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THEORIE
DER
ZWEIFACH UNENDLICHEN THETAREIHEN
AUF GRUND
DER RIEMANFSCHEN THETAFORMEL
VON
Dk. ADOLF KRAZER.
LEIPZIG,
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1882.
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NOV 7 1888
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Vor^v^ort.
Die Begründer der Theorie der zweifach unendlichen Thetareihen sind bekannt-
lich die Herren Göpel und Bosenhain, welche diese Transcendenten zum Zwecke der
Losung des Umkehrproblems der dem Falle |) «» 2 entsprechenden hyperelliptischen
Integrale aufgestellt und die Theorie derselben soweit ausgebildet haben, als es ihnen
zur Erreichung dieses Zieles nothwendig erschien. Das hierzu eingeschlagene Ver-
fahren ist jedoch bei beiden Autoren wesentlich verschieden.
Den Ausgangspunkt für die Untersuchungen von Göpd*) bildet die Erkenntniss,
dass sich aus den sechzehn Thetafunctionen auf mehrere Weisen vier auswählen
lassen, durch deren Quadrate die Quadrate der zwölf übrigen linear ausgedrückt werden
können. Hiervon ausgehend greift Göpel, anscheinend ganz willkürlich, vier Theta-
functionen heraus, drückt durch deren Quadrate die der zwölf übrigen aus und findet
weiter, dass diese vier Functionen selbst durch eine eigenthümliche Relation vierten
Grades, die sogenannte GöpeVsche biquadratische Relation, miteinander verknüpft; sind.
Ausser den so erhaltenen Gleichungen finden sich bei Göpel nur noch wenige Theta-
relationen; auch tragen seine Formeln ein specielles Gepräge; sie sind für Göpel eben
nur Hülfsmittel und nicht Selbstzweck.
Auf ganz anderem Wege geht Herr Rosenhain**) vor. Die Grundlage für seine
Untersuchungen bildet eine Thetaformel, welche einer von Jacobi für die elliptischen
Functionen aufgestellten entspricht und auch auf ähnlichem Wege gewonnen wird.
Aus dieser als Stammformel leitet er dann das ganze System der zu derselben Kate-
gorie gehörigen Thetaformeln her, stellt dieselben tabellarisch zusammen und gewinnt
aus ihnen durch Specialisirung alle jene Relationen, welche für seine Lösung des Um-
kehrproblems nothwendig sind.
Vergleicht man die von den beiden Autoren zur Gewinnung von Thetarelationen
angewandten Methoden mit einander, so gebührt der Bosenhain' sehen der Vorzug, da
bei ihr die sämmtlichen Formeln aus einer gemeinsamen Quelle abgeleitet werden, und
*) OöpeH, Tbeoriae transcendentium Abelianamm primi ordinia adumbratio levis. Crelle*s
Journal, Bd. 86^ pg. 277.
**) Rasenhain ^ Memoire sur les fonctions de deux variables et k quatre p^riodes, qoi sont
les inverses des fonctions ultra- elliptiques de la premiere classe. Recneil des savants etrangers de
Tacad^mie des sciences de Paris, tome XI, pg. 361.
a*
— IV —
man dadurch in den Stand gesetzt ist, wenigstens einen Ueberblick über das ganze Ge-
biet der moglieben speciellen Formeln zu erhalten. Doch tragen auch die sämmtlichen
Bosenhain' sehen Formeln, ebenso wie die Quelle, aus der sie fliessen, ein individuelles
Gepräge, insofern als allgemeine, d. h. mehrere Formeln umfassende Typen nicht gegeben
werden. Der innere Grund hierfür ist darin zu suchen, dass die bei Rosenhain den
Ausgangspunkt bildende Formel, die selbst schon eine secundäre ist, nur schwer ihres
speciellen Charakters entkleidet werden kann, dann aber hauptsächlich darin, dass eine
von allgemeinen Gesichtspunkten ausgehende Behandlung bei dem damaligen voll-
ständigen Mangel einer Charakteristikentheorie nicht wohl möglich war.
Nach dem Erscheinen dieser grundlegenden Arbeiten vergingen beinahe dreissig
Jahre, ohne dass die in Rede stehenden Thetarelationen eine von neuen Gesichtspunkten
ausgehende Bearbeitung erfuhren, trotzdem innerhalb dieser Zeit die zweifach unend-
lichen Thetareihen nicht nur bei rein analytischen, sondern auch bei geometrischen
und mechanischen Problemen eine immer grossere Bedeutung gewannen, auch die
Theorie der Transformation derselben durch die Herren Hermite*) und Königsberger'^*)
angebahnt wurde. Erst in den Arbeiten der Herren BorcJiardt***) und Weherf) greift
eine allgemeinere Auffassung Platz, insofern als die Genannten sich von speciellen Charak-
teristiken frei zu machen streben, und insbesondere Herr Wä}er die Thetarelationen in
allgemeiner Gestalt zu gewinnen sucht. Die betreffenden Formeln werden aber bei
Herrn Weber nicht aus einer einzigen Hauptformel abgeleitet, vielmehr benutzt der-
selbe, um zu den einzelnen Formeln zu gelangen, die Methode der unbestimmten Coef-
ficienten, die zu ihrer Anwendung schon die Structur der zu gewinnenden Formeln als
bekannt voraussetzt und daher weder über den inneren Grund der Entstehung noch
über die Vollständigkeit des gewonnenen Formelsystems Aufschluss gibt.
Eine einheitliche, die verschiedenen Thetarelationen umfassende Theorie, wie
ich sie im Folgenden zu geben versuche, ein Einblick in die Structurverhältnisse der
Formeln und ihre Abhängigkeit von einander wurden erst möglich, nachdem die Fun-
damentalformel für diese Theorie gefunden war, aus der alle von sämmtlichen Autoren
bis dahin gewonnenen Relationen zwischen den sechzehn Thetafunctionen direkt ab-
geleitet werden können. Diese Formel, welche die Grundlage meiner Untersuchungen
bildet, geht aus einer für beliebiges p geltenden, von Riefnann zu Anfang der sech-
ziger Jahre aufgestellten und von meinem hochverehrten Lehrer Herrn Prof. Prym
*) HermiUy Sur la th^orie de la traiiBformation des fonctions Ab^liennes. Compte»
renduB, tome XL.
**) Königsherger, Ueber die Transformation der Aberschen Functionen erster Ordnung.
Crelle's Journal, Bd. 64 und 65.
***) Borchardt, Ueber die Darstellung der Kummer'schen Fläche vierter Ordnung mit sech-
zehn Knotenpunkten durch die GöpeFsche biquadratische Relation zwischen vier Thetafunctionen mit
zwei Yariabeln. Crelle's Journal, Bd. 83, pg. 234.
t) Weber, Anwendung der Thetafunctionen zweier Veränderlicher auf die Theorie der
Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. Math. Annalen, Bd. XIV, pg. 173, und: Ueber
die Kummer'sche Fläche vierter Ordnung mit sechzehn Knotenpunkten und ihre Beziehung zu den
Thetafunctionen mit zwei Veränderlichen. Crelle's Journal, Bd. 84, pg. 332.
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zugleich mit ihrer Ableitung mitgetheilten Thetaformel*) hervor^ indem man dieser die
von Herrn Ttym angegebene allgemeinere Gestalt (12') verleiht und hierauf, entsprechend
dem vorliegenden speciellen Falle, für p den Werth 2 setzt.
Ueber den Inhalt und die Anordnung der vorliegenden Arbeit erlaube ich mir
noch Folgendes beizufügen. Nachdem in Art. 1 die zweifach unendlichen Thetareihen
definirt und ihre wesentlichen Eigenschaften angeführt sind, wird die eben erwähnte
Fundamentalformel aufgestellt. Die bedeutende Bolle, welche die Charakteristiken der
Thetareihen in der weiteren Untersuchung spielen, Hess es wünschenswerth erscheinen,
dieselben zunächst selbständig zu behandeln. Die im Laufe der Arbeit zur Anwendung
kommenden Definitionen und Sätze, welch' letztere theilweise schon von Herrn Weher
in den oben erwähnten Arbeiten gegeben wurden, sind daher in Art. 2 zusammen-
gestellt. Im Anschluss hieran behandelt Art. 3 die Eigenschaften einiger aus Charak-
teristikenelementen gebildeter, häufig wiederkehrender Ausdrücke. Nach diesen Vor-
bereitungen wird in Art. 4 aus der Fundamentalformel ein merkwürdiges System linearer
Gleichungen, (S), zwischen Grössen x und x abstrahirt, das für die beabsichtigte Theorie
von fundamentaler Bedeutung ist, insofern als es in gewissen aus ihm ableitbaren
Gleichungen die Grundtypen für die zunächst aufzustellenden 'allgemeinen Thetaformeln
liefert. Dasselbe bildet den dem Werthe jp = 2 entsprechenden speciellen Fall jenes
allgemeinen Gleichungensystems, welches zuerst von Herrn Prym**) in die Theorie der
2>-fach unendlichen Thetareihen eingeführt wurde und dort dieselbe Rolle spielt, wie
das System (S) in dem speciellen Falle j) = 2. Die Behandlung des Systems (S) führt
nun in den Art. 5, 6, 7, 8 zunächst zu Gleichungen, von denen jede vier Grossen x und
vier Grössen x' enthält, und welche, entsprechend der Unterscheidung der in ihnen auf-
tretenden Systeme von je vier Charakteristiken in Vierersysteme erster und zweiter
Art, in zwei verschiedene Classen zerfallen. In Art. 9 wird dann das Gleichungen-
system {8) in der Weise specialisirt, dass die den sechs ungeraden Charakteristiken
entsprechenden Grössen x der Null gleich gesetzt werden. Die dadurch geschaffenen
Beziehungen zwischen den Grössen x liefern eine eigenthümliche Zerspaltung der den
zehn übrigen Grössen x' entsprechenden Gleichungen und führen schliesslich in Art. 10
zu den den Bosenhain^ sehen Sechsersystemen entsprechenden Relationen zwischen sechs
Grössen x.
Nachdem auf diese Weise das Gleichungensystem (ß) vollständig behandelt ist,
beschäftigen sich die zunächst folgenden Artikel damit, die gewonnenen Gleichungen
in 07, X für die Herstellung von Thetaformeln zu verwerthen. Der Art. 11 handelt
in Kürze von den den Gleichungen der Art. 6, .7 entsprechenden Thetaformeln und
berücksichtigt insbesondere ihre Beziehungen zu den in den Bosenhain' scheu Tafeln ent-
haltenen. In Art. 12 werden dann die in Art. 4 mit x, x' bezeichneten, den Gleichungen
(S) unter allen Umständen genügenden Thetaproducte den Bedingungen des Art. 9
*) Prym, Untersuchungen über die Riemann'sclie Thetaformel und die Riemann'sche Charak-
teriBtikentbeorie. Leipzig 1882, Teubner. Auf dieselbe Arbeit ist auch das auf Seite 2 stehende
Citat zu beziehen.
**) Prym, a. c. 0., Ueber ein für die Theorie der Thetafanctionen fundamentales System
linearer Gleichungen.
— VI —
entspirechend in ihren Variablen specialisirt und in die Formel (R) des Art. 9 ein-
geführt. Auf diese Weise entsteht aus (R) die fundamentale Thetaformel (®); welche,
entsprechend den möglichen Verfügungen über die in ihr vorkommenden Argumente,
das unter A, B, C aufgeführte vollständige System von Thetarelationen liefert. Mit der
Discussion der gewonnenen Formeln beschäftigt sich der Art. 13, während den Art. 14,
15, 16 die Aufgabe zufallt, die Totalität der aus denselben hervorgehenden speciellen
Gleichungen auf eine geringste Anzahl von einander unabhängiger zu reduciren. Dieses
Problem wird in doppelter Weise durchgeführt, indem das eine Mal (Art. 14, 15), in
Verallgemeinerung des Rosenhain' sehen Verfahrens, vier Functionen, deren Charakteri-
stiken ein beliebiges Vierersystem zweiter Art bilden, das andere Mal (Art 16), in
Verallgemeinerung des Göpd'achen Verfahrens, vier Functionen, deren Charakteristiken
ein beliebiges Vierersystem erster Art bilden, zum Ausgangspunkt genommen werden.
Bei dieser Behandlung zeigt sich ein merkwürdiger, bis dahin nicht bemerkter Parallelismus
zwischen den Untersuchungen GöpeFs und Rosenhain'Sy der am Schlüsse des Art. 16
näher beleuchtet wird. In Art. 17 endlich wird anhangsweise das Additionstheorem der
dem Falle j> = 2 entsprechenden Thetaquotienten in allgemeinster Form aufgestellt.
Die vorliegende Arbeit verdankt ihre Entstehung den Anregungen, die ich als Mit-
glied des von Herrn Prof. Prym geleiteten mathematischen Oberseminars der Universität
Würzburg empfangen habe, und für welche ich an dieser Stelle meinem hochverehrten
Lehrer den wärmsten Dank ausspreche. Stehe ich mit meinen Untersuchungen auch
vielfach auf den Schultern meiner Vorgänger, so glaube ich doch die einheitliche, von
jeder Unterscheidung zwischen den sechs ungeraden Charakteristiken absehende Be-
handlung der gestellten Probleme als einen Fortschritt betrachten zu dürfen.
Würzburg, im Juli 1881.
Dr. Adolf Krazer.
Berichttgang.
Auf pag. 32, Z. 21, 22 mnss es heiasen:
THEORIE
DER
ZWEIFACH UNENDLICHEN THETAREIHEN
AUF GRUND
DER EIEMANN'SCHEN THETAFOBMEL.
1.
Die zweifach unendliche d-Reihe:
^[:;,';]Kif,)
in welcher s^ «g, «/, €2 ganze Zahlen, a^ = a^/ + a^ 'i, a^g =** »ig' + öt^g"^; ör-^j ~ »22'
-f- ajg"^' dagegen beliebige complexe Gonstanten bezeichnen, welche nur den zur Gon-
vergenz der Reihe nothigen Bedingungen (a^' < 0, a^j'* — ^n^ < 0) unterworfen sind,
ist als einwerthige und für endliche v auch stetige Function der complexen Veränder-
lichen v^y v^ durch die Bedingungen:
(1) ^[;;.y(^i + ^^ 1 ^2) = (- 1)'; ^[:;^y(^>2), '^[v/jc^ii^« + ^o - (- '^>^[:/:j\iyi\vt\
^[;;,y(^^i + «11 1 1/2 +.0,2) = (- l^>[;;.;;,](vi|i;2)ö-^^^-«" ,
(2) I ' '
— o«
bis auf einen von den Variablen v freien constanter Factor bestimmt
Der Zahlencomplex ^' '' L der, wenn dadurch kein Missverständniss zu be-
fürchten ist; in der Folge abgekürzt mit \e] bezeichnet werden soll, heisst die Gharak-
teristik der 'Ö'-Reihe.
Aus der die '9'-Reihe darstellenden zweifach unendlichen Reihe lassen sich ohne
Mühe folgende Gleichungen ableiten:
Die Gleichungen (3), (4) zeigen, dass, wenn man von den constanten Factoren + 1
absieht, im Ganzen nur sechzehn wesentlich verschiedene '^-Reihen existiren, als welche
diejenigen genommen werden können, deren Charakteristiken nur die Zahlen 0, 1 ent-
halten; solche Charakteristiken werden Normalcharakteristiken genannt. Die Gleichung (5)
KsAZSA, Bweif. unendl. TheUreihen. 1
— 2 —
läset erkenneu; dass die ^- Reihe eine gerade oder ungerade Function ist, je nachdem
^i^i' + £2*2' ==0 (mod. 2) oder Si6i -{- £^^2 ^1 (mod. 2) ist. Der Ausdruck (— l)«i«i' + «i«.'
soll in der Folge zur Abkürzung durch das Symbol ( — 1) *• vertreten werden.
Bezeichnet man ferner das System:
Vi + Y «n + Y öl» + "Y «*■ I wj + Y «1« + Y Osj + ^ «»,
wo unter x, x ganze Zahlen zu verstehen sind, symbolisch mit (v -{~ > ); entsprechend
auch Vi I V2 mit (i;)^ so erhält man die im Späteren wiederholt zur Anwendung kom-
mende Relation:
(6)*W((t;+|;|))
und; unter A, X' gleichfalls ganze Zahlen yerstanden, noch die folgende:
wo ( — 1)WIW zur Abkürzung an Stelle von ( — l)«iV + «i'^i4-*9V + »a'^« gesetzt ist.
Definirt man endlich, unter (u), (v\ (w), (t) unabhängige Veränderliche verstanden,
die Variablen (m ), (v ), (w'), (f) . durch die orthogonalen involutorischen Gleichungen-
systeme:
Wi + Vi + Wi + t^ = 2 w/ , W2 + Vg + ^2 + ^2 = 2^2' .
. «*i + Vi — w;i — f| «. 2i;/ , Wj + v, — «<?2 — f, = 2^/ ,
**i — ^1 + ^1 — h'^ 2w;/ , ««2 "" ^2 + *^2 — ^8 "^ 2w2,
Wi — Vj — t^i + ^1 = 2V; ' «2 — ^2 — ^^2 + ^2 = 2 V,
SO liefert zu diesen Systemen die in der Einleitung erwähnte Riemann'sdie Fundamen-
talformel, in der ihr von Herrn Prym gegebenen allgemeineren Gestalt (12')*), für
|) = 2 die Gleichung:
(8) 4^M((2ul^[i, + Q-]i2v'}Hri + <y]((2t(;'K[i?~9-<y]((20)
welche die Grundlage für die folgenden Untersuchungen bildet. In ihr bezeichnen
[^ + (>]> [^ + ^]; [V — 9 -^ ^] drei Charakteristiken, deren Elemente sich aus den
entsprechenden Elementen der drei willkührlich wählbaren Charakteristiken [rj], [p], [6]
in der durch die Bezeichnung hinreichend markirten Weise zusammensetzen, während
die drei rechts stehenden Charakteristiken [« + (>]» [* + ^]; [^ — 9 — ^] ^^ gleicher
Weise aus [c], [q], [6] entstehen (vergl. Def. 3. im folgenden Art.). Es vertritt femer
das Symbol (— l)^!^?] den Ausdruck (— l)»i'7«' + «i''?i + ^'?»' + V'h^ und endlich ist die
*) Prym, Die Eiemann'Bche Thetaformel und ihre Verallgemeinening. Leipzig 1881, Teubner.
— 3 ^
Summation auf der rechten Seite über alle Terme zu erstrecken; die aus dem allgemeinen
Gliede entstehen^ wenn man darin au Stelle von [e] der Reihe nach sämmtliche sechzehn
Normalcharakteristiken treten lässt.
2.
Zunächst sollen die Charakteristiken der #- Reihen als selbständige Zahlen-
complexe betrachtet werden. In Bezug auf dieselben gelten folgende Definitionen
und Sät^e:
Def, 1. Eine Charakteristik [b] soll gerade oder ungerade genannt werden, je nachdem
hh + ^a^s' ^ (mod. 2) oder b^b^ + b^b^ ^ 1 (mod. 2) ist.
Mit der Charakteristik [b] ist dann, nach (5) des Art. 1., zugleich immer auch
die Function '9'[6]([vj| gerade und ungerade, und es verschwindet ^[fJ^OJ für jede un-
gerade Charakteristik [cj.
Def. 2. Zwei Charakteristiken [«], [ij] sollen congrtient genannt werden, [b] ^ [iy], wenn
ihre entsprechenden Elemente sich nur um gerade Zahlen unterscheiden, d. h, wenn
B^^fj^, fg EEE ijg, a/ ^ 1^/, B^ ^ % (mod. 2) ist.
Def. 3. Unter der Summe öder Differenz, [b] = [g] + [i?], zweier Charakteristiken [fl
und [iy] soU diejenige Charakteristik [b] = [S ib ^] verstanden werden, deren Elemente
durch die Gleichungen «i -= 5i + i?i, ^2 = £« zfc %? «/ = S/ + ^i? ^2' = S2' + nt
"bestimmt sind.
In der Folge soll die Summe [g -f- 17] zweier Charakteristiken [g] und [rj]^
wenn dadurch kein Missverstandniss zu befürchten ist^ mit [^17] bezeichnet werden.
Def. 4. Von einer Charakteristik [b] soll gesagt werden, dass sie in die Charakteristiken
[t] und [ri] zerlegbar sei, wenn zunschen den drei Charakteristiken [b], [f], [tj] die
Congruenz [b] =^ [g] -|- [1;] besteht
Satz 1. Von den sechzehn Normalcharakteristiken sind zehn, nämlich:
ro o"! ri on ro in ri in ro v\ ri o-i ro on ro in ro on ri in
Lo oj ^ Lo oj ' Lo oj ' Lo oj ' Lo ij ' Lo ij ' Li oj ^ Li oj ' Li i J ^ Li J ^
gerade, die übrigen sechs, nämlich:
Lo 1 J ? Lo ij ' Li oJ ? Li oJ ' Li 1 J ' Li ij '
tmgerade.
Trennt man die sechs ungeraden Charakteristiken in die beiden Gruppen:
c :]. G :]. [; 3 -^ [: :]. c :]. c :]
und bezeichnet die Charakteristiken einer dieser beiden Gruppen in beliebiger Reihen-
folge mit [a^, [og], [«3], die der anderen mit [ß^, [ß^, [/3g], versteht ferner unter [oJ,
[^2]; • • '} \P^ dieselben sechs ungeraden Charakteristiken aber in beliebiger Reihen-
folge und bezeichnet endlich die Charakteristik j 1 abgekürzt mit [0], so ergibt sich
durch direkte Addition der
Satz 2. Zwischen den sechs ungeraden Charakteristiken und der Charakteristik] [0] be-
stehen die drei Relationen:
1*
— 4 —
[«,] + M + M = [0] , [/JJ + [ß,] + [ßs] = [0] ,
[ß>l] + [O^] + [Cö,] + [CDj + W + K] = [0] ,
von denen jede eine Folge der beiden übrigen ist.
Da die linken Seiten der drei letzten Congnienzen die einzigen der [0] con-
gruenten Summen von ungeraden Normalcharakteristiken repräsentiren^ so folgt weiter,
dass von den fünfzehn Charakteristiken, welche aus den sechs ungeraden durch Sum-
mation von je zweien gebildet werden können, keine einer andern derselben, auch keine
der [0] congruent sein kann; es sind daher dieselben nothwendig den fünfzehn von [0]
verschiedenen Normalcharakteristiken einzeln congruent, und zwar entsprechen die
Charakteristiken:
KaJ = M, [a,a,] zu [«J, [a,a,] = [«,], [ß,ß,] = [ß,], [ftft] = [/JJ, [ß,ß,] = [/JJ
den sechs ungeraden, die Charakteristiken
[ai/JJ; r«iA]; Kft]; KW; Kft]; Kft]; KA]; [«sft]; [«sA]
den neun, von [0] verschiedenen geraden Charakteristiken. Desshalb gilt auch um-
gekehrt der
Satz 3. Jede der [0] nicht congruente Charakteristik [s] lässt sich immer und nur auf eine
Weise in zwei ungerade Normalcharakteristiken zerlegen.
Entspricht der Charakteristik [a] die Zerlegung [a\ e^ [oJ + [©,], so ergibt
sich aus dieser Congruenz, indem man dazu die Congruenz [0] ^ [oj 4~ ' " "l* \.'^q\ addirt,
die neue: \ß\ ^ [ög] + [oj + [cog] + [og]. Eine zweite derartige Zerlegung von [b] in
vier von einander verschiedene ungerade Normalcharakteristiken ist nicht möglich, da
dieselbe rückwärts eine zweite, von [b\ ^ [o,] + \!^%\ verschiedene Zerlegung von [e]
in zwei ungerade Normalcharakteristiken nach sich ziehen würde. Man gelangt auf
diese Weise zu dem
Satz 4. Jede der [0] nicht congruente Charakteristik [s] lässt sidi immer und nur auf
eine Weise in vier von einander verschiedene ungerade Normalcharakteristiken zerlegen.
Bildet man aus den sechs ungeraden Charakteristiken alle Summen von je
dreien, so zeigt ein Blick auf die Congruenzen:
K] + W + W = [0] , CA] + [Ä] + [ft] = [0] ,
[«ll + W + [ft] = [«sft] , [ßi] + [ft] + K] = [«8 ft] ,
dass die zwanzig auf diese Weise entstehenden Charakteristiken sämmtlich gerade sind,
auch, dass irgend zwei der so gebildeten Charakteristiken dann aber auch nur dann
einander congruent sind, wenn sie, als Summen dargestellt, zusammen alle sechs un-
geraden Charakteristiken enthalten. Es zerfallen daher die zwanzig Charakteristiken
in zehn Paare von je zwei derselben geraden Normalcharakteristik congruenten Cha-
rakteristiken. Diesen Resultaten entspricht der
Satz 5. Die Summe von irgend drei der sechs ungeraden Charakteristiken ist stets eine
gerade Charakteristik, Umgekehrt lässt sich jede gerade Charakteristik (die Charakteristik
[0] nicht ausgeschlossen) immer und zwar auf zwei Weisen in drei ungerade Normal-
Charakteristiken zerlegen.
— 6 —
Weiter gelten noch folgende Sätze^ welche sich ans den allgemeinen^ Ton Hiemann
herrührenden Charakteristikensätzen durch Specialisirung unmittelbar ergeben:
ScUz 6. Jede der [0] nicht congruente Charakteristik [s] lässt sich immer auf drei Weisen
in zwei gerade Normalcharakteristiken zerlegen.
Satz 7. Jede der [0] nicht congruente Charakteristik [«] lässt sich immer auf vier Weisen
in eine gerade und eine ungerade Normälcharakteristik zerlegen.
Um für eine beliebige Charakteristik [e] die in den beiden letzten Sätzen er-
wähnten Zerlegungen zu finden^ denke man sich [£] nach Satz 3. in zwei ungerade
Normalcharakteristiken zerlegt und die Bezeichnung der ungeraden Charakteristiken so
gewählt, dass [^l^Cto^cDg] ist. Die Congruenzen:
[£] = [a>i (öj = [a>i ©g 03] + [03] = [©1 02 o J + [cd J — [©1 ©a ©5] + [05] = [cDi o^ Og] + [<»«]
liefern dann, wenn man darin an Stelle jeder Charakteristik von der Form [oxGI;i(d^]
die ihr congruente, immer gerade, Normälcharakteristik setzt, die gewünschten Zer-
legungen der Charakteristik [b].
