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Full text of "Oeuvres de Henri Poincaré :"

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BOOIC    5  10.08.P755   ».  1    cl 
POINCARE    f    OEUVRES    OE    HENRI 


3    T1S3    0D12bl3b    3 


ŒUVRES 


HENRI    POINCAKÉ 


PARIS.   —  IMPRIMERIE  GAUTHIER-VILLARS   ET   C", 

Quai   des   Giands-Auguslins.    ii. 


ŒUVRES 


HENRI  POINCARE 


SOUS  LES  AUSPICES  DE  L'ACADEMIE  DES  SCIENCES 

PAR 

PAUL   APPELL 

MEMBRE    DK    I.'aCADÉMIE    DES    SCIENCES 

TOME  f 

PliBMK    WKC    L\    COLL\BOR\TIO\ 

JULES    DRACH, 

PHOl'ESSEUR    A    LA    FACULTÉ    IIES   SCIENCES   DE    PARIS 


90 


PAIUS, 

GAUTHIER-VILLARS  Eï  C" .    ÉDITEURS, 

LIBRAIRES     nu    BUREAU    DES    LONGITUDES,     DE    l'ÉCOLE    POLYTECHNIQUE, 

Quai  des  Grands-Augiistiiis.  jt. 
1928 


Too»  ,lr<.iu  <1.-  lii.,hi,uo,.,  .le  ,epr.,d,.ctio.i  K  .ladaplalion   rcservés  pour  lous  pay^. 


PRÉFACE 


La  publication  des  Œuvres  de  Henri  Poincaré  entreprise  par  Gaston 
Darboux,  sous  les  auspices  du  Ministère  de  l'Instruction  publique  et 
commencée  dès  la  mort  de  Tillustre  géomètre  (le Tome  II  seul  est  paru), 
a  été  interrompue  par  la  guerre  ainsi  que  par  la  mort  de  Gaston  Darboux 
et  de  Pierre  Boutrnux  qui  avaient  assumé  la  plus  grande  partie  de  la 
tàcbe  à  accomplir. 

Les  difficultés  économiques  actuelles  auraient  rendu  diflicile  la  reprise 
de  cette  publication,  si  nécessaire  cependant  à  la  science  nialhématique, 
si  TAcadémie  des  Sciences  n'avait  décidé,  sur  la  proposition  unanime  de 
sa  section  de  Géométrie,  d'y  consacrer  une  somme  importante  prélevée 
sur  les  fonds  recueillis  dans  la  Journée  Pasteur. 

Grâce  à  cette  décision  de  l'Xcadémie,  la  section  de  Géométrie  espère 
pouvoir,  avec  le  concours  de  M.  .Iules  Dracli  professeur  à  la  Faculté  des 
Sciences  dç  Paris  qui  a  bien  voulu  se  cbarger  de  revoir  les  manuscrits 
et  les  épreuves,  faire  paraître  régulièrement  les  tomes  successifs. 

I.a  maison  d'édition  Gautliier-Villars,  dont  l'Iiabileté  est  universelle- 
ment connue,  continue  d"a|)porter  son  aide  a[)[iréciée  à  la  publication. 

La  France  élèvera  ainsi  à  Henri  Poincaré  le  monument  le  plus  digne 
de  sa  mémoire.  Grâce  à  ses  Œuvres,  les  jeunes  mathématiciens  pourront 
connaître  la  pensée  du  maître  incomparable  dont  l'influence  sur  les 
mathématiques  a  été  si  considérable  et  continuer  à  progresser  dans  les 
\oies  fécondes  qu'il  a  ouvertes. 

Paii.   \PFEL1-. 


J'REMIEKK    SECTION 


ANALYSE    PURE 


ANALYSE 


TRAVAUX    SCIENTIFIQUES 


Henri    POINCARE 


FAITE    PAR    LIU-MEMIC. 


Acla  matliematica,  t.  38,  p.  i-i3J,  1921. 


RÉSUMÉ  ANALYTIOUE 


INTRODUCTION. 

J'ai  classé  les  travaux  que  j';il  à  résumer  sous  les  sept  rubriques  suivantes  : 

1°  Équations  différentielles; 

2°  Théorie  générale  des  Fonctions; 

3°  Questions    diverses    de    Mathématiques    pures    (Algèbre,    Arithmétique, 

Théorie  des  Groupes,  Analysis  situs); 
4°  Mécanique  céleste  ; 
5°  Physique  mathématique; 
6°  Philosophie  des  Sciences  ; 
7°  Enseignement,  vulgarisation,  divers  (Bibliographie,  rapports  divers). 

Inutile  d'ajouter  que  je  n'ai  pas  poursuivi  tous  ces  buts  différents  indépen- 
damment les  uns  des  autres  et  qu'il  y  a  entre  eux  plus  d'une  connexion  imprévue. 
H.  P.  -  I.  a 


II  ANALYSE   DES   TRWAIX    SCIENTIFIOIES    DE    HENRI    POINCARE    FAITE    PAR    LUI-MEME. 

On  s'apercevra,  en  effet,  que  quelques  Mémoires  onl  dû  figurer  plusieurs  fois, 
sous  deux  ou  trois  rubriques  différentes. 

Les  chiffres  entre  parenthèses,  en  caractères  gras,  renvoient  aux  numéros 
de  la  bibliogi-a])hie. 


PREMIERE   PARTIE. 

ÉQUATIONS     D I  F  F  li  R  i;  N  T I E  L  L  E  S . 


I.  -  Généralités  (64,  78,  83,  57,  73,   182,  278,  Chap.  II). 

Dès  que  les  principes  du  Calcul  infinitésimal  furent  établis,  l'analyste  se 
trouva  en  face  de  trois  problèmes  : 

Résolution  des  équations  algébriques  ; 
Intégration  des  différentielles  algébriques  ; 
Intégration  des  équations  différentielles. 

L'histoire  de  ces  trois  jjroblèmes  est  la  même.  Après  de  longs  et  vains  efforts 
pour  les  ramener  à  des  problèmes  plus  simples,  les  géomètres  se  sont  enfin 
résignés  à  les  étudier  pour  eux-mêmes,  et  ils  en  ont  été  récompensés  par  le 
succès. 

Longtemps  on  a  pu  espérer  que  l'on  pourrait  résoudre  toutes  les  équations 
par  radicaux.  On  y  a  renoncé,  et  aujourd'hui  les  fonctions  algébriques  nous 
sont  aussi  bien  connues  que  les  radicaux  auxquels  on  voulait  les  ramener.  De 
même  les  intégrales  de  différentielles  algébriques,  que  l'on  a  cherché  longtemps 
à  ramener  aux  fonctions  logarithmiques  ou  trigonométriques,  s'expriment 
aujourd'hui  à  l'aide  de  transcendantes  nouvelles. 

Il  devait  en  être  à  peu  près  de  même  des  équations  différentielles.  Le  nombre 
des  équations  intégrables  par  quadratures  est  cxtrêiiienicnt  restreint,  et  tant 
qu'on  ne  s'est  pas  décidé  à  étudier  les  propriétés  des  intégrales  en  elles-mêmes, 
tout  ce  domaine  analytique  n'a  été  quunc  vaste  terra  incognila  qui  semblait 
ù  jamais  interdite  au  géomètre. 


PREMIÈRE    PARTIE.    —    ÉOUATtOXS    DIFFÉRENTIELLES.  III 

C'est  Cauchy  qui  y  a  pénétré  le  premier,  grâce  à  l'invention  d'une  méthode 
ingénieuse  qu'il  a  appelée  calcul  des  limites.  A  sa  suite,  MM.  Fuchs,  Briot  et 
Bouquet,  et  M""®  Kowalevski  ont  employé  avec  succès  la  même  méthode. 

Ce  sont  donc  les  travaux  de  ces  géomètres  qui  m'ont  servi  de  point  de  départ. 

En  présence  d'un  problème  si  compliqué,  ces  divers  savants,  au  lieu  d'étu- 
dier la  manière  d'être  des  intégrales  des  équations  différentielles  ou  des  équa- 
tions aux  dérivées  partielles  pour  toutes  les  valeurs  de  la  variable,  c'est-à-dire 
dans  tout  le  plan,  se  sont  d'abord  occupés  de  déterminer  les  propriétés  de  ces 
intégrales  dans  le  voisinage  cVun  point  donné.  Ils  avaient  ainsi  reconnu  que 
ces  propriétés  sont  très  différentes  selon  qu'il  s'agit  d'un  point  ordinaire  ou 
d'un  point  singulier.  Dans  le  voisinage  d'un  point  ordinaire,  l'équation  diffé- 
rentielle peut  se  mettre  sous  la  forme 

(0  £=/(-■' •>-) 

[oïl  /(.!',  y)  est  holomorphe  en  .t — .Tq,  y  —  //o],  et  y  peut  se  développer 
suivant  les  puissances  de  .t  — .To. 

Dans  le  voisinage  d'un  point  singulier,  l'équation  différentielle  peut  se 
mettre  sous  l'une  des  deux  formes 

(2)  {^-■^o)-£.=fi-^,y), 

(3)  (:^-^o)'"^=/(,x,r) 

si  elle  est  du  premier  ordre  ou,  sous  des  formes  analogues,  si  elle  est  d'un  ordre 
supérieur  ou  aux  dérivées  partielles.  Dans  le  cas  oli  l'équation  différentielle  se 
met  sous  la  forme  (2)  (ou  sous  des  formes  analogues  pour  le  second  ordre  ou 
les  ordres  supérieurs),  MM.  Briot  et  Bouquet  avaient  signalé  certaines  pro- 
priétés des  intégrales,  et  M.  Fuchs  en  avait  donné  le  développement  en  séries 
dans  le  cas  particulier  des  équations  linéaires. 

J'ai  complété  les  résultats  de  Cauchy  relatifs  aux  points  ordinaires  (278, 
Chàp.  II)  en  montrant  dans  quelles  conditions  la  solution  peut  être  développée 
non  seulement  suivant  les  puissances  de  la  variable  indépendante,  mais  suivant 
celles  des  valeurs  initiales,  ou  celles  d'un  petit  paramètre  arbitraire,  dans  le  cas 
où  les  équations  différentielles  dépendent  d'un  pareil  paramètre.  J'ai  montré 
comment  ces  séries  procédant  suivant  les  puissances  de  ce  paramètre  ou  des 
valeurs  initiales  peuvent  encore  rester  convergentes  non  seulement  pour  les 


IV  ANALYSK    DKS   TRAVAUX    SC'.lE.NTiriQUES    DE    HENRI    POINCMIK    FAITE    PAR    LUI-MÊME. 

l^ctitcs  valeurs  de  la  variable  indépendante,  mais  pour  des  valeurs  quelconques 
lie  cette  variable.  Mais  je  me  suis  surtout  occupé  d'étudier  ce  qui  se  passe  dans 
le  \oisinage  d'un  pcmil  singulier. 

J'ai  cherché  d'abord  à  étudier  l'équation  (2),  supposée  non  linéaire  et  à 
trouver  le  développement  en  série  de  ses  intégrales.  J'ai  reconnu  (78)  (^)  que 
ces  intégrales  peuvent  se  développer  suivant  les  puissances  de  [x  — x„)  et  de 
[x — a\,)^',  ).  étant  une  constante  facile  à  déterminer  ou,  dans  un  cas  particulier, 
suivant  les  puissances  de  [x  — x„)  et  de  log  {x  — x„).  Le  résultat  peut  d'ailleurs 
s'étendre  aux  équations  d'ordre  supérieur. 

J'ai  voulu  ensuite  ((i4)  étudier  du  même  point  de  vue  les  équations  aux 
dérivées  partielles  du  premier  ordre.  Cauchy  et  M™^  Kowalevski  nous  avaient 
appris  comment  on  peut  développer  en  séries  les  intégrales  de  ces  équations 
dans  le  voisinage  d'un  point  ordinaire.  Il  restait  à  étudier  ces  intégrales  dans 
le  voisinage  d'un  point  singulier,  comme  l'avaient  fait  MM.  Briot  et  Bouquet 
pour  les  équations  différentielles.  En  abordant  ce  problème,  je  rencontrai  deux 
sortes  de  singularités  :  les  premières  accidentelles  et  spéciales  à  l'intégrale  parti- 
culière que  l'on  envisage,  les  secondes  essentielles  et  provenant  de  l'équation 
aux  dérivées  partielles  elle-même.  Dans  le  premier  cas,  je  vis  aisément  que  les 
intégrales  satisfont  à  des  équations  algébriques,  dont  les  coefficients  sont 
holomorphes  par  rapport  aux  variables.  Dans  le  second  cas,  les  difficultés  à 
surmonter  étaient  plus  grandes. 

J'ai  envisagé  d'abord  l'équation 

(4)  ^'S;-^^=ê^--^^"ê=^"' 

où  les  X  sont  des  fonctions  holomorphes  de  x^,  x.,,  ...,  x,,  (quand  ces  variables 
sont  suffisamment  voisines  de  zéro)  et  s'annulent  avec  ces  variables. 

