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MANUALI HOEPLl
TEOKIA
DELLE
FUNZIONI ELLITTICHE
PEE
ERNESTO PASCAL ^\'^^^
PROFESSORE NELLA R. UNIYERSITI DI PAVIA
S. C. DEL R. istituto LOMBARDO
ULRICO HOEPLl
EDIIORE-LIBBAJO DELLA. BBAL CASA
MILANO
1896,
paopribtI lbttkrabu.
Milano t Tip* Bernardoni di 0*. Hebeeehini e ^\
ir
S PREFAZIONE
«1
e.
ti
L
le lezioni sulle funzioni ellittiche che rac-
colgo in questo volume, sono, con qualche modi-
iicazione, quelle formanti la prima parte del corso
di analisi superiore da me dettato neirUniversità
di Pavia nell'anno 1894-95.
L'indirizzo che ho voluto dare alla trattazione
è questo : io ho voluto fondare tutta la trattazione
tuUa teoria delle funzioni ^ di Jacobi ed è in ciò
che il mio piano si stacca profondamente da quello
degli altri recenti trattatisti, i quali in generale
espongono la teoria delle ^ quasi come un' appen-
dice a quella delle funzioni ellittiche.
Dopo che Jacobi, alla fine dei suoi celebri Fun-
damenta nova^ fu condotto alla scoperta delle ele-
ganti funzioni ^, egli pensò subito di seguire un
procedimento inverso e di fondare la teoria delle
funzioni di Legendre sopra quella delle -3^, e ci
restano appunto di Jacobi alcune lezioni, conser-
vateci da Borchardt, (Opere di Jacobi, voi. I, pa-
gina 497 ; Theorie der elliptischen Funcfionen aus
428067
IV Prefazione,
den eigenschaften der Thetareihen abgeleitet) in
cui si sviluppa ampiamente ed elegantemente que-
sto concetto.
Lo scopo che mi sono proposto io si può com-
pendiare dicendo che, prendendo le mosse appunto
da questa Memoria di Jacobi, ho voluto prose-
guirla sino a comprendere le funzioni <y , e la fun-
zione p^ e tutte le formolo relative, le quali rap-
presentano le più recenti novità nel campo delle
funzioni ellittiche.
In alcuni punti naturalmente, il passaggio per
la via che mi sono imposta, mi ha presentato
qualche non lieve difficoltà, che io ho cercato di
superare nel modo più semplice che mi è riuscito
di trovare; ho dovuto perciò dare un'estensione,
maggiore di quanto ordinariamente non si faccia,
alla ricerca delle relazioni fra le ^ ; e mi si è pre-
sentata come necessaria la ricerca di certe sem-
plici relazioni fra le derivate delle ^ per argo-
mento zero, relazioni sulle quali non era, credo,
stata ancora fissata l'attenzione.
Trattando della operazione indicata da Halphen
colla lettera D {Fonct. ellipt. voi. I, pag. 294) ho
voluto rintracciarne le formole corrispondenti per
una via quasi inversa a quella seguita dall' Hal-
phen, perchè non mi pare un procedimento abba-
stanza elegante quello per il quale, p. es. il ri-
sultato dell'operazione D sui moduli debba rica-
varsi dalle formole che danno i risultati di D sulle
funzioni p(u) e C u); mi pare invece più naturale
Prefazione.
cercare di risolvere direttamente il primo proble-
ma, e non seguire la via, direi quasi, contorta,
tenuta da quell'Autore.
Non voglio infine tralasciare di notare che i
procedimenti da me seguiti nei due paragrafi trat-
tanti delle funzioni ragionali ài p & p' sono presi,
quasi senza modificazioni, dalla citata opera di
Halphen.
PftTÌa, ottobre del 1895.
Ebnesto Pascal,
INDICE
CAPITOLO I,
LE FUNZIONI ^ DI JacOBI,
§ 1. La serie ^ fondamentale ...... Pag. 1
§ 2. Lilroduzìone delle quattro funzioni <^. « 3
§ 3. Riepilogo delle formolo di definizione
delle funzioni ^, Passaggio dall'una
all'altra di esse „ 8
§ 4. Equazioni differenziali cui soddisfanno
le funzioni ^ , 13
§ 5. Formola fondamentale di Jaeobi . . „ 14
g 6. Prima categoria di formolo che si ri-
cavano dalla formola fondamentale. „ 20
§ 7. Seconda categoria di formolo che si
ricavano dalla formola fondamen-
tale. Formolo. in cui entrano tre
argomenti indipendenti „ 24
§ 8. Terza categoria. Formolo in cui en-
trano due argomenti indipendenti. „ 25
§ 9, Quarta categoria. Formolo in cui en-
tra un solo argomento. Relazioni
algebriche fra.le»^. •.«••• „ 28
vili Indice,
§ 10. Quinta categorìa. Relazioni algebri-
clie fra i valori delle ^ pari e della
derivata di ^j per argomento zero. Pag. 30
g 11. Equazione a tre termini per la fun-
zione dispari ^j „ 88
§ 12. Le derivato dei rapporti delle fun-
zioni ^ „ 88
§ 18. Derivate logaritmiche'delle funzioni ^. „ 40
§ 14. Alcune formolo relative alle derivate
delle ^ per argomento zero ... ^ 42
§ 15. Punti-zero delle funzioni -^ . . . . „ 46
§ 16. Sviluppo delle funzioni 5* in prodotti
infiniti a due indici „ 50
•CAPITOLO II.
LE FUNZIONI ELLITTICHE DI Le(ìENDE£,
§ 1. Introduzione della funzione amplitu-
dine di Jacob], e dei moduli h^ le
di Legendre Pag. 52
§ 2. Teorema d'addizione per le funzioni
ellittiche „ 55
§ 8. Derivate delle funzioni ellittiche . . » 56
§ 4. Formola di inversione. Introduzione
dell'integrale ellittico di 1.* specie.
Integrale completo. ...... „ 57
§ 5. Espressione d^l modulo q mediante ^^ „ 63
§ 6. Periodicità delle funzioni di Legendre „ 70
§ 7. Zeri e infiniti delle funzioni di Le-
gendre , 78
§ 8. Degenerazione delle funzioni ellitti-
che .di JjQge;idre ,••••.•• ^ 74
Indice. ix
CAPITOLO Iti.
LE Qr.VTTKO FUNZIONI <X DI WeIERSTRAS>5.
§ 1. Costr azione della funzione ^ dispari. Pag. 78
§ 2. Introduzione delle tre ^ pari ... ^82
§ 3. Formolo di periodicità delle funzioni <r ^ d5
§ 4. Formolo rolatire al caso in cui l'ar-
gomento si accresce di semiperiodi „ 89
§ 5. Formolo varie relative alle ^, rica-
vate da formolo per le 3 ... . „ Ui
§ 6. Equazione a tre termini per le fun-
zioni <7 dìspari e formola d'addi-
zione per la stessa funzione ... ., tV2
§ 7. Introduzione delle quantità ei e^ e^ ,
degli invarianti g^ g^ e del descrì-
minante A ^ *>5
§ 8. Kelazioni algebriche fra le quattro <7.
Relazioni in cui compariscono due
argomenti. Formolo d'addizione per
i rapporti delle ^ - * lOJ
§ 9. Kelazioni fra le funzioni di Legendre
e le funzioni » „ 108
§ 10. Omogeneità delle ^, delle », e dei
moduli „ ivi
§11. Punti-zero delle funzioni o- . . . . ^ lOG
§ 12. Scomposizione delle 9 in prodotti in-
finiti doppii ^ ivi
§ 13. Degenerazione delle funzioni cf . . n 107
§14. Studio dell'operazione D. Sua tra-
sformazione n 109
X Indice,
§ 15. Derivate dei moduli trascendenti di 1.*
e 2.» specie rispetto ai moduli alge-
brici, e dei moduli di 2.* specie ri-
spetto a quelli di 1.» specie . . . Pag. 118
§ 16. Derivate del discriminante rispetto
ai moduli trascendenti di 1.» specie.
Espressione notevole dei moduli tra-
scendenti di 2.* specie „ 121
§ 17. Equazione a derivate parziali cui sod-
disfa la funzione e dispari. ... „ 122
§ 18. Equazioni a derivate parziali cui sod-
disfanno le tre funzioni <r pari . . „ 120
§19. Sviluppo in serie delle quattro fun-
zioni 0"; formole ricorrenti. ... „ 128
CAPITOLO lY.
LA FUNZIONE p (ti) DI WeIEESTRASS.
§ 1. Introduzione della funzione p(u) e
sua biperiodicità Pag. 133
§ 2. Espressione della p mediante le -^ . » 135
8 3. Valori di jp(w), pM, i)(w'0 • • • • « ^^"^
§ 4. Relazione fra la funzione p (w) e la
funzione di Legendi^e snr. . . . „ 141
§ 5. Espressione della derivata y(w) me-
diante la p (w). Inversione. ... „ 142
§ 6. Teorema d' addizione per la fun-
zione p(u) „ 147
§ 7. Addizione di semiperiodi all'argo-
mento della funzione p{n), ... „ 154
§ 8. Infiniti delle funzioni p (w) , />' (?/).
Omogeneità „ 155
§ 9. Sviluppo di p(u) in serie nolT in-
torno del punto i( = . . . . . „ 156
Indice. xi
§ 10. La funzione p (u) sviluppata in una
serie doppia. Conseguenze aritme-
tiche Pag. im
§11. Casi particolari della funzione i)(iO.
Sua degenerazione „ 1G5
§ 12. Le funzioni razionali ài p e j/ . . „ 170
§ 13. Decomposizione delle funzioni razio-
nali di p, // in quozienti di pro-
dotti dio* * 174
§ 14. Trasformazione delle ^, delle o" e
della ;> per la trasformazione lineare
dei periodi. Differenza fondamene
tale fra le funzioni ^ e le <r . . . „ ì{)i
CAPITOLO V.
INTBGBALI ELLITTICI DI 1.*, 2.*. 3.* SPECIK.
§ 1. Considerazioni generali sugli inte-
grali ellittici Pag. 192
§ 2. Distinzione degli integrali in quelli
di l.a, 2.* e 3.» specie « 1^7
§ 3. Forma normale di Weierstrass. Cor-
rispondente espressione dell' inte-
grale ellittico generale. Trasforma-
* zioue di una forma ellittica in quella
normale „ 200
§ 4. GHi integrali ellittici di 2.*^ specie . „ 207
§ 5. Gli integrali ellittici di 3.» specie.
L'integrale Q di Klein , . . . . « 210
xii Indice.
CAPITOLO VI.
ESPRESSIONI DELLE FUNZIONI ELLITTICHE.
QUANDO SI PBENDE PEB FOBMA FONDAMENTALE
UNA BINARIA BIQUADBATIOA QUALUNQUE.
§ 1. Espressione rimarchevole della o" di-
spari mediante l'integrale Q. , , Pag. 217
§ 2. Espressioni delle ^ pari mediante Q „ 21i)
§ 3. Espressione di w, p^ Q^ riferite ad una
binaria biquadratica qualunque. . » 221
§ 4. Espressioni delle e riferite alla bi-
quadratica generale „ 226
CAPITOLO I.
LE FUNZIONI ^ DI JaCOBI.
§ 1. La serie ^ fondamentale. — Consideriamo
la serie seguente
y = 4-00
y = —00
dove a, &, e sono dei numeri qualunque, v è un
numero intero^ e il sommatorie deve estendersi per
tutti i numeri v interi positivi e negativi.
• È chiaro prima di tutto che tutti i termini di
ijuesta serie hanno per fattore comune ^^, e quindi
basterà considerare l'altra serie
V=S-(-00
^ ^av*-{2bv
vzzz — oo
che è la stessa di prima, ma divisa per un fattore
costante.
La prima quistione che ci si presenta è quella
^ ehe sì riferisce alle condizioni necessarie e suffi**
pienti per la convergenza assoluta della serie stessa»
Pascal. 1
Capitolo 1. — § L
^
E facile dimostrare che condizione necessaria e
sufficiente per la convergenza assoluta della serie
data è che: il numero a abbia negativa la sua
parte reale.
Poniamo infatti
a = «1 '\- ia2
b^= bi -\- i Jg.
Il termine generale della serie potrii allora scri-
versi
= e«.'''+2&,r [cos ((72 v2 + 2 Ja v) + { sen {a^ v» + 2 62 v)l
il cui modulo è
Ora se a^ è positivo, allora per v = rb 00 questo
modulo tende a infinito, e quindi il modulo del
termine generale della serie tende a infinito; ciò
basta per conchiudere che se ai è positivo la serie
non sarà convergente. Perchè il modulo del ter-
mine generale possa tendere a zero, come deve
accadere perchè la serie sia convergente, deve dun-
que necessariamente essere «j negativo.
D'altra parte si può dimostrare che questa è
condizione sufficiente. Infatti formiamo il rapporto
di un tef mine al précédente ; dobbiamo distinguere
due casi secondochè si considera un v positivo ov-
vero un V negativo.
La serie ^ fondamentale.
Nel primo caso il modulo del rapporto di un
termine al precedente è
e per v = + <x> questo rapporto tende a zero se ai
è negativo; quindi, come si sa dalla teoria delle
serie, si può subito dedurre la convergenza asso-
luta della serie formata coi termini da v =0 sino
a V = + oo.
Analogamente considerando l'altra serie coi ter-
mini da V = — 1 sino a v == — <x>, si vede che in
essa il modulo del rapporto di un termine al pre-
cedente è
^a,r«-2ftjv . ^a,(v-l)«-2ò,(y-l) = ^,(2y-l)-2fe,
e se «1 è negatiyo questo rapporto tende a zero.
Si deduce quindi la conyergenza di tutta la
serie in esame, e una tal convergenza è assoluta
perchè dalla dimostrazione risulta che è conver-
gente la serie dei moduli.
§ 2. Introduzione delle quattro funzioni 5. —
biella serie del paragrafo precedente poniamo
a = log g
é = a? i.
Dovendo a avere la sua parte reale negativa^
se ne ricava che q deve avere un modulo compreso
fra e 1. La serie diventa
-f-oo
V—-QQ
Capitolo I. — §2.
la qnale^ per le cose dette, è assolutamente con-
vergente per qualunque x^ se il modulo di g è
compreso fra e 1. Noi vogliamo considerare la
somma di questa serie come funzione di x.
Essendo la serie assolutamente convergente, la
sua somma sarà indipendente dall'ordine dei ter-
mini ; dunque noi potremo raccogliere a due a due
i vari termini, e trasformarla facilmente in un'altra
di forma trigonometrica. In effetti se raccogliamo
i due termini che corrispondono a due valori di v
eguali ma di segno contrario, è chiaro, per le note
relazioni fra la funzione esponenziale e le funzioni
trigonometriche, che tali due termini formano
2 g"" cos 2 V a?
e quindi la serie diventa
1 + 2 ^ ^*^* cos 2 V X,
Questa serie considerata come funzione di x la
chiameremo -^3 (^), per distinguerla da altre tre
funzioni ^ che si ricavano da essa e che ora in-
trodurremo.
Nella serie
+00
r= — 00
facciamo il seguente cangiamento. Poniamo in luogo
di ^, a? + -^ ^.
6à
Introduzione delle quattro funzioni ^, 5
Allora sì ha:
-|-oo
J'=— 00
Secondochè v è pari o dispari, l'ultimo fattore
^vrci è eguale a -»- 1 ovvero a — 1 ; quindi facendo
per questa nuova serie gli stessi cangiamenti fatti
neirantica, si vede che essa non è altro che la stessa
di prima, ma coi segni alternati; essa cioè è:
1 + 2 "2 (—1)^ q""^ cos 2 V a?
che chiameremo ^ (x). E dalle considerazioni fatte
risulta anche subito che:
^«(^"^i ; ^^"^^^
Nella stessa serie -^3 (x) sopra considerata po-
niamo in luogo di Od:
x + Y'^'+Y^^^ g.
Essa diventa:
4-00
y=— 00
-4-00
y=-oo
6 Capitolo L — ,^ 2,
Questa serie la porremo sotto la seguente forma:
= —%(] * e^* 2: (_ 1)»' i g 4 ^^ '^ ^^v- \)xi
y=— 00
e raccogliendo, come sopra, il termine corrispon-
dente all'indice v con quello corrispondente al T in-
dice — ^^ + 1, i quali termini hanno lo stesso coef-
ficiente ma col segno contrario, e ricordando che
i \q{^v-\)xì — g-(2»'-l)ar/] = — 2 seu (2 V - 1) a?
si ha che l'espressione di sopra diventa
- 1 g * «*•■ 2 :£ ( - 1)"-! ^** 8eii(2v-l)a;
vz=X
che noi porremo eguale a
iq *V'»^i(^).
Si ha quindi
•^af^+Y^ + Y i^oggj = — i^ ^V'-^iC^?).
Seguitando collo stesso procedimento troveremo
finalmente l'ultima funzione •^. Nella ^3 al solito
porremo in luogo di a?,
a: + Y i log q.
Introduzione delle quattro funzioni 3*.
Si ha allora
l'=-f-00
+00
che noi scriveremo sotto la forma
1 +00 1
y= — 00
Raccogliendo al solito i termini corrispondenti
all'indice v e all' indice — > + 1, si ha:
- °° -Il2>'-1)«
q 4 ^xi2 ^ q^ cos(2v — 1)0?
che porremo eguale a
• per modo che si ha la relazione
Come si vede dunque i valori delle altre tre fun-
zioni ^ -^1 «^2 non sono altro, a meno di fattori, che
quelli della funzione -^5 quando all'argomento a?
si aggiungono certe quantità determinate.
8 Capitolo I. — § 3.
§ 3. Riepilogo delle formole di definizione delle
funzioni 5. Passaggio dall' una all' altra di esse.
— Per le cose dette nel paragrafo precedente le
quattro funzioni ^ restano definite dalle seguenti
formole
5 (a?) = 1 + 2 ? (— 1)'' g"" cos 2 V a? =
"1-00
= 2 (— 1)'' 9^' e^ya;»
00 — -(2»' — 1^'
*i (ar) = 2 2; (— l)"-! q* 8en(2v— l)a; =
jC=— 00
00 JL(2v— 1)8
5,(a?) = 2 2g4^ cos(2v~l)a? =
+00 JL/Qy— 1^*
y=—ar
+00
53(a?) = l + 2 2 g''*cos2va?
r=l
= 1 q^* e2va?» ,
Ogni funzione ha una doppia espressione, me-
diante gli esponenziali, mediante le funzioni tri-
gonometriche.
Riepilogo delle formole^ eco, 9
Una prima osserYazione che ci si presenta è
questa: la fanzione ^i {x) è eYÌdentemente una fun-
zione dispari^ cioè muta di segno ma non di va-
lore assoluto mutando T argomento a? in — a?; le
altre funzioni invece, mutando a? in — x non mu-
tano ne di segno, né di valore, e quindi sono fun-
zioni pari.
Sono quindi funzioni disparì le derivate di ordine
dispari di ^^ ^^^ ^s; e funzioni pari le derìvate di
ordine pari delle stesse; mentre per la funzione ^^
si verìfica il contrario; inoltre la ^i è zero per argo-
mento zero, e anche zero sono le derìvate di or-
dine dispari delle •^, ^^^ -^s, per argomentò zero.
Una seconda osservazione importante è che que-
ste funzioni, salvo dei fattori, restano tutte inal-
terate aumentaudo o diminuendo F argomento di
due quantità che avranno poi una grande impor-
tanza in tutta la teorìa, e che sono le quantità
IT, i log q.
Queste due quantità le chiameremo periodi.
Per dimostrare ciò incominceremo coli' esami-
nare come si trasformano le une nelle altre quelle
quattro funzioni, quando l'argomento si aumenta
diminuisce dei semiperiodi.
1 1 .,
Già nel paragrafo precedente abbiamo visto che
la <^3 (oc) diventa, a meno di fattori, ciascuna delle
altre •^, quando l'argomento si accresce di tali
quantità separatamente o contemporaneamente.
10 Capitolo L — §3.
Ora possiamo far vedere che una tal proprietà ò
generale per ciascuna delle quattro funzioni.
Consideriamo per es., la funzione ^(w).
Aumentando l'argomento di ~^, si ha
+00
—00
ed essendo
si ottiene esattamente la funzione ^^ (oo).
Aumentando l'argomento di -^ilogq si ha
-j-oo
V ( — \y gv* ^vxi ^^yìogq :^
— 00
+00
—e»
=^ —iq 4 e^* ^ (— 1)'' iq^^ ^ ei^y-D^i =:^
—00
= — iq * e^» 5i (07).
Finalmente aumentando l'argomento di
1 1 .,
Riepilogo (ielle formale^ ecc. 11
si ha nella stessa maniera
q 4 e*» ì: q^ ^{2y^l)xi =
— e»
= q *e^»^v(a7).
f Lo stesso potrebbe verificarsi per le altre due
funzioni, per modo che si ha infine tutto il com-
plesso di formolo racchiuse nella seguente tabella
^3^a7±^^j= ^ (0?)
5Ja?=h iloggj = =Fig"~4'e±*^»^ (0?)
^2 (^ àz 2 i log g j =: + q"'^ e^^^ ^3 (^)
12 Capitolo L -- § 3.
Mediante queste forinole possono subito trovarsi
quelle per T aumento dell' argomento di
± y -^ ± y Hog g.
Così p. es. si trovano subito le altre
^lU +j'K =h jilogq\== q~ e^^^ ^^{x)
^2\x + -^T^àz— ilogg j = di i q~ e^^* ^ (x)
^sU + jT^zhjilogqj^^iq "^ e±^» ^1 (x).
Da queste formolo appare questo, che aumen-
tando diminuendo l'argomento del semiperiodo
-IT, avviene fra le quattro ^ una permutazione
formata con due trasposizioni, cioè si invertono ^
e -^3 fra loro e ^^ e -^i fra loro. Così aumentando
diminuendo l'argomento di — i log q si inver-
tono invece ^ ^ ^x fra loro e -^2 ^ «^s fra loro.
Di qui si ricava che se aggiungiamo all'argo-
mento un intero periodo invece di un semiperiodo,
allora, a meno di un fattore, ciascuna delle ^ ri-
Riepilogo delle formole^ ecc. 13
torna in sé stessa. Le formole corrispondenti si
possono facilmente ricavare, riapplicando due volte
di seguito le formolo precedenti.
Si trova cosi la seguente tabella:
5 (a? ± :t) = 5 (co)
^1 (a? ± Tt) = — \ {x)
\{X±:iz) = ^ ^2 {x)
3 {cG±:i\ogq) = — q'U^'^i^ {x)
«^1 {ce zt: i log g) = — g-^ e±2^* «^1 (a?)
3, {co =h i log g) = + q-^ e±2^* ^9 (a?)
^3 {co ± f log g) = + g-i e*2x,- ^3 (0?)
§ 4. Equazioni differenziali cui soddisfanno le
funzioni ^. — Le serie ^ e le loro derivate ri-
spetto ad a?, considerate come funzioni dell'argo-
mento X e del modulo q sono gli integrali di una
semplice equazione a derivate parziali, che ora ci
proponiamo di trovare.
Deriviamo p. es. rispetto ad x la serie «^3 (ir).
Si ha
dco
—00
a-'^3(^,g) .+?°
dco
8
= — 4 2 v» ^^' e2''^* .
-00
14 Capitolo I. - .s? 4.
Deriviamo invece rispetto a log q, cioè deri-
viamo rispetto a 5^ e poi moltiplichiamo per g
stesso.
Si ha
diìogq) dq ^~-oc ^
A meno di un fattore numerico, si ha cioè lo
stesso risultato di prima; quindi possiamo con-
chiudere che la ^3 (e così tutte le altre ^) sod-
disfa all'equazione differenziale
= — 4
dx^ dilogq)'
A quest'equazione differenziale non solo soddi-
sfanno le quattro ^y ma anche tutte le loro deri-
vate rispetto ad x. Infatti per la forma speciale
che ha quest'equazione differenziale si vede che
la questione si riduce a osservare che la derivata
seconda di una ^ rispetto aà x e a, (logg\ è in-
dipendente dall' ordine delle derivazioni, e quindi
che derivando rispetto ad x ambo i membri di
quella equazione differenziale, si può scrivere
di
f^-U-4— ^— (^— ì
\dx) d{\osq)\dxì
formola che dimostra Tassante.
§ 5. Formola fondamentale di Jacobi. — Per pas-
sare alle relazioni algebriche esistenti fa le 5, Ja-
Formala fondamentale di Jacohì. 15
cobi comincia a stabilire una formola generale
donde poi bì ricavano tutte le altre. Noi vogliamo
qui esporre il procedimento di Jacobi che è pieno
di quell'eleganza classica che contraddistingue le
opere di quel matematico.
Si premette la seguente considerazione. Si ab-
biano quattro quantità «i, «a, «3, a4, e altre quattro
legate alle prime dalle relazioni
1
cii = -g- («1 + «2 + «3 + «4) '
(1)
' = 2 (^1 + ^2 — «3 - «4)
%' = Y («1 — «2 + «3 — «4)
< = 2" («1 — «2 — «3 + «4)
E facile verificare che
a,' + a^' + a^ + a,^ = a,'' + a,'' + a,'^ + a,''\
ai + «a = «/ + (^2 I
«1 + % = «1' + «3 \
(h + (^A = <h' + <^A I
Se ai, Oj, «3, «4 sono tutti numeri pari, ovvero
tutti numeri dispari, allora dalle (1) si vede che
«i\ ^2'? ^s'i ^4 saranno anche numeri interi^ e
16 Capitolo L — § 5,
dalle (2) si vede che gli stessi saranno tatti pari
se Gì è pari; ovvero tutti dispari se Oi' è dispari.
Deduciamo dunque che il sistema dei quattro
numeri o tutti pari o tutti dispari, mediante l'indi-
cata trasformazione, si riduce ad un analogo sistema
di quattro numeri o tutti pari o tutti dispari.
Dalle (1) si hanno le formolo inverse
«1 = 2" (^' "*■ ^2 +<h' + «4')
«2 = Y («1' + «9' — «s' — «4O
; (3)
«3 = "2 («/ — ««' + «3' — «4')
a^=—(c^' — a^ — ag' + al) \
Onde possiamo dire che i due sistemi («i, a^,
%» «4)1 («1» «1') «s'ì «4') stanno fra loro in perfetta
reciprocità, cioè dal secondo di essi, colla stessa
trasformazione si tornerebbe al primo.
Tutti i possibili sistemi di quattro numeri tutti
pari, e di quattro numeri tutti dispari, si possono
perciò ordinare in coppie, in maniera che con
una trasformazione del genere di quella sopra
indicata, si passa dall'uno alF altro dei due si-
stemi di una medesima coppia. Per modo che
se applichiamo la trasformazione di sopra a tutti
i possibili sistemi di quattro numeri pari e di
quattro numeri dispari, otteniamo daccapo gli stessi
Forinola fondamentale di Jacobi. 17
sistemi, in un ordine diverso, nessuno escluso, oon-
nessuno contato piii che una volta.
Ciò premesso passiamo alla dimostrazione della
formola fondamentale di Jacobi.
Possiamo scrivere le due serie ^3 e -^2 ^^^ se-
guente modo :
+00
— X'
—00
.12
5g (a?) = glofi^^ i ^logfiL' ^'2 •''^ J
—00
Sotto questa forma si vede che le due serie
«^3 -^2 <3i esprimono in maniera assai simile, solo
che la prima di esse è un sommatorio che si deve
estendere a tutti i numeri pari (2 v), e il secondo
è invece un simile sommatorio che si deve esten-
dere a tutti i numeri dispari (2 v + 1).
Indichiamo con x^ x^ x^ x^ quattro argomenti e
formiamo i prodotti :
^3 (a?i) ^3 (a?2) ^3 (a?3) ^3 (a?4) ==
= e^OS^ ».».». *'^^\o^q
5, (a?! ) 52 (a?2) ^2 (a?3) 5, (ojJ =
V
Pascal. 2
18 Capitolo L — §5,
dove
4 r 1 12
L= £ 2vA; — logg + a?^.^
i¥= ^^^ [(2 v;fc + ij jìogq + Xk iV .
SommaDdo si ha
* (a?,»+xa«+a^3«4-a^,«) ,, -^-
e^^sa lé^ogq ^5)
dove
-AT = 2 I aA; — log g + a?;fc i
teli 2 J
2
e ai 02 as 04 rappresentano quattro numeri interi
tutti pari ovvero tutti dispari, e il sommatorie
nella formola (5) bisogna estenderlo a tutti i pos-
sibili sistemi di quattro siffatti numeri.
Consideriamo ora quattro altri argomenti
^1' ^«' ^3' ^4'
legati ai primitivi argomenti
x^ x^ x^ x^
"^ da relazioni perfettamente simili a quelle svilup-
Formala fondamentale di JacobL 19
paté sul principio di questo paragrafo, e conside-
riamo inoltre altri quattro numeri interi
legati agli a^ a^ a^ 04 dalle analoghe relazioni.
Si può subito verificare che la espressione N
resta trasformata in un'altra della medesima forma
dove però ci sono le lettere cogli apici in luogo
delle omonime senza apici, e ciò perchè la somma
dei quadrati delle a resta trasformata nella somma
dei quadrati delle a'; così quella delle x'^ resta
trasformata in quella delle cc'^\ e la somma dei
prodotti delle ah colle Xk resta trasformata nella
somma dei prodotti delle ak colle Xk'. Si vede
così che il secondo membro dell'espressione (5) è
perfettamente eguale a quello che da esso si ri-
cava sostituendo alle a e alle 07, le a' e le x' pur-
ché queste quantità sieno legate alle prime dalle
note relazioni. Possiamo quindi dedurre che anche
il primo membro della formola (5) è eguale a
quello che da esso si ricava coi cangiamenti indi-
cati, cioè si ha la formola fondamentale di Ja*
cobi:
4 4
n ^%{xk)+ n ^^(xk)^
= n 5j (pok') + n 5, ixic') (A)
A?=l k=X
formala che sussiste se le x' sono legate alle x
20 Capitolo L — § 6,
dalle relazioni
^1 ' = 2 (^1 + ^2 + ^3 + ^4)
OOo = -g- (^1 + ^2 — ^3 — ^4)
^3 ' = 2 (^1 — ^a + ^3 — ' ^4)
^4' = Y^^^ — ^> — a?3 + ^4)
§ 6. Prima categoria di formole clie si ricavano
dalla formola fondamentale. — Una prima cate-
goria di formole che si ricavano dalla formola fon-
damentale si può ottenere nel segaente modo.
Se noi ad alcuni degli argomenti oo^ oc^ x^ x^
aggiungiamo dei semiperiodi, e lo facciamo in tal
modo che anche gli argomenti x^' x^ x^ x^ re-
stino aumentati di semiperiodi o di multipli di
semiperiodi, allora adoperando le formole del § 3
potremo trasformare la formola (6).
Incominciamo coU'aggiungere ad x^ la qualità t^.
Allora dalle (7) si vede che a?/ x<l x^ xl restano
tutte aumentate di ~ ^. Facendo tali cangiamenti
nella (6) e adoperando le formole del § 3 si ha
l'altra formola
4 4
— n 52(0?*,)+ n ^^{Xk) —
feri fc=:4
= 5,(07^')+ n ^{xìi), (B)
Prima categoria di formule^ ecc. 21
forinola che differisce dalla f A) perchè in essa com-
pariscono tutte le quattro ^^ mentre che nella (A)
ne compariscono solo due.
Sommando (A) (B) si avrebbe un'altra formola
rimarchevole.
Possiamo similmente ottenere una formola in
cui non ci entrano che ^ e ^i. Nella (B) aumen*
tiamo di -^ Tt i quattro argomenti x.
Allora gli argomenti x' restano aumentati ri-
spettivamente di ^, 0, 0, 0. Adoperando le solito
formolo del § 3 si ha la formola
= - u^,{xk')+ n 5(xk') (C)
In tutte queste formole vi sono quattro termini,
ognuno formato col prodotto di quattro ^ col me^
desimo indice.
Si possono poi ottenere formolo in cui vi sono
prodotti di quattro «^ non col medesimo indice.
Per procedere in questo paragrafo con maggiore
semplicità introduciamo una notazione comoda per
esprimere tutte queste relazioni. Indichiamo con
(ijhk)
il termine
22 Capitolo L ~ § 6.
e con
(ijhky
lo stesso termine quando gli argomenti sono x' in
luogo delle x. L'indice zero corrisponde alla ^
senza indice.
Allora le tre relazioni già trovate diventano
(2222) + (3333) = (2222)' + (3333)' (A)
— (2222) + (3333) = (1111)' + (0000)' (B)
- (1111) + (0000)=— (llll)' + (0000)' (C)
Aumentando in (A) Xi x^ della quantità -^ir, gli
argomenti x\ x\ x\ x\ si aumentano rispettiva-
mente di -^ ^j -^ ^, 0^0. Adoperando allora le note
formole di trasformazione si otterrà una formola
in ogni termine della quale vi compariscono quat-
tro ^^ due collo stesso indice e due con indice
diverso.
Si ha così:
(0033) + (1 122) = (1 122)' + (0033)' \
Similmente
(0033) - (1122) = (2211)' + (3300)' ) (1).
(0022) + (1 133) = (0022)' + (1133)' \
(0022) — (1 133) = (2200)' + (331 1)' /
Prima categoria di formale, ecc* 23
La seconda di queste si ottiene dalla prima mu-
tando i segni agli argomenti x^ x^^ e quindi scam-
biando poi x\ con — x\ e x\ con — x\. La terza
e quarta infine si ricavano da (A) in modo analogo.
Tediamo ora in che maniera possiamo ricavare
due altre formolo di natura assai analoga alle (D).
Nelle prime due delle (D) aumentiamo x^ x^
della quantità -^w-+- —i log g; anche x\ x\ si
aumenteranno della stessa quantità e si hanno le
formolo
(2233) + (3322) = (2233)' + (3322)'
(2233) — (3322) = - (1100) — (0011)'.
Se invece si aumentano x^ x^ rispettivamente
di y '^ + "2 *' log S' e di — -g- '^ — y * log g, e
quindi x!^ x\ delle stesse quantità si hanno le altre
due formolo
(0011) ~ (1100) = (0011)' - (1100)'
(0011) + (1100) = (3322)' - (2233)'
Da queste quattro formole otteniamo quelle che
cercavamo cioè
(3322) + (0011) = (3322)' + (0011)' 1
(3322) — (001 1) = (2233)' + (1 100)' i
Finalmente possiamo ottenere formole i cui ter-
mini contengono ^ con tutti quattro gli indici.
24 CapUolo L ~ § 7.
Autnentiamo le x rispettivapiente di
11 11
e quindi le x' delle medesime quantità.
Si ha allora da (A):
(3021) — (2130) = (3021)' — (2130)' .
Analogamente > (P)
(2031) — (3120) = (2031)' — (3120)' ;
Se nella prima delle (E) aumentiamo Xi x^ di
— 'c 4- — i log q e quindi x\ x\ della stessa quan-
tità si ha l'altra formola
(1320) + (20 13) = (1320)' + (2013)' (G)
§ 7. Seconda categoria di formole che si rica-
vano dalla formola fondamentale. Formole in cui
entrano tre argomenti indipendenti. — Poniamo
a?4 = — (^1 + 0?, + ^3).
Allora si ha:
xl = — {x^ -Y a?j)
Seconda categoria di forinole^ ecc, 25
La forinola (B) diventa (ricordando che ^i è
zero per argomento zero)
^ (0) 5 (a?i + ^2) -^ (^2 + ^3) «^ (^3 + ^1 ) =
= •^8 («?i + ^2 + ^3) ^3 i^i)h (^2) «^3 (^3) -
— -^2 (^1 + ^2 + ^3) ^i (^1) ^2 (^2) «^2 (^3) .
Nella stessa maniera potrebbero trovarsi altre
formolo dalle altre trovate nel paragrafo prece-
dente. Queste formolo però poco ci occorreranno
in seguito.
§ 8. Terza categoria. Formole in cui entrano due
argomenti indipendenti. - Poniamo:
^4 — ^1 ^3 —
donde si ha
4
0?/ = 071+^2
1
^2' =
1
^,'-0
^
x\ ~Xi — a?2.
Sostituendo questi valori nelle varie formole dei
paragrafi precedenti si ha una categoria di altre
formole contenenti solo i due argomenti a?, x^ e
che sono importanti per le cose che dovremo dire
in seguito.
26
Capitolo L — §8.
Tali formole sono:
52 (0) » (a?i + a?,) 5 (a^i - ar^) =
•>3* (0) ^s (a^i + a^i) »3 («1 — «2) =
= 52 (a;,) 52 (a;j) + ^j» (a?,) 5,2 (a;,) =
•5/ (0) ^2 (a>, + ajj) 5, (a?i — a-^) =
= ^s' (a^i) V (a?») - •»* («'i) ** (a'2) =
I
(1)
Le due prime di queste forinole si ricavano di-
rettamente dalle (B) (C); le altre quattro si pos-
sono ricavare nel seguente modo: in (B) scambiamo
gli argomenti oo cogli argomenti w' ; poi in (A) e
(B) così modificato, facciamo le precedenti appo-
sizioni. Avremo due equazioni da cui colla risolu-
zione, si ricavano subito le ultime quattro delle (1).
Se nella prima delle (1) si accresce l'argo-
mento ^1 della quantità — i log 9 e si tien conto
delle formole solite di trasformazione, si ha la
Terza categoria di forinole, ecc. 27
fonnola
3*(0)5,(aj,+a?g)5,(a;,-ar,) =
= •»!* (a?,) 5» {cc.^ - 5« (ari) 5,» (a;,)
Così si hanno le altre
V (0) ^1 (a?i + a'2) ^1 ipBi - aJi) = ) (2)
^2* (0) ^1 («, + a^a) ^. (a?, — djg) =
= *.* (a?i) *«' (a's) - •».* (a^i) *.* (a^.)
Queste due ultime si ricavano in analoga ma-
niera dalla 4." e 6.* delle (1).
Si hanno poi le altre seguenti formolo:
^2 (0) ^3 (0) ^ (a?i - ajg) 5, (a?i + a?«) = ',
= ^ (a^i) -^1 (a^i) ^2 (a?,) -^s ('^"2) +
+ ^ («2) ■*! (a?2) •^ì (a^i) •^s (a?!)
a (0) -^2 (0) 5 (a?! - x^) ^2 (a?. + ajj) =
= ^ (a^i) -^2 ifOi) ^ iP^t) h ifOi) — } (3)
- 5, (aji) ^8 (aji) 5j (a^iì) 5, (a?,)
53 (0) ^ (0) 5 (a?i - a?,) ^8 (a?! + a?,) =
= 5 («.) -^3 (a?i) ^ (a?») ■^s (a?*) —
— ^1 (a?,) ^2 (a?,) 5, (arg) ^a (aj^)
28 Capitolo L — § 9.
Queste tre formole sebbene di natura diversa
riguardo alla costituzione dei loro termini le rac-
cogliamo insieme perchè le dovremo in seguito
combinare fra loro.
La prima di esse si ricava dalla (G) colle ap-
posizioni di avanti, e le altre due si ricavano dalle
formole (D). Similmente da (F) si hanno le for-
molo seguenti analoghe alla prima delle (3):
-(0)^2(0)^s(^i-^.)-i(^i+^:>)= ^
= -^1 (^i) ^3 (^i) - (^2) -2 (^2) +
. (4)
^ (0) .^3 (0) ^2 (^1 - ^2) -1 (^1 + ^2) =
= ^1(^1) -2(^1)'^ (^2)^3(^2) +
+ 5 {a)^)^^(x,)^^(x^)^^(x^) ;
§ 9. Quarta categoria. Formole in cui entra un
solo argomento. Relazioni algebriche fra le 5. —
In due maniere possiamo ottenere dalle formole
del paragrafo precedente, formole ad uu argomento
solo, e cioè, ponendo fra loro eguali i due argo-
menti, ponendone uno di essi eguale a zero.
Nel primo caso si hanno formole in cui le ^
hanno in un termine l'argomento doppio 2 ^ e in
altri termini Targomento semplice ^, e nel secondo
caso si hanno relazioni algebriche fra le ^ col me-
desimo argomento.
Dalle (1) (4) ponendo a?2 = ^^ = ^r si hanno le
altre :
Quarta categoria di formale^ ecc. 29
= V(^)-V(^) (1)
E ponendo a?j = a^i --= a: in una delle (1) 8 8
si ha
--3' (0) ^^ {X) = ^2 (0) 52 (.r) + 5,2 (0) 5,2 (^). (2^
Se nella (D) poniamo rr^ = a?2 = X3 == 0:4 = a:,
donde si ottiene a?'i = — a;'2 = ^, ^3 = x\ = 0, si
ricava l'altra formola
^-3* (0) ^^ {X) - .52 (0) ^32 (^) + 5, 2 (0) .a,2 (a;). (3)
Questa formola potrebbe anche ricavarsi aumen-
ir
tando X di -- nella (2).
Le due formolo (2) (3) possono considerarsi
come le formolo fondamentali rappresentanti le
due relazioni algebriche esistenti fra le quattro ^
considerate come funzioni di un medesimo argo-
mento X,
30 Capitolo L — § 10.
Da esse mediante la relazione fra le ^ pari con
argomento zero e che sarà sviluppata nel para-
grafo seguente possono ricavarsi le altre due re-
lazioni con semplici eliminazioni algebriche:
^3^ (0) ^^ {X) = ^^ (0) ^3^ ipo) -< 5« (0) ^1^ {co) \
-^3' (0) ^1^ ipó) = 5,2 (0) 52 {oc) - 52 (0) ^2^ {X) )
§ 10. — Quinta categoria — Relazioni algebriclie
fra i valori delle ^ pari e della derivata di ^^ per
argomento zero. — Le scopo di questo paragrafo
è di ricercare due relazioni algebriche esistenti
fra le quantità
5 (0), 5, (0), 5, (0), à,' (0).
Una prima di tali relazioni si trova subito po-
nendo a? = nella (2) del § 9. Si ha allora imme-
diatamente
V(o) = ^no) + V(o) (I)
che è la formola cosiddetta delle quarte potenze
cui abbiamo accennato sulla fine del precedente
paragrafo.
Per passare ora ad una elegante relazione che
lega la «^'1 (0) colle altre quantità, ci piace seguire
anche qui il procedimento di Jacobi che è molto
elegante.