Die Sätze 3., 6., 7. lassen sich schliesslich noch zusammenfassen in den
Satz 8. Addirt man zu den sechs ungeraden Normalcharakteristiken eine belidnge der [0]
nicht congruente Charakteristik , so gehen dadurch zwei derselben tvieder in ungerade,
die übrigen vier in gerade Ober; addirt man dagegen zu den zehn geraden Normal-
Charakteristiken eine beliebige der [0] nicht congruente Charakteristik^ so gehen dadurch
sechs derselben uneder in gerade^ die übrigen vier in ungerade über.
Die sechzehn Normalcharakteristiken kann man sich aus den vier Charakteristiken:
M -[::]. [..i-c:], w-c^. w-ca
durch Addition aufgebaut denken und nach dem von Herrn Prym gegebenen Schema:
[0], [fi] I [fig], [BiB^] I [«3], [b^b^], [b^b^I [fi^a^s] I
[«4]; [«i^J; [^2^J; [«i«2«J? [hh]i [^1*3^4]; [^»«s^J; [^if2«8«4]
in die sogenannte natürliche Reihenfolge:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16
ro Ol ri OH ro in ri in ro on ri on ro ii ri in ro on ri o-| ro in ri ii ro on ri on ro in ri 1-1
LooJ' LooJ' LooJ' Looj» LoiJ' LoiJ' LoiJ' LoiJ' LioJ' LioJ' LioJ' LioJ' LiiJ'LiiJ'LiiJ'LiiJ
bringen^ bei der speciell den sechs ungeraden Charakteristiken die Stellenzahlen:
7, 8, 10, 12, 14, 15
zukommen. Bezeichnet man dann eine jede der sechzehn Normalcharakteristiken mit
der ihr bei dieser Anordnung entsprechenden Stellenzahl, so kann man aus der hier
folgenden Tabelle zu je zwei Charakteristiken die ihrer Summe congruente Normal-
charakteristik finden. Die Tabelle ist nämlich dadurch entstanden, dass allgemein in
das der in^^ Horizontalreihe und v^^ Vertikalreihe gemeinsam angehörende Quadrat die
Stellenzahl derjenigen Charakteristik aufgenommen wurde, welche der Summe der beiden,
den Stellenzahlen fi und v entsprechenden Charakteristiken congruent ist.
— 6 —
1
2
3
4
5
2
1
4
3
3
4
1
2
7
4
3
2
5
6
7
6
5
8
7
2
7
8
5
6
3
8
7
9
10
10
9
12
11
14
11
12
9
10
15
12
13
14
13
16
15
10
15
16
13
14
11
16
15
14
13
12
11
10
9
16
14
15
16
9
6
5
11
12
1
8
8
1
4
13
6
5
8
7
2
1
4
3
14
13
16
15
10
9
1.2
11
7
8
9
8
7
10
5
6
11
6
3
4
3
14
1
2
15
2
1
15
16
16
15
T
13
14
T
14
13
11
12
12
11
~6
9
10
7
10
9
8
5
4
12
13
16
1
4
5
10
9
12
11
14
13
16
15
2
1
4
3
6
5
8
7
11
12
12
11
9
10
15
10
9
15
16
16
15
10
13
14
11
14
13
3
4
4
3
T
1
2
7
2
7
8
7
2
5
6
3
6
5
4
1
8
13 14
16
9
12
5
8
1
14 ' 13
1
16
15
10
9
12
11
6
5
8
7
2
1
4
3
15
16
16
15
13
14
14
11
12
11
9
10
10
9
7
8
8
7
5
6
6
5
3
4
4
3
1
2
2
13
12
1
3.
Zu den beiden schon früher eingeführten Symbolen:
(— 1)1 •! = (— l)«i«i' + *»V, (— 1)M|['/1 = (— l)«i»/i' + V •/!+•»»?.' + «.' »7t
soll noch ein drittes^ später zur Verwendung kommendes^ definirt durch die Gleichung:
(_ !)(•) (»;)• = (_ l)*i ni' + •. »h' ^
eingeführt werden, das ebenso wie die beiden anderen sich auf zwei beliebige Charak-
teristiken [«], [fji] bezieht Diese drei Symbole gehorchen zunächst, wie unmittelbar
aus ihrer Definition hervorgeht, den folgenden Gesetzen:
(— 1)W I W = + 1 , (- 1)[*1 1 [»71 = (_ l)l'/l I l-l , (-1) l«l I [Ol = -[- 1 ^
(— l)MM = (-. l)l«l . (- i)l»7l (— l)\*n\^
(_ i)i«c]ii'7^i = (— i)wii»7] . (— i)i«jim . (— i)icin»7i . (_ i)mii^]^
(-1)C)C)'=(_1)I-I, (—!)(*) ('7)'.(-.l)(»7)(«)'=(-l)Wll'/l, (-1)(0(0)'„4.1, (-_i)(0)C)' = + i^
(_ !)(•?) (»7^/ = (-. 1)W(»7)' . (— 1)(«)W . (— 1)(C)(»7)' . (_ 1)(0 W^
wobei es nicht unwichtig ist, zu bemerken, dass der Werth der definirten Symbole un-
geändert bleibt, wenn man an Stelle der Charakteristiken, auf die sie sich beziehen,
irgend welche denselben congruente setzt. Der einfacheren Schreibweise wegen sollen
im Folgenden bei allen Symbolen vom Typus ( — 1)I*J 1 1*^1 ^die eckigen Klammern unter-
drückt werden, sodass also z. B. (— l)*''' an Stelle von (— 1)^1 ('71, (_ i).C|i7^ an
SteUe von (— ly^^Uln^) tritt.
In Bezug auf die Symbole von der Form (— l)*'»^ gilt nun zunächst der
folgende
Satz L Lässt man in dem Symbole ( — !)•'*', in welchem [r(\ eine beliebige von [0] ver-
schiedene Charakteristik bezeichnen soll, an Stelle von [e] der Reihe nach die sämmt-
lidien sechzehn Normdlcharakteristiken treten, so haben acht der so entstehenden
Symbole den Werth + 1, a^ht den Werth — 1, oder, was dasselbe, es ist immer
1*1
Zum Beweise dieses Satzes berücksichtige man^ dass:
^'C- 1)'"*' .(-!)'"•''' + 2(- 1)'"*^ (— !)'"•• '''
t B 1 t >B 1
ist^ wenn mit [to^], . . ., [oj die sechs ungeraden, mit [äi], . . ., [cdjo] die zehn geraden
Normalcharakteristiken, in beliebiger B>eihenfolge, bezeichnet werden. Nun ist aber immer
(_ 1)1 *"» I = _ 1, (- 1)« ^t ' *= -f 1 und daher nach Satz 8. des Art. 2.:
^'c- 1)' "* I • (- 1)' "' ■" ^C-l)""*"" (4-2) = — 2,
i SS 1 i = 1
» = 10 1 = 10
2^(_ 1)1 ^.1 . (- 1)1 -."^1 = +^(- 1)! *^»'" = + (6 - 4) — + 2,
f=i .=1
folglich, wie zu beweisen war:
^(_l).|. = 0.
Mit Hülfe dieses Satzes erkennt man leicht die Richtigkeit von
Satz IL Jedes der vier folgenden Systeme von je zwei Gleichungen:
1. (-l)*l'/= + l, (_i).i^ = + i, 2. (-l)-l'7 = + l, (-l)*i: = _l,
3, {-^iy\n 1, (-.1)m: = +i, 4. (-l)"'/^ 1, (-l)'lf 1,
bei denen [ri], [5] zwei beliebige von einander und von [0] verschiedene feste Charakte-
ristiken bezeichnen, wird immer durch vier und nur durch vier NormalchardkteristiJcen
[b], welche die Lösungen des Systems genannt werden sollen, erfüllt.
Da nämlich eine jede der sechzehn Normalcharakteristiken zu einem der vier
Systeme als Lösung gehören muss, und jedes der drei Symbole (— l)*'*', ( — 1)*'^,
( — 1)*'*'^, wenn für [«] der Reihe nach die sechzehn Normalcharakteristiken eintreten,
achtmal den Werth + 1, achtmal den Werth — 1 annimmt, femer auch jede Lösung
— 8 —
von 1. und jede Lösung von 4. dem Symbole ( — !)• 1 "^^ =» ( — 1)M »? - (— !)• I s den Werth
+ 1, jede Lösung von 2. und jede Lösung von 3. dagegen demselben den Werth — 1
verleiht, so ergeben sich, wenn man mit n^jn^yfi^jn^ die Anzahl der Lösungen der Systeme
1., 2., 3., 4. beziehlich bezeichnet, die Gleichungen:
Wi + Wj = Wg + w^^ = 8 ,
Wl + «»8 = ^«2 + ^4 = 8 ,
ttj + W4 = ng + W3 = 8 ,
woraus, wie im Satze behauptet,
ni = nj=«n3 = n4 = 4
folgt.
Bezeichnen femer wiederum [cdJ, . . ., [o^] die sechs ungeraden Charakteristiken
in beliebiger Reihenfolge, so gelten folgende vier im Späteren wiederholt zur Anwendung
kommende Relationen:
Zunächst besteht, da stets ( — 1)' "♦' ^ = — 1 ist, die Gleichung:
(1) (— 1)«» I <»* = ( — 1)>.I . (— l)l«tl (— l)!«"!««^ =(— l)l«i«tl.
Nach Satz 5. des Art. 2. ist weiter für je drei ungerade Charakteristiken [cdi], [co^],
[oj stets (— 1)' "^'^."^"l = + 1, folglich:
( — l)«i 0*2 1 »1 «»4 «= ( — i>i I ö»««ö4 . ( l^o>t I ««h «4
---- ( — l)|«il . (— 1)1 WiO**! . ( l)lcoiW,co4l . ( 1)1 Wal . ( 1)1 «1^4 I . (-_ l)Itt*iW,0)4| -— ^ 1
Da aber femer mit Rücksicht auf (1) auch:
( 1)«1«. I «J«4 as ( 1)1 «l««! .( 1)1 WtCü* 1 / 1)1 <0»«,Cl),ftl4 |s_./ J\COi I Wt . ( 1)01, I W4 / l)Wj 1 0)4
ist, so folgt durch Verbindung der beiden Gleichungen die Relation:
(2) ( 1)"' «H I »>*"4 as= ( l)«l I "» . ( 1)®» I «4 . ( 1)«5 I «• s= -|- 1 ,
Auf dieselbe Weise gelangt man durch Verbindung der beiden Gleichungen:
( l)«!«, I WiO», a_ r J)«i I «iCü, . / 2)01^ I «IUI,
»« (— l)l«il . ( l)l«i«.l . ( 1)1«.! . (— 1)\^\ . (— l)!«!«!,! , (_ l)|a«.ehft),| e= — 1 j
( — l)Wiea.la>iCo, ,«. / — J)|o»iCo,| . / — l)!«,w, | / 1) I 01,01, | __ / — J)cü, ] oj, / — l)«i 1 «• . ( l)<Ui I w,
zu der weiteren Relation:
(3) ( l)»i«i I «1»« BS ( l)«i i ^ . ( l)Wa I «« . ( l)w« I Wi = 1 .
Endlich ergibt sich noch aus der Beziehung:
^ l)»ll««»l.( l)«!!«", .^ 1)«.|<04.( 1)W4|Wiibb( l)«ll«l<04.( l)«.l<«»l«4a=( l)«i «. I ««^ «»4 ^ I
indem man die Gleichung (2) berücksichtigt, die Relation:
(4) (— l)"l I <«H . (— 1)«. i CU, . ( 1)0», I 0)4 . ^_ 1)0)4 I 0>, „ ^ 1 ^
- 9 —
• 4.
Gellt man jetzt auf die in Art 1. unter (8) aufgestellte Riemann'sche Fundamental-
formel zurück und setzt darin zur Abkürzung:
^[i,]C2u')) Hv + <>]{(2i-')) nv + fflCat*')) Hn-Q- <fmO - a;',,,, ,
H^]i2u} *[£ + Q]i2v} *[« + <y]{(2«;)) »[^ - 9 - 0]i2t)) -a;,., ,
80 nimmt dieselbe die Gestalt:
(F) 4:rV;l=^(~l)'''^.l .
1*1
an. Lässt man in dieser Gleichung an Stelle von [17] der Reihe nach die sämmtlichen
sechzehn Normalcharakteristiken treten und denkt sich jedesmal die auf der rechten
Seite stehende Summation ausgeführt, so erhält man ein System von sechzehn Gleichungen,
denen man auf folgende Weise eine übersichtlichere Gestalt geben kann.
Man bezeichne allgemein die auf irgend eine bestimmte Charakteristik [17] be-
zogene Grosse X[ti] mit Xu, wenn ^ die der Charakteristik [17] in der natürlichen Reihen-
folge zukommende Stellenzahl ist, in gleicher Weise die auf irgend eine Charakteristik
[b] bezogene Grösse X[t] mit Xy, wenn v die Stellenzahl der Charakteristik [«].ist. Da-
durch nehmen die erwähnten sechzehn Gleichungen die folgende Gestalt an:
4X 2 •■" + ^1+^2 I ^Sl* "^4 I '^5 1^6'r ^7"l ^8 % '^10 ^11 *^12 »^18 '^li — ^15 — ^16
4:X^ =*T"^l~r^2"l'''^3 I ^4 ^5 **'6 •^7"'~*^8"r '*'9I ^10"r^ll I »^W ^13 ^14 •^lö — ^16
^X ^ = + ^l+^2r^8"T"^4 '^6 ^6 «^7 «^b '^9 ^10 ^11 ^IjT'^jai'^'U r ^16 "l ^16
4a; 5 *= 4" 2^1+^2 ^3 ^41^6 1 «^6 ^7 '^8 1^9 1 '^'lO *^n •*'18 I '^18"r^l4 ^15 — »^16
^X Q = n"^i+^2 ^S ^4rr'^6\'^6 '^1 '^S '^9 «^lO 1 •''lll'^l» ^13 *^14T' ''^lö "T «^lö
4a; ^ =-|-^j-^-a5g ^jj x^ a?5 ^6 I ^7"r^8i^9 I ^10 ^ii ^la ^13 ^u i'*^i5'T'^ie
4 a; g = -j- aJi-f-a^j Xq Xj^ X^ ^6 1 ^7"r ^8 ^9 ^10 I ^11+ ^12 I «^IS I ^14 ^16 ^16
40:9 = + ^1 ^2"r^3 ^A}^& ^ei"*^ ^8 1 ^9 »^10 I ^11 ^12 I ^13 '^'141" ^16 *^16
4^10^^^ + ^! ^2 1 ^8 ^41^6 ^e"! "^ ^8 ^9 1 ^10 '^ll"r^l2 ^18~r^l4 ^15"r^l6
4^ ll***"! ^1 ^2"l ''^'s »^4 •*'5 I ^6 ^7 1" •^8"! «^9 »^10 I ^11 **'12 '^13 I »^U •^151" ^16
4a? 12 = + ^1 ^2T"''^3 ^4 ^6 1 ^6 ^7 1 ^8 ^94" «^10 ^11 I ^12 l *^tS — ^J4 I ^15 — »^16
^^ 18 "^ I ^1 ^2 ^3'T'*'4"l ^5 ^0 ^7"r ^8 I "^9 ^10 ^11 1 ^121 ^13 — »^14 — ^1* 1 ^16
4^14*= 1^1 ^2 ^3+*^4T"^6 ^6 ^7"r^8 ^9 I ^10 I "^ll ^12 ^IS'l^U'l'^lÖ ^16
^^lö*"^"!"^! ^2 ^8"r^4 ^6 1 ^6 1 ^7 ^8 1 ^9 ^10 ^ll'r^l2 ^13"T*^14 I »^IS ^16
^^16**"l^l ^2 ^8 1 ^4 ^5T"^6 I ^7 ^8 »^9 1 ^10"r^ll'~**^18"T »^18 ^14 ^ISI^JG*
Im Folgenden soll das System dieser sechzehn Gleichungen auf Grund der all-
gemeinen Gleichung (F) genauer untersucht werden, indem man, ganz abgesehen davon,
welche Bedeutung die x, x ursprünglich haben, unter den o;, rc' Grössen versteht, welche
Ebazsb, swoif. unendl. Thetareiheo. 2
- 10 -
nur diesen sechzehn Gleichungen zu genügen haben, sonst aber keinerlei Bedingungen
unterworfen sind. Dabei soll es der Uebersichtlichkeit wegen gestattet sein^ flieselbe
Grosse X[,j] auch durch x\^], oc'[9], ... zu bezeichnen, wenn nur die Charakteristiken
[S]; ['^ly ••• ^^^ Normalcharakteristik [rß congruent sind; dasselbe soll für die Grössen
X[9] gelten. Diese Annahme verträgt sich auch mit der urprünglichen Definition der
Grossen x,x, da in Folge der Relationen (3)^ (4) des Ari 1. sowohl das mit X\ti], als
auch das mit X{t] bezeichnete 'd'-Product ungeändert bleibt, wenn man an Stelle der
Charakteristik [i;], beziehlich [s], eine ihr congruente Charakteristik setzt. Da femer
auch, wie schon früher erwähnt, das Symbol ( — 1)* I *i seinen Werth nicht ändert, wenn
[f], [fi] durch irgend welche ihnen congruente Charakteristiken ersetzt werden, so können
bei der erwähnten Untersuchung congruente Charakteristiken einander vertreten. Mit
Rücksicht darauf sollen im Folgenden unter „verschiedenen^' Charakteristiken nur solche
verstanden werden, welche einander nicht congruent sind.
5.
Nach den gemachten Voraussetzungen gilt jetzt die Gleichung:
(F) 4a;',,|-=^(-l)'l"a;,.,
für jede beliebige Charakteristik [rj]. Vermehrt man nun in dieser Gleichung [rj] der
Reihe nach um [«], [/3], [a/J], unter [a],[/3] zwei beliebige, von einander und von [0]
verschiedene Charakteristiken verstanden, multiplicirt auch die dadurch aus (F) ent-
stehenden drei Gleichungen beziehlich mit ( — 1)**'^, (—1/1^, ( — 1)**^'^, unter [g]
eine ganz beliebige Charakteristik verstanden, und addirt sie zu der ursprünglichen
Gleichung (i^), so erhält man zunächst die Gleichung:
4(xM + (- l)«if a;'„„, + (- lyif a;'(.,^, + (- 1)«-» ^^^x\,afl)
-= yji- i)'i ^ (i 4- (- 1)« I f« + (- ly I «• + (— 1)«'* 1 f •) Xu
2.
(- ir^'U + (- l)''lf'] [l + (- l/l^'^a^i.).
Das auf der rechten Seite dieser Gleichung stehende Product [l + (— l)"i^*1 Tl + ( — 1/1^*1
kann für irgend eine Charakteristik [s] nur den Werth oder den Werth 4 haben.
Für das Eintreten des letzteren Falles sind die nothwendigen und hinreichenden Be-
dingungen:
(_ .1)« I ?- = + 1 ^ (- ly I :. = + 1 .
Nun existiren aber nach Satz IL des Art 3. zu zwei beliebig gewählten, von einander
und von [0] verschiedenen Charakteristiken [a], [ß] immer vier und nur vier verschiedene
Charakteristiken [J], welche den Gleichungen ( — 1)« l * = -|- 1 ^ ( — ly I ^ =» -|- 1 genügen ;
1
- 11 —
eine derselben ist immer die Charakteristik [0]^ bezeichnet man dann zwei beliebige
der drei übrigen mit [y], [d], so ist die vierte nothwendig [yä]. Daraus folgt aber,
dass die Gleichungen ( — l)"'^* = + 1, ( — lyi^* = -[- 1 gleichfalls vier und nur vier
verschiedene Losungen [s] besitzen, und dass [s] = [Q, [ty], [tS], [Sy*] diese vier
Lösungen sind. Auf der rechten Seite der obigen Gleichung bleiben daher nur die-
jenigen vier Glieder stehen, welche diesen vier Charakteristiken entsprechen, während
die zwölf übrigen Glieder verschwinden, und es nimmt daher, wenn noch links und
rechts mit 4 dividirt wird, diese Gleichung die Form:
an, in welcher also, wie nochmals bemerkt werden mag, [i^], [g] zwei ganz beliebige
Charakteristiken bezeichnen, die auch einander gleich sein können, [a], [ß] zwei von
einander und von [0] verschiedene Charakteristiken, endlich [y], [S] zwei beliebige der
drei von [0] verschiedenen Lösungen [Q der Gleichungen ( — 1)«I*«= -|- 1, ( — iy\^
= + 1. Man kann daher mit Rücksicht auf die Gleichung {F') [y] und [<J] auch
definiren als zwei von einander und von [0] verschiedene Charakteristiken, welche den
Bedingungen:
genügen.
Die Aufgabe der folgenden Artikel wird es sein, zu untersuchen, wie viele
verschiedene Gleichungen aus {F') durch Einführung specieller Charakteriken erhalten
werden können, dieselben aufzustellen und in Gruppen zu ordnen. Doch sei schon hier
darauf aufmerksam gemacht, dass zwei Charakieristiken [aj, [ß^], an Stelle von [aj, [ß]
in (F') eingeführt, dieselbe Gleichung hervorbringen wie zwei andere [«,], [/J^], wenn
nur die drei Charakteristiken [ctj, [ß^], [a^/SJ, abgesehen von der Reihenfolge, mit den
drei Charakteristiken [a^], [/Jg], [c^^ßi] übereinstimmen. Aehnliches gilt in Bezug auf
die Charakteristiken [y], [d],
6.
Um einen Ueberblick über die Gesammtheit der Gleichungen zu gewinnen, die
aus (F') durch Einführung specieller Charakteristiken entstehen, empfiehlt es sich in
Bezug auf [a], [ß] die beiden möglichen Fälle:
(I) (_i)«i/»:=+i, (II) (_i)«i,»__i
zu unterscheiden. Der erste Fall soll zunächst behandelt werden.
Brster Fall:
(— l)«l/? = + 1.
Ist ( — 1)«!/* = -f- ly so ist sowohl [g] = [a], wie [g] = [ß] eine Lösung der
Gleichungen ( — 1)« I « = -j- 1 , ( — 1)/* I « ™ + 1 , und es werden daher auch die
2*
— 12 -
Gleichungen (/') erfüllt, wenn man für [y] die Charakteristik [a], für [d] die Charak-
teristik [ß] setzt. Geschieht dies, so nimmt die Gleichung (F') die Form an:
(Fl) ^'in-i + (- l)'''fa;'i,«3 + (- \y^^x\,^ + (- \y?\ix\,afl
In dieser Gleichung kann man jetzt zunächst an Stelle von jeder der heliebigen
Charakteristiken [97], [£] der Reihe nach die sechzehn verschiedenen Charakteristiken
setzen. Von den so entstehenden 16x16 Gleichungen sind aber nur 16 wesentlich
verschieden. Um dies einzusehen, berücksichtige man zunächst, dass die Gleichung (J\)
wieder in sich selbst übergeht, sowohl, wenn man [iy], wie, wenn man [g] um [a], [/5]
oder [a/S] vermehrt. Man theile dann weiter die sämmtlichen sechzehn Charakteristiken
\ß\ nach ihrem Verhalten gegenüber den Charakteristiken [a], [/J] auf folgende Weise
in vier Gruppen ein:
zur ersten Gruppe nehme man die vier Lösungen [b] der Gleichungen ( — 1)«I*«bs-[- 1^
( — lyi« «= -)- I5 es sind dies die Charakteristiken:
[0], [«], m, [a/JJ;
zur zweiten Gruppe nehme man die vier Lösungen [e] der Gleichungen ( — l)"l«a=-{-l7
( — ly * =» — 1; es sind dies die Charakteristiken:
wenn mit [x] eine beliebige der vier Lösungen bezeichnet wird;
zur dritten Gruppe nehme man die vier Lösungen [b] der Gleichungen (— 1)" ' = — 1,
(— 1/'* = -f- I5 CS sind dies die Charakteristiken:
[A], [Aa], ' [A/3], \kaß],
wenn mit [A] eine beliebige der vier Lösungen bezeichnet wird;
zur vierten Gruppe endlich nehme man die vier Lösungen [«] der Gleichungen ( — l)**!*
= — 1, ( — l)/*' = — 1, es sind dies, wie aus dem Vorigen folgt, die Charakteristiken:
[xA], [xAa], [^^ß], [xAa/S].
Mit Rücksicht auf das vorher Gesagte erkennt man nun, dass immer die vier Charak-
teristiken einer dieser Gruppen der Reihe nach in (F^ an Stelle von- [iy] oder [g]
gesetzt, dieselbe Gleichung hervorbringen, und dass daher die obige allgemeine Formel
(jPj) nur sechzehn verschiedene specielle umfasst, welche aus ihr entstehen, indem man
für jede der beiden Charakteristiken \rf\, [J], unabhängig von der anderen, der Reihe
nach die Charakteristiken:
[0], [x], [A], [xA]
eintreten lässt. Die Charakteristik [A] bezeichnet dabei, »wie schon oben bemerkt, eine
beliebige der vier Lösungen der Gleichungen ( — l)*^'^ = — 1, ( — \y^ a= -|- 1. Ist
eine bestimmte derselben mit [A'] bezeichnet, so ist [/SA'] ebenfalls eine Lösung. Da
nun (— \yp^' = (- 1)</* . (— \y\^' = — (— 1)*^' ist, so folgt, dass man für [A] immer
eine solche der vier zulässigen Charakteristiken wählen kann, für welche ( — 1)*'^ »= -(- 1
— 13 —
ist. Geschieht dies, so lassen sich die sechzehn in (jP^) bei festgehaltenen Charak-
teristiken [a]f [ß], [x], [A] enthaltenen Gleichungen, wenn man zugleich x^t^ einfach mit
(5), x\t-\ mit (jb)' bezeichnet, wie folgt schreiben:
(oy + («)' + (^y + («^y *= (o) + («) + (ß) + («/?) ,
(Oy + («y - (ß)' - {aß)' = (x) + (xa) + (xß) + (xaß),
(Oy - («y + (ß)' - (c^ß)' = (X) + (Xa) + (Xß) + (Xaß),
(Oy- («y - (ßf + (aß)' =(xX) + (xXa) + (xXß) + ixXaß),
(x)' + (xa)' + (xß)' + (xaß)' 0= (0) + (a) - (ß) - (aß),
(x)' + (xa)' - (xß)' - (xaß)' = (x) + (xa) - (xß) - (xaß),
(x)' - (xa)' + (xß)' - (xaß)' = (X) + (Xu) - (Xß) - (Xaß),
(x)' — (xa)' — (xß)' + (xaß)' '=(xX)-{- (xXa)—(xXß)—(xXaß) ,
(S,)
(X)' + (Xa)' + (Xß)' + (Xaß)' = (0) - (a) + (ß) - (aß),
(Xy + (Xa)' - (Xß)' - (Xaß)' = (x) - (xa) + (xß) - (xaß),
(X)' - (Xa)' + (Xß)' - (Xaß)' = (X) - (Xa) + (Xß) - (Xaß),
(X)' — (Xa)' - (Xß)' + (Xaß)' =(xX)- (xXa) + (xXß)-(xXttß),
(xX)' + (xXa)'+(xXß)'+(xXaß)'~(0)- (a) - (ß) + (aß),
(xX)' + (xXa)' —(xXß)' — (xXaß)' '^ (x) — (xa) — (xß) +(xaß),
(xX)' — (xXa)' + (xXß)'—(xXaß)'=' (X) — (Xa) — (Xß) +(Xaß),
(xX)'— (xXa)'— (xXß)'+ (xAa/Sy = (xX) — (xXa) — (xXß) + (xXaß) .
