Théorie élémentaire des fonctions elliptiques

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THÉORIE ÉLÉMENTAIRE

DES

FONCTIONS ELLIPTIQUES,

Extrait des Nouvelles Annales de Mathématiques, 2" série,
t. XVI, XVII et XVIII ; 1877, 1878 et 1879.

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE

FONCTIONS ELLIPTIQUES,

Par h. (LAURENT,

Képétiteur d'Analyse à l'École Polytechnique.

PARIS.

GAUTHIER- VILLARS , IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,

SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,

Quai des Augustins, 55.

1882

(Tous droits reseryés.)

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QA34S

:= A\ATH.-
STAT.
LIBRARY

THEORIE ELEMENTAIRE

FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Les personnes qui veulent étudier la théorie des fonc-
tions elliptiques ont certainement d'excellents ouvrages
à leur disposition : les Fiindamenta nos^a de Jacobi, les
OEuures d'Abel, l'ouvrage plus ancien de Legendre, sont
des chefs-d'œuvre qu'il est bon d'avoir lus quand on veut
approfondir la théorie des fonctions elliptiques. Le Traité
des fonctions doublement périodiques, de MM. Briot et
Bouquet, résume aujourd'hui presque tous les faits acquis
à la Science sur cette branche intéressante de l'Analyse;
mais il n'existe pas de Traité, pour ainsi dire élémentaire,
dans lequel on puisse prendre une idée suffisamment
exacte de la théorie des fonctions elliptiques, sans cepen-
dant l'approfondir dans tous ses détails.

Nous croyons donc faire une chose utile en offrant
aux lecteurs des Nouvelles Annales une théorie des
fonctions elliptiques résumant leurs propriétés les plus
importantes, et leurs principales applications à la Géo-
métrie et à la Mécanique.

Nous n'avons pas l'intention, disons-le immédiate-
ment, de suppléer à la lecture des grands maîtres; nos
articles devront surtout avoir pour but de faciliter celte
lecture et d'en inspirer le goût.

L — Fonct. ellipt. i

fj(777Si'/3

( 2)

WOTIOJVS PRÉLIMINAIUES.

Avant d'aborder la question des ionclions ellipLic|Qes,
nous ferons connaître quelques principes relatifs à la
théorie générale des fonctions.

Nous représenterons une imaginaire x-\-j\j — i par
un point dont les coordonnées seront x el y^ ou par une
droite dont la longueur sera le module r = y/^^-|-j^,
faisant avec l'axe des x un angle 0 égal à l'argument de

.r -\- j y/ — I . Cet argument sera d'ailleurs pour nous
V un quelconque des angles ayant pour cosinus - et pour

y

sinus -
r

Quand nous dirons que le point x -\~y y — i décrit
une courbe, il faudra entendre par là que le point dont
les coordonnées sont x^j décrit cette courbe. On peut
considérer l'expression X -h Y \j — i , où X et Y sont des
fonctions de x et y^ comme une fonction de x -\-j \J — i .
Caucliy se plaçait à ce point de vue, mais nous ne con-
sidérerons que les fonctions de x -h y y/ — i ayant une
dérivée unique et bien déterminée. Cette condition d'avoir
une dérivée unique impose à X et Y certaines propriétés
que nous allons faire connaître. La dérivée de X -}- Y y/ — i
est

dX , dX^ / /dY , dY \

fi?X 4- </Y v/— I _ d.r dj '' ^ \d.r ày ■' j

dx -f- dy y/ — i dx -\- dy ^ — i

et, pour qu'elle soit indépendante du rapport — -? c'est-à-
dire de la manière dont dx -{- dj y/ — i tend vers zéro,

(3)
il faut que

dX

I

dY

d,r

dX

dr

-dY

-^d7.

5

J'où

l'on conclut,

en égalant

es parties

réelles et

les

coef

ficie

nts de y/ — I ,

dX

d^ ~

dY

dY

dx

= -

dX

n

Nous supposerons ces relations toujours satisfaites ; d'ail-
leurs, la manière dont on prend les dérivées des fonctions
que l'on rencontre en analyse prouve que ces fonctions
n'ont qu'une seule dérivée.

Une fonction qui n a qu'une dérivée en chaque point,
c'est-à-dire pour chaque valeur de la variable, a quelque-
fois été appelée monogène.

Une fonction est dite monodrome dans une portion C
du plan, quand, le point qui représente sa variable (ou,
pour abréger, quand sa variable) se mouvant dans cette
portion G du plan, la fonction reprend toujours la même
valeur quand sa variable repasse par le même point.

Les fonctions bien définies, telles que les fonctions ra-
tionnelles, le sinus, le cosinus, l'exponentielle, etc., sont
monodromes dans toute l'étendue du plan; car, leur va-
riable étant donnée, elles sont entièrement définies. Il n'en
estpas de même des fonctions irrationnelles \ ainsi , pour ne

prendre qu'un seul exemple, \jz — a ou yx-\-y\j — i — a
n'est pas monodrome à l'intérieur d'un contour conte-
nant le point a.

Imaginons, en effet, que le point z^ ou x-h-y \/ — i;

(*) Pour l'interprétation de ces formules, ^oîr le Traité des fonctio//s
doublement périodiques, de MM. Briol et Bouquet,

(4 )

décrive un cercle Je rayon /ayant pour centre le point a ,
on sait que la droite qui représente la somme de deux
imaginaires est la résultante des droites représentant
chaque partie de la somme (*) ; la droite re^^~'^, qui re-
présentera la somme z — a, sera donc la résultante des
droites qui représentent z et — a. Cette droite est celle
qui va du point + a au point z. Supposer que le
pointzdécrit un cercle de rayon /'autour du pointa, c'est
donc supposer que le module r de z — a=. re^v -^ reste
constant. Cela posé, on a

10/—

Que le point z se meuve sur le cercle en tournant dans

le sens positif (celui dans lequel les angles croissent en

û
Trigonométrie), 0 va croître ainsi que -• Mais, quand

0 aura varié de 2 71, le point z sera revenu à son point
de départ, et z aura repris sa valeur initiale 5 il n'en
sera pas de même de sjz — a, qui sera devenu

1 6-1- 2'
„2 ' 2"^

^=1

r^e " =^ — v-e- ,

et qui aura changé de signe.

DES INTÉGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES.

La fonction J\z^ de la variable imaginaire

(*) ^'o/r rOuvrafre de Mourey sur La 'vraie théorie des quantités pré-
tendues imaginaires ; sur le Calcul des équipollences {Nouvelles Annales^
2* série, t. VIll, 1869); mon Traité d' Algèbre ; l'Ouvrage de MM. Briot
et Bouquet déjà cité, etc.

{ 5 )
est en réalité une fonction de deux variables, et si, entre
X et y, on établit une relation, telle que

f (z) devient alors fonction de la seule variable t. Si Tan
pose alors

^o--=f{fo),^ yo = -^M, x = y(t), r = ^i>(T),

et ___

Zo = .r-o -h /o V^— I , Z =n X + Y V/ — I ,

l'intégrale

f.^w&M^-)-

aura une valeur bien déterminée. On représente souvent
cette intégrale par le symbole

qui, comme l'on voit^ est indéterminé si l'on ne dit pas
de quelle façon x et j^ sont liés entre eux ou à t. Cette
expression est ce que l'on appelle une intégrale prise
entre des limites imaginaires ; pour en préciser le sens,
on ajoute la relation qui lie x k y^ soit directement, soit
par l'intermédiaire de la variable auxiliaire t.

Le plus souvent on emploie, pour fixer le sens de la

notation / f{z) dz, un langage géométrique, et, au lieu

de se donner les relations x=:Cf(£), j = ^[t), on in-
dique la nature de la courbe représentée par ces équa-
tions. Si, par exemple, on posait

x=zcost, j=:sinr,

on aurait x^-i-j^^i^ i, et si l'on intégrait par rapport à t
de zéro à t:, on dirait que l'on prend l'intégrale le long

(6)
d'un demi-cercle de rayon un, décrit de l'origine comme
centre et limité à l'axe des x.

Réciproquement, quand on se donne le contour cV in-
tégration, on ramène facilement l'intégrale à une ou
plusieurs autres prises entre des limites réelles. Suppo-
sons, par exemple, que l'on demande d'intégrer y( 2) Jz
le long d'une droite inclinée à 45 degrés sur l'axe des x,
issue de l'origine et aboutissant à un point situé à la dis-
tance / de l'orisiine.

Les écjuaticnsde cette ligne seront

V'2
2

v/2

on aura

2

1

s et, par suite,

//(z)&^jrV[.^(.+v/~-.)]{'+\/=^)^^^

Je prends pour limites o et /, parce que t représente la
distance du point {x^y^ à Vorigine^ cette distance est o
ou /, selon que le point (^5 J^) est à l'origine ou à l'ex-
trémité de la droite.

Théorème de Cauchy. — Le point z variant à V inté-
rieur d'un contour donné, si, à V intérieur de ce contour,
la fonction f [z) reste monodrome, monogène et finie,

l'intégrale j f{^z)dz conservera toujours la même va-

leur^ pourvu que le chemin qui mène de Zq àZ ne sorte
pas du contour donné, quel que soit d'ailleurs ce che-
min ,

Pour démontrer ce théorème, un des plus féconds de
toute l'Analyse, nous intégrerons la fonctiony(2) le long

[ 7 )
de deux contours AMB, ANB. Soient s l'arc du premier
contour compté à partir du point A, et As l'arc du second
compté toujours à partir du même point A*, soient

les équations du premier contour, et

.r, = cp2(X-,y), y^z=-^,iks)

celles du second^ et, en désignant par S l'arc AMB,

Fig. I.

supposons que AS soit l'arc ANB. Joignons maintenant
les points correspondants des deux contours; soient M
et N deux points correspondants, c'est-à-dire tels que
AN=^/rAM. Nous supposerons que la droite MN soit
tout entière dans l'intervalle compris entre les deux con-
tours; considérons maintenant le contour ayant pour
équations

, a — ai , , \ ^-1

— a

a, — c/.j a,

— «2

- i ( .]^~' '^'^ 1 ,f, r/-çi "'

— a

j — fi [S) !■ ■^2[/*S )

'

Pour a = ^1, il se réduira au premier contour AMB,
et, pour a =; a^, il se réduira au second ANB ; et, de
plus, tous ses points seront conipris à l'intérieur de
l'aire AMBNA, quand on supposera a compris entre a,

(8)
et a,. Intégrons la foucûon f(z) le long de ce contour,

nous aurons

*y 0 \

dz

=X'^'»i*'

— , — restent d'ailleurs finis, ainsi que leurs dérivées
as ds

prises par rapport à a. Appelons u cette intégrale, nous
aurons

ou

da X L ^dadi- -^^ Mad^J '

ou, en intégrant le second terme par parties,

OU

Or --^ est nul pour s == o et 5 = S, le contour passant

da

eu A etB pour s = 0 et .ç = S quel que soit a, c'est-a-dirc

ne dépendant pas alors de a, donc — - = o, et, par suite,

u ne dépend pas de a ^ il a donc la même valeur pour
oc = cx-i el pour a = ag, c'est-à-dire que l'intégrale prise
le long de AMB ou de ANB conserve la même valeur.
Cela supporse toutefois que/(2) conserve la même valeur,

quel qne soil le contour par lequel le point z se rend
de A en B^ f[^z) doit donc être monodromej elle doit
aussi être monogène, car nous avons supposé

da--^ ^'^da

et

d7-^(^'d;'

c'est-à-dire que nous avons admis ç^o. f\z^ restait indé
pendant de la direction de l'accroissement donné à z,
pour en faire le calcul-, enfin nos raisonnements sup-
posenty(z) Qif'[z) finis.

Considérons maintenant deux contours quelconques

Fig. 2.

aboutissant en A et B, et désii^nons, pour abréger, par
(PRQ ...) l'intégrale dej{z) prise le long d'un contour
désigné par PRQ .... Le théorème est démontré pour
deux contours formant à eux deux un contour fermé
convexe, car une sécante joignant deux points corres-
pondants ne rencontre le contour fermé qu'en deux points
et reste intérieure à ce contour : il en résulte que l'in-
tégrale prise le long d'un contour fermé convexe quel-
conque est nulle, car l'intégrale en question est égale à
l'intégrale prise le long d'un contour infiniment petit.
C'est cette proposition que nous allons d'abord généra-
liser : considérons le contour AMBN, décomposons-le en
une infinité d'autres par des parallèles h. une direction
donnée, on obtiendra ainsi une série de contours con-

( 'o )
vexes. En vertu de la notation adoptée, on aura alors

[ab] -^ibb'] -h{b''a') -h{a'a) =o,
[a'b') H- [b'b") + [b^'a'^] H- («'V) = o,

si l'on ajoute toutes ces formules, les termes tels que {a' b^)
et (b'a) se détruisent, et il reste 'E^a'a) -j- ^(bb') =:i o,
c'est-à-dire que l'intégrale prise le long du contour
fermé total est nulle. On a donc

ou
c'est-à-dire

(AMB) -f- (BNAjrzrO,
(AMB) — (ANB)=::rO,

(AMB]=i: fÂNB).

G. Q. F. D.
CAS OU LE THÉORÈME DE CAUCHY TOMBE EN DÉFAUT.

Cauchy a remarqué que son théorème tombait en
défaut dès que la fonction /(s) cessait d'être finie, con-
tinue, monodrome ou monogène, et il a tiré parti de ces
cas pour enrichir la Science d'une de ses plus belles
découvertes.

Théorème I. — L'intégrale d\uie fonction mono-
drome, monogène, finie et continue i^ou synectique,
comme V appelle Cauchj) à V intérieur d'un contour
fermé, est nulle quand on la prend le long de ce
contour.

En effet, elle est égale, comme nous l'avons déjà ob-
servé, à l'intégrale prise le long d'un contour quel-
conque, ayant la même origine et la môme extrémité, in-
térieur à ce contour-, le deuxième contour pouvant être

( " )

pris aussi petit que l'on veut, puisque 1 origine et l'ex-
Iréinité se touchent, Tintégrale est nulle.

Caucliy appelle j'ésiclu de la fonction monodrome,
jnonogène et continue /(z), pour la valeur c qui rend
f[z) infinie, l'intégrale

.l-p: sj — I

prise le long d'un contour circulaire de rayon infini-
ment petit, décrit du point c comme centre.

Théorème IL — Soient Ri, Rg, . . ., R„ les résidus
de la fonction f[z) relatifs aux infinis Ci, Cg, . . ., c„
de cette fonction, contenus à V intérieur d^ un contour
fermé oii elle reste monodrome et monogène, Vinté-
gf'tile ff[z) dz prise le long de ce contour sera égale à

(R, 4-R, 4- ... -f-R„)27rv/"^.

Supposons qu'il n'y ait que deux infinis dans le con-
tour, et qu'ils soient les centres des cercles bcd, ghi-^
appelons en général (M) l'intégrale de f[z) le long du
contour désigné par M.

Le contour abcdaefghifjka constitue un contour fermé
ne contenant pas les infinis de/'(5) -, donc {abcdaefghifjka)
est nul. Or

[abcdaefghifjka] = [ab] -+- [bcd] -h [da) -h [aef] -f- [fg]

le premier membre est nul-, [ab) = — (da)^ car ce sont
les mêmes intégrales dont les limites sont inversées-, de
même (fg)z=z — [if) et [fjka)-\-[aef) est l'intégrale
proposée j on a donc

0=[bcd)-^[ghi]-^ff[z]dz.

( '2 )

Or [bcd] est l'intégrale prise le long d'un contour cir-
culaire très-petit décrit autour d'un infini, z marchant

Fi^. 3.

dans le sens rétrograde j cette intégrale est, au facteur

près rr^rr^» Ic résiclu dief[z) 5 donc

17: \l — I

0 = — 27r\/— iR, — 27ry/— i^2-\- ff{z)dz,
ou

//^.]Jr = 277v/3T(R. + R,).

C. Q. F. D.
CALCLL DES UÉSIDUS.

Avant de montrer comment on calcule le résidu
d'une fonction, nous allons revenir un instant sur la
règle de la différentiation sous le signe y. Cette règle
est encore applicable quand on s'adresse à une intégrale
prise entre des limites imaginaires, puisqu'une telle in-
tégrale revient à une autre prise entre des limites réelles.
Enfin cette règle est encore applicable quand la variable
par rapport à laquelle on différentie est imaginaire.
En effet, difïérentier une quantité u par rapport à
x-i-jsj- — I, c'est calculer le rapport

i\ii , àii ,
dxA--— df

dx -f- dj y — I

lO

Ce rapport esl indéterminé (excepté si u est une fonc-
liuii monogène), et, pour en préciser Je sens, on doit

donner le rapport y-? ou, si l'on veut, on doit supposer
X et y fonctions données çp(i), ^ {i) d'une même va-
riable t, et se donner — - et — • On diflerentie alors le
' dt dt

long de l'élément [dx^ dy) appartenant à une courbe
dont les équations sont x := (p (£), jk = ^ (f) *, on a alors
l'expression suivante de la dérivée de u

(]u . . . dw ,, , .

Si l'on veut alors dllFérentier l'intégrale

^ , . / n du du ,

par rapport a x-^-j'yJ — i, on lormera —, — par la

règle ordinaire, et l'on aura

dV

ou

dV

d (•2^-1-JV'

7) J d{x-^-yf~î)

et l'on voit que l'on différentie par rapport à un para-
mètre imaginaire comme par rapport à un paramètre
réel .

Lorsque la quantité qui se trouve placée sous le signe J
est monogène par rapport au paramètre, on peut rai-
sonner encore plus simplement en faisant observer que

; -, est égal à -r-y et que dilTérentier par rap-

d(a:H-7v/-0 ^ dx ^ fi'

( -4 )

port k X -\- Y \l — I, c'est en définitive différentier par
rapport à la variable réelle x.

Cela posé, calculons d'abord le résidu de la fonction

' ? !p [z) étant supposée finie et différente de zéro

pour z =z C'^ ce résidu est

et l'intégiale est prise le long d'un contour circulaire
infiniment petit décrit autour du point c comme centre.
Soit £ le rayon de ce contour, on pourra poser

(2) z — c-h ze^sF'',

et faire varier 0 de o à 27:. En effet, la longueur de cz

Fig. 4.

étant désignée par e, et £ restant constant, le point z
décrit le cercle de rayon £ et de centre c. L'angle Q est
l'angle zcX que zc fait avec l'axe Oj:, et, quand le point z
décrit le cercle, Q varie évidemment de o à stt. De (2),
on tire

dz=zee^s/~ d0.s/~^;
(i) devient alors

Or R est indépendant de la longueur du rayon e, qu'il

_ ( '5 )
faut du reste supposer infiniment petit 5 donc, en faisant
£ = G, on a

I r^^

(-)

On voit donc que, s\f[z) est une fonction telle que

pour z = c, soit une quantité finie différente de zéro,
cette quantité sera précisément le résidu àef[z) relatif
à son infini c.

Reprenons la formule (i), et remplaçons R par ®(c),
nous aurons

^^ ' 27rv/-I J ^-^
et, en différentiant m — i fois par rapport à c,

7^ j (^^

1 . 2 . 3 . . . ( /;2 — I ) -,

2 ir ■ ■

on a donc

1 /* cp (z) (Iz _

2 7r^/ — I J \^ — ^; 1 .2 . 3- . .(m — i)

et l'on a ainsi le résidu d'une fonction de la forme

~^ — —5 où olz) est finie et différente de zéro pour

z = c, et /n entier et positif. Dans la suite, nous ne ren-
contrerons que des résidus de fonctions de cette forme.

APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS A LA RECHERCHE
DES INTÉGRALES DÉFINIES.

Proposons-nous d'abord de trouver la valeur de l'in-
tégrale définie suivante, dans laquelle a est un nombre
positif,

snirtje

£

dx.

( -G )
A cet eiTet, nous prendrons l'intégrale

/

dz

le long du contour suivant formé : i^ d'une droite ga
allant de — oo au point a voisin de zéro ; 2^ d'un demi-
cercle très-petit ahc^ décrit autour de l'origine avec le

Fis. 5.

rayon r; 3° d'une droite allant de c vers -j- 00 ^4° d'une
perpendiculaije de à l'axe des /, située à l'infini
5^ d'une parallèle ef h. l'axe des x, située à l'infini
6° d'une perpendiculaire/^ située également à l'infini
nous aurons, en supposant a positif,

S^

i-I

V-» clx

'abc] = 2Tr y — I . résidu de

tf«V-

I,

.av/^(x+jy/r-,) / ^

(^/) = (A-)

Le contour total d'intégration ne contenant pas d'in-

fini de

^azy/- t

l'intégrale prise le long de ce contour est

( -7 )
nulle : donc

\/-' . f*-^ f^cxs}

£„ ^^'--w-.-^/

CX\J — 1

dx =z o .

Jr ^

Or la première intégrale devient

-r

quand on y change x en — x; et par suite

I.

dx :=z Tz sj — I ,

OU, pour 7' = o,

J o

SI n <7 .r ,

I.

2 i / I dx = TK J

ou enfin

r"^ sin«x TT f"^"^ sinrt.r ,

/ dxz= - et / - — — d.x = TT.

La fonction

■ce

£

sinax
dx

ne contient donc pas a, mais elle en dépend 5 en effet,
en changeant le signe de «, elle change de signe; cela
s'explique, car, en posant ax = -sr, on a

r + ^ sin«.r , r^'^ sinz ,

Si nous intégrons fe~''dz le long de l'axe des :r et d'une
parallèle à cet axe située à la distance a, et si nous fer-
mons ce contour par deux parallèles à Taxe des ;^ situées
à l'infini, nous trouverons zéro; or les intégrales rcla-
L. Fond, cllipt. 1

( '8)
tives à ces parallèles à l'axe des j sont nulles, ce qui se
voit en écrivant notre intégrale ainsi :

XH-^ nu ^

e-'' clx -\- j ^-»^+/'-=»;v/-t ffj y/_ I
-co «/o

Jft — 00
co
Xo

^-»+r2-oojv/-' (/y \/— I ;

on a donc

/-{-=0 rt-i-cc

-co J— 00

on en tire

-i-oo

/-t-00

tf— ^' [coso.ax — V — ' siniaxiàx;
-00

d'où, séparant les parties réelles et imaginaires,

_ /»-i-oo

^Tz e~°^ = / e~"^ ces lax dx,

J 00

X + oo
-00

Si l'on veut obtenir la valeur de l'intégrale

/_

'^ cosnxdx

on peut observer qu'elle est la partie réelle de celle-ci
I , dx,

J — 00 * ^^ ^

laquelle est égale à

e^'^/^dz

( '9 )
prise le long de l'axe des x. Mais on peut remplacer
l'axe des x par un demi-contour circulaire de rayon in-
fini décrit de l'origine comme centre et situé au-dessus
de l'axe des x. En elfet, à l'intérieur de l'aire limitée par
l'axe des x et ce dernier contour, la fonction intégrée
reste finie et continue, pourvu que a soit positif, excepté
pourtant au point z = y/ — 1 5 donc la différence des deux
intégrales ne sera pas nulle, mais bien égale au résidu

de relatif k z := J — i, c'est-à-dire à , mul-

tiplié par 2:1 y — 1, ce qui donne 7re~". Mais l'intégrale
prise le long du contour demi-circulaire est nulle 5 pour
l'évaluer, il faut prendre z = Re®^~^ et faire varier 9 de
TT à o, ce qui donne

.. I -t- R2 ( ces 9.9 -h v/— I sin 2 9 )
Pour R = 00 , cette intégrale est bien nulle, et l'on a

i

^ cosa.T ,

QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS.

Nous avons trouvé que l'intégrale

dz

z — X

était égale 'af[x), la ïoncûon f(z) étant monodrome,
monogène, finie et continue autour du point x ; soit donc

(0

vr V'— I J ^ — ^

( 20 )
On voit que f (x) a toujours une dérivée, cai- on peut
ici dilTérentier sous le signe^ par rapport à x ; cvAte dé-
rivée en a une à son tour et ainsi de suite, ce qui est une
pro[)riété précieuse des fonctions monodronies et mono-
gènes.

Si, dans la formule (i), on pose z = x -^- re^^~\ elle
devient

J__ / '/(/•^V~-hx)r/0=:/(.r);

cette formule contient, comme l'on voit, un grand nom-
bre d'intégrales définies. La formule (i) donne, en la dif-
férentianf,

ou, en posant z = /v/^v-i -^ x,

En appelant alors M le maximum du module de/(z) sur
le cercle de rayon r décrit du point x comme centre,
on a

/ ^/9 > m od . /" -^ >

27T ?- J^, 1.2. ./ï

OU

on

mod./"M<'-^-^;--^M,

r''mod./«f.r]

I . 2 . j . . . /z

Cette formule montre que, si toutes les dérivées def{x)
ne sont pas constamment nulles, c'est-à-dire si^ {x) n'est

pas une constante, on pourra toujours prendre r assez
grand pour que M croisse au delà de toute limite 5 donc :

TiiKOPtÈME. — Une fonction nionodronie et mouogène
devient forcément in finie pour une valeur finie ou infi-
nie de sa variable ; donc aussi la considération de son
inverse prouve quelle s^ annule pour une valeur finie ou
infinie de sa variable ; donc enfin V équation f{oc) = 0 a
nécessairement une racine.

Reprenons les formules

2 7T y — I ,/ i 2 — ^ ) I . 2 , . . /^

li: \l — I J ^ — -^

{^)

la dernière peut s'écrire

27rv/'--i LJ 2 — « J [z — ay

{x — rt]"-' (h

ou, en vertu de (i),

f[,r.]=f(a]-^{.r-a)f[n]

+

I .2.3. . . (« — l) 277 \J

L _ rf(z)iv-a)"
/Zr, J {z^aY{z-,r)

Ce dernier terme tend vers zéro pour /i
X — a soit assez petit, et l'on voit que, pour :«:=:=: a, toutes
les dérivées de y^(jr) ne sauraient être nulles, si f{x)
n'est pas une constante. Supposons que les [n — i) pre-
mières dérivées seulement soient nulles et que la n'^'"'

( ^^'- )

ne le soit pas, la formule piécédeiUe se réduit à

le fadeur de (x — a)" ne sera pas nul pour x = «, et l'on
voit que, sif[a) est \\Vi\^f[x) sera de la forme

[x—'aY^{x),

4'(.r) restant fioi pour x := « -, donc :

Théorème. — Une foncliomnonodrome et niojiogènt
na que des racines d'un ordre de uiultipliciié entier; it
en est de même par suite de ses infinis.

Voici une dernière proposition très-importante : Soit

f [z) la dérivée de f[z] \ les infinis de ^ ' seront sim-

pies et se réduiront aux zéros et aux infinis de/(z). Soient
«1, «25 • • • les zéros àQ-f[z) contenus dans le contour C,
^1, «25 ••• les infinis contenus dans le même contour j
alors

j., . (z — aA"U{z — n,]'"i. . . . , ,

- a, j"i I z — a2J"2. . ,

^{z) n'étant plus ni nul ni infini dans le contour C j pre-
nons les logarithmes et difïerentions, on aura

Multiplions par F(i;), qui ne devient ni nul ni infini
dans le contour C; nous aurons, en intégrant le long d;î
ce conl^our,

V — I J

^(^/!il) dz = l.mY[a)-l.nY[^\

Si l'on fai t F (2^) = i , on trouve Hm — 2«, c'est-à-di re la

( ^-3 )
di/rérence entre le nombre des zéros et des infinis*, mais
alors

27r\/— 1 J J[^j ITZSJ— I

=r L^ [log/(z) = 2m - in-,

2 7r\/ — 1

log/(^j = Iogmod./(z) — v/— I arg./(z.);

ainsi in {JLm — S/z) est la quantité dont varie l'argu-
ment de f{^) le long du contour C, quand le point z
effectue une révolution complète le long de ce contour.

Quand on prend F (z) = z, on a

Itna — 2«y.,

27r\/-

THÉORÈMES DE CAUCHY ET DE LAURENT.

Nous terminerons ces considérations préliminaires en
donnant, d'après Cauchy et le commandant Laurent, une
nouvelle forme au théorème de Maclaurin.

