Full text of "Résumé de leçons de géométrie analytique et de calcul infinitésimal"

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I 



^^tr^m^mm 



<** 


















RÉSUMÉ DE LEÇONS 



DE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



ET DE 



CALCUL INFINITÉSIMAL 



L'Auteur de cet Ouvrage se réserre le droit de le traduire ou de le faire 
traduire en toutes langues. 11 poursuivra, en vertu des Lois, Décrets et 
.Traités internationaux, toutes contrefaçons, soit du texte, soit des gra- 
vures, ou toutes traductions faites au mépris de leurs droits. 

Le dépôt légal de cet Ouvrage a été fait à Paris dans le cours de iSSg, 
et toutes les formalités prescrites par les Traités sont remplies dans le» 
divers États avec lesquels la France a conclu des conventions littéraires. 



PARIS—IMPRIMERIE UE MALLET-BACHELIER , 
rue du Tardinet, n« 12. 



RÉSUMÉ DE LEÇONS 



DB 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



ET DE 



CALCUL INFINITÉSIMAL, 



COMPRENANT 

Sur la Trigonométrie y tur l^Expretium des lieux géométriques par 

leurs équations, sur le Caloul différentiel et sur le Calcul intégral^ 

l'exposition des oonnaissanoes néoesaaires aux Ingénieurs pour Tin^ 

telUgenoe de la Mécanique rationnelle, de iVydraulique et de la 

.Théorie dynanaîque des Haohines. 



Par J.-B. BELANGER, 

lagéiklear es chef des Ponts et Chaussées, Professeur de Hécanfqae à TEcole Impériale 
Polyteehnlqae et à l'Ecole centrale des Acis et Mannfiictares, 



SECaNDE £DITION. 



PARIS , 

MALLET-BACHELIER , IMPRIMEUR-UBRAIRE 

DE l'école IHPÉEIALB POLYTECHNIQUE, BE L'tiCOLE CENTRALE DES ARTS ET MÀNUTACTURBS , 

QUAI DES AUGUSTINS, 55. 

18S9 

(L'Antenr de cet OaTrage se réserro le droit de tradnction.) 



•/^. A.. J, 




A. .-. .Vs\ 



Eiztrait de rAvant-Propos de la première édition (iS42). 



Les connaissances mathématiques exigées jusqu'à présent pour 
l'admission à rÉcole centrale des Arts et Manufactures se bornant à 
l'Arithmétique, à la Géométrie élémentaire et à une partie de l'Al- 
gèbre, les leçons dont nous publions le résumé ont pour objet de 
compléter instruction des élèves sur les mathématiques pures, jus- 
qu'au point nécessaire pour les mettre en état de suivre utilement 
les cours de Mécanique rationnelle , d^l^^rdcaulique et de Théorie dyna- 
mique des Machines, qui entrent^ à^^c^lM^t^^s sciences applicables 
à l'industrie , dans le cadre de Kêi^^gjlieii^V-'^ l'École centrale. 

Ce cours préparatoire de mathématiques'^ sùi)érieures s'élève, par 
quelques-uns des sujets qu'il traite ,^au-^delà de^'enseigiiement actuel 
des collèges universitaires ; cepentlknt' son.p^u^d'étendue est tel, qu'il 
n'exige des élèves auxquels il est destiné 'que quatre ou cinq mois 
d'études. Ainsi le voulait le plan d'enseignement de l'Ecole centrale des 
Arts et Manufactures, et cette condition , nous avons tâché de la rem- 
plir, non en sacrifiant dans les démonstrations la logique sévère sans 
laquelle les mathématiques deviennent une demi-science souvent tromn 
peuse^ non en compromettant la clarté par une excessive concision, 
mais en choisissant dans la Géométrie analytique et dans le Calcul 
infinitésimal les parties que tout ingénieur instruit doit posséder, et' 
notamment celles qui sont nécessaires à l'étude de la Mécanique con- 
sidérée au point de vue de son utilité pratique dans la direction^ des 
travaux de l'industrie. Nous avons passé sous, silence une foule de 
recherches qui offrent sans doute un très-vif intérêt aux esprits en- 
traînés par leur nature à faire des mathématiques leur occupation 
principale, mais qui ne laissent bientôt plus de traces dans le souvenir 
des hommes voués à la vie active des ateliers et des aflFaires. 

D'ailleurs, quel que soit le but qu'on se propose en étudiant les 
mathématiques , nous avons depuis longtemps reconnu que l'ordre le 



VI 

plus convenable à suivre n'est pas d'épuiser successivement et sépa- 
rément chacune des branches qui composent cet ensemble de connais- 
sances. Ces sciences n'ont pas été ainsi créées et ne doivent pas être 
apprises indépendamment les unes des autres. De même que le com- 
mençant, dès qu'il s'est familiarisé avec les combinaisons les plus 
ordinaires du Calcul numérique , doit passer simultanément aux élé- 
ments de l'Algèbre et de la Géométrie , qui se prêtent un mutuel 
secours, et qui, dans leurs applications, présentent de nombreuses 
et intéressantes occasions de revenir aux procédés de l'Arithmétique y 
de même, si l'on se propose d'approfondir l'Algèbre et la Géométrie, 
la marche la plus attrayante et la plus lumineuse est de s'initier préa- 
lablement à la Géométrie analytique et au Calcul infinitésimal , dont 
l'une , éminemitaent propre à faire comprendre la signification et la 
portée des quantités négatives, enseigne en outre à voir dans les équa- 
tions algébriques l'expression des lieux géométriques, et l'autfe fournit 
sur la détermination des tatagentes, des ^ires et des volumes les 
notions les plus claires et les procédés les plus généraux. 

C'est d'après ces considérations que nous croyons avoir lieu d'espérer 
que ce petit olivrage pourra être utile , non-seulement aux personnes 
pour qui il sera, comme pour les élèv)BS de l'Ecole centrale des Arts et 
Manufactures, une introduction mathématique au cours de Mécanique 
rationnelle de cette école, mais encore anx jeunes gens qui, appelés 
à faire une étude complète de la Géométrie analytique et du Calcul 
iftfinitésimat , voudront en voiries parties les plus essentielles réduites 
à une grande simplicité avant d*entreprendre la lecture des ouvrages 
spéciaux, où les mêmes sujets sont traités avec de gvandë et curieux 
développements. 

L'auteur d'un Traité aussi élémentaire sur des objets depuis si long- 
temps connus ne peut prétendre au mérite de l'invention. L'idée de 
prendre la théorie des projections poUr fondement de la Trigono- 
métrie découle naturellement de l'usage qu'on fait dés formules trigono- 
raétriquès dans k Mécanique analytique. M. Coriolis l'avait d'ailleurs 
énoncé avant nous , et nous n'avons proWabtement fait qu'obéir à son 
inspiration en traitant complètement la Trigonométrie sous ce point 
de vue nouveau , qui écarte toute difficulté relative aux définitions et 
aux signes des rapports communément appelés lignes trigonométriques, 
et qui offre l'avantage d'une grande généralité dans les démonstrations 
aisément étendues à des angles de grandeurs etJlWf signes quelconques ^ 



VIÏ 



NOTE SUR LA PRÉSENTE ÉDITION. 

Les deux premiers chapitres contiennent , en outré de ce qu'exige 
sur là Trigonométrie et laGréométrie analytique le nouveau Programme 
d'admission à PÉcole centrale des Arts et Manufactures; quelques 
articles que les élèves feront bien de lire attentivement , non pour 
être en état de les reproduire devant un examinateur, mais pour les 
bien comprendre et s'exercer à Tart d'appliquer le calcul algébrique 
à la géométrie. Ils verront notamment, pages 4^ et suivantes, que les 
formules essentielles de la Trigonométrie sphérique ne sont que la 
traduction en équations des constructions enseignées dans les Traités 
de Géométrie descriptive au sujet des problèmes relatifs aux faces et 
aux angles dièdres des angles trièdres. 

Au troisième chapitre nous avons ajouté une exposition succincte 
des notions les plus importantes sur remploi des séries ; et en déve- 
loppant un peu plus que nous ne l'avions fait dans la première édi- 
tion les applications du Calcul différentiel , nous avons employé un 
petit nombre de pages aux questions qui concernent les tangentes aux 
lignes courbes dans l'espace et le plan tangent en un point donné 
d'une surface exprimée par son équation. 

Nous appelons l'attention des lecteurs sur un détail typographique 
qui, sans être bien important, a cependant son utilité, toutes les 
fois qu'une quantité qui entre dans une formule ou une équation est . 
représentée par une seule lettre, minuscule ou majuscule de l'alphabet 
ordinaire, cette lettre est en caractère italique ; et les caractères ro- 
mains sont réservés aux notations qui remplacent des mots. Telles sont 
les notations 

log, sin, d, F ou f, • 

qui sont les abr^és de « logarithme de, sinus de, différentielle de, 
fonction F ou f de «, et ne signifient point elles-mêmes des quantités. 
Nous écrivons donc 

logy/ ou logflr, sin^, dx, F(j7), î(,r,x). 

> 

Par analogie j si il^ie avons à désigner une ligne par les deux lettre? 
écrites à ses extrémités , ces lettres , dont ni l'une ni l'autre ne repré- 
sente une quantité, sont, majuscules ou minuscules, en caractères 
romains. 



— VIIÏ 

Nous ne faisons d'exception que pour les angles d'un triangle qui , 
bien qu'étant des quantités, sont désignés^ suivant l'usage par les 
lettres romaines écrites dans la figure aux trois sommets. Pour nous 
l'expression sinA est l'abrégé de « siiius de l'angle dont le sommet 
est le point A. ft 

Chaque figure dés planches placées à la fin du volume porte un 
numéro d'ordre, et un renvoi , en chiffres plus petits , à l'article auquel 
cette figure s'applique. 





• 




• 






ERRATA. 


• 


PAGE. 


• 

LIGNE. 


AU LIEU DE : 


LISEZ : 


12 


26 


les parallélipipèdes. . . 


le parallélipipède se réduit 
à vn parallélogramme 


i4 


29 . 


après être 


étant 


63 


Î2 


cotB 


cet A 


56 


'7 

J 


.A 

sin 


. A 

sm — 
2 


72 


20 


\ * 

inx 


csino; 


73- 


2 et 3 


sin... 


tang. . . 


Mn. . . 


tang... 


92 


23 


= A 


= a 


I.ÔI 


6. 


2 


0F = ^ 

2 


121 


9 


PMV 


PM'V 


125 

143 - 


»9 
2 


170. 
CQordonnés 


160. 
coordonnées 


;27o 


1 


^FC- 


i(FC'- 


296 . 


i5 


lette 


lettre 



«*-l- 



TABLE DES MATIÈRES. 



CHAPITRE PREMIER. 

TRIGONOMÉTTIE. 

§ I. Généralités snr les projections exprimées algébriquement. 2 

Position d^uD point sur une ligne donnée , — dans un plan 
donné, — dans l'espace. — Projection d'un contour polygonal 
sur des axes coordonnés. 

§ II. Expression de la direction d'une droite. — Lignes trigono- 
métriques. : . . . . i3 

Origine, longueur et direction d'une droite. — Direction dé- 
finie par un angle et un signe. — Expression d'un angle par 
ses lignes trigonométriques. — Direction d'une droite hors des 
plans coordonnés. 

§ m. Expression trigonométrique de la projection orthogonale 
d*une droite ou d'An contour polygonal sur un axe 26 

. Théorème général à ce sujets — Angle de deux droites faisant 
avec trois axes n^tangulaires des angles donnés. 

§ IV. Formules de trigonométrie plane 3o 

Formules de sin {adczh) et cos ( a db & ). — Formules de 
tang(a^&), de sin ;? db sin ^ et cos;7±:cos^ sous forme de 
produits. 

§ V. Résolution des triangles rectilignes 40 

Triangles rectangles. — • Triangles obliquangles. — Aire d'un 
triangle en fonction de ses trois côtés. 

§ VI. Trigonométrie sphérique 45 

Relation fondamentale entre les trois côtés et un angle^ — 
Relation entre deux côtés et les angles opposés. — Relation 
entre deux côtés, Tangle compris et un aytre angle. — - Triangles 
ou trièdres supplémentaires. — Relation entre les trois angles 
et un côté. — Résolution des triangles sphériques. — Formules 
de Delambre et de Néper. ; 

§ Vn. Usage des Tables de logarithmes. — Types de calculs ... 60 

§ Vni. Problèmes divers de trigonométrie 71 

Table des nombres trigonométriques naturels y 5 



X TABLE DES MÀTIEEES. 

CHAPITRE IL 

EXPRESSIONS DES LIEUX GtOtfÈTRlQUBS PAR LEURS ÉQUATIONS. 

Pages. 

§ I. Généralités sur ce sujet 76 

Coordonnées parallèles à des axes concourants. — Coordon- 
nées polaires. — Coordonnées focales. 

§ II. De la ligne droite 83 

Coefficient angulaire. — Problèmes sur les lignes droites. 

§ III. Du cercle 89 

Équation du cercle rapportée à deux axes rectangulaires. 

§ IV. Équations de Tellipse, de l'hyperbole et de la parabole 
déduites des propriétés focales de ces courbes 9a 

Autres propriétés déduites des équations. ^- Cordes supplé- 
mentaires et diamètres conjugués de l'ellipse. — Asymptotes de 
l'hyperbole. — Analogie des trois courbes par leurs équations, 
~ par le rapport constant des distances à un foyer et à une di- 
rectrice , —r comme sections coniques. 

§ V. Propriétés des courbes paraboliques et hyperboliques <, ... 107 

Parabole rapportée à des coordonnées obliques. — Notions 
' du ealcul des différences finies. — Hyperbole rapportée k ses 
asymptotiis. 

§ VI. Do quelques courbos transcendantes i^'^ 

Logarithmique , • sinusoïde , — cycloide , — spirale d'Ar^ 
cfaimède. 

(} VU. Transformation des coordonnées appliquée aux courbes 
du second degré ia5 

Réduction de l'équation générale du second degré aux formes 
les plus simples. — Des diamètres des courbes du second 
degré. 

§ VIII. Équations de la ligne droite hors des plans coordonnés ... 1 35 
Problèmes à ce sujet. 

§ IX. Équation du plan rapporté à trois autres plans coor- 
donnés.^ , 189 

Cette équation est du premier degré. — 'Droite perpendicu- 
laire à un plan. 

§ X. Transformation des coordonnées parallèles à trois axes, 

appliquée aux sur£aces du second degré ., i44 



TABLE DES MÀTIEmES. XI 

Pages. 

§ XI. Classification des surfaces du second degré 1 5a 

Surfaces à centre: ellipsoïde, hyperbo^oîde à une nappe, 
hyperboloîde à deux nappes. — Surfaces dénuées de centre : 
paraboloîde elliptique , parabololde hyperbolique. 

§ XII. Plans diamétraux et diamètfes des surfaces du second 
degré. Similitude des sections parallèles ^. iGi 

§ Xin. De quelques propriétés des surfaces du second degré. . . .167 

Génération des surfaces réglées du second degré. — Inter- 
sections planes des surfaces du second degré. 

CHAPITRE III. 

NOTIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. 

§ I. Problème général des tangentes. Solutions dans les cas où 
la courbe peut être exprimée par une équation du premier 
degré en coordonnées polaires, focales, etc 1 73 

Tangente à Tellipse. — Tangente à la spirale d'Archimède , 

— à la cyclolde. 

§ n. Détermination de la tangente d'après Téquation de la courbe. 1 77 

Différentielles. — Dérivées. 

§ m. Différentiation des fonctions fondamentales . .... 1 82 

Différentielles de x» et de -• — Différentielle de Ipgx. — 

X 

Différentielle de sinx. 

§ IV. Théorèmes et règles pour différentier toutes les fonctions 
à Taide des différentielles fondamentales 188 

Différentiation des fonctions de fonction. — Différentiation 
des fonctions composées. -<« Différentiation des fonctions impli- 
cites. 

§ y. Formules de différentielles obtenues par les règles précé- 
dentes KjtJ 

Fonctions simples x^, a', sinx, cosx, tangx, cotar, sécx, 
cosécx, et leurs inverses logr, arcsinx, àrccosx, etc. — 
Exemples de différentiation. 

§ VI. Des dérivées et différentielles de divers ordres des fonc- 
tions d'une variable. Exemples de leur emploi 204 

Dérivées successives d'une fonction. — Sens de la concavité 
des courbes. — Points dinflexion. — Maximums et minimums.— 

Valeurs particulières qui se présentent sous les formes - « — • 

— Développement des fonctions en séries. — Série de Taylor. 



XII TABLE DES MATIÈRES. 

Pages • 

§ VIL Applications du calcul différentiel aux lignes et aux sur- 
faites courbes i ... «jtrg 

Courbes planes : tangente, sous^tangente, sous-norraale. — 
Rayons et centres de courbure des courbes planes. — Tangentes 
aux courbes dans l'espace. — Plan tangent à une surface. — 
Plan tangent à Tellipsoide , — sa distance au centre. 

CHAPITRE IV. 

NOTIONS DE GALCtJL INTÉGRAL. 

§ I. Considérations fondamentales 23i 

Intégrale indéfinie. — D'où Tient cette dénomination. — Qua- 
drature des courbes. — Gubature des solides terminés par des 
surfaces courbes. 

§ II . Théorèmes principaux pour Tintégration des fonctions 
d'une seule variable a4i 

Constante arbitraire. — Intégrale d'une somme de différen- 
tielles. — Facteur constant. — Intégrale de la différentielle 
d'une fonction de fonction. — Intégration .par parties. 

§ III. Formules d'intégrales directes ou obtenues par les règles 
précédentes 245 

§ rv. Intégration des équations différentielles. 25a 

§ V. Quadrature par approximation ^, 254 

Formule de Thomas Simpson. — Intégration par série. — 
Calcul de ;r. 

CHAPITRE V. 

APPLICAtlON DU CALCUL INFINITÉSIMAL A LA RECHERCHE 
DES CENTRES DE GRAVITÉ ET DES MOMENTS D*INERTI£. 

§ I. Définition du centre de gravité d'une ligne , d'une surface 
<)u d'un corps géométrique 262 

§ II. Centres de gravité des lignes 265 

§ m. Centres de gravité des surfaces 268 

§ IV. Centres de gravité des volumes 275 

§ V. De quelques propriétés des centres de gravité 279 

§ VI. Moments d'inertie et rayons de gyration des corps géo- 
métriques , 281 

DEUX PLANCHES. 

FIN DE LA TABLE DEâ MATIÈRES. 



RÉSUMÉ DE LEÇONS 



Di>: 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



ET DE 



CALCUL INFINITÉSIMAL- 



CHAPITRE PREMIER. 



TRIGONOMETRIE. 



4. L'objet spécial de la Trigonométrie est de calculer 
les côtés ou les angles inconnus d'un triangle au moyen de 
données suffisantes pour les déterminer. 

Considérée sous un point de vue plus général, la Trigo- 
nométrie fournit le moyen de soumettre au calcul les rela-^ 
tions qui existent , dans toute figure suffisamment définie, 
entre les directions dé ses côtés ou diagonales et leurs lon- 
gueurs ou les autres quantités géométriques qui en déri- 
vent. 

Pour établir les formules de la Trigonométrie, nous nous 
servirons d'un genre de considérations dont Tensemble 
peut être appelé la Théorie de V expression algébrique des 
projections^ etdont remploi est de la plus grande utilité dans 
la haute GéoméU'ie et dans la Mécanique mathématique. 



1 POSITION p UN FOIIIT 

§ 1. GÉNÉRALITÉS SUR LBS PROJECTIONS EXPRIMÉES 

ALGÉBRIQUEMENT. 

1". Considéraiions préliminaires sur rexprea^ion algébrique de la 
position d'un point sur une ligne donnée. 

2. Une ligne droite ou courbe d'une longueur indéfinie 
étant donnée, ainsi que l'un de ses points [fig^ i) 9 deux 
choses sont nécessaires et suffisantes pour déterminer la si- 
tuation d^un point M sur cette ligne : i^ la distance du 
point O au point M, mesurée suivant la ligue donnée; 
1^ le sens dans lequel cette distance doit être portée â partir 
du point O pour obtenir M. 

3. Connaissant, sur une ligne donnée , la situation de 
chacun des points M', M'', re/atiuement à un point O^ on 
demande la situation de W relativement à M', c'est-à-dire 
1^ la distance de M! à M''; îi^ le sens de cette distance à 
partir de M!, 

Pour fixer les idées, distinguons les deux sens dans les- 
quels on peut parcourir la ligne donnée, en disant que Fun 
de ces sens va de gauche à droite et l'autre de droite à 
gauche. 

Soient a:' et a:" les deux distances ÔM', OM", supposées 
adroite de O'^x^-^X* sera la distance cherchée, et, sui- 
vant que cette différence sera positive ou négative, le point 
M" sera à droite ou à gauche de M' 5 de sorte que, X dési- 
gnant la distance cherchée, la formule 

(1) X=x"— a:' 

répondra aux deux parties de la question, si l'on convient 
que, suivant que x'' — o:', réduction faite, aura le signe -f- 
ou le signe — , la distance X doit être portée à droite ou à 
gauche. 



SUR U»E LIGNE. 3 

Supposons. main tenant M' et M'' de différents côtés; soit 

par exemple W^ à ©""iS à droite, et M' à ©""^S à gauche 

de O. M" sera à o™, 8 à droite de M', et ce cas sera encore 

compris dans la même formule (i) , si Ton donne le signe — 

a la valeur particulière de x ' qui doit être portée à gauche ; 

ainsi on pose x"= o"*,5 et x'=^ — o^^Z , d'où X = o"',8. 

Si au contraire c'est M" qui se trouve à gauche et à o"*,5 

de O, tatidis que M' est à droite et à o",3 , M^ sera à o^'jS 

à gauche de M'; et la formule X= x" — x' sera d'accord 

avec ce résultat si l'on fait ar"= — 'o™,5, x'=o"*,3, et 

qu'on interprète suivant la même convention là valeur. 

qu'on obtient , X = — o™, 8 . 

Enfin , si les deux points M^, M' sont à gauche de O, les 
deux cas qui peuvent se présenter sont encore renfermes 
dans la formule X = x" — x', où les valeurs particulières 
des distances x'', Jî', devront être substituées avec le si- 
gne -^^. Exemples : 

j/'=— 0^3, a:'==--o"^,5, X==— o"^^3-f-o^5= o"^,2, 
a:^'= — o™,5, jf'= — o™,3, J5r=— o",5.-ho™,3= — o"^,a. 

Ainsi les six cas possibles que renferme la question pro- 
posée sont résolus par une seule formule au moyen de chan- 
gements de signes correspondants aux changetnents de sens 
des distances x"^ x\ X, 

4. Cette importante propriété de l'Algèbre appliquée à la 
Géométrie peut se généraliser dans les termes suivants : 

lorsque là distance d'un point à un autre est suscep- 
tible d[étre portée en deux sens opposés selon les dii^ers 
cas d'une même question , il sujfix de traiter lu question 
algébriquement dans V hypothèse de Vun des deux sens^ 
et lès formules ou équations quon obtient cons^iennent à 
tous les cas possibles, pourvu que , dans les applications 
qui! on en fait^ on affecte les valeurs particulières de la 



4 POSITION d'un point 

distance dont il s^agit du signe -f- ou du signe — , selon 
quelles sont portées dans le sens adopté dans la mise en 
équation ou en sens contraire. 

Cette règle très-utile, due à Descartes, ne parait pas pou- 
voir être démontrée dans toute sa généralité: nous aurons 
soin de la vérifier dans les questions où nous en ferons usage. 

5. Lorsqu'on définit la position d'un ou de plusieurs 
points sur une droite illimitée, par les distances de ces 
points à un autre point considéré comme V origine com- 
mune des distances, on choisit comme /705{///^r un des deux 
sens dans lesquels la droite peut être parcourue, et cha- 
cune des distances dont il s'agit, étant alTectée d'un signe, 
_l_ ou ' — , selon le sens dans lequel elle doit être portée à 
partir de Torigine, s'appelle Y abscisse du point auquel elle 
appartient, relativement à cette origine. Ainsi t abscisse 
(fun point est une quantité algébrique constituée d^une 
longueur et d'un signe; et si elle est désignée par x, cette 
lettre renferme implicitement deux éléments. 

6. D'après cette déGnition , la formule X=z x" — x' éta- 
blie au n'' 5 s'énonce pour tous les cas possibles en disant 
que V abscisse X d*un point M'', relatii^ement à un autre 
point M', est égale à la différence x^' — x' des abscisses 
des points M." et M', relativ^ement à une même origine 
quelconque. 

De cette formule on lire 

X" = X'{'X', 

c'est-à-dire que V abscisse d^un point M" relativ^ement à 
une origine O égale V abscisse du même point relalii^ement 
à une autre origine M', plus V abscisse de cette seconde 
origine relativ^ement à la première. Cette proposition, évi- 
dente quand les abscisses sont positives, est également vraie 
dans tous les autres cas. 



DANS UA PLAN. 



i'\ Position d-uii point dans un plan donné, exprimée en coordonnées 

parallèles à deux axes concourants. 

7. Voici le moyen le plus fréquemment employé pour 
définir la position d'un point M sur un plan. On considère 
comme données dans ce plan deux droites illimitées P'P, 
Q Q (fis* ^} concourantes , sur chacune desquelles on 
adopte un sens pour être le sens positif. Ces droites s'ap- 
pellent a.re5 de comparaison ou axes coordonnés. Leurs 
parties Ox, Oy, qui s'étendent indéfiniment dans le sens 
positif à partir de l'intersection O , s'appellent les parties 
positis^es des axes. Cela posé, par le point M on imagine 
menées parallèlement aux axes deux droites MP, MQ, qui 
les rencontrent en P et Q 5 dès lors , pour exprimer la po- 
sition du point M , il suffit d'exprimer celle dés points P 
etQ, ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de 
chacune des distances OP, OQ. Ces deux quantités, qu'on 
pourrait appeler les distances coordonnées du point M, 
s'appellent simplement les coordonnées du point M, et 
sont désignées d'une manière générale par des lettres ita- 
liques correspondantes aux lettres romaines* écrites dans la 
figure sur la partie positive de chaque axe. 

Ainsi , pour le point M , situé dans l'angle xOy que forv 
ment les parties positives des axes , on a 

X = H- longueur OP, j^ = -h longueur OQ , 

pour le point M', situé dans l'angle P'Oy de la portion né- 
gativede Taxe Ox et de la portion positive de l'axe Oy, on a 

x=z — longueur OP', j = -+- longueur OQ. 
De même pour M" on a 

X = — longueur OP', j== — longueur OQ', 
et pour M'" 

a: ■=: -f- longueur OP, y^=> — ' longueut^ OQ' . 



6 POSITIQW d'uM POIWT 

Les axes coordonnés Ox, Oy, s^appellent souvent, Tuu 
Taxe des x, l'autre Taxe des y. L'intersection ,0 est Y ori- 
gine des coordonnées. Les coordonnées sont, dites rectan^ 
gulaires ou obli<jueSy selon que T angle des axes est ou n'est 
pas droit. 

# 

8. Etant données les coordonnées x, 7, d'un point M 
par rapport à deux axes connus, on obtiendra ce point p^r 
l'nne des deux constructions suivantes : 

i^. On peut porter sur les axes les longueurs des coor- 
données OP, OQ, chacune dans le sens indiqué par son 
signe \ puis tracer par P et Q , parallèlement aux axes, deux 
droites qui font avec les axes uu parallélogramme et qui se 
rencontrent au point M. 

a®. On peut porter sur l'un des axes celle des deux coor- 
données qui s'y rapporte, par exemple OP égale à x sur * 
l'axe Ox, dans le sens indiqué par le signe de x ; puis par le 
point P ainsi obtenu mener la droue PM, parallèle au 
second axe, égale à T autre coordonnée, et dirigée dans le 
sens Oy ou dans le sens opposé, suivant que cette coor- 
donnée a le signe -h ou le signe — . Dans le cas où le point M 
est supposé obtenu par cette construction, la première des 
coordonnées s'appelle abscisse, et la seconde s'appelle 
ordonnée, 

9. Lorsque les axes sont rectangulaires, les points P et Q 
sont les projections orthogonales ou les projections pro- 
prement dites du point M sur ces axes. Quand ceux-ci font 
un angle quelconque, les points P et Q peuvent être appelés 
les projections coordonnées du point M sur les axes. 

10. Tous les points delà portion de droite OM ont leurs 
projections coordonnées entre O et P sur Taxe des x, entre 
O et Q sur Taxe des y . C'est pourquoi les distances OP, OQ , 
.dont l'étendue et le sens sont exprimés par les grandeurs 



et les signes de x et de y^ sont quelquefois considérées 
coinme les protections coordonnées de la droite OM sur 
les axes. 

U. En résumé, les quantités x et y, q^i servent à dé- 
finii: la position d'un point M dans un plan relativement à 
deux axes, peuvent être considérées sous quatre aspects^ 
elles expriment en grandeur et en direction : 

I**. Les distances de roriginé O aux projections coor- 
données P, Q, du point M; 

2?. Les distances des projections coordonnées Q) P> au 
point M 5 

3^. Les projections coordonnées de la droite OM sur les 
deux axes ; 

4^. Les deux côtés contigus d'un parallélogramme dont 
la droite OM est la diagonale partant du sommet commun. 

12. Lorsque les axes Ox, Oy, "sont rectangulaires, les 
coordonnées x, j^ du point M dans leur plan sont égales 
aux distances de ce point aux deux axes. Il existe entre 
elles et la distance OM , que nous désignerons par u, la re- 
lation 

qui résulte de chacun des triangles rectangles OMP, OMQ. 

3*". Position d'un point dans Vespace, exprimée en coordonnées 
parallèles à trois axes concourants. 

13. La position d'un point M dans l'espacç s'exprime 
par un moyen analc^ue à celui qui vient d'être exposé. On 
considère comme données trois droites illimitées Ox, Oy, 
Oz (fig» 3), qui se coupent eh un même point O et ne sont 
pas situées dans un même plan. Ces droites s'appellent axes 
coordonnés, et les trois plans qui passent par les axes, pris> 
deux à deux, s'appellent plans de comparaison ou plans 



8 POSITION Dllf POtBT 

coordonnés. Par le point M on imag;ine menés parallèle- 
ment aux plans coordonnés trois plans qui rencontrent les 
trois axes en P, Q, R. (La figure s'exécute en remarquant 
que les intersections des six plans forment les arêtes d'un 
parallélipipède.) Or on voit que, pour exprimer la position 
du point M, il suflit d'exprimer celle des points P, Q, R, 
ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de chacune 
des dislances OP, OQ, OR. Ces irois quantités algébriques 
s' appellent les coordonnées du point M pour le système d'axes 
dont il s'agit ^ elles sont désignées en général par des lettres 
italiques correspondantes aux lettres romaines écriies dans 
la figure sur la partie positive de chaque axe-, le plus sou- 
vent ces lettres sont x, > , r, et les axes s'appellent axes des 
X, des y, des z. 

14. Connaissant la longueur et le signe (et par consé" 
quent le sens) des trois cooidonuées x, j', s, d'un point M 
pur rapport n trois axt^ donnés, on peut considérer sous 
deux points de vue la détermination de ce point : 

i^. Les \alcurs de x, y, z^ déterminent les points P, 
Q , R , et les trois plans menés par ces points parallèlement 
aux plans coordonnés ont j)our unique point commun le 
point M. 

^*'. En considérant les douze arêtes du parallélipi- 
pède OM formé par les trois plans coordonnés et par les 
1 trois plans qui leur sont parallèles, on voit qu'en partant 

dû point O pour arriver à M, en suivant ti^oîs arêtes consé- 
cutives de ce parallélipipède, on peut y arriver par six che- 
mins différemment situés, mais de même étendue, tous 
composés de trois chemins rectilignes respectivement paral- 
lèles aux trois axes, et ayant les mêmes sens et les mêmes 
I longueurs que les trois coordonnées. Ces six .chemins 

I sont {/ig. i) bPCM, OPBM, OQCM, OQAlVl,'ORBM, 

I OR A M. On adopte ordinairement le premier, qui se com- 



DAMS l'espace. 9 

pose des coordonnées dans l'ordre x^y^z. Ainsi Ton con- 
sidère le point M comme obtenu en portant x de O en Py 
puis / de P en C , enfin z de C en M. 

La première des coordonnées s'appelle alors V abscisse x, 
la seconde s'appelle V ordonnée y dans le plan des x et y y 
la troisième s'appelle V ordonnée z dans V espace. 

Dans la fig, 4? 1^ coordonnées x^y^z^ du point M, sont 
positives 5 l'abscisse x, du point M', est positive, et ses deux 
autres coordonnées sont négatives. 

15, Le point C, où la parallèle MC à l'axe des z ren- 
contre le plan des x etj^, s'appelle la projection du point M 
sur le plan des x ety parallèlement à Vaxe directeur Oz. 
Ce point C'est déterminé par les deux coordonnées x etj^, 
du poiut M , indépendamment de la grandeur et du signe de 
la troisième z. De même les points A et B {fig* 2) sont les 
projections analogues sur les deux autres plans coordonnés, 
et chacun d'eux est défini par deux coordonnées du point M, 
indépendamment de la troisième. 

Si l'axe Oz est perpendiculaire sur lé plan xOy, le 
point C est la projection orthogonale de M sur ce plan^ et 
la ligne projetante MC est perpendiculaire à ce même plan. 
Dans tout autre cas, la projection C est dite obliqué^ et 
dépend de la direction de Taxe Oz. 

16. Le point P, dont la position est déterminée par l'ab- 
scisse X, et où le plan mené par M parallèlement au plan 
yOz rencontre l'axe Ox, s'appelle la projection du 
point M sur Vaxe des x parallèlement, au plan directeur 
yOz. Les points Q et R, déterminés respectivement par les 
coordonnées y et z^ sont les projections analogues sur les 
deux autres axes. 

Si le plan yOz est perpendiculaire sur l'axe Ox, le 
point P est la ♦projection orthogonale de M sur cet axe, et 



1 PRQJECT105 

là ligne projetante MP est perpendiculaire à, ce même axe* 
Si cette condition n^est pas remplie, la projection P est dite 
oblique et dépend de la direction du plan yOz. 

17. Les droites OC, OB, OA , sont \e% projections coor* 
données de la droite OM sur les plans cootdonnés. Cha- 
cune d'elles est déterminée complètement par deux coor-^ 
données du point M.- 

Les distances OP, OQ, OR, exprimées par a:, j', z, sont 
les projections coordonnées de la droite OM sur les axes 
coordonnés. 

18. Les coordonnées x^j^ Zy du point M, peuvent donc 
être considérées sous^ quatre aspects : 

i°é Comme les distances de Forigine O aux projections 
coordonnées P, Q, R, du point M sur les axes; 

2.^. Comme les distances des projections coordoiinées A, 
R, C, sur les plans au point M 5 

3^. Comme les projections coordonnées de la droite OM 
sur les trois axes ; 

4^. Comme les trois côtés contigus d'un parallélipipède 
dont la droite OM est la diagonale partant du même 
sommet. 

19. Lorsque les axes coordonnés Ox, Oy, Oz, sont rec- 
tangulaires, les coordonnées a:, j^ z^ d'un point M, sont 
égaler aux distances de ce point aux trois plans coor- 
donnés 

Dans ce cas, en faisant OM = 21, on a 



n'=z''^ OC, OC ==x'.H-j% 
d'où 



/i«=:a:*-f->'-^ ^' 



d'uïï coiitour polygonal. 1 I 

4°. Projections d'une droite limitée et d'un contour polygonal 

sur des axes coordonnés. 

20. Si deux points M' et IVF sont projetés en V et P^ 
sur Taxe Ox, la distance P'P*', prise avec le signe qui con- 
vient au sens allant de P' à P', s'appelle la projection de la 
droite M' M'''. L'ordre dans lequel on énonce les points ex- 
trêmes M-, M'', et leurs projections P, P", détermine le 
sens de la projection P'P'', d'où résulte le signe que celle-ci 
doit prendre dans les formules où elle entre. Ainsi, dans le 
cas de laifig. 4; la projection de M' M" est -h longueur W^\ 
tandis que la projection de M"M' est — cette même lon^ 
gueur, 

21. Il résulte de cett« définition, et de là discussion du 
n° 3, que la projection d'une rf/'o/fe M'IVF, dont l^s ex- 
trémités M', M", ont x' et y pour abscisses sur taxe do 
projection^ est égale à x^^ — x! , 

22. D'après cette même définition, on reconnaît aisé- 
ment l'exactitude de la propoisition générale que voici : 

Théorème. Quels que soient l'axe Ox de projection et 
le plan coordonné yOz, la somme algébrique des projec- 
tions des côtés d'un chemin polygonal M M'' M"'... Mf"^ 
qui conduit du point M' au point MS^\ est égale à la pro- 
jection du chemin direct MMVÎ^"^ (fiS' ^)' 

En eflfet, cela est évident si les projections partielles P'P'', 
P'P", . . ., sont de même sens et par conséquent de même 
signe; et si elles sont de sens opposés, chaque projection 
positive fait avancer le point P de toute sa valeur dans le 
sens positif, tandis que chaque projection négative le fait 
reculer de toute sa valeur dans Tautre sens. 

On peut démontrer cette proposition algébriquement en 
s' appuyant sur celle du n^ 20, , 

x', jt/', x'", . . . , xS'*\ étant les abscisses des points M', 



12 1>1STANCË DE l>El \ VOiMi». 

M", M'",. . . , M "^, sur Taxe do projection, ou aura en gé- 
néral, eu égard aux signes : 

Projection de M' M'' = a/' — x! 
Projection de M^M'" = x"' — od' , 



Projection de M^""*^ M^"^ = jcf"^ — x "-*\ 
cl en ajoutant, réductions faites, 

Somme des projections de M' M" M'". . . IVl^"' = .r^"^ — a'. 

23. Deux points M' et M" étant situés d'une manière 
quelconque relativement à trois axes coordonnés, si par 
chacun de ces points on mène trois plans parallèles aux 
plans coordonnés, on formera un parallélipîpède dont la 
droite M' M" sera une diagonale, et dont les trois arêtes 
contiguës partant du sommet M' seront égales et parallèles, 
avec le même sens, aux trois projections j/' — x ^ y'^ — y'f 
z" — z\ de la droite M'M'^ sur les axes coordonnés. 

Si l'on porte sur les trois axes, à partir de l'origine 0, 
des distances égales à ces projections, chacune dans le sens 
qui convient à son signe, et qu'on achève le parallélipipède 
dont ces distances seront trois arêtes contiguës, ce second 
parallélipipède sera égal au premier; sa diagonale, partant 
de Torigine O, sera parallèle à la droite M' M", de même 
sens et de même grandeur. 

Dans le cas particulier où l'une des projections est nulle, 
les points M'IVF sont dans un plan parallèle à l'un des plans 
coordonnés, et les parallélipipèdes se réduisent à des pa- 
rallélogrammes. Si deux des projections étaient nulles, les 
deux points seraient sur une droite parallèle à l'un des axes, 
et la distance M' M'' serait égale à sa projection sur cet 
axe. 

24. Lorsque les trois axes sont rectangulaires, si \'ot^ 



diuectiow d'une dkoite dahs. vn plan. i3 

appelle u la distance M' M", on a, en rapprochant la re- 
marque du numéro précédent de celle du n® 19, 

Si les deux points sont dans le plan des x eij^ ou dans un 
plan parallèle, la formule se réduit à 

u^ — {^x"' — je/)* + (y —y)'. 

§ II. EXPRESSION DE LA DIRECTION d'uNE DROITE PARTANT d'uN 
POINT DÉTERMINÉ. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES. 

1°. Un point, une longueur et une direction, déterminent une droite 

limitée. 

25. Une droite M'M", joignant deux points déterminés, 
peut être définie autrement que par la position de ses deux 
extrémités M', M\ 

Elle peut l'être par une réunion de données propres à 
faire connaître trois choses distinctes appartenant à cette 
droite, savoir : 

1*^. Lai position d'un des, points extrêmes, M' par exem- 
ple ; 

a". Lai longueur M! M' '^ 

3^. La direction que suivrait un point mobile pour dé-r 
crire la droite M'M'', en partant de M'. 

On a vu (7) et (13) que la position du point M' e^t défi- 
nie d'une manière très-simple par les ^valeurs algébriques 
de ses coordonnées relatives à trois axes. 

La longueur WW est une quantité concrète sans si^ne 
algébrique, et s'exprime à l'aide du nombre qui donne soh 
rapport à une longueur connue. 

La direction allant de M' vers IVF sera complètement dé- 
finie par des quantités qui définiront la direction de toute 
autre droite parallèle à MM!^^ et de même sens, Suppo- 



1 4 DIRECTION- 

sons, pour plus de simplicité^ que celte droite auxiliaire, 
d'une longueur quelconque, parte de l'origine des coor* 
données-, désignons-la par Ou, et examinons quelles sont 
les quantités propres à définir sa direction. 

!2°. Direction d'une droite dans un plan donné, définie par un angle 

et un signe. 

26. Le cas le plus simple est celui où la droite Ou est 
dans un des plans coordonnés, par exemple celui des :k: et ^. 
Alors, pour déterminer la direction Ou, il suffit d'un aii^le 
et d'un signe, -h ou — -. 

L'angle est celui que décrirait une droite mobile qui, 
d'abord dirigée suivant un axe connu, par exemple Ox, 
dans le sens positif, viendrait prendre la position de Ou. 
Le signe est nécessaire pour désigner le sens du mouvement 
de rotation de la droite mobije. 

I 

27. Le moyen le plus usité de désigner un angle est son 
expression en degrés. Nous emploierons l'ancienne division 
de l'angle droit en 90 degrés, du degré en 60 minutes, de 
la minute en 60 secondes. On sait que, dans la pratique, 
pour mesurer un angle, on place à son sommet le centre 
d'un cercle dont la circonférence est divisée en 36o parties 
appelées aussi degrés ; il en résulte que le nombre entier ou 
fractionnaire de degrés de l'arc compris entre les côtés de 
l'angle est égal au nombre de degrés de cet angle ; c'est 
pourquoi l'on dit que l'arc sert de mesure à l'angle. Il est 
quelquefois utile de considérer des angles non-seulement 
plus grands que 180*^, ou deux droits, mais même plus 
grands que 36o°, ou quatre droits. Rîen n'empêche de 
concevoir que le côté mobile, après être parti de la posi- 
tion Ox, ne s'est arrêté à la position Ou qu'après avoir 
fait plus d'une révolution. 

28. Un autre moven dont on fait usage dans la haute 



^ 



d'une droite dans un plan. i5 

Géométne et dans la Mécanique pour désigner un angle 
consiste à exprimer le rapport de Tare qui lui sert de me* 
sure au r^yoo avec lequel cet arc est décrit- Dans ce cas 
Tangle droit) a^i lieu d'être représenté par 90°, est ex* 
primé par | t: ou approximativement par 1,5708. Si un 
angle est représenté de cette manière par le nombre abstrait 

û, on en conclura que son nombre de degrés est • 

29. La grandeur de l'angle que le côté mobile Ou est 
censé avoir décrit à partir de la position O x connue ne suffit 
pas pour déterminer la direction Ou; il faut encore, comme 
nous l'avons dit, exprimer le sens du mouvement de la 
droite mobile. Or, par imitation de ce qui se fait pour dé- 
finir la position d'un point sur une ligne connue (5), on 
choisit arbitrairement comme positif l'un des deux sens 
possibles du mouvement de rotation , et Ton affecte du 
signe -\- ou du signe — l'angle dont il s'agit, suivant le sens 
dans lequel on le suppose décrit. 

30. Il résulte de cette convention que la direction d'une 
droite Ou, définie par l'angle positif ou négatif qu'elle fait 
avec une droite donnée Ox, est susceptible d'une infinité 
A' expressions équivalentes. 

Si elle est exprimée par a°, elle le sera également par 
(a -h36o)°, pat* (a-f- 720)°, en général p^r (a-f- «.36o)°, 
en représentant par n un nombre entier positif. 

Lam^medirection sera encore exprimée par — (36o — a)*^, 
par — (720 — a)°, en général par — (n.36o — <x)° ou 
(a--/i.36o)°. 

3t. Au moyen de cette même convention du n^ 29, on 
renfermera dans une seule formule la réponse ^ pour tous 
les cas possibles , à la question suivante, analogue à celle 
du n« 3 : . 



y 



l6 LIGNES 

Connaissant les directions de deux droites Ou', Ou'', 
par leurs angles positifs ou négatifs a', a", as^ec une droite 
O'Kj on demande la situation de Ou" par rapport à Ou', 
c*est"(i-dire là grandeur et le signe de V angle u'Ou", dési- 
gné par ^, 

Les six cas possibles sont résolus par la formule 

(3 = a" — a'. 

Lorsque Tapplication de cette formule donne un résultat 
négatif, on peut le remplacer par un angle posilijf équiva- 
lent, en ajoutant 36o° ou un multiple de 36o°. Exemple : 

a" = 8o^ a' = i25^ |3 = — 45*^ ou 4-3i5«. 

L'une ou l'autre de ces expressions de j3 suffit pour déter- 
miner la direction de Ou" dans le plan xOu'. 

3°. Expression, d'un angle positif ou ilégatif par ses lignes ou rapports 

trigonométriques. 

32. La théorie des projections ou des coordonnées four- 
nit d'autres moyens d'exprimer la direction d'une droite 
dans un plan. 

Soient [fig^ 6 ) 
Ox et Oy deux axes dont le second fait avec le premier un 

angle droit positif ; 
Ou (*) une droite partant de l'origine O, et faisant avec Ox 

un angle quelconque a positif ou négatif; 
AM (*) l'arc svipposé décrit par un point quelconque d'une 

droite mobile qui^ partant de la position Ox, parcourrait 

Fespacé angulaire a pour prendre la position Ou; 



{*) Dans la figure, on voit., au Heu des lettres u.et M^ les lettrés u', u", 
u'", u'^, M', M", W, M'^. C'est pour faire comprendre que la droite Ou , à 
laquelle le texte s'applique d'une manière générale, peut avoir une direction 
quelconque à partir du point dans le plan de la figure. 



TRIGONOMÉTKIQUES. Ij 

r lé rayon OA ou OM de cet arc ; 

xei y les coordonnées rectangulaires positives ou négatives 
du point M, tandis que r est une distance essentiellement 
positive, parce qu'elle est portée sut la partie positive de 
la droite génératrice de Tangle. 

Il est aisé devoir que la direction de la droite Où sera 
déterminée , si l'on connaît les signes des coordonnées Xy 
7, et Fun quelconque des rapports que les valeurs absolues 
des trois Ijuanti tés x^yel r, ont entre elles, sans qu'il soit 
nécessaire d'avoir ces valeurs absolues. 

De là on ai été conduit à considérer les rapports algébri^ 
gués, c'est-à-dire positifs ou négatifs, que les quantités .r, 
j, r, ont entre elles. ' 

Ces rapports sont au nombre de six, et ont reçu des noms 
particuliers. 

i'^. Siwus., Le rapport algébrique - de l' ordonnée j 

au rayon r, rapport qui a le même signe que l'ordonnée y^ 
s^ appelle le sinus de l'angle a, en désignant, nous le répé- 
tons, par a l'un quelconque des angles, positifs ou néga- 
tifs, plus petits ou plus grand» que quatre droits, que fait 
avec l'axe Ox la droite joignant l'origine O avec le point M, 
dont les coordonnées rectangulaires, positives oti négatives, 
sont j çt X. 

Le motsinus^ ou plutôt son abrégé J2>i, est (çffmé des ini«> 
tiales du latin semi-inscripta , demi-inscrite où demi-corde, 
parce que l'ordonnée dey est effectivement la moitié d'une 
corde dans le cercle dont r est le rayon; et si l'on suppose, 
comme on le dit communément, que la longueur r est prise 
égale à une unité linéaire, l'ordonnée y a précisément , eu 
égard à son signe, la même expression que le sinus de l'an- 
gle a. 

2®. Cosinus. Le rapport algébrique - de T abscisse x au 



i 8 LIGNES 

9Ytfon r, rapport de même sîs^ne qae Tabscisse Xy s" appelle 
cosinus de l'angle a. 

Le mot cosinus y que quelques auteurs ëcrÎTent co-muus, 
est formé de complément et de sinus, parce qu^ on peut con- 
sidérer le cosinus d^un angle comme étant le sinus du com- 
plément de cet angle. Nous reTÎendrons (o3) sur la généra- 
lité de cette relation. 



3**, Takgehtb. Le rapport algébrique^- de T or donnée y 



r 

X 

à r abscisse x, rapport positif ou négatif, selon que les 
deux coordonnées ont le même signe on des signes contrai- 
res , s appelle tangente de V angle a. 

Pour expliquer Forigine de cette dénomination, menons 
par Torigine A de Tare AM une tangente qui rencontre la 
droite On ou son prolongement an point N, et appelons t la 
portion AN de cette tangente prise avec le signe + ou le 
signe — , suivant qu^elle a le même sens que Oy ou le sens 

contraire. Le rapport - est dans tous les cas égal à - et 

devient ^al à £ si l'on fait r = i. C'est pour cela que le 

rapport — se nomme la tangente de l'angle or. 

4^. CoTAUGEifTE. On appelle cotangenie de V angle a 
le rapport - inverse de la tangente et de même signe. Ce 

mot signifie tangente du complément, 

5°. Sécamte. On appelle sécante de V angle a le rap- 

r . 
port - ini^erse du cosinus et par conséquent de même signe. 

Pour reconnaître d'où vient ce nom, prolongeons le 
rayon OM de part et d'autre pour en former une sécante 
indéfinie qui rencontre en N la tangente AN, et appelons s 
la portion ON de celte sécante , en convenant de lui donner 
le signe -I- quand ON a le même sens que OM, et le signe — 



TUlGOHOlféTAIQUES. I9 

dans le cas contraire. Le rapport - a dans tous les cas la 
grandeur et le signe de - et devient égal à 5 si Ion fait 



X 



6^* CosécÀilTE. On appelle cosécantc de V angle ol le 



r 



rapport -9 inuerse du sinus ^ et par conséquent de mênie 

signe. 
Le mot cosécantc signifie sécante du complément. 
Oh voit pourquoi les six rapports auxquels donnent lieu 
les trois quantités x, y et r relatives à un point quelconque 
pris sur le côté générateur de Tangle a, ont été appelés les 
lignes trigonométriques de cet angle , dénomination consa- 
crée par lusage, mais qui peut paraître impropre aujour- 
d'hui que l'on s'accorde à désigner sous ce nom des rapports 
ou nombres abstraits affectés d'un signe, + ou — . 

33. Notations, On écrit en abrégé 

ik/* fjf «y» 

sin«=^9 cosa = -i-î tanffa = -; 

r r ^ X 

r r X 

coséca = -9 séca = — » cola = -« 

jr X X 

L'angle or étant formé par la droite Ou avec Taxe Ox, il 
nous arrivera souvent de le désigner par la notation (u, x), * 
qu'on énonce en disant angle de u av^ee x ; et les six for- 
mules précédentes s'écriront ainsi : 

M /p y 

sin(u, x) = ^, cos(u, x) = -, tang (u, x) =-^; 

coséc (u, x)= -5 séc(u, x) = -? cot(u, x)=-« 

X X X 

Ces formules résument de la manière la plus- précise le& 
définitions rigoureuses et générales de ce. qu'il faut entendre 

2 . 



LIGNES 
20 



par sinus, cosinus, de, d'un angle, C'est sur elles que nous 
nous appuierons dans les démonstrations et applications. 
Les étymologies géométriques doivent seulement aider à ce- 
trouver les noms des rapports trigonométrîques et a se rap- 
peler leur signification. 

34. Les ingénieurs désignent quelquefois des angles par 
leurs sinus ou leurs tangentes, qui en donnent une idée 
plus nette que l'expression en degrés. 

Le fruit d'un mur, la base d'un talus par unité de hau- 
teur sont les tangentes d'angles avec la verticale-, la pente 
H'iine rouie, exprimée en hauteur par mètre de longueur, 
est le sinus ou la tangente de l'angle à l'horizon , selon que 
la longueur est mesurée parallèlement à la route ou parallè- 
lement à rhorizon : distinction d'ailleurs indifférente dans 
les cas ordinaires, parce que le sinus et la tangente sont 
sensiblement égaux pour les petits angles. 

35. Il résulte des définitions du n° 32 plusieurs consé- 
quences remarquables : 

i». Tout sinus ou cosinus est compris entre les valeurs 
extrêmes dz i : car les coordonnées y et x, positives ou né- 
gatives, sont en général numériquement plus petites que r^ 
tout au plus Tune de ces coordonnées est égale à /*, mais 
alors l'autre est nulle. 

a®, A mesure que a croît de zéro jusqu'à 90°, le sinus 
prend toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à i, le cosinus 
toutes celles depuis i jusqu'à zéro*, la tangente croit de 
zéro à l'infini. 

3°. Depuis l'angle de 90° jusqu'à celui de 180*^, le sinus 
reste positif comme y^ mais décroit de i à zéro ; le cosinus 
est négatif comme x, et passe de zéro à — i -, la tangente est 
négative, et varie de — 00 à o. 

4°. Depuis 180° jusqu'à 270°, le sinus varie de zéro à 
— r 1 5 le cosinus de — i à zéro •, la tangente de zéro à -f- oo . 



TR1GOJMOMÉTRIQIIE3. 21 

5**. Depuis a^o^ jusqu'à 36q*^, le sinus varie de — ^i à 
zéro^ le cbsini;is de zéro à. -|- 1^ la tangente de — oo à zéro., 
•6^, A mesure qu'un angle variable approche de 90^, sa 
tangente approche de l'infini positif eu de l'infini négatifs 
selon que F angle croît ou décroît. C'est en ce sens qu'on dit 
langpo^ = ± 00 .On a de mente tang 270*^ = db ço . 

7*^. .Les trois lignes tr^onomé triques coséc, sec y cot^ 
sont les inverses des trois premières, et ont les mêmes 
signes. 

' 8°. En général, si Ton ne considère que les valeurs nu- 
mériques des ligues trigonométriques d'un angle quelcon- 
que uOx, elles sont égales à celles de' l'angle aigu formé 
par Ou, soit avec Ox , soit avec son prolongement négatif, 
cet angle aigu étant considéré comme positif. En effet , 
pour ces deux angles, les longueurs des coordonnées x ely 
sont les mèmes^ leurs signes seuls varient, et r est co»- 
stant. 

36. Il existe des tables (*) au moyen desquelles, étant 
donné un angle quelconque au-dessous de 90^, on trouve 
ses lignes trigonométriques 5 et réciproquement, connais- 
sant l'une de ces lignes, on trouve l'expression de l'angle 
aigu correspondant en degrés, minutes, etc. 

Lorsqu'il s'agit d'un angle quelconque, positif ou néga- 
tif, d'un nombre de degrés connu, et pouvant excéder 90° 
en valeur absolue, il est facile, d'après ce qui précède, de 
déterminer les signes de ses lignes trigonométriques^ ou 
trouve ensuite leurs valeurs numériques dans les tables en 
considérant l'angle aigu correspondant. 

37. Mais si, récîproquenient, on se donne le signe et la 
valeur numérique d'une seule des lignes trigonométriques 

, , .11 .. . ■ ...... I , f I II' 

( *) On verra , n°* 60 et 61, comment on \k pu les calculer. 



212 LI<}»ES 

d'un angle uOx, cette doùnëe, d'où Ton déduit, à l'aide 
des tables, Taugle aigu.de Ou, soit avec Ox, soit atec son 
prolongement négatif, ne suffit pfts pour faire connaître 
complètement la direction de la droite Ou dans le plan 
xOy. En effet, 

i^. Soit donné sina. Si Ton prend arbitrairement le 
rayon r ou OM (fig^^ 6), on aura 

j^ = rsina. 

On connaîtra donc l'ordonnée du point M, intersection de 
la droite cb;erchée, et du cercle dont le rayon est r. Or deux 
points M', M'^, ou M'", M''' (selon que sîha est positif ou 
négatif), jouissent de celte propriété. On voit que les deux 
angles AOM', AOM'', positifs et plus petits que deux 
droits, qui ont le même sinus positif, valent ensemble deux 
angles droits; ils sont suppléments l'un de l'autre. En gé- 
néral, le, même sinus appartient à deux droites symétri- 
quement placées par rapport à l'axe O y. 
2**. Soit donné cosâ. On aura 

X = r cosa , 

et l'on connaîtra ainsi l'abscisse du point M. Or deux points 
M', M*^, ou M'', M" (selon que cosa est positif ou négatif), 
jouissent de cette propriété, et le même cosinus appartient 
à deux droites symétriquement placées par rapport à 
Taxe Ox. 

3*^. Soît donné tanga. On aura 

•--=tanga, 

X 

et il sera aisé de trouver sur la demi-*circonférence positive 
un point qui satisfasse à cette condition : ce sera par exem- 
ple M' ou M", selon que tanga sera positive ou n^ative. 
'Mais, l'un ou l'autre étant trouvé, le point diamétralement 



TRIGONOMÉTRIQUES. 23 

oppose ayant des coordonnées de même graudeiir et de si- 
gnes contraires satisfera également. Ainsi, selon que tang a 
sera positive ou n^ative, les droites OM', OIVF', ou les 
droites OM'''^, OM*^, satisferont à cette donnée. En général 
la même tangente appartient à deux droites dirigées en sens 
contraires. 

38. Il résulte de ces considérations, et des définitions du 
n® 32, que, si deux droites différentes font avec Ox des 
angles ayant le même sinus, leurs cosinus sont numérique- 
ment ^aux et de signes contraires, et il en est de même des 
tangentes. En général, à une même valeur de Tune des li- 
gnes trigonométriques sinus, cosinus, tangente, répondent, 
pour chacune des deux autres , deux valeurs numérique- 
ment égales et de signes contraires. 

39. Cette propriété peut être démontrée algébriquement 
d'après les équations générales 

"V X Y 

sin« = -> cosa=;=-î tanga ==:•-? j* H- a:'^=: r*, 

qui donnent 

sm' a -f- cos' a == i , tansa == 

° COSa 

Si sina est connu, on obtient 



cos 



a = dzVi — sin* a, taug a = 



sma 



±^i — sin^pp 



les deux signes supérieurs ou les deux inférieurs devant 
être pris simultanément.. 