Das so entstandene System (S^) kann das ursprüngliche System (S), aus dem es ab-
geleitet wurde, in jeder Beziehung ersetzen, insofern als man von dem Systeme (^j)
aus, durch passende Yerbindung der ihm angehörigen Gleichungen, rückwärts wieder
das ursprüngliche System (S) erhalten kann.
Die in (Si) vorkommenden Charakteristiken [«], [ß], [x], [X] sind nur den Be-
dingungen:
M
unterworfen; man kann daher für dieselben irgend vier Charakteristiken eintreten lassen,
welche den Gleichungen (s^) genügen. Berücksichtigt man aber, dass bei festgehaltenen
Charakteristiken [a], [j3], zwar [x], [A] auf mehrere Weisen bestimmt werden können,
dass jedoch, wie aus der vorhergehenden Entwicklung unmittelbar ersichtlich, durch
irgend eine andere zulässige Bestimmung der Charakteristiken [x], [A] jede Gleichimg
des Systems (8^) in sich selbst übergeht, das System (/SJ selbst also ungeändert bleibt,
berücksichtigt femer, dass übereinstimmend mit dem schon früher bei der Formel (F')
Bemerkten, die Formel (F^) und desshalb auch das aus ihr abgeleitete System (5,)
— 14 —
sich reproducirty wenn man an Stelle yon zwei bestimmten Charakteristiken [a^], [ß^]
zwei andere [a^], [ßi] treten lässt^ derart , dass [og], [fi^], [cc^ßil^ abgesehen von der
Reihenfolge mit [a^], [ß^], [^i/^J übereinstimmen^ so folgt; dass alle möglichen ver-
schiedenen Systeme (S^), und zwar jedes nur einmal, erhalten werden, wenn man an
Stelle von [a], [ß] alle möglichen Combinationen der fünfzehn von [0] verschiedenen
Charakteristiken, welche der Bedingung ( — l)**'/* = + 1 genügen und zudem wesent-
lich verschiedene Systeme [a], [ß], [aß] liefern, setzt und jedesmal dazu [x], [A] auf
irgend eine der möglichen Weisen so bestimmt, dass die Gleichungen (Sj) erfüllt sind.
Wie viele von einander verschiedene Systeme auf diese Weise aus (5^) ent-
stehen, soll jetzt untersucht werden. Zu dem Ende bezeichne man mit [g}|], . . ., [a^]
die sechs ungeraden Charakteristiken in ihrer natürlichen Reihenfolge; nach Satz 3. des
Art. 2. lässt sich dann jede der fünfzehn von [0] verschiedenen Charakteristiken immer
und nur auf eine Weise in zwei, immer verschiedene, ungerade Charakteristiken zerlegen,
und es können daher zwei beliebige dieser fCLnfzehn Charakteristiken durch [o^cd^],
[o^'CDy'] repräsentirt werden, wenn ^,v und ii,v zwei passend gewählte, verschiedene
Combinationen der Zahlen 1,..., 6 zur zweiten Classe ohne Wiederholung bezeichnen.
Zwei solche Charakteristiken [o^coy], [o^coy] dürfen aber nur dann an Stelle von [a],
[ß] gesetzt werden, wenn sie, entsprechend der Bedingung (— 1)"'/* = + 1, die Gleichung
(_ iyfi^r\<«M"r' = -f 1 erfüllen, und da dies, wie die Relationen (2), (3) am Schlüsse
des Art. 3. zeigen, immer und nur dann stattfindet, wenn die Zahlenpaare [i, v und [i, v\
keine Zahl gemeinschaftlich haben, so folgt, dass die Bedingung ( — 1)^'/^ <» -|- 1 in
allgemeinster Weise erfüllt wird, wenn man:
[a] = [o^, aiy ] , |j3] = [«/*' Oy' ]
setzt, unter ft, i/, /it', v vier verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, . . ., 6 verstanden.
Bezeichnet man ferner mit ft", v' die beiden noch übrigen, von ft, i/, ft', v verschiedenen
Zahlen aus der Reihe 1, . . ., 6 und setzt:
[x] = [cd/ o^"] , [A] = [öj^ o."] ,
so genügen diese Charakteristiken [x],[A] zusammen mit den oben angeführten Charak-
teristiken [a], [/3] den sämmüichen sechs Gleichungen {s^. Entsprechend den gemachten
Festsetzungen ist jetzt:
[a] = [ö^, o» ] , [/S] = [o^' CD/] , [a /3] = [ou" o^"] ,
und man erhält mit Rücksicht auf das früher in Bezug auf [o(], [^] Bemerkte, sämmt-
liche specielle Charakteristiken [a], [/}], die verschiedene Systeme {ß^ erzeugen, wenn
man die sechs ungeraden Charakteristiken auf die fünfzehn möglichen Weisen in drei
Paare theilt, für jedes Paar die Summe der beiden in ihm enthaltenen Charakteristiken
bildet und die so entstehenden Summen nach Belieben mit [a], [j3], [c^j3] bezeichnet.
Dies liefert die fünfzehn folgenden Systeme [a], [j3], [cx/3]:
1. [a] = [CDiCDj, IJ3] = [CD8CDJ, [CK /J] = [cDj CD J ;
2. [C] = [(Dl CdJ , [/J] = [cDj CDg] , [flf/3] = [CD^CD J ;
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
W-l
>i »,] ,
[«] - 1
>ie>s]»
[«]-
»1 »s] >
[a] - 1
o, o,] ,
M-l
Ol Oj ;
W-l
»1 Cj ,
[«]-l
>lO}J,
[«] - 1
ölOj],
w-l
>l «»5] >
W-l
>i Os] >
[«] - [
;«»i og] ,
[«] - 1
!'»1 0«] >
[«] - [
/"l <"«] >
- 15 —
|JJ] = [o30e], [a/J] = [(Ö4öJ
[ffl ~- [02 04] 7 [« ß] = [«»5 öel
[/J] = [öjcjß] , [a/S] = [o^öel
[/S] = [©2a>6], [a/J] =z [cD^ög]
[/3] = [©2 Oj] , [a/3] = [(D5 Oß]
[/S] = [cog CO5] , [aß] = [»3 CDe]
[/3]=H[a}jC0e], [a/3] = [CD3Ö5]
[^] = [coa 03] , [aß] = [o^Oe]
[j3] = [10204]; [«/'l ^ [«»»e]
[/5] ==E [©2 cOß] , [ccß]^ [O3 (ö J
[/J] = [a)2 08J, [aß] = [a)^c^^]
[ß] = [«8 »*] ; Wß]^ [ß>3 o>5]
[/5] -- [«205] ; [«/31 = [10304] .
Bestimmt man zu jedem dieser fünfzehn Paare [a], [ß] die zugehörigen Charakteristiken
[x], [k] in der oben angegebenen Weise und führt die so bestimmten Charakteristiken
W> [ß]} Wf W jedesmal in (Sj) ein, so erhält man die fünfzehn in (5|) enthaltenen
Systeme von je sechzehn Gleichungen. Um dieselben zu fixiren, berücksichtige man,
dass in (SJ alljgemein (e) die Grösse Xi^^, (e)' die Grösse x\t^ vertritt, ferner, dass nach
dem früher getroffenen Uebereinkommen ar^e] auch durch Xv, äj'w auch durch Xv be-
zeichnet werden kann, wenn v die der Charakteristik [e] in der natürlichen Reihenfolge
zukommende Stellenzahl ist. Denkt man sich nun die Gleichungen zunächst unter
Anwendung von Xy, x\ angeschrieben und ersetzt dann Xy einfach durch v, x\ durch v ,
so entsteht die Tabelle I., in welcher die Gleichungen in der Weise zusammengestellt
sind, dass die sechzehn ein System bildenden Gleichungen jedesmal in vier Horizontal-
reihen zusammenstehen. Um jedes Missverständniss auszuschliessen, wird also noch-
mals bemerkt, dass die in der Tabelle vorkommenden nicht accentuirten Zahlen 1; . . .^
16 die Grössen x^, . . ., ajjg, die accentuirten Zahlen 1'. . . ., 16' die Grössen x\, . . ., x\q
beziehlich vertreten, während in der früheren Tabelle am Schlüsse des Art. 2. die Zahlen
1, . . ., 16 die sechzehn Charakteristiken in ihrer natürlichen Reihenfolge repräsentiren.
Die in der Tabelle durch Horizontalstriche ausgezeichneten Zahlen 7, 8, 10, 12, 14,
15 entsprechen, als Stellenzahlen aufgefasst, den sechs ungeraden Charakteristiken.
7.
Nachdem so der erste Fall, wo die beiden Charakteristiken [a], [ß] der Be-
dingung (— 1)«!/*»= -f- 1 genügen, erledigt ist, soll jetzt der zweite Fall, wo (— 1)**!^
= — 1 ist, behandelt werden.
- 16 —
Zweiter Fall:
(_l)«l/? = -. 1.
Ist (— l)«l/* = — 1, so sind die in (F) vorkommenden Charakteristiken [y],
[d], welche mit [a], [ß] durch die Gleichungen:
(T) (-i)«i'' = + i,(-i)''"' = + i, (-i)-i'' = + i,(_iyi<' = + i
verknüpft sind, noth wendig von jeder der Charakteristiken [a], [ß], [aß] verschieden,
und es hat daher für diese Untersuchung die Formel:
(.F,) x'[„ + (- l)«l«a;'c„, + (- lyifoj'cfl + (- l)-'"««:'^«^)
== (- iy">{xiii + (- lyi'a^c;,] + (- l)' "x.i^ + (- ly^l'aftfyfl)
als Ausgangspunct zu dienen, die zwar der Gestalt nach mit (F') übereinstimmt, sich
aber von ihr dadurch unterscheidet, dass [a], [ß] nunmehr der Bedingung ( — 1)"'/*
= — 1 unterworfen sind. Für [y] , [d] sind hier zwei beliebige der drei von [0] ver-
schiedenen Lösungen der Gleichungen ( — l)"'^ = -|- 1, ( — 1)^ * = + 1 zu wählen;
sind zwei derselben mit [y] und [d] bezeichnet, so ist die dritte nothwendig [yd],
sodass eine Aebderung in der Wahl von [y] und [d] keine Aenderung der Formel (F^)
nach sich zieht, diese vielmehr vollständig bestimmt erscheint, sobald [a] und [/3], der
Bedingung ( — iy\ß = — 1 entsprechend, gewählt sind. Es sei hier noch erwähnt,
dass aus den Gleichungen (f) nothwendig ( — 1)/'^ = — 1 folgt, da, wenn (— 1)^'^
= + 1 wäre, die Gleichungen ( — 1)/!^ «= -(- 1^ ( — 1^1^ «= -|- 1 ausser den Lösungen
[l] = [0]; M, [ß], [aß] noch die Lösungen [S] = [y], [d], [yS], also mehr als vier
Lösungen hätten, was nach Satz II. des Art. 3. unmöglich ist.
In der Gleichung (F^) kann man jetzt zunächst an Stelle von jeder der beiden
beliebigen Charakteristiken [rf], [£] der «Reihe nach die sechzehn verschiedenen Charak-
teristiken setzen. Von den so entstehenden 16 X 16 Gleichungen sind aber nur 16
wesentlich verschieden. Um dies einzusehen, berücksichtige man zunächst, dass die
Gleichimg (F^) wieder in sich selbst übergeht, sowohl, wenn man [rjß um [a] oder [ß]
oder [a/3], als auch, wenn man [g] um [y] oder [d] oder [yd] vermehrt. Theilt man
daher die sämmtlichen sechzehn Charakteristiken das eine Mal in die vier Gruppen:
[0]-,
[«],
m,
[««;
M,
[ya]>
[yß],
[y«ß] ;
[*],
[d«j,
[Sß],
[daß] ;
b*],
[yda],
[ySß],
[ySaß] ;
vier
Gruppen:
[0],
[y],
[S],
[yS]',
[«],
[«r],
[ad],
[ayS];
[ß],
[ßr],
\ßS],
[ßy^y,
[««,
[«/3y] ,
[«^*],
[aßyS] ;
I
ein, so erkennt man, dass immer dieselbe Gleichung hervorgebracht wird, sowohl, wenn
- 17 —
man an Stelle der Charakteristik [rj] der Reihe nach die vier Charakteristiken einer
der vier ersten Gruppen , als auch; wenn man an Stelle von [g] der Reihe nach die
vier Charakteristiken einer der vier letzten Gruppen setzt. Die obige allgemeine Formel
(JPg) umfasst daher nur sechzehn specielle Gleichungen ^ welche aus ihr entstehen,
indem man unabhängig von einander fQr [tj] der Reihe nach die Charakteristiken:
[0], [y], W, [yS],
für [g] der Reihe nach die Charakteristiken:
[0], W, [«, [««,
setzt. Berücksichtigt man noch, dass, wie die Gleichungen (f) zeigen, der in der
Gleichung {F^) rechts stehende Factor (— 1)'''^ unter diesen Voraussetzungen immer
den Werth -{- 1 ^^^; so lassen sich die sechzehn in (jPg) bei festgehaltenen CTiarak-
teristiken [a], [ß], [y], [d] enthaltenen speciellen Gleichungen, wenn man zugleich a?[,]
einfach mit (a), x\t^ mit (e)' bezeichnet, wie folgt schreiben:
(0)' + («)' ■{- (ß)' + («/5)' - (0) + (y) + (*) + (yS),
(Oy + («)' ^ (/»)' - {aß)' - («) + (ay) + (ad) + (ayS),
(Oy _ («y + (ß)' - (aß)' ^ (ß) + (ßy) + (ßS) + (ßyi),
(Oy- («y - (^y + («^y '^(ccß)-\-(aßy)^(aß9)-^-{aßyd),
W + (y«y + {yß)'+ {y«ßy - (O) + (y) - W - (yd),
(y)' + (y«)' — (yÄ'— (yß)' -= («) + («y) — («*) — («yd) ,
(y)' - (y«y + (y^y- (y«^y - (ß) + (^y) - (P^) - (jßyS),
(y)' - (y«y - (yßy+ (yaß)' ^(«ß) +(ußy)-{«ßS)-(aßyS),
(dy -I- (d«y + (d^y+ cd«^y- (o) - (y) + w - (yd),
(dy + (day - (dßj- (daßr^ (a) - (ay) + («d) - (ayd),
(dy - (d«y + (d/jy- (da^y= (^ - (ßy) + (^d) - (ßys),
(Sy _ (^gy _ (Sß)'^ {daßy ^iaß)-{aßY)+{aß8)-{aßyd),
(ydy+(yday+(yd^y+(yda^y- (0) - (y) - (d) -f- (yd),
(ydy+(yday-(yd^'-(yda^y« («) - (ay) - {aS) + (ayd),
(ydy-(yday+(yd^y-(yda^y= (ß) - (ßy) - (ßd) + (ßyd),
(ydy-(yday- (yd/3y+(yd«/3y= (a^) - (aßy) - (aßd) + (aßyd) .
Das so entstandene System (S2) kann das ursprüngliche System (S), aus dem es ab-
geleitet wurde, in jeder Beziehung ersetzen, insofern als man von dem Systeme (S^)
aus, durch passende Verbindung der ihm angehorigen Gleichungen, rückwärts wieder
das ursprüngliche System (S) erhalten kann.
Die in (Sg) vorkommenden Charakteristiken [a], [ß], [y], [ä] sind nur den Be-
dingungen:
Keazsk, cweif. unendl. Thetareihen. 3
— 18 —
(-1)"'*=--!, (-lyK-^-l,
(_l)«ly = +l,(_iyi)' = + l, (_i)«<» = + i,(_iyirf = + i
unterworfen; man kann daher für dieselben irgend vier Charakteristiken eintreten lassen,
welche diesen Bedingungen genügen. Berücksichtigt man aber, dass bei festgehaltenen
Charakteristiken [«], [ß] zwar [y], [d] auf drei Weisen bestimmt werden können, dass
jedoch, wie früher bemerkt, eine Aenderung in der Bestimmung von [y] und [d] keine
Aenderung der Formel (i^g) ^^^ daher auch, abgesehen von der Reihenfolge der
Gleichungen und der Summanden innerhalb derselben, keine Aenderung in dem daraus
abgeleiteten Systeme {82) hervorruft, berücksichtigt ferner, dass, übereinstimmend mit
dem schon früher bei der Formel {F') Bemerkten, die Formel (JPg) und desshalb auch
das aus ihr abgeleitete System (S2) sich reproducirt, wenn man an Stelle von zwei be-
stimmten Charakteristiken [a^], [/3J zwei andere [oj], [ß^] treten lässt, derart, dass [a^],
[ft]; [<*2A] abgesehen von der Reihenfolge mit [aj, [/JJ, [cc^ßi] übereinstimmen, so
folgt, dass alle möglichen verschiedenen Systeme (Sj), und zwar jedes nur einmal, er-
halten werden, wenn man an Stelle von [a], [ß] alle möglichen Combinationen der
fünfzehn von [0] verschiedenen Charakteristiken, welche der Bedingung ( — !)«!<*= — 1
genügen und zudem wesentlich verschiedene Systeme [a], [/3], [aß] liefern, setzt und
jedesmal dazu [y], [d] auf eine der drei möglichen Weisen so bestimmt, dass die
Gleichungen (53) erfüllt sind.
Wie viele von einander verschiedene Systeme auf diese Weise aus (S^) ent-
stehen, soll jetzt untersucht werden. Zu dem Ende bezeichne man mit [cjj,..., [og]
die sechs ungeraden Charakteristiken in ihrer natürlichen Reihenfolge; nach Satz 3.
des Art. 2. lässt sich dann jede der fünfzehn von [0] verschiedenen Charakteristiken
immer und nur auf eine Weise in zwei, immer verschiedene, ungerade Charakteristiken
zerlegen, und es können daher zwei beliebige dieser fünfzehn Charakteristiken durch
[o^tCJv], [o^'d/] repHsentirt werden, wenn fi, v und /li', v zwei passend gewählte ver-
schiedene Combinationen der Zahlen 1,..., 6 zur zweiten Classe ohne Wiederholung
bezeichnen. Zwei solche Charakteristiken [c9/|(Dy], [ci^t'C'vO dürfen aber nur dann an Stelle
von [«], [ß] gesetzt werden, wenn sie, entsprechend der Bedingung (— 1)«1<^ = — 1,
die Gleichung (— i)*"/«^v| V'^»'' =: — l erfüllen, und da dies, wie die Relationen (2),
(3) des Art. 3. zeigen, immer und nur dann stattfindet,, wenn die Zahlenpaare /it, v
und fi, V eine Zahl gemeinschaftlich haben, so folgt, dass die Bedingung ( — 1)^1/^
=s= -^— 1 in allgemeinster Weise erfüllt wird, wenn man:
setzt, unter (>, <y, % irgend drei verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, . . ., 6 verstanden.
Bezeichnet man ferner mit q\ <y', x die drei übrigen, von p, (y, r verschiedenen Zahlen
aus der Reihe 1, . . ., 6 und setzt:
SO genügen diese Charakteristiken \y\ \S\ zusammen mit den oben angeführten Charak-
— 19 —
teristiken [a], [ß] den sämmtlichen sechs Gleichungen (s^). Entsprechend den gemachten
Festsetzungen ist jetzt:
[a] =H [op Off] , [/3] =z [o j oj J , [aß]=£[a„ o J ,
und man erhält, mit Rücksicht auf das früher in Bezug auf [a], [ß] Bemerkte, sämmt-
liche specielle Charakteristiken [a\, [ß], welche verschiedene Systeme (S^) erzeugen,
wenn man aus den sechs ungeraden Charakteristiken auf die zwanzig möglichen Weisen
drei herausgreift, aus solchen drei dann jedesmal die drei möglichen Summen zu je
zweien bildet und dieselben in beliebiger Beichenfolge mit [a], \ß], [aß] bezeichnet
Dies liefert die folgenden zwanzig Systeme [a], [ß], [aß]:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20,
W-
[Ol CJü] ;
1« -
[«4 «»5];
l«l-
[0, ©2] ,
l«l-
K"»»];
1« -
[»1 0»«] ,
l«l-
Oj C) J ,
kl-
[»1 c«] ,
1« -
[oaoj.
1« -
[«»1 a»s] ,
kl-
ka^s]»
kl-
kiCs]»
kl-
KöJ»
kl-
K®»],
kl-
[«««»J»
kl-
[0, ©4] ,
kl-
ki«»],
kl-
kl 04] »
kl-
k«ß>sL
kl-
£«»1 »5] »
kl-
kj«»],
[/3] I=E [öj O3]
[/JJ — [öJ^Og]
[/J] = [«,G,J
[/3] = [Oi 05]
[/}] = [«»1 c^e]
[/3] = [03 (»5]
r/J] = [©i 04]
M = [»2 <»6]
[ß] ^ [»2«6]
[ß] = [0,05]
[ß] = [c^i G^el
[/3] = [02CÖ5]
[ß] = [ojgoj
[a/J] = [020)3];
[a/S] = [ößöe]
[a/S] ZIH [(ögcjj
[aß] = [OgOe]
[a/3] = [0^(05]
[a/3] = [o^oj
[a/3J = [a}2CD6]
[a/J] = [o^ojj]
[a/3] = [(»3O4]
[a/3] :i_^ [ögcjß]
[a/3] = [030)5]
[aß] = [o^Oß]
[a^] = [»3 0)6]
[a/3] = [ra^og]
[a/J] = [0^0)5]
[a/J] = [030)3]
[aß] = [o^Oß]
[a/J] = [03O5]
[aß] = [ogOß]
[«/*] = [036)4] •
Bestimmt man zu jedem dieser zwanzig Paare [a], [ß] die zugehörigen Charakteristiken
[y], [tf] in der oben angegebenen Weise und führt die so bestimmten Charakteristiken
W? [ß]f [y]} [*] jedesmal in {S^) ein, so erhält man die zwanzig in (Sg) enthaltenen
Systeme von je sechzehn Gleichungen. Um dieselben zu fixiren berücksichtige man,
dass in (S^) allgemein (a) die Grösse a;[«], (c)' die Grösse x\t^ vertritt, femer, dass nach
dem früher getroffenen üebereinkommen ir[«] auch durch Xv, ä;'[«] durch Xv bezeichnet
3*
- 20 —
werden kanii; vvenu v die der Charakteristik [b\ in der natürlichen Reihenfolge za-
kommende Stellenzahl ist. Denkt man sich nun die Gleichungen zunächst unter Auf-
wendung von Xvf Xv angeschrieben und ersetzt dann Xy einfach durch v^ Xr durch v'j
so entsteht die Tabelle IL, in welcher die Gleichungen in der Weise zusammengestellt
sind, dass die sechzehn ein System bildenden Gleichungen jedesmal in vier Horizontal«-
reihen zusammen^hen. Um jedes Missverständniss auszu^ehliessen^ wird also noch-
mals bemerkt, dass die in der Tabelle Torkonrmenden iiiüfat ax^centoirteoi Zahlen 1; . . «^ 16
die Grössen a?!, . . ., rr^ß, die accentuirten Zahlen 1', . . ., 16' die Grössen x\, . . *, x\^ ver-
treten, während in der früheren Tabelle am Schlüsse des Art. 2. die Zahlen 1^ . . •> 16
die sechzehn Charakteristiken in ihrer natürlichen Reihenfolge repräsenitiren. Die in
der Tabelle durch Horizontalstriche ausgezeichneten Zahlen 7, 8, 10, 12, 14, 15 ent-
sprechen, als Stellenzahlen aufgefasst, den sechs ungeraden Charakteristiken.
8.
Im Anschlüsse an das Vorige sollen jetzt noch einige Eigenschaften der in
den Tabellen enthaltenen Gleichungen hervorgehoben werden.
Beachtet man, dass in den Tabellen, wie vorher erwähnt, die Zahl v die Grösse
X[tiy die Zahl v die Grösse x\^i vertritt, wenn v die Stellenzahl der Charakteristik [«]
ist, so kann man sagen, dass in den Tabellen L, U. auf den linken wie rechten Seiten
Systeme von je vier verschiedenen Charakteristiken auftreten, deren Summe immer der
[0] congruent ist, und von denen daher jedes in die Form [ij], [i?a], [i?/3], [^a/5] ge-
bracht werden kann, wenn mit [17] eine beliebige der vier Charakteristiken desselben
bezeichnet wird. Definirt man nun als Vierersystem jedes System Ton yier Charak-
teristiken, deren Summe congruent [0] ist, so erkennt man, dass es im Ganzen ein-
hundertvierzig verschiedene Vierersysteme gibt, und da, wie eine einfache Abzahlung
zeigt, diese Anzahl mit , der Anzahl der in den Tabellen L, H. vorkommenden ver-
schiedenen Vierersysteme übereinstimmt, so folgt, das jedes mögliche Vierersystem in
den Tabellen sich findet. Da ferner, auf welche der vierundzwanzig möglichen Weisen
auch ein Vierersystem in die Form [ij], [^a], [^ß], [^«/3] gebracht werden mag, der
Ausdruck ( — 1)"'/^ für dasselbe Vierersystem immer denselben Werth + 1 o^^^ — 1
besitzt, so kann man die sämmtlichen Vierersysteme in zwei Arten eintheilen, indem
man zur ersten Art alle diejenigen nimmt, für welche (— 1)"'^ = -f- 1, zur zweiten
Art alle diejenigen, für welche ( — l)«l/^ = — 1 ist. Berücksichtigt man dann, dass
vier verschiedene ungerade Charakteristiken niemals eine der [0] congruente Summe
haben können, dass also ein Vierersystem nie aus vier ungeraden Charakteristiken
gebildet werden kann, so zeigt die Relation:
(— l)!»?! (— l)l»;^i (— \)\nß\ {— 1)1»/«/?! = (_ l)«i/*,
dass ein Vierersystem erster Art entweder vier gerade oder zwei gerade und zwei un-
gerade Charakteristiken enthält, ein Vierersystem zweiter Art dagegen entweder aus
einer geraden und drei ungeraden oder aus einer ungeradeü und drei geraden Charak*-
teristiken besteht. Man erkennt endlich mit Rücksicht auf die in den beiden vorigea
- 21 -
Artikeln entwickelte Theorie^ dass die Tabelle L die sämmtlichen sechzig Vierersysteme
erster Art, aber keines zweiter Art, die Tabelle IL die sämmtlichen achtzig Vierer-
systeme zweiter Art, aber keines erster Art enthält.