Soit f [x) une Jonction finie continue monodronie et
mono gène à l'intérieur fVun cercle de rayon R décrit
de l'origine comme centre. Elle sera développable par
la formule de Maclaurin pour toute valeur de x com-
prise à r intérieur du cercle en question.

En effet, si l'on décrit un cercle de rayon R'. un peu
plus petit que R de l'origine comme centre, on aura,
en intégrant le long de ce cercle,

2 TT V I 1/ '

dz,

\j— ij 2 — -^

pourvu que le point X soit situé dans son intérieur*, alors

( M )

le module de z sera plus grand que celui de ^ et,

étant développé suivant les puissances de x^ on aura

Or on sait que

on aura donc

f[x] =/(o) + -/'(o) +... + ^ /-(o)

\ .1. . .n

ce (ju'il fallait prouver.

Si lafonctionf[x) est finie, continuCy monodrome et
mojwgène à V intérieur d' une couronne circulaire de
rayons R et W, ayant son centre à VoriginCy elle sera
développable pour toutes les valeurs de x comprises
dans cette couronne en une double série procédant sui-
vant les puissaîices entières ascendantes et descen-
dantes de X.

En effet, soit^^ un signe d'inlégration indiquant que
la variable reste sur un cercle de rayon A décrit de l'oii-
gine comme centre, soit /' un peu plus petit que R. et r'
un peu plus grand que R^ la somme

20

sera cgaleà l'inlégrale / — ^— Jz prise le long d'uti cercle

de rayon très-petit décrit autour du point x intérieur à
la couronne 5 en sorte que, si Ton observe que celle-ci
est égale à 271 \J — if[x), on aura

/ dz— \ -, ^r/z =2 7rV— 1/ s ,

ou bien, en observant que mod. ^ ]> mod. x et que
niod.z'<^mod.x,

X
X

n-.-^nr-;*--^'-

Ul

/ ( .' ) ^z ' (^^ ^ H- _^ -f- ^ -i- . . . j == 2 ,7 s/ - 1 / W ;

ce qui démontre le lliéorènie.

Exemples. — log (i -\- x) est développable à Tintérieur

d'un cercle de rayon i décrit de l'origine comme centre,

mais il cesse d'être développable au delà comme l'on sait,

et, en effet, pour a: = — i, le logarithme de i -f- a: est

nfîni.

Le point critique de (i — x)'"- est a: = i, c'est ce q
explique pourquoi la formule du binôme cesse d'avoii
lieu quand le module de x est supérieur à l'unité, elc

REMARQUE CONCERNANT LES FONCTIONS PÉRIODIQUES.

Une fonctiony(a:) possède la période w quand 011 a

et, par suite, /z étant entier,

f[j: -^- n m)z=z f[x].

(26)

e*^ possède évidemment la période w ; quand on donne

une valeur particulière à e ^ , il en résulte pour x
une série de valeurs de la forme jîq -h «w, /z désignant un
entier et Xq un nombre bien déterminé. Si donc on con-
sidère une fonction /(x) monodrome quelconque possé-
dant la période w, ellepourra être considérée comme fonc-

tiondey = e «^ et, si l'on se donne j^, a: ayant les va-
leurs X(i~\- n(x),f(x) prendra les valeurs

Ainsi, y étant donné, y^(x) aura une valeur unique et
bien déterminée^ il en résulte que f[x) est fonction
monodrome de y.

Il résulte de là que toute fonction périodique mono-
drome possédant la période m pourra se développer
suivant les puissances ascendantes et descendantes

77: I —

de e'^ à V intérieur de certaines couronnes circu-

laires.

Mais quand e ^ décrit un cercle, son module reste
constant 5 or, si l'on pose

a; rrr a -h P \/— I , m = ^ + // y/— I ,

il se réduit à

e y

^ désignant une fonction linéaire de a et j3, et pour
que cette expression reste constante, p doit rester con-
stanti X décrit donc une droite, de direction fixe d'ail-

leurs, quand on fait varier le module de e ^^ . Ainsi
c'est entre deux droites parallèles que le développement

de f [jo) sera possible, Tune de ces droites ou même
toutes les deux pouvant s'éloigner à l'infini.

Ce théorème nous servira à jeter les fondements de la
théorie des fonctions elliptiques.

NOTIONS S13R LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES.

Une fonction y, définie par une équation de la forme

/(j,.r) — G,

oùf(x^'y) désigne un polynôme entier en x ei j^ qui
n'admet pas de diviseur entier, est ce que l'on appelle
wne fonction algébrique. L'équation qui la définit est
d i te irrédii c l ih le .

Une fonction ainsi définie est susceplible d'autant de
valeurs pour une même valeur de x qu'il y a d'unités
dans le degré de / pris relativement à j- ; mais ces va-
leurs ne peuvent pas être séparées les unes des autres
et ne constituent (|u'uno seule et même fonction, ainsi
que l'a démontré M. Puiseux.

1° Une fonction algébrique ne peut s'annuler que si le
dernier terme de l'équation qui la définit s'annule, et,

par suite, elle n'a qu'un nombre limité de zéros. est

^ y

défini par une équation algébrique que l'on sait formel-
et n'admet, par suite, qu'un nombre limité de zéros ^
donc y n'admet qu'un nombre limité d'infii]is qui sont
les racines de l'équation obtenue en égalant à zéio le
coefficient de la plus haute puissance de j^ dans l'équation
qui sert à le définir.

1^ INous admettrons quey soit une fonction continue
de X, excepté pour les points où j devient infini ou ac-
quiert des valeurs telles que l'on ail à la fois

( ^8 )
encore en ces points n'y a-t-il pas, à proprement parler,
discontinuité, mais simplement indétermination d'une
certaine espèce dont nous parlerons plus loin ^ nous don-
nerons à ces points le nom de points cniîques.

Nous supposons ce théorème co-nnu du lecteur, et, en
réalité, il est supposé connu de toutes les personnes qui
s'occupent de Calcul ditrérenliel 5 il est impossible de
prendre la dérivée d'une fonction implicite sans l'ad-
mettre.

S"* La fonction algébrique j^ admet une dérivée bien
déterminée en tout point qui n'est pas critifjue : cela ré-
sulte de la règle de la différentiation des fonctions im-
plicites, et l'on a

r/j _ _ d /; _ (1/
dx d.r * dj

n • jV . , . d/ , ,

expression unie et déterminée si — n est pas nul.

4° La fonction algébrique j^ est monodiome à l'inté-
rieur de tout contour ne contenant pas de point critique.
Considérons, en effet, un contour fermé C ne contenant
aucun point critique •, supposons que la variable x dé-
crive un certain chemin continu à l'intérieur de C, en
partant du point x^ pour y revenir. Soient S ce chemin,
^0 la valeur de y en Xq au départ, etjfi la valeur cpie
prend y quand x revient en x^. Si l'on n'a pas^^i =J'^o»
j^i ne pourra être qu'une des valeurs à,Qj. Cela posé, dé-
formons le chemin S en le réduisant à des dimensions de
plus en plus petites. Quand ce chemin se sera, dans toutes
ses parties, suffisamment rapproché de Xq^ les vaUniis
àe y le long du contour S seront, en vertu de la conti-
nuité de j^, aussi peu différentes que l'on voudra dej^o?
et, par suite, différeront de ji d'une quantité finie,
puisque, à l'intérieur du contour C dans lequel nous che-
minons, les valeurs de j)'^ sont nettement distinctes*, donc,

{ '-9 )
quand le contour S sera devenu suffisamment petit, y re-
viendra en Xq avec sa valeur initialeyo- Mais, s'il n'en est
pas toujours ainsi, il est clair que, pendant que le con-
tour S se déforme, il airive un moment où y revient
encore en Xq avec la valeur y^ différente de y^, tandis
qu'un moment après il reviendra avec la valeur primi-
tive /q. Soient donc deux contours So et Sj, infiniment
voisins, ramenant j^ l'un avec la valeur ) 05 l'autre avec
la valeur j\ ^ considérons deux mobiles parcourant
ces contours en restant toujours infiniment voisins l'un
de l'autre : en deux points infiniment voisins, y ne
pourra avoir que des valeurs infiniment peu diffé-
rentes. En effet, si Ton considère, à cliaque instant,
la différence des valeurs de jr en deux points cor-
respondants, cette différence, d'abord infiniment petite,
restera telle, car elle varie d'une manière continue
comme j^ et elle ne saurait devenir finie que si l'on con-
sidère deux racines distinctes de l'équation / (x, y) r= o*,
mais, pour passer d'une valeur à une autre, y serait
obligé de rompre la continuité, à moins que l'on ne soit
précisément dans le voisinage d'un point cii tique où
deux valeurs distinctes dej sont susceptibles de différer
infiniment peu l'une de l'autre pour une même valeur
de X. Ainsi donc, y revient toujours en Xq^ avec la même
valeur j-q, si l'on ne sort pas du contour C. c. q. f. b.

Discussion de la fonction \/x — a.

Il est intéressant d'étudier la manière dont les fonc-
tions algébriques permutent leurs valeurs les unes dans
les autres autour des points critiques: nous renverrons,
pour cet objet, le lecteur à un Mémoire de M. Puiscux,
inséré au t. XV du Journal de M. Lioiivïlle. Il suffira,
en effet, pour le but que nous avons en vue, de discuter

{3o )
les fonctions de la forme yX, où X représente un poly-

nôme entier en x.

Commençons parla fonction r=\/x — «, dans la-
quelle a est une constante. Cette fonction a deux valeurs

+ y/.r — a et — y/x — «,

en chaque point égales et de signes contraires. INous
n'avons à considérer qu'un seul point critique, le point a
pour lequel les deux valeurs de j" deviennent égales à
zéro. La fonction y ne cesse donc d'être monodrome
qu'à l'ialérleur d'un contour contenant le point a.
Posons

ra ~' sera représenté par la droite qui va du point a au
point X (la résultante de deux droites représentant, il
ne faut pas l'oublier, la somme des imaginaires repré-
sentées par ces droites); on aura

1 0

/ 2 2

r' e

Si le points décrit un contour fermé contenant le points,

la droite re ~' joignant le point a au point x tournera
VAX déciivant un angle lotal égal à 2 tt; la fonction

1 0 ,• —
\x — a z=ir e

reviendra alors, quand x reviendra au point de départ
correspondant à 0 =r ô^, avec la valeur

— y.r — a z=z r' e

Ainsi l'effet d'une rotation autour du point a est de
changer le signe de la fonction y.

( 3. )

DISCUSSION DE LA FONCTION

sj k[x — a) [-Jc—'b) [x ~ c) . . . [x — l).

Quand le point x tournera autour du point «, \jx — a
changera de signe-, ainsi :

Quaîid la variable décrira un contour fermé conte-
nant une fies quantités a^ b, . . . ^ ly la fonction re-
tiendra au point de départ avec un changement de
signe

Quand la vraïahle décrira un contour fermé conte-
nant un nombre pair de points critiques, un nombre
pair de facteurs sjx — a, \Jx^—b^ ... changeront de
signes, et la fonction reviendra au point de départ avec
sa valeur initiale; ce sera V inverse quand le contour
contiendra un nombre impair de points critiques.

Au lieu de décrire un contour formé d'un contour
simple, la variable peut tourner plusieurs fois autour
d'un ou de plusieurs points critiques; mais ce cas com-
plexe ne présentera aucune difficulté et se ramènera aux
précédents.

Je suppose, par exemple, un contour ayant son ori-
gine en o et présentant la forme ci-dessous : quand la

Kio-. 6.

variable a suivi le chemin opts^ la fonction arrive

( 32 )
en s avec une valeur que j'appellerai y^^ et quand x par-
court le chemin sqrs^j revient en s avec la valeur — j,,
en sorte que l'on pourrait supprimer la boucle sqrs et
partir de o avec la valeur — j o i on pourrait de même
supprimer la boucle uptu eu partant avec la valeur
initiale -[-jro5 il reste alors le chemin optsqruo qui con-
tient le pointa et l'on revient en o avec la valeur — Jq.

ÉTUDES DES PREMIÎLRES TllANSCElN DAlNTES
QUE l'oJV RENCONTRE DANS LE CALCUL INTÉGRAL.

Les fonctions entières s'intègrent immédiatemeut, les
fonctions rationnelles s'intègrent en les décomposant en
fractions simples : quand ces fractions simples sont de la

A

forme , t- ? elles s'iutèsrient immédiatement: quand

[x — a]'" ^ ' ^

A

elles sont de la forme — - — •> elles ne s'intègrent plus au
X — a Ci

moyen de signes algébriques, ou du moins on ne sait
plus les intégrer de cette façon.

On rencontre aussi des fractions de la forme

Mx -f- N
Jx-^-^ px'^+ qy

mais, en adoptant les imaginaires dans le calcul, ces

fractions se réduisent à la forme •

[x — a Y

A

L'intégrale de est la fonction logarithmique

bien étudiée dans les éléments et bien connue j on con-
çoit cependant que la découverte des logarithmes ait pu
suivre celle du Calcul intégral, et il est intéressant de
voir comment on aurait pu étudier les propriétés delà
nouvelle fonction.

( 33 ) .
Et d'abord il y a lieu de se demander si l'intégrale de

A

'ngeiidre réellement une fonction transcendante,

X — n

OU seulement une fonction réductible aux fonctions al-
gébriques 5 nous allons voir, en étudiant ses propriétés,
qu'elle constitue une fonction nouvelle. D'abord, en
metlant à part le facteur A constant et remplaçant x — a
par X, on ramène cette intégrale à la forme

Posons

/

dx

X

I.

ax

— = logx,

X

le signe log étant employé pour représenter la nouvelle
fonction (nous précisons notre intégrale avec la limite i
et non zéro, afin qu'elle reste finie).

Nous pouvons prouver : i*^ que \o^x n'est pas mono-
drome et par suite ne peut pas être rationnel; 2° que
loga? a une infinité de valeurs pour une môme valeur
de x^ et qu'il ne saurait alors coïncider avec une fonc-
tion algébrique qui n'en a qu'un nombre limité.

Pour le prouver, observons que l'on peut aller du
point I au point X, soit direclement par le cliemin ix

Fig. 7.

^x

1

\ 0

/i

rectiligne, ce qui fournit la valeur que nous appellerons

logx, soit par tout autre chemin. La valeur de l'inté-

L. Fonct. eil//jt, 3

( 34 )

grale prise le long d'un chemin qui, avec xi, forme

un contour fermé ne contenant pas l'origine où - est

infini, donnerait la même valeur logx; mais si, pour
aller de i à x, on suit un chemin qui enveloppe le
point o, tel que celui qui est figuré en pointillé, Tinlé-
grale prise le long de ce contour, augmentée de l'inté-
grale prise le long de 07 1, sera égale à l'intégrale prise
le long d'un cercle de rayon très-petit décrit autour du
point o^ on aura donc, en se rappelant que cette der-
nière est égale à dz 2 tt y/ — i ,

/

d^ , / •

— — log.r= — 2.17 sj — i;

Je mets — 2.t.^ — i , parce que l'intégrale doit être prise
dans le sens rétrograde j on a donc dans ce cas

/

dx r

— z=: loil.^ — 2 7r i/ ■

Si, au contraire, la figure avait la disposition ci-dessous
on aurait

)g^ -h 2 7r^

/*=■".

Fig. 8.

/

-...->^

Il y a plus, si, au lieu de suivre un contour simple
comme les deux précédents, on suit un contour en-
tourant 2, 3, 4> • • • fois l'origine, tel que celui ci-

( 35 )
dessous qui l'entoure trois fois, il est clair que l'on aura

/

— i=logJ? -h 2,4,6. . .TT J— I ;
X

Fis. 9-

dans le cas de la figure, on a

/

Ainsi la valeur générale de l'intégrale considérée est

iog^zt 2/'7r V — I,

^désignant un entier, et ces valeurs de logx sont insé-
parables les unes des autres 5 ainsi, quand le point x
passe en a pour la seconde fois, l'intégrale y acquiert
une valeur égale à la précédente augmentée de 2 7r, et
cela en vertu de la continuité ; en d'autres termes, on
ne pourrait assigner à \o^x une valeur déterminée en a
qu'en rompant la continuité de cetie fonction.
Si l'on considère l'équation

d.x dr

^_Z

X y

on en tire d'abord

C^ dx ry dY

3.

(3G)
ce que l'on peut écrire

(1) I0g^ + l0g7=:l0g«,

a désignant une constante. Mais on en lire aussi

y dx -\- .x dj r=i o ,
OU

(2) xj = b^

h désignant une constante. Les formules (2) devant être
identiques, faisons a: = i 5 (1) donnera log)^ = loga et
(2) donnera y = ^, ce qui exige que a=^b. Des for-
mules (i) et (2) on tire alors, en remplaçant b par <2,

log^ -+-logj = logxj,

ce qui est la propriété fondamentale de la fonction lo-
garithmique.

La fonction inverse de logx sera représentée par e(x),
en sorte que, si

J-==log.r,

on aura

la propriété fondamentale des logarithmes donne la
propriété fondamentale des exponentielles

e[x^x)-.e[.T]e[x),

ce qui conduit à écrire

e[x) :=. e^ ,
et comme l'on a

log.r =:y -+- 2 /-Try/ — I,

y désignant l'une des valeurs de logj:, on a

la fonction e"" est alors périodique et a pour période

{ 37 )
/iTTy/ — I. De la formule

dx

dx= --

a;

OQ tire

dz:

y étant le logarithme de x, on voit. que la dérivée de la
fonction exponentielle e^ prise par rapport à y est cette
fonction elle-même ^ on est alors conduit à représenter e*
au moyen d'une série, et sa théorie s'achève comme dans
les éléments.

On voit ainsi que la découverte de Neper eût été faite
par les inventeurs du Calcul infinitésimal dès les débuts
du calcul inverse.

DES DIVERS CHEMINS QUE PEUT SUIVRE LA VARIABLE
DAWS LA RECHERCHE DES INTÉGRALES DES FONCTIONS
ALGÉBRIQUES.

Toute fonction algébrique y étant monodrome à l'in-
térieur d'un contour ne contenant pas de point cri-
tique, son intégrale sera nulle le long d'un pareil con-
tour; donc :

i*' L'intégrale prise le long d'un contour quelconque
XqX pourra être remplacée par l'intégrale prise le long
du contour rectiligne XqX^ si entre ce contour et le
contour donné il n'existe pas de point critique.

2° Si, à l'intérieur du contour C formé par le chemin
rectiligne et le chemin donné, il existe un point cri-
tique rt, on pourra remplacer le chemin donné par un
autre allant de Xq vers un point a très-voisin du point
critique sans sortir du contour C, tournant ensuite le
long du cercle décrit de a comme centre avec aa pour
rayon, revenant en a, puis en Xq par le chemin axo in-

(38 )
verse du chemin X(,<x suivi tout à l'heure, enfin allant
par le chemin rectiligne de Xq à x. En effet, le nouveau
chemin et l'ancien ne comprennent entre eux aucun
point critique.

Fig. 10,

Le chemin formé d'une ligne allant àe Xq au point
a voisin du point critique a, tournant autour de ce
point et revenant eu x^ par la route déjà suivie pour
aller de X(,, est ce que l'on appelle un lacet.

Nous avons figuré ci-dessus un lacet en séparant
l'aller du retour pour bien montrer comment le lacet
peut se substituer au contour C.

3^ Si, entre le contour C formé par le chemin recti-
ligne et le contour donné, il existait plusieurs points
critiques, on pourrait remplacer ce contour par une
série de lacets suivis de la droite x^x.

4** Supposons que le contour d'intégration donné
rencontre la droite XoXi en p.^q.

Fig. ir.

On pourra remplacer le chemin x^lp par une série de
lacets et par la droite Xç^p-^ on est alors ramtmé au

39

chemin x^pinq^ que l'on peut remplacer par une série
de lacets suivis de xq^ et ainsi de suite j donc :

Théorème. — Tous les chemins que Von peut suivre
pour aller de Xq en x peuvent être remplacés par une
série de lacets ayant leurs origines et leurs extrémités
en Xoj suivis du contour rectiligne XqX (*).

Nous dirons qu'un lacet unit deux valeurs j^,- et j^y
quand ces deux valeurs de j se permutent l'une dans
l'autre lorsque l'on suit ce lacet.

Mais nous préciserons encore davantage : en général,
en suivant un lacet, on ne permute que deux valeurs de
la fonction j^ 5 toutefois il pourra se faire qu'en suivant
un môme lacet plusieurs fois de suite, on obtienne une
permutation circulaire des valeurs /i^j^a^ Yz-> • • • de y^
nous considérerons comme distincts tous les lacets par-
courus avec des valeurs initiales différentes à^y. Ainsi,
par exemple, si le point a est un point critique ordi-
naire, deux racines ji et jj. se permuteront l'une dans
l'autre en parcourant ce lacet-, nous le supposerons
double, mais seulement pour la commodité du langage,
en sorte que, s'il est parcouru- avec la valeur initiale j^,,
nous le considérerons comme formant un premier lacet
unissant yi à yj,^ et s'il est parcouru avec la valeur ini-
tiale^;;, nous le considérerons comme un second lacet
distinct du premier et unissant yj. à r,-.

De même, si au point a trois valeurs j^,-, y-pyk se per-
mutaient entre elles, on aurait à considérer le lacet cor-
respondant comme triple : l'un des lacets simples unirait
Yi h Yj et serait parcouru avec la valeur initiale /,, et

(*) Il va sans dire que nous supposons que le chemin rectiligne x^x
ne rencontre pas de point critique. S'il en rencontrait un, ce qui n'arri-
vera que dans des cas tout particuliers, il faudrait, pour l'exactitude du
théorème, éviter ce point en déformant le contour rectiligne.

( 4o )

ainsi de suite. Ainsi, au mot lacet est atlachéc l'idée
d'un chemin et l'idée d'une valeur initiale de y bien
déterminée.

DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES.

Dès les débuts du Calcul intégral, on est arrêté par
des difficultés insurmontables quand on veut calculer la
fonction dont la dérivée dépend d'un radical carré re-
couvrant un polynôme du degré supérieur au second.
Cette difficulté provient de ce que la fonction cherchée
dépend de nouvelles transcendantes irréductibles, comme
l'a prouvé M, Liouville, aux transcendantes étudiées
dans les Éléments ou aux fonctions algébriques. Le-
gendre, qui soupçonnait cette irréductibilité, s'est sur-
tout attaché à étudier les propriétés analytiques des
transcendantes les plus simples auxquelles conduit le
Calcul intégral, et a créé la théorie des fonctions ellip-
tiques.

On donne le nom di intégrales elliptiques à des inté-
grales de forme simple, auxquelles on peut ramener les
intégrales de la forme

où F(x, j) désigne une fonction rationnelle de x et
de j^ et où j représente un radical de la forme

A, B, C, D, E désignant des coefficients constants.
Nous supposerons le polynôme placé sous le radical dé-
composé en facteurs, et nous aurons

j = v/G(x-a)(x-li)(x-7)(^;-<?),
G désignant un nombre quelconque réel ou imaginaire.

(4i ) •

On simplifie la formule (i) en posant
_ « + ^?
on trouve alors

4> (J, >5) désignant une fonction rationnelle de ^ et de xî,
et Y] désignant le radical

■y — \/G[a — a.-h [b — o^)'e\[a — ji-h [b —

pjçj.

Les puissances impaires de ^ sous le radical disparaî-
tront si l'on pose

. [a-cc]{b-^)+{a-p)[b-.)=o.
{^a - y) [b - S) ^h- (a -ô)[b-y)=:^o;

d'où l'on lire

ou

lab — (<3r -^ é>) (a + p) -h 2a8 = o,
2ab — [a-h b){y -h S) + 27^ =r o,

a + [i — 7 — ^

2aB — 2'

Ces équations montrent que a el b sont racines d'une
équation du second degré facile à former. On pourra
donc toujours supposer que la quantité placée sous le
radical yj ne contient que le carré et la quatrième puis-
sance de la variable ^.

Cette transformation semble tomber en défaut quand
on a a H- |3 — y — d =^ o ; mais alors on a

( 4?. )

et il suffit de poser

pour faire disparaître les puissances impaires de la
variable.

Remarque I. — Il est bon d'observer que, si le produit

[x — a)[x — (3)(.^ — y)(jr — ^) est réel, les quan-
tités a et b pourront toujours être supposées réelles-, en
effet, la condition de réalité des racines de l'équation
du second degré qui fournit a et b est

{aS - 7^)^ — [ap(7 -{-§)- 7^(a + p)] (a + 3 - 7 - o7>0.

Le premier membre de cette égalité s'annule pour
a = y^ a = d, j3 = y, /3 = c^, et l'on constate facilement
qu'il est égal à (a — 7) (a — ^) ((3 — 7) ((3 — ^). Il est
donc réel si a, j3, y, ^ sont réels. Il est encore réel si,
ce que l'on peut supposer, a et (3 sont conjugués, et si y
et d sont réels ou conjugués. Ainsi donc on peut tou-
jours supposer a et b réels si

(.r-a)(^-|^)(^-7)(^-(î)

est un polynôme à coefficients réels.

Remarque II. — Si le polynôme placé sous le radical
y n'était pas décomposé en facteurs, en remplaçant x par

- et en annulant les coefficients de \ et ^^ sous le

radical, on obtiendrait la même simplification
Remarque III. — Si l'on avait

j=:^G(.r — a)(a: — p)(a? — 7),
en posant

on trouverait

7),

^ désignant une fonction rationnelle de H et de v].

Ainsi toute intégrale telle que V, dans laquelle y dé-
signe un radical carré recouvrant un polynôme du
troisième ou du quatrième degré, peut être ramenée à la
forme

y désignant un radical de la forme

V/G(i -\-mx^][v +«j;2),

m et n désignant des constantes, et il est clair qu'en
posant

m
on pourra ramener le radical à la forme

Posant alors

les intégrales que nous nous proposons d'étudier pren-
dront la forme

y=fY[x,y)dr,

F désignant toujours une fonction rationnelle. Nous
verrons par la suite que la quantité A^, à laquelle on a
donné le nom de module, peut toujours être censée
réelle et moindre que l'unité.

(44)

RÉDUCTION DES IJNTÉGRALES ELLIPTIQUES
A DES TYPES SIMPLES.

Reprenons l'intégrale

(i) Y=f¥[x,y]doc,

dans laquelle nous avons vu que l'on pouvait supposer

(p f jr. y]
F(x,j^) peut toujours être mis sous la forme ---^ »

g? et t{> désignant deux fonctions entières de x et j^;
mais une fonction entière de x et de / peut toujours
être censée du premier degré en /, car y^ est une fonc-
tion entière de x^ j^ est le produit de y par une fonc-
tion entière de x, etc. On peut donc poser

FLr, r = .-- t

\ '^ 1 C-4-Dj

A, B, C, D désignant des polynômes entiers en x.

Si l'on multiplie les deux termes de cette fraction
par C — Dy, elle prend la forme

F(.r,j) ==M-4-Nj,

M et N désignant deux fonctions rationnelles de x, et
comme N/ = -^—7 on peut encore écrire

F(ar,j)=r:MH-?,

P désignant une nouvelle fonction rationnelle de x *, la
formule (i) donne alors

La première intégrale s'obtient par des procédés bien

_ ( 45 )

connus et peut s'exprimer au moyen des logarithmes et
des fonctions rationnelles. Il reste alors à étudier les in-
tégrales de la forme

(.) v^j.'t.

Je dis que l'on peut toujours supposer qu'il n'entre
dans l'expressioTi.de P que des puissances paires de x\
en effet, on peut poser

„ H -+- Kj;

V=-- — -j

ï -f- Lx

H, K, I, L désignant des polynômes de degré pair en x,
et, par suite, on a

_ (H + Ii.r)(I — L^)

p peut donc être censé de la forme

M H- No;

M, N, S désignant des polynômes de degré pair. La
formule ( 2 ) donne alors

r^lclx fN dx

La seconde intégrale, en posant x' = z, prend la forme

f/N

^[i--z][,-kH\

OÙ /(s) est rationnel en z; elle pourra donc s'obtenir
par les procédés enseignés dans les Eléments du Calcul
intégral. Il ne reste donc plus qu'à s'occuper des inté-
grales de la forme (2), dans lesquelles P ne contient que
des puissances paires de x.