Pour  que  cette  équation  admette  une  intégrale  holomorphe,  il  faut  d'abord 
que  À  satisfasse  à  une  certaine  équation  algébrique  dé  degré  n;  mais  cette  con- 
dition n'est  pas  suffisante;  les  racines  de  cette  équation  doivent  de  plus  être 
assujetties  à  une  condition  spéciale  :  le  polygone  convexe  qui  contient  tous  les 
points  du  plan  qui  représentent  ces  racines  ne  doit  pas  contenir  l'origine.  Si 


(')  Les  cliifîres  placés  entre  parent lièscs  renvoient  aux  numéros  de  la  BiHiofcrapliie  géné- 
rale qui  accompagne  le  Résumé  analytique;  ils  sont  reprurluils,  pour  la  première  Partie,  à 
la  suite  de  l'article. 


PREMIÈRE    PARTIE.    —    ÉQUATIONS    DIFFERENTIELLES.  V 

cette  condition  est  remplie,  il  y  a  toujours  une  intégrale  holomorphe,  et  il  n'y 
en  a  pas,  en  général,  dans  le  cas  contraire.  Nous  verrons  plus  loin  quelles  sont 
les  conséquences  de  ce  fait  dans  la  théorie  générale  des  fonctions. 
Considérant  ensuite  les  équations 

dx\  _  dx-i  dxn 

je  reconnus  que  les  intégrales  de  ce  système  sont  de  la  forme 

Kj  K2  K„ 

où  les  T  sont  des  fonctions  holomorphes  par  rapport  aux  .t,  où  les  >,  sont  les 
racines  de  l'équation  algébrique  dont  nous  venons  de  parler  et  les  K  des 
constantes  d'intégration. 

Cela  n'est  vrai  d'ailleurs  que  si  les  À  satisfont  à  la  condition  énoncée  plus 
haut,  et,  dans  ce  cas,  il  est  possible  de  trouver  le  développement  des  diverses 
intégrales  particulières  de  l'équation  (4). 

Tout  ce  cjue  je  viens  de  dire  ne  s'applique  qu'aux  points  singuliers  les  plus 
simples,  analogues  à  celui  de  l'équation  (2).  Pour  les  singularités  d'ordre  plus 
élevé,  telles  que  celle  que  présente  l'équation  (3),  on  ne  sait  presque  rien.  Ces 
singularités  d'ordre  supérieur  se  présentent  en  particulier  dans  l'étude  des  équa- 
tions linéaires,  dont  les  intégrales  sont  dites  alors  irrégulières;  mais,  même  dans 
ce  cas  spécial,  nous  ne  savons  à  leur  sujet  que  fort  peu  de  chose. 

M.  Thomé,  qui  les  a  étudiées,  a  montré  que  les  équations  sont  alors  satis- 
faites formellement  par  des  séries  de  la  forme  suivante  : 


.p<-.,,(i). 


P  {x)  étant  un  polynôme  entier  en  .t  et  ^  i  -)  étant  une  série  Ordonnée  suivant 


^X  I 

les  puissances  décroissantes  de  x.  (Je  suppose  ici,  pour  fixer  les  idées,  qu'on  a 
rejeté  le  point  singulier  à  l'infini.)  Mais,  pour  que  ces  séries  représentassent  les 
intégrales  cherchées,  il  faudrait  qu'elles  fussent  convergentes,  ce  qui  n'a  lieu 
que  dans  des  cas  particuliers.  J'eus  l'idée  d'appliquer  à  ces  intégrales  irré- 
gulières la  transformation  de  Laplace  (104,  83,  73  et  182),  et  j'obtins  ainsi  sous 
une  forme  nouvelle  et  simple  la  condition  de  convergence  de  ces  séries;  mais  le 


\l  ANAl.VSIi    DKS    TnAVATK    SCIKNTIFIOI'ES    OE    IIIÎNIU    l'OINCAniî    KAITIÎ    PAR    II  I-MI-MU. 

cas  di-  la  convergence  n'éUiit  qu'exceptionnel,  et  il  semblait  que,  dans  le  cas 
général,  on  ne  pût  rien  tirer  des  développements  de  M.  Thomé.  Il  n'en  était 
rien.  On  connaît  depuis  longtemps  une  série,  celle  de  Stiuling  qui,  bien  que 
divergente,  peut  être  légitimement  employée  pour  représenter  la  fonction 

r(:r)' 

car,  si  .V  est  très  grand,  l'erreur  commise  sur  cette  fonclion  en  s'arrêtant  dans 
la  série  à  un  terme  de  rang  convenable  est  extrêmement  petite.  J'ai  montré 
que  les  séries  de  M.  TnoMÉ  jouissent  de  la  même  propriété.  Alors  même  qu'elles 

sont  divergentes,  elles  représentent  les  intégrales  des  éqiiations  proposées  de 

T'  (  x) 
la  même  manière  que  la  série  de  Stirling  représente  la  fonction—— J'ai 

1  '  1  (.^■) 

trouvé  en  outre,  en  passant,  un  certain  nombre  de  propriétés  des  équations 
linéaires,  entre  antres  celle-ci  : 

Si  une  équation  linéaire  d'ordre  n  a  pour  coefficients  des  polynômes  entiers 
d'ordre  m  {m  <  n),  elle  admettra  ?!  — m  intégrales  holomorphes  dans  tout  le 
plan. 

Mais  l'étude  des  intégrales  des  équations  différentielles  dans  le  poisinage  d'un 
point  donné,  quelle  que  soit  son  utilité  au  point  de  vue  du  calcul  numérique,  ne 
saurait  être  regardée  que  comme  un  premier  pas.  Ces  développements,  qui  ne 
sont  valables  que  dans  un  domaine  très  limité,  ne  nous  apprennent  pas,  au 
sujet  de  ces  équations,  ce  que  nous  apprennent  les  fonctions  0  au  sujet  des 
intégrales  des  différentielles  algébriques  :  ils  ne  peuvent  pas  être  considérés 
comme  une  véritable  intégration. 

11  faut  donc  les  prendre  comme  point  de  départ  dans  une  étude  plus  ajjpro- 
fondie  des  intégrales  des  équations  différentielles  où  l'on  se  proposera  de  sortir 
des  domaines  limités  où  l'on  s'était  systématiquement  cantonné,  pour  suivre 
les  intégrales  dans  toute  l'étendue  du  plan. 

Mais  cette  étude  ])eut  être  faite  à  deux  points  de  vue  différents  : 

1°  On  peut  se  proposer  d'exprimer  les  intégrales  à  l'aide  de  développe- 
ments toujours  valables  et  non  plus  limités  à  un  domaine  particulier.  On  est 
conduit  ainsi  à  introduire  dans  la  Science  de  nouvelles  transcendantes;  mais 
cette  introduction  est  nécessaire,  car  les  fonctions  anciennement  connues  ne 
permettent  d'intégrer  qu'un  très  petit  nombre  d'équations  différentielles. 

2°  Mais  ce  mode  d'intégration,  qui  nous  fait  connaître  les  propriétés  des 


PREMIÈRE    PARTIE.    —    ÉQLATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  VII 

équations  au  point  de  vue  de  la  théorie  des  fonctions,  ne  saurait  suffire  à  lui 
seul  si  l'on  veut  appliquer  les  équations  différentielles,  par  exemple,  à  des  ques- 
tions de  Mécanique  ou  de  Physique.  Nos  développements  ne  nous  apprendraient 
pas,  à  moins  d'un  travail  considérable,  si  par  exemple  la  fonction  va  constam- 
ment en  croissant,  ou  si  elle  oscille  entre  certaines  limites,  si  elle  peut  croître  au 
delà  de  toute  limite,  . . .  En  d'autres  termes,  si  l'on  considère  la  fonction  comme 
définissant  une  courbe  plane,  on  ne  saurait  pas  quelle  est  la  forme  générale  de 
cette  courbe.  Dans  certaines  applications,  toutes  ces  questions  ont  autant  d'im- 
portance cjue  le  calcul  numérique,  et  il  y  avait  là  un  nouveau  problème  à 
résoudre. 

Dans  les  paragraphes  qui  vont  suivre,  je  vais  exposer  les  efforts  que  j'ai 
faits  pour  trouver  la  solution  de  ces  deux  problèmes. 


II.  -   Fonctions  fuchsiennes  (6,   9,    11,    13,  1.5,   16.   17,  18,  lî»,  22,  2a,  id, 
27,  28,  :iO,  3i,  30,  .37,  59,  61,   6.5,  66,  68,  69.  70,   101,   104,   174,   191,  197). 

Désirant,  coiniue  je  l'ai  expliqué  plus  haut,  exprimer  les  intégrales  des  équa- 
tions différentielles  à  l'aide  de  séries  toujours  convergentes,  j'étais  naturelle- 
ment conduit  à  m'attaquer  d'abord  aux  équations  linéaires.  Ces  équations,  en 
effet,  qui  ont  été  dans  ces  derniers  temps  l'objet  des  travaux  de  MM.  Fuchs, 
Thomé,  Frobenius,  Schvvarz,  Klein  et  Halphen,  étaient  les  mieux  connues 
de  toutes;  on  possédait  depuis  longtemps  les  développements  de  leurs  intégrales 
dans  le  voisinage  d'un  point  donné  et,  dans  un  assez  grand  nombre  de  cas,  on 
était  parvenu  à  les  intégrer  complètement  à  l'aide  des  fonctions  anciennement 
connues.  C'était  donc  en  abordant  leur  étude  que  j'avais  le  plus  de  chances 
d'arriver  à  un  résultat. 

Mais  il  était  nécessaire  de  plus  de  faire  une  hypothèse  au  sujet  des  coeffi- 
cients des  équations  que  je  voulais  étudier.  Si  j'avais  pris,  en  effet,  pour  coeffi- 
cients des  fondions  quelconques,  j'aurais  obtenu  également  pour  les  intégrales 
des  fonctions  quelconques  et,  par  conséquent,  je  n'aurais  pu  dire  quelque  chose 
de  précis  au  sujet  de  la  nature  de  ces  intégrales,  ce  qui  était  mon  but.  J'étais 
donc  conduit  à  examiner  les  équations  linéaires  à  coefficients  rationnels  et 
algébriques.  Je  supposerai,  pour  simplifier  un  peu  l'exposé  qui  va  suivre,  que  les 
coefficients  sont  rationnels. 

Voici  maintenant  la  classification  que  j'ai  adoptée  pour  ces  équations  linéaires 


£./),rf.r  1 

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-•^■â- 

l'"ï 

VIII         ANALYSE    DES   TIIAVAUX    SCIENTIFIOUER   DE    HENRI    POINCARÉ    FAITE    PAR    LUI-MEME. 

et  qui  est  la  jilus  naturelle  au  point  de  vue  du  problème  que  nous  voulons 
résoudre  (28,  70).  Soit  •/  une  intégrale  d'une  équation  linéaire  d'ordre  n  à 
coefficients  rationnels.  Posons 


{3) 


À  et  les  F  étant  des  ronctions  rationnelles  de  x.  Il  est  clair  que  z  satisfera  comme 
y  à  une  équation  linéaire  d'ordre  n  à  coefficients  rationnels.  Je  dirai  que  ces 
deux  équations  appartiennent  à  la  même  famille.  On  voit  aisément,  en  effet, 
que  la  connaissance  des  propriétés  de  la  fonction  y  entraîne  celle  des  propriétés 
de  la  fonction  z. 

Il  y  a  dans  chaque  famille  une  infinité  d'équations  différentes,  mais  cer- 
taines fonctions  des  coefficients  ont  même  valeur  pour  les  équations  d'une  même 
famille:  en  d'autres  termes,  il  y  a,  comme  je  l'ai  montré  dans  ma  Note  du 
22  mai  18S2,  des  im'ariants  qui  demeurent  inaltérés  par  la  substitution  repré- 
sentée par  l'équation  (5).  Ces  invariants  ne  sont  pas  les  mêmes  que  ceux  de 
M.  Halphen.  Ce  savant  géomètre  envisage  la  transformation  qui  consiste  à 
remplacer  x  par  une  fonction  quelconque  de  x'  et  à  multiplier  y  par  une  autre 
fonction  quelconque  de  x'.  Au  contraire,  les  fonctions  qui  entrent  dans  ma 
substitution  (5)  ne  sont  pas  quelconques,  mais  rationnelles.  Rien  ne  saurait 
mieux  faire  comprendre  la  différence  du  point  de  vue  de  M.  Halphen  et  du 
mien.  M.  Halphen  cherche  avant  tout  des  relations  entre  diverses  intégrales, 
et  il  peut  impunément  introduire  dans  ses  calculs  des  fonctions  quelconques; 
au  contraire,  mon  but  étant  d'étudier  la  nature  de  l'intégrale  elle-même,  cette 
nature  serait  évidemment  altérée,  si  je  multipliais  l'intégrale  par  une  fonction 
quelconque,  comme  le  fait  M.  Halphen. 

Mais  cette  étude  intime  de  la  nature  des  fonctions  intégrailes  ne  peut  se 
faire  que  par  l'Introduction  de  transcendantes  nouvelles,  dont  je  vais  mainte- 
nant dire  quelques  mots.  Ces  transcendantes  ont  une  grande  analogie  avec  les 
fonctions  elliptiques,  et  l'on  ne  doit  pas  s'en  étonner,  car  si  j'imaginais  ces  fonc- 
tions nouvelles,  c'était  afin  de  faire  pour  les  équations  différentielles  linéaires 
ce  qu'on  avait  fait  à  l'aide  des  séries  0  elliptiques  et  abéliennes,  pour  les  inté- 
grales des  différentielles  algébriques. 