Si cos a est connu, on a de même 

. y =— dbj^i — COS'a 

sin a = zt VI — cos a, tança = — • 

^ cos a 

Enfin, ai tang a est connue, on a, en éliminant d'abord 



24 DIRECTIOIV 

cos' a (tang* a -H i) = i , 
.d'où 

tangâc 



cosa=: • — * sina^ 



±: ^1 -4- lang'a ±: v'i 4- lang' <ît 

Ces formules ont lieu quel que soit Tangle a, positif ou 
négatif. On les retrouve rapidement au moyen des deux 
triangles semblables OM'P, ON' A de la fig. 6, en fai- 
sant 

OA= OM'==i:i, M'P=sina, OP = cosa, AN' = Ung«, 



ON' = séca = \/i-i-tang'a. 

Une des quatre dernières lignes suffit pour déterminer cha* 
cune des trois autres *, et quand Fexpression pbtenue com- 
porte un radical, on lui donne pour la généraliser le double 
signe zi:. 



40. On conclut aisément de ce qui précède qu'en géné- 
ral^ étant donnés le signe et la grandeur d'une des trois li- 
gnes trigonométriques principales d'un angle ùOx, et le 
signe seulement de Tune des deux autres, la direction Ou, 
dans le plan xOy, est complètement déterminée. 

4°. Direction d'une droite hors des plans coordonnés. 

41. Considérons maintenant le cas où la droite Ou, 
dont il s'agit de définir la direction , n'est dans aucun de& 
plans coordonnés, et supposons, pour plus de simplicité", 
que ces plans soient perpendiculaires les uns aux autres 

Prenons encore sur la partie positive de la droite Ou, 
un point M, à une distance r de Torigine O, et appelons 
x^y^ z^ les coordonnées de ce point ^ il est évident que la 
direction Ou sera connuie si l'on connaît les rapports 



d'une droite dans JLESPACE. 25 

- 9 - > - (rapports algébriques, c'est-à-dire positifs ou né- 

galifs, chacun étant de même signe que son antécédent) : 
car^ en prenant r à volonté, on en conclura les valeurs des 
trois coordonnées, c'est-à-dire leurs longueurs et leurs sens> 
ce qui déterminera la situation du point M (13). 

La droite MP qui joint l'extrémité de r à rextrémîtéde 
l'abscisse jî, est perpendiculaire à Ox. II s'ensuit que x se- 
rait également l'abscisse rectangulaire du point M dans le 
pJan xOu. 

On a donc {32) 

^=cos(u,x)5. 
et de même 

•^=cos(u, y), -=cos(u, z). 

Ainsi la direction de la droite Ou est déterminée par 
les cosinus des trois angles <ifu* elle Jait avec les trois axes 
coordonnés. 

42. Ces trois cosinus ne peuvent pas être pris arbitraire- 
ment. En effet, on a entre les coordonnées rectangulaires 
x, y^ z^ du point M, la relation (19) 

ou 

X^ Y" Z^ ^ 

qui, lorsqu'on y substitue les valeurs du numéro précédent, 
devient 

cos* (m, x) -h cos* (il, y) -I- cos' (ll, ^) =;: I . ' 

Celte équation exprime un théorème qu'il importe de 
retenir. > 



26 EXPRESSION 

Il en résulte, celte conséquence que, lorsque To-n se 
donne les cosinus des angles qu'une droite Ou fait avec 
' deux des axes coordonnés rectangulaires, il ne reste d'indé- 
terminé que le signe du cosinus de son angle avec le troi- 
sième axe. 

43. Uemarqtie. Donner le cosinus de Fangle qu'une* 
droite fait. avec un axe, c'est faire connaître une nappe de 
surfaœ conique de révolution sur laquelle se trouve, cette 
droite. Si Ton donne deux cosinus relatifs à deux axes dif- 
férents, la droite est l'une des deux génératiôce^ d'irilcr- 
section de deux nappes coniques déterminées; il suffît, 
pour compléter la détermination de la droite, de savoir si 
l'angle qu'elle fait avec le troisième axe est aigu ou obtus, 
et c'est ce qu'apprend le signe de son cositius. 

§ III. EXPRESSION TRIGONOMÉTAIQUE DE LA PROJECTION ORTHOGO- 
NALE d'une DROITE OU d'UN CONTOUR POLYGONAL SUR UN AXE, 

44. Soient deux axes coordonnés rectangulaires Ox, Oy 
(fig^ 8) et soient, dans le même plan, deux points M', M'', 
dont, les coordonnées sont x', y' ^ x'\ y" , Les projections 
x'' — jc', y^' — y\ de la droite M' M''-, peuvent être expri- 
mées en fonctions de la longueur M' M'', et de l'angle que 
cette droite, prise dans le sens M'IVF, fait avec Ox. 

En effet, si l'on mène M'X et M'Y, parallèles à Ox et à 
Oy, et de même sens, les coordonnées Jf, T, du point M, 
par rapport à ces nouveaux axes rectangulaires, seront des 
mêmes grandeurs et des mêmes signes que les projections 
x" — 3o'^y" — j', et l'angle de M'M'' avec M'X sera de 
même grandeur et de même , signe qu'avec Ox. Or, par ks 
définitions du n^ 32, on a,*en faisant M'M'' = «, 

X= w. cos.(u, X), 1^= Msin ,(u, X). 

Donc, si l'on représente par (u, x) l'angle que la droite 



TRIGQJiOMÉTRlQtJE DES PROJECTIONS. 27 

M'M" fait avec l'axe des x, on a pour les projections or- 
thogonales de M 'M'' 

oé' — x'=^MCos(u, x), y" — j^ = « sin (u, x). 

On remarquera que, dans ces formules, les lettres x!\ od ^ 
y^, y', des premiers membres, représentent des longueurs 
affectées de signes : la lettre u, hors de la parenthèse, est 
une longueur seulement ; les lettres u et x, dans la paren- 
thèse, désignent la droite M' M'' et Taxe de projection, con- 
sidérés quant à leurs directions. 

45. La formule 

x" — j/= u cos (u, x) 

est également vraie pour la projection orthogonale d'une 
droite sur un axe Ox qui ne serait pas dans un même plan 
avec la droite, pourvu que par \ angle des deux droites 
quelconques dans Vespièce cm. entende V angle quon ob^ 
tient en faisant partir d'un point quelconque deux côtés 
parallèles à ces droites y et de même sens quelles. 

En effet, la projection orthogonale FF' (^^. 9) de la 
droite M'IVF sur Taxe Ox s obtient en menant par M' et M'' 
deux plans M' CF, M''C'F, perpendiculaires à Ox, et le 
rencontrant en F et F'. Si, par M', on mène M'X parallèle 
à Ox, et de même sens, la projection M'N ou JT, de M'M^, 
sur ce nouvel axe, sera de même longueur et de mêmfi si- 
gne que FP''^, puisque ce sont deux parallèles de même sens 
comprises entre deux plans parallèles. Or, la ligne proje- 
tante M'^N étant peipendiculaire à IVf N, on a, comme au 
numéro précédent, 

M'NouX=«cos (u, X), 

donc 

x!' — j/=^u cos (u, x); 

c'est-à-*dire ojixe la projection orthogonale d'une droite sur 



28 EX1>IIBSS10^ 

un axe queleoncfue est égale (même grandeur et même si- 
gne) au produit de la longueur de cette droite par le co- 
sinus de l'angle qu! elle fait aPec F axe. 

46. De cette proposition, et de celle du nP 22, on tire la 
conséquence suivante, dont nous ferons un fréquent usage' : 

Théorème. 5/ £//z èhemin polygonal M'M'^M'''^... M con- 
duit du point M' au point M, la somme algébrique des 
produits des chemins rectilignes partiels M!M\ IVFIVI'",..., 
multipliés chacun par le tosinus dé F angle qu^ il forme 
a\^c un axe quelconque, est égale à la projection ortho" 
gonale du chemin direct M' M sur le même axe, 

La formule qui renferme ce théorème est 

X — x' = u! cos (u', x) -H II!' cos (u'', x) -h ul" cos (u''', x). .. 

et s'exprime en abrégé par 

X — 0:' = Siicos (u, x), 

en remplaçant par la notation S le mot somme appliqué à 
une suite de termes semblables, et en désignant par u la lon- 
gueur de chacun des côtés du contour , dont Tangle (u, x) 
avec Taxe doit être pris en ayant égard au sens dans lequel 
ce côté est décrit. 

47. La formule du n^ 45, étant appliquée aux projec- 
tions d'une droite u sur trois axes coordonnés rectangu- 
laires, donne 

x" x" = MCOS (u, x), 

y'/_y =^=«cos (U, y), 
z" — z' =iu cos (u, z). 

En y joignant l'équation du n° 24 . 

{cd'—odY -h (y"—yy + [z"^zy=^u\ 

on voit qu'il suffit de connaître les longueurs et les signes 



TRIGONOMÉTRIQtJE DES PROJECTIONS. 29 

des trois projections od* -^ x! ^ j" -^y' , z" — z'^ pour en con- 
clure la longueur u, puis les grandeurs des trois cosinus, 
qui ont d'ailleurs les mêmes signes que les projections. 

48. Problème. Connaissant les coordonnées x, y, z^ 

fTun point M relativement à trois axes coordonnés quel- 

conques Gx^ O y , Oz, trous>er T abscisse orthogonale X du 

même point, comptée à partir de la même origine O, sur 

un axe OlL^Jaisant^ avec les trois axes coordonnés, des 

angles connus. 

L'abscisse x et deux parallèles aux coordonnées y, z, 
forment un chemin polygonal conduisant de l'origine O au 
point M (l^*), et la somme algébrique de leurs projections 
orthogonales sur OX est égale à Jf, projection de OM sur 
le même axe (22). D'après cela, supposant les coordonnées 
07, r, -z, positives, on a (46) 

X=i:cos (x, X)-f-J cos (y, X) -h -s? cos (z, X), 

les parenthèses indiquant les angles du nouvel axe OX, pris 
dans son sens positif, avçc les trois coordonnées, ou, ce qui 
est la même chose, avec les trois axes coordonnés, pris dans 
leur sensposilif . Maintenant, si l'une des coordonnées, x par 
exemple, était négative, il est clair que sa projection devrait 
avoir un signe contraire à celui qu'elle aurait eu dans la 
première hypothèse ; or il suffit, pour cela, dans le produit 
X cos (x, X), de donner à la valeur particulière de x^ pre- 
mier facteur de ce produit, le signe qui lui appartient 
d'après son sens, et d'entendre toujours par la notation 
(x, X) l'angle des axes Ox, OX, donné d'après l'énoncé de 
la question. 

49. Problème. Connaissant les angles que deux droites 
quelconques ou leurs parallèles de même sens OX, OY, 
font avec trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, trouver le 
cosinus de l'angle (X, Y) des deux droites entre elles, v 



3o FORMyi.ES 

Sur la partie positive de la droite OY prenoDs une lon- 
gaeur OM désignée par IT] sa projection orthogonale, ou 
Tabscisse du point M sur la droite OX, sera 

X= Fcos (X, Y), 

et les coordonnées x^y^ z^ du même point M^ seront 

a: = jrcos(Y, x), j^= JPcos (Y, y), ^ = Ycos (Y, z). 

La substitution de ces expressions dans Péquation du 
numéro précédent donne, le facteur Y étant supprimé, 

cos (X, Y) == cos.(X, x) cos (Y, x) + cos (X, y) cos (Y, y) 

cos(X, z) cos(Y, z). 



50. Dans le cas où Tangle (X^ Y) est droit, on a 

cos (X, Y) = o, 
donc 

cos (X, x) cos (Y, x) -h cos (X, y) cos (Y, y) 
cos (X, z) cos (Y, z) = o. 



§ IV. PORHULES DE TRIGONOMÉTRIE PLANE. 

51. Théorème. Deux angles a^ — a^de même grandeur 
et de signes contraires^ ont le même cosinus^ et des sinus de 
jnême grandeur, mais de signes contraires. 

En effet, si x et y sont les coordonnées de Textrémité M 
de Tare de rayon r qui mesure Tangle «, et si x' et y' sont 
les coordonnées de l'extrémité M' de l'arc de même rayon 
qui mesure l'angle — a, il est aisé de voir que, les deux 
points M, M' étant symétriquement placés par rapport à 
l'axe des X, on a 

x=zoc! et y :=: — y'^ . . 



DE TRIGOUQMÉrrKIE PLANE. 3l. 

ve qui, d'après les formules 

x= rcosa^ y=.rsina^ 

a/=rcos( — a), . j^=:/'sih( — a), 

conduit évidemment à la douUe proposition énoncée, sa- 
voir : 

sin ( — «) = — sina, cos (- — a)==:cos«. 

52. Corollaire. Des équations j: = x' et j^=—^j^', on 
tire, d'après les définitions du n^ 32, 

tang( — a) = — tanga, coi( — «) = — cota, 
séc ( — a) =: séc a, coséc ( — a) = — coséca. 

53. Théorème. Si la somme algébrique de deux angles 
vaut un angle droit positif y ou, en d^autres termes, si deux 
angles sont algébriquement compléments l'un de Vautre^ 
le sinus de l'un de ces angles est égal au cosinus de 
Fautre, 

C'est ce qu'exprime Tune ou l'autre des équations 

sina =r cos (go® — a) et cosa = sîn(9o® — a), 

a étant uu angle quelconque, positif ou négatif, d'une va- 
leur absolue plus petite ou plus grande que 90®, mais l'un 
des angles a et 90® — a étant nécessairement positif. 

Démonstration, i^. Si les deux angles sont positifs, et 
qu'on ait «-+-«'= 90**, chacun d'eux est plus petit qu'un 
angle droit. Il faut démontrer qu'on a 

sina = cosa', cosa=:sina'. 

Soit a [fig. 6) l'angle M'Ox ; a' est donc égs^l à M'Oy. 
On a, par les définitions du n° 32, 

jrrrrsina, a: = rcosa. 

Mais X peut être considérée comme ordonnée M'Q, et y 



32 FORMULES 

comme abscisse OQ, du point M'; et, puisque la droite O'M 
fait, avec Taxe des abscisses, dans ce cas, Tangle a', on a 

j: = rsina', j^ = rcosa'. 

On tire de ces quatre équations les relations énon* 
cées. 

2^. Si l'un des angles est négatif, et qu'on ait a' — af'=Qo^, 
en désignant par a' et a^' des valeurs absolues, il faut dé- 
montrer qu^on a 

« sîna' = cos( — a'') et cosa' =^ sin ( — a"), 

ou, ce qui revient au même (51 ), 

sin a ' = cos a" et cos a ' = — sin a" 

pour des angles absolus a', û/', dont la différence af — a" est 
de 90°, c'est-à-dire que, si la différence de deux angles 
vaut un angle droite le sinus du plus grand est égal au 
cosinus du plus petite et le cosinus du premier a la même 
valeur numénque que le sinus du second^ mais un signe 
contraire. 

Pour le démontrer, soit (fig- 10) M''Ox = a", le plus 
petit des deux angles, et M'Ox =a', qui excède cl" d'un 
angle droit. Quels que soient d'ailleurs ces deux angles, les 
deux points M'', M', sont aux deux extrémités d'un. arc de 
90°, sur une circonférence ayant l'origine des coordonnées 
pour centre 5 d'où il est facile de conclure, en examinant 
tous les cas possibles, que l'ordonnée d'un quelconque de 
ces points a la même grandeur absolue que l'abscisse de 
l'autre; m^is que l'abscisse du point M^, le plus avancé des 
deux sur la circonférence, est de signe contraire à l'ordon- 
née de l'autre point M", tandis que l'ordonnée de M' a le 
même signe que l'abscisse de IVF. Ainsi 

y' =z x". et x' = — j". 



DE TtllGOnOMÉTRIE FLANE. 33 

Or, en substituant dans ces équations. les valeurs géné- 
rales 

y'=:rsina', a/=rcosa', x'' = rcosa", y^=rsina", 

on arrive aux relations qu'il fallait démontrer : 

sîna' = cosdt" et cOsa' = — sina^. 

54. Corollaire I. Si la somme algébrique de deux an-- . 
gles vaut un angle droit positifs le produit de leurs tan-- 
génies est égal à l'unité^ ou, ce qui revient au même, la 
tangente de Vun est égale à la cotangente de Vautre^ 

En effet, a et a' satisfaisant à Féquation 

a+a' = 90^ 

les relations 

sin.a = cos a', cosa = sina', 

sina , sina' 
tanga = 1 tang<x' = ,t 

conduisent à 

tangât tanga^ ^= 1 9 ou tanga = cota^ 

Corollaire n. Si la différence de deux angles vaut un 
angle droit positifs le produit de leurs tangentes est égal 
à—i. 

En effet, de a — «'=90^ on conclut 

sina = cos«', cosa = — sina', 
d'où, en divisant, 

tanga = — — -^, ou. tangatanga' = — i. 

55. Problème. Trouver les expressions de sin \a àz h) et 
de cos {a^b) enjbnctions de sina, cosa, sini etcosi. 

Soient deux axes rectangulaires Ox et Oy, dont le se- 
cond fait avec le premier un angle drpit positif, et soient 

3 



34 FORMULES 

dans le même plan deux droites O A et OB, qui fout avec 
Ox deux angles quelconques, positifs ou négatifs. Posons 
X 0A= a et xOB=:&, et appliquons la formule générale 
du n^ 49, dont le dernier terme disparait, parce que Taxe 
Oz est perpendiculaire aux droites OA et OB. L'angle de 
OA avec OB étant, dans tous les cas possibles (31), exprimé 
par la différence a— &, nous avons (49) 

cos (a — b) = cosa cosft + cosAOy cosBOy. 

Or il est aisé de voir, en faisant au besoin une figure où 
Ton donne soit à OA, soit à OB des directions qui embras- 
sent tous les cas possibles, qu'on a toujours 

A0y=d=(90*' — a) et BOy=±:(9o°— i), 

et par conséquent (51 et 53) 

cosAOy=:sina et cosBOy = cosi. 

L'équation ci-dessjis devient donc 

cos [à — ft) == cosa cos b -h sina sin b^ 

' et répond à Tune des parties de la question proposée. 

En remplaçant dans cette formule b par — &, on a avec 
la même généralité 

cos (a-4-i) = cosrt cosi — sina sini. 

Pour obtenir sin (a-f^i), il suffit de remarquer (53) que 
celte quantité est la même que cos (90° — a — 5), et d'appli- 
quer la formule de cos (a — b) en remplaçant a par 
90^—- a, et conséquemment cosa par sina, et vice versa. 
On obtient ainsi la formule générale 

sin (a -f- 6 )= sin a cos i -f- cosa sin i, 
et, en y remplaçant b par — 5, 

sin (a — i) = 3Înacosi — cosa sin &. 



DE TRIGONOMÉTRIE PLANE. 35 

Les quatre formules qui précèdent, et dont une quelcon- 
que permet de conclure les trois autres, se résument ainsi : 

sîn (a±b) = sîna cosi±: cosa sinft, 
cos (ai i) = cosa cosi rp sin a sin b. 

5G. Cas particuliers : i^ b =^a^ i^ b z=: sa. 
1°. sinaa=2 sinacosa, 

cos 2a = cos"a — sin'a = i — 2sin*a, 
ou 

cos2a = 2cos"a — i. 

En remplaçant 2a par a, et par conséquent a par f a, on 
tire de ces deux dernières formules 




z'=\/- 



cos '- ' ^^s« 



2 

Exemple. a==9o",, sin45^= cos 45^ = 1 V^2. 

r\ 2 

i^. On trouvera aisément 

sin3a = 3 sîna — 4sîn'a 
et 

. cos 3 a = 4 cos'a — 3 cos a. 
57. Des formules du n° 5S, etde la relation générale 



sin a 



cosa 
on tire 



; = tanga , 



lang(a±:i) -^ _tanga±tangfe 

i3rtangatang6 



58. Cas particuliers : 1^ b = a, 2^ i = 2 a. 

i» ♦^««^ 2tanga 
* • tang2a = ^ — l, 

I — langea 

3. 



36 CALCUL DES LIGNES 

d'où . 

tança = 2 

lang 2 a 



^ I — 3ianff'« 



59. En combinant par addition et soustraction les ex- 
pressions trpuvées au n^ 55 , on a 

sin(a-f-5) -f- sln(a — b) = asinacos^, 
sin(a -4- t) — sin(a — b) = Sàcosasini, 
cos(a-h i) -|-cos(a — i) = acosacosi, 
cos(a -t- i) — cos(a — b) = — 2sinâ sîni. 

Faisons 

a'+-b=p et a — b=:q^ 
d'où 

a==P±l et 6=£z:i; 

2 2 

nous obtenons 

. p-hq p — q 



sinp 4- sîn q = n sin ^- ^ cos 



sm» — sin«7 = 2 cos *- ■ sin *- ^ , 

* • ^ 2 2 



cos» 4- COSÛf = 2 cos i- A cos ^ > 

' ^ 2 2 



ï / 



cos^^— cos^ = 2 sin ^ sin ^ ~ » 



formules qui servent à transformer une somme ou une dif- 
férence en un produit (79 et 80). 

Des deux premières on tire 

p-hq 



sinp -h sin g 2 



relation qui sert dans la résolution des triangles (67). 



TRIGOtrOMÉTRIQUES. 87 

60. Noos avons dit (36) que l'on possède des tables qui 
font connaître, au degré d'approximation désirable, les 
rapports appelés communément lignes trigonométriques 
d'un angle aigu quelconque. Ces tables ont été calculées 
par des méthodes ingénieuses et savantes qu^on. peut étu- 
dier dans les ouvrages spéciaux sur cette matière. Il nous 
suffit de faire comprendre ici la possibilité d'arriver aux 
mêmes résultats à l'aide des formules qui viennent d^ètre 
démontrées. 

Nous remarquerons d'abord que, lorsqu'un angle est 
très-petit, l'arc qui, ayant pour rayon l'unité, lui sert de 
mesure , est sensiblement égal à son sinus ^ ce qui signifie 
que, si Von fait décroître indéfiniment Vangle^ le rapport 
de Varc au sinus approche autant quon veut de V unité. 

En effet, si l'on suppose dans latfig, 6 le rayon 0A= i 
et l'angle AOM'= a, l'ordonnée M'P et la tangente AN' 
auront précisément pour expressions celles de sina et de 
langa (32) 5 et si l'on compare l'arc AM' à l'ordonnée M'P, 
et l'aire du secteur OAM' à celle du triangle OAN', on éta- 
blira les inégalités suivantes : 

i\ M'P < corde AM'< arc AM', 

d'où 

sina <^ arc a; 

donc 

arc a . 

-; > I. 

sin a ^ 

2^ secteurOAM'< triangle O AN', 

-OA X arca<-OA X tanga, 

2 jL 



d'où (39) 



^ sin a 
arc a <r i 

^COSôe 



38 CALCUL DES LJGJNES 

donc 

arca I 

sin a ^ cos a 

ê 

Ainsi le rapport -: — est toujours compris entre i et 

• Or, à mesure qu^on fait diminuer a, le nombre > 

cos a ^ cos a 

quoique toujours supérieur à l'unité^ en approche autant 

arc OL 
qu'on veut. Donc il en est de même du rapport —, — > et 
^ ^^ sma 

c'est ce qu'on exprime en disant que ce rapport, quand 

Tangle a décroît, a pour limite l'unité. 

On prouverait avec la même facilité que le rapport 

— —9 quand l'angle a devient de plus en plus petit, a aussi 

pour limite l'unité : proposition qui nous servira dans la 
suite de ces leçons. 

Nous allons maintenant démontrer que la différence 
entre Varc et le sinus lïun même angle est moindre que 
le quart du cube de Varc* 

En effet , on a (56) 

sina = 2 sin - cos — 

2 . 2 

Multipliant cette équation par l'inégalité précédemment 
démontrée 

. a ^ arc a a 

sin - j> cos - j 

2 2 2 

et supprimant le facteur commun sin - a , on a 



sina "> arca cQs'' - a, 

^ 2 



OU 



sin a ]> arca ( i — sin* - j \ 



THIGONOMÉTKIQUES. ^Q 

d^OÙ 

arca — sin a <^ arcec sin' 



2 



Multipliant cette inégalité par Tinégalité de même espèce 

• t * ^ (arca)' 

et sapprimant le facteur commun sin* -» on obtient T iné- 
gal! té énoncée 

^(arca)* 
arca — sinà<^-^ — y — • 

Appli(juons cette propriété à l'angle de lo", qui est le 
plus petit angle des Tables usuelles de Gallet. 

On sait que le rapport de l'arc i8o° ou de 648000'' au 
rayon est 3,1415926. .. . 

Nous aurons donc 

arciû^= * ^^ ' — = 0,0000484813 681. . ., 
64000 

et, par suite, 

j (arc 10'')' = 0,00000 00000 ooo32 . . . ^ 

d'où il résulte que la diflérence entre Tare de lo'^ et son, 
sinus ne sera sensible qu^à partir de la treizième décimale « 

Ainsi avec une erreur moindre qu'une unité décimi 
du treizième ordre , on peut écrire ' 

sinio"=: 0,00004 848i3 681. 
En mettant cette valeur dans la formule 



cos 10''= V 1 — sin" I o", 



on trouve avec le même degré d'exactitude 

cos 10'' = O599999S9988 248. 



4o RÉSOLUTION 

61 . Au moyen de ces deux nombres et des formules du 
n° S6, on pourrait obtenir les valeurs des sinus et cosinos 
de tous les angles différant entre eux de lo^ depuis o jus- 
qu'à 4S°9 ^^ 1^ résultats ainsi obtenus s'appliqueraient 
immédiatement à tous les angles depuis 45 jusqu'à 90°, 
attendu que le sinus et le cosinus d'un angle sont res- 
pectivement le cosinus et le sinus de l'angle con^plément 
du premier. 

Quant aux autres lignes trigonométriques^ on les dé- 

« 

terminerait ensuite à l'aide de la formule tança = et 

^ ces « 

de la septième remarque du n^ 35. 

§ V. RÉSOLUTION BBS TRIANGLES RBGTILIGNES. 

1°. Triangles rectangles. 

62. Quatre cas différents se présentent dans la résolu- 
tion d'un triangle rectangle ABC , suivant que l'on donne 

r^. L'hypoténuse et les angles^ 
2**. L'hypoténuse et un côté d'angle droit , 
3^. Un côté d'angle droit et les angles , 
4^* Deux côtés d'angle droit. 

En appliquant les définitions du n° 32, et en y rempla- 
çant rpar l'hypoténuse du triangle, on vérifiera facilement 
le tableau suivant , dans lequel a représente l'hypoténuse, 
& et c les côtés opposés aux angles aigus 6, C. Quand l'un 
de ces angles est donné , l'autre s'en déduit. 



DES TBIAHGLES RECTIUGKES. 



4» 



DONNÉES. 


• 

FORMULES. 




a, B. 
a, b. 


b-=asiuBy c = acosB. 


sinB ou cosC— -5 c — /(«-h^) (« — ^)> 






à posteriori c — a cosB ou c 6 tangC. 


3^ 


c, B. 


^-cosB' ^-'^^«gB- 


4^ 


by c. 


tangB= -; 


-. 




^ cosB sinB 



63. Les tables trigonométriques en usage donnent les 
logaritlimes des lignes ou rapports trigonométriques, au 
lieu de leurs valeurs numériques. Il en résulte T avantage 
de n'avoir à faire que des additions et des soustractions 
pour appliquer les formules ci-dessus. Nous expliquerons 
plus loin Tusage qu'on fait de ces tables. 

%"*. Résolution des triangles obliquangles. 

64. P*^ Cas. On donne les angles et un côté a , en dé- 
signant parmi les' angles connus r angle A opposé à ce 
côté. 

Du sommet C abaissons (fig» 11) la perpendiculaire 4 
sur le côté opposé c , et , soit que les angles A et 6 soient 
aigus , ou que Tun d'eux soit obtus , nous aurons 

h = a sîn B , h=^h sin A , 

ou 

asinB 



b = 



sin A 



I/équation générale t == — — jt démontre ce théorème : 



4 2 AéSOLUTlOU 

Dans un triangle rectiligne quelconque^ les sinus des an- 
gles sont proportionnels aux côtés opposés. 

65. IP Cas. On donne deux côtés, a et i, et V angle A, 
opposé à l'un d^eux, a. 

D'après le théorème précédent^ on a 

. ^ bsinA 
sinD= » 

a 

puis 

C = i8oo-(A + B) et c = ^^- 
^ ' sinA ' 

I 

Au J)lus petit des deux côtés a , A , est opposé le plus petit 
des deux angles A, B. Donc, si a>A, B est aigu, son 
sinus suffit pour le déterminer j il y a toujours une solu- 
tion. 

Si a<ô, l'angle A donné (fig. 12) est aigu; B peut être 
^igu ou obtus pour le même sinus. Donc il y a deux solu- 
tions, pourvu qu'on trouve 

. T> ^ ^sinA ^ 

sniB<^i ou <i, 

^ a 

ou a > i sîn A^ c'est-à-dire a^h. 

Si l'on demandait immédiatement le côté c, il faudrait 
poser 

c r=: AD dr DB = i cosA ± y^a» — A* sin'A. 

66. III« Ca&. On donne deux côtés ^ «, i» et F cingle 
compris C. 

i^. On demandé à priori le côté c. 

Soient X et j- les coordonnées rectangulaires du point B 
{/ig. i3), CA étant pris pour axe des a: et C pour origine; 
X est négative si l'angle est obtus. Dans tous les cas on a 

c*=:j*-f-(ft— x)% y* = a*— x% a:==acosC.* 
Les deux premières équations, ajoutées membre à mem- 



. DES TAtANCLES RECTILIGNE5. 4^ 

bre, donneat la relation connue en géométrie élémentaire 

c* = a* -h i* — a fcj: ; 
et, en y «substituant l'expression de x, on a 

c* = a» -+- i* — 2 ai C03 C. 

c étant ainsi déterminé, on rentre dans le premier cas (64). 

2° On peut déterminer à priori l'angle A par sa tan- 
gente. Soit que G soit aigu ou obtus, et quelle que soit 
aussi la grandeur de A, on a 



tanffA = T^ — = 



asinC 



b — X 6— acosG 

La grandeur et le signe de tang A faisant connaitie A5 et 
par suite B, on rentre dans le premier cas (64)^ et Ton cal- 
cule c par Tune des deux formules suivantes : 

asînC ÀsinC 

c = — ; — T- > c = —r~^ • 

sinA sinB 

II. est bon de vérifier si les angles A, B, trouvés, satisfont 
à la condition (64) 

a b 

sinA sinB 

3^. Autre solution ^qa^ on présente ordinairement comme 
plus propre à l'emploi des logarithmes, quoiqu'elle n'exige 
pas moins de calculs que la précédente pour arriver aux in- 
connues A, B et c. 
C fait connaître A -|- B ; on cherche A — B. 
De la relation 

sinA a 

sin B b 
on conclut 

sin A — sin B a — b 



sinA -h sinB a-hb 



44 RÉSOLUHION DES TRIANGLES BECTILIGNES. 

Donc, d'après la dernière équation du n^ 59, on a 

■( 

tangKA— B ) _ a—b 
tang|(A-+-B)"~ a-h&' 
d'où Ton rire 

tang-(A — B). 
Connaissant 

-(A-f-B=w*° et i(A— B)==n», 
on aura 

et on achèvera comme dans la deuxième méthode. 

67, IV® Cas. On donne les trois côtés. 
La formule démontrée au commencement du numéro 
précédent donne 

a* == i* + c* — 2 ic cos A, 
soit que l'angle A soit aigu ou obtus. Donc 

cosA= y • 

2 bc 

Pour obtenir une formule plus propre à l'emploi des lo- 
garithmes, on reconnaît à l'inspection de la première équa- 
tion l'utilité de remplacer cosA par un binôme dont un 
terme soit égal à Tunité, savoir (56) : 

COsA=I — 2 sin' — ou C08A=2C0S* 1. 

2 2 

Cette équation devient ainsi l'une des suivantes : 

4Acsin«-=fl'— (i— c)'i=(a + i — c)(n-h6— A), 
4 ic cos*— = (fc-hc)' — <ï* == (a4-6-hc) (ft-+-c— a). 



FORMULES DE TRIGOJrOMÉÏRIE SPHÉRTQUE. 4^ 

fin posant, pour abréger, 
on obtient 



et 



doù 



2 V oc 

2 — y bc ' 



^ V P{p—a) 



L'angle — étant nécessairement <[ go*', se trouve déter- 
miné par l'une de ces trois formule&« Quand il diffère peu 
de 90^, il vaut mieux le déterminer par son cosinus que 
par son sinus. C^est le contraire quand il est petit. A étant 
trouvé, on calcule de même B^ puis C pour vérification. 

68. Surface d*un triangle en fonction de ses trois 



1^ * 



cotes. 



5= -ic sinA = --ic ^(ir4-cosA) (1— cosAp 

En substituant Texpression ci-dessus de cos A, et repré- 
sentant encore le périmètre a-hb -h c par 2 p, ou trouve 
la surface cherchée 



'S=\/p(p—a){p—b)(p — c). 

§ VI. TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 

69. Trois arcs de grands cercles, qui joignent trois points 
situés sur une même sphère, forment un triangle sphé^- 
rique. Les trois côtés s^évaluent ordinairement en degrés ; 
les angles sont ceux que forment les tangentes aux côtés en 
leurs points d'intersection. 



46 FORMULES 

< Â tout triangle sphérique correspond un angle trièdre, 
dont les arêtes sont les droites menées du centre de la sphère 
aux trois sommets du triangle. Les angles plans ou faces 
du trièdre sont mesurés par les côtés du triangle sphérique^ 
et les angles dièdres des faces ont la même mesure et la 
même expression que les angles de ce triangle. 

Les problèmes où au moyen de données suffisantes on se 
propose de calculer les côtés ou les angles inconnus d'un 
triangle sphérique, sont précisément les mêmes que ceux où 
il s'agit de calculer les faces ou les angles dièdres d'un an- 
gle trièdre. C'est ce dernier point de vue que nous adop- 
tons pour rechercher les relations qui existent entre quatre 
des six quantités, côtés ou angles dVn triangle sphérique. 
Il n'y a que quatre combinaisons distinctes à étudier. 

70. 1^. Formule fojvdamestale. Helatton entre les trois 
côtés et un angle. Pour trouver cette relation, supposons 
que, donnant deux faces t et c d'un trièdre et Tangle com- 
pris A, on demande la troisième face a opposée à A. Pre- 
nons pour plan de la fig, i4 celui de la face b représentée 
en POP'. Soient rabattues sur ce même plan les faces c et 
a, savoir : la face c en POM et la face a en P'OM'. Pour 
reformer le trièdre, il suffirait de faire tourner la face c au- 
tour de Tarêle OP, et la face a autour de OP', jusqu'à ce 
que les deux côtés OM et OM' vinssent à coïncider et former 
ainsi la troisième arête dans l'espace. Cherchons sur la fi- 
gure la projection d'un point de cette arête, et, pour cela, 
supposons que, dans le rabattement des faces latérales, ce 
point soit venu en M sur le côté rabattu de la face c, et en 
M' sur celui de la face a* Les deux distances OM et OM' 
sont égales. Les deux points M et M', en tournant, l'un au- 
tour de OP, l'autre autour de OP', ne sortent pas des plans 
projetés dans la figure suivant les droites MPN et M'P'N, 
respectivement perpendiculaires aux charnières. Donc les 



DE TRI.GOlîpMÉTllIE SPHÉRIQUE. fy] 

deux points M et M' se réunissent dans Tespace en un point, 
dont la projection est l'intersection N, et dont la distance à 
ce point est Tordonnée d'une circonférence ayant son cen- 
tre «n Pet son rayon égal à PM. En rabattant cette circon- 
férence autour de MN, et achevant le triangle rectangle 
PNMi , on obtient non-seulement la distance NMi , dont nous 
venons de parler, mais Tangle rectiligne MiPN qui mesure 
r angle dièdre des deux faces h et c, angle que nous dési- 
gnons par A, comme opposé à la face a. 

La construction que nous venons de rappeler, et qui est 
enseignée dans les traités de Géométrie descriptive, se tra«- 
duit très-aisément en une formule de Trigonométrie. Me- 
nons PQ perpendiculaire à OP' et NR parallèle et égal à 
FQ. Posons OM = OM' = r. Nous avons, en remarquant 
que PN = PMi cosA, et PMi = PM = r sine, 

r cos^i = OP' = OQ -h RN 
= OPcos&-hPNsini 
= rcosc cosi -H rsinc cosA sini. 

Ai^si, en supprimant le facteur r, que nous aurions pu 
à ^r/on faire égal à i, nous obtenons la relation cherchée, 
qui s'applique évidemment à un quelconque des trois angles 
dièdres. On a donc, au moyen d'une permutation tour^ 
nantCj datis laquelle les lettres se remplacent dans Tordre 

i cosa = cosb cosc + sini sine cosA, 

(i) < cos b = cosc cosa + sine sin a cosB, 

cose tr: cosa cosb + sina sinb cosC* 

71. Q?, Relation entre deux côtés a, c et les angles 
opposés A, C. On peut conclure cette relation des équa- 
lions précédentes; mais on l'obtient immédiatement d'après 
layîg. 1 4, dans laquelle le triangle P'NM^, analogue à 



48 FORMULES. 

PNM19 donnç l'angle dièdre C, opposé à la face c. On a 

c'est-à-dire 

r sînc sinÂ = r sina sinC. 

Donc, en général, 

sinA sinC sinB 



(») 



sina sine sin6 



72. 3°. Relation entre deux côtés b et c, V angle A 
qûHls comprennent^ et un autre angle C ou B. Soit à trou- 
ver une équation entre &, c, A et C. On Tobtiendrait en 
éliminant a entre deux des équations (i); mais plus sim- 
plement, d'après la fig, i4j en remarquant qu^avec les don- 
nées i,.c, A, on pourrait construire OMP, PNMi, NP', ei 
par suite NP'Mj, on a 

tangC = r^}- = 



NF "" PQ — PN cosé 

sincsinA 

cos c sin b — sin c cos A cos ft 

ou bien 

cotC sînA = cote siui — cosi cotA. 

On a de même, eu égard aux permutations possibles ; 



cotB s 
cot A s 
(3) {cotCs 

cotB s 
cot A s 



nA = cotft sin c — cos c cos A, 
nB == cota sine — cosc cosB, 
nB = cote sin «a — cos a cosB^ 
nC = cotÂ sina — cos a côsC, 
nC = cota sin J — cosi cosC. 



73 TfiiA.NGLBs otj thièdres supFXÉMENTÀiaEs. La pro- 
position que nous allons exposer sert à obtenir une rela^ 
tion entre les trois faces et un des angles dièdres d'un an^ 



DE TRIGONOMÉTRIE S^HÉRIQVE. 49 

gie trièdre. L'équation qui Texpriine peut, il est vrai^ se 
déduire des équations' (i) par Tel imination de deux faces; 
mais on y parvient d'une manière plus simple et plus facile 
à fixer dans la mémoire par la considération d*un trièdre 
auxiliaire. 

Quel que soit le premier trièdre OABC (fig. i5), abais- 
sons d'un point CX, pris dans son intérieur, une perpendi- 
culaire sur chacune de ses faces, savoir : O'A' perpendicu- 
laire sur la face BOC ou a, O'B' sur la face COA ou i, O'C 
sur la face AOB ou c. 

Nous formons ainsi un second angle trièdre, dont le som- 
met est O', et dont les faces rencontrent celles du premier 
suivant les droites A'B, BC, C'A, AB', B'C, CA'. Il en ré- 
sulte un hexaèdre, dont les sommets O et O' sont diagona- 
lement opposés, et qui deviendrait un parallélipipède rec- 
tangle dans le cas particulier où le trièdre primitif aurait 
chacune de ses trois faces égale à un angle droit. 

Par construction, les trois arêtes O'A', (V B', O'C du se-^ 
coud trièdre sont perpendiculaires aux faces a, i, c du pre- 
mier. Il s'ensuit que, réciproquement, les trois arêtes OA, 
OB, OC du premier, sont perpendiculaires àùx faces <i', b\ 
c' du second ( nous désignons ainsi les faces respective- 
ment opposées aux arêtes O'A', O'B', O'C). En effet, par 
exemple la face a' on B'O'C étant perpendiculaire au plan 
OAB'C (à cause de la perpendiculaire O'B') et au plan 
OAB'C (à cause de la perpendiculaire O'C), est par con- 
séquent perpendiculaire à leur intersection OA. 

De là celte conséquence importante : que les faces de 
chacifn des deux trièdres sont, quant à leur mesure, les 
suppléments des angles dièdres de rautre. car, par exem- 
ple, la face B'O'C ou a' étant perpendiculaire à TarêlcOA, 
l'angle dièdre COAB' ou A a pour mesure Taiiglc recti- 
ligne CAB', lequel est supplément de l'angle B'O'C, 
puisque les angles O'C A, O' B' A sont droits. 

4 



i 



5o FORMUleS DÉ TRIGONOMÉTRIE SPHÊRIQUE. 

En généralisant cette remarque, on voit que si 

a y b y c sont les faces du premier trièdre, 

A, B, C les angles dièdres qui leur sont opposés, 

a'\ b\ c' les faces du deuxième trièdre respectivement per- 
pendiculaires aux arêtes des angles A, 6, C, 

A', 6', Ù les angles dièdres opposés aux faces a\ b\ c'^ on a 
entre les mesures en degrés de ces angles les 
relations : 

i8o« = A-t-a' = B-hi' = C-Hc' 
= A'-+-a =B'-h6 =C+c. 

C'est en vertu de cette propriété que les deux angles trié- 
dres sont dits supplémeruaires Tun de l'autre. 

U est clair qu'à deux trièdres ainsi constitués répondent 
deux triangles sphériques, dont les côtés et les angles omt les 
mêmes valeurs numériques, et par conséquent les mêmes 
relations que les douze quantités que nous venons d'écrire. 
Ces triangles sphériques sont dits supplémentaires l'un de 
r autre. 

74. 4°* Relation entre les trois angles et un côté (Tan 
triangle sphérigiie. C'est celle qui existe entre les angles 
dièdres A, B, C d'un trièdre et la face opposée à l'un d'eux; 
et elle se rattache à celle qui a lieu entre les trois faces a', 
i', c' du trièdre supplémentaire et l'angle dièdre opposé à 
l'une d'elles. 

Les formules (i) du n° 70, appliquées aux angles a\ b\ 
c\ A\ B' et C qu'on remplace ensuite par leurs valeurs 
iSo*'— A, i8o«>— B, i8o°— C, i8o°— a, i8o°— J, i8o°— 6^ 
deviennent, par changement de signes des deux membres : 

cosA = — cosB cosC -h «inB sinC cosa, 
(4) {cosB = — cosCcosA 4- sinC sinA cosfc, 

cosC = — ^ cos A cosB -f- sinA sinB losc. 



RÉSOLUTION DÉS TRUSGLES SPHÉAiQUES. 5l 

Résolution des triangles sphériques. 

75. Les six cas différents deviennent ai^alogues deux à 
deux par la considération du triangle supplémentaire. 

P' Cas. Sont donnés les trois côtés. Les équations (i) 
déterminent les cosinus des angles. 

n^ Cas. Sont donnés les trois angles. Les trois équa- 
tions (4) 'font connaître les cosinus des c6tés. 

ni® Cas. Sont donnés deux côtés et V angle compris. 
L'une des équations (i) détermine le cosinus du côté in- 
connu. Le reste du calcul rentre dans le V^ Cas. 

On peut rendre l'équation (i) plus propre à Temploi des 
logarithmes au moyen d'un angle auxiliaire. On a successi"^ 
vemenl 

cosa = cosi (cosc -H sine tangi cosA) 

= cosi (cosc H- sine tang^) 

ces h " * . . 

= (coscp cosc -h sin© sinc)i 

de sorte que Tangle a est déterminé par les deux équations 

très-simples 

tangtp = tangi cqsA 

et 

coS^ / . 

cosa = cos (c -^ (p). 

COStp ^ •' 

IV* Cas. Sont donnés deux angles et le côté compris. 
L'une des équations (4) fait connaître le cosinus de l'angle 
inconnu ; le reste rentre dans le II® Cas. 

On peut faire subir à Téqua lion (4) une transformation 
analogue à celle qui vient d'êlre indiquée pour Téqua-^ 
lion (i). 

V* Cas. Sont donnés deux côtés a^ b et l'angle A op* 

4- 



52 RÉSOLUTION 

* 

posé à Vun deux. La formule (2 ) sert à calculer l'angle 6 
opposé au second côlé donné. 

Pour calculer F angle C au moyen des données a, b et A^ 
on a Tune des équations (3) : 

cotÂ sinC -+- cos6 cosC = cota sin J; 

mais cette équation, n'étant pas immédiatement applicable^ 
parce qu'elle contient deux inconnues, sinC et cosC, on la 
transforme au moyen d^un angle auxiliaire ^ . On a succes- 
sivement 

cota sini = cosi | rsinC •+• cosC 1 

\ coso / 

== cosi (tangf sinC -f- cosC) 
= (sin? sinC-l- coscptîosC) 

COS<P ^ ' ^ ' 

ê 

cosé ,^ . 
= cos (C — cp), 

COSip ^ ' ' 

En définitive, T angle C se trouve déterminé par les deux 
équations très-simples 

cotA 

et 

cos (C — ?) =^ cota tang2^ cosy. 

C étant connu, ainsi que A et a, on trouvera c par la for- 
mule (2). 

On peut aussi calculer le côtéc directement en partant 
de la première des formules (i), qu'on remplace par le 
système de deux équations 

coty'= tang&cosÂ, 
et 

. / ,v cosasin»' 
sid(c4-9') = j-L. 



DES TKIAWGLES SPHÉHÏQUES. 53 

VP Cas. Sont donnés deux angles A^ B et le côté a 
opposé à Vun d^eux, La formule (2) sert à calculer le côté 
b oppose au second angle donné. 

Pour calculer le troisième côté c , on a l'une des équa- 
tions (3) qu'on transfoiine comme dans le V* Cas : 

* • 

cot A sin B = cot a sîn c — cosc cos B 

Tfc fcola . \ 

= cosB(-r — R smc — cosc ) 

\cosB / 

= cos B (cot y sine — cosc) 

CosB , . .V 

= -T — (sinccoscp — COSCSU19). 
sîny ^ ^ T/ 

En définitive c est déterminé par les deux équations 

cota 
cosB 
et 

sin{c — (jp) = tangBcotBsiny; 

c étant connu, on trouvera C par la formule (2). 

On peut calculer C directement. On trouve, en transfor- 
mant la première des formules (4), les deux équations 

coty'= tangBcosa 

et 

. /^ ,v cos A sin «p 

sm (C — cp') =s — p ^ ' 

^ * ^ cosB 

t6. Triangles sphériques rectangles. Supposé que dans 
le triangle sphérique Tangle A soit droit, en faisant 
cos A = o et sin A = i dans les formules (1), (2), (3) et (4) 
qui contiennent ces deux quantités, on obtient les formules, 
suivantes : 



*4 KÉSOLUTIO^ 

cosa = cosb cos c , 

sinb = sina sinB, 

sine = sina sinC , 
tangc =r sinJ UngC, 
» Ung& = sînctangB, 

tangc = tanga cos B , 

Umgb = tanga cosC , 

cosa = cotBcotC, 

cos B = sin C cos J , 

cos C = sinB cos c. 

Le tableau Ci-après indique l'emploi de ces équations 
dans la résolution de tous les cas des triangles spkériques 
rectangles. 



DES tkungi.es SPHÉRIQUES. 



55 



DONNÉES. 


INCONNUES. 


FOIIMULES A EMPLOYER. 




C 


COS/7 = COS^COSC, 


rt, b. 


h 


sin6 sinasinB) 




c 


tang6 — tanga cosC. 




b 


sin6 sinasinB, 


a, B. 


c 


tangc— tang/icosB, 


« 


C 


cos a cotB cote. 




a 


sin^ — sinasinB, 


b, B. 


c 


tang^ — sin étang B, . 




C 


cosB = sinCcos^. 


{ 


a 


tang^ — tangfl cosC , 


h, c. 


c 


tangc — sin^tangC, 


i 


B 


cosB COS 6 sinC. 


l 


a 


cos a cos 6 cos c,^ 


bj c. < 


B 


tang^ âinctangB, 




C 


tangf — sin^ tangC. 


1 


^ 


cos<2 — cotBcotC, 


B, c. 1 


^ 


cosB — sinCcos^j 


^ 


c 


cosC sinBcGst. 



Transformations propres à l'emploi des logarithmes. Formules 

de Ddambre et de Néper. 

77. La formule foadamentale (t) peut servir, comme 
nous Tavons dit , pour calculer un angle d^un triaugle sphé- 
rique dont les trois côtés sont connus^ mais elle se trans- 
forme en une autre plus commode pour Femploi des loga.- 
rithmes. 



56 RÉsoLcnoir 

L'inspection de réqnation (i) 

cosa = COS&COSC + siii& sinccosA 



conduit à remplacer cosA par on binôme dont nn terme 
soit Funîté. Or (56) on a 

cosA = i — 2sin*— et co6A = 2cos'^^ 1* 

2 2 

et réqnation (i) devient par la snbstitation de ces denx ex- 
pressions de cos A 

cos(i — c) — cosa = 2»n&sincsîn* — 9 

A 

cosa — cos(ft-l-c) = asinfcsinircos' — 

Ici une seconde transformation se présente naturellement, 
car on sait que la différence de deux cosinus se remj^ace 
par un produit. On a en effet (S9) 

cos(& — c) — cosa = 2sin - (a-\-b — c) sin — {a + c — fc) , 

cosa — cos (i -hc) = 2sin — (a -|- i -h c) sin - (i + c — a). 

D'après cela , et si Ton pose, pour abréger, 

^p =a-hb-hc^ 
on obtient 



Sin 6 Sin C 



cos 



A /sinp sin [p — a) 

2 ~ V sin 6 sine 



et y par suite. 



A / sin (/y — b) sin (/y — c) 

2 V sii 



tanc — = i/ ""^^ ^ ^^ 
^2 V sinpsin{p — a) 



DES THIÀNGtES SPHÉKIQUES. D7 

Il est évident que la formule (-4) doit se transformer 
d'une manière tout à fait analogue. 

En posant 

2P = A-f-B + C — i8o^ 
on trouve 



2 y • sinBsii 



A — P) 

sm - = iv , ->\ p — ^ 

sint 



cos ^ = 4 /sin(B-P)sin(C-P) ^ 
2 y sinBsinC 



a _ / sinPsin(A — P) 
ïanga — y sin(B — P)sin(C — 



P) 



78. Formules de Delambre, On a vu (66) qu'il est 
utile, dans la résolution des triangles rectilîgnes, de con- 
sidéi;er la demi-somme et la demi - différence de deux 

angles. Cherchons les quantités et dans un 

triangle sphérique. 

•.A 

En substituant les expressions précédentes de sîn — et 

de cos— > ainsi que leurs analos:ues sin - et cos— » dans la 

2 , V 2 2 

formule de sin ( 1 U on a 



. /A B\ 



. A-f-B .A B A . B 

sm = sin — cos — h cos — sm- 

2 2 2 2 2 



/sin^ [p — &) sin (/> — c] sinp 

sin 6 sin' c sin a 






sinp sin*(p — a) sin (/? — c] 
sin 6 sin' c sin a 



sin(p — a) 4-sin|p — b] /s\np^m[p-^c] 

sine V sin^sirTi 

Or, en comparant ce dernier radical à l'expression précé- 



58 RÊ601.L TIOX 

denU* de cos — » on reconnaît F^alUé • 



V 



sinpsin p — r. L 

-!-. ^f-5^ = cos — ; 

sinasino n 



eu second lieu, d après le n? 59, on a, pour transformer 
une somme de sinus en un produit, • 

y \ - / »\ 2p — a — b a — h 
&in(p — a) -h s\n(p — 6) = asin -^ '■ tx>s 

c a — b 
= 2 sin - cos ; 

1 2 

enûu , d'après le n^ 56 , on a 



• c c 
sin c = a sin - cos — 

2 2 



On en conclut 



c . A-hB C a — b 

cos - sin = cos — cos 

2 2 2 2 

Oh trouve, en procédant d'une manière analogue, 

c A + B . C a-f-A 
cos - cos = sin — cos > 

2 2 2 2 

. c . A — B c . a — b 
sin - sin = cos- sin » 

2 2 2 2 

. c A — B . C . a-hb 
siD - cos = sin - sin • 

2 2 2 2 

Ces quatre équations portent le nom de formules de De- 
Limhre. Elles donnent, comme le dit M. Le Verrier (Re- 
cherches astronomiques^ tome I, page 28) , la solution la 
plus él^ante de la question du in*^ Cas. Soient donnés les 
deux côtés a, et F angle C qu'ils comprennent, a Les se- 
conds membres de ces formules ne renferment que les 
quantités données, tandis que les premiers membres ne 
renferment que les inconnues. Lorsqu'on aura calculé les 



DES. TRIANGLES SPHÉRIQUES. 5g 

seconds membres , les deux premières équations feront con- 
naître l'angle par sa tangente et en outre cos -; les 



deux dernières donneront Tanele et en outre sîn — 

Connaissant ainsi sin- et cos -^9 on divisera Fun par Tau- 

2 2 ^ 

ire , en sorte que le demi-côté - sera lui-même détenxunë 

par sa tangente » . 

Si la question était celle du IV^ Cas, les quantités con- 
nues seraient dans les premiers membres et les inconnues 
dans les seconds : on procéderait d'une manière analogue. 

79. analogies de Néper, En divisant la première for-^ 
mule de Delambre par la deuxième , et la troisième par 
la quatrième , puis la quatrième par la deuxième, et la troi- 
sième par la première , on trouve les ibrmules qui portent 
le nom S analogies de Néper. Les voici ; 

a — b 

. ^ cos .^ 

A-l-B 2 C 

tane = r cot - ? 

^2 a -f- 6 2 

cos 

2 

.a — b 

A_B ^"'^- C 

tang = : — 7 cot - 1 

^2 . a -^ b 2 

sin — 

2 

A — B 

, cos 

a -h o 2 c 

tang -^=-^^-p5 tang ^,- 

cos 

2 

. A — B 

sin 

a — o 2 c 

ta„g___ = ____tang._. 

Sin — — 



6o V SAGE 

Lorsque Ton connaît deux angles et les côtes opposés, ces 
formules donnent très-aisément le troisièlne angle et le troi- ' 
sîème côté. 

. § VII. USAGE BBS TABLES BB LOGARITHMBS DE GALLET. — 
TYPES DE CALCULS TRIGONOMÊTEIQUES. 

. 80. Les lecteurs connaissent les propriétés générales des 
logarithmes, ainsi que la disposition et l'usage de la partie 
des tables de Callet, qui contient les logarithmes des nom- 
bres jusqu'à 108000. Ils savent que, lorsqu'il s^agit d'ob- 
tenir le nombre qui répond à un logarithme, il convient 
que celui-ci soit sous la forme décimale, ayant sa partie 
. fractionnaire positive, sa partie entière étant positive ou né- 
gative, selon que le nombre est plus grand ou plus petit 
que I , La partie fractionnaire du logarithme ainsi écrit fait 
connaître, au moyen de la table, la série des chiffres signi- 
ficatifs (y compris Ies«éros intermédiaires) qui compose l'ex- 
pression du nombre ; la partie entière, qui s'appelle carao- 
téristique, détermine dans le nombre la place de la virgule. 
La caractéristique s'écrit immédiatement avant la virgule 
du logarithme ; et, si elle est négative, çlle est surmontée 
du signe — . 

1 

Exemple : de logjc = 3 ,6149394 

et de logj =r 3,6149394 
on conclut 

x = 4120» 4 cl j^ = o, 0041204. 

Lorsqu'on doit multiplier un logarithme négatif, ou fait 
la multiplication à l'ordinaire, jusqu'à ce qu'on arrive à la 
virgule; on multiplie ensuite la caractéristique et l'on écrit 
le nombre négatif, somme algébrique du produit- négatif de 
cette multiplication et de la retenue positive donnée pat' 
la partie fractionnaire. 



DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES. 6c 

Exemple : 3, 6 149394 X a = 5,2298788. 

Lorsqu'on doit diviser un logarithme négatif, si la carac- 
téristique n'est pas un multiple du diviseur, on augmente 
sa valeur absolue du moindre nombre nécessaire pour qu'il 
soit divisible,' et l'on fait la division, en ayant soin d'ajouter 
le même nombre entier à la partie fractionnaire à diviser. 

Exemple: -.5,22*98788 = 3, 61 49394- 

81 . Les sinus et cosinus étant moindres que l'unité oni 
leurs logarithmes négatifs. Si les tables les donnent sous la 
forme positive, si, par exemple, pour log sîn 28® 3i' 10'' ou 

a mis gf6j8Q34^^ au lieu de i ,67893429'c'est afin de dimi- 
nuer autant qu'il est possible les interlignes dans ces tables 
imprimées. Mais, contrairement à l'opinion de plusieurs 
auteurs d'ouvrages destinés à l'enseignement, il convient d'é- 
crire toujours les logarithmes des sinus et cosinus, comme 
ceux de tous les nombres moindres que Tunité, avec leur 
caractéristique négative; de sorte qu'au lieu des chiffres 9, 
8, 7; 6 et 5, qu'on voit dans les tables, à gauche de la par- 
tie fractionnaire de ces logarithmes, il est mieux de lire et 

d'écrire 1, 2, 3, 4 ^t 5 , c'est-à-dire de retrancher les 
dix unités qui sont de trop (*). 

La même observation s'applique aux logarithmes tan- 
gentes des angles de o*^ à 45*^, et aux logarithmes cotan- 
gentes des angles de 43*^ à 90^. 

Au contraire, les autres logarithmes tangentes et cotan^ 
gentes sont dans les tables avec leur valeur non altérée. 



{*) L'emploi delà caractéristique seule- négative , recommandé dans la 
première édition de cet ouvrage (1842) et proposé longtemps auparavant 
{Cours de Mathématiques de Francœur, 1819) , est adopté a rObservatoire do 
Paris {Recherches astronomitfues de M. Le Verrier, i855). 



62 tJSAGE 

82. Usage des tables trigonomélriques. Dans les tables 
de logarithmes trigonométriques, chaqoe colonne a deux 
titres : Tun en haut, Tautre en bas,, disposition fondée sur 
ce que le sinus et la tangente d'un angle sont aussi le cosi- 
nus etlacotangente de Tangle complément. Les minutes et 
secondes qui se rapportent aux titres supérieurs sont' à 
gauche de la page, celles qui se rapportent auic titres infé- 
rieurs sont à droite. 