Bezeichnen jetzt wieder [a>J, . . ., [cog] die sechs ungeraden Charakteristiken in
der natürlichen Reihenfolge, so lassen sich die yier Charakteristiken [i^], [17a], [riß],
[lyof/J] eines Vierersystems erster Art, für welches also ( — l)"l^ =« -j- 1 ist, immer in
die Form:
bringen, wobei ft, v, ft', v, ft", v' eine Permutation der Zahlen 1, . . ., 6 bezeichnet.
Ersetzt man hierin [iy] durch [So^u»^']» so gehen die obigen vier Charakteristiken in
die neuen:
[go^ö^], Ka)^P/u']; UO/xM? [tG>vG>v']
über, und man erkennt unmittelbar, dass diese vier Charakteristiken, welche Charak-
teristik auch an Stelle von'[g] gesetzt wird, und wie man auch die vier Zahlen fi, v,
ft', V aus den Zahlen 1, . . ., 6 auswählen mag, immer ein Vierersystem erster Art
bilden.
Die vier Charakteristiken [iy], [ija], [riß], [i?a/J] eines Vierersystems zweiter
Art, für welches also ( — 1)«IA «= — 1 ist, lassen sich entsprechend immer in die Form:
[fj], hfi>^ß>(r], h«^0>t], [Vf^o^t]
bringen, wobei q, 6, t drei verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, . . ., 6 bezeichnen.
Ersetzt man hierin [rf] durch [tm^], so gehen die obigen vier Charakteristiken in
die neuen:
[S«^]; [tfOa], [SfiJ*], [go^ßJaOj
über, und es ist auch hier unmittelbar klar, dass diese vier Charakteristiken, welche
Charakterisik auch an Stelle von [g] gesetzt wird, und wie man auch die drei Zahlen
Qy 6y X aus den Zahlen 1, . . ., 6 auswählen mag, immer ein Vierersystem zweiter Art
bilden.
Das System {ß\ aus welchem sämmtliche Gleichungen der Tabellen L, II. ab-
geleitet wurden, ist ein involutorisches. Es ist daher gestattet, sowohl bei ihm selbst
als bei allen auf Grund desselben abgeleiteten Relationen die Grössen x mit den Grössen
X beziehlich zu vertauschen. Führt man diese Vertauschung bei den Gleichungen der
Tabellen I., II. aus, so zeigt sich ein weiterer wesentlicher unterschied zwischen den
der ersten und den der zweiten Tabelle angehörigen Systemen von je sechzehn
Gleichungen. Durch den erwähnten Process geht nämlich jedes der fünfzehn Systeme
der Tabelle L, abgesehen von der Anordnung der Gleichungen, wieder in sich selbst
über, während in der Tabelle II. die zwanzig Systeme paarweise in einander über-
gehen.
— 22 —
9.
Bei den bisherigen Untersuchungen bezeichneten die x, x Grössen^ welche nur
den sechzehn Gleichungen des Systems (5) zu genügen hatten^ im Uebrigen aber ganz
beliebig waren. Im Folgenden soll jetzt das System (5) unter der Voraussetzung
untersucht werden, dass zwischen den x solche Beziehungen bestehen, dass die den
sechs ungeraden Charakteristiken entsprechenden Linearformen ^x^^ ^^\j ^^'lo; ^^'is?
4,x\^ 4x\^ den Werth Null haben. Genügen die Grössen x diesen Bedingungen,
ist also : *
so lässt sich jede der zehn den geraden Charakteristiken entsprechenden Grössen x':
tfffrfff t 9 ,
•*'17 •*'2> -^SJ •*'4? '*'5; •*'6; •*'9> •*'ll; '*'13> •*'16»
auf acht Weisen durch jedesmal vier Grössen x linear ausdrücken. Die acht ein und
dieselbe Grösse x darstellenden Gleichungen können dann immer in zwei Gruppen zu
je vier so zusammengefasst werden, dass die vier Gleichungen einer Gruppe jedesmal alle
sechzehn Grössen x enthalten. Insofern solche vier Gleichungen durch Addition die dem
betreffenden x entsprechende Gleichung des Systems (iS) ergeben, constituirt jede der beiden
Gruppen eine merkwürdige Zerspaltung dieser letzteren. Die diesbezüglichen Gleichungen
sind sämmtlich unter den Gleichungen der Tabelle II. enthalten, sobald man darin die
den ungeraden Charakteristiken entsprechenden Grössen x^ die dort einfach durch
7', 8', 10', 12', 14', 15' be^seichnet sind, gleich Null setzt, oder, was noch einfacher, sie
ausfallen lässt; hier sollen dieselben in allgemeiner Gestalt direkt aus der Formel (JT)
des Art. 5. abgeleitet werden, da das betreffende Resultat auch für spätere Unter-
suchungen von Nutzen ist.
Bezeichnet man mit [o^], . . ., [og] die sechs ungeraden Charakteristiken in der
natürlichen Reihenfolge, mit [og] eine beliebige der zehn geraden Charakteristiken,
so lässt sich nach Satz 5. des Art. 2. dieselbe immer auf zwei Weisen in drei von
einander verschiedene ungerade Charakteristiken zerlegen. Ist \ci^ =: [oj^cj^cdt] die
eine dieser Zerlegungen, so ist [©o] ^ [flJ^Off'O«'] die andere, wenn p', </, x die drei
von (), 6y T verschiedenen Zahlen aus der Reihe 1, . . ., 6 bezeichnen. Ersetzt man dann
in der Formel (-F') des Art. 5., in welcher [ly], [g] zwei ganz beliebige Charakteristiken
bezeichnen, \y\\ durch [cjj, [g] durch [xcoo], unter [x] wieder eine beliebige Charakteristik
verstanden, so nimmt dieselbe die Gestalt an:
Soll nun auf der linken Seite dieser Gleichung nur das eine Glied x\too\ stehen bleiben,
so sind die Charakteristiken [a], [ß] so zu wählen, dass die drei Charakteristiken [«Dq«]»
[^o/^]' [^o^ß] sämmtlich ungerade sind, da den gestellten Bedingungen gemäss dann
- 23 -
die entsprechenden Grössen x verschwinden. Da aber [oo«] + [ß>o/3] + [o©«/?] ^ [ßJo]
ist, so können die drei Charakteristiken [aio^J; [poß'], [c9oa/3], wenn sie sämmtlich un-
gerade sein sollen, nur entweder mit [cd^], [oa], [ot] oder mit [gj^], [o©'], [Pti\ über-
einstimmen. In welcher Reihenfolge diese Uebereinstimmung jedesmal stattfindet, ist
gleichgültig, da durch eine Vertauschung der Charakteristiken [a], [/3], [a/3] unter ein-
ander die obige Formel nicht geändert wird.
Es werde nun zunächst, entsprechend der Zerlegung [gio] ^ [o^OaC't];
oder, was dasselbe:
gesetzt-, dann sind für [y]| [*], [y<J] nach dem Früheren die drei von [0] verschiedenen
Lösungen \%] der Gleichungen ( — l)«l^ «ss -j- 1^ (— lyi« »= -j- i^ entsprechend also
hier die drei von [0] verschiedenen Lösungen [6J der Gleichungen (—!)"<'*"*'*
= + 1> ( — l)*"?"*' sss -f" 1; ^ irgend welcher Reihenfolge, zu setzen, und da ent-
sprechend der Relation (2) des Art. 3. [|] ^ [oaOt'], \Pq'^t'], [Pq'^&^ diese drei
Lösungen sind, so kann:
gesetzt werden, woraus:
folgt. Führt man die so bestimmten Charakteristiken [a], [/3], [/], [d] in die obige
Gleichung ein, so nimmt dieselbe, wenn wieder X\t\ einfach mit (f), x\t\ mit («)' be-
zeichnet wird, die Gestalt an:
(P,) («,0'-(-l)*l"«[(x«,o) + (-l)Vl'-o(«eo,.)+(-ir'''l"<'(xa,<,) + (-ir*'l'-»(x«^)].
In dieser Gleichung kann man jetzt für [x] der Reihe nach die sechzehn verschiedenen
Charakteristiken setzen. Yon den so entstehenden sechzehn Gleichungen sind aber nur
vier wesentlich verschieden. Um dies einzusehen, berücksichtige man, dass die letzte
Gleichung wieder in sich selbst übergeht, wenn man [x] um [fOa'^Ot"]^ oder um [o^o^], oder
um [o^'O}^'] vermehrt; theilt man daher die sechzehn Charakteristiken in die vier Gruppen:
[0],
[(öa'OJr'],
[©^•Ot],
[o^'Oa'];
\Pa(Ox\y
[aj^Op] ,
[CO^ öff] ,
[ß>e ^*'l 5
[O^öj,
[löorCJ^'] ,
[Oa ^(f] ,
[OffCOtr'] ;
[o^Oa],
[«tO^'] ,
[mt(Oo''\ ,
[OrOrl,
SO erkennt man, dass immer die vier Charakteristiken einer Gruppe, an Stelle von [x]
gesetzt, dieselbe Gleichung hervorbringen, und dass daher die obige allgemeine Gleichung
— 24 —
(Pi) nur vier verschiedene specielle umfasst, welche aus ihr entstehen^ indem man an
Stelle von [x] der Reihe nach die Charakteristiken:
[0], [(OaCJtlf [®^Ö>J, [o^Oa]
setzt. Berücksichtigt man endlich, dass bei diesen Untersuchungen congruente Charak-
teristiken für einander gesetzt werden dürfen, so lassen sich die vier Gleichungen, wie
folgt, schreiben:
(«.)'-(- 1)"? '"• [(«f) +(- ir«' '"• (ai„«, »,o +(- ir*" '"" ("»"««<^) +(- 1)"*" '"• K
K)'- (-l)""! "0 [(a,,)+(-irf'l''»(a)ja).ffl^.) + (-ir''''"''(o'e«.fi»»-)+(-ir'''""K«.ß)r)] ,
((Do)'- (_l)"«l -o[-(„,)_|.(_i)Vl "0 (fl,^a,„(»,.)+(-ir<''"°''Kö-o'--)+(-ir''""'' («,a),a^)] •
Um die der zweiten Zerlegung der Charakteristik [oo] in drei ungerade Charakte-
ristiken entsprechenden Gleichungen zu finden, hat man nur zu berücksichtigen, dass die
beiden Zerlegungen, [oo] ^ [(D^(OaG)t] und [c»«] ^^ [o^'O^-cdt'], in einander übergehen, wenn
man die Zahlen p, (^, t mit q\ </, r beziehlich vertauscht, und dass daher aus den vier
aufgestellten, der Zerlegung [<Oo] ^ [o^OaC)«] entsprechenden Gleichungen die vier ge-
suchten, der Zerlegung [oo] ^ [(o^'(Oa'(o^] entsprechenden hervorgehen, indem man die
erwähnte Vertauschung in diesen Gleichungen vornimmt. Man erhält auf diese Weise
die weiteren vier Gleichungen:
(«,)' - (».)+(- ir?" "" (c?) +(-1)"''' ""M + (-ir' "•(«.)
(«,)'- (-l)Vl-»[(a,,.) + (-l)"?' "• (0)^0,,.«)^) +(-ir»l '"<'(a)„.a.^a),)+ (-l)"'l "•(«„•o)^«,)],
(o.)'- (-1)-"' ' -• [((0^) + (- l)-e ' -• («j. »^ (»f ) + (- If" I "• (a)j. ev «„) + (-1)"* ' "• («e- o^
(«.)•- (-ir«-!*"» pa,^) + (-l)"«! ". (o,,.«^p^) + (_1)"<'I '»»(a,,.a.<,«,) + (-ir'l -»(«.a,^«.) ] .
Die acht Gleichungen (G^), (G^) bilden zusammen die am Eingange erwähnten
acht Darstellungen derselben Grösse ^'[<o^] durch jedesmal vier Grössen X] auch erkennt
man leicht, dass durch Addition der vier Gleichungen (G^), aber auch durch Addition
der vier Gleichungen (G^) die der Charakteristik [cd«] entsprechende Gleichung des ur-
sprünglichen Systems (S), deren linke Seite von 4iX[to^] gebildet wird, entsteht, und dass
daher die gleichfalls schon erwähnten beiden Zerspaltungen dieser letzten Gleichung
durch die Systeme (G^), (G^) repräsentirt werden.
j
— 25 —
Lässt man jetzt in den acht Gleichungen {G^, (G^) an Stelle von [coo] der
Heihe nach die zehn geraden Charakteristiken treten und ersetzt gleichzeitig [co^], [o^];
[oj, [co^], [öff']; [o«*] durch die ihnen jedesmal entsprechenden speciellen Charakteristiken,
80 erhält man für jede der zehn, den geraden Charakteristiken entsprechenden Grossen
x' die acht oben erwähnten Darstellungen. Dieselben folgen hier in der Weise zu-
sammengestellt, dass immer je yier zusammengehörige Gleichungen in derselben Hori-
zontalreihe stehen:
af.
X
«8 =
*C o ^—
30 ft — "
3
X^ =
X^ =
Xk ==
X
x^ =
x\ =
x^ —
Xq
t
^u —
/
§
X ^a
16
X
16
"T^l "T^ +^18 + ^14'
"T^l +^8 "1^10 1 ^16'
"T^a "T ^7 ^10 ^15'
+ ^2 +^8 ^12 ^U*
"1^3 "^7 ■T^IO ''^U
"T^S ^8 "1*^12 ^16
"r^4 ^7 ^^l^X'^lb
"r**'4 »^S ^10"T ^14
+ ^6 ^ "T^IO ^12'
~r^ ^8 I ^14 ^Ib
"T^Q Xr^ ^14 + ^15
I ^6 ^8 ^10"T ^12
+ ^9 X^l ^8 ^10
+ ^9 ^12 ^14~r^l6
I ^11 ^7 I ^8 ['^12
T ^11 ^10 1*^14 ^16
1^13 ^ "1^8 ^14
"T'^IS ^loH" ^12 ^J6
"T*'*'16l^7 ^8 ^16
I ^16 \ ^10 ^12 ^14
"r^8 I ^2 I ^13"l ^11
"IT^l I ^2 1 ^16« ^9
'"r»^8 "T^l "^16 "^9
~r^ "T^l ^3 ^11
■ ^8 I ^4 ^13 I ^9
• X^ +^4 ^16 l~^ll
■ «^8 1 ^S'T'^ie ^11
' ^7 "1^3 1^13 ^9
' ^8 I ^6 ^11 I ^9
' ^ H"^6 ^16"r^l3
' ^8 "T ^5 r ^16 ^18
• X^ +^6 1" ^11 ^9
'' ^12 ^6 1 ^5 I ^11
'"T^ ^6 »^4 "T^l
• ^10"r^6 ^6 +^9
s ^ "r ^6 "^2 \*^Z
' ^10 I •^'4 ^9 I ^9
• ^ ~r^4 ^2 1^6
= 'T'^10\*^1 ^2 ^9
=+ajy +iz;i Xq x^
I ^10 I •^i6"r^3"r^6 ~
+^i2"r ^is~r^3"r^6 "^
»^12 ^13"r'^4 l"^6 ~
^10 ^16"r^4"r'^6 "*
■+^12 ^16'T ^1 ^5 "
'"T^IO ^18"r ^1 ^6 "
■ ^10 + ^18"!" ^2 ^6 '
' ^i2"r'^i6"r'*'2'~"^6 "
"l ^14 ^16 1^1 ^3 ■
r^lO ^11 I ^1 ^4 "
• ^io"r^ii~r^2 ^ ■
'^14"r'^16'T"^2 *^i "
• ^14 ^4 I ^3"r^l3'
' ^8 1^5 "T'^'S ^2 "
' + ^14 ^2 1^1 ^13*
' I ^8 »^6 \'^l ^4- "^
= + ^12 ^2 "1^1 ^11 '
■ I ^8 "^S 1^1 ^6 '
" ^12 ^3 4"^4 I ^11
s Xq fl?2 1*^4 ~V^9
~r^i6"r^9 "r^6 ■r^4 ;
"T^ur^iii^e +^4
^14 »^11 "r ^6 I ^
«
^16 ^9 "1^6 1^
' ^15 1^11 ^6 1^2
' ^14 "T ^9 ^6 1^2
■ I ^14 ^9 "^6 "T ^1
"T ^15 ^11 '^'S "T^l
'^16"r^l3 ^4 "T~**'2
' ^12 "l ^9 ^3 1^2
*"T"^12 *^9 ^4 I '''1
'+^15 ^13 ^3 1^1
■ I ^16 1 ^1 ^ ^16
' ^10 ■!" ^11 + ^13 ^16
* ^15 «•^S ^4 "1^16
' ^12"T~*'^9 '^'IS'l'^ie
■ ^15 I ^6 ^6 "r^l6
■ ^14 + ^9 ^ii'T^ie
* ^14 ^5 "r^6 l ^13
= Xii^ aJg +^11+^18
10,
Wie im Vorigen gezeigt wurde, ziehen die Bedingungen:
x\ = 0, x^ = 0, x\o = 0, x\^ = 0, x'l^ = 0, x\^ = 0,
sobald man sie in das System (S) einfahrt, für die der beliebigen geraden Charakte-
Kbazbb, iweif. unendl. Tfaetareihen. 4
— 26 —
ristik [oo] entsprechende Grösse X[a^] die acht Gleichungen (GJ, (ög) nach sich. Die
vier Gleichungen ((tj) wurden dabei aus der Formel:
(PJ (<».)'=(- l)'""»[(xo,.) + (- ir^'l-oCxo,-) + (- l)''-^^''o(xm^)+(- ir^'-'Cxo,,-)]
abgeleitet; indem man für [x] specielle Charakteristiken einführte. Auf dieselbe Weise
können auch die Gleichungen (6f2) direkt erhalten werden, indem man von der Formel:
(P,) ((D.)' = (- l)'""''[(xa,.) + (- Iffl ""(xo,) + (- ir' "0 {xm„)+{- 1)"«' "'> (xa,,)]
■
ausgeht, die aus (Pj) durch Vertauschuag von q\ </, z mit (», d, r beziehlich hervorgeht,
und die früher gemachten Schlüsse im Wesentlichen wiederholt. Da in (PJ, (Pg) [ojo]
dieselbe Charakteristik bezeichnet, so stimmen die beiden Gleichungen hinsichtlich ihrer
linken Seiten überein und liefern daher, indem man die rechten Seiten einander gleich
setzt, die neue von x freie Gleichung:
(iJ.) (- i)"!"»» [(xc,) + (- l)Vl'»o(^«,^.) + (_ l)»-'l"o(^^^) + (_ 1)"*-1".(«„,^)]
= (- 1)"'"" [(«".) + (- ir*' ■""(''«?) + (- ir^'^-cxo,«) + (- ir«i -«(xco].
Nimmt man die auf .der linken Seite tler Gleichung (ü^) stehende Form und
setzt darin an Stelle von [x] der Reihe nach die sämmÜichen sechzehn Charakteristiken,
so entstehen, wie im vorigen Artikel gezeigt wurde, im Ganzen nur vier verschiedene
Ausdrücke, welche mit den vier die rechten Seiten der Gleichungen (Gj) bildenden
Ausdrücken identisch sind; ebenso entstehen aus der die rechte Seite der Gleichung (Bo)
bildenden Form, wenn man darin für [x] der Reihe nach die sechzehn Charakteristiken
setzt, auch nur vier verschiedene Ausdrücke, welche mit den vier die rechten Seiten
der Gleichungen (G2) bildenden Ausdrücken identisch sind. Die sechzehn Gleichungen,
welche aus (Ro) hervorgehen, wenn man darin für [x] der Reihe nach die sämmtlichen
sechzehn Charakteristiken setzt, müssen daher nothwendig unter den sechzehn Glei-
chungen enthalten sein, welche entstehen, wenn man jede der vier Gleichungen (6?^)
mit jeder der vier Gleichungen (Gg) in der Weise combinirt, dass man ihre rechten
Seiten einander gleich setzt. Eömite man nun noch zeigen, dass die sechzehn auf die
angegebene Weise aius (Bo) entstehenden Gleichungen sämmtlich von einander ver-
schieden sind, so würde daraus folgen, dass dieselben in jeder Beziehung mit den
sechzehn aus (G^), (G^) in angegebener Weise entstehenden Gleichungen übereinstimmen.
Zur Durchführung dieser Untersuchung empfiehlt es sich der Formel (Bo) vorher eine
andere "Gestalt zu geben.
Unterdrückt man in (Bo) den beiden Seiten gemeinsamen Factor ( — i)*^'*"«^
zerstört auch das erste Glied der linken Seite gegen das ihm gleiche erste Glied der
rechten und multiplicirt endlich linke wie rechte Seite mit. ( — i)*"^'"»^ unter | eine
beliebige Zahl aus der Reihe 1,...,6 verstanden, so nimmt die Gleichung (Bo), wenn
man noch berücksichtigt, dass für t = 1, . . ., 6 die Relation:
J
— 27 —
besteht, zunächst die folgende Form an:
(_ 1)1 ■".' «•a-'V 1 . (__ l)<»e- 1 "i (x c^.) ^ (_1)1 "1 'V'«'.' I . (_ l)"«- 1 "i (x<o^)
+ (_ 1)1 "f "?'«</'! .(_i)"^t-c(xcD^)-- (-l)«"^^*"^~*l .(--l)"(?l-l(xa)^)
_ (_ i)i«l"r*' . (— ir^i "*^(xa)a) -(- 1)' ^^^r-l . (- If *l "^^(xa>.) = 0.
Dieser letzten Gleichung kann man aber, wenn man nur beachtet, dass immer (— 1) "^ '
•= — 1, und, bei von einander verschiedenen k, [i, v, (— 1)\*^i^/a*"v\ s=! -j- 1 ist, stets
auch die Gestalt:
geben. Die Gleichung (i2) ist dann, wie unmittelbar klar, von der ursprünglichen
Gleichung (Ro) nicht wesentlich verschieden; wegen ihrer übersichtlicheren Gestalt soll
sie im Folgenden an Stelle von (jR^) verwendet werden. Man thut gut, schon hier zu
bemerken, dass immer dieselbe Gleichuug entsteht, wenn man in (R) an Stelle von £
der Reihe nach die Zahlen 1, . . ., 6 setzt; denn, da die Gleichung. (22) sich von der
Gleichung (Ro) nur durch die Form unterscheidet, (Ro) aber von 6 vollständig frei ist,
so kann die Gleichung (R) beim Uebergange von einem Werthe | zu einem anderen
nicht wesentlich geändert werden. Mit Rücksicht hierauf kann man auch, wie in der
Folge zuweilen geschehen wird, ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit der Formel (R),
S auf eine oder einige der Zahlen 1, . . ., 6 beschränken. Für die Formel (R) wurde die
obige Schreibweise desshalb gewählt, weil durch Vereinigung des die linke Seite der
Gleichung bildenden Gliedes 2(xg)^) mit dem auf der rechten Seite vorkommenden Gliede
(xco^) die einheitliche Bezeichnung in hohem Grade gestört würde. Aus dem Gesagten
folgt schliesslich noch, dass die Formel (R) vollständig unabhängig ist von der Reihen-
folge, in welcher die ungeraden Charakteristiken mit [oj, . . ., [co^] bezeichnet werden.
In der Gleichung (R) vertritt das Symbol (xcoi) die Grösse ar^x«,. ], man kann
daher der Gleichung (22) auch die Form:
W 2a;,«„jl=^'(-ir''"^%<.,I
geben. Führt man in dieser Gleichung an Stelle von [x] der Reihe nach die sämmt-
lichen sechzehn Charakteristiken in der natürlichen Reihenfolge ein, so treten an Stelle
des Gharakteristikensystems [xoj, ..., [xog] der Reihe nach sechzehn Systeme von je
sechs speciellen Charakteristiken, die man in der folgenden Tabelle in der Weise an-
geschrieben findet, dass die Charakteristiken durch ihre Stellenzahlen bezeichnet, und
ausserdem die den ungeraden Charakteristiken entsprechenden Stellenzahlen durch Hori-
zontalstriche hervorgehoben sind.
- 28 —
8,
, 10,
12,
14,
15;
1,
9,
11,
13,
16;
6,
. 12,
10,
16,
13;
5,
, 11,
9,
15,
14;
1
. 14,
16,
lÖ,
11;
3j
, 13,
15,
9,
12;
2;
, 16,
14,
12,
9;
1,
, 15,
13,
11,
10;
16,
2,
4,
6,
7;
15.
1,
3,
5,
8;
14;
4,
2,
8,
5;
13,
3,
1,
7.
1
6;
12.
6,
8,
2
t
3;
11,
5,
7,
1
i
4;
10,
8,
6,
4
i
1;
9.
7,
5,
3
i
2.