C'est  donc  l'analogie  avec  les  fonctions  elliptiques  qui  m'a  servi  de  guide 
dans  toutes  mes  recherches.  Les  fonctions  elliptiques  sont  des  fonctions  uni- 
formes qui  ne  sont  pas  altérées  quand  on  augmente  la  variable  de  certaines 


PREMIÈRE    PARTIE.    —    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES  IX 

périodes.  Cette  notion  est  tellement  utile  dans  l'Analyse  mathématique,  que 
tous  les  géomètres  ont  dû  penser  depuis  longtemps  qu'il  conviendrait  de  la 
généraliser  en  cherchant  des  fonctions  uniformes  d'une  variable  x  qui  demeu- 
rent inaltérées,  quand  on  fait  subir  à  cette  variable  certaines  transformations  ; 
mais  ces  transformations  ne  peuvent  pas  être  choisies  d'une  manière  quel- 
conque. Elles  doivent  évidemment  former  un  groupe,  et,  de  plus,  on  ne  doit  pas 
pouvoir  trouver  dans  ce  groupe  une  transformation  infinitésimale,  c'est-à-dire 
qui  ne  fasse  varier  x  que  d'un  infiniment  petit.  Sans  cela,  en  répétant  indéfi- 
niment cette  transformation,  on  ferait  varier  x  d'une  façon  continue,  et  notre 
fonction  uniforme,  qui  ne  serait  pas  altérée  quand  la  variable  augmenterait 
dune  manière  continue,  se  réduirait  à  une  constante.  En  d'autres  termes, 
notre  groupe  doit  être  discontinu  (104,  G,  65).  Le  premier  problème  à  résoudre 
est  donc  de  trouver  tous  les  groupes  discontinus  que  l'on  peut  former. 

Dans  le  cas  des  fonctions  elliptiques,  les  transformations  du  groupe  (qui  est 
évidemment  discontinu)  consistent  à  ajouter  à  x  certaines  constantes.  Ici  encore 
une  nouvelle  analogie  avec  les  fonctions  elliptiques  peut  nous  venir  en  aide. 
Pour  étudier  ces  fonctions,  on  divise  le  plan  en  une  infinité  de  parallélogrammes 
connus  sous  le  nom  de  parallélogrammes  des  périodes.  On  peut  obtenir  tous  les 
parallélogrammes  en  transformant  l'un  d'eux  par  les  diverses  substitutions  du 
groupe,  de  sorte  que  la  connaissance  de  la  fonction  à  l'intérieur  de  l'un  des 
parallélogrammes  entraîne  sa  connaissance  dans  tout  le  plan.  De  même,  si 
nous  envisageons  un  groupe  discontinu  plus  compliqué,  engendrant  une  trans- 
cendante d'ordrç  plus  élevé,  nous  pourrons  partager  le  plan  (ou  la  région  du 
plan  où  la  fonction  existe)  en  une  infinité  de  régions  ou  de  polygones  curvi- 
lignes, de  telle  façon  qu'on  puisse  obtenir  toutes  ces  régions  en  appliquant  à 
l'une  d'elles  toutes  les  transformations  du  groupe.  La  connaissance  de  la  fonc- 
tion à  l'intérieur  d'un  de  ces  polygones  curvilignes  entraîne  sa  connaissance 
pour  toutes  les  valeurs  possibles  de  la  variable. 

Il  est  aisé  de  voir  quelle  est  l'espèce  particulière  de  groupes  discontinus 
qu'il  convient  d'introduire.  On  se  rappelle  quel  est  le  mode  de  génération  des 
fonctions  elliptiques  :  on  considère  certaines  intégrales  appelées  de  première 
espèce,  ensuite,  par  un  procédé  connu  sous  le  nom  à' inversion,  on  regarde  la 
variable  x  comme  fonction  de  l'intégrale;  la  fonction  ainsi  définie  est  uniforme 
et  doublement  périodique. 

De  même  ici,  nous  envisagerons  une  équation  linéaire  du  second  ordre  et, 
par  une  sorte  d'inversion,  nous  regarderons  la  variable  x  comme  fonction,  non 
H.  P.  —  I.  i> 


X  AXM.YSE    DKS   TR.VVAIX    SCIENTIFIOI  ES    DR    HUNRI    l'OlXCAUE    FAITE    PAR    LUI-MEME. 

plus  d'une  iiUégrale,  mais  du  rapport  z  des  deux  intégrales  de  notre  équation. 
Dans  certains  cas,  la  fonction  ainsi  définie  sera  uniforme,  et  alors  elle  demeu- 
rera inaltérée  par  une  infinité  de  substitutions  linéaires  changeant  z  en  — '■^^ 

Pour  cela,  le  groupe  formé  par  ces  substitutions  doit  être  discontinu,  et  il 
est  aisé  de  voir  que  les  polygones  curvilignes  dont  il  a  été  question  plus  haut 
sont  limités  par  des  arcs  de  cercle.  J'ai  supposé  d'abord  que  les  coefficients 

/       a-  -t-  3 \ 
des  substitutions  (  s,  -^ i;  j  étaient  réels  ou,  ce  qui  revient  au  même,  cjue  ces 

substitutions  n'altéraient  pas  un  certain  cercle  appelé  fondamental.  Dans  ce 
cas,  les  arcs  de  cercle  qui  servent  de  côLés  à  nos  polygones  curvilignes  sont 
orthogonaux  à  ce  cercle  fondamental. 

Quelle  est  alors  la  condition  pour  que  le  groupe  engendré  par  un  polygone 
curviligne  donné  soit  discontinu  ?  Pour  résoudre  ce  problème,  il  y  avait  à  sur- 
monter une  difficulté  spéciale  que  je  veux  expliquer  en  quelques  mots.  Partant 
du  polygone  curviligne  générateur,  on  construit  aisément  les  polygones  voisins, 
puis  les  polygones  voisins  de  ceux-ci,  et  ainsi  de  suite.  On  a  ainsi  une  sorte  de 
surface  qui  va  sans  cesse  en  s'accrolssant,  et  ce  qu'il  s'agit  de  faire  voir,  c'est 
que  cette  surface  ne  va  pas  se  recouvrir  elle-même  partiellement  ou  totalement, 
c'est-à-dire  qu'un  polygone  nouvellement  annexé  à  notre  surface  ne  va  pas 
recouvrir  en  partie  un  polygone  anciennement  construit.  Pour  cela,  il  ne  suffit 
pas  de  remarquer  que  notre  surface  est  simplement  connexe  et  sans  point  de 
ramification  (unverzweigt).  Cette  façon  de  raisonner  n'est  qu'un  paralogisme 
qui  a  déjà  entraîné  quelques  savants  dans  diverses  erreurs  et  qui,  dans  le  pro- 
blème qui  nous  occupe,  nous  égarerait  certainement.  Il  faut  encore  faire  voir 
que  la  surface  recouvre  une  partie  du  plan  qui  est  elle-même  simplement  con- 
nexe (le  contraire  pourrait  avoir  lieu  et  une  surface  simplement  connexe  pour- 
rait, en  se  recouvrant  plusieurs  fois  elle-même,  couvrir  une  région  plane  à  con- 
nexion multiple).  Ici  la  région  simplement  connexe,  recouverte  une  fois  et  une 
seule  par  notre  surface,  est  la  superficie  du  cercle  fondamental. 

Il  s'agit  donc  de  démontrer  qu'en  construisant  successivement  tous  nos  poly- 
gones, comme  je  l'ai  dit  plus  haut,  on  ne  sortira  jamais  de  ce  cercle  et  qu'on 
atteindra  forcément  un  point  quelconque  du  cercle.  La  seconde  de  ces  proposi- 
tions m'aurait  peut-être  arrêté  longtemps  sans  l'aide  que  j'ai  trouvée  dans  une 
théorie  fort  différente  :  je  veux  parler  de  la  Géométrie  non  euclidienne.  Cette 
Géométrie,  fondée  sur  l'hypothèse  que  la  somme  des  angles  d'un  triangle  est 
plus  petite  que  deux  droits,  ne  semble  d'abord  qu'un  simple  jeu  de  l'esprit  qui 


PBEMIERE    PARTIE.    —    EQUATIONS   DIFFERENTIELLES.  XI 

n'a  d'intérêt  que  pour  le  philosophe,  sans  pouvoir  être  d'aucune  utilité  au 
mathématicien.  Il  n'en  est  rien;  les  théorèmes  de  la  géométrie  de  Lowats- 
CHEvsKi  sont  aussi  vrais  que  ceux  de  la  géométrie  d'EucLiDE,  à  la  condition 
qu'on  les  interprète  comme  ils  doivent  l'être.  Ainsi,  par  exemple,  ces  théorèmes 
ne  sont  pas  vrais  de  la  ligne  droite,  telle  que  nous  la  concevons,  mais  ils  le 
deviennent  si,  partout  où  Lowatschevski  dit  «  une  droite  »,  nous  disons  un 
cercle  qui  coupe  orthogonalement  le  cercle  fondamental.  Je  me  trouvais  donc 
en  présence  de  toute  une  théorie,  imaginée,  il  est  vrai,  dans  un  but  métaphy- 
sicjue,  mais  dont  chaque  proposition,  convenablement  interprétée,  me  four- 
nissait un  théorème  applicable  à  la  Géométrie  ordinaire.  Il  se  trouva  qu'en 
combinant  tous  ces  théorèmes,  j'obtins  aisément  la  solution  de  la  difficulté 
dojit  j'ai  parlé  plus  haut. 

Je  pus  ainsi  construire  tous  les  groupes  discontinus  formés  de  substitutions 
n'altérant  pas  le  cercle  fondamental,  et  je  les  appelai  groupes  fuchsiens. 

Mais  un  problème  important  se  posait  :  étant  donné  un  groupe  fuchsien, 
existe-t-il  des  fonctions  uniformes  inaltérées  par  les  substitutions  de  ce 
groupe  (66)  ?  C'est  ce  que  j'ai  démontré  et  j'ai  donné  à  ces  fonctions  le  nom 
de  M.  FucHS.  Pour  arriver  à  ce  résultat,  il  eût  été  possible,  dans  certains  cas 
particuliers,  d'appliquer  la  proposition  connue  sous  le  nom  de  principe  de 
Dirichlet,  si  souvent  appliquée  par  Riemann  et  démontrée  plus  récemment 
par  M.  ScHWARz.  Je  ne  connaissais  pas  ce  principe  à  cette  époque,  mais 
l'eussé-je  connu,  que  je  ne  m'en  serais  pas  servi;  car  il  ne  pouvait  me  donner 
la  solution  du  problème  que  dans  certains  cas  particuliers  et,  même  dans 
ces  cas,  il  pouvait  servir  à  démontrer  l'existence  de  la  fonction,  mais  il  n'en 
donnait  pas  le  développement  analytique. 

C'est  encore  à  l'analogie  avec  les  fonctions  elliptiques  que  j'ai  dû  faire  appel. 
On  sait  que  ces  fonctions  peuvent  être  regardées  comme  le  quotient  de  deux 
transcendantes,  non  plus  seulement  uniformes,  mais  encore  entières,  et  que 
l'on  appelle  les  séries  6.  Ces  fonctions  ne  sont  plus  doublement  périodiques, 
mais  elles  sont  multipliées  par  une  exponentielle  quand  la  variable  augmente 
d'une  période.  De  même  ici,  je  devais  chercher  à  exprimer  les  fonctions  fuch- 
siennes  par  le  quotient  de  deux  transcendantes  finies  et  uniformes,  tout  à  fait 
analogues  aux  fonctions  0,  et  se  reproduisant  multipliées  par  un  facteur  simple, 
quand  la  variable  z  subit  une  des  transformations  du  groupe. 

Je  trouvai  aisément  des  séries  satisfaisant  à  ces  conditions  et  je  les  appelai 
thêtafuchsiennes.  Le  quotient  de  deux  pareilles  séries  était  évidemment  une  fonc^ 


Vn         ANALYSE  DES  TRAVAUX   SClBNTlPlOlIËS   DB  ItENRI   POINcARÉ  FAITE  PAR   Ltll-MÉMR. 

tion  fuchsienne  :  j'avais  ilouc  du  même  coup  démontré  l'existence  de  ces  fonc- 
tions et  trouvé  leur  expression  analytique.  Le  quotient  de  l'unité  par  une 
série  thètafuchsienne  est  susceptible  aussi  d'un  développement  simple,  et  c'est 
la  considération  de  ces  développements  nouveaux  qui  m'a  permis  de  démon- 
trer réciproquement  que  toute  fonction  fuchsienne  peut  être  regardée  comme 
le  quotient  de  deux  séries  thèlafuchsiennes. 

Ces  fonctions  fuchsiennes  sont  de  deux  sortes,  les  unes  existant  dans  tout 
le  plan,  les  autres  n'exisinni  qu'à  l'intérieur  du  cercle  fondamental.  Dans  les 
deux  cas,  il  y  a  entre  les  deux  fond  ions  fuchsiennes  qui  ont  même  groupe  une 
relation  algébrique.  La  détermination  du  genre  de  cette  relation  est  d'une 
importance  capitale;  je  l'ai  obtenue  d'abord  par  des  procédés  analytiques,  et 
plus  simplement  ensuite  par  la  géométrie  de  situation. 