La fonction P, étant décomposée en éléments simples,

(46)

se composera de termes de la forme A.r^"* et

KeX a désignant des constantes, et l'intégrale U se com-
posera elle-même de termes réductibles aux formes

J f J {^'-a^)y

L'intégrale u peut encore se simplifier, et l'on peut tou-
jours supposer m = ooum= i : il suffît pour cela d'ob-
server que l'on a

a, b, c désignant des constantes que l'on déterminera en
faisant les calculs indiqués^ on en conclut la formule de
réduction

'— da:-\-h ï ~ d.v-hc j dx,

— dx de proche en procliey
quand on connaîtra

/dx Cx'^dx

7 " JT-'

il suffira pour cela d'y faire successivement
m = 2, 3, ....

DES TRANSCENDANTES DE LEGENDRE ET DE JACOBI.

En définitive, les intégrales de la forme

fF(x,y)dx,

où F désigne une fonction rationnelle de x et d'un ra-
dical carré recouvrant un polynôme du quatrième de-

( 47 )
gré, peuvent se calculer au moyen des fonctions algé-
briques, logariiliiniques, circulaires, et au moyen de
trois transcendantes nouvelles :

/.

dx

OU

dx

I

(i —ax^) ^'[i —x'-)(i — k''x'\

La première est, comme on le verra, la plus impor-
tante : ce sont les trois intégrales ellîptii^ues de pre-
mière, de deuxième et de troisième espèce.

Legendre pose o^^sincfj les trois intégrales précé-
dentes deviennent alors, en prenant poui f imites infé-
rieures zéro,

n ^?

et

d(p

I

- a sin^ç] sj i — k"^ sin'ç

la première était pour Legendre l'intégrale de première

espèce, l'intégrale / y/i — A^ sin^g) d(^ d^ait l'intégrale
Jo

de deuxième espèce, la troisième était Ti mi%rale de troi-
sième espèce. L'intégrale de deuxième espèce représente
l'arc d'ellipse exprimé en fonction de l'anomalie excen-
trique de son extrémité.

cp est ce que Legendre appelait V amplitude des trois

(48 )

intégrales, k porte le nom de module, a est le para'
mètre de l'intégrale de troisième espèce.

Legendre, dans son Traité des fonctions elliptiques,
étudie surtout les propriétés des trois intégrales que
nous venons de signaler, et indique le moyen d'en con-
struire des Tables. Mais Abel et Jacobi, se plaçant à un
point de vue beaucoup plus élevé, ont considéré les in-
tégrales elliptiques comme des fonctions inverses; pour
bien faire saisir la pensée qui a guidé ces géomètres
dans leurs reclierclies, nous ferons observer que les loga-
rithmes et les fonctions circulaires inverses pourraient
être définies par les formules

loii.v = I — 5 arcsm^= I -^

dx

et auraient certainement été étudiées avant l'exponen-
tielle, le sinus, etc., si ces fonctions directes n'avaient
pas été fournies par des considérations élémentaires. Le
fil de l'induction devait laisser penser que l'intégrale

i

dx

ne définissait pas une fonction aussi intéressante que
son inverse.

Avant d'étudier la fonction elliptique, il convient,
pour la commodité de l'exposition, d'étudier l'intégrale
un peu plus générale

.m ^ ^ f^_ __dr

Jo v^Tr^ a) (j"^j (r — 7) (J — ^) '

(49)
X est une fonction évidemment continue de y, tant
que y n'est égal à aucune des quantités a, (3, 7, (^, oo , et
réciproquement j sera une fonction continue de x\ et,
lors même que / passe par la valeur a par exemple,
X reste continu. En effet, posant x=:f(j)^ on a

^0 i/ r —

'0 v/j-a v/(j-p)(j-7)(j — ^) '
cette expression est finie comme l'on sait j on a aussi

/( a + // ) = / -^ ^ ,

et, par suite,

/(a + /,)_/

i

a.

h

dr i

v/j-«v/(j-P)(r-7)(r-^)'

soient M une quantité dont le module reste supérieur à
celui de ^ ^^ ; e une quantité dont le

■ v/(r-?)(7-7)(r-^) ^

module est au plus égal à i , on aura

cette quantité est bien infiniment petite. Ainsi :

Théorème I. — La fonction x et, par suite, son in-
verse y sont continues, excepté quand y ou x sont infinis.

Pour préciser le sens de la fonction x^ il faut sup-
poser que, pour j)^ = o, le radical ait une valeur déter-
minée, que nous représenterons par -f- sjoc^yâ, et quand
je dis que, pour y = oAe radical a cette valeur, j'entends
parla que l'intégrale est engendrée avec la valeur -f- \j(xpyd

qui pourra prendre au point o la valeur — y/a(3y^ quand
L. Fond, ellipt. ^

( 3o)
la variable y reviendra en ce point. Cela posé.

Théorème II. — La fonction y admet deux périodes.

En effet, les contours que l'on peut suivre poiir en-
gendrer l'intégrale x peuvent se ramener : i*^ au con-
tour rectiligne oy ^ i° à. ce contour précédé de contours
fermés aboutissant en o et formés de lacets.

Soient A,B,G, D les valeurs que prend l'intégrale
autour des lacets relatifs aux points a, jS, y, ^.

Appelons i la valeur que prend l'intégrale x quand le
chemin que suit la variable y est le contour recti-
ligne 075 X pourra prendre les valeurs suivantes : 1° la
valeur i ; 2« les valeurs A — i, B — i, C — i,D — ^ ( "**) •

En effet, par exemple, la variable -y parcourant d'a-
bord le lacet A dans le sens direct ou dans le sens ré-
trograde, X prend la valeur A, le radical revient en o
avec sa valeur primitive changée de signe, la variable
décrivant ensuite le chemin o/, l'intégrale prend le
long de ce chemin la valeur — /, et l'intégrale totale se
réduit à A — i.

3° En général, quel que soit le sens dans lequel on
parcourt un lacet, la valeur de l'intégrale ne dépend
que du signe du radical à l'entrée du lacet, et ce signe
change à la sortie du lacet 5 il en résulte que, si la valeur
initiale du radical est précédée du signe -|-, la valeur
générale de x sera

A — B -}-C — D-f-...dz/,

(*) L'intégrale le long d'un lacet est facile à calculer; supposons qu'il
s'agisse du lacet relatif au point a, elle se composera de l'intégrale rec.
tiligne 0 a, de l'intégrale prise le long du chemin circulaire décrit au-
tour de a, intégrale nulle, et de l'intégrale rectiligne aO, laquelle est
égale à O a parce qu'elle est parcourue en sens inverse de 0 a et avec le
signe — placé devant le radical. Ainsi A= 2 (Oa); le radical, en effet,
change de signe quand le point^ tourne autour de a.

(5, )
le signe de i étant -f- s'il est précédé d'un nombre pair
de termes, — s'il est précédé d'un nombre impair de
termes ; de sorte que, si l'on pose

P = m,{A — B) -i- m,[A ~ C) -^ m,{A - B)

4-/724(B~C) + w5(B— D)H-;w,(C-D),

^i,W2, ...,/726 étant des entiers positifs ou négatifs,
les valeurs de\r seront de la forme

,3^ i P + ', P -f- A - /, P -h B ~ /,

P -1- C — /, P -}- D — /,
que l'on peut simplifier. En effet, si l'on intègre

/

V(.r-a)(j"-p)[j-7)(j — ^)

le long d'un cercle de rayon infini décrit de l'origine
comme centre, on obtient un résultat nul, mais cette in-
tégrale est aussi égale à la somme des intégrales prises
successivement le long des quatre lacets 5 donc

A — B-f-C — D=ro,
si l'on pose

A — Bzinw, B—Cz=zj,
on aura

B=:A — w, CrrzA — w — HT, D = A — B + C" A — u,
y^co A — B = T^, A— G = w-f-cT, A — Dz=zj,

B — C=:c7, B— D==CT— w, C — D=: — w.

La quantité P est donc de la forme mw -{- fiu, et les di-
verses valeurs de x de la forme

mtd -h nu -hi ou moi -h nrj -\- A — /.

Les quantités metn désignant des entiers quelconques,

4.

( 52 )
il résulte de là que, si Ton (sihj =if(^x), on aura

!a fonction y admet donc les deux périodes w et uj.

Si nous partageons le plan en une infinité de parallé-
logrammes, dont les côtés soient w et Z5, ces parallélo-
grammes porteront le nom de parallélogrammes des pé-
riodes, et nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Théorème III. — Dans chaque parallélogramme des
périodes, la fonction y prend deux fois la même valeur
pour deux valeurs »distinctes de x.

On peut démontrer directement que la fonction j^ est
monodrome dans toute Féteudue du plan. En effet, si le
pointy se meut dans une portion du plan qui ne con-
tient pas des points critiques, x reste fonction mono-
drome de ^, et l'équation

fournit une série de valeurs de x comprises dans un cer-
tain contour G. Réciproquement, la racine y de cette
équation ne pourra cesser d'être monodrome qu'autour
des points où j" acquerrait des valeurs multiples ou au- '
tour desquels le premier membre de l'équation cesse-
rait d'être monodrome ou fini par rapport ky^ or, la
dérivée du premier membre de notre équation relative
k y XiQ s'annule que pour/ = 00 5 les seuls points oxij
pourrait cesser d'être monodrome correspondent donc à
/ =^a, [3,7, ^ etco,
Posons donc

/ — a 4- z\

dy dz

dx *^ dx ^

( 53 )
la formule (A) deviendra

L

3 dz

La fonction z ne cesse évidemment pas d'être mono-
drome autour du point ^=3 o, et, par suite, j'" ne cesse
pas d'être monodronie autour du point a (a, j6, y sont,
bien entendu, supposés difïérents les uns des autres).

Si l'on veut étudier ce qui se passe autour du point
o^ = J, pour lequelj" = ce , on posera

I

1 = -'-,

on aura alors, au lieu de la formule (A),

dz

f

*/oo

— .r == o,

et, en raisonnant comme plus haut, on voit que cette
équation, pour y = co ou pour z =: o, ne cesse pas
d'être monodronie par rapport à x.

Nous verrons plus loin une démonstration lumineuse
de ces résultats, mais il était nécessaire de présenter ces
considérations pour faire comprendre l'esprit qui nous
guide dans nos recherches.

Notre but dans ce paragraphe était de montrer com-
ment on pouvait être conduit à concevoir des fonctions
possédant deux périodes.

ÉTUDE ET DISCUSSION DE LA FONCTION sinamo:.
Considérons l'intégrale

dr

Jo v/(i-J^

qui est la plus simple de celles auxquelles se ramènent

( 34 )

les iniégiales que nous avons considérées plus haut,
Legendre posait

j=:sinç;

il obtenait alors la relation

fliD

(jp était ce qu'il appelait l'amplitude de l'intégrale x.
Alors, en posant ç)= amx, on a

y =: sinam.r;

le nom de sinamj:: est resté a j^ considéré comme fonc-
tion de X. Nous adopterons la notation de Gudermann,
plus simple que la précédente, due à Jacobi, et nous
aurons

y = sin am .r =: sn j? ,

J i — 7^ rrr COS aiïl JO = cnx

V I — A'^j'^=z dnjc,
y

timgam .r= tnx.

V I — J
Nous reviendrons d'ailleurs sur ces formules pour en
préciser le sens et déterminer le signe qui convient à
chaque radical. Dans ce qui va suivre, k sera quel-
conque, mais, dans la pratique, k sera généralement
réel et moindre que l'unité.

D'après ce qu'on a vu au paragraphe précédent :
1** La fonction sn^:: sera continue, monodrome et
monogène dans toute l'étendue du plan.
2° Elle possédera deux périodes, l'une

^ r dy ^ r-' dr ^

correspondant aux deux lacets successifs et relatifs aux
points critiques — i et H- i . Nous l'appellerons 4Kj

( 53 )
nous observerons qu'elle est réelle quand A est réel, et
d'ailleurs moindre que l'unité en valeur absolue,

l'autre période est

Jo ^ Vo

A '

A désignant, pour abréger, le radical^ ou peut la repré-
senter par 2K' ^ — I, en posant

KV-=ff.

Si l'on fait

p + ^'^ = i, i—ky' = /,'H\
on trouve

K'^r' 'L-=^. .

k est ce que l'on appelle le module,

// est le module complémentaire,

K est V intégrale complète,

K' est Vintégrale complète complémentaire.

Ainsi les côtés du parallélogramme des périodes sont
4Ket ^¥J ^i.

3° La fonction sn:r passe deux fois par la même va-
leur dans le parallélogramme, et, d'après la discussion
faite au paragrapbe précédent,

sn('2K — j:)=sna7.

4° La fonction sn.r s'annule en particulier deux fois
dans chaque parallélogramme, et comme on a évidem-

( 36 )
ment sno=o, les zéros de snj: sont donnés par les
formules o et 2K, ou, plus généralement,

2 (2m -f- i)K + 2K.'/zv/^

ou ilLm -^ 'lia n\j — i.

5° Cherclions les infinis de snx. L'un d'eux sera
donné par la formule

=: / — ou la.= \

Jo ^ J-00

et l'on peut supposer que le contour d'intégration soit
rectiligne en laissant d'un même côté de lui-même les

points critiques -h i et H-y? et, de 1 autre cote, — i et

A'

— y-, mais un tel contour peut être remplacé par un

demi-cercle de rayon infini décrit sur lui-même comme
diamètre, à la condition d'y adjoindre les deux lacets
relatifs aux points critiques. Or le contour circulaire
donne une intégrale nulle; on a donc

et, par suite,

Ainsi l'un des infinis de sn.r est K' \/ — i, et, comme
sn(2K — x) = snx, un autre infini sera 2K — K \J — i.
En général, les infinis de snj: seront

4/72K-h-(2/2 4-i)ICv/~ ) . .

, ,,, . > ,, / i ou 2Km-hhn-{-i)Ky—i.

_ ( 57 )
6° On a, comme il est facile de le voir,

sn X = — sn ( — .r ) .

y° snR'y^ — L étant infini, posons, dans l'équation

j — - — î X = K' y/ — I -f- ^ ; nous aurons

A" Z

clz

d'où nous concluons, z s'annulanl avec t,

et, par suite,

f , I \ ±1

sn(K \J — \ +.rj=: , , ■

d'où l'on lire

SnK'y — I r=:CO .

8^ Enfin l'on a

sn(K)=:=i, sn(K + kV^Î = 7.'

A

SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES.

La discussion faite au paragraphe précédent nous a
révélé l'existence de fonctions nionodromes et mono-
gènes possédant deux périodes. Ces fonctions (et les
fonctions elliptiques sont les plus simples d'entre elles)
jouissent de propriétés communes qui peuvent en sim-
plifier l'étude-, nous commencerons par faire connaître
ces propriétés.

Sans doute une bonne partie de la théorie des fonc-
tions ellipliques pourrait être faite, et même a été édi-
fiée avant la découverte, toute récente, de ces pro-

( 38 )
priélés; mais leur connaissance explique bien des
méthodes d'investigation qui pourraient, sans cela,
être regardées comme des artifices de calcul heureux,
mais peu propres à éclairer sur la méthode d'invention.

Théorème I. — // n existe pas de fonction niono-
dronie et mono gène possédant deux périodes réelles et
distinctes.

En effet, si la fonction y*(x) possédait les deux pé-
riodes w et rj, on aurait

m et n désignant deux entiers quelconques. Or, si w et cy
sont commensurables, soit a leur plus grande commune
mesure et

w := Aa, CI = -lix.

Si l'on pose

m^- -\- ni =^. I,

cette équation aura toujours une solution, car A^ et /
peuvent être censés premiers entre eux. On aura donc

mA'cc -+- ni a. = (X ou w&)4-/?tj = a,

par suite

a serait donc une période et o) et cr seraient ses mul-
tiples. Si w et cj sont incommensurables, on pourra tou-
jours satisfaire à la formule

wo) H- /2CT = e,
OÙ e est très-petit. Il suffit, en effet, pour cela, de ré-
duire - en fraction continue : soit- une réduite quel-

conque,— la réduite suivante; — sera compris entre ces

( % )

deux réduites dont la difierence -^ tond vers zéro. On

pourra donc poser

cj p 9

et

L 7 ^n'j L 7 77']

Or on peut, en supposant - irréductible (ce qui a lieu

pour les réduites d'une fraction continue), prendre
mg -\- np = i ; mais m et 72 sont le numérateur el le dé-
nominateur de la réduite qui précède -; donc — <" i

7 7'

et mw -h 7ZCJ se réduit à une quantité moindre que —,

7
c'est-à-dire aussi petite que Ton veut £. On aurait donc

/(.r + e)r=/(^) ou f{a:-hs)- /U)=:o,

e étant aussi petit que l'on veut. La fonction

/(x4-£)— /(xjzmo

admettrait donc une infinité de racines s, 2£, 3e,...
dans un espace fini du plan; l'intégrale

.S''-ïj

J[.r-^-z)—f[x)

serait donc infinie, ce qui est absurde. Il est évident que
deux périodes dont le rapport est réel ne peuvent pas
coexister non plus. En effet, soit r le rapport des pé-
riodes 5 on pourra poser

et l'on aura

( Co )

OU

en désignant par F f - j la fonction y"(x) ; x étant quel-
conque, on aurait

F(.r + i)+F(arj, F(x4-r) = F(.r),

et la fonction F aurait les périodes réelles i et r.

Théorème TI. — Une fonction moiiodromey mono-
gène et continue ne saurait auoir plus de deux pé-
riodes.

En effet, soient a-\-h \J — i , a '-j- b' y — i , a'^ -h h" \J — i
trois périodes de la fonction y (j:), s'il est possible. Je
dis que l'on pourra toujours trouver trois entiers m,
m', m" ^ tels que l'on ait

a'" =z ma -h m'a' -f- m" a" << s ,
b"'=:mb^m'b' -+-m"b" <:e,

6 étant un nombre si petit que l'on voudra. En effet,
considérons la quantité

a'"b" — b"'a" = m[ab" — ba") -f- m'[a'b" — b' a'');

on pourra toujours, comme on l'a vu dans la démon-
stration du tbéorème précédent, choisir m et m' de telle
sorte que a^"h" — h'^'a^' soit moindre qu'une quantité
donnée, et même de telle sorte que l'on ait

„, ^„^n'' ab"-ba'' , a' b'^ - b' a'' ^
a'" - b'" - ou m + m -^-„- - - < (î ,

c'est-à-dire, en valeur absolue,

i) a"'<S~{-b"

a

1/ 5

(6. )
mais m et m' ayant été ainsi déterminés, on pourra tou-
jours choisir m" de telle sorte que l'on ait en valeur

absolue

b'" mb , h' ,, ^ I

- ou ^,^m ^,^m <-,

et, par conséquent,

b"'n" I „

On pourra donc, en vertu de (i), prendre

2

(rt) désignant la valeur absolue de d\ ou, en définitive,

<K1.

b"-

prendre <2'^^ < ^^ Or, de (2), on tire h'" <i^ — ; ainsi

on pourra prendre a'" et h'" moindres en valeur absolue
que les demi -valeurs absolues de a'' et b'". Cela étant,
considérons les quantités

a-^=n'a' -^n"a" -^n"'a"',
b-^ — n' b' -^ n" b" -^ n'" b"' ',

on pourra choisir les entiers n\ n" ^ n!" de telle sorte

a'" b'"

que l'on ait en valeur absolue a^"' <^ — ? h^^ <^ — . On

pourra déterminer d'une façon analogue des nombres

a

^xv

à^ <^ — 5 ^^ <C — '^^^ ainsi de suite; mais a!'^ a^'', a^, . . .

sont des fonctions linéaires à coefficients entiers de a,
a'^ a" -^ de même h'"^ ^^^, b^, . . . sont des fonctions
linéaires à coefficients entiers de b, b\ b" -^ ces fonctions
linéaires vont en décroissant, au moins aussi rapide-
ment que les termes de la progression géométrique de

raison -•, donc elles peuvent être prises moindres que

toute quantité donnée. c. Q. F. d. .

( (32 ) ■
Si donc la fonction /(.r) admettait les trois périodes
a-hhsj — I, a' -i-b' \J — i, a''-^b"sj — i, elle admet-
trait une période «^'^ -h ^^'^ sj — i de module aussi petit
que l'on voudrait-, J\x-^e) — J'[x) = o aurait donc
une infinité de racines dans un espace limité, ce qui est
absurde. Il n'y aurait d'exception à celle conclusion
que si l'un des nombres a,- et son correspondant bi s'an-
nulaient rigoureusement. Mais alors, en appelant o), w',
0)^', pour abréger, les trois périodes et en désignant par
m, m', ni" trois entiers, on aurait

(i) moi -^r- m' m' -+• m" oi" =z o .

Soient n\ le plus grand commun diviseur de ni et ni' ^ et ,u,
}j! les quotients de m et m! par m^ ^ si l'on pose

pW -f- p-' w' = M , ,
n(ji -h //w' ^:=. &),,

on pourra toujours choisir n et n' de telle sorte que le
déterminant y.n' — n^i! soit égala i pour des valeurs
entières de n et n! -^ alors o) et o)' s'exprimeront en fonc-
tions linéaires de w'j et Wj, à coefficients entiers. On aura
ensuite, au lieu de (i),

m\ w', H- m" (ù" = o.

Divisant les deux membres de celte formule par le plus
grand commun diviseur de m\ et de m'\ elle prend la

forme

p', «', ■+- ]s!' (ù" = 0.

et si l'on prend /z'^ |ui'' — ^" Vx = i? ce qui est possible, et
si l'on pose

« , w , + /z w = w j ,

w'^ et ^" seront des multiples de w'^. En résumé, w et w
sont fonctions linéaires et à coefficients entiers de w', et
de Wj, c'est-à-dire déco, et de Wi. Il en est de môme

(63)
de (jh" \ nos trois périodes se réduisent donc à deux de la
forme ^(«'2 -\- q^i^ p et q désignant des entiers.

THÉORÈME DE M. HERMITE.

Théorème. — V intégrale d'une fonction double-
ment périodique prise le long d'un parallélogramme
de périodes est nulle.

Ce tliéorème, ou plutôt cette remarque fondamen-
tale, est due à M. Hermite : elle est presque évidente. En
effet, le long de deux côtés opposés, la fonction prend
les mêmes valeurs, mais la difïérentielle de la variable
y prend des valeurs égales et de signes contraires j la
somme des intégrales prises le long des côtés opposés est
donc nulle, et il en est de même de l'intégrale totale.

Premiiîre conséquence. — Une fonction doublement
périodique s'annule au moins une fois et devient infinie
au moins une fois dans chaque parallélogramme des pé-
riodes, car sans quoi elle ne deviendrait jamais ni nulle
ni infinie-, mais le théorème de M. Hermite nous ap-
prend que dans chaque parallélogramme il y a au moins
deux infinis et deux zéros.

En effet, si dans un parallélogramme il n'y avait
qu'un infini, l'intégrale prise le long du parallé-
logramme serait égale au résidu relatif à cet infini multi-
plié par 2 71 y/ — I. Or ce résidu ne saurait être nul;
donc il ne saurait y avoir un seul infini dans le parallé-
logramme : il ne saurait non plus y avoir un seul zéro,
caria fonction inverse n'aurait qu'un seul infini.

Deuxième conséquence. — Dans chaque parallé-
logramme, il y a autant de zéros que d'infinis.

En effet, soit f{z) une fonction à deux périodes,

' ' aura les mêmes périodes 5 en l'intégrant

277 V^ — I /('

l ^4 j
le long d'un parallélogramme, on doit trouver zéro, ou
la différence entre le nombre des zéros et des infinis de
f [z) ; celle différence est donc nulle.

Troisième cojnséqxjence. — En intégrant

ï zf'iz]

le long du. parallélogramme des périodes, et en appe-
lant w et cj les périodes, on trouve la différence entre
la somme des zéros et celle des infinis contenus dans ce
parallélogramme; elle est

ITZS/—! L J /[^) J /{^l J

La première intégrale est prise le long de la période i7,
et la seconde le long de la période w; en effectuant, on a

^[-"

loe ^, . h CT iOi

OU

[^^»g ' — wlogi]= ma -4- «w;

277 y/— I

cette quantité est une période.

Quatrième conséquence. — Une fonction double-
ment péj^iodigue, gui admet n infinis, ou, ce quire^ient
au même, n zéros daiis un p a j^ allé lo gramme de pé-
riodes, passe aussi 7i fois par la même valeur a à V in-
térieur de ce parallélogramme.

En effet, soity(:r) une telle fonction, /(:«:) — a aura
aussi n infinis et, par suite, n zéros; doncy^(x) passe
n fois par la valeur a.

Une fonction doublement périodique qui possède

( c>-> )

n infinis dans un parallélogramme élémentaire est dite
d'ordre n.

La somme des valeurs de la variable x, pour les-
quelles/(a?) prend la même valeur, est constante à des
multiples des périodes près; en effet, d'après ce que l'on
a vu (troisième conséquence), ^^{-s) — a est nul pour
n valeurs de z qui, à un multiple des périodes près, ont
une somme égale à celle des infinis àef[x).

Il n'y a pas de fonctions du premier ordre, puisque
toute fonction à deux périodes a au moins deux infinis
dans chaque parallélogramme élémentaire, et les fonc-
tions doublement périodiques les plus simples sont au
moins du second ordre.

Nous allons maintenant essayer d'établir directement
l'exislence des fonctions monodromes, monogènes, con-
tinues et doublement périodiques.

REMAllQUES RELATIVES AUX PRODUITS IINFINIS.

Nous allons bientôt avoir à considérer des produits
de la forme

î(")= n II (' + « + ,£-+,r<7)'

et il est bon de montrer dès à présent que la valeur du
produit en question dépend de la manière dont on l'ef-
fectue, c'est-à-dire, en définitive, de l'ordre des facteurs.
Considérons, en effet, m et n comme les coordonnées
d'un point, et faisons le produit de tous les facteurs cor-
respondant à des valeurs de m et n intérieures à une
courbe Ci et de tous les facteurs correspondant à des va-
leurs de m et n intérieures à une courbe Cg. Soient P,
L. Fouet. elUpt, 5

( (V, )
et Pg les produits, on aura

fft et « désignant les valeurs entières comprises entre les
deux contours Ci et Cg. On en lire

logP,— iogP,

=.l\og(i^ 7^

=.y ^ ; - ^'y( - •-- -,V+. . . .

On voit que logPj — logPa peut être infini 5 mais
il peut aussi être fini : c'est ce qui arrivera quand

- sera fini. C'est ce qui arrivera encore

'•'^ a H- m (A -v- n w

lorsque, > > étant nul, parce que les deux

contours ont pour centre l'orieine, y 7 ,t;

ne sera pas nul : ce cas remarquable a été examiné par
M. Cayley. En désignant par A la valeur de cette
somme, on aura, en négligeant des termes infiniment
petits,

logP.- logP, = ---^,

et, par suite,

P. -^
P2

L'ordre dans lequel on effectue le produit, même en pre-
nant autant de termes positifs que de termes négatifs
dans chaque produit partiel, peut influer sur le résultat

en introduisant une exponentielle de la forme e

s

( '^'7 )
c'est ce qui nous permettra d'expliquer un paradoxe que
nous rencontrerons plus loin.

SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACÛBI.

Essayons maintenant de former directement une fonc-
tion monodrome et monogène admettant les périodes
4K et 2K!\J — I de sn x. Si Ton observe que l'on a

ou

rtn

(-ï)(-4^)-

+ n
— n

en supposant 1 remplacé par x, on sera tenté de

X
OTT

poser

Sna:r=

■IA[ 2Kw-H(2« + i)K'v/— ij

en remplaçant i par a:, ou tout au

^ 2Ko + 2K'ov/— I

moins y aura-t-il lieu de se demander si le second mem-
bre de cette formule ne serait pas doublement périodique.
On voit d'ailleurs que ce second membre a été formé de
manière à s'annuler et à devenir infini en même temps
que svlX. Malheureusement, d'après ce que l'on a vu au
paragraphe précédent, les deux termes du quotient que
nous considérons sont divergents, et ce quotient n'est pas
bien déterminé- auoi qu'il en soit, en groupant conve-

5.