L'inspection d'une table suffit pour vérifier que le loga- 
rithme d'une tangente est la différence des logarithmes du 
sinus et du cosinus du même angle, et que la somme des 
logarithmes de la tangente et ^e la cotangente d'un même 
angle est égale à zéro^ ce qui résulte des relations 

sina I 

tanga = et cota = 



ces a tanga 

Lorsque les angles contiennent des parties fractionnaires 
de seconde^ ces pai:ties s'écrivent en fractions décimales de 
la seconde. Les tables de Callet donnent immédiatement 
le logarithme cherché lorsque l'angle est composé de d^rés, 
minutes et dizaines de secondes. 

Pour les autres cas, nous joignons ici un type de la dis- 
position que nous conseillons de donner aux calculs par les- 
quels on trouve le logarithme demandé quand on connaît 
l'angle ou réciproquement. 

83. Troui^er les logarithmes des quatre principales li- 
gnes trigonométriques de F angle A = 8° i3' 52^', 76. 



logsinA[8''i3'52",76] = 
fl = 1456 



i,]55 8]i8 
2912 
10Ï9 

«7 
I , i55 8520 



DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES. 



logtengA[8M3'5!i*,76] = 
fl = 1 486 



1 , i6o 3o83 
1040 

«9 

1,160 3493 



63 



logcosA 



r8°i3'6o'' 1 
r/ = - 3i 



los; rot 



Ar8«i3'6o'' 1 
d= — i486 



1,995 âoo5 
217 
6 



1,9955027 

0,839 ^4^1 
10402 

297 
59 

0,8396507 



Explication. A la suite de la notation log sin A, j'écris 
dans une parenthèse la valeur donnée de cet angle, afin de 
Tavoir immédiatement sous les yeux dans l'opération à ef- 
fectuer. J'écris, à la suite de celte parenthèse et du signe 
= , la valeur de log sinS** i3'5o" lue dans la table^ et au- 
dessous de la parenthèse j'écris rf=i456 : c'est la diffé- 
rence^ que donne également la Table, entre le logarithme 
écrit et celui qui suit ^ elle correspond donc à un accroisse* 
ment de 10'' que prendrait l'angle. Cela fait, je multiplie 
cette différence par la fraction o , 276, qui est (relativement 
à la dizaine de secondes prise pour unité), ce qui manque 
à 8"i3'5o'' pour faire l'angle^. J'écris, à mesure que je 
les forme, les produits partiels de cette multiplication, au- 
dessous du logarithme tabulaire, en n'écrivant pas les cen- 
tièmes, et me bornant à en joindre les. retenues aux diièiè- 



64 USilG£ 

mes. Enfin, j'ajoute ces produits partiels au logarithme ta- 
bulaire et j'obtiens , eu m'arrètant au septième chiffre 

fractionnaire, log sinA = i , i558520. 

La même marehe s'applique au calcul du log tangÂ. 

Elle subit une légère modification quand il s^agit du co- 
sinus et de la cotangente. 

Après log cosA j^écris dans la parenthèse, au lieu de 
Tangle A, l'angle immédiatement supérieur qui se trouve 
dans la table : c'est 8*^14' ou 8°i3'6o% dont j'écris à la 
suite le logarithme cosinus donné par cette table. Ce loga- 
rithme est trop faible, puisque j^ai pris Tangle trop fort. 
J'écris au-dessous de 8® iS'ôo''^ la différence algébrique 
^- 7", a4 qu'il faut y joindre pour avoir TangleA. Plus bas, 
je pose la différence tabulaire — 3 1 , que subit le logarithme 
cosinus quand Tangle augmente de \o", Eji multipliant les 
deux nombres négatifs — 3i et — 0,724, j'obtiens ce quil 
faut aujouter au premier logarithme écrit. Je procède dans 
cette opération comme dans le cas du sinus, et je trouve 

log cosA = 1,9955027. 

Lo calcul de log cot A est tout à fait analogue à celui de 
logcos A, parce que la co tangente comme le cosinus climi- 
nuo ({uand l'angle augmente. 

Faisons les calculs pareils pour un angle supérieur à 
45**. Soît B = 81^46' 7''*24» Nous le prenons égal au com- 
plément do A*, afin que la vérification des résultats soit 
très-fucilo. Toute explication est d'ailleurs inutile. 



loiî8inB[8iM<>' 7'.a4] = 



3i 



1,995 Soo5 
217 
6 



1 . 99D rïoi-; 



lïES TABLES TRIGONOMÉTRIQtTES. 



55 



logtangB[8i«46' 7^24] = 
«?=i486 



IogcosBr8i°46'io' 1 = 



r8i°46'io' "1 

L - a,76j 
d,= — i456 



o, 839 5431 
10402 

297 
59 

0,8396507 

I,i55 8iï8 
2912 
1619 

87 



IogcotBr8i*»46'io" 

— 2,76 



L 

d=: 



] 



i486 



i,i55 852o 

7,168 3o83 
2972 
xo4q 

1,160 3493 



84. Trower Va^gle auquel appartient une ligne tri^ 
gonométrique dont le logarithme est donné. Exemples : 
log sin A [8° i3' 52", 76] :^ 7, i55 852o 



118 

4020 
, 11080 
8880 

IogtangA[8<'i3'52^,76] ±= 7,1603493 

oa3 

4100 
11280 
8780 

IogcosA[8«i3'52",8 ] = 7,9955027 

36 



90 
280 

32 



1456 



a", 76 



■ 



d = 
i485 



2", 76 



3i 



66 USAGE 

logcotA[8"i3'52'',76J = 0,8396507 

— 4100 
1128 

87 



i486 



2', 76 



Explication. Â la suite de la notation logsiu A., j ouvre 
une parenthèse que je laisse en blanc pour y écrire plus 
lard l'angle cherché. Plus loin, après le signe =, je pose 
le logarithme donné. Je cherche dans la table , colonne 
des sinus y le logarithme qui approche le plus, au-dessous, 

du logarithme donné: je trouve i,i558ii8 qui est le loga- 
rithme de sinS'^iS'So. En conséquence, j'écris dans la pa- 
renthèse 8*^ i3'5 , en laissant encore en blanc les unités et 
la fraction de seconde. Les trois derniers chiffres du loga- 
rithme trouvé dans la table étant différents de ceux qui 
sont donnés, je les écris au-dessous; et, plus bas, je mets 
la différence 4025 je la multiplie par 10 et je divise 4020 
par la différence tabulaire. Le quotient poussé jusqu'à ce 
que les unités de l'ordre du dernier chiffre donné soient 
épuisées est le nombre 2,76 à, ajouter aux So'' d'abord obte- 
nues. Pour indiquer que dans la parenthèse on écrit d'abord 
8*^1 3' 5, puis 2^,76, ces derniers chiffres sont imprimés 
dans le type qui précède en caractères plus forts. 

On trouve de la même manière Tangle dont le loga- 
rithme tangente est donné. Mais la marche est un peu diffé- 
rente quand il s'agit du cosinus et de la cotangente. 

Dans l'exemple précédent, logcosA = i,g555o27. Je 
cherche dans la table, colonne des cosinus, le logarithme qui 
approche le plus, en dessus , du logarithme donné : je trouve 

i,995 5o36 = logcos8*'i3'5o. J'écris dans la parenthèse 
8^ i3'5 eu laissant en blanc les unités et la fraction de se- 
conde. Les deux derniers chiffres du logarithme trouvé 
étant seuls différents de ceux du logarithme donné , je les 



DES TABLES rniI€K)NOltÉTIlIQUES. Gj 

écris au-dessous ] plus bas , je mets la dififéreuce qui dans 
ce cas est négative et égale à — 9, et je divise — 90 par la 
différence tabulaire qui est -—3i. Le quotient a,8 est le 
nombre à ajouter aux 5o'^ déjà écrites. L'angle cherché est 
donc 8** iS'Sa'^jS. L'approitimation n'est obtenue qu'à o'',i 
près^ parce que la différence tabulaire étant petite n'est 

exacte qu'à moins de ^ près. En général , quand un angle 

est petit , on doit éviter de le déterminer par spn cosinus. 

Cette explication s'applique à la recherche de l'angle 
dont on connaît le logarithme cotangente* 



5. 



68 vskG^ 

85. Types des calculs po^r la résolution des triangles 
reciiUgnes (*). 



I"" Cas. Données Â, B, G, a. 

A = 79" 57' 4o",94 
B = ai. 34. II, 44 
C= 78.28. 7,62 ^ _. 

n = 2,683 86 



FORMULE. 

AsinB 



sin^ 



!ogsmB[2i*'34'ii",441 
rf=532 



log£i [2,683 86] 
d = 162 

logasinB 

logsmA[79"57'4o*,94] 
r/= 37 



SOLOTION. 



b = 1,002022 



1,565 4094 
532 

2l3 
21 

0,4287501 



= 1,994 «769 
1^,993*994 

33 



log^[i ,002022] = 



0,000 8772 
64 



80 



d=: 
43 



0,2 



{*) Ohsetvations, Les types qui précèdeni oontiennent tous les chiffres et 
toutes les écritures nécessaires, non-^eulement pour obtenir les quantités 
cherchées , mais encore pour vérifier sans écriture les calculs exécutés. Dans 
le 1*' Cas, on fait l'addition nécessaire pour avoir logasinB sans réunir 
séparément les parties dont se composent logsinli et loga. Ensuite pour 
obtenir log « sin B -^ log sin A on retranche du premier nombre les ttommes 
partielles dont se compose le second, sans les écrire. Cest un procédé sdbIo' 
gue à celui qu*on emploie dans la division de deux nombres entiers, où Vob 
se dispense d'écrire les produits du diviseur par les cbiffres successifs du 
quotient. Le résultat de la soustraction est 0,0008764 et doit ètrelelogt' 
rithme du dombre inconnu ft, c^est ce qu^on écrit en mettant à la suite de i 



DES TABLES T1iIG01fOMÉTBI<^ijES. 
H* Cas. Donriées a^ b, X. 

FORMULES. 

i^sinÂ 



69 



«= 2,683 86 
è = 1 , 002 02a 

A =79" 57' 4o", 94 



8inB = 



c t= 



a 
asinC 



sinÂ 



SOLUTIONS. 



B = 21*» 34' II ",43 
C = 78.28. 7,63 
€= 2,67067 



log^ [1,002022] = 
rf=433 

log sin A [79" 5y' 4o", 94] = 
</- 37 



log^sinÂ 
logfl [2,683 86] 
d= 162 

log8inB[ 2i*'34'il",46] 
A = 79. 57. 40, 94 
= 78.28. 7,60 

180^ 



0,00087639 
B7 

ij 99^^994 
33 

I 



1,994 1770 
0,4287501 

972 



1,565 4<7* 
094 



780 
2480 
352 



loga [2,683 86] 

log sin C [78*^28' 7", 60] 
r/= 43 

log a Sin C = 
log sin A ==: ci-dessua 

loge [2,670 57] 



0,42875982 


1,991 I4I2 


3oi 


26 



0,4199043 

J, 99^^997 

0,4266046. 
5926 

lioo 



d = 
532 



1,46 



d = 
i63 



une parenthèse 6n blanc dans laquelle on écrit, ensuite ,le nombre qui, 
d'après la table, répond au logarithme qu'on vient d'obtenir. 

Les types des autres cas donneraient lieu à des explications analogues que 
les lecteurs trouveront d'eut-^mêmes en refaisant les calculs indiqués. 

Nous ne croyons pas nécessaire de placer ici des types pour la disposition 
<les écritures relatives à la résolution des triangles sphériques. 



^O USAGE DES TABLES TRIGOMOIIÉTRIQVES. 

III\Cas. Données' a ^ 6, C. 

FOUniLES. 



a=z 2,683 86 
b = 1,002022 
€=78» 28' 7", 60 



. a sinC 



C := 



usinC 
sinA 



SOLCTIONS. 



A = 79*57'4o",93 
c= 2,67067 



lQga[2,683 86] = 
</= 162 

logsmC[78"28' 7', 60 = 
rf=43' 



0,4*^7501 

97a 
7,991 I4l2 
3oi 
26 



log«rsinC = 0,4199043 



logcosCr78*28'io'' "1 

L ~ *,4j 
d= — io32 

logacosC[o,536 5o86] 
b = 1,0020220 

b — logflf cosC = o, 465 5i34 



rf=93 



log 



1,3007921 
2064 
4i3 



logtangA[79°57'40^93] = 



' log sin A [ » 

rf = 37 



] = 



loge [2,670 57] = 



7,7*9 


5767 
697 




70 
65 




5 


7,667 


9*90 
28 

4 


0,751 


9721 
607 




II 400 
357 


7,993 


*994 
33 




I 


o,4'^6 6o46 
5926 



d. 
81 



0,86 



1227 



0,93 



120 



d = 

i63 
0.7 



P&OBLÈMES DIVEHS DE TRIGOM OMET RIE r 

IV* Cas. Données a, b, c. 



7' 



a 2,btfiHt) 
b 1,00202 


FORMULB. 

J 


A 


SOLUTION. 


c 2,070 57 
2^ = 6,356 45 
p — 3,1.78225 


2 Y OC 


= 79°57'4i',8 


Iog(;? — ^) [2,176205] - 0,3376988 

d — 200 it) 






c) [0,507 655] 1, 705 5644 
^ = 86 43 





log(p — b)(p-' c) = 0,0432685 



\ogb [1,002 02] 
loge [2,670 57] 



losbc = 



log sin^ - 
° 2 

îogsin-[39''58'50",9] 
A= 79° 5/ 41", 8 



, 000 8764 
0,4266926 

114 

, 427 4804 

7,6157881 

1 , 807 8940 

18 



2200 



25 1 



o>9 



§ VIII. PROBLÈMES DIVERS DE TRIGONOMÉTRIE. 

86. Trigonométrie RECTILI6NE, — I. Tromper la distance 
AB(^gf, 16) entre dfiux points inaccessibles. On mesurera 
une base CD, et les quatre angles ACD, BCD, ADC, BDC 
que font avec elle les droites ou rayons visuels dirigés de 
ses extrémités C et D vers A et B.On mesurera aussi l'angle 
ACB qui ne sera pas la différence des angles ACD et BCD 
si les deux droites DA et CB ne sont pas dans un même 
plan. On résoudra Içs tris^ngles ACD et BCD (64)5 puis 
connaissant les côtés CA et CB du triangle ACB et Fangle 



y 2 PROBLÈMES DIVERS 

mesuré AGB qu'ils comprennent, on en conclura la dis* 
tance AB (66). 

II. Réduire à r horizon un triangle dont une base est 
horizontale. Le point A {Jîg. 17) ayant été observé des 
deux extrémités d'une base horizontale BG, les côtés et les 
angles du triangle ABC sont supposés connus. Il s'agit de 
calculer les côtés BA', CA' et les angles du triangle BCA'^ 
projection horizontale du triangle BCA. A cet effet, on me- 
surera les angles ABA^ ACA' que les droites AB et AC 
font avec Thorbon. On calculera BA'= BAcos ABA' et 
CA'=CA cosACA'. Connaissant ainsi les trois côtés du tri- 
angle A'BC, on calculera ses angles (67). 

m. Les quatrç points A, B, C et D [fig. 16) étant dans 
dans un même plan , on connaît les côtés et les angles du 
triangle ABC , et les angles BDA , ADC désignés par ^ et 7 ; 
il s'agit de résoudrie les deux triangles ABD et ADC. 

Soient AC = t, AB = c, angle BAC = A, angle ABD = a:, 
an^le ACD =y' Les dtMix triangles ABD, ACD fournissent 
deux expressions égales du côté commun AD^ savoir (64) : 

■ , ïnx bsinv 

(0 . ft = . • > 

^ sinP siny 

la somme des angles du quadrilatère ABCD donne 
(2) , -a:-:hj-i-A-Hi3 + 7=36o^ 

Connaissant ainsi jc-j-^, on cherche x — J^p^r un pro- 
cédé analogue à celui du n*^ 66, 3^. 
pe l'équation (i) on tire, en posant 

yo\ csiny sinr 

On en conclut 

sin^H-sinj i-Htangy tang4^°-4-tangy 

sînj7 — s'itix I — langf i — tang4S^tangf 



BE THlGÔM9MÉ'rfUfi> ji 

d'où (57 et 39) . 

(4) ^1 =tàDg(45''-t-y). 

sin ^ 

2 

, Les équations (n) et (3) faisant connaître — et ç, 

Féquation (4) donne ^; oû en conclura x et j<". Ainsi 

dans chacun des triangles ABD et ADC on connaîtra deux 
angles et un c6té , ce qui ramène au cas du n^ 64*. 

IV. Trouver la relation entre le nombre de degrés d'un 
arc de cercle a , la corde c qui le sous-tend et son rayon r. 

En menant du centre une perpendiculaire sur la corde, 
on a un triangle; rectangle qui donne la relation cherchée 

c . a 

- = rsm — 

2 2 

Il suffira de connaître deux des quantités a^ c^r pour en 
conclure la troisième. 

87. Trigonométrie sphérjque. -^ I. Etant données 
les longitudes et les latitudes de deux points A et B du 
globe terrestre^ trouv^er leur distance^en degrés. Les lati- 
tudes sont comptées positivement si elles sont boréales, les 
longitudes sont supposées positives vers Test, et la longi- 
tude du point B est supposée plus grande que celle de A. 
€ela admis, si C est le pôle boréal , les trois points A , B et 
G sont les 'sommets d'un triangle sphérique, dont deux 
côtés sont donnés, savoir AC=go** — latitude de A, 
BC =90^ — latitude de Bj et<l*angle C du même triangle, 
compris entre ces mêmes côtés est la diflerence connue des 
deux longitudes. La distance demandée est le troisième côté 
qu'on trouvera comme au n** 75 , HP Caç , ou au n** 78. 



74 , phoblèjées divers 

II. Réduire wi angle à r horizon. On connaît (j^g^. 18) 
les angles MSA = c , NSA = b que deux droites SM, SN 
font avec la verticale SA , et Tangle MSN = a de ces droites 
entre elles. On cherche Tangle formé par leurs projections 
horizontales. Si par Un point A quelconque de la verticale 
SA , on suppose les deux droites AB et AC horizontales et 
par conséquent perpendiculaires à SA , l'angle BAC est ce- 
lui qu'on cherche et mesure le dièdre A opposé à la face a 
du trièdre dont les deux ai^tres faces sont b et c. Le pro- 
blème se réduit au P' Cas du n° 7S. 

.Les trois angles a, é et c ont pu être obtenus sans que 
l'observateur se soit transporté en S, au moyen de deux 
stations en M et N. L'angle a est le supplément de la somme 
des deux angles NMS, MNS, et les angles b et c sont les 
compléments de ceux que les droites NS et MS font avec les 
horizontales menées par N et par M dans les plans verticaux 
NSA et MSA. 



DE TKiaOMOMÉTRIE. 
Table det nombre* .trig^nométriques naturels. 










• 






* 


■ 

I 


SINUS 


TANG 


COTANG 


COSINUS 




0,0175 


0,0175 


57 , 2900 


0,999^. 


89 


3 


o,o349 


0,0349 


28,6362 


Of9994 


88 


3 


o,o5q3 


0,0624 


19,0811 


0,9986 


87 


^ 


0,0698 


0,0699 


]4j3oo7 


0,9976 


.86 


D 


0,0872 


0,0875 


ii,43oi 


0,9962 


86 


6 


0, ïo/|5 


o,io5i 


- 9y5i44 


o>9945 


84 


/ 


0,1219 


0,1228 


8,1443 


0,9926 


83 


8 


0,1392 


o,i4o5 


7;»«54 


0,9903 


82 


9 


0,1 564 


0,1 584 


6,3i37 


0,9877 


81 


10 


0,1736 


0,1763 


5,6713 


0,9848 


80 


11 


0,1908 


0,1944 


5,i446 


0,9816 


79 


n 


0,2079 


0,2126 


4,7046 


0,9781 


78 


i3 


0,2250 


0,2309 


4,33x5 


0,9744 


77 


i4 


0,2419 


0,2493 


4,0108 


0,9703 


76 


i5 


0,2588 


0,2680 


3,7321 


0,9669 


75 


! 
i6 


0,2756 


0,2868 


3,4874 


0,9613 


74 


J/ 


0,2924 


0,3067 


3,2709 


0,9563 


73 


i8 


0,3090 


0,3249 


3,0777 


0,9611 


72 


ï9 


0,3256 


0,3443 


2,9042 


0,9455 


7> 


20 


0,3420 


o,364o 


2,7475 


0,9397 


70 


21 


0,3584 


o,3839 


3,6o5i 


0,9^36 


69 


22 


0,3746 


0,4040 


2,4760 


0,9272 


68 


23 


0,3907 


0,4245 


2 , 3559 


0,9206 


67 

en 
M 

.a 




COSINUS 


CC^ANG 


TANG 


SINUS 






- 










.0 

QD 

« 


«lires 


TASG 


COTANG 


COSINUS 




0,3907 


0,4245 


2,3569 


, 9206 


67 


^4 


0,4067 


0,4452 


2,2460 


0,9135 


66 


25 


0,4236 


0,4663 


2,1445 


0,9063 


65 


26 


0,4384 


0,4877 


2,o5o3 


0,8988 


64 


317 


.0,4540 


0,6096 


1,9626 


0,8910 


63 


.28 


0,4695 


o,63i7 


1,8807 


0,8829 


62 


29 


0,4848 


0,5543 


1,8040 


0,8746 


61 


3o 


0,6000 


0,6774 


1,7321 


0,8660 


60 


3i 


o,5i5o 


0,6009 


1,6643 


0,8672 


59 


32 


0,6299 


0,6349 


i,6bo3 


0,8480 


68 


33 


0,5446 


0,6494 


1,5399 


0,8387 


5? 


34 


0,5592 


0,6745 


1,4826 


0,8290 


66 


35 


0,6736 


0,7002 


1,4281 


0,8192 


56 


36 


0,6878 


0,7266 


1,3764 


0,8090 


64 


37 


0,6018 


0,7536- 


1,3270 


0,7986 


63 


'38 


0,6167 


0,7813 


1,2799 


'0,-7880 


62 


39 


0,6293 


0,8098 


1,2349 


0,7771 


5i 


40 


0,6428 


0,8^91 


1,1918 


0,7660 


5o 


4. 


o,656i^ 


0,8693 


i,i5o4 


0,7547 


49 


42 


0,6691 


0,9004 


1,1106 


o,743i 


48 


43 


0,6820 


0,9326 


1,0724 


o,73i4 


47 


44 


0,6947 


0,9667 


i,o366 


0,7193 


46 


45 


0,7071 


1,0000 


1,0000 


0,7071 


46 

as 




cosnNus 


COTANG 


TANG 


SINUS 


• 






^1 



7^ COOKDOHBÉES 



CHAPITRE IL 

EXPRESSION DES. LIEUX GÉOMÉTRIQUES 
PAR LEUlis ÉQUATIONS. 



§ I. GtNfiKAUTtS SUS CI SOJBT. 

i"". Coordonnées parallèles à des axes concourants. 

88. L'emploi des coordonnées, qui (n^* 7 et 13) sert à 
désigner la position d'un point dans un plan ou dans l'es- 
pace, fournit aussi le moyen d^exprimer algébriquement la 
situation d'une suite de points soumis à une même loi, et 
formant soit une ligne, soit une surface : il suffit pour cela 
d'écrire en une ou plusieurs équations les relations qui lient 
entre elles les coordonnées algébriques d'un même point 
pris arbitrairement parmi ceux dont il s'agit. C'est ce qui 
va s'éclaircir en considérant les divers cas renfermés dans 
cet énoncé général. 

.89* S'il s'agit d'une courbe plane, ou imaginera dans sou 
plan deux axes coordonnés Ox, Oy, et l'on tàcbera de tirer 
de la définition de la courbe une équation qui exprime la 
relation entre les coordonnées J?, ^, d'un point quelconque 
de cette courbe* Cette équation entre les variables x^Jt et 
les quantités constantes fournies par la question, s'appelle 
Véquation de la courbe rapportée aux axes coordonnés 
Ox,Oy. 

Exemples, i°. Un cercle dont le rayon est r, et dont le 
centre est à l'origine des coordonnées rectangulaires, a pour 
équation (12) 

j* -f- X? = r* ou JK = dt ^r* — x*. 



PARALLÈLES A DCS AXES. ^*] 

2^. Un cercle tangent à Taice des Xy au point pris pour 
origine des axes rectangulaires, a pour équation 

[y — r)* 4- X* = /^ ou j^' — 2 yy + a;* = o, 

oa encore 

Cette équation peut servir à tracer par points sur le terrain 
un arc de cercle, d'un très-grand rayon connu, tangent à 
une droite donnée. 

Lorsque, pour aider le raisonnement, on veut exprimer 
de U manière la plus générale l'équation d'une courbe 
en coordonnées x , j* , on la représente par le symbole 
F (a:, y) = o, dont Ténoncé est : fonction de x et de j 
égale zéroj ou par j^ =: F (x), dont Ténoncé est ly égale 
fonction de x. Dans ce second cas, on suppose que Téqua^ 
tien est résolue par rapport à y. 

Généralement on entend par une fonction- d^ une ou de 
plusieurs ^variables Fexpression d'opérations quelconques à 
faire sur ces variables, combinées soit entr^ elles, soit avec 
des constantes. 

90. S'il s'agit d'exprimer algébriquement une ligne à* 
double courbure (c'est-à-dire non située dans un plan), ou 
plus généralement une courbe située d'une manière <juel-^ 
conque par rapport à trois axes coordonnés, la question se 
réduit à trouver deux équations auxquelles doivent satisfaire 
les trois coordonnées a:,^'", «, de tout point de cette courbe. 
Si Tune des équations ne renferme que deux coordonnées^ 
elle est l'équation de la projection de la courbe sur le plan 
des deux axes coordonnés correspondants : car, pour fin. 
point quelconque d^a courbe dans l'espace, les coordon- 
nées X, j^, par exemple, sont les mêmes que celles de sa pro- 
jection sur le plan des x ety^. 

Eùcemple. Si la courbe est située sur une sphère dont le 



y 8 COORDONNÉES PAHlLLELES À DE9 AXES. 

rayon est r, et dont le centre est à Torigine de trois axes 

rectangulaires, et si sa projection sur le plan des xy est un 

cercle dont le rayon est r', et dont le centre est sur Taxe 

des x, à la distance a de Vorigine, la première condition 

donnera (19) 

a:' -H- j**' 4- -z* = r*, 

puisque la distance d'un point quelconque de la courbe i 
Forigine est r/ et la seconde condition s'exprimera par Vé^ 
quation du cercle, projection de la courbe (89) ^ 

j"-+- (x — fl)« = r'*. 

91. En général, étant données les deux équations d'une 
courbe dans l'espace, rapportée à trois axes coordonnés^ 
l'élimination d'une des coordonnées fournit l'équation de 
la projection de la courbe sur le plan des axes parallèles aux 
deux autres coordonnées. 

En général aussi, quand on se donne l'une des coordon- 
nées d'un point de la courbe, les équations dé cette courbe 
deviennent deux équations. à deux inconnues servant à dé- 
terminer les deux, autres coordonnées du point dont il 
s'agit. 

92. Si l'on a à exprimer algébriquement une surface, on 
tire de même de sa définition ia relation qui existe pour 
tout point de celte surface entre ses coordonnées parallèles 
à trois axes. 

Exemples. i°. Une sphère dont le rayon est ;*, et dont le 

centre est à l'origine de trois axes rectangulaires, a pour 

équation (19) 

j?* -hy* 4- ^* = r*. 

2^. Soit mue surface cylindrique engendrée par une 
droite qui se met parallèlement à une même direction en 
8*appuyant sur la circonférence d'un cercle. Son équation 



COORDQHKÉES POLAIRES. ^g 

aura la iforme la plus simple si run des plans coordonnés est 
le plan du cercle, et si Ton prend Tun des axes coordonnés, 
par exemple celui des z^ passant par le centre du cercle, et 
parallèle à la génératrice rectiligne. Dans ce cas, tous les 
points d^uBe même position de cette génératrice auront le 
même x et le même y ^ d'où il suit qu'entre les coordonnées 
X, yj d*un point quelconque de la surface, existe la même 
relation qu'entre l'a: et Vy d'un point de sa trace sur le 
plan des x cl y. Cette trace est un cercle ayant son centre à 
ForigineO^ et si Tangle xOy est droit, l'équation de la 
trace, et en même temps l'équation de la surface cylindri- 
que, est 

X* ■+■ y* = r*. 

93L L'équation d'une surface quelconque en coordon- 
nées x, y^ z, se représente eu général par le symbole 
F (x^y^ z) = o, dont l'énoncé est '.fonction de x, dey et 
de z, égale zéro •, ou par z = F [x^y)y si l'on suppose l'é- 
quation résolue par rapport k z. 

Le deuxième exemple prouve que l'équation d'une sur- 
face, rapportée à trçîs axes, peut ne renfermer que deux des 
coordonnées, et appartient alors à une surface cylindrique. 
Elle pourrait même n en renfermer qu'une : l'équation 
X == a serait celle d'un plan parallèle au plan des j' et 2, et 
coupant l'axe des x à une distance a de l'origine. On voit, 
eu effet, que pour tout point de ce plan l'abscisse x est 
égale à a, et réciproquement. 

a°. Coordonnées polaires. 

94. La position d'un point dans un plan peut être dési- 
gnée autrement que par ses coordonnées parallèles à deux 
axes. 

Soit Taxe Ox supposé connu (^^. 19), ainsi qu'un cer- 
tain plan passant par cet axe, plan qui est celui de la Bgurc. 



8o COORDONlS'éES 

La position du point M dans ce plan sera déterminée par 
dealc quantités, savoir : 

1°. L'angle uOx ou a que décrirait une droite Ou pour 
passer de la direction Ox à la direction OM^ 

a^. L'abscisse u, du point M, sur la droite Ou : cette ab^ 
scisse prend le nom de rayon vecteur. 

Ces deux quantités^ a^ u^ s'appellent coordonnées po" 
laites. On peut, en les prenant toutes deux positives, expri- 
mei' la position d'un point donné quelconque dans le plan ^ 
mais rien .n'empêche d'admettre aussi des coordonnées po- 
laires négatives, et, moyennant cette convention, la posi- 
tion d'tm même point peut être exprimée par quatre sys- 
tèmes équivalents de deux coordonnées. Exemple : 



a==iao*^, («= 3oo°, |a = — 240**? la = — 60°, 
,a^o"*,5, 1 II = — o",5, \u= o"*,5, |i# = — o^^jS. 



î 

05. Une courbe peut être exprimée en coordonnées po- 
laires. 

Exemples, i^. Dans ce système^ l'équation du çerde 
dont le rayon est r, en prenant l'origine au centre, serait 
u = r. 

2^: Si, en même temps que la droite indéfinie O u tourne 
autour dû point O, on suppose que le point M se meuve de 
manière que les accroissements successifs du rayon vecteur 
u soient proportionnels à ceux de l'angle a, la courbe dé- 
crite est la spirale tTArchimède, et son équation est 
u = aa'{^ b^ en désignant par b la longueur du rayon vec- 
teur qui correspond à a = 0, et par a l'accroissement de u 
pour chaque unité de a. 

« 

3°. Coordonnées focales. 

96. La position d'un point dans un plan pourrait être 
définie par ses distances à deux points donnés dans ce plan. 



FOCALES. 8l 

Ce mode de détermination est quelquefois employé dans le 
lei^er des plans. 

Si F et F^ sont deux points donnés à priori, et si u et u' 
sont les distances respectives d^un point M à F et F', ces 
deux quantités, étant déterminées, appartiendront à deui 
points rectangulairement symétriques par rapport à la 
droite FF'. 

Une équation entre les distances /i, u', considérées comme 
variables, peut servir à exprimer une courbe rectangulai- 
rement symétrique par rapport à la droite FF'. 

Exemples^ i^. Si la somme mh-i*' est constante, là 
courbe s'appelle une ellipse.^ dont les points F, F' sont les 
foyers^ Etant données la distance FF' =; ne et Téquation 
tt-+- tt' = 2a> il est aisé de construire la courbe par pointa 
(fig, 26)1 Ou peut même la concevoir décrite d'un inouve- 
ment continu à l'aîded'un fil dont la longueur serait na^ et 
dont les extrémités seraient attachées aux foyers F, F'; une 
pointe traçante qui glisserait le long du fil en le tenant 
toujours tendu décrirait la courbe. 

2°. Si la différence u — u' ou u' — u est constante, la 
courbe s'appelle une hyperbole, dont F et F' sont les 
foyers. Étant données la distance FF' = ac et Téquation 
u — II' = db 2 a, ou (m — m')' = 4^? on construit facile- 
ment la courbe par points (fig- 27). Oe^ peut aussi en dé- 
crire d'un mouvement continu un arc d'une certaine étendue 2 
une règle. tourne dans le plan de manière que l'un de ses 
points, toujours lé même (fig> 20), se confonde avec l'un des 
foyers F 5 un fil NMF' çst attaché, d'une part à un point 
N de la règle, d'autre part au second foyer F', (et la dis- 
tance FN excède de 2 a la longueur de ce fil; une pointe M, 
qui glisse le long de la règle, en tendant lé fil, trace la 
courbe, car on a 

FM — F'M == FN — F'MN = afl. 



83 COORDONNIÊRS FOCALES. 

97. Les mêmes équations 

eyprimeraient des surfaces de révolution autour de là 
droite FF' si le point M, auquel appartiennent les distan- 
ces u, u\ n^était pas assujetti à rester dans un même plan. 
Ces surfaces seraient, l'une un ellipsoïde^ l'autre un hyper- 
boloïdç de révolution, ayant F et F' liour foyers. 

98. La position d'un point M dans un plan pourrait en- 
core être définie par sa distance MN à une droite donnée 
ÂB du plan (fig, ai), et sa distance MF à un point donnéF 
dans le même plan. La même définition, dans ce cas, ap- 
partiendrait à deux points rectangcdairemeut symétriques 
par rapport à la perpendiculaire FC sur AB. 

Si «l'on désigne FM par u, et MN pat u\ une équation 
entre u et u\ considérés comme variables, exprimera un^ 
courbe symétrique par rapport à CF. 

Exemple, L'équation m =r u', ainsi îrlterpréiéè, est celle 
d'une cotirbe appelée parabole^ facile à construire par 
points. On peut en décrire par un mouvement continu un 
arc d'une certaine étendue à l'aidci d'une équerre KLN qui 
glisse selon la directrice AB^ et d'un fil attaché, d'une part 
au point L de Téquerre, et de Tautré au foyer F, la lon- 
gueur de ce fil étant égale à NL ; une pointe qui glisse le 
long de l'équerre en tendant le fil décrit la parabole, car 

on a 

FM = FML — ML = MN. 

99. u étant toujours. la distance de M au foyer F, si u' 
était sa distance au plan projeté en AB dans la figure, 
l'équation u:=^u' exprimerait une surface appelée parabo* 
loïde de révolution ( *) . 



(*) La cycloîde dont il. sera question au n9 157 est un autre exemple 
d'une courbe exprimable par régalité de deux variables coordonnées. 



ÉQlJATiO]NS DES LIGUES DROITES. 85 

100. Le$ exemples précédents doBneut lieu à quelques 
remarques générales. 

i^. Une équation à plusieurs variables peut renfermer 
toute la définition d'une courbe ou d'une surface, et fournir 
le moyen de la construire; mais il faut toujours pour cela 
qu'une convention établisse la signification géométrique 
des variables, signification ei^ vertu de laquelle des valeurs 
simultanées de ces variables déterminent un ou plusieurs 
points. 

2°. Deux courbes égales, c'est-à-dire superposables, ont 
des équations différentes dans deux systèmes différents de 
coordonnées, par exemple quand on change Tangle des axes 
coordonnés. 

3°. Une même équation désigne des courbes différentes 
si l'on change la signification géométrique des variables. 

101. Le système des coordonnées parallèles à deux^axés 
dans un plan, oU à trois axes dans l'espace, est le pluô fré- 
quemment employé. Dans ce systèmjB, l'équation de la droite 
et celle du plan sont du pretnier degré. Nous allons donner 
quelques détails sur son application à la droite et à quel- 
ques courbes, puis aux plans et aux surfaces dont les équa- 
tions sont du second degré. 

§ IL ht LA LIGNE DROlTJt. 

102. Toute ligne droite située dans le plan de deux 
axes coordonnés faisant un angle quelconque est expri- 
mée par une équation du premier degré^ qui appartient à 
tous ses points et n appartient à aucun autre. 

Pour le démontrer, considérons d'abord des cas particu- 
liers. 

I®. Si la droite se confond a\>ec tun dés axes ou lui 
est parallèle^ P équation ne contient qu'une "vqriable. 

En effet, l'équation x == o appartient excl'usivement h 

6. 



84 ÉQUATIOIÏS 

tous les points de Taxe desy^ et Féquation a:= c (coastanle) 
à ceux d'une parallèle à l'axe des j^. 

2°. Sila droite passe par F origine ^ son équation est de 
la forme y = ajc, le coefficient a étant un nombre abstrait 
affecté d'un signe -h ou — . 

En effet, soient sur cette droite des points quelconques 
M', M", M'", dont les coordonnées sont x', y'y x", y"; 
x"\ y"\. . , : il est évident qu'on a, quels que soient les 
signes de ces coordonnées. 



r _ r: _ r! 



C'est ce qu'on exprime en disant que le rapport - est con- 
stant, et en posant l'équation j^ = ax. 

Le coefficient a est un nombre abstrait positif lorsque la 
droite divise l'angle xOy et son opposé ^ il e;>t négatif quand 
elle divise les deux autres angles des axes coordonnés. 

Si les axes Ox, Oy, font l'angle 0, et que la droite 

M'IVI". . . fasse avec Ox l'angle a, il est aisé de voir (64) 

qu'on a 

X sina 



«î 



X sin (0 — a) 

c'est pourquoi a s'appelle coe^cient angulaire. Quand il 
est donné, ainsi que l'angle des deux axes coordonnés, on 
peut en conclure l'angle a. On trouve aisément 

asïïïB 



tans a = 

. i-f-«cosô 



1 

Si les axes Oy, Oy, sont rectangulaires, le rapport a est 
simplement égal à tangua 5 nous l'appellerons, pour ^^réger, 

ï inclinaison de la droite sur l'axe des x : son inverse- est 

a 

l'inclinaisou de la droite sur l'axe des y. 

Les coordonnées o^ et j^, considérées comme appartenant 



DES LIOJNES DROITES. 85 

successivement à divers points d'une droite passant par 
Torigine, sont, dans tous les cas, des variables directement 
proportionnelles , même lorsqu'elles sont de signes con- 
traires. 

3^. Si la droite n'est ni parallèle à un axe ni passant 
par V origine^ son équation est de la forme y =;= ax H- 6, 
la constante a ayant la même, nature abstraite et la même 
valeur en fonction des angles que dans le cas précédent, et b 
étant une longueur affectée d'un signe -H ou — , qu'on ap- 
pelle Yordonnée à l'origine. 

Cela devient évident en traçant par l'origine une droite 
parallèle à celle dont il s'agit, et en remarquant que, pour 
une même abscisse, les coordonnées des droites diffèrent 
entre elles d'une longueur constante. 

103. Dans le cas de l'équation ^ = ar -h &> les variables 
Xyjf ne sont plus proportionnelles, inais leurs accroisse- 
ments à partir de deux valeurs correspondantes quelconques 
sont dans un rapport constant égal à a. En effet, si x et y, 
x' et y', x" e\.y'\.,.^ expriment deux à deux des valeurs si» 
multanées satisfaisant à l'équation de la droite, on a 

y = aJ7H-i, y=:ax'-^b^ j" = ax^ -{- bj. . .^ 

et Ion en conclut 

y—jr=za{x' — x), y^—y = a{x' — x),.,,, 
d'où 

X^ — X X X 

Les différences x^ — x, x" — .r, . . . , qui peuvent être 
positives ou négatives, s'appellent les accroissements algé- 
briques des x, et se représentent par la notation Ax. Les 
différences y' — y^ y" — y^ . . . , qu'on représente par Ay , 
sont les accroissements algébriques des y. La propriété 



86 ÉQTJATIOHS 

dont il s'agit s'écrit donc ainsi 

Ar 

-^ = a, 

et s'énonce en disant que les accroissements sùntdtanés des 
variables x et y sont proportionnels. 

Les sciences physico-mathématiques offrent des cas nom- 
breux d'une pareille loi : par exemple la dilatation d'un 
oorps, c'est«à-dire son accroissement soit de yolume, soit de 
longueur^ est, entre certaines limites, proportionnelle à son 
accroissement de température, toutes circonstances égales 
d'ailjeurs. 

• 

104. Dans un système d'aides déterminé, on peut tou- 
jours trouver une droite telle, que les constantes a, 6, de 
son équation, aient des valeurs données quelconques, po- 
sitives ou négatives. U suit de là que, réciproquement à la 
proposition précédente , dans un système quelconque 
d'axes coordonnés^ une équation de premier degré 
Ay -t- Bx -h C = o entre les coordonnées ar, y, dans la'- 
quelle jietB sont des nombres ou des rapports donnés^ 
çt C une longueur donnée^ est toujours celle d'une ligne 
droite^ qu^il est facile de construire, quels que soient les si- 
gnes des constantes A^B et C* 

105. Trouuer l'équation d'une droite ayant une incli- 
naison donnée^ et passant par un point donné. 

Soit a le coefficient angulaire résultant de Tinclinaisou 
donnée, et soit b l'ordonnée inconnue à l'origine 5 les coor- 
données X, y^ d'un point quelconque de la droite, satis- 
feront à l'équi^tion 

(i) y = ax-hb. 

Les coordonnées x^y'j du point donné, doivent satis- 



DES LIGNES DROi'tES. 8^ 

faire à la mêiiie équation. On a donc 

(2) y z=ax* -^h. 

Cette deri^iëre équation détermine 6, qu^on peut substituer 
dans Féquation (i). Plus simplement par la soustraction 
on a 

On vérifie aisément que cette équation satisfait aux deux . 
conditions de l'énoncé. On peut l'obtenir immédiatement à 
l'aide d'une figure. 

106. Trouver V équation d*une droite passant par deux 
points donnés {x\y') [x'^^y^). 

Soit a le coefficient angulaire inconnu de x : les coor- 
données x, y^ d'un point quelconque, satisferont, d'après 
le numéro précédent, à l'équation ' 

(i) y—f = a[x — x'), 

qui exprime déjà que la droite passe par le point {xfjy')^ 
c'est-à-dire dont les coordonnées sont x'^ y'. 

Les coordonnées du second point x"^y'\ doivent satis- 
faire à la même équation ; on a donc 

(2) y"-f = a{x''-x'). 

Cette dernière relation détermine a, dont on substitue 
l'expression dans l'équation (i). On arrive ainsi à 

yJ' yJ 

ou 

L'équation s'obtiendrait immédiatement sous la première 
forme, soit à l'aide d'une figure, soit par la propriété re- 



88 ÉQUATIONS DES LIGNES DROITES. 

marquise au n^ 103. On vérifie sans câlctkl qu'elle satisfait 
à la double condition de Fënoncé. 

Sous la seconde forme, Féquation est symétrique relati- 
vement aux points donnés, c'est-à-dire qu'elle reste la 
même si l'on change x! et y' en a/^ et r 'S et réciproquement. 

Si les deux points donnés sont l'un sur Taxe des x, à une 
distance p de loiigine, l'autre sur l'axe desj^, à la distance 
q^ l'équation se réduit à 

r X 

•- 4- - = I . 

Q P 

107. Déterminer le point d'intersection de deux droites 
dont on a les équations. En général, deux lignes quelcon- 
ques étant données par leurs équations, la recherche de 
leurs points communs se réduit à résoudre ces deux équa- 
tions considérées comme renfermant deux inconnues, x et 
j^ qui cessent d'être des variables indéterminées. ~ 

Réciproquement lorsqu'on a à résoudre deux équations 
à deux inconnues ,. si l'on parvient à construire deux lignes, 
droites ou courbes, exprimées par ces équations, les inter- 
sections des lignes fournissent graphiquement autant de 
solutions du problème. 

108. Équations de deux droites perpendiculaires entre 
elles. Dans un système de coordonnées rectangulaires, la 
condition pour que deux droites dont les équations sont 

y=:zax-\--by j=za^X-hh\ 

soient perpendiculs^ires entre elles, est (64) que les coeffi- 
cients a, a\ satisfassent à la relation aa^ + 1 = 0.. 

Application. Démontrer que les droites menées des 
sommets d^un triangle perpendiculairement aux côtés op- 
posés se coupent en un même point. 

Soit QPP' le triangle [fig» 22), et soit O l'origine des 



ÉQUATION» DU GERCI.E. 89 

axes rectangulaires Ox, Oy. Faisons OQ = q^ OP = p et 

OP' = p'. La drpîle PQ a pour équation (106) 

q P P ^ 

Son coefficient angulaire est a = — ^ f ce qu'on pourrait 
voir à priori, puisque la tangente de Tangle QPx, supplé- 
ment de QPO , est — - j ♦ et par conséquent le coefficient 
angulaire delà droite P'M, perpendiculaire à PQ, est 



/ ' P 

a g' 



d'où il suit que cette droite P' M , passant par P' dont les 
coordonnées sont j^' = o et x' = — p', a pour équation 

q q q 

L'équation de la droite PM' perpendiculaire à P' Q s'obtient 
de même et ne diffère de la précédente qu'en ce que p est 
remplacé par — p' et vice versa. Elle est donc 

y = -Plia:-p)=-P^^PP' 



9 ' q q 

En faisant dans chacune de ces équations x ='o, on trouve 
la même ordonnée àForigine^^? distance du point O au 
point N où les deux droites P'M et PM' rencontrent QO. 

§ IIL DU CERCLE. 

109. Dans un système de coordonnées rectangulaires, 
U circonférence du cercle dont le rayon est p et dont le 
centre a pour coordonnées a et |3 est (24) exprimée par 



go ÉQUATIOiVS- 

l'équation 

110. Si le centre est à Torigine des coordonnées , on a 

^ = o, a = o; 
réquatioQ devient 

/)r» rt- a:* rs |o% d'où y*s=2 (pH-j:) (|0 — x): 

donc Tordomiée est moyenne proportionnelle entre les deux 
segments du diamètre. 

L'équation du cercle dont le centre est à l'origine s'écrit 
souvent sous la forme 



1 11 . Si l'on fait |3 =: o , a = p (/îg:. a3 ) , Féqi^ation est 

j^'-4- .x'= 2px. 

x^ -{-j-* est le carré de la corde OM : donc OM est 
moyenne proportionnelle entre le diamiétre 'ip et l'ab- 
scisse X. 

Si l'on fait OM = z , l'équation précédente donne 



9 >3 20 

X z 



z\=apx, ou -= — , 



donc les triangles OMP, OMÂ^ sont semblables , et l'angle 
OMA est droit (MP est antiparallèle à AM dans l'angle 
MOA). 

112. Réciproque du w*^ 109. Toute équation de la forme 

j* H- a:'H-^Z)/ -H J?a; -i- F= o 

entre des coordonnées rectangulaires, dans laquelle D^ I^', 
sont des longueurs, et jPle produit de deux longueurs, est 
l'équation d'un cercle, à moins qu'elle ne soit impossible. 



bu CBIICLE. , gi 

En effet , celte équation peut se mettre sous la forme 



ou 

d où Von conclura que les coordonnées du centre et le r^yon 
soni . . , ' , 

Il y a impossibilité si p est imaginaire, c'est-à-dire si 
l'on a 

Si -F= o , la courbe passe par l'orîgipe. 

s. 

113. On détermine facilement les intersections du cercle 
précédent avec les axes, avec un« droite donnée, ou -avec 
un autre cercle (107). 

X 

114. Trouver le lieu des points M (fig* ^4) dont les dis- 
tances MA , MB, à deux points fixes A , B, sont dans un 
rapport constant min. 

Soit AB = a : on a, relativement aux axes Ax et A y, 

MA'=;:y4-x% MB'=j*-f.(cç — «)*5" 

• MA«:MB*::m^:A/% 

d'où Ton conclut 

Si m =: «, Fécjualion se réduit à x = -i el exprime une 
ligne droite perpendiculaire à AB. 



9;2 ÉQUAO^IOJIS BE ^'ellipse, 

Si m diffère de n^ l'équation est celle d'un cercle 

j-*H- x' — — a: H — ■ = o. 

115. ' Trouver le lieu géométrique des points M , M', M" 

{fis- ^^)» ^^^* 7"^ ^^ distances AM, AM', AM''', à un 
point fixe A, sont réciproquement proportionnelles aux 
distances AN, AN^ AN'', les points î^^ N', N'', étant sur 
une droite. Eu d'autres termes , il faut que le produit 
AN. AMsoit constant, quelle que soit la direction ANlVI. 
On prend l'axe Ax perpendiculaire à la droite NN". 
Soient AB == a et AN . AM = ai ; on a 



TAM = ^x' H- j' et AN: AM :: a : x, 

d'où , en multipliant les deux premiers termes de cette pro 
portion par AM , et substituant pour AN . AM et AM* leurs 
valeurs , on conclut 

ab ix^-hy* Il alXy ou a:'H-j^*=Jx, 

équation d'un cercle. On. vérifie très-^aisément cette pro- 
priété du cercle par la similitude des triangles AI^B, AMD. 

§ IV. ÉQUATIONS DE l'eLLIPSE, DE l' HYPERBOLE ET DE LA PARA 
BOLE, DÉDUITES DES PROPRIÉTÉS FOCALES DE CES COURBES. 

116, L'ellipse a été définie au n^ 96, 1" exemple. 

Soieïit F, F', les /ojer5 (fig, 26) 5 p, p', les rayons vec- 
teurs dont la somme constante est 2 a. O,' milieu de FF', 
est le centre. Si l'on prend OA = OA'= A, les points A 
et A' appartiennent à la courbe 5 car, pour le point A , par 
pxemple, on a 

AF 4- AF'=(a--FO) 4- (a -+-OF') = aa. 
Désignant FF' par 2c, on a niécessairement a"^ c^ car 



DE l'hYPEUBOLE et de la PAAABOLte. ^3 

{uelconque des triangles tels que FMF' donne 
FM -1- F' M > FF', ou aa>2c. 

— c OF , 

rapport -ou -r^r s'appelle excc/if r/ciyé; A A' et CC sont 

axes principaux , savoir : 

■ .^_— ^— _— - 

" grand axe AB = 2 a , petit axe DC = 2 \Ja^ — c' . 

- 117. Cherchons l'équation de l'ellipse rapportée à ses 
ax axes principaux pris pour axes coordonnés : Féqua- 
m aura ainsi sa forme la plus simple, puisque la courbe 
t symétrique relativement aux deiix axes. L'un des rayons 
icteurs étant désigné par p, l'autre est 2 a — p? et l'on a , 
après la figure, 

p« = y-f-(c-ha:)% 

1 ne reste qu'à éliminer p : on a par soustraction 

" ' 4^1^ — 4^' = 4cj^j d'où ^'zzz.a'^ » 

. et en substituant cette expression de p dans l'une ou l'autre 
des équations précédentes , 



c^x^ 



a. 



c« 

ou bien 

Ii8. L'hyperbole a été définie au n^ 96 , IP exemple. 

Soient \es foyers F, F' {fig> 27) •, les rayons ^vecteurs p^ 
p', dont la différence constante est 2. a. Le milieu O de FF' 
est le centre. Soit la distance des foyers FF' = 2 c. On voit 
par \e triangle FMF' que l'on a a < c. 

Si Ton prend OA = OB = a , les points A et B appar- 



94 ÉQJtJÀTIOliS DE l'ellipse^ 

tiennent à la courbe. La distance AB =^ tîa s^appelle Vaxe 
transi^erse. 

Là courbe n'a pas de point sur Oy perpendiculaire à AB. 

« 

.119, Cherchons l'équation de l'hyperbole rapportée à 
ses axes principaux , c'est-à-dire aux axes coordonnés rec- 
tangulaires Ox, Oy, dont l'un passe par lés deux foyers, 
et l'autre par le centre. L'un des rayons vecteurs étant re- 
présenté par pj l'autre l'est par ± (^ — 2 a ) , et l'on a 

Ces dernières équations, étant algébriquement les mêmes 

qu'au n° 117, donnent la même valeur de p =iî a -f ^^ et îa 

même équation finale qui , à cause de a <[ c , doit s'écrire 
sous la forme 

120. En faisant, dans l'équation (n*^ 117) de l'ellipse, 
a^ — c' = i*, et dans celle (n°119) de Phyperbole, 
o' — à^ =, i*, on a pour l'ellipse 

et pour l'hyperbole 

a'r* — b^x^ = — a^b^. ou 7 = — i. 

*^ b^ a" 

» 

121. Réciproquement toute équation en coordonnées 
rectangulaires , de la forme 



X 



L ri, ^^ f 

* est celle d'une ellipse dont les axes sont ip selon les ai^ et 
'xq selon les j^j l'axe contenant les foyers est le plus grand 
des deux. 



DE l'hYPBBBOLE BT DE LA PARABOLE. Q5 

Toute équation de la forme 

^ J^ j_ 

est celle d'une hyperbole, l'axe transverse étant ip oti 
2Ç selon que le second membre est positif ou négatif, c'est- 
à-dire selon que l'axe des x rencontre ou non la courbe. 

122. Etant donnée l'équation d'une courbe, on peut en 
déduire toutes les propriétés de cette ligne. C'est ce qu'tîn 
appelle discuter une équation. On ne s'attachera ici qu'aux 
conséquences les plus immédiates des équations de l'ellipse 
et de l'hyperbole. 

De l'équation de T ellipse 



X- f" 



p' f 

f 

^on conclurait , si on ne le savait déjà , 

i*^. Que l'origine est un centre^ c'est-à-dire le milieu de 
toutes les cordes passant par ce. point : car, si x et j^ sont 
les coordonnées d'un point, les coordonnées — x et — y 
d un point diamétralement opposé satisfont également à Té- 
quation ; 

2**. Que chacun des axes coordonnés coupe en leurs mi- 
lieux les cordes parallèles à l'autre : car, si x et y sont les' 
coordonnées d'un point, les deux autres points dont les 
coordonnés sont — x eX. y pour l'un, x et — y pour l'autre , 
sont également sur la courbe \ 

3°. Que les longueurs des parties dés deux axes coor- 
donnés interceptées dans la courbe sont ip sur l'axe des x 
et 29 sur l'axe des y: car, en faisant y = 0, on trouve 
a; = zt ^ 5 et pour a: = o , y = ±: y. 

En résolvant l'équation par rapport à l'une des varia- 



g6 ÉQUATIOMS UE l'elLIPSE, 

Mes ^ jr par exemple , on a 

Le facteur ^p* — x' ou ^[p -hx) (p — x) est une moyenpe 
proportionnelle entre les deux segments p -{-x^ p * — x du 
diamètre 2p. Ce facteur est donc égal à l'ordonnée rectan- 
gulaire répondant à F abscisse x dans le cercle qui aurait 
son centre à Torigine et le diamètre a p. 

Donc, pour. une même abscisse, Vordonnée de V ellipse 
rapportée à ses axes principaux est à celle du cercle décrit 
sur Vun de ses axes, comme diamètre, dans le rapport 
constant de l autre axe à ce diamètre. De là résulte un 
moyen de construire l'ellipse par points. 

123. On conclut de cette propriété que toute ellipse peut 
être considérée comm.e la projection orthogonale ou obli- 
que d^un cercle sur un plan , et tout cercle cornante la pro- 
jectionde dii^erses ellipses ayant un axe commun; considé- 
rations fécondés en conséquences intéressantes concernant 
les cordes supplémentaires, les diamètres conjugués, les 
parallélogrammes circonscrits. 

Une ellipse^ dont les diamètres principaux sont aa et 2 £, 
peut être regardée comme la projection orthogonale d'un 
cercle dont le diamètre serait 2«, et dont le plan ferait avec 

celui de l'ellipse uu angle ayant pour cosinus le rapport — 

Le centre O' de l'ellipse {fig- 28) est la projection du 
ceptre O du cercle. 

Imaginons dans le cercle un diamètre quelconque ÂB et 
les deux cordes AC et CB, formant l'angle droit AGB. Me- 
nons les dianiètres'FG et HI, qui passent par les milieux D, 
E de ces cordes. Chacun de ces diamètres partage en deux 
parties égales toute corde parallèle à Fautré : ainsi FG 
pas^e au milieu de MN, parallèle à HI, et Bipasse au mi- 



bË L'llYPERBOl.E ET DE LA PAkÀBOLE. Qj 

lieu de NL, parallèle à FG. Enfin,, les tangentes en F^ G, 
H et I forment un carré PQRS. 

Maintenant, considérons dans le plan de Tellipse tous les 
points et les droites qui sont les projections des points et des 
djToites dont nous venons de parler, et désignons-les par les 
mêmes lettres accentuées. 

Les cordes A'C et C'B'^ qui partent d'un même point 
C de la courbe et aboutissent aux deux points A' et B', dia- 
métralement opposés, s'appellent cordes supplétnentaires. 
Elles jouissent de cette propriété que si par le centre O' on 
mène les droites H'I' et F' G' parallèles à ces cordes, cha- 
cune de ces droites partage en deux parties égales toute 
corde parallèle à l'autre. Par cette raison, on dit que F'G' 
et H'I' sont deux diamètres conjugués^, 

Ebfîn, au carré circonscrit PQRS répond en projection 
un parallélogramme P'Q'R^S^ circonscrit, dont les côtés 
sont parallèle» aux diamètres conjugués, et il est remarqua- 
ble que toii$ les parallélogrammes circonscrits à Tellipse 
ont leur aire constante et égale à 4^^- En eiTet^ il est aisé 
de démontrer, comme on le verra au n° 349, que l'aire de 
lis^ projection orthogonale d'une figure plane quelconque est 
égale à l'aire de cette figure dans l'espace multipliée par le 
cosinus de l'angle des deux plans : donc l'aire P'Q'R'S' est 

égale à l'aire PQRS multipliée par --; c'est donc 4^* - on 
4ai. 

124. On a vu, aux n®' 14 et 15^ qu'en cherchant l'équa- 
tion d'une courbe définie par une propriété géométrique, 
on peut reconnaître l'identité de la courbe avec une ligne 
connue par d'autres propriétés. En voici un autre exemple. 

L'angle y Ox étant droit (fig- ag), une droite AB, d^une 
longueur déterminée, est assujettie à se mouvoir, de ma- 
nière que l'extrémité A soit toujours sur Oy^ et l'extrémité 
Bsur Ox. Cherchons l'équation de la courbe décrite par le 

7 



gS ÉQUATIONS DB l'bLLIFSK, 

point M de la droite, dont la distance aux extréinités A, H, 
sont les constante^ a, b. 
On a 

MP : MB :: AQ : AM 

ou 

ce qui revient à Tëquation à.e\ ellipse. 