Grâce  à  ces  relations  algébriques,  il  est  possible  d'utiliser  les  fondions  fuch- 
siennes pour  l'étude  des  fonctions  et  des  courbes  algébriques.  Ainsi,  Voïi  peut 
exprimer  les  coordonnées  des  points  d'une  courbe  algébrique  par  des  fonctions 
fuchsiennes,  c'est-à-dire  uniformes,  d'un  même  paramètre.  On  peut  alors  se  servir 
de  ces  expressions  des  coordonnées  pour  arriver  à  un  certain  nombre  de  théo- 
rèmes sur  ces  courbes.  On  peut  s'en  servir  également  pour  exposer  d'une  façon 
plus  simple  la  théorie  des  fonctions  abéliennes. 

Si,  dans  une  intégrale  abélienne  de  première  espèce,  on  remplace  la  variable 
j)ar  une  fonction  fuchsienne  de  z,  cette  intégrale  devient  à  son  tour  une  fonc- 
tion uniforme  de  z  dont  on  trouve  aisément  le  développement  analytique.  Ainsi 
ces  intégrales,  qu'on  savait  déjà  obtenir  à  l'aide  des  fonctions  0,  sont  suscep- 
tibles d'une  expression  analytique  entièrement  différente,  où  entrent  des  trans- 
cendantes ne  dépendant  que  d'une  seule  variable. 

Mais  ce  n'est  pas  tout.  Toute  fonction  fuchsienne  peut  être  regardée  comme 
provenant  tic  l'iinersion  d'une  équation  du  second  ordre  à  coefficients  algé- 
briques, c'est-à-dire  qu'on  peut  l'obtenir  en  regardant  la  variable  x  comme 
fonction  du  rapport  z  des  intégrales  de  cette  équation.  Nos  transcendantes 
nous  fournissent  donc  immédiatement  l'intégration  d'une  infinité  d'équations 
linéaires  que  l'on  peut  appeler  fuchsiennes. 

Pour  que  l'analogie  avec  les  fonctions  elliptiques  fût  complète,  il  faudrait 
que  les  autres  propriétés  de  ces  fonctions,  telles  que  les  lois  d'addition,  de  mul- 
tiplication et  <lc  transformation,  pussent  s'étendre  aux  nouvelles  transcen- 
dantes. 

La  théoiic  de  la   transformation  se  généralise  immédiatement,  avec  cette 


PtlEMlÈBE  PARTIE.    —   ÉQtATIONS  DtFFÉhENTIELLES.  XIII 

diflérence  toutefois  que  le  groupe  des  fonctions  fuchsiennes  étant  beaucoup 
plus  compliqué  que  celui  des  fonctions  elliptiques,  les  cas  à  considérer  sont 
beaucoup  plus  nombreux  et  variés.  Ce  qui  en  fait  surtout  l'intérêt,  c'est  qu'on 
peut  s'en  servir  pour  jeter  quelque  lumière  sur  la  question  de  la  réduction  des 
intégrales  abéliennes  (59).  J'y  reviendrai  plus  loin. 

Au  contraire,  le  théorème  d'addition  ne  peut  pas  s'étendre  à  toutes  les 
fonctions  fuchsiennes.  Cela  n'est  possible  que  dans  un  cas  particulier  et  pour 
une  classe  spéciale  de  ces  transcendantes  (Gl,  191).  Je  veux  parler  de  ces  fonc- 
tions fuchsiennes  qui  tirent  leur  origine  de  la  considération  des  formes  quadra- 
tiques ternaires  indéfinies  et  sur  lesquelles  je  re\dendrai  dans  le  paragraphe 
relatif  à  l'Arithmétique. 

Les  substitutions  linéaires  dont  les  coefficients  ne  sont  plus  réels,  mais  quel- 
conques, peuvent  aussi  former  des  groupes  discontinus  que  j'ai  appelés  kleinéens 
(15,  16,  68).  Pour  démontrer  l'existence  de  ces  groupes,  je  rencontrais  la  même 
difficulté  que  pour  les  groupes  fuchsiens,  et  il  semblait  au  premier  abord 
impossible  d'appliquer  la  géométrie  non  euclidienne.  Dans  certains  cas  parti- 
culiers la  difficulté  était  facile  à  surmonter;  mais,  dans  le  cas  général,  elle  sub- 
sistait tout  entière.  J'imaginai  alors  un  artifice  qui  me  permît  de  me  servir  de 
la  géométrie  non  euclidienne,  non  plus  à  deux,  mais  à  trois  dimensions,  et  je 
démontrai  aisément  l'existence  des  groupes  kleinéens.  Je  n'avais  plus  qu'à 
appliquer  les  méthodes  qui  m'avaient  réussi  une  première  fois  pour  trouver 
une  nouvelle  catégorie  de  fonctions  tout  à  fait  analogues  aux  fonctions  fuch- 
siennes. La  seule  différence  digne  d'être  signalée  est  celle  qui  résulte  de  la  forme 
du  domaine  à  l'intérieur  duquel  ces  fonctions  existent.  Ce  domaine,  au  lieu 
d'être  un  cercle,  est  limité  par  une  courbe  non  analytique  qui  n'a  pas  de  rayon 
de  courbure  déterminé.  Dans  d'autres  cas,  ce  domaine  est  limité  par  une  infi- 
nité de  circonférences. 

Les  fonctions  fuchsiennes  sont  susceptibles  d'un  autre  mode  de  généralisa- 
tion :  je  veux  parler  des  fonctions  hyperfuchsiennes  imaginées  par  }A.  Picard. 
Mais,  comme  elles  ne  peuvent  guère  s'apjpliquer  aux  équations  différentielles 
proprement  dites,  je  me  réserve  d'y  revenir  dans  la  deuxième  Partie,  con- 
sacrée à  la  théorie  générale  des  fonctions. 

Les  résultats  déjà  obtenus  faisaient  dès  lors  pressentir  quel  intérêt  il  y 
aurait  à  déterminer  les  coefficients  du  groupe  d'une  équation  linéaire  en  fonc- 
tion des  coefficients  de  l'équation  elle-même  (34,  3o,  C9).  Ce  problème  n'était 
pas  nouveau  et  il  avait  déjà  fait  l'objet  des  travaux  de  divers  mathématiciens 


XIV         ANALYSE    DES   TnAVAlIX    SCIENTIFIQUES    DE   HENBI    POINf.ARÉ    FAITE    PAR    LUI-MÊME. 

allemands,  entre  autres  de  MM.  Fuchs  et  Hamburger.  J'ai  imaginé  de  nou- 
velles méthodes  de  calcul  numérique,  analogues  à  celles  de  ces  savants,  et  j'ai 
reconnu  qu'on  pouvait  varier  ces  procédés  à  l'infini.  Mais  ces  méthodes  ne 
nous  apprennent  rien,  au  point  de  vue  de  la  théorie  générale  des  fonctions, 
sur  les  propriétés  des  transcendantes,  dont  elles  donnent  seulement  la  valeur 
numérique.  Il  fallait  chercher  aussi  à  résoudre  le  problème  à  ce  nouveau  point 
de  vue.  J'ai  obtenu  dans  cette  voie  divers  résultats  qui  peuvent  présenter 
quelque  intérêt.  Ainsi  les  coefficients  du  groupe  considérés  comme  fonctions 
de  certains  coefficients  de  l'équation  (les  autres  coefficients  étant  regardés 
comme  constants)  en  sont  des  fonctions  entières.  J'ai  étudié  également  les 
fonctions  inverses  qui,  dans  certains  cas,  sont  uniformes. 

Les  résultats  ainsi  obtenus  ne  donnaient  encore  qu'une  solution  bien  incom- 
plète du  problème  que  je  m'étais  proposé,  c'est-à-dire  de  l'intégration  des 
équations  différentielles  linéaires.  Les  équations  que  j'ai  appelées  plus  haut 
fuchsiennes,  et  qu'on  peut  intégrer  par  une  simple  inversion,  ne  sont  que  des 
cas  très  particuliers  des  équations  linéaires  du  second  ordre.  On  ne  doit  pas 
s'en  étonner  si  l'on  réfléchit  un  peu  à  l'analogie  avec  les  fonctions  elliptiques. 
Le  procédé  de  l'inversion  ne  permet  de  calculer  que  les  intégrales  elliptiques 
de  première  espèce.  Pour  les  intégrales  de  deuxième  et  troisième  espèce,  il 
faut  procéder  d'une  autre  manière. 

Envisageons,  par  exemple,  l'intégrale  de  deuxième  espèce 


,.=r 


x^  dx 


v/(i  — a?2)  (i  — /■•!ar2) 


Pour   l'obtenir,    nous    considérerons    comme    équation    auxiliaire    celle    qui 
donne  l'intégrale  de  première  espèce 


,._   /■' dx , 

"'"Jf,      i/(i  — T')(i  — Â-'a:»)  ' 


d'où 


par  inversion 

X  ^=  sns. 


Remplaçant  x  par  sn  z,  on  trouve  que  u  est  égal  à  une  fonction  uniforme 
de  z,  Z  (z),  qui  augmente  d'une  constante  quand  z  augmente  d'une  période.  On 
est  donc  conduit  à  employer  ici  un  procédé  analogue  :  étant  donnée  une  équa- 
tion linéaire  E  d'ordre  quelconque,  à  coefficients  algébriques  en  x,  on  se  sert 
d'une  équation  auxiliaire  E'  du  second  ordre,  et  cette  équation  auxiliaire  doit 


PREMIERK    PARTIE.    —    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES.  XV 

être  choisie  de  telle  façon  que  x  soit  fonction  fuchsienne  du  rapport  z  des 
intégrales  de  E'  et  que  les  intégrales  de  E  soient  des  fonctions  uniformes  de  z. 

Est-il  toujours  possible  de  faire  ce  choix  de  manière  à  satisfaire  à  toutes 
ces  conditions  ?  Telle  est  la  question  qui  se  pose  naturellement.  Cela  revient 
d'ailleurs  à  demander  si,  parmi  les  équations  Hnéaires  qui  satisfont  à  certaines 
conditions,  qu'il  est  inutile  d'énoncer  ici,  il  y  a  toujours  une  équation  fuch- 
sienne. Je  suis  parvenu  à  démontrer  qu'on  devait  répondre  affirmativement 
à  cette  question.  Je  ne  puis  expliquer  ici  en  quoi  consiste  la  méthode  dont  nous 
nous  sommes  servis  d'abord,  M.  Klein  et  moi,  dans  l'étude  de  divers  exemples 
particuliers;  comment  M.  Klein  a  cherché  à  appliquer  cette  méthode  dans  le 
cas  général,  ni  comment  j'ai  comblé  les  lacunes  qui  subsistaient  encore  dans 
la  démonstration  du  géomètre  allemand,  en  introduisant  une  théorie  qui  a  les 
plus  grandes  analogies  avec  celle  de  la  réduction  des  formes  quadratiques 
(J8,  19,  26,  27,  69). 

On  peut  arriver  au  même  résultat  par  une  voie  entièrement  différente, 
comme  l'ont  reconnu  divers  savants.  Il  suffit  de  démontrer  que  l'équation 

Am  =  e" 

admet  toujours  sur  une  surface  de  Riem.\nn  donnée  une  solution  présentant 
des  singularités  données.  M.  Picard  a  donné  le  premier  une  démonstration  de 
ce  théorème;  j'en  ai  donné  une  (174,  197)  qui  est  entièrement  différente  et  qui 
permet  de  compléter  le  résultat  de  M.  Picard  en  l'étendant  à  un  cas  que  ce 
géomètre  avait  laissé  de  côté  et  qui  est  important  au  point  de  vue  de  la  théorie 
des  fonctions  fuchsiennes.  C'est  celui  où  l'un  des  sommets  du  polygone  géné- 
rateur se  trouve  sur  le  cercle  fondamental. 

Ainsi,  l'équation  auxiliaire  E'  existera  toujours;  mais  il  ne  suffit  pas  de  pou- 
voir démontrer  son  existence,  il  faut  encore  savoir  la  former.  C'est  là  l'objet 
de  la  dernière  Partie  de  mon  Mémoire  Sur  les  groupes  des  équations  linéaires. 
J'ai  donné,  dans  cette  dernière  Partie,  des  procédés  pour  calculer  les  coeffi- 
cients de  l'équation  E',  non  pas  exactement,  ce  qui  est  impossible,  mais  avec 
une  approximation  aussi  grande  que  l'on  veut. 

Si  maintenant  on  considère  le  rapport  z  des  intégrales  de  cette  équation 
auxiliaire,  a;  est  une  fonction  fuchsienne  de  3  que  j'appelle  /  (z),  et  les  intégrales 
de  l'équation  E  sont  des  fonctions  uniformes  de  z,  qui  subissent  des  transfor- 
mations linéaires  lorsque  z  subit  une  transformation  du  groupe,  de  la  même 
manière  que  la  fonction  Z  (z)  augmente  d'une  constante  quand  z  augmente 


XVI         ANAI.VSK    DES   THAVAIX    SCIENTIFIQUES    DE    IIENIII    l'OlNCARË    FAITE    PAR    Llll-.MFME. 

d'une  période  (70).  Ces  fonctions  uniformes  jouent  pour  l'intégration  de  l'équa- 
tion V.  le  nièine  rôle  que  la  fonclion  Z  [z)  joue  pour  lo  calcul  des  intégrales 
elliptiques  de  seconde  espèce.  C'est  pour  cette  raison  que  je  les  ai  appelées 
zêtafiichsiennes. 