{ 68 )
nablement les termes, on peut obtenir une fonction bien
définie qu'il convient d'étudier.

Considérons, en particulier, le produit

où

\ 2Ko-h2K'ov/— Ty

doit être remplacé par .r.

En faisant d'abord varier m seul, il devient

.^-^ iKm -\- iK'n ^ — i — x
A-'- 2Kw -i-2K'/z V— ^

iK' n s/^ — -r jj f 2.K'n y/— i - -r

n

2K'« V' — I
2 K /;/

ou, en observant que -^XI (^ - £) ^st égal à - sinTiJC,

. '?Ai.'nJ—î — x
sin ~ TT

2K

. 2K'«v/^^
sin — îf

2K

Quand n = o,\l faut remplacer ce produit par sin — ? et
\e produit cbercbé peut s'écrire

""tII Ir-'-r)

va posant, pour abréger, ^=:e '^'^ . On peut encore écrire

( 69

ce produit ainsi :

n

it X y/— 1

2 k

.r\/^\

TT.r

2 k

/

K

(■

-y-)

sin

ou, en groupant les termes correspondant à des valeurs
de n égales, mais de signes contraires,

TT.r
1 — 2 r/^" cos -— -A- 7^"

. . . 7r.r -py K

•lO ^'"k n [ri:^^]^

En liaitant le second produit ou le dénominateur de sna:
comme on a traité le prcujier, on le Irouve successive-

. ( 9. n

+ OKV

—

I — jr.

1

'>.K

^ .„(^'

.« -+-i)K'

V-

— I

I — 2 7'"+' cos -—

-+-

^2(î«+l)

OU

n

Les deux résullats auxquels nous venons de parvenir sont
d'ailleurs convergents si, ce que l'on peut toujours sup-
poser, le module de q est moindre que l'unité, c'est-à-
dire si la partie réelle de— est positive.

La méthode même que nous avons suivie pour former
le numérateur et le dénominateur de sn.r montre que
ces termes ont des valeurs qui dépendent de l'ordre de
leurs facteurs^ et, en effet, si nous considérons, par
exemple, le dénominateur qui, à un facteur constantprès,

est

*" 7r.r "^

n[

Vj{x)z=z I I I I — 27"-"'-^' cos- ^ qK^'^-^'^)

( -o )
il a manifestement la période |K"que possédait snj*,
mais il n'a pas la période 2iK! qu'il aurait eue en lais-
sant d'abord jn constant pour faire varier ji ; et il n'a cer-
tainement pas la période 2zK', sans quoi il serait double-
ment périodique sans devenir infini. Quoi qu'il en soil,
il est curieux de rechercher ce que devient la fonction
o (x) quand on change x en x -{- i¥J \/ — i] on a

cpi^j: + 2ÎCy/ — i)

\ ( — (/"■*• c

r= JJ \ [ — 7="+' c " / \ ' — 7'"*' «

ou, si l'on veut. ^

«p(.-r -4- 2

c'est-à-dire

(A) <ï,(^ + 2K'v/— 1) = — (p(^)e '^ . .

Le numérateur de la valeur de sn x^ que nous représente-
rons par 6{x)y satisfait, comme on peut le vérifier, à la
même équation ; dès lors il est facile de voir que la fonc-
tion définie par le rapport-]^ admet non-seulement la
période 4K commune à 0 et à cj», mais aussi la période
aK'^^. En effet, de la formule (A) et de

iv )

on déduit

Of.r-!-9.KV^^)_ 0(.r]
T, . ^ . ' e[.r)

11 resterait a prouver en toute nsrueur que sn x = ~, — : -,

c'est ce qui serait évident, si l'on pouvait admettre que

Q(.r) , ■ . . . ,

-- — - représente une lonclion continue, monodrome et

cp(.r)

morkogene. En ellet, snj:et— ^ — -ayant les mêmes zéros

et les mêmes infinis seraient égaux à un facteur constant
près, qu'il serait facile après cela de calculer. Nous ne
tarderons pas à prouver que l'on a bien à un facteur con-

stant près sn .r = -- — ,: lusqu alors nous considérerons

ce fait comme très-probable.

Les fonctions telles que 9 et o sont ce que nous appel-
lerons àes fonctions elliptiques auxiliaires.

COKSIDÉRATIONS NOUVELLES SUR LES FOIVCTIOKS
AUXILIAIRES DE JACOBI.

Nous voilà conduits à étudier les fonctions auxiliaires
évidemment plus simples que les fonctions doublement
périodiques qu'elles engendrent; mais, sous forme de
produit, elles paraissent peu maniables, et nous allons
essayer de les développer en série.

En définitive, il est à peu près établi que snj; (et Ton
verrait de même que cnx, dnj:) peut être considéré
comme quotient de deux fonctions admettant l'une ses
zéros, l'autre ses infinis. Ces fonction* n'ont qu'une pé-
riode, mais elles se reproduisent, à un facteur commun
près, quand on augmente leur variable d'une quantité

( 7\)
convenablement choisie et qui sera une seconde période
de leur quotient.

Désignons alors par 0(x) une fonction possédant la
période o),- et développable par la formule de Fouricr

'V:

suivant les puissances de e*^ , partageons le plan en
parallélogrammes de côtés co et ci, et proposons-nous de
faire en sorte que dans chaque parallélogramme la fonc-
tion 0 possède p. zéros.

Le nombre ix de ces zéros devra être égal à l'inté-
grale de = —j — -5 prise le long du périmètre d'un

parallélogramme, et cela quel que soit le point que Ton
prendra pour sommet, si l'on veut que les zéros soient
régulièrement distribués dans le plan. Or la valeur que
prend notre intégrale le long des côtés parallèles à cj est
nulle, puisque la fonction, admettant la période w, prend
des valeurs égales sur ces côtés, tandis que dx y prend
des valeurs égales et de signes contraires. On devra donc
avoir, en intégrant seulement le long des deux autres
côtés,

et cela quel que soit.r^ cette équation détermine 0. On
peut poser

, , Q'ix) 0'(.r-l-CT)

^ ^ ô(.r) d{x-\-m) ^

et déterminer les coefficients indéterminés a, P, y, . . .

par réquatioii (i)-, celte équation n'en détermine qu'un

seul, et nous supposerons alors, pour simplifier, P = o«

y = G, .... La formule (i) donne alors

HIV \J-

( -3 )
d'où

2 7rp.y/ — I

w

et, en remplaçant a, (B, y,... par leurs valeurs dans
l'équation (2), on a

6'(x) Q^(.r -1-ct) __ 27rpv/— 1
ô(.r) " 0(^4- ct) ~" w

OU, en intégrant,

c désignant une constante. On en déduit

^ , \ — — •;j.(.r-Hc)

0 .r 4- C7 = 0 j:)e

Ainsi il suffira d'assujettir la fonction Q (x) aux condi-
tions

( 0i> + ci) = O(x)^

pour obtenir une fonction telle que nous la désirons. La
première formule est satisfaite en posant

«==+» 5_v/:

ou

57: y' — 1
(4) B{.T)=:zle " ^ .

Nous allons déterminer çp(/2) de manière à satistau-e A
la seconde condition (3); on a

«X+MCT +«?(«)]

Q[x -{- tj)=ile "

^ -^^ — IIl-[(/H-[A.jx + cp(n + tA) + e>{«) — «(«+(*.) — lAjr + ?jrs]

1

— «X

(:i )

Si l'on pose alors

(5) ©(«) — ^[n -h a) -t- nm = — c^i,

on aura

['n+'ft.\x + to{n + IX]] — — — ;a(x-+-C)

OU

(^ -f- ct) = 0(.r)^

a(a--f-C)

et les formules (3) auront lieu. L'équation aux difle-
rences (5) ne détermine pas complètement <f{x) : elle
laisse arbitraires çp(i), 9(2), • • • , cp(p-)' En appelant cp (m)
une de ces quantités,, on a

(p(m -4- p) = (^ [pi] + cp -f- wcT,

cp(/?Z -{- 2 Ja) =r (p (w + pi) -H Cp. + (w + p.) C7,

nr.

cp [m -4- /p.) = <p(m -i- ?■ — I p.) H- cp, + (/•-'i H- / — i p^
d'où l'on tire

cp(/w 4- /p) = a;(/;/) -4- /pc -Jr- vj—[im — iit. — |x),

et0(.r) prend la forme suivante, en remplaçant (^{n\
dans (4) par sa valeur

où l'on a posé

i =-^ ■" / — „ . -,

(o) Ô;„(.r)— >. ^ •- -^

j =—00

Donc :

1° Les fonctions monodromes et monogenes satis-

\^{x-hC)

( 7' )
faisant a iix fo rm ules

[ Ô[.r + oo)=:0(x),
(3) _2rV/rî

( Q(.r -f- d) — ô{.r)e

sont fonctions linéaires et homogènes de ^ d'c/ifrc
elles ;

2" Ces fonctions existent réellement, car la série (6)

. , . . . . -, Txi

est convergente si la partie imaginaire de — est posi-
tive, ce que Von peut toujours supposer. En effet, alors
la racine i'^'"" du i'^'"" terme de la série (6) tend i>ers
zéro ;

3° Ces fonctions ont a zéros dans le parallélogramme
des périodes o), cj.

Enfin le quoLÎent de deux quelconques de ces fonc-
tions a évidemment les périodes w et uj, ce qui prouve,
a fortiori, l'existence des fonctions à deux périodes arbi-
traires et à /x zéros ou du ^^^^^ ordre.

DES FOINCTIONS DU PREMIER ORDRE.

Nous dirons qu'une fonction elliptique auxiliaire est
d'ordre ^ quand elle aura ^ zéros dans son parallélo-
gramme des périodes. Les fonctions du premier ordre
satisfont aux équations

e(x -t- w)'=e(x),

I ( x+c)

Ô(jc -h CT) = 0(.r)<? " ,

et, 6 désignant l'une d'elles, les autres seront égales à 0,
à un facteur constant près. On pourra alors poser

( rnx •+■ wt' -+--— cr J

( 7'i )
Nous retrouverons cette fonction plus loin. Observons
toutefois qu'elle n'engendrera pas de fonctions aux pé-
riodes simultanées o) et cj; mais il faut remarquer que,
si la fonction en question est du premier ordre par rap-
port aux périodes w et cj, elle sera du second ordre si
l'on prend pour périodes w et 2cj ou 20) et zs : c'est pour
cela que, devant la rencontrer de nouveau dans tous les
ordres, nous ne nous en occuperons pas ici.

DES FONCTIONS DU SECOND ORDTIE.

Les fonctions du second ordre satisfont aux équations

•r -h oi = {jix

(>) ... --"^

2(X + C)

Elles sont au nombre de deux distinctes 9^ et 0i, la solu-
tion la plus générale étant Ao^oH-Ai^i, A^ et Aj dési-
gnant deux constantes arbitraires. On a d'ailleurs

(2) 6.la^)^^e

i = — '

i — + <

(3) 9,(.r)^2

- [ 2 i a + 2 ic + i- cr — t cr]

^"^ ^[(2t + l).rt-2iC-l-l«CT]

Les fonctions qui servent de numérateur et de dénomi-
nateur à sn:r sont du second ordre par rapport aux pé-
riodes 2K' sj — I et 4K- En effet, ces fonctions satisfont
aux relations

j <p(x + 4.R)r=ç)(j:),

(4) ] , ,_--. , ^ _1V/^(.+kv/z:î) ,

( 77 )
Or la seconde de ces relations peut s'écrire •

Ces formules coïncideront donc avec (i), en posant

w z= 4k, n = 2 k' v/^^, c — k h- k' v/—^;

le numérateur et le dénominateur de snj: seront donc
de la forme Ao0o(^)+ Ai0i(x), et l'on aura

-----^[(2i-l-l)x+2iK+2avV-l(J-f-l)l

G, (.r) =L^e -^ .

Groupons les termes correspondant à des valeui s de
i égales et de signes contraires, et posons toujours

g =e "" '^ , nous aurons

Go (.r ) = 1 — 2 7'2 cos -r- -+■ 2 7^^ cos -— h . . .

, . . ÏTZX

. +(— i)'2^"COS-— H-. . . ,

, / TV X 3 TT .27

Ô, (x) = \f~ I 27°sin -— - — 2r/'('+')sin - ' +. . .
^ ' \ 2 K 2 K

2^iCt+i) si,^

2/-I-I)

TT.r

2K

Jacobi désigne la fonction Oq par 0(x); quant à la

±

fonction 01, nous la remplacerons par -—=r 0i, ce qui lui

s/— 1

donne plus de symétrie, et nous la représenterons en-
core, avec Jacobi, par B[x)', nous aurons alors

e[x]z= I — 2 7 ces-— + 27^COS-y

2 77 X f . . it:x

{-. . .-h [ — i)'2 7'-cos

K •••'

7r.r

. Snx , (1/±11: . (2/-f-i)7r.r

HW = 7*sin^-7*sm--H-...rt:7 ^ sm ^^^

( -8 )
Du reste,* les fonctions les plus générales satisfaisant
aux formules (4) sont de la forme AQ[x) -hBE{x).
Aux fonctions 0 et H on adjoint aujourd'hui les
fonctions B[x-i- K), que l'on désigne par (dy[x), et
H(a:-f-K), que l'on désigne par Hi(x). Si, dans les
formules (5), on remplace x par a:-f-K, on trouve
alors

, . 7t. T nx
&i[xj=: I -+- 9.q COS --: h 3. q* COS — : h . . • ,

,T / \ 7 "^^ T 37r.r

11, Lr =r Oflp* ces — — + 2<7*C()S + . . . .

^ ' 2K ^ 2K

Il existe entre les fonctions H et 0 une relation re-

marc[uable : quand on cliange x en x -\-¥J\J — i , 0 de-

vient égal a sj — i H[x )e **^ , ce que 1 on vé-

rifie sans peine en remplaçant x par j'-f-K^y/ — i dans
0(x) ou, ce qui revient au même, dans son égal Ôo{ji^)
exprimé par la formule (5).
Voici le détail du calcul :

0(^) —le 2'^

:^(2x + K'v^-i) -7k

„ ^^-TT7-^C'2i + i)x + 2(K+2i(i + l)KV-lJ

r= y — 16? **■ H(.r).

On vérifiera facilement, d'une manière analogue, les
formules non démontrées, que nous résumons dans le
tableau suivant :

{ 79 )

TABLEAU .N"^ 1.

, . 7ZX 2 7r.r 3 77^

0 [j-j =: I — 2<7COS -j^^ [- 2<7^COS— j^^ 2^^008 — — -

3ttx

K

TV cr

K

9. TTJ^

0, (.r) r= I + 2<7 COS — - + 2 ry^COS — f- 2r/='cOS -—

" 3 TT .r

^ . 57:^

H x= 2 7 * sin — ^; — 2 (7 * sin - — + 27 sm —~ —
^ ^ ' 2K ^ 2K alv

H,(a;)=: 27* COS l-2r7*COS — ïr-+2<7 cos-

2R 2R

'^ 5;

2K

7 =

TtK'

K

[3]

( 0 [a:-HK)=0.(.r), H (^ -4- K) == H. (x) ,

0 (a;-h_2K) =:0 (.r), H (x-h 2K) =—U [x] ,
0, (.r 4- 2K) — 0, (x); H,(x -h 2R) ==:— H, (x) ,
[4] 4^^ ^^'' ""^ période de 0, 0,, H, H,.

0 (a:+2KV— 0=— 0[-^)^ ''

/ , / ^\ , ^ -"^"^f^U^^-V^Ti)

0, Lr+ 2K V— i) =01 -^k »

H(x4-2KV=^)--H (^)-~~^^^" ^

H, {x + 2K' v^^) =: H. [x]e K-'^-^^^'^ -^^ .

^-\2x + kV^)

[6]

V=i.

4K

[2 i + K'^—l)

[7]

0.(.r + lCv/-i) = H,(.r)^ ^
H {x + K' v' ^^) = v'— ^ ® (-^l

', 0 (_.r.)r=0(.r), H(-x) = — H(^),
j 0.[--x)=0.(x), H,(-x)=:H(.r).

( 8° )

RÉSOLIITIOIV DES ÉQUATIONS 0, ©i, U, H^ = O.

On a ëvidemmeiit

et, en- vertu des formules [3] du tableau n** 1. comme

\\[x-\- iK]~ — H(x),
on a aussi

H(2K) = o.

H(x) n'ayant que deux zéros dans le parallélogramme
des périodes 4 K et i K'y/ — i, les zéros seront de la forme
suivante :

4/R H- 2/K's/- I et (4y -h 2)K + ifK.'s]—i ,

ou, si l'on veut,

(H) oyKH-^/KV^T,

/ et/ désignant deux entiers. Mais, d'après [2], ITi (r)
est égal à H (j:-4-K); donc Hi (x-f-K) est nul cjnand
X est de la forme précédente 5 donc enfin les zéros Jt- 11,
sont de la forme

(H.) (2y + i)K-f-2/KV^^;

enfin, en vertu de [6], les zéros de 0 sont ceux de H
augmentés de R^ \J — i 5 ils sont compris dans la formule

(0) 2yK + (2/'+i)KV^;

ceux de 0i sont compris, en vertu des mêmes for-
mules [6], dans celle-ci :

(®.:

(zy + i)K + (2/ + i) K'v'— 1 .

[s;

(8. )

TABLEAU N° 2.

Zéros de q[x]. . , iJK + [if -\~ i] K' y^^^ ,

de H(^)... 2yK + 2/KV^^,

de 0, (.r)... (2y-l- i)K+ (2/+ i)KV-

deHi(^).. (2y + i)K-i-2y'KV^.

NOUVELLES DÉFINITIONS DES FONCTIONS O, H, ©i, Hi.

Les fonctions 0i, Hi, 0, H satisfont aux formules

j 0,(.r+2K)=:0,(x), _

( 0,(^ + 2K'v/— ij ==:0,(x)e »^ .

l e {x-\- 2K) = 0(^),

\ e (x ~h 2K'y/— i) = — 0(^'

H,(x-h 2K) =— H,(^),

•:i^(x-4-K'v/~)

e

( H (^H-2K)r=:-H(a:), __

^^^ \ H (.+ 2KV=:T)=.-H(.:)r'^'^""'^'^\

Si Ton ajoute que ces quatre fonctions sont synec-
liques et, par suite, développables en séries d'exponen-
tielles, elles seront déterminées à un facteur constant
près par ces quatre formules. Ce fait est déjà établi à
l'égard de la fonction 0^ , nous allons le prouver pour
les autres fonctions.

Lorsque l'on a

( Ô(.r-h&)) = 9(^S

(5) ' 2jV^ ,

( Q[x -+- t3) = Q[x)e

et que la fonction Q(^x) est synectique, ces équations
L. Fond, ellipt, 6

(8.)
imposent à la fonction 6 la forme

AuOo(.r) + A,9,(x)4- ... -f- Ai,_,Oj,_,(jc),

où Ao, Al, ..., A^_^ sont des constantes et où Oq, Ôj, ...
désignent des solutions de (5). Si donc on fait fj(.= 2,
wi=4K., rïï=2R'y/ — I, c = K! ^ — 1, on aura

( 0[.x -{- iK' s/— i) = Q{.r]e ^ ,

el6[x) sera de la forme AqOq -i- A^Ôi, Or les deux fonc-
tions ©i (j:) et Hi (x) satisfont à ces deux équations;
leur solution générale sera donc

Ao0,(^) -f-A,H,(x).

Si l'on ajoute que 9[x) s'annule pour une valeur
donnée K + K'^ — i , il faudra que A, = o, et la fonc-
tion 6 sera définie à un facteur près.

Ainsi les fonctions 0i, H<^ 0, H sont définies par
leurs zéros et par les formules telles que (6), que l'on
peut déduire de (i), (2), (3), (4); mais elles ne sont
définies qu'à un facteur constant près (on reconnaît
dans H et 0 les valeurs qui figuraient en numérateur
et en dénominateur dans sno:).

SUR UNE FORMULE DE CAUCHY. NOUVELLES EXPRESSIONS

DE 0, H, 01, Hi EN PRODUITS.

Posons

^^^ \ >C{l-hq''-^'z)(l-{-q"'^'z-'),

Nous aurons évidemment

( 83 )
c'est-à-dire

(2) F{q^z)(qz -h q'"+^) = F{z){l ~l- q^n^H).

Cette équation constitue une propriété de la fonction
F (2) qui va nous servir à la développer. F (z) est de la
Ibrme

F(z)=Ao + A,(z + z-')

-f- A,[z'-h z-^] -j- . . . H-. A„{z» + z-«).
Remplaçons dans ( 2} F ( 2 ) par cette valeur, nous aurons

= [A, H- A, (z 4- 2-' ) H- . . . 4- A„ (z" -f- 2;-«)] (i H- q^'^-^^z),

et, en égalant de part et d'autre les coefficients des
mêmes puissances de z,

Aoq -hA,q'''+' = A,q'"^^-^A^,

A, 73 4_ A, <72«+6 _ ^ 2„+3 _^ ^î

ou

bien

Ao[q -7'"^')=A»(i — 7'«+*),
Ar{q'~q"'-^')=zA,{l — q'-^^),

Or on connaît A„; il est égal à

qq^q^ . . . q^"-^^ z=z ^«+3+...+(2n+i)

et l'on tire des formules précédentes
Supposons <7 <]i, alors pour zz =zr 00 on aura

A, rzr^rAo, Aj^r^^A,, ...,

6.

( 84 )

et, par suite, en égalant les valeurs (i) et (3)aeF(:j),

Telle est la formule de Caucliy, quand on y lait
z = e^K"" ^ et quand on observe qu'alors

(i + g^'^-^^z) (i + ^'"+'2-0 = I + 2^=^«+'cos'^

2;^_f_z-i^— 2C0S -—»

elle donne

(i + 2^cos ^ H- 5^') (i + ^^'cos -^ + 7')- • •

TT.r

2 7r.r

H-27COS-— + 27'cos--— H--.. .

K ' ^^ K

Si donc on désigne par c le produit

(i_^^)(i_^^)(i-9«)...,
on aura

0.(.7:) = t:(i +2r7COS^ +7^(1 + 2*7' ces ^+ ^«)....

En changeant dans cette formule j: en a:+K, en

^ _l_ K' s/^^ et en X + R + KV^^» on forme le ta-
bleau suivant :

[9]

( 83 )

TABLEAU N*' 3.

^ = (l-?^)(l-7^)(l-7^)-...
0, (.r j =: C I I -f- 2^C0S —;- + 'Î'M l I + 2(7^COS — -f- q

0 (^) = c( I — 27COS ^ -\-qAil — 2^^C0S^ H- ^M

ITT / \ V TT j; / TTX A

H, [x] — c2^^cos— ( I 4-2</2ros— + </*)

X I I H- 2f/<COS-— + <?M • • • ?

H (x) = c2 <7*cos ^— ( I — iq'^cos — - H- 7M
2K \ . K ^ /

/ TZ X

X l — iq^COS— -+-7'
i \ K

RELATIOJVS ALGÉBRIQUES ENTRE 0, H, ©i, Hi»

Considérons les fonctions 0^, H^, 0 j , ^l't elles satis-
font toutes les quatre aux relations

0(arH- 2K)=:G(^),

donc deux des quatre fonctions en question sont des
fonctions liuéaires et homogènes des deux autres. Po-
sons alors

02(x) = AH'(x)H-A,H^(^);

on en conclura, pour a: = o et x = K,

02(o) = A,H^(o), 02(K)=AfP(K).

D'ailleurs

H?(o)=IP(K);

( 86 )
on en déduit A et A,, et la formule précédente donne

ce que Ton peut aussi écrire

On trouve de même

^ ^ ^ ^H(K + Iv'v/-i) ®Mo)'

mais [formules (6)]

©(K-f-KV-^) _ H(K) _ H,fo)_ .

donc

(.) e'W = H'w5]M+e;W^-

^ ' ^ ^ ^ ^ 0^ (o) ' ^ ^ 0;(o)

RELATIONS DIFFÉRENTIELLES ENTRE LES FONCTIONS
AUXILIAIRES.

Posons

•^-0(.r)'

on aura

^^' dx 0^(^)

Or, en difïérentiant les formules [5], on a

«r ^ -^(-H-KV=T)7rv/-
^ H- H [x] e ^^ -— —

(2^ /

R

(è\x-^iYJsi—\)—— 0'(.r^- *^

■4- ®[x\c

e

( 8- )
Or les deux fonctions li[x) et Q[x) possèdent la période
4K; il en est donc de même de H'^x) Q[x) — 0'(x)H(x),
et, quand on y change x en x -\~ 2K' \J — i, en vertu de
(2), cette fonction devient

[0(.r) H'(.r) - H(.r) @'[a:)]e'~'" ^^ ' i^-^H'V-i) ^^

en d'autres termes, elle s'est trouvée multipliée par

Or les fonctions &[x)H[x) et (di(^x)Hi(^x) sont dans
ce cas; on doit donc poser

(3) B'[x) 0 (.r) — H [x] @'{x) = A0 (.r) n (^) + B0, [a:] H. (.r),

ou, en divisant par O^ et en tenant compte de (i),

dx e[x) 0(.r) 0(.r) *

Mais, si, dans (3), on change x en — x, on a

H'(x) 0(.r) — H(.r) 0'(.r) =— A0(.r) H(^) + B@,{x) H,(x),

et, en comparant celte formule avec (3), on a

A = o;
donc

^ = B- — .
dx 00'

Si, dans (3), on fait x = o, on a

H'(o)0(o)=B0,(o)H,(o).
Tirant B de là, la formule précédente donne

^^j dr_ H^(o)Q(o) e.HH.M _

dx 0,(0) H, (g) 02 (.r)

Entre cette formule et les formules (i) et (2) du para-
graphe précédent, éliminons 0j(x) et Hi(x)j nous

(88 )
aurons

rfjy_H"(o)r q;(o) .If, h;(o).,,1

Cette équation serait identique à celle qui nous a servi
primitivement à définir le sinus de l'amplitude x, si
l'on supposait

0,(0) • 0.(0) H(x) I H(.r;

-y= ^"^

(5)

"~H,(o)" I.].(o) 0(x) ^'J@{^)

0.(o)ir(o)__

H,(o)¥{^"'';

H?(o) ^

et l'on aurait

On a donc bien

h{x) 0,fo)

•SnX = ; r 7— r»

0(x) H,(o)

et il est nettement établi que la fonction sn^r est mono-
drome, puisqu'on peut la former de toutes pièces en la
considérant comme le quotient de deux fonctions mono-
dromes.

Maintenant reprenons les formules (i) et (2) du pa-
ragraphe précédent^ on peut les écrire, en divisant par

_ H^(x) 0(0) Hf(.r) 0^(0)
*~ 02(.r) H^(o) "^ 0^(^) tJ?(o)'

_ H^] Hj]o) 0^ 0^
'-0^(.r) 0^(0) 0n^)©Uo)'

La première, en vertu de (5), sera satisfaite en posant

H,(^) 0(0^

0(^) H,(.r^

cosam.r = enj:,

89

et la dernière donnera

A-^ sn2^ +

0^(.r) 02 (o]

02(.r) 0^(0)'

OU bien

0,(.r) 0(0)

V^'i — A^sn^^- = dn'«.

e[x) 01 (o]
Elle donnera aussi, pour x = K,

_ H^K) H^(o) 0f(K) 0'(o)

HMo) 0^
0:(o) 0:(o)'

ou bien

Le premier terme du second membre est A^, le second
est donc la quantité désignée plus haut par A'^-, k' est ce
que nous avons appelé le module complémentaire , On
a donc le tableau suivant :

TABLEAU N° k':

Snx :=:

H(.r)
/V H,(.r

^ 0(.r

H^[o)_ 0^(0] ,,_0:lo) ^ _UUo)
@l{o) ~ H'=^(o)' ~ 0-^(o)' A-'"" 0-^(o)

A2+A'^=i,

[II]

j ^"^ Jo V^{i

^^

K'= / ,,

9^

-^ -^

o i4
a c

8 14,
Il k

T +

+

c

i^

Il II

ir I +

I i4 !4

= C C

^ -a -a

+

c

H
+

IT

c

k/
M

es "^

^

1

. 1

8

1

^

^''h

1

0
1

rf^ ^ >

II

.1 "^

1

0

«3 -a

en "w

1
II

1

2

iî

0

0"

II

II

8

II

T

1 1
-f

ï

c

11

H

II

!

es

II
1

!

