohyblivých vláken (v distanci 1-5 otočky za účelem
eliminace chyb periodických). Kruh azimutální dělen ode 2' ke 2 minutám
ve smyslu „rafií", otočka šroubu mikroskopu dělena v 60 dílců (jeden dílec
= 1"), jichž desetiny lze odhadnouti. Takto vede jediné odečtení kruhu
jako střed z 8 údajů ku znalosti 0"1.

Mechanická konstrukce stroje je v mnohém svéráznou fantasií
Repsoldovou. Tak vyznačuje se kruh azimutálný zvláštním provedením
osy, která v podstatě tvořena dvěma válci, z nichž vnitřní tře se na vnějším.

0 Schur, Untersuchungen und Beobachtungeh am Altazimut der StraB-
burger Sternwarte. Astron. Nachr. 120 Nr. 2857 — 58.

XXVIII.

21

Dle toho je excentrická sice trochu proměnlivá, za to však má konstrukce
při massivnosti stroje nepopiratelné výhody.

Ku fixování azimutů slouží v zahradě v distanci asi 140 m umístěné
míry (umělé hvězdy) elektrické, které lze s věže uvésti v činnost (samo¬
činné otevření oken domečků, osvětlení i zavření). V každé poloze stroje
přicházejí dvě z nich k platnosti (severní a jižní).

Ku potření následků vedra během doby denní, tohoto největšího
nepřítele astronomických měření, užíváno samočinných vodních výlevů
ochlazovacích na kopuli a horní část věže na tři hodiny před početím
vlastních pozorování.

Manipulace pozorovací byla následující:

Voleny z předem vypočtených malých ephemerid dvě hvězdy, které
brzy po sobě vstupují do digresse, jedna západně, druhá východně. Když
dalekohled dle dat ephemeridy namířen a pevně zašroubován hrubými
šrouby, odečteno 8 vláknových dvojic v mikroskopech, po té zatím již
ustálené niveau osy horizontální a to v obou polohách (niveau odečítáno
vždy pět minut po ustálení). Potom spuštěn Hippův chronograf spojený
s Rieflerovými hodinami, jež jsou umístěny v severní straně mého tehdejšího
pokoje ve věži.

K pozorováním není sice třeba absolutní znalosti časové, avšak za
účelem pohodlného měření časových intervallů byl čas registrován.

Když objevila se očekávaná hvězda v zorném poli dalekohledu, byla
sledována až proťala střední vlákno horizontální, v kterémž momentu
fixována pohyblivým vláknem vertikálním a součastně dán signál časový,
po té odečten mikrometr a současně uvedeny v činnost jemné šrouby
pro vertikální pohyb, aby mohla hvězda znova passírovati střední vlákno
horizontální a přikročeno k nové point aci.

Point ace dály se zpravidla v bezprostřední blízkosti středního vlákna
vertikálníha a provedeno jich naznačeným způsobem často přes dvacet.

Ukázalo se však, že je lépe při výšce věže a tím ohrožované kon¬
stanci azimutu a sklonu nejvýše 10 pointací učiniti a za to zkrátiti časový
intervall mezi oběma digressemi.

Pravidelně mohl již během pointací býti konstatován moment maxi¬
mální digresse v azimutu a dbáno toho, aby pointace byly rozděleny asi
symmetricky kol digresse, což počet redukční velmi usnadňuje.

Když hvězda propuštěna, signalisován čas a zastaven chronograf.

Pak znova odečteno 8 údajů kruhu azimutálního, za účelem eventuel¬
ního konstatování změny azimutu. Na konec odečteno znova niveau
horizontální osy v obou polohách.

Potom namířen dalekohled na druhou korrespondující digressi a ma¬
nipulováno zcela identicky.

Během celé pozorovací doby nebylo arciť dle tohoto schématu dvojic
pozorováno. Jednak mnohdy některá z digressi nebyla měřena př. pro

XXVIII.

22

změnu počasí, selhání chronografu a p., jednak často arranžováno měření
serie digressí na jedné a druhé serie digressí na opačné straně meridiánu
za supposice konstance azimutu aspoň na dobu dvou hodin (srv. § 1
schéma ad A), B)).

Poslednější způsob byl oprávněn zvláště v době podzimní, kdy
počasí bylo velmi stálé a temperatura v noci téměř konstantní.

Často podniknuta různá změna obou způsobů, abych se mohl při-
držeti za každou cenu fundamentálních posic Berlin. Jahrbuchu.

Také jsem činil pokusy s měřením bez vertikálního jemného pohybu
dalekohledu za kterýmž účelem nutno ovšem určiti sklon vertikálního
pohyblivého vlákna k horizontu. Již klid dalekohledu garantuje tu skvělý
výsledek. Takto provedena pozorování 3. a 6. června, při čemž, aby
sklon nemusil býti určován, omezil jsem se na 2 až 3 pointace maxima
v blízkosti bisekce středních vláken, zvětšení užité bylo tu menší, aby se
rychleji dal konstat ováti moment digresse. Mimo to experimentoval jsem
ve dnech 1. — 10. srpna s přeložením během digresse, kteréž při jiných
měřeních doporučují hlavně astronomové Harzer a Stru ve.

Když hvězda očekávaná objevila se v zorném poli, učiněno několik
pointací, pak stroj opatrně přeložen v Čepech, dalekohled proložen na
původní výšku, hvězda znova vyhledána pomocí jemných vertikálních
šroubů a dále pointacemi sledována. V případě našem manipulace tato
neosvědčila se lépe nežli prvá, neboť se někdy daly konstatovati malé
posuvy v azimutu nebo sklonu.

Obé hlásí se též nespolehlivým určením kollimace, která ostatně
najde se vždy s menší jistotou nežli šířka.

Proti způsobu mluví dále delší počet redukční, ježto začasté moment
digresse překládáním se ztratí, takže se pointují vlastně jen dva konce
digressního oblouku.

Pozorování hvězdy polární a azimutu mír. § 3.

Určení instrumentálných konstant.

Při pozorování užíváno dvou různých zvětšení, jichž hodnoty určeny
dynametrem as na 100, 150. V okolí zenitu užito okuláru lomeného.

Veliká péče věnována měření a kontrollám sklonu osy horizontální,
tento byl při své nestálosti jistě jedním z hlavních, ne-li jediným zdrojem
chyb, přecházeje celou svou hodnotou do výsledku.

Od počátku až do 22. července užíváno libelly starší poněkud méně
citlivé.

Prof. Becker objednal pak novou libellu, která užívána až do konce
pozorovací řady.

XXVIII.

23

Citlivost libell zkoumána pokud možno při různých temperaturách
na zkoumacím stolku menšího meridianního sálu a nalezeny tu mnohými
pokusy hodnoty jednoho dílce, pro starší niveau lp = 1-39", pro novější
1p = 1-24"

Hodnota jedné otočky šroubu azimutálního mikrometru měřena resp.
kontrollována průchody meridianními hvězd pólu blízkých.

Za tím účelem upevněn stroj as na 10 večerů 19. srpna — 13. září
v rovině meridiánu a pozorovány průchody vertikálním systémem vláken.

Když nalezeny distance vláken, navázány na ně distance šroubové
pohyby z obou stran. Míněná postavení vlákna pohyblivého na obě strany
vlákna pevného prováděna celkem pro 5 vláken určitě v systému vy¬
volených.

Takto konstatována pro jednu otočku šroubovou dostatečná pravdě¬
podobnost starší hodnoty Schurovy (1. c. Astr. Nachr. 2857 — 18) a přijato
1R= 58-000".

Ostatně měření tak arranžována, že k platnosti přišel obyčejně
jenom menší díl jedné šroubové otočky v bezprostřední blízkosti vlákna
středního, i stačilo pak znáti přijatou hodnotu jen as na 0T" (srv. diskussi
výsledků § 4.).

K určení vláknových distancí užito polárných hvězd:

a Ursae minoris
51 H Cephei
I H Draconis
30 H Camelopardalis
ó Ursae
A Ursae
76 Draconis.

Za účelem určení kollimace pozorována Často jednak hvězda polární
v různých azimutech s přeložením během pozorování, jednak určena
tato z digressních azimutů s přeložením během digresse ve dnech 1. až
10. srpna.

I bylo nalezeno + 2-73" vztaženo na konec osy, kde umístěn daleko¬
hled, jakožto střed, který po celou dobu stačilo bráti za konstantní.

Azimuty mír navázány na azimuty hvězdy polární.

Runn mikroskopů určován Často a navázán asi na 200 dílců azi¬
mutálního kruhu, různě po obvodu rozložených.

Hodnota jeho zanedbána tím spíše, že na měření šířková přechází
dle našeho arrangementu pozorování jen asi V4.

Za korrekci sklonu následkem nerovnosti čepů, vztaženého na konec
osy, kde umístěn dalekohled, přijato v souhlase se starší hodnotou (Cour-
voisier) -f 011".

XXVIII

14

Z journalu pozorovacího vynímám následující poznámky:

Měsíc květen byl počasí velmi nestálého, takže k vlastnímu programu
nemohlo býti přikročeno. Též nebyly všechny kroky přípravné skončeny.
Některé části stroje byly rozebrány za účelem čistění mechanikem.

Tak zejména čistil jsem zároveň s mechanikem hvězdárny v prvních
dnech měsíce května šroub mikrometrický a vlákna zorného pole pečlivě
zbavována prachu. V několika dnech prováděno, pokud možno při různých
temperaturách, měření ,, jednoho dílce'' libelly horizontální osy stroje
na zkoušecím stolku menšího sálu průchodního. V jiných několika dnech
určován ,,runn" mikroskopů, dále prováděno nivellování stroje.

Konečně použito asi dvou večerů koncem května k přesnému fokuso¬
vání na hvězdě a Ursae Minoris. Zvětšení užitá určována dynametrem.

V červnu přikročeno ku vhodné volbě a nacvičení manipulace „mě¬
ření v digressi" a k vlastním pozorováním programovým:

2. června. Pokusy měření azimutů v digressi s dalekohledem v klidu.

3.

června FR.

Digressní azimuty, dalekohled v klidu.

6.

„ FL.

D. a.

8.

„ FR.

D. a., pozorování zmařeno mraky.

10.

„ FR.

D. a., pozorování zmařeno mraky.

11.

,, F R. FL. Digressní azimuty, serie, dalekohled v pohybu.

13.

FL.

Pozorování zmařeno mraky.

14.

„ FL.

Jediná digresse, zmařena mraky.

15.

„ FR.

Serie digressních azimutů.

16.

„ FL.

D. a.

17.

„ FR.

Jedna digresse, další zmařeno mraky.

25.

„ FR.

Serie digressních azimutů.

26.

,, FL.

D. a.

27.

FR.

D. a.

28.

FL.

D. a.

29.

FR.

D. a.

30.

FL.

Dvě digresse na téže východní straně meridiánu, ostatní
zmařeny počasím.

1.

července FR.

D. a.

2.

FR.

D. a.

4.

FL.

D. a.

5.

FR.

Azimuty digressní, dále azimuty hvězdy polární a mír.

6.

FR.

Azimuty polárky a mír.

10.

FR.

Jedna digresse, další pozorování počasím zmařeno.

11.

FR.

Serie digressních azimutů.

13.

FR.

D. a.

14.

FL.

D. a.

XXVIII.

25

15. července FR.

Jediná digresse, další pozorování zmařena mraky.

Korrig ování polohy mikroskopů.

18.

Azimuty polárky a mír.

22.

FR.

Serie digressních azimutů. Polaris a míry.

23.

FL.

Azimuty polárky a mír za dne, v noci digressní azi¬
muty.

24.

FR.

Azimuty hvězdy polární a mír za dne, v noci digressní
azimuty.

25.

FL.

Serie digressních azimutů, ku konci pozorování digresse
hvězdy polární s přeložením během digresse za účelem
určení kollimace.

26.

Jediná digresse a i ta zmařena počasím.

27.

FR.

Azimuty digressní. Digresse hvězdy polární a azimuty
mír.

28.

Digresse polárky a azimuty mír.

29.

Měření ,, jednoho dílce'' libelly Heydeho nově objed¬
nané a užívané od 22. Července, v menším sále prů¬
chodním.

30.

FL.

Serie digressních azimutů.

1.

2.

3.

4.
10.
12.

srpna.

16.

17.

18.

) )

„ FR.

19.

20.

21.

24.

26.

31.

> >

Serie digressních azimutů s přeložením během digresse
Digressní azimuty s přeložením.

D. a. s přeložením.

D. a. s přeložením.

Určování nerovnosti čepů. V noci d. a. s přeložením.
Za dne. Různá zkoumání azimutálního kruhu a jeho
excentricity.

Různé experimenty s měřením digressních azimutů
hvězd velice blízkých zenitu.

Vyšetřování dělení kruhu azimutálního (za dne).

Ve dne runn mikroskopů.

V noci digressní azimuty a azimuty mír.

Stroj po mnohých pokusech upevněn v meridiánu
a pozorovány meridianní průchody, jednak hvězd ča¬
sových, jednak polárných za účelem určení resp.
kontrolly různých konstant stroje, zejména otočky
mikrometru.

Průchody meridiánní.

XXVIII.

26

zari.

Průchody meridiánní.

Určování resp. kontrolly jedné otočky šroubové za

10. „

\ dne (z distancí vláken ]

13. „

Průchody meridiannové.

14. „

FR.

Serie digressních azimutů.

15. „

FL.

D. a.

16.

FL.

D. a.

FR. značí resp. ,, dalekohled v právo" v dalším poloha I.

FL. značí resp. ,, dalekohled v levo" v dalším poloha II.

Do programmu měření šířkových pojaty byly následující deklinace
náležející vesměs fundamentálnímu katalogu B. J.

Jméno

velikost

a 1908,0

8 1908,0

Pramen

Y Cassiopeiae

2-0

0h 51™ 8S847

+ 60° 13' 7*25"

B. J 1908 [32]

55 Cassiopeiae

6-3

2 7 14*966

+ 66° 5' 37*13

[76]

5 H. Camelop.

4-5

3 40 37*858

+ 71° 2' 58*78"

[138]

I Hev. Draconis

4-3

9 24 2*318

L'~>

*»*

o

r— H
00

+

[Ve] p. 175

y Ursae maj.

2-3

11 48 59*772

+ 54° 12' 22*54"

[447]

76 Ursae maj.

6-2

12 37 32*986

+ 63° 13' 5*05"

[478]

£ Ursae maj. pr.

2-2

13 20 13*398

+ 55° 24' 20*28"

[497]

7) Ursae maj.

1-8

13 43 55*020

+ 49° 46' 19*89"

[509]

Grombridge 2164

5-8

14 49 6*200

+ 59° 40' 3*30"

[549]

I. H. Ursae min.

5-3

15 13 34*723

+ 67° 41' 45*38"

[565]

l Draconis

3-2

15 22 52*898

+ 59° 17' 17*23"

[571]

v) Draconis

2-7

16 22 44*558

+ 61° 43' 20*33"

[615]

Grombridge 2377

4*9

16 43 33*044

+ 56° 56' 45*54"

[627]

£ Draconis

3-0

17 8 31*098

+ 65° 49' 40*40"

[639]

(3 Draconis

2-7

17 28 21*209

+ 52° 22' 9*09"

[653]

^ Draconis

3-6

17 51 56*271

+ 56° 53' 12*67"

[671]

Y Draconis

2-3

17 54 28*174

+ 51° 29' 57*78"

[676]

& Cygni

4-5

19 33 58*463

+ 50° 0' 27*53"

[738]

U Cephei

4-1

20 28 2*379

+ 62° 41' 4*81"

[767]

7) Cephei

3-5

20 43 25*220

+ 61° 28' 52*32"

[783]

76 Draconis

6-0

20 49 17*847

+ 82° 11' 28*42"

[V£] p. 175

a Cephei

2-5

21 16 23*060

+ 62° 11' 43*96"

[803j

3 Lacertae

4-5

22 19 56*404

+ 51° 46' 4*22"

[844]

l Cephei

3-5

22 46 24*133

+ 65° 42' 58*95" 1

[863]

XXVIII.

Seznam měřených azimutů.

27

s

ai

>o

*>

Ih

N

3

sil

<D

4->

N

C/3

O

Oř

3

čí

O

Oh

3

VD

S

Ktí

C

'<D

tí

T3

<u

>

3

N

(2

>

r3

O

3

Ph 'T'

<L>

rH 10

••—1 4J

3 rH

3 22

3

CD -O

Čh CD

^ 3

r* 3

C/)

£

Po¬

loha

1— i t— t

h-H

HH

HH

h— 4

y— i

II

1— 1

1— 1

II

II

I

II

-

HH H-l

i— i

HH

<

H

h-l

HH

A

<5 > 3

O O cl

Ca Ca

ca

Ca

ca

ca

oo

ca

n ca o

00

ca «o

»o

©

©

r-

& jg ’3

P-H

r-^ r-H

r-H

ca

ca

>— 1

ca

ca

53

V

T) A

v

o 53 o ^

Cl oo

CO

©

co

-t

ť~

-H CO O

r-

r-H

00 ©

co

r-H

©

©

-C ^ O

ČI Cl

00

00

Cl

Cl

o

o

vo io co

Ol

OO

t> co

N

r-H

i— i

CO -i

só

o

00

có

©

-2- ó ť-

db

©

■H+ P

©

rH

có

có

2*” § Š

a i! ^ M

oo

Cl

P

©

ca

co

r-H ^

r“l

CO

to co

00

O

T-

Tť

.!?■§*

1 I

1

1

1

-f

1

l

1 1 +

1

1

1 +

1-

7

1

-f-

iO o

o

©

co

Cl

©

O O Cl

©

© TJC

©

00

o 3 'o

t> Ir-

Ca

ca

o

CO

r-H

©

"71

lO CO

ca

©

co

©

u 3 ©í

H ó

ó

©

č>

có

H

ca

có ca có

lÓ

©

© ©

có

có

r-H

có

£ "§ ^

>

+ 1

1

1

+

+ +

+

1

1 + +

!

-|_

+ +

+

+

+

-f-

,

v

O Ca

r— 1

Cl

00

co

©

rť

rť ca

r-H

co

io ca

©

t-

ca

I>

+-> r->

3 ,3

CO 00

Cl

©

©

©

co

r-H t— CO

'71

© ©

i'-

ca

©

tí 3

có Ó

©

có

r-H

Cl

rH

có

do 'ó* có

có

uó db

có

©

.s £

r-H rh

co

©

©

TT*

ca

ca vc

Tři

co

lO Tři

co

©

©

N r^

v

v

V

v

v

v

v v v

v

v

v v

v

V

v

v

3

CO (N

co

<N

co

ca

co

ca co ca

00

CO

ca ca

CO

ca

co

ca

O

CO Ca

©

CO

ca

r-H

oo

co ca hh

ca

io

CO r-H

vo

co

ca

r-H

'S cE!

o o

o

e

o

O

o

o

o o o

o

o

O O

o

o

o

O

o 3

Ca t-

o

ca

»

O

Cl

t-

ca i ' o

©

ca ©

f

ca

©

O T*

r-H

O

©

co

i— »

© ^ iO

ca

r-H

© ÍO

r-H

©

©

O

r-i (M

Ca

ca

ca

r-H ca ca

—i ca

ca

ca

3

©

N

XU

o

O

O

O o

&

O

O

O

s y

y

y

o

^ V) .00

C/3

wH _C/3

co

y

>

’5

’3

’S

*3 *tí

3

*3

’3

3

►H

o o

01

<D

o

o

01

O

<D o O

O

<D

01 o

01

01

o

O

w

3 o

3

oj

o

o

Ctí

ctí

3 O O

O

3

3 O

3

3

O

o

w 3

C/l

■Ji

ctí

ctí

c n

X

co 3 ctí

3

co

c/3 3

C/3

co

3

3

Jh u

Ih

Ih

Kh

u

Ih

Jh

Ih K ^

Ih

Ih

Ih Ih

Ih

Ih

u

Ih

P Q

&

P

Q

Q

P

P

Iflfl

Q

P

P Q

P

P

Q Q

S^CCL

>-

S~ COl

>-

yj'

H

S^CCL X-

s~ >-

S~CQ_

co

r-H <N

eo

©

o

r—

00

© O r-H

ca

CO

^ lO

©

t-

00

c:

>o

f-H r-H

s

3

b— <

4->

ctí

>

>

>

í>

>•

Q

c ó

O

,4

»ó

©

XXVIII

1.8

o ^
Pm o

ooooocoaooNiís
HH,__H_rr— <OqOq

N W N tH Oí
Ol (M Ol Ol — i

Ol GO © © © X 50 CO O Ol

H N H (N r-< CM <M Ol

-ř) X3

-§ -| 'p *g

'3 o o ^
3 ů 3 O
_ o a
a J5 rr A!

•©GOrjtir©cor-Ht'

ffllQOHHlOTřf

N (N X N P5 r i ©> ©
© CO CO l> i-h GO

00 Ir 05 Ol ©
© ÍO T(( fO M

O CO ©
05 00 Ir

ÍO CO
© © rr

o co

H OO

CO O CO —t

© co oq co

© —t © ©
Ir co — I

© Ol
o tr

CO ©
© rT

n o

1-0

VO

CO

oq

rft

GO

rit

©

©

oq

t'

©

©

©

©

©

©

_

©

Ir

oq

oq

o « o

'T1

o

rr

co

~t

05

©

©

oq

ř-H

©

rjt

©

Ir

©

©

00

rit

©

GO

©

oq

rr

oq

-§ cti ©<

có

ó

có

có

Ó

có

©

P

óq

Jh

có

có

p

<M

P

p

óq

óq

p

óq

có

p

p

óq

Jh

^ Xti n3

W p w
>

+ +'

1

4r +

4-

1 +

+ + +

-J-

+

+

+

+

+

_L

+

+

+

+

+

4-

,

'Čti _

+j 0

v

v

v

v

v

v

v

v

rť

05

Ir

r}t

oq

©

©

ir

©

©

00

rit

Ir

w

O

4. -

©

rr-

CT-

v_5

ř—l

v-55

rr

tr

5 ^

05

I— 1

co

rjt

05

co

©

©

©

oq

©

CO

©

©

05

©

GO

IT

©

GO

rjt

't'

©

tr

Ó

©

db

oq

©

P

P

có

©

rH

©

P

ob

có

©

©

vó

có

P

©

có

do

óq

ó

H Jh

N Pí

CO

lO

rit

VO

co

VO

r“(

rit

©

©

©

oq

co

CO

co

©

rjt

co

©

©

rjt

03 n

05

óq

Ól

co

co

co

rit

05

05

óq

óq

óq

óc

©

CO

óq

óo

óq

oq

óq

00

óq

óq

P

O

*»h

04

lO

co

oq

VO

i—t

r— t

oq

co

oq

rH

oq

co

©

co

oq

rH

co

oq

rH

nH

— t

i-H

rH

£ Óti

o

o

o

o

o

o

o

O

o

o

o

O

o

o

o

o

o

O

o

o

O

O

o

O

O

o Cti

l'*

oq

tr

©

©

©

©

oq

Ir

©

©

tr

Ir

oq

Ir

©

oq

1>

©

O

Ir

©

©

©

i— H

o

rit

oq

lO

CO

©

©

©

rit

©

oq

©

>-H

©

rit

©

©

rjt

©

CO

rjt

©

CO

O

oi

rH

oq

oq

ř"H

oq

oq

oq

oq

1—1

oq

oq

oq

Ol

oq

oq

oq

r

l-H

rT

rft

rft

©

©

©

cti

T3

O

O

oq

O

O

O

O

rv

O

oq

O

O

cq

N

>0)

O

P

p

C/5

C/5

o

bp o

O

C/5

.C/5

C/5

O

C/3

C/5

P

C/5

C/5

o

to

C/5

.C/5

p

’S

’3

X!

Cti

cti

Cti

£3

*a

"S

d

Tti

c

P

X

<D

<0

<u

o

<u

o

■r|

•r

<D

o

O

o

O

<D

0)

o

O

o

<D

o

o

"j_,

o

O

Cti

cti

cti

o

c3

o

_Q

5h

Cti

cti

o

o

o

cti

.-ti

ti

O

o

Cti

o

o

o

o

_Q

C/5

c/5

co

cti

(/}

cti

r*P

SuO

C/5

C/5

cti

ti

cti

C/5

C/5

X

rj

cti

C/J

ti

cti

H

Ih

u

!h

Ih

u

u

H

P

Jh

Jh

Ih

Jh

Ih

u

!h

u

Vh

Jh

Ih

Jh

Jh

g

P P

P

Q

p

Q

H

0

u

O

P P Q

A

Q

p

P

P

Q

Q

P

Q

Q

O

Jh

Q

Q

O

F^OQ-W

O d?

S~

sr CQ_

S~ >"

S^cO,

P

í=~

CTL

r-

C

CQ.

O

jri

O

oq

co

rit

VO

©

ir

GO

©

O

oq

co

rit

©

©

Ir

CO

G*'

©

oq

OO

rjt

O

CM

04

CM

oq

oq

oq

oq

oq

oq

oq

cc

co

©

CO

CO

co

co

CO

CC

rjt

rjt

rr

rr

rr

g

P

HH

0

rr3

í>

>

>

>

>

VO

Q

©

cd

p

CG

O

oq

oq

oq

oq

CnÍ

XXVIII

29

x

-

hH

-

-

t— (

-

r* •

hH

hH

hH

hH

hH

-

-

-

hH

-

hH

s

hH

hH

-

-

hH

hH

Tť

co

co

05

O

r-

t'-

05

LO

CO

o

00

o

co

co

lO

Tj<

lO

co

LO

CO

CO

co

co

co

co

CO

co

co

co

N

t>

CO

"co

T*

LO

t>

co

co

co

CO

00

co

co

CO

o

co

r-l

co

co

l>

co

l"

oo

c^

1-

GO

LO

rH

o

05

co

LO

io

čó

05

rH

o

t-

co

co

co

l>

o

co

co

t^r

co

ló

có

CC

ó

h

db

í>

©

db

H

pil

©

có

eó

có

ó

có

db

Ó

có

H

h

h

ló

05

CO

co

rH

co

o

do

CO

co

00

o

o

co

co

io>

Tf

00

co

CO

r— (

00

r~(

rH

H

1—1

_L

í

+

1

1

1

i

1

1

1

1

j

1

i

7

1

1

i-

!

l

1

1

1

1

1

LO -H

— ' o

co

xi<

— o

O ® H

05

CC r—>

Cl -h co

O © O 1Í5

CO

tH tJH

CO LO

rH T*<

co

co

H CO

r-H fH LO

lo c

CO H O

lO co ic o

o

H 05

có H

có có

H

H

H H

H rH ©

H

© ©

có có CÓ rH

H H H ©

©

ó có

+ +

+ +

+

+

+ +

+ + |

+

• _j. -j-

-f + + +

H — 1 — h |

1

+ +

v

v

v

V

V

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

V

v

v

V

v

N

v

CO

r-H

co

rH

GC

t"

o

TÍH

Oi

rH

CO

co

t"

o

t—

TÍH

o

co

H

co

rH

co

rH

Tť

co

co

co

l>

co

LO

rH

LO

00

O

co

o

o

co

LO

co

o

r^

l>

co

GO

co

db

05

h

có

rH

©

ó

í-~

pij

H

H

pl<

h

rH

có

LÓ

rH

H

H

ló

ť-

có

có

>o

co

LO

í-H

LO

H

T3*i

co

H

rH

co

co

co

LO

LO

LO

H

co

co

co

v

v

v

V

1 v

v

v

V

v

v

v

x

v

v

v

s

v

v

v

v

v

v

v

co

Tť

co

co

CO

co

to

H

co

<N

CO

rH

rH

rH

co

co

rH

GO

co

co

iH

tH

GO

co

rH

i-H

i-H

co

rH

co

co

lo

co

iO

LO

lO

lO

co

rH

co

co

rH

LO

»**

co

LO

o

o

o

O

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

t-

O

CO

l>

tH

I>

t~

TU

l-

o

o

C5

o

Tť

o

o

t-

T*

LO

co

O

o

Tť

CO

co

CO

O

CO

co

CO

CO

HH

LO

co

co

Tť

lO

co

co

co

co

co

co

co

(N

co

co

co

co

co

co

co

co

co

rH

co

Tl<

co

TÍH

TÍC

co

co

co

o

V)

co

0)

'cuO

o

• .V)

o

C/5

o

V)

o

o

o

a

Sh

o

C/3

s

o

o

o

Ol

o

cn

co

<u

CuO

Ol

o

Ol

o

Ol

o

co

<u

Í50

Ol

o

‘8

s

'3

'3

<L>

'3

<v

• r-l

Q

o

<u

CU

'3

'3

"3

'3

'3

• H

3

'3

CU

1H

o

o

o

o

a3

o)

o

o3

<u

c3

<u

o

o

o

o

o

i/

’ Lj

o

a3

0)

o

o

o

ož

o

w

rT3

o

cn

x<

Ol

rP

o

o

tn

o

o

o

n

o

05

0

Ih

Q

a

o

ctí

u

Q

0

1h

Q

C/3

!h

p

3

Q

5

Ph

CU

o

ř>

CU

w

u

Q

ÍH

p

Ph

<u

o

Lh

p

Ph

CU

CJ

o

Lh

Q

n3

u

Q

g

o

o

(h

Q

o

Sh

Q

cc3

Q

'Ph

<u

o

3

o

aj

Sh

Q

Sh

p

Ph

CU

o

h

co

co

co

o

h

!h

h

>H

CO

o

CCL

5=*

<23L

1>

8

n

t—

8

L"

8

CCL

o

CCL

8

c

8

LO

co

L- GO

05 o

rH CO

co

^j“

LO CC

r- go

C5

o

r-l

co

co

Tf

•o

co r~

GO

05

TP

TjC

Tři LO

LO LO

LO

o

LO LO

LO LO

LO

CO

CO

co

CO

CO

CO

co co

co

CO

o

co

có

16

XXVI II.

30

2 "2 <«
O *S b
T3 .5 P

© > -H»

>u . ^

« §* g

o

;p o xť

£J2 B

s 2 2

"o s >»

í. O í

^ _
Ó3 jtfl

P ©

© N rO

XJ

XD I

> a
B o
a a

© rf

” g
j2 B
s3

'O PG

3 >

tO £
00 -g

p

© T3
O ©

cti tJ

C ^
C T5

s a

l__ 1 HH

M HH

oo n >a o

O t'*
CM cm

05 CD — I

h h eo

o oo oo
« h n «

O « 00
CO —I

CM f-h

+ +

o 2 p n

O

CO

CD

CO

05

O

CD

Xť

CM

CO

CM

05

00 CM

O

to

CM

05

x+

pG

l>

to

O

o

x*

CM

05

lO

X?

O

05

O

GO

CM lO

o

00

GO

co

to

JS 2 2 ^

CM

t-

CM

có

05

tó

t-

r— *

db

dc

CM

05

có có

ó

05

có

CM

CM

có

v* * n a

O

CD

CO

X*

o

CD

to

CM

cc

ao

CM

CM -H

CD

pG

co

3 « ,2 ^

.g 1 ■§ 8

N G

7

|

p-H

|

1

7

1

1

7

i

7

|

1

1

j 7

|

+

i

+

1

< >

pC

oo

t-

O

co

X*

05

Xtt

05

to

lO

o

ao

O tO

CM

O

O

co

CO

to

p ^ -P
o co

CM

x*

c?

X*

CM

CO

CO

05

CO

T*

05

T1

co

CM CO

CD

ÍH»

oo

'Ť

9

2 rt ^

i-H

Ó

CM

©

có

©

6

Ó

có

1

to

o

to

L' CM

Ó

6

CM

có

H ■

ó

m ■§ •»

+

1 +

1

+

+

i

1 +

1

+

i

1

-r

+ 1 + +

i

+

1

l

,

v

v

v

v

v

N

v

v

v

v

v

N

v v

v

v

v

v

v

v

xti «

bi

i— 1

05

CO

xť

05

t-

O)

O

Xř

5*

CM

p— i

t- O

O

tx

t-

tb

05

05

-g 2

3 -S

/-i 3

co

ó

có

CD

t^-

o

Xh

x*

CO

05

cp

CM

có

o

tx

co

có

x#

1>

CM

có

o

CM

05 CO

ó db

05

CM

IX-

o

ó

00

tó

9

có

O

db

2 d

CM

xť

CM

to

co

xť

CM

X}H

CM

Xt

xjt

lO G

tO

co

xť

co

CM

co

*N ^

%

v

V

V

V

v

v

v

v

v

v

v

v

N V

v

v

v

v

v

v

ců

CD

pG

05

05

CD

fG

pG

05

05

co

to

i-H

00

Xť 05

^H

G

CD

CD

«o

pG

O

tO

co

to

to

i— l

CO

CM

to

CM

l-H

pG

to

CM

G

•O

to

*P ^

o

o

©

o

o

0

o

o

o

o

o

o

o

© ©

O

©

©

©

o

o

2 "t?

t-

xj<

CD

l-

xť

CD

CM

r-

r-

X*

05

O CD

CD

X#

00

xjt

CO

Xť

CO

CM

»o

*"H

CO

CM

CM

lO

f-H

xM

co

CM

CM

CO to

CM

CM

^H

co

CM

CM

o

CM

CM

H

CM

CM

CM

i-H

CM

CM

p-H CM

CM

CM

CM

G

CM

CM

&

x*

CD

Cti

T3

N

>©

&

O

o

C/3

maj.

O

O

O

C/3

o

w

O

tf)

CM

©

w> O

O

O

o

£

C/3

O

O

©

’2

©

'2

'2

©

g

• G

'2

á

cti

c/o

©

X!

'2

O

O

aJ

C/3

©

pP

©

xl

a

o

o

O

O

o

Cfl

©

pp

O

'g '£

n g.

©

pP

©

pp

’©

o

o

Cg

©

G

P

CD

I>

Pí £? Č
OOP

8 d? co.

G

P

CD

I>

Pí

©

o

8

Pí & 2

fl) r^i M

oop

8 ó? CQ.

Cti >H

Qp

CD
CQ, t-

On

©

o

8

rt

G

Q

p- tc

2 ^
o O

G

O d?

©

O

s~

P-I

©

o

8

pp

On

©

O

ra Pí

G ©

Q o

j=-d?

Pí

©

o

8

cn

O

CM

co

x*

io

CD

i>*

00

05

O

p-H

CM

CO Xjt

»o

CD

00

05

o

o

t"

o

ÍH

l>

t-

t-

i-'

l-

l>

ao

GO

OO

00 00

00

00

ao

00

00

05

HH

g

HH

HH

HH

h-i

HH

k-G

HH

G

HH

hH

HH

HH

HH

HH

HH

p

■+■>

cti

Q

>

>

>

>

>

>

>

ci

có

xř

tó

r-'

O

P

CM

CM

CM

CM

CM

co

XXVÍII

31

HH M

hH

t— i i— i

hH hH

h- i

hH

hH

hH

h- *

l-H

" hH

hH

hH ~

HH ~

l— 1

hH

hH

l—i

hH

l-H

hH

hH

hH

hH

hH

hH

l-l

l-H

l-H

l-H

hH

HH

HH

hH

HH M

hH

r- 1 hH

hH hH

h- 1

hH

1— 1

1— 1

hH

l—l

©

© ©

CO

pH ©

©

©

P-H ©

r-H rH

©

©

©

P— 1

©

©

fq

+ + + +

+ +

+ +

+ +

+ + + +

25

co

©

©

14

15

t-

Cl

4-

CO

p-H

©

q

4-

r- oo

©

©

© ©

© ©

_l

©

©

©

CO

rH

r-H

rH

1—1

© t>

l>

©

ci i>

© Ol

©

Cl

©

©

©

Cl

-t

©

©

©

Cl

Cl

t-

<M

co ©

Cl

f— i

'?

© —H

CO

©

©

©

©

©

©

00

©

co

co

00

co

©

rh

05

ci q

©

05

© q

© 05

q

©

q

q

©

q

05

©

co

©

©

©

ci

q

q

q

©

05

ob

■-i Cl

© rH

CO

©

p-H

©

co

©

©

r“l

©

1

1 1

1 +

1 +

1 1

i

1

i

1

-f

i

1

1

4-

+

4-

1

4-

1

4*

i +

1

+

© GO

©

©

© ©

© p-H

©

©

©

©

Cl

co

©

©

©

co

l

TJH

©

©

©

00

oc

Cl

©

05

50

©

©

© H*

©

00

t-

CG

05

Cl

©

05

co

©

Cl

Cl

co

05

©

© q

©

© ©

ci ©

>-*

©

•— 1

ci

1

Ň

ci

ci

i—l

ci

ci

rH

P-H

©

©

©

©

©

©

>— i

+ +

1

1

1 +

1 +

i

~T

|

1

-i_

-L

4- +

_1_

+

+ +

+

1

1

1

1

1

1

5

i

5

í

5

i

5

5

5

5

5

CG

©

©

©

JO

©

©

©

©

Cl

f~

GO

©

©

t—

©

©

©

Cl

l>

—4

rP

Cl

05

>■£

©

9

©

GO

©

©

l— H

©

©

©

©

©

©

i-H

QO

©

l-H

©

©

ob

©

©

©

©

©

©

ob

©

©

ci

©

q

cb

©

05

rH

©

05

Á

©

©

©

l—l

©

Cl

^H

©

Cl

Cl

rH

©

©

©

©

Cl

p-H

©

co

K

v

v

v

v

v

v

•>.

v

v

v

V

v

v

V

v

v

v

v

K

v

v

CG

©

©

©

pH

00

p-H

00

©

©

p-H

©

00

©

rH

©

©

©

©

©

©

l>

CO

©

CO

©

Cl

©

Cl

©

©

Cl

©

Cl

©

p-H

©

©

Cl

©

©

Cl

Cl

©

Tť

Cl

Tť

©

©

o

O

o

o

O

o

o

o

o

O

e

o

e

o

O

o

e

0

o

e

O

O

o

o

o

O

o

©

Cl

©

©

©

T*

©

Cl

©

T*

Cl

©

Cl

T*

©

Th

tM

OO

L"

©

rH

CO

00

Cl

pH

TP

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

P-H

Tť

Cl

p-H

Cl

p-H

Cl

Cl

Tt<

©

Cl

Cl

i-H

©

Cl

Cl

p— (

l-H

Cl

Ol

Cl

P-H

Cl

— H

l-H

Cl

Cl

l-H

rH

P-H

Cl

p-H

l-H

rH

H

rH

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

M 2 0

L 'O H

Cti .M
£ «
O)

nj tí o Qh
^ (i (D
QQjU

-» CQ- © d?

1 §
Ph cd
o i-<

o q
« ..

&

k

o

t^p

t-

©

Cl

á

3

t±

k

o

4)

cd

O

v

_cd

O

q ^

o ^

o t O

D ^ O
cd cd

cn

in

05

O CC

C/5

V)

O

o

CuO

C5

c3

co

co

'3

'3

P-t

'o co

'(1) co 'o

‘3

P

cd

•PH '5

'3

'3

cn

'5

'3

'3

q

O

3 '3

Dh’3 q

o

o

O

o

u

<D

0) o

q %

o

o

o

o

05

q

’h

,©

Ui

q

o

o

O

O

o

O

O

co

’3

co

Cd o

rj o

.o o #o

co o CO

«5

a3

Ih

O

cd

& g

05 >H

cd

1h

2

Ch

05

3

cd

H

3

cd

u

co

cd

cd

O

^ cd

• Ih

co cí co
cd H cti

Q

Q

q

o Q

q

q

O

o

K

Q

q

q

O

tri q

o q o

CO, ©

« CCL

CCL

o

q

í=r

í-

©

©

©

>~x r q

h n m ^ © © r- co © o

0505050) 0505 0505 C5©

-< Cl CO T* 50 ©

©O © © © ©

t- qo
© ©

© ©
© —i

H Cl CO © © l>

>

ci

X

X

©>

XXVIII

Podmínečná rovnice « A Mezidoba ,

Datum Kombinace pro c red. na 3" AR Aa h m Váha Poznámka

32

©-

Tli H O
CO xj< CO

O O O

4 + 4

o ^
© o

Ó CM

+ 4

to ^

^ CO O0

^ o r-H

ó ó ó

I i +

CO o l - Cl — CM

co x*< co o o —■

Ó 6 Ó Ó H H

I I + I í +

<v

s ^

_ _ _

T3

o

"O

j?

- _ . c

i! X! o

"tuš

ti

©

XD

0) - o

XH

§

« o ^

vil

Ph

rt n *5

tí T* O s

rj

ce

>>

O. tí

<0 w ^ 5
o . X™

a>-° s

'TO

N

d

N

~í

C tn 0 «

O

O

>

O Js K

« ďS'*

Ph

Ph

- rt
S ftg

>> <L>

x) > n3

xH -h
• v
© ^

© CO ©
có © ©

*7 4

05 có

t- p-<

4 ©

4

o o

+ 4

db ^

db

- 1

db

cm

CM

CSl

CSl

x*l

xH

o

CSl

o

CSl

CM

CM

CM

CM

CM

CM

CM

00 r-H 05

CM

CM

Xjt

CM

xit

CM

CM

o

Xť

o

CSl

o

CM

CM

xh

CM

CO

x*

CM

H © r— I

CM

O

-1

O

CO

x*

O

co

CM

CSl

-

©

-

©

©

O -X o

CM

©

CM

©

CM

t"

CO

xť

00

©

CO

©

co

CO

CM

©

I-

©

oo

00

X* CM 05

t~

0

00

xfl

CSl

CSl

05

1>

1>

o

L"

©

CSl

r-H

00

CO

05

©

CO

CO © ©

r-H

x*

05

có

có

4

có

có

có

ó

4

có

©

©

©

©

©

có

có

có

có 4 4

4

có

©

!

-

'-p

4-

4-

4 4-

4-

4"

4

1

1

í

4

4-

4_

4*

4 4 4

4-

4-

1

co

CM

O

©

O

CSl

co

Ol

xft

00

©

CM

o

co

co

x-h © co

©

—i

CM

©

©

©

©

©

Ó

ó

ó

©

O

©

©

©

©

©

©

©

© © ©

©

©

©

+

+

1

4

4

1

1

1

+

4

4

4

1

4

1

1

+ 1

i

4'

1! 5

v

v

V

V

v

v

v

v

v

v

V

v

V

v v v

v

v

V

00

CO

4

o

00

co

05

dl

©

óo

05

co

©

00

4

CO CM CO

©

©

co

— < CM ©

CÓ CÓ 4

+ I + II + ++ I

tO

C5

C5

S5

«o

S5

^5

to

to

<o

«o

<o

<o

<o

to

to

to

«o

to

<o

co

CO

©

©

©

©

©

CM

co

i^

t-

©

©

CO

i>

co

t-

co

CM

r-H

OO

p-H

00

©

©

©

©

©

r—

CM

oo

r— i

CM

©

pH

00

[-

©

p— <

©

CM

XjH

CM

co

CM

05

©

xjl

00

00

4*

CM

OO

CM

©

9

OO

©

CM

'Ť

CÓ

©

CÓ

©

©

CM

CÓ

4

4

©

4

©

CM

4

có

CM

©

4

4

có

CÓ

1

+

.+

4-

1

4

■1

1

1

4

1

1

l

1

1

II

li

$■:

li

:l

II

II

1 ■

II

II

II

jf

1!

II

II

II

II

|j

II

II

II

II

e-

&-

9-

9-

©-

9-

9-

9-

9*

9-

o-

9-

9-

9-

9-

9-

9-

9-

9-

9-

9-

9-

9-

'Cž

"ts

"cá

•xs

^5

^3

ts

"ÍŠ

CM

r—|

©

O

00

©

©

©

t*

©

CM

—

©

i'

—

co

00

CM

00

©

rH

©

CM

O

CM

Uv

co

©

©

©

©

©

©

©

CM

©

xr

CM

p— <

Xť

©

00

©

CM

co

00

OO

CO

CM

©

©

05

©

©

CM

CM

00

00

CM

CM

00

©

©

©

CM

00

©

td

4

ld

óo

4

©

CÓ

4

4

©

do

4

td

oo

td

ld

4

©

4

©

©

td

4

^ ^

_ _

^ v

_ ^

^ v

6T

íT

očT'

a

aT

rH

co'

©■

©'

oT

S'

cT

lO

lO

CO

00

o

o

rH

rH

rH

rH

rH

CNJ

CM

CM^

CM

CM

CM

CM

CO

cc

" —

' - -

" — ■*

"■ — ^

' — ^

" — "

— *"

* — +

^ ^

v — +

^

'

^

- - -

s — -

1 — "

— -

- — -*

■ —

' - '

^ x

_ _ ^

_ _ _

^

^ v

^ x

^ ^

^ v

^ ^

^ _ v

^ ^

x v

, _ ^

^ _ v

, _ „

„ _ v

„ _ s

_ N

_ _ v

^p — ^

r— 1

co

l>

00

O

p— i

co

CO

I>

O

CM

CO

©

©

X

©

rH

^ ^

— "

— "

' — "

^ — "

^

v — 0

rH

rH

rH

r-H

rH

rH

rH

3S

CM^

CM^

CM

CM

CM

CM^

CM

hH

»— i

HH

i—!

i— i

>

>

>

>

>

>

>

có

cd

©*

©’

©

©

rH

rH

CM

CM

XXVIII.

33

% N V

v v

v

V v

v

x

s

v

v v XXX

v

x

v

v

v

v

X

X

co © co

05 CO

4

4

co o

00

CO

4

4

ío CO © r-H

05

4

©

©

05

©

©

©

Ol

co

t— t> CO

Tť 05

©

O

r-H CO

Ol

co

©I

00

co co © O ©

O?

©

co

TH

i— 1

©

©

©

©

r-H

ó 6 ó

Ó Ó

©

©

4 Ó

Ó

©

4

©

© © © © 4

r— H

©

©

©

©

©

©

©

©

©

4-4-4-

+ +

+

1

+ +

1

1

+

1

+ + + + +

1

1

1

1

1

1

4-

1

1

+

.5 ^ ><n

0 CS

o

"3 fl

P<

(D ^

%%

C *y

rg 'B

5 ®
c? ^

'rt o

N C

*d B

> g
a &

tí ►.

►> P

Š á

$r>

'CT

no

nj

+J >

' O

(h ■rj

.a 3

4

*J .0)

O o

ven

Jg

N <D

S o

Ph

>

rt T3

O cn

— - — ’

-Bj

c/i

<N

Ol

Ol

Ol

t-p

I>

t-

©

Ol

©

©

©

©

©

r-H

r-H

r_t

r^

©

©

©

©

co

©

r-<

co

CO

tíh

(M

Tt<

rJH

Ol

T}H

tH

TjH

co

Ol

co

Ol

Ol

CO

ic

Ol

CO

UO

Ol

©

Ol

Ol

©

Ol

©

©

-1

©

r-H

Ol

p— H

r-H

©

©

©

©

-

Cl

-

Ol

Ol

r-H

©

©

*-

©

©

©

©

tíh

©

©

01

co

©

©

©

©

©

©

TÍH

TÍH

Tíh

©

©

©

©

co

co

oo

co

©

OJ

oo

I>

Ol

t>

00

r-H

1-

Ttf

1— 1

r— H

©

t-

©

Ol

9

CO

©

©

©

©

00

9

©

t~~

co

©

r-H

©

t— H

cd

©

©

cd

©

©

©

O

©

rH

©

rd

rH

p— H

4

4*

4

4

cd

4

cd

cd

cd

tíh

~b 4 — b

+ +

-b 4-

1

+

1

4- +

4- 4-

1

4-4-4-

-b 4- -b 4-

4-

1

-b

1

1

1

co

co

co

r-H

r-H

©

Ol

©

CO

Ol

co

Cl

CO

co

co

CO

co

©

Ol

9

Ol

©

TÍH

TÍH

TÍH

Ol

©

Ol

co

co

r-H

©

©

©

©

<—*

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

O

©

©

©

©

©

©

©

1

1

+

1 +

1

+ +

1

1

+ 4-

4-4-4-

1

+

+

i

4-

1

1

4-

-b

1

-b

1

1

X

X

X

X

X

v

X

X

X

X

X

X

X

x

X

v

X

X

N

X

v

x

X

X

X

x

x

00

Ol

tř*

r— H

4

do

co

©

©

dl

©

do

p— 1

d-

co

o

co

CO

©

co

4

4

©

co

©

co

i>

CO

©

Ol

00

Ol

00

©

oo

©

©

co

©

00

©

9

©

©

r-H

p— 1

©

©

co

©

©

Ol

Ol

cd

l— H

©

dl

©

©

©

©

©

db

cd

cd

©

©

O

cd

t"

db

ob

l>

4

©

©

r-H

©

4

©

4-

1

1

+

1

+

4 — 1 — b

1

4-

+

1

4 — 1 — 1 — b

4-

1

1

1

1

i

1

4-

1

1

4-

o

<o

V5

C5

V5

Ci

C5

C5

Ci

C5

V5

V5

V5

o

U

u

t5

V5

V5

V5

V5

^5

Vi

©

CO

t>

CO

L"

©

t-

l>

©

Ol

00

CO

Ol

co

co

t-

Ol

i

i>

T)H

©

CO

CO

©

co

©

00

©

r-H

Ol

r-H

t"

©

1>

1^

©

p— H

©

tíh

CO

Tť.

•rf

©

I>

©

©

t-

CO

©

tíh

tíh

I>

tH

Ol

l-

Ol

oo

Ol

T*

©

Tť

©

Ol

Ol

©

©

©

©

9

T*

9

r— 1

p-H

9

9

t^

©

Ol

l-

©1

cd

4

od

4

4

r-H

r— H

rd

cd

r— H

©

©

©

©

r— H

P^H

p— 1

r— 1

r-H

©

©

©

©

4

©

r— (

r-H

1

1

4-

1

1

+

1

1

1

1

4-

1

1

1

1

-b

+

1

1

4-

1

1

4-

-b

|

II

II

II

n

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

f

II

0- 0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

e-

0-

0-

0-

0-

0-

©-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

0-

13

■2

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

r~

©

_<

Ol

Ol

Ol

Ol

©

O

f-H

©

Ol

©

!>

01

t>

TÍH

p— i

r-H

f-H

©

tíh

Ol

©

Ol

©

©

©

©

©

Ol

T—

CO

©

00

co

©

©

CO

©

©

©

©

CO

00

©

00

TÍH

©

<N

00

Ol

OO

tH

©

T#

©

00

1>

Ol

TjH

r-H

Ol

9

T*

©

9

TJH

TÍH

TÍH

r-H

CO

'■H

00

co

4

4

db

4

4

4

4

4

4

r>

cd

di

©

(N

cd

4

4

4

4

4

cd

cd

cd

4

cd

4

t* © *x

co_ 00, co

co ©" ířT

CO CO co

© r-H

TÍH

Tíh ©

TÍH

© f-H Ol

TU

©"

oo-

z?

Ol

©

©

©

1-

©

4^

co

CO ^

Ttf

©, ©, ©

©^

©^

©

©

©

©

©

©

©

©

©

'

— ■

—

• — '

P— r

- -

• — '

* — "

'

p —

S - r*

_ _ s v

^

_ _ _ v

_ s_

_ _ _ _ K

^

^ _ ^

_ _

^

, _ ^

, _ ^

^ ^

^ _ ^

, _ ^

^ ^

„ — v

_

, — s

00 ©

Ol

co ©

t-

© © p-H

co

©

t^

©

©

©

co

TÍH

©

©

O0

©

Ol

co, ^

^ ©, ©

©

©

HL

©^

©

©,

©^

©^

©^

©^

©^

t-

trp

© 00 00
t- I> t>

CO 1>
I -

>

l>

Ol

H- i t— 1

> >

od 05

©I ©I

p— I I— I

I— I t— ( ►— 1

> > >

O r-H (Ol

co

>

cd

> >
4 cd

r-H <M

HH H— H
> >
cd 4

O* Ol

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř II. Č. 28.

XXVIII.

34

h-i

co to

IO

05 Oi

9

po o

9

09

IS5

i*

o 9

Ol

0

1— 1

<J c

<

<1

<

<;

< <J

<

b

X X

X

h-i *— *

hH

HH

HH

HH

HH t— l

(—1

1— 1 HH

l-H

HH

HH

HH

t— i 9

KH

p

í-1 .hH

t— <

r<

.

_ ^ ^ _ s

I _ i

k-4

M H — ‘

1 «■

^ - v.

^ A

O

o

t— .i

o

o

o

o

o o

o

co

"cb ’

CO ‘

CO

óo

00

00

00 00

GO -bl

o

OS ^

CO

CO

o

00

co

00

W.I

Ol CO

}— ' ■

-S - j

Ol

-ib •

3

o

3 ■

*4

05

Ol co

3

' '

v — 1

1 "

r-r1

_

_

_ _ ^ _

9^ ^ _ »

„ _ v ,

^ — .

^ — X ^ ^

> — - ^ — *

( _ _ 9«,

H—

h-4

r—d

H- i *

h— '

h— 1

o °

"cb

co

'žo ‘

"cb '

"cb

"óo

00

00 00

00 00

5’

1 _ i ^

94

t«_4

t—A

94

X — i

o o

o

G3

•3 .

C3

i— ,

t— *

00

3

co ^

tso o

p

- I Ol

to

h-^

co

to

94

OS ^

to

o .

s — "

v— ^ "

o

— "

v""

0)

to to

to

to

to

to

to

to

to

to H-

co

-4 tO

to

to

-4

to

to

to

to

ti Ol

to C5

u-1 H*J

cb

hI,

9

to

o

o

*4 CO

00

Ó Ói

Ól

Č>

Ól

6

tó

cb cb

Ól -4

00 00

a-

00

00

Ol

co

00

*4 9

O o

o

05

O

o

OS

OS

CO

00

O *4

to to

-4

00

00

to

to

00 >-<

Ol

o ^

fř-

CO

o

CO.

co

o

Ol co

^ Í53 1,

sx sx

SX

sx

CSa

sx

SX

sx

sx

a* sx

sx,

Sx, SX,

SX,

SX,

SX,

sx.

Sx‘

SX,

SX,

SX, sx.

SX, SX,

hp*

-0 -e

-e

-6

-e

-6

■e

-0

-0

-e -e

-e ■

■e -e ■

■G ■

►e •

-0

-0 ■

"0 ■

•0 •

-0

■0 -0

-0 -0

3 O

O ^

II II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

H

II II

li li

° 3

+ +

+

+

I

1

+

+

1

+

1

1

+ 1

1 +

P

•1 fĎ
n> rx

o o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

9 ^

9 T4

a ,p

to to

tó

9

tó

ó

05

9

tó

cb

9

6

O QO

*b> tÓ

P'

co co

Ol

co

co

*4

o

Ol

-4

Ol

to

t-1 05

Ol 05

p *“t

o o

co

OS

o

co

00

co

co

oo

1

iO -4

CO 4

P o

cS

<r>

c~>

o

o

C5 O

r> o

+

1 +

CO 2

1 +

1

1

1

_1_

1

+

1

+

1

1 1

' o’

o i—

to

o

's

9

9

9 co

O

4

(0

Ó 9

cb

CO

co

H— 1

co

H

Ol

•4

■4

►b

tb cb

cb tó

-4 to

co

Ol

-4

OS

00

ti

o to

* •*

'

N

N

"

'

5

' '

' "

+ +

1

I

+ + +

1

+

1

1

+ +

1

+ + + + +

1

+ 1

1 +

>

9 9

o

o

o

o

o

9

o

9 9

9

9 9

9

o

9

9

o

9

o

9 9

9 9

cb H

cb

H-*

9

tó

tó

Ó 9

tib

tó b->

05

tó

tó

Ól

9 05

Ól b

1 1

1

1

1

1

1

1

1

+ + +

1 1

1

i

1

i

1

1

1

1 1

1 1

9 o

t—

to

H-*

to

to

to

9 9

9

9 to

t—

i—

to

i-i

to

9

co

w 9

Ol 4

t>

9 Ól

<z>

9

ó>

cb

tó

tó

9

cb 9

tib

-4

9

tib

cb

Ól

cb

Ól

ó

b ól

b b

a

00 os

co

OS

to

00

to co

o

CO OS

Ol

co

Ol

co

05

05

Oi

00 O

o o

o

t-

o

-

to

to

to

1— o

b-*

H- O

o

H-

H- 1

o

H-

H-

to

to o

0

0

! w S

1 “ n

to to

Ol

to

to

co

_

__

Ol Ol

O Ol

Ol

O

Ol

o

cy

■ oj !-■

Ol tf^

Cl

4 -4

to

4

-4

1— 1

05

o

O t-

H-*

oo o

o

to

00

o

ti

co

co

00 CO

O 05

3 o

3 cr

p

' <

UN MS

to''

UN

P'

tr

p

o

C/3

CO

3

o

cr

ax

►*

<

<

a

P

p

§í

crq"

N

N

p'

p

o

*-t

3

C/3

cn

3

a

ri-

3

c

rb

o

N .

co

P

P

tC

' — -

P'

<

o

3

00

3

ooo

p+

OK

P

t«r

p

9

a>

<xn

C\

tn

Cl

r+

P

o

p

CX

3

o

CD<

+ +

1

1

1

+

1

+

1

1 1

I

+ + + +

1

1

+

1

1 1

i i

9 9

o

o

9

o

o

9

9

9 9

o

9 9

o

9

9

9

9

9

9

9 °

9 9

sx

to cb

cb

9

cb

w

tó

cb

cb cb

cb

Ó -4

-4

ó

cb

■4

tó

Ól ó

ói íb

-e

CO -4

co

-4

co

*4

co

c

’ 9

CO CO

CO

00

Ol

o

00

00

Oi

9

CO H*.

Ol H- <

' '

' '

'

'

'

'

'

' '

' '

XXVIII.

35

Význam jednotlivých sloupců nepotřebuje další poznámky, jenom
pokud týká se kolumny 4R a z/ a. Tyto udávají rozdíl šroubu (v otočkách)
a rozdíl sklonu (v ,, partes' ') a tím přibližný vliv šroubu a sklonu horizontální
osy na příslušné měření d cp.

Výsledky jednotlivých měření šířkových udané sub d cp) jsou po¬
někud skresleny nejistotou menších změn kollimace a nejistotou chyb
v kombinaci deklinační. Přes to je harmonie příslušných údajů dosti dobrá.

Diskusse výsledků pozorovacích a odvození pravděpodobné
výšky pólu altazimutu (resp. meridianního kruhu) Strassburgské

hvězdárny. § 4.

Především dlužno zmíniti se o způsobu redukce pozorování, jednak
ku posouzení výsledků, jednak pro případ, kdyby se ukázalo nutným ať
již z důvodů jakéhokoli — počty na základě udaných měření znova pro-
vésti.

Nepoměrně usnadněn byl počet supponovanou znalostí momentu
digresse navázáním na čas kruhu meridianního. (Srv. konec § 1.)

Počet prováděn ve dvou etapách, v první přibližně užito jen 1 až 2
postavení šroubu, která vykazovala největší výchylku azimutu. Pak
trvá redukce pozorování jen několik minut. Je radno redukce takové
prováděti již během pozorovací doby ve dne, an se tak předejde často
mnohým eventuelním nedopatřením na instrumentu.

Druhá etapa počtu redukuje všechny pointace na moment digresse.

Zdánlivá místa hvězd interpolována v deklinaci na 01". Vliv aberrace
denní bylo možno zanedbati (srv. § 1. ku konci), dále bylo možno z dů¬
vodů snadno pochopitelných vžiti zdánlivá místa pro epochu průchodu
meridiánem.

Dále určeny konstanty jednotlivých hvězd (srv. § 1.) a podmínečných
rovnic pro určení šířky.

Za šířku hypothetickou vzato cp = 48° 35' 100", pomocí této určeny
také kalkulem šestimístným azimuty digressní.

Potom přikročeno k redukcím jednotlivých pointací na azimut a
moment digresse.

Počet byl pětimístný a prováděn až na veličiny druhého řádu incl.

Za konstanty instrumentální přijaty ony udané v § 3. K vůli pohodlí
počtu čítána měřená difference šroubová místo od vlákna středního, od
základní polohy ,,16R 600“, která až na několik tisícin otočky se středním
vláknem koincidovala. Tyto hodnoty šroubu stojí také v seznamu azimutů
měřených.

Příslušné odchylky určovány zvláště za veder v červenci a srpnu den
ze dne (pohyby vlákna z obou stran při namířeném dalekohledu proti
modré obloze).

XXVIII.

3*

36

Runn a chyby dělení kruhu nebyly naneseny (srv. § 1.). Nepatrná
jich hodnota redukuje se v našem případě průměrem as na L/4.

Za účelem úplné eliminace chyb děleného kruhu bylo by arci lépe
omeziti se jenom na hvězdy zenitu velmi blízké, kde vliv míněný se až 10,
20 a vícekrát tlumí, ale v případě daném nestalo se tak, ježto jsem se
chtěl za každou cenu přidržeti jenom hvězd fundamentálního katalogu
Berl. Jahr.

Zmíniti jest se ještě o redukci pozorování ve dnech 1. — 10. srpna
,,s přeložením během digresse".

Přeložení eliminuje kollimaci úplně, vezme-li se střed, na digressi
v obou polohách redukovaných pointací, a tato hodnota se považuje za
měřený azimut. Avšak tohoto způsobu nejjednodušší redukce nebylo užito.
Mnohdy konstatovány během přeložení i nej pečlivějšího nepatrné posuvy
v azimutu resp. náhlé změny sklonu. Jak z rozboru § 1. je patrno, určí
se kollimace z měření azimutálných s přesností menší nežli šířka z naší
rovnice differenciální.

I bylo čítáno tak, že vzat střed z určení kollimace, která plynula
z veškerých oněch měření s přeložením, s touto hodnotou redukována mě¬
ření v obou polohách, a z nich pak vzat střed.

Arrangement celé pozorovací řady řídilo se především výběrem
hvězd fundamentálního katalogu B. Jahr. Z téže příčiny nebylo při mě¬
řeních přesně šetřeno principu dvojic resp. ideálního projektu ad A), B)
§ 1., nýbrž pozorování dle potřeby brzy v té, brzy v oné formě arranžo-
vána. Tak intervally mezi digressemi jsou něco delší, za to převládá všude
velký počet pointací.

Aby bylo možno využiti všech azimutů vůbec měřených i těch,
které pi\ nezdarem povětrnostním resp. jiným zůstaly lichými, bylo nutno
při diskussi měření držeti se jistých racionelních pravidel, jež možno takto
označiti.

Pro všechny různé kombinace digressi téhož večera mluvila by sice
eliminace neznámých chyb deklinačních, avšak je lépe navazovati vždy
dvě digresse, mezi nimiž co nejméně různých pohybů s dalekohledem pro¬
vedeno.

Proto

a) navazovány vždy pokud možno jen dva sousední azimuty př.
(33), (34),

b) resp. pojeny digresse nejvýše ob jednu př. (76), (78),

c) kde konečně bylo (k vůli zachránění osamělého azimutu) navázati
dvě digresse ob dva azimuty př. (63), (66) resp. dvě digresse na téže straně
meridiánu př. (105), (106) (srv. konec I. § 1.) pak dána takovéto kombinaci
váha poloviční.

Teprve v září, jehož klidné počasí a stálá temperatura dovolovaly
připustiti konstanci azimutu, tvořeny kombinace všechny, jichž koefficient
šířkový byl větší než aspoň 2.

XXVIII.

37

Vezmeme-li nyní za pravděpodobnou pólovou výšku z výsledků
prostý průměr (se zřetelem na váhy) objeví se, připoj íme-li současně
korrekce pro kolísání pólu v jednotlivých měsících jako střední pólová
výška altazimutu

(p = 48° 35' 0-88" — 0-037 z/ c ± 0-09" stř. chyba.

Zkoumejme nyní, jaký vliv na výsledek má eventuelní měna resp.
chyba v kollimaci, hodnotě jedné šroubové otočky, jednoho dílce libelly
a dělení kruhu. Stačí utvořiti průměry (vzhledem k váhám) z hodnot
resp. koef. c, dat sub z/ R, z/ a a koef. d cp i objeví se

— 0-037" z/ c, —0-094, + 0-009P, 4-58 d <p.

Má-li chyba zaviněná býti pokaždé ve cp menší než 0-01" postačí

znáti

kollimaci jen as na + 0-3"

hodnotu šroubu na :P0"1

hodnotu dílce libelly na ± 0"5

a chyby v dělení kruhu redukují se as na 1/4:.

Jako poznámku k posouzení závažnosti výsledku resumujeme okol¬
nosti příznivé: Velikost dalekohledu i jemnost stroje, přednosti methody
prosté anomálií refrakce (nehledě k laterální), ohybu dalekohledu ná¬
sledkem tíže a (v našem případe jen částečná) eliminace chyb děleného
kruhu.

Okolnosti nepříznivé: Snad poněkud vysoká poloha stroje, veliká
vedra v červenci a srpnu (během doby denní), něco menší citlivost první
z užitých libell, a konečně malý počet deklinací fundamentálního katalogu
B. J. do programu pojatý.

Ku srovnání s cizími měřeními uvedeme v krátkosti jich výsledky.
Na altazimutu určována výška pólu (střední):

Prof. Schur*): cirkummeridianní výšky počtem 38 . . . 48° 35' 0-15"

Horrebow-Talcott . 28 . . . 1-40"

48° 35' 0-78"

Corvoisier**) dvouletá, ale řídká pozorování dle absolutní

methody Kapteyn Horrebow Talcott . 48° 35' 1-151"

Liebmann***): refrakce prostá methoda stejných výšek

Gauss-Horrebow Talcott . 48° 35' 0-95"

Heinrich: digressní azimuty Bóhmovy . 48° 35' 0-88"

*) Astron. Nachr. 2857 — 58 (Bd. 120). W. Schur, Untersuchungen und Beob-
achtungen am Altazimut der StraBburger Sternwarte.

**) Courvoisier, Untersuchungen uber die absolute Polhohe von StraBburg
i. E. Diss. StraBburg 1901.

***) J. Liebmann,, Die mittlere Polhohe der StraBburger Sternwarte. Astron.
Nachr. 4474 (Bd. 187).

Annalen der kaiserlichen Sternwarte in StraBburg i. E.

XXVIII.

38

Výsledky jednotlivé lze přenésti korrekcí — 0-530" na pólovou
výšku kruhu meridianního a vice versa. Učiníme-li poslednější, obdržíme
ještě měření přenesená z kruhu poledního.

*) Pozorování a Ursae Minoris 1888 — 93:

Halm

počet 200

X

o

35'

1-09

Zwinck

192

0-95'

Wislicenus

48

0-73'

Kobold

20

0-91'

Kaufmann

21

i-or

Wanach

53

0-75'

o

00

-rh

35'

0-97'

*) Pozorování

a Ursae Min. 1884 — 88

35'

0-93'

Pozorování 32

hvězd cirkumpolárních 1882

až 1888 . .

48°

35'

0-98'

Shrneme-li tudíž výsledky měření i srovnání, můžeme uzavírati:

Měřením digressních azimutů tuto získaná výška pólu nemá arciť
nároků na platnost absolutní, obsahujíc dojista ještě cosi libovolného,
ale rozhodně nutno ji voliti za jeden z hlasů, jichž průměr konverguje
reálnými cestami k ideální hodnotě absolutní výšky polové, jedinou pozo¬
rovací řadou sotva dostupné.

*) J. Liebmann, Die mittlere Polhóhe der StraBburger Sternwartě. Astron.
Nachr. 4474 (Bd. 187).

XXVIII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 29.

Dělení roviny v infinitesimální rhomby kružnicemi

stálých poloměrů.

Napsal

Fr. Velísek.

(Předloženo dne 8. května 1914.)

I.

Při řešení problému uvedeného vyskytují se funkcionální rovnice,
jichž direktní řešení lze podati jen po složitých výpočtech. Dlužno tudíž
k určení konstant v úkolu přicházejících užiti methody, která nevyžaduje
úplného řešení zmíněných funkcionálních rovnic. Poněvadž pak methody
ty jsou různého druhu při stejných a nestejných poloměrech hledaných
kružnic, uvedeme nejdříve funkcionální rovnice problému, na to řešení
pro stejné poloměry. Pro různé poloměry podáno bude řešení v Části další.

Jsou-li poloměry kružnic c, cv souřadnice středů jich pak U, Uv
resp. V, Vv kde U, U1 jsou funkce argumentu u% V, V1 argumentu v, lze
psáti rovnice hledaných kružnic

(x — U)2 + (y — Ux)2 = c2,

(* — vy + (y — V,)2 = c2,

nebo po zavedení úhlů o

i,v x — U = c cos y — U1 = c sin i]>,

x — V = cx cos oj, y — Vx = c1 sin cj.

Lineární element dán jest výrazem

d s2 = cx2 co2 d u2 + 2 c cx ou cos ou (ip — ai) -f c2 ýv2 d v2,

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 29.

XXIX.

1

2

tudíž jako podmínka rhombického dělení rovnice

C±2 cou 2 = c 2 xJjv2 ,

kterou splníme pro

= Cx (pu, CO = C (pv.

Dosazením těchto hodnot do (1) plynou funkcionální rovnice problému

U — V = cx cos ( c (pv) — c cos (cx (pu) ,

Ux — Vx = cx sin (c (pv) — c sin (cx cpu) .

Z rovnic posledních jde, oznaěíme-li úhel souřadný co

(2)

U' cos (c cpv) + Ux sin ( c (pv) _ _ V' cos ( ci <p«) + V x sin (cx (pu)

(pu u ; ) (pw •

c cx sm co c cy sm co

(pu V -

U' cos (cx (pu) -f Ux sin (cx (pu)

V' cos (c (pv) + V x sin (c (pv)

tedy jako podmínka integrability rovnic (2) výraz

U' cos (cx (pu) + Ux sin (cx (pu) = ±_ [ V ' cos (c cpv) + Vx sin (c <pv)] .

V rovnici znamení dlužno bráti dle volby téhož v hořejším výrazu

2 r.i 2 — /^2 2

C2 tA

Poněvadž pak postup v obou případech jest stejný, klademe

(3) U' cos (cx (pu) + Ux sin (cx (pu ) + V' cos { c <pv) + Vx sin (c (pv) = 0,
dále k vůli stručnosti

A — U' cos (cx (pu) + Ux sin (cx cpu), A1=U' sin (cx (pu ) — Ux cos (cx (pu),

(4) ^2=z U" cos (cxq> u) + Ux" sin (cx (pu) , A3= U" sin (cx (pu) — Ux" cos (cxcpj)f
A 4= U"' cos (cx (pu) + Ux" sin ( cx(pu ), A5= U'" sin [cx(pu) — Ux" cos (q (pu) .

Z posledních rovnic jde, vyjádříme-li derivace U pomocí Ak

U' cos (c (pv) + Ux sin (c (pv) — A cos co + A x sin co,

U' sin (c cpv) — Ux cos (c (pv) = — A sin co + A x cos co,

U" cos ( c (pv) + Ux" sin ( c cpv) — A2 cos co + A3 sin co,

tudíž pro derivace cp

A cos co + Ax sin co A

(pu u = • ■ f (pu v —

c c-, sin co

c c1 sm co

XXIX.

3

Derivace rovnice (3) dle v dávají

c cx A 2 sin co — c1A1(A cos co + A x sin co) — ■ c A \V' sin ( c cpv) —

— F/ cos {c <pv)] = 0,

c2 cx2 A 4 sin2 go — 2 c cx2 A 3 sin co (A cos oj -\- A 1 sin co) + c cx2 A 2 cos co (A cos co -j-
+ Ax sin co) — c2 cx A A2 cos co — • c cx2 Ax sin co (A2 cos co + A3 sin co) -f
+ c cx A Ax (A l cos co — A sin co) — c x2 A (A cos co + A± sin co)2 —
— c2 c1 A2 sin co [F' sin (c cpv) — V/ cos (c qpj] + c c1 A x (A cos co -f-
-f Al sin co) [V' sin (c cpv) — F/ cos (c cpv)] — c2 ^4 2 [V' cos (c cpv) +

F/ sin (c cpv)] = 0.

Rovnice (3) a první z předchozích dávají

V' cos (c cpv) + V/ sin (c cpv) = — A,

T7/ . , • v ' , . c c, A 9 sin co — c1 A1 (A cos co -f- A, sin co)

V' sin (c <pv) — V/ cos (c wv) = — - — - - — M - - 1 - - ,

C A.

kteréžto výrazy dosazeny do druhé z předchozích rovnic skytají po pří¬
slušné úpravě

sin2co[c2c2AA/í + 2cc2A1(A1A2 — AA3)—cc2AA1A3 — c12A2 (A2 +
+ A2) — c2 c2 A2] + cos2 co [c c2 A2 A2 — c2 A2 (A2 + A2)] +
+ sin oo cos co [2 c ct2 A (Ax A2 — A A 3) — 2 ct2 A Ax ( A 2 + A j2)] —
— c cx A3 Aj sin co + cos co (c cx A2 At2 — c2 c1 A2 A 2) + c2 A4 = 0.

Označíme krátce

a = c2 cx2 A A £ -f- 2 c cx2 A1 (Aj A2 — A A^j — c cx2 A AXA3 —
-c12A2(A2-{-A12)-c2c12A22}

p = c c2 A2 A2 — c2 A2 {A2 + A2),
y = 2ccl2A(A1A2 — AA3)—2 cx2 A A, (A2 + Ax2),
á = c c1 A2 A 2 — c2 c1A2 A2> e = c cx A3 A v rj = c2 A 4.

Rovnice (5) pak má tvar

« sin2 co + P cos 2 to -j- y sin co cos co á cos co — s sin co + rj = 0 .
Poněvadž platí vztahy

_ A

^ uv c cx sin co *

(pw

cc1A2sin2 co -|- c^42cos co — c1A1 {A cosco-\~A1 sin co)
c2 cx A sin co

dA _ _ AAj_ dAx _ A2 dA2 _ _ A A3

c> v c sin co ' 3 v c sin co ’ d v c sin co

d A3 _ A A2 d A4 _ A A5
d v c sin co ’ 3 v c sin co

XXIX.

1*

4

dává rovnice (5) derivována dle v nejprve

sin2 co civ -j- cos 2 o (5V + sin co cos coyv-\- cos co dv — sin co sv -j~ yv + (2 « sin co cos co —
— 2/3 sin co cos co J- y cos2 co — y sin2 co — á sin co — s cos co) (cx cpuv — c q vv) = 0.

Povýšíme-li rovnici (5) na druhou a dosadíme za cos co z této rovnice
do posledního výrazu při předpokladu y sin co -f ó 4= 0, obdržíme pro
sin co rovnice při zkráceném označení jeho součinitelů

ax sin 4 09 -f- Pi sin 3 09 -j- yx sin2 co -f- sx sin o + = 0

^ «2 sin5 CO + @2 S^ni a + ^2 S^3 09 + *2 S^2 03 + ^2 S7/U 09 + H]2 = O,

kde

«i = (* — Z5)2 + Pi = 2 y & — 2s (a — /3),

Vi f§ «2 + 2 (a — /3) (/3 + y) + d2 — y2, sx = — 2 s (fi + y) — 2 y ď,

^i=(/5 + ^)2-ď2,

a2 == (2 c ^4 2 — 2 cx ^4X2) y2 + (a — /3)2 (2 c ^42 — 2 ^2) = 2 cx (c A2 —

-A2) [y2 +(«-OT,

/32 = ů [3 c Cj ^4 2 y — 3 q ^4^ y — cx A Al (a — /?)] + £ [3 c1 Ax2 (a — /3) —
— 3 c cx A2 (a — /3) — c1 A Aj y] — 2 c1(A12 — c A 2) [e (a — /3) — y d] —
~cc12A2y[(A1 — cA2)2-j-A2A12] ,

y 2 = — 3cct2 (c2 — cx2) A7 (A2 Ax -f- Ax3 + c A As — c Ax A2).

Koěfficienty y2, s2, ó2 neuvádíme, jelikož se nedají vyjádřiti jedno¬
duchými výrazy argumentů a, fi, y, d, e a nemají pro redukci rovnic urču¬
jících sin co významu.

Jelikož

a2 + 2 cL ccx Q = O,

kde položeno q = Ax2 — c^42> možno psáti rovnice (6) ve tvaru

a0 sin 4 09 + ax sin 3 09 + a2 sin2 co -j- a3 sin co -f- a4 — O

b0 sin 4 09 -f- bx sin 3 09 + b2 sin2 co -f- b3 sin co + b4 = 0.

Při tom značí:

a0 = ax — c{ 1 p4 + A (6 c cx4 Ax A3q2 — 2 c2 q4 A4 q2) + ^42 (c4 cx4 ^442 +
+ 9 c2 cA4 ^!2 ^32 — 6 c3 c{ 1 ^^3^4 + 2c cx4 yl2 p2 +4 q4 A t2 q2) -f

+ ^43 {Qc2cx4 AxA2As — 2 c3 cx4 A 2 A4 8 c cx 4 ^ ^43 9) + ^44 (c2 c{ 1 A22 —

— 2 c4 Q2 + 4 c2 cx4 ^32 + 8 c4 A2 q) + A5 (2 c2 c4 A4 + 2c c4 Ax A3) +
+ A6 (4 c4 A2 — 2 c c4 A2) + + c4 A 8,

ai — Pi — — 2 c cA Ax A3 o2 A4 (6 c2cx3Ax2A3 — 4c2cx3A3q — 2 c3c13^4l^44) +
+ A5 (2 c2 c13A1A2~4cc3Ai9)-2cc13A1A7,

XXIX.

a2 = Vi — — 2 cx4 q (Ax2 + c A 2) A2 + A3 ( — 2 c2 c^4 A4p — 2 c cx4 Ax A 3 p) +
+ (2 cx4 p2 — c2 c2 q2 + 2 c c4 A, q — ± c2 c4 A2 — 8 cx4 A2 q) +

+ A5(2c4cí4A4 — 6c3cl2A1A3—2c2c14A4—2c14A1cA3)+A6(c2c12A12—

— 2c3 c2A2 + 2cc4 A2 — 2c 4 q — 4c 4 A2) + A8 (2c2c2 —2 c4),

a3 = s1 — 4 c c j3 A4 A3 q2 A~ 4 c2 cx3 A3 A4 q + 6 c cx3 A4 A5 q + (2 c cx3 —

— 2 c3 cxAx) A\

a4 — dx = čx2 (cx2 — c2) q2 A4 — 2 cx2 (c2 — c2) q Aq Ar (c2 — cx2)2 A 8,

b0 = p2 + 2 c1 q /2X = cx q A4 (6 c 2 cx3 A42A3 — -2 c2 cx3 A3 q — 2 c3 cx3 Ax A^j +
+ cx q A5 (2 c2 cx3 AxA2 — 2 c cx3Ax q + 2 c cx3 ^4X3) + 2 c2 cx4 A 6 ^4X2 A3 +
+ 2 c2 c4 A1 AXA2%

b\ = V2 2 cx $ y1 = A3 (2 c2 cx5 A 4 q + 6 c cx5 Ax3 A3 q — 6 c c±5 Ax A3 q2 — -

— 2 c2 cx5 A 2 A 4 q) + A4 (2 c2 cx5 Ax A5 q + 4 cf A4q — 3 c2 c3 q3 —

— 2 c4 cf A2 + 10 c3 cxá Ax A3 A4 — 12 c2 c* A2A2 — c3 cx3,42 p2 +

+ c2 c3 ^4X2 q2 + 2 c2 cx5 ^422 q + 4 cx5 q3 + 2 c cx5 A 2 q2 — 8 cx5 ^4X2 q2) +
A- A5 (8 c cx5 Ax A3 q + 2 c3 cx5 A3 A5 + 2 c3 cx5 ^42 A4 + 2 c5 cx3 ^42 —

— 6 c4 čx3 Ax A2A 3 — 2 c4 cx3 ,4X2 i4+2c2 p* Ax2 A4 + 6c3 cx3 A3 A3 -

— 6 c cx5 A 3 A 3 + 5 c4 cx3 A4q — 15 c3 cx3 Ax A3 q — 4 c2 cx5 A4 q) +
+ A6 (2 c2 cx5AxA5 — 4 c2cx5A32 — 8 c cx5A2A2+ 10 cxbA4—c2 c3A2 q +
+ 2 c3cx3 ^42 q — 4 c2 c3 A2 qA~^ cx5 Ax2 q — 5 c3 cx3 A2qA~ 2 č cx5 A2q —

— 2 cx5q2 — 12 c^A-^q) + A7 (2 c c-fAj A3 — 6 c3c13^41^43 — 2 c2 cx5 ^44) +
+ ^48 (2 c3 cx3^2 — 8 c2 cx3 Ax2 + 4 cx5 ^4X2 + 5 c2cx3 q — 4 cx5 q),

b2 = s2A- 2 cq6x = A4 (3 c3 cx Ax A 4 q 13 c2 c/^^^3^ + 7 c2c4A3q 2 +
+ 4 c3 cx A2A3q A~2c3 cx4 Ax3 A4 — 2 c4 cx4 Ax A2 A4 — 6 c2 cx4 Ax4 A3 +
+ 6 c3 c4A2 A2A3) A- A5 (c4 cx4 A 3 A4 — 13c c4 ^x3 q — 3 c3 c4 Ax A32 +
+ 10 c cx4 Ax q2 + 2c2 cx4 Ax A2q — c3 cx4 A5 q — 4 c2 cx4 Ax3 A2 +
+ 2 c3 c4 Ax A22 A~ 2 c c4 Ax5) A- A6 (3 c3 cx4 At A4 — 13 c2 cx4 ^x2 Aa —

— c3cx4A2A3) +AT(c3c2Ax<jA- 3cc4AxQ — hcc4A3 — 4c2c4AxA2 +
+ c3c12^413 — c4 c12A1A2 ) + ^48 (4c4c12^43 — c2 Cj4^43) + A9 (4c3 c12^41 —

— ccx4^i),

^3 = ^2 + 2 cx q áx = A5 (6 c3 cx3 Ax A3 q — 2 c4 cx3 A 4 q A~ 2 c2 cf A4 q) +
+ A 6 (8 c2c13^412 q + 6 c2c15^432 — 2 cx5 Ax4 A~ 2 c cx5 Ax2 A2 A~ 2 c3cx3 A2^ —

— 2 ccx5A2q — 2 c2 c3 (>2 + 2 c45 q2) A~ A 7 (15 c3 cx3 AXA3 — 2 c4 cx3 A4A-
+ 2 c2 cx5 A4) + A8 (11 c2 c3 A2 + 2c3cx3A2 — 2c cx 5 A2 — 2 cx6 ^x2 +
+ c4c1()-6c2c13(» + 2 cx5 q),

b 4 = fj2 = — 3 c cx2 (c2 — cx2) Ax A1 q — -3 c2 cx2 (c2 — cx2) ^4?,^48 — 3 c cx2 (c2 —

— c2) AXA9.

Koěfficienty au jsou stupně 12-ho, bk stupně 15-ho vzhledem na
všechny veličiny v nich přicházející.

Eliminací sin co z rovnic (7) obdržíme vztah mezi Ak, poněvadž pak
dle vztahů (4) platL

XXIX.

(8)

A* + A2 = U* _|_ £//2^ CQS

^4 77' — ^ 77/
77'2 + ř//2

SW (Cj qpj

/I 77/ + ^ 77
77'2 + 77/2

A . = - ty * ^ í77' f7" + vx un + a x ([/' i//' - [// 1/")].

^3 - L-,2 +* ^TTT [A (U/ U" - U' Uj") + A , (IP U" + 17/ 17,")] ,
^4 = t(U' tP" + U / t/,"') + (U' Ur - V{ V"')] ,

dají se Ak vyjádřiti pomocí A, tedy všechny koěfficienty v resultantě
rovnic (7) při jednotlivých mocnostech A musí vymizeti, nemá-li býti
A = U' cos (q <p„) + Uj' sin (cj cpu) funkcí argumentu u. Případ tento
dává <puv == 0, tedy jsou co funkcí v, tp funkcí u. Resultanta uvedená dána
jest determinantem stupně čtvrtého

(#o ^4) > (^0 ^3) » (^0 ^2) » (^0 ^1)

(+ ^4) > (+ ^3) ”1“ [Oq ^4) I (+ ^2) "j- («o ^3) > («o ^2) „

(íí2 64), (íl2 63) -j“ (+ 64), (ířj &3) + (í?Q 64), (ť^Q 63)

{ť?3 64), jíř2 ^4)> (+ ^4)) K ^4)

II.

Pro c = cx vymizí výrazy pro ait b4. V tomto případě resultanta
rovnic (7) redukuje se na determinant třetího stupně

(10)

(«<A). («<A)> («o^i)

K 63). («i *2) + («o 6s). K &2)

(íř2 ^3) ) (+ ^3) > (^0 ^3)

= 0,

v němž značí

a0 = c4 (^2 + A*y + 2 c5 (^2 + ^4 j2) [44 ^4 448 (442 + 44^) + 2 44^ (44 443 —

— '44! 44,) —442 A2(A2 + 44^)] + c6 { (A2 + 44 !2) [2 44 44,(442 — ^2) _

— 2^4l14lí4l, + 44ž*(-<l1* — ^*) + *iliil>»] + 5i4l*(il1il1 — +
+ 2 ď (A2 — A A4) [A2 (442 + A2) —aA.^Az — AA^ + c^AA,—
-A 2y,

«!= — 2 ci A3 A4 {A2 + A2) + 2c5A3A1[3A2 (A2 + A2)—A1{A1A2 —

— AAa)] + 2c«A3 VAilAAt — A^J+A^Af — AAfi,

a2 = — c4 442 A 2 (A2 + A 2) (2 44^ + 5 442) + 2 c5 442 [2 44 2 44j (A4 442 —

— 44 443) — 443 (Ax 44s + 44 44 2) — 44 2 44!2442 + 2 44 2 44 2 {A2 + A2) +
+ At (A1A2 — AA3) (442 + 44,2)] + c°A2[4A1A2(A1A2 — AA3) —

— 4(A1A2 — A A3)2 — 2A A2 (A4 A3 + A A2) — 2 (442 + 44,2) (44 44,—

— 44,2) + 442 (2 44 44, — 44/)] + 2 ď A2 A2 (A A4 — A22),

XXIX.

a3 = 2c1A3A13(3A2 + 2A12)—2csA3A1[A2Aí! + 2A1(A1A2 — A A3) +
+ 2 A, ( A 2 + Afi] + 4 <*A* A2 ( A , A2 — A A3),

\ = 2c*A*A1[(AA2 + 2A,Az) [A* + A$ +AA1(A1A2 — AA3)] —

— 2 cMMx [4aM4 + 4 ^ (^M, + ^ ^2)] +2 * A* A2 (A, A,-

A 2 A 3) ,

(3 ^42 + 2 ^4X2) + c6A4 [4 A1 {A2 + Ax2) {A1A2 —

— AA3) A-4:A13(A1A2—A A3)+AA2 (AlAa + AA^ + A2A2(A2 +
+ A2) + 2 ^42 A]2 A2] + c7 A3 (2 A Ax A5 (A2 + Ax2) — 2 A2 A4 [A2 +
+ A,2) - 4 A A2 (. A 2 + A,2) + 6A12A3(A1A2-AA3)~AA22 (A2 +
+ A2)— A A1A2(A1A2—AA3)—2A A2{A2A-A2) +3A2A2A4] +
+ c8A3[2 AA5{AA3—A1A2)—2A2(AA2-\-A1A3) — 2A1A4(A1A2~

— A A -j- 3 A A 4 ( A \ A 3 -(- A A 2) -(- 5 A Ax- A 3 A 4 — 4 A x A 2 A 3]

+ 2 c9 A3A4{A2~AA4),

b2 = c5A5A1 (3 A* — Af) + c6A4 [4A1*A3 + (A2 A- A2) {3A2A3 — 16A12A3—

— 9 A Ax A2)] + ^ A* [3 A, A 4 (A2 + A,2) + A2 (A, A4 — A As) +
+ 9A1A2(A1A3-\-AA2)-{-AA2(A1A2—AA3)+A13A4—3AA1A32]-h
+ c8A*[A2(AA5—A1A4)—A4(A1A2 — AA3) + 3A2(A2A8—A1AJ],

b3= 6 c5 A6 A2 [A2 A- A2) + 3 c6 A5 [{A2 + 2 A2) [A A2 + Ax A3) +
+ 4=AA1(AA3 — A1A2)] + 6 c7 A*A3(AA3 — AlA2).

Výrazy tyto uspořádány dle mocností c, aby bylo možno snáze vy-
hledati stejné mocniny A, jelikož výrazy A2 Ax2, A A2 Ax A3) A A3 —
— Ax A2, A22 + A33, A A 5 — Ax A4 nezávisí na A.

Rovnice (10) nemizí identicky. Vypočteme-li na př. Člen neobsahu¬
jící A , obdržíme po příslušné redukci

3^43p, Q{bcAxA4 — 12A12A3 — 6cA1A2A3 —

3 c A 2 A3), 2 c2 A 2 A 4

4c2A2A4— 6A15A3—4c2A12A2A4 + q(5cA1A4 —

— 12cA1A2A3, +18c2A1A22A3 — 4c3A22A4, —12 A2 A3

3 c A 2 A-^j

9AxA3 — 5cA4, 4c2^42^44 — 12c^41^42243, 3 ^43 q

Rozvineme-li tento determinant, obdržíme rovnici

1350 A9 A3 — c (1800 Af A2 A4 + 3240 A 7 A2 A3) +

+ c2 (3870 A16A2A32A4 + 1809 A3 A2 A 3 + 825 Ax7 A3A2) —

— c3 (1557 A* A2 A32A4+ 125 A* A 3 + 378 A3 A3 ^33 +
í11) + 1680 A15A2*A3A2) + c*{573A3A22A3A2 + 2WA1\A2*A32A4+
+ 250A1*A2A3 + 27A1A2*A3) — c5 {teA1A23A3A2 + 9A2iA2A4 +
+ 85A12A22A3) + 8cM23443= 0,

v níž ovšem dlužno podržeti jen Členy neobsahující A. Rovněž koěfficient
při prvé mocnosti A nemizí, leč výraz ten jest příliš rozsáhlý, a v dalším

XXIX.

8

jej potřebí nebude. Součinitelé při nej vyšších 2 mocninách A v rovnici (10)
identicky vymizí.

Dle vztahů (8) patrno, že výrazy

U' U" + U" U' U" — 17/ U" U' Ú" + ZJ"'

U'2 + Ux'2 * U'2 + Ux' 2 ' U'2 + ux'2

(12)

U' Ui" — Uý U'"

U' 2 + Uj2

jsou konstanty, jakmile 4 ze součinitelů mocnin A v rovnici (10) identicky
nemizí. Abychom konstanty tyto nalezli, použijeme cesty jiné, jelikož
vypsání součinitelů uvedených jest příliš dlouhé.

Označme čtverec lin. elementu

d s2 = e d u2 A- 2 fdudv-\-gdv2.

Pak obdržíme z rovnic pro geodetické křivosti a křivost totální

j_ = _ i _ rj_ j_ _ s YI)

c Ve g f2 v 3 v V g duj’

_L - 1 f 3 / _ a Vě\

V*č g — u Vč d V J

K _ _ i _ ( 32 «>i _j_ _i_ Y_g 4_ Af.1

Ye g _ f2\dudv d ti C d V Cx J

vzhledem k podmínkám problému

e = g = a2, f = s2 cos m] = s t, c = cx, K = 0,
tyto relace, v nichž značí úhel souřadný

(13)

eV 82 t 2 d t d £ sYs2 t 2 d t d £

C d V d U ’ C d U d V ’

d2 cox 1 3 £ 1 3 £

— - 7Ž - - ~ - - « - -

o ud V C d U C d V

První dvě rovnice dávají

3 [t + e) d{t + e)

tudíž

d U d v

t + 8 = F (u + v) .
Zavedeme-li nové proměnné vztahy

ux = u + v, v^ — u — v,
XXIX.

9

dává rovnice první (13)

8 V 62 t 2

C

tedy pro

3 ux

t = F - 8

(F-2 8)

3 ux

(2 í — F) = — — «V> V2 e— F ■

Substitucí

*2 = 2 s—F

přejde poslední rovnice do tvaru rovnice Riccati-ovy

^r=-77'f+2>VT'

jejíž řešení jest tvaru

* = h K) +

h K)

/a K) + «Pi K) ’
při čemž funkce zde vystupující vázány jsou relacemi

ti ' — + //*;— 4 7Í/i/,Vf, /a' = iV /a VF

Jelikož pak

cos o i =

i7 —

2zVf

1 F + ž2 ’
dává rovnice třetí (13)

“^T+7'

i7 + 22 ^ _ i7 -

Fi > £ — o

3 2

i7'2* (3 i7 + *2) ~2zFF" (F + *2) + 2FF' (z2 — F) — - +

3 #

o?' 3 ^ 3 * 3^

T7 + 4Í’|F + ')I37
+ i. pr.(F + ^.[F. -0,

neb pro

Tnbr = * ’ íí = /7 + * ~xi h *• - *2 9)7

3 z
3 v

= /i ' + * /a' — *2 li fz + *2 /a <Pi' .

XXIX.

10

-Š^J- = A" + * A" - 2 *2 A' A' - *2 A A" + 2 A A'2 +

+ *2 A <Pi" - 2 *3 A <p'2 .

(14) m + 4 m1 cp x" — 8 m2 (p'2 = 0 ,

kde m značí polynom 7-ho stupně v s koefficienty závislými jen na
fv /2> fs> F a jich derivacích

mx = x2 ft F3 + *2 /i2 /2 F2 + 2 %3 /, /22 F2 + ** /i3F2,

^2 = /l F 3 + *3 /l2 A /l /22 ^2-

Při /j + 0 jest též m2 4= O, rovnici (14) pak lze psáti

m

m

. — + 4^-<' — 8^ = 0

m

m

což dává derivací dle [u + v)

(—)' +4 (-^L)V' = °-
\m2 / \ m2 / rí

f fit \ /

i ( - ) , obdržíme jako součinitele při nej vyšší moc-

\ ffl 2 Z

1 2

— hh*t z2 Fv'.

Rozvineme-li
nině x 9

(5')/ (F + A2 + * A A)2 = A /.' F + fJi F + /i3 A' + U F2 +

+ 2 A2 u F + /,* /,' - A2 /, // — f1f2F' + x (2 /, U F + 2 A2 A U +

+ 2 A A U F + 2 A3 A A' - 2 A A2 A' - A2 F') .

neb pomocí vztahů mezi /x, /2, /3

Z- »»1 V = _ /a i7' (A + * A)

V m2 / (F + A* + * A /2)2 •

Výraz tento jest nullou jen pro /2 = 0 neb F' = 0, tedy vzhledem
- ) jen pro F = 0 neb /2 = 0. F = 0 dává cos = — 1, tedy

tfi2 /

případ illusorní, f2 = 0 jest pak proti předpokladu.

Ponecháme-li v rovnici

0

XXIX.

11

jen nej vyšší mocniny x, obdržíme vzhledem k

\ m2 /

4= 0 z výrazu

jako součinitele při nej vyšší mocnině x

20

+ — fihsfz3F'‘F\

i/

/3' = O není možno, jelikož by dle dřívějších relací bylo i /2 = O, rovněž
F' — O nevyhovuje, jelikož by dle výrazu pro bylo při F 4= O

i /. = 0.

Zbývá tedy jen

f2 = 0 , t. j. s = /x (« + w),

F + k2

ds2 =

neb pro
(15)

\d u2 + 2 -C— ^ w íř v + d y2l ,

L F + A2 J

íťj = u + v, vx = u — v
d s2 = -^±—{F d u2 + f2 d v2) ,

kde /, a F jsou vázány relací

fx =

fř + F y-F_

4 c

jest

Koěfficienty lin. elementu jsou funkce jen [u + v). Tudíž položíme-li

C^ Cpu v — 0 0 (tí — 1~ V ) , — C (pn ~ |~ C Cpy

C Cpu — 0 + k2 U, C cpv = 0 + k2 v,

kde k2 značí libovolnou konstantu. Rovnice (2) lze pak psáti

U — V = c cos (O k2 v) — c cos {0 + k2 u) ,

U1 — V1 = — c sin (0 + k2 v) — c sin ( 0 + k2 u),

z nichž derivací dle u, resp. dle v jde

U' = c ( 0 ' + k2) sin (0 + k2 u) — c 0' sin {0 + k2 v),

Ui = - C 0' cos (0 + ktv) —c {0' + k2) cos {0 + k2 «),

V' = c (0' -f- k2) sin (0 k2 v) — c 0' sin {0 + k2 u)

Vi = C 0ř COS {0 -f k2 u) + C ( 0 ' + k2) COS (« 0 + k2v),

XXIX.

12

z Čehož obdržíme relace

77'2 + 77/2 = c2 (0' + k2)2 + c2 0'2 + 2 c20' (0f + k2) cos k2[2& + k2 [u + v)],
V'2 + F/2 = c2 ($' + k2)2 + c2 0'2 + 2 c20' [O' + k2) cos k2[2 0 + k2 {u + v)].

Musí tudíž býti

(16) U'2 + 77/2 = k. V'2 + F/2 =k .

Rovnice

C2 ( 0 ' + k2)2 + C2 0'2 + 2 c20' ( 0 ' + &2) cos k2 [2 0 + k2 (u + v)] = k
dává integrována substitucí nové proměnné za cos [2 0 + k2 (u + v)]

2 0 + k2 {u + v) = are cos

Jelikož pak

. . 2 0 J- k2 i/u -(- v)

C ko Sin - -pr1 - -

2 2

r2 h 2 b

L/ tv g r\f

~^k2~

c2 k2

sin k2 [u + v)

= — sin k2 (u + v)

jest

V — V = 2 c sin 1*±ML±1. sin *« («

VTk

sm

k (« —

cos

[y — *2 (« + ») ]

&2 (« + W) . k2 (U + V)

cos '2 1 — - sm ,v2 v<// 1 ; j

= — [sm k2 u -\- cos k2u — sm &2 v — cos k2 v] ,

Rro A

tedy až na additivní konstantu při u a v

(17) U — k sin k± u, TJ1 — — k cos klu, V = k sin hx v , V1 = k cos kx v.

Tím dokázáno, že rovnice (10) skytá pro výrazy v rovnicích (8) jen
konstanty. Položíme-li totiž v rovnici první ze (16)

77' = k sin 0V 77/ = — k cos 0V

jest

77' U" + 77/ 77/' = 0, 77' 77/' — 77/ 77" = £2 O/,

77' 77'" + 77/ 77/" - — &2 0'2, 77' 77/" — 77/ 77'" == k2 0 /',

pro kteréžto hodnoty redukuje se rovnice (11) na

A3 O/'3 (8 c3 A3 O*/3 — 85 c2 A2 Va®/2 + 250 c A2 ®/ — 125 k Vk) = 0,

což dává pro 0X jen 0/ = konst.

XXIX.

13

Není-li tudíž žádná souřadnice středů hledaných kružnic konstantou,
obdržíme jako jediné řešení uvažovaného rhombického dělení roviny
kružnicemi stejných poloměrů systém kružnic, jichž středy opisují kružnice
téhož poloměru dle rovnic (17)

(x — k sin kx u)2 -f (y + k cos kx u)2 = c2,

(. x — k sin kx v)2 + (y — k cos kx v)2 = c2

v případě, že úhel souřadný jest funkcí (u + v), a

(x — k cos kx u)2 + (y — £ sin kx u)2 = c2,

(x — k cos k1 v)2 + (y — k sin kx v)2 = c2,

je-li úhel souřadný funkcí (u — v). Pro k = c obdržíme pak systém kružnic,
jdoucích počátkem soustavy, které transformací reciprokými průvodiči
přecházejí v přímky, dotýkající se téže kružnice a dělící rovinu v infin.
rhomby.

V případě, že jedna ze souřadnic středů kružnic jest konstantní,
na př. V1 = 0, dává rovnice (3)

YuT+W^W [U' (U — V) + Č7, Ui + (U — V) F] =

^ V4 c2 — Uf — (U — V)2 [(17 — V) u; + U1 V' — U1 U'] .

Rovnici tuto lze psáti ve tvaru

V' [(77— V) Ví/,2 + (U — V)2 — 77, V4c2 — 77,2 — (772 — F2)] +

+ [77' (77 — V) + 77, 77,'] Yu ,2 + (77 — V)2 + [77, 77' —

— 77,' (77 — F)] V4c2 — 77,2 — (77 — Vf = 0.

Dělíme-li výraz tento součinitelem při V' a derivujeme dle u, ob¬
držíme po uspořádání dle mocností U — V koěfficientv při prvních dvou
mocninách tohoto výrazu ve tvaru

U" 2 + ě/1//2, Ux (C7/ U" — U' Ux").

Nemá-li býti V konstantou, musí koěfficienty uvedené vymizeti
jednotlivě, z čehož jde pro U a Ux

U = k u, Ux = kxu.

Dosadíme-li tyto hodnoty do rovnice (18), dostaneme podmínečné
rovnice pro konstanty k, kx

k2 ( k 2 + k2) = 0, (U — V)2 (U' + V') = 0,

tudíž

kx = 0, V — — k v.

XXIX.

14

K hodnotám těmto náleží systém kružnic, * jichž středy leží na ose x-ové
(x — k u)2 + y2 = c2, (x + k v)2 + y2 — c2,
a jichž úhel souřadný dán výrazem

k2

COS (c (pu — c cpv) = 1

2 c2

(u + v)2.

Dělí tudíž rovinu v infinitesimální rhomby systémy kružnic stejných
poloměrů , jichž středy probíhají pevnou kružnici nebo přímku.

Ke konci ukážeme, jakým způsobem možno obdržeti souřadnice
středů hledaných kružnic ze tvaru lin. elementu daného rovnicí (15)

při čemž platí

d s2 = jf— (F d Uy + A2 d Vy1)

h' = -Rf^VF.

Jelikož totální křivost jest nullou, plyne další podmínka pro F , fl

l ( 1 Z YÍ ) = o.

d Ux V Ve d ux '

kde kladeno

, = F láJl „ = n

~ 1 A ’ 5 — li A

Položíme-li V e = <p' (ux), dává poslední rovnice

Vg = k (p + kv kde k , kx značí integrační konstanty. Vyjádříme F, jx
pomocí g a (p, při čemž g jest funkcí (p

4 (g + <P'2) = (F + A2)2, 16 g <p'2 = A2 F (F + A2)2 = 4 A2 F (g + y'2),

z čehož jde

A2 =

2 g

Vg

, A2 F =

W

dgV2

£ + <P/2

což dosazeno do rovnice

dává

f — _ fi + F YF
h ~ 4 c

e <P' Y]

d ux y g _|_ fp'%

XXIX.

15

a integrací

yg + <p

*,-V

= = ^2 - — \ <p' d uv neb

72 C v

ko — —

j <p' vg d u\

Další integrací obdržíme

ut =

[K — -77 y2 — dV

{k <p + kx) ~\]{k <p + ktf — (k2 — v* — 7-9)

(qp + 2 V2 c2 k kx + 2 c2 k (p1 — (p x2
(c2 k 2 kx) (k1 + qpj

Při tom kladeno

= sin 2 c k uí.

c k místo k, kt místo 2 c k k2 + kx2, kx - ^ <)p

2 —

<Pi

Vypočteme-li cos 2 c k uv obdržíme

c2 k cp^ — cpi2 + c2 k kt — 2 kx q 1 — 2 kx2

cos 2 c k ux =

(O2 k + 2 kx) (kx + 9,)

a z toho

cp = y

±v

c2 k — (c2 k + 2 &x) cos 2 c k ul + 2

c2 k — (c2 & + 2 cos 2 c & — 2 kx

— V c2 & + 2 kx sin ckux ±_ V (c2k + 2 kx) sin2 c k ux — 2 kx .
Rozvineme-li plochu lin. elementu (15) do roviny, kladouce
x + 1 y = cp . e ickvi ,

obdržíme jako rovnice hledaných křivek

x = cp (u + v) cos c k (u — v) , y = (p (u + v) sin c k (u — v).
Rovnice tyto jsou aequivalentní s rovnicemi

(*-V

c2 k + 2 kx
~k~

sin 2 c k u

( "\/c2 k 2 kx . ,

( % — y - 7 - i- sm 2 c k v

) + (y +Y

)'+(r-V

c2k + 2

cos 2 c k u) = c2

)'

c2 & + 2 /q

cos 2 c k

v) =

— z-2

a tím přicházíme k výsledkům předchozím.

XXIX.

ROČNÍK XXIII.

třída ii.

ČÍSLO 30.

Anatomický podklad
poklepového ztemnění slezinného.

Napsali

Prof. Dr. L. SYLLABA a Prof. Dr. K. WEIGNER.

S 34 obrazy textovými.

Předloženo dne 12. června 1914.

I.

Dějiny nauky o poklepu sleziny vykazují dvě doby. Prvá zavedla
perkussi sleziny mezi vyšetřovací methody interně lékařské, obstarala
první orientační srovnání mezi nálezem poklepovým a daty topograficko-
anatomickými, ukázala již sice na obtíže methody, ale v celku přehodno¬
tila její spolehlivost. Druhá si to uvědomila, slevila se svých požadavků
a vytkla methodě užší cíle. Určitěji řečeno, badatelé prvé doby troufali
si promítnouti poklepově celou slezinu na stěnu hrudníkovou, v její přední
i v zadní části, v jejím nástěnném i v jejím hlubokém, plícemi přikrytém
oddíle; naproti tomu badatelé druhé doby nahlédli nesnadnost a bezvý-
slednost takového počínání a omezili se na to, určovati poklepem jen onu
část sleziny, která ke stěně tělesné přímo přiléhá, jinými slovy, hledá ti
poklepem jenom povrchní, nikoli hluboké ztemnění slezinné. P i o r r y,
který se všeobecně jmenuje jako první, kdo slezinu klepal, zahajuje řadu
prvých badatelů. Věřil, že v největším počtu případů lze poklepem tak
zv. nepřímým zjistiti polohu, formu a velikost, ba i tlouštku sleziny (la
situation, la formě et le volume de la rate). A třeba na jiném místě do¬
znával, že ,, ohraničí ti poklepově slezinu do zadu jest nej častěji nemožno",
jsou všecky jeho spisy (od r. 1827 do r. 1866) proniknuty přesvědčením
že dokonalý poklepový průmět sleziny v celé její kontuře na stěnu tě¬
lesnou jest nejen věcí možnou, nýbrž že jest to úkol, o který jest se po-
kusiti v každém případě. Stejný v celku názor zastávali písmem resp.
slovem Mailliot, Siebert, Hamerník, C on rádi, Bam-
berger, Jos. Meyer, Friedreich, Bartels, Júrgensen,

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 30. 1

XXX.

o

Quincke. Ale již obě svého času velice oblíbené příručky, N iemeye-
rova a Gerhardtova znamenají do jisté míry obrat. Nedávají
mu sice výrazu přesnou a jasnou slovní formulací, ale i tak ze spojení vy¬
plývá, že oba autoři před perkussí horního pólu sleziny resp. před pro¬
blémem poklepového průmětu sleziny in toto na stěnu tělesnou zjevně
couvají. Co jest v obou těchto učebnicích jen naznačeno, jest rozvedeno
v práci Schusterově (zr. 1866) a kriticky doloženo v knize W e i 1 o v ě
(I. vyd. z r. 1877, 11. z r. 1880), které znamenají konec prvé a počátek druhé
doby v dějinách nauky o perkussi sleziny. Jmenovitě Weil, opíraje se
jednak o vlastní klinickou a učitelskou činnost a o četné záznamy z kursů
diagnostických, jednak o kritický rozbor stěžejních prací období prvého,
t. j . prací Piorryových, Conradiových a posléze Meyero-
vých, vystoupil rozhodně proti oprávněnosti tak zv. hlubokého ztem¬
nění slezinného. Podle jeho názorů jest poklep horního zadního, plícemi
přikrytého oddílu sleziny podnikem klamavým. Následkem toho není
možno poklepem stanovití ani podélný průměr sleziny, tím měně pro-
mítnouti ji v celé její kontuře na stěnu hrudníku. Najde-li se při dolním
okraji levých plic nějaké ztemnění, není podle Weil a se slezinou v ni¬
žádném vztahu a nezaslouží, aby bylo označováno jako hluboké ztemnění
slezinné. Učení W e i 1 o v o setkalo se téměř s obecným souhlasem. M o s 1 e r
vZiemssenově, Litten vNothnagelově souboru speciální
pathologie vnitřních chorob, dále badatelé Oest reich a de la Camp,
ještě později citovaní, jakož i autoři známých učebnic o vyšetřovacích
methodách Eichhorst, Vierordt, Guttman n-K lemperer,
Sáhli, upustili vesměs od snahy, vyklepá ti slezinu in toto. I jest to po knize
W e i 1 o v ě snad jediný Edlefsen, který ve své příručce (z r. 1899)
tvrdí, že lze hluboké resp. relativní ztemnění sleziny ve většině případu
zcela dobře určití. Pokud víme, zůstává jeho hlas ojedinělým a zvláště
v posledních letech nebudí nikde ozvěny.

Avšak reakce jde dále. Ani to omezení, které poklepu sleziny doba
dala ve smyslu právě naznačeném, neuspokojilo některých badatelův. Stále
více se zdůrazňují potíže, se kterými jest methoda ta spojena (nejen pro
sousedství plic, nýbrž i levé ledviny, žaludku, tlustého střeva, nad to pro
tenkost sleziny samotné), nesnáze, o kterých se od počátku vědělo, ale
kterých se nikdy nelze s dostatek doměřiti. Srovnává se dále význam
perkusse sleziny jakožto methody vyšetřovací s významem starší její
družky, palpace a srovnání vychází na prospěch palpace. Podle V i e r-
ordta jest pohmat „die weitaus wichtigste Untersuchungsmethode/'
jelikož' jeho výsledek svádí méně snadno k falešnému výkladu, než vý¬
sledek perkusse sleziny. Podle Eichhorstajest tato spojena s velkými
potížemi, nezřídka prý soudíme na zvětšení sleziny, kde ho není, a
je dobře, rozpoznali je jen tenkrát, kde lze orgán hmatati. Také Sáhli
shledává za všech okolností výsledky pohmatu sleziny spolehlivějšími
než výsledky poklepu. Rovněž Leube považuje palpaci za methodu.

XXX.

3

která jediná skýtá při vyšetřování sleziny výsledky opravdu spolehlivé.
Porovnáváním obojích, palpačních i poklepových poměrů s posmrtnými
seznalo se na Leubeově klinice, že se nález palpační nesrovnává s ana¬
tomickým jen ca ve 20%, poklepový však ve 40% případů. Opíraje se
o irnohaletou zkušenost, pokládá L e u b e zvětšení sleziny, které se dá
stanovití jen poklepem, ale pchmatu je nepřístupno, při nejmenším za
pochybné. Též Litten s důrazem vytýká, že klade na perkussi sleziny
pouze malou váhu. A nej nověji z anglické literatury Hutchison
a Rainy označují pchmat jako ,,really the most important method
of investigating the spleen' ‘ ; a dále píší: „it is never safe to diagnose enlar-
gement of the spleen unless it is palpable". Jaký to rozdíl od představ,
které o ceně poklepu sleziny měl a ve svých knihách vykládá P i o r r y!

Stejný myšlenkový vývoj, jaký se podle právě podaného histori¬
ckého náčrtu odehrával v literatuře světové, lze postřehnouti na naší do¬
mácí půdě, na lékařské škole pražské. Citovali jsme svrchu Hamerníka
jakožto jednoho z těch, kdož věřili, že lze vyklepati horní konec sleziny.
Z jeho práce o tyfu břišním z r. 1846 vysvítá, že při normální velikosti
sleziny páčí šířku oblasti s jasným plicním zvukem poklepovým mezi
příslušnými trny a horním polem sleziny něco více než na 2 palce, u prud¬
kého nádoru sleziny při tyfu jen na 1 až iy2 palce, ale teprve u enormně
velkých, chronických nádorů sleziny že jej redukuje na nullu. Eiselt
nás sice neučil perkussi horního, plicemi krytého oddílu sleziny, ale jinak,
podobně jako Hamerník, cenil si perkussi sleziny, zvláště jako diagno¬
stické vodítko u tyfu břišního, velice a dbal přísně toho, aby byla jeho
žáky náležitě cvičena. Tradici Eiseltovu přejal Ma ixn er. Naproti tomu
Thomayer posuzoval ode vždy poklep sleziny zcela skepticky, ba
možno říci, že jej systematicky téměř vůbec nekonal a nekoná a obrací
všechen zřetel svůj i svých žáků jediné k pohmatu.

II.

Jako odchovanec Thomayerův a jako učitel nauky o poklepu po¬
ložil si starší z nás otázku: Jak dalece jest tato nedůvěra v perkussi sleziny
oprávněna a jaký jest vlastně anatomický podklad ztemnění , které možno
nalézti pod dolním okrajem levých plic v levém hypochondriu ? Otázka tato
dala podnět k přítomné práci, kterou však dlužno posuzovati jen jako
jednu část pracovního plánu, rozvrženého především za tím účelem, aby
učitel nauky o poklepu nabyl o základních pojmech topografické perkusse
ztemnění orgánových (jako jsou povrchní a hluboké ztemnění srdeční,
ztemnění jaterní a slezinné) vlastní samostatné představy.*)

*) První prací sem spadající byla práce: Syllaba-Sieber, Poklep srdce ve
světle orthodiagrafie ve XIV. (XVIII.) roč. Sborníku Lékařského. Další práce:
Syllaba-Weigner budou následovati.

r*

xxx.

±_

Ověřování poklepového nálezu v krajině sleziny jest a priori my-
slitelno na několikerý způsob (viz později). Způsobem nej důležitějším
jest srovnávání jeho s nálezem topograficko- anatomickým na mrtvém tele. Spo¬
jití se k takovému nekroskopickému přezkumu s topografickým anatomem
podporuje jistě objektivnost celého studia a může býti věci jen na prospěch.
Není pak to, mimochodem řečeno, jen applikovaná nauka, která si z ta¬
kovéhoto spojení odnáší podstatný zisk, nýbrž též věda theoretická, ana¬
tomie sama. Anatom naučí se znáti potřeby klinika i kam má ve svém
povolání jako učitel medicínské mládeže obraceti hlavní její zájem a jak
připraviti nejlépe půdu další její výchově klinické. Tímto duchem byli
jsme vedeni při svém díle i my.

V literatuře existují již záznamy, které porovnávají poklepový nález
v krajině sleziny na mrtvém těle zakreslený s nálezem topograficko-anato
micl ým po otevření těla. Dočítáme se o nich v knize Piorryově
z r. 1827, v práci J os. Meyera zr. 1876 a ve studii Oestreicha
a de la Campa zr. 1905.

P i o r r y uvádí tyto pokusy:

První pokus. Nepřímým poklepem zjištěno na hubené mrtvole v kra¬
jině sleziny ztemnění zvýši 4 palců a zšíři 3 palců. Oblast ztemnění byla
ohraničena nahoru poklepem plicním, navnitř a naven • poklepem žalu¬
dečním, dolů poklepem střevním. Vbodly se čtyři jehly v bodech, kde
byl znamenán rozdíl zvuků poklepových. Při pitvě se našlo, že je slezina
oněmi čtyřmi jehlami přesně ohraničena (,, ... genau umschrieben“).
Vykazovala týž objem, který byl zvenčí určen, a orgány ji obklopující
srovnávaly se s příslušnými rozdíly zvuku poklepového.

Druhý pokus. Na mrtvole tučné paní našli Piorry a Jules de
Dervieu v krajině sleziny ztemnění zvýši 4 palců a zšíři 3 palců. Bylo
ohraničeno shora plicním poklepem, s ostatních stran bubínkovým pokle¬
pem různého odstínu. Čtyři špendlíky zabodnuté kolem ztemnění ohra¬
ničovaly slezinu přesně (,,umschrieben . . .genau"). Její objem byl takový,
jak byl před pitvou určen.

Třetí pokus. Piorry, Manec, Miquel odlišili ztemnění sle-
zinné od méně vyznačeného, tuberkulosou podmíněného ztemnění plic-
ního. Při pitvě se ukázalo, že čtyři jehly ohraničovaly slezinu přesně (,,um-
gaben .... genau") a že její rozměry byly a priori správně odhadovány
(, ,richtig geschátzť ‘) .

Čtvrtý pokus. Na mrtvole mladé ženy s ascitem nalezeno ve kra¬
jině sleziny ztemnění v rozsahu 4 palců shora dolů a 3 palců se strany
na stranu. Oblast jeho byla vymezena čtyřmi jehlami, které, jak se při
pitvě ukázalo, slezinu přesně ohraničovaly (,, genau . . . umgránzten").
V dutině břišní I1/^ litru tekutiny.

Pátý pokus. Také za přítomnosti 3 litrů ascitické tekutiny v dutině
břišní zjistila pitva, že byl objem sleziny poklepem správně posouzen
(,,... richtig . . . beurtheilt").

XXX.

5

Na mnohých jiných mrtvolách provedl Piorry, jak dále píše,
obdobné pokusy se stejným výsledkem, ať šlo o těla hubená nebo tučná”
o slezinu velkou nebo malou. Několik chyb („einige Irrthiimer“) stalo se
prý však přece. Ukázky dvou uvádí Piorry v kapitole jednající o po-
klepu ledvin.

Prvý pokus. Na mrtvole staré hubené ženy byl v místě obvyklého
ztemnění slezinného poklep bubínkový ; ztemnění nenašlo se nikde mimo
krajinu levé ledviny a to zvýši 3 y2 palce a zšíři dvou palců. Ač Piorry
hned poznamenal, ze to není ani místo ani rozměry slezině příslušející
a ze, kdyby to byla slezina, musila by býti malá, zabodl kolem určeného
ztemnění jehly v očekávání, že najde tam při pitvě slezinu. Byla tam však
levá ledvina, jehlami přesně ohraničená. Slezina byla velmi malá a velmi
tenká, od stěny tělesné kličkami střevními oddělená.

Eruhý pokus. Také zde byla místo sleziny vyklepána levá ledvina,
která prý byla posunuta výše než obyčejně, jsouc téměř zcela („fast ganz“)
uložena v krajině sleziny. Nad to byla slezina velmi malá, plíce infiltro¬
vané, v dutině břišní ascites.

Celkem podává tedy Piorry pouze sedm ukázek svých pokusů
poněkud podrobněji. Ve dvou z nich selhala perkusse sleziny nadobro,
místo sleziny byla vyperkutována levá ledvina. U ostatních pěti udává
Piorry souhlasně, že oblast kontrolovaného ztemnění poklepového
ohraničovala přesně slezinu resp. že se kryla s objemem sleziny, ač ve dvou
z nich šlo o současné nahromadění volné tekutiny v dutině břišní, kterým
se přece podle našeho dnešního nazírání (srv. M o s 1 e r str. 56, G u 1 t-
m a n n-K lemperer str. 358, M a i x n e r str. 151) poklep sleziny
stěžuje. Než vzhledem k tomu, že ascitické tekutiny nebylo poměrně mnoho
a že Piorry u vodnatelnosti břišní měl za pravidlo perkutovati při po¬
loze na pravé straně nebo na břiše, nechceme údaje Piorryovy bráti
v pochybnost a nechceme oba příslušné případy z průkazového materiálu
Piorryova vylučovati. Neboť i tak jest materiál Piorrym proto-
kolně doložený skrovný a všeobecnou větou, podle které „na mnohých
jiných mrtvolách byly provedeny obdobné pokusy se stejným výsledkem' *,
nenabývá v našich očích dostatečné opory. A to tím méně, ano dále chybí
přesné a jasné udání o tom, jakým způsobem se verifikace po otevření
mrtvoly dála, zda pohledem a hmatem do dutiny břišní v oblast jehlami
vyznačenou nebo po vynětí sleziny z těla nebo methodou okénkovou anebo
postupnou anatomickou praeparací celé příslušné krajiny zvenčí. Tato
neúplnost není pak bez významu, jak později vysvitne.

Bohatším jest materiál, na kterém Jos. Meyer porovnával po¬
klepový nález v krajině sleziny s nálezem nekroskopickým, ale tak, jak
]est zpracován, nepodává nám rovněž uspokojivé odpovědi na otázku,
jakou měrou spolehlivosti vyznačuje se perkusse sleziny. Meyer pro¬
váděl na mrtvolách pokusy dvojího druhu. Prvé konal na způsob P i o r-
ryův, vbodávaje na poklepových hranicích slezinného ztemnění do

XXX.

6

hloubi jehly, a zjistil, že u řady případů zadní oddíl sleziny v délce 4 — 5 y2
cm poklepu uniká. Přes tento poznatek patří M e y e r, jak již z histo¬
rického úvodu víme, mezi ty, kteří uznávají oprávněnost hlubokého ztem¬
nění slezinného. V hoření zkušenosti tkví prý sice podle něho zdroj chyby
pro správné určení podélného průměru sleziny, chyby, které se nikdy nelze
úplně vyhnouti, ale která prý přece nemá takového významu, jak by se
předem dalo souditi. To podle mínění Meyerova dokazují pokusy
druhé jeho serie pokusové. Na 50 mrtvých tělech měřil totiž kružítkem
podélný a šířkový průměr ztemnění slezinného před otevřením těla na
kůži zakresleného jakož i podélný a šířkový průměr sleziny z těla vyňaté
a rozdíl z příslušného srovnání plynoucí zaznamenal ve zvláštní tabulce.
Tabulka tato jest beze vší přehlednosti a chceme-li výsledky pokusů M e-
yerových jasně přehlednou ti a posouditi, nezbývá, než abychom si jeho
číslice sestavili sami.

Rozdíly mezi podélným resp. příčným průměrem slezinného ztemnění
a podélným resp. příčným průměrem sleziny z těla vyňaté podle pokusů

J o s. M e y er a :

Rozdíl

v cm

Průměru podélného

Průměru

šířkového

—

+

dohře mady

—

-4-

1

dohromady

0

4 1

i

7 !

do 0-5

1

4

5

17

3

3

6

1S

do 0-75

4

4

sj

I

- — •

5

sj

1

do 1

3

2

5

5

3

8 '

1

do T5

- —

4

4

1

3

4

do 2

1

8

9

1

5

6

l o o

do 2 5

2

2

4

>33

—

3

3

ř32

do 3

—

6

6

1

8

9

do 4

■ —

3

3

—

2

2^

1

do 4-25

—

2

2

50

50

(Podotknouti dlužno, že v obou tabulkách udávají čísla označená
kladným znaménkem (+) míru, o kterou jest příslušný průměr poklepo¬
vého ztemnění slezinného větší než průměr sleziny z těla vyňaté, čísla
pak označená záporným znaménkem ( — ■) míru, o kterou jest průměr ztem¬
nění menší než průměr sleziny.)

Jak máme na základě obou hořeních tabulek posuzovati výsledky
pokusů Meyerových? V práci, ve které jeden z nás sdr. Sieberem
srovnával srdeční ztemnění s orthodiagrammem, byl prohlášen nezda-

XXX.

7

řilým ten nález poklepový, kde difference mezi hranicemi ztemnění a ortho-
diagrammem přesahovala 0*75 cm. Kdybychom se stejným měřítkem
posuzovali i číslice Meyerem zjištěné, shledalo by se, že podélný průměr
sleziny byl nesprávně vyklepán v 33, příčný v 32 případech resp. v 66%
a ve 64% daného materiálu. Jinými slovy shledalo by se, že se poklep sle¬
ziny v obou průměrech daří nepoměrně hůře než poklep srdce na levých
jeho hranicích (zdařilý v 65%). S chybou sahající nad 2-5 cm do 4 resp.
4-25 cm byl J. Meyerem perkutován podélný průměr sleziny vil pří¬
padech, příčný rovněž v 11 případech z 50, tedy ve 22%; kteréžto pro¬
cento blíží se onomu, v jakém se chyba sahající nad 2*5 cm až 4 resp. 5 cm
objevuje při perkussi pravostranných hranic srdečních (25%). Tedy i kdy¬
bychom uznali, že číslice Meyerovy stačí k tomu, aby mohly býti
srovnány poklepové a anatomické poměry sleziny, nemůže jimi býti
důvěra ve spolehlivost perkusse tohoto orgánu nikterak posilována. A ne¬
chápeme, mimochodem řečeno, jak se mohl Meyer na výsledky druhé
své serie pokusové odvolá váti, když chtěl seslabiti výsledky serie prvé.

Avšak upíráme dále pokusům Meyerovým vůbec všechen
podstatnější význam pro řešení otázky, jakou měrou spolehlivosti vyzna¬
čuje se poklep sleziny. Z různých důvodů. Předem poloha, ve které sle¬
zina v těle leží a kterou se perkusse na povrch těla promítnout i snaží,
jest jiná než poloha sleziny položené na stole pitevním; zde se slezina,
abychom tak řekli, rozprostře a oba její póly se od sebe více oddálí než tomu
jest v těle, kde se slezina přimýká k zaoblené ploše žeber resp. bránice.
Dále! Srovnání anatomických průměrů s průměry poklepovými neříká
nám ničeho o tom, v jakém bližším anatomickém vztahu jsou k sobě per-
kutovaný orgán a vyklepané ztemnění. Rozdíl v měrách může býti ne¬
patrný nebo žádný a přece nemusí býti slezina správně vyper kut ována:
na jedné straně může býti totiž k jejímu ztemnění přidáno ztemnění od
sousedního nějakého útvaru, na druhé pak může býti od něho zase ubráno
jasným resp. bubínkovým poklepem ze sousedství; ba mohlo by se stá ti,
že se míry vyklepaného ztemnění shodují s měrami sleziny, ale ztemnění
leží jinde než kde leží slezina. Sem patří také poznámka W e i 1 o v a.
W e i 1 shledával nápadným, že poklepová šíře sleziny byla v pokusech
Meyerových nápadně často mnohem větší než šíře anatomická. V 13
z 50 případů obnášela difference více než + 2 cm, totiž 3krát 2*3 cm, 6krát
2-6 cm, 2krát 2-9 cm, lkrát 3*5 cm a lkrát 3-9 cm. Vykládal si to tím, že
J. Meyer připočítával v těchto případech ke ztemnění slezinnému relativní
ztemnění (resp. méně jasný poklep) nad dolním okrajem plic, které se tu
ve střední a přední čáře pažní může naskytnou ti i na místech, kde již za
plícemi sleziny není.

Zkrátka znalost anatomických průměrů se nekryje se správnou ana¬
tomickou představou o poloze sleziny i jejího poklepového ztemnění a
jen na základě té můžeme přece řešiti otázku o spolehlivosti perkusse da¬
ného orgánu.

XXX.

8

Nejnověji spojili se za účelem studia této otázky internista děla
C a m p a patli ologický anatom Oestreich, z nichž prvý perkutoval,
druhý obstarával anatomickou kontrolu. Podobným způsobem studovali
i jiné otázky na př. ztemnění srdeční, jatemí atd. Ve příčině přítomného
předmětu píší ve své knize: ,,Was nun die Ergebnisse der Milzperkussion
betrifft, so erscheinen uns die verschiedenen Angaben der Untersucher
uber den Erfolg in Riickenlage, Seitenlage etc. so widerspruchsvoll,
daB wir selbst zahlreiche Untersuchungen angestellt haben. Dieselben er-
streckten sich auf viele Hunderte von Leichen und gestatten uns bezug-
lich der Perkussion in Rúckenlage folgendes zu sagen: Die Perkussion
der Milz in Rúckenlage gelingt nicht nur leicht und ohne Muhe, sie lieferl
auch vorzugliche Resultate. Was uber den Magen, Darm etc. und die
storende Wirkung dieser Teile gesagt wird, trifft nicht im mindesten zu.
Wir haben so oft exakt gepruft und unser Resultat so konstant gefunden,
daB wir dafur einstehen konnen und nunmehr etwaige Fehler der Methodil
des Untersuchers zur Last legen. Wir meinen naturlich die absolute Milz-
dámpfung (= wandstándigen Theil der Milz). Die Lage der Milz und ihres
vorderen Pols, durch die perkussorischen Ergebnisse festgestellt, stimmte
stets genau mit dem Leichenbefund nach eroffnetem Abdomen uberein,
wie es genauer nicht verlangt und erreicht werden kann.“ . . . ,,Auch die
Diagonallage lieferte uns gute Resultate. Der Fullungszustand des Magens
storte bei der Perkussion der Milz uns nicht im mindesten, viel eher konnte
einmal das Colon hinderlich sein.“ Podrobné protokoly pokusné nebyly
nikde uveřejněny. Rovněž nikde není do podrobná udán způsob, jakým
kontrola prováděna. Za těch okolností nezbývá nám, než vžiti svrchu
citované vyjádření Oestreicha a de la Campana vědomost,
respektovati v něm osobní dovednost perkutujícího i subjektivní přesvěd¬
čení obou autorů, ale zároveň dáti výraz lítosti, že není doloženo mate¬
riálem, jehož rozbor by mohl každý a každé chvíle objektivně předsevzíti.

Vůbec pak z celé naší úvahy o příslušných pracích Piorryho,
J. Meyera, Oestreicha a de laCampa vyplývá, že otázka
spolehlivosti poklepu sleziny nebyla dosud řešena způsobem objektivně
úplně ji objasňujícím a uspokojujícím. Materiál Piorryův jest číselně
příliš skrovný; materiál Meyerův nepoučuje nás o hlavní věci t. j.
o topograficko-anatomických vztazích mezi ztemněním a orgánem; ma¬
teriál pak Oestreicha a děla Campa jest sice číselně imponující,
ale nikde není do detailu uveřejněn a objektivní kritice přístupen. Je zjevno,
že, má-li býti otázka spolehlivosti poklepu sleziny uspokojivě řešena, nutno
při studiu jejím zachová váti direktivu, která plyne z práce předchůdců.
A to: materiál použitý musí býti číselně bohatší než Piorryův; v kaž¬
dém jednotlivém pokuse musí býti získána přesná anatomická představa
o topografických vztazích mezi ztemněním a orgánem i jeho okolím; ko¬
nečně v každém jednotlivém případě musí býti nález, vyjádřující poměr
mezi ztemněním a orgánem, nakreslen. Neboť jenom tak docílí se toho, aby

XXX.

9

každý jednotlivý nález byl pro paměť badatelovu do budoucna pokud
možno nešetřené zachován, jakož i aby také čtenáři byl učiněn názorným
a jeho objektivní kritice přístupným.

Ale ani na okamžik nechceme pouštěti s mysli to, co jeden z nás vytkl
již v práci porovnávající poklepový nález srdce s orthodiagrammem t. j.
nechceme zapomínati na subjektivní povahu perkusse. Shledáme-li tedy při
pokusech kontrolujících poklep sleziny, že se perkutující dopouští takových
a takových pozorovacích chyb, padají tyto i zde především na jeho vlastní
vrub. A opakujeme, co jsme napsali již v práci svrchu citované: ,,Jiný, kdo
ovládá perkussi lépe t. j. kdo má jemnější sluch a hmat a vtipněji kombi¬
nuje, může pracovati s menšími chybami/' A dále: — „Má tedy každá
práce, která se snaží nějak objektivně ověřiti výsledky poklepu, sama o sobě
cenu nikoliv absolutní pro všechny, nýbrž jen poměrnou. V prvé řadě pro
toho, kdo ji sám dělal, v druhé řadě pro ty, kdož poklep jako methodu
aspoň přibližně stejně ovládají. Nejspíše tedy asi pro žáky jedné školy."
To platí a priori. A posteriori ukážeme ještě, že se platnost poznatků
naším studiem získaných rozšiřuje přece i na další kruhy.

III.

Pro řešení dané otázky byla v předešlé kapitole zdůrazněna důle¬
žitost správné anatomické představy o topografických vztazích mezi ztem¬
něním a orgánem. Než tedy přejdeme k podrobnému rozboru vlastního
materiálu, dlužno si na mysl přivésti data o topografické anatomii sleziny.

Se zřetelem k poklepu zajímá nás tu ze tří ploch sleziny jediné facies
diaphragmatica a z obou jejích pólů pol dolní, extremitas inferior. Facies
diaphragmatica jest největší plocha slezinná, spočívající na 9. — 11. žebru
a svou nej delší osou rovnoběžná se žebry; slezina směřuje totiž svou po¬
délnou osou shora a mediálně dolů a laterálně, sledujíc tak směr žeber.
Na povrch těla promítá se největší průměr slezinný od articulatio costo-
transversaria X. žebra ventrálně v délce 13 cm směrem svrchu řečeným až
do středobodu šířkového rozměru X. mezižebří (T e s t u t-J a c o b). Ji¬
nými slovy: z obou pólů sleziny jest u articulatio costotransversaria
X. žebra umístěn pol horní, extremitas superior, ventrálně pak od něho ve
vzdálenosti 13 cm měřené podle průběhu IX. — XI. žebra, zakončuje sle¬
zinu pol dolní, extremitas inferior. V poměru k obvyklým, při poklepu
užívaným čarám orientačním říká se také, že horní pol sleziny je vzdálen
od zadní střední čáry 3 — 3 ]/2 cm*) dolní pol pak že přesahuje střední čáru

*) Udání anatomů o vzdálenosti horního pólu sleziny od zadní střední čáry
nechce jiti E d 1 e f s e n o v. i na rozum. Uvažuje takto. Největší šířka a tudíž střed
ztemnění slezinného dá se konstatovati v zadní nebo ve střední čáře pažní anebo
v čáře uprostřed mezi oběma. Zadní čára pažní jest 16 až 20 cm, střední 19 až 23 cm
vzdálena od čáry vertebrální. Možno prý tudíž říci, že střed slezinného ztemnění
u dospělé osoby jest od zadní střední čáry vzdálen 18 až 21 cm, dorsální pak okraj
tohoto ztemnění že jest od téže čáry vzdálen 12 až 15 cm. Na základě těchto číslic

XXX.

10

pažní ventrálně o iy2 — 3 cm (T e s t u ť) a že pravidlem nepřesahuje tak
z v. čáry kostoklavikulární nebo sternokostální t. j. čáry vedené od arti-
culatio sternoclavicularis ke hrotu XI. žebra.) Od oblouku žeberního
jest dolní pol sleziny vzdálen 4 — 6 cm. Kraniálně sahá slezina svým předním
okrajem, margo anterior, k hornímu okraji IX. žebra nebo až k dolnímu
okraji VIII. žebra, kau dálně sleduje její zadní okraj, margo posterior,
v celku XI. žebro. Šířka sleziny t. j. největší vzdálenost mezi předním a

zadním okrajem obnáší 8 cm.

Z celé facies diaphragma-
tica přiléhá dolní její oddíl
přímo ke stěně hrudní, jsa od
ní oddělen pouze bránicí, resp.
chobotem pohrudnicovým, si¬
nus phrenicocostalis, jehož
hranice jsou dány horizontálou
taženou od hlavičky XII. že¬
bra; horní oddíl jest kromě
mocné vrstvy svalů zádových
zakryt plícemi, jejichž dolní
okraj vystupuje od hlavičky
XI. žebra lehce šikmo vzhůru
vpřed. Vzájemný poměr těchto
dvou oddílů, nástěnného a hlu¬
bokého, pokud jde o velkost
jejich plochy, závisí na hloubce
pohybů dýchacích (resp. na
tom, jak daleko jest vyplněn
sinus phrenicocostalis plícemi).
Při klidném, lehkém dýchání
j est podle odhadu W e i 1 o v a fa¬
cies diaphragmatica (obr.I) asi
ze dvou třetin nástěnná, z jedné
třetiny plícemi kryta ; podle
Testuta je facies diaphrag¬
matica ze dvou pětin plícemi
kryta. Zakryty jsou plícemi horní pol, značná část předního a menší část
zadního okraje sleziny. Zadní okraj sleziny vykazuje mimo to ještě jinýdůle-

předsta vuje si E d 1 e f s e n, že jest horní pol sleziny od páteře vzdálenější, než učí
anatomové. A chybuje při tom potud, pokud poměry týkající se poklepového průmětu
sleziny na stěně tělní přenáší na orgán sám. Zcela správně poznamenává v té příčině
Gerhardt (III. vyd. str. 150): ,,Bei Messung der 'Percussionsgrenzen von Milz-
tumoren oder der normalen Milz sind die Maasse nur sehr vorsichtig zu beurtheilen,
da die Dicke und Biegung der Costalwand einen sehr groBen EinfluB auf dieselben
hat und stets mitgemessen \vird.“ Nad dlouhý výklad poučí nás o tom prostý pohled
na anatomický praeparát, představující horizontální průřez příslušnou krajinou.

I. Schéma podle W e i 1 a.
a = Milznierenwinkel, /? — Milzlungenwinkel.

XXX.

11

žitý vztah topografický; spočívá totiž na vnějším okraji levé ledviny a to
v rozsahu od horního pólu ledviny až do prostřed laterálního jejího okraje.
Ostrý úhel, který svírá přední okraj sleziny s dolním okraj em plic, byl nazván
Leichtensternem ,,Milzlungenwinker‘ ; jeho vrchol při stoji spadá asi do
zadní čáry pažní, při poloze na pravém boku sune se téměř až do přední
čáry pažní (dolní okraj levých plic sestoupí tu níže) ; v úhlu tom jsou
uloženy žaludek a flexura coli lienalis. tJhel, který svírá zadní okraj sle¬
ziny s laterálním okrajem ledviny, byl od téhož badatele pojmenován
,,Milznierenwinker‘, v něm pak má svou polohu colon descendens. Poblíž
dolního pólu sleziny jakož i podél předního okraje jejího bývá uloženo
omentum majus, mnohdy silně tukem prorostlé a objemný chuchvalec
v uvedených místech představujíc (Luschka, Braune).

Slezina jest orgán dosti pohyblivý, neboť jest ve své poloze udržo¬
vána toliko řasami peritoneálními (lig. gastrolienale, lig. phrenicolienale,
vlastní to lig. suspensorium lienis, lig. colicolienale, lig. pancreaticolienale) .
Není tedy s podivem, že se poloha sleziny mění: při inspiraci klesá až
o šířku mezižebří, naplněný žaludek ji táhne do poiohy vodorovné, roztažené
colon ji vytlačuje nahoru; samozřejmě závisí její poloha i na poloze těla.

Předeslaná topograficko-anatomická data činí nám pochopitelným
historický vývoj nauky o poklepu sleziny i připravují nás na obtíže, se
kterými bude také nám při našem studiu počítati. Při skrytém uložení
horního pólu a vůbec celého horního oddílu sleziny a při poměrné ten¬
kosti orgánu, který co do tlouštky neměří více než 2% — 4 cm, dalo se
vlastně předem čeká ti, že se stroskotá snaha těch, již usilovali vyperku-
tovati i horní oddíl sleziny t. j. určiti poklepem slezinu celou. Musilo se
dále postupem času přijíti k názoru, že také na těch místech, kde se stýká
slezina s ledvinou a kde ztemnění slezinné přechází ve ztemnění lumbální,
není vůbec možno vyklepati hranice sleziny. A v důsledcích toho musila
se ukázati jako pochybnou i snaha těch, kteří jako na př. Guttmann
omezovali se sice při poklepu sleziny na povrchní ztemnění slezinné, ale
dokreslovali je i vzadu v obrazec uzavřený, v uzavřený ovál. Schuster
r. 1866, Weil r. 1874 a Gerhardt r. 1876 (III. vyd.) spokoj ili se proto
při perkussi sleziny vyklepati ztemnění do zadu otevřené (Schuster:

. . . einen von drei Seiten eingeschlossenen Raum, der nach hinten offen
ist; Weil: ... eine nach hinten offene Dámpfungsfigur ; Gerhardt:
obr. 14 a 16 ze III. vydání jeho příručky). Tím způsobem byl znenáhla
úkol poklepu sleziny omezen na určení dolního jejího pólu a k němu nej¬
blíže přiléhajících částí předního a zadního okraje (M o s 1 e r str. 53).

Jest zajímavo sledovati na údaj ech číselných, kterak se cíle dané
methody nenáhle súžovaly. Z orgánu, který si troufali P i o r r y, Ha¬
merník, Bambergera j. ‘vyklepává ti in toto, u kterého si však již
Gerhardt a Niemeyer netroufají výslovně stanovití, jak velký
jeho díl poklepově určují, vymítá Weil jednu třetinu z poklepového
určení a limine, ze zbývajících pak dvou třetin považuje ještě hodný kus

XXX.

12

za nezjistitelný t. j. zadní okraj, pokud spočívá na ledvině. Na to Mosler
pokládá jen polovinu sleziny za přístupnou perkutujícímu prstu. Seitz
pak se již vyslovuje, ,, . . . da6 etwa nur das untere Drittel der Milz in
seinem unteren Umfange percutirbar ist.“

A to vše platí o případech pro perkussi sleziny příznivých. Již a priori
dalo se však se stanoviska topografické anatomie očekávati a klinická
zkušenost to také plně potvrdila, že dosti často se naskytují poměry pro
perkussi sleziny nepříznivé. Ztemnění slezinnému jakožto průmětu sle¬
ziny na stěnu tělesnou může býti totiž ze sousedství poklepem bud při¬
dáno nebo ubráno.

Přidáno za těchto okolností: a) je-li žaludek naplněn potravou,
b) colon skybaly, c) je-li mocněji vyvinuto resp. silně tukem prorostlé
omen tum maj us, nač upozorňuj í Leichten stern, Mosler, Meyer,
W e i 1, Eichhorst, V i e r o r d t, d) je-li levý lalok jaterní zvětšen,
e) jsou-li při hranicích sleziny s plicemi změny na plicích podmiňující
ohraničené ztemnění (adhaese pleurální, ohraničené infiltráty ve tkáni
plicní), f) jsou-li obdobné, k ohraničenému ztemnění vedoucí změny při
dolních hranicích sleziny (nádory vycházející z ledviny, z colon descendens).
Prvé tři okolnosti (a, b, c) mohou se vyskytovati u lidí zcela zdravých.
Vierordt, uváděje je jako příčiny, pro které i při normální slezině
zdravých lidí bývá ztemnění slezinné zvětšeno, dodává, že se tak někdy
stává i ,,ohne dass derartiges vorliegt."

Ubráno může býti ztemnění slezinnému předem tenkrát, vsune-li se
mezi slezinu a bránici colon nebo jiná část roury střevní ; Sáhli s touto
možností počítá, podle zkušeností Oestreichových dochází k ní
však vzácně. *) Podruhé, a to jest okolnost častější, může býti ubráno ztem¬
nění slezinnému při meteorismu, kde jednak bývá slezina rozedmutým ža¬
ludkem a colem zatlačena dozadu a vzhůru, jednak se otřes poklepový
tenkou její vrstvou šíří k velkým, vzdušným prostorám, v jichž hlučném
a jasném zvuku bubínkovém lehké ztemnění od sleziny úplně zaniká.
Ba stává se někdy za těchto okolností, že se ztemnění slezinné vůbec do-
kázati nedá ; Schusterto zaznamenal v 5 případech z 80, W e i 1
ještě častěji.

Máme-li na mysli všecky tyto okolnosti, právě řečené a pro perkussi
sleziny nepříznivé, a jejich poměrné časté vyskytování, musíme při práci
srovnávající poklepový nález sleziny s nálezem topograficko-anatomickým
býti předem připraveni, že jest mnoho předpokládáno i těmi, kdož, jako
Seitz, snížili cíle methody na poklepové určení dolní třetiny orgánu.

*) Mezi 7000 pitvami pozoroval Oestreich pouze dvakrát, že leželo
colon před slezinou resp. mezi jejím dolním koncem a bránicí: jednou bylo colon
k dolnímu konci sleziny zánětlivě fixováno, podruhé šlo prý asi o kongenitální anomálii
závěsného apparátu. V obou případech byla slezina zvětšena. (Berl. Kliň. Woch.,
r. 1905 Ewalďs Festnummer.)

XXX.

13

IV.

Opírajíce se o data, která nám podává topografická anatomie, stavíce
na zkušenostech, které vyplývají z běžného klinického poznání a řídíce
se direktivou, kterou nám ukazují obdobné pokusy Piorryovy, Jos.
Meyera, Oestreicha a de la Camp a, podjali jsme se práce,
jejíž program jsme na počátku druhé kapitoly vytkli a jejíž výsledky
v přítomné kapitole předkládáme.

Předem několik slov o methodice.

Perkut ováno bylo v poloze diagonální.*) Jet v klinické praxi pova¬
žována bud vůbec za nej lepší nebo za rovnocennou se stojem, který ovšem
při pokusech na mrtvém těle odpadá. Jen tam, kde byl perkut ován dolní
okraj levých plic v celém rozsahu, dála se perkusse jak v poloze diagonální
tak v poloze na pravém boku. Podotknouti dlužno, žeOestreich a de
la Camp perkutovali při svých pokusech jednak v poloze na zádech,
jednak v poloze diagonální; prvá poskytovala jim, jak svrchu citováno,
výsledky výborné, ale také druhá dávala
jim výsledky dobré.

Prvá orientační perkusse byla konána
pomocí plessimetru, dále však při přesném
stanovení poklepových hranic bylo, v sou¬
hlase s radou Edlefsena aj., perku-
továno prstem na prst, úhoz pak pokle¬
pový byl co možná slabý (Sáhli, Gutt-
m a n n) . Byla tedy technika naše pod¬
statně různá od techniky na př. M e y e-
r o v y, kterýžto autor užíval, podobně
jako jiní, poklepového kladívka a silně
klepal, tvrdě, že ,,die Fingerperkussion
und die Berůcksichtigung des Wider-
standes die Milz an ihrem vorderen Theile
um 3 — -5 cm zu groB erscheinen láfit.“

Určiti poklepem horní, plícemi krytý
oddíl sleziny se perkutujícín epokoušel. Jen
ve dvou případech užil k tomu cíli methody (obr. II) udané Edlef senem,**)
chtěje se zvlášť přesvědčiti o její vhodnosti a spolehlivosti. Ve všech ostat-

*) Podle Schustera může se perkusse sleziny díti v 5 polohách: a) při poloze
na zádech, b) při poloze na pravém boku, c) při poloze diagonální t. j. střední mezi
polohou na zádech a na pravém boku, d) při sedu, e) při poloze na břiše ; v. Ziemssen
zavedl a nad jiné cenil perkussi sleziny při stoji. Naproti tomu Schuster a Nie-
meyer považují polohu diagonální za lepší a Weil, Mosler, Eichhorst, Vier-
ordt, Edlefsen doporučují, aby za účelem vzájemné kontroly bylo perkutováno
jak v poloze diagonální, tak při stoji.

**) Postup při methodě Edlefsenově jest tento: 1. V poloze diagonální
nebo v stoji perku tuje se nejprve slabě v čáře probíhající uprostřed mezi střední

II. Schéma podle Edlefsena.

- dolní hranice plic,

- ztemnění slezinné,

. ztemnění ledvinné.

XXX.

14-

ních případech omezil se na určení povrchního ztemnění slezinného. V menší
řadě případů pokusil se vyklepati je ve formě uzavřeného obrazce, uza¬
vřeného oválu, ve větší řadě spokojil se na způsob Weilů v s figurou do
zadu otevřenou.

Postup, kterým se perkutující bral, byl dvojí. Bud určeny nejprve
kraniální, pak kaudální hranice a na konec poloha dolního pólu. Anebo
napřed poloha dolního pólu a pak hranice kraniální a kaudální. Hranice
nazad, ač byly-li vůbec určovány, byly určovány naposled. Směr při
perkussi byl sledován jak centripetábů tak centrifugální t. j. podobně
jako u srdce začal vyšetřující klepati v oblasti jasného zvuku (ať bubín-
kového ať plicního) a z ní postupoval v oblast temného zvuku slezinného ;
z míst úplného ztemnění se vrátil do oblasti zvuku jasného a znovu zpět;
až, ustáliv své přesvědčení o tom, kde se počíná prvé ztlumení jasného
zvuku, kladl tam hranice sleziny, resp. udělal tam na kůži dermografem
bod (nikoliv čáru). (Ve příčině ostatních podrobností techniky poklepové
viz práci Syllaba-Sieber, Poklep srdce ve světle orthodiagrafie,
Sborník Lékařský roč. XIV. (XVIII.) str. 196 a 197.)

Dbáno přísně, aby se kůže na poklepávaném terrainu neposouvala.
Za tím účelem musila býti držena horní levá končetina stále ve stejné poloze.