Dalle formole di definizione delle ^ (vedi § 3)
risultano immediatamente le seguenti relazioni
hipo,q) + ^ifO,q)^2^^(2x,q^)
^3 («?, ^) - ^ (^, g) = 2 ^a (2 0?, g*)
t
Relazioni fra 5 (0), S, (0), ^g (0), Ji' (0). 31
donde
5, {a, q) = ^3 (2 OH, q*) + 5. (2 0?, g»)
5 (a;, 3) = ^s (2 a?, 9*) - ^2 (2 X, q*)
Consideriamo ora la relazione (vedi le rela-
zioni (1), § 9).
V (0) 5, (2 x) = ^a* 0^) — ^ («)
X
ìq cui porremo x in luogo di 2 a?, e quindi -^ in
luogo di .1^, e poi ci serviremo delle relazioni pre-
cedenti. Si ha allora la formola
^2^ (0, q) 5, (a?, q) =
= 8 ^, (co, q') ^3 {X, q^) [3^2 (0?, .g4) + 5^2 (^^ ^4)]
Aumentiamo ora x di — tt. Allora dalle firn-
zioni -^i '^3 si passa alle -^i e -^f e si ha la formola
V(0,3)-5i(a?2) =
= 8 à, {X, q*) ^ {W, q^) p,^ {X, q^) + B^ {x, g*)].
Deriviamo questa rispetto ad x, e poi poniamo
a:=0. Si ha allora
V ,0, g) ^i' (0, g) = 8 53 eO, 3^) 5/ (0, q'].
D'altra parte dalle relazioni di sopra, ponendo
32 Capitolo I. — § 10.
r = 0, si hanno le altre
^-3' (0, q) =
= 8 ^, (0, q^) ^3 (0, q') [^,2 CO, ^^) + V (0, gS'].
Moltiplicando qaeste tre forinole e dividendo
colla precedente e tenendo conto della (1), si
ha la rimarchevole relazione
^1' (0, q) ^1' (0, q^)
^ (0, q) ^2 (0, q) ^8 (0, q) ^ (0, q^) ^, (0, q') ^3 (0, q^)
la quale mostra che il rapporto espresso dal primo
membro resta inalterato di valore quando si muta
la quantità q in q^. iNTella stessa maniera resterà
inalterato quando si muta q'^ in q^% e così di
seguito. Ora siccome il modulo di g^ è minore di 1,
così q\ ^^^, . . . avranno moduli sempre decrescenti
e quindi tendono a zero; possiamo perciò dire che
il valore di quel rapporto è eguale a quello del suo
limite per q = 0. Essendo la «^ , e quindi anche
quel rapporto, funzioni continue di g, il suo limite
per q = è lo stesso del suo valore per q = 0.
Ricordando le serie di definizione delle ^ si trova
subito
^,o,o) = i ^-3(0,0) = 1
'^2 (0, 0)
Relazioni fra 3 (0), ^, (0), ^3 (0), h' (0). 33
oade possiamo infine eonehiadere ohe quel rap-
porto è eguale ad 1, donde la forinola richiesta
V(0) = -(0)^-.(0)-^,(0), (2)
§ 11. Equazione a tre termini per la funzione
dispari 5^. — Yogliamo ora passare alla ricerca
di nna importante relazione cui soddisfa la funzione
dìspari ^^ e che chiameremo Cequazione a tre ier^
mini.
Partiamo dalla relazione CC) nella quale mutiamo
il segno a x\^ cioè intendiamo per il nuoTO x\
non più la quantità
1 / , X
ma sibbene
Allora la formola (C) può scriversi
n ^ixk)- n .^{xk')r=
1=1 k=i
= n ^i(ock)+ n 5, (or//). (1)
dove a;'4 ha però il nuovo significato, non più
r antico.
Le relazioni che legavano le antiche x' alle x
erano relazioni reciproche (v. § 5), cioè dalle x
Pascal. 8
34 Capitolo L - § IL
colle stesse formole si torna alle x ; invece le re-
lazioni che legano le nuove oo' alle x non sono
più recìproche, ma applicando alle x' le medesime
formole si hanno delle nuove quantità x'\ cui ap-
plicando daccapo le stesse formole si torna alle x
primitive; queste trasformazioni hanno cioè una
certa proprietà ciclica di 3.° ordine.
Le relazioni fra le quantità x^ x\ x" (in numero
di 12 > sono quelle espresse nella seguente tabella
^l' = -g- (^, + ^2 + ^3 + ^4)
^2' = '2 ^^^ "^ ^^' - ^3 — ^4)
^3' = -2 (^1 — ^2 + ^3—^4)
^4' = 2" (-^1 + ^2 + ^3 — ^4)
^2' - Y (^l' + ^/ — ^j' - ^4')
1
Equazione a tre termini per la ^i (a?). 35
(la cui si ricavano le forinole inverse
a?2 = — (a?i ' + a?s,' — a?,' + a;/)
^4=2- i^i - ^i — ^i — «'4')
^ì = -^ ^■''»" + **" + ^»" ~ "^^"^
2
a?,' = -^ (a?," - x^" + aJs" + a?,")
^4' - } (a'x" - ce," - X," - a;/')
36
Capìtolo L — !? 11.
^l'- 2 (^1 + ^2 + ^3 ~ ^4) -
•'^2' - -g- (^1 + ^"^2 - ^3 + ^4)
,T^ = — (/Tj ^2 ^'3 •'^4)
E sussiste sempre la proprietà che la somma dei
quadrati delle x^ è eguale a quella dei quadrati
delle a/ e a quella dei quadrati delle ìt", cioè
^1' + x,^ + xs' + x,^ = ar/2 + x,'' + x^'^ + x,'' =
In relazione a queste tre serie di formolo pos-
siamo scrivere altre due relazioni analoghe alla (1),
permutando circolarmente nella (1) i simboli .^,
X • X •
Si hanno allora le due altre formole
II ^iixji:')+ n 5j(a;i.")
n S{xk")- n 5(a;j.) =
n ^, (a-t") + n ^1 (a;/) .
\
(2)
Equazione a tre termini per la ^i {x). 37
E sommando (1) (2) sì ha infine
n -^1 ì^l) + n 3, (x'u) + lì ^1 {x"h) = (3)
kzzl k=l k=\
che è la equazione a tre termini.
A questa equazione possiamo dare un'altra forma.
Poniamo
^1 = 2/1 + 2/2
^3 ^ y» + 2/i
^4 = y3^y4
donde
Si troverà subito che
Xi ^Vi+y»
Xi = y, - y-i
xì ^y^ + y»
x* =yi—yt
. «1" = 2/1+2/4
a^«" = yi — 2/4
a^s" = 2/2 + 2/3
*4 =2/» 2/3 •
38 Capitolo L - § 12.
La relazione di sopra diventa:
^1 (yi + y%) -1 iyi - y^) ^i (2/3 + yù ^1 (i/s - yù +
+ ^1 (1/1 + ys) -1 (^1 - 2/3) "j (^4 + y^) -1 (^4 - y«) +
+ ^1 (j/i + ^4) --1 (2/1 - 2/4) '^1 (2/2 + 2/3) ^1 (2/2 - 2/3) = 0. (4)
Quando tratteremo della funzione <r di Weier-
Btrass questa formola troverà la sua applicazione.
§ 12. Le derivate dei rapporti delle funzioni 5. —
Una delle proprietà fondamentali delle funzioni ^
è questa: che la derivata rispetto ad x del rap-
porto di due qualunque delle funzioni «^, si espri-
me razionalmente mediante i rapporti delle ^,
Per dimostrare questa proprietà partiamo dalle
formolo (1) (3) del § 8, combinate come segue:
-2(0)^3 (0)^1 (a:i+a:a)
5(0) 5(0) ^{x^+x)
^1 (Xj) ' ^2 V^2) "^S w) I '^1 (^2) "^2 w) "^3 w)
_ ^{xi) ^{x^) 5(a?2) "^ 5(a?g) 5(a:j) ^ (x^)
e facciamo le derivate del primo e secondo mem-
bro rispetto ad x^ e poi poniamo cv^ = 0.
Osservando che le funzioni
5,J^ M^
75 (a;) 5 {x)
Le derivate dei rapporti delle funzioni ^. 39
SODO funzioni pari e quindi che le loro derivate
rispetto ad x sono funzioni disparì, e perciò si
annullano per ^ = 0, possiamo semplificare moltis-
simo il calcolo. Otteniamo così
^2(0) MO) r d M5l±^)1 ^
^ (0) ^ (0) [d (a?i + x^) ^ {x^ + x^)U^
\dx^ ^ (a?g) Ja:,=:0 ^ {x^) ^ {x{)
cioè, mutando x^ in x^
^(0) ^(0)da;^(a?) "^ 5(0) 5(a?)5(ic)'
Similmente si procederebbe per gli altri rapporti.
Senza effettuare i calcoli che si condurrebbero
nella stessa maniera noi segneremo qui le fprmole
relative alle derivate di tutti i rapporti delle quat-
tro ^ fra loro,
dx^{x) ^' B^{x)
d ^Ax) _ .^(r.s^iix )^^{x)
dx^{x) ' ^ ^ 5» (a?)
d hipò) ^_^^^^^^^t{x)^Ax)
dx ^{x) ' '/ 38(3.)
dx^c^{x) ' ' ' V(a?)
\
40 Capitolo L - § 13.
^ ^1<^)= 5^2(0) '^(^)^2(^)
dx^^ix) ^ ^ ' ^3^ (x)
d ^t (x) ^ _^2 ^Qj M^) \ {x)
dx^s (x) ^3^ (x)
§ 13. Derivate logaritmiche delle funzioni ^. —
E facile far' vedere che le derivate, a cominciare
da quella del secondo ordine, del logaritmo di una
qualunque delle funzioni ^, si esprimono razional-
mente mediante i rapporti delle funzioni stesse.
Infatti partiamo dalle quattro eguaglianze
^^ (0) ^ (xj-i- x^) ^ [xi — X2) =
•^* (0) ^1 (a?i + X2) ^1 {xi — x.) =
^2 (0) ^2 (^1 + ^2) -^2 (^1 — ^2) =
^2 (0) ^3 (X^ + X2) ^s i^l — X2) =
= -^3' (^1) ^' (^2) - ^,' (^1) ^1' (^2).
La prima di queste formolo è la prima delle
formolo (1) (§ 8, Gap. I) ; le altre si possono
subito ricavare dulia prima aumentando l'argo-
mento Xi rispettivamente di
1 ., 1,1., 1
I
Derivate logaritmiche delle funzioni ^. 41
Per semplicità eseguiamo il procedimento che
vogliamo applicare, per la ricerca delle derivate
logaritmiche, solo sulla prima delle relazioni scritte.
Si ha derivandola rispetto ad x^:
•"' (0)[^' (xi + X2) ^ (a?i -x^)-Hxi + X2) .^' (a?i -x,)] =
= 2 52 {x,) ^ (x,) y (x,) - 2 5,2 {x,)^, te) 5/ Ora)
e derivando una seconda volta, e ponendo poi
Xi ^ Xy X2 = 0, e poi osservando che
sì ha finalmente:
^^2 log w- ^^^^ ^3^^^ ^3^_^^ .
E similmente:
d\ w ^ ^" <0 ■^x" (0) ^' (0)
log .^1 (») = --
;^.log-2W- _5(o) - ^s^o) 3^,7-)
log J3 (a;) =
dx^^ "' ' 5(0) -^*(0) VW
In quanto alle derivate di ordine superiore noi
osserviamo che esse si riducono a derivate dei
rapporti delle ^i ora nel paragrafo precedente è
42 Capitolo L — § le.
stato dimostrato che le derivate dei rapporti delle ^
si esprìmono razionalmente mediante i rapporti
delle ^ stesse ; dunque resta dimostrato in generale
l'assunto.
Vogliamo qui notare le formole per le derivate
terze logaritmiche delle <^, formole le quali si pos-
sono facilmente ricavare mediante i risultati del §
precedente (v. anche § 5, Gap. IV).
^^3log.,,a;j- 2^, (0) ^^3^^^
^^log.3(-) = + 2^7(0)'^"^'^^"''^^"^
§ 14 Alcune formole relative alle derivate delle ^
per argomento zero. — Vogliamo raccogliere in
questo paragrafo alcune formole rimarchevoli che
ci serviranno spesso nei calcoli seguenti. Queste
formole si riferiscono a relazioni esistenti fra le
derivate di ordine superiore delle ^ prese per ar-
gomento zero.
Partendo da
prendendo i logaritmi e le derivate rispetto a log q
e poi servendosi dell'equazione differenziale cui
Derivate delle ^ per argomento zero. 43
soddisfanno la ^ e le loro derivatOi si ha
e. rn c.^^ cl ff cl ff
Derivando ambo i membri rispetto a lo^g e
servendosi ancora delle solite equazioni differen-
ziali si ha
a. V 5. 'If2
'^ 'f_l
-^1 "^1
_p^^ 5g'^ ^3»n /5"2 ^^''2 5^^'2\
(2)
Partiamo ora dalla forraola per le derivate dei
a Q. CL
rapporti -~, -~, -r- date nel § 12 ; deriviamo
primo e secondo membro rispetto ad a?, trasfor-
miamo il secondo membro mediante le stesse for-
molo del § 12 e poi poniamo x'=0.
Si ottengono così le formolo
= 54 \
V ) (3)
"^3
5 "
0.
"^3
a.
•^2
a. rr
•^3
5
a
•^3
5 ''
"'a
5"
a a
5 4
E introducendo invece le derivate rispetto a log g^
44 Capitolo L — § li.
si hanno
d log -^2
dXogq
d log ^3
le altre
d log ^3 __
d log q
dlog^ _
d log q
d log ^2
d log g ""
d
dlogq
d
1 ^2
log . =
log;
log . =
■^2
1 -4
4
4 ^
1 .
"4-3
\
d log q
dlog-^
dlogq
d
4
rflogg
d log q
<
Dalle formolo per le derivate logaritmiche delle ^
ottenute nel § 13 possiamo ottenerne delle altre.
Facciamo le derivate quarte logaritmiche delle S^
pari e poi poniamo (v^^O. Tenendo presenti le
formolo per le derivate terze, effettuando lo svi-
luppo della quarta derivata del logaritmo di cia-
scuna ^^ e servendoci ancora delle formole per le
derivate dei rapporti delle ^ (v. § 12) si hanno le
altre formole
^'"^ ^"^ ^ . . \
a IV a r'2
-^ 3 -^— = + 2 .^* ^9^
a ^^ Q. 2 ' 2
•^$ «^3
Vogliamo finalmente dimostrare un' altra for-
mola.
Derivate delle ^ per argomento zero, 45
Dalle (1) (2) opportunamente combinate si ha:
-s|:+5f^)'=-3(^:+...)+
+'[(tT+-1+4t¥+-]-
Ma dalle relazioni (3) quadrando e sommando
sì ha
|(TT+-]-[T^f+-]:=2-<-''*V + V)
onde possiamo scrivere
+ 9 [( j V + ...]- 2 (.»« + 5,« + 53«. .
Ricorrendo ora alle forinole (5) si ha
|x+-]-3[(t^J+-]-
= - 2 (5,< V + V ^^-^ V) = - (^« + V + -^s" .
onde infine
-3^7 + 5-^- .3« + .3," + 5.«. (6J
1 "'a
46 Capitolo 7. — § 15-
e
§ 15. Punii-zero delle funzioni ^. — Le funzioni
sono funzioni intere (olomorfe) dell'argomento oc;
ciò risulta immediatamente dalla definizione, per-
chè abbiamo dimostrato che se mod g < 1, le serie ^
sono convergenti, cioè hanno valore finito per qua-
lunque ar finito; dunque non c'è alcun punto od in
cui una ^ è infinita; esse sono perciò funzioni
intere.
Ci proponiamo in questo § di ricercare quali
sono i punti del piano complesso oc nei quali cia-
scuna delle quattro ^ ha valore zero.
Sappiamo già che essendo -3^i una funzione di-
spari, essa è zero per a? = 0. Essendo poi (v. § 3)
^1 (a? + ^) = — '^i M
.^, {x — i log g) = — q"^ e-^^ ^1 (a?)
la medesima funzione ^^ (x) è zero anche in tutti
gli infiniti punti della forma
x = mT^ — niìogq
dove m n sono numeri interi qualunque positivi o
negativi.
Come si vede, vi sono dunque in tutto il piano
infiniti punti-zero della funzione «3^1 {pc).
Possiamo ora semplificare la ricerca nella se-
guente maniera:
Segniamo nel piano complesso il parallelogrammo
Punti-zero delle funzioni •^. 47
che ha per vertici i punti
a? = — tlo^ g
OC = t: — i log q.
Dividiamo il piano, con rette parallele ai lati
(li questo parallelogrammo, in infiniti parallelo-
grammi eguali a questo. Considerando il punto
x = come appartenente al parallelogrammo fon-
damentale, ad ogni altro parallelogrammo sarà ap-
partenente uno ed uno solo degli infiniti soprase-
gnati punti-zero di ^j.
La ricerca allora si riduce a questo: esaminare
se neir interno di uno di tali parallelogrammi,
per es. nel fondamentale, esiste un altro punto-
zero di ^1. Se esiste un tal punto in uno dei pa-
rallelogrammi esisterà in tutti, per effetto delle
sopracitate formolo; e se quindi non esiste in uno,
non potrà esistere in nessun altro. Onde se noi
troviamo che nel parallelogrammo fondamentale
non esiste altro punto-zero di ^i , possiamo dedurre
che nel piano non esistono altri siffatti punti oltre
quelli già indicati, che sono tutti i vertici della
rete di parallelogrammi in cui si è diviso il piano.
Ricorreremo ad un teorema fondamentale nella
teoria delle funzioni analitiche, che cioè se si ha
una funzione analitica intera ^ {oo), e si calcola
r integrale
2r.tj <ù[x) 2^4./ dx
48 Capitolo L — § 15.
esteso ad un contorno chiaso, il valore di un tale
integrale è esattamente un numero intero, e rap-
presenta il numero degli zeri che la funzione ha
nell'interno del contorno (teor. di Cauchy).
Calcoliamo ora l'integrale
esteso a tutto il contorno del parallelogrammo
fondamentale. Si ha:
dove si intende che gli integrali sono calcolati
percorrendo tratti rettilinei fra i due limiti.
Questa espressione la possiamo scrivere
-^IJ dlog^i(a;)+J dlog^^(X; +
- i\ogq
r-iìogg ro 1
+ j d\og-^i(x + 'K) + ì dlog^i{x-ilogq ì =
Ò 7/
2ti i[J ^i[x— ilogq]
f-i\ogg S,(X + ^)
Punti-zero delle funzioni ^. 49
e tenendo conto delle relazioni del § 3 si ha:
1 r^ * 1 r *
= j~\ diogeni = J^A 2idx = L
In forza del citato teorema possiamo allora
coQchìudere che nel parallelogrammo fondamentale
la ^x {x) non diventa zero che una volta sola, e
propriamente nel punto x = Q, Dunque:
1.** i soli punti-zero della funzione dispari ^i
sono quelli della forma
x^=mT^ — ni log q.
Le altre tre funzioni ^ godono anche della pro-
prietà di possedere un solo punto-zero in ciascuno
dei parallelogrammi. Perchè sappiamo dalle solite
formole del § 3 che si passa da ^^ a ciascuna
delle altre aggiungendo all'argomento un semi-
periodo. La ^i così modificata è eguale ad un'altra
della ^ moltiplicata per un fattore costante e per
un fattore esponenziale.
Ora questo fattore esponenziale non può diven-
tare ne zero ne infinito per valore finito di x^
dunque si ricava che , per es. , ^ (x) diventa zero
solo nei punti in cui diventa zero
3^2 (a?) diventa zero solo nei punti in cui lo diventa
^(^ + y^);
Pascal.
50 Capitolo L — § 16.
e -^3 ix) diventa zero solo nei punti in cui lo diventa
-.(«+}.-fnog,).
Abbiamo dunque che:
.2.® I soli punti-zero della funzione ^i {x)
sono quelli della forma
a: = — i log q + m'T* —ni log q ;
3.** I soli punti-zero della funzione ^2 (^)
sono quelli della forma
X ^ — — Tt + mTc — ni log q ;
4.° / soli punti-zero della funzione ^f^ix)
sono quelli della forma
a; = — — TT + - - f log g + w w n i log q
dove m n sono numeri interi qualunque positivi
o negativi.
§ 16. Sviluppo delle funzioni ^ in prodotti infi-
niti a due indici. — Una funzione intera (olomorfa;
cioè che non ammette infiniti a distanza finita,
come sono appunto le funzioni ^) può secondo la
cosiddetta formola dì Weierstrass svilupparsi in
un prodotto infinito, ogni fattore del quale ha per
radice uno dei punti-zero della funzione olomorfa
stessa. E la generalizzazione della scomposizione
in fattori di un polinomio razionale intero.
Soiluppo delle ^ in prodotti infiniti. 51
Siccome i puoti-zero delle funzioni ^ formano
nel piano una doppia infinità di punti, così natu-
ralmente lo sviluppo delle ^ in prodotto infinito
sarà uno sviluppo in prodotto a doppio indice.
Noi non ci fermeremo qui sul modo di ricer-
care un tale sviluppo, perchè queste formolo non
ci occorreranno per le cose che diremo in seguito
e qui le diamo solo per rendere più completa la
nostra raccolta di formolo.
Esse sono le seguenti:
m,n
^1 (^) = ^-/ {0)xnli ^- — )
^,[x) = ^, (0) Il /l ~ — ^- \
Si possono poi trovare delle formolo per le quali
le ^ restino sviluppate in un prodotto infinito
ad un solo indice; ogni fattore allora è un'espres-
sione trigonometrica avente infinite radici.
Per brevità tralasciamo di dare questi altri
sviluppi.
CAPITOLO II.
LE FUNZIONI ELLITTICHE DI LeGENDEE
§ 1. Introduzione della funzione amplitudine di
Jacobi, e dei moduli k, k' di Legendre. — Poniamo:
Dalla relazione (1) § 10, Gap. I si ha allora
subito la relazione
P + i'«=l.
Le quantità k, k' le chiameremo moduli comple-
mentari.
Facciamo ora le seguenti altre apposizioni.
Poniamo
== sen ^ [jd)
1
^8 (0) ^ (X)
Funzione amplitudine. 53
e teniamo presente la seconda relazione (4) § 9,
Cap. I che possiamo scrivere come segue
Si ha allora che
^j(0) ^{x)
= co ) <p. (3)
E infine scrìvendo la (3), § 9, Cap. I sotto la
forma
-(0) Sr^ix)
^8(0) ^{Xj
si ha che
"V U(0) 5 la;)/
^(0) ^8 fa') i/ì 71
MO) J^ = Vl-/.^sen^
(4)
In questa maniera resta introdotta la quantità «p.
I rapporti delle tre funzioni ^j ^j ^3 alla funzione
3^ si esprimono in modo facile tutti mediante la «p,
e propriamente mediante le funzioni trigonome-
t riche seny, co s <p, Vi — ^^ sen^ 9. — La funzione
Vi — ^* sen* <p si suole indicare col simbolo A (p.
Mediante le formolo precedenti la 9 resta defi-
nita come una certa funzione di or. Per mettersi
d'accordo colle formolo che si trovano ordinaria-
mente nei libri, noi introdurremo qui in luogo di r,
54 Capitolo IL - § 1.
l'argomento
V = 532 (0) . T,
La 9 sarà funzione di v e, seguendo Jacobì,
questa funzione la chiamiamo amplitudine^ e la
rappresentiamo col simbolo amv\ le funzioni se-
no-ampUttidine v, coseno-amplitudine «;, delta-am-
plitudine V che corrispondono a seno di <p, coseno
di <p, delta di 9 le indichiamo coi simboli abbreviati
sn i?, cn V, dn v.
Riassumendo abbiamo allora le formolo:
a.
a
{00)
•^2 (X)
= \/i sen cp r= \l ksnv
a
ix) I k Ik f
— =^-,cos9-y^-,cni? («?=VO..t}) (5)
- Y-c = -Tzz A a. = -— dn ^?
-(^) VA:' \lk'
Le tre funzioni sn «? , cn v, dn 1; corrispondono
alle tre funzioni ellittiche di Legendre. Scopo di
questo capitolo sarà lo studia di queste tre fun-
zioni. Queste funzioni si esprimono poi algebrica-
mente i'una per l'altra mediante le formole
sn^ V + cn^ i' - 1 ]
dn* t? + P sn* t? = 1 )
Teorema d^ addizione, ecc, 55
^" --111 II -- - I ■■_■ ■ ■ I ■■■ I .. ■ Il ■ ■■■ . ■ ■»— ■■.-■- , ^^■^■^^^^p.^^^^^^^^— ^h— — ^^
§ 2. Teorema d'addizione per le funzioni ellitticlie.
— Una delle proprietà importantissime delle fun-
zioni ellittiche è quella contenuta nel cosiddetto
teorema d'addizione, e che si riduce a questo : fra
la funzione presa per V argomento v^ ± t^g, e quelle
prese per gli argomenti semplici Vi, v,, esiste una
relazione algebrica razionale; e propriamente la
prima si esprime razionalmente mediante le sn,
cn, dn prese per gli argomenti sémplici t?i, v^.
Colle formole che noi abbiamo già stabilite, pos-
siamo assai facilmente dimostrare questa proprietà.
Ed infatti combinando fra loro le formole (1) (3)
§ 8, Cap. I, possiamo scrivere
5(0) 5(0; 5(.ri=ha?2)
flW h (^2) -^8 (^2) ^' ^1(^2) ^^2 (^1) -^sK)
5 (a;,) 5(a?g) 5(ar^) {^x^) ^(x^) ^[x^)
5(0) 5(.ri ±x^)
•^2(^2) -^iK) •^i(««) •^s(-n) ■^sW
5(itj) ''' 5 (ari) 5 (ari) 5 (a-,) 5(.07g)
5i*(«-i) 5,«(x,)
58 Capitolo IL — § 4,
~ — - - I - Il UBI! ■ ' " ■ -
nella forinola (2) e nelle sue analoghe, una tal corri-
spondenza è risoluta rispetto a 9. Ora ci Togliamo
proporre il problemi^ inverso; risolvere quella re-
lazione rispetto ad a?; vedere cioè in che modo «?
si esprime mediante la 9.
Troveremo che x si esprime mediante un inte-
grale di cui uno dei limiti è 9, e che si chiamerà
integrale ellittico di 1^ specie.
Teniamo presente la prima delle formolo del
§ precedente, sostituendo rispettivamente sen <p,
cosf, A<p, alle funzioni sn y, cut;, dnt?.
Introducendo la derivata rispetto a 'p possiamo
scrivere
sen © . -j— = ^2^ (0) . cos «p . A '^
cioè
d^ ' * dx
cos <p . :^ = ^3^ (0) . cos 9 . A «p
ax
donde immediatamente:
2 = V(0)AT
= .V(0;\/n-/!-'sen«l'
e quindi
^^-V(0).^= f- — ^-? (1)
J v'i - Z;^sen*9
Formala di inversione, ccc, 59
supposto che la corrispondenza f ra 7 e rr si voglia
fissare in modo che per 9 = anche x = 0.
Da questa forinola si vede per quale ragione,
come abbiamo avrertito nel paragrafo precedente,
si suole prendere per argomento delle funzioni sn,
cn, dn, non la semplice quantità or, ma la quan-
tità ^^^[Q),x\ in tal maniera si viene a prendere
per argomento addirittura tutto l'integrale che sta
al secondo membro e che ha una fondamentale
importanza nella teoria delle funzioni ellittiche.
Dalla formola superiore appare inoltre un'altra
cosa, ed è che le funzioni ^ servono a risolvere
il cosidetto problema d'invasione^ cioè il problema
di esprimere il limite superiore 9 dell'integrale
ellittico mediante l'integrale stesso che è or, a meno
di un fattore costante. La formola (2) § 1, evidente-
mente risolve in tutto questo problema. Si potrebbe
cominciare una esposizione della teoria delle fun-
zioni ellittiche, col proporre prima d' ogni altro
questo problema d'inversione e col cercare di ri-
solverlo.
Il Legendre risolvette il problema coli' introdu-
zione delle funzioni sw, cn^ dn^ di cui studiò le
varie e singolari proprietà.
Fu Jacobi che si imbattè per il primo, nei suoi
studi sulle funzioni ellittiche, nelle serie ^, (vedi
Fundamenta Nova^ Opere voi. !.**), che poi egli
in una posteriore Memoria {Theorie der ellipti-
schen Functionen, aus den eigenschaften der The-
tareihen ahgeleitet^ Opere, I, pag. 499) pose a capo
di tutta la teoria delle funzioni ellittiche.
Si chiama integrale completo l'integrale esteso
60 Capitolo IL — § 4.
ir
da9 = 0ao = — intendendo che il cammino d'in-
tegrazione sia il cammino rettilineo lungo l'asse
reale.
Un tale integrale si suole indicare colla lettera K.
Se invece di formare l'integrale col modulo k lo
si forma col modulo complementare k\ allora l'in-
tegrale completo corrispondente lo si indica con K\
Si ha quindi
c?<p
\ll — k^
2
sen*«p
(2)
d<p
\/l~Ai'«sen«<p
intendendo che i cammini d'integrazione sieno i
tratti rettilinei fra i limiti segnati.
Passiamo ora a esprimere i valori delle 3^ per
argomento zero mediante le costanti K^ k.
Consideriamo i rapporti
e poniamo in essi x = —,
Tenendo presenti le formole del § 3 quei rap-
Formala di inversione^ ecc» 61
porti possono trasformarsi ponendo:
Mi)
h (0) - ^^
(J)
Mediante le formole (5), § 1, Cap. II, si ha di
qui
sen © = 1
cos © =
donde
dove n è un numero intero ignoto.
Sostituendo nella formola (1) si ha
2 j s^T^c
* sen^ j>
Il secondo membro di questa formola è indeter-
I minato, fissato che eia il numero w; perchè resta
62 Capitolo II — § i.
non ancora fissato il cammino dHntegrazione ; per
ogni cammino d'integrazione, il numero n dovrà
avere uno speciale valore, perchè Y eguaglianza
sussista. Ora noi fissiamo che il cammino d'in-
tegrazione debba essere il cammino rettilineo. —
Allora il numero n può facilmente determinarsi
nel seguente modo: dovendo quella relazione sus-
sistere per qualunque valore Ai^q^ poniamo g-^0
nel primo e secondo membro. E facile allora ve-
dere che k = perchè
^2(o,o) = o --3(0,0) = 1
e quindi l'integrale diventa
.(4w+l>|
TU
d^^-yin + l) — .
E evidente allora che n non può essere che
zero perchè il primo membro diventa semplice-
mente 9 -^ .
Possiamo allora conchiudere la formola
n
\''">'-Sn=-
^ — -«■
k^ sen^ jp
dove il secondo membro è K perchè il cammino
d'integrazione è il cammino rettilineo giusta ciò
che abbiamo fissato.
Espressioìie del modulo q mediante k, 63
Di qui si ha :
Ì2K
m-\i— (3)
Dalle (1) § 1, Cap. II si hanno subito le altre
formole
^a
2Kk
, : (4)
(0) - f-s:
Mediante queste formole la relazione fra la a? e
la V resta trasformata così :
§ 5. Espressione del modulo (/ mediante k, —
Noi abbiamo definito k mediante una formola in
cui compariscono i valori delle ^ pari per argo-
mento zero, e che quindi dipendono solo dal mo*
dulo q.
Ora ci proponiamo di rìsolTere il problema in-
verso: trovare q mediante k. Ci serviremo di un
procedimento di Jacobi.
Partiamo dalle due formole di cui già ci siamo
serviti precedentemente
h (0, q) - -^8 (0, q^ì + ^2 0, q^}
^ [% q) = ^3 (0, q') - ^2 (0, q^)
64 Capitolo II. — § 5.
ladichianio con &4, A4', K^, Kl le quantità ana-
loghe a i-, h\ K^ K quando invece del modulo q
si sceglie il modulo g*.
Servendosi delle formolo (3) (4) del § 4, e delle
due ultimamente segnate, possiamo scrivere le
due altre:
donde dividendo
e risolvendo rispetto a k^ si ha
\lh---
w
Queste due formole si prestano ad un' impor-
tante osservazione.
Se noi partiamo dal modulo k^ per formare il
modulo A4 dobbiamo servirci della formola pre-
cedente, cioè dobbiamo formare prima il comple-
mentare di k che è k\ e poi mediante la formola
1 - \lk'
ì + fk'
formiamo il k^. Immaginiamo ora di partire, an-
ziché dal modulo A, dal modulo A^^ complemen-
tare di A4. Allora dobbiamo trovare prima il com-
Espressione del modulo q mediante k. 65
plementare dì Jc^' che è k^^ e poi calcolare
l-\/g
Ora per la forinola di sopra, questa espressione
è esattamente V^'; dunque possiamo conchiudere
che se partiamo da ^^4' e eseguiamo lo stesso pro-
cedimento che occorre per calcolare Ì4, dato che
sia k, giungiamo a k\
Possiamo allora dalla formola trovata sopra
K= (1 + ^k,y K,
ricavarne un'altra mutando
k
in
k^
K
in
s,'
k'
in
h
IC
in
^4
h
in
k'
K,
in
K'
h'
in
k
k:
in
K
le quali trasformazioni si
ha la
(i + \/-
h'Y K'
•
Pascal.
66 Capìtolo IL — §5.
donde
essendo
R^ K
{i+m(i+\iQ^2.
Questa forinola ci mostra un'elegante proprietà
del rapporto dei due integrali completi K\ K,
Questa proprietà è la seguente: se si conside-
rano K J5l' funzioni di g, e se si muta q in ^^
il rapporto -r, resta moltiplicato per 4.
Come si vede è questa una proprietà analoga a
quella della funzione logaritmica. Per modo che
la funzione
Kìogq^
deve restare inalterata, mutando q in q^; e così
analogamente mutando poi q^ in q^^^ in q^\ ecc.
E poiché la serie di grandezze g, q\ q^^^ q^\ . . .
è formata di quantità in valore assoluto sempre
più piccole e tendenti allo zero (perchè mod g < 1),
così possiamo dire che il rapporto
Klogq
è eguale al suo limite per ^ = 0. Resta dunque
a trovare il valore di un tal limite.
Espressione del modulo q mediante k. 67
Per g = anche 4 = 0; dalla formola di defi-
nizione di k, tenendo presenti gli sviluppi in serie
delle 3^, si rieaya che
7.2
»m --=--1.
g=0 Io q
Inoltre per /»; = il R tende a ~ ; quindi pos-
siamo dire che
,. iTlogg t: ^^^16
hm — j^,— = -- hm — -,- .
Ora si può far vedere che il limite che com-
pare al secondo membro è eguale a — 2.
Si ha così infine la formola
A"
■"' K
q^e ^. ' (1)
Dovendo q avere il suo modulo minore di 1, si
K'
ricava che il rapporto -^ deve avere la sua parte
reale positiva diversa da zero.
Per dimostrare che
V
68 CapUolo IL ~ § 5.
•> — » —, I. .1 ■■■■■■■ ■ ■■■■■ I m ^^^— . ■ I I . _,. ■ ■— ^—— MM^ m m • I I ■ I— ^^-^»
0, ciò che è lo stesso,
lim-^ = l
procediamo nel seguente modo.
Essendo
2
I i/1 _ ^'««^«2
Vi — A;'* sen* 9
colla sostituzione
=» A tg ©
si ha
h' ■ '^^
reo
^1 \/T
\/,l + ;82)(A:'« + 2j2j
che possiamo scrìvere in forza di una proprietà
elementare degli integrali definiti, e in forza dei
cosidetti teoremi del valor medio,
, . > . /^ dz
+
i + ii
k\ \ ^^1+»»
zV'/k,x y^
Espressione del modulo q mediante k. 69
dove con i sìmboli
Wl + «Vo,
V*
(\/'+li
•T,
00
si intendono valori di quelle funzioni in paren*
tesi per valori di z compresi rispettiyamente
fra e \/X, e fra \lk e e».
Ora facciamo nel primo integrale la sostituzione
z
e nel secondo integrale la sostituzione
Z=z
1
u
Allora ambedue diventano eguali a
du
Vl+w^
Si ha quindi
/i' =
Wl + «Vo,VF
+
1
1+-2
k
VT du
^l + u^'
70 Capitolo IL — § 5,
Ora
J Vi + u*
^" = log (« + \/r+^)
onde l'integrale precedente è eguale a
^""^ih "^ V ^ "^ i) =^^^ \/f + ^«er (1 + \/r+i).
Il primo fattore nell'espressioDe di /iC' è eguale
a 2 + >) dove n è una quantità che tende a zero
con k; onde possiamo infine scrivere
(2+>;)(-2-Iog|+log2 + e)
essendo e una quantità che tende anche a zero
con k ~ 0. Si vede quindi che il limite di
pi'f
log ,--f21og2
cioè di
K'
^'^ì
ò l'unità, come si volea dimostrare.
§ 6. Periodicità delle funzioni di Legendre. -• Le
funzioni di Legendre si esprimono come rapporti
delle ^; ora queste si riproducono quando Targo-
Periodicità delle funzioni di Legendre. 71
^ ■ 1^^ - ^^■^^^■■ ■■ >.——■■ I — , ■■..■-■■■ ^ - ■ — — ■ -■ ■ - ■ — — ■■■—■*■■■ ■■--■ ■■■! ^
mento a: si aumenta di
TT, ~ i log g,
dunque possiamo dire che le sn, cn, du, si do-
vranno riprodurre q\iando x si aumenta di questo
quantità, ovvero, ciò che è lo stesso, quando v si
aumenta di
Queste due quantità, per effetto delle formolo
(3) § 4, e (1) § 5, sono rispettivamente
2 A", 2ÌK\
Possiamo adunque fin da ora prevedere che le
quantità 2K^ 2iK* dovranno comparire nello stu-
dio della periodicità delle funzioni di Legendre.
Per trovare le formole corrispondenti basta te-
ner presenti le formole del § 3, Gap. I e le (5) § 1.
Gap. II. Si hanno allora le seguenti:
sn(i; + 2£) == — sni;
cn (v + 2 jK^ = — cn t?
dn (t) + 2 K) = dn t?
sn (t^ + 2 i K^) = sn v
cn (v + 2 i K') = — cn t?
dniv + 2iK') = — dnv\
Da queste appare che, a differenza delle 3^, que-
ste funzioni si riproducono non moltiplicate per
(1)
72 Capitolo IL — § 6.
altro fattore che dbl, e ciò sia per il primo pe-
riodo 2K^ che per il secondo 2iK\
Aggiungendo opportunamente all'argomento v
un' altra volta le quantità 2 K^ 2i K' si possono
ottenere formolo i cui secondi membri sono tutti
positivi.
Da queste formolo appare che:
1.® snt? resta inalterato in valore e in segno,
aumentando l'argomento di
4iSr, 2iK\
2.* cn«^ resta inalterata aumentando T argo-
mento di
3.^ dn i) resta inalterata aumentando l'argo-
mento di
2K, 4.iK\
A differenza delle ^ le funzioni di Legendre
sono funzioni periodiche nel senso puro. Le ^
invece si riproducono ma moltiplicate per un fat-
tore.
Si possono poi nella stessa maniera ottenere le
formolo che danno la trasformazione delle funzioni
di Legendre quando l'argomento si aumenta delle
i
Zeri e infiniti delle funzioni di Legendre, 73
semplici quantità f, iK\ Si ottiene così:
sn {v + K) =
cn (v + -ST) = — k
àn{v + K) =
on
'-\
dn V
, sn V
dnt?
ànv
(:?)
m{v + iK') =
cn(t? + tZO =
dn(t? + iiir') =
1
i'sni?
dnr
ik^ViV
cnv
i sn V /
§ 7. Zeri e infiniti delle funzioni di Legendre. —
Dalle cose dette per le funzioni ^ è facile rica-
vare in quali punti le funzioni sn, cn, dn diven-
tano zero infinite.
Consideriamo la prima delle tre funzioni; essa
diventa zero nei punti in cui lo diventa ^i (a?),
e diventa infinita nei punti in cui ^{x) diventa
zero.
Questi punti sono in numero infinito ; ma a
noi occorre notare quelli che sono compresi nel-^
l'interno del parallelogrammo fondamentale dei
periodi.
Chiamiamo parallelogrammo fondamentale dei
74 Capitolo IL — § 7.
periodi per la funzione sn v quello che ha per vor-
tici i punti 0, 47ir, 2iK\ 4:K+2iK\
Dividendo il piano delle v in infiniti altri pa-
rallelogrammi congruenti a questo, ad ogni punto
del piano appartenente a qualunque altro paralle-
logrammo, corrisponde sempre un punto nei paral-
lelogrammo fondamentale in cui la sn ha il mede-
simo valore.
Cosi per la cn v il parallelogrammo fondamen-
tale ha per lati 4 JiT, 41 K'; e per la dn v ha per
lati 2K, 4i K\
Tenendo presenti i risultati del § 12. Cap. I si
ha che le tre funzioni diventano infinite nei me-
desimi punti della forma
v = 2mK+i27t+ì)tIC
Nello stesso modo gli zeri di sn v sono della
forma
v~2mK + 2niK';
quelli di cnv sono
. v — {2m + l) K+271ÌTC
e quelli di dn v sono
v = {2m + l)K+{2n+_l)iK'
§ 8. Degenerazione delle funzioni ellittiche di Le-
gendre. — Togliamo esaminare che cosa diventano
le funzioni ellittiche quando il modulo ìc acquista
dei valori limiti. Allora esse degenerano in fun-
Degenerazione delle funzioni di Legendre. 75
zioni ordinarie, e propriamente diventano secondo
i casi o fuQzioni trigonometriche o funzioni espo-
nenziali. Considereremo prima il caso di k = 0.
Allora
rfcp
— ■
diventa semplicemente
V
= r<"=
E poiché 9 = am V si ha che la funzione ampli-
tudine diventa la variabile stessa.
L'integrale completo K diventa eguale a
E poiché y^ = 1 si hd,
7t
2
n
IC =
d^
J
coso
ir
lOff
1 + tg -J
1
'^j.
30.
76
Capitolo II — § 8.
— n-
K'
Essendo poi g = e -^ si ha g' = 0, e quindi le
funzioni ^ diventano rispettivamente
= 1
=
=
= 1.
La funzione dn v diventa eguale ad 1, e le fun-
zioni snr, cnv diventano rispettivamente senv,
C08 V.
Passiamo ora al caso 4* = 1 i'* = ; allora vi-
oeversa si ha ^=00, K' =
2'
L'argomento v diventa
log
l+tg-l
1-tg
1
2 Ji)
V
1+tg
?