125. Discussion de Téquation de l'hyperboîe 



•^ a 

Pour a: = fl, on ay = o ; pour x <C^al^y est imaginaire ; 
pour x.]>a et quelconque, y a deux valeurs réelles de si- 
gnes contraires ; pour jr = o, on a j^ == ±: & \j — i ; c'est 
pourquoi cette quantité b s'appelle le demi -axe imaginaire. 
Ainsi là courbe a deux parties séparées, et chaque partie 
deux branches qui s'étendent indéfiniment. 

L'équation, résolue par rapport à x, donnerait 



a 



et conduirait aux mêmes conclusions. 

126. Lbmme. met n étant des quantités constantes posi- 
tives ou négatives, la quantité m ^x* -H n diffère aussi peu 
qu'on veut de mXy si l'on prend x suffisamment grand. 

Soit 

tz= mslx^ + n^ 

d'où 

m'^n 



/.' — /«'x' z= m^n ou t — mx = 



t 'h'nx 



Ce dernier dénominateur augmente indéfiniment : donc la 
différence entre t et mx devient aussi petite qu'on veut. 



Ae l'hyp^hbole et de là parabole. 99 

127. Ce lemme s'applique à Téquationde Thyperbole, et 
démontre qu'à mesure que l'abscisse de cette courbe croit, 
son ordonnée diffère aussi peu qu on veut de J'ordonnëe 
qui, ayant la même abscisse, appartient k Tune des droites 
exprimées par Féquation 

r=dt-x. 

a 

Ces deux droites, dont les branches de la courbe s'appro- 
chent autant qu on veut à mesure qu'on les prolonge, sans 
que les droites et la courbe puissent jamais se confondre, 
s'appellent asymptotes de l'hyperbole. Elles se construi<^ 
sent au moyen des deux demi-axes a, b. Toute droite pa- 
rallèle à une asymptote ne rencontre la cOurbe qu'en un 
point, car il n'y a qu'un système de valeurs de x et dej^ 
qui satisfasse simaltanément à deux équations telles que 



6' 

r' = — x* — b* et y ==-j:-f-i8: 

en effet, en élevant la deuxième au carré, et retranchant la 
première, on trouve 



a 



a:: -h jS* 4- £• = o, 



d'où l'on tire une valeur unique de x. 

Lorsque les demi-axes a et è de T hyperbole sont égaux, 
l'équation est j^ — x* = — a'. Les asymptotes, exprimées 
par l'équation j:^±x^ font un angle droit, et l'hyper- 
bole est dite équilatère. 

. Il est aisé de voir que toute hyperbole peut être considérée 
comme la projection orthogonale ou oblique d'une hyper- 
bole équîlatère. 

128. Nous avons obtenu une équation simple du cercle 
(Hl) en plaçant l'origine 'sur la circonférence et en faisant 

7- 



lOO ÉQtJATlONS DE l'eLLIPSE, * 

passer Tun des axes par le centre. Faisons la même chose 
pour l'ellipse et pour Fhyperbole, en prenant l'origine à 
une extrémité de Tun des axes principaux de rellipse et de 
Taxe transverse de l'hyperbole. 

L'équation de l'ellipse peut s'écrire ainsi, quand l'origine 
est au centre O [fig^ 3o ) : 

Or (a-^x)[a — x) est le produit APxPA' des deux 
segments du diamètre AA', déterminés par l'ordonnée MP; 
il est évident que, si l'origine des coordonnées était en A, 
AP serait exprimé par x, et PA par na- — x. L'équation de 
l'ellipse serait donc 

f = --['xax^x^). 

De même, l'équation de l'hyperbole, quand l'origine est 
au centre et l'axe des x suivant l'axe transverse, peut s'é- 
crire ainsi : 

[x ' — a) [x-^- a) est le produit des deux distances AP, AT 
(fiS' 3 1), du pied de l'ordonnée aux deux sommets A et A'. 
Or, si l'origine était en A, les x positifs restant du même 
côté, AP serait exprimé par x et A'P par ia -f- x : l'équa- 
tion de l'hyperbole serait donc 

Les équations de l'ellipse et de l'hyperbole sont donc ren- 
fermées dans la formule 

y^ -\- mx^ = ipx 

qui exprime Tune ou l'autre suivant que m est positif ou 
nt'galif. 



DE I. HYPERBOLE ET DE LA PARABOLE. lOl 

129. La parabole a été définie au n° 98. 

Soient le foyer F (fig» Sa) et la directrice AB -^ le rayon 
vecteur FM, ou p, est égal à la distance MN. Soit AF= p, 
quantité donnée qui spécifie la courbe. La droite indéfinie 
AFx s'appelle Vaxe principal de la parabole. Soit 

AO = OF^; le milieu O de AF est le sommet de la para- 
bole. 

130. Cherchons Téquation de la parabole rapportée à son 
axe principal^ le sommet étant pris pour origine des coor - 
données. 

p = MN = OP 4- A O = a: + f , 

p« = MP« -f. FF' = y -+- ('^ — f )* 5 
d'où, par rélimination de p, 

équation cherchée. 

131 . Si Ton change j en jc, et x en j, Téquation 

x*= 2py ou y = — 

est celle de la même parabole (si p a la même valeur), mais 
autrement située. Il en est de ijiême des paraboles dont les 
équations sont 

y^ = — 2pXy J = — — . 

132. En rapprochant Téquation de la parabole 7* = ^px 
dé celle de la fin du n** 114;, on voit que l'équation 

exprime Tune ou Tautre des trois courbes que nous venons 



I02 ÉQUATIOKS DE l'eLLIPSE , DE l'hYPERBOLE , ETC. 

d^ëtudier, selon que le coefficient abstrait m est positif^ né- 
gatif ou nul. 

Quelle que soit la valeur de m, le coefficient linéaire ap 
de X s'appelle le paramètre de la courbe. Si c'est une des 
deux courbes à centre, on a ( IS8) 

'^ a 2a 

c'est-à-dire que le paramètre est une troisième proportion- 
nelle à Taxe selon les abscisses et au second axe, tandis que 

m est égal à =t:~j et par conséquent à ±*-» L'équation 

précédente peut donc être écrite ainsi ; 

y^dzf- X* = 7.p.T, 

• Cela posé, dans le cas où Ton ne voudrait considérer 
qu'une portion de la courbe, voisine du sommet situé à l'o- 
rigine, il peut arriver que a soît tellement grand par rap- 
port à p et à la plus grande valeur de x, que le terme ^. 

soit à négliger auprès de ipx. Si, par exemple, on fait 
a= 1 000000™ et p = I , d'où h = y^ = 1000, on aura 

^* =r 2X it 0,000001 X*. 

Or, tant que x sera assez petit, par exemple inférieur à l", 
le terme en x' pourra être négligé, et j^' calculé d'après la 
formule 

y* = 2X ou j^' = *ipx^ 

(!omme si la courbe était une parabole. Telles sont les 
ellipses que les comètes décrivent autour du soleil comme 
foyer, tant qu'on n'en considère que les parties les plus rap- 
prochées de cet astre. 
C'est pourquoi Ton dit qu'une parabole est une ellipse 



.ÉQUAïIOAS DES 8ECTIONS COWiQl'ES . I o3 

(et Ton peut dire aussi une hyperbole) dont les axes devien- 
nent infinis, tandis que leur troisième proportionnelle 

— ou 2z; reste tinie. 

133. L'analogie des trois courbes résulte aussi de l'ex- 
pression du rayon vecteur en fonction de l'abscisse dans 
réUipseel l'hyperbole. On a (117) et (il8) 

ex . 

9 = î-«? 

* a 

ellipse si c <^ a, hyperbole si c* ^ « . 
Cette équation peut s'écrire : 



==(^-f) 



c'est-à-dire que le rayon vecteur est à Tabscisse, augmentée 

de la constante -^9 dans le rapport constant de c à a\ de 

sorte que, si l'on prend à partir du centre O (^g. 33), du 

côté des X négatifs, une distance OH (ou OH') égale à — > 

et si l'on élève sur OH la perpendiculaire HK appefée di- 
rectrice^ le rayon vecteur FM^ joignant le foyer à un point 
quelconque M de la courbe, sera à la distance MR (ou MR') , 
du point M à la directrice, dans un rapport constant, < 1 
si la courbe est une ellipse, ^ i si c'est une hyperbole^ De 
là une définition commune aux trois courbes étudiées dans 
ce paragraphe. 

134. L'ellipse, l'hyperbole et la parabole, sont depuis 
longtemps connues sous la dénomination commune de sec- 
tions coniques^ parce qu'on les obtient en coupant par des 
plans un cône à base circulaire. Cette propriété est comprise 
dans une proposition plus générale démontrée dans l'un des 



I o4 ÉQUÀTIOnS 

paragraphes suivants. Mous ne considérerons ici que le cas 
où les plans coupants sont perpendiculaires au plan prin- 
cipal d'un cône oblique. 

On appelle plan principal celui qui passe par le centre de 
la base circulaire du c6ne et par la perpendiculaire menée 
du sommet sur le plan de cette base. Les droites suivant 
lesquelles il coupe la surface conique sont les génératrices 
principales. 

Soient SA, SB (fig. 34)9 ces deux droites, et prenons le 
plan principal ASB pour plan de projection orthogonale. 

Soit A A' la trace et la projection du plan coupant^ c^est 
aussi la projection de la courbe d'intersection. 

Faisons AA'= 2 a. 

Soient AB et A^B' deux droites parallèles à la base circu- 
laire du cône : ces droites sont les projections de deux cer- 
cles situés sur la surface conique et ayant AB et A^B' pour 
diamètres. 

Faisons AB = 2 r, A' B' = 2 /'. 

Soit P le pied et la projection d'une ordonnée y quel- 
conque de la courbe d'intersection. Prenons AA' pour 
axe des abscisses ayant leur origine en A. Ainsi AP = x, 
A'P = 2a — X, 

Menons par P la droite QQ' parallèle à AB : elle est le 
diamètre d'un cercle dont y est également l'ordonnée pro- 
jetée en P. Donc on a " 

jr« = PQxPQ'. 

Or, du parallélisme des droites AB, QQ' et A'B', résul- 
tent les relations 

^ A'A 2« 

PQ'=A'B'.^=ar'.f^: 



DES SECTIONS CONIQUES. lo5 

donc , en substituant , on a 



rr' 



y=^(a«^ — :r'), ou j*^^(2fl,r — X»), 
en faisant rr^=b*. C'est Téquation d'une ellipse (128). 

135. Supposons maintenant que le, plan coupant PAÂ 
rencontre les deux nappes du cône (fig* 35). On aura de 
même 



PQ'=AB'.^=.r'.:^; 



d'où 



A A' 2 a 






ou 



r* = -: (aax-ho:*), 

équation d'une hyperbole. 

136, Tant que le plan eou|)ant passant par A rencontre 
la seconde génératrice SB dans la même nappe où est le 
point A de la première, la section est une ellipse, courbe 
fermée; si la rencontre A' est dans l'autre nappe ^ la sec- 
tion est une hyperbole composée de deux parties séparées, 
qui s'étendent indéfiniment dans les deux nappes. 

Il reste à considérer ta position intermédiaire. où le plan 
coupant AP est parallèle à la seconde génératrice princi- 
pale (/g'. 36). 

Soit encore AB = 2 r, et de plus SB = 2 /. 

y étant toujours l'ordonnée projetée en P, comtaïune à la 



lo6 ÉQU AT ions DES SEC'nO^S CONIQUES. 

courbe iMTOjetée eu AP et au cercle projeté en QQ', on a 
j«=PQxiPQ', PQ = AB==2r, 



PQ'=AB.^ = 2r.-,, 
^ SB 11 



d'où 



.t ^' '*'■ 



y — ^ ,X. 



C'est Téqualion d'une parabole. 

On voît que c*esl la courbe dont s'approche de plus eu 
plus l'ellipse ou Thyperbole d'intersection , à mesure que le 
point A' s^éloigne du sommet du cône, tandis que le point A 
reste constant. L'équation de la parabole peut se tirer de 
celles des deux autres courbes d'après cette considération. 
Pour cela, écrivons ces équations sous la forme 



r' = XZI1--T x^. 

^ a ^ à} 



r' A' B' 
A mesure que A' s'éloigne, le rapport — ou -r-rr approche 

de la valeur ou y , ainsi le coefficient de x approche de 

la valeur finie —» tandis que celui de x*, différant aussi 

peu qu*on veut de y • -> approche de zéro. 

137. Parmi les sections elliptiques, un cas remarquable 
est celui où le plan coupant est ariti^parallèle au plan 
delà base circulaire, c'est-à-dire que le plan coupant A A 
{fiS' ^7) f^^^ *^^^ ^^^ génératrice principale SA un angle 
SA A' égal à l'angle SB A que l'autre génératrice SB fait avec 
la base circulaire AB. 

Dans ce cas, les triangles semblables AA'B, AA' B', don- 



COURBES PARABOLIQUES. lOJ 

nent • . 

AB:AA'::AA':A'B', 

OU ' 

2/' : aa :: aa : ar', ou rr'=a}^ 

et r équation de la section devient 

jr» :r= 2 ax — x* : 

cette section est donc un cercle (112). 

Cette propriété trouve sou application dans la construc* 
lion des cartes géographiques. 

§ V. PROPRIÉTÉS DES COURBES PARABOLIQUES BT HÏPBRBOLIQUES . 

138. Lorsque dans une équation à deux variables x etj". 
le premier membre estj^ seul , et le second membre ne ren- 
ferme que des puissances entières et positives de x, combi- 
nées avec des constantes ^ on dit que j^ est une fonction en- 
tière de T. L*équation 

j = ^ -h Bx -h Cx^^ . . . Hjc^.^ 

dans laquelle tous les exposants de x sont entiers et posi- 
tifs, est dans ce cas, et exprime une courbe à\le parabo- 
lique, 

A toute valeur positive ou négative de x répond une va- 
leur dej^. Si le second membre se réduit aux deux premiers 
termes , Téquation est celle d'une ligne droite. 

Si Téquation est ;^ = ^ H- -Bx-f- Cx*, elle peut se mettre 
sous la forme 

jr=c[x^-^-^x-^-^^) + A--^^. 

ce qui revient à 

y + ^ = C(x-f-a)% 

d'où, en transportant l'origine des coordonnéesi, de manière 



Io8 €OUÎiBES 

qu'on ail 
on conclut 

r = cx^. 

Ainsi , Téquation est réduite à la forme la plus simple par 
le déplacement des axes , transportés parallèlement à leur 
première direction \ et le coefficient de X* est le même que 
celui de x* dans la première équation. Lorsque les axes sont 
rectangulaires, cette équation exprime une parabole dont 
Taxe principal est suivant Taxe des ¥^ et , par conséquent , 
parallèle à l'axe primitif des y, 

' ' Si les axes n^étaient pas rectangulaires , on transforme- 
rait Téquation en prenant OX \^fig* 38), perpendiculaire 
à Oy, pour nouvel axe des abscisses, et conservant Oy pour 
axe coordonné. On a 

Mp = r = MP— Pp=r ^, 

' «^ ^ tanga 

Y 



tanga 



n OP X 



sma sina 



Ces valeurs de x et y, étant substituées dans l'équation gé- 
nérale des courbes paraboliqties , donneront une équation 
de même forme. Donc l'équation j^= A -h-Bx-h Cx' en 
coordonnées obliques est celle d'une parabole dont l'axe 
principal est parallèle à l'axe coordonné des y. Cette pro- 
priété est importante en tnécanique. 

t3î*. Si l'on veut tracer la courbe 

j = ^ -h 5x H- Cj:% 

il convient souvent de mener d'abord la droite dont l'équa- 
tion ^st j = -^ -i- Bx^ et de porter Cx' en accroissement 



PARABOLIQUES. IO9 

de l'ordonnée de cette droite, accroissement de même signe 
([ue C § . 

J40. Trois points étant donnés , on peut y faire passer 
une parabole dont l'équation, par rapporta deux axes don- 
nés , soit de la forme 

Désignant par x' ely\ x'* et y^^ x"' e\.y^"\ les coordon- 
nés des points donnés , et les substituant dans l'équation gé- 
nérale , on a trois équations du premier degré pour déter- 
miner les inconnues A, B, C. 

O^ peut écrire immédiatement l'équation suivante : 

^.^, /[^-^")[^-^") , ,,n [x-x^)[x-x^") 
J —J [x'—x") [x'—x"') '^^' [x" — x'] [x"—od"'] 

„, {x-xf][x-x^] 

^ [x"'—x')[x^—x''y 

dont le second membre, du second degré en o:,^ prend les 
valeurs^', j^",j^'", quand on y fait successivement x = x'y 

•y» ^-^ <*« ' ' - f I /w* '' ' 

141 . La discussion de la courbe 

r = ^ -h Sx -h Cx* -f- z>x^ 

se ramène à celle de 

j = Dx'' 

qui ne présente point de difficulté. 

142. L'équation générale des courbes paraboliques 

J = >^ -+- Sx -4- Cx* -f- . . . -f- /f X" 

nous conduit naturellenpient à donner une idée du calcul 
des difféi^ence s finies. 



I lO CALCUL 

Soit une série de termes suivant une loi quelconque. 
Leurs différences -s ^appellent différences premiers. Les 
différences de celles-ci* s'appellent différences secondes. Les 
diffi^rences de ces dernières s'appellent différences * troi- 
sièmes^ et ainsi de suite. 

2 5 9 8 . 7 10 

Différences premières. 3 4 — ï — ï 3 
Différences secondes... i — 5 o 4 

Différences troisièmes. — 6 5 4 / 

Pour appliquer ces définitions aux diverses valeurs d'un 
polynôme en x, qu'on peut toujours considérer comme ex- 
primant l'ordonnée générale j^ d'une courbe dont x est Tab- 
scisse , on suppose que x prenne des valeurs équidijfférenies 

Xo, ari = Xo-}-J, Xj= Xo-I- a^, . . . , .T„= Xo-h "^) 

auxquelles correspondent diverses valeurs de y^ qui seront 
des ordonnées équidistantes de la courbe , 

Les différences premières de cette suite sont 

qu'on représente par les notations 

A/o^ Ati' ^/«^ Aj„..., û/„>,. 

« 

Les différences secondes de la suite des y sont les diffé- 
rences premières de celle des û 

qu'on désignera par 



DES DIFFÉRENCES FINIES. III 

dont les diderences y qui sont les différences troisièmes de 
là suite des y^ sont désignées par 

et ainsi de suite (*). 

On remarquera que^jr étant une fonction explicite de jc, 
Ajocst une fonction de Xo et de (î; que Aj^, , A^,,. . ., 
n en diffèrent qu'en ce que Xo est remplacé par Xi , Xj ,. . ., 
ou Xo + cî, Xo H- a d , . . . 5 que A*y^^ est de même une fonc- 
tion de Xo et 5 , et que A'j^i , A*j^, , • . • , n'eu différent 
qu'en ce que Xo est encore remplacé par Xj , Xj , . . '. , ou 
x^) -h J 5 Xi -h 2 (J , • . . -, et ainsi de suite pour les différences 
de tous les ordres. 

Si on supprime les indices de j^, on entend par ûkj-^ 
à^j^ . . . , des fonctions dç x et de cJ dans lesquelles il ne 
reste qu'à substituer au lieu de x les valeurs Xg, XoH- J, 
a:o-f- 2 (î , . . . , pour avoir les suites ci-dessus indiquées. 

143. La différence première d'un polynôme est évidem- 
ment égale a la somme des différences premières de tous Içs 
termes; et si l'un de ces termes est constant, il disparaît 
dans la différence première. 

La différence première d'un monôme Ax'" est 

k(x-hi)"'—kx"'=^kmdx''^''-+- '^'^^''^~'U ^x'^'\.,, 

c est-à-dire un polynôme du degré m — i en x. Ce serait la 
constante kd si m était = i . 



( * ) Les chiffres a, 3 , . . . , à la suite et en t||itit de A ne sont pas des expo- 
sants; ûk^jr équivaut à ÀA^, c'est-à-dire qu'il est ractiroissement de l'ac- 
croissement de Xy et si l'on voulait exprimer le carré de A/, on écrirait 
{^xYt ou plus simplement Aj^'. Quand on considère y* comme fonction 
d'une variable x, son accroissement résultant de ce que x devient x + Ax 
est désigné par A .j'. 



112 CALCUL 

Donc y si y est un polynôme entier en x^ ùky en est un 
autre ^ aussi entier y et du degré immédiatement inférieur 
à celui de y, 

144. ùk^y^ n'étant autre que la différence première de 
Àj^, est un polynôme . dans lequel le plus grand eitposant 
de X sera d'une unité moindre que dans ù^y^ et, par con- 
séquent , de deux unité$ moindre que dans y. 

En général , û"j^ est un polynôme en x dont le degré a n 
unités de moins que le degré àe y\ et , par conséquent , 
dans le cas où n est le degré du polynôme y eux j Ù!*y est 
une constante , dépendant seulement des constantes du po- 
lynôme y et de la différence d des valeurs consécutives de x. 
Dans ce même cas, A^+^j- est nul. Exemple : 

Si Ton veut avoir les valeurs dej" correspondantes aux va- 
leurs de o; qui diffèrent entre elles de 0,0 1, on peut dispo- 
ser ainsi les calculs en commencaut parles valeurs de a: les 
plus simples , et en supprimant la virgule dans les diffé- 
rences : 



X 


y 


^r 




t^^y 


—0,01 
0,00 

4-0,01 

0,02 
q,o3 
0,04 
etc. 


— O,o4o5o2 
0,000000 

-1-0,039502 
0,078016 
o,n5554 

0,1 521 28 

etc. 


4-4o5o2 
39502 

385i4 
37538 
36575 
etc. 


- 1000 

- 988 

- 976 

- 964 
etc. 


• 

12 
12 

Ï2 

etc. 



On voit qu'il suffit dç calculer d'après la formule 

ix^ — 5a:'H-4J^ 



DBS DTFFÉREKCCS FIHIES. Il3 

quatre termes consécutifs de /, et qu^pn obtient ensuite les 
autres par des additions ou soustractions, ce qui est in- 
comparablement, plus rapide que de calculer directement 
les valeurs de y, q^i^i^d 1* variable x acquiert plusieurs 
chiffres significatifs. 

On emploie celte méthode pour dresser, d'après des for- 
mules doilnées , des tablées servant à abréger les calcula de 
la mécanique^ de l'hydraulique, des déblais et remblais, etc. 

145. Lorsque, après avoir déterminé un certain nombre 
d'ordonnées équidùtantes d'une courbe, on trouve que 
leuïs différences secondes sont constantes, on en conclut 
que la courbe peut être une parabole , et son équation de la 
forme y = ^ -h Bx -+- O x*. On a vu que trois points con- 
nus d'une telle courbe suffisent pour déterminer les coeffi- 
cients -^ , 5 , C, et , par conséquent , pour calculer tant de 
points qu'on voudra de la courbe : mais quand les ordon- 
nées, des trois points connus M', M", M"^ [ftg. Sg) sont 
équidistantes , le calcul se simplifie. 

On peut transporter l'origine des coordonnées au point 
intermédiaire M''. Soit cî l'intervalle M"P'''égal à FM^ 

Soit Tordonnée de M' = — /i^ et celle de M'" = A, , l'é- 
quation cherchée sera de la forme 

et devra être salisfaite par les deux systèmes de valeuris 
I = — I et y.= — A, , I = I et jK = h- 

On a donc 

— A, = — B+C et /i.= B-+-C, 



d'où' 






8 



Il4 CALCUL 

1/équalion devienl ainsi 
ou bien * 

^=,.|_i(A,-ft.)(.-î)f. 

Si pour calculer Tordonnée MP d'un point intermédiaire 
INI on ne prenait quej^ = A, - premier terme de cette, der- 
nière formule, ce serait supposer que les points M'', M, M'^', 
sont en ligne droite; et si M"P était - M'^P'^, ce qui fait 

;- = -> l'erreur commise serait W ( A« — A. ) . 

2 O ^ ' • 

146. Application au calcul des logarithmes des sinus cl 
tangentes des petits angles : 

logsin4®i6'= 2,8715646 

1 6900 

Iogsin4^i7'= 2,8732546 ' — 65 

i6835 

log sin4° 18'= 2,8749381 — Ç,& 

16769 

logsin4^i9'= 2,8766150 — 65 



logsin4^2o'= 2,8782854 



16704 



On demande log sin 4° 1 7' 2 \" , 

Si Ton prenait les angles pour abscisses et les logarithmes 
sinus pour ordonnées , on aurait une courbe qui différerait 
très-peu d'une parabole , puisque la différence seconde des 
ordonnées équidistantes est presque constante. La questiou 
s© réduit à trouver l'ordonnée intermédiaire répondant à 
rabscisse4**i/2i". 



DES blFFÉRESCES FlKIES. Il5 

On applique la formule précédente en transportant rori- 
gîne au point correspondant à 4^*7' 5 prenant l'unité du 
dernier ordre décimal des logarithmes pour unité des or- 
données , on aura 

A, = 16900, As = 16835, A, — Ai = — 65, 
X 11 ' X 3q \ X [ x\ 

j devient donc 

2 1 
1 6835.^ H- 65.o,n4 = 5892, si -h 57,4 = 5900. 

C'est ce qu'il faut ajouter à 

logsin4° 17'= . . . 2,8732546 
pour avoir 

logshi4^^i7'2i"= 2,8738446. 

147. Lorsqu'on a les coordonnées de trois points d'une 
courbe, et que la question qui donne lieu à cette courbe 
permet de la considérer comme peu différente d'une para- 
bole, au moins dans l'intervalle des points obtenus, on cal- 
cule approximativement, des ordonnées intermédiaires par 
la formule du n° 14S,. ou par celle du n° 140 , suivant que 
les ordonnées connues sont on ne sont pas équidistantes. 
Cette opération, appelée i*/iier|7o/af /on , est fort utile dans 
les sciences d'observation. 

Exemple, La vapeur d^eau à l'état de saturation sup- 
porte une pression qui varie suivant la température. 
Sachant qu'aux pressions de 

5 7 10 atmosphères 

répondent respectivement les températures 

153,28 i66,5o 181,60 degrés, 

8. 



Il6 CALCUL 

(»ii dcmaiicle les lempératures pouv les pressions Je 6, 8, 9 
almosphères. 

Faisant y et x égau^ aux accroissements à partir de 
166°, 5o et 7 atmosphères, oiva Féquation 

y = Ax-h Bx', 

>atisfaite par les deux systèmes 

.r = — 2, y~ — 13,42, 
x = 3, j = i5,io; 

ce qui donne deux léquahons du premier degré, d'où l'on 
lire 

A = 6,039 et B = — 0,335 ; 
; donc 

y=z 6,039 .r — 0,335 J-". 

Faisant successivement a: = — 1 , -h î , 4- 2, et ajoutant 
les résultats à 1 66, 5o, on .irouve les températures cher- 
chées: 

160", i3, 172", 20, i77^,a4- 

L'expérience direcle a donné 

i6o",2, 172°,!, i77'',i. 

148. Nous venons dç voir que j^ étant un polynôme en- 
tier en or, ù^y en est un autre dont il est facile de calculer 
tous les termes, lorsque les coeflScients de x dans ^ sont 
connus. Quant au terme constant àey^ il disparait dans la 
différence qui, par conséquent, reste la même quel que 
soit ce terme. 

Réciproquement, si l'on se donne ^y sous la forme d'un 
polynôme entier en x, et si Ton se donne en outre la valeur 
de Taccroissement ^ de x, on pourra toujours retrouver j^, 
sauf le terme indépendant de x qui restera arbitraire. 



DES DIFFÉRE&CES FINIES. î 1 7 

Soit, par exemple, 

I * 

Puisque nous savons que > est du troisième degré, posons 

j= Ax^-r^ Bx^ H- Cx 4- D. 

En mettant a: -h ^ au lieu de x dans ce [jolynpme, on 
a une expression de ^-h Ay; on en ctmclut par soustrai- 
tion celle de 

. + Cd, 

et pour que cette dernière soit identique à celle que nous 
avons supposée donnée, il faut et il suffit que Ton ait^ en 
égalant les coefficients des diverses puissances de .r , 

équations du prernier degré, d'où l'on tirera toujours les 
valeurs àkt A ^ B etC, la constante D restant arbitraire. 

149. Voici un emploi utile de ces considérations. Hc'- 
prenons, avec les significations indiquées au n"142, les 
deux suites 

Aj, A/, Aj, ....Ar„_,. 

Un terme quelconque de la première dépend de riiii (Îcî 
ceux qui précèdent et des différences intermédiaires, sui- 
vant la loi irès-simple indiquée par la formule 

{2) r„— /o = Ar-o ■+■ A vi -^ A j2 4- . . . + Ar-i ^ • 



Il8 CALCUL DES DIFFÉRENCES FIHIES* 

Il suffira donc de savoir calculer la différence j^„ — y^ pour 
obtenir la somme des n termes du second membre. 

Si ^y est une fonction connue du second degré en x, et 
qu'on se donne en outre la valeur de (ï , on calculera , au 
moyen des équations (i), les coefficients ^, B et (7, et, p^r 
conséquent , la différence 

Exemple, Soient Aj'= (px-Ki)*, (î=i et j:o = o, 
par conséquent x^^-^z-n. Le second membre de la formule (2) 
devient , dans ce cas , 

(3) i»4-(;?4-'i)'4-(2/?-|-i)'-h...-h[(/î — i);?-f-i]*: 

c'est la somme des quarrés des n termes d'une progression 
arithmétique dont I(i* premier terpie est i et dont la raison 
est/?. 
. Or, puisqu'^on a ep général 

Aj= (po;-!- 1 )' = ;;' jc'-+- 2/3X -4-1, 
fonction du second degré comprise dans la formule 

A )^ = ax* H- ftx -h c , 

on trouvera l'expression correspondante et générale de y 
(Bji faisant, dans les équations (i), 

az=^p^^ h=:^p^ c=i et ^ = 1. 

'Les équations (i) donnent en effet 

^^i„. j9_ />(a — P) . ^_ 6— 6p+p' . 



ainsi 



.r-g[2,?'x'-h3p(ci — ;7)x'+ (6—6/7 + />»)j:J+D, 



COURBES HYPERBOLIQUES. l tg 

et , par eonséqueut , 

t 

c'est la valeur cherchée de la suite (S). 

Cas particuliers. i^.p = i^ La suite (3) est alors la 
somme des quarrés des nombres consécutifs depuis i jusqu^à 
n , et Ton a cette somme 



'I 



4- 2* -4- 3* 4-. . . -i- n* = ^ n (» •+- 1) ( 2 n— i). 



â^^ p= 2, Là suite (3) devient la somme des quarrés des 
nombres impairs consécutifs depuis i jusqu'à 2n — i , et 
Ton trouve sa valeur y„ — y© , 

I-|-3*-4-5*-{^.. .-|-(2W — l)*= j«(2/l — l) (2W Vi), 

ou, en faisant an — i =^ /, 

i-h.3'-h5'-h...4-/'=g/(/ + i)('-h2)v 

' Ces dernières formules ont leur application dans les cal- 
culs relatifs aux ponts suspendus. 

ISO. L'équation y=^ — lorsque m est entier appartieîit 

à des courbes dites hyperboliques. 

Soient d'abord m = i et yr= — . La courbe s'étend infi- 

nimeutdans l'angle yOx et dans son opposé au sommet^ sa 
construction graphique {fig» 4<^) annonce une hyperbole 
dont Ox et Oy sont les asymptotes. C'est ce qu'il faut vé- 
rifier, en prenant pour axes rectangulaires les droitçs OX, 
et OY, dont l'une divise l'angle y Ox en deux parties égales, , 
désignées-chacune par a. On a, en désignant par X et JTle.s 
nouvelles coordonnées du point quelconque M , 

X = xcos(xX) 4-jcos(yX) =:t?cos« 4-jcosa -y 



i20 COURBES HYPERBOLIQUES. 

d'où ' . 

X 



X-h Y = 



y 

> ^ COSa 

jr = a:cosj(xY)+jrcos(yY) = — x sina -h jsina; 

r ■ ' 

d'où 

Y 



sma 



Op. pourrait cherchera* et ^ pour les substituer dans 
xy = P ^ mais on n'a besoin que du produit xy ^ les équa - 
lions ci-dessus donnent 



.» «> «.^, i -^« 



•^ "^ COS^a -^ «^ sm'a 

d'où 

• X' F' 

A xy = =^ ; « 

^ cos^a sin^ôt 

Téquation xy = /* se transforme donc en 

x^ y^ _ 

ce qui exprime. une hyperbole, dont Taxe transverse est 
4/cosa =?: 2OA. 

Si les axes O x , Oy sont rectangulaires , on a 

sina = cosa = - v2, 

et l'équation en Jf, J^, devenant X*^- V*= 2/*, exprime 
une hyperbole équilatère. 

L'équation .ly -f- ax -\-by = c^ pouvant s'écrire ainsi 

(y-\-a)[x-^b)=c-^ab^ 

se ramènerait évidemment , en transportant les axes pa- 
rallèlement, à la foi me XF=d, Elle exprime donc une 



COVHBES HYPE1\601.IQtJES. I^I 

hyperbole, dont les asymptotes sont parallèles aux axes 
coordonnés . 

\5\ . L'équation de l'hyperbole, sous la forme xj=const, , 
conduit à des proprî'étés remarquables de cette courbe. 

Soit UV ()îg'^4^} "^^^ sécante comprise entre les deux 
asymptotes Ox, Oy, et divisée aux points M et M' de la 
courbe en trois segments : UM = (/ , M' V = i^ et MM'= 5. 
Menons BC parallèle h UV et pouvant ne pas rencontrer la 
courbe. Les triangles semblables OBC , QUM et PMV don- 
nent 

BC BC 

" = ^ÔC '' ^ + ^=-?^ÔB' 

d'où , à cause de ay = A*, 

BC^ 



n (5 -h «^) = A' 



OB.OC 

On trouverait de même par les triangles OBC, Q'UM' 

etFM'V, 

,BC # ,BC 

' -=JôB ^' "-^^ = ^0C' 

d'où 

BC^ 

^ (* + ") = ** ÔB13C" 

Donc I**. Pour toutes les sécantes parallèles entre elles ^ 
le produit m (j -f- 1^) ou u[s -^ u) d*un des segments ex- 
trêmes par la somme des deux autres^ est constante 

a**. 5///' une même sécante les deux segments extrêmes 
u et u sont égaux ^ ce qui résulte de l'égalité des produits 
u[s -^u) etv [s -\- u]. 

Cette dernière propriété, ayant lieu quelle que soit la 
direction de la sécante et même, comme il est facile de le 
voir, dans le cas où la sécante coupe les deux branches Je 
la courbe, fournit un moyen très-simple de construire une 
hyperbole dont on a les asymptotes et un point. 



lai COLRBES TIIA1VSCE1<1UJNTES. 

152. Aperçu {fig- Jli\)àe la forme de la courbe exprimée 
par Téquatiou 



à" 



K 

Pour x:^àza on a. y = a'^ pour a: = dz wa, j^'- = — ? 

»/• 

j. . dirt 

tandis que pour j = ma , x = -y=:r- 

ym 
La courbe se' rapproche beaucoup plus rapidement de 
l'axe dès x que de Taxe des jr^ quoique ces axes soient 
asymptotes l'un et l'autre. 

§ VI. DE QUELQUES COURBES TRANSCENDANTES. 

i53. La courbe appelée loganthmigue est exprimée sous 
la forme la plus simple par l'équation 

a ^ a ' ^ 

Xia longueur a détermine l'échelle de la construction. L'axe 
des y est asymptote du côté des y négatifs (fig* 4^) 
Pour 



.r 

- i=. 00 ...lOOO lOO lO I 0»! 0,0X OyOOI....O, 

a 
on a 

-=00... 3 2 I O 1 —2 3 X. 

_ Y X 

L'équation j- = log-^ est celle d'une courbe semblable à 

la première et semblablement placée par rapport aux axes. 
Car, si Ton fait 

X ^ V * 

-j- = - ou A =:= - a: , 

if (i a 



COURTES TRAliSCENDlKTE«. - 123 

on aura 

-r = - ou Y = - r. 
b a a^ 

154. L'équation ^ = m log - est encore celle d'une 

courbe semblable à la précédente, mais non semblable- 
ment placée par rapport à Taxe des x, car elle donne 



ma 

d'où 



= loff ( -^ • m ) = log h log/r* ^ 

^\ma ) ^ ma ^ * 



j — amXogm , x 

ma ^ ma 



donc , en élevant l'origine de la longueur am logm sur l'axe 
des j', et appelant les nouvelles coordonnées JT^ X,on a 



F . X 

— = log — , 
ma ° ma 

ce qui prouve la proposition énoncée. 

155. La courbe dont l'équation est - = m" est égale- 
ment une logarithmique; mais elle a pour asymptote l'axe 
des X négatifs (fig. 43). Car on a 



d'où 



ou 



^*'s-^ = fios'«; 



a log m '^ a 



156. Sinusoïde. Si sur Ox {Jig, 44) on porte les ab- 
scisses OP, OP', OP'', . . ., égales aux arcs de cercle Am, 
A m', A m'', et qu'on fasse les ordonnées PM, FM', F'M",. . . , 
(}e même longu^r et de même sens que pm, p'm', p"m'', . . . . 



• '^4 < O l r. B ES ï li VASC K M) A N T LS- 

la courbe OMArjM'. . . aura jiour tk^ualioii 



y = r sin ( - ) 



le rayon du cercle générateur étant r; et alors Tangle - 

n'est pas exprimé numériquement en d^rés sexagésimaux, 
mais par le rapport de l'arc compris cnti^e ses côtés au rayon 
avec lequel il est décrit. 

La forme générale de la courbe est facile à discuter. 

157. Cycloïde. Si un cercle roule sans glisser sur uin' 
droite, en restant dans un même plan, la courbe quedt*- 
crit un point de sa circonférence s'appelle une cycloïde 

(/'>• 45). 

Soit AmB le cercle générateur dans sa position initiale. 
Soit LMK une autre position quelconque. Supposons que 
le point décrivant soit en A sur le premier cercle et en M 
sur le sei'ond. Par la définition , on a 

arcL]VI = AL. 

Or, si Mm est parallèle à AL, on a 

Am = LM, mM = AL; 
donc 

mM = arcAm. 
Do même 

m' M' = arc A m' ; etc. 

Ku général , ou a j^ = x pour une équation de la courbe . 
ou appel au t .r r abscisse cunfiligne A m, portée à partir du 
point A sur la circonférence A m B, et y Fordonnée m M pa- 
ra lUMo à Taxe AE. Si enlise «*os mêmes variables l'équation 
élailv :-=ri,r, la cvcloïde serait allongée ou raccourcie 
M'Ion \\\\v la conslantt» a serait ^ ou <[ i . 

IfiH. Sjtimlr fl\h\hntii\U\ lue droiJo OM (fig* 4^) 



TRAMSFORMATIO» DES COORDONNÉES Dl'S COIUBES, ETC. I ^f» 

tourne dans un plan autour d'un de ses points O 5 le point INI 
est mobile sur la droite, et y parcourt des longueurs égales 
pendant que la droite OM décrit des angles égaux. Le point M 
décrit sur le plan la spirale d^uérc/timède. 

Soit Oa la position de la droite quand le point décri\ant 
est en O5 amm' est un cercJe quelconque, ayant O pour 
centre. Les longueurs OM, OM', du rayon vectetir sont 
proportionnelles aux angles aOM, aOM', ou aux arcs am, 
am'. De là une construction facile de la 'courbe quand on 
connaît la longueur ON parcourue par le point décrivant 
pendant une révolution entière de la droite mobile. . 

Cherclions à exprimer cette courbe par une équation, 

1S9. Soit ON = /, donnée; le rayon vecteur OM =/5, 

variable. Soit -~>^ — == ; ce rapport Q de Tare variable, a ni 

à son rayon est l'expression analytique de l'angle aOm. 
D'après la définition de la courbe, on a, pli il 6l un ou 
'n:p = l6^ équation cherchée dans laqtielle les variables p 
et 9 sont les coordonnées polaires de la courbe. . 

170. La courbe dite déi^eloppante à\k cercle, utile en 
mécanique, est étudiée dans le Cours de Géométrie des- 
nipiive. 

§ VIL TRATVSFORMATION DES COORDONNÉES, APPLIQUÉE 
AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 

161. Les équations des courbes dont noiis venons de 
nous occuper ont été pbtenues sous des formes simples, par 
suite du choix convenable de la position des axçs coordon- 
nés. De même que l'équation du cercle (95 et 96) est plus 
compliquée lorsque le centre a une situation quelconque 
que lorsqu'il est à l'origine des coordonnées, de même il est 
évident que les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de 



126 TRAl«SFORMATIOM DES COORDONIÎÉES 

la parabole, seraient moins simples si les axes étaient pris 
arbitrairement et faisaient un angle quelconque. Mais il est 
important de constater : 

i°. Que dans tous les cas les équations de ces trois courbes 
exprimées en coordonnées parallèles à des axes sont du 
second degré, c'est-à-dire toujours comprises dans la for- 
mule générale 

Ay'^ -h Bxy -f- Cx' -h Dy -h Ex -h F =± o ; 

2*^. Et que réciproquement une équation du second degré 
en coordonnées parallèles à des axes ne peut exprimer une 
autre courbe que l'ellipse (dont le cercle est un cas parti- 
culier), rtyperbole ou la parabole. 

La démonstration de celte double proposition dépend 
d'une méthode générale qu'on appelle la transformation 
des coordonnées. - 

162. Soient Ox, Oy {fig* 47)5 '^ axes donnés quel- 
conques auxquels est rapportée une courbe dont l'équation 

est F [x^y) = o; 

Soient Q'x', 0'y\ les axes également donnés relative- 
ment auxquels on se propose d'obtenir l'équation de la 
même courbe 5 

Soient a et i les coordonnées OA , AO', de l'origine 0' re- 
lativement, aux premiers axes. 

M étant un point quelconque de la courbe, ses coordon- 
nées X ^ly sont OP et PM, tandis que ses coordonnées j:' 
et y' sont O' P' et P'M'. Il est aisé d'exprimer par des équa- 
tions les relations qui existent entre les quatre variables o:, 
y, x'^ y\ les constantes a, J, et les angles des axes entre 
eux. Il suffit de remarquer que la ligne brisée OPM, com- 
posée de X et de j^, et la ligiie brisée OAO'P'M , composée 
de a, 6, x'etj^', sont deux contours polygonaux condui- 
sant du point O au point M, et que par conséquent leurs 



DES COURBES BU* SECUKD DEGRÉ. I27. 

projections sur une même droi|£ sont égales (22). Nous 
bornarrt ici à considérer les projections rectangulaires, nou^"^ 
pouvôiis appliquer le théorème du n° 46^ et afin d'obtenir 
séparément les expressions de j: et de j^ en fonctions des 
quantité&o^^, j^^;; a, &, et des angles, nous prenons successif- • 
vement pour axes de projection, d'abord la droite OX per- 
pendiculaire à Oy, puis la droite OY perpendiculaire à Ox. 
La formule ci-dessus devient, dans ces deux cas (en remar- 
c^uant que Tes cosinus des angles d'une droite avec OX et 
avec OY sont les sinus des angles de la même droite avec O y 
et avec Ox), 

xsin (x,y) = a sin (x, y) -4- x' sin (x', y) -f- j' sin (y', y), 
jsin(y, x) = isin (y^x) •+- x'sin (x',x) -+->' sin (y', x), 

d'où - 

_ ^ . ^^sin(x^y)•-H/sin(y^^j 

sm(y, x) 

, :r'§in (x',x) -H/sln (v', x) 

^ - sm(y,.x) 

t63. Les coordonnées x,y, ^S J^'? d'un même point de 
la courbe considérée, satisfont simultanément à Féquation 
F (x^y) =± o et aux deux formules finales du numéro pré- 
cédent; donc si l'on substitue a x et à j' dans Téquation 
F (x^j) = o leurs expressions données par ces formules, 
on aura une nouvelle équation qui sera également satis- 
faite, et qui, ne renfermant plus d'antre variable que x' et 
/', sera l'équation de la même courbe rapportée aux axes 
OxVOy'. 

164. Si l'équation F (x^y) = o est une équation algé- 
brique du m**'"' degré, c'est-à-dire qui puisse se ramener à 
la forme 

y4j^-{- (JSx 4- C)y'"-* -h (Dx^-hEx-hF)Y"'-^ -h...= o, 

la plus grande somme des exposants de x et de -ptlans un 



ia8 TRANSFORMAtlOBI DES COORDOKMÉES 

même terme étant le nombre entier m, Téquation trans- 
formée en nouvelles coordonnées a:', y\ ne sera pas d'un 
drgré supérieur au m""", puisque les valeurs de x et de r 
à substituer dans la première équation' sont du premier 
degré. L'équation transformée ne sera pas non plus d'un 
dei^rt' inférieur au m*''"', car il faudrait, pour que cela fût 
possible, que le degré put s'élever quand on reviendrait 
des nouveaux axes aux anciens. 

Ainsi, à quelques axes coordonnés qu'on les rapporte-, 
les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole, 
sont toujours du second degré. 

165. Pour établir la réciproque de cette proposition, 
nous prendrons T équation la plus générale du second degré 
à deux variables : 

(i) >rfj^*4-5aj-hCx*+iDy-f-£x-h-F=o, 

et nous supposerons que les coordonnées x q\ y sont rec- 
tangulaires, en remarquant que, s'il en était autrement, on 
pourrait, par la transformation, obtenir pour la même 
courbe rapportée à des axes rectangulaires une équation 
différente, mais toujours du second degré. 

Nous remarquerons, en second lieu , que si le terme Bj^' 
n'existait pas dans l'équation , une transformation pareille 
à celle du vP 112 réduirait facilement Téquatiou à trois 
termes. Proposons-nous donc de faire disparaître de Féqua- 
tion le produit xy en changeant la direction des axes, mais 
en les conservant toujours rectangulaires et sans changer 
Toriginedes coordonnées. 

Dans ce cas particulier, les formules finales du n^ 16!2 se 
simplifient : on a 

rt==o, ft=:o, sin(y,x) = i, sin(x', y) = cos(x', x), 

siu(y', >) = — sin (x\ x), ^ 
5iii \\\ x) = cos(\', x); 



DES GOUtlBES DU SECOND DEGUÉ. 1 29 

et si, pour atréger,. on remplace Fangle (x', x) par a, les 
formules de transformation deyiexinent (telles qu'on aurait 
pu les obtenir directement par la théorie des projections) 

x = x'cosa — jy'sina, y = x'sina +j^'cosa. 

Mettant ces expressions de x et de y dans rëquation (i)> 
on obtiendra une transformée du second degré y de la forme 

(a) ^y* ■+. B'x'y-h C'a/* -f- lyf-h e'x'+f=i o ^ 

dans laquelle les coefficients A', B', . . . , renfermeront 
Fangle a. Il s'agit de choisir cet angle de manière que B' 
soit nul. Or, en réunissant les termes en x^y^ qui provien- 
dront de la substitution, on trouve 

B' = ii[A-7' C) sinacosa H- JS(cos*a — sin^a), 

ou (56) ■ . 

B' = (ui — C) siB2a-f-5cos2a. 

Cette quantité serait nulle indépendaniment de^ oi si Ton 
avait à la fois A c=: C et £ = o, auquel cas il est aisé de 
voir (li2) que Féquation (i) en coordonnées rect^gulaires 
serait celle d'i^n cercle. 

Dans tout autre cas, il faudra, pour faire, disparaître le 
produit x'y, satisfaire à l'équation 

{A — C) sin2a 4- ^cos2c3t = o, 

I 

d'où , en divisant par (^ — C) cos2a , 

* - 

B 

Comme la tangente d'un angle qui passe de zéro à 1 80® 
prend toutes les valeurs entre -H 00 et -r- 00 ^ il s'ensuit 
qu'on trouvera toujours un angle* a , mais un seulement, 
plus petit que 90^, satisfaisant à la condition proposée. Il y 
a donc toujours un* système d'axes rectangulaires (et il n'y 

9 



l3o TRAlfSFOUMATION DES <!001lD0nNÉES 

en a qu'un , sauf le cas du cercle) pour lequel requatioii 
d'une courbe du second degré se réduit i la forme 

^y«H. C^x'»-*^ Z)Vrh £V4-F= o. 

166. Il reste à compléter la transformation de cette 

équation pour la réduire à trois termes. Il faut pour cela 

distinguer le cas où aucim des coefficients A\ G n'est nul, 

. et celui où l'un des deux disparaît. Us ne peuvent être nuls 

tous deux , puisque l'équation doit rester du second degré. 

Dans le premier cas, l'équation peut s'écrire ainsi-: 

Cela posé, il est toujours possible de transporter les axe» 
parallèlement à eux-mêmes en O^'x", 0"y", de manière 
que, x" et j^" étant les coordonnées d'un point de la courbe 
dans ce second système d'axes rectangulaires, on ait 

^'+^ = J^" et y'+^=y'. 

car il suffit et il faut pour cela* que les coordonnées de la 
nouvelle origine par rapport aux axe» Ox', Oy', soient, 

Fabscisse — y^-j et l'ordonnée — ^- 

En faisant, pour abréger, 

l'équation de la courbe se réduit définitiyenient k 

Faisons maintenant toutes les bypotb^ç possiMes sur 
les valeurs des constantes ^', C\ F ^ 

i^. Si elles étaient toutes -trois de même signe, réqua" 
tion serait impossible à réaliser. 



I>£S COURBES DU SECOND DEGKÉ. l3l 

2°. Si F^ était nul , et A' de même signe que C\ l'équa- 
lion ne serait satisCaite que par j: = o , j^ = o , elle expri- 
merait un seul point , devenu Torigine par la dernière trans^ 
formation . 

3**. 3Î5 /^' étantnul, A* et H étaient de signes contraires^ 
Téquation, réduite à la forme 

j^* = X' x' ou j- = ±: Kxy 

exprimerait deux droites passant par l'origine ^ et situées 
symétriquement par rapport aux derniers axes. 

4^. Si A^ et C ont un même signe, contraire à celui de 
/^, Téquation , réduite à la forme 

r* x^ 

est celle d'une ellipse rapportée à ses diamètres princi- 
paux (107). • 

5**. Enfin, si ^'et C sont de signes contrait'es, quel que 
soit celui de F', l'équation, se réduisant à l'une des formes 

y^ X* 

est celle d'une hyperbole rapportée à ses diamètres priiici* 
paux(107). 

167. Le» dernier cas à considérer est celui où, dans l'é- 
quation finale du n**165, l'un des coefficients A'^ C, est 
nul. Soit C= o. 

Si l'on avait en même temps iS' = o, l'équation , réduite 
à A' y* -h D^y 4-2^ = 0, exprimerait deux droites paral- 
lèles à l'axe des x\ Dans toute autre hypothèse^ l'équation 
peut s'écrire ainsi : . 



^'{y-^ë^y-^^'{-'^w-S^)= 



o# 

9. 



i3a diamètbes . 

Or, en transportant les axes parallèlement, de manière 
qu'on ait 



f . ^ ^ If ' . ^ ^'^ 



.// 



> 



on ramène Téquation à la forme 

qui appartient exclusivement à la parabole. 

168. Ainsi se trouve démontrée la proposition énoncée 
au n** 161 . C'est donc à juste titre que, vu Temploi pres- 
que exclusif des coordonnées parallèles à des axes, les 
courbes étudiées au §IV (n°M16 et suiv.), d'après leurs 
propriétés ybca/e,y, s'appellent courbes du second degré. 

Des diamètres des courbes du second degré. 

• 

169.. Une équation du second degré peut être utilement 
discutée d'une autre manière que par la transformation 
immédiate des coordonnées, pour reconnaître le genre de 
courbe qu'elle exprime. Reprenons cette équation sous la 
forme la plus générale, l'angle des axes coordonnés étant 
quelconque, 

(i) ^j*-f- Bxy^ -f. Cx'-f- Dy -4- Ex -i- F ==: o, 

et supposons que le coefficient A de y^ ne soit pas nul; 
c'est ce qui aura lieu lorsque l'axe des y aura été choisi de 
manière 'qu'une parallèle à cet axe rencontre la courbe en 
deux points, et par conséquent ne puisse pas être une 
asymptote. L'équation résolue par rapport à y donne 

B D 

(.) ■ ^ 

± _L ^(5 >_ 4 ^C) «»+ 2 (JÎZ> — a AE) + />•— 4 AF, 



'^-'^-A^ o:A 



T^À 



. DES COUKBES DV SECOND DEOKÉ. l33 

d'où Ton conclut d'abord que la droite dont l'équation est 
,o\ B D 

coupe en leurs milieux, et sous un angle qui généralement 
.n'est pas droit, toutes les cordes parallèles à Taxe des j*. 

Cette droite est un diamètre de la courbe, et la discus- 
sion de cette courbe se ramène à celle du radical de l'équa- 
tion (2). 

Si l'on a JS' — ^AC > o, la courbe s'étend à l'infini du 
côté des X positifs et du côté des x négatifs. C'est donc une 
hyperbole, sauf le cas particulier de deux lignes droites, 
quand le trinôme en x sous le radical est le carré d'un 
binôme. 

Si l'on a jB* — 4 ^C <[ o, le trinôme sous le radical de- 
vient négatif dès que Xy soit positif, soit négatif, est suffi- 
samment grand en valeur absolue; la courbe est donc limi- 
tée dans tous les sens, et c'est ujie ellipse, sauf le cas 
d'impossibilité, quand le trinôme souS le radical r«ste né- 
gatif pour toute valeur de x, et le cas d'un point unique 
quand le trinôme changé de signe est le carré d'un binôme. 

Enfin si l'on a JS' — 4 ^^ = ^î selon que BD — 2 AE 
est positif ou négatif, le radical reste réel pour des valeurs 
croissant indéfiniment dans un seul sens; la courbe est 
illimitée de ce côté seulement; c'est donc une parabole, 
sauf le cas de deux droites parallèles au diamètre déter-* 
miné par l'équation (3)*. 

Dans les deux cas où jB'-t- 4 ^C n'est pas nul , la courbe 
a un centre placé sur le diamètre exprimé par l'équation (3) '. 
Si l'on y transporte l'origine des coordonnées en prenant 
l'axe des x suivant ce même diamètre, et l'axe des y pa- 
rallèle à sa première direction , la nouvelle équation de la 
même courbe est, en. coordonnées obliques , de la forme 

j' -f- il/x' 4- iV = o, 



1 34 ÉQUATIONS 

car il faut, t" qu'à toute valeur de x répondent deux va- 
leurs de y égales et de signes contraires, et 2^ que pour 
j- = o on ait aussi deux valeurs de x ^ales et de signes 
contraires. 

Cette dernière forme (la même que lorsque la courbe est 
rapportée à ses diamètres principaux) montre que chaque 
axe coupe les cordes parallèles à Tautre en leurs milieux. Les 
deux diamètres liés entre eux par cette propriété récipro- 
que s'appellent r/iamé^re^ conjugués, U résulte de ce qui 
précède qu'à tout diamètre (droite menée par le centre, 
qui n'est pas une asymptote) répond un autre diamètre 
qui est son conjugué. 

i 

170. Lorsque £* — 4-^^ est nul, le radical de F équa- 
tion (2) ne devient nul que pour une valeur de x; la courbe 
ne rencontrtî donc qu'en un point le diamètre déterminé 
par l'équation (3). D'après cela, si l'on transporte en ce 
point Torigi ne des coordonnées'^ en prenant pour Paxe des 
X ce diamètre , et l'axe des y parallèle à sa première direc- 
tion, on réduira Féquation à la forme 

la même que lorsque les axes sont rectangulaires. 

Un.e parabole pouvant être considérée (n*** 132 et 136) 
comme une portion d'une ellipse ou d'une hyperbole dont 
les diamètres sont infinis, si l'on mène dans cette courbe 
des cordes parallèles et d'ailleurs quelconques , non-seide- 
ment leurs milieux sont, comme on vient de le voir, sur une 
droite, mais ce diamètre concourant à l'infini avec Je dia- 
mètre principal lui est par conséquent parallèle. Ainsi tous 
les diamètres d'une parabole sont parallèles entre eux, ce 
qu'on vérifierait aisément en cherchant le lieu des milieux 
de cordes parallèles dans cette courbe. 



BE hK I.2GNE DmOITB DANS l' ESPACE. l35 

§ VIIL ÉQUATIONS DE LA LIGNE DROITE HORS DES PLANS 

COORDONNÉS. 

i 71 . D^aprè^s ce qui a été dit en général au n? 6, le moyen 
le plus simple d^exprimer la situation d'une droite relative- 
ment à trois plans coordonnés est de donner les équations 
de ses projections coordonnées sur deux de ces trois plans. 
Si les deux plans de projection sont ceux des J^xel des zy^ 
les équations seront en général de la forme de celles-ci : 

Il faut bien comprendre que les coordonnées x^ y^ z , 
d'un point quelconque de la droite dans Tesp^ce, satisfont 
à la fois aux deux équations , et que chaque équation consi- 
dérée séparément est satisfaite par les Coordonnées d'un 
point quelconque du plan projetant mené par la droite pa- 
rallèlement i Fun des axes. 

En éliminant z entre les deux équations ci-dessus, on a 
ime relation entre les> coordonnées x^ y^ d'un point quel- 
conque de la droite \ et comme ces coordonnées sont aussi 
celle$ de la projection coordonnée de la droite sur le plan 
des xy^ la relation qu'on obtient est l'équation de cette pro- 
jection, savoir : 

172. Si l'on veut déterminer la trace de la droite sur Tun 
des plans coordonnés , par exemple celui des x et y^ il faut 
évidemment faire z = o dans le système de deux équations 
qui exprime la droite : on aura ainsi les coordonnées de 
cette trace * 

a a 

p ^ b 



l36 EQUATIONS 

On a de même pour les traces 

3ur le plan des xjï , . .j^ = o, ^ = ^, j:===^l !L^ 

sur le plan des j'^. . .07 = 0, z=p^ y r= f ^ . 

173. SI la droite était parallèle à Tun des plans coor- 
donnés, Tune des deux écpiatîons à deux variables devrait 
être celle de sa projection sur ce plan. I^a seconde équation 
appartiendrait aux projectix>ns de la droite sur les deux 
autres plans. 

Exemple. z =z:ax -i-b^ y = c. 