Ces  fonctions  zètafuchsiennes  sont  évidemment  susceptibles  d'être  mises 
sous  la  forme  du  quotient  de  deux  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  ::.  Ces  deux  séries  sont  convergentes  à  l'intérieur  du  cercle  fonda- 
mental. Si  la  fonction  /  [z)  n'existe  qu'à  l'intérieur  du  cercle  fondamental  (ce 
que  nous  supposons),  la  variable  z  ne  peut  jamais  sortir  de  ce  cercle,  en  sorte 
que  nos  deux  séries  sont  toujours  convergentes.  D'ailleurs,  les  coefficients  de 
ces  séries  se  calculent  aisément  par  récurrence.  A  ce  point  de  vue,  on  peut  donc 
déjà  dire  que  ces  développements  nous  donnent  l'intégration  complète  de 
l'équation  E,  puisqu'ils  sont  toujours  valables  au  lieu  d'être  limités  à  un 
domaine  particulier.  Je  ne  me  suis  cependant  pas  contenté  de  ce  résultat,  car 
li  est  possible  de  donner  des  fonctions  zètafuchsiennes  des  développements 
beaucoup  plus  satisfaisants  pour  l'esprit,  parce  que  les  termes  sont  liés  les  uns 
aux  autres  par  une  loi  simple  et  que,  par  conséquent,  le  développement  met  en 
évidence  les  propriétés  caractéristicjues  de  ces  fonctions.  C'est  ainsi  que 
l'expression  de  sn  ::  par  les  séries  d'EiSENSTEiN  est  beaucoup  plus  satisfaisante 
pour  l'esprit  (quoique  moins  convergente)  que  le  développement  de  cette 
fonction  suivant  les  puissances  de  z  et  de  k^.  C'est  dans  ce  but  que  j'ai  exprimé 
les  fonctions  zètafuchsiennes,  par  le  quotient  de  deux  séries;  le  dénominateur 
est  une  série  thêtafuchsienne  et  le  numérateur  est  une  série  à  termes  rationnels, 
où  l'expression  du  terme  général  est  fort  simple. 

Ainsi,  il  est  possible  d'exprimer  les  intégrales  des  équations  linéaires  à 
coefficients  algébriques,  à  l'aide  des  transcendantes  nouvelles,  de  la  même 
manière  que  l'on  a  exprimé,  à  l'aide  des  fonctions  abéliennes,  les  intégrales  des 
différentielles  algébriques.  D'ailleurs,  ces  dernières  intégrales  elles-mêmes  sont 
susceptibles  d'être  obtenues  aussi  par  l'intermédiaire  des  fonctions  fuchsiennes, 
et  l'on  a  ainsi  une  expression  nouvelle,  entièrement  différente  de  celle  où 
entrent  les  séries  0  à  plusieurs  variables. 

III.  —  Équations  non  linéaires  (iiV,  48,  71). 

Il  resterait  à  faire  pour  les  équations  non  linéaires  ce  que  j'ai  fait  pour  les 
équations  linéaires,  c'est-à-dire  à  trouver  des  développements  des  intégrales 


PIlE.MIliBIi    l'Annr.    —    KgHTIOXS    DIFFÉnEXTIELLES.  XVII 

qui  soient  toujours  convergents.  Je  n'ai  pu  y  parvenir;  j'ai  seulement  reconnu 
que  l'on  peut,  d'une  infinité  de  manières,  exprimer  ces  intégrales  par  des  séries 
qui  convergent  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  la  variable.  Voici  comment 
j'ai  opéré  (24,  77). 

Je  mets  les  équations  différentielles  sous  la  forme 

dj^i  _  dx,  dx,i 

Al  X2  An 

les  X,  étant  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  variables  x.  Cela  est  tou- 
jours possible.  J'introduis  ensuite  une  variable  auxiliaire  .s  définie  par  l'équa- 
tion 

dj:i  _  dr,  ^        dx,,  ds 

"x;  "  TT  Xr  ""  Xî-t-x^H-...-i-x;;-+:7" 

Je  puis  alors  démontrer  que  si  a  est  convenablement  choisi,  les  variables  x, 
peuvent  se  développer  suivant  les  puissances  croissantes  de 


et  que  les  développements  restent  valables  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  s. 
Si  l'on  applique  ce  qui  précède  au  problème  des  trois  corps,  on  verra  que, 
quand  s  varie  de  —  00  à  -\-  co,  t  varie  de  —  00  à  +00,  de  sorte  que  les  déve- 
loppements restent  convergents  pour  toutes  les  valeurs  réelles  du  temps.  Il  n'y 
aurait  d'exception  que  dans  l'hypothèse,  assez  peu  vraisemblable  d'ailleurs, 
où  deux  corps  viendraient  se  choquer  à  l'époque  <„,  et  les  développements  ne 
nous  apprendraient  rien  sur  ce  qui  se  passerait  après  l'époque  du  choc;  le  pro- 
blème d'ailleurs  ne  se  pose  même  pas.  Si  de  plus  on  suppose  que  les  éléments- 
initiaux  aient  été  choisis  de  telle  sorte  que  les  distances  mutuelles  restent 
constamment  supérieures  à  une  limite  donnée,  on  peut  remplacer  la  variable 
auxiliaire  s  par  le  temps  lui-même  et  développer  suivant  les  puissances  de 


Ainsi  que  je  l'ai  dit  plus  haut,  je  n'ai  donné  cette  solution  qu'à  titre  d'exemple. 

Une  pareille  intégration   est  d'un  caractère  bien  différent  et  évidemment 

beaucoup   moins   satisfaisante   pour  l'esprit   que   l'intégration   des   équations 

linéaires  par  les  fonctions  fuchsiennes.  Aussi  y  avait-il  lieu  de  se  demander  si 

les  méthodes  qui  avaient  réussi  pour  les  équations  linéaires  n'étaient  pas  appli- 

H.  P.  -  I.  c 


XVIIl      ANALYSE  DES  TRAVAUX  SCIENTIFIOUKS   DE   HENRI   POINCAHE  FAITE   PAR   LUI-MEMK. 

cables  à  d'autres  classes  d'équations,  quoiqu'elles  ne  le  fussent  pas  dans  le  cas 
général. 

Un  peu  de  réflexion  fait  tout  de  suite  comprendre  quelle  est  la  différence 
essentielle  entre  le  cas  général  et  celui  des  équations  linéaires.  Les  équations 
linéaires  n'ont  qu'un  nombre  fini  de  points  singuliers,  tandis  que  les  équations 
non  linéaires  en  ont  en  général  une  infinité.  On  est  donc  amené  à  rechercher 
s'il  n'existe  pas  d'autres  classes  d'équations  dont  les  points  singuliers  soient  en 
nombre  fini. 

M.  FucHS  a  publié,  dans  les  Sitzungsberichte  de  l'Académie  de  Berlin,  un 
Mémoire  où  il  expose  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  qu'une  équa- 
tion différentielle  et,  en  particulier,  pour  qu'une  équation  du  premier  ordre 
n'ait  qu'un  nombre  fini  de  points  singuliers.  On  put  croire  un  instant  que  l'on 
était  sur  la  voie  d'une  nouvelle  catégorie  de  transcendantes  uniformes  et  d'une 
nouvelle  classe  d'équations  intégrables. 

Je  fus  donc  amené  à  faire  un  examen  plus  approfondi  de  la  question  (48, 
71);  mais  cet  examen  m'obligea  à  renoncer  à  l'espoir  que  j'avais  conçu.  Les 
équations  du  premier  ordre  qui  satisfont  aux  conditions  de  M.  Fucus,  ou  bien 
se  ramènent  à  l'équation  de  Riccati  et  par  elle  aux  équations  linéaires,  ou  bien 
sont  intégrables  par  les  fonctions  elliptiques  ou  algébriques.  On  n'est  donc 
jamais  conduit  à  une  classe  réellement  nouvelle  d'équations  intégrables. 
M.  Painlevé  a  été  plus  heureux  en  passant  aux  équations  d'ordre  supérieur. 

Quoi  qu'il  en  soit,  le  résultat  de  M.  Fucus  conserve  encore  son  intérêt, 
puisqu'il  nous  fait  connaître  une  catégorie  d'équations  différentielles  inté- 
grables algébriquement.  Mais,  en  tout  cas,  le  problème  de  l'intégration  des 
équations  non  linéaires  ne  peut  être  regardé  comme  résolu. 


IV.  —  Intégration  des  équations 
par  les  fonctions  algébriques  et  abéliennes  (7.  10,  40,  i2k,  219,  221). 

Bien  que  le  problème  de  l'intégration  des  équations  linéaires  soit  résolu 
dans  le  cas  général  par  l'emploi  de  nos  transcendantes  nouvelles,  ce  résultat 
laisse  subsister  tout  entier  l'intérêt  qui  s'attache  aux  cas  particuliers  où  l'inté- 
gration peut  se  faire  au  moyen  de  fonctions  plus  simples,  telles  que  les  fonc- 
tions algébriques,  elliptiques  et  abéliennes.  D'ailleurs  les  procédés  d'intégra- 
tion par  les  fonctions  algébriques  et  elliptiques  rentrent  facilement  dans  la 
méthode  générale  qui  comprend  ainsi  comme  cas  particuliers  les  procédés  déjà 


PREMIERK    PARTIE.    —    ÉQUATIONS   DIFFÉBENIIELLES.  XIX 

connus.  Il  en  résulte  que  cette  méthode  jette  quelque  lumière  sur  les  difficultés 
qui  se  rapportent  à  l'emploi  des  procédés  particuliers.  En  ce  qui  concerne  la 
recherche  des  cas  d'intégrabilité  algébrique,  le  premier  problème  à  résoudre 
était  de  former  les  groupes  d'ordre  fini  contenus  dans  le  groupe  linéaire.  Ce 
résultat  a  été  obtenu  par  M.  Jordan  il  y  a  quelques  années;  mais  je  ne  crois 
pas  que  ce  savant  ait  démontré  qu'à  tout  groupe  d'ordre  fini  correspond  une 
équation  linéaire  intégrable  algébriquement.  L'emploi  des  fonctions  fuchsiennes 
m'a  fait  voir  aisément  (40)  qu'à  tout  groupe  d'ordre  fini  correspond,  non 
pas  une,  mais  une  infinité  d'équations  dont  les  intégrales  sont  algébriques. 
Pénétrant  ensuite  plus  profondément  dans  la  question,  j'ai  cherché  à  quelles 
conditions  une  fonction  algébrique  dont  on  se  donne  le  groupe  de  Galois 
satisfait  à  une  équation  linéaire  d'ordre  p.  J'ai  trouvé  que  certains  déterminants 
dont  les  éléments  s'expriment  tantôt  à  l'aide  des  racines  de  l'unité,  tantôt  à 
l'aide  des  périodes  des  intégrales  abéliennes  de  première  espèce  correspondant 
à  la  fonction  algébrique  considérée,  devaient  être  nuls  à  la  fois.  D'autre  part, 
on  peut,  sauf  dans  certains  cas  exceptionnels,  trouver  un  système  fondamental 
d'intégrales  de  première  espèce,  tel  que  les  périodes  normales  de  l'une  quel- 
conque d'entre  elles  soient  des  fonctions  linéaires  à  coefficients  entiers  des 
périodes  normales  de  la  première.  Je  fus  ainsi  conduit  à  exprimer  la  condition 
cherchée  sous  la  forme  de  certaines  relations  entre  les  périodes  normales  des 
intégrales  de  première  espèce  qu'on  peut  former  avec  la  fonction  algébrique 
considérée. 

Au  contraire,  les  procédés  d'intégration  par  les  fonctions  abéliennes  ne  ren- 
trent pas  dans  la  méthode  générale.  On  y  est  conduit  en  cherchant  à  généra- 
liser les  méthodes  d'intégration  par  les  fonctions  elliptiques  (10).  On  sait  que 
la  théorie  des  fonctions  elliptiques  permet  de  calculer  les  intégrales  des  équa- 
tions linéaires  du  second  ordre  dans  trois  cas  entièrement  différents  : 

i"  Lorsque  les  coefficients  étant  rationnels,  il  y  a  trois  points  singuliers  tels 
que  la  différence  des  racines  des  trois  équations  déterminantes  soit  respec- 
tivement -  )  -  et  ^  1  ou  bien  - ,  -  et  , ,  ou  bien  encore  -  >  ^  et  -  : 

1     ■>        b  'i     4         1  3     3        3 

a°  Lorsque  les  coefficients  étant  rationnels,  il  y  a  quatre  points  singuliers 

tels  que  la  différence  des  racines  de  chaque  équation  déterminante  soit  ^  ; 

3°  Lorsque  les  coefficients  étant  doublement  périodiques,  les  intégrales 
n'offrent  d'autre  singularité  que  des  pôles. 


\X  AJtVLTSK    DES   TBATAUX    SCIENTIFIQUES    DE    HEMXl    POINCMtK    FAITK    PAU    Lll-MEME. 