= log
l-tgl-
Degenerazione delle funzioni di Legendre, 77
donde
si
ha
•^1
_i+tg|
^««' — 1
« +1
SD V
= sen «p = —
cut?
~^T PAa fn ■■ ■ . .,
2
1
dnt?
= COS 9
Come si Tede, le funzioni ellittiche diventano
funzioni esponenziali. In quanto poi alle serie ^
esse diventano delle serie divergenti perchè il mo-
dulo q diventa eguale ad 1.
CAPITOLO III.
LE QUATTRO FUNZIONI <T DI W:plIEÌEtSTIlASS,
§ 1. Costruzione della funzione cr dispari. — Le
funzioni di cui discorreremo in questo capitolo e
la funzione p di cui si tratterà nel capitolo se-
guente, sono di data recente nella scienza; esse
surrogano rispettivamente le funzioni ^ e le fun-
zioni an, e/?, diXy e hanno su queste il vantaggio
di soddisfare ad alcune proprietà più semplici.
Per il calcolo numerico però si prestano sempre
meglio le antiche funzioni ^ i cui sviluppi in serie
soddisfanno a leggi molto semplici.
La maggiore importanza teorica delle ^ rispetto
alle <^ si trova nella teoria della trasformazione
lineare dei periodi, di cui parleremo in seguito.
Per una trasformazione lineare di periodi le ^
si scambiano fra loro moltiplicate per un fattore
esponenziale di 2.® grado, e invece le <y si scam*
biano fra loro semplicemente»
Le funzioni <r di Weierstrass non sono che le ^
di Jacobi moltiplicate per un fattore esponenziale
di 2.<> grado.
Costruzione della funzione <? dispari. 79
Esaminiamo con che criterio si iucomincia col
costruire la <7 dispari.
Poniamo :
T. ti
2 w
dove w è una quantità costante di cui troveremo
poi il significato, e w è il nuovo argomento che
vogliamo sostituire a ^^* ovvero a v del capitolo
precedente.
Formiamo allora la seguente funzione
Ce^'^'^A-r)
dove A^ C sono due costanti tali che lo sviluppo
di quella espressione secondo le potenze ascendenti
di w, manchi del termine in u^, e abbia l'unità per
coeflSciente del primo termine.
Essendo .^i una funzione intera di x o, se sì
vuole, di t/, e inoltre una funzione dispari, la fun-
zione sopra scritta sarà ancora intera e dispari^ e
quindi il suo sviluppo in serie conterrà solo le po-
tenze dispari positive di w.
Colla formola del Taylor cerchiamo questo svi-
luppo, si ha
C.-..(^3 = [2C.„...-..(^^)
+
80 Capitolo HI. — § 1.
+
[r+6CAJL...v(i^)
+ "-«-^(^1^1; + ...
8(0
s
dove si è indicato con T l'assieme di tanti ter-
mini che vanno a zero per w = 0, e dove eviden-
temente tutti i termini che moltiplicano u^ vanno
a zero.
Eseguendo i calcoli si ha dunque
= f^V(0).« +
Vogliamo ora determinare C, A in modo che sia
zero il coeflSciente di w', e che sia 1 il primo coef-
ficiente. Poniamo perciò
2w ~^
Costruzione della funzione <j dispari. 81
7X2
^^^'^^>+24^^V''(0^'=^
donde
c= '-'
: .^i' (0)
1 ^^ 5/"(0)
24<o«^,'(0)*
La funzione così ottenuta la chiamiamo o (u);
abbiamo cioè per definizione della <s dispari di
Weierstrass la formola
Si noti però che qui coi simboli 3^/3|'" si in-
tendono le derivate fatte rispetto ad a? e non ri-
spetto ad il.
Ponendo
''■" Ì2 co 5/(Ò)
SI ha infine:
, , 2« |-i„« M2co/
Pascal.
82 Capitolo III, — § 2.
§ 2. Introduzione delle ire <t pari. — Come ab-
biamo costruito la ff dispari mediante la ^ dispari,
così con formole assai analoghe possono costruirsi
le <r pari. La <t dispari è il prodotto della ^ di-
spari per una costante e per un fattore esponen-
ziale di 2.^ grado; la costante è determinata in
modo che sia 1 il coefficiente del primo termine
dello sviluppo in serie.
Le tre <r pari risultano formate Della stessa ma-
niera; il fattore esponenziale di 2.® grado è il me-
desimo per. tutte le,<r, ed abbiamo visto, per il
calcolo fatto, che è propriamente.
1 »? ,
e la costante è determinata poi sempre in modo
che sia 1 il primo coefficiente dello sviluppo.
Abbiamo allora tutti gli elementi per costruire
le tre «^ pari; per uniformarci alle notazioni abi-
tualmente adoperate notiamo che le tre <r pari si
indicano coi tre indici 1, 2, 3, e che propriamente
^1 ^2 ^3 corrispondono rispettivamente alle funzioni
Si hanno cioè le formole
i
Introduzione delle tre « pari. 83
1
^u. "^(2 J
costruite appanto, sempre col medesimo fattore
esponenziale, e in maniera che per u = tutte
queste funzioni diventino eguali ad 1.
Non vogliamo tralasciare di notare una proprietà
di queste <f pari ed è che lo sviluppo in serie del
prodotto delle tre ^ pari manca del termine di 2,^
ordine in u.
In effetti lo sviluppo della prima di quelle <y è
e così per le altre, e quindi lo sviluppo del pro;*.
dotto è
[3 »! , li:W(0) , V(0) , ^"(0)\1,.,
1 2 « "^ 8 <»«\ ^, (0) "^ ^8 (0) "^ ^ (0) lì
1 +
Ora per effetto della relazione trovata in fine
del § 10 Cap. I la quantità dentro parentesi è
3 A 1^* \"' (0)
2 o) "^ 8 w* 5/ (0)'
che è identicamente zero per effetto del valore di
1 dato nel § precedente. Con ciò resta dimostrata
la proprietà enunciata.
84 . Capitolo ni. — § 2.
Questa proprietà è importante per il fatto che
si generalizza al caso iperellittico ; mediante essa
potrebbe calcolarsi il fattore esponenziale che oc-
corre per la costruzione delle <y mediante le ^^ e
che noi abbiamo calcolato nel § precedente con
una via diversa.
Nel caso iperellittico questa proprietà sussiste,
ma non sussiste invece più quella di cui ci siamo
serviti nel paragrafo precedente per il calcolo del
fattore esponenziale.
A proposito del fattore esponenziale, che come
si vede ha molta importanza in questi calcoli, noi
vogliamo osservare che esso può porsi sotto la
forma:
e tenendo conto delle equazioni differenziali
soddisfano le 3^, possiamo scrivere
^'' (0) ^ .aiogg
3(0) .^(0)
^ ^glog3(0)
glogg
e quindi il fattore esponenziale è
CUI
l_7i« aiogl^(0)^«C0)^80)] ^^.
g 6 w* 'id^ogQ
Questa forma per il fattore esponenziale è assai
\
Formale di periodicità delle ^. 85
caratteristica, ed essa trova poi la sua perfetta
generalizzazione nel caso iperellittico
§ 3. Formole di periodicità delle funzioni tr. ~
Poniamo
log q:=ÌT.zz=zÌTZ
introducendo così una quantità o>' come prima ab-
biamo introdotta la quantità cd.
Dovendo q avere il suo modulo minore di 1, e
quindi log q la sua parte reale negativa, si ha che
w'
= T deve avere la sua parte immaginaria po-
sitiva diversa da zero.
Essendo poi
^ u
2(0
sì vede ohe i due incrementi dell'argomento x
ir = ^ x = — i log q
che compariscono nelle formole di periodità delle ^^
corrispondono agli incrementi di u
w=r2w, w = 2w'.
Ne ricaviamo quindi che le a devono, a meno
di un fattore, restare inalterate quando P argo-
mento u si aumenta di 2 co, ovvero di 2 to'.
Le quantità 2 co, 2 oi' si sogliono chiamare i mo-
duli di periodicità di 1 .* specie, ovvero periodi di
1.* specie,
86 Capitolo III. — § 3.
Py H H.I.»^! ■■ ■! ^»l^ ^ ■■■■ ■■! W^». ■ » «^^ ■■«■ ■■ ■■ !!■■■■ ■■■*■■— II^M.IW »M ■ WW ^ ■■■■■■ I I 1 ■■ I ■■ I II ■ I ■
co'
Dovendo — avere la sua parte immaginaria
positiva diversa da zero, si ricava che i punti
w = 2 w, w = 2 w'
non staranno allineati col punto i^ = 0; questi tre
punti quindi formano i vertici di uu parallelo-
grammo con area diversa da zero.
Disegniamo questo parallelogrammo che chia-
meremo parallelogrammo fondamentale dei periodi^
e immaginiamo poi scomposto tutto il piano in tanti
parallelogrammi congruenti come si è fatto al
§ 7 del Gap. IL
Vogliamo ora trovare le formolo di periodicità
delle <f. Si ha, partendo dalla definizione
<u + 2.)=^--e^^ __
71 ^/ {0)
5 (M f 2 <0'; ^
^ '^ V(0;
(0* . U ^ Uì'
"it #.T— , . 2»— (w+w'j
= ' e *^ *^ (T{u)e "*"
Formale di periodicità delle <?. 87
e ponendo
7»' =
0)
cioè
(1)
7) to) — 7]' (0 = -— -
si ha
<y > + 2 w') = - ff (w) eVC^H-^').
Come si vede, mediante le notazioni introdotte
si ha in queste formolo una rilevante simmetria ;
ma c'è ancora dippiù, ed è che le formolo di pe-
riodicità delle altre <7 sono le stesse di queste
(salvo i segni). Inoltre è notevole questo, che se
vogliamo calcolare
<r («« + 2 w") (ponendo («>" = &) + ««>')
si ha un formola perfettamente simile solo che
invece di w, rj ovvero di w', tq' ci sono le quantità
u>'' = w + co'
In effetti
9{u+2 ^") = - d (W + 2 to') e2v(t*+2a)'+co)
= <r [u) e2'?'(w+w')+27(w+2w'+w)
— ^ Ji) e2('7+'?>+2^co-}-2>?'a;'+4;?w'
88 Capitolo III. ~ § 3.
e per le formole (1) si ha
Nella stessa maniera possiamo trovare le for-
molo di periodicità delle altre tre <r pari.
Si trova:
di (U + 2 w) := — g2/;(M+w) ^^ (^^)
G, (U + 2w'; =r -f e2'/(«+'«>')ffi (w)
<72 (W + 2 to') = + ^2//(u+a,)^^ fj^)
(73 (W + 2 w) = + e2v(«+w) ag (i/ì
<T3 (W + 2 oj') = ~ e2v'(**+w'}^g (^^),
(2)
Come si vede in queste formole e in quelle re-
lative alla <r dispari, il fattore per cui è moltipli-
cato il secondo membro è sempre il medesimo ed
è propriamente
ovvero
secondochè si tratti dell'aggiunzione del periodo w
ovvero del periodo w'.
Una osservazione bisogna aggiungere relativa-
mente a queste formole ; abbiamo detto che il fat-
tore del secondo membro è sempre il medesimo ;
ma non e invece lo stesso il segno, I segni sono
Forinole relative al caso^ eco, 89
propriamente i seguenti :
per la <r i segni sono — , —
per la ^1 „ — , +
per la <s^ „ + ', +
per la <i3 „ + , —
intendendo che il primo segno si riferisca alla
formola del periodo 2 w, e il secondo alla formola
del periodo 2 o>'. Si vede che quelle quattro coppie
di segni esauriscono tutte le possibili combina-
zioni.
Le quantità 2^1, 2 v)' si sogliono chiamare moduli
di periodicità di 2.* specie^ o periodi di 2^ specie.
Essi si possono esprimere colle formolo
"^ • a (0)) ' '"' ' <J (to') ' '' (7 (cu")
che si possono facilmente ricavare derivando le
formolo di periodicità di <r e poi ponendo t(=— co,
— o>', — cd" rispettivamente.
§ 4 Forinole relative al caso in cui l'argomento
si accresce di semiperiodi. — Quando l'argomento
si accresce di semiperiodi, cioè delle quantità w, w'
allora le ^ si scambiano fra loro, coll'aggiunzione
di un fattore esponenziale.
Questo fatto che si verifica per le funzioni ^,
si verifica naturalmente anche per le ff ; però al so-
lito per le <r le formolo relative hanno una mag-
giore simmetria,
90 Capitolo in. - § 4.
■ I ■■ - ■ - I ■ ■■ , I «Il II I M. M ■ I »—^i^— ■■■■■ ■ ■■■■■ ■ ■■ «Il ■ ■ ■ ■ ■ I ■ ■ ' «■«■■l^Bi^^ViVWaHP*^^
Per trovarle bisogna tener presenti le formolo
del § 3, Cap. I. Si ha:
1 » •*i('» + -T"l
,(„+„) =^,2» V(0)
Da queste forinole potrebbero trovarsi facilmente
quelle relative alle 9^ ^2» ^3-
Essendo poi
(T (0) -= = <i (2 (o) = d (2 to') = (j(2 0)")
si ha
Inoltre sì possono avere subito le seguenti altre
formole:
(jfo)')
Forinole varie relative alle <r, ecc. 91
ff (w) =r ^* ;
§ 5. Forinole varie relative alle a, ricavate da
formolo per le ^. — Dalle ultime formolo del pa-
ragrafo precedente, tenendo presentì le relazioni
fra le -^ e -^i' per argomento zero, si ricavano su-
bito le due relazioni
<j (to) <j (b/) <j (to'') = i V * — r e^
92 Capitolo in. — § 5.
Dalla 1.' delle forinole (4) del § 8, Cap. I per
fl/g — «Z/j^ SI lift
5 (0) 5, (0) ^3 (0) .:-, (2 ^) = 2 5, (.r) 5 (X) 5^ (jr) 53 ( r).
Sostituendo alle ^ le <x corrispondenti, ^a questa
formola abbiamo subito l'altra:
(7 (2 w) r= 2 <r (w) <Tj (ti) ^2 (w) «^3 (w).
§ 6. Equazione a tre termini per la funzione o
dispari e forinola d' addizione per la stessa fun-
zione — Sappiamo che la funzione ^i (a?) soddisfa
alla cosiddetta equazione a tre termini (v. Cap. I,
§ 11.) Ora è facile mostrare che ad una simile
relazione soddisfa ogni funzione formata moltipli-
cando la ^i per un fattore esponenziale di 2.'' grado,
e quindi anche la funzione <t.
In effetti, teniamo presente la formola (4) § 11.
Cap. I. Essendo il primo membro di quella formola
omogeneo rispetto alla <^] , se questa si moltiplica
per un fattore costante C, ogni termine resta molti-
plicato per C**. Inoltre moltiplicando ancora ^i per
un fattore del tipo
e^^\
il primo termine della formola resta moltiplicato
per
e gli altri termini restano moltiplicati per il me-
desimo fattore, come è facile yerificare.
Equaz. a tre termini per la funz, disp. <r. 93
Possiamo conchiudere che ad una relazione del
tipo (4) § 11. Gap. I soddisfa non solo la -^i (x),
ma qualunque altra funzione del tipo
e quindi anche la ff ''w\
Possiamo dunque dire che la <t soddisfa alla re*
lazione
<y (wi + W2) ^ (^h *- W2) <r («^3 + ^h) ^ (% — ^h) +
+ 5 (wg H- W3) ^ (^2 — W3) ^ 0^1 + W4) * i^i - W4) -*-
+ <y (% + Wi) <y («3 — Wj) ff (wo + W4) <y (t^2 — W4) = 0.
Di qui possiamo ricavare un'altra formola inte-
ressante.
Poniamo
«1 = tfs — e.
Si ha allora
^ (wi + «2) ^ (^^1 ^ «^2) «y (2 % — ^ (*) +
+ <i (Wa -*■ W3) ff (W2 — W3) ^ Uh + «8 — ^) ^ (^^l "' W3 + 2) +
Deriviamo ora rispetto ad e :
ff (wi + U2) ^ (wi — W2) X
X [<^(2W3-0^'W-''(2W3- l)(l(4)] +
+ T (% + W3) ^ (Wg ~ M3) X
X [— g' {ui + W3 — e) T (^1 — tls + e) +
94
Capitato TU " § 6.
X [- ^' (^2 + W3 — <y (w2 — «3 f +
+ ff («a + Mj — e) <j' (W2 — W3 + 01 =
e ponendo « = e osservando » (0) = 0, <t' (Oj « 1
si ha:
» («*i + Wa) <^ (wi — Wj) <y (2 W3) 4-
+ ff (Wa 4- W3) <J (We — %) ff (Wi + W3) ff (^^i -
[■
<l'(Wi
W3) _^ (J' (Wj
<y (Wi + W3) <r (wi - Ws
+
^ r g'(%-^^2) j <y'( %~«8) |_Q
l 5 (% - Ws) ^ {us 4- a,) J
donde
<T (Wi + Wg) ^^ (wi — U2Ì
<^ (t/2 + W3) <T (W2 — %) <^ (Wi 4- Ws) ff (Wi — f^)
1
'<''(Wi + W3) ^'(Ui—U^)
+
<r (2 Ws) L <y (wj + M3) (<r Wi — Us)
cr' (Wa + %) <»' (W2 — W«)
+
o(Wa— W3) <r(W2 — W3)
]•
In questa formola porremo u^ = 0. Per condurr©
più facilniente i. calcoli cominciamo col porre:
? (w) =- V- log 'f (w) =--7-T- ;
Introduzione delle quantità ei e^ ^3, ecc. 95
allora
= lim
lim T^r r
«,=0 <'(2W3)
!^ (wi + W3) — !! (wi -^ W3Ì
2W3
Analogamente
,j^ g («^ + %) - g (t^ - ><») ^ /. log , („^)
«3=0 <^(2ws) du^
onde infine possiamo scrivere:
^(w, + 1*2)^(^1 — %)_ ^
<i* (wi) ff2 (w^)
d^ , , . d«
che è in certo modo una forinola d^ addizione e
che ha una grande importanza in tutta la teoria
delle <T.
§ 7. Introduzione delle quantità «1 e^ e^f degli in-
varianti ff2 ffa e dei discriminante à.
Per ottenere delle formolo più simmetriche, ci
conviene introdurre tre quantità che avranno una
grande importanza nelle cose che avremo a dire
in seguito, e che acquisteranno poi un significato
96 Capitolo III - § 7.
più semplice di quello che risulta dalla definizione
che qui ne daremo.
Queste tre quantità costanti le chiameremo ei e^ e^
e restano definite dalle formolo
1
3
feF*^'^'.'
Ricordando la relazione fra le quarto potenze
delle ^ per argomenti zero
3-1 _L 5-4 3-4
si possono ottenere le altre formolo semplici
\^e7^=^ = ^,V \ (2)
y/..-,, = --53
a
3
y
È facile trovare immediatamente dello relazioni
che legano le e col modulo k introdotto nel capi-
tolo precedente.
Introduzione delle quantità ei e^ ^3, eco, 97
Dalle (1) § I. Cap. II si ha subito
ei — e^
^/2 -— ^1 ~"^g
(3)
^1 — ^8 ;
e dalle forinole di definizione si ha subito
^1 + ^i! + ^3 = 0. (4)
Queste formole sono fondamentali e si potreb-
bero assumere per definizione delle e, salvo che
esse non riescono a definire le e che a meno di
un fattore di proporzionalità.
Mediante queste quantità possiamo subito tra-
sformare alcune formole già trovate avanti. Per es.
si è trovato
si ha quindi subito
t? = — V^i — ^3 • ^ - — Y^i — ^3 27, = V^i — ^3 . w
e per la (3) § 4. Cap. IL
K
77 = V'^i - ^3
donde ricordando le formole
. tot K'
Pascal.
98 Capitolo III. — § 7.
sì ha
ìK'
o,'
K
-v/e, -
^3 —
0)
U
(5)
A questo proposito non vof^liamo tralasciare di
stabilire altre formole e altre notazioni di cui do-
vremo poi servirci in seguito.
. Prima di tutto indichiamo con A il discriminante
delle quantità e^ e^ ^3, cioè poniamo propriamente
A = 16 («1 - e^f fe - e»y [e^ - e^f.
Mediante le relazioni di sopra si ha allora:
(6)
(0)
r^Ìi:P'
Con questa formola possiamo mettere sotto altra
forma il fattore di proporzionalità fra le ^ e le ^
di cui abbiamo trattato nel § 2 di questo capitolo.
Tal fattore può porsi sótto la forma
^48 tu» a log 7 ''\ (7)
Introduciamo infine i cosiddetti invarianti g^ g^.
Introduzione delle quantità ei e^ ^3, ecc, 99
Poniamo
— 4 (e^ €2 + e^e^ + e^ Pì) -= ffi
Allora abbiamo subito le. espressioni.
4
92 = g [{^2 - <^i) (^2 — ^?) + (^i ^3)1
e per effetto della relazione che si ottiene formando
i quadrati di ambo i membri della nota relazione
fra le quarte potenze delle ^ pari per argomenti
zero, si ha
Inoltre
Mediante ^2 5^3 U discriminante A si può espri-
j mere colla formola
100
Capitolo UT. - § 7.
Le quantità g^ g^ possono chiamarsi moduli alge-
brici a differenza delle quantità w, 0/ ovvero t^, >ì'
che possono chiamarsi moduli trascendenti.
Prima di terminare questo paragrafo dobbiamo
aggiungere qualche osservazione sulle quantità
Consideriamo il poh'nomio che ha per radici le
quantità e^e^ e^j
cp (2j) = 4 (2; — e^) (z — gj) {z — ^3)
■^iz^ — g^z — ^3.
Questo polinomio di 3.® grado può considerarsi
come un polinomio di ^'^ grado di cui sia zero il
primo coefficiente, cioè di cui una delle radici sia
l'infinito.
Supponiamo dato un generale polinomio di quarto
grado
ao 2?"* + 4 «1 :2* + 6 a, 2:^ + 4 «3 « + a^.
Nella teoria delle forme si studiano i cosiddetti
invarianti delle forme^ cioè quelle funzioni dei
coefficienti, che restano inalterate quando la va-
riabile si sottopone ad una trasformazione lineare.
Si dimostra che esistono, per il caso del polinomio
di 4.** grado, due soli invarianti^ che risultano
così formati mediante i coefficienti :
y = tìTo a4 ~ 4 a, a3 + 3 ag*
t^^
Qq (Il «2
ai «2 ^3
tìTa «3 a4
Relazioni algebriche fra le quattro <j. 101
Ora nella forma del poliaomio © {z) è notevole
questo, che se si calcolano tali invarianti si trova
semplicemente
cioè gli invarianti funzionano da coefficienti del
polinomio stesso. E siccome poi si sa dalla stessa
teoria delle forme che due polinomi di 4.® grado
i quali hanno i medesimi invarianti, sono sempre
trasformabili V uno nell' altro con una trasforma-
zione lineare della variabile, così possiamo dire
che, assegnato un polinomio di 4.^ grado i cui
coefficienti sieno tali che gli invarianti abbiano
per valori i valori di ^21 ffdt si potrà sempre tra-
sformare quel polinomio, con una trasformazione
lineare, nel polinomio <p (z). Non possiamo entrare
in maggiori dettagli e perciò dobbiamo supporre
nel lettore cognizione, almeno sommaria, dei prin-
cipii della teoria delle forme.
§ 8. Relazioni algebriche fra le quattro <t. Bela*
zioni in cui compariscono due argomenti. Formolo
d'addizione per i rapporti delle <r. — Tenendo pre-
senti le formolo (2) (3) (4) del § 9, Gap. I, si pos-
sono ricavare subito le relazioni algebriche esi-
stenti fra le quattro <j; si hanno quattro formolo
assai semplici, di cui due sono conseguenza delle
altre.
102 Capitolo IlL - § 8.
Esse souo
^i' («) - <^3' iu) + {e, - e,) a^ {u) =
S' in) - ^,^ 0/) + fe - ^,) ^2 (u) =
^3^ M — ^2^ («*) + (^3 — e^ <y^ (w) =
fe-^2) ^1^ («) + («1-^3) V (w) + (^2-^]) ^3^ (w) =
Possiamo ora ottenere delle relazioni nelle quali
figurano due argomenti indipendenti W| ii2 ; tali
relazioni si ottengono naturalmente trasformando
quelle ottenute nel § 8 del Cap. I.
Dalla (2) § 8. Cap. I, si ha
^ (wi + U2) <y (ih — U2) =
= ff^ 0<i) ff»* .^^2) - ^*^ («1) ^^ O'a)
e dalle ^^4) § 8, Cap. I, insieme colla prima delle
(3) si ha
<7 (% ~ U2) ^i {ih + «2) "= ^* (wi) ^ («*i) ^y (W2) ^J^ Uh) —
— <yf (%) <y (Wa) <^>(«i) ^A- (wi)
dove ìy/c rappresentano una permutazione degli
indici 1, .2) 3.
Dividendo membro a membro queste formole
si ha il teorema d^addizione per i rapporti delle
tre <r pari alla ^ dispari. Si ha la formola
^'i {ui + U 2) _
<y (ui 4- Uì)
<y^ (Wj) <y/^ (^^>) — «^ (w,>) ^*' (wi)
liekiZ' fra le fitnz, di Legendre e le <r* 103
§ 9. Relazioni fra le funzioni di Legendre e le
funzioni ff. — Le funzioni di Legendre si espri-
raouo come rapporti delle ^, e quindi potranno
esprimersi come rapporti delle <i; le formolo cor-
rispondenti sono molto semplici e sono le seguenti
su il = V^i — 63
cn y — - > r
^3 (w)
^3 («0
dnt7 =
"2 (w)
(T
3
(«)
donde otteniamo le altre
<7,
(T
1 OÒ 4/ cn t?
\/eT
Cs
(W) SQ I?
ff (2«) sn V
^3 0«) 1/ 1
ff {il) sn 1;
§ 10. Omogeneità delle ^, delie cr, e dei moduli.
— Fra le funzioni ^ e le <i c'è una differenza ri-
marchevole che ora vogliamo porre in vista.
Consideriamo sia le ^ che le <?, dipendenti tutte
dall'argomento w, e dai moduli o>, o>'. Ora è facile
mostrare che tutte queste funzioni sono tutte fun-
zioni omogenee delle tre quantità w, w, oj' ; ma che
inoltre le ^ e le <x pari sono omogenee di grado
104 Capitolo in. — § 9.
— ■ - — - - — - _
zevo^ mentre che la <y dispari è omogenea di
grado uno.
Per le forinole
2w
0/
log q = ÌTz
si vede che se w, o^, 0/ si moltiplicano per un fat-
tore, sia 00 che q restano inalterati.
Possiamo dunque dire che anche le ^ e quindi
le sn, cn, dn restano inalterate, cioè souo funzioni
omogenee dì grado zero di w, oj, w'.
Dalla formola di definizione di «r (u) si vede in-
vece che la <T resta moltiplicata per il medesimo
fattore, per cui si moltiplicano w, w, ««>'.; cioè
(T{ru;r w, r w') = r <i (u; o>, tu')
da cui si ha che la a è una funzione omogenea
di grado 1.
Per completare questa ricerca dobbiamo esami-
nare come si comportano tutti gli altri moduli in-
trodotti nei paragrafi precedenti.
Noi abbiamo introdotto nei paragrafi precedenti
le due altre quantità
A-, A" ;
poi le altre
i
I
>i, •'i ;
Omogeneità delle ^, delle a, e dei moduli. 105
poi ancora le altre
ei e^ «3 colla relazione ^i + «j + ^3 = 0;
e poi finalmente le altre
Queste sono tatte quantità costanti, indipendenti
cioè dairargomento u^ ma dipendenti naturalmente
dai moduli w, w'. È facile vedere che ne dipen-
dono tutte omogeneamente^ ma con gradi diversi
di omogeneità.
Moltiplicando oj, oj' per una stessa quantità, K K'
restano inalterati perchè
log <7 = — t: —
dunque K K^ sono omogenei di grado zero.
Dalla formola di definizione di y\ (v. § 1, Ca-
pitolo III) si vede facilmente che 'ì resta moltipli-
cata per v^ se «w w' si molti pacano per r; e lo
stesso per v]' come risulta da (1) § 3, Gap. III.
Dunque: '^', ìi' sono omogenei di grado — L
Dalle (1) § 7, Cap. Ili si vede che ei e^ e^ sono
omogenei di grado — 2; e infine di qui si ricava
subito che g^ è omogeneo di grado — 4, e g^ è
omogeneo di grado — 6,
Considerando la <t come funzione di w, ^g, g^ si
ricava quindi la formola
106 . Capitolo IIL - § IL
§ 11. Punti-zero delle funzioni e, — Dalle for-
inole di definizione delle <?, e dalla ricerca fatta
nel Cap. I riguardo ai punti-zero delle funzioni ^,
possiamo subito trovare in quali punti le ^ diven-
tano zero. Si trova
ff (u) diventa zero in tutti
i punti della forma 2mo) -\-2n 0/
(Il (ti) ^ (2m + ì)oi + 2n o>'
T2OO V (2?n ^l)oi-f-(2n-H)<o'
(73 (li) „ 2 m oc + (2 n + 1) 0/
m, n rappresentando sempre due numeri interi po-
sitivi negativi.
§ 12. Scomposizione delle 9 in prodotti infiniti
doppi i. — Come le ^ così anche le ^ si possono
scomporre iu prodotti infiniti doppii; noi, come
abbiamo fatto per le ^, raccoglieremo qui solo le
formolo definitive, tralasciandone la dimostrazione
dettagliata
u . 1 w*
/w,«\ IV J
'du) = e-r-'" u li - ±)
fH,H\ '■ ì f
^ivi '1 tvr
dove
IV = 2 m IO -f- 2 M w'
Wi ~ (2 m + 1) oi 4- 2 n «•/
trcj = (2m + l)o) + (2;H- 1)^'
ir3 = 2/«w + (2n + l)</.
Degenerazione delle funzioni <7. 107
§ 18. Degenerazione delle funzioni <r. — Ricer-
cheremo ora che cosa diventano le o nel caso limite
in cui g =
Nel caso ài q =^0 %v ha k = 0, e quindi dalle
formole (8), § 7, Cap. Ili, risulta subito che
e, = ^3 = a
cioè due delle quantità e risultano eguali fra loro;
perciò il discriminante ^ risulta zero, e
ei = — 2 a.
Dalle (1) § 7, Cap. Ili si ha allora
Consideriamo i rapporti
•^1 (^) _ ^^^^ ^ — ^^ ^®^ 3 i37 + ecc.
^/ (0) " ^1 — ^q'^'+Vgq.
^g (x) _ cos 0? + 7^ cos 3 0? + ecc.
■^2(0)
\ -\- q^ V ecc.
^s(O)
1 + 2 q' cos 2 a; + ecc.
^3(0)
1 + 2 g + ecc.
B{X)
1 — 2 (/ cos 2 a? + ecc.
5(0) l-2g + ecc.
110 Capitolo IH. — § 14.
dalla nota relazione data dal teorema di Eulero. Al-
Tequazione differenziale di cui si parla, si potrebbe
perciò dare sempre una forma nella quale com-
parisse solo una dello derivate rispetto ai duo
moduli omogenei, però allora si perderebbe molta
simmetria, e si introdurrebbe poi necessariamente
la derivata prima di <r rispetto ad u. Ora volendo
eliminare questa derivata prima, volendo cioè ot-
tenere anche per la i una forma dell'equazione
differenziale in cui non entri la derivata prima
rispetto ad u ma solo la derivata seconda^ corno
già si verifica per le funzioni ^, bisognerà neces-
sariamente introdurre le derivate sia rispetto ad oj
che ad to'; ovvero sia rispetto a g^ che a ^3; que-
ste due derivate entreranno allora combinate in
una certa maniera speciale e propriamente sotto
la forma
Perciò noi, prima di passare alla ricerca del-
l'equazione differenziale cui soddisfa la <?, vogliamo
fare uno studio preliminare sull'operazione
9 w g (O
che chiameremo operazione D.
Così ci sarà agevolata la ricerca posteriore.
Il problema principale che ci proporremo in
questo paragrafo sarà di trasformare questa ope-
razione in un'altra, nella quale invece di compa-
rire le derivate rispetto ai moduli trascendenti
Studio delV operazione T). Ili
<•>, w', comparissero le derivate rispetto ai moduli
algebrici g^ g^.
Dalla formola di definizione si ha immediata-
mente
/)„/ =:— 2/ì'
7>o" = — 2//'.
Inoltre tenendo presente che
to'
logg = « TU -
si ha
I i T*' f to'
1 i) Ioga = — 7) <•» — it^—^ D w =
I
yj' e./
= — 2 i ^ 1- 2 / ir - - r,
I "~ ~" w2
servendosi della formola di relazione fra w, «•>', >j, y/.
I Passiamo ora a mostrare che
' Z)A=zO
cioè che l'operazione D applicata sul disoriminante
A^ = ^2'^ — 27.(73^ dà per risultato zero; o questa è
la proprietà fondamentale dell'operazione D.
112 Capitolo III. — § 14.
Partiamo dalla forinola (v. Cap. Ili, § 7)
7a = W— 0. 2 5i'(0)
e applichiamo l'operazione D al primo e secondo
membro. Essendo identicamente
possiamo scrivere
7 (Tsr o 5
8
1 _J- /it*r «i --
dìogq
=\/lh-^'V<o.-.>..-^^]
e servendosi dell'equazione differenziale delle ^ e
della forinola per la >;, cioè:
dìogq 4 ^ ^^
_ _ 1 ^ V'jo)
''"" 12 w 5,'(0)'
il secondo membro della formola precedente di-
venta identicamente zero. Con ciò è dimostrato il
nostro assunto.
Studio dell'operazione I). 113
Cerchiamo ora di trasformare l'operazione D in
un'altra nella quale non entrino più le derivate ri-
spetto ad w, io', ma quelle rispetto agli invarianti
ff27 9zt ^h^) come si sa, possono considerarsi moduli
equivalenti ai moduli trascendenti o), w'.
Così trasformata, l'operazione D prenderà la
forma
d9% dg^
e resta a trovare -4, 5, che dovranno in generale
essere funzioni dei moduli.
Dalla proprietà ultimamente dimostrata si trova
subito quale deve essere il rapporto di queste due
quantità.
Applichiamo una siffatta D al discriminante A
e poi eguagliamo a zero il risultato.
Si ha
donde.
A ^ 2.27^3 ^ 18.y,
B 3^./ g.^ '
Possiamo dunque dire che
j) = h\lSg,-^i-g^^\
l og^ oga)
dove resta ancora a trovare il fattore h il quale
in generale potrebbe a sua volta essere ancora
Pascal. 8
114 C(fpltolo III, ~ ^ IL
funzione dei moduli; noi però dimostreremo che
è un numero, e propriamente eguale a - .
ò
Per giungere a questo risultato dobbiamo co-
minciare col cercare l'effetto dell'operazione D
sulle quantità ^i, ^21 ^s-
Essendo
^e!? — g2ea-'g^ =
si ha
10 'àdea dea
09% 9%
Ao 9'd^a dea
Ó9ò d 9z
d ea ea
d9% 12 ea^ — g^
dea__ 1
d99~ 12 ea^—gs'
Quindi possiamo scrivere
n, _r. ^^9&ea+g^^
Dea — n -T^ — i
12 ea^ — ^2
, 18 . 4 eo? e/i e y + g^
~ 12 e^a — ^2
dove a, p, Y sfl'lvo nell'ordine sono gli indici 1, 2, 3.
Studio dell* operazione Z>. 115
Essendo
■ ea + e/i + ey —
si ha ancora
1 ^. , 18.4
ea? [e fi ey
+ ea (ea
12 ea^ -
-92
+ ey)\ +
.</.'
18. 4(
^J eJ —
1 1
- 4 92
-r92^
= h~ —
12(?a2
9^1
--A(6e«2-
-92)'
Di qui ricaviamo subito
D(e^--e^) = %h{e,^ — e^^)
= 6^(ei — e2)(6i +^2)'
e servendoci delle forinole che danno le e me-
diante le ^ per argomento zero (v. § 7, Gap. Ili)
si ha
Z)((?i~^2) = 2A-2 3MV + V).
IO*
Cerchiamo invece di trovare in altro modo l'e-
spressione di Diei- 62) partendo cioè dalla for-
inola
116 Capitolo JIL - § li.
Applicandovi l'operazione D sotto la prima forma
si ha
'^^ „ a^ ^^ ai d log ^
w^ oj* d log g
ed essendo
/)(^l-^2) = -^»^^--i^^
12 o^Ua -^3 -^Z
__ 1 ^V dlog.^2 , ^ log -^3 , d log ^ \
3 oj \ d log g d log g d log g/
si ha infine
D (e^ — ^a) =
^jr^^^l gdjOg^ rfl0g^2 ^l0g^3
3 w* ( dìogq dlogq dìogq)'
Tenendo ora presenti le formolo per le ^ da noi
trovate nel § 14, Cap. I e paragonando i due ri-
sultati ottenuti per D {ci — e^ si ha infine
Si ha dunque infine
9 . 1.2 i.
= 12^3^—+ -5-i)'2
dgt 3 3 ^3
Studio dell' operazione /). 117
Col trovato valore di h si ha allora
Dea = 4: e<? — — g^.
D
Vogliamo ora trovare 2>>].
Operando direttamente si ha
od essendo per eiFetto dell'equazione dìiFerenziale
delle 5:
d ^i"' 1 ^/ , 1 /5,"'\«
rflogg ^,
si ha riducendo:
Ora noi dimostrammo (v. § 14, Gap. I) che la
quantità dentro parentesi è esattamente eguale a
58 + V + V
che, come sappiamo, è proporzionale a g^\ quiodi
118 Capitolo II L - § 15.
si ha
I>'i = ^9i''''
Essendo
si ha:
o>' /) VI + V) Z) oi' — (.) D y/ — vi' Z> w =
donde
E cosi anche
§ 15. Derivate dei moduli trascendenti di 1." e
2^'^ specie rispetto ai moduli algebrici, e dei mo-
duli di 2.'' specie rispetto a quelli di 1.* specie. —
Vogliamo utilizzare le formole trovate, per trovare
le derivate dei moduli trascendenti cioè o), <o' ov-
vero /], /j' rispetto ai moduli algebrici g^^ g^.
Le quantità w, w' sono funzioni omogenee di
^21 g^ di grado 1, se g^ si considera del grado — 4
e ^3 di grado — 6; in altri termini sono funzioni
_ 1 _j_
omogenee di grado 1 di ^, *, ^3 ^. Quindi ap-
Derivate dei moduli trascendenti^ eco, 119
plicaado opportunamente il teorema dell'omoge-
neità si ha
092 093
Intanto si ha
Do) = 12^3 - — + — g^^ - =-2ri
92 3 d93
dunque risolvendo si ha
d92
d9B
Ponendo tq^, o>' in luogo di */), 03 si avrebbero le
formolo per le derivate di w'.
Collo stesso nietodo possiamo trovare le derivate
dei moduli trascendenti di 2.* specie >i, >i' rispetto
ai moduli algebrici.
La relazione di omogeneità (sapendo che n è
omogenea di grado — 1) dà
92 93
Questa insieme con
r\ 10 01,2 o^vi 1
92 ^ 093
(U
120 GapUolo III — § 15.
(là
11
d9ì
^^[-^^.gzo^+^g.'-]
dir ^U '' "' ~ -2 'n-
Sostituendo le lettere cogli apici r/, o)' alle >), w
si hanno le formolo per le derivate di r^\
Finalmente calcoliamo le derivate di tq, 'ì' rispetto
ai moduli trascendenti di 1.* specie w, t.>'.
La relazione d'omogeneità dà
OJ -j-W — -- = 7)
e intanto
7) /) -^ - 2 V) ^ 2 ri - — ^ = - ^2 0)
g co g (•> b
onde
d
d
'i 2*71 , A
dA 2 ili 2 2\
Col solito scambio si hanno poi le derivate di v,'.
Derivate del discriminante^ eco* 121
^ 16. Derivate del discriminante rispetto ai mo-
duli trascendenti di l.*" specie. Espressione note-
vole dai moduli trascendenti di 2.'' specie. — La
definizione della quantità ^ ha relazione colla de-
finizione del fattore di proporzionalità fra le a e
le ^ il qual fattore, come si sa, è esattamente
2 tu'
-^--'*'
Ora nei paragrafi precedenti noi ci siamo occu-
pati di dare all'espressione di n varie forme.
In primo luogo >i si può esprimere mediante il
rapporto - —; poi mediante la derivata rispetto a
log^ del logaritmo del prodotto delle tre ^ pari
per argomento zero; infine mediante la derivata
rispetto a log q del logaritmo del discriminante ^
(v. Gap. Ili, § 1, 2, 7).
La quantità y\' poi si definisce in una maniera
affatto diversa, e le due formole non hanno fra
loro alcuna analogia.
Ora vogliamo dare una nuova forma della quan-
tità >), forma la quale ha il vantaggio di rappre-
sentare in una maniera perfettamente simmetrica
ambedue le quantità o, ^'.
Consideriamo che l'operazione D applicata al
discriminante A dà per risultato zero, cioè
Inoltre il discriminante ò funzione omogenea di
122 Capitolo HI, ~ § 16.
_i »1
grado — 12 in ^9 ^, ^s ^, e quindi è funzione
omogenea di grado — 12 in w, w'; onde possiamo
scrivere
(0 1-03 — - = — 12 A.
Risolvendo queste equazioni si ha
donde
d^
d"*'
24f ,
3«' "
24 «•
= -Ari-
le
n =
ÌTt d log A
24 a^'
i'-
i TT 9 log ^
24 a w
Queste sono le due formolo che noi cercavamo.
§ 17. Equazione a derivate parziali cui soddisfa
la funzione <? dispari. — Le .^ considerate come
funzioni del modulo log q e deirargomento co sod-
disfano ad un'equazione a derivate parziali sem*
plicissima, che è sempre la medesima per tutte le
quattro ^ e per tutte le derivate di qualunque ^.
Il fatto che tutte le ^ e anche tutte le loro de-
rivate rispetto ad oo^ soddisfanno ad uua medesima
equazione differenziale semplicissima costituisce
Equaz. differenziale per la ^ dispari. 123
certamente una elegante proprietà delle funzioni
(li Jacobi.
Per le <r non accade precisamente lo stesso, ma
ogni 's soddisfa ad un'equazione differenziale di-
versa.
Per ritrovare quella cui soddisfa la <y dispari
non c'è che trasformare l'equazione cui soddisfa
la ^i che differisce da <r per un fattore.