7,
8,
' .5,
6,
3,
4,
1,
^,
15,
16,
13,
14,
11,
12,
_9,
10,
Diese Tabelle bildet^ wie unmittelbar klar^ einen Theil der am Schlüsse des
Art. 2. aufgestellten Additionstabelle; ein Blick auf dieselbe ?eigt, dass vpn den so
entstandenen Systemen von je sechs Charakteristiken keine zwei dieselben sechs Cha-
rakteristiken enthalten, und es sind daher auch die sechzehn Gleichungen, die aus {S)
hervorgehen, indem man für [x] der Reihe nach die sechzehn Charakteristiken setzt,
sämmtlich von einander verschieden; damit ist aber, mit Rücksicht auf das früher Be-
merkte, zugleich bewiesen, dass dieselben mit den sechzehn durch Combination der
Gleichungen {ß^y (G^) entstehenden Gleichungen identisch sind. Nun sind aber gleich-
zeitig mit der Formel (i2) die sechzehn aus ihr abgeleiteten Gleichungen vollständig
frei von [©o], und es können daher auch die durch Combination von (Gi) und (G^)
entstehenden Gleichungen, da sie mit den aus (R) hervorgehenden identisch sind, nicht
von [oo] abhängig sein. Jede der zehn, je acht Gleichungen enthaltenden Gruppen,
die aus (G^), (G2) entstehen, indem man für [coo] der Reihe nach die zehn geraden
Charakteristiken setzt, liefert daher, wenn man ihre Gleichungen in der angegebenen
Weise combinirt, dieselben sechzehn Gleichungen, wie jede andere.
Mit Rücksicht auf die obige Tabelle kann man die sechzehn aus (R) hervor-
gehenden Gleichungen, wie folgt, schreiben:
1. aJy a?3 XiQ -(- X12 + 5Ji4 ^15 *^ ^f 2. X^ Xj ^9 + ^11 + ^13 ^16 ^^ ^ ;
O. Xt, Xq a?i2 "F ^10 \ -^le ^18 ^^^ ^> "*• ^6 ^5 »^ll I ^9 I ^16 »^14 ^^ ^»
D, X^ ^4 ^14 ~r ^16 I •''10 ^11 '^^ "; "• ^4 »^3 '''13 \ ^15 "l ^9 ^12 "= ^>
- 29
• • X* "■" Xn ""^
'16
16
i. X • Xl S ~^ Xt A "~~"
'18
13. X
11
14
^12
1.%J» Xq Xtti
'9
10
^16 4" ^14 H" ^12
^9
-0,
^2 4" ^4 "T ^6
a^
-0,
^4 +^2 1 ^8
•
-^8
= 0,
^6 4" »^8 "T ^
-«»
-ü,
^8 H" ^6 1 ^4
-ajj
= 0,
U/n — ^ v « ö« «vo "^^ X* '~~'
2
— a;, =0, 10. tc,ß — a?,^ —
16
'16
Xli —— U, \.Z, X\A XtVL
14
'18
Xvk ^-"* \-f • X4. tü/iQ "~~ X\\ ~"~~
12
11
— a;, =0, 16. 'a?in — x
10
^15 "T ^18 "T ^11
— a?io = 0,
a?! +^8 +^6
a^g — 0,
^8 +^1 +^7
^6 — 0,
^6 +^7 +^1
-x^ =0,
^7 "1 ^6 "r ^8
— fljjj =0.
Bezeichnet man nun die linken Seiten dieser Gleichungen mit L^^ . . . , L^g , so kann
man aus diesen sechzehn Formen auf mehrere Weisen sechs linearunabhängige aus-
wählen; aus solchen sechs lassen sich dann immer die zehn übrigen linear zusammen-
setzen. Man überzeugt sich leicht, dass speciell die Formen i^, Zg, Z^q, L^g, i^^, i^g
linearunabhängig sind; und dass die zehn übrigen aus ihnen sich folgendermassen zu-
sammensetzen:
A =
L, =
As =
Zu —
A« —
JjlA Jj
'14
+ A + A + Ao + A« + Ai + -^
+ i, + ig -
~ A — A +
— h^ — ig —
16
Ao —
Ao +
Ao —
16
A4 — A6
iy — ig —
-|- i, — ig —
— L7 -j- Xg —
— iy + ig
+ i, - ig +
Ao —
Ao +
Ao-
Ao —
Au +
Ao "~
A2 + A4 + Aö
A2 +
A4 — Aö
A2 ~ A4 + ^
16
A2 ""
A2 +
A2 "~
A2 —
A4 + ^
16
A4 — A6
A4 ■"■ A6
A4 — A6
Auch zeigt eine einfache Rechnung, dass zwischen den sechs Formen L^, Xg, ijo, ii^, L^^^ ijg
und den sechs in Bezug auf die Grössen x gleichfalls linearen Formen, die sich aus
dem Systeme {ß) für a;',, ar'g, a;'io, oi^^y x\^, x\^ ergeben, die folgenden in Bezug auf
die Grössen x^, . . . , x^q identischen Gleichungen :
8x
12
L — 4X7 , 8a;'g = X + 4ig , Sx\q
L — 4Li2, 8a:\4 = i — 4Li^, 8a;'i5
i + 4 As
bestehen, wobei zur Abkürzung
A — A — Ao + A2 + A4 — As =^ ^
gesetzt ist. Aus A = 0, . . ., Ae = folgt daher auch rückwärts x\ = 0, x\ = 0,
^'10 = 0, x\^ = 0, x^^ = 0, a:'i5 = 0, und man kann daher die ursprünglich aufgestellten
Bedingungsgleichungen ic\=-^0, x\=-0, ^\o=Q, ^'12= 0, x\^=0, x\r,= stets durch
die Gleichungen ij =0, . . ., X^g == 0, aber auch durch je sechs von einander unabhängige
dieser sechzehn ersetzen.
- 30 —
Die oben fixirten sechzehn Systeme von je sechs Charakteristiken^ die aus dem
Systeme [xcd^]; ...; [xcd^] hervorgeheil; indem man darin an Stelle von [x] der Reihe
nach sämmtliche sechzehn Charakteristiken treten lässt^ sind för die späteren Unter-
suchungen von grosser Bedeutung. Sie sollen im Folgenden Eosenhain! sehe Sechser-
systeme oder kurz Sechsersysteme genannt werden. Hier mögen noch folgende Eigen-
schaften derselben, die sich unmittelbai^ aus der aufgestellten Tabelle ergeben, er-
wähnt werden.
1. Das dem Falle [x] »= [0] entsprechende Sechsersystem enthält die sämmt-
liehen ungeraden. Charakteristiken; jedes der fünfzehn übrigen Systeme enthält zwei
ungerade und vier gerade Charakteristiken. (Vergl. Satz 8. des Art. 2.) '
2. Zwei beliebige Sechsersysteme haben immer zwei und nur zwei Charakte-
ristiken gemeinsam. Nimmt die eine dieser Charakteristiken in dem ersten der beiden
Systeme die ft*®, in dem zweiten die v^ Stelle ein, so steht die andere in dem ersten
Systeme an i/*®', in dem zweiten an fi^^ Stelle.
11.
Bei den in Art. 5., 6., 7. durchgeführten Untersuchungen wurde lediglich vor-
ausgesetzt, dass die x, x Grössen bezeichnen, welche den sechzehn Gleichungen {S)
genügen. Die ausschliesslich unter dieser Voraussetzung aus {B) abgeleiteten Relationen,
speciell also die Formeln (iSJ, iß^ und die sämmtlichen Gleichungen der Tabellen L, IL
bleiben daher richtig, wenn man wieder zu den ursprünglich mit Xy x bezeichneten,
den Gleichungen (5) genügenden 'd'-Producten zurückkehrt, also allgemein:
setzt. Auf diese Weise entsteht dann aus jeder in den Tabellen enthaltenen Gleichung eine
'O'-Formel, und aus jeder solchen '9'-Formel kann man weiter einundfünfzig verschiedene
specielle ableiten, indem man jede der beiden darin vorkommenden, noch willkürlichen
Charakteristiken [p], \p\ unabhängig von der anderen die Reihe der sechzehn Normal-
charakteristiken durchlaufen lässt und von den so entstehenden Formeln solche, welche
durch Vertauschung von zweien der drei Variablensysteme (v), (w?), (0 und dadurch bedingte
gleichzeitige Vertauschung der entsprechenden beiden Systeme aus der Reihe (v ), {jjo\ (f)
in einander übergehen, als nicht verschieden betrachtet. Dabei mag noch bemerkt werden,
dass, wenn man für [q] oder [ö] congruente Charakteristiken setzt, die dadurch entstehenden
Formeln sich nur um einen, allen Gliedern gemeinsamen Factor + 1 unterscheiden,
also nicht wesentlich verschieden sind. Aus dem in der Tabelle I. enthaltenen ersten
Systeme von sechzehn Gleichungen gehen durch das beschriebene Verfahren einund-
fünfzig specielle Formelsysteme von je sechzehn Gleichungen hervor, welche, wenn
man noch die dabei auftretenden Charakteristiken, die nicht Normalcharakteristiken
sind, mit Hülfe der Gleichungen (3), (4) des Art. 1. auf solche reducirt, mit den von
— 31 —
Herrn Rasenhain*) in seinen Tafeln aufgestellten einundfünfzig Forn[ielsystemen, ab-
gesehen von der Bezeichnung, übereinstimmen. Fixirt man die für [q], [6] eintretenden
Normalcharakteristiken durch die ihnen in der natürlichen Reihenfolge zukommenden
Stellenzahlen ii, v, unter Anwendung der symbolischen Bezeichnung [q] == ft, [6] = v,
setzt auch [q6']=^ X, wenn X die Stellenzahl der der Charakteristik [qö] congruenten
Normalcharakteristik ist, so entsprechen den einunfünfzig Rosenhain' sehen Systemen von
je sechzehn Gleichungen der Reihe nach die Zahlen:
1. [(►]
4.[p]
7. [p]
10. [p]
13. [p]
16. [pj
19. [p]
22. [p].
25. [p]
28. [pJ
31. [p]
34. [p]
37. [p]
40. [p]^
43. [p]^
46. [p]
49. [p]^
l
■ 1
1
1
1
■i
2
2
3
S
■4
9
.6
8
9
6
■ 8. M=
,M=
1,
[pff]=
■ 1;
,W=
13,
[ptf] =
=13;
,W=
6,
[ptf] =
= 6;
,[*]*=
12,
[ptf] =
= 12;
,[<T] =
3,
[<»«] =
• 3;
>M-~
15,
[pff] =
= 15;
,W-
13,
[pff] =
= 14;
,M=
8,
[ptf]=
' 7;
,W=
5,
[p(y] =
= 7;
,M=
16,
[pff]=
= 14;
,{*]=-
5,
[pff]-
= 8;
,M-
5,
[pff]=
.13;
, LöJ—
9,
[per]-
= 14;
,W-
9,
[ptf]=
= 16;
,M=
7,
rpffi-
=15';
,[*]=
15,
[p«y]=
= 12;
.W=
11,
IptfJ-
= 14;
2. [p]- 1,M_ 9,[ptf]_ 9;
3. [p] =
1,[«]= 5,[<>ff]= 5
5.[p]== l,[tfj= 2,[ptf]-= 2;
6. [p] =
l,[ff]-10,[pff]-10
8.[p]= l,M-14,[p*]-14;
9. [p]=
1, [ff]= 4, [pff]= 4
ll.[p]-= !,[*]-- 8,[p«]= 8;
12. [p]-
l,[ff]— 16,[pff]=.16
14.[p]= l,[(y]-ll,[pff]=ll;
15. [p] -
1, [ff]- 7, [pff]- 7
17.[p]= 2,[ff]-= 9,[pff] = 10;
18. [p]=
2, [ff]- 5,[pff]-=6
20.[p]= 2,[*]= 4,[pff]« 3;
21. [p]-
2, [ff]- 12, [pff] =11
23.[p]= 2,[tf]-16,[ptf]=15;
24. [p]-=
3,[ff]= 9,[pff]=ll
26. [p]— 3,[tf] — 13,[p<»]=-15;
27. [p] -
3,{ff]-" 6, [pff]- 8
29.[p]= 3,[tf]=>10,[p«]-12;
30.[p] =
4,[ff]= 9, [pff] =12
32. [p]— 4, [tf]=13,[ptf]— 16;
33. [p]=>
4,[ff]= 6, [pff] =7
35. [p]— 6, [ff]— 13, [pff] — 10;
36. [p]=
5, [ff] = 10, [pff] =14
38. [p] = 12,[(y]= 5,[p«]=16;
39.[p] =
8, [ff] = 13, [pff] -12
41. [p]==ll, [ff]= 5, [pff]-=15;
42.[p]-=
ll,[ff]-13,[pff]= 7
44.[p]== 4,W=ll,[p(y] = 10;
45. [p]=
4, [ff] -15, [pff] -14
47.[p] = 12,[ff] = 14,[p<»]= 7;
48.[p] =
8, [ff]=15, [pff] — 10
50. [p] — 10, [ff] — 16, [p tf] = 7 ;
51.[p] =
6, [ff] -11, [pff] -16
12.
Während die in den Formeln (Si), (/Sg) und in den daraus abgeleiteten Glei-
chungen der Tabellen I., II. Yorkommenden Grössen x, x nur d^n sechzehn Gleichungen
(S) zu genügen haben, müssen die in den Relationen (Pi), (P^), (Gj), (Gj), (U) der Art.
9. und 10. auftretenden Grössen x, x y wenn anders diese Relationen bestehen sollen,
nicht nur die Gleichungen {ß\ sondern auch die sechs weiteren Bedingungen :
aj7 = ü, a^g = U, ÄJjQ «= U, a?ig=U, ^14 =^ ^j ^ 15 ^'^ ^
erfüllen. Sollen daher die im vorigen Artikel mit Xj x bezeichneten, den Gleichungen
iß) unter allen Umständen genügenden d-Producte , auch in diesen Relationen an Stelle
*) Boset^in, Memoire sur les fonctioDs etc. pag. 443.
- 32 —
Yon Xf x' gesetzt werden dürfen, so sind die in diesen ^-Reihen vorkommenden unab-
hängigen Variablen (u\ (v), (w)y (t) vorher solchen Bedingungen zu unterwerfen, dass:
immer verschwindet, wenn für [rj] eine der sechs ungeraden Charakteristiken eintritt.
Berücksichtigt man nun, dass '&[^](j[0]| für jede ungerade Charakteristik [17] den WerthNuU
hat, so ergibt sich, dass der gestellten Forderung auf möglichst einfache Weise genügt
wird, wenn man {2u) = (0), oder, was dasselbe:
setzt. Führt man das so bestimmte (t) in die in Art. 1. für:
(2«')., (2«'), (2w'), (20
aufgestellten Ausdrücke ein, so gehen dieselben beziehlich über in:
(0), (2u + 2v), {2u + 2w), (--2v — 2m?),
und es nehmen daher die im vorigen Artikel mit Xi^], x\ri] bezeichneten <d^Producte — wenn
man darin allenthalben (t) durch ( — u — v — w) ersetzt, femer für (w), (v), (w) in neuer
Bezeichnung (o ); (y)> (y) schreibt und endlich unter Anwendung der aus (3), (4)
des Art. 1. unmittelbar folgenden Formel:
»wm =• (- iy'^<'''*[x + 2XUÜ}
die ^-Reihen mit den Charakteristiken [e — q — <y] , [1] — Q — 0] in solche mit den
Charakteristiken [« + p + <y] , L'? + (> + <^] beziehlich verwandelt — schliesslich die
Gestalt:
^ W = (— 1>*^^^'^' -^WW HbqUo} H^<J]iw)) »[sQa]i— u^v-w},
an, wobei, unter Anwendung des in Art. 3. für den Ausdruck ( — l)*i^i'I4-»<«^' eingeführten
Symbols ( — 1)(*)(^)', zur Abkürzung
gesetzt ist, und die (w), (t;), (w), wie bisher, unabhängige Variablen bezeichnen. Die
durch die letzten Formeln definirten Grossen x, x genügen dann nicht nur den sechzehn
Gleichungen (8), sondern erfüllen auch die sechs weiteren Bedingungen a?'^ = 0,
x\ «=» 0, x\q = 0, ic'i2 = 0, a:'i4 = 0, x\^ = 0, und es bleiben daher die Relationen
(Pi), (Pg), ((?i), (Gj), (JR) richtig, wenn man darin statt der Grössen x, x die obigen
'Ö'-Producte einführt. Die auf diese Weise aus (PJ, (Pg), ((?i), (Gg) hervorgehenden
'Ö'-Formeln werden später ihre Verwendung finden; hier sollen zunächst die aus (E)
folgenden -Ö'-Formeln einer eingehenden Betrachtung unterzogen werden;
Führt man in der Formel (jB) an Stelle der Grössen x die ihnen entsprechen-
den 'O'-Producte ein und ersetzt zugleich die willkürlichen Veränderlichen (v), (w) durch
(— v)j ( — w) beziehlich, so geht aus (JR) unter Anwendung der Formel 5. des Art. 1.
und unter Beachtung der Beziehungen:
- 33 -
(_l)|.fl.(_l)|.«r|_„(_l)|f|.(_l)|<»|.(_l).|«.<r^ (_l).|?<r. (_ ly.jC?«)' _ (_ l)(e<r)(.y
nach einigen leichten Umformungen die Gleichung :j
hervor, in welcher [x], [q], [6] beliebige Charakteristiken, [©i], . . ., [co^] die sechs un-
geraden Charakteristiken in beliebiger Reihenfolge, (u), (v\ (w) unabhängige Variablen
bezeichnen. Diese Gleichung geht wieder in sich selbst über, wenn man [x], [(»], [&]
allenthalben durch irgend welche ihnen congruente Charakteristiken ersetzt. Mit Bück-
sicht darauf sollen im Folgenden, wenn es sich um Charakteristiken handelt, die an
Stelle von [x], [p] oder [ö] zu treten bestimmt sind, unter verschiedenen Charakteristiken
nur solche verstanden werden, welche einander nicht congruent sind. Die Gleichung {&),
die als eine für die Theorie der zweifach unendlichen ^-Reihen fundamentale angesehen
werden muss, soll jetzt zur Herstellung einer Reihe von wichtigen -O'-Formeln benutzt
werden. Zu dem Ende unterscheide man in Bezug auf die Charakteristiken [p], [<^]
die folgenden drei Fälle:
-4.) die Charakteristiken [p], [&] seien beide gleich [0];
B,) eine der beiden Charakteristiken [q], [tf] sei gleich [0], die andere von [0] verschieden;
C) die Charakteristiken [q], [ö] seien sowohl von einander, als von [0] verschieden.
Der Fall, wo die Charakteristiken [(>], [tf] zwar von [0], nicht aber von einander ver-
schieden sind, führt, da dann [(><y] ^'[0] ist, zu Formeln, welche von den dem FaUe
B, entsprechenden nicht wesentlich verschieden sind, und kann deshalb von der Be-
trachtung ausgeschlossen werden. Jeder der drei Fälle soll jetzt fiir sich weiter be-
handelt werden.
FaU A.
Ist [q] = [0], [tf] = [0], so nimmt die Formel (&) die Gestalt:
(Ä,) 2#[xa)dW ^[xojdH ^[^ö'dM H^a}^]i-ri + v+w}
= y^C— 1)"« ' "l^[xa},]{MjO'[xa}Jft;])'0'[xoJ1[M?)'&'[xiö»] {— u + v + w)),
(1 = 1, 2,. ..,6)
an. Aus dieser Formel folgt weiter, wenn man (w) in (u) übergehen lässt, die Gleichung:
{A^ 2d»[xß'd W **[x«»i] W -^(- 1)"' ' *"« »'bc'Oi'lH ^[xa)JC4 , (I = 1, . . ., 6)
und hieraus, wenn man noch (u) zu (v) werden lässt, die Gleichung:
t=a6
K) 2^[xoi] W =2'(- ^)"''' ' "* ^f*"'-^ W , (I - 1, . . ., 6) .
Kbazbb, Bwelf. nnexxdl. Thetareihen. 5
- 34 -
Jede der drei Gleichungen {A^y (Ä^), (Ä^) repräsentirt 16 verschiedene specielle, welche
aus ihr entstehen^ indem man für [x]* der Reihe nach die sechzehn Normalcharakteristiken
eintreten lässt.
Setzt man in der Gleichung (A^) (f^)='(P), so muss^ damit 'nicht linke und
rechte Seite gleichzeitig verschwinden^ [x] von [0] verschieden sein und kann daher nach
Satz 3. des Art. 2. immer und nur auf eine Weise in vier, von einander verschiedene,
ungerade Charakteristiken zerlegt werden. Denkt man sich die Bezeichnung der sechs
ungeraden Charakteristiken so gewjihlt, dass [x] =^ [oiO^OgoJ irt, so besitzen die den
Werthen i »= 5 und i = 6 entsprechenden Glieder der rechtsstehenden Summe den
Werth Null, und man erhält, weun man zugleich | auf die Zahlen 1, 2, 3, 4 beschränkt,
die Formel:
M^[c?iß>2 0sa}J, 6=1,.,., 4,
und hieraus für (v) = (0) die Formel :
t'cBal
[x] = [©iCögCöaOj, 6 = 1, . . ., 4.
Jede der Gleichungen (J.J, (A^) repräsentirt 15 verschiedene specielle, welche aus ihr
entstehen, indem man die vier Charakteristiken [©,], . . ., [ojj auf alle möglichen Weisen
aus den sechs ungeraden Charakteristiken auswählt und dann jedesmal [x] aus der
Gleichung [x] >» [coj^o^fo^to^ bestimmt.
FaU B.
Dieser Fall ist dadurch charakterisirt, dass von den beiden Charakteristiken
[(»], [ö] die eine der [0] gleich, die andere von [0] verschieden ist. Ohne der All-
gemeinheit Abbruch zu thun, kann man annehmen, dass [p] = [0] sei, indem der
Fall, wo [a] »= [0] ist, durch Vertauschung von (v) und (w) immer auf den, wo
[q] = [0] 18*; zurückgeführt werden kann. Entsprechend der Annahme [q] — [0],
nimmt dann die Gleichung (®), wenn man noch [x<y] «* [A], also [orj £^ [xA] setzt,
die Gestalt:
(B,) 2^[xcöd((4^[^«dH^[^«>dM^[^e'd([- u + v + w}
t = i
(1 = 1,2,..., 6)
an. Aus dieser Formel folgt, wenn man (v) in (u) übergehen lässt, und dann den
Buchstaben w durch den Buchstaben v ersetzt, die Gleichung:
— 35 —
<=«
1 = 1 •
(I = 1, 2, . . ., 6).
Jede der Formeln (J?i), (B^) repräsentirt 240 verschiedene specielle^ welche aus ihr
entstehen^ indem man an Stelle von [x], [A] alle Variationen der sechzehn Normal-
charakteristiken zur zweiten Classe ohne Wiederholung treten lässt.
Lässt man in der Gleichung (B^) {w) zu (u) werden^ denkt sich hierauf die
Charakteristik [xA] in vier .ungerade Charakteristiken zerlegt und die Bezeichnung der
ungeraden Charakteristiken so gewählt, dass [xA] Er:^ [cDiOgOjOj ^ [ogOg] wird, be-
schränkt auch I auf die Werthe 1, 2, 3, 4, so unterscheiden sich die beiden, den Werthen
i = 5 und i = % entsprechenden Glieder der auf der rechten Seite stehenden Summe
nur durch das Vorzeichen und zerstören sich also gegenseitig. Man erhält auf diese
Weise die Formel:
■
i = 4
t ssa 1
[xA] = [OigiaOgßjJ , I = 1, . . ., 4,
und hieraus, indem man noch {u) zu (v) werden lässt, die Gleichung:
tja.4
t =? 1
[xA] = [a>ia)2ß>8<»4] > g = 1, . . ., 4.
Jede der Gleichungen (J82'); (^s) repräsentirt 120 verschiedene Gleichungen, welche
aus ihr entstehen, indem man an Stelle von [x], [A] alle Combinationen der sechzehn
Normalcharakteristiken zur zweiten Classe ohne Wiederholung treten lässt und zugleich
jedesmal mit [coj, . . ., [coj die vier ungeraden Charakteristiken bezeichnet, in welche
[xA] zerlegt werden kann.
Setzt man in der Formel {B^ (u) = (0), so erhält man durch eine üeber-
legung, welche der zur Herstellung der Formel (Ä^ angewandten ganz analog ist, die
Gleichung:
t = 4
[x]r=[a}ißj2a)8CöJ, 1 = 1,..., 4.
Die letzte Gleichung repräsentirt 225 verschiedene specielle, welche aus ihr hervor-
gehen, indem man die vier Charakteristiken [ßjj, . . ., [cdJ auf die fünfzehn möglichen
Weisen aus den sechs ungeraden Charakteristiken auswählt, dann [x] aus der Gleichung
M = [ß'iO'gO'soJ bestimmt und für [A] jedesmal der Reihe nach die fünfzehn von [x]
verschiedenen Charakteristiken setzt.
6*
— 36 —
Sollen in der Formel (^2') nicht alle Glieder verschwinden, wenn {u) = (0)
gesetzt wird; so darf zunächst keine der beiden Charakteristiken [x], [A] der Charak-
teristik [0] congruent sein; setzt man dann, entsprechend der Zerlegung einer jeden
der beiden Charakteristiken [x], [A] in zwei ungerade, [x]^[a)^cDj, [A] eee [o^'o,.],
so können weder fi, v noch ft^, v mit den Zahlen 5,6 übereinstimmen, da in diesem
Falle wegen [xA]^^ [cDjajgajgoJ ^^ [«gCOg] eine der beiden Charakteristiken [x], [k]
der [0] congruent wäre. Es dürfen weiter aber auch, wenn nicht alle Glieder von
(Bi') verschwinden sollen, weder beide Zahlen ft, v noch beide Zahlen ft', v unter
den Zahlen 1 , . . ., 4 vorkommen. Daraus folgt, dass für (m) «^ (0) nur diejenigen
Charakteristiken [x] zu berücksichtigen sind, die aus der Gleichung [x] = [fOi^taiy] hervor-
gehen, wenn man für ft eine der Zahlen 1, . . ., 4, für v eine der Zahlen 5,6 setzt.
Bei passender Wahl der Bezeichnung der sechs ungeraden Charakteristiken kann man
daher [x] = [(d^g)^] setzen, und es folgt dann aus [xX] ze [cogOg] immer [A] ^ [o^Og].