Il

T

T

(M

r

+1
^i|f

c
0

C

0

C
0

c
u

c
0

«^

c

c

c

C

0

c
0

0

! ^

C

y

1

" + "

8

11

#*

C

^

P^

•N f^

4

^ 1-4:

•^

•^

W5

a

t^ ^

' i4

II

, T

^^

+

c

H

■<«

«5

^d-

^ es

0

il

0

îî

\4

H

(M

8

II

T

ï

+

es

c

1
II

'4"

c

en
II

'h"

1

c

1
II

+

5^
c

1
1

''h

c
-a

1

r

4

11

II

+

+

T

^^

u

H

^

c

c

d

c

c

t«

fl

c

c

c

c

c

C

C

c

c

t^

(/}

Ui

en

tn

^ "— ^

(/;

(«

(/5

t/

3

V5

in

CA

c/:

c

-^

RELATIONS ENTRE SUX, CTIX ET dnX,

A la fonction sn^, définie par l'équation
lions avons adjoint les fonctions

( dn X =za'= \/ \ — A'^u'.
La formule (i) pourra alors s'écrire

du

-— = cnx anx = va>,

dx

Des formules (2) on déduira

dv
Ix

u du

Sji — w' '^^

diX>

'dx

_ ^''" ^^"

\Jl — k-'u' (^'^

Ainsi

on

a

\

dsnx

= cnxdnx,

ax '

(3)

\

d en X

dx

.

ddvix

— , — =r — A^'snxcnjc.
dx

Maintenant, si l'on observe que

v/rt.2~— /'2

« = V/l — v' = -sjl — w\ P — , iv=:zs!'k''^-\-k'^\

(9^ )
les formules (3) pourront s'écrire

du >—

Rien n'est plus simples, en partant des formules (3), que
de former les équations auxquelles satisferaient tangam^,
cotamx, .... On formera ainsi le tableau suivant :

TABLEAU N° 5.

d sn X

- en xdnx.

djc

P ^^ , c?cnj:

10 < — ; — = — dn-rsaj?-

"- ^ ' dx

dànx

— - — = — A-^snjTcnx.
dx

[.6]

Fonctions. Leur équation difrérentielle.

du
dx

uz=zmx, ^-=\!{\ — u}][\ — k'u}).

u = cnx, ^:=._Ay(i-.0(i + ^«^)
1 ^^^ n 7~^

du

du

u =2 coiamx, -— =r — i/(i + m^) ( A'^-f- mM,
dx * ^ '

u r= sécam^, '-£=z-k'y [li^ - i) [«'- jr, j^

w = cosécamjc, — -=:i/(^<2 — ijfw^ — k^),
dx ^

dnx dx ^ ^ '^

( 93 )
Ce dernier tableau est utile pour la réduction de l'in-

dUL

j sl[u'-^m)[iû-\-n]
aux fonctions elliptiques.

FORMULES d'addition.

2:i^(^+K'V'-l)

Considérons maintenant le produit

H(x + «)H(^ — fl) = e(x)

on a (tableau n** 1)

Les ibnctions H^ et 0^ satisfont à la même équation-,
donc , ,

Pour déterminer H et B, on fera x = o j on aura alors

_H2(«)=:B02(o)..

On fera ensuite x = K'yA^ i on aura alors

ou

— &{a) @{— a) = — Ae'[o).

On a donc

et, par suite,

H(^ + «) H(.r - a) = _LJ__i_^^^-^ L_ .

On obtient de la même façon une foule d'autres for-
mules, que uous résumons dans le tableau ci- après.

94

TABLEAU N° 6.

[■7]

H(x - a] H(,r + a) = e'M H' W - H'M 8^.)

' ^ ^ 0'(o)

H(x — «] ©(j- + «)

H, («)©,(«) H(«)0(a) ,

0, [a] 0 frt

0(o)0i(o)
H(x — a) 0,(.r + «

H,fal0fa

^.[a:]n.[.)-m^^^,^^,,

HLr 01

0(oj0.(o)
H («) 0, [a)

®[x)YL\x]',

H,(oj0(o)~^' ''"' H,(o)0(o^

0 (j: — «) H (.r + a)

^ H.M0.(^]H(.r)0(.r)+HM0(^)H.(^]0.(x]
0,(o) H;(^)) '

8] ( e[x — a)B.,[x + a]

^ 0(^)0,(^)Hfx)H,M — H («) 0 («) 0 (^) 0, (.r)

0(o)0,(o) " '

0(x — «)0,(^ + «)

^ H,(«) 0 [a) n{x) 0,M - H [a] 0,(«) 0 (x) H,(x)
0(o)H,(o) ^

En combinant ces formules par voie de division, et en
ayant égard aux formules du tableau n° 4, on trouve,
par exemple, en divisant la première [17] par la se-
conde [17],

sn(a:4- a) =

sn'j; — sn'^

snxcnadna — snacnxdnx^

et, en multipliant liaut et bas par

snx cna dna -{- snacnx dna:,

, . sn.vcnaàna -{- snacnx ânx

sn [x -h a] =z :

c'est par ce moyen que Ton formera le tableau suivant

TABLEAU N° 7,

, , ,, snacnbdv b zh&nbcnadna

sn [a dzb)= ,-~,^ ,

[19] / cn{n±:b)^

dn{aihb) =

I — Psn^asn''b
c^acnh zp snasnbdnadnb

I — Psn^asn'^b
dnadn b zri k^snasnbcnacnb

I — A^sn'^asn^ b
Pour a = b :

20

7.snacnadna

cn'/7 — sn^ndn^a

r; — ; 3

1 — A-^sn-a

dn-a — P sn'^ a en- a
I — A^sn'a

sn la z=: 5

I — K^sn^ci

dn2rt =

[21]

sn(« + &) -t- sn (« — b) = Gsnrt cno dnby

sn[a -h b) — sn [a — b) = Gsnôcna dna,

cn(« -h b] H- en (« — b) =z Gcn^cn^,

cn[a -h b) — en (« — b) =z — Gsn« snb dua dnb,

tîn [a -^ b) -{- dn[a — b) == G dnrt dn ^,

dn(a -h b) — dn(« — b) = — GA^sn^sné cna cnè.

On a posé

G =

I — A^sn^asn^ô

_ l 9G )

Les formules d'addition [19] sont les premières que
Ton ait trouvées sur les fonctions directes. Elles sont
analogues aux formules fondamentales de la Trigono-
métrie j mais ce n'est pas comme nous venons de le
montrer qu'elles ont été trouvées.

C'est en intégrant l'équation

d.T , dr

= o

que l'on est arrivé à la découverte , des formules d'addi-
tion. La méthode la plus simple qui ait été donnée pour
l'intégration de cette formule est due à Lagrange. D'au-
tres méthodes, plus simples en apparence, ont l'incon-
vénient de s'appuyer sur des artifices qui supposent
évidemment que l'on connaît d'avance l'intégrale.

AUTRE MANIÈRE POUR ARRIVER AUX FORMULES d'aDDITION
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

L'équation

dx dy

= 0,

= O

qui devient, par les substitutions j:: =: sintp, j^= sin^J;,

V I — k' sin^fp \/i — A'^ sïn^-^
admet pour intégrale

r^ dx r-^ dr

I _ I — const. ;

mais on peut lui trouver, comme l'ont .prouvé Euler et
Lagrange, une intégrale algébrique. Posons, à cet eiÇci,

[ 97 )
avec Lagrange,

y/i — /■sin^'cp v/i ~- X-^sin^i}^

= di

OU

(3) ^= v^i-X-5in>, i^=^^i_A'2sin2^,
puis

(4) ? + ^=/?, cp — ^î/ = .7;

on aura

2 \<:// ûf^y y

2

2 /^ - ^ .

2 '

d'où

2

d'où l'on tire

6?/ <r/^ L 2 î* J

ou enfin

(6) -^ -?- = — Â-^sin»sin7.

^ ' dt dt ^ ^

Mais, en différentiant (3), on \.

d'^o — /-' sincp coscp «'/(p , .

dt^ ^i_/..sin> ^^^ ^ ^

f/ ^

— — =i — / 2 sin ip ces -h :

dr ^ ' '

L. Fond, ellipt. <

d'où Ton tire, par addition et soustraction,

— r = — A'^smqcosp.

7)

De (6) et (7), on tire

rl'^p COS7 fPq cos/?

c(/>' <^/7 si n r/ ' dp dfj smp

d'^p vos q dq d"^ q cas p dp

dp %\\\q dq sin/?

OU

ou

dp . dq , ,

-—r=: a 51117, — -=rasiniy
dt ' dt ^

a el ol' désignant deux constantes qui doivent rentrer
l'une dans l'autre. En remplaçant p et q par leurs va-
leurs dans ces formules, on a

(8

sji — /i''iiin'>(f -+- y I — X-^sin'-'^l^masin (ç — -^

y/i — X'^sin'ip — y/i — A'sin^^J; = a'sin(flp + i|>).

Ce sont là deux intégrales de la formule (i)-, mais, en
éliminant dt entre les deux formules précédentes, on
obtient une nouvelle intégrale. En effet, on a

dp dq , ' , 'y

— : = --r-. ou ex. sm p dp =û!.sinqdq,

uswq a'sm/?

et, en intégrant,

occosp = a'cosf/ H- a",

(x" étant une nouvelle constante, et l'on a

(9) acos (cp -h ^) =a'cos((j) — ij;)-l-a'\

( 99 )
Or, on peut mettre l'intégrale de la formule (i) sous la
forme

f.o) r ^^ - f*^jL== r '■>

Jo v/i — i^'sin-'çp c/o \Ji — Psm^^l> Jo \/i — X^sin=p'

1^ désignant une constante à laquelle se réduit cp pour
(|; =: o. -Si, dans les formules (8) et (9), on fait 4^ = o.

on a

v/i — Z-^sin'p -f- I = asinfA,

acos/x = a' ces p H- a".
On en tire

_ y/i — /•^sin^|:x + I ,_ v/i — /^^sinV — i

sin tz

sin p

„ v/i — /-^sin^u. -f- I v/i — /^sin^a — I

a =: ^ ces// ^ ^ COSUL.

smpt sinpt ^'

ou

„ 2 COS p

En portant dans la formule (9) ces valeurs de a, a', a'',
on a

-cos(y + '],)

sin IX
v/ ! -^sin'tx — I

, , . 2 COS a

cos[y — ^1^) +-, — L,

sin a

et, en effectuant,

(11) coS(pcosi|^ — yi — /^^sin^psinçsinij; = cos|*.

Cette formule est une des intégrales les plus célèbres
de l'équation (i) ; les formules (8) en fournissent deux

7-

autres

(12)

( lOO )

v/i — /-'sin^ -4- I

— ^ -C sin Np — ^ ,

sin u. V 1 i /

y/i — /'sin'ip — v/i — /-^sin^TJ;

I r ^---- sin <p 4- >P ,

sin u '

identiques au fond à la formule (i i)
Maintenant, si l'on fait

f — ' = «, I — - = 0,

o V I — /^^sin
la formule (i) donnera

Jo \/l —

a — 6;

donc

Les formules (ii) et (12) donneront alors

(i3) cnacnb(\n[a — h) — snasn^ = cn[« — ô),

, j - dnfrt — è) + I , , , .

àna — anb =z — '— ^ — sn^cn^ — snôcnût ,

sn[a — ^)

, , dnftf — b] — I , , , ,

dna + dn£'=: — ~ 4-— snacnô H- snt'cna .

sn(« — ^)

Si nous posons, un instant, dn [a — b) =J, sn [a — h)= x,
nous aurons, au lieu de ces dernières formules,

^(dna — dnh] = [x -\- i){snacnb — sn^cnrt),

x(dn<2 + dn^) =:(j — i)[snacnb-{- sn6cn«),
OU

xdna — ysnacnb := — sn^cnâr,

xdnb — jsnècnfl= — snacnô.

( 10. )

On en lire

sn[a — b] z=
dn («■-+- b]

dnbcnbsna — dnacnasnb
snhdnOcna — snrt(ln<7cn^

diïbcnùsna — dnacnasnb

Si l'on multiplie haut et bas ces deux formules par
l'expression conjugue'e de leur dénominateur, on a,
en observant que sn^<7cn^& — sn^Z>cn^<2 est égal à
sn^a — sn^^,

14 snia — b) = — __,

, t-\ 1 '• 7\ '^^sn/7sn/,>cnrtcn^ -f- dnrt dn ^

(10) dn[« — b] = —

1 — A^sn'asn^^

C. Q. F. D.
SUR LES PÉRIODES ÉLÉMENTAIRES.

Soit/(z) une fonction doublement périodique. Consi-
dérons les points Moo et M,o qui représentent les imagi-
naires Zq et Zo -h w, 00 désignant une période dey (2). On
peut toujours supposer que w soit la plus, petite période
d'argument égal à l'argument de «5 car il n'existe pas
deux périodes distinctes de même argument; toutes sont
multiples de l'une d'elles, que l'on peut appeler w. Soit
nr une période distincte de co, et supposons-la aussi la
plus petite de celles qui possèdent son argument. Soit
Moi le point qui représente l'imaginaire ZoH- tJ; sur les
droites M^^^Mio et M^^ Mqi, on peut construire un paral-
lélogramme que l'on pourra considérer comme un paral-
lélogramme des périodes; on lui donne le nom de paral-
lélogramme éléinentaire, si aucun des points de son aire
joints à Moo ne fournit une nouvelle période.

Il est clair que le parallélogramme élémentaire peut
se former en prenant la période w pour base et en faisant

( '02 )
mouvoir Je côté MooMjo, pris pour base, parallèlement à
lui-même, jusqu'à ce qu'il rencontre un point Moi, tel
que MooMoi soit une période.

Soient co et î7 deux périodes élémentaires ; co' et cj' deux
nouvelles périodes ; il faudra nécessairement que l'on
ait

(l) }

* f îj'rzz ///w H- «^tr,
met «, m! et ii' désignant des entiers 5 car une période
quelconque s'obtiendra en joignant le point Moo à l'un
des points de croisement M,„„ des droites formant le ré-
seau des parallélogrammes des périodes w, ct. Pour que
les périodes w', cr' puissent former un nouveau parallé-
logramme élémentaire, il faut que met n soient premiers
entre eux, ainsi que m' et //. En effet, si m et n avaient
le diviseur commun d, en posant m == ^m", n = dn^\ on
aurait

et y serait une période -, o) ne saurait donc être une pé-
riode élémentaire-, mais w et ni doivent s'exprimer en w'
et cj' sous les formes

II, Il

CT = p W + V CT ,

ce qui exige que le déterminant du système (i) divise
nxs' — n'tjs! et mxs' — mV, c'est7à-dire n, w', m et m'.
Or, m et n étant premiers entre eux, le déterminant est
égal à l'unité, et l'on a

mn' — nm' = dz i .
Soit

(ù = a -\- b\J — I,

C7 =:«'-f- b'nj — 1,

tJ z=: ma -\- na' -\- si — i[mb -]- nh'),

zs' =: m' a~\- n' a' -{- y/— \[m' b + n! b' )f

( >o3 )
l'aire du second parallélogramme des périodes est

[ma -h na')[m'ô' -\- n'b') — [m'a -\- n'a') [ma -{- nb'

OU

Doue

m n
m' n'

a h

a' b'

— ab' — ba'.

Les aires des parallélogrammes élémentaires sont
égales.

SUR LA FORME GÉIVÉRALE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉ-
RIODIQUES, ET LEUR EXPRESSION EN FONCTION DE l'uNE

d'elles.

TiiÉoiŒME I. — Il existe toujours une foiiclion dou-
blement périodique admettant deux périodes données,
deux zéros donnés et deux infinis donnés, pouruu que
la somme des zéros soit égale à la somme des infinis à
des multiples des périodes près.

En effet, nous avons vu qu'il existait deux fonctions
distinctes 91 et ©2 satisfaisant aux formules

cp ( J7 -4- w ) = (p

_rV—

2 (.r+c)

(^[x-\-vj)=^(i^[x)e

et que la solution la plus générale de ces équations

était

Ai<pi -h A2<î>2= <p«

Ces fonctions (fi et cpg ont chacune deux zéros dans le
parallélogramme des périodes w et tJ, ainsi que la fonc-
tion (p. Si nous divisons tpi par c^2 o^ si nous divisons
AiÇi-f-As^â par Bi ©1 + 62 0)2, Bj et Bg désignant des
constantes différentes de A 1 et Ag, nous obtiendrons une
fonction doublement périodique ^ [x). Soient a, b ses

i •°4)

zéros, a et (3 ses infinis; considérons l'expression

elle n'est plus infinie pour a: = a ou a: = /3, mais elle
l'est quand on pose a: = a! \ elle admet en outre le zéro d .
Mais la fonction /(a: + 5) — /(a'+5), outre le zéro
X = ex!, en possède un autre |S', tout en conservant les
infinis X =r a — s, x = (3 — s. On doit donc avoir, en
observant que la somme des zéros est égale à celle des
infinis,

équation dans laquelle on peut choisir s, de telle sorte
que (3' ait une valeur donnée. L'expression (1) admettra
alors deux infinis donnés a', j3', le zéro donné a' et par
suite un autre zéro b\ tel que a'-j- (3' =^ a' -f- ^' ; enfin le
coefficient A permettra de prendre la fonction (i) égale
à une quantité donnée diiïérente de zéro pour une valeur
donnée de x.

Théorï;me II. — // existe une fonction possédant les
périodes w et cy, les zéi^os «1, «g, . , . ^ a^ et les infinis a^,
«2, ...,«„ satisfaisant à la relation

«, -}- «2 H- . . . -f- «„ ^ a, 4- aj -i- . . . -h a„.

En effet, soit Fi(x) une fonction aux périodes w, cr,
admettant les zéros a^ et h^ et les infinis a^ et «25 ^1 étant
déterminé par la formule

«, H- ^, ^a, + aj.

Soit Y^[x) une fonction aux mêmes périodes ayant pour
zéros «2 f^t ^2 et pour infinis «3 et ^j, .... Soit F„_i (x)
une fonction aux mêmes périodes admettant les zéros

(*) Le signe ^ est employé à la place de = pour indiquer que l'on
néglige des multiples des périodes.

( io5 )
rt„_i et b,^_^ et les infinis hn_^ et a„, tels que

La fonction

F,(.r)F,W ...F„_,(x)

aura les périodes w, cj, les zéros «j, «g? • • • ^ <^n-i» ^«-i
et les infinis a^, «a, , . . , a,»; mais on aura

«I H- /72 -h . . . + «„_i + ^R_i ^ a, 4- a2 + . . . -f- a„_, + a„.

TuÉOTiiîME III. — Deux Jonctions doublement pério-
diques d'ordre fini dont les périodes w et cj, w' e£ cî' sa-
tisfont aux relations

H :=z m M =: m' Ci' j
U =: nrj =: Jl' vs ^

m et m' dési^nctnt des nombres entiers ; en d^autres
termes y deux Jonctions w, p», dont les p ar allé lo grammes
élémentaires ont leurs côtés commensurables et dirigés
dans le même sens, sont fonctions algébriques l'une de
Vautre.

En effet, soient a l'ordre de w, et v Tordre de v'. Le
parallélogramme de ?/, comme celui de v^ tiendra un
nombre exact de fois dans le parallélogramme ayant
pour côtés n et II, le premier mît = M fois, le second
m'n'=l^ fois. Il en résulte que, à chaque valeur de u^
correspondront, dans le parallélogramme 12, II, un
nombre Mfx de valeurs de la variable ^, et par suite
Mfx valeurs de p»; donc v est lié à u par une équation
algébrique de degré M|ut en v. On verrait de même qu'elle
est de degré Nv en w, car u ei ^ n'ont que des nombres
limilés de zéros et d'infinis et restent d ailleurs mono-
gènes et continues l'une par rapport à l'autre.

THÉOliiîME IV. — Une Jonction d'ordre n est liée à
sa dérivée par une équation du degré /z, par rapport à
sa dérivée, et de degré in par rapport à la fonction»

( ,o6 )
En effet, soît u une fonction aux périodes o) ettj; sa
dérivée admet les mêmes périodes, mais les infinis de la
dérivée sont en général en nombre double de celui de la
fonction^ car chaque infini de la fonction, lorsqu'il est
simple, devient double dans la dérivée 5 en tout cas,
l'ordre de la dérivée sera compris entre tz -f- 1 et 277. En
vertu du théorème précédent, il existera entre u et il
une relation algébrique d'ordre n en 11! et d'ordre n' en
u, n-{- I Sn' Solji^ u' n'étant infini que si u est infini 5 le
coefficient de u'"^ pourra être pris égal à l'unité. A une
même valeur de u correspondent n valeurs de z dont la

somme est constante, et par suite n valeurs de — - = - 5
*■ du u'

dont la somme est nulle 5 donc le coefficient de u est nul.

Par exemple, si u est du second ordre et a deux infinis

distincts, on aura

«'2-+-Ur=:0,

U désignant un polynôme du quatrième degré. Si u a un
infini double, U sera seulement du troisième degré. Ce
dernier théorème est de M. Méray.

DÉCOMPOSITION DES FONCTIONS A DEUX PÉRIODES
EN ÉLÉMENTS SIMPLES.

Soient F [x) une fonction aux périodes w et nr, et ^j,
«2, «3, . • • ses infinis. Soit B [x) une fonction auxiliaire
satisfaisant aux relations

G(jr-4-w) = G(jc),

e(^-+-ni)r=:

:ô(.r).

?.ir\

L.V(XHC)^

on aura

ô' ( .r -4- w ^

e(x-4-co)

Q'{x-^- rn\

e'(.r)

—

l^rsj— I

(i[j: -{- rr )

- (i[,:)

p.,

( 'O? )

Considérons maintenant l'intégrale

prise le long d'un parallélogramme des périodes. Le long
des côtés parallèles à cj, les valeurs de l'intégrale se dé-
truiront, et il restera à intégrer le long des deux autres
côtés, ce qui donnera, en appelant p une arbitraire,

résultat indépendant de x et de p, que nous désignerons
par C. Or, l'intégrale considérée est aussi égale à la

somme des résidus de ¥{z) — !• Les résidus relatifs

^ ' Q[z — x)

à B(^z — x) sont, en appelant «j, «g, «3, ... les zéros de
ceux relatifs à F(^) sont

A,— Tî A2-— -•) " ">

0(ai — .r) Ô^a,— Xj

si les infinis a sont simples, et l'on a

A,:=lini(.r — a)F(j:) pour .r = a.
En général, si l'on pose

.{z-u)'"F{z] = ^{z),

on aura, pour résidu de t [z) -—-, — — — z->

fioc."

( io8 )
En résumé, on aura

Supposons 11=. i et a=:o\ on aura, au lieu de celte
formule,

et F(a:) se trouve décomposé ainsi :

Cette formule donne F (x) décomposée en éléments sim-
ples, tous intégrables au moyen de la fonction 0, ce qui
démontre la possibilité d'intégrer les fonctions à deux
périodes (du moins à l'aide des fonctions auxiliaires)^
mais le mode de décomposition dont il vient d'être ques-
tion présente encore une foule d'autres applications que
M. Hermite, auquel nous devons la théorie que nous
venons d'exposer, a fait connaître.

Nous allons montrer immédiatement comment les in-
tégrales de deuxième et de troisième espèce se ramènent
par les considérations précédentes aux fonctions 0 et H
de Jacobi.

La fonction de seconde espèce

z^ ch

/;

quand on y fait z = snx, devient, à un facteur con-
stant k^ près,

J'Psn'^.TcI.v.

C'est cette intégrale que nous allons étudier. L'intégrale
de troisième espèce

dz

/:

(l — n^z')\J(i — z-')(i- A'z'

( 1^9 )
devient, pour z = snx,

J I — n'^sn^x'

nous la remplacerons par

' A'sn a en adna sn*x

r

en posant w^ = /î^sn'« et en observant que l'intégrale (a)
ne diffère de celle-ci que par une fonction linéaire de x
et par un facteur constant.

ÉTUDE DE LA FONCTION X(^x),

La fonction

Z{x)z= j kHn^xdx
Jo

est évidemment monodrome, car les résidus de sn'a:

sont nuls-, nous allons le vérifier.

Décomposons, par la méthode de M. Hermite, sn'x

en éléments simples, cette fonction ayant pour périodes

2K [puisque sn(x-l-2K) = — snx] et 2K'^ — i.

Evaluons l'intégrale

ij n{z-x)

(0 -^

27ry'-

le long d'un parallélogramme de côiés 2K et 2K' \J — i;
le long des côtés verticaux, le résultat de l'intégration
est nul; le long des côtés horizontaux, le résultat est

I /»«-f-2K

. 1 sn'z

27ry — I J oc

ru'[z—x) _ n'{z — x-h2K.'sJ^)l ^^
^\_H[z-x) h(z-x + 2RV:=7)J

( "o)
En vertu de la formule

ll(x + 2KV— r) = - H(x)rT^''""'''~'
l'intégrale considérée se réduit à

nous désignerons celte quantité par C. Mais l'intégrale (i)
est aussi égale à la somme des résidus de la fonction
placée sous le signe /; le résidu relatif au point x est
sn^o: ; calculons celui qui est relatif au point KV — i.
Posons pour cela z = K'y^ — i

sn'{K's/—î-hh)

h'(k'v/-

- n 5 nous aurons

X -h h)

n[K'sJ—i — .x-h/i

Psn^/i

n{KsJ- 1 — ^) L h(kV- I — ^)J

et par suite le coefficient de-r ou le résidu cherché est

irH'(KV:rT-^)T

*'LHiKs/=rï_,)J'

Si l'on observe que

H( — ;r + RV^ = v/^0(— ^)e~

4K

on a

B'(K\/—i — .T

H(Kv/— ~^ — X

Notre résidu devient

e'{—x) TTS/—

e —x

2K

( "■ )

On a donc enfin

Cr=r sn'jc 4-

ou, en intégrant, en multipliant par A® et en posant

Z(.rj =^.r —

telle est l'expression de Z(.r), monodrome comme l'on
voit. On en déduit

et l'on constate que la fonction

©(o)

est monodrorrie également. M. Weierstrass la désigne
par le symLole Aï x. Il désigne par AliX, Alg^, Alg-r
les produits de Alo: par snx, cnx, dn^.

La constante ^ est susceptible de prendre une forme
remarquable. En effet, en différentiant (2), on a

Z [x) z=z^X

Q[x]
et, en différentiant encore,

Sn^r =:; Ç ■ ; ; :

Si l'on fait alors a: = o, on a

0'»

o = (;

ou enfin

0(0)

0-"('o)

l 112 )

On a ainsi plusieurs expressions de la constante Z,', que
l'on peut considérer comme parfaitement connue.

ÉTUDE DE l'iINTÉGRALE ELLIPTIQUE DE TROISIEME ESPECE

On peut parfois éviter la méthode de décomposition
donnée plus haut. En voici un exemple :
La formule [i4] donne

0(^ -f- a]e{x -a) = ?1[^ eUx] - 5^ ir W ;
^ ^ ^ ^ e^(o) ^ ^ 0^(0) ^ "

on peut récrire •

0 (x -f- «) 0 [x — a)=z ^J ^- ■' ( I — ^^sn'xsn'a) .

On en déduit immédiatement

I — k^ sn' a sn' x = —^ — ^— - — ^-^ ' .

En prenant les dérivées logarithmiques des deux
membres par rapport à a, on trouve (en observant que
sn'a = dnacna),

— 2. />^ sn a en a dn a sn'' X @'{x -{- a] @'[x — a) &'[a)

1 — A^sn^asn^x & [x -\- a) & [x — a) @[a)

Si l'on change les signes et que l'on intègre de zéro à x,
on trouve

£

^ /^snrt cn«(lnflsn^r , @'(a) i, @{x — a)

, . (/-r r ' I lo" i

I — A^sn'^asn^x &[a) 2 ^&[x-\-a)

Cette intégrale n'est pas tout à fait l'intégrale de troi-
sième espèce de Legendre, mais il est clair qu'elle s'y ra-
mène aisément. Jacobi la désigne par II (.r, a). Ainsi

l'on a

. , e'ia) I , e{x — a]
I . U[x,a)z=x —H- + - log — r •

(.,3)
On en conclut, en changeant x en a et a en x, puis ea
retranchant,

n uc, rt — n <7, x) = X ^ — a — -— -.