Partiamo dalla formola
^» ^^) = ^ ^^' ^^^ *~ '^"* ' w
e formiamo le due derivate
■ 81ogg
e poi eguagliamole fra loro.
Considerando che il secondo membro è espresso
mediante u e che la relazione fra ^ e w è
2oj'
abbiamo :
^^L^A = 5/ (0) r 2 -"' [ - -^ w ^ (u) + ^' M
124 Capitolo HI. - § 17.
lW = 2r.,.(o),-ÌÌ"'[(5!„.-iL).(„)-
^' (u) + ^" (w)] .
2r,
Calcoliamo ora la derivata rispetto a log q.
Possiamo scrivere, in virtù dei risultati dei pa-
ragrafi precedenti
/> ^1 (u) = — i D log g = — -z-, ^
*^ ^ Ologg ^^ 91ogg «'^^
donde
a ^1 ^ ^^
aiogg ~" 7J
= -^i)5,(^)
dove però si noti che siccome il primo membro
è calcolato nelPipotesi di x costante, cosi in tale
ipotesi deve essere calcolato anche D^i(x)'^ ma
essendo poi ^i {x) espresso mediante una formola
contenente u e non x^ nel calcolo dell'operazione D
non bisogna pensare u costante, ma tener conto che
{2x \ 2x
Du = D\- m\— - D
(O
2ui\
Equaz* differenziale per la ^ dispari. 125
Si ha allora
dlogq 2 ic
--,V(0)»(m)jD<.> +
y 2 w IO /
-lV(0)a(
(0
+ — -^i' (0) {D 9 (m) + a' (m) i) m)
(O
Ora
Z) 5/ (0)
"(i)-
^)z>i.g,=-{v(0)i.i.g,.
-3-.^,'(0)
«0
-Z)ri--,Z)to
(0
(xl
2
1 ^ 2>)«
uy
onde infine riducendo si ha
glogg W |\(o2
1(S»'-^)'«
2 - M a' (m)
0/
- j2<72W*ff(w) + i)ff(w)]-
126 Capitolo IIL - § 17.
Eguagliando questa espressione con quella pre-
cedentemente ottenuta e riducendo, si ha la rela-
zione
che è l'equazione differenziale per la <j dispari.
§ 18. Equazioni a derivate parziali cui soddi-
sfanno le tre funzioni <i pari. — Con un calcolo
analogo a quello del paragrafo precedente pos-
siamo calcolare l'equazione corrispondente alla
funzione ^x (w). Dobbiamo perciò partire dalla for-
mola:
^2 (a?) = ^2 (0)^2"^"* ai (w).
La formola per
risulta simile a quella analoga del paragrafo pre-
cedente, però col fattore — ^ , invece di , e col 1
cambio di -^i' (0) in ^g (0). I
La formola per
3Iog^
Equaz. differenziali per le <i pari, 127
risulta
»4.J2>^--'.4>'[..(.)i)^.(0)-
- ^o (0) oi (m) (-^ m« Z)- + - «< Dm] +
\Z oj fa) /
+ ^a (0) (2) <7, (w) + ^' {u) D u)].
Intanto al solito
I)^AO) = -
0)2
dlogg
e servendosi delle formole (4) del § 14, Gap. I,
si ha
[3 log ^2- log V]
dlogg
3 d5j, 1 d^/
^2^l0gg ^l'dlogg
^ 3 rf5, 5/^
'^2^1ogg 4^i'
donde ricordando che
1 / ir \2
130 Capitolo IH.
—
§19.
*7 = — 65-3
A 9 2
*9 = -4 9i
bn-^ — 18ff,ff3
i,3 -3» 2^3*
*
3.23 3
-g ff/
• • • *
Analogamente possiamo procedere per le <r pari.
Ponendo
<5i {u)
- 1 + hé^^ 2!
1 • • •
si
ha subito
<
hi
.(•) - Z> fe,*-
.2'') et hn-'.
ì(.-) -
(n-
-1)(2«-
■ 3) . ,. ,.,
Si badi però che in questa formola nell' appli-
care l'operazione D bisogna tener conto che i coef-
ficienti b possono essere funzioni esplicite delle
quantità ei e^ e^^ e quindi bisogna allora tener
conto delle formolo che danno De^^ De^, De^.
Collo stesso procedimento con cui si è ottenuta
questa formola ricorrente, cioè sostituendo nel-
l'equazione differenziale lo sviluppo in serie, e poi
eguagliando a zero i coefficienti delle diverse po-
tenze di w, si può calcolare il secondo coeffi-
ciente bj^^\
Sviluppo in serie delle funzioni ff. 131
Eguagliando a zero i termini senza u si ha
Conoscendo ora il primo coefficiente che è 1, e
il secondo ^2^*^ possiamo, mediante la formola ri-
corrente, calcolare tutti gli altri.
Si trova così:
h.^*) = — er
IV
3 3
,. 21 o 39 lo
W'^ =4-^2 ei^ "-^Sf^ei-— g^^
^10^*^= -J- 9z ei^ — - - g^^ ei -\' i^9% 9%^
Al secondo membro di queste formolo non com-
pariscono potenze di ei superiori alla seconda, per-
: che una potenza di ei superiore alla seconda può
sempre trasformarsi con una formola nella quale
non entrano che potenze prime e seconde di ei e
[ le quantità ^21 as-
cosi dalla identità
4 ei^ — ^2 ^i — ^3 =
132 Capitolo III. - § 19.
si ha
ei^ = T (^2 ei^ + ffs et)
ei^ ^^-^g^ef + ^92^ ei +Yq929^
CAPITOLO IV.
LA FUNZIONE p (u) DI WeIEBSTBASS.
§ 1. Introduzione delia funzione p{u) e sua bipe-
riodicità. — Come mediante le ^ si forma la fun-
zione seno amplitudine^ e le altre analoghe a que-
ste, che hanno la proprietà della biperiodieità, così
mediante le <7 si può formare una funzione, chia-
mata p{v)^ la quale ha un^mportanza fondamen-
tale in tutta la nuova teorìa delle funzioni ellit-
tiche.
La funzione p{u) resta definita dalla formola
, (j'Hw) - a (w) d" (w)
r2
(m)
Essendo ^ (w) una funzione dispari, la ©' {u) è
pari, e la <j"(w) è dispari; dunque la piti) è una
funzione pari, e perciò la sua prima derivata p' (ti)
sarà una funzione dìspari.
134 Capitolo IV, - § L
E facile mostrare che la p{n) è una funzione
biperiodica coi periodi 2w, 2w'.
In effetti partiamo dalle formolo
<J (w + 2 to) = — g2v (w+w) Q (^)
d (l* + 2 w') = — e2//(i«+o/) ^ (^)
donde
log <r (w + 2oj) = 2yj 0^ + co) + log (— 1) + log <y {u)
e quindi derivando si ha
'T (w + 2 0)) a (w)
Analogamente
a(w + 2co') "~ ff(w)
Derivando ancora una volta si ha
p (w + 2 (*)) =p{u)
p{u-\'2o/)=p{u\
formolo che dimostrano la doppia periodicità della
funzione p.
Essendo
(7(0) = a'(0)-l a"(0) =
(come si vede dallo sviluppo in serie della fun-
Espressione della p mediante le ^. 135
zione <r) si vede subito che
P (0) = <x>.
Aumentando l'argomento di '•>, o)', w" si hanno
delle formolo rimarchevoli
P {U + w) = — ^— log <r (W + co) =
a vr
d^
du^
= — T~2 ^^^ ^1 M
d^
p (u + w') ■= -— -z— log <r (t^ + w') =
r5?t^
= ■" 7jT72 ^^^ '^a 00
p (f/ + «»^'0 — ~ :; Ti log a («« + to'') —
fZtr
^ "~ TT2 ^®S ^2 («0«
§ 2. Espressione della p mediante le ^. — Da
2 C3 -1 ^„3 5^ (^)
(^^) =
2 w
^i' (0)
si ha
2W 1 7]
^ log d (w) = log h -^ — w2 +- log 3^1 (a?) - log ^j ' (0)
136 Capitolo IV. — § 2,
e deriyando si ha
= — w +
donde, derivando ancora, si ha
5 log ^, (a?).
Di questa forinola avremo occasione di servirci
in un paragrafo seguente.
Aumentando l'argomento u di w, m\ w" e quindi
co di
1 1 ., 11 .,
2"''' ~^*lo&^' 2'''""'2^^^^
si hanno le altre formolo nelle quali vengono a
comparire le altre ^, Si ha
w 4 w^ d ic^
p(m + o)) =______- log 5, (a;)
0) 4 w2 ci a;*
*v
i
Valori di p H, p (u,'), p (oi''). 137
§ 3. Valori di p (w), p (o)'), p (w"). — Prendiamo
a considerare la relazione fondamentale cui sod-
disfa la <7, quella cioè relativa al cosidetto teorema
d'addizione (v. § 6, Cap. III). Ponendo
ili ~ w
si ha
<I (W + W) (7 (oj tf)
<j^ (u) <J^ (w)
donde essendo
<r (w + w)
= pOO— i?('0
(-)
e''" <y, (w)
si ha
( — u+ oj)
Analogamente
2
138 Capitolo IV. - § 3.
Ponendo w — w, w', o/' si possono avere subito
le formole:
<j (yy) (5 (t»j ) ff ((o)
Se ora in luogo delle <t ("O <r («o') ^ (w") poniamo
le espressioni trovate al § 4 del Gap. TIT, e se
teniamo conto delle relazioni fra le ^, -^i' con argo-
mento zero abbiamo
^p(.o)_p(«.') =~3^
mi ^'
iv (-") - V (-') = ^ ^2-
delle quali formole non potrebbero trovarsi i va-
lori dì p (03), p (to'), p (w'') perchè una di queste
relazioni è conseguenza delle altre due.
Dimostreremo ora la relazione fondamentale
p (o)) + p (0/) + p (t.)") = 0.
Valori di p (w), p (o)'), p (w''), 139
e allora si ricaverà subito che p (w) p («*>') p (w")
non sono altro che le quantità da noi introdotte
avanti e chiamate rispettivamente ^1, ^3, 62.
Poniamo u=0 nelle formolo alla fine del pa-
ragrafo precedente, e teniamo conto delle equa-
zioni differenziali cui soddisfanno le ^.
Essendo
d^ ^i jx) _ ^ d ^i (^)
doo^ d log q
si ha
d' log ^i (O)) ^ y'i (X) f ^i {x) V
dx^ ~ ^i{x) \^i{x)]
^_^ dXog^ij x) __ ^ ^i {x) \
Quindi otteniamo
^^ ' 4«»»|3 VlO) ^ dlogg '
pM = — i-^^i^^ + 4^^5^^
^^ ^ 4«M3 V(0)- dlogq
^^ ' 4«.»|3 V(0) ^ c^Iogff
tenendo presente che ^, ..?,, .^3 essendo funzioni
pari, le loro derivate sono funzioni dispari, e
quindi diventano zero per a/ = 0.
2
140 Ckiintolo IV. — § 3.
Inoltre per effetto dell'equazione differenziale
cui soddisfanno le '3 e le loro derivate si lia
^i" (0) ^ , d log \' (0)
5/ (0) d log q
donde si hanno le formolo rimarchcToli d
^^ ^ 3\<o j dio
-' (0) ^2^ (0)]
log^
M-') -i(^|
1 /'tV<^log[5i'-i(0)5«(0)]
dlogg»
„ /,/'^ _ 1 ^ jlV ^ log [^/-Ho) V (0)]
^^ ' 3\<oj dlog^
Di qui colla relazione
^i' (0) = 5 (0) ^2 (0) ^3 (0)
si ha subito
P H + V (^^') + P iy'") = 0-
Questa relazione insieme con quelle già trovate
dà immediatamente
pH =e^
p(w') =es
Relazione fra la p{u) e snv. 141
§ 4. Relazione fra la funzione p {ti) e la funzione
di Legendre sa v, — Teniamo presente la forinola
del § 2 relativa ad un' espressione di p (u) me-
diante le ^, e adoperiamo le formolo che danno
le derivate logaritmiche di 2.® ordine delle fun-
zioni ^ (v. § 12 Cap. I). Si ha allora
^ ^^'^ "tò 4 w2 5 (0) "^ 4 0,2 52 (0) 5,2 (x) •
Sostituendo per — la sua espressione trasfor-
mi
mata con un procedimento simile a quello del § 8,
cioè
— -1 = __ 1 J^ cHogj^/^O)
W 3 w2 dlog^^
e inoltre ponendo
^'^ (0) ^ d log 5 (0)
-^(0) dlogg
(per effetto dell'equazione differenziale delle 5),
si ha
_ .^ rf log [5/-1 (0) 53 (0)]
jx^ .^'» (0) £M:r)
E per effetto delle forinole del § 3 e della espres-
142 Capitolo IV. — § 5,
sione dì snt;, sì ha finalmente
p in) = ^3 +
sn^t?
Come sì vede fra le due funzioni p (n), sn v esi-
ste una semplicissima relazione algebrica.
Dalla forraola precedente sì hanno le altre:
sn
u) — e^
p (w) - e^
cnt? = \/^-r
yp{u) — es
anv = {l—r-z .
y più) — eo
p (u) — es
La funzione p {u) gode, come le funzioni di Le-
gendre, delle due proprietà fondamentali e carat-
teristiche, cioè: 1.* chela derivata della funzione
si esprime algebricamente mediante la funzione
stessa; 2.* che possiede un teorema d'addizione^
cioè che il valore della funzione per la somma di
due argomenti si esprime algebricamente mediante
i valori della funzione per gli argomenti semplici.
§ 5. Espressione della derivaia p' {u) mediante
la p (u). Inversione. — Adoperando la formola per
p (u) trovata nel § 2 e derivando rispetto ad u
sì ha
.' f,.\ - _ ^ ^l}3 ^> (^>
Relazione fra %l [u) e p (u). 143
Intanto teniamo presente la formola per la de-
rivata seconda logaritmica della ^j.
dx^ = IV •- 5(0) 5«(0) V(^)'
Derivando ancora si ha
^ ^3 log ^1 (^) - - -^^(o)- J-^ JIJ^) •
Ora nel § 3 Cap. Il abbiamo trovato
d a; 5 (a;) " ^' ^ (x) à {x)
onde
d a; ^, (a;) ^^ .^1=' (a?)
e quindi
= 2
4 0)3 * ' ' 5,» (a;)
gj (m) gg (w) Jb (m)
g» (m)
144 Capitolo IV. - § 5.
Intanto dalle forinole del § 3, Cap. IV si ha
\l[p{ti) — ei][pM — e2\[p(ti) — es\ =
_ gj JU) gg ( u) <Tq {li)
onde infine si ha la rimarchevole relazione \
p'2 (^) ^ 4 |_(p (^) __ ^^) (^ (^) _ ^g) (p (^^) _ ^^)] ^
Questa relazione equivale evidentemente all'altra
/'p(w)
dp
e»
2 \/(/> — e J (p - €2) {p — es)
da cui si vede che la funzione p (w), come a suo
tempo mostrammo per la funzione aìnplittcdine,
serve a risolvere il problema d'inversione dell'in-
tegrale ellittico
dy
2\l(y ~e,)(y~e2)(y — e^)
cioè dà Tespressione del limito superiore di questo
integrale in funzione dell'integrale stesso.
Questo integrale si chiama integrale ellittico sotto
la forma di Weierstrass» Ne discorreremo meglio
in un prossimo capitolo.
Relazione fra p'(u^ e pia). 145
Mediante la forinola precedente rìcaTiamo su-
bito che tatto le derìyate di ordine superiore al
primo si possono esprimere razionalmente me-
diante p («X p' (u).
Derivando p. es. primo e secondo membro della
formola precedente si ha
2p'(u)p"(u) = l2p'(u)p'ÌH)-g,p'(u)
donde
p" («) = ep* («) - 1 g,.
Similmente si hanno le formolo
p'''(u) = 12 p(u)p'iu)
P^(u) = l20p^u)^l8g,piu)^l2g^
p- (u) = 360y (u)p' (li) - 18 ff, p' (u)
p^(u) = 36 \i40p*iu)-28ffipHu)^
-20^3P(m) + j^2*]
Le forinole per le derivate di ordine pari si
possono risolvere rispetto alle successive potenze
di /?, e quelle per le derivate di ordine dispari si
possono risolvere rispetto ai prodotti delle succes-
sive potenze di p per p\
Si hanno allora le formolo
p'=ì(p"+h')
Pascai.. ^^
146 Guintolo IV. ~ § 5.
f fft
PP =12^
Ai secondi membri di queste formolo ci sono
sempre espressioni lineari in jo e nelle sue deri-
vate. Onde ogni funzione intera di jo e jo' potrà
sempre esprimersi linearmente mediante la /? e le
sue derivate.
Vogliamo ancora notare che, mediante la for-
mola trovata sopra, si hanno le altre
dp
\lip^--g2P — ff3
03
00
'«9
~Z 0)
^4tp^ — g2P — 93
dp _ ,
V4i?3 — ^2P— ^8
Teorema d/addizione per la funz. p (a). 147
forinole che possono servire a definire le quantità
to, (.>', o/' purché si stabiliscano opportunamente i
cammini d'integrazione. Di ciò discorreremo in un
apposito capìtolo.
E infine vogliamo osservare che, mediante il pre-
cedente integrale, si vede che dato a p (u) un qua-
lunque valore, esiste sempre un valore dell' argo-
mento u che vi corrisponde; anzi, ricordando poi
le formole di periodicità di p (w), si deduce che
di tali valori dell'argomento ne esistono infiniti.
§ 6. Teorema d' addizione per la funzione p (u),
— Il teorema d'addizione lo ricaviamo dalla for-
mola
Prendendo i logaritmi di ambo i membri, po-
nendo
log <y (w) = C (w)
du
e derivando rispetto ad w, e ti^^ si ha
7^' M
^ (wj + U.2) — C (wi — U2) - 2 C (ili) =
C (wi + %) -f- C (mi - 11^) - 2 ? (wi) =
p{th)-p M
-P'M
p M — p M
148 Capitolo IV, ~ §6,
e derivando ancora rispetto ad % si ha
-P {u, + t^,) + p K - u,) = [^)Zr^,;)Y
d Wi JD (W2) — i? (Wj )
— P {ih + W2) — P (^1 '-Ui) + 2p (wi) =
_ d — y(^i)
donde
+ 2^) O'i + W2) — 2 p (wj) = ,
^ P^^ K) -P" K) [i> K) - P (^2)] - P^ (^1)/ (^2)
dU, p (Wj — p (Mg) '
Quest'ultima formola può costituire una forma
rimarchevole del teorema d'addizione.
Aggiungendo ad ambo i membri la quantità
Ap (mj) + 2p {u^)
si ha, riducendo,
2 p (m, + wg) + 2p (Wi) + 2p (ttj) =
Teorema cVaddizione per la funz. p (?f). 149
+ (2 p» («,) - Y ffiP (»i)-jffsj -P' (Mi) P' {",)\
1 yM'^i)+/»K)-2y("i)y("2)
2 [pK)-p(«i)]*
Onde si ha infine la formola
che è la formola d'addizione per la funzione p.
Questa formola può mettersi sotto varie forme.
Ponendo
«1 + Wa = — Wj
cioè
^1 + «2 + ^3 =
si ha
1 \p' (u,) - p' («3)1*
'2)
4 li?(Wi) — />(Ws
e permutando circolarmente z^j Wg Wg, il secondo
membro può scriversi
_ i[p'K)-j»'(",)r
4
p' (»») - />' (««) ]'
i» ("2) — y («3) J
= k [/ ("«)-/ (" 1)1^
150 Capitolo IV. - § G,
Abbiamo dunque V eguaglianza, a meno del se-
gno, delle radici quadrate dei rapporti che figurano
al secondo membro.
E facile verificare che i segni di tali radici de-
vono essere tutti positivi, cioè che si ha senz'altro
la relazione
P (^i) - P («2) P (''2) - P ("3) P M — P (^^1) *
In effetti se ad uno di questi rapporti ponessimo
il segno negativo e si avesse per esempio
p' K) — P' M ^ P' (^2) — / 0^3) __
P (^'1) — P (^'2) P K) — P (^3)
_ j. P' (%) — P' i''i)
se ne dedurrebbe
p'{'*'i)—p'M ^ p'M — p'(^i^
pM — ^pM+pì^'s) i>K)-i>(^^i)
donde
P i'^s) - P (wi) = ^{pM—2p (wj + p (W3 )
e qualunque segno si scelga al secondo membro
si avrebbe o una relazione fra /? (''2)^ ('^3)» ovvero
una relazione fra p (",), p (((2) relazioni che sono
assurde, perchè due soli dei tre argomenti sono
fra loro indipendenti.
Teorema d^addizione per la funz, p (u). 151
Possiamo dunque dire che alla relazione
'«'l + ^'2 + ^^3 = 0.
corrisponde l'eguaglianza di due dei tre rapporti
precedenti.
Questo teorema d'addizione lo possiamo porre
sotto un'altra forma elegante.
Si può far vedere che se la somma delle tre u
è zero, allora è zero il determinante
1 1 1
P (^'i) P (^'2) P (^'3)
/?'K) yK) /W
0,
Infatti la eguaglianza dei due primi rapporti può
mettersi sotto la forma
[p \<—p k'h)] p' ('«'3) + [P (''3) — P ('^'2)] P' f^'i) +
+ bK)--p(^3)]yK) = o
e questo è proprio lo sviluppo del determinante
di sopra.
Possiamo ancora trasformare nella seguente ma-
niera il teorema d'addizione. L'annullarsi di quel
determinante corrisponde alla sussistenza delle tre
relazioni
ap (^i) + bp^ («1) + e =
ap[v^)-\'bp'{v^) + c —
«i> (''3) + ip {'^z) + = 0.
152 Capitolo IV. — § 6.
Quindi possiamo dire che se determiniamo delle
quantità a, 6, e tali che le due prime di queste
equazioni sieno soddisfatte^ cioè tali che la equa-
zione
ap{u) + bp' {u)-\- c = 0.
sia soddisfatta da u = Uiy w = %, allora la stessa
equazione sarà soddisfatta anche da u = %, se
Wi + «^2 + ^3 = 0.
Prima di terminare questo paragrafo vogliamo
fare un' interessante osservazione riguardante il
teorema d'addizione delle funzioni ellittiche.
Vogliamo mostrare come tal teorema si collega
colla celebre scoperta di Eulero sull'integrazione
dell'equazione differenziale ellittica.
Consideriamo un'equazione differenziale della
forma
d Xi dx2 ^
dove JTi, si intende un polinomio generale di 3.®
4.® grado in x^ e con X2 il medesimo polinomio
in cui si mette Xi in luogo di a?2. In questa equa-
zione differenziale le variabili sono separate, e
quindi l'integrazione si riduce a due quadrature,
ma però tali quadrature sono degli integrali ellittici,
e quindi la soluzione dell'equazione data, cioè
Wi + W2 = costante
■^i presenterebbe sotto forma trascendente.
Teorema d'addizione per la funz. p (w). 153
La scoperta di Eulero, cui abbiamo accennato,
consiste in ciò che, sebbene in tal maniera l'in-
tegrale di quell'equazione si presenta sotto forma
trascendente, pure esso può porsi sotto forma al-
gebrica, cioè si può trovare una relazione algebrica
fra a^i x^ e la costante arbitraria, che sia Tinte-
graie dell'equazione data. Ora ciò si vede subito
col teorema d'addizione delle funzioni ellittiche.
Supponiamo che il polinomio X^ sìa della forma
di Weierstrass avanti adoperata, cioè
«
allora le variabili ^i, x^ non sono altro che le fun-
zioni p [ui\ p (Wi) dove
Wi =
% =
Ponendo
Wi + ^2 = — M3 .
per il teorema d'addizione, si ha da questa ultima
relazione
1 1 1
P («*i) P (^2) P K)
p'('h) p'i'^2) yw
=
154
Capitolo IV. - § 7.
ovvero, ponendo p iu^ = oc^
1 1 1
fl>j ol7o tt/a
\JX \1X ^x
0.
Questa relazione in cui ^3 funziona da costante
arbUraria, è l'integrale algebrico dell' equazione
data.
§ 7. Addizione di semlperiodl all'argomento della
funzione p (?/). — Mediante la forinola d' addizione
possiamo trovare i valori di p (w + oj), p (w + w'j,
p (n + to"). Si ha
1 p'^ u)
p [it + io) = —p (n) ^ei+-Y
4 {p{n) — ei)^
ed essendo
p'2 (,^) ^ 4 ^^ (^^J — ej (p (?,) — ^a) (1? (w) - ^3)
si ha
p(^* + ^) = — (pH + ^i) +
(jt> (i*) — 62) f^ ('*) — ^3)
+ gj^ ~ P H (gg + gs) + ^2 ^8
[p fn) — ei\ Ci + [ex — e<,) (e^ — e^)
= e,+
p(f() — e,
p (te) - e^
Infiniti delle funzioni p (w\ y (w). 155
Analogamente
(es — ei)les~~e2)
p {n + io') = ^3 +
p{u + m") ^ e2 +
(gg - gj) (^2 — ^3^
P (^0 — ^2
§ 8. Infiniti delle funzioni p{u\ p'{ii\ Omoge-
neità. — Per trovare gli infiniti della funzione p {u
basta ricordare la formola
da cui si vede che p {ti) diventa infinita in tutti e
soli i punti in cui diventa zero <j (w), cioè nei punti
della forma
In tutti tali punti la p(u) diventa infinita di
2.® ordine; nel parallelogrammo fondamentale dei
periodi, cioè in quello che ha per vertici i punti
0, 2w, 2o/, 2a) + 2w'
di tali punti dMnfinito di p{ti) ve n'è uno solo.
Nei medesimi punti la funzione
diventa infinita di 3.® ordine.
156 CapUolo IV. — § 9.
In quanto agli zeri poi osserviamo che quelli
p{u) non hanno una espressione facile; mentre
quelli dì p^ w) sono tutti e soli quelli delle tre
funzioni <s pari; cioè tutti i punti della forma
tt = w w -]- n w'
dove m, n sono numeri interi.
La funzione p 'w), essendo la seconda derivata
logaritmica della ff dispari che, come funzione di
u^ (0, w', è omogenea di grado 1 (v. § 10, Cap. III\
sarà omogenea di grado — 2; quindi si avrà la re-
lazione
p y i( ; r w, r w'j = r~^p 'u ; w, w'j
ovvero, ricordando che ^2? 9i sono omogenee dei
gradi — 4, — 6 rispettivamente, si può scrivere
anche
se p anziché dipendente da w, (o' la sì vuol consi-
derare dipendente da ^21 ^3-
§ 9. Sviluppo di p{u) in serie nell'intorno del
punto u = 0, — La funzione p [u^ diventa infinita
di 2.® ordine nel punto u = 0, come risulta dal pa-
ragrafo precedente.
Possiamo ora dimostrare dippiù che il prodotto
u^ p (w)
ha per lìmite 1 per u = 0, e quindi che lo sviluppo
Sviluppo di p (u) in serie j ecc. 157
di p (u) secondo le potenze di u, ha per primo ter-
mine esattamente —^
u^
In effetti sapendo che
q{u) = u-\- Au^ + ,..
dove ^ è un coefficiente che ancora non cono-
sciamo, e quindi
si ha
g-^ {u) - g (u) (X-- (g) _
^w = -^^^
_ \ — \QAu^ + .,.
~ u^ -\-2Au^ + ...
e quindi
\\mu^p{u) = 1.
Nello sviluppo di p (u) il primo termine sarà
dunque H — z- Non può poi esserci un termine in —
u^ u
perchè p (w) è una funzione pari, e non può es-
serci un termine senza u, perchè si può far ve-
dere subito che
lim L («) - |J = 0.
158 Capitolo IV, — § 9.
Basta perciò servirsi dei medesimi sviluppi dati
sopra.
Si ricava perciò che gli altri termini dello svi-
luppo hanno tutti per fattore una potenza pari po-
sitiva di u.
Possiamo quindi porre
p{^) = -^ + (h '^^ + «4 ^^ + • • •
tv
dove «2 <3f4 . . . sono coefficienti ancora ignoti.
Di qui abhiamo
^2 (,,) = Ì_ _{. 2^2 + 2a4 u2 + «2^ 1^4 + . . .
j9S(„) = 1 + ?^ + 3a4 + 3a,M^ + . . .
mentre poi
2
/ («*) = 5 + 2a2^* +4a4H3-j- . ..
«'"(,«) = —hhAj^ 24a4M + . . .
Sviluppo di p [li,) in serie^ ecc. 159
Ora se teniamo presenti le forinole che espri-
mono p\ p"\ . . . mediante ;?, p' e sostituiamo in
esse questi sviluppi, e paragoniamo 1 termini si-
mili al primo e secondo membro, otteniamo facil-
mente delle formolo che ci danno i coefficienti
Si ha p. es.
2aji = 12a2 - -^ g^
donde
«. = 25^«.
Analogamente:
1
a4-2-g^3
-_J 2
^6 ~ 2^ . 3 . 5^ ^^ *
Partendo dall'eguaglianza
p''' in) =l2p {u) p' («)
possiamo trovare una facile formola di ricorrenza
per il calcolo dei coefficienti a.
160 Capitolo IV. - § 9.
Possiamo scrivere
^'ff r„\ — ^ -^ -^ _L
+ ' 2~ (2 (2 i — l){2i- 2) a2< «2.-3
i=Z
e
12p(«)/(H) = -^B- +
00
+ 12 2 [2ia2i + {2i-4)a^a2i-^ +
1=2
+ (2 i — 6) «4 a2»-6 +
+ 4 a2»-6 «4 +
+ 2 a2»-4 Ojj —
— 2 a2iì m2^-3 ==
= - ^^A^ + 12(i-l) ^ [2a2i + a,a2i^i +
+ a4 a2»-6 + . . . + a2f-6 «4 + a2i-i a^] t(2»-3
dove la legge di formazione è evidente.
Dal paragone dei coefficienti dei termini simili
rii^ulta subito
(2f)(2i-l)a2» = 12a2f +
+ 6 [«2 Cl2i-i + «4 «2t'-6 + . . . + a2t-6 «4 + «2t-4 «g]
Sviluppo di p (u) in serie^ ecc. 161
donde
^2* = r- o\ /o ' I o \ L^2 <*2t-4 + «4 a2t-6 + . . . i-
(t — 2)(2t + Ó)
+ a2i 6 «4 + «2t-4 a^].
Questa è la richiesta formola di ricorrenza che
dà i coefficienti a cominciare da «e-
Il primo e il secondo cioè «2? <^4 ^i abbiamo già
ottenuti sopra. Si vede di qui che tutti i coeffi-
cienti dello sviluppo di p{u) sono funzioni razio-
nali intere di g^ ^3, e questa è una proprietà fon-
damentale ed importante.
Si trova così
""' " 2^ .3 . 52
^ 2^5.7.11
92^ 9 ^
2^3.5^7.11
a
u
= i( 3 g, g,' g,' \
17\2*.7M1.13 28.3.5M3/
= W _ ^.^L^l 4. J^^ \
^'^ ~ 19 \2« . 5» . 7 . 11 T 13 2« . 78 . 13/
Pascal. 11
162 Capitolo IV, — § 9.
Lo sviluppo di p (u) di cui abbiamo trattato in
(luesto paragrafo non vale in tutto il piano. Per
i principii della teoria delle funzioni esso vale in
un cerchio col centro nel puuto ii =0 e che non
comprenda alcun pmito in cui p (if) è infinita (salvo
il puuto 'u = 0).
Ciò risulta dal teorema di Cauchy sul campo
di convergenza di una serie di Taylor. Si sa che
tal campo è un cerchio dentro cui non esista alcun
punto dMnfìuito deìì^ funzione che si sviluppa in
serie ; ora applicando questo teorema alla funzione
la quale non diventa più infinita nel punto u — 0,
ma lo diventa invece in tutti gli altri punti d'in-
finito di p ('0, si ha appunto il risultato sopra
enunciato.
Sapendo che i punti del piano in cui p (^0 di-
venta infinita, sono tutti i vertici dei parallelo-
grammi dei periodi, si ha che il campo di vali-
dità della serie di p (w) è un cerchio col centro
nell'origine, e il cui raggio è eguale al più pic-
colo fra i tre segmenti
(0, 2 cu)
(0, 2 0.')
(0, 2 03")
ohe rappresentano rispettivamente i due lati e la
diagonale del parallelogrammo fondamentale.
La funz. p (u) sviluppata in serie doppia. 163
§ 10. La funzione p (u) sviluppata in una serie
doppia. Conseguenze aritmetiche. — Dobbiamo pren-
dere le mosse dalla formola di sviluppo di ^ (")
in un prodotto infinito a due indici :
,r \ ir J
0W 2 u^
dove w -~2mM -{-2 n (*>' con m, n numeri interi
qualunque, escluso il caso che siéno ambedue zero.
Per ottenere p u) prendiamo i logaritmi dei
due membri e poi formiamo la derivata seconda
col segno mutato.
Si ha
^og-(u)^\ogu-^f[ìog(\-r}^^^
^^ du^ u^ u[{u — wy tcH
= 1 + 3^2 ì:^, + 5w*^-,+ ...
u^ ■ w^ ' ?'•«
Notiamo che quest' ultimo risultato si ottiene os-
servando che i sommatorii:
il
• • •
164 Capitolo IV, ^ § li).
sono zero perchè bisogna estendere il w in modo
che m, n abbiano tutti i valori interi positivi e ne-
gativi.
Dal paragone di questa formola con quella del
paragrafo precedente otteniamo che le somme doppie
si esprimono come funzioni razionali intere degli
invarianti g2^ Qz- E siccome poi dallo sviluppo del
paragrafo precedente si ha che i primi due coef-
ficienti sono, salvo un coefficiente numerico, eguali
a 9^^ 9 fi 6 quindi si può dire che tutti i coefficienti
successivi sono funzioni razionali intere dei due
primis così possiamo dedurre il risultato notevole
che tutte le somme
1
nis»
(2 m w + 2 n w')2»
dove i = 2f 3^ i, . . . si esprimono tutte razional-
mente e in funzioni intere delle due prime di esse^
cioè di ciucile per le quali i = 2, i = 3.
Questo risultato relativo alla somma delle serie
doppie è importante, tanto più che esso è la ge-
neralizzazione di un teorema che si verifica per le
serie semplici del tipo
V *
le quali, salvo fattori numerici, sono eguali rispet-
Casi patiicolari della funzione p (u), 165
tivamente a ^*, ^^... cioè sono funzioni razionali
intere della prima di esse (vedi Cesàro ; Corso di
analisi^ pag. 481).
In quanto alle serie doppie
V 1
ÌOP
vogliamo ricordare che si dimostra essere esse
convergenti assolutamente se p>2 e se il rap-
porto — non e reale, il che appunto accade nel
caso delle funzioni ellittiche, perchè in tal caso
questo rapporto deve avere la parte immaginaria
positiva diversa da zero. Per queste serie si può
vedere: Eisenstein {Creile^ voi. 35 (1847)); Jordan,
Analyse^ I^ peig. 161; Halphen, Fonct. el/iptigues^
I, pag. 358, ecc.
§ 11. Casi particolari della funzioneremo. Sua
degenerazione. — Vogliamo considerare dei casi
particolari e propriamente quelli in cui uno degli
invarianti è zero.
7.® caso; ff^^=0. Allora il polinomio in p di-
venta
o una delle radici f?i , ^21 ^3 diventa zero.
Poniamo per es. ^^ = ; allora
e2 = + 2^-^2-
166 Capitolo IV. — ,<? 11.
Le quattro radici
oo, 0, ei, 62
sono armoniche^ cioè uno dei sei loro rapporti
anarmonici è uguale a — 1.
Facciamo la trasformazione
introducendo la nuova variabile q in luogo di p.
Allora
dq- -'^^
e quindi l'integrale diventa
V
L'integrale ellittico generale si riduce a questa
forma particolare quando le quattro radici del po-
linomio di quarto grado sono armoniche.
Questo integrale ellittico particolare è quello che
si presenta nella rettificazione della lemniscata.
In questo caso si può dimostrare che se 2f> è
un periodo della funzione p (w), anche 2 i m sarà
un periodo; cioè che si possono scegliere i due
semiperiodi in modo che il loro rapporto sia ?.
Infatti partiamo dalla formola d'omogeneità della
funzione p
p(ur; r-^ g^ , r-6 g^) = r-2 p (u ; g^ , g^)
Casi particolari della funzione p (u). 167
e poniamo r = i. Essendo \^3 = e r""*=l si ha
P («* i, 9i) — — P (w, 92)'
Di qui si ricava
p (i w + 2 i <o) — — /? (w + 2 0))
^—p (u)
= p(iu)
cioè ponendo
l II = Ui
si ha
piui + 2i^'>)==p(Ui)
qualunque sia Ui, Di qui si ricava che 2?'f> è an-
che un periodo.
La proprietà contenuta nella formola
p (i u) = - p (7/)
costituisce una bella proprietà della funzione p cor-
rispondente al caso particolare di cui qui si tratta.
2.^ caso; g^ = 0. Il caso di ^g - corrisponde
a quello in cui le quattro radici del polinomio di
4.** grado che ha per invariante g^i sono equianar-
moniche^ cioè uno dei loro rapporti anarmonici è
ì*adice cubica dell' unità negativa. Infatti in questo
(*aso le quattro radici sono
168 Capitolo IV. — § IL
dove a è una radice cubica dell'unità. Il loro rap-
porto anarmonico è proprio — a.
La funzione p anche in questo caso soddisfa ad
una bella proprietà analoga a quella del caso pre-
cedente. Nella formola d'omogeneità ponendo r = a
si ricaya
p(%v) - (x.p(n).
Ora
p (w a f 2 a 0)) = v.p {u + 2 w)
= a 7? {u)
~ p(^ u)
e ponendo
a w = Wi
si ha
pilli +2ao)) = ;?(Mi)
cioè 2aw è anche un periodo se lo è 2w.
In questo caso il rapporto dei periodi è una ra-
dice cubica deir unità.
Passiamo ora ad esaminare in che cosa dege-
nera la funzione p (ii) nei due casi limiti g = 0,
g=l.
Per trovare in che cosa degenera la p basta ri-
cordare la relazione fra la p (ii) e la sn v.
Tenendo presenti i § 8, Gap. II, § 18, Cap. Ili,
Casi particolari della funzione p (m). 169
si ba che per g =
p (w) = a-'
9en*(w\/ —Sa)
(love a è il valore comuae di quelle due radici fra
le ei e^ e^ che diventano fra loro eguali quando g = 0.
In questo caso w diventa
2 \/-3rt
e w' diventa infinito.
Nel caso in cui q=\ si ha
quindi
1
e dalla (5), § 7, Gap. Ili si ha
V — uy
3
2
^3
quindi
dove r^ ha con u la relazione di sopra.
170 Capitolo IV. — i? 12,
In questo caso o) = <x> ed essendo
ìK' .
-T- = V«l — ^3
e inoltre essendo iìT ' ^= — quando k'^ ~ fv. § 8,
Cap. II) sì ha
, 1 . 1
2 J— 3~
/
e infatti si può direttamente verificare che 2w è
un periodo di quella funzione esponenziale cui si
riduce p{u).
In ambo i casi, come si vede, le funzioni dop-
piamente periodiche diventano funzioni ad un sol
periodo.
§ 12. Le funzioni razionali di ^ e p\ — Imma-
giniamo una qualunque funzione razionale di p
e p\ Ricordando che p^ può esprimersi razional-
mente mediante p, la supposta funzione razionale
di p e /)' potrà sempre porsi sotto la forma
M+Np
m;+n;p'
dove M iV Jf, Ni sono funzioni razionali intere
della sola p\ e moltiplicando numeratore e deno-
minatore per Mi — Ni p\ possiamo fare scompa-
rire il p dal denominatore, e porre la funzione
Le funzioni razionali di p e p\ 171
data sempre sotto la forma
A 1 Bp'
(love A, R sono funzioni razionali della sola p.
Facciamo allora la decomposizione delle funzioni
fratte razionali A^ jB, coi metodi ordinarii.
Si ha in primo luogo una parte intera in /? e p\
di grado qualunque in p e di 1.® grado in p\ la
quale parte intera è formata di termini come jo*',
e di termini come p^^ p\
Ora tenendo presenti le formolo che esprimono
le derivate successive di p mediante jo e /?' si vede
subito che esse possono risolversi rispetto alle suc-
cessive potenze di jo, e anche rispetto ai prodotti
delle successive potenze di p per p\ e che ai secondi
membri si hanno sempre espressioni lineari nella p
e nelle derivate successive di p (v. § 5, Gap. IV);
onde la parte intera, di cui sopra si parla, potrà
sempre trasformarsi in un'espressione lineare nella
p e nelle sue successive derivate.
Dopo la parte intera si ha una serie di frazioni
del tipo
ik {p{u)--ad^ '^jh {p(u)-b,)^ ^ ^""^
dove wi, n, sono costanti, a,- , bj sono le radici dei
denominatori dì A, B; gli indici 4, h devono avere
i valori 1, 2, . . . sino al grado di molteplicità della
corrispondente radice.
Sapendo che ad ogni valore di p corrisponde
sempre un valore dell'argomento, possiamo sempre
172 Capitolo IV, — § 12,
porre
ai — p (ni)
e quindi alla data funzione si può sempre dare la
forma
Tkìp iu) -iiui))^ ~^7h{v {u) -p (u/))^ ^ ^''^'
Ora dobbiamo ricordare delle formolo rij^uar-
(lanti le funzioni p.
Dalla cosidetta formola d'addizione della <r, de-
rivando rispetto agli argomenti si possono ottenere
le formolo (v. § 6),
; {u f u/) + Uw - u/) - 2 C (il) = ^ ^"^
p{u)—p (u/)
C (;/. + ud -- C (?^ - ti,) - 2 C iuf) - r/ --"^'J ;
/> (m) — P (Ui)
derivando ancora rispetto ad u/ e w^ rispettiva-
mente si ha
- ,, {h +■ w,) - p hi - «,) + 2 p (Ut) + ^" ^"'^
p(m)-jo(m,)
( /) (»/.) — p (ui)Y
Le funzioni razionali di p e p' . 173
e derivando ancora si hanno altre formole nelle
quali i denominatori del secondo membro sono di
3.® grado, e così di seguito.