Když perkusse skončena a ztemnění slezinné na stěnu tělesnou na¬
kresleno, byly hranice jeho promítnuty do hloubi jehlami kolmo k povrchu
tělesnému zabodávanými. Srovnávání poklepového nálezu s nálezem
topograficko-anatomickým konal pak anatom na několikerý způsob:

A) Předem prostě tak, že po otevření dutiny břišní přesvědčil se
hmatem, zda, která a jak velká část sleziny jest zaujata v oblast jehlami
ohraničenou resp. zda v ni zavzat některý sousední útvar. Po případě
vyňal slezinu z těla ven, měřil její rozměry a vzájemným srovnáváním
jejím, jak v těle ležela, s obrazcem poklepovým, jakož i vzájemným srov¬
náváním rozměrů anatomických s rozměry poklepovými doplňovali jsme
si představu o tom, jak velká část sleziny byla vyperkutována.

B) V další řadě pokusů nebyla otevřena dutina břišní obvyklým
řezem v čáře bílé, nýbrž užito okcnkové methody Roserovy t. j. v obvodu
ztemnění odpraepar ována stěna tělová po případě i se žebry, abychom
mohli vzájemný vztah mezi orgánem a ztemněním in šitu přímým ná¬
zorem zjistiti. Methoda ta se nám ukázala instruktivnější předešlé.

a zadní čarou pažní asi od VI. žebra počínaje směrem kolmým, až se dojde k oblouku
žebernímu. Eventuálně se tato orientační perkusse opakuje podobným způsobem
v přední, resp. v zadní čáře pažní. 2. Po této orientační perkussi, která má zhruba
ukázati, kde je největší šíře ztemnění slezinného, určí se slabým úhozem průběh
dolního okraje plic od páteře až k přednímu okraji ztemnění slezinného. 3. Po té se
určí relativní ztemnění silným úhozem ve směru šipky a, c, e, o něco méně silným
úhozem ve směru šipky g a ještě slabším ve směru šipky i, proto slabším, aby nepů¬
sobil rušivě poklepový zvuk od žaludku. 4. Konečně se vyklepe dolní a zadní okraj
absolutního ztemnění zcela slabou perkussi ve směru šipek na schem. II. naznačených
a z jasného zvuku žaludečního resp. střevního v temný zvuk slezinný mířících.

XXX.

15

C) Ale největšího poučení a nej správnější anatomické představy
jsme se dopracovali, když byla na stěně tělové nejen v obvodu ztemnění,
ale i daleko mimo ně (hlavně za ně) vypraeparována mezižebří s případnou
resekcí některého žebra, tak že jsme měli celé pole nás zajímající otevřené
před očima a přístupné přesnému vyšetření jak zrakem tak hmatem. Byly to
hlavně pokusy posledního druhu, které nám zjednaly jasnou anatomickou
představu o tom, jak velká část sleziny určení poklepovému vůbec uniká.

Velikou výhodou bylo pro nás, že si anatom nálezy naše ihned sám
kreslil, z počátku na způsob jednoduchého schématu, později ve formě
obrázku, na kterém byl reprodukován vztah ztemnění, sleziny i všech
ostatních útvarů v daném případě v úvahu přicházejících. Důležitost
tohoto počínání byla námi již svrchu vytčena.

Studie naše se celkem vztahují na 32 těla, která nám byla k disposici
v ústavech dvoř. rady prof. Hlavy, prof. Janošíka a prof. Slavíka.

Případy studované methodou A.

Případ č. 1 (obr. 1.).

Ztemnění ve formě uzavřeného oválu
mezi dolním okrajem VIII. a horním okra¬
jem X. žebra. Je posunuto ventrálně a kau-
dálně od sleziny tak, že se jen jeho zadní
část kryje s dolní částí sleziny. Horní část
sleziny se táhne daleko do zadu za ztem¬
nění. Poklepem jest určena ventrální část
předního okraje sleziny, ale je prodloužena Obr. 1

falešně vpřed a dolů, není určen dolní
pol sleziny a dolní okraj. Celkový výsledek nezdařilý.

Případ č. 2 (obr. 2.).

Ztemnění ve formě uzavřeného kruhu,
jehož zadní část vyklepával perkutující
s nejistotou; sahá od horního okraje VII.
k dolnímu okraji IX. žebra. Jest vůbec
mimo slezinu ve směru ventrálním. V jeho
rozsahu jest omentum silně tukem pro¬
rostlé. Dolní pol sleziny se začíná teprve Obr. 2.

u zadních hranic ztemnění, kde si nebyl

perkutující dosti jist. Odtud se prostírá slezina nazad. Neurčeno ze
sleziny vůbec nic. Celkový výsledek úplně nezdařilý.

Případ c. 3 (obr. 3.).

Ztemnění ve formě oblouku nazad otevřeného prostírá se mezi
VI. a VII. žebrem. Jest mimo slezinu ve směru ventrálním. V jeho roz-

XXX.

16

sáhu ornentum a prázdná kontrahovaná flexura
coli lienalis. Slezina se začíná svým dolním
polem tam, kde se končí obé ramena oblouku.

Neurčeno ze sleziny vůbec nic. Celkový vý¬
sledek úplně nezdařilý.

Případ c. 4 (obr. 4.).

Ztemnění ve formě uzavřené, kruhovité
jest uloženo po obou stranách X. žebra. Jest
z největší části mimo slezinu a to ventrálně
a kaudálně, zabírajíc jen malý segment dolního jejího pólu do své dorso-
kraniální partie. V rozsahu ztemnění jest a) ornentum, které je silně

tukem prorostlé a kryje kontrahovanou, k dol¬
nímu pólu sleziny se přimykající flexuru coli
lienalis a b) kličky jejuna při kaudálním okraji
ztemnění. Dolní pol sleziny, zavzatý úzkým seg¬
mentem do ztemnění, jest od oblouku žeberního
ve směru průběhu X. žebra 9 cm vzdálen. Při
poklepu bylo sice konstatováno v místech vlastní
sleziny ztemnění nápadnější než v zakresleném
obrazci, ale bez ostrých hranic do okolí. Topo¬
grafický vztah mezi ztemněním a slezinou tedy
nepatrný. Celkový výsledek úplně nezdařilý.

Případ c. 5 (obr. 5.).

Ztemnění na způsob oblouku dozadu otevřeného; rozměry : d = 7
cm, š == 5*5 cm. Objímá dolní pol sleziny, v úzký jazyk vybíhající, a to tím
způsobem, že hranice ztemnění jsou od samotného pólu o 2 cm dále směrem
ventrálním a kaudálním, od zadního okraje o 2 y2 cm níže a že se kraniálně
k okraji sleziny přibližují, až na nej vyšším bodě ztemnění a s ním splývají.

Hlavní massa sleziny je položena nazad, dor-
sálně od ztemnění. Tumor lienis venostati-
cus; rozměry: d = 16 cm, š největší == 8 cm,
š jazyko vitého dolního konce — 3 cm. Z toho
zabráno do ztemnění: na šířku jazyko vitý
dolní konec cele, z podélného průměru sle-
zinného 5 cm. Celkem tedy představuje část
sleziny do ztemnění zavzatá přibližně asi
šestinu sleziny celé. Poloha dolního pólu
určena s chybou + 2 cm. Splynutí poklepo¬
vých a anatomických hranic sleziny v bodě a nelze považovati za správné
určení předního okraje. Výsledek nelze považovati za zdařilý.

Případ c. 6 (obr. 6.).

Ztemnění na způsob oblouku dozadu otevřeného sahá od dolního
okraje VII. k dolnímu okraji IX. žebra; je vzdáleno od oblouku žeberního

Obr. 4.

Obr. 3.

XXX.

17

5 cm. Je posunuto od sleziny ventrálně tím způsobem, že se jen malá
kaudálně dorsální část jeho kryje s kranioventrální částí sleziny. Při
tom jest vzdálenost mezi ztemněním a orgánem v kra¬
jině dolního pólu 2 — 3 cm. Tam, kde není slezina, jest
jednak omentum, jednak žaludek s obsahem. Hlavní
část sleziny sahá nazad, dorsálně od ztemnění. Cel¬
kový výsledek nezdařilý.

Případ č. 7 (obr. 7.).

Ztemnění slezinné nazad otevřené sahá od hor¬
ního okraje VII. k dolnímu okraji IX. žebra; rozměry:
d= 7 cm, š = 7 cm; je vzdáleno od oblouku žeberního
8-3 cm. Je posunuto asi o 2-5 cm kraniálně od sleziny.

Rozměry sleziny: d = 12 cm, š = 8 cm, tl = 3 cm. V délce asi 5 cm sahá
slezina dorsálně za ztemnění. Příčný průměr ztemnění jest sice jen o 1 cm
menší než příčný průměr sleziny, ale polohou se spolu nikterak nekryjí.
Poloha dolního pólu jakž takž určena se zmíněnou úchylkou kraniální.
Celkový výsledek nelze nazvati zdařilým.

7

Obr. 6.

Případ č. 8 (obr. 8.).

Ztemnění jest uzavřené a má tvar segmentu ellipsy o basi 8 cm a výšce
6 cm. Jest posunuto většinou ventrálně od sleziny, zabírajíc do sebe jen
pruh předního okraje sleziny v jeho ventrální polovině. Tumor lienis;
rozměry: d — 18 cm, s = 10 cm, tl = 3-5 cm. Až na řečený pruh svého
předního okraje prostírá se slezina nazad od ztemnění. V těch místech
našel sice perkutující ztemnění, ale neodlišné od okolí. Celkový výsledek
úplně nezdařilý.

Případ č. 9 (obr. 9.).

Ztemnění dozadu otevřené, jazykovitě protáhlé, kraniální jeho
hranice zdéli =10 cm, kaudální kratší, vzdálenost obou konečných bodů
jazyku ve směru dorsálním =8 cm; prostírá se od dolního okraje VIII.
k dolnímu okraji X. žebra. Je posunuto od sleziny ventrálně a kaudálně
tím způsobem, že jest teprve do jeho dorsální části za vzat trojhranný
segment dolního oddílu sleziny s polem; výška tohoto segmentu jest 5 cm,
což znamená, jak nejdále zabíhá ztemnění v podélném směru v oblast

Rozpravy: Roč. XXIII, Tř. II. Čís. 30.

XXX.

2

18

sleziny. Tam, kde v obvodu ztemnění není slezina, t. j. ve ventrálním jeho
oddíle jest omentum a obě ramena flexurae lienalis. Slezina zvětšena;
rozměry: d = 15 cm, š = 12 cm. Tumor lienis acutus; typhus abdomi-
nalis. Vyperkutovaná část sleziny odpovídá stěží čtvrtině až třetině
orgánu, který se ostatně prostírá na zad od ztemnění. Poloha dolního pólu
neurčena. S differencí — 1 cm určena poloha ventrální části předního
okraje, ale prodloužena falešně vpřed a dolů. Zadní okraj sleziny počíná
se tam, kde se končí zadní okraj ztemnění. Celkový výsledek nezdařilý.

Případ c. 10 (obr. 10.).

Ztemnění do zadu otevřené má tvar segmentu ellipsy o šířce 5 cm ;
sahá od horního okraje VIII. k hornímu okraji X. žebra; je vzdáleno od

oblouku žeberního
7 cm. Ztemnění se
kryje s dolním seg¬
mentem sleziny v
rozsahu asi j edné
čtvrtiny celého je¬
jího objemu. Omen¬
tum tuku prosté.
Slezina zdéli = 13 cm,
zšíři 7 cm ; asi třemi

čtvrtinami svého objemu sahá dorsálně od ztemnění. Určena správně
poloha dolního jejího pólu a přilehlých částí předního a zadního okraje.
V tom směru výsledek zdařilý.

Obr. 10.

Obr. 11.

Případ č. 11 (obr. 11.).

Ztemnění nazad otevřené má tvar jazyku; rozměry: d = 9 cm,
s = 5 cm; sahá od horního okraje VIII. k hornímu okraji X. žebra; je
vzdáleno od oblouku žeberního 7-5 cm. Ventrální segment ztemnění (od
jehly č. 2 a až za jehlu č. 3) souhlasí s polohou dolního pólu resp.
přilehlé části sleziny, ostatně spadá ztemnění ve střední oddíl sleziny
tak, že přední i zadní její okraj leží mimo oblast temného poklepu:
v nákresu jest ztemnění objato orgánem. Slezina zdéli = 13 cm, zšíři
8 cm. Vyperkutovaná část její odpovídá více než třetině celkového objemu.
Horní pol sleziny sahá ještě 4 — 5 cm dorsálně mimo ztemnění. Určena
správně poloha dolního pólu a přilehlé části sleziny.
Neurčena poloha předního a zadního okraje. Omentum
tuku prosté. Výsledek tedy jen co do určení dolního
pólu a přilehlé části zdařilý.

Případ c. 12 (obr. 12.).

Ztemnění ve formě uzavřeného oválu; rozměry:
d = 9 cm, š = 5 cm; prostírá se od dolního okraje VII.
žebra do středu IX. mezižebří; dosahuje čáry kostoklavikulární. Je posu¬
nuto kraniálně a ventrálně od sleziny. Ventrální pol ztemnění je vzdálen od

XXX.

19

dolního pólu sleziny 1 y2 cm ; ke slezině přiléhá tu kontrahovaná flexura lie-
nalis coli a omentum tukem prorostlé. Přední okraj j est na ztemnění posunut
výše než je na slezině a to o 2*4 cm vpředu, o iy2 cm vzadu; vpředu tu
přilehá ke slezině fundus žaludku (jehla č. 3). Zadní okraj ztemnění jest též
posunut výše; hranice ztemnění a orgánu se tu kříží (jehla č. 5). Poprvé bylo
poklepem vystiženo, jak daleko dorsálně sahá horní pol sleziny. Celkem však
nelze nazvali výsledek zdařilým.

Případ č. 13 (obr. 13.).

Ztemnění ve formě uzavřeného

oválu ; rozměry: d — 7 cm, s 5 y2 cm;
sahá od středu VIZ. mezižebří k hor¬
nímu okraji X. žebra; vzdáleno od
oblouku žeberního 5y2 cm • Jest posu¬
nuto ventrálně od sleziny, jejíž dolní
pol jen nepatrným kranioventrálním
segmentem jest zabrán do dorsální
části ztemnění. Jinak zaujímají oblast
temného poklepu a) flexura coli lienalis

naplněná skybaly, b) fundus ventriculi naplněný tekutinou, c) z nepatrné
části vpředu omentum. Slezina až na nepatrný segment dolního pólu
sahá dorsálně od ztemnění. Výsledek naprosto nezdařilý.

Případ č. 14 (obr. 14.).

Ztemnění uzavřené tvaru skoro kruhovitého sahá od horního okraje
VII. k dolnímu okraji IX. žebra. Jest jím správně určena poloha dolního
pólu sleziny a přilehlých částí předního a zadního okraje
jejího. Na vyňaté slezině viděti však, že dolní pol sleziny
tvoří úzký výběžek, od něhož se ostatní nevyperkuto-
vané těleso sleziny hruškovitě rozšiřuje. Vyklepaný seg¬
ment sleziny představuje asi pětinu celkového jejího
objemu. Ostatní asi čtyři pětiny prostíraly se v těle
dorsokaudálně mimo okrsek poklepový. Výsledek zda¬
řilý jen co do určení dolního pólu a části přilehlé.

Obr. 14.

Případy studované methodou B.

Případ č. 15 (obr. 15.).

Ztemnění uzavřené tvaru kruhovitého
sahá od středu VIII. do středu X. žebra.
V okénku vzniklém odpraeparováním kůže,
svalů mezižeberních a bránice lze viděti
v VIII. mezižebří omentum tukem prorostlé,
v IX. mezižebří slezinu; odpraeparuj e-li se
omentum, je celé okénko vyplněno slezinou,
ovšem jenom segmentem jejím. Jeť správně

XXX.

2*

20

určena poloha dolního pólu a přilehlé k němu části, celkem asi čtvrtina
celkového objemu sleziny. Ostatní asi tři čtvrtiny sahají kraniodorsálně
od ztemnění. Výsledek zdařilý co do určení dolního konce sleziny.

Případ c. 16 (obr. 16.).

Ztemnění uzavřené tvaru ellipsového sahá od dolního okraje VIII.
žebra do X. mezižebří. Ve vypraeparovaném okénku jsou: a) slezina, ve
ventrální části okénka omentem krytá, ostatně volná, b) v VIII. mezižebří
při kraniálním okraji okénka úzký pruh fundu žaludečního. To, co jest
v okénku ze sleziny viděti, jest extremitas inferior sleziny a segment
středního jejího oddílu, celkem asi čtvrtina celého objemu. Dolní pol
sleziny vyklepán správně, ventrální část předního jejího okraje jakož
i ventrální část okraj e zadního s nevelkou chybou, ostatní však slezina táhne
se mimo ztemnění, dorsálně od okénka, představujíc asi tři čtvrtiny celého
objemu. Co do určení polohy dolního konce je tedy výsledek zdařilý.

Případ c. 17 (obr. 17.).

Perkutováno po insufflaci plic. Ztemnění uzavřené tvaru kruho¬
vitého, se vzdáleností od jehly č. 1 k jehle č. 4 šest cm\ prostírá se ze VII.
mezižebří k hornímu okraji X. žebra. Okénkovou methodou zjištěno,
že v oblasti ztemnění jsou ve směru shora dolů podle sebe uloženy:
a) dolní okraj plic, b) omentum, c) polokruhovitý výsek sleziny z krajiny
jejího dolního pólu a předního okraje. Ostatek sleziny táhne se jednak
kaudálně jednak dorsálně od ztemnění. Poklepem vystihnuto nanejvýš,
jak daleko zůstává dolní pol sleziny od čáry kostoklavikulární resp. od
oblouku žeberního. Jinak jest výsledek nezdařilý.

Případ c. 18 (obr. 18.).

Perkutováno před insufflaci plic a po ní, vztah mezi ztemněním
a slezinou sledován jen vzhledem ke stavu po insufflaci plic. Ztemnění
uzavřené ve formě kruhu prostírá se před insufflaci plic (čárkováno) od
horního okraje VIII. k hornímu okraji X. žebra, po insufflaci (křížkováno)

XXX.

21

je posunuto o šířku žebra níže, sahajíc od středu VIII. mezižebří k hor¬
nímu okraji XI. žebra. Rozměry ztemnění před insufflací: podle průběhu
IX. žebra = 6 cm, kolmo na ně = 7 cm ; vzdálenost od oblouku žeber-
ního — 9 cm. Insufflací se tyto číselné poměry mnoho nezměnily. Ztem¬
nění — po insufflací plic vyklepané — objímá v pásu asi 2 cm širokém
jazykovitý dolní konec sleziny se tří stran: kraniální, ventrální a kau dální,
nepoměrně větší část sleziny táhne se dorsálně od ztemnění. Výsledek
nezdařilý.

Případ c. 19 (obr. 19.).

Ztemnění uzavřené, ve formě ellipsovité,
sahá od horního okraje IX. k hornímu okraji
XI. žebra. Ve vypraeparovaném okénku jest až
na uzounký pruh při ventrokaudálním oddíle
periferie viděti všude slezinu; v jmenovaném
uzounkém pruhu jest patrna klička tenkého střeva.

To, co jest v okénku ze sleziny viděti, jest její
extremitas inferior a oddíl ventrální, celkem asi
třetina celé sleziny. Ostatek se táhne kranio-
dorsálně od ztemnění. Správně je vyklepán dolní Obr. 19.

pol a zadní okraj (až na onu bezvýznamnou addici

střevní kličky) , s nepatrnou — differencí přední
okraj. Podle něho jest uloženo omentum, které
zde nepůsobilo na nález poklepový. Celkový
výsledek zdařilý.

Případ č. 20 (obr. 20.).

Ztemnění uzavřené, formy kruhovité, sahá
od středu VIII. mezižebří do středu X. mezi¬
žebří. V odpraeparovaném okénku jest viděti:

a) v dorsokaudální jeho části nepatrný kus
předního okraje sleziny s dolním jejím polem,

b) uprostřed omentum, c) kraniálně fundus ven-
triculi. Celé ztemnění j e tedy posunuto ventrálně
od sleziny a zabírá jen

Obr. 20. nepatrnou její část do

své oblasti. Slezina je
uložena svým předním okrajem až u X. žebra,
táhne se skoro celá kaudodorsálně od ztemnění.

Celkový výsledek nezdařilý.

Případ č. 21 (obr. 21.).

Ztemnění uzavřené, tvaru ellipso vitého, sahá
od horního okraje VIII. pod horní okraj X. žebra.

V odpraeparovaném okénku viděti: a) hlavně sle¬
zinu, b) dopředu pak při jejím ventrálním konci

XXX.

22

omentum tuku prosté jako srpoví tý pás právě u pólu ca. 1 cm široký. Celé
ztemnění jest zrovna ve směru dolního pólu posunuto o 1 cm kranioventrálně
od sleziny, při čemž jsou určeny přední a zadní okraj dolního oddílu sleziny
dosti dobře (jehlami č. 1 a 4). To, co jest ze sleziny vyklepáno, tvoří asi
třetinu její; ostatek se prostírá nazad od ztemnění. Celkem zjištěna po¬
klepově poloha dolního konce sleziny, a to s chybou + 1 cm při samém
pólu, s menší chybou při jeho předním a zadním okraji. Celkový výsledek

dosti zdařilý.

Případ c. 22 (obr. 22.).

Ztemnění nazad ote¬
vřené sahá od horního
okraje VIII. skoro k dol¬
nímu okraji X. žebra. V od-
praeparovanem okénku lze
viděti omentum, jež po¬
krývá vpředu a) kličky
tenkého střeva a kontraho-
Obr. 22. vanou flexuru coli lienalis Obr. 23.

s hojnými appendices epi-

ploicae, b) vzadu pak nevelký úsek dolního konce sleziny. Toť také vše, co
ze sleziny do ztemnění zasahá. Ztemnění je tedy posunuto ventrokaudálně
od sleziny, tato pak se prostírá od zadního otevřeného konce poklepového
obrazce směrem dorsokraniálním. Celkový výsledek naprosto nezdařilý.

Případ c. 23 (obr. 23.).

Ztemnění uzavřené, ve formě ellipsovité ; rozměry: d =. 8 cm, š — 7 cm ;
sahá od horního okraje VIII. k hornímu okraji X. žebra. V odpraeparovaném
okénku viděti jenom slezinu krytou z části omentem. (V omentu na místě
křížkem označeném uložena pod IX. žebrem malá kulovitá přídatná slezina

zvící vlašského ořechu.) To, co jest ze sleziny
v okénku viděti, tvoří něco více než třetinu
a méně než polovinu celého jejího objemu.
Dolní konec sleziny přesahuje obvod okénka
o dosti značný kus ventrokaudálně, horní
konec přesahuj e j ej oj eště větší kus dorsokra-
niálně. Za to jest poklepem správně vystižen
směr předního a zadního okraje sleziny. Jiný¬
mi slovy j est poklepem správně určena šířka
sleziny. V tom směru jest výsledek zdařilý.

Případ č. 24 (obr. 24.).

Ztemnění nazad otevřené sahá značně
vysoko t. j. od horního okraje VI. žebra do
VIII. mezižebří; od oblouku žeberního je vzdáleno 12 cm. V odpraeparo¬
vaném okénku táhne se uprostřed proříznutá bránice, nad ní je dolní okraj

XXX.

23

plic, pod ní omentum pokrývající kontrahovaný žaludek a kontrahovanou
flexuru coli lienalis; nad dolní periferií okénka v zadní jeho části táhne se
úzký pruh předního okraje sleziny až k dolnímu jejímu pólu. Jinak jest
slezina uložena kaudodorsálně od ztemnění; vyznačuje se tím, že jest její
dolní konec velmi úzký, jazykovitý. Celkový výsledek naprosto nezdařilý.

Případy studované methodou C.

Případ č. 25 (obr. 25.).

Ztemnění nazad otevřené; tam, kde se otvírá, jest 4-5 cm široké;
sahá od středu VITI. k hornímu okraji XI. žebra; je vzdáleno od oblouku
žeberního 7 resp. 8 cm. V oblasti ztemnění shledáno: a) ventrálně omentum,
b) dorsálně slezina. Ze sleziny zasahuje do ztemnění dolní její část, a to
tak, že přední okraj jest uvnitř ztemnění, jsa od jeho hranic oddělen
svrchu zmíněným pásem omenta, zadní pak okraj jest mimo ztemnění.

ale jest určen dobře s nepatrnou jen odchylkou; také Milznierenwinkel
jest určen s nepatrnou odchylkou. Celkem tvoří vyperkutovaná část
sleziny něco více než třetinu celé facies diaphragmatica ; ostatek sleziny
jest uložen dorsokraniálně od ztemnění. Obrázek ukazuje také poměr
sleziny k m. sacrospinalis. Zdařilým možno nazvati výsledek jen, pokud
jde o určení úhlu mezi slezinou a ledvinou a přilehlé části zadního okraje
sle iny až k dolnímu pólu.

Případ c. 26 (obr. 26.).

Ztemnění nazad otevřené sahá od horního okraje IX. k hornímu
okraji XI. žebra. V oblast ztemnění jest zaujata dolní část sleziny až
na samotný pol, který jest vytažen v uzounký jazyk a leží ventrálně od
ztemnění, a až na přední okraj, který probíhá něco málo nad ztemněním.
Milznierenwinkel jest kladen poklepem více nazad, než kde vskutku jest.
Slezina táhne se ještě hluboko kraniodorsálně za ztemnění směrem k pá-

XXX.

24

teři. Vy per kut ováná část představuje něco více než třetinu celého orgánu.
Poklepem určena tedy dosti správně poloha ventrálního oddílu sleziny.
Výsledek zdařilý.

Případ č. 27 ( obr. 27.).

Ztemnění nazad otevřené ; rozměry 7 x 6 % cm i prostírá se od hor¬
ního okraje IX. k hornímu okraji XI. žebra. Do okrsku ztemnění zaujata
extremitas inferior sleziny až na malý lalůček na samém dolním pólu,
který leží ventrálně od ztemnění. Přední okraj vyklepané části sleziny
jest určen s diíferencí o málo větší než + 1 cm, zadní s differencí menší
než 4- 1 cm. Milznierenwinkel určen správně. Blíže předního okraje sle¬
ziny za vzat do ztemnění úzký pruh žaludku, k zadnímu okraji přimyká se
omentum a flexura coli lienalis. Hlavní část sleziny jde kraniodorsálně
za ztemnění. Poklepem tedy určena poloha ventrální části sleziny. Vý¬
sledek zdařilý.

Případ č. 28 (obr. 28.).

Ztemnění nazad otevřené ; rozměry 7% X 6 cm ; prostírá se od horního
okraje VIII. k dolnímu okraji X. žebra; zadní čáru pažní přesahuje 414 cm
směrem ventrálním. V oblasti temného poklepu jest uložena slezina,
valnou měrou krytá omentem. Přední okraj sleziny až po Milzlungen-
winkel úplně souhlasí s kraniálním okrajem ztemnění, za to dolní pol
sleziny přesahuje ztemnění ventrokaudálně o 2 V2 cm a zadní její okraj
o 1 y2 cm ; obdobně se chová Milznierenwinkel. Nazad od ztemnění sklání
se slezina do hloubky až k páteři. Poklep tedy správně zjistil průběh kra-
niálního okraje sleziny až po Milzlungenwinkel; v tom směru jest výsledek
zdařilý, jinak ne.

Případ č. 29 (obr. 29.).

Ztemnění nazad otevřené; rozměry 6*4x5 cm: sahá od horního
okraje IX. až k dolnímu okraji XI. žebra; přesahuje z většího dílu
zadní čáru pažní směrem ventrálním a dosahuje čáry kostoklavikulární.
Po praeparaci lze viděti v mezižebřích: a) okraj zvětšeného levého

XXX.

25

laloku jaterního, který sahá skoro k hornímu okraji X. žebra, b) ventrální
část sleziny stlačené játry až pod horní okraj XII. žebra. Prostírá se tu
tedy slezina od IX. mezižebří až do středu XII. žebra, za ztemněním pak
nazad sahá skoro až k páteři. Není tedy poklepem správně určen ani
přední ani zadní okraj sleziny, za to a) dolní její pol jest ve skutečnosti
jen s nepatrnou úchylkou níže než na ztemnění a b) zcela správně je po¬
klepem vystižen vztah k čáře kostoklavikulární. V těchto dvou směrech
je výsledek zdařilý, jinak ne.

Případ c. 30 (obr. 30.).

Ztemnění nazad otevřené; rozměry 6x5*4cw; sahá od IX. mezi¬
žebří k hornímu okraji XII. žebra; jeho přední konec jest 2% cm nazad
za střední čarou pažní. Po praeparaci lze sice viděti v otevřených mezi-
žebřích pouze slezinu, ale jenom zadní horní konec ztemnění (u jehly
č. 1) souhlasí s anatomickými hranicemi sleziny, a to při předním jejím
okraji. Všude jinde přesahuje slezina okrsek temného poklepu, ventrálně
asi o 2 cm, při dolním zadním konci ztemnění o 1 cm, dorsálně ovšem nej¬
více. Milznierenwinkel
je tedy také níže, než
by byl podle obrazce
poklepového. Z řeče¬
ného dále vyplývá, že
šířka ztemnění při j eho
zadním konci jest o
1 cm menší než šířka or¬
gánu v těchto místech,
vpředu j e rozdíl o mno¬
ho větší. Poklep nás
poučil nanej výše v tom
směru, že nemůže býti
slezina obzvlášť zvět¬
šena, ano ztemnění nedosahuje ani střední čáry pažní. Jinak je výsledek
nezdařilý.

Případ č. 31 (obr. 31.).

Perkutováno podle methody Edlefsenovy, která má za účel vyklepati

1 oddíl sleziny plícemi krytý. Ztemnění nazad otevřené; sahá od VI.
k X. mezižebří. Z celého ztemnění má okrsek ohraničený jehlami č. 1,

2 a 6 představovati hluboké ztemnění slezinné, ostatek ztemnění po¬
vrchní; čára spojující jehly č. 2 a 6 má určovati dolní okraj levých plic.
Po praeparaci lze viděti v okrsku mezi jehlami č. 1, 2, G plíce, jejichž dolní
okraj jest jehlami č. 2 a 6 zcela přesně stanoven; oblast povrchního ztem¬
nění obsahuje: a) pod bránicí játra a pod nimi b) vpředu žaludek, c) vzadu
slezinu. Ze sleziny jest ve ztemnění za vzat segment dolní její části s předním
okrajem. Dolní pol sám o sobě jest již mimo ztemnění, podobně zadní

Obr. 31.

XXX.

26

okraj, který zasahuje až pod dolní okraj XII. žebra. Slezina jest tu zase
stlačena játry dolů, podobně jako v případě č. 29. Dorsální část sleziny
sune se kraniodorsálně pod játra. Tato sahají v hloubi, v klenbě brániční
téměř k jehle ě. 1. Tím způsobem hluboké, podle methody Edlefsenovy
určené ztemnění pochází od jater. Vzhledem ke slezině jest celkový vý¬
sledek nezdařilý. K úsudku o methodě Edlefsenově se případ nehodí pro
komplikaci se zvětšenými játry.

Případ c. 32 (obr. 32.).

Perkutováno podle methody Edlefsenovy. Ztemnění nazad otevřené ;
sahá od horního okraje VIII. k hornímu okraji XI. žebra. Z celého ztem¬
nění má okrsek ohraničený jehlami č. 1, 5, 6 představová ti hluboké ztem¬
nění slezinné, ostatek ztemnění povrchní ; čára spojující jehly č. 1 a 5
má určovati průběh dolního okraje plic. Po praeparaci je viděti, že se
prostírají plíce mnohem níže, než bylo poklepem stanoveno, zasahujíce tak

do oblasti ztemnění povrchního ; v dolní části této
oblasti lze pod okrajem plic viděti: a) v předu omen-
tum, b) vzadu slezinu. Slezina malá: d — 9% cm ,
š = 5 cm, tl = 2 cm, jest celá zavzata do ztem¬
nění ; zasahá dolním polem tam, kde přechází
v obrazci poklepovém ventrální okraj ztemnění
v kaudální, a prostírá se odtud mezi dolním okra¬
jem IX. a dolním okrajem XI. žebra směrem kra-
niodorsálním pod plíce, nedosahujíc jehly č. 5. Je
tedy z ní poklepem s malou — úchylkou určen
zadní okraj dolní části, zcela dobře je pak určen
Milznierenwinkel ; také vztah k čáře kostoklavi-
kulární jest poklepem vystižen. Hluboké ztemnění naprosto nesouhlasí
s rozlohou horní části sleziny; v oblasti ohraničené jehlami č. 1, 5, 6 vůbec
totiž sleziny není; jehla č. 6 určuje výši klenby bráničné. Celkový vý¬
sledek lze tedy jen co do určení zadního okraje dolní části sleziny nazvati
zdařilým. Zároveň je vidno z pokusu, jak může methoda Edlefsenova
perkutujícího s věsti.

V.

Jak se nám jeví výsledky našeho bádání v přehledě?

V 18 případech jest výsledek nezdařilým. A to tak, že ve 2 jest ztem¬
nění úplně mimo slezinu (č. 2 a 3), v 7 skoro (č. 4, 6, 8, 13, 20, 22, 24), v 9
pak jest sice do okrsku ztemnění zaujata jistá část sleziny (č. 1, 5, 7, 9,
12, 17, 18, 30, 31), kterou jsme ve případě č. 5 odhadovali na šestinu a v pří¬
padě č. 9 na čtvrtinu až třetinu celé facies diaphragmatica, ale hranice
poklepové a anatomické naprosto nesouhlasí: dolní pol ztemnění jest
jinde než dolní pol orgánu, kraniální okraj ztemnění jinde než kraniální

XXX.

27

okraj orgánu a konečně kaudální okraj ztemnění jinde než stejnojmenný
okraj orgánu. Při tom se v 8 z těchto 9 případů obojí hranice navzájem
křižují (obdoba: dva protínající se výstředné kruhy), v jednom (č. 30) jest
obrazec poklepový cele uložen dovnitř obrazce, kterým jsou anatomické
obrysy orgánu promítnuty na stěnu tělní (obdoba: dva soustředné kruhy).
Co do orientace směrové dlužno uvésti, že je ztemnění posunuto od orgánu
v 7 případech ryze ventrálně (č. 2, 3, 6, 8, 13, 18, 20), v 5 kaudoventrálně
(č. 1, 4, 5, 9, 22), ve 3 kranioventrálně (č. 12, 24, 31), ve 2 ryze kraniálně
(č. 7, 17). (Toť 17 z 18 nezdařilých případů; osmnáctý případ (č. 30)
má v této příčině, jak před chvílí vytčeno, postavení zvláštní.)

Zdařilo-li se poklepem něco na sleziné určití , byla to nej častěji poloha
dolního pólu. Ten byl v 6 případech určen i s přilehlými partiemi předního
a zadního okraje (5krát přesně t. j. č. 10, 11, 14, 15, 19 a jedenkrát
s malou odchylkou t. j. č. 21); ve 3 případech určen jen s přilehlou
částí zadního okraje (č. 16, 26, 27), po případě až po Milznierenwinkel
(č. 27); v 1 případě určen dolní pol sám o sobě (č. 29). Celkem byla
tedy poloha dolního pólu resp. dolního konce sleziny zjištěna poklepem
v 10 případech.

Ve dvou případech byl dobře stanoven jen zadní okraj sleziny až po
Milznierenwinkel (č. 25, 32). (Milznierenwinkel pokoušeli jsme se vy klepa ti
v 6 případech: 3krát se zdarem t. j. u č. 25, 27, 32; 3krát s nezdarem
t. j. u č. 26, 28, 30). V 1 případě byl správně určen jen přední okraj až po
Milzlungenwinkel (č. 28). Konečně v 1 případě nalezen poklepem směr
předního i zadního okraje ventrální části sleziny resp. určena správně šířka
její v těchto místech (č. 23).

Ve třech případech, z nichž jeden čítáme jinak mezi nezdařilé, bylo
poklepem vystiženo, jak daleko zůstává dolní pol sleziny od čáry kosto-
klavikulární resp. od oblouku žeberního (č. 17, 29, 32). V jednom případě,
jinak nezdařilém, poučila nás perkusse aspoň potud, že nemůže býti slezina
zvětšena, ano nedosahuje ztemnění ani střední čáry pažní (č. 30).

Přehled výsledků.

A) Neúspěch byl:

1. naprostý (ztemnění úplně mimo slezinu) ve 2 případech (čís. 2 a 3),

2. skoro naprostý . v 7 případech (čís. 4, 6, 8, 13,

20, 22, 24),

3. slezina a ztemnění se sice jistou měrou
kryjí, avšak tak, že hranice anatomické

a poklepové se neshodují . v 9 případech (čís. 1, 5, 7, 9, 12,

17, 18, 30, 31)

Celkem. ... v 18 případech.

XXX.

28

B ) Zdar byl :

1. a) s určením dolního pólu a přilehlých

částí předního a zadního okraje

a) přesným . v 5 případech (čís. 10, 11, 14,

15, 19),

(3) s nepatrnou chybou . v 1 případě (čís. 21),

b) s určením dolního pólu a přilehlé části

zadního okraje . ve 3 případech (čís. 16, 26, 27),

c) s určením dolního pólu samotného. . . v 1 případě (čís. 29),

2. s určením zadního okraje . ve 2 případech (čís. 25, 32),

3. s určením předního okraje . v 1 případě (čís. 28),

4. s určením šířky slezinné . v 1 případě (čís. 23)

Celkem. . . .ve 14 případech.

Zjevem téměř souhlasným ve všech našich případech bylo , že se ne¬
poměrně větší část sleziny prostírala mimo oblast ztemnění dorsálně směrem
k páteři. Výjimku činí pouze dva případy našeho materiálu, kde byla
slezina malá (č. 12 a 32; rozměry v posledním případě 9y2X 5x 2 cm).
Podle historického přehledu v prvé kapitole je to v posledních patnácti
letech snad jediný E d 1 e f s e n, který tvrdí, že pomocí jeho methody lze ve
většině případů správně vyperkutovati i dorsální oddíl sleziny t. j. zjistiti
hluboké ztemnění slezinné. Užili jsme methody Edlefsenovy ve dvou
posledních případech naší sbírky (č. 31 a 32) ; náhodou nehodil by se dobře
ani jeden ani druhý sám o sobě k úsudku o tom, zda lze touto methodou
opravdu vyklepá ti hluboké ztemnění slezinné, jeden pro komplikaci se
zvětšenými játry (ě. 31), druhý proto, že byla slezina nápadrě malá (č. 32).
Případ poslední nanejvýš demonstruje, jak může methodo Edlefsenova
perkutujícího zavěsti; tak zv. hluboké ztemnění nesouhlasilo tu s roz¬
lohou horní části sleziny, nýbrž ukazovalo jen, jak vysoko sahá klenba
bráničná. Než my a priori v methodu Edlefsenovu a v její spolehlivost
vůbec nevěříme. Jeť zbudována na falešném předpokladě. Jak totiž výše
vyloženo, učil Edlefsen, že de norma jest horní pol sleziny od zadní
střední čáry vzdálen 12 až 15 cm\ Udání toto je v naprostém odporu
s anatomickými nálezy našimi vlastními i cizími. Vyjma oba případy
svrchu zmíněné dohmatali jsme se horního konce sleziny vždycky v bez¬
prostřední blízkosti páteře. Dorsální oddíl sleziny důkazu poklepovému
nadobro uniká. Učení o hlubokém ztemnění slězinném bylo bajkou,
kterou dlužno považovati na dobro a na vždy za odbytu.

Abychom si učinili nějaký konkrétnější názor o tom, jak poměrně
velká je ta část sleziny, která se prostírá mimo oblast ztemnění nazad
k páteři, snažili jsme se na vyňatém orgánu resp. na její facies diaphrag-
matica odhadnouti velikost plochy vyklepané a nevyklepané. Odhad,
jak se samo sebou rozumí, mohl býti pouze přibližný, ale pro naše účele

XXX.

29

stačí. Učinili jsme tak celkem ve 12 případech, z nichž 10 jest jich v ho¬
řením přehlede zařazeno mezi případy zdařilé a 2 mezi případy nezdařilé.
Z obou nezdařilých byla vyperkutována, jak už svrchu řečeno, v jednom
ca. šestina (č. 5), v druhém ca. čtvrtina až třetina (č. 9). Ze zdařilých byla
vyperkutována v 1 ca. pětina (č. 14), ve 3 ca. čtvrtina (č. 10, 15, 16), ve
2 ca. třetina (č. 19, 21), ve 4 o něco více než třetina (č. 11, 23, 25, 26). Pro¬
stírají se tedy v nej příznivějším případe asi dvé třetiny, v méně příznivém
asi tři čtvrtiny až čtyři pětiny sleziny nazad mimo okrsek slezinného ztem¬
nění — celkem mnohem více, než soudil sám S eit z, který, jak ze třetí kapitoly
víme, snížil bez toho cíle perkusse na poklepové určení dolní třetiny orgánu.
I tam, kde jako ve případech č. 10, 11, 14, 15, 16, 19, 21, 26 zjišťujeme
poklepem zcela dobře polohu dolního konce sleziny, jsme ještě daleci
toho, vystihnouti ztemnění povrchní t. j . dvě třetiny íacies diaphragmatica.
A je-li naším přesvědčením, že hluboké ztemnění slezinné spadá v obor ne¬
možnosti, jest na základe předeslaných zkušeností neméné naším přesvěd¬
čením, že povrchní ztemnění in toto dá se zjistiti jen zřídka, mnohem řidčeji,
než by se mohlo souditi podle četby příruček i nejreservovanéjších.

Z hořeních poznámek plyne také přirozeně nutnost toho, uznati
naprosto správným stanovisko formulované po prvé Schusterem
a Weilem v ten rozum, že ztemnění slezinné nutno nechá váti nazad
otevřené. Dodáváme a podškrtáváme: široce otevřené. Sami jsme tak
nečinili napořád, nýbrž celkem v 17 případech, v ostatních 15 jsme vykle¬
pávali ztemnění uzavřené tak, jak jsme se tomu učili za let studentských,
chtějíce se očitě přesvědčiti o anatomické oddůvodněnosti resp. neoddů-
vodněnosti tohoto počínání.

Velice Často bylo v našich pokusech ke ztemnění slezinnému připočteno
ztemnění způsobené některým útvarem sousedním. Tímto útvarem bylo:

a) 13krát omentum (č. 2, 3, 4, 6, 9, 12, 17, 20, 21, 22, 24, 25, 32),
až na jediný případ (č. 21), vesměs tukem prorostlé; víme již, že podle
souhlasných zkušeností četných badatelů dovede takové tučné omentum
určitě zvuk ztemňovati; nápadná je však poměrná častost, se kterou se
to v našich pokusech dálo; v onom jediném případě, kde bylo omentum
tuku prosté (č. 21), nezbývá než podle Oestreicha a de la Campa
předpokládati ,,dámpfende Wirkung des unteren vorderen Milzpoles“;
v případě č. 2 bylo celé ztemnění tvořeno pouze tučným omentem;

b) 3krát plíce (č. 17, 24, 32) svým patrně méně vzdušným a tudíž
ztemnění zvuku podmiňujícím dolním okrajem;

c) 2krát zvětšený a ke slezině bezprostředně se přimykající levý
lalok jater ní (č. 29 a 31) ;

d) 2krát žaludek s obsahem, tekutinou (č. 6 a 13) ;

e) Ikrát flexura coli lienalis naplněná skybaly (č. 13).

Oba orgány posléze jmenované, jakož i kličky jejuna nalezli jsme
ještě vícekráte v okrsku ztemnění slezinného (tak žaludek 6krát, flexuru

XXX.

30

coli lienalis 6krát, kličky jejuna 2krát), ale až na dva případy (č. 16 a 27)
byly útvary tyto kryty omentem, které vlastně asi samo zvuk ztemňovalo ;
v oněch pak dvou případech č. 16 a 27, kde omentum této svrchní krycí
vrstvy netvořilo, zasahal do ztemnění žaludek jen úzkým svým pruhem.

Konečně dlužno vytknouti okolnost, že ve dvou z našich případů
šlo o nádor sleziny, jednou o nádor prudký u tyfu břišního (č. 5, rozměry
sleziny 16 x 8 cm), podruhé o tumor venostaticus (č. 9, rozměry 15x12
cm) a že výsledek poklepový v obou těchto případech byl nezdařilý. Zvět¬
šení objemu sleziny nečinilo perkussi její spolehlivější.

* *

Jest otázka, jsme-li oprávněni přenáseti na Živé tělo zkušenosti, kterých
jsme nabyli na tele mrtvém? Jinými slovy zní tato otázka: jest poloha
sleziny za živa tatáž jako po smrti? Nemění se agónií nebo postmortálně?
Není slezina za živa posunuta více dopředu a tím učiněna poklepu pří¬
stupnější? Ač se Oestreich a de la Camp, kteří si zvláště všímali
změn agónií v těle způsobených i topografických vztahů mezi nálezy uči¬
něnými na orgánech za živa a post mortem, o této věci nezmiňují, dali
jsme si přece otázku právě formulovanou.

Jest myslitelný trojí způsob, jakým by se dalo zjistiti, zda anato¬
mická představa získaná o poloze sleziny na mrtvém těle platí také o její
poloze na těle živém. Předem přesvědčiti se o tom při operativních vý¬
konech, které činí krajinu slezinnou přímé kontrole za živa přístupnou.
Podruhé porovnávat! poklepový nález v posledních hodinách života
získaný s poklepovým nálezem posmrtným. Potřetí informovati se na
živém o poloze sleziny pomocí paprsků roentgenových.

Starší z nás pokoušel sesDr. Sieberem o tento třetí způsob
kontroly. V jedné řadě případů (více než 20) jsme slezinu skiaskopovali,
v jiné pokoušel se Sieber o její roentgenogramm. Snaha naše není
beze zájmu, vzpomeneme-li si, že se za posledních dnů začíná i na jiných
stranách o roentgenologii sleziny hovořiti (Loffler, Meyer-Betz
z kliniky Schittenhelmovy). Neboť až do té doby se ani velká
díla roentgenologická na př. A 1 b e r s o v o-S chonbergovo (IV. vydání
z r. 1913) o reontgenologii sleziny nezmiňují.

Dosavadní naše" pokusy v této příčině nevedly k cíli. Na štítě není
sleziny vůbec viděti, na roentgenogrammu zřídka. A když, tož jest obrys
j ej í velice neurčitý, zamlžený a nepodává nám dosti j asné představy o všech
topografických vztazích sleziny pro nás důležitých. Také roentgenogrammy
Meyer-Betzovy nás v tom směru lépe nepoučují.

Tím méně jest pak možno kontrolovati věrohodnost ztemnění sle-
zinného orthodiagraficky, jak to lze činiti u poklepového nálezu srdečního.
I o to jsme se u sleziny se Sieberem pokoušeli, ale bezvýsledně. Snad

XXX.

3 i

zdokonalená technika umožní svým časem takovouto kontrolu poklepu
sleziny, snad spíše povede k cíli prvá nebo druhá methoda svrchu na¬
značená (na př. kontrola při výkonech operativních). Zatím nutno se
spokoj iti tím, že postmortální změny v poloze sleziny nejsou zaznamenány
ani těmi, kdož si, jako Oestreich a de la Camp, těchto zjevů
zvláště všímají.

* *

*

Jak spolehlivou se jeví na základe našeho hádání perkusse sleziny
jakožto methoda vyšetřovací ?

Poklep sleziny jest methodou nespolehlivou. Často svádí k hrubým
omylům. Zdaří-li se poklepem určiti ze sleziny něco podstatnějšího, je to
nejspíše poloha dolního pólu s přilehajícími částmi předního a zadního
okraje, celkem ve velikosti ca. pětiny, čtvrtiny až ca. třetiny celé plochy
íacies diaphragmatica ; tu a tam j e to okraj přední nebo zadní bez dolního
pólu, jindy úhel mezi slezinou a plícemi nebo mezi slezinou a ledvinou,
konečně také šířka sleziny. Tato však mnohem vzácněji, než by se podle
knih souditi mohlo. Zjistiti povrchní ztemnění in toto t. j. zjistiti dvě
třetiny celého orgánu podaří se asi velmi zřídka, zase mnohem řidčeji, než
by se podle četby příruček i nej reservovanějších očekávalo. Hluboké vůbec
nikdy, leda kdyby byla slezina malá. Hlavní massa sleziny prostírá se za
ztemnění směrem nazad k páteři ; v nej příznivějším pro perkussi případě
jsou to asi dvě třetiny, v méně příznivém tři čtvrtiny až čtyři pětiny ce¬
lého orgánu. Snadno se připočítává ke ztemnění slezinnému ztemnění
podmíněné některým sousedním útvarem, nej častěji tučným omentem.
Může se státi, že oblast domnělého poklepu slezinného je zcela tvořena
jen omentem.

Jak již výše řečeno, vztahujeme výsledky svého badání především
na svou vlastní perkussi resp. na perkusssi školy. Ale kritické hlasy cizích
badatelů, které jsme o ceně dané methody v prvé kapitole citovali, zvláště
na př. statistika Leubeova podpírají naše poznatky a rozšiřují jejich
platnost i na kruhy širší.

Na živém jsou ovšem podmínky pro poklep sleziny o to příznivější,
že lze porovnávati výsledky získané a) v různých polohách těla, hlavně
v poloze diagonální a při stoji, h) za různého stavu tlustého střeva (před
stolicí a po ní), jakož i žaludku (za sytá i na lačno). Srovnávajíce, resp.
zakreslujíce si při onemocnění na břišní tyf podezřelém nález poklepový ze
dne na den, můžeme na tomto základě i perkussi upevniti jistou měrou
svůj úsudek o tom, jak se slezina chová.

Nepoměrně cennější služby jak v posledním tak i ve všech jiných
případech koná palpace sleziny. Je-li slezina pod obloukem žeberním
určitě hmatna, aniž by byla prostě dislokována, je jistě zvětšena, čímž
ovšem není řečeno, že každá zvětšená slezina musí býti hmatna. I zvět-

XXX.

32

šená bývá někdy nehrna tná, podle zkušeností Thomayerových
tenkrát, je-li posunuta ve směru dorsálním.

Obdobně formulují Hutchison a Rainy své stanovisko ve
příčině hmatné sleziny slovy: „If one can exclude dislocation, then a spleen
which is palpable may safely be pronounced to be enlarged". K této a k ob¬
dobné naší hoření formulaci dlužno přičiniti poznámku. Slezina může
býti dislokována : a) je-li současně zvětšena, b) je-li tlačena ze sousedství,
c) jestliže se při normální její velikosti a beze všeho tlaku ze sousedství
uvolní její závěsný apparát. V obou posledních případech sub b) a c ) bývá
však dislokace velice zřídka anebo vůbec sotva toho způsobu a toho stupně,
aby se stala -slezina pod levým obloukem žeberním hmatnou. Tak na př.
ad b): V našich případech Č. 29 a 31 byla slezina stlačena zvětšeným levým
lalokem jaterním ke XII. žebru resp. pod ně, ale dolní její pol byl hodně
vzdálen od oblouku žeberního. Stejně pak četné jiné stavy pathologické
mohou sice vytlačovati slezinu z jejího místa, ale nečiní ji hmatnou pod
obloukem žeberním. A ad vocem c) : Kdyby ochablost závěsného apparátu
přicházela v přítomné otázce platněji do počtu, musila by býti slezina
především často hmatna u žen při enteroptose, čemuž podle zkušeností
naší školy nikterak není. A tak, prakticky vzato, reservace přihlížející
k dislokaci sleziny a obsažená v hořením ocenění pohmatu sleziny ať našem
ať anglických autorů neseslabuje podstatně významu této methody pro
poznání, zda je slezina zvětšena nebo ne.

Při poměrně malé spolehlivosti poklepu sleziny a při poměrně větší
jistotě palpace jest pochopitelno a oddůvodněno počínání těch, kdo perkussi
sleziny nedůvěřují a obracejí svůj zřetel hlavně k jejímu pohmatu.

XXX.

LITERATURA.

R. 1828 — Piorry, Die mittelbare Perkussion und die dadurch erhaltenen Zeichen
in den Krankheiten der Brust und des Unterleibs, aus dem Franzós.
iibersetzt, Wiirzburg.

R. 1837 — Piorry, Traité de diagnostic et de séméiologie, vyd. druhé, Bruxelles.

R. 1843 — Mailliot, Traité prát. de percussion, cit. podle Jos. Meyera.

R. 1846 — Hamerník, Zur Pathologie und Diagnose des Typhus, Prager Viertel-
jahrschrift fiir die prakt. Heilkunde, roč. III. sv. 2. (celé řady
sv. 10.).

R. 1848 — Conradi, Ueber die Lage und GroBe der Brustorgane, der Leber und
Milz beim gesunden Manne und ihre Bestimmung durch die Per¬
cussion, Inaug.-Dissert., Giefíen, cit. dle Weila.

R. 1855 — - Siebert, Diagnostik der Krankh. des Unterleibes, Erlangen.

R. 1855 — Bamberger, Krankh. des chylopoět. Systems, Virchow’s Handbuch
der spec. Path. u. Ther. sv. VI. č. 1.

R. 1866 — Schuster (z kliniky Seitzovy), Die Perkussion der Milz, Inaug.
Dissert. , GieBen.

R. 1866 — C. Gerhardt, Lehrbuch der Ausc. und Pere., vyd. prvé.

R. 1868 — Niemeyer, Handb. der theor. u. kliň. Pere. und Ausc., sv. I.

R. 1873 — Leichtenstern, Physik.-diagn. Bemerk. zu H. v. Luschka’s Lage der
Bauchorgane des Menschen, Góschen’s Deutsche Klinik č. 26 a 2 7 .

R. 1874 — Weil, Ueber das Vorkommen des Milztumors bei frischer Syphilis,
nebst Bemerkungen liber die Percussion der Milz, Deutsches
Arch. f. kliň. Med. sv. XIII.

R. 1875 — - Mosler, Krankheiten der Milz, Ziemssen's Handbuch der spec. Path.
u. Ther. sv. VIII. č. 2.

R. 1876 — C. Gerhardt, Lehrbuch der Ausc. und Pere., vyd. třetí.

R. 1876 — J. Meyer, Ueber Milzperkussion, Charité-Annalen, ročník I.

R. 1879 — Niemeyeťs Lehrbuch der spec. Path. u Ther. neu bearbeitet von
Seitz, vyd. desáté, sv. I.

R. 1880 — Weil, Handbuch und Atlas der topographischen Percussion, vyd. druhé

R. 1892 — Maixner, Přír. kniha spec. path. a ther. vnitř, nem., odd. III.

R. 1896 — Eichhorst, Lehrbuch der kliň. Untersuchungsmeth., vyd. čtvrté.

R. 1897 — O. Vierordt, Diagnostik der inner. Krankh., vyd. páté.

R. 1898 — Leube, Specielle Diagnose der inner. Krankh., vyd. páté, sv. I.

R. 1898 — Litten, Die Krankh. der Milz, Nothnagďs Spec. Path. u. Ther.
sv. VIII. č. 3.

Rozpravy: Roč XXIII. Tř. II. Čís. 30. 3

XXX.

R. 1899 —
R. 1904 —

R. 1905 —

R. 1905 —

R. 1913 —
R. 1913 —

R. 1913 —
R. 1913
R. 1914 —
R. 1914 —

Edlefsen, Lehrbuch der Diagnostik der inner. Krankh.

Guttmann’s Lehrbuch der kliň. Untersuchungsmeth., herausgeg eben
von Klemperer, vyd. deváté.

Oestreich a de la Camp, Anatomie u. physik. Untersuchungsmeth.,
Berlín.

Oestreich, Die Ueberlagerung der vergrósserten Milz durch den
Dickdarm, Berl. Kliň. Woch., Ewalďs Festnum,mer.

Sáhli, Lehrbuch der kliň. Untersuchungsmeth., vyd. šesté, sv. I.

Syllaba-Sieber, Poklep srdce ve světle orthodiagrafie, Sborník Lé¬
kařský XIV. (XVIII.).

Albers-Schónberg, Rontgenologie, vyd. čtvrté.

Hutchison a Rainy, Clinical Methods, vyd páté.

Lóffler, Leber und Milz im Róntgenbild, Můnch. med. Woch. č. 14.

Meyer-Betz (z kliniky Schittenhelmo vy), Meth. und kliň. Bedeu-
tung der Darstellung der Leber im Róntgenbild, Miinch. med.
Woch. č. 15.

XXX.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 31.

Holarktické Anthaxie

(Coleoptera-Buprestidae.)

Napsal JAN OBENBERGER.

Část specielní.

I.

Revise kratomeroidních Anthaxií.

(S 10 obrazci v textu.)
Předloženo dne 12. června 1914.

Druhy rodu Anthaxia Eschsch. byly staršími autory (de Marseul
etc.) roztřidovány do dvou velikých skupin v sbg. Cratomerus Sol. (obsa¬
hující druhy typu A. hungarica Sc. vyznačující se nápadnými, stluštěnými
tykadly a stehny většinou též odlišně zbarvených samečků) a v Anthaxie
vlastní. V novější době R e i 1 1 e r (Fauna germanica III.) utvořil z druhů
skupiny millefolii F. a cichorii Ol. nový subgenus Haplanthaxia. Ve sku¬
tečnosti, přihlédneme-li k druhům celého světa a nikoli k druhům oblasti
omezené, jak to činili badatelé starší, shledáme, že rozdělení toto jest
neudržitelné a že existuje taková řada tak význačných přechodů, jež tak
různým způsobem spojují skupiny na první pohled velmi určité ohraničené ,
že není možno nalézti přesné hranice, jež by dělila tyto podrody. Anthaxie
rozpadají se ve skutečnosti ve dvě velké skupiny, z nichž jednu chci jme-
novati Anthaxie kratomeroidní (jež obsahuje druhy podrodu Cratomerus
i Haplanthaxie) a v Anthaxie vlastní, širokokrové. Mezi těmito skupinami,
jež skládají se opět z menších, více méně přesně ohraničených, dosti ne¬
ustálených celků, leží několik skupin, jež můžeme stejným právem zařaditi
do obou jmenovaných oddělení; to jsou právě ony skupiny přechodní,
jež znemožňují přesné rozdělení v podrody u celého tohoto rodu.

V studii této podávám analytický klíč Anthaxií kratomeroidních
a skupin přechodních. Diagnosy a poznámky k jmenovaným druhům
jakož i část všeobecná budou obsahem studií dalších.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 31. 1

XXXI.

2

Pcdkladem mých prací byl obrovský materiál rodu tohoto, zahrnující
v sobě četné diuhy neobyčejně vzácné, jenž průběhem času jednak se
nashromáždil v mé vlastní sbírce, jednak byl mi k revisi svěřen vynika¬
jícími firmami entomologickými (Dr. O. Staudinger & Baug-Haas, Paga-
netti, Winkler & Wagner etc.), jednak Musei (Wiener Hofmuseum,
Deutsches Ent. Museum etc.), jednak čelnými sběrateli českými i zahra¬
ničními.

Všem, kteří se přičinili o uskutečnění mého plánu, zrevidovati ob¬
sáhlou tuto skupinu, budiž vzdán můj nejvroucnější dík.

Původně chtěl jsem uvésti zde všechny známé druhy světové této
skupiny; od plánu tohoto musil jsem ustoupiti pro nepřístupnost exo¬
tického materiálu, začasté jen v ojedinělých kusech známého a pro ne¬
obyčejnou kusost příslušné literatury. Oddíl, zahrnující exotické druhy,
vydati hodlám později ve specielních poznámkách.

* *

*

Anthaxia Eschsch.

A"" Válcovité, rovnoběžné, štíhlé druhy. Struktura štítová jest ponejvíce
rovnoměrně tvořená; sestává velmi často z t. zv. oceli (kruhovité
nebo pětihranné, síťkovité buňky s vyvinutým, zřetelným středním
zrnkem) nebo z buněk jednoduchých (bez středního zrnka), zřídka
z vrásek. Na stranách štítových nevyskytuje se zpravidla podélné
vráskování. (Jc? Ísou často odchylní zbarvením nebo odchylnou
úpravou tykadel, stehen nebo holení. Jestliže jest druh opýřen,
jest opýření toto vždy bílé nebo žlutavé. ( Cratomerus Sol. Haplan-
thaxia Rtt.)

Anthaxiae Cratomeroides.

1'" Zadní stehna jsou ztluštělá, nebo tykadla c? jsou silně

rozšířena a často dvojbarvá. Krovky jsou hedvábitě zelené až
modrofialové, na švu často černavé. Přední část těla (zvi. hlava
a kraje štítové) jsou často bíle, dlouze opýřené. Často (ý odchylně
zbarveni. (= Cratomerus auct.)

I. Skupina A. hungarica Sol.

2" Štít jest dosti krátký a široký, na stranách dosti značně zaokrouhlené
rozšířený ; čelo jest krátce opýřeno. Druh tento jest uveden ještě
jednou na jiném místě.

8. nupta Ksw. (= Krúperi Gnglb. = duo Sem.)

2' Štít jest na stranách mírně nebo jen málo zaokrouhlen, v zadní
polovině většinou dosti rovnoběžný, k předním rohům více zúžen.

XXXI.

3

Struktura štítová pozůstává též ve středu z normálních oceli, jež
netvoří žádných příčných vrásek ; tedy síťování štítové na ploše ne-
splývá a všechny ,, buňky “ jsou zřetelně oddělené. (Viz též scorzo-
nerae var. Juno Obenb.!)

Čelo jest zřetelně opýřené.

Vnější strana předních stehen má lesklou, purpurově červenou
skvrnu podél vnitřního okraje stehna. Tři poslední tykadlové články
jsou na apikálním vnitřním konci žlutočerveně zbarveny. Dosti
robustní druh z Alžíru.

Krásně zelený ; bez černé pásky na ploše štítové.

7. Bonvouloiri Ab.

Štít nese dvě, více méně zřetelné, černavé podélné pásky. Okraj
krovek a šev jsou modře zabarveny. Spodek jest rovněž tak jako
svršek zelený. 7. Bonvouloiri Ab. 9

Spodní strana jest, rovněž tak jako čelo a strany štítové nádherně,
leskle purpurové Červená. Střed štítu (mezi více méně zřetelnými
zelenavými temnými páskami) jest červenavý, avšak daleko slaběji
než okraje štítové. Okraje krovečné jsou rovněž tak jako šev normálně
modře zabarveny. Rudé zbarvení jest poněkud variabilní — jest
někde dosti světlé. Alžír (Téniet el Haad).

7. Bonvonloiri Ab. Q. var. amabilis Obenb.
Vnější strana předních stehen jest bez rudé skvrny. Celo jest
krátce a spoře žlutě opýřeno. Tykadla jsou krátká a silná, temně
zelená. Úzký, podlouhlý; základní barva krovek jest více mědově-
hnědá. (Druh tento jest opakován ještě jednou na jiném místě.)
Turkestan. 13. Fedtschenkoi Semen.

Čelo jest lysé, beze stopy po opýření, uprostřed ploše vtisklé.
Struktura štítová jest jemná; ocelly jeví na stranách
sklon ku tvoření příčných vrásek. Štít jest často ozdo¬
ben dvěma podélnými skvrnami. Opýření prsou a břiš¬
ních článků jest sporé a nenápadné.

Zadní stehna jsou ztluštělá. Jednobarevně zelený.

Krovky jsou více zúžené. Zadní holeně jsou v distální
pětině zahnuté, krátké; v apikální polovině jsou krátce
a hustě opýřené, na apikální, vnitřní straně nesou ně¬
kolik zrnkovitých zoubků (viz vyobr. 1.). Rusko etc.

11. Diadema Fischer $

Zadní stehna i sou štíhlá. Spodek těla a strany štítové
rovněž tak jako čelo jsou krásně purpurové. Krovky
jsou robustnější, kratší. Zadní holeně jsou úzké a
neohnuté, v apikální vnitřní polovině bez zrnkovitých zoubků.
Rusko etc. 11. Diadema Fischer Q

Štít jest zřetelně stejnoměrně ocellován, méně jemně tečkován, bez
černých pásek. Krovky jsou méně zřetelně zúžené než u diadema ;

1*

Obr. 1.

A. Diadema
Fisch. Tibia
posterior cf

XXXÍ.

4

3'

9'

10"'

10"

10'

9'

11"

12'

12'

Obr. 2.

A. scorzo-
nerae Friv.
Antenna 99

Obr. 3.

A. scorzo-
nerae Friv.
Antenna cýc?

na prsou a na břišních článcích hustěji a silněji opýřen. Turkestan.

12. Fariniger Kraatz.

Ocelly štítové jsou alespoň ve středu splynulé ve více méně zřetelné
příčné vrásky.

Čelo jest lysé, neopýřené, jamkoví tě vtisklé.

Zelený; štít jest okrášlen dvěma černavými páskami. Na stranách
a uprostřed jest často zlatorudý. Též strany
zadku jsou zlatové. Strany kro věčné a šev
jsou zelenomodré; šev jest za středem čer-
navý. Itálie, Balkán. (Viz vyobr. 2, 3.)

io. Scorzonerae Friv. $ Q
Krovky a štítek jsou modré. Štít (vyjma
černavé podélné pásky) a spodní strana
jsou rudozlaté. Amasia.
io. Scorzonerae var. Q Euphrosyne Gnglb.

Podobné zbarvena j ako Euphrosyne ; ale
štít jest i ve středu temně modrozelený,
témě jest temněmodré, čelo jest jako
u Euphrosyne zlatově rudé. Na štítě jest

toto krásné zlatorudé zbarvení silně redukováno, jen v zadních
rozích jest rozšířenější. Krovky jsou temně modré. Struktura ští¬
tová sestává ze stejných oceli, jež netvoří žádných vrásek. Velmi ná¬
padná svým zbarvením i strukturou štítovou. Anatolie.

io. Scorzonerae var. Q Juno Obenb.

Čelo jest zřetelně opýřeno.

Struktura štítová jest uprostřed plochy proměněna v systém více
méně hustě stlačených a jemných příčných
vrásek. Tyto jsou jemné a hustě k sobě
přiřazené ; mezi nimi není ani stopy po
původní ocellaci, jež zmizela úplně. Tyka¬
dlové články jsou většinou od třetího nebo
čtvrtého článku silně příčné ; povrch krovek
jest jednobarvý nebo dvojbarvý. Struktura
čelní pozůstává ze zaokrouhlených buněk
(ne oceli! tedy bez zrnka!), v nichž zrnko
schází, jest ale často (ač velmi nezřetelně!)
naznačeno.

Smaragdově modrozelená. Příčné vrásky
štítové jsou četnější, jemnější a hustější,

tykadla jsou od třetího článku počínaje rozšířená. (Viz vyobr. 4.)
Jednobarvá. Něm. vých. Afrika, Egypt již.? (i. Diana Kerr.?)
Smaragdově zelená. Příčné vrásky jsou méně husté a jemné, tykadla
jsou teprve od čtvrtého Článku rozšířená. (Viz vyobr. 5.) Jednobarvý
nebo dvojbarvý druh.

Obr. 4.
A. Diana
Kerr.
Antenna.

Obr. 5.
A. dives
Obenb.
Antenna.

XXXI.

5

13" Povrch jest zelený. Za středem krovek leží nádherná, rumělkové
červená příčná skvrna. Turkestan. 2. Dives Obenb.

13. Povrch jest jednobarevně zelený. 2. Dives ab. unicolor Obenb.

12' Zlatové bronzový. Tykadla jsou temně modrá, od třetího článku

rozšířená, články 4, 5 a 6 jsou stejně dlouhé, ostatní jsou téměř
kvadratické a hustě sestavené. Štít jest po délce stran široce vmáčklý.
Na břišních segmentech leží na stranách místa hustěji opýřená.
12*5 mm. Habeš. 3. abyssinica Théry.

11' Struktura štítová .jest normálně vytvořena ; příčné vrásky vystupují
tu i tam silněji, avšak zpravidla jsou mezi nimi patrna zrnka ; nejsou
nikdy tak jemné a zaujímají většinou celý povrch štítový. Tykadla
jsou normální, ne nápadně rozšířená; povrch krovek jest vždy
jednobarevný. Čelo a témě není čárkovitě vtisklé.

Velké druhy. Zadní stehna cfc? Ísou zpravidla ztluštěná.

Větší (délka 10 — 15 mm), štíhleji stavěná. Tykadla jsou silně příčná;
poslední tykadlové články jsou na apikálním vnitř¬
ním okraji rudočerveně zbarveny. (Viz vyobr. 6.)

Zelená. Štít jest ozdoben dvěma černavými podélnými
páskami. Zadní stehna jsou silně ztluštěná.

4. hungarica Scop. (J*

Zelená. Zadní stehna jsou jednoduchá; 9-

4. hungarica var. 9 sitta Kun.

Zelená. Postranní kraje štítové a spodek těla jest
krásně purpurově zbarven. 4. hungarica Scop. 9
Krásně modrofialová. Prostora mezi oběma páskami
na štítě jest zelená nebo modrá. Spodek, čelo a po¬
stranní kraje štítové jsou nádherně rudě zbarveny.

Alžír, Sýrie. 4. hungarica ab. 9 subviolacea Obenb.

(5* ; jednoduchá stehna, poslední tykadlové články jsou
jednobarevné; zelené. Povrch jest někdy fialový.

Z Alžíru. Z mnohých ohledů velmi zajímavý druh tento není mi
bohužel in natura znám. 4. hungarica var. (J* simplicipes Rey.

/) Abeille de Pérrin přiřadil k druhu hungarica Sc. formu, jež jest mi
neznáma a jež se liší od hungarica typické následujícími znaky:

1. Jest menší než normální hungarica — jen 6y2 — 8 y2 mm
dlouhé.

2. Zadní stehna jsou jen velmi nezřetelně ztlustlá.

3. Tykadla jsou zelená a ne modrá.

4. Rudě zbarvené části těla 9 jsou méně ohnivě zbarveny.

5. Holeně 9 jsou štíhlejší a méně zahnuté.

Zdá se, že dle všeho jest to spíše nějaká varieta druhu Eugeniae
Gnglb. nebo samostatný druh. Sýrie.

4. hungarica v. iuvenilis Abeille.

14"

15"

a)

b)

c)

d)

e)

Obr. 6.

A. hunga¬
rica Sc. #?.
Tibia po-
sterior.

XXXI.

15'

14'

16'

17'"

17"

17

16'

18"

19"

19'

18'

Menší (8*5 mm dlouhá, 3-25 mm široká), zavalitá, širší. Tykadla cJc?
jsou štíhlá, jednoduchá; poslední tykadlové články jsou zelené,
beze skvrn. Intramarginální lištna při okraji krovek jest zřetelně
vyvinuta. Mně neznámý druh. Malá Asie. 5. illustris K. Dan.
Zadní stehna (ýc? nejsou ztlustlá. Menší druhy.

Vnější strana stehen ^ c? íes^ P°dél vnitřního okraje okrášlena
zlatorudým, purpurovým pruhem. Poslední tykadlové články jsou
už od čtvrtého nebo pátého počínaje rudě skvrnité ve vnitřních
rozích. Štít nese dvě normální pásky, jež jsou více méně silně vy¬
vinuty. Holeně jsou uprostřed poněkud rozšířené a v tomto místě
zřetelně zrnitě zoubkované.

Povrch, spodní strana a většinou též i tykadla jsou zelená. Šev
krovečný jest zelený. Malá Asie. (Viz vyobr. 7.)

6. Eugeniae Gnglb. rC
Hlava, postranní části štítové a spodek jsou purpurově
rudé. Témě, předoprsí, tykadla, nohy a krovky jsou
zelenomodré až modré ; střední páska na štítě (mezi
oběma tmavými) jest modrozelená až zlatozelená. Čer-
navé dvě normální pásky na ploše štítové zpravidla
nechybí. 6. Eugeniae Gnglb. 9

Samička, zbarvená jako , zlatozelená. Tykadla
jsou modrozelená, štít jest ozdoben dvěma tmavými
páskami, šev krovečný jest černavý. 8—9 mm. Malá
Asie. 6. Eugeniae var. 9 Thalia Gnglb„

Vnější strana předních stehen jest bez purpurové
skvrny. Tykadla jsou jednobarevně, kovově zbarvena.

Poslední břišní článek 9 jest nevykrojený, celistvý.

Plocha štítová jest vyplněna jemným, vespolek splývajícím síťo¬
váním, jehož mezery jsou posázeny jemnými „ocellami". Tyto
mezery jsou jakoby uhlazeny. Hustá struktura krovečná tvoří ne¬
pravidelné příčné (jen naznačené!) vrásky, jež rovněž činí dojem,
jakoby byly uhlazeny.

Zelená. Dvě temné pásky podélné na štítě. Strany štítové jsou
zlatové ((ý) ; 9 9 lsou vlce zlatozelené, ale jinak stejně zbarveny,
jako Štít bývá po stranách často značně zaokrouhlen. Malá

Asie etc. 8. nupta Ksw.

Štítek a krovky jsou modré. Tykadla a nohy jsou modrozelené;
též úzká zelená střední páska na štítě a spodek těla jest zelený.
Postranní části štítu jsou zlatorudé, hlava jest zlatozelená. Smyrna.

8. nupta var. 9 Aglaia Gnglb.
Štít jest na ploše opatřen hrubými, příčně vrásčitě splývajícími
ocellami. Mezi vráskami leží všude hrubé ocelly. Krovky jsou hrubě
vrásčité, zrnité. Šev a kraje krovečné jsou u některých kusů nápadně
černavé.

Obr. 7.

A. Eugeniae
Gnglb. áy.
Tibia poste-
rior.

XXXI.

7

20'" Spodek i svrch těla jest zelený. Řecko, Kavkaz, Malá Asie.

9. Sponsa Ksw.

20" Předoprsí jest modré nebo modrozelené, ostatek spodní strany jest
purpurově zlatový; témě, dvě pásky na plošině štítové a štítek
jsou černavé, krovky jsou zelené. 9. Sponsa Ksw. 9

20' Samičky, jež jsou podobně zbarveny jako <$ (tedy zelené —
vespod i svrchu). 9. Sponsa var. 9 Adaliae Gnglb.

1" Zadní stehna a tykadla $ jsou jednoduchá. Dosti stlačené druhy.
Struktura štítová jest ostrá, střed štítu jest téměř úplně bez tečko¬
vání, uhlazen, lesklý. Struktura pozůstává na stranách z více méně
zřetelných, malých oceli, jež ke středu se mění v ostré, jakoby vpích-
nuté tečky s hladkým lesklým okrajem ; uprostřed plosiny mizí i tyto
tečky téměř úplné. Šev jest za štítkem v dosti značném rozsahu
uhlazen, takže dosti široký pásek po obou stranách švu jest lesklý,
bez teček. Krovky často nesou slabě naznačená podélná žeberka, ^
jež jen nenápadně vystupují. Africké druhy svérázného vzhledu.

II. Skupina A. aegyptiaca Obenb.

21" Větší, 12-25 mm dlouhá, lesklá, smaragdově zelená. Tečkování na
stranách štítu jest hrubší. Uhlazený, lesklý šev jest zlatorudý,
ostře oddělený od ostatní zrnité plochy kroveční. Ke špičce přechází
zbarvení ponenáhlu v zelený tón; přesné rozmezí barvy zelené
a červenavé jest tam méně určité. Na temeni leží malá, jemná,
zvýšená čárka. Spodek těla jest smaragdově zelený. Horní Egypt.

14. Aegyptiaca Obenb.

2T Menší, temně zbarvená. Spodek jest temně mosazně hnědý.

22" Celé tělo jest černohnědé; spodek těla jest světlejší. Šev krovek
jest stejně zbarven jako ostatek těla. Na krovkách jsou na konci
naznačena 2 — 3 slabě zvýšená žebérka. Horní Egypt.

16. Isis Obenb.

22' Dvojbarevná. Spodek těla jest temně mědový, lesklý, střed štítu
a uhlazený šev krovečný jest stejně zbarven. Zrnité strany krovečné
rovněž tak jako tečkované postranní části štítové jsou medově
rudé. Horní Egypt. 15. Pharao Obent .

T Zadní stehna 99 i ďc? Ísou zpravidla normálně vyvinuta, ne-
ztlustlá (viz též Arabs $ Mars.!). Střed štítu není nikdy úplně
uhlazen a lesklý ; vždy ocellován nebo chagrinem pokryt. Struktura
štítová nikdy nesestává z ostrých, ,,vbodnutých" teček. Tykadlové
články jsou vždy jednobarevné.

23'" Ocelly na ploše štítové jsou v přední části plošiny splynulé, pro¬
měněny ve více méně zrnité příčné vrásky, jež jsou husté nakupeny.
Struktura jest zde značné zrnitá. (Jen u obockiana Frm. jest celá
plošina stejnoměrně ocellována — a v tom případě jest tělo černo-

XXXI.

8

hnědé a protáhlé.) Mezi zrnitou strukturou nebývá často v přední
části štítové žádných zřetelných oceli. (Typus: millefolii F.) Vlastní
spodina štítová jest ale vždy více méně lesklá, bez mikroskopického
chagrinování ; postranní ocelly nejsou nikdy ve spodině chagrino-
vány. Centrální zrnka oceli jsou na plošině štítové Často rudimentní.

24" Štít jest jen nepatrně nebo mírně klenutý. Krovky jsou protáhlé .
svrch těla jest temně, bronzově až černě zabarven, jednobarevný
(až na dvě černavé pásky štítové, jež někde přicházejí). Větší druhy.

III. Skupina Kiesenwetteri Mars.

25" Štít je i na přední části plošiny stejnoměrně ocellami pokryt ;
ocelly tedy nesplývají zde ve příčné vrásky nebo zrnkování. Čelo
jest žlutavě opýřeno. Štít jest lj^krát širší než dlouhý před zadními
rohy mělce a ploše, široce vtisklý. Černohnědý, veliký, protáhlý
druh; spodní část těla jest světleji zbarvena; strany zadku jsou
měďově jší, rovněž tak jako celá spodní strana hnědožlutě opýřeny.
Erythraea, Obock. 21. obockiana Frm.

25' Struktura štítová mění se na přední části plošiny štítové v jemnou
granulaci nebo v příčné vrásky. (Viz též Fedtschenkoi Sem.!)

26" Zadní holeně jsou velmi prohnuté ; přední holeně jsou na api-
kální vnitřní straně ozbrojeny silným zubem. Stehna <$ jsou roz¬
šířená a ztlustlá. Protáhlý, měďově bronzový, veliký druh (10 mm).
Štít jest ocellami pokryt, uprostřed ploše vtisklý, před zadními,
rchy vmáčklý. Strany prsou a zadku jsou bíle opýřeny. Arábie.

24. Arabs Mars.

26' Zadní stehna jsou normální, zadní holeně nejsou nápadně prohnuté ;
přední holeně jsou jednoduché. Menší druhy.

27'" Štít je mírně klenutý.

28" Čelo je ozdobeno třemi příčnými páskami, jež se skládají z bílého
opýření. Tykadla jsou téměř delší než Štít. Větší, měďový druh
z Egypta. 8 mm. 20. Congregata Klug.

28' Čelo bez opýřených pásek, jednoduše chloupkované.

29" Tykadla jsou silná a krátká; nedosahují až do poloviny délky
štítové. Štít jest téměř kvadratický, na ploše též před středem
ještě zřetelně ocellami pokrytý, před zadními rohy mělce vtisklý.
Základní zbarvení jest zeleně bronzové, na krovkách více měďové.
Mně neznámý druh z Turkestanu, jenž snad patří do skupiny
hungarica Scop., kde již byl uveden. 13. Fedtschenkoi Sem.

29" Tykadla jsou delší a štíhlejší, ocelly jsou aspoň uprostřed středn ho
kraje splynulé v příční zřetelné vrásky. Jinak zbarvená.

30" Štít jest na ploše okrášlen dvěma špatně ohraničenými černavými
páskami. Bronzová.

XXXI.

9

31' Štít jest uprostřed více méně zřetelně vtisklý; jest okrášlen dvěma
tmavými, podélnými skvrnami, jež u prostřed jsou oválnější;
v přední třetině délky trochu zaokrouhleně rozšířen. Krovky jsou
ku konci protáhlé, svrchu dosti sploštělé. Tykadla jsou zelená.
V Mezopotamii. 17. Kollari Mars.

31' Štít jest bez vtisku uprostřed, a uvnitř zadních rohů mělce vmáčklý
jinak (dle popisu!) úplně jako předešlý druh stavěná. Jest velice
pravděpodobno, že druh tento představuje pouze varietu Kollari ,
nebo že dokonce s ní jest totožný. Persie-Širaz.

18. Starcki Gnglb.

30' • Štít jednobarevný, krovky jsou krátce ale velmi zřetelně (zvláště
při švu) sporými vlásky opýřené. Temně zbarvená.

32" Fialová. Tykadla jsou modrozelená. Epistom jest zelený. Oči jsou
velké, na temeni dosti sblížené. Zadní rohy Štítové jsou vtisklé.
Povrch jest dosti plochý. Krovky jsou vzadu zřetelně ozubeny.
Jinak druhu Kiesenwetteri Mars značně podobna. 6 mm. Sýrie.

19. Cupriventris Mars.

32' Povrch černavý (často s přídechem fialovým).

33" Menší (5 — 5*6 mm), štíhlejší. Struktura štítová jest dosti hrubá,
poměrně hrubější než u následujícího většího druhu, velmi zřetelná.
Pozůstává ze silně vyvinutých oceli, jež na plošině přecházejí v silné,
příčné vrásky mezi, kterýmiž není možno pozorovati žádných už
oceli. Štítek jest lehce klenutý. Krovky jsou poměrně jemněji zrnko-
vány než u Kiesenwetteri. Snad jen menší severnější rassa následu¬
jícího druhu. Bulharsko. 23. Rambouseki Obenb.

33' Větší (9*5 — 11 mm), zavalitější. Struktura štítová jest dosti jemná,
poměrně jemnější než u menší Rambouseki. Ocelly jsou též ve středu
plošiny štítové dobře patrny; příčné vrásky nejsou nápadně zvý¬
šeny; struktura celého štítu propůjčuje mu vzhled jemnější, stejno¬
měrnější. Krovky jsou zavalitější, hruběji zrnkovány; štítek jest
vydutý. Řecko, Malá Asie atd. 22. Kiesenwetteri Mars.

27" Štít jest značně silně klenutý, před zadními rohy, před základnou
mělce vtisklý. Krovky rovněž tak jako spodek jsou klenuté, tykadla
jsou modrá, dlouhá a štíhlá. Přední kraj štítu jest jen velmi mělce
vykrojen, čelo jest klenuté, bělavě opýřené. Štít jest na stranách
mírně zaokrouhlen, zadní kraj jest uhlazen, před štítkem leží zcela
malá ku hlavě obrácená s ostatním uhlazeným zadním krajem
spojená, hladká trojúhlá ploška. Povrch, rovněž tak jako spodek
jest jasně medově zbarven, dosti málo lesklý. Turkestan: Údolí
řeky lili. 25. Illiensis. Obenb.

27' Předchozímu druhu podobná; čelo jest více zúžené, vnitřní okraje
očí na temeni silněji sbíhavé, štít jest protáhlejší rovnoběžný, struk¬
tura jest daleko ostřejší. Ve spodině jest štít velmi lesklý’, oráměn'

XXXI.

10

jest vyšší a méně husté. Povrch těla, jež jest daleko lesklejší, jest
jasně mosazně kovový se zelenými odstíny, daleko menší, připomíná
Inculta v. aerea Rey. Alžír. 26. Kabyliana Obenb.

24' Štít jest více klenutý. Postava jest kratší, často zavalitější, krovky
nejsou na špičce nikdy dlouze zúženy.

IV. Skupina A. millefolii F.

34" Povrch jest konstantně zelený, zlatozelený až mosazně zelený.
Epipleury krovečné jsou poměrně široké a tlusté. Poslední břišní
článek jest na každé straně hluboce krátce čárkovitě vtisklý. Krovky
jsou na špičce více přiostřené než u normální millefolii F. Spodina
těla jest na stranách bíle skvrnitě opýřena.

35" Povrch a spodek těla jsou stejně zeleně zbarveny. Zadek jest nor¬
málně dosti ploše klenutý. V Alžíru značně rozšířená. (Anthemidis
auct.) 27. pleuralis Farm.

35' Povrch jest zelený, spodek jest zlatový. Zadek jest velmi zavalitý,
klenutý a nápadně vysoký*. Struktura štítová jest méně zrnitá.
Alžír (Lambessa). 27. pleuralis v. robustior Obenb.

34' Pokud se barvy týče, variabilní, zelená, mosazně zlatová, až černě
fialová. Epipleury jsou normální, užší.

36'" Poslední břišní článek jest u špičky opatřen dvěma hlubokými,
šikmými, postranními, krátkými vtisky.

a) Větší. Štít jest rovnoběžný bez ostře projádřených vtisků. V barvě
variabilní, avšak vždy jednobarevný. Mediterranea etc.

28. millefolii Fab.

b) Větší 5-5 — 6 mm dlouhá. Hlava a přední části štítové jsou téměř
černé, ostatní tělo jest temně bronzově hnědé (var. a. Marseul).

28. millefolii a. Budízi Bickh.

c) Prostředně veliká. Štít jest často vtisklý — často rovný. Povrch

jest zeleně zbarven, zbarvení toto přechází na krovkách za štítkem
do bronzová. 28. millefolii a. polychloros Ab.

d) Malá, jen 4 mm dlouhá. Štít jest k základně poněkud zúžen; zadní
rohy štítové jsou vtisklé. Hlava jest smaragdově zelená nebo fialově
rudá. Západomediterranní rassa.

28. millefilii v. smaragdifrons. Mars.

e) Štít jest od 2/3 délky k základně rovnoběžný, do předu silně zúžený,

klenutý, čelo jest klenuté, černavé, rovněž tak jako štít. Malá Asie.
Taurus. 28. millefolii v. scutellaris Obenb.

36" Poslední břišní článek jest bez vtisku, jasně zelená, podobná aberr.
polychloros Ab. 5 mm. Ježto udané znaky dosti jsou variabilní, jest
dle všeho jen jedna z četných forem rozšířené millefolii. Jižní Rusko.

29. rossica K. Dan.

XXXI.

11

36' Poslední břišní článek jest na špičce jednoduše vtisklý, konstantně
bronzově zbarvená; čelo jest zbarveno jako ostatní povrch na
krovkách velmi jemně stejnoměrně zrnitá.

37" Zavalitá, tlustá, méně lesklá ; poměrně velmi jemně zrnitá na plošině
krovečné. Jižní Evropa. 30. inculta Germ.

37' Štíhlejší t rovnoběžnější, hladší, lesklejší, hruběji, méně pravidelně

zrnitá. Struktura štítová jest zmatenější, zřetelnější, silnější. Tem¬
nější forma. Jižní Evropa. 30. inculta v. aerea Rey.

23" Ocelly na plošině štítové jsou též uprostřed přední poloviny štítové
zřetelné ; někdy jsou úplně zahlazené (pumilla Klug!) — potom
jest plošina klenutého štítu velmi jemně zrnitě chagrinovaná. Ocelly
netvoří příčných vrásek. Jsou ve spodině bez jakéhokoli chagrinu,
lesklé.

38'" Hlava více méně silně vyčnívá. Jest často nápadně široká, oči po
stranách často dosti značně vystupují; zadní rohy štítové jsou více
méně pravoúhlé až často ostroúhlé, jemně zrnité, válovité, nápadné
měďově až zlatově zelené zbarvení, ponejvíce severoafrické druhy.

V. Skupina A. stupida Mars.

39" Zlatozelená. Plocha štítu jest často ozdobena dvěma tmavými
skvrnami. Hlava jest pokryta jemnými kruhovitými ocellami.

40" Větší. Štít jest l^kráte širší než dlouhý, ocelly jsou kulatější.
Vnitřní okraje očí se na temeni sbíhají. Hlava jest široká. Šev jest
dosti lesklý, avšak ne přihlazený. 5 mm. Senegal. Sev. Afrika (zá¬
padní část). ' 31. binotata Chevr*

40' Menší. Štít jest téměř dvakráte delší než širší, ocelly, zvláště na
základně stávají se hranatými a silně příčnými. Šev
jest za středem přihlazen, zde na přihlazené, dosti roz¬
sáhlé plošce mosazně kovový; jinak jest barva krásně
smaragdově zelená. Ocelly štítové jsou pětiboké, s jem¬
nými středními zrnky. 4-5 mm. Severní Afrika (vý¬
chodní část). 32. Hauzeri Kerr.

39' Kovově měďové druhy, bez skvrn na štítě, jehož
ocelly jsou okrouhlé, nikdy příčné nebo hranaté.

41" Tykadla jsou nápadně zavalitá, silná, jednotlivé články
jsou silně příčné, rozšířené. Čelo jest dosti dlouze bíle
opýřeno. Mosazně kovová, protáhlá, tykadla a čelo
jest smaragdově zelené. 7 mm. Habeš, Erythraea. (Viz
vyobr. 8.!) 34. clavata Obenb.

41' Tykadla jsou normální, nikdy nápadně ztlustlá, kratší.

42" * Ocellace štítová jest ve spodině zrnitá, chagrinovaná,

velmi nízká, jako by setřelá, avšak přece zřetelně patrná; proto

Obr. 8.
A. clavata
Obenb.
Antenna.

XXXI.

12

jest štít matný, méně lesklý. Štít jest l^kráte širší než dlouhý,
krovky jsou dosti ploché a prodloužené. 5 mm. Mesopotamia.

35. Semiramis Obenb.

42' Ocellace jest zřetelnější, ostrá, ve spodině hladká, bez chagrinu,
štít jest proto lesklejší.

43" Štít není k základně příliš nápadně zúžený. Struktura štítová jest
též na plošině více méně zřetelná.

44" Větší africké druhy. Zadní rohy štítové nevyčnívají nápadně špičatě.

45" Štít jest dvakráte širší než dlouhý, do zadu nepatrně, do předu
jen slabě zúžen, ocellován. Ocelly splývají po stranách v několik
podélných vrásek ; na ploše jsou jen jemné; před základnou štítovou
jeví sklon k vytváření příčných vrásek; v okolí předního kraje
jsou okraje oceli vymizelé a jen jich střední zrnka zůstávají stále
zřetelná. Struktura štítová jest vůbec nízká, jakoby polosetřelá.
Celo jest široké, mědově rudé. Krovky jsou na ramenách širší
o něco nežli štít, zavalité, dosti krátké. Senegal; snad i v Marokku.
6-5 mm. 33. aenea Cast. G.

45' Štít jest jen lý^kmte širší než dlouhý, k přednímu kraji značně
zúžený, zadní rohy jsou ostré; za středem jest na stranách jemně
vykrojený, všude velmi stejnoměrně, velmi zřetelně ocellován. Stěny
oceli jsou dosti zvýšené; proto jest struktura štítová velmi zřetelná.
Hlava jest krásně zelená, menší než u aenea C. G. Krovky jsou
delší, jen tak široké jako štít. Velký, lesklý druh, barvou připo¬
mínající značně inculta Germ. Alžír. 36. stupida Mars.

44' Menší (3-5— 5-5 mm). Čelo jest zelené, široké. Oči čnějí dosti značně
po stranách hlavy. Strany štítu jsou rovnoběžné, zadní rohy jsou
ostře pravoúhlé a těsně ve špičce vmáčklé a sploštělé. Struktura
plošiny štítové jest oné druhu inculta Germ. podobná, jest jakoby
setřená a zmizelá ; pozůstává z kulatých oceli.

Forma zadních rohů štítových jest neobyčejně charakteristická.
Druh tento připomíná velmi podobná A. Winkleri m. ze S}/rie,
jež ale patří mezi Anthaxie širokokrové (planipennes) . Bývá ve
sbírkách pode jménem ,, stupida Mars“. Řecko: Attika.

37. Minerva Obenb.

43' Štít jest k základně zúžen, bez jakékoli síťovité nebo kroužkovité
struktury na ploše, značně klenutý t Egypt.

Druh tento uveden jest na jiném místě ještě jednou, ježto neznaje
jej, leč dle popisu, nemohu jej s jistotou zařaditi.

38. pumilla Klug.

38" Hlava jest normální, nenápadně rozšířená. Zelené, zlatové, černo-
modré nebo jednobarevné druhy. Krovky jsou jednobarevné, bez
jakékoli skutellární, ohraničené skvrny. V zadních rozích štítových
jest často plochý, jen zřídka ostřejší a zřetelnější vtisk ( berytensis

XXXI.

13

AbA). Centrální zrnka ocellová vystupují většinou velmi ostře,
kdežto stěny oceli jsou často jen velmi slabé a nízké. Prostředně
velké druhy.

VI. Skupina A. cichorii 01.

46'" Krovky jsou za středem poněkud rozšířeny. Zeleně bronzová. Štít
jest opatřen čtyřmi vtisky. Trochantery jsou chráněny konickým
zoubkem. Kaspická oblast. 43. spinosa Ab.

46" Krovky jsou více přišpičatělé, nerozšířené; tělo jest tedy štíhlejší,
méně zavalité. Trochantery jsou nechráněné. Kovově zbarvené,
lesklé druhy. Štít jednobarevný, bez příčné červené pásky.

47" Velmi protáhlá, velmi štíhlá, zlatozelená, lesklá. Krovky jsou více
méně ohnivě rudé, základní vyjímaje. Opýření hlavy jest bělavé.
Plocha štítu jest pokryta širokými ocellami, jež ku špičce se po¬
někud sbíhají, jež ale nevytvořují žádných vrásek. Na krovkách
jsou naznačeny nezřetelné stopy po podélných řadách, jako na př.
u praeclara Mannh. Poslední břišní článek jest na špičce přehnut,
ale bez jakýchkoliv vtisků uprostřed. Persie. 39. Schach Abeille.

47' Méně protáhlá, zavalitější. Krovky bez naznačené, v řadách sesta¬
vené struktury, stejnoměrně zrnité.

48" Čelo jest žlutě opýřeno, uprostřed ploše vtisklé. Tykadla jsou
černavě zelená ; zlatový, velmi lesklý druh. Poslední břišní článek <$
jest uprostřed vtisklý; opýření vnější strany zadních tibií jest
žlutavé.

a) Celá zlatozelená, ((ý jest dle Abeillea cle Perrin červenější, avšak
moji tři jsou úplně zlatozelení.) Spodek jest zelený. Kavkaz.

40. flavicomes Ab.

b) Krovky, strany štítu a spodek jsou nádherně rumělkové červené,

silně lesklé ; jen téměř hladké čelo a plocha štítu jsou zlatozelené.
Eriwan. 40. flavicomes var. (Q?) eriwana Obenb.

48' Čelo jest bíle opýřeno. V celku matnější, méně lesklá.

49" Střední holeně jsou na konci zahrnuté a hustě opýřené. Skulptura
těla (a zvláště štítu) jest setřelejší. Jinak podobná druhu Cichorii
01. ((5*). Malá Asie. Mně neznámá. 41. šeřena K. Dan.

49' Střední holeně jsou jednoduché. Struktura těla jest normální.

50" Hlava jest velmi široká, velmi značně klenutá, oči jsou velmi veliké ;
čelo jest siťkováno, ale nikoliv ocellováno (tedy: retikuly bez stře¬
dových zrnek!). Štít jest parallellní, s pravoúhlými rohy; plocha
jest ocellována ; zrnka oceli jsou zřetelnější než síťkování kolem nich.
Krovky jsou dosti lesklé. Na povrchu i vespod rudě bronzová.
Morava (???). Mně neznámá. 4 2. laticeps Abeille.

50* Hlava a štítová struktura jest normálně vytvořena.

XXXI.

14

51" Massi vnější, zlatověj ší, více hedvábitě lesklá. Ocelly jsou málo

patrné; často jest štít více zlatový. $ má přední holeně prohnuté;
poslední břišní článek jest na stranách a na konci přehnut;
konec annálního článku jest hluboce vykrojen. Alžír (Monts Aurěs).
Mně neznámá. 43. domina Abeille.

51' Štíhlejší, méně hedvábitá. Štítová struktura jest zřetelná. Méně
zavalitá. Annální článek a přední tibie jsou normální. Střední
a jižní Evropa, Alžír, Malá Asie. 44. Cichorii Oliv.

A" Zadní tibie jsou na vnější straně zřetelně temně opýřeny. Více
měně matnější.

a" Dosti zavalitá, krovky jsou dosti protáhlé, avšak přece dosti široké,
zřetelně krátce bíle opýřené. Na temeni lze pozorovati velmi zře¬
telnou vtisklou podélnou čárku. Krovky jsou mosazně měďové
nebo zelené. Větší, zelenější a silnější nežli forma základní. Persie
(Hauser). 44. cichorii var. parthica Obenb.

a' Méně zavalitá, protáhlejší a více zašpičatělá.

(3"" (j $ nahoře i vespod zelení, často s přídechem do modra. Forma
typica. 44. cichorii Oliv. (ý1^

p"' 99 » krovky více méně temně rudě bronzové, štít a okolí štítku
z části zelenavé. Forma typica. 44. cichorii Oliv. 99

(3" 9 9 i nahoře i vespod zelené.

44. cichorii ab. 9 chamomillae Mnnh.
(L c? 9 i štít jest klenutější, hladší, na přední straně lesklejší. Spodní
strana jest bronzově černá. Lyon. 44. cichorii var. gibbicollis Rey.
A' Zadní tibie jsou na vnější straně světle opýřeny. Lesklá. Štít jest
na ploše černomodrý, štítek jest modrofialový, témě jest modré.
Anatolia. 44. cichorii var. nigrithorax Obenb.

46' Krovky jsou téměř až za střed paralellní, poměrně značně široké ;
proto tyto druhy omylem byly kladeny mezi „široké" Anthaxie.
Strany štítu jsou značně zaokrouhleny , v zadních rozích ploše vtisklé.
Malá skupinka následujících druhů tvoří jakýsi přechod k velké
skupině Anth. širokých a připomíná v mnohém ohledu skupinu
A. flammifrons Sem. Trochantery jsou jednoduché.

52'" Krovky jsou fialově modré, delší, více přišpičatělé. Štít jest více
protáhlý, na předním okraji méně vykrojen, ocelly jsou dosti ne¬
zřetelné. V zadních rozích jest štít vmáčklý. Poslední břišní článek
(ý jest uprostřed podélně, rýhovitě vtisklý. Před temnou základnou
jest štít ozdoben v přední polovině světlou, růžovou příčnou páskou,
za níž leží na základně příčný pruh černý. Jinak podobná druhu
hypomelacna 111. ale delší. Sýrie. 45. berytensis Abeille.

52" Krovky jsou zelené.

53" Štít jest rovněž tak jako čelo rudý nebo zlatový, s černou příčnou
páskou podél předního kraje. Jižní Evropa, etc.

46. hypomelaena 111.

XXXI.

53' Štít jest jednobarevný. 46. hypomelaena ab. nitidicollis Lap.

52" Krovky jsou černofialové až modrofialové, velmi tmavé, štít jest

na plose černý a matný, jen po stranách dosti úzce zlatozeleně
nebo zlatožlutě obrouben. Hlava jest zlatožlutá nebo zlatozelená.
Štít jest na plošině posázen zřetelnými ocellami, jež nejsou příliš
vysoké. Rhodos. 47. Olivieri Lap.

38' Hlava jest normální. Štít jest mnohdy na místě ocellace pokryt
jen velmi zřetelným, dosti hrubým síťkováním, kde jednotlivé
buňky nemají středních zrnek (na př. praeclara Mannh.). Povrch
jest vždy dvojbarevný, krovky jsou purpurově červené až červeno-
hnědé, štít jest černomodrý nebo modrý, často s tmavými skvrnami.
Často jest více méně světlá, více méně ostře ohraničená trojúhlá
skutellární skvrna přítomna. Štít jest 11a stranách často modře nebo
růžově obrouben.

VII. Skupina A. olympica Ksw.

54" Struktura štítová pozůstává ponejvíce z ostře vystupujících mnoho¬
stěnů (nej častěji nepravidelných pětistěnů nebo čtyřstěnů), jest
síťovitá; zmíněné mnohostěny jsou bez středního zrnka nebo toto
jest rudimentní, téměř neznatelné, velmi slabě naznačeno. Štít jest
ve spodině silně lesklý. Krovky nesou často stopy slabě naznače¬
ných řádek; skutellární trojúhelník, barvou odlišný od ostatních
krovek, bývá jen naznačen.

55" Hlava jest dosti klenutá, se zřetelnou podélnou rýhou na čele.
Strany štítové jsou zaokrouhleny; zadní rohy jsou otupené; štít
sám jest velmi krátký, velmi široký, širokými a velkými mnoho-
stěnnými „buňkami" pokryt. Středová zrnka chybí. Předek těla
jest temně zelený, krovky jsou bronzové, krátké, klenuté, na základně
zelenavé; povrch krovek jest velmi stejnoměrně zrnitý. „Orient".
Mně neznámá. 48. truncata Abeille.

55' Hlava jest široká, dosti plochá, bez podélné rýžky. Strany štítové
jsou normální, rovnoběžné, štít jest přiměřeně krátký, l2/3kráte
širší než dlouhý, s téměř pravoúhlými zadními rohy. Hlava a štít,
rovněž tak jako základna krovečná a krátká skvrna podél švu
krovečného jsou zelené. Štít jest na plošině okrášlen dvěma více
méně vystupujícími podélnými skvrnami. Krovky jsou ruděbron-
zové, s naznačenými podélnými řadami. Jižní Evropa (východní
část). Malá Asie, Sýrie etc. 49. praeclara Mannh.

54' Struktura štítová sestává z malých kulatých oceli, jež, zvláště na
předním okraji, velmi zhusta splývají. Štít jest ve spodině zhusta
nelesklý. Krovky jsou delší, vždy bez zřetelněji naznačené, řádkové
struktury. Oči méně po stranách vyčnívají. Často jsou zrnka upro¬
střed kulatých oceli méně zřetelná ; pak činí struktura více síťovitý

XXXI.

1G

56;

57"

57'

58"

58'

5b

59'

56'

dojem — tehdy jsou ale okraje oceli jen slabě zvýšeny a spodina
oceli jest matná, nelesklá.

Zelená štítková skvrna jest velmi pravidelná, od červené základní
barvy krovek velmi ostře oddělená, bez barevných přechodů ; ne¬
kryje celé základny krovečné. Krovky jsou podlouhlé, nádherně
kar minově červené, lesklé.

Štítková skvrna jest velmi dlouhá, zaujímá polovinu délky kro¬
večné; jest nádherně zlatozelená, se zlatými okraji. Krovky jsou
dosti ploché a krátké, temně karmínově fialové, na špičce široce
zaokrouhlené, krátce a spoře žlutě opýřené. Štít jest asi dvakráte
širší než dlouhý, k přednímu kraji a k základně mírně zúžený, před
zadními rohy ploše vtisklý, na plošině ozdoben dvěma temnými
skvrnami (dosti neurčitými). Struktura sestává z vícestranných,
hranatých oceli, s nezřetelnými, polozmizelými středními zrnky ;
stěny oceli jsou nízké. 5-25 mm. Kašmír. 50. bivulnerata Obenb.
Skutelární trojúhelník jest krátký.

Štítek jest vždy zelený, střední páska na štítě (zelená — mezi oběma
temnými) jest širší, struktura štítová jest velmi stlačená, nízká;
čelo jest často zlatozelené s náběhem do mědova. Ocelly štítové
jsou zvláště na obou temných štítových páskách (jež jsou menší
než u následujícího druhu) zřetelné. Struktura štítová jest na
předním okraji velmi setřelá a neurčitá. i 99 mají stejně

upravené přední tibie (jež jsou rovné, neprohnuté). Štít a štítový
trojúhelník jest zelený, krovky jsou nádherně karmínově. Sýrie.

51. Israělita Abeille.

Štítek jest černý. Zelená střední páska na štítě jest úzší; obě černé
skvrny na štítě jsou veliké. Struktura štítová jest
obdobná oné předešlého druhu. Čelo jest často zcela
černé. Holeně předního a zadního páru jsou silně
dovnitř prohnuté. (Viz obr. 9.!)

Štít jest ve spodině matnější; ocelly jsou menší, méně
zřetelné; zbarvení (též spodní strany!) jest v celku
temnější. Trojúhelník na základě krovek jest vždy
velmi ostře ohraničen. Tvar jest dosti klenutý a štíhlý.

Jižní Evropa etc. 52. viminalis Lap. a. viminalis

Štít jest ve spodině lesklý, hladký. Barvy těla jsou dap.JVTibia
nádhernější, živější. Trojúhelník na základně krovek auterior.
jest vždy zřetelně odsazen. Obě černé skvrny na štítě
jsou vzadu zúženy a zanechávají před zadními rohy malou Čtyř¬
hrannou plošku volnou, zlatovou. Sedmihrady, j. Francie.

52. viminalis var. ditescens Abeille.
Štítková trojúhlá skvrna splývá s ostatní barvou plochy krovečné
ponenáhlu, prostřednictvím různých přechodných odstínů ; jest tedy
neurčitě ohraničená, temná (černo- nebo modrozelená, nikdy živě

XXXI.

17

zlatozelená, jako u skupiny předchozí) ; zaujímá celou základnu
štítovou. Struktura štítová pozůstává z massi vnějších, více stlače¬
ných oceli než u předcházejících druhů.

60" Struktura štítová přechází uprostřed ve více méně zřetelné příčné
vrásky. Ocelly jsou hrubé, malé, massivní. Struktura těla jest celkem
hrubší než u následujících druhů; barvy jsou temnější, méně určité.

61" Štít jest na stranách stejně zbarven jako uprostřed (zeleně, modře
nebo černomodře). Štítková skvrna jest nezřetelná, po obou stranách
štítku jen málo rozšířená. Jinak druhu A. olympica Ksw. značně
podobná, ale štíhlejší. Alžír, j. Francie.

53. fulgentipennis Abeille.

61' Okraj štítu jest normálně měďově zbarven, růžový, lesklý. Štítková
skvrna jest po obou stranách štítku více rozšířená. Krovky jsou
více měďové, zrnitější, méně štíhlé.

62" Štít jest na ploše rovný, bez vtisků. Španěly, Alžír, etc.

54. parallela Lap.

62' Štít jest opatřen čtyřmi vtisky, jež leží v jedné příčné přímce.

54. parallela f. notaticollis Rey.

60' Struktura štítová jest stejnoměrně utvářena; uprostřed nepřechází
nikde ani v krátké příčné vrásky. Zrnkování krovek jest jemnější.
Druhy tyto připomínají druh viminalis Lap.

63" Větší, zavalitější, pestřeji zbarven. Štítek jest černomodrý velmi
lesklý. Hlava jest opýřena delšími, zřetelnějšími bílými chloupky.
Struktura štítová (ocelly) jest nízká, jakoby stlačená, polo „setřelá"
zvláště uprostřed méně zřetelná. Západní Mědit erranea.

55. ignipennis Abeille.

63' Poměrně menší, průměrně též temněji zabarvená; štítek jest zelený
nebo černomodrý až černý, vždy silně chagrinován a proto matný,
nelesklý; hlava jest vždy kratšími, tíže pozorovatelnými, sporými
vlásky opýřena. Východní Mediterranea. 56. olympica Ksw.

23' Celý povrch, krovky, rovněž tak jako štít, jsou ponejvíce nelesklé ,
jen vzácně hladké a lesklé, ponejvíce více méně silné chagrinovány.
Tělo jest stále dosti stlačené, zašpičatělé, dosti ploché ; tvarem při¬
pomíná často nitidula L. Původní ocellace nebo retikulace (= ocelly
bez středních zrnek!) jest často nahrazena chagrinováním ; v tomto
chagrinu bývá struktura původní jen naznačena. Drápky jsou na
kořeni často rozšířeny nebo zubem opatřeny, zřídka jednoduché.
(Druhy této skupiny tvoří přechod k širokým Anthaxiím — proto
jest důležito při určování projiti též některé podobné skupiny
širokých Anthaxií z příbuzenstva A. discicollis Lap., quadripunctata
L. a pod.!) Jestliže jest retikulace štítová zřetelnější, netvoří nikde
ani příčný éh, ani podélných vrásek. Zbarvení jest převážně zelenavé
nebo hnědozelené, zřídka modravé až černé. Asijské a severoamerické
druhy.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 31. o

XXXI.

18

Přechodní skupiny.

VIII. Skupina A. mundula Ksw.

64'" Více méně zřetelně chagrinována. Síťová struktura štítu a krovek
jest dosti jemná až velmi jemná. Krovky nejsou na stranách zřetelně
vykrojeny, klenutější, zadní tibie (ý $ jsou normální.

65" Štít jest k základně nezřetelně nebo aspoň nenápadně zúžen; jen
vzácně zaškrcen — ale pak jsou krovky dvojbarevné.

66" Největší šířka štítu leží nedaleko základny ; zelené, olivově zelené
až hnědozelené druhy s jednobarevnými krovkami.

67" Štít jest až za střed rovnoběžný, pak ku předu zúžen. Strany štítu
a čelo jsou často zlatové. Štít jest na plošině jemně ale zřetelně
retikulován. Celý povrch jest chagrinován. Krovky jsou normálně
zrnité. Zadní rohy štítové jsou pravoúhlé; štít jest F/skráte širší
než dlouhý. Sýrie. 57. mundula Ksw.

67' Krovky jsou jemně zrnité, temně zelené. Zelené zbarvení přechází
často do olivová; drápky jsou jednoduché, neozubené. Štít jest
široký, k základně nerozšířený, na stranách lehce zaokrouhlený,
často uprostřed rovný a na základně a na předním okraji slabě
zaokrouhlen; plocha jest rovná nebo po obou stranách středu lehce
vtisklá. Chagrinovaná ; 4 — 5 mm dlouhá; dosti podobná naší niti-
dula F., ale štíhlejší a užší, s jinou štítovou strukturou etc. V Se¬
verní Americe, ve spojených státech — dle Horná od Colorada až
po Nevadu a Kalifornii rozšířena. Moje kusy jsou z Kansasu.

58. deleta Le Conte.

66' Temná, černohnědá, hnědá až temněmodrá, vždy jednobarevná,
nebo světleji zelená až hnědá, pak ale s dvojbarevnými krovkami.

68" Zbarvení jest modré až modročerné.

69" Štít jest lý^krátě širší než dlouhý, velmi jemně chagrinován. Témě
jest mezi očima dosti zúženo. Krovky jsou velmi jemně zrnité.
Malé ,, buňky" na čele jsou vyplněny velkými středními zrnky. Čelo
jest klenuté; černá s modravým hedvábitým leskem. Severní Ame¬
rika: Kalifornie. 62. Caseyi Obenb.

69' Štít jest dvakrát širší než dlouhý, s hrubší strukturou. Témě jest
mezi očima daleko méně zúženo. Krovky jsou hruběji zrnité, mnohem
lesklejší. Větší „buňky" na čele jsou vespod hladké, bez zrnek upro¬
střed; čelo jest uprostřed podélně vtisklé. Modrá až černomodrá,
lesklá. Spojené státy severoamerické. 63. Cyanella Gory.

68' Zbarvení jest zelené, temně hnědé až černé, strany štítové jsou občas
zlatové; krovky jsou často dvojbarevné.

70" Krovky jsou jednobarevně hnědé nebo černohnědé.

71" Větší druh. Čelo a postranice štítové Jsou mědové nebo zlatozelené,

XXXI.

19

ostatní povrch jest rovněž tak jako témě temný. 5 — 6-5 mm.
Severní Amerika. 6o. viridicornis Gory.

71' Menší, jednobarevný druh. Čelo jest často zelené, tělo jest více
mědove zbarveno, krovky jsou jemněji zrnité, 4 — 5 mm. Severní
Amerika. 6i. viridifrons Gory.

70' Krovky jsou zelené nebo zelené s mědovými, hnědými podélnými
skvrnami.

72" Krovky a štít jsou ve spodině lesklé ; štít jest dvakráte širší než
dlouhý; jeho „buňky" jsou ve spodině úplně hladké. Krovky jsou
temně hnědé s dlouhou a širokou štítovou skvrnou. Pennsylvania.

67. pennsylvanica Obenb.

72' Krovky a štít jsou ve spodině chagrinovány, proto matnější. Štít
je jen lj^kráte širší než dlouhý, za středem poněkud zaškrcený.
Severní Amerika. 66. quercata Say.

65' Štít jest k základně zřetelně zúžen.

73" Štít jest za středem nejširší. Na čele nachází se malá, zdvižená,

lesklá tečka, jež vzadu přechází v malou zdviženou čárku. Krovky
mají základnu poněkud zdviženou jsou vzadu příčně vtisklé, s ostrými
vpadlými rameny, velmi hustě tečkovány ; přední část krovečná
jeví se zdviženou; příčinou toho jest nezřetelný vtisk uprostřed;
tento prochází od ramen a jde směrem ku středu. Sibiř.

64. psittacina Heyden.

73' Štít jest uprostřed nebo před středem délky nej širší, dvakráte širší
než dlouhý. Krovky jsou jemně chagrinovány, zašpičatělé, stejno¬
měrně klenuté. Zelená až mosazně hnědá — barvou upomíná na
druh millejolii ab. póly chlor a Abeille. 4 mm. Japan. Himalaya.
Jediný dosud známý japanský druh. 65. Próteus E. Saund.

64' Bez chagrinu. Síťová struktura štítu, jež skládá se z mnohostěnů,
jest dosti silná. Štít jest téměř dvakráte širší než dlouhý, na stranách
lehce zaokrouhlený; největší Šířka leží před středem; od středu
k základně jemně, téměř přímočaře zúžený; krovky jsou ploché,
za rameny ploše, nezřetelně vtisklé, na stranách velmi jemně a
slabě, ale přece zřetelně vykrojeny. Nej širší a nej plošší druh této
skupiny — přechodní člen mezi kratomeroidními a širokými Antha-
xiemi. Himalaya (Kašmír). 68. afghanica Obenb.

58' Malá, lesklá, povrch jest bez chagrinování, ocellace štítová jest
dosti rovnoměrná a silná, stále zřetelná, nikdy zrnitá. Čelo jest
ocellováno, krátce bíle opýřeno, smaragdově zelené. Zadní holeně
<3 $ jsou na apikalním vnitřním kraji ve čtyřech pětinách délky
opatřené malým zoubkem (viz vyobrazení 10.) a za ním ku špičce-
jemně vykrojeny. 4-75 — 5 mm. — Tvarem upomíná na nitidula F.
Alžír. Jeho Magnificenci prof. Dru Vejdovskému k poctě pojme¬
nován. 59. Vejdovskýi Obenb.

XXXI.

2*

20

A'" Malý, asi 4 mm dlouhý druh. Krovky jsou až do 4/5 délky rovno¬
běžné, dosti klenuté, lesklé , hladké , jen s velmi nezře¬
telnou, uhlazenou, téměř úplné vymizelou strukturou ,
téměř nezřetelně, velmi spoře a krátce bíle opýřeny.

Štít jest asi dvakráte tak široký jako dlouhý, k před¬
nímu kraji stejně jako k okraji zadnímu zúžený, na
plošině rovný; základna jest rovná; štít jest ve spo¬
dině velmi lesklý a hladký, všude pokryt velikými, velmi
zřetelnými mnohostěny se zřetelnou tečkou uprostřed.

Před zadními rohy jest štít po obou stranách hluboce,
velmi zřetelné podélné vtisklý.

Tento samostatnou skupinu tvořící druh jest jedním
z nej zajímavějších celého rodu ; spojuje velmi památ¬
ným způsobem více — jinak vzdálených skupin —
proto postavil jsem jej jako zástupce zvláštní skupiny
isolovaně (bude opakován ještě jednou při druzích
širokých). Má vztahy se skupinou A. fulgurans (ze
širokých Anthaxií) i se skupinou cichorii OL, kde zvláště
druh berytensis Ab. upomíná naň podobnými vtisky na basi štítu.

Obr. 10.
A. Vejdov-
skýi Obenb.
(ý. Tibia
posterior.

IX. Skupina A. flammifrons Sem.

a) Krovky jsou mědově růžové, silně lesklé, štít jest olověvě šedý;

příčný pruh na basi štítu jest stejně zbarven jako krovky. Hlava
je nádherně krvavě červená, ohnivá, témě jest temně černošedé.
Turkestan ; poušť Gobi. 4 — 5 mm. 69. flammifrons Sem.

b) Větší, paralelku ; celý povrch jest rovněž tak jako spodek olivově
růžový. Postava jest delší než u typické formy.

69. flammifrons var. ignea Obenb.

c) Menší. Krovky jsou kratší, poněkud hruběji zrnité. Olivově zelená;
jen plošina štítu jest načernalá; vtisky v rozích štítu (jež normálně
jsou rudé) jsou zlaté. Kuldža.

69. flammifrons var. kuldjensis Obenb.

A" Válcovitá, silně klenutá, často chagrinovaná. Štít jest do zadu
zaskrcen, silně klenutý; plocha jeho jest chagrinovaná, bez jiné
struktury (bez oceli). Zlatový nebo zelený. Druhy ze Severní Afriky.

X. Skupina A. malachitica Ab.

Druhy této skupiny probrány budou v díle dalším, v pojednání
o Anthaxiích širokokrových. Skupina tato jest rovněž přechodní,
rázu spíše Anth. širokých, ač má určité vztahy k skupině druhů
kolem kratomeroidní A. stupida Mars., kde jeden druh, jenž asi
jistě patří do této skupiny (A. pumilla Klug) byl již uveden.

XXXI.

21

A" Krovky jsou sploštělé, široké, často silně nerovné. Opýřeni jest bilé
až často černé nebo hnědé a pak tuhé, štětinovité. Štít jest různě
upraven pokud se skulptury týče, velmi často po stranách po¬
délnými vráskami opatřen; velmi vzácně jednotně retikulován nebo
ocellován, nízký, stlačený, široký. Pešti obarevné až černé druhy
značně stlačeného těla. Krovky jsou do zadu méně prudce zúžené.

Anthaxiae planipennes.

Druhy rozsáhlé skupiny této, četnými formami po celém světě za¬
stoupené, probrány budou v pojednání zvláštním.

Specielní popisy a data synonymická a zoogeografická budou obsahem
studie následující.

XXXI.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 32.

Příspěvek ke studiu resonančního spektra par
iodových a poznámka k fluorescenční absorpci.

Podává

Dr. Václav Posejpal.

(Se 3 obr. v textil.)

Předloženo 27. června 1914.

I.

§ 1. Fluorescence plynů a par jest všeobecně známa teprve od prací
Wiedemann-Schmidtových, konaných v letech 1895 a následuj ících, ačkoliv
fluorescenci par iodových pozoroval již Lommel r. 1883. Důležitosti nabyl
tento druh emisse světelné teprve pracemi R. W. Wooda, který spektro-
grafickým studiem objevil zajímavé vlastnosti jeho spekter. Woodovy
práce týkají se hlavně par natria, kalia, rtuti a iodu. Zvláště podrobných
a pozoruhodných výsledků dodělal se u iodu, jehož fluorescence jest velmi
silná a vzhledem k tomu, že maximum její intensity padá do tepelného
oboru kolem 20° C, velmi snadno přístupná pozorování.

Předmětem přítomné úvahy jest fluorescenční spektrum par iodo¬
vých vzbuzené zelenou čarou rtuťovou (A = 5460- T AQ). Spektrum toto,
tak zvané spektrum resonanční, skládá, se z čar téměř ekvidistantních,
jichž Wood1) napočítal celkem dvacet dvě a z nichž jedna splývá s čarou
účinnou a sluje dle Wooda radiací resonanční, R. R. Fotografuj eme-li
uvedené čáry, jichž vzdálenost činí asi 70 A°, při dostatečné dispersi,
objeví se každá z nich býti skupinou většího menšího počtu jemných čar,
nestejně rozdělených. Tak u R. R. čáry zjistil Wood až 10 složek, u čáry
nejblíže delšího A až 13 složek atd. Možno tedy čáry resonančního spektra
iodu považovati za velmi úzká čárová spektra, jež Wood označuje čísly
řádovými obdobně, jako činíme u spekter mřížkových. Jest tedy R. R.

0 Phys. Zsch. 14. 178—188; 1189—1201; 1913.

Rozprava Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 32.

XXXII.

1

2

čára spektrem řádu nultého, čáry od ní k delším A postupující jsou spektry
řádu prvního, druhého atd., čáry ke kratším A jdoucí obdobně spektry
řádů negativních. Počet složek jednotlivých řádů se mění dle povahy
účinné čáry rtuťové. Jde-li na př. o rtuťovou lampu křemenovou, rozšiřuje
se její zelená čára tím více, čím vyšší je teplota světelného oblouku rostoucí
se svorkovým napětím lampy, a s tím souběžně jde přibývání čar v jednot¬
livých řádech. Absorpční spektrum iodu skládá se z nesmírného počtu
čar tak hustých, že šířka zelené čáry rtuťové přikryje dle okolností dvě
až sedm z těchto čar. Jejich délky vlnité jsou: 5460-577, ~-640, —*716,
-•768 --873, --910, --966. I jest tedy nasnadě předpokládati, že počet

složek jednotlivých spekter jest v genetické souvislosti s absorpčními
čarami účinným světlem vzbuzovanými a jest veledůležitým se stanoviska
podrobnějšího studia této emisse zjistiti, které složky jednotlivých řádů
spolu korrespondují a na vzbuzení kterých z daných absorpčních čar jsou
vázány. Wood se snaží dojiti odpovědi na tuto otázku cestou experimentální
tím, že pozoruje, které členy v jednotlivých řádech se objeví neb zmizí,
když účinnou zelenou čáru rozšíří neb zúží, neb když některé její frekvence
odstraní neb seslabí vhodným prostředím absorbujícím, jako jsou páry
bromu, iodu, natria atd. Obtíže experimentální jsou zde veliké a tudíž
dosavadní výsledky poměrně skrovné a bude to státi ještě mnoho práce,
než tato důležitá otázka bude zodpověděna. Přítomná práce má býti pří¬
spěvkem k tomuto úkolu.

§ 2. Vznik resonančního spektra iodu můžeme si představiti, nečiníce
podstatně jiných, než čistě formálních hypothes, jak následuje. V molekule
iodové páry jest přítomen velký počet elektromagnetických oscilátorů
nej různějších frekvencí, charakterisovaných bezpočtem čar absorpčních.
Čára absorpční, jež ozářena světlem téže frekvence dá vznik emissi světla
fluorescenčního, jest čára účinná a jest tím charakterisována, že její osci¬
látory mohou hromaditi vzbuzení, t. j. hromaditi, ovšem že po dobu ne¬
smírně krátkou, energii účinného záření v takové formě, že táž může býti
spotřebována na emissi světla fluorescenčního. Vzbuzení daného oscilátoru
má za následek větší menší zmenšení frekvence jeho vlastní i všech ostat¬
ních v molekule přítomných oscilátorů, ať vzbuzených neb nevzbuzených,
jakož i usnadnění jejich vzbuditelnosti. Ztráta vzbuzení téhož oscilátoru
má obdobně opačné důsledky.

Hromadění vzbuzení a s tím spojené změny frekvence řídí se před¬
poklady kvantové hypothesy, dle které světelná energie jest absorbována
a emitována jen v celých kvantech. Jest minimální, t. j. při dané fre¬
kvenci v oscilátor nahromadí jen tolik kvant m, že jim při tím nabyté
frekvenci v' odpovídá minimální zvětšení počtu, tedy m + 1. Je-li h
Planckova universální konstanta, platí

h v m = h v' [m + 1)

XXXII

3

a z toho

v' = v

m

m -f 1

A' = A . ?L±±
m

i)

!')•

Oscilátor frekvence v fluoreskující molekuly může přes to, že při
této frekvenci nahromadil vzbuzení, nedoznati bud žádné změny své
frekvence, neb doznati dokonce jejího zvětšení na v ", nastala-li současně
emisse a tím ztráta nahromaděného vzbuzení jednoho neb několika jiných
oscilátorů téže molekuly. Při tom zase předpokládáme platnost zákona
minimálního, tedy

a

h v m — h v" (m — 1)

v

m

m — 1

(2)

m

(2/).

Číslo m jest řádově stejné pro všecky oscilátory daných čar absorpč¬
ních, ale tím menší, čím aktuální frekvence daného oscilátoru je vzdále¬
nější (menší ) od frekvence jeho v molekule nefluoreskující. Tedy s při¬
býváním intensity a rozlohy účinné čáry zelené bude přibývati nejen
na počtu čar spektra na př. nultého řádu, ale také na jeho spektrální
rozloze, jak zkušenost potvrzuje. S tím souvisí též, že vznik té které čáry
tohoto spektra nemusí býti vázán na vzbuzení jen jediné čáry absorpční,
nýbrž může záviseti od současného vzbuzení několika těchto čar, k čemuž
také Woodova pozorování poukazují.

Vznik celého resonančního spektra možno si pak představiti po¬
stupně tak, že bezprostředně po účinném osvětlení molekuly dostaví se
v její fluorescenční činnosti jistý stacionárný stav a jemu odpovídající
počet čar spektra řádu nultého. Oscilátory účinných absorpčních čar,
které vzbuzení nehromadí, vydávají čáry resonanční radiace, R. R., vzbu¬
zování ostatních děje se pak způsobem vylíčeným řádovým číslem m,
a sice stacionárně, t. j. průměrná intensita každé čáry je stálou a průměrně
stálým jest také počet oscilátorů, které s ní mají v daném okamžiku stejnou
frekvenci. Vůči těm hraje tato čára úlohu záření účinného, přivádějíc je
k emissi R. R. a k hromadění vzbuzení, danému číslem řádově menším
než bylo m, tedy na př. n. Toto n bude řádově stejným pro oscilátory všech
čar, ale po dosažení nového stacionárního stavu, který jejich vzbuzováním
nastane, udrží se v trvalé činnosti, jak skutečné spektrum ukazuje, osci¬
látory jen téhož n. Jejich činností nabudou frekvencí odpovídajících čarám

9*

XXXII.

4

Spektra řádu nultého oscilátory ještě snazší vzbuditelnosti, dané řádovým
číslem na př. q. Jejich vzbuzení má za následek zase nový stacionární stav
a obdobně jako prve jest q pro všecky trvale činné oscilátory stejným.

Činností oscilátorů o vzbuditelnosti n a q vzniknou spektra vyšších
řádů. Oscilátory snáze vzbudí telné, q , zmocní se pravděpodobně mnohem
většího podílu energie dodávané účinnými čarami řádu nultého a jest
tudíž řád jimi emitovaný bohatší na energii, než řád emitovaný oscilátory n.
Poslední nazveme řád vedlejší, první bude řád hlavní. O čarách řádů
vedlejších budeme předpokládati, že již dále nevzbuzují fluorescence.
O čarách řádů hlavních budeme předpokládati, že pracují stejně jako
jsme právě vylíčili pro čáry spektra řádu nultého, jež tím se jeví jako
první řád hlavní. Při tom čísla n a q budou pro všecky řády hlavní při¬
bližně stejná. Může se však státi, že čáry některého řádu hlavního vzbu¬
zují oscilátory ne dvojího druhu, nýbrž jednoho jediného o vzbuditel¬
nosti p, ležící řádově uprostřed mezi n a q. Nový řád takto vzniklý jest
ovšem spektrem hlavním a spektrum vedlejší schází.

Řádová spektra resonančního spektra iodu vykazují dvojí typus.
Jedna mají čáry ostré a poměrně intensivní, druhá matné a mlhavé. Řády
prvého druhu označuje Wood písmenem S (= sharp), řády matné písme¬
nem H (= hazy). Předpokládám, že způsobem vylíčeným vznikají vesměs
řády druhu 5. Poněvadž řády — 1 a — 2, jichž existence jest porušením
pravidla Stokesova, jsou řády druhu H, předpokládám o řádech H vše¬
obecně, že vznikají fluorescencí proti jmenovanému pravidlu, tedy dle
rovnic (2) a (2'). Jsou vesměs řády vedlejšími, tedy vzbuzení dle čísla n,
pouze řád — 2 byl emitován oscilátory, jež v řádu nultém nashromáždily
vzbuzení obnosem p kvant.

Obraz proměny energie světla účinného v energii emisse fluores¬
cenční zde podaný, jest zajisté jen formální, hrubý a neúplný. Avšak
nikde neodporuje pozorování a dá se snadno pochopiti se stanoviska
Stárkovy theorie fluorescenční.1) Nám pak dovoluje bezprostředně řešení
zvolené úlohy.

§ 3. Ve smyslu předešlého paragrafu lze především přesně říci, co
rozumíme výrazem ,,čáry korrespondující". K dané čáře spektra nultého
řádu budou ve spektrech ostatních korrespondujícími ty čáry, které svůj
vznik děkují v poslední řadě vzbuzení způsobenému touto čarou. Najdeme
je, vyhledáme-li především empiricky spektra hlavní a k nim příslušná
spektra vedlejší, a pak dále hodnoty n, q, resp. p tak, aby čáry jimi vypo¬
čtené souhlasily co nej úplněji s čarami pozorovanými. Sdělím ihned
výsledek, který dává nej uspokojivější souhlas mezi výpočtem a pozoro¬
váním, a který tudíž lze považovati za pravdě nej podobnější. Při tom
mám na mysli spektrum resonanční vzbuzené při svorkovém napětí

b Viz na př. Dr. J. Stark, Prinzipien der Atomdynamik. II. Teil,
Leipzig 1911.

XXXII.

5

150 Volt, jež Wood co nej pečlivěji proměřil.1) Pro snazší přehlednost dám
číslům n, q , p indexy a znamená na př. phk že oscilátory vzbuzované čarami
spektra řádu h- tého vzbuzení phk spotřebují emitujíce čáry spektra řádu
&-tého.

Spektry hlavními jsou řády 0, 3, 5, 8, 10, 12, 15, 17, 20. Všecky
ostatní řády jsou spektry vedlejšími a jich souvislost jest dána následu¬
jícím způsobem:

Hlavní

n, p, q

T

spektrum

4

**01

řád 1, vedlejší

’ 87,

Mi ■ «i

K - K ■ 87

s

86

H

0

**0-1

řád — 1 , vedlejší

42

H

Pa 2

= 43, řád — 2, vedlejší

43'

q 03 >=

28, řád 3, hlavní

x3 ” ■ w

S

83

H

**32 .=

84, řád 2, vedlejší

• 84

3

43

P 35 =

42, řád 5, hlavní

h = *3 • 42

S

**54

řád 4, vedlejší

X _1 81

V 15 • 82

H

' = 82,

0

5

**56

řád 6, vedlejší

S

^58 —

27, řád 8, hlavní

- *s ■ 27

s

**87 =

84, řád 7, vedlejší

CO 1^ r

00 |oo

00

!

r<

H

8

^8 10 =

= 40, řád 10, hlavní

2 — 1 _ _

h° - *8 * 40

S

**10 9 •

. : schází

10

40

PíO 12 ''

= 39, řád 12, hlavní

= 110 "3íT

S

Á

j ; ^ V 1

x) L. c. pag. 1198.

XXXII.

6

Hlavní

spektrum

n, p, q

l

**12 11

řád 11, vedlejší

i-i i®

11 ~ • 80

H

12

**12 13

• = 80,

řád 13, vedlejší

1-1 81
*13 - *13 ■ 80

í s

2 15 z

= 25, řád 15, hlavní

*13 = *13 - ||

s

**15 14 •

. . schází

15

Pl5 17 :

= 39, řád 17, hlavní

1-1 i!

17 “ 15 ' 39

S

**17 16

řád 16, vedlejší

^16 = ^17 •

H

17

**17 18

’ - 78,

řád 18, vedlejší

X 79

18 17 • 7g

S

(?17 20 =

= 25, řád 20, hlavní

X -X 26

a20 — *17 • 25

S

20

**20 19 :

= 80, řád 19, vedlejší

1-1 79
*!. -*30. 80

H

' Dříve než sdělím číselné hodnoty vypočtené dle tohoto plánu, jest
třeba malé poznámky. Přihlédneme-li k spektru řádu prvního, vidíme, že
má dle pozorování Woodova 13 čar, kdežto spektrum řádu nultého jich
má jen 8. Má-li každá čára daného řádu býti v řádu odvislém zodpovědná
jen za jednu jedinou čáru, musíme předpokládati ve spektru řádu nultého
čáry latentní, což můžeme vzhledem k tomu, že představa o latentní
fluorescenci je všeobecně běžnou. Rovněž budeme v každém jiném hlavním
spektru předpokládati latentní přítomnost té které čáry, když se objeví
ve spektru závislém čára jí korrespondující. Na druhé straně nemusí všecky
čáry daného spektra míti ve všech od něho závislých spektrech čáry korre¬
spondující. Nemá-li čára svého podílu v čarách nej bližšího spektra hlav¬
ního, předpokládáme, že vyhasla počínaje tímto spektrem. Doplníme tedy
řád nultý čarami latentními tak, aby všecky čáry řádu prvého a třetího
tam měly čáry korrespondující. V ostatních spektrech mohou existovat i
latentně již jen čáry zastoupené v řádu nultém. Při dispersi, při níž Wood
fotografoval čáry řádu nultého, splývají čáry R. R., odpovídající příslušným
sedmi (vlastně osmi) čarám absorpčním, v jedinou čáru 5460*74 A°. Na¬
hradíme ji tudíž příslušnými osmi čarami.

XXXII.

7

I jest tedy podrobný výsledek, jak následuje, při čemž na levo stojí
čísla pořadová korresponduj ících čar řádu nultého, W značí délky vlny
měřené Woodem, P tytéž délky stanovené počtem, J rozdíl W — P.
L značí latentní čáry řádu nultého.

Řád — 2. W L

W

P

z/

16

5465-31

10

5334-45

5334-92

— 0-47

17

5465-69

14

5336-85

5336-61

+ 0-24

18

5466-18

19

5466-60

20

5467-53

Řád

. — 1.

7-

5395-83

5395-84

- 0-01

Řád 1.

97

5398-22

5398-20

+ 0-02

13

5400-11

5399-62

+ 0-49

W

P

z/

3

5518-76

5518-71

+ 0-05

Řád 0.

4

5519-69

5519-69

0

7

5521-32

5521-32

0

W

L

94

5523-56

5523-54

+ 0-02

1

5454-50

97

5523-78

5523-74

+ 0-04

2

5455-16

10

5524-67

5524-72

-0-05

3

5456-00

11

5524-94

5525-01

-0-07

4

5456-97

12

5525-12

5525-10

+ 0-02

5

5457-34

13

5525-20

5525-20

0

6

5457*95

14

5526-52

5526 48

-f 0-04

7

5458-58

15

5517-15

5527-16

-0-01

8

5459-58

17

5528-52

5528-52

0

%

5460-501)

20

5530-38

5530-38

0

9i

5460-579

92

5460-640

Řád 2.

93

5460-716

A

5460-768

2

5583-0

5582-73

+ 0-3

95

5460-873

5

5585-1

5584-96

-j- 0-1

%

5460-910

8

5587-4

5587-25

+ 0-1

97

5460-966

10

5589-4

5589-66

— 0-3

10

5461-94

15

5591-8

5592-13

— 0-3

11

5462-23

12

5462-32

Řád 3.

13

5462-41

14

5463-68

1

5649-30

5649-30

0

15

5464-35

3

5650-87

5650-86

+ 0-01

x) Dle odhadu.

XXXII.

8

W

P

z/

Řád 8.

6

5652-88

5652-88

0

W

P

z/

94

5655-75

5655-79

- 0-04

4

6000-86

6000-74

+ 0-12

97

5655-97

5656-00

— 0-03

90

6004-15

6004-63

— 0-48

10

5657-06

5657-01

+ 0-05

10

6006-36

6006-21

+ 0-15

11

5657-38

5657-31

+ 0-07

15

6008-86

6008-86

0-00

14

5658-76

5658-81

— 0-05

17

6010-26

6010-33

— 0-07

16

5660-50

5660-50

0

20

6012-11

6012-35

— 0-24

18

5661-40

>5661-40

0

Řád

9. schází.

Řád 4.

3

5715-25

5714-85

+ 0-40

Řád 10.

8

5718-14

5718-60

— 0-46

3

6149-66

6149-67

— 0-01

94

5720-10

5719-84

+ 0-26

8

6153-41

6153-70

- 0-29

9?

5720-45

5720-05

+ 0-40

9?

6155-39

6155-26

+ 0-13

14

5723-25

5722-89

+ 0-36

15

6159-01

6159-08

-0-01

17

5724-85

5725-00

— 0-15

17

6160-46

6160-59

— 0-13

20

5726-45

5726-92

- 0-47

20

6162-26

6162-66

— 0-40

Řád 5.

Řád 11.

3

5785-1

5785-40

— 0-3

3

6228-56

6228-51

H- 0-05

5

5786-7

5786-82

-0-1

6

6231-06

6230-74

+ 0-32

8

5789-6

5789-20

+ 0-4

94

6234-0

6233-95

+ 0-0

14

5793-3

5793-54

-0-2

13

6235-96

6235-83

+ 0-13

15

5794-2

5794-25

-0-0

14

6237-36

6237-27

+ 0-09

17

5796-3

5796-20

+ 0-1

16

6239-16

6239-14

+ 0-02

20

5797-4

5797-63

— 0-2

Řád 12.

Řád 6.

7

6310

6310-33

- 0-3

10

631436

6314-22

+ 0-14

6

5858-3

5858-05

+ 0-2

14

6315-96

6316-22

— 0-26

90

5860-7

5860-79

— 0-1

15

6317-26

6317-00

-f 0-26

14

5864-4

5864-19

+ 0-2

16

5865-7

5865-95

— 0-2

19

5867-5

5867-33

+ 0-2

Rád 13.

5

6388-11

6387-76

+ 0-35

Řád 7.

13

6394-28

6393-70

+ 0-58

15

6395-86

6395-96

— 0-10

1

5927-06

5926-62

.+ 0-44

17

6397-76

6397-54

+ 0-22

9?

5933-96

5933-65

+ 0-31

20

5940-86

5940-78

+ 0-08

Řád

14. schází.

XXXII.

9

Řád 15.

W

P

z/

3

6559-61

6559-64

— 0-03

4

6560-86

6560-81

+ 0-05

7

6562-66

6562-75

— 0-09

Řád 16.

7

6645-0

6644-73

+ 0-3

Řád 17.

8

6732-4

6732-25

+ 0-1

Řád 18.

W P 4

11 6821-0 6821-45 — 0-4

Řád 19.

3 6909-5 6909-49 0-0

Řád 20.

13 7005-5 7005-17 + 0-3

Výsledek právě udaný přehlédneme jediným pohledem na obraz č. 1.,
ve kterém čáry Woodem měřené jsou vytaženy plně, čáry latentní pak
tečkovány. Číslování řádů jest na levé straně. Výsledek ten nutno pova-

-l

-I

0 i

1

3 I

I

5 !
6 ' '

7 I

8 !

9

10

II
1£

13

14-

15

16

17

18
19
*0

I II!

II I

I I

I I

I I

I I I

Obr. 1.

žovati za přibližný potud, že snad ta která čára by mohla postoupiti na
právo nebo na levo o jeden člen. Jest důležito vy tknou ti, že nalezený
výsledek potvrzuje především důležitý fakt, Woodem již pozorovaný, že
totiž v rozdělení spekter 5 a H se jeví jistá zákonitost. Tato zákonitost
vystupuje zde zřetelněji v rozdělení spekter hlavních a vedlejších. Také
budiž hned poznamenáno, že úloha hlavních spekter připadla skupinám

XXXII.

10

jednak na čáry nejbohatším, jednak a zároveň takovým, které již svým
zevním vzhledem jeví nápadnou podobnost. Představu o této zákonitosti
podává obraz č. 2. Očekávali bychom, že řád 21. bude scházeti analogicky
k řádu 9.

p

q

P

q

P

P

q

P

q

i 1 o

j i

ní | n

i n

n i j n

1 n

n | n

j n

n | i n

-X -1 0 1 X 3 *ť 5 6 7 8 9 10 11 11 13 1H 15 16 tf 18 19 *0

Obr. 2.

Přiřadění čar zde podané mohli bychom na základě materiálu
Woodem získaného snadno kontrolovati, kdybychom znali se stejnou
přesností, jako pro resonanční spektrum zde uvažované, délky vlnité také
pro ostatní obdobná spektra, vzbuzená zelenou čarou rtuťovou jiného
složení a Woodem fotografovaná. Jsou to spektra vzbuzená lampou Cooper-
Hewitt a pak křemennou lampou při svorkovém napětí 35, 46, 60, 90,
101, 116 a 140 Volt. Při tom bychom možná shledali, že se mění netoliko
počet čar, náležejících určitému řádu, ale i jejich místo, tak že by tato
různá spektra nebylo vždy možno přivésti ke krytí. Soudím, že by to
byl poznatek velmi důležitý, nikterak neodporující představě o vzniku
těchto spekter, jíž zde bylo použito, a chci uvésti něco, co se zdá na jeho
pravděpodobnost ukazovati. Jak již řečeno, odpovídají délky vlnité, s nimiž
zde operováno, svorkovému napětí 150 Volt. V téže práci však Wood
publikuje jednak reprodukci spektrografickou, jednak kresbu tohoto
spektrogramu, přinášejícího čáry spektra pivého řádu, vzbuzeného touž
lampou při 140 Voltech. Obraz č. 3. přináší jednak kresbu Woodovu pro
140 Volt, jednak kresbu téže čáry pro 150 Volt, již jsem přesně na 0-03^4°
provedl dle délek A udaných Woodem. Obě kresby uvedeny pak na takové

150 V

140 V

Obr. 3.

měřítko a tak pod sebe umístěny, aby v nich centrální dublet (naše čáry
94, 97) koincidoval. Vidíme, že ostatní čáry všecky nekoincidují a že obě
spektra se značně liší. Poněvadž Wood udává možnou chybu délek A menší
než 0-02 A°, a poněvadž na druhé straně jeho kresba pro 140 Volt úplně

XXXII.

11

souhlasí s jeho spektrogramem, jak se ostatně samo sebou rozumí, jest
správnost myšlenky svrchu naznačené velice pravděpodobnou.

Wood provedl částečně a nezávazně přiřadění čar jednotlivých
spekter, zvláště pokud jde o řády nižší. Budiž vytknuto, že přiřadění zde
podané souhlasí s přiřaděním Woodovým těch čar, kde Wood nemá po¬
chybnosti. Týká se to především dubletu, jejž Wood označuje číslem 4
a jenž přichází v řádech 1, 3, 4. Čáry tohoto dubletu mají v mém označení
všude táž pořadová čísla 94 a 97 a jsou tedy korrespondující. O čáře 97
Wood zcela určitě zjistil, že zmizí, když účinné světlo zelené čáry rtuťové
je filtrováno skrze páry bromu, které mu odejmou mimo jiné také fre¬
kvence, odpovídající absorpční čáře 97. Možno tedy složku 97 uvažovaného
dubletu považovati za korrespondující s R R této absorpční čáry, jak
to můj výsledek podává.

O čáře 6000-86 řádu osmého tvrdí Wood se vší určitostí, že odpo¬
vídá v nižších řádech čáře označené číslem 2. Dle našeho označení jest to
v řádu 0. a 3. čára 3, v řádu 1. a 8. čára 4, v řádu 5. čára 5. Vidíme
tedy, že dle našeho výsledku jest v mezích chyb dříve připuštěných toto
tvrzení Woodovo splněno. Na obraze č. 1. padá čára 6000-86 řádu 8.
přesně pod čáru dle něho udanou v řádě 1., kdežto obdobné Woodem
udané čáry řádu 0. a 3. padají od ní těsně na levo, čára řádu 5. těsně
na právo.

Čáry resonančního spektra jsou polarisovány, a jest podíl polariso-
vaného světla ve všech řádech prakticky stejný a činí při účinném světle
polarisovaném lk%, při účinném světle nepolarisovaném 6-4%. Dle Stár¬
kovy hypothesy fluorescenční by se zdálo, že čáry řádů bližších k řádu
nultému budou silněji polarisovány, než čáry vzdálenější. Z této práce
však vychází, že očekávání to není odůvodněno, ježto hlavní spektra
jsou si co do svého vzniku úplně rovna a obdobně spektra vedlejší, a jest
tudíž přirozeno, že ukazují vesměs stejnou polarisaci.

Provedení přítomné práce bylo by bývalo nemožností bez pomoci
dobrého počítacího stroje. I konám velmi milou povinnost děkuje panu
Dru K. Petrovi, řádnému professoru mathematiky na české universitě,
za laskavou ochotu, se kterou mi stroj takový zapůjčil.

II.

Poznámka k fluorescenční absorpci.

W. Wien1) předpověděl na základě úvah theoretických změnu ab¬
sorpčního spektra fluorescence schopné látky během fluorescence. J. Burke2)
přišel prvý s experimentálním faktem, ze kterého vycházelo, že látka

!) Wiedem. Ann. 52, 132—165. 1894

2) Proč. Roy. Soc. 61. 485—487, 1897.

XXXVI.

12

během fluorescence jinak absorbuje své fluorescenční světlo, než když
nefluoreskuje. Na experimentálním studiu této otázky zúčastnili se dále
Nichols, Meritt, Camichel, Wick, Wood a jeho konečným výsledkem bylo,
že tvrzení Burkeho neodpovídá pravdě. Všecky práce sem hledící týkaly
se látek tuhých neb kapalných.

Jak z předchozího víme, dávají četné páry, vzbuzené světlem mono¬
chromatickým, fluorescenci, jejíž spektrální rozbor přivedl Wooda k ob¬
jevení zajímavých spekter resonančních, složených z čar velmi přibližně
ekvidistantních. I myslím, že by bylo velice žádoucím, podorobiti i flu¬
oreskující páry podrobnému studiu za tím účelem, zda také pro ně Burkeho
tvrzení neplatí. Zdá se mi, že z jisté novější práce Woodovy1) o fluorescenci
par iodových by se mohlo usuzovati, že tvrzení to platí a účelem této
poznámky jest, na fakt ten blíže poukázati. Ze spektrogramu tam repro¬
dukovaného, kde bylo fotografováno resonanční spektrum iodu vzbuzené
zelenou čarou rtuťovou jednou přímo, podruhé skrze asi y2 m dlouhý
sloupec par iodových téže hustoty, jako měla pára fluoreskující, vychází,
že složky jednotlivých čar tohoto resonančního spektra nesplývají, aspoň
ne všecky, s absorpčními čarami par iodu, jichž jest nesmírně mnoho. To
tedy znamená jinými slovy, že molekulám fluoreskující páry iodu náleží
emissní frekvence, jež nejsou zastoupeny v absorpčních frekvencích téže
páry a za týchž fysikálních podmínek, když nefluoreskuje. Ale emissní
frekvence zředěného plynu neb páry pocházejí dle ustálených dnes představ
od mechanismů atomu neb molekule vlastních, majících určitou vlastní
periodu a schopných elektromagnetické záření této periody emitovati
i absorbovati. Není důvodu, proč bychom měli o čarách spektra resonanč¬
ního činiti jiný předpoklad. Z toho tedy plyne samo sebou, že molekula
páry iodu emitujíc v stavu fluoreskování určité frekvence, čáry této fre¬
kvence za téhož stavu také absorbuje. Poněvadž pak, jak Woodův pokus
ukazuje, molekula téže páry nefluoreskujíc neabsorbuje některé z těchto
čar, vychází z toho zcela přirozeně, že pára iodu fluoreskujíc absorbuje
své fluorescenční světlo jinak než nefluoreskujíc.

V Praze dne 24. června 1914.

Fysikální ústav české university .

x) Phys. Zsch. 14, p. 1195. 1913.

XXXII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 33.

Příspěvky k vlastnostem sférických čar
šroubových.

Podává M. Lerch v Brně.

S dvěma obrazy na zvláštní tabulce.

(Předloženo dne 2. července 1914.)

1. Hledejme čáru T té vlastnosti, že

1. protíná přímky jistého válce pod stálým úhlem (y),

2. a leží na kouli (27).

Čáry takové slují šroubovice sférické (hélice sphérique).