Setzt man in der Gleichung .(Ä') nun [x] = [0)405], [A] «= [co^Og], auch 5 = 4, so hat
die linke Seite und das dem Werthe i = 4 entsprechende Glied der rechten Seite
den Werth Null, und man erhält, wenn man noch berücksichtigt, dass:
/ 1 \<"i I "4 / i\(w4tu,a>,(U4)(co^t04)' __ / j v( «,• ) (0)4)' / |\{ci>i«a CO, )(»,.)' / -j \(&>i w» to,) (eoj'
ist, und den allen Gliedern gemeinsamen Factor — (— 1)("»*»»«^) (*"«)' unterdrückt, die
bereits von Herrn Weber*) mitgetheilte Formel: •'
Aus dieser letzten Gleichung folgt schliesslich noch für (v) = (0) die Formel:
*
1 = 8
W 2(-ir"^""'"°'''+<"''""*V[a„a,,(DjfO])^[a„a,,a,,]fO])
t SS 1
Jede der Gleichungen {B4'), {B^) repräsentirt 15 verschiedene specielle, welche
aus ihr entstehen, indem man die beiden Charakteristiken [05], [coq] auf die. fünfzehn
möglichen Weisen aus den sechs ungeraden auswählt und jedesmal die vier übrigen
in beliebiger Reihenfolge mit [cdJ, . . ., [04] bezeichnet. Man überzeugt sich leicht,
dass die, zwei verschiedenen Anordnungen der mit [o^], . . ., [oj zu bezeichnenden
Charakteristiken entsprechenden Gleichungen nicht wesentlich verschieden sind, sondern
sich nur durch die Bezeichnung der '^-Charakteristiken unterscheiden, von denen jede,
als gerade Charakteristik, zwei Darstellungen durch je drei ungerade zulässt.
Man kann hier bemerken, dass in Folge der Gleichung:
eine '^-Function ungeändert bleibt, wenn man ihre Charakteristik um die Summe der sechs
*) Weher, Anwendung der '9^-Fnnctionen etc. Math. Annalen Bd. XIV. pg. 179. Glchg. (16).
— 37 —
ungeraden Charakteristiken vermehrt. Geschieht dies bei der Function ^[(0i(02(0q]([v},
so folgt, unter Berücksichtigung der Relation -^[x + 2A]{t;)) = (— l)<*)<^)'d[x]((t;]> und
der Beziehung (— l)(«4<«.«.)(«i«i«.)' = (_ i)(«i«i<«^)(«>i «»«.)' = -^ i^ dass
iaif in welcher Reihenfolge auch die ungeraden Charakteristiken mit [(oj, . . ., [o^] be-
zeichnet sind.
FaU C.
Sind die beiden Charakteristiken [q], [0] von einander und von [0] verschieden,
so setze man in der Gleichung {&), nachdem man jede der darin vorkommenden
^-Functionen mit der Charakteristik [xOiQ&l, i=l,..., 6, unter Ausscheidung des
Factors ( — iy**'»?*')w «^^ ^^^ solche mit der Charakteristik [xiOiXQxö] verwandelt,
und linke wie rechte Seite mit ( — ly*"^?^^*) multiplicirt hat, allenthalben [xq] = [A],
[x<y] = \ji]. Die Gleichung (®) nimmt dann die Gestalt:
»=sl
(5-1,2,. ..,6)
an. Da für [x], [A], [fi] alle Variationen der sechzehn Normalcharakteriatiken zur
^ritten Classe ohne Wiederholung gesetzt werden können, so repräsentirt diese Gleichung
im Ganzen 3360 verschiedene specielle.
Lässt man in (C^) (v) zu (u) werden und wendet hierauf dieselben Schlüsse
an, die zur Herstellung der Gleichung (B^') benutzt wurden, so erhält man, wenn man
schliesslich noch an Stelle des Buchstabens w den Buchstaben v treten lässt, die
Formel:
ia 1
[xA] = [fi)iCÖ2C03öJ, g = 1,..., 4.
Setzt man hierin an Stelle von [x], [A] alle Combinationen der sechzehn Normal-
charakteristiken zur zweiten Classe ohne Wiederholung, so entstehen einhundertzwanzig
verschiedene Gleichungen, und es können in jeder derselben für [fi] noch die vierzehn
von [x] und [A] jedesmal verschiedenen Normalcharakteristiken eintreten. Berücksichtigt
man jedoch, dass, wenn eine beliebige dieser vierzehn Charakteristiken mit [ft'] be-
zeichnet wird, dann immer eine zweite der Charakteristik [xX^'] congruent ist, und
dass zwei solche Charakteristiken an Stelle von [fi] gesetzt,. dieselbe Gleichung hervor-
— 38 —
bringen, so folgt, dass die Anzahl der in (O2) enthaltenen speciellen Gleichungen 840
beträgt.
Zur Herleitung einer Relation zwischen Producten von je vier •Ö'-Functionen
mit verschiedenen Charakteristiken, aber gleichen Argumenten (v), lasse man in der
Gleichung (C^) (u) in (v) übergehen und denke sich gleichzeitig [A] in die Form [ocq],
[ft] in die Form [x6] gebracht, auch jede der so entstehenden «^^Functionen mit der
Charakteristik [xx^xcroj, i = 1, . . ., 6, unter Ausscheidung des Factors ( — ly*^*'"«^*'
in eine solche mit der Charakteristik [xQöfOi] verwandelt. In Folge der oben für [x],
[A], [ft] gesetzten Bedingungen muss dann [(>] ^ [»iCOgCDgoJ ^ [cogCOß] und [0] sowohl
von [0], als von [q\ verschieden sein. Setzt man also, entsprechend der Zerlegung von
[0] in zwei ungerade Charakteristiken, [0] ^^ [<ö/i«r], so können, weil [g] ^ [05Ö6] ^^*>
ft, V nicht mit den Zahlen 5, 6 übereinstimmen. Man überzeugt sich weiter leicht, dass
auch die Zahlen fi, 1/ nicht beide unter den Zahlen 1,2,3,4 vorkommen dürfen, wenn
nicht die vier Glieder der Gleichung paarweise bis auf das Vorzeichen übereinstimmen,
sich also gegenseitig zerstören sollen. Daraus folgt, dass für [0] nur solche Charak-
teristiken zu berücksichtigen sind, die aus der Gleichung [0] = [ß)/*aij hervorgehen,
wenn man für ft eine der Zahlen 1, . . ., 4, für v eine der Zahlen 5, 6 setzt. Bei
passender Wahl der Bezeichnung der ungeraden Charakteristiken kann man daher
immer [0] = [(O4CD5] setzen. Führt man nun in der in oben angegebener Weise um-
geformten Gleichung (Cg) an Stelle von [9] die Charakteristik [(o^(Oq\j an Stelle von
[0] die Charakteristik [co^Og] ein und vereinigt mit Hülfe der in Art. 3. gegebenen
Relationen die auftretenden Exponentialgrössen in passender Weise, so erhält man
zunächst die Gleichung:
^(— ly^'^ ^ "») ( ^i y d^ [x <0i] {v} d' [x (Oi ©5 (öj f[v} » [x a)i ©4 QI5] {v} ^ [x ©,. ©^ ©g] {v} = .
t = 1
In dieser Gleichung kann für [x] jede der sechzehn verschiedenen Charakteristiken
gesetzt werden; es verdient aber hervorgehoben zu werden, dass die auf diese Weise
entstehenden Gleichungen nicht wesentlich von einander verschieden siAd, da durch
Uebergang von einer Charakteristik [x] zu einer anderen entweder nur eine Umstellung
der vier Factoren in jedem •Ö'-Producte, oder eine Vertauschung der 'Ö'-Producte gegen-
einander, unter Hinzutritt eines allen Gliedern gemeinsamen Factors, oder endlich beides
bewirkt wird. Man kann daher unbeschadet der Allgemeinheit der obigen Formel in
derselben [x] = [0] setzen und erhält dann die Gleichung:
» •==4
Diese Gleichung repräsentirt 20 verschiedene specielle, welche aus ihr erhalten werden,
indem man die drei Charakteristiken [©^], [©2], [©3] auf die zwanzig möglichen Weisen
aus den sechs ungeraden Charakteristiken auswählt; in welcher Reihenfolge die drei übrigen
Charakteristiken mit [©4], [©5], [©g] bezeichnet werden, ist, wie man sich leicht über-
zeugt, gleichgiltig.
- 39 -
«
Setzt man in der Gleichung (Cg) (u) = (0), so erhält man nach einer Ueber-
legung, welche der zur Herstellung der Gleichung (B4/) angewandten ganz ähnlich ist;
nach einigen leichten Umformungen die Gleichung:
(C,) 2(- lf""^'°''""'-^>[c.ai,a,8]C0j*[a,.a,,a,,]C0|*[;tö,]C«|*[/to),«,a,,]Ci;]) = 0,
die für [ft] «= [0] schon von Herrn Weber*) aufgestellt worden ist. Die Gleichung
(CJ repräsentirt bei festgehaltener Charakteristik [fi] fünfzehn verschiedene specielle,
welche aus ihr entstehen ^ indem man die beiden Charakteristiken [cog]; [og] auf die
fünfzehn möglichen Weisen aus den sechs ungeraden auswählt und die vier übrigen
jedesmal in beliebiger Reihenfolge mit [cdJ, . . .j[(o^] bezeichnet^ auch hiezu das bei Formel
(B4,') Bemerkte beachtet. Lässt man sodann an Stelle von [^] alle vierzehn von [0)40)5]
und [o^o)^] verschiedenen Charakteristiken treten^ berücksichtigt dabei, dass, wenn eine
beliebige dieser vierzehn Charakteristiken mit [fi] bezeichnet wird, dann eine zweite
der Charakteristik [iico^to^] congruent ist, und dass zwei solche Charakteristiken, an
Stelle von [fi] gesetzt, dieselbe Gleichung hervorbringen, so folgt, dass die Anzahl der
in (C4) enthaltenen speciellen Gleichungen 105 beträgt.
Setzt man in der Gleichung (CJ [fi] ■= [xa>J, so erhält dieselbe nach einfacher
Umformung die Gestalt:
(O'J ^[a)5a)iO)JCO))^[o)50)20)JCOl)^[xOiO)JH^[xo)80)8]|;4
= (_ l)(«.--)("^«^)>[o)5O),o)JC0J^[o)5O),a)3]((0|^[xo),c)JCt;|^
in welcher sie später zur Verwendung kommen wird.
Da für (v) = (0) sämmtliche Glieder der Gleichung (Cg) verschwinden, so
existirt keine Relation zwischen Producten von je vier Grössen 'ö'[£]([0)) mit verschiede-
nen Charakteristiken [«]. ,
13.
Einige der unter {Ä), (B), (C) aufgeführten Formeln verdienen theils wegen
ihrer Structur, theils wegen ihrer späteren Anwendung besondere Beachtung und sollen
daher jetzt eingehender besprochen werden.
Die Formeln (-ij), (JB^), (JB2'), (Cg) können, da man alle weiteren Relationen
aus ihnen durch Specialisirung der Argumente, ohne auf die Formeln (-4i), (-Bi), (Cj)
zurückgehen zu müssen, erhält, als die Fundamentalformeln angesehen werden; berück-
sichtigt man dann noch, dass (J?^) die Formel (J^) als speciellen Fall enthält, wenn
[A] = [x] zugelassen wird, ebenso (Cj) die Formel (B^) für [/x] = [x], so folgt, dass
die beiden Formeln {B2), {C^ zur Herstellung aller weiteren ausreichen.
*) Weher, Anwendung der Thetafunctionen etc. Math. Annalen Bd. XIV. pg. 179. Glchg. (16)
und: üeber die iTMmmer'sche Flache etc. Crelle's Joarnal Bd. 84. pg. 336. Glchg. {B).
— 40 —
Die Gleichdngen (A,), (B^, ((7,) sind Ton den später folgenden Relationen
zwischen ^-Functionen mit denselben Argumenten dadnrch ausgezeichnet^ dass sie in
Bezug auf die Functionen 'Ö'[«]^t;]) von\ vierten Grade sind und keine Grossen #[€]fOj
enthalten. Unter ihnen verdient die Formel (C^) besondere Berücksichtigung. Die vier
Charakteristiken eines jeden der vier in (C,) vorkommenden 'd'-Producte bilden nämlich
ein Vierersystem zweiter Art, und es enthalten weiter die vier den vier Producten ent-
sprechenden Vierersysteme zusammen alle sechzehn Charakteristiken. Auch zeigt eine
einfache Ueberlegung, dass die zwanzig in (C^) enthaltenen speciellen Gleichungen den
zwanzig in der Tabelle 11. vorkommenden, jedesmal alle sechzehn Charakteriatiken ent-
haltenden Gruppen von je vier Vierersystemen zweiter Art entsprechen. Einige der
aus (Bg) folgenden speciellen Gleichungen finden sich schon bei GSpd*), die zwanzig
in ((7,) enthaltenen Gleichungen erwähnt Rosenhain**).
Di^ Gleichungen (A^\ (jBJ, (Ba')} {Ci)f ^^^ denen (^4^) als specieller Fall von
(£4), (^4') als specieller Fall von (O4) aufgefasst werden kann, repräsentiren Relationen
zweiten Grades zwischen den sechzehn Functionen -ö'[£]([t;]). Die Formeln (-^.J, (JB4)
zeigen, dass zwischen je vier 'd'-Quadraten, deren Charakteristiken einem und demselben
Sechsersysteme entnommen sind, eine homogene lineare Relation mit constanten Coef-
ficienten besteht. Bezüglich der Formeln {Bi/), (C^ verdient Folgendes hervorgehoben
zu werden. Bezeichnet man ein -Ö'-Product •9'MC^]) -^hlC^jD als zur Charakteristik [x]
gehörig, wenn [s] -|- [rf] 13 [x] ist, so gehören zu jeder, von [0] verschiedenen Charak-
teristik [x] acht verschiedene -^--Producte, von denen immer vier gerade, vier ungerade
Functionen des Argumentensystemes (v) sind. Ein Blick auf die Formel (Q) zeigt nun,
dass die drei in ihr vorkommenden ^-Producte zu derselben von [0] verschiedenen
Charakteristik [o^cog] gehören, und man kann daher entsprechend den fünfzehn von
[0] verschiedenen Charakteristiken, denen [05 Og] congruent werden kann, die einhundert-
zwanzig in (C^) enthaltenen speciellen Gleichungen in fünfzehn Gruppen eintheilen,
von denen jede dann acht Gleichungen enthält. Die drei in einer solchen Gleichung
vorkommenden '9'-Pro4ucte sind entweder sämmtlich gerade oder sämmtlich ungerade
Functionen, und man erkennt weiter, dass sowohl zwischen je drei von den vier ge-
raden, wie zwischen je drei von den vier ungeraden, zur Charakteristik [x] gehörigen
-©•-Producten eine der acht Gleichungen der durch die Charakteristik [x] fixirten Gruppe
besteht. Von grosser Bedeutung für die späteren Untersuchungen ist endlich der Um-
stand, dass die vier Charakteristiken von irgend zwei der drei in derselben Gleichung
vorkommenden '9'-Producte ein Vierersystem erster Art bilden.
Die Formeln (-4ß), (JSg) liefern die bekannten Relationen zwischen den zehn
von Null verschiedenen Grössen ^[€]^0]j.
14..
Die in den Formelsystemen (Ä), (jB), ((7) enthaltenen speciellen Gleichungen
sind theilweise von einander abhängig. Im Folgenden soll die Art dieser Abhängig-
*) Göpel, Theoriae transcendentium Abelianarum etc. Grelle's Journal Bd. 36. pg. 293.
**) Rosenhain, Memoire sur les fonctions etc. pg. 426.
(I)
— 41 —
keit untersucht und die Beduction der Gleichungen auf eine kleinste Zahl von einander
unabhängiger durchgeführt werden. Die betreffende Untersuchung wird sich aber auf
die in (^5); (JB5) . enthaltenen Relationen zwischen den zehn von Null verschiedenen
Grössen -©"[«IfO)) und auf die aus {A^y {B^ und aus (J^^'), (CJ folgenden '9'-Pormeln
beschränken dürfen^ da man von diesen ^ wenn man sie nicht nur für das Yariablen-
system {y)y sondern auch für das Yariablensystem (u) aufgestellt denkt; rückwärts zu
den Grundformeln (-Bg); (C^) gelangen kann.
Von den fünfzehn in {A^ enthaltenen speciellen Gleichungen sind zunächst
die neun^ welche geraden Charakteristiken [x] entsprechen^ eine Folge der sechs übrigen.
Schreibt man diese letzteren — indem man ^\(oi(Ofi(o^i^)j zur Abkürzung mit [Afti/]
bezeichnet; auch entsprechend ( — \Yi\^ti durch (— 1)^1'* ersetzt — in der Form:
[123]* = (— 1)^1* [284]* + (— l)«l* [134]* + (— l)»!* [l24]*,
[128]* = (— 1)'15 [285]* + (— 1)215 [135]* + (- lf\^ [l2ö]*,
[123]* = (— l)l|6 [286]* + (- l)«i« [136]* + (- l)^!« [l26]*,
[123]* = (- l)l|* [234]* + (— 1)11« [235]* + (- lY>^ [236]*,
[123]* = (- l)«l* [134]* + (- 1)«:* [136]* + (- l)»!6 [l36]*,
[123]* = (— 1)81* [124]* + (— l)8|5 [125]* + (— l)»l« [l26]*,
SO erkennt man weiter, dass auch sie nicht unabhängig sind, dass vielmehr jede von
ihnen durch lineare Verbindung der fünf übrigen erhalten werden kann.
Bezeichnet man, wie vorher, '9'[a};io^c}J((0)) mit [A/Ltv] und ersetzt weiter noch
(_ i)(«x"x)("/,«,.)' durch (— l)''^i"»'', so nehmen die fünfzehn in (JB5) enthaltenen
speciellen Gleichungen die Gestalt:
[235]» [236]« = (— 1)1» "' [125]* [126]« + (— l)""' [l36]« [l86]»,
[236]» [234]« = (— l)"«6' [126]« [l24]» + (— l)"-"' [l36]« [l34]«,
[284]« [235]« = (- 1)»»««' [124]« i;i26]« + (— l)"-»«' [l34]« [l35]«,
[124]« [134]« = (— 1)««' [125]« [136]« + (— l)««' [l26]« [l36]«,
[124]« [234]« = (— 1)« • ««' [125]« [285]« + (— l)« • «*' [l26]« [236]«,
[134]« [234]« = (— 1)«««'[135]« [235]« + (- l)«»' [l36j« [2861«,
[128]« [124]« = (— 1)«5 1«'[135]« [286]« + (— l)«« ■ "' [l36]« [236]«,
(H) [128]« [126]« = (— l)«« • "' [136]« [234]« + (— l)«*- »«' [l34]« [236]«,
[123]« [126]« -= (- l)«*»' [134]« [235]« + (— l)««"[l85]« [284]«,
[128]« [234]« — (— l)»««' [125]« [l36]« + (— l)»<«*' [l26]« [l36]«,
[123]« [285]« = (- l)«««*' [126]« [l84]« + (— l)"««' [l24]« [l86]«,
[123]« [236]« = (— l)»* ■ «*' [124]« [l86]« + (— l)» • «*' [l25]« [l34]»,
Ebazxb, zweif. nnendl. TheUrelhen. 6
- 42 —
[123]« [184p = (— 1)35-1«' |-i26]« [236]» + (— i)^''^' [l26]* [235]%
[123]« [135]« = (- l)3«-l*' [126]« [234]« +. (— i)^'^' [l24]« [236]«,
[123]« [136]« = (— 1)»*-15' [124]« [235]« + (- l)»^-^*' [l25]« [234]«
an. Die Systeme (l), (II) stehen in dem Zusammenhange, dass aus den Gleichungen (II)
die Relationen (I) abgeleitet werden können. Die fünfzehn Gleichungen (II) selbst
sind aber auch nicht unabhängig von einander, vielmehr kann man auf mehrere Weisen
sechs unabhängige unter ihnen auswählen, auf die sich die neun übrigen reduciren lassen.
Solche sechs Gleichimgen bestimmen dann die sämmtlichen zwischen den zehn von Null
verschiedenen Grössen '9'[«]((0)) bestehenden Beziehungen.
Für die Discussion der Formeln (Ä^, {B^ berücksichtige man, dass die
vier Charakteristiken eines Vierersystems zweiter Art bei passender Wahl der Be-
zeichnung der sechs ungeraden Charakteristiken immer in die Form [xoj, [^c^^]; [^^^s]^
[xo^OgOs] gebracht werden können, dass also irgend drei von diesen vier Charak-
teristiken in einem und demselben Rosenhain' sehen Sechsersysteme sich finden. Durch
die vier Combinationen dieser vier Charakteristiken zu je dreien werden daher vier der
sechzehn Sechsersysteme bestimmt; die zwölf in diesen Systemen ausserdem noch vor-
kommenden Charakteristiken sind, wie man sich leicht überzeugt, sämmtlich von ein-
ander verschieden und stimmen daher nothwendig mit den zwölf von [xcdJ, [xcd^],
[xcog], [xcDiögOJj] verschiedenen Charakteristiken überein. Da aber die Formeln (-äj, (B4}
für je vier -d'-Quadrate, deren Charakteristiken einem und demselben Sechsersysteme
angehören, eine homogene lineare Relation liefern, so lassen sich aus ihnen zwölf
Gleichungen ableiten, welche durch die vier '^'-Quadrate '^«[xg>i]((v)), ^^[^cd2]([v},
9'«[xc}3]([v)), '9'«[xGJiCö2öJ3]((v)) die zwölf übrigen linear ausdrücken. Diese zwölf Gleichungen
haben, Avenn man unter Beibehaltung der obÄi eingeführten abgekürzten Schreibweise
noch '9-[jcc}^£»aW*]((t'')) durch d'lxQör'] bezeichnet, die Form:
[123]«'9'«[X4] =(-l)''«8l*'[234]«'^«[xl] -}-(-l)*"«*' [l34]«'9•«[x2] +
[l23]«'8^«[x5] = (_1)''23.15' [235]«-9'«[xl] + (-l)*18-25' [i35]2^2[x2] -j-
[123]«Ö'«[X6] =(-l)^«8-l«'[236]«^«[xl] +{-iy^^-^^'[inQ]^^''[x2] +
(III)
[123]«'0"«[X124]
[123]«-^« [x 125]
[I23]«'d'«[xl26]
[123]«'9'«[X134]
[I23]«'0'«[xl35]
[I23l«0'«[xl36]
:(-l)*.34' [i24]«^«[xl23]-f-(-l)''«8«^'[l34]«'9'«[xl] +
(_l)x.35' [i25]«^«[xl23]-|-(-l)''«3«ö'[l35]«'9^[xl] +
,(-l)«.36' [i26]«^«[xl23]-f-(-l)'^«3««'[l36]«/9'«[xl] +
,(_l)x.24' [i34]*ö'«[xl23] + (-l)''»«*'[m]»«'*[xl] +
(-l)"»' [l85]»Ö'«[xm] + (-l)«»»»[l25Pö'*[xl] +
(-1)*««' [l36]«ö'«[}«m] + (-l)''«»»«'[l26]*ö'«[xl] +
-l)''»-8*'[l24]*Ö^[x3],
-1)'"»»'[125]**«[X3],
_l)x 12.36- [■i26]*ö-«[x8],
-1)''1»"'[234]«Ö-*[X2],
_l)xis.w'[-236]2^2|-^2],
-1)«"»«'[236]«-9'*[X2J,
-l)''«»*'[234]*d'*[x3],
-1)''"«'[236]**»[X3],
.I)xi2.i«'[236]«0.«[x3],
- 43 -
[129]^ d'^ [X234] = (^1)" • ^*' [234]«-^^ [x 123] + (-l)* ^^ • ^' [l24]»^» [x 2] + (-l)* " ' «*' [l34]«^ [x 3],
[123^-9^ [XS35] = (-1)'' • 15' [235p'9-* [X 123] + (-1)'' !«• »^' [125]«^« [X2]
[l23]«'0^[x236] = (-l)''-l«'[236]«'9*[xl23] + (-l)^i3.86'[i26]«-9-*[x2] + (^
und ersetzen, uritär Berücksichtigung der Relationen (I), (II), die sämmtlichen zwei-
hundertvierzig in (-^4), (B^) enthaltenen speciellen Gleichungen. Es mag hier bemerkt
werden, dass aus der -in Art 17. auftretenden Gleichung (P') sich ohne Mühe eine
Formel ableiten lässt, welche die zwölf in dem Systeme (III) vorkommenden Gleichungen
umfasst. Zu dem Ende setze man in der Formel (P') [co] = [oj, [a] = [oc^chq], unter
[/t] eine willkürliche Charakteristik verstanden, ferner (v) = (0) und hierauf endlich
(t/) = (v)] man erhält dann die gewünschte Formel in der Gestalt:
*'K]((0))^[xf*]W =2'(- if '^"'••"'""•■*>*[ft«.o«.-]((0))^*[x(»,]((i')),
1=0
wobei [cöj die Summe der drei Charakteristiken [oj, [©2], [oj] bezeichnet, also
[cjj = [oj^OgOg] ist. Diese Formel ist im Wesentlichen mit der Formel (13) des
Herrn Weber*), von der die gleichzeitig mitgetheilten Formeln (12), (14), sowie die
in einer anderen Abhandlung**) gegebenen Formeln (J.), {Ä') specielle Fälle sind,
identisch.
Was endlich die einhundertzwanzig in (JB^'),^^^) enthaltenen speciellen Glei-
chungen betrifiPt, so kann man aus jeder derselben durch zweimaliges, in passender
Weise ausgeführtes Quadriren eine Relation vierten Grades zwischen den Quadraten
der sechs in ihr vorkommenden '^'-Functionen ableiten. Die einhundertzwauzig auf diese
Weise entstehenden Gleichungen liefern aber, wenn man die in ihnen vorkommenden
*9"-Quadrate mit Hülfe der Gleichungen (III) durch die vier «^-Quadrate '^•^[xi], '0'*[x2],
'Ö'^[x3], '&'^[xl23] ausdrückt, auch die Relationen (I), (II) berücksichtigt, immer dieselbe
Gleichung vierten Grades zwischen diesen, vier '^'-Quadraten und können daher mit
Hülfe der Gleichungen (I), (II), (III) immer auf eine einzige unter ihnen reducirt
werden. Die Herstellung der Gleichung vierten Grades zwischen '^•^[xi], ^*[x2], '9"*[x3],
'9'*[xl28], die also in Verbindung mit den Gleichungen (I), (II), (III) in gewissem Sinne die
sämmtlichen einhundertzwanzig Relationen {B4;), (C^) ersetzt, soll jetzt durchgeführt
werden.