Da queste formole appare che tutte le frazioni
contenenti un denominatore di 1." grado od un
denominatore di 2.® grado, di 3.**, ecc., si possono
esprimere mediante una combinazione lineare di
quantità come
C (li — li)
p {u — u')
2) (u — u )
Riunendo questo risultato con quell'altro rela-
tivo alla parte intera in p e p' possiamo dunque
conchiudere che ogni funzione razionale di p (w),
p' (u) si potrà sempre esprimere come una combi-
nazione lineare del tipo
e + - Cr C (<^ - tiy) + ^ C/ p [tt — tl^') +
r fi
r^c/>'Ot --«/') + ...
cioè lineare in ^ in p e nelle successive derivate
di p.
C'è da fare alcune osservazioni sul risultato pre-
cedente. Prima di tutto, tenendo presenti le for-
mole precedenti, si vede che ogni volta che, nella
trasformazione precedente, introduciamo le C in cui
l'argomento sia variabile (dipendente da u) le ve-
174 Capitolo IV, - § 12.
niamo sempre a introdurre sotto le due forme
dove a, b sono dei fattori costanti (indipendenti
da ^0; i^ ^Itri termini tutta la parte in C che
verrà nello sviluppo non sarà che somma di tanti
termini di questo tipo; ora si vede che la somma
dei singoli coefiScienti delle varie ^ in queste espres-
sioni è zero; dunque possiamo conchiudere che
sarà zero la somma di tutti i coefficienti Cv dello
sviluppo sopra indicato.
Inoltre dobbiamo anche osservare che e' è un
caso in cui lo sviluppo precedente appare in di-
fetto e cioè quando uno degli argomenti '^i, uf è
esattamente un semiperiodo w ; giacché allora
/?' (««) è zero.
Ora in questo caso possiamo mostrare che il ri-
sultato sussiste egualmente, ma bisogna mutare il
procedimento.
Teniamo presente la formola
più — w») — ei = {ei — eh) (ei - e%)
p (il) — ei
mediante la quale ogni frazione del tipo
a
(p{u) - «/)'*
può ridursi ad una parte intera in p {u — w^), e
quindi, mediante le formole citate al principio di
Le funzioni razionali di p e p. 175
questo paragrafo, paò poi ridursi ad un^ espres-
sione lineare in p{u — w,) e nelle sue derivate.
Per ogni frazione poi del tipo
a p (u)
p {li) — ei
col denominatore di 1.® grado, si può applicare
senza alcuna difficoltà il procedimento generale
dato sopra e introdurre le C; invece per una fra-
zione del tipo
{p (m) — e,)"
può osservarsi che essa può scriversi
n ~ l d u {p (w) - «,)"~^
1 1 rf r / ^ n 1
n - 1 {{ei- e^) {ei - «a:) 1 " " ^ d u ^^^ ^
Mediante le citate formole si trasformerà allora
prima la funzione sotto il segno di derivazione in
un' espressione lineare in p (u — w^) e nelle sue
derivate successive e poi si eseguirà la deriva-
zione Come si vede è in ogni caso sempre possi-
bile la trasformazione contenuta nel teorema di
sopra.
§ 13. Decomposizione delle funzioni razionali di
p, p in quozienti di prodotti di <y. — Consideriamo
una funzione razionale intera qualunque di p («)
p' {u) e sia F{ii),
176 Capitolo IV. - § 13.
Se essa diyenta zero di ordine n,- per u = Ui |il
che significa che sviluppata secondo le potenze
ascendenti di (ti Ui] nell' intorno del punto w,-,
acquista per fattore {u —Ui)*^*) la sua prima deri-
vata rispetto ad u, avrà la stessa radice ma di
ordine Hì — 1.
Se quindi noi formiamo il quoziente
F(u)
e poi facciamo la decomposizione di questa fun-
zione in frazioni elementari, come si è fatto nel
paragrafo precedente, non vi potranno essere fra-
zioni con un denominatore di grado superiore ad 1,
perchè se nello sviluppo vi fosse p. es. la frazione
[p (u) - p {iii)y
il secondo membro per u -^ Ui diventerebbe oo di
ordine r > 1 [osservando che p {u) — p (ui) per
u =-^ Ui diventa zero come {u — ui)] mentre che il
primo membro diventa <x> di primo ordine.
Tenendo allora presenti le formolo del para-
grafo precedente, si vede che il secondo membro
della formola di decomposizione verrà espresso
solo mediante le ?, perchè le p non vengono in-
trodotte che quando ci sono frazioni con un de-
nominatore a potenza superiore ad 1, come risulta
dalle formolo citate.
Del resto allo stesso risultato si può giungere
Decomp. delle funz. razionali di p e p'. 177
anche diversamente. La frazione zzrr—r- ha per in-
F{u)
finiti i punti-zeri di F(u) e il punto u — 0.
Come abbiamo osservato, i punti zero di F (u)
sono infiniti di 1.® ordine per quella frazione, e il
punto w = è anche infinito di primo ordine.
Giacche essendo F{u) funzione intera di p e p
e potendosi quindi sempre porre sotto la forma
F{u)-^Co + Cip{u) C2P'(U +... i Cn^ip^^'Hu)
e
F' (u) - Cip'iu) + ... + Cn+l P («+!) (W)
il punto w = è infinito di n^^ ordine per Fj e
ài n + V"^ ordine per F' e quindi di 1.^ ordine
r
per -^ .
. F'
Immaginando quindi (v. § prec.) lo sviluppo di -^
mediante le C, 2?, i>' . . . i cui argomenti sono del
tipo u — Ui dove Ui è radice di i^, si vede che al
secondo membro non vi possono comparire le jo,
p\,. perchè queste diventano infinite di ordine su-
periore al primo; non vi possono che comparire le
funzioni del tipo
C (w — Wt) ,
?W
che essendo eguali a
<y'(w Ui)
^'(w)
<5 \u - Ui) '
t(w)
diventano appunto infinite
di
1.° ordine.
PVSCAL.
12
A
178 Capitolo IV. - § 13.
Possiamo allora scrivere
+ Wa <^ (w - ?^) -f . . . -f n C (w)
dove poi sappiamo che deve essere
Wi + ng + .••+**/" + w = 0.
È facile mostrare che il numero costante m non
è altro che il grado di moltiplicità della radice Ui
nel denominatore F (u). Infatti moltiplichiamo
primo e secondo membro per w - lu e poi pas-
siamo al limite per ii -- Ui.
Il secondo membro diventa n*, e il primo mem-
bro, tenendo presente lo sviluppo in serie di F
nell'intorno di w,, diventa il grado di moltiplicità
della radice w» in F{u).
Dovendo allora Wj ng . . . essere tutti numeri in-
teri positivi, il numero n sarà intero negativo.
Integriamo ora i due membri della precedente
relazione e abbiamo
log F{u)=mti H- Wi log <r (u—Ui) + W2 log<T(w—Wji)+..
— (ni + n2 + . . .) log (j{u) + A
donde
_ . . . (y'*' (u - Ui) ... <rv {u — uu)
Osserviamo ora che la F essendo funzione di
p e p\ sarà una funzione periodica coi periodi
2 co, 2 co'.
Decomp, delle funz, razionali di p e y . 179
Avendo presenti le formole di periodicità della
<T, si vede che alterando w di 2 w, 11 secondo mem-
bro si altera di
Deve dunque essere
2 m oj 2 r) (wj i^j + . . . -I- ria u,i) = 2 s ^ :t .
E analogamente
2 m w' — 2 •/)' (wi w, ^ . . . + n/f W/*) = 2 .s' / tt
dove s, s' sono due numeri interi.
Kicordando che
f' f ^^
2
si ha
Wi Wi + . . . -f w^ w^ = 2 s' w — 2 s 0)'.
Alterando i punti-zero Ui . , , u^l di multipli di pe-
riodi 2 to), 2 oj' si può sempre fare che il secondo
membro si riduca a zero ; basterebbe p. e. scrivere
la precedente relazione sotto la forma
(«*, - 2 s' 0) + 2 s o/) -f (n — 1) ?^, -f . . . ^ n/i w^ =
f
e i punti zero diventano allora
//,, 2 .<?' w F 2 .s co'
Ux contato solo n 1 volto
u^ contato n^t volte.
180 Capitolo ir. - § 13.
Allora le costanti m, A restano cangiate, è in
luogo dell' espressione soprascritta col medesimo
procedimento si avrebbe l'altra
, ^,^^ <j(w— Wi-l-2s'w— 2W)t'*»-Hw— w,)...ffV(^--w^)
Ripetendo il precedente ragionamento su questa
nuova espressione, è facile trovare che m! deve
essere zero; quindi si vede che la funzione intera
F{u) può sempre porsi sotto la forma
cr»' {u)
dove alcune delle iii sono fra loro eguali ed eguali
alle Ui precedenti, e dove la somma di tutte le ti,\,
è zero*
Considerando allora una funzione qualunque ra-
zionale di p (m) p' {u) e ponendola sotto la forma
del quoziente di due funzioni intere come F{h)^
ponendo poi ambo i termini del quoziente sotto
la forma precedente, possiamo infine conchiudere
che ogni funzione razionale di p e p' può porsi
sotto l-a forma
.^_ÌU — W/) ff {u — U2) , . .'7 {u - Uv)
^(u — Ui)^ n — % ...<y(w — Uv )
dove alcune delle u delle u" possono anche es-
sere zero^ od essere fra loro eguali^ e la somma
di tutte le u' è eguale a quella di tutte le ?//'.
Trasformazione lineare dei periodi. 181
E interessante a questo proposito stabilire la
espressione, mediante le (r, del seguente determi-
nante
; 1 1 1 ... 1 ;
P (w) P (Ui) p (Wg) .., p (Uh)
p'(u) p'{u^ y(Wa) ... p'(Un)
p»-l {u) p"-l (Wi) /?'*-! (%) . . . />«-A (w,0 i
Espresso mediante le <t quel determinante è
esattamente eguale a
n
r_ 1Y'*2'3» n^ —
( Ij ^.^....^K [<rOO<i(Wi)...<r(t^„J-+l
Non entriamo nei dettagli della dimostrazione di
questa formola.
§ 14. Trasformazione delle ^, delle a e delta p
per la trasformazione lineare dei periodi. Differenza
fondamentale fra le funzioni ^ e le (r. — Siene dati
i semiperiodi w, m\ e poi due altri w^ oj^' legati
ai primi da relazioni lineari omogenee a coeffi-
cienti interi^ cioè
Le quantità Wj w/ sono anche evidentemente
dei semiperiodi essendo «, 6, e, rf numeri interi.
182 Capitolo IV, - .s^ li.
Il sistema di semiperiodi (o^, ^x si dirà equivalente
al sistema 03, w' quando il determinante
a h
e d ,
è eguale a 11.
Se ciò si verifica, allora w, w' potranno espri-
mersi linearmente e con coefficienti interi per mezzo
di ojj, wj'; però questa esprimibilità non basta per-
chè il determinante sia eguale a + 1; potrebbe
(luel determinante essere anche eguale a — 1 ; ma
allora il sistema non potrà dirsi equivalente al pri-
mitivo, perchè si può far vedere che in tal caso w, w/
non possono assumersi come moduli per costruire
delle funzioni ellittiche. Giacché sappiamo che una
condizione fondamentale per questo, è che la parte
immaginaria di — siapos*Y«Va; ora supposto che sia
^1
. . . ^'
positiva la parte immaginaria di - possiamo mo-
o>/
strare che non lo sarà quella di - se il determi
a>i
nante è eguale a — 1.
In effetti posto
o> -^ A + i B
co' ^ A' + i B'
si avrà
0/ (AA' + BB') \ {{AB' — A'B)
(0
A' -r A''
Trasformazione lineare dei periodi, 183
dove per ipotesi
AB'~A' B>0.
Fatta ora la trasformazione, e posto similtneute
wj = Al r i JSi
si ha
A^^aA^-bA' A,' = cA + dA'
B, = aB + bB' B,' = cB + dB'
donde
I Ai A/ __ a b A B
i B, B,' ~~ e d i A' B' :
Se dunque il determinante della trasformazione
è negativo, lo sarà anche il primo membro, il quale
poi diviso per Ai^ -r ^i'^ nou è altro che la parte
immaginaria di — .
La trasformazione sopra indicata resta natural-
mente individuata dati che sienoi numeri a, è, e, d;
essa può al solito indicarsi col simbolo
\c di'
Nella teoria dei numeri si dimostra che tutte
siffatte sostituzioni si possono comporre mediante
184
(.'(ipitolu VI. - 1)'
le due
1 0\ / 1\
a 1/ l- 1 o)
ambedue di determinante eguale a -f l.
Noi vogliamo esaminare quali relazioni esistono
fra le ^ o le <r calcolate per i moduli nuovi e pei
moduli primitivi; quindi ci basterà esaminare le
formole corrispondenti solo a queste due ultime
sostituzioni.
Dobbiamo cominciare le nostre considerazioni
dalla funzione p e dalla <x dispari.
Teniamo presenti le formole che esprimono gli
invarianti g^ 9z P^r mezzo di w, o/, cioè (Gap. IV,
§ 9, 10)
l
•^' ^^in (2 w 0. -h 2 n o>')«
dove m^ n bisogna estenderli a tutti i uunieri in-
teri positivi e negativi, esclusa la cambinazione 0,0.
Da queste formole si vede che trasformando w,
<•/ con sostituzione lineare a coefficienti interi, i
nuovi ^2 ffs saranno gli stessi dei primi, perchè tale
trasformazione equivarrà a spostare l'ordine dei
termini in quei sommatorii che sono serie assolu-
tamente convergenti (v. § 10, Gap. TV).
Poiché dunque g^ g^ restano inalterati, possiamo
dire che resta inalterata anche la funzione p e
Trasformazione lineare dei periodi. 185
la funzione «i dispari che dipendono direttamente
^la ^2 la-
onde possiamo scrivere semplicemente
In quanto alle ^ pari si può fare la seguente
considerazione.
Grli invarianti irrazionali ^, 62 e^ devono natural-
mente permutarsi fra loro perchè essi sono eguali
ai valori della p per argomenti i'>, oi", o)'. Propria-
mente per la sostituzione
c:)
Cloe
ojj zi: (o
w/ = w -(- w' Wj" = 2 w -j- tu
si ha
e^' = p(io^) =p(tó) = e^
mentre per la sostituzione
/ 1
1 0/
186 Capitolo IV. - § 14.
Cloe
0>j zzz to'
io.
si ha
Come si vede, nel primo caso resta inalterato e^
e si scambiano gli altri due, e nel secondo resta
inalterato ^2 ^ si scambiano gli altri due.
Osservando ora che le <r pari dipendono, oltre
che dagli invarianti ^3^3, anche da uno solo dei
tre invarianti irrazionali e^e^e^^ ricaviamo che le
^ pari restano nel complesso inalterate, solo che
si scambiano semplicemente fra loro in corrispon-
denza alla permutazione che subiscono le e.
Per le due sostituzioni fondamentali sopra citate
si ha dunque
//IO'
^2 («*; wj, 0), ) = <T3 (w; to, 0/) per I
^.(w; co,, co/) ^ c72(w; oj, 0/) ^ per |
""'iii^ ^''i, ^'^/) - ^i{u; w, to')
Trasformazione lineare dei periodi, 187
Vogliamo cercare ora come si trasformano i mo-
duli di 2.* specie >),>)'. Dobbiamo tener presenti le
formolo del § 3, Gap. Ili, cioè
(r(<o)
Per le due sostituzioni fondamentali, i, vj' si
trasformano precisamente come w, ««>'; dunque pos-
siamo dire che anche in generale
ìQi --a vj + èv)'
*l/= Cì+d-fi'
cioè >ì, o' si trasformano come w, t»)'.
Come si vede le funzioni <^ di Weierstrass ri-
spetto alla trasformazione lineare dei periodi, si
comportano assai semplicemente; esse si permu-
tano fra loro semplicemente cioè senza l'aggiunta
di alcun fattore.
E questo un fatto fondamentale per l'impor-
tanza delle <x rispetto alle funzioni ^ le quali non
si comportano così semplicemente, ma invece si
permutano moltiplicandosi per un fattore esponen-
ziale di S.^ grado, come vedremo nelle formolo di
sotto. Ed è questa proprietà caratteristica delle ^
che si conserva nella costruzione delle <r iperellit-
tiche mediante le ^.
l^ L*Apà'A», IV. — S IL
Per dMti'tfleUkre questo eapitolu ei resta solo a
trorare le forinole per la trasformazioiie delle ^.
Le ^ Don dipendono direnamente da «, w' ma
dal modulo
q = e "^^é^'
e dair argomento
X =
2w'
Il trasformare w, w' colle formolo solite corri-
sponde dunque a trasformare ^ e a; colle formole
T
1
7; W TT W
2 wj 2 (a w -f- h 0/) •
Basta al solito occuparsi solo delle due sostitu-
/iioni fondamentali sopra citate. Per esse si ha:
.fi ~- X
J per
1
/
^ per
1 1/
(° ')
Trasformazione lineare dei periodi, 189
Per ottenere le formolo corrispondenti alla prima
sostituzione si può procedere molto più semplice-
mente che ricorrendo alle formole per le ^ e alle
relazioni fra le -^ e le <y. Si può ricorrere diretta-
mente a^li sviluppi in serie delle ^ e si hanno
allora subito le formole:
5 {X, 't)^^^{x, T + 1)
in
5i (a;, t) := e~^ ^, (a?, t + 1)
ire
^^{CJG, T)==r^5(^, T+1)
•^3 {00, t) --. 5 (^, T -f 1).
Non si può invece fare lo stesso per le formole
della seconda sostituzione. Per esse dobbiamo ri-
correre alle relazioni fra le ^ e le <t che, serven-
doci delle già trovate relazioni (v. § 7, Cap. Ili)
^'^-'^'izr"
noi porremo sotto la seguente forma
./2«4-
— rr ~W
:- (X) ^= W— v>, —et e 2 ,.. ,, („)
190 Capitolo IV. — § J4.
1 ^ 8
5, (X) = J y \l2 ^ A e 2 e."* ^ (^)
Si hanno allora le seguenti formole
^.(f-l) = Wi
♦ a;*
T
fa:"
t)
T
«^^^5 (re,
-)
t
in?
e " ^8 (a;,
^).
Come 8Ì vede non e' è, come per le <r, la per-
mutazione pura e semplice, ma ì secondi membri
restano moltiplicati per un fattore esponenziale di
ix^
2." ^rado e'\
CAPITOLO V.
INTJSGBALI ELLITTICI DI 1.*, 2.% 3.* SPECIE.
§ 1. Considerazioni generali sugli integrali ellit-
tici. — Dagli elementi del calcolo infinitesimale
si sa che cosa sono gli integrali ellittici
Immaginiamo due variabili x^ y legate fra loro
da una relazione algebrica f(xy)—0 e conside-
riamo un integrale della forma
\F(xy)d^T
dove con F(xy) si intende una funzione razio-
nale di x^ y. La funzione sotto il segno integrale
h naturalmente una funzione irrazionale di x sola;
la natura di un tale integrale dipende essenzial-
mente dalla specie di relazione f ( >• y) = esi-
stente fra x^ y.
Si suole prendere un punto di vista geometrico
e considerare la f{xy) = Oeome rappresentata
nel piano mediante una curva algebrica.
Ora nelle curve algebriche ha un' importanza
fondamentale il cosiddetto genere^ e la sua im-
192 Capitolo V, — § L
portanza viene da questo fatto che due curve
generali che hanno il medesimo genere sono trasfor-
mabili razionalmente l'una nell'altra, cioè le coor-
dinate dell' una possono sempre esprimersi razio-
nalmente mediante quelle dell'altra, e viceversa;
fra le due curve sussiste allora, come si dice, una
trasformazione hirazionale,
È naturale allora che gli integrali del tipo sopra
indicato corrispondenti a due curve del medesimo
genere, potranno trasformarsi gli uni negli altri,
e quindi vien subito l'idea di distinguere gli inte-
grali del tipo sopra indicato secondo il genere
della curva f{xy)='0; la relazione f(xy) — si
suol chiamare la curva o la forma fondamentale
dell'integrale, il quale poi a sua volta si suol chia-
mare integrale abeliano di genere eguale a quello
della curva /"= 0.
Quando il genere è zero^ allora si può mostrare
che l'integrale corrispondente si può trasformare
nell'integrale di una funzione razionale di una va-
riabile; infatti dalla teoria delle curve si sa che
una curva di genere zero ha la proprietà che le
coordinate di un suo punto si possono esprimere
mediante funzioni razionali di un parametro f, ed
è perciò che le curve di genere zero si sogliono
chiamare anche curve razionali.
Sostituendo allora in F {co y) d x tali funzioni
razionali, si ottiene evidentemente una funzione
razionale di t.
Il caso immediatamente seguente è quello del
genere 1; questo è il caso ellittico; quando la
curva fondamentale è di genere 1 allora V inte-
grale corrispondente si chiama ellittico.
Gonsid. generali sugli integrali ellittici» 193
Due esempi rimarchevoli di curve di genere 1
sono:
1. y2 = ao^ + 4aia?? + 6a2^'* + 4a3^ + a4
dove il secondo membro rappresenta an polinomio
generale di 4.** grado.
2. Una curva piana del terzo ordine.
Se la forma fondamentale è data sotto la forma 1)
allora Tintegrale ellittico generale ha la forma
essendo F il simbolo di una funzione razionale.
Prima di terminare questo paragrafo vogliamo
porre in rilievo una forma rimarchevole sotto cui
può porsi un integrale abelìano qualunque, la così
detta forma omogenea di Aronhold. Supporremo
la equazione della curva fondamentale messa sotto
la forma omogenea, introducendo cioè una terza
variabile :
Allora in forza del teorema di Eulero si ha
e inoltre differenziando
àx^P-^dx^P- +dx^l^=0
^dx^ ^dx^' ^dx^
Pascal. IS
194
Capitolo V. — § 1,
donde
IL
ÌL
a?3 a?i
x^ x<
8
dx^dx^
e perciò, introducendo tre quantità arbitrarie Ci,
Cs, Cs; si ha che ciascuno di questi rapporti è an-
che eguale a
'dee.
da.
ì
duo.
Ci
dx^
Ci
Xa
a?3
I
d X.) d Xn
Ora introducendo le variabili omogenee l'inte-
grale abeliano diventa
I ponendo cioè x = - ^y = *-\
\ x^ x^i
/
Fix^x^x^)
{Xq dXi Xid x^)
Xy
8
il quale, in forza delle identità sopra dimostrate, è
\
Gonsid. generali stigli integrali ellittici» 195
eguale a
Ci Co Cq
X^ X^ Xq
( F(XiX^x^) df dXy dX2 dx^\
^3' dee. a^ df ^. IL
''dxr''da^,'da^s
che possiamo scrivere
(e X d x)
I
4> (a?j a?2 Xs)
^^Jf
dcoi
indicando con (cxdx) il determinante di 3.® or-
dine, e con 4> r assieme di tatti quegli altri fat-
tori. Essendo la F di grado zero nelle tre varia-
bili, la ^ sarà funzione omogenea di grado n — 3
se n è l'ordine della curva fondamentale
f{XiX^x.^) = Q,
E chiaro, per il procedimento fatto, che l'espres-
sione differenziale •
{cxdx)
è indipendente da e.
Esaminiamo in quali punti diventa zero e infi-
nita questa espressione differenziale.
196 CapUolo V. - § L
La
df
^Ci
dcci
eguagliata a zero rappresenta la curva polare del
punto di coordinate Cj Cj c^ rispetto alla curva fon-
damentale; come si sa dalla geometria questa po-
lare passa una volta sola per tutti i punti di con-
tatto delle tangenti condotte da e alla curva e per
tutti i punti doppii della curva stessa. Variando e,
i punti doppii sono fissi, ma variano i punti di
contatto delle tangenti condotte da e. Ciò ci fa in
certo modo vedere che quella espressione diffe-
renziale non potrà avere per punti d' infinito tali
punti di contatto, perchè come sappiamo quella
espressione deve essere indipendente dalla posi-
zione del punto e. Del resto si può subito far ve-
dere che il determinante {cx dx) si annulla an-
ch' esso in tali punti di contatto, giacché quando
i tre punti di coordinate
Ci, Cg, Cs
x^ ^- da?i, a?2 + d ^s» ^t + dx^
sono in linea retta, allora questa retta è tangente
alla curva, e il determinante (cx dx) è zero, e
d^altra parte questo non è zero, se quei tre punti
non sono allineati cioè se la retta dei punti e, x
non è tangente alla curva.
Ricaviamo quindi che i soli punti dHnfinito del-
i
Integrali di i*, 2*, 3* specie. 197
V espressione differenziale sono i punti doppii della
curva fondamentale; e se questa non ha punti
doppii^ quella espressione differenziale non ha né
zeri né infiniti.
§ 2. Distinzione degli integrali in quelli di 1.%
2.* e 3.* specie. — Abbiamo detto nel paragrafo
precedente che si hanno gli integrali ellittici quando
la forma fondamentale è p. es. di una delle due
forme seguenti :
1. ^2^ ^s' = A (^1 ^«
dove con f^^ f^ si intendono rispettivamente delle
funzioni omogenee generali dei gradi 4, 3 nelle
variabili indicate sotto il simbolo stesso ; la ^"3 =
deve rappresentare una curva piana generale di
3.^ ordine, senza punti doppii, altrimenti il suo
genere non sarebbe più 1.
Esaminiamo la curva di equazione
x^^ x^^ — /4 (a?j x^) = 0.
Il punto ^1=0 a?g = è un punto della curva
e, come si vede, è un punto doppio, perchè si an-
nullano per ^1 == a?3 = tutte le derivate prime
del primo membro dell'equazione della curva, e
non tutte le derivate seconde. Le due tangenti nel
punto doppio sono riunite nell'unica retta
dunque quel punto doppio è propriamente una
cu^de.
198 .Capitolo V. — ,<? 2.
Formiamo l'espressione differenziale
{e x dx)
assumendo per punto e il punto
Questa espressione diventa, tenendo conto del-
l'equazione della curva:
{x^ dx^ — x^d Xi)
2 a?2 V?4 (^1 ^2)
la quale, per le cose dette nel paragrafo prece-
dente, deve diventare infinita solo nella cuspide
a?, = a?2 = 0-
Essendo in questo caso n = 4, sarà n — 3=1
e quindi ^n-% è una espressione omogenea in
x^x^x^ razionale di 1.® grado. Mediante l'equa-
zione della curva una tale espressione può sempre
ridursi alla forma
La distinzione delle diverse specie di integrali
ellittici (0 in generale abeliani) si fa dal seguente
punto di vista: la espressione ohe sta sotto il segno
d'integrale può:
Integrali di /•, 5*, .9* specie. 199
1. Non diveatare infinita in alcan punto ;
2. Diventare infinita in un punto, ma di or-
dine superiore al primo;
3. Diventare infinita di 1.° ordine in un punto.
E può poi naturalmente anche accadere che in
certi punti si verifica la proprietà 2) e in certi
altri la proprietà 3).
Se si verifica la proprietà 1) l'integrale non di-
venta mai infinito.
Nei punti in cui si verifica la proprietà 2) l'in-
tegrale diventa infinito algebricamente, cioè si può
sempre trovare un'espressione algebrica^ che di-
venti zero nello stesso punto, e per cui moltipli-
cando r integrale, il limite del prodotto, quando
la variabile si avvicina a quel punto, è l' unità.
Nei punti invece in cui succede la proprietà 3j
l'integrale diventa infinito, ma logaritmicamente^
cioè si può sempre trovare una funzione algebrica
per il cui logaritmo dividendo l'integrale, il limite
del quoziente sia 1.
Un integrale per il quale si verifica la pro-
prietà 1) sarà una funzione che non diventa infi-
nita in alcun punto e si suol chiamare integrale
ellittico di 1.* specie; un integrale che non am-
mette altri infiniti che infiniti algèbrici si chiamerà
integrale ellittico di 2/ specie; e finalmente sarà
di 3.* specie un integrale non avente altri infiniti
che infiniti logaritmici.
Ogni altro integrale avente punti d'infiniti al-
gebrici e punti d' infiniti logaritmici, si comporrà
sempre mediante combinazione lineare di integrali
di 1.», 2.», 3.» specie.
Le asserzioni contenute in questo paragrafo non
200 Capitolo V. — § 3.
le abbiamo dimostrate, e non sono certamente evi-
denti; esse risulteranno dimostrate da alcune con-
siderazioni che avremo subito occasione di fare e
che si fondano sugli sviluppi dati nei capitoli pre-
cedenti.
§ 3. Forma normale di Weierstrass. Corrispon-
dente espressione dell'integrale ellittico generale.
Trasformazione di una forma ellittica in quella nor-
male. — Dalla teoria delle curve sì sa che ogui
curva piana di genere 1 (curva piana ellittica) può
trasformarsi con trasformazione birazionale in una
curva di equazione
•^s* ^ — ^Xi^ + 9i ^1 a^s* + 9fi x^^ =
0, in coordinate non omogenee,
j/2 — 4.^3 4-^2 rr + ^3 = 0.
Questa forma si chiama la forma normale di
Weierstrass^ e per le cose dette nel § 1, possiamo
dunque prendere questa relazione per forma fon-
damentale per gli integrali ellittici.
Come si vede, la relazione esistente fra oc^ y ò
la stessa di quella esistente fra p e p\ quindi ri-
cordando che ad ogni qualunque valore assegnato
a p (u) corrisponde sempre un valore di w, possiamo
dire che esisterà, per ogni sistema di valori di ir,
2/, un argomento u in modo che sia
a?=jo (u)
y=p'(u)
Forma normale di Weierstrass^ ecc. 201
cioè: le coordinate di un punto di una curva el-
littica piana possono sempre esprimersi come fun-
zioni ellittiche di un parametro u.
Possiamo nello stesso modo troTare una forma
normale per un integrale ellittico generale.
Assumendo per forma fondamentale quella di
Weierstrass e facendo un procedimento simile a
quello del § 2, possiamo dire che ogni integrale
ellittico può sempre con trasformazioni razionali
ridursi alla forma
i
+ (P, P') ^
dove la p è la funzione di Weierstrass studiata
nel capitolo precedente, e con ^ si intende una fun-
zione razionale di p e p\
Ora sappiamo che ogni •} {p p') può sempre porsi
sotto la forma (v. Gap. IV, § 12)
4
C + 2 Cy ^ (W — Uv) +
+ ^c'fAp{u — U^fi) +
+ s Co" p' [u - m/'; +
dove
2cv=0
V
202 Capitolo r. — ,s^ 5.
dunque, sostituendo, integrando ed osservando che
— y- z=zdu^ possiamo dire che ogni integrale ellit-
tico potrà sempre ridursi ali* espressione
e W + 2 Cy log <y (U — 'iJh) —
V
+
dove la somma di tutte le cv è zero.
Una tale espressione risulta di tre categorie di
termini.
1) Termine in u (integrale di 1.* specie);
2) Termini in C in p , p\ , , (integrali di
2.* specie);
3) Termini in log ^ (integrali di 3.' specie).
Nei paragrafi seguenti sarà mostrato che ognuno
di tali termini si può esprimere mediante integrali
in cui la variabile d' integrazioue è p.
Per le note proprietà delle funzioni p, p\ p'\ . . .
e — -, ff si ha che
C possiede degli infiniti algebrici di 1.® ordine
{u = U'fj)
p possiede degli infiniti algebrici di 2.'' ordine
forma normale di Weierstrasf^^ ecc. 503
p' possiede degli infiniti algebrici di 8.^ ordine
(w = «*'"t), ecc., ecc.
log <y possiede degli infiniti logaritmici {u = Uv),
Infine la quantità
nell'interno del parallelogrammo dei periodi, in
cui il limite superiore p dell'integrale può rice-
vere tutti i valori possibili^ non diventa natural-
mente mai infinita; essa rappresenta un integrale
che non diventa mai infinito per alcun valore di p.
Resta dunque pienamente dimostrato che ogni
integrale ellittico può sempre comporsi linearmente
mediante tre specie di integrali, di cui ognuna è
caratterizzata dalle proprietà indicate nel § pre-
cedente.
Dall'analisi precedente risulta anche che di inte-
grali di /." specie ne esiste uno solo cioè
ti
Prima di terminare questo paragrafo vogliamo
notare con quali trasformazioni una forma ellittica
dei due tipi principali avanti ricordati, si riduce
alla forma normale di Weierstrass.
204 Capitolo F. — § S.
I due tipi principali di forma ellittica sono (yedi
Gap. Y, § 2):
1.0 y^ = aoX* -^ ia^x^ -h Qa^x^ -h ia^x ^ a^.
2.0 /3(a?y) =
dove con f^ {oo y) = si intende Tequazione gene-
rale di una curva piana di 3.* ordine.
Per trasformare la forma 1) nella forma nor-
male trasformiamo prima la V\ colla sostituzione
con che il seconjio membro perde il secondo ter-
mine e diventa
y'i = a/^ + 6 «8 a;'» + 4 «, x' + a^
dove
«0 «2 — «1
«2=
do^ as — 3 ao «1 a2 ^- 2 a{
a r=
Forma normale di Weierstrass^ ecc. 205
Si ponga ora
1 p' — ^ao^
af^
2 «0 J5 + <4 «0*
Queste relazioni sono birazionali ; infatti si vede
subito che di qui potrebbero ricavarsi jo, jo' razio-
nalmente mediante y\ af.
Mediante queste relazioni, sostituendo e ridu-
cendo si ha
(4 ^2 _ 4 ag oo* p + 0^2*00* - a^ V) (p + «« a^y —
— (p'2 — 2 ag ao* p' + «;,* «o^J (i> + «2 «o*) "
- 2 ag ao* i>' - «a V) (i> + *2 «0*) = 0.
e sopprimendo il fattore i> f ^2» ^ riducendo si ha
ys — 4p« + oo* (a* + 3 V)p +
Con ciò la forma data è stata ridotta alla forma
di Weierstrass. I coefiSoienti
«0^ («2 H — *2* ~ °^3^;
non sono altro che gli invarianti g^^ g^ della biqua-
dratica data.
206 Capitolo V. - § 3.
Yogliamo ora indicare un'altra trasformazione
che ha su questa, ora sviluppata, un grande van-
taggio.
Poniamo
XJO-I- p
x = ^
Y/? -+■ ò
e
_ P
y (yp /8)2-
Questa trasformazione, come si vede, è una tra-
sformazione birasfionale, potendosi subito ricavare
py p^ razionalmente mediante x^ y,
I coefficienti a 6 y Mi determiniamo in maniera
che
= + 1
a .6
I
! T '^
e che f{x; si riduca esattamente a
a
Ciò si può sempre fare ; bisogna perciò porre
Y
eguale ad una delle radici dell'equazione f(x) = 0;
ì quattro coefficienti devono poi ancora sottoporsi
a due altre coudizioni facili a trovarsi.
Gli integrali ellittici di seconda specie, 207
Il yantaggio di questa trasformazione à ohe,
considerata solo in rispetto al polinomio f{x\ la
variabile in questo resta assoggettata ad una so-
stituzione lineare.
Passiamo ora alla trasformazione della curva di
3.® ordine.
Prendiamo il punto di partenza da un teorema
relativo a queste curve: se da un punto di flesso
della curva si conducono le tre tangenti alla curva
stessa, i punti di contatto di queste tangenti sono
in linea retta.
Chiamiamo Ca:' cx' Cx" i primi membri delle
equazioni delle tre tangenti, e Wa; = 0, s^ = le
equazioni rispett. della tangente di flesso, e della
retta nella quale sono allineati i tre punti di con-
tatto delle tre tangenti.
Allora la espressione
Cx Cx Cx
UxSs?
è una costante quando per le x si pongono le coor-
dinate di un punto della curva data. Supponendo
questa costante eguale ad 1, l'espressione della
curva data resta trasformata in
Cx' Cx'' Cx" — Ux Sx^ =
che si riduce subito alla forma di Weierstrass, se
si pone uno dei vertici del triangolo delle Coor-
dinate nel punto di flesso.
§ 4. Gli integrali ellittici di 2/ specie. - Dal-
l'analisi precedente risulta che vi sono varie cate-
gorie di integrali ellittici di 2.* specie.
208 Capitolo V. - § 4.
Quello che diventa infinito di l."" ordine in un
punto u' è
-- C (w — w ) == -z y- .
ff (w — u )
Tutti gli altri, cioè ^, p\. ,, non sono che le de-
rivate successive di questo e diventano in un punto,
infinite di ordine superiore al primo.
Abbiamo dunque la definizione dell'integrale
ellittico fondamentale di 2.» specie (colP infinito u')
Z[U — W'; = — ^— log ff («^ — u') =
=■ — I "1— j log <r (w — w') d w = j jo (w — u'j rf M =
/
P W
Per le formole che conosciamo sulle <r, si ha che
r integrale Z ha per periodi precisamente le quan-
tità da noi avanti introdotte e chiamate —^2?),
-2V.
In effetti essendo
<y (t* + 2 tó) = — <y (w) e2i7(«-H»)
si ha
Gli integrali ellittici di seconda specie. 209
E analogamente
a(u+2co')"" <i(u) '^'
Le quantità — 2^1, — 2-n' sono rispetto all'in-
tegrale Z quello che sono 2w, 2w' rispetto all'in-
tegrale w. LMntegrale Z considerato come funzione
di^, si accresce in generale di un multiplo di 2>i,
2 fi' sempre che p torna ad acquistare il medesimo
valore; ad ogni valore di p corrispondono cioè
per u tutti i valori del tipo
w + 2mw + 2nw'
e per Z tutti valori del tipo
Z+2m^+2niì',
dove w, n sono numeri interi positivi o negativi.
Fra tutte le Z aventi per influiti tutti i punti u^
possibili, noi ne possiamo scegliere una qualunque,
perchè dimostreremo che tutte le altre si possono
riferire a quella comunque scelta, cioè che tutte
le altre non rappresentano una specie di trascen-
dente diversa da quella; propriamente che: la dif-
ferenza fra due Z con punti d'infinito diversi è
una funzione algebrica di p e p\
Sceglieremo allora come Z fondamentale la
Ziu)=jp
d p
Sl4p^ — g2p — gfi
PA8CA.L. 14
210 Capitolo r. — § 5.
che ha per punto d'infinito nel piano u il punto
w = e quindi nel piano di p il punto p=z<x>.
Il teorema risulta subito mediante il teorema
d'addizione della funzione p.
Ricordando la formola
si ha
Z{u-iO-Z(u)=jj
dv
2 J du p{y)—p{u^
2 p(^0-p(^.') '
Quindi ogni Z con un punto d'infinito qualun-
que si può ridurre alla Z avente per punto d'in-
finito il punto w = 0, ovvero, nel piano della va-
riabile p^ il punto p = oo.
Possiamo dire che, come di integrali di 1.* spe-
cie, anche di quelli di 2/ specie, aventi un solo
punto d'infinito di 1.** ordine, ne esiste uno solo.
Tutti gli altri integrali di 2.» specie aventi in-
finiti nello stesso punto non sono che le derivate
successive di questo.
Osserviamo che aggiungendo ad un integrale di
2.* specie uno di !.• specie, si ottiene ancora uno
dì 2.* specie.
§ 5. Gii integrali ellittici di 3.» specie. L'inte-
grale Q di Klein. — Nel § 3 abbiamo visto che
nella scomposizione di un integrale ellittico gene-
Gli integrali ellittici di terza specie, 211
rale gli integrali di 3.* specie si presentano sotto
la forma
2 Cv log (i{v — Vv)
V
dove la somma di tutte le e è zero.
Tutto questo sommatorio rappresenterebbe un in-
tegrale di 3.* specie i cui punti d'infinito sono
%W2-'«5 1® quantità e sono i cosiddetti residui;
la somma di tutti i residui è zero.
Si può porre questa espressione sotto la forma
di un integrale nella variabile ;?; possiamo cioè
scrivere:
J ly <t{v — Vr)ì
d p
J y p
La espressione dentro parentesi, come è facile
vedere, è un' espressione doppiamente periodica
perchè la somma delle Cv è zero. Essa sarà dun-
que esprimibile mediante p e p\ ciò che del resto
può qui dimostrarsi anche direttamente come se-
gue: ricordiamo la formola (v. § 4) riguardante la
differenza fra Z{u — ìIj) e Z{u); mediante tale
formola possiamo soptituire a, Zlu — Ui) il suo va-
lore, e allora si ha una parte in p^ p\ e una parte
in Z(u) ma col coeflSciente zero perchè eguale
a ^ Cv. Resta con ciò dimostrato T assunto.
212 Capitolo V. — § 5.
Ogni integrale del tipo precedente si può sem-
pre comporre mediante certi altri di tipo più sem-
plice. Il precedente ha molti punti d'infinito; com-
poniamone uno simile ma con soli due punti d'in-
finito; allora dovendo essere zero la somma dei
due residui, essi saranno eguali e di segno con-
trario; li potremo porre eguali ad 1. Avremo al-
lora
2 J p' ipM—piu^) p(w)— p(w2)J*
Mediante questo si può comporre qualunque in-
tegrale del tipo generale avanti indicato; la di-
mostrazione di ciò si fa subito scrivendo
2 Cr log <y{u — Uì)
sotto la forma
C, log -7 r + (Cg -t- ^1) log -r .
/ . . M ^ ÌM "3)
-f (03 + c. + Cu log ^^^-^;
+ {Cn + Cn^ì + . . . + C,) log <r {u— Un)
Gli integrali ellittici di terza specie, 213
ed osservando che è zero la somma di tutte le e
che forma il coefficiente dell'ultimo termine.
L'integrale precedente si suole indicare (secondo
Klein) colla lettera ^; per modo che si scrive
(s(u — t<j)
Qu,n^ — log —7~ — T + cost
<y (w — Wg)
Con questa notazione si rappresenta l'integrale
indefinito; volendo definirlo fra i due limiti u = w/,
u = u^ si ha
*.. t
q:::: = log
^('^' — ^i)<r(V — ^2)
Le quantità u^ xu^ sì chiamano gli argomenti,
1*1 W9 sono i cosidetti parametri (punti d'infinito).
Dalla forma precedente appare subito una proprietà
singolare dell'integrale di 3.* specie Q^ cioè che
esso resta inalterato sòamhiando i parametri cogli
argomenti:
L'integrale Q può mettersi sotto la forma di
integrale doppio; infatti basta tener presente la
espressione
d n' J di', p {^'' — u\
T#| U^
214 Capitolo V. — § 5.
Questa forma fa vedere ancora una volta la pro-
prietà già dimostrata della permutabilità dei pa-
rametri cogli argomenti, ricordando che p è una
funzione pari, e quindi
p (li — u') =:p (>/ — ij).