Bud 77 rovina kolmá na přímky plochy válcové. V libovolném bodě M
Čáry r svírá tečna její s přímkou válce úhel y, a týž úhel svírají roviny
kolmé na tyto přímky, t. j. normální rovina 97: čáry jT (v bodě M) a rovina 77.

Obalová plocha normálních rovin libovolné čáry sluje její plocha
polární; její charakteristiky jsou osy křivosti uvažované Čáry.

Pro sférickou čáru procházejí normální roviny 97 pevným bodem,
jenž jest střed V koule 27. Polární plocha sférické čáry je tedy kuželová
plocha s vrcholem V.

Pro naši čáru F svírají tečné roviny polárního kužele s danou pevnou
rovinou 77 stálý úhel y ; tudíž soudíme, že

„polární plocha sférické šroubovice je rotační kužel. Jeho vrchol je
ve středu koule (která obsahuje šroubovici) a jeho osa je rovnoběžná
s povrchovými přímkami válce, na němž čára je šroubovou' *.

Koule 27 protne polární kužel ve dvou kružnicích shodných ; zna¬
menejme jejich poloměr c, a délku strany kužele mezi jednou z těchto
kružnic a vrcholem nazveme a; takže

c = a cos y.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 33. 1

XXXIII

2

Rovinu TI můžeme předpokládati vedenu jedním z těchto kruhů ;
znamenejme jej (c), a jeho střed bud 0; bod V leží na kolmici 0 V na
rovinu II postavené, ve vzdálenosti

0 V = a sin y.

Omezený kužel V ( c ) oviňme pláštěm z látky dokonale ohebné a ne-
roztažitelné ; v rovinném tvaru (rozbaleném) je tento plášť kruhový o polo¬
měru a, a jeho střed se při návoji klade do vrcholu V.

Mysleme si nyní jistý oblouk na čáře P, v němž se body singulární
nevyskytují; normální rovina čáry T v bodě M je tečnou rovinou kužele
V ( c ) i dotýká se ho podél strany V m, kde m je jistý bod kruhu (c).

Při odvíjení pláště s kužele přechází plášť v rovinu; tu zachytíme
v okamžiku, kdy prochází bodem M ; rovinu ta je nutně tečnou rovinou
kužele V ( c ), i můžeme předpokládati, že směr ovinutí byl tak volen, aby
tato rovina splynula s rovinou 9Č ; neboť v opačném případě docílíme toho,
provedeme-li ovinutí ve směru (smyslu) opačném.

Podržme na plášti bod daný polohou M, a pokračujme v odvíjení
a navíjení kužele ; náš bod při tom opíše jistou čárujT', která kolmo protíná
tečné roviny kužele a je tedy orthogonální trajektorií rovin 9ř; majíc
s čarou r společný bod M, bude s ní identickou:

,,Čára r jest evolventou kužele V [c).“

Bod m, pata osy křivosti bodu M na kruhu (c), je právě tam, kde
obal opouští kužel a přechází v rovinu. Rozbalená čásť pláště je kruh
v rovině 9ř se středem V.

Mysleme si kruhovou desku (a) téhož poloměru a, kterou přiložme
na rovinu 91 tak, aby se kryla s odvinutým pláštěm. Na desce máme body
Mam jako na odvinutém plášti, a v pokračování směru M m uvažujme

na kruhu (c) bod m' ,
na kruhu (a) bod m" ,

tak, aby oblouky m m't m m" se sobě rovnaly. Pokračuj e-li se v odvíjení
pláště až ku straně m' V, padne bod m" pohyblivé desky [a) do polohy m' ,
t. j. jinými slovy:

,, Pohyb vzniklý odvíjením pláště je totožný s kotálením kruhu (a)
po kruhu pevném (c) tak, aby hybný kruh měl střed ve stálém bodě V.“

Aneb též:

,, Sférická šroubovice je zvláštní případ sférické epicykloidy; ten
totiž, kdy střed valeného kruhu zůstává pevným."

Valíme-li kruh (a) ve směru zpětném dostatečně daleko, zaujme
opisující bod M jednou polohu A na kruhu (c).

Naše čára T se tedy vytvoří valením kruhu (a) po kruhu (c) uve¬
deným způsobem, při čemž opisující bod vyjde z určité základní polohy A
na kruhu (c).

XXXIII.

V poloze, kdy kruh (a) se dotýká kruhu (c) v bodě m, jest jeho rovina 9?
tečnou rovinou kužele V (c) podél přímky V m. Bod M Čáry T sestrojíme
tím, že vedeme kruh m M v rovině 9£ se středem V, a naneseme délku
oblouku m M rovnou oblouku A m na kruhu (c).

Osku lační rovina Sl čáry T v bodě M je kolmá na osu křivosti m V ;
hlavní normála M S pak leží v rovině 9^ (tečná rovina kužele) kolmo na
přímku m V, a tedy

,, hlavní normála sférické šroubovice Tv bodě M je rovnoběžná s tečnou
pevného kruhu (c) v bodě m“.

Průsek její 5 s osou křivosti je střed křivosti čáry F.

Netřeba zvlášť dokazovati, že tečna M t čáry r jest kolmice na
rovinu 9? vedená.

*

Zcela obecně můžeme každou čáru prostorovou vytvořiti jako evol-
ventu její plochy polární. Tuto pokryjeme náplastí ohebnou a neroztaži-
telnou, a při její odvíjení jeden z bodů jejích probíhá danou čáru. V každé
poloze jest opisující bod M v tečné rovině 9^ plochy polární podél přímky P,
v níž náplast plochu opouští. Kolmice M S v rovině 9^ na přímku P stanoví
střed křivosti S. Uvažujme na ploše polární čáru (S), geometrické to místo
bodu 5. Bod M zachycený na hybné odvíjené — rovině považujme
vůči této za stálý, znamenajíce jej A' ; jeho poloha na ploše před odví¬
jením jest A.

Při odvíjení náplasti je bod 5 vždy na rozhraní částí rovné a křivé
(náplasti) a po rozbalení náplasti tvoří čára (S) úpatnici čáry úvratní pro
pól A' (jenž jest poloha bodu A po rozvinutí). Toť známá věta Lancretova.

V případě čáry sférické se ú vrátnice redukuje na bod (V), a úpatnice
přechází v kruh nad průměrem V A'. V našem případě zvláště:

,,Čára středů křivosti sférické šroubovice r jest ona křivka, jež
při rozvinutí kužele V ( c ) rozkrojeného podél strany V A přechází v kruh
nad průměrem V A. “

Obdržíme ji pomocí kruhového nálepu poloměru ™ přiloženého na

A

kužel V ( c ) tak, aby průměr nálepu se kryl s přímkou V A.

Avšak tím není Čára (S) ještě vyčerpána, ani není dosti přesně vy¬
značena.

Uhel středový m V M příslušný odvalenému oblouku m M (odvalený
úhel) na kruhu hybném znamenejme cp, dále bud xjj úhel středový A O m
příslušný k odvalenému oblouku A m (odvalený úhel) na kruhu pevném (c).

TC

Od cp = 0 do <p = — nacházejí se paty kolmic na délkách, v něž
A

přešly strany kužele V (c), a jich souhrn tvoří půlkruh. Body S jsou na okraji
půlkruhového nálepu přiloženého na (omezený) plášť kužele V (c).

XXXIII.

1*

4

Avšak od cp = — do <p = n jsou paty kolmic na délkách prodlou¬
žených a příslušný nálep třeba učiniti na druhém plášti (prodlouženého)

3

kužele, a sice opět půlkruh; další půlkruh (<jp = n . . . <p = —n) zůstává na

A

3

prodlouženém plášti, načež se pro hodnoty (<p = — n . . . <p = 2 n) vrátíme

A

na plášť původní.

Mezi úhly cp a ip vládne vztah

tedy hodnotám

příslušejí

a cp = c ip,

2 n

ip = 0

a 7t
2 c

a n

3 c 3

3

a n 2 a %
2c’ c

body m jim příslušné (stopy os křivosti) budte

q, q\ q", q"', ?(4) .

Na plášť V ( c ) přilepíme půlkruh nad průměrem a, tak aby průměr
pokryl přímku q V ; po té na plášť prodlouženého kužele přilepíme celý
kruh tak, aby průměr pokryl prodlouženou stranu q" V, načež půlkruhem
se vrátíme na plášť V (c) tak, aby průměr pokryl délku q(i) V.

Bod qW = B leží na čáře r a jest koncovým bodem jedné větve
její; pokračování čáry F od bodu B se obdrží z této základní větve její

otočením kolem osy O V o úhel ^ aJc.. t čímž bod A zaujme polohu B.

Počet větví těchto je nekonečný, je-li poměr a:c irracionalní ;
v opačném případě je počet větví konečný a čára jest unikursální, jak
vysvítá z příslušných rovnic.

2. Rovinu kruhu ( c ) zvolme zaO^y (půdorys), přímku O A za osu O x,
takže nárysná rovina O x z splývá s rovinou A O V.

V obrazci 1. veden kruh {c)=AmA', a zvolen vrchol V svými
průměty V1 = O, V 2. Po odvalení oblouku c íp = A m na pevném kruhu
leží opisující bod M v poloze, již určíme následovně.

Rovinu 91, která obsahuje bod M, sklopíme kol její půdorysné stopy
9P — je to tečna kruhu (c) v bodě m — do roviny xy\ střed kruhu (a)
při tom zaujme polohu C na přímce O m a bod M padne do (M) na kruhu
m ( M ) o středu C, tak aby oblouk m ( M ) = a qp = obl. A m = c xp.

Při sklápění roviny 9ř opisuje bod M kružnici, jejíž průmět je přímka
(M) P J_ 9P. Pravoúhlý trojúhelník P Mx M (ML půdorys bodu M) má
při P úhel y = O A' V2. Naneseme tedy na A' V2 délku A' M' — P (M)t

XXXIII.

5

načež bude P Mx průmět vektoru A' M' do O x, a nárys má výšku z rovnou
průmětu tohoto vektoru do 0 z, t. j. nárys M2 bodu M je na přímce
M' M2 II 0 x.

Tím sestrojeny průměty bodu M, a je tato část konstrukce nej-
složitější.

Znajíce u roviny normální 9Č stopu půdorysnou, vedeme její uzlem
(na 0 x) a bodem V2 stopu nárysnou 9čn ; načež kolmice Mx tv M2 12 na
stopy tyto vedené podávají průměty tečny čáry šroubové r.

Bezprostředně strojíme průměty osy křivosti (V1 m, V2m 2) ; stopa &1
roviny oskulaČní Sl prochází pak půdorysnou stopou tečny t a je kolmá
na nárysná stopa Slu je kolmá na V2 m2.

Hlavní normála M S má průměty Mx || 9P, M2 S2 || 0 x (t. j. M2S2
leží v M' M2), střed křivosti (Sv S2) jest její průsek s přímkou V m. Poloměr
křivosti sférické šroubovice M S = Mx Sv

Znajíce stanovení bodů a jich tečen pro oba průměty Čáry F při
stupme k určení jich středů křivosti.

Abychom toho docílili pro půdorys, uvažujme promítající válec
kolmý na O x y. Jeho kolmý řez vedený bodem M je shodný s průmětem ij,
a je to zároveň hlavní řez normální pro plochu válcovou. Druhý hlavní
poloměr křivosti je nekonečný; poloměr křivosti čáry rx bude tedy
s poloměrem obecného řezu normálního q souviseti rovnicí Eulerovou

1 _ cos 2 co
<? ~ Qi

kde co jest úhel sevřený tečnama obou řezů.

Poněvadž rovina oskulační íl obsahuje přímku M S, která jest
očividně normálou válce, jest řez roviny Sl s válcem Čára, pro niž známe
poloměr křivosti q = M S = M± Sv

Tečna hlavního řezu je kolmá na stranu válce a svírá s tečnou šrou-

7t

bovice úhel co = — - y = A' V20.

A

Máme tak

poněvadž

Pi = q cos 2 ca = q sin2 y =

9 ,

c = a cos y.

Z obrazce pak vychází pro q = S±

a tedy jest

q = a sin cp,

/Tr2 _ r-2

Qi = - - - sin cp.

Střed křivosti o průmětu leží na vektoru Mx 5X; jeho vzdálenost
od bodu obnáší q — qv t. j.

XXXIII.

6

S1 0 = —— sin (p = c cos y sin cp.

Naneseme tedy stálou délku c cos y = C ď na rameno C ( M ) ; přímka
ď 0 rovnoběžná s Cm protne M1 S± v hledaném středu křivosti 0.

Z Eulerovy a Meusnierovy věty bychom též snadno vyvodili kon¬
strukci poloměru křivosti pro nárys; omezíme se však na jeho analytické
vyjádření, které bude podáno v čl. 5.

*

3. Bod (M) vzniklý sklopením roviny 9Č kol stopy 9P do půdorysny
opisuje epicykloidu, kterou opisuje bod hybného kruhu poloměru a vale¬
ného po kruhu (c), a sice vychází bod ten ze začáteční polohy A.

Mohli jsme však sklopiti rovinu na opačnou (vnitřní) stranu,
čímž by bod M padl do polohy (M), střed valeného kruhu do polohy C'.
Bod (M) pak opisuje rovněž epicykloidu. Při její konstrukci opíšeme
kruhový oblouk m (M) o středu C' (C' m má délku a) rovný oblouku Am.

Vedme přímku m (M), její druhý průsek s kruhem (c) bud bod p.
Rovnoramenné trojúhelníky O m p a C' m (M) jsou si podobny, majíce
společný úhel (m) při základně, a tedy O f* ||C'(M), i máme rovnost
úhlů

(p — m C' (M) = m 0

Prodlužme poloměr O n = c o délku a — c = ptC do O C ; z rov¬
nosti délek C' ( M ) — a = 0 C na rovnoběžkách plyne, že obrazec 0 C' (M) C
je rovnoběžník, tedy C (M) = O C' = a — c.

Máme tudíž C (M) = C (*, t. j. bod (M) leží na kruhu opsaném ze
středu C poloměrem C n = a — c. Oblouk n (M) tohoto kruhu má hodnotu
(a — c) (p = a cp — c (p, a je tedy

obl. n (M) + obl. m p = a (p = {obl. m (M) }a= {obl. A m)c »
kde indexy u závorek udávají poloměry příslušných oblouků.

Odtud plyne očividně

{obl. A ř* }c = {obl. n (M) }0_c ,

t. j. bod (M) opisuje epicykloidu vzniklou valením kruhu
poloměru a — c po kruhu (c).*)

Odvalený úhel na kruhu hybném = cp, na kruhu pevném = ý — cp.

Přímka (M) C \\C' O m je kolmá na a splývá s přímkou (M) P,
t. j. s průmětem tečny, a je tedy tečnou půdorysu Tv

*) La Hire, Traité des épicycloides (1694), str. 390 — 392. Srov. F. Gomes
Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables, sv. II., str. 155 a násl.

XXXIII.

7

Avšak přímka spojující opisující bod se středem hybného kruhu
obaluje epicykloidu, která vznikne valením kruhu polovičního poloměru
po témž pevném kruhu.*)

V důsledku toho místo bodu Mv t. j. průmět jest epi-

_ Q

cykloidou, kterou opíše bod kruhu poloměru — - — při jeho

A

kotálení po**) kruhu (c).

K témuž výsledku dospějeme přímo: Nejprvé plyne z podobnosti
trojúhelníků mO p, mC' [M') vztah

m p : m ( M ) = c : a,

a v pravoúhlém trojúhelníku m P (M) bude dle toho vzdálenost bodu a
od přímky W = mP míti hodnotu

— . (M) P = P M, ,

CL

a tudíž leží bod na přímce (p Mx || 9P) vedené bodem p rovnoběžně
se stopou $ll.

Vrchol M1 pravoúhlého trojúhelníka C Mx p tedy leží na kruhu

_ d _ _ Q

opsaném ze středu D (na přeponě C p) poloměrem D p = — - — . Obvodový

úhel oblouku pMx jest pC(M)=.(p, středový úhel jeho tedy = 2 cp a
délka jeho

a — c
~~2~

. 2 cp = (a — c) cp = c (ý — <p) = | obl. A p | .

Tím naše věta dokázána přímo a zároveň vidno, že při valení kruhu

/ a — c \

)

po kruhu (c) přísluší bodu M± odvalený úhel ý — (p

na pevném a 2 cp na hybném kruhu.

*

Konstrukce bodu Mx spočívá na úměře
P M1 : P (M) = c : a,

a dle ní se musí přímky C ( M ) a O Mx protnouti na přímce Wl1 v bodě n.

Na té vlastnosti lze založiti důkaz Buffoneovy věty, nezávislý na
větě La Hireově. Potřebí je k tomu následující planimetrické věty:

Bud m pata výšky trojúhelníku O C n\ Ow = c,Cm = a\ opišme
kružnice (c), [a] mající středy v druhých dvou vrcholech O, C, a které
se dotýkají výšky v bodě m. Větší z nich protne přilehající stranu v bodě

*) M. Chasles, Corresp. matů. et phys. (Quetelet) 1832; svaz. I., str. 4. Viz
též F. G. Teixeira, Traité des courbes, II., str. 165.

**) Teixeira 1. c. str. 402. Ang. Buffone, Giorn. di Mat. 1896.

XXXIII.

8

(M), jím vedená rovnoběžka se základnou stanoví na druhé straně bod M1 ;
nechť kolmice Mx pc na základnu spuštěná protne menší kruh v bodě pi. Pak
1° tJhel m O [i se rovná úhlu C v trojúhelníku,

££ _ Q

2° Kružnice L opsaná poloměrem — - — a tečná v bodě pi s kruhem

A

(c) obsahuje bod Mv

3° Oblouky m pi na (c) a [i M1 na L mají za součet oblouk m (M)
na [a).

Znamenejme k vůli stručnosti opět <£ C = cp, <^m0 p— pak
nám vztahy

P (M) = a — a cos <p, P Mx = c — c cos %

P ( M ) : P M1 = a : c

podávají (p = %.

Nechť osa bodů Mx a n protne O a v bodě D, a položme D [i = r,
Mx fi = l. V kruhu opsaném ze středu D poloměrem r stanoví se tětiva l
vzorcem

l = 2 r sin x = 2 r sin (p,

dále máme pro délku Mx Sx výrazy

jich srovnáním plyne
t. j.

I + c sin x, a sin cp ;

(2 r + c) sin <p = a sin cp,

čímž stanoven poloměr kruhu L.

Konečně hodnoty

obl. m = c cp, obl. pt Mx = r . 2 cp = [a — c) cp, obl. m (M) = a cp

verifikují udaný vztah mezi oblouky. Applikujeli se tato věta na naši
konstrukci bodu Mx, vychází odtud povaha čáry jako epicykloidy výše
popsané.

Konečně můžeme z předešlých konstrukcí určiti křivku (5X), kterou
opisuje průmět středu křivosti sférické šroubovice.

Přímka Mx 5X jakožto normála epicykloidy obaluje opět epicykloidu;
ježto O Sx J_ Mx Sv vychází věta, že čára (Sx) jest úpatnicí jisté
epicykloidy z jejího středu jakožto pólu.

Polární souřadnice bodu S± jsou

O S1 = r, <3l A 0 S1 = ty,

i plyne z trojúhelníka 0 S1pL, v němž úhel při 0 jest cp,

r = c cos cp, a cp = c ip,
tedy polární rovnice čáry (SJ

XXXIII.

9

Y — C COS

křivky tyto nazval Guido Grandi růžicemi (rhodonaea, rosace).

Naopak lze každou růžici

r = c cos k ip,

jejíž parametr k je ryzí zlomek, stanovití jako průmět geo¬
detické kružnice*) na rotačním kuželi do jeho základny.
Délka strany kužele patrně

c

Analytické odvození úpatnice epicykloidy pro pól v její středu
položený viz Teixeira 1. c. str. 162.

Z polární rovnice růžice plyne

x + iy = é á2*’’] ,

i bude lze čáru (5X) vyjádřiti jako modifikovanou epicykloidu.

Nechť se po kruhu ( R ) poloměru R kotálí po vnější straně kruh
poloměru r , jehož střed bud C; jeden z jeho bodů P opisuje obyčejnou
epicykloidu ; bod Q na přímce C P určený ramenem C Q = g (algebraicky
pojatým, a sice je g kladné pro případ, že Q leží na téže straně bodu C
jako bod P) pak opisuje epicykloidu prodlouženou neb zkrácenou (modi¬
fikovanou) ; pravoúhlé souřadnice bodu Q dány jsou rovnicí

x + iy = eia (R + r — g e^P), R a = r /3 ,

je-li začáteční poloha bodu P v místě x = R, y — 0.

A sice značí tu a odvalený úhel na kruhu pevném, /J odvalený úhel
na kruhu hybném.

Hořejší vyjádření čáry (SJ vznikne odtud pro

T> o2 c (a — c) c

a + c ’ 2 [a c) 2 ’

a = rp — q), {3 = 2 q>.**)

Epicykloida opsaná bodem P je v tomto případě homothetická

Q

s čarou rv a sice je multiplikátor = - — ■ — .

*) t. j. čáry, jež rozvinutím kužele v rovinu přechází v kruh.

**) Tuto zmíněnou vlastnost růžic znal již Suardi (1752) a dokázal Ridolfi
(1844); viz Teixeira, 1. c., str. 212.

XXXIII.

Zvětšíme-li průvodiče 0 S, v poměru a -f- c : c, obdržíme prodlou¬
ženou epicykloidu s prvky

R = c,r=—,g = - j- =-(_ + c);

prodloužíme-li tedy vektor Mx D o délku ^ — = O D, padne koncový

bod do přímky O m.

Rovnoběžka s osou rotačního kužele u vzdálenosti r od ní vedená
protne tento kužel v bodě, jehož výška jest

V a2 — c2

* = (c — r) tg r = (c — r) - - - .

Po dosazení hodnoty

r = c cos (p

obdržíme jako třetí souřadnici bodu 5

z = (1 — cos cp) Va2 — T2,

takže naše čára středů křivosti sférické šroubovice jest analyticky dána
rovnicemi

(S) x = c cos cp cos ty, y = c cos cp sin ý, z = (1 — cos cp) Ya 2 _ c2

a (p = c tjj.

Potlačíme-li vztah mezi cp a xp vládnoucí, probíhají body (S) při
neodvislých cp a xp naši plochu kuželovou

*2 + y2 = {z— _

c 2 a2 — c2

čára středů (5) jest na ní charakterisována rovnicí

a cp = c rp.

Je-li o délka oblouku A Mx na průmětu Tlt bude příslušný oblouk
A M šroubovice sférické dle obecného vzorce

s = —7^ — , (cos y = — ) ,
sm y\ a J

při čemž značí y jako výše stálý úhel mezi tečnou čáry a stranou válce.
Poněvadž oblouk o na epicykloidě určen elementárním výrazem

4 r (R + r) f p\

- R - T/ ’

a _ c

tedy v našem případě čáry P1? kdy R = c, r = — - — , p = 2 cp

Z

(5 — — - — (1 - COS (p) , 0 < (p < 7T ,

XXXIII.

1

bude v uvedených mezích O < cp < tc

s = a tg y ( 1 — cos cp),
dále v intervallu % < (p < 2 jr

S = « ^ 7 (3 + COS qp).

Oblouk sférické šroubovice se tedy určí elementárními prostředky.*)
Čára T je průseč koule x2 + y2 + (z — Ya2 — c2)2 = a2 s válcem,
jehož přímý řez jest epicykloida Tv Na té odpovídají body vratu hodnotám
g) = 0,j-7t,±27r,±37t, . . . Příslušné povrchové přímky válce jsou singu¬
lární, a také budou jich průsečíky s koulí singulární body čáry F, a sice
body vratu. Takové jsou na základní větvi tři: <p = 0, tc, 2 n (pokud

není — číslo celistvé; v tom případě poslední bod splývá s prvním, A),
c

*

4. Průběhem úvah v předešlém odstavci dospěli jsme k výsledku,
že lze každou růžici, jejíž paramétr je menší jedné, sestroj iti jako průmět
kruhového nálepu na rotačním kuželi. Tento vztah možno zobecniti, čímž
zároveň vynikne jeho pravá podstata.

Čára

(C) x = c cos cp cos ý, y = c cos cp sin ty, z = b cos cp, a cp = c it>,
leží na rotačním kuželi

x2 + y2 _ z 2

72 “ W

Je-li M (x y z) bod čáry, seče povrchová přímka O M

— = ~ cos ij>f — — -0— sin ijf
z o z b

základnu kužele z = b v bodě

(m) x = c cos íjj, y — c sin ý, z = b;

na rovině základní leží též bod čáry (C)

(A) cp = 0 = if>; x — c, y — 0, z — b.

Úhel ý patrně se měří na oblouku A m.

Po rozvinutí kužele v rovinu přechází část pláště mezi přímkami
O A, O m a základnou v kruhovou výseč poloměru

O A = l = Vb2 + c2,

se středovým úhlem co, a bude — ježto obl. A m = c ý —

lco~cijj = acp.

*) P. Serret, Théorie des lignes á double courbure; 1860.

XXXIII.

12

Znamenáme-li O M = r průvodič bodu M, máme nej prvé na kuželi

r — v x2 + y2 + z2 = ttC~ Z ~ + °2 cos

předpokládáme-li b > 0.

Polární rovnice rozbalené čáry C bude tedy

(C *) r — l cos ^Cú- ,

Cl

a je to růžice s poloměrem l a paramétrem

a

; průmět čáry C jest růžice

(C„)

r = c cos — ip
a

s poloměrem c a parametrem — .

Znamenáme-li y úhel mezi stranou kužele a jeho osou, bude

c — l sin y.

,,Nalepíme-li na plášť rotačního kužele s otvorem 2 y
rovinu s růžicí

r = l cos 8 co

tak, aby střed růžice padl do vrcholu kužele, zaujme
růžice místo prostorové čáry C, která se do základny
kužele promítá v růžici, jejíž poloměr i paramétr se ve
stejném poměru zmenší a sice jako i: siny!'

Je-li zvláště s — 1, je nálep kruh procházející vrcholem, a průmět
je růžice s paramétrem sin y.

Naopak se růžice v nálepu s paramétrem s = — > 1 promítá

v kruh procházející středem základny, takže příslušná Čára prostorová
jest algebraickou stupně 4. V tomto případě a = c, ip = (p jsou rovnice
čáry

x’= c cos2 (p, y = c sin <p cos cp, z = b cos cp (tg y = ,

z nichž vychází při označení k = tg y =

x2 -f- y2 — k 2 z2, x2 -f- y2 — c x = 0,

t. j. čára je pronikem rotačního kužele s kruhovým válcem, jenž obsahuje
osu kužele jako svou stranu.

Svazek ploch 2. stupně jí určený
(2) (1 + A) (x2 + y2) — k2 z2 — A c x = 0

obsahuje kouli (A + 1 = — k 2)

XXXIII.

13

(2°) x2 + y2 + z2 = k- - c x = . * ■ ,

v ' &2 sm2 y

která se dotýká kruhového válce čáry, t. j. Čára tato jest hyppopéda
Eudoxova.*)

*

5. Epicykloida vytvořená bodem hybného kruhu (r) při jeho kotálení
po pevném kruhu ( R ) se středem v O jest charakterisována rovnicí** ***))

x i y = {R r) eia — r e* (° + , R a = r ($,

při čemž a, jsou odvalené úhly na kruhu pevném a hybném, a poloha
začáteční a — 0 = /3 je v ose 0 x [x — R, y =0).

V našem případě Čáry rj máme
_ a — c

R = c, r = — — - — , a = ty — cp, = 2 cp, a cp = c ty,
takže průmět šroubové čáry sférické T je dán vztahem

. . CL C . . . CL - C . .

(1) x + i y = — - - - — e*iv> + <p)m

A A

Differencováním plyne
d x + i d y =

2c

i e* (v - v) (1 — e2 * <p) d cp

a odtud pro prvek oblouku u průmětu

Clú — c*

d a = — - - sin cp d cp .

Oblouk průmětu bude dán výrazem

, a 2 — c2

O = R - COS Cp ,

kde k je veličina stálá.

Podmínka, aby čára byla šroubovou, zní

z = A <f + [i,

*) Srov. naši rozpravu O dvou plochách stupně čtvrtého, čl. I. (Rozprav
České Akademie roč. XXII, č. 36; 1913).

**) Jinak známá tato věc plyne jednoduše z obrazce na základě sečitání vektorů
v rovině.

***) v intervalech (2 v — 1) n ^ qp <^2 v n třeba změniti znamení u druhého
členu, neboť tu sm cp je záporné, takže v tomto v případě dlužno klásti

d o _ Vdx^ + dy2 _ a 2 — c2 .

XXXIII.

14

kde A, n jsou stálé; tu možno klásti k = 0; máme pak

(i°)

ci c . a — c .

x = - — - — cos (ý — cp) - ^ - COS + cp)

a c .

y = — 5 — sin (xf> — (p)

2

a — c

sin (i/> + <p)

z = — A

COS cp + pi.

Z prvních dvou rovnic plyne

á 2 + c2

x2 -f y2 =

cos 2 cp ,

dále jest

(z — l*)2 — A2 — — cos 2 V’ cos ^ = ^ cos2 9 — 1 ;

tudíž sečtením vychází

*2 + y2 +

A2 (a2 — c2)

(s — íx)2 = a2

rovnice plochy 2. stupně obsahující naši čáru. Aby to byla čára sférická,
musí tato plocha býti koulí, t. j.

A =

Oběma znamením odpovídá v našem vyjádření šroubová čára sfé¬
rická, a to při libovolném p. Žádáme-li, aby koule procházela bodem

A (x = c, y — 2=0), máme

,2 = „2

Aby bylo z = 0 pro cp = 0, musí A a ku býti stejného znamení; našim
předpokladům odpovídá pL kladné, tedy

takže parametrické vyjádření sférické šroubovice v poloze námi uvažo¬
vané zní

(1*)

a H- c , . a — c . , .

x = - - - COS — qp) — - - - cos (tjj -J- cp)

Z Z

CL -\~ C . . . CL — C . , .

y = — - — sm — - cp) - — — sm (if> + cp)

Z z

z = V a2 — c2 (1 — cos cp)

CL cp — C xjj .

Analytický zákon oblouku se mění, přestoupí-li průmět bodu bod
vratu; také čára (T); v niž přejde šroubovice po rozvinutí válce v rovinu,
mění v těch místech náhle směr, a nesestává z jediné přímky, nýbrž z Čáry

XXXIII.

15

lomené o přímých složkách, které jsou k povrchovým přímkám stejně
nakloněny.

Hodnota

c

V a2 — cí

A = -=¥ = C0^’ (cos V = ~)

udává směrnici rozvinuté cáry pro oblouk 0 <C cp n, v následujícím
intervallu zní zákon oblouku

cos cp

a tedy bude vztah mezi výškou bodu M a obloukem 6 pozměněn na

z — — A a p' ,

takže směrnice lomené čáry v intervallu 7t < cp < 2 n bude — A.

Pro nárysný průmět Čáry r máme

(U)

d -f" C . .CL - C / i \

* — — 2 — " cos ~ V) - 2 - cos + 9)

£ = V a2 — c2 (1 — cos cp) ; a cp = c xp,

a rovnice ty podávají reálné body i pro ryze pomyslné parametry xp;
čára r2 prochází bodem a nemá v něm žádné singularity.

Z rovnic

d x a2 — c2 . d z

- cos xp sin cp,

d cp

Ya2

plyne

d x
d z

tg y. cos xp ,

aů — ců sin cp

z čehož vychází jednoduchá konstrukce tečny.
Dále

d2 x a sin xp

d z2 c2 sin cp

z čehož plyne pro poloměr křivosti nárysu

(2)

P =

(a2 cos2 xp + c2 sin2 ip) V« sin cp

a c

sm x p

V bodě A (xp = 0) máme

sm w c

= — , r = a,

sm xJj a

t. j. střed křivosti tu padne do V2.

Pro ellipsu

x = c cos xp, z = a sin tp

XXXIII.

16

má poloměr křivosti hodnotu

je tedy

(2°)

( a 2 cos2 ty -j- c2 sin 2 ty)*!*
a c

P = E

sm (p
sin ty ’

sestrojíme tedy poloměr křivosti u ellipsy, načež pomocí sinusové věty
o trojúhelníku snadno obdržíme P.

V bodech obratních je P = oo, tedy má nárys obrat v místech

ty = •+• 7ct + 2ic, +_ 3 7t, . . pokud na nich sin cp = sin jest od

nully různo.

Naproti tomu hodnoty cp — + n, + 2 %, + 3 n, . . pokud pro ně
nevymizí též sin dávají body vratní (kuspidální) .

Hlavní normála leží v rovině Z = z, a v rovině kolmé na přímku
O m u vzdálenosti O St = c cos cp od Oz. Její rovnice znějí tedy:

(3) X cos ty + Y sin t/> = c cos cp, Z = V a2 — c2 (1 — cos cp).

Stopa 9Z1 roviny normální má rovnici

X cos ij> + Y sin ý = c,

tedy úseky na osách normální rovinou stanovené jsou

cos tjj ’ sin ty ’ *

a rovina normální má rovnici

Q

(4) X cos tj> + Y sin ty + Z cotg y = c, cotg y = y-^ - ^

v d o

Tečna tedy je vyjádřena rovnicemi*)

(5) =

cos ty sm ty cotg y

a její směrnice (kosinusy směrné) mají hodnoty

(5a) sin y cos ty, sin y sin ty, cos y.

Směrnice osy křivosti V m jsou (a zároveň binormály)

(6) — cos y cos ty, — cos y sin ty, sin y ,
a rovina oskulační má tedy rovnici

(7) X cos ty + Y sin ty — tg y (Z — z) = c cos cp .

*) V bodech ty = P_n % — pro něž nárys má obrat — jsou tečny rovno¬
běžný s nárysnou O x z.

XXXIII.

17

Kladný směr hlavní normály M S

— sin ty, cos ty, O .

Dále je poměr poloměru křivosti q k poloměru kroucení
q d ( — cos y cos ty)

d [sin y cos ty)

= — cotg y

tudíž

q = a sin cp, T = — a tg y sin cp .
Souřadnice středu křivosti nalezeny výše ve tvaru
(8) X — c cos cp cos ty, Y — c cos cp sin ty ,

Z — V a2 — c2 (1 — cos cp)

T

Obraťme se k ploše hlavních normál. Tyto jsou rovnoběžný s ro¬
vinou O x y, a společná kolmice každých dvou prochází průsekem jich
průmětů; totéž platí o dvou hlavních normálách nekonečně blízkých,
jejich společná kolmice je rovnoběžná s O z a její stopa se blíží bodu na
evolutě čáry rv t. j. středu křivosti o čáry Tx v bodě Mv Kolmice v bodě o
na rovinu Oxy vztýčená protíná hlavní normálu v t. zv. středním
bodě; geometrické místo těchto bodů tvoří strikční Čáru plochy hlav¬
ních normál.

Pro epicykloidu

x + iy =* eia[R + r — r eil3), R a = r ($ ,
je střed křivosti dán vzorcem

*0 + *'^0 = R + 27e>a^R + r+rei/l)’

tedy v našem případě R = c, 2 r = a — c , = 2 <p, a = ty — cp bude

^ c a 4- c , . , c a — c , . x

X0 = ~ - ň - C0S — + - - 9 - - C0S + 9) ’

(9) a 1 a

Tr c a + c . . . , c a — c . , , x

Y° = - - g — sm “ V) + - - 2 - Sm ^ + ^ ;

to jsou výrazy souřadnic bodu na strikční čáře, třetí souřadnice jest

Zq = z — V a2 — c2 (1 — cos cp) .

Promítající válec, jehož základna jest epicykloida (9), dotýká se
plochy hlavních normál podél strikční Čáry.

Z rovnic (9) plyne

R o* pravý: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 33.

XXXIII.

2

18

dále jest

(Z0 — V a2 — c 2)2 = ( a 2 — c2) cos 2 (p ,
a odtud pro bod (X0 Y0 Z0) na strikční čáře vztah

(10)

*o2 + i"o2 - 4- (Z0- - <2)2 = 4 ,

t. j. strikcní čára plochy hlavních normál sférické šroubovice leží na rotač¬
ním hyperboloidu jednoplochém majícím střed a osu společné s polárním

c2

kuželem. Nejužší kruh má poloměr — , laterální polouosa hyperboly jest c.

CL

Oblouk epicykloidy

x + i y = eia (R + y + r e{P)

je dán výrazem
tedy pro epicykloidu (9)
Tedy bude

r (R + r) . p
(? = 4 - ^ stn — ,

6 =

sin

a

9

volíme-li

(Z0 — X a2 — c2)2 + n o2 = a2 — c 2

/t2

^ a2 — c 2

Rozvine-li se válec, jehož přímý řez je evoluta čáry ri} v rovinu,
přejde strikční Čára v ellipsu, jejíž polouosa rovnoběžná se stranami válce
má hodnotu V a2 — c 2 , druhá pak jest

== a srn 2 y

*

Znamenáme-li M bod (1*) na šroubovici T, M0 bod (9) na strikční
čáře (střední bod na hl. normále), bude bod P definovaný barycentrickou
rovnicí

c M -j- cl Mq == ( c -f- ci) P

míti souřadnice

X = c cos (i/> — cp) , Y — c sin (^ — q>) , Z = z ,

a je to bod, jehož průmět jsme znamenali pí.

Podobně bod P' daný rovnicí

a M0 — c M = (a — c) P'

má souřadnice

X = c cos (?/j + t) > Y = c sin (il> + <p) > Z = z.

XXXIII.

19

Obě čáry

(11) X = c cos + <p), Y — c sin + <jp), Z = V a2 — c2 (1 — cos <p)
tvoří část průseče plochy hlavních normál s válcem

x2 + y2 = o2.

Na př. v případě = 2 c, ip = 2 p znějí rovnice čáry (P)

X = c cos p , Y = c sin (p, Z — V a2 — c2 = — V a2 — c2 cos p

a je tedy

Z + X tg y = Ví?2 — c2 ,

t. j. čára (P) jest ellipsa.

Naproti tomu máme pro čáru (P') v tomto případě (a = 2 c)
X — c cos 3 <jp, Z — V a2 — c2 = — V a2 — c2 cos <p

a poněvadž

cos 3 (p = 4 cos3 (p — 3 cos p,

vychází, že (P') je na ploše stupně třetího a tedy křivkou stupně 6.

Hlavní normálu lze v obecném případě pro naši křivku T vyjádřiti
parametricky (paramétry v a cp)

-?£= c cos — <p) — v sin ^

(3*) Y = c sřn — 9)) + y cos ij>

Z == Va2 — c2 (1 — cos 9) , a p — c xjj}

a je to zároveň paramétrické vyjádření plochy hlavních normál.*) Odtud
plyne:

(12) X2 + Y2 — c2 + v2 - — 2 c v sin (p

a tedy

/ Z2 + Y2 — c2 — v2 \2 (Z — V^ZI72)2 _

V 2 c v ) a 2 — c2

rovnice rotační plochy stupně 4., na níž leží čára stálého v naší plochy
sborcQiié.

Základní válec

X2 -f y2 = o2

protíná tedy plochu hlavních normál v bodech daných rovnicí

v2 — 2 c v sin (p = 0.

■*) Na čáře r jest v = — ( a — c) sin p; pro střed křivosti pak v = c sin cp.

2*

XXXIII

20

Hodnota v = 0 podává křivku (P) (rov. (11), spodní znaménko),
a zbývá ještě řešení

v = 2 c sin cp,

pro něž rovnice (3*) podají při nezměněném Z

X = c cos (if> + <p)> Y = c sin (ip -f qp),

t. j. křivka (P').

Této methodě unikly pouze útvary v nekonečnu, a tedy válec zá¬
kladní [s řídící čarou (c)] nemá s plochou hlavních normál jiných útvarů
společných v konečné vzdálenosti mimo čáry (P) a (P').

V případě a — 2 c znějí rovnice (3*)

X = c cos cp — v sin 2 qp, Y — c sin cp -f v cos 2 cp, Z = f V 3 (1 — cos cp)
aneb zavede-li se komplexní paramétr

u = ei(p,

(13)

c u (u2 -J- 1) + i v (# - 1)

A — - ? — s -

y =

i cu (u2 - 1) -fy (# + 1)

2#

Z = c V3- cV3

m2 + 1
2 «

Čáry stálého v jsou stupně 4., plocha však je stupně 6.
Hlavní normála v našem případě a — 2 c má rovnice

X cos 2 cp + Y sin 2 (p = c cos (p
Zt = — cY 3 cos cp , Zx — Z — cY 3 ;
vyloučením cos cp plyne rovnice 6. stupně
(13*) X (2 Z,2 — 3 c2) + c2 V3 Zt = 2 Y Z, V 3 c2 — Z,2,

pro naši plochu hlavních normál. Kužel asymptotických směrů má rovnici

X Z* + i Y Z* = 0

i rozpadá se ve dvě roviny pomyslné X + i Y = 0av čtvernásob čítanou
rovinu Zj = 0, vedenou bodem V rovnoběžně s rovinou základní, x y.

Nekonečně vzdálené přímky pomyslných rovin X ip i Y =*0 leží
také na našem základním válci, mimo to asymptotické roviny v jejich
bodech splývají s asymptotickými rovinami válce, takže každá z nich
platí jako průsečnice 2. stupně. Skutečně zavede-li se čtvrtá homogenní
souřadnice co substitucí

XXXIII.

21

obdržíme rovnici plochy ve tvaru

/ = [x (2 — 3 c2 co2) + c2 V 3 z co2]2 4 y2 z2 (z2 — 3 c2 a2) = 0 ;

tu jest pro nekonečně vzdálené body co = 0

a rovnice tečné roviny v takém bodě bude zníti

d f d f df

X-^- + Y-X + z'== 0,

dx d y d z

čili po dosazení hodnot

*4 (X x + y y) + 2 *3 Zx (x2 + y2) = 0.

Pro naše body jest x2 ■+ y 2 = 0, tedy rovnice roviny asymptotické

X x + Y y = 0

po dosazení hodnot x =+_ i y bude

X±iY = 0,

což jsou zároveň asymptotické roviny válce x2 + y2 = c 2 co2, jak tvrzeno.
Naše kuželosečka (P) leží na rovině

Z + X tg y = , t. j. Z + XYz = cV 3 ,

která patrně obsahuje body A, V a jest rovnoběžná s osou Oy (normální
rovina čáry v bodě vratu A) ; do úplného průseku této roviny s plochou
stupně 6. zbývá ještě útvar stupně 4.

V souřadnicích se středem V se rovnice roviny této píše

Z, = — XYŠ,

čehož dosazením do rovnice (13*) vychází

X [X2 — c2 + YY^^-~X2] = 0.

Řešení X = 0 je patrně dvojnásobné, vedle toho máme dvě řešení
jednoduchá X2 = c2 a X2 + Y2 = c2, z nichž poslední přísluší čáře (P)
Naše čára r při a = 2 c má dva body vratu cp = 0 a cp = it.

,, Plocha hlavních normál sférické šroub ovice šestého stupně
(s dvěma body vratu) je proťata normální rovinou bodu A

Z

cV 3

= 1

ve

dvojné přímce

3 n

)

X = 0, Z = cYs (rovnoběžka V y) ,

XXXIII.

ve dvou přímkách jednoduchých (<p = 0 a (p = ri) spolu rovnoběžných
(X = c, Z = 0) a (Z = — c, Z = 2 c V3)
a v ellipse, která se promítá ve kruh (c).“

Z (13*) vychází dále, že řez s rovinou X Z (y = 0) je dvojná čára
plochy hlavních normál:

(14) Z(2Zj2 — 3c2) + c2V3Z1 = 0 (Zx=Z — cV 3)

Rovnice Y = 0 podává pak rovnici její v paramétrech

(141)

(142)

vinou

c sm (p

v = — - - ,

cos 2 (p

x = 1copL Z = cV~E (1 — cos cp) .
cos 2 cp T '

Přistupme k Čarám stálého v. Paramétry průseků křivky (13) s ro¬

A x + By — V 3) + D c = 0

7 V 3

hoví rovnici

^4 ( u 3 -f #) — i 5 (w3 — w) + C (w3 + w) +

+ [A ( u 4 — 1) — (w4 + 1)] -f 2 D u2 = 0 ,

c

kterou spořádáme na

(15°) (A — i B) w4 - [(Z +C — iB)u* + (.A+C + iB)u + 2Du*\

— (A + i B) = 0.

Znamenáme-li symetrické funkce kořenů f2, f3, f4, takže rovnice zní
(15) w4 — fi w3 + f2 w2 — f3 « + f4 = 0,

možno zvlášť zaznamenati následující zvláštní případy:

I. Rovina je rovnoběžná s osou O x.

V rovnici jest A = 0. načež z rovnice (15°) vychází

M f«=l. =

Druhou rovnici lze použitím první psáti

sin <px + sin qp2 + sin cp3 + sin qp4

kdežto první podává

(fp + <^2 + ^3 + ^4 = 0 (mod 2 n).

Veličiny (pu tu značí úhly příslušné bodům sférické šroubovice, jichž
hlavní normály procházejí průsečíky roviny (|| O x) s čarou (13).

XXXIII.

23

Protněme ellipsu

x = 91 cos qp, y = 35 sin cp,

kde 3Í > 35 jsou libovolné veličiny kladné, libovolným kruhem. Paramétry
uv = eicpv průseěných bodů hoví podmínce

f4 = ux u2 u3 = 1 ;

naopak pro libovolné 4 komplexní veličiny uv podrobené této podmínce
leží 4 body ellipsy jim příslušné na kruhu a jeho rovnice zní:

x2jry2_2px — 2qy-[-

3t2 — 352 c 3l2 + 352
4 'a 2 '

P =

3l2 — 352

~ 8lí_

(fi + fa),

? =

. 3l2 — 352
1 8 35

(fi - fa).

Druhá rovnice (a) podává tedy

9 =

c

4 v 35

(3l2 — 352) .

Na rovině hybného kruhu (a) narýsujeme ellipsu

x = a cos cp, y = c sin cp (31 = a = 2 c, 35 = c)
a přímku středovou

_ a2 — c2 _ 3 c2

^ 4 v 4 v

Libovolný kruh mající střed na této přímce protne ellipsu ve čtyřech
bodech, jichž paramétry hoví podmínce (a), a jimž příslušné body na
kruhu (a) se bezprostředně určí. Kotálíme-li kruh (a) po kruhu (c) až se
jednotlivé body naší čtveřiny octnou na základně (kotálení začíná bodem
cp — 0 od bodu A na kruhu (c)), obdržíme čtyry body na kotálnici šroubové,
jichž hlavní normály stanoví na uvažované čáře v = konst čtyři body
ležící na rovině rovnoběžné s osou O x.

II. Nechť rovina sekoucí jest rovnoběžná s osou Oy; kladouce
B — 0, nacházíme vztahy

(b) f4 = -l, fi = f3.

Uvažujme na ellipse

x = 3Í cos cp, y = 35 sin cp, (31 > 35) ,

Čtyři body, jichž parametry

u = ei(p

hoví podmínkám ( b ) ; vedme jimi rovnostrannou hyperbolu. Její rov-

nice zní

i

fi

X + T

f. = 0

91® y

2 31

čili

x(y +

35 ...

31 35

• M2 •

2 1 ^

4

XXXIII.

24

„Body ellipsy, jejichž paramétry hoví rovnicím ( b ), leží na rovno-
stranně hyperbole, jejíž jedna asymptota jest osa O y“

„Protneme-li ellipsu (21, 25) rovnostrannou hyperbolou, mající O y
za asymptotu, stanoví anomálie q>v cp2) qp3, qp4 průseků Čtyři body šrou-
bovice 30° spádu, jimiž procházející hlavní normály její vy tínají na
všech křivkách v = konst čtveřiny rovinné, ležící na rovinách rovno¬
běžných s osou O y.“

Podmínky ( b ) lze psáti též

Z <pv = 7t ( mod 2 n), Z cos (pv = 0.

III. Konečně volme rovinu rovnoběžnou s O z\ C — 0; obdržíme
vztahy

(«)

f f

Tl ~ V ’ h

l c
v

které lze nahraditi jiným tvarem
Z cos cpv = 0,

2J sin cpv —

Čtveřiny na šroubovici o 30° spádu hovící těmto podmínkám mají
hlavní normály, jež na křivce v = konst stanoví čtveřinu bodovou ležící
na rovině rovnoběžné s osou O z.

Jako applikaci předpokládejme (p± = (p2 = qp3 = qp, cp4 = cp0) kde <p
je dáno, načež

cos (p0 + 3 cos (p = 0

určuje (p0 a vztah

— = sin (p0 + 3 sin cp = 3 sin cp + V 1 — 9 cos2 cp
v

určuje v. Takto se pro danou přímku na sborcené ploše hlavních normál
určují dvě čáry v = konst , které v bodech oné přímky mají oskulaČní
rovinu rovnoběžnou s osou O z.

Uvažujme ještě koule U, které jsou opsány nad průměrem, jenž
polohou i velikostí splývá s poloměrem křivosti M S Čáry F, při Čemž se
omezíme na případ a = 2 c. Z obrazce 2. je zřejmo, že střed koule 2J je
v bodě pí na ellipse plochy hlavních normál ; poloměr koule 5 rovná se
vzdálenosti bodu pL od nárysny, poněvadž O pi1 půlí úhel A O SL. Koule Z
dotkne se nárysny x z v nárysu pi2 bodu pL ; odtud plyne, že

„koule Z mají své středy na ellipse plochy hlavních normál a dotýkají
se roviny Oxz podél fokální osy této ellipsy/'

Tím nabýváme obrazu o obalové ploše koulí Z\ je to souhrn kruhů
majících své středy na tečnách ellipsy (pi), a které její rovinu kolmo protínají
v bodech její nárysné stopy A V.

Stopa plochy na rovině ellipsy skládá se z této přímky a z raci¬
onální čáry 4. třídy, 6. stupně, jejíž paramétrické vyjádření se obdrží
bez obtíží.

XXXIII.

25

Pro rovnici koule E nalezneme (počátek souřadnic V)

(E) x2 + y2 + z2 — 2 c cos (p (x — z V 3) — 2 c y sin cp -(- 4 c2 cos2 cp — 0 ;
charakteristika leží na rovině

(E') (x — z V*3) sin (p — y cos cp — 4 c sin (p cos (p .

Tyto roviny obalují válec rovnoběžný s přímkou y — 0, z — x tg 30°

x — z V3 = 4 c cos3 cp, y = — 4 c sin 3 cp ,

jehož řídící čára v rovině V x y jest astroida.

*

6. Bod M čáry r a bod na strikční Čáře a jeho normále ležící M0
jsou s průseky P, P' , jež hlavní normála stanoví na válci x2 + y2 = c2,
v souvislosti vyjádřené barycentricky

c M -j- ci Mq = ( c -j- &) P

c M — a M0 = (c — a) P' ;

z toho plyne, že body P P' M M0 tvoří čtveřinu harmonickou,*) čili že
body M M0 jsou vůči kruhovému válci (c) harmonicky sdruženy. Mimo to
jsou dělící poměry

MP _ a MP' _ a

p1^“T,'p7m0T_ c*

P M _ a — c P M0 _ a — c

MP' a + c ’ M0 P' a + c

veličiny stálé.

Sférická šroubovice dělí tedy tětivy svých hlavních normál, stano¬
vené základním válcem x2 + y2 = c2, ve stálém poměru.

Poněvadž dle konstrukce jest O Sx J__ P1 Px't je Sx středem tětivy
P1P1/ a bod S je středem tětivy PP'\

,, Střed křivosti půlí tětivu hlavní normály P P' na základním
válci stanovenou/'

Obraťme se nyní k tečnám čáry F. Směrnice tečny mají hodnoty
sin y cos tp, sin y sin ip, cos y, a body na tečně se vyjadřují parametricky
takto:

* =

cos (ip

» a c
<p) —

cos (ip -f cp) + v sin y cos xp,

(16)

Cl -f" c . .

y — - o — sin (xp — cp) —

a — c

2 vr 2
z = — V a 2 — c2 cos cp + v cos y, a cp

sin {ip -j- cp) + v sin y sin ip

c xp

při čemž počátek souřadnic je v bodě V.

*) Vlastnost ta se přenáší na kruhové kotálnice v rovině: Bod kotálnice
jest se svým středem křivosti vzhledem k pevné kružnici harmonicky sdružený.
(Srov. Cesáro, Vorlesungen uber naturliche Geometrie, dtsch. v. G. Kowalewski,
str. 59.)

XXXIII.

26

Parametr v udává vzdálenost bodu ~x y z na tečně od dotykového
bodu M na čáře T.

Vypočteme postupně

x2 + y2 =

a 2 + c2
— 2~

cos 2 cp + ^2 sin2 y-j-2 cv sin y cos cp,

(17) x2 + y2 + z2 = a2 + v2.

Čáry v = konst na ploše tečen leží tedy na koulích se stálým středem V.
Snadno bychom ukázali, že normální rovina čáry v = konst. obsa¬
huje osu křivosti V m příslušného bodu na čáře šroubové T. Délka oblouku
jejího vede na vzpřímení ellipsy.

Pro průseč plochy tečen s válcem

*2 + y2 = g2

platí

v sin y = — c cos (p +_ V c2 cos 2 cp — ( a 2 — c2) sin2 cp — c2 + g2 =

= — c cos cp + y g2 — a 2 sin2 cp ;
pro g = a se tedy průseč rozpadá ve dvě čáry

v sin y — ( a — c) cos cp, v sin y = — (a + c) cos cp.

„ Válec x2 + y2 — a 2 protíná plochu tečen v čarách

(?)

x + i y = a el (v — f z = -

y

— a tg • cos cp ,
A

a

(CO

x + i y = — a et & + , z

= — a cotg . )

při čemž počátek souřadnic je bod V.

V případě a = 2 c, tjj = 2 cp je první čára ellipsou na rovině

* +

y 3

= = 0

71

která jest oskulační rovina čáry v bodě cp — — (ijj = n).

Jednoduchý výsledek podává též případ a = Z c, xg = 3 cp.
Zde máme pro čáru (Q) (při počátku V)

V CL

x — a cos 2 cp, y — a sin 2 cp, z = — b cos cp, b = a tg — =

V 2

Tato Čára jest hyppopéda ležící na kouli
x2 -j— y2 -■[ - z2

7)2 7/2 a

- x + a2 + -L = ± (x + a) + a2;

má dvojný bod x = — a, y = z = 0, a leží na rotačním kužel i
(x + a)2 + y2 = 8 z2 (počátek V).

XXXIII.

Nárys čáry té jest parabola

22 = -J (* + a).

Vraťme se k případu obecnému; tu obsahuje plocha tečen epicyk-
loidu na rovině z = 0 („střední epicykloida") — počátek souřadnic je
stále bod V —

v = a tg y cos cp,

, . ( a c , a — c _ . \

x ly — ^ — - 1 - - — e2t(p Jel^’—^sec y ,

CL ' C

která vznikne při kotálení kruhu poloměru — - — sec y po kruhu polo-

££ _ Q

měru c sec y = a, při čemž rámě g má hodnotu - - - sec y, t. j.

bodu cp = tjj = 0 přísluší vrchol epicykloidy.

Ježto se jedná o plochu tečen čáry šroubové, jsou veškery řezy
z = konst pravoúhlé trajektorie tečen, a čára jest evolutou této střední
epicykloidy.

Z toho vychází, že

,, tětivy stanovené tečnami sférické šroubovice na válci x2 + y2 — a2
jsou šroubovicí jakož i střední epicykloidou děleny ve stálých poměrech,
opačného znamení/'

takže tu máme opět Čtveřiny harmonické. Poměry stálé mají hodnotu

a — c
a -j- c

t. j. platí pro body Q, Q' na proniku válce s tečnou barycentrický vztah
(cl -f- c) Q -J- {cl — c ) Q' = 2 cl M ;
pro bod E na střední epicykloidě pak

(a + c) Q — (a — c) Q' = 2 c E,

a odtud

(a + c) Q = a M + c E.

V případě a = 2 c tedy ellipsa na ploše tečen dělí úseky tečen mezi
šroubovicí a střední epicykloidou v poměru 1:2.

Na místě (16) můžeme pro vyjádření tečny užiti rovnic

x = a cos (ty — cp) -f w sin y cos ty
pgj y — a sin (ty — cp) -j - w sin y sin ty

y

z = — a tg — cos cp + w cos y,

Z

kde w je vzdálenost bodu na tečně od její stopy Q na válci x2 + y2 = a2.
Na čáře r jest w — — atg~- cos cp .

XXXIII.

28

Půdorys čáry w = konst

x + i y = a e1 (v — v)-f- w sin y e* v
je prodloužená neb zkrácená epicykloida

R = c, r = a — c, g = — w sin y

(R poloměr kruhu pevného, r poloměr kruhu hybného, g rámě). Cara
sama leží na rotačním paraboloidu

(19) x2 + y2 + 2 a C w z = a2 + — zeA (počátek V) ;

CL \ CL J

těmito vlastnostmi jsou charakterisovány čáry bodů P na ploše tečen,
pro něž Q P = w = konst.

Podobně bychom shledali, že čáry (P) určené podmínkou Q' P = w'
— konst mají za půdorysy prodloužené či zkrácené hypocykloidy o para¬
metrech R = c, r = a c, g = — w' sin y, a rovněž leží na paraboloidech.

Paramétr w0 bodu Q' při vyjádření (18) je dán rovnicí
w0 sin y = — 2 a cos (p.

Dělicí poměr (Q Q' P) pro libovolný bod P na tečně cp má hodnotu

(Q Q'P)

W

w0 — w

aby ten byl nezávislý na cp, třeba by byla veličina stálá, takže para¬
metrická rovnice čáry (P), která dělí úseky Q Q' ve stálém poměru, bude
tvaru

W = J l COS Cp.

Z třetí rovnice (18) vychází, že na této čáře také poměr z : w je stálý,
a rovnice (19) podává výsledek tvaru

(20) x2 -\- y2 k z2 = a2 (počátek V),

kde k je konstanta závislá na A. Tyto čáry leží tedy na rotačních plo¬
chách (20) ; jejich půdorysy jsou prodloužené neb zkrácené epicykloidy.

Bud dána plocha (20) a hledejme její průseč s plochou tečen; při
libovolném w platí identita (19), a tak nám rovnice (19) a (20) dávají
nej prvé

k z2

a -j- c

2 - w z

, / a + c \2

+ y-r~w) =0

t. j. při označení

(20a) 1 + = [i :

CL -4- c

W = [l z .

a

XXXIII.

29

Vložíme-li to do třetí rovnice (18), vyjde

patg —

(20b) W = - rgS - r - COS (f

K ’ 1 + (1 — n) cos y

jako parametrická rovnice proniku plochy (20) s plochou tečen.
Vzhledem k dvěma hodnotám n platí tedy věta:

,, Rotační plochy 2. stupně se středem V a osou V z , jichž hlavní
kruh má poloměr a, protínají plochu tečen sférické šroubovice ve dvou
čarách; tyto dělí tětivy stanovené válcem (a) na tečnách ve stálém
poměru a mají za půdorysy epicykloidy prodloužené či zkrácené/ ‘

Pro n = 1, kdy plocha (20) je koule, splynou obě čáry se základní
křivkou r. Plochy (20) jsou hyperboloidy jednoploché pro k záporné,
ellipsoidy vejčité pro k mezi 0 a 1 ; ellipsoidy sploštěné plochu tečen ne-
protínají.

Nárysy těchto Čar jsou racionální čáry 3. stupně v případě a = 2 c.
V tomto případě nárysná stopa plochy tečen má parametrickou rovnici

w = - ^=7- sec (p; je to hyperbola (počátek souřadnic V)

(x + z V 3 ) x + 2 c2 = 0, y = 0,

a je zároveň dvojnou čarou plochy tečen. Hyperbolický válec směru Oy
protíná plochu tečen ještě v racionální čáře 8. stupně, jejíž parametrická
rovnice zní

a o

w = - — sec op sec 2 w .

V3

Ustanovíme ještě čáru, v niž přejde sférická šroubovice r po roz¬
vinutí její plochy tečen v rovinu. Transformovaná rovinná čára bud G.
Oblouk s na T měřený od bodu A má hodnotu

s — a tg y { 1 — cos <p) (0 < qp < jt),

a

s = a tg y (3 + cos <p) (tc <C qp <C 2 tc) ;

zákon se mění v úvratnících. Poloměr křivosti jest q = a sin (p; roz¬
vinutím v rovinu nemění se délka oblouku ani křivost jeho, a tak má
čára G stejný oblouk s a poloměr křivosti q, jako měla čára F v přísluš¬
ných bodech.

Svírá-li tečna čáry G s osou x úhel r, máme

Q =

d s

hodnoty

d s = a k sin (p d cp , q = a sin <p (k = tg y)

dávají dle toho

d x = k d (p,

XXXIII.

30

tedy zvolíme-li vhodně osu úseček v rovině čáry G,

X = k Cp.

Rovnice ta platí obecně, poněvadž změnou intervallu pro cp změní
se současně znamení d s a q. Souřadnice x a y čáry G budou hověti dife¬
renciálním vztahům

tedy

d x = cos x d s, d y = sin x d s, d s = a k sin cp d cp ,

d x

a k
~2~

[sin (k + 1) cp — sin ( k — 1) cp] d (p,

d y = [cos ( k — 1) (p — cos (k + 1) (p] d (p,

a integrace podá vyjádření čáry G ve tvaru

(21)

a k

P cos (k —

- 1) <p

COS [k + 1) Cp ]

X~~2~

L k —

i

k + 1 J

a k

r sin (k —

- 1) <p

sin [k -f- 1) cp “j

y = ^r

l k —

1

k + 1 J

; k = tgy.

V případě k = 1 (y = 45°) nahradí se u výrazu pro % nekonečný
člen pravé strany konečnou hodnotou na př. , u výrazu pro y má první
člen závorky hodnotu cp. V tomto případě je rozbalená šroubovice obyčejná
cykloida vznikající valením kruhu poloměru po přímce.

Pro k > 1 jest čára transformovaná epicykloidou

R

a k

= - t? 2 r y

k*—l 2 g

a k

2 (k + 1) ’

odvalené úhly na kruhu pevném ( k — 1) w a na kruhu hybném 2 cp.
V případě k < 1 je čára hypocykloida s prvky

75 & , 0 CL k

R — Ytg2r’ r ~ 2 (k + ij ’

a odvalenými úhly (1 — k) cp a 2 cp.

Epicykloida (21) jest evolutou epicykloidy s prvky základními

R0 = k R, rQ = kr,

vzdálenost její vrcholu od ú vrátníku čáry G (který jest jeho střed kři¬
vosti) obnáší

(. R0 + 2 r0) — R = ( k 2 — 1 ) R = a k.

Epicykloida (R0, r0) odpovídá na ploše orthogonální trajektorii tečen
sférické šroubovice, a tedy je to řez plochy tečen s rovinou z = konst.

Na tečnu šroubovice v bodě A naneseme délku a k = a tg y ; výška
koncového bodu nad rovinou O x y obnáší a k cos y = a sin y — V a 2 — c2,
t. j. koncový bod sestrojené délky leží v rovině V xy střední epicykloidy.

XXXIll.

31

Totéž platí o hypocykloidě a cykloidě; obecně se vyjadřuje výsledek
větou :

,,Při rozvinutí plochy tečen sférické šroubovice T v rovinu,
kterým tato přechází v čáru G (21), transformuje se střední epi-
cykloida v její evolventu

!2)

Xn -

=

a k 2

a k 2

[cos (k — 1) (p
k — 1

[sin ( k — 1) (p

~T=T~

+

COS (k + 1) (p J

k + 1

sin (k -j- 1) qp

k

1

tg Y-

V případě k — 1 (cykloida) se u výrazu x0 první člen závorky na¬
hradí číslem ~ .

A

Délka oblouku na střední epicykloidě má hodnotu a k 2 sin (p.

Zvolíme-li libovolnou epicykloidu v rovině se základními prvky R0
a r0, poskytnou její normály ohnutím roviny podél nich nakrojené roz-
vinutelnou plochu; při tom existuje případ, kdy tato je stejného spádu,
t. j. kdy pravoúhlé trajektorie přímek jsou čáry rovinné, vespolek rovno¬
běžné, při čemž společná normála jejich rovin svírá s přímkami plochy
stálý úhel y určený rovnicí

tg y = k = 1 +

2r0

úvratnice plochy je čára, v niž transformací přešla evoluta, a je to sfé¬
rická šroubovice ležící na kouli poloměru

k (R0 + 2 rQ) — R0
k 2

Také případ, kdy konstanta y má hodnotu jinou než právě udanou,
vede na čáry šroubové, nikoli však sférické.

Předpokládejme, že jsme vyšli z epicykloidy

(Eo) xo + iyo= (Ro + ro — ro ei(i) eia , R0 <* = ro'P>

jejíž normály jsou povrchové přímky rozvinutelné plochy po rozvinutí
v rovinu.

Vyšiňme plochu z roviny, tak aby čára (E0) padla zcela do roviny
Oxy, kde zaujme tvar (E) ; přímky její budou svírati s osou Oz úhel
stálý, který značme y. Nový tvar plochy má úvratnici r, na níž bud M
libovolný bod, příslušný k parametru /3 ; bud P0 stopa povrchové přímky
M P0 na rovině x y, P pak půdorys bodu M. Je pak P0M = q zároveň
poloměr křivosti čáry (E0) v příslušném bodě, a jeho průmět P0P je
poloměr křivosti Čáry (E), poněvadž tato protíná kolmo přímky P0 M,
které jsou tečny čáry F, a jejich půdorysy jsou tedy normály cáry E\

XXXIII.

průsek normály P0 P s normálou nekonečně blízkou je průmět P bodu M
na úvratnici.

Máme tedy pro poloměr křivosti p čáry ( E ) výraz

p = Q sin y.

Prvek oblouku d s — d s0 je společný oběma tvarům čáry ( E0 )
t. j. čáře (E0) a Čáře (E) ; dle známých vlastností epicykloid jest na E0

Q = 4r0

Rp + r0

Rq + 2r0

d s0

2rf

Rr

Rr

— sin d ji.
A

ZnaČí-li nyní x úhel, jejž svírá tečna čáry (E) s osou O x, bude

kde položeno

dz = i = _^£o_ = Q d p
p q sm y

q _ Rq -f- 2

2 R0 sin y

Můžeme osy tak voliti, aby bylo x = G p, načež rovnice

dx-\-idy = dseiz
charakterisující čáru (E) zní:

dx-\-idy = 2r0 V° sin e* G P d j3

l\n 2

tedy po integraci

x + i y = r0

R0 + r0 re‘{G-h)‘i «‘(G+J-'

R:

G —

G + i

Poněvadž G > — , je tato čára (E), která je pravoúhlou trajektorií

plochy, a zároveň její stopou z = 0, epicykloidou. Její evoluta, epicykloida
s ní podobná, jest půdorysem Čáry P, úvratnice plochy. Máme tedy pro
šroubovou čáru r jako půdorys epicykloidu, a čára leží na rotačním ellipsoidu,
jehož osa je v O z, jak to ukazuje výpočet zcela podobný začátku Či. 5.
Čára r takto vzniklá je šroubovice bikonická.

„Nakrojíme-li rovinu podél všech normál libovolné epicykloidyj
aby se stala ohebnou, a přetvoříme-li pak rovinu v plochu rozvinu-
telnou tím způsobem, aby původní epicykloida padla opět do určité
(základní) roviny, zaujme její evoluta polohu určité šroubovice biko-
nické r. Při tom původní epicykloida přešla opět v epicykloidu, a její
evoluta je průmětem čáry r.“

Směr tečny Čáry (21) je dán kosinusy cos k cp, sin k <p; parametrické
vyjádření bodu, v nějž přejde bod plochy tečen příslušný k paramétrům
< p , v (16), zní:

XXXIII.

(23)

33

X + iY =

a k

(

ei (6—1 ) cp

~ir^r

ei (6 + 1) <p \

6 + 1 ) + Ve'

Vložíme-li sem hodnotu v pro střední epicykloidu

v — a k cos cp,

vyjde bezprostředně výsledek (22).

Pro čáru (Q) máme

a — c

v = — ; - cos op ;

sm y

po transformaci bude

X + i Y = ( m — n e2i(p ) e{k ~ 1)ifc,

a (1 — cos y) (1 + sin y)
sin 2 y (tg y — 1)

•_ a (1 — cos y) (1 — sin y)
sin 2 y (tg y + 1)

,, Rozvinutím plochy tečen v rovinu přechází Čára (Q) této plochy
v prodlouženou neb zkrácenou epicykloidu {tg y > 1), vztažně hypo-
cykloidu (řg y < 1)/'

Parametry v a w jsou vázány vztahem

a — c

w — v = - : - - cos w ;

sm y

odtud soudíme, že veškery čáry charakterisované vztahem ( Q Q' P) — konst.
se transformují v kotálnice.

Na konec budiž učiněna zmínka o vytvoření sférické šroubovice r
jako obalové čáry její oskulačních kruhů k. Sférický střed kruhu k je
v bodě m, poněvadž osa křivosti čáry rje přímka V m\ střed křivosti S
leží na V m a je pak poloměr křivosti S M = q = a sin (p , v pravoúhlém
trojúhelníku V S M tedy bude V S = a cos cp a úhel mV M = S V M má
hodnotu cp ; rovina m V M dotýká se kužele podél mV, a protíná kouli ( a )
v hlavním (největším) kruhu mM, který se dotýká v bodě m kruhu (c).
Délka oblouku m M = a cp je sférický poloměr kruhu k a rovná se délce c ty
oblouku A m na kruhu (c).

Lze tedy na dané kouli [a) s daným kruhem [c) rýsovati čáru /
podobně jako se rýsuje evolventa kruhu (c) v rovině: V bodech m kruhu (c)
vedeme hlavní kruhy tečné a nanášíme na ně oblouky m M rovné délkám
oblouků A m na kruhu (c).

Těmito body M vytvořená čára jest obalovou čarou kruhů k (osku¬
lačních), které mají sférické středy m a za sférické poloměry délky oblouků
A m na (c). — Můžeme přejiti při stálém c k limitě pro a — oo, čímž čára T
přejde v evolventu kruhu (c).

*

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 33. 3

XXXIII.

34

7. V následujících odstavcích bude hlavní pozornost věnována pří¬
padu a — 2c; tuto sférickou čáru stupně 6., která má spád 30°, stu¬
doval Angelo Buffone,*) zejména po stránce algebraické. Úvahy naše
mají však s jeho výsledky styky jen nepatrné.

Parametrické vyjádření této čáry dávají rovnice (1*) pro a = 2 c
ve tvaru

Q _

(1) x + iy= y (3 — e***) el'f , z = c V 3 (1 — cos <p) ;

půdorys Čáry je nefroida Huygensova, kterou vytvoří bod kruhu polo¬

měru — valeného po kruhu ( c ) poloměru c , při čemž počáteční poloha
2

bodu opisujícího je bod A (x = c, y = z = 0).**) Tato racionální čára
stupně 6. je základnou válce směru O z, který vytíná čáru r na kouli

(2) *2 + y2 + (z — cV 3)2 = 4 c2;

vlastně vytíná tento válec na ní čáry dvě, vespolek souměrné vůči střední
rovině z = c V 3 ; druhá z nich se liší výrazem

z — c V 3 = + c V3 cos cp ,

a neprochází bodem A, nýbrž bodem A/ (x = — c, y = z = 0).
Rovnice

(1°)

x = — (3 cos cp — cos 3 cp) = c (3 cos cp — 2 cos3 9)

Zí

z — c V3 == — c V3 cos (p , y = 2 c sw3
podávají pro nárys

(3) 3 V3 c2 x = 2 £? — 9 c2 J , í=z — c V 3 ,

který je tedy racionální čára stupně 3.

Tento válec stupně 3. určuje s koulí (2) naši čáru úplně..
Rovnice základní v obecném případě pišme ve tvaru

^ x = a sin cp sin ý c cos cp cos ty ,

y = — a sin cp cos ty + c cos cp sin ty .

Pro kužel promítající čáru F ze středu A máme vyjádření

X — c _ x — c Y _ y
Z z ’ Z j z *

jeho řez s rovinou střední Z = V a2 — c2 tedy bude

*) Ang. Buffone, Studio di un ellica sferica ed algebrica (Giornale di Mate-
matiche di Battaglini, vol. XXXIV.; 1896).

**) V tomto článku bude počátkem souřadnic — pokud jinak nebude zvlášt

vy tčeno — opět bod O, střed základního kruhu ( c ).

XXXIII.

35

X — c

první rovnici lze psáti

x — c
1 — cos cp

X =

, y =

1 - CCS (p

1 — COS cp
V obecném případě tyto rovnice

a sin cp sin ty — c cos cp ( 1 — cos ty)

X =

Y =

1 — cos cp

a sin cp cos ty + c cos cp sin ty

1 — cos cp

nedávají výsledek přehledný. V případě našem a — 2 c však znějí
X = 2 c (1 -f- cos cp) cos cp , Y = 2 c (1 -j- cos cp) sin cp .

Centrální průmět ze středu A sf. šroubovice 30° spádu do roviny
střední z = c V3 je tedy kardioida, úpatnice kruhu opsaného kolem středu
[x = 2 c, y = 0) poloměrem 2 c , vzatá pro pól ležící na O z (střed čáry).

Nejvyšším bodem čáry je cp = n, druhý úvratník její A'. Promítáme-li
z něho šroub ovici r do střední roviny, obdržíme opět kardioidu

X — 2 c (1 — ■ cos cp) cos cp , Y = 2 c (1 — cos cp) sin cp ,

která jest úpatnicí kruhu opsaného poloměrem 2 c ze středu ( — 2 c, 0)
pro pól ve středu čáry.

Kužel promítající čáru z její středu V

X _ _ _ _ Y _ = _ y_

Z — cV 3 ~ z — c V 3 Z — c VŠ z — c YŽ

má na rovině O xy stopu Z = 0

x= — — , y =

cos cp

y

cos cp

t. j. dle rovnic (1°)

Z = 3c

2 c cos2 cp = c + 2 c sin2 cp

Y = 2c —

sin3 cp

cos cp

v polárních souřadnicích s pólem A, osou A x, zní rovnice této čáry

stn * cp

o — 2 c - = 2 c sec cp — 2c cos cp ,

cos cp

t. j.

,,ze středu V promítá se sf. šroubovice 30° spádu do základní roviny
v cissoidu Diokletovu, jejíž úvratník jest v O, osa O x a asymptota
x = 2 c“.

3*

XXXIII.

36

Veďme dále bodem M přímku rovnoběžnou s A V (tětivou úvrat-
níků) ; rovnice její jsou

y = y, z = z — V 3 (X — x),

a stopa na rovině střední Z = c V 3

c V3 — z = — VŠ (X0 — x), Y0 = y

má souřadnice

z — c V 3 o-2

X q = x + - -y— - = 2 c sm 2 cp cos cp ,

\ 3

Y0 = 2 c sinz cp ;

polární rovnice této racionální čáry stupně 6. zní

q = 2 c sin 2 <p,

a je známa pode jménem Doppeleilinie,*) kterýžto název přeložíme slovem
dvoj ovála.

Její rovnice zní

(*2 + y2)3 = 4 c2 y4.

„Promítající válec sférické šroubovice 30° spádu rovnoběžný s tě¬
tivou ú vrátníků seče střední rovinu V x y v dvoj ovále. “

Tečna dvoj ovály je kosoúhlý průmět tečny čáry F, ostatně můžeme
stroj iti normálu planime tričky na základě polární subnormály

(/ — 2c sin 2 cp.

Pro poloměr křivosti podává elementární vzorec

(p2 + (>'2)3/*

R =

hodnotu

zej měna jest

R = — c sin cp

ó

P 2 + 2 p'2 qq"

(sin2 cp -f- 4 cos2 cp)*1*

1 + cos 2 cp

„ % n 71 n

pr0(1p= 0,T,T,T;T

resp. R = O, 13 V*3 * , c , 7^21

42 9 30

C’TC‘

Pro tečnu dvoj ovály nalezneme snadno

3 X sin 2 cp — (1 -f 3 cos 2 cp) Y = 4 c sin 3 cp.

*) F. Múnger, Dissertace; Bern 1894. Intermédiaire des Math. 9 (1902), p. 335.
H. Wieleitner, Spez. ebene Kurven (1908), str. 71. Gino Loria, Spez. eb. Kurven,
str. 311 (1902).

XXXIII.

37

takže křivka ta je též 6. třídy. Z rovnice čáry plyne, že má čtyřnásobný
bod O a úvrat v úběžných bodech kruhových se společnou tečnou; jiných
singulárních bodů čára nemá. Předpokládejme, že bod O je rovnomocným
se soustavou a bodů dvojných a /3 bodů vratných; vyjádří-li se, že čára
jest rodu 0, máme nej prvé

0 = — Ťj-— - 2 — (a + /3) , t. j. « + /S=8,

dále okolnost, že třída křivky je rovněž 6., dává

6 = 6.5 — 2.3 — (2 a + 3 0), t. j. 2 a + 3 /3 = 18 ;
je tedy a = 6, /3 = 2:

Singularita bodu O pro dvoj oválu platí za spojení šesti bodů dvojných
s dvěma body vratnými.

Pro normálu dvoj ovály nalezneme bezprostředně

[n) X (1 + 3 cos 2 cp) + 3 Y sin 2 cp = 8 c sin 2 cp cos cp;

její úsek na O y je tedy

Derivováním dle (p vychází rovnice přímky

(»')

— X sin 2 (p + Y cos 2 cp

4

3

c sin cp (3 cos2 (p — 1) ,

na níž leží střed křivosti; jeho souřadnice se vypočtou z těchto rovnic
a jsou

V = — C COS Cp

sin2 2 cp
1 + cos 2 cp

y = — c sin cp

ó

1 -f* 3 cos ^ cp
1 + cos2 cp

takže evoluta je 6. třídy a 10. stupně.

Pravou stranu rovnice (n') lze psáti
2

— c sm cp (3 cos 2 cp + 1) ,

ó

a je zřejmo, že přímka (rí) obsahuje bod

(N)

X = - — c sec cp, Y — 2 c sin cp

ó

mimo to prochází bodem

X = — 2 c cos cp, Y = - — c sin cp . sec 2 cp

O

a má směr 2 cp. Těmito vlastnostmi je přímka ( n ') konstruktivně určena
a tím získána konstrukce středu křivosti.

XXXIII.

38

Týž leží také na přímce

X cos (p + Y sin (p =

3 ] -f cos ^ w

V obr. 2. znázorněna polovice nefroidy F± vznikající na základě
kruhu poloměru O A — c. Její konstrukce se zjednoduší takto: Na kruhu (c)
zvolíme bod pl příslušný k úhlu X 0 p1 = (p (na přímce O (p) a bod m
příslušný k úhlu ip = 2 <p. Z bodu p^ spustíme kolmici pL S1 na 0 m a pnr
dloužíme ji na opačnou stranu do Mx\ px pv Důkaz toho vyplývá

z obecné konstrukce pro libovolnou sf. šroubovici.

Dle té vedeme délku m O m' = a , načež opíšeme poloměrem a oblouk
m M se středem m' , na nějž naneseme délku are. m M = are. w ^4. V našem
případě a = 2 c padne do druhého konce průměru m m', úhel m m' M = cp
a bude tedy m' M II O pLlt takže přímka m' M obsahuje bod A.

Přímka M m protíná kruh (c) v bodě pi, který zde značen pv a je
pak půdorys M1 bodu M čáry r na přímce ^ J_ 0 m, a na přímce:
M M1 || O m.

Z konstrukce plyne m (na základě podobnosti trojúhel¬

níků mO px a w w' M), je tedy též očividně px == px M1 ; tím naše kon¬
strukce dokázána. Přímka (iL Sx je normála průmětu rv střed křivosti <?
je střed délky S1 px (dle obecné věty o středu křivosti epicykloidy a hypo-
cykloidy dělí totiž a tětivu v poměru 1:3).

Bod Sj je půdorys středu křivosti, S± Ml poloměr křivosti prostorové
čáry r jako v obrazci původním.

Pro nárys M2 třeba znáti výšku, jež v našem případě jest

z = 2 M1 M sin y — 2 m S} . sin y ;

naneseme na A V2 délku A p2 = 2 m Slf načež bude p2 M2 || O X.

Víme, že plocha hlavních normál protíná válec x2 + y2 = c 2 ve dvou
čarách, z nichž jedna jest ellipsa (P) na rovině z + x tg y = V" a2 — c2, t. j.

z x V 3 = cV3.

Tato rovina prochází tětivou ú vrátníků A V A' a je kolmá na O x z.
Její nárysná stopa je tedy přímka A V2. Bod ellipsy (P) na hlavní normále
M S znamenali jsme p ; jeho půdorys je totiž právě uvažovaný bod p±
a nárys je bod p2 na A V2. Obdržíme tedy také konstrukci bodu M2 na
základě konstrukce bodu p ellipsy (P).

Můžeme též vyjiti z bodu p2 ; určíme příslušný půdorys px na kruhu (c),
načež se další část doplní jako výše.

Povrchová přímka A' M kužele (A', P) protíná rovinu V x y v bodě
M' \ jeho půdorys Mx' leží na průvodiči O (p t. j. na O px (podobně obsa¬
huje tato přímka také bod dvoj ovály). Kardioida, kterou tento bod Mx'
opisuje, je jak známo také konchoida kruhu opsaného poloměrem c kolem
středu A takže bude stále m" Mx' — 2 c.

XXXIII.

39

Bod cissoidy — v obrazci nekreslený — leží na paprsku m'A = A cp.
Na přímce O [iL leží také půdorys bodu Q, v němž tečna čáry r seče
válec x2 -ty y2 = a2. Body tyto tvoří ellipsu, již na válci tom vy tíná rovina
kolmá na

{*) z + ~VJ = cY^'’

nárysná stopa &u této roviny spojuje bod V2 s bodem x — 3 c na O x.

*

8. V případě sférické šroubovice a = 3 c mime vyjádření

jx + i y = c (2 e2i,p — eiifp) , ty = 3 cp,

^ \z — V 8 c (1 — cos cp).

Body cp = ~ a cp = splývají ve dvojný bod čáry ( — 3 c, O, c Vš) .

Jj A

Půdorys je kardioida s ú vrátníkem A ( c , O, 0), střed F mí souřadnice
(0, 0, cV 8) ; čára JP je stupně 8. a tvoří úplnou průseč koule s válcem kar-
dioidy ; má dva body úvratní na ose A z, příslušná k úhlům v = 0 a w = %
(z = 0 & z = 4 cYZ).

Rovnice centrálního průmětu ze středu A do roviny V x y, které
v obecném případě zněly (čl. 7.)

a sin cp sin ty — c cos cp (1 — cos ty)

1 — cos cp

— a sin cp cos ty + c cos cp sin ty
^ 1 — cos cp

budou v našem případě a = 3 c, spojeny v imaginární vazbu,

x + i y _ (cos cp — 3 i sin cp) esi(? — cos cp

c 1 — cos cp

klade-li se e* v = u, zní to

x -ty i y 2 uh — 4 u2 + u2 + 1

(u - 1)*

= 2# + 4# + 2w+ 1,

čili

(5) x — c-tyiy — ic(l -ty cos cp) e2i<?.

Polární souřadnice uvažovaného průmětu (pól A0
jsou tedy

(5*) q — 4 c (1 + cos cp), co — 2 cp;

polární rovnice

Q = 4 c ^1 cos

ukazuje, že Čára je konchoidou růžice.

na A z, osa Aa x)

xxx tii.

40

Průmět do téže (střední) roviny ze středu ležícího ve druhém bodě
vrátním cp = n má rovnici v téže soustavě souřadnic polárních

q = 4 c ^1 — cos ; 0

obě čáry splývají, neboť rovnice přecházejí jedna v druhou záměnou q>
za co + 2 7r.

Průměty bodů čáry JT z obou úvratníků do roviny střední V x y
padají tedy na různé větve téže čáry.

Znamenáme-li na okamžik 4 c = b, máme nej prvé
(q — b)2 = b2 cos2 ~ (1 + cos

b2 b2

Q2 — 2 b Q + — = — COS CO.

V pravoúhlých souřadnicích (počátek A0 na A z, osy směru O x, O y)
bude q cos co — x, tedy

/ b2 \ b2

y q2 + ~yj q = 2 b q2 + — x, q2 = x2 + y2

a odtud rovnice v pravoúhlých souřadnicích

(x2 + y2) (x2 + y2 + 8 c2)2 = 64 c2 (. x 2 + y2 + c x)2.

Proveďme inversi vůči kruhu pomyslného poloměru
— 8 c2 —8 c2

* — "V + y02 x°' y ~ V + y<? y° ’

transformovaná čára bude stupně 4.

(V + y02 + 8 c2)2 = (x2 + y02) (*0 — 8 c)2,
v polárních souřadnicích

— 2c 2 co

(>0 •== - = — c coscc2 — — .

co 4

1~cos-3

Reálný dvojný bod (co = x, 3 «) # = 2 c, y = 0, pomyslné dvojné
body z rovnic

x0 — 8 c = 0, x02 + y02 + 8 c2 = 0.

Pro normálu Čáry (5) nalezneme rovnici (počátek na O z)

(X — c) (sin (p -j- 4 sin 2 cp + 3 siw 3 cp) — Y (cos cp + 4 cos 2 qp 3 cos 3 cp) =

= 8 c (1 + cos qp) sím ^p.

Zavedením parametru u = ei(p bychom shledali, že evoluta je 5. třídy.

XXXIII.

41

Střed křivosti čáry (5) leží na přímce
(9P) (X — c) (cos cp + 8 cos 2 cp + 9 cos 3 (p)

+ Y (sin cp + 8 sin 2 cp + 9 sin 3 cp) = 8 c (cos cp + cos 2 cp) ;
pro tu určíme bod P0:

X0 — c = t0 sin 2 cp, Y0 = - — 10 cos 2 cp

^průvodič A PQ svírá s osou A x úhel 2 cp — , kde

cos cp + cos 2 cp

h W ~ c

sm cp

Dále obsahuje táž přímka bod

X\ — 4 sin 2 cp , Yj = — 4 cos 2 cp , 4 =

(8+9 cos cp) cos 2 cp
4 sin cp

Ještě určíme průmět čáry (4) z její dvojného bodu do základny
rovnice promítající přímky jsou

X 3 c _ v + 3 c Y _ y

Z — c V 8 — ■ V 8 c cos cp Z — c V 8 — V 8 c cos cp

kde dle (4)

x = 2 c cos 2 cp — c cos 4 cp, y — 2 c sin 2 cp — c sin 4 cp.

Stopa promítající přímky na rovině O xy, t. j. Z = 0 je dána tedy
rovnicemi

X + 3 c = X = 4 c cos cp ( 1+2 sin 2 cp) ,

COS cp

Y = 4 c sin cp (1 — cos 2 cp) ,

čili

(6) X + 3 c = 6 c cos cp — 2 c cos 3 cp , Y = 6 c sin cp — 2 c sin 3 cp ;

tyto rovnice dávají průmět čáry r (a = 3 c) z její dvojného bodu
( — 3 c, 0, c V 8) do roviny O x y. Průmětem tím je nefroida vytvořená ko-
tálením kruhu poloměru 2 c po pevném kruhu poloměru 4 c, jeho střed
( — 3 c, 0) leží v půdoryse dvojného bodu čáry.

*

9. Přeložme po.čátek souřadnic opět do bodu V; rovnice
hlavní normály v parametrech cp a v zněly (3*) str. 19.

x = c cos (ý — cp) — v sin xp ,

(n) y — c sin (xp — cp) + v cos xp ,

z — — V a2 — c2 cos cp) a cp = c xp .

Vyjadřme podmínku, aby tato normála protínala danou přímku
(Í>) x = m z p, y = n z q .

XXXI11.

42

Vložíme-li do těchto rovnic hodnoty z rovnic (n), obdržíme dvé
rovnic mezi proměnnými cp a v; vyloučením v vychází

| c cos (ty — cp) + m V a2 — c2 cos cp — p, — sin ty '
j c sin (ty — cp) + n V a2 — c 2 cos cp — q, cos ty J
čili po rozvedení determinantu

(1) c cos (p + (m cos ty + n sin ty) V a2 — c2 cos (p

— p cos ty — q sin ty = 0 ;

tato rovnice určuje polohu bodů na šroubové čáře F, jichž hlavní nor¬
mály protínají přímku (p), a slouží tedy k stanovení průseků přímky té
s plochou hlavních normál.

V případě sférické šroubovice 30° spádu (a = 2 c) se po zavedení
parametru u = přepíše tato rovnice na

2 c u2 (u2 -ty 1) + c V 3 (u2 + 1) [(m — n i) w4 + (m + n i )]
— 2 u[(p —q i) w4+ (p + q i)] = 0

čili po seřazení dle mocnin u,

(2) c V 3 (m — n i) uQ — 2 (p — q i) u5 + c [2 + (m — ni) V3]^4-j-
+ c [2 + (m + n i) V 3 ] u2 — 2 (p + i q) u + c (m -f n i) V 3 = 0.

Značíme-li ux u2 . . . uG kořeny této rovnice a literami f 1 = UuVf
f2 = U ua uV) . . . jich základní úkony souměrné, obdržíme z rovnice (2)
především

(3) f3 = 0, f4 fg — f2 !•

Tyto dvě rovnice mezi parametry ux ... uQ vyjadřují podmínku, aby
hlavní normály šesti bodů uv měly společnou sečnu. Čtyři z těchto normál
možno voliti dle libosti, a budou míti určitou společnou sečnu; rovnice (3)
pak vyjadřují, že tato protíná také normály zbývajících dvou bodů, a
slouží k stanovení těchto dvou bodů jako společného páru dvou involucí*

Obecně sice mají čtyři přímky společné sečny dvě; z těch v našem
případě hlavních normál čáry F jedna splývá s úběžnou přímkou roviny
x y, a zbývá jen jedna skutečná sečna společná pro čtyři hlavní normály.

Pro tři dané hlavní nbrmály existuje oo1 přímek je protínajících
(tvoří paraboloid hyperbolický) a každá z těchto společných sečen protíná
ještě tři hlavní normály. Takovým způsobem vzniká na ploše hlavních
normál kubická involuce přímek.

Je-li jedna z povrchových přímek plochy hlavních normál její přímka

7C

dvojná Vy (<p == — a 9
A

3 7t

~2~

Čili u = + **), odpovídá

její průsek

s přímkou p dvěma parametrům u = i a u = — i, a zbývají jen 4 hlavní
normály, jež přímku mohou protínati. U zbývajících parametrů ux u2 u3 u4
máme symetrické úkony základní qx g2 g3 g4, a bude

XXXTTT.

43

U = 94 + (* - $) 03 + 02 = 94 + 02

fs = 04> fa = 02 + 1»

takže drahá z rovnic (3) jest identicky splněna, a zbývá pro čtveřinu
ux ... podmínka jediná f3 = O, t. j.

(4) 03 + 9i = O

čili

íí^ -f- ~b ^3 “f" ^4 “b ^1 ^2 ^3 d- ^1 ^2 ^4 “b ^3 ^4 H~ ^2 ^3 ^4 == d.

,, Hlavní normály ve 4. bodech hovících podmínce (4) mají společnou
sečnu, která protíná též přímku dvojnou V y plochy hl. normál/ ‘
Vraťme se k přímce (p) ; její průseky s plochou hl. normál hoví
rovnici (2). Znamenáme-li

A = c (m — n i) V 3, B = c (m + n i) V 3,
podává rovnice (2)

A\1 = 2(p — iq), A f5 = 2 (p + i q),

A f2 = A + 2 c, A\t = B + 2 c, A\6 = B,
a odtud vychází

i- 2C B

A ~ 1T— v ’ B

2 C f,

1

m — n i

vš f* — i

m + ni = -/=- — J6 - • P — iq = f >/>+*? = -|-“T '

Vš ,2

a rovnice přímky (p) bude lze psáti

(5)

x + i y =
x — i y

V 3 f2-

2 1

i + t, — i

^ +

Cfl

V3 f2 ^ 12

1 *

Tyto rovnice určují přímku protínající Čest hlavních normál čáry r,
které hoví podmínkám (3).

Společná sečna hl. normál čtveřiny (4) má tedy zvláště rovnice

{4a)

x + iy = — z + c — ,

^ V 3 02 02

2 1|gi
.v — 1 y = -T7= — 2 + c — ;
7 V3 02 02

přímka ta leží skutečně na rovině — ježto 93 + 9i = 0 —

04+1

v =

0.V8 1

která obsahuje dvojnou přímku Vy plochy hl. normál.

XXXIII.

44

Na ploše hlavních normál naší čáry r (a = 2 c) přísluší libovolné
přímce (u) oskulační paraboloid; můžeme určití jeho povrchovou přímku
druhé soustavy, která protíná přímku dvojnou V y. Dáme totiž splynou ti
hodnotám ux u2 uz ve společnou hodnotu u ; společné sečny tří přímek tak
přejdou v povrchové přímky oskulačního paraboloidu, a ta z nich, která
protíná přímku Vy, hoví podmínce (4), přísluší-li k parametru u0=ut.

Rovnice (4) podává

uz + 3 u

u°~ ~~ 3 u 2 + 1 '

načež se symetrické funkce vypočtou takto:

8 u*

02 - 3 W “i- Wq -

g2 = 3 u2 + 3 uQ u =

Os = (3 uo + «) w2 =

3 u2 + 1 '

6 u2 ( u 2 — 1)

3 u2 + 1
8#

3 u2 + 1 ’

04 = -- W

u2 + 3
3w2+l ;

04 _ u2 {u2 + 3) Os _ 4 u 0^ _ 4 u

g7 ” ~~ ~6>2 - 1) ’ ~o7 ” “ 3 (u2 — 1) ’ “o7 ~ 3 (u2 — 1) '

Povrchová přímka druhé soustavy na oskulačním paraboloidu, která
protíná přímku V y , má tedy rovnice

x + iy —
x — i y =

čili v reálném tvaru

u 4 ( u 2 + 3) _

3 v 3 u 2 (m2 — i)

3«2+l

4cm

+

3 (w2 — 1)
\ cu

3 V3 «2 (m2 — 1) 3 (#2 — 1)

(?)

síw 3 (p + 3 sin (p

X — — £,

6 V 3 sm (p

cos 3 w 4- 3 cos w 2 c

y — - z_ - _z_ ^ _i - .

6 V 3 sin (p 3 siny

Tyto přímky q, které leží na různých oskulačních paraboloidech
plochy hlavních normál naší čáry r (a = 2 c) a protínají přímku V y,
tvoří sborcenou plochu (q).

Nárysná stopa přímky q

cV 3 1 + 2 cos 2 (p „

2 = - ~ — , x = c — - - — — , y = 0

cos3 (p 3 cos3 cp

opisuje racionální čáru 3. stupně, která je dvojnou čarou plochy (q).

XXXIII.

45

Směrný kužel plochy (q) vedený z vrcholu V obsahuje křivku

Q

x = — (3 sin cp + sin 3 <p) ,

Z

Q

y — — — (3 cos (p -f cos 3 <jp) ,

Z

z = — 3 V 3 c sin (p,

která je šroubovou na válci směru V z, ana její tečna má cosinusy směrné

1 1 1 r-

— cos 2 <p, y sin 2 cp, -T Y:3’

a leží na rotačním ellipsoidu (počátek souřadnic V)

4 c2 ^ 36 c2

čára tato je šroubovice bikonická. Pro sborcenou plochu (q) známe tři
řídící čáry, t. j. přímku V y, dvojnou Čáru kubickou v nárysně, a úběžnou
čáru na kuželi, kterým se z vrcholu V přemítá šroubovice bikonická.

Půdorys této šroubovice splývá s půdorysem čáry r, pouze význam
parametrů je jiný; půdorysem bodu šroubovice bikonické je půdorys

bodu cp - na čáře T.

Vraťme se k rovnici (2) pro případ, že přímka p je směru O z , tedy
m — n = 0. Tu odpadnou dva kořeny w = 0aw=ooa zbývá rovnice
stupně 4.

(p — iq) u* — c (us + u) + p + i q = 0.

,,Čtveřiny hlavních normál, jichž společná sečna je kolmá na
rovinu základní, odpovídají parametrům hovícím podmínkám

9i = 03> 02 =

Společná sečna má rovnice

x = c

04+1
2 gi

y = c

04 — i
2 i 0i

Z podmínky = g3 plyne, že tyto veličiny jsou rovny svým sdru¬
ženým, a tedy jsou reálné, předpokládaje reálnou čtveřinu.

Má-li společná sečna šesti hlavních normál procházeti bodem V,
musí p = q — 0, a rovnice (2) přejde v kubickou o neznámé u 2, normály
se kupí v páry (cp, cp + ar)-, t. j. jsou po dvou rovnoběžný.

Znamenáme-li parametry tří normál ux u2 u3, budou normály v bodech
— ulf — u2, — v.3 s prvními rovnoběžný; jest identicky f3 = 0, a zbývá
jen splniti druhou podmínku (3), načež normály mají společnou sečnu-
Znamenejme souměrné úkony prvků ux u2 u3 literami g2 g3, prvky
opačné mají souměrné úkony — gx, g2, — g3. Je pak

Í4 = 2 gx g3 + g22, Í6 = 032> Í2 == 2 g2 0i2,

XXXIII.

a podmínky (3) přecházejí v rovnici

čili

022 — 2 9, g3 + 932 = 2 g2 — g,2 — l
(9i - 03)2 + U — 022) = 0.

Rovnici tu lze psáti

(1 + uf) (1 + **22) (1 + %2) = O,

a' je splněna jen pro uv2 + 1 = 0. Klademe-li w32 + 1 = O, určují hlavní
normály bodů uv u2 s přímkou (u3) V y paraboloid, na němž leží Vy a tedy
také bod V, a druhá jeho povrchová přímka bodem V procházející řeší
problém.

Předpokládejme, že se přímka (p) dotýká plochy hlavních normá
ve třech bodech; bude w4 = uv u5 = u2) u6= u3; znamenáme-li souměrné
úkony prvků ux u2 u3 literami g, obdržíme

íl = 2 01, ~ 9l2 2 ?3 = 2 93 2 9l 02^ Í4 = 2 9l 03 “Í“ 022>

í 5 ="2 02 03, f« = g32,

načež rovnice (3) dávají

93 + 0i 92 = °> 922 + 2 9i 9s — g32 = 9 2+ 2 92 — 1 i

druhá se přepíše na základě první na tvar

(92 — l)2 = 9i2 (92 + l)2-

Máme tedy jen jednu neodvisle proměnnou g2, načež

01 = + J... 03 = — 01 02-

Vložením hodnot, jež odtud vycházejí pro veličiny do rovnic (5),
obdržíme součinitele v rovnicích přímky jako racionální funkce para¬
metru g2, stupně čtvrtého; a sice obdržíme tak dvě řady přímek trojnásob
tečných, vzhledem k dvojímu znamení při gr

10. V případě a = 3 c má hlavní normála rovnice (počátek V)
(n) x cos 3 cp + y sin 3 cp = c cos cp , z = — c V 8 cos cp ;

pro eliminaci cp máme

cos 3 (p — 4 cos3 cp — 3 cos cp , sin 3 cp = (4 cos2 cp — 1) sin cp
a rovnice plochy hlavních normál bude

x z (z2 — 6 c2) — y (z2 — 2 c2) V 8 c2 — z2 = 2 c3 z .

XXXIII.

47

Normály dvojného bodu <jp = — a cp

A

3 7t

splývají ve dvojnou

přímku V x (y = 0, z =p 0) ; dále jsou dvojnými přímkami hlavní normály

, , . n 5 n:

bodu cp = — a cp= ^

rovněž normály

x =

<P =

c

T’

2 7C

z —

a cp =

c V2
4

3

% = — — , ^ = c V2

A

Z rovnice plochy soudíme dále, že křivka 3. stupně
y = 0, x (z2 6 c2) = 2 c3

(nárysná stopa plochy) je dvojnou čarou této plochy 8. stupně.

Q

Rovina x = - — obsahuje dvě dvojné přímky a seče plochu normál

A

ještě v čáře stupně 4.; z rovnice se tu skutečně odštěpí faktor z 2 — 2 c2
a zbývá

2 + y V8c2 — 22 = 0 ,

A

rovnice čáry stupně 4.

Rovina x, — c seče plochu ve dvou přímkách z — + c V 8 (které
jsou rovnoběžný s O y, vycházejí z úvratníků čáry T, a přísluší hod¬
notám cp = 0 a <jp = je jako hl. normály) a mimo to v Čáře stupně 6.

c z V 8 c* — z2 + y (z2 — 2 c2) =0.

V 7t

Hlavní normály v bodech cp = <jp0 - — (v = 0, 1, ... 5) jsou

vespolek rovnoběžný, takže povrchové přímky plochy se řadí do skupin
po šesti rovnoběžkách, vždy po třech ve společné rovině normální čáry r*
Pro průseky plochy normál s danou přímkou

x = m z ft, y = n z + q

máme dle (1) čL 9

c cos (p + (m cos 3 cp + n sin 3 cp) c V 8 cos cp — p cos 3 cp — q sin 3 cp = 0 ,
čili pomocí parametru u = eicp\

c V 2 (m — i n) u8 — (p — i q) u1 + c V 2 [m — i n)u6-\-cu5 +

+ c u3 + c y 2 {m i n) u2 — (p + iq) u + c V2 (m + i n) = 0 .

Souměrné úkony kořenů jsou tedy vázány vztahy
f 2 = Í3 == f 5> ?4 = f 6 ==: f S*

XXXIII.

48

Ty vyjadřují podmínku, aby osm hlavních normál čáry T (a = 3 c)
mělo společnou sečnu.

Q

Uvažujme zvláště přímky v rovině x = - — ; ty protínají přímky

A

dvojné příslušné k úhlům qp

% 5 tc 2 7t 4 it

T ’ T-’ ~ 3 * ~3~

a příslušné parametry u hoví rovnici

w4 + m2 + 1 = 0.

Zbývajících Čtvero průseků plochy s přímkou přísluší parametrům
uLu2u3u4, jichž souměrné úkony znamenejme gr. Bude pak

U = 02 + 1» Í3 = 03 + 01 > Í4 = 04 + 02 +
fs = 03 + 9l, fe — 94 + 02* fs = 04 i

hořejší podmínky se redukují na dvě

02 = 0, 04 = — 1.

Takovéto čtveřiny snadno se geometricky realisují: Z libovolného
bodu spustíme čtvero normál 11a ellipsu

x = a cos <p, y = h sin <p, (a > 6) ;

jich paty přísluší parametrům cpr, pro něž veličiny uv = eifp hoví rovnicím
02 = 04 = — 1-

2 v it

Body příslušné témuž if> = 3 (p mod. 2 tc, t. j. body <p -\ - - —

ó

(v = 0, 1, 2), leží na téže rovině, která se dotýká kužele (F, c) podél
přímky V m; je to společná rovina normální 9^ našich bodů, které zna¬
menejme M, Mj, M2. Tyto body leží na kruhu poloměru a a středu V,

v němž rovina 9Č seče kouli, na které se čára T nachází. Bod V je tedy

středem kruhu opsaného o trojúhelník M M± M2.

Z rovnic pro souřadnice bodu M (počátek V)
x = 2 c cos 2 (p — c cos 4 cp
y = 2 c sin 2 cp — c sin 4 (p
z = — c V"8 cos (p

vychází však

X + x1 + *2 = 0, . . .

takže V je těžiště trojúhelníka našeho. Tento je tedy rovnostranný.

,,Na sférické šroubovici a = 3 c tvoří body cp, cp + 120°, cp — 240°
rovnostranný trojúhelník vepsaný kruhu poloměru a ; střed trojúhelníka
je bod F, jeho rovina je tečnou rovinou kužele (F, c) a společnou nor¬
mální rovinou ve vrcholech; hlavní normály v těchto bodech jsou
vespolek rovnoběžný/'

XXXIII.

49

Trojúhelník příslušný k úhlu cp + ^ rná s tímto společný půdorys
a hlavní normály čáry F v jeho vrcholech jsou s předešlými rovnoběžný;
roviny obou trojúhelníků protínají se v přímce V H rovnoběžné s tečnami
základního kruhu (c) v bodech m a m' , příslušných k úhlům xp — 3 (p
a ip' = 3 ((p + n).

Znamenejme M' bod čáry T příslušný k úhlu cp' = cp -f

2 7t

~3~

, bod M

příslušný k úhlu cp; v rovině normální jim společné, která se dotýká kužele
základního podél přímky m V, máme kruh m M M' se středem V ; volme
v ní osy souřadnic pravoúhlých V m = V V H = V rj, poslední tak,

7t

aby úhel m V H = — byl měřen ve směru kladných cp. V této rovině
A

přímka M M' je kolmá na směr cp + 60° a má rovnici

í cos (v + y) + n sin (<f> + y) = Y = ’

poněvadž vzdálenost její je vzdálenost strany vepsaného trojúhelníka od
středu kruhu. Přímka M M' je strana tohoto trojúhelníka a její průsek H
s přímkou V H (g = 0) jest její průsek s příslušnou stranou druhého troj¬
úhelníka rovnostranného v rovině určené stranou kužele m' V. Poloha
bodu H tedy je určena vzdáleností

V H

3 c

2 sin (cp + 60°) '

mimo to má vektor V H směr xp
bodu H jsou

(♦-í)

x = V H . cos xP— 4-) =

3 cp

3c

2

tedy souřadnice

sin 3 cp

sin

y = VH. sin (^ — y) = —

3 c

9,

(*+í)

cos 3 cp

(*+f)

sm

geometrické místo bodu H je tedy zvláštní čára t. zv. klasová (épis,
Áhrenkurve) *) v rovině V xy

3 c 6*°*

x + i y — — — i - , co = 3 cp + 7t .

smT

Tuto čáru tedy vyplní průseky stran pravidelných trojúhelníků
jichž roviny se dotýkají základního kužele v stranách diametrálně proti¬
lehlých.

*) Teixeira, II. díl, str. 237; H. Wielcitner, Spez. ebene Kurven, str. 12
R o z P r a v y: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 33. 4

XXXIII.

50

Pro střed strany M M' rovnostranného trojúhelníka nalezneme
v souřadnicích s počátkem V

x + iy = —±-(2e2i’’ — eiiů),
Z

2 = — V 8cos », .

ů o

. / 2 7t 4íř\

Středy stran rovnost ranných trojúhelníku l y, y J - — , y H - J

naplňují tedy sférickou šroubovici podobnou, s týmž základním kuželem,
a polovičních rozměrů, při čemž základní úvratník leží na opačné straně
roviny O y z.

*

11. Rovnice oskulační roviny

X cos ty + Y sin il> — íg 7 (Z — z) = c cos y
v případě a = 2 c a pro počátek V se zjednoduší na
(!) X cos 2 y + Y sin 2 y — Z V 3 = 4 c cos y ;

v komplexním parametru

t = ei(r

tato rovnice nabývá tvaru

(1*) (X — iY)tl- — 2 Z Vš> — 4 c(P + t) + (X + iY)= 0.

Při stálém X Y Z podává tato rovnice jakožto své kořeny parametry
bodů tx t2 4 4, jichž oskulační roviny procházejí daným bodem. Jest tedy
sf. šroubovice f 30° spádu čarou 4. třídy.

Parametry dotykových bodů oskulačních rovin procházejících týmž
bodem hoví tedy rovnici

(2) fi = f.»

která plně charakterisuje tuto vlastnost; a sice oskulační roviny čtyř
bodů, pro něž symetrické úkony parametrů tv — ei(Pv hoví rovnici (2),
protínají se v bodě (počátek souřadnic V):

(21)

(22)

x = 2c 1 , y = 2 c -kjT-L , 2 =

2 c fs

*fi

4 c

x — i y

= — 2 V,3

— Z

x — i y

» 14

V 3 fi '
x + i y
x — i y

Ustanovme společnou sečnu hlavních normál v bodech této čtveřiny ;
připojme ještě dva body t5 a tG> a zavedme symetrické úkony $ v šesti
veličin 4 . . . tG. Bude nám třeba zvoliti t5) tQ tak, aby platily rovnice (3)
článku 9:

(a)

& = o, g4 - g6 = g. - 1.

XXXIII.

51

Při označení gt = u5 + 82 ~usui máme pak identicky

Ss = Í3 + Í2 01 + fl 02> Sa = Í2 + fl 01 + 02>

&4 = Í4 + fs Gl + f2 02’ Se = U 02*
a rovnice (a), ve spojení s podmínkou (2) dávají

J I2 01 + fl 02 = fi

l (?4 — fa + 1 ) (02 — 1) = O-

Druhé rovnici vyhovíme hodnotou g2 = 1» takže máme

2fx

(0

načež

02 = 1. 01

= f. + Íi9i = ft* N2fl*

Si — fi + 0i —

fi (f* — 2)

S5 ~ Í4 01 + fs 02 — fl

2f,

f,

Se = f4 .

a podle rovnic (5) či. 9 znějí rovnice společné sečny hlavních normál naší
čtveřiny

2 Se - , „ Ss

(?)

X + iY =
X — i Y =

V 3 S2-I
2 1

Z + c

Z + c

S2-I '

Si .
S2-1 '

V3 ! S2-I

po dosazení hodnot máme tedy

-yV f*f4^ + cfi (f 2 2 f4)

Z + i Y =

X —i Y =

f 22 — 2 f!2

~yfz Í2 Z "i" c fi (fa

; 2 _ 9 f 2

lvi - ^ fl

Podle našich, hodnot (22) — v nichž xy z je průsečný bod oskulačních

rovin — bude
1

V3

(f4 + 1) = - n;

4: Z X

(x — i y)2 ’ y 3

— fa (f4 — 1) =

4 z y i

( x — i y)‘‘

fa (1 - fi) = -
fa (fa — fi — 1) = —

8 c i y

(x — i y)2 *

8 c (x + z V3)
(x — i y)2
3 z2 — 2 a2

(: x — iy )2 ’

XXXIII.

4*

a tedy vyjde pro rovnice společné sečny hlavních normál tvar

j (3 22 — 2 é) X + X z Z + 2 c2 (x + z VŠ ) = 0 ,

\ (3 z2 — 2 a2) Y + yzZ+ 2c2y = 0.

Tyto rovnice v běžných souřadnicích X, Y, Z udávají přímka, která
protíná hlavní normály čáry F sestrojené ve čtyřech bodech, jichž roviny
oskulační procházejí bodem x, y , z.

Identifikujíce tyto rovnice s rovnicemi přímky
(4) X = mZ-\-pyY = nZ-\-q ,

obdržíme 4 rovnice o třech neznámých x, y. z; jich vyloučením vychází
pak vztah

(4* ) (3 c2 n2 — 2 q2) (p n — q m) + V 3 c2 n2 q = 0

jakožto podmínka, aby mezi šesti hlavními normálami protínajícími
přímku (4) byly čtyři, jichž paty mají oskulační roviny o společném
průseku.

,, Rovnice (4*) charakterisuje komplex přímek stupně třetího,
které se jeví jako společné sečny hlavních normál čáry ť (a = 2 c)
vedených ve Čtveřinách bodů, jichž oskulační roviny procházejí spo¬
lečným bodem/ ■

Souřadnice x0 y0 z0. xx yx z± dvou bodů na přímce komplexu toho-
hoví rovnici v podstatě shodné s (4*)

[3 c2 (y, — y0)2 — 2 (y0 zt — y, 20)2] (x0 ys — x1 y#) +

+ ^3 c2 (Ví — Vo? CVo h — Ví *o) = 0 •

Podržíme-li bod x0 y0 z0 jako stálý, probíhají přímky komplexu tímta
bodem vedené racionální kužel 3. stupně; pro body na rovině y0 = O
rozpadá se kužel tento ve tři roviny, z nichž jedna jest rovina O x z.
Vraťme se ještě k rovnici ((}) ; je třeba ještě vyšetřiti druhý případ, kdy

W Í4-f2+l=0.

Tu zůstává g2 libovolné a rovnice (/3) se redukují na jednu

(<H fž 9i + fi 02 — — fi-

Z rovnic (21) plyne pro tyto Čtveřiny (f2 = f4 + 1)

1

x = 0,

V 3

t. j. uvažovaný případ nastane pro body na rovině oskulační bodů <p == —
3 n

— , která protíná plochu tečen v ellipse. Rovnice čtveřiny zní

+ O + 1) == o.

XXXIII

53

71 2> 7t

a má dva kořeny stálé t2 + 1 = 0, t. j. gp =' — , — — ; oskulacní roviny

A A

těchto bodů splývají, zbývající dvě roviny příslušejí k parametrům z rovnice

t2 - fl i ■+ f2 - * 1 =0.

Dvojice parametrů t 2 — 9i t + 92 = 0 doplňuje tyto poslední ve
čtveřinu, jež vzniká ze sečen plochy hl. normál, protínajících přímku
dvojnou V y; podle (4) či. 9 vyjde vztah

(fi + 9i) + [02 fi + 9i (fa — !)] = °»
jenž přirozeně se kryje s podmínkou (ď).

*

V čl. 9 jsme zjistili, že přímky rovnoběžné s osou O z protínají plochu
hlavních normál ve čtyřech bodech, ležících na normálách čtveřiny char-
akterisované vztahy 4 = f. = 0; společná sečna prochází bodem

f 4 +

2f

V o = c

Í4-1
2 * fi

Pro tyto body je splněna tedy podmínka (2) čl. 11, takže oskulaČní
roviny v patních bodech těchto normál se protínají v jednom bodě; ježto
f2 = 0, podávají rovnice (21) pro tento bod

x = 4 x0> y = 4 y0, z = 0,

,,Vedeme-li tedy ve čtyřech bodech Čáry r (a = 2 c), jichž hlavní
normály mají společnou sečnu na sobě kolmou, roviny oskulační, pro¬
tínají se tyto v bodě P roviny střední V xyy průvodič V P protíná sečnu
společnou a jest jí štěpen v poměru 1 : 3."

Problém stanovení průseků plochy normál s přímkou směru O z
(x = x0, y = y0) je v podstatě planimetrický a spočívá v sestrojení čtyř
normál z daného bodu k Huygensově nefroidě. Poněvadž evoluta této Čáry
je rovněž nefroida, běží tedy o tečny nefroidy z daného bodu, a nefroida
je čára 4. třídy.

Známe-li dvě normály nefroidy 7"i z daného bodu, budte parametry
jich pat 4, 4, kterým přiřaďme body na základním kruhu ( c ) v rovině
O x y ; zbývající dvě normály odpovídají bodům tvt2, téhož kruhu, a rovnice
fi = Í3> f2 = 0 je určují jako společný pár dvou involucí:

Rovnice f2 = 0 dává

I. 4 12 + (4 + 4) (4 + 4) + 4 4 ~

kdežto rovnici f-, = f3 lze psáti

I 4 4 1 i 4 4 i __ q

4 + 4 4 + 4

XXXIII.

54

Pohodlně se strojí páry involuce II.; tětivy základního kruhu (c),
přímky tx t2 a t3 t4 protínají osu 0 y v bodech symetricky položených vůči
středu kruhu.

Pro involuci I. známe pár tx + 4 = 0, jenž leží na symetrále bodů
ts a t4. Druhý pár téže involuce sestrojíme, podrobujíce jej podmínce:
tx 4 = — 1 ; jeho prvky jsou kořeny rovnice

^ _ __ 1 t3tA

~ t 4 + 4 ’

pro t = ei v tedy vychází takto

sin cp —

1 4 ^4

2 i (4 + i 4}

čímž snadno sestrojíme přímku || O x obsahující příslušný pár involuce I.

Přímka spojující středy obou involuci protíná kruh ve dvou bodech,
jež určují parametry cp pro paty zbývajících dvou normál.

Ostatně obdržíme pro střed involuce I. přímo jeho souřadnice ve

tvaru

c 1 +44 c 1 — 4

šTT+ir-

Vedeme přímku spojující protějšky bodů t3t4 (t. j. body cpz + n,

c2

9 4+ ?r kruhu (c)) ; její pól pro kruh x2 + y2 = je střed involuce I.

Z

*

Vyjádříme ještě podmínky, aby skupina bodů čáry naší ležela na
rovině. Rovnici roviny pišme ve tvaru

A (x + i y) + B (x — i y) + C z + D = 0,
v souřadnicích s počátkem V. Na sférické šroubovici a = 2 c jest při t = e{ v

X + * y = y (3 t — t3), x — i y = — (y — -t) ,

a obdržíme pro parametry průseků rovnici stupně 6.

A t6 — (3 A — C V3} tl — (3 B — C YW) t2 — 2 — í3 + B = 0 ;

c

symetrické funkce kořenů hoví tedy podmínkám
(5) f, = 0, f5=0, f2 — f4= 3 (fe — 1).

Tyto tři rovnice vyjadřují okolnost, že 6 bodů čáry Tleží na společné
rovině. Jsou-li známy veškery základní úkony fr, můžeme psáti rovnici
roviny obsahující tyto body takto:

(5a) (1 + f6) x + i (1 — f6) y H - z — “2^ =

XXXIII.

55

Uvažujme nyní čtveřinu bodů, jichž parametry jsou dány rovnic

t* — 01 P + 02 P — 03 * + 04 =
a hledejme podmínku, aby tyto body ležely na rovině.

Zbývající dva průseky s rovinou u5u6 určují výrazy

\ í)2 = us

načež rovnice (5) znějí

0i + í) i = 04 í)i + 03 íh —

3 + 02 — 04 + (0i — 03) í)i + (1 — 02 — 3 g4) f)2 = 0.

Vyloučením í)v í)2 nacházíme odtud

(6) 3 + 02 04 + (03 0i) 0i + (1 02 3 g4) ^ — 0

03

jakožto podmínku, aby čtyři body čáry ležely na téže rovině.

Předpokládejme zvláště gx = g3, t. j. že oskulační roviny naší čtveřiny
se protínají v témž bodě; rovnice (6) se zjednoduší na

3 + 02 — (0> + 3 g4) g4 = 0.

Dosadíme-li sem hodnoty (22)

02 —

x + i y
x — i y

kde xy z je průsečný bod rovin oskulačních, obdržíme

y (z — x V 3) = 0.

Body v prostoru, z nichž vycházejí oskulační roviny čáry r (a = 2 c)
dotýkající se Čáry ve čtyřech bodech na společné rovině, náležejí dvěma
rovinám:

I. y = 0,

II. z = x V 3.

Dotyková čtveřina v prvním případě (y = 0) je charakterisována
rovnicemi gx = g3, g4 = 1,* případ druhý odpovídá podmínkám

0i — 03> 3 + g2 + 3 g4 = 0.

V obou případech jsou hořejší veličiny í)v f)2

íh = 0i> + = 04>

tedy

Í2 = 02 012 + 04> ?3 ; 03 01 02 + 01 04> fr, = 04~>

tudíž lišíce oba případy:

I. Oskulační roviny procházející bodem (x, 0, z) dotýkají se čáry f
ve čtyřech bodech, jež leží na rovině

(7) x2X + (2 x2 — x z Yš— 8 c*) -y~ + 2 c2(x + zYŽ) = 0,
při čemž počátkem souřadnic je stále bod V.

XXXIII.

Otáčí-li se rovina kolem přímky rovnoběžné s osou O y , opisuj e
přiřaděný bod kuželosečku v rovině O x z. Opisuj e-li tento bod přímku
v rovině O x z, obaluje přiřaděná mu rovina rovněž kuželosečku.

II. V druhém případě máme hodnoty

fe = 042> Í3 = 4 0! (1 + g4), 3 + ?2 — ~ : (2 04 + Gl2)>

a rovnice roviny (5a) po dosazení hodnot (22) bude

(8) (x2 — y2) X + 2 x y Y — (x2 + y2 + 8 c2) _j_ 8 c2 x = 0 ;

v 3

je to rovina obsahující čtyři body cáry F, jejichž oskulacní roviny se
protínají v bodě x, y, z na rovině z = Y 3 x.

Ve zvláštním případě y = 0 splývá tato rovnice s (7) pro z = xV 3 ;
a sice soudíme z rovnice té

1 Q r2

z + 8 c2 x = 0,

V 3

že

„oskulacní roviny vycházející z bodů přímky y = 0, z = xY 3 do¬
týkají se cáry F v bodech ležících na tečné rovině hyperbolického válce

Z2 — X Z YŠ = 6 c2.

Čtveřiny dotykových bodů těchto hoví podmínkám

9l = 03> 04 = h 02 =~ ~

takže tvoří involuci o jednom stupni volnosti.

Oskulacní roviny vycházející z bodů nárysny y = 0 dají se lehce
konstruktivně stanoviti, poněvadž příslušná rovnice je reciproká:

č4 + 1 + 02 — 0i (^ + ^3) > t = e*T ;

ostatně tu (1) dává při Y = 0 přímo rovnici 2. stupně pro cos cp.

*

Předpokládejme, že z šesti průseků křivky F s rovinou tři body
splynou (té = t5 = tb) ; zbývají pak 3 další body tv t2, tz, symetrické úkony
budte značeny í), společná hodnota splývajících kořenů bud t0. Máme pak
z prvních dvou rovnic (5)

í)i = 3 t0, 3 ř)3 — f}2 10>

třetí z nich pak dá po dosazení těchto hodnot vztah

3 — 6 t2 + 3 t0* + í)2 (1 — 2 t2 + V) = 0,
t. j. íj2 + 3 = 0. Tudíž jest f)3 = t0.

Kubická rovnice pro zbývající tři průseky čáry F s rovinou oskulacní
bodu t0 zní dle toho

F + 3 t0 t2 — 3 t — t0 = 0.

XXXIII.

57

Připoj íme-li k těmto třem bodům jako čtvrtý bod tQ = 1 4, bude
čtveřina t2 13 ti zahrnovati různé průseky čáry s rovinou oskulační a
symetrické funkce prvků budou

Qi — ^1 i" — ^ to> 03 — í>3 "f" fb ^ t0,

takže jest g4 = g3; oskulační roviny všech čtyř bodů procházejí jedním
bodem, t. j.

„Oskulační rovina & libovolného bodu sférické šroubovice 30°
spádu protíná čáru v dalších třech bodech; jich oskulační roviny pro¬
tínají se v určitém bodě roviny Sl.

Symetrické úkony parametrů Čtveřiny znějí

0i — 2 t0, g2 — 3 (1 — t02), g4 — t02 ,

píšeme t za t0 a užijeme rovnic (21)]

x = — 2 c

t 2 + 1
2 t

y — 2

t2 — i
2 it

— 2V3 c

1 +*2

2í

čili po zavedení úhlu qp [t — ci(f)

x = — 2 c cos qp, y = — 2 c sin qp, £ = — 2 c V3 cos qp.

„Geometrické místo průseku oskulační roviny Čáry f (a = 2 c)
s oskulačními rovinami jejích zbývajících tří bodů na čáře jest ellipsa

x2 + y2 = čř2, 2 = % V3.“

Pro průsečíky oskulační roviny bodu t0 s čarou nalezli jsme

^1 “i- G d~ ^3 = ^ ^1 ^2 d ^3 ^2 G = ^1 ^2 G = G*

Reálným bodům odpovídá paramétr t unimodulární ; poněvadž součet
komplexních veličin má modul menší než součet modulů sčítanců, nemohou
veličiny tv vesměs míti modul 1, a tedy

„ze tří průseků roviny oskulační s křivkou r vždy dva jsou pomyslné' ‘ •

*

Rovnici naši

3 t — ts 3 t0 t2 — 10

uveďme ve spojení s rovnicí pro půdorys čáry

obdržíme1

= — t 3), t — eicP \

c 3 c

x + iy = — y ^ + ~2~ to t2’

odtud plyne, že body nefroidy příslušné k parametrům tx t2 13, t. j. půdo-

XXXIII.

58

rySy průseků čáry T s oskulační rovinou bodu t0 leží na kruhu

poloměru ^ C , se středem
Z

(9); * + iy = -|í0 = -' Yel'P°'

Body 4 4 4 leží na oskulacním kruhu bodu t0 ; ten se promítá do
základní roviny v ellipsu, jejíž střed je půdorys S± středu křivosti, a jejíž
jeden vrchol je půdorys bodu t0 ; rovina oskulační Sl svírá se základní

rovinou stálý úhel 30°, a tedy polouosy ellipsy jsou v poměru 1 : -^^3.

Jeden z reálných průseků kruhu (9) posledně uvažovaného a ellipsy
leží mimo půdorys Čáry r, druhý podává půdorys reálného průseku roviny &
s čarou r. Zbývající dva pomyslné průseky kruhu a ellipsy jsou půdorysy
pomyslných průseků roviny Sl s čarou F.

*

Průsečnice dvou rovin oskulačních nazývá se osa křivky. Aby se
dvě osy ( tv 4), (4, 4) protínaly, k tomu třeba, aby oskulační roviny bodů
4 4 4 4 procházely týmž bodem, tedy podmínka analytická zní = g3-
Tu lze psáti

(10)

U ' 1 . to ti 1

h + tT + X +V

a možno ji geometricky interpret ováti pomocí bodů cpv na kruhu (c) pří¬
slušných k parametrům tv (= e* vv) • Přímky^ fjp2 a (p3 protínají osu Oy
v bodech souměrných vůči O.

Osy (4 . 4), které protínají pevnou osu a které tedy hoví rovnici
(co — konsť)

(101)

4 4-1
4 + 4

= i sin co

čili

sin

cos

<Pl + g>2

2

yi —

2

srn o,

tvoří plochu 2. stupně; mezi nimi jsou dvě tečny čáry T. a sice v bodech
(p = co a cp = 7t — co.

Aby se tečny v bodech t a n protínaly, máme dle (10) [pro t± — L — t,

4 = 4 = «]

(^2 — 1) u + (u2 — 1) t = 0 čiii (t u — 1) (t + u) — 0.
t. j danou tečnu (ť) čáry F protínají tečny dvě; jich parametry jsou — t
a — , t. j. tečnu bodu cp protínají tečny bodů cp -j- % a — cp, a žádné jiné.

í

Tytéž tečny protínají také tečnu bodu n — cp. Tečny bodů (p a — (p se
protínají na nárysné hyperbole, tečny cp a cp -f- ut jsou vespolek rovnoběžný.

*

XXXIII.

59

Splynou-li hodnoty tx U t3, jeví se průsečík oskulačních rovin jako
jejich bod dotykový s čarou. Rovnice píšeme- li tx—t2 — — t,

t4 = t0, podává

3 t + t0 = P + 3 t2 10 ;

tato rovnice vyjadřuje, že daným bodem t prochází jen jedna oskulační
rovina, a sice jest její bod dotykový tQ . Pro dané t0 máme tu rovnici, jíž
hoví parametry tří průseků u čáry i1 s rovinou oskulační bodu t0.

Pro dané t strojíme tQ takto: Na kruhu (c) vedeme tečnu v bode t ;
ta protne Oy v bode <?; bod o' s ním symetrický spojíme s bodem t;
přímka o' t protíná kruh (c) v druhém bodě t0, jemuž na Čáře P odpovídá
hledaný bod.

*

12. Z rovnice roviny oskulační sférické šroubovice (a = 2 c)

x cos 2 cp + y sin 2 (p — zV 3 — 4 c cos (p

(počátek soustavy v bodě V) vychází hodnoty pro Plůckerovy souřadnice
roviny oskulační

(1)

u =

cos 2 (p
4 c cos (p ’

v =

sin 2 cp
4 c cos (p

w =

v 3

4 c cos cp

Rozvinutelná plocha tečen je charakterisována dvěma rovnicema,
jež vyjdou po eliminaci cp:

(2)

— w 2 — 0, W2
ó

wV3

8 c2

= 0.

Každá z nich representuje určitou Čáru 2. třídy, a sice přísluší první
rovnice ů běžné křivce plochy kuželové

(2a) v2 + y2 — 3 *2 = 0,

která je kužel doplňkový našeho základního kužele (polárního) (F, c).
Jeho stopa na O x y má poloměr 3 c.

Abychom určili druhou kuželosečku (2), znamenejme na okamžik

rovnici lze psáti

w2 — k

U == - T7=~ ’

wV 3

a po dosazení této hodnoty do rovnice roviny obalující bude tato zníti

(a) (w2 — k) x + v w V 3 y + ze^2 V 3 z + w V 3 = 0.

* Zde dlužno anulovati částečné derivace vůči w a v, t. j.

2 w x vVs y 2 wV 3 z V 8 = 0,

w V 3 y = 0.

XXXIII.

60

Druhá rovnice vyžaduje y — 0, načež se první redukuje na

2 w (x + zV 3) + Y 3 = 0,
kdežto rovnice (#) se zjednoduší na

w2 (x + z V 3) + w V 3 = k x ;

z posledních těchto dvou rovnic pak nám eliminace w podá

(2b) x (x + z V 3) + 2 c2 = 0, y = 0.

Druhá čára (2) je tedy hyperbola v rovině O x z. Je to dvojná čára
plochy tečen sf. šroubovice r (a — 2 c) ; střed hyperboly je bod V, její

vrchol jest A, polouosy jsou a a

V3

jedna asymptota jest osa V z,

dr uhá asymptota je stopa oskulační roviny bodu <p = — ; na hyperbole

mimo to leží bod x — 2 c na O x.

Oskulační roviny čáry T zahalují nekonečně mnoho ploch druhé
třídy; jich rovnice mají tvar

u2 + v2 - i- w2 + l (w2 — u w V 3 — k) — 0, (^k = ^2 ) >

kde A je libovolná stálá. Diskriminant této rovnice

1 0 — |V3- 0

0 10 o

0 ~T + Íí 0

0 0 0 — A k

vymizí mimo pro A = 0 ještě jen pro A = . Tím obdržíme třetí kuželo-

O

sečku na ploše tečen

(3) u2 + v2 + w2 - |~y3 nw - == 0 >

čili

Abychom obdrželi rovnice v souřadnicích bodových, dlužno připojit i
rovnici

a) ux-\-vy-\-wz-{-l = 0

a rovnice o differenciálech

XXXIII.

61

( w \ ( , dw\

(u-yf) (du-—)+vdv = o.

v 3

Po eliminaci d v musí tyto dvě rovnice býti identické vůči literám
d u, d w, t. j.

v z

vx-y(u-y j) = 0,

Vš + y(«— ýL) = °*

což dává podmínku
a dále

u

x + zV 3 = 0,

1

(b)

v 3

= Z0

v

a .

x y

Rovnice (a) užitím prvního vztahu nabývá tvaru

x (u

w

y 3

) +Vy- 1-1 = 0

z něhož po dosazení hodnot (b) vychází

a (x2 + y2) -f- 1 = 0 ,

kdežto rovnice (3*) dává

a2 (x2 + y2) = .

Oly*

Eliminací a vychází konečně vztah

x2 + y2 = a2.

Oskulační roviny čáry T jsou tedy ještě tečnami ellipsy (počátek V)
(3a) x2 + y2 — a2, x + z V 3 = 0 ,

která pak leží na její ploše tečen. Parametrické vyjádření této čáry

(3b)

x = a cos cp , y — a siny , z =

y 3

COS Cp

bylo již výše nalezeno. Rovina této kuželosečky je dvojná rovina osku¬

lační (p =

it

2 ’ 2

„Rovina oskulační obsahuje bod cp této ellipsy (3b) a její tečnu/*

Dále je oskulační rovina rovnoběžná s tečnou rovinou kužele (2a) ve¬
denou podél přímky

- = 'z Vš ;

cos 2 cp sin 2 cp

XXXIII.

což ostatně je jen jiný tvar známé nám věty, že přímka V m jest osou
křivosti cáry r.

Stopy tečny ellipsy na válci (a) se bezprostředně určí a tak nám
předešlá věta dává jednoduchou konstrukci stop roviny oskulační.

Z rovnic tečny vychází [(18) Čl. 6.] parametrické vyjádření nárysné
hyperboly

c c 2 4- cos 2 w

% — _ z = _ - _ _ _ - _

cos cp ' V 3" cos cp

Z rovnic těch je zřejmo, že část hyperboly příslušná k intervallu
— c < x < c je hluchá (parasite), t. j. není tvořena stopami tečen reálných.

*

Na základě parametrického vyjádření plochy tečen

(4)

x — a cos cp + ~ Y 3 cos 2 cp
Z

y = a sin cp + — V 3 sin 2 cp
Z

z = - cos cp + — , (počátek V) ,

určíme ještě průseky její s přímkou

x = m z + p, y — n z + <7-

Vložíme do těchto rovnic hodnoty (4) a vyloučíme A; rovnici tak

vzniklou

a m

a cos cp + ~r7=r cos cp — p, Vs cos 2 cp — m

V o

a n

a sin cp -j- " cos cp — q, V 3 sin 2 cp — n

V fj

= 0

lze psáti

a n cos 3 cp — ani sin 3 cp — 2 Y% q cos 2 qp + 2 Y 3 p sin 2 cp —
— a (3 m + 2 Y 3) sin cp + 3 a n cos cp — 2 (p n — q ní) = 0 .
Po zavedení parametru t = cÍ(p přejde tato podmínka na tvar

(6)

a (n + i m) — 2 Y 3 (q + i p) tb + a (3 n + 3 i m + 2 i V 3) Z4

— 4 (p n — q m) ts + a (3 n — 3 i m — 2 i Y 3 ) t2

— 2 V 3 (q — i p) t + a [n — i ni) — 0 .

Pro symetrické úkony kořenů f„ odtud vychází nej prvé
(n + i ni) f2 = 3 [n -\- i ni) 2 i V3

(n + i ni) f4 = 3 (n — i m) — 2 i Yš

(n + i m) f6 = n — i m }

XXXIII.

63

takže vyjde

(5a)

?2 + fá — 3 f6 + 3,

f«— 3 =

2 i V 3

Dále nám identita

q + i p n + i m
q — i p n — i m

podá vztah

(5b) fx f 6 — f « “ -

1

2

= 2 i (p n — q ni)

f. (f.-3) •

Podmínky (5a) (5b) charakterisují šestičlenné skupiny tečen čáry r
mající společnou sečnu.

Zvolíme-li čtyři tečny, existují dvě přímky je protínající; zbývající
dva průseky sečny s plochou tečen určují symetrické úkony í)x — - t5 + t6,
í)2 = t5 ta, a dosazením výrazů fy = + í)v f2 = g2 + Qi *)i + • • •

(g,, jsou symetrické úkony čtveřiny dané) obdržíme z (5a) a (5b) dvě rovnice
pro neznámé í)v í)2, z nichž jedna je stupně druhého, a které tedy mají
dvě řešení, příslušná ke dvěma společným sečnám dané Čtveřiny tečen.
Ve zvláštním případě, kdy přímka sekoucí je rovnoběžná s O z, máme
m = n = 0, a rovnice (5) přejde v rovnici stupně 4.; souměrné úkony
parametrů t hoví podmínkám g2 -f- g3 = 0, g2 = 0.

V

rovnicích (4) pišme za

2

V3 •

x — a cos (p + p cos 2 (p, y — a sin cp + [i sin 2 (p
z V 3 = [i — a cos (p .

Z prvních dvou plyne

x2 Jr y2 = a2 + + 2 a pc cos cp ,

tedy s použitím třetí rovnice

*2 + ý* = a* + p2 +2 (ifa — z VI) ,

z x2 + y2 — a2

t. ].

W

Rovnice

dává

(fl

dle (a) však

a tedy (/3) zní

3

x — a cos cp + 2 n cos2 cp — p

x =

2/i

(p — z V3)2 =

(p—z V"3)2 - Z V3;

X2 . y2 _f_ 9 z2 - a2 4

V3

XXXIII.

64

x + z V 3 =

a2 V 3

s použitím rovnice (a) to zní

8 [a2 z o'2 + y2 9 z2 — a 2

Z LI -

3 *2

( y ) 2 (x2 + y2 + z2 — a2) = 3 a2 x H — — — (8 x2 + 8 y2 + tf2) .

V o

Položme

s8 + y2 + *2 — a2 = S ,

(*2 + y2 + 2 c2) z y 3 - ^=- + 6 c2 x = P ,

i podá nám rovnice (y)
tu pak výraz

'('-4Ť)M4"s7r)('-sŤr)

má dle (a) hodnotu

#2 + y2 — a2

S2 ,

a jeho srovnání s pravou stranou dává rovnici plochy tečen ve tvaru*)
(6) P* = i- S3 (počátek V) ;

O

při tom S = 0, P — 0 jsou rovnice Ů vrátnice i".

Plocha P = 0 je geometrické místo kruhů v rovinách z = konst, které
protínají přímku z + x V 3 — 0, y =■ 0, a mají své středy na hyperbole
x z — — c2 V 3, y = 0. Na této ploše leží mimo to přímka V y ; roviny
v edené nárvsnou přímkou ji sekou v hyperbolách.

Povrchové kruhy přejdou v nullové v bodech A, A' (<jp = n)

X — ±_c, z = cV o,

jež leží na hyperbole středů a na přímce v nárysu.

Průseč plochy tečen s libovolnou plochou 2. stupně, která se dotýká
základní koule (a) podél kruhu, rozpadá se ve dvě čáry stupně šestého,
ležící na dvou různých plochách stupně třetího. Neboť rovnice uvažované
plochy 2. stupně má tvař S = L2, kde L je výraz iineární, a průseč této
plochy s plochou (6) hoví jedné z rovnic

*

*) A. Buffone, 1. c.

XXXIII.

65

Plochy 2. třídy naší ploše tečen vepsané

n2 + v2 - i- w2 + A ( w 2 — u u V3 — k) = 0 k = ^ ^

o o C /

mají společný střed v bodě F a rovinu V x z za rovinu hlavní.
Pól příslušný k rovině (uqV0w0) má rovnici

1 , , ( u u n + w un 7 \

+ + - - - y3 — hj =

a tedy u tečné roviny w0 ?;0 w0 je dotykový bod

*0 ~TÝW°

x = - n - ’y = ~Tx’

(y~1)w° + tÝu°

Ti

vložíme-li sem hodnoty (1) za u0, v0 ,

3

2c YX + C°s2(p
X 3 A ros cp

w0, obdržíme

2 c sin 2 cp

3 A cos <p ’

2 =

2 c 3

-4 - A

¥

cos 2 cp

A cos cp

jakožto parametrické vyjádření dotykové čáry plochy tečen sf. šroubovice
s vepsanou plochou 2. třídy.

2

Výrazy budou o něco přehlednější při A = —

O

(7°)

^ + cos 2 op sřw 2 cp

x — c — - , y — c - ,

COS cp H cos cp

c 1 — 2 cos 2 cp

V 3 [i cos cp

vepsaná plocha má rovnici

o , o , 2 /X - 1 „ 2 fí ^ A

(/) I/2 + V2 + ~7> - w2 - 7 =r W - T~a~ = 0.

3 V 3 4 c2

Dotyková čára (7°) je racionální, 4. stupně, její nárys je hyperbola.
V souřadnicích bodových má tato plocha rovnici

(7*) (2 n— 1) iix2 — ti{n — \)2y2 + 3 ^iz2 + 2 pčxz YŠ + ((i — l)2a2 = 0,

takže vepsané plochy 2. stupně tvoří řadu stupně třetího.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 33 .

XXXIII

5

66

Pro čáru dotykovou (7°) nalezneme hravě rovnici hyperbolického
válce, kterým se promítá do nárysny*

(x + z V3 ) (fi x z V3) = --- 2 c2.

Tálo čára 4. stupně se Čítá při stanovení průseče vepsané plochy (7*)
s plochou tečen jako křivka stupně 8., a musí ještě býti křivka stupně 4.
společná oběma plochám. Tato se skládá ze Čtyř tečen přislušných k para¬
metrům cp určeným rovnicí

jak bezprostředně vychází z rovnic (4) a (7*).

Na vepsané ploše (7*) druhého stupně tvoří tečny (p a n — (p dvě
přímky povrchové jedné soustavy, tečny — cp a cp -j- n pak dvě přímky
soustavy druhé. Při tom jsou přímky druhého páru s přímkami prvními
rovnoběžný (<jp a cp -\- n, n — <p a — cp), a vzaty v jiném pořádku je pro¬
tínají (cp a — cp, cp + n a » — <p) ve dvou bodech nárysné hyperboly.

Rovina určená rovnoběžnýma tečnama cp a cp + n má rovnici (po¬
čátek V)

č8) x (3 sin cp + sin 3 cp) — y (3 cos cp + cos 3 cp) + 2 z V 3 sin cp = 0

a prochází tedy středem V; je to rovina určená středem V a tečnou (p
áry r. Rovina ta při proměnném cp obaluje kužel, kterým se čára T pro¬
mítá ze středu V, a který jsme výše (Či. 7.) určili.

Tečny cp a — cp protínají se v nárysně, rovina jimi určená je kolmá
na Oxz a ]ejí rovnice splývá s rovnicí nárysu tečny:

9) x — z V 3 cos 2 cp = 3 c cos cp + c cos 3 cp.

Plochy 2. stupně procházející uvažovanými přímkami tvoří svazek,
v němž jedna plocha se rozpadá ve dvě roviny (8) (pro cp a — cp), jiná
sestává ze dvou rovin (9) (pro cp a cp + n), t. j. svazek ploch uvažovaný
má rovnici

(3 x sin cp -f x sin 3 cp + 2 2 V 3 sin cp)2 — y2 (3 cos cp -J- cos 3 cp)2
^ ^ — v [(x — z V 3 cos 2 cp)2 — c2 (3 cos cv + cos 3 cp)2] = 0 ;

mezi těmito plochami, a sice pro u = - . \ , nachází se naše vepsán

sm2 cp

plocha (7*). Porovnáme poměry součinitelů při y2 se členem stálým:

(3 cos cp -f cos 3 cp)2

c2 v (3 cos cp rb cos 3 cp)2

((i — l)2

(P— !)2 a2

t. j. bude*)

4

= 4 sin 2 cp .

*) Přehlednější tvar této rovnice objeví se ve článku 13.

XXXIII.

Délka hlavní polouosy na Fy obnáší a sin cp ; dáno-li cp , známe tak
u vepsané plochy 2. stupně střed V, jeden vrchol (na Fy) a 4 přímky,
Čímž jest konstruktivně určena.

Hlavní řez plochy vepsané s rovinou Oxz je hyperbola, jejíž jedna
asymptota je ve stopě roviny ellipsy, t. j. x 3 = 0.

*

Oskulační rovina bodu A (cp = 0) má rovnici

x — z V.3 = 4 c = 2 a (počátek V) ;
její průseč s plochou tečen odpovídá na základě rovnic (4) paramétru

4-V3 = -2a-T1-C07

2 ’ 1 — cos 2 cp

pro souřadnice průmětu vypočteme

2 c — -2c cos2 cp

1 — cos cp
sin 2 cp

v = 2 c

1 — cos <p)
sm cp

Zavedeme-li paramétr reálný

obdržíme následující parametrické vyjádření průseče plochy tečen s osku¬
lační rovinou bodu A (t. j. pro její průmět)-

(10)

'x — 2 c

(1—t2)2 4 ct*

c i + fi ’ y ~ i + fi ■

Pro průsečíky této čáry s přímkou

A (x — 2 c) -f- £> y + C c = 0

nalezneme rovnici

— A (1 — 2 t2 + t*) + 4 B t* + C (1 + t2) = 0,
která stanoví jich parametry. Symetrické funkce parametrů hoví rovnicím

(11) f3 = 0, f4 — f 2 = 3,

které přímočaré čtveřiny naší křivky úplně charakterisují. Jinak vy¬
jádřeno, tyto čtveřiny tvoří na křivce involuci 4. stupně o dvojí volnosti

(*4+3)— M3 + f. (^2 + 1) = 0.

Tato má neutrální body dvojné tx = t2 — ±_i YŠ, kterým přísluší
úvratníky čáry

x — 10 c, y = Hh 6 i V3 c.

Podobně t = 0 (bod A) podává ú vratní bod čáry, což ostatně zřejmo
z rovnic

x — c = kx t2 + k2 1* + . . .

•y == 4. l2tb+ -

platných pro malá t.

XXXIII.

68

Tečna uvažovaného řezu je průseč jeho roviny s rovinou oskulační
x cos 2 (p y sin 2 (p — z V 3 = 4 c cos (p;
s použitím rovnice roviny

X — Z Vš = ic

obdržíme pro průmět tečny

(12) x (1 — cos 2 cp) — y sin 2 cp = 4 c (1 — cos cp) ,

cp

což při parametru t = tg -j- zni

(12a) 2 tx — (1 — t2) y = 2 c t (1 + f) ,

takže Čára je třetí třídy.

Tečny vedené z téhož bodu hoví rovnici

0i + 03 = 0 (9i = 4 + 4 + 4> 03 — 4 4 4) •

Dotykové body budou ležeti na přímce, lze-li určiti veličinu t tak,
aby pro Čtveřinu t1t2tzt platily rovnice (11), t. j.

(a) 03 + i 02 = 03 £ = 3 + 02 + 0! t\

vyloučením t vychází pro hledané skupiny podmínka

032 ~b 3 02 “b 022 0i 03 = ^ čili ^ cjj2 + 3 g2 ~b 022 = 0 •

Vložíme-li sem hodnoty z (12a) plynoucí

y c — x

01 = T7 ’ 02 = 1 ’

— kde (x, y) je průsečík tečen — obdržíme rovnici

(13) 2 (x — c)2 + y2 = 6 c (x — c) ,

která charakterisuje ellipsu, z jejíchž bodů vycházejí k Čáře (10) tečny do¬
týkající se čáry ve třech bodech na přímce.

Přímková čtveřina (f,,) určuje koefficienty v rovnici přímky vztahy
A\x = 4B9 A (2 + fJ = — C,
t. j. přímka má rovnici

(14) * + -j- fi y — (f* + 4) c = o .

V našem případě jest

fi = 0i "b 4 Í2 — 02 + 0i t >

a podmínky (a) vzhledem ke splněné podmínce 0i + 03 = 0 dávají
0i = 02 4 3 + g2 + 2 cjj t = 0 ,

XXXIII.

69

t. j.

— 3 —3 1

02 ~ 1 + 2 ’ 01 _ 1 + 2 12 ’

2 t3 — 2 t 3 (1 + P)

~ 1 + 2 ť2 ’ '2 ~ 1 + 2 í2 '

Dosazením hodnot těchto

_ 2 (/*-/) 4 = 1±5^

1 1 + 2 ť2 ’ 12 ^ 1 + 2 t2

do rovnice (14) nacházíme pro přímku obsahující tři dotykové body tečen
o společném průseku

(15) 2 x (1 + 2 t2) + y {t3 — t) = 2 c (1 + 5 t2) .

Přímka ta obaluje tedy rovněž čáru 3. třídy; je-li znám její čtvrtý

průsek t s křivkou, stanoví se přímka konstruktivně na základě očividné

okolnosti, že prochází bodem

_ 2 c w

x = 2 c, y = — - — = 2 c cotg -j- .

t 2

Pro parametry tří přímek (15) procházejících společným bodem
platí vztah

4 ~b 4 4 H- 4 4 1 — d .

Konstrukce přímek těch je snadno proveditelná a sice kvadratická,
leží-li bod bud na Čáře (10) aneb na přímce x = 2 c.

Rovnici tečny (12) možno psáti

w

x sm fp — y cos y = 2 c tg -j- ;

Z

pata kolmice spuštěné z bodu O na tuto přímku má polární souřadnice

(/; 7t

Q = 2 ctg ’ v = <p —

přeložíme -li polární osu do záporného směru osy O y, bude (pro pól O)
polární rovnice úpatnice průmětu uvažovaného řezu zníti

©

Q = Zctg — = a

COS &

sin ©

= <p-

Tato úpatnice je tedy přímá strofoida, kterou na základě po¬
sledního vzorce strojíme tak, že na libovolný paprsek svazku O naneseme
od jeho průseku K s přímkou x = a délku K P rovnou pořadnici bodu K.
Máme tedy výsledek tento*

,,OskulaČní rovina sférické šroub ovice r (a = 2 c) v bodě A
protíná její plochu tečen v racionální Čáře 4. stupně 3. třídy, jejíž
půdorys je protiúpatnice přímé strof oidy.

*

XXXIII.