M.  Appell  a  généralisé  le  troisième  cas  en  montrant  que,  lorsque  le  groupe 
de  l'équation  linéaire  se  réduit  à  un  faisceau,  la  dérivée  logarithmique  de  cer- 
taines intégrales  est  algébrique  et  que  l'intégration  peut  s'effectuer  par  les 
fonctions  abéliennes.  J'ai  voulu  de  même  généraliser  le  premier  et  le  second 
cas. 

Je  suis  arrivé  ainsi  à  une  infinité  d'équations  linéaires  du  troisième  ordre 
à  coefficients  algébriques  dont  les  intégrales  s'expriment  à  l'aide  des  fonctions 
abéliennes  de  deux  variables.  De  même,  les  fonctions  abéliennes  à  p  variables 
permettent  d'intégrer  une  infinité  d'équations  linéaires  d'ordre  p+i. 

J'ai  indiqué  ensuite  succinctement  les  principales  propriétés  des  groupes  de 
ces  équations. 

Je  me  suis  préoccupé  aussi  de  rechercher  des  cas  où  les  équations  non  linéaires 
sont  susceptibles  d'intégration  algébrique,  mais  je  me  suis  restreint  aux  équa- 
tions du  premier  ordre  et  du  premier  degré. 

La  voie  avait  été  ouverte  par  M.  Darboux.  Je  l'ai  suivie  à  mon  tour  dans 
deux  Mémoires  insérés  aux  Rendiconti  del  Circolo  Matemadco  di  Palermo  (219, 
221).  Le  problème  doit  se  poser  ainsi  :  étant  donnée  une  équation  différentielle, 
reconnaître,  par  un  nombre  fini  d'opérations,  si  elle  est  ou  non  intégrable  algé- 
briquement. Ce  problème  pourrait  évidemment  être  regardé  comme  résolu  si 
l'on  savait  déterminer  une  limite  supérieure  du  degré  de  l'intégrale  générale,  si 
on  la  suppose  algébrique. 

Après  avoir  donné  un  certain  nombre  de  relations  numériques  entre  le 
degré  de  l'intégrale  générale,  son  genre,  le  nombre  des  points  singuliers  des 
diverses  espèces,  le  nombre  des  valeurs  remarquables  pour  lesquelles  la  courbe 
algébrique  qui  représente  l'intégrale  générale  se  décompose  et  les  degrés  des 
composantes,  je  résous  le  problème  dans  un  cas  particulier,  celui  où  les  deux 
entiers  caractéristiques  relatifs  à  tous  les  cols  sont  égaux  à  i. 

Dans  le  cas  général,  je  n"ai  obtenu  que  des  résultats  partiels  ;  j'ai  par  exemple 
limité  le  nombre  des  valeurs  remarquables  pour  lesquelles  notre  courbe  se 
décompose  et  le  nombre  des  composantes;  mais  il  y  a  encore  deux  entiers  qui 
jouent  un  rôle  dans  le  problème  et  qui  restent  inconnus,  ce  qui  m'empêche 
de  limiter  le  degié,  sauf  dans  certains  cas  particuliers. 

Quand  on  veut  aller  plus  loin,  les  inégalités  algébriques  dont  je  me  suis 
servi  ne  peuvent  plus  suffire  et  les  difficultés  à  vaincre  sont  d'une  nature  pour 
ainsi  dire  arithmétique;  c'est  ce  que  je  montre  sur  un  exemple  simple  où  ces 
difficultés  peuvent  être  surmontées  grâce  à  l'emploi  des  fonctions  elliptiques. 


PRK.MILBE    PvnTIE.    —    ÉQUATIONS    DIFFERENTIELLES  \XI 

Je  termine  par  une  étude  de  ce  qui  se  passe  dans  le  voisinage  de  certains 
points  singuliers.  Dans  le  voisinage  d'un  nœud  quelconque,  on  peut  trouver 
deux  séries  infinies  X^  et  Xj  procédant  suivant  les  puissances  des  variables 
et  qui,  égalées  à  zéro,  fournissent  deux  solutions  particulières  de  l'équation 
différentielle.  On  voit  alors  que  l'intégrale  générale  si  elle  est  algébrique  se 
réduit  à  une  fonction  rationnelle  homogène  de  deux  puissances  entières  de  X) 
et  Xg.  Or  à  chaque  nœud  correspondra  une  semblable  expression  do  notre  inté- 
grale générale.  Si  nous  égalons  deux  de  ces  expressions,  la  discussion  de  l'éga- 
lité ainsi  obtenue,  discussion  où  s'introduisent  les  fonctions  fuchsiennes,  con- 
duit à  plusieurs  résultats  importants. 

V.  —  Courbes  définies  par  les  équations  différentielles 
1,3,  20,  23,  7i,  "a,  76,  77). 

Alors  même  qu'on  parviendrait  à  faire  pour  une  équation  quelconque  ce 
que  j'ai  fait  pour  les  équations  linéaires,  c'est-à-dire  à  trouver  des  dévelop- 
pements des  intégrales  valables  dans  toute  l'étendue  du  plan,  ce  ne  serait  pas 
une  raison  pour  laisser  de  côté  les  résultats  que  l'on  peut  obtenir  par  d'autres 
méthodes,  car  il  peut  arriver  que  ces  méthodes  nous  fassent  découvrir  certaines 
particularités  que  les  développements  ne  mettraient  pas  immédiatement  en 
évidence.  C'est  ce  qui  m'a  décidé  à  me  placer  à  un  point  de  vue  nouveau  et  je 
ne  saurais  mieux  le  faire  comprendre  qu'en  reproduisant  ce  que  j'écrivais  au 
moment  où  je  commençais  ces  recherches  (^)  : 

«  Il  est  donc  nécessaire  d'étudier  les  fonctions  définies  par  des  équations 
différentielles  en  elles-mêmes  et  sans  chercher  à  les  ramener  à  des  fonctions 
plus  simples,  ainsi  qu'on  a  fait  pour  les  fonctions  algébriques,  qu'on  avait 
cherché  à  ramener  à  des  radicaux  et  qu'on  étudie  maintenant  directement, 
ainsi  qu'on  a  fait  pour  les  intégrales  de  différentielles  algébriques,  qu'on  s'est 
efforcé  longtemps  d'exprimer  en  termes  finis. 

Rechercher  quelles  sont  les  propriétés  des  équations  différentielles  est  donc 
une  question  du  plus  haut  intérêt.  On  a  déjà  fait  un  premier  pas  dans  cette 
voie  en  étudiant  la  fonction  proposée  dans  le  voisinage  d'un  des  points  du  plan. 
Il  s'agit  aujourd'hui  d'aller  plus  loin  et  d'étudier  cette  fonction  dans  toute 

(*)  Journal  de  Liouville,  3^  série,  t.  VII. 


X\ll        VN\L1SI-:    IIES    lll.WVUX    SCIENTIKIOUKS    Ui:    IIICNHl    l■OI^CAItÉ    KVlTIi    l'AU    I.L  l-MÉME. 

l'étendue  du  plan.  Dans  cette  recherche,  notre  point  de  départ  sera  évidemment 
ce  que  l'on  sait  déjà  de  la  fonction  étudiée  dans  une  certaine  région  du  plan. 

L'étude  complète  d'une  fonction  comprend  deux  parties  :  i°  partie  qualita- 
tive (pour  ainsi  dire),  ou  étude  géométrique  de  la  courbe  définie  par  la  fonc- 
tion; 2°  partie  quantitative,  ou  calcul  numérique  des  valeurs  de  la  fonction. 

Ainsi,  par  exemple,  pour  étudier  une  équation  algébrique,  on  commence 
par  rechercher,  à  l'aide  du  théorème  de  Sturm,  quel  est  le  nombre  des  racines 
réelles  :  c'est  la  partie  qualitative;  puis  on  calcule  la  valeur  numérique  de  ces 
racines,  ce  qui  constitue  l'étude  quantitative  de  l'équation.  De  même,  pour 
étudier  une  courbe  algébrique,  on  commence  par  construire  cette  courbe, 
comme  on  dit  dans  les  cours  de  Mathématiques  spéciales,  c'est-à-dire  qu'on 
cherche  quelles  sont  les  branches  de  courbe  fermées,  les  branches  infinies,  etc. 
Après  cette  étude  qualitative  de  la  courbe,  on  peut  en  déterminer  exactement 
un  certain  nombre  de  points. 

C'est  naturellement  par  la  partie  qualitative  qu'on  doit  aborder  la  théorie 
de  toute  fonction  et  c'est  pourquoi  le  problème  qui  se  présente  en  premier  lieu 
est  le  suivant  :  Construire  les  courbes  définies  par  des  équations  différentielles. 

Cette  étude  qualitative,  quand  elle  sera  faite  complètement,  sera  de  la  plus 
grande  utilité  pour  le  calcul  numérique  de  la  fonction,  et  elle  y  conduira  d'au- 
tant plus  facilement  que  l'on  connaît  déjà  des  séries  convergentes  qui  repré- 
sentent la  fonction  cherchée  dans  une  certaine  région  du  plan,  et  que  la  princi- 
pale difficulté  qui  se  présente  est  de  trouver  un  guide  sûr  pour  passer  d'une 
région  où  la  fonction  est  représentée  par  une  série  à  une  autre  région  du  plan 
où  elle  est  exprimable  par  une  série  différente  (^). 

D'ailleurs  cette  étude  qualitative  aura  jiar  elle-même  lui  intérêt  de  pre- 
mier ordre.  Diverses  questions  fort  importantes  d'Analyse  et  de  Mécanique 
peuvent  en  effet  s'y  ramener.  Prenons,  par  exemple,  le  problème  des  trois 
corps  :  ne  peut-on  pas  se  demander  si  l'un  des  corps  restera  toujours  dans  une 
certaine  région  du  ciel  ou  bien  s'il  pourra  s'éloigner  indéfiniment;  si  la  dislance 
de  deux  corps  augmentera,  ou  diminuera  à  l'infini,  ou  bien  si  elle  restera  com- 
prise entre  certaines  limites  ?  Ne  peut-on  pas  se  poser  mille  questions  de  ce 
genre,  qui  seront  toutes  résolues  quand  on  saura  construire  qualitativement 
les  trajectoires  des  trois  corps  ?  Et,  si  l'on  considère  un  nombre  plus  grand  de 


(')   Ces  considérations  m'ont  eft'ectiveinfini  servi  ilc  fçiiiili'  lUins  des  rcelierches  relatives 
au  calcul  numérique  de  l;i  loiicCion   {'2'ij. 


PREMIÈRE    PARTIE.   —    ÉQUATIONS   DIFFÉRENTIELLES.  XXIII 

coi-ps,  qu'est-ce  que  la  question  de  l'invariabilité  des  éléments  des  planètes, 
sinon  une  véritable  question  de  géométrie  qualitative,  puisque  faire  voir  que  le 
grand  axe  n'a  pas  de  variations  séculaires,  c'est  montrer  qu'il  oscille  constam- 
ment entre  certaines  limites. 

Tel  est  le  vaste  champ  de  découvertes  qui  s'ouvre  devant  les  géomètres. 
Je  n'ai  pas  eu  la  prétention  de  le  parcourir  tout  entier,  mais  j'ai  voulu  du 
moins  en  franchir  les  frontières,  et  je  me  suis  restreint  à  un  cas  très  particulier, 
celui  qui  se  présente  d'abord  tout  naturellement,  c'est-à-dire  à  l'étude  des 
équations  différentielles  du  premier  ordre  et  du  premier  degré.  » 

Je  commençai  donc  mes  recherches  (3,  74)  par  l'étude  des  courbes  définies 
par  les  équations  différentielles  de  la  forme 

dx       dv 

'"  ir  =  T' 

où  X  et  Y  sont  des  polynômes  entiers  en  x  et  y,  et  je  reconnus  d'abord  que 
ces  courbes  pouvaient  présenter  la  forme  de  courbes  fermées  ou  celle  de  spi- 
rales. Je  démontrai  également  le  théorème  suivant  : 

Si  une  courbe  définie  par  une  équation  de  la  forme  (i)  na  pas  de  point  d'arrêt 
et  ne  coupe  aucune  courbe  algébrique  quen  un  nombre  fini  de  points  réels,  elle  est 
une  courbe  fermée. 

Pour  pousser  plus  loin  l'étude  de  la  forme  de  ces  courbes,  j'ai  dû  commencer 
pai-  rechercher  ce  qui  se  passe  dans  le  voisinage  d'un  point  singulier  quel- 
conque. En  réalité,  le  problème  était  résolu  par  les  travaux  antérieurs  de 
MM.  Briot  et  Bouquet  et  par  les  miens  {Journal  de  V  École  Polytechnique, 
XLV^  Cahier,  et  Thèse  inaugurale),  mais  j'avais  à  approprier  la  solution  à  mon 
nouveau  but;  dans  les  Mémoires  que  je  viens  de  citer,  et  où  je  me  plaçais  au 
point  de  vue  de  la  théorie  des  fonctions,  j'attachais  une  égale  importance  au 
réel  et  à  l'imaginaire.  Pour  mon  but  nouveau  de  géométrie  qualitative,  le  réel 
seul  m'intéressait  et  je  devais  faire  une  discussion  spéciale  qui  me  conduisit  à 
distinguer  quatre  sortes  de  points  singuliers  (sans  parler  de  points  singuliers 
plus  comphqués  qui  ne  se  présentent  que  dans  certains  cas  particuliers  et  qui 
peuvent  être  regardés  comme  composés  de  plusieurs  points  singuliers  simples 
confondus). 