Zu dem Ende gehe man von der Formel (CJ aus und bringe dieselbe, indem
man [ft] <= [x] setzt und ähnliche Abkürzungen wie oben anwendet, in die Form:
(-. I)''l2a.i'[i45] |-i46] ^|-;^ij ^[xi56] + (— l)*l 28.2' [-245] [246] -0'[x2] -9-[x256]
+ (— l)'' ^ " . 3' [345] |-346] ^ [x 3] ^ [x 356] = 0.
*) Weher, Anwendung der Thetafunctionen etc. Math. Anaalen Bd. XIV. pg. 178.
**) Weher, Ueber die Eummer'sche Fläche etc. Crelle's Journal Bd. 84. pg. 334. In der
Formel (Ä') ist wobl in Folge eines Druckfehlers <^*[a> + ?,] («1 , Vjt) an Stelle von ^'[Po +ft] (^11*^2)
gesetzt worden.
6*
— 44 —
Quadrirt man diese letzte Formel in passender Weise zweimal nacheinander und berück-
sichtigt, dass, wenn [«] ^ [ij] ist, stets die Beziehmig d'^ [e] ((v)) = d'^ [i^] |t;)) besteht, . so
erhält man die Gleichung:
[236]* [236]* d*[xl] «•*[X234] + [l36]*[l36]* »*[«2\ Ö^[xl84] + [l26]* [l26]* **[x8] «•*[xl24]
— 2 [236]* [236]* [136]* [l36]* «*[xl] •»•*[x2] d*[xiU] **[x 134]
— 2 [136]* [136]* [125]» [126]* «^[x2] «•*[x3] «^[xl34] «*[x 124]
— 2 [126]* [126]* [235]* [236]* ^[x3] «•*[xl] **[xl24] «^[x234] = 0,
in der man jetzt '9'*[x234], '9'^[xi34], d'^[xi2i] aus dem Gleichungensysteme (IQ) durch
d^[xi\f d^[x2], d'^[xs]f d'^[xl2S] ersetzen kann. Geschieht dies, so erhält man nach
passender Vereinigung der zusammengehörigen Glieder, wenn man noch zur Abkürzung:
[234] [235] [236] =^ q , [l34] [l35] [l36] = C^ , [l24] [l25] [l26] == Cg
setzt, die gewünschte Relation Tierten Grades zwischen •9^[xi], •9'*[x2], •6'*[x3], '9'*[xi23]
in der Form:
Ci*(#*[xl28]d*[xl] + «•*[x2]fl^[x8]) + Ci,*(e^[xl23]Ö'*[x2] + ö^[xl] Ö-*[x3])
+ ß,* (d* [x 123] «•* [X S] + Ö-* [X 1] »* [X 2])
- 2 (— l)«»*' Ci*<^*«-*[xl] d*[x2](d*[xl23] + (- 1)11« «^[x3])
— 2 (— i)"*»' c,*a,*a'*[x2] »*[x8] (**[xl23] + (— i)*i»«'*[xi])
- 2 (— l)»-»»' C8*Ci***[x3] «■*[X1] (a'*[xl23] + (— l)»l» «•*[X2])
- 2 (— 1)''*81*'C,*C,***[X123]^*[X3](^*[X1] + (— l)»l»e^[x2])
- 2 (- i)«««»Vcj*'9*[xl23] d*[xl](ö'*tx2] + (- l)*i»«*[x3])
- 2 (— l)'"*"'<^*Ci*^[xl23] ^[X2] (ö'*[x3] + (— l)8|i Ö*[xl])
- 2 [(-ir.u,,«c,*(|f +(-iyi*[g:]:-)+(-i)*3.**v^*([St];+(-i)*^^
+ (- ir'*'c,W(^^, + (- l)»l»[?|^)] ^[»«läS] ^[^^] ^*[X2] ^[X3] - 0.
(IV)
- 45 —
15.
Setzt man in der zuletzt erhaltenen Gleichung [x] >= [0], so ninvnt dieselQe,
wenn man sie zugleich nach Potenzen von d[i23] ordnet, die Gestalt:
^«^[123] + 2B9*[ii3] + C =
an, wobei:
A «. Ci*d*[l\ + Ci* e*[2\ + Cj* ^«[3] — 2Ci»Cj* **[1] ^»[2] — 2c,«ft,« ^[2] ^[3]
— 2 «8 V ■9'* [3] •**[!]»
5 =. (— l)i»«''Ci»C3*^[l] *«[2] + (— l)««'Ci»C8»^*[l] ^[3] + (- l)«"'Ci%«**[2] ^[3]
+ (- 1)" »v«.' ([Slf! + (- 1)'" [Sf )]»'w»'w»"w,
2
ist. Lost man die entstandene Gleichung nach d^ [i2d] auf^ so erhält man '9''[i23]
durch ^[i], 'Ö'*[2], -9^ [3] ausgedrückt in der Form: •
(W) ^' [123] ^-^2 ^ ^
wobei das Vorzeichen der auf der rechten Seite stehenden Wurzel noch zu bestimmen
ist. Unter Zuziehung der drei ersten Gleichungen des aus (III) für [x] = [0] hervor-
gehenden speciellen Systems von zwölf Gleichungen^ welches in der Folge der ein-
facheren Ausdrucksweise wegen als Gleichungensystem (ÜIq) bezeichnet werden Soll,
lässt sich nun direkt darthun^ dass die drei Ausdrücke Ä^ B, C in der merkwürdigen
Beziehung zu einander stehen, dass:
JB* - ^C = 4[l23]«[l24]*[l2o]*[l26]«[l34]2[l35]«[l36]«[234]*[235]^[236]2
X ^* [1] d^ [2] ^^ [3] ^ [4] ^« [5] ^ [6]
ist. Setzt man mit Rücksicht hierauf:
YB"- —AC= 2[l23p[l24][l26] . . . [236] 'Ö'[l] '6^[2] . . . -»-[e],
so lässt sich die Gleichung {w) in die Form:
{w) ^^*[123] + JB = 1? . 2 [123]' [124] . . . [236] ^[l] . . . ^[6]
bringen , wo i^ entweder den Werth -|- 1 oder den Werth — 1 hat Zunächst kann
man nun beweisen, dass der W^rth vou i} unabhängig Yon der Reihenfolge ist^ in
welcher die ungeraden Charakteristiken mit [oj, . . ., [cog] bezeichnet worden sind. Be-
rücksichtigt man, dass die Gleichung (vf) weder geändert wird, wenn man zwei der
— 46 —
drei Charakteristiken [(»i], [(o^]^ [(x>s], noch auch, wenn man zwei der drei Charakteri-
stiken [(öj, [ojg], [Oß] mit einander vertauscht, berücksichtigt ferner, dass [oji], . . ., [og]
die sechs ungeraden Charakteristiken in beliebiger Reihenfolge darstellen, so erkennt
man, dass es zum Nachweise der Unveränderlichkeit von r} genügt, zu zeigen, dass der
Werth Von i^ in der Gleichung (w) sich nicht ändert, wenn eine der Charakteristiken
[oj, [ög]; [coaJj 2. B. [oj, mit einer der Charakteristiken [gjJ, [©5], [cög], z. B/*mit [oj,
vertauscht wird. Führt man aber diefee Vertauschung in der Gleichung {w') aus, so
kann man mit Hülfe der Gleichungen des Systems (IIIo) zeigen, däss linke und rechte
Seite der dadurch entstehenden Gleichung sich beziehlich von der linken und rechten
Seite der ursprünglichen nur danu um denselben Factor unterscheiden, wenn ri in beiden
Gleichungen denselben Werth hat. Nachdem so die Unveränderlichkeit des Werthes
von rj nachgewiesen, kann man denselben ermitteln, indem man für [oj, . . ., [coq] die
sechs ungeraden Charakteristiken in irgend einer bestimmten, z. 6. der natürlichen,
Reihenfolge setzt und dann linke und rechte Seite der Gleichung (w') in Bezug auf die
niedrigsten Potenzen von 6"" e^ vergleicht. Man findet so, dass rj den Werth — 1
besitzt, und es besteht daher, wenn YB^—AC das oben angegebene -ö'-Product be-
zeichnet, die Gleichung:
Ebenso wie '^'^[123] kann man nun auch die Quadrate der neun übrigen geraden
'^'-Functionen' durch -Ö^Ci], -Ö'^W, -d-^M ausdrücken, indem man das unter (te;) für -9^ [123]
Gefundene in die neun letzten Gleichungen des Systems (IHq) einsetzt. Anstatt diese
Ausdrücke hier aufzustellen, sollen — was im Wesentlichen dasselbe — unter An-
wendung des von Herrn Rosenhain für einen speciellen Fall eingeschlagenen Verfahrens,
•die fün&ehn, denselben Nenner '^-[3] besitzenden 'd^Quotienten mit Hülfe der letzten
für '9'*[i23] gefundenen Gleichung als Functionen derselben zwei unabhängigen Ver-
änderlichen Xi, x^ dargestellt werden. <
Setzt man, indem man unter a, h noch unbestimmte Constanten versteht:
so stellen sich in Gemässheit der drei ersten Gleichungen des Systems (ni^) die den
drei übrigen ungeraden Charakteristiken entsprechenden Quotienten in der Form:
Ä -f- Z(a;i -f- 0^2) -|- mx^x^ dar, wo Ä, l, m jedesmal lineare Ausdrücke von a, h sind.
Führt man dann die Bedingung ein, dass jede dieser drei Formen in ein Product zweier
Linearfactoren zerfalle, in der Weise, dass h -f- l{x^ -\- x^) + mx^x^ = k{l — nXj)(l — nx^)
wird, so erhält man drei Bedingungsgleichungen für die Grossen a, b, von denen aber
jede eine Folge der beiden übrigen ist. Aus ihnen bestimmen sich die Grossen a, b ein-
deutig, und es ergeben sich dann weiter, für jeden der drei Quotienten die ihm ent-
sprechenden Werthe von k und n ohne Mühe. Man erhält so schliesslich; wenn man
noch aus den linken wie rechten Seiten der entstehenden Gleichungen die Wurzel aus-
zieht, für die fünf, den ungeraden Charakteristiken entsprechenden 'd'-Quotienten die
folgenden Ausdrücke:
- 47 —
*W _ [124] [125] [126] y-—
* [3] ~~ [234] [235] [236] ' •''i *« '
«•[2] _ [124] [125] [^2^ T/ ä — xM\—x\
*[3]"" [134][135i"[186] ''^^ ^»-"^^ ^«'''
^ _ [124] [236] [236] ^ z, _ „,^ w. _ .,»„ n
*[3] — [128][136][136] »^^^ !> «lÄA 1>^>
fr [6] _ [126] [236] [234] V n — q«x VI — Q»a; ^
fr [3] — [123] [136] [134] »^^^ ^ *''^ ^ *'''
fr [6] _ [126][234][236] i/ n _>^^ n/i — r«^ 1
fr [3] ~ [f23]Ti34]'[r36] ►^ ^^ '-"^ ^' '
wobei :
„» _ r_ 1 V3 ■ w [i?Ül[i!5]! „2 _ r_ 1 ^« • «■ [i26]'[i2*]' r* = r- iv» ■ *«• füflM^M'
V —K ^) [235]»[286]»' ^ ~^ ' [236]* [234]» ' ^ ' [284]»[236]'
ist, und die rechts stehenden Wurzeln als Repräsentanten einwerthiger Functionen
von Vj, V, selbst eindeutig bestimmt sind.
Mit Hülfe der oben für d'^[i23] gefundenen Gleichung lässt sich nun auch
der Quotient der Functionen '9^[i23] und '^'[8] durch x^, x^ ausdrücken. Durch Ein-
führung der soeben für die den ungeraden Charakteristiken entsprechenden 'd'-Quotienten
erhaltenen Ausdrücke ergibt sich nämlich:
A = [124]* [126]* [126]* **[3] . (a;, — «,)*,
B==(_l)i3a«M[285]|_[2^^^^
yW^-Jß = ['3lj'.g5]![;gj! [124]* [126]* [126]* *«[3] . 2P(^, | X,) ,
wobei:
J(a;,|a^) =y^>/(l-^i)(l-^l^(l-J'*^i)(l-l'*%)y(l-«*«,)(l-4X)K(l-'-'a;x)(l-r*x,)
ist, und man hat daher:
*«[123] _ [284 ]»[286] '[ 286]'
>^[3] "" [134]«[135]2[136J«
Dividirt man endlich linke wie rechte Seiten der neun letzten Gleichungen des
Systems (111^) durch [123]* '^•^[s], und ersetzt die dann rechts auftretenden ^^-Quotienten
«
durch die im Vorigen für sie gefundenen, die Grössen rcj, x^ enthaltenden Ausdrücke, so
erhält man die den neun übrigen, von [co^o^g's] verschiedenen, geraden Charakteristiken
entsprechenden '^^-Quotienten folgendermassen als Functionen von x^^ x,^ dargestellt:
d»[124] [ 124]*[234]«[236]'[286]«
^'''^^ [123]*[134]»[135]*[136]«
- 48 —
^«[125] _ [125T[2341^[235]«[286]»
"F[3] [123]«[184J«[135]«[136]«
{x^ - xi)^
^«[126] [126]*[284]»[235]*[236]«
^*[3] [123J»[134]*[135]»[136]»
(-- 1)^^-^«' [a;, (1 -a:J(l -i)»:r,)(l -- 3«a:0(l ~r«a:0 +aJ,(l - Ä?,)(l -i>»^
»«[134] [234]»[285]«[286]'
^"[3] "^ [123]*[135]«[136]«
»«[18 5] _ [284]«[286]« [286]«
»«[3] ~ [123]* [136]« [134]*
(-■l)^g-^3'[a;^(i--.j;,)(l.-p«a;,)(l-~g«a;0(l--r«x,)+ar,(l--a;ja-^^
»«[136] _ [234] « [236]« [236]«
»« [3] ~ [128]« [184]2[185]«
(-l/«-^»' [a;^(l - a;,)(l -i)«a?,)(l -q%){t-r%)+x,{l - x,){l - j)«a;,)(l -g'a?t)(l-r«a;,)]~2JR[a?^ |a?,)
»«[23 4] [234]*[285]«[236 ]« _
»«[3"i~ ~ [123]«[134]«[135]«[186]«
(-lf-^^\x,(l--'X,)(l--p^x,){l^q%)(l--T^x,)+x,(l-^x,){l--p%^^^
»«[235] [234]« [2 35 ]* [236]«
»«[8] " ■[128]«[184]«'[i3ö]«[136]«
(^l)^^-^^\x,{l--x,)(l--p%)(l-q^x^X^^r%)+x,{l--x,){l-p%)(l--q%
»«[286] [234]« [235]« [286]*
»«[8] [128]«[184]*[135]»[136]«
. (-l)'^"'[a;i(l-gO(l~p«a;,)(l~g«x,Xl-r«a;,)+a:,(l--g,)(l--j)«j;,)a
Die rechten Seiten der zehn letzten Gleichungen können durch Einführung
von Hülfsgrössen als Quadrate charakteristischer Formen dargestellt werden. Zu dem
Ende setze man:
indem man unter Yx^, V^i,- • ., Vi — ^^i, V'i- — f^oc^ Hülfsgrössen versteht, die zu-
— 49 ~
nächst nur in soweit bestimmt sein sollen^ als die letzten Gleichungen, deren linke
Seiten nach dem Früheren ^eindeutig bestimmte Grössen sind; es verlangen. Führt man
diese Hülfsgrössen in die Ausdrücke ein^ die sich soeben für die zehn den geraden
Charakteristiken entsprechenden 'd-'-Quotienten ergeben haben, so gehen diese Ausdrücke in
Quadrate rationaler Functionen dieset Hülfsgrössen über, und es lassen sich entsprechend
die 'd'-Quotienten selbst als rationale, bis auf die Vorzeichen bestimmte Functionen
derselben Grössen darstellen. Man erhält auf diese Weise, wenn man auch in die fünf
früher schon gewonnenen Formeln die erwähnten Hülfsgrössen einführt, für die fünf-
zehn 'O'-Quotienten die folgenden Ausdrücke:
»M _ [124] [125] [126] ^- .^--
-^[3] ~ [234] [235J [230] r '^i V '^^ ^
&[2] _ [124] [12 6] [126] ^T—— ^fZIV
»[S] ~ [134] [135] [136] ^^ ^1 ^ -^ ^ '
mi = [124] [235] [236] y ^ _ , y ^ _ „«^
^[3] [123] [135] [136] ^ ^ F ^i V ^ P ^2 >
«
£15] _ [125] [236K234] ^ _ , y _
& [3] [123] [136] [134] ^ ^ 2 ^l K ^ q X^ ,
& [6] _ [126] [234] [23 5] / , l/j— 7»F
-^[3] ~ [123J [184] [135] ^^ ^ ^i V ^ ^ ^2 >
^[128] _ ^TZTÜvTW [284] [235] [236]
^[3] *l''^ ^^ [134] [135] [136]
sc* ~~" UV« '
^[124 ] _ i/rrrvänF [A?£l [234] [235] [23 6]
d[3]"" **'^^ ^ [123]. [134] [135] [136]
v^vT=g;"yi —p^x, yi - g«a?, yi^^^r^ — (- 1)^^-^^ yx^ yi - x^ yi^-p^x^ y^—g^^^ yi -r^x,
Xi 0*3
?^[12ö] _ T/ , iM^.ia' [i?y [2341 [235] J236]
^[3] *3 ^^ ■^>' [123] ii34]"[135] [136]
ya;tVi-giVi-i>'^2Vi-g*^i Vi-^'jg«— (~i) v^iV^i-^yi— ^^
Xi -— x^ '
?1^_P T/ r iV2 Tiir [12g] [23411235] [236]
^[3] *4K'. V [123] [134] [135] [136]
^ yx;"yi -~ x^ yi — p«^yrL-g«a;^ yi ^ r*'x, — (— D^^-^^'y^yr^yi —p^xi yi-g^x^ yr^T^
Xa ^^ tü/a '
^[134] ^ V/ _ 1N12.13' [^g^] [234] [235] [236]
^ ^[3] '^öK^^ -^; [123] [134] [136] [136] •
ys;yi-a;,yi-p«a;,yi~g'a;,yi^r«a?a---(~i)"-^^V^,yr^ yi--j?«a;,yrt:'^
•vj ^^^ vCTa
Ebakbb, swelf. nnendl. TheUreihen. 7
— 50 —
^[185] _ i/ / .v..i«> [135][234][235][236]
d[3] ~^^y^ ^) [123] [134] [135] 036]
ajj — o:^
^[136] i/TZTTWTlS' [1^3 [284] [236] [236 ]
«■[3] *7K^ a; [123] [134] [136] [136]
Ä"! ""^ *^9
?I^^*] = s: VrZTTvins' [??Ü [234] [23 6] [236]
^[31 ^^^ ^ [1231 [134iri85]ri36l
[3] 8 »^ ^ ^ [123] [134] [185] [136]
■j/i^ yr^ yi-p'rcjyi— ^«a;, yi— r«ar, — (— l/^-^^V^yi— a?iyi— p*a?t yi— g'^yi— r»a?g
»l»! ~~" iXta
^35] _ T/rZn^üTIs^ [236] [234 ][235][23 6]
-&["3]~ ~ ''S >" V ^J [123] [134] [136] [136]
yg^yi--a;gyi-p«a;,yi— g'ggyi-^r'a;, — (— i)^^-^^Vxgyi— j?,yi— p*ä^yi~g''x7yr^^
^[236] _ T/ / .M, ,,,> [236] [234] [286] [236]
^#[3] ^<> »^ ^ ^ [123] [134] [136] [136]
Vx^ Vi—x^ yi-p«a?,yi—5«a?i yi— r*«, — • (— 1)^*-^^' ys^ yr^^ yi— p^a^j, yi— ^«a;, yi - r^x^
m ■ I •
In diesem Systeme bezeiclmeii ^i; . . ^ ^lo ^^^^ ^^ bestimmende Grössen^ deren Quadrate
sämmtlich den Werth + 1 haben, während unter ]/(— 1)*^-^^' eine beliebige der beiden
Wurzehi 6 der Gleichung |* = ( — l)"!»' zu verstehen ist.
Um die Grossen ^i, . . ., «lo zu bestimmen, dividire man die fünfeehn aus (C^
fttr [ft] =«= [0] folgenden Gleichungen durch d'^[s] und führe an Stelle der entstehenden
^-Quotienten die für sie soeben aufgestellten Ausdrücke ein. Es ergeben sich dann
zwischen den Grössen £ die folgenden Beziehungen:
*» = (-lr-^'f,,
e, = i-ir-''B„
f. = (-ir->'fx,
«5 = (-ir-^'*.,
«6 = (-l)"-''«l,
B, - i- ly^-^' a„
«8-(-l)"-^'«X,
B.^i-iy'-B,,
«10 - (- !)"•'' «. •
Gleichzeitig würde sich dabei auch der Werth der in der Gleichung (uf) vor-
kommenden Grosse r^ ergeben, wenn derselbe nicht schon früher ermittelt und ein-
gesetzt, 71 vielmehr als unbestimmte Grösse weiter gefiihrt worden und als solche
in die Ausdrücke für die zehn letzten '9'- Quotienten übergegangen wäre. Die eine
Grösse s^ bleibt, wie man sieht, unbestimmt, d. h. die fünfzehn aus (CJ für
M = [0] folgenden Gleichungen werden identisch erfüllt, sowohl, wenn t^ = + 1,
als auch,, wenn a^ = — 1 gesetzt wird. Berücksichtigt man, dass die Hülfs«:
grossen K^ . . ., Yl — r^x^ nicht eindeutig bestimmt sind, und dass bei passen-
der Aenderung der Bestimmung derselben zu den Ausdrücken für ^ie den geraden
Charakteristiken entsprechenden 'd'-Quotienten, und zwar immer gleichzeitig zu allen
zehn, der Factor — 1 hinzugebracht werden kann, so erklärt sich diese Unbestimmtheit
- 51 —
von €^, zugleich erkennt man aber auch; dass stets £^ = -^ 1 gesetzt werden darf^ dass
man aber dann nicht nur die fünf ersten der obigen fünfzehn Gleichungen, sondern
auch noch die sechste bei der Bestimmung der Hülfsgrössen berücksichtigen muss.
Bei der vorstehenden Untersuchung haben die sechs ungeraden 'd'-Functionen
als Ausgangspunkt gedient; an Stelle derselben hätte man auch, wie aus dem Gange der
Untersuchung unmittelbar ersichtlich ist, von irgend sechs anderen ^-Functionen, deren
Charakteristiken ein Rosenkain' sches Sechsersystem bilden, allgemein von ^[oc(Oi]l[v},\ . .,
^[yca}f.]lv} ausgehen und entsprechend die fünfzehn den Nenner ^[oc(o^]i[v} besitzenden
'Ö'-Quotienten durch zwei unabhängige Veränderliche Xj^'^^ rCg^*^ ausdrücken können. Die
diesem allgemeinen Falle entsprechenden Formeln lassen sich aber ohne Mühe aus den
fünfzehn obigen, dem speciellen Falle [x] = [0] entsprechenden, ableiten, indem man
in diesen letzteren, die fiir beliebige Werthe der Variablen v gelten, (v) in (v + j ')
übergehen lässt, die neuen Grossen, in welche x^, x^ durch diese Aenderung von r^, v^
übergeführt werden, mit iCj^*), x^^^^ bezeichnet und hierauf auf die linken Seiten die aus
der Gleichung (6) des Art. 1. folgende Relation:
^[++1k'|)) ^^
^[« + x] Ct'5 - K («i' - »/lO+x, (•«' -n^)\ 2
e
anwendet.
A;i dieser Stelle sei auch noch erwähnt, dass die neun denselben Nenner
'9^[(öia}2C}g]((0)) besitzenden Quotienten der von Null verschiedenen Grössen '9'^[«]((0)), da
zwischen ihnen nach dem Früheren sechs von einander unabhängige Relationen bestehen,
sämmÜich durch drei Hülfsgrössen, z. B. durch die im Früheren eingeführten Grössen:
t)« = r- 1V8-2*' [l?ß]'[l??]' ^2 _ r_- ni3.25' [126]»[124]«
■P ^ ^^ [235]* [236]* ' ^ \ ^) [236J*[234]» '
"< ^^ [234J*[235]*
ausgedrückt werden können. Setzt man:
Pi^ = 1 - 1>% ffi^ = 1 — 2% ri« = 1 -- r^
Pr^ = ^ — i>% Qp^ =P^ — 9^7 U^ = i^ — ^^7
so folgt aus den drei ersten Gleichungen des Systems (II) in Art. 14.:
« 2 _ r- 1V2. 84' [136]« [136]« ^ 2 „ r- 1V2.S5' [136]' [134]«
Pi ~\ ^^ [235]« [236]« ' ^1 ^ ^^ [236]« [234]«'
^2_/ iV2.36'[134 ]«[135]«
^ ^ ^^ [284j« [235]« '
und aus den drei letzten Gleichungen dieses Systems:
« 2 „ /_ 1^3.12'+ U.16' [123]«[125]«[1 35]« ^ 2 _ / 1U3. 12'+ 15.14' ri23]«[126]«[136]'
^'' ^ ^ [234]« [235] «[236]«' ^ ^ ^ [234]«[235]«[236]«'
r^-(^ 1V8.12' + 1«.15' [123]« [124]'[ 184]« ^
^^9 —K ^J [234]«[235]«[236]«
7*
- 52 —
Mit Rücksicht hierauf kann man, indem man allgemein unter "/( — iy*)in)' eine beliebige
der beiden Wurzeln | der Gleichung |* «= ( — !)(•)('?)' versteht:
[124] [126]
[284] [236]'
P— Kl— ■^; g— Kl a; r236ir234V ^ — Kl ^j
[235] [236]
A— Kl A; [235][286]' ^1 Kl a; [236][234]' ^^ Kl ^^ [234] [236] '
■ „ T/ / lV«i«' l/ r iv..ifi' [lg8] [lg5][136 ] w . ly« ««- i) ( iy. i.' [128] [126] [186]
Pr—Vy.— ^) Kl a; [234][285][236]' ^''"'^^ ^^ ^^ ■^'^ [284] [235] [286]'
r — i/JCTTyslF V / lye lä^ [128 ] [124] [134 ]
rq—VK a; KV -^^ [234] [236] [236]
setzen und erhält dann die neun genannten Quotienten ausgedrückt wie folgt:
* •
[124]«
[123]*^
[125]«
[123]* "^
[126]« _
[123]« ~
[134]« _
[123]«
[J86]« _
[123]«
[136]« _
[123]«
[234]' _
[123]« ~
[235]«
[123]«
[286]«
[123]«
_ 1M8.12' Vi- ^)'' ' ^' VH iP-«^' Vi- 1)^«-»«' Piqr
1)
■}/(_ 1)U.16 y(_ 1)15. U'
Pr9,
_ IV«. «■ V(- i)'»"*' VC - i)'«-»»' y(-i )»3:»6^ yg.f
1)
1)18.
|,'(— 1)15 . U' !/(_ 1)16.15'
«p'»
-1)
13
12' Vi — ^y^ ■ 2 4' |/(-^ 1)13.25 ' |/(— 1)12.36' j?gr^
]/(— "IJie.lö" y\— 1)14.16" fgP^
18' y(- 1)^^-^^ y (Z r i)l2-.-W ]/(^ 1 )12.86' pg^r^
y(_ l)U . "16" y(_ 1)15 . 14' p^ffp
1)13.12' y(- 1)1^-?^' ]/(- 1)13 . >f>' | /( - 1)12.3 6' p^qr,
y(— 1)16.14' |/(_ 1)16.15'
^P 9
_ 1 N,s . 1»' V(- l)i«»*' y(- 1)'^ »»' > /(-l)i»-iW l».g.r
1)
-1)'
]/(_ 1)16.15' |/(— 1)14.16'
»'Qi'r
3.12' VV- 1)1 3.24' |/(Zri)lO r pp^
]/(_ 1)14.16' )/(_ 1)15.14' p^^p'
_ ni8.12' y(-l)13g5' ^(17 1)12. 85' gg^
1)
y'(_ 1)15.14' |/(- 1)16.15' ffpf^ '
_ 1)18.12' y^=^)13.26'y( - 1)12.36' rn_ ^
y(— 1)16.15' |/^_ 1)14.16' r^P^
Führt man die gewonnenen Ausdrücke in die Gleichungen (I), (II) ein, so wird eine
jede derselben identisch erfüllt.