70

Uvažujme nyní průseč plochy tečen s oskulační rovinou bodu <jp =
Průseč oskulačních rovin (9) a libovolné jiné (qp)

x cos 2 rp y sin 2 rp — 2 V3 = 4 c cos rp,
x cos 2 9 -J- y sin 2 0- — z V3 = 4 c cos 9
má půdorys daný rovnicí

<P +

(16)

# sin (rp + 9) — y cos (<tp -) - 9) = a

cos

rp — ft
~ 2~

kterážto přímka je tečnou půdorysu hledaného řezu. Uvažujme úpatnici
této Čáry z pólu O; její polární souřadnice mají hodnoty

<p + 9

Sm- T~ . . jr

(17)

y

= a

cos

- > 01 — (p + & — 0

(jp - iT 2

Položíme-li © ■= cj d- — , měníce osu, máme polární rovnici

Z

©

sm

COS

cos 9 — cos (© — 9)
sin (0 — 2 9)

dvojná rovina oskulační rp =

7t 3 n

~2 * ~2~

poskytne patrně dvojný bod

úpatnice; souřadnice dvojného bodu úpatnice budou

© = + 9, q = a.

Otočme nyní polární osu do polohy © — 2 9, kladouce nový polární
úhel = -ty 7= © — 2 9 ; bod dvojný má souřadnice

q = a, ty = — - 9,

rovnice cary zni
(17a)

Znamenejme 9' =

9 =

q = a

n

cos 9 — cos (ty + #)

sm ty

O1, rovnici (17a) lze pak psáti

Z

a cos 9 a sin (9' — ty)

sm ty

sin ty

Vedme vektor O B směru ty = — , délky O B — a cos 9, dále vektor

Z

O C = a směru ty = 9 takže B C stojí kolmo na O B.

XXXIII.

71

Přímka BC protíná libovolný paprsek ý=OK v bodě K\ v troj¬
úhelníku 0 C K máme strany 0 C = a, C K s protilehlými úhly ij> a IP — xjj,
takže

a sin (&' — ij>)

sm xJj

- = C K,

a cos

mimo to jest O K = — t - ; bod P úpatnice ležící na průvodici O K

st n i{j

tedy je stanoven rovnicí

OP = q = 0 K — C K,

což jest známá konstrukce strof oidy s řídící přímkou B C, hlavním bodem O
a dvojným bodem C.

Vůči původním osám O x, O y je poloha bodu dvojného
(C) Q = a, co =

přímka O B má polohu fó = 2 íř, rovnice řídící přímky B C je tedy
(18) x cos 2 O1 -f y sin 2 & = a cos & ;

řídící přímky těchto strof oid obalují nefroidu

(18£

x + i y = (3 + e2il*) eiů,

Z

shodnou s nefroidou Tv otočenou o 90°, která je tedy homothetická se
střední epicykloidou.

Promítneme tedy do O x y stopu oskulační roviny bodu cp = O'
(roviny řezu) na rovině střední V x y, a vedeme přímku, jež půlí průvodice
průmětu; tato přímka jest řídící přímkou strof oidy.

Tečny strofoidy ve dvojném bodě mají směr ^ =-77-, — — j- — ,

A A A

7C §■'

a ježto fi5 = ^ + 2íř - — má normála jedné z tečen směr co = & - — '

Z Z

rovnice tečny má tvar

x cos - + y sin - = konst ;

konstantu určíme z podmínky, aby přímka procházela bodem dvojným

x = a cos y = a sin fř ;
tak vyjde jako rovnice tečny v bodě dvojném
3

X cos

/ 3 fr n \ ./ 3 71 \ / tř % \

(“2 - t) + y stn (-2 - T) = a cos U - T )■

T^i J .. & 71

Kíademe-Ii — + — = a> můžeme tuto rovnici psati
# cos 3 a -f- y sin 3 a = — a sin a ;

XXXIII.

72

přímka ta je tečnou kardioidy

x . + i y — - (2 — e2ia) e2ia, 2 a = # + ,

o Z

kdežto druhá tečna ve dvojném bodě strof oidy obaluje kardioidu

x + i y = (2 — e2ia) e2ia, 2 a = & — .

o Z

Hlavní výsledek těchto úvah lze vysloviti větou:

,, Plocha tečen sférické šroubovice 30° spádu je proťata libo¬
volnou svojí tečnou rovinou v čáře 4. stupně a 3. třídy, která se do
základní roviny promítá v protiúpatnici strof oidy, vzaté z pólu 0.“

Základní prvky strof oidy byly v předcházejících řádcích podrobně
uvedeny.

*

13. Obraťme se nyní k osám šroubové čáry T (a = 2 c), t. j. piů-
seČnicím dvou rovin oskulačních; počátek souřadnic je veskrze V.
OskulaČní roviny cp a cp'

^ x cos 2 (p -f y sin 2 cp — zV 3 = 4 c cos (p ,

x cos 2 cp' -f y sin 2cp ' — z V 3 =4 4 c cos cp '
stanoví osu, jejíž průmět má rovnici

(1)

položíme

(2)

x sin (cp -j- cp') — y cos ((p + cp') = 2 c

sin

qp+ ¥

2

cos

. cp + cp'
sm - — ~~—

sm co

cos

cp — (p

načež rovnice průmětu osy (cp, cp ') zní

(1*) x sin (cp -f- cp') — y cos (cp-\- cp') = 2 c sin co.

Podmínka, aby se dvě osy (cpxcp^), (^3 9h) protínaly, zněla při ozna¬
čení uv = é Vv

U1U2 - 1 _|_ %W4 - 1

-j- ^2 ^3 + ^ 4

a ta se přepíše na

sin co + sin co' = 0 ;

sinCh+0K

sm co =

cos

^1 — ^2

XXXIII.

73

Z rovnic v tomto případě současně platných

x sin (gp-L + <p2) — y cos (cpx + tp2) = 2 c sin co,
x sin (cp3 + qp4) — y cos (cp3 + ^4) = — 2 c sin co

plyne sečtením

(«) * sin ^ - y cos ^ + *» + <El +_g«. = 0 .

Z 2

Rovnici

»» „yi + g._ sin _& + *.

+

= o

cos Vi-9* cos J^P£

lze psáti

sjn !£l + y-2 4-' - ^4 sin 9l + <P2 + <?4 - ^3

2 2

+ sm ?! + +jgtziy»_ + sm y» + y» + y4-yi = 0>

2 2

Při označení

2 a = <Pi + qp2 + <p3 + qp4

vyjadřuje se tedy podmínka, aby osy qp2) , (qp3 ^p4) náležely společné
rovině, vzorcem

(3) sin (0 — cpx) -f- sin {<3 — <p2) -f- sin (0 — cp3) + sin (0 — qp4) = 0,
a pro souřadnice průsečíku platí

(4) ~J = tgG-

Budtež ^í0 y0 ^ souřadnice bodu na ose ( cp , cp'), jímž prochází spo¬
lečná kolmice této osy a přímky O z (která měří jich nej kratší vzdálenost) ;
pak půdorysem nej kratší vzdálenosti je kolmice spuštěná z počátku (0, 0)
na průmět osy (cp, cp') a bude dle (1*)

x0 = 2 c sin co sin (cp + cp') , y0 = — 2 c sin co cos (cp + <p') ,
načež vyjde

z0 V3 = 2 c sin co sin ( cp ' — cp) — 4 c cos cp = — 2 c ( cos cp -f- cos cp').

Máme tak soustavu rovnic

(5)

x0 = 2 c sin co sin (cp + cp'), y0 = — 2 c sin co cos (cp cp'),

z* —

2 c

V3

. cp + cp
sm - — —

(cos cp + cos cp') ; sin co =

cos

ip — cp

XXXIII.

74

Poněvadž tu

4 c cp + cp' cp — op'
zn — — - - 7— cos - - - cos — — —

v 3

mamě

SMÍ — — ^-z—

-í“- = — V 3

sm co

cos

<P — <P

t j,
(5°)

— — = ■ — V 3 sin2 03.

Stálé hodnotě co odpovídají osy protínající určitou osu pevnou
a takové tvoří hyperboloid ; opsaný válec směru 0 z stanoví na něm do¬
tykovou čáru, jejíž body mají od osy Oz vzdálenost minimální; je to
čára bodů x0 y0 z 0 ; z rovnice (5°) a (5) plyne, že Čára ta leží na rovině
kolmé na nárysnu

x0 + sin2 co = 0,

a na kruhovém válci

x2 + y02 = 4 c2 sin2 ca.

Osa (cp, cp') obsahuje bod (x0 y0 z0) (5) a hoví rovnici (1) ; nalezneme
pro ni parametrické vyjádření

x = x0 + v cos (cp + Cp')

... y = y0 + v Sin (cp + cp')

(o)

V

Z = Z0 + — ^ cos (cp — 9/),

V 3

kde v určuje polohu bodu na ose.

Odtud vypočteme

(7) x 4- z V 3 sm2 co = v cos 2 co,

(8) #2 -f- y2 = 4 c2 sin 2 co -f v2 ;

čáry v = na hyperboloidu co = jsou tedy ellipsy na kruhových

válcích směru 0 z.

Vyloučením co plyne z posledních dvou rovnic

(9) 4 c2 # + (z V3 + ?;) (x2 + y2 — y2) = 4 c2 y ;

tedy body v = na různých osách naplňují plochu stupně třetího;

pro v — 0 zvláště máme plochu 3. stupně

(9°) ( % 2 + y2) z + —ír- x = 0,

která je souhrn bodů, jež na osách čáry T zaujímají polohu nejbližší
k ose O z. Možno ji bráti za souhrn ellips, podél nichž se různé hyperboloidy

XXXIII.

co = konst dotýkají vepsaných kruhových válců. Tyto ellipsy leží na ro-

X

vinách — = konst ; roviny z — konst protínají plochu v kruzích.

Vyloučíme-li z rovnic (7) a (8) literu v, vznikne rovnice hyperboloidu
oj = konst

(10) (v + zV 3 sin2, o )2 = cos^co (x2 + y2 — 4 c2 sin2co ).

Toť tedy rovnice hyperboloidu os čáry £, které protínají tečnu
cp = — o; druhá řada os jsou přímky druhé soustavy a protínají tečnu
cp = co.

Vedle os hovících podmínce

• <p + <p' • <p" + cp"'

sm — — — — — -

cos

(p — (p

cp" — cp'"

= 0

cos

protínají se také osy (cp, cp'), ( cp ", cp'"), které leží na společné rovině osku-
lační, na př. cp"' = cp' ; takové nazveme osami komplanárními.

Libovolná osa (cpv cp2) protne plochu (10) ve dvou bodech, jimiž
procházejí 4 osy, povrchové to přímky hyperboloidu; dvě z nich leží na
oskulační rovině cpv druhé dvě na oskulační rovině cp2.

Parametry bodů u, u', jichž oskulační roviny stanoví osu na hyper¬
boloidu (+»), hoví rovnici

. , u u' — 1 . . . .

(a) - , — =ismco, resp. — ismco.

' u + u

Na druhém hyperboloidu (+ coj máme pak osy [uL, ut')

1

-j- tí^'

= i sin co v resp.

sin ;

uvažujme na něm pouze přímky jedné soustavy (coj). V průsečném bodě
hyperboloidů platí u/ = u', kde u' hoví jedné z podmínek (a) a první
podmínce (/3). Můžeme však se omeziti na průseky pouze řady (co) s řadou
(coj), poněvadž druhé řady dávají tytéž body.

Zvolíme-li u' za neodvisle proměnnou, obdržíme u, ux z rovnic («)
a (/3), načež průsek osy (u, s oskulační rovinou u' je hledaný bod
průsečné čáry. Tak obdržíme souřadnice na průsečnici hyperboloidů (co)
a (oj) vyjádřeny jako racionálně funkce u'.

Z rovnic typu (10) pro o awj obdržíme však přímo, dělíme-li cos4 co,
a odečteme rovnice tak vzniklé:

[x + z V 3) ( * + Z V 3 +

2 *

CO

tg2

co

r

4 c2 cos2 co cos2col
tg2 co + tg2 col

XXXIII.

76

což jest rovnice hyperbolického válce, který prochází průsečnicí obou
hyperboloidů. Jedna jeho rovina asymptotická je dvojná rovina oskulační
# + 2 V 3 = 0, a jeho osa jest V y.

Střed hyperboloidu (10) je V a jedna jeho osa jest Vy, s vrcholy
y = + 2 c sin co ; tečné roviny v těchto vrcholech protínají plochu jeho
ve dvou přímkách ležících každá na jedné z rovin

x -z V3 = 0, x z V' 3

sin2 co
1 cos 2 co

= 0.

Rovina x = 2 s c sin co (e = + 1) protíná hyperboloid v přímkách
x -V z V 3 sin2 co = + y a dotýká se ho v bode y = 0, # + £^3 sřn2 co = 0,
jenž leží na dotykové Čáře s vepsaným kruhovým válcem směru O z.

Hlavní řez ellipsoidu (10) má rovnici

y = 0, (x z

V3)(

x -\- z V 3-

sm* co

1 + cos 2 co

= —4 c2

COS 1 00

1 + COS 2 CO

a je tedy hyperbolou, jejíž jedna asymptota je

x + z V 3 = 0

společná s hyperbolou nárysnou plochy tečen.

Pro polohu os této hyperboly nám elementární vzorec podává

Íg2a = _l|_,
cos 2 co

značí-li a úhel, jejž osa hyperboly svírá s přímkou O x.

V případě, kdy úhel co není reálný, t. j. kdy na hyperboloidu neleží
reálných tečen čáry Jf, nám definice

V i + <P z

sm

sm oo —

91 — ^2

COS

podá trigonometrické funkce úhlu oj, rovněž graficky přístupné. Na
kruhu ( c ) uvažujme body cpv cp2 jak obvykle, jich spojivá přímka prochází
pevným bodem 6 na O y. Tímto bodem g vedeme rovnoběžku s O x, která
protne kruh (c) v reálných bodech qjv cp2, poněvadž a jest jeho bod vnitřní.
Pro tyto zvláštní body máme

(H + <3P2 » <Pi — <Pz

~2 - = T ’ - 2 = 9 ’

značí-li & úhel mezi směry 0^ a Oy; vyjde tedy

sin co = sec fr ,

XXXIII.

77

načež se funkce úhlu co vyjádří snadno funkcemi reálného úhlu # a tím
se stanou konstrukce jednoduše provednými.

Abychom určili stopu osy (cp, cp') na dvojné rovině oskulační, vložme
do rovnic (0) hodnotu z V 3 = — x; výsledky se zkrátí cos cp, cos cp' a zbude

x cos cp + y sin cp = 2 c
x cos cp' ~f y sin cp' = 2 c ,
z Čehož řešením plynou souřadnice stopy

cos

(11)

y = 2 c sin co, x = 2 c

cos

<P + <p'

—— .l-=tg (p + y/
cp — cp' 1 x 2

Viděli jsme ostatně již výše, že dvojná rovina obsahuje dvě přímky
hyperboloidu (co), a že tyto leží na rovinách y = + 2 c sin co.

Tečna tv šroubové čáry r v bodě cp, v němž sin cp 4= + s^n CJ> protíná
jen ty povrchové přímky hyperboloidu (10), které jsou komplanární osy
s tečnou ty, t. j. které leží na oskulační rovině Sl bodu cp. Tato rovina
obsahuje přímku hyperboloidu, jest jeho tečnou rovinou a současně se
dotýká rozvinutelné plochy; pohybuj e-li se zůstávajíc tečnou rovinou
plochy, opíše její dotykový bod s hyperboloidem na tomto jistou křivku.
Rozvinutelná plocha je pak obalovou plochou tečných rovin v bodech
řečené křivky, a tato plocha rozvinutelná musí tuto křivku obsahovati.
Náš hyperboloid (10) je tedy plocha 2. stupně vepsaná ploše tečen, jaké
jsme uvažovali v čl. 12. Máme tak výsledek*

,, Plochy 2. stupně vepsané ploše tečen šroubové Čáry T (a = 2 c)
jsou hyperboloidy, jichž obě soustavy přímek jsou osami Čáry T“

Leží na nich čtvero tečen této Čáry.

Rovnice (10) není než přehledněji psaná rovnice (71) čl. 12 pro hod¬
notu co = (p.

*

Osy čáry r tvoří kongruenci. Rovina, která není oskulační pro
křivku T, nemůže obsahovati více než dvé přímek této kongruence ; tyto
by nebyly komplanární, a přímky p2) p3 protínajíce tutéž osu px by nále¬
žely téže řadě na hyperboloidu, což vyloučeno.

,, Oskulační roviny čáry T obsahují nekonečně mnoho přímek
kongruence os, jiné roviny obsahují takové přímky dvě, a sice jsou to
povrchové přímky na vepsaném hyperboloidu, který se roviny dotýká/'

Jsou-li u, v, w Plúckerovy souřadnice roviny, můžeme snadno udati
hyperboloid, který se jí dotýká, a příslušný paramétr co. V rovnici (7)
Čl. 12. značí (i hodnotu

_ _ 1_

^ sin2 co

XXXIII.

78

a pro tuto hodnotu je splněna rovnice (7) cl. 12. souřadnicemi roviny;
bude tedy

sin 2 co = —

2 8 c2

u w

V3—W2

u2 + v2 - w2

Dotykový bod plochy vepsané s rovinou (u, v, w) má rovnici

U u

t — + F v -f TD

V3 /

2 /i — 1

3

jU

Tč2"’

jím procházejí hledané přímky kongruence, ležící na rovině (w, v, w).

Daným bodem prochází obecně šest os, jež jsou průsečnice šesti
párů, v něž se druží 4 roviny oskulacní vedené oním bodem.

Bud p libovolná osa cáry T, £1 jedna z obou rovin oskulačních,
které jí procházejí; rovina íl seče plochu tečen v čáře 3. třídy (4Ž), která
se musí dotýkati přímky p ; tečna p' v soumezném bodě této čáry protíná p,
a je tedy dotykový bod přímky p s Čarou (íl) ohniskem kongruence; totéž
platí o druhé oskulační rovině procházející přímkou p.

,,Osy Čáry jT dotýkají se plochy tečen ve dvou bodech (určených
řezy s oběma rovinama oskulačníma, jež příslušnou osu stanoví), které
jsou ohnisky kongruence. “

„Rozvinutelné plochy tvořené z přímek kongruence os pozůstá¬
vají z oskulačních rovin čáry 1Y‘

*

Směrné kosinusy osy (c p , c p') jsou úměrný veličinám

cos ((p + 9'), sin (<p + qp'),“yy- cos (9 — 9') i

podmínka, aby dvě osy ((p1 cp2) a (<p3 <jp4) stály na sobě kolmo, zní tedy
cos (qpj -f (p2) cos (fps + <p4) + sin (<p4 + (p2) sin (c p3 + qp4)

9b) = 0 ,

1

+ y COS (íft — (p2) COS (qp3

čili

(121) 6 cos [(p± + (p2 — 93 — 94) + C0S (9l + 9á — 92 — 94)

+ cos (9i + 94 — 92 — 93) = 0 .

V parametrech u = cirp se to vyjádří rovnicí

(122) 6 [u2 u2 + */32 «42) + [u2 + u2) [u2 + ^42) = 0 ;

znamenejme uv 2 = vV) takže vv je paramétr opěrného bodu mv (stopy
osy křivosti), i bude tato podmínka zníti

(123) 6 (i>x v2 + vó o4) + (w4 + v2) (vs + v4) = 0.

XXXIII.

79

Přímka v1v2, která spojuje body vv v2 na kruhu (c), měj rovnici
%x + %y + (Z = 0;
snadno shledáme, že platí vztahy

(13)

^1 + ^2 — -

2 ( l

, % ^2 =

21 + *»

c.iW — i®) ' ^ 21 —

podobné vztahy jsou pro koefficienty rovnice tětivy v3 vx

Wx + Wy + 0,

a rovnice (123) se tak přepíše na

/ 31 + i® W + iS8'\ 4 6 <£'

\ a — ; $ + ar — i S8' / + c2

Čili

(i4) 3 (a ax + 33 $8') + =• o .

c2 (a — % sb) (a7 — ^ »')

Hodnotě v odpovídají dvě hodnoty u, tedy dvojici (yv v2) přísluší
čtyři osy čáry P, vespolek rovnoběžné; rovnice (14) vyjadřuje podmínku,
aby dvě čtveřiny os byly na sobě kolmý.

Rovnice (14) ukazuje, že přímky 21 33 (£, 2ť $8' (£' jsou spolu harmo¬
nicky sdruženy vůči kuželosečce *

(15) 9l2+*2+~ = 0,

o c

která je kruh pomyslného poloměru

(15*) *2 + y2 + 3 c2 = 0 .

Takto je každé ose (Čtveřině os) čáry P přiřazena tětiva kruhu (c) ,
spojující stopy os křivosti příslušných k rovinám oskulaČním osu urču¬
jícím; dvě osy Čáry £ jsou pak na sobě kolmý, jsou-li representaČní tětivy
harmonicky sdruženy vůči kruhu (15).

Necháme-li osu (u3 #4) pevnou, probíhají representaČní tětivy vx v2
svazek, jehož střed je pól tětivy v3vi vůči kruhu (15), body vv v2 tedy
tvoří involuci, a odpovídá jim involuce Čtveřin os Čáry £.

Převeďme náš výsledek na parametry uv\ budte rovnice tětiv
uxu2 a x-\-By-\-C= 0,

u3 uá A' x -f B' y + C' = 0 ;

pak bude dle (13)

t. j

+ UÍ — ( uí + ^2)2 - 2 Ux u2 =

4 C2

c2 (A — i B)2

u±2 -f- u22

2 2 C2 — c2 (A2 + B2)

c2 (A — i B)2 "

2

A2 + B2
(. A — i B)2

XXXITI.

80

rovnice (122) pak zní

f / A i B \2 , (A' t tí' \*\

6 l \ A— iBJ +\A' — iB'J J

4 2 C2 — c2 (A2 + B2) 2 C'2 — c2 (A '2 + B'2)

A' + iB' \2

+

(A — i BY

{A' — i B')2

= 0

čili po úpravě
(16)

(A2 _ (A>2 _ + 4 AB A' B'

+ ±(a2 + B2- j ( A'2 + B'2

2 C'2

-)=»■

Tato rovnice vyjadřuje, že přímky ABC, A' B' C' stanoví na
kruhu (c) body, jichž parametry (px (p2, (p3 qp4 dávají osy křivky F na sobě
kolmé. Podržíme-li osu (qp3, qp4) pevnou, podává (16) rovnici kuželosečky,
jejíž tečny určují osy kolmé na osu (<p3, qp4).

TJběžné body Čáry (16) mají rovnici

(A2 — B2) (A'2 — B'2) + + (A2 + B2) = 0 ,

O

O' = A'2 + B'2

2 C'2

Diskriminant zní

4 A'2 B'2 — {A'2 — B'2 + — 0') (B/2

ó

A'2 + y<P')

= (A'2 + B'2)2 - 0'2 ;

devateronásobek diskriminantu má hodnotu

4 C'2 /

8 {A'2 + B'2)2 + — ^—(A'2 + B'2

C'2

c2 ) *

která je kladna (v případě reálných qp3 a <p4), poněvadž platí

C'2

A/2 + B'2

>0,

jakmile body [u3, #4) určující osu čáry T jsou reálné. Kuželosečka (16) je
tedy hyperbola v tom případě.

Její ohniska jsou reálné body na tečnách hovících podmínce

A2 + B2 = 0.

Vložme B — i A do rovnice (16) ; vyjde

(A'2 — B'2+2iA' B') A2 — 0' ~ = 0 ,

O C4

XXXIII.

81

odtud pak

A \!~®r A' — i B' B B' + i A '

c ~ Vt? a' 2 + b'2 ’ c ~~ Vy? A'2 + B /2

Rovnice tečny bude

A' x + B' y + i (A' y — B' x ) + (A'2 + B'2) ť-^ = 0;

je-li O' >> 0, t. j. protíná-li přímka u3u4 kružnici

je třetí člen reálný a ohniska leží na přímce

A' y — B' x = 0,

kolmé na u3 u4. Je-li však O' < 0, t. j. leží-li přímka u3 u4 zevně řečeného
kruhu, bude V O' ryze pomyslné, a ohniska leží na přímce

A' x + B' y = 0,

rovnoběžné s přímkou u3 u4.

Pro výstřednost máme odtud

e = cY3\lAl±IÍ *' — i 2ď2

V +©' ’ A'2 + B'2 c 2 ’

kde ď značí vzdálenost přímky u3 u4 od bodu O. Tudíž

^ _ c2 vi
~ V\72 — 2 ď2| '

Pro čáru (16) lze určiti libovolný počet tečen u2 na základě přímek
vx v2, jež tvoří svazek. Zvláště přímky tohoto svazku, které jsou tečnami
kruhu (c), vedou k párům bodů u2 diametrálně protilehlých, které
dávají tečny procházející středem křivky O, t. j. asymptoty. — Jsou-li
úhly (jpj, cp2 komplexní veličiny sdružené, bude osa (q>v y2) křivky r
reálnou. Je-li osa (<jp3, qp4) určena body pomyslně sdruženými, nejsou p;rů
seky u3, u4 body reálné, rovněž ne příslušné body v3, v4, ale příslušná
přímka v3v4 bude reálnou rovněž jako u3u4. Padne-li pól přímky v3v4
vůči kruhu (15*) dovnitř kruhu (c) — t. j. je-li její vzdálenost od bodu O
větší než 3 c — budou asymptoty kuželosečky (16) pomyslný a Čára sama
tedy ellipsou.

Uhel — -■ ■— = qp0 jest reálný, a je to směr přímky kolnU na u3 u4 ;
Z

přímka v3 v4 pak má svoji normálu ve směru 2 qp0. Vzdálenosti ď a těchto
přímek od bodu O jsou v závislosti vyjádřené vztahem

cd1 = 2 <?2 — c2,

Rozpravy: Roč. XXII. Tř. II. Č. 33.

XXXITI.

6

82

vycházejícím z identity cos 2 co — 2 cos2 o — 1. Tím jsou přímky v1 v2 —
t. j. jich svazek — určeny také v případě, kdy přímka u3u4 neprotíná
kruh (c).

Čára (16) je pak ellipsou v případě ů > c V 2, a degeneruje v pří¬
padě d — c V2, kdy pak jeden z bodů vv v2 je stálým bodem kruhu (c),
jakožto vrchol svazku v1v2.

Buď dále z/ střed tohoto svazku ; paprsek jeho kolmý na přímku 0 z/
dává body vv v2, jimž příslušejí body uv u2 (vedle dalších 3 párů) určující
tečnu kuželosečky (16) kolmou na (po příp. rovnoběžnou) u3u4, t. j. tečnu
vrcholovou. Celkem vycházejí tak 4 tětivy u2, jež jsou vrcholové tečny
kuželosečky. —

Na základě věty o různoběžných osách čáry f víme, že osy (uv w2)
sekoucí osu (u3, u4) dávají tětivy kruhové ux u2 ve svazku <5. Osy {uv u2)
protínající kolmo osu (u3, w4) určíme tedy pomocí tečen čáry (16) vedených
z bodu g ; naproti tomu osy komplanární odpovídají tečnám z bodů u3 a u4
na kruhu (c).

,,Mezi osami čáry r jsou dvě, jež kolmo protínají osu danou,
nečítaje v to dva páry os s danou osou komplanárních."

Určíme přímo z rovnice (16) některé tečny. První dva členy rovnice
lze psáti

(A A' + B B')2 — [A B' — A' B)2 ;
čára má tudíž tečny (A, B, C) hovící rovnicím

(17°) A 2 + B2 — —2- =0, A A' + BB' = +r(^ B' — A' B).

c

Jsou to tečny kruhu

(17) x2 + y2 - - = 0

rovnoběžné s přímkama

(A' + B')x-(A'-B')y = 0,

{A/ — B')x + (A, + B')y = 0,

jež jsou na sobě kolmý.

Osy kuželosečky (16)

A' x + B' y = 0, A' y — B' x = 0

protínají kruh (c) v bodech, které jsou vrcholy čtverce; jeho dva páry
protějších stran jsou zvrhlé kuželosečky svazku

l (X2 + y2 _ C2) = 2 A' B' (x2 — y2) — 2 (A'2 — B'2) x y ;
diskriminant této rovnice

c2 A [A2 — (A'2 + B'2)2]
vymizí pro + A = A'2 + B'2, což dává přímky

XXXIII.

83

(A' + By x2 + {A' ± By y2 ± 2 {A'2 — B'2) x y = (4 '2 + B'2) c2

Čili

[(A' + B') x ± (A' ± B') y]2 = (A'2 + B'2) c2,

rovnoběžné s přímkami (17b) ; poněvadž jsou to strany vepsaného Čtverce
do kruhu (c), jsou tečnami kruhu (17), t. j.

,,osy hyperboly (16), rovnoběžka a kolmice na u3u^ z bodu 0, stanoví
na kruhu (c) vrcholy Čtverce, jehož strany jsou tečnami hyperboly (16)."

Šine-li se přímka u3 zůstávajíc rovnoběžná s pevným směrem,
nemění se osy hyperboly a uvedené čtyři tečny, hyperboly tvoří řadu
kuželoseček (Čar 2. třídy). Z těch jedna se rozpadá ve dva body úběžné
na stranách čtverce, příslušná přímka u3 w4 dotýká se kruhu (17) ; druhé
dvě čáry rozpadají se v páry protilehlých vrcholů, bude jeden z bodů
uv u2 pevným dvojznačně, rovněž jeden z bodů vv v2 (a sice jednoznačně),
tedy střed svazku v1 v2 leží na kruhu (c), jeho polára pro kruh (15*) padne
mimo kruh (c), t. j. přímka v3vá kruh (c) neprotne, rovněž tedy leží u3 w4
mimo (c).

Vychází to také z diskriminantu rovnice (1
4- <D' + A'2 — B'2, 2 A' B' ,

ó

2 A' B', -1 — A'2 + B'2,

O

0, o,

jenž vymizí pro O' = 0 (kdy u3 w4 je tečnou kruhu (17)) a pro další dvě
řešení pomyslná.

Připomeňme ještě, že podmínka, aby se osy (uv u2) a (u3) u4) pro¬
tínaly — pokud nejsou komplanární — se vyjadřuje vztahem

BC' + B'C = 0,

■6)

0

- — 0'

3 c 2

ježto z hořejších vztahů vychází

B = —

sm

9i + <P2

C <Pl - <P2

cos ■

z

*

V případě, kdy kuželosečka (16) se rozpadá ve dva úběžné body,
mají tětivy (p± <p2 kruhu (c) stálý směr, totiž jsou rovnoběžný s tečnou

7t

bodu qp3, a při tom je qp4 = qp3 + -y • Tu pak osa (y3, <p4) je průseč ro¬
vin s rovnoběžnými půdorysnými stopami

XXXIII.

6*

84

% cos 2 (p3 + y sin 2 cp3 — z V 3 = 4 c cos (p3
x cos 2 <p3 -\- y sin 2 < p3 + z V 3 = + 4 £ SÍW í/?3,
a tedy je rovnoběžná s rovinou V xy.

Pro osu (íjpj, ip2) máme podmínku qpx + (p., = 2 qp3 (mod. 2 n) ; béřeme-li
úhly (p1, (p2 v mezích — a nr, bude přesně + <p2 — 2 (p3 ; pro její půdorys
máme rovnici (1)

% sin 2 g>3 — y cos 2 (p3 = 2 c

sm (p3

<Pi—W2

cos

t. j. zůstává kolmý na směr — + 2 cp3 osy ((p3) (p4), jak zřejmo a priori.

Proveďme transformaci souřadnic

X = x cos 2 (p3 + y sin 2 cp3, Y — — x sin 2 (p3 -f- y cos 2 (p3,
pevná osa q ((p3, < p4) má rovnice

(q) X = 2 c (cos (p3 +_ sin gp3), zV 3 = — 2 c (cos cp3 řjT sin (p3)
a pro osu p (cpv (p2) nalezneme
(p) Y = — 2 c

sin (p3

cos (<px — (jp3)

X cos 2 (qpj — cp3) — z V 3 =4 c cos cp3 cos (fpx — qp3) ;

hodnotám neodvislým odpovídá tak oo1 přímek p, jež tvoří plochu
sborcenou.

Znamenejme <jpx — (p3 = a, c cos (p3 — g, c sin <p3 = h, rovnice (p)
znějí pak

2 h -

(18) Y = — - , X cos 2 a — Z V 3 == 4 g cos a,

v ' cos a

kde a je proměnný paramétr. Strikční čára je obrys v rovině X Z a je to
kuželosečka

z0v3-= -g 1 + Wg

cos a ° cos a

čili

(19) X0 (X0 + Z0 Vš ) + 2 f = 0, Y0 + 2X0tg<p3 = 0.

Plocha os (18) má rovnici

(18*) Y*(X + ZVŠ) =&h2X + &ghY,

z níž vychází, že na ploše leží přímka (prochází bodem V)

(20) X + ZVŽ=0, hX + gY = 0.

Plocha naše tedy je konoid, jehož řídící útvary jsou rovina X Z
a přímka (20), mimo to hyperbola (19).

XXXIII.

Tento konoid je geometrickým místem os čáry r (a — 2 c), které

7C

stojí kolmo na daném směr a — + 2 cp3 v rovině V xy; řídící rovina je
rovnoběžná s osou V z as daným směrem 2 qp3, řídící přímka je průseč rovin
y — x tg q>3, x cos 2 (p3 + y sin 2 (p3 + £ V 3 = 0,

t. j.

x _ y _ 2

cos (p8 sin cpa _z_ L cos

V 3

XXXIII.

OBSAH.

S trana

1. Definice; polární plocha. Vytvoření čáry jako evolventy rotačního kužele.

Ekvivalence tohoto processu s kotálením kruhu po kruhu. Hlavní normála
a střed křivosti. Čára středů křivosti leží na kuželi rotačním a možno ji
vytvořiti pomocí nálepu kruhového . 1

2. Konstrukce čáry, její tečny, normální roviny, osy křivosti a roviny osku-

lační; poloměr křivosti pro čáru a její půdorys . 4

3. Elementární odvození povahy půdorysu sf. šroubovice — jakožto epicy-

kloidy. Čára středů křivosti má za půdorys růžici ; parametrické vyjádření
čáry středů. Délka oblouku sf. šroubovice . 6

4. Záběh do theorie růžic. Růžice nalepená na rotační kužel, tak aby vrchol
jeho se kryl s její středem, promítá se do základní roviny kužele opět
v růžici.

Zvláštní případ, kdy průmětem je kruh, dává hyppopédu Eudoxovu . . 11

5. Analytické vyjádření sf. šroubovice. Poloměr křivosti nárysu. Vyjádření

polohy hlavní normály, normální roviny, tečny, osy křivosti a roviny osku-
lační. Plocha hlavních normál; její čára strikční leží na rotačním hyper¬
boloidu jednoplochém ; po rozvinutí promítajícího válce v rovinu přechází
strikční čára v ellipsu. Pronik plochy hlavních normál s válcem x2 -f- y2 = c2
sestává ze dvou různých křivek. Rovnice plochy hlavních normál v případě
a = 2 c (y = 60°) ; její řez s normální rovinou bodu A. Některé vlastnosti
jistých čar 4. stupně na ploše hlavních normál . 13

6. Tětivy stanovené hlavními normálami na základním válci xz + y2 = c2.

Plocha tečen; její pronik s válcem x2 + y2 = a2 se rozpadá ve dvě čáry ( Q )
a {Q’) ; střední epicykloida na ploše tečen, trojiny stálého poměru. Čáry QP =
konst. a Q'P = konst. Rotační plochy 2. st. se středem V, vepsané válci [a),
protínají plochu tečen v čarách QP : Q'P — konst. ; jich půdorysy jsou epicy-
kloidy. Rozvinutí plochy tečen v rovinu. Definice čáry jako sférické evol¬
venty kruhu . 25

7. Některé průměty centrální a kosoúhlé čáry JT v případě a = 2 c: kardioida,

Diokletova cissoida, dvoj ovála. Konstruktivní zjednodušení, jež v tomto pří¬
padě nastanou . 34

8. Zvláštní případ a = 3 c. Centrální průměty z bodů vratných a z bodu dvoj¬
ného . 39

9. Další úvahy o ploše hlavních normál (a = 2 c): Podmínka, aby šest hl. normál
mělo společnou sečnu ; stanovení zvláštní přímky na oskulačním paraboloidu 4 i

10. Plocha hlavních normál v případě a = 3 c\ rovnostranné trojúhelníky bodů

(9, V + 120°, qp -f- 240°) o společné rovině normální . 46

XXXIII.

Strana

11. Oskulační rovina a plocha tečen v případě a = 2 c. Čtveřina oskulačních
rovin jdoucích společným bodem. Společné sečny hlavních normál přísluš¬
ných bodů tvoří komplex 3. stupně. Jednoduchý vztah mezi průseky plochy
normál s přímkou směru Oz a oskulačními rovinami příslušných bodů
čáry r. Konstrukce normál nefroidy z průsečného bodu jiných dvou normál.
Parametry průsečíků s rovinou. Zvláštní rovinné čtveřiny. Geometrické
místo bodu, v němž se protínají oskulační roviny sestrojené ve třech průse¬
cích čáry s její rovinou oskulační, jest ellipsa.

Osy čáry r, které sekou určitou osu, tvoří plochu 2. stupně . 50

12. O ploše tečen a = 2 c. Plochy druhého stupně vepsané ploše tečen se jí dotý¬

kají podél čar 4. stupně a obsahují určité 4 tečny. Průseč plochy s rovinou
tečnou promítá se do základní roviny v protiúpatnici strofoidy . 59

13. Osy čáry šroubové a — 2 c. Osy protínající určitou osu čáry P tvoří vepsaný

hyperboloid. Fokální body kongruence os. Konstrukce os kolmých na danou
osu. Osy kolmé na daný směr v základní rovině tvoří konoid 3. stupně . . 72

Tabulka s obrazy 1. a 2.

XXXIII.

Obr. 1.

Obr. 2.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 34.

0 novém kavkazském druhu rodu Ďikerogamraarus.

Podává

Dr. Karel Scháferna,

professor gymnasia v Ml. Boleslavi.
(Se 2 tabulkami.)

(Předloženo dne 17. července 1914.)

Ze své cesty po Kavkaze zaslal mi pan PhC. J. Komárek 5 zku¬
mavek se sladkovodními Gammaridy, v nichž poznal jsem ze 4 míst a to:
Novorosijska, Čuber-Kari, Čvelieri a Cageri vesměs našeho ubikvista
Gammarus pulex L.

Gammaridi pocházející ze studánek u města Ordubatu byli mi ihned
nápadní svým slabým prvým párem tykadel a při bližším přihlédnutí seznal
jsem, že mají na 4. a 5. abdominálním článku uprostřed na hřbetní straně
po jednom kuželovitém hrbolku , nesoucím štětiny. I vidno z tohoto znaku, že
jedná se o druh rodu Dikerogammarus, jak jej stanovil T. R. R. Stebbing,
jenž praví: „Agreeing in generál with Gammarus. Pleon segments 4 and 5
each raised dorsally to a spiniferous tubercle. Antenna lst the longer,
accessory flagellum well developed. Gnathopods 1 and 2 larger in cf than
in P, 2d larger than lsť‘.

V celku nás druh jest char aktér isován velikým množstvím štětin a to
poměrně tenkých na okončinách i zovu jej

Dikerogammarus setosus n. sp.

dfcf jsou velikosti 20 — .22 mm, PP 16 — 18 mm.

Oči jsou ledvinité.

Antenna iho páru dosahující asi y8 těla má sice silný násadec o sou-
dečkovitých článcích (opatřený hojnými smyslovými štětičkami), ale
flagellum 18tičlenné jest velmi slabé a ne příliš dlouhé, takže jsou obě

Rozprava: Roč. XXIII. Tř. II. Čis. 34.

XXXIV.

1

2

antenny téměř stejně dlouhé. Štětinky jsou na flagelju slabé a krátké.
Vedlejší bičík 4 — .5článkový jest složen ze článků dlouhých.

Antenna 2ho páru má dlouhé štětinky vyvinuté v celých hřebíncích
na násadci i bičíku. U PP jest tato výzbroj poněkud v menším počtu.
Flagellum 9tičlenné a poměrně silnější flagella antenny prvé.

Palpus mandibulární jest o velmi štíhlých článcích a jest opatřen
neobyčejně silnými a hojnými štětinkami na ploše konečného článku.

Na palpech maxill prvého páru jsou na vnější straně rovněž hojné
štětinky, což rovněž u rodu Gammarus nikde neshledáváire.

Gnathopody prvého páru jsou slabší gnathopodů 2ho páru. U (p i J?
jen nepatrně odlišné v propoditu, jenž zejména u 2ho páru vyniká značnou
šířkou. Gnathopody lho páru mají propodit v celku tvaru trojúhelníko¬
vitého, gnathop. 2ho páru lichoběžníko vitého. U samiček jest propodit
obou párů tvaru lichoběžníkovitého. Carpopodit má vnitřní hranu jako
úzký výběžek, což zase jest veliký rozdíl proti rod a Gammarus.

Epimerální deska lho páru jest kosníkovitá a podobně jako epimerální
desky ostatních všech okončin thorakálních opatřená hustými neobyčejně
dlouhými štětinami. Epimerální desky 3. — >5. páru pereiopodů jsou tím
větší čím menší jest basipodit.

j. a 2. pár pereiopodů jest zejména na karpopoditu a propoditu opatřen
skutečnými kartáčky velmi dlouhých štětin.

Periopoda 3ho až ýio páru : Basipodit 3ho páru pereiopodů jest
krátký, téměř čtvercovitý, na okraji opatřen hojnými štětinami, které,
čím dále distálně jdeme, tím jsou delší. Vnitřní strana nese při zadní křídlo-
vité rozšířenině shora dolů jdoucí hřebínky dlouhých a ne příliš tvrdých
štětin; i přední kraj má štětinky při vnitřní straně. U samiček jsou v celku
tytéž poměry, jen skupiny štětin jsou nepatrně chudší. — Basipodit 4ho
páru pereiopodů jest klínovitý a u poněkud užší než u JP . Zadní okraj
vyniká dlouhými štětinami. Rovněž při křídlovitém rozšíření basipoditu
na zad jsou na vnitřní straně shora dolů se táhnoucí shlukjf dlouhých štětin.
— Nej charakterističtějším jest basipodit 5ho páru pereiopodů. U jest
tento téměř tvaru obdélníkoví! ého se značnou zadní křídlovitou rozšíře-
ninou. U P jest křídlo to značně větší se zadním krajem obloukovitě
vyklenutým, i jest tvaru poloměsíčitého, při čemž zadní roh basipoditu
značně i dolů jest protažen. Zařízení toto slouží patrně lepší ochraně
embryo nů v zárodečných lamellách, jež jsou v celku úzké a nemohl jsem
nikde na jich okraji nalézti štětin, ač lameily ony mají okraje slabě laločnaté.
U (ýf jest basipodit na vnitřní straně pokryt rovněž chlupy; samičky pak
zase je mají jen o něco málo v menším počtu. Na ostatních článcích jsou
pereiopody 3ho — 5ho páru opatřeny mocnými svazečky štětinek.

Postranní rozsíreniny iho a 2ho článku abdominálního jsou opatřeny
kýlem, a nesou obě téměř až do své poloviny (zejména deska druhá) hře¬
bínky dlouhých štětinek, mezi nimiž tu a tam se vyskytne i trn.

XXXIV.

3

Postranní deska 3ho článku abdominálního až na několik slabounkých
zadních marginálních štetinek jest i . na ploše i na okraji u obou pohlaví
úplně lysá.

Basální články pleopodů jsou rovněž charakteristické hřebínky
štětinek.

Ur opad 6ho článku abdominálního jest neobyčejně bohatě opatřen na
exopoditu štětinami. Exopodit pak nese jen slabý ve štětinkách téměř
skrytý svůj druhý článek. Endopodit jest trojúhelníkovitý a jen málo
štětinami opatřený.

4tý a 5tý segment abdominální nese kuželovité hrbolky chápacími
štětinkami opatřené.

*

Popsaný druh Dikerogammarus setosus nachází se, jak již z počátku
bylo zmíněno, ve velmi studených studánkách na břehu řeky Arasu u města
Ordubatu (při hranici rusko-perské) , tedy v úvodí moře Kaspického.

Rozhlédneme-li sepo dosud popsaných druzích rodu Dikerogammarus,
dostaneme následující přehled jejich výskytu:

D. macrocephalus (O. Sars) v Kaspickém moři ve hloubce 66 m.

D. haemobaphes (Eichw.) v Kaspickém a Černém moři při pobřeží do

hloubky 75 též v jezeře Aralském.1)

D. grimmi (O. Sars) v Kaspickém moři v hloubce 66 — 203 m.

D. verreauxii (Bate) v Novém Hollandu.

D. jasciatus (Say) v studánkách a potůčcích Severní Ameriky.

Jest tedy rod Dikerogammarus svými druhy převážnou většinou
ve vodách slaných, jen D. fasciatus jest pravou formou sladkovodní. Jest
tedy náš D. setosus druhou skutečnou formou sladkovodní z rodu Dikero¬
gammarus.

Jelikož jinak rod tento v několika druzích se vyskytuje v Kaspickém
moři a jinde řídko a jelikož řeka Aras jest v oblasti Kaspického moře,
jest velmi pravděpodobno, že jest D. setosus formou, která ze slané, resp.
brakické vody zašla do vod sladkých a stala se tak formou čistě sladkovodní.
Byl by to zase doklad, jak formy vod slaných i brakických zacházejí do
vod sladkých, jak o tom psal Pelseneer i R. Gurney. V oblasti
kaspické pak více než kde jinde může docházeti ku podobným zjevům.
Moře Kaspické totiž v dávných dobách představovalo samostatné velké
moře Po nto-Aralo- Kaspické, ale později se osamostatnilo a voda jeho
do něho ústícími řekami se značně vysladila. Formy, které v onom jezeře
pozůstaly, musí býti jistě euryhalinní, neboť jinak by byly již dávno pro¬
padly zničení, i mohou tedy jistě snáze než jiné vnikati do vod sladkých. —
Stojíme tedy v našem případě zase před jedním „experimentem přírody",

x) Fedtschenko popsal jej jako Gammarus aralensis (1875), ale Steb-
bing jej stahuje pod specii Dikerogammarus haemobaphes (Eichw.).

XXXIV.

4

jak Gurney říká: „Nátur herself has períormed experiments in accli-
matisation on a vast scale“. — . Byla by tedy cesta našeho druhu z jezera
Kaspického řekou Arasem do studánek při Arasu ležících. — . Jest pak
velmi pravděpodobno, že budoucí bádání v oblasti kaspické ukáží nám
nová přizpůsobení velmi variabilní skupiny Gamrraridů elementu sladkému.

Srovnáme-li pak údaje v literatuře o druhu Dikerogammarus fasciatus
s našimi údaji o D. setosus, vidíme, že tvarově stojí si obě specie blízko.
Vy vinuly ť se oba druhy daleko od sebe geograficky vzdálené z forem
mořských, a na základě žití ve stejných podmínkách životních vyvinuly
se u obou konvergencí podobné znaky.

Porovnáváním tvarů formy Dikerogammarus setosus s tvary mnou
popsaného rodu a druhu Typhlogammarus Mrázeki jest nápadná podobnost
obou ve tvarech i výzbroji Zejména jsou to tvary gnathopodů pokud se
týče jejich propoditů i karpopoditů. U Typhlogammara schází druhý
apikální článek exopoditu — > u Dikerogammarus setosus pak jest článek
tento zcela nepatrný, zakrsalý. Dále pak jsou to u obou charakteristické
skupiny štětinek v podobě štětiček neb hřebínků. I bylo by snad možno
viděti v Dikerogammarus setosus povrchovou formu, z jejíhož příbuzenstva
vzal původ svůj podzemní rod Typhlogammarus.

(O popsaném druhu přednášel jsem i na V. sjezdu českých přírodo¬
zpyt ců a lékařů v Praze, roku letošního o letnicích. Výtah oné přednášky
bude uveřejněn ve Věstníku sjezdovém.)

V Mladé Boleslavi, dne 16. června 1914.

Literatura.

C. Spence Bate: Catalogue of the specimens of Amphipodous Crustacea in
the collection of the British Museum. London. 1862.

Robert Gurney: The origin and conditions of existence of the fauna of fresh
water. Transactions of the Norfolk and Norwich Naturalists Society, vol. IX,
1913.

Pelseneer: L’origine ďanimaux ďeau douce.

K. Scháferna: O novém slepém blešivci, Typhlogammarus n. sbg. Věstník
kr. čes. Společ. Náuk. Praha. 1906.

Týž: Uber eine neue blinde Gammaridenart aus Montenegro. Zoolog. Anzeiger,
Bd. XXXI, 1907.

T. R. R. Stebbing: Amphipoda I. Gammaridea. Tierreich. XXI., Berlin. 1906

TABULE I.

1. Dikerogamarus setosus Zvětšení Reichert. lupou 10 x.

2. Maxilla lho páru. Obj. A, oc. 3 Zeiss.

3. Mandibulární palpus ,, A ,, 3 ,,

4. Gnathopod 2ho páru od ^ Obj. A (bez frontní čočky), oc. 2 Zeiss.

*5. ,, lho „ od q „

6. Pereiopod lho ,, od (jf ,, ,, ,,

7. ,, 2ho ,, od ,, ,, ,,

TABULE II.

8. Pereiopod 3ho páru od samečka.

9. ,, 4ho ,, ,, ,,

10. ,, 5ho ,, ,, ,,

11. , , 3ho , , od samičky | -g

12. ,, 4ho ,, „ ,, l|g

13. ,, 5ho „ „ ,,

14. Uropod 3ho páru. Obj. A, oc. 2, Zeiss.

15. Postranní deska lho segmentu pleopodového. Obj. A (bez front, čočky), oc. 2 Zeiss

16. ,, ,, 2ho

17. „ „ 3ho ,, „ ,, ,, ”

18. Antenna lho páru. Obj. A, oc. 2 Zeiss.

19. .. 2ho

Obj. A (bez frontní čočky), oc. 2 Zeiss

„ 2 „

„ , „2 „

„ 2 „

„2 „

>> >> i, 2 ,,

Všechna vyobrazení jsou nakreslena pomocí Abbéova kreslicího přístroje a při re¬
produkci na y2 zmenšena.

^2:

Dr. KAREL SCHAFERNA:

O novém kavkazském druhu rodu Dikerogammarus.

Rozpravy České Akademie. Třída II. Ročník XXIII. 1914. Číslo 34.

-o.

/

v:

Dr. KAREL SCHÁFERNA:

O novém kavkazském druhu rodu Dikerogammarus.

Rozpravy České Akademie. Třída II. Ročník XXIII. 1914. Číslo 34.

4

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 35.

Odvození pohyblivého radiantu Lyrid
z tvaru meteorického roje.

Napsal

Dr. JINDŘICH SVOBODA.

(Předloženo dne 12. června 1914.)

S 1 obrazcem v textu.

Úvod.

V předešlé práci „0 tvaru meteorického roje komety Halleyovy “ dospěl
jsem k výsledku, že dráhy většiny meteoritů roj tvořících jsou ellipsy
shodné s dráhou komety, jichž roviny se protínají ve spojnici perihelu
s afelem komety, takže mají s kometou perihel i afel společný. Po skon¬
čení této práce dostalo se mi do rukou Olivierovo pojednání ,,175 parabolic
orbits and other results deduced from over 6200 meteors" (Extracted
from Transactions of the American Philosophical Society, N. S. Vol. XXII,
Part 1, 1911), kde uvedeny jsou též elementy Aquarid a Orionid vypočtené
na základě pozorování. Pro srovnám uvádím tyto elementy Olivierovy
vedle svých, které jsem obdržel v práci předešlé:

a

OJ

i

q

a

ó

0

0

0

o

o

Kometa Halleyova

57-3

1117

162-2

0-587

. . , Olivier

Aquandy gvoboda

47-5

105-3

165-4

0-638

337-9

— 1-5

44-8

99-8

163-3

0-587

337-2

— 0-9

Olivier-Svoboda

+ 2-7

+ 5-5

+ 2-1

+ 0-051

+ 0-7

— 0-6

~ . .. Olivier

Onomdy _ , ,

Svoboda

25-6

87-8

161-4

0-536

911

14-9

23-4

79-3

163-2

0-587

90-7

15-4

Olivier-Svoboda

+ 2-2

+ 8-5

— 1-8

- 0-051

+ 0-4

— 0-5

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 35. 1

XXXV.

Nepatrné rozdíly, které leží v mezích pozorovacích chyb, potvrzují
správnost svrchu uvedené hypothesy o tvaru meteorického roje. Jest
zajímavo, že podobnost některých elementů Aquarid a Orionid byla již
Olivierovi nápadná. Uváděje je pod sebou praví o nich: ,,There is a curious
coincidence between some of the elements of the Aquarids and the main
Orionid stream. One can see how dosely the inclinations agree, and also
that the perihelion distances do not differ very greatly." Pro značný
rozdíl v elementech ostatních, jehož příčinu neznal, nemohl se odvážiti
provésti domněnku o totožnosti obou rojů. Porovnáme-li elementy
Orionid s elementy dráhy komety Halleyovy, které jsou uvedeny v čele,
pochopíme snadno, proč dřívější methodou z podobnosti elementů nebylo
možno objeviti souvislost tohoto meteorického roje s kometou Halleyovou.

Abych hypothesu o tvaru meteorického roje ještě více potvrdil,
applikoval jsem ji na známý meteorický roj Lyrid a odvodil jsem týž
pohyb radiantu, jaký na základě pozorování obdržel Denning.*)

Roj Lyrid , jehož radiant jest činný kolem 21. dubna, souvisí s ko¬
metou 1861 I.**) Oppolzer udává tyto elementy její dráhy***):

T M 1861 červen 3-39641
ca = 213° 26' 19" |

&= 29 55 42 1 186P0

i = 79 45 31 j

log q = 9*9641181
e = 0-98346314
U = 415-430 roků.

Pro náš výpočet byly tyto elementy zaokrouhleny na minuty a pře¬
počítány na ekliptiku a aequinoctium 1910-0:

« = 213° 26'|

& = 30 37 1910-0

i = 79 46 J
q = 0-92070

c = 0-98346.

Konstrukcí najdeme, že dráha komety přibližuje se dráze zemské
v blízkosti uzlu sestupného. Otáčející se dráha komety kolem spojnice
perihelu s afelem neprotne dráhu zemskou, nýbrž, jak se dalším vý-

*) The Observátory, Vol. XXXVIII, Apríl 1914, No. 473, p. 179.

**) Astr. Nachr. LXVIII., 381. LXIX., 33.

***) Dr. J. G. Galle: Verzeichnis der Elemente der bisher berechneten Co-
metenbahnen usw., p. 90, 243 Leipzig, 1894.

XXXV

3

počtem přesvědčíme, posunuje se podél ní (viz obr.) protínajíc rovinu
ekliptiky v bodech dráze zemské velmi blízkých. Má-li roj Lyrid tentýž
tvar, jaký jsme dokázali u roje komety Halleyovy, prochází Země rojem
napříč — tečkovaná ellipsa na obrázku naznačuje průsek roje s rovinou
ekliptiky — , a poněvadž elementy drah meteoritů, s nimiž se Země po¬
stupně setkává, se velmi rychle mění, obdržíme výpočtem radiant mnohem
rychleji na obloze postupující, než by plynulo ze změny apexu za před¬
pokladu, že dráhy meteoritů jsou rovnoběžné s dráhou komety.

Výpočet provedl jsem tímto způsobem: Na dráze zemské v okolí
uzlu (v našem případě sestupného) zvolil jsem si určité body, posice
země v intervallech dvou dnů. O dráhách meteoritů jsem předpokládal,
že jsou téhož tvaru jako dráha komety, s níž mají perihel a afel spo¬
lečný; roviny těchto drah proložil jsem středem Slunce, Země a perihelem
komety. K výpočtu jejich elementů odvodil jsem na základě svrchu
uvedených předpokladů tyto vzorce:

cos n sin N = cos co
cos n cos N = sin co cos i

sm n

= sm co sm i

sin o/ sin i' = sin n

sin co' cos i' = — cos n sin (Sl' — Sl — N)
cos co' = cos n cos (Sl' — Sl — N),

kdež značí Sl, co, i elementy dráhy komety a Sl', co', i' elementy dráhy
meteoritu Zemi potkávajícího. Délka uzlu výstupného Sl' jest dána délkou
Slunce ®, kterou najdeme pro příslušné datum v Berl. Jahrbuchu, a sice
v případě, že Země potkává roj v uzlu

jest

výstupném,

Sl ' = 180° + ©

sestupném,
Sl' — © .

1*

XXXV.

4

Za směr meteoritů Zemi potkávajících přijal jsem směr tečné v bodě,
ve kterém dráha meteoritů protíná rovinu ekliptiky, což nebylo přes¬
nosti výpočtu nijak na újmu, neboť tyto body, jak numerický výpočet
ukáže, jsou Zemi velmi blízké. Vzdálenost jejich od Země udává, rozdíl
prů vodičů rm — rz. Průvodič Země rg najdeme pro příslušné datum
v Berl. Jai rbuchu a rádius vektor meteoritu v rovině ekliptiky dává
vzorec

l -\- e cos rp

kdež p jest vzdálenost perihelu komety od Slunce, e numerická excentricita
její dráhy a (p pravá anomálie, která jest dána vzdáleností perihelu od
uzlu co' a sice v případě, že Země potkává roj v uzlu

výstupném, sestupném,

jest qp = 360° — co' (p — 180° — co' .

Výpočet radiantu skutečného a zdánlivého proveden byl na základě
vzorců uvedených v práci předešlé ,,0 tvaru meteorického roje komety
Halleyovy

Výpočet.

Duben 17.

19.

21.

23.

25.

27.

© *) = 26° 34'

28° 31'

30° 28'

32° 25'

34° 22'

36° 18'

Poněvadž jest

to v uzlu

sestupném,

jest &'

= © .

i' = 73° 54'

76° 41'

79° 33'

82° 29'

85° 28' '

88° 27'

co' = 214° 21'

213° 52'

213° 28'

213° 9'

212° 57'

212° 51'

cp = 325° 39'

326° 8'

326° 32'

3263 51'

327° 3'

327° 9'

rm= 10163

1-0136

1-0115

1-0099

1-0088

1-0083

rg *) = 1-0041

1-0046

1 *0052

1-0057

1-0062

1-0068

rm — rg = 0*0122

0-0090

0*0063

0-0042

0-0026

0-0015

Jednoduchým

výpočtem

bychom

shledali.

že minimum

rozdílu

průvodičů padá mezi 27. a 28. duben (0-00137) ; od té doby se pak zase
zvětšuje. Poněvadž meteoritů směrem od dráhy komety na obě strany
ubývá, musí maximum meteoritů připadati na dobu, kdy jsou dráhy
jejich dráze komety nejblíže; to jest, jak se snadno přesvědčíme porov¬
náním vypočtených elementů s elementy dráhy komety, 21. dubna, což
s pozorováním souhlasí.

*) Berl. Jahrbuch, 1910.

XXXV.

Duben

Duben 17.

19.

21.

23.

25.

27.

(7 = 162° 40'

162° 55'

163° 8'

163° 17'

163° 23'

163° 26'

Souřadnice ;

apexu

L = 295° 39'

297° 35'

299° 34'

301° 31'

303° 29'

305° 26'

^ = 107° 54'

107° 25'

107° 1'

106° 40'

106° 27'

106° 19'

# = 105° 6'

102° 28'

99° 45'

96° 57'

94° 6'

91° 15'

Poměr rychlostí

y= 1-4107

1-4111

1-4114

1-4118

1-4122

1-4126

Úchylka zdánlivého směru od pravého

r-H

O

o

39° 15'

38° 26'

37° 34'

36° 39'

35° 43'

Ekliptikální

souřadnice zdánlivého radiantu jsou

l = 262° 9'

266° 56'

271° 26'

275° 39'

279° 34'

283° 11'

P = 59° 39'

58° 24'

57° 1'

55° 31'

53° 57'

52° 18'

z nichž obdržíme aequatoreální

souřadnice zdánlivého radiantu :

a = 265° 5'

268° 2'

270° 56'

273° 47'

276° 32'

279° 12'

d = 36° 20'

34° 59'

33° 35'

32° 10'

30° 43'

29° 17'

Na rychlý postup radiantu Lyrid upozornil již v r. 1890 Denning*) '•
„The Lyrids of April exhibit a radiant which quickly changes its plače
during the few nights of its operation.“ Teprve letošního roku odvodil
na základě pozorování jeho ef emeridu, * *) která velmi pěkně souhlasí
s výsledky, které jsem odvodil počtem na základě svrchu uvedeného
předpokladu o tvaru meteorického roje. Pro srovnání uvádím oba vý-

sledky vedle sebe:

Denning

Svoboda

Den.-Sv.

a d

a

d

z/ a

z/ d

0 0

0

0

0

0

Duben 15 .

16 .

17 .

. 263-5 + 33
. 264-75 + 33
. 266-0 + 33

265-1

36-3

+ 0-9

-3-3

18 .

19 .

. 267-25 + 33
. 268-5 + 33

268-0

35-0

+ 0-5

— 20

20 .

21 .

. 269-75 + 33
. 271-0 +33

270-9

33-6

+ 0-1

— 0-6

*) Monthly Notices, Vol. L. p. 415, 1890.

**) The Observátory, Vol. XXXVII., April, 1914, No. 473, p. 179.

XXXV.

6

Denning

Svoboda

Den.

-Sv.

a

d

a

d

z/ u

z/ d

0

0

0

0

0

0

22 .

. 272-25 +

33

23 .

. 273-5 +

33

273-8

32-2

-0-3

+ 0-8

24 .

. 274-75 +

33

25 .

_ 276-0 +

33

276-5

30-7

-0-5

+ 2-3

26 .

. 277-25 +

33

27 .

. 278-5 +

33

279-2

29-3

-0-7

+ 2-7

Stálou deklinaci v efemeridě Denningově lze si vysvětí iti tím, že
Denning posice radiantů neodvozuje z pozorování jedné noci, nýbrž
průměrem z pozorování vykonaných v několika po sobě jdoucích nocích.
Při tomto způsobu vyniknou jen větší změny v souřadnicích, kdežto
malé změny, jako zde v deklinacích, které ostatně leží v mezích pozoro¬
vacích chyb, se setřou. Uvážíme-li, že první dvě a poslední tři posice
efemeridy Denningovy jsou odvozeny interpolací ze středních, dále že
posice krajních radiantů nelze určiti s takovou přesností jako posice radiantů
kolem doby maxima, musíme přiznati, že shoda zde docílená jest novým
důkazem správnosti svrchu uvedené theorie o tvaru meteorického roje.

Snahou dokázati totéž u Perseid přiveden jsem byl k zajímavému
objevu že postupující radiant Denningův*) vznikl nesprávnou kombinací
meteoritů dvou samostatných rojů, z nichž jeden souvisí s kometou
18(12 III., druhý s kometou 1870 I. O tom pojednám v práci další*

*) Memoirs of the Royal Astronomical Society, Vol. Lili. p. 2i0, 1899; Com-
panion to The Observátory, 1914, p. 22.

XXXV.

ROČNÍK XXIII.

ČÍSLO 36.

TŘÍDA II.

O zvláštním způsobu určení kuželů a několik
příslušných úloh cyklografických.

Napsal

J. Sobotka.

(Se 3 obrazci v textu.)

Předloženo dne 30. září 1914.

1. V časopise Archiv fiir Mathematik und Physik, roč. 1913, zabývá
se E. Miiller úlohou, čtyřmi body položiti rotační kužel, daného směru osy
a na základě této úlohy řeší úlohu, ke čtyřem cyklům v rovině libovolně
daným sestrojit i takový cyklus v jejich rovině, aby dvojice orientovaných
tečen jemu společných s cykly danými tvořily stejné úhly.

Věnuji zde této zajímavé konstrukci bližší pozornost a zobecním ji
pro prostor řešením úlohy, k daným pěti koulím orientovaným sestrojiti
takovou orientovanou kouli, která s danými má společné dotyčné kužele
navzájem shodné. Budiž při řešení tom brán zřetel též k analytickému
vyjádření konstrukcí.

2. Ve příčině úlohy čtyřmi body Az, A3, Al položiti rotační kužel,
jehož osa by byla rovnoběžná k dané přímce a0, možno též postupovati
zcela elementárně.

Za tím účelem zabývejme se nejprve stanovením průseku u rotač¬
ního kužele V s koulí K a vyjádřeme jeho othogonální průmět u' do
roviny M, která spojuje střed S plochy kulové s osou a kužele. Veďme
(obr. 1 .) v rovině M vrcholem V kužele V kružnici g, která má svůj střed G
na ose a\ m budiž přímka potenční této kružnice a hlavního kruhu s
plochy K v rovině M ležícího. Přímka m nechť protíná tečnu v bodu V
ke kružnici g v bodě H. Konečně budiž n spojnice průsečíků křivky g
s površkami e, f kužele V, ležícími v rovině M. Průsečík U' přímek m, n
náleží křivce u' , neboť n resp. m jest průmětem průsečné kružnice s ku¬
želem V resp. s koulí K oné koule, která má g za kružnici největší.

Všecky kružnice g tvoří svazek, dotýkajíce se v bodě V; jejich
chordály m s kružnicí s tvoří svazek paprsků (m) o středu H, který jest

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 36.

XXXVI.

1

2

projektivní ku řadě středů kružnic g, tudíž také ke svazku (n) rovno¬
běžek n. Svazky (m), (n) vytvořují kuželosečku, která prochází bodem H,
majíc v něm tečnu kolmou ku VS. Nekonečně vzdálené přímce svazku (n)
přísluší v (m) přímka VH ; ježto zde jest přímka SG rovnoběžná ku a,
jest nekonečně vzdálená přímka roviny M tečnou k u' , a u' jest tedy
parabolou.

Protíná-li rovina bodem e . n kolmo ku e jdoucí osu a v bodě E,
jest, značí-li U bod křivky u promítající se do U', UE normálou v bodě U
ke kuželi V a poloměr US jest normálou v U ke K. Tudíž jest E S stopou
roviny normálně k u v bodě U a normála k u' v bodě U' jest rovnoběžná
ku E S. Značí-li N průsečík přímky n s a a je-li (a e) = <p, jest

VN 2
-yT = cos <P-

Spustíme-li s bodu S kolmici ku a a s její paty E0 kolmici ku e a ve-
deme-li patou této kolmice kolmici n0 ku a, jež nechť protíná a v bodě N0,
S V v bodě S0> jest

V Sn VN0 VN

7V=7£7 = 7£

tudíž jest N S0\\ E S. Vztahuj eme-li tedy u' ku n0) jest pro u' subnormála
bodu U' rovna N0 S0. Křivka u' má tudíž vlastnost, že délka její sub-
normály vzhledem ku n0 jest konstantní. Vidíme opět, že u' jest parabola;
tato má n0 osou a její parametr rovná se N0 S0 = E0 S cos 2 (p .

3. Za účelem řešení úlohy v odst. 2. vytčené položme body Alf A2,
A3, Aí parabolický válec Z, jehož přímky jsou kolmý ku dané přímce a0,
tedy rovnoběžný k rovině N, stojící kolmo ku a0. Sdružme čtyři tyto

XXXVI.

3

body ve dvakrát tři, na př. Alt A2, A3; Av A2, Aá. Rovina AXA2A3
protne rovinu N v přímce d a rovinu Ax A2 A4 v přímce c. Body Av A2> A3
prochází parabola px mající osu rovnoběžnou ku d a body Av A2, A4 pro¬
chází parabola p2 o ose rovnoběžné ku c. Parabolami px, p2 jest válec Z
jednoznačně určen. Sestrojíme pak na př. průsečík F1 paraboly px s přím¬
kou dv která jest rovnoběžná ku d a půlí úsečku Al A2, z Pascalova šesti¬
úhelníka PP3 Pj A3 A2 Av kde P značí na dx ležící bod nekonečně vzdálené
přímky roviny AXA2A3 a PL jest na této přímce bod ku P soumezný.
Rovněž stanovme průsečík P2 paraboly p2 s přímkou c2, která jest rovno¬
běžná ku c a půlí AXA2. Spojnice FXF2 udává pak směr válce Z.

Dále sestrojme kouli K o středu S, která prochází body Av A2, A3)
A4 a položme bodem 5 rovinu M normálnou ku Fx P2. Tato rovina vytíná
z válce Z parabolu p, která jest orthogonální projekcí průseku ploch Z, K
do roviny M. Buďtež e, f přímky spojující průsečíky paraboly p s nej¬
větším kruhem s koule K v rovině M ležícím a V budiž průsečík přímek
e, /, tedy jeden vrchol společného polárního trojúhelníka křivek p} s.
Kolmice a s bodu V na osu paraboly p půlí jednu dvojici vrcholových
úhlu tvořenou přímkami e, /. Rotací přímky e kolem a vzniká nyní
kužel V. Průsečná křivka u ploch V, K promítá se, vzhledem k odst. 2.,
orthogonálně do roviny M v parabolu u' , mající osu téhož směru jako p\
a ježto u' má s křivkou p společný ještě průsečíky přímek e, f s kružnicí s,
jsou paraboly p, u' totožné a plochy V, K, Z protínají se v křivce u ná¬
ležíce témuž svazku ploch.

Z toho plyne, že uvedený právě kužel V vyhovuje podmínkám naší
úlohy; prochází body Alf A2, A3, A4 a jeho osa a jest rovnoběžná k dané
přímce a0.

Jsou-li tedy plochy K, Z stanoveny, stačí sestroj iti středem 5 plochy K
rovinu kolmou ke směru válce Z a určiti průsečné křivky její s, u' s plo¬
chami K, Z. Vrcholy společného polárního trojúhelníka křivek s, u' jsou
vrcholy a jimi jdoucí společné tětivy křivek s, u' jsou vždy dvě přímky
rotačních kuželíi, které naši úlohu řeší.

4. Má-li parabolický válec procházeti body Ax, A2, A3> A4> můžeme
ještě voliti rovinu, k níž jeho směr má býti rovnoběžný; pak jest válec
obecně jednoznačně dán.

Pěti body Av . . . , A5 položiti parabolický válec jest úloha neurčitá.
Můžeme libovolnými třemi z nich, na př. Aly A2, A3 sestroj iti libovolnou
parabolu a tuto promítnouti z bodů A4, A5 kuželi A4, A5. Roviny vedené
body A4, A5 rovnoběžně ku AxA2A3 dotýkají se kuželů A4, A5 a mají
též rovnoběžné hrany dotyčné, jež jsou též rovnoběžný k ose paraboly p.
Posuneme-li nyní jeden z těchto kuželů, na př. druhý z nich do A5' tak,
aby jeho vrchol splynul s vrcholem prvního, splynou zmíněné rovnoběžné
roviny tečné i jejich přímky dotyčné a kužele A4, Ab' protínají se tudíž
ještě ve dvou přímkách l, m. Oba válce jdoucí p a rovnoběžné ku l resp. m,
vyhovují podmínkám naší úlohy. Obdržíme tím dvojici válců. Abychom

XXXVI.

1*

4

obdrželi všecky takovéto dvojice válců, nutno uvažovati souhrn parabol p,
které procházejí body Av A2, A3.

Zvláštní zájem skytá úloha, šesti body Alf . . . A6 sestrojit) para¬
bolický válec, která jest prostorovým zobecněním úlohy, čtyřmi body
v rovině sestroj iti parabolu. Leží-li čtyři z bodů těch, na př. Av . . , A4,
v jedné rovině, položme jimi obě (reálné nebo imaginárně) paraboly
pv p2 a sestrojme válce body A5, A6 a parabolou p4, resp. body Ab, A6
a parabolou p2, způsobem právě uvedeným. Neleží-li však žádné čtyři
z daných bodů v jedné rovině, máme zde specielní případ úlohy:

Šesti body Alt . . , AG položití kužel, jenž dotýká se dané roviny R
dle jedné povrsky.

Rozdělíme dané body ve dvě skupiny po třech, na př. A4 A2 A3,
A4A5A6. Roviny P, Q trojúhelníků A1A2A3) A4A5A6 nechť se protínají
v přímce r, roviny P, R v přímce q a roviny Q, R v přímce p. Zvolme
na q libovolné dva body Klf K2. Body Ax A2 A0 Kx K2 v rovině P stanoví
kuželosečku kn a její průsečíky s r určují s body A4, A5, A6 kuželosečku kx
v rovině Q, která protíná přímku p v bodech Ký , K2.

Seznáváme, že každé dvojici bodů Kv K2 na q přísluší jednoznačně
dvojice K4, Ii2 na p a naopak.

Zvolíme-li v R kružnici nebo jakoukoli pevnou kuželosečku w a
promítneme-li na ni z libovolného jejího bodu 0 dvojice K2, Kx' K2
do jR, K2 resp. K{ K2 , jest tím v rovině R přímce k = Kx K2 jednoznačně
přiřazena přímka k' = K4 K2 a naopak. Toto přiřazení jest kollineací;
neboť zvolíme-li v rovině R libovolnou přímku k a promítneme její prů¬
sečíky s křivkou w z bodu O na q do K1} K2 a sestrojíme kuželosečku body
AlA2A3K1K2 danou, určíme její průsečíky s přímkou r a sestrojíme
kuželosečku určenou těmito průsečíky a body A4, A5, Ae, protíná tato
křivka přímku p ve dvou bodech, jejichž průměty z bodu O na w stanoví
jednoznačně přímku k' . Naopak přísluší každé přímce k' jednoznačně
přímka k. Libovolný svazek ( k ) přímek k, o středu K, vy tíná na w
involuci, která se promítá z bodu 0 na q rovněž v involuci bodovou.
Spojíme-li body každé dvojice této involuce J s body Alt A2, A3 kuželo¬
sečkou, obdržíme svazek kuželoseček, jenžvytíná na r involuci Jr. Kuželo¬
sečky, [které spojují dvojice involuce Jr s body A4, Ab, A6, tvoří opět
svazek a stanoví na p involuci J' , jejímž průmětem z bodu 0 na w jest
opět involuce. Spojnice k' dvojic této involuce jsou přímky příslušné
paprskům svazku (k) ; protínají se všecky v bodě K', pólu involuce na¬
posled uvedené. V našem přiřazení přísluší tedy bodu K jednoznačně
bod K' a každé přímce k bodem K jdoucí přímka k' jdoucí bodem K' .
Jde tedy skutečné o kollineaci.

V této kollineaci odpovídá kuželosečce w kuželosečka w'. Obě mají
čtyři společné tečny t4 , t2 , t3', t4. Počítáme-li tyto ku poli přímek k',
odpovídají jim naší kollineací v poli přímek k přímky t1} t2, t3, t4, dotý-

XXXVI.

5

kající se křivky w. Promítněme z bodu O dotyčný bod kuželosečky w
s přímkou U na q do a s přímkou U na p do Tť*. Splynou-li body
dvojice Kx K2 v bodě Ti, splynou vzhledem k naší konstrukci také body
příslušné dvojice K / K2 v bodě Ti*. Přímka Tí7'í* jest hranou kužele V,
který prochází šesti danými body a dotýká se R podél této hrany.
Roviny P, Q protínají tento kužel v kuželosečkách, z nichž prvá jde body
Alt A2, A3 a dotýká se q v bodě Ti, kdežto druhá jde body Aá, A5, Ae
a dotýká se p v bodě Ti*.

Za účelem jednoduchého stanovení uvažované kollineace zvolme
čtyři dvojice bodů K1K2 na q tak, aby jak kuželosečky k® jimi určené,
tak i příslušné kuželosečky k S? (i = 1, 2, 3, 4) rozpadly se ve dvojice
přímek; na př. tak, aby v rovině P přímky A1 A2, A2A3, A1A2, A1 A3
tvořily postupně části kuželoseček k^\ kn\ a přímky A5 A6, AóAfí,
AiAb, A±A5 příslušně části kuželoseček k£\ k^\ k L3), k^\ čímž jsou zbý¬
vající části těchto kuželoseček rovněž dány. Neboť protíná-li na př.
přímka r přímku Ax A2 v bodě I, přímku A5 A 6 v bodě II, jest

k™ = [Ax A2, II A3), k™ = (Ab A6, IAJ.

Zvolíme-li za R rovinu nekonečně vzdálenou, přechází kužel V
v parabolick}> válec. Naše konstrukce nenabývá tím však podstatné
změny.

5. Jsou-li v rovině obrazné dány čtyři cykly klf k2, k3, kif možno
je známým způsobem pokládati za obrazy čtyř bodů Av A2, A. „ Aá
v prostoru. Je-li nyní V předchozím postupem sestrojený vrchol rotač¬
ního kužele V, který prochází body Ax, A2, A3, A4 a jehož osa jest kolmá
k naší rovině obrazné, a je-li w stopní kružnice kužele Va?i onen cyklus
této roviny, který jest obrazem bodu V, pak tvoří, jak snadno plyne,
společné orientované tečny cyklů dvojic v kx, v k2, v k3, v stejné úhly a,

neboť jest sin = cot cp, značí-li cp úhel, který svírají po vršky kužele V

s jeho osou.

Odvoďme nyní z kužele V kužel V*, k němu vzhledem k naší rovině
obrazné orthogonálně affinní, jehož vrchol V* leží s vrcholem V na téže
straně roviny této a má od ní vzdálenost rovnou poloměru R' kružnice w,
takže, je-li V' střed cyklu v, jest

V* V'

-yyT- = tg 9 = l.

Bodům Av A2 . . . odpovídají affinně body Av A2, . . ., které zobrazují
se v cykly kx, k2, . . . Buďte rlf r2, . . . resp. rX) r2 , . . . poloměry cyklů
kv k2, . . . resp. kv k2, . . . Pak platí pro každé dva affinní body A i, A i
obecně vztah

r{ = n tg (p = A n.

xxxvi.

6

Úloha stanovití kružnici v, jejíž poloměr budiž R, dá se tedy pře-
vésti na úlohu:

V rovině jsou dány čtyři cykly kv k2) k3, &4; sestrojili jest úměrným
zvětšením neb zmenšením jejich poloměrů rv r2, r3, r4 cykly k nim soustředné
ki, k2, k3, k± tak, aby tyto měly společný tečný cyklus w.

Při tom jest, dle toho, zdali faktor X, pro nějž jest rí = Xy\, jest
kladný nebo záporný, smysl cyklů klf k2, . . , w resp. souhlasný nebo ne¬
souhlasný se smyslem cyklů kv k2, v.

Vyjdeme-li od tohoto pojetí úlohy jako základního a je-li možno
cykly kv k2, . . ., úloze odpovídající, stanovití, tu pro poloměr R ' cyklu w
jest obecně

R' — s rí = R' — s X n = d{ [i = 1, ... 4),

značí-li di vzdálenost středů kružnic kx, k2, . . . od středu kružnice w, při
čemž £ jest +1 nebo — 1 dle toho, zdali cykly navzájem tečné mají
smysl stejný nebo opačný. Z poslední relace plyne

R'

i — i

d, X '

Sestroj íme-li tudíž ku w soustředný cyklus v o poloměru R

Iť

1

jest

R — s n 1

di

X *

Je-li dále a \ úhel, který tvoří společné orientované tečny cyklů

v, kif jest sin = -i- , maje tudíž hodnotu konstantní. Přechází tedy
Z A

skutečně každé z obou pojetí naší úlohy snadno v druhé.

6. Budte kv . . . &4 čtyři cykly, dotýkající se pátého. Mezi poloměry rí
jejich a mezi středovými vzdálenostmi dik každých dvou kt, kk z nich
platí, klademe-li

vztah

d\k— {rí — rí)2 = t2ik ,

0

tl2

/ 2
^13

t 2

*14

/ 2
ř21

0

t 2

^23

t 2

^24

/ 2
^31

/ 2
^32

0

t 2

^34

/ 2
ř41

/ 2
^42

/ 2
^43

0

při čemž poloměry rí jest nutno bráti kladně nebo záporně dle toho,
zdali příslušné cykly mají smysl kladný nebo záporný.

Ježto pak mezi poloměry cyklů daných ki a hledaných ki platí vztah
rí = X n, plyne z determinantu (1)

XXXVI.

7

<fa2— & fa— ^2)2. 4> 2— ^2 fa— ^3)2> V— *2 fa— n)!

d^—i?{r 4 — r,)2, 2— *2 fa— r2)2, i*,2 — (>-4 — ^)2,

CO

• • . V s»»2 -5 - K — *4)

co

d^sin2 — - {H — rtf, •

Nyní jest

= 0. (2)

0 , fa — rs

fa-^)2, 0

fa — n)2- fa —

I2, fa — ^s)2
. fa — Ts)2.

3/ . fa — ^4)

0

falifa)2- fa — r2)2, fa — *s)!

fa — ^4) 2

0

= 0,

(3)

jak se snadno přesvědčíme, odečteme-li na př. poslední sloupec tohoto
determinantu od ostatních a v determinantu, který se dá pak odloučiti,
odečteme poslední řádek od ostatních, čímž dospějeme k determinantu,
s nímž počínáme si obdobně. Odtud plyne, že (2) jest třetího stupně v ž2,

resp. v sin2 — . Obdržíme tím rovnici tvaru
J

resp.

Dt l* — D2 A4 + D3 í2 — D = 0,

D sin 6 - D3 sin 4 -f D2 sin 2 — - D1 = 0.

(2')

(2;

V těchto rovnicích značí Dx součet determinantů, které obdržíme,
vypustíme-li v jednom z determinantů (2) v jednotlivcích sloupcích po
řadě členy obsahující hodnoty n, v ostatních členy s dik2] D2 značí součet
determinantů, které obdržíme, jestliže v determinantu ve (2) vytčeném
vždy ve dvou sloupcích vypustíme členy s hodnotami n, v ostatních
členy s dik2, kdežto pro D3 nutno v jednotlivých sloupcích po řadě vy-
pustiti hodnoty dn ?, v ostatních členy obsahující hodnoty n a konečně
abychom obdrželi D, nutno tam veškeré členy s vypustit i.

Je-li ve zvláštním případě D = 0, leží jak známo středy daných
cyklů na kružnici a pak skytají naše rovnice (2'), (2") jenom dvě hodnoty

co

pro á2 resp. sin2 — .

Ji

CO

Vypočítáme-li sin2 — a odtud tg2 cp

Ji

CO

jest sestroj iti

siw

rotační kužele Kx, . . . K4, jejichž vrcholy splývají s body Ax, . . . Aé,

XXXVI.

8

jejichž osy jsou kolmé k rovině obrazné a jejichž po vršky svírají s osami

úhel (p; tyto kužele jsou pro každou hodnotu sin2 z (2") plynoucí

příslušnou hodnotou tg2 <p jednoznačně určeny. Jejich rovnice v pravo¬
úhlé soustavě souřadné zní

{x — ai)2 + (y — fa)2 = (z — n)2 tg 2 (p. (4)

Tyto kužele protínají se v konečnu v kuželosečkách, jejichž roviny
jsou dány rovnicí

2 (ai — ak) x + 2 ( b{ — bk)y — 2 (rt — n) z tg2 (p — (a? + fa2 — r? tg 2 <p) 4-
+ ( ak 2 + bk 2 — rk2 tg2 (p) = 0, (5)

kde značí a i, fa resp. ak, bk souřadnice středů kružnic fa, kk a kde za i, k
dlužno klásti hodnoty 1, ... 4. Tyto roviny protínají se v jednom bodě,
jehož souřadnice možno z (5) lineárně vypočítati a jenž jest společný
kuželům Kv . . . K4. Orthogonální průmět tohoto bodu do roviny obrazné
jest společný střed kružnic v , w.

7. Uvažované úloze možno dáti také následující tvar.

V rovině jsou dány Čtyři cykly fa, . . . &4; jest sestrojiti pátý cyklus v
tak, aby jeho body podobnosti s danými cykly ležely na kružnici w sou¬
středné s v .

Promětné zobecnění této úlohy by bylo následující.

V rovině jest 8 cyklů fa (i = 1, . . . 8) libovolné dáno; sestrojiti cyklus
devátý tak, aby jeho body podobnosti s danými cykly ležely na téže kuželosečce.

Řešení této úlohy spočívá v tom, že dané cykly možno bráti za
cyklografické obrazy 8 bodů v prostoru, jimiž možno obecně položiti
4 kužele 2. řádu. Cyklografickým obrazem vrcholu každého z těchto
kuželů jest cyklus, který splňuje úlohu danou.

Zvláštním případem této úlohy jest úloha:

V rovině dáno libovolné 6 cyklů a přímka ; sestrojiti jest cyklus, který
protíná přímku v daném úhlu a jehož body podobnosti s danými cykly leží
na kuželosečce dané přímky se dotýkající.

Cykly, které protínají danou přímku pod daným úhlem, jsou obrazy
bodů jedné roviny a dané cykly jsou obrazy šesti bodů v prostoru v libo¬
volné poloze. Sestroj íme-li vrchol kužele, který prochází těmito šesti body
a dotýká se zmíněné roviny podél jedné hrany, jest obrazem vrcholu
toho cyklus, který splňuje naši úlohu.

Další specialisace vede k úloze:

V rovině jsou dány 4 cykly a 2 přímky ; sestrojiti cyklus, který protíná
přímky v daných úhlech a jehož body podobnosti s danými cykly leží na
kuželosečce daných přímek se dotýkající.

Zde nutno sestrojiti takové kužele, které procházejí čtyřmi body
Av . . . A4 v prostoru a dotýkají se dvou rovin E1; E2. Vrchol V
takového kužele leží na průsečnici p obou rovin. Sestrojme na př. rovinu

XXXVI.

9

Aj A 2 A3, protněme ji s Et, E2 v přímkách elf e2 a sestrojme známým
způsobem kuželosečku k, která dotýká se elt e2 a prochází body Alt
A 2, A3. Kuželosečku k promítněme z bodu ď4 a protněme tento kužel
přímkou p. Je-li V jeden takový průsečík, jest jeho cyklografickým
obrazem cyklus, který odpovídá naší úloze; neboť jest vrcholem kužele
jdoucího danými 4 body a dotýkajícího se rovin Et, E2.

8. K řešení úloh vytčených v odst. 3. a násl. vedou též následující
úvahy jiného druhu.

Uvažujme (obr. 2.) nejprve v rovině tři libovolné cykly kv k2> k3 o stře¬
dech Mlf M2, M3 a poloměrech rv r2, r». Změníme-li poloměry cyklů úměrně

Obr. 2.

v A rlt A r2, U3, ponechajíce jejich středy, obdržíme pro různé hodnoty A
nové trojice cyklů k JA) k2 (A) a seznáme, že orthogonální k nim kružnice oi
tvoří svazek. Cykly k£X), k2w, k3(l) jsou obrazy tří bodů A^X), A.^\ A3(X\
kružnice jejíž střed budiž Mi, jest kružnicí zúžení rotačního hyper¬
boloidu Ha, jehož přímky povrchové svírají s rovinou obraznou úhel 45°
a jenž jest body A^\ A2 (A), A3^ jednoznačně určen, jakmile žádáme, že
jeho kružnice zúžení má ležeti v rovině obrazné. Nazývejme takovýto
hyperboloid pravoúhlým, i tehdy, je-li jeho kružnice zúžení imaginární,
tedy hyperboloid dvojdílným.

Body Mv M2, M3 položme kružnici o0 o středu M0 a o průměru d.
Kružnice k^\ k2{X), k3(X) mají s o0 společné tětivy t1} t2, t3 a buďte Tv T2, T3

XXXVI.

10

průsečíky těchto tětiv s přímkami MX.M0) M2 M0, M3 M0; jest tu M{ 7J =

A2^2 ,,v • .

= — "r — ; tudíž jest

o

M \ Tx : M2 T2 : M3 T3 = r2 : r22 : r32.

Rady bodů Tx, . . . ; T2, . . .\ Td> . . . jsou navzájem projektivní, což
platí tedy též o svazcích (4) , (4) , (4) rovnoběžek 4 . . . ; 4 . . . ; 4 . . .
Tyto svazky jsou dokonce perspektivní, nehoť nekonečně vzdálená přímka
roviny přísluší v nich sama sobě. Každé dva z těchto svazků vytvořují
tudíž řadu bodovou; svazky (4), (4) tvoří řadu (P12), při čemž Pi2 značí
průsečík 4.4; obdobně tvoří (4), (4) resp. (4), (4) řadu (P23) resp. (P31).
Budte 4o> 43’ 4i nositelky těchto řad a buďte w1; m2, m3 tečny ku o0
v bodech Mx, M2, M3. Z naší konstrukce plyne, že

(»*1 <12) = ^l2 : *£• (m2 mS 4s) = »2S : ’’32> (m3 ml 4l) = ^ : ^l2-

Kolmice pX2, p23, p3X z bodů P12, P23, P31 resp. na přímky Mx M2,
M2M3, M3M1 protínají se ve středu Mi kružnice Oi. Mění-li se A, po¬
pisují p12, p23, p3X tři projektivní svazky rovnoběžek, v nichž nekonečně
vzdálená přímka odpovídá sama sobě; tudíž vytvořují jejich průsečíky Mi
přímku c, která spojuje bod M0 s oním bodem M, jehož vzdálenosti od
stran třístranu mx m2 m3 mají poměr rx2 : r22 : r32.

Tím jsme ukázali, že středy kružnic oi leží na přímce; že tvoří
kružnice ty svazek, uvidíme v dalším.

Roviny Aa = (AJA), A2(A), A3(A)) tvoří svazek, jehož osa jest společnou
osou podobnosti g trojic cyklů kx k2 k3, &JA) k2w k£X) pro všecky hodnoty A.
Každá rovina Aa protíná příslušný hyperboloid Ha v kuželosečce l, která
promítá se orthogonálně do naší roviny v kuželosečku l' a která prochází
body Mx> M2, M3 a tudíž kružnici oQ protíná ještě ve čtvrtém bodě M4.
Poněvadž g udává směr jedné osy křivky l, tedy též křivky l' , obdržíme
bod M4' jako průsečík přímek body Mx, M2, M3, resp. ku přímkám M2 M3,
M3MX, MxM2 vzhledem ku g antiparallelně vedených. Ježto všecky
kuželosečky l' mají jednu osu rovnoběžnou ku g, seznáváme odtud, že
tvoří svazek (/') o základních bodech Mx> M2, M3, Mx, na o0 ležících.

Tuto vlastnost seznáme též takto. Plochy Ha procházejí touž neko¬
nečně vzdálenou kuželosečkou / a roviny A a vytínají na ní involuci, která
promítá se do roviny obrazné v involuci 2 na její nekonečně vzdálené
přímce u ^ ležící, a kuželosečky l\ které procházejí body MX) M2, M3
a vytínají na involuci 2, tvoří svazek. Páry bodové involuce 2 jsou
nekonečně vzdálené body přímek, které leží symetricky ku g ; tudíž
tvoří přímka M2M3 s přímkou bodem Mx jdoucí a k ní vzhledem ku g
antiparallelní prvek ve zmíněném svazku, odkud plyne opět bod M{
iako čtvrtý průsečík kuželoseček lr s o0.

Kuželosečky l' svazku (/') vytínají na g involuci TI. Ježto pak prů-

XXXVI.

11

sečíky /' s g náleží též kuželosečce l a tudíž také stopní kružnici ox hyper¬
boloidu Ha v rovině obrazné, vy tínají též kružnice ox na g involuci TI.

Orthogonální kružnice ox mají tedy své středy na přímce c a vy-
tínají na přímce g involuci; tvoří tudíž svazek (ox). Hyperboloidy Ha
protínají se v konečnu všecky v rovno ramenné hyperbole, která jest
souměrná k rovině obrazné a leží v rovině k přímce c kolmé ; tvoří tudíž
plochy ty specielní svazek ploch 2. stupně.

Jedna kružnice svazku (o*) — nazývejme ji o — má střed v bodě M.
Jest orthogonální kružnicí jedné trojice k^X) k2(X) k^X) ; rovnoběžky bodem M
ku mv m2, ms jsou potenčními přímkami kružnic této trojice a kružnice o0,
tudíž jest o také orthogonální kružnicí ku o0. Chordála h kružnic o, o0
jest tudíž chordálou svazku (o*) ; proto jest tato chordála polárou bodu M
vzhledem ku o0. Přímka t12 procházející průsečíkem P12 přímek m2>
protíná M1 M2 v bodě Ml2> jehož vzdálenosti od mlt m2 buďte čv d2. Jest pak

= M1 M12 sin M2 Mx P12, ó2 = M2 M12 sin M1 M2 P12 .

Ježto trojúhelník M1 M2 P12 jest rovno ramenný, plyne z toho, ježto M
leží uvnitř třístranu m1 m2 mz, že

Ml M12 : MVÍ M2 = ó1:d.2 = r? : r22.

Průsečík H12 přímek h, M , M2 jest harmonický ku M12 vzhledem
k Mlt M2; tudíž jest

M± H12 : M2 H12 = rx2 : r22.

Jest tedy chordála h svazku (ca) osou podobnosti tří cyklů téhož
smyslu, které jsou soustředný s cykly danými kv k2> kz a jejichž poloměry
jsou úměrný čtvercům poloměrů rv r2, rz daných cyklů.

Osa podobnosti g cyklů k JA), k2w, k^X) stanoví s orthogonální jejich
kružnicí ox opět svazek kružnic, (vx), a jak známo má každá kružnice vx
tohoto svazku tu vlastnost, že protíná cykly k X(A), k2^\ h}X) pod stejnými
úhly. Centrála px tohoto svazku jest kolmice z bodu Mx na g.

Pro všecky hodnoty A obdržíme svazek (px) rovnoběžných těchto
centrál, perspektivní ku řadě středů Mx, tudíž projektivní ku svazku (ý12)
přímek p12 dříve blíže charakterisovaných.

9. Analytické stanovení svazku (ox) plyne kratčeji.

Buďte #j, bi„ pro i — 1, 2, 3, pravoúhlé souřadnice středů Mi
a buďte di jejich vzdálenosti od počátku souřadnic. Pak jest orthogonální
kružnice trojice k t(A), k2{X), k^X) dána rovnicí

x2 -f y2, x, y, 1

a\ + K — & ai, K 1 _ 0

ai + h2 — í2 a2- K 1

a3 + h2 — A2 az, K 1

XXXVI.

12

kterou možno též psáti

x2 + y2 x y 1
af + V % bx 1
a22 + 622 a2 b2 1

^32 “1“ ^32 ^3 ^3 1

První determinant poslední rovnice označme z/x, druhý <d2, načež jest
= 0 rovnicí kružnice jdoucí body Mlf M2, M3 a z/2 = 0 jest rovnicí
osy podobnosti tří cyklů, které mají středy v bodech Mv M2, M3 a jejichž
poloměry mají stejné znaménko, jsouce úměrný čtvercům poloměrů
*i> r2> *s-

0 x y 1
yx2 ax bl 1

y2* a
y 2 a*.

2 ^2 1
1

= 0.

(6)

10. Vyjděme nyní (obr. 3.) od čtyř cyklů ki o poloměrech Yi a středech
Mi (i = 1, ... 4) a uvažujme jinou trojici, na př. k3 k2 &4, obdobným způ¬
sobem jako dříve klt k2, k3. Obdržíme opět svazek (o/) orthogonálních kružnic
o í trojic cyklů kj®, k2(l), k£X) o chordále h'. Kružnice o0' jdoucí body Ms, M2,
Má> o středu M0', náleží ovšem také svazku (ox). Rovněž stanoví osa
podobnosti g', která jest společná všem trojicím k^X) k£X) k£X), s orthogonální
kružnicí o/ každé z těchto trojic svazek kružnic (v/) a každá kružnice ví'
tohoto svazku má tu vlastnost, že protíná cykly &3(A), k2(X\ k£X) ve stejném
úhlu.

XXXVI.

13

Centrála pí tohoto svazku jest kolmicí ze středu Mí kružnice oí
ku g'.

Pro všecky hodnoty A obdržíme zde svazek {pí) rovnoběžných
centrál pí, jenž jest ku řadě středů Mí perspektivní, tudíž projektivní
ku dříve zmíněnému svazku {p12) . Jsou tedy též svazky {pí), {pí) pro¬
jektivní, a ježto nekonečně vzdálená přímka náleží oběma svazkům od¬
povídajíc sama sobě, jsou svazky {pí), {pí) perspektivní a vytvořují
přímou řadu bodovou Každý bod na a; odpovídá jedné hodnotě A a jest
tudíž středem cyklu wl, který protíná cykly k-íX), k 2(X), kíX), k 4(A) ve stejných
úhlech. -

Na # leží tedy také středy takových cyklů, které mají tu vlastnost,
že každý z nich dotýká se jedné čtveřiny cyklů k^X) k^X) k3(X) k£X). Jak jsme
již seznali, jsou možný tři takové cykly wlf w2, w3.

Cykly Wx samy tvoří svazek [wj) . Neboť procházejí průsečíky přímky g
s cykly oí, cykly ox, ježto tvoří svazek, vytínají na g involuci, kterou vy-
tínají tudíž také cykly wx. Ježto pak středy těchto leží mimo to na přímce x,
tvoří svazek; jeho chordálu označme j.

Máme tudíž výsledek:

Ke čtyřem cyklům lze sestrojiti jednu kružnici isogonální; méníme-li
poloměry těchto cyklů úměrné zachovávajíce jejich středy, probíhá řečená
kružnice svazek kružnic.

Každý cyklus wx můžeme pokládati za stopu pravoúhlého hyper¬
boloidu Ha, jehož osa jest kolmá k rovině obrazné a jenž prochází body
A^x\ A2(X), A3(X), A4(X), jejichž obrazy jsou cykly k-íX), kíX), kíX), k£X) o polo¬
měrech A rv A r2, A r3, A r4, pro příslušnou hodnotu A ; neboť wx protíná
tyto čtyři cykly ve stejných úhlech. Zobrazme tuto plochu orthogonálně
affinně vzhledem ku rovině obrazné tak, aby body AíX), AÍX), AÍX), A4{X)
přešly v body Av A2, A3, A4; pak přechází Ha v rotační plochu Ha*.
Při tom jsou obě plochy Ha, Ha* stejného druhu, t. j. obě buďto jedno¬
dílné nebo dvojdílné, je-li A reálné, jsou však druhu nestejného, je-li A
imaginárně. Všecky takovéto plochy Ha* tvoří svazek (Ha*), neboť pro¬
cházejí body Av . . , A4 a dotýkají se kružnice nekonečně vzdálené v jejích
průsečících s rovinou obraznou M. Normálná rovina N přímkou x ku M
jest společnou hlavní rovinou všech ploch tohoto svazku.

Mezi těmito plochami jsou zejména:

1. Válcová plocha Hx*, jejíž povrchové přímky jsou rovnoběžný
ku j ; zde jest A = oo.

2. Rotační paraboloid H2*, pro který jest A =0; kružnice o0, o0'
jsou orthogonálními průměty kuželoseček elf e2, ve kterých protínají
paraboloid roviny A1A2A3, A1A2A4, rovina kolmá ke stopě g roviny
A1 A2 A3 a jdoucí bodem M0 jest symetrálnou rovinou plochy H2* a kolmá
rovina ku g’ bodem M0' jest druhou takovou rovinou ; obě protínají se tudíž
v ose paraboloidu. Stopou této osy na M jest tudíž onen bod přímky x,
v němž protínají se kolmice z M0 ku g a z M0' ku g'.

XXXVI.

14

3. Pravoúhlý hyperboloid H3*, jenž má střed v rovině obrazné M.
Průsečík centrál obou svazků (oj)t (o/) jest totiž středem kružnice ox,
která splývá s příslušnou kružnicí ox a protíná všecky čtyři cykly &JA), . . ,
&4(A), které odpovídají příslušné hodnotě X, orthogonálně, pročež jest též
kružnicí svazku (wx). Prochází tudíž přímka # také průsečíkem centrál
svazků (ox), (o/) ; příslušná plocha H3 jest pravoúhlý hyperboloid, který
má střed v rovině M, pročež jest také plocha H3* souměrná k rovině M.

Další konstrukce cyklů wv w2, wz jest tím dána. Stanovíme průsek
kterýchkoli dvou ploch Ha* s rovinou N, na př. kuželové plochy a válcové
plochy jako v odst. 2., a postupujeme dále známým způsobem.

11. Budiž nyní dáno pět orientovaných ploch kulových čili sfér Klf
K2, K3, K4, K5 o poloměrech rr, r2, . . . r5 a o středech Mv M2, . . . M5
a budte KX(A), K2(A), . . . K5(A) sféry k nim soustředné o poloměrech resp.
Árv Xr2, ... X r5.

Vytkněme si nejprve libovolnou trojici daných sfér, na př. K4 K2 K3
a uvažujme příslušné trojice KJA) K2(A) K3(A). Pro určitou hodnotu X tvoří
orthogonální koule k trojici KJA) K2(A) K3(A) svazek 27]23(A), jehož základní
kružnice ox leží v rovině M1M2M3 a jehož centrála nx prochází středem
Mx kružnice ox, jsouc k její rovině kolmá. Měníme-li X, dostáváme jiné
svazky Základní kružnice jejich ox, které leží v rovině M1M2M3i

tvoří rovněž svazek, (ox), o centrále c. Jedním prvkem svazku (o*) jest
kružnice o0 jdoucí body Mlt M2, M3, jiný prvek obsahuje osu podobnosti h
sfér K/, K2', K3', které jsou soustředný ku K1} K2, Ká a jejichž poloměry
jsou v poměru r-f, r22, r32, jak z předchozího přímo plyne. Centrály nx
svazků 27123<A) vyplňují rovinu, která prochází přímkou c a jest kolmá ku
přímce h.

Přejděme k jiné trojici daných sfér, na př. K4 K2 K4 a uvažujme
příslušné trojice KJA) K2(A) K4(A> pro různé hodnoty X. Obdržíme tím opět
pro každé X svazek ^124(A) koulí orthogonální ch o centrále %x . Základní
kružnice ox těchto svazků v tvoří zase svazek kružnic (o/), v rovině
M1 M2 M4 ležící, jehož chordála h' jest osou podobnosti sfér K/, K2', K/,
jichž poloměry jsou v poměru r42 : r22 : r42. Centrály nx vyplňují rovinu Na',
kteiá prochází centrálou c' svazku (o/) a jest kolmá ku h' .

Každé dvě přímky nx, nx příslušné témuž X protínají se ve středu 5a
orthogonální koule Ma koulí KJA), K2(A), K3(A), K4(A). Z toho plyne, že středy Sx
koulí Ma, které jsou orthogonální ke čtveřinám K4(A) K2(A) KS(A) K4(A), pro
různé hodnoty X, leží na přímce ax, která prochází středem 50 koule M0,
tetraedru M1 M2 Ms Mtl opsané, a stojí kolmo k rovině podobnosti H
sfér K/, Ko', K3', K4', jejichž poloměry jsou ve vzájemném poměru
r42 : r22 : r32 : /42. Ježto tyto orthogonální koule protínají mimo to rovinu
M4 M2 M3 (rovněž jako rovinu M4 M2 M4) ve svazku kružnic, tvoří svazek,
který jest určen prvky M0 a H.

Budiž G rovina podobnosti sfér KJA), K2(A), K3(A), K4(A); ona jest spo¬
lečná všem čtveřinám, které obdržíme, udílíce X všecky možné hodnoty.

XXXVI.

15

Normála qx bodem S x ku G jest pro každé A geometrickým místem středů
takových koulí, které protínají sféry . . . K4(A) ve stejných úhlech

a o nichž víme, že tvoří svazek. Přímky qx vyplňují rovinu Qx jdoucí
přímkou ax kolmo ku G.

Uvažuj eme-li čtveřinu sfér KJA) K2(A) K3(A) K5(A), dospějeme stejným
postupem ku přímce ax , která jest geometrickým místem středů S/ ortho-
gonálních koulí Ma' ke čtveřinám KýA) K2(A) K3(A) KýA). Přímka ax jde tedy
středem S0' koule M0', která jest opsána tetraedru M1 M2 M3 M5 a jest
kolmá ku rovině podobnosti IP sfér K1', K2', K3', K6', jež jsou soustředný
s plochami K4, K2, K3, K5 a jejichž poloměry jsou v poměru rf : r22 : r32 : r 52.
Orthogonální koule M/ tvoří opět svazek, stanovený prvky M0' a IP.

Přímky ax, ax protínají se v bodě S; neboť obě protínají normálu nQ
v bodě M0 k rovině Ml M2M3 vztyčenou a jsou kolmé ku přímce h ; leží
tedy v rovině jdoucí přímkou n0 kolmo ku h. Bod 5 jest nyní středem
koule, která jest orthogonalná ke všem pěti koulím KJA', K2(A), K3(A), K4(A),
K5(A), pro hodnotu A jim příslušnou.

Normála qx z bodu Sx ku G' jest pro každé A geometrickým místem
středů takových koulí, které protínají sféry příslušné čtveřiny KJA) K2(A)
K3(A) K0(A) ve stejných úhlech a tvoří svazek stanovený rovinou G' a koulí
M^'. Přímky qx' vyplňují rovinu Qx' jdoucí přímkou ax kolmo ku G'.
Roviny G, G' procházejí přímkou g, která jest společnou osou podobnosti
trojic sfér K/A) K2(A) K;i(A) pro všecky hodnoty A. Přímky qx, qx , příslušné
téže hodnotě A, protínají se, ježto leží v rovině kolmé ku g, v bodě Tx,
jenž jest středem koule Wa, protínající všech pět sfér KýA), . . . K5(A), téže
hodnotě A příslušných, ve stejných úhlech. Body Tx tvoří přímou řadu,
jejíž nositelkou jest průseČnice x rovin Qa. Qx'.

12. Přímku x obdržíme nejjednodušeji, vedeme-li body S0 resp. S0'
kolmice ax resp. ax ku H resp. IP a dále těmitéž body kclmice q0 resp. q0'
ku G resp. G'; přímka % spojuje pak body ax . ax' , q$ . q0'.

Každá kulová plocha Wa prochází průsekem roviny G s Ma a má svůj
střed na x. Ježto pak, mění-li se A, vytvořuje koule Ma svazek koulí, tudíž její
průsek s rovinou G svazek kružnic, tvoří právě uvažované koule Wa,
které vytínají tento svazek z G a mají středy na x, svazek koulí (Wa).

Můžeme tedy říci:

K péti sférám lze sestrojiti jednu kouli isogonálnou ; méníme-li úměrné
poloměry sfér, zachovávajíce jejich středy, probíhá zmíněná koule svazek
kulový/.

Koule Wt tohoto svazku, která má střed v bodě ax . ax', náleží svazku
(M0 H) resp. (M0r IP) a jest takto jednoduše určena. Rovněž koule W2
svazku (Wa), jež má střed v bodě q0 . q0', jest jednoduše dána, náležíc
svazku (M0 G) resp. (M0' G'). Tím jest stanoven svazek (Wa) a jeho
potenční rovina P. Budiž i základní kružnicí tohoto svazku, ať reálnou
nebo imaginárnou.

XXXVI.

16

Nyní jest postup další pro řešení naší obecnější úlohy vyslovené v od¬
stavci 1. patrný. Vytkněme z pěti sfér daných libovolné dvě a otočme je
kolem přímky x, až jejich středy padnou do roviny přímkou x jdoucí ; na př.
otočme K2 kolem x až M2 padne do roviny \Mxx\. Budte pak Mh Mk
středy koulí takto otočených. Orientaci koulí v koule orientované čili
sféry možno jak známo stáno viti tím, že béřeme poloměr koule kladně
orientované kladně a naopak; při tom průsečné kružnice s rovinou L =
= ( MiMkX ) obou našich ploch kulových orientujeme jako cykly ki, kk
kladně nebo záporně dle toho, jsou-li to řezy s koulí kladně nebo záporně
orientovanou.

Protíná-li L kružnici i v bodech Jv J2 a jsou-li ki, kk cyklografické
obrazy v rovině L bodů L, K, řešíme nyní , vzhledem k předchozímu, úlohu:

,,V rovině L položiti jest body Jx, J2 cyklus w tak, aby jeho body
podobnosti s cykly ki, kk ležely na kružnici ku w soustředné/'

Jest zde třeba rovinu N, jdoucí přímkou x kolmo ku L, protíti plochou
kulovou, jdoucí kružnicí i a body L, K, v kružnici s a položiti orthogo-
nálními průměty bodů Jlt J2, L, K do roviny N onu parabolu p, jejíž osa
jest rovnoběžná ku x. Každý vrchol společného polárního trojúhelníka
křivek s, p zobrazuje se cyklograficky do roviny L jako cyklus w, jenž
má vlastnost- žádanou. Obdržíme opět tři takové cykly wv w2, wz.

13. Obecně jest pro grafické provedení výhodno, bráti vhodně vo¬
lenou rovinu, přímkou x jdoucí, za rovinu L na př. rovinu orthogonálně
promítající do roviny předem vytčené za rovinu průmětnou. Pak otočme
tři z daných sfér K* (i = 1, . . . 5) kolem x tak, aby jejich středy padly
do L, což jest pro každou z nich ovšem možno dvojím způsobem. Budte
K /, K//, Km jejich nové polohy a MI} Mu, Mni budte nové polohy jejich
středů; dále budte ki, ku, km cykly, v nichž tyto sféry protínají rovinu L.

Sestrojme nyní v rovině L cykly wv w2, wz, které mají středy na #
a z nichž každý má tu vlastnost, že jeho body podobnosti s cykly ki, ku,
km leží na kružnici k němu soustředné. Za tím účelem považujme L jako
rovinu obraznou zobrazení cyklografického, při čemž sklopíme rovinu tu
do naší základní roviny průmětné. Budte A /, Au, Aui ony body, které
zobrazují se na L v cykly ki, ku, km-

Položme dále přímkou x rovinu N kolmou ku L, stanovme v rovině N
stopní kružnici s plochy kulové jdoucí Ai, Au Aui a mající střed v N,
promítněme body Aj, Au, Ani orthogonálně na N a položme jejich prů¬
měty onu parabolu p, jejíž osa jest rovnoběžná ku x. Pak jsou wlt w2> wz
cyklografickými obrazy na L vrcholů společného polárního trojúhelníka
křivek s, p.

Cykly wv w2, wz jako kružnicemi největšími jsou stanoveny jedno¬
značně tři sféry W1? W2, W3; ony mají tu vlastnost, že body podobnosti
každé z nich s danými pěti sférami Kv . . . K5 leží na kouli k ní soustředné,
čili, což jest v podstatě totéž, že společné opsané kužele každé z těchto

XXXVI.

17

sfér W1; W2, W3 se sférami danými KI( . . . K5 jsou shodné. Rovněž jest
jasno, že tato úloha jest totožná s úlohou:

Ku pěti daným sférám Klf . . . K5 sestro jiti pét soustředných s nimi
sfér KX(A), . . . K5(A), aby poloměry jejich byly úměrný k poloměrům daných
a aby sféry ty mely společnou kouli dotyčnou W'.

Takovéto koule existují tři: W/, WY, W/; jsou soustředný se sférami
• Wv W2, W3 a vznikají z těchto touž úměrnou změnou poloměrů jako
pět hledaných sfér KýA), . . . KýA> z daných sfér Kv . . . K5. Každá z koulí
W/, Wž', W3'. prochází body podobnosti daných sfér Kl5 . . . K5 s jednou
ze sfér Wx, W2, W3 právě sestrojených, čímž jest její konstrukce rovněž

CJ

dána. Při tom jest reciproká hodnota faktoru úměrnosti A rovna sin-—,

značí-li a) úhel při vrcholu kuželů prve zmíněných v jejich rovinách
osových .

14. Ježto koule W' dotýkají se sfér KýA), . . . K5(A), platí pro faktor
úměrnosti A podmínka daná následujícím determinantem:

0 , d{22 — A2 (rl — r:l}2, dl32 — A2 (r1 — r3)2,

<4i2 — & ta~ >\)2’ 0 , d%2 — )? (r2— r3)2,

‘ta2—*2 ta — r 1)2, d-J — A2 (r5 — r2)2, db2 — A2 (r5 — r3 )2,
<ta2 ~ *2 ta - u)2, i,2 - A2 - r,)2

V - *2 ta ~ rJ2, tas2 - *2 ta - rb)2 ,

= o,

tal2

A2 (r.

- r.

(7)

kde značí opět vzdálenosti středů koulí Kj(A), K*(A). Tato rovnice jest
v A2 zdánlivě stupně pátého; ježto však determinant

o ta — ^)2 • • ta — ^i)2
ta — ta2 o • • ta — ta2
ta— ta2 ta — ^2) 2 • • ta— >*)*
ta — ta2 ta — ^2) 2 • • ta — *5) 2
ta — ta2 ta — ^)2 • • o

má karakteristiku tři, o čemž se přesvědčíme stejným způsobem jako
v odst. 3., možno rovnici (7) uvésti na tvar

D1 A6 — D2 A4 + Dz A2 — D = 0 ; (7')

hledáme-li místo A úhly « pro možné gruppy kuželů, obdržíme rovnici

D sinQ - Z)3 srn4 Z)2 srn2 - = 0. (7")

A A A

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 36. 2

XXXVI.

8

Zde značí D determinant

O // 2 y/ 2
u uV2 ul3

d21 2 O 432

w o

kdežto D3, D2, Dl obdržíme z (7), jestliže vypustíme všemi možnými způ¬
soby vždy v jednom resp. dvou resp. třech sloupcích veličiny č/**2, v ostat¬
ních sloupcích veličiny A2 (V* — ru)2 a determinanty takto vzniklé vždy
sečteme.

Je-li D = 0, jest naše úloha kvadratickou; v tomto případě leží
středy pěti koulí daných na téže kouli.

14. Orthogonální koule čtveřin KJA) K2(A) K3(A) KýA) jsou vyjádřeny
rovnicí

čili rovnicí

*2 + y2 + *2

«,2 -r K -t f,2 AVX2
a 2 + b.? + c,2 — A2 r22
az + + c32 — A2 r32

«**+ V+C*2 —

x y z i
ax bL Cj 1

«2 h ci 1
a3 b3 c3 1
a4 b4 c4 1

- 0,

x2 J- y2 -f z2 x y z 1

0 x y z 1

cii + W2 + ci a\ K Ci 1

rl ai \ c, 1

ai + b2 + c22 a2 b2 c2 1

- A2

v2 a2 b2 c2 1

a32 + b32 -f c32 a3 b3 c3 1

v 2 a3 b3 c3 1

«42 + b2 + c2 ci4 b4 c4 1

v 4 ci4 b4 c4 1

Píšeme-li tuto rovnici zkráceně

z1v — A2 z/2 = 0,

značí d4 — 0 rovnici plochy kulové jdoucí středy M1; M2, M0>, M4 a z/, — 0
rovinu podobnosti čtyř sfér, jež jsou se sférami K1} K2, K3, K4 soustředné
a jejichž poloměry jsou úměrný čtvercům poloměrů těchto sfér.

Rovina podobnosti sfér KJ1*, . . . K4(;) dá se známým způsobem vy¬
jádřit i rovnicí

0 x y z 1
r4 a1 b4 c-i 1

= 0,

(0)

£.1 r4 a4 b4 c4 1

kterou pišme ve zkráceném tvaru

A zl3 = 0.

XXXV I

19

Při tom jest dle orientace sfér K* buďto Si = + 1 nebo a* = — !.
Možno tedy koule, které protínají sféry čtveřiny Kx(yl) K2(A) K3(A) K4(A) ve
stejných úhlech co a jejichž poloměr budiž označen p, vyjádřiti rovnicí

zll — A2 z/2 4- A z/3 (J cos co = 0.

Z poslední rovnice možno vypočísti souřadnice rj, £ středů těchto
koulí. Užijeme-li zkráceného označení determinantů elementy hlavní dia¬
gonály a klademe-li deteiminant \_ax bz c3 14] roven á, jest

2 d | = [( a 42 -j- bx2 -j- Ci2) b2 có 1 4] fp A [sí rx b2 c3 14] q cos co — A2 [r42 b2 c3 1 4] ,

2 d rj =— [[a^ + &i2 + cx2) a2cs 141 — A [í4 ^ <22 cz hj Q cos co -(- A2 [?42o:2 o3 1J, (10)
2 ú £ = [(čřj2 -j- 6X2 + Cj2) a2b3 IJ + A [fij 7'j í?2 b3 1J y cos co — A2 [r2 a2 b3 14] ,

Z těchto rovnic plyne eliminací A2 a A q cos co

2 d | — [K2 + V + q2) 6, o3 14|, fojr, 6, o3 i4],

y] + [(tii2 + b2 + c2) a 2 c3 14], — [s1 r1 a2 c3 Jj,

2 ú £ — [{a2 + b2 + Oj2) a2 b3 14], foTi ^2 h 1J»

WWJ

[fi2 ^2 C3 I4]
[fl2. ^2 ^3 I4J

— 0. (11)

Rovněž tak obdržíme, kladouce v indexech všude 5 místo 4 a zna¬
číce ú' — \ax b2 c3 15],

2 £ — ■ [(í?j2 + bj2 + o,2) b2 c3 J5j,

2 <T ^ + [(%2 + 6t2 + cr2) a2 o3 16),

2 cT | — [K2 + &i2 + ci2) h I5J*

Lí^i 62c315], \r2 b2 c3 IJ

~ [g3 ri a2 C3 ls]> a2 ^3 -^5]

i5i

0. (12)

Rovnice (11), (12) určují přímku x.

K rovnicím (10) obdržíme rovnice obdobné, klademe-li v nich rovněž
v indexech 5 místo 4, tedy též ú' místo č. Eliminací q cos co z kterýchkoli
dvou z těchto šesti rovnic obdržíme pro každou hodnotu A2, ze (7) ply¬
noucí, rovnici roviny, která prochází středem jedné z hledaných koulí Wj
resp. Wi ; tedy na př. rovnici roviny

2á i — [(iq2 + V + q2) b2 c3 1,] + A* [q2 h cs 1J. [£Tq_&2 q 14] = 0

2 ď ij + [K2 + V + Ci2) a2 cs — A2 [q2 «2 c3 14], — [i, q a2 c3 14]

a t. d. Poloměry p koulí W/ obdržíme pak z každé rovnice zmíněné gruppy
šesti rovnic, značí- li (|, iy, f) dříve stanovené souřadnice jejího středu
a značí-li A jednu z hodnot z rovnice (7') plynoucích, při čemž nutno
klásti cos co — -+- 1 .

Tak jest na př.

8 0

2 ď | — f(^i2 + b2jr c42) 62 c3 14] + A2 \r2 b2 c3 14]

A Í84 b2 c3 14]

(13)

*

XX XVI.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 37.

O novém způsobu titrace kyanovodíku
a jeho solí.

Část I.

Napsal

Prof. Dr. CYRILL KRAUZ.

(Předloženo dne 24. dubna 1914.)

Často jsme nuceni stanovití kyanovodík titračně v různých směsích
anorganických i organických, ke kterémuž účeli se původní methoda Vol-
hardova mnohdy nehodí; jsou to hlavně směsi cukerné, ať již přirozené
neb umělé, kde stříbrnatých roztoků v prostředí neutralném a méně ještě
alkalickém k titraci použiti nelze. Rovněž i stará, dnes skorém již zapome¬
nutá methoda Mohrova, spočívající v titraci roztoků kyanovodíkových
silně ammoniakalných roztokem síranu mědnatého, hodí se k účelům těm
velmi málo, jestiť již sama sebou nepřesná: reakce při tom probíhající není
jediná, jest komplikována několika reakcemi vedlejšími, její průběh jest
nestejný — nespolehlivý.

I hleděl jsem tudíž nalézti methodu, jíž v každém směru dalo by se
použiti s výhodou. Nejprve zamýšlel jsem methodu Mohrovu modifikovati
tak, že přídavkem nějakého vhodného indikátoru dal by se nej menší pře¬
bytek při titraci použité mědi ihned zřetelně poznati. Toho není však
možno za starých Mohrem udržovaných podmínek, t. j. za silné ammo-
niakality roztoku docíliti. Zkusil jsem tudíž titrovati roztoky tak dalece
neutrálně pokud odpovídají stupni neutrality vodných roztoků kyanidů
alkalických ; bylo tudíž na fenolftalein zbarvení vždy červené, nepocházelo
však od ammoniaku. V tom případě dařila se věc velmi dobře.

Princip titrace měl spočívati as v těchto bodech: Dokud jest v roz¬
toku, k němuž síranu mědnatého se přikapuje, ještě CN' přítomen, potud
síran mědnatý se odbarvuje; je-li však jont ten spotřebován, lze prvý,
sotva znatelný přebytek soli mědnaté přídavkem některého citlivého
reagens ihned dokázati. Toto citlivé reagens musí odpovídati třem hlavním
podmínkám: musí býti indifferentní vůči CN' a nesmí titraci samé překá-
žeti, musí skýtati se síranem mědnatým dostatečně intensivně zbarvení

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 37. 1

XXXVII.

2

neb sedlinu a musí býti dostatečně citlivé. Po delším hledání nalezen
takovýto indikátor ve ferrokyanidu draselnatém, jenž za daných pod¬
mínek poskytuje se síranem měcínatým intensivně červenou sedlinu a to
teprve tehdy, když byl veškerý kyanovodík spotřebován.

V této části práce vypracována methoda na čistém kyanidu drasel-
natém a brány při tom v úvahu především meze přesnosti při různé kon¬
centraci roztoků odměrných i titro váných, zjištěn přesný průběh reakce,
vymezen vliv množství použitého indikátoru, jeho koncentrace a konečně
vliv teploty.

V e druhé části práce podány budou výsledky docílené touto methodou
za přítomnosti různých látek anorganických i organických, jakož i podána
applikace methody té na různých případech praktických.

1. Průběh reakce.

Jakožto látek výchozích použito nej čistšího kyanidu draselnatého,
dusičnanu stříbrnatého a síranu mědnatého. Za základ vzat nejprve du¬
sičnan stříbrnatý, z něhož připraven roztok přesně n/ 10, jehož 1 cm i3 od¬
povídá 0-013 g KCN a titrací tímto roztokem stanovena hodnota vý¬
chozího kyanidu: odvážených 8-2785 g KCN rozpuštěno na 500 cm3 vody;
10 cm3 tohoto roztoku vyžadovalo 12-70 cm3 n/10 AgN03 (jako střed tří
parallelních titrací), což odpovídá: 12-70 X 0-013 x 50 = 8-255 g KCN
v 500 cm3.

Mimo to stanoveno množství KCN též vážkově (srážením AgCN u přít.
HN03 a vyžíháním na kovové Ag). Z 10 cm3 roztoku kyanidového získáno
na konec 0-2755 g Ag, což odpovídá 0-1658 g KCN, čili v 500 cm3 původ¬
ního roztoku: 8‘2900g KCN

Odváženo : 8-2785 g KCN,

Nalezeno titrací : 8-2550 g KCN,

Nalezeno vážkově : 8-2900 g KCN,

Střed : 8-2842 g KCN.

Možno tudíž k našim účelům považovati kyanid použitý za 100%ní.

Dále připraveny normálně roztoky síranu mědnatého rozpuštěním
nej čistšího CuS04 . 5 aq = M = 249-5. Pro roztok normalný odváženo
(na základě dvojmocenství kovu, resp. dibasicity kyseliny) přesně 124’75 g
soli té na 1 litr a roztoky další: n/2, n/5, n/10, n/ 20 a w/100 připraveny
příslušným zředěním roztoku normalného.

Při smísení roztoků síranu mědnatého a kyanidu draselnatého vy¬
lučuje se předem bleděmodrá sedlina kyanidu mědnatého Cu (CN)2, jež
přídavkem dalšího kyanidu se rozpustí a roztok se stává bezbarvým.

Dle Traedwella (viz Traedwell: Lehrbuch d. analytischen
Chemie I. Bd.) prochází při tom reakce:

a) 2 CuS04 + 4 KCN = 2 Cu(CN)2 + 2K2S04,

XXXVII.

3

(CN)2 + Cu2(CN)s

b) Cu(CN)2
Cu(CN)2

c) Cu2(CN)2 + 6 KCN = [Cu2(CN)8] K6,
což možno shrnouti v idealnou rovnici jedinou:

CuS04 + 5 KCN = Cu(CN)4K3 + CN + K2S04,
čili, že na 1 mol CuS04 je zapotřebí 5 molů KCN, tedy:

CuS04 -5 aq — 249-5 odpovídá 5 KCN = 325, následkem toho od¬
povídal by

1 cm3 n CuS04 0T625 g KCN a 1 cm 3 našeho roztoku (16 5570 g KCN v 1 /)

0 102 cm 3 n CuS04,

1 cm3 nj 2 CuS04 0 08 125 g KCN a 1 cm3 našeho roztoku (1 65570 g KCN v 1 /)

0 204 cm3 n\ 2 CuS04,

1 cm3 w/5 CuS04 0'0325 g KCN a 1 cm3 našeho roztoku (165570 g KCN v 1 /)

0 509 cm3 w/5 CuS04,

1 cm3 n{ 10 CuS04 0 01625 g KCN a 1 cm3 našeho roztoku (165570 g KCN v 1 /)

101 cm3 nl 10 CuS04,

1 cm3 n/ 20 CuS04 0 008 125 g KCN a 1 cm3 našeho roztoku (165570 g KCN v 1 /)

2 03 cm3 n\ 20 CuS04,

1 cm3 nl 100 CuS04 0 001625g KCN a 1 cm3 našeho roztoku (16 5570 g KCN v 1 /)

10 10 cm3 w/100 CuS04.

Aby se zjistilo, probíhá-li vskutku reakce v tomto smyslu, odměřeno
vždy po 10 cmz roztoku kyanidového a titrováno jednotlivými roztoky
mědnatými za přídavku vždy stejného množství indikátoru, to j. 0-5 cmz
10%ho roztoku ferrokyanidu draselnatého. Teplota byla laboratorní
a činila 17 — 18° C. Výsledky, jež jsou vždy středem dvou parallelních titrací,
sestaveny jsou v tabulku:

Odměřeno
© KCN

Titro\ áno rozto¬
kem CuS04 . 5 aq

Spotřebová¬
no cm3

Theorie vyža¬
duje cm3

Přechod

zbarvení

10 cm3

n

T265

1.01

intens. a přes.

10 cm 3

w/2

2-60

2-02

>> >y

10 cm 3

w/5

6-525

5-05

>> yy

10 cm 3

w/10

13-025

10-1

yy yy

10 cm 3

w/20

as 26-0

20-2

méně přesný

10 cm 3

w/100

as 140-0

10-1

velmi nepřesný

Z tabulky vidno, že s klesající koncentrací síranu mědnatého přesnost
se zmenšuje, neboť barevný přechod jest již méně intensivný. Koncentrace
roztoků n až nj 10 jest stejně výhodná, nj 20 již méně, a koncentrace w/100
jest již nepoužitelná. Další závažné faktum jest, že spotřeba roztoku
mědnatého jest větší než theorie předvídá dle známé, výše citované rovnice
(CuS04 + 5 KCN) a nejen to, ve vyšší spotřebě té jeví se zde zcela přesná
pravidelnost. Nastává tudíž možnost, že rovnice jak jest uvedena v Traed-
wellově učebnici takto zředěným roztokům neodpovídá. K potvrzení
této domněnky možno dospěti touto úvahou:

l*

XXXVII.

4

1 cm? našeho roztoku kyanidového chová 0-016557 g KCN ; z tabulky
kontrolní jest patrno, že toto množství spotřebovalo:

1-265

10

2-6

10

6-525

10

13-025

cm3 = 0-1265 cm3 n CuS04>
m 3 = 0-2600 cm' n/2 CuS04,
cm? =0-65 cm? n/h CuS04,

Yq — cm3 = 1-3025 cm3 n/10 CuS04; odpovídá tudíž 1 cm?

našeho kyanidu 0-13025 cm? n » uS04 (5 aq). Ježto pak 1 cm? n CuS04
(5 aq) obsahuje 0' 12475 g CuS04 • 5 aq tedy odpovídá 0-016557 g
KCN : 0.0162487 g CuS04 . 5 aq, což přepočteno na veličiny molekulové:

KCN : x CuS04 • 5 aq = 65 : x = 0-16557 : 0-0162487, x = 63-7, t. j.
na 65 č. KCN připadá 63-7 č. CuS04 • 5 aq a konečně z úměry:

65 : 63-7 = x (KCN) : 249-5 (CuS04 • 5 aq), x = 3 91, čili, že na 1 mo¬
lekulu (249-5) CuS04 - 5 aq připadají 4 (3-91) molekuly KCN.

Nelze tudíž rovnice výše citované pro tyto poměry použiti a lze tu počí-
tati jedině s rovnicí, jež v plné míře souhlasí s případem pro soli nikelnaté:

NiCl2 + 2 KCN = 2 KCl + Ni(CN)2,

Ni(CN)2 + 2 KCN = Ni(CN)4K2,

čili NiCl2 + 4 KCN = Ni(CN)4 K2 4- 2 KCl, tedy pro náš případ platí schéma:
CuS04 + 4 KCN = Cu(CN)4K2 + K2S04.

Tomu ostatně nasvědčuje ještě i okolnost, že nižádným způsobem
nebylo možno kqnstatova i za našich podmínek reakčních přítomnost vol¬
ného kyanu, jen^ dle schématu Traedwellem uváděného při reakci vzniká.

2. Vliv množství přidávaného indikátoru a koncentrace
roztoku kyanidového.

Jakožto kapalin odměrných použito roztoků CuS04 *5 aq n, n/2,
n/ 5, n/ 10 a nj 20 a titrovány postupně roztoky chovající 0T, 0-25, 0-5, 1*0,
5-0, 10-0 20-0% KCN za současného přidávání různého množství 10%ho
roztoku ferrokyanidu draselnatého. Dle výše dokázané reakce: CuS04 +
4 KCN = Cu(CN)4 K2 + K2S04 odpovídá 249-5 č. CuS04 • 5aq : 4 X 65 = 260
č. CKN, čili

cm3 n CuS04 * 5 aq odpovídá
cm? n/2 „ „

cm3 n/ 5 „ „

cm? n/ 10 „ „

0-1300 g KCN,
0-0650 g KCN,
0-0260 g KCN,

Na základě těchto dat provedena nyní řada titrací, jejichž výsledky
shrnuty jsou v příslušné tabulky.

XXXVII.

5

a) Roztok chovající 0-l°/o KCN.

Přidáno

indika-

Odměře¬
no rozto-

Titrováno

roztokem

Spotřeba
v cm3

1 hec rie
\ yžaduje

Přechod
zbar\ ení

Poznámka

toru

ku KCN

CuS04

cm 3

1 kapka

~~ 0-04

3 „

a

0-04

vesměs

titrováno

5 „

5 cm3

d

rctí

a

0-05

0-03845

z byrety

10 „

0-045

přesný

dělené na

1 cm 3

O

S

0-045

a rychlý

Vioo cm3

5 „

0-045

10 „

0-06

1 kapka

0-08

3 „

a

0-09

vesměs

přesný

titrováno

5 „

10 „

5 cm3

tí

Ctí

a

u

0-1

0-105

0-0779

z byrety
dělené na

1 cm3

o

R

0-12

a rychlý

V íoo cm3

5 „

0-11

10 „

0-11

1 kapka

0-2

3 „

5 „

10 „

5 cm3

a

s>>

£

až

a

0-2

0-21

0-22

0-19225

jasný
a přesný

byreta

1 cm3

Sh

O

R

0-25

Vioo cm?

5 „

„o

0-28

se stoup, množst. in¬

Íh

0-30

dikátoru tvoří se sed¬

10 „

lina těžce rozp.

1 kapka

tí

0-4

3 „

R

'V>'>

0-4

jasný a přesný

5 „

R

ctí

0-4

avšak značně

byreta

Vio cmS

io

1 cm3

5 cm3

a

5-h

O

R

0-4

0-5

0-3845

volnější

5 „

o

0-6

méně přesný

10 „

h''

0-65

1 kapka

a

0-8

3 „

0-8

dosti volný

5 „

rčtí

0-8

byreta

Vio cmS

io

1 cm3

5 cm3

-a

5— i

O

R

0-85

0-9

0-779

málo jasný
‘ nepřesný

5 „

1-05

10 „

1-20

Z tabulky vidno, že v roztoku 0-l%ním probíhá reakce nej hladčeji
a nejpřesněji za použití roztoků mědnatých nf 5 a nj 10. Roztoky jak zře-
děnější, tak koncentrovanější jsou méně výhodný. Podobně i přebytek

XXXVII.

6

indikátoru jest na závadu. Množství indikátoru nad 10 kapek jest již ne-
příznivo, tvoří se snadno tmavočervená sedlina v prostředí reakčním
dosti zvolna rozpustná, což jest na újmu rychlosti i 'přesnosti titrace.

b ) Roztok chovající 0-25°/o KCN.

Přidáno

Odměře-

Titrováno

Spotřeba

Theorie

Přechod

Poznámka

indika-

no rozto-

roztokem

v cm 3

vyžaduje

zbarvení

toru

ku KCN

0uSO4

cmz

1 kapka

0-105

méně přesný

3 „

01

5 „

0-95

byretou

10 „

5 cm3

n

0-1

0-0961

přesný

dělenou

1 cm 3

012

na Vioo c™?

5 „

0-13

10 „

—

1 kapka

0-195

méně přesný

3 ,,

0-195

přesný

5 „

0-195

velmi přesný

byretou

10 „

5 cm3

n/2

0-20

0-1922

málo přesný

dělenou

1 cm 3

0-23

roztok již příliš

na Vioo cm3

0-25

žlutý až hnědý,

přechod velmi

10 „

0-28

nepřesnv

1 kapka

0-5

méně přesný

3 ,j

0-5

velmi přesný
a rychlý

5 „

0 „

5 cm3

nj 5

0-5

0-55

0-4806

byretou

dělenou

1 cm3

0-65

roztok příliš

na l/ioo

0-65

žlutý až hnědý.

přechod ne¬

10 „

0-65<

přesný

1 kapka

0-95<

málo přesný,

3 „

0-95

přesný

5 „

1-0

a rychlý

byretou

10 „

5 cm3

nj 10

1-0

0-961

roztok hnědý

dělenou

1 cm3

1-20

přechod ne¬

na V10o cm3

5 „

1-30

jasný a ne¬

10 „

1-35

přesný

1 kapka

2-0

málo přesný

3 „

1-95

přesný

5 „

1-95

a rychlý

byretou

10 „

5 cm 3

nj 20

2-25

1-922

dělenou

1 cm3

24

nepřesný

na Vio cm3

5 „

2-5

10 „

2-6

vel. nepřesný

XXXVII.

7

Tabulka poučuje nás o tom, že se stoupající koncentrací prostředí
titrovaného jest stoupající množství indikátoru na závadu. Nej výhodnější
množství indikátoru jest zde 5 — 10 kapek, koncentrace pak roztoků ti-
tračních nj 2 až nj 10.

c ) Roztok chovající 0-5°/o KCN.

Přidáno

indiká¬

toru

Odměře¬
no rozto¬
ku KCN

Titrováno

roztokem

CuS04

Spotřeba
v cm 3

Theorie

vyžaduje

cm3

Přechod

zbarvení

Poznámka

1 kapka
3 „

5

10 „

1 cm3

5 „

10 „

5 cm 3

n

0-2<

0-2<

0-2

0-2

0-2>

0-25

0-25

0-19215

vesměs

přesný

titrováno
z byrety
dělené na

Vio cm 3

1 kapka
3 })

5 „

10 „

1 cm3

5 „

10 ,

5 cm3

n/2

0-4<

0-4<

0-4

0-4>

0-4>

0-45

0-45

0-3843

velmi

přesný

titrováno
z byrety
dělené na
Vio cmS

přesný

málo jasný

1 kapka
3 „

5 „

10 „

1 cm3

5 „

10 „

5 cm3

nj 5

0-95

1-0

10

1-05

1T5

1-2

1-3

0-95075

velmi

přesný

titrováno
z byrety
dělené na

Vio em3

málo přesný,
vadí žluté až
hnědé barvení
se roztoku

1 kapka

3 „

5 „

10 „

1 cm 3

5 „

10 „

5 cm3

nl 10

2-15

205

2-0

21

2-4

2-5

2-6

1-9215

méně přesný

titrováno
z byrety
dělené na
Vio cmS

přesný

méně přesný

vadí zbarve¬
ní, nepřesný

1 kapka
3 „

5 „

10 „

1 cm3

B „

10 „

5 cm3

nj 20

40

3- 9

4- 0

4*2

4-7

4- 8

5- 2

3-8430

nej asný

titrováno
z byrety
dělené na
Vio cȒ3

velmi přesný

méně jasný

nejasný a
nepřesný

XXXVII.

8

I v tomto případě se potvrzuje totéž co v případech přede¬

šlých.

d) Roztok chovající 1% KCN.

Přidáno

Odměře-

Titrováno

Spotřeba

| Theorie

Přechod

Poznámka

indika-

no rozto

roztokem

v cm3

i vyžaduje

zbarvení

tcru

ku KCN

CuS04

1 cm3

1 kapka

0-4

méně jasný

3 „

0-4

5 „

0-4

jasný

z byrety

10 „

5 cm3

n

04 >

0-3845

a přesný

dělené na

1 cm 3

0-4>

Vio cm3

5 „

0-45

nejasný

10 „

0-5

a nepřesný

1 kapka

0-8

nepřesný

3 „

0-75

5 „

0-75

přesný

z byrety

10 „

5 cm3

n/2

0-8

0-7690

dělené na

1 cm3

0-8

Vio cm3

5 „

0-9

nepřesný

10 ,,

10

1 kapka

1-95

nepřesný

3 „

1-95

5 „

l-95>

přesný

z byrety

10 „

5 cm3

n/5

1-95

1-9225

dělené na

1 cm3

205

velmi

Vio cm3

5 „

2-2

10 ,,

2-5

nepřesný

1 kapka

3-9

vel. nepřesný

3 „

3-85

5 „

3-85>

přesný

z byrety

10 „

5 cm3

nl 10

3-95

3-845

dělené na

1 cm3

4-4

nepřesný

Vio cm3

5 „

4-8

velmi

10 „

5-3

nepřesný

1 kapka

100

vel. nepřesný

3 „

7-9

5 „

7-8

přesný

z byrety

10 „

5 cm3

nj 20

8-2

7-690

dělené na

1 cm3

91

velmi

Vio cm3

5 „

9-6

10 „

11-3

nepřesný

XXXVII.

9

Množství indikátoru 5 — 10 kapek zůstává stále nej výhodně j ší
koncentrace roztoků titračních nesmí v tom případě klesnouti již pod
nj 10, jelikož titrace roztokem nj 20 jest již vůbec nepoužitelnou. Nepřesnost
přechodů barevných spočívá v tom, že roztok za přebytku indikátoru se
barví intensivně žlutě, později hnědě, tak že vlastní kriterium reakce roz-
poznati -se dá pouze těžce.

e) Roztok chovající 5°/0 KCN.

Přidáno

indiká¬

toru

. Odměře¬
no rozto¬
ku KCN

Titrováno

roztokem

CuS04

Spotřeba
v cm3

Theorie
vyžaduje
cm 3

Přechod

zbarvení

Poznámka

1 kapka

20

nepřesný

5 „

l-9>

velmi přesný

byretou

10 „

5 cm3

n

l-9>

1-9225

dělenou

5 cm3

2-05

na Vio cm 2

10 „

2-10

velmi nejasný

1 kapka

3-9

nepřesný

5 „

3*8

byretou

10 „

5 cm3

n/2

3-8

3-845

velmi přesný

dělenou

5 cm3

40

na Vio cm 3

10 „

4-2

velmi nejasný

1 kapka

9-7

nepřesný

5 „

9-6

byretou

10 „

5 cm3

n/5

9*6

9-6125

velmi přesný

dělenou

5 cm3

9-7

na Vio cm3

10 ..

10

velmi nejasný

1 kapka

19-3

nepřesný

5 „

19-2

velmi přesný

byretou

10 „

5 cm3

n/10

19-2

19-225

přesný

dělenou

5 cm3

20-2

neupotře-

na Vio cmZ

10 „

20-9

bitelný

1 kapka

38-5

nepřesný

5 „

38-5

byretou

10 „

5 cm3

n/20

38-5

38-45

přesný

dělenou

5 cm3

41-6

neupotře-

na Vio cm-3

10 „

43-5

bitelný

Jak již z předchozích tabulek bylo patrno, stává se titrace v kon¬
centrovanějších roztocích značně nepřesnou, což potvrzuje se i při roztoku
5% KCN. Hlavně u přítomnosti většího množství indikátoru (ferro-
kyanidu draselnatého) jest průběh reakce nepoužitelný. Roztok titrovaný

XXXVII.

10

barví se totiž v míru přidávání potřebného kyanidu velmi intensivně
žlutě až žlutohnědě, kteréžto zbarvení maskuje takřka úplně přechod
v onen karakteristický odstín tmavočervený naznačující konec reakce.
I zde se osvědčuje 5 — 10 kapek indikátoru a titrovati lze všemi roz¬
toky skorém stejně přesně.

j) Roztok chovající 10% KCN.

Přidáno

indiká¬

toru

Odměře¬
no rozto¬
ku KCN

Titrováno

roztokem

CuS04

Spotřeba
v cm3

Theorie

vyžaduje

cm3

Přechod

zbarvení

Poznámka

1 kapka

3*5

vel. nejasný

z byrety
dělené na
Vio cm3

5 „

5 cw3

n

3-2

3-845

neupotřebitelný

10 „

5 cm3

p

?

nelze již vů¬
bec titrovati

1 kapka
5 „

5 cm3

n/2

6-7

6-3

7-69

barví se červeně, zbar¬
vení mizí zředěním

z byrety
dělené na

Vio cm3

10 „

5 cm3

?

?

velmi
nej asný

1 kapka

17-7

méně přesný

z byrety
dělené na
Vio cm3

5 „

10 „

5 cm 3

nj 5

17- 6

18- 5

19-225

dobrý

5 cm3

19-5

vel. nejasný

1 kapka

38-6

méně přesný

z byrety
dělené na
Vio cm3

5 „

10 „

5 cm3

nj 10

38-45

38-5

38.45

velmi dobrý

5 cm 3

39-2

vel. nejasný

1 kapka

77-2

méně jasný

z byrety
dělené na
Vio cm3

5 „

10 „

5 cm3

n/2 0

76-85

76-95

76-90

dobrý

5 cm 3

77-65

dosti dobrý

Jest patrno, že v roztocích koncentrovanějších jest titrace již velmi
nepřesná a roztoky n, n/2 a n/ 5 nedá se již ani provésti, ježto směs se barví
ihned po vpravení první kapky kyanidu hnědě, tak že nelze konce reakce
vůbec rozeznati. Menší spotřeba mědi (as o V6), značné zahřívání se roztoku
a hlavně vývoj bublinek plyna, v němž skonstatován kyan, nasvědčuje tomu,
že reakce v mediu koncentrovaném (kolem 10% KCN) probíhá ve smyslu
původního schéma Traedwellem uváděného: CuS04 +5 KCN = Cu(CN)4 K3
+ CN + K2S04. Roztok 10%ní KCN lze titrovati správně pouze roztokem
nj lOným, poměrně dobře probíhá též titrace roztokem n/ 20, není však
možno jí odporučiti.

XXXVII.

11

g) Roztok chovající 20% KCN.

Přidáno

indiká¬

toru

Odměře¬
no rozto¬
ku KCN

Titrováno

roztokem

CuS04

Spotřeba
v cm 3

Theorie
vyžaduje
cm 3

Přechod

zbarvení

Poznámka

3 kapky
10 „

5 cm3
10 „

5 cm3

w

as 4

?

?

p

7-69

vel. nejasný

barví se hnědě

nelze vůbec
titrovati

vyvíjí silně
kyan a za¬
hřívá se

3 kapky
10 „

5 cm3
10 „

5 cm3

w/2

as 11

?

?

?

15-38

vel. nejasný

nelze vůbec
titrovati

barví se
hnědě
a vyvíjí
kyan

3 kapky
10 „

5 c m3
10 „

5 cm3

w/5

350

as 34

?

?

38-45

vel. nepřesný
vel. nejasný
neupotře-
bitelný

barví se
hnědě
a vyvíjí
kyan

3 kapky
10 „

5 cm3
10 „

5 cm3

n/ 10

as 23(!)
as 26(!)

?

?

76-90

velmi

nejasný

neupotře-

bitelný

slabý

vývoj

kyanu

3 kapky
10 „

5 cm3
10 „

5 cm3

n/ 20

as 146

as 142

as 147-5
153-75

153-8

velmi

nejasný

dosti dobrý

kyan se
nevyvíjí

Z tabulky této vidno, že roztok 20%ní vůbec nelze již titrovati,
spotřeba síranu mědnatého jest pravidelně mnohem menší, což znovu
mluví pro platnost schéma (CuS04 + 5 KCN) podobně jako při roztoku
10%ním.

Ze všech právě popsaných pokusů v tabulkách a — g uvedených
plyne, že methodou touto možno přesně titrovati roztoky kyanidů až do
koncentrace 5% KCN, při čemž sluší použiti k titraci roztoků mědnatých
w/2 až w/10 a přidávati indikátoru 5 — 10 kapek. Koncentrace jiné jsou
méně výhodný.

3. Vliv teploty.

K pokusům v tomto směru vykonaným použito 0-5%ho roztoku
kyanidu draselnatého, jenž titrován pak postupně jednotlivými roztoky
w až w/20ným při teplotách od 0° až do 90° C. Při titracích udržována
konstantně příslušná temperatura a kontrolována vnořeným teploměrem
v kapalině titrované.

XXX VII.

12

10 cmz 0-5°/oho roztoku KCN za přídavku 5 kapek indikátoru
spotřebovalo při teplot é T cm 3 roztoku CuSOá:

Roztoku

o

o

5°

10°

15°

20°

35°

50°

70°

90°

Theorie

n

0-4

0-4

0-4

0-4>

0-4>

0-4>

0*45

045

0-5

0-384

n/2

0-75

0-75

0-75

0-75

0-8

0-8

0-85

0-9

C *9>

0-769

nj 5

1-90

1-90

1-95

1-95

T95>

2-1

2-2

2-25

2-3

1-93

i—*

o

3-85

3-85

3-9

3-9>

4-0

4-2

4-3

4*7

4-6

3-84

n/ 20

7-70

7-7

7-8

8T

8-0

8-1

8-1

8-4

9*1

7-69

Pokusy vykonané poukazují na použitelnost meťhody při teplotě od
0° až do 20° C zcela přesnou. S dále stoupající teplotou klesá již přesnost,
stávajíť se již výsledky pravidelně vyššími, mnohdy až o 15 — 20%.

Résumé.

1. Kyanovodík možno stanovití v podobě kyanidu draselnatého
přímou titrací síranem mědnatym aniž by bylo nutno alkalisovati jej
ammoniakem jako při methodě Mohrově. Přebytek jontu Cu dá se konsta-
tovati velmi dobře přidáním roztoku ferrokyanidu draselnatého jakožto
indikátoru.

2. Reakce při tom probíhající vyjadřuje se schématem:

CuS04 + 4 KCN = K2 Cu(CN)4 = K2 S04

a nikoliv

CuS04 + 5 KCN = Cu(CN)4 K3 + CN + K2 S04 (zjednodušeně).

3. Schéma posléze uvedené vstupuje v platnost teprve při roztocích
odpovídajících vyšší koncentraci nežli 10% KCN.

4. Přesně možno titrovati roztoky kyanidové nepřesahující kon¬
centrace 5% KCN a to hodí se k tomu y2 až Vid normálné roztoky síranu
mědnatého; roztok n jest příliš koncentrovaný, roztok pak n/ 20 již příliš
zředěný.

5. Indikátoru nejlépe jest používati v podobě 10%ho roztoku vod¬
ného ferrokyanidu draselnatého a přidávati ho vždy 5 kapek ; menší množ¬
ství bývá nedostatečno, větší pak vede k vyšším nálezům.

6. Teplota, při níž možno titrovati, smí se pobybovati v mezích
0° — 20° C, s vyšší temperaturou roste již spotřeba roztoku mědnatého a zí¬
skávají se tím vyšší výsledky.