J'ai  donné  à  ces  quatre  sortes  les  noms  suivants 


\XI\        V\Al.Y?r    IIFS    TIIWAIX    Sc:l|-\TU-IOl  RS    DE    lll'Nni    l'OINCAnf;    F^ITK    l'AH    II  l-ME.MK. 

1°  Les  cois,  par  lesquels  passent  deux  courbes  définies  par  l'équation  el  deux 
seulement; 

a°  Les  nœiulx.  <n\  viennent  se  croiser  une  infinité  de  courbes  définies  par 
l'équation; 

3°  Les  foyers,  autour  desquels  ces  courbes  tournent  en  s'en  rapprochant 
sans  cesse  à  la  façon  d'une  spirale  logarithmique; 

4°  Les  centres,  autour  desquels  ces  courbes  se  présentent  sous  la  forme  de 
cycles  fermés  s'enveloppant  uiulucllemenl  et  enveloppant  le  centre.  (On  ne 
rencontre  les  centres  que  dans  des  cas  très  exceptionnels.) 

.J'ai  étudié  ensuite  la  distribution  de  ces  divers  points  singuliers  dans  le 
[ilan.  J'ai  montré  ainsi  qu'il  y  en  avait  toujours  (à  distance  finie  ou  infinie) 
et  qu'il  y  avait  une  relation  simple  entre  les  nombres  des  cols,  des  foyers  el 
des  centres  et  que,  sur  la  courbe  X  =  o,  les  cols  et  les  nœuds  ou  foyers  se 
succédaient  alternativement. 

Ces  problèmes  résolus,  je  me  suis  occupé  des  contacts  que  peut  avoir  une 
courbe  algébrique  donnée  avec  les  courbes  définies  par  l'équation  (i)  et  j'ai  vu 
que,  dans  un  très  grand  nombre  de  cas,  il  existe  des  branches  de  courbes  fer- 
mées qui  ne  touchent  en  aucun  point  aucune  des  courbes  qui  satisfont  à  notre 
équation  différentielle.  Je  les  ai  appelées  cycles  sans  contact  (75). 

Il  est  facile  de  comprendre  l'importance  de  la  détermination  des  cycles  sans 
contact;  on  voit  aisément,  en  effet,  qu'une  courbe  définie  par  l'équation  (i) 
ne  peut  rencontrer  un  pareil  cycle  en  plus  d'un  point.  Si  donc  on  imagine  un 
point  mobile  décrivant  notre  courbe,  dès  qu'il  sera  sorti  d'un  cycle  sans  contact, 
il  n'y  pourra  plus  rentrer.  En  d'autres  termes,  si  ce  point  a  occupé  une  fois 
une  position  donnée,  il  ne  pourra  plus  jamais  y  revenir,  ni  même  revenir  dans 
le  voisinage  immédiat  de  cette  position.  Les  coordonnées  du  point  n'oscilleront 
pas  entre  certaines  limites  et  ne  pourront  être  représentées  par  des  séries  trigo- 
nométriques,  de  sorte  que,  si  l'on  voulait  appliquer  à  la  trajectoire  de  ce  point 
mobile  le  même  langage  qu'emploient  les  astronomes  pour  les  orbites  des  pla- 
nètes, il  faudrait  dire  que  l'orbite  de  ce  point  est  instable. 

Outre  les  cycles  sans  contact,  il  y  a  un  autre  genre  de  courbes  fermées  qui 
jouent  un  rôle  capital  dans  cette  théorie  :  ce  sont  les  cycles  limites.  J'appelle 
ainsi  les  courbes  fermées  qui  satisfont  à  notre  équation  différentielle  et  dont  les 
autres  courbes  définies  par  la  même  équation  se  rapprochent  asymptotiquement 
sans  jamais  les  atteindre.  Cette  seconde  notion  n'est  pas  moins  Importante  que 


PREMIÈRE  PARTIE.  —  ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES.  XXV 

la  première.  Supposons,  en  effet,  que  l'on  ait  tracé  un  cycle  limite;  il  est  clair 
que  le  point  mobile  dont  nous  parlions  plus  haut  ne  pourra  jamais  le  franchir 
et  qu'il  restera  toujours  à  l'intérieur  de  ce  cycle,  ou  toujours  à  l'extérieur.  Il 
est  vrai  que  les  cycles  limites  sont  en  général  des  courbes  transcendantes  qu'on 
ne  saurait  tracer  exactement.  Mais  on  peut  souvent  tracer  deux  courbes  algé- 
briques fermées,  concentriques  l'une  à  l'aulre,  déterminant  une  sorte  d'anneau, 
de  telle  façon  qu'on  peut  distinguer  dans  le  plan  trois  régions,  l'intérieur  de 
l'anneau,  la  région  annulaire  et  l'extérieur  de  l'anneau.  Supposons  que  l'on  ait 
démontré  d'une  manière  quelconque  que  le  cycle  limite  se  trouve  dans  la 
région  annulaire  ;  on  sera  certain  alors  que,  si  notre  point  mobile  est  à  l'inté- 
rieur de  l'anneau,  il  ne  pourra  jamais  aller  à  l'extérieur  de  cet  anneau.  On  peut 
donc,  malgré  Vinstabilité  de  ce  point  mobile,  assigner  des  limites  supérieures  à 
ses  coordonnées. 

Je  reconnus  ensuite  qu'on  pouvait  dans  tous  les  cas  sillonner  le  plan  par 
une  infinité  de  courbes  fermées,  s'enveloppant  mutuellement  et  rappelant  par 
leur  forme  et  leur  disposition  les  courbes  de  niveau  d'un  plan  topographique. 
Pour  poursuivre  cette  comparaison,  je  dirai  que,  dans  ce  plan  topographique, 
les  sommets  et  les  fonds  seraient  représentés  par  les  nœuds  et  les  foyers,  et  les 
cols  par  les  points  singuliers  que  j'ai  appelés  plus  haut  de  ce  nom.  Parmi  ces 
courbes  fermées,  les  unes  sont  des  cycles  sans  contact,  les  autres  sont  des  cycles 
limites.  A  part  ces  cycles  limites,  les  courbes  définies  par  notre  équation  diffé- 
rentielle sont  des  spirales  se  rapprochant  asymptotiquement  des  points  singu- 
liers et  des  cycles  limites. 

Après  avoir  démontré  que  le  nombre  des  cycles  limites  est  fini,  sauf  dans 
certains  cas  exceptionnels,  j'ai  donné  une  méthode  générale  pour  déterminer  ce 
nombre  et  pour  tracer  des  régions  annulaires  dans  lesquelles  se  trouve  un  cycle 
limite,  et  un  seul. 

A  la  fin  du  Mémoire,  j'ai  donné  plusieurs  exemples  d'applications  de  cette 
méthode.  Je  citerai  seulement  le  dernier  de  ces  exemples,  celui  de  l'équation 

da: dy 

—  y-\-x(x^-k-jr*  —  :i3;  —  3){x*-^y^  —  'iJC  —  S)  ~  x-hy{x^-hy^  —  -ix  —  i)(3[:^-hy' — -xx—S) 

J'ai  divisé  le  plan  en  quatre  régions,  limitées  par  les  trois  cercles  (^) 

(2)  x^-^-y^=\,        X» -t-_)'»  =  îx -4- 5,5,         x^-hy^=i6, 

(^)   De  telle  façon  que  la  première  région  soit  intérieure  au  premier  des  cercles  (2),  la 
deuxième  comprise  entre  le  premier  et  le  deuxième  de  ces  cercles,  la  troisième  comprise  entre 
le  deuxième  et  le  troisième,  et  la  quatrième  région  extérieure  au  troisième  cercle. 
H.  P.  -  I.  d 


SXVl      ANALYSE    DES  TRAVAUX    SCIENTIFIQUES   DE    HENRI    POINCABE    FAITIJ    PAU    LUI-MEME. 

qui  s'enveloppent  mutuellement.  De  ces  quatre  régions,  la  deuxième  et  la  troi- 
sième contiennent  un  cycle  limite  et  n'en  contiennent  qu'un,  les  deux  autres 
n'en  contiennent  pas.  Il  suit  de  là  que  si,  à  l'origine  des  temps,  notre  point 
mobile  est  à  l'intérieur  du  premier  des  cercles  (2),  il  ne  pourra  jamais  sortir  du 
second  et  que,  s'il  est  à  l'intérieur  du  second,  il  ne  pourra  jamais  sortir  du 
troisième. 

Il  y  a  un  cas  particulier  qui  mérite  de  fixer  l'attention,  bien  qu'il  ne  se  pré- 
sente que  très  exceptionnellement  :  c'est  celui  où  toutes  les  courbes  définies 
par  l'équation  (i)  sont  des  courbes  fermées  qui  s'enveloppent  mutuellement 
à  la  façon  des  courbes  de  niveau  d'un  plan  topographique.  C'est  là  le  seul  cas 
où,  pour  employer  de  nouveau  une  comparaison  empruntée  à  l'Astronomie,  le 
point  mobile  dont  il  a  été  question  plus  haut  a  une  orbite  stable.  C'est  le  seul 
cas,  en  effet,  où  l'on  ne  puisse  pas  sillonner  le  plan  de  cycles  sans  contact  (76). 

Pour  que  ce  cas  particulier  se  présente,  il  faut  une  infinité  de  conditions, 
et  l'on  pourrait  croire  d'abord  qu'il  est  impossible  de  reconnaître  si  elles  sont 
toutes  remplies  à  la  fois.  Cela  est,  au  contraire,  le  plus  souvent  très  facile,  et 
l'on  démontre  a  priori  que  ces  conditions  doivent  être  toutes  satisfaites,  dans 
un  certain  nombre  de  cas  et,  en  particulier,  quand  on  a 

d\        rfY  _ 

dx        dy 

J'ai  appliqué  ces  principes  à  une  équation  différentielle  rencontrée  par 
Delaunay  dans  la  théorie  de  la  Lune. 

J'abordai  ensuite  (20,  76)  l'étude  des  équations  du  premier  ordre  et  de  degré 
supérieur  de  la  forme  suivante  : 

(3)  F(x,^,g)  =  o, 

F  désignant  un  polynôme  entier  en  a;,  y  et -^-  Pour  étudier  plus  facilement 

cette  équation,  j'emploie  trois  variables  auxiliaires  E,  r,,  Ç,  liées  aux  variables 

primitives,  de  telle  façon  que  x,  y  cX.  ---  soient  des  fonctions  rationnelles  de  Ç, 

r/  et  Ç,  et  je  considère  ces  trois  variables  comme  les  coordonnées  d'un  point 
dans  l'espace.  L'équation  (3)  signifie  alors  que  ce  point  est  situé  sur  une  cer- 
taine surface  algébrique.  J'ai  soin  de  choisir  mes  nouvelles  variables,  de  telle 


PREMIÈRE    PARTIE.    —    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  XXVII 

façon  que  cette  surface  n'ait  pas  de  nappes  infinies  et  se  réduise  à  un  certain 
nombre  de  nappes  fermées.  J'envisage  en  particulier  une  de  ces  nappes,  que 
j'appelle  S.  Grâce  aux  conventions  faites,  par  chaque  point  non  singulier  de  S 
passera  une  courbe  définie  par  l'équation  (3)  et  une  seule.  Quant  aux  points 
singuliers,  ils  se  subdivisent  en  cols,  en  foyers,  en  nœuds  et  en  centres  et 
jouissent  des  mêmes  propriétés  que  les  points  que  j'ai  appelés  plus  haut  de  ces 
noms. 

Une  notion  qui  joue  ici  un  rôle  capital,  c'est  le  genre  de  la  nappe  S.  Je 
dirai  que  cette  nappe  est  de  genre  o,  si  elle  est  convexe  à  la  façon  d'une  sphère; 
de  genre  i,  si  elle  présente  un  trou  à  la  façon  d'un  tore;  de  genre  2,  si  elle  pré- 
sente deux  trous,  etc. 

J'ai  démontré  une  relation  très  simple  entre  le  genre  de  cette  nappe  et  le 
nombre  des  cols,  des  foyers  et  des  nœuds  qui  s'y  trouvent.  C'est  la  générali- 
sation d'une  relation  dont  j'ai  parlé  plus  haut  et  qui  s'applique  aux  équations 
du  premier  ordre  et  de  premier  degré. 

La  suite  de  la  discussion  est  d'ailleurs  tout  à  fait  la  même  que  pour  les 
courbes  définies  par  l'équation  (i),  c'est-à-dire  par  une  équation  du  premier 
degré.  La  nappe  S  est  sillonnée  d'une  infinité  de  courbes  fermées,  qui  sont  des 
cycles  sans  contact  ou  des  cycles  limites;  il  y  a  toutefois  une  différence  essen- 
tielle sur  laquelle  je  désirerais  appeler  l'attention.  Supposons,  par  exemple, 
que  la  nappe  S  soit  un  tore  et  qu'un  cercle  méridien  de  ce  tore  soit  un  cycle 
sans  contact;  contrairement  à  ce  que  nous  avons  remarqué  dans  le  cas  des 
équations  du  premier  degré,  rien  ne  s'oppose  à  ce  qu'une  courbe  définie  par 
notre  équation  différentielle  vienne  couper  ce  cercle  méridien  en  plusieurs  points 
et  même  en  une  infinité  de  points.  Si  cela  arrive  et  qu'un  point  mobile  décrive 
cette  courbe  en  partant  d'une  position  initiale  donnée,  il  finira  toujours  par 
revenir  dans  une  position  aussi  voisine  qu'on  le  voudra  de  cette  position  ini- 
tiale. On  pourra  donc  dire  que  ce  point  mobile  décrit  une  trajectoire  stable. 