Die fünfzehn oben abgeleiteten Gleichungen, welche die -Ö'-Quotienten als Func-
tionen der nämlichen zwei unabhängigen Variablen Xi, x^ darstellen, zusammen mit
den soeben für die Quotienten der zehn von Null verschiedenen Grössen -O^^C^lfO]) er-
haltenen Ausdrücken können als vollständiger Ersatz der sämmtlichen in (-4J, {B^y
{B^'\ (CJ, (A^), (B^) enthaltenen Gleichungen angesehen werden, insofern als eine jede
derselben durch Einführung der Grössen x^y x^, p, q, r identisch erfüllt wird.
— 53
16.
Die Untersuchungen des Art. 14. haben gezeigt:
1) dass durch die Quadrate von je vier '^■-Functionen, deren Charakteristiken ein Vierer-
system zweiter Art bilden, die der zwölf übrigen linear ausgedrückt werden können,
(System (HI))
2) dass zwischen je vier solchen «d'-Quadraten eine homogene Gleichung vierten Grades
besteht, die aber in Bezug auf jede der vier 'Ö'-Functionen auch nur vom vierten
Grade ist. (Gleichung (IV))
Aehnliche Eigenschaften kommen jedem Systeme von vier '9*-Punctionen zu,
deren Charakteristiken ein Vierersystem erster Art bilden. Man kann nämlich, wie
im Folgenden geschehen soll, zeigen:
1) dass durch die Quadrate von je vier ^-Functionen, deren Charakteristiken ein
Vierersystem erster Art bilden, die der zwölf übrigen linear ausgedrückt werden
können, (System (IH')) *
2) dass zwischen je vier solchen -ö'-Functioien eine homogene Gleichung vierten Grades,
eine sogenannte Göpd' sehe biquadratische Relation, besteht, die aber auch in
Bezug auf jede der vier -O*- Functionen vom vierten Grade ist. (Gleichung (IV'))
Bezeichnet man in der Formel (JSJ, in welcher [x] == [oiöJgCöjcaJ, [A] eine
beliebige Charakteristik ist, und § eine der Zahlen 1, 2, 3, 4 vertritt, die Charak-
teristik [x] mit [oq]; setzt femer [Aoi] = [ft], so erhält man die Formel:
in welcher also [cDq] = [oiOjjOgoJ ist, während [/i] ihrer Entstehung nach eine be-
liebige Cha)rakteristik bezeichnet. Setzt man in dieser Formel nach einander | «= 3
und 1 = 4, so gehen unter Einführung der im Vorigen schon wiederholt angewandten
abgekürzten Bezeichnung die Gleichungen:
[04]«-^« [ft] = (- 1)^* Ol . 1*' [01]«-^« [/l 14] -f (— 1)^ 02 . 24' [02]2^2 [^ 24] + (^
beziehlich hervor, aus denen man endlich durch Elimination von^[ft34] die Gleichung:
(HI') (m' - {- ly-' m*) e^iii] .
— (— 1)»1*. (— l)"»!"' [0l]«[03]»d»[ftl3] - (- 1)»:* . (- l>'«"»'r02]«[08]« **[ft23]
erbält. Die Charakteristiken der vier auf der rechten Seite vorkommenden '^-Functionen
bilden ein Yierersjstem erster Art, und man kann, mit Rücksicht auf das in Art. 8. Gezeigte,
bei festgehaltener Charakteristik [fi] durch passende Wahl der Charakteristiken [c9j], ..., [raj
t
- 54 —
jedes beliebige Yierersystem erster Art, in welchem die Charakteristik [fi] nicht vor-
kommt, erzeugen. Mit Hülfe dieser Formel ist man also im Stande, durch die Quadrate
von vier '^'-Functionen, deren Charakteristiken ein Vierersystem erster Art bilden, das
Quadrat einer jeden der ewölf übrigen linear auszudrücken.
Um die erwähnte GöpeVsche biquadratische Relation zwischen den vier Func-
tionen '8'[xis], d'fxii], ^[x23], '8-[x24], deren Charakteristiken,, wenn [x] willkürlich
gelassen wird, nach Früherem ein beliebiges Yierersystem erster Art repräsenüren, zu
erhalten, gehe man von der am Schlüsse des Art. 12. gegebenen Formel (C/) aus,
die, wie schon in Art. 13. erwähnt wurde, die merkwürdige Erscheinung darbietet,
dass die vier bei irgend zwei der drei in ihr vorkommenden 'O'-Producte auftretenden
Charakteristiken ein Yierersystem erster Art bilden. Quadrirt man dieselbe in passender
Weise, so erhält man die Gleichung:
[612]»[634]*»*[X12]Ö'*[X34] = [513]»[624]«^*[xl3]Ö'«[x24] + [514]«[523]*#»[xl4]^*[x23]
— 2 (— 1)»**2' [513] [624] [514] [523] » [x 13] » [x 24] «• [x 14] 9 [x 23] ,
in der jetzt noch das Product 9'*[xl2] ■9'*[x34] durch die vier Functionen ^[xl3], d*[xl4],
'8^[x23], '&^[x24] zu ersetzen ist. Zu dem Ende lasse man in der Gleichung (HI') an
Stelle der beliebigen Charakteristik \ji\ zunächst die Charakteristik [xl2], hierauf die
Charakteristik [x34] treten; man erhält dadurch die beiden folgenden Gleichungen:
([04]* — (— 1)»1* [03]*) e^ [x 12]
= (— 1)1|*.(— 1)''»-"'[01]»[04]«^[X24] + (-l)«l*.(— l)*»«*'[02]»[04]»d»[xl4]
— (- 1)»1*.(— iyi'.(— 1)**"'[01]«[03]***[X23] — (- l)»l*.(-l)»l«.(-l)''*-«»' [02]«[03]« «^[X13],
([04]* — (— 1)8|*[03]*) ^[X84]
= (_l)««.l*[0i]»[04]»fl-«[xl3] + (— l)''i«*'[02]»[04]*d«[x23]
-(-1)»1*.(— 1)''»"[01]»[03]*«*[X14]— (-1)8|*.(-1)"W'[02]«[03]«**[X24],
aus denen dann, indem man linke wie rechte Seiten mit einander multiplicirt und die
auftretenden Exponentialgrössen. passend vereinigt, die Gleichung:
([04]* — (— 1)»I*[03]*)V[X12]^[X34]
« (- lyo' . (— l)*»'+«»t0l]*[02]»[03]*[04]«
X (**[X13] + (— 1)»I*^*[X14] + (— 1)»1»«*[X23] + (— l)«l*. (- 1)»1«^[X24])
+ (— l)«-»'. (-l)*»'+«.i[oi]»[02]« ([03]* + (— l)''l*[04]*)
X ((— 1)"-*'**[X13]«*[X14] + (- l)»l«. (- I)»*i'^»[x23]d»[x24])
+ (— 1)«»*' . (— l)4S'+«i' [08]» [04]* ([Ol]* + (— l)»l»[02]*)
X ((- 1)"*'*«[X13]**[X23] + (— l)»l*.(— 1)««'^[X14]^[X24])
_|_ ((_ l)o.U'|-oi]«[o4]* + (— 1)0M'[02]*[03]*) d*[xl3] *»[X24]
+ ((- 1)'*"'[02]* [04]* + (- 1)0"'[01]* [03]*) d»[xl4] ^[X28]
- 55 -
hervorgeht Führt man den hieraus fOr das Product '&^[9Ci2]'9'^[x34] sich ergebenden
Ausdruck in die obige Gleichung ein, wendet die mit Hülfe der Formeln (I), (II) des
Art. 14. herzustellenden Relationen:
((- 1)0 ■ "' [Ol]* [04]* [612]« [&34]» + (— 1)" ■ *«' [02]* [03]* [612]» [634]*) + [513]* [624]* ([04]* - (— l)«l* [OS]*)*
= (— 1)««.»4' + M.15' . (_ 1)1|»[01]»[02]«[03]*[04]*([612]* + (— l)»!». (— 1)»1*[634]«),
((— 1)0 • **' [02]* [04]* [612]* [534]* + (— 1)0 • "' [Ol]* [03]* [612]* [534]*) + [623]* [614]» ([04]* — (— 1)»!* [OS]*)*
•= (- 1)8«»*' + 18.J5'. (_ l)»|8[oi]»[02]»[03]*[04]«([612]* + (— 1)>I». (— l)*l*[534]*) "
an und vereinfacht dann noch die auftretenden Exponentialgrössen, bo erhält man die
gesuchte biquadratische Relation zwischen den vier Functionen '9-[xi3], '8'[xl4], '8'[x2S],
^[x24] in der Form:
(IT) **[X13] + (— l)»l*d*[xl4] + (— 1)1|»^[X23] + (— 1)31*. (— 1)»I*^[X24]
+ (_l)«.8. [08]« + (-y4]« ^^_^^3,.^^,^^^
+ (-l^^'^-^^^^p^pJ^lC- 1)**-*'^[X13] **[X23] + (-1)«!* . (-1)"-»'^[X14] &^XU])
+ (-i)>.o'+5.«-. (_i)ii. mr+ ^-^^;^(- ^y!im}i ((_ i)»».»«- »»[^i,] 9»^^^^
4. (_ 1)13.2*' Qi[xti] **[X23])
Die Yon Göpd*) gegebene specielle Gleichung geht aus dieser allgemeinen Formel
unter anderem hervor, wenn man [x] = [oo]> t^iJ = [io]> W = [21]i M = [li]^
[ß>4]'=[il] setzt.
Der gewonnenen Endgleichung (IV) soll jetzt, ähnlich wie JBorchardt**) in
einem speciellen Falle es gethan, eine andere Gestalt gegeben werden. Zunächst er-
hält man aus den Gleichungen (I), (II) des Art. 14. die folgenden Relationen:
[03]* + (- 1)3|*[04]*
= (- 1)5|2.(-. 1)5!*([613]* + (— 1)3|^[614]*— (-l)l|«[623]* - (—l)»l*.(— 1)^1« [624]*) ,
[Ol]* + (- 1)^1« [02]*
= (—1)^1*. (- 1)M2([613]*- (- 1)51* [614]* + (- 1)11« [623]* — (- l)»!* .(- 1)H2[624]*) ,
*) Göpel, Theoriae tranBcendentinm Abelianarum etc. Crelle'B Journal Bd. 86. pag. 292.
^) Barchardtj üeber die Darstellung der Kummer* sehen Fläche etc. Crelle'ß Journal Bd. 88.
pag. 238.
— 56 —
[534]* + (— 1)M» . (— l)»l* [612]*
= (— lyi* ([613]* - (- 1)»I*[6U]* — (— 1)1* [523]* + (- 1)»!* .(— 1)1|»[624]*) ,
[03]*[04]* = - (— 1)«-M'+1«' ((- 1)1- «'[613]' [514]» — (- 1)»1». (-- !)»•»*' [523]» [624]»),
[0l]»[02]« = - (— 1)»«'+»«' ((— 1)»-»«'[613]»[523]» — (— l)»l* . (— 1)*«[514]»[624]») ,
und weiter noch die Gleichung:
([03]* - (- l)»:*[e4]*)*
^'^'n\(— 1)1-»[513]» + f, y{— 1)»:* . (— 1)»*'[514]» + £, l/(- 1)*'* • (— 1)*»'[623]»
. +«if*l/(~iFyF^'-(-l)**[624]»),
wobei allgemein ]/(— l)*i'^ eine beliebige der beiden Wurzeln 5 der Gleichung g^ = ( — l)»l»r
+ 1,-1
bezeichnet, und das Symbol 11 bedeutet, dass das Product jener vier Terme gebildet
werden soll, welche aus dem allgemeinen, hinter dem Symbole stehenden Gliede hervor-
gehen, wenn man an Stelle von £^, £2 nach einander die vier Variationen der. Elemente
-f* 1; ^- 1 zur zweiten Classe mit Wiederholung treten lässt. unter Anwendung dieser
Relationen geht, wenn man noch die Charakteristik [x] in neuer Bezeichnung durch
[xös] ersetzt, aus der Gleichung (IV) die folgende hervor:
_ r iy.34' [513]^ + (- 1)^'-^ [öUy ^ (^ 1)^:^ [523]* -^ (^ if'' . (~ 1)^^ [524]*
^ ^ (— 1/-^*'[513]*[514]«-(— l/I^(-l)*-^'[523]«[524]»
X ((- iy-^'^\x6rs]d^lxbU] + (- ly ^ (- 1)*-^'0*[X523]'^«[X624])
_ / jy.12' [513]* - (- l)^^r614]* + (- 1)^'"[523]* - (- !)«>* . (- 1)^1^[524]*
^ ^ (—l)"-^'[613]«[523]» — (—l)*'^. (-!)"•*' [514]*[524]«
X ((— iy2.S>2|-^5i3j^2|-^523j + (- 1)»*. (— l)i2.4>2(-^ßi^j^2|-^524])
^, [513]*- (-1)^''*[514]* - (— 1)''^[523]* + (-1)^'*. (— iy'*[524]*
- (- 1)-
(_ l)l-3'H-8-4'|^5i3]a[-524]«_ (—1)» *'+«•»' [61 4] "[523]»
X ((- iy»'+«-*>«[x613]'9'«[x524] +(- 1)1*'+2'»>«[X514]^«[X623])
,12.84' / .vl'2 / 4n8!4
4- 2 r- ly -^234' (-l)"-^.(-l/-^ . ( -I)^'n613][514 ] [523][524]
'^ ^ ^ ((— 1)^-^*'[513]»[514]» — (— 1)*!^ (-1)2-»*'[523J«[524]«)
+1,-1
n ((■-.l/-«'[ 5 13]«+£y(- l)34.( _i)i-^' [514]«+gj/(- l)i.2.(-lf8 '[523 ]»+g,f,V^
((--l)i2-3'[5i3]2[523]*-.(-_i)8^(_i)i2*'[5u]2[624]«)((-l)^'^'+^-*'[öl3]»[ö24]«-(— 1)^-*'+2^^^^^
X ^[XJjlS] d'[x514]'0'[x623j 0'[X524] = .
— 57 —
■
Aus dieser letzten Gleichung aber erhält man endlich noch^ indem man:
y(- 1)1- 3' [613] — (513) , V(— l)»l* >/(-l/*'[514] = (514) ,
1/(- 1)^1« y(- 1)2. 8' [523] = (523) , V(- 1)»I* 1/(- 1)"^' V{- 1)^*'[524] = (524)
setzt, wobei allgemein unter j/(— l)*'*? eine beliebige der beiden Wurzeln | der Glei-
chung I* = |/(— 1)*!'', und unter }/( — 1)^*) ('^^' eine beliebige der beiden Wurzeln J der
Gleichung 6* = ( — 1)(*^('')' zu verstehen ist, die Gleichung*): •
e*(x513) + 0*(X514) + 0*(x523) + e*(x524)
- (- 1)"-' ■- 'riii5^}^^s w^ ('*(""') '"^''"*> + «'(*'^'') «*('"^'*))
4- 2 r — 1 y • 12»*' (513)(514H 5 23)(524) 71 ((513)« + £,(514)» + f,(623)» + B,s,{624)^
■» ^ >' ((613)" (514)«— (523)«(524)«) ((513)*(523)« — (514)«(524)«)((613)«(524)« — (514)«(623)«)
X 0(x513) e(x514) e(%523) 0(x524) = .
Vergleicht man zum Schlüsse die in diesem Artikel gewonnenen Resultate mit
denen des Art. 14., so erkennt man, dass mit Hülfe der Formel (ÜI') durch die
Quadrate von vier -ö^-Functionen: •
(Vi) "^[^ 0)^03] ((4, -^[xOiCöJlt;)), ^x(o^(o^]lv}, H'>ca)^ca^]iv},
deren Charakteristiken ein Vierersystem erster Art bilden, die Quadrate der zwölf
übrigen sich in analoger Weise linear ausdrücken, wie im Systeme (III) durch die
Quadrate von vier ^--Functionen:
(V,) &[x(ü,Mv]j, ^[xo2](W), ^[^c^slH; '^[«öiO>2Ö8]W;
deren Charakteristiken ein Vierersystem zweiter Art bilden, die Quadrate der zwölf
übrigen sich linear ausdrücken. Solche zwölf Gleichungen (IIIO ersetzen dann ebenso
wji die Gleichungen (HI), wenn man noch die Relationen (I), (II) hinzunimmt, die
sämmtlichen Gleichungen (-4^), (JBJ, und es ersetzt weiter in Verbindung mit ihnen
die Gleichung (IV), in ähnlichem Sinne wie früher die Gleichung (IV) zusammen mit
den Gleichungen (HI), die sämmtlichen Gleichungen (JB4'), (CJ, insofern als man aus
ihr unter Zuhülfenahme der Gleichungen (I), (II), (IH') durch eine Reihe passender
*) Vergl. hierza: Frohenius, lieber das Additionstheorem der ^-Functionen etc. Crelle*B
Jonrnal Bd. 89. pag. 205.
Kbazbb, Bweif. unendl. Thetareihen. 8
y
— 58 —
Umformungen zu jeder der Relationen (JB*), (C^ gelangen kann, wenn man nur dabei
die directe Vergleichung der -^'-Reihen zur Bestimmung von Grössen, die den Werth + 1
oder — 1 haben, benützt. Quadrirt man die Gleichung (IV) so, dass die entstehende
Gleichung nur gerade Potenzen der -^'-Functionen enthält, so kann diese letztere mit
Hülfe der Relationen (I), (II), (III) in die Gleichung (IV) übergeführt werden.
17.
Die fünf vorausgehenden Artikel haben sich mit der Untersuchung jener '^--Relationen
beschilftigt, welche aus der Formel (i?) des Art. 9. folgen. Die Formel (B) selbst ent-
stand durch Combination der Formeln (Pj), (Pg)- ^^^ diesen letzteren enlsprechenden
^-Relationen sollen jetzt abgeleitet und zur Herstellung der Additionstheoreme der
-ö-- Quotienten verwendet werden.
Versteht man unter [cOq] eine beliebige gerade Charakteristik und denkt sich die-
selbe in drei ungerade zerlegt, so kann man, welche der beiden möglichen Zerlegungen
auch vorliegt, die Bezeichnung der ungeraden Charakteristiken durch [ajj], . . ., [cOq]
immer so einrichten, dass die betreflfende Zerlegung durch [o3(J =^ [oi »2 ^sl repräsentiert
wird, und es nimmt dann die entsprechende Formel (PJ oder (P2), wenn man noch
berücksichtigt, dass in derselben (cOq)' die Grösse x\(Oo']f (^«i) die Grösse ^[,.01;] vertritt,
die Gestalt:
(p)
1=3
^'kI = 2^(- 1)""' '""^Ixo,,!
t=0
an. Diese Formel bleibt nach dem in Art. 12. Bemerkten richtig, wenn man
setzt, unter (m), (v), (ic) unabhängige Veränderliche verstanden. Lässt man in diesen
Ausdrücken (v) zu ( — k) werden, so muss, wenn ä:'[<ü,,] nicht der Null gleich Verden
soll, in welchem Falle die Gleichung (P) entweder eine Identität oder eine der
Gleichungen (B^), (C^) des Art. 12. liefern würde, die Charakteristik [c3qq] gerade
sein. Setzt man daher weiter, indem man unter [«] eine beliebige gerade Charakteristik,
die auch der Charakteristik [cOq] gleich sein kann, versteht, [q] = [cJqG)], so gehen die
obigen Ausdrücke für a:'>^], iC[xty,], wenn man noch an Stelle des Buchstabeus w den Bu^i-
staben v treten lässt, beziehlich über in:
a^'Kl = (- l)<'""'('»->'"'"'+«'H'"o)>[„,]((0|*[o]fO))*Kff]((H. + f))^[a>ff]((M. - v},
a;ix«.,i = (- l)<-"".n«'«"'')'*[x(o,]{{«))^[3cfi,„o«,]((- u}9[x>Oi6]iv))»[x(a^aai6]i- v},
und aus der Gleichung (P) entsteht, wenn man jetzt diese Ausdrücke an Stelle von
a;'K], af(xw,i einführt, eine •Ö'-Formel, der die Gestalt:
I
- 59 -
,«3 •
t =
gegeben werden kann.
Setzt man jetzt in dieser Gleichung, in welcher [6] eine beliebige Charakte-
ristik bezeichnet, \p\ = [cjooCj], indem man unter [oij, [d] zwei beliebige gerade
Charakteristiken versteht, die auch einander gleich sein dürfen, und wendet die Formel
(5) des Art. 1. an, so nimmt dieselbe, nach passender Vereinigung der Exponential-
grössen, die Gestalt:
(Z) » K] CO) » [a>] {0} » [«„ <o aio «]((« + v} & [oj'« cS] (u - v}
fj=3
au. In dieser Formel bezeichnen also [oq], [ö], [oJ, [ci] vier willkührlich geieählte ge-
rade Charakteristiken, die auch* theil weise oder alle einander gleich sein können, [coj,
[öj;], [öß] drei ungerade Charakteristiken, die der Bedingung [ojj ^ [cDjCOjOg] genügen.
Zerlegt man jetzt auch die gerade Charakteristik [oJq] auf eine der beiden möglichen
Wweisen in drei ungerade, und bezeichnet dieselben mit [aij, [coo], [0J3], sodass also
[gJj,] zz [©lOigCOg] ist, so kann man ii> der letzten Gleichung [cJq] == [oj J setzen, wenn
man nur gleichzeitig an Stelle der Charakteristiken* [cöi], [a)^]j [03] die drei Charak-
teristiken [Wi], [<»23? [^'3] treten lässt. Thut man dies und setzt weiter noch [o] = [ci],
führt auch an Stelle der beliebigen Charakteristik [x] eine andere gleichfalls willkühr-
liche Charakteristik [k] ein, so entsteht aus der Gleichung (Z) die Gleichung;
und man erhält schliesslich, indem man linke und rechte Seite von (Z) durch linke
und rechte Seite von (N) beziehlich dividirt, das Additionstheorem der -O* Quotienten
in folgender allgemeinster Gestalt:
^(-1) (-^) nojW) ' ^"[OJW ^[0]([.)) ^^TÖJW)
1 =
t = 8
n«o J W «T^(ö) j^ (- ^) "' "^ ^[o]W ^MCw))" ^[o]W ^[oJW
Da hierbei [oj, [o], [ojo], [ci] vier beliebige gerade Charakteristiken bezeichnen, die
auch theilweise einander gleich sein können, so kann man dieselben stets auf mehrere
8*
— 60 -
Weisen so bestimmeD^ dass die linke Seite abgesehen von einem Factor + 1 in
-9" [«]{(« + v} : ^[0]((w + v} übergeht, unter [s] eine beliebige der fün^ehn von [0] ver-
schiedenen Charakteristiken verstanden.
Setzt man in der gewonnenen Formel [g>] = [cDq] = [0], [x] = [co], [A] = [0],
so erhält man die Gleichung:
^[o]W ^MW ^[o]H ■♦",^(-^) ^ * ^[o]W ^[ö]W ^[ojw noJW
t=si
in Welcher nunmehr die vorkommenden ungeraden Charakteristiken den Bedingungen
[öiOaOJs] ^ [g^o]» [^«'iC^s^a] ^ [ö] unterworfen sind. Diese Gleichung stellt die ein-
fachste ^ditionsformel für den zu einer beliebigen Charakteristik [£] gehörigen
'Ö'-Quotienten dar; sie besitzt die Eigenschaft für (v) =* (0) immer in eine identische
Gleichung überzugehen. Setzt man auch noch [o] = [0], so geht aus ihr die Gleichung:
'»Kl C^ + t?)
^MW ^[o]W "^,^^""^^ ° ' ^MW ^MW e[o]W ^[oJW
^[OJW
^+j^ ^*[o]W ^'[o]W
hervor, welche die einfachste Additionsformel fClr die den geraden Charakteristiken
entsprcjchenden «d'-Quotienten repräsentirt. Dieselbe besitzt die Eigenschafb, dass jedes Glied
in Bezug auf die Variablensysteme (w) und (v) symmetrisch ist; sie geht immer für (u)
= (0) und ebenso für (v) = (0) in eine identische Gleichung über.
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- 61 —
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