7. Při titraci dlužno roztoku mědnatého přidávati po kapkách a roz¬
tokem titrovaným neustále energicky pohybovati. Titruje se, až poslední

XXXVII.

13

kapka CuS04 vyvolá přechod zbarvení intens. žlutého v odstín tmavo-
červený; přechod jest okamžitý a velmi dobře patrný.

8. Applikace methody této na jiné kyanidy a kyanovodík sám u pří¬
tomnosti látek anorganických i organických bude v době nej bližší publi¬
kována jakožto druhý díl tohoto pojednání.

Ostav obecné chemie organické a technologie
potravin na c. k. české vys. škole technické
cis . Františka Josefa v Brné.

XXXVII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 38.

O sborcených hyperboloidech v souvislosti
s lineárními komplexy.

Napsal

Dr VÁCLAV SIMANDL,

assistent české techniky v Brně.

(Předloženo dne 16. října. 1914.)

Dvěma libovolnými přímkovými hyperboloidovými řadami, totiž
dvěma libovolnými přímkovými řadami na dvou různých hyperboloidech
nelze obecně stanoviti lineární komplex tak, aby tento obsahoval přímky
řady jedné a přímky řídicí řady, řady druhé. Když to však nastává, tu
mají naše hyperboloidové řady, a tudíž též hyperboloidy, jakožto nositelé
jejich, zvláštní polohu. A studiem hyperboloidových řad a hyperboloidů
v této poloze se budeme zabývati. Dále pak budeme studovati ještě spe¬
ciálnější polohu hyperboloidových řad a hyperboloidů, kdy totiž přímková
řada jednoho hyperboloidu leží s oběma řadami druhého hyperboloidu
vždy v určitém lineárním komplexu.

Seznáme, že dva hyperboloidy v uvedených polohách definují jednu,
resp. dvě sborcené plochy stupně čtvrtého rodu 1. Tyto plochy vyplněny
jsou, jak ukážeme, diagonálami prostorových čtyřúhelníků, jejichž dvě
a dvě protější strany leží vždy na jednom z dvou uvažovaných hyper¬
boloidů. Při speciálnější z našich poloh dospějeme pak ku zajímavé kon¬
figuraci dvou sborcených ploch 4. stupně a čtyř lineárních komplexů,
které jsou navzájem v involuci.

TJvahy naše vedou nás přímo ku zvláštním systémům hyperboloi¬
dových přímkových řad, to jest ku takovým systémům těchto řad, které
vzhledem k dané jedné hyperboloidové řadě nebo k daným několika
řadám mají jednu z našich speciálních poloh neboli, jak budeme říkati,
které jsou k nim v. involuci, resp. v dvojnásobné involuci. A podobně
budeme definovati systémy sborcených hyperboloidů. Posléze provedeme
některé konstruktivné úlohy týkající se těchto hyperboloidových systémů
a jejich pronikových systémů.

Roipravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 38. 1

XXXVIII.

1. O dvou hyperboloidových přímkových řadách v involuci.

Mámc-li dvě Lyperboloidové přímkové řady té vlastnosti, že dvě
přímky jedné řady protínají tytéž dvě přímky druhé řady tak, že tyto
čtyři přímky tvoří prostorový čtyřúhelník, tu budeme říkati o takových
dvou řadách, že jsou v involuci.

Buďte a2 a /32 dvěma přímkovými řadami této vlastnosti, a budtež
av a2 dvěma přímkami řady a2 a bv b2 dvěma přímkajmi řady p2 takovými,
že tvoří spolu prostorový čtyřúhelník. Považujme nyní přímky alf a2 za
dvoj inu konj ugo váných polár lineárního komplexu, ve kterém jest obsa¬
žena řada p2. Že takový lineární komplex skutečně existuje, jest patrno
z naší zvláštní polohy přímkových řad a2 a ji2. Označme si ten lineární
komplex T. Uvažujme pak libovolnou přímku ax přímkové řady a2 a se¬
strojme si ku této přímce konj ugo vanou poláru ay vzhledem ku lineárnímu
komplexu T. Ježto víme, že dvě dvojiny konjugovaných polár lineárního
komplexu vždy tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek, musí ay též ležeti
na přímkové řadě a2, neboť v našem případě tvoří tu čtveřinu přímky:
av a2, ax, ay. Uvažujíce všecky přímky ax řady a2 dostaneme tak obyčejnou
involuci dvojin ax, ay na řadě a2. Involuci tu si označíme Ja. Jelikož
ax, ay tvoří vždy dvoj inu konjugovaných polár lineárního komplexu r,
a jelikož tomuto komplexu náležejí všecky přímky přímkové řady P2,
musí každá dvojina přímková involuce Ja vytínati v řadě přímkové (i2
dvoj inu přímek bx, by tak,, že

a x , ci y , bx , by

jest prostorový čtyřúhelník. Dvojiny přímek bX) by tvoří na p2 patrně
zase involuci, kterou si označíme J p. Jest též zřejmo, že dvojiny přímek
alt a2 a bv b2 jsou dvojinami uvedených involuci Ja a J p.

Můžeme tedy vyšlo viti větu:

Máme-li dvě přímkové řady hyperboloidové tě vlastnosti, že dvě přímky
jedné řady protínají tytéž dvě přímky druhé řady, tu existuje na každé řadě
hyperboloidové obyčejná involuce přímek taková, že vždy dvě přímky dvojiny
jedné involuce protínají obě přímky určité dvojiny involuce druhé.

0 dvou takových přímkových hyperboloidových řadách budeme říkati, že
jsou v involuci.

Jest patrno, že každá přímková řada hyperboloide vá jest se svou
řídicí řadou v involuci. Řídicí řadou dané řady pozumíme patrně řadu,
která s danou řadou náleží témuž hyperboloidu.

Budtež a2, ji2 dvě přímkové řady, které jsou řídicími řadami dříve
uvažovaných řad a2, ji2. Jest patrno, že uvažovaný lineární komplex T
obsahuje přímkové řady: a ý2, ji2. Když si stanovíme lineární komplex I\
dvojinou konjugovaných polár bv b2 a přímkovou řadou a2, která jest
v něm obsažena, tu vidíme, že tento lineární komplex rx obsahuje řady:
a2, p2. Z toho vidíme:

XXXVIII.

3

Je-li přímková řada hyperboloidová vzhledem k určité řade přímkové
hyperboloidové v involuci , tu leží s řídicí řadou této řady v určitém lineárním
komplexu .

Lze snadno nahlédnout i; že zmíněné lineární komplexy, které si
označíme symbolicky:

r = w,fi; r,= E|«« fti,

jsou v involuci a patrně jsme zde též dospěli k větě v geometrii útvarů
přímkových známé (Sturm: Liniengeometrie I. p. 134), že jsou-li dvě
hyperboloidové řady obsaženy v témže lineárním komplexu, že též jejich
řídicí řady jsou v určitém lineárním komplexu obsaženy. Tato věta a pak
opak hoření věty, jehož správnost snadno lze nahlédnout i, že totiž leží-li
nějaká řada hyperboloidová s jinou řadou hyperbolo idovou v témže line¬
árním komplexu, že pak ona řada s řídicí řadou této jest v involuci, oprav¬
ňují nás k vyslovení věty:

Jsou-li dvé hyperboloidové přímkové řady v involuci , jsou též v involuci
jejich řídicí řady.

Vyslovme dále větu:

Jsou-li dvé přímkové hyperboloidové řady v involuci, tu lze každou
touto řadou proložiti lineární komplex, který jest v involuci ku všem oo2 line¬
árním komplexům, které procházejí druhou řadou.

Tak při našich involutorních řadách a2 a /32 lze řadou a2 resp. řadou p2
proložiti lineární komplex [a2, pj\ resp. lineární komplex {aj, p2}, který
jest v involuci ku všem oo2 lineárním komplexům, které procházejí řadou p2
resp. řadou a2. Při involutorních řadách aj a pj jsou to pak tytéž lineární
komplexy, řadou aj lineární komplex {aý2, /32} a řadou pj pak lineární
komplex {a2, pj).

Jest patrno, že poslední uvedená věta platí též obráceně.

Vzhledem ku hyperboloidům (jakožto nositelům našich přímkových
řad) můžeme pak vyšlo viti věty, jež z předchozího přímo vyplývají:

Máme-li dva sborcené hyperboloidy A2 a B2 o přímkových řadách a2, ax2
resp. p2, p2 té vlastnosti, že dvé přímky řady a2 protínají dvé přímky řady p2
tak, že tvoří s těmito sborcený čtyřúhelník, pak existuje takových čtyřúhelníků
cg1 a sice dvé skupiny. Dvojice protéjsích stran první skupiny tvoří přímkové
dvojice obyčejných involuci v přímkách řad a2 a P2, dvojice pak protéjsích
stran druhé skupiny jsou dvojicemi obyčejných involuci v přímkách řad a2
a p2.

Dva takové sborcené hyperboloidy A2 a B2, které jsou nositeli dvou
dvojin přímkových řad v involuci , budeme označovali jakožto dva hyper¬
boloidy s přímkovými řadami v involuci.

Danou přímkovou řadou hyperboloidovou prochází oo2 lineárních
komplexů, a každý tento komplex obsahuje oo6 přímkových řad hyper¬
bolo idových, které jsou v involuci ku řídicí řadě dané přímkové řady
hyperboloidové,

l*

XXXVIII.

Existuje tudíž ku dané přímkové řade hyperboloidové oo8 přímkových
řad hyperboloidových, které jsou s ní v involuci.

Tudíž též můžeme vysloviti větu:

Ku danému hyperboloidu existuje oo8 hyperboloidů, které obsahují
přímkové řady, které jsou s řadami daného hyperboloidu v involuci.

Jakožto příklad dvou hyperboloidů s přímkovými řadami v involuci
můžeme považovat i též dva hyperboloidy, které mají jednu přímku spo¬
lečnou, což lze velmi snadno nahlédnouti. Hyperboloidů takových existuje
patrně vzhledem k danému hyperboloidu oo7, systém těchto hyperboloidů
jest obsažen v systému oo8 hyperboloidů, které obsahují přímkové řady,
které jsou s řadami daného hyperboloidu v involuci, kterýžto systém,
jak později seznáme, jest kvadratickým a který budeme označovati 2?f.

2. 0 dvou přímkových hyperboloidových řadách v dvojnásobné involuci.

Uvažujme nyní dvě přímkové řady hyperboloidové a2 a /32 a jejich
řídicí řady aj2 a /3X2 té vlastnosti, že netoliko dvojiny a2, /32 a ecj2, /3X2 jsou
v involuci, nýbrž též dvojiny a2, /3X2 a a2, /32 čili, že existují čtyři lineární
komplexy:

K Pl &*, PA {a2, PA fc*. P%

jichž symbolické označení, kterého budeme nadále v této práci užívati,
nám ukazuje, kterými hyperboloidickými přímkovými řadami tyto 4 line¬
ární komplexy procházejí. Přicházíme tak ku pojmu dvou hyperboloi-
dických přímkových řad, které jsou v involuci, a které jsou současně
obsaženy v témže lineárním komplexu.

Dva lineární komplexy [a2, ji2} a {ax2, /32} pronikají se v lineární
kongruenci, která jest polárně invariantní vzhledem ku hyperboloidu A2,
nositeli to přímkových řad «2 a aj2. To jest patrno z toho, že řídicí přímky
této kongruence jsou diagonálami sborceného čtyřúhelníka na A2, jehož
dvě a dvě protější strany jsou přímkami řad a2 a aj2, které současně náležejí
lineárním komplexům {aj2, fi2} a {a2, /32}. Tato vzhledem ku A2 polárně
invariantní lineární kongruence musí patrně ohsahovati řadu /32, ježto tato
jest obsažena v obou našich uvažovaných lineárních komplexech.

Zcela analogicky, jako jsme právě teď ukázali, že (l2 se nachází
v lineární kongruenci, která jest polárně invariantní vzhledem ku hyper¬
boloidu A2, lze též dokázati, že a2 jest obsažena v polárně invariantní kon¬
gruenci vzhledem ku hyperboloidu B2 nositeli to řad /32, /3X2. Lineární kon¬
gruence tato jest pronikem lineárních komplexů {aj2, jij2} a {a2, /?x2}.

Máme tedy větu:

Jsou-li dvé přímkové řady hyperboloidové v involuci a jsou-li zároveň
obsaženy v témže lineárním komplexu, pak jest každá z těchto řad obsažena

XXXVIII.

v lineární kongruenci, která jest polárné invariantní vzhledem ku hyper¬
boloidu, který jest nositelem řady druhé.

Dvé přímkové řady hyperboloidové této vlastnosti budeme nazývati
řadami v dvojnásobné involuci.

Právě odvozená věta platí však též obráceně. Buďtež p, q konjugo-
vanými polárami hyperboloidu A2 a uvažujme v lineární kongruenci \p, q ]
libovolnou hyperboloidovou řadu /3ž. Řídicí řada /3X2 této řady jest pak
v involuci ku oběma řadám a2 a a2 hyperboloidu A2, neboť dvě přímky
řady / 1 2 totiž přímky p, q jakožto konjugované poláry hyperboloidu A2
tvoří pokaždé se dvěma přímkami řad «2 a «x2 sborcený čtyřúhelník, což
k involutornosti našich přímkových řad, jak jsme dříve byli ukázali,
úplně postačí. Jest tedy též /32 ku oběma řadám a2, a2 v involuci dle věty
dříve dokázané o involutornosti řídicích řad. Z toho ale vyplývá zase exi¬
stence čtyř lineárních komplexů:

í«2, Aí> í«a, A2!, K2, A}, !«i2. A2!-

Z předešlé věty jest pak patrno, že řada a2 jest obsažena v polárně
invariantní lineární kongruenci vzhledem ku hyperboloidu B2 nositeli to
řady fi2. Můžeme tedy vyšlo viti obráceně větu předchozí:

Máme-li dvé přímkové hyperboloidové řady té vlastnosti, že každá
z téchto řad jest obsažena v lineární kongruenci, která jest polárné invariantní
vzhledem ku hyperboloidu, který jest nositelem řady druhé, pak jsou obé
řady v involuci a současné jsou obsaženy v témže lineárním komplexu.

Dva hyperboloidy , které jsou nositeli přímkových řad v dvojnásobné
involuci, budeme nazývati dvéma hyperboloidy s přímkovými řadami v dvoj¬
násobné involuci.

Uvažujme nyní dva takové hyperboloidy s řadami v dvojnásobné
involuci. Jak jsme právě o takových přímkových řadách ukázali, jest
každá taková řada obsažena v lineární kongruenci, která jest polárně
invariantní vzhledem ku hyperboloidu, který jest nositelem řady druhé,
Čili lépe řečeno, ku tomu z našich hyperboloidů, na kterém tato řada
neleží. Nalézají se tudíž řídicí přímky této kongruence vždy v řadě, která
jest řídicí řadou uvažované řady. Nacházejí se tudíž v kterékoli řadě
ze čtyř přímkových řad našich dvou uvažovanvch hyperboloidů dvě
dvojiny přímek, které jsou řídicími přímkami dvou lineárních kongruenci
polárně invariantních vždy vzhledem k tomu z našich dvou hyperboloidů,
na kterém tato řada neleží, neboli které jsou dvojinou konj ugovaných
polár vždy ku tomuto hyperboloidu.

Můžeme tudíž vyšlo viti větu:

Na každém z dvou hyperboloidů s přímkovými řadami v dvojnásobné
involuci leží sborcený čtyřúhelník, který se svými diagonálami tvoří polárný
tetraedr druhého hyperboloidu.

XXXVIII.

G

Dlužno podotknouti, že ku této konfiguraci dvou ploch 2. stupně
analyticky a jinou cestou přišel již A. Voss.1)

Čtyři lineární komplexy, ku kterým vedou dva hyperboloidy s přím¬
kovými řadami v dvojnásobné involuci a které jsme si byli vzhledem
k přímkovým řadám v nich obsaženým označili:

K-, n k w. n k2, ki

tvoří takovou konfiguraci čtyř lineárních komplexů, že každý z nich jest
vzhledem ku třem ostatním v involuci. To lze snadno nahlédnouti z toho,
že každý z těchto 4 lineárních komplexů, jak z našeho symbolického
označení jest přímo patrno, obsahuje přímkové řady, jejichž řady řídicí
jsou obsaženy v ostatních lineárních komplexech. A dva lineární kom¬
plexy, které procházejí různými přímkovými řadami téhož hyperboloidu,
jsou zajisté v involuci.

Ku dané přímkové řadě hyperboloidové existuje oo7 hyperboloi-
dických řad, které jsou s ní v involuci a současně vždy obsaženy v ně¬
jakém lineárním komplexu. To lze nahlédnouti z toho, že ku hyperboloidu,
který jest nositelem dané řady, existuje oo4 polárně invariantních line¬
árních kongruencí, z nichž každá zase obsahuje oo3 přímkových řad hyper-
boloidových. Ku tomuto množství oo7 našich přímkových řad neboli ku
tomuto 7mocnému systému dospěli bychom též jakožto ku proniku dvou
Smocných systémů přímkových řad, které jsou v involuci jednak ku řadě
dané, jednak ku její řadě řídicí.

Vyšlo viti lze tudíž věty:

Ku dané hyperboloidové přímkové řadé existuje oo7 přímkových řad,
které jsou k dané řadé v dvojnásobné involuci.

Ku danému hyperboloidu existuje oo7 hyperboloidů, které obsahují
řady, které jsou ku řadám daného hyperboloidu v dvojnásobné involuci.

Dva hyperboloidy, které se protínají v sborceném čtyřúhelníku,
jsou speciálním případem dvou hyperboloidů s dvojnásobně involutor-
ními řadami. Vzhledem ku danému hyperboloidu tvoří takové hyper¬
boloidy systém oo5 hyperboloidů, polárně to invariantních hyperboloidů
vzhledem ku danému hyperboloidu. Systém ten jest obsažen v našem
7mocném právě uvedeném systému, ku kterému se ještě vrátíme, a o kterém
seznáme, že jest lineárný, a který budeme označovati U7.

4) A. Voss: Die Liniengeometrie in ihrer Anwendung auf die Fláchen zweiten
Grades (Mathematische Annalen sv. 10 p. 143).

V pojednání tomto věta o naší konfiguraci jest na str. 174. A. Vcss uvažuje
v tomto pojednání plochy 2. stupně jakožto souhrn všech jejich tečen (speciální
komplex), a konfiguraci naši nazývá simultánním systémem dvou speciálních
komplexů 2. stupně (viz str. 167), přišed k tomu pojmu cd algebraického, před
tím vysvětleného (viz str. 154) pojmu systému dvou simultánních quadrati-
ckých forem.

XXXVIII.

7

3. O sborcené ploše 4, stupně stanovené dvěma hyperboloidy
s přímkovými řadami v involuci.

Bucltež A2 a B2 danými dvěma sborcenými hyperboloidy s přímko¬
vými řadami v involuci a budtež a2, a±2 resp. /32, (3L2 těmito řadami. Na
těchto čtyřech přímkových řadách máme čtyři obyčejné involuce, které
jsme si byli označili:

J a, J a > J /? ) J fí •

Přímky alt a2 libovolné dvojiny involuce Ja protínají vždy přímky
bv b2 určité dvojiny involuce Jp. Podobně libovolné přímky a2 tvořící
dvoj inu involuce Ja' protínají vždy určité dvě přímky &/, b2 tvořící dvoj inu
involuce J /. Dospíváme tak ku dvěma množstvím oo1 sborcených čtyř¬
úhelníků:

alt a2> blf b2 a <%', a2, b{, b2.

Bude pak naší úlohou stanovití geometrické místo dvojin diago-
nálných stran dlt d2 resp. d/, d2 těchto sborcených čtyřúhelníků. Stu¬
dujme třeba geometrické místo diagonál dlt d2.

Budiž k 4 proniková křivka hyperboloidů A2 a B2. Na této prostorové
křivce čtvrtého stupně prvního druhu vytínají dvojiny přímek involuce Ja
nebo involuce J p určitou involutorní korrespondenci [2, 2] a geometrické
místo spojnic odpovídajících si bodů v této involutorní korrespondenci
jest naší hledanou plochou sborcenou. Libovolnou přímkou p v prostoru
proložme si libovolnou rovinu 7t. Tato rovina protíná k 4 ve čtyřech bodech
a jelikož v naší korrespondenci každému bodu odpovídají dva body, od¬
povídá rovině 7t osm rovin. A podobně naopak kterékoli rovině z těchto
osmi rovin odpovídá týmže způsobem osm rovin. Máme tedy ve svazku
rovin o ose p korrespondenci [8, 8], která má 16 rovin samqdružných,
od kterých však nutno odečísti čtyři roviny procházející čtyřmi samo-
družnými body svrchu uvedené involutorní korrespondence [2, 2]. Dospěli
bychom tudíž k sborcené ploše 12. stupně. Tento stupeň však se redukuje
na polovinu, to jest na 6. stupeň, když uvážíme involutornost naší korre¬
spondence [2, 2], a že tudíž každou přímku této plochy bychom mohli
považovati za dvojnásobnou. K této ploše náležejí však též přímky hyper-
boloidové řady /32 nebo řady ct 2, dle toho, jestli naší korrespondenci [2, 2]
na k 4 vyťaly dvojiny involuce Ja nebo involuce Jp. Sníží se tudíž stupeň
naší plochy sborcené ještě o dvě a dospíváme tudíž ku sborcené ploše
stupně čtvrtého.

Speciálním případem této plochy jest patrně též t. ř. ,, zobecněný
cylindroiďý který lze považovati za souhrn diagonál sborcených čtyř¬
úhelníků, jejichž dvě a dvě protější strany přísluší si jakožto dvojiny

XXXVIII.

8

přímek ve dvou projektivních involucích v různých přímkových systémech
téhož hyperboloidu.1)

Naši sborcenou plochu označme si P4, a jako tato jest geometrickým
místem dvojin diagonál dv d2 budiž Px4 geometrickým místem diagonál
dí, d2, Samozřejmo jest, že tato plocha jest též 4. stupně.

Budtež:

M a ) ^ a > ^ a j Mp, V p , íí p , V p

postupně samodružmúni přímkovými dvojinami našich 4 involucí:

J a, J a , J J p •

Leží pak dvě přímkové dvojiny: ua, va, up, v p na sborcené ploše P4.
Protínají totiž přímku ua dvě přímky w/ a m2 z přímkové řady p2 a máme
pak sborcený čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou nekonečně
blízkými splývajíce v ua, a druhými dvěma stranami jsou přímky m x'
a m2'. Diagonálami pak tohoto čtyřúhelníka jsou patrně dvě přímky v ua
splývající. Možno tudíž přímku ua jakožto diagonálu považovat i za přímku
plochy P4. Zcela analogicky platí to o přímkách up, va, Vp. Ploše P34 náležejí
pak zase z týchže důvodů přímky uar , Up , va', v/.

Naše dva hyperboloidy A2 a B2 stanoví nám, jak jsme dříve ukázali,
dva lineární komplexy, které jsme vzhledem ku hyperboloidovým řadám
v nich obsaženým označili: {a2, /3X2} a {ax2, /32}. Lineární komplex {a2,
možno si mysliti vytvořen oo1 lineárními kongruencemi, jejichž dvojiny
přímek řídicích jsou dvojinami přímek involuce Ja' v řadě «x2 nebo invo-
luce Jp v řadě /32. Podobně involuce Ja nebo involuce J p v řadách «2
resp. (3l2 vedou ku lineárnímu komplexu a x2, /5'2}. Z toho vytvoření našich
lineárních komplexů vyplývá, že přímky sborcených ploch P4 a Px4 jsou
obsaženy v lineární kongruenci oběma těmto lineárním komplexům společné.
Neboť na př. dvojina přímek dv d2 plochy P4, dvojice to diagonál libovolného
čtyřúhelníka z oo1 sborcených čtyřúhelníků av a2, bv b2, protíná i přímky
av a2, dvojinu to involuce J a v řadě a2, i dvojinu bv b2, dvojinu to involuce
Jp v řadě /32, a náleží tudíž oběma lineárním komplexům {a2, p±2} a {«x2, /32}
a tudíž i jejich lineární kongruenci. Podobně přímky plochy Px4 náležejí
téže lineární kongruenci.

Z toho nutně vyplývá, že řídicí přímky lineární kongruence lin.
komplexů {a2, a {a-f, /33} jsou též řídicími přímkami ploch P1 a P^ a sice
dvojnásobnými řídícími přímkami, ježto tyto sborcené plochy jsou stupně
čtvrtého. Jsou tedy naše sborcené plochy stupně čtvrtého rodu 1.

Ježto jsme ukázali, že samodružné přímky našich uvažovaných invo¬
lucí, totiž přímky ua, va \ up, vp, náležejí ploše P4 a přímky ua', va' ; Up , vp

4) O zobecněném cylindroidu. Rozpravy České Akademie 1914. Č. 1 V. Pozna-
menati dlužno, že uvedený zde důkaz biquadratičnosti plochy P4 jest podobný
druhému důkazu biquadratičnosti zobecnělého cylindroidu v citovaném zde pojed¬
nání (viz pag. 8 a 9).

XXXVIII.

náležejí ploše Px4, tu musí těchto 8 přímek býti obsaženo v téže lineární
kongruenci, a tudíž míti tytéž dvě společné transversály, které si označíme
tv t2. Nebo-li přímky tv t2 jsou společnými diagonálami sborcených čtyř¬
úhelníků :

Ua, Va, ua', Va a u,h vp, Ufi Vp.

Částí proniku ploch P4 a Px4 jest patrně prostorová křivka k 4, pronik
to obou našich hyperboloidů A2 a B2, nebo-li tato křivka jest geometrickým
místem vrcholů sborcených čtyřúhelníků, jejichž diagonály naše sborcené
plochy čtvrtého stupně vyplňují. Plochy tyto P4 a P24 nalézajíce se v téže
lineární kongruenci \tv t2] mohou míti křivku &4 jen tehdy společnou, když
se stotožňují.

Stotožňuje se tudíž plocha P4 s plochoti Px4.

Náleží tudíž ploše P4 osm přímek:

Ua.) V a> %(}) V /3f ^ a. > np ) ^ p >

a rozpadá se tudíž proniková křivka stupně osmého s hyperboloidy A2
a B2 vždy v prostorovou křivku 4. stupně prvního druhu, pronikovou to
křivku těchto hyperboloidů a vždy čtyři bisekanty této křivky, jež tvoří
sborcený čtyřúhelník. Dvojné řídicí přímky tv t2 naší sborcené plochy Px4
jsouce diagonálami dvou sborcených čtyřúhelníků ležících . na hyperboloi¬
dech A2 a B2 jsou společnými konjugovanými polárami obou těchto hyper¬
boloidů. Jsou tedy jednou dvojinou protějších hran společného polárného
tetraedru obou hyperboloidů A2 a B2.

Plocha naše P4 není zcela obecnou sborcenou plochou stupně čtvrtého
se dvěma dvojnými řídicími přímkami, to jest plochou vytvořenou spoj¬
nicemi bodů na dvou mimoběžných bodových řadách vztažených k sobě
libovolnou zcela obecnou korrespondencí [2, 2] . V našem případě, abychom
obdrželi totiž plochu P4 musí býti tato korrespondence projektivností
dvou obyčejných involucí. To vyplývá z existence oo1 sborcených čtyřúhel¬
níků na P4, a toto množství oo1, jak známo, existuje, existuj e-li jeden
takový čtyřúhelník.1) A v našem případě jedním takovým čtyřúhelníkem
jest čtyřúhelník ua, va, ud , va' nebo čtyřúhelník Up, vp, up , vp.

Shrneme-li hlavní výsledky našich úvah o sborcené ploše diagonál
sborcených čtyřúhelníků, tu dostáváme věty:

Dva hyperboloidy A2 a B2 obsahující přímkové řady v involuci vedou
ku dvěma skupinám oo1 sborcených čtyřúhelníků. Dvojiny protějších stran
Čtyřúhelníků těchto tvoří přímkové dvojiny obyčejných involucí v dvojinách
přímkových řad «2, /32 a c^2, ft2, které jsou v involuci.

Diagonály obou těchto skupin oo1 sborcených čtyřúhelníků vyplňují
tutéž sborcenou plochu P4 stupně čtvrtého se dvěma řídicími dvojnými přím¬
kami, které jsou současné řídicími přímkami lineární kongruence lineárních

4) R. Sturm: Liniengeometrie III., § 591, pag. 108.

XXXVIII.

10

komplexu {a2, (ip] a {ap, (i'1} a jednou dvojinou protějších hran společného
polárného tetraedru obou uvažovaných hyperboloidů.

Plocha P4 obsahuje dále oo1 sborcených čtyřúhelníků.

Plochu P4 budeme nazývati sbor cenou plochou diagonál příslušnou
dvěma hyperboloidům s přímkovými řadami v involuci.

Na pronikové křivce k 4 našich hyperboloidů A2, B2 vidíme, že vy-
tínají odpovídající si přímkové dvojiny involuci Ja a Jp nebo involuci
J a a J / vrcholy sborcených čtyřúhelníků, jejichž protější strany, leží
právě na hyperboloidech A2 a B2 a diagonály na P4. Ve svazku ploch
2. stupně o základní křivce k 4 existuje oo2 dvojin hyperboloidů. Vzhledem
pak ku existenci oo8 hyperboloidů, které obsahují přímkové řady, které
jsou v involuci ku řadám daného hyperboloidu, existuje patrně v každém
svazku ploch 2. stupně o libovolné základní křivce kx oo1 dvojin hyper-
boloidových s řadami, které jsou v involuci.

Můžeme tedy vysl oviti větu:

Dána-li libovolná prostorová křivka čtvrtého stupně prvního druhu, tu
existuje na oo1 způsobů množství oo1 sborcených Čtyřúhelníků, jejichž vrcholy
leží na této prostorové křivce a jejichž dvě a dvě protější strany vyplňují dva
sborcené hyperboloidy . Diagonály těchto čtyřúhelníků leží na sborcené plose
4. stupně rodu 1.

4. Dva speciální případy sborcené plochy P4.

Uvažujme dva speciální případy naší sborcené plochy diagonál P4.
Případy ty jsou dány dvěma speciálními polohami našich hyperboloidů
A2 a B2 a to, když proniková křivka k 4 těchto dvou hyperboloidů se
rozpadá:

1. v kubickou křivku prostorovou a jednu její bisekantu ;

2. v kuželosečku a dvě různoběžné její unisekanty.

Případ první.

Budiž p přímka společná našim hyperboloidům A2 a B2 a to jejich
přímkovým řadám a2 a j3p. Jsou pak dvojiny řad: a2, (52 a ap, flp invo-
lutorními dvojinami přímkových řad, neboť patrně lze proložiti řadami
a2, fip lineární komplex. Hledejme nyní dvojiny samodružných přímek
čtyřech involuci Ja, Jp, Ja', Jp' na našich čtyřech přímkových řadách
a2, P2, ocp, PP- Vytkněme si libovolnou přímku a řady a2 a ta protínej ž
dvě přímky bv b2 řady /32. Tyto přímky bv b2 vytínají z řady a2 kromě
přímky a ještě vždycky naši význačnou společnou přímku p. Odpovídá
tudíž v involuci Ja v řadě «2 libovolné přímce a této řady vždycky přímka p.
Jest tedy involuce Ja involuci parabolickou a v přímce p splývají oba
dvojné paprsky této involuce. Zcela analogicky lze ukázati, že též involuce
J p jest involuci parabolickou o v přímce p splývajících dvojných přímkách

XXXVIII.

11

této involuce. Involuce Ja' není parabolickou, neboť libovolná přímka
řady aL2 protíná v řadě p/x2 přímku p a určitou přímku b', kteréžto dvě
přímky řady fiL2 kromě přímky a / protínají ještě určitou přímku a2'
řady á\, a přísluší tedy v involuci Ja' každé jiné přímce jiná přímka a2.
Budtež uar , Va samodružnými přímkami této involuce. Rovněž tak invo¬
luce Jp nemůže býtí parabolickou. Budtež pak up, Vp, jejími samodružnými
paprsky.

O dvojných přímkách sborcené plochy diagonál P4 jsme v předešlém
odstavci ukázali, že jsou společnými transversálami dvojin samodružných
přímek všech čtyř involuci Ja, Ja', Jp, Jp. V našem případě pak speci¬
álním, jak z předešlých úvah jest patrno, splývají obě tyto společné trans-
versály v jedinou přímku p hyperboloidům A2 a B2 společnou. Přechází
tedy sborcená plocha P4 v plochu o dvou řídicích přímkách splývajících.

Rovněž jest patrno, že lineární kongruence lineárních komplexů
{i u 2, /3X2} a {ax2, p2} v tomto speciálním případě jest parabolickou o splý¬
vajících řídicích přímkách v přímce p, sestávajíc se ze všech tečen
1< hyperboloidu A2 nebo B2 v bodech přímky p. Lineární komplex [a-f,
jest v tomto případě speciálním komplexem o přímce p jakožto přímce
řídicí. Máme tudíž větu:

Mají-li dva hyperboloidy jednu přímku společnou , lu jest sborcená
plocha diagonál, příslušná těmto dvěma hyperboloidům obsahujícím involu-
torní řady přímkové , sborcenou plochou slupne čtvrtého se dvěma splývajícími
dvojnými přímkami. Touto jedinou splývající řídicí přímkou jest pak přímka
oběma hyperboloidům společná.

Případ druhý.

Budtež m, n dvěma různoběžnými přímkami společnými dvěma
hyperboloidům A2, B2, kteréžto hyperboloidy obsahují následkem toho
řady, které jsou v involuci. Budiž přímka m společnou přímkou řad a2,
fti2 a přímka n přímkou řad «x2, /32. Jak z úvah při předešlém speciálním
případu provedených jest patrno, jsou v tomto druhém případě všecky
4 involuce, vyskytující se na našich řadách, parabolickými. A to u invo-
lucí Ja, Jp' splývají obě dvojné přímky vždy v přímce m au involuci Ja' ,Jp
v přímce n.

Všimněme si nyní dvou skupin našich oo1 sborcených čtyřúhelníků,
jejichž geometrické místo diagonál hledáme. Budiž a libovolná přímka
v řadě a2. Ta protíná řadu /32 vždycky v přímce n a určité přímce b, kte¬
rážto přímka s přímkou n protíná zase přímky a, m řady a2 tak, že máme
sborcený čtyřúhelník m, n, a, b. Přímky m, n se nemění, každé přímce a
přísluší pak určitá přímka b a naopak.

Přímky m, n protínej tež se v bodě P, přímky a, b v bodě Q. Bod P
jest pevný, bod Q se patrně pohybuje po kuželosečce k2, která s přím¬
kami m, n náleží proniku našich hyperboloidů A2 a B2. Spojnice P Q

XXXVIII.

12

tvoří vždy jednu diagonálu našich sborcených čtyřúhelníků, a jejich souhrn
vyplňuje kužel 2. řádu K2 o vrcholu P, jehož přímky procházejí kuželo¬
sečkou k 2. Kužel ten náleží tedy patrně k našemu geometrickému místu
diagonál P4.

Zbývající diagonály našich sborcených čtyřúhelníků jsou spojnicemi
bodů M, N, kde tyto body znamenají průsečíky přímek b, m a a, n.
Řady bodů M, N leží na různoběžných přímkách m, n a jsou projektivnými,
a tudíž spojnice jejich M N obalují kuželosečku k2 ležící v rovině % různo-
běžek m, n.

Jest patrno, že kdybychom byli studovali druhou skupinu sborce¬
ných čtyřúhelníků m, n, a', b' vytvořených involutorními řadami ap, (ip,
že bychom byli dospěli ku těmže útvarům K2 a x2. Dále vidíme, že v tomto
druhém speciálním případě jsou oba lineární komplexy: [a2, (3p\, [ap, /32}
speciálními, majíce za řídicí přímky, přímky n resp. m, a že jejich kon-
gruence lineární se rozpadá v prostorový svazek přímkový o vrcholu P
a v rovinné přímkové pole n.

Ukázali jsme tedy:

Mají-li dva hyperboloidy A2, B2 dvě různoběžně přímky společné, tu
sborcená plocha diagonál P4, příslušná těmto dvěma hyperboloidům, rozpadá
se v kužel 2. řádu K2, jehož vrcholem jest průsečík společných přímek, a
v křivku 2. třídy n2, jež jest obsažena v rovině těchto přímek.

Jako jsme přímky kužele K2 dostali spojením jednotlivých bodu
pronikové kuželosečky k 2 s bodem P , tak jednotlivé tečny kuželosečky jí2
dostáváme v průsečnicích roviny 7t s rovinami, které obalují dotyčný
kužel dle k 2 oběma hyperboloidům společný. To jest patrno z toho, že
spojnice bodů M, N lze pokládati za průsečnice roviny % a vždy roviny
proložené přímkami a, b, kterážto poslednější jest patrně tečnou rovinou
oběma hyperboloidům společnou. Z toho jest patrn úplně duální charakter
konfigurace této.

5. O konfiguraci dvou sborcených ploch diagonál a čtyř lineárních kom¬
plexů vyskytujících se při dvou hyperboloidech obsahujících přímkové řady

v dvojnásobné involuci.

Buďtež zase A2 a B2 dva sborcené hyperboloidy s přímkovými řadami
v dvojnásobné involuci. Jsou-li a2, aj2 resp. /32, /fx2 jejich přímkovými
řadami, pak, jak jsme v odst. 2. byli ukázali, jest každá z těchto řad
v involuci ku všem ostatním řadám, a existují pak čtyři lineární kom¬
plexy:

k n k pa w, n k2, pa

z nichž rovněž, jak jsme byli ukázali, každý jesťku všem ostatním v in¬
voluci.

XXXVIII.

13

V případě dvojnásobné involuce existují na každé z našich čtyř
hyperboloidových přímkových řad dvě involuce v přímkách těchto řad,
kteréžto involuce tam indukují vždy dvě řady přímkové, které náležejí
jinému hyperboloidu než řada původní.

Buďtež samodružné dvojiny přímkové involucí v řadě «2 induko¬
vaných řadami p2, p±2:

H>ap> Va/i y H a pit ^ a ptt

v řadě ax2 indukovaných týmiž řadami:

H'aip> ^ /? > prt ^ax /?x>

v řadě P2 indukovaných řadami a2, a^\

Hp a, V a , lip ai, V ^ ttl,

v řadě p±2 indukovaných týmiž řadami:

Hj\ a> ^ pi a > %p1 ai, ^ pi ax*

Společné dvojiny vždy dvou soumístných těchto involucí označme*
si postupně:

V(X p) Set P .

? a p) S a ji ,

V p a, Sp a ]

Y P a> S p a.

První napsané dvě dvojiny přímkové jsou pak patrně dvěma dvo-
jinami konjugovaných polár hyperboloidu B2, druhé dvě dvojiny pak
dvojí námi konjugovaných polár hyperboloidu A2.

V tomto případě dvou sborcených hyperboloidů A2, B2 s dvojnásobně
involutorními řadami máme 4 skupiny oo1 sborcených čtyřúhelníků, což
vyplývá ze čtyř různých kombinací dvou hyperboloidových řad. Dospí¬
váme pak ku dvěma sborceným plochám diagonál prostorových čtyř¬
úhelníků, a sice ku ploše Px4 od přímkových dvojin přímkových řad:

a2, /32 ; a2, p2;

a k ploše P24 od dvojin přímkových řad:

«2, P2; a2, P2.

Dvojné řídicí přímky tlf t / plochy Px4 jsou společnými diagonálami
dvou sborcených čtyřúhelníků:

Hap} V aP ) 'MqxPi) U<*iPi’ ^P a> ^ P a> '‘/^Piai> ^ P\ “i ,

dvojné pak řídicí přímky t2, t2' plochy P24 jsou společnými diagonálami
sborcených čtyřúhelníků:

Ha px> Va Pxf HaLp} V p , Hpn^t Vpa i> H>p1a, ^ px a »

XXXVIII.

14

Přímky tv tf jsou však též řídicími přímkami lineární kongruence
lineárních komplexů [a2, pf] a {uf, p2\, rovněž tak jako přímky t2, tf jsou
řídicími přímkami kongruence komplexů {a2, p2\ a {af, pf). Zároveň, jak
jsme dříve v odstavci 3. ukázali, jsou dvojiny přímek tv tf a t2, t2' dvěma
dvojinami protějších stran společného polárného tetraedru plochám A2 a B2.
Tvoří tedy přímky tv tf , t2, t2' prostorový čtyřúhelník. Jsou-li jeho dia¬
gonálami přímky t3, tf, máme společný poláni}/ tetraedr hyperboloidů A2
a B2 o třech dvojinách protějších hran:

tv K\ t2, tf; 4, 4'.

Přímky dvojiny tf t3' jsouce oběma transversálami dvou dvojin
řídicích přímek dvou lineárních kongruencí \tv tf] a \t2, íf] . které jsou
kongruencemi dvojin lineárních komplexů {a2, pf{, [uf, p2} a {a2, p2),
{uf, Pf), jsou zároveň oběma společnými přímkami všech těchto čtyř
lineárních komplexů.

Máme tedy souvislost následující:

Dva hyperboloidy s dvojnásobné involutorními přímkovými řadami
stanoví způsobem zde uvedeným čtyři lineární komplexy a dvé plochy dia¬
gonál sborcených čtyřúhelníků. Dvé dvojiny řídicích dvojných přímek téchto
ploch a dvojina přímek všem čtyřem našim lineárním komplexům společných
tvoří tři dvojiny protéjších hran polárného tetraedru oběma našim hyper¬
boloidům společného.

Analogicky jako dvojiny přímek tv tf a t2, tf byly společnými
diagonálami vždy dvou sborcených čtyřúhelníků na našich hyperboloidech
A2 a Bž totiž těch čtyřúhelníků, jejichž protější strany byly vždycky
samodružnými přímkami některé z osmi obyčejných involucí na řadách
těchto hyperboloidů se vyskytujících, jsou i přímky 4- tf společnými
diagonálami dvou sborcených čtyřúhelníků, totiž čtyřúhelníků

V a fi> Sa /?, V a [}> $ a ^ ji a> $(i a> V (i a > S ji a >

jejichž protější strany jsou, jak jsme byli ukázali, společnými přímkovými
dvojinami vždy dvou našich, na každé z našich 4 přímkových řad se vy¬
skytujících, involucí. Diagonály[každého z těchto čtyřúhelníků prostorových,
že jsou dvojinami konjugovaných polár hyperboloidu, na kterém čtyř¬
úhelník leží, jest samozřejmo, že pak jsou dvojinami konjugovaných polár
hyperboloidu druhého, plyne z toho, že jsou společnými dvojinami dvou
soumístných involucí. A že tyto diagonály obou posledních našich sbor¬
cených čtyřúhelníků musí splývat, jest vidno zase z toho, že pro ně právě
jen třetí dvojina t3, t3' protějších hran společného polárného tetraedru zbývá.

Ku větě vyslovené v odst. 2., že totiž při dvou hyperboloidech
s přímkovými řadami v dvojnásobné involuci leží na každém hyperboloidu
sborcený čtyřúhelník, jenž s diagonálami svými tvoří polárný tetraedr
hyperboloidu druhého, můžeme zde nyní dcdati, že tyto diagonály jsou
společný oběma sborceným čtyřúhelníkům, a že tvoří jednu dvoj inu

XXXVIII.

15

konjugovaných polár vzhledem k oběma hyperboloidům. Jsou totiž těmito
diagonálami přímky tz, t3', oněmi pak sborcenými čtyřúhelníky dva čtyř¬
úhelníky Tap, Sap; r'ap, s' a p a T p a, Spa, p a, $'/?«•

Vyhledejme nyní 6 dvojin řídicích přímek šesti lineárních kongruencí,
ve kterých se pronikají podvojně naše 4 lineární komplexy jsoucí ve vzá¬
jemné involuci.

Především jest z předchozích úvah patrno, že první dvě dvojiny
z našich 4 lineárních komplexů, totiž komplexové dvojiny:

K, P2} W, PA K PA K2, ň

pronikají se ve dvou lineárních kongruencích, jejichž řídicími přímkami
jsou dvojiny přímkové:

tv t'- 4, 4'

dvojné to řídicí přímky ploch Px4 a P24.

Uvažujme další čtyři dvojiny lineárních komplexů:

K2, n K2, PA. í«2, Pi\ K2, PA
Pl í«2, PA {<*1 P2}. K2, Plb

Dvojiny řídicích přímek lineárních kongruencí těmito dvojinami
komplexovými stanovených nalézají se, jak snadno lze nahlédnouti, po¬
stupně na přímkových řadách:

a2 ; fi2

«i2; A2

■a jsou patrně společnými dvojinami vždy dvou soumístných involuci na
těchto řadách indukovaných postupně vždy dvěma řadami:

P, Aa; <*2, «i2

ft2; «2, a2,

to jest jsou to již dříve uvažované přímkové dvojiny:

VaP) SaPí V p a.) Spa
Y aP) S a p , V p cd S p a-

Jest známo,1) že 6 dvojin řídicích přímek šesti lineárních kongruencí
obsažených vždy ve dvou lineárních komplexech ze čtyř navzájem invo-
lutorních komplexů, jest dvojinami protějších stran 3 tetraedrů, a že
všecky tyto tetraedry mají společnou jednu dvoj inu protějších přímek,
která jest zároveň dvojinou přímek všem 4 lineárním komplexům spo¬
lečnou, a která jediná není dvojinou řídicích přímek jedné ze 6 lineárních
kongruencí. V naší konfiguraci 4 lineárních komplexů, která jest jen spe¬
ciálním případem oné obecné 4 lineárních komplexů v involuci, jest, jak

4) Viz na pi\ R. Sturm: Liniengecmetrie I. § 183, pag. 240.

XXXV lil.

16

z úvah předešlých patrno, umístění 6 dvojin řídicích přímek násle¬
dující:

Čtyři lineární komplexy ve vzájemné involuci dané dvěma hyperboloidy
s přímkovými řadami v dvojnásobné involuci pronikají se podvojné v 6 line¬
árních kongruencích . Řídicí přímky těchto 6 kongruencí tvoří vždy dvé
dvojiny protějších hran tří tetraedrů , z nichž prvý jest polárný k oběma
hyperboloidům, z druhých dvou pak každý' jest polárný k jednomu hyper¬
boloidu a dvě dvojiny jeho protějších hran se nacházejí na druhém hyper¬
boloidu. Tyto tři tetraedry mají jednu dvojinu přímek společnou, tu dvojinu,
která jest obsažena ve všech 4 našich lineárních komplexech a to jest jediná
dvojina, která není dvojinou řídicích přímek žádné z našich 6 lineárních
kongruencí.

Uvažujme nyní postupně všecky 4 trojiny z našich 4 lineárních
komplexů, a vyhledejme vždy společnou hyperboloidovou přímkovou řadu,
ve které se pronikají lineární komplexy každé této trojiny. Tyto tři
trojiny seřadme si následovně:

K /VI W, n K2> /V);

í«2. n Í«A n fc2, A2};

K n K A2}. Í«A A2};
n y, mí k, n

Tři lineární komplexy každé této trojiny vy tínají pak vždy společně
dvojinu přímek na dvojinách přímkových řad:

o2, a* a*, fP; ap,

kteroužto dvojinu na těchto dvojinách přímkových řad můžeme si mysliti
vyťatu postupně vždy lineárním komplexem:

W, A2}; W, n, K A2!; K ň>

tu však vidíme, že těmito dvojinami jsou samodružné dvojiny na našich
4 přímkových řadách vyskytujících se 8 obyčejných involuci na počátku
tohoto odstavce uvedených, a sice postupně vždy na dvou řadách přím¬
kových, v hořením pořádku uvažovaných, jsou to vždy dvě dvojiny přímek:

V a /A >

Up otj,

Vp ai

'« p>

Vap\

vpíCh

'«t Px>

V<*i Pí >

i Up «,

Vpa

«i ft>

viP'>

Upx a,

Tím jsme nalezli 4 hledané přímkové řady, jež jsou dány postupně
těmito hyperboloidickými přímkovými čtveřinami.

Všimneme-li si blíže jednotlivých hyperboloidických čtveřin přím¬
kových zde uvedených, tu vidíme, že každou tuto čtveřinu tvoří vždy
dvě dvojiny samodružných přímek těch involuci na dvou přímkových
řadách v dvojnásobné involuci, které na každé z těchto přímkových řad

XXXVIII.

17

vytíná vždy řídicí řada řady druhé. Tak jsou přímky uapv vapt samodruž-
nými přímkami involuce, kterou vytínají v přímkách řady a2 přímky
řady fij2* řídicí to řady řady /?2, a přímky up av vp ai jsou samodružnými přím¬
kami involuce, kterou vytínají v přímkách řady /32 přímky řady a j2, řídicí
to řady řady a2. Podobně to platí o přímkách v dalších třech sku¬
pinách.

Máme tedy následující souvislost:

Dvě dvojiny samodružných přímek involucí indukovaných dvěma přím¬
kovými řadami v dvojnásobné involuci vždy na řídicí řadě druhé řady tvoří
hyperboloidickou ctveřinu přímek. Při dvou hyperboloidech s řadami v dvoj¬
násobné involuci dospíváme tímto způsobem ku 4 hyperboloidichým ctveřinám
přímek. Tyto 4 hyperboloidické ctveřiny přímek stanoví 4 přímkové řady
a tyto jsou společným pronikem vždy tří ze čtyř lineárních komplexů stano¬
vených nasemi dvěma hyperboloidy v této zvláštní poloze.

6. Speciální případ předešlého.

Všimněme si jednoho speciálního případu dvou hyperboloidů A2 a B2
s dvojnásobně involutorními přímkovými řadami, to jest případu, kdy
oba hyperboloidy mají čtyři přímky společné. Budtež ta, h přímky společné
řadám a2, (i2 a td , td přímky společné řadám a L2, px2 našich dvou uvažo¬
vaných hyperboloidů. Pak z našich čtyř lineárních komplexů, při této
konfiguraci dvou hyperboloidů se vyskytujících, existují především dva,
totiž lineární komplex {a2, fid}> který jest dán přímkami řady a2 a přím¬
kami td, td nebo přímkami řady fid a přímkami ta, h> a lineární komplex
[a2, (i2} daný přímkami řady a±2 a přímkami ta, fa, nebo přímkami řady /32
a přímkami td, td - Jsou tedy přímky prostorového čtyřúhelníka ta> h,
td , td oběma uvedeným lineárním komplexům společné, a jsou tudíž diago¬
nály m, n tohoto čtyřúhelníka společnou dvojinou konjugovaných polár
obou uvažovaných lineárních komplexů.

Další dva lineární komplexy z našich čtyřech lin. komplexů zastupují
v tomto případě dvě lineární kongruence. Totiž dvě lineární kongruence
o řídicích přímkách: ta, h a td, td , neboť řadami a2, /32 resp. řadami uý2,
tyto lineární kongruence procházejí. Ježto řídící přímky těchto dvou
kongruencí tvoří vždy dvě protější strany prostorového čtyřúhelníka, jest
kterýkoli lineární komplex lineární kongruence [ta, td\ v involuci s kterým-
koliv lineárním komplexem lineární kongruence [td, td ]. Avšak též jest
každý z lineárních komplexů svazků o základních kongruencích [ta, h]
a [td , tď] v involuci ku lineárním komplexům {a2, (3-j2} a {aý2, p2}, neboť
tyto dva lineární komplexy, jak jsme právě byli ukázali, obsahují čtyři
přímky ta> U, td , td, z nichž první dvě jsou společnou dvojinou konju¬
govaných polár všech komplexů prvního, druhé dvě druhého svazku našich
lineárních komplexů.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 38. 2

XXXVIII.

18

Ze dvou sborcených ploch diagonál Px4 a P24, vyskytujících se při
dvou hyperboloidech s dvojnásobně involutorními řadami, přechází první
plocha Pj4 ve dvě dvojiny přímek ta> U a tá , U' . Jsou totiž ta, tb společnými
diagonálami všech sborcených čtyřúhelníků, jejichž dvě a dvě protější
strany se nacházejí na hyperboloidových řadách uf, (5f, což vyplývá
z toho, že každá řada tato jest polárně invariantní vzhledem ku hyper¬
boloidu, který jest nositelem řady druhé. A zcela analogicky to platí
o přímkách ta' , tí vzhledem ku přímkovým řadám a 2, /32. Plocha P24 pak
přechází v tomto speciálním případě ve dvě lineární kongruence \ta, tb]
a [ta , tí], neboť každou přímku l lineární kongruence [ta, 4] lze považovati
za diagonálu jednoho ze sborcených čtyřúhelníků, jehož dvě a dvě protější
strany se vyskytují na dvou přímkových řadách, které jsou v involuci.
V našem případě jsou to přímky řady a2 jdoucí průsečíky přímky l s přím¬
kami ta> tb, přímkami jedné dvojiny vyskytující se na a2, a přímky ta> th
přímkami druhé dvojiny vyskytující se na /32. Podobně zcela lze to do-
kázati i o přímkách lineární kongruence \tj , tb].

7. 0 quadratickém hyperboloidovém systému Uf a o lineárním hyper-

boloidovém systému ŽJ7.

Ukázali jsme v odstavci 1., že ku každé přímkové řadě hyper-
boloidové existuje oo8 přímkových řad, které jsou s ní v involuci, a že
tedy též ku danému hyperboloidu existuje oo8 hyperboloidů s řadami,
které jsou ku řadám daného hyperboloidu v involuci. Tento systém budeme
označovati Uf a jeho kvadratičnost dokážeme tím, že v každém svazku
hyperboloidů existují dva hyperboloidy této vlastnosti. V úvahu vezmeme
speciální svazek hyperboloidů procházejících čtyřmi přímkami, které tvoří
prostorový čtyřúhelník. Tímto speciálním svazkem lze zcela obecný svazek
nahraditi dle známého Schubertova principu o zachování počtu prosto¬
rových individuí („Princip von der Erhaltung der Anzahl“), že počet
tento zůstává zachován, když obecný útvar, na kterém počet těch indi¬
viduí závislým jest, nahradíme útvarem speciálnějším.1)

Obecný svazek ploch stupně druhého nahradíme zde svazkem speci¬
álnějším, při kterém základní křivka čtvrtého stupně 1. druhu nahrazena
jest prostorovým čtyřúhelníkem. Budtež m, n jednou dvojinou a p, q
druhou dvojinou protějších stran našeho prostorového čtyřúhelníka, který
jest základní křivkou hyperboloidového svazku Sv a budiž A2 hyper¬
boloid, k němuž hledáme hyperboloidy s řadami, jež jsou ku jeho řadám
v involuci. Budtež a2, uf zase přímkovými řadami tohoto hyperboloidu.
Proložme si hyperboloidovou řadou a2 a přímkami m, n lineární komplex,
který si symbolicky označíme:

_ _ [m, n; a2}.

x) H. Schubert: Kalkul der abzáhlenden Geometrie, pag. 12.

XXXVIII.

19

Tento lineární komplex má s lineární kongruencí [p, q] společnou
určitou přímkovou řadu |2, a hyperboloid X2, který jest nositelem této
řady, jest patrně hyperboloidem systému našeho ŽJ82, daného hyper¬
boloidem A2.

Ku témuž hyperboloidu dospěli bychom zcela analogickou cestou,
kdybychom uvažovali pronik lineární kongruence [ m , n\ s lineárním
komplexem :

\P: ?; “ll

kterýžto pronik není ničím jiným nežli přímkovou řadou £2, která jest
řídicí řadou řady |2. To vyplývá ze známé věty geometrie útvarů přím¬
kových, kterou jsme zde již jednou uvedli, že prochází-li dvěma přímko¬
vými řadami lineární komplex, že též jejich řídicími řadami lze lineární
komplex prol ožiti.

Stanovíme-li si dále dva lineární komplexy:

\p, q ; a2\ a [m, n ; a 22}

a hledáme jejich přímkové řady, které leží v lineárních kongruencích:

[: m , n\ resp. [p, q\,

tu tyto řady: if resp. rj2 náležejí témuž sborcenému hyperboloidu Y2
našeho speciálního svazku Sv obsaženému současně v systému 2J82. Z úvah
našich jest zároveň patrno, že kromě hyperboloidů X2, Y2 žádné jiné
hyperboloidy v systémech S1 a 2J 82 obsaženy nejsou.

Můžeme tedy vysloviti větu:

Systém všech oo8 hyperboloidů, které obsahují přímkové řady, jež jsou
k řadám daného hyperboloidu v involuci, jest quadratickým.

Z toho vyplývá dále, že systém všech hyperboloidů, které obsahují
přímkové řady, které jsou ku řadám k {k ^ 9) daných hyperboloidů
v involuci, tvoří cc9~k hyperboloidů, a že stupeň tohoto systému jest 2*;
lze tedy ten systém označiti

y.2k

Z-19 — k'

Zvláště pak jest vytknouti:

Ku daným 9 hyperboloidům existuje 512 hyperboloidů, které obsahují
přímkové řady, které jsou ku řadám daných 9 hyperboloidů v involuci.
Každou z přímkových řad cc?, au 2 daných 9 hyperboloidů:

A i2 t=l, 2, 3, ... 9

můžeme pak spojiti s řadou Pik2, fik2 oněch 512 hyperboloidů:

B*2 k = 1, 2, 3, . . . 512
tak, že těmito prochází vždy lineární komplex:

{«i2, Pik2} nebo {«h2, pk2} ;

2*

XXXVIII.

20

každých těchto lineárních komplexů existuje patrně 9 . 29 = 4608, a ježto
máme takové dvě skupiny, vidíme, že tak dospíváme od 9 libovolných
hyperboloidů ku zvláštní konfiguraci 9216 lineárních komplexů. V této
konfiguraci 9216 lineárních komplexů jest pak ku každému lineárnímu
komplexu 521 komplexů v involuci. Tak ku určitému lineárnímu kom¬
plexu této konfigurace, komplexu:

H2 /W }.

kde iv kx jsou určitá pevná čísla, jsou v involuci patrně lineární kom¬
plexy:

{«u2 Pk2} a fa? pkl%

Těchto lineárních komplexů jest 521, neboť prvých jest 512 a druhých
9, ježto k a i mohou nabýt i 512 resp. 9 různých hodnot.

Podobně ku určitému lineárnímu komplexu:

í«i h, M

jest v involuci celkem 521 lineárních komplexů:

fa2, Pik2) a {«?, Piu2).

Z předešlých úvah vidíme, že systém všech oo8 hyperboloidových
řad přímkových, které jsou ku dané řadě v involuci, neboli systém všech
hyperboloidových řad obsažených ve všech oo2 lineárních komplexech
danou přímkovou řadou procházejících, jest lineárným. Jest totiž z pře¬
dešlého důkazu quadratičnosti systému £82 patrno, že ve svazku přím¬
kových řad obsažených v dané lineární kongruenci existuje pouze jedna
přímková řada, která jest ku dané přímkové řadě v involuci. Tak v našem
případě ku přímkovým řadám a2, aL2 existují ve svazku přímkových řad
procházejících přímkami p, q a obsažených v lineární kongruenci \m, n\
postupně involutorní přímkové řady |x2 a rp. Ve svazku pak přímkových
řad jdoucích přímkami m, n a obsažených v lineární kongruenci [ p , q\
jsou ku těmže řadám a2 a eq2 postupně v involuci řady |2 a %2.

Z lineárnosti systému všech oo8 přímkových řad, které jsou ku dané
přímkové řadě v involuci, vyplývá lineárnost systému všech oo7 hyper¬
boloidů, které obsahují řady, jež jsou ku řadám daného hyperboloidu
v dvojnásobné involuci. Lze totiž hyperboloidy tohoto systému považovati
za nositele přímkových řad lineárního systému oo7 přímkových řad, kterýžto
systém jest pronikovým systémem dvou lineárních systémů oo8 přímkových
řad, které jsou v involuci ku oběma přímkovým řadám daného hyper¬
boloidu.

Systém těchto hyperboloidů budeme oznaěovati Jeho lineárnost
ještě potvrdíme existencí jediného hyperboloidu tohoto systému 2?7, který
se nachází ve speciálním lineárním systému S2 všech oo2 hyperboloidů
procházejících dvěma mimoběžkami m, n a jednou jejich příčkou p. Pro-

XXXVIII.

21

ložme si přímkovými řadami a2, a±2 daného hyperboloidu A2 a přímkami
m, n dva lineární komplexy: {m, n; a2} a {m, n\ o^2}, tyto dva lineární
komplexy pronikají se v určité lineární kongruenci \u, v], jejíž řídicí
přímky u, v musí protínati přímky m, n, ježto tyto dvě přímky jsou
oběma našim lineárním komplexům společné. Hyperboloid pak přímkami
p, u, v stanovený jest jediný hyperboloid v našem speciálním lineárním
systému S2, který obsahuje přímkové řady, které jsou ku řadám daného
hyperboloidu v dvojnásobné involuci.

Můžeme tedy vysloviti větu:

Systém všech oo7 hyperboloidů, které obsahují řady, jež jsou ku řadám
daného hyperboloidu v dvojnásobné involuci, jest lineárný.

Z toho vyplývá též na př., že danou přímkou lze proložiti jeden
hyperboloid s přímkovými řadami, které jsou v dvojnásobné involuci
vzhledem ku řadám tří libovolných hyperboloidů. Hyperboloid ten jest
totiž pronikem lineárního systému všech oo6 hyperboloidů, jež danou
přímkou procházejí a lineárního systému všech oo3 hyperboloidů, jež mají
řady vzhledem ku řadám tří libovolných hyperboloidů involu torní.

8. Konstruktivné úlohy ku systémům E82, E72 a EQ8 se vztahující.

V odstavci tomto provedeme některé úlohy konstruktivné vztahující
se ku systémům E82, E^ a E 68, kteréžto systémy jsou vyplněny od všech
hyperboloidů, které obsahují přímkové řady, jež jsou ku řadám jednoho,
dvou a tří daných hyperboloidů v involuci. Budeme totiž konstruktivně
hledati :

I. 2 hyperboloidy daného systému E82 obsažené ve speciálním svazku
všech oo 1 hyperboloidů jdoucích přímkami daného prostorového čtyř¬
úhelníka.

II. 4 hyperboloidy daného systému E 74 obsažené v speciálním lineárním
systému S2 všech oo2 hyperboloidů jdoucích dvěma mimoběžnými
přímkami a jednou jejich příčkou.

III. 8 hyperboloidů daného systému E68 obsažených v speciálním lineárním
systému S3 všech oo3 hyperboloidů jdoucích dvěma mimoběžnými
přímkami.

I.

Budiž m, n jedna a p, q druhá dvojina protějších stran základního
prostorového čtyřúhelníka, kterým procházejí hyperboloidy svazku Sv
Budiž pak A2 sborcený hyperboloid, jemuž přísluší E82 známým způ¬
sobem zde uvedeným.

Protínej tež přímky m, n v řadě a 2 hyperboloidu A2 přímky:

Omx ) & mt j & n2 ,

XXXVIII.

22

v řadě pak a±2 téhož hyperboloidu přímky:

Cm1 > Clm2 > > Cln2 •

Dále protínej tež přímky p, q v těchže přímkových řadách a2,
postupně přímky:

&Pi> Clp2 , Clqx, y
& p2> Cl p2 , Cl qx, Cl q%.

Sestrojme pak transversály vždy čtyř přímek:

p.

<1>

Clm

P,

Cl fnx,

Cl nii

p>

q>

Cln^

dn2 >

P,

q>

Cl tiif

a’n2

M,

n,

aPl,

m,

n,

a’Pl,

ďp2:

m,

n,

a<h ’

tn,

n,

Cl qx,

Cl q2.

Jest patrno, že jedna ze dvou transversál každé této přímkové
čtveřiny jest vždy některou z přímek našeho základního sborceného čtyř¬
úhelníka, druhou pak nutno sestroj iti. Osm dvojin těchto transversál
hořením osmi čtveřinám přímkovým příslušných označme si pak postupně:

m, x1 ; m, y/ ;

n, x2 ; n, y2;

P> yi> p. V;

q, y2; q, *2'.

Jsou pak přímkové řady:

C, Ir, %2

hledaných hyperboloidů:

X2, Y2

společných hyperboloidickým systémům Sx a U82 stanoveny vždy násle¬
dující hyperboloidickou čtveřinou přímek:

I2 3= (m, n, xv x2),

li2 = (P> 9> xi> V).

■n2 =‘ (P> y\> yi>>

%2= (m, n, y/, y2).

Jest ještě správnost uvedené konstrukce dokázati, čili jest dokázati
involutornost následujících čtyř dvojin přímkových řad:

«2, i2; a2, |j2; a2, rj2] a2, rj2.

Involutornost ta jest patrna z konstrukce čtyř našich přímkových
řad, neboť touto konstrukcí dospěli jsme při těchto řadách postupně vždy
ku dvěma sborceným čtyřúhelníkům, z nichž vždy jeden, jak jsme při
vysvětlení pojmu involutornosti přímkových řad byli ukázali, stačí aby.

XXXVIII.

23

tyto řady byly involutorními. Vždy dva tyto sborcené čtyřúhelníky jsou
totiž:

m,

Un1>

Un2i

n,

aPí,

<>

p,

yi>

<>

<>

x2

aPi>

^2’

p.

yi\

aqv

a<h>

P>

t2;

Umx >

' Umt !

, m,

yí

Um ,

ani,

n,

yí-

Že čtyři přímky stanovící naše přímkové řady |2, Šj2, rj2, skutečně
tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek, vyplývá z věty, kterou, jelikož
sama pro sebe též jakousi zajímavost má, zvlášť vytkneme. Totiž z věty:

Dána-li dvojina 'přímek pv p2 a mimo to ještě dvě dvojiny přímkové
fti > Pz Pí’ > Pí' té vlastnosti , ze poslední 4 přímky tvoří hyperboloidickou
čtveřinu přímek, tu sestrojíme-li dvě dvojiny transversál vždy 4 přímek :
Pv Pz> Pí > Pí í Pi> p2> Pí' > Pí' > tyt° transversály tvoří hyperboloidickou
čtveřinu přímek.

Správnost věty uvedené jest patrna z toho', že 4 transversály naše
musí ležeti na hyperboloidové přímkové řadě, která jest společná lineární
kongruenci \_px p^\ a lineárnímu komplexu stanovenému dvěma dvojinamí
jeho konjugovaných polár, totiž dvojinami:

Pí , Pí ; Pí'> Pí'-

V našem daném případě u řady |2 = ( m , n, xv x2) jsou, jak z kon¬
strukce patrno, dvojiny přímek m, xt a n, x2 oběma transversálami vždy
čtyř přímek: p, q, amv ami resp. p, q, aHl, an ,, kde 4 přímky ami, amt,
ani, aUi tvoří hyperboloidickou čtveřinu ležíce na řadě «2. Zcela stejně
to platí o přímkách dalších hyperboloidových řad: |x2, rj 2 a %2.

II.

Budtež m, n libovolnými mimoběžnými přímkami a p budiž jejich
příčkou. Přímkami m, n, p prochází oo2 hyperboloidů tvořících tak speciální
lineární systém S2. Budiž 2774 systém všech oo7 sborcených hyperboloidů
obsahujících přímkové řady, které jsou ku řadám a2, aj2 ; ji2, fi-j2 dvou
daných hyperboloidů A2, B2 v involuci. Hledejme konstruktivně 4 hyper¬
boloidy náležející oběma systémům S2 a 2?74.

Stanovme si čtyři dvojiny lineárních komplexů:

{m, n\ a2\, {m, n; /32},

{m, n; a2}, {>n, n ; fij2},

\m, n\ aj2), {m, n\ /I2},

[m, n\ «x2}, {m, n ; Z^2},

tyto čtyři dvojiny pronikají se ve 4 lineárních kongruencích o dvojinách
řídicích přímek, které jsou patrně vesměs obsaženy v lineární kongruenci
[ m, n] a každá z těchto dvojin stanoví pak s přímkou p jeden z hledaných
4 hyperboloidů.

XXXVIII.

24

Konstruktivně nalezneme tyto dvojiny vždy jako druhé transversály
(první transversálou jest vždy p) vždy čtyř přímek:

m,

n,

ai>

^2;

m,

n,

K

K,

m.

n,

av

a0 y

m,

n,

K>

V

m,

n,

a{,

a2 I

m,

n,

K

V

m,

n,

a2' ;

m,

n,

w.

v

Označme si ty dvojiny trans versál postupně:

tp > ta, tp , ta ) tp > ta , tp .

Hledané naše 4 hyperboloidy stanovené vždy třemi přímkami můžeme
symbolicky označiti následovně:

*!2 = {p, ta, tp),

X% = (p, ta, tp),

X*={p, ta9, tp),

Xf={p, ta', tp').

Speciální případ nastává, když hyperboloidy A2 a B2 se stotožňují,
neboli když hledáme hyperboloid společný našemu systému S2 a systému
X7, který tvoří souhrn všech hyperboloidů, které obsahují řady, jež jsou
s řadami hyperboloidu A2 = B2 v dvojnásobné involuci. Hyperboloid ten,
který označíme X2, sestrojíme následovně:

Přímka p nechť protne v řadách a2, a2 hyperboloidu A2 vždy přímky:

Sestrojme nyní transversály vždy ku čtyřem přímkám:
m, n, av a2 ; m, n, a^, a2 .

Jednou transversálou jest vždy přímka p, druhými budtež přímky:

t\ ť.

I jest hledaný hyperboloid dán třemi přímkami:

X2= (p, t, ť).

III.

Tři hyperboloidy A2, B2, C2 stanoví systém 8. stupně oo6 hyper¬
boloidů, které obsahují řady, jež jsou ku řadám všech tří těchto hyper¬
boloidů v involuci. Budeme hledati konstruktivně pronik tohoto systému
XQ8 se speciálním lineárním systémem S3 všech co3 hyperboloidů prochá¬
zejících dvěma mímoběžkami m, n, což jest, jak jsme dříve ukázali, 8 hyper¬
boloidů. K vůli jednoduchosti sestrojíme takový hyperboloid jenom jeden
a o ostatních ukážeme, že lze je způsobem zcela analogickým dále se-
strojiti.

XXXVIII.

25

Bucftež postupně:

a2; P2, Pf; y2, y?

přímkovými řadami na daných třech hyperboloidech a uvažujme nejprve
řady:

P\ r2

a proložme postupně těmito řadami a přímkami m, n lineární komplexy,
které si symbolicky označíme:

[ni, n ; a2), { n n ; /i2}, {w, w ; y2}.

Tyto tři lineární komplexy pronikají se v přímkové řadě £2, jejíž
řídicí řada £2 jest patrně v involuci s každou ze tří řad a,2, p2, y2. A jest
tedy hyperboloid Xx2, který jest nositelem řad £2, |x2 jedním z hledaných
osmi hyperboloidů společných systémům S3 a 2;r8.

Uvažujme řídicí řady uvedených tří přímkových řad, totiž řady:

«i2, Ph n2,

na těchto řadách existují involuce konjugovaných polár našich tří line¬
árních komplexů, a sice po řadě:

{m, n; a2}, {m, n, p2}, {m, n; y2}.

Protínají tudíž přímky m, n jakožto přímky těchto komplexů tyto řídicí
řady ve dvojinách konjugovaných polár těchto komplexů. Dvojiny ty
jsou na těchto třech řadách postupně následující:

Pa> pa , Qa) Qa >

Pp> Pp'\ qp> qp >

Pr> Pr ; Ir-

Hledáme pak lineární kongruence obsažené postupně ve třech dvo¬
jinách z našich tří lineárních komplexů, tři dvojiny pak řídicích přímek
těchto tří lineárních kongruencí stanoví již hledaný hyperboloid X^.
Sestroj íme-li dvakrát společné trans versály každé ze dvou čtveřin přím¬
kových

Pat pa ) P fty P P ) fy) Qa > Qfl) Qfl >

nebo dvou čtveřin:

Pa> pa') qp, qp ; q a) qd, pp) pp \

tu pokaždé dvě transversály dvou dvojic těchto transversál jsou toutéž
dvojinou řídicích přímek'

^a P> da p

kongruence lineárních komplexů:

[m, n ; a2}, { m , n ; p2}.

XXXVIII,

26

Zcela analogicky obě transversály dvou dvojin transversál dvou
přímkových čtveřin:

Pa> Pa > Py> Py i qa> ^a > Qy> Vy >

nebo dvou čtveřin:

Paf Pa } Qy> Qy > q a> Qa > Py> Py >
vedou ku dvojině řídicích přímek:

d a yt da y

kongruence lineárních komplexů:

{ni, n ; a2}, {m, n; y2}.

Posléze týmže způsobem od dvou čtveřin:

Pp> Pp> Py } py) qp, qp', qY} qý

nebo od dvou čtveřin:

P p, Pp } qY} qY y qp, qp , Py, py

dospíváme ku přímkám:

dp y, dp y ,

jež jsou řídicími přímkami kongruence lineárních komplexů:

{m, n\ /32}, \m, n ; y2\.

Jest tedy hledaný hyperboloid stanoven svými šesti přímkami:

Xy - ( da p, da , da yf da y , dp y} dp y ) .

Jako jsme sestrojili tento hyperboloid Xx2 tím, že jsme stanovili jednu
jeho přímkovou řadu, jakožto pronik tří lineárních komplexů proložených
základními přímkami m, n a postupně přímkovými řadami a2, fi2, y 2, sestrojili
bychom dalších 7 hyperboloidů:

X22, X32, X42, . . . X82

tím, že bychom sestrojili vždy jednu jejich řadu jakožto pronik vždy tří
lineárních komplexů stanovených vždy dvěma přímkami m, n a pak po¬
stupně vždy třemi přímkovými řadami:

/32, a2, y2\ a2

K2>

«i2, P2, «i, P2, y2; «j

Pi, ri2;

,2; Pi, v2-

XXXVIII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 39.

Příspěvek k theorii elliptické křivky normální.

Napsal

B. BYDŽOVSKÝ.

Předloženo dne 17. října 1914.

Je známa věta,1) že každá jednojednoznačná korrespondence na ku¬
bické křivce rovinné je obsažena v nekonečně mnoha Cremonových kvadra¬
tických transformacích roviny. Věta analogická platí pro každou normální
křivku elliptickou v prostoru o libovolném počtu rozměrů.

1. Důkazu této věty budiž předeslána úvaha o kvadratických trans¬
formacích Cremonových prostoru ^-rozměrného. Jsou-li %i homogenní
souřadnice bodu v jednom, yt homogenní souřadnice bodu ve druhém
prostoru ^-rozměrném, je příbuznost obou prostorů, vyjádřená rovnicemi

Qx i = y2a + y32 + . . . + y2„ + 1

q xt = yL yu i — 2, 3, . . ., n + 1

kvadratická a jednojednoznačná. Řešením těchto rovnic obdržíme totiž
ihned

q' yx = *22 + *s2 + • • • + *2» + 1

q' yi = X{ i = 2, 3, . . ., n + 1,

Geometrická interpretace těchto rovnic vede k těmto vlastnostem
kvadratické transformace: V jednom prostoru je dán bod X0 a lineární
prostor (n — 1) rozměrný Vn_i, jenž bodu X0 neobsahuje; v druhém
prostoru je dán bod Y0 a lineární prostor Yn-i, jenž bodu Y0 neobsahuje.
Body Y0, Y0 jsou body hlavní; bodu X0 (Y0) odpovídají všechny body
prostoru Yn-i {Xn i) . Svazky paprsků (n — ■ 1) rozměrné o středech X0,
Y0 — budeme je stručně označovat i [Y0], [Y0] — jsou sdruženy kolli-
neací K. Ve svazku [V0] existuje význačný kvadratický kužel (n — 2)

x) V. Enzyklopádie der math. Wiss., III C 5 § 37 str. 500 (pozn. 169).

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. C. 39. 1

XXXIX.

2

rozměrný Kx, jenž na Xn-\ vytíná kvadratickou varietu kx ; kuželi Kx
odpovídá kollineací K v [y()] kužel Ky, jenž na Yn-\ vytíná kvadratickou
varietu ky. Každému bodu jednoho prostoru odpovídá jediný bod druhého
a obráceně; výjimku činí body hlavní, t. j. mimo zmíněné již dva všechny
body variet kX) ky. Danému bodu na kx odpovídají všechny body toho
paprsku kužele Ky> jenž v kollineaci K odpovídá paprsku promítajícímu
z bodu X0 daný bod na kx. Obráceně každému bodu na ky odpovídá celý
paprsek kužele Kx. Lineárnímu prostoru jedné soustavy odpovídá obecně
kvadratická varieta druhé soustavy. Tak zvláště paprsku prvního prostoru
odpovídá ve druhém kuželosečka, jež prochází bodem Y0 a obsahuje dva
body variety ky\ totiž ty, jež odpovídají oběma bodům, v nichž paprsek
protíná kužel Kx. Paprsku bodem hlavním odpovídá opět paprsek bodem
hlavním a to týž, který mu odpovídá v kollineaci K. Paprsku, jenž obsa¬
huje jeden bod variety kx, odpovídá — vedle jednoho paprsku kužele Ky —
paprsek obsahující jeden bod variety ky. Lineárnímu prostoru ( k — 1)
rozměrnému odpovídá kvadratická varieta (k — 1) rozměrná procházející
bodem Y0 a varietou ky\ obsahuj e-li lineární prostor bod XQ, rozpadne se
kvadratická varieta na Y*_i a lineární prostor bodem Y0. Atd. atd.

Kvadratická transformace je určena, jsou-li dány: body X0, Y0;
variety kX) ky\ kollineace K ; konečně dvojice bodů A, A' sobě odpoví¬
dajících. Neboť pak lze k libovolnému bodu X prvého prostoru sestroj iti
bod X' jemu odpovídající v druhém prostoru takto: k paprsku X0X
sestrojíme paprsek Y0X', jenž mu do povídá v kollineaci K. Paprsku A X
odpovídá kuželosečka, jež je dostatečně určena: obsahuje bod A' , bod Y0,
známé dva body variety ky ; tečna její v bodě Y0 je známa, neboť je to
ten paprsek svazku [Y0], jenž odpovídá v kollineaci K paprsku svazku [XQ]
promítajícímu bod, v němž paprsek A X protne prostor Xn _ i. Tato
kuželosečka leží s paprskem Y0 X' v jedné rovině — ježto X0X, A X leží
v jedné rovině — a protne jej mimo bod Y0 v hledaném bodu X' .

2. Na normální elliptické křivce stupně [n + l)ho K(w+1) v prostoru
^-rozměrném zvolme dva body (u0) , («'2» + i), t. j. body, jichž parametry
jsou u0) u'zn+1 při známém parametrickém vyjádření užitím elliptických
funkcí. Z těchto dvou bodů promítneme křivku dvěma elliptickými kuželi
stupně n- ho. Tyto kužele mají týž modul, i lze je sdružiti lineárně, t. j.
lze určiti kollineaci mezi oběma svazky o vrcholech (íí0), (u'2n + i), v níž
tyto kužele si odpovídají. Tímto přidružením vznikne na křivce jedno-
jednoznačná korrespondence, jež je ovšem vyjádřena vztahem mezi para¬
metry

u' = ± u + C, (1)

kde konstanta C závisí na volbě bodů (u0) , (u'zn + i). Musí totiž těm bodům
křivky, jež s bodem ( u0 ) leží v témže lineárním prostoru (n — 1) roz¬
měrném, odpovídati body, jež s bodem u\ n + i leží v lineárním prostoru
(n — 1) rozměrném. Podmínku, aby (n + 1) bodů křivky leželo v takovém
prostoru, lze vždy psáti ve tvaru

XXXIX.

3

% T* ui "l- • • • “í- Un — O (2) •

Pro body («/), . . odpovídající bodům (ux), . . (un) musí

platiti

u'zn + 1 “b ^ \ + . • • + Mn == 0,

z čehož plyne užitím korrespondence (1)

u' 2n + \ lt_ (ux “f~ • • • T* Mn) d ~ % C == 0.

Odtud se obdrží užitím podmínky (2) výsledek

nC = ±u o — m' 2 »+i (3) .

Zvolíme-li tedy C tak, aby vyhovovalo této podmínce, přidružuje
kollineace svrchu zmíněná paprsku, jenž promítá z bodu (u0) bod (u),
paprsek, jenž promítá z bodu (u^n+i) bod (u'), jehož parametr je dán
vztahem (1).

V korrespondenci (1) odpovídá bod (u^n+i) bodu («2n+i), pro který

platí

V2n+1 = ± (ti' 2n + l - C) .

Bodem («2n+i) položme libovolný lineární prostor (n — l)rozměrný
Un- i, jenž neobsahuje bodu (u0) ; tento prostor protne křivku v dalších
n bodech, jež označíme (un+ 1), . . ., (ti 2 ») . Těmito body lze položiti ne¬
konečně mnoho kvadratických variet (n — 2) rozměrných, jež leží v Un- 1,
neboť taková varieta je určena

(n + 2) (n — - 1)
2 L

body a

( n-\- 2) (n — 1)
2

> n pro w > 2.

Zvolme jednu z nich, jež neobsahuje bodu (w2»+i), a označme ji &.
Kužel K, kterým se k promítá z bodu (u0) , je ovšem kvadratický, a protne
křivku i£(w+1) ve 2 (w + 1) bodech ; v těch je bod (u0) počítán dvakrát,
pak body (w*+i), . . ., (w2n) jednoduše; i zbývá ještě n průsečíků, jež ozna¬
číme (%), . . (tifi) . Pro všechny tyto body ovšem platí

2 Uq ~h ux -j- . . . -f -f t'ln + 1 + . . . + W2 » = 0 (4).

Ježto však body (w»+i), . . («2»+i) leží v lineárním prostoru, platí

Un+1 + ...+%» + ^2n + l == 0 ;
užitím tohoto vztahu změní se (4) na kongruenci

2 UQ — U2n+\ + (U% + . . . + Un) =0 (5).

Této podmínce musí výhovo váti průsečíky kužele K s křivkou. Že
neexistuje žádná jiná, je patrno z toho, že mimo bod (u0) již předem
volený a jeden kterýkoli z dalších bodů, jichž parametry jsou uvedeny
v kongruenci (4), lze všechny ostatní voliti na křivce libovolně. To plyne

1*

XXXIX.

4

jednak z toho, že body (w„+i), . . («2») je prostor

z toho, že platí

(n + 2) (w — 1) ^ 0 ,

- - - - — ^2 n — 1 pro

Z

Un- 1 právě určen, jednak
n + 1^4,

tedy počínaje normální křivkou v prostoru třírozměrném.

Uvažujme nyní body (w/) pro i — 0, . . 2 w + 1, odpovídající

bodům («|) korrespondencí (1). Užitím této korrespondence obdržíme

«0' "i" 4“ • • • 4* W*/ — ZŽZ (wo + «!+••• + w») 4" w C C .

Nahradíme-li výraz nC dle vztahu (3), upravíme pravou stranu
na výraz

± (u0 + +'... + «») ± «0 — u'tn+1 + C =

= Hh (2 w0 + U1 4" • • • 4“ un) — u'žn+1 4" C>

který upravíme užitím kongruence (5), tak že obdržíme

U§ 4" ^1 4“ • • • 4" Mn = 4z ^2n+l u'zn + l 4“ C == 0,

t . j . : body (w0'), . . ., (un') leží v lineárním prostoru U'H- i.

Užitím týchž vzorců a postupnou úpravou obdržíme podobně:

2 u'zn + 1 4- 4“ • • • 4" Mn == 2 u' 2 n + 1 zt fai 4“ • • • 4" ^2 n) 4* 2 n C EEE

ee2m/2)I+i + 2m0 -f 2 nC = 0.

Leží tedy ty body, jež odpovídají v korrespondencí (1) bodům na
kuželi K ležícím, na kvadratickém kuželi K! o vrcholu (w^n+i), jak ovšem
musí býti; tyto dva kužele jsou totiž sdruženy kollineací, v níž si odpo¬
vídají oba elliptické kužele, o nichž byla výše řeč. Kužel K' protíná U'n-i
v kvadratické varietě, kterou nazvu k/ V lineárním prostoru U'n-\ leží
vedle bodu, jenž odpovídá vrcholu kužele K, ještě ty body, které odpo¬
vídají bodům ležícím na K mimo Un- i.

3. V prostoru ^-rozměrném, jenž obsahuje křivku K{n+1), sestrojme
kvadratickou transformaci určenou takto : kužele K, K' budtež oba kužele
hlavní; vrcholu (w„) prvého odpovídají všechny body prostoru U'n-\,
vrcholu («'2»+i) druhého všechny body prostoru Un-i ; oba kužele jsou
sdruženy známou kollineací. Konečně nechť libovolnému bodu (u) křivky
odpovídá bod, jenž mu přísluší v korrespondencí (1). Tím vším je kvadra¬
tická transformace právě určena, jak plyne z dřívějšího výkladu.

Touto transformací přejde křivka K(w+1) opět v normální elliptickou
křivku K1(M+1). Neboť křivce stupně (n + 3)ho odpovídá v kvadratické
transformaci obecně křivka stupně 2 (n + 1). Ježto však křivka K{n+1
obsahuje bod («0), jemuž odpovídá lineární prostor, a body (un+ 1), . . .,
(«2n) na k, jimž odpovídají paprsky kužele K' , sníží se stupeň křivky
o (» + 1) a je tedy skutečně (n + 1). Že pak je tato křivka elliptická
s týmž modulem jako původní, je zřeimo. Křivka K1(n+1) má s křivkou
K(n+1) celou řadu bodů společných. Především obsahuj eK1(n+1) body («/), . . .,

XXXIX.

5

(' Ur! ), neboť to jsou body, jež odpovídají v kvadratické transformaci bodům
(«,), . . ., (un) . Uvažujme dále bod (u0): v kvadratické transformaci mu
odpovídají všechny body lineárního prostoru U'n- i. Tečné křivky K(n+1)
v bodě {u0) odpovídá v kollineaci mezi K , K' paprsek, který z bodu
[u'zn+1) promítá bod, odpovídající korrespondencí (1) bodu (w0), totiž
bod (%'). V tomto bodu tedy protíná K^n+1) prostor U'n- 1; to je další spo¬
lečný bod. Bodu («2n+i), ležícímu v Č7»_i mimo &, odpovídá bod [u' %n+\),
jímž K1(w+1) také prochází.

Položme bodem (u0) lineární prostor Sk- 1 o (k — 1) rozměrech, jenž
v bodu («2»+i) má s křivkou Kn+1 styk řádu (k — 2) ho. Touto podmínkou
je onen prostor právě určen. V kollineaci mezi K, K' odpovídá mu lineární
prostor S'k-1, který k bodu (ur2n+i) promítá ( k — 1) krátě bod odpovídající
bodu (u2n+i), t. j. právě bod (w'2»+i) ; má tedy prostor S'k-i s křivkou iUn+1>
v bodě (uř2n+i) styk řádu ( k — l)ho. Avšak podle dřívějšího výkladu oba
prostory Sk- 1, S'k-i odpovídají si také v kvadratické transformaci; při
tom prostoru, jenž prochází bodem (w0) a má v bodě («2»+i) s křivkou iUM+l)
styk řádu ( k — 2) ho, odpovídá ovšem prostor, jenž má s křivkou if1(n+1)
styk řádu (k — l)ho v bodě (u' 2» +i) i touto podmínkou je však prostor
oskulační právě určen; z toho plyne, že oskulační prostor S'k- 1 je oběma
křivkám v bodě (u' 2»+i) společný. Tento výsledek zůstává v platnosti
pro k = 2, . . ., n\ z toho však plyne, že v bodě [u' 2»+i) mají obě křivky
styk řádu (w — l)ho, t. j. tento bod platí za n průsečíků.

Konečně obsahuje křivka K^n+l) bod (u'). I nalezli jsme celkem
{n + 3) společných bodů, z nichž jeden platí za n průsečíků; to je
celkem 2 [n + 1) průsečíků. Ježto normální křivky elliptické v prostoru
w-rozměrném leží na kvadratických varietách [n — 1) rozměrných,2)
mohou se dvě takové křivky protnouti nanejvýše ve 2 (n + 1) bodech,
které ovšem musí vyhovovati jedné podmínce, která v našem případě by
musila zníti

-j- d- . • . “{“ d~ ^ ^2n + 1 T" = 0.

Jestliže však uvážíme, že (u') může býti jakýkoli bod na křivce,
shledáme, že napsaný vztah není vyplněn. Nemohou tedy body (#'),
(uo')> • • ů {u'2*+i) tvořiti úplnou soustavu průsečíků dvou normálních ellip-
tických křivek; i musí tyto křivky býti totožné.

Sestrojili jsme tedy kvadratickou transformaci, kterou křivka K(M+1)
přejde sama v sebe a to tak, že si odpovídají body sdružené korrespon¬
dencí (1). Uvážíme-li jednak, že v této korrespondenci konstantu C lze
voliti libovolně, jak je zřejmo ze vztahu (3), jednak, že celá řada bodů,
jimiž je transformace určena, může býti na křivce volena libovolně, můžeme
vyšlo viti výsledek předchozích úvah větou:

2) V. na př. Klein-Fricke: Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen
Modulfunktionen, díl II. str. 245.

XXXIX.

6

Každá jedno jednoznačná korrespondence na normální elliptické křivce
je obsažena v nekonečné mnoha kvadratických Cremonových transformacích
příslušného prostoru.

Důkaz ovšem platí teprve počínaje prostorem třírozměrným; ale
pro rovinnou elliptickou křivku normální je tato věta známa, jak již
bylo připomenuto.

Ostatně je možno i pro tuto křivku pro věsti důkaz, který až na
malé modifikace podřazuje se předchozímu obecnému; na to však budiž
jen upozorněno.

XXXIX.

ROČNÍK XXIII.

TRIDA II.

ČÍSLO 40.

Příspěvek ku geometrii kulových ploch.

Napsal

Dr. BOHUSLAV HOSTINSKÝ.

(Předloženo dne 16. října 1914.)

V pracích ,,0 útvarech určených soumeznými elementy prostorových
křivek" a „O principu duality v diferenciální geometrii"1) ukázal jsem
na řadě příkladů, že lze mnohé věty diferenciální geometrie transformo¬
val užitím principu duality; duální transformací nalézáme jednak nové
resultáty, jednak zajímavé vztahy mezi větami již známými.

Další výsledky v tomto směru obdržíme transformujíce theorii oba¬
lových ploch podle principu duality. V následujícím zabývám se zejména
řešením problému (odst. 4.), jenž jest duální k t. zv. úloze Jametově,
(odst. 2.) ešené Césarem.

1. Kolem každého bodu dané prostorové křivky k opišme kulovou
plochu P; souřadnice l, m, n jejího středu A jakož i poloměr r > 0 nechť
i sou funkcemi oblouku s čítaného na k od jistého počátečního bodu.

. Poloměr křivosti křivky k v bodě A budiž R, směrové cos. tečny
budtež a, a' , a" ; hlavní normály b, b' , b" ; binormály c, c'} c'\ Pak
platí známé rovnice

dl _ dm _ / d n _ d a _ b d a' _ b' d a" _ b" /1A

Tš~a’~d7 ~a’~ď7~a ’ TT =Ti’ -3T = 'Řr’ "Tš“ ~~Ř~’

Plocha P má rovnici

(x — Z)2 + (y — m)2 + (z — n)2 — r2 = 0. (2)

Hledajíce obálku všech ploch P připojíme k rovnici (2) dvě další,
které obdržíme opětovanou derivací levé strany (2) dle s. Vzhledem k (1)
vychází

(x — /) a + (y — m) ď + — w) a" + r — 0. (3)

ct s

[x — l) b + {y — m)b' + ( z — n ) b" — R + R ír = 0. (4)

1) Rozpravy České Akademie ročník XVI. (1907) a XVIII (1909).

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 40. 1

XL.

2

Rovnicemi (2) a (3) jest stanovena charakteristická kružnice (char¬
akteristika) na ploše P; kružnice ta jest proťata rovinou (4) ve dvou
charakteristických bodech M1 (xv yv zx) a M2 (x2, y2, z2), jichž souřad¬
nice vypočteme řešíce rovnice (2), (3) a (4) dle x, y , z. Při výpočtu jest
dbáti toho, že devět směrových cos. a, a' . . . c" tvoří orthogonální deter¬
minant. Po snadných redukcích obdržíme

xlt 2 = l + b q — a p ik c VV2 — P 2 — q2 j

yv 2 = m + V q — a' p H- c' V r2 — p2 — q 2 i , (5)

zv 2 = n + b" q — a" p + c" Vy2 — p2 — q2 J

kde jest užito zkratek

Poloha bodů Mx a M2 nezávisí tudíž na hodnotě torse křivky k.

Přímka Mx M2 definovaná rovnicemi (3) a (4) jest rovnoběžná s bi-
normálou křivky k v bodě A. Jsou-li x0, yQ, z0 souřadnice středu úsečky
M1 M2, jest dle (5)

xo = l -\- b q — a p, y0 — m + b' q — a' p, z0 = n + b" q — a" p,

(x0 — l)c+ (y0 — w) c' + (^0 — n) c" =

t. j . body Mí a M2 jsou souměrně sdružené vzhledem
k o skulační rovině křivky k v bodě A.

2. Hrana vratu T na ploše obalené kulovými plochami P jest geo¬
metrické místo bodů M-l a M2\ má obecně dvě větve. Zabývejme se
plípadem, kdy obě větve splývají. Přímka M1M2 jest v tomto případě
tečnou charakteristické kružnice; bod dotyku M leží v oskulační rovině
čáry k a v něm dotýká se charakteristická kružnice čáry J\ Jinými slovy:
T jest orthogonální trajektorie oskulačních rovin čáry k, aPjsou osku-
lačními koulemi křivky T. Aby tento případ nastal, musí r
vyhovovati differenciálné rovnici druhého řádu

= o,

(I)

kterou obdržíme annulujíce diskriminant v (5).

Z rovnic (2) až (4) plyne snadno důkaz následující věty, kterou
C ě s a r o x) dokázal jiným způsobem: Nejobecnější řadu kulových ploch,
jichž středy naplňují danou křivku k a jež jsou oskulačními koulemi jiné
křivky, sestrojíme takto: k neci ť se deformuje beze změny křivosti tak,
aby přešla v rovinnou křivku k0. V její rovině zvolme pevný bod B
a opišme kolem každého bodu křivky k0 kouli P procházející bodem B.
Hledanou řadu kulových ploch obdržíme deformujíce k0 tak, aby nabyla

ú Cěsaro: Vorlesungen uber naturlichs Geometrie (přel. Kowalewski)
p 185 — 186.

XL.

3

opět tvaru k, při čemž každá koule P zůstává stále pevně spojena se
svým středem na deformující se křivce.

D úkaz: Budiž z = 0 rovina křivky k 0, (x, y, 0) bod B a (/, m, 0)
bod křivky &0. Poloměr r koule P vyhovuje rovnici

(x — l)2 + (y — m)2 — r2 = 0, (I')

kterou obdržíme dosazujíce 2=0, n — 0 do (2). Abychom vyloučili kon¬
stanty x, y, derivujeme rovnici (I') dvakráte dle s. Poněvadž pro křivku kQ
jest a" = 0, b" = 0, c" = 1, obdržíme resultát eliminace přímo z třetí
rovnice (5); vychází rovnice (I). (I') jest tedy obecný integrál diferen¬
ciální rovnice (I) ; o singulárním integrálu viz v odst. 5.

3. Uvažujme nyní následující problém, duální k problému obálek:
dvě soumezné koule (2) (t. j. příslušné dvěma nekonečně málo rozdílným
hodnotám proměnné s) jsou vepsány do jistého rotačního kužele K, tři
soumezné koule (2) dotýkají se jistých dvou rovin a q2] jest ustáno viti
tyto roviny.

Patrně jest vrchol kužele K limitní poloha vnějšího středu
podobnosti obou koulí a každá z rovin q2 dotýká se toutéž svou stranou
tří koulí.

Zaveďme rovinové ■ souřadnice u, v , w, t, jež souvisí s bodovými
souřadnicemi rovnicí

u x -j- v y + w z + t = 0 ; • u2 -j- v2 + w2 = 1 . (7)

Rovnice kulové plochy P v rovinových souřadnicích jest

— - r = 0. (8)

Užíváme stále označení zavedeného v odst. 1. Derivujíce (8) dle s
obdržíme rovnici

a u + v + a" w — ~ = 0 , (9)

as

která zároveň s (7) představuje rotační kužel K. Derivuj eme-li ještě jednou,
vychází

/72 y

b u -f- b' v + b" w — R = 0 . (10)

Rovnice (8), (9) a (10) spolu s druhou rovnicí (7) stačí k určení
čtyř neznámých u, v, w a t. Tak vypočteme souřadnice rovin {uí} vv
wv y a q2 (u2, v 2, w2) t2):

*■>■.-*£+**8*0-1

/ d r '

Ds .

)’->(

f d2 r \2

VsV

Ví’ a = a' Ti + v R li ± c' V 1 “ 1

/dr '

l ds ,

)’-*■(

r d* r \ 2
,ds*J

j7+í"Bř?±e"V/— i

(ílS

\ds ,

)•-!?(

f d2 r \2

CďW)

h> 2 = r — (luv 2 + m vv 2 + n wu 2) .

1*

XL.

4

Přímka Jlf podél níž se dotýká kužel K roviny qv má rovnice

ux x + vx y + wx z + tx = 0, x d y d v1 + z d wx + ů tx = 0 ; (12)

diíferenciály <7%, vt . . vztahují se však ku změně roviny jakožto
tangenciální roviny kužele K\ j ich poměry určíme diffe-
rencujíce při konstantním s rovnice (8), (9) a druhou rovnici (7).
Vychází

l d ul + m d vx + n Ů w± + á tt = 0, a d ux + a' ó vt -j- a" d w1 = 0,

ux d ux + Vi ď v1 + w1 d wx — 0. (13)

Abychom ustanovili charakteristiku roviny t. j. přímku, ve které
jest rovina qí — určená vzorci (11) — příslušná jisté hodnotě oblouku s
proťata rovinou q1 příslušnou hodnotě nekonečně blízké s + d s, dife¬
rencujme opět rovnice (8), (9) a druhou rovnici (7) dle s dosazujíce na
místo u, v, w, t výrazy uít vv wl3 tx dané vzorci (11). Vzhledem k (10)
obdržíme zase rovnice (13) jen s tím rozdílem, že místo ó uv á . .
v nich budou diíferenciály d ult d . . vztahující se k proměnné s.
Rovnice charakteristiky jsou tedy identické s rovnicemi (12) přímky zív
Rovina ql (p2) dotýká se podél své charakteristiky
kužele K.

Tato věta jest úplně analogická známé větě o obálce ploch závislých
na jednom parametru: hrana vratu obálky dotýká se v charakteristickém
bodě charakteristiky. Analogii lze sledovati i v případě věty o úsečce
Mi M2 dokázané na konci odst. 1, neboť oskulační rovina čáry k
půlí úhel utvořený rovinami a q2.

K důkazu napišme rovnice rovin a q2\

u± x + vx y + z + tx = 0, u2 x + v2 y -p w2 z + t2 = 0

a odečtěme je. Vynechajíce faktor 2^1 — ("T"-)2 — R2 ^ ^ 2
obdržíme

c (x — l) -f c' [y — ní) + c" [z — n) — 0,

což jest rovnice oskulační roviny n křivky k v bodě A. Jsou-li pak 0\2
úhly, které % tvoří s resp. q2, jest dle (11)

COS »V2=C UV 2 + c'vv2 + c" Wv 2 = ± \ 1 — '(4t)2_'R2(t ř)2 (14)'

Poněvadž q1 a q2 obecně nejsou rovnoběžně, jest ^ -f 0-2 = 180°
t. j. úhel rovin q1 a q2 jest půlen rovinou n.

4. Přejděme nyní jako v odst. 2. k specielnímu případu: roviny
(h a nechť koincidují pro každou hodnotu s. Společná limitní poloha q
obou rovin jest patrně kolmá k it a charakteristika roviny q leží v tí.
Jinými slovy: křivka obalená charakteristikou roviny q má n za rovinu
rektifikační.

XL.

5

V prvé z obou výše zmíněných prací dokázal jsem následující větu
o prostorových křivkách: čtyř soumezných oskulačních rovin dotýká se
jediná zcela určitá kulová plocha, jejíž poloměr obecně nerovná se nulle.
Nazveme tuto plochu oskulační koulí druhého druhu;
její střed jest — jak lze snadno potvrditi výpočtem nebo geometrickou
úvahou — v průsečíků tří soumezných rektifikačních rovin dané křivky.
Tři soumezné roviny n protínají se v bodě A křivky k\ ve specielním
případě našeho problému uvedeném na počátku tohoto odstavce jsou
koule P oskulačními koulemi druhého druhu pro
jistou prostorovou křivku. Aby tento případ nastal, musí
hověti r differenciální rovnici druhého řádu

■-(tt)— *■(•£?)■ = »■ <n>

kterou obdržíme annulujíce diskriminant v rovnicích (11). Interpretace
rovnice (II) vede k následující větě, která jest úplně analogická větě
Césarově (viz odst. 2):

Nejobecnější řadukulových ploch, jichžstředy
naplňují danou křivku k a jež jsou oskulačními
koulemi druhého druhu pro jinou křivku, sestro¬
jíme takto: k nechť se deformuje beze změny kři¬
vosti tak, aby přešla v rovinnou křivku k0. V její
rovině zvolme pevnou přímku b a opišme kolem
k a ž d é h,o bodu křivky k 0 kouli P dotýkající se
přímky b. Hledanou řadu kulových ploch obdržíme
deformujíce k0 tak, aby nabyla opět tvaru k, při
čemž každá koule P zůstává stále pevně spojena
se svým středem na deformující se křivce.

Důkaz: Budiž z = 0 rovina křivky kQ a (/, m, 0) bod na křivce k 0.
Rovnice

mI + íiw + / — r = 0, (II')

kterou obdržíme dosazujíce do (8) n — 0, w = 0, vyjadřuje danou pod¬
mínku pro r. Abychom vyloučili konstanty u, vat, derivujeme (II')
dvakráte dle s a ku třem rovnicím takto získaným připojme čtvrtou:

u2 *|- v2 = 1.

Poněvadž pro křivku k0 platí a" — 0, b" = 0, c" = 1, obdržíme
resultát eliminace dosazujíce příslušné hodnoty do třetí rovnice (11) ;
vychází právě rovnice (II), jejíž obecným integrálem jest rovnice (II')
[vyhovuj í-li ovšem integrační konstanty t, u, v podmínce (15)1.

•5. Differenciální rovnice (I) má singulární integrál1)

_ r = ht s + conšt, (16)

J) Sr. Picard: Traité ďAnalyíe 2e édition t. III, p. 52.

XL.

který nelze obdržet i z obecného integrálu (I') specialisací konstant x a. y.
Je-li rovnice (16) splněna, dotýkají se dvě soumezné koule P; v tomto
případě nejsou P oskulačními koulemi prostorové křivky, nýbrž dotýkají
se pruhu utvořeného plošnými elementy podél křivoznačné čáry a jejich
středy jsou v příslušných hlavních středech křivosti. Mají-li býti P osku¬
lačními koulemi prostorové křivky, jest nutno a stačí, aby vztah mezi
r a s byl dán obecným integrálem (I') rovnice (I).

Docela podobné úvahy platí o rovnici (II) ; (16) jest společný singu¬
lární integrál rovnic (I) a (II).

XL.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 41.

Konstrukce oskulačních rovin některých křivek
a několik deskriptivně geometrických applikací.

Napsal

J. Sobotka.

(S 15 obrazci v textu.)
Předloženo 30. října 1914.

1. Úvahy, které zde provedeme, možno rozčleniti v řadu úloh. Vý¬
chodiskem budiž následující úloha.

Na přímce p dána jest řada pevné navzájem spojených bodů A, B, C, ... . ;
přímka koná takový pohyb, ze jest stále rovnoběžná k dané rovině M a do¬
týká se válcové plochy Z kolmé ku M a že její bod A popisuje danou křivku (. A ) ;
pro křivky ( B ), (C), ... popsané pak body B, C, . . . sestro jih jest v pří¬
slušných polohách těchto bodů středy křivosti Kp, Ky a oskulacní roviny B, C,
je-li dán střed křivosti Ka a oskulacní roiina A křivky (A) pro příslušný
bod A.

Vztahujeme uvažované útvary k rovině M nebo k rovině k ní rovno¬
běžné, volíce ji za průmětnou při rovnoběžné, nej jednodušeji orthogonální,
projekci. Průmět útvaru £ budiž jako obvykle označen 2J'. Uvažujme
polohu p hybné přímky s řadou bodů A, B, C, ... Dotyčný bod Z přímky
s plochou Z nechť vytvoří křivku (Z).

Charakterisujme nejprve souvislost křivek (Z'), ( A'), [B')} . . . Sou-
mezná ku p poloha hybné přímky budiž px s příslušnými body Av Blf

c„... zv

Ježto AÍB1 = A B, A1C1 = A C, . . ., popisují přímky A Alt B Bv
C Cv ... hyperbolický paraboloid. Tvoří tudíž tečny a, b, c, . . . křivek
{A), (B), (C), . . . v bodech A, B , C, . . . přímky p hyperbolický para¬
boloid Q. Je-li tedy (obr. 1.) dána tečna a ku (A) v bodě A, najdeme tečnu
k některé z ostatních křivek (B), (C), ... v příslušném bodě následujícím
způsobem. Stanovme stopu A\ přímky a v průmětně M ; rovnoběžka á\

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 41. 1

XLI.

2

ku p' bodem Ai jest stopou tečné roviny plochy Q v bodě A. Jsou-li bi,
či, . . . stopy tečných rovin b\ p, č\ p, . . . plochy Q v bodech B, C, . . .,
platí projektivnost (A, B, C, . . . Z, U <#) — (di, b\, lj, . . . p' , u^), značí-li
U ^ nekonečně vzdálený bod přímky p a nekonečně vzdálenou přímku
roviny M. Vedeme-li kolmici N' bodem Z' ku p' , plyne ze zmíněné projek-
tivnosti, že spojnice bodů A', di. N' ; B' , bx . N' ; ... jsou spolu rovnoběžný.

Abychom tedy sestrojili b, vedme bodem B' rovnoběžku ku přímce,
která spojuje A' s průsečíkem di . N', jejím průsečíkem s N' jde b\ rovno¬
běžně ku di. Ježto jest A' B' = Ax Bx, A' C' = A/ C/, . . protínají se
normály v bodech A ', B', C', . . . ke křivkám (A'), (B')} (C'), ... v jednom
bodě rí, který leží rovněž na N'. Tento bod jest okamžitým středem otá¬
čení pro přechod přímky p' v soumeznou polohu />/; jest ohniskem obry¬
sové paraboly průmětu Q'. Kolmice v bodě B' ku rí B' jest tedy prů¬
mětem b' tečny b, jejíž stopou B\ jest průsečík přímek b' , bj, čímž jest
přímka b úplně stanovena. Přímka mi = A\ B\ jest stopou plochy O
v rovině M ; na ní leží stopy všech tečen a , b, c, . . .

Stanovení středů křivosti p, y, . . . křivek ( B')t (C'), ... v bodech
B' , C' , . . ., známe-li střed křivosti a křivky ( A ') v bodě A' a střed kři¬
vosti J křivky [Z') v bodě Z', plyne ze známých konstrukcí ; body «, P,
y, . . . jsou totiž středy křivosti trajektorií popsaných body přímky p' ,
která náleží rovinnému neproměnnému systému, při pohybu tohoto systému
v jeho rovině. Mezi body tohoto systému a středy křivosti jejich tra¬
jektorií pro každou polohu platí jednoduchá kvadratická příbuznost. Leží
tedy body a, P, y , . . . na určité kuželosečce k.

Bodová konstrukce křivky k byla předmětem mnohých úvah. Podejme
ji zde ve formě uvedené A. Mannheimem.1) Body 5 a n' vedme rovno¬
běžky g, q ku p' a protněme Z' a a q v bodě «0 ; bodem u0 vedme rovno¬
běžku k N' až ku průsečíku a* s A' a, načež sestrojíme v a* kolmici ku
A' rí, která protíná g v pevném bodě P. Dospějeme tedy vždy k témuž
bodu P na přímce g, provedeme-li konstrukci místo pro a pro kterýkoli
z bodů p, y, . . .

Předpokládáme-li tedy bod « za známý, můžeme sestroj iti bod P,
na základě něhož pak obdržíme body P, y, . . . Abychom na př. sestrojili p,
sestrojme z bodu P kolmici ku B' rí a vedme její patou /3* rovnoběžku
ku N', která protne q v bodě po ; pak protínají se přímky B' rí, Z' po
v bodě p.

Body a*, p*, . . . vyplňují kružnici k* sestrojenou nad P rí jako
průměrem: jest to jedna z Bobilierových kružnic příslušných okamžitému
pólu rí našeho pohybu. P rí jest normálou pólových křivek v bodě rí
a kružnici k* odpovídá v naší kvadratické příbuznosti nekonečně vzdá¬
lená řada bodová pohyblivého systému. Křivky k, k* oskulují se v bodě rí,

Ú Cf. A. Mannheim: Principes et développements de Geómétrie cinématique,
Paris, 1894, str. 36.

XLI.

3

což také naše konstrukce potvrzuje. Křivky tyto plynou zde totiž jako
dvě centricky kollineární kuželosečky pro n' jako střed a pro přímku q
jako osu kollineace, při čemž bodu Z' přiřazenému ku k odpovídá cen¬
tricky kol lineárně nekonečně vzdálený bod přímky N'. Kružnice k* pro¬
chází středem křivosti £ obalové křivky pro přímku p, což rovněž plyne
z naší^konstrukce.

2. Souvislost tečen a , b, c, . . . křivek (A), (. B), (C), . . . v bodech
A, B, C, . . ., které leží na jedné poloze přímky p, jest tedy zcela jedno¬
duchá. Ale též souvislost oskulačních rovin A, B, C, . . . těchto křivek
v uvedených bodech jest velmi jednoduchá. Jsou-li A0, A , Ax tři soumezné
body křivky (A), rovněž tak B0, B, Bl ; C0, C, C, ; . . . na (B), (C)
jsou bodové řady A0, B0, C0, . . A, B, C, Av Bv Cv . . . shodný,
platí tedy mezi nimi projektivnost. Následkem toho obalují roviny A0 A Au
Bo B B v C0CCV . . . kubickou křivku prostorovou, která má nekonečně
vzdálenou rovinu prostoru rovněž rovinou oskulační, jest tudíž prosto¬
rovou parabolou. Oskulační roviny A, B, C obalují tedy prostorovou
parabolu.

Kuželosečka k má dva nekonečně vzdálené body x, A, které jsou
budto reálné nebo sdružené imaginárně. Přímku n' x nechť protíná p'

1*

XLI.

4

v bodě H', přímku rí X v bodě L'< Tyto body jsou průměty dvou bodů
H, L na přímce p, které při uvažovaném pohybu popisují křivky ( H ), (L).
Soumezné body H0', H' , Hx' křivky (H') leží na přímce h' , neboť křivka ( H ')
má v bodě H' poloměr křivosti nekonečně veliký ; z téhož důvodu leží
soumezné body L0', L', Z/ na přímce l'. Z toho .plyne, že křivkám (H),
(L) přísluší v bodech H, L oskulační roviny, které jsou promítacími k ro¬
vině M.

Sestrojme kružnici kv souměrnou ku k* vzhledem ku rí. Jest jakožto
druhá Bobilierova kružnice uvažované okamžité polohy geometrickým
místem takových bodů pohyblivého systému, kteié jsou inflexními body
svých trajektorií. Protíná tedy přímku p' v bodech H' , L' a kolmice
v těchto bodech ku přímkám H' rí resp. U rí protínají se na kx v bodě r't
ku rí diametrálně protilehlém, ať jsou průsečíky H' , L' reálné, různé
nebo splývající, nebo sdružené imaginárné. Bod r' leží tedy na P rí a
obdržíme jej, učiníme-li rír'=Prí. Bod r’ jest průmětem promítací
přímky r, ve které protínají se promítací oskulační roviny H, L zmíněné
prostorové paraboly.

Ku r dospějeme též jinak. Přeložme involuci průměrů sdružených
křivky k rovnoběžně do (/) tak, že střed její přejde do rí. V této poloze
budou rí x, rí X dvojnými paprsky involuce. 1’nvoluce (/) protíná přímku př
v bodové involuci (II), jejíž dvojné body jsou, jakožto průsečíky přímek
rí x, rí X s přímkou p', body H' , L' . Kolmice v bodech přímky p' k jejich
spojnicím s bodem rí obalují parabolu (u) ; tvoří tedy na (u) tečnovou
involuci, jejíž dvojné paprsky procházejí body H' L'. Kolmice t v bodě rí
ku P rí jest tečnou křivky k v bodě rí. Ježto jest q společnou tětivou
křivek k , k*, jsou přímky q, t harmonicky odděleny pravoúhlou dvojicí
involuce (/). Tato dvojice protíná p' ve dvojici involuce [II), kterou
obdržíme v průsečících přímky p' s kružnicí opsanou kolem společného
bodu x přímek t, p' jako středu a jdoucí bodem rí. Stanovme na přímce t
bod N tak, že r N = rí x ; plyne tu, že N leží na ose involuce vzniklé na
křivce (n). Průměru křivky k jdoucímu bodem Z', který nechť protíná
přímku q v bodě ff0, jest sdružen průměr rovnoběžný ku q, jak plyne z cen-
trické kollineace mezi k a k*. Protíná tudíž rovnoběžka ku Z' g0, bodem rí
vedená, přímku p' ve středu M' involuce (II). Kolmice nť z bodu M'
na Z' (?„ tvoří tedy s nekonečně vzdálenou přímkou roviny M jednu dvojici
tečnové involuce na křivce (u). Z toho plyne, že osa s této tečnové involuce
prochází bodem N a jest kolmá ku Z' tf0. Bod r' jest nyní pólem přímky s
ku (u) a frí jest tečna ku (u) rovnoběžná ku s. Patou s kolmice z bodu P
ku q jest průsečík křivek k, k* a jest rí <f0 = <J0 £. Dotykový bod přímky frí
s křivkou (u) leží tedy na přímce i souměrně položené ku P s vzhledem
ku Z' rí , která prochází tudíž bodem r' . Ježto bod rí jest ohniskem křivky
(u), leží N na řídící přímce její a přímka P rí, která jest kolmá ku t, jest
polárou bodu N ke křivce (u), procházejíc tudíž rovněž bodem ť . Tím
jest bod r' stanoven týmž způsobem jako prve.

XLI.

5

3. Přímka p jest jednou osou naší prostorové paraboly pz,

Leží-li totiž na třech přímkách p n, p , px projektivní řády bodové
A0> B0, C0, . . A, B, C, . ,, Av Bv Cv . . ., obalují roviny A0 A Ax, B0 B Bv
C0C Cv . . . kubickou prostorovou křivku pz. Přímky A0 A, B0 B, C0C, . . .
vytvořují řadu přímkovou Q, přímky A Av B Blf C Cv . . . řadu Qr Tečné
roviny k oběma v bodech přímky p tvoří dva projektivní rovinové svazky
a dvojné roviny jejich jsou dvě oskulační roviny křivky pz, které se protínají
v přímce p. Neboť je-li F bod na p, v němž mají Q, společnou rovinu
tečnou, obsahuje tato jak přímku F0F tak přímku F Fx a také přímku p.

V našem případě1) jsou Q, dva nekonečně blízké hyperbolické para¬
boloidy. Rovina M0 vedená přímkou p rovnoběžně ku M jest asymptotickou
rovinou jak pro Q tak pro Qx, jest tedy M0 oskulační rovinou křivky pz%

Průsečnice a0, b0, c0. . . . oskulačních rovin A, B, C, . . . s oskulační
rovinou M0 křivky pz obalují kuželosečku, která jest zde parabolou (v),
ježto nekonečně vzdálená rovina U jest též oskulační rovinou křivky pz.

Pro parabolu (v) známe tedy tečnu p, průsečnici a0 rovin A, M0
a obě tečny, které se promítají jako tečny jdoucí bodem r' ku (u) a jež
jsou též spojnicemi bodu r' s průsečíky kružnice k a s přímkou p'. Tím
jest parabola (v) úplně určena a můžeme lineárně sestroj iti její tečny
b0, c0; . . ., čímž jsou také dány roviny B, C, . . .

Shrneme-li tyto úvahy, plyne následující konstrukce roviny B,
jsou-li A, Ka dány.

Ze středu křivosti Ka křivky (A) v bodě A odvodíme známým
způsobem střed křivosti a křivky (A') v bodě A', na př. jako střed kři¬
vosti oné ellipsy jdoucí bodem A', která dotýká se a', má bod Ka' za
střed a jejíž hlavní osa má směr stopy a\ roviny A, Z k odvodíme pak
způsobem prve uvedeným bod P a bod r' souměrný k němu vzhledem
ku rí ; nad úsečkou rí r ' jako průměrem sestrojíme kružnici kx a spojíme
body, v nichž protíná p' , s bodem r' přímkami Rovnoběžka a0'

ku a.\ bodem A' vedená určuje s p' , p,, q.2 jako tečnami parabolu (v') ; se¬
strojme bodem B' tečnu b0' ku (v')} různou od p' \ pak jest rovina B sta¬
novena přímkami b0, b.

Tuto konstrukci možno přímo provésti jen tehdy, jsou-li q2 reálné.
Není-li tomu tak, stanovme pól G přímky p' ku kx\ tento jest zároveň
pólem involuce na kv která promítá se z bodu r' paprskovou involucí (J),
mající qv q2 za paprsky dvojné. Parabola (v') jest zde určena nekonečně
vzdálenou přímkou své roviny, přímkami p' , aQ' a dvojnými paprsky
Pí, 02 involuce (J) a jde o to, sestrojiti lineárně její tečnu b0' . To vede ke
známým konstrukcím. Veďme na př. rovnoběžku ku a0' bodem r' , spojme
její průsečík s kx a bod G přímkou, jejímž druhým průsečíkem s kx vedeme
přímku (p k bodu r'. Dále protněme B' r' s kx, spojme průsečík s bodem G

r) Okolnost, že zde pz degeneruje, byla přehlédnuta, k čemuž bude při jiné
příležitosti poukázáno.

XLI.

6

přímkou, která dává na kx nový průsečík, jehož spojnice s r' budiž ý.
Přímky a0', p' , <p, i]> jako tečny určují parabolu, jejíž tečna bodem B'
jdoucí a od p' různá splývá s b0', čímž jest tedy rovina B opět určena.1)
Protneme-li tedy na př. B' r' rovnoběžkou ku <p bodem A' v bodě 1 a
a o přímkou ý v bodě 2, jest b0' \\ 1 2.

4. V případě, že přímky q2> jejichž průsečíky s p' chceme nyní
značiti P/, P2 , jsou imaginárně, můžeme užiti též následujícího postupu
(obr. 2.). Kružnice kx opsána jest tečnovému třístranu p' qx q2 křivky (v') ;
na ní leží tedy ohnisko F křivky ( v '). Protínají-li qx, q2 přímku aQ' v bodech
jřj, it2, prochází rovněž kružnice k2 opsaná tečnovému třístranu a 0' n2
bodem F. Ohnisko F jest průsečíkem kružnic kv k2, různým od r'. Možno
je však obdržeti aniž sestrojíme kružnici k2. Myslíme-li si v bodě 7tl kolmici
ku r' 7tx a v bodě 7t2 kolmici ku r' n2, jest jejich průsečík v bodem kruž¬
nice k2 protilehlým diametrálně ku /. Bod rí jest v kružnici kx' bodem
ku r' diametrálně protilehlým, pročež přímka v rí protíná kružnici
podruhé v ohnisku F.

Konstrukce bodu F jest tu přímo patrná, jsou-li P/, P2 reálné, není
však již tak jednoduchá, jsou-li body P/, P2 imaginární, ale i nyní ji
snadno provedeme.

Je*

Obr. 2.

J) V příčině této konstrukce viz na př. pojednání: ,,Betrachtungen zuř
Konstruktion von Kegelschnitten aus teilweise imagináren Elementen", Věstník
kr. čes. spol. nauk, Praha 1907.

XLI.

7

Veďme v kružnici kx průměr kolmý ku p' a stanovme na kx bod 2,
který jest souměrný vzhledem ku průměru právě řečenému k průsečíku 1
křivky kx s kolmicí ku a0' bodem r' vedenou, což možno graficky vždy
přesně provésti. Dále stanovme pól P přímky p' ku kx, protněme kx kte¬
roukoli přímkou bodem P vedenou, spojme průsečíky s bodem y', protněme
spojnice přímkou a0 v bodech 3,4 a stanovme poláru i bodu r' ke kruž¬
nici x, která jest opsána nad průměrem 3 4. Přímka i protíná r' 2 v bodě v,
takže v rí protíná kružnici kx v hledaném ohnisku F. Není ovšem třeba
kružnici x teprve sestroj ováti, nýbrž možno poláru i sestroj iti lineárně
na základě sečen r' 3, r' 4.

Místo abychom vedli bodem P libovolnou sečnu křivky kv můžeme,
nevypadne-li tím grafické zobrazení nepříznivě, vésti s výhodou bodem y'
rovnoběžku ku a0' a spoj iti bod, v němž protíná podruhé křivku kv s bodem P,
spoj iti dále druhý průsečík této spojnice s křivkou kx s bodem r' přímkou,
která nechť protíná aQ' v bodě 3* ; přímka l, vedená bodem ku 3 * vzhledem
ku y' souměrným kolmo ku aQ' , protíná y' 2 rovněž v bodě v ; při tom
jest přímka l souměrně položena k y' 1 vzhledem k bodu 3*.

Tato kolmice l jest polárou bodu v' ke kružnici x, která degeneruje
v nekonečně vzdálenou přímku roviny M a v kolmici ku a0'.

Na důkaz naší konstrukce bodu F uveďme toto. Veďme bodem P
libovolnou přímku A a promítněme její průsečíky s křivkou kx z bodu y'
na a0' do 3, 4. Kružnice (3), (4), které dotýkají se a0' v bodech 3, 4 a
procházejí bodem r' , stanoví svazek kružnic, k němuž náleží též k2, neboť
body 7tv tt2 leží harmonicky k bcdům 3, 4. Za A možno výhodně voliti
průměr křivky kx kolmý ku p'. V tomto případě dotýkají se kružnice
(3), (4) v bodě y' a přímka y' 2, harmonická ku y' 1 vzhledem ku spojnicím
bodu y' s koncovými body průměru v kx kolmého ku p' , jest jejich
střednou. Musí se tedy též k2 dotýkat i obou kružnic v bodě y' a tudíž
jest y' 2 průměrem jejím. Kružnice k2 prochází nyní bodem y' a protírá
orthogonálně kružnice x, následkem toho jde bodem inversním ku y'
vzhledem ku x, tedy průsečíkem přímky, která spojuje yf se středem kruž¬
nice x, s polárou i bodu / ku x; a ježto střed kružnice k2 leží na r' 2, leží
průsečík v přímky i s přímkou r' 2 na k2, čímž jest prokázána správnost
naší konstrukce.

Jest-li F stanoveno, nutno vésti přímku bQ' tak, aby svírala s přímkou
F B' týž úhel téhož smyslu, jako svírá a 0' s přímkou FA'.

5. Zobecněme naše úvahy v určitém směru tím, že si vytkneme úlohu:

Dán jest válec Z a dvě křivky [A), (B) ; přímka p pohybuje se tak ,
ze dotýká se stále válce a protíná obě křivky, při čemž nechť jsou A, B její
průsečíky s nimi ; jest stanoviti křivku (C), kterou popisuje bod C přímky p,
je-li pro každou polohu této přímky B C = A . A B při konstantní hodnotě A.

Půjde (obr. 3.) o tečnu c, střed křivosti Ky a oskulační rovinu C
křivky (C) v boděC, jsou-li dány tečny a, b, středy křivosti Ka, Kp a osku¬
lační roviny A, B křivek (^4), (B) v bodech A a B.

XLI.

8

Promítejme opět rovnoběžně do roviny M kolmé ku Z a volme obdobné
označení jako v předchozí úloze. Normály v bodech A', B' , C' ku [A'),
( B '), (C') nechť protínají normálu Z ' £ ku ( Z ') v bodech AV) BV) Cv. Jak
známo jest Bv Cv — A . AVBV, z kteréhož vztahu možno normálu ku (C')
v bodě C' stanovití, jsou-li a' , V , tedy také normály A' Av, B' Bv ku (A',)
(Bf) známy.

Dále veďme bodem £ opět rovnoběžku g ku p' , spojme Z' se středem
křivosti a křivky [A') v bodě A' přímkou, která protne rovnoběžku qa
ku p' bodem Av vedenou v bodě cc0, veďme pak bodem «0 rovnoběžku
ku Z' £ až protne A' Av v bodě a* a sestrojme konečně kolmici ku A' A v
bodem a* až ku průsečíku Pa s přímkou g. Pohybuj e-li se nyní trojúhelník
A' Z' Av tak, že bod A' resp. Z' popisuje křivku (A') resp. {Z') a úhel
při Z' zůstává stále pravý, popisuje Av křivku (Av), jejíž normálou v Av
jest, jak známo,1) přímka Av Pa . Obdobně určeme bod Pp analogický
ku Pa jakož i normálu BvPp ke křivce (Bv) popsané bodem Bv při ob¬
dobném pohybu trojúhelníka B' Z' Bv. Sestroj íme-li nyní na g bod Pr
tak, že (Pa PpPY) — \AV BVCV) = (A BC), jest CVPY normálou ke křivce
(Cv), kterou popisuje bod Cv při pohybu trojúhelníka C' Z' Cv uvedeným
způsobem.

Z toho obdržíme střed křivosti y křivky (O) v bodě C' tím, že
bodem PY spustíme kolmici na C' Cv, její patou y* vedeme rovnoběžku
ku Z' £ až ku průsečíku y0 s rovnoběžkou qy bodem Cr ku p' vedenou
a pak spojíme y0 se Z' . Spojnice protíná C' Cv v žádaném bodě y.

Pro všecky hodnoty A obdržíme jednoduché nekonečné množství
křivek (C') a máme takto možnost sestroj iti střed křivosti každé z nich
pro bod C' ležící na p\ Body y * popisují při tom křivku (y*), jejímuž
vytvoření věnujme bližší pozornost.

Rady bodové A' B' C' . . ., PaPpPY . . . jsou podobně položeny, pro¬
tínají se tudíž přímky A' Pa, B' Pp. C' Py> . . v jejich bodu podobnosti co.
Přímky Pa «*, Ppfi*, PYy*, . . . obalují parabolu^, která jest podobně
položena k parabole h obalené tečnami a' , V , c' , . . . pro bod co jako střed
podobnosti. Nekonečně vzdálená řada bodová, která jest určena tečnami
Pa «*, Pp /3*, Py y*t . . . a splývá s nekonečně vzdálenou řadou stanovenou
přímkami a' , V , c',..., jest projektivní s nekonečně vzdálenou řadou
určenou normálami A' Av, B' BV) C' CV) . . . Přímky A' AV) B' B , C' Cv, . . .
obalují parabolu h2, která dotýká se p' a Z' £ a jest s h konfokální, což
již z toho plyne, že isotropické tečny křivky h jako samy k sobě kolmé
jsou též tečnami ku h2. Při tom jest osa a2 křivky h2 kolmá ku ose ay
křivky hv

Paraboly hv h2 jsou svými tečnami navzájem projektivně přiřazeny.
Odpovídají si při tom tečny navzájem kolmé a nekonečně vzdálená přímka

x) A. Mannheim, tamtéž str. 37.

XLI.

9

jako společná;. téěiia obou parabol odpovídá sama, sobě. Průsečíky přísluš¬
ných k sobě tečen popisují křivku (y*), jež jest tedy 3.. řádu.

Vytkněme že' křivek (C')- onu, která má v bode C' pro uvažovanou
polohu bod infle^xní. Pro takový bod leží y nekonečně daleko na C' Cv
a tudíž leží příslušný bod y* symmetricky ku C' vzhledem ku C„. Stá¬
no víme-li vzhledem ke každému bodu Cv přímky Z' £ souměrný bod ku
příslušnžmu bodu C' , leží tyto body na tečně u křivky h2, jejíž dotyčný
bod U jest souměrný k průsečíku 2 = u . p' dle průsečíka 3 přímek u, Z' £.

Přímka u protíná (y:|c) ve třech bodech. Jeden z nich plyne jako
průsečík tečny u křivky h2 s příslušnou tečnou křivky h1] obdržíme jej,
promítneme-li průsečík u . p' z bodu « na g a odtud spustíme kolmici
na u. Pata y0* této kolmice náleží křivce (y*) . Bod ten přísluší v souvislosti
naší konstrukce k bodu y oné křivky (C'), která prochází bodem u . p’
a přímku u má normálou.

Další dva průsečíky y±*, y2* křivky (y*) s u mají tu vlastnost, že
v nich protínají se dvě tečny m2, n2 paraboly h2, které jsou různý od u,
s příslušnými dvěma tečnami křivky hv tak že pro křivky (CV), (CV)
popsané body CV — m2 . p' , CV — n2 . p' jsou tyto body inflexními. Ob¬
držíme tedy na p' dva takové body, což se shoduje s tím, že oskulační
roviny A, B, C, . . . křivek (A)} ( B ) jakož i všech křivek (C), které odpo¬
vídají různým hodnotám A, pro body přímky p obalují prostorovou para¬
bolu pz a tudíž směrem ku M promítacím procházejí kromě nekonečně
vzdálené roviny ještě dvě oskulační roviny křivky p 3. Existují tedy dvě
oskulační roviny křivky p 3, jež jsou promítacími do roviny M, a jsou to
právě roviny odpovídající křivkám (Cm), (Cn) pro body Cm, Cn na p \

Vztyčíme-li ke každé tečně křivky h2 v průsečíku s u kolmici, obalují
tyto kolmice další parabolu h3l konfokální ku h2 a mající osu kolmou k ose
křivky h2, tedy rovnoběžnou k ose křivky hv Paraboly hv h» jsou tedy
podobně položeny. Budiž r0 jejich střed podobnosti. Obdržíme jej krátce
jako bod podobnosti dvou trojúhelníků opsaných parabolám hv hz, jejichž
strany jsou po dvou rovnoběžný. Paraboly hv hz mají tedy obecně spo¬
lečnými dvě v konečnu ležící tečny tv t2, které protínají u v bodech
^2*. Neboť v těchto bodech protínají se skutečně dvě k sobě příslušné,
tedy navzájem kolmé tečny křivek hv h2.

Vztyčíme-li v y kolmici ku tx a v y2* ku t2, jsou tyto kolmice nor¬
málami ke křivkám (Cmr), (C„') v jejich inflexních bodech Cm' , Cn' ; průsečík
těchto kolmic budiž r' , kdežto s' budiž obrazem promítací přímky s, ve které
se protínají oskulační roviny Cm> Cn příslušné bodům Cm> Cn křivky pz.

Paraboly h2, hz uvedeme tím, že přiřadíme navzájem ony jejich tečny,
které se protínají na u, ve vztah kollineární. Touto kollineací dána jest
též kollineace rovinných polí E2, E3 ležících v rovině M a přiřazených
parabolám h2, hz. Vedeme-li libovolným bodem R2 roviny M tečny ku h2
a vztyčíme k nim kolmice v jejich ' průsečících š’ přímkou u, obdržíme
dvě tečny křivky /z3, které protínají sě v bode Rz pole '/Es kbllineárnjm

XLl.

10

k bodu R2. Jest známo, jak provedeme tuto konstrukci leží-li bod R2
uvnitř h2, avšak není toho třeba užiti.

Ve zmíněné kollineaci odpovídají tečny vedené společným ohniskem F
parabol h2, hs ke křivkám těm samy sobě a rovněž nekonečně vzdálená

tečna jest samodružná. Jsou tudíž bod F a oba absolutní kruhové body
Jj, J2 roviny M dvojnými body kollineace.

XLI.

11

Bodové řady na nekonečně vzdálené přímce odpovídající si kolli-
neárně tvoří involuci, jež má Jlf J2 body dvojnými, neboť přísluší si vždy
nekonečně vzdálené body dvou navzájem kolmých tečen křivek h2> h3.
Proto tvoří paprsky kolem bodu F, jež si v naší kollineaci odpovídají,
pravoúhlou involuci. Paprsku F r0 odpovídá tedy kollineárně kolmice a
vztyčená k němu v bodě F ; na této bude tedy ležeti bod r' . Protínají-li
se nyní dvě tečny s3, 4 křivky h3 v bodě Hz, protínají se kolmice s2, t2 vzty¬
čené k nim v jejich průsečících s přímkou u, jež dotýkají se paraboly h2,
v bodě H2 a úhel HSF H2 jest pravý. Paprskové svazky kolem H2, Hz,
jež si kollineárně přísluší, jsou projektivní a jsou tři dvojice odpovídajících
si paprsků navzájem kolmý, totižs 2, s3; t2 , t3\ H2F, HZF. Jsou tedy kaž¬
dé dva příslušné jejich paprsky navzájem kolmý, tedy též Hzr', Hzr0,
čímž jest určeno H2 r' a tedy také r' samo. Bod s' pak obdržíme jakožto
příslušný bodu r0 v podobnosti mezi hx a h.

Přímky p, s jsou osami paraboly />3; protínají tedy oskulační roviny
křivky p 3 přímky p, s v projektivních řadách. A ježto nekonečně vzdá¬
lená rovina jest též oskulační ku p 3, jsou tyto řady podobné. Je-li tedy
A0 — A . s, Bn = B . s, sestrojíme C0 tím, že (A0 B0 C0) = (ABC); pak
jde rovina C bodem C0, čímž jest stanovena.

6. Shrneme-li získané výsledky, dospějeme k následující konstrukci.

Poloha p pohyblivé přímky určuje se soumeznou polohou px infini¬
tesimální plošný proužek, pro který známe tečné roviny pa, p b v bodech
A, B a tečnou rovinu v bodě Z, jež jest promítací rovinou. Z projektivnosti
mezi řadou bodů na p a svazkem tečných rovin přímkou p sestrojíme
tečnou rovinu Č v bodě C. Dále stanovíme bod Cv na základě vztahu
(A v Bv Cv ) — (A B C) ; vedeme tedy k parabole h2 stanovené tečnami p'}
Z' £, A' Av, B' Bv tečnu C' Cv. Kolmice c' v bodě C' ku C' Cv jest prů¬
mětem tečny c , která, ležíc v rovině D, jest tím určena. Dále určíme ze
středů křivosti Ka, Kp křivek (A), (B) středy křivosti a, ji křivek (A'),
(B') a z bodů a, pak body Pa, Pp na rovnoběžce g ku p', vedené bodem f,
a sestrojíme bod podobnosti ca řad A' B' . . . Pa, Pp . . ., na základě něhož
stanovíme ku C' příslušný bod Py a z tohoto střed křivosti y křivky (C').
Pak sestrojíme tečnu u křivky h2.

Dotyčný bod 1 přímky Z' % s křivkou h2 jest středem úsečky omezené
body Z' , 3. Značí-li U dotyčný bod přímky u s h2, jest 3 U = 2 3. Je-li C/
b.od souměrný ku 2 dle Z' , jest C/ dotyčný bod přímky p' s h2 a pata F
kolmice z bodu Z' na C/ 1 jest ohniskem křivky h2, tedy též křivky h3.
Tečny a', b' , c', . . . obalují parabolu konfokální ku h2 a podobně polo¬
ženou ku hx; tudíž leží ohnisko křivky hx na přímce F co. Přímka 1 2 dává
směr osy křivky h2.

Abychom stanovili bod podobnosti r0 parabol h3, hlt pokračujme
na př. tak, že bodem 3 vedeme rovnoběžku / ku g, na kteréž vytnou tečny
křivky h3 řadu podobně položenou k řadě Pa Pp PY dle bodu podobnosti r0.

XLI.

12

Tak protíná kolmice ku A' Av vedená průsečíkem přímek A' Av> u přímku /
v bodě Qa, jehož spojnice s Pa prochází bodem r0. Ježto přímka F co obsa¬
huje také ohnisko křivky hv jest paprskem podobnosti pro křivky h3, hx
podobně položené; tudíž obsahuje také bod r0. Jest tedy r0 průsečíkem
přímek QaPa , F Tím jest též bod s' stanoven. Bod r' leží na kolmici q
V bodě F ku F r0 vztyčené. Zvolíme-li Qa za bod označený dříve Hs, splývá
H2 s bodem Av. Prochází tedy kolmice z bodu Av na QaPa bodem r' , čímž
jest bod r' dán jako průsečík této kolmice s q. Konečně jest C = Cn c.

Pro bod, jehož obrazem jest C/, má příslušná křivka (C') přímku p
normálou. Přímka Cx co nechť protíná g v bodě Px \ pak jest pata kolmice
ž Px na p' spuštěné příslušným bodem y*, označme jej yv odkud plyne
pak příslušný střed křivosti jednoduchým mezním přechodem z kon¬
strukce užité pro y. Protneme g nebo kteroukoli rovnoběžku ku p' přím¬
kami P1yl a Z' f, spojíme první průsečík se Z', druhý s C/, načež obě
• spojnice protnou se v bodě, j^hož orthogonální projekce na p' jest žádaným
středem křivosti.

7. Jiný konstruktivní postup v obou dosud řešených úlohách spočívá
v tom, že stanovíme ku plochám, jež vznikají pohybem přímky p, osku-
lační plochu 2. řádu H podél p a pak sestrojíme oskulační roviny v bodech
B resp. C pro pr úsečnou křivku plochy H s promítacím válcem, který
oskuluje (B') resp. (C') v bodech B' resp. C'. Také tento postup vede při
obou úlohách jednoduše k cíli, jak ihned seznáme.

V případě prvé úlohy (obr. 4.) jest H paraboloidem, který má M
rovinou řídící a můžeme zde na př.:

1. Vésti bodem a kolmici na p' a spojiti její průsečík s a' s bodem Z'
přímkou (2).

2. Z bodu a spustiti kolmici na stopu ai roviny A a jejím průsečíkem
s a' vésti rovnoběžku (2) ku p' ; pak jest průsečík 'přímek (2), (2) prů¬
mětem bodu na přímce á sdružené vzhledem ku H k přímce a ; přímka u
jest tím určena, ležíc ve známé tečné rovině A plochy H v bodě A.

Přímka a* harmonická ku p dle a, á náleží paraboloidu H.1) Jeden
bod přímky a'* obdržíme zde jednoduše na přímce (2) jako půlící bod
úsečky vyčaté přímkami a', (2). Budiž (£) oskulační kružnice křivky (Z')
v bodě Z' , nebo kterákoli z kuželoseček oskulujících křivku tu v bodě Z' .
Obrysová křivka průmětu plochy H jest parabola (it), která oskuluje (5)
v bodě Z ', dotýká se a\, a tudíž dostatečně určena jest. Položíme dále
bodem B' druhou možnou tečnu b\ ku parabole (it) užitím centrické
kollineace, která panuje mezi (£), (ar) a jejíž osou jest p' . Tečna ť ku (£)
rovnoběžná ku p' a tečna téže křivky jdoucí bodem A' protínají se v bodě (p,
j emuž j est centricky kollineárně přiřazen nekonečně vzdálený bod přímky a .

i) Odůvodnění příslušných konstrukcí zde provedených obsaženo jest v po¬
jednání: ,,Zur Konstruktion der Oskulationshyperboloide windschiefer FJáchen/'
ve Věstníku kr. České Spol. náuk r. 1893 (čís. XIV.).

XLI.

13

Rovnoběžka ku a '* prvým z těchto bodů protírá tedy p' ve středu kol-
lineace 5. Tečna bodem B' ku (g) protírá ť v bodě ty, jemuž centricky
kollineárně odpovídá nekonečně vzdálený bod přímky b Tudíž jest.
rovnoběžka bodem B' ke spojnici bodů S, ty. Pro sestrojení bodů cp, ty

bylo použito té vlastnosti, že délky tečen kružnice, které jsou mezi dvěmi
rovnoběžnými tečnami obsaženy, se promítají ze středu kružnice pra¬
vými úhly.

Přímka b harmonická ku b vzhledem ku p a b* jest sdružena ku b
vzhledem ku H. Místo abychom tedy sestrojili přímku b '* samu, stanovme

XLl.

14

na kterékoli rovnoběžce ku S ty, nebo na této přímce samé, bod souměrný
k jejímu průsečíku s přímkou b' dle jejího průsečíka s p' . Tento souměrný
bod náleží již přímce b' .

Proveďme nyní konstrukci, provedenou dříve pro A, pro bod B
v jiném pořadu. Spustíme tedy s bodu /3 kolmici na p' a stanovíme její
průsečík s b' , jejž spojíme se Z' přímkou (2). Tato přímka protne b 7
v bodě, jímž vedeme rovnoběžku ku p' až ku průsečíku s b ' , který spojíme
s p. Pak jest stopa roviny B do roviny M kolmá ku této spojnici, čímž
jest B dáno.

Redukuj e-li se válec Z na přímku z, zůstává konstrukce pro /3, á, a*
nezměněna; přímka z náleží sama paraboloidu H a druhá řídící rovina
tohoto splývá s promítací rovinou přímky a *. Ježto jest tedy II a# ,
jest pouze třeba stanovití k průsečíku b' . a\ bod souměrný dle A' a spojití
tento bod s bodem B' . Spojnice jest již přímkou V .

V případě druhé úlohy, sestrojme analogicky přímky a*, b * plochy H,
která jest zde obecně hyperboloidem. Pak vedme body B\ C' tečny ku
(6) a spojme jejich průsečík s bodem a\ . ; spojnice protíná p' ve

středu S centrické kollineace, kterou přechází (£) v obrysovou kuželosečku
(n) průmětu plochy H ; tato kollineace má p' osou. V ní odpovídá tečně
křivky (J), bodem C' jdoucí, tečna c'* ku (»), jdoucí rovněž bodem C'*
Po té stanovme v důsledku konstrukce dříve použité paprsek č' harmo¬
nický ku c' dle p' , c7*, spustme s bodu y kolmici na p' a spojme její
průsečík s přímkou c' a bod Z' přímkou (2), načež spojme bod, v němž
(2) protíná d', s bodem A' resp. B' přímkou ( 2 ). Dále protněme přímku (2)
přímkou c' a vedme ku přímce, která spojuje tento průsečík s bodem y,
kolmici bodem C' . Tato kolmice protíná stopu tečné roviny p a, resp. p b
na rovině M v bodě K. Tento bod a přímka c určují konečně rovinu
C = (K c). Nahradíme-li válec Z přímkou z, náleží tato hyperboloidu H
a přímky a'*, b\, c '* tvoří tedy svazek, čímž se naše konstrukce poněkud
zjednoduší.

8. Konstrukce v předchozím vyvozené, které se vztahují k úloze
vytčené v čl. 1., pozbývají významu, leží-li střed křivosti a na V tomto
případě splývá Z' s pólem rí okamžitého pohybu. Na přímce p' jest tu
(obr. 5.) řada bodů A', B' , C' , . . . projektivní s řadou příslušných středů
křivosti a, y, . . ., při čemž v bodě Z' splývají dvojné body těchto řad,
čímž konstrukce bodů /3, . . . příslušných bodům B' , . . . jest dána, známe-li
k jednomu z nich A' příslušný bod a. Centrální body V', n , které odpo¬
vídají v této projektivnosti nekonečně vzdálenému bodu přímky p' ,
jsou navzájem souměrný vzhledem ku Z'. Z projekt i vity plyne

(A' V' Z' Ux) = (a Ux Z' p) = (Z'n a Ux).

Jest tedy

(Á' V' Z') = (Z' p a) čili A' Z' :V' Z' = Z' a : n a,

XLI.

15

a ježto

H a = ti Z' + Z' cc = Z' V' + Z' a,

máme úměru

A' Z' :V' Z' = Z' a \ [Z' V' + Z' a),

ze které plyne

1 1 _ 1

Z' a Z' A' ~ V' Z' ’

Obr. 5.

nebo též

a A' 1

Z' «. Z' A' ~ V ' Z ' ‘ í1)

Pro kterékoli dvě dvojice bodů A' (i, B' a máme tedy vztah

-1 I 1 - 1 i 1

Z' A' ^ Z' p Z' B' ‘ Z' a ' (2)

Tvoří tedy dvojice A' (3, B' a involuci, jejímž iedním dvojným bodem
jest Z'.

Obdržíme tudíž z daných bodů A', a bod P příslušný bodu B' na
základě konstrukce involuce na př. tak, že vedeme body A', a, Z' tři

XLI.

16

přímky protínající se v jednom bodě I, který jsme zde zvolili v nekonečnu
ve směru kolmém ku p' , a dále vedeme libovolnou přímku bodem Z\
Protíná-li tato přímka A' I v bode 1, a I v bodě 2 a spojíme-li dále prů¬
sečík přímek B' 1, Z' I s bcdem 2, protíná tato spojnice p' v bode /?.
Táž konstrukce dává také bcd V' ; jest třeba pouze vésti bcdem 2 rovno¬
běžku ku p' až ku průsečíku se Z' I, který spojíme s bcdem 1, načež tato
spojnice protírá p' v bodě V'. Bcd V' můžeme z bodů A', a sestroj iti také
takto (obr. 6.). Sestrojíme kružnici nad průměrem A' a a kružnici polo¬
měru A' Z' o středu A ' ; chordála v0' obou kružnic stanoví na p' bod V'.

Konstrukci oskulačních rovin B, C, . . . převedeme (obr. 5.) na určení
průmětů b0', c0', ... jejich hlavních přímek vzhledem k rovině M, protí¬
nající p , zráme-li obdobnou přímku a0' roviny A.

Přímky a0, b0, c0, . . . obalují opět parabolu w, o jejíž konstrukci
rám nyní půjde,. Jest jasno, že kolmice v0' v bodě V' dotýká se této para¬
boly; jest totiž V' inflexním bodem průmětu (V') trajektorie bedu V.

Užijme nyní hyperbolického paraboloidu H, který oskuluje pedel p
plochu pohybem přímky p vzniklou. Obrysová parabola ( p ) jejího průmětu
oskuluje (£) v bodě Z'; jsou tedy (p), (J) navzájem centricky kollineární
pro p' jako osu kollineace. Abychom obdrželi střed kollineace S, stanovme
nejprve přímku ha plochy H, bodem A jdoucí a cd p různou, konstrukcí
dříve užitou. Přímka a! kolmá zde ku p' nechť protírá kolmici ku aQ'
bcdem a v bedě e± a přímka Z' J nechť protírá rovnoběžku ku p' jdoucí bc¬
dem e1 v bodě s2 ; pak jest A' s2 průmětem poláry přímky a ku ploše H, čímž
jest určen též průmět ha' , na př. tím, že protírá Z' % v bodě souměrném
ku Z' dle bodu s2. Nyní víme, že v kollineaci mezi (f) a (p) odpovídá tečně it
ku (£) rovnoběžné ku p' tečna nekonečně vzdálená ku [p). Následkem
toho odpovídá průsečíku a0 přímky % s tečnou ku (£) jdoucí bodem A'
a různou cd p' bod nekonečně vzdálený na haf . Rovnoběžka ku ha'
bodem «0 protíná tedy p' v bodě 5.

Pro kterýkoli bod B přímky p obdržíme druhou přímku hp plochy H
jdoucí bodem tím, vedeme-li rovnoběžku ku přímce, která spojuje bod 5
a průsečík přímky % s tečnou ku (£) jdoucí bodem B' ; tato rovnoběžka
jest již průmětem hp přímky hp. Vedeme-li průsečíkem přímky Z' f
s přímkou, harmonickou ku V dle p' , hp, rovnoběžku ku p', jest jejím
průsečíkem s V bod, ku jehož spojnici s bodem jest hledaná přímka b0'
kolmá, čímž jest určena. V našem obrazci, místo abychom sestrojili
přímku hp samu, stanovili jsme opět přímku b' harmonickou ku b' vzhledem
ku p' a hp . Ježto zde body odpovídající pro B' bodům sv s2 nejsou pří¬
stupny, spojili jsme střed úsečky, ležící na s2 a vyťaté přímkou b' a
spojnicí průsečíka Z- £. b' s bodem /3, se středem úsečky B' (3 ; spojnice
protíná b', jak snadno poznáváme, v bodě analogickém ku bodu prů-
sečnému jpřímek A' s2, a £1 ; ke spojnici takto obdrženého bodu s bodem
stojí tudíž 'přímka ,ů0' kolmo.