Si la droite était parallèle à l'un des axes, ses équations 
seraient indépendantes de la coordonnée parallèle à cet 
axe. Par exemple, la droite étant parallèle à l'axe des z, 
l'expression la plus simple de la droite est 

x = mj y=zr^, 

metn étant les coordonnées de la trace de cette droite sur 
le plan des x et j". 

* 

174. Problème. Connaissant les équations de- deux 
droites^ 

(i) z = ax+p \ 

\ pour la première ^ 

(2) z = by -hq] 

(3) z=a*x^p'\ , , 

, } pour la seconde, 

"vérifier si ces droites se rencontrent^ e/, dans le cas de 
V affirmative^ trousser les coordonnées du point d^intersec- 
tion. 

Les quatre équations ci-dessus doivent être satisfaites par 
les trois inconnues x^ y^ z y coordonnées du point de ren- 
contre. 



' DE LA XIGNE BKOITE DAMS l'eSPACE. lij 

Les équatioiis(i) et (3) donnent 

(5) (a — a^) z =zap^-^a'p. 
Les équations (a) et (4) donnent 

(6) {b — b')z = bq'~b[q. 

Les équations (5) et (6) devant donner lainème valeur 
dez, il faut que les constantes satisfassent à 1 equatioû de 
condition suivante : 

(a — a') {bq'—b'g) == {b — b') (ap' — a' p\. 

Quand elle a lieu , le reste du problème est aisé à ré- 
soudre. ' . 

<75. Problème. Connaissant les équations d^ une droite 
D rapporté^ à trois axes rectangulaires y trouver les angles 
qu^ elle forme avec ces axes. 

Transportons la droite parallèlement à elle-même de ma- 
nière qu'elle passe par l'origine, ce qui se fait en suppri- 
mant les termes constants des équations. Les angles cher- 
chés ne sont pas changés, et les deux équations peuvent 
alors s'écrire sous la forme 

X y z 

a h c 

Un point de la nouvelle droite, dont les coordonnées sont 
x, y^ z est à une distance de l'origine exprimée en gran- 
deur absolue par V^x*-|-j^*-+- z', et en considérant le sens 
positif de la droite comme allant de l'origine à ce même 
point , on a pour les cosinus des angles cherchés : 

cos(D, x) = 



\/x^-f-7"H- z" 



cos(D, z) = * 

slx^-{-y^-{-z^ 



l38 ÉQUATIONS DE LA LIGNE DROITE DANS l'eSPACE. 

Or,.(l' après les équations ci-dessDS, x^ y et z sontpro- 
portionuelles à a , b eiCj donc 

cos(D, x) = 



)Ja'rh b 



'-J-C' 



V^a' -f- 6' 



cos(D^ z) =: 



6* 



V^a'-h 6' 



6* 



•I 



formulés dans lesquelles il faut remarquer que les constantes 
a, i et c, sont positives ou .négatives, qu'elles ne sont don- 
nées que par leurs rapports (grandeurs ej; signes), qu'on 
peut par conséquent les multiplier par un nombre quel- 
conque, et changer simultanément leurs signes, ce qui 
change ceux des trois cosinus et revient à changer le sens 
positif de la droite. 

Héciproquement j sachant qu'une droite passe par rori- 
gine des axes rectangulaires , si l'on se donne les angles 
qu'elle forme avec ces axes, c'est-à-dire les cosinus de deux 
d'entre eux et le signe du cosinus du troisième (42) , on en 
conclura que les équations de la droite peuvent être posées 

comme il suit : 

X ___ y z 

cos(D, X) cos(D, y) cos(D, z)' 

ce qui revient à écrire, chose évidente, que les trois coor- 
données d'un point de la droite menée par l'origine sont 
proportionnelles aux trois cosinus.. 

176. Problème ; Trouuer les équations d^une droite pas^ 
sant par un point donné et parallèle à une autre droite 
donnée^ ou faisant as^ec les axes rectangulaires des an- 
gles donnés, 

^ La droite donnée étant transportée à l'origine et parallè- 
lement à elle-même , ses équations peuvent alors être mises 

sous la forme 

X >• z 

a 6 V 



ÉQVÀtriOIÏ DU FLAN. ÎSq 

et celles de U droite menée parallèlement par le point >dont 
les coordonnées sont x^-,y\ z* peuvent se ramènera celles-cîi 

X — x' y — y Z' — z' 

a b ~^ c 

ou bien , si les axes sont rectangulaires , 

X — ^' y — y' z — z' 

cos(D, x) *"" cos(D, y)' cos(D, z)' 

§ IX, ÉQUATION DU PLAN RAPPORTÉ A TROIS AUTRES PLANS 

COORDONNÉS. 

177. Le procédé qui donne celte équation dépend de la 
génération qu'on adopte pour le plan. 

Ce plan rencontrant nécessairement au moins l'un des 
axes, supposons que ce soit celui des z. Soit c la distance 
positive ou négative de l'origine à la rencontre C de cet 
axe {fig* 48). Les équations des deux traces, dans les deux 
plaos coordonnés xOz et yOz, sont de la forme 

z=-ax -\' c pour la trace D dans xOz, 
et 

z=zby ~\- c pour la trace E dans yOz. 

Considérons le plan comme la surface engendrée par 
une droite G qui , s'appuyant sur là droite D, directrice 
fixe, se meut parallèlement à la trace E, laquelle est, par 
conséquent, l'une des positions de cette génératrice. 

Soient a et j3 les coordonnées parallèles à Ox et à Oy du 
point P, où la génératrice G coupe la directrice D. Elles 
satisfont à l'équation de cette droite, de sorte qu'on a 

(i) J3==aa-hc, 

et la génératrice G, passant par P et étant parallèle à E , a 
pour équations 

(2) . x = a, . 
et 

(3) z^by + ^. 



l4o ÉQUATIOU 

Si , en canservanl à la distance c et aux coefficients an- 
gulaires a et & leurs valeursi algébriques, ou fait varier (X, 
et par conséquent P, on pourra faire prendre au point P 
toutes les positions imaginables sur la directrice D. Ainsi 
les équations (i), (2) et (3) ont lieu entre les quantités a 
et |3 q[ui conviennent à la génératrice passant par un point 
quelconque du plan et les coordonnées x^ y et z, de ce 
point. Donc, en éliminant a et jS^ on aura la relation cher- 
chée, indépendante de la position particulière de la généra- 
trice. Cette équation, qui exprime complètement la posi- 
tion du plan , est 

z = ax -i- bj -i- c. 

Elle s'applique à tous les cas possibles, sauf celui ou le 
plan serait parallèle à Taxe des z. Dans cette hypothèse, 
réquation ne contiendrait (92, 2^) que les variables a: et j, 
et ne différerait en rien de Téquation de la trace du plan 
sur celui de xy ; elle serait donc de la forme 

mx -h TT^ + ^ = o , 

pouvant se réduire kx = k ou y =^l si le plan était à la 
fois parallèle à deux axes coordonnés. 

178. Réciproquement, toute équation du premier degré 
comprise dans la formule générale 

Ax -hBy-hCz-h D = Oj 

dans laquelle les variables x, jr^ z^ sont les coordonnées 
d*un point variable, exprime toujours un plan. Car, à 
moins que C ne soit nul, auquel cas le plan serait parallèle 
à Taxe des z, on peut, en divisant par C, mettre Téquation 

sous la forme 

z =z ax -h by -i-c, 

et, par conséquent, concevoir la génération d'un plan (177) 
dont tous les points satisferaient, el satisferaient seuls , par 
leurs coordonnées à l'équation proposée. 



DU PLAJC. l4f 

179. Intersections d'un plan avec les plans et les axes 
coordonnés. S\ dans Fequation d'nn plan on fait Tune des 
coordonnées égale à zéro, on a l'équation de la trace du 
plan sur le plan des deux axes parallèles aux autres coor- 
données. 

Si dans Téquation d*un plan on fait simultanément deux 
coordonnées nulles , ceite équation donne.la troisièine coor- 
donnée égale à la distance de Forigine au point d'intersec- 
tion du plan et de Taxe parallèle à cette coordonnée. 

Tout plan passant par l'origine a son équation comprke 
dans la formule générale 

180. Quand le plan ne passe pas par l'origine, l'équa- 
lion peut être écrite sous la forme 

X V z 

-4- - -+-- = !, 
p q r 

et p, Çj r, sont (179) les distances de l'origine aux intersec- 
tions du plan avec les trois axes. 

181 . On peut trouver l'équation d^un plan en le consi- 
dérant comme une surface qui contient toutes les perpendi- 
culaires menées à une droite par un même point de cette 
droite. 

Quelle que soit la position du plan , soit ON (fig* 4,9) ï* 
droite menée de l'origine O perpendiculairement à ce plan, 
qu'elle rencontre en N. Soit M un point quelconque du plfi^n, 
et soient x, y, z ses coordonnées. 

Joignons M et N par la droite MN. Cette droite est per- 
pendiculaire à OTN , et, par conséquent, la longueur ON 
est la projection orihogonale de OM sur la droitA)N- Mais 
la projection de OM est égale (22 et 48) à celle du con- 
tour polygonal OPCM , composé des coordonnées ar, y, ^, 
du point ]Vt. Donc, en faisant ON = J, on à 

(i) J = X oosNOx -h y cosNOy -h z cosNO*. 



t4^ ÉQUATIOn 

Celte équation , dans laquelle (^ et les trois cosinus sont 
des constantes , tant qu'il s'agit d'un même plan , est Tëqua^ 
tion de ce plan. 

Si la droite ON est donnée par ses équations, on peut de- 
mander r équation du plan qui lui est perpendiculaire , en 
fonction de la distance d et des coefficients qui déterminent 
la droite. Les équations de celle-ci peuvent être mises sous 
la forme 

X y z 

a h'^ c 

Les cosinus des angles qu'elle forme avec les axes rectangu- 
laires sont des fonctions de a, i, c qu'on trouve très-facile- 
ment (174), et l'équation (i) du plan perpendiculaire à cette 
droite, et dont la distance à l'origine est d, devient par 
suite 

à V^a'-h A*-hc* = ax-^hy'\- cz. 

Réciproquement on peut se proposer la question sui- 
vante. 

1 82. Problème. Une droite étant menée de l ^origine per- 
pendiculairement à un plan donné y trouver les équations 
de cette perpendiculaire^ les angles qu elle forme avec les 
axes rectangulaires y les coordonnées de son pied sur le 
plan, et la distance de l'origine à ce pied. 

Soit l'équation du plan mise sous la forme 

Solution dil'ecte de la question* Une droite étant perpen- 
diculaire à un plan, la projection orthogonale de la droite 
sur un second plan est perpendiculaire à la commune in- 
tersection des deux plans. Donc la perpendiculaire au plan 
donné a pour équations 

B C ^, X V z 



y^=-^x et z=i-zXy ou bien "7 = ^ 



€' 



DU FLAN. 143 

Les cosinus des apgles qu'elle formé avec les axes sont 
proportionnels aux coordonnées x^ y, z d'un point quel- 
conque de cette droite 9 et par conséquent proportionnel» 
aux coefficients A^ B^ C De là et de ce que la somme des 
quarrés des trois cosinus est égale à i , on conclut 

cos(N,.x) = 



cos(N,y) = 



B 



COs(N>z)=: ■ t — » 

^ ' y]A'^B^+0 

Les coordonnées a*', j\ z' du pied de la perpendiculaire 
satisfont aux équations du plan et de la droite; on obtient 
d'après cela 

, À f B I C 

Enfin , quant à la distance i de Forigine au plan , on a 

Solution déduite de V équation (i) du n*^ 181 • En iden- 
tifiant les deux équations 

et 

a:cos(N,x) H-/cos(N, y)-h-zcos(N, z) =^d'^ 

on a 

cos(N,x)==:^(î, cos[^,j)^Bd, cos(N,z)=Ccî, 

et en élevant au quarré et ajoutant, 

De là on tire immédiatement B et les trois cosinus^ 



l44 ÉQUATIONS 

Par suite, les équations de la perpendiculaire passant par 
Torigine qui sont ' 

X y ■ z 

cos(N,x) ""coslN, y) "^ cos(N,z)' 

tlevîennent 

X y z 

Enfin les coordonnées du pied sont 

^'= dcos(N, x) = Ac?«= ^,_^^,_^^^ , 
y=cîcos(N,y),ete. 

183. Une droite peut être exprimée par les équations «î 
trois variables de deux plans différents qui la contiennent. 
Il suffit de considérer ces deux équations comme devant 
être satisfaites simultanément par les coordonnées x^y^ z. 
On peut, par deux éliminations successives d'une variable, 
obtenir un système équivalent, mais plus simple, de deux 
équations à deux variables^ et ces équations sont alors tout 
à la fois celles des deux plans projetants qui y correspon- 
dent. 

§ X. DE LA TRANSFORMATION DES COORDONffÉES PARALLÈLES A 
TROIS AXES, APPLIQUÉE AUX SURFACES DU SECOND i)EGRÉ. 

184. La forme la plus générale d'une équation algé- 
brique du second degré entre trois coordonnées x^y^ z est 
celle-ci : 

Ax'+A'y''-^- A" z'^'ArBxy -f- B' xz + B"yz 
^Cx-^-Cy-^r C"z^D = o. 

On conçoit, par ce qui a été dit (161 et suiv.), qu'une telle 
équation, considérée comme exprimant une surface ^ peut 



DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ, l43 

■ 

être simplifiée par la transformation des coordoiiTiées s^ns 
cesser d'exprimer la même surface. 

185. Par une méthode analogue à cell^ du n^ 162, on 
obtient immédiatement des formules pour cette transfor- 
mation. 

Soient Ox, Oy, Oz, les axes primitifs faisant entre eux 
des angles quelconques ; 

a , i , c , les coordonnées de la nouvelle origine O' 5 
O'x', O'y', O'zf, les nouveaux axes quelconques. 

M étant un point quelconque, considérons deux con- 
tours polygonaux conduisant de l'origine O à ce point M : 
l'un,, composé de x, j^, z^ l'autre de a , ft, c, x\ y\ z\ 
Leurs projections sur une droite quelconque sont égales, et 
peuvent fournir une relation entre les coordonnées primi- 
tives et les nouvelles. Pour obtenir directement x,y, r , en 
fonction de a, è, c, a^ y\ z^j imaginons un axe auxi- 
liaire OX, perpendiculaire au plan yOz: les projections 
de jr, z^b ^ c ^ sur cet axe , sont'nulles, et nous avons 

j:cos(x, X) == acos(x, X) -|-wï:'cos(x'X) 

-f-j^' co8(y', X) -f- z^ cos(z', X). 

En considérant deux autres axes auxiliaires de projec- 
tion , savoir: OY perpendiculaire au plan xOz , et OZ per- 
pendiculaire au plan xOy, on a deux formules analogues : 

jcos(y, Y) = icos(y, Y) -f-a:'cos(x', Y) -i-j' cos(y', Y) 
-i-z'cos(z', Y), 

zcos(z,Z) = cCos(z, Z) -f- J:'cos(x', Z) -hj'xîosfy', Z) 

^'cos (z', Z). 



186. Quelle que soit l'équation F (ar,j^, <z) = o d'une 
surface, en y substituant à x,j^, z , leurs expressions tirées 



10 



l46 ÉQUATIOINS 

■ 

des formules in-dessus , on aurait une équation en x\ y , 
z\ qui serait Téquation de la mèine surface rapportée aux 
nouveaux. axes : les quantités a,&,c, et les cosinus qui 
entreraient dans* la nouvelle équation, doivent être consi- 
dérés comme connus dès que l'on connaît les angles des 
axes primitifs entre eux et la position' des nouveaux axes 
par rapport aux anciens. ' 

187. De ces considérations générales résultent quel- 
ques conséquences importantes dans le cas où réquatiou 
F(x^y^z)=^o de la surface est algébrique. 

1°. L^ équation transformée en x\j\ z' ^ est du même 
degré que V équation primitii^e. Le raisonnement pour le 
démontrer est celui du n**164. 

a°'. Si l'on coupe par un plan quelconque une surface 
dont Téquation F (a:, y^ z) = o est algébrique , /a courbe 
d^ intersection est tout au plus du même degré que la sur- 
face, c'est-à-dire que l'équation qui exprimerait cette 
courbe, rapportée à deux arxes quelconques pris dans sou j 
plan, ne serait pas d'un degré supérieur a celui de l'équa- 
tion F (x,j)^, ^) = o. 

En eflet , concevons qu'en transformant les coordonnées 
on prenne les axes des x' et des ^' dans le plan coupant. 
La nouvelle équation de la surface en x\ j\ ^\ sera du 
même degré que la première. Or, il suffira d'y faire z'=o 
pour avoir l'équation de la courbe d'intersection, ce qui 
ne pourra jamais élever le degré. 

3°. Une droite ne peut percer une surfoce en un nom- 
bre de points plus grand que V indice du degré de la sur- 
face, mais elle peut, en certains cas, s'y appliquer tout 
entière. 

En effet , en prenant la droite considérée pour axe des 
x'y et faisant ensuite j^'=: o et 5:'=;:o simultanément dans 
Féquation transformée, on aura une équation en x', qui 









■■lai 

C 

;"Jai 

'OC 



PES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. ^^J 

sera, au plus, du njLêiue degré ^ et dont les i^cinW seront 
les distances de rorîgine O' aux points d'intersection. ♦ 

Si la supposîtionj^'= oj z'=o, rendait T équation* de 
la surface satisfaite indépendamment de x', l'axe O'x:' se- 
rait tout entier sur la surface» 

188. Si, au lieu de changer à la fois les trois axes,.comme 
nous Favons supposé au n^ 185, on en conserve uii, et 
qu'en déplaçant les deux autres on les laisse dans leur plan 
primitif, la transformation est plus simple. Supposons que 
l'on conserve l'axe 0%^ et qu'on remplace Ox, Oy par 
Ox', Oy', l'ordonnée z d'un point M quelconque sera^àm- 
mune aux deux Systèmes de coordonnées , et les relations 
entre j:, y^ x' et y\ seront celles qui ont étç établies au 

« 

.189. Appliqubns cette observation à l'équation générale 
du second degré à trois coordonnées , afin de la réduire à la 
forme la plus simple, et parvenir ainsi plus. facilement à 
caractériser les divers genres de surfaces que cette équation 
peut exprimer suivant les diverses valeurs, de ses coeffi- 
crient$. 

Nous supposerons rectangulaires les tji'ois axes', en re- 
marquant que, s'ils ne l'étaient pas, on pourrait les rem- 
placer par d'autres qui léseraient, sans changer le desré 
de l'équation exprimant la mênie surface (187 ,. j[° ). 

Cela posé, en conservant l'axe Oz, et en raisonnant 
quant aux deux autres comme on l'a fait au n® 167, on voit 
qu'on peut toujours faire disparaître le* terme contenant le 
produit xy. Nous supposerons donc, pour simplifier nos 
calculs , que B soit nul dans l'équation du n^ 184 , qui de- 
vient • 

^x*-h v^y-h ^''2*4- 5'a:5 4- ^V^ 



lO. 



l48 ÉQUÀTIOMS 

et qui peut aussi bien exprimer toute surface du second 
degré. 

190. Démontrons quil est toujours possible de diriger 
l'axe des z, les coordonnées restant rectangulaires, de 
manière que l'équation j exprimant toujours la même sur- 
face quauparax^ant^ ne contienne plus les produits xz^yz. 

Soit OZ la direction cherchée {fig- 5o) -, 

Soit Ox^ la projection orthogonale de OZ sur le plan 
xOy5 

Et soit OY menée par l'origine O et dans le plan xOy 
perpendiculairement à Ox'. Cette droite sera par consé- 
quent perpendiculaire à OZ. 

Si l'on voulait prendre Ox', OY et Tancien Oz, pour 
nouveaux axes coordonnés, il faudrait (188 et 165) , en fai- 
sant xOx'= 0, substituer dans l'équation de la surface les 
expressions 

j: = x'cos0 — JTsinÔ, 

y = x' sinO H- .KcosS, 

et laisser z sans changement. 

Cette substitution faite, on pourrait changer les deux 
axes rectangulaires O x , Oz , et les remplacer par OX, OZ, 
également rectangulaires, et dans le même plan perpendi- 
culaire à OY. 

Pour cela , il faudrait, en appelant y Tangle zOZ, substi- 
tuer dans la transformée précédemment obtenue 

z z=z Z cosy — X sin y, 
x' = Z siny -f- Xoosy, 

et laisser Y sans changement. 

Or, ces deux substitutions successives reviennent à mettre 
immédiatement dans Féquation primitive les valeurs sui- 



DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 



U9 



vanles 



z ■= Z cosy — Jisiny, 

x= (Zsiny-l- JTcosy) cbsO — l^sîn9, 

y = (Z siny -h Xcosy) sinO H- l^cosÔ. 

Faisons donc cette substitution immédiate, mais en n'é- 
crivant que I,es termes en XZ et JTZ, que nous voulons 
faire disparaître. Nous aurons ainsi les tel*mes : 

a^sinycosy cos'O XZ — a^siny sindcosd] VZ 

-H 2y^'siny cosy sih'6 -h a^'siny sinOcosô 

— ^-^''sinycosy — ^cosysinO * 
-h ff cos' 7 çosO ^ jS" cos y cos 

— .Csin'ycosO 
-f-£^'cos'ysin0 

— fi^sin'y sinO 

Il s*agit maintenant de démontrer qu'il existe toujours, 
pour l'axe OZ une position telle, que les angles d et y qui 
lui appartiennent rendent nuls ,. dans l'équation transfor- 
mécf, les deux polynômes coefficients de XZ, et de YZ. 

Prenons sur OZ, à partir de l'origine, une distance re- 
présentée par I. Appelons a, ^i-c , ses projections sur les 
trois axes primitifs, et d sa projection sur l'axe Ox'. Il est 
facile de voir qu'on a 

cosy = c, siay = o, cos0 = -^î sin» = -^« 

Substituons ces expressions dans les deux polynômes coef- 
ficients de XZ et de ÏZ, que nous égalerons à zéro ^ nous 
aurons deux équations : 






ab ^f cb 



ca 



^'i-^-^"i=''' 



^50 ÉQVATIONS * 

OU plus simplement 

} ' \ ' • ■^B"b[c*—d*)—o, 
(2) !i{u4 — A')ab-j-B'cb — B"ca = o. 

Ces dénie équations jointes aux deux relations 



• 



* ^renferment les conditions, nécessaires pour' déterminer les 
quantité»â , b c ^*d'bù dépend la position de Taxe OZ. . . 
En multîpliatit Téquation (i) par a et l'équation (2) par 
bc , puis ajoutant , on trouve 



• • 



2 ^ac (a'+ i*.) — ^j4''acd* 4- B' c* (a* + 6») 

■+- B' a* d* — B" abd* = o , 

» 

•ou 5 en divisant, par d^ égal à a* -f- i*, 

(3) !i{J — A'')ac-^-'&c^ — S'a^^B"ab = o. 

Les équations (2) et (3) se simplifient encore en posant- 

'h 

- = a , /- = (3, et en 'substituant a = ca^ i =: <?P ; elles 
ce • . 



« «. • 



deviennent 

(4)' [a(^ — ii')«-i-£']|3 — S"a = o, 

(5) i'(4 — ^")» + B' — B'»* — B"a^ = o, 

. * 'd'où, en'élilninant j3, on tire Téquation finale en a : 



^IJ __ ^') ^.;,^ ^ 4 (^ ^ J') [A - A") 

(6) { • ■ •• . -i-B" 



a:'-iB'(A-~A')\oL-B'' = o 
-iB'[A--A')\ 





Nous 'n'avons pas à nous occuper du cas où B^ et fi" se- 
raient tous deuK nuls , puisque l'équation du n^ 189.'ne con- 
viendrai t-p'a s les produits xz etyz. Si B' seul était nul, il 



DES SURFACES DU SECOND OEGKE. l^I 

suffirait de faire permuter Taxe des x et celui des j^ pour 
que le coefficient de xz dans cette équation devînt B" et 
cessât par conséquent d'être nul. Nous ne nous arrêterons 
donc pas non plus à cette hypothèse. 

Si l'on avait j4 = ji\ l'équation (6) réduite *à 

(£'» -h B''') a*— 2 B'{J^A") a —5'»= o, 

aurait nécessairement deux racines réelles. 

Dans tout autre cas, il existera toujours au moins une 
valeur réelle de a, positive ou négative, qui satisfera à 
l'équation (6) : car c'est, en algèbre, une proposition gé- 
nérale et facile à démontrer que toute équation de degré 
impair, à Une inconnue^ a au moins une racine réelle. 
Cette valeur de a étant substituée dans l'équation (4)5 
celle-ci donnera la valeur correspondante et également 
réelle de |3. Enfin , a et |3. étant connus , les équations 

a = c(x^ b = cfi^ a*-f- i'-f- c'= I, 

donneront aisément a, b, c, et, par conséquent , là direc- 
tion OZ, qui est celle de la diagonale du parallélipipède 
rectangle dont les arêtes sont a , A , c , suivant les axes pri- 
mitifs. 

191. Il résulte de la démonstration précédente que l'é- 
quation la plus générale du second degré, après avoir subi, 
par le déplacement de deux axes, la modification indiquée 
au n^ 189, .pourra, au. moyeA d'une nouvelle transforma- 
tion, être remplacée par une autre, comprise dans la for- 
. iDtile suivante, en coordonnées rectangulaires : 

A,x'-^ji\f-hA\z'-^B,xj 

' H- C, X H- Cj\ -h C^ z -^ D =^0, 

Le terme en Jty a été introduit par la, seconde transforma- 
tion 5. mais, suivant robseryalion faite au n" 189, il^est 



l5a CLASSIFICATION 

toujours possible de le faire disparaître par le déplacemçnl 
des X et des y dans leur plan. 

De là résulte cette conséquence fondamentale dans la 
classification des surfaces du second degré : c'est quer leurs 
équations en coordonnées rectangulaires peuuent toujours 
être amenées à ne plus contenir aucun des produits xy, 
xz^yz. 

§ XL CLASSIFICATION DES SURFACES DU SECOND DEGRfi. 

192. Toutes ces surfaces sont comprises (191) dans l'é- 
quation suivante en coordonnées rectangulaires : 

Px^+ py -f. P''z«4- 2 Qx H- aQ'j -f- 2 Q"z -hR = o. 

Les trois coeiBcients P, P\ P'\ ne peuvent être nuls à la 
fois (187, i^). Supposons d^abord i\\jL aucun d'eux ne le 
soit. On pourra écrire ainsi l'équation : 

= £+£.■ H-^-Jî 

ou , en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes , 

Pjt«-+-py-hP'^^* = 5. 

Le caractère général des surfaces exprimées par cette 
formule est que Forigine actuelle des coordonnées est le 
milieu de toute corde passant par ce point. En effet , si cer- 
taines valeurs de x^yeX z^ sont les coordonnées d'an 
point de la surface, et satisfont, pat: conséquent, à la der- 
nière équation, des valeurs égales et de signes contraires y 
satisfont également, et sont évidemment les co0(*données 
d'un point situé à la même distance de Forigine, à Fopposé 
du premier. 



LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. l53 

Le point milieu de toutes les cordes qui y passent s'ap- 
pelle le centre de figure ^ ou simplement le ce/i^re de la 
surface. 

193. Ou peut toujours faire en sorte que dans l'équation 

deux des coefficients P, P\ P", soient positifs. Supposons 
que ce soient P et P', et faisons sur P" et S toutes les hy- 
pothèses possibles. Si P" était positif et 6^ négatif, l'équa- 
tiou exprimerait une impossibilité. Il ne reste qu'à discuter 
les trois cas suivants : 

/"■ Cas des surfaces à centre. P" et S positifs. 

f 94*. Dans ce cas , l'équation peut s'écrire ainsi : 

Elle exprime une surface limitée, car x, j-, z^ ne peuvent 
être plus grands que a^b^ c. 

Cette surface est coupée par les plans coordonnés suivant 
des ellipses dont les diamètres principaux sopt 2 a , 2 i, â c. ^ 

Cette surface s'appelle ellipsoïde, . 

Elle devient ellipsoïde de rév^olution quand dt^ux des 
constantes a^ bj c sont égales. Si, par exemple, Téquation 

est h— H — r=i, on voit gu'en y faisant z ésale à une 

a^ a^ c^ ^ -^ " 

constante quelconque , mais plus petite que c , on aura en X 

et y Téquation d'un cerde. Or cette supposition revient à 

couper la surface par un plan perpendiculaire à Taxe des z. 

L'ellipsoïde dégénère en sphère quand les trois diamètres 

principaux deviennent égaux , son, équation étant alors 



x'-|-/'-i- Z^=: à 



% 



l54 CLASSIFICATION 

11^ Cas des. surfaces à centre^ jP" négatif , *S positif. 

195. Dans ce cas, Féquation (193) peut s' écrire. iinsi : 

07» J* >S' 

L'intersection de la surface avec le plan des xy est une 
ellipse dont les diamètres principaux sont aâ et si. 

Son intersection ayêc tout autre plan perpendiculaire à 
l'axe dès 2, courbe dont l'équation s'obtient en faisant .z 
égale à une constante quelconque, positive ou négative, est 
encore une ellipse ayant son centre sur l'axe des z ^ et les 
diamètres augmentent avec cette valeur de z. 

Les sections ou traces de la surface dans les plans des 
X elz ei àe^y et z , obtenues en faisant séparément j=^o 
et j:= o, sont des hyperboles dont les diamètres princi- 
paux transverses sont a a et 2 6. * 

Cette surface continue dans son étendue illimitée s^ap- 
pelle hyperboloïde à une nappe. 

Elle devient un hyperbàloïde de résolution à une nappe 
lorsque a et b ou P et P' sont égaux. 

HP Cas des surfaces à centre. P" et S'^ négatifs. 

196. Dans ce cas, l'équation (193) peut s'écrire ainsi : 

Le plan des x ety ne rencontre pas la surface, car l'équa- 
-rH-T: = — I n'a aucune solution. Il en est de même 



tion 



a' &* 



de tout plan perpendiculaire à l'axe des z dont la distance 
au plan des x eiy est moindre quec. A cette distance c, po- 
sitive ou négative, Taxe 'des ^ perce la surface. A une dis- 
tance plus grande la section faite par tout plan perpeudicu- 



DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. • i55 

laire à Taxe des z est une. ellipse dont le centre est sur cet 
axe, et dont les diamètres augmentent avec cette distance. 

Les sections ou traces de la surface dans les plans des x 
et z et des y et z sont des hyperboles ayant un même dia- 
mètre transverse égal à ac, suivant l'axe des z. 

Cette surface , composée de deux parties séparées , s'apr- 
peWe kjrperholoïde à. deux nappes . 

Elle devient un hyperboloïde de révolution à deux 
nappes^ lorsque a et J ou P et P* sont égaux. 

497. Passant à la seconde hypothèse sur Téquation géné- 
rale du n^ 192, supposons que P soit nul, P' et P" ne l'é- 
tant pas. L'équation pent alors s'écrire ainsi , pourvu qucf 
Qne soit pas nul, 

ou, en transportant les axes parallèlement a euX'- mêmes, 

ip 2p ' 

• 

p' et p" désignant des constante» positives ou -négatives. 

Une propriété générale dès silrfaces exprimées par cette 
équation 5 c'est qu'elles sont dénuées de centre. En effet ^ eu 
quelque point de l'espace que l'on transporte l'origine, en 
laissant les axes parallèles à leur direction actuelle, l'équa- 
tion sera renfermée dans la formule 

7-^-h- jr^=x — a. 

^P ^P 

Or, dans ce cas , l'ôrigiiie ne peut être un centré, parce que 
l'équation, satisfaite par certaines valeurs de. j:, y, s, ne 
le sera plus par ces valeurs changées de signes. 



l56 CLASSIFICATION 

Les surfaces dénuées de centre présentent deux cas dis- 



tincts. 



/"" Cas des surfaces dénuées de centre. P' et P".ovl p' et 

, p^ de même signe. 

198. Si p' et p" étaient négatifs, ils deviendraient posi- 
tifs par le changement de sens de Taxe des x. 

p' et p" étant donc supposés positifs, on voit, en faisant 
successivement jr==o et z = o, que les plans des xz et 
des Xy coupent la surface suivant des paraboles dont le dia- 
mètre principal est Taxe positif des x, et dont le sommet 
est à Forigine des coordonnées. 

Un plan perpendiculaire à Taxe des x, dans sa partie 
négative, ne rencontre point la surface. Si, au contraire, il 
coupe l'ax^ des x dans sa partie positive, à une distance 
quelconque, son intersection avec la surface est une ellipse. 

Cette surface s'appelle paraboloïde elliptique. 

Lorsque p* et p^^ sont égaux , elle devient xm paraboloïde 
de réi^olution engendré par la rotation d'uùe parabole au- 
tour de son diamètre principal. 

• • 

//* Cas des surfaces dénuées de centre, P' et P" ou p' 

et p^' de signes contraires. 

199. Dans ce cas, Téquation prend la forme 



ip 2q 



p et q étant des longueurs absolues non susceptibles de 
signes. 

Les plans des xz et des xy coupent encore la surface sui- 
vant des paraboles qui ont leurs sommets à l'origine ; mais 
le diamètre principal de Tune est suivant Taxe négatif 



DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. iS^ 

(les jr, tandis que celui de Tautre est suivant la partie posi- 
tive du même axe. 

Si , au lieu de z: = o, on fait z égal à une constante quel- 
conque, on obtient pour la section faite par un plan paral- 
lèle à celui des xy une parabole dont Fëquation est 

y* = %px -h constante, 

et qui, par conséquent, est toujours de même grandeur, 
quelle que soit la distance du plan coupant à Torigine. 
Cette parabole a son diamètre principal dans le plan des x^ 
et parallèle à Taxe positif des x. Il s'ensuit que la surface 
peut être considérée comme engendrée par une parabole 
dont le plan se meut parallèlement à celui des xy^ dont le 
diamètre principal reste dans le plan des xz, et dont le 
sommet parcourt une parabole fixe, dont le plan est celui 
de xz et dont le diamètre principal est dirigé en sens con- 
traire dé celui de la parabole mobile. 

Si , en faisant x égal à une constante, on cherche Tinter- 
section de la surface par un plan quelconque perpendicu- 
laire à l'axe des x, on trouve F équation d'une hyperbole 
qui se réduit à deux droites quand on fait x = o. 

Cette surface s'appelle puraboloïde hyperbolique, 

200. On a vu que, lorsque dans l'équation générale, du 
n^ 192 les coefficients P, P', P"^ sont tous différents de 
zéro, cette équation peut toujours se réduire à la forme 

Px^^py+p"z^=s. 

Mais il peut arriver que S soit nul , et, dans cette hypo-^ 
thèse, il faut distinguer deux cas. 

201 . /"'' Cas particulier. Dans Téquation 

Px'-f-Py-l-P"^'=o 

les trois coefficients sont.de même sigûe. 



l58 CLASSli'lCATlOJd 

L'équation , no pouvant être satisfaite que par x = o^ 
)= o et z ==o siiâultanément, n exprime qu un seul point. 

202. //" Cas particulier, ' Le? trois coefficients ne sont 
pas de même signe. 

L équation peut être écrite ainsi : 

— -i-4r— «' = o. 

a^ 0^ 

Les sections de la surface par les plans des a: et z et des 
y et z se composent chacune de deux droites passant par 
Forigine. La surface est un cône. En effet, si x\ y- ^ z\ 
sont les coordonnées d*un de ces points et satisfont à l'équa- 
tion, tout autre point de la droite passant par ce premier 
point et par Forigine aura pour coordonnées les produits 
wx', rnj\ fn^\ des premières par un même nombre. Or 
ces produits satisferont également à Féquation. Donc la 
droite dont il s'agit est tout entière sur la surface (*). 

La surface devient un cône de révolution quand a et b 
sont égaux. . - 

203. Toute surface conique du second degré, coupée par 
un plan qui ne passe pas par le sommet, ne peut donner 
pour intersection que Fime des trois courbes du second 
degré (187, 2°), et donne une ellipse, une parabole et une 
hyperbole, suivant que le plan coup^ toutes les génératrices 
rectilignes,. ou. qu'il est parallèle à l'une d'elles seulement, 
ou qii'il est parallèle à deux génératrices. De là le nom de 
sections -coniques donné . par. les anciens -géomètres aux 

'courbes du deuxième degré. 

Les hyperboloïdes, dont le cône est le cas particulier, ont 



( * ) Le même raîsonnemeut prouve que toute équation algébrique ^n t, 
.r,^, dont tous les termes sont du même degré, exprime une surface conique 
«lont te sommet est 4'ori{^ine des coordonnées. 



DES SURFACES ITU SECOND DEGRÉ. 1 5() 

la même propriété de fournir les trois courbes parleurs 
sections jplanes. 

2G4. En discutant (197) Téquation générale du n° 192 
dans l'hypathèse où P serait nul, P' et P" ne l'étant pa«, 
nous avons excepté le cas où Q sçrait nul eq même temps. 
Si P et.Q étaient nuls, l'équation pourrait se ramener à'ia 
forme ... 

p'f-^p^^z^=s; 

qui appartient en général à une surface cylindrique (77) 
dont les génératrices rectilignes sont parallèles à Taxe des x. 
Elle comprend quatre nouveaux cas particuliers. 

205. IIP Cas particulier. Si P' et P'' sont de même . 
signe, et que S ne soit pas nul , il e^t aussi de même signe, 
sans quoi il y aurait impossibilité, et la surface est un cy- 
lindre à base elliptique. 

. 

206. /F^ Cas particulier,.. Si , P' et P" étant de même 
signe, iS* est nul^ l'équation, qui ne peut être satisfaite que 
par ^ == o et ^ = o, indépendamment de x, exprime une 
seule droite, qui est ici Taxe des x. 

207. V' Cas particulief\ Si, P' el P" étant de signes 
contraires, 5 n'est pas nul, la surface est lin cylindre à 
base hyperbolique, 

208: VP Cas particulier. Si, P' el P" étant de signes 
contraires, *Sest nul, l'équation, de la forme j-* — m'^z^tzr o, 
o\xy^^ zhmz^ exprime deux plans qui se coupent suivant 
Taxe des x. 

• 209. Il reste encore à exairtiner les cas où deux des coef- 
ficienls P, P% P^\ de l'équation du n° 192, deviennent 
nuls. Cette équation peut alors s',écrîre ainsi 

li =r:r::;=0, 



P" (^ -h ^)V 2 Qx -H 2Qj -h 



pf/2 -*— Vî 






m 

160 CLASSIFICATION DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ'. 

OU, en transportant parallèlement les axes dex et desjj 

« 

équation qui comporte trois cas distincts. 

210» Fil' Cas particulier. Si aucun des coefficients Q, 
Q'\ n'est nul, quel que soit S^ la surface coupée par un plan 
quelconque parallèLe au plan des x et y donne une droite 
parallèle à celle qui dans ce plan aurait Téquation 

Les sections dans les plans des x ex. z et des j^ et z sont 
des paraboles -, la surface est donc un cy^lindre à base para- 
bolique. 

Il en serait de même si Fun des coefficients Q, Q', était 
nul 5 quel que fût S. 

211. VIII" Cas particulier. Si Q.el Q' sont tous deux 
nuls, S ne l'étant pas, l'équation , réduite à JP'^z* = 5 ou 

zz=.± i/-H7' exprime deux plans parallèles. 

• « 

212. IX' Cas particulier. Enfin si Q, Q' et *S, sont nuls 
à la fois, l'équation P"^*=o, satisfaite seulement par 
^=o, indépendamment de x et dey, exprime un seul 
plan, qui, par les transformations, est devenu celui des 
X et j. ' 

21 «^. Ainsi ^ outre les cinq principaux genres de surfaces 
que peuvenjt exprimer les équations du second degré à troié 
variables, on peut trouver comme cas particuliers : 

Tfr)is espèces de cylindres, le cône, deux plans qui se 
coupent j deux plans parallèles, un seul plan, une droite 
et un p oin t un iq ue . 



PLANS DIÀMÉTKAUX DES StJRFACES DU SECOND DEGRÉ. l6l 

§ XII. PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES DES SURFACES DU SECOND 
DEGRÉ. SIMILITUDE DES SECTIONS PARALLÈLES. 

214, Quelle que soit une surface du second degré, pre- 
nons pour axe des z une droite qui la coupe en deux points, 
le plan des x eiy étant d'ailleurs quelconque, son équation 
sera de la forme 

jz* 4- Ax^ -h A'y^ -h Bxy H- Sxz 4- B"yz 

^Cx-^Cy^C^z-^D^xiS 
d'où 

z = —^-{Wx^B''y-^C')±>[R, < 

en désignant par R un polynôme en x et j^ du second degré 
au plus. On voit aisément par là que le plan dont l'équa- 
tion est 

z = — l {B'x^B"y H- C") 

\ 

coupe toutes les cordes parallèles à la première en leurs 
milieux. Ce plan s'appelle plan diamétral, 

U existe une infinité de plans diamétraux, puisqu'on 
peut donner à une corde une infinité de directions. 

215. Si Ton prend pour plan des .r et y le plan dia- 
métral qu^on vient de trouver, en conservait le premier 
axe des z, l'équation de la surface ne contiendra plus z au 
premier degré et sera de la forme 

z^'^AiX^-]-A\y*'hBiXy'hCiX-i'C\y'hD = o. 

Cela étant, en changeant la position des axes des x et 
des j* dans leur plan, et laissant Taxe des z parallèle à sa 
première direction, on pourra réduire le polynâbie en x ety 
qui accompagne z* a trois termes ou à deux , suivant le 



u 



X6l PIANS DIAMÉTRAUX 

cas (n°' (66 et 167). Donc Féquation de la surface de- 
viendra 

s' -h ikTy'-h Nx*-h P = o si elle a un centre, 

oir 

jz' -+- il/y'-f- Px = o si elle n'a pas de centre. 

Ces formes sont précisément celles que nous ayons dis- 
cutées aux n^' 194 et suivants. La seule différence est ici 
que les trois axes ne sont pas rectangulaires. 

Il est à remarquer que, d'après ce qu'on a vu aux n*** 169 
et 170, il y a une infinité de systèmes d'axes des j* et des x 
pour lesquels, l'axe des z restant le même, les formes des 
équations ci-dessus ne changeraient pas, 

2i6. On appelle diamètre d'une surface du second degré 
une droite dont la propriété est de contenir les centres des 
sections faites par des plans parallèles entre eux. 

D'après ce qu'on vient de voir, toute droite meaée par le 
centre d'une surface du second degré parallèlement à une 
ccrrck qui rencontre cette surface en deux points est un dia- 
mètre. 

Lorsque trois diamètres sont tels, qu'en les prenant pour 
axes coordonnés on a l'équation de la surface sous la ferme 

z' 4- itfj' -h iV^x* H- P = o, 

chacun d'euxcohtient les centres des sections parallèles au 

plan des deux autres ; on les appelle diamètres conjugués. 

Lorsque l'équation d'un paraboloïde est sous la forme 

r 

z^-hMy-^Px=20, 

l'axe des X est un diamètre •, mais il n'en est pas de même 
des deux autres axes. 

217. Lemme. D'après la définition de la similitude en 



DES SURFACES OtI SECOND DECAÉ. l63 

général (*), deux courbes planes sont semblables et sem- 
blablement placées par rapport aux axes coordonnés, 
lorsque, l'équation de Vune étant F (x, y ) = o, Véquatîon 
de Vautre est F [kx, hy) = o, A: indiquant un nombre 
constant, qui est le rapport de sitmlitude, et la notation F 
indiquant la même fonction dans les deux équations • 

Il résulte de là : 

i*^. Que les deu^ courbes à centre dont les équations sont 

(le coefficient n étant le même dans les deux équations), sont 
semblables et semblablement placées par rapport à Tori- 

gîne si p et p' sont de même signe; car en faisant />'==: -^ i 



{*) Un syslëme de points M, N, P,. . . (formant soit des lignes, soit des 
surfaces, soit un ou plusieurs corps), étant situé d'une manière quelconque 
dans l'espace, si Ton prend un point S aussi quelconque (pouvant comme 
cas particulier êtreTun de ceux du système), qu'on mène les droites SM, 
SN, SP, . . . , et que sur ces droites prolongées au besoin on porte , à partir 
du point, les distances SM', SN', SP', . . . , proportionnelles à SM, SN, SP,. . ., 
et dirigées respectivement dans le* même sens , les points M% N', P', ainsi 
obtenus, formeront un système semblable au système M, N, P,. . . , et sembla- 
blement placé par rapport au point S , -qui s'appelle pôle commun de simili^ 
' tude. Les points M', N', P',. . ., sont respectivement homologues des points 

M, N, P, Les droites M'N' et MN, qui joignent deux points d'un sys;0me 

et leurs homologues dans Vautre , sont des droites homologues. Enfin deux 
plans passant Vun par trois points d'un système et Vautre par les tMs ho- 
mologues du système semblable sont deux plans homologues. Cela posé, ou 
démontre: i° que dans deux systèmes semblables et semblablement placés 
deux droites homologues quelconques sont parallèles, et que leurs longueurs 
sont entre elles dans le rapport des distances de deux points bpmologues 
quelconques au p6lc commun ; 2<^ que les plans homologues sont parallèles; 
30 que les a^igles plans, dièdres ou polyèdres, homologues, sont égaux. '— 
Deux systèmes peuvent être semblables sans être semblablement placés ; 
mais il faut pour cela qu'il soit possible d'en construire un troisième égal à 
l'un d'eux et en même temps semblable h l'autre et semblablement placé par 
rapport à un pôle commun. On démontre aisément d'apfès ces principes 
que deux systèmes semblables à un troisième sont semblables entre eux. 

1 1 . 



l64 SIMILITUDE DES SECTIONS PARALLÈLES 

on voit que la seconde équation équivaut à 

Qi^. Que deux paraboles quelconques dont les équations 
sont 

sont semblables et semblablement placées par rapport à 
Vorigine si p et p' ont même signe», car si Ton fait p'= -^> 
la seconde équation équivaut à 

A'y*= ap./ca:. 

218. Théorème, i®. &i un plan coupe une surface du 
second degré suivant une courbe à centre, il en est de même 
de toutes les sections planes parallèles à la première : 
tous les diamètres principaux de ces sections sont» dans 
deux mêmes plans, et par conséquent leurs centres sont 
sur une même droite. 

tP. Si Vuné des sections est une ellipse, toutes les 
autres sont des ellipses semblables dont les lignes homo- 
logues sont parallèles, 

. i^. Si l^une des sections est une hyperbole, toutes les 
autres sont des hypetboles dont les asymptotes sont pa- 
rallèles et qui peuvent former deux groupes distincts d^ hy- 
perboles semblables, 

4**. Si la première section est une parabole, toutes les 
sections parallèles sont aussi des paraboles, qui ont leurs 
diamètres principaux dans un même plan, 

Démokstkatioit. 1^. Soit la première section rapportée 
à ses deux diamètres principaux pris pour axes rectangu- 
laires des z ely. L'équation sera de la forme 

-z*-hpy*+ 9 = o. 

Imaginons le plan diamétral qui correspond ds^ns la sur- 



DES SVRFÀCES DV SECOIID DEGRÉ. l65 

face aux cordes parallèles à Taxe des z. Ce plau diamétral 
rencontrera le plan coupant suivant Taxe des y, puisque 
cet axe a, dans le plan de la section, la propriété de passer 
par les milieux de toutes les cordes parallèles à Taxe des :g. 
Enfin prenons l'axe des x, dans le plan diamétral, suivant 
le diamètre qui coupe en leurs milieux les cordes parallèles 
à Taxe des j^. L'équation de la surface rapportée aux trois 
axes ainsi définis sera de la forme 

z^ H- PJ^ -i-g -h mx* -f- wa: = o. 

Or, si, pour obtenir une section faite par un plan parallèle 
à celui des zy, on fait x= constante, on trouve une courbe 
ayant un centre situé sur l'axe des x et deux diamètres con- 
jugués qui, étant dans les plans des zx et desyx^ sont parai* 
lèles aux axes rectangulaires des z et des y. 

2^. Si la première section est une ellipse, p est positif^ 
et, tant que x iiest pas assez grand pour rendre imaginaires 
les sections parallèles, ces sections restent des ellipses sem- 
blables, puisque le coefficient p dey* ne change pas. Par la 
même raison les axes homologues des sections sont dans un 
même plan. 

3®. SI la première section est une hyperbole, p est né- 
gatif et peut être remplacé par — /'^ l'équation de la sur- 
face devient 

z^ — /y H-<jf-h/iwc*-!-iix = o. 

La préVnièi'e section a pour asymptotes deux droites dont 
les équations sont 

m 

V 

et, suivant que^ est positif ou négatif, l'axe des z est le 
diamètre principal trans verse ou non transversc. 

Toutes les sections parallèles seront également des hyper- 
boles, puisque le coefficient — /" de j^* ne change pas, et 



l66 SIMILITUDE DBS SECTIONS PàHALLELES , ETC. 

leurs asymptotes, ayant toujours la même équation en z etj^, 
seront par conséquent dans deux mêmes plans et parallèles. 

Ces hyperboles seront semblables tant que, en faisant yao 
rier x, on ne changera pas le signe du trinôme ^+'njt'-H/ix. 
Mais si ce signe change, le diamètre transverse de la nou- 
velle hyperbole devient parallèle au diamètre non trans- 
versp de la première, et vice vend. Les deux courbes ne 
sont plus semblables : Tune occupe les deux angles aigus de 
ses asymptotes, l'autre les deux angles obtus des siennes. 

Quand le trinôme q -+- mx^ -+- nx peut changer de signe, 
il y a une valeur de x qui le rend nul, et alors la section se 
réduit à deux droites parallèles aux asymptotes des sections 
parallèles. 

4°. Si la première section est une parabole, on peut 
choisir les axes rectangulaires des z et des y de manière 
que son équation soit 

z^ — ^PJ = o. 

Prenons l'axe des x dans le plan diamétral correspondant 
à Taxe des z ; F équation de la surface sera comprise dans 
Ja formule suivante : 

les coefficients m, n^ q, pouvant être nuls séparément on 
tous à la fois. Or il est facile de reconnaître (138) que, si 
Ton y fait x ==. constante, on aura toujours Téquation d'une 
parabole dont le diamètre principal sera dans le plan 
des a: et^, par conséquent parallèle à Taxe des^. Ce dia- 
mètre sera dans le sens positif ou dans le sens négatif 
de l'axe çlesj-, suivant que 2p — nx sera positif ou négatif. 
Lorsque ce binôme sera nul^ la section dégénérera en deux 
droites parallèles, ou mérae en une seule droite si l'on a en 
^èmc temps 

2p — fïx = o et mx^~h qx ==xo. 



tSÉNÉRATION DES SURFACES lIÉCLÉES J>V 6EC0K1» DEGRÉ. 167 

§ XIII. DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES DU SECOND 

DEGRÉ. 

219. Théorème. Toute surface engendrée par une ligne 
droite mobile qui s^appuie sur trois droites fixes non situées 
dans un même plan est une surface du second degré. C*est 
un Iijrperboloïde à une nappe si les trois directrices ne sont 
pas parallèles à un même plan, Cest un paraboloide hy^ 
perboUque dans le cas contraire. 

290. Pour démontrer la proposition dans le premier cas, 
menons par chaque directrice deux plans respectivement 
parallèles aux deux autres. Nous aurons six plans parallèles 
deux à deux , déterminant un parallélîpîpède dont les direc- 
trices seront trois arêtes. 

Soient LL'MM' (fig. 5a) ce parallélipipède, et LL', MM', 
NN', les trois directrices. 

Par le centre O du parallélipipède , menons les trois axes 
coordonnés Ox, Oy et Oz, parallèles aux arêtes; ils ren- 
contrent les faces aux points A , B , C* 

Faisons OA = û, OB = i, OC = c. 

Soient maintenant les équations d'une génératrice quel- 
conque % 

(i) 3c = mz -h n^ 

(2) y = m^z-hn\ 

Cette droite devant rencontrer la directrice LL', dont les 
équations sont y z=:b^ zt=z^^c^ il faut (176) que ces va* 
leurs dey et de z puissent satisfaire à Téquation (2). Ce qui 
fournît la relation 

(3) i = — w'c4-»'. 

De même la condition de rencQntrer MM', dont les équa- 



l68 GÉNÉRATION DE$' StikFACES RÉGLÉES 

tiens sont x = -*- a^ z = c , donne Téquation 
(4) — a = mc-|-w. 

Enfin la génératrice rencontrant NN', dont les équations 
sont a:.= a,7=^-&,ilya une valeur de z qui,, jointe à 
ces valeurs de x et j^, satisfait aux équations de la généra- 
trice. D'où Ton conclut la relation 

I K \ a -*" w — b — - n' 

Les cinq équations ci-dessus posées existent pour les 
coordonnées d'un point quelconque de la surface et pour les 
constantes relatives à la génératrice 'passant par ce point. 
Donc si Ton élimine les quantités m^ n^ m\ n\ il restera 
entre les coordonnées x^jyZy une équa^tion qui sera celle 
de la surface. 

De(i) et (4) on déduit 

(6) X'ha = m{z — c) et — az — cx^=n{z — c). 
De (2) et (3) on déduit 

(7) y — 6 = m'(-z-hc) et i^ -hcy = /ï'(z-hc). 

On peut tirer de là les valeurs de /m , /i , m', 71', et les 
substituer dans l'équation (5). H est aisé de reconnaitrc 
qu*on a^ sans écrire aucun calcul, en multipliant à vue le 
premier membre de (5) haut et bas par [z — c) , et le se-^ 
oond membre par (z + c), et mettant immédiatement pour 
n(z — c)^m{z — c), 7i'(z H-c) et m'(z 4- c), leurs va- 
leurs tirées de (6) et (7) , 

a(z — c) -haz-^- ex — b{z^c) — bz — cy 

• = , — ' 5 

X-h(t y-r— 

d'où, faisant disparaître les dénominateurs et réduisant, 

cxy -f- hxz -f- ayz -f- ahc = o , 
équation cherchée , qui est du second degré. 



DU SECOND DEGRÉ. 169 

La surface qu'elle représente a un centre , qui est Tori- 
gine ^des coordonnées , puisque cette équation élani satis- 
faite par trois valeurs de x, y el z^ Test également par ces 
trois valeurs changées de signe (192). D'après sa généra- 
tion , cette surface est continue et d'une étendue illimitée^ 
elle n'est ni un cylindre ni un cône : donc elle est un hyper- 
boloïde à urié nappe. 

% • 

2S1 . Pour démontrer le second cas de la proposition du 
n° 219 : ^ 

Soit Oz {^fig^ 53) une position particulière de la généra- 
trice, et soient O, B, C, les points où elle CQupe les trois 
directrices 00', BB', CC^ parallèles à un même plan« 

Par le point O de la première menons les axes Ox, Oy., 
respectivement parallèles aux deux autres. 00' est dans le 
plan de ces deux axes. 

Les équations des trois directrices, au moyen de ce choix 
des âxes, n'exigent que trois constantes , et sont telles que 
celles-ci : ^ 



Pour 00', 


y — «j:, 


« =Q, 


Pour BB', 


z — A, 


y = <>> 


Pour ce, 


z^h\ 


x = o. 



Cela posé 9 soient les équations d'une génératrice quel- 
conque 

z = mx-^p^ z z^ny-hg» 

La condition où elle est de rencontrer les trois directrices 
fournira trois relations (176) entre les indéterminées 7», 
n^Py {jj et les constanties a , A , A', savoir : 

n m ' '^ 

Eliminant m^n^ p., </, des cinq équaiipns simultanées pré- 



170 GÉMÉaATIOV DES StJRFACES HÉGLÉES 

cédeutcs ; oa irouve 

hy dh* X 

ou 

hzy '^ ali! zx — hh'y^-ah/i^x==o. 

C'est réquatiou de la surface considérée, qui, comme on 
voit, est du second degré. 

2S2. On peut aisément démontrer que celte surface n'a 
pas de centre. Si elle en avait un , en y transportant Pori- 
^îne on ferait disparaître les termes du premier degré en 
Xy J'y z. Pour cela il faudrait substituer dans Téquation 

jtr = a:'-4-«, y=^y*^^^ z = z'-h c. 
Ecrivant seulement les termes du premier degré, on aurait 

h (bz'^ çjr') —ah' (a^'-f- cz') ~ hh'y-+^ ahh'x'y 
on 
(bh — »ah') z'+ (ch — Iih') y— (ach'—ahh') x'. 

Or, pour que ces termes disparussent, il faudrait qu'on put 
avoir à la fois 

c — A'== o et c — A = 05 

ce qui est impossible, puisque h diflère nécessairement de U. 
La surface du second degré dont il s'agit, n'ayant pas de 
centre et donnant des hyperboles pour sections par des 
plans parallèles à ceux des xz et desyr, ne peut être qu'un 
paraboloïde hyperbolique. 

223. L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde 
hyperbolique sont utiles dans les applicadons de la Géo' 
métrie descriptive. Ils portent la dénomination commune 
surfçices réglées du second degré , et jouissent toutes deux 



DV SECOND DEGRÉ. 17I 

d'une propriété remarquable : cest de pouvoir être engen^ 
drées de deux manières différentes par une ligne droite 
mobile qui ^appuie sur trois lignes fixes. 

En effet, soient D, D^ 0'\ les trois directrices pritiiitives. 
Si M est un point de la surface^ c'est qu'il se trouve sur 
une génératrice G rencontrant D, D', D''. Soient G', G", 
deux autres génératrices satisfaisant à la même condi- 
tion. U est impossible que deux des trois droites G, G^.G'"' 
soient dans un même plan , car ce plan contiendrait aussi 
au moins deux des directrices. Cela posé,* si Ton imagine 
qu'aune droite mobile glisse sur les trois droites G, G', G'', 
elle engendrera une surface réglée du second degré. Or 
cette droite mobile ayant dans chacune de ses positions 
trois points communs avec la surface primitive y sera con- ' 
tenue tout entière (187, 3°) : donc les deux surfaces coïnci- 
deront. 

Suivant que les droites D, IV, D/', seroiît ou ne seront 
pas parallèles à un même plan , il en sera de même des gé* 
nératrices G, G', G''. D'où l'on conclut facilement que le 
paràboloïde hyperbolique peut être engendré par une 
droite mobile qui s^ appuie sur deux droites fixes en restant 
constamment parallèle à un même plan , 

224. Théorème. Si deux suif aces du second degré se 
rencontrent suivant une ligne plane et qu* elles se coupent 
encore suivant une autre ligne, cette seconde intersection 
est également plane. 

Prenons le plan de la première ligne comînune pour ce- 
lui des xy^ et supposons que Téquation de F une des surfaces 
soit 

vx ijé'X*'i-JlY-hA^z*'hBxy''hB'xz + B^yz 
^' j ^Cx^Cj-^C'z-hD=^o. 