Questo integrale Q di Klein ha un'importanza
speciale nella teoria delle funzioni ellittiche.
Esso si generalizza anche per il caso iperellittico,
e la sua importanza sta principalmente nel fatto
che esso è una forma invariantiva per la trasfor-
mazione lineare della forma ellittica fondamentale.
Di ciò discorreremo in seguito.
Si adopera alcune volte un altro integrale di
3.* specie che si indica colla lettera n e che ha
la seguente forma
'*MiO l'^) = -^ 7-7 J—T- a •'.
2 J v('i) — p(>ii)
Dalla formola d'addizione delle <r
prendendo i logaritmi e derivando rispetto ad w,
Ui 8Ì hanno le due formole
Gli integrali ellittici di terza specie, 215
donde, sottraendo, si ha
Con questa forinola V integrale superiore diventa
n^jo (u) = — log<y ('* — H,) + log o (u) ^ u.
Da questa formola appare che questo integrale
diventa infinito logaritmicamente nei due punti
M = 0, w = Wi.
Costruendo
— n«i-ti.,o ('* — «'.) = Hi^u, (>ì)
si ha un integrale che diventa infinito in Ui u^ :
^u^ut (**) = + log <r (^* — Wi) — log <» (w — w,} +
<T (//j — Wg)
che, come si vede, differisce dal ^w,«, solo per un
termine che è integrale di 1.* specie e per un
termine costante.
Dobbiamo aggiungere qualche altra cosa riguardo
alla periodicità degli integrali di 3/ specie.
216 Capitolo r. — § 5.
Dell'integrale Q le formole di periodicità sono
semplici. Accrescendo T argomento w di 2w, 2w'
l'integrale si accresce rispettivamente di
2 *,' (wj — u^).
CAPITOLO VT.
ESPRESSIONI DELLE FUNZIONI ELLITTICHE
QUANDO SI PRENDE PEE FORMA FONDAMENTALE
UNA BINARIA BIQUADRATICA QUALUNQUE.
§ 1. Espressione rimarchevole delia e disparì me^
diante l'integrale Q, — Estendiamo l'integrale di
1.* specie
fra due limiti qualunque, p("x)^ P ("2)-
Allora si ha
CpM [pM M'i)
PÌHi) 00 00
Il problema che ci proponiamo è questo: espri-*
mere ^ (w) ==(7(^2 — ^'1) mediante i valori di p^ p'
in Ui e Mg. L'espressione di p{^o) mediante p(ui),
p (t/2) risulterebbe subito dal teorema d'addizione.
Le formole notevoli che troveremo sono state tro-
218 Capitolo VI. - § 1.
vate per la prima volta da Elein (Math. Ann.,
voi. 27, pag. 455) e servono per le cose che di-
remo nei paragrafi seguenti.
Cominciamo col calcolare il valore di 0«\V*
quando gli argomenti w^' t/g' si fanno convergere
a valori eguali, ma di segno contrario, dei para-
metri, cioè quando si pone
Ui = — lii
u/ = — W2-
Per tali valori di Wi' U2 si ha
pM= pM
p {U2J = p M
Tenendo presente la formola per Q si ha allora
Intanto dalla formola d^addizione per la <t cioè
<y (wi + %) <y (wi — 11$)
<I« (Wi) ff« (w,)
'i>W— ^>i)
Espressione dette <? mediante Q, 2\%
---ir ni I
ponendo ti^ = Ui si ha
<y (2 Ui ) _ p{u,)—p(ui)
— lim ^^ ^g^"~ ^(^^i^ . jina ^2 "- i^i
Analogamente
onde, combinando ancora colle formole d'addizione,
si ha
g (2 t^j) g (2 %) _ JP' (^1) j>' («2)
Possiamo quindi scrivere la formola
Questa formola è notevole per il fatto che se
invece di considerare, come qui; per fondamento la
forma normale di Weierstrass, si considera una bi-
quadratica qualunque, si trova una formola per-
fettamente analoga a questa.
§ 2. Espressioni delle g pari mediante Q. —
Vogliamo per le g pari fare una ricerca analoga
a quella del paragrafo precedente.
220 Capitolo VI. — ,s^ 2.
Partiamo dalle forinole
\lp {Ut) — «1 ==
"i (»8 )
a (Ui)
dalle quali si ha
P==\Ip Uh) — et \lp {U2) — e^ ^p [ilo) — «8 +
+ ^p M — Ci \Ip {ih) — ^8 ^p (th) - ^3 +
d* (wi) <y^ (W2)
Moltiplicando e dividendo il secondo membro
per
e osservando che
^ (w,) <y* (?io)
e che l'altro fattore del secondo membro della
i
Espressioni di w, p^ Q, ecc. 221
forinola superiore è (v. Gap. Ili, § 8;
g, {U2 — Ui)
si ha infine» tenendo conto della formola già data
per la <r,
\/p' («i)i'' («.)
dove P è formata mediante p (ui) p (u^) nel modo
sopra indicato.
§ 3. Espressioni di u^ p, Q, riferite ad una bi-
naria biquadratica qualunque. — Supponiamo la
forma ellittica fondamentale del tipo
y* -= A (^) = ao a^ f 4 ai a;* + . . .
0, sotto forma omogenea^
a?3*a?2* = /4(^^«)^«oa;i* + .. .
Vogliamo cominciare eoli' esaminare come resta
espresso l'integrale di 1.* specie w. Dico che si
ha semplicemente
C dx
u = I ■
se per formolo di trasformazione delle variabili
p, p' nelle Tariabili x^ y si assumono le seconde
222
Capitolo VI. — § 3.
indicate nel § 3, Cap. Y, cioè
X
y =
TP + 8
P'
(y P + 8)'
In effetti si ha
T 5
+ 1.
da; =
e quindi si ha
(oc S — p y) d p
(7 P + 8)^
ti^f^
dp d X
Sotto forma omogenea si avrebbe:
du
(x^doOi Xidx^) _ (xdx)
\lf{^i 0C2) \lf{xi ^2)
Se si adoperasse l'altra traHformazione indioata
nello stesso § 3, Gap. Y si avrebbe lo stesso ri-
sultato, ma a meno di un fattore costante V^*
Poniamo qui sotto in nota il calcolo relativo, ohe
Espressioni di w, p, 0, ecc. 223
del resto per le cose di questo capitolo non ha
importanza.*
Supposto allora che ai valori % Ui dell' argo-
* Essendo, per le forinole di oai si parla,
ao 2aoP-^atao*
si ha
. l_{p 4- g> g p*) dp' — jp' - 0,00») di?
j 2 i)« + 6 a, ao» p* + g- flfg i> - g- «i ao' ^« + ^s + «« «o* P '
2ao 1> (P + aatto*)'
;/ = i-r^r2p»+6a,ao'P* + v^«^ + T^« "
2 Oo V Oo ■- * ^
- 2 a.» V- 1 «,« ««• + «« «oV"j
ed essendo (▼. § 3, Gap. Y)
si ha
e quindi
- fif, - 2 ««• Oo« - 2^ «i* V = P> - -^ a, Oo* flr.
y P
224 Capitolo VI. — § 3.
—
mento u corrispondano i valori ce" x^ della varia-
bile X, si ha
dx
X
Troviamo ora l'espressione di p (u<i — w,).
Osserviamo che la forma binaria generale
si riduce al polinomio di Weierstrass
4 c^i» ^2 ^ ^2 «1 x%^ ■- 9% ^2^
con uaa trasformazione lineare delle variabili, di
determinante eguale ad 1. È di tal genere appunto
la trasformazione ora adoperata.
Ora io dico che si ha la formola
(D-
dove F(x^ a;") è la seconda polare di f fra le va-
riabili x' x'\ cioè
e
Per dimostrare la formola di sopra noi osser-
viamo che, per noti principii della teoria degli in-
Espressioni di m, p, Q^ ecc. 22«'>
varianti, le espressioni di cni è formata quella
formola sono tutte espressioni invariantive, cioè
restano inalterate colla sostituzione lineare delle
variabili omogenee.
Supponiamo allora fatta la sostituzione lineare
che muta il polinomio generale nel polinomio di
Weierstrass.
Il secondo membro della formola si otterrà po-
nendo :
in luogo di
Si ha così
V\u^p\uè * 2p(Wi) V (w») \V («*i ) * P (^2)] - l'b (wi) ♦ V ("2)1 -^3
¥\v\u\)--p{u^Y
Ora questa formola è vera, perchè, opportuna-
mente trasformando la formola d'addizione per la
funzione p, possiamo ottenere precisamente que-
st' ultima formola, come è facile verificare. Dun-
que resta dimostrata la formola di sopra.
È facile ora ottenere l'espressione dell'integrale
normale di 3.* specie 0. Essendo (v. § 5, Cap. V)
226 Capitolo VL - § 4.
8Ì ha
rx,' rx'
dz \lf{z)\lf(z') + F{zz')
')^f(z) 2(2^0')
se/' x"
Questo integrale può indicarsi con Q^ì^n per
porre in vista le variabili a?, in luo^o degli argo-
menti u.
Le formolo di questo paragrafo sono importan-
tissime, perchè mostrano appunto le proprietà in-
variantive di p e di Q^ rispetto alla trasforma-
zione lineare del polinomio fondamentale.
§ 4. Espressioni delle (x riferite alla biquadratica
generale. — Le formolo che daremo qui non sono
ohe la generalizzazione di quelle date nei § 1, 2
di questo Capìtolo.
Si ha
dove con (p («'), ^ (a?'), ... si intendono due fattori
quadratici tali ohe si abbia esattamente
Colla trasformazione adoperata nel paragrafo
precedente, q che per il polinomio f(x) si riduce
!1
Espress, delle <y riferite alla biquadratica, 227
alla trasformazione lineare che lo riduce nel pò-
linomio di Weierstrass^ le formole qui date si tra-
sformano esattamente in quelle citate dei § 1, 2.
Il che mostra la loro esattezza.
Si può osservare che la scomposizione di f{a))
in due fattori quadratici cp(a7), '}({x) si può fare
appunto in tre modi, ciascuno dei quali corrisponde
ad una delle tre funzioni a pari.
Per tutte le formole contenute in questo capi-
tolo si può vedere: Klein^ Math. Ann., voi. 32,
p. 360.
B
■
ULRiaO HOEPLI
EDITORE-LIBRAIO DELLA REAL CASA - MILANO
DKI
•■iiHiaiuiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiainiiaiiiiiauiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiaii.iiai'i.iaiiiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiainiiaiiiiiaiiiii»
MMWÀIiI lOlPU
«iiiiiaiiiiiBiiiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiiaiiiiia.i.i'aiiinatiiiiaiiiiiaiiiiiaiiMiaiiiiianiiiauiiia'
Publicati sino al I Febbraio 1896
La collezione del Manuali Hoepli, iniziata col fine di
volgarizzare i principii delle Scienze, delle Lettere e
delle Arti, deve il suo grandissimo successo al concorso
dei più autorevoli scienziati e letterati d'Italia ed ha
ormai conseguito, mercè la sua eccezionale diffusione,
uno sviluppo di più che quattrocento volumi, per cui
si è dovuto classificarla per serie, come segue:
S«rie Selentlflea, Storica, Letteraria,
Criaridlea e E<lR|palstlea (a L. 1,50 il volume)
pei Manuali che trattano le scienze e gli studi letterari.
SERIE PRATICA (a L. 2 il volume)
pei Manuali che trattano le industrie agricole, manifattu-
riere e gli argomenti che si riferiscono alla vita pratica.
SERIE ARTISTICA (a L. 2 il volume)
pei Manuali che trattano le arti e le industrie artistiche
nella. loro storia e nelle loro applicazioni pratiche.
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pei Manuali che si riferiscono a qualsiasi argomento,
ma che per la mole e per la straordinaria abbondanza
di incisioni, non potevano essere classificati in una
delle serie suddette, a prezzo determinato.
=vj-J«<:
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Tutti i Manuali Hoepii sono elegantemente legati in tela.
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Tutu i MANUALI HOEPLI si spediscono ftranco
di porlo nel Regno, — Chi desidera ricevere i volumi
raccomandati^ onde evitare Io smarrimento, è pregato di
aggiungere la sopratassa di raccomandazione»
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
Publicati sino al I Febbraio 1896
.»9 —
L. e.
AbliazIoRi (Le) deg^ll aRlniall domefttlci, di U.
Barpi, con oltre ICO incisioni. (In lavoro).
Aeqae (Le) Minerali e teraiall del Regine d'Italia,
di Luigi Tigli. Topografia — Analisi — Elenchi —
Denominazione delle acque — Malattie per le quali si
prescrivono — Comuni in cui scaturiscono — Stabili-
menti e loro proprietari — Acque e fang^hi in com-
mercio — Negozianti d'acque minerali, di pag. xxn-552. 5 50
Adulterazione e falslfleazlone deg>ll alimenti, del
Dott. Prof. L. Gabba, di pag. vni-212 2 —
Ag^rlcoltura. Vedi Abitazioni animali domestici —
Agronomia — Alimentazione del bestiaane — Ani-
mali da cortile — Apicoltura — Bacologia —
Bestiame e V agricoltura — Botanica — Cantiniere
— Caseificio — Catasto italiano — Cavallo — Chi-
mica agraria — Colombi — Coltivazione piante
tessili — Computisteria agraria — Concimi — Con-
tahilità agraria — Economia fabbricati rurali —
Enologia — Estimo rurale — Floricoltura — Fru-
mento e mais — Frutta minori — Frutticoltura
— Funghi e tartufi — Gelsicoltura — Geometria
pratica — Humus — Igiene rurale — Insetti nocivi
— Insetti utili — Latte, burro e cacio — Legislor
zione rurale — Macchine agricole — Malattie crit-
togamiche delle piante erbacee coltivate — Malattie
Elenco dei Manuali Hoepli,
L. e.
dei vini — Mezzeria — Molini — Olivo ed olio —
Olii vegetali, animali e minerali — Orticoltura —
Piante e fiori — Piante indiMtriali — Piante tes^
sili — Pollicoltura — Pomologia artificiale — Por-
cicoltura — Prato — Prodotti agricoli del Tropico
— Selvicoltura — Tabacco — Triangolazioni topo-
grafiche e catastali — Uva passa — Uva da tavola
— Vino — Viticoltura — Zootecnia.
Ag>ron«BiU, del Prot F. QAXSBk di Muricce. 3* ed.
riveduta ed ampliata dallautore, di pag. xn-210 . . 1 50
Aleo«l (Fabbrìcazione e materie prime), di F. Canta-
MESSA, di pag. xii-307, con 24 incisioni ,3 —
Alg'ebra coMpleBieRtare, di PlKCHEBLE:
Parte L Analisi algtòrica, di pag. yin-174 ... 1 50
Parte II. Teoria delle equazioni, di pag. iv-170 con
4 incisioni nel testo 1 50
Alirebra eleatentere, di PlNCHBBLE, 6* ed., p. yin-210 1 50
— Vedi Esercizi di algebra.
Allnieiitazloiie. — Vedi Adulterazione alimenti —
Conserve alimentari — Frumento e mais — Latte,
burro e cacio, — Panificazione razionale.
Allnientazlone, di Gt, Stbaffobello, di pag. vin-122, 2 —
AllBientazIone del IbesiiaMe, di T. POGGL (In la-
voro).
Alpi (Le), di J. Ball, trad. di L Cremona, pag. vi-120. 1 50
— Vedi Dizionario alpino — Prealpi.
AmnilRlstrazIoBe. — Vedi Contabilità.
Analisi del vino, ad uso dei chimici e dei legali, del
Dott M. Babth, con pref. del Dott I. Nessler, trad.
del Prof. D. F. 0. Comboni, di pag. 142 con 7 inds. 2 —
— Vedi anche Alcool — Cantiniere — Cognac — Eno-
logia — Liquorista — Malattie dei vini — Vino
— Viticoltura.
Analisi volnnieirlea applicata specialmente ai pro-
dotti commerciali e industriali, di P. E. Alessandri,
di pag. x-341 con 52 incisioni 4 50
Anatomia. — Vedi anche Animali parassiti — Bat-
teriologia — Coleotteri — Embriologia — Fisiologia
— Imbalsamatore — Insetti — Lepidotteri — Pro'
tistol fgia — Zoologia»
I
Elmeo dei Mamudi Hoepii, 5
A Ra««Bita e flftl«l«ipU «•■iparata, del Prof. K Besta,
dì pagr. Yn-218 con 34 incisioni 1 50
Aoatomla iiil«r«fteopÌea (Tecnica di), del Prof. D.
Cara ZZI, di pagr. xi 211, con 5 incisioni 1 50
Anat^Biia pllt«rlea, di A. LOHBABDINI, pag. yi-118,
con 39 incisioni 2 —
Anatomia topofpraflea (Compendìo di), del Dott.
Prof. C. Falcone, di pagr. xvi-395, con 30 incisioni
(volume doppio) 3 —
Animali (Ghli) parasslil delPnomo, del Prof. F. Mer-
canti, di pagr. iv-179, con 33 incisioni 1 50
Animali da eortlle, del Prof. P. BONIZZI, di pag. ZIY-
238 con 39 incisioni 2 —
— Vedi anche Bestiame — Cane — Cavallo — Co-
lombi — Coniglicoltura — Follie jltura — Porci-
coltura.
Anilebltà privale del romani, del Prof. W. KoPP,
traduzione del Prof. N. Moreschi, 2" edizione, di pa-
lino xn-130 1 50
Aniropoloir**9 del Prof. G. Canbstriki, 2* ediz., ri-
veduta ed ampliata, di pag. vin-232, con 23 incisioni. 1 50
— Vedi anche Etnografia — Fisiologia — Paleoetno-
logia.
Apicoltura razionale, del Prof. Gt. Canestrini, 2*
edizione riveduta di pag. iv-196, con 43 incisioni . . 2 —
Arabo volitare (Manuale di), di De Sterlich e Dib
Khaddag. Raccolta di 1200 vocaboli e 600 frasi più
usuali, 2* edizione. (In lavoro).
Araldica (Grammatica), di F. Tribolati, 3' edizione,
di pag. Yin-120, con 98 incisioni e un'appendice sulle
• Livree 250
Areheoloipla. — Vedi Antichità private dei romani
— Archeologia deWarte — Monete romane — ^m-
mismatica — Paleografia — Paltoetnologia.
Areheolotrla delPaì-te, del Prof. L Gentile:
Parte L Storia dell'arte greca testo, 2' ed. (esaurito).
« Atlante per VovemsvLàA. ài 149 tavole,ìiìAÌGe. 4 —
Parte IL Storia ddTarte etrusca e romana, testo,
2» ediz., di pag. rv-228 2 —
N AOante per lopera sndd. di 79 tavole, indice. 2 ^
I
L
6 Eknco dei McmmU JSoepli,
_ . ___
Arehilettara Italiana, dell' Arch. A. MBLAin, 2 yoL,
di pag. xviu-214 e zn-266, con 46 tavole e 113 figure,
2* edizione 6 —
I. Architet Pelasgica, Etrosca, Italo-Greca e Romana.
n. Architettura Medioevale fino alla Contemporanea.
Arllaieilea pratica, del Dott F. Panizza, di pa-
gine vra-188 1 5<)
Arltaietlea railanale, del Proi Dott F. Panizza,
2» ediz., pag. xn-210 1 5()
Armonia (Manuale di), di Gr. Bernardi. (In lavoro).
— Vedi anche Cantante — Pianista — Strumenti ad
arco — Storia della mimica — Stmmentazione.
Arte del dire (L*), del ProL D. Fss&ARl, 3* ediz.,
corretta ed ampliata, di pag. zin-246 1 5r)
— Vedi anche Bettorica — Ritmica — Stilistica.
Arte del nuoto, del Prof. P. Abbo. (In lavoro).
Arte Mineraria, delllng. Prof. V. ZOPPBTTI, di pa-
gine iv-182, con 112 figure in 14 tavole 2 —
Arti (Le) ipraflelie fotonieeeanlelie ossia la Elio-
grafia nelle diverse applicazioni (Fotozincotipia, foto-
zincografia, fotolitografia, fotocollografia, fotosilografia,
ecc.), con un cenno storico sulle arti grafiche e un
Dizionarietto tecnico ; 2^^ ediz. corretta ed accresciuta,
con molte illustrioni ; pag. viie-197 con 12 tav. illustrate. 2 —
— Vedi anche Dizionario fotografico — Fotografia
per dilettanti — Fotocromatografia — Fotografica
ortocromatica — Litografia — Ricettario fotografico.
Asfalto (L*), fabbricazione - applicazione, dell' Ing. E. Bj-
eHETTi, con 22 incisioni, di pag. vin-152 2 ~
Asolenrailone sulla vita, di 0. Pagani, di p. vi-152. 1 fiU
Assistenza deffll Infermi nell'Ospedale ed In fa-
niliplla, del Dott 0. Galliano, di pag. xzrv-448, con
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— Vedi anche Igiene — Medicatura antisettica —
Soccorsi urgenza,
Astranomla, di J. K. LoGKYBB, rifiitta e riveduta dal
Prof. G. Geloria, 4^ ediz. di pag. xvi-258 con 51 ine. 1 50
— Vedi anche Cosmografia — Gnomonica — Gravita-
zione — Ottica — Spettroscopio,
Atlante |pee|praflea«storleo dell' Italia, del Dott.
G. Gabollo, 24 carte, 76 pag. di testo e un'Appendice. 2 — *
Elenco dei Memuali Hoeplt
Atlante foegi'aflee anlverMile, di KiBPEBT, con no-
tizie geoeraSche e statisticlie del Dott. G-. G-arollo,
8* ediz. (dalla 70000 alla 80000 copia), 25 carte, 88 pa-
gine di testo 2 —
Atmosfera. — Vedi Climatologia — Igroscopi —
Meteorologia — Sismologia,
4ttre»atBra, MMiovra delle navi e segnalailonl
■lartttiMie, di F. Imperato, di pag. xxn-30(), con
fifir. 232 nel testo e xv tavole litoerra&te 4 50
— Vedi anche Doveri del macchinista navale — In-
gegnere navale — Filonauta — Macchinista navale
— Marino,
Avleoltora. — Vedi Animali da cortile — Colombi
domestici — Pollicdtura,
Baehl dia seta, del Prof. T. Nengi, di pag. Yl-276,
2* ediz., con 41 incisioni e 2 tavole 2 —
— Vedi anche Gelsicoltura — Industria della seta
— Tintura della seta,
Balifttiea. — Vedi Esplodenti — Manuale delV Uffi-
ciale — Pirotecnia — Storia dell* arte militare an-
tica e moderna,
Batterleleiria, dei Proff. Q. e R Canestrini, di pa-
gine vi-240 con 29 illustrazioni 1 50
— Vedi anche Anatomia microscopica — Animali
parassiti — Microscopio — Protistologia.
Belle arti. — Vedi Anatomia pittorica — Archi-
tettura italiana — Calligrafia — Ceramiche — Co-
lori e pittura — Colori e verfiid — Decorazioni
— Disegno — Disegno geometrico — Litografia -^
Monogrammi — Ornatista — Pittura — Raccogli-
tore — Bistauratore dei dipinti — Scoltura.
Bestlaaie. — Vedi Abitazioni — Alimentazione r—
Animali da cortile — Cane — Cavallo — Colombi
domestici — Coniglicoltura — Igiene veterinaria —
Pollicoltura — Porcicoltura — Zootecnia,
Bestiame (B) e Paiprleeltara In Italia, del Prof. F.
Alberti, di pag. vin-812, con 22 zincotlpie . . . . 2 50
Blaneherla. — Vedi Disegno, taglio e confezione
di biancheria — Macchine da cucire — Mmio-
grammi.
3 Eleneo dei Manuali So^L
Bibbia (Manuale dell»), di S. AL Zampini, di i»&p
gine xn-303 2 50
Blblioi^rafla, di G. OTTINO, 2' ediz., riveduta di pa-
ghine vi-166, con 17 incisioni ...•••.... 2 —
— Vedi Dizionnrio bihlifffrafica.
lilblÌoieearl« (Manuale del), di Fetzholdt, trada-
zione di (t. Biagi e Gt, Fumagalli, di pag. xx-364 con
un appendice di pag. 218 7 50
— Vedi Dizionario biUiografico,
Biliardi (Il giuoco del)^ di J. GsLU, di paff. xy-179
con 79 illustrazioni 250
Blog^raOa. — Vedi Cristoforo Colombo — Dantologia
— Omero — Shakespeare.
Borsa (Operazioni di). — Vedi Débito pMiico — Ya,^ '
lori pubblici.
Botanica, del Prof. L D. HooKEB, tradoz. del ProL N.
Pedicino, 4* edizione, di pag;. ziv-ldi, con 68 ine. 1 50
Bromatolog'Ia. — Vedi Adulterazione — Alimenta^
zione — Conserve alimentari — Frumento e mai»
— Latte, burro e cacio — Panificazione.
Burro. — Vedi Latte — Caseificio,
Caeolatore (Manuale del), di Gt. Fbancbschi, di pa-
ghine yni-26B, con 10 tavole e le incisioni ned testo. 2 50
Caie! e Cementi (Impiego delle), per l'Ing. L. Maz-
zocchi, di pag. xii-212 con 49 incisioni 2 —
Calcolo Infinitesimale, del Pro£ E. P^cal :
Parte L Calcolo differenziale^ di pag. ix-B16 con 10
incisioni (volume doppio) . 3 —
Parte IL Calcolo integrale, di pag. vi-318 con 15
incisioni (volume doppio) • • . 3 —
— Vedi Esercizi applicati al calcolo — Funzifyni d"
littirhe — Determinanti e applicazioni^
Callli^rafla (Manuale di). Cenno storico, cifre nume-
riche, mateiiale adoperato per la scrittura e metodo
d'insegnamento, con 69 tavole di modelli dei iHÌneipali
caratteri confora d ai programmi governativi del Pro-
fessore R. Pebcossi, con 35 fac-siniili di scritture,
elegantemente legato, tascabile, con leggio annesso al
manuale per tenere il modello 3 —
— Vedi anche Monogrammi — Ornatista,
Elenco dei ManwUi Eoepli,
L. e.
Calore (11), del Dott E. Jones, trad. di U. Fornabi,
di pagr. vm-296 con 98 incisioni (volume doppio) . . 3 —
Cane (Manuale dell'allenatore del), con molte tavole.
(In lavoro).
Caniante (Manuale del), di L. Mastbic»li, di p. xn432. 2 —
Caniiniere. Lavori di cantina mese per mese, delllnge-
Srnere A. Stbuochi, di pag. Tin-172 con 30 incisioni. 2 —
Cartofprafla (Manuale teorico-pratico della), con un
sunto sulla storia della Cartografia, del Pro£ E. (j^el-
ciCH, di pag. Yi-257, con 37 illustrazioni 2 —
— Vedi anche Celeriniensura — Disegno topografico
— Telemetria — Triangolazione,
Caseificio, di L. Manbtti, 2* edizione, completamente
rifatta di Sartori, di pagine iT-212, con 34 incisioni 2 —
— Vedi anche Bestiame — Latte, burro e cacio.
Catasto (B nuovo) Italiane, dell' Aw. E. Brtjni, di
pag. xii-346, voi. doppio 3 —
Cavalle (Manuale del), del Ten. Colonnello C. Volpini,
1*^ ediz., con un'appen. Proverbi sul cavallo. (In lav.}.
Cavi telegrafici sottomarinL Costruzione, immer-
sione, riparazione, dell'Ing. E. JoNA,di pag.xvi-338, con
18S figure ed una carta delle comunicazioni telegra-
fiche sottomarine .... 5 50
Celerlmenanra (Manuale pratico di), e tavole loga-
ritmiche a quattro decimali dell'Ing. F. Borletti,
di pag. Yi-148 con 29 incisioni 3 50
Celerlmensnra (Manuale e tavole di), dell'Ing. Gt. Or-
landi, di p. 1200 con quadro generale d'interpolazioni. 18—
— Vedi anche Cartografia — Compensazione degli
errori — Disegno topografico — Geometria pratica
— Telemetria.
Cemento. — Vedi Calce e cemento.
Cenientaziene. — Vedi Tempera.
Ceralacche. — Vedi Vernici e lacche.
Cerantlche, majellehe, vetri e percellane (Guida
per il raccoglitore di), del Conte L. De Maurl (In lav.).
Chimica, del Prof. H. E. RoscoE, traduzione del
Proi. A. Pavesi, di pag. vi-124, con 36 ine, 4* ediz. 1 50
— Vedi anche Alcool — Analisi del vino — Analisi
volwnetrica — Chimica — Chimica agraria — Chi-
10 Elenco dei Mawuali Hoepli,
«..
unico indfMtriale — Cognac -- Concimi ■— Farina^
cista — Infezione, disinfezione ~ Latte, burro,
ChlMilea aiprarU, del Dott. A. Aducgo, di p. vin-328. 2 50
Chlflile* (Manuale del) e dell' Indnslrlale, ad uso
dei Chimici analìtici e tecnici, deg:li industriali, ecc.,
del Dott. Prof. L. GtABBA, 2^ ediz. (In lavoro).
Chlraripla. — Vedi Anatomia topografica — ^m-
stenza infermi — Igiene — Medicatura antisettica
— Soccorsi urgenza,
ClelUta (Manuale del), di A. G-alante, riccamente
illustrato, 2* ediz. (In lavoro).
€llMiat*lo|pU, di L. De Marchi, p. x-2()i, con 6 carte 1 50
— Vedi anche Igroscopi — Meteorologia — Sismologia,
C«dlee eairallereseo ItallaRa (Tecnica del duello),
opera premiata con medaglia d oro, del cav. J. Gelli,
8* ediz. riveduta di pag. xv-272 (Vedi Duellante) . 2 50
Cadice dog^anale Italiano ean eaaiaieDta e nate,
dell' Aw. E. Bbuni, di pag. xx-1078 con 4 incisioni. 6 50
Caipoac (Fabbricazione del) e della spirita di vlao
e dlstillailane delle feeee e delle vlnaeee, di
Dal Piaz-di Prato, di pag. x-168, con 37 indsioni 2 —
Caleoiteri Italiani, del Dott. A. Griffini, p. rvi-334
con 215 incisioni (volume doppio) 3 ~
Calantbi daaieatlel e ealantblealtara, del ProL P.
BoNizzi, di paer. vi-210, con 20 incisioni 9 ~
— Vedi anche Bestiame — Cane — Cavallo — Coni-
glicoltura — Pollicoltura — Forcicoltura.
Calori e la plttnra (La scienza dei), del ProflL. (Guaita,
di pag. 24& 2 —
Calori e vernlel, di Gt, Gto&isi^ nuova edizione total-
mente rifatta, per l'Ing. G. Appianl (In lavoro).
— Vedi anche Fotografia — I/uce e colori — VemicL
Caltlvailane ed Indnatrle delle piante teaalll,
propriamente dette e di quelle che danno materia per
legacci, lavori d'intreccio, sparteria, spazzole, scope,
carta, ecc., coU'aggiunta di un Dizionario delle piante
ed industrie tessili, di oltre 3000 voci, del ProL M.
A. Savorgnan D'Osoppo, di pag. zn-476, con 72 ine. 5 —
Canipenaailane defili errarl eon apeelale appllea-
zlane al rilievi i^eodetlcl, di F. GROTTI, pag. iv460. 2 —-
SUeneo M Mamtali Eo^pìl It
L. e.
Coiiip*sU«re-Tip«||^rafo (Manuale dell* allievo), di
S. Landi. (In lavoro).
CoMtpnUftierla, del ProL V. Guitti, toL L Computi-
sterìa commerciale, B* ediz., dì pag. yi-168. .... 1 50
— Yol. n. Computisterìa finanziarìa, di pag:. ym-156. 1 50
C«Bipatlslerla a|r***rl<H del Pro£ L. Pbtri, di pa-
gine vi-212. 1 50
— Vedi ConfahUità,
C*neia delle pelli «4 arti aflliil, di Gr, GosiMI,
3* edizione interamente rifatta dai Dott Gt, B. Fran-
ceschi e (t. VsNTUBOUi di pag. dc-210 2 —
Conelliatore (Manuale del), dell' Avv. G. Pattacini.
Guida teorico-pratica con formulario completo pd Con-
ciliatore, Cancelliere, Usciere e Patrocinatore di cause.
3* ediz. tutta riveduta ed ampliata dall'autore e messa
in armonia con l'ultima l^'gge 28 luglio 1895. p. z-465 3 —
Cenclail, del Proi A. FuNABO, di pag. vn-253 . . . 2 —
Genfeziene d^abltl per sli^ara. — Vedi Disegno,
taglio e c<ynfeiione di biancherta.
Conii^llcollara pratica, di (j. LiGCIABDELLl. (In lav.).
Conserva allmenlarl^ di G. GoaiNi, ^* ediz. intera-
mente rifatta dai Dott G. B. Fkangeschi e G. Yen-
TUROLL di pag. vm-256 2 —
Contabilita. — Vedi Computisteria commerciale —
Computisteria finanziaria — Computisteria agraria
— Contabilità comunale <- Contabilità generale dello
stato — Interessi e sconti — Logismografia — Foga
giornaliera — Eagioneria — Bagùmeria àeUe Coih
perative . — Ragioneria industriale — Scritture
d^ affari — Società di mutuo soccorso — Valori
pubblici.
Contabilità ooainnale, secondo le nuove disposizioni
legislative e regolamentari (Testo unico IO febbraio 1889
e R. Decreto 6 luglio 1890, del ProL A. De B&uk,
di pag. vin-244 1 50
Contabilità ||r«n«r»l« ^^^^^ Stato, dell' Aw. E.
Bruni, pae:. xn-422 (voi. doppio) 3 —
CosntonfraOa. Uno sguardo ali* Universo, di B, M.
La Leta, di pag. xu-197, con 11 incisioni e 3 tavole. 1 50
Costituzione degfll stati. — Vedi Diritti e doveri
— Ordinamento,
13 Slmoo dei Mamnali Eoepli,
L. e.
C«sUratt«re aavale (Manuale del), di G-. Rossi, dn
lavoro^.
CrUtall^iprafla upe^Mielrlea, flsi«a • ehlailea ap-
plicata ai minerali, del Profl F. Sansomi, di p. xvi-366,
con 284 incisioni nel testo (voi. doppio) 8 —
— Vedi Geologia — Mineralogia,
CrUteforo C^UmIio, di Y. Bellio, con 10 incisioni,
di pag. iv-136 1 50
CrUtor«»e. — - Vedi Malattie crittogamiche,
Crlttoif rafia (La) diplomatica, militare e commerciale,
ossia l'arte di cifrare o decifrare le corrispondenze
segrete, del Conte L. Gioppi. (In lavoro).
Cr«nolo|^la. — Vedi Storia e cronologia,
Cabalara del lefpnaiul (Prontuario per la), di G. Bbl-
LUOHINL 2* ediz. aumentata e corretta, di pair. 204 . 2 50
Curve* Manuale pel tracciamento delle curve delle Fer-
rovie e Strade carrettiere di G. H. KbOhnke, tradu-
zione di L. Loria, 2* edizione, di pag:. 164, con 1 tav. 2 50
Danioloipla, di G. A. Sgabtazzini, 2* ediz. Vita ed
Opere di Dante Alighieri, di pag. vi-408 (voi. doppio) 3 —
Debita (B) pabbllea Italiana e le regole e i modi per
le operazioni sui titoli che lo rappresentano, di F. Az-
zoNi, di pag. vni-876 (voi doppio) 3 ~
— Vedi Operazioni di borsa,
DeearailaDe e indaslrle artlstleiiey dell' Arch. A.
Melani, 2 voi., di complessive pagine zz-4d0, con
118 incisioni 6 —
Determinanti e appileaxlanl, del Prof. E. Pascal.
(In lavoro).
— Vedi Calcolo infinitesimale — Esercizi di calcolo
— Funzioni ellittiche.
Didattica per gli alunni delle scuole normali e pei mae-
stri elementari del Prof. G. Soli, di pag. vin-214 . 1 50
DIfresta (II), di G. Ferrini, di pag. iv-134 1 50
Dlnanilea elementare, del Dott 0. GATTANBOy di
pag. vin-146, con ^ figure 1 50
— Vedi Termodinamica,
Diritti e daveri del cittadini, secondo le Istituzioni
dello Stato, per uso delle pubbliche scuole, del Proi D.
Maffiou, 6* ed., di pag. xvi-206 1 50
Elenco dei MamuUi RoepliL 13
L. e
Diritto annliilftiratlv* giusta i proffnmmi goYonia-
tiyi, ad uso de^lì Istituti tecnici, del ProL G. Lokib,
2* edizione, di pag:. xxn-SOd (volume doppio). • • . 3 —
— Vedi anche Legge comuncUe — ContaÙlità comu-
nale,
Dlrlit* «tirile (Compendio di), del Prof. G. Loris, g^iusta
i progTftmmi gfoyernativi ad uso dee:li Istituti Tecnici,
di pag. xvi-336 (volume doppio) 3 —
DlrltUelvUeltailaii*, del ProL G.ALBiOlNLp.vni-128 1 50
Diritto «•■tmerelAlc Itollan*, di E. YiDARl, di
pag:. x-514 (volume doppio) • . . . 3 —
— Vedi Mandato.
Diritto coniaBale e provlRolale* — Vedi Diritto
amminintrativo — Legge comunale — ContabUità
comtmale.
Diritto eostitoitonale, di F. P. COKTUZZI, 2» ediz.,
di pag. xvi-370 (volume doppio) 3 —
Diritto eeeleslastle», 0. Ol«MO, p.zn-472 (voL doppio) 3 —
Diritta Intornasl^Mlc jprivato, dell'Aw. Prof! F.P.
CoNTuzzi, di pae. xvi-302 (volume doppio) .... 3 —
Diritta intornaxt^nale pnlilillea, dell'Aw.ProtF.P.
OoNTUzzi, di pag. zn-320 (volume doppio) 3 —
Diritto jpenale, dell' A w. A. Stoppato, di p. vni-192. 1 50
Diritto roMiMi*9 del Proi 0. Ferrini, dì pa?. vm-lBS. 1 50
DIseg^iMàtore ■teeesDle* e nozioni tecniche generali
di Aritmetica, Geometria, Alg:ebra, Prospettiva, Resi-
stenza dei materiali. Apparecchi idraulici. Macchine
semplici ed a vapore. Propulsori, i)er V. Goffi, 2*
edìz. riveduta, di pag:. xxi435, con 383 :figure . . . 5 —
Disegn*. I prindpii del Disegno, àxA Proi. 0. Borro,
3* ediz., di pag. iv-206, con 61 silografie 2 —
Dlseirn^ ••••■•■letrlo», del Prot P. Paoloni, di pa-
gine iv-122 con 21 tavole e 23 %nre nel testo . . • 2 —
Diselli* ipe«MietrÌe*, del Proi. A. AjsmhLL, di pa-
gine vni-85, 6 figure nel testo e 26 tavole litografiche 2 —
Diserò* IndastriAle, di E. GiOBLi. Corso regolare
di disegno geometrico e delle proiezioni. Degli sviluppi
delle superfid dei solidi, Della costruzione dei princi-
pali organi delle macchine. Macchine utensili, di pa-
gine vni-2X8, con 206 problemi risolti e 261 figrure 2 —
à
Il Elenco dei Memuali Soepll
DIsefifiM dlt proJesUai or««|poa«lff, del Prof. D.
Landi, con molte tavole. (In lavoro).
DUeg-n* top«iprafle«9 del Capitano G^. Bbktblli.,
2' ediz. di pag. vi-137, con 12 tavole e 10 incisioni . 2 —
— Vedi anche Cartografia — Celeriniensura — Pro-
spettiva — Telemetria — Trianpdazioni,
Dlsefpi*, taipll* • ««DfesIeD* ài blaoelierla (Ma-
nuale teorico pratico di), di E. Bomsm, con un
Dizionario di nomenclatura, di pagr. Tni-216 con 40 tav. 3 —
Disegno, tag^li* « e«nfezÌ«De Ài abttt da signora,
di Emilia Cova, con 40 tavole illustrative .... 8 —
DUInfezioae* — Vedi Infezione,
Distlllaxl«ne. — Vedi Alcool — Anàlisi del vino —
Analisi voltimetrica — Chimica agraria — Chimieo
— Cognac — Farmacista — Liquorista,
Ditteri italiani, di Paolo Lioy {JSntomoloffia HI),
di pag. vn-356, con 227 incisioni (volume doppio) . . 3 —
Dlzlanaria aijplDo Itallan*. Parte P: Vette e veUiehi
italiani^ dell'Ing. E. BieKAMi-SoRKAifi. — Parte 2*:
Valli lombarde e limitrofe alla Lombardia, dell*Ing. C.
ScoLABi, di pag. zxnsilO •• ... 3 60
— Vedi anche Alpi — Prealpi.
Disi«naria Eritrea Italiana araha-^aniarlea, rac-
colta dei vocaboli più usuali neUe principali lingfie par-
late nella colonia eritrea, di A. Allobi, p. xzxm-20d. 2 QO
— Vedi Grammatica galla — Lingtie d'Africa — Tigre.
Dizlanaria lillilloffrafloa, di U A&lìa, di pag. lUU. 1 60
— Vedi Bibliografia — Bibliotecario.
Dlslanaria Fllateliea, per il Raccoglitore di franco-
bolli con introduzione storica e bibliografia, di J,
G^KLLi, di pag. LXiv-412. 4 60
DIzIanaria falafrrallea pei diletitanti • pnlÌMsioniBtt,
con oltre 1600 vod in 4 lingue, 500 sinonimi, 300 formule,
di L. Gtiùm, pag. vm-tìOO, con 05 ine. e 10 tav.. • 7 60
— Vedi Arti grafiche — Fotoeromatografia — Foto-
grafia ortocromatica -*- Fotografia per dilettanti ^
Ricettario fotografico*
DiElenarla ipea^raflea nnivarsaln^ del Doti 0. Ga*
BOLLO, 4* edizione compietameute rifletta* Us4rl in
autunno 1896,
Elenco dei Maimali HoeplL 15
L. e.
DÌsÌ«Darl« (•«■!«• Ii«li«ii«, iedl«seo, francese e
Iniplese, delllng:. E Webber, 4 volumetti (In lav.).
Dliienarle terailDl delle eerae, di G. VOLPINI, p. 47. 1 —
DIiioDarie ■■Iverwale delle llnipae Italiana, te-
deaea, ln|pleae e fìraneeae, disposte in nn unico
alfabeto. 1 voi. di pag. 1200 8 --
Dizionari* volapiik* — Vedi Volapuk,
Dogane. — Vedi Codice doganale — Trasporti e ta^
riffe.