XLI.

17

Místo tohoto postupu, můžeme však vésti prostě (obr. 6.) rovno¬
běžku k Z'5 bodem 5 až ku průsečíku o0 s n, spojití s bodem J a ke
spojnici sestrojiti kolmici v bodě £, která protne přímku p' v jejím do¬
tyčném bodě P' s křivkou w' . Neboť užijeme-li na bod P' postupu vytče¬
ného právě pro bod B' , seznáme, že příslušná přímka p0' splývá s p' . Nyní
jest parabola w' tečnou p' s jejím dotyčným bodem P' a tečnami v0', aQ'
dostatečně určena a můžeme třeba užitím Brianchonova šestihranu sestrojiti
každou další její tečnu b0', c0',.

Vyjadřme ještě (obr. 5. a 6.) délku Z' S. Je-li (£) kružnice křivosti
křivky [Z') v bodě Z' , q její poloměr a cp úhel sevřený přímkami Z' A', aQ',
jejž béřeme ve smyslu otočení o pravý úhel paprsku Z' A' do Z' J, jest
A' = — a A' cot cp ; jest tedy

tg £± £2A'

£i A'
£2 Sx

a A' cot cp
Z' A'

Obr. 6.

uzavírá-li nyní ha' se Z' A' v témž smyslu úhel co, jest

' a A'

tg co = 2 — cot cp .

Značí-li cc0' patu kolmice z a0 na p' , jest také tg co
čemž jest 5 «0' = Z' a0' — Z' S;

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 41.

Sa o

při

2

XLI.

18

obdržíme tedy vztah

a A'

z7^ cot* =

Q

Z ' a o — Z' S

z něhož konečně plyne, použíjeme-li relace a A' . V' A' = Z' A'2 též z (1)
přímo plynoucí, že

Z'S=^h -{Q- V A' tg V), (3)

odkud, padne-li A' do nekonečna, obdržíme

Z' S = — Q tg <p0 , (4)

při čemž <p0 značí cp úhel odpovídající této specielně poloze. Vzdaluj e-li se
však stále bod A' od bodu Z' , blíží se směr tečny a0' stále směru osy naší
paraboly. Jest tedy cp0 úhel, který svírá osa paraboly w' s přímkou p'.
Je-li tudíž £* bod souměrný ku £ dle Z', dává přímka S £* směr vrcholové
tečny a přímka vedená bodem V' ku 5 £* rovnoběžně jest řídící přímkou
křivky w'.

Tento výsledek plynoucí z (3) dává též přímo naše konstrukce užitím
mezního přechodu z konstrukce pro bod A' ležící v konečnu. Směr přímky
ha' přechází (obr. 6.), vzdálí-li se A' do nekonečna, ve směr S 7t0, kde
jest dotyčný bod přímky n s kružnicí (£). Směr sdružený ku H ke směru a',
jenž jest dán spojnicí A' s2, přechází ve směr S £. Ježto přímka anti-
parallelní ku A' e2 dle p' vedená bodem Z' určuje s přímkou a' bod ev
přechází do směru přímky antiparallelní ku 5 £ dle p', čímž opět sezná-
váme, že směr osy jest kolmý ku S £*. Je-li totiž A průsečík tečny vedené
bodem A' ku (£) s přímkou n, pata kolmice s bodu S na je a r průsečík
přímky n s rovnoběžkou ku A' e2 vedenou bodem 5, plyne z kollineace
mezi ( p ), (£), že r A = A <?0. Přejde-li nyní A' do nekonečna, přejde A
do 7t0 a z do bodu souměrného ku o0 dle 7t0, a následkem toho přejde S t
v přímku 5 £.

Vzájemná poloha bodů P', S plyne, položíme li v (3) P' místo A'
a (p — 0. Jest

Z' S =-prrpr nebo Z' P' . Z' S = q2 . (5)

Protínají li se a0', v0' v bodě A„, jest

. _ V'

tg9>~ V' A' ’

takže vzorec (3) dává

z's = ~žhr (<•—

XLI.

19

Posuneme-li (obr. 7.) vektor V' Av rovnoběžně do £ Ma, jest
9 — AvV' = Z' £ — Ma i — Z' Ma
a z poslední rovnice plyne úměra

Z' Ma : Z' A' = Z' S: Z'

odkud plyne, že kolmice, kterou spustíme s bodu £* na A' Ma, protíná
přímku p' v bodě 5.

Pro kterékoli dva body A', B' na p' a příslušné hodnoty <pa> q>p
úhlu (p , které svírají přímky aQ', b0' se Z' A' resp. Z' B', platí tedy relace

Z' Mp \ Z' B' — Z' Ma : Z' A'.

V trojúhelníku A' Ma £*, jest tedy S průsečíkem výšek; proto ob¬
držíme 5 také jako průsečík přímky p' s kolmicí spuštěnou s Ma na A' í*.

Protíná-li jiná tečna křivky w', na př. b0', tečnu vQ' v bodě Bv a přene-
seme-li opět vektor V' Bv do £ Mp, jest rovněž přímka 5 £* kolmá ku B' Mp,
tedy přímka B' Mp rovnoběžná ku A' Ma, čímž možno Mp sestroj iti. Nebo
spustíme na B' £* kolmici s bodu S, která protne Z' £ rovněž v bodě Mp,
a učiníme vektor V' Bv roven vektoru £ Mp, jest pak V = B' Bv. Přímky
A' Ma> B' Mp mají směr osy křivky w'.

Shrneme-li vše, plyne tato konstrukce křivky w'.

XLI.

2*

20

Stanovíme V', v0' a bod £*, učiníme £ Ma — V'Av^ spustíme- s £*
kolmici na A' Ma nebo s Ma kolmici na A' £*. Tyto kolmice protínají p'
v bodě 5. Abychom pak obdrželi b0 vedeme budto B' Mp || A' Ma nebo
S Mp J_ B' £*, čímž získáme na Z' £ bod Mp) učiníme li konečně V' Bv =
= £ Mp, jest b0' = B' Bv. Rovnoběžka bodem £ ku A' Mu protíná tedy p'
v bodě P' . Tím jest parabola w' dostatečně určena.

Abychom nemuseli zmíněné vektory přenášeti, vedme Av Ma || V' £
a BvMp || V' £. Při nepříznivé vzájemné poloze bodů Bv a B' možno b0'
též snadno obdržeti užitím Brianchonova šestistranu.

Mimo to jest svazek rí c' b' . . . perspektivní se svazkem rovnoběžek
vedených bodem V' ku a0' bQ' c0' ... a P' £ jest osou perspektivity. To
dává konečně tuto konstrukci pro w' .

Sestrojíme V', v0'} učiníme £ Ma = V' AV} při čemž A' Ma udává
směr osy pro w' , a pak vedeme bodem £ rovnoběžku P' Š ku A' Ma, Abychom
nyní obdrželi b0', nutno pouze protíti b' s P £ v bodě fi", načež jest

K II V' r .

Padne-li bod B' do Z', padne průmět b0' hlavní přímky příslušné
oskulační roviny do přímky z0', která spojuje Z' s patou / kolmice
spuštěné z na v0'. Tím dospíváme k nej jednoduššímu stanovení para¬
boly w' tečnami p' , a0' , v0' a Z' r' II V' ?.

Tento výsledek, který jsme obdrželi řadou konstrukcí užitím plochy H,
plyne však přímo z toho, že Bobilierova kružnice, kterou jsme značili kv
prochází bodem rí a bodem, souměrným ku £ dle rí , kterýžto bod splývá
zde se £*, ježto bod Z' splývá s rí . Tato kružnice prochází také bodem V',
ježto trajektorie ( V ') má v bodě V' bod inflexní. Tudíž jest zde k2 kružnicí
opsanou trojúhelníku V' Z' £*, procházejíc tedy také bodem r't diame¬
trálně protilehlým bodu rí = Z' . Jest tedy r' mezní polohou průmětu
průsečnice r dvou oskulačních rovin paraboly pz promítacích ku M. To
jest skutečně ve shodě s naším výsledkem, který jsme obdrželi užitím
plochy H. Neboť v případě, kdy B splývá se Z, jest přímka b také pro¬
mítací; jest tedy oskulační rovina bodu Z jakož i bodu V promítací a obě
protínají se v přímce promítající se do bodu, jejž jsme též nyní označili Z.

9. Dotýká-li se specielně přímka p' křivky pólové v okamžitém pólu
pohybu, mají všecky trajektorie (A'), ( B '), . . . bodů A B' . . . pro tuto
zvláštní polohu přímky p' svoje středy křivosti v tomto pólu, v němž
také přímka p' se dotýká své obálky. Zde jest tedy « = p — y = ...= Z
a také body V', [i splývají se Z'.

Určení paraboly w' jest zde zvláště jednoduché. Protneme-li a0
se Z' £ v bodě Av a učiníme-li (obr. 8.) vektor £ Ma roven vektoru Z'AV,
má opět A' M a směr osy křivky 'w'. Rovnoběžka k A' Ma bodem £ pro¬
tíná p' v dotyčném bodě P' s w'. Stáno víme-li průsečík přímek b , P £,
jest přímka b0' rovnoběžná ke spojnici jeho se Z'.

XLI.

21

V tomto případe obdržíme z rovnice (3)

Z' S = ~J, — 9 tg tp .

(6)

Značí-li O úhel, který svírá b0 s p', plyne odtud relace

Q

Z' A'

z níž dále obdržíme

tg 9

Z' B'

tg ® >

tg& = tg <p +

q. B' A'
Z'A'.Z'B' •

Je-li A průsečík přímek B' £, a' , jest

A/-A A'B'

A A - Q Z' B'

a značí-li co úhel A' Z' A, jest

tgm Z'A'.Z'B 7 '

Tím obdržíme zde jednoduchý vztah

tg® = tg cp — tg a.

Protínají-li se tedy (obr. 9.) přímky B' £*, a' v bodě pv jest přímka
b0' rovnoběžná ku Av

Spojnice bodu s patou kolmice s Av na a' protíná p' v dotyčném
bodě P' s w' . Přímka J P' dává pak směr osy křivky w' . Snadno seznáme,
že £* jest dotyčným bodem přímky Z' g s w'. Neboť zde splývají osku-
lační promítací roviny V r, Z r a splývají body r' , £*, při čemž kružnice kx

XLI.

22

má úsečku Z' J* za průměr, kdežto v případě předcházejícím (obr. 7.) dotýká
se v o paraboly w' v průsečíku co s přímkou P'{*. Parabola w' jest tudíž zde
tečnami a0', p' , Z' £ a dotyčným bodem £* tečny Z' £, v případě před¬
cházejícím pak tečnami aQ' , p', V' r'f Z' r' nej jednodušeji určena.

10. Jednoduchou applikaci našich konstrukcí skytá úloha:

Rotační plose opsati jest rozvinutelnou plochu P.

Budiž řídící kužel K plochy P dán a stanovití jest styčnou křivku
c rozvinutelné této plochy s danou rotační plochou R ; a naopak je-li na R
dána křivka c, jde o řídící kužel rozvinutelné plochy P opsané ploše R
dle křivky c.

Zavedme orthogonální projekci na dvě roviny navzájem kolmé, při
čemž prvá z nich budiž kolmá k ose rotace o a druhá tedy rovnoběžná

k ose té.

Bodové určení křivky c při daném K plyne jednoduše tím, že se¬
strojíme ku K normální kužel L, jehož vrchol Oi volíme libovolně na o.
Jsou tedy povrchové přímky kužele L kolmé k tečným rovinám kužele K
a naopak. Pro L vyjadřme řez l s libovolnou rovinou N k ose o prvou
projekcí l' . Abychom určili body křivky c na parallelní kružnici k
plochy R, vyhledejme průsečík O normál ku R v bodech kružnice k
s osou o. Jedna z těchto normál, na př. v bodě H křivky k dá se
z určovacích částí plochy R přímo sestroj iti. K této normále O H vedme
rovnoběžku bodem O i, kterou protneme s rovinou N v bodě Ha. Budiž kx'
prvý průmět kružnice, která vzniká rotací získaného takto bodu H0,
kolem o. Protínají-li se kx\ l' v bodech M/, N /, . . . určíme na přímkách
O/, Mý, O Z Nyj, . . . příslušné průsečíky M'y N', . . s k', a to tak, že leží s body
M/, Nx', ... na téže. straně nebo na různých stranách bodu 0/ dle toho,
zdali mají 0 H, 0 směr týž nebo různý. Body M, N, . . . na k náleží
křivce c.

XL1.

23

Je-li naopak dána křivka c, veďme v libovolném jejím bodě M
normálu ku R a spusťme k ní normálnou rovinu nějakým pevným bodem;
popisuj e-li M křivku c, obaluje tato rovina kužel K.

Budiž nyní specielně plocha R plochou 2. stupně.

Zvolíme na ní opět parallelní kružnici k a stanovíme známým způ-
pobem vrchol 0 normálového kužele plochy R dle k, zvolíme dále bod O
současně za střed normálního kužele L a protneme tento kužel rovinou N
kružnice k v křivce /. Tato křivka jest centrálním průmětem z bodu O
na rovinu N pro dotykovou křivku d koule G, jež se dotýká plochy R dle
křivky k s onou opsanou rozvinutelnou plochou P*, která má rovněž
kužel K kuželem řídícím. Budiž E pól roviny N vzhledem ku ploše R. Posu¬
neme kužel K rovnoběžně do E, až jeho vrchol padne do E, a protneme jej
v této poloze rovinou N v křivce /* ; pak jest l křivkou polárně reciprokou
ku /* vzhledem ku k. Ale také centrální projekce do roviny N dotykové
křivky c plochy R s rozvinutelnou plochou P téhož řídícího kužele E, ze
středu 5 plochy 2. stupně R jest polárně reciproká s křivkou/* dle k J)
takže splývá s /.

Odtud plyne tato konstrukce křivky c.

Určíme střed O normálového kužele plochy R pro libovolnou pa¬
rallelní kružnici k, sestrojíme normální kužel Lw ku K tak, že má střed
v bodě 0 a protneme rovinou N křivky k v křivce /; pak jest c prů-
sečnou křivkou plochy R s kuželem L, který opírá se o / a má střed S
plochy R vrcholem.

Naopak, je-li křivka c dána a máme sestrojiti K, stanovíme nejprve
střed O normálového kužele plochy R podél libovolné parallelní kruž¬
nice k, promítneme c ze středu 5 na rovinu N křivky k do křivky l ; pak
jest kužel L^, který má vrchol v 0 a opírá se o l, normálním kuželem ku K,
takže tento jest tím rovněž dán.

Tečna t křivky styčné c v libovolném jejím bodě M plyne jako
průsečnice tečné roviny TQ plochy R v bodě M a tečné roviny T* kužele L
dle 5 M. Bod M jest zde průsečíkem křivek k, l ; při tom jest přímka O M
kolmá k rovině, která se dotýká kužele K podél určité hrany j. Tečna 4
ku l v bodě M jest tudíž kolmá ku j' a T;. jest rovinou jdoucí 5 a 4.

Oskulační rovinu křivky c v bodě M možno obdržeti takto.

Předpokládejme, že můžeme sestrojiti kružnici křivosti průsečné
křivky u kužele K s rovinou N kolmou k ose rotace o, případně, že kruž¬
nice ty jsou přímo dány. Sestrojíme nejprve soustředný normálný kužel L*
ku K; budiž K0 orthogonální průmět, do roviny N, společného středu K.
Ježto nyní známe střed křivosti křivky u v průsečíku J s hranou K J
můžeme snadno stanovití hlavní vrcholovou kružnici kuželosečky, která
oskuluje u v J a má bod K0 ohniskem. Kružnice inversní k této vzhledem
ke K0 j ako středu a — K Kn2 jako potenci inverse jest příslušnou kružnicí

2) Cf. Věstník kr. České Spol. náuk 1893 č. II.

XLI.

24

křivosti křivky, v níž protíná L* rovinu N. Podobná poloha ploch L*, L
dává pak kružnici křivosti lp křivky l v bodě M.

Oskulační rovina C křivky c v bodě M jest též oskulační rovinou
v bodě tom k průsečné křivce plochy R s kuželem Lw, jenž má vrchol
v bodě 5 a opírá se o křivku l^. Přímky dvojnásobně sdružené bodům
na ty t. j. průsečnice polárních rovin těchto bodů k plochám R, L^, tvoří
kužel 2. stupně, jehož tečná rovina podél t jest hledanou oskulační rovinou
C. Tento kužel obsahuje přímky 5 M, t a rovnoběžku bodem M ku K J.
Jest třeba tedy ještě zvoliti dva body G, H na t a stanovití přímky g, h
dvojnásobně k nim sdružené. Přímka S G protíná N v bodě, na jehož
spojnici se středem křivky lp vztyčíme v rovině N bodem M kolmici
pak jest 5 g^ polární rovinou bodu G ku L/t. Polární rovina bodu G k ploše R
prochází přímkou a jest kolmá k rovině G o, přímka g pak jest prů-
sečnicí obou polárních rovin. Rovněž tak najdeme h a můžeme pak rovinu C
lineárně sestrojiti. Tato rovina protíná plochu R v určité kuželosečce.
Protneme-li rovinu N normálou z bodu 0 ku C a spojíme průsečík s bodem 5
přímkou, protne tato spojnice rovinu C ve středu kuželosečky právě zmí¬
něné. Tím můžeme jednoduše sestrojiti nejen střed křivosti této kuželo¬
sečky v bodě M, nýbrž též střed křivosti křivky c' v bodě M'.

Je-li specielně K kužel 2. stupně, jest l kuželosečkou, které možno
přímo užiti místo kružnice lp.

Rovinu C možno obdržeti též na základě této úvahy.

Budiž střed křivky lp. Promítejme (obr. 10.) orthogonálně do
roviny L ^ o. Průsečná křivka m ploch R, promítá se do roviny té
v hyperbolu m"' o středu 5, jejíž jedna asymptota a jest kolmá k o, kdežto
druhou p najdeme tím, že úsek vyťatý na průmětu ť" přímky t asympto-

Obr. 10.

tami a, p má M'" za bod půlící. Přímky d, e, které spojují S s koncovými
body průměru křivky l ^ ležícího v rovině L^o, jsou zde obrysovými po-
vrškami kužele L p.

XLI.

25

Sestrojme dále kuželosečku b, která oskuluje křivku m'" v bodě M'"
a má přímky d, e tečnami. Za tím účelem veďme ku m'" tečny g, r, od ť"
různé, průsečíky přímky ť" s přímkami d, e. Kolmice z bodu M'" ku o
protíná d v bodě, jímž vedem^ rovnoběžku k /3 až protne a v bodě 1 ;
bod souměrný ku 5 dle 1 náleží tečně G, jejíž dotyčný bod Gx leží na rovno¬
běžce právě zmíněné, jak se z degenerovaného Brianchonova šestistranu
snadno přesvědčíme. Obdobně najdeme tečnu r a její dotyčný bod x j
s křivkou m'".

Kuželosečka b jest ku m"' centricky kollineární dle osy ť" a dle
středu P, jenž jest průsečíkem tečny ť" s přímkou spojující body g . r
a 5. Přímka P g1 protínej d v Sv přímka P r1 protínej c v Tv Rovina
spojující přímky t, 5X 7\ jest hledanou oskulační rovinou C. Vidíme, že
stačí sestroj iti jen jeden z bodů Sv Tv jenž stanoví s přímkou t rovinu C.

Že konstrukce jest správná, plyne z toho, že m jest průsečnou křivkou
válce kolmého ku L ^ o , který se opírá o m'" s plochou R, a že k určení ro¬
viny C možno tento válec nahraditi každým válcem, který jej oskuluje
podél povrchové přímky jdoucí bodem M, tedy též válcem spočívajícím
na b. Tento však má s L (i společný tečné roviny přímkami d, čv jdoucí,
protíná tedy ve dvou kuželosečkách, z nichž jedna oskuluje křivku c
v bodě M, takže její rovina splývá s oskulační rovinou C.

11. Je-L dána rotační plocha R svou křivkou meridiánovou a jde-li
•o to, nalézti pro styčnou křivku c v libovolném bodě M rovinu oskulační
a střed křivosti, možno užiti postupu, vytčeného v prve uvedené práci,
při čemž však konstrukce zde vyvozené vedou rychleji k cíli.

Budiž (obr. 11.) M jeden bod křivky c plochy rotační R, dané meri¬
diánovou křivkou w a osou o. Parallelní kružnice bodu M nechť protíná
křivku w v bodě Bodu Mw příslušný střed křivosti křivky w budiž x
a budiž % střed křivosti v bodě x evoluty křivky w. Operujme nejprve

v rovině křivky w ; nanesme na n x délku x l
Mw X kolmicí s bodu x na o v bodě ;
rovnoběžku o± ku o vedenou patou v
kolmice s bodu fi na M ^ x možno bráti
za osu kuželosečky w*, která osku-
luje w v bodě Mw a tím jest určena.

Tato kuželosečka w* má v bodě
s křivkou w čtyři soumezné body spo¬
lečný. Při tom jest průsečík Oj přímek
Mw A, o1 středem křivky w*, jak snadno
plyne odtud, že osy, tečna a normála
v bodě Mw křivky určují parabolu,
která dotýká se normály v bodě x.
Označíme-li pro w * na př. 3 osu olt
lenou přímku roviny, 6 tečnu v bodě

= — 7t x a protněme přímku

O

4 druhou osu, 5 nekonečně vzdá-
Mw, 1 normálu Mwv, 2 - normálu

XLI.

26

soumeznou, plyne správnost našeho výroku odtud, že 123456 jest šesti-
stranem Brianchonovým.

Nyní mysleme si kuželosečku w* posunutou do w0 kolmo ku o až o1
splyne s o, při čemž dospěje Ol do O* a v do v *. Plocha R0 vzniklá rotací
křivky w0 kolem o jest 2. stupně, normálný kužel ke K s vrcholem v v*
protíná rovinu N křivky k v křivce l a řezem plochy R0 s kuželem majícím
střed v O* a spočívajícím na l jest křivka c0, na které odpovídá bodu M
bod M0, při čemž spojnice M M0 jest kolmá na o, a délka její M M0
jest rovna OíO *.

Pohybuj e-li se přímka M M0 rovnoběžně ku N tak, že protíná
stále o a že bod M0 popisuje křivku c0) popisuje bod M, jestliže vzdále¬
nost M M0 se při pohybu nemění, křivku, která má s křivkou c v bodě M
společný tečnu, střed křivosti i rovinu oskulační. Tím jest konstrukce
těchto prvků převedena v konstrukce úlohy v odst. 1. položené.

Tím jsme konstrukce týkající se křivky c, jak je pojal Dunesme,1)
podstatně rozšířili.

Obrácení těchto konstrukcí, chceme-li provésti přechod od c ku K,
neskytá obtíží.

12. Další applikace našich úvah nechť se týká ploch šroubových.

Budte dány (obr. 12.) dvě plochy A, B, vytvořené týmž pohybem
šroubovým, buďte A, B dva jejich body ležící v téže rovině k šroubové
ose o kolmé, a buďte tečné roviny Ta, Tp těchto ploch v bodě A resp. B
navzájem rovnoběžný.

Promítejme orthogonálně do roviny Nx vedené rovnoběžně ku N
ve vzdálenosti rovné parametru šroubového pohybu. Učiníme-li A' A1 JLo'A'
a, ve smyslu šroubového pohybu, A' A1 = o' A' ; učiníme-li rovněž tak

B' Bx _L o' B', B' B± = o' B', prochází
bodem Ax stopa a\ roviny T„ a bodem
B1 stopa b\ roviny Tp a jest b\ || a\.
Kolmice p' bodem A' ku a nechť pro¬
tíná a-i v bodě A 2 a rovnoběžka ku a\
bodem o' nechť protíná p' v bodě 0a.
Pak jest A' A2 délkou průmětu spá¬
dové přímky roviny Ta j doučí bodem A .
Mimo to jest A'A2 = o'Oa. Prove-
deme-li obdobnou konstrukci pro bod B
a užijeme obdobných označení, jest na
přímce q' rovnoběžné bodem B' ku p'
nejprve B' B2 — o' Op a ježto následkem
T|s || Ta jsou délky A' A2, B' B2 na¬
vzájem rovny, splývá Op s Oa, tedy q' s p'. Tudíž jest přímka p' kolmá
v bodě A' ku průmětu normálné křivky ka plochy A ležící v N a rovněž

Ú Comptes rendus 1857 str. 527 a n.

XLI.

27

jest p' normálou v B' k průmětu křivky kp, rovněž v N ležící, na
ploše B.

Z toho vidíme, že konstrukce Dunesmeovy, se zobecněním zpředu
uvedeným, platí také pro takové plochy šroubové, jejichž normálními
křivkami jsou libovolné dvě křivky rovnoběžné.

Je-li obecně (obr. 13.) dána nějaká křivka ka, která koná šroubový
pohyb kolem přímky o, vytvořujíc tím plochu A, obalují tečné roviny
plochy A v bodech křivky ka rozvinutelnou plochu Ka. Orthogonální
průměty povrchových přímek této plochy do některé normálné roviny N
obalují křivku rí . Zvolíme-li na o ve smyslu šroubového pohybu bod U
tak, že má od průmětny vzdálenost rovnou parametru pohybu a pod¬
robíme křivku rí kolem o' čtvrtině otočení ve smyslu šroubovému pohybu
opačném, čímž nechť dospěje do u0, jest U vrcholem řídícího kužele plochy Ka
spočívajícího na u0.1)

Pohybuj e-li se nějaká přímka p tak, že jest stále rovnoběžná k prů¬
mětně N, dotýká se promítacího válce U křivky rí a protíná křivku ka,
vytkneme-li dále na p úsečku konstantní délky A B, jež se pohybuje
současně na p tak, že bod A popisuje křivku ka, pak popisuje bod B
křivku kp, kterou nazveme konchoidou křivky ka vzhledem k promítacímu
válci U. Křivka kp vytvoří vytčeným šroubovým pohybem plochu B.
Přímka p nechť dotýká se plochy U v bodě Z; normály v bodech A', B'
ke křivkám ka' , kp' protínají se s normálou v bodě Z' k rí v bodě rí. Pro
jinou délku A C obdržíme konchoidu kY a normála v bodě C' ke křivce ky
prochází rovněž bodem rí. Tečny a, b, c, . . . v bodech A, B, C, . . . ke
křivkám ka> kp, kY, . . . tvoří hyperbolický paraboloid P, jehož průmět
má obrysovou křivkou parabolu ( p ), jež má rí ohniskem a p' tečnou
vrcholovou. Stopa q plochy P na N jest též tečnou ku (p). Na přímce q
leží stopy A\, B\, . . . přímek a, b, . . . Stopa tečné roviny Ta plochy A
v bodě A spojuje, jako v odstavci předchozím, bod A1 s bodem Ai. Spá¬
dová přímka bodem A jdoucí, která náleží též ploše Ka, měj v bodě A2
svou stopu. Stopa bi tečné roviny plochy B v bodě B jest spojnicí bodů
Bx, Bi. Je-li B2 stopou kolmice z Bx ku p' , jest B' B2 = A' A2. Jinak
jsou orthogonální průměty úseček A' A\, B' B\, . . . na vrcholovou tečnu p'
paraboly (p), následkem známé vlastnosti paraboly, navzájem rovny.
Z toho plyne, že přímka BXB\ = bi jest kolmá ku přímce p' protínajíc
ji v bodě B2. Všecky tečné roviny plochy B v bodech křivky kp obalují
tedy rozvinutelnou plochu, která má rovněž za řídící kužel (U u0).

Máme-li nyní sestroj iti k plochám A, B, . . . rozvinutelné opsané
plochy La, L p, . . ., které mají týž kužel řídící, posuneme rovnoběžně tento
kužel, aby jeho vrchol přešel do U, a určíme jeho stopu uQ, kterou otočíme
o čtvrtinu do rí kolem o' ve smyslu šroubového pohybu (t. j. v tom smyslu,

Ú Cf. Monatshefte f. Math. u. Physik IV. ročník: ,,tlber developpable Be-
ruhrungsfláchen an windschiefe Helikoide."

XLI.

28

v němž otáčí se při pohybu tom každý bod, jestliže bod esy o posune se
ve smyslu od N k U). Jsou-li pak ka, kp, u' příslušnými polohami křivek
ka, kp, u', jest každá společná tečna křivek u', ň' průmětem jedné neb
více povrchových přímek na ploše La a příslušné neb příslušných jim

přímek povrchových na ploše L^; površka taková na Ia protíná ka
v bodě Á, příslušná jí na L p protíná kp v B, a tečné roviny ploch A, B
v bodech A, resp. B jsou rovnoběžný, při čemž A B rovná s e A B. Tudíž
jest také dotyková křivka ploch Lp, B konchoidou dotykové křivky ploch
La, A vzhledem k promítacímu válci křivky u' . Jest tedy možno užiti
zde konstrukcí dřívějších.

13. Uvažujme ještě applikaci našich výsledků na plochy troubovité.

Plocha taková budiž obálkou pohyblivé koule K konstantního polo¬
měru q , jejíž střed S nechť popisuje křivku (5). Sestrojíme zde opět styčnou
křivku c opsané rozvinutelné plochy P daného řídícího kužele L.

Stanovme nejprve normálný kužel M ku L. Posuňme kužel M rovno¬
běžně do Ma, takže jeho střed padne do S a protněme Ma s normální
rovinou Ea bodu 5 ku křivce (S) v přímkách p, q, . . pak jest na tyto
přímky nanésti od bodu 5 v obojím smyslu úsečky Sd1( S A2; S Bv
S B2) . . mající délku q, abychom obdrželi body Av A2\ Blt B2, . . .
křivky c. Neboť tečné roviny v bodech Alt ... ku K jsou rovnoběžný
k příslušným tečným rovinám kužele L a dotýkají se koule na její kar-
akteristice, obsažené v rovině Ea.

Pohybuj e-li se koule K vytčeným způsobem, vytvoří přímky/), q, . . .
přímkovou plochu Q, jejíž povrchové přímky mají tu vlastnost, že pro-

XLI.

29

tínají danou křivku (S), jsou rovnoběžný k povrchovým přímkám kužele M
a dotýkají se polární plochy S křivky (5).

Konstrukce tečny křivky c v libovolném jejím bodě dá se nyní
dosti jednoduše upravit i.

Budiž Ka střed křivosti křivky (5) v bodě S, budiž s polára bodu 5,
t. j. kolmice bodem Kp k oskulační jeho rovině a budiž p± přímka sou-
mezná ku p. Pro infinitesimální plošný proužek [p pp jest tečnou rovinou
v bodě S rovina spojující přímku p s tečnou aG v bode 5 ku (S), tečná
rovina v průsečíku přímek p, s jest ( p s) a asymptotická rovina K jest
rovnoběžná k tečné rovině kužele Ma podél p. Ježto tedy známe tečné
roviny ve třech bodech přímky p, můžeme sestroj iti tečné roviny ve všech
jejích bodech.

Promítáme-li nyní orthogonálně nebo v jiném směru do takové
roviny N, vzhledem ke které jest p spádovou přímkou roviny R, nebo
výhodněji ještě do roviny ku R rovnoběžné, a určíme dotyčný bod Z pro¬
mítací roviny přímky p s proužkem (p pp, můžeme přímo stanovití průmět f
tečny / křivky c v bodě Av neboť normály v A/ ku c', v S' ku \S') a v Z/
ku p' protínají se v jednom bodě. Tím jest dána též přímka t sama.

Mnohem zdlouhavější byla by zde konstrukce ^oskulační roviny C
a kružnice křivosti Ky křivky c pro bod Av ačkoli princip konstrukce
jest snadno dán.

Budte pQ, p, pí tři soumezné přímky plochy Q. Jimi určen jest
hyperboloid H oskulující plochu Q podél p. Snadno sestrojíme tři přímky
druhé soustavy tohoto hyperboloidu. Nejprve přímku g bodem S na
základě toho, že H dotýká se podél p proužku ( p px) a oskuluje křivku (S)
v bodě S, dále přímku l rovnoběžnou ku p na základě téže okolnosti, že H
se dotýká proužku (p pp a na základě tom, že řídící kužel 2. stupně pro H
oskuluje M G podél p. Dotýká-li se přímka s polární křivky pro (S) v bodě Slf
jenž jest středem koule křivosti v bodu 5 pro křivku (S), a je-li Sx osku¬
lační kužel 2. stupně k polární ploše podél s, obdržíme třetí přímku m
druhé soustavy H jako površku onoho hyperboloidu, který dotýká se
(p pp podél p a promítá se z bodu S1 kuželem Sx.

. Dále stanovme osu rotačního kužele, který oskuluje Ma podél py
a promítejme orthogonálně, nebo v jiném směru, do roviny N kolmé k ose
té Pak určíme střed křivosti £ obrysu průmětu plochy H, načež můžeme
stanovití střed křivosti y křivky ď v bodě M/, jakož i oskulační rovinu G,
předchozím postupem, odkud možno pak sestroj iti Ky a střed křivosti
průmětu křivky c v průmětu bodu Ax

Grafické provedení těchto konstrukcí jest však značně složité a nutno'
je zařaditi do oboru konstrukcí Steinerem ústními nazvaných. Jednodušší
jest zobrazení jen v případě, kdy P jest opsanou plochou válcovou; neboť
tu jest Q konoidem, ježto přímky p, . . . leží v rovinách kolmých ke směru;
válce; c jest zde mezí vlastního stínu při rovnoběžném osvětlení. Zde
zvolíme řídící rovinu N plochy Q průmětnou projekce orthogonální.

XIX

30

14. Uvažujme jako zcela specielní případ určení obrysové křivky c
pro šroubovou plochu troubovou A. Předem věnujme pozornost řešení
jiné úlohy, jež nám zde bude ku prospěchu, totiž:

Zobraziti jest křivost sinusoidy.

Touto úlohou zabývá se Chr. Wiener ve svém díle: Lehrbuch der
Darstellenden Geometrie.1) Vyvodíme zde řešení jiné, obecnější a velmi
jednoduché.

Uvažujme (obr. 14.) sinusoidu s' jako orthogonální průmět křivky
šroubové s do roviny N rovnoběžné s osou šroubovou o, berouce rovinu
tu za prvou průmětnu, kdežto průmětnu druhou M volíme kolmo ku o.
Uvažujme dále přímkovou plochu R, jejíž přímky p, . . . jsou rovnoběžný
ku N, protínají křivku šroubovou s a leží v jejích normálních rovinách,
tudíž dotýkají se polární plochy křivky s. Přímky p, . . . zobrazují se
tedy v rovině N jako normály křivky s' a obrysová křivka prvního prů¬
mětu plochy R jest evolutou sinusoidy s'. Budiž # průsečnice rovin M, N.
Druhé průměty p" , . . . povrchových přímek plochy R tvoří svazek přímek
rovnoběžných ku Polární křivka t křivky s jest souosá křivka šroubová.
Značí-li o poloměr rotačního válce, na němž s leží, r poloměr příslušného
válce pro t a je-li n parametr šroubového pohybu, jest a z = %2.

Je-li A libovolný bod na s, vedeme- li v rovině A o kolmici s A k o,

jejíž pata budiž Oa, a určíme bod Ba na A Oa tak, že ( A Ba Oa) — - - ,

jest Ba jak středem kružnice křivosti tak středem koule křivosti křivky s
pro bod A.

Sinusoidy s' , ť jsou orthogonálně affinní dle osy o'. Proto mají
tečny a, ba ku s, t v bodech A, Ba tu vlastnost, že jejich průměty a', ba'
se protínají na o'; jejich průměty a", ba" jsou navzájem rovnoběžný
stojíce kolmo k A" Ba". Průsečík a' . ba' jest průmětem u' přímky u,
pro kterou prochází u" bodem o" stojíc kolmo na

Přímky a , ba nechť protínají u v bodech Au> Bu; rovina přímkou u
kolmá ku M protínej p v bodě M. Dotyčné body rovin přímkou p jednak
kolmo ku N jednak kolmo ku M vedených s proužkem (p pp buďte Ka, U.
Při tom leží U nekonečně daleko na p. Budiž dále B průsečík přímek p, ba.
Protněme nyní tečné roviny proužku [p px) v bodech A, B, Ka, U přímkou u.
Obdržíme průsečíky A ^ B K M, kde K ^ jest v nekonečnu, a jest

(A B KaU) = [A^ Bfi Kp M)

Čili též

(A B KaU) = {Bp Afl M Ká
a ježto U, Kii jsou v nekonečnu, jest
!) II. sv. str. 363.

XLI.

31

(ABKa) = (Bfjk Ap M).

Jinak jest, se zřetelem k tomu, že ba" || a",

A„ M) = (BA M), takže (A B Ka) = (B A M)

čili

A Ka : B Ka = B M : A M ,
z kteréžto úměry plyne

A Ka : B A = B M : A B, takže A Ka = M B.

XLI.

32

Protíná-li tedy p' přímku o' v bodě M', jest M' B' = A' Ka'. Udává,
tudíž M' B' velikost a směr poloměru křivosti křivky s' v bodě A'.

Tím přicházíme k této konstrukci středu křivosti Ka' křivky s'
v bodě A':

Vztyčíme k inflexni tečně i' křivky s' kolmici j' v jejím dotyčném
bodě ležícím na o', ved.eme průsečíkem přímek a', i' kolmici k o' až ku
průsečíku s spojíme tento průsečík s bodem a' . o' přímkou ba' , která
protne p' v bodě B' . Konečně učiníme A' Ka' = M' B' , značí-li M' bod
p' .o'.

Splyne-li specielně A' s vrcholem A0' křivky s', jest přímka p' kolmá
k o' a B' splyne s Ba' ; Ka' jest zde bod vratu K0 evoluty e' pro křivku s'
a jeho konstrukce zde udaná jest identická s konstrukcí, kterou podává
Chr. Wiener. Jest tu A0'K0 = v. Jest jasno, jak provádíme konstrukci
bodu Ka\ není-li i' přístupné.

Mohli bychom ovšem sestrojiti Ka' též jako střed křivosti ellipsy,
ve kterou se promítá střed křivosti šroubové křivky s v bodě A do prvé
průmětny; obě konstrukce vedou k témuž výsledku. Neboť kružnice
křivosti m křivky s promítá se do roviny N v ellipsu m' , pro niž jest Bar
středem. Kolmice s Ba' na prvou stopu oskulační roviny křivky s v bodě A
jest vedlejší osou křivky m' ; ježto ba jest kolmá k této oskulační rovině,
plyne z toho, že zmíněná vedlejší osa splývá s ba'} že tedy normála Ba' vx
křivky ť v bodě Ba' jest hlavní osou křivky m'. Pro ellipsu m' známe
tedy osy co do polohy, bod A' a příslušnou mu normálu A' B' \ můžeme
tedy sestrojiti její střed křivosti Ka\ Dle známé konstrukce protneme
normálu kolmicí v Ba' ku A' Bu v bodě v2 a učiníme B' Ka' == v2 vv Mají-li
se tedy obě uvedené konstrukce shodo váti, musí v2 vx = B' Ka' = M' A'.
Že tomu tak jest, snadno seznáme. Z podobnosti trojúhelníků v1v.2Ba\
u' A' Ba' plyne úměra

vx v2 : v2 B« — iť A' : A' Ba'

a z podobnosti mezi A' v2 Ba', A' M' 0a' jakož i mezi A' M' 0a' , u' A' 0 «'
plynou úměry

v2 Ba' : M' Oa' = A' Ba' : A'0
M' 0a' : A' M' = A'0a' : u' A<.

Násobíme-li tyto tři úměry, obdržíme skutečně, že vx v2 — A M .
Je-li však sinusoida s' dána na př. analyticky, víme, že její rovnici

možno převésti na tvar y == o cos — , kde konstanty o, z mají dřívější

význam.

15. Naše úvaha připouští též snadnou konstrukci středu křivosti Ha
křivky e' v bodě Ka'-> ..

XLI,

33

Mysleme si (obr. 14. a 15.) za tím účelem stanoven oskulační para¬
boloid H plochy Q podél přímky p. Předně vidíme, že mění-li přímka p
na ploše Q svou polohu, popisuje B" křivku (B"), kterou vytvoří vrchol B"
trojúhelníka A" Ba" B" , při Ba" pravoúhlého, jehož jedna odvěsna A" Ba"

otáčí se kolem o ", jehož vrcholy A", Ba" popisují kružnice s" resp. t"
a jehož přepona pohybuje se rovnoběžně k ose %. Jest známo, že křivka ( B ")
jest orthogonálním průmětem, do roviny M, obrysové křivky otevřené
přímkové plochy šroubové vzhledem N, a jest též známo, jak sestrojíme

Ro zprávy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 41. 2

XLT.

34

tečnu n" ke křivce (AT').1) Je-li L” průsečík přímek u" , a" , jejž jsme dříve
označili A[i", a sestrojíme-li bod L2" souměrný k L 1" dle A", jest L2"
B" tečna n" .

B jest dotyčný bod roviny p ba s (p pj ; tudíž jest {B") druhý průmět
dotykové křivky plochy Q s tečnovou plochou křivky šroubové t a L2" B"
jest druhým průmětem přímky n sdružené ku ba dle H. Tato přímka leží
v tečné rovině p ba p!ochy H; obdržíme tudíž rí, vedeme-li bodem A'
rovnoběžku A ku ba' a stanovíme k průsečíku L / = A . o' bod souměrný
L2 dle A' ; pak jest rí = L2 B' .

Vedeme-li v lichoběžníku Lx L2 rí B' úhlopříčny a spojíme jejich
průsečík s bodem A', půlí tato spojnice úsečku B' rí . Možno tudíž rí
obdržeti jednoduše takto.. Spojíme půlící bod úsečky B' rí s bodem A'
a protneme spojnici přímkou o' v bodě co ; pak jest rí přímka jdoucí
body B' , co.

Kolmice ku B' co v bodě AT jest normálou v bodě AT ke křivce (AT).
Nechť kolmice tato protíná kolmici v Ka' ku p' , jež jest tedy normálou
v Ka' k evolutě e' , v bodě B. Dále protíná kolmice v bodě M' ku o' tuto
normálu v bodě P. Řada bodová na p' ležící mění svou polohu s přímkou pf
tak, že jest stále A' Ka' — M' B', při čemž popisuje A' křivku s' , Ka'
evolutu e', M' přímku o', B' křivku (AT). Z toho plyne, že jest Ka' Ha' —
= P B. Tím jsme nalezli tedy střed křivosti Ha' evoluty e' .

16. Evoluta e' jest také evolutou obrysové křivky prvého průmětu
troubo vité plochy šroubové A.

Obraťme se nyní (obr. 15.) ke konstrukci obrysové křivky c plochy A
vzhledem k prvé průmětně N. Jest c' křivkou parallelní ku s'. Pro tečnu
křivky c v bodě Ax známe průmět ax , který jest kolmý ku p' , a ježto
tečna ax leží v tečné rovině ku (p pP) pro bod Alf může býti snadno se¬
strojena.

Hyperbolickému paraboloidu, který jest určen tečnami a, alf . . .
k trajektoriím bodů A, A1, . . ., náleží také přímka k, jdoucí bodem Ka'
kolmo ku N, takže přímky druhé soustavy na tomto paraboloidu pro¬
mítají se do N ve svazek, který má Ka' středem. Nechť protíná libovolná
přímka a této soustavy přímky a, ax v bodech a, av Z rí odvodme rí',
vedme a" ax' rovnoběžně ku p" \ neboť jest a ax || N, ježto N jest řídící
rovinou paraboloidu. Mimo to protínají se přímky k" , a" , ax" v jednom
bodě; neboť, ježto N jest řídící rovinou paraboloidu, leží na něm přímka
kolmá ku M, pročež tvoří přímky k" , a", ax' . . . svazek. Jest tedy přímka
ax" tím, že Ax" spojuje s bodem a" . k" , dostatečně dána.

Hlavní přímka i} vzhledem ku N oskulační roviny křivky c v bodě Ax
sestrojí se dle předchozího. Je-li aQ bodem A jdoucí hlavní přímka vzhledem
ku N pro oskulační rovinu [a, A Ba) křivky s v bodě A, pro kterou jest
tedy (Iq _L ba' , jest bodem Ax jdoucí a od p' různou tečnou paraboly w' ,

x) Cf. Věstník kr. Č. Spol. nauk 1893, XXII. str. 31.

XLI.

35

která se dotýká p' , a0', Ha' Ka', a to poslední přímky v bodě H1 souměrném
ku Ha' dle Ka' , čímž jest určena přímka a(i) sama, jakož i oskulační rovina
aj a( i) křivky c v bodě Av

Stanovme onu hlavní přímku q vzhledem k M roviny a1 jejíž
prvý průmět prochází bodem Ka' rovnoběžně ku Přímka q" a kolmice
bodem Ka" ku p" jsou dvěma sdruženými průměry ellipsy, která se do¬
týká a /' v bodě Ax" ; můžeme tedy sestrojiti známým způsobem její
střed křivosti e v bodě A " . Bod ten jest, jak snadno seznáváme, středem
křivosti křivky c" v bode A

Bod s obdržíme jednoduše jako dotyčný bod kolmice v bodě At"
ku a /' s parabolou, která dotýká se mimo to ax" , kolmice ku q" bodem
a" . k" a kolmice ku k" bodem a.” . q" . (Příslušná konstrukce provedena
jest v obrazci tečkované.)

Poznamenejme ještě toto.

Oskulační paraboloid H plochy Q má rovinu N rovinou řídící. Když
na přímce a" učiníme A" L3 " == 2 I/' A", jest přímka B" L3" průmětem
přímky povrchové plochy H, jdoucí bodem B a různé od p (obr. 14. a 15.).
Pak jest přímka B" L3" harmonická ku p" dle ba ", n". Povrchovou přímku qa
plochy H, jdoucí bodem A a od p různou, stanovíme opět tak, že se¬
strojíme poláru přímky a dle H. Bodem Lx" dříve nalezeným položme
rovnoběžku ( 1 ) ku p" . Ježto tečná rovina v bodě B protíná oskulační
rovmu křivky s pro bod A v přímce A 0a a ježto kolmice ku A" o" jest
rovnoběžná ku přímce a" , jest třeba protíti přímku (2) rovnoběžkou ba"
ku a" bodem B ' jdoucí v bodě cp, abychom v A" (p obdrželi průmět žádané
poláry.1) Jest tedy A" (p || n" a qa" || B" L3". Z toho plyne, že druhá
řídící rovina plochy H jest rovněž orthogonálně promítací do roviny M
a osa plochy H jest kolmá ku M. Má proto obrysová parabola prvého
průmětu plochy H přímku o' za průměr.

Sestrojme dále (obr. 15.) vzhledem k rovině M na př. ony hlavní
přímky tečných rovin proužku (p p^, které procházejí jejich body do¬
tyčnými. Tečná rovina v bodě A na křivce s ležícím jest (pa) ; příslušná
hlavní přímka budiž d. Vztyčme v bodě Ka" kolmici k" ku p” a stanovme
průsečík I přímky a" s touto kolmicí. Z projektivnosti mezi nekonečně
vzdálenými body zmíněných hlavních přímek a mezi body dotyčnými
plyne, že druhé průměty těchto hlavních přímek protínají se v bodě I.
Tudíž jest bodem A , jdoucí hlavní přímka d^ tečné roviny v bodě A1
zobrazena přímkou A /' I .

Rovnoběžka bodem I ku qa" nechť protíná p" v bodě V". Uva¬
žujme V" jako průmět bodu V na p\ pak jest V" I průmětem bodem V
jdoucí hlavní přímky v roviny tečné ku ( pp 1), tedy též ku H v bodě V.
Tudíž náleží tato hlavní přímka paraboloidu H a jest jednou jeho přímkou

ů Poznámka na str. 12.

XLI.

2*

36

vrcholovou. Vrcholová tečna obrysové paraboly prvého průmětu plochy H
prochází tudíž bodem V' a jest kolmá ku o'. Osa g této obrysové paraboly
prochází bodem 1 souměrným ku Ka' dle V'. Střed křivosti Ha' možno
též sestroj iti známým způsobem jako střed křivosti v bodě Ka' této para¬
boly, pro kterou známe tečnu p' a osu. Je-li přímka Ka' Ha' proťata
přímkou g v bodě 2 a rovnoběžkou vedenou bodem 1 ku v' v bodě 3,
jest Ha' = 3 2.

XLI.

ROČNÍK XXIV.

TRlDA II.

ČÍSLO 42.

Ke konstrukci normál bodem mimo kuželosečku.

Podal

vládní rada professor VI NC. JAROLÍMEK.

(Předloženo dne 15. ledna 1915.)

S 2 obrázky do textu vloženými.

Snaha moderních geometrů nese se k tomu, řešiti konstruktivné
úlohy 3. a 4. stupně o kuželosečkách jen přímkami a kružnicemi, tedy
bez rýsování pomocných kuželoseček nebo křivek vyššího stupně. Možnost
tohoto řešení byla ovšem dosud podmíněna předpokladem, že jest narý¬
sována bud jedna daná, anebo aspoň libovolná kuželosečka v téže rovině
ležící. Mnohé tyto konstrukce jsou velmi důmyslné, vyhovujíce po stránce
theoretické k plné spokojenosti. Kdo však konstrukce tyto skutečně vy¬
konal, přesvědčil se, že dávají výsledky namnoze velmi nepřesné, ježto
zobrazené křivky, jichž společné body jsou pro výsledek rozhodující, pro¬
tínají se v úhlech příliš malých. Pro praktickou potřebu jsou pak zajisté
výhodnější pomocné kuželosečky, zejména stačí-li zobrazení jen malých
oblouků jejich, je-li zřejmo, do které asi části nákresny žádaný průsečík
připadne, a je-li úhel průseku pro přesnost postačující.

K nejpřednějším takovým problémům náležejí osy kužele 2. stupně
a normály kuželosečky bodem mimo křivku. Druhým úkolem zabývali se
zejména přední geometrové Šolín, Joachimsthal, Pelz, Sobotka.1) Joachims-
thalova konstrukce jest (po úpravě Pelzově a Sobotkově) poměrně nej-
jednodušší, ale má tu vadu, že vyžaduje všech čtyř průsečíků kružnice,
kterou se úloha řeší, s danou kuželosečkou, a že dva až tři z nich bývají
nepřesné ano že v těch místech obě křivky bez mála splývají v jedno.
Z těchto důvodů předkládám tuto řešení svoje, které sice vyžaduje kon¬
strukcí dosti složitých, ale okolnost tato je vyvážena některými přednostmi:
methoda je zcela jednoduchá, není třeba žádné pomocné kuželosečky, ani
daná nemusí být zobrazena, ale stačí kratičký oblouk její (obr. 2.), jelikož
netřeba než jediného průsečíka kuželosečky s pomocnou kružnicí; veškeré
konstrukce jsou dobře známé a výsledky s dostatek přesné.

ů Pořad chronologický ; prof. Sobotka rozšířil methodu Joachimsthalovu
a Pelzovu i na hyperbolu a parabolu.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 42. i

XLII.

2

Jest pak methoda naše tato: Paty normál a, b, c, d , spuštěných
s daného bodu e na ellipsu (nebo hyperbolu) K, leží, jak po vědomo, na
určité hyperbole rovnoosé H (t. ř. Apollonio vě) , která procházejíc bodem e
a středem s křivky K, má asymptoty rovnoběžné s osami téže křivky.
Tyto paty jsou základní body svazku kuželoseček (K H) ; diagonálně
body x, y, z úplného čtyřúhelníka abcd jsou vrcholy společného polárného

71

X

\ Xv

\

| \
i \

\

//

P ..

Q

.-A"

'' V

*2,

m

V

/'!

/ <

/

/

/

w,

Sfr

' / / '

/ • /
'v /

'/i

él.

' r
/ /

/ /

Obr. 1.

^\F

i Ooo

oo

trojúhelníka svazku, a strany jeho a b, c d ... kollineačními osami křivek
a H. Jmenujme každé dvě z nich, jež procházejí týmž vrcholem troj¬
úhelníka xyz, sdružené. Stačí tedy sestroj iti dvě sdružené osy kollineační
0, 0' (obr. 2.) ; jejich průsečíky s danou kuželosečkou K dají paty žádaných
normál, kteroužto konstrukci vy konat i lze i bez křivky K (centrickou
affinitou nebo kollineací s kružnicí).1) Buď jsou všecky tři družiny os
reálny, nebo jedna; v tomto případě obdržíme dvě (jedna z os O, 0' jde
mimo K), v onom čtyři normály reálné.

Přistupme ku provedení. Kuželosečka K (v obr. 1. ellipsa) bud
dána poloosami s m, s n. Hyperbolu H vytvořují dva projektivně svazky
paprskové o středech s, e , z nichž prvý skládá se z průměrů křivky K,
druhý pak z kolmic, spuštěných s bodu e na průměry k prvým sdružené.
H prochází tedy body s, e a má asymptoty rovnoběžné ku s m, s n. Další
bod g obdržíme v průsečíku F a eg J_ E, jsou-li E , F dva sdružené prů¬
měry v ellipse. Vedeme-li body s, e rovnoběžky k asymptotám, bude
spojnice I II procházeti středem hyperboly u (G. P. I., str. 312), a rovněž
tak: g III II s m, g IV || s n ; průsečík ( III IV, I II) = u. Středem u vedme
asymptoty a sestrojme osy (v obr. 1. jeden vrchol v). Nyní jde o kon-

XLII.

3

XLIT

4

strukci společného polárného A xyz křivek K, H. Aby nebylo třeba rýso-
vati pomocných kuželoseček (dle Steinera), užijeme úpravy Šolínovy
(G. P. IV. odst. 120. c. P). Sestrojme nejprve přímku P, jíž ve svazku
(K H) odpovídá kružnice P0 (obr. 2.) jako křivka sdružená.3) V absolutní
involuci bodové na úběžné přímce vytkněme dvě dvojiny, dvěma pravými
úhly (obr. 1.), na př. Joo, 1' oo na osách K, 2<x> , 2' x na osách H, a sestrojme
k nim póly sdružené podle K, H : 1 (průsečík obou polár k pólu 2a>),
V , 2, 2'. Spojnice nesouhlasných bodů 1 2, 1' 2' protnou se v bodě 3,
spojnice 12', 1' 2 v bodě 4, načež 3 4 = P. Sestrojíme-li k bodům 3, 4
sdružené podle K, H póly 30, 40 (obr. 2.), dostaneme spojnicí 30 40 průměr
kružnice P0 a na něm střed r0. Kružnice P0 prochází vrcholy A %yz a
mimo to i středem u, protože kružnice opsaná kterémukoli polárnému
trojúhelníku hyperboly rovnoosé prochází středem této křivky (G. P. IV.
odst. 104. y). Stanovme dále přímku Q, jejíž křivka sdružená podle K , H
je kuželosečka homothetičká ke K0. Křivky Q0> K vytvořují na přímce
úběžné touž involuci harmonických pólů. Vytkněme dvě její. dvojiny,
nejlépe zase loo , l oo (obr. 1.), druhou pak 5oo, 5' oo na př. na sdružených
průměrech E, F, jež jsou souměrný podle os křivky K. Prvé dvojině
odpovídá sdružená 1, 1' jako nahoře, a body 5ao , 5' oo jsou sdružené póly
ke K, H navzájem, protože E, F jsou také rovnoběžný se dvěma sdru¬
ženými průměry hyperboly H. Spojnice 1 áoo a V 5' oo protnou se v bodě 6,
spojnice 1 5' oo a 1' 5oo v bodě 7, načež 6 7 = Q. Stanovme ku 6, 7 (obr. 2.1
póly 60, 70 sdružené podle K, H; spojnice 60 70 dá průměr křivky Q0, jejíž
střed budiž £0. Křivky P0> K0 protnou se obecně ve čtyřech bodech ; jeden,
sdružený k bodu (PQ), jest nahodilý; ostatní tři dají vrcholy A xyz.
Křivky Q0, homoth etické ke K, netřeba rýsovat i ; stanovme vnitřní střed
podobnosti těchto křivek & tím, že vedeme středem s křivky K průměr
6' 7' || 60 70, omezíme jej pomocí affinity ellipsy K s kružnicí opsanou
nad hlavní osou4) body 6', 7', a určíme piůsečík (6' 60, s0 s) = ca. V téže
soustavě podobnosti sestrojme kružnici P' homologickou ku P0; střed
její z' obdržíme v průsečíku paprsku t0» s přímkou s z' || s0 z0, poloměr
pak z' 4' || z0 40 omezíme paprskem 10 o, a opíšeme kružnici P' poloměrem
z' 4'. Průsečíky křivek (P' K ) budou hcmologické ku *, y. z. Nám postačí
jeden, na př. a k tomu netřeba ellipsy K celé5), nýbrž toliko oblouku

x) Také dr. Klíma řeší úlohu (v Čas. mathem. r. 1913) bez křivky K, za to
však zobrazuje pomocnou hyperbolu (odlišnou od H ).

2) Jarolímek, Geometrie polohy, svazek I.

3) t. j. pohybuje-li se pól po přímce P, vytvořuje pól sdružený (dle K, H)
kružnici P0.

4) Je-li K hyperbola (nezobrazená), sestrojme průměr R sdružený ku 6' V ,
tečnu T || R ke křivce K a její dotyčný bod 6', což vykonati lze bez křivky (po¬
mocí ohnisek) známou konstrukcí elementárnou.

6) Jak žádá na př. K. Pelz ve svém pojednání „Zum Normalenproblem einer
vollstándig gezeichneten Ellipse".

y lii.

nx', který v našem případě je tak malý, že jej lze nahradit kružnicí kři¬
vosti ellipsy ve vrcholu n,1) tak že v celé konstrukci netřeba kuželoseček
(krom kružnic) žádných.

Promítneme-li bod x' z bodu a zpět na kružnici P0f obdržíme vrchol
polárného trojúhelníka x. Sestrojme k pólu x poláru X ellipsy K ,2) která
bude zároveň polárou hyperboly H, a sestrojme z bodu x obě kollineační
osy těchto křivek 0, 0' . K tomu konci sestrojme k libovolnému bodu 8
pól 9 sdružený podle K, H, promítněme je z bodu x na poláru X do bodů
8', 9', stanovme týmž způsobem ještě jednu družinu involuce (8 9)
na přímce X, a samodružné body její o , o' spojme s bodem % ; xo = 0,
xo' = 0'. Nezbývá nežli sestrojiti průsečíky těchto přímek s křivkou K,
jíž netřeba rýsovati ; obdržíme je pomocí affinity ellipsy K s kružnicí
opsanou nad velkou osou, anebo, je-li K hyperbolou, centrickou kollineací
na př. s kružnicí křivosti ve vrcholu hyperboly (G. P. IV. odst. 50.).
Osa O' seče křivku K v bodech a, b, osa O v bodech c, d; spojnice e a,
e b, e c, e d, jsou normál\ žádané. Jde-li jedna z os O, O ' mimo K, obdržíme
toliko dvě normály reálné. Utíná-li O nebo O ' jen malý oblouk z křivky K
a průsečíky jsou tudíž nepřesné, lze tyto obdržeti přesněji samodružnými
body involuce harmonických pólu, kterou na ose kollineační vytvořuje
křivka K) dvě družiny její opatříme si snadno i bez křivky K. Anebo
užijeme jiných dvou os kollineační ch, na př. y a d, y b c.

Při parabole K bylo by také lze této methody užiti; ale známo je,
že paty a, b, c tří normál, bodem e možných,3) leží s vrcholem paraboly v
na určité kružnici L, jejíž střed snadno se stanoví. Ovšem má tato kon¬
strukce zase touž vadu, že dva z průsečíků křivek K, L bývají velmi
nepřesné, na př. a, b (když bod e nachází se vnitř a nedaleko evoluty
paraboly) ; doporučovalo by se tudíž i v tomto případě, sestrojiti dvě
sdružené kollineační osy a c, v b obou křivek (pomocí společného polár¬
ného trojúhelníka) a průsečíky jejich s kružnicí L.

x) Připadne-li x' dále od vrcholu, sestrojíme snadno některý bod ellipsy,
který leží nedaleko kružnice P' , a v něm kružnici křivosti, jež protne P' v bodě xf .

2) Průsečíky poláry X s kružnicí P0 dají ostatní dva vrcholy polárného troj¬
úhelníka y, z, není jich však třeba; ostatně mohou být také imaginárné.

3) Čtvrtá je rovnoběžná s osou paraboly, majíc patu v úběžném bodě křivky.

XLII.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 43.

Revise našich ještěrů křídových.

Napsal

Dr. František Bayer.

Předloženo dne 14. listopadu 1914.

Nejprve musím tu hned předem ohraditi se proti eventuální výtce,
jakoby snad tato moje stručná studie byla také projevem skrovnější piety
k vědecké práci zesnulého profesora dra. Antonína Frice. Právě já spíše
než kdokoli jiný měl jsem příležitost sledovati postup jeho práce, poznati
a oceniti všecko jeho dílo, a nelze také tak snadno zapomenouti na upřímné
projevy uznání, jež jsem slýchal z povolaných úst cizích paleontologů. Ale
na monografii o nových rybách a plazech Českého útvaru křídového1) jsem
uveden jako spolupracovník a tudíž nejsem jen tak zcela sproštěn od¬
povědnosti za to, co v ní jest vytištěno. Známo ovšem, že jsem definitivně
zpracoval jen partii o rybách (str. 3. — 10.) ; ale jako i v této Části měl jistý
podíl profesor FriČ, tak i já zase míval jsem s ním nejednou diskusi o dru¬
hém dílu (od str. 13.), pojednávajícím o plazech. Pokud se určení a výkladu
jednotlivých jejich zbytků týče, nebyli jsme pohříchu všude souhlasného
mínění, ale já dlouho váhal, pronésti veřejně úsudek svůj ; také jsem v ny¬
nějším svém povolání vždy ani nenalezl k tomu nutného času. Ostatně
nesouhlasili v těch věcech s profesorem Fričem dva mužové, jejichžto slovo
má trochu větší váhu, než moje skromné mínění. Arthur Smith Woodward
při své poslední návštěvě sbírek našeho musea v červnu r. 1906 uznal za
správné moje určení těch částí koster obrovských našich plazů křídových,
jež se vůbec dají určiti, a o prof. Seeleyovi praví sám Frič v citované
monografii (str. 21.), že se s ním neshodl ve příčině výkladu problema¬
tických zbytků. A dodává k tomu: ,,Kein einziger von den vorliegenden
Skelettheilen lásst sich mit vollkommener Sicherheit deuten und es bleibt
nichts anderes úbrig, ais zu einer muthmaBlichen Deutung zu schreiten,
die keinen Anspruch auf eine definitivě Losung dieser schwierigen Frage
macht und daher wohlwollend zu beurtheilen ist.“

0 Dr. Ant. Fritsch u. Dr. Fr. Bayer, Neue Fische und Reptilien aus der
bóhmischen Kreideformation. Prag, 1905.

XLIII.

2

Některé zbytky velikých plazů těch přece snad lze poněkud určití,
jakž ještě ukázati se pokusím.

Kromě důvodů právě uvedených zasluhují fragmenty i z té příčiny
nové zmínky, že jsou to zbytky velikých ještěrův, u nás neobyčejně vzác¬
ných. Ne každý, kdo by se o ně zajímal, pořídil si monografii Fričovu.
Veliké finanční oběti, s nimiž bylo spojeno vydávání větších jeho prací,
nebyly v nižádném poměru s jich odb}dem.

* *

*

Rekapitulujme tu nejprve stručnou historii nej důležitějších nálezův
a uveďme příslušnou literaturu (mimo zprávy antikvované nebo zatímná
sdělení) .

Ve své první monografii o plazech a rybách českého útvaru křído¬
vého2) Frič uvádí kromě želvy Chelone Benstedi Ow.3) zbytky dvou velikých
ještěrů, Polyptychodon interruptus Ow. a Iguanodon (?) exogyramm Fr.
Z prvého popsal a vyobrazil zuby a obratel (tab. I. fig. 1. a 2.) a činí
zmínku o fragmentech čelisti a čelní kosti. Nevím, náleží-li obratel tomuto
rodu vůbec; podobáť se málo obratlům Plesiosaurií.4) K těmto zbytkům
přibyly později úlomek lebky od Zámostí (v Mladoboleslavsku), jejž jsem
svého času popsal,5 6) pak kamenná výplň mozkové dutiny z Bílé Hory,
FriČem popsaná a zobrazená (pag. 16. — 18. ; tab. 9. fig. 1., 2. a 3.). Vzhle¬
dem k velikosti zubů a fragmentů lebky pochybuje Frič, náleží-li r. Poly¬
ptychodon k Plesiosauriím vůbec; leč angličtí autoři jej tam řadí stále,
zajisté právem — konečně nejsou v této skupině jen plazi s dlouhým krkem
a malou hlavou (na př. Plesiosaurus, Cimoliosaurus) , ale také formy s krát-

2) Dr. Ant. Fritsch, Die Reptilien und Fische der bohmischen Kreideformation.
Prag, 1878.

3) Správně Euclastes Benstedi Ow. (sp.). Z titulu této studie patrno, že tu
o želvách mluviti nehodlám. Ostatně jest druh právě uvedený přesně určen a rovněž
tak jest oprávněn Laubeův druh Pygmaeochelys michelobana. Ze druhu Chelone (?)
regulavis Fr. popsána1) a zobrazena problematická kost z končetiny (tab. 8., fig. 10.),
jež vlastně není leč odlitek negativu té kosti, pak část štítu (str. 18.), jíž také nelze
bezpečně určití a zařaditi. — Z ostatních plazů rovněž netřeba znova činiti obšírné
zmínky o popsaných posud zbytcích druhu Ornithochirus ( Cretornis ) Hlaváči Fr. (sp.),
nyní definitivně (i Fričem) mezi Pterosauria zařáděném. — A co souditi o křídovém
zbytku r. Lacerta od Nebužel, pověděl jsem ve svém ,, Katalogu českých fossilních
obratlovců" (1905; str. 68.).

4) Srovnej: Seeley, On an associated series of cervical and dorsal vertebrae of
Polyptychodon etc. (Quart. Journ. Geol. Soc. London, XXXII. 1876). — W. Kipri-
janow, Studien uber die fossilen Reptilien Russlands (Mémoir. Acad. Imper. des
Sciences de St. Pétersbourg, XXXI. 1883). Do skupiny Thaumatosauria klade Kipri-
janow rody Polyptychodon, Thaumatosaurus a svůj nový rod Lútkesaurus (= Poly¬
ptychodon dle Lydekkera). Z rodu Polyptychodon (a Lútkesaurus) uvádí, po případě
popisuje zuby, fragmenty lebky a snad i žebra (Owen), obratle a kosti ploutve přední

(humerus) i zadní (kůstky tarsální; snad i os ilei).

6) Ještěr Polyptychodon Ow. Nový nález. Věstník král. české Společnosti
nauk 1897,

XLIII.

3

kým krkem a velikou hlavou (Pliosaurus; ovšem zatím rod jurský). Kipri-
janow také charakterisuje skupinu Thaumatosauria (z Plesiosaurií) tím,
že mají toho druhu ještěři krátký krk, hlavu velikou a těžkou (asi jako
vorvani), silné, kuželovité zuby v alveolách, krátké, mělce bikonkávní
obratle a dlouhé kosti končetin bez dutiny morkové.4) I Lydekker6) vý¬
slovně. dodává, že měl r. Polyptychodon hlavu velikou.

Ze druhého ještěra ( Iguanodon ? exogy varům) popsal a zobrazil Fric
r. 1878 (tab. I. fig. 4. a 5.) kamenné jádro z dutiny veliké kosti, jež prý
se podobá holenní kosti Iguanodontů. Kromě této kosti dostala se z téhož
naleziště (z Holubic) do musea jiná kost z končetiny, zobrazená v naší
monografii1) na tab. 8. (fig. 9.). Obou kostí nelze určiti již z té příčiny, že
nemají apofys; také nové jméno Procerosaurus exogyrarum, Fricem1) pro
ně navržené, nepraví ničeho o jich příslušnosti neb umístění v soustavě
plazů. Že nejsou kostmi Iguanodontů, potvrdil FriČovi sám Dollo. Ani
nelze říci, náležejí- li opravdu nějaké formě Dinosaurií vůbec.

V pozdějších svých ,, Studiích v oboru křídového útvaru v Čechách447)
uvádí Frič nejprve (IV.) několik článků prstů velikého ještěra od Lahoště
u Teplic (str. 59. obr. 21.), o nichž píše, že náležejí snad rodu Plesiosaurus,
a srovnává je se saským, Geinitzem popsaným druhem P. Bernardi Ow.
Již ve svém seznamu křídových plazův a ryb8) upozornil jsem na to, že
analogické nálezy z tohoto útvaru mají býti počítány k rodu Cimoliosaurus
Lyd. a FriČ ve své pozdější monografii1) uvádí Geinitzův nález jménem
C. Bernardi Ow. (sp.), ale Lahošťské kůstky popisuje jinde, pode jménem
Hunosaurus Fasseli Fr. (v. t.), ježto prý spíše náležejí nějakému Mosasauru.
O tom ještě promluvíme.

Z Březenských vrstev uvedl Frič nejprve7) porušený článek prstu,
fragmenty plochých kostí a jiné drobty ze Srnojed, jež r. 1895 označil
jménem Iguanodon (?) albinus Fr. V pozdější monografii1) dal jim jméno
Albisaurus scutifer Fr. (pag. 30.), ježto prý jich k Iguanodontům řaditi
nelze. Ale Dinosauria Ornithopoda, k nimž tu Frič přece zbytky tyto za¬
řadil, nemají kostry kožní, kteráž z Dinosaurií jen u skupin
Stegosauri, Ceratopsia a Theropoda (p. p.) bývá nalezena ; na tyto skupiny
však při našem nálezu pomýšleli nelze. Definitivní jeho pojmenování jest
až do příštích nálezů nemožné.

* *

*

Z ostatních Fričem popsaných forem1) beze sporu k Plesiosauriím
náležejí fragmenty označené jménem Cimoliosaurus lissaensis Fr. (1. cit.
pag. 15.) ; i prof. Seeley potvrdil, že tu jde o zbytky nějakého druhu té

6) Lydekker, Catalogue of the fossil Reptilia and Amphibia in the British
Museum. II. 1889.

7) IV. Teplické vrstvy. 1889. — V. Březenské vrstvy. 1895.

8) Kritický seznam plazův a ryb českého útvaru křídového. Věstník. Č. Aka¬
demie, V. 1896.

XL1II.

4

skupiny soustavné. Jest to nejprve silná kost z končetiny (femur nebo
humerus; tab. 6., fig. 6. — 8.; tab. 9. fig. 4.), "pak plochá kost (tab. 9. fig.
5. — 7.), jíž blíže určiti nelze; výkres její (fig. 5.) není také zcela přesný.

Jen mezi plazy šupinaté (Squamata), nejprve beze všeho bližšího
určení, zařadil Frič nej důležitější nález, druh Iserosaurus litoralis Fr. ;
ke konci popisu jeho připomíná, že jest asi příbuzným s Mosasaury, ale
tuto domněnku opřel jen o domněnku jinou, pohříchu neudržitelnou.9)

Jde tu o kosti velikého ještěra, r. 1899 v lomu u Milovic nalezené,
jichž většina jest ve sbírkách musejních zalita v sádru a pospolu montována
v rámci (v textu obr. 18). Mimo kosti tu i na tabulích zobrazené jsou v záso¬
bách sbírek uloženy tři ploché kosti, z nichž jedna s okrajními výběžky,
druhá užší, se zřetelnou hlavicí kloubní, tedy zajisté z končetiny,10) a to
bez pochyby z končetiny přední.

Odlitky kostí byly Fričem poslány do Ameriky a prof. Seeleyovi do
Londýna; ale nejmenovaný znalec zámořský (zajisté Osborn) vyslovil se
o nich v ten rozum, že zatím nedají se přesně určiti, a mínění Seeleyovo
již tu bylo citováno.

Fragmenty jsou zobrazeny na tab. 5., 6. a 9. Pohříchu nejsou všecky
výkresy zcela přesné; zejména obr. 1. na tab. 5. jest kreslen jen podle
sádrového odlitku, a to ještě ne zvláště dokonalého. V popise praví Frič
(str. 20.), že kosti na první pohled zdají se náležeti končetinám, a to je
také zcela správné. Pak ale je popisuje jako kosti lebečné a v tom se sním
Seeley ovšem nemohl srovnati. Ještě nejspíše lze přisvědčiti tomu, že
ploché kosti s rýhami po cévách, zobrazené na tab. 6. (fig. 2. a 3.), ]sou
krycí kosti s temene lebky. Ale srovná-li kdo na př. obraz 1. na tab. 5.
s odlitkem, podle něhož jest kreslen, a s kostí na textovém obr. 18. (str. 20.)
dole v levém rohu, z níž byl odlitek upraven, vzniknou první pochybnosti.
A ty se množí, prohlédneme-lisi jednotlivé kosti a textový obr. 23. (str. 23.),
rekonstrukci lebky, do níž Fric kontury jednotlivých kostí zakreslil. Ani
nás nepřesvědčuje srovnávání jich s analogickými částmi lebek u r. Tylo-
saurus, Mosasaurus, Platecarpus a j., ježto Frič dle vlastního doznání
srovnával mílovické kosti jen s výkresy těch plazů v příslušné literatuře.

Nebudeme tédy šíře citovati popis lebky, jak jej Frič podává (str. 21. až
24.), ale povíme vlastní mínění o jednotlivých kostech, k němuž jsme došli
bedlivou prohlídkou a srovnáním.

Nejprve jest zřejmo, že dlouhá kost, zobrazená na tab. 5. (fig. 4.),
není pterygoideum lebky, nýbrž proximální kost z končetiny ještěra ze
skupiny Plesiosaurií. Také druhá delší, ale prohnutá kost (tab. 5. fig. 3.)

9) Nejprve (str. 21.) pronáší ovšem mínění, že kosti náležejí ještěru příbuznému
s Mosasaury nebo s Plesiosaury; ale na str. 25. výslovně jej řadí jen v pří¬
buzenstvo Mosasaurů.

10) Srovnej končetinu r. Polycotylus Cope (Sauropterygia ! ) v díle: E. D. Cope,
The Vertebrata of the Cretac. formations of the West (Unit. St. Geol. Survey. Vol.
II. 1875.).

XLIII.

nenáleží dolní čelisti (jakožto coronoideum), ale také končetině ; připomínáť
dle mínění profesora Seeleye, Fričem uvedeného (str. 24.), humerus
Nothosaura (rovněž z Plesiosaurií) .

A ploché kosti, pokud je vůbec lzeurčiti, zejména obr. 1., 5. a 7. na
tab. 5., pak obr. 1. a 5. (sub. p) natab. 6., nejsou frontalia nebo articulare
a subarticulare dolní čelisti, ale zajisté fragmenty kostí z pásma lopatko¬
vého, především korakoidu. Štíhlejší kosti (na př. tab. 5. fig. 2. ; tab. 6.
fig. 1. sub m) zase za žebra možno pokládali. V tom s FriČem souhlasíme,
že před novými, lépe dochovanými nálezy kostí všech přesně určiti nelze.
I tu platí nejen ,,mostly fragmentary", ale zároveň ,,indeterminable.“

Fričova diagnosa zvláštního nějakého rodu Iserosaurus (loc. cit.,
str. 21.) tedy odpadá.

Také diagnosy druhého nového r. Hunosaurus Fr. x) nebylo třeba
uváděti (str. 25.), ježto se vztahuje jen k těm kostem velikého ještěra
(druhu Hunosaurus Fasseli Fr.), jež v lomu u Hudcova (Hundorf ; u Teplic)
byly nalezeny, totiž k obratlům s horními oblouky, k žebrům, a jedinému
fragmentu silné kosti z končetiny; jest to zajisté kost proximální, a Frič
sám správně dodává, že nelze rozhodnouti, je-li to humerus či femur.

Obratle jsou lépe zachovány ; jsou mělce bikonkávní, jako u Četných
Plesiosaurií (viz na str. 26. v textu obr. 26. ; ve fig. 1. na tab. 7. nakresleno
jest šikmo posunuté tělo obratle), a také jinak neliší se od obratlů jiných
jestěrů ze jmenované právě skupiny, i netřeba jich právě srovnávati
s výkresy obratlů r. Platecarpus. Vždyť Mosasauri mají obratle procoelní
a horní oblouky s tělem obratle pevně srostlé, kdežto u Plesiosaurií
bývají tyto dvě Části obratlů spolu spojeny volněji, někdy švem, takže
se pak snadno oddělí, jak to v díle Fričově na př. i na tab. 7. (fig. 1.) jest
zobrazeno. Také fragmenty žeber (v textu obr. 28. na str. 27.) nepodobají
se žebrům Pythonomorph ; Mosasaurus a rody příbuzné mají žebra sice
také o jednoduché hlavici, jako Plesiosauria (námitka Fričova na str. 28.
v ř. 13. a 14. tedy odpadá), ale žebra jsou válcovitá, nikoli tou měrou se
stran smáčklá, jak patrno na citovaném Fričově obrazci v textu (str. 27.
B). Také sotva lze s apodiktickou jistotou tvrditi, jsou-li to žebra ze střední
nebo zadní končetiny hrudníku.

Jak bylo již řečeno, řadí Frič1) ke svému druhu Hunosaurus Fasseli
také podlouhlé, uprostřed štíhlejší kůstky z končetiny, nalezené v blízkém
lomu u Lahoště (u Teplic), jež ve své studii o Teplických vrstvách7)
srovnával s Geinitzovým druhem Plesiosaurus Bernardi. Nejsou to ovšem
metapodiala (v textu své monografie z r. 1905 na str. 28. zove je meta-
carpalia, pod obr. 29. pak stojí označení ,,metatarsus“), nýbrž články
prstů, kůstkám toho druhu u některých Plesiosaurií právě z r. Cimolio-
saurus velice podobné. Pro blízkost obou nalezišť (Hudcova a Lahoště)
bylo by možno týmž právem tvrditi, že ostatní zbytky r. Hunosaurus také
sotva třeba jinam řaditi.

XLIII.

6

K Mosasaurům ( Hunosaurus ?) klade Frič1) také fragment kosti,
zobrazený na tab. 8. (fig. 11.), z opuky od Přibylova; praví o něm (str. 29.),
že jest to asi os ilei, ježto prý se podobá toho druhu kosti u r. Tylosaurus,
Clidastes a Platecarpus (dle cizích výkresů koster těchto plazů). Již za
návštěvy A. Smith Woodwarda v musejních sbírkách v květnu r. 1897
byl jsem přiveden na myšlenku, že by to mohl býti konec dlouhé kosti
z končetiny nějakého Ornithochira, ovšem nikoli humerus nebo články
prodlouženého prstu předního; ve své zprávě o cestě do Londýna11) jsem
pak také uvedl, že tu jde skutečně o dlouhou kost z končetiny jmenovaného
tu rodu Pterosaurií.

Kam by rod Hunosaurus vlastně náležel, Frič výslovně a určitě
neuvedl; naznačil jen, že jest příbuzný s Mosasaury. K tomu již vzhledem
k úpravě obratlův a žeber, pak k povšechnému rázu a i zevnějšku kostí
přisvědčiti nelze. V cizích museích vystavené kostry nebo jich části z uve¬
dených rodů Clidastes, Platecarpus a j. vyhlížejí docela jinak, než naše
fragmenty rodů, nazvaných Iserosaurus nebo Hunosaurus.

Kromě ještěrů v monografii Fričově1) uvedených mají sbírky musejní
ještě dvě skupiny fragmentů, v sádře a v rámci montovaných, posud ne¬
popsaných. Frič dal jedněm těm zbytkům jméno Cimolisaurus teplicensis
Fr., ježto pocházejí také od Hudcova u Teplic, druhým (od Chrasti) pak
jméno Cimoliosaurus vicinus Fr.

Z prvého druhu zachováno zejména něco plochých, větších i menších
kostí, z nichž největší asi náleží pásmu lopatkovému, pak krátké obratle,
připomínající obratle Plesiosaurií; ze druhého jsou tu rovněž ploché kosti
různé velikosti, obratle, pak několik dlouhých kůstek a jiných drobnějších
fragmentů. K rodu Cimoliosaurus možno je snad počítati, ale druhů stano¬
vili netřeba. Není to vlastně ani možno ; vždyť je tu jen něco úlomkův a to
ještě nevalně zachovaných.

*

Z toho, co tu bylo uvedeno o jednotlivých fragmentárních zbytcích
ještěrů křídových, jest patrno dvojí. Nejprve, že před dalšími nálezy lépe
zachovaných částí koster nelze vlastně zcela přesně určiti, kterému druhu
nebo rodu většina zbytků náleží; po druhé, že právě pro tuto příčinu ne¬
třeba dávati všem těm fragmentům určitá, i druhová jména jen z té příčiny,
aby jaksi byly fixovány v literatuře.

Obě shora uvedené křídové želvy sluší pokládati za bezpečně určené
a jména jejich tudíž za oprávněná. Také není pochybnosti, že to, co po¬
psáno u nás pode jménem Ornithochirus, jsou zbytky tohoto rodu Ptero¬
saurií, k němuž i kost z Přibylova (u Friče Hunosaurus?) náleží. Z ne-
četných posud nálezů nelze však usouditi, je-li nezbytně nutno dávati jim

n) Zpráva o studijní cestě do Londýna. Věstník České Akademie, VII. 1898

XLIII.

7

zvláštní druhové jméno O. Hlaváči Fr. (sp.) a nenáležejí-li fragmenty
jinému, již před nálezem choceňským popsanému druhu toho rodu.

Co bylo popsáno u nás z rodu Polyptychodon, může právem podržeti
toto jméno, vyjma snad obratel, Fricem2) zobrazený. Byla by opravdu na
snadě domněnka, nenáležejí-li tomuto rodu velikých ještěrů křídových
všecky ty naše fragmenty, jimž dal Fric jména Iserosaurus a Hunosaurus,
ale pokud nebude i v cizině z Polyptychodontů bezpečně známo a určeno
víc, než co tu posud bylo uvedeno,4) bude nutno váhati s definitivním
zařazením problematických, právě jmenovaných ještěrů k Owenovu rodu
Polyptychodon, dle Lydekkera6) s rodem Cimoliosaurus příbuznému, ale
lišícího se od tohoto rodu Plesiosaurií především velikou hlavou. Iserosaurus
i Hunosaurus jsou dle mého přesvědčení nesporná Plesiosauria, a ježto
u nás v křídovém útvaru nade vši pochybnost zjištěn opravdu rod Cimo¬
liosaurus Lyd., nepochybíme zajisté, označíme- li vše to, co posud u nás
určeno a popsáno jako Cimosliosauru, Iserosauru a Hunosaurus, jménem
Cimoliosaurus sp. Ovšem do té doby, pokud nebude možno na základě dal¬
ších nálezů stanovití také příslušnost druhovou ; neníť hromadným jménem
rodovým řečeno, že by všecky ty zbytky náležely jedinému z četných
posud známých druhů tohoto rodu.

Byly tedy posud v našem útvaru křídovém nalezeny z plazů jen
zbytky želv, Plesiosaurií a Pterosaurií, ale zajisté nikoli Mosasaurií.

Zbývají ještě fragmenty, jež označil FriČ jmény Albisaurus scutifer
a Procerosaurus exogyrarum. Ty také o\šem i dále zůstávají naprosto
problematickými .

XLI1I.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 44.

Několik poznámek k morfologii larev Dipter.

Podává

Ant. Vimmer.

(S 18 obrazci v textu.)

Předloženo 30. listopadu 1914.

I. O trachealní soustavě.

Všeobecně je známo, že larvy dipter dělí se dle umístění stigmat
na peripneustické , amphipneustické a metapneustické.

Umístění stigmat ku klassifikaci larev využil B r a u e r (1882)
ve své velké práci o larvách dipter, kteráž byla prvou soubornou prací
o larvách vůbec. Ač Brauer nervovou soustavu larev znázornil jasnou
a přehlednou tabulkou, o soustavě trachealní takřka ani nepojednal.

Poměrně nej bohatší žeň poznatků o trachealní soustavě zanechali
nám Dufour (1839) a Perris (1870), takže oba lze považovati
za průkopníky, kteří pomáhali budovati nauku o trachealní soustavě
larev dipter vůbec. Ze starších autorů třeba ještě jmenovati Bouchá
(1830).

Jejich instruktivní obrázky zřetelně poučují, že trachealní soustava
metapneustických i amphipneustických larev skládá se ze dvou podélných
hlavních kmenů a že larvy z čeledě Mycetophilidae mají hlavní kmeny
spojeny silnými komissurami. Tím byly již zhruba naznačeny hlavní typy
trachealní soustavy, a to trachealní soustava larev primitivních a vývojem
zjednodušených stru sek.

Weismann, Kowalevský a Pratt1) studujíce postembryo-
nální vývoj much, dotekli se vzniku trachejí.

Pokud sahají naše zkušenosti, můžeme tvrditi, že je málo larev dipter,
jimž by absolutně chyběly tracheje. Tak z plovacích měchýřů Corethrv,

x) Obsáhlá práce Grabrova pokládá se za pochybenou.

Rozprava: Roč. XXIII. Tř. II. Čís. 44.

XLIV.

1

2

jež jsou podstaty trachealní, vybíhají přece jenom větévky trachejí, byťby
třeba velmi jemné. Lumen jejich vyplňují sloupečky vzduchu, což je zře¬
telně viděti na vyobrazeních Meinertových. Keřík z trachejí vyskytuje se
také v předních partiích těla larev Chir onomu, ač dýchají žaberními pří¬
věsky (Meinert). Způsob dýchání Chironomů případně vystihli Miall
a Hammond.

Vskutku jen nepatrný zlomek larev dýchá branchialními přívěsky.
Jsou to zvláště larvy Chironomů, larvy rodu Ulomyia z čeledě Psychodidae,
larvy Blepharocerid a larvy rodu Dicranota z čeledě Limnobidae.

Hodně světla na soustavu trachealní vrhly také monografie larev
jednotlivých druhů, neb vyšších skupin. Meinertovi (1886) vděčíme
za popis dýchací soustavy v larvách vodních, komárovitých Eucephal.
Dle jeho výzkumů lze říci, že larvy těchto vodních Eucephal dýchají
většinou metapneusticky mimo rody Simulium a Chironomus. Blízkost
svou k larvám primitivním prozrazují larvy rodu Simulium a
jejich hlavní kmeny jsou spojeny sice tenkými komissurami, ale přece
jenom komissurami.

Naše poznatky o soustavě trachealní značně rozšířili W a h 1 (1899)
a de Meijere (1900). Prvý pečlivě probádal larvy rodu Eristalis.
Při tom popsal rozvětvení trachejí a vyložil, které to větve zásobují
vzduchem ty a ony části těla, čili přičinil se o topografii soustavy vzduš¬
nicové. Dále potvrdil, že část trachejí při proměně přejde ve stav kukly
a imaga tím, že se renovují. Jejich larvální buňky totiž obmění se v menší,
tak zvané ,, embryonální'*, jež snáze odolávají sarcolyse a phagocytose.
Ta část trachejí, jejichž epithel se nerenovoval, při kuklení zajde. Mimo
to luštil Wahl \ztah imaginálních terČků k trachejím a přesvědčil se, že
terčky vznikají tam, kde některé kapillary vzdušnicové inserují k pokožce.

De Meijere podrobně nakreslil vzdušnicovou soustavu rodu
Lonchoptera a dle četných příkladů dovodil, že stigmata larev dvou¬
křídlého hmyzu jsou stigmaty složenými.

Pro topografii trachealní soustavy larví není bez významu fakt,
jejž se podařilo odkrýti T 6 1 g o v i. Týž totiž nalezl v larvách II. stadia
druhu Billea pectinata Mg. (z podčeledě Dexinae) dvě komissurv, jež
spojují oba hlavní kmeny trachealní.

Konečně třeba vytýčiti K e i 1 i n ů v objev žláz stigmatických (1912),
jichž posud nikdo neuvedl. Keilin nalezl je pod prothoracalním stigmatem
na larvě 1 richocera. Ovšem, že řezu nenakreslil, takže nelze bezpodmínečně
říci, že nakreslený útvar je žláza.

Na základě právě uvedeného historického úvodu možno posavadní
znalosti o trachealní soustavě larev dipter shrnouti v následující stručné
these:

1. Tracheje jsou vchlípeniny pokožkové.

2. Část se jich při vývoji larvy v kuklu renovuje.

XLIV.

3

3. Primitivní larvy mají hlavní kmeny trachejí spojeny příčními
komissurami.

4. Strusky jako vývojově pozdější dýchají dvěma podélnými kmeny
trachealními, jež bud spojuje jedna neb dvě komissury.

5. Podél hlavních kmenů probíhají u četných larev kmeny vedlejší.

6. Kapillary trachejí jsou v určitém vztahu k imaginalním terčkům.

7. Stigmata larev dipter jsou složená. Mezi stigmatem a trachejí
bývá plsťová komora.

8. Pod některými stigmaty mohou býti žlázy stigmatické (?).

9. Buduje se topografie soustavy trachealní.1)

Ke všem tuto postaveným thesím je třeba ještě nových a nových
dokladů, z nichž některé níže následují. Poněvadž ale při zkoumání larev
objevily se ještě málo známé neb posud neznámé zjevy souběžné, nepustil
jsem jich se zřetele a uvedu je jako dodatky.

Trachealní soustava larvy druhu Phytomyza xylostei K a 1 1 b.
skládá se ze dvou hlavních kmenů (obr. 1.), jež spojuje toliko komissura
zadní (obr. 2. z. k). Blízko dští komissury odbočuje ze kmenu po jedné tra¬
cheji (obr. 2. v.), kteráž se rozvětvuje v kapillary, jež zásobují vzduchem
11. Článek těla. Za komissurou proximálně odvětvují se a probíhají dor-
sální Části těla larvího dvě tracheje, které postupují souběžně s hlavními
kmeny a míří k tukovému tělesu, aby mu přinesly potřebného vzduchu.
Tyto dvě tracheje, jak ještě později bude doloženo, vyskytují se pravidlem
v trachealní soustavě larev z podfádu Cyclorrhapha. V larvě Phytomyzy
však vystupuje z oblouku laterálního ještě po jedné podobné větvi, ztráce¬
jící se brzy uvnitř těla a vinoucí se k dalším shlukům tukových těles.
Ostatní dorsální větve vnitřní mezi kmeny hlavními přivádějí vzduch
kůži, svalům a srdci. Blíže předních stigmat vybíhá z hlavních kmenů
po třech větvích, zpočátku těsně vedle sebe se vinoucích, jež opatřují vzdu¬
chem 1. Článek hrudní a Článek hlavy (obr. 1. a 3.: I., II., III.). Sedm late-
rálních oblouků (obr. 1. p. p.) tvoří dohromady poboční kmen. Tento korre-
sponduje s hlavním kmenem dosti silnými větvemi. Z každého oblouku
vedlejšího kmene vybíhá vpředu po 2, vzadu po 3 vzdušnicích, hlavně
k ventrální Části těla. Tyto vnější vzdušnicové větve vysílají větévky
do vnitř těla, ku zažívací rouře, jež je kapillarami hustě opletena. Do
přední Části těla v okolí prvé panožky vniká trachealní větev přímo z hlav¬
ního, nikoli z vedlejšího kmenu; v podkožních svalech se mnohonásobně
rozvětvuje v jemné kapillary, jež se dotýkají až buněk hypodermálních.

Trachealní soustava larvy druhu Phytomyza xylostei podobá se
značně soustavě, jak ji nalezl v larvě Lonchoptery de Meijere. Má také
vedle dvou hlavních kmenů dva kmeny vedlejší, jež korrespondují s hlavním
kmenem prostřednictvím vnějších větví, ba ani boční větve larvě Phy to-

1 These fysiologické pouštím se zřetele, poněvadž pojednávám jen o mor¬
fologii.

1*

XLIV.

4

Tah. I.

l.,2.,3. Phytomyza xyíostei. 1. Boční pohled na trachealní soustavu, z. k. = zadní
komissura, I., II., III. trachealní větve hlavy.

6. Helomyza; a = lateralní, b = dorsalní pohled na tracheje.

7. Vermileo; hlavní kmen s vnějšími větvemi.

š 11. Schéma trachealní soustavy larev hmyzu dvojkřídlého ; a) primitivní, f) g)
nejvíce redukované.

XLIV.

5

xnyzy nechybí. Za to nemá larva Lonchoptery oné samostatné Větve, jež
odnožu je přímo z hlavního kmene a přivádí vzduch ventrální části hrudi.
Celkem trachealní soustava Lonchoptery jeví se primitivnější než u Phyto¬
myzy, neboť při prvé spojuje oba hlavní kmeny přední i zadní komissura,
mezi nimiž vinou se příčné tenké větévky sice křivolaké, ale přece zřetelně
nesoucí na sobě ráz původních komissur primitivních larev. — Stigmata
této larvy důkladně prostudoval Trágardh,l 2) proto se o nich nezmiňuji.

V podobném oekologickém prostředí jako larva Phytomyzy žije

1 larva rodu Ptiolina (obr. 4.). Obě totiž vyhlodávají listy, jenže Phytomyza
zimolezové (Lonicera) a Ptiolina jatrovkové (Marchantia) . Poněvadž
v literatuře nenalezl jsem ani popisu ani vyobrazení dýchací soustavy
larvy Ptioliny, promluvím o této soustavě poněkud obšírněji.

Jako při většině muších larev, jež dýchají amphipneusticky, táhnou
se tělem i této larvy dva podélné hlavní kmeny trachealní od předního
stigmatu k zadnímu. Oba kmeny spojuje zřetelně vyvinutá přední komis¬
sura ; v trachealní soustavě Phytomyzy j est j en zadní, v soustavě Lon¬
choptery zadní i přední komissura. Devět vnitřních dorsálních trachejí
(obr. 4. dv.) bohatě se rozvětvují v celé dorsální části těla. Spojujíce oba
hlavní kmeny mezi sebou, připomínají zakrsalé komissury jako je tomu
v larvě Lonchoptery. Z nepravých komissur vybíhá po 4 větévkách neb
6 větévkách (na vyobrazení jest jich viděti jen polovici na straně levé),
mířících ku předu a po dvou neb jedné vinoucí se do zadu, mimo to při
počátku každé vnitřní větve vysílá hlavní kmen směrem dorsálním po

2 větvičkách. Vedlejší kmeny jsou velmi křivolaké a v každém článku,
ležícím mezi stigmatem předním a zadním, korresponduj í při basi článku
silnými větvemi vnějšími s hlavním kmenem. Ač napohled zdá se, že tvoří
větve a větvičky trachejí spleť velmi nepravidelnou, přece po bedlivém
prohlížení objeví se oku jistá pravidelnost jako v dýchací soustavě Phyto¬
myzy a Lonchoptery. Z každého oblouku vedlejšího kmene vystupuje vně
směrem ventrálním po třech v předních článcích a po čtyřech větvích
v zadních článcích (obr. 4.), kteréžto větve svými odnoži a kapillarami
opředou dokonale veškery organy ve článku, jemuž přísluší. Větve s těmito
homologické lze najiti také v trachealní soustavě larev Lonchoptera
i Phytomyza, jenže po třech a po 2 nikoli po třech a čtyřech. Rozdíl také
jeví se v počtu vnějších větví (větve, jež spojují vedlejší kmeny s hlav¬
ními), při Phytomyze napočítal jsem jich sedm, při Lonchopteře 8, při
Ptiolině 10.

Části těla mezi hlavními a vedlejšími kmeny vzduchem zásobují
větvičky trachealní, jež vybíhají z vnějších větví. Větévky tyto (obr. 4. v.)
přivádějí vzduch zažívací rouře a tukovým tělesům.

Hlavu vzduchem zásobují tři větve tracheje (obr. 5.), kteráž vy¬
stupuje blíže přední komissury z hlavního kmenu; spodní větévka této

l) Viz seznam literatury.

XLIV.

6

tracheje obrací se zpět proximálně do částí těla v okolí předních stigmat.
Ač u Phytomyzy do článku hlavy vinou se tři tracheje, u Lonchoptery
pak jen dvě, přece nechybí ani těmto spodní větévka proplétající se tělem
v okolí přední komissury. De Meijere našel, že z přední komissury u Lon¬
choptery vybíhají dvě větvičky směrem distalním, já pak nalezl v larvě
Ptioliny dvě větvičky, jež se vinou směrem proximálním, tedy opačně.

Přední stigmata mají komoru plsťovou podoby hruškovité; na ní
sedí terček s ostiemi. Podařilo se mi zjistiti jich toliko po třech. Zadní
stigmata sedí v mírné prohlubince těsně vedle sebe, jsou na obvodu vy-
stužena radiálními přejemnými tyčinkami s chitinu a mají po 2 dýchacích
štěrbinkách; jejich plsťová komora je velmi kratičká a neliší se tak ná¬
padně od trachejí jako tatáž na předních stigmatech.

Značně tlusté hlavní trachealní kmeny mají larvy rodu Helomyza
(obr. 6.). Oba kmeny spojuje toliko 'přední komissura, tedy právě tak,
jako při larvách z rodu Ptiolina. Vnitřní větve vyskočí z hlavního kmenu
v předcházejícím článku (obr. 6b), běží šikmo do středu a sbíhají se na
hranicích následujícího článku, kde se jemně rozvětvují; kapillary vinou
se tak blízko sebe, že ještě při značném zvětšení vypadají jako srostlé.
Celkem jest jich 8 párů. Vedlejší kmeny spojuje s hlavním kmenem též
8 párů vnějších větví. Z vedlejších kmenů v jednotlivých článcích vy¬
růstá po 2 větvích trachealních, které přivádějí vzduch do ventrálních
částí těla. Počet těchto větví málo kolísá: u larvy rodu Helomyza je jich
po 2, u larvy druhu Phytomyza xylostei v předu po 2, v zadu po 3, v larvě
rodu Ptiolina v předu po 3, v zadu po 4. I počet párů vnitřních větví
je různý: u Helomyzy 8, u Ptioliny 10, u Phytomyzy 7 párů; při tom
jest třeba pozor míti, aby se nečítaly větve vinoucí se do hlavy a větve
vybíhající zpět do posledního článku.

Přední stigma je válcovité a prstovitě rozvětvené v jednotlivé nosiče
pupenů s dýchacími štěrbinami. Je mnohem tlustší než krátká plsťová
komora, na jejímž temeni sedí.

Zadní stigma je normální složené stigma, jakéž se vyskytuje na
struskách muších vůbec. Ke sloupku připojují se tři pupeny s dýchacími
štěrbinami ledvinko vitými. Štěrbiny jsou opatřeny peritrematy s příč¬
nými chitinovými můstky. Pod pupeny přisedá k mohutné tracheji plsťová
komora dosti krátká.

Z úboru heřmánku obdržel jsem mladé larvy z rodu Trypeta. Larvy
měly již obě stigmata mezi nimiž probíhaly oba hlavní kmeny trachealní.
Poznav v larvách stadia vskutku mladá, pilně jsem pátral po jejich ko-
missurách v naději, že najdu v nich jako Dr. Tolg v larvách druhu Billea
pectinata přední i zadní komissuru. Leč marně. Pokaždé mohl jsem zjistiti,
že jen zadní komissura spojuje oba hlavní kmeny trachealní. Nápadným
zjevem bylo mi, že mezi kmeny probíhá velmi málo vnitřních větví. Za
zadní komissurou odnožuje se pár větví, jež zabočí do vnitř mezi hlavní
kmeny a postupuje s nimi skoro rovnoběžně. Asi uprostřed hlavních kmenů

XLIV.

7

vybíhá z nich další pár větviček; konečně před stigmaty předními od¬
větvuje se trachea, jež se obloukovitě zahne zpět proximálně jako v larvách
rodů Phytomyza, Ptiolina a Lonchoptera ; tato vysílá pak větev do přední
hrudi a do části tak zvané hlavy.

Prosté rozvětvení lze znamenati také na trachealní soustavě v larvách
rodu Vermileo (obr. 7.).1) Tvoří ji dva podélné hlavní kmeny, z nichž vy¬
cházejí jemné větve vnitřní a vnější. Chybí tu zcela kmeny vedlejší. Ani
předních ani zadních komissur nebylo možno dopátrati se v tomto po¬
sledním, tedy třetím stadiu larvím. Přední stigma má kratičkou plsťovou
komoru, k níž přisedá pět pupenů se štěrbinkami k přijímání vzduchu.
Zadní stigmata jsou nápadně malá, mají plsť ovitou komoru na povrchu
hrbolkatou; k bási komory hrbolky se prodlužují, takže base komory na
zevnějšku již vypadá skoro jako trachea. Nepodařilo se mi zjistiti přesně
počet Štěrbin dýchacích, zahlédl jsem jen 2 pupeny, tedy snad jsou na
stigmatu zadním také jen dvě štěrbinky.

Hlavní kmeny vzdušnic v těle larev rodu Syrphus (obr. 8.) spojuje
toliko přední komissura. Na larvách z Čeledě Syrphidae dobře je znáti,
jak tracheje souvisejí s pokožkou jako její vchlípeniny. Při kuklení náhle
se tělo larví smršťuje, a svléká. Při tom celý děj postupuje násilně, neboť
roztrhává se soustava trachealní na Části vnější a vnitřní. Částmi vnějšími
jsou přední komissury sdcusy hlavních kmenů a velké Části hlavních kmenů
od zadních stigmat směrem ke středu zadečku. Svědčí o tom kukly
Chrysotoxum, v nichž se ukrývá přední komissura s Částmi kmenů, a kukly
Syrphus balteatus, v nichž nalézáme skoro x/4 hlavních kmenů vzdušnico¬
vých. Z toho je patrno, že část trachejí zůstala v těle kukly, a to je asi ta-
o níž píše Wahl, že se její buňky vzrůstem promění v buňky rázu embry¬
onálního, jež přejdou jako takové až do imaga. Nechť prohlíží se mikro¬
skopicky puparium kterékoli mouchy z podřádu Cyclorrhapha, vždy na¬
jdou se v nich kusy hlavních trachealních kmenů při předních stigmatech.
Při předních i zadních nalezl jsem je posud jen v kuklách z Čeledě
Syrphidae.

Křivolaké hlavní kmeny tracheální v larvě Perrisia (obr. 9. a) spojuje
toliko zadní komissura. Stigmatické tlusté větve probíhají od stigmata
po boku těla k hlavním kmenům. Mezi kmeny probíhají četné větve
vnitřní sice párovitě sestavené a blízko sebe, ale nekorrespondují vzájemně,
takže nelze v nich viděti zakrsalých komissur, jako je tomu v larvě rodu
Lonchoptera. Zadní komissura vysílá dvě větve, jež se vinou směrem do
předu k tukovým tělesům. Podobné dvě větve běží ze zadu do předu
i v larvách z podřádu Cyclorrhapha, avšak vyrůstají ze kmenů a nikoli
z komissury. Vedlejších kmenů trachealní soustava Cecidomyií nemá.
Z hlavních kmenů vybíhají větve vnější po dvou mocnějších v každém
článku těla. Nehledí-li se k podřízeným nepatrným větévkám, objeví se

x) 7. nedopatřením se opakuje dvakrát.

XLIV.

8

Tab. II.

4. 5. Ptiolina ; dv = křivolaké dorsalní komissury, I., II., III. = vnější větve;
Iv = vnější (ventralní) kmen ; k = přední komissura.

8. Syrphus ribesii; p. k. = přední komissura, gl. s. = slinné žlázy.

9. Perrisia; lateralní pohled na tracheal. soustavu.

10. Cordyla fusca; dorsalní a lateralní pohled na soustavu vzdušnic.

XLIV*

y

v počtu těchto vnějších větví určitá zákonnitost, která se dá tušiti při
zkoumání larev z obou podřádů dipter, ať z Orthorrhaph neb Cyclorrhaph:
vládne v počtu vnějších větví číslo 2 a 3, výminkou 4.

Ze stigmatické větve prothorakalního stigmatu odvětvuje se trachea,
kteráž štěpíc se ve dvě odnože, vysílá horní z nich k hlavě a dolní do okolí
ústrojí zvaného spathula sternalis (obr. 96.).

Přední a zadní stigmata jsou otevřená, ostatní nepochybně uzavřená.
Podrobněji zmíním se o nich později.

Abych neztratil priority, uveřejnil jsem před časem částečné vy¬
obrazeni soustavy dýchací druhu Cordyla fusca L a t r. jakožto před¬
běžnou zprávu. Nyní podávám úplný popis a vyobrazení (obr. 10.). Larva
dýchá peripneusticky osmi a osmi průduchy po každé straně. Podle stigmat
probíhají na hřbetě dva silné trachealní kmeny hlavní. Od nich odbočují
v 1. thoiakalním a v 1. až v 7. abdominálním tlusté krátké větve stigma¬
tické do průduchů (stigmat) — obr. 10. Z větve stigmatické prvého stigmatu
vybíhá větev, po každé straně jedna, do hlavy, kde se rozvětvuje naprosto
jinak, nežli jsem to posavad líčil. Není tu větve zpět zahnuté, z níž by
teprve vycházela jedna neb dvě větve k hlavě, nýbrž hlavní kmen jako
ztenčená větev pokračuje do hlavy. Tlusté skoro rovné komissury vedou
napříč od kmenu ke kmenu, celkem jest jich 10. Distalně vyrůstají z ko¬
missury 2 tracheje, proximalním směrem vybíhají 3. Opatřují vzduchem
kůži, podkožní svaly a tuková tělesa. Hlavní kmeny nekončí posledním
stigmatem, nýbrž zúží se a vzáj emně v následuj ícím článku srůstají. Pra¬
víme tudíž, že jsou vzadu uzavřené. Vnější křivolaké větve (obr. 10.) spolu
srůstají a činí dojem velmi zohýbaného vedlejšího kmenu. Odtud vy¬
cházejí laterálně ventrální větve jednak k zažívací rouře, jednak do
ventrálních částí těla; z jednotlivých oblouků vnějších větví vybíhá po
jedné lateralně ventialní větvičce.

Při této příležitosti nemohu opomenouti objevu Schmitzova
na larvě druhu Polylepta leplogaster Winn., obyvateli to jeskynním.
H. Schmitz nalezl, že této larvě z celé primitivní dýchací soustavy zůstal
jen zbytek, jenž záleží ze dvou velmi zkrácených hlavních kmenů, dvou
komissur a 4 stigmat. Je zajímavo, že z hlavních kmenů larvy Polylepta
odštěpuje se větévka, jež se kličko vitě zahýbá, vidličnatě se dělí a vine
se vnitřní větvicí na dorsální část článku právě jako při larvě Cordyla
fusca, jenže tuto je podobných větviček sedm a nikoli jedna, poněvadž
larva druhu Cordyla fusca má úplnou soustavu tracheální. Pokládám
tento zjev za vývojové zjednodušování organismu, jak se pak u strusek
vyšších much nápadně jeví.

Po těchto jednotlivých faktech následuj ž souborný přehled po
trachealní soustavě larev dipter vůbec.

Primitivní larvy Mycetophilid mají v soustavě dýchací 2 hlavní
kmeny spojené tlustými komissurami. Z hlavních kmenů vycházejí stigma-

XLIV.

10

tické větve, z těchto odbočují spolu korrespondujíce vnější větve, jež
vysílají k ventrální části těla větévky lateralně ventrální (obr. 11. a).

Malé zjednodušení nastalo, když vymizely komissury až na zadní ,
ale stigmat ické větve zůstaly (Cecidomyidae) (obr. 116).

V dalších případech vytrvá vají vedlejší kmeny; ze skutečných
komissur zůstala přední i zadní, vnitřní větvice spolu korrespondují v po¬
době zakrsalých tenkých komissur (Lonchoptera) . (obr. 11c.) Toto zjedno¬
dušení může postoupiti ještě o krůček dále, totiž tak, že z komissur zů¬
stane jen přední, a vše ostatní opětuje se jako u Lonchoptery (Ptiolina)
(obr. lid.).

Vymizí-li i zakrsalé komissury, proměnivše se v samostatné páry
vnitřních větviček, a zadní komissura, vznikne dýchací soustava zase
o stupeň jednodušší, ale s hlavními i vedlejšími kmeny a s přední komis-
surou. Tento stupeň má souběžný vývoj, při němž vymizelo vše, jak
shora bylo vylíčeno, i zadní komissura; zůstala však přední komissura.
Vzorem byla dýchací soustava larev z rodu Helomyza. Podobně vyvinula
se soustava Irachealní u mnohých druhů ze skupiny Holometopa.

Velmi zjednodušenou soustavu dýchací mají larvy z čeledě Syrphidae,
při nichž dva hlavní kmeny spojuje jen přední komissura ; vnitřní a vnější
větve nesrůstají (obr. 11. /.).

Mladé larvy z čeledě Dexidae mají obě komissury (obr. 11. e.)t
kdežto mladé larvy Trypet vyznačují se jen zadní komissurou (obr. 11. g.).

Nej jednodušší soustava trachealní je soustava jen ze dvou hlavních
kmenů bez komissur (Vermileo a mnohé larvy čeledě Muscidae).

Ze všeho, co bylo posud řečeno, plyne, že v trachealní soustavě larev
hmyzu dvojkřídlého jsou dva hlavní kmeny, neb hlavní kmeny s vedlejšími.
V prvé skupině oba hlavní kmeny spojují bucf komissury v jednotlivých
článcích, bud komissury dvě (přední i zadní), bud komissura jediná (přední
neb zadní) ; konečně jsou hlavní kmeny vůbec bez komissur.

Soustava s kmeny hlavními i vedlejšími má při prvém oddělení
larev zakrsalé komissury ve článcích, a to v podobě tenkých, křivolakých
větviček; vedle toho má řádné dvě neb jen jednu komissuru. Druhému
oddělení larev chybí zakrsalé komissury, hlavní kmeny pak spojuje jen
jedna komissura (přední nebo zadní).

II. O stigmatech.

Po stránce morphologické pojednal o stigmatech larev hmyzu dvoj¬
křídlého de Meijere s hlediska vyššího, při čemž dokázal, jak bylo již
dříve řečeno, že stigmata larev jsou stigmaty složenými. Trachea připojuje
se k plsťové komoře, z níž vystupuje sloupek a na temeni se k ní při¬
kládají pupeny.

XLIV.

11

Tab. III.

7. Larva Phytomyzy; z. k. = zadní stigma.

9 . a, b. Perrisia; a = dorsalní pohled na tracheal. soustavu, b) větev hlavy a spathuly.

12. Mycetophyla xanthopyga ; abnormální stigma prothoracalní.

13. Xylophagus cinctus; stigma.

14. Phannia (Homalomyia) ; a) stigma prothoroc.alní, b) zadní.

15. Scatopse notata ; zadní stigma.

16 a, h. Řezy plsťovou komorou.

17. Prothoracalní stigma larev Cecidomyií.

18. Stigma.

XLIV.

Ač se de Meijerovi podařilo stanovití schéma pro stigmata larev,
přece mnohotvárnost jejich poskytne při podrobném studiu ještě dosti
zajímavých podrobností.

Tuto zvláště upozorňuji na prothoiacalní stigma larvy Mycetophila
xanthopyga Winn. pro jeho neobvyklý tvar. Na chitinovém terčku
sedí proti sloupku pět štěrbinek (obr. 12.), opatřených řádnými peritrematy
s chitinovou síťkou. Dvě mocné trachealní větve vybíhají ze stigmatu.
V tomto, patrně abnormálním stigmatu piekvapuje počet (5) dýchacích
štěrbinek, poněvadž nej mohutnější stigma na těle larev z čeledi Myceto-
philidae, zadní stigma, mívá jen tři, kdežto prothorakální stigma často jen
dvě štěrbinky.

Zajímavou stavbou také vyniká přední stigma (prothorakalní) na
larvě druhu X ylophagus cinctus Deg. Při pohledu ventrálním, tedy
z vnitřku těla (obr. 13.), jeví se jako kulatá plsťová komora, jež svým
krčkem objímá připojující se tracheji. Vsunuta je do chitinového terčku.
Vně vypadá stigma jako tmavý kroužek z chitinu (obr. 136.) obklíčený
chitinovou obrubou. Vnitřní tmavý terček odpovídá temeni plsťové komory
a sedí při jeho předním kraji 16 maličkých pupenů, zda-li se štěrbinkami
Či jenom s blankou uprostřed, nelze udati. Bělavý kruh na pólu protivném
je asi prokmitávající obrys hranice mezi trachejí a plsťovou komorou.

Stigma larev druhu Phannia (Homalomyia) v podstatě nakreslil
a popsal již Dufour počátkem minulého století. Přece však i tu objeví se
oku ozbrojenému zajímavé podrobnosti. Každý pupen prothorakalního
stigmatu je válcovitý, mírně zahnutý a na basi opatřen malou vrásčitou
podložkou (obr. 14a), jež svoji dutinkou korresponduj e se společnou
plsťovou komorou. Na terminalní plošce jeví se por, od něhož vede zřetelná
rourka do dutinky ve vrásčité podložce. Tyto rourky marně hledáme
v pupenech vějířovitých stigmat na larvách Holometop.

Zadní stigma (obr. 146.) také se liší od obvyklé formy zadních stigmat
z čeledí Muscidae a Anthomyidae. Má sice normální tři pupeny i terminalní
plošky pro štěrbinky, ale štěrbinek ani peritremat jsem nenašel. Za to viděl
jsem na terminalní plošce kruhovitý otvůrek, z něhož vedla rourka do vý¬
běžku plsťové komory. Ocitáme se tu před zjevem neobvyklým ve veliké
skupině muší zvané Anthomyidae, že zadní stigma je obdobně stavěno
jako stigma přední, což jest charakteristikou pro stigmata velikého množství
larev avšak ze skupiny Holometopa.

Pokavad jsem mohl seznati z literatury, kreslí se dlouhá zadní
stigmata larev Scatopse notata L. jako válečky s terminalní ploškou, na niž
sedí okrouhlé ostium. Proti tomu nalezl jsem že larva výše uvedeného
druhu má na terminalní plošce ctyry malé pupeny (obr. 15.), nikoli tedy
jedno veliké ostium. Uvnitř pokožkové schránky vine se plsťová komora.

O této ještě několik slov. Na řezu plsťovou komorou v larvě Loncho-
ptera nakreslil de Meijere vedle průřezu sloupku několik chitinových
příček. Plsťová komora každé larvy není však tak důkladně vystužená

XLIV.

13

jako u Lonchoptery. Larva Phytomyzy má komoru jednodušší (obr. 1 6«.),
právě tak larva Pegomyia hyosciami, v jejíž komoře jsou 4 samostatné
dutinky (165.).

Na stigmatech larvy Cordyla fusca dokázal jsem, že ani k nim ne-
přiléhá trachea bezprostředně, nýbrž velmi úzkým proužkem, jenž je snad
rudiment plsťové komory.

Věnoval jsem bedlivý zřetel též stigmatům larev Cecidomyií a nalezl
jsem po dlouhých a namáhavých pracích, že stigma skládá se ze spodní
širší a horní užší papilly (obr. 17.). Horní papilla má na temeni štěrbinku,
z níž pokračuje lumen do širokého baňkoviťého útvaru (obr. 17.), k němuž
se připojuje trachea; tak vypadá prothorakalní stigma většiny larev
Cecidomyií.

Dle toho počíná býti pravdivějším a pravdivějším názor můj, že
v larvách dipíer nepřipojuje se trachea bezprostředně k štěrbinám dýchacím,
nýbrž prostředeěně bahkovitými útvary, z nichž některé jsou skutečně pistově
komory.

Nejen v kuklách, ale i v larvách lze najiti stopy dokladů o pokož¬
kovém původu trachejí. Přední stigma larví druhu Pegomyia bicolor zřejmě
svědčí, že hýpodermový epithel obnovovací je uvnitř stigmatu. Tvoří
se totiž uvnitř pupenů a plsťové komory před svlékáním nové pupeny
a nová plsťová komora (obr. 18.).

Tolik prozatím o vedlejších zjevech, jež se naskytly při zkoumání
na trachealních soustavách larev hmyzu dvojkřídlého.

XLIV.

LITERATURA

1840. L. Dufour. Second mémoire sur les métamorphoses de plusieurs larves fongi-
vores appartenant á des Diptěres. — Ann Soc. Nátur. Paris. 11. sér. t. 13.
p. 169.

1878. Batelli. On the anatomy of the larva of Eristalis tenax. — Soc. Tosc. diSccienze
Nátur. Proč. verb. n.

1883. Fr. Brauer. Die Zweifliigler des kaiserlichen Museums zu Wien. III. — Denk-
schrift. d. k. Akademie d. Wissensch. Matli. -Naturwiss. Classe. 57. Bd. p.
1—96.

1886 Fr. Meinert. De eucephale Myggelarver. — Wid. Selsk., 6 Raekke, naturvid. og
math. Aid. III. 4. Kjóbenliavn. p. 371 — 493.

1896. Dr. J. C. H. de Meijere. Ober zusammengesetzte Stigmen beiDipteren — Larven.
— - Tijdschr. Entomol. V. 38.

1897. Bengtsson. Studier ófver Insektenlarva. I. Till. Kónnedomen om larven af
Phalacrocera replicata. — Lundes Univers. Arsskrift. Bd. XXXIII.

1899. Bruno Wahl. íjber das Tracheensystem und die Imaginalscheiben der Larven
von Eristalis tenax. — Arb. Zool. Instit. Wien. T. XII. 1. H. p. 45.

1900. Miall L. C. and Hammond A. R. The structure and life history of the harlequin

Fly. — Oxford.

1900. Dr. J. C. H. de Meijere. Ober die Larvě von Lonchoptera. Ein Beitrag zur Kennt-

nis der cyclorrhaphen Dipterenlarven. — Zoolg. Jahrbtich. XIV B. p. 87 — 132.

1901. J. Pantel. Sur quelques détails de 1‘appareil respiratoire et de ses annexes dans
les larves des Muscidées. • — Bull. Soc. Ent. Fr. Nro 4, p. 576.

1909. Dr. Trágardh. Zur Kenntnis Phytomyza xylostei Kaltb. — Zeitschr. f. wiss.
Insektenbiol. Bd. V. Heft 10.

1909. A. Vimmer. Anatomické poznámky o larvách Blepharoptera serrata L. a Pego-
myia conformis Neidl. — Čas. Č. Sp. E. R. VI. č. 3. p. 109 — 113.

1909. A. Vimmer. Larva bedlobytky Cordyla fusca Ltr. — Čas. Č. Sp. E R. V.
č. 4. p. 148 — 153.

1910 Dr. Franz Tólg. Billea pectinata Mg. ais Parasit von Cetoniden- und Ceram-
byciden-Larven. Zeitschr. f. wissen. Insektb. Bd. VI. p. 208 — 211. 278 — 283.
331—36. 387—95. 526—30.

1911. A. Vimmer. Příspěvek k poznání kukel z čeledě Syrphidae. — Čas. Čes. Sp.
Ent. R. VIII. č. 4. p. 109—119.

1912. D. Keilin. Recherches sur les Diptěres du genre Trichocera. ■ — • Buli. Sc.
de la France et Belg. T. XIVI, p. 172—190

1913. Dr. Franz Tólg. Biologie und Morphologie einiger in Nonnenraupen schma-
rotzender Fliegenlarven. - — Centralbl. f. Bakteriologie, Parasiten kundě und
lnfektionskrankheiten. 37 Bd. p. 392 — 412.

1913 H. Schmitz. S. J. Biologisch.-anatomische Untersuchungen an einer hóhlen-
bewohnenden Mycetophilidenlarve Polylepta leptogaster Winn. — Naturhist.
Genootschap in Limburg.

XLIV.

15

1913. D. Keilin. Formes larvaires et biologie ďun Cynipide entomophage Eucoila
Keilini Kieff. - — Bull. Scient. de la France et d. la Belgique 7. ser. T. XLVII.
p. 88—104.

1913. D. Keilin et Picado. Evolution et formes larvaires du Diachasma Crawfordi
n. sp. — Bull. Sc. de la France et Belg. T. XLVII, p. 88 — 104.

1913. D. Keilin. Sur une foímation fibrillaire intracellulaire dans la tunique de la
glande salivaire chez les larves de Syrphinae. — Compt. Rend. Acad. Sc.
Paris T. CVI. N. 11. p. 235—283.

1913. M. Bezzi. Blefaroceridi Italiani con descrizione di una nuova forma e di due
specie esotiche. — Bull. del. Societa Ent. Italiana. Firenze. Anno XLIV.
p. 1—114.

1913. A. Vimmer. Ergánzungen zu dem Aufsatze ,,Zur Kenntnis Phytomyza xylostei

Kltb." • — Zeit. f. wiss. Insektb. B. IX., Heft 1, p. 19 — 21.

1914. Julius Komárek. Uber die Blepharoceriden aus dem Kaukasus und Armenien.
— Sitzungsb. der Kón. Bóhm. Geselsch. der Wissensch. in Prag p. 1 — 19.

\

XLIV.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 45.

Příspěvek k poznání morfologického vývoje české

tabule křídové.

(S 6 obr. v textu.)

Napsal Dr. Václav Dědina.

Severočeská tabule křídová, pokud nepodlehla v dpbě třetihorní
a pleistocénní destrukci, jeví přes jednotný původ ve svých různých od¬
dílech značně odchylný ráz. Na jedné straně — v Českém Středohoří
a v Poohří, rozpadla se v nesčetné kry o nestejné výšce a sklonu; roz¬
sedlinami, jež je oddělují, pronikly na povrch vyvřeliny, které v podobě
proudů, čoků neb žilných suků v krajině dominují. Také v sousední plošině
Dubské jsou pro morfologii krajinnou směrodatnými erupce. Teprve
v oblasti položené jižně od Polomených hor a ohraničené Jizerou a Labem
jest souvrství křídového útvaru v podstatě hlavním činitelem vně-morfo-
logickým.

Za topografický podklad studií, jejíž předmětem jest oblast posléze
naznačená, sloužily listy rakouské speciální mapy v měřítku 1 : 75000, a to:
pásmo 4. — sloupec XI: Mělník (vých. polovina),

,, 4. ,, XII: Ml. Boleslav (záp. okraj) a

,, 5. ,, XI: Praha (sev. část).

V zájmu doplnění výškových cót byl mi propůjčen výtečný aneroid

a horizontální sklíčko a pro další orientaci geologický kompas, vesměs
z mineralogicko -geologického ústavu vysoké školy technické v Praze,
a to laskavostí přednosty téhož ústavu pana prof. dra C. ryt. Purkyně,
jemuž děkuji za to, jakož i za mnohé rady a pokyny studií mojich se
týkající, co nej srdečněji. Neméně a z týchž důvodů zavázán jsem díky
p. prof. drovi J. V. Danešovi.

Část české tabule křídové , rozložená mezi Jizerou a Labem a na severu
omezená Polomenými horami , jest ve své morfogenesi tak poučná, že bude
tvořiti klíč k poznání morfologického vývoje veškeré křídové tabule.
Pozoruj eme-li kraj s kteréhokoliv vyvýšeného bodu, spatříme kolem sebe

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 45.

XLV.

1

2

rovinu, z níž jen málo á nevysokých výčnělků — čedičové suky na SZ
vyjímaje — se zvédá. Jednotvárnost krajiny stupňuje se při tom okolností,
že oku pozorovatele na první pohled unikají četné žlaby údolní, jimiž
oblast celá jest rozbrázděna, a to ve čtyřech různých směrech:

a) VSV — ZJZ (směr rudohorský),

b) ZS Z — -VJV (směr sudetský1),

c) SSV — JJZ (směr „vltavský" n. „jizerský")2) a

d) SZ— JV.

a) Směrem rudohorským probíhá:

1. údolí Košáteckého potoka, pak

2. Řepínský důl před svým vyústěním do údolí Kokořínského,

3. tok Jizery od Nových Benátek k Sobě tuchám,

4. „Dlouhý důl", větev údolí Bělského (vyobr. 1 . d), toto pak až
k hájovně „Bělá" a jiné

X)S u dětský směr bývá označován jako směr „hercynský" neb „šumavský".
Nevhodně! Jednak že tektonické pohyby směru SZ — JV nemají přímého vlivu na tekt.
poměry v Sudetách; tu pak musíme rozeznávati směr krkonošský (VJV) a
směr orlický (JJV), jímž probíhají směrodatné zde tektonické linie, litická, pot-
štýnská a česko- třebovská.

2) Směr „vltavský" není nikde S — J, v oblasti palaeozoické synklinály
míří k SSZ, tam tedy jest kolmý k směru rudohorskému ; na východě má — jmeno¬
vitě v rozsahu tabule křídové — směr SSV — JJZ. Jest to směr ř. Jizery v jejím
středním toku od Mn. Hradiště k N. Benátkám, kdež se geneticky směr ten uplatňuje,
ač neliší se mnoho ani od příífié linie celého toku jizerského. Směr SSV — JJZ lze tedy
nazvati též vltavsko-jizerským, neb v sev. Čechách jen „jizerským".

XLV.

3

5. četné úryvky postranních větví údolí Kokořínského a Líběchov-
ského.

b) Směr sudetský má

1. údolí Bezvelské (obr. 1. — bz),

2. ,, Bělské ( bl ) mimo Část výše vytčenou a

3. některé pobočné větve jiných údolních soustav, jmenovitě údolí
doubravické (db), protilehlé valovické (v), trnovské ( t ) a j.

c ) Směrem vita vsko-j izerským jde

1. údolí Jizerské od Mnich. Hradiště k N. Benátkám,

2. některé větve údolí stienického ( st ) a to: údolí březovické (b),
sudoměřské (s) a spikalské (sp), pak

3. údolí Kokorínské po Lhotku a

4. ,, Liběchovské s některými úryvky jeho levých větví.

Směr JV jeví

1. údolí Kojanské (k),

2. ,, Strenické (st),

3. ,, Vrátenské (vr) a Chorušické, přecházející společně v údolí
Košátecké (Viz skup. ax).

TJdolí prvních tří směrů (a, b, c) jsou většinou tektonická3) a shodují
se, jak jména jejich směrů naznačují, s tektonickými liniemi, za vládají čími
v celých Cechách, ano i ve veškeré střední Evropě.

TJdolí čtvrté skupiny (d) jsou svahová. J. N. Woldřich4) pokládá
sice Chorušické údolí za tektonické a to dle všeho pod vlivem názoru
Krejčího, který praví, že ,, rozsedliny v Jizerském pískovci západně od
Jizery mezi Kokořínským a Jizerským údolím, dle nichž množství roklí
a malých údolí vy brázděno jest, počítati lze k soustavě této“ (krkonoš¬
ské).5) Názor ten, který, jak vidno, málo kategoricky vyznívá, potvrdil se
zdánlivě, ač ještě jen částečně, studiemi Č. Zahálky, jmenovitě profilem,
který vedl týž auort od Nemyslovic k JZ.6) Profil zastihuje t. z v. Chotětov-
skou dislokaci, a to nedaleko při spoji údolí Chorušického a Vrátenského
a tedy při počátku údolí Košáteckého.7) Jest tudíž řečenou studií zjištěno,
že Chorušické údolí jest při vržení Chotětovském dislokačním, pro další
však, a to horní (SZ) průběh jeho není nijakých důvodů, viděti zde jakou-

3) Viz studie Č. Zahálky o ,, pásmu IX útvaru křídového z okolí Řipu" a o pásmu
III — X v Pojizeří. Věst. kr. č. spol. nauk, r. 1895, 6 — pak 1902 — 5. Jen pro údolí
a bz nelze tou dobou ješ ě tektonický původ prokázati.

4) Dle ,, zprávy o podzemní detonaci z Mělníka v Čechách dne 8. dubna 1898.

Rozpr. Č. Akad. c. Fr. Jos. tř. II. roč. VIII. (1899) č. 7. Viz přil.

6) Stať: „Směry, dle nichž se v česk. kříd. útvaru vyzdvižení stalo" v závěru
Studií z oboru kříd. útvaru v Č. I. Archiv pro přír. prozk. Čech I, 2.

6) Pásmo III. a IV. kříd. ú. v Pojizeří, obr. 9.

7) Č. Zahálka nazývá i toto údolí Vrátenským. Pokládám však za vhodnější,
nazvati tuto nejspodnější část údolím Košáteckým, jednak protože tohoto jména
se v kraji skutečně užívá, zvláště pak pro specifický směr i ráz údolí toho, jejž také
Č. Zahálka postřehl.

1*

XLV.

4

koliv tektonickou poruchu. Stejného názoru jest — jak mi k příslušnému
dotazu laskavě sdělil — sám Č. Zahálka.

Chotětovskou dislokaci pokládati lze bud za pokračování tektonické linie
Košáteckého údolí, neb aspoň za člen dislokačního systému rudohorského.

Máme-li řešiti otázku stáří jednotlivých, výše řečených soustav
poruchových, jest úkol takový stižen okolností, že severočeská tabule
křídová, jmenovitě vytčená její oblast, není pokryta nijakými uloženi-
nami třetihorními ; pouze vrstvy pleistocénních štěrků, písků a hlin jsou
zde přítomny. Jest tudíž možno odhadovati stáří tektonických a jiných
morfologických změn, pokud se dály v dobách třetihorních, pouze ve
srovnáni s takovými ději, které majíce ráz příbuznosti probíhaly v ne¬
dalekých oblastech a tam dají se stratigraficky co do stáří svého určiti.
Klíč k takovému postupu podávají poměry v Českém Středohoří, kdež
vývoj rozsedlin šel ruku v ruce se vznikem pánve podrudohorské, při
čemž předchozí fáse erosi vní změnila se tam v děje akkumulační. Tekto¬
nické poruchy zasáhly až do oblasti naší, jsouce spojeny s erupcemi, zde
(na rozdíl od výlevných spoust středohorských) jen sporadickými.

Na základě poznání tektonických poruch a je doprovázejících vy¬
vřelin v Českém Středohoří a ze srovnání těchto poměrů s nejzazšími
výhonky třetihorních erupcí vychází názor Bořického,8) že na dislokace
určitých směrů vázány jsou eruptivní horniny jim příslušných kaetgorií.
Hlavně to platí o basaltických erupcích, kdežto znělce vyvřely rozsedli¬
nami, které za výlevů prvních byly připraveny.

Za nej starší pokládá Bořický poiuchy směru rudohorského, mladší
jsou tektonické linie směru sudetského, nej mladší pak ty, jež jsou směru
vltavsko-j izerského.

Kontrola Bořického hypothetického pojetí jest znesnadněna okol¬
ností, že některé dislokace, zvláště sudetské a jizerské, jen v skrovné
míře projevovaly se vulkanicky, a na druhé straně erupce neváží se vždy
na poruchy vně zející; pronikajíť sice na venek zajisté v pásmech mini¬
mální soudržnosti kůry zemské, ale tento mechanický činitel týče se asi
hlavně poměrů, jež podmiňují vzestup magmatu v salických pásmech
hlubinných. Tektonické poměry stratosféry nejsou tedy vždy směro¬
datný pro seskupení vnějších zjevů vulkanických.

Také některé konkrétní údaje Bořického bude třeba re vidová ti.
V Českém Středohoří děje se to již monumentální prací Hibschovou.9)

8) Petrografie ké studie čedičového horstva v Čechách. Archiv pro p. p. Čech
II. 1. b. st. 190 a n .

9) „Geol. Kartě d. b. Mittelgebirges" v Tschermakových „Min. u. petrog.
Mitteilungen", a to sekce I. (Děčín) r. 1896, II. (Roztoky — Podmoklí) 1900, III.
(Benešov) 1898, IV. (Ústí n. L.) 1904. V. (V. Březno) 1902, VI. (Verneřovice) 1910,
VII. (Teplice-Bořislav) 1908, VIII. (Zálezly) dosud nevyšlo, IX. (Litoměřice-Tře-
bušín) 1903, X. (Levín) - — , XI. (Kostomlaty) 1905, XII. (Lovosice) 1909.

XLV.

5

Zel, že není tato ještě hotová; snad proto též autor nezaujal dosud stano¬
viska k názoru Bořického o poměru různých pohybů dislokačních k diffe-
renciaci magnatu v středohorském ohnisku sopečném. Než v hlavních
rysech své theorie sotva byl Bořický na omylu ; jest velmi pravděpodobné,
že mezi tektonickými pohyby určitých směrů s jedné a štěpením magmatu
s druhé strany jest přímý příčinný vztah, třebas že jde tu jen o jeden
z mnohých činitelů differenciačních.

Na základě Bořického analysí lze souditi, že pokles a vývoj roz¬
sedlin směru rudohorského zasáhl také v oblast naši, ano i dále na východ
až do okolí Jičína. Názor takový byl by podporován — ovšem v rámci
theorie řečené — prací Bř. Zahálky ,,0 některých eruptivních horninách
z okolí Mšenaa Mělníka".10) Augitity v různých modifikacích a limburgity
zde konstatované náleží prvnímu erupěnímu období vázanému na dis¬
lokace směru rudohoiského. Než právě naše a sousední Dubská plošina
jest to, kdež se směrem rudohorským kříží se druhé, mladší soustavy
poruch. Nasvědčuje tomu jednak přehled tektonických údolí výše po¬
daný a pak přítomnost plagioklasických basaltů u Mšena, jež náleží dru¬
hému období tektonických pohybů o směru sudetském a pak trachyty
a trachybasalty, spadající v období nej mladší o směru jizerském.

Vedle otázky prosté posloupnosti pohybů tektonických, jejíž přesné
a exaktní řešení nutno ještě přenechati budoucnosti, bude třeba zjistiti
bližší data o stáří řečených pohybů a erupcí. Podobné snahy mohly se
však dařiti z udaných již důvodů jen v pánvi podrudohorské, kde jsou
přítomny usazeniny třetihorní, v nichž se střídají uhlonosné vrstvy sle¬
penců a písčitých jílů s tuffy a tuffity sopečnými. J. E. Hibsch11) zjistil
na tomto stratigraíickém základě v krajině teplické, kde jde převážně
o dislokace směru rudohorského (ostatní jsou podřadné), pro počátek
erupcí stáří těchto z první doby svrchního oligocénu. Jest ovšem pravdě-
podobno, že vývoj polomu podrudohorského a jednotlivých linií tekto¬
nických téhož směru neprobíhal všude zcela současně, že totiž pokles
a vznik rozsedlin postupoval časově od hlavního vržení rudohorského
v pásmech rovnoběžných do nitra země, že však na druhé straně nevy¬
žadoval proces ten doby příliš dlouhé, takže vývoj rozsedlin zasáhl do
territoria, které jest předmětem přítomné rozpravy, ještě před koncem
doby oligocénní. Tohoto stáří jsou asi ony dislokace, které daly vznik
tektonickým údolím naší skupiny a). Při tom není vyloučeno, že tyto
linie neztratily pohyblivosti ani při pozdějších pohybech zeměkůry, třeba
že tyto měly hlavní účinek v dislokacích sudetských neb jizerských.

10) Věst. kr. č. spol. nauk, 1905. III.

n) Uber die Lagerung und Altersverháltnisse einzelner Glieder der nordbóhm.
Braunkohlenablagerung. Jahrb. d. k. k. geol. RA. 1902, S. 87.

XLV.

6

V tom ohledu jest pozoruhodno, že při podzemní ,, detonaci mělnické"12)
ze dne 8. dubna 1898 objevilo se territorium tohoto symptomu geotekto-
nické pohyblivosti protažené dle osy o směru rudohorském. Z. od Labe
tvoří osu tuto dislokační linie Červeného potoka a dolní Vltavy od Vraňan
k Mělníku; v naší oblasti (V od Labe) jest řečené territorium protaženo
dle linie rovnoběžné s údolím Košáteckým a Řepínským.

Pro odhad stáří sudetských dislokací nutno uchýliti se k srovnání
s vývojem stejnosměrných poruch, jimiž zasažena byla Šumava, hlavní
v bavorském svém úbočí. L. Puffer13) na základě tektoniky sladkovodních
usazenin třetihorních v Bavorsku přikládá stupňovým dislokacím šumav¬
ským stáří pontické, svrchně miocénní a soudí, že také ,,v severních
a jižních Čechách máme před sebou poruchy z doby svrchního miocénu".
Puffer měl sice na mysli Čechy severozápadní, kdež na př. v Horách
Doupovských mimo dislokační systém rudohorský zavládá též směr
sudetský, ale jest samozřejmo, že při pohybech tektonických, v celém
českém massivu v řečené době všeobecně panujících, oblast naše nemohla
činiti výjimky.

Pro současnost tektonických pohybů, jež zastihly v době třetihorní
Sudety a jejich podhůří, mluví také okolnost, že jde tu nejen o stejný
směr, ale též o stejnou povahu pohybů. Zde jako v Šumavě neb v Dou¬
povských horách děje se propadavý pohyb v stupňových zlomech, zde
jako tam vznikají neb orograficky se vyhraňují hrástnatá pohoří (Šu¬
mava, Krkonoše), nejde však zde ani tam o pohyby vrásnivě horotvorné.

Nej mladší období erupcí a pohybů tektonických o směru jizerském
nemůže býti značně vzdálené. Ukazuje k tomu okolnost, že ještě v době
současné toto poslední období jeví v teplých a minerálních pramenech
své dozvuky. Pokud se týče údolních rýh původu dislokačního, jako jest
,, údolí Jizerské od ústí Mohelky až ku konci u Toušně," pak rovnoběžně
s tímto údolí Kokořínské, Liběchovské a některé úryvky Obrtky a potoka
Vrutického u Ouště — veškerá tato soustava rýh svým vznikem — ,,zdá
se, že souvisí s posledním vystoupením čedičů, avšak možno, že zasahuje
též do doby diluviální." ,,V oboru Labského pískovce náleží sem Labské
údolí mezi Děčínem a Hřenskem a doliny a rokle v českosaském Švýcarsku
s ním rovnoběžné."14) V souzvuku s tímto názorem shledáno bylo, že
i v Česk. Středohoří jsou dislokační linie směru S — J původu mladého.
Netřeba předbíhati konečným závěrům, k nimž v tomto směru asi záhy
dospěje Hibsch ve svých výše řečených studiích; než výsledky práce
Staffovy a Rasmussovy15) již nyní ukazují, že na př. část toku Labského

12) Viz J. N. Woldřich na u. m.

13) Der Bohmerwald und sein Verháltnis zur innerbóhmischen Rumpfíláche.
S. 159. Geog. Jahrresb. a. O. VIII. (1910).

14) Krejčí, na u. m. st. 154.

15) Staff-Rasmuss, Aus der Morphogenie der sáchsischen Schweiz. Geol. Rund¬
schau, 1911.

XLV.

7

nad Hřenskem, jmenovitě od Elbleiten výše k Děčínu, jeví jediný cyklus
vývojový. Též na druhé straně v Čechách severovýchodních bylo zjištěno
J. N. Woldřichem, že údolí Javorky mezi Bělohradem a Ostroméří vzniklo
jako puklina v době pleistocénní a to po saském, hlavním zalednění. —
Za vládaly tedy v době pleistocénní v celém asi českém massivu a — dle
geologů německých také v celé střední Evropě — poruchy tektonické.
Rozprava přítomná bude pak pro toto poznání dalším dokladem.

Sem patří již ta okolnost, že údolí směru jizerského (viz skupina c)
nesou vesměs ráz velmi mladistvý. Jednak: údolí tato nemají vývojových
teras. Známé malebné terasy kokořínské nejsou vývojovými; jsou vý¬
sledkem různé formy, jíž erose postupuje ve vrstvách kvádrových pískovců
na rozdíl od erose opukových vložek (viz IX. a pásmo a některé horizonty
v IX. c) ; první vymílány jsou srázné, druhé tvoří povlovné stráně. Dále:
okraj ní hrany údolní jsou ostré, postranní větve údolní jen neznačně
rozřezávají náhorní rovinu; jen tam, kde větve tyto použily starších erosi v-
ních rýh, a kde šlo tudíž jen o nové oživení děje výmolného, jsou pobočná
údolí rozvinutá a náhorní rovina hustěji rozřezána. (Kraj mezi Kokořínem
a Brocnem.)

Naproti tomu mají starší údolní rýhy směru sudetského a rudo-
horského, pokud pro oživení erose nebylo podmínek, vzezření velmi sta¬
robně. Zřetelně ukazuje kontrast mezi starobnou a mladistvou tvářností
údolí Košátecké s jedné (viz výše skup. a jeho větve Chorušická a Vrá-
tenská (skup. d3) s druhé strany. Č. Zahálka16) pozastavuje se nad tím,
že severně za dislokací Chotětovskou mění se ráz krajiny; údolí Chorušické
a Vrátenské a jich četné větve že nemají již tak povlovné stráně údolní
(jako údolí Košátecké), nýbrž mnohem příkřejší. Příčinu toho hledá Za¬
hálka ve změně petrografických poměrů; místo totiž pásma IV. a V.
za dislokací (následkem této) vychází na den pásmo IX.

Než vůči vyslovenému zde výkladu lze namítnouti jednak, že
pískovce tohoto pásma rozpadajíce se vedly by, a to tempem ještě rych¬
lejším než písčité sliny pásma IV., k tvarům velmi plochým, mimo to
pak na povrchu spočívají písčité vrstvy pásma V. petrograficky nepříliš
odchylné od pískovců pásma IX c, d. Změna krajinného rázu jest zde
tedy vyvolána jiným činitelem, a tím ]est různé vývojové stáří řeče¬
ných údolí.

Údolní rýhy směru rudohorského a sudetského byly by v době sou¬
časné morfologicky již zahlazeny, jak tomu jinde jest (viz níže), kdyby
novější fáse tektonických pohybů nebyla v nich vyvolala recidivy po¬
ruchové neb kdyby následkem snížení erosivní báse nebyly novými epi-
cykly prohlubovány. V tom případě vznikly vývojové terasy, jako na př.
v údolí Bezvelském (viz sk. b) systém sudetský). Také v ostatních rýhách
dislokačních, i v nej mladší, jizerské skupině (c) jsou přítomny uloženiny

16) Pásmo III. a IV. v Pojizeří st. 11. Na u. m.

XLV.

8

pleistocénní na dně údolním. V údolí Košáteckém, Kokořínském a Řepín-
ském náleží dno důlu dle G. Laubeho17) v rozsah spodní terasy labské.
Též výplň ,, mělnického příkopu" u Liblic, Čečelic, pak celý pravý břeh
L be až po Jizeru a odtud k Lysé n. L. tvoří vesměs akkumulacní, na
mnoze nijak nekrytou spodní terasu mladšího původu pleistocénního.18)
Jelikož tato svým niveau odpovídá spodní terase Purkyňově z poříčí
Mže a Vltavy,19) pak třebestovické neb místy zvěřínecké terase Sokolově
z okolí Nymburka a Sadské20) a U- terase Engelmannově z okolí Řípu,21)
možno mí ti za to, že údolí tektonická skup. c byla v mladším pleistocénu
tektonicky a do značné míry také erosivně již založena.

To vsak nelze říci o svahových údolích naší skupiny d. Mimo řečené
již znaky mladého stáří a rázu — ostré hrany údolní, neznačné rozřezání
náhorní pláně (viz obr. 1.) a nedostatek vývojových teras, přistupuje
k určení neznačného stáří údolní soustavy této okolnost, že pleistocénní
uloženiny v rýhách údolních se neobjevují, naopak že tyto uloženiny
jsou erodovány, přetínány a v jednotlivé partie isolovány výmolným
cyklem, jichž výsledkem jest celá soustava údolní (skup. d). Jest tedy
tato soustava mladší, než systém dislokačních údolí skup. c.

Máme-li poznati povahu a první dobu vzniku této soustavy údolní,
jest třeba pozorovati vnější i vnitřní morfologii22) kraje. Povšimněme si
předělových čar mezi údolími sousedními! Jak známo, probíhají čáry
takové zpravidla klikatě ; zde není tomu tak, nýbrž postranní větve paralel¬
ních údolí (viz obr. 1. na př. v± — t neb a3 — a 4) vybíhají sobě vstříc,
na druhé straně pak větve téhož údolí (db2 — v) rozbíhají se diametrálně.
Není věru nesnadné konstruovati z jednotlivých úryvků dnes paralelních
údolí a jejich větví průběh údolí staršího data a cyklu o směru sudetském
(ZSZ — VJV). Podobné vnější morfologické stopy zašlého cyklu erosiv-
ního jeví celá oblast. Vše činí dojem, že dnešnímu, recentnímu výmol-

17) Die im Auftrage cl. bohm. Sparcassa durchgefuhrten Vorarbeiten zur Wasser-
versorgung v. Prag u. s. Vororten. Lotos. 1899, st. 257.

18) G. Laube, na u. m. — - J. Krejčí, R. Helmhacker, Vysvětlení geol. mapy
okolí Pražského, Archiv pro p. p. Č. IV2 s. 127.

19) C. r. Purkyně, Terasy Mže a Vltavy. Sborník č. spol. zeměvědné XVIII,
zvi. ot. 156 a n.

20) R. Sokol, Tarasy stř. Labe vČechách I. Rozp. Č. Ak. II. r. 1912 č. 28, st.
29 a n.

21) R. Engelmann, Die Terassen d. Moldau-Elbe zwischen Prag u. d. bóhm.
Mittelgebirge. Geog. Jahresb. a. O. 1911 (IX) S., 38 a n.

22) „Vnitřní morfologie" jeví se jako paradoxon. Pokládám však toto označení
za oprávněné, a to tehdy, když jsme na stopě poznání morfologických poměrů některé
plástve kůry zemské, jež vládly v zašlé době geologické, ale byly později zastřeny
nějakou heterogenní pokrývkou, která bez abrase neb značné korrose podkladu na
tomto byla usazena.

XLV.

9

nému cyklu směru JV předcházel v geologické době nepříliš vzdálené
výmolný cyklus o směru sice nemnoho odchylném, než přece podstatně
jiném (VJV). A když jest řeč o ,, dojmech", budiž dodáno, že oblast mezi
Jizerou a Labem s horami Polomenými byla asi vrchoviskem výmolné
soustavy směru sudetského, tak jako (v malém) Vrátenská hora (V) a její
okolí byla prameniskem proudu, složeného z úryvků ar — a2 — bz neb
(současně) % — a4 — ah — bz (obr. 1.).

K bezpečnému poznání, zdali dnešnímu výmolnému systému
směru JV předcházel vskutku systém o směru VJV, vede stiatigrafie ulo-
ženin pleistocénních, které v náhorních mezerách meziúdolních se roz¬
prostírají. Hlavním pramenem poznání budou tu jednak přirozené odkryty,

551/ _ _ _ jjz

vzniklé recentním systémem výmolným na svazích a stráních údolních,
pak umělé odkryty, způsobené stavbou silnic a drah, hlavně pak cihelny
a písečníky. Větší cihelny jsou poučné tím, že zakládajíce v podloží hlíny
vlastní písečníky, umožňují přímé pozorování sledu, v němž jsou fluviatilní
a pak éolické vrstvy uloženy.

Menší cihelny písek dovážejí, než tyto dnes již mizí — a to zpravidla
beze stopy, jsouce zaorány, takže mnohé z cihelen naznačených v mapách
generálního štábu (i v těch, jež byly v době nedávné revidovány) náleží
již minulosti.

Velmi poučnou jest uložení štěrků, písku a hlin v písečníku a cihelně
katusické (obr. 1. — K.). Ve stěně jihovýchodní shledáváme shora dolů
(obr. 2.):

XLV.

10

1. Ornici (cóta povrchová 306 m) barvy červena vé šedě, přecházející
nenáhle ve vrstvu

2. zv. „trupelka",23) která jest šedá, sypká a má mocnost 30 — 50 cm.
Vrstevnatosti nejeví; přes to lze říci, že spočívá diskordantně na

3. „kostkovici", hlíně šedočervené až i rudé o mocnosti průměrně
80 cm, jejíž vrstevnatost jeví se jen ve variaci její červeni, nikoliv u veli¬
kosti jejich jemných součástek. Jméno své má dle toho, že drobí se
v kostkách zvící hrachu; proto ji někde jmenují ,, hrachovkou". V podloží
jejím spočívá * — a to opět při zřetelné diskor daňci —

4. žlutka o průměrné mocnosti 190 cm\ mocnost její nepříliš pro¬
měnlivá nesouvisí tak s diskordancí, jako spíše s okolností, že s vrstvou
následující účastní se na zarovnání spodních, neklidně uložených vrstev
písků a štěrků (6 — 8). Vrstevnatosti nemá, leč že tuto poněkud prozrazují
slabá pásma relativně slínitější. Zkušený cihlář je zná jako technicky
rušivý element.