^ ' ^ ' ' ®[a] ®[x]

On peut d'ailleurs s'assurer que les valeurs des loga-
rithmes se sont détruites, en observant que l'on doit avoir
une identité pour x = o, a = o.

C'est dans l'égalité précédente que consiste réchange
du paramètre et de V argument, proposition généralisée
dans la théorie des fonctions abéliennes. On peut aussi
l'écrire

n(ar, a] — n(«, x] rrr xZ(«) — aZ(x).

EXPRESSION d'une FONCTION DOUBLEMENT PÉRIODIQUE AU
MOYEN d'une FONCTION DU SECOND ORDRE AUX MEMES
PÉRIODES. THÉORÈME DE M. LIOUVILLE.

Soit/lx) une fonction monodrome et monogène du
second ordre aux périodes w et ny ; soient ol et 5 — -a ses
infinis, s désignant la quantité constante à laquelle se
réduit la somme des valeurs de z pour lesquelles/ (z)
prend une valeur donnée dans un même parallélo-
gramme. Soit F (5:) une fonction quelconque aux mêmes
périodes w, tô; soient (3,, (Sg, . . . , (3p ses infinis. La fonc-'

tion , , \r, — r intégrée le long d'nn parallélogramme

des périodes donne un résultat nul : la somme de ses ré-
sidus est donc nulle.

La somme des résidus relatifs aux infinis x et ^ — x

est

n^)-f[^]

^'^'/'-t)

L. Fonct. cllipt. 8

( "M )

ou bien

F(^)_F(.y — ^)

en observant que, /(x) étant égal àf[s — .t),/'(x) doit
être égal et de signe contraire à /'(^ — x). La somrae
des résidus relatifs à F (x) étant alors représentée par

.7r\/ — iJf

Fiz]dz

f[z]-f[a:)
on aura

Y[z)dz

Y[x)-F[s-œ) = )=r[^) f

2 7rv — I t/F

/(-) -/(^)

le signe F placé au-dessous du signe / indiquant qu'on
ne doit intégrer qu'autour des infinis de F (2).
Si Ton considère en second lieu la fonction

son intégrale prise le long d'un parallélogramme sera
encore nulle, et il en sera de même de la somme de ses

résidus. Or la somme des résidus relatifs à

/(») -/(^)

F(^)+F(s — ^) — F(«) — F (* — «),
et l'on a par suite

e{x) + V{s — x) — F{«) — F(î — «)

I _ r F(.)/'(.)

ou bien

F(j:)-t- F(j — x) = F(a) + F(s —a)

(m5)
La comparaison dé celte formule avec (i) donne

2F(ar) = F(a) -|-F(^ — a)
ou bien encore

J2F(^)z;z:F(a) + F(^-

en posant F{z) = {z — pye{z)^ ^j. désignant le degré
de multiplicité de l'infini j3. Quand // = i, le symbole

(^_ ,)i 2- df^^ ^^'* ^^'^ supprime.

La formule (2) montre que toute fonction aux pé-
riodes w, cj peut s'exprimer rationnellement au moyen
de la fonction du second ordre f et de sa dérivée.

On voit, en outre, que cette dérivée n entrera que
sous forme linéaire.

Ce théorème est du à M. Liouville, mais l'expres-
sion (2) explicite de F, que nous venons de donner, n'est,
je crois, pas encore connue 5 du moins on ne la trouve
pas dans le Traité de MM. Briot et Bouquet.

Remarque. — La théorie précédente tomberait en
défaut si F(x) et f[x) avaient des infinis communs,
mais on tournerait facilement la difficulté en dévelop-
pant F(j:) divisé par une puissance convenablement
choisie de/(.r).

APPLICATION DES CONSIDÉRATIONS PRÉCÉDENTES
AU PROBLÈME DIT DE LA MULTIPLICATION.

Le problème de la multiplication des fonctions ellip-
tiques a pour but de faire connaître snmx^ cnmXf

8.

( >'6)
dnmx en fonction de snx^cnx, dn^vNotre formule (2)
du paragraphe précédent résout cette question plus sim-
plement et plus complètement qu'on ne l'avait fait jus-
qu'ici.

Soient k le module de snj;, 4K et iK' \f— i ses pé-
riodes, m un nombre entier : snm(x— a) admet évi- •
demment les mêmes périodes. Construisons le parallé-
logramme des périodes, de telle sorte que ses côtés
coïncident avec l'axe des x et l'axe des j positifs, puis
déplaçons infiniment peu ce parallélogramme, en pla-
çant le sommet primitivement à l'origine, dans l'angle
des coordonnées négatives.

Los infinis de snx sont R'yA-~- 1 et aK-f-K'v' — ï?
ceuxdesnm(a7 — rt) sont

^ ^ 'm m

i et 7 variant de zéro km — i. En faisant 5 = 2R, la
formule (2) du paragraphe précédent donne

iSTim[x -— a]=:zsnm'YJ \J—i — a)

+ sn m (kV— I 4- 2 K — « )

sn' .r -4- sn' z

+ 2 résidu .snmiz — a) •

sn.r — snz

Le résidu relatif à un infini [3' s'obtiendra en cher-
chant la limite de

. sn'.r H-sn'[3V

srsnw S' — «+ z ^

^^ ' sn.r — snp'

f , , Tsn'^4-sn'p'

— i sn'.r -1- sn'p'

rr: z

kswmz sn.r — sn

( "7 )
Cette iimito est

km snx — sn^'
L'infini [:j" conduit au résidu

1 , sn'x -h fui'li"'
km snx — sn^''

La formule (i) devient ainsi

2sn/// (or — a\

2^ Ti.

sn j:- -f sn' K' i/ _ f _f_ / / 1_ a

m '-^ TU

km
S

sn X — sn

I

n j: — su —21-!. i^' . / _ j _j_ 4 ; ]_ ^

|_ m ^ ^ m }

km

snr — sn

En faisant a =: o, on a la formule de la multipli-
cation pour le sinus amplitude. On peut vérifier la for-
mule précédente en prenant m =1 15 on a alors
2 / sn ( x — a)

— S"'-^+ sn'(K' y/lTT + a) su' .x -\- sn' {'K' sj'~^i H- 2R -f- rt)

sn.r — sn(K'v/^^ + «) snx — sn (K'7"^i + 2K -f- a) '
et si Ton observe que sn'x ■== en xdnx,

f -tri I \ I dn.r

/ su J7

dn(x + KV"=~i") --- V^'^^ ^-~'

un a;

sn (x 4- K' v/ — 7) = — ^- ,

on trouve

cnadnûsn^ — cnjrdn.rsnrt

sn(^ — <?] z=

I — A-^sn2j:sn^«

( >'8 )

Ainsi notre métljode donne aussi l'addition des fonc-
tions elliptiques.

Nous ne jious étendrons pas davantage sur la multi-
plication. La division aurait pour but de calculer sn - >

en —, ... en fonction de snx, cnjc, dnx, .... Sans

entrer dans des détails à ce sujet, disons seulement
qu'Abel a démontré que les équations d'où dépend la
division des fonctions elliptiques sont comme celles d'où
dépend la division des fonctions circulaires, résolubles
par radicaux.

APPLICATION A l'adDITION DES FONCTIONS
DE TROISIÈME ESPÈCE.

Nous avons trouvé

, , Q' [a] I, &' X — a]

Si l'on désigne alors par a^, c^a, . . . , a2„+i des argu-
ments tels que

a, 4- aj -h . . . + a2„^, == o ,
on aura

n (a,, a) -\~ n(a2,«) 4- . . . + n(a2„+i, a)

~~ 1 ^©(a. H- «)0(a2-i- «) . . . 0(a2„^., -4- «)

La quantité placée sous le signe log possède les pé-
riodes 4K et 2K'^ — I par rapport à la variable a-, on
pourra donc l'exprimer en vertu du tbéorème de
M. Liouville en fonction rationnelle de sna et de sa
dérivée sn'a ou cn<2Xdna. Nous ne donnons pas ici
cette expression, qui est un peu compliquée.

(■>9)

DÉVELOPPEMEINT DES FOWCTIOIVS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES
EN SÉraES ÏRIGONOMÉTRIQUES.

La formule do Fourier donne

sn^^"^"'^ — rrr — / snze ^^^ " dz-

reste à calculer la valeur de l'intégrale qui entre dans
cette formule. D'abord, en posant

A.= / snze ^'^ dz,

on trouve, au moyen de la formule sn (2 K + x) = — snj:,

,-> ^'o 4- 2 K
A„,= / snz

2K

( — sn z ) <? - '^ ' dz

L

-L

.r„ -I- 2 K

m r.\l — \

5iK

'^ dz

- sn z ) <?

1)1 T. \/ -

77? rV''^

sn2[i — (— i)"']e 21^ ^z.

L'intégrale A,„ étant indépendante de Xo, on peut
supposer j:„ un peu plus petit que zéro. L'intégrale
étant prise le long du contour recliligne Xo, 0:0 -f- 2 K
peut être remplacée par deux parallèles à K'y — i
de longueur infinie, menées l'une par Xq et l'autre par
:ro -f- sK au-dessous de l'axe des a:, et par une paral-
lèle à l'axe des x^ menée à l'infini. Le long de ce nou-
veau contour, l'intégrale sera nulle; mais il faudra lui
ajouter les résidus relatifs aux points — ^' sl — ij
— ZYJ \l — I, — 5R'y/ — I, . . . , multipliés par it.\J — i.
De plus, ces résidus seront pris dans le sens rétrograde.

Calculons le résidu relatif au point

— (2/?+ i)K'v/— i;
il est égal à

lim — ' — e ^^^ :

/i-sn(^-i- K'v/'— I j

mais, sn^x étant égal à i pour x = o ou 2r.K.'y — i,
cette quantité peut s'écrire

j? '

On a donc

«=09

2/7+1

n = l

et l'on a

Aam = O,

' 77 4- 1

par conséquent

! 7n + 1

^^'"■^'"liKi-ry-^'^''^ '•

Quand m est négatif, on

J/> 4 K 777.7: y/ — 1 ^ /» ,

' snze ''^ dz=z— j
o *^0

Les coefficients des termes également distants de l'ori-
gine sont donc égaux, et, en les groupant, on a

7n = <»

Ali -^ I — ry^'"^-' 4K

-^^^ ces ^

77V7 ^:^ 7 V —

dn. = ^ 1+427

— cos — --

-1- a"" 2 ii

( 121 )

A ces formules il convient de joindre les suivantes,
auxquelles on parvient d'une façon toute semblable :

00

^ 1

5!lf:î devenant infini pour x ==: o, on développera

clx

on trouvera alors

1 r_li:!Ll 1 .

lx\ . t:x y

tzA!Zl — - cet — H > ■ si'^ —7- — '

. tnn*»' —5— > S'il — 7;^

De ces dernières formules on tire

^lo^sn.r __ onx(ln.r __ _7r_ ^^^ tzx _ i^l V -J'— sin -— .
;^^ — snx 2K 2K K-i^i-4-7'" iv

rflogcn.r _ rc !^ _^:^S^ 'C sin '^ ,

— -7~ - "~ ^ ^ 2K K ^ I + ( - I )"Vy'" K

./logdn.r__ 4:^^ ^r-_ sm^-"-^^"^-

—,1^ — R Z- I — grH^—0 2K

On arrive plus simplement à ces résultats comme il

suit.

Rappelons la formule

— ilog(i — 2rcoS(p + r^)=rcosa-{--cos2o+ ~cos3a,..,

et partons de

Q[x)=^cli-1iqcos'^-hq''^ ^I-273c0S^H-y^j...,

( ï^2 )

nous aurons

-ÏOSiQix] =z-\{)<lC — cos ^

et, en prenant les dérivées, nous aurons le développe-
ment de — ,— 7 • On obtient d'une façon analoîrue ceux de

, — 1-^ i, . i pi LS i,

0,(x)' H(.r) "-' i:i(.r)

SUR LE PROBLEME DE LA TRANSFORMATION.

Le problème de la transformation a pour but la com-
paraison des fonctions elliptiques correspondant à des
modules différents. Exposons, d'abord, la théorie que
Jacobi donne dans son ouvrage intitulé : Fundanienta
nova theoviœ functionwn ellipticarum.

Si dans l'expression

U
V

on pose a: = -, U et V désignant des polynômes entiers

en y, on aura

dx

v/A-hlix+Cj;^ -f- Dx^ 4- Ex*
YdU — lU/V

VAV* -h BV^U + CV^U^^ + DVU^ -f- EV*

et l'on peut, d'une infinité de manières, déterminer U
et V, de telle sorte que le second membre de celte for-
mule soit de la forme

dr

sjA.' -h B'j -+- G'j2 -t- D>3 _4_ E/y4

( '^M

En elïeî, pour que dans le second membre de (4) le
polynôme sous le radical se ramène au quatrième
degré, il faut que ce polynôme, qui est d'un degré qua-
druple de celui de U et V, ne contienne que des facteurs
doubles, à l'exception de quatre qui seront simples; on
aura donc, en appelant T un polynôme entier,

AV^ + BV^U H- . . . -1-EU^

= T^( A' 4- B'j -\- C'y' + D' j^ + yjy) ;

le second membre de (i) se réduira alors à la forme de-
mandée si l'on a

■ ^ YdV — VdY

■rdj

const.

Or, il en est ainsi quand U et V sont de même degré
ou de degrés dillérents d'une unité. Soit en effet

A + B.r -H C.r^ 4- D^3 _,- E^<

= E[x — a]{x— ^)[x — 7) (.r — 5),

et par suite

AV^ -j- BV^U -i- GV=U' 4- DVU^ -f- EU"

:3=E(U-aV)(U-pV)(U-7V)(U--^V).

Les facteurs (U — aV), (U— (3V), ... sont pre-
miers entre eux,- car tout diviseur simple de U — aV et
de U — (3V, par exemple, sera diviseur simple de U
et V, et, comme on peut supposer U et V premiers entre
eux, les facteurs U — aV, ... le seront aussi. Or on a
identiquement

- a (Vr/U — U^V) = (U - aV)^U--U^(U - aV);

il en résulte que tout facteur double de U — aV est
facteur de V<^U— UriV, car ce facteur appartient à la

dérivée -7- (U — aV).

( .24 )

En résumé, le polynôme A\'*-|- BV^U H-- . . . jouil
de cette propriété que ses facteurs doubles sont aussi
facteurs doubles de U — aY,deU — j3V, de U — yV ou
de U — (^V, puisque ces polynômes ne peuvent avoir
de facteur commun, et, par suite, ses facteurs doubles
divisent U<iV — YdlJ. Si donc on suppose tous les fac-
teurs de AV* H- BV^U H- . . . doubles, à l'exception de
quatre d'entre eux, le polynôme T divisera

VaV -VdV.

Si alors on suppose que V et U soient de même degré p^
ou l'un de degré p et l'autre de degré p — i , A\* + . . .
sera de degré 4/^> T^ de degré 4p — 4 et T de degré

VdV — V^U

est évidemment de même degré, et, par suite, la for-
mule (2) est satisfaite.

On pourra donc effectuer la transformation d'une in-
finité de manières, car on pourra d'une infinité de ma-
nières déterminer les coefficients de U et V, de telle
sorte que AV* -j- BV^U ... ait tous ses facteurs doubles
à l'exception de quatre d'entre eux, U et V étant de
degrés différents de zéro ou de i.

Le degré de la transformation est le degré de celui des
polynômes U, V qui possède le degré le plus élevé.

TRANSFORMATION DU DEUXIÈME DEGRÉ.

Nous n'avons pas à parler de la transformation du
premier degré ^ on a vu que non-seulement elle réussis-
sait toujours, mais encore qu'elle servait à la réduction
à la forme canonique.

Si l'on veut opérer la transformation du second degré,
deux des facteurs V — ail, V — (3U, ... devront être

( '^5)
des carrés parfaits, on devra donc poser

U — a V rzz ( m j -+- m' )=, U — |ÎV ==( «j + «' l'-
on en conclut

U _ pV [ny H- n
ou bien, en observant que - — x,
.X — ce. ( m Y -h w'

' \i

x—^ [ny -h /^ )V

On pourra ensuite déterminer m, m' ^ n, n' de manière
à donner à la nouvelle intégrale la forme canonique,
mais nous n'effectuerons pas le calcul en disant toute-
fois qu iï existe deux solutions à la question.

MÉTHODE d'aBEL.

Supposons que l'on désire calculer toutes les valeurs
de y rationnelles par rapport à jr, et telles que

dy'' s.^d.x^

Si Ton pose

^=ô'

P et Q désignant des fonctions entières de degré f^, à
chaque valeur de j correspondront /n valeurs de x, et si
l'on désigne par x^ eix^ deux d'entre elles, on aura

(I.T, ± d.r^

Si Ion égale cà du les deux membres de la formule

_ ( ''^G )
précédente, on aura, si l'on veut,

.r, = snu,

072= sn (a zh ^<),

ce désignant une constante; on peut se borner à con-
sidérer le signe +, car sn (a — u) = sn(2R -|- w — a)
et 2K — ce est une constante. Ainsi, l'une des racines

de 1 équation ^^ = - étant représentée par snzz, les autres

P

seront de la forme sn(z£ -f- a). Si donc on pose - =^(^x),

on aura

j~ ■,|>(sntt)

identiquement, et, comme on a aussiy = i};(sna -h a ),
il faut en conclure

i|>{sn«) =-^[snu -hoc) =z-^i[snu -^ 2.(a) . . . ;

par suite, les racines de j" = ^ (^x) sont

sn«, SRM 4- a, sn«-i-2a, sn« H- 3a, •*»>

mais les racines de l'équation en question sont en
nombre limité au plus égal à |:x : il est facile d'en con-
clure que les [j. valeurs de x se décomposent en cycles

sniiy sn(M +a), ..., sni^« -{- n — la),
snu', sn(a' + a), ..., sn{u' -i~ n — la),

n désignant un sous-multiple de yt.. Si pi est un nombre
premier, les cycles se réduiront à un seul. Nous exa-
minerons en particulier le cas où [/. est un nombre pre-
mier impair. Les solutions dej^ = ^(^x) sont alors

sn w , sn ( w -h a ) , . . . , sn (« -f- p — 1 a ) ;
mais, sn(zi -hfJ^a) étant égal à snii, il faut que pa soit

( •2- )

une période 5 donc

x= - (/[Km -4- iK'ns/'^).

Maïs l'équalion j = ï];(.r) est de la forme

[A^-'B^f)x^-h ... -h Ao — Boj^o;
on en déduit, pour le produit des racines,

_ ,,Ao_— _Bor

X\X^ . . . Xu, — izc •» '

Aj, — ï^^y

et po\ir ;^ une expression de la forme

a' H- a.T^x^ . . ^a

y — ■ •

è' + èx,^2 . . . j:(t

On peut simplifier celte expression ; on a en eiïet

Xi = sn ( « -{- « — la),

^,,_,- =i: sn(a H- f/a — f — i a) =: sn(« — / — la),

car fxa est une période, et, en faisant usage d'une for-
mule connue,

sn^?^ — sn'(i — i)a
Xix^-i^ I _X-2sn2Msn-^(i— i)a'

on a donc

sn«(sn'M — sn'a)(sn2M — sn22a). . . f sn'w •— sn^- aj

riXt»,,x^

(i — A'sn«sna) ... ( i — k'snusn- a j

Le produit XxX^. , .x^ est ainsi exprimé à l'aide de la
seule racine x^ = snw. Alors/ prend la forme

a' + an> [xy]

128

TUAxNSrORMA.TION DE LANDEN.

Considérons un demi-cercle tracé sur AB=2R
comme diamètre : soient O son centre, P un point fixe
pris sur AB, M un point variable de la circonférence,
soient OP = «, MPO = ^, MAO = cp. Supposons que le

point M se déplace infiniment peu et posons MM' = ds,

nous aurons

, , ds sinM'PM

' MP sinPM'M

Or

ds =z 2 Rr/(p, MP = v/.R' + «' + 2 a Px ces 2 y, M'PM = d^y

et MM'P est égal à - plus l'angle que OM fait avec MP
ou PMO ; (i) devient alors

2 R d(p d'^

(2)

OU

y/Rrq:^2_^ 2rtRC0S2^ cosPMO

Si l'on observe alors que

R _ a
sinij^ sinPMO

RsinPMO z=rtsin4^,
R-cos'PMO = R2 — rt'sin^^î^,

la formule (2) deviendra

2 Cl (9 d-^

y/ir + «2 -f- 2«Rcos2y \/ll2— «'siii'ij^

ou bien

2 d(^ d-^

S/(R -haY — 4rtRsin^ y/R' — «^ sin^^/'

OU enfin

2 R df d^

___ ______ —

Posons

. / 4«R . / ^' . .

V (R + «)^ ^ y R' ^

3) i/,,-i:i^=^/-, ^^=^.

et nous aurons

2 R <^^ d-^

(4)

Le triangle PMO donne d'ailleurs

« sin ( 2 ç — -i^)

— A-| . ; ?

R sm-h

d'où

I — A-, sinij^ — sin(2(!p — ^)
I -H A-, sin ■^ H- sin ( 2 (p — rj;)
ou bien

(5) I — A-, _tang(:p — y)^
^ ^ 1 + A-i tang'4) '

d'ailleurs les équations (3) donnent

(6) *=fS'

I -t- Al

et la formule (4) devient

0 ^ . -1 v/i — A^sni^© Jo V^i — A-^ sin»-^
L. Fond, ellipt, g

( i3o ) -
Voici comment on fera usage de ces formules : sup-
posons que Ton veuille calculer

d^

v/i — X-^sin^^

on calculera à l'aide de (6) un nouveau module A\ et à
l'aide de la subslitution (5) (que l'on n'aura pas besoin
d'elTectuer réellement si l'on n'a pas besoin de faire un
calcul numérique), on convertira l'intégrale proposée
en une autre de module A", donné par la formule (6). Il
est facile de prouver que / << A 1 5 en répétant alors la
substitution, on peut ainsi obtenir ce f|ue l'on appelle
une échelle de modules de plus en plus voisins de un 5
on pourra donc développer l'intégrale suivant les puis-
sances de I — A, et l'on aura une série très-convergente.
Je dis, en effet, que A < Ar, : c'est ce que prouve la

formule (6), car la moyenne arithmétique ^ de i

et A"i est moindre que leur moyenne géométrique \pï\ :
ainsi A <^ i j donc on finira par rendre A <<;i. Suppo-
sons déjà Al <^ I, on a

I -f- k

>i

A

donc )- ^ slky ^ A, 5 ainsi k ]> Aj, mais Tî<^i;

donc, etc.

On peut donc aussi se donnera et calculer /fj 5 si alors
A est moindre que l'unité, on aura Aj <;! A, et l'on ob-
tiendra des modules tendant vers zéro 5 quand A sera
très-pelit, l'intégrale elliptique développée suivant les
puissances de k sera rapidement convergente.

Il est facile de voir que, si l'on pose ,

l =: sinO,

( -a. )

on aura

0
^-, = tang^-5

tang(^!; — <p) = cosGtang^,

ce qui simplifie le calcul logarithmique.

SUR LES, APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES.

Nous avons vu que toute intégrale d'une fonction ra-
tionnelle de X et d'un radical tel que

\jax'' -\- b x^ -^ ex- -\- dx -\- e

se ramenait à trois types simples ne renfermant plus
que le radical

V^A(i H-/w^2)(i ^m'x'').

Ce radical, dans lequel A, m^ m' peuvent être supposés
réels, comme on l'a vu, si a, Z>, c, J, e le sont eux-
mêmes, peut se ramener au suivant :

en faisant sortir A de dessous le radical et en posant
r= A^ 5 mais alors k n'est pas néces-
sairement réel. Je me propose maintenant de montrer
que l'on peut toujours supposer k réel et compris entre
zéro et i, ce qui simplifiera évidemment la construction
des Tables des fonctions elliptiques.

D'abord, on peut toujours supposer A = dz i en fai-
sant sortir sa valeur absolue de dessous le radical j enfin,
on peut supposer 772 = zbi, en posant x\fm = z^ si m
est positif, et xs/ — 7n=^ z, si z est négatif. Ainsi nous
pourrons toujours supposer m = zh i et in' = zfc A". Cela

9'

m
m

( «32 )

posé, on a vu et l'on vérifie très-facilement que, en po-
sant A^^ = i — A\

(i) Si z = sn.r, on a ~— sl[\ — z')[i—k^z').

d.r.
I dz

snjc

3]

(5) s = tnx, ^= v'r' + ^')(' + ''"^')'

6) S=:— ,

' tnx

(7) ' = e„.. S=-'V''-^''('+^''

Dans ces formules, on peut constater que le radical est
partout de la forme

v/zh(i=bz^)(i±Aiz^),

et que l'on y rencontre toutes les combinaisons possibles
des signes avec toutes les valeurs réelles et positives de
AJ, en supposant A^<i, trois combinaisons exceptées, à

savoir

mais la première est impossible si le radical doit être
réel, et les deux autres rentrent dans les formes (7) et

( ï33 )
(8) par le changement de j-, z en z ou de ~ z en z. Nous
n en parlerons donc pas.

Il résulte de là que toutes les équations de la forme

dz , ____

— = Av/=tz(izt,;/z^)(iziz,.,V)

s'intégreront par les fonctions elliptiques, et que toute
intégrale de la forme

/f[z, v^=t(n-wz^)(i-f-//^V)]^3
se ramènera à la forme

//[^, V/(l-z'^)(,-^-Z^)]^3,

OÙ Ton aura

/-î<i.

Montrons sur un exemple la marche à suivre pour
opérer cette réduction. Supposons qu'il s'agisse de l'in-
tégrale

" ■" j v/(7+z-^)(i-Ai2') '
en posant h^z = '(, on aura

On posera \yoir formule (7)]
d'où

( -34 )

el Ton aura

w «=^

r 'iK

/ / /

L' \

(-^')(.-^.^=)

On en conclut que *( est égal à en f -u -f- const. j , el

par suite que

/ / f^" \

V I — Ç^ =z sn I — a + const. j .

Si donc on pose

z sera le sinus amplitude d'un niulliple de m, et l'inté-
grale u sera ramenée à la forme voulue

Vv

dz

(,-z'')(i--i-.')

La méthode de réduction que nous venons d'indiquer
a, sur celles que Ton enseigne, l'avantage d'être purement
analytique^ elle se retrouve facilement; si l'on n'indique
pas la marclie qui conduit aux substitutions à effectuer,
on peut hésiter longtemps avant de les retrouver. D'ail-
leurs, notre méthode a l'avantage de donner immédiate-
ment z exprimé en fonction de n au mo^^en des fonctions

sn, en, dn.

Voici d'ailleurs les substitutions à effectuer dans les
diirérents cas pour réduire l'intégrale

y F [a:, V^A(i -f- nix^) [i -f- m' x
à la forme

d'après MM. Briot et Bouquet, i*"^ édition, p. 194.

( i35 )

1° A posilif, m =

— A% /// — — /i^2. 7^ -^ //^ Qjj po^g

3

2^ A posilif, 7n =

: — h%m' = N%

hx=\li~z\

3*^ A posilif,- m = h% m'= //% h > /z',

hx zzz '^- .

\/I — s'

4° A négatif, m = — ]L\ m! = 7i'%

5« A négatif, m =^ — Ji\ m' = — h'\ h > //,

■'-0--

//2

Quand on a ramené le radical à la forme voulue, il
reste encore à calculer les quantités que l'on a désignées
par K et K' et dont dépendent les périodes. A cet effet,

_ K'

on calcule d'abord la quantité q ^=. e '^ j on part pour
cela de la formule

Si l'on fait a: = o, on a

jjj^ Q(o) ^ 1 — 27 + 27^ — 27'^ — ...^

0,(0) I + 27 + 27'' 4- 27^* + . . .