Dottrina popolare, in 4 lingue. (Italiana, Francese,
Inglese e Tedesca). Motti popolari, Crasi commerciali e
proverbi, raccolti da G. Sessa, 2* ediz., di pag. iv-212. 2 —
Doveri del ntaeehlniota navale e condotta della
macchina a vapore marina ad uso dei macchinisti navali
e degli Istituti nautici, di M. Lignabolo, p. xvi-303. 2 50
Dnellante (Manuale del) in appendice al Codice caval-
leresco. Opera premiata con medaglia d'oro e con
diploma d'onore, del cav. J. Gelli, 2^ edizione, di
pag. vin-256, con 27 tavole 2 50
Beononila del fabbricati rnrall, di V. Niccoli, di
pag. vi-192 2 —
— Vedi anche Estimo rurale — Legislazione rurale.
Beononiia politlea, dei Proi W. S. JEYOim, tradus.
del Proi L. Cossà, 3* ed., riveduta, di pag. 2iv.l74. 1 50
-- Vedi anche Diritti e doveri — Diritto civile —
Diritto commerciale — Diritto ecclesiastico — Di-
ritto intemazionale — Diritto penale — Diritto
romano — Ordinamento degli Stati — Scienza delle
finanze.
Edilizia^ — Vedi Abitazioni animali domestici —
Architettura italiana — Asfalto — Calci e cementi
— Fabbricati civili — Economia fabbricati rwrali
— Fognatura cittadina — Ingegnere civile — Mar-
mista — Froprietario di case ed opifici — Ricchezza
mobile — Resistenza dei materiali — Riscaldamento
e ventilazione degli anUnenti abitati — Travi metal-
liche composte.
Elettrielsta (Manuale dell'), di G. Colombo e R. Fer-
rini, di pag. vm-204-44, con 40 incisioni 4 —
BlettrieitÀ, del Proi FLBBMiNe Jbnkim, traduz. del
Proi B. Fbbboh, di pag. vin-ldO, con 32 incisioni. 1 60
1€ Elmioù M Mfmuaìi So^^
L. e.
— Vedi Cavi tOfigrafiei ioUomarmi — EUttrùMa —
GalvanapUutioa — lUuminagiane deUtioa -- Mcu^
gnetimno ed elettricità — Telefono — Telegrafia —
Entbriologrl* « norfoloi^la i^enerale, del FjToi. Q.
Cattaneo, di pag. x-212, con 71 incisioni ..... 1 50
Enoielopedia Hoepli (Piccola), in '^ Toluxni di 3375
pagine di due colonne per ogni pagina, con Appen-
dice (146,740 yod). L'opera completa elegantem. leg. 20—
EnergrU asic a, di R. Fesrint, di p. yi-106, con 15 ine, 1 50
— Vedi anche Calore — Dinamica — Luce e suono
— Termodinamica.
Enolog>i«9 precetti ad oso degli enologi italiani, del
Prof. \j. Ottavi, 3* ediz., zÌYeduta e ampliata da A.
Strucchi. (In lavoro).
— Vedi anche Alcool — Analisi del vino — Cantiniere
— Cognac — Liquorista — Malattie ed alterazioni
dei vini — Uva passa — Uva da tavola — Vino
— Viticoltura.
Enolofl^UdoiitesUea, diB..SEBNAaxoTTO,pag.Yin-223. 2 -^
Entonioioffia. — Vedi Animali parassiti — Apicol-
tura — x^ocAi da seta — Coleotteri — Ditteri ita^
liani — Imbalsamatore — Insetti nocivi — Insetti
utili — Lepidotteri italiani — Naturalista viag-
giatore — Ortotteri — Zoologia,
BqHAzIoni. — Vedi Algebra complementare — Eser-
cizi d'algebra,
firltreat — Vedi Dizionario eritreo, italiano-arabo
— Qramm>atica galla — Lingue d'Africa — Jt*ro-
dotti agricoli del Tropico — Tigre-italiano,
Brrorl e preg^ladtxi vol^^arl, coniiitau colia scorta
della scienza e del raziocinio da ià, ìStbaftoasllo,
di pag. rv-170 1 50
Eseretzl di «l^^ebra elementare, del Proi Pin»
CHBALS, di pag. VIU-Ì35, con 2 incisioni 1 50
— Vedi Algebra,
ifiseretzl di ealeolo infinUeslntale (Calcolo di&ren-
ziale e integrale;, del Proil Jbì. Pascal, di pag. xz-372
(volume doppio) • .3 —
— Vedi Carolo infinitesimale — Determinanti e a§^
pUcazioni — Fwnzioni ellittiche.
lOmiM dM Mamiali Boepll 17
L. e.
Esercizi di ir«oiiteti*U , del Prof. Pinoherle. (In
lavoro).
EseretEl di traduzione a eontplentenio della
irrantntatiea fraacese, del Prot. Gt. Prat, p. vl-183 1 50
— Vedi Grammatioa — Letteratura,
Eseretsl di tradazIoDe eoa voeabalarto a eaat-
plenteala della ifraatmatlea tedesea, del Prof. G.
Adler, di pag. nr-236 1 50
— Vedi Grammatica -*- Letteratura.
Bserelsl f^eeipraflel e ^nesftl, dt Lt. Ht7(}TTE8, sai**
TAtlaale di R. Kiepert, 3» ediz. (In l&roro).
Esereiii g-reei per la 4* classe ginnasiale in correla-
zione alle Nozioni elementari di lingua greca, del
Prof. V. Inama ; di A. V. Bisconti, di pag. xxi-237. 1 50
Eserelsl latini eoa reg^ole (Morfologia generale), del
Prof. P. E. Cbrbti, di pag. xn-832 1 50
— Vedi anche Grammatica latina — Letterattwa
romana.
Esplodenti e ntodo di rabbriearllyR.MOLmA^p.XZ'dOO 2 60
Eoteaea, del Ptot M. PILO, di pag. XX-aOO .... 1 60
— Vedi Ètica — Filosofia — Logica — Psicologia,
Estinto rarale^ di F. Oabx&a di MuBiOOB, p. n-ÌM. 9 —
— Vedi Agronomia — Catasto — Cderimensura -^
Disegno topografico — Economia dei fabbricati ru-
rali — Geometria pratica -* Triangolazioni.
Etlea, del Prof. L. Friso. (In laTOioj.
Etnogrrafta, B. Malfatsi, 3* ed. inner. rifusa, p. Ti-aoO 1 50
— Vedi Antropologia,
Etnologri»* — Vedi Paleoetnologia,
Fabbricati civili di abitazioni, del Pn^. C. LtTI,
con molte ineÌBioni. (In layoro).
— Vedi anche Edilitia
Fabbro. ^ Vedi Fonditore — Operaio — Tomittyre,
Falein"««« ^ ebunlsta* Nafcm éA legnamii taisArnh
di conservarli,, prepurarli, eolorirli e vendoiarli, loro
cubatura, di G. Belluomini, pag. x-H^ con 42 ino. 2 ^
Farmaelstii (Manuale del), del Dott. P. E. Albmaiidbi,
di pag. xn*<6aB, oon IflB tat. e 80 i&drioni ofìftaiali. 6 50
Feltro* — Vedi &Q0 ffoeocanMmi ^^ Ingegn^f^e eCvtJe
— Ingegnere navale *** Metalli -^ OpereM"^ ^
18 B^enoo dei Marnali HoepU.
i<. e.
sistema materiale — Siderurgia — Tempera —
Travi metallici.
Ferrovie» — Vedi Codice doganale — Ctirve — Mac-
chinista e fuochista — Trasporti e tariffe,
Filatar*. Manuale di filatura, tessitura e lavorazione
meccanica delle fibre tessili, di E. Gbothb, traduzione
sull'ultima edizione tedesca, di p. Yin-414, con 105 ine. 5 —
— Vedi anohe Coltivazione — Piante industriali.
Filatura della «eia, di G-. Pasqualis. (In lavoro).
Filolo|fÌaelasslea,|freea e latina, V.lNAMA,p.xn-195 1 50
Filonauta. Quadro generale di navigazione da diporto
e consigli ai principianti, con un Vocabolario tecnico più
in uso nel panfiliamento, del Capitano Gr. Olivasi,
di pag. xvi-286 2 50
FlloAofla* — Vedi Estetica — Etica — Filosofia mo^
rale — Logica -- Psicologia — Psicologia finologica.
Filosofia ntorale, di L. Fbibo, p. ZVI-3B6 (voL doppio) 3 —
Finanze. — Vedi Debito pubblico — Scienza delle
finanze — Valori pubblici.
Fiori artificiali, di 0. Ballebini, con molte illustra-
zioni. (In lavoro).
Fiori. — Vedi Botanica — Floricoltura — Orticol''
tura — Piante e fiori.
Flolea, del Profl Balfoub Stbwabt, trad. del Proi Gt,
Cantoni, 4* ediz., di pag. z-188, con 48 incisioni . . 1 50
— Vftdi Calore — Energia fisica — Jrwcc e suono.
Flololog-la, di FosTBK, traduz. del Prol G-. Albini,
3* ediz.. di paer. zn-158. con 18 Incisioni 1 60
Florleoitnra (Manuale di), di C. M. Fratelli Roda, di
pag. VIII-1B6, con 01 incisioni / ^ "
— Vedi anche Botanica — Orticoltura — Piante e fiori.
Foifuatnra elttadina, dell*Ing. D. Spatabo, ài pa-
gine x-684, con 220 figure e 1 tavola in litografia. . 7 —
Fonditore In tutti I ntetalil (Manuale del), di a. Bbl-
LUOHiNi, di pag. 146, con 41 incisioni 2 —
— Vedi anche Operaio.
Fonoloi^la ^reea^ del Proi A. Cinqttini. dn lavoro).
F#noloirl<^ Italiana, del Dott. L. Stoppato, p. vin-102. 1 50
Fonoloirl* latina, di S. Consoli, di pag. 206 ... 1 50
Fotooronuitoi^rafla (La), del Dott. L. Sassi, di pa-
gine ZVI-Ì38, con 19 indisioni ..,.,.,.• 3 -r
Elenco dei Manuali Hoepli. 19
L. e.
F«to|frafl« ed arti aHIhI. — Vedi Arti grafiche —
Dizionario fotografico — Fotocromatografia — Fo-
tografia ortocromatica — Fotografia per dilettanti
— Litografia — Ricettario fotografico.
Fol#g'rafl« #rt*er«iitatiea, del Dott. 0. Bonàcini,
con incisioni e tavole '. . . 2 —
F«l#gr«fl« pei dil«tteiill* (Come il sole dipinge), di
Gt, MuFFONB, p. zn-d06, 3^ ed. ri&tta ed anment., 83 ine. 2 —
Friinienl# e nals, di G^. Oantoki, p. vl-108 e 13 inois. 2 —
Fratta nlnarl (Le), di A. Puoci, di p&g. yni-192, con
96 incisioni 2 50
Frauiealinra, del Prof. Dott D. Tamaro, 2» ediz.,
con 85 illustrazioni di pag:. xvi-225 2 ~
Pnlntlnl « paraftiliitlnl, del Dott Prof. E. Cane-
strini, di pag. yni466, con 6 incisioni 2 —
Fni||(lil (I) ed I lartnll, loro natura, storia, coltura, con-
servazione e cucinatura. Cenni di FoLOO Bruni, di
pag. viii-184 2 —
PanztoDl elliUielie, del Prof. B. Pascal, di pag. 240. 1 50
— Vedi anche Calcolo infinitesimale — Esercizi ap-
plicati al calcolo — Determinanti e applicazioni,
CtalTanaplastlea, ed altre applicazioni dell'elettrolisi,
G^alyanostegia, Elettrometallurgia, Affinatura dei me-
talli, Preparazione deU'alluminio, Sbianchimento della
carta e delle stoffe, Risanamento delle acque, Concia
elettrica delle pelli, ecc., del Proi R. Ferrini, 2* ed.,
completamente rifatta, di pag. xn-392 con 45 incisioni. 4 —
«eisteoltara, del Proi D. Tamaro, p. xvi-175 e ^2 ine 2 —
Cieodesla* — Vedi Compensazione degli errori —
Celerimensura — Curve — Disegno topografico —
Geometria pratica — Telemetria — Triangolazioni,
Geodiaanilea* — Vedi Dinamica — Meccanica —
Sismologia — Temwdinamica — Vulcanismo.
Càeairrafla e sl#rla del iflobo. — Vedi Alpi —
Atlante umversale — Atlante ddVItalia — Carto-
grafia — Catasto — Cristoforo Colombo — • Dizio-
nario alpino — Dizionario geografico — Esercizi
geografia — Etnografia — Geografia — Olografia
classica — Geografia fisica — Geologia — Mare —
Paleoetnologia — Prealpi bergamasche — Prontuario
i
fio JRmm eM MamuM BoèM
di géogrùfia « 9taUitioa ^ Sismologia — StaHsUoé «-
Vuloani8mo*
Geoff r«a«9 di G. G^aoYB, trad. del Proi B. Gallbtti,
2* edizM riveduta, di pag:, zn460^ oon 26 indsioiu. • 1 60
Geog^raa* «lassica, di E. F. TosBB, tiadozione e
note del Prof. I. G^entilb, 5* ediz., di pa^. 17-168. . 1 50
Geoirrafla Asie*» di A. GE2KIB, tndiiaioiie salla 6*
ediz. ingrlese di A. Stoppaio, 3* edii., di pag. iY<*ld2,
con 20 incisioni • • 1 60
Geolog*!*, di G-BiKiBi traduzione sulla 3* ediziolie in*
glese di A. Stoppaki, 3* ed., di p. vi-154. con 47 ine. 1 60
— Vedi Cristallografia — Mineralogia — Paleografia,
Geometria anali tiea dello spallo^ del Prot. F.
AscHiERi, di pag. yi-196, oon U inoisiimi 1 60
Geometria analltlea del piano, doLPr.F. AscBIERI,
di pag. yi-194, con 12 incisioni * ... 1 60
Geometria deserlttlvadi F. AsoaZBBX, 2<^ edizione.
(In lavoro).
Geometria metrlea e trl|fonometrla, dal Fro£ S.
PiNCHEBLB, 4' ediz., di pag* iy-158, con 47 incisionL 1 50
Geometria pratlea, delUIng. Prof. G-. EftBDBt 2* ediz.,
riveduta, di pag. x-184, con 124 incisioni 2 —
— Vedi Celeriniensura — Disegno assonometrico —
Disegno geometrico — Disegno topografico — Geo-
desia — Regolo calcolatore — Statica — Telemetria
— Triangolazioni*
Geometria projottiva del plano • della stella»
del Prof. F. Aschieri, 2* edizione, di pag. 7x4228, oon
86 incisioni 1 60
Geometria projettlva dello spazio^ del Pro£ F. A*
scHiEBi, 2» ediz. rifatta, di pag* vi-264, con 16 incis. 1 50
Geometria pura elementare, del Prot. S. Pn- *
CHERLB, 4* ediz., di pag. ym-lòO, oon 112 indemoni • 1 50
Giardino di) Infantile, del Prol P. €k>llTI, di ps^
gine 17-214, con 27 ta7ole (7ol. doppio) • 8 ~
— Vedi anche Giuochi ginnastici,
Glnnaotlea (Storia della), di F. Vallbtti, di p. 710-184. 1 50
Ginnastica femminile di Vallbttx, p. 71-112, e67 ilL 2 —
Glnnasdea masekile (Manuale di), per cura di J.
G^BLU, di pag. 7in-106, oon 216 ìnciéioni 2 —
Blrnieò dee Mamudi Soepii. 91
L. e
Gioielleria^ erefleerta, ere, arinole e platine,
di E. BosBLU, di pa?. 336, con 1^ incisioni • • . 4 —
Ciiaoelii, sport e eollezlonl. — Vedi Spnrt.
Cilaoelii g'Innasttcl per la gloTentiì delle oe«ole
e dei popolo, raccolti 6 descritti di F. Gabrielli,
di pafT. xx-218, con 24 tavole illustrative 2 50
Cilarlspradeuza e legislazione. — Vedi Catasto —
Codice doganale — Conciliatore — Débito pubblico —
Digesto — Diritti e doveri ^Diritto amministrativo
— Diritto civile — Diritto commerciale — Diritto
costituzionale — Diritto eedesiastieo — Diritto in-
temazionale privato — Diritto intemazionale pub-
blico — Diritto penale — Diritto romano — Eco-
nomia polìtica — Imposte dirette — Legge comu-
nale e provinciale — Legislazione rurale •— Mandato
commerciale — Notare — Ordinamento stati liberi
di Europa — Ordinamento stati liberi fuori di
Europa — Proprietario di case — Ricchezza mobile
— Scienza delle Hnanze — Testamenti,
Glottologia, del Prof. (4. De Gregorio. (In lavoro).
— Vedi anche Crittografia — Letterature diverse —
Lingua gotica — Lingue neolatine — Paleografia
— Sanncrito,
Gnomonica ossia Tarte di eostrnlre orologi so-
lari, del Prof. La. Leta. (In lavoro).
— Vedi Orologeria,
Grafologia, di 0. LOMBROSO, con 470 fac-simili, di
pag. 252 8 50
Grammatica araldica. — Vedi Araldica,
Grammatica e dlalonarlo della lingua del Galla
(oromenlca), del Prof. E. Viterbo.
Voi L Galla-Italiano, di pag. vm-152 2 60
Voi. n. Italiano-Galla, di pag. Lxnr-lOa. • ... 2 50
Grammatica francese, del Proi G. Pbat, p. zi-287. 1 60
— Vedi Esercizi di traduzione — Letteratura^
Grammatica greca* (Nozioni elementari di lincia
grreca), del Prof. Inama, 2^ edizione, di pag. xvi-206. 1 60
— Vedi Esercizi — Letteratura,
Grammatica della lingna greea moderna, del
Profl K LoYBRA, di pag. Yi-154 •...•... 1 60
Grammatica Inglese, del Prof. Ltl0l Pavia, p. xzi'260 1 50 I
lOmoo dei Manuali HoepU.
L. e.
GraniiMatieA IlallauA, di T. GoNCABi, 2^ edizione ri-
veduta, di pap. xvi-230 1 50
GrantniaUea latina, del Froi. L. Yalmagoi, p. z-250. 1 50
— Vedi Esercizi latini — Letteratura romana,
Grammatica olandese (Elementi di), di M. Mor-
gana. (In lavoro).
Grammatica e Toeabolarlo della llng^na rumena,
del Prof. R. Lovbra, di pag. viii-200 1 50
Grammatica spag>nnala, del Prof. L. Pavia, p. zii-194 1 50
— Vedi Letteratìira,
Grammatica tedesca, del Profl L. Pavia, p. xvin-254. 1 50
— Vedi Esercizi di traduzione — Letteratura,
GraTltaztone* Spiegazione elementare delle principali
perturbazioni nel sistema solare di Sir Gr, B. AÓky,
traduzione, note ed aggiunte di F. Porro, 50 ine,
di pag. xxiv-176 1 50
Grecia antica. — Vedi Arte greca — Storia antica.
Humus (L'), la fertilità e V Ig^iene del terreni
culturali, del Prof. A. Casali, di pag. xvi-220 . . 2 —
Idraulica, del Prof. Ing. T. Perdoni. (In lavoro).
Idroteraipia* — Vedi Acqve.
Igiene. — Vedi Acque minerali — Fognatura citta-
dina — Igiene del lavoro — Igiene vita puiblica
e privata — Igiene privata e medicina popolare —
Igiene rurale — Igiene scolastica — Igiene veteri-
naria — Infezione, disinfezione e disinfettanti —
Medicatura antisettica.
Igiene del lavoro, Trambusti A. e Sanarelli. di pa-
gine vm-362, con 70 incisioni. 2 50
Igiene della vita pubblica e privata, del Dott. Gr,
Faralli, di pag. zii-250 2 50
Igiene privata e medicina popolare ad uso delle fami-
glie, di 0. BoGK, trad. di E. Paribiti sulla 7* ediz. ted.
con una introduzione di Gr. Sokmamz, di pag. zn-278. 2 50
Igiene rurale, A. Oarraroli, pag. z-470 (voi. doppio). 3 —
Igiene scolastica, di A. Rbpobbi, 2* ed., di pag. iv-246. 2 —
igiene veterinaria, del Dott. U. Baspi, di p. vin-228. 2 —
igroscopi, Igrometri, umidità atmosferica, del
Proi P. Cantoni, di pag. xii-146, con 24 ine e 7 tab. 1 50
llluminaElone elettrica (Impianti di), dell' Ing. £.
PiAzzoLi ^•i' edizione interamente rifatta. (In lavoro).
L. e.
liMbaltaM*4«r« (Muraale dèli*), pxepumtore tMsider*
mista, di K Gtmuao, 2* ed. tìTm di p^ za-148, 38 ino. 2 ~
— Vedi Naturalista viaggiatore,
lni|posiedireUe(B|sco66Ìoiie delle), BLBRTnii,p.vxn-158 1 50
— Vedi anche Proprietario di case — Bicchezza mo^
bile.
lodastrU d«IU earOh delllng. Li. SiaTORi. (In lav.)
Industria delU seta, di L. Qabba, 2* ed., p. iy-20a 2 —
Indastrla (L*) slearlea. Manuale pratico dell' Ing* E.
Marazza, di pag. 2B8, con 76 ino. e <M>n molte tab. 5 *-
Industrie dÌTers«« — Vedi ApìooUura — Arte mi-
neraria — Asfalto — Colori e vernici — Concia
pelli — Caseificio — Concimi — Conserve — Z)e-
corazioni — Falegname — Fiori artificiaii — Fio-
ricoltura — Fonditore — Fotografia •— Frutti-
coltura — Gnomonica — Industria deUa carta —
Industria stearica — Imbalsamatore — Latte, burro
e cado — Marmista — Jifeccflww'co — MólifU — (Wa
vegetali, animali e minerali — Operato — Orticol-
tura — Ostricoltura -— Panificazione — Piocofe tn-
dustrie — Pirotecnica — Pisciqpltura — Pittura
— PoUicr^ltura — Pomologia artificiale — Saponeria
— Scoltura — "Fcmtct e lacche.
Industrie tessili. — Vedi Bachi da seta —- Colti-
vazione e indìis^ria delle piante tessili — Filatura
— Filatura della seta — Gelsicoltura — Industria
della seta — Piante tessili — Tessitore — Tintore
— Tintura della seta.
Infezione, dlslnfexleiie e disinfettanti, dèi Dottor
Pro! P. E. Alessandri, di pag. vm-190, con 7 ine 2 —
luir«rBere elvtle. Manuale dell'Liffegnere civile e indu-
striale, di a. GoLOXBO, 14* ed. (34% db"" e 36* miglialo}, di
pafc. ziy-356, con 203 figure 5 50
B medesimo tradotto in francese da P. MARGiLLAa 5 50
lng>eg>nere navale. Prontuario di A. GiaNONi, con
36 fig., di pag. zxzn-2d2. Leg. in tela L.é 50, in pelle. 5 50
Ingegneria. — Vedi Matem>atica e Ingegneria,
Insetti neei¥iy F. Eravcbsghimi, p. TUi-264, 96 inds. 2 —
Insetti uail, F. Frangbsgbimi, p. xii460, 43 ine. e 1 tay. 2 —
Interesse • seente, di E. &AeUABDX, di pag. ¥1-204. 2 —
Ittiologia. — Vedi Ostricoltura — Piscicoltura,
24 Elenco dei Manuali HoepU.
L. C.
Latte, horro e €•«!•• Chimica analitica applicata al
caseificio, del Pro! Sartori, di pag:. x-162, con 24 ine. 2 —
— Vedi Caseificio.
Lavori di terra (Manuale di), deiring^. B. Leoni.
(In lavoro).
Lavori feniiuliilll. — Vedi Confezione d*abiH per
signora e Varie del taglio — Disegno, faglio e con-
fezioni di biancheria — Macchine da cucire e da
ricamare — Monogrammi — Ornatista,
'^^S'S^ (La nuora) eomaoale e |»rovliielale, anno-
tata dall' Ayv. e. Mazzoooolo, 3* ediz., con Tagrginnta
di due regolamenti e due indici, di pag. yin-728 . . 4 50
Leg^e comunale (Appendice alla) del 99 e 93
luifllo 18114, di E. Mazzoccolo, di pag. vm-256. 2 —
Leg-grl. — Vedi Catasto — Codice doganale — Gon-
ciliafore — Debito pubblico — Digesto — Diritto .
amministrativO'Civile'Commerciale'Costituzionale - ec-
clesiastico-internazionale-penale-romano — Imposte
dirette — Legge comunale — Legislazione rurale —
Mandato commerciale — Notaio — Ordinamento
degli stati — Proprietario case — Ricchezza mobile
— Scienza finanze — Testamenti — Valori pubblici.
Leg^isiazlone rurale secondo il programma governativo
per gli Istituti Tecnici dell' Avv. E. Brtjni, di p. xi-422 3 —
Leifnauil. — Vedi Cubatura dei legnami — Fale-
gname,
Lepidotteri Italiani, del Dott. A. GtUTFFmi, di pa-
gine viii-238 con 149 incisioni 1 50
— Vedi Animali parassiti — Coleotteri — Ditteri —
Insetti — Ortotteri.
Letteratura albanese (Manuale di), del Prof. A.
Straticò, di pag. xxiv-280 (volume doppio) .... 3 —
Letteratura amerleana, di G. StrafforelLO, p. 158 1 50
■letteratura danese. — Vedi Letteratura norve-
giana.
Letteratura ebralea, di A. RfiVEL, 2 voi., di pag. 364. 3 —
Letteratura eg>lzlana, del Dott. L. BRieiUTL (In lav.).
Letteratura fk*aneeoe, del Prof. F. MargillaC, trad.
di A. Paganini, 2* ediz., di pag. vin-184 . ... . 1 50
— Vedi anche Grammatica francese — Esercizi per
la grammatica francese.
Elenco dei Mawuali Hoepli. 2^
L.
LietierAtara greea, del Proi Y. Tsamjl, 11* ediz., mi-
gliorata (dal 40'' al 45'' miR-liaio), di pafr. yin-234 . . 1 50
— Vedi anche Esercizi greci — Filoloffia classica —
Glottologia — Grammatica greca — Verbi greci,
Letteratara tndlaBay del Prof. A. Dr Gubernatib,
di pag:. vm-150 1 50
L«tieratiira In|fle0«, del ProL E. Solazzi, 3* ediz.,
di pag:. vm-194 1 50
— Vedi anche Grammatica inglese.
Letteratura Islandese, di S. Ambbosoli. (In laYoro).
Letteratura italiana, di 0. Fenini, 4* ed., di p. yi-2D4 1 50
Letteratura latina. — Vedi Esercizi di gramma-
tica latina — Filologia classica — Fonologia la-
tina — Grammatica latina — Letteratura romana^
Letteratura norve|flana, di S. CONSOLI, p. XVI-272. 1 50
Letteratura persiana, del Pro! L Pizzi, di pag:* z-208. 1 50
Letteratura prevenxale, A. Bestobi, di pag:. z-220. 1 50
Letteratura romana, del Proi F. Bìlhobino, 8* ediz.
riveduta e corretta (dall*8* al 12" migliaio), p. rr-SSa 1 50
Letteratura spaf^Biiela e pertef^kese, del Pro! L.
Cappelletti, di pag:. yi-206 1 50
— Vedi Grammatica spagnuola.
Letteratura tedesea, del Proi 0. Lange, traduz.
di A. Paganini, 2* ediz., corretta, di pa?. zn-168. . 1 50
— Vedi Esercizi tedeschi — Grammatica tedesca.
Letteratura ung^kerese, di ZiGÀNT Arpàd, di pa-
g:ine xn-295 1 50
Letterature slave, di D. CilMPOLl, 2 volumi:
L Bulg^ari, Serbo-Croati, Yugo-Russi, di pag:. iv-144. 1 50
n. Russi, Polacchi, Boemi, di pag:. iy-142 .... 1 50
Libri e blblloteeenontla* — Vedi Bibliografia —
BiUiotedario — Compositore-tipografo — Crittografia
— Dizionario bibliografico — Paleografia — Tipo-
grafia,
Liugpna araba. — Vedi Arabo volgare — Dizionario
eritreo — Grammatica Galla — Ling'ìie deWAfrici
— Tigre.
Llng^ua gfetlea, grammatica, esercizi, testi, vocabolario
comparato con ispecial riguardo al tedesco, inglese,
latino e greco, del Prof. S. FRiKmfANN, di pag. xvi-8^tì,
(volume doppio)
•j —
■
J
26 Mmeo M Mamudi B09ÌÌ.
Llo|ra« d«ll^ Aflrlea, di B. Cv8T, TdNbne itftUaiiA
del Prof. A. De Gubebnatib, di pag:. iy*li0. . • . 1 f
Lingrae neo-latine, del Dott. £. GoiUEUk, di pag, 147. 1 50
— Vfdi Filologia classica — Glottologia, ■
Ling-ue su*«ulere (Studio delle), di 0. Maacsl, ossia
l'Arte di pensare in una lìngrua straniera, tradai. del
Prof. Damiani, di pagr. xvi-136 1 50
Llng'aistica e fllolog>ia* — Vedi Arabo volgare —
Dizionario eritreo italiano arabo-amarico — Bizio-
fiario universale in 4 lingue — IhUrina popolare
in 4 lingue — Esercizi di traduzione per la gram-
matica francese — Idem per la grammatica te-
desca — Esercizi greci — Esercizi latini — Filo-
logia classica greca e latina — Fonologia greca —
Fonologia latina -~ Fonologia italiana — Glot-
tologia — Grammatica e dizionario della Uhì^ìm
galla — Grammatica francese — Idem greoa —
Idem greco-moderno -^ Idem inglese — Idem ita-
liana — Idem latina — Idem olandese — Idem
rumena —- Idem spagnuola -^ Idem tedesca — Let-
teratura albanese — Idem americana — Idem ebraica
— Id^m egiziana — Idem francese — Idem greca
— Idem indiana — Idem inglese — Idem islandese
— Idem italiana — Idem latina — Idem norve-
giana — Idem 'persiana — Idem provenzale — Idem
romana — Idem spagnola e portoghese — Idem
tedesca — Idem ungherese — Idetn slava — Lingua
gotica — Lingue deW Africa — Lingue neol<Uine —
Lingue straniere — Metrica dei greci e dei romani
— Morfologia greca — Morfologia italiana — San-
scrito — Tigre-italiano — Verbi gred anomali —
Volapiik,
Liquorista. (In lavoro).
— Vedi Cognac.
Litog^rafla, di C. DoyEN, di pag. nu-261, con 8 tavole
in cromo e fototipia e un album inori testo con 40
figure di attrezzi, ecc., occorrenti al litografo . . . 4 —
Loiparltnil (Tavole di), con deoimalì, puODiicace per
cura di O. Mùllbb, 4* ediz., aumentata delle tavole
^ei lo8:arìtmi d addizione e sottrazione per cura di
Raina. di pag. zzxiv-186 1 50
Elmeo dei Mamudi Eoepli, 97
_-
L^lfiea, di W. Stanubt Jbyonb, tradnz. del ProL 0.
Cantoio, 4* ediz., di pa?. ym-lM, e 15 incisioni . . 1 60
— Vedi Estetica — Etica — Filosofia — Psicologia.
Vmgìem, mmtemtMeak^ di 0. BUSALI-FOBTI, di pagine
vi-158, 1 50
Lwg'lflntwgrafla, di C. Chiesa, 3* edizione, di pa-
gine xiT-172 1 50
— Vedi Contabilità.
Lnee • eoUrt, del Profl G^. Bsllotti, di pag. x-156,
con 24 incisioni e 1 tavola. 1 50
Lnee e «■•ii«, di E. JoNsa, trad. di U. Fornabi, di
pag. ym-336 con 121 incisioni (volume doppio) . . . 8 -—
Maeelilnlsta • faoeliUte, del Prof. Gt. G^autero,
6* edizione, con aggiunte deU'Ing. L. Loria, di pa-
gine xiy-180, con 24 incisioni e col testo della Legge
sulle caldaie, ecc. (dal 10' al 12^ migliaio) 2 —
llaeeliliiiflia ii«T«le (Manuale del) di M. LieNAROLO,
di pag. xn-404, con 164 figure 5 50
— Vedi Doveri del macchinista navale,
ll«««hine ai^rlcole^ del conte A. Cencblli-Perti,
di pag. vni-216, con 68 incisioni 2 —
ll«e«liiiie per «nelre e ricantare, dell'Ing. AUPRBDO
Galassini, di pag. yn-230 con 100 incisioni .... 2 50
Maecklne. — Vedi anche Disegnatore meccanico —
— Il meccanico — Ingegnere civile — Ingegnere
navale — Macchinista e fuochista — Macchinista
navale — Meccanica — Meccanismi (500) — Model-
latore meccanico — Operaio — Tornitore meccanico.
IfaguetUiMe ed elettrieilà, del Dott. G. Poloni,
2^ ediz. curata dal Proi F. Grassi, di pag. ziy-370,
con 136 incisioni e 2 tavole 3 50
Mais. — Vedi Fruìnento e mais — Panificazione.
Malattie eritleifantlehe delle piante erbacee
eoi ti vate, del Dottor R. Wolf, traduzione con note
ed aggiunte del Dottor P. Bagcardo, p. x-268, 50 ine 2 —
Malattie ed alteraElonl del vini, del Proi S. Get-
TOLiNi, di pag. xi-138, con 13 incisioni 2 —
Malattie trasmissibili. — Vedi Animali parassiti
— Zoonosi.
Mandato commerciale, del Proi E. Vidari, p. vi-160 1 50
28 Elenco dM MamuiH EoepU,
JL. e.
HAre (H), del Proi Y. Bellio, di pag. iT-140, oon
6 tavole litografate a colorì 1 50
Marina (Manuale del) ntllltare e mereantlley di
De Aìiezaga, con 18 xilografie ed un elenco del per*
.sonale dello Stato maggiore^ di pag. yin-264. ... 5 —
MariMista (Manuale del), dì A. Ricci, 2^ edizione, di
pag. xii-154, con 47 incisioni 2 —
Matematica e iu(f eg-ueria. — Vedi Algebra ùomple-
mentore — Alg^a elementare — Aritmetica pratica
~ Aritmetica razionale — Calcolo infinidsimale
(2 voi.) — Gelerimenstira — Compensojiione degli
errori — Curve — Equazioni — Esercizi d'algebra
•— Esercizi di calcolo infinitesimale — Esercizi di
geometria — Fognatura cittadina — Fu/nzioni eUiU
tiche — emometria analitica dello spazio — Idem
del piano — Idem descrittiva — Idem metrica e
trigonometrica — Idem pratica — Idem proiettiva
del piano e della stella — Idem proiettiva dello
spazio — Idem pura elementare — Ingegnere civile
— Logaritmi — Logica matematica — Momenti
reMstenti e pesi di travi metalliche composte — Peso
dei metalli — Regolo calcolatore — Resistenza dei
materiali — Saggiatore — Travi metalliche — Unità
assolute.
Materia medtea moderna (Manuale di), del Dott»
G. Malacrida. (In lavoro).
Meccanica. -— Vedi Disegnatore meccanico — Disc*
gno industriale —- Macchinista e fuodUsta — Mac-
chinista navale — Macchine avicole — Macchine
da cucire e ricamare — Meccanica — Mecca/nico —
Meccanismi (500) — Modellatore meccanico — Ope-
raio — Orologeria — Tornitore meccanico.
Meccanica, del Prof. R Stawell Ball, traduz. del
Prof. J. Benbtti, 3* edizione, di pag. xvi-2L4, con 89
incisioni 1 50
Meccanico, di E. GiORLi. Nozioni speciali di Aritme-
tica, Geometria, Meccanica, Generatori del vapore,
Macchine a vapore, Gollaudazione e costo dei mate-
riali, Doratura, Argentatura e Nichelatura, di pagine
xn-234 con 200 problemi risolti e 190 figure .... 2 —
L. e.
llee«MiUHil (500), scelti fra i più importanti e recenti
riferentisì alla dinamica, idraulica, idrostatica, pneu-
matica, maccMne a yapore, molini, torchi, orologerie
ed altre diverse macchine, da H. T. Bbown, tra**
duzione italiana sulla 16* edizione infirlese, dall'In-
gegnere F. Obrbuti, di pag. yi476, con 500 incisioni
nel testo (2* edizione italiana) 2 50
lleda)i;>lie. — Vedi Monete greche — M(mete romane
— Nìimismatica,
Wiedìetkinrtk autUedlea, del Dott. A. Zamblgr, con
prefazione del Prof. E. Trigoni, di pag. xvi-124, con
6 incisioni 1 50
— Ve^i Terapeutica,
■ledl«Ìoa. — Vedi Acque minerali — Anatomia e
fisiologia comparata — Anatomia microscopica —
Anatomia topografica — Animali parassiti — Assi-
stenta agli infermi — FamMcista — Igiene del
lavoro — Igiene delia vita pubblica e privata —
Igiene privata — Igiene rurale — Igiene scoktstica
— Igiene veterinaria — Infezione, disinfezione ^ di'
sinfettanti •— Materiamedica — Medicatura antiset-
tica — Soccorsi d'urgenza — Terapeutica — Zoonosi.
Metalli preitosl (oro, argento, platino, estrazione, fu-
sione, assaggi, usi), di Gr. Qorssi^ 2* edizione di pa-
gine 196, e 9 incisioni r 2 —
— Vedi Oreficeria — Saggiatore,
liletallarg>ia. — Vedi Siderurgia,
Heteoroloifii^ gfenerale, del Dott L. Db BfABOHi,
di pag. yi-156, con 8 tavole colorate 1 50
— Vedi Climatologia — Geografia fisica — Igroscopi
e igrometri.
Metrica dei g>re«l e del romani, di L. Mì)lleb,
tradotta dal Dott V. Lami, i» edizione. (In lavoro).
■letreloifla Universale ed il Codice Hetrleo ln«
ternazlonale, coli* indice alfabetico di tutti i pesi,
misure, monete e delle regioni o Città dell' Ing. A.
Tacchini di pag. zz-482 6 50
Mezzeria (Manuale pratico della) e dei vari sistemi
della colonia parziaria in Italia, del Prol Avv. A Rab-
BBNO, di pag. vm-i96 1 50
so Elenco dei MarnuUi Eoepli,
■ll»«loirla* — Vedi Funghi e Tartufi — Malattie
crittogamiche.
Wiìermmeo^ìtu — Vedi Anatomia microscopica — Ani-
mali parassiti — Bacologia — Batteriologia — Mi-
croscopio — Frotistologia — Tecnica protistologica.
lller«fteoplo (H), Ghuida elementare alle osservazioni di
Microscopia, di Camillo Acqua, di pag. zii-226,con
81 incisioni 1 50
Militarla. — Vedi Cavallo — Codice cavalleresco —
Duellante — Esplodenti — Schermai — Storia arte
militare.
Mineraloipia. — Vedi Arte mineraria — Cristallo-
grafia — Marmista — Metalli preziosi — Minera-
logia generale — Mineralogia descrittiva — Orefi-
ceria — Pietre preziose — Siderurgia^
llioeral«g'Ìa generale, del Prot L. BoMBlOGl, 2* ed.
riveduta, di p. xiy-190, con 183 ine e 3 tay. cromolit. 1 50
Hlueraiog'ta desertUiva, del Prof. L. BOMBIOOI, 2*
ediz. di pag. iv-dOO, con 119 incisioni (voi. doppio). . 3 —
Mioiatura. — Vedi Colori e vernici — Decorazione
e onmm^entazionc — Luce e colori — Ornatista —
Pittura.
Mitilieoltara* — Vedi Ostricoltura ■— Piscicoltura.
Hllaioif ia eamparala, di A. Db Gubernatib, 2* ediz.,
di pag. yin-150 1 50
Hitaloiriairr««A,diFoKBGmVol.ID»vm»<a,p.vm-264 1 50
Voi. n, Eroi, pag. 188 1 50
mialogri* ramana, di A. Foresti. (In lavoro).
Modeiiatore meecauteo del fal«(fnanie e del-
r ebani sta, del Prof. Gr. Mina, di pag. xvii-428, con
293 incisioni e 1 tavola 5 50
Hoiinl (Industria dei), di 0. Siber-Millot. (In lavoro).
lldittenti resiflteiitl e pesi di iraTi metailtelie
eampaste. Prontuario ad nso degli ingegneri, archi-
tetti e costruttori, con 10 figure ed una tabella per
la chiodatura, di E. Schenck, di pag. xl-188. ... 3 50
Monete grecke, di S. Ambbosoli, con numerose in-
cìoni. (In lavoro).
Monete romane, del Cav. F. Gnecchi, di pag. xv-182,
con 1.") tavolo e 62 figure nel testo 1 50
Elenco dei Mamudi HoeplL 31
__
— Vedi Medaglie — Metrologia — Numismatica —
Paleografia — Tecnologia monetaria,
Wiono^mjmmU del Prot. A. Severi, 73 tavole divìse
in tre serie, le prime due di 462 in due ciire e la
terza di 116 in tre cifre 8 50
— Vedi Ornatifita.
Morale. — Vedi Estetica — Etica — Filosofia mo-
rale — Logica — Psicologia.
Morfologrl* tr>*«««9 del proti V. Bettei, di pag. xx-876
(volume doppio) 3 —
Morfoloirl* Italiana, del Prot. E. Gorra, di pa-
gine vi-142 1 60
Maslea. — Vedi Armonia — Cantante — Pianista
— Storia della mimca — Strumentazione — Stru-
menti ad arco e la musica da camera.
Maino saooorso* — Vedi Società di mutw) soccorso.
Maiarallsta "wìmiiffflmiMr^, di A. Ibbel e K. bl^BBTBO
(Zoologia), di pag. yni-144, con 38 incisioni .... 2 ~
Mantlca. — Vedi Arte del niwto — Attrezzatura na-
vale — Costruttore navale — Doveri del macchi-
nista navale — Filonauta — Ingegnere navale —
Macchinista navale — Marino,
Motaro (Manuale del), aggiunte le Tasse di registro, di
bollo ed ipotecarie, norme e moduli pel Debito pub-
bUco, del Notaio A. Garetti, 2* ediz., rifusa e ampliata,
di pag. xn-d40 3 50
— Vedi Testamenti.