5. ,, Železná hlína' ‘ o mocnosti prům. 120 cm přechází v

6. ,, úlomky slinu" v mocnosti asi 45 — 60 cm uložené a, jak se zdá,
znovu erodované, které rozdrobením dávají vápenitý ostrý písek. V ho¬
řejší, mocnější vrstvě stmeleny jsou úlomky slinu žlutou hlinkou; na
spodu pak přechází ve vrstvu hrubého železitého písku, částečně limoni-
tovým cmelem zpevněnou, rudou — ač v dosti pestrých nuancích —
o prům. mocnosti 15 cm, jež pokrývá

7. zelezitý písek s vložkami štěrku v křížovém a diagonálně para¬
lelním slohu; řady oblásků křemenných (zvící hrachu — pěsti) přecházejí
v četná čočko vitá ložiska štěrků.

Nepřístupné podloží, — dle sdělení správce p. Č. Fialy — ,, tvrdá
skála pískovcová", jest dle všeho IX d pásmo křídové, které zde jest
asi 6 — 7 m hluboko pod ornici.

Než pokusíme se o vysvětlení genese jednotlivých vrstev, jest třeba
podati výsledky mechanické analyse, vykonané pomocí plavícího přístroje
Kopeckého s 2. — 5. vrstvou.

Souvrství 6. — 7. jest uloženinou výlučně fluviatilní. Vrstva 7. jest
sedimentem silných, v poloze řečiště proměnlivých proudů. Vrstva železi¬
tého písku značí relativní stagnaci v proudění, ale erose vrstvy té
záhy uvolnila koryta, aby opět byla zanesena úlomky slínů vrstev křído¬
vých. Hlíny nad nimi uložené jsou původu éolohydatinního ; vrchol
větrné činnosti spatřovati lze v uložení žlutky (4).

’23) Místní a často dosti rozmanité označení hlin vede často k nedorozumění,
proto z důvodů praktických i tlieoretických pocítěna byla potřeba názvosloví hlin
upraviti. Příslušné usnesení stalo se na sjezdu keramiků v únoru r. 1913; dosud pro¬
vedeno nebylo. Bylo by záhodno, aby k provedení úkolu povoláni byli jak znalci
techničtí tak i odborníci theoretičtí.

XLV.

11

Průměr zrn 1 °/0

dle váhy

I.

II.

III.

IV.

Poznámky
o kostře

Náleziště

Druh

Hlínovka

— 0*01 mm

Prach

— 0-05 mm

Písek

i — 0-10 mm

Písek

1

Číslo

©

1

o

7

o

<h

b 1

co

O O

w «

2

Katusice

trupelka

29-0

369

13-2

12*4

32

35

1-8

Zrnka

křemene.

3

kostkovice

25'2

32*7

22*3

7*2

4‘2

4*6

2-8

Drobty slinu.

4

>>

žlutka.

27-8

354

27*2

6-5

2-6

0'5

—

—

5

„Žel. hlína"

35-8

20-2

10-4

9*5

6*7

32

4*2

Konkrece

limonitové.

Nově založena byla cihelna u nedaleké Borce, ač dosud bez píseč-
níku. Byly tam shledány tytéž tři vrstvy sprašových hlin jako u Katusic.
Pod ornicí jest ,,sprašovka“ (místní jméno pro katusickou „trupelku* j,
pak ,, hrachovka “ (=,, kostko vici“) a pod touto Bůtka. — • V Krásnovsi
(j. od Katusic) není vrchní vrstvy sprašové; odkryt v tamní cihelně jeví
jen žlutku (na spodu) a hnědožlutou ,, kostko vici“, na níž přímo spočívá
ornice, z této vzniklá. Rovněž některé lokality, analysované B. Erbenem,24)
nemají svrchní spraše; jmenovitě jest to Stránov, Niměřice, Vinec a Vel.
Čejtice (I.). jsou to vesměs hnědky, jež tvoří spodinu ornice a materiál,
z něhož tato povstala, ovšem nezřídka při značném vlivu kulturních
činitelů.

Rolnictvo našeho kraje nerozlišuje ,, spodinu' ť, pokud jest tato hli¬
nitou; ornici nazývá skoro vesměs červinkou; jen šedé hlíny vzniklé
z „trupelky" označuje zvláštním jménem „šedivky".

Při nedostatku písečníků v cihelnách menších jest nám vítanou
každá písková jáma. Nad Strenicemi v poli komorního statku horeckého
nacházíme pod šedou a hnědou hlínou svahovou (obr. 3.) nejednu analogii
s uložením fluviatilních vrstev katusických. Na zastřeném podkladě (8)
spočívá železitý nezvrstvený písek (7 a) a hrubý štěrk (7 b), potom ná¬
sleduje šedý písek s křížovými vložkami štěrkovými (6), jen že ohýbají
se tyto v opačnou stranu. Oblásky bílého křemene jako ořech až pěst
veliké jsou hranaté a jen na hranách zaoblené. Takovýto sloh se pak
opakuje (5 e oo 7 ab, 5 d <v> 6), při čemž 5 c jest zvrstvený slínitý písek,
nad nímž opět spočívá 5 b c^> 5 e oo 7 ab. Po uložení štěrků 5 a došlo
k nivelaci terrénu hlínami sprašovými (2 — 4). Jedna analogie však jest

24) Viz článek: Mechanické rozbory typických půd okresu mladoboleslavského.
Časop. pro průmysl chemický r. 1893.

XLV.

12

zvláště pozoruhodná: Křížová pásma štěrků a^písků ohýbají se všude
k SSV neb JJ Z. Profil katusický (obr. 2.) i strenický (obr. 3.) jest totiž
průřezem onoho boku písečníku, v němž písky a štěrky jeví neklidné
uložení a to jest strana VJV. Stěny bočné jeví sloh poměrně klidný, ovšem
jen zdánlivé, protože stěny ty protínají vrstvy fluviatilní podélně, naše

Obr. 3.

profily pak příčně. Proti strenickému profilu na protější (levé) straně
údolí jest písečník, který jeví vrstvy železitého písku rovněž prohnuté
směrem k SSZ a JJV a dotvrzuje tedy závěr, že máme před sebou fossilní
soustavu údolní směru VJV.

Výjimku z převládajícího směru VJV, směru to zašlého cyklu výmol¬
ného, činily jen proudy vodní na jihozápadní straně oblasti. Staré údolí

XLV.

28

se však tyto na TO — 80° C, tu v brzku podlehne zmazovatělý škrob v buň¬
kách účinku enzymu.

Vzdor tomu jest Ruhland přesvědčen, že enzymy mohou snadno
vnikati do živých buněk. Ano jest prý nutno považovati je za kolloidy,
které nej lehčeji jsou s to permeovati plasmatickou vrstvičkou (1. c. pag.
346). Důvodem k tomu jsou mu jednak srovnávací pozorování, která učinil
na určitých kolloidních barvivech. Vnikají-li tato do želatiny, jsou s to
vnikati také do živých buněk fanerogam a vice verš a. Z toho odvozuje
Ruhland, že pokožní vrstvička plasmatická má vlastnosti i chová se jako
ultrafiltr. Nad to konal týž autor (1. c. pag. 339 seq.) přímé pokusy o dif fun¬
dování enzymů v želatinu (translokační diastasa z hrachových rostlin
i sekreční ze sladu nechány se rozšiřovati po thymolované želatině škro¬
bové s jodjodkaliem. Kapka invertasy z listů řepných s chicagskou modří
B, jež v želatině n.edif funduje, kápnuta na želatinu, po té z kruhů šíření
kousky želatiny přeneseny do roztoků saccharosy a proteinového. Šťáva
z listů trávových, chovající oxydásu nechána uschnouti na želatině rozpro¬
střené po krycích sklíčkách v atmosféře 02 prosté, po té přenesena do guaja-
kové pryskyřice. Posléze H2 02, jenž modráním ukázal rozšiřování se enzy¬
mu atd.) Nalezl, že veškeré enzymy diffundují nadobyčej lehce gely, právě
tak jako lehce pohyblivá barviva anilinová, takže dispersita jejich musí
býti velmi vysoká. Dle analogie s barvivý tedy i živou kožkou plasmatickou
musí lehce permeovati (341).

Pro pokusy referentovy byly by příklady tyto dokladem, že vskutku
trypsin řasami mohl býti absorbován, že plasmodermem mohl permeovati.
Pak by ovšem byl získán první bezpečný doklad o endosmotickém vstupu
■enzymu v tělo živé, zelené buňky. Zdali permeabilita u těchto specií — řas —
jmenovitě vzpomeneme-li nepochybného prostupu látky tak vysoce mole¬
kulárně jako je glykogen - — je jinaká než u rostlin vyšších či jiných event.
bezbarvých mikrobů, zvláště saprofytických, o tom musí rozhodnouti
pokusy další.

* *

*

S Chlorellami „otrávenými" trypsinem provedl referent ještě jednu
sérii pokusů. Přenášel je totiž na různě koncentrovanou sladinku bez tryp¬
sinu a nechal zde vegetovati srovnávaje barvu jejich s kulturami Chlor dl
na těchže mediích, jež však proceduru trypsinovou nebyly prodělaly
Základní ideou pokusů bylo pozorovati, zda zachová řasa ,, try psino vá"
na mediích normálních svou získanou barvu, či zda ji změní, jakým způ¬
sobem a jak brzy. Kdyby kultury v brzku na mediu normálním nabyly
barvy původní, zelené, bylo by to mimo to snad poukazem k tomu, že k po¬
kusům byla vzata směs populací, z nichž převahu nabyla populace již od
přirozenosti žlutá a na trypsinu rychle se dovedoucí rozmnožovati, kdežto
na normálním mediu tato ustoupila by zase do pozadí a místo její zastou¬
pila zelená. Kdyby však tomu bylo jinak a trypsinem prošedší kultury

XLVI.

27

podrážděním některých součástí enzym chovající substance, jež samy
nejsou enzymaticky aktivními, ale mohly by působiti jako na př. aktivá¬
tory íermentů. Ruhland věří toliko, že Lehmannovi a Ottenwál-
derovi1) podařilo se dokázati vnikání proteolytických enzymů v klíčící
semena. Přihlédneme-li však k resultátům těchto pokusů blíže, vidíme,
že nic jiného nechybí jim než faktické provedení důkazu, že vskutku běží
o zakročení enzymů. Autoři vystavili semena od Epilobium hirsutum,
jež ve tmě špatně klíčí, za 24° C, klíčení jednak na destilované vodě jednak
na papayotinu (0-1%), jednak na trypsinu (0-1%). Po jisté lhůtě pozoro¬
vali v destilované vodě klíčivost nepatrnou, na roztocích enzymů však
až třikráte větší. Jestliže se však sníží temperatura okolí, v němž pokus
konán, jen o 1 nebo 2°, ukáže se zvýšení klíčivosti toliko nepatrné. (Autoři
se domnívají, že temperatura byla příliš nízká, než aby v ní mohl enzym
rozvinouti svou činnost nebo že byla nepříznivou pro jiné processy, jež
jsou nutný pro klíčení semen ) Jestliže však temperatura byla zvýšena na
30°, vyklíčila téměř všechna semena, ano urychlovací působení vyšší tem-
peratury bylo tak velké, že příznivé působení enzymu již nebylo pozoro¬
váno. Referent se však domnívá, že tak odchylné působení v tak nepatr¬
ných hranicích temper aturních musilo míti jiné příčiny, než jaké uvádějí
Lehmann a Ottenwálder. Nad to udávají tito autoři sami, že také
asparagin, tedy produkt proteolytického klíčení, působil velmi značné
zvýšení klíčivosti (pag. 350). Posléze musí referent vyjádřiti svůj podiv
nad tím, že v žádném pokuse s enzymy -nebyla provedena kontrola, jakým
způsobem budou působiti enzymy, vysokou temperaturou své funkce
enzymatické zbavené, což je přece zkouškou, jež v žádných pokusech ko¬
naných s enzymy biochemickými není autory pomíjena. A tak nutno
vyčkati v otázce této ještě dalších pokusů.

Ruhland (1. c. pag. 34) pointuje sám, že endosmotické pokusy
s enzymy — vniknou-li do buňky — všude měly výsledky negativní. Ani
do pletiv umrtvených nevnikaly enzymy nebo v tak nepatrných množ¬
stvích, (ačkoli na počátku pokusu může býti pozorováno rychlé vnikání
enzymu), že nemělo to účinků. Příčinou toho však mohly býti pochody
absorbční a ponenáhlé ucpání pórů v blanách, jimiž enzymům bylo projiti,
kteréžto ucpání způsobily nejspíše látky proteidní, méně dispersní než
enzymy, jež tyto provázejí a těžko dají se od nich odděliti. V živých ple¬
tivech k tomu ještě přistupuje, že gely plasma tické vrstvičky, velmi úzkých
pórů a tedy velmi snadno ucpatelné, působí jako adsorbens; při odumírání
pak ovšem také plasma koagulujíc k průchodu nepřispívá. V některých
případech se pak ještě věc komplikuje tím, že na př. i diastása velmi
těžko může působiti na intaktní zrnka škrobová buňek takže se nepozo¬
ruje její účinek, nechá-li se působiti na živé řízky bramborové; zahřej í-li

Ú Lehmann und Ottenwálder A., Uber katalytische Wirkung des Lichtes
bei der Keimung lichtempfindlicher Samen. (Zeitschrift fiir Botanik, V. Bd, 1913,
pag. 337 seq.).

XLVI.

26

o nichž lze se domnívati (Kisch1) 1912 pag. 176), že dají se aspoň za urči¬
tých okolností přinutiti k tomu, aby přijímaly lehčeji do svého těla enzymy
než rostliny vyšší, majíce plasmatickou kožku buňky jinak ustrojenou,
než fanerogamy.

Specielně pak u řas mohlo by býti studováno, jak budou se chovati
buňky obohacené trypsinem k mediím, jež by mohla býti tímto enzymem
rozkládána, na př. k gelatině (jak vyloženo dříve, mají Chlor elly jen ne¬
patrnou schopnost ztekucovati tuto látku), budou-li totiž moci vylučo-
vati i ze zdravých, intaktních buněk ve větší míře tento enzym. Konečně
snad nebylo by bezvýsledno obr á ti ti pozornost i k vyšším rostlinám, ne-
dovedly-li by, přiživovány jsouce ovšem zároveň uhlohydráty, jež by
znemožněnou či se slabenou assimilaci (chlorofyll!) nahrazovaly, kořeny
svými absorbovati na př. trypsin. Vždyť jest dokázáno, že zelené jevno-
snubné dovedou kořeny svými zcela dobře assimilovati uhlohydráty i amidy
a v úvodu vylíčené pokusy Ruhlandovy nedopouštějí pochybo váti
o ' tom, že i kolloidní substance mohou bez překážky vnikati do buněk
3 eí ich •

Referentovi je znám z literatury toliko jeden případ, kdy přidáván
byl specifický enzym, aby zakročil v processu jisté enzymatické synthesy.
Boysen-Jensen2) zkoušel tak in vitro působnost oxydativních enzymů
dýchacích na synthesu cukru třtinového pomocí zymasy. Naproti tomu
bylo již vícekráte pronešeno tvrzení, že lze do intaktních částí vyšších
rostlin vpraviti různé enzymy a že tyto vyvolávají zde zcela zvláštní zjevy.
Tak udává Tischler (1910), že škrobem bohatý pyl u Cassia Fistula za
obyčejných okolností není schopen klíčiti. Přenese-li se však pyl do vody,
která chová diastásu, počne se škrob rozpouštěti a nastane klíčení. Ruh-
land namítá mu však (1913, pag. 344), že vystavil mladá, škrobem bo¬
hatá zrnka pylová, jichžto blána je pro enzym permeabilnější, usmrtiv
je chloroformem, účinku silných roztoků diastatických, aniž by po 4 — 5
týdnech nalezl v nich zřetelnějšího rozpouštění škrobových zrnek. Vy¬
kládá pak, že účinek přidané látky v případě Tischlerově i v jiném,
jejž Faber pro pylová zrnka od Psychotria bacteriophila líčí, spočívá spíše
v nějakých přimíšeninách diastásy, jež vniknouce do buňek pylových
dráždily jejich plasmu ku produkování většího množství diastásy, což
mělo za následek klíčení odpočívajících zrnek. Podobně dal by se vyložiti
chemotropismus pylových vaků k diastase v pokusech Lidforssových

1899, pag. 31): „Presshefe in diastasehaltigen Náhrflůssigkeiten kultiviert, absorbiert
daraus eine nicht unbetráchtliche Diastasemenge. Wenn diese Hefe jedoch weiter
fortwáchst in einem diastasefreien Medium, so ist die Diastase bald aus den Zellen
verschwunden" nebudí ovšem mnoho nadějí pro pokusy s kvasinkami.

Ú Kisch Br., ťjber die Oberfláchenspannung der lebenden Plasmahaut bei
Hefe und Schimmelpilzen (Biochemische Zeitschrift 1912, 40. Bd, pag. 152 seq.).

2) P. Boysen-Jensen, tlber synthetische Vorgánge im pflanzlichen Organismus.
I. Die Rohrzuckersyn these. (Biochemische Zeitschrift, 1912, Bd 40, pag. 420 seq.).

XLVI.

25

barva byla skoro úplně žlutí zatlačena, u lipské ukázala se žluť intensivní
po třech nedělích jen s zcela slaboučkým bezvýznamným nádechem do
zelena, u variegata B. pak nebylo po zeleni ani stopy. Zároveň ukázal se
u této poslední specie krásný, oranžový, ,,aureový ton“.

Ke kombinovaným mediím trypsin — pepton poutal se ovšem
zvláštní interes referentův. Tvořilyť tak říkajíc jakési ,, experimentům
crucis“, na němž měla býti zkoušena správnost jeho předpokladů. Vskutku
převýšila tato serie i všecko očekávání autorovo. S počátku sice praco¬
váno bylo jen s protothecoides (poněvadž u tohoto druhu zeleň nejvíce vy¬
stupovala a nej nesnadněji u zkoumaných specií dávala se zapuditi) ;
v prvním téhodni pokusů objevila se zde. vzdor trypsinu dosti pěkná zeleň,
kdežto rourky s pouhým trypsinem měly žlutavý ton. Později však, po
14 dnech, prosvítala již trávovou zelení do té míry žluť, že cele udávala
ton kultur. Po třech nedělích byla zde konečně špinavá žluť, jež úplně pro¬
nikala slabou zelení, kdežto kultury s peptonem bez trypsinu byly
distinktně zelené.

Pokus tento dokazuje dostatečnou měrou, že trypsin působil svým
specifickým způsobem. Naprosto lichá ukázala se ovšem domněnka, že
trypsin bude působiti tak, že přinese se jím v kulturu látka obsahující
organický, pro řasu ztravitelný dusík a sice v množství, jež by (dle Cho-
data) zavádělo vhodný poměr k uhlohydrátům resp. glukose sladinky.
Tuť by musily i na nesterilisovaném trypsinu kolonie intensivně sezelenati,
ba intensivněji než na pouhé sladince. Přidání pak peptonu musilo by ne¬
zbytně ještě intensivnější zeleň vybavovati, což se však naprosto nedostavilo.
Jiná možnost byla, že trypsin bude působiti jako glukosa, gly ceiin a po¬
dobné látky, jež v předcházejících pokusech přiváděly žluť resp. bílou
barvu kultur. Přidání peptonu k try psino vým kulturám mělo pak půso¬
biti antagonisticky oproti této domnělé schopnosti enzymu. De fakto však
i v tomto případe, ač kvantum peptonu přidaného jistě bylo dostatečné,
objevila se distinktní žluť v „otrávených" kulturách, pepton nejevil téměř
účinku. Patrně že účinek trypsinu b\l vskutku specificky enzymatický.

S jinými enzymy než s tryptickým nebylo pracováno. O pepsinu jt
známo, že nepřichází v těle rostlinném (insektivorní rostliny?).
Zkoušeti amylasu a maltasu bylo by značilo rozdělovati prozatím
otázku na příliš speciální themata, než aby bylo možno vzhledem
k nynějším našim znalostem o fysiologii řas nadít i se, že skončí tyto snahy
s úspěchem. Nicméně po čase bude snad moci býti přistoupeno i k těmto
enzymům, také k umělému „vtělování" oxydas, peroxydas, lipas, invertinu
atd. Snad také nebylo by bezúspěšné zkoušeti, jak se budou chovati jiné
mikroorganismy k enzymům dle této methodiky, jež značí vlastně výživu
těmito látkami. V první řadě lze pomýšleti zde na kvasinky1) a na plísně,

1) Zpráva Beij erinckova (Uber ein Contagium vivum fluidum ais Ursache
der Fleckenkranklieit der Tabaksblátter. Centralblatt fůr Bakteriologie II., V. Bd,

XLVI.

24

toliko účinek dextrosy vynikl, obě ostatní media však zůstala, jak pochopi-
telno, šedožlutými.

IV. serie. Trypsin sterilisovaný u srovnání s normální sladinkou.
Rasy rostly na trypsinovém tomto mediu velmi krásně, zároveň však bylo
velmi nápadno, že rostou vesměs intensivně, jasně až (u lipské zelené )
smraragdově zeleně. Rozdíl tento objevil se již po první 8denní periodě,
po níž kultury kontrolovány a ba i tenkráte, když srovnávací kultury byly
bledá vě žluté, objevila se (u variegata B.) veselá zeleň s tonem žlutavým,
zeleň u lipské dokonce intensivní trávová. Tím větší pak byly ovšem rozdíly
při ukončení pokusu po 14 dnech, kdy zvláštní jasná smaragdová zeleň
odlišovala se distinktně od smutné zeleni rourek kontrolních. Je na bíledni,
že výsledek tento přivodilo toliko vystavení trypsinu vysoké temperatuře.
Varem mohlo sice býti chemické složení trypsinu do té míry pozměněno,
že byl by možný výklad: nesterilisovaný trypsin působil na Chlor elly ja¬
kožto výživná látka jiného složení jinak než sterilisovaný. V tomto ohledu
mohlo by padati na váhu, že agar (se sladinkou), s nímž zároveň trypsin
byl vařen, je substance kolloidní a že není snadným prohlédnouti působení
na jinou látku pravděpodobně také kolloidní, jako je asi právě trypsin,
takže pokusy této serie nejlépe by byly bývaly provedeny tak, že pova¬
lený roztok trypsinu by byl přidán k sladinkovému mediu; toho bylo
však bohužel opomenuto. Frappantní ale je v každém případě, že enzym
právě po povaření se zmíněným způsobem choval. A více než s dostatek
je známo, že ztráta katalytických vlastností povařením je právě nejkarak-
terističtější vlastností valné většiny enzymů (jen, pokud je referentovi
známo, laccasa Medicagová snáší zahřátí na 100°; její složení je také
velmi zvláštní, byloť konstatováno že jest směsí kalciových solí jedno
i vícebasických oxykyselin, mezi nimiž nachází se glykolová, citrónová,
jablečná a metoxalová (Sr. Euler 160), takže s největší pravděpodob¬
ností účin sterilisovaného varem trypsinu právě ve ztrátě enzymatických
jeho vlastností spočíval, při čemž chemické složení jeho na výživu řas
mohlo působiti způsobem, jak to činí látky, které nevybavují zbělení
(maltosa atd.), k čemuž při užití nesterilisovaného enzymu dojiti nemohlo.

Poslední serie, třetí dle pořadí pokusů v protokollu, sestávala z kultur
s trypsinem nesterilisovaným v sladince, se sladinkou + peptonem a se
sladinkou s trypsinem + peptonem.

Pepton v obyčejné sladince projevil svůj účinek dosti patrně na
protothecoides, jejíž kultury po více než 14 dnech nabyly barvy světle
tmavozelené, kdežto v pouhé sladince byly pouze zelenými se zvláštním
„smutným" nádechem. U lipské ,, zelené" také jevil se jakýsi rozdíl proti
obyčejným sladinkovým, oproti „smutné" zeleni v pokuse II. objevila
se zde intensivní trávová zeleň, třebaže se „smutným" tonem. Nicméně
není možno označiti u této specie vliv této látky za intensivní a variegata
B. zůstala i na peptonu velmi slabě nazelenalá a sice po třech nedělích.
Trypsin však také v této sérii účinkoval nápadně, u protothecoides zelená

XLVI.

23

protothecoides byla tmavě zelená, u variegata a lipské světleji žlutozelená,
trávově (rourky v této řadě pokusů očkovány byly přímo z mateřských
kultur, bez intervence desek v kolonie.) Co se pak týče působení trypsinu,
(srovnej protokol, Pokusy s trypsinem, serie I — -VI), jenž přidáván v této
řadě neetherisovaný a nesterilisovaný, dlužno konstatovati, že vzrůst
řas jím nebyl ani v nej menším ženován: algy rostly týmž tempem, jako
na mediu bez trypsinu. Záhy objevil se účinek enzymu. Již po 12 dnech
objevil se u protothecoides nápadný rozdíl v barvě kultur ,, o trávených",
tyto byly žluté, jen s docela slabým nádechem do žlutozelená, a také ještě
po 5 nedělích jevila se v rourkách temná žluť a zeleň jen jakoby nadých¬
nutá. Druhé dvě specie byly v téže době ještě slaběji zelené, zeleň skoro
úplně zmizela nahrazena byvši žlutí, jež po 5 nedělích stala se tmavou.
Při tom jevila tato žluť nádech do aurea. Co se týče rozdílu oproti nor¬
málnímu sladinkovému mediu, byl tento u ,, lipské11 Chlor elly v první lhůtě
slabý, po 5 nedělích nápadný. U variegata B. byl rozdíl slabší v první pe¬
riodě, jelikož také normální kultury byly slaběji zelené. Nicméně byl tu,
a ke konci doby, ve které kultury pororovány, objevil se ještě zřetel¬
nějším.

V následujícím pokusu (Trypsin II. Sl. zř. 1:1, očkováno z ,, kolonií")
užito bylo trypsinu etherem steriliso váného a ke srovnání vedle sladinky
normální také sladinky se 4% ní dextrosou. V žádném případě nedosaženo
působením trypsinu tonu žlutobílého, posléze voskově bílého, který vy¬
volávala dextrosa. Etherem byla působnost enzymu poněkud seslabena,
nicméně objevil se i zde zračitě jeho vliv. U protothecoides již po jednom
týdnu, kdy kultury sladinkové byly trávově zelené, ač jen slabě, objevila
se žlutozelená barva, třebaže tonu krásně trávového. Po 14 dnech oproti
smutně trávově zelené barvě srovnávacích kultur trypsinových byla trá¬
vově zelená, jíž pronikala žluť. U variegata B. doba 14 dní nestačila k tomu,
aby kultury normální sezelenaly sytým tonem. Proto také po 1 týdnu ne¬
bylo rozdílu v trypsinových kulturách oproti nim, obě serie byly slabě žluto¬
zelené, po 14 dnech však účinek trypsinu se projevil velmi nápadně,
v kulturách objevily se povlaky úplně vší zeleni prosté a krásně ,,aureově"
žluté. Je jistě důležito, že dosaženo bylo působením enzymu právě oné
barvy, jaká se ukazuje často v listech rostlin panašovaných. Nad to ob¬
jevil se v jedné rource střed gummigutově-,,aureově" žlutý s obrubou
světlou, bílou resp. hyalinní zonou. Ze středu tohoto očkováno bylo po
čase pro sérii V., kteréžto řady vedeny jsou pod značkou ,, aurea" ; podobně
z obruby získána značka ,,hyalina". U lipské ,, zelené " projevil se nápadný
rozdíl již od počátku. Normální kultury po 7 dnech byly slabounce zelené,
kdežto trypsinové byly žlutozelené, stupnice trávové. Nápadný rozdíl
byl také téže doby oproti trypsinové protothecoides. Po 14 pak dnech ob¬
jevovala se v trypsinových kulturách sytá ,,aureová" žluť jen s nepatr¬
ným množstvím zeleni, kdežto srovnávací kultury byly distinktně zelené.
Lipská žlutá nejevila rozdílu v první lhůtě na třech půdách, v druhé par.

XLYI

22

Grúblerova, tedy množství trypsinu vzhledem ku množství agaru ne velké
ani ne malé. Třepáním trypsin s agarem promísen a nechán při 40° ve vodní
lázni v epruvetce se rozpustiti, načež rourky schlazeny v šikmou plochu
agaru. Trypsin úmyslně nebyl dáván do sladinky zalkalisované, ačkoli se
vykládá, že enzym tento šťávy pankreatické, odbourávající bílkoviny až
k aminokyselinám nebo nejméně k nej nižším polypeptidům, jest půso¬
bivý v roztocích alkalických nebo neutrálních. Neboť nejednalo se o přímé
působení této látky v bílkoviny, nýbrž o to, aby byl řasami zassimilován
a teprve pak aby projevil svou působnost. Dále nebylo vyloučeno, že v mla¬
dince zalkalisované neobjeví se jinaké zbarvení řas než v normální, takže
výsledek pokusů tímto způsobem mohl býti porušen. V jiné řadě pokusů
přidáván ku sladince trypsin, jenž pod uzavřeným zvonem na malé misce
po 14 dní sterilisován byl parami etherovými. Sterilisován byl proto, že
byla obava, aby s trypsinem nes teriliso váným nebyly přeneseny některé
bakterie v kultury, kterážto obava ukázala se býti bezpodstatnou; vzdor
tomu, že rourky musily býti dvakrát otevřeny, neobjevila se infekce.
Etherem sterilisován byl enzym z toho důvodu, že dle Kaufmanna (cit.
dle Eulera 84) narkotika neseslabují jeho schopnosti proteolytické.
Dále zhotovovány kultury, do nichž přidáno bylo stejné množství neste-
rilisovaného etherem trypsinu, jako v předcházejících sériích, které však
byly dvakráte vždy po 1 hodinu při 100° C s teriliso vány. Posléze přidáno
bylo k některým epruvetkám s trypsinem nealkalisovaným a nesteriliso-
vaným stejné i větší množství peptonu. To učiněno bylo z toho důvodu,
aby snad nebyla obohacena kulturní půda přidáním trypsinu o nějaké
látky, jež by vyvolávaly samy, bez působení enzymatického, zbělení.
(Trypsin nedává reakce biuretové a není nukleoproteidem. (Eul., pag.
27). Neboť kultury založené na sladince se sterilisovaným trypsinem vy¬
kazovaly vesměs zabarvení jiné, v každém případě bylo vítáno tedy, jestliže
naprosto vyloučena byla možnost, že by trypsin působil ve smyslu Cho-
datove, že by totiž přiváděl v kulturu vhodný poměr mezi látkami orga¬
nickými dusíkatými a bezdusíkatými. Na stěstí ukázal se však pravý opak.
Že by trypsin jakožto látka zajisté kolloidní působil adsorbuje některé
substance sladinky, sotva je pravděpodobno. Všem pak těmto i podob¬
ným možným námitkám o enzymatickém působení této substance resp.
že by působením enzymu ,, vy selektovány" byly z populace jen řasy sná¬
šející jej a již normálně rostoucí barvou ,, enzymovou' ‘ ulamuje hrot
faktum, že i po přenesení řas trypsinem „otrávených" na medium
normální ještě po velmi dlouhý čas objevovaly se jeho následky v chování
se řas. V jedné sérii přiloženy ke srovnání rourky se sl. -}- dextrosou bez
trypsinu.

Kultury chovány v thermostatu (za tmy) při 25° C ; pro každé medium
založeno několik kultur.

Na sladince zředěné v poměru 4:1 rostly řasy známým způsobem, ačkoli
tempem poněkud pomalejším, než na sladince silně zředěné. Barva Chl.

XLV I.

21

pečností, nechce tvrditi. Methoda, jež by jistě k tomuto cíli vedla, tušová
methoda Burriho1) pro Chlorelly se totiž neosvědčila. Z povlaku na sla¬
dince přeneseno bylo jisté množství massy kulturní do tekuté, steriliso-
vané sladinky v epruvetce a v této rozplýleno. Do kapky sterilní tuše Bur¬
riho na sterilisovaném sklíčku podložním přeneseno po té něco tekutiny,
steriliso váným perem psacím zde roz ptýleno a v následuj ících kapkách tu¬
šových přenášením zředěno. Z posledního pak zředění přeneseny kapky tuše
s Chlorellami na steriliso vaně. desky gelatinové, připravené s pivem světlým,
(rostouť na vy kvašených látkách podobných Chlorelly zvláště dobře) a
přikryty steriliso vánými střípky z krycích sklíček. Odhadnutí, zda určitá
kapka chová toliko jedno individium, či více jich, nebylo bez obtíží, jelikož
dceřinná individua Chlor ell jsou často malá a snadno se přehlédnou. Nic¬
méně nalezeno takových případů, kde bylo jediné individuum, více, toto
bylo pak přeneseno s krycím sklíčkem do připravené živné tekutiny sla-
dinkové. Než nepodařilo se nikdy získati z nich kulturu, nejspíše
poškozeny byly řasy působením tuše. Nezbývalp tedy, než litím desek
eliminovati možnost, že kultura sestává z populace. V rozlitém
třetím zředění označena individua bezpečně od sebe isolovaná, vzniklé
kultury z nich odočkovány a proces opakován. Naprosté jistoty, že pře-
očkované massy vzešly z individua toliko jednoho, sice tím dosaženo ne¬
bylo, nicméně s velkým stupněm pravděpodobnosti počítáno býti mohlo.

Pracováno bylo tímto způsobem s Chl. protothecoides Kr., Chl. va-
riegata B. a. Chl. lipská a) zelená (značí potomstvo zeleného sektoru), b) žlutá
(potomstvo žlutého), jež rozlity byly v kolonie a od těchto získán základní
materiál k pokusům trypsinovým. Před tím bylo zkoumáno, jakým způ¬
sobem reagují matečné kultury na dextrosu; ukázalo se, že známá, voskově
žlutá barva již ve 14 dnech byla vyvinuta, v době, kdy u protothec., variegata,
Chlor ophilum byla vyvinuta zeleň na normálním substrátu. Kolonie na
agaru se sladinkou (nezředěnou, stupeň cukernatosti asi 10) po 14 dnech
byly u Protothecoides, variegata zelené, u lipské zelené, žlutozelené s okrajem
do zelena, u lipské žluté, žlutobílé, na téže sladince -f- dextr., pokud pozo¬
rovány, žlutobílé. (Chl., 6 serie). Za základ k pokusům trypsinovým vzat
materiál, opětovně rozlitý v desky, vždy z 1 kolonie, bez dextrosy vy¬
pěstěné.

Kultury pěstovány toliko na sladince, poněvadž na ní se řasa nejlépe
a nej rychleji rozrůstala, takže mohla býti naděje také v rychlé, imme-
diátní působení trypsinu, bvl-li by k ní přidán. V první části pokusů (Tryp¬
sin, I. serie) užito sladinky zředěné (Sl. zř. 1 :H2 O, 4), ve všech ostatních
v poměru 1:1. Agar 2%ní s touto půdou, 2x pečlivě filtrovaný ve sterili-
sátoru, rozpuštěn v rourkách steriliso váných a ochlazen na 40° ve vodní
lázni. Na to rychle rourky otevřeny a přidána do každé platinová, před
tím v plameni steriliso váná a ochlazená, dosti velká lopatka trypsinu

ů Burri Robert, Das Tuscheverfahren. 1909, Jena, Fischer.

XFVI .

Í3 20

chemickými vlastnostmi atd. Vlastnosti tyto mohou zůstati konstantními
úplně nebo po delší čas. Sekundární však takové kolonie objevují se i v kul¬
turách, jež byly založeny od jediného individua1) a nemohou tedy sestá-
vati z různých populací, z nichž jednu vytvořily ony z područí ostatních
nějakým způsobem se vymanivší sekundární kolonie. Ostatně se stává,
a to i tenkráte, když původní kultury vzešly z jediné buňky, že na povla¬
cích, založených očkováním ze sekunderních kolonií objevují se bodovité
kolonie „terciární", jež vracejí se zase k vlastnostem kultur mateřských.
Zajímavo je, že způsob, jakým se objevují sekundární kolonie v kulturách,
je podstatně jiný než uplatňuj e-li se oddělení součástek z populací nebo
směsí různých (specií), takže i pracnou mnohdy methodiku isolace od jedné
buňky může nahraditi ve thematech, jež směřují ku zjevům „mutability"
mikrobů, jmenovitě u takových specií, jichž kmeny po dlouhá léta byly
studovány různými autory, jako jsou na př. Chlor elly.

Jak bude vyloženo později, resultuje velmi pravděpodobně v kul¬
turách Chlorell výskyt sektorů i sekundárních kolonií nikoli z vnitřních
příčin, nýbrž je způsobován differencemi jistými ve výživě. Proto zdálo
se referentovi radno informovati se o tom, jaká bude konstantnost sekun¬
dárních forem, což jmenovitě bylo důležito z toho ohledli, že možno bylo
očekávati i následné působení trypsinu v kulturách za normálních pod¬
mínek držených tak, že vracení se „sekundárních" karakterů mohlo se kom-
binovati se změnami vybavenými.

Jeden sektor smaragdově zelený od Chl. variegata Kr. na téže sla
dince po 18 dní rostl zeleně i jevil počátky nových sektorů. Žlutý sektor
z téhož kmene rostl též po 6 neděl „aureovou" žlutí bez nádechu do zeleně,
po kteréžto době počaly se v jedné rource objevovati malé zelené sekun¬
dární kolonie. Chl. z Lipska vyrostla během jedné zimy na sladince v po¬
vlaky, sestávající z větších zelených i žlutých ostrůvků. Žlutá partie voč-
kovaná na tutéž sladinku rostla intensivně barvou žlutou po 4 měsíce,
zelená pomalu světlou žlutozelení. Sekundární kolonie zelené objevily se na
žluté formě teprve asi po půl roce, jinak však rostla tato forma
neustále žlutě, úplně odchylně od mateřské, k níž by mohla předsta¬
vo váti „mutaci". Objevení se karakteristických zelených sekundár¬
ních kolonií na žlutých povlacích nesvědčilo domněnce, že mateřská
kolonie představovala směs zelené a žluté partie. Přes to byly ale hlavní
pokusy s působením dextrosy a pod. na etiolování opakovány s oddělenou
zelenou součástí s resultáty úplně shodnými, jak jich bylo dosaženo s pů¬
vodní celkovou kulturou, takže na vyložených výsledcích okolnosti tyto
nic nemění.

Co se týče methodiky, bylo snahou referentovou dosíci kultur, jež
by vycházely od jednoho individua. Zda se mu to podařilo s naprostou bez-

x) Benecke W. v referátě o Muller R., Kunstliche Erzeugung neuer, vererb-
barer Eigenschaften bei Bakterien. Týž: Vererbung erworbener Eigenschaften bei
Bakterien. (Zeitschrift fůr induktive Abstammungslehre 1909, II, pag. 215 seq.).

XLVI.

19

KNOg a leucin by mohl aktivovati nějakým způsobem činnost trypsinu
resp. proteolytických enzymů rasových buňek, nestojí faktum toto v cestě.
Ukázaloť se novějšími pracemi, že enzymy nepodléhají tolik účinkům světla,
jako toxiny, aspoň za určitých okolností nikoliv. Dále bylo konstatováno,
že i různé části spektra různým způsobem zabavují činnost na př. kata-
lásy krevní (cit. dle Eulera1) 178) a také v našich pokusech objevily se
rozdíly v působení leucinu na tvorbu chlorofyllu u Stichococcus v různě
barevných filtrech světelných, takže nezdá se referentovi nemožno, že
v jeho pokusech K N 03 i leucin vskutku nějakým způsobem na proteo-
ly tické enzymy řas působil ovšem aktivuj e j ich působnost pouze za světla
a jsa podporován v tom teplem. Přímých dokladů pro tuto domněnku
nemůže přinésti, také nebylo by lehkým postarati se o ně. Nanejvýše snad
parallelitou působení aktivované těmito látkami šťávy z řas resp. enzymu
samotných, z nich isolovaných, dala by se tato domněnka opodstatniti.
Přivedly však výsledky tímto způsobem získané referenta k myšlence,
nechati na kultury řasové působiti trypsinový enzym přímo, a pokusy se
zdařily způsobem neočekávaným. O těchto tedy budiž v následujících
partiích referováno.

Pokusy s trypsinem.

Než přejdeme k vylíčení pokusů trypsinových, nutno registr ováti
některá pozorování, jež mají jistou důležitost pro posouzení účinu tryp¬
sinu na změnu barvy chlorofyllové našich řas.

Jak již bylo zmíněno, objevovaly se v kulturách Chlor ell, jež byly
vedeny na uhlohy drátových substrátech (sladinka, sladinka + uhlo-
hydráty, Ar t ar i + uhlohy dráty), zelené povlaky kultur prorvány občas
ostrůvky barvy naprosto odlišné, bílé, žluté, nej častěji však krásně oran¬
žově žlutě až oranžové ,,aurea". Dostavovalo se tvoření jakýchsi sektorů
barevných tak, že celá kultura připomínala nějakou sektorielně ,,aurea“
panašovanou rostlinu. Zjev tento pozoroval referent ve svých kulturách
jmenovitě u Chlor ella variegata Kr., Chl. varieg. Beij. a Chlor ella z Lipska.
Zvláště pak dostavovaly se a krásně vybarvovaly tímto způsobem kul¬
tury, jestliže v thermostatu na sladince koncentrovanější poněkud roz¬
rostlé nechány vegetovati v zimních měsících ve tmě v nevytopené, stu¬
dené místnosti (temp. 10° C i méně). Tu přiházelo se někdy, že i Chlorclla
rostla z části ve voluminésním povlaku barvy žluté, na kterémž místy
objevovaly se isolované ostrůvky, častěji pouhé bodovité podoby, temně
zelené. Jest to zjev objevování se tak zv. ,,sekunderních kolonií" v kul¬
turách, zjev na jehož základě mutování, mutabilita u četných mikrobů
byla dokázána. V těchto „sekunderních" koloniích objevují se totiž massy
mikrobů, jež náleží k téže specii, jako kultura kmenová, nicméně liší se
od ní některými význačnými vlastnostmi jako tvarem, barvou, fysiologicko-

Ú Euler Hans, Allgemeine Chemie der Enzyme. 1910.

XLVI.

2*

18

byly stanoveny a vybízejí ku prohloubení studia u řas také v tomto
směru.

Etiolování vyvoláváno bylo v pokusech referentových také jinými
substancemi než určitými uhlohy dráty nebo látkami jim podobnými. Jak již
vyloženo, také K N 03 působil tímto způsobem, slaběji leucin. Co se týče etio-
logie působení, nebyly zvláštní pokusy elektivní vykonány k bližšímu vy¬
světlení, zda anion.tu či kat iontu zde větší váha přísluší, zda u minerálně
sole též jiných kationtů by bylo možno užiti, zda také jiné aminokyseliny
podobným způsobem by byly účinný atd. Ku podivu existují ale v litera¬
tuře údaje o shodné působnosti právě KN03 i leucinu a sice jako akti¬
vátorů trypsinu. Co se týče leucinu, nalezl Wohlgemuth,1) že trypsin
žlázy pankreatické stává se účinnějším, nechá-li se žláza před užitím delší
čas ležeti. To přivedlo ho na myšlenku, zda aminokyseliny nejsou příči¬
nou tohoto zjevu. Vskutku ukázalo se, že glykokoll, alanin a leucin zře¬
telně aktivují činnost trypsinu pankreatického, tyrosin však toliko slabě,
kdežto kyselina glutaminová a asparagová byla zcela inaktivní. Nicméně
ukázaly se při pokusech některé nepravidelnosti ; při glykokollu zdařilo se
z desíti pokusů aktivování 6 X , u alaninu 5 X , leucinu též 5 X . Wohlgemuth
domnívá se, že koncentrace zde mohla hráti určitou roli. Zvláštním způsobem
shledáváme se ale s podobnými odchylkami právě také při působení K N 03
na činnost jisté proteasy. Gromow (cit. dle Palladina 2) pag. 440 seq.)
shledal, že K N 03 značně stimuluje činnost proteolytického enzymu, jenž
jest obsažen v zyminu. Zaleskl však nemohl stáno viti žádného účinku této
soli na proteolytický enzym semen. Lewitzky byl s to, aby potvrdil údaje
Gromowovy co se týče zyminu, na klíčení rostliny pšeničné však K N 03
nepůsobil. V jednom případě může tedy látka tato stimulovati, v druhém
nikoli. Z toho následuje, že působení její nemůže býti bezprostřední.
Palladiu se domnívá (pag. 441), že vlivem jejím měněno jest milieu fer-
mentu výhodným pro výsledek akce způsobem právě tak, jako alkali
stupňuje katalytický účinek kolloidní platiny.

V našich pokusech vyvolával K N 03 slabé žloutnutí u Chlor elly na
sladince pěstěné, a sice ve světle. Intensivně působila (vArtariho mediu
s glukosou) tato látka na Stichococcus majus a sice též intensivněji ve
světle než za tmy. Zároveň se ukázalo příznivé působení vyšší tempera-
tury na zbělení. Není možno vykládati, že K N 03 působil osmoticky na
řasu. Neboť ve tmě v pracovním pokoji, kde nebylo takové vlhkosti jako
v teplé komoře (ve skříni), a kde tedy látka mohla osmoticky působiti,
objevilo se na KN 03 u Stichococcu vzdor tomu intensivní sezelenání krásných
kultur, kdežto ve tmě v teplé komoře, ač méně intensivní, etiolování.
Světlo tedy sesilovalo působení dusičnanu. Výkladu, že v našich pokusech

!) Wohlgemuth J., Zur Frage der Aktivierung des tryptischen Fermentes
im menschlichen Korper. (Biochemische Zeitschrift, II. Bd, 1906, pag. 264 seq.)

2) Palladin W., tlber die Wirkung von Giften auf die Atmung lebender und
abgetoteter Pflanzen (Jahrbucher fur wissensch. Bot. 1910, Bd 47, pag. 431 seq.).

XLV1.

17

přidáno k vodě 10% saccharosy nebo dextrosy nebo ještě lépe saccharosy
+ kalciumnitrátu, že dostavilo se brzké sezelenání. U etiolovaných lístků
pšeničných dostavilo se sezelenání i tehdy, když ponechány byly na světle
na pouhé destilované vodě. Zkouška Fchliugova s etiolo vánými listy uká¬
zala, že pšeniční rostliny, i když byly bez cukru pěstovány, chovaly značné
množství rozpustných uhlohydrátů: 5 dnů etiolo vaně na 100 g čerstvých
listů 2-67 g, 10 dní staré 0-85 g (1891, pag. 231). Etiolované listy bobu na¬
proti tomu, ačkoli chovaly železo, rozpustných uhlohydrátů nechovaly.
Palladiu soudí právem: bez cukru není sezelenání. V jiné práci (1897, pag.
394) ukazuje, že toliko určité uhlohydráty to jsou, jež mohou favorisovati
tvorbu chlorofyllu u etiolovaných rostlin: saccharosa, raffinosa, glukosa,
fruktosa, maltosa, glycerin, galaktosa, laktosa, dextrin. Jiné substance že
jsou bez vlivu na sezelenání: inulin, tyrosin. Jiné konečně že retardují
nebo i zabraňují úplně tvoření chlorofyllu: mannit, dulcit, asparagin,
močovina, ethylalkohol, šalmiak, kyselina chino vá. Parallelu k našim po¬
kusům s řasami sice zprávy Palladinovy netvoří, nicméně tolik je jisto,
že jsou určité substance, které i u vyšších rostlin, fanerogam, tvoření chloro¬
fyllu - — - zde toliko na světle — vybavují, jiné dopouštějí, jiné konečně
znemožňují. Palladiu nalezl také, že toliko do určitých koncentrací může
jiti působení příznivé zmíněných uhlohydrátů; stanovil posléze, jaká jest
pravděpodobná příčina nepříznivého působení vyšších koncentrací těchto
látek (1902, pag. 225 seq ). Vystavil určité množství etiolovaných listů od
Vida Faba po 24 hodin a) působení 10% saccharosy, b) 30%ní, obě na světle a
určil po té množství uhličité vydýchané oběma porcemi během 24 hodin.
U a) vyloučilo 100 g v 1 hodině 150-2 mg C 02, u b) 54*3 mg C 02. Dýchací
koefficient listů, vystavených působení saccharosy po 8 hodin obnášel

s= 3-54. Byl-li roztok cukru slit,: PP2 = 0-96.

02 J 02

Koncentrovanými roztoky saccharosy byla tedy absorbce kyslíku
velmi deprimována a nastoupilo dýchání intramollekulární. Tyto roztoky
samy o sobě nemohly poskytovati materiál ku tvorbě chlorofyllu ; nicméně
působily na etiolované listy nepřímo. Seslabovaly oxydační processy a
netoliko že tím zpozdovaly tvoření chlorofyllu, nýbrž i dokonce ho po¬
tlačovaly.

Bohužel platí výsledky práce Palladiuovy pouze pro vysoké kon¬
centrace, dále nevíme, jak působily na oxydace monosy. Na naše resul-
táty s řasami tím méně jest dovoleno vztahovati beze všeho tato fakta,
že nemáme kvantitativních údajů převedených na určité a stejné množství
živé hmoty resp. sušiny kultur řasových o dýchání těchto organismů na
různých uhlohy drátech. ( Palladiu konaje pokusy s molekullárním a in-
tramollekulárním dýcháním řasy Chlor othecium saccharophilum na různých
mediích nechal dýchati jednu a tutéž ,,Rollkulturu“ ve vzduchu, resp.
H2, a nesrovnával jednotlivých kultur navzájem.) Nicméně jisté analogie
o účinku různých látek na sezelenání jak u řas tak u fanerogam

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 46. 2

XLVI.

16

2. T. komora, světlo; vedle kultur stály etiolované Salixy, jež v době
protokolu měly lístky již světle zelené:

Původní pahrbek bílý až na jeho hraniční uzounkou obrubu, a jej
obklopující na agaru as 2 cm zšíří zónu, barvy distinktně světle zelené.

3. Okno v pokoji pracovním. Původní massa bílá; při jedné straně
její utvořila se asi 4 x jí větší zóna, sestávající z řas, v tenkou kožku se
rozmnoživších, intensivně trávově zelená.

II. Po měsíci:

1. Původní ostrůvky bez obruby, kol nich úzká massa, slabě nazele¬
nale žlutá.

2. Ostrůvky původní massy bílé, kol nich temně zelená obruba již
asi 4 cm široká. Také na agaru se utvořivší zvolna zelená.

Sezelenala tedy na světle toliko ta individua, jež rozmnožila se po
agaru, dále pak ty části přenesených kultur, jež nacházely se na periferii
původních mass. Největší však část řas nebyla s to, aby sezelenala, tře¬
baže byla vlivu glukosy zbavena ; bez tvoření nových individuí nej sou
tedy zbělené kultury Chlorell schopny sezelenání. Na tomto faktu nic ne¬
mění okolnost, že kraj očkovacích mass sezelenal; sestávali z individuí,
jež dostala se pod vliv agaru a následkem toho patrně se rozmnožovala.
Také je jednostejno, jestliže v ,, populaci" okraj ní rozmnožila se a seze¬
lenala individua, jež této schopnosti nebyla pozbyla, neboť střed massy
zůstal nezměněn, a o ten se právě jednalo, a sezelenání objevuje se pravi¬
delně, očkuj e-li se z bílých kultur glukosových na sladinku bez glukosy
s maltosou a vůbec na media, jež dopouštějí vývoj chlorofvllu.

Že tedy zbělená individua jsou i ve své organisaci (strukturách?) valně
pozměněna, pro to svědčí dle náhledu autorova fakta tato rozhodně. Za¬
sahují tedy media glukosová imediatně a hluboce ve vývoj i differenciaci
těchto organismů.

Jak vysvětliti se stanoviska biochemického působení glukosy, resp.
které pochody chemické, jak nadcházejí v buňkách řas, attakuje glukosa,
o tom lze činiti pouze dohady. Ne bez důležitosti pro tuto otázku jsou
údaje Palladinovy1) (1891, 1897, 1902 a 1911), jež týkají se sezelenání
vyšších rostlin a závislosti tohoto pochodu od určitých látek, jež bud v rost¬
linách samotných se nacházejí, či roztokům, v nichž části etiolované jsou
nechány vegetovati, jsou přidány. Palladiu pozoroval, že etiolované listy
od Vicia Faba, chované v destilované vodě nesezelenaly, bylo-li však

0 Palladin W., Ergrůnen und Wachsthum der etiolierten Blátter.( Berichte
d. deutschen botan. Gesellschaft, 1891, pag. 229 seq.).

Palladin, Recherch.es sur la formation de la chlorophylle dans les pian tes
,, (Revue génerale IX. 1897, 384 seq.)

,, EinfluB der Concetration der Lósungen auf die Chlorophyllbildung

,, in etiolierten Bláttern (Berichte d. deutschen bot. Gesellschaft 1902„

,, 20, pag. 224 seq.).

,, Pflanzenphysiologie. 1911, pag. 17.

XLVI.

15

•porušená, snad chloroplasty degenerované, neboť během této doby u nor¬
málních, etiolo váných rostlin, jež jsou vystaveny světlu téže intensity,
již dávno dostavuje se tvoření chlorofyllu-assimilace. Pozoruhodno je, že
základní bílé kultury, jež vzaty byly k pokusu, byly teprve 5 dní staré,
tedy čerstvé; nemohlo se tedy v nich nacházeti větší množství individuí
odumřelých nebo degenerovaných stářím.

Byly schopny žluté kolonie řasové assimilace? Otázka tato interes-
sovala referenta vzhledem k údaji Engelmannove, který pomocí bakteriové
methody nalezl distinktní třebaže slabou assimilaci v listech klíčních rostlin
Nasturtia a vzhledem ku zprávě Ewartově1) (pag. 554 seq.), který zjistil
slabou schopnost assimilace etiolovaných kotyledonů od Helianthus annuus,
Cucurbita Pepo a primárních listů Phaseolus multiflorus, u kterýchžto rostlin
sekundární listy etiolované nejevily této schopnosti. O tom informovala
autora II. serie pokusů.

II. Kultury 14 dní staré na Sl. zř. + 1-5% glycerinu, krásně roz¬
rostlé, typicky slamožluté. Několik preparátů učiněno, takže také individua
z krajů kultur přišla v pozorování. Bakteriové preparáty (také ve Sl. zř.
+ 1-5% glyc.) s řasami jen v jednom případě ukázaly slabý pohyb bak¬
terií, později však nižádný, u ostatních pak ani po 2 hodinách nebyl kon¬
statován pohyb. V téže tekutině s bakteriemi zelená Chlor ella ze staré
kultury jedné se zřed. sladinkou jevila po zatmění i osvětlení čilý pohyb
bakterií i po 2 hodinách.

Barvivo Chlor ell glycerinovou kulturou ve žluté vybarvených nebylo
tedy s to, aby assimilovalo ; patrně nenacházelo se v nich ani stopy po
chlorofyllu, ba ani ty matečné substance chlorofyllu, jež na světle rychle
by dovedly sezelenati, nebyly v nich vytvořeny, resp. bylo vývoji jich gly¬
cerinem zabráněno. I ve žlutých kulturách, jak jejich vznik určité látky
uhlíkaté vybavují, jest tedy organisace individuí řasových značně abnormní
oproti normálním zeleným individuím.

L Dále zkoumáno, zda mohou bílé povlaky kolonií Chlor elly po pře¬
nesení na medium indiferentní, jež dovolovalo by jim samotným t. j. bez
přístupu látek zelenání vyvolávajících sezelenati čili tak jak jsou, t. j. bez
pomnožováni následního individuí, nabýti opět chlorofyllu po delší době. Na
agar filtrovanou vodou z vodovodu i destilovanou vypraný, s povrchem
asi 3 — 4 cm 2 velkým, šikmým a suchým přeneseno velkým očkem plati¬
novým množství bílé massy Chlorelly, pěstované po 14 dní na Sl. zř. + 2%
glukose opatrně tak, aby se řasa nerozlezla.

I. Po desíti dnech.

1. Teplá komora, tma: Původní massa bílá, jen kol dokola pahrbku
zóna velmi slabě žlutozelená.

x) Ewart A. J., Further Observations upon assimilatory Inhibition. (The
Journal of the Linnean Society 1895, XXXI, Botany.)

XLVI.

14

váných, resp. jakým sledován byl vznik chlorofyllu Liro-em1) u rostlin
etiolovaných. Než základní plán práce referentovy směřoval jinam, otázka
tato jevila se mu s jeho hlediska poněkud podružnou i nevěnoval se řešení
jej ímu.

Že vskutku zjev sezelenávání resp. ztráta chlorofyllu u řas vlivem
složení substrátu může býti složitějším než se na prvý pohled zdá, tomu
nasvědčují některé zmínky v práci Matruchot - Molliardově, které při
nej menším vybízejí k novému mikroskopickému vyšetření a sledování
zjevů těchto. Jmenovaní autoři udávají (1902, pag. 258 a 328), že buňky
Stichococcu pod vlivem dextrosy a levulosy netoliko ztrácejí tou měrou,
jakou se v nich objevují kapky olej né, ,, degenerace olejová", chlorofyll,
nýbrž že i chloroplasty samy pozbývají svých určitých kontur, zdají se
jakoby rozplývati až zmizejí: ,,le leucite deviant trěs flou ou disparait com-
phětement." Potvrzení této zprávy bylo by ovšem velmi žádoucí. Vždyt
i na údaje Ternetzové o etiolované meziformě Eugleny a konstantně
hyalinní světelné formě mohly by vrhnouti jisté světlo. Pro naše pokusy
vyplývalo by z nich, že jmenované monosy značně hlouběji zasahují do
života buňky řasové. Z té příčiny jevilo se referentovi žádoucím zjednati
si bližší informace o některých fysiologických schopnostech buněk chloro¬
fyll z části či úplně ztrativších, jmenovitě dovedou-li opět sezelenati a
jak brzy. Nej lepší methodou pro to byla ovšem Engelmannova bakteriová,
jíž tedy užito. Aranžování pokusů bylo totéž, jak vylíčeno v I. díle práce.
Každá zkouška provedena s více preparáty.

1. Z kolonie bílé, vyvinuvší se na agaru se Sl. zř. (1:4) -j- 2% glukosy
během pěti dnů, přeneseno do kapky se sladinkou téhož složení (+ 2% gl.)
něco řas i Bacterium fluor escens. Neobjevil se pohyb jich ani hned ani po
půl dni až po 24 hod. V kapce se zřed. sladinkou + 2% glukosou bez
řas pohybovaly se bakterie dobře, pokud byl jim k disposici kyslík.

2. Zřed. sladinka — kolonie zelené. Kapka se zřed. sladinkou: Assi-
milace dobrá.

3. Zřed. sladinka — kolonie zelené. Kapka se zřed. sladinkou +2%
glukosou. Čilý pohyb bakterií, při lampě i denním světle, jež tedy nejsou
mediem ženovány. Ještě po 20 hodinách (denní, špatné osvětlení) dosti
dobrý pohyb.

4. Chlorella zelená ze zředěné sladinky nechána po 28 hodin v epru-
vetce se zředěnou sladinkou +2% glukosou. V preparátech s touže teku¬
tinou ukázal se v brzku zcela čilý pohyb bakterií. Tato tekutina nealteruje
tedy ani po delší době Chlorell.

Bílé Chlor elly, jak se ovšem dalo očekávati, nemohou assimilovati.
Nedovedou ale ani sezelenati, ačkoli nebylo látek v mediu, jež by tomu
mohly překážeti, ani během 24 hodin. Musí tedy organisace jich býti velmi

ý Liro J. Ivar, Ueber die photo chemische Chlorophyllbildung bei den
Phanerogamen . (Annales academiae scientiarum fennicae, Ser. A., Tom. I, No 1, 1908.)

XLVI.

13

+ 2% dextrosy objevilo se zabarvení světleji zelené než jaké bylo v téže
době (asi po 3 nedělích) bez dextrosy. NaArtarim +1% glukosy -f-0-3%
leucinu ještě světleji zelené. V modrém zvonu na obou ústředích objevila
se temnější zeleň než pod bichr ornátovým. V modrém zvonu v téže době
byla barva kultur světlejší než na diff usním světle v pokoji a valně
tmavší než v diff usním světle v teplé komoře.

Protococcus vulgaris a gonidie z Xanthoria parietina, obě řasy dle iso-
lací prof. Beijerincka, pěstěny v teplé komoře na sladince zřed. (1 : 4 H20),
Sl. zř. + 2% dextrosa, Sl. zř. +2% maltosa. U Xanthorie pozorován vzrůst
poněkud lepší než u Protococca a sice lepší ve tmě než na světle. Ani ujedná
ani u druhé řasy nebylo však možno označiti intensitu jeho za normální,
organismy rostly pomalu. Při tom nejevil se rozdíl v zabarvení jich, jež
bylo temně zelené.

Shrneme-li výsledky těchto pokusů, tu především nutno pointo váti
neobyčejnou citlivost Chlor ell vůči různým uhlohydrátům resp. látkám
uhlíkatým živného substrátu. Citlivost tato umožněna byla ovšem značně
vhodností základní půdy kulturní. Resultáty, jichž dosaženo, co do effektu
kryjí se do značně míry s pracemi dřívějších autorů o zjevu změny barev
řas. Není možno však zamlčeti některých růzností. Byly přivozeny hlavně
větším varírováním pokusů, než jak dosud bylo prováděno. Právě pak od¬
chylky tyto dle mínění referentova ukazují, že názorem Chlodatovým o vý¬
znamu dusíku při sezelenání řas (Schindler 1. c. pag. 570 zdá se, že po¬
jímá tyto příčiny poněkud šíře právě: ,,Dieser Farbenwechsel wird in letzter
Linie stets bedingt durch die infolge der Vermehrung der Fáden eintre-
tende Verringerung der zur Verfúgung stehenden Náhrsalze , vor allem des
Stickstoffs“) nevystačíme pro všecky případy — jmenovitě příjímáme-li
přímé působení peptonu jakožto výživně-fysiologického faktoru.

Na druhé straně ale jest potřebí uvážiti, zda nezahrnuje v sobě
otázka dusíku několik parcielních problémů, z nichž při jednom ananžo-
vání pokusů zračitě ji vystoupí ten, při druhém onen. Při tom pak není
vyloučeno, že i názor Chodatů v netvoří než součást této komplikované
,, otázky dusíkové". Z dalších zpráv referentových vysvitne snad opráv¬
něnost mínění jeho, že bylo by potřebí celý problém podrobněji zanaly-
sovati. Ty výsledky ovšem, které z jeho práce o tomto sujetu až dosud byly
vyloženy, nejsou ničím jiným než několika, a to ještě jen z části, hlasy
vypracovanými z komplikované partitury na text: změna barvy chloro-
fyllu. Až přejde řešení otázky chlorofyllové z rámce čistě chemicky-deskrip-
tivních prací do stadia studií fysiologických, pak podaří se snad jednotlivá
themata precisněji stanovití. Na základě dosavadního materiálu bylo by
možno aspoň spektrálně analyticky sledovati změnu barev u řas způso¬
bem jakým to bylo provedeno G. Kránzlinem1) u četných rostlin panašo-

x) Kránzlin, G. Untersuchungen an panaschierten Pflanzen. (Zeitschrift ůir
Pflanzenkrankheiten, XVIII, 1908, pag 193 seq.)

XLVI.

12

centrovanější sladince (zředění 2:3) objevilo se s glukosou po čase sežlout-
nutí, na světle ovšem temnou zelení žlut ozeleň toliko prosvítala. Zdá se
však, že rozdíly tyto oproti Chlor ellám byly toliko stupňovité. U těchto řas
totiž, j ak vyloženo, pod vlivem dextrosy objevovalo se úplné zblednutí velmi
záhy a bez rozdílu, zda kultury stály na světle či ve tmě. Kdežto u Sticho-
coccus dextrosa vybavovala pouze žloutnutí, aniž by zelený ton v kultu¬
rách zmizel úplně. Takže sezelenání na světle mohlo býti vybaveno vytvo¬
řováním řase vlastních assimilátů. Při použití jodu jeví se totiž v buňkách
Stichococca, jež vegetovaly bez dextrosy na světle, intensivní zhnědnutí
až zčernání, tak jakoby assimilaění produkt této řasy byl uhlohydrát již
blízký škrobu. U Chlor elly však, jak řečeno, hromadí se v buňkách jako pro¬
dukt assimilace glykogen. Takže substrát kultur na dextrose pěstěných na
světle jakoby zároveň obsahoval, jednodušeji řečeno, škrob také. Ostatně
také u Chlor elly na laktose nebo dextrinu objevovalo se ve tmě pouhé se-
žloutnutí, nikoli zbělení a v téže době na světle intensivní zeleň, tedy látky,
které za tmy působí slaběji, za světla jevily ještě slabší účinek.

Apartním způsobem projevovalo se oproti tomu působení dusič¬
nanu draselnatého (0-5%) a leucinu (0-3%, Artari — jinak bez dusíku —
1% glukosy). Za tmy v pokoji, ještě i po jednom měsíci, byly totiž kultury
s dusičnanem temně trávově zelené. Při tom byly krásně vzrostlé, takže
není možno souditi, že by K N 03 působil osmoticky na vývoj řasy. Kdyby
tento effekt byl se dostavil v teplé komoře ve skříni, snad by se byl mohl
přičítá ti vlhkosti, jež v ní panovala a eliminování osmotické, škodlivé pů¬
sobnosti dusičnanu. Poněvadž však v pokoji panovalo značnější sucho,
než v teplé komoře ve skříni, nemožno činiti zodpovědným za výsledek nic
jiného, než vyloučení škodlivého působení světla za přítomnosti dusičnanu.
Neboť nápadným způsobem na světle — k disposici byly jen kultury v teplé
komoře — objevilo se na tomto substrátu již po třech nedělích skoro úplné
zbělení. Poněvadž však v teplé komoře také ve tmě se zbělení dostavovalo,
třebaže po velmi dlouhé době — po měsíci byly zde ještě stopy zeleni —
je vidno, že k účinku světla přistupovala ještě temperatura okolí. Tedy
dusičnan za vyšší temperatury a za světla přivozoval intensivní až úplnou
ztrátu chlorofyllu, kultury byly po čase úplně bílé. Podobně, jen pomaleji,
působil leucin. V tomto případě zdá se referentovi naprosto nemožným,
vy kláda ti zjev jakoby pošlý z nevhodného poměru látek dusíkatých ku
uhlohy drátům. Naopak působení světla vystupovalo zde v popředí, effekt
byl fotochemické povahy, aktivovaný vyšší temper a tur ou, upomínající
tedy na urychlování tak četných pochodů čistě chemických teplem a
světlem.

V monochromatickém světle vesměs objevoval se krásný vzrůst.
Na zředěné pak sladince (1:8) jak pod žlutým tak pod modrým zvonem
držela se zelená barva dosti dlouhý čas, posléze však nastoupila velmi
značná depresse ve výrobě chlorofyllu. Při tom v prvém prostředí kultury
staly se úplně bílými, v druhém špinavě žlutobílými. Na téže sladince

XLVI.

11

umělým vpravováním enzymů v tělo řasové působiti na některé processy
biochemické jejich. Dalo se oěekávati, že měly-li by tyto látky vliv na stavbu
chlorofyllu, že budou řasy reagovati změnou barvy jeho, budou-li přinuceny
enzym absorbovati. Jednu část plánu tohoto realisoval referent pokusy
svými o vlivu trypsinu na zabarvení chlorell; výsledky jejich budou vy¬
líčeny později.

Lisovaný agar (jedna z nej čistších obchodních sort) vypírán byl po
14 dní proudem filtrované vody z vodovodu lipského a po té po několik
dní destilovanou vodou. V něm rozpuštěny součásti minerálního roztoku
Artariho s N H4 N 03 a různé uhlohydraty: + 2% dextrosa (Merck, puriss.),
2-5% maltosa, 0-5% glykogen Grůblerův. V každém oddělení pokusu za¬
loženo 6 i více rourek. Epruvetky ty drženy v úplné temnotě, v teplé ko¬
moře i v pokoji, v obalech velmi řádně upravených a byly jen při kontrole
na kratičký čas vystaveny světlu. V sériích v pokoji pracovním otevřeny
až po 1 a 2 měsících. Výsledky pokusů úplně potvrdily data, jež byla získána
u Sl. zř. s různými uhlohydráty. Barva na všech třech uhlohydrátech byla
zcela jinakého tonu a poněvadž pokusy konány v nej přísnějším zatemnění,
není možno pochybovati o tom, že všecky tyto uhlohydráty byly assimi-
lovány. Při tom dokonce vzrůst na glykogenu úplně se vyrovnal vzrůstu na
glukose a jmenovitě v pokoji mohl být i označen jako pěkný. Byla pak barva
na glukose s počátku bělavá, posléze čokoládově šedá, ale úplně beze stopy
po zeleni. Na maltose nazelenalá, posléze trávově zelená. Na glykogenu
v Tk žlutozelená, ačkoli distinktně, posléze jasně, v pokoji světle zelená.
Rozdíl oproti glukose byl frappantní, že glykogen byl tedy assimilován a
působil na vývoj chlorofyllu, o tom nemohlo býti pochybnosti. Jelikož pak
tato látka jako normální produkt výměny látek v těle řasy naší se objevuje
a sice ve značném množství, zdá se referentovi stěží myslitelným, ačkoli
o částečné pravdivosti výkladu Chodatova nemusí býti pochybováno, že
by attakovala nějak processy assimilace látek dusíkatých. Spíše speci¬
fické její potence chemické se při sezelenání uplatňovaly a vice versa glu¬
kosy při zbělení. (. Ruhland }) 1913, pag. 515 tvrdí, že glykogen ne vniká do
buněk vyšších rostlin )

XJ Stichococcus ( Stichoc ., serie 1) objevily se poměry poněkud odchylné
a dosti zvláštní. Především rostla tato řasa za obyčejné temperatury po¬
někud lépe než v teplé komoře. Nicméně objevil se v obojím prostředí vliv
uhlohy drátů stejný, totiž žloutnutí kultur vlivem dextrosy (na Sl. zř. v po¬
měru 1:4). Na Sl. zř. asi po jednom měsíci objevila se barva tmavě zelená,
tolikéž na tomto mediu s 2% maltosy. Na světle byla zeleň ještě více stup¬
ňována. S 2% dextrosy však objevila se v téže době za tmy žlutozeleň,
na 4 resp. 8mi procetní ovšem teprve po značně dlouhé době ; na světle bylo
sežloutnutí slabší, event. objevila se zde vzdor dextrose zeleň. Také na kon-

Ú Ruhland W., Zur chemischen Organisation der Zelle. (Biologisches Central-
blatt 1913, XXXIII, pag. 337 seq.)

XLVI.

10

bílá resp. bledožlutá vzdor tomu, že rovnováha mezi dusíkem organickým
a uhlohy drátem zde byla. I v tomto případě přicházely asi k platnosti
specifické nějaké chemické vlastnosti glukosy.

Další serie pokusů provedena byla tak, že kultury vloženy pod ba¬
revné Senebierovy zvony. (Chl. 4. serie.) Seibertovým mikrospektralním appa-
rátem se srovnávacím prismatem zkoušený zvon s dvoj chromanem dra¬
selná tým absorboval celou modrou partii spektra, objevila se jen červe¬
ná, žlutá a žlutozelená, s kysličníkem mědnato-ammonatým propouštěl
modrou bez zelené a červené. Mělo býti stanoveno, do jaké míry budou
působiti různé partie spektra na intensitu vzrůstu Chlor ell a na barvu jejich
v různých mediích, když tato řasa dovedla tak rychle a pěkně reagovati
na substrátové složení. Zvony nacházely se na tom místě pracovního po¬
koje, kam nikdy přímé světlo sluneční nepřišlo (důležité hlavně pro méně
lomnou část spektra) . Ukázalo se, že pod žlutým zvonem vzrůst na Sl. zř.
a na Sl. zř. + saccharosa (2%) probíhal nerušeně, na témže substrátu s dex-
trosou byl však už slabý. Modrý zvon naproti tomu nezabraňoval vzrůstu
Chlorelly. Co se týče barvy, byla tato na substrátu s glukosou pod modrým
zvonem voskově žlutá, uprostřed bílá. Saccharosa také projevovala se po¬
někud jinak v osvětlení monochromatickém než na diffusním bílém světle.
Pod žlutým zvonem po temně zeleném povlaku bílé skvrny, pod modrým
kultury s bílým krajem (asi celé kolonie byly potaženy bílým povlakem).
Oproti Nadsonovi1) objevil se tedy vzrůst na substrátech s určitou základní
dávkou přirozených živných látek většinou (až na glukosu) nepozměněn.
Na appartn.ějších mediích však nadešly jisté změny, a jest se možno nadíti,
že kombinací monochromatického osvětlení a složení substrátu dosáhlo by
se intensivnějších effektů ve změně barvy u těchto řas.

Při pokusech s vypraným agarem {Chl. 3. serie) zdálo se býti autorovi
nej důležitějším vysledovati, zda působení glykogenu na řasové kultury je
vnější či vnitřní resp. zda glykogen buňkami řasovými vskutku je assimi-
lován. Otázka tato je jisté důležitosti pro naše pokusy na př s maltosou,
inulinem a jinými složitějšími uhlohydráty, poněvadž, je-li absorbována
řasou látka tak vysoce molekulárního složení, jako je glykogen, zajisté
že i působení maltosy, inulinu atd. stěží je pouze vnější při čemž by jen
látky sladinky samé, eventuelně snad kolloidními vlastnostmi inulinu,
rozpustného škrobu atd. ,, zabavené", působily, nýbrž spíše přímým
vlivem na výměnu látek těla řasového se projevuje. Dále podávala se po
příznivém zodpovědění otázky glykogenové možnost, že také jiné látky
vysokých molekulárních složení, na př. enzymy budou řasami assimi-
lovány, a že celá řada otázek bude moci na základě této methody na řasách
býti zkoumána. Tanulť již na počátku pokusů referentovi na mysli plán,

x) Nadson G. A, "Ober den Einfluss des farbigen Lichtes auf die Entwickelung
des Stichococcus bacillaris Nág. in Reinkulturen. (Bull. du Jardin Imp. botanique
de St. Pétersbourg. T. 10, 1910, pag. 137 — 150.) Dle autoreferátu v Centralbl.
f. Bakteriologie, II. Abt. 31, pag. 286. seq.

XLVI.

9

tímto způsobem působil (Mg). Možno je také, že aniont zde zasáhl. Jeť známo
z novějších prací Mazé-ho, že nedostatek síry vyvolává u vyšších rostlin
etiolování, přidáním této ke kulturám, že vyvolá ti lze sezelenání. Bohužel
nutno v našem případě zustati při pouhých domněnkách.

Zcela jinak působilo přidání bios ke sladince. Z nich přidání 2%ní
maltosy v brzku vyvolalo zeleň za tmy tonu trávového, za světla sytého
až tmavozeleného. Maltosa 5ti procentní působila podobně1) a tak také pů¬
sobení koncentrované sladinky velmi pravděpodobně (sytě zelená barva
kultur) jest vyložiti jako působení maltosy resp. ,, přemožení' ‘ dextrosy
maltosou. Ovšem také přítomnost jiných látek dusíkatých (amidy?) muže
padati na váhu ve smyslu výkladů Chodatových. Zajímavo je, že vzrůst ať
na Slzř. ať na Slzř. + dextr. i na Slzř. + malt. byl naprosto stejný, pěkný;
snad dokonce na sladince s glukosou poněkud slabší. I to nasvědčuje spe¬
cifické, chemické působnosti jich resp. glukosy. Saccharosa 5ti i 10ti procentní
působila slaběji než maltosa: ve tmě (T k) vyvolala slabou zeleň, ve světle
intensivní sezelenání. Snad dovede řasa tento uhlohydrát endoenzyma-
ticky snáze štěpiti než maltosu, kteréžto asi assimiluje nerozštěpenou mo¬
lekulu. Účinek, laktosy byl obdobný saccharose, též glykogen podobně se
choval, ačkoli sezelenání nebylo příliš intensivní; dextrin byl obdobně
účinným. Inulin ve tmě vyvolával slabé, na světle intensivní sezelenání.
Vzrůstná tomto substrátěbyl krásný, úplně shodný se Sl. zř. resp. se Sl. zř.
+ dextr., a valně lepší, nežna levulose. Možno z toho souditi, že byl jako
rozpustný uhlohydrát assimilován, že však nepřísluší mu chemické vlast¬
nosti dotčených monos (odtud zelenavý vzrůst na světle, posléze inten¬
sivně zelený) . Škrob (značné sezelenání j ak ve tmě tak na světle) snad z části
také chemicky působil (dovedouť, jak se zdá, některé Chlerelly přece zteku-
covati gelatinu dík svým enzymům peptonisujícím (Chodat 88), takže snad
také exoenzymaticky do určité míry i škrob by byly s to rozkládati. Jinak
bylo by se nutno domnívati, že z odumřelých individuí amylasa vydif-
fundovala, škrob částečně zcukernila — maltosa, zeleň! — - načež zdravá
individua látky tyto absorbovala; vyvinulyť se v některých rourkách
záhy žlutočervené sektory, jež by mohly býti indiciemi jakéhosi ,, zápasu' ‘
s polyosou, nicméně však z největší části k platnosti přicházelo uhlo-
hy drátové působení základní sladinky.

Glycerin působil (k. sladinka) sežloutnutí kultur, mannit ač tolikéž
alkohol (na světle špatný vzrůst) naproti tomu sezelenání.

Dusičnan draselnatý (3%) na Sl. zř. vyvolával většinou na světle
jak v T k tak v pokoji distinktní žluto-zelenou barvu, působil tedy
poněkud jinak než v pokusech Artariho, kdež na světle s K N 03 nadešlo
sezelenání oproti bledým kulturám ze tmy. Uhlohydráty s minerálním
mediem Artariho chovaly se podobně jako na Sl. zř.: Maltosa a škrob vy¬
volávaly sezelenání (také škrob působil tímto způsobem ve tmě), dextrosa zbě¬
lení. Přidání peptonu k dextrose bylo téměř bez účinku, dostavila se barva

l) Možnost ovšem není vyloučena, že choval preparát dusík.

XLVI.

8

podobnosti jevila Chlorella ,, lipská “ snad s Chl. variegata Beij., neboť po
přeočkování na konc. sladinku jevila se po 14 dnech z největší části zelená,
dole nažloutlá, jako Chl. variegata B. Na sladině + dextrose .obě specie na¬
byly voskově žluté barvy (Srovnej protokoll Chlorella, 5. serie). Ku pře¬
hledu celkovému stůjtež zde hlavní data z protokollu: (Viz přílohy 1 — 6.)

Přejděme nyní ke krátkému vylíčení toho, jak se chovala Chlorella
,, lipská1 ‘ na různých substrátech. Při tom interesovati nás bude hlavně,
do jaké míry změnila se zde barva kultur. Za základ pokusů vzata zředěná
(zř.) sladinka. Na ní rostla Chlorella velmi dobře, takže lze již z toho dů¬
vodu stěží vykládati, že účinek přidání určitých substancí (na př. dextrosy)
vyčerpával se relativním nedostatkem jiných (na př. organického dusíka),
jelikož třebaže zředěná, při nerušeném vzrůstu řasy musila chovati látek
ijí potřebných dostatek. Závěr tento zajisté tím oprávněnějším by byl,
kdyby také za přidávání dalších oněch substancí vzrůst dál se tímže tem¬
pem. Pak spíše bylo by lze mysliti na čistě chemické účinky dotčených
substancí než na „výživně-fysiologické" ve smyslu Chodatové. S pokusy se
sladinkou srovnávány byly kultury na minerálním agaru, zde zvláště
ovšem byly důležité serie s agarem velmi pečlivě vypraným [Chl. 3. serie),
jelikož vylučovaly možnost, že Chlorella řasa saprofytická, i nepatrným
množstvím organických látek za vděk asi bráti do vedoucí, reagovala také
na látky, jež jako znečištěniny nacházely se v obyčejném agaru. Na sla-
dince zředěné (1:4 H2 O) pouhé (teplá komora = ,,TK“) i s přidáním dalších
látek, jež později zeleň vybavují, rostla Chlorella v prvních dnech vždy
žlutavě, téměř bez chlorofyllu. Teprve později dostavilo se na ní (i bez
přísad) sezelenání, a sice jak ve tmě tak i na světle, ačkoli zde dostoupilo
po čase větší intensity (Srovnej Chlorella 1. serie). Patrně chovala sladinka
dosti uhlohy drátů, hlavně maltosy, jež byly s to, aby vyvolaly sezelenání.
Přidávání l%ní dextrosy seslabilo poněkud tvoření chlorofyllu. 2%ní glukosa
vybavila v brzku úplnou ztrátu chlorofyllu, kultury nabyly zvláštní, voskově
žlutobílé resp. bílé barvy. To dálo se jak ve tmě, tak na světle. Větší dávka
glukosy (8%) působila zcela obdobně, jen s počátku objevovalo se ještě
trochu zeleni. Jako dextrosa působila i levulosa a cukr invertn.í, připra¬
vený smísením dextrosy a levulosy. (Chl. ze serie 2). Jen vzrůst byl na těchto
mediích slabší (3 — 4 oproti 1 u Sl. zř. a Sl. zř. -f- dextrosa). Také vystu¬
povala při kultivování v pracovním pokoji (obyčejná tempera tura, světlo)
poněkud zeleň, kdežto Sl. zř. + dextr. byla zde úplně bez nádechu do ze¬
lena. Užité monosy vybavovaly tedy intensivní zbělení kultur. Přidání
síranu hořečnatého u Sl. zř. + 2% dextr. přivodilo na světle (T k) slabé
sezelenání. Poněvadž nebylo pozor o vat i, že by vzrůst na tomto mediu byl
slabší, možno spíše souditi, že Mg S04 byl kulturám ku prospěchu. Snad
antagonisticky “ oproti dextrose paralysoval některé její účinky chemické,
snad jakožto látka dle Willstáttera1) účastnící se na stavbě chlorofyllu,

x) Willstátter Richard u. Stolí Arth., Untersuchungen uber Chloro-
phyll. 1913. Berlin, Springer.

XLVI.

7

renoidy (Chodat, pag. 85). Na mediích s glukosou ztrácejí buňky zelený
pigment, v buňkách objevuje se pak množství kapek olejných (Matruchot
& Molliard). Reservní látkou uhlohy drátovou jest u nich glykogen,
jenž prozrazuje se hnědočerveným zabarvením celé téměř buňky u velkých
individuí po užití jodjodkalia. Rozmnožování děje se endogenně tím způ¬
sobem, že mateřská buňka rozpadne se v četná malá dceřinu á individua,
jež eventuelně i delší čas po degenerování mateřské blány pohromadě
zůstávají. Dceřinn.é buňky tyto se nepohybují (Chodat 85). Beijerinck
však 19121), pag. 55) uvádí pozorování H. C. Jacobsena, jemuž podařilo se
v několika případech nalézti u Chlor ella variegata v kulturách na agaru
s vodou z vodovodu a solemi malé, podlouhlé, monociliatní spory, asi
po 16 v jedné buňce, které se po uvolnění volně pohybovaly.

Nejlépe reagoval referentovi kmen, jejž obdržel od prof. Miehe-a
(Lipsko). Kmen tento pocházel z hygienického ústavu university berlínské
a sice z jedné kultury, jež byla označena jako Saprolegnia (patrně tvořil
znečištěninu bývalé saprolegniové kultury). Kromě toho užito ke srovnání
specií Chl. protothecoides Kruger, Chl. variegata Krúger, Chl. variegata Bei-
jerinck-Palmellococcus variegatus Chodat (pag. 116) a bezbarvé ,,houbo-
řasy“ Prototheca betulae Bei. Všechny tyto specie získány byly z botanického
ústavu prof. Chodata v Genevě. Kromě toho děkuje referent prof. Bei-
jerinckovi v Delftech předání kultur Stichococcus majus, Protococcus vul-
garis a gonidií z lišejníku Xanthoria parietina. Kultury Chlor ell výborně
se dařily ve světle i tmě v teplé komoře (v protokollech ,,TK“) ústavu
Pfeffrova. Vrstvy vzduchové této místnosti zvláštní výbornou regulací
tepla vytápěny jsou konstantní temperaturou od 22 — 32° C. Pro většinu
pokusů zvolena výška 25° C. Stichococcus vegetoval lépe v pracovním po¬
koji níže temperovaném. Nacházely-li se kultury na světle, bylo to osvět¬
lení diffusní ; přímé paprsky sluneční k nim nepřipouštěny. Za tmy nacházely
se kultury v dobře uzavřených skříních, přikryty černým lepenkovým
poklopem, jenž nad to ovinut černou látkou. Toliko pevných medií užíváno
ke kultivování z toho důvodu, že tekutá media, any řasy vyvíjejí se toliko
na dně nádobky, mohla, zvláště ve tmě, trpěti nedostatkem kyslíku. Vzhle¬
dem k vyšší temperatuře teplé komory a některým pokusům za zvláště
vysokých teplot užíváno všady agaru 3%ního. Většina pokusů provedena
s mladinkou, na níž se Chlor ellám zvláště výtečně daří. Normální sladinka
lipská, černá, k pivu ležáku, měla stupeň cukernatosti 18 — 20; pražská
světlá kol. 10. Za minerální roztok pro Chlorellu užito dle Artariho (Pringsh.
46. pag. 444) (v deštil, vodě) N H4 N03 0-25%, K2 H P 04 0-1%, Mg S04
0*025%, stopy CaCl2 a Fe2Cl6. Pro Stichococcus pak vzato K H2 P 04
0*2%, Mg S04 0*1%, Ca Cl2 0*02%, Fe2 Cl6, glukosy 1% a k tomu dusík
v různé podobě. Šikmý agar, podélný roztěr. U srovnávaných specií nejvíce

x) M. W. Beijerinck, Mutation bei Mikroben. (Folia microbiologica 1912,
pag. 4 seq.)

XLVJ.

6

nými uhlohy dráty živnými. Nicméně toliko u třech prvních zbarvení ob¬
jevuje se světle zelené, na galaktose však, ačkoli vývoj fedruje téměř
stejně jako látky předchozí, intensivní zeleň. Je tedy dosti lhostejno, zdali
dodávaný cukr je ketosou (fruktosa) či aldosou (galaktosa). Na dulcitu
zase vývoj jde velmi špatně před se, právě tak na arabinose. Nicméně zeleň
na dulcitu je tmavá, ba nej tmavější ze všech medií, na arabinose světlá.
U Stichococcus bacillaris Naeg. nalezl Chodat, že kultury s 2% glukosou
(minerální agar Detmerův) na světle jsou světlozelené, ve tmě čtyři¬
kráte tmavší; se saccharosou že rostou stejně intensivně ve tmě jako na
slunci, též že blednou, na světle však více, než ve tmě. Také na maltose že
blednou ve tmě i na světle, ačkoliv je slabším zdrojem uhlohy drátovým,
než předchozí. Glycerin je stěží assimilován, ve tmě na něm řasy se téměř
nevyvíjejí: v souhlase s tím zelená barva kultur se dlouho udržuje a na světle
seslábne — látka, která je velmi málo assimilovatelná, neattakuje vývoj
chlorofyllu na světle. Pepton, v dávkách 24 — 4°/00 přidáván ke glukoso-
vým mediím, vybavoval u Stichococca pěknou zelenou barvu (pag 150).

Doplňkem nutno ještě poznamenati, že Boresch1) a Schindlef) vy¬
světlili zvláštní hnědnutí svých řasových kultur ( Boresch : Phormidium
corium, Schindlef. Phormidium autumnale, Oscillatoria formosa, Oscillaria
limosa) nedostatkem živných látek, jmenovitě dusíku, jenž přivozovám bývá
vyčerpáním kultur po jisté době. Přidání nových dusíkatých látek k od¬
barveným povlakům vyvolá původní chlorofyllové i fykocyanové zabar¬
vení, tolikéž přenesení kultur starých na čerstvé půdy. Boresch pozoroval
dokonce již po jednom dni, že dostavilo se sezelenání ve zhnědlé kultuře,
vhodil-li zrnko K N 03 do jejího středu. (1. c. pag. 148; u Boresche i další
literatura týkající se podobných zjevů).

Přejděme k resultátům práce referentovy.

Původně bylo vycházeno od myšlenky, zda nedalo by se hojnou vý¬
živou uhlohy drátovou dosíci u zelených řas inaktivace fotosynthetické assi-
milace. Pokusy, které ve směru tomto byly započaty, v brzku však byly
přerušeny z toho důvodu, že zhusta dostavovala se na těchto mediích ztráta
chlorofyllu. Poněvadž však objevoval se tento zjev při methodách auto¬
rových velmi pravidelně a bylo jej možno velmi lehce vybaviti a oproti
dřívějším autorům také daleko rychleji, bylo tím umožněno propracování
otázky s jiných hledisk. Valná část kultur provedena byla v botanickém
ústavě university lipské za pobytu referentova v r. 1910. Pokusy s trypsi¬
nem vykonány v c. k. ústavu pro fysiologii rostlin v Praze 1913.

Za pokusné specie užito po většině řas Chlorell. Rod tento vytváří
okrouhlé, za normálních okolností zelené buňky, v nichž objevují se py-

ú Boresch Karl, Die Fárbung von Cyanophyceen und Chlorophyceen in
ihrer Abhángigkeit von Stickstoffgehalt des Substrates. (Jahrbůcher f . wiss. Botanik,
62., pag 145 seq.).

2) Schindler B., tíber den Farbenwechsel der Oscillarien. (Zeitschrift fiir
Botanik 5, 1913, pag. 497 seq.)

XLVI.

5

na sladinku a kultivovány ve tmě, sezelenaly vzdor nedostatku světla.
Sezelenání nadešlo také, jestliže bledě vyrostlé kultury na leucinu nebo
dusičnanu draselnatém byly osvětleny. Ve tmě vyvolává také erythrit a
dulcit zbělení. Mannit s dusičnanem ammonatým vyvolává ve tmě světlou
zeleň, mannit s dusičnanem draselnatým až úplnou ztrátu chlor ofyllu.
Na světle na těchže substrátech všecky kultury objeví se krásně zelenými.

Také Chodat1) konstatoval u celé řady Chlorophyceí (, Scenedesmus ,
Ourococcus, Chlorella lacustris, protothecoides, vulgaris, Chlor othecium saccha-
rophilum 1913 pag. 98 seq.), že na substrátech (Detmerův živný roztok)
s glukosou zelená barva vystupuje seslabeně. Přidá-li se však k takovým
mediím peptonu, že dostaví se sezelenání. Zbělení na glukose nemůže býti
degenerací kultur, poněvadž se objevuje již od počátku a řasy rostou zcela
dobře. Nemůže býti také následkem příliš rychlého rozmnožování, jakýmsi
vyčerpáním, neboť v kulturách s glukosou 4- peptonem dělení je ještě in¬
tensivnější a přece dostaví se temně zelené zbarvení. Na druhé straně
(u Chlorella vulgaris B.) kultury založené na pouhém agaru bez cukru nebo
s přidáním cukrů, jež nemohou býti řasami dobře assimilovány, tak na př.
s laktosou, nesežloutnou, nýbrž stále zůstávají zelenými. Zdá se tedy, že
příčina této choroby jest to, že není rovnováhy mezi současnou assimilací
cukrů a dusíka. Osmotické vlastnosti uhlohy drátů při tom sotva hrají
větší roli, neboť cukry neassimilovatelné o téže koncentraci nevyvolávají
sežloutnutí. Konají-li se pokusy s medii bez cukrů na světle, assimilace
uhlíku, jež se děje na útraty uhličité ze vzduchu, probíhá pozvolna, tak že
assimilace dusíku kulturového může jí stačiti. Naproti tomu v cukrových
prostředích, k nimž nebylo přidáno dusíku organického, nýbrž dusičnan
draselnatý, assimilace uhlíku, umožněná přítomností cukru, je tak inten¬
sivní, že převádění dusíku z dusičné kyseliny ve formu organickou, v jaké
toliko, jak se zdá, může dusík býti assimilován, nemůže díti se s dostatečnou
rychlostí. Věc zdá se býti Chodatovi tím pochopitelnější, že chlorofyll je
produktem přeměny albuminů, tak že dají-li se řasám za pramen jich du¬
síkaté látky jim cizí, na př. anorganické, vývoj assimilačního barviva může
býti porušen. Zkrátka Chodat se domnívá, že musí dostaviti se rovnováha
mezi intensitou, s jakou děje se synthesa látek proteinových (redukcí ni¬
trátů) a výživou uhlohy drátovou, nemá-li chlorofyll tvořen býti ve zten¬
čené toliko míře.

Rozdíly zmíněné projevily se Chodatovi zvláště u Chlorella protothe-
coides Kr.; praví vtom ohledu, že by mohla rostlina tato býti nazvána řasou
peptonovou.

Také Chodat studoval otázku, do jaké míry souvisí výživnost růz¬
ných látek uhlíkatých v jich schopnostech dekolorovativních. U Chl.
lacustris Chod. nalezl, že glukosa, levulosa, mannosa a galaktosa jsou vhod-

x) Chodat R., Matériaux pour la floře cryptogamique suisse. Vol. IV, fasc. 2.
Monographies ďalgues en culture pure. 1913, Berne.

XLVI.

4

Vskutku stanoveno bylo v řadě jiných prací, že lze varírovati barvu
některých Chlorophyceí zcela zákonitým způsobem dle toho, které látky
výživné přidají se k jejich kulturám. Změny dotčené dějí se bez ohledu na
to, zda kultury dějí se za světla či za tmy. Ba dokonce Artari1 2) ukázal, že
gonidie z Xanthoria parietina pěstované s peptonem a dextrosou za světla
i bez přístupu kysličníku uhličitého sezelenávaly, čímž bylo dokázáno,
že chlorofyll nemusí býti vytvořován ,,dle potřeby' ‘ organismu, nýbrž že
dochází k jeho tvorbě jaksi mechanicky, když převedou organismy řasové
ve své tělo látky určité ze substrátu. Někteří autoři nalezli, že zcela
určité uhlohydráty vyvolávají u určitých řas ztrátu chlorofyllu. Tak
působí dle Krúgera (cit. dle O. Richtera?) pag. 33) na řasu Chlorella
protothecoides podobným způsobem dextrosa a galaktosa, na Chlorothecium
' saccharophilum tytéž cukry, dále alkoholy glycerin a mannit; z dusí¬
katých látek pepton, asparagin, také ale i jiné substance. Na třtino¬
vém cukru pěstovaná Chlorella rostla zeleně, podobně na inulinu, man-
nitu a glycerinu. Nicméně nesouhlasí pro jmenovanou Chlor ellu stupnice
barvy, již vybavovaly tyto látky, se stupnicí výživnosti jejich, jež byla:
dextrosa (nej lepší kultury, bledé řasy), galaktosa, glycerin, maltosa, dextrin,
laktosa, saccharosa; inulin a mannit bezcenné. Také u Chlorothecia po¬
zoroval Kruger podobné diskrepance, dařilať se tato řasa právě na man-
nitu velmi dobře (bledozelená vegetace), na glycerinu však (bledý vzrůst)
velmi špatně. Naproti tomu Matruchot et Molliard3) udávají (pag.
327) pro Stichococcus bacillaris dosti značnou parallelitu. Monosy (glukosa a
levulosa v 15% gelatině rozpuštěná resp. v Molischově roztoku na.
světle či ve tmě) jeví se jako jedna z nej lepších živin. Dextrin, gumma,
glycerin a mannit mají zřejmou cenu nutritivní. Málo výživnými jsou
saccharosa, laktosa, maltosa, pepton a škrob. Co se týče pak barvy: biosy
ponechávaly řase její přirozené zbarvení, glycerin a mannit činily ji tma¬
věji zelenou, dextrin, inulin a škrob zelenou do modra, pepton olivovou;
monosy napioti tomu vyvolávaly ztrátu chlorofyllu resp. barvu více méně
žlutou.

Artari (1902, cit. dle Richtera pag. 33) kombinoval vliv různých látek
živných se zatměním resp. osvětlením. Kultivoval-li Stichococcus bacil -
laris na svém minerálním roztoku +1% dextrosy s leucinem a K N 03,
staly se řasy bledě zelenými až bezbarvými. Byly-] i takto zbělené řasy
přeočkovány na půdy s asparaginem, či d isičnanem ammonatým, nebo

0 Artari, Ueber die Entwickelung der grůnen Algen unter Ausschluss der
Bedingungen der Kohlensáure-Assimilation. (Bull. der naturforschenden Gesellschaft
Moskau, 1899, No 1.)

2) Richter Oswald,Die Ernáhrung der Algen. (Monographien u . Abhandlungen
zur intern. Revue der gesammten Hydrobiologie u. Hydrographie, Band 2, 1911.)

3) L. Matruchot et M. Molliard, Variations de structure ďune algue verte
sous Tinfluence du milieu nutritif. (Revue générale de Botanique, 1902, T. 14, pag.,
192 seq.)

XLVI.

3

extraktu +1% citrónové za světla, a již zove střední (,,Zwischenfornť‘).
Bylať tak bledá, že při mikroskopování téměř posledních stop chlorofyllu
zdála se postrádati, také měla stigma. Po nějakém čase povstala z ní dě¬
lením, ,, štěpením" forma, jež byla úplně bílá, konstantní i na světle a po¬
strádala stigmatu, a individua čistě zelená, tolikéž „neštěpící". Byly tedy
mateřské exempláry jejich jakousi intermedierní formou připomínající
heterozygoty panašo váných rostlin.

Vznik jich je Ternetzové záhadným, nej pravděpodobněj i jedná se
však zde nikoliv o degenerování chlorofyllu, nýbrž o zastavení tvorby jeho
následkem velmi rychlého dělení. Snad při tom náhlé přenášení Euglen
z roztoků velmi zředěných do koncentrovaných spolupůsobilo. Čistě me¬
chanicky lze dle Ternetzové vyložiti vznik formy hyalinní, která objevovala
se v jejích kulturách na světle většinou náhle, zůstávala však konstantní
neměníc se v zelenou formu ani po několik roků kultivace v peptonových
roztocích. Postrádala všeho chlorophyllu, neměla také leukoplastů ani
stigmatu a nebyla schopna heliotaktických pohybů. Ternetzová se domnívá,
že povstala tato forma (,,die hyaline Lichtform") ztrátou chromatoforů.
Představuje si, že jedna Euglena, z níž byla založena kultura, na př. s 8
chloroplasty, rozdělí se ve 2 individua tak, že jedno z nich obdrží 8 chloro¬
plastů, druhé však toliko 7, poněvadž jeden z nich ztratil schopnost
děliti se. Přejde-li náhodou tento dělení neschopný chloroplast v exemplár,
který toliko 7 jich obsahuje, dána jest možnost další generaci dále redu-
kovati počet svých chromatoforů (T., pag. 497), kdežto potomci druhých
individuí podrží neztenčený počet 8. Jestliže se pak další dělení stejným
způsobem dějí, objeví se generace se 7, 6, 5 atd. chloroplasty, až v osmé
generaci povstane individuum chromatoforů úplně prosté. Možnost tako¬
véhoto vzniku hyalinní ch individuí ovšem není možno popříti. Vskutku
máme doklady z experimentální cytologie pro to, že se elementy buněčné
dělí velmi pravidelným způsobem, po případě i experimentálně pozmě¬
něné. Nicméně zdá se referentovi výklad Ternetzové poněkud umělým.
Předpokládá netoliko, že onen vadný chloroplast musí se nacházeti v oné
Euglené, která jich obsahuje 7, nýbrž že i při dalších děleních vždy se musí
objeviti v individuích s menším počtem chloroplastů, takřka vyměniti se
na př. ve IV. generaci s jedním chromoplastem té připravované poloviny
individua, jež obdržela jich sudý počet, aby při následujícím dělení roz¬
padla se v sudý počet chromatoforů a lichý (s nedělitelným). Proto pří¬
padnější byla by snad domněnka (Ternetzová pag. 498), že na př. všecky
chromatofory určitého individua schopného opětovně se děliti staly se
pojednou nedělitelnými. V každém však případě je velmi nápadným, že
forma tato daleko pomaleji se rozmnožuje než zelená původní, že chybí jí
odpočívající stadia, že rychleji odumírá, zkrátka, že je značně choulostivá..
Dále že může býti vyvolána jen v živných tekutinách, jež chovají bílko¬
viny. Nezdá se tedy referentovi vyloučena možnost, že jedná se zde spíše
o vlivy chemické než jakési mechanické.

XLVI.

l*

látek, jmenovitě uhloliydrátu, tak na pí\ na desky se želatinou sladinko-
vou nebo pivní, tu vyrostou kolonie, které jsou s počátku úplně bezbarvé,
tak že se podobají kvasinkovým. Teprve po čase, tak po 2 — 3 týdnech,
barví se tmavozeleně nejprve po kraji, posléze však i v prostředku. Při
delším přeočkování pomocí téhož substrátu jeví se kolonie peřestými:
roztěry jsou s počátku úplně bílé nebo žlutavé, podržují tuto barvu na po¬
kraji povlaku trvale, uprostřed nabývají tonu temně zeleného, načež vy¬
sílají odtud jeden nebo více zelených sektorů. Celá kultura podobá se pak
ovšem značně panašovanému listu na př. javorovému. Učiní-li se výsev
ze střední zelené části, pokud je ještě mladá, objeví se pouze zelené kolonie.
Z bílé nebo nažloutlé krajní partie povstanou dle Beijer incká po většině
opět bílé a nažloutlé kolonie smíšené se zelenými buňkami. Později však
objeví se v nich zelené sektory nebo skvrnky. Beijerinck udává, že podařilo
se mu vyvolá ti na chudých substrátech, na př. na vypraném agaru se sto¬
pami dusičnanu ammonatého a fosforečnanu draselnatého pestré směsice
zelených, žlutavých i bílých kolonií, z nichž poslední objevily se mnohdy
konstantně bezbarvými. Výsevy na pivní želatině ze starších a často pře-
očková váných kultur jevily velmi různou dědičnost pestrosti. Vliv vý¬
živy na tuto variabilitu byl prý v pokusech tohoto autora pouze
nepřímý.

Práci Beijerinckovu následovalo několik publikací jiných autorů,
které ovšem na základě přesných method mikrobiologických byvše pro¬
vedeny, věnovány byly otázkám týkajícím se změny barvy chlorophyllu
řas. Pracemi těmito byly některé údaje Beijerinckovy korrigovány, zá¬
roveň bylo však jimi ukázáno, že zjevy podobné nikterak nejsou bezvý¬
znamné, „nevinné", nýbrž že zahrnují v sobě několik otázek, které tý¬
kají se i vyšších rostlin a jsou významu všeobecnějšího. Pro důležitost,
jakou mají vzhledem k výkladům, jež budou v předložené práci podány,
budtež zde nastíněny hlavní jejich resultáty; při tom není ovšem možno
opomenouti některých zpráv, jež uveřejněny byly již před Beijerinckem.

Zumstein (1899, tolikéž Ternetzová 1912)1) ukázali, že Euglena gra-
cilis ve tmě při dobré organické výživě ztrácí chlorofyl! Ztráta tato, po¬
dobná do jisté míry etiolování u vyšších rostlin, a provázená ku podivu
rozmnožením leukoplastů (stigma a reaktivnost heliotaktická se nemění),
může býti úplná, jestliže původní chlor ofy 11 musí se rozdělit i rychle na
velkou řadu nových individuí a nový pro tmu nemůže vůbec býti vytvá¬
řen. Proto je nejlépe vycházeti při očkování pouze od jediného individua.
Na světle mohou hyalinní tato individua (die hyaline Dunkelform) opět
sezelenati, při čemž v prvních dnech počtu chromatoforu opět ubude
(' Ternetzová , pag. 469). Od tohoto způsobu etiolování odlišuje Ternetzová
(pag. 475) formu, jež objevila se jí při pěstění Eugleny na 2% Liebigově

ů Ch. Ternetz, Beitráge zur Morphologie und Physiologie der Euglena gracilis
Klebs. (Pringsheinťs Jahrbucher fůr wissenschaftliche Botanik, 1912, 51. Bd., 4. Heft.)

XLVI.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II.

ČÍSLO 46.

Studie o inaktivaci fotosynthetické assimilace
a tvorby chlorofyllu.

Část III.1)

O mutabilitě Chlorell.

Napsal

Dr. Jaroslav Peklo.

(Předloženo dne 16. října 1914.)

„Chlorella variegata, ein bunter Mikrobe"' jest název
práce, v níž přináší 1904 Beijerinck2) pozoruhodné, s několikeré stránky
důležité zprávy o variabilitě resp. (jak se v posledním svém sdělení z r.
1912 o témže předmětu vyjadřuje) o mutabilitě jednobuněčné, endogenně
se však rozmnožující Chlorophycey. Isoloval tuto řasu (Chl. variegata Bei¬
jerinck) delftský mikrobiolog ze šťávy, jež vytékala z jilmu, napadeného
drvopleněm, z bahna stokového a z íaeces. Podobně jako celá řada jiných
řas (Gloeothece, Aphanothece, Gloeocapsa, Protococcoideae, Bacillariaceae :
Ludwig 1893 — 1901, srovnej též Kruger a j.) ztrácí velmi lehce za určitých
okolností chlorofyll, podobajíc se pak úplně rodu Prototheca, kterýžto
ve všem s ní se shoduje až na to, že konstantně chlorofyllu postrádá za
žádných okolností ho nenabývaje. (Proto pokládají někteří autoři Proto-
thecu za houbu, jež povstala z nějaké zelené Chlor elly ztrátou chlor ophyllu.)
Vysej e-li se species Beijerinckova na substrát, chovající hojně živných

ú část I. a II. (O vlivu jedů na fotosynthetickou assimilaci. Pokusy s radium -
bromidem) vyšla jako Číslo 20. Rozprav České Akademie, třída II, ročník XXII, 1913.

2) Beijerinck M. W., Chlorella variegata, ein bunter Mikrobe. (Recueil des
travaux bot. Néerl. No 1, Sep.-Abdr., 14 p.). Cit. dle Cetralblatt fůr Bakteriologie,
II. Abth., XIV. Bd., 1905, pag. 338.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 46. 1

XLVI.

25

v době středního a svrchního oligocénu. Elementární a všeobecný
pokles plástve podkrkonošské nastal však až koncem miocénu.46)
Doba pleistocénní způsobila pak hlavně jen sklon celé plástve k jihu
do nitra země.

46) Důvod pro toto datování byl podán již výše a to v důsledku Puffrova
určení (viz pozn. 13.) stáří analogických a stejnosměrných stupňových pohybů
při bavorském úbočí Šumavy. Soudí-li Krejčí dle analogie Karpat, že pohyby
děly se v českých Sudetách ,,po době eocénnové" (Předběžné poznámky — v „Ar¬
chivu pro přírodov. prozk. Čech", I. 2. str. 16) — dle V. Uhliga (Bau in B. d.
Karpaten str. 907, 8) v době svrch, oligocénu dělo se čtvrté vrásnění Karpat — ,
lze se stejnou analogií míti za to, že pohyby v Sudetách odpovídají pátému svrchně
miocénnímu vrásnění karpatskému. Ostatně Krejčí nevyslovuje se formou roz¬
hodnou. Důvody Petraschkovy pro oligocénní nebo dokonce před-oligccénní po¬
hyby při okrajních poruchách sudetských (,,Das Bruchgebiet des bohmischen
Anteils der Mittelsudeten w. des Neissegrabens" v Zeitschr. d. deut. geol. Ge-
ssellschaft 1904, str. 221 a vývody v Abhandl. der Isis, Drážďany 1901) jsou
příliš vzdálené, než aby byly rozhodující. — ■ Fr. Frech v pojednání „Ober den
Bau der schlesischen Gebirge (v Hettnerově „Geogr. Zeitschrift" VIII. — 1902,
str. 558) praví, že pozorování na Annabergu u Lešnice ve Slezsku oprávňuje
nás k datování sudetských poruch, dle něhož pohyby jejich v druhé polovině
miocénu byly ukončeny. Ostatní doklady poukazují k oligocénním pohybům, ale
tyto dají se uvésti v souvislost se vznikem Rudohoří a západního Č. Středo-
hoří, jenž předcházel poruchám sudetským.

XLV.

24

HH

<

III.

i— i
j— i

1— 1

ZSZ. 1.

B

< — 1

tri

T urnovský

» {vl)

Komársko

Humenský

Bosyně

Vysoká

Jestřebice(c)

Nad Hlučo-

vem

St. Kokořín

Střezivojice

(*)

Vlkov j.

Špičák

252

256

257

255

333

327

313

324

348

354

349

350

394

384

381

386

3

3 g*

C/3 ť

- - N<

- - O)

C/3

C <

i

Nebužely

vrch

,, sv.

Kaní na

Čepička

Mšeno

Sedlec

Brusné (c)

Olešno

Řibohy sz.

Uj

w

<

to

§5

311

310

303

308

i

330

335

336

334

352

368

361

360

411

410

399

407

Zahájí

Chorušice jz.

Živonín j .

i

Choroušky z.

,, sv.

Oujezd

Stránka v.

,, sz.

„ sz.

Nosálov

vrch

,, obec c

Libovís jz.
(vl)

to

O-

298

299

295

297

320

318

315

318

334

337

347

339

384

371

364

373

Všelisy vrch

v.

Zamachy jz.

Krušiny

W

: : pj

tzi c/3 a'

N ^

N

Skalsko

,, -Vrátno

Bezdědice

Valovice

Na písku

to

286

286

282

285

304

301

312

307

321

313

319

318

365

331

326

341

tri

„ u CD

- - N

Ě»

O

O

cr

N* <

Niměřice

vrch

Na plachtě

M. Všelisy v.

Kováň

Krásnoves j .

,, v.

Katusice sv.

,, sz.

,,Nadlesem“

to

Si.

283

277

274

275

287

286

290

288

303

295

293

297

320

326

310

319

<

rf

- = -cT ÍL

""" P
o

<— <
n’

N N

Řehníce sz.

Vinec sz.

Rokytoves

(c)

Plošina

vých. od < i

Kojan

Bukovno

,, ob.

,, v.

to

260

268

263

264

269

267

270

268

293

283

281

286

315

309

297

307

Pisk. Lhota

vrch

Strašnov z.

Němčíce

vrch

Mezi Zá- )
mostím a>
Chrástem]

Pisk. Lhota
(vl)

{vl)

Chrást

(vl) 1

Nad voj.
cvič.

v. od v. cvič.

w

260

247

246

251

234

230

238

234

N3 tO tO tO

Ol Ol Ol

O 1— 05

to to to

CJ1 1 ^ Ol

O 1 00 i-*

Sýcin

Němčíce ( c )

Libichov

Švédské

hradby

Chlomek

Boj etice vrch

Chlum, z.
cíp.

Plasy

Vala jz.

Větr. mlýn

222

228

226

225

366

355

365

362

221

226

229

223

23

snadno se dobrati; jest to k S rostoucí skočná výše dislokace Bezdě-
čínské. Arci že při čedičovém suku Dědka a Báby u Kosmonos poměry
tektenické se zase mění. Velezajímavá jest mohutná kra Chlumu,
oddělená od předešlé oblasti dislokací Bezděčínskou ( B ) 45) a svou
výškou dominující celému kraji. Lze se domnívati, že tato kra uchovala
se před tektonickým poklesem i denudačním snížením (a to ve výši 362 - —
viz coll. 4 v cótovém přehledu — pouze tím, že jest proražena žílou čedi¬
čovou, u Hrádku pronikající na den. Podobně dělo se též se sukem Dědka
a Baby u Kosmonos.

Chlum sice nepřevyšuje nej vyšší oblasti plástve západoj izerské,
přes to však jest nemyslitelno, že by jeho náhorní pláň náležela parovině
neogénní západního Pojizeří; neboť od této ji odděluje nepoměrně vyšší
stupeň (135 m) než co obnáší Bezděčínské vržení mezi obojí plošinou pro¬
bíhající (30 — 35 m). Oblast ta vyžaduje ještě podrobnějších studií, ale
již dnes předběžně lze říci, že parovina neogénní výšinu chlumeckou ob¬
chází, takže tato z první svědecky vyčnívala.

Pásmo Chlumu na východ klesá až po dislokaci Domousnickou
ku cótě 290 m, nad níž však opět zvedá se kra Markvartická do výše 371 m
(Hladoměř) a 396 m (Čakov). Rozvodí Jizery k Cidlině a Mrlině u Sobotky
převádí nás v oblast vysočiny Hruboskalské. Od Libošovské hůry (394 m)
stoupají pozvolna jednotlivé kry pásma X. c a d tektonicky neb jen
erosivně oddělené k výškám nad 400 m a to jednak k Žehrovským skalám
a Mužské hoře (420 m + příkrov čedičový 42 m), k Vyskři (405 + 60),
k Troskám (442 + 72) a k skalám Prachovským (455 — 460). Ostatní cóty
pásma X. c po příp. X. d pohybují se kolem 400 m. Teprve skály Turnovské
(od toku Libunky na sever) vystupují podstatné výše: Rokliny k výši
422 m, Rotštýn 455 m, Drabovna 465 m, Sokol 559. Kry tyto jsou jednak
zbytky mohutné flexury, po příp. vysokého vržení, jemuž plástev pod¬
krkonošská při dislokaci lužické podlehla v době sudetských tektonických
poruch pravděpodobně koncem miocénu. Vymýkalo by se z rámce the-
matu, kdyby geologické a morfologické poměry oblasti měly býti zde
obšírnějšímu rozboru podrobeny. Účelným jest zde jenom poznamená ti,
že náhorní plošiny Chlumu Markvartické pláně, Žernovských, Turnov¬
ských, Troseckých i Prachovských skal lze s velkou pravděpodobností
pokládati za zbytky Rasmussovy páro viny oligocénní, jíž se stejnou
pravděpodobností náležely také hory Krkonošské, tehdy jen málo nad
své podhůří vyčnívající.

Arci že dnešní poměry výškové nejsou původní. Flexurní a skočné
poruchy a vznik četných ker při lužické dislokaci (výše jen příkladem
jmenovaných) dávají tušiti, že dnešní cóty ca 400 m byly v době oligocénní
páro viny ve výši dnešního pásma Ještědského a Kozákovského. V té
výši asi spočívala v době eocénní a počátkem oligocénu tabule křídová.
První poruchy zasáhly sem v době tvoření se polomu podrudohorského,

XLV.

22

lépe část plástve křídové, jež jest rozložena mezi dislokačním údolím
střední Jizery (v tab. násl.: J)42) a údolím Kokořínským (K). Ta¬
bule tato není bez poruch tektonických, které však jen na některých
místech (na př. v údolí březovickém, sudoměřském, spikalském) jsou
povahy dislokační ; tvoří tedy celkem j ednotku morf ologickou o svahu
jednotném. Oblast jest rozdělena v 20 komplexů o přibližné rozloze
asi 8 — 10 km2, takže centra mají lineární vzájemnou vzdálenost asi
3 km. V každém oddílu stanovena byla 3 data cótová a po té vzat
jejich průměr. Jednotlivá data jsou stanovena hlavně z výsledků měření
generálního štábu, pak z údajů Kořístkových (k) a Callotových (c)43).
Jen na několika málo místech byl autor nucen doplnit i data měřením
vlastním (vl) .

Koordináty, jimiž rozdělena byla naznačená plástev křídového
souvrství, vedeny byly směry, jež jsou dány morfologickými fakty. Oblast
jest — jak výše řečeno — mírně zvlněna dle směru sudetského, t. j. ZSZ — •
VJV. V směru tom byla tedy data cótová seřaděna, a to ve čtyřech pásmech:
I. — IV., která soustavu recentnícb rýh údolních protínají. Pokud se týče
sloupců 1, 2 a — 2e, 3 a 4, jmenovitě 2 a — 2e, tyto rozlišeny zcela uměle,
jenom že vedeny byly rovnoběžně se směrem dislokační ch údolí Kokořín-
ského a Jizerského.

Takto uspořádané řady průměrných dat prozrazují nepřetržitý
vzestup všech pásem plástve naší (2 a — 2e) od Jizery k ZSZ. Také sloupce
vykazují vzestup, a to k SSV, takže úhlopříčka daného obdélníka jest
průměrnou isohypsou. Naznačený vzestup plástve jest náhle přerušen
tektonickou poruchou kokořínskou. Dislokační skok této není sám o sobě
značný.44) U Kokořína činí vržení VIII. a IX. kř. útvaru asi 2 — 3 m,
pod Komárskem 13 m. Hlavním činitelem zvláštních výškových poměrů
v západní části plástve naší jest její zvláštní sklon, (k Z a JZ) a pak
rozpad její v menší kry.

Stopuj eme-li cótové poměry na druhé straně, t. j. na východním
břehu Jizery, pozorujeme nenápadné a poměrům západního břehu při¬
měřené snížení jen na jihu, při IV. pásmu našeho přehledu. Pásmo třetí
jest tu poměrně příliš sníženo. Příčinou byla zde mocnější denudace.
Než ani pásmo II. a I. nevykazují vzestupu, který bychom čekali se
zřetelem na poměry západního břehu jizerského. Příčiny toho zjevu jest

Dislokace jizerská jest tu zdvojená. Jizera protéká linii poruchy bez vržení.
Rovnoběžná s ní porucha Bezděčínská (B) jest spojena s vržením.

43) Viz: Práce topografického oddělení v Archivu pro přír. prozk. Čech. I. díl.
První řada měřených výšek v Čechách od K. Kořistky. Pak druhý spisek měřených
výšek v Čechách II. 1. Tamtéž udán také pramen dat K. bar. Callota.

**) Viz: Č. Zahálka, Pásmo IX. útvaru křídového v okolí Řípu; na u. m. obr. 53.
tí) Č. Zahálka, Pásmo X. v Pojizeří obr. 6G.

XLV.

21

V závěru pokusíme se o přehled geohistorických událostí, jejichž
jevištěm byla severočeská tabule křídová v době třetihorní. Starší éra
končí parovinou oligocénní, která ze středních Čech prostírala se k Z a SZ
do Saska a Durýnska.39) Par o vina ta zasáhla bezpochyby také do Pojizeří.
Podrobný rozbor této otázky pokládati dlužno za jeden z nejbližších
úkolů morfogenetického prozkoumání Čech. Do oblasti touto rozpravou
vytčené a také dále na V zaléhají ozvuky vývoje rudohorského polomu
i s vulkanickými jeho důsledky. Sklon k tomuto polomu a dislokace směru
rudohorského způsobily, že větší část (S a SZ část) české křídové tabule
byla zaujata erosní básí podrudohorské sladkovodní pánve. Poměry tyto
trvaly asi do doby svrchního miocénu, kdy vznikaly tektonické poruchy
směru sudetského, t. j. v Pojizeří směru VJV, v okolí Pardubic směru JJV.
Zde vládly, jak se pravdě podobá, již od doby eocénní svahové poměry
směru JV a JJV. Ve svrchním miocénu pak mohla býti vodní síť po¬
ruchami sudetskými jen modifikována a prodloužena z V Čech až
k Č. Středohoří, tedy též do Pojizeří, kdež erosivní cyklus směru sudetského,
podporován jsa příslušnými dislokacemi, zavládl na troskách (jistě se-
stárlého již) erosivního cyklu rudohorského, jehož zbytky — na př. údolí
Košátecké, Řepínské a Jizerské, toto čítaje od Turnova k Mn. Hradišti —
sobě podřídil. Dvojí tento erosivní cyklus odnesl v kraji mezi Jizerou
a Labem pásmo X. křídového útvaru40) v celé mocnosti jeho až na některé
zbytky, jež jsouce zpevněny sopečnými suky aneb jsouce po dlouhou
dobu předělem tekoucích vod odolaly destrukci a tvoří dnes nevysoké
výčnělky nad úrovní paroviny, do níž sploštil se koncem neogenu zašlý
cyklus erosivní směru sudetského, zavátý sprašovými hlínami v mladší
době pleistocénní. — Jelikož starší třetihorní erosivní děj ukončený oligo¬
cénní parovinou Rasmussovou, jen nepatrně splavil usazeniny křídové,41)
jsou dnešní morfologické poměry v Pojizeří hlavně dílem dvou erosivních
cyklů, z nichž první, rudohorský měl svůj počátek v sv. oligocénu, hlavně
však probíhal v době spodního a středního miocénu, druhý pak ve svrchním
miocénu, pliocénu a starším pleistocénu. Proto parovinu, kterou končil
sudetský cyklus, ale která jest výsledkem obou neogenních cyklů,
nazvali dlužno par&viitGU neogeiiní. Tato parovina stala se v mladším
pleistocénu a v době alluvialní ( — recentní) jevištěm erosivního ,, cyklu
recentního", který jest ovládán tektonickým směrem jizerským a směry,
které jsou dány místními poměry svahovými.

Existenci neogenní paroviny a j ej í poměr k starší páro vině oligocénní
illustrují výškové poměry v středním Pojizeří. Za východisko hodí se nej-

39) H. Rasmuss, Zur Morphologie d. nordw. Bohmen. Zeitsch. d. Ges. f. Erdk.
Berlin, 1913.

40) Č. Zahálka, na u. m.

41) K tomu poukazují téměř úplně zachované vrstvy X. — deltového pásma
kř. útvaru, jež sopečný příkrov Mužské hory, Vyskře, Trosek a j. zastihl.

XLV.

20

vodních směru VJV, Hnie b2, b3 značí nynější svah křídového souvrství
a povrchové plochy směru JJV. Založení svahových rýh tohoto směru
a jich epigenetické prohlubování do křídového podkladu bylo jedním
činitelem, který však byl kombinován druhým činitelem: směrem nej-
menšího odporu, jejž při zpětné erosi t. j. při dalším prohlubování kladla
fossilní soustava údolní směru VJV. Zpětná erose totiž přecházela na př.
od svahové rýhy 64 k západnější b3 atd., takže průměrná linie celkového
směru jde k JV.

Odchylku od tohoto pravidla činí takové úryvky údolní, kde pro¬
bíhají dislokace směru jizerského (údolí b, s, sp — obr. 1.). Ale tam zase
intensivně se uplatnil činitel sudetského směru; fossilní erosivní cyklus
našel zde následkem hluboké rozsedliny b ■ — ■ p v údolí valovickém (v),
doubravickém (db) své oživení.

Dislokace směru jizerského byly prvním rušivým činitelem, který
zpřetínal údolní systém směru sudetského; v malém vidíme to v účinku
dislokační rýhy březovické (b — obr. 1.), větší převrat způsobil vznik dislo-
kační rýhy Kokořínské, Liběchovské, hlavně pak Jizerské. Jimi odvedena
vrchoviska erosivní soustavy sudetské, j ež směřovala k JV českého massivu,
do nitra Čech do dnešního Polabí, k čemuž přispěly nové poměry svahové.

Oba děje: změna svahu a vývoj rozsedlin směru jizerského jsou
děje korrelatní, vyplývající ze společné příčiny, t. j. z poklesu nitra Čech,
jehož osou byla pravděpodobně dislokace nymbursko-mělnická. Arci že
pokles takový neděje se zcela jednotně. Jest takřka nemyslitelné, aby
tabule křídová klesala tak, jako pevná deska, jíž ubíráme snad po jedné
straně podkladu. Plástve kůry zemské klesajíce rozpadají se v kry, od¬
dělené rozsedlinami, při poklesu vznikajícími.

Jest velmi pravděpodobné, že řečené dva děje, změna svahu a vznik
rozsedlin, jakožto důsledky jedné společné příčiny, děly se současně.
Morfologicky ovšem působí rozsedliny neodkladné ; erosivní děj jen modi¬
fikuje účinek dislokačního pohybu. Naproti tomu změna svahu dává jen
disposice, jejíž důsledky probíhají po té v dlouhé době geologické. V našem
případě důsledky nového svahu, t. j. jím vyvolaný nový erosivní cyklus
jest dosud v průběhu a nedosáhl po dnes ani svého stadia dospělosti.
Sem náleží ještě jeden zajímavý moment. Bezprostřední, t. j. urychlující
vliv rozsedlin na vývoj soustavy údolní, jako jest naše soustava jizerská
(skup. c), způsobil, že údolí tato byla již ve své nynější hloubce koncem
doby pleistocénní založena, takže mohly se usaditi na dně údolním štěrky
a písky ,, spodní terasy" Laube-ovy, jež zahrnuje O a U-te rasy Engel-
mannovy; — dle výškových poměrů soudě jde tu o terasu O. ■ — V době
vzniku akkumulačních teras O a U soustava svahových údolí (skup. d)
se teprv tvořila, a to zdlouhavou erosí v téže době intensivněji působící,
co dislokační údolí již jen svá údolní dna zjevy akkumulačními zarov¬
návala a stala se pro svahová údolí nej bližší erosivní básí.

XLV.

19

sudoměřské — s a spikalské — sp a j. v.), jež jsou z výše řečených tří
kategorií nej mladší. Tato okolnost ukazuje také k nevelikému stáří dneš¬
ního sklonu: JV, JJV. Mimo to nutno uvážiti, že kdyby sklon právě na¬
značený byl velmi starého geologického data, byl by též erosivní cyklus
směru JV dnes již značně sestárlý. Krátce: sklon k JV a JJV jest stejného
stáří jako příslušný směr recentního výmolného děje, a tak lze říci, že
obojí má svůj vznik a počátek v době polského zalednění, tedy v mladší
době pleistocénní.

t,

Z tohoto poznatku lze vyvoditi též další důsledky. Než předem
zde stůjtež ještě některé poznámky k předešlým vývodům se vížící. Jest
třeba vysvětliti, proč údolí Strenické (obr. 1. s), ač probíhá hlavně oblastí
sklonu JJV, nebylo erodováno týmž směrem JJV, jak tomu jest při dolním
průběhu údolí ,,Kojany“ zvaném (&). Jest nezbytno vyjiti z toho, že také
údolí Strenické založeno bylo úžlabními rýhami směru JJV, neboť pro tento
směr nebylo žádných překážek na rovině sprašovými hlínami zarovnané a
k JJV svážené. Ale erose záhy zasáhla epigeneticky (tvrdší) křídový útvar
IX. souvrství, a to stalo se nejdříve na bývalých pásmech předělových.
Linie av a2, az (obr. 6.) naznačují schematicky předěly fossilních cest

2*

XLV.

18

okolnost, že snad po usazení žlutky, jakožto splodiny subaridního podnebí,
nastal znovu normální děj výmolný, anebo že snad erosní cyklus byl
oživen snížením denudační báse; — v Polabí dnešním byly asi vskutku
podmínky takové dány a to erosí svrchní — hořanské terasy Sokolovy
a vůbec všeobecným výmolným dějem, který zasáhl Polabí, tok Vltavy,
Berounky a všecky přítoky řek těchto.

Takovýto stav věcí stačil by jen k návratu erosivního děje neb
k jeho oživení; údolí systému staršího byla by prostě prohloubena a pů¬
vodní směr VJV byl by zachován. Založení svahových rýh o novém
směru (JV) jest vysvětlitelné jen tím, že na staré páro vině zarovnané
sprašovými hlínami vznikl nový sklon oné oblasti křídové plošiny (a její

Obr. 5. K = křídový podklad ; fi = fluviatilní pleistocénní usazeniny rozšířené ve
směru vjv; u, z, k — úžlabí, žlab a koryta rccentní soustavy úd dní; z, k, š =
žlutka, hnědka, šedka ml dších cdb. pleistocénních.

pokrývky pleistocénní), v níž recentní cyklus erosivní směru JV dnes
probíhá.

Na západě, v okolí Mělníka jest sklon rozmanitý; vyvinul se místně
pod vlivem četných dislokací jako jest kokořínská a jiné s ní rovnoběžné
a starých tektonických linií směru rudohorského. Na východě, blíže k Ml.
Boleslavi vládnou klidnější tektonické poměry. Na jih a východ od Mšena
,, sklon temene pásma VIII. je 2°13' k JV”,37) v kraji přilehlém pak k toku
Jizery, ,,na př. mezi Sovinkou, Bukovnem a Dol. Krnskem sklon je
temene pásma IX. JJV, o velikosti 20' <<38). Variace mezi sklonem JV
a JJV jest asi v úzké genetické souvislosti se vznikem dislokačních linií
směru jizerského (viz tektonické údolí březovické — obr. 1. — b, pak

37) Č. Zahálka, Pásmo VIII v Pojizeří, na u. m., str. 27.

8) Č. Zahálka, Pásmo IX v Pojizeří, na u. m. str. 143.

XLV.

17

ního, lučního a lesního,33) která se dle něho na sklonku diluvia vystřídala
a se zřetelem k analogickému složení hlin, u Prahy a v naší oblasti usaze¬
ných, jeví se řečený vývoj podnebí pravděpodobným. Jest však velmi
pochybno, že by klimatická období naznačená mohla se vystřídati až při
samém rozhraní pleistocénu a doby recentní. Uvážiti dlužno, že jednotlivá
období ta byla příliš dlouhá, než aby mohla proběhnouti po posledním
zalednění a před dobou recentní.34) J. E. Hibsch a Seemann35) objevili
zajímavý doklad o střídavé akkumulaci éolické a vodní v nedaleké oblasti
naší na ,, Dominikánské hůrce' ' u Litoměřic. Na střední terase Hibschově
spočívá 3 — 4 m ( !) mocná vrstva sprašové hlíny, která nese ložiska štěrků,
jež uloženy jsou na hlíně v poloze značně diskordantní a složeny z hrud
a balvanů až i 80 cm v průměru měřících. Vidno, že různé fáse stepního
podnebí (v širším smyslu) byly přerušovány obdobím „ledovým" t. j.
u nás obdobím vlhka a chladna.

Pro určení doby, v níž erosi vní cyklus sudetský zaměněn byl re-
centním, jest důležitou okolnost, že žlutka jest směrovým systémem re-
centním erodována, přes to však nevychází ani v erosivních úžlabích36)
na den a nebývá přímým podkladem ornice; tato má z největší části svůj
genetický původ v mladších, hnědých hlínách, j ež mění se v půdu, zvanou
v celém kraji „červenkou". Hnědé hlíny tyto přikládají se hlavně v úžlabích
(obr. 5 a. — - u) diskordantně na erodovanou žlutku; podobně jest tomu
také na náhorních svazích hlubších žlabů (2:) a koryt ( k ) nad okraj ní hranou
údolní. Svahy ty jsou totiž zbytkem úžlabních rýh, které zpětná erose
recentního cyklu prohloubila.

Z těchto poměrů lze vy vodit i, že výmolný cyklus recentní směru jv.
byl zahájen po usazení žlutky, ale před usazením hnědé hlíny, tedy ve
smyslu hořejšího výkladu o stáří hlin těch v období polského zalednéní.
Ovšem že lze si představiti pro tu dobu pouze vznik mělkých rýh úžlab¬
ních, hlavně jen éolické uloženiny zasahujících a křídového podkladu
sotva se dotýkajících.

Záměna sudetského směru erosního (vjv.) v recentní (jv.) měla
zajisté svou zvláštní fysickou příčinu. Tou však nemohla býti pouze

33) J. N. Woldřich, Všeob. geologie III. str. 502. 1905).

34) Byl tedy správnějším starší názor J. N. Woldřichův (viz „Fossilní fauna
štěpní z Košířské Bulovky u Prahy — 1897“ na u. m. str. 33. dole), když praví:
„ — upříti se nedá, že i další slabší a méně rozsáhlé zalednění evropské přece
po ěkud i na kraje uvedené (české země, Dolní Rakousy, Halič) jakéhosi účinku
dosáhlo. — Ve smyslu tom vyrozumíváme pod obdobím poglaciálním u nás ob¬
dobí sk dující prvnímu (?), hlavnímu zalednění. “

35) Vysvětlivky ku geol. mapě č. středohoří IX. str. 105.

36) „Úžlabím" jest si mysliti rýhu údolní mělkou v podobě \/, viz vyob. 5.

— - u, „žlab" má profil \/ v podobě příkřejšího. 'I' var údolí \ _ / zván budiž

„korytem".

2

Roaprávy: Roč. XXXIII. Tř. II. Č. 45.

XLV.

16

pleistocénu, dokud rozbor štěrků, písků a lib na jejich palaeontologický
obsah nebude systematicky a jednotnou methodou v rozsahu celého
českého massivu, pokud se tu naskýtá, studován. Dnes má vše ráz pro-
zatímnosti, což platí též o všech pokusech o paralelu s ledovými obdo¬
bími v Alpách a v střední a se v. Evropě.

Navážeme-li na vývody ryt. Purkyně30) o stáří jeho teias, že totiž
nejmladší asi povstala v poslední, t. j. čtvrté době ledové (Wúrmian),
skupina středních teras pak v třetí (Rissian) a skupina svrchních teras
v druhé a první době ledové (Mindelian, Gúntzian), lze různé hlíny uložené
v oblasti námi vytčené pokládati za dílo více méně aridních dob mezi-
ledových, erosi jejich pak za stopu dob ledových. Jsme sice zvyklí před¬
stavě, že období ledová jsou fásemi akkumulačními, v meziledí pak, že
štěrkové příkrovy jsou erodovány. Tak tomu vskutku může býti v Polabí,
kdež fáse akkumulační byly přivoděny přibližováním se severského ledovce
a z toho resultujícím vzdýmáním vod labských. Ale tam, kde činitel tento
byl svým působením vzdálen, způsobil obnovení vodních rýh, jež v ob¬
dobí meziledových, pokud tyto byly aridními, byly spraší zaváty ; vznikaly
takto nové rýhy erosivní.

Jest otázkou, která z našich výše analysovaných a v obr. 2. po¬
psaných hlin odpovídá staršímu loessu Hibschovu.31) Dle habitu jest star¬
šímu loessu nej bližší žlutka (obr. 2. č. 4.); potvrdí-li se její současnost,
pak bude na snadě veškerá chronologie usazenin našich. Pravděpodobno,
že žlutka naváta byla po saském zalednění, v meziledovém období helvet-
ském, rudá hlína železitá (č. 5.) jest pak ovšem ještě starší; hnědá hlína
(č. 3.) měla by stáří mladšího loessu Hibschova pocházejíc z období ná¬
sledujícího polskému zalednění, tudíž z obdcbí meziledí neudeckého. Její
erose odpovídala by poslednímu, u nás ještě méně pocítěnému zalednění
meklenburskému, po němž na sklonku pleistocénní doby byly asi usazeny
šedé hlíny.

Čtyřdílné hlíny oblasti naší lze svým vznikem předběžně připsati
čtverým obdobím aridním, j ež následovaly po čtverém alpském zalednění.32)
Se zřetelem pak k názorům J. N. Woldřicha o posloupnosti období step-

30) Terasy Mže a Vltavy na n. m. st. 156 a n.

31) J. E. Hibscli, Versuch einer Gliederung der Diluvialgebilde im nordbdhm.
Elbtale. Jahrb. d. k. k. geol. R. — A. 1899.

32) Dodatečně jest názor ten podporován nálezem lebky, zubů a úlomků
kostí, j ž nál ží turu krátkorohému, bos brL chyc ros fossilis Woldř. Je st to Člen
fe u y ropicko-subtropické, v mezil dových dobách k nám přistěhovalé J st
ovš m pr...vda, že příchod zvířeny té se opč kovd v různých dobách mezil do¬
vých a ústup její při návr tu klim tu drsného; proto musíme si všímati zároveň
p 1 tolitických nálezů kultur ách, zbytky zvířen doprováz' jících. Při řečeném
nál zu v c k překvapují robustní rozměry ( — stoličky dosahují 10—11 cm\) uka¬
zující na zvíře nij .k ncd generované Nález objevil se ve hloubce 2 m, ti dy asi
uprostřed žlutky. — Vrchní vrstvy, kostkovice a trupelka nejeví ani stopy po¬
dobu čistě štěpní fauny.

XLV.

15

měry z okolí Katusic, Borce a j. J. N. Woldřich rozeznává „šedé žlutky
léssovité", pak hnědé hlíny různých odstínů a hlíny šedé. Podati bezpečnou
paralelu mezi těmito a našimi hlínami na základě mechanického rozboru
stiženo jest okolností, že J. N. Woldřich užívá mechanického rozrůznění
dle klíče, který nekryje se zcela s modernějším tříděním, jež vyvolává
konstrukce dnes užívaného plavidla Kopeckého. Srovnáme-li rozrůznění

Starší:

Částk

y

P í s

; e k

Kostra

suspendované

pod

0'25 mm

0-25-0-5

0-5— 1-0

o

ca

í

o

nad

2 mm

I.

II.

III.

Písek

Písek

Kaménky

dnešní:

Hlínovka

Prach

práškový

IV.

V.

VI.

1

nad

pod 0"01 mm

0-01-0-05

0*05—0-1

0-1— 0-5

0-5— 1-0

1-0—20

2 mm

ta, tu seznáme, že nekryjí se jmenovitě součástky střední velikosti a ty
právě bývají dle názoru C. r. Purkyně28) udavatelem pro účastenství
vodního ronu při vzniku éolohydatinních usazenin.

Možno tudíž jen přibližně hlíny naše srovnávati s hlínami z Jenerálky
a Bulovky. Předběžně lze říci, že Woldřichovy „žlutky", „hnědky"
a „šedky" upomínají na naše hlíny (obr, 2. vrstva 4., 3. a 2.). Určitěji
odpovídají tyto hlínám od Skvrňan na Plzeňsku,29) kdež pod ornicí spočívá
„loessu podobná" šedohnědá hlína, která svým rozborem č. 6. (na str. 12)
blíží se naší trnpelce.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

Kostra

Purkyňův
rozb. č. 6.

3538

3647

1236

1P75

P82

P42

0.80

Trupelka
viz výše č. 2

290

369

13.2

124

32

3.5

1.8

Rudohnědá hlína č. 4. (str. 12) upomíná na kostko vici. „Loessu
podobné žlutky" mají na Plzeňsku význačnější stopy ronu vodního, než
žlutky z naší oblasti.

Než přizná ti dlužno, že tyto a všecky ojedinělé pokusy srovnávací
nebudou míti tak dlouho závažné ceny pro stratigrafii a chronologii

28) Plistocaen na Plzeňaku. Na u. m. st. 20.

29) Purkyně, „Plistocaen — “ na u. m. st. 15. 16.

XLV.

14

následují dvě vrstvy písku (prům. 12a 1*3 m), hrubšího, pak jemného
s vrstvami jílu větvícího se. Teprv potom uložena žlutka 1*5 — 2 5 m
mocná, nahoře (pod ornicí) přecházející v červenou ,, kostko vici“.

Erosivní cyklus směru sudetského dospěl — podobně jako právě
řečené pozůstatky cyklu rudohorského — svého starobného stadia. Široká
a mělká údolí o nízkých předělech byla éolo-hydatinními uloženinami
jen dokonaleji zarovnána, takže, nebýti jednak nevysokých výčnělků
(monadnocků) , jednak recentních rýh údolních, páro vina takto vzniklá
byla by dokonalou rovinou. Názor ten dotvrzují přirozené profily, jež
vyvolány recentním výmolným cyklem a jsou viditelné při hranách údol¬
ních. Recentní výmolné rýhy přetínají starší fossilní plochá údolí v kosém
úhlu. (Viz obr. 5.) Podél hran údolních lze sledovati pravidelně se střídající
partie, v nichž éolické uloženiny mají nej menší mocnost a spočívají bez
fluviatilního podkladu přímo na křídovém podloží s partiemi, kde obojí
uloženiny, fluviatilní i éolické, v mocnosti 8 — 10 m jsou uloženy a recent-
ními údolními rýhami proťaty. Nejsou-li éolické usazeniny přítomny hned
při hraně údolní, nalezneme je ve směru vjv. na př. v úvozech polních
cest neb na druhé straně ve směru zsz. Někde užila nová výmolná soustava
údolní tohoto pásma nej menšího odporu k vyhloubení pobočných údolí
(viz na př. v neb t obr. 1.).

Po takových dokladech mizí poslední pochybnost, že pod příkrovem
éolických usazenin skrývá se jen málo zvlněná parovina, kterou jako
své konečné dílo vytvořil zašlý dnes erosivní cyklus směru sudetského.

Nastává úkol, pokusí ti se o určení doby vzniku a zániku tohoto
cyklu. Předem datum zániku. Ten jest přibližně současný s usazením
éolické přikrývky jeho, popsané výše v profilech. Určení stáří této při¬
krývky — aspoň přímé určení — jest dosti nesnadné. Pro nedostatek
pomůcek palaeontologických25) j est nutno vžiti útočiště k methodě srov¬
návací se zřetelem k mechanickému složení příbuzných usazenin bližších
a vzdálenějších oblastí. Tak na př. hlíny v Jenerálce a Košířské Bulovce
u Prahy uložené a J. N. Woldřichem analyso váné,26) pak hlíny pleistocénní
na Plzeňsku, analysované C. ryt. Purkyní27) jeví nejednu analogii s po-

25) Učiněno bylo opatření, aby na příště nepřišla na zmar žádná fossilie, a to
jak v oblasti zde vytčené tak i v sousedních, takže další pokračování práce, které
bohdá rozšíří a prohloubí tuto geomorfologickou studii bude se moci opírati též
o materiál palaeontologický. — Mezitím, co tato rozprava byla v tisku, sdělil mi
laskavě p. Jos. Lukavec, řídící učit 1 v K. tušících, řadu nálezů uči .ě íých v hli¬
ništi popsané cihelny. Poukazuje se k nim — pokud nenáleží v* obor historické
archaeologie níže — v pozn. 32.

-6) J. N. Woldřich, Fossilní fauna štěpní z Košiřské Bulovky u Prahy; pak:
Tábořiště diluviálního člověka v Jenerálce u Prahy. Obojí v Rozpr. Č. Akad. II., r.
1897, resp. 1900.

27) Plistocaen (diluvium) na Plzeňsku. Rozpr. Č. Akad. II. 1904.

XLV.

13

Košátecké směru rudohorského bylo s ponecháním tohoto ač v opačnou
stranu (v sv) obráceného směru převedeno do vodní sítě sudetského směru.
Mimo důvody, k nimž se ještě vrátíme, ukazuje k tomu směr největšího
neklidu viditelného v písečníku cihelny u Chotě tova (obr. 4.) ; směr ten
leží v prodloužení údolí Košáteckého, takže jde tu o jeho pravděpodobné
íossilní pokračování. Další studie ještě ukáží, není-li toto prodloužení

Obr. 4.

totožné se vzpomenutou již dislokací Chotětovskou. Pojetí možné totož¬
nosti s dislokací Košáteckého údolí podporuje tu senilní morfologie po¬
vrchu, pod nímž dislokační vržení se skrývá, z něhož pak dá se souditi
na stejné stáří, jaké jeví údolí Košátecké.

Skalnatého t. j. křídového podkladu písecník chotětovský (obr. 4.)
nedosahuje. Na spodním, nezvrstveném šedém písku spočívá rzivý, štěr¬
kem prostoupený písek o několikeré diskordanci, 2 — 2*8 m mocný, načež

XLV.

29

po dlouhý čas zachovávaly na mediích složení normálního barvu trypsi-
novou, pak by to bylo dalším důkazem, že jedná se v pokusech referento¬
vých o jeden toliko genotyp, kmen tento že byl trypsinem ve svých základ¬
ních vlastnostech pozměněn, a změny tyto že udržují se během četných
generací. Ku zjevu tomuto musil by se přirozeně poutati zvláštní zájem
referentův.

Za kmen. pokusný zvolena byla variegata B. (od jedné kolonie odoč-
kovaná), která 1 měsíc byla rostla na sl. zř. (1:1) + trypsinu etherem steri-
lisovaném. Utvořila zde krásné, aureově zbarvené povlaky, jež do jedné
třetiny své šířky ovroubeny byly hyalinním lemem. Rozumí se samo sebou,
že při mikroskopování před další sérií pokusů osvědčila se naprosto
čistou.

Za media kulturní zvolena sladinka zředěná vodou v poměru 1:1,
dále v poměru 2:1 -f- trypsin varem sterilisovaný. Za materiál srovnávací
vzata variegata B. z téhož lití (opět od 1 kolonie isolovaná), jež však trypsi¬
nem nebyla prošla. Veškeré kultury vegetovaly opět ve tmě v thermostatu na
2%ním agaru za 25° C. (Trypsinová variegata rozdělena na dva typy, z nichž
jeden, odočkovaný ze středu „aureového" kultury, v protokolech veden
jako „aurea" ze středu, druhý, z hyalinního kraje, veden jako „hyalina").
Trypsin sterilisovaný ve sladince zvolen ke srovnání z toho důvodu, že
v předcházejících pokusech objevilo se na něm intensivní sezelenání řasy
tak, že právě „otrávená" Chlor ella měla největší možnost v krátké době
na tomto mediu sezelenati: Již předběžný pokus (serie V.) ukázal, že trypsi¬
nová Chlor ella (aurea i hyalina) po měsíčním téměř vegetování na sl. zř.
(1:1) nenabyla barvy zelené, zůstávajíc žlutobílou; na sl. zř. 2:1 nabyla
barvy gummigutově žluté. Aureový ton zmizel zde právě tak jako hyalinní ;
v rychlosti vzrůstu nebylo pozorovati nej menšího rozdílu oproti tempu,
jakým rostla řasa na trypsinu ani oproti normálním „otráveným" me¬
diem 'neprošedším individuím. Tyto poslední kultury nabyly v téže době
na Sl. zř. 1:1 intensivně zelené barvy. Podrobnější pak data při opakování
pokusu po delší dobu vegetační byla tato (serie VI.):

Po 4 asi nedělích byla aurea naSl. zř. 1:1 žlutobílá, buď úplně bez ze¬
leni nebo se zelení téměř nepozorovatelnou, „hyalina" úplně bez veškeré
stopy po zelené barvě, bílá až žlutobílá. Na silnější sladince oba typy nabyly
barvy gummigutově žluté, druhá poměrně zelenější. Normální kultury
byly v té době distinktn.ě zelené na obyčejné sladince, na téže sl. s trypsi¬
nem sterilisovaným varem intensivně trávově zelené. Po 5 nedělích dosáhly
trypsinové řasy na sl. koncentrovanější tonu aureově gummigutového (ne-
trypsinová variegata byla v té době na tomže mediu zelenavě naběhlá.) Na Sl.
zř. 1:1 byla barva žlutavá resp. aureově nažloutlá, po zeleni nebylo téměř
ani stopy, na trypsinu sterilisovaném jen u bývalé „aurea" objevila se žlu¬
tavá zeleň až slabá. („Hyalina" nabyla tonu šedožlutého.) Srovnávací
kultury byly již normálně zelené, na trypsinu steril. tato barva byla ještě
význačnější.

XLV1.

30

Ton zeleni od té doby měnil se jen nepatrně. Po 6 nedělích také ještě
nebyla téměř žádná zeleň v kulturách trypsinových ; na sl. koncentrova¬
nější udržoval se ton gummigutový. Po 10 týdnech na Sl. zř. 1:1 ,,aurea“
byla žlutavá, „hyalina" kalně žlutavá s tonem gummiguty. Na Sl. zř. 2:1
H20 oba typy byly světleji žlutavé, v době, kdy kontrolní kultury na tomže
substrátu byly již tmavě smaragdově zelené. Patrnější zeleň mohla býti
konstatována pouze u ,,aurey“ kultivováním na Sl. + trypsin steril.,
jež byla však slabě zelenou s nádechem do kávová, kdežto ,,hyalina“ za¬
chovávala šedožlutý ton téměř úplně zeleně ještě prostý. Slabé sezelenání
objevilo se v kulturách na Sl. 1:1 (ostatní zatím vysazeny) teprve po 3 ne¬
dělích. Po 6 měsících ukázala se špinavá žluť, jen se slabým nádechem do
zelena. Pro jiné práce musily býti po té pokusy přerušeny.