Véquation de la ligne commune s'obtiendra en faisant 



l']'l IJ^TEllSECTIOMS PLAlieS DES SURFACES, ETC. 

z = o et sera 

Ax^-hA'j^+Bxj 4- Cx + C'j -h Z) = o. 

U faut qu'en faisant x; = o dans réqûation de la seconde 
surface on obtienne une équation équivalente à celle-ci, et 
dont les coefficients soient par conséquent les mêmes, sauf 
un facteur constant commun. Donc si Ton supprime ce 
facteur dans Téquation de; la deuxième surface, etlc de- 
viendra telle que celle-ci , 

, V ( Ax'+À^y^^Mz^ -h Bxy^ + N' xz + N"yz 
^' { -f-CJt4-C'j-f-P2-4-D = o. 

Les coordonnées x^ y^ z^ de tout point commun aux deux 
surfaces, satisfont à la fois aux équations (i) et (2), et par 
conséquent aussi à celle qu'on obtient en retranchant Tune 
de l'autre , savoir : 

[A"— M) z'^ [B^—N') xz^[B"—N")yz^\C'—P) r=o, 

ou bien 

z\l(A"—M)z^{B'—N')xz-^{B"—N")yz-^{C'—P]=o, 

Or pour satisfaire à cette équation il faut de deux choses 
l'une : ou qu'on ait z = o, c'est-à-dire que les points com- 
muns soient dans le plan des xy^ ou qu^on ait 

(A"—M)z^{B'—N')x-\'(B" — N")yr^C"—P=^o, 

c'est-à-dire que les points communs soient dans le plan ex- 
primé par cette équation du premier degré. Ce qui démontre 
, la proposition. 

Si l'on avait B'=N', B"=N\ C' = P, la seconde 
courbe ce confondrait avec la première. 



TANGENTES A CERTAINES COURBES. 1 j3 

CHAPITRE m. ^ 

NOTIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. 



§ I. PROBLÈME GÉNÉRAL DES TANGENTES. SOLUTIONS DANS LES CAS 
QfU LA COURBE PEUT ÊTRE EXPRIMÉE PAR UNE ÉQUATION DU PRE- 
MIER DEGRÉ EN COORDONNÉES POLAIRES, FOCALES, ETC. 

225. Soîi M [fig» 54) ^n point fixe sur une courbe 5 
soient M', M", . . . , diverses positions d'un second point con- 
sidéré comme mobile sur la courbe et pouvant s'approcher 
autant qu^on veut de M sans jamais se confondre avec luî^ 
la sécante déterminée par ces deux points distincts prend 
diverses positions MS', MS'', . . . , et s'approche autant 
qu'on veut d'une position MT qu'elle n'atteint jamais. 
Cette position limite est celle de la tangente au point M 
pour la branche de courbe considérée. 

Lorsque l'on dît que la tangente passe par deux points 
de la courbe infiniment vçisins Vun de Vautre^ ou.qvî'elie 
est le prolongement rectiligne d'un arc infiniment petit, 
on exprime d'une manière abrégée les mêmes idées que par 
la définition précédente; car oti fait entendre qu'une droite 
passant par le point donné M et pa-r un autre très-voisin 
M', pris également sur la courbe, forme avec la tangente 
un, angle nan-seulement très-petit ^ mais qu'on peut rendre 
aussi petit quon veut en diminuant suffisamment MM'. 

226. La définition ordinaire de la tangente au cercle est 
en défaut pour beaucoup de courbes; exemples : sinusoïde, 
cycloïde, spirale. Au contraire, la définition généfale 
(n*^225) s'applique au cercle* En effet, à mesure que l'arc 
MM' (fig. 55) décroît j l'angle au centre MOM' devient 



iy4 TANGENTES 

aussi petit qu'on veut, et par conséquent Taiigle S' MO 
diffère aussi peu qu'on veut de T angle droit : donc la tan- 
gente en M est la perpendiculaire MX aii rayon OM. 

a 

227. Tangente à r ellipse. Soient F, F' les foyers 
(fig* 56), et M un point de la courbe. Pour avoir un second 
point M' de Fellipse, on porte une longueur arbitraire MN 
en -augmentation du rayon vecteur FM, puisMN' = MN 
en diminution de l'autre rayon vecteur F' M; et autour des 
centres F, F', on décrit les arcs NM', N' M'. Un point quel- 
conque S de la sécante MM' jouît de cette propriété que, si 
l'on mène SR, SR', parallèles aux cordes M'N, M'N', on 
a MR = MR' comme MN = MN'. Or à mesure que M'M 
diminue, les angles M'NM5M'N'M, approchent autant 
qu'on veut d'ôlre droits ; de même les angles SRM, SR'M: 
donc la tangente MT est telle, que si d'un de ses' points on 
mène des perpendiculaires TV, TV' aux rayons vecteurs 
FM, J^'M, les distances MV, MV sont égales; donc MT 
est bissectrice de l'angle VMF'5 donc 

angle TMF' = angle T'MF. 

On arrive au même résultat de la manière suivante, par 
l'emploi des infiniment petits^ qui, dans un langage abrégé, 
souà-entend les idées intermédiaires ci-dessus exprimées. 
Pour obtenir un point Mi de l'ellipse infiniment voisin dv 
point donné M, il faut augmenter l'un des rayons vecteurs 
d'une longueur infiniment petite MNi, et diminuer l'autre 
d'une quantité égale MN'^*, puis décrire deux arcs N,Mi, 
N', Mt, des centrés F, F'; Ces arcs, infiniment petits, se 
confondent avec deux droites perpendiculaires en N| etW, 
sur MV et MF' -, donc la diagonale infiniment petite MMi 
dont le prolongement rectîîigne est la tangente divise 
l'angle VMP' en deux parties égales. 

228. Tangente à Vhyperbole. Solution analogue 



A CERTAINES COURBES. 1^5 

(fis- 57). On prend MN'= MNi SR, SR', étant parallèles 
aux cordes M'N, M^N', on a MR = MR'; donc si TV, TV, 
soîii perpendiculaires en V, \\ on a MV= MV'^ donc la 
tangente MT est la bissectrice VIVIV; donc 

angle TMV i= angle TMV, 

» 

229. Tangente à la parabole, Ôn^ prend {Jïg. 58) 

MN'= MN 5 on décrit l'arc KM' du centre F j on trace N'M' 
parallèle à la directrice AB 5 par le point S de la sécante MM' 
on mène SR, SR', parallèles à M'N, M'N', et l'on a 
MRrrrMR'; l'auglc SRM approche autant qu'on veut d'être 
droit, SR'M l'est toujours 5 donc si MT est tangente, et 
que TV, TV'^ soient perpendiculaires en V et V, on a 
MV= MV'i donc MT est bissectrice de l'angle QMF. Le 
triangle MFT' est isocèle : on a donc 

T'F==:MF=.QM=:ÂP. 

Le commet O est le milieu de AF. Donc 

TT— OF = AP — AO, T'0=:0P5 

la sous-tangente T' P égal€ donc le double dé V abscisse OP. 
Les propriétés ci-dessu» démontrées sont applicables aux 
miroirs elliptiques, hyperboliques, paraboliques. 

230. Tangente à une courbe quelconque du second 
degré dont on a le foyer F, la directrice AB (133) et> le 
point de contact M {fig' Sg). 

La marche du raisonnement est la même que précédem- 
ment. La seule différence est que, au lieu de QM = MF, 
MN'=:;MN, etc., ces quantités offrent un rapport con- 
stant (133) : 

QM _ MN' _ MR' _ MV: 
^"^ MF ~ MN "" MR "" MV ■ 

Donc, pour avoir un point T de la tangente, il faut sur FM 



Xy6 TANGENTES A LA CYCLOÏDE. 

et QM prendre des distances MV, MV, proporlîonnelles à 
FM et QM, et élever en V et V les perpendidul aires \T, 
V'T. n suffit de mener FT" perpendiculaire à FM; le 
point T" dé rencontre avec la directrice est sur la tangente. 

231. Tangente à la courbe telle, que les rayons Dec- 
teiirs FM, F^M,« sont dans un rapport constant. 

On a vu (112) que cette courbe est un cercle. Oii trouve 
par la même méthode que les perpendiculaires FT', F'T' 
{fiS' 6^)9 3U^ rayons vecteurs se coupent en un point de la 
tangente. 

232. Tangente à la spirale d'' Archimède (158). 

Soit M [fig- 61) le point de contact donné, M' un point 
voisin sur la spifale, PMN un arc de cercle ayant O pour 
centre, OP la direction initiale du rayon vecteur. Parla 
définition de la courbe on a OM' et OM proportionnels aux 
qngles M'OP et MOP, et par conséquent à PN et PM ; d'où 

M'IN : arc MN : : OM : arc PM. 

Soita ce dernier rapport indépendant de la distance M'N. 
A mesure que M' se rapproche de M, Tangle MNM' approche 
d'être droit; l'arc MN approche d'être égal à sa corde; 
dope le rapport a approche d'être lai tangente trigono* 
métrique de l'angle M'MN des deux: sécantes MS, MR. 
Mais ces deux sécantes approchent en même temps des tan- 
gentes , l'une MT à la spirale ; l'autre MU au cercle PMN. 
Donc a. est la tangente trigonométrique de l'angle TMU. 

Si OT' est perpendiculaire sur OM, on a , 

-g;j^ = tangUMT=a; mais a=:--^pj^; 

donc OT' qu'on appelle sons-tangente y est égale k l'arc PM. 

233. Tangente à la cycloïde (157). SoitM (yî^. 62) le 
point de contact donné ; M' un point voisin sur la courbe 5 



DIFFÉRENTIELLES ET DÉRIVÉES. I77 

O, O'y les position^ correspondantes du centre du cercle 
générateur. Si l'on mène M'N parallèle à AL, on a (157) 

AL =i arc LM , AL' = arc L'M' = arc LN, 
d ou - 

AU— AL ou LU=:arcMN. 
Or on a . 

LL'=00' = NM'- 
donc 

NM'=arcMN. ■ ' , " 

A mesure que M' et N se rapprochent de M , la corde MN 
approche : i*^ d'être égale à l'arc MN, et par conséquent 
à'NM'j 2° d'être perpendiculaire à MO. - 

En supposant que celte double propriété ait effective- 
ment lieu, le triangle isocèle .MIN M' sera semblable au 
triangle isocèle MOL, les angles N et O ayant leurs c6tés 
respectivement perpendiculaires; donc les "angles NMM'^ 
OML, sont égaux. Donc (en ajoutant M'MO) 

• NMO = M'ML=:i droit; 

d'où Ton conclut que la tangente en M est perpendiculaire 
à la droite ML, . . 

On arrive k la même conclusion en remplaçant le cercle 
générateur par un polygone inscrit dont les côtés décrois- 
sent indéfiniment. La même considération s'applique aux 
tangentes des développantes. 

' I 

§ II. DÉTERMINATION DE LÀ TANGENTE d' APRÈS l'ÉQUATION 

DE LA COURRE. 

234. Prenons d'abord un exemple et cherchons la tan- 
gente à la courbe dont l'équation est 



^ ^ a}* 



ta 



I ^8 DIFFÉRENTIELLES 

Le point de contact M (fig* 63) donné sur la courbe 
ayant pour coordonnées OP=a:, PM =/, soient x -h Ax, 
y 4- ^y^ les coordonnées du point M', voisin' de M, aussi 
sur la courbe; de sorte que ùkx et ^y sont les accroisse- 
ments PP', QM^ que prennent simultanément les coordon- 
nées X et jr quand on passe du point M au point M^. ' 

Le rapport 

'WQ_ WQ __ àx 
' MQ "" FF ~ ^x 

m . • 

« 

donnera VinoUnaison de la sécante MM^ sur Taxe des. x si 
•les- coordonnées sont rectangulaires. Il se déduit de l'équa- 
tion de la courbe, à laquelle doivent satisfaire les coordon- 
nées X -+- Ax, y -+- ùky^ du point M', • 

• 

y^^y=^^^±^ = Llx^^zx^^x^zx^x^'h^x^', 

retranchant / == — x' et divisant par Ax, o» a 

— î- = inclinaison de la sécante sur l'axe des x 

^x 

. • 

3j;' ^xàx Ax^ 



a^ a* a* 

Cette inclinaison (ou tangente trigonométrique de Fangle 
. M'MQ) dépend, comme cela doit être, de l'abscisse ardu 
point M et de l'accroissement Ax. A mesure que Ax dé- 
croit, le premier membre approche autant qu'on veut 

de — J-? qui en est par conséquent la limite. C'est ce qu'on 

voit en assignant à Ax des valeurs décroissantes telles que 

X X 

» • • • • Or cette limite, étant celle de l'inclinaison 

lOO lOOO 



•ET DÉRIVÉES. ' ••' '79 

de la sécante, est l'inclinaison de la taitgente sur Taxe des x 
(225) : donc 

3x^ 



lim — = inclinaison de la tansente -sur l'axe des x 
^x ^ . ' • 



a^ 



Cet exemple donne une'idée dé la mëthodç à suivre en gé- 
néral pour déterminer la tangente à une courbe. d'après . 
l'équation de cette courbe. 

* • 

235. La notation lim--^ se «remplace par -t^> exprès-^ 

' sion qui peut se considérer sous t/'Oi> aspects difféi^ents. 

d y ' « • 

.1°. •—- peut être considéré comme une simple notatiqn. 

équivalente à celle-ci , lim -^'signifiant limite 'du rapport, 

des accroissements simuhanés de y et de X à rftesure -que 
ces accroissements approchent de zéro. Sous ce point de 

vue dj^et dx ne sont pas deux quantités : -p- en est une; '«^ 
' :i— • est son inverse , c'est-à-dire lim — • • 

'' îi°. On peut considérer dx et dy comnieaes accroisse^ 
ments qu-il faut donner à x et j^.pour passer du point M de 
la courbe à un autre point N de la tangente en M. Dans 
«ecas, dj^et dxsont deux quantités liées l^une à T autre 
par un rapport déterminé ; mais elles sont d'aiHeurs arbi- 
traires. On peut alors écrire indifféremment, dans Texeiliple 
dun«234, • 

d V 3x* * 3^' 

-T^ = —-7 OU dr= — T-dx, ou a*dr = 3x*d:J?. 

dx a* . •^ a^ ''...• 

Sous ce second point de vue on peut faire Ax := dx, et.les ' 
trois quantités dx, ûj, dj, seront les açor.oissement5 ' 



• •• 



■ • • * 



n 



l8o DIFFÉRENTIELLES 

simultanés de Fabscisse, de l'orâonnée de la courbe 9 de 
Tordonnée de, la tangente. Ainsi pai; exemple on aura 
{fig' 63 ) en même temps 

PP'=dx, M'Q = Ay, NQ = dj. 

s 

Les deux rapports V^ » ^ ? dont le second est la limite 

^* ux ûx 

du premier, oiit donc une différence qui décroit autant 

qu'on veut à mesure que do: diminue. Ainsi on peut poser 



Ar dr 
^x ' dx 

m 

a quantité dépendante de dx et devenant aussi petite qu'on 
veut à mçsure que àx diminue. Il en résulte qu'à mesure 
que les quantités Ay, dy, décroissent. par suite de la dimi- 
nution de djr, le rapport de A^ à Ay approche autant 
qu'on veut de l'unité -, car Féquation ci-dessus donne 

ts,y dx 

dy dy 

3°. Le troisième mode de considérer Aj et Ax esjt une 
conséquence des observations précédentes. On peut assigner 
à dx un tel degré de petitesse, que Aj puisse, sans crainte 
dWreur dans les applications ou les conséquences q^u'on en 
., , tirera, être pris pour Ay ou réciproquement. A ce degré 
de petitesse et au-dessous, les accroissements Ax elAy sont 
dits infiniment petits y et Ay peut alors être considéré indif- 
féremment, et selon le besoin de la recherche dont on s'oc- 
cupe, comme l'accroissement de l'ordonnée de la courbe 
ou de Tordonnée de la tangente. Considérés sous ce dernier 
point de vue, les accroissements simultanés Ax et Ay s'ap- 
pellent les .différentielles des variables x et y. 



5. Lorsque deux quantités variables sont tellement 
liées que, une valçur quelconque de l'une d*elles étant 



ET DÉRIVÉES. l8l 

donnée, on peut en conclure la valeur correspondante de 
l'autre, on dit que chacune des variables e&l fonction de 
rautre. 

Si ^ est exprimé immédiatement au moyen de x, comme 

dans jr = ax, y = \^ J = ^, y—-^% y=za\o%x^ 

y :z=: a sin x^ on dit que y est une fonction explicite de x^ 
et l'on se sert des notations j' = f (x), ^ = F (:c), etc. 

Si Ton donne seulement une relation entre y et jr, par 
«xemple une équation à laqûeUe les deux variables doivent 
satisfaire^ la fonction qui n'est pas exprimée immédiate- 
ment au moyen de l'autre variable est dite implicite^ 

Exemple: ^4-^,-1=^0. 

Une relation de ce genre s'écrit ainsi en général : 

.f(a:,j) = o, F(x,y) = o. 

Dans les autres exemples ci-dessus, x est fonction impli- 
cite dé y. Une fonction implicite devient explicite par U 
résolution de l'équation. Par exemple on lire des étjuations 
précédentes 

r « - 'og r ^ 

a y -^ ' logyf 

X = arc ( sin = — 1 î j = ±: - y^a*— x% 



ou 



x=±j^slb^ — y^. 

237. Toute fonction peut être représentée par une 
couirbe-, ce qui fait pressentir Futilité très-étendue de la 
recherche des tangentes aux * courbes comme moyen de 
recoijinàîire comment Une fonction varie dans le voisinage 



l8a DTFFÉREIfTiATIOM 

d'une de iSes valeurs particulières. En général y étant une . 
fonction de x 'désignée par F (x), la quantité -p- en est 

• 

une autre qu'on désigne par F' (a;), et qu'on appelle la dé- 
riuée de F (a:). Le produit F'(x) àx s'appelle la différen- 
tielle de F (x) . La recherche du coefficient d'inclinaison t^ 

des courbes ourde la dérivée d'une fonction quelconque est 
le premier objet du calcul différentiel et a des applications 
importantes dans la mécanique. 

238. Quand deux variables y et x sont liées l'une à 
Tautre, on peut avoir à considérer tantôt la dérivée -p- de j 

par rapport à x, tantôt la dérivée — de x par rapport kj. 

Or il est .clair que ces deux quantités sont inverses l'uruB 
de l'autre, car la relation 

, , ^y ^x 

Ax ày ' . 

subsiste* pendant que les deux facteurs de ce produit ap^ . 
prochent de leurs limites par le décroissement simultané 
de Ax et de ùky. 

Ainsi 

dj dx 

dx A y 

§ IH. DIFPÉRENTIATION DES FONCTIONS FONDAMENTALES 

X™, -5 logx, smx. 

* . X 

•239; Sôily = X**,' l'exposant rn étant entier. 

Dans; cette équation et dans celles des numéros suivants, 
x el y sont des nombres et représentent les coordonnées ' * 
d'une courbe^ moyejinant le choix d'une ligne prise pour 



2 ' 



DES FOKCTIOBS FOÎÏD AMENTALES. l83 

unité. Les diverses courbes qu^on obtiendrait eu faisant va- 
Her cette unité seraient semblables. 
On a par la formule de Newton 

y 4- A j = (y -i- ùkx) *" = a:"* -i- m x"*'* ùkx -h k Ax*.* 

Xl est un polynôme, dont le premier terme est — - — —7-^ 

et. les autres ont ùkX pour facteur. G?s deux équations 
donnent 

-^= ma:"*"* = *Ax, 
t^x ' 

d»_ » • • ' * ' 

ou ' 

lim — ou -T^ = mx""'^ . 
àx a:f 

Ce résultat s'écrit aussi de cette manière : 

dx^ = mx^''^ dxi 

c'est-à-dire que La différentielle d'une puissance de x s^ob- 
tient en diminuant V exposant d^une unité ^ et en muki" 
pliant par V exposant primitif et par la. différentielle . 
dex. 

240. Soit r = -. 



On a donc 




• j + Ar = 

> 


i 


X -}- A^ 


JU 


Aj I 


• -^ x^-i-xâiX 


^X X'^-^XÙiX'^ 


lim— ou 
^x 


dy I 

d^ . x^^ 



Donc 



d - =: d JC' 

X x^ 



l84 DIFFÉnENTlA.TIOM 

Les différentielles sont de signes contraires, parce que y 
diminue lorsque x croit. 

241. Soity sislogx. 
On a donc 

a:-+-A/=log (j:-f-Ax), 
d'où 

On peut supposer que Air en décroissant soit toujours une 
partie aliquoté de plus en plus petite de x. *Soit donc 



et 



X 



A j: = •— : le dénominateur m est dans cette hypothèse un 



m 



nombre entier qui croit indéfiniment. On a, en remplaçant 



X 

dans le second nombre ùkX par —9 

'■m 



^=i.mlog(i.-+-i^)=ilog(,+l) 



A 

d'où 

dj_ 
d 

ou bien 

dx 



m 



f=ilim[log(i-+. !)"*], 



en remarquant que ces limites sont prises pour m croissant 
indéfiniment. 

242.- On a deux moyens de déterminer • la limite de 
log ( I H ) et par conséquent de constater son existence. 



m 



DES TOUCriànS FONDAMEMTAEES. * l85 



(Il est à remarquer que, dans Texpression ( iH | > bien 

que —devienne infiniment petit, on ne peut pas Icnégli- 

ger auprès de i, parce que l'exposant m de là puissance 
devient infiniment grand. ) 

i\ Donner à m une grande valeur^ et chercher dans les 

tables, pour cette valeur,, celle de log (iH |"* ou de 

m [log (m -f- 1 ) — log m] ; par exemple pour m = lôoo 

cette formule donne o,434> etil est aisé de vérifier que pour 

tout nombre m plus grand on obtient les trois mêmes 

premiers chiffres fractionnaires. Ainsi, à moins de o,ooi 

près on a 

dj > . ^ 1. dlogo; .« . I 

j^y c est-a-dire — r^— = o,434 — 
ax , dx ^ X 

2**. On peut trouver directement la limite dont s'ap- 

/ I \"* 
proche sans cesse la quantité' 1 H- *- j ,à mesure que le 

nombre entier m augmente. La formule de Newton, poussée 
au delà du (/H- i )""*'' terme, donne 



\ m] \ m 1.2 /w* 



-^ 



^ w(/n--i)('m-^a)...[m— (/g— ï)] i / ^ m^n i , (m—n)\m—[n-^i)\i^ 
3 . . . n /w" \ 



I. 2. 



1 + 



--+ 



/î+i m [n-\-i)[n-\-'i) m} 



OU bie 



n 



ï 

m 

i-l-iH h. .. 



\ m) 

\ ^J \ rn)"\ m J \ ^ ^ ^ \'~my y m ) 



n 



«4-1 [n+^) ('ï-f-a) 



) 



La limite de la somme des n -+- 1 premiers termes à mesure 



l86 • * DlFFÉRElITlAtlOM 

que m augmenie est évidemihent : 



III I 

2 "f"- '-h* ' ' -f" - -■ ■-- -|-* • ••* -^ • ! ■■ ■ » ■ 

2 2.3. 2.3.4 2.3.4'*** ^ 



et l'on peut écrire 



2.3.4- '«/z ' a.3.4.'-« ' «4^1 ('' + ('*+*) ) 

Or on voit aisément que la quantité renfermée dans la der- 
nière parenthèse est plus petite que la somme de la pro- 
gression décroissante 



«H-i ' (w-f-i)* 

laquelle a pour limite — • Donc on a 

(i X"* II I II 

14- — ) = 2H h'— ^ 4-. . .4 5 1- une quantité < - —-^-7 — - 
m] % 2.3 2.3. ..'I /Î2.3.4.-'' 

De la possibilité de calculer la limite cherchée au degré 
d'approximation qu on voudra. Elle se désigne souvent par 
la lettre e, et Ton trouve 

5 = 2,7182818 ; 

son logarithme est * ^ 

loge = 0,4342945. 

On a souvent besoin de l'inverse de ce logarithme : 

r := 2,302585. 

• loge 
Il résulte de ce qui précède qu'on a 

dlog^r - I 



ou 



DES FONCTIONS FOND AMEN TÂLTIS. , 187 



dlogx = loge.-^ 



et 



loge = 0,43429. 



243. Soilj^ = sinA:. 
On a 

Ar :^ sin (x-i-A-^^) — sinj:^ 

ou, en remplaçant cette différence par un produit (39), 



d'où 



Aj == 2 sin — cos 1 X 

2 , . \ _ 



4-— W 



2 



asm — 

r^ = — ^ cos 



(--v) 



Pour déterminer la limite de ce rapport, il faut être bien 

fixé sur la' signification qu'on attribue à la variable x^ H ne 

suffitpas dé dire.que c'est un angle; il faut encore savoir 

quelle est Tunité à laquelle cet angle est rapporté. Or l'usage 

constant en analyse est de mesurer un angle par un arc 

compris entre ses côtés et ayant son sommet pour centre, 'et 

d'exprimer cet afc non en degrés ni par sa longueur, mais 

par le rapport de cette longueur à celle du rayon qui par 

Gonsréquent est arbitraire, et disparait. Si donc on suppose 

ce rayon pris pour unité de longueur, la longueur de l'arc 

e^rime l'angle, de même que la moitié de la corde qui sous- . 

tend un arc double exprimée le sinus. Cela posé, la quantité 

. \ àx ' • . 

2sin — 

2 * . • * 

— î rapport d'une corde à l'arc infiniment petit qu'elle 

soiis-tcud, a sa limite égale à i . 
D'une autre part, la limite de cos LrH \ est cos x\ 



l88 DIFFÉRENTIÀtlON 

don(; 

Ar dr 
lim -^ = v=^ = cos X , 

ou ' , 

dsmx = cosx.dj:. 

§ IV. THÉORÈMES ET RÈGLES POUR DIFFÈREMTIER TOUTES LES 
FONCTIONS A l'aide DES DIFFÉRENTIELLES FONDAMENTALES. 

244. Différentiation des fonctions de fonction,^ Ex- 
pliquons cette locution par un exemple. Soit 

j = (logx)'". 

Pour obtenir y quand on connaît x^ il faut d'abord calculer 
log x^ fonction fondamentale de x^ puis élever log x à la 
puissance m, c'est-à-dire considérer j* comme une fonction 
fondamentale de log x* 
Soit en général 

y = F(ii) et a=;f(a:), 
ce qu^on indique aussi par la notation 

j = F[f(j:)]. 

y est une fonction, fondamentale ou autre, désignée par F, 
d'une fonction indiquée par f de la variable indépen- 
dante X. 

Poiir différentîerj^ relativement à celte variable x, sup- 
posons que celle-ci prenne, un accroissement Ax auquel 
correspondent pour u Gly les accroissements Aii et Ay. On 

* a entre ces trois quantités la relation 

^Y Ar Am 

*^""* T -" ■ • ■ • 

Ax ù^ii J^x 
Ovy à mesure que Ax décroit, Aii et A y approchent aussi 



DES FONCTIONS. DE FONCTION. 189 

de zéro ; et les trois rapports approchent simultanément de 

leurs limites respectives rr^» -r- et t— » l'équation sub-' 

^ éx au ax ^ 

. sistant toujours. On a donc 

dj dj rfw 

da: ""^ dM dx 

c'est-à-dire, d'après la notation convenue au n*^ 237, 

* 

^=f"(«)f'(x) 

ou • 

dy = F'i;f(x)].f'(x)dx, 
ou encore 

dj = F'(ii).di/. 

De là la réglé suivante : 

Théorème. Pour différentier une fonction de fonction, 
il faut prendre la dérivée de la fonction principale par 
rapport à la fonction subordonnée considérée comme une 
•simple variable et multiplier le résultat par la différentielle 
de la fonction subordonnée. 

Exemples. 

i^. d(logx)'" = m(logj:)'"~*dloga: 

= m loge (logar)'"""* — • 

„ , I dsinj; cotJ7j' 

2°. d-: = 7-r— = : dx. 

sinj7 sin*ar smx 

3®. dçina:^ = cosa:"*dx^ = mx'^-^cosar^do:. 

REMARQUE. Si la relation entre y et x était établie par 
deux équations de la forme 

j==F(ii) et x=((u), 



igo . DIFFÉHI^BÏTIATION 

on démontrerait aussi facilement rëquatioii 

(1 V 

dj _ Ïm _ ¥' [u] 



dx 



du 



f(«] 



245. La fonction. subordonnée f(x) dans F [f (x )] peut 
être elle-inème une fonction d« fonction. 

Soient trois fonctions superposées au lieu de deux , 

J=:F(m), li = 4>(i^), . t>t ' V= Y(x), 

les. notations F, ^ et V indiquant des formes de fonctions 
quelconques. On a , d'après le théorème précédent, 



. «d'où 



du = ^^(s^)du' et d/~F'(M)da, 
dy=,F'(«)*'(v)d.', 



formule dans laquelle df^ 'signifie V (x) dx, et ti/ est la 

dv ' . • 
dérivée -p- multipliée par dx. ' . • 

On peut aussi exactement et plus facilement écrire 

j dj du , , 11 dr 'du 

dj^ = -p • -p- • d i', pourvu qu on se rappelle qi^e ^ et -r- 

sont les dérivées de^ et de u prises respectivement par rap- 
. part à zi et à ^, et que les différentielles ày et d (^ sont prises 
relativefaient 'à une niéme variable indépendante. 

Exemple : d sin* x* == 4 sin* x** d sinx' 

= 4sin'x*. cosx*d (x*) 
• =*8xsîn'x*cosx*dx. 

246. Des fonctions composées. Si, ayant plusieurs fonc- 
tions d'une variable x, on les combine ensemble par des 
opérations quelcoJaques, on forme une fonction composée. 



• . 



DES EONCTIOVS COMPOSÉES. I9I 

* ^ • 

hxemple : r = — — : *• 

} — log^ 

la formation de j eicige préalablement celle de fonctions 
moins compliquées x"*, ain' j:, \o^x. 

Occupons-nous d'abord des cas les plus simples. 

É 

247. Différentielle d'une somme. Son 

li, 1^, . . ., étant dea fonctions ([iielcbnques de x. On aura 
évidemment entre les accroissements simultanés de ces 
quantités , l'équation 



par conséquent 



^X ùkX ^x 



d jf __ d M d i' 
d^ dx dx 



ou 



dj = du -hài^.-h, . .^ 

Théorème. La, différentielle d^una somme de plusieurs . 
fonctions est la somme des différentielles de ces fonctions , 

248. Remarques, i^. Si l'un des termes de la somme 
était une constante, ce terme disparaîtrait évidemment 
dans la diiïérentiation. C'est cequ'on exprime quelquefois . 
en disant que la différentielle d*une constante est nulle. 

2**. Si l'un des termes est simplement la variable indé- 
pendante X, la différentielle de ce terme est do: et sa déri- 
vée eat I . 

249. ThéOuème. La différentielle du produit d^ une fonc- 
tion par un coefficient constant est égale à la d^Senjtielle 
de la fonction affectée du même coefficient. 

Cette proposition, qui pourrait être considérée comme 



«, 



19^ DIFFÉRÏNTIÀTION 

corollaire de la précédente, se démontre très -aisément à 
priori. Soit 



Ona 



•._i- = a — ^ — ^ — - ? 

Ax Ax 



dr ,. F la: -h àxl—'F Ix) - t^u \ 
-/- = ahm— i ^ ■ . — i— ^=aF'(a:), 



dx . AJ7 



ou 



dj = aF'(x)àx. 
Remarques, i^. Le coefficient a peut être négatif: 

d [— «F (jc)] = — aF' (x) dx. 

r 

a®. Il peut être égal à — i, 

d [— F (x)] = — F' (x) dx. 

250. Différentielle dû produit de deux fonctions. Soient 

y=zuVy i/ = F(x) et i^=:f(x). 

Soient les accroissements finis simultanés Ax, Ai^, Au 
et Ay . On a ■ 

j-H Aj = (u-f- An) (i^ + Ai^)5 
d'où 

Ar Av Au Au Av j. 
-^ = M- H «^ h-T-'r-Ax. 

Ax Ax Ax Ax Ax 

Or, à mesure que Ax décroît les rapports -^j — et — > 
' ^ '^'^ Ax Ax Ax 

' approchent de leurs limites t^» -;— ouf^fx), et -3— ou 
'^'^ • dx dx ^ ' dx 

F' (x), tandis que le produit — — Ax approche de zéro. 

Donc • 

dr ûv du 

dx • dx dx 



DE$ FONCTIONS COMPOSÉES, 193 

OU plus. Simplement 

d ^4i> ^=? ttd J^ -f- ^'d M, 

étant bien entendu que la différen,tielle d'une fonction n'est . 
pas autre chose que la dérivée de cette fonction multipliée 
par la diiTéréntielle de la variable indépendante. 
Ce résultat -général s'énonce ainsi : 

Théorème,. La différentielle d'un produit est égale ù la 
somme des résultats qu'on obtient par la differentiation 
Jatte en considérant successii^ement chaque facteur comme 
"variable et Vautfe €om,me constant. 

Remarque. Ce théorème s'étend à un nombre quelconque 
defs^cteurs. Lé produit uvz étant considéré comme [uv) z, 
on a . 

àuuz = u{fàz -^ zàu%^] 
or 

dwp' = «dp* 4- t^d//, 
donc ' 

dm^^ = Mi'd-z -f- îizdi^ -f- i^zd!/. 

La règle à suivre en général est manifeste. 

251.. Le même théorème s'applique à un quotient, car 
on peut mettre celui-ci sous la forme d'un produit et se ser- 
vir de la formule du n*» 240. 

u I 

,1/ I , . j ï àu udv fdtt-— wdc 
d- = -du -f- Md-r = — = • 

252. Règle générale de la differentiation des fonctions 
composées. Les théorèmes précédents suffisant à tous les 
besoins des applications du calcul différentiel. Cependant 
nous.ne croyons pas devoir passer sous silence une propo-^ 

i3 



1 94 DIFFÉRCM TI ATION 

sition très-générale et très^remarquable qu'on trouve dans 
les traités spéciaux sur cette matière. 

Soit j- = F (il, u)^ c'est-à-dire la fonction F de « et de i^, 
les quantités u et t/ étant elles-^mèmes des fonctions d'une 
variable indépendante x. 

Pour arriver à la dérivée ~- j donnons k x un accroîs- 

sèment fini Ax; les fonctions ?/, f^et ^prennent en consé- 
quence les accroissements simultanés Au^ A(> et Ay, et 

l'on a 

Aj = F(ii-f- Au, i^-h Ai^) — F (1/5 i^). 

Pour nous rendre compte de la loi suivie par cette diffé- 
rence quand Ax diminue dans i/ + Au et dans i^ -h A(^, 
supposons qu'au, lieu de faire croître simultanément â et i^ 
dans la fonction composée j^, on commence par accroître 
seulement Tune des deux fonctions composantes u, et qu'on 
forme ainsi F ( u 4- A a , w) . 

Cette quantité s'introduit naturellement dans l'expres- 
sion de Aj- qui prend la forme 

Aj = F(u4- Au, 1^) — F (m, «^) 

-f- F (m 4- Au, i^ -f- Aj/) — F (u H- Au , 1^) ; 

■ 

par conséquent 

[ Aj___ F(u-h Au, (4) — F(u, y) Au 
, V J Ax Au Aj: 

^' j , F(u-f- Au, f-l-At/) — F(u-f-AU,i') Av 

'. Ai' . Ajr 

Passons aux limites vers lesquelles tendent ces quanti- 
tés, à mesure que les accroissements Ax, Au, Ai^ et Af 

approchent de zéro. Les limites de -— 9 — et — sont les 
. Ax Ax Ax 

dérivées désignées, suivant la notation convenue, par -r-» 

du dr 

QX ÛX 



DES FONCTIONS COMPOSÉES. Ip5 

La limite (jiu rapport 

lu 

€st la dérivée par rapport à u de la fonction F (u, if) dans 
laquelle on ne ferait varier que u y en considérant if comme 
une constante. C'est ce qu'on appelle la dérii^ée partielle 
de F(«, f») ou de j)^ par rapport à u. On la désigne par 

F„ (m, y)^ ou plus simplement par -r^ > en ayant soin de se 

rappeler que, si l'on considère le numérateur ify comme 
un accroissement infiniment petit dey, il répond à la va- 
riation infiniment petite de u seulement , et non aux varia- 
tions simultanées de u et de (^. 

Enfin remarquons que, dans le rapport 

F(m-4-Am, v^liv) — F(m-|-Am, i/) 

T, ' 

le numérateur est l'accroissement que prend F (i/ H- Am, i^) 
quand on fait croître f de 4^ if. Par conséquent , si l'on fait 
varier A v seul et approcher de zéro , on aura pour limite . 
de la fraction dans cette hypothèse , la dérivée par rapport 
à p» de la fonction F { w -f- Am, i^) , et pour avoir ensuite la 
limite dont s'approche la fraction quand Au et A(> dimi- 
nuent tous les deux, il ne reste plus qu'à faire Aii = o 

dans F'^ [u -f- ^u , u)^ ce qui donne K {m, v)^ ou -r^> déri- 
vée partielle de F ( u , i^ ) ou de j^ par rapport à i^. 

En égalant les limités des deux membres de l'équation (i), 
on obtient la dérivée totale dej^, savoir : 



dr dj Au dj di' 

d^ dw àx Av àx 



i3. 



196 DIFFÉRENTIATION 

OU, Te qui a au fond la même signification, 

ày = ^ - dn-h -r^ • di^^ 

« 

formule dans laquelle il faut bien remarquer cette anoma- 
lie peu conforme à la rigueur du langage' algébrique , que 
la notation df a trois significations différentes , puisqu'elle 
désigne dans le premier membre une différentielle totale, 
et dans le second des différentielles partielles. Mais les dé- 
nominatenrs du eidv^ du second membre empéch^gnt toute 
confusion. 

La formule précédente y facilement étendue à un nombre 
quelconque de fonctions composantes ,' s^ énonce ainsi : 

Théorème. La différentielle d'aune fonction composée 
est égale à la somme des résultats quon obtient en consi^ 
dérant successivement chaque fonction composante, comme 
variable et les autres comme constantes. 

Les règles des n°* 247 et 250 sont des cas particuliers de 
celle-ci . 

Exemple. Revenant à l'exemple cité au n^ 246, on trouve 

xf"^ sin' JT 

sans difficulté la différentielle de — -; qu'on met préa- 

I — log^ ^ ^ 

lablement sous la forme — On a (n°' 249 et 250} 

^uv z^^du 4- zudv — uvdz 

z • z^ 

Ensuite, de 

i/ = .t"*, i' = sin* o: et -z = I — logT, 
on tire 

> . 

da = /wx'"^*, df^= 2sinj:cosxda: = sin2a:d.r*5 



et 



dz = — r-^-dX' 



X 

Il ne reste plus qu'à substituer. 



^ DES FONCTions IMPLICITES. igy 

f I 

253. Dijférentiatioti. des fonctions iniplicàes. De^x 
quantités variables sontfonctions implicites Tune de l'autre, 
lorsqu'elles sont liées par une équation, indiquant entre ces 
quantités des opérations déterpiinées. 

Exemples: i^. logj^ = sin jc ; 

Dans chaque cas j)^ est en réalité une fonction de x, quoi- 
que non exprimée explicitement. Chaque membre est donc, 
ou fonction immédiate de x^ comme sin or, ou fonction de 
fonction dex, comme log^ o\xj^^ ou fonction de plusieurs 
fonctions de x, comme axy-^- x'. Or, quand deux fonctions 
d'une mèine variable sont égales, quoique différemment ex- 
primées^ leurs dérivées et leurs différentielles, par rapport 
à cette variable, sont nécessairement égales. 

De là le moyen de déduire d'une équation, comme celles 

ci-dessus, l'expression en x et j^de la dérivée -p- bu de son 
inverse. 

1°. De logj^ = sin.r on conclut 

-—2 :- =s cosxdx. 

r 

m 

'i^\ Dej'' = axj^-f-x'* 

3j^^dj= ax-dj-Hû/dar-h 3x'dx. 

De chacune de ces équations différentielles, on tire soit 

T^ soit -T~9 en opérant comme si Ay et djX étaient dea 

quantités finies. 
Théorème. En général on tire d'une équation en x^y, 

rf 'V* fi X 

la valeur de -r^ ou de -r- en différentiant les deux mem- 

dx dj "'•^ 

brds suii^ant les règles des fonctions de fonctions. 



198 FOEMliLES 

K la relation de x avec j^ était implicitemenl exprimée 
par deux équations entre ces deux quantités et une troisième 
variable z, comme 

F(x,j, z) = o et f (x,j, z) =;= o, 

pour trouver -p- il suffirait de différentier ces équations 

par rapport à la variable x suivant la règle du n^ 252. On 
aurait, en dé^gnant simplement par F et fies deuxfonctions 
ci-dessus, . . 

dF dF dj dF d£ __ 

Ax, dj dj: ûz é.x ! 



et 



dï jif dj ^ d2 
àx djr d^ dz dx 



= 05 



fi 2 ri V 

d'où en éliminant -;— on conclurait -^ en fonction des dé- 

ax Q.X 

rivées partielles r— 9 -r-? etc., qui elles-mêmes sont des 

fonctions Ae x^y ex z. 

m 

§ V. FORMULES DE DIFFÉRENTIELLES OBTENUES PAR LES RÈGLES 

PRÉCÉDENTES. 

« 

254. Parmi toutes les formes possibles dé fonctions, il 
en est un certain nombre très-limité auxquelles les autres 
se ramènent. Elles sont nommées ybnc^2b/i5 simples^ et on 
les partage en deux groupes, savoir, en désignant par m un 
nombre quelconque positif ou négatif, et par a un nombre 
positif quelconque : 

1^.' x^^ à^y sinx, cosx, tango:, cotj:, séco? et cosécx^ 
2°. logx, arcsinj:, arccoso:, arc tango:, arccotj:, 
arc sécx, arc cosécjc. • 

A l'exception de a?"^, les fondions d'un de ces groupes 



DE DIFFÉBENTIELLES. ^99 

sont dites itwersesA.^ celles <Je T autre groupe^ parce que, en 
général^ si d'uu^e équation j^ =: F (x) on tire a: = 4> (y), on 
dit que leâ deux forme» de fonction F çt 4> sont inverses 

Tune de Vautre* Ainsi de r=a'on conclut x = , "^ ; 

'.'■■■, loga 

donc la forme log^ est, s^iuf un facteur xônstant, inverse de 
la forme a'. De même si l'on a jr ==: sina; on en conclut que 
X est Tare dont le «inus est^, ce qu on écrit; de cette manière 
a:= arc (sin =y) ou plus brièvement x = arc sinj^. La 

fonction inverse de x^ seraity™ et par conséquent de même 
forme, attendu que m peut être fractionnaire. 

Différentielles des fonctions simples. 

255. y ^= a:'". On a différentié cette fonction (239) en 
supposant m entier et positif/ Pour ramener dans tous *les 
cas la différentation de x"" à celle d'une des fonctions fon- 
damen taies, on transforme la relation donnée en une autre 
équivalente, et l'on applique le théorème du n° 253, 

y=zx"^ équivaut à logy == mloga:, 
d'où 



donc 



ou 






j y d .r 



[do:'" == OTX'"-* d.r] (*). 



{^^ Noiis mettons ainsi dans des crochets [ ] les formules qu'il importe 
de connaitrô pour s^en servir au besoin dans les applications. Dans ces for- 
mules X est, suivant les ca«, la variable indépenxlante ou une fonction de 
cette variable. 



aOO FORMULES 

Cas particuliers, i". m:= — 



1 



^*^. m = — I . 






256. y^='a' (a nombre positif quelconque)'; 

logj == X loga, 
d'où 

—2 — L. =logadx5 



donc 



rda^ = }^a'dx] 



257. j^= sina: qu x =^ arc siny. 
On sait (243) qu'on a 

dj^= cosxdx, • 

c'est-à-dire 

[d sin j: = cosac do:] ; 

donc 

dr dr dr 

da: = — ^= * — 



3 >. 



cosjc v^i — sin'^ sl^ — f' 
donc (*♦) 

[H arr sirt r = —— ^- — . 

258. ^=cosx ou a* = arccos7. 



(**) Nous aniionçoijs «insi une. J'ofraiile qui se tire de l^éq nation précé- 
dente en remplaçant x par y ai y par x. 



DE DIFFÉREirTIEL^Eg. 



20 1 



d'où 



donc 



et 



d/^= cosf - -- jcjd ( x\ = — sînarda: ^ 

[d cos or =; ^— 3in J? dxj 



dx== r-i^.= — 



d^ 



sinx 



donc {**) 



V 






[ 



darc cos a: = ' — 



d^ 1 



259. j = X^n^x ou ^ ==^arctangy. 



J = 



sin^ 



d'où 



ày = 



cos^ 
côsj^da; sin'^diT 



eoso; 
d^ 



cos* a; 



[^^''^s^ = ^ =^ (» + tang'^ja^] 



dx = 



donc (**y 






' v 



[■ 



d arc tang 






260. jr =^ cot a: on x = arc cotj^. 



donc 



j=,tang^^— a:J5 



j — ; d^ 

dy = -r-r— 5 



dcota; =• • ' . , = — ( 



cot 



a:)da: 



dx = — -.— ^; 



202 FORMULES DE DIFFÉRENTIELLES. 

donc (**) 

|darccotx=:' ; ]• 

261 . y = sec a: ou a: == arc séc^. ' 

1 

•^ cos^ ^ 
donc 

^ cos*:t 

[, , sinxdo; , , '\ 

d secx = — = tan£;x seconda: 1 
cos'^ ° J 

donc (**) 



I d arc sec X = — t== | 
L x^x^—\\ 



262. j" = cosécx ou j: = arc cosëc^. 

I 

•^ %\XÏX 

donc 

— cosordx 



dj== 



sin^^r 



[ 



d cosec jî = T-i — = — cota: cosecxdar 



dj:=: — 



d/ 



donc (♦*) 

T^ ' d^ 1 

I d arc cosec^ = |« 

L xv^2 — ij 

263. Remarques. L'arc dont le sinus est x et celui dont 
le cosinus est a:, ont leurs diilércntiellcs égales et de signes 



EXBftCIGSS. 'Xoi 

contraires :. cela doit être, puisque la somme de ces deux 
arcs est une constante -• Par la même raison ' 

2 

d arc tango: = '> — d arc cotx 

et 

d arc sec jc = -»- d arc coséco:. 



Exemples.de différeDtiation. 

264. I..j=:(i»4-ix")% 

ou 

z = {a-i'bx") et y = ^ 



m 



\ • 



Ay = mnb \a -+- hx'')"'~^ x""/ àx. 

II. y = îog yjx ■+- v^i + x% 
ou 

i-f-a:*=:2* et j^=- log(a^-f- z). 

j loge d:r -h diJ j j 

dr ^= — ^ > axdx = 7.zaz ; 

d'où^ en éliminant dz, 

,, loge Ax loge Ax . 

^~" 2 T""- 2 y,-t^^2 

m. J^ = IA% d'où log^ == V logM. 

logedr ('logedii , , 

donc 

dii''=i^/i'-Ma-f-w"7^^ di^. 

loge 



2U4 DlFFÉREIfTlELLEb 

IV. y = arc sin - 7- 

Soit 

I -+- x' = 2' et t' = arcsin — • 

z 

xdx= zdz et dr = — d — - 

j . dx 



I-h x' 



§ VI. DES DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DE DITERS ORDRES DES 
FONCTIOFTS D*L'?(E VARIABLE. EXEMPLES DE LECR EMPLOI. 

265. Lorsque^ est une fonction de x exprimée par la 
notation j^ = F (x), les règles précédentes font «onnaitre sa 
déri\fée par rapport à x, désignée par F'(x). 

Cette dérivée est, en général, une fonction de x^ et a 
par conséquent elle-même une dérivée par rapport à cette 
variable^ on la désigne par F^'(.r) et on Tappelle la seconde 
dérivée de F (x). 

Si F'' (x) est encore une fonction de x, sa dérivée par 
rapport à cette même variable se désigne par F'^'(x) et 
s'appelle la troisième dérivée de F (x) . 

En considérant ainsi les dérivées successives produites 
par F (x), on comprend que la notation F" (x) indique la 
dérivée du n''""' ordre, ou de V ordre n de la fonction F (x). 

Les dérivées successives d'une fonction ont une autre 
notation qu'il est bon de connaître. 

De même que lorsqu'on pose y = F (x), F'(x) se dé- 

f 1 v d Ji' 
sif^ne par -—", on pourrait indiquer F''{x) par —^ 



BE DIVERS ORDBES. 

Or on remplace celte notation par celle-ci : 

4 ^ 

ddr 1 . 1 dH' 

d^ ou, plus simplement, ^, 

qni signifie absolument la même chose. 
En général , si l*on a 



2o5 



on a aussi 



F (x). = j. 



266. Exemples. On trouvera sans difficulté 






=^ m(m — i) . . . (m — « H- i) x"*^"^ 



loge 



.r' 



d"log;r . • . . 

— T~^— = T -2.3. . . (ra — 1) ( — i)" * 
d^» V f \ f 

d^*^ \\oge/ ' , 

d"sinj7 . / 7r\ 

, , = sm ( a: -4- w - 1 7 
d;r* \ ?7 

d«cos:r / . 7r\ 

— = cos ( j: H- » -f l • 

d^" \ 2/ 



267» Nous avons vu (238) qu'en général x et j dépen- 
dant l'un de l'autre, on a toujours, comme si d;c et djr 
étaient de$ quantités finies, 

d^ I 

dr 



âx 



H né faudrait pas penser qu'on puisse aussi simplement 
changer la variable indépendante lorsqu'il s'agit des déri- 
vées des ordres supérieurs. 



20l5 SENS DE TA CONCAVITÉ 

Nous nous bornons k citer un exemple : J' = ^*' 
On trouve , ' 



d'où 



d^où 



dr 
d^ 



d^"~^'^ 
do: I 



d^x I da: I 



d^-" 2^2 jj^, ^^? ' 



ou bien 



a:' —y 



9 



Ûx I "v 

268. 4Se«5 de la conôauité des courbes. Il est facile 
d'apercevoir Tulilîté de la considération des secondes déri- 
vées dans la discussion des fonctions et des courbes qui Iqs 
représentent, x et y étant les coordonnées variables dVne 
courbe, rapportée à deux axes, non-seulement l'équation 
j^ = .F(a:) qui les lie fait connaître rordonriée y qui ré- 
pond à une abscisse x:; mais, si Ton calcule F' (wç), on 
trouve l'inclinaison sur Taxe des abscisses de la tangente 
au point M déterminé par ces deux coordonnées. Le signe 
de F' (a:) montre si la fonction F(x) croît ou décroit 
lorsque x augmente ^ il indique par conséquent si , à partir 
du |k)int M et en s'avançant dans le sens des x positifs, la 
<îourbe «;'él,ève ou s'abais;se relativement à une parallèle à 
l'axe des.r, et la valeur absolue que prend F' (jr) au point 



DES QOUfVBES. HOJ 

dont il s'agit montre la rapidité de cette élévation oude cet. 
abaissement. 

. Faisant un pas de plus dans cette discussion, nous sommés 
amenés k cot(sidérer ce que devient F^(x) quand x aug-- 
mente, Si F' (a?) reste constante^ sa dérivée F'' (x) est nulle; 
c'est le cas particulier d'une ligne droite, plus ou moins 
i&clinée sur l'axe des x, suivant |a valeur plus ou moins 
grandéde F'(a?). 

Si F'' (x) n'étant pas nulle est positive, cela signifie que 
F' [x) augmenle quand on passe du. point M eu un point 
voisin du côté des x positifs ; donc TiiicHtiaisoti augmente^ 
et par conséquent la courbe tourne sa concavité dans le . 
sens dés y positifs. Ce serait le contraire si- F" (a:) était 
négative. 



269. Points d'inflexion. Il peut arriver que pour tine 
certaine valeur de'x, F'' (x) soit nulle sans que F' (x) soit 
constante. Soit, pai> exemple, 



x^ ' ^ 



j = F(x)=ax-h^ 

La courbe que <îelte équation exprime a son ordonnée y 
composée de aXy ordonnée d'tme ^T^H^ P^^^^*^ P?^^ l'ori-r 

x' . " . 

gine, el dç -tj> quantité de même signe que x. Ainsi, du 

côté des X positifs, la courbe est au-dessus de la droite, c'est* 
à-dire qu'elle s'en écarts dans le sçns des j^ positifs', et du 
côté des X négatifs- elle est au-dessous. 
La différentiation donne , 

'F'(x) = a-H^ et F"(x) = -^; 

au point de la courbe qui se confond avec l'origine dçs 
coordonnées, on a 

x = o et F'(x) =î: a -, -^ 



ÎXo8 MAXIMUMS 

V 

ainsi la courbe est tansente h \\i droite denit nous venons de 
parler. <^aiit à F'' {a:), elle est nulle à l'origine, el par- 
tout aillenrs elle est de même signe que x. Donc (2168) au 
delà de l'origine la courbe tourne sa concavité dans, le sens 
des y positifs, et en deçà de iVrigiûe elle la touinq en sens 
contraire, ' 

Le point qui fouit sur une courbe dfi cette propriété du 
changement de sens de la concavité s'appelle un poiht 
t^'iïiFLEi^roNi II est caractérisé par la condition que si 
y =r {{x) est l'équation de la courbe rapportée k deux axes, 
or' étant l'abscisse du point d'inflexion, la -seconde dérivée 
F [x) est nulle quand on y fait x,— x\ et a deux signes 
différents quand on y fait .r > .r'.et x < .r'. 

270* Maximunu et minimums d-une fonction ou de 
V ordonnée d^une courbe. Si pour des valeurs croissantes 
de la variable ou de l'abscisse, la fonctioii ou l'ordonnée, 
après avoir augmenté, diminue^ et si, dans cet intervalle, la 
dérivée ou l'inclinai son, d'abord positive, puisnégative, varie 
d'une manière continue et conséquçmment passie pair zéro ; 
dans cette double hypotbèse, la valeur dé la fonction ou de 

l'ordonnéej^ qui correspond à -—■ == o est dite un maximum 

de cettie fonction. Elle serait un minimum dans le cas où la 
fonction d'abord décroissante aiigmenterait etisuite. 

Dans lè premier cas, à mesure que la variable x aug- 
mente, la dérivée est décroissante avant comme .après le 
maximum^ et par conséquent la seconde dérivée estii^a- 
tivcy ce qui revient à dire que la courbe représentative de 
la fonction tourne sa concavité (268) dans le sens des y né- 
gatifs. Dans le second cas c'est l'inverse qui a lieu. Con- 
cluons : 

Théorème. En général uri maximum ou un mikimum 
il' une fonction répond à une valeur de la variable gui 



ET MINIMUMS. 20g 

rend la dérivée nulle. Il y a maximum si, pour les valeurs 
de cette variable qui précèdent etqui suit^ent^ la seconde 
dérii^ée est négatii^e ; il y a minimum, si la seconde déris^ée 
est positive, 

271 . Exemples.. I. y == f (a:) = a -f- mx 4- -r- 

f'(x) = m-h^ et f"(*)=|- 

f (x) = o a lieu pour 

mb 

d'où le minimum, si b est positif, 

m^b 

La jcourbe est une parabole. 

W, y^=:mx{x — a). 

f (a:) =ra (-sa: — a) et (" [x):^fim, 

La courbe est encore une parabole, f ' [x) est nulle par 
a: = - qui répond à un minimum ou à un maximum de^, 
suivant que m est positif ou négatif. 

III. y* = mx [a—^x). Si Ton ne cherche que le maxi- 
mum de la valeur absolue de j-, il .suffit de poser 

f(ar) = ,r (a — x), f (x) =a — 2X, (" (x) = — 2.. 
X = - répond à un maximum y = - ^m. 

IV. Soit, en général, 

y=t{x).({a — x), 

la lettre f employée ici, deux fois, indiquant une même 
forme de fonction. Exemple : y = sin x sin {a — x), 

'4 



aïO MAXIMUMS 

Quelle que soit cette forme^ un maximum ou un mini* 

mum de y répond à x = a — x ou x= — On en voit la 

raison en ce que pour deux valeurs de x également distantes 

de -9 Tune en plus, Tautre en moins, j* prend deux valeurs 

égales. 

La même règle et la même explication ont lieu pour 

y==f(-x) + f(a — ar). 
Si Ton a 

y=f(x).f(|) on r=f(*)H-f(|)' 

« 

un maximum ou un minimum répond à x = -9 c^est-à- 

dire à a:* = a, parce que jr prend deux valeurs, égales soit 

pour or* = ma, soit pour a?* = — » c'est-à-dire .pour deux 

valeurs de x Tune plus grande, l'autre plus petite que sfâ^ 
quel que soit m . 

V. Soii 

y=:a-l-x(x-hi)(x — 2) = a-Ha:' — ar* — a jc. 

L'ordonnée prend la valeur a en trois points dont les ab- 
scisses sont X = — I, x= o et x = 2. Si l'on fait x]> 2, 
y esA^a <ei croit indéfiniment avec x\ $i l'on suppose 
a:<^ — I, y— <2 est négatif et sia valeur absolue croit in- 
définiment avec celle de x* 
' En dîfférentiant on a 

f (jt:)=ï3a:* — 2X — a, 

qui devient nulle par 

x' = ^<i ■+-^)= I,2l5..., 

r = i(iit V7Ksoît 

a:" = — 5 (\/7— i) = — 0,549... 



./*• 



£T MINIMUMS. 211 

el 

{" [x) =6a: — a, 

quantité qui varie comitie rordonnée d'une ligne droite. 

Si Ton fait x = x\ cette seconde dérivée devient 2 ^7 j elle 
est donc positive non- seulement par x = x\ mais aussi 
pour les valeurs de x qui diffèrent peu de x' en plus ou 
en moins. Donc à l'abscisse x' répond un minimum Aey 
qui est approximativement 

a — 2,ii4« 

De même, si Ton fait x = x" dans Texpression de la se- 
conde dérivée, elle devient — 2^7 5 elle est négative pour 
les valeurs de x peu différentes de x'' en plus ou en moins. 
Donc à l'abscisse x^^ répond un maximum dey qu'on trouve 
approximativement égal à 

a-f-o,63i. 
La valeur de x qui rend f" {x) nulle, est a: = ^- Pour 

a:> -î f" [x) est positive, et la concavité de la courbe est 

dans le sens des y positifs. Pour a: <^ ^5 F (x) est négative, 

et la concavité du côté des y négatifs. Donc à j; = ^ ré* 
pond un point d'inflexion de la courbe. 