MnailsaiaUoa, del Dott S. Ambrosoli, 2^ ediz. corretta
ed accresciuta, di pag. xv-250, con 120 fotoincisioni
nel testo e 4 tavole 1 50
— Vedi Araldica — Archeologia — Medaglie — Me-
trologia — Monete — Paleografia.
Muaco. — Vedi Arte del nuoto.
OHI Teffetall, animali e minerali, loro applicazioni,
di G. GoBiNi, di pag. vin-214, con 7 incis., 2* ediz.,
completamente ri&tta dal Dott G. Fabris .... 2 —
Olivo «4 olio, Coltivazione delV olivo, estrazione, pu-
rificazione e conservazione dell'olio, del Prot A. Alci,
3* ediz., di pag. xn-330, con 41 incisioni 3 —
Omero, di W. Gladbtone, traduz. di R. Palumbo e
0. FiOBiLLi, di pag. zn-196 1 50
A
»2 Mleneo dei Mawuàli Ho$pii.
L. e.
Operai* (Manuale dell*). Eiooolta di oogmiadoni utili
ed indispensabili ag:li operai tornitoli, fiubbri, oalderaii
fonditori di metalli, bronzisti, aggiustatori e mecca'
nici, di Qt, Belluohini, 3' edizione, di pag. xvi-216. 2 ^
Operazioni dogpanall. — Vedi Codice doganale —
Trasporti e tariffe.
Oratoria. — Vedi L'arte del dire -^ Bettorica —
Stilistica.
OrdlnaMenta degrll Stati Uberi d' Barapa, dei
Dott F. Racioppi, di pag. vm-310 (voi. doppio) . . 3 —
Ordlnamente de^ìì Stati Uberi faorl d* Earapa,
del Dott. F. fìACioppi, di pag. yin-376 (voi. doppio). 8 «—
Orelleerla* — Vedi Gioielleria — Metalli preziosi
— Saggiatore,
Ornatista (Manuale dell*) di A. Melanl Raccolta di
iniziali miniate e incise, d'inquadrature di pagina, di
fregi e finalini, esistenti in opere antiche di Ublio-
teche, musei e collezioni private XXIV tavole in co-
lorì per miniatori, calligrafi, pittori di insegne, rica-
matori, incisori, disegnatori di caratteri da stampa, ecc.
I^ serie 4 —
Orogrsiùa* — Vedi Alpi — AUante — Dizionario
alpino — Dizionario geografico — Geografia *-
l'realpi.
Oreion^eria mederna^ dell' Ing. GABUFrA, con 187
illustrazioni, di pag, viii-302, con 276 incisioni ... 5 —
— Vf^di Gnomonica.
OrtlcoUara, dei Prof. D, TAMARO, con 6Q indriom. 4 ^
— Vedi Agricoltura,
Orttoterl ed Insetti mlnerl Italiani, del Dott. A.
Gripfini. (in lavoro).
Ostrieoitara e ntltlllealtwraf del Dott. D. Gabazzi,
con 13 fototipie, di pag. vm^SOS ........ 2 50
— Vedi Fiscicoltura,
Ottica, di E. (tbluich, di pag. xvi-576, con 216 incisioni
e 1 tavola 6 —
Paiffa ifl^rnallera (Prontuario della), d* einqaaata
eenteslMl a lire clnq«#» di 0» Noasiv, di pa«
gine 222. «4,4». «2{K)
Elmso M Marnu aH Hoe^i. ^
Li» C*
PAl«««ta«l«9t«, di L BieAXZOMi, di mt. zx-SB^t oon
10 incisioni 1 60
PAleoffraila, di S. M. Thompson, tradnz. dall'incflese,
con aggiunte e note di G-. Fumagalli, di pag. Tin-ldB,
con SÌ incisioni nel testo e 3 tavole in tbtotipia . . 2 —
PaalÌI«iuil*Be raEl^nale, di POMPILIO, di pag. 17-126. 2 —
Parafolnial. — Vedi Elettricità — Fulmini.
Pedagag^la. — Vedi Didattica — Giardino infantile
— Ginnastica femminile e maschile — Igiene sco-
lastica*
Pelli. — Vedi Concia delle pelli
Pensioni* — Vedi Società di muttu) soccorso.
Pesi e misure. — Vedi Metrologia universale —
— Statica e applicazione alla teoria 6 costruzione
degli strwnenH metrici — Tecnologia e termino-
logia monetaria.
Peso del metelll, ferri qnadrail, rettani^olarly
elllndrlely m squadra, a ti, a V, a Z, a C •
a doppio T, e delle lamiere e inki di «uUi I
metalli, di G^. Bblluomimi, di pag. xxiv-248 . • • 3 50
Piantata (Manuale del), dì Li. MAST&ieLi, di p. xvi-ll^ 2 —
Piante e fiori sulle linestre, sulle terrazze e nei cor-
tili Coltura e descrizione delle principali specie e va-
rietà, di A. Pucoit <ii Pftg* vni-X9tì con 110 incisioni. 2 50
— Vedi anche Botanica — Floricoltura — Frutta
minori — Frutticoltura,
Piante Industriali, coitiyazìone, raccolto e prepara-
zione, di i^, G^OAiNi, nuova edizione, di pag. ii-l:U. 2 —
Piante tessili. — Vedi Coltivazisme e industrie delle
piante tessili,
Pleeole Industrie, del ProL A. Ebreba, di p. XVI-186, 2 —
Pietre proElose, classificazione, valore, art;e del gio-
jelliere, di (i. Uobini, 2* edizione, di pag. Idd, con 12
mcisioni . . 2 —
Plroteenlea moderna, di F. Di Maio, oon 111 inci-
sioni, di pag. vin-lòU 2 50
Plseleoltnra (d'acqua dolce), del Dott. E. Bettoni,
di pag. viii-31^ con 85 incisioni 4 • • 3 -*
^ Vedi QstricQlturch
36 Elenco dei Manuali Hoepli.
„ ■ — ^ ■•■' ■ ' ■ - ■'- »t.V. ■■ ■■ ■■ » » J ! . »
L. e.
RIcAheaEia mobile (Imposta sui redditi di), dell' Ay-
Tocato E. Bruni, di pag:. yni-2t8 1 50
— Vedi Imposte dirette — Proprietario di case.
Ricettarlo fotaif rafleo, Dott Linei Sassi., di p. yi-lòO 2 ->
Rlsealdaineiito e Tentllaslone deg^ii aMiblentl abi-
tati, del Prof. R. Ferrini, 2 voi., di pag. z-332, 94 inds. 4 —
Rlseossloae Imposte. — Vedi Imposte,
WiUw^ìmenin Italiano (Storia del), del Pro! F. Bbb-
TOLiNi, di pag. yi-154 1 50
— Vedi Storia e cronologia — Storia italiana.
Ristaaratore del dipinti, del Conte G. Sbcoo-Suardo,
2 voi., di pag. zyi-269, xn-362 con 47 incisioni . . . 6 —
Rltmlea e metrica raElonale italiana, del Pro-
fessore Rooco Murari, di pag. zyi-216 1 50
— Vedi Arte del dire — Rettorica — Stilistica.
RlToInzione (La) franeese (1789-1799), dei Prot Dott
Gian Paolo Solerio, di pag. iy-176 1 50
SaiTi'l'^^i*® (Manuale del), di F. Buttabi, di p. ym-245,
con 28 incisioni 2 50
— Vedi Metalli preziosi — Oreficeria.
Sanserlto (Avviamento allo studio del), di F. G. Fumi,
2* ediz., rifatta, di pag. xn-254 (voi. doppio) .... 3 —
Saponeria, dell'Ing. E. Marazza. (In lavoro).
Scacchi (Manuale pel giuoco degli), di A. Seghieri,
di pag. xv-222, con 191 illustrazioni, 2* edizione, dn
lavoro).
Scherma Italiana (Manuale di), su i prindpii ideati da
Ferdinando MasieÙo, di J. (^elli, di pag. yni-194,
con 66 tavole 2 50
— Vedi anche Codice cavalleresco — Duellante.
Scleuia delle llnanxe, di T. Carnevali, pag. iv-140. 1 50
Selenio fisiche e naturali. — Vedi Anatomia com"
parata — Anatomia microscopica — Animali pa-
rassiti — Antropologia — Arte mineraria — Bat-
teriologia — Botanica — Calore — Chimica — Chi-
mica agraria — Coleotteri — Concimi — CristaUo-
grafi:i — Dinamica — Energia fisica — Fisica —
Fisiologia — Flora italiana — Fulmini e paraful-
mini — Funghi e tartufi — Geologia — Imbalsanui-
tore — Insetti — Lepidotteri — Luce e colori —
Elenco dei Manuali Hoepli. 87
L. e.
jCmcc e «tcono — Microscopio — Mineralogia — Nor
turalista — Ostricoltura — Ottica — Piscicoltura
— Pomologia — Protistologia — Selvicoltura —
Termodinamica — Tecnica protistdogica — Zoo-
logia,
§kem\iurm, Scoltura italiana antica e moderna, statuaria
e ornamentale dell* Archit Prof. A. Mblani, di pa-
gine xvni-196, con 56 tav. e 26 %. intercalate nel testo. 4 —
Scrutare d^ affari (Precetti ed esempi di), per uso
delle Scuole tecniche, popolari e commerciali, del Pro-
fessor D. Maffioli, di pag. yni-203 1 50
SelTlcoltora^ di A. Santilli, di pag. yni-220 e 46
iixisioni 2 —
Serieoltora. ~ Vedi Bachi da seta — Gelsicoltura
— Filatura — Industria della seta — Microscopio
— Tintwra della seta,
Shakespeare, di DowDEN, traduzione di A. Balzani,
di pag. xn-242 1 50
Slderarg>la (Manuale di), dell'Ing. Y. Zoppetti, pub-
blicato e completato per cura dell* Ing. E. G^abuffa,
di pag. iv-368, con 220 incisionL 5 50
SIsMieleirla, del Capitano L. Gatta, di pag. yin-175,
con 16 incisioni e 1 carta 1 50
Soeeerst d' arf^enia, del Dott. C. Galliano, di pa-
gine XLi-2d9, con 6 tavole litogra&te, 3' edizione . . 3 — -
— Vedi Assistenza infermi — Igiene — Medicatura
antisettica.
Seeletà di Maine seeeerse (Manuale Tecnico per le).
Norme per rassicurazione delle pensioni e dei sussidi per
malattia e per morte, del Dott. G.Gabdenqhi, di pa-
gine vi-152. 15D
Spetireeeeple (Lo) e le sae applleaElenl, di R. A.
Pboctob, traduz. con note ed aggiunte di F. Pobbo,
di i>ag. yi-178, con 71 incisioni e una carta di spettri. 1 50
Splrite di Tlne* — Vedi Alcool — Cognac — Liquo-
rista,
Speri, g-laoehi e cellezienl. — Vedi Arte del nuoto
— Biliardo — Cacciatore — Cane — Cavallo —
Ceramiche — Ciclista — Codice cavalleresco — Duel-
lante — Dizionario alpino — Dizionario fUatelùfo
38 Elenco dei Manuali Soepli.
L. e.
— DizùmariQ ^rmtMt delle eorae ^ Filonauta —
Giardino infantile — Ginnastica — Ginnaatiea
maschile — Ginnastica femmindle — Giuochi gin-
nastici per la §fioventÌA e per le scuole — Pirotecnia
— Prealpi bergamasche — Raccoglitore di oggetti
d^arte -— Scacchi •— Scherma itaUama,
Statle* (PrÌQcipi dì) e lor* applÌ«MEÌ#a« ftll« te«rl«
e e*«4rasÌ4Mie àef^ìì siniHi«oU netrlel, per Tlng.
E. Bagnoli, di pagr. yiii-252 oob 192 iou^naiù ... S 50
SlAtUil«a, di F. ViBCOLii, ék pfts. ym-176 «... 1 50
Stemmi. — Vedi Araldica,
Sten^ipraHa, di G. GiORasm e M. Tbbsaboìj (se-
condo il sistema Grabelsbergrer-Noe), ^* ediz. (In ìs^yX
StlllsUea, d^ Prof. F. Capello, dì pag:. xu4^ . . 1 50
— Vedi Arte del dire — Rettorica — Ritmica.
Storia «ntiea. Voi. L U Oriente Antico, di L Qbnxilb,
di pag. xn-232 1 50
Voi H La Grecia, di G. ToNUzzo, di pag:. Yi-2ia 1 50
Storia e eronoloifla «lodloeTale « m ÓJerw» ìb
CO tavole sinocticiie, di V. Cabaq&ani», 2* edizione,
di pag. vi-260. 1 50
Storia dell'arte mlUÉare anilea e mtmdewmm^ di
V. Rossetto, con 17 tavole illBstrative^ di pag:ine
vm-504 5 50
Storia della, fflanastlea. — Vedi Storia.
StorU ItallaM (Manuale di), di a Caktù, di pa-
gine IV- 160. 1 50
— Vedi Risorgimento*
Storia della mmolea^ del Dott A. UttTKIISTSIMBB, di
pag. 300 (voi. doppio). •«... 3~
Storia aatnrale deir aomo e saol eostoJMl* —
Vedi Antropologia ^ Stnoffttxfia — FisÌBlo(fia —
Grafologia-- Paleoetnologia,
Storia del popoli e miti. _ Vedi Cristoforo Co-
lombo — Errori e pregiudizi — Mitologia — Mitth
logia greca — Mitologia romana — Risorgimento
italiano — Rivoluzione fremeese -*- Stotria antica
— Storia e cronologia medioevale e moderna —
Storia delVarte mHUare antica e moderna — Storia
italiantu
Elenco dei Manuali HoeplL 89
HiraneBlaxIeBe (Manuale di), di E. Pbout, tradu-
zione italiana con note di Y. Kioci, con 95 esempi,
di pas:. 2-222 2 50
Stramentl ad arco (Crii) e la maslca da eantera,
del Duca di Oaffabelli F., di pag. x-235 .... 2 50
— Vedi anche Armonia — Cantante — lanista,
StrnmeDti netrlel. — Vedi Metrologia — Statica.
SnoBo. — Vedi Lv^e e suono.
Sassidi. — Vedi Società Mutw> Soccorso.
Tabacca, del Prof. G, Cantoni, di pag. iv-176, con
6 incisioni 2 —
TachcoBicirla. — Vedi Celerimensura — Telemetria
— Topografia — Triangolazioni.
Taglilo e canfczione di blaBcherla. — V. Disegno.
Tariffe ferroviarie. — Vedi Codice doganale —
Trasporti e tariffe.
Tartufi e ruagrhl. — Vedi Funghi.
Tasse di reg>ls(ro, bollo, ecc. — Vedi Notaro.
Tassidermista. — Vedi Imbalsamatore — Natura-
lista viaggiatore.
Tavole lograrltnilehe. — Vedi Logaritmi.
Tavole tacheometriche. — Vedi Celerimensura —
— Telemetria — Topografia — Triangolazioni.
TecBica microscopica. — Vedi Anatomia micro-
scopica.
TecDlca protlstolo|r>^«9 del Prof. L. Maggi, di
pag:. x\ri-318 (volume doppio) 3 —
— Vedi Protistologia.
TecBolog'ia meccanica. — Vedi Modellatore mec-
canico.
Tccnalofr^a e tcrminologria monetarla, di G. SAC-
CHETTI, di pag. xiv-192 2 —
TelefoBo, di D. V. Piccoli, di pag. iv-120, con 38
incisioni 2 _
Tele|rr»fl«9 di R Ferrini, di pag. vi-318, con 95
incisioni 2 —
— Vedi Cavi e telegrafia sottomarina.
Telemetria, misura delle distanze In ipuerra,
di G. Bertelli, di pag. xin-145, con 12 zincotipie . 2 -
Tempera e cementazione, delVIng. Padda, di pa-
gine vin-108, con 20 incisioni 2 —
40 Elenco dei Mcmuali Hoepli,
L.. e.
TeologrU. -— Vedi Bibbia — Diritto eccUHastieo —
Religtone e lingua dell'India inglese.
Terapeutica (Manuale di) Timpìego ipodermico e la
dosatura dei rimedi del Dott. G. Malacbidà, di pa-
gine 306 3 —
— Vedi Medicatura antisettica,
TernediBaMilea, di 0. Cattaneo, di pag. x-196, con
4 figure 1 50
Terreuieti. — Vedi Sismologia — Vulcanismo,
Tesallere (Manuale del), del Prof. P. Pinchetti, 2»
edizione riveduta, di pag. xvi 31*2, con illustrazioni
intercalate nel testo 3 50
TestaMenil (Manuale dei), per cura del Dott. L. Sb-
rina, di pag. vi-238 . 2 50
— Vedi Notaio.
Tlgri'^l^ll'^ii^ (Manuale), con due dizionarietti ita-
liano-tigre e tigre-italiano ed una cartina dimostratiTa
degli idiomi parlati in Eritrea, del Cap. Manfredo
Camperio, di pag. 180 . 2 50
— Vedi Arabo volgare — Grammatica galla — Lingue
delV Africa.
Tintore (Manuale del), di R. Lbpetit, 3' ediz., di pa-
gine x-279, con 14 incisioni (voi. doppio) 4 —
Tiotora della seta, studio chimico tecnico, di T. Pa-
scal, di pag. xvi-432 5 —
Tlpof^rafla. ~ Guida per chi stampa e fii stampare.
— Compositori e Correttori, Revisori, Autori ed Edi-
tori, di S. Landi, di pag. ^ 2 50
— Vedi Compositore-tipografo,
Topografla e rilievi. — Vedi Cartografia — Catasto
italiano — Celerimensura — Compensazione degli
errori — Curve — Disegno topografico — Estimo
rurale — Geometria pratica — Regolo caicolatore
— Telemetria — Triangolazioni topografiche e trian-
golazioni catastali.
Tarn! tare meceanlca ((^uida pratica del), ovvero
sistema unico per calcoli in generale sulla costruzione
di viti e ruote dentate, arricchita di oltre 100 pro-
blemi risolti, di S. Dinaro, di pag. l&l 2 —
Trasporti, tariffe, reelami ferroTlarl ed ape-
raiUai dag>anali. Manuale pratico ad uso del com-
Elenco dei Manuali Hoeplù 4t
L. e.
mercianti e privati, colle nonne per Tinterpretazione
delie tariffe e dispoeiàoni yis:enti, per A. Gt, Biai^ohi,
con una carta delle reti ferroviarie italiane, di pa-
gine xvi-152 2 —
Travi metalllet «•■tposii (Momenti resistenti, pesi
dei), di E. ScHENCK, pa8:ine ZL-ISS, 10 figrare e tabella
per chiodatura 3 50
Trlang^olAzIool topog^rallcli^ e irlang'olaslaiil «a-
Castali, delllng:. O. JACOANeELi. Modo di fondarle
sulla rete geodetica, di rilevarne e calcolarle, di pa-
gine xiv-240, con ^ incisioni, 4 quadri degli elementi
geodetici, 32 modelli esemplificali pei calcoli trigono-
metrici e tavole ausiliarie 7 50
— Vedi Cartografia — Celerimensura — Disegno topo-
grafico — Geometria pratica — Telemetria.
Tri|f onometria. — Vedi Geometria metrica.
Ufficiale (Manuale per V) d«l R"gio Esercito italiano,
di U. MoRiNi, di pag. xx-388 3 50
Unità assolate. Definizione, Dimensioni, Rappresenta-
zione, Problemi, delllng. Gt, Bebtolihi, di p. z-124-44. 2 50
Uva passa (Industria dell') e della essleaxleae
delle Aratta e defll ortag^ly Proi L. Papabelli.
(In lavoro).
Uve da tavola • Varietà, coltivazione e commercio,
del Dott D. Tamaro. (In lavoro).
Valli lenbarde, di Scolari. — Vedi Dizionario al-
pino,
Valeri pabbllel (Manuale per lapprezzamento dei) e
per le operazioni di Borsa, Dott. F. Piccinelli, di
pag. xiv-236 2 50
— Vedi DeìÀto puòblico.
Velocipedista. — Vedi Ciclista,
VentiUzione. — Vedi Riscaldamento,
Verbi grreel anoauill (I), di P. Spagnotti, secondo le
Grrammatiche di Curtius e Inama, di pag. xxiv-107. 1 50
Vernici^ laeehe, aiastiel, Inehlostrl da staaipa,
eeralaeehe e prodotti affini (Fabbricazione delle),
dell'Ing. Ugo Fosmari, di pae. vin-2d2 2 —
Veterinaria. — Vedi Alimentazt&ne del bestiame —
Bestia/me — Cane — Cavallo — Igiene veterinaria
— Porcicoltura — Zootecma*
4*2 Elenco dei Manuali SoepU.
' I ' ■ I II —————— ^—~-—»——— «■^^——^■—.^1».
Via* (B), di Gr. G^uizzi-SoNonn, di pag;. zvi-152. . . 3 _
Vltle^Uara od enolof^l»* — Vedi Alcool — Analisi'
del vino — Cantiniere — Cognac — Enologia —
Enologia domestica — Liquorista — Malattie ed
alterazioni dei vini — Uva passa — Uve da tavola
— Vino — Viticoltura,
VUleoUara. Precetti ad uso dei Viticoltori italiani,
del Proi 0. Ottavi, rìved. ed ampliata da A. Stbuochi,
3' ediz., di pag. Yni-184 e 22 indsioni 2 ~
Volapiik (Dizionario italiano-yolapùk), preceduto dalle
Nozioni compendiose di grammatica della lingua, del
Proi 0. Mattbi, secondo i principii dell'inventore M.
ScHLEYER, ed a norma del Dizionario Volapiik ad uso
dei francesi, del Prof. A. Kerckhoffs, di pae. zxz-196. 2 50
Volapiik (Dizion. volapiik-italiano), del Proi 0. Mattbi,
di pag. xx-204 2 50
— Manuale di conversazione e raccolta di vocaboli e
dialoghi italiani-volapiik, per cura di M. Rosa Tom-
HASi e A. Zambelli, di pag. 152 2 50
Vulc^nisBio, del Capitano L. Gatta, di pag. vni-268,
con 28 incisioni * . 1 50
Zoologria. — Vedi Anatomia e fisiologia comparale
— Animali parassiti dell'uomo — Animali da cor-
tile — Apicoltura — Bachi da seta — Batteriologia
— Bestiame — Cane — Cavallo — Coleotteri —
Colombi — Coniglicoltura — Ditteri — Embriologia
e morfologia generale — Imbalsamatore — Insetti
nocivi — Insetti utili — Lepidotteri — Naturalista
viaggiatore — Ortotteri — Ostrtcoltura e mitili-
coltura — Fisdcoltura -— Pollicoltura — Forcicol-
tura — Protistologia — Tecnica protistologica —
Zoologia.
Zoolo«ri>^) Proff. E. H. Figlioli e Gt. Cavanna, 3 voi.:
L Invertebrati, di pag. 200, con 45 figure ... 1 50
n. Vertebrati. Parte I, Greui^ralità, Ittiopsidi (Pesci
ed Anfibi), di pag. xvi-156, con 33 incisioni. . 1 50
m. Vertebrati. Parte U, Sauropsidi, Teriopsidi (Ret-
tili, Uccelli e Mammiferi), p. xvi-200 con 22 ine 1 50
Zoonosi, del Dott. B. Galli Valerio, di pag. xv-227 1 50
ZootooBla, del Prof. G. Tampelini, p. vm-297, con 52 ine. 2 50
INDICE ALFABETICO DEGLI AUTORI
Aoqua C. Microsoopio. . . poft. 30
Adler 6. Eserc. dì lingua ted. 17
Aduooo A. Chimioa agraria . . 10
Airy Q. B. Gravitazione .... 22
Alberti F. Il bestiame e l'agri-
coltura. 7
Albicinl G. Diritto civUe 13
Abbo P. Arte del nuoto .... 6
Albini 6. Fisiologia 18
Alettasdri P. E. Analisi volu-
metrica 4
— Infezione, Disinfesione . . 23
— Farmacista (Mannaie del). 17
Allori A. Dizionario eritreo. • 14
Alo! A. OUvo ed OUo 31
Ambrotoii S. Numismatica . . 31
— Letteratura islandese ... 25
— Monete greche 30
Amezaga (De). Man. del Marino 28
AntiUi A. Disegno geometrico. 13
Appiani G. Colori e vernici . . 10
Arila C. Dizion. Bibliografico. 14
Arti grafiohe. eoo 6
Atchieri F. Geometria proiet-
tiva dello spazio 20
— Geometria proiettiva del
piano e della stella 20
— Geometria descrittiva . . 20
— Geometria analitica del
piano 20
— Gheom. analit. dello spazio 20
Azzoni F. Debito pubblico ita-
liano 12
Baooariai P. Malattie critto-
game pag. 27
Bagnoli. Statica Zi
Balfour-Stewart. Fisica IK
Ball J. Alpi (Le) 4
Ball R. Stawell. Meccanica . . 2H
Ballerini 0. Fiori artificiali . . 1k
Balzani A. Shakespeare 37
Barpi U. Igiene veterinaria. . 22
— Abitazioni animali dome-
stici 3
Barth M. Analisi del vino ... 4
Belilo V. Mare (II) 28
— Cristoforo Colombo 12
Ballotti G. Luce e colori. ... 27
Beltuoniini G. Cubatura legnami 12
— Peso dei metalli 38
— Falegname ed ebanista . . 17
— Manuale dell'Operaio ... 3 *
— Fonditore 18
Bonetti J. Meccanica 28
Bergamasolii 0. Ragioneria in-
dustriale 35
Bernardi G. Armonia 6
Bortoni G. Disegno topografico 14
— Tel«»tnetrla 39
Bortolini F. Storia risorgimen-
to italiano 30
Bortolini G. Unità assolute ... 41
Botta R. Anatomia e fisiologia
comparata 5
Bettoi V. Morfologia greca . . 31
Bottoni E. Piscicoltura 33
44
Indice alfabetico degli autori.
Blagi 6. Bibliotec. (Man. del) 8
Bianehl A. G. Trasporti, tariffe,
reclami, oper. doganali . . 40
Bignami-Sormaiii. Diz. Alpino . . 14
Bisoonti A. Eserc. gramm. greca. 17
Book. Igiene privata 22
Botto C. Disegno (Princ. del). 13
Bombicoi L. Minerai, generale 30
— Mineralogia descrittiYa . . 30
Bonacini C. Fotografia orto-
cromatica 19
Bonetti E. Disegno, taglio e
confezione di biancheria. . 14
Bonizzi P. Anim. da cortile . . 5
— Colombi domestici 10
BorlettI F. Celerimensora ... 9
Boselll E. GioieUeria e Oref. 21-32
Brìgiutì R. Letterat. egiziana. 24
Brown H. T. 500 Meccanismi . 29
Bruni F. Tartufi e fanghi. . . 19
Bruni E. Imposte dirette. ... 23
— Ciontabilità deUo Stato . . 11
— Catasto italiano 9
— Codice doganale 10
— Legislazione rurale 24
— Bioobezza mobile 86
Buraii-Forti. Logica matematica 27
Buttari F. Il saggiatore .... 36
Caffareiii F. Strumenti ad arco 39
Cailiano C. Soccorsi d'urgenza 37
— Assistenza infermi 6
Camperìo M. Manuale Tigrò-
Italiano 40
Canestrini E. Fulmini e parat 19
Canestrini 6. Apicoltura .... 5
— Antropologia 5
Canestrini G. e R. Batteriologia 7
Cantamessa F. Alcool 4
Cantoni C. Logica 27
— Psicologia 35
Cantoni G. Fisica. 18
— Tabacco (II) 39
— Prato (n) 84
— Frumento e Mais 19
Cantoni P. Igroscopi, Igrome-
tri, Umidità atmosferica . . 22
Cantù C. Storia italiana. ... 38
Capeiio F. Bettorica. 35
— Stilistica 3j
Cappeiletti L. Letterat spagn.
e portoghese 25
Carazzi D. Ostricoltura 82
— Tecnica microscopica ... 5
Cartga di Murieot F. Agronomia 4
Carega di Muricce F. Estimo
rurale pag, 17
Carnevali. Scienza di finanze. 36
Carraroii A. Igiene rurale ... 22
Casagrandi V. Storia e oron. 38
Casali A. L*Humu8 22
Cattaneo C. Dinamica element 12
— Termodinamica 40
Cattaneo 6. Embriologia e
morfologia 16
Cavanna G. Zoologia 42
Celorìa G. Astronomia 6
Cencelli-Pertf A. Macchine agr. 27
Ceretl P. A. Esercizi latini . . 17
Cerniti F. 500 meccanismi. . . 29
Cettoiini S. Malattie dei vini. 27
Chiesa C. Logismografia ... 27
Ciampoii D. Letterature slave 25
Cignoni A. Ing. navale (Pron-
tuario dell') 23
Cinquini A. Fonologia greca . 18
Claudi C. Prospettiva 35
Colombo G. Ingegn. civile ... 23
— Elettricista (Manuale dell') 15
Cofflboni E. Analisi del vino . 4
Conoari T. Grammatica itaL . 22
Consoli S. Fonologia latina . 18
— Lettor. Norveg. e Danese 25
Conti. Giardino infantile ... 20
Contuzzi F. P. Diritto costituz. 13
— Diritto intemaz. privato . IS
-- Diritto intemaz. pubblico 13
Cessa L. Economia politica . 15
Cova E. Disegno, taglio, ecc. 14
Cremona I. Alpi (Le) 4
erotti F. Compone, degli errori 10
Cttst. Belig. e lingue dell'India 35
— Lingue d'Afnca 26
Dal Pfaz di Prato. Cognac ... 10
Damiaoi. Lingue atranlere . . 28
De Amezaga. Mar. mil. e mere 28
De Brun A. Contab. comunale 11
De Gregorio G. Glottologia . . 21
De Gubematis A- Mitol. comp. 80
— Letteratura indiana .... 25
^ Belig. e lingue dell'India. 85
— Lingue d'Africa 26
Del Lupo P. Pomologia artiflc 84
De MarohI L. Meteorologia . . 29
— Climatologia 10
De Mauri L. Baccoglitore og-
getti d'arte 85
— Ceramiche, majoliohe, eco. 9
De Steriieh. Arabo volgare . . 6
Indice alfahetieo degli autori.
45
Dib Khaddag. Arabo volg. pag, 5
DI Caffarelfi F. Btnun. ad arco 39
DI Maio F. Pirotecnica 83
Dinaro S. Tornitore meccanico 40
Dizionario universale 4 lingue. 15
Dowden. Sliakspeare 37
Doyen C. Lito^afta 26
Enciolonedia Hoepli 16
Erede G. G-eom. pratica. ... 20
Errerà A. Piccole industrie. . ^'i
Fabris G. Olii SI
Fadda. Tempera cementazione 39
Falcone C. Ànat. topografica 5
Faralll G. Igiene pubblica ... 22
Feninl C. Letteratura italiana. 25
Ferrari D. Arte (L') del dire ... 6
Ferrini C. Diritto romano ... 13
— Il Digesto 12
Ferrini R. Elettricità 15
— Elettricista (Manuale dell') 15
-— Energia fisica 16
— Galvanoplastica 19
— Riscaldamento e ventilaz. 33
— Telegrafia 39
norilli C. Omero 31
Foresti A. Mitologia greca. 30
Voi. I Divinità e voi. lì Eroi
— Mitologia romana 30
Fomari U. Vernici e lacche. . 41
— Luce e suono 27
— Il calore 9
Poster M. Fisiologia 18
Franoesdil G. Cacciatore ... 8
— Concia pelli 11
— Conserve alimentari .... 11
Francesdilni F. Insetti utili. . 23
— Insetti nocivi 23
Friedmann S. Lingua gotica . 25
Friso L. Etica 17
— Filosofia morale 18
Fumagalli G. Paleografia. ... 33
— Bibliotecario 8
Fumi F. G. Sanscrito 36
Funaro A. Concimi (I) Il
Gabba L. Chimico (Man. del). 10
— Seta (Industria della) ... 23
— Adulterazione e falsifica-
Klone deftH alimenti 3
Gabeisberger-Noe. Stenografia. 3S
Gabrieli! F. Giuochi ginnastici 21
Gagliardi E. Interesse e sconto 23
Galante A. Ciclista 10
Galassini A. Macchine per cu-
cire e da ricamare 27
Galletti E. Geografia . . . pag. 20
Galli-Valerio B. Zoonosi .... 42
Gallizia P. Resistenza di mater. 35
Gardenghi G. Soc. di Mutuo Socc 37
Garetti A. Notare (Manuale del) 3t
Gamier-Vallettl. Pomologia . . 34
Garello G. Atlante geografico 7
— Atl. geogr.-stor. dell'Italia. 6
— Dizionario geografico ... 14
— Prontuario di geografia. . 34
Garuffa E. Orolc^eria 32
— Siderurgia 37
Gaslini A. Prodotti del Tropico. 34
Gatta L. Sismologia 37
— Vulcanismo 42
GauteroG. Macchinista e fuoch. 27
Gelide A. Geografia fisica ... 20
— Geologia. 20
Geloioh E. Cartografia 9
— Ottica 32
Geill J. Biliardo 8
— Codice cavalleresco 10
— Dizionario filatelico .... 14
— Duellante 15
— Ginnastica maschile .... 20
— Scherma 36
Gentile I. Archeologia dell'arte 5
— Geografia classica 20
— Storia antica (Oriente) . . 33
Gestro R. Naturalista viagglat 31
— Imbalsamatore 23
Gigiioll E. H. Zoologia 42
GloppI L. Crittografia 12
— Dizionario fotografico . . 14
Giordani G. Propriet. di case . 84
Giorgettl G. Stenografia . . . . 3j
Gioril E. Disegno industriale. 13
— Meccanico 28
Gitti V. Computiflteria Il
— Ragioneria 35
Giadstone W. E. Omero .... 31
Gnecciii F. Monete romane . . 30
Goffi V. Disegnat. meccanico. 18
Gorini G. Colori e vernici. . . 10
— Concia di pelli Il
— Conserve alimentari ....Il
— Metalli preziosi 29
— OUi 31
— Piante industriali 83
— Pietre preziose 83
Gorra E. Lingue neo-latine . . 26
— Morfologia italiana 31
Grassi F. Magnetismo 27
Grazzl-Sonokii G. Vino (II) ... 42
46
Indice alfabetico degli autori.
Griffini A. Coleotteri itaUani . 10
— Lepidotteri italiani 24
— Ortotteri italiani 32
Grothe E. Filatura, tessitura . 18
Grove G. Geografia 20
Guaita L. Colori e pittura. . . 10
Hoepli U. Enciclopedia 16
Hooker I. D. Botanica 8
Huguet L. Esercizi geografici 17
Imperato F. Attrezzatura navi 7
Inama V. Letteratura greca. . 25
— Grammatica greca 21
— Filologia classica Ib
— Esercizi greci 17
Ittel A. Naturalista viaggiat. 81
Jacoangeli O. Triangolazioni
topografiche e catastali. . . 41
lenkin F. Elettricità 15
ievons W. Stanley. Econ. polit. 15
— Logica 27
iona E.Cavietelegr.sottomar. 9
Jones E. Calore (II) 9
— Luce e suono 27
Kiepert R. Atlante geogr. nniv. 7
— Esercizi geografici 17
Kopp W. Antich. priv. dei Bom. 5
KrOhnke G. H. A. Curve 12
La Lata B. M. Cosmografia. . 11
— Gnomonica 21
Lami V. — Vedi MuUer 29
Landi D. Disegno di proje-
zioni ortogonali 14
Landi S. Tipografia 40
— Compositore- tipografo. . . 11
Lange 0. Letteratura tedesca 25
Leoni B. Lavori di terra. ... 24
Lepetit R. Tintore 40
Levi C. Costruzioni 17
Llcciardelli. G. Coniglicoltura
pratica 11
Lignaroio M. Macchin. navale. 27
— Doveri del macchinista. . 15
Lioy P. Ditteri italiani 14
Lockyer i. N. Astronomia ... 6
Lombardini A. Anatomia pitt. 5
Lombroso C. Grafologia .... 21
Loria L. Curve (Trace, delle) . . 12
— Macchinista e fuochista. . 27
Loris. Diritto amministrativo 13
— Diritto civile 13
Leverà R. Gramm. greca mod. 21
— Grammatica rumena. ... 22
Maffioii D. Diritti e doveri . . 12
— Scritture d'affari 37
Maggi L. Protistologia . . pag. 35
— Tecnica protistologica. . . 39
Maiacrida G. Materia medica . 28
— Terapeutica 40
Malfatti B. Etnografia 17
Manetti L. Caseificio 9
Mantovani G. Psicologia fisio-
logica 35
Marazza E. Industria stearica 23
— Saponeria 36
Marcel C. Lingue straniere . . 26
Marchi E. Porcicoltura 34
Maroiliao F. Letteratura frano. 24
Marolliao P. Ingegnere civile. 23
Mastrigli L. Cantante 9
— Pianista 33
Mattei C. Volaptkk(Dizion.). . 42
Mazzoooolo E. Legge comunale 24
— Legge (Appendice alla) . . 24
Mazzocchi L. Calci e cementi 8
Metani A. Scoltura italiana . . 37
— Architettura italiana ... 6
— Pittura italiana 34
— Decoraz. e ind. artistiche 12
— Ornatista 32
Mercanti F. Animali parassiti 5
Mina G. Modellatore meccanico 30
Molina R. Esplodenti 17
Moreschi N. Antichità private
dei Romani 5
Morgana M. Grammatica olan-
dese 22
Morlni U. Manuale dell'ufficiale 41
Muflone G. Fotografia. 19
MUller L. Metrica dei Greci e
dei Romani 29
MUiier 0. Logaritmi 26
Murari R. Ritmica 36
NegrinC.Pront. per le paghe. . 32
Menci T. Bachi da seta. .... 7
Niccoli. Econ. dei fabbr. rurali 15
Olivari G. Filonauta. 18
Olmo C. Diritto ecalesiastico. 13
Orlandi G. Celerimensura ... 9
Ottavi 0. Enologia 16
— Viticoltura 42
Ottino G. Bibliografia 8
Pagani C. Assicuraz. sulla vita 6
Paganini A. Letteratura frane 24
— Letteratura tedesca S5
Palumbo R. Omero 31
Paaizza F. Aritmetica razlon. 6
— Aritmetica pratica 6
PaolonI P. Disegno aBsonomet. IS
Indice atfltbeHco de^i ancori
47
Papvelll S. TTva passa • frutte 41
Parieltf C. Igiene privata ... 22
Pitoal. Tintura seta 40
httcal E. Galoolo differenziale. 8
— Calcolo int^rale 8
— Determinanti 12
— Esercizi 8-16
— Funzioni ellittiche 1«
Pasqualit G. Filatura seta. . . 18
Pattaolni 6. Conciliatore. ... 11
Piveti A. Chimica 9
Pavia L. Grammatica tedesca 22
— Grammatica inglese .... 21
— Grammatica spagnuola . . 22
Podielno N. A. Botanica .... 8
Psrootti R. CalUfnrafla 8
Perdoni T. Idraulica 22
Pstri L. Computisteria agraria 11
Petzholdt. Bibliotecario 8
Piszzoli E. Illuminazione elett. 22
Pfcclnelli F. Valori pubbUci. . 41
Pfcooli D. V. Telefono 39
Pilo ifl. Estetica 17
Pinoherie S. Algebra elem. . . 4
— Algebra complementare. I. 4
— Equazioni 16
— Esercizi di geometria ... 17
— Esercizi suiralgebra com-
plementare 16
— Geom. metrica e trigonom- 20
— Gheometria pura 20
Plnchetti P. Tessitore 40
Pizzi i. Letteratura persiana. 25
Poggi T. Aliment. del bestiame 4
Psioni G. Magnetismo ed elet. 27
Pompiiio. Panificazione 33
Porro F. Spettroscopio 37
— Gravitazione 22
Pozzi G. Regolo calcolatore e
sue applicazioni 35
Prat 6. wamm. francese.
— Esercizi di traduzione .
Proetor R. A. Spettroscopio.
Prout E. Strumentazione. . .
Pucci A. Frutta minori . . .
— Piante e fiori
Rabbano A. Mezzeria
21
17
37
39
19
33
29
Raoioppi F. Ordinamento degli
Stati Uberi d'Europa . . . . ?2
— degli Stati fnori d'Europa 32
Raina M. Logaritmi. ...... 26
Rsmorino F. Letterat. romana 25
Regazzoni I. Paleoetnologia. . 38
Rspotsi A. Igiene scolastica . 22
Rsstori A. Leftler.pr0venB.jNi9. 25
Rtvei A. Letteratura ebraica. 24
Rieoi A. Marmista 28
Ricci V. StrumentaBione. ... 89
Righetti E. Asfalto 6
Roda Fili. Floricoltura 18
Rosooe H. E. Chimica d
Rossetto V. Arte militare. . . 38
Rossi G. Costruttore navale . 12
Rota G. Ragion, cooperative 85
Saoolietti G. Tecnologia, termi-
nologia monetaria 39
SanarelH. Igiene del lavoro . . 22
Sassosi F. Cristallografia ... 12
Santilil. Selvicoltura. 37
Sartori G. Latte, cacio, burro. 24
— Caseificio 9
Sartori L. Industria della carta 23
Sasti L. Ricettario fotografico 36
— Fotocromatografia 18
Savorgnan. Coltiv. piante tess. 10
Scartazzini G. A. Dantologia. . 12
Solienolc E. Travi metallici. 80-41
Scolari C. Dizionario alpino . 14
Secoo-Suardo. Rist. dei dipinti. 36
Segliierì A. Scacchi 36
Scrina L. Testamenti 40
Sernaglotto R. Enologia .... 16
Sessa G. Dottrina popolare. . 15
Severi A. Monogrammi 81
Siber-Millot C. Molini (Ind. dei) 80
Selazzi E. Lettor, inglese ... 25
Solario G. P. Rivoluz. francese 36
Soli G. Didattica 12
Sormasi 6. Igiene privata. . . 22
Spagnotti P. Verbi greci .... 41
Spataro D . Fognatura cittadina 1 8
Stoppasi A. Geogr. fisica ... 20
— Geologia 20
— Prealpi bergamasche. ... 34
Stoppsto A. Diritto penale. . . 18
Stoppato L. Fonologia italiana 18
Straftorelio G. Alimentazione. 4
— Errori e pregiudizi 16
— Letteratura americana . . 24
Straticò A. Letteratura alba-
nese 24
Struscili A. Cantiniere 9
— Enologia 16
— Viticoltura 42
Taoohini A. Metrologia 29
Tamaro D. Frutticoltura .... 19
— Gelsicoltura 19
— Orticoltura 82
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