Při mikroskopování ukázala se naprostá čistota kultur po skončení
pokusu. Také morfologicky byl rozdíl mezi řasami trypsinovými a netrypsi-
novými nepatrný. Obě sestávaly z individuí, jež při zbělení zůstávajíce více
méně při sobě nabývají hranatých obrysů, z individuí volných kulatých
a chlamydomonadových protáhlejších. Jen u trypsinových bylo těchto
posledních trochu více, což asi souvisí s tím, že hojněji se dělily. Také celkem
bylo v try psino vé Chlor elle více individuí s glykogenem pozor o váti než ve
formě zelené. Nicméně mohlo to býti pouhým následkem toho, že řasa trvpsi-
nová, jak pozbyla chlorofyllu, tak asi ztratila schopnost převáděti gly-
kogen v další substance.

Kultury úmyslně nebyly přeočkovávány, nýbrž průběhem celého
pokusu nechány v těchže rourkách. Při pfeočkování na sladinku zř. objevuje
se totiž vždy nejprve žlutý ton na povlacích, kultury nepřeočkované tudíž
měly lepší možnost sezelenati. Také složení substrátu s trypsinem steril.
bylo pro sezelenání velmi výhodné, řasy nacházely se tedy v podmínkách
optimálních. Přes to sezelenání bylo nepatrné, kultury zůstaly žlutými resp.
nabyly toliko žlutého tonu, lišíce se nepatrně od normálních netrypsino-
vých sérií. Tvoření intensivnější chloroíyllu při nej lepších podmínkách
nedostavilo se tedy ani po půl roce.

Diskusse resultátů.

S rozmachem nauky o dědičnosti, kterýž datuje se od posledních
pěti, nanejvýše desíti let, také tak zv. variabilita1) mikroorganismů objevila
se v novém světle. Zajisté jest ne poslední příčinou toho, že dříve nebyla
hlouběji studována, zjev, že většina mikrobů rozmnožuje se cestou nepo-
hlavní (Na druhé straně ovšem kopulace u plísní i kvasinek je processem
velmi rozdílným a také jistě pro přenášení dědičných vlastností velmi
významným, a je proto nápadné, že nemáme dosud prací, které by jednaly

Ů Soustavně vyčerpáno jest thema toto v knížce: Pringsheim Hans, Die
Variabilitát niederer Organismen. 1910, Berlin, Springer.

XLVI.

31

o zjevech mendelistických u těchto organismů. O pohlavnosti u bakterií
konečně nejsme dobře informováni. Jelikož však typy jejich zůstávají
právě tak stálými, jako u vyšších rostlin, jež jen vegetativně se množí,
musíme i u těchto předpokládati dědičnost a jsou materiálem vhodným
k experimentálnímu studiu této ,, prosté' ‘ heredity). Bylo proto asi v zá¬
plavě prací, týkajících se štěpení vlastností, póly faktorie atd. u vyšších
rostlin, prostě přehlédnuto, že měnivost mikrobů na mnoze není pouze
pomíjející, efemerní, nýbrž že shoduje se často i s podivuhodnými zjevy
tak zv. mutací, jež u vyšších rostlin se objevují a jimž bývá i základní
důležitost pro fylogenii připisována. Je zvláštním, že v nej novější době,
kdy de Vriesovy názory o mutacích rostlinných byly tak značně otřeseny,
ne-li vyvráceny (srovnej zprávy Heribert-Nilsonovy, názory Nilssona-
Ehleho, Johannsena a Baura, z nej poslednějších pak zpráv na př.
resumé prací Lidíorssových o křížení různých Rub usů1) důkazem, že
mutace jsou vlastně zjevy kombinačními po předchozím křížení, ,, mutace"
mikroorganismů nejsou studovány vlastně ještě intensivněji, než jak se
dosud děje.

Methodika pracovní v tomto oboru vyžaduje ovšem daleko větších
garancií o tom, že pracováno je s materiálem jednotným, čistým, než jak
v obyčejných pracích bakteriologických se děje. Jest nutno učiniti výcho¬
diskem pro řadu pokusů kulturu založenou od individua jednoho, tak zv.
čistou linii dle Johannsena , (ovšem že čisté linie vyšších rostlin vyznačují
se oproti bakteriovým též zaručenou homozygotitou) . V četných případech
u bakterií, ovšem také u konidií plísní, lze dosíci takovýchto kultur, jak
již bylo v předchozích odstavcích vyloženo , nejlépe methodou Burriho.
Často však methoda tato selhává, ana tuš bakterie poškozuje; tu pak vede
opětované lití desek k cíli stejnému. Již při lití desek z jedné kultury jest
pravděpodobnost velmi značná, že isolované kolonie poslední desky po¬
cházejí z jediné buňky, čili že jedna taková kolonie představuje již ,, čistou"
linii. A i v tom případě, když by buňky kolonie takovéto nepocházely
od jediné buňky, nýbrž od několika individuí, jež byla s touto souvisela,
zbývá přece velká pravděpodobnost, že ony buňky byly individui sester¬
skými spíše, než aby byly pokrevně zcela cizími. U těch druhů, jež vyzna¬
čují se pohyblivostí, je konečně pravděpodobnost, že dvě související spolu
buňky povstaly štěpením individuí zcela cizích, minimální (Wolf2) pag.
94). A čím vícekráte takto desky lijeme, tím větší docházíme pravděpo¬
dobnosti, že získaná kultura vskutku představuje linii ,, čistou".

Ve velmi četných případech objevují se odchylné formy bakterii
již při lití desek z takovýchto čistých linií. Lze nalézti kolonie (tak z v.

x) Bengt Lidforss-W. Johannsen: Resumé seiner Arbeiten uber Rubus.
(Zeitschrift fur indukt. Abstammungslehre, 1914, Bd XII, pag. 1 — 13.)

2) Wolf Franz, Úber Modifikationen und experimentell ausgeloste Mutationen
von Bacillus prodigiosus und anderen Schizophyten . (Zeitschrift fur induktive Abstam¬
mungslehre, 1909, Bd. II, pag. 90 seq.)

XLVI.

sekundární kolonie), které se naprosto od většiny kolonií odlišují, ač bez¬
pečně náležejí k téže specii či varietě bakteriové. Povstalať právě každá
z nich z individua, jež nabylo odchylných vlastností a přeočkováním lze
tyto odchylné vlastnosti udržeti v kulturách. Velmi často objeví se jen část
kolonie odchylně stavěna, jen výsek její, sektor buď barvou, množstvím
slizu, strukturou povrchu a podobně se od ostatních partií liší. Velmi ná¬
padně jeví se to dle Beijerincka v kulturách Actinomyces annulatus ,
kterážto specie v normálních okolnostech tvoří kolonie sestávající z kon¬
centrických bílých kruhů, jak se v nich tvoří tak zv. konidie. ,, Mutuj e-li"
však kolonie, může se státi, že ztratí v určitých svých místech schopnost
tvořiti distinktní takovéto kruhy, jež pak jeví se omezeny na zcela určitá
místa, kdežto velké sektory jeví se stavěny skoro homogenně, téměř bez
kruhů. Sektory takovéto objevují se někdy, jak bylo již řečeno, také lijí-li
se desky z kultur Chíorell nebo v kulturách Chlor ellových na agaru v rour¬
kách. Tak zvané sekundární kolonie, jak se objevují u různých mikroorga¬
nismů (bakterií, kvasinek), jakožto jakési výpučky z normálních kolonií
(knoflíkovité) ve tvaru jazykovitých výběžků atd. a jež mají původ v tom
že nové jako mutanti vystupující formy doznávají velmi rychlého dělení,
nejsou asi podstatně odchylnými od tvoření vylíčených sektorů.

První zprávy o změnách pěstěných mikrorganismů, kteréžto změny
na další generace se přenášejí, děkujeme Hansenovi. Ku podivu jsou publi¬
kace tohoto autora z tohoto směru dosud nej důležitější. Hansen pracoval
s kvasinkami a postupoval od jedné buňky; selekce tedy nehrála zde žádné
role. Vystavil-li kmeny své, jež za normálních okolností na sádrových
blocích tvořily spory, vlivu abnormně vyšší temperatury, ztratily i schop¬
nost tvořiti spory. Vznikly tak asporogenní rassy, možno říci úplně kon¬
stantní, neboť ani po dvanáctiletém přeočkovávání, kdy sta generací byla
vznikla, nevrátila se jednotlivým liniím schopnost původní. S jiným, ne¬
méně zvláštním zjevem fysiologickým setkal se Massini při svých pracích
o Bacteriu coli. Zprávy jeho o tomto předmětu vyvolaly celou literaturu,
vzbudily živou diskussi a byly úplně potvrzeny. Massini isoloval z lid¬
ského střeva Baderium coli, které se ode všech známých kmenů tohoto
Schizomyceta tím lišilo, že postrádalo schopnosti rozkládati mléčný cukr
tak, že na substrátech, jež chovaly tuto substanci, nedocházelo ku tvoření
mléčné kyseliny. Nicméně tvořil kmen tento, byl-li pěstěn na mediích
s mléčným cukrem (na př. na tak z v. endoagaru), po čase sekundárné ko¬
lonie ve tvaru „knoflíků", jež na substrátech bez tohoto cukru nikdy se
neobjevovaly a jichž descendenti vyznačovali se schopností vyráběti z lak-
tosy mléčnou kyselinu. Schopnost pak tato objevila se býti dědičnou, i po
přeočkování na obyčejný mléčného cukru prostý agar zůstávala zachována,
jen v jediném z mnohých případů byla pozorována ztráta její. Massini
mluví zde o mutaci ve smyslu de Vriese a nazývá své bakterium Bact. coli
mutabile. Benecke (1. c. 1909, pag. 216) opakoval pokusy tyto vycházeje
od jednoho individua dle methody Burriho a potvrdil tvoření sekundár-

XLVI.

33

uích kolonií s význačnými jich vlastnostmi. Odporučuje jen, aby bylo vy¬
cházeno při příštích takovýchto pokusech od mikrobů, které by pocházely
co možná nejvíce se stanoviska přirozeného. Neníť nemožno, u bacteria
Massiniho, že jedná se o formu, která kdysi vyznačovala se schopností
zkvašovati laktosu, prošedši však střevem (tak ale snad všecky kmeny
coliové prošly a přece kvasí! Pozn. referenta) degenerovala, pozbyla schop¬
nosti kvasivé a po čase, právě v kulturách Massiniho této schopnosti
zase nabyla. Takže by se nejednalo o vznik vlastnosti nové, nýbrž toliko
o opětovné vyvolání karakterů, kterými linie před časem již se byla vyzna¬
čovala. Pracemi R. Muller a}) a jeho školy byly zjevy podobné rozšířeny na
Gelou řadu bakterií, Muller sám konstatoval mimo jiné, že kterýkoli kmen
bacilla tyfového může tvořiti sekundární kolonie a stanovil pro lékařství
velmi důležité faktum, že z této bakterie mohou podobným způsobem po¬
vstává ti bakterie paratyfové (pag. 314). Bacterium coli mutabile podržuje
svoji novou vlastnost v kulturách kielského bakteriologa již po léta. Se
stanoviska čistě botanického byla studována variabilita mikrobů Wolfem.
U prodigiosa bylo stanoveno, že mohou vzniknouti i modifikace pomí-
jitelné, tedy nedědičné, vlivem některých abnormních činitelů, a sice dosti
různé. Bílá barva kultur dostavovala se následkem zvýšení temperatury,
přidání dvojchromanu draselnatého, síranu mědnatého, fenolu k mediu
kulturnímu; modifikace do modrovioletového tonu po síranu mědnatém,
octanu mědnatém, dusičnanu a síranu kobaltnatém. Absolutně konstantní
,, mutace" vznikaly po přidání chloridu rtuťnatého (bílá barva), tmavo-
červené mutace po přidání nadmangananu draselnatého, dusičnanu ka-
demnatého, sublimátu a chromátu. Některé mutace byly zvratnými, trvale
nebylo je tedy možno udržeti v kultuře na normálních půdách. Při pozorném
výběru a častém přeočkovávání bylo lze nicméně libovolně dlouho udržovati
kmeny při bílé barvě; přísadou původní byl zde chromát, octan mědnatý,
dusičnan kademnatý a nikelnatý. Podobně choval se Staphylococcus py-
ogenes aureus ; jakožto dědičná mutace vznikla jedna bílá rassa z příčin
neznámých. U myxobakterií ( Myxococcus rubescens a virescens) bylo do¬
cíleno konstantních změn zvýšením temperatury, různostmi ve složení
živném kulturních medií a přidáváním jedu. Většina mutací vznikla tedy,
přidalo-li se ku živnému substrátu nepatrné množství nějakých, ve větším
množství otravných solí. Podobným způsobem podařilo se vy vola ti E.
Schiemannové2) „mutace" u Aspergillus niger. Dvě konstantní vznikly po
přidání dvojchromanu draselnatého; vyznačovaly se hnědou barvou.
Jiné vyvolány byly extremní tempera turou (45° C). Ve všech případech bylo
na bíledni, že vybavovány byly silným podrážděním resultujícím z abnorm¬
ních podmínek kulturních. Srovnáváním kultur normálních s abnormními

*) Muller R., Bakterienmutationen. (Zc-itschrift fůr induktive Abstammungs-
lehre, 1912, VIII, pag. 305 seq.)

x) Schiemann E., Mutationen bei Aspergillus niger von Tieghem. (Zeitschrift
fůr induktive Abstammuu gslehre, VIII, 1912, pag 1 — 35.)

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 46.

XLVI.

3

34

ukázalo se aspoň, že mezi 178 ,, nepodrážděnými" kulturami objevila se
mutace toliko 1 (=0-5%), mezi 397 „podrážděnými" však 8 (=2%).
Mezi mutacemi chovaly se některé velmi zvláštním způsobem. Tak ukázalo
se u mutanta „altipes" (pag. 31), že podráždění, které působí na generaci
první, může vyvolati změnu v generacích následujících, která je úplně od¬
chylná od reakce původní: Aspergillus niger reaguje na extremní tempe-
ratury pomalým vzrůstem, tvořením hustého špinavě bílého mycelia a za-
krsalými konidionoši; descendenti, kteří prošli dvakráte pasáží zvýšené
temperatury, rostou rychle, tvoří mycelia volná, bílá, s dlouhými vzduš¬
nými větvemi a velmi dlouhými konidionoši. Jiné mutace jeví velmi znač¬
nou variační šířku, některé projevují zvrat. Watermann1) doplňuje údaje
Schiemannové daty biochemickými. U Penicillium glancům podařilo se mu
vyvolati dědičně stálé (při následném pěstění na sladinkovém agaru) mu¬
tace po přidání 0-2% borové kyseliny k tekutině živné s 2% saccharosou;
podobně působila silná narkotika: kyselina paraoxybenzoová, salicylová,
trichlor akrylová, tetrachlorpropionamid, pentachlorpropionamid, dále ga-
laktosa, laktosa. U Aspergillus niger působily tímže způsobem jedy jako
skalice zelená a kyselina borová, jmenovaná narkotika (vyjma penta¬
chlorpropionamid), živné látky jako galaktosa, laktosa a raffinosa jako je¬
diný pramen uhlíku, glutarová, levo i antivinná kyselina, rhamnosa. Kon¬
stantnost mutací zachovala se při pěstování, které po celý rok až léta
trvalo. Morfologické rozdíly mutantů nemusí býti provázeny stejnosměr¬
nými differenciacemi fysiologickými (pag. 12.). Tak vykazovala jedna
forma daleko jinou výměnu látek než forma mateřská, ačkoli se této mor-
fologicky velice podobala; plastický ekvivalent uhlíka v procentech činil
u ní 24, a u formy mateřské 41. Naproti tomu plastické ekvivalenty biehro-
matových mutantů Schiemannové (35 resp. 39*5%) nelišily se mnoho od
mateřských forem téže autorky (43-9%) ani od Watermannových. jinak
nalezl Watermann u mutantů ekvivalenty 19, 30 atd., tedy hodnoty zcela
různé, faktum, které činí ovšem vývody jeho poněkud podivnými.

A. Blochwitz2) (1914) podává nejnověji radostnou zvěst o tom, že
podařilo se mu vyvolati nový druh plísně pomocí silného podráždění svě¬
telného. Již před několika léty popsal Wehmer pode jménem Asper¬
gillus giganteus formu, která se velice podobá druhu A . clavatus, liší se však
od něho obrovskými rozměry a vysloveným heliotropismem. Tutéž pak
formu obdržel Bl. z kultur A. clavatus, ozářil-li je asi jeden den silným svět¬
lem elektrickým, ponechal pak vegetovati za velmi slabého jednostranného
osvětlení, selektoval velké nosiče konidiové slabě helio tropické a opakoval
ozáření i selekci. Dimense i tropismy vyvolávány byly tedy dle autoia po-
nenáhlým „přizpůsobením", v dalších však generacích objevily se dědičně

x) Watermann H. J., Mutation bei Penicillium glaucum und Aspergillus
niger. (Zeitschrift fur Gárungsphysiologie 1913, III, pag. 1 seq.)

9 Blochwitz A., Entstehung neuer Arten von Schimmelpilzen durch starke
Lichtreize. (Berichte d. deutschen botan. Gesellschaft, 1914, XXXII, pag. 100 seq.)

XLVI.

35

fixovány. Bohužel pohřešuje referent ve zprávě Blochwitzově bližší
údaje o tom, jak byly zakládány -původní kultury, jmenovitě nebylo-li
pracováno s populacemi. Neboť jinak bylo by velmi snadno možno, že po¬
stupem autorovým, při němž povlovnost a selekce hrála značnou roli,
eliminovány byly všecky linie, jimž se nedaří při silném osvětlení a jež jsou
zmáhající se robustnější formou přerůstány.

Velké prohloubení přinesly ve veškery tyto otázky práce Beij erink-
kovy .

Beijerinck1) řadí různosti, jež se objevují mezi potomstvem téhož
druhu, mezi modifikace, fluktuace, mutace a (u sexuelně differencovaných
mikroorganismů, na př. u octospora, u něhož musíme předpokládati ka¬
ry ogamii spojenou s dělením redukčním) i kombinace. Modifikace nejsou
dědičné anebo dědí se jen během několika málo buněčných generací než
jsou ty, při kterých povstávají. Dědičnými a sice během neobmezeného
počtu generací jsou ostatní formy differenciací. Na modifikacích spočívá
differencování, jak se objevuje při obyčejné plynně před se jdoucí onto-
genesi. Při tom změny jsou ovládány obyčejně vnitřními, zřídka vnějšími
podmínkami a jakmile tyto podmínky samy se mění, děje se totéž s jejich
produkty. Při fluktuacích stojí dědičné změny pod vlivem podmínek
vnějších. Při tom doznává po většině největší počet individuí téhož kmene
tutéž změnu. Naproti tomu hrají při mutacích vnější podmínky roli více
podřízenou, hlavními faktory změny jsou vnitřní podmínky, které se uplatní
obyčejně v několiko málo individuích kmene. Přes to bylo nalezeno u více
mikrobů, že musí přijíti zároveň jakési podráždění, aby mutace byla vy¬
bavena. Nicméně lze se prý domnívati, že při realisování fluktuací převa¬
žují podmínky vnější, u mutací vnitřní. Obě kategorie liší se od sebe ještě
co do stupně změn: u fluktuací jsou skoky menší než u mutací. Ve své
práci mluví autor toliko o mutacích, které vystupují za normální výživy.

Počet mutativních možností u j ednotlivých kmenů v ikrobů zdá se
býti neomezeným. V kulturách Beijerinckových toliko určité mutace
vystupovaly a počet jich nemohl býti nijakým způsobem zvýšen. Tak ob¬
náší počet mutací stanovených Beijerinckem pro B. prodigiosus 15, Schizo-
saccharomyces octosporus 9, Bacillus herbicola 3 — 5, fosfor eskuj ící bakterii
Bacillus ind. 4. Mnohdy vystupuje u téhož druhu mikrobového týž mutant
zcela pravidelně a opětovaně tak, že se zdá, jakoby „mutační" proces bral
se určitým směrem a dle zákonů předurčených vnitřními příčinami. Nic¬
méně neobjevují se všickni mutanti se stejnou lehkostí, a tak jsou někteří
hojnější, jiní vzácnější. Mutant Schizosaccharomyces octosporus seriatus jest
na př. zjevem vzácným, S. oct. asporus velmi obyčejným.

Také jiní mikrobiologové stanovili týž zjev. Velmi důležito je, že
přečasto mutace činí dojem pouhého atavismu, v každém případě zvrat
karakteru, kterýžto ovšem rovněž za proces mutativní musí býti považo-

x) Beijerinck, Mutation bei Mikroben. (Folia Microbiologica 1912.)

XLVI.

3*

36

ván, neznačí nic jiného než ,, mutacť '. Zdali mutace přinášejí s sebou něco
nového pro organismus, jakýsi fylogenetický pokrok, zdá se Beijerinckovi
nepravděpodobným. Někdy objevuje se sice u mutantu mikrobových
znak, který neexistoval u rassy kmenové, tak může povstati na př. u Ba-
cillus prodigiosus mutant viscosus. Při tom zůstává však nerozhodnuto,
zda tento nový znak: tvořiti sliz neexistoval již u vzdálenějších příbuzných
Bacilla tak, že by jeho vystoupení neznačilo nic jiného než atavismus.
,,Vorláufig muss ais wahrscheinlich betrachtet werden, dass die Mutan-
ten keine neue Glieder des Hauptstammes der sich in phylogenetischem
Sinne entwickelnden Organismenwelt sind., sondern nur das schon Da-
gewesene oder besser gesagt, das schon in der Anlage Vorhandene reprá-
sentieren“. (pag. 8). Není tedy ani u mikrobů dokázáno, že by nové geny
(,,Gewinnmutationen“, „Gewinnmutanten") vznikaly.

Beijerinck udává, že většina mikrobů, jestliže jsou jen dostatečně
dlouho pozorováni v kulturách, jest s to jeviti mutaci. Jen u Cyanophyceí
nebyl tento zjev dosud pozorován, při čemž Beijerinck poznamenává, že
příčinou toho může býti pohyblivost těchto mikroorganismů, kteráž zne¬
možňuj e pozor ováti dotčenou změnu v koloniích také u většiny nižších Chlo-
rophyceí. Tak kultivuje Beijerinck jeden kmen Pleurococcus vulgaris již od
r. 1888, aniž byla pozorována na něm nějaká změna. Podobně stálým jeví se
Stichococcus bacillaris a Cystococcus humicola (z Parmelia parietina). Naproti
tomu u Chlor ella variegata jest mutace ,,so zusagen eine normále Erschei-
nung (1. c. pag. 28). Chlamydomonas (řasa sexuelní!) mutuje tolikéž. Také
u Saccharomycetů kvašení alkoholového jest mutace zjevem zcela obyčej¬
ným, ba u Scjiizosaccharomyces octosporus činí mutace na pozorovatele,
který po prvé se s ní seznámil, dojem spíše nějakého zcela normálního po¬
chodu, na př. variability. Z povrchu téměř každé kolonie odo spora lze lehce
tři různé mutanty v čisté kultuře sebrati, při čemž může sloužiti za indi¬
kátor pouhý jod, jenž barví violetově glykogen buněk i tmavomodře spory
obsahující granulosu a stanoví kvantitativní rozdíly v obsahu těchto
látek jak u mutantů tak vzhledem ku formě mateřské. Zajímavo je, že
titíž mutanti mohou vycházeti z různých předchozích forem. Tak mohou
vzniknouti z mateřské formy Bacillus prodigiosus mutanti: roseus, albus,
viscosus, auratus, hyalinus. Hyalinus jakožto mutant druhého stupně
(II.) z mutanta albus (I.), viscosus (II.) z auratus a hyalinus (I.), albus
(II.) z viscosus (II.), auratus a hyalinus (II.). Mutant třetího stupně (III.)
albus konečně z auratus (I.), viscosus (II.) a hyalinus (I.), viscosus (II.).
Jestliže pak mutanti vrací se zpět ke své formě mateřské, což B. ve svých
kulturách přečasto pozoroval, děje se to tak, že opětuje se nejprve skok, který
byl nej posledněji učiněn. Tak vrací se na př. sekundární mutant Bacillus
prodigiosus viscosus albus při atavování nejprve k primárnímu mutantu
Bacillus prodigiosus viscosus, formě, která vyznačuje se hojným tvořením
slizu a červenou barvou, a ne přímo k normální formě Bacillus prodigiosus.
Někdy ovšem intermedierní stupeň probíhá velmi rychle, takže vzniká

XLVI.

37

dojem, jakoby se mutace vracela přímo ku kmeni původnímu. Také pozo¬
ruje se u některých mutantů, že zvrat děje se nadobyčej rychle, takže
tekuté kultury, v nichž dějí se takovéto mutace, činí dojem spíše fluktu-
jících variací, při nichž objevuje se dotčená íorma mutační toliko během
několika generací (1. c. pag. 51). To pozoroval B. na mutaci parvus od Ba-
cillus indicus. Zvláštní je, že dochází velmi pravděpodobně dříve ještě,
nežli mutace se projeví na venek, k jakýmsi processům promutačním (1.
c. pag. 48). Pěstuje-li se mutant Ascococcus (význačný tvořením zvláštních
zoogloěových chuchvalců) z Bacillus herbičola na mediích sladinkových
při 20 — 30° C, lze obdržeti lehce materiál úplně konstantní. Činí-li se z něho
výsev na minerální agar se saccharosou a K N 03, nezmění se forma za žád¬
ných okolností. Přeočkuje-li se však z tohoto posledního media opět na
sladinku, v brzsku dostaví se atavismus a utvoří se stará forma herbičola.
Je patrno, že zvrat tento musil býti připravován již na agaru s dusična¬
nem a saccharosou, že na tomto mediu děla se jakási „promutace". Zá¬
roveň je jasno, že jedná se zde o podmínky výživy, které vybavují určitý
mutační zjev. Že při tom hraje vázaný dusík potravy hlavní úlohu, je velmi
pravděpodobno.

Pro práce referentovy jsou ovšem nej důležitěj ší výsledky Beije-
rinckovy o mutacích Chlor ell. Bohužel nejsou data delftského bakteriologa
o tomto objektu příliš četná (1. c. pag. 56 seq.). Mutativní zjevy sledovány
byly na Chl. variegata B. Mutace projevují se v této specii tím, že vznikají
v roztěrech žlutě zbarvené sektory, v deskách žluté kolonie, které předá¬
vají tuto vlastnost, jež očividně spočívá na ztrátě určitých schopností,
svému potomstvu. Povstává tak mutant zvaný „aurea". Mikroskopickým
ohledáním lze zjistiti dle Beijerincka, že chloroplasty toliko na jednom
anebo na několika málo místech svého těla podržují schopnost tvořiti bar¬
vivo, kdežto na ostatních místech této schopnosti pozbyly. Takže mutace
nespočívá na ztrátě chloroplastů a shoduje se se zjevy albikace, jako je
pozorujeme u vyšších rostlin. Rozdíl však zde jest ten, že u „aurea" Chlorell
na určitých místech chloroplastů pozorujeme zachovánu zeleň normální
intensity, kdežto u „aurea" chloroplastů vyšších rostlin pozoruje se stejno¬
měrné žluté zabarvení. Mutativní tuto formu nazývá B. Chlor ella varie¬
gata aurea. Mimo tuto objevila se v kulturách B-ových ještě jiná mutace,
sestávající z úplně bezbarvých individuí formy protothekové. Stalo se to
však jen několikráte v kulturách na agaru s minerálními solemi, při čemž
nalezeny byly jednotlivé kolonie, jež byly bezbarvé. V každém případě jest
tvoření tohoto mutanta řídkým zjevem. Jest možno, že rod Prototheca ,
který se vyznačuje konstantně bezbarvými buňkami, vskutku vznikl
mutaci z nějaké zelené Chlorelly. Jest to tím spíše možné, že B. udává, že
i „houba" Prototheca (z přírody isolovaná) chová ve svých buňkách bez¬
barvý chloroplast, v němž lokalisován jest glykogen („glykofor" ; také
u Chl. variegata objevuje se glykogen v jediném lasturovitém chloroplastu),
takže prototheková mutace od Chl. variegata představovala by prý přímý

XLVI.

38

přechod řasy v houbu. ,,Aureový“ mutant objevoval se v kulturách B-ových
velmi hojně. Chl. vulgaris, isolovaná z vody, netvořila v kulturách B.-ových
nikdy aureových mutantů.

Z jiných podobných zjevů budiž zde učiněna zmínka ještě o značné
mutativnosti znaku tvoření tuku u t. zv. kvasinek hmyzových (1. c. pag.
75.) Tyto kvasinky — Lindnerův Saccharomyces (Torula) pulcherri-
mus žijí ve voleti a žaludku čmeláků a včel. Čerstvě isolovány na deskách
želatinových rostou ve způsobě buněk kulatých, asi 7 měřících, z nichž
každá jest vyplněna jedinou velkou kapkou olejnou. Přeočkují-li se však
do tekuté sladinky, změní se jejich podoba, objeví se menší formy oválné
(5. pulcherrimus secundarius) , které jsou tuku prosty. Při zpětném vý¬
še vu na agar lze pak konečně na deskách opět shledati se s jednotlivými
koloniemi tukovými. Kvasinka — glukoso vá forma — může slabě kva-
siti, schopnost tato spojena jest se vznikem drobného mutanta sekundár¬
ního, jenž jest tuku prost. V útrobách hmyzu se kvašení očividně neděje,
neboť odtud lze sice formu pulcherrimus obdržeti tolikéž, ačkoli j en v malém
množství. Nicméně přiznává B., že pojmy mutace a modifikace nejsou od
sebe příliš ostře odděleny. Zjev sám u symbiotických organismů jest však
asi rozšířenějším, tak na př. tak význačná pleomorfie symbiotických
Azotobakterů mšic mohla by sem snad spadati.

Co se konečně týče onoho podráždění, jež mnohdy musí z věnčí při¬
jití, aby mutace se dostavila, jsou jím asi u Bacillus prodigiosus nějaké
alkalické produkty výměny látek. Neboť mutace se nedostavují v bouillonu,
který je slabě okyselen, a je-li bakterium tak často přeočkováváno, aby
vzniklé alkali neneutralisovalo kyseliny. Že však tato látka musí se nacházeti
uvnitř těla bakteriového a nikoli mimo ně, pro to svědčí okolnost, že kul¬
tivuj e-li se tento mikrob na deskách, k nimž se mimo obyčejné živné látky
přidá něco kulturních materialií, jež již byly opotřebovány kulturami
předchozími, nemá to vlivu na mutační pochody, (pag. 31.). U Strepto-
coccus hollandicus zase jest nej pravděpodobnější příčina dráždivá vzniku
slizového mutanta omezený přístup kyslíku ke kulturám (pag. 37). Při
získání mutanta auratus od Bacillus prodigiosus hrají asi faktory výživné
jistou úlohu, neboť z masového bouillonu lze jej snadno získati, nikdy však
ze sladinky, kdežto mutanty sladinkové vznikají stejnou měrou v obou
živných mediích. Také nezdá se býti bez vlivu přítomnost organických
látek v mediích živných na vznik mutace ,,aureové“ z normální Chlor elly
dle Beijerincka. Aspoň nepodařilo se mu nikdy isolovati tuto formu z mi¬
nerálních kultur a naopak roste v těchto mediích s uhličitou, jakožto pra¬
menem uhlíka „auieový" mutant po přeočkování s počátku jen pomalu
a podržuje žlutou barvu, načež objeví se atavismus k formě normální.
(1. c. pag. 57.) Velkou váhu však přes to B. těmto vnějším vlivům nepři¬
kládá, spíše jen mezi jakési podpůrné faktory, zdá se, že je počítá.

Veškery zprávy tyto mají velkou důležitost a z největší části, jsou také
vykládány jako doklady pro tak zv. dědičnost získaných vlastností.

XL VI.

39

Problém tento souvisí do značné míry s ideami, jež pronášejí tak zv.
lamarckisti, jmenovitě novějších směrů, o schopnostech organismů při-
způsobiti se k podmínkám, jež je obklopují a přímým takovýmto přizpů¬
sobením získané zvláštnosti přenášeti beze změny na potomstvo.

Jako doklad těchto názorů uváděny jsou řady pozorování, která
vskutku zdají se nasvědčovati tomu, že existují jakási přizpůsobení v pří¬
rodě (že ovšem exaktnímu přírodozpytci jedná se hlavně o dokázání cest,
jimiž se udála, je na bíledni). Tak uvádí Jakowatz (cit. dle Wettstei na1)
pag. 21), že velkokvěté alpské hořce, které jsou uváděny pod souhrnným
názvem Gentiana acaulis, náležejí vlastně celé řadě blízko sobě příbuzných,
ale morfologicky dobře rozeznatelných druhů, které se zastupují v územích
spolu hraničících. „Die Abhángigkeit der Artbildung von lokalen Einflússen
ist deutlich zu sehen."

Drahný čas jest tato Gentiana pěstěna v zahradách v tak zv. alpských
jejich částech a přetvořila se zde v rostlinu, která morfologicky značně
se odlišuje od druhů, jež rostou divoce. Dmělý výběr sotva při tom spolu¬
působil, poněvadž morfologická odchylka pěstitelům proto nebyla známa,
že nepůsobí na dekorativní účinek rostliny. Také jest vyloučeno působení
výběru přirozeného, poněvadž, jak známo, spontánní druhy alpské lze pě-
stovati. Nezbývá tedy prý než přijímati, že se rostlina během doby pře¬
tvořila vlivem změněných podmínek výživy i klimatu „přímým přizpů¬
sobením' ř ve formu, v jaké se nám nyní v našich zahradách jeví. Jiný pří¬
klad uvádí Bordage 2 3) (cit. dle Semona, 1912, pag. 64), dle něhož broskvoně
z Evropy na Réunion importované dávají ze semene původ rostlinám,
které ještě po plných 10 let shazují v zimě své listy zůstávajíce po té asi
půldruhého měsíce, v pozdějších letech ještě kratší dobu, lysými. Po 10
letech dostoupily j ednotlivé stromy toho stavu, že vůbec neobj eví se u nich
úplné opadání listů, nicméně teprve po 20 letech lze prohlásiti je za
stromy vždy zelené. Semena z těchto vždy zelených stromů dávají pak
původ stromům, které přímo vždy zelenými se jeví. Tato vlastnost pro¬
jeví se i tenkráte, když jsou jádra vyseta nikoli v horkých nížinách pobřeží,
nýbrž ve výši lOOOm nad mořem, kde ty broskvoně, jež pocházejí od ro¬
dičů, kteří nebyli klimatem pozměněni, trvale jeví podzimní opadávání
listů. Důkaz o tom, že toto přizpůsobení je dědičným, t. j. že v těchto
místech projevuje se i po řadu generací pocházejících z jednoho kmene,
bohužel doposud proveden nebyl.

Nej populárnější jsou však zprávy, které podává o podobných zjevech
v 50tých létech minulého století botanik Schubeler (cit. dle Willez) pag. 562).

!) v. Wettstein Richard, Der Neo-Lamarckismus und seine Beziehungen
zum Darwinismus. (Vortrag gehalten in der allgemeinen Sitzung der 74. Ver-
sammlung deutscher Naturforscher und Aerzte, 1902.) 1903, Jena, Fischer.

2) Semon Richard, Das Problém der Vererbung „erworbener" Eigenschaften.
Leipzig, Engelmann, 1912.

3) Wille N„ tlber die Schubeler’schen Anschauungen in betreff der Ver-

XLVI.

40

Y krátkosti dají se shrnouti takto: Přenáší-li se ve Skandinávii obilí pone-
náhlu z nížiny do krajů horských, tu navykne změněným podmínkám do
té míry, že může prodělati celý svůj vývoj v těch výškách, vyznačujících
se nižší i střední temperaturou a to v kratší době. Přenese-li se pak, když
bylo několik let ztrávilo v největších výškách nad mořem, v nichž obilí
ještě může zráti, zase na své původní stanovisko, uzrává v prvních letech
zde dříve než sorty domácí a z domova nevyšlé. Podobně stane se s obilím,
jež přeneseno je z jižnějších šířek do severnějších. Zde trvá osvětlení, jemuž
je v letních měsících denně vystavováno, déle, proto zkracuje se doba ve¬
getační, obilí dospívá dříve zralosti. Přenesou-li se obilní sorty naopak ze
severu na jih, dostaví se týž zjev, jen opáčného směru. Změny tyto ukazují
se býti dědičně fixovanými. Tak podařilo se Schůbelerovi během ně¬
kolika let zkrátiti vegetační dobu německé jaři o 4 týdny a pokusy se se¬
verským obilím v Poppelsdorfu, Hohenheimu a Vratislavi vyzněly týmž
způsobem.

Z přečetných pokusů na zvířecím materiálu, jimiž jest dokazováno
dědění „vnucených" změn, budtež zde uvedeny poslední zprávy Kamme-
rerovy1) o změně barvy u mloků. Jestliže jsou mládata mloků, jež jsou
nepravidelně skvrnitá, pěstěna v terrariích se žlutým, vlhkým podkladem
hliněným, tu rozmnožuj e se značně žluté barvivo po těle zvířátek ; naopak
při kultivování na černé prsti zahradní přibude černé pigmentace. Tento
vliv vnějších podmínek jeví se pak dle K. netoliko na exemplárech, na něž
bylo přímo působeno, nýbrž i na jejich potomstvu týmže způsobem, do¬
konce i tenkráte, jsou-li přímo po zrození pěstěna na substrátě indifferent-
ním nebo i kontrérním. Jestliže jest necháno působiti témuž vlivu na ně¬
kolik generací, lze pozor ováti obdobné stupňování zabarvení. O selekci při
těchto zjevech se nejedná, proti tomu mluví výsledky Kammererovy
provedené s užitím tak zv. negativní selekce t. j. výběru vždy nej tmavěj¬
ších individuí pro žluté kultury a naopak, jež vypadly vždy stejně. I soudí
Kammerer, že jedná se zde o dědění změn tak z v. somatogenních.

Proti všem těmto výkladům byly však proneseny velmi důležité a pod¬
statné námitky. Názory Schůbelerovy v té formě, jak byly vylíčeny, jsou
vyvráceny (srovn. Wille 1905 a 1913).2) Schůbeler tvrdil také, že semena
severských plodin jsou značnější, z nich pak povstalé rostliny statnější
a vzdornější vůči různým vlivům. Značnou důležitostí těchto zpráv vedeni
snažili se brzy po publikování jejich četní oekonomové využiti takovéto

ánderungen der Pflanzen in nórdlichen Breiten. (Biologisches Centralblatt, 1905,
XXV, pag. 562 seq.)

9 Srovnej jmenovitě Kammerer Paul, Vererbung erzwungener Farbver-
ánderungen. IV. Mitteilung: Das Farbkleid des Feuersalamanders in seiner Abhán-
gigkeit von der Umwelt. (Archiv fur Entwickelungsmechanik d. Organismen, 1913,
36, pag. 4 seq.)

2) Wille N., tlber die Veránderungen der Pflanzen in nórdlichen Breiten.
(Sonderabdruck aus dem Biologischen Centralblatt 1913, XXXIII, pag. 246 seq.)

XLVI.

41

satby, naděje jejich se však nesplnily. Wille sám pěstoval ječmen pochá¬
zející z Thelemarken (2-300' nad mořem) v Aasu u Christianie, sorta však
nevykazovala značných rozdílů oproti domácím. Ostatně ani názory
Schůbelerovy o kratší době vegetační v severských výškách nejsou
docela správný, jelikož dny jsou zde v létě, jak známo, nad obyčej dlouhé,
množství světla tedy, jehož se rostlinkám dostává, asi dostatečně velké.
Dokonce děje se při žních na severu dosti přísný výběr ranné setby, jelikož
jen ty klasy, které jsou úplně zralé, jsou určovány pro setí. Nej těžší ovšem
námitka proti Schúbelerovi je, že při jeho pokusech nejednalo se o nic
jiného než o vymýcení resp. snížení těch rass, které svými dědičnými
vlastnostmi nesouhlasily se změněnými novými podmínkami, v něž byly
přeneseny, takže v těchto se udržely a nad oněmi rozmohly ony rassy
(linie), jež dle svých gen mohly za těchto nových okolností vegetovati.
Rozdíl mezi populacemi a čistými liniemi Schúbelerovi nemohl být i
znám, vskutku jedna čistá linie, přenesena ze severního Finska do
Svalofu a zde pěstěná (pod značkou 0660) od r. 1893 nezměnila pod¬
statně svých vlastností. Od r. 1899 byly vedeny záznamy o počtu dní
vegetačních této sorty u srovnání s domácím ,, bělákem' * (0301), o ran-
nosti prostřední [Nilsson-Ehle 1911,1) pag. 20), změny však nepozoro¬
váno, jak dokazují následující data:

Počet

dní vegetačních

Rozdíl v periodě veget.

0660

0301

vyjádřený ve dnech.

1899

99

104

6

1900

101

108

7

1901

91

105

14

1902

119

150

31

1903

106

121

15

1904

94

105

11

1905

96

103

7

1906

96

104

8

1907

114

135

21

1908

106

116

10

1909

109

127

18

1910

92

104

12.

Příklad tento demonstruje jasně, že kdyby klima vyvolávalo změny
v kar aktérech hereditérních, bylo by musilo nivelovati, redukovati difference
mezi těmito různými varietami, které byly pěstovány na témže místě
a v téže době, za úplně stejných podmínek. Pokus Schůbelerův opakuje
se ostatně ještě jednou a sice tak, že několik čistých linií ovsů severských,
různě ranných, pěstuje se na různých místech Evropy. Po několika vege-

0 Nilsson-Ehle, Mendélisme et acclimatation. (IV conférence internationale
de génétique, 1911, Paris.)

XLVI.

42

tačních periodách budou semena od různých pěstitelů — pro Čechy převzal
kultury referent — zaslána do Svalofu, kdež bude pozorováno, zda dě¬
dičná jejich rannost se kulturou v cizích terrainech pozměnila.

Nilsson-Ehle sám (1. c. pag. 19) se domnívá, že by bylo pro přítom¬
nost předčasným popírati kategoricky na základě dedukcí theoretických
možnost změn hereditních, akklimatace dědičné vlivem přímých ústředí
ve smyslu Lamarckové. Nynější stav nauky o dědičnosti, jmenovitě zjevy
podivuhodné při křížení, přivádějí však jej k závěru, že i při tomto pro¬
blému můžeme vystačit i poznatky mendelistickými.

Akklimatace, adaptace klimatická, neznačí dle něho nic jiného než
přegrupování faktorů mendelistických v kombinace vždy výhodnější,
odpovídající nejlépe danému ústředí. Že zde připadá selekci určitá role.
nelze popírati. Snadno lze pozorovati, že v jisté varietě pšeničné, význačné
určitou variací hereditérní resis tence oproti mrazu, individua méně resi-
stentní mizí nebo ubývá jich počtu, kdežto individua resistentnější pře¬
trvají a dominují víc a více. Podobně, jestliže varieta ovsa o určité dědič¬
né variaci rannosti jest přesazena severněji, kde kombinace pozdější zrají
špatně anebo vůbec nedozrávají, rozmnoží se kombinace rannější. Ná¬
sledek toho jest, že objeví se změna v průměrném karakteru rannosti u této
variety. Nicméně možnosti akklimatace nejsou tím vyčerpány, neboť
hybridací mezi individui vyselektovanými, přegrupováním jednotek mohou
se tvořiti kombinace ještě výhodnější a akklimatace pokračuje. Úkol, jejž
hraje zde selekce, jest tedy ten, že zmenšujíc počet individuí pozdnějších
poskytuj e větší možnost hybridisace mezi individui ranními, čímž se zvět¬
šuj í značně možnosti realisace možných kombinací ve směru větší rannosti.
Křížení takovéto v pšeničných polích, jak zkušenosti ukazují, jest velmi
snadno možno, formulované pak tyto výklady, založené na přečetných
experimentech Nilsson-Ehleho o dědičnosti různých forem obilných a jich
kříženců s ohledem ku resistentnosti proti mrazu, chorobám atd. ve mnohém
souhlasí s učením Darwinovým doplňujíce a vysvětlujíce některé jeho these.

Vývody Kammerer ovy na pravou míru uvádí J ollos.1) Kammerer
nalezl, že při křížení typické skvrnité formy a formy přirozené se 2ma žlu¬
tými pruhy, tedy typica X taeniata, v Ft povstane typica ( typica vždy do¬
minuje nad taeniata), v F2 pak že objeví se typické štěpení dle 3:1. Také
dvakrát pruhovaná umělá forma X prostředně pruhovaná umělá, jakož
taeniata x prostř. pruhov. umělá v F\ daly typica. Naproti tomu taeniata
X dvakráte pruh. umělá v Fx dala vždy taeniata. Při křížení typica x prostř.
pruh. umělá, jakož i typica x dvakr. pruh. umělá v Fx objevily se formy
intermedierní (v řadách skvrnité) a v F2 místo štěpení od jednoho ke dru¬
hému mláděti pokračující porušování v symmetrii uspořádání skvrn až
posléze se objevila čistá typica. Při transplantaci ovarií typica nebo taeniata

x) J ollos V., referát o Paul Kammerer, Vererbung erzwungener Farben-
veránderungen IV., v Zeitschr. íůr induktive Abstammungslehre XII, Heft 1., 1914,
567.)

XLVI.

43

jako mateřská individua nikterak nepůsobila na transplantované cizí
ovarium a při křížení objevily se výsledky shodné s dřívějšími. Uměle pru¬
hovaná samička s vaječníkem typica dala však po skřížení se samečkem
pruhované umělé rassy vznik toliko pruhovaným individuím ( typica sa¬
motné dávaly intermedierní formy), pruhované umělé samičky s ovariemi
typica po skřížení s typica porodily valnou většinu typica. I soudí Jollos:
Jelikož po skřížení typica s umělými formami ponenáhlu nastává zvrat
k formě kmenové, nejedná se zde o změnu dědičných vloh, genotypu,
nýbrž toliko o modifikace, změny tedy fenotypické. S tím souhlasí, jestliže
povstává v Fx typica (následkem dominance nad ev. taeniata) po skřížení
dvakrát X prostř. pruh. umělá rassa resp. taeniata x prostř. pruh. umělá
rassa, jelikož obě umělé rassy genotypicky rovnají se typice. Zde přicházejí
k platnosti pouze „dozvuky" experimentálních vlivů na další generace.
Tyto ,, dozvuky" jmenovitě také při transplantaci cizích ovarií se jeví a
zjevy, které nadcházejí, je-li „Tragamme" umělá nějaká forma, jen tímto
způsobem dají se vysvětliti. Přiznává ovšem Jollos , že ,, dozvuky" tak
dlouhého trvání a tak značné intensity, které i na cizí, transplantovaná
ovaria mohou působiti, u vyšších organismů ještě pozorovány nebyly.

Jollos vykládá také většinu případů t. zv. mutací mikroorganismů,
jak byly v předešlém vylíčeny, jinak než autoři, kteří tyto zjevy vyvolali.
Přiznává sice (1914,1) pag. 29), že jest dokázáno několik málo případů
pravých mutací t. j. náhlých změn, které naprosto stálými se jeví (sem
náleží především případ Hansenových asporogenních rass u kvasinek,
některé nálezy Wolfovy a Schiemannove). Z vlastní praxe uvádí (pag. 17)
pravou mutaci vyvolanou u Paramaecia. V jedné čisté linii, která byla
delší čas pěstěna při 31° C, objevila se individua, která se lišila velikostí
od výchozí formy. Při dalším pěstění se ukázalo, že tvoří novou rassu, která
vedle svých malých rozměrů vyznačovala se též vyšším temperaturním
maximem. Tyto dvě vlastnosti podržovala konstantně i za nej různějších
podmínek životních a přenášela je na potomstvo, jak při rozmnožování
vegetativním tak při konjugaci. (Bylo by bývalo důležito stanoviti, jak
se chovaly tyto nabyté vlastnosti při křížení s individui, jež jich neměla.
Pozn. referentova.). Takže se v tomto případě jednalo vskutku o změnu
v genách. A. jelikož při jejím vzniku vyloučena byla kopulace, vznikla
čistou mutací, vyvolanou ovšem vyšší temperaturou.

Naproti tomu u všech, mimo případy zmíněné, „stabilních mutací"
pozorujeme dle Jollose zvrat k formě normální, třebaže nové znaky udržo¬
valy se velmi dlouho, tak na př. u Paramaecií, jež byla učiněna na několik
měsíců vzdornými oproti kyselině arsenové, u Trypanosom i několik roků.
Neboť počínaje osmým měsícem počala vzdornost v prvém případě pone¬
náhlu mizeti, v případě druhém zmizela najednou, jestliže parasiti prošli

x) Jollos V., Variabilitát und Vererbung bei Mikroorganismen. (Zeitschrift
fůr induktive Abstammungslehre, 1914, pag. 14 — 36.)

XLVI.

44

zažívacím traktem přenášejícího je zvířete. I navrhuje /. nazývati takto
se chovající nové formy názvem ,, trvalé modifikace' terminem, který
je vskutku velmi případným a jehož jen z toho důvodu referent nebude
užívati na označení obdobných zjevů, že název mutace, mutabilita je po¬
hodlnějším.

Na druhé straně zapomíná však Jollos, že způsob, jakým byly vy¬
volány ony pravé mutace — neboť že nevznikly spontánně, o tom nemůže
býti pochyby — principielně ničím se neliší od methody, jíž jsou získávány
ony ,, trvalé modifikace". Dle mínění referentova jedná se zde jen o kvan¬
titativně, nikoli kvalitativně rozdílné zjevy. A tím cennějšími zdají se mu
ovšem tyto trvalé modifikace, neboť ukazují jen cesty, kterými jest se bráti,
aby vskutku jednou dosaženo bylo nepopiratelné dědičnosti získaných
vlastností.

* *

*

Mají naše pokusy také nějaký význam pro důležité otázky tyto?

Bylo již několikráte poznamenáno, že také v kulturách referento¬
vých dostavovalo se u Chlor ell tvoření aureových sektorů a sice na mediích
kulturních, jež byla složení zcela normálního. Při přeočkování udržely
se u Chl. variegata Kr. nové znaky tyto po delší čas, teprve po několika
týdnech počaly se na nich objevovati sekundární kolonie. Možno tedy
vystupování sektorů vším právem označiti za zjev mutativní dle názorů
Beijerinckových nebo za trvalé modifikace dle Jollosa. Z Chlor elly ,, lipské"
získaná tímto způsobem takováto žlutá modifikace zvláště byla stálá,
teprve po několika měsících — přes to že byla během té doby pěstěna na
různých substrátech — došlo k utvoření několika málo sekundárních čistě
zelených kolonií nepatrné velikosti na normálním sladinkovém agaru.
Zvláštní byl způsob, jakým objevovaly se aureové sektory u variegaty
Beijerinckovy, Krugerovy i u lipské Chlor elly .V tom místě, kde se počal tvo-
řiti sektor, vrstva kulturo vého povlaku zřejmě byla nižší oproti okolí
temně zelenému. Někdy přecházela vrstva zelená schodovitě, ač ostrým
přechodem, v sektorovou. Bylo patrno, že kultura se skládá z několika
vrstev, z nichž jedna z prvních byla ona, jež po části sežloutla do „aureova",
přes tuto pak že táhnou se vrstvy další, které po nějaké době sezelenají.
Podobné zjevy byly často pozorovány i v jiných kulturách, v těchto však
sektory nemusily nabývati barvy ,, aureové", nýbrž zůstávaly bílými, na¬
zelenalými atd. Je vůbec pravděpodobno, že sezelenání i výživa svrchněj¬
ších vrstev dála se na útraty spodnějších. Poněvadž pak tyto svrchní
vrstvy jinak podložené, po čase nabyly jiné barvy než nej spodnější, jež
přímo na substrát se kladly, vyplývá z toho nepřímo, že ,,aureová" barva
byla vybavována složením substrátu. Vskutku nalezeny i přímé doklady
pro tento výklad a sice v tom, že určité uhlohydráty zvláště se ukázaly
způsobilými vyvolati tvoření sektorů aureových. Někdy objevovaly se již

XLVI.

45

i na koncentrovanější sladince, i byla na snadě domněnka, že příčinou toho
byla přítomnost několika uhlohy drátů v tomto mediu. I byla pěstována
,, lipská zelena ‘ na minerálním roztoku Artariho, k němuž přidáno jak glu¬
kosy tak maltosy. Na posledním disaccharidu (srovnej protokoll) byla by
rostla barvou smaragdově zelenou, na čisté glukose byla by nabyla tonu
bělavého. Na směsi vskutku objevila se po čase kombinace bílá se žluto¬
zelenou a posléze na celku šedobílém dostavilo se tvoření sekundárních ko¬
lonií barvy sarcino vě žluté. Zvláště pak to byl škrob (rozpustný), jenž vy¬
bavoval panašování kultur této Chlorelly. Na sladince s přidáním 2% škrobu
objevovaly se žlutočervené sektory, na A rtariho mediu se škrobem části
bílé ve smaragdově zelených povlacích. Pod světlem monochromatickým
na sladince zřed. a saccharose objevovaly se nepravidelnosti v zabarvení
kultur: po temně zeleném povlaku základním táhly se skvrny bílé (zvon
bichromátový) ; ve světle modrém kraj kultur jest bíle zabarven, patrně
táhla se slabá vrstvička bílé barvy přes celý zelený povlak základní pro¬
půjčujíc mu zde toliko bělavý nádech, kde pak přecházela tato svrchní
vrstvička přímo na substrát agarový a usazovala se na něm přímo bez
podkladu zeleného, tam přicházela její čistě bílá barva k platnosti. Jakési
periklinálni složení kultur obdobné periklinálním ,, chimérám' * vyšších
rostlin v tomto případě se tedy projevovalo; tvoření sektorů upomínalo
zase na sektorialní ,, chiméry". Nedivno, že Beijerinck srovnával celé kul¬
tury takto sektorově utvářené se sektorialními chimérami panašování
vyzdvihuje ovšem v popředí mutativnost obou zjevů vycházející z čistě
vnitřních příčin. Pro naše stanovisko vyplývalo by z pozorování Chlor ell
pro etiologii panašování sektorialního ba i — jak případ s modrým zvonem
dosvědčuje — periklinálního, že mutování v určitých pletivech rostlin
vyšších má příčinu svou v jistých změnách výměny látek. Uvidíme, že
fakta tato nejsou pouhými analogy, nýbrž že mají nemalou důležitost
pro vysledování etiologie fanerogam panašovaných.

Zvláště krásně objevovalo se „aureové" zabarvení v kulturách trypsi-
nových. Krásná oranžová žluť byla přímo význačná pro kultury trypsi¬
nem „otrávené" jmenovitě u Chl. variegata B. Působivým byl trypsin ne-
sterilisovaný étherem, zvláště pak průba, která byla delší čas vystavena
působnosti par étherových. Na tomto posledním mediu objevovala se do¬
konce časem v rourkách kol středního, jako gummigutově žlutého povlaku
krásna, průsvitně bílá obruba, jež v předcházejících sděleních zvána
„hyalina" Ze působení trypsinu bylo immeidátní, o tom nemůže býti dle
toho, co již bylo řečeno, sporu. Zároveň však je jasno, že vliv jeho je možno
toliko jen se stanoviska íysiologie výživy vykládati. Neboť enzymy jsou
xaPs^oxV látky, které zasahují přímým způsobem do koloběhu výměny
látek u organismů rostlinných i živočišných. Možno tedy zkrátka pointo-
vati, že vystoupení této aurey v kulturách Chlorelly vyplývalo z určitého
modifikování enzymatických pochodů u této řasy. Zda -li také ony „aurey",
jež dostavovaly se po působení pouhých uhlohydrátů, byly toliko nepřímo

XLVI.

46

těmito látkami vybavovány, při čemž by enzymům připadaly určitější
nějaké role, z pokusů ovšem nevyplývá.

Bylo již řečeno, že po přenesení řas trypsinem otrávených na substrát
složení normálního nedostavilo se tvoření chlorofyllu bývalé, nýbrž řasy
neměly schopnosti vyráběti assimilační zeleň. Čistý ton „aureový" se sice
v těchto kulturách neudržel, ale na sladince koncentrovanější (2:1 H2 O)
vystupovala distinktní gummigutová žluť aspoň s nádechem občas do
„aureova", na sladince zředěné jší ton žlutobílý. Ani nej intensivnějším pro¬
středkem, jenž v pokusech referentových působil sezelenání, nebylo možno
přiměti kultury takovéto k tomu, aby dávaly znatelnějšího sezelenání.
Tvoření chlorofyllu bylo tedy u těchto Chlor ell, jež byly prošly pasáží
trypsinovou, z daleko největší části potlačeno. Defekt tento projevoval
se pak plných 6 měsíců, po které referent mohl svoje kultury sledovati.
Při tom dlužno uvážiti, že kultury nebyly častěji přeočkovávány, ač by
to bylo podporovalo ještě více udržování se žluté barvy, nýbrž že jim byla
ponechávána možnost nerušeného sezelenávání. Dále že doba, po kterou
byly základní kultury vystaveny vlivu trypsinu, nebyla delší než jednoho
měsíce. A přece tak dlouhý čas trvala ztráta schopnosti vytvořovati bar¬
vivo chlorofyllové, defekt týkající se jedné z nej základnějších složek fy-
siologie naší řasy. Ztráta pigmentace u prodigiosa vlivem jedů může býti
zjevem bezvýznamným, také ztráta schopnosti vytvořovati na př. větší
množství slizu u bakteria jiného. Při ztrátě chlorofyllu jedná se o to, že
řase vnucena byla vlastnost, která by jí znemožnila vegetování na substrátu
prostém uhlohy drátů, vlastnost tedy nevhodná, neúcelná. I tak eminentně
důležité vlastnosti ztráta udržovala se po dlouhou dobu ať jako „dozvuk"
působení enzymu, ať jako vlastnost nově získaná. Jistě je zvláštní, že ani
po několika měsících nedostavil se zvrat, „atavismus".

Příliš mnoho dokladů pro dědičnost získaných vlastností dosud nemáme.
Ale i ten materiál, který již byl nashromážděn, je velmi důležit a v žádném
ohledu neopravňuje k naprostému bagatelisování ideí, jež jsou k němu
připínány. Tvrzení, že „etwas principiell neues ist fůr die Vererbungslehre
kaum hier zu erwarten" (Johannsen1) pag. 655) je jistě poněkud ukva¬
pené a referent připojuje se ke kritice Fittingově (Die Naturwissen-
schaften 1914, pg. 190), dle níž pojmy „fenotypus" a „genotypus" nejsou
od sebe tak ostře odděleny, jak Johannsen myslí — třebaže nebyl na¬
prosto nadšen dosavadními výsledky tohoto směru mikrobiologie. Zdá
se mu však, že z těchto elementů počíná se ponenáhlu skládati princip,
o němž není vyloučeno, že zaujme jednou rovnocenné místo s principem
mendelisticko-kombinačním v theoriích vykládajících vznik druhů or¬
ganických a že jest potřebí rozšířiti pokusy podobné i na vyšší rostliny,
methodami čistých kultur pěstěné.

*) Johannsen W., Elemente der exakten Erblichkeitslehre. II. Aufl. 1913.

XLVI.

LL II

V

í. znáči \
Očkováno

tlo).

17.2

15.3

1. Sl. zř.

vě

íá.

Intensivně

tmavozelená.

Intensivně

tmavozelená.

2. Sl. zř.
glukosa

lč

>zele-

_

Silně promodrale
zelená.

Prostředně silně
modrozelená.

S. Sl. zř.
gluk.

íe

lně.

Voskově bílá.

Voskově bílá.

4. Sl. zř.
gluk.

ílá,
itá
i do

Voskově bílá.

5. Sl. zř.
šach.

ílená.

Intensivně
tmavě trávově
zelená.

Intensivně tmavě
trávově zelená.

6. Sl. zř.
maltosa

^ě

iá.

Tmavě zelená.

Intensivně

tmavozelená.

i

’9’f I '3130 'dzoj qojDjs
%z/\ + ‘UV 'U1M TI

•oiuop

OAOurojns

í pjiqopas s

£

OqT2U OAT3U9J9Z

?,— z

9 9

’S‘8S '>130
! Ásorqeui %z + ' 3[niS
%ZÁ + 'UV 'uih zi

'9 n '3130
:Áso}\vm %z + oi i
-uvuv *‘4zoi uatnpyfti

serie.

Tk sv.

6.3

Voskově tená

vox

Voskově 1

6 Z

Intensivně
vově zelená
široký žl
pruh ponei
do zelena
cházejíc _

Intensivně
vově zelt

(Nej lepší ví
Trávově i s_
zelená

Intensivně
vově zelená
spodní kraj=
žlutý.

- ^-rů

:n;

Ž5.1utoze

ě

dc

24.

Světle žlutoz
dechem d(
(Zelenější

Světle vosk_
s nádechem

PROTOKOLL I

znač! vzrůst velmi dobrý, 2
OCkováno 2. ledna 1910.

další stupnice.

Chlorella, 1. serie.

Tk (= teplá komora) tma

Tk sv (světlo).

14.1

(Barva)

26.1

2.2 17.2

15.3

14.1

25.1

2.2

17.2 15.3

1. Sl. zř. (1 : 4)

1 . Žlutozelená,
dosti slabá.

Smutně trávově-
zelená.

Trávově smutně
zelená.

Sytě trávově žlu¬
tozelená.

Smutně trávově
zelená.

| 1 Sytě trávo-

zelená.

Sytě trávo-
zelená.

Sytě tmavě
trávozelená.

Intensivně

tmavozeléná.

Intensivně

tmavozelená.

2. Sl. zř. + 1%
glukosa.

2. Žlutá a bílá.

Žlutobllá, s velmi
nepatrným, prc-
mcdralým sezele-
nánlm.

Promodrale slabě
zelenavá.

Slabě šedomo-
dravě prosvitá.

Slabě šedomodr.
zelená.

1 . Voskově žluto¬
bílá.

Ve středu pro¬
modrale zelená, ji¬
nak voskově bílá.

Bílá, silně
modravě prozele-
nalá.

Silně promodrale
zelená.

Prostředně silně
modrozelená.

S. Sl. zř. + 2%
gluk.

2. Žlutá, s ná¬
dechem do zelena.

Voskově bilá.

Voskově bilá.

Voskově žluto¬
bílá.

| 1 . Voskově žluto¬
bílá.

Voskově žluto¬
bílá, žádné se-
zelenání.

Bílá, beze
stopy zeleně.

Voskově bílá.

Voskově bilá.

4. Sl. zř. +8%
gluk.

2. Žlutá, s ná¬
dechem do zelena.

Voskově žluto¬
bllá, nahoře na¬
žloutlá .

Bílá voskově.

Voskově bilá,
úplně bez zeleni.

Voskově žluto¬
bílá.

3. Voskově žluto¬
bílá, s nádechem
do žlutozelená.

Voskově žluto¬
bílá.

Voskově bílá,
nahoře žlutá
s nádechem do
zelena.

Voskově bílá.

5. Sl. zř. + 5%
šach.

2. Se slabým a
zřejmým náde¬
chem do zelena.

Silně promcdrale
zelená.

Silně promodrale
zelenavá.

Slabě, ale velmi
zřetetelně žluto-
mcdravě zelená.

Bledě namodrale
žlutozelená.

1. — 2. Vosková s
nádechem do zele¬
na i slabě trávově
] zelená (s počátku
bledá).

Trávově

zelená.

Sytě trávozelená.

Intensivně
tmavě trávově
zelená.

Intensivně tmavě
trávově zelená.

6. Sl. zř. + 2%
maltosa.

1. Žlutá, do sla¬
boučké zeleni pře¬
cházející.

Trávově smutně,
zelená.

Smutně trávově
zelená.

Sytě trávově ze¬
lená.

Trávově zelená.

1. Slabounce žřej-
mě trávově zeleně
žlutobílá (žluť
převládá) .

Sytě tmavě
trávozelená.

Tmavě zelená.

Intensivně

tmavozelená.

7. Sl. zř. + 6%
maltosa.

1.— 3. Zřejmě sla¬
boučce žlutozel.

Trávově smutně
zelená.

Sytě trávově ze¬
lená.

1. Slabounce
zřejmě trávově
žlutobílá (žluť
převládá) .

Světle trávově
zelená.

Tmavě zelená.

Intensivně

tmavozelená.

8. Sl. zř. + 2%
glukosa +3%
Mg SO, .

3. Žlutobllá.

Voskově bílá, na¬
hoře trcchu na¬
žloutlá.

Voskově bílá.

Voskově bilá,
úplně bez zeleni.

Voskově žluto¬
bílá až bilá.

1 . — 2. Žlutozelená .

Světle trávově
zelená.

Většinou slabě,
ale zřetelně pro-
zelenalá.

Slabě zelená,
promodrale i žlu¬
tavě.

Slabě modro¬
zelená.

9. Artari + 2%
glukosa.

3. Krásná, úplně
bilá.

Bilá.

Úplně bílá.

Bílá, jakoby ple¬
ťově.

Žlutě eticlovaná.

3. Slabounce
nazelenalá ze
žlutoběla (běl
převládá).

4. Bilá, velmi sla¬
bounce sezele-
nalá.

Bledá, sotva
zelená.

Žlutobílá, víc
bílá, než nažloutlá.

1

Bledě žlutá, ani
trcchu nesezelena-
lá.

10. Artari + 4%
gluk. + 0'2%
peptonu.

4. Slabě žluto¬
zelená.

Bílá, nahoře
trochu nažloutle
zelená.

Úplně bílá.

Bílá.

Žlutě etiolovaná.

1 3. Silněji nazele¬
nalá ze žlutoběla.

4. Bílá, velmi sla¬
bounce sezelenalá
(vzdor peptonu).

Bledá, sotva
zelená.

1

Žlutobllá, víc
bílá, než nažloutlá

Bledě žlutá, ani
trochu nese-
zelenalá.

11. Sl. koncen¬
trovaná.

5. Sytě zelená.

Temně zelená.

5. Sytě tmavě ze¬
lená.

Nahoře tmavo¬
zelená, dole velké
massy žluto¬
zelené.

Tmavě smarag¬
dově zelená.

Tmavě zelená.

12. Sl. konc. -f-
00/

Tmavě i žlutě ze-

Slabě žlutobílá.

4. Sytě tmavě

Nahoře tmavo¬
zelená, dole velké

Slabě žlutozelená.

šedě žlutozelená 1
s nádechem do ||

& /o

lená.

zelená.

másly žlu-W^*
zelené.

modra.

15. Sl. konc. +

1-5 % glycer.

Žlutobllá.

Voskově žlutá,
velmi slabě naze¬
lenalá.

Slabě žlutobllá.

1

Voskově žluto¬
bílá až bílá.

1. Žlutobílá.

2. Žlutobílá,
trochu nazelenalá.

Voskově sytě
žlutá, bez zeleni.

Voskově inten¬
sivně žlutá.

Žlutá.

14. Sl. konc. +
4% gluk.

Žlutobllá.

Voskově žlutá.

Voskově žluto¬
bílá až bilá.

6. Žlutobílá se
zřejmým náde¬
chem do žluto¬
zelená.

4. Žlutobllá.

Voskově žlutá,
bez zeleni.

15. Sl. konc. +
8% gluk.

1

PROTOKOLL II

Očk. 18. úno

ra.

Tk

tma.

Tk sv.

Pokoj sv.

|

27.2

6.3

>15.3

27.2

6.3

15.3

27.2

6.3

15.3

1. Sl. zf. (1:4) +
laevulosa 3%.

3. — 4. Voskově
žlutobilá.

Voskově bílá.

1

Voskově bílá.

2. — 4. Voskově
žlutobilá.

Voskově bílá.

Téměř voskově
bílá.

3. — 4. Ve středu
bílá, při krajích
nazelenale žlutá.

3. — 4. Žlutá se sla¬
boučkým náde¬
chem do zelena.
(Na dextrose; vo¬
skově žlutá.)

Voskově žlutá.

-

2. Sl. zř. + invert-
ní cukr 2%.

3. Voskově žluto-
bílá.

Voskově bílá.

Voskově bílá.

3.-4. Voskově
žlutá, bez nádechu
do zelena.

Voskově bílá.

Téměř voskově
bílá.

4. Žlutá, s náde¬
chem do zelena.

3. Žlutá se slabou¬
čkým nádechem do
zelena. (Na dextro¬
se: Voskově žlutá.)

Voskově žlutá,
při kraji slabounce
nazelenalá.

3. Sl. zř. + lak-
tosa 4%

3. Voskově žluto¬
bilá.

| — Velmi slabě
žlutozelená.

Smutně trávově
"K žlutozelená, s ná-
jj dechem do mo-
> dra.

■ ^

2. Distinktně na¬
zelenale žlutá.

Intensivně trá¬
vově zelená, dole
široký žlutý
pruh poneJiálilu
do zelena pře-
“j1 cházející.

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

3. Distinktně naze¬
lenale žlutá.

3. Silně žlutoze¬
lená, kolkolem
žlutý lem.

Sytě trávově zelená.

4. Sl. zř. + dex-
trin 4 »/„.

2. — 3. Voskově
žlutobilá.

Žluto i smutně ze¬
lená.

z

■o Smutně trávově
žlutozelená, s ná-
§ dechem do modra.

3. Voskově
žlutá, s nádechem
do zelena.

Intensivně trá¬
vově zelená.

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

3. Nazelenale
žlutá.

3. Žlutozelená,
v prostřed pruh
zelený.

Sytě trávově zelená.

5. Sl. zř. |- inulin
3%.

2. Slabě nazelenale
žlutobilá.

Slabě žlutotrá-
vově zelená.

Smutně trávově
žlutozelená, s ná¬
dechem do modra.

1. Distinktně na¬
zelenale . žlutá.

(Nej lepší vzrůst)
Trávově i světlej
zelená.

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

1. — 2. Zřejmě
žlutozelená, skoro
již trávově.

1 . Intensivně
trávově zelená,
dole žlutý lem.
(Maltosa: trávově
zelená) .

Sytě trávově zelená.

(1. Sl. zř. + man-
nit 5%.

Nazelenale žluto¬
bilá.

Silněji žlutotrávově
zelená.

Smutně trávově
žlutozelená, s ná¬
dechem do modra .

6.

Intensivně trá¬
vově zelená, až na
spodní kraj, jenž
žlutý.

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

7. Sl.zř. + KNOa
3%.

3.-4. Distinktně
žlutozelená.

3. — 4. Krásně gum-
migutově žlutoze¬
lená.

Krásně trávově
žlutozelená, kru-
’ pičkovitý vzrůst.

5. Zřejmě žluto¬
zelená.

Ž5.1utozelená.

Trávově nažloutle
zelená,

krupičkovitá.

6. Trávově žluto¬
zelená.

5. Žlutozelená.

Sytě trávově zelená.

8. Sl. *ř.
očlc. I

10. Sl.zř.
genu

| '/2% škrob;
■15.

t 0-5% glyko
. .očk. 18.5.

1 1 . Miner.
ho +
oík. 1

rozt.. Artari-
2% maltosy ;

12. Min. Arl. + 1.40/
gluk .+ 2% maltosy
o 41c. 28.5.

13. Min. Arl. + ys»
Škrob rozp, 04k. 14.1

5.6

. — 3. Žlutobilá, slabě
zelenavě naběhlá.

Smutně světle trávově
zelená (zelenější než u 9),
některé rourky se sektory
žlutočervenými.

Velmi světle zelená.

Žlutá, se slabým nádechem
do zelena.

3. Distinktně trávově zelená,

až do smaragdová.

(Min. + gluk. : žlutá).

15.6

Trávozelená.

5.6

3. Světle, ale distinktně
žlutozelená.

Světle špinavě trávově
zelená.

Světle špinavě trávově
zelená.

Smutně trávově zelená,
intensivněji než u 9.

2. — 3. Trávozelená.

Čokoládově šedá.

Světle žlutozelená, s ná¬
dechem do zelena.
(Zelenější než u 9).

Světle voskově žlutá,
s nádechem do zelena.

3. Světle trávozelená.

Tmavě trávově zelená
(tmavší než u 9).

Sytě trávově zelená, ton
žlutozelený.

(Dobrý vzrůst.)
Sírově žlutá.

5. Tmavě i intensivně
zelená, až do smaragdová.

2. — 3. Jasně slabě zelená.

4. Intensivně tmavo¬
zelená, do smaragdová.

12.6

Trávově zelená.

15.6

4. Smaragdově zelená.

15.6

3. — 4. Střed kultur bílý,
též místy bílé výběžky,
ostatek žlutozelená.

4. Smaragdově zelená,
dvě rourky z části bílé
(panaš.)

28.5

Skoro kávově šedobílá ;
sekundární, sarcinově
žluté kolonie.

Pokoj sv.

15.3

27.2

6.3

15.3

)ílá.

Téměř voskově
bílá.

3. — 4. Ve středu
bílá, při krajích
nazelenale žlutá.

3. — 4. Žlutá se sla¬
boučkým náde¬
chem do zelena.
(Na dextrose: vo¬
skově žlutá.)

Voskově žlutá.

3Ílá.

Téměř voskově
bílá.

4. Žlutá, s náde¬
chem do zelena.

3. Žlutá se slabou¬
čkým nádechem do
zelena. (Na dextro¬
se: Voskově žlutá.')

Voskově žlutá,
při kraji slabounce
nazelenalá.

!

trá-
, dole
utý
láhlu
pře-
:í.

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

3. Distinktně naze¬
lenale žlutá.

3. Silně žlutoze¬
lená, kolkolem
žlutý lem.

Sytě trávově zelená.

trá-

;ná.

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

3. Nazelenale
žlutá.

3. Žlutozelená,
v prostřed pruh
zelený.

Sytě trávově zelená.

:růst) .
v^ětleji

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

1. — 2. Zřejmě
žlutozelená, skoro
již trávově.

1 . Intensivně
trávově zelená,
dole žlutý lem.
(Maltosa: trávově
zelená).

Sytě trávově zelená.

trá-
, až na
, jenž

Intensivně trá¬
vově sytě zelená.

lená.

Trávově nažloutle
zelená,

krupičkovitá.

6. Trávově žluto¬
zelená.

o. Žlutozelená.

Sytě trávově zelená.

Tk světlo.

.5

5.6

elená, s ná-
) zelena,
než u 9).

Tmavě trávově zelená
(tmavší než u 9).

ově žlutá,
do zelena.

Sytě trávově zelená, ton
žlutozelený.

(Dobrý vzrůst.)
Sírově žlutá.

12.6

Trávově zelená.

KOLL IV

Vypře

e.

3. variegata Kr.

4. variegata B.

Žlutá jako etiolo vá¬
né listy, jen s náde¬
chem do zelena, ho¬
ření jedna třetina
slabě sezelenalá.

Do tří čtvrtin trá¬
vově zelená, dolení
jedna čtvrtina žlu¬
tá, nazelenalá.

1. Mil
]

Světle voskově
žlutá.

Žlutá voskově,
žlutší trochu než 3)

2. Mi:

Bílá.

Bílá.

3. Mii

j

o V .

ř>.: světle žlutozelená. 3. Variegata Kr.:
;elená. 5. Lipská žlutá: žlutobílá.

a B. Lipská zelená. Lipská žlutá.

OČk<:

:us majus.

Světlo.

27.6

Nažloutle zelená

3. Tmavě trávov
zelená.

1. Tmavě smara;
dově, až černě z
lená.

6

Tma

15.6

1

nrfávoGSdjft A^ooja

T [ap.9AS 9}S0f -o;40Q

•upnai %8-0
+ Aso^niS % i
+ untry -uih 'S

).9Ag ‘^SnJZA ÁUSHJ>J

■eso^nig %z
+ 8-1 ’íz 'IS Z

LBHIX ’q.snJZA ÁUSBJ^J

8 : I '-ÍZ1S 'I

■9

Smz

Dosti pěkný vzrů
Slabounce zelen,
žlutá.

Gummigutově
žlutá, nazelenalí

:vony (pokoj).

PROTOKOLL III

■y praný agar: očk. 25. kvétna;
temp. 27-4 C°.

Chlorella, 3. serie.

Očk. 1. dubna, protokol) 18. dubna. Chlorella, 5. serie.

Tk.

tma.

1. Chlorella z Lipska. |

2. protothecoides Kr.

j 3. variegata Kr. j

4. variegata B. I

5-6

22-6

12-8

1 C10 J Sý-X,-*

Hořejší dvě třetiny
trávově zelené, dole
nažloutlá.

Světle trávově

Žlutá jako etiolova-
' né listy, jen s náde¬
chem do zelena, ho-
i ření jedna třetina
slabě sezelenalá.

Do tří čtvrtin trá¬
vově zelená, dolení

1. Min. Art. + 2°/„ glu¬
kosy puriss.

Bilá, našedle kávově ;
beze stopy po zeleni.

Slabě šedě čokoládově
bílá, úplně bez zeleně.

Čokoládově šedá.

j. oiaa. step.

zelená.

jedna čtvrtina žlu- |
tá, nazelenalá.

| 184

2. Min. Art. + 2 5 °/0
malt.

Našedle bílá, počátky
sezelenání.

(Vzrůst horší než u 1.)

Nazelenalá, až distinktně
trávozelená.

Trávově zelená.

2 Slad .štěp. + 4%'
dextr.

i Voskově žlutá, při,
kraji drobet naze-
/ lenalá.

Voskově žlutá.

Světle voskově
žlutá.

Žlutá voskově,
žlutší trochu než 3)

9-12

Bílá. Bílá.

Bílá.

Distinktní slabil žluto-

J Bílá.

3. Min. Art. O'50/o

glykogen

zeleň.

(vzrůst jako u 1).

Distinktně žlutozelená.

Jasně žlutozelená.

ý S e V.

Od 17. do 23.

umořena., u. serie. v

prosince na Sl. štěp.

Pokoj tma.

Chlorella, 4. serie.

Barevné zvony. (Pokoj.)

Očk. 18. dubna

I . Slzt. 1 : 4

2. Slzt. + 2% glukosy

Žlutý zvon.
5-6

Modrý zvon.
5-6

Krásný vzrůst, temně trávově Krásný vzrůst temně trávově

zelený. i zelenv.

Frappantní rozdíl: Voskově žlutá.
Voskově bílá, vzrůst slabý. | uprostřed bílá, vzrůst penízovitý,
pěkný, ač slabší než u 1.

3. Slzt. + 2% sacharosy I Temně zelená, po ploše povlaku
(očk. 14. května). několik bílých skvrn nebo upro¬

střed bílý pruh.

Kraj kultury bílý, ostatek modravě-
bělavě zelený; patrně po původní
kultuře povlak bílý.

1. Protothecoides: vesele, jasně trávově zelená. 2. Variegata B.: světle žlutozelená. 3. Variegata Kr.
světle žlutozelená. 4. Lipská zelená: trávově smutně zelená. 5. Lipská žlutá: žlutobilá.
Desky; očk. 23. prosince, protokoll 2. ledna.

Očkov. 28. května

27-6

8-8

Protothecoides

Variegata Kr.

Variegata B.

Lipská zeiená.

Lipská žlutá.

Žlutobílé, s na-
zelenalvm okra¬
jem.

1 Min. Art. + 2°/0 glu-
gl úkosy

Čokoládově šedá.

1

Čokoládově šedá.

1. Slad. štěp. !

Kolonie světle
trávově zelené.

Kolonie žluto-
bílé.

Smutně slabě
trávově zelené.

Žlutobílé. I

2 Slad. štěp. +
4% dextr.

Kolonie žluto-
bílé.

2. Min. Art. + 0-5%
glykogen

Světle zelená, vzrůst
pěkný.

Krásný vzrůst, světle zelená barva, místy až
k periferii povlaku sáhající.

Žlutobílé.

Žlutobílé.

Chlorella, 7. serie; jedna kolonie rozrostlá na šikmém agaru.

Očk. 2. ledna, protok. 28. ledna.

Slad. štěp.

Trávově dosti tma¬
vě zelená.

(15. února : Tmavě
trávově zelená).

Variegata Kr.

Variegata B.

Sektor smaragdově

zelený: Žlutozelená.

Světle trávově ze- (15. února : silně seze-
lená, počátky sek- lenalá.)

torů.

2. Sl. štěp. +
dextr.

Sektor žlutý:
žlutá, bez nádechu
do zelena. (16. úno¬
ra aureově žlutá, v
jedné rource zelené
sek. kolonie).

Lipská zelená.

Žlutá, s nádechem
do vosková.

Žlutá, se slabě kal¬
ně zeleným povla¬
kem.

(15. února: žlutobilá).

Žlutá, s nádechem
do vosková
(15. února : žlutobilá).

3. Slad. štěp. Očk. 9. srpna, prot. 9. prosince. Lipská zelená
a) zelené kolonie: Zelená barva, pomalý vzrůst.

/J) žluté kolonie: Žlutá barva, intensivní vzrůst.

PROTOKOLL IV,

Stichococcus majus.

Pokoj

Tk

Očk. 28. května

l.Sl.zř. (1 :4) +
2% glukosy.

5.6

2. Sytě zelená, ale
světlejší než na
světle.

Tma

27.6

128

5.6

Světlo.

276

12.8

Očk. 18 února

Tma.

15.3

Světlo

25.3

Celkem světle
žlutozelená.

Velmi slabě zelená,
téměř žlutá.

Zelená.

Nažloutle zelená.

Žlutozelená.

1. Sl. zř.

Tmavě zelená, se
žlutou obrubou po
obvodu.

3. Intensivně tma¬
vozelená.

2. Sl. zř. (1:4) +

4 (resp.) 8% glu¬
kosy.

3. Sl. /.i. 2 : 3

Sytě zelená.

2. Tmavě trávově
zelená.

Velmi slabě zelená,
téměř žlutá.

3. Tmavě trávově
zelená.

Žlutozelená.

2. Sl. zř. + 2%
maltosy.

2. — 3. Tmavě zelená
se žlutou obrubou
po obvodu.

3. Intensivně tma¬
vozelená.

Tmavé želaná.

4. Temně zelená.

Temně zelená.

Tmavě zelená.

1. Tmavě smarag¬
dově, až černě ze¬
lená.

Temně, skoro černě
zelená.

3. Sl. zř. + 2%
dextrosy.

2. — 3. Žlutozelená.

Intensivně trávově
zelená.

4. Sl. zř. 2 : 3 +
5% glukosy.

4. Temně zelená.

Žlutozelená, temná!'
zeleň prosvítá.

Pokoj Í21'5°C)

Tk

Očk. 14 května

Tma

Očk. 14. května; 5 6

Tma

15.6

12.8

5.6

Světlo

15.6

12.8

5.6 1 15.6

15. Min. Artari +

1 % glukosa +
0-5% KNO,

Krásný vzrůst.
Smutně intensivně
trávově zelená.

Krásně rozrostlé
kultury. Smutně
temně trávově ze¬
lená.

2. — 3. Žlutá, jen
slabě žlutozeleně
naběhlá.

Dosti pěkný vzrůst.
Slabounce zelená,
žlutá.

Téměř bílá.

4. Skoro úplně bílá,
jen slabounký ná¬
dech do šedozelená.

Úplně bílá.

Úplně bílá.

(1. Min. Artari +
0'3% lencin.

3. — 4. Jasně žluto¬
zelená.

Gummigutově
žlutá, nazelenalá.

Špinavě zelená.

4. Distinktní žluto-
zeleň.

Bochánkovité massy
cibulově žluté.

Úplně bílá.

1

1

Barevné zvony (pokoj).

Očk. 14. května

j 1. Slzí-. 1 : 8

Žlutý zvon

8.8

Modrý zvon

5.6 | 8.8

Krásný vzrůst. Tmavě zelená, do barvy
'Fontinalis.

Kultury téměř bílé.

| Krásný vzrůst. Tmavě smaragdově
zelená.

Kultury špinavě žlutobílé.

2. Sl. zř. 1:8 +
2% glukosa

3. Min. Artari f-
1% glukosy +
0-3% leucin.

Krásný vzrůst. Světle trávově zelená.

-

Světleji zelená, ale tmavěji než u žlu¬
tého zvonu.

Detto. Ještě světle
vločky Mesocarj

ji zelená, jako jarní

5 ti nebo Zygnemy.

Světle zelená, ale daleko tmavější než
u žlutého zvonu.

Tk

1

12.8

Očk. 18 února

Tma.

15.3

Světlo

25.3

Žlutozelená.

1. Sl. zř.

Tmavě zelená, se
žlutou obrubou po
obvodu.

3. Intensivně tma¬
vozelená.

ě

Žlutozelená.

2. Sl. zř. + 2%
maltosy.

2. — 3. Tmavě zelená
se žlutou obrubou
po obvodu.

3. Intensivně tma¬
vozelená.

Df-

D

e-

Temně, skoro černě
zelená.

3. Sl. zř. + 2%
dextrosy.

2. — 3. Žlutozelená.

Intensivně trávově
zelená.

Tk

12.8

5.6

Světlo

15.6

12.8

st.

1,

i.

Téměř bílá.

4. Skoro úplně bílá,
jen slabounký ná¬
dech do šedozelená.

Úplně bílá.

Úplně bílá.

Špinavě zelená.

4. Distinktní žluto -
zeleň.

Bochánkovité massy
cibulově žluté.

Úplně bílá.

1

Sírově žlutá. Trávově zelená. jj

.L VI

I. seri

Chlor, zelená z Lipska.

Očk. 6.

zř.

Sl. zř. + tryps.

Protok^lutozelená.

S nádechem do aurea, velmi
slabounce trávově kalně
zelená.

Slabý rozdíl.

Protokfe zelená.

Temně žlutá, se slaboučkým
nádechem zeleným.
Nápadný rozdíl.

II. ser

i

1

lipská žlutá.

Ock. 31. leclj

1

C

A B

C

Pro tok. 6 2

[utotrávově ze¬
ná. (Slaběji než
u protothec.)

Žlutobílá.

1 _ L

nem.

: 1 + tr}

O a

úplně be;
ílena.

ována na

1

•puaiaz

9AOApj^ auAisuarpii

VIZ

•p^sdii z au itaqnis
ooau o 'puapz aAOApj}
au^nuis auAisna^ui

91

I. serie.

PROTOKOLL V.

Pokusy s trypsinem.

Chlorella protothecoides

variegata B.

Chlor, zelená z Lipska.

Očk. 6. ledna

Sl. zř. (4 : 1)

Sl. zř. + tryps.

Sl. zř. (4 : 1)

Sl. zř. + tryps.

Sl. zř.

Sl. zř. + tryps.

Protok. 18.1

Intensivně trávově tmavěji
zelená, bez nádechu do žlutá.

1 Žlutá, s docela slabounkým
nádechem žlutozeleným.
Nápadný rozdíl.

< Kalně trávově slabě, zelená

Žlutá s nádechem do aurea ;
jen slabounký nádech do ká¬
vově kalné barvy.

1 Trávově žlutozelená.

S nádechem do aurea, velmi
slabounce trávově kalně
zelená.

Slabý rozdíl.

Protok. 15.2

Tmavě trávově zelená.

Temně žlutá, s nádechem
do zelena.

Trávově zelená, sektory
aureově.

Temně žlutá, se slaboučkým
nádechem do zelena.

Trávově zelená.

Temně žlutá, se slaboučkým j
nádechem zeleným.
Nápadný rozdíl.

II

II. serie (výchozím materiálem kultur byla 1 kolonie ze sladinky odočkovaná; srovnej text).

A) Slzř. 1 : 1, B) Slzř. 1:1 + 4% dextrosy, C) Slzř. 1:1 + trypsin etherem sterilisovaný.

Očk. 31. ledna

protothecoides

C (tryps.)

variegata B.

lipská zelená

lipská žlutá.

Slabě trávově
zelená.

Žlutobílá.

Krásně trávově
žlutozelená (ná¬
padný rozdíl).

Slabě žlutozelená.

Žlutobílá.

Slabě žlutozelená.

Slabounce
smutně trávově
zelená.

Žlutobílá.

Žlutotrávově ze¬
lená. (Slaběji než
u protothec.)

Žlutobílá.

Protok. 15.2

Smutně zelená,
dosti sytě.

Krásně trávově
zelená, ale začíná
pronikati aureová
žluť.

Slabě, kalně žlu¬
tavě nazelenalá.

Krásně světle
gummigutově,
aureově žlutá.
Jedna rourka s bí¬
len obrubou.

Smutně zelená,
dosti sytě.

Aureově žlutá, ,, .

jen slabý povlak šedo¬
zelený na povrchu J

Žluto¬

bílá.

Šedo-

žlutá.

III. serie.

A ) Slzř. 1:1+ trypsin neetherisovaný, B) Slzř. 1:1+ trypsin neetherisovaný + pepton, C) Slzř. 1:1+ pepton.

Očk. 7. února

protothecoides

variegata

lipská zelená.

A

B | C

A

B

C

A

B

C

Protok. 15.2

Žlutozelená, s náde¬
chem do aurea.

Dešti pěkně vesele
trávově zelená.

Slabě smutně na¬
zelenalá.

Žlutá, s nádechem
do aureově žluti.

Nažloutlá, spíše žlutá
než bílá, bez zeleni. 1

Intensivně žlutá, se
slabým nádechem do
zelena.

Žlutavá, slabě smut¬
ně zelená.

Protok. 23.2

Skoro úplně žlutá,
nebo trávově zelená
s prosvitající žlutí.

Trávově zelená s pro¬
svítající a ton udá
vající žlutí.

Světle temně zelená.

Krásně oranžově
žlutá.

Velmi slabě nazele¬
nale žlutá.

Téměř žloutkově žlu¬
tá, jen se slabým ná¬
dechem do zelena.

Intensivně smutně
trávově zelená.

Protok. 1.3

Silně žlutá, se sla¬
bým povlakem zele¬
ným.

Špinavá žluť proniká
slabou zelení.

Krásná aurea.

Velmi slabě nazele¬
nalá.

Intensivně žlutá, jen
slaboučký nádech do
zelena.

Temně trávově ze¬
lená.

1

|

IV. serie.

A) Slad. zřed. 1:1) B) Slad. zřed. 1:1+ trypsin sterilisovaný varem.

Očk. 15. února

protothecoides

variegata B.

Velmi slabě zelená, ač inten¬
sivněji než variegata.

Smutně zelená.

Pěkně trávově zelená.

Jasně intensivně zelená.

Bledožlutá, slabě smutně ze-

Smutně světle zelená.

Jasně, žlutavě, vesele zelená.

Jasně trávově zelená.

lipská zelená

Bledožlutá, velmi slabě
smutně zelená.

Smutně světle zelená.

Intensivně trávově zelená, až
smaragdově.

Intensivně trávově smarag¬
dově zelená.

PROTOKOLL VI.

ChloreUa variegata B. Jedna kolonie ze sladinky odočkovaná držána po jeden měsíc na Sl. zř. 1 : 1 + trypsin neetherisovaný. Odtud přeočkována 1. března 1913 na Sl. zř. 1 : 1 atd.

======

A Sl. zř. 1:1 „aurea"

,,hyalina“

Slzř. 2 : 1H, O a

h

Sl. zř. 1 : 1, přeočkovaná přímo ze

Sl. zř. 1 : 1.

Protok. 20.3

Šedobílá.

Šedobílá.

Gummigutově žlutá, úplně bez ná¬
dechu do zelena.

Gummigutově žlutá.

Intensivně smutně zelená.

VI. serie. (1 kolonie ze sladinky).

Variegata B. 1. = původně na Sl. zř. I : 1, odkudž opět na Sl. zř. 1 : 1.

Variegata B. 2. = původně jeden měsíc na Sl. zř. 1 : 1 + trypsin, odkudž 1. března přeočkována na Sl. zř. 1 : 1. Ze Sl. zř. 1 : 1 pak 17. března opět na Sl. zř. 1:1a pak na další půdy.
a - ,, aurea", p ■■ ,, hyalina

1.

2. Sl. zř. 1:1

2. Sl. zř. 2 : IHjO

2. Sl. zř. 1:1 + trypsin sterilis.

Sl. zř. 1 : 1

Slzř. 1:1+ trypsin
sterilis.

*

P

í

a

P

20.3

Světle kalně,
distinktně zelená.

Širokým pruhem in¬
tensivně trávově ze¬
lená.

Žlutobílá, buďto úplně
bez nádechu do zelena
nebo s tak slaboučkým
nádechem, že téměř
neviditelný.

Bilá, až žlutobílá, bez
nádechu do zelena.

Gummigutově žlutá, bez nádechu do zelena,
j ( Variegata 1: gummigut. žlutá se slabým
nádechem do zelena).

Světle zelenavě žlutá.

Poněkud zelenější.

Distinktně kalně
zelená.

Uprostřed intensivně
trávově zelená.

Žlutavá, téměř ne¬
zřetelně nazelenalá

Aureově nažloutlá
resp. žlutavá, velmi
slabounce nazelenalá.

Gummigutově aureová.

( Variegata 1: Kalně žlutavě zelenavě
naběhlá) .

Žlutavě slabě zelená.

Šedo žlutá.

13.4

Intensivně kalně ze¬
lená.

Intensivně trávově j
zelená.

Šedě žlutavá, velmi
slabounce kalně-zeleně
naběhlá.

Téměř žá<

Žlutavá.

1

iná zeleň.

Gummigutová, naprosto žádná zeleň.
[Variegata 1: tmavě i světleji zelená).

Slabě žlutavě zelená.

Téměř žá<

Šedožlutá.

1

dná zeleň.

10.6

Intensivně kalně trá¬
vově zelená, obruba
nazelenalá.

Uprostřed intensivně
trávově zelená, široká
obruba nažloutlá.

Žlutavá, velmi slabě
nazelenalá.

Gummigutově špinavě
kalně žlutavá.

Světleji žlutavá, velmi slabounce nazelenalá.
[Variegata 1: Tmavě smaragdově zelená.)

Světle slabě trávově
zelená.

Šedo žlutavá, téměř
bez nádechu do zeleně.

1.0

21.8

Intensivně smutně
trávově zelená, o něco
slaběji než lipská.

Bledožlutá, malinko nazelenalá; podobná
povlakům žlutozeleným Zygnemy, ale valně
slaběji zelená.

Intensivně trávově
zelená.

Špinavě žlutá, se sla¬
bým nádechem do ze¬
lena.

Špinavě žlutá se sla¬
bounkým nádechem
do zelena.

1 1

psin neetherisovaný. Odtud přeočkována 1. března 1913 na Sl. zř. 1:1 atd.

h

Sl. zř. 1 : 1, přeočkovaná přímo ze

Sl. zř. 1:1.

; ná-

Gummigutově žlutá.

Intensivně smutně zelená.

II

e-

51. zř. 1 : 1. Ze Sl. zř. 1 : 1 pak 17. března opět na Sl. zř. 1:1a pak na další půdy.

2. Sl. zř. 2 : lHoO

2. Sl. zř. 1:1 + trypsin sterilis.

a p

a

§

amigutově žlutá, bez nádechu do zelena.
ariegata 1: gummigut. žlutá se slabým
nádechem do zelena).

Světle zelenavě žlutá.

Poněkud zelenější.

Gummigutově aureová.

-(V ariegata 1: Kalně žlutavě zelenavě
naběhlá) .

[,

Žlutavě slabě zelená.

Šedožlutá.

Gummigutová, naprosto žádná zeleň.

(V ariegata 1: tmavě i světleji zelená).

Slabě žlutavě zelená.

Téměř žá<

Šedožlutá.

iná zeleň.

tle ji žlutavá, velmi slabounce nazelenalá.

’ ariegata 1: Tmavě smaragdově zelená.)

sirové ziuih. i

Světle slabě trávově
zelená.

iicivuvc umanu,. .

Šedožlutavá, téměř
bez nádechu do zeleně.

ROČNÍK XXIII.

TŘÍDA II

ČÍSLO 47.

Prostorová obdoba Steinerovy paraboly.

Napsal

J. Sobotka.

(S 6 obrazci v textu.)

Předloženo dne 19. prosince 1914.

1. Předmětem těchto řádků jest poukázati na konstruktivní význam
jistých hyperbolických paraboloidů a parabol, které jsou s plochou
2. stupně v jednoduché souvislosti.

Jacob Steiner vyslovil větu:

Tečna a normála kuželosečky v libovolném jejím bode P a obé osy
kuželosečky stanoví jako tečny parabolu, která se dotýká normály ve středu
křivosti kuželosečky pro bod P a tečny v pólu normály ke kuželosečce.

Tato věta jest obsažena v obecné větě, jejíž konstruktivní význam
vytkl a mnohonásobně uplatnil K. Pelz a kterou možno vyšlo viti:

Otáčí-li se v rovině kuželosečky přímka p kolem pevného bodu P,
obalují přímky normálně sdružené k jejím jednotlivým polohám parabolu,
která se dotýká os kuželosečky , jakož i obou paprsků bodem P jdoucích a ke
kuželosečce normálně sdružených.

Pelz nazývá tuto parabolu Steinerovou parabolou.1)

2. Zobecnění této věty pro prostor obdržíme, uvažuj eme-li paprsky
normálně sdružené k rovinám daného svazku vzhledem ku ploše 2. stupně R.
Budiž p osa svazku, q její polára ku ploše. Dále budiž P rovina jdoucí p\
její pól Q leží na q, a budiž n kolmice s něho na P spuštěná. Popisuj e-li P
svazek (P) kolem p, vytvoří Q řadu ( Q ) na q k němu projektivní; neko¬
nečně vzdálený bod N <*, přímky n popíše rovněž řadu (N <*,) projektivní
ku (P), která jest tudíž také projektivní ku ( Q ). Projektivní tyto řady
((?), (A/*,) vytvoří hyperbolický paraboloid U, který nazývejme vzhledem

x) Srovnej na př. příslušnou úvahu v knize: Chr. Wiener, Lehrbuch d. DarsteU.
Geom. I. Bd. str. 304.

Rozprava: Roč. XXIII. Tř. II. Cis. 47.

XLVII.

1

2

k obdobě k Steinerově parabole Steinerovým paraboloidem. Řídící rovina N
paraboloidu pro přímky jeho n, . . . jest kolmá ku p.

Předpokládejme nyní, že plocha R jest centrická o středu 0. Pól
roviny (p O) leží nekonečně daleko na q a bod NM jest dán směrem ku
(p 0) kolmým, takže zde přímka spojující body Q, N ^ padá do neko¬
nečna. Z toho plyne, že zaměření druhé řídící roviny Q paraboloidu U
jest dáno rovinou, která promítá q orthogonálně do roviny (pO).

Buďte x, y, z hlavní osy plochy R. Ježto paprsky n normálně sdru¬
žené k rovinám prostoru, jdoucí tedy jejich póly Q, náleží osovému kom¬
plexu plochy, tvoří úsečky Q$, Q 3č, Q $) na n, vycházející z bodu Q
a vyťaté rovinami xy, y z, z x, konstantní poměr Q 3 ; Q % '■ Q 9- Z toho
plyne, že roviny x y, y z, z x dotýkají se každého Steinerova paraboloidu U,
neboť stopy přímek n plochy U na rovinách těch leží na přímkách, které
náleží téže řadě na U jako přímka q.

To seznáme též přímo, vyhledáme-li tečný kužel K plochy U
o vrcholu O a k němu stanovíme soustředný normálný kužel K*. Kterou¬
koli tečnou rovinu T kužele K najdeme, jestliže pro libovolný bod Q na q
spojíme paprsek O Q s příslušnou přímkou n. Veďme bodem O normálnou
rovinu Qm ku O Q a normálnou rovinu Pw ku n. Obě roviny protnou se
v normále í ku T jdoucí bodem O. Rovina P<» jest rovnoběžná ku pří¬
slušné rovině P svazku (P) ; tudíž jest O Q průměr ku P^ sdružený, z čehož
soudíme, že t jest průměr normálně sdružený k průměru O Q plochy R.
Kužel K* jest tedy geometrickým místem průměrů normálně sdružených
k paprskům svazku o středu O v rovině (O q) . Víme, že takový kužel
obsahuje osy x, y, z plochy R. Z toho soudíme, že hlavní roviny xy, y zy
z x dotýkají se kužele K, tedy také plochy U.

Odtud plyne též přímo, že tyto roviny vytínají z každého paprsku
osového komplexu úsečky stálého poměru. Neboť je-li n paprsek takový,
odpovídající bodu Q, jsou-li dále 3Č, ?) jeho průsečíky s uvažovanými
rovinami hlavními, označme analogické body na jiném paprsku rí resp.
Q', 3 » 3£', ?)'; nyní spojme Q, Q' přímkou q a spustme s bodů ležících
na q kolmice k jejich rovinám polárním. Tyto kolmice tvoří Steinerův
paraboloid U, dotýkající se rovin hlavních, obsahující tudíž přímky 3 8 -
11', 9®'; jest tedy (*' ©' 80 = (*98).

3. Místo bodů, jimiž možno vésti trojice navzájem kolmých tečných
rovin k paraboloidu, jest t. zv. Mongeova rovina M paraboloidu.

Přímkou p jdou dvě k sobě kolmé] roviny P1; P2 sdružené na¬
vzájem k ploše U; nechť protínají q v bodech Q2, Qv takže jest pólem
roviny P1} Q2 pólem roviny P2. Přímky n1} n2 body Qlf Q2 vedené, které
protínají přímku p kolmo v bodech G1 resp. G2, náleží také paraboloidu U ;
neboť n2 jest ku P2 a ku V1 normálně sdružena. Roviny Px, P2 jsou dvě
navzájem kolmé tečné roviny plochy U, neboť prvá obsahuje %, druhá n2.
Můžeme tedy bodem G1 položiti tři navzájem kolmé roviny tečné k U,

XLVU.

totiž Ptl, P2 a rovinu k této kolmou a přímkou nx jdoucí. Leží tedy bod Gv
a obdobně též G2, v rovině M.

Z toho soudíme, že (O jest Mongeovou rovinou paraboloidu U.
Osa tohoto jest tedy kolmá k rovině (Op), což též plyne odtud, že obě
řídící roviny paraboloidu jsou kolmý k rovině (Op).

Že hlavní roviny xy, y z, zx dotýkají se U, vidíme též z toho, že
polární rovina průsečíku přímky q s některou z nich jest k ní kolmá,
tedy kolmice s tohoto průsečíku na polární jeho rovinu leží v uvažované
hlavní rovině.

Přímky n plochy U v hlavních rovinách xy, y z, z x ležící obdržíme
též jako průsečnice těchto rovin s rovinami kolmými ku p a vedenými
průsečíky přímky q s rovinami hlavními.

Je-li p paprskem osového komplexu, platí totéž o přímce q, ku p
kolmé; paraboloid U přejde zde v parabolu u, totiž komplexovou para¬
bolu v rovině vedené přímkou q kolmo ku p. Můžeme tudíž komplexové
paraboly zváti též Steinerovými parabolami.

Je-li specielně přímka p tečnou plochy R, dotýkající se jí v bodě T,
jest q tečnou ku p sdruženou a dotýkající se rovněž v bodě T. Roviny
Px, P2 přejdou v tečnou rovinu (p q) a v normálnou rovinu V přímkou p
jdoucí. Vidíme, že (p q) dotýká se paraboloidu U v pólu V roviny V
vzhledem ku R. Tento pól V leží na q a druhá jím jdoucí přímka plochy U
jest kolmá ku p ležíc v rovině (p q).

Jsou-li specielně p, q osy indikatrie bodu T plochy R a je-li n nor¬
málou příslušnou, jest (q n) rovinou křivky u. Rovina (qn) vytíná tudíž
z hlavních rovin tečný trojúhelník paraboly u a q, n jsou dvě další tečny
její ; pól roviny (p n) ku ploše R jest zde tečným bodem pro tečnu # křivky u.

Průsečnice rovin (Op), (qn) jest řídící přmkou paraboly u. To
plyne již z přechodu plochy U v parabolu tu; můžeme též však podati
přímý důkaz. Především jest u Steinerovou parabolou bodu T k prů-
sečné křivce r roviny (q n) s plochou R, ježto póly rovin jdoucích přímkou p
vzhledem ku ploše R jsou zároveň póly jejich průsečnic s rovinou (qn)
vzhledem ku křivce r. Proto jest osa paraboly u kolmá ku (Op).

Každá rovina E přímkou q má pól E na p\ ona protíná plochu R
v kuželosečce, jejíž střed E0 jest průsečíkem přímky O E s E. Mají tedy
všecky takové kuželosečky v rovinách jdoucích přímkou q středy v ro¬
vině (0 p) ; tedy také kuželosečka r. Leží tedy střed R0 této křivky na
průsečnici roviny (Op) s rovinou (qn)', tudíž jest tato průsečnice T R0
řídící přímkou Steinerovy paraboly u bodu T ku r, neboť u dotýká se
nejen p a n, ale též os křivky r.

Rovněž tak plyne, že je-li p paprskem osového komplexu, a tedy
degeneruj e-li plocha U v parabolu u, že tato jest též Steinerovou para¬
bolou ke kuželosečce, v níž protíná plochu normálná rovina Q přímkou q
ku p, a to pro průsečík této roviny s přímkou p\ osa paraboly u jest zde
rovněž kolmá ku (0 p). Stopní trojúhelník roviny Q na hlavních rovinách

1*

XLVII.

4

plochy R jest tečným pro u, neboť každá strana jeho jest normálně sdru¬
žena k rovině, jež orthogonálně promítá přímku p do příslušné roviny
hlavní. Proto jest také pata kolmice s bodu 0 na Q, jako průsečík výšek
uvedeného trojúhelníka, bodem řídící přímky paraboly u.

4. Plochy U resp. paraboly u užijme nyní k několika konstrukcím;
nejprve řešme úlohu:

Stanovití jest osy průsecně křivky s plochy 2. stupně R s rovinou S,
jsou-li dány.

1. tři sdružené průměry O {%' , y' , z'),

2. osy O (x, y, z) plochy R.

1. Budte X'y Y', Z' koncové body průměrů , y' , z' a Xa', Ya' , Z Z
průsečíky roviny S s těmito průměry. Polární roviny těchto průsečíků
protínají se v pólu 5 roviny S; kolmice s onoho k této jest paprskem p
osového komplexu. Abychom sestrojili komplexovou parabolu u v ro¬
vině S položme přímkou p rovinu Qx rovnoběžnou ku Xa' Ya', která
nechť protíná z' v bodě Q jehož na z' ležící sdružený bod ku R označme
Qc'. Vedme dále bodem QZ rovnoběžku ku průměru, jenž jest sdružen
ke směru přímky Xa' Ya' vzhledem ke kuželosečce plochy R ležící v ro¬
vině %' y'. Tato rovnoběžka protíná rovinu S v pólu Q1 roviny Qx. Kolmice
vedená v rovině S bodem Q1 ku XG' Y Z jest tečnou tx křivky u. Obdobně
najdeme pól Q2 resp. Q3 roviny vedené přímkou p rovnoběžně ku Y Z Z Z
resp. Z Z XZ a v kolmici t2 resp. t3 s tohoto pólu na příslušnou stopu
roviny S další tečnu křivky u, při čemž Qv Q2, Qz leží rovněž na tečně
této paraboly, totiž na poláře q přímky p. Budiž Pa průsečík p . S a 0°
pata kolmice s 0 ku S. Především jest u Steinerovou parabolou bodu Pa
ku s. Bod PG leží tedy na řídící přímce l paraboly uy která obsahuje také
patu O a a tím jest stanovena. Parabola u sama jest přímkou l rovněž
dána, známe-li ještě dvě tečny její; a osy křivky s jsou tečnami k u
středem S0 křivky s jdoucími, při čemž bod S0 plyne jako průsečík
s přímkou O S.

Je-li a tečna paraboly u o dotyčném bodě T, jsou-li b, c dvě další,
navzájem kolmé tečny paraboly, které nechť protínají se v bodě A a
tečnu a v bodech B, C, a je-li dále l řídící přímka, bodem A jdoucí, para¬
boly, při čemž nechť kolmice v bodě A ku l protíná tečnu a v bodě Alt
jest BT — A1Cy což plyne odtud, že úsečky vyťaté přímkami a, b na
tečnách paraboly mají stejné ortáhogonlní průměty na /.

Známe-li tedy pro parabolu u tečnu a s dotyčným bodem T a přímku
řídící l a máme-li vésti bodem i na / tečny k parabole, vztyčme v A
kolmici ku Z a protněme ji s a v bodě Aly stanovme půlící bod úsečky
AxTy kolem něhož jako středu opíšeme kružnici bodem A jdoucí, jejíž
průsečíky B, C s přímkou l určují hledané tečny A B, A C.

Snadno sestrojíme též tečny |, rj k parabole u bodem S0 na její
přímce řídící, je-li pro parabolu dána přímka tato a dvě tečny tv t2,
takto. Stanovíme tečny t2* jdoucí body t± .1, t2 .1 a ku tx resp. t2 kolmé

XLVII.

o

a vyhledáme ve čtyřstranu přímek tx, t2, t 4* diagonální bod protilehlý
ku l, t. j . ohnisko F paraboly u. Kružnice opsaná kolem S0 a jdoucí bodem F
protne l v bodech Llý L2, načež tečny £, rj jsou rovnoběžný ku LXF, L2F.

Odtud plyne na př. tato konstrukce pro s. Zobrazme uvedeným způso¬
bem, na př. tečny tlf t2 a tím také q, dále řídící přímku l paraboly u, se¬
strojme užitím Brianchonova šestistranu dotyčný bod jedné z těchto tečen a
pak tečny £, tj k u bodem S0, způsobem prve uvedeným,^ Čímž máme osy
pro s co do polohy. Kolmice bodem Pa ku £ a rj a přímka q vytínají na £
resp. 7] vždy dva body sdružené ku s, užitím jichž najdeme též koncové
body obou os. Možno též stáno viti ohniska, opíšeme-li trojúhelníku, jenž
jest dán tečnou k u, kolmicí k ní bodem Pa a jednou z os £, r\, kružnici
a protneme ji] druhou osou. Místo Pa možno užiti některého z bodů Qv
Q2, (?3> 3en nutno pak přímku q nahraditi 4 resp. t2 nebo 4-

2. Jsou-li dány osy O [x, y, z) plochy R, jsou průsečnice roviny S
s hlavními rovinami plochy tečnami paraboly u, jejíž řídící přímku l s body
S0, Pa, O a a odtud přímky £, rj určíme jako v předchozím. Bále můžeme
následující podotknouti. Protneme-li přímku X0 Ya se sdruženým k ní
průměrem hlavního řezu v x y a spojíme průsečík s bodem Za, pak spojnice
tato protíná kolmici 4 vedenou v rovině S bodem XaYa.l ku X9 Ya
v pólu Qx dříve zmíněném. Analogicky stanovíme Qz, tedy též snadno
poláru q přímky p.

Koncové body os kuželosečky s, jakož i její ohniska, obdržíme na př.
užitím bodu Qx a přímky tt jako prve.

5. Jako další úlohu uvažujme konstrukci kružnice křivosti pro rovinný
řez plochy v libovolném bodě P, jsou-li dány tři sdružené průměry plochy
co do polohy i délky.

Užijme označení zavedeného v předchozí úloze. Budiž tedy S rovina
řezu ; stanovíme průsečnice gt, g2 polárních rovin dvou z bodů Xa' , Ya\ Za'
ku R, na př. bodů Xa' , Ya' , s rovinou S. Při tomjest g± || Za' Ya' g2 II Za' Xa'.
Je-li t tečna a n normála křivky s v bodě P, sestrojíme střed K kružnice
křivosti bodu P jednoduchým způsobem, známe-li ještě některý polární
trojúhelník x) křivky s ; zde na př. trojúhelník, jehož strany jsou XJ Yar , gx
a spojnice bodu XJ s průsečíkem g1 . g2. Známe-li K, můžeme též sestroj iti
osy křivky s. Vztyčíme v bodě S0 kolmici ku P S0, která nechť protíná n
v bodě Q. Kružnice opsaná kolem půlícího bodu úsečky K Q jakožto středu
a jdoucí bodem S0 protíná n ve dvou bodech, které náleží osám rj. Ježto
přímky t, n jsou normálně sdruženy, stanovíme též ohniska křivky s jako
v předchozím; paty kolmic vedených jimi ku t náleží hlavní kružnici
vrcholové, čímž jest kuželosečka s úplně dána.

(j. Naše úvahy dávají též další konstrukci kružnice křivosti v bode P
plochy R pro rovinný řez s plochy bodem P.

Uvažujme nejprve řez normální.

J) Věstník kr. České Spol. náuk 1902 č. VI.

XLVII.

6

Budiž tx tečna křivky té v bodě P, t2 budiž její polára ku R a n
normála ku R v bodě P. Polární rovina P bodu Q na tx zvoleného protíná
rovinu txn) v přímce m j doučí ^bodem P; orthogonální průmět přímky
normálně sdružené ku P do roviny (tx n) jest kolmice h vedená bodem Q
ku m. Ježto m jest též polárou bodu Q ku s, seznáváme odtud, že para¬
boloid U, tvořený paprsky normálně sdruženými k rovinám svazku
kolem1 2, promítá se orthogonálně do roviny (4 n) do Steinerovy paraboly
bodu P ke kuželosečce s. Jest tedy střed křivosti K křivky s v bodě P
zároveň dotyčným bodem přímky n se zmíněným průmětem plochy U.
Obdržíme tedy bod K jako dotyčný bod plochy U s rovinou E vedenou
normálou n kolmo k tv

Jsou-li na př. opět dány tři sdružené průměry O {%' , y', z') plochy R
co do polohy i délky, sestrojme nejprve poláru 4 přímky tv Tečná rovina T
v^bodě P ku R nechť protíná průměry ty v bodech T§, Tv, TQ. Spojíme-li P
s bodem a Vedeme bodem P rovnoběžku k TVT^ obdržíme jednu dvojici
involuce polár plochy R v rovině T. Obdobně dává Tv P resp. T$P a rovno¬
běžka bodem P ku T\Tl resp. T^TV druhou resp. třetí dvojici této invo¬
luce. Můžeme tedy paprsek t2 odpovídající v této involuci paprsku 4 se¬
stroj iti známým způsobem.

Kolmice ex průsečíkem přímky 4 s přímkou TVT $ k rovině jdoucí
přímkou 4 rovnoběžně ku x' jest normálně sdružena k této rovině a náleží
tedy ploše U. Obdobně sestrojíme paprsky normálně sdružené e2> ez k ro¬
vinám procházejícím t2 rovnoběžně ku y' resp. z'. Jsou-li 0 (x', y', z') hlavní
osy plochy R, leží eLt e2, e3 v jejích hlavních rovinách.

Konstrukci bodu K možno nyní provésti různým způsobem; na př.
vedme průsečíkem ex . E rovnoběžnou rovinu F k oné rovině, která pro¬
mítá 4 orthogonálně do roviny O t2\ pak protíná F přímku n v bodě K.
Nebo protneme ex a e2 s rovinou E, načež spojnice obou průsečíků protíná
rovněž n v bodě K. Správnost konstrukce seznáme z toho, že rovina E
obsahujíc přímku n plochy U seče tuto ještě v přímce řady druhé.

Je-li S libovolná rovina jdoucí přímkou t1} pro jejíž řez sx s plochou R
máme stanovití střed křivosti Kx bodu P, promítejme orthogonálně na S;
plocha U zůstává táž a seznáme stejně jako v předchozím, že také zde
orthogonální průmět plochy U do roviny S jest Steinerovou parabolou
bodu P ke kuželosečce sv Dotyčný bod této paraboly na normále nx
v bodu P ku sx jest tedy bod Kv Tento bod jest nyní orthogonálním prů¬
mětem do roviny S dotyčného bodu K roviny E s plochou U. Protíná
tedy kolmice ze středujkřivosti K normálního řezu tx n na rovinu S tuto v žá¬
daném bodě Kv Tím nabyli jsme jednoduchého důkazu vety Meusnierovy.

7. Pro konstrukci hlavních středů křivosti Mv M2 plochy 2. stupně v bodě
jejím P plyne ještě další zjednodušení, ježto zde příslušné paraboloidy U
degenerují v paraboly.

Proveďme tuto úlohu specielně pro případ, že osy 0 (x, y, z) plochy R
jsou dány co do polohy. Promítejme (obr. 1.) orthogonálně na př. do

XLVII.

7

roviny x z a označme symboly pro průměty útvarů čárkou. Sklopme tečnou
rovinu T do roviny x z, čímž P padne do P. Involuce polár plochy R
v rovině T proťata jest přímkou v bodové involuci. Rovnoběžku

bodem P' ku x nechť protíná tato přímka v bodě 1 a přímku O P' v bodě 2 ;
tím nabýváme v T$ 1 jedné dvojice zmíněné bodové involuce, při čemž 2
jest centrálným jejím bodem. Sestrojme tedy nad úsečkou T^l jako
průměrem kružnici, kterou protněme kolmicí v bodě 2 ku T§T^, načež
kružnice vedená průsečíky této kolmice s řečenou kružnicí a bodem P
protíná stopu T^T^v bodech Nv N2 tak, že P Nv P N2 jsou tečny k hlavním
normálním řezům plochy v bodě P. Normála v P ku R promítá se do
kolmice s P' na a její stopa N na naší průmětně jest průsečík výšek
trojúhelníka N1N2P'. Steinerova parabola ux bodu P k normálnímu řezu
v NtP N má za tečny kromě přímek Nx P, N P, N± N ještě přímky, v nichž
rovina NXP N protíná hlavní roviny xy, y z. Průmět této paraboly
dotýká se tedy přímek N1 P't N P' , x, z, N Nv Průsečík výšek tečnového

trojúhelníka N±NP' paraboly jest N2 ; tudíž jest 0 N2 řídící přímkou
paraboly což plyne též odtud, že osa křivky ux jest kolmá k rovině
O P N2, její průmět jest tedy kolmý ke stopě O N2 této roviny; tento
průmět dává směr osy křivky w/. Protíná-li tedy P' N přímky xt z
v bodech N/y a kolmici vztyčenou v bodě 0 ku 0 N2 v bodě xL a uči-
níme-li, též co do smyslu, N$ M{ — tí N/, jest M/ jako dotyčný bod
přímky F' N s orthogonálním průmětem hlavního středu křivosti Mv
Obdobně vztyčme v bodě 0 kolmici ku 0 Nv která protne P' N2 v bodě r2,
a učiňme N§ M2 = r2 N^, čímž nabudeme průmětu M2 druhého hlavního
středu křivosti.

XLVII.

8

Velmi jednoduše obdržíme Mx' a M2 užitím Brianchonových šesti-
stranů. Tak jsou na př. pro ux' tečnami přímka P' Nlf nekonečně vzdálená
přímka průmětny x z, osy x, z a přímka P' N ; označme je po řadě 1, 2,
3, 4, 5 a budiž 6 tečna soumezná ku 5. Ze šesti stranu 123456 plyne, že
třeba věsti průsečíkem rí . y' rovnoběžku ku P' Nx a jejím průsečíkem
s P' O rovnoběžku k abychom v průsečíku poslední přímky s rí obdrželi
bod Mx\ Obdobně obdržíme M2 , vedeme-li bodem y' . rí rovnoběžku
k P' N2 až k průsečíku sFOa odtud rovnoběžku k načež tato přímka
protne rí v bodě M2.

8. Dříve vyvozená konstrukce středu křivosti M libovolného normálného
řezu plochy 2. stupně v bodě P dá se rovněž velmi jednoduše pro věsti,
předpokládáme-li orthogonální projekci do jedné z hlavních rovin. Pro¬
mítejme (obr. 2.) na př. opět do roviny x z. Rovina normálného řezu s
protínej stopu T^Tl v bodě Lv jemuž nechť ve zmíněné involuci odpovídá
bod L2, takže P L2 jest polárou přímky P Lv

Paprsky normálně sdružené k polárním rovinám bodů na P Lx tvoří
hyperbolický paraboloid \J1} jemuž náleží normála n a pro nějž dotyčný

bod roviny M jdoucí přímkou n kolmo ku P Px jest hledaným bodem M.
Tato rovina M obsahuje kromě n ještě přímku p plochy Ulf která pro¬
tíná n v žádaném bodě M. Sestrojíme tedy M' jako průsečík p' . rí . Prů¬
měty všech přímek plochy U-l do roviny xz obalují parabolu Uý, která
se dotýká přímek ^ a y', ježto x z a y z jsou tečnými rovinami pro XJV Dále
dotýká se U/ přímek P' Lx a rí, neboť P Lv n leží na Uj.

XLVII.

9

Polární rovina bodu Lx k dané ploše 2. stupně jest orthogonálně
promítací do roviny x z, tudíž jest kolmice lx s bodu Lx na P' L2 rovněž
přímkou plochy Uj, tudíž také tečnou ku parabole U/. Stopa m roviny M
v rovině x z prochází stopou N přímky n a jest kolmá ku P' Llt ježto
M J_ P Lv Při tom jest N průsečíkem výšek trojúhelníka N1N.ZP/. Prů¬
sečík H přímek lv m náleží přímce p, neboť tato jest částečným průsekem
plochy Ux a roviny M; jest tedy H stopou přímky p, náleží tudíž také
přímce p' . Proto jest p' tečnou k U1/ jdoucí bodem H a různou od lv
takže možno ji lineárně sestroj iti. Pro U/ známe tečny x, z, rí, P' Lx, lx
a nekonečně vzdálenou přímku g roviny x z, můžeme tedy obdržeti přímku p'
různým způsobem; užijme na př. šestistranu p' lxx z g rí , tedy protněme
rovnoběžku k z bodem H rovnoběžkou k rí průsečíkem lv x vedenou,
načež spojnice tohoto průsečíka s bodem 0 protne rí v bodě M'. Bod L2
jest průsečíkem výšek trojúhelníka tvořeného tečnovým třístranem
(rí, llt P' Lx) paraboly U/. Leží tedy L2 na řídící přímce paraboly U/,
což plyne též odtud, že kolmice k rovině P L2 0, která má O L2 za stopu,
promítají se do přímek rovnoběžných s osou křivky U/. Průměty úseček
vyťatých přímkami rí, lx na tečnách křivky U/ na přímku 0 L2 jsou tudíž
navzájem rovny. Protínají-li tedy na př. kolmice s Lx a H na O L2 přímku rí
v bodech I, II, jest i co do smyslu II M' = I P' .

Můžeme zde též dospěti k výsledkům, které vyvodil svou dobou
A. Mannheim x) a jejichž odůvodnění spočívá u něho na několika známých
vlastnostech osového komplexu; konstrukce zde vyvozené jsou však ještě
jednodušší.

9. Užijme' dále plochy U ke konstrukci os centrické plochy 2. stupně.

Předpokládejme, že přímky p, q jsou polárami ku ploše R a budte
též známy involuce sdružených rovin ku ploše ve svazcích o osách p, q,
jakož i střed O plochy.

Přímky normálně sdružené k rovinám jdoucím přímkou p tvoří
hyperbolický paraboloid U, jenž spočívá na přímce q, kdežto normálně
sdružené přímky rovin svazku kolem q tvoří druhý hyperbolický para¬
boloid U*, spočívající na p. Bodem O prochází příčka o přímek p, q, protí¬
nající je v bodech P, Q. Polára o* přímky o jest nekonečně vzdálená
přímka diametrální roviny O sdružené k o. Jest tedy Q pólem roviny
přímkou p rovnoběžně k O vedené ; tudíž náleží kolmice bodem Q ku O
paraboloidu U a kolmice bodem P ku O paraboloidu U*. Oba paraboloidy
dotýkají se tedy roviny E, která promítá o orthogonálně do roviny O.
Hlavní roviny plochy R dotýkají se každé plochy U. Jsou tedy společnými,
od roviny E různými, tečnými rovinami kuželů K, Iv*, které jsou opsány
z bodu 0 plochám U, U*.

x) Sur la dětermination, en un point ďune surface du second ordre, des axes
de 1’indicatrix et des rayons de courbure principaux. — Journal de mathématiques
pures et appliquées. T. VIII. 1882.

XLVII.

10

Jedna z řídících rovin plochy U jest kolmá ku p, druhou jest rovina,
která promítá orthogonálně q do roviny (O p) ; známe tedy pro kužel K
tři tečné roviny, totiž roviny jdoucí bodem O rovnoběžně k oběma řídícím
rovinám a rovinu E, potřebujeme tedy ještě dvě další tečné jeho roviny.
Rovněž tak stanovíme K*.

Na místo, abychom hledali společné tečné roviny těchto kuželů,
sestrojme k nim soustředné kužele normálně N, N*, jež pak protínají se
kromě hrany kolmé k E ještě ve třech hranách, které jsou osami plochy R.

Z předchozího (čl. 2.)j seznáváme, že N jest1 onen kužel, jenž jest
tvořen průměry plochy R normálně sdruženými k paprskům svazku kolem O
v rovině (O q). Tím dospíváme ke známé konstrukci, která dává osy jako
průsečné hrany takových dvou kuželů N, N*, kdežto čtvrtá průsečná
hrana jest průměrem ku o normálně sdruženým. Zdá se však, že použití
plochy U resp. U* pro konstrukci tu jest přehlednější.

Nejprve uvedme konstrukci os, je-li plocha R dána třemi kuželo¬
sečkami kv k2, k3 na ní ležícími. Průsečnice rovin kuželoseček kv k2 resp.
k2, k3 resp. k3, kx buďte s12, s23, s31, jejich poláry n12, n23, n3v Tyto obdržíme
na př. jako průsečnice tečných rovin plochy v příslušných průsečících
kuželoseček, [nebo kodtud, že nm spojuje póly přímky s** vzhledem ke
ki a kk.

Přímky n12, n23, n31 tvoří trojúhelník ležící v polární rovině průsečíka
přímek s12, s23, %. Vrcholy V1 = n12 . n31, V2 = n12 . n23, V4 = n23 . n3l jsou
póly rovin křivek kv k2, k3. Budte nv n2, n3 normály z bodů těch k těmto
rovinám a budiž O střed plochy R, který obdržíme v průsečíku přímek
spojujících body V; se středy křivek Přímce s12 odpovídající para¬
boloid U12 přímek normálně sdružených jest úplně dán, ježto známe jeho
přímky nv n.z, tudíž také rovinu k s12 kolmou jako řídící rovinu, dále
přímku n12 a příslušnou druhou řídící rovinu jakožto rovinu jdoucí přím¬
kou n12 kolmo k (O s12). Vedeme-li tedy bodem O normály lA> l2, l3 k rovinám
(O wj, (O n2), (O w12), dále rovnoběžku lé k s12 a protneme konečně rovinu
(O s32) rovinou bodem O kolmo ku n12 jdoucí v přímce l5, určují přímky
... l5 kužel 2. stupně L12, na němž leží hledané osy plochy R. Právě
tak dospěli bychom vycházejíce od s23 resp. s31 k plochám U23, U31 a ke
kuželům L23, L31. Při tom mají kužele L»m, L in společnou přímku jdoucí
bodem O kolmo k rovině (O ný a osy plochy R jsou dalšími jejich společ¬
nými hranami.

10. Můžeme též snadno dokázati větu:

Promítneme-li normály centrické plochy 2. stupně vztyčené v bodech
diametrální kuželosečky k ze středu plochy, jest promítající kužel druhého
stupně a dotýká se hlavních rovin plochy.

Neboť tyto normály tvoří, jak známo, přímkovou plochu 4. stupně
a všecky její tečné roviny jdoucí bodem O jsou dvojnásobnými točnými
rovinami. Normály plochy 2. stupně v průsečících křivky k s hlavní rovinou

XLVII.

11

plochy leží v této hlavní rovině, která náleží tudíž uvažovanému tečnému
kuželi.

Máme-li specielně hyperboloid H, jenž jest dán třemi přímkami a, b, c
téže řady a zvolíme-li za řez diametrální řez s asymptotickou rovinou
protínající plochu ve dvou rovnoběžkách a, á, rozpadá se zmíněná plocha
4. stupně ve dva hyperbolické paraboloidy, jež jsou navzájem souměrný
dle středu O. Sestrojme po vršky á, b, č plochy H rovnoběžné ku a, b, c, takže
prvá protíná b a c, druhá ca. a, třetí aa.b. Těchto šest přímek stanoví (obr. 3.)
jako hrany rovnoběžnostěn, jehož střed splývá s 0 a jehož vrcholy označíme
po řadě 1, 2, ... 8 a to v uspořádání, které jest z obrazce patrno. Uva¬
žujme nejprve normálový paraboloid
podél a a stanovme normálový kužel L
o vrcholu O k soustřednému tečnému
kuželi tohoto paraboloidu U. Ježto
jedna řídící rovina plochy U jest kolmá
k a, jest rovnoběžka 4 bodem 0 ku a
jednou hranou L; ježto dále centrální
rovina přímky a ku H jest druhou ří¬
dící rovinou plochy U, máme v kol¬
mici l2s0 na a v rovině (< ad ) druhou
přímku, kdežto kolmice 4 v bodě O
k rovině ( a á) jest třetí přímkou plochy
L. Vztyčíme-li normálu n6 v bodě 6
ku H, náleží kolmice /4 v bodě 0
k rovině 0nG spuštěná rovněž kuželi L.

Konečně, je-li n2 normála v bodě 2 ku H, náleží kuželi L též kolmice 4
v bodě O k rovině 0 n2. Tím jest kužel dán.

Užijeme-li místo a přímky b, obdržíme obdobný kužel L*, jehož
jedna hrana jest rovnoběžná k b, druhá protíná b orthogonálně, třetí jest
kolmá k rovině 0 b, čtvrtá /4* jest kolmá k rovině 0 n7, je-li n7 normála
ku H v bodě 7, a konečně pátá jest kolmá k rovině 0 n2, jsouc tedy spo¬
lečnou kuželům L, L*, takže hledané osy jsou dalšími třemi jejich společ¬
nými hranami. Vztyčíme-li normálné roviny k přímkám 02, 06, 07, jsou
jejich průsečnicemi s rovinami resp. 126, 267 , 678 tři přímky, k nimž
jsou hrany l5, /4, /4* rovnoběžný. Můžeme ovšem přímku b nahraditi
přímkou b nebo c nebo konečně přímkou c — [6, 7). Zde splývají patrně
vždy přímky p a q a tedy i příslušné Steinerovy paraboloidy U a U*.

11. Proveďme ještě některé úvahy o obrazci, jenž nám skytá řešení
osového problému pro trojosý ellipsoid, jsou-li dány tři jeho sdružené
poloměry 0 A, OB, OC. Buďte Ai, Blt Ci stopy průměrů těch na prů¬
mětně. Vztyčme nejprve kolmici v bodě O k rovině O A\Bi \ její stopa
budiž Či. Kolmice bodem Či k 0' AY x) jest stopou roviny jdoucí bodem 0

Ú Promítáme opět orthogonálně na rovinu A\ Cj a značíme 2‘ průmět
útvaru 2.

XLVII.

12

kolmo ku O Ai, kolmice bodem O' k A\C\ protíná tuto stopu ve stopě B\
normály 0 B\ k rovině 0 Aj C\. Rovněž tak jest kolmice k O' B\ bodem C i
stopou roviny bodem 0 jdoucí a kolmé k 0 Bi a proťata jest kolmicí k B\ C\
bodem 0' vedenou ve stopě AY normály 0 Ai k rovině 0 Bj C\. Pak jest
A\ Bj stopou roviny O A\B\ kolmé ku 0 Ci, takže jest AiBiA O' C\.
Trojúhelník A\ BlCi jest polárním obrazcem trojúhelníka AiBiCi k ima¬
ginární kružnici o středu O' a o poloměru, jehož absolutní délka jest
rovna distanci bodu O od průmětny, takže distanční kružnice bodu O
jest reálným representantem této imaginární kružnice. Z toho plyne, že
trojúhelníky ty jsou perspektivní, takže bod A0 — B\ C\ . B\ Či, a ob¬
dobné body B0 , C0 leží na přímce A a spojnice AiAi, . . . procházejí
jedním bodem d, při čemž rovina 0 A jest kolmá ku přímce Od. Budiž
dále o těžiště torj úhelníka A B C a 5 stopa přímky 0 tf, kdežto N budiž
stopa normály s bodu 0 na rovinu ABC.

Abychom nyní sestrojili osy 0 X, 0 Y , 0 Z ellipsoidu, učiňme poláru c
přímky A B osou svazku rovin, k nimž uvažujme paprsky normálně sdru¬
žené, tvořící Steinerův paraboloid U, jenž promítá se z bodu O kuželem K,
ke kterému stanovíme soustředný normálný kužel L. Rovina jdoucí přím¬
kou A B kolmo k rovině 0 c jest řídící rovinou pro U ; rovina Oc splývá
s rovinou 0 C g a její stopa jest tedy Ci S. Kolmá rovina ku A B bodem O
protíná tuto rovinu v kolmici l vedené bodem O k řečené rovině řídící.
Tato kolmá rovina prochází přímkami 0 C\, ON, její stopa Ci N jest
kolmá k A' B' procházejíc bodem N. Tudíž jest stopa L přímky l průse¬
číkem přímek 5 C\ a N C i. Druhou přímkou m plochy L jest 0 C\, ježto
k této přímce jest druhá řídící rovina plochy U kolmá. Třetí přímka na L
jest O Ci, neboť rovina O AlB\ dotýká se plochy U.

K rovině c A jest kolmice s A na 0 B\ C\ normálně sdružena. Rovina,
která promítá tuto kolmici z bodu O, prochází přímkou O A\ kolmo ku
OBiCi ; jest tedy průsečnice roviny O B\C\ ku O Ai kolmé s rovinou
OBiCi další přímkou na L; jest to tedy přímka O A0. Nahradíme-li
rovinu c A rovinou c B, seznáme, že též přímka O B0 leží na L. Proto
jest stopou kužele L kuželosečka ( l ) jdoucí body L, C i, Ci, A0, B0.

Protneme-li Bi S a Bi N v bodě Llf jest kuželosečka (/J body Lv
Bi, B\, C0, A0 stopou druhého kužele Llr Konečně protneme-li A\ S a A\ N
v bodě L2, jest kuželosečka (/2) body L2, A\, Ai, B0, C0 stopou kužele L2,
jenž rovněž obsahuje hledané osy O X, O Y, O Z. Plynou tedy body
X , Y, Z jako průsečíky, různé od i0 resp. B0 resp. C0 kuželoseček (1), (/t)
resp. (I), (/2) resp. (/x), (l2). Abychom pak stanovili jednu z kuželoseček
(/), (/J, (/2), zvolme na A dva z bodů A0, B0, C0; jimi procházejí dvě
strany trojúhelníka AiBiCi resp. A\BiC\ protínající se ve vrcholu I
resp. /; zvolené dva body na A, vrcholy 1,1 a průsečík spojnic S I, N /
náležejí takové kuželosečce. Spojíme-li zvolené body na A, jakož i I, I
s bodem O, obdržíme čtyři přímky, z nichž každá jest průsekem výšek
trojhranu, který jest tvořen ostatními třemi paprsky. To souvisí s okol-

XLATI.

13

ností, že kužele L, L1} L2 jsou rovnostranné ; tudíž leží výšková hrana
libovolného troj hranu, jehož hrany na takovém kuželi leží, též na tomto
kuželi, čehož možno v konstrukci rovněž užiti, zvláště tehdy, prochází-li
průmětna právě body A, B, C.

Z dřívějšího víme, že hrany kužele L jsou normálně sdruženy k pa¬
prskům jdoucím bodem 0 v rovině 0 A\ B\. Vedeme-li tedy v této rovině
dva sdružené průměry průsečné kuželosečky s plochou R, zn_ačíce jejich
stopy A\*, B\*, protínají se přímka C\ Bi* a kolmice s bodu C i na 0' Ai*
v bodě křivky (/), rovněž tak jako přímka C\ A\* s kolmicí s C'i naO'Pi*.

Učiníme-li A A* = — B Ax> značíce Ax průsečík přímky O A{* a B*
průsečík přímky 0 B i* s přímkou A B, jsou A *, B* harmonické ku A, B ;
splývá tedy normálně sdružený paprsek n roviny c A* s kolmicí s B*
na rovinu Ai* C\ 0. Kolmice v 0 k rovině nO jest tedy průsečnicí roviny
jdoucí bodem 0 kolmo k O B\* s rovinou O A\* Cj. Tato přímka náleží
kuželi L; její stopa jest tedy průsečíkem kolmice s Ci ku 0' B i* s přímkou
C\Ai*, což jest ve shodě s konstrukcí dříve zmíněnou.

12. Je-li R paraboloid, dotýká se každý Steinerův paraboloid
U jeho hlavních rovin xy, xz. Rovnoběžka k ose x vedená bodem P
nechť protne plochu R v konečnu v bodě R. Rovina rovnoběžná k xy
přímkou P R protíná R v parabole px o tečně tx v bodě R. Úsečka obsa¬
žená mezi P a osou křivky px na kolmici vztyčené v bodě P ku tx promítá
se na osu tu orthogonálně do úsečky Px Rx rovné parametru paraboly pr
Promítáme-li orthogonálně do roviny x y, promítá se normála n vedená
bodem P na tečnou rovinu plochy R v bodě R do přímky rovnoběžné
ku Px Rv Z toho plyne, že úsečka na n mezi P a x z promítá se na x
orthogonálně do úsečky rovné parametru hlavního řezu plochy R v ro¬
vině x y. Promítá se tudíž, ježto přímka n jest normálně sdružena k polární
rovině bodu P, úsečka obsažená na každém paprsku osového komplexu
paraboloidu mezi rovinami xy, x z orthogonálně na osu % do úsečky, jež
se rovná dvojnásobné vzdálenosti ohnisek obou hlavních řezů para¬
boloidu R.1)

Budiž Fx resp. F2 ohnisko hlavního řezu v rovině x y resp. x z. Z právě
zmíněné vlastnosti našeho specielního komplexu osového plyne, že, je-li a\
resp. au stopa nějaké roviny A v xy resp. xz, promítá se komplexová
parabola u roviny A áo x z orthogonálně do paraboly u' , která má * za
tečnu vrcholovou a jejíž úseky tečen mezi au a x promítají se na x do
úseček, jež mají vesměs délku 2.FXF2. Je-li tedy A§ průsečík A . * a
učiníme-li A^v — 2FXF2, jest v vrchol paraboly u'. Analogicky jest
orthogonální průmět křivky u do roviny # y parabolou u" , jež má rovněž x
za tečnu vrcholovou a jejíž tečnové úseky mezi a\, x promítají se ortho¬
gonálně na x do úseček délky 2 . F2FX; učiníme-li A§ fi — 2 . F2FV jest j i
vrchol křivky u".

x) Viz: Reye, Die Geometrie der Lage, II. Abt. 4. Aufl. str. 221.

XLVII.

14

Konstrukce, které jsme provedli pro plochu cen^rickou, se tím po¬
někud zjednoduší. Stanovme zde (obr. 4.) na př. hlavní stíedy křivosti
Mj, M2 pro bod P, jakož i střed křivosti libovolného normálného řezu
bodem P. Nechť protíná stopa au roviny tečné A v. Pro vinu bodem P kolmou
ku x v A 0 a rovnoběžku bodem P' ku x v bodě 1 a budiž P poloha bodu P,
které nabude sklopením roviny A do x z. Kolmice v bodě 1 protínej kružnici
nad průměrem A% A^ v bodě 1Q, pak protíná kružnice mající střed na au
a jdoucí body 10, P přímku au v bodech označovaných dříve Nv N2 ;
Bod Mx' jest dotyčným bodem přímky rí s parabolou, která dotýká se

kromě rí ještě přímek N1P/, N1N, má x za tečnu vrcholovou a rovno¬
běžku x2 bodem N2 ku a; vedenou za přímku řídící. Můžeme tedy průmět M /
hlavního středu křivosti obdržeti tím, že v bodě rí . x vztyčíme kolmici y
ku rí a jejím průsečíkem s x2 vedeme rovnoběžku ku z, která protne rí
v bodě Mx' . Obdobně protněme y rovnoběžkou vedenou bodem N± ku x
a sestrojme průsečíkem rovnoběžku k z, jež protne rí v bodě M2 .

XLVII.

i

15

Abychom stanovili střed křivosti M v bodě P k normálnému řezu,,
jehož rovina jde tečnou P plochy, určeme jako dříve bod H, vedme
body Llf H rovnoběžky k z, které protnou rí v bodech I, resp. II a abychom
získali M', učiňme IIM' = IP', nebo stanovme jiným způsobem M'
jako průsečík přímky rí s různou od lx tečnou bodem H vedenou k para¬
bole, která se dotýká přímek lv LXP' , rí , má mimo to x za tečnu vrcho¬
lovou a rovnoběžku ku x bodem L2 za přímku řídící.

13. Konečně uveďme applikaci našich úvah na konstrukci vrcholu S
hyperbolického paraboloidu H, jenž jest dán prostorovým čtyřúhelníkem
A B C D. Jsou zde a = A B, c = C D dvě přímky jedné a b = B C,
d — D A dvě přímky druhé řady na H. Řídící roviny plochy budte
R2 tak, že prvá jest rovnoběžná k a, c, druhá k b, d. Průsečnice o obou
řídících rovin dává směr pro osu o plochy. Promítejme nejprve (obr. 5.)
plochu do dvou navzájem kolmých rovin, z nichž prvá M jest kolmá ku o,
a řešme naši úlohu nejprve pro tuto specielní polohu. Za tím účelem se¬
strojme normálové paraboloidy Px, P2 plochy H, jež opírají se o přímky a
resp. b. Každá normálová plocha plochy H dotýká se hlavních rovin
Hi, H2 plochy této; neboť každá hlavní rovina obsahuje onu normálu,
která odpovídá průsečíku jejímu s opěrnou přímkou plochy normálové.
Promítáme-li nyní Px z nekonečně vzdáleného bodu přímky o, obdržíme
parabolický tečný válec Zv který se dotýká Hl, H2; ten jest zde kolmý
k první průmětně a promítá se do paraboly px, totiž obrysové paraboly
prvého průmětu plochy P1# Asymptotická rovina Sx || Rx plochy H pro
přímku a jest promítací do M; jest centrální rovinou přímky a na Pt
a proto jest, jak plyne též z předchozího, osa pro Px kolmá ku Sx, tedy
rovnoběžná ku M, pročež udává též směr osy křivky pv Z toho plyne,
že a' jest tečnou vrcholovou pro pv Průměty na' , np normál v bodech
A, B ku H jsou dvě další tečny ku pv čímž jsou tato parabola a válec Z±
dány. Obdobně najdeme pro promítací válec Z2 plochy P2 do M, že b'
jest tečnou vrcholovou a np a průmět ny' normály v C ku H jsou dvěma
dalšími tečnami ku stopní parabole p2 válce Z2, při čemž jest p2 zároveň
obrysem prvého průmětu plochy P2.

Paraboly pv p2 mají tečnu np společnou, kdežto jejich dvě další
společné tečny jsou stopami hi{1), hi{2) hledaných rovin H1; H2. Ježto
Hj_ _L H2, jest též hi{1) _L W2) a průsečík Oi těchto přímek jest tudíž prů¬
sečíkem řídících přímek parabol pv p2, jsa zároveň stopou osy plochy H.
Tyto řídící přímky s/, s2' jsouce rovnoběžný k a' resp. b' zobrazují dvě
přímky sv s2 plochy H, které protínají se v bodě S osy o, t. j. ve vrcholu
plochy H; jsou to tedy vrcholové po vršky plochy H.

Kolmice v A' resp. B' ku nd resp. np protínají se v ohnisku Fa
křivky pv Tyto kolmice jsou průměty hlavních přímek vzhledem k ro¬
vině M pro tečné roviny a d, a b plochy Px. Vedeme-li v tečných rovinách
plochy H v bodech přímky a hlavní přímky těmito body, obdržíme hyper¬
bolický paraboloid, který má roviny M, Sx řídícími, pročež jest jedna

XLVII.

16

jeho přímka kolmá ku M. Proto protínají se první průměty uvažovaných
hlavních přímek v bodě Fa. Vrcholová površka s2 protíná a ; tečná rovina
a s2 má přímku s2 samu za přímku hlavní ; tudíž prochází s2 též bodem Fa.

Obdobně soudíme, že parabola p2 má přímku b' tečnou vrcholovou a prů¬
sečík Fp přímek B' Fa, s/ ohniskem. Výsledek tento možno následovně vy¬
šlo viti.

Orthogonální průmět normálového paraboloidu P plochy H do vrcholové
roviny jest parabola, jež má průmět opěrné přímky plochy P tečnou vrcho¬
lovou, vrcholovou povrsku náležející s touto téže řadě přímkou řídící a jejíž
ohnisko leží na druhé vrcholové površce.

Protneme-li strany a, b, c, d čtyřúhelníka A B C D s rovinou ku M
rovnoběžnou v bodech 1, 2, 3, 4 a vedeme body B' , C\ D' , A' rovno¬
běžky resp. ku 1' 2' , 2' 3', 3' 4' , 4' T , obdržíme jednoduchý čtyřúhelník
Fp Fy Fs Fa, jehož strany jsou půleny body C' , D' . A', B' a jehož úhlo¬
příčny s/ =FpFs, s2 =FyFa jsou průměty vrcholových po vršek protí¬
najících se ve vrcholu S plochy H. Že roviny H1} H2 jsou symmetrálnými
rovinami rovin o sl3 o s2, potvrzuje též konstrukce tečen z Oi ku px nebo p2.

14. Na konec řešme poslední úlohu, leží-li čtyřúhelník v obecné poloze
k dané průmětně, do níž orthogonálně promítáme (obr. 6.). Budiž na př.
bod B kromě svého průmětu B' dán svým distančním kruhem (B), dále
budte dány průměty A', C' , D' bodů A, C, D a stopy Ai, Bj, Ci, Di přímek
a == A B, b — B C, c — C D, d = D A. Vedme rovnoběžku k d bodem C,

XLVII.

17

jež protne C\ D\ v bodě 1 a rovnoběžku k c bodem A, jež protne Cj Di
v bodě 2\ tyto rovnoběžky protnou se v* bodě, jehož spojnice m s bodem B
udává směr průměrů plochy H ; přímky B\ 1, A\ 2 protnou se ve stopě Mi
piímky m a roviny [a ní), ( b ní) jsou řídící roviny plochy H. Nyní sestrojme
známým způsobem stopu ni roviny N bodem B kolmo ku přímce Mi B
položené, do kteréž promítejme orthogonálně, značíce U* průmět do dané
průmětny orthogonálního průmětu útvaru Z do roviny N. Jest tedy a *
spojnice průsečíka 3 přímek Ai 2, ni s bodem B' a b* jest spojnice prů¬
sečíku přímek B i 1, m s bodem B', kdežto průsečnici g resp. h roviny
a b resp. cb s rovinou N obdržíme jako spojnici bodu Ai Bi . m resp.
Bi Ci . ni s bodem B. Rovnoběžka bodem C' ku m' protíná 6* v bodě C*
a přímka g' protíná rovnoběžku bodem C* ku h' v bodě Fp*, který od¬
povídá ohnisku Fp paraboly p2 předchozí konstrukce; bod Fa* odpoví¬
dající Fa jest souměrný k Fp* dle B' . Bodem Fa* prochází pak s2* rovno¬
běžně ku b* a bodem Fp* jde sx* rovnoběžně ku a*. Průmět o' osy o

plochy H jde tudíž průsečíkem přímek s2*, sx* rovnoběžně k m' . Vrcholová
površka s2 protíná a v bodě S2, pro nějž 52* — a * . s2*; rovnoběžka ku m'
bodem 52* protíná a' v bodě S2, jímž prochází s2' rovnoběžně ku s2*.
Přímka s2' protíná o' v průmětu 5' vrcholu plochy H a bodem 5' jde
též s/ rovnoběžně ku sx*.

Rozpravy: Roč. XXIII. Tř. II. Č. 47. 2

XLVII.

18

Nehledě k našim úvahám mohli jsme po stanovení přímek a *, b*
usuzovati též takto. Obrys pro prvý průmět plochy H jest parabola sta¬
novená tečnami a' , b c' , ď . Užitím Brianchonových šestistranů můžeme
k této parabole vésti tečnu s/ || a * a tečnu s2' || 6*, kteréžto tečn^ protínají
se v bodě S'. Konstrukce zde vyvozená není méně jednoducl á; při tom
šlo však hlavně o vytčení různých souvislostí zde se vyskytujících.

XLVII.