272« Remarques. I. Il faut se garder de penser que les 
expressions maximum et minimum d'une fonction ou de 
l'ordonnée d'une courbe signifient la valeur la plus grande 
et la plus petite que puisse prendre cette fonction' ou cette 
ordonnée. L'exemple IV le montre bien, puisque y finit 
par croître indéfiniment avec x positif et décroît de même 
quand X décroît, c'est-à-dire devient négatif et prend des 
valeurs absolues de plus en plus grandes. 

.4. 



ai a MAXIMUMS CT MIHIMX7MS. 

II. Une même fonction peut prendre plosieurs maximums 
ou plusieurs minimums (*) égaux ou inégaux. Exemples : 
i^. Pourjr = sinx il y a une infinité de maximums tous 
égaux à I, qui répondent à 



et une inGnité de minimums^ égaux à — i , qui répondent à 



2 



le nombre entier n ayant telle valeur qu'on voudra, positive 
ou négative. 

a°. Pour la fonction 

/ = a — X* — 2_ 4- 4^« 

qui devient — oo quand on fait a: = dz oo , on trouve aisé- 
ment que la courbe a trois points où la tangente est paral- 
lèle aux x; qu'un minimum a répond à x = o, un nuixi^ 
muni a 4- lo, 66 . . . répond à ocr = — 2 , et .un autre 
a -f- 4) ^3 . . . répond à x = 1 . 

III. Un maximum et un minimum peuvent être indiffé- 
remment positifs ou négatifs. On doit se rappeler à cet 
égard qu^une quantité négative est d'autant plus grande que 
sa valeur absolue est plus petite, et "vice "versâ, 

IV. Lorsque deux variables sont liées par une équation 
du second degré, On peut, en imitant le mode de discussion 
du n** 169, étudier la forme générale de la courbe exprimée 



(*) Il n'est peut-être pas inutile de faire observer que, suivant le Diction- 
naire de rAcadémio française, le mot maximum est toujours un substantif, et 
qu'on doit par conséquent éviter les expressions telles que le poids ntaximum^ 
le prix maximum f etc. Encore moins doit-on dire ta valeur maxima, la dis" 
tance ou la hauteur maxima, 11 faut dire ie maximum du poids, du prix, de la 
valeur, etc. Au pluriel, il paraît convenable d'écrire maT/mum;, comme on 
écrit les factums, les factotums, les pensums. 



VALEURS PARTICULIÈRES SOUS LA FORME f. 2l3 

par cette équation, et en conclure, s'il y a lieu, soit le maxi^ 
mum et le minimum de l'une des variables, si la coarbe a 
un centre, soit son maximum ou son minimum^ dans le cas 
contraire. Cette variable étant désignée par x et Fautre par 
jj c'est par rapport à celle-ci qu'on résoudra l'équation . 

273. Détermination des valeurs particulières qui^ pour ' 

^ . r 1 r' o co 

certaines Jonctions^ se présentent sous lesjorjnes - ou — • 
Soit • 

^'^ v'^ ï[x)" 

et supposons qu'une valeur partictdière de or, désignée 
par Xo, rende nuls les deilx termes de cette fraction. Par 

exemple 

I — cos [x — xA 

y -~— ^ , fmm 

*^ sin [x — ^o) 

Dans ce cas, on désigne souvent sous le nom de vraie valeur 
de la fraction la limite dont elle s'approche indéfiniment, 
à mesure que x s'approche de x^. 

Pour obtenir cette valeur, mettons x ■+• Aa: au lieu de x. 

La fonction.jr devient en général — et se réduit par 



o: = Xo à — ï dont la limite^ quand on fait décroître Ax, 
est 



dw Ax F [x,] 

-p- ou -p = -xn — \ ' 
di' d(/ r (j7o) 



d^ 



c'est-à-dire que la vraie valeur dey qui répond à x^ s'ob- 
tient en Substituant aux deux termes de la fraction leurs 
dérivées, et faisant ensuite a: = ico» * 

Si F' (.rj est encore nulle sans que f ' (Xo) le soit,' la va-' 



2l4 TALEUES PÀETICULIERE8 SOUS JLA FORME ^. 

leur particulière cherchée est nulle ; si c'est l'inverse, elle 
est infinie. 
Exemple : 

I— ces [x — X.) V [x) sin (jr — a:,) 

•'^'^ sin (x — jTo) ' V (jCo) ""^ ces [x — x^ 

qui par x = Xo donnej^ = o. 

On peut se figurer géométriquement la règle précédente. 
F [x) et f (x)^ qui s'annulent par x = aro, peuvent être 
prises pour les ordonnées de deux courbes qui se coupent 
sur Taxe des x, au point dont Tabscisse est or^. Dans le voi* 
sinage de ce point, les courbes se confondent avec leurs tan- 
gentes, sauf une erreur qui diminue à mesure que x ap- 
proche de la limite j;». Donc le rapport des deux ordonnées 
diffère de moins en moins de celui des coefficients angulaires 
des tangentes, c'est-^à-dire du rapport des dérivées F' [x) et 

f [x) ^UT X = Xq. 

Si F' (a:) et f'(x) devenaient toutes deux nulles par 

X = OTo, on leur appliquerait la même règle : on substitue- 

. , F'(^), - . ¥^x) . . , . 

rait a „,, / la traction ,,, / ^ » et ainsi de suite. 

f'(^) t l-^) • 

274. Supposons que les deux termes de la fraction - de- 



viennent infinis. On peut alors écrire ^ = -» et rentrer 



dans le cas précédent. Or 



II 



,1 de j I du 
d- t= r et d-= r. 



donc pour x = x© on a 



V dw 

7? 



DÉVELOPPEMBirrS ftH SÉRIE. &lS 

d'où 

du 

I , Il u iu d;r 

-(lii=ï-at^, ou -=:-;— ==:=—• 

Asp 

C'est la même formule que pour le cas précédent. 

Hemaiiques. I. On voit que Tesprit de la miAiode à suivre 
quand une fonction prend une forme singulière par suite 
d'une certaine valeur attribuée à la variable, consiste à 
substituer à cette valeur une autre qui ea difi%re trèl-peu , 
et à chercher la limite de la fonction à mesure que la difle*^ 
rence diminue. 

11% Si un facteur commun est en évidence aux deux ter- 
mes de la fraction, il est clair qu'on doit immédiatement le 
supprimer. 

Exemple: 

y/x — X. (x — x^Y {x — JCo)*' 

'^^'—< {x^X.)7[x-^X,f C^-h^o)^ 

qui tend vers zéro à mesure que x approche dé Xe. 

275. Développement des fonctions en séries. Un em- 
ploi utile des dérivées successives se trouve dans le déve- 
loppement des fonctions en série suivant les puissances 
entières de la variable. Le type de cette forpie des quantités 
est la somme d'une progression géométrique. Soit 

a -f- ax -h ax^ 4- ax^ -f- . . . -H ax"""^ . 

On sait que cette somme de n termes est égale à — ? 

c'est-à-dire que la somme des termes d'une progression 
géométrique est égale au terme qui viendrait immédiate* 



ai6 DÉTELOPPEMESTS 

ment après le ilernier, diminué du premier et diuisé par la 
raison moins i . 
Si la raison a: est plus petite que Tûnité , la formule sub- 

a 

«y» 

sîste, mais on peut la mettre sous la forme 9 c'esl- 

a: 
à-dire que la somme des termes de la progression est égale 
au terme gui précéderait le premier diminué du dernier et 
dii^isé par Vinv^erse de la raison diminué de 1. 

Dans ce même «cas où la progression est décroissante, le 
dernier terme ax**** devient aussi petit qu'on veut, si Ton 
prend n assez grand ; donc à mesure qu'on augmente le 
nombre des termes^ leur somme approche indéfiniment de 

o. 

ou qui est par conséquent sa limite. C'est ce 



I I — X 

X 



qu'on exprime en d'autres termes, qui ont la même signi- 
fication, quand on dit que la somme des termes d'une 
progression décroissante ^ poussée à Vinfini, a pour ^valeur 
le premier terme divisé par 1 moins la raison^ ou le terme 
qui précéderait le premier div^isé par V inverse de la raison 
diminué de i . 

Exemple : 

Ces règles s'appliquent aussi bien aux cas où la raison 
est négative. 

Exemples: ^ 

• , ft ï6 — I ^ 

1 — â -+- 4 — 8 = = — 5 , 

— 2 — I 



â76. Une suite indéfiniçde termes soumis à une loi qui [ 
fait que la. somme des n premiers termes approché de plus 
en. plus et autant qu on veut d'une c^*taine.]imite «S, quand 
on augmente le non^lH'e n à partir d'une certaine valeur, 
s'appelle , une série com*ergente^ et la limite. -5 s'appelle 
la somme de la série. Un progression décroissante «st donc 
une série conveï'gente. 

Pour constater qu'une sérié est convergente , il suflSl de 
s'assurer qu'-à partir d'un certain terme ; tous les termes 
suivants sont respectivement plus petits que ceux d^une 
progression géométrique décroissante. C'est la rémarque 
dont nous avons fait usage au n^ 242. 

277. Nous venons de voir que ■-^ est une fonction dé 

X développable, quand ce est <[ i , en une série convergente 
suivant les puissànceis de a:, Ce qu^on écrit ainsi : 

a , . 



• • • • 

X 



Supposons maintenant qu'une autre fonction désignée 
par F [x) jouisse de la même propriété, et cherchons les 
coefficients des termes successifs dé là série. A cet effet, 
posons 

F{x):^Jl'hBx'^Cx*-i-Dx'' + Ex'-h^.., 

entendait que le nombre des termes du second membre est 
poussé aussi loin que Texiige le degré d'approximation qu'on 
veut obtenir. En prenant les dérivées succes^ves des deux 
membres, on a 

et ainsi de suite. 



2l8 DÉVËLOPPBM^EMTS EN SÉRIE. 

De ces équations qui doivent svbsister, quelle que soit la 
valeur de x^ au moins quand elle est assez petite , il est fa* 
cile de conclure les coefficienis A , jB, Ct^D^ • . . , indépen- 
* dants de x. En y faisant Jt = o et appelant F (o) , F' (o) , 
F" (o), F'^' (o) , . . . , ce que deviennent alors la fonction F {x) 
et ses dérivées successives , on obtient 

t 

^ = F(o), £=:F'(o), C = î^^ Z? = ^^etc., 
fomniles dont la loi est manifeste et d'où Ton conclut 

F(x) = F(o)+F'(o)f4-F"(o)^ + F"'(o)^-+-.... 



Exemples. I. 

« 

F (x) = (a'^x)'^ 

F'(a:)=m(/n— i)(a-hx)"î-* 
F''(ar) = m (m— i) (m-r-a) (a4-^)'"'-' 



F {o)=za'^ 
F (o) == mcT'^ 

F''(o) = m(m — i)a'"-' 
F'='(o) = m(w--i) (m— ajû" 



(a -f- XY" =3= a" H a""r^ x H ^ â'"~' x* 

\ ' I 1.2 

. m(m — i)(m — 2) „ » . . 
1 . 2 . o 

C'est la formule du binôme de Newton applicable à un ex- 
posant quelconque, pourvu que n soit assez petit pour que 
la série soit convergente. 

IL. On obtient sans difficulté les séries 

I 1.2.J 1.2.3.4-5 1,2. 3. 4-5. 0.7 
1.2 1.^.3.4 1.2. 3. 4.- 5" 

dont la loi est évidente. 



TANGENTE. 219 

â78. Série de Taylor. Soit 

Supposé que h soit une constante , on remarquera que 
les dérivées de cette fonction par rapport à x sont les mêmes 
que les dérivées par rapport à h , prises en supposant x 
constant, et que, quand on y fait a:=: o, elles. deviennent 
f (A), f''(Â), . . . , absolument coname si x eut été préala- 
blement effacé de la fonction, et qu'on eût traité h comme 
variable^ ce qui eût donné f(/t) et ses dérivées successives. 
D'après cela, la formule du numéro précédent devient 

f(A^*) = f(A)-+.f'(A)f+F(A)£l+F'{A)^4-..., 

ou, en remplaçant h par x^\.x par /z, 

f(a:+A)=f{:r)+f'{x)^+F{x)il-+.f"'(x)-^^-.... 

C est la série de Taylor, propre à calculer la valeur j^+ûy 
que prend une fonction quatid la variable x prend un ac- 
croissement fini 7z ou A X. 



§ VIL APPLICATIONS BU CALCUL. DIFFÉBËNTIBL AUX COURBES 

PLANES. 

I 

279. Tangente. La relation du calcul différentiel avec 
la détermination des tangentes aux courbeâ nous est con- 
nue, puisque c'est elle qui nous a servi d'introduction à 
rétudé de ce^enre de calcul. 

Si 

est l'équation d'une courbe, on obtient par la différentia- 

d v d ^ 

lion la dérivéç t^ ou son inverse -r— en fonction de Tune 

d^ Ay 



SL20 SOUS-TXNGEKTE. 

- d y 
des coordonnées ou des deux. -—• est le coefficient angu- 

laire de la tangente à la courbe, relativement à l'axe des x, 

QX 

au point dont les coordonnées sont x et jt] -t— ; serait le 

coefficient analogue relativement à l'axe des y. 
Exemple. fUlipse, 

a* j' -f- 5* à:* == a* i* , 
d'où 

û*r^y + J*j:^= o, ou -r^ = — '-r— 
, J J ' d^ c^y 

. Soit sur Tellipse un point spécial dont les coordonnées 
sont x' et y\ et vérifient par con^éxjuent Téquation 

Le coefficient angulaire de k tangente en ce point, relati- 
vement à l'ax^ des x, est 

«y' 

par conséquent Téquation de cette tangente indéfiniment 
prolongée et rapportée aux mêmes axes, Jes coordonnées 
variables d'un quelconque des points de cette droite étant 
X et j^, est (lOo) 

ou 

^^y'X — ^y •+• i' x'a: — i* x'* =,0, 

ou encore 

o}y^y -i-b^x^ x= a*b*. 

280. 9ous-TA»GENTp. La tangente en un point M {fig- 64) 
d'une courbe rencontre généralement chacun des axes coor- 



SOUS-TAIÎGENTE. 321 

donnés en un point. Soit T son intersection avec Taxe des 

X. P étant le pied de l'ordonnée j' du point M sur le même • 

axe , la distance TP s'appelle sous^tangente sur Taxe des x. 

On a 

MP_dj, 
TP^drtr' 

donc 

TP = r— • 

•^ dj 
On trouve de même la sous-tangente sur l'axe dcsy : 

^ dx 

Exemples. Ellipse, 

b^x b^x X 

Ainsi l'ellipse étant rapportée à deux diamètres conju- 
gués, la sous-tangente sur l'un d'eux, a a, est indépendante 
de la grandeur de l'autre, ih, 

Parabole. 

j*=2/7j:, yàjzzipAx, 

P - > y 2 ' 

La sous-tangente TP est double de l'abscisse, propriété 
caractéristique de la parabole. 

Hyperbole rapportée aux asymptotes [Jtg» 65), 

/=^' ^y= — ^' TP=-x. 

De TP = PO on conclut TM = TM', ce qui se rattache 
aux propriétés reconnues au n° 4SI. 



223 SOUS-HORMALE. 

Logarithmique, ^ 

y = logo:, dj r= -.^- — 



:p 



loge loge ^ ° 

La sous-tangente sur Taxe des^ est constante. 
Sinusoïde, 

j- = sina:, dj;^ = cosa:dj:, 

TP = -^ = tangx, T' Q trr a: cosa:. 

C0S4P ^ 

■p- varie de i à -- 1 . Sa plus grande valeur absolue i répond 
àa; = o, ^== TT, ic = 2 7r,... .^ a:=: TiTT. 

281 Sous-NORMÀLE. La normale au point M a po\ir coeffi- 
cient angulaire — -7— 9 dans le cas où les coordonnées sont 

rectangulaires (108): Soit N [fig^ 64) son intersection avec 

l'axe des x, La distance PN s'appelle la sous-nôrmah sur 

cet axe. On a 

MP_d£ 

PN ""d/ 

donc 

PN = rJ^- 

La sous-normale sur l'axe des r serait x -r^- 
Exemples. ElUpse.' 

dr__^ PN=:_*1?. 

Parabole. 

^y^P PN — ,, 

ax y '; 



RAYONS ET CENTRES Dl^ COURBURE. 223 

La sous-normale de Fellipse est proportionnelle à Tab*^ 

scisse; sa plus grande valeur absolue est —> c'est-à-dire là 

moitié du paramètre (132). 

La sous-normale de la parabole est constante et égale à 
la moitié du paramètre , ou au double de la distance du som- 
met au foyer (129). 

282. Rayons et centres de courbure des courbes planes» 
M étant un point déterminé d'une courbe plane {fig, 66) , 
par ce point et par un autre point M' de la même courbe 
menons deux normales MN , M']y^ Si la courbe est un 
cercle, le point d^interseçtipn O^ des deux normales est indé* 
pendant de la grandeur de l'arc MM'; la distancé MO' est 
le rayon et O' est le centre du cercle. Si la courbe n'est 
pas un cercle, et si, en considérant commç constante la 
position de la normale MN, on fait varier le second point 
M', et, par cx)nséquent, la normale M^N', le point d'in- 
tersection O' des deux normales est variable. Dans ce 
cas, la distance MO', à mesure qu'on prend Tare MM' de 
plus en plus petit , approche autant qu*on veut d'une Oer- 
laine limite MO , qu'on appelle le rayon de courbure de la 
courbe considérée au point M , et le point O dont s'approche 
indéfiniment l'intersection O' est le centre de courbure 
de la courbe au même point M. 

C'est ce qu'on exprime d'une manière abrégée en disant 
que le centre de courbure du point M est à r intersection 
de la normale MN en ce point et de la normale infiniment 
voisine» 

283. Problème. Connaissant V équation y z=.{{x) dune 
courbe plane en coordonnées rectangulaires, trouver Z'eir- 
pression de son rayon de courbure au point dont les coor- 
données sont X et y. 

En considérant la figure JMM^O' comme un triangle qui 



^%4 RAYONS ET CENTRES 

tend à diQvcnir isocèle et dans lequel^ Tangle MO M^ étant 
très-petit, on a, aussi approximativement qu'on veut, et 
sauf une erreur qui disparait à la limite , 

^^-ÙMg MÔ'M' 

Désignant par x -4- Ax et y -f- Ajr les coordonnées du point 
M', on a 

MM'=v^(Aa:)*-f.(Aj)« ou ^ixi/i+f^Y' 

Pour exprimer taugMOM', menons en'M et M' les tan- 
gentes MT^ M'T'^ fafisant avec Ax les angles a et a'. Nous 

aurons 

MO' M' = «'—«, 

et, par conséquent (57), 

taiigMO'M'r- ^"8"'-^"^" 



I -4- tanga tanga' 

Désignons par z Tinclinaison tanga ou -r^» et par 1-4- Ai 
Tinclinaison tanga': nous aurons ainsi 

tangMO'M'cr ^' 



i-^i^-hiài 



Substituons les valeurs de MM' et de tàugMCM', ainsi 
trouvées, dans l'expression de MO'^ elle devient 



MO'=X V^£ZA 

àl 

Or, à mesure que Ax diminue , le rapport — ^ approche 

d "v A i 

iiidéfiniment de -p- ? égal à /ou à f'{x)y tandis que — ap- 



PE- COURBURE. , 223 

proche ;autal>t qu'on veut d^une limite qu'on peut iujdiffé^ 

remment représenter, soit par t— > dérivée de la fonction i*, 

soit par F (x), dérivée du second ordre de ((x) ; et en même 
temps le facteur (i-h l'-h «Ai) approche de sa limite i-4-i'. 
Il résulte de là qu'en désignant par p le rayop de cour-; 
bure MO, on a Ta formule 



ou 



p 






dx 


p 





284. Si Ton convient de prendre toujours le numéra- 
teur positif, le rayon de courbure aura le signe de f'''(j:): 
il sera donc positif ou négatif , selon que la courbe aura sa 
concavité tournée vers le sens positif bu négatif des ordon- 
nées. 

285. Prenons pour exemple la parabole exprimée par 
y"= 2 /MT. Cette équation différentiée donne 

.jdj==pdi, où j/==p. 

Celte dernièrje équation , dans laquelle,^* et * sont des fonc^ 
lions de jc, étant différentiée, donné 

d/ .dr 



ou 



De L^ on lire 



djt* &x 



Ai • 



z 3= t et -T- = — —^1 



i5 



220 TASGEWTES . • 

et ces valeurs étant substituées clai>5 Texpression de p, on 
trouve 



ou 



*. __ 


^(-^f 


o — — 

9 = 


P' 



en donnant à cette dernière formule un signe contraire à 

celui de j'. • 

Dans le cas particulier où le point M est te sommet de la 

parabole , on a 

j = o et ?=^p, 

»• 
c'est-à-dire (129) que le rayon de courbure est double de la 

distance au foyer. Cela résulte aussi du vP 281 , car le rayon 

de courbure au sommet, soit de la parabole, soit de lel- 

lipse, est égal à la sous-tangente. 

286. Tangentes aux courbes ilans l* espace. Soit une 
courbe définie (90) par deux équations ^ 

(i) F(x,j, z) = o et f{x,jr, z)=^o,- 

qui sont celles de deux surfaces dont elle est Fintersection. 
Il en résulte que si nous désignons par x\ y' ei z' les coor- 
données d'un point quelconque de la courbe, elles doivent, 
étant mises pour x^ j el z^ satisfaire à ces équations (i); et 
deux quelconques de ces coordonnées x'^y' et z* sont des 
fonctions de la troisième, de sorte qu'on obtiendra leurs 
dérivées en différentiant les deux équations (i) couformé- 
mejit à ce qui a été dit à la fin du n^ 253. 

Pour plus de généralité et de symétrie dans les formules, 
nous laissons arbitraire le choix de la variable indépen- 



DANS l'bSPACE. 



227 

(laiile,* et nous écrivons 

dF , , • dF . , dF , , 

,Jp.d^+37^^-^dF^^-^' 

• ' ' df j , df , ,, df , , 

Cela posé , occupons-nous de la détermiqation de la tan- 
gentç à la courbe dont il s^agit. Cette droite passant par le 
point dont les coordonnées soRt x\y'^ z\ on peut mettre 
ses équations sous la forme (175) 

/-. . X — x' y — / z — z' 

^ [ a c 

De pliis en remarquant que la définition du n^ 225 s'ap-- 
plique aussi bien à une courbe à double courbure qu'à une 
courbe planie, on voit aisément que la projection delà tan- 
gente à une courbe sur un plan est la tangente à la projec- 
tion delà courbe sur ce mêine plan, les projections étant 
d'ailleurs rectangulaires ou obliques. 

De là il ré&iilte qUe les équations. (3) peuvent être rem^ 
placées par . " ^ ' 

1 dr' / A 



et 



dz' 



ou bien 



t-z'=-^,{x-x>), 



x^^x^ y — y' z — zl 
. die' dj' d-2' 



Ainsi 4es trois différentielles dx', dj'-, dz' qui entrent au 
prenaiep degré dans tous les termes des équations (2), sont 
proportionnelles aux différences x — Jt', y-^y\ ^' — z'-^ 
elles s'éliminent donc immédiatenaent 5 et Ion* a pour les 

i5. 



25t8 PLAN TAKGENT • 

équations diei tliées de la laiiigeiite 

i\V , ,,' (IF, „ <1F./ ,. 

• ' . . ' . 

df / ,. df , ,v df / ,, 

1. * 

• 

H est entendu qvte jf, jr^ z sont ici Its coordonnée^. varia- 
bles d'un point quelconque de la tangente , et que les coeffi- 
cients i — >« -r — r» etc., dérivées partielles des fonctions F' 
dx' dx' ' 

et f , dans lesquelles on a mis pour x^y et z les coordon- 
nées x' ^j' et z' du point de contact, ne renferment que ces 
dernières coordonnées, et les autres constantes appartenant 
à ces mêmes fonctions, F et f. 

287. Plan langent à une surface. Soit l'équation âe 
cette surface - . 

(i) , ¥{x,y,z) = o. ; 

Si par le point dont les coordonnées sont x', y\ z\ et sa- 
tisfaisant à cette relation , on fait passer une autre surface 
dont Téquation soit 

^2)- f(.r,j,.z) =o, 

la tangente à la courbe d'intersection aura pour l'une de -ses 
équations 

qui est celle d'un plaïi passant par le point dont les coor- 
donnés sont x', j' et z[. Cette équation est-indépendaïue dc^ 
la fonction f qui > en changeant^ détermine sur la ptemière 
surface, autant de courbea diversies qu'on voudra* Le, plan 
défini parTéqualion (3) contient donc les tangentes à toutes 



A. UJHE StRFAGE. 12i) 

ces courbes: donc il est le plan tangent à la première sur- 
face. 

s 

288. ÀppLrcATiON. En un point d'un ellipsoïde on mène 
un plan tangent et du centre on abaisse une perpendicu- 
laire sur ce plan^ on demandé la distance d du centre 
au plan tangent^ et les angles cfuefait la perpendiculaire 
âOec les axes principaux de l'ellipsoïde. 
. Mettons pour simplriier réquation de Tellipsôïde sous la 

forme 

TîX* -H />;^* -f- 92* = I , 

x\y' et z' étant lés coordonnées du point M' pris sur celte 
surface, la formule (3) ci-dessus donne , pour le plan tan- 
gent eti ce point , Téquation 

nx' \x — x') -^py' {y — y') -\-qz''{z — 5') =0, 

qui , à cause de 

nx'^ -+- pj'^ -4- çfz '* = I , 

se réduit à ' 

nx'x -hpy'j -h f/^' z =:i. 

Celte équation étant identifiée avec Téquation (i) du n'* 181 

a:cos(iV, x) -hjcos(N, y) H-'-zcos(N, z) :;= (J, 

donne 

cos(N, x) = /ix'o, 

vos(lS, y) =py'â, 
cos(N, z) = <7<2'<J. 

Er> élevant au carré et ajoutant, on obtient 



d'où 



d = 



^n'x'^-\-p'y"-\-q'z 






a5o 
et 



PJ-ÀJV TANGENT A UNE SURFACE, 



cos(N, x) == 



nx 



V n' x'^ -f- p' j" + q^ z'^ 



C0S(N', 7)=;:^, 

cos(N, z) =-^. 

V . 

Quant aux coordonnées du pied de la perpendiculaire, elles 
sont * 

x" = cî cos (N , x) = nx' d\ 



f^i 



Ces formules sont employées dans l'admirable théorie de 
la rotation des corps solides due a M. Poinsot. 



CONSIDÉItATIOMS PONDAitENTALES-. ' 23 1 

■ 

' . ,^, r ■ . - 1* ' - *- ■ - - - I - ^ ■--■■---- L ^ - 

CHAPITRE IV. 

NOTIONS DE CALCUL INTÉjGRAL. 



§ L CONSIDERATIONS FONDAMENTALES. 

289. Quand rinclinâisou -~ d'une courbe par rapport 

u X 

à J'axe des x est connue en fonction de x^ on conçoit que 
c'est une donnée suffisante pour déterminer la forme de la 
courbe, et même sa situation relative aux axes si Ton con- 
naît en outre un .point par lequel elle doit passer. 

Soit ~- = f (x). Si l'on reconnaît f (x) pour la dérivée 

d'une fonction connue F (x), on en conclura quey = F(a?) 
sera l'équation d'aune courbe satisfaisant à la condition don- 
née , et qu^on aura autant de coiirbes qu'on voudra satisfai- 
sant à cette condition en posant la formule 

. ._ .j = F(x) + C, 

dans laquelle C exprime une côiistante arbitraire , c^ést-à- 
dire une quantité qui ne vs^ rie .pas pour les divers poiiits 
d'une même courbe, mais qui change quand on passe d'une 
courbe à une autre satisfaisant également à la condition 

d v * 

290. Exemples, Soit -p- =: ^j:'% l'exposant /n étant un 

nombre quelconque, positif ou négatif , mais différent de 

I. -, 



a3a COKiSIDÉAATIOIlS FOKDAMENTALES 

Ou sait que —z — est najc"""*. Choisissant n et a de sorte 



dj: 



qu'on ait 



na=^p et w — i = m , 
c'est-à-Kiire 

n = 7AJ -h I et a = ^ =i: — ^— ? 

. n m -h I 

on trouve que — a pour dérivée px^. Donc la formule 

générale de ^ est 

m-hi 

» • • •» 

a». Soii^ = f. 

d lOfiTéT l0S6^ 

En partant de . ^ = ; on trouvé aisément 

* do: X 

En général, l'expression j = F(a:) -H C déduite de l'é- 
quation djr=?F'(x)dx s'appelle Vintègraïe indéfinie de 

dj^ ou de F'(x) àx, 

291 . La constante C cesse d'être arbitraire si l'on a les 
coordonnées x^ et j'o? d'un point de la courbe: car, en 
outre de 

j = F(x)Vc, . • 

on aura 

jro = F(x)-»-C; ■ 
d'où 

7— Jo = F|x)— F(x,). 

Cette quantité y — y^, accroissement dey à partir dej'j, 
oïl depuis l'abscisse x„ jusqu'à l'abscisse x, s'appelle Vin- 
têerale définie de àj ou de F' (,r) dx depuis Xt jusqu'à .r. 



SUR LE CALCUL IlfTÉG^RAL. a33 

d v 
Exemple. Sî la courbe dont l'inclinaison -^ relative- 

ment à Taxe des x est px^fftisse par Tori^ne des coordon- 
née», alors On a Ccso, et l'expression de y est simple- 
ment 

292. Il convient de savoir d'où vient la dénomination 
intégrale. 

Soient j:«^ y^^ les coordonnées connues du point AI^^ 

(Jig. 6.7). On connaît en outre l'inclinaison f (x) de la 

tangente par rapport à l'axe des x, pour tout point de la 

. courbe^ en fonction de son abscisse x. On demandé l'ordon> 

née JTdu point M dont l'abscisse est X. Soient t 

PeP ou-ï-'— o-o subdivisé en intervalles 5,, dj , CÎ5 5 

Il l'inclinaison de la corde Mo M, ^ 
Ijî Is7 ï*î I5) celles des cordes suivantes MiMt, MjMj. .. ; 
M, Ni = MiPj — MoP« = Al, la différence des deux or- 
données consécutives ; 
A,^ A3. i^4, Ag, les autres différences analogues. 

On aura 

Ai = Iicî„ Aj^IjJ,,..., A5=l5(Î3, 
d'où 

ce qui s'exprime en abrégé, quel que soit le nombre fini des 
subdivisions, de cette manière : • 

Si le nombre des divisions devient teUemenjt grand et les 
arcs, tellement petits qu'on puisse colisidérer. les cordrs 
comme se confondant avec les tangentes aux points, succes- 
sifs de la courbe, alors les valeurs successives de I peuvent 



a34 CONSIDÉ&ATtONS FONDAMENTALES . 

être reraplacées par celles de f (jc) ^ Terreur que Ton com- 
met est d'autant moindre que les intervalles d sont plus pe- 
tits, et devient aussi petite qu^on veut.- 

Si par exemple on fait en sorte que la différence^ entre 
chaque valeuip de f (x) et celle de I correspondante soit 
moindre qu'un millionième de celle-ci, l'erreur commise 
est moindre qu'un millionième de la valeur totale Sic?. 

On peut donc écrire 

Y — jo = lîni [f (:ro) 5i -f- f (xo -f- a,) cJ, 

ou, en faisant 

OPi = jc„ OP, = x„ OP, = x,... 

« 

et par suUe 



Y— yo = liiii [f(-^o) (Xi — Xo)-^f(xi){xt^Xi) 

-hf (a:,) (x^ — Xt)'^-'... f (x„_i) (X — j:„_,)]. 

L'usage est de représenter la notation du second membre 
par cette autre beaucoup plus simple : 

f {x) dx 



£ 



([ui a la même signification çt qu'il faut pac conséquent in- 
terpréter en des termes équivalents ^ ceux-ci : 

Limite de la somme qu'on obtient : 

1°. £n mettant pour x dans Pexpression f (x) une suite 
de n valeurs or^, .rj, a:,, 0:3,..., gui varient par degrés 
(igaux ou inégaux^ tnais très-petits, depuis Xo jusquà une 
valeur x„_i qui diffère très^peu de X} 

2", En multipliant les valeurs f (jTo), f^Xi), i[x*)t 
f(.rj),.., f(.r„^,), rcspccti^'emcnt par les différences 



SUR L£ CALCUL INTÉGRAL., 2$^ • 

dire chaque valeur Hé la fonction par la différence entre 
la valeur de X qui F a produite et la valeur suii^ahte de 
^ette même variable ; ' . ^ 

• 3^. En ajoutant les n produits ainsi formés. 
Plus le nombre « augmente, plus on approcHe de la vraie 
valeur rie^résentée par lîi notation ci-dessus. Le résultai 
ainsi obtenu, éta^it considéré comme la quantité tout etitière 
(en latin intégra)^ dont f (x) do: erxprime un élément infi- 
niment petit, s'appelle pour cette raison t intégrale, i^ 
i{x)dxi (.es quantités x©^ -ï, dont la signification^ est ex- . 
pliquéeci-dêssus^déterminent/<?5ej:f/'ef7^/ï^5 dis V intégrale^ 
ou les Umitçs entre lesquelles là différentielle ï [x) àx est 
intégrée, " 

1 ■ ■*" * 

293;. Il résulte- de ces considérât! ojis que les intégrales 
. peuvent avoir. divers caractères : 
1°. Quand on donné . 

^ = f(x) ou àj=L{{x).àx 

et qu'il s'agit seulement de trouver une expression générale , 
à^jy c'e«t-à-dire de toutes les fonctions dont la dérivée est 
f (x) ou dont la différentielle est f (:t:) dor, si Ton parvient 
à découvrir une, fonction F ('a:) dont la dérivée F' (j?) 
soit égale à f (x), on a la réponse à la question eu. posant 

- 

Celte expression s'appelle Vinlégrale indéfinie de î(x) à:t\ 
et la relation qui existe entre elle et f [x) s'écrit ainsi : 



C{{x)àx = Y{x)^C. 



f'equi signifie simplcmentque si l'on différcn liait F(.r) -f- C 
par rapport a j:, on aurait f(jr) d.T. 



"iSë COMSIDÉAATIDAS FONOAMEUTALKS 

Exemple : 






«x""^' 



ax'^ dx '= h C 9 

= , logor-l- C. 



;r loge 

a°. Lorsque, outre l'équâtion dj^ = f (ar)^ir, on sait 
i[iie la fotictionj^ prend une valeur dëterminëe^é pour une 
valeur également déterminée Xq de la variable rr, et qu-on 
demandç en conséquence la valeur J^de la fonction pour 
une valeur quelconque X de la variable, en supposant tou- 
jours qu'on sacbe trouver une fonction F (x) dont la déri- 
vée soit f(x:)^ la réponse 6st dans Téquatiôn 

r-j, = F(X)-F{x4. 

Le second membre s'appelle r intégrale définie de i {x) dx 
prise depuis x^ jusquà X; et la relation qui existe entre 
cette quantité et f (x) s'écrit ainsi : 

¥{X)--Y{x,)= f '{(x)dx. 

notation dont on comprend Torigine et la signification, 
d'après les explications du n** 292. 

, 294. Les considérations du n° 292 ne servent.pas seule- 
ment à expliquer une notation, .«Iles fournissent un théo- 
rème TRÈs-iMPOUTAHT, savoir : 

Étant donnée une fonction quelconque f (x)^ si Von de- 
mande une autre quantité qui ^ diaprés sa définition^ 
puisse être représentée par la formule 

lim [((^o) (^i — ^o) -f-f (a:'i) (xt-'^Xi) -h ... 

-hf(x„^0(^-^-i)]. 
nu ptui simplement^ mais avec la mcmc interprétation^ 

j^ f(.r)dr, 



SUR LB CitCUL INTJÈGRAL. ïi'J 

toutes les fois ifuil sera possible de trou^'er une tjuantité 
F (x) dont la dérivée serait f (j^)? o« aura la réponse en 
posant 

f {(x)dx = F(X)—F{xo). 

295. Remarque, Une intégrale définie peut être néga- 
tive, soitque^ entre les deux extrémités de cette intégrale, 
la valeur moyenne de la dérivée {[x] soit négative ; soit que 
To, première valeur extrême de la variable, se trouve plus 
grande. que la seconde X, auquel cas l'intégrale est la limite 
de la somme des produits des valeur^ successives de la fonc- 
tion, f(xo), f (Xj),..., f (ji^i,-i), multipliées par les diffé- 
rences négatives :Ci — a:©, x^ — J^ivf? X — x„_i5 et il est 
évident que lé résultat ne diffère que par le signe de celui 
qu'on aurait en changeant l'ordre des valeurs extrêmes. 
C'est d'ailleurs ce qui se conclut immédiatement de la for- 
mule précédente, étendue à tous les cas possibles. On a, en 
désignant toujours par F (x) une fonction dont la dérivée 
estf(x), 

f(a:)da:=;=F(X)— F(to), 



/ 



et 



X 



•^» 



d'où 



. f(.T)dx = F(xo) — F(.y), 



f(x)dj:== — I f(a:)d.r. 



296. La quadratcbe des courbes offre une application 
très-utile du théorème du n° 294. 

Soit représentée dans la fig. 6rj la courbe ayant pour 
équalionj = f(xj. L'aire Po Mo MP, bornée par deux or- 
données répondant aux abscisses To, T, est la limite de la 



^38 COKSIDÉRATIOXS FO^DAMOfALES 

somme df* ira|)€rze6 P^ M^ M , P, , P, M , M, P, , . . . , à menait* 
qn'oD augmeiile le nombre des sabdivîsiuns P»P|, PiP^,.,. 
Celte limite est aussi «elle de la somme des parallélo- 
grammes Pt Mt N, Pi , Pi M, Nf Pj ., . . . ' car, à mesure que les 
ordonnées consécutives se rapprochent, le petit triangle qui 
fait la diflerence d*un trapèze au parallélogramme corres- 
pondant, devit^nt une fraction aussi petite qu^on veut du 
trapèze, et par conséquent la somme ^le tous les trapèzes 
ne diffère de la somme* des parallélogrammes que d'une 
quantité qui est une fraction aussi petite qu'on veut de 
Tune ou de Tautre de ces deux sommes. Celles-ci ont donc la 
même limite. Donc Taire P^Mo MP, si les coordonnées sont 
rectangulaires, satisfait précisément à la définition de la 

quantité I f (•^) dx, et par conséquent* lui est rigpuren^ 

sèment égale. 

Si les axes coordonnés font T angle a, on a la surface 

U= sina I , ydx. 

297. Exemples, i^. Quadrature de la courbe paraho- 
liqne ayant pour équation j'= ap[f^ (fig^^) • 

P.MoMV=U^ f ax"^àx. 

Si Ton cherche une fonction dont la dérivée soit ax"*^ on 
trouve (290, t«) 

F [x] =. h 6, 

donc 

ax-dx:^F(X) — F{xo) 



-X 



= — ^^ (.¥'"+' — .7V"+'). 



Slî^ LE CALCUL INTÉGRAL. !?3i; 

Sî l'on voulait Taire OMP^ on aurait 

0^0 = o, et L/ = -^ » 

.' w-h I 

^ Remarque : 



aire OMQ = ^r— OMP = a A^«+^ — 

- a°. Quadrature de. V hyperbole équilalère rapportée 
aux asymptotes tï ayant pour équation j^= - (//g^. 69). 

Cherchant une fonction dont la dérivée soit -<• on 

X 

trouve (290,2^) 

. F (x)= 2,3o26alogx-h C^ 
d'où l'on conclut 

U= / — djr = 2,3o26a log — • 

•/r, ^ . Xq 

Remarques, i^. L'aire ne dépend que du rapport 

X OP 

X. ^^ m: 

2^. Si Toi) faisait Xo=o, on trouverait l'aireyOPMcr: 00 . 
3*^. Il est bon de rappeler (240) que 2 , 3o26 n'est que la 

valeur approximative de y- — 



298 



. Toute intégrale définie I F(x)dx peut toujours 

être considérée comme exprimant Taire d'une courf)e dont 
l'ordonnée rectangulaire correspondante à la vâriahle x 
prise pour abscisse serait égale à JF(x), C'est pourquoi 
Topéràtion par laquelle on détermine celte intégrale est 
fréquemment désignée sous le nom de quadrature. 



240 COKSIDÉRATIONS FO^DAMElfTALES 

299. Lsi cuBATURc pES sOLiDEft terminés par des surfaces 
courbes csi également du ressort du calcul int^ral. 

Soit Taxe Ox (fig> 70), situé d'une manière quelconque 
par rapport à un corps; soit MMo AM'^M- la courbe d'inter- 
section par un plan passant par cet axe. La génération Au 
corps étant soumise à une certaitTe loi ; oli suppose que Faire 
de la section faite dans ce corps par tout plan tel que Mo M', 
ou MM', perpendiculaire à Taxe, doit une fonction connue 
de Tabscisse x, distance du point fixe O au plan d'intersec- 
tion. Cela posé, on demande le yolume du segment compris 
entre les deux plans Mo M*,, MM', dont les absci$s;es sont 
OPo = :ro,OP = X 

Soit {(x) la fonction qui donne la valeur de l'aire d'une 
section dont l'abscisse est x. La section faite par Mo M', 
est f (xo), celle par MM'estf(J¥); et si l'on partage l'in- 
tervalle PoP = -Y — Xq en un grand nombre n de partiea; 
qu'on appelle Xi^ x,, Xj, . . . , x^^i, les abscisses des points 
de division; que par ces points P^, Pt, P3,. . ., on mène 
des plans Ml M',, M, M',, M» M',,..., qui donneront des 
sections f (xj), f (xi), f (xs), . . ., il est clair qu'on aura 
une grande approximation du volume cherché en prenant 



la somme 



f (Xa) (X, — Xo) H- f (X,) (X, — Xi) -hf (X,) (Xt— X,) +. • • 

f(x„^i){X—x„^t), 



qui, dans le cas de la figure, est la somme des cylindres 
i/iscrits, dont chacun a pour base une section perpendicu- 
laire à l'axe et pour hauteur la distance entre cette section 
et la suivante. 

On voit de plus que Terreur commise pourra être une 
fraction aussi petite qu'on voudra du volume cherché, lequel 
est, par conséquent, et rigoureusement, la limite de la 



SUR LE CALCUL IHTtCKAL. ^4' 

somme cinlessus, ou 



I {(x)dx. 



300. Exemple. Corps de révolution engendré par 
VsLTC'M^M [fig. 71), dont Téquation est *^ = aa:", tour-- 
nant autour de Taxeûx. 

Dans ce cas, l'aire d'une section quelconque est celle 
d'un cercle dont le rayon est j^; c'est donc nj* ou 7ra*x**. 
Donc le volume cherché est 

Si l'on voulait le volume à compter de O, on ferait Xo = o. 
Si OMoM était une ligne droite, m serait i, le corps un 
cône de révolution, et la formule deviendrait pour le vo- 
lume, à compter du sommet, 

3 '^ 3 
7ra*X*;= ttJT* est la base et X la hauteur. 

301 . En attendant que l'étude delà Mécanique ait montré 
d'autres applications du calcul intégral , les exemples qui 
précèdent suffisent pour faire apercevoir son utilité. 

La détermination d'une intégrale définie étant une con^ 
séquence immédiate de l'intégrale indéfinie désignée plus 
haut par F(x) -h C, c'est dans la recherche de celle-ci que 
consiste la difiiculté des quadratures et des questions ana- 
logues. 

§ II. THÉORÈMIBS PRINCIPAUX POUR l'usTÉGRàTION DES PONCTIONS 

d'une seule VARIàRLE. 

302.* Les formules des différentielles fondamentales et 
celles qui sont établies du n° 255 au n^ 262 permettent d e- 

i6 



34^ TUÉORÈMBS POUR L^INTÉGRATION 

crire iininédiatemeut les intégrales indéfinies d'un certaÎQ 
nombre de fonctions. 

A cette observation il faut ajouter quelques théorèmes 
qu'il va suffire d'énoncer, parce qu'ils résultent immédia- 
tement de ceux des ii°* 244 et suivants. 

« 

303. Théorème I. — Toute intégrale indéfinie est une 
fonction de la variable, plus une constante arbitraire» 

Théorème II. — V intégrale d'une somme de différen- 
tielles est la somme de leurs intégrales, 

/ [f(a:)dj:-h9)(x)dx-|-...]= i{[x)àx-\- j (f(x)dx-h,... 

.Théorème III. — On peut faire passer un facteur con- 
stant du dedans au dehors du signe j , et réciproquement. 

I a( [x) dx :=a l f (a:)dj:. 

à 

304. Théorème IV. — Lorsqu'on peut, par la combi- 
naison des facteurs qui entrent dans une différentielle 
f (a:)dj!r, là mettre sous la forme aV [(fx)ào[x) , on ob- 
tient r intégrale par la formule 

TaF' [<f (x)] dy (a;) = aF [y (ar)] -I- C. 

Exemples : 

n r ' *:i /*sin^^ 2.rd.r i , y^ 

1°. f a:sinx'dar= I = cosx* + 6: 

20. r ^-^ ^ Ç —^a^bx) ^ —\og{a — hx) ^ ^ 
J <^ — bx J b{a — bx) b\o^e 



DES FONCTIONS d'uWE VARIABLE. ' ^^43 

OU bien 

J a — bx , J bx — a'^ J b' bx — a 

_ — log(fcjr' — rt) 



6 loge 



C. 



On emploie Tune ou l'autre de ces formules selon que bx 
est <^ ou ]> a. 

305. Lorsque Tapplicatian du théorème IV paraît trop 
compliquée, on représente la fonction auxiliaire y [x) par 
une lettre, et l'oh opère comme dans l'exemple suivant, où 
il s'agit d'intégrer 

• dy=— ^^ 

X^l — x^ 
On fait 



^i — x^zzzz^ I — x* = z% — xàx=zzàz^ 

^x — zAz . i — d^ — d2 

X ^ x^ '^ x^ I — z^' 

dz 

Pour intégrer on l'écrit sous la forme 

'^ I — z^ 



dz Az 



2 \l-\- Z 

OÙ Ton reconnaît deux différentielles de logarithmes 5 donc 



La fonction «ntre parenthèses est égale à log '• 

^ ' ". ^ I -f- z 



; or 



1-^2 I — \j\ — ^2 (j — y/j — ^2)' 
H-^ 1+ V'i — X» ^'. .' 

16. 



244 THÉOKÈMES POUR l'iNTÉGRATION 

donc 

^ loge ^ X 

306. Théorème V. — Intégration par parties, — On 
a (250) 

donc 



r 

d'où 



= 7 udt^ -h 1 t^dw, 



/ iidp' z=.u\f — i t'dw.. 

Ainsi en décomposant une difierentielle f (x) dx en deuic 
facteurs, dont l'un, difléreïitiel et pourant s'intégrer, soit 
représenté par di', et l'autre soit une fonction ii, on réduira 

la difficulté du calcul de l'intégrale 1 uàv à la détermina- 
tion de Fintégrale i i^du, qui jpeut être plus simple que la 
proposée. 
Exemple : 

X'" logxdx = losrx . f — ^- dx, 

° • ° m-f-i J m-f-i X 

x"-^' /, loge \ . ., 

Ce procédé s'appelle intégration par parties, 
307, Remarque. Lorsqu'on cherche Faire 

PoMoMP= r jdx 

(^g'. 72,) dans- laquelle OPo =x^, OP = X, OQo = Jo , 






DES JrOfliCTIONS d'c«E VARIABLE. 245 

OQ = Y^ on peut y arriver en calculant d'abord l'aire 

QoMoMQ= r xày, 
car on a . 

PoMoMP = OPMQ — OPo MoQo — Qo MoMQ, 

ou ' , 

/ yàx=^YX — x^y^— l xdjr-, 
c'est précisément ce que donnerait i^iutégration par parties. 

§ III. FORMULES d'intégrales DIRECTES OU OBTENUES PAR LES 

RÈGLES PRÉCÉDENTES. 

308. fx"^dx = ^^ + C (255). 

Cas particulîeti » 

m = 9 I -—= = "2 Va: -h C, 

-^ J sj^ 

/dx ï , io 
—r= HO. 
X^ . X 

309. 

J X loge 

-r 



y 



= a,3oa61og^ (242). 
310. fa^da: = |^ a^+ C (256). 

3H. f-jM= = arcsmxM-C(*) (257) 

^^ VI — ^' 

= — arc cosx + C (258) . 



C^) Il ne faut p{is' oublier que, la notation arcsinx, abrégé de arc(sins=jr), 



:iJ^6 FORMULES ET EXERCICES 

312. /4^, = «rc tang.r + C (259) 

= — arc cotx -h C (260) . 

313. T— 4^==arcsécx-4-<: (261) 

= — arc cosëc .r -h C (262 ). 

Autrement 

//* dx 
dx I x^ I ,., 
— ■ = 1 — -====arccoS' hC- 

xyjx^—i I / /i\* ^ 

-' V'-U) 

314. I sinxdx = — cosx -f- C (258), 

I cosa:dj:s=8Înx+ C (257). ' ^ 

316. Exemples d'intégration (constante sousren tendue). 

T C ^^ ' __ rd{ax-hb) __ log(ax-t-6) 
' J ax-h b J a (or -h 6) a log e 

n. r=f^/ 

J \a-\-x^ 



signifie Tare dont le sinus est x, et que les arcs ainsi exprimés ont pour unité 
Tare dont la longueur est ëgalc au rayon. Ainsi 

(sin = i) = ^, arc (sin = i y'^ j = ^, arc ^sin = ^ j = |- 



arci 

De même 

nrc tang i = arc (tang =: i) = y. . 



TT 






On fait 



d'où 



donc 



d'ikïégràtion. ' 247 

a 4- x* = z*, 



xAx = zAz\ 



, dj7 dz d^-hdz 

^ Z X x-\-z ' 



donc 



enfin 



J x-\-z loge ' 



^ ^ lôii '*^ ^•^ "*" ^'^ "^ ^'^ • 



Remarque. On aurait pu de la relation 

, àx ùz 

^ z X 

conclure ^ 

* ày— ^^ — ^^ __ ^(^ — '^) 

z X z X 

d'où 

Il est facile de vérifier que ces deux expressions de j ne 
diffèrent que par une constante. 

/» d£ 
"g" . X 

— 7====r == arc sin — 
/ IxV « 

IV. r= r ^^^ ==i r^-^dx j^ /^d]a^_£2\ 



a48 FORMULES ET tXElunCES 

Cette oxpressioQ' est de la forme 






donc 



/ = — v'a* — x*. 






~j^[log(i4-x)— log(i — x)] 

1 1 I -h 3^ ' 

2 loge ^ I — .r 



"^ j x^ii—x' loge "y^ ^ y 

^« rdx /*d^sin^ /* dcosor 

' '^ J sinx J sin'o? Ji — cosa:* 



cos X =z-^ 



/dz I , I — z 
I — z^'^ 2 loge ^i-hz' 

I — cos# 2sin'jj: ,i 

= — = tane —x ; 

I -4- cos j: 2C0S*ï^ ^ a 

vm. j= rda:.v7zr^»= Tt^- r-^^^ 

LHntégration par parties donne 
rx^dx n xAx I r . T, / î 

Js^i — x^ J \/T^^' J 



d'intégration. 249 

-=== et menant pour /' sa 

^i — x^ , J yji—x'' 

valeur connue (3il), on trouve 



/■ 



da:.s/i — x^c=z-x\li — QC^-h - arcsinx. 



On suppose m entier et positif. 
En intégrant par parties et faisant dans la formule 'du 

n° 306^ u =\r'"^* et Au = \^ ^ , on a 

VI — x^ 

= — ar'^sJi — x*-f-fm — i) i.r'"~Vi — xMjc. 
y/i — o:^ ' ^ ' . J 



Or 






don 



c 



J^^T^d^ af*\/j — x^ m — 1 r x^-^ûx 
v/7— ^"^~ f^ ^ J x/i — x'' 



Ainsi l'intégration proposée est ramenée à une autre plus 
simple, puisque l'exposant ntde x est diminué de deux uni- 
tés. En continuant de même on arrivera, suivant que m sera 
impair ou pair, à 

/xdx I -—z . ï* dx 
—=== = — VI — ^ ou a I = arc sin x. 
/i — x^ J V > — ^^ 

317. Remarques. I. L'intégrale / ^ 

directement par une considération géométrique, ^a* — x' 
peut être regardée comme l'ordonnée pour l'abscisse x^ à 
partir du centre d'une circonférence dont le ra\on est a 



se reti'ouVe 

2 



aSo FORMULES ET EXERCICES 

ijig. 73). Soit 



OP = .r, 01VI=fl, MP = ^à'—x\ PP'=:QM'=:da. 

Lç triangle différentielMQMesi semblable au triangleOMP. 
On en conclut 

dx MM' 



Or MM' est l'accroissement que prend l'arc AM quand 
l'abscisse x prend Taccroîssement àx. Donc l'intégrale 
cherchée, à partir de a: =: o jusqu'à la valeur x quelcon- 
que, telle que OP, est égale à l'arc AM divisé par le rayon, 

X 

c'est-à-dire égale à Tangle AOM dont le sinus* est -- 

t X dx 
On trouve de même l'intégrale / :■ La similitude 

^ J^a'-x' 

des triangles OMP, MM'Q donne 

dx MQ 

9 



^a^ — x^. ^ 
donc 

X dx 



MQ=: 



^.ÇL" — X* 



Or, MQ est la quantité infiniment petite dont décroîl For- 
donnée v^' — x^ quand x croît de dx. Donc 



xdx 



== — à^a} — X*. 



yja} — x^ 

Le même genre de considération s'applique très-simple- 
meut à l'intégrale f V^a* — x' do:. Car, si on la prend à 
compter de X :ïr o, c'est l'aire du segment circulaire OAMP, 



laquelle est égale à . 

triangle OMP -f- secteui; AOM 



= '-x y a* : — x'-l — a* arc sm -? 
a 2 a 



'ce qui est conforme au résultat de l'exemple VIII, quand 
on fait a:s=i, * , 

t 
II. Lorsqu'on a une expression' différentielle comprisie 

dans la formule F [x, (a-^ bx ± x^)] àx^ on peut la rà- 

meher à une autre ordinairement plus simple. Le trinôme 

se transforme ainsi : 






b 

2 



en faisant 



x±- 

2 



V"^? 



^4; 


L 


\\/''^T 


— z 


et 






on a 



a-h 6xib j:'= c* (i dr-z'), 



et 



.r = cz ^= - ? 
^^ 2 



dx=; cd?, 



trois expressions à substituer dans la proposée. * 

Cette observation montre la possibilité d'appliquer les 
formules des n°» 311, 312. 318 II, IV, V^ VIII et IX à.des 



^52 - FORMULES ET SZEBCICES 

cas en apparence diflerents. Par exemple, on trouvera 

h 
X — 

= arcsîu 



dx éz .2 



>ja-hbx--x^ ^i_2' 



v^-f. 



§ IV. INTÉ6BATI0N DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 

318. Deux. variables..r et y étani liées par une équation 
qail est toujours possible d'amener à la forme 

(i) F(x,j) = o, 

chacune d'çlles est une fonction implicite de Tautre, et Ion 



peut de cette équation déduire soit la dérivée -r-^» soîl son 

^x 



inverse -^t par la différentiation (2S3), suivant la formule 

ax ay^ ^ 

chacune des dérivées partielles étant en général une fonc- 
tion de X et Aeji 

En combinantles équations (i) et (a), on peut en obtenir 
d'autres auxquelles devront toujours satisfaire les valeurs 

simultanées de a:, de j, et de -p-? et qui seront comprises 
dans la formule 

* 

(3) f(x,j)dj:;^-(p(a',j)dj=o. 

Exemple» De 

axy -A- hy^ = c 
on tire 

aj'dx.-i-nxdy-{'2bydj=zo. 

Cette différènlialion à fait disparaître le terme constant c. 



d'intégrition. 25i 

Ou peut, en colubiuatit ces deux équations, éliminer J, par 
exemple, et obtenir 

oj^* djr + ( 2 c — flkr^-)dj^ = o. - 

Les équations telles que (2) et (3) s'appellent des équa- 
tions differenihlles^ et sont, comme on voit, de deux es- 
pèces. Les unçs, comme ( 2 ) , sont déduites ou peuvent se dc> 
duire immédiatement d'équations telles que (i) par La difTé- 
rentiation, ce qu'on exprime en disant que lo premier 
membre égal à zéro de l'équation (2) est une différentielle 
exacte d'une fonction F [x^y\ tandis qu'il en est autre- 
ment de l'équation ( 3 ) . 

On comprend l'utilité de pouvoir remonter d'une équa- 
tion ditféreniielle à Téquation (1) qui l'a produite jpar difie- 
rentiation et cotnbinaison, sauf une constante qui h dis- 
paru ou pu disparaître. 

J\, suffit au but que nous nous proposons dans ces' leçons 
de signaler un cas simple où l'intégration se. ramène aux 
quadratures : c'est, celui où il est possible de séparer les 
variables dans l'équation diflerehiielle, ce qui signifie que 
l'équation (3) proposée peut se réduire à la format 

— • * . 

f(j)dr=4>(jr) dj:, 

la foncliou i{j) ue renfermant plus x, et la fonction 4> (j?) 
étant indépendante de y. Il suffit alors d'intégrer Içs deux 
membres eh ajoutant à Tun ou à l'autre une constante qui 
sera déterminée lorsque, eil- oUjtre de l'équation différen- 
tielle, on connaîtra deux valeurs simultanées des variables 
x^ly^ ou un point de la courbe exprimée par l'équation 
F (x,^) = d qu^'on cbêrçbe. 

Exepiple. Soit 

(fc)^* — «) d J^ = t.ry d/. 



2.54 (QUADRATURE 

On en conclut 

ila: bvdy 

X br^ — a 
d ou 

, , by^ — a 
•1 log.r = log -^ V 

. donc 

équation dans laquelle c est arbitraire, positif ou négatif,- 
s'il ne s^ agit que de satisfaire à Téquation différentielle pro- 
posée. 

§ V. QUADRATURE T»AR APPROXIMATION. 