On pourra résoudre cette équation par la méthode du
retour des suites. Quand on connaît (7, K se calcule fa-
cilement, etj en eiïet, on a

sn x i H (.r)

X ~ ^li xÇ>[x]*

( .36 )
et, pour a: = o,

Va- ©m

En faisant, dans l'expression de snx, j: = K, sno: de-
vient égal à I , et l'on a

I HfK)

donc

_ ir(o)0(K)

Remplaçons H'(o) = lim î?^ pour x ^ o, 0(K), H(R)

et 0(o) par leurs développements en produits, nous
aurons

2R (i_^^)^(i-r/)^... (

^ (1-^)^(1-^3).... (n_^.).(n_,^.)...,

OU

V TT -■(i_.y)(i_^3)... (, + ^.)(, + -^i)...

^ (i-r/)(i-7^)...(. + y)(i + y-)...(l+7)(iH-7-^).-.
(i_^)(i_^3)...(,+.y^)(H-^^)...

= (H-7)'(n-7^Hn-7^)'.-(i-'7^)(»-î^)(^-'7^)----

C'est précisément la valeur de 0i(o).
On a donc finalement

i / = 0,(0) =1 + 2^ -h 2Ç<H- 2Ç9+. .,,

d'où l'on conclut K.

Mais il est clair que l'on pourra aussi calculer R et R'
par les formules

( -s- )

en les développant en série. Si h est voisin de l'unité, K
sera donné par une série peu convergente*, mais K' sera
alors donné par une série très-convergente. Pour aug-
menter la convergence des séries, on pourra employer
la transformation de Landen.

Le développement en série de K, par exemple, se fera
comme il suit :

[(i_^.)(x_/-x^)]-^

I T X^ 1.3 /.'X'

A J-

S.

dx

o sj[i — x^)[\ — k'x']

REMARQUE.

Les formules (1), (2), ..., (8) du paragraphe précé-
dent conduisent à des formules curieuses que l'on peut
rapprocher des formules élémentaires

COS.r r=: j

2 2 v/— I

Considérons, par exemple, la formule (5) j on en tire

X z= /v^(n-z2)(i — X-'^z^) dz.

Or >2, étant la tangente amplitude de x. s'annule avec x :
on doit donc prendre pour limite inférieure de l'inté-
grale zéro^ mais alors on a

sj — I z ^ sn (a-', x\J — I ),

ou bien

tnik.x) — -^=sn{k',xsj—i)j

• ( i38
ou encore

sn(/-,.r) I , ^

— -— - = - _sn(X-', .ry — I j.

VI — sn2(/-, x) \J — I

Il est clair que l'on pourrait obtenir ainsi une infinité
de formules du même genre, mais qui seront plus ta-
rieuses qu'utiles.

RÉSUMÉ DES PRIIVCIPALES FORMULES ELLIPTIQUES.

q:z=ze

0 (^j = 1 — 2/7COS— - + 2<7^COS— 27»C0S-— h. .,

^ / , "KX iTix 37r.r

©, [.rj z=zl -{- iq (OS . \- lq* COS -— [- iq^ COS . . . ,

H {x):=iq sin-^ _2.y^S)n-^-4-^r;* sm -^^ - . . . ,

„ , , T 77^ 1 37r.r "/ Stto;

H, Lr 7=2 lq' COS — -r -h 2 7 COS - ; h 2 r/ * COS h . . . ,

^ ^ 2 Iv 2 K 2 K

0 (x) = C ( 1 — 2 <7 COS — - + <7M I I — 2 7^ COS -— + 7M . . . ,
0, (x) = r f I + 2 7 COS -j7- + 7M (1-1-273 COS -— + 7" j . . . ,

H [x] = 2C7* sm— - ( I — 2 7' COS—- 4- 7 M ( i — 27*cos-^ — h 7'

H, H =: 2^7^ COS^ f H- 2 7' COS ~ -t- 7M f 1+ 2 7U'OS ^ + 7")

e[~x]= 0(x), 0,(— .r) z=0, (.r),

H(— .r)=— H(^), H,(— x)z=rll,(.r),

@[x-^¥.]=z 0,(^), 0(;c — K)= 0,(.77),

' 0, (.r H- K) =: 0 W, 0,(^ — KJ= 0 (•?'),

H(a'-}-K)r= H,(x), H(.r — K)=:— I:I.(.r),

II,(^ 4-11):::=— H (,r), I-I,(x- — K)=: H (j:),

( ^'^9 )

© {x -h iK) = e [x],

0, (x -f- 2K) — 0, (^),
U{x-{-?.K)z=— H (a-),
n.(.r-|-2K)=3— H,(.r).
Si l'on fait

on a

= A et d? *f^ ==B,

0 (.r-4- 2K'v/^^) = — A0 (x), 0 (.r-hK'v^) = v/~BH (x),
0,(x-f- 2K'v/^^)= A0,(jc), 0. (.r -f-K\/— 7) = BH,(jr),
II (x + 2 K' v/^^) ^--= — AH [x) , H (.r + K' y/^T ) = ^^^ B 0 (.r) ,
H,(.r 4- 2KV--ï') = Al-I,(.r), Ï-I.f.r + IvV^) = B0.(x).
0 [x] s'annule pour x = 2 /K 4- ( 27 -f- i ) K' \/—i,

0,H » .r=(2/-f-i)K-i-(2y + i)K'v/~,

H (.r) rt X =:• 2/R 4- 2yK' y^ — i,

n,(.r) >, X — (2/ + i)K-i-27K'v'^^.

i, K^r'----/^- , K'=f_

/^ H, W , /-7

V /- e[x) ^

r HH //•' H,W /770.W

y//. @[x) V /- 0(x) * @[x)

sux s'annule pour x^^o et 2K,
cnx n .r^EsK, — K,

aux » .r, — I K -f-K^ \^— S

Périodes de sn,r=4R» sK'y/ — i,

« cnx=4l^> 2K'v/— I -4- 2K,

dnx=2K, 4KV^. '
Infinis des trois foncJi- .ns ^ YJ \l — i , 2 K -l- K' ^Z — i .

( i4o )

Ci c

a

a a a

"o 'Ts -a

4.4,:

c

W r^ Il ^
+ + 4+1

c c c c

'O "^ 'O 'X!

+

T

■^^

c

^ I ^

c

^3

+

jr o

o i4

g S

n

^ ^ t î^ î^
r^ 4 i4 .<^ .^

~:>

c c

Il '^

a c

II

a

^ I ^
c c

W3 1*0

a':

O i4

c c

es W es

CGC

1^

1 1

es es

c

% 1+

+

T

G

c G

T a
I ^

( ■4. )

, ... sna cnb ânb zh.snb ctia àna
sn [fr±b]= — ' — -y »

, cn<2 en ^ qz sn/:/ sn ^ (ln« dn^

en iadzb)z= -^ — — ,

, . , ,. dnrt (InZ» =r A'snrt sn^ cnarnè
dn (<2 zb £>) =

X

I — Â^sn-a sn^ b

o

8

i

7 — 4^'+9'7'-

'^'"^ k^^na cï\n (\ïia%\\^x , , ,
; dx =:Ii .r, a]

®[a] 2 ^ &[x -\- a)

PREMIÈRES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. FORMULES

FONDAMENTALES.

Dans les applications du Calcul intégral, les fonctians
trigonométiiques se présentent sous leurs formes in-
verses quand on ne les introduit pas directement dans le
calcul sous leur forme normale. Il faudra donc nous at-
tendre à rencontrer par analogie les intégrales ellip-
tiques avant les fonctions directes : aussi allons-nous re-
venir un instant sur ces fonctions inverses..

Nous avons posé

(,) (\ ^' =FM:=F(^,,]

*/o V I — Â-^sm2(})

et de là nous tirons

sin(j) = snF, (j)=:amF,

( -42 )
Nous poserons encore, avec Legendre,

(2) I d'^ v/i — '^•'sin> r= E (^) = E (<p, k).

La fonction (i) est l'intégrale de première espèce, l'in-
tégrale E(^) est l'intégrale de seconde espèce de Le-
gendre : elle dilïère de celle de Jacobi. On a

sin' ^

^i — A--sin^(j) Jo y/i — A-' sin^cp

La seconde intégrale est celle de Jacobi, qui se réduit
sn^xdx quand on fait sincp = sinamar;

o
nous la désignerons par J((jp), de sorte que J(amx) = Z(x) 5

nous aurons alors

(3) E(f) = F(a-)-JW, JW = FW-EW.

La fonction elliptique de seconde espèce E(cp) repré-
sente un arc d'ellipse dont les coordonnées seraient

x =2 asïiKf, y = bcosff',

ç est alors le complément de l'anomalie excentrique, et
Ton trouve

— «^?y

,s: "'■

et, par suite, en prenant a pour unité, et en faisant
i—h'= k\

ds = d(f sj 1 — A^sinV;
on a donc

j — E(^, v^ï ^■^•

ce qu'il fallait prouver.

( ;43 )

Si, pour évaluer l'arc d'hyperbole, on posait

e'i — e-i

on trouverait

Par une suite de transformations, on finirait par ra-
mener celte expression aux fonctions elliptiques, mais il
est plus simple de suivre une autre voie pour évaluer
l'arc d'hyperbole j nous prendrons l'équation de cette
courbe sous la forme

OU

b ,

a

Si Ton forme l'élément d'arc ds = sjdx^ ~\- dj^^ on
trouve

^ — .T^ dx

ds:=.

Sj [a^-^x-^] {a}

X-

ce que l'on peut écrire, en posant d'abord - = x\

ds —

I rt^ -}- b'' , \ ^ ,
2 ( î H x'- a dx

après quoi, conformément aux règles que nous avons
données pour la réduction des fonctions elliptiques, nous
poserons

^

a' + b^ ,
: X =

Sll—x"^'

( "44 )

nous aurons alors

dx"

ds=:

\/('--)(-.= ".v^-)^"=

Ù^l—X'^^l

Posons

^"^sin^ ~-^,='<\

et nous aurons

cis

Nous poserons

l'arc d'hyperbole sera donc représenté par aT(cp) et sim-
plement parT(cf), quand a sera l'unité. La suite des
transformations que nous venons d'effectuer revient à
faire

/

sm^

I — />'^ cos^

~" V^i — /■-

COMPARAISON DES AR.CS d'eLLIPSE ET d'hYPEUBOLE.

Nous continuerons dans ce paragraphe le numérotage
de formules employé dans le précédent et nous prou-
verons d'abord que la fonction T se ramène à E et à F
(il est bon de remarquer que T est un cas particulier de

_ ( '45 )

rinlégrale de troisième espèce) 5 on a

r(,)= f^i^Za=.

Si l'on observe alors que

Lcos>v^ V/' v/ J

on aura, en intégrant et en ayant égard à (1), (2), (3),

(5) tàngcfsJi — A'sm'cf =Y(ç) 4- (X-= — i)F(^) — E{^) :

la fonction T(^) se ramène donc à F[(^) et à E(9).

Mais on peut aller plus loin, et exprimer T((p) au
moyen de deux fonctions E d'amplitude et de modules
différents. Ce théorème sera démontré si l'on prouve
que F((p) peut être évalué en fonction de deux fonc-
tions Ej ce théorème célèbre, en vertu duquel un arc
d'hyperbole peut être mesuré par deux arcs d'ellipse, est
dû à Landen et porte son nom.

Or la transformation de Landen permet d'écrire

(6)

s/i — A-; sin^^, 2 V' — ^'sm'(j>

et la relation qui en résulte pour les angles tp et (p^ peut

s écrire

(7) sin^ip, r= -(i + A-sin^^ — cosip^i — A-'sii
d'ailleurs,

L. Fond, ellipt.

( i4G )

Si nous multiplions membre à membre (6) et (7), nous
aurons

— J(X-,,cpi )=:—-— J(/î-,(p)H -— F(/-,<p) j- sinç»,

ou, en vertu de (3),

-[F(X-„cp,)-E(A-.,î,)]

mais la formule (6) donne

F(A-„y,) = -4^'F('î-.î);

en remplaçant alors F(Âi, 91) par cette valeur, on a
ce qui démontre le théorème énoncé.

SUU L AUDITION DES INTÉGRALES DE PREMIERE ESPECE.

Les questions traitées ci-dessus, quoique se rattachant
à la théorie des fonctions elliptiques, pourraient se
traiter sans avoir aucune notion de ces fonctions; il était
bon de les signaler, parce qu'elles ont fait naître des re-
cherches ultérieures et ont été le point de départ de la
théorie: on saitqu'Euler avait deviné l'intégralealgébri-
que de l'équation d'où dépend le théorème de l'addition
des fonctions snx, cno?, dn.r. Il convient de faire con-
naître ici une méthode géométrique due à Lagrange, qui
a dû contribuer pour sa part à faciliter les premières
recherches.

( "47 )
Soient cj), ^, ^j. les côtés d'un triangle sphérique ei G
l'angle opposé à |ui; posons

sin^G , ^ , , .

Supposons actuellement que l'on fasse varier a? et ^j; en
laissant/^ constant, ainsi que l'angle G, nous aurons

(i) cosp=: cos-p cos4' =t: siny sin^^/ i -^ A^sin^p;

mais, le côlé [i variant seulement de position, ses extré-
mités décrivent sur les côtés (j> et ip des éléments d(^ et dd)
dont les projections sur ^ doivent être égales. En effet,
soient AA'et BB' les positions voisines du côté p, si du
point O où se croisent ces positions , comme pôle, on décrit
les arcs BG, A'G, comme OB^r OG, A'O = G'O, il faut
bienqueAG = B'G'. Or

AC = d^ COs(cp, II), B'C z::^ d-^ cos('^, II]:

donc

ou

mais

d<f cos{f, ^) z= d-^ cos{-^, ^),

^ (y, f^) sinC

sin(<p, fx) sinC

= —. == A

donc

sin((j), fA) = /- sin^l^.

La formule précédente donne alors

(2) df^i — A-^sm'-^=:zhd^^i — A-2sin2(p.

La formule (i) est donc l'intégrale de celle-ci, fxj est
constant; si l'on fait alors (|; = o, on a /x = (p. Si l'on
écrit (2) ainsi

(3) - ^^ -+ '^-^

\/i — X-'sin'(ïï Ji — X'biti-a

10.

( >48 )

ou

(4) F(ç)+F(^)=:F(p.},

F(fJi) désignant la conslanle, |ul se réduira à cp pour(|;= o,

et (i) sera équivalente à la relation transcendante (4)^

la formule (i) devant avoir lieu pour ^ = o et <p = — ^j;,

il faudra alors prendre le signe — devant le radical. Que

l'on fasse CP = ama, i|; = am&, ^ = am(a -+- Z>), on aura

alors

cn(« -I- ^) = cn« CR^» ^ — sna snhdn(a -h b).

Cette équation, combinée avec les suivantes :

cn« = ^/i

fera connaître en (a -i- Z>), dn(a + Z?) et sn (a -f- Z>) : on
retrouve ainsi les formules fondamentales de l'addition
des fonctions elliptiques. On peut retrouver ces formules
en cherchant les lignes de courbure des surfaces du se-
cond ordre : c'est ce que nous allons voir.

LIGNES DE COURBURE DE l'hYPERBOLOÏDE.

On peut considérer les lignes de courbure de Fhyper-
boloïde gauclie comme les lignes bissectrices des géné-
ratrices. Or les génératrices ont pour équations

a: z

- = - coscp + smcp,

a c ^ ^

.T z

- =z ~s\n-h — cos4'

b c ^ ^

Y z

b c ^ ^

Les paramètres ^ et ^ servent à caractériser une généra-
trice-, en les prenant pour variables, les équations diffé-
rentielles des lignes de courbure prennent la forme

( '49 )
équations dans lesquelles on a

(î)2;

/tir

Xjr,.

= iSï

/(!.r

en

effectui
bien

ml les

calculs, 1

on a

ou

v/i-

d0

./-J

(S')

= o,

^/i — sin'ç v^ I — sin^ij/

d'où l'on conclut Téquation des lignes de courbure sous
forme finie. Il est assez curieux que l'on puisse ramener
ainsi aux fonctions elliptiques la solution d'un problème
résolu par une tout autre voie.

THÉORÈME DE PONCELET.

Voicî encore une inteiprélation très-curieuse du théo-
rème qui vient de nous occuper : considérons deux
cercles intérieurs l'un à l'autre^ soient R et r leurs

rayons et PQ, P'Q' deux tangentes infiniment voisines
menées au cercle de rayon r-^ soit OO'la ligne des centres

arc AP =:=: 2©R, arc AQ = 2-ij^R.

( i5o )
On aura

PF _ r/<p

mais les triangles semblables PP'M, QQ'M donnent
PP^_MP_MP

ainsi

d^f _ MP

or, à la limite, le point M vient sur le cercle 7' au point
de contact de PQ, et l'on a

MP'r= ÔT' — /2 — i\2 _^ a' — r'-hiRa cos2y,
MQ'= Wq' _ a^ — R2 h- «2 _ ,,2 _|_ ,, R^ C0S2-J;:
on a donc

d<f / Pi- H- /r/'-: — r'^ -f 2 <;/ il cos 2 cp

^■i^ V R' H- a- — r- -f- 2rtRc<>S2i{>
_ /(R + ''')'— /-' — 2«Rsin='(p
"" V (R-l-^)=^ — A^— 2(3Rsin-'^
Si l'on fait

2rtR

y^2=:

R -{-a y— r'
on a l'équation connue

d<!) d^

^ ' ^ v/i — A=^sin-y \J\ — X-•^sin2^|>

d'où l'on peut conclure une construction géométrique
de son intégrale. Mais on peut en déduire un Tésultat
nouveau.

L'équation précédente devient, en intégrant,

Jnf ddf /»^ da^

la

r*p- du.

F'

( >3. )
et ^ est la valeur de ^ pour cp = o. Ou voit que ^ ne dé-
pend ni de 9 ni de ij/*, si donc, à partir du pointe^, on
mène une seconde tangente QR au cercle intérieur ,^et

si l'on pose AR. == 2;^, on aura encore, en posant

1— X-2sin*(j)r=4), 1 — A'sin2^|^ = T, ..., i— A-^sinV=M,
^ d-^ nx d'i _ fit .

« -î3-i:%-ï:

vm'

en menant par R une nouvelle tangente RS, on aurait
entre l'arc 20 = AS et l'arc 2^ une relation analogue;

les intégrales Ç ■^, f^-;^ ,... forment donc une pro-

Jo V^ Jo V^^
gression arithmétique dont la raison est I --^•

Supposons que le polygone PQRST soit fermé et que
le point T coïncide avec A, le dernier des arcscf, ^, X'--
sera de la forme (^ -\- 2 wtt. En ajoutant alors les formules,
telles que (2) et (3), on a

ou bien

dii

Ja'j>-\-n7: d^f T/*

\J I — A^smV

( 1^2 )

donc le premier membre de celte formule ne dépend pas
de Q); donc :

S^il existe lui polygone de m côtés inscrit dans un
cercle et circonscrit à un autre, il existera une injinité
de polygones de m côtés jouissant de la même propriété.

Ce théorème est évidemment projectif et s'applique
aux coniques : il a été découvert par Poncelet^la dé-
monstration précédente est de Jacobi.

ADDITION DES AUCS d'eLLIPSE. — THÉORÈME DE FAGNANO.

Nous avons posé

o

Nous aurons alors

' /■2sn2(x-{-7) f/j?— / kHn'[x-\-r)dx

o J o

rr

J o

ou

J o

J(*X
h'sn-^[x-j)dx = Z(x~j)-\-Z[jr).
o

Retranchons ces formules l'une de l'autre, en ayant
égard aux relations

, , , : 2snj? cnr dnr

sn ^ -f- J + sn [x — j) z= 5

, . , , 2snr cn.r dn.r
sn or+j) — sn(x— J = ^ --'^

( '53 )
nous aurons

X

^Ir snx 511/ cu.r en/ dn.r cin r

— dx

(i — X-' sn^jc sn2j}2

:r.Z{.r-4-j)-2Z(j)-Z(x-j).

Le premier membre est une dérivée exacte, si l'on ob-
serve que 2 snx cn:i: dno: est la dérivée de sn^x, ei
l'on a

2sn-.r snr cnr dnr

,/ ^ = Z .r-hj — 2Z j) — Z .r — jj.

1 — k^ sn^;r sn^j ^ ' ^'^ ' ^ ^ '

Si l'on pose alors

(p=:=amx, i|yr=:amj, fx = am (x -f- j), v z:= am (jc — r),

et si Ton observe que Zw devient J(auifi), et que

Z(.r)=J(^)=:r(y)-E(ï), ...,

la formule précédente devient

2sin2.^ sin-ij; cosi]> y' i — X^ gj^^a^
I — k'^ sin'^9 sin-(p

= F(^a)-2F(4-)-F(v)-E(^) + 2E(.^)+E(v);

et comme F(u) = F(c^) -f-F(^j;),

2sm-cp siniî> cosil> v i — /•' sin^iL , •>

I — /•'' sni^(j/ sui^^ ^^^ ^ ^'^

si Ton échange (f et ij>, |ui ne change pas, v se change en — v
et le second membre devient — E(^) — E( v) -f- 2E(cp).
En ajoutant alors à cette formule celle que l'on obtient
en changeant çp en ^^ et vice versa, on trouve [eu égard
à la formule qui fait connaître sn (a: -I-JK)]

E((p) -f- E(^î^) — E(p) = A-2 sinç sinij; sin//.

On obtient le théorème de Fagnano en posant a = -;

( -54 )

alors E(i:x) est le quart d'ellipse 5 nous le désignerons
par E et nous aurons

(0 F(y) +E(i|>) — E=:/-» sintp sin^^.

Entre les angles «p, ^J^, (à, on a la relation

ces y. = coS(f cos^ — siiKp sin-ij^ y/i — A- sin^^.

Si alors on fait u = -? on a

o = cosiy cosi]/ — siiKp sinip sj 1 ■ — X'

ou

1

(2) tangç tang^ := _, — ou b tangcp tang^ 1= i.

y/ I — /• ^

La formule (i) montre que, si les arcs d'ellipse E(!]3) et
E — E(^) sont tels qu'ils correspoodent à des anoma-
lies Q, ^ satisfaisant à la formule (2), leur différence est
rectifiable. Les équations de Tellipse sont

X zz= sin V, j = ^/ I — Â: ■ coSfp = b cosijj.

Si l'on cherche la distance / du point cj> de l'ellipse à la
perpendiculaire menée de l'origine sur la tangente, on

trouve

>^'' tangcp

"*" v^(Tnâng^ i) ([ -f-tang'-''f)
En chassant les dénominateurs, on trouve une équation
du quatrième degré en tang^, à savoir

b^ tang* <p H- tang2 «p f i h- />2 _ J _|_ j — ; q .

Soient (^ el^ les deux solutions de cette équation, on en

déduit

b tangy tang ^J^ = i.

L'identité de cette formule avec (2) montre de quelle

( '^'S )
façon doivent être construits les angles ç et ^. On voit
que les arcs E(©) et E — E(ij;) auront une différence
rectifiable, s'ils sont choisis de telle sorte que les nor-
males menées par leurs extrémités soient à des distances
égales du centre de l'ellipse.

SUR LÈS ARCS DE LEMNTSCÂTE.

La lemniscate est, comme l'on sait, une courbe telle
que le produit de ses rayons vecteurs issus de deux points
fixes est constant. Son équation en coordonnées po-
laires est, en prenant pour axe polaire la droite qui joint
les points fixes et pour origine le milieu de cette droite,

H — 2 CÎ^ H COS 2 9 4- «^ = ^'

ia désignant la distance des points fixes et h une con-
stante.

M. Serret, dans un Mémoire inséré au tome Mlîdu
Journal de M. LioiivlUe, a montré que toute fonction
cllipti(|ue de première espèce pouvait être représentée
par deux arcs de lemniscate. Voici son analyse ;

Soit - <^ I , la coui be se compose de deux branches

distinctes. On pose — = sin 2ï]>. Soient s\ et g\ les deux

arcs de lemniscate, dont les extrémités ont pour angles
polaires Q^ et &i, on a

, h'' 1^^' V' COS29 -4- v/cos2 2Ô — COS'2J>

__h' r^"^ V COS 2 9

\j COS ■•'2 9 COS '^ 2 i{>

n I

V COS 2 9 — V^ COS - 2 9 COS 2 2 -h

COS^2 9 — cos*-'2ii^

dQ

{ >56 )
On déduit de là, en ajoutant et en retrancliant,

*0,

dO

'q sJ COS2.0 -+- C0S2iJ>

0

Si l'on pose, dans la première formule,

sin 0 = sin-i|> sïtk^,
dans la seconde,

sinô = cosij/ sincp,
on a ■

^« "^ '^^ "" ^ f ^ ''^"^'^' ' ~ ^ ('^"^' "^o)]

sl — Gl = - [F(cos.|.,ç,)-F(cos-i.,ç>J].

On voit que les modules de ^J-f-crJ et de s^-— crj sont
complémentaires.

Un calcul un peu différent conduit aux mêmes con-
clusions quand on suppose - ^ i ; mais alors ce sont les

arcs correspondant à des rajrons vecteurs perpendicu-
laires qu'il faut désigner par 5j, cj.

La lemniscate de Bernoulli est la plus célèbre ; elle a
pour équation

r' z= la} COS2Ô.

L'arc de cette courbe est donné par la formule

a \l idO
sJ COS 2 0

Si l'on pose

sin 0 =z -zz sin 9,

( -57 )
on n.

ds =z a ^-

On en conclut, en comptant convenablement l'ai r,
« F -, arc sin (v'2 sinô) .

ou bien

s -
On trouve aussi

icC-dr

AIRES DE QUELQUES COURBES.

La quadrature d'une courbe du troisième degré ne dé-
pend absolument que des fonctions elliptiques 5 pour nous
en convaincre, plaçons l'origine sur la courbe: l'équation
de la courbe sera de la forme

?3(-^, j) H- 29.(x, y) H- y,(x, j) ^ o,

(pi, (p2, Çp3 désignant des polynômes homogènes de degrés
1, 2, 3. On peut l'écrire

et, en posant
on a

On en tire

— cpîdzVcpî — ©173

en appelant alors R la racine d'un polynôme du qua-
trième degré, on voit que x est de la fbrmey(?,R), où/

désigne une fonction rationnelle; — et y = tx seront

de la même forme, et par suite l'intégrale

ne dépendra que des fonctions elliptiques.

Lorsqu'une courbe du quatrième degré a deux points
doubles, on peut aussi exprimer son aire au moyen des
fonctions elliptiques. En effet, au moyen d'une transfor-
mation homographique, on peut transporter les deux
points doubles à l'infini : soit

Téquation de la courbe ainsi transformée \ on peut sup-
poser que z T= o^ X =^ o et z =^ o^y = o soient les
coordonnées des points doubles. Quand on fera

Z = O, ^ =r O

dans les formules

àf d/ d/

— = 0, -— =0, 7-=o,

dx dr us

elles devront être satisfaites^ les dérivées des termes du
quatrième degré en j: et y^ devront donc s'annuler pour
a: = o, ce qui exige que le terme en y'* et le terme en xj^

soient nuls; la dérivée — étant nulle pour j: = o, il faut

que le terme en x^ soit nul également-, on verrait de même
que les termes j:^j^, et x* ainsi quej^^, disparaissent.
L'équation de la courbe prend donc la forme

H- D^' -4- Exj -H Fj^ + G j: + H/ + K r= o,

( 1^9 )
cl, si l'on résout cette équation par rapport à y^ on
trouve pour cette fonction une expression rationnelle par
rapport à a: et par rapport à un radical recouvrant un
polynôme du quatrième degré.

SUR LES COURBES DE DEGRÉ m QUI OJNT - (/72 l) [lll 2)

POINTS DOUBLES.

On sait que - [m, — i) {^m — 2) est le nombre maxi-
mum de points doubles que puisse posséder une courbe
d'ordre m.

Une courbe cV ordre m quipossède - [m — i) (m — 2)

points doubles est quarrable par les fonctions algé^
briques et logarithmiques [y compris les fonctions cir-
culaires ini^erses).