319. Etant donnée une loi géométrique ou numérique 
au moyen de laquelle on -peut construire une courbe par 
points et mesurer ou calculer ses coordonnées relatives à 
deux axes rectangulaires, on peut toujours calculer l'aire 
PoRÎ^MP^/îg'. 67) compirise entre deux ordonnées déter- 
minées. Ce calcul se fait par approximatioti lorsque, l'or- 
donnée y n'est pas donnée en fonction explicite de l'abscisse 
X, ou lorsque cette fonction f (x) est telle , que l'intégrale 

f (x) dx ne peut être obtenue sous une expression géné- 
rale F (x) H- C. 






320. Première métliode d^ approximation . LorsquW 
peut déterminer les coordonnées de n points intermédiaires, 
Ml, M, , Ms9-,* '9 M,, tellement rapprochés, que les arcs 
MglVfi, MtMt,. . ., se confondent sensiblement avec leurs 
coiVie?, on considère Taire cherchée comme une somme de 
trapèzes , et Ton a . . 



\ 



V « 



f ' 



PAR APPUOXIMATION. !^5 

formule qui se simplifie beaucoup si les interTalIés ù sont 

égaux: 

321. Deuxième méthode d'approximation. Elle est 
fondée sur la quadrature exacte de la parabole du second 
d^é dont l'axe principal est parallèle à l'axe des ordon- 
nées. 

Soient trois points Mo , M,, M {fig* .'74) ) tellement situés, 
que leurs ordonnées soient équidistantes. Ainsi PoPi=Pi P. 
Ces trois points suffisent pour déterminer une parabole 
dont Téquation sera de la forme 

Les coefficients a^b^c pourraient être déterminés en fonc- . 
tion des ordonnées j^o > Ji9 Y^ et des abscisse^ correspon- • 
dantes-, on peut donc demander Taire du segment P^ M ^MP 
en fonction des mêmes données. 

On simplifiera le calcul en transportant Torigine des 
coordonnées au point Pq. L'équation de la courbe devient 
alors de la forme 

(i) j =jro H- ft^ H- ca:% . . 

et si l^on représente par X la base PqP du* segment, son 
aire Î7 demandée est donnée par Téquatiôn 



Jr^ bX 
I ^[y^àx-\-bxàx-\-cx^àx)z=yQX-\ 
o % ^ 



^ AA7 . cX' 

-3-.' 



ou 



* 1 1 

î;=|(6j„-l-3i^-i-2cJC«). 
Il ne s'agit plus. que de faire' disparaître de cette formule 



256 QUADRATURE 

les coefficients b et 6*, eu y iiuroduisaiit les ordonnées des 
points Ml et M, qui doivent satisfaire à Téqualion (i). 

X 

. "Celles du point Mi sont yi et — ; donc 



2 



bX cX' ' 

* 4 

Celles du point M sont i^et X; donc 

r=jo'hbX'hcX'^ 

d'où l'on pourrait tirer les valeurs de bX et cX*. Mais on 
arrive immédiatement au but en remarquant qu'on a 

Jo4- 4ji -H i = 6jo-hibX-h 2 cXK 

« 

L'expression de U devient donc 

■ , ' ■ ' . X 

ou , si l'on représente par 3 la distance — de deux ordoii- 

nées consécutives , 



( *} tonque les ordonnées /,,>!, Y, sont données graphiquement^ et non 
en nombres, on peat aisément, comme l'a remarqué M. Poncelet, remplacer 
la longueur r, h- 4^i + V par une ligne de la figure. Joignant M^ et M par 
une dtQii6 dont le milieu est N, on m 

d'où 

donc 
ou 

ï; = p„pxp.k, 

le point K ^tant au tiers de la flèche Mj N à partir de la courbe. 



PAR APPROXIMATION. 257 

322. Ayahl à calculer l*aire P© M^ MP d^une courbe quel- 
conque [fig. 75) , on divisera riniervalle Po P en un nom- 
bre pair «de parties égaleis, el, en désignant par j»©, j*!,- 
jTt î • • • î J^n-15 y^ les ordonnée^ consécutives, on aura ap- 
proximativement l'aire comprise entre les ordonnées ^o et 

2iP P 

Yt , dont la distance est — - — ou a ^. 

aire Po M, = - ( jo -f- 4 Ji -♦-/« ) . 

« 

De même, entre y j et j4, 

aire P, M4 = -^ (js -♦- 4 /»--♦- J*) • 
Enfin , entre y„_8 et IT^ 

' : aire P„_, M :±= ^ ( j„_, -f^ 4/n.i -+7 J^ . 
Donc Taire totale P<> M^ MP, 

» 

^^= Q (ro -^ 4.r 1 H- 2/, -+- 4 j8 4- 2 j4 H- . . . -+- 4 j„_t ■+: r) , 

ou bien, si l'on appelle en général x^ et X les abscisses ex- 
trêmes correspondantes aux ordonnées j^o et J^, 



I 






Cette formule d'intégration ou quadrature approxima- 
tive est due à Thomas. Simpson. Pour (|ue le résultat soit 
suffisamment exact , il faut que la courbe ne diffère pas 
trop d^une parabole du second degré , et que , par consé- 
quent, les différences des ordonnées consécutives soient à 
peu près en progression arithmétique. ; % ' 

'7 



2S8 qvadkatvue 

323. Les ordonnées Xo».Xi «* Y (fig' 74) étant éqnûlis- 
tantes, on peut cheit^er Taire P^ M, comprise entre le» 
deux premières en fonction de ces trois ordonnées et de la 
distance P^Pi égale à d. On troarera ^en suivant la marche 
précédente , 

aire p. M, M. P. = -i ( 5j^. -^ 8 r. - F) • 

On a de même 

aireP.M,MP = i-(5r+ Sj,-y,). 

324. Les lecteurs sont invités à vérifier (jue, si Ton dé- 
signe par Jojjtj y^'i Y^ quatre ordonnées équidistante» 
d'une parabole du troisième degré, on a Faire de cette 
courbe 

U= f jrd:r=:i(X-xJ(j,4.3j,H-3j.4-r). 

325. Intégration par série. Lorsqu'une intégrale ne 
peut être obtenue par une formule générale y ou quHl fsi 
difficile de la calculer exactement, on fait quelquefois usage 
d'un développement en série. Soit, par exemple. 



y— \ I -, y— = =^' 

J yi — ^'yi — ax 



■ 
On peut développer (i — ax) ' suivant les puissances de 

ax, d'après la formule de Newton (277, 1) appliquée à l'ex- 
posant — — On aura 



- 2 



série ccmvergente si ojr est <^ i . 



PAR AVPIIOICIMATION. aSp 

d ic ■ 
' En multipliant par • ■ "^ on aura iy exprimé en une 

VI — -sr^ 

somme de tenues dé la forme - — -^ que Ton sait intégrer 

. yi — x^ 

(3f6,IX). 

■ 

326. Soii pour second exemple 



f 






jNpus savons que cette intégrale est arctaugx, de- sorte ^pie 
si elle est prise dex=oàj:=ri, elle est égale à Tare de 

45®, c'est-à-dire à 7* 

4 

De là l'idée de calculer l'intégrale indépendailunent de la 
connaissance de tt , afin d'arriver à cette connaissance. À 

cet eflFet, on- développe — - — j en une série qui'n'est autre 

que la progression 

I — ^ jc'h-x* — x^ 



Par conséquent, en multipliant par dj: et en intégrant à 
partir de x = o , on a 

* 

x^ x^ x'' 

arc tang^ = x — ^ "*^ g ' ' * » 

série qui aurait pu être obtenue, mais beaucoup moins 
simplement, par la formule de Taylor. 
En y faisant a: =: i , on a 

4 3 5 7 9 II 

bu , en réduisant les termes pris deux à deux ^ 



ir i I 1 , 1 



'7 



qUo quadrature 

« 

Cette série peut donner la valeur de ^j pourvu qu^on en 

prenne un assez grand nombre de termes , car elle est peu 
convergente. 

Mais il vaut mieux dans la série dont la limite est 
arc tango: donner à x une valeur plus petite que i qui ré- 
ponde à une fraction ccmnue de it. 

Un simple essai graphique fait connaître que la tangente 

w 

trigonométrique ■= est celle d'un angle qui excède peu le 
quart de 45^- D'après cela, on est conduit, en appelant- a 
Tangle ou l'arc dont la tangente est 79 à poser 

et à cherchjBr la tangente de l'arc b par la formule 

tang6 = tang ( 4a — 7 1 = — ^ 7-— 

^ ^y 4/ n-tang4a 



Or 



donc 



tanga = x» 



2tan£;a 5 

tang 2 a = 2—— = — 5 

° I — tangua 12 



2idins2.a 120 
tang4a = ^ ^ ■ = ^, 



d'où 



tangt = -^— 
239 



Connaissant ainsi les tangentes des arcs a etb^ on a pu 
calculer ces deux arcs par deux séries convergentes et en 



concl 



lire 



PAR APPROXIMATION. 



TT = i6a — 4*« 



On a trouvé 



et 



d'où 



a = arc ( tang i= ^ J = o, 197 SgS 56o , 
b = arc ( taiig = -r^ j = o,oo4 184 076 , 



7r = 3,i4i 59265. 



261 



Ce moyen ^rapide de calculer le rapport de la citcpnfé- 
l'èn^é au diamètre est du, suivant Lacroix {Traité de Cal- 
cul différentiel)^ à l'astronome anglais Machin, qui vivait 
dans la* première moitié du xviii^ siècle. 



262 CEUT&BS 



CHAPITRE V. 

APPLICATION DU CALCUt INFINITÉSIMAL A LA 
DÉTERMINATION DES CENTRES DE GRAVITÉ 
ET DES MOMENTS DINERTIE. 



§ I. DÊFINITIOn PU GXNTRS DE fiRAYITÉ d'uNE LIGNE, d'uNE 
SURFACE OU b'uN CORPS GÉOMÉTRIQUE. 

327. Si Ton partage une ligne, une surface ou un corps 
géométrique, en éléments infiniment petits, éga^ux ou iné- 
gaux, la somme des produits de ces éléments par leurs 
distances respectives à un plan (c'est-à-dire la limite des 
valeurs que prend cette somme à mesure que les éléments 
sont de plus en plus petits) s* appelle le moment de la Ugne, 
de la surface ou du corps par rapport à ce plan. Celle 
dénomination dérive de considérations mécaniques dont on 
ne doit pas s'occuper ici. 

Les produits relatifs aux éléments sont, les moments de 
ces éléments. Les moments de deux éléments par rapport 
à un plan qui passe entre eux sont de signes contraires. La 
somme qui forme le moment total est une somme algé- 
brique. 

328. Théorème. Quel que soit un système d'éléments 
(ligne, surface, ou corps), il existe un point géométrique 
tellement situé, que le produit de la somme totale de ces 
éléments multipliée par la distance de ce point à un plan 
quelconque est égal au moment du système, cest^à-direà 
la sommé des moments élémentaires par rapport au même 
plan. 

Ce point s'appelle le cetïtre de gras^ité du système. 



I 



DE GRAVITÉ, ^83 

Dêmonsthatiou. Soient deax âéments dont les grau-* 
deurs sont m\ in^, occupant les positions M\ M^ (fig, y6), 

]t ^« Leur centre de gravité ne ,peat être que sur la droite 
M'M^, car autrement le moment du système de ces deux 
élânepts pourrait être nul sans cplela somme des momoits 
élémentaires le fût. 

Q^^r Soit G^ le centré de gravité encore iDCOiina«r Si on 
abaisse sur un plan quelconque les perpendiculaires M ^6', 
a^FB", G^C, désignées para/, jC', X^ il faut démontrer 
que le poi^t G^ peut être choisi de manière que l'on ait ' 



> V 



(ffi'-h m*) JX'*= m'x'-j- m'a:*, 

Si l'on toèie N'IN'" parallèle à B'B*, on a 

A"'— x'=M'N', X*— JT" = M'N». . 

Ainsi, pour que le point G"' jouisse de la propriété énoncée, 
il faut et il suffit- que l'on ait 

TO':m«::M*N'';M'JN', 

ce qui revient à 

c'est-à-dîre que le centre de gna^ité de deux éléments est 
mr la droite qui joint ces deux étémenïs, et la partage en 
deux parties réciproquement proportionnelles aux gran- 
deurs dès deux éléments^ 

Le point G^' étant ainsi déterminé, l'équation 

a lieu, quelle que soit la situation du plan de comparaison, 

pourvu qu'on ait égard aux signes des ordonnées x\ x"^ X^. 

Cette première partie' de la démonstration s'applique 



U64 ■ CBUTRES 

exactement à deux systèmes dont les grandeurs seraient 
m'j m^\ et dont les centres de gravité seraient en A1^•M^^ 
Le point G'^ déterminé comme on vient de le dire, c'est- 
à^-dire situé sur la droite qui joint le& deux centres de gra- 
vité M') M.'\ et la partageant en deux parties réciproque* 
ment proportionnelles aux grandeurs des deux systèmes, 
serait le centre de gravité de Fensemble de ces deux systèmes. 

Soient trois éléments m', m^\ m'^, occupant les posi- 
tions M') M^^y Mf . On peut parl;ager Tensanble dé ces trois 
éléments en deux parties, dont Pune soit formée du système 
des deux éléments m\ m", l'autre sera Félément m^". Donc, 
' d'après la remarque qui précède, le centre de gravité du 
système total est sur la droite qpi joint le centre de gra- 
vité G^Me Fensenible des deux premiers éléments à la posi- 
tion M ''"^ du troisième, et il partage cette droite en deux 
parties réciproquement proportionnelles aux grandeurs 
m' 4- m" et w"^ 

Cette démonstration, qui s'étend facilement à un nombre 
quelconque de points, prouve l'existence du centre de gra- 
vité tel qu*il a été défini, et indique le procédé graphique 

pour le trouver. 

• 

329. Si x%y^ z\ x"^y"^ z", . . .^ sont les coordonnées 
rectangulaires des éléments dun système dont les gran- 
deurs sont m', m"^ . . • , et si X, Y^ Z, sont, les coordonnées 
du centre de gravité, en désignant par Z tnx la somme des 
moments m'x*-{-_m"x"-{- . . . , par ^mj et Dmz les sommes 
analogues, enfin par Dm, la somme des éléments, on a, en 
yertu du théorème précédent, 

X=-- — » r = — ^, Z = -- — (*). 

2m Im im ^ ' 



(^) Si tous les éléracnls hi\ m",. . ., du âyslènic étaient supposits égaux et 
que leur nombre fût'n/lcB équations deviendraient, par la suppression d'un 



DE GRAVITÉ. &65 

330. Les dernières équa lions sobsislerâient égaleuieni 
pour des coordonnées obliques : car dans ce cas les coor- 
données x' ^ x', ... 7 X, par exemple, sont proportionnelles 
aux distances des points du système et du centre de gravité 
au plan des zy. 

331. Ces mêmes équations s'appliquent au centi^ de 
gravité d'un système total composé de systèmes partiels 
dont les «;randeurs seraient tn' ^ m'^, . . . , et dont les centres 
de gravité auraieint les coordonnées x\ y\ z!^ x", y"^ z!\ ... ; 
c'est une, conséquence facile à déduire du théorème du 
JiP 328. En général, la position du centre de gravité du 
sysiit^me total ne dépend que de celles des centres de gravité 
des systèmes partiels et des rapports de leurs grandeiirs. 
Elle peut se conclure de ces données par le même procédé 
graphique indiqué au n^ 328. 

'§ II. nfiTERMlNATlON DES CENTRES DE GRAVITÉ CBS LlGNEt^. 

332. On voit aisément que toute ligue courbe ou brisée 
ayant un centre de figure (c'est-à-dire un point qui se 
trouve le milieu de toute, coi*de ou diagonale passant par ce 
point) a. son centre de gravité en ce même point. Le centre 
de gravité d'une ligne droite est évidemment son milieu. 

333. Lq centre de gravité d'un système quelconque de 
lignes droites se trouve par la propriété indiquée au n" 331 . 

334. Le centre de gravité G dû contour d*un triangle 
ABC {Jig> 77) est le centre du cercle inscrit au triangle foEF 



facteur commun, 










V Sx 


\,. ^X 


« ^t 




Ain: , 


î - — > 


1 = 




n 


n 


n 



C'est pourquoi le rentre de {jr^vile s'appelle aussi centre des distance^ 
fnoxcnnes. , 



^66 GEHT&BS 

formé par les droites qai joignent les milieux des trois côtés. 
Car le centre de gravité des disux côtés AB, AC, est sur la 
droite EF au point H qui divise cette droite en parties. EH, 
H F, proportionnelles aux côtés AG, AB^ ou àr leurs .moitiés 
ED, FO ; donc la droite DH qui contient G est bissectrice 
de l'angle EDF. De même G est sut la bissectrice FI de 
l'angle DJFE. Donc 

335. Le centre de gravité d'une couibe plane est dms le 

plan de la courbe. Pour le déterminer, il suffit de chercher 

ses distances à deux plans perpénculâires à celui d^ la 

courbe; les distances de ces éléments k ces plans sont aussi 

leurs distances aux droites suivant lesquelles iU coupent le 

plan de la courbe. On dit alofs -que les moments sont pris 

par rapport à ces droites. 

« - , 

336. Centre de gràuUé d'un arc de cercle AGE (fig. 78) . 

Il est sur le rayon OG passant par le milieu de l'arc ; sa 
distance GO == J? se détermine en prenant les moments par 
rapport à OD perpendiculaire 9 OG. L' élément MM' de 
Tare se confondant avec sa corde, dont le milieu est ï, les 
deux triangles semblables MM'N, IKO, font voir que le 
moment élémeutaireMM^X IK est égal à MN X 10, c'est- 
à-^lire.à la projection PP' du petit arc sur la corde AB, 
multipliée par le rayonl Donc la somme des moments élé- 
mentaires est égale à là corde entière AB multipliée par le 
rayon. Or cette somuLC est aussi égale au moment de 
Tare = arc ACB X x , donc, si on désigne l'arc par a, la 
corde par e, le rayon par R , on a 

ax = cR. 

Si n est le nombre des degrés de l'arc, il faut faire 

a = „ ? et c = 2 K sm I -- 1 ; 
iÇo \2/ ' 



DE oRÀvrrÉ. 367 

d'où 



x = 



36o.sin( - j 



-^.R. 



Itir 



337. Centre de gratuité d'un arc A6 d'une courbe quel' 
conque (fig. 79). Soient L la longueur de Tare AB, l^la 
distance de son centre de gravité G à un plan quelconque, 
à,s un «lément Je Tare, y sa distance au même, plan : on 
aura 



Lr 



=fris. 



Si y, ordonnée MP d'un point quelconque M, était une' 
fonction donnée de la longueur 5 comprise sur la courbe 
entre un point fi^e O et le point variable M, le calcul inté- 
gral pourrait donner la valeur algébrique de 1 ^d^. Si cette 
fonction est iuconnue ou trop compliquée, on déterminera 
dans les cas particuliers la valeur numérique de r^d^ au 

moyen de la formule de Simpson. 

A cet effet oa divisera la longueur Z en un nombre pair n 
de parties égales ; des points de division on^ abaissera sur le 

plan quelconque XZ des perpendicuf airesy j J^n \X8 v • 9 JK/i> 
et Ton aura très-approximativement, si le nombre n est 
suffisant, . 



fi 



d'où 

r=Jj!^ = ±. {j,+ 4^,+ 2^.-1-. . . + 4j„_,H-j„). 

» 

Cette opération, faite successivement par rapport à trois 
plans quelconques, donnera les distances du centre de gra* 



26$ CENTllES 

vite cherché à ces trois plans. Si la courbe est plane, deux 
distances suffiront ^ une seule sera nécessaire si la courbe 
est orthogonalemeut symétrique par rapport à une droite, 
et on n'aura qu'à opérer sur Tune de ses moitiés. 

.§ m. CENTRES DE GRAVITÉ DES SURFACES. 

338. Le centre de gravité d'un parallélogramme est à 
son centre de figure. En général toute surface plane ter- 
minée par une ligne courbe ou polygonale ayant un centre 
dé figure (332) ja son centre de gravité en ce point. Il en est 
de même d'une surface courbie ou polyédrique ayant un 
centre de figurje. En effet, dans Fun et l'autre cas, là 'sur- 
face est décomposable en éléments qui sont deux à deux de 
mêm^étendue et à égale distance du centre. 

339. Si une surface plane est comprise entre deux droites 
parallèles AA,, BB, [fig^ 8o), et entre deux coi^rbes AMB, 
A,MiB,, telles que toute droite MMj parallèle aux côtés 
A Al BBi, ail comme eux son milieu P sur'un même axe KL, 
le centre de gravité 4c la surface est sur cet axe de symétrie 
pblique ou orthogonale. 

Cette vérité esit nneconséquetice du numéro précédent) 
si l'on considère, la surface commeuu assemblage de paral- 
lélogrammes très-étroits MNNiMi, en négligeant les trian- 
gles MNM', MiNiM,, infiniment petits par rapport aux 
parallélogramme^, ce qui ne peut altérer le résultat quand 
ou passe à la. limite. 

Bjsinàrque, Si la symétrie n est pas orthogonale, l'axe 
KL qui contient le centre de gravité de la surface peut ne 
pas contenir celui de son contour. 

'340. Centre de gravite G de la surface d^un triangle 
ABC (/îg. 8i). D'après le numéro prccédeui, il est à la fois 
sur AD et sur BE, passant par les milieux D et E de BC cl 



DE GRAVITÉ. 269 

(le AC. D'ailleurs DE est parallèle à AB el d'une longueur 
moitié de AB'; donc 

# 
GD = -AG, ou DG = ^AD. 

Donc, en général,, le centre de gravité de la surface d'un 
triangle est sur la droite n^enée d'un soinmet au milieu du 
côté opposé, au tiers de celte drpite, à partir du côté. 

Remarque, Ce point G est aussi Je centre de gravité du 
système de trois corps égaux dont les centres de gravité 
seraient aux sommets A , B, G. - v 

341, On trouvera le centre de gravnté /i*un polygone 
quelconque en le décomposant en triangles (3vi1). 

342. Centre de gra\^ité_d*un quadrilatère quelconque 
ABCD (fig\ 82). Soit E le milieu de AC. Le centre de 
gravité du triangle ABC est en H, au tiers de EB à compter 
de E 5 de même I, centre de gravité de ADC, est au tiers 
de ED à compter de E. Le centre jde gravité cherché G^ 
divise IH en parties IG, GH, réciproquement proportion- 
nelles aux surfaces des triangles, ou aux lignes DF, BF ; 
donc, si l'on porte DF de B en R, en remarquant que BD 
et Hl sont parallèles, on voit que G est sur EK, et que 

EG = ^EK. De là une règle fort simple pour déterminer 

graphiquement le point G. 

Si J'on connaissait numériquement les longueurs FA , 
FB, FC et FD, on déterminerait les coordonnées obliques 
FL et LG du point G par le théorème des ftiomerits. Ôri 
a (328) 

FL.<(surf BDC+surf BDA) = ^surf BDC— ^surf BDA. 
Or les deux surfaces sont proportionnelles siux longueurs 



iJO CERTRCS ' 

FCetAF:donc 

FL (FC + AP) = 5 FC*— AF*) î 

d'où 

FL=i(FC — AF). 

On trouve de même 

4 

LG = i(BF— DF). 

343. Centre de gravité d'un trapèze ABCD (fig» 83). 
Il est sur EF, joignant les milieux E et F des bases paral- 
lèles. Si Xo^ fait AB i= ,ft, DC = iif, EF = /, en remar- 
quant que les surfaces des triangles ABC, ADC, sont pro- 
portionnelles à & et b\ et que les ordonnées de leurs centres 
de gravité, prises parallèlement à EF et par rapport à AB, 

sont -^i et ^l, le théorème des moments donne 



d'où 



(4-t-6')EG=4W-l-|*''5 



-„ i l(b-h2b') 



344. Centre de grai^ité d'un secteur circulaire AOB 
{fiS' ^4)- ^*^ décomposant le secteur en éléments infini- 
ment petits égaux , qu'on pourra considérer comme trian« 
gulaires et ayant leurs centres de gravité uniformément 

distribués sur l'arc .ab, dont le rayon Oa=^OA, on 

verra que le centre de gravité cherché est aussi celui de 
Tare àb (336). 

345. Le centre de graMé du segment circulaire ABCA 
ifiS' 85 )^ se déduira de ceu* du secteur AOBCA et du tri- 



DE GRAVITÉ. 



angle AOB. 

Aires . . . . , 

Centre de gravité. . . 
Distance au centre O. 



Segment. . 

A' 

G' 

G'O = x' 



Triangle. 

• A" 
G" 
G"0 = x" 



271 

Se<!teur. 

A = A'+A'' 

G 

GO = x 



on^a 



d'où 



Ax = A'x'4- M'x'f, A'= A — A^ 



X'z=z 



A£-;JlV 
A — A'' 



346. Centre de graifité du segment AOAi d'une para-» 
hole {fig' Ô6) dont l'équation est j'== 2;t?x, les axesOx,Oy, 
faisant Tangle a. Le point cberché est sur Taxe de symé- 
trie Ox ; on déteiinine $01:1 abscisse X par le tbéorèpie des 
moments. 

Le trapèze élémentaire MM^M^Mi peut être remplacé 
par le parallélogramme MNNiMj, dont la surface est 
'^jr^irxaàx : la surface du segment est donc 



mu l yàx. 



2Sin 



Le parallélogramme MNNi Mi a son centre de gravité au 
milieu de PP'; son moment, par rapport au point O, est 

égal à sa surface multipliée par x,-\ > et, en négli- 
geant auprès de x, devient so^sinada?^ la somme des 



moments élémentaires est donc 



On 



a par conséquent 



asina i xyAx, 



-A = — . . ■* 



27^- 'CENTRES 

l)ej'= ipx ou iwajAyzzzpAx. Substituant les valeurs 
de X et de da: eh j^ et dj-, puis désignant par j' et .r' l'or- 
donnée et Tabscissè extrêmes AB et OB, on a 

; ^'l -^- ' == ■= J? . 

lo /? 5 

347 . Centre de grawitè d'une surface plane quelconque 
dans^leras où les intégrations sont impossibles ou trop dif- 
ficiles. Soit la surface comprise entre deux parallèles et 
entre deux courbes AD, BC [fi g- 87). On partagera la dis- 
tance IK en un nombre pair n de parties égales et on mènera 

les cordes parallèles jo? JTi? J«9* • • ? JT»» ^^ Tune à l'autre 
courbe ; faisant IK:=;= /, 011 aura, par la formule Simpson, 

surf ABCD = 5 = ^ (jo + 4 Ji -f- a^j ^- . . ; -h j„). 

On emploira la même formule pour calculer le moment 
de la surface par rapport AB. Puisqu'il s'agît de Wppléer à 

l'intégration de \ xyàx^ on calculera les n -f- 1 valeu 

de xj qui répondent aux points de division de IK, et l'on 
aura, en désignant par X la distance du centre de gravité 
<îlierché à. la droite AB, 

c Y ^ ( i ^ i ^^ . / 3/ • .nl\ 

et 

^\ ro-f-4r.-H2j2-f-4r3-f-2j44-...4-rn 

Il restera à calculer sa distance Z à IK. A cet effet, on me- 



rs 



8Z 



DE GRAVITÉ. 2^3 

supera la distance du milieu de chaque corde y^^ j^j, j^j ,..., 
à k droite IK., et, appelant ces distances z^^ z^^ ^j,. . . , 
on aura 

/* l /♦ 

et enfin ^ 

Quand les courbes ne sont pas très-irrégulières, il suffit de 
prendre w i= 4 5 et même quelquefois 7* = ^. 

î{48. Le centre de gravité d 'une zone sphérique (fig. 88 ) 
eD*gçndrée par Tare ÂB tournant autour du rayon OE est au 
milieu de Taxe DC : car si Ton décompose la zone totale 
en zones élémentaires par des plans équidistants, celles-ci 
auront leurs aires' égales et leurs centres de gravité unifor- 
mément répartis sur DC. 

S'il s'agissait d'une surface de réwlution quelconque 
(fig, Sg)j on appliquerait la formule de Siinpson : appe- 
lant X la distance du centre de gravité G au point G, 
X l'abscisse CP d'un point M, y son ordonnée MP et ^ la 
norm^^le variable MN, on aura, à cause de la similitude du 
triangle différentiel MM'Q et du triangle MNP, 

surf de la zone =; 1 2 itjds = 1 ar^dx, 

son moment par rapport à AC == 1 aTrÇxda:; 
donc 

ou , 

l 

. "~n Ço-f-4.Ç«"H2Ç.-h.4Ç3-h...-f-Ç« ' 

l désignant Ja longueur CD, el ^q, |t, ^« ,...,?„ 9 étant lés ., 

'18 



274 CENTRES 

Joiigueurs des normales telles que MN, menées par les 
points de la courbe situés sur « -f- 1 ordonnées équîdis- 
tantes, depui.s AC jusqu'à BD. 

349. Théorème. La projection sur un plan du centre 
de grawité G d*une portion de surface plane quelconque 
est le centre de grande G' de /a projection de la surface, 
SoîtOy {fig' 90) la commune intersection dçs deux plans, 
A la surface doqt il s'agit, A' sa projection, a, l'angle des 
deux plans. La surface A étant partagée en éléments très- 
étroîts par des perpendiculaires à Oy, soit a la surface de 
Tun de ces éléments et soit a' sa projectioti. En les consi- 
dérant comme des parallélogrammes de même hauteur pa- 
rallèle à Oy, on. aura 

a' = a cos CL , d'où A^ == _A cosa . 

Deux éléments correspondants a, a\ ont leurs centres de 
grayiié en leurs milieux, et ces milieux^ étant sur une même 
perpendiculaire au plan de projection, ont lés mêmes coor- 
données X, j^ dans le système des trois axes rectangulaires 
Ox, Oy> Oz. Cela posé, soient X,. JT, les coordonnées de G, 
JX', J^', celles de G', on aura 

-A'X'^^'La'x, Àr^lay.' 

Or, en substituant pour a'' et A' leurs valeurs ci-dessus, et 
supprimant lé facteur constatât cos a, on.trouve pour X' et JT 
des valeurs égales à celles de X et JT, ce qui démontre la 
proposition. 

L'équation A' ^=^ A cos a dpnne im théorème de géomé- 
trie remarquable dont, nous nous sommes servis au n** 123. 

350. Théorème. Les centres de gravité de deux lignes, 
de deux .surfaces ou de deux corps géométriques sem- 

' blableSy sont des points homolo.gués. 



DE. GRAVITÉ. . 275 

On peut (217) supposer les deux. figures semblableme^it 
placées par rapport à trois axes coordonnés, de ^auière 
qu^à tout ppipt de Tune d'elles dont les coordonnées sont x, 
fj z, réponde, dans Tautre, un point homologue dont les 
coordonnées sont Aj?, kjr^ kzy la constante k étant le rapport 
de similitude. 

Divisons la première ligne, la première surface, ou le 
premier corps, en éléments égaux entre eux, dont la 
valeur soit a et le àombre n ; soient X, JF, Z^ les coor* 
données du centre de g;*avitéj nous aurons^ commeàlaNotâ 
dun«329, • * ' 

X,na==^ax^ }r,na = ^ay^ Z , naz^^az-^ 
d où . . 

(,) x=^, ■r=^, z=-.. 

^ n- n ■ n . 

Divisons la. seconde ligne ou surface, ou le second corps, 
en le même nombre n d'éléments égaux, dont la valeur 
soit a'; et soient X\ JP, Z', les coordontiées de son. centre 
de gravité. D'après la remarque faîte ci^essus, nous aurons 

QOU 

n n n 

Des équations (i) et (2) on tire 

, j:'=*3r, r'=zkr, z'=kz, 

ce qui démontre la proposition. 

§ IV. CCÏfTRfiS BE GRATITÉ PES VOf^finES; 

351. Le centre de gravité d'an paraîlélipipède est en son 
centre de figui^. En général 4out corps- géométrique ayant 

• 18. 



ayO CENTRES 

un centre de ûgure a son centre de gravité eu ce point. La 
raison en est la même qu'au n® 338. 

353. Prisme ou cylindre à bases parallèles quelconques. 
Si on le partage en tranches infiniment minées et égales par 
des plans parallèles aux bases, ces tranches auront leurs cen- 
tres de gravité uniformément distribués sur une droite pa- 
rallèle aux arêtes et joignant les centres de gravité des deux 
bases* Le centre de gravité du système total est donc an 
milieu de cette droite. 

353. Un corps géométrique étant coupé par des plans 
parallèles, si les centres de gravité des section^, qui diffèrent 
aussi peu qu^on veut de ceux des tranches, sont dans un 
même plan ou sur une même droite, ce plan ou cette droite 
contient le centre de gravité du corpsw 

354. Une pyramide et un cône à hase quelconque sont 
dans le deuxième cas du numéro précédent : car toutes les 
sections faites par des plans parallèles à la base sont sem- 
blables, et ont leurs centres de gravité, points homolo- 
gues (350), sur une même droite passant par le sommet. 
Pour déterminer la position du cjsntre de gravité du corps 
total ^ on considère le c^s d'une pyrau^ide triangulaire. Pre- 
nons A (^gf. 91) pour sommet, le centre de gravité G est 
sur AI 9 I étant le centre de gravité de la base, et obtenu eu 

faisant BE=ED et EI=r^EC; de. mèm'e.C étant pris 

♦ 

pour sommet, G est. sur la droite CH obtenue en faisant 
EH = I EA. Ainsi IH est parallèle à AC et IH r= 5 AC5 

donc GI = ^GA ou GI = 7 AL En partageant une pyra- 

micie quelconque en pyramides triangulaires ayant même 
sommet, on voit que les centres de gravité de celles-ci sont 



DE GRAVITÉ. 277 

tous dans un plan parallèle à la base, et mené au quart de là 
hauteur du sommet commun. Donc le centre de grayité 
d*une pyramide quelconque^ et par conséquent aussi c2'miz 
çd/ie, est sur la droite menée du sommet au centre de gra- 
\>ïté de la base et au quart de cette ligne à partir de la 
hase, 

». ■ ' 

355. Remarques: i^, jSi ^^fiS- 9^ ^^^ l'exacle projection 
(et non la perspective) de la pyramide qu'elle représente, la 
projection G du centre de gravité s'obtient, en faisant sur 
les lignes de là figure les mêmes opérations quHl faudrait 
faire dans l'espace sur les lignes qu'elles représentent, pour 
obtenir le centre de gravité lui-même. 

2?, Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est 
aussi celui de quatre corps égaux dont les centres de gravité 
seraient placés aux sommets A, B, C, D : car le point I est 
le centre de gravité des trois corps B, C, D^ et- le point' H 
est celui des corps A, B, D (40) \ donc le centre de gravité - 
des quatre eorps A^ B, C, D, est à la fois sur Al et sur CH \ 
il est, par conséquent, à leur intersection. 

356. Le centré de gravité d'un polyèdre quelconque 
peut s'obtenir en le décomposant en pyramides (331 ). 

357 . Centre de gra\^ité d'un secteur sphériqué (Jig- 92 ) .' 
En considérant le secteur'^ comme composé d'une infinité 
de pyramides égales, ayant leur sommet commun au centre 
et leurs bases sur la calotte ANB, 0^1 voit que les centres 
de gravité de ces pyramides élémentaires sont uniforme- < 

ment répartis sur une seconde calotte anb semblable à la 

3 
première et ayant pour rayon les 7 du rayon OA. Le 

centre de gravité cherché e^t donc celui de cette seconde 
calotte^ il est donc au nlilieu de pn (340). 
Donc 

OG = i (Op +On) - l (OP -h ÔW ). 



2y8 CENTBES 

358. Centre de gravité du segment de panAoloïde de 
réx^àlution (fig, 98) engendré par la surface plane MoMPPo 
tournant autour de A x. 

Soient une abscisse quelconque Ap = xet l'ordonnée 
correspondante mp =y . 

Une tranche infiniment mince mm 'm', mi a pour volume 
.Tty* dx, et pour moment par rapport au plaa projeté en 
A y, irjr*xdx. On a donc, en appelant Xi^ Tabsciscie du 
centre de graviié, X^ et X les abscisses extrêmes AP», AP, 



Xx I j^'dxs? I j^'jtdx; 



le facteur tt disparait, et cette formule est générale pour 
tout corps de révolution, quelle que soit la courbe gêné* 
ratrîce. 

Dans le cas de la parabole dont Téquation est j^' = a ox, 
on a 

^X 

2axdx = a {X* — X])^ 



X 



/. 



X 






d'où 

^* — 3Xr—X]~3 -X-hX. ~3\^'*'X+X,)' . 

, Oaos le cas du segment à une base MAMi, on a Jï* = o, 

etXi===^ Jir=^ AP, comme s'il s'agissait du centre de gra- 

vite d'un triangle ayant AP pour hauteur. On voit que 
c'est parce que dans les deux- cas les^ tranches perpendi- 
culaires à AP $ont proportionneflles^ à leurs distances au 
point A. 

359. Lorsquclcs intégrales du numéro précédent, appli*» 



DE GkAvnnÉ. a^9 

cables à un corps de rëvbluiiop quelcaiique, ne peuvent être 
Galculëes rigoureusement, on emploie la formule de%mpson « 

360. Pour obtenir le centre de gravité d'un corps géo- 
métrique quelconque compris^ entre deux plans parallèles 
yz, YZ [fig* 94)t dont la distance IK= /, on> partagera 
cette distance en un nombre pair n de parties égaljss; par 
les points de division on fera, dans le solide, des sec- 
tions parallèles à yz, et on en calculera les aires j4q^ 
^1, udf,,..., jin- Le volume du corps sera 

/ 
Son moment par rapport au plan yz sera 



U'.^-n 



.il . nl\ 

n n 



et par conséquent la distance X du centre de gravité au 
plan yz sera 

n y/fl H- 4 ^1 -4- 2 ^j -f- 4 ^3 -H-^H- 4 ^«-1 "♦- ^n 

Si les plans yz, YZ, sont tangents,les aires A^^^ A^^ sont 
nulles. 

Trois opérations semblables donneront les distances du 
ceiïlpe de gravité à trois plans connus. 

§ V. DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CENTRES DE GRAVITÉ. 

361. Volume (F un cylindre tronqué à base quelconque. 
Si le cylindre est droit sur sa base A (fig* pS), soient a un 
élément de cette base, et a' Télément correspondant de 
Pautre base A'\ de sorte que a est la projection de a'^ et 
Pon Sia=:a' cos a, A= A' cos a (349), en désignant par « 
l'angle dièdre des bases. Soit j" la distance entre a' et (i\ le 



!28o CBNTKBS» 

volume du petit cylindre ayant pour base a et pour hauteur 
y sera ay^ et le volume entier sera V^=- ^oy, ou bien 

f^=cos«2ay. 

Ovlio! y est la somme des moments des éléments de la base 
supérieure par rapport à Tinférieùre *, donc, en désignant 
par jri'ordonnée du centre de gravité de la base supérieure 
par rapport à Tinférieure, on a 

d'où 

f^=cosa^'.r=^.r. 

i 

Si les arêtes sont obliques sur les deux bases, le cylindre 
est la différence de deux autres qui rentrent dans lé cas 
précédent, et l'on arrive à cette proposition générale : 
Le volume (ïun tronc de cylindre est égal à l'aire de sa 
section dœite multipliée parla droite qui joint les centres 
de gravité des deux bases ^ laquelle droite est parallèle aux 
génératrices reclilignes. Exemple : Prisme triangulaire 
tronqué. La distance des centres de gravité est alors le tiers 
de la somme des trois arêtes (340, Rem.),' 

362. La surface de révolution engendrée par une courbe 
plane quelconque AB (fig. g6) se compose de petites zones 
. dont chacune a pour expression 2Ttj as, Oryds est le mo- 
ment de l'^arc ds par rapporta Faxe^ donc, en appelante 
la longueur de l'arc AB et JT l'ordonnée de son centre de 
gravité G^ on a Paire de la surface de rév^olntion 

^ = 2T:2ydj = 27rJr.Z, 

égale à la longuetir de -la Courbe génératrice multipliée 
par la circonférence >que décrit son centre de gratuité. 
Si la révolution n'est pas complète, il ne faudra prendre 
pour mulliplicaicur que Varc décrit par le centre de 

gravité. 



DE GRAVITÉ. ^ 281 

363: Le volume engendré par la révolution d'une sur- 
face plane AMBm (fig. 97) tournant autour de Tàice KL 
situé datis son plan se compose de tranches dont chacune 
peut être considérée comme la diffi^repce. de dieux cy- 
lindres... 

Soient B et r leurs rayons IP, îP; «et soit dx la dis- 
tance entre Mm etM'm'. Le vçlume engendré parMM'mm' 
^era ' /^ 

Or (/f — r) dx est ï'aire du trapèze MM'mm'^ soit a cette 



' R 

aire. De plus ~^' - est l'ordonnée gP du centre de gravité 

de cette aire, »auf une diÀlérèncë à négliger de plus en plus 
à mesure que dx diminue; goity cette ordonnée. Le vo- 
Innie élémentaire considéré est aTrojf, c'est-à-dirie 2 7r mul- 
tipliant le moment ay de la surface élétneiitaire a par rïip- 
port à l'axe KL. Done, en désignant par J4 l'aire. totale 
AMBm et par 1*' la distance de son centre de gravité à Taxe 
CL, on a le volume décrit 

^= 27r2aj^= 2 7rY.^, 

égal à taire de Ja surface génératrice multipliée par la 
circonférence ^que décrit son , centre de grauité. Même 
modification que ci-^dessus si> la révolution n'e$t pias en- 
tière. 

• • • ■ ■ ■ . * 

Ces deux propositions constituent ce qu'on ap|)elle le 
Théorème de Guldin. 

■ ( . 

§ VL moments d'inertie et rayons de gyration des corps 

géométriques. 

364. Si l'on partage un corps géométrique en éléments 
dont les volumes soient w', ii^'^ iil"^ . . . , et dont les distances 



a8a MOvcMTs 

à un axe soient /', r", /•'", . . . , la somme 

des produits qu'on obtiendrait eu multipliant le volume de 
chaque élément par le quarré de sa distance à Paxè, est 
• d'une grande importance en Mécanique dans lès questions 
relatives au mouvement de rotatiou d'un corps solide 
homogène autour d'un axe fixe auquel aboutissent les dis- 
tances r. 

Cette somme, que nous représentons par £iir*, et qui 
dépend non-seulemeut de la figure et de l'étendue du 
corps, mais encore de la position de Taxe autour duquel' ce 
corp»est supposé tourner, s'appelle le mo/iifint d^ inertie du 
volume du corps dont il s^agit autour de cet axe ou relati" 
i^eme^t a cet axe. On verra en Mécanique l'origine de celte 
dénomination. L^ quantité S i/r* peijit toujours être égalée, 
au ppoiduit du volume total £21 par le quarré R^ d'ujie t?ér- 
taine distance R comprise entre la plus petite et la plus 
grande des valeurs de /*. Cette distance, qui satisfait à l'é- 
quation 

s'appelle 'le rayo Ai de gy ration du corps homosètieou de 
son volume par rapporter a^e considéré. Sa détermination 
est du ressort du calcul intégral. Dans les exemptes qui sui- 
vent, nous calculerons son quarré, qui entre le plus souvent 
dans les formules de la Mécanique. Nous le désignerons par 
/?• et le moment d'inertie du volume sera représenté par /. 

365. La détermination du moment d'inertie du volume 
d'un corps relativement à un axe quelconque est facilitée 
par un théorème général, au moyen duquel, quand on con- 
naît le moment dMnertie d'un système solide par rapport à 
un axe passant par le centre de gravité, on trouve immédiar 



d'imeutze. a 83 

tement celui du même système par rapport à tout autre 
axe parallèle au premier. 

Soient [fig* 98) O35 ce premier axe et AB Tautre axe. Me- 
nons Ox perpendiculaire à ces deux droites, et Oy perpen- 
diculaire au plan z Ox. Soit M un point quelconque du sys- 
tème; appelons JC et j^ ses coordonnées parallèles aux axes 
Ox, Oy. Ainsi 0P= x et PC =y. Sa distance MQ ou r,, 

à Taxe Oz est égale à OC ou y^x'-f-j^', et sa distance r k 
Taxe AB étant égale à AC, on a, en faisant 0A= a, 

V 

ou, en multipliant par i/, 

équation applicable à tout volume élémentaire u, pourvu 
qu*on donne à a: le signe convenable, en le faisant négatif 
quand le point est derrière le plan yOz. 

Supposant donc qu'on ait écrit autant d'équations sem- 
blables à la dernière qu'il y a d'éléments dans le corps con- 
sidéré, et les ajoutant, puis remarquant que, puisque Oa 
passe par le centre de gravité, la somme algébrique £ f/x est 
nulle (328), on a 

« 

donc le moment dUnertie du 'volume d^ un corps, par rap- 
port à un axe quelconque, s'obtient en ajoutant à son 
moment d'inertie par rapport à un axe mené parallèle- 
ment à celui-ci par le centre de gravfitéy le produit du 
volume entier par le quarré de la distance des deux axes, 

366. Moment d'inertie du volume d'une barre droite 
AB, d'une longueur /, et d'une très -petite section a, relati- 
vement à l'axe A^, qui fait avec AB l'angle a (fig- 99). 



284 MOMENTS 

- Soitnii- • " 

AP = j?, PF=(lx, PQ = ii=:a:siiia. 

On a 

u = adx ] 

/isin'a.x*dar= asin'a-^*, 
Z u =^ al ; 



d'où 



/?«=-/• sin«a=iBC«. 



367. Moment d'inertie du volume d* une i portion, d'an- 
neau circulaire AB, d^une très-petite section a, autour du 
rayon AO (Jig' loo). 

AB = 5, M]Vr = d5, PP' = djr, MP=j, AO = p, 
2i*r'= I fld^.j'*-, dsldxilplji 

^ur*z=ap j ydx. 



Or 



/ 



jrdx = aire du segment ABC =-p S p'sinacosa; 

2 2 



donc 



/= Sur" =i-^ap^ I.S psin2a 



D'ailleurs ^u=si aS ^-donc 



^*=^P*(«-A|«n2a) 



Pour un quart de circonférence on a 



in2a=:oj I = -ap^S et lV==i-p* 



sin 



I>'lliiElWTIE. 1285 

Il en est de même pour une demi-circonférence, et pour 
une circonférence entière. 

Le cas particulier du quart de circonférence s'obtient 
très-simplement copime il suit. Soient Ox et Oy les deux 
rayons extrêmes. Le moment d'inertie de Tànneau a la 
même valeur, soit qu on le prenne autour de Ox, ou autour 
de Oy. Donc, en a|)pelant x et y les coordonnées d'un 
poixit quelconque de l'arc, on a 



d'où 



= I ay^ àiS et 1= / ax*dv, 
2l = a '/ {x^-\^y'^) d5. 



Or, dans le cas particulier dont il s'agit, on a aussi 

X«-f- J* = |0% - 



donc 



donc 



I==ap' I dj=:;ap?*$, 



/=iflû*5 ei R* = -p«. 



368. Moment d* inertie du volume d'un disque cir- 
culaire très-mince tournant autour, d'un diamètre AB 
(fig. loi). Soient son rayon OA =; /9, son épaisseur =: b. 
Pour l'anneau élédden taire dont le rayon OM. est Ç et la 
largeur d| , la quantité ^ur^ serait , d'après le numéro pré- 
cédent, ; \ 

donc pour le disque on a 



a86 MOMENTS 

Or 

2M = 7rp'ft-, donc R*=jjO*. 

Autrement. Prenons pour axe des y la droite ÂB rela- 
tivement à laquelle on cherche le moment d*inerne du dis- 
que, et traçons dans «on plan l'axe Ox rectangulaire 
sur AB, 

Appelant x, et y les coordonnées d'un élément 4u dis* 
que, la quantité Sur* prise autour d'un diamètre quelcon- 
que sera exprimée à volonté soif par Sur*, soit par 2(/y'* 

On, a donc 

•I = Smx* et Is=2iijr*; 

d'où , en ajoutant et appelant \ la distance d'un élément 
quelconque au centre O , on tire 

I = i2ii(x«H-y). ou. I = i2aJ«. 

Maintenant, pour un anneau élémentaire dont le rayon 
OM est ^ et la largeur dÇ, laquantitéZi/^' serait |*. 2 Tt&d^. 
Donc pour le disque entier on a 



I = 7r& r$»d5==i7ripS 



comme ci -dessus. 

360. Moment d'inertée du Dôktme d'un cjrimdre droit 
à hase circidmire autour de Taxe de figure. Smeat son rayon 
= p, sa longaeuT =r:«2. 

Pour le vohiraie éiémeâftatTe cotais ^ilre deux surfaces 
cylindriques dont les rayons sont ^ et ^ +d( la quanlité 
Swr* serait 

donc pour le cylindre entier on a 



*/0 < . ^ 



d'ineutie. 287 

D'ailleurs 

Su = 7rp'/; donc- ./}' = - p*. 

La même formule finale existe pour un secteur tournant 
dans son plan autour de son «entre. 

370, Moment d^inertie du volume d^ une jante à section 
rectangulaire par rapport à l'axe de Ggure. D'après le nu- 
méro précédent, on a, en considérant le corps comme la 
diflérence de deux cylindres dont les rayons sont p et p', 

On peut, au lieu des rayons p et p', introduire le rayon 
moyen p^ =r C — ^ et la largeur 6 = p — p'. 

On a 

4p; = p* + p"H- 2 pp', 5*= p«4- p'«_ opp':, 

d*où , en ajoutant , 

■ • • 

donc 

371 . Moment d^ inertie d'un cône droit et base circu- 
laire par rapport à l'axe de figure. Rayon de la bàfe = p, 
hauteurs/. / 

Pour un disque élémeritaire on aurait (369) 

Xwr* = - TUj^* djc ; 



288 momeuts 

donc, pour le cône entier, en mettant pourj^ sa valeur £j-» 

Iz='-i: ly*dx = -7r-^ 1 x*djr = — ito^l, - 
D^ ailleurs le volume 

donc 

10*^ 

372. Moment d'inertie du volume d^un segment sphé- 
fique autour du diamètre perpendiculaire à la base. RayQn 
de cette base :?= p , flèche = a. 

Pour Une tranche élémentaire on aurait (369) 

SMr* = -7ry*da:. 
Or 

d'où 

Donc pour le segoient sphérique on a 

, /•« 
/=-7r I (4p'x' — 4px'H-x*)dx 

^ «/o 



= i„0p«a._pa» + ^a.j 



Quant au volume, il est 



r * ; . ^ 

d'où 

U lo 3p-^« 



d'ineutic. aSy 

Poar une demi-sphère , on a 

La même formule finale s! applique à la sphère entière, et 
on Fobtient directement par un moyen analogue à celui de 
la fin des n^« 367 et 368. 

La sphère étant rapportée à trois axes rei&làiigulaires me- 
nés par le centre .et autour de chacun desquels le moment 
d'inertie de la sphère entière a 1» mêm^ valeur, on a 

^ - /=2ii(ar'-hj-*), 

/ = 2ii(2«-f-x'), 

d'où, en appelant | la. distance d'un élément de volume u 
au centre dç la sphère , on conclut 

Pour une couche sphérique dont le rayon est | et Tépaîs- 
seur dç la quantité 2a|* serait $*.4^$*dÇ. Dope pour la 
sphère entière on a' 



2«r = 4':jf'r<i| = |"p'; 



donc 



Où a aussi 



donc 



J.5 * 



^u=^tp\ 



^'=19- 



373. Moinc7it d'inertie d'une Calotfe spliérique très- 



agO MOMENTS 

mince autour du dianièli e perpendiculaire à la base. Mêmes 
données^ épaisseur = 6. 

Pour une zone élëmentaîre on aurait 

ou • . 

itipb [ipx — x*)Ax\ 

doiic pour la calotte on a 

/= aTrpft I [:i-px — x^)àx=^ inpb ia^ p — ~ V 
D'ailleurs le volume 

■ 

U =■ 2 npa.b ^ 
donc 

Pour rhêniisphère on a 

2 

a = /3, R*=^^p\ 

La même formule a lieu pour une couche sphérîque entière. 

374. Moment d^ inertie d^un corps géométrique quel- 
conque, SoitO(^g^. 102) la projection de l'axe de rota- 
tion : soient Ox, Oy, des axes coordonnés rectangulaires; 
14 le volume élémentaire dont la position a pour'ordonnées 
x^y» On a 

Donc pour le corps entier 

chacune de ces. deux dernières sommes -se calcule séparé- 
ment. 

Sçit le solide divisé en tranches comprises entre des 



D INERTIE. lyi 

plans infiniment voisins perpendiculaires à Taxe des x. 
L'aire variable ou conslante de la section faite par un de 
ces plans étant désignée par ji ^ et l'épaisseur de la tranche 
correspondante étant dx, son volume est^dx; et comme 
tous ses éléments ont la même abscisse x, la quantité 
jiàx ,oc^ sera la valeur de Smx* pour toute la tranche. On 
a donc pour le corps entier 



..,/..., 



. ^ 



intégrale dont le calcul exact ou approximatif dépendra de 
l'expressioli ^. 

De même, en représentant par. B Taire d'une quelcçnquc 
des sections faites par les plans perpendiculaires à Taxe 
des y, on aura 



donc 



2"J*=J 5jMj; 



/= I Ax*dx-}- / Bj*dj et R' = '^— ^ — ^^-^^ — ^. 

375. Moment fV inertie /Vim parallélipipède reclanglcj 
dont les trois arêtes contiguës sont a, i, c autour de Tune 
de ces arêtes, c. 

^x'dx=fec. Y^ 
/?/' dj = ac. ^^ 



doiK 



[=ialM:(a'^b^). 



3 

l^e plus le volume 

Yiti =± abc, 



i 



2g2 MOMEIITS 

doue 

376. Si Taxe de rotation parallèle au côté c passe par le 
milieu d'une face ajant b et c pour côtés, le rayon de gyra- 
lion e$l le même qu*il serait pour chaque moitié du corps 
coupé par un plan passant par cet axe. Donc il faut rem- 
placer b par - b dans la formule finale précédente, et Ton a 

377. Si Taxe parallèle au côté c passe par le centre de 
figure, on voit par un raisonnement analogue qu*il faut 

remplacer a et b par -a et - 6 dans la formule du n^ 375 ^ 

on a 

378. Moment dUnettie d^un ellipsoïde autour d*un de 
. ses trois diamètres principaux. Les demi-diamétres dirigés 

suivant Ox, Oy etOz ont pour longueurs a, £, c. Le mo* 
ment dHnertie est pris autour de Oz. 

La section par un plan perpendiculaire aux x est une 
ellipse dont les demi -diamètres étant y et z sont des fonc- 
tion de r, savoir 

b 



j=:-^a* — X* et z = -V'a' — ar*. 



a a 



L'aire j4 du quart de cette ellipse, projeté en MP, est y TtjZj 
on a donc 



o'iMERTIE. 2y3 

Donc, pour un huitième de rellipsoïde, on a 

2mx*= I j4x^dx = -r—: I fa'xM.r — x''dx)=7^' a^bc. 
Jo 4«*Jo ' 3o 

De même, pour cette portion de volume, on a, en rem- 
plaçant a par b et réciproquement , 

doiic 

Le volume 2 M du huitième de rellipsoïde s'obtient en 
intégrant l AAx. Ainsi 

4 «Vo . 4 «^ \ 3/6 ' 

d'où l'on conclut 

- ■ 

S'il s'agît d'un ellipsoïde de révolution, et qu'on ail a = ft, 
il en résulte 

eomme pour la sphère (372). 

379. Moment d'inertie d'un cylindre à base parabo- 
lique OVM. (Jig. io3) par rapport à un axe projeté en P, 
point du diamètre principal. Soient OP ^ JT, PM = Fy et 
l'équation de la parabole j* === 2px, La distance r d'un 

élément de volume à Taxe P étant ici y/{X — x)' + j% on 



294 MOMEWTS 

aura, en raisonnanl d- ailleurs comme au n^ 374, 
ou 

En supposant la hauteur du cylindre égale à i , ce qui ne 
change rien au rayon de gyration , on a 



^ =zj = ^ipx^ B = X — X = X — - — ; 

JiT» X /* JL 

[ A {X ~ xydx = sjip j X* (X* — aXx -h x')dx 



donc. 



I = 2Mr'= -^xr (-X»-f- r«y 



On a d'ailleurs pour le volume projeté en OMP 



J^u= I AAx = ^'^p '\ 



X 



dx^^>/ip.x' = ^xr. 



On conclut 



lu 5 \7 



380. Lorsque les intégrales I uéx^dx^ l Bj^dj, ne 

peuvent s'ohlenir algébriquement, on emploie la formirie 
de Simpson. 



d'inertie. 2(^5 



Par exemple, soient (fig. io4) le solide compris entre trois 
plans rectangulaires xOy, xOz, yOz, les plans HL, IL, 
perpendiculaires à Ox, Oy, et enfin la surface courbe KL. 
Il s'agit de déterminer le rayon de gyratio'n par rapport à 
Taxe Oz. On partagera OH = / en un nombre pair n de 
parties égales, et par les points de division on mènera des 
sections parallèles à yOz, dont on calculera les aires» A©, 
Al, ... . On aura approximativement 

= 3^ • ~ ( 4 -^1 H- 2 ^, 2* -h 4 ^8 3' -h . . . -f- ^„ . n* ) . 

On opérera de même pour trouver i By^ày, Puis, réu- 
nissant les deux sommes et divisant par le volume "Lu qui 
sera I AAx obtenue à Taide de la même méthode, on 
aura/{*, quarrédu rayon de gyraiion par rapport à TaxeOz. 



FIN. 



i 



LETTRES DE L'ALPHABET GREC 



dont un fait usage dans les formules de Tanalyse mathématique. 



FIGURE. 


NOM. 


a, 


alpha. 


P,ê, 


bèta. 


7, 


gamma. 


A,^, 


delta. 


s, 


epsilon. 


^, 


dzêta. 


*ï» 


èta. 


e, 9, 


thêta. 


>, 


lambda. 


f*> 


mu. 



FIGURE. 


NOM. 


s,Ç, 


xi. 


11, TT, 


pi. 


p. 


rho. 


2v«fÇ, 


sigma. 


T, 


tau. 


*> ?, 


phi. 


X. 


•ki. 


H',^', 


psi. 


11,0), 


oméga 



Dans cet ouvrage , la lettre n désigne toujours le rapport de la cir- 
conférence au diamètre, et la lette l, remplaçant le mot somme, 
annonce en eflet la somme de plusieurs quantités analogues. Cette 

notation diffère du signe l en ce que celui-ci s'applique à une 

somme de termes infiniment petits exprimés sous la forme différen- 
tielle. 



PL. l. 



REC 



Mtli' 



V* 



r^,:^ 




"^
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