Il suffit de prouver que Vx et Vj de cette courbe sont
fonctions rationnelles d'un même paramètre 1-^ pour y

parvenir par les - (m — i) [m — 2) points doubles D de

la courbe

(i) /'(•^,j)=o,

d'ordre m, faisons passer une courbe d'ordre m — 2. Cette
courbe est déterminée quand on l'assujettît à passer par

-[m — 2) (m-^-i) points*, or, elle passe déjà par

- (m — i) {m — 2) points D : on peut donc l'assujettir
encore à

-{m — 2) (m -h i) [m — i)('" — 1) ■s= m — 2

conditions. Nous l'assujettirons à rencontrer la courbe
(i) en 77Z — 3 points fixes que nous appellerons A ; elle
contiendra alors dans son équation un paramètre arbi-

( .60 )
traire 1^ et cette équation sera

{i) ?(-^,j) ^-^^f-^, j) = o.

Mais cette courbe (2) coupe (i) en m (m — 2) points-, sur
ces m (772 — 2) points, les points D comptent pour deux
et équivalent à (772 — i) (m — 2) points d'intersection;
si l'on y ajoute les m — i points A, on voit que

[m — I ) [m — 2.) -i- m — 3 =r. m^ — 2. m — i

points d'intersection des courbes (i) et (2) sont fixes et
connus-, il n'en reste plus que

m{^/2i — 2 ) ■ — [ni'^ — im — i ) =: i /

qui soient variables. Si l'on forme alors la résultante des
équations (i) et (2), toutes les racines x de celte résul-
tante seront connues et indépendantes de/, à l'exception
d'une seule que l'on obtiendra par suite k l'aide d'une
simple division et qui sera rationnelle en X, Ainsi x et y
s'exprimeront rationnellement en fonction de X.

G. Q. F. D.

Réciproquement, on peut prouver que, si x et y sont
des fonctions rationnelles de 1 de la forme ,] ! ? tttt'
cp, ^, ^ étant de degrés tn au plus^ x et y seront les coor-
données d\me courbe d'ordre m a/)ant-[ni — i)

[ni — 2) points doubles.
Posons, en effet,

z étant introduit ici pour l'homogénéité ainsi que ^
{nous supposerons ultérieurement z=ri, |7. = 1). La
courbe représentée par les équations (i) coupera la droite

(2) ax -^ by -\- czzzno

( i6i )
en m points, car les X d'intersection seront donnés par
la formule du degré ui

^?(>-,.w) + ^x(>,.t/) +c.îy(X,pt) =0.

1 aura m valeurs et par suite x et j auront m valeurs
simultanées.

Comptons maintenantles points d'inflexion ; ces points
satisfont à l'équation (2) et aux suivantes :

(3)

(4)

d;r , âr dz

o>

dp

dX^

d^z

dA^ '

or, en vertu du tliéorème des fonctions homogènes, ( 2) et
(3) peuvent s'écrire

f\ I o d'.r dl

:6)

dX'
dP

f

dXd
d'.T
dïdl

à'j.'

o,

la résultante des formules (4), (5), (6) donnera les A des
points d'inflexion. Or (0) et (6) se simplifient et peu-
vent s'écrire

dlr

d^a

du'

Oj

c -.— - =0,
(lAda

dld^i dXdii

et la résultante cliercliée prend la formé

d'.T

d\r

d'3

dP

dX2

dx^

d^x

d'Y

d'z

dXd^

dXdfx

dXdfx

d^.r

d'Y

d'z

d^^

d^^

d^/x

L. Fond, c

Hipt.

1 1

( .62 )
Celte équation est manifestement du" degré 3(7/^ — 2)^
<« ainsi la courbe considérée possède 3 [m — 2) points d'in-
flexion. Or une courbe d'ordre jn possède normalement
Zin (^m — 2 ) points d'inflexion 5 celle que nous considé-
rons en a donc perdu

3 m [m — 2] — 3 [m — 2.) = 3 [m — i)[m — 2).

Or on sait que les points d'inflexion ne disparaissent
que parce qu'ils se trouvent remplacés par des points sin-
guliers. Chaque point double faisant disparaître six

V ri . 1 3 [m — i)(m — 2)
points a inflexion, on en conclut que -^ ' '

on- [m — I ) (m — 2) points doubles se sont attachés à

la courbe. c. q. f. d.

Il faut bien remarquer que dans notre raisonnement
nous avons tenu compte des points situés à l'infini, ce
qui résulte de l'emploi des coordonnées homogènes. En
second lieu, nous n'avons, en fait de points singuliers,
considéré que des points doubles, mais il est clair que nos
énoncés devront être corrigés si les points singuliers, au
lieu d'être des points doubles, devenaient points triples
ou seulement points de rebroussement.

Les théorèmes précédents sont dus à M. Clebsch qui
les a établis, mais moins simplement, dans le Journal
de Crelle (t. 64, p. 43).

SUR LES COURBES d'oRDRE Ul POSSÉDAIT - 111 [jTl 3)

POIWTS DOUBLES.

Les courbes d'ordre m possédant - m (m — 3) points

doubles sont quarrables par les jonctions elliptiques.

Pour démontrer ce théorème, considérons une courbe

( '63 )
d'ordre m, possédant - /?2 (^ni — 3) points doubles D^ ce

nombre est égal h - i^in — i)(772 — 2) — i, c'est-à dire au

maximum du nombre des points doubles moins un.
Pour déterminer une courbe d'ordre m — 2, il faut

- (m — 2) [m 4- I ) conditions 5 on pourradonc assujettii'

une courbe d'ordre m — 2 a passer par les - m ( m — 3)
points D et par

- [m — i)[m -\~ \) m [m — 3 ) — i rrr w — 2

autres points de la courbe ( i ), que nous appellerons A.
Cette courbe contiendra dans son équation un paramètre
arbitraire X et pourra être représentée sous la forme

(2) t^ix,y)-h\-i^[a:,y)=zo',

mais cette courbe (2) coupe la courbe (i) d'abord en
m [m — 3) points confondus avec les points doubles D qui
comptent pour deux, et en 772 — 2 points A, ce qui fait
en tout m^ — 2 772 — 2 points 5 or les courbes ( i ) et ( 2 )
devant se couper en ttz (772 — 2) points, il restera deux
points que j'appellerai B sur la courbe (i) et par les-
quels passera encore la courbe (2). Nous supposerons les
points A fixes ^ les points B dépendront alors de la valeur
attribuée à X-, nous les déterminerons comme il suit :
Par l'origine, imaginons une série de droites

(3) jr^ux,

passant par les intersections A,B,D des courbes ( i) et
( 2) ; les coefficients angulaires a seront racines de l'équa-
tion

(4) (ji — a-^i) (r? — a-^î) (/a — a-^a)- . . — O ou R =r o,

I I .

( «64 )

dans laquelle (^i, /i), (xg, ys), ... sont les solutions
communes à(i) et (2); on peut supposer que Xi 7^1 et
x^y^ sont les coordonnées des points B. Alors on voit:
1" que l'équation (4) est la résultante de ( i ), (2) et (3) ;
2° que celte résultante est divisible par le facteur

que nous représenterons par

(5) ' Aa=^ + 2BaH- C = o ou R, = o,

et qu'il sera facile de former. Ce facteur fera connaître les
coefficients angulaires des droites allant de l'origine aux
points B 5 3^ la résultante R = o pouvant s'obtenir en
éliminante entre

/"(^,ax) = o et f|) (x, a.r ) -h Xi|>(a:,ax] = C

sera de degré ni par rapport à X-, mais comme, dans cette
résultante, ^3,^3, X4,/4, . • • sont indépendants de X, le
facteur Aa^ -f- 2Ba H- C le contiendra seul et par suite
l'équation (5) sera du degré m en X.
On tire de (5)

... -B + y/B^-AG

(6) a=. ^ ,

en ne considérant que l'une des valeurs de a ; la valeur
correspondante de x s'obtiendra par les considérations
suivantes : soient a,^- et bfj les coefficients de a:'yMans c^
et ^ et Cij = aij -f- X ^,y, faisons varier «,y, Z>,p a^, b,i de
manière à ne pas altérer la résultante R^ = 05 les Quan-
tités X ne varieront pas, et l'on aura

( ><35 )
cette dernière formule peut s'écrire

et Ton en conclut

de là plusieurs manières de se procurer x en fonctioi
rationnelle de a et de A, par exemple au moyen de
l'équation

dR. _ dR,

Maintenant revenons à la formule (6), pour étudier la
quanlitéB^ — AC placée sous le radical et la décom-
poser en facteurs. Pour cela annulons-la : l'équation
Rj = o aura une racine double^ les droites allant de
l'origine aux points B seront confondues, ce qui peut
avoir lieu : i° soit parce que les points B sont en ligne
droite avec l'origine; 2" soit parce que les points B sont
confondus.

1° Supposons d'abord les points B en ligne droite avec

l'origine, x doit être indéterminé 5 donc, dans les for-

dR
raules (y), les — -^ doivent être nuls. Or on a

mais, l'équation (5) ayant une racine double, on a aussi

dR,

■d7 = ^'

dR, . ^ A

or, quand on pose -;— = o ou A a -f- B
^ ^ da

o, ou a = —

B

Ri se réduit à

B^ — AG
R.^ ^—'.

( i66 )
eii égalant ■— a zéro, on a alors

A dA iIa ^ '

donc enfin B^ — AC s'annule en même temps que sa dé-
rivée pour les valeurs a pour lesquelles deux points B
sont en ligne droite avec l'origine ; B^ — AG aura donc
autant de facteurs doubles qu'il y aura de valeurs de X
pour lesquelles les points B sont en ligne droite avec l'o-
rigine, et l'on pourra écrire

V/B2 — AC — 0(X)v'V.

2° Supposons maintenant les points B confondus, les
valeurs de X pour lesquelles cette circonstance se présen-
tera s'obtiendront en exprimant que les courbes (i) et
(2) se touchent : alors aux points de contact on aura

'M

àx dxj âj ' \dj i\fl âz ' \àz dzj '

en égalant ces rapports à -? en chassant les dénomina-

P
leurs, puis en éliminant p et X, on trouve

(8) J=z:0,

J désignant le déterminant de/^, c^, ^. L'équation (8) est
celle de la jacobienne des courbes^ = o, ip = o, ^p = o ;
or on sait que (Salmon, Leçons d^ Algèbre supérieure,
traduites par Bazin, p. 72) si les courbes ç = o, ijj = o
sont de même degré : 1° la jacobienne passe par les points
communs aux trois courbes 5 2" siy=o a un point
singulier en D, la jacobienne y a un point singulier avec
les mêmes tangentes et par conséquent coupey"= o en
six points confondus en D ; 3^ la jacobienne touche la

( -67 )
courbe /'aux points A et par conséquent y coupe ^ en
deux points confondus.

Or la jacobienne est de degré

m — I -^ 1 [m — 2.) = 3m — -j;

elle coupe /;=3 o en m (3m — 7) points dont il faut dé-
falquer les points D au nombre de

6 — m [m — 3 ) = 3m[m — 3 ),

et les points A au nombre de 2 ( m — 2) ; il reste donc

771 [3 m — 7 ) — 3 m [m — 3 ) — i[m — 2 ) := 4

points où la jacobienne peut rencontrer /r= o et par
suite où la courbe (2) peut touclier (i), et par suite
quatre valeursdeXpourlesquelles B^ — 4 AGs'annulepar
le fait du contact de (i) et (2). Le polynôme V est donc du
quatrième degré en a- d'où 11 résulte que Ta et par suite
l'a: et Vy d'un point variable B de la couvhef= o peu-
vent s'exprimer rationnellement en fonction d'un para-
mètre X et d'un radical de la forme

\lv+ al' -+- p:' -i- 7). -f- (î,

ce qui démontre le théorème énoncé plus haut.

La première démonstration de ce théorème est due à
M. Clebsch [Journal de Crelle, t. 64, p. 210).

Beniarque. — On pourra représenter les coordon-
nées X, y de la courbe (i) sous la forme

X = F [X, v/(i— )>^)(i —k-^V)] ,

à l'aide d'une transformation rationnelle opérée sur la
variable X 5 si l'on fait alors X = sn^, on aura

xr= G(snf) +sn';H(sn^)
y z-l\.{s\\t) -h sn'rL(sn^),

( >68 )
G, H, K, L désignant des fonctions rationnelles. En
effet, le radical entrera si l'on veut dans x et y sous
forme linéaire 5 or il est égal à en t dn ^, c'est-à-dire à sn'^.

G. Q. F. D.

Ainsi, quand une courbe a son maximum de points
doubles moins i, ses coordonnées sont des fonctions ra-
tionnelles d'un même sinus amplitude et de sa dérivée,
ou, si Ton veut encore, sont des fonctions doublement
périodiques de même période d'une même variable

QUELQUES COURBES TIEMAT\QUABLES DONT l'ÉQUÀTION
DÉPEND DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Lorsque l'on cherche une courbe plane dont le rayon,
de courbure soit proportionnel à l'inverse de l'abscisse, on
est conduit à l'équation

dx.

JC' -h c

Cette courbe est une élastique, on la rencontre encore
quand on cherche parmi les courbes isopérimètres celle
qui engendre le volume de révolution minimum -, en
transformant convenablement les coordonnées, on peut

prendre c = o: alors on a -^ = o, quand a: = o, et

OU

o sja^ — X*

0 yf._f;w.

{ -Gg )

X

Si Ton fait - = t, on a
a

or, en prenant le module k égal à ^ ven sorte que h^ = /t^S
on a

• cn'Ô=:— ^v/(i— cn^6)(i-4-crr^Ô)-,

si donc on fait

./T

2

on aura

'^^v^^ .__,._ w^r"^^

la limite inférieure est d'ailleurs arbitraire si Ton choisit
convenablement l'origine : on a alors

X = a cn0.

La courbe de M. Delaunay engendrée par le foyer
d'une ellipse ou d'une hyperbole qui roule sans glisser
sur une droite a pour équation

{x'±:h')dx

dr =

sJ[\a^x' — [x'±b^Y

son abscisse et son ordonnée s'exprimeront facilement
aussi par les fonctions elliptiques. Dans cette courbe, la
moyenne harmonique du rayon de courbure et de la
normale est constante.

Sun LE MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D UN POINT

Les équations du mouvement d'un corps solide qui
présente un point fixe et qui n'est sollicité par aucune
Ibrce extérieure sont, comme on sait,

A, B, C sont les moments d'inertie principaux rela-
tifs au point fixe; p^ </, r sont les composantes de la ro-
tation instantanée autour des axes principaux relatifs
au même point; enfin, t est le temps.

L'analogie entre les équations (i) et celles qui lient
entre eux sn^, cux^ ànx et leurs dérivées est telle, que
l'on est tenté de poser

pz=:ccQng[t — ':],

r=ydng{t — z),

a, (3, y, g^ 7 et le module k désignant des constantes ar-
bitraires j et l'on satisfera effectivement aux formules (i)

si, observant que

cn'a:=: — snxdna:,

sn'^ := cnx dn^>

dn' X =z — A-^ sn j: en jc,
on prend

^==^"V(Â^Â^

AB
7 =

( ■;' )

Ces formules, auxquelles on est conduit ainsi par la
méthode des coefficients indéterminés, fourniront pour
a, (3, y des valeurs réelles si l'on a A >> B ^ C, ce qu'il
est toujours peruiis de supposer.

Les trois arbitraires de la solution sont g, A, t. On
peut faire abstraction de la dernière t, et, en comptant
convenablement le temps, poser

(2) p=^cccngt, qz=^sngt, r=:jàngt.

Les formules (i) sont donc intégrées.

Mais, pour résoudre complètement le problème, il ne
suffit pas de connaître /?, q, r, il faut encore calculer
les valeurs des angles 6, (p, ^, qui, dans les formules de
transformation de coordonnées d'Euler, servent à définir
la position des axes principaux d'inertie par rapport à
trois axes fixes passant au point fixe. On démontre dans
les Traités de Mécanique que l'on a

:3)

Prenons le plan du maximum des aires, ou plan inva-
riable, pour plan des xy. On sait que Ap,Bq,Cr sont
les moments des quantités de mouvement relatives aux
axes principaux. Si donc on désigne par G la constante
des aires sjA^p^ + B' ^^ 4- C / % on aura
Ap = Qcos(z,A), B<7=:Gcos(z, B), Cr=rz Gcos(z, C),

ou bien

Ap =:G sinQ sin(j),

(4) ^ B7 r=: GsinÔ COSfp,

C/- = G ces 9.

p =

: sin(p

. d^ dO
sm9-- -{- cosrp— -9
dt ' dt

7=

: COScp

. d-^

smô — ^ —
dt

. dO
sm,-,

r =

^s-

cosQ-f.
dt

( >:2 )

La constante G est facile à calculer au moyen de k et
de g. De ces trois formules on lire ô et cp; il reste à cal-
culer l'angle ^. Pour cela, entre les formules (3), éli-
^9

minons— -5 nous aurons
dt

ou

p sincp -h q coso) = smô — i-
^ * dt

;.smy + ,7cos?^^^
sinQ

Éliminons (p et 6 de là, au moyen des formules (4),
nous aurons

OU enfin

(5) _A«'cnV + Bg^jn^

Posons, pour abréger

(6) 5^^ = ^;
nous aurons alors

j, G Aa^cn^j; H- BS'sn^a; ,

Remplaçons cii^x par i — sn^o:, et a, (3, y par leurs
valeurs (a); nous aurons

-, G B — Ch-(A— B)sn'^ ,

^ ^ A(B — C)H-C(A — B)sn'^ '
Posons

, , /A B — G , ,

et a sera réel, puisque sna est une fonction impaire;

( >73
nous aurons alors

B — C

ou

C

sn'^ — -sn^a^/ — i
c?iî< =: — r— " ^^f

ce que l'on peut écrire

G rAsn2.r — Csn'«i/ — I ,

8 ) ^f=z —^ I — !=:_— dx

sn'o: — sn^« y/ — i

Désignons par F (a:) la quantité placée sous le signe f,
en sorte que

Nous allons, pour pouvoir intégrer, décomposer F (a:)
en éléments simples, par la méthode de M. Hermite.
Nous désignerons par F l'intégrale de

prise le long d'un parallélogramme de côtés 2 K et
2 R' y/ — I (périodes des fonctions elliptiques). Cette quan-
tité F est indépendante de a?; elle est égale à la somme
des résidus de la fonction f(z) pris à l'intérieur du pa-
rallélogramme en question. Si l'on suppose que ce pa-
rallélogramme contienne le point x^ le résidu relatif à
ce point sera F (x); quant aux résidus relatifs aux autres
infinis a\/ — i et — a\J — i, ils sont de la forme

74

multipliée par la limite de

(x — as,/ — 1 ) ( Asn'x — Csn'^?^/ — i )

sn^-r — sn

a/.

pour^r = a\J — i 5 or cette limite est

A — C)sn'a\/— I

ou

A — CUn^^v/— i

2.sna \/ — i sn a^ — i

ainsi donc on a

A sn'^ — C sn'<7 y - i
T=z —

?n'^jc — sn^rt \/ — 1

I B' [a\,/ — I — x)

'.Sïia^ — 1 cn«\/ — I dn« v^ — 1

A — C)sn2^/

^ Il ( « \/ — I — x) sn « y' — i cïia s/ — i dna\/ — i

iW (û^/^^'i-ha:) (A — C)sn'rtv/— i

2 II ( <7 v/ — I + ^) sna\J — i cna ^ — 1 dna^ — i

ou bien

F(x) =

A sn'x — Csu^/7 ^/ — I
sn^ X — snV<r y/ — 1

( A — C ) sn rt v/ ■

« y ■ — i ôna^/ — i

^ rH-(^v/:='7+.r) ^ irf^v/'=^-.r)1

Substituant cette valeur dans (8), on a

!Gr iG(A — C) sna J— i
J, ^ X -h- — — — ^
g^AG 2 ^AG cnaJ—idnaJ~i
Xlog-^ 7=-
h(^4-«v/— ij

Cette formule se simplifie beaucoup quand on remplace

( '75 )
G par sa valeur. On a

si (ce qui est permis, puisque G est constant) on fait
j: = o, on a

et, en remplaçant a et y par leurs valeurs [a),

__ ^^ ABC AX-^rB — C) -4-C:A— B)
~~^ A — C (A — B) (B-C) '

d'un autre côlc, si, à l'aide de (7), on calcule en «y/ — 1
cl dn a ^ — 1, et si alors on forme la quantité

1 G(A — C) sn ^/ y/ — I

2 ^ ^^C en « y/ — i dna \J — i

on la trouve, réductions faites, égale à ■ il en résulte

que la formule (9) se réduit à

=z —— + ^ lo2 _A "^ -S

^==-::t7t +

AC

li.[a: -{- a^ — i

On peut introduire, comme l'a fait Jacobi, la fonction 0
à la place de H, en observant qu'à un facteur constant
près on a

. r-y-^,

U{x — a\/—i) = e{x — a\/—i—K'\/—i)e -^^ ^'

, 2^^

B.{.r^a\/—i)—e{x-ha^'—i-\-K'iJ—i)t' '^^

Si donc on fait « + K' =:= ^, on aura, en négligeant une
constante,

{ I O J i> =^ + lOL' — ) ■.

( '76 )

Rueb, en modifiant des formules données par Legendre,
était parvenu par une tout autre voie à ces résultats;
Jacobi est allé plus loin en calculant encore les lignes
trigonométriques de ^ de manière à revenir, au moyen
des formules d'Euler, aux neuf cosinus qui définissent la
position du corps. Indiquons rapidement la marche qu'il
a suivie.

La formule (lo), en ayant égard à (6), devient

Gr_f s/— I e{.T — ^^/— I )^

si l'on pose

ç^/_ I ] -Gr

on aura

^z= nt -h ^^,

et^se composera d'une partie proportionnelle au temps
(et l'on pourra appeler la quantité 7z le moyen mouve-
ment) et d'une partie ^^ dont nous allons calculer le
sinus et le cosinus. On a

eViV-' = t / F=^'

et l'on en conclut facilement cos^l^i et sin(|/i. Pour plus
de développements, nous renverrons au Mémoire de
Jacobi inséré dans ses Matliematische Y/erhe, t. XI,
p. 189, écrit en français.

MOUVEMENT DU PENDULE CONIQUE.

Prenons pour axe des z la verticale descendante du
point de suspension, pour plan des xj le plan horizon-
tal passant par le môme point. Soient /• la longueur du

( 177 )
pendule, 9 sa colaiitude, ^ sa longitude : le théorème
des forces vives donnera

et celui des aires

.si„.(3)..

« et c sont deux constantes dont nous allons fixer la
valeur. Soient rj = igh^ la vitesse initiale du mobile,
h sa hauteur initiale au-dessus du point lé plus bas; en
faisant f = o dans (i), nous aurons

OU

igh^ z= 2gh -h a ;
d'où

(3) «=2^(//o — //).

Désignons par [x l'angle que ^^o fait avec l'horizon. En
faisant t = o, e = 9Q dans (2), nous aurons

'''""'«• (2).=^'

mais /'sin0o f -^l est égal à f^ocos/^ et rsin^o est égal à
y//'^ — h^, on a donc

(4 ) c=sJf^~/i'^ç,cosii= \,lig/i, ( r-' — h-") cosfx.

Maintenant, entre (i) et (2), éliminons -^,
rons

c?9\2 (2j«'/'COsG -H flr) r'sin^ô — r»

(it I r sin^e

Si nous posons
(6] rcos6 = 2,

L. Fond, ellipt.

( -78 )
nous aurons

(7) ;^[±y=(^gz-^a){r^-z^)-c^

dt ^

ou, en vertu de (3) et (4),
dz

/•M — I ■=ig[[z-hh, — h] [r^ — z')—h,[r^ — II'] co^' II].

Si l'on substitue à z, dans le second membre,
— 00 , — r, /«, -H /•, on obtient des résultats ayant pour
sij^nes H-, — , -4-, — ; on peut donc poser

a, (3, y désignant des quantités réelles dont deux sont
comprises entre — r ei -\- /', et dont la troisième est né-
gative et moindre que — /'.

On sait que, pour ramener l'équation (8) à celle qui
définit la fonction elliptique, il faut poser z = a -\~ pu^ 5
posons donc
(6) z = a -f-/?sn'w?;

nous aurons, au lieu de (8), en écrivant s au lieu de
su ct)t et en désignant par h le module inconnu de sno)/,

'h^r'cà'p -h g{o^ — P) (a — 7) =0.
Cette formule aura lieu, quel que soit 5, si

ta- A- = — p.

S

o

~r"'/^=- l« — P) [« — 7I'

( >79 )
En éliminant w par division, on en tire

A _ ~ p ^ _ j^ ^

71^1:2 — 2a— p — 7 ' 7 "" (a— p) (a — 7) '

d'où, égalant les valeurs de A',

' 2a — p — 7

En résolvant par rapport à p, on trouve — (a — (3^

ou — (a — 7): alorsA^= -ou- — — J • Pour que k

^ ' ' ot. — 7 a — p ^

soit réel, il faudra que a — (3 et a — 7 soient de même
signe, ce à quoi on arrivera en prenant pour a la racine
positive la plus grande. Enfin, pour que h soit moindre

que l'unité, on prendra;? = — (a — /3), /r^ = » et

l'on supposera que y soit la plus petite des racines;
alors on aura

^ ' \ lr^ a — 7

la formule (9) donne alors

2. r= a — (a — p) sn^w/",

ou bien

2 := a en V>/ -h p sn 2 w /,

ou, en vertu de (6) ,

(11) rcos9 = acn'w^-f- jBsn'w/.

Maintenant, la formule (2) donne

dt "~ /•-'sin^ft'
et, en vertu de (11),

cdt

d^ —

r-— [acn^Mt -{- psn'wfj»
cdt

-{-

2.r \r — acn^wf — pçn'wf r+acn'w^-t- psn^w/

0

( -So)
On a donc enfin

t(^-^')=."--

i_ /»' dt

J^ r- y.

i_ r' dt

/ I sn^wr

Les deux intégrales qui figurent ici sont de seconde
espèce^ —-(4' — ^o) ^^ composera donc d'un terme pro-
porlionnel à f et de termes périodiques de la forme

0'(w^ + s)

©(wf + s)

Si donc on imprimait au pendule un mouvement uni-
forme de rotation convenable, son mouvement relatif
serait périodique.

FIN DE LA THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

TABLE DES MATIERES

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Pages.

Notions préliminaires 2

Des intégrales prises entre des limites imaginaires ^

Cas où le théorème de Cauchy est en défaut jq

Calcul des résidus 12

Application à la recherche d'intégrales définies i5

Quelques propriétés des fonctions ig

Théorèmes de Cauchy et de Laurent -23

Notions sur les fonctions algébriques 27

Discussion delà fonction \/ A. (.c — a) (x — b)...{\ — l) 3i

Sur les premières transcendantes que l'on rencontre dans le Calcul

intégral 32

Des intégrales elliptiques /|0

Réduction à trois types /|4

Étude de l'intégrale de première espèce 4^

Sur les fonctions doublement périodiques 67

Ihéorème de M. Hermite 63

Sur les fonctions auxiliaires de Jacobi 67

Des fonctions du premier ordre *. 76

Des fonctions du second ordre .76

Nouvelles définitions des fonctions 0, H 81

Relations différentielles entre les fonctions auxiliaires 86

Relations entre dnx, en a:, snx 9*

Formules d'addition 9^

Sur les périodes élémentaires ^^'

Décomposition en éléments simples ïo6

De la fonction Z{x), ^^9

Expression d'une fonction doublement périodique par les fonc-
tions elliptiques il3

Application au problème de la multiplication 1 15

Addition des fonctions de troisième espèce 119

Développement des fonctions elliptiques en séries trigonométriques 119

Sur le problème de la transformation 122

Application des théories précédentes i3i

Pages.

Résume des principales formules elliptiques i38

Comparaison des arcs d'ellipse et d'hyperbole i44

Lignes de courbure de l'hyperboloïde ... i48

Théorème de Poncelet i49

Théorème de Fagnano i52

Aire de quelques courbes 157

Quelques courbes dont l'équation dépend des fonctions ellipti-
ques 168

Mouvement de rotation autour d'un point i-jo

Pendule conique 176

7578 Paris. — Imprimerie de (iAuiHiER-ViLLARS, quai des Auguslins,

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