Ainsi  la  stabilité  qui,  lorsqu'il  s'agissait  des  équations  du  premier  degré, 
ne  se  présentait  que  dans  des  cas  très  particuliers,  n'est  plus  une  exception 
quand  il  s'agit  d'équations  de  degré  supérieur. 

D'ailleurs  les  points,  en  nombre  infini,  où  le  point  mobile  vient  successi- 
vement rencontrer  le  cercle  méridien,  jouissent  d'une  propriété  arithmétique 
inattendue. 

Appelons  p.  un  certain  nombre  incommensurable;  appelons  M,  le  point  où 
le  point  mobile  vient  rencontrer  pour  la  i'^'"'  fois  le  cercle  méridien.  Cherchons 


XXVlll        VNAI.>SE    llICS    TRAVAIX    SCIENTIFIQUES    DE    HENRI    POINCARÉ    FAITE    l'AR    I.Ui-MKME. 

dans  quel  ordre  circulaire  ces  points  M;  se  rencontrent  sur  ce  cercle.  Cet  ordre 
sera  le  même  que  celui  des  nombres  ij.i  — E(,u.i). 

Passons  maintenant  (23,  77)  aux  équations  du  second  ordre,  que  j'écrirai 
sous  la  forme  suivante  : 
.  .  lix        dy        dz 

X,  Y  et  Z  désignant  des  polynômes  entiers  en  .t,  y  et  z,  et  les  variables  x,  y 
et  2  étant  regardées  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace.  Nous  pou- 
vons alors  étudier  les  courbes  qui  satisfont  à  ces  équations  et  que  j'appellerai 
les  courbes  C,  et  nous  verrons  que  par  chaque  point  de  l'espace  vient  passer 
une  courbe  C  et  une  seule,  si  toutefois  on  excepte  les  points  singuliers,  c'est-à- 
dire  les  points  d'intersection  des  trois  surfaces 

(5)  X  =  o,        Y  =  o,        Z  =  o. 

L'étude  de  ces  points  singuliers  s'imposait  tout  dabord,  Je  reconnus  qu'il 
y  en  a  de  quatre  sortes  (sans  parler  des  points  singuliers  qui  ne  se  rencontrent 
que  très  exceptionnellement,  par  exemple  les  centres)  : 

1°  Les  nœuds,  où  viennent  converger  toutes  celles  des  courbes  C  qui  passent 
assez  près  du  point  singulier; 

a°  Les  cols,  où  viennent  converger  une  infinité  de  ces  courbes  dont  l'en- 
semble forme  une  surface  et  où  passe,  en  outre,  une  autre  courbe  satisfaisant 
à  l'équation  et  non  située  sur  cette  surface; 

3°  Les  foyers,  où  passe  une  courbe  C  et  une  seule,  pendant  que  les  autres 
courbes  se  rapprochent  asymptotiquement  du  point  singulier  à  In  façon  des 
spirales  ; 

4°  Les  cols  foyers,  par  lesquels  jiasse  une  courbe  C  et  une  seule,  pendant 
qu'une  infinité  d'autres,  dont  l'ensemble  forme  une  surface,  se  rapprochent 
asymptotiquement  du  point  singulier. 

J'ai  étudié  également  le  cas  où  les  trois  surfaces  (5)  ont  une  courbe  com- 
mune qui  devient  alors  une  lif^ne  singulière.  J'ai  reconnu  que  les  différents 
points  d'une  ligne  singulière  ont  des  propriétés  analogues  à  celles  des  points 
singuliers  ordinaires  dont  nous  venons  de  parler. 

Dans  le  cas  des  équations  du  premier  ordre,  nous  avons  trouvé  une  rela- 
tion entre  les  nombres  des  points  singuliers  des  diverses  espèces.  Il  n'en  existe 


PREMIÈRE    PARTIK.    —    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  XXIX 

pas  de  pareille  pour  les  équations  du  second  ordre.  Une  analyse  approfondie 
montre  qu'il  doit  y  en  avoir  pour  toutes  les  équations  d'ordre  impair,  et  qu'au 
contraire,  les  équations  d'ordre  pair  n'en  possèdent  pas. 

Néanmoins  un  assez  grand  nombre  de  propriétés  des  équations  du  premier 
ordre  s'étendent  à  celles  du  second.  Les  surfaces  sans  contact  sont  tout  à 
fait  analogues  aux  cycles  sans  contact,  et  l'on  peut  démontrer  par  exemple, 
qu'à  l'intérieur  de  toute  surface  sans  contact  (si  elles  ne  sont  pas  triplement 
connexes)  il  y  a  toujours  des  points  singuliers. 

On  a  vu,  plus  haut,  que  c'est  l'étude  des  points  singuliers  des  équations 
du  premier  ordre  qui  nous  a  fait  connaître  les  principales  propriétés  des  courbes 
définies  par  ces  équations;  au  contraire,  la  théorie  des  points  singuliers  des 
équations  du  second  ordre  ne  saurait  suffire  à  elle  seule  pour  nous  faire  péné- 
trer aussi  profondément  dans  la  connaissance  des  courbes  C.  Il  faut  introduire, 
en  outre,  une  notion  nouvelle  qui  joue,  dans  une  certaine  mesure,  le  même  rôle 
que  les  points  singuliers.  Soient  C„  une  courbe  fermée  quelconque  satisfaisant 
à  notre  équation,  et  D  un  domaine  comprenant  tous  les  points  suffisamment 
voisins  de  C„  ;  nous  pouvons  étudier  la  forme  et  la  position  générale  des  courbes 
C  à  l'intérieur  de  ce  domaine.  On  reconnaîtra  ainsi,  indépendamment  d'un 
grand  nombre  de  cas  moins  importants,  quatre  cas  principaux,  qui  sont  les 
suivants  : 

i"  On  peut  faire  passer  par  la  courbe  C„  deux  surfaces  que  l'on  peut  sil- 
lonner par  une  infinité  de  courbes  C  satisfaisant  aux  équations  (4).  Les  autres 
courbes  C,  après  être  entrées  dans  le  douiainc  D  et  s'être  rapprochées  de  Cn, 
s'en  éloignent  ensuite  et  finissent  par  sortir  du  domaine.  Je  n'ai  rien  à  ajouter 
sur  ce  premier  cas,  qui  nous  apprend  peu  de  chose  sur  les  ])ropriétés  de  nos 
courbes. 

2°  On  peut  construire  une  surface  S  présentant  une  forme  annulaire  ana- 
logue à  celle  du  tore,  et  à  l'intérieur  de  laquelle  se  trouve  la  courbe  Co,  de  la 
même  façon  que  le  cercle,  lieu  des  centres  des  cercles  méridiens,  se  trouve  à 
l'intérieur  d'un  tore.  De  plus,  cette  surface  S  n'est  tangente  en  aucun  point,  à 
aucune  des  courbes  C  :  c'est  une  surface  sans  contact.  Considérons  un  point 
mobile  décrivant  une  courbe  C  ;  dès  qu'il  sera  sorti  de  la  surface  S,  il  n'y  pourra 
plus  rentrer;  nous  avons  donc  instabilité,  et  cela  semble  être  ici  le  cas  général. 

3°  On  peut  construire  une  surface  S  analogue  à  celle  dont  nous  venons 
de  parler;  mais  elle  ne  sera  pas  une  surface  sans  contact,  elle  sera  au  contraire 


\X\        ANALYSE    DES   TRAVAUX   SCIENTIFIQUES    DE    HEr<RI    POINCAllK    FAITE    PAR    LUI-MEME. 

sillonnée  par  une  infinité  de  courbes  C.  Alors,  si  notre  point  mobile  est  situé 
sur  la  surface  S,  il  y  restera  toujours;  de  plus,  s'il  part  d'une  position  initiale 
quelconque,  il  finira  toujours  par  revenir  aussi  près  que  l'on  veut  de  cette  posi- 
tion. Son  orbite  est  donc  stable. 

4°  Dans  le  quatrième  cas  enfin,  le  point  mobile  peut  aller  aussi  près  que 
l'on  veut  d'un  point  quelconque  du  domaine  D  et,  s'il  part  d'une  position  ini- 
tiale donnée,  il  finira  toujours  par  revenir  aussi  près  que  l'on  veut  de  cette 
position.  Dans  ce  sens,  il  y  a  donc  stabilité,  et  la  démonstration  de  cette  stabi- 
lité serait  complète,  si  l'on  savait  assigner  des  limites  aux  coordonnées  du 
point  mobile. 

Malheureusement,  mes  méthodes  ne  me  permettent  presque  jamais  de  distin- 
guer le  troisième  cas  du  quatrième,  ni,  dans  le  quatrième,  de  trouver  les  limites 
entre  lesquelles  les  coordonnées  du  point  mobile  restent  comprises.  C'est  là  une 
lacune  importante  que  jusqu'ici  j'ai  vainement  essayé  de  combler. 

Ce  troisième  et  ce  quatrième  cas  ne  se  présentent  que  si  X,  Y  et  Z  satisfont 
à  une  infinité  de  conditions,  de  sorte  qu'ils  semblent  d'abord  très  exceptionnels. 
Ils  ont  néanmoins  une  grande  importance  pratique.  On  peut  d'ailleurs  démon- 
trer qu'ils  se  présenteront  toujours  si  le  dernier  multiplicateur  M,   défini  par 

l'équation 

</(MX)        rf(MY)        d(MZi 

=  o, 


dx  dy  dz 

esl  toujours  uniforme  et  positif  dans  le  domaine  considéré.  Or,  cette  circons- 
tance se  rencontre  précisément  dans  la  plupart  des  applications. 

Pour  étendre  les  résultats  précédents  aux  équations  d'ordre  supéricni-  nu 
second,  il  faut  renoncer  à  la  représentation  géométrique  qui  nous  a  été  si  com- 
mode, à  moins  d'employer  le  langage  de  l'hypergéométrie  à  n  dimensions.  Mais 
ce  langage  est  si  peu  familier  à  la  plupart  des  géomètres  qu'on  perdrait  ainsi  les 
principaux  avantages  que  l'on  peut  attendre  de  la  représentation  en  question. 
Les  résultats  n'en  subsistent  pas  moins,  et  l'on  retrouve  les  quatre  cas  dont 
nous  avons  parlé  plus  haut.  Ce  qu'il  y  a  de  remarquable,  c'est  que  le  troisième 
et  le  quatrième  cas,  c'est-à-dire  ceux  qui  correspondent  à  la  stabilité,  se  ren- 
contrent précisément  dans  les  équations  générales  de  la  Dynamique.  Cette 
circonstance  doit  nous  faire  d'autant  plus  désirer  de  voir  se  combler  la  lacune 
que  j'ai  signalée  plus  haut. 

Pour  aller  plus  loin,  il  me  fallait  créer  un  instrument  destiné  à  remplacer 


PREMIÈRE    PARTIE.    —    ÉQUATIONS    DIf FÉRENTIELLES.  XXXI 

l'instrument  géométrique  qui  me  faisait  défaut  quand  je  voulais  pénétrer  dans 
l'espace  à  plus  de  trois  dimensions.  C'est  la  principale  raison  qui  m'a  engagé 
à  aborder  l'étude  de  l'Analysis  situs;  mes  travaux  à  ce  sujet  seront  exposés 
plus  loin  dans  un  paragraphe  spécial. 

J'ai  poursuivi  ensuite  mes  recherches  sur  les  courbes  définies  par  les  équa- 
tions différentielles,  mais  les  résultats  nouveaux  que  j'ai  obtenus  se  rapportant 
avant  tout  à  la  Mécanique  céleste  seront  exposés  dans  la  quatrième  Partie  de 
cette  Notice  {^). 


(')  Les  autres  parties  de  cette  Analyse,  faite  par  H.  Poincaré,  précéderont,  dans  les  volumes 
suivants  des  Œuvres  de  H.  Poincaré,  l'ensemble  des  Mémoires  qui  y  correspondent. 

J.   D. 


WXII       ANAI.YSi:    DKS   THAVAUX    SCIENTIFIQUES    DE    HKNni    l'OlNCARK    FAITIÎ    PAR    LUI-MICME. 

BIBLIOGRAPHIE    DE   LA    PREMIÈRE    PARTIE    : 

KQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES 
de  lAnalyse  des  Travaux  scientifiques  de  Henri  Poincaré,  faite  par  lui  même. 


I.  —  Généralités. 

64.  Sur  les  propriétés  des  fonctions  définies  par  des  équations  aux  différences  par- 
tielles (T/îè.tc  inaugurale,  Paris,  Gauthier-Viilars,   iSyo)- 

78.   Note  sur  les  propriétés  des  fonctions  définies  par  les  équations  différentielles 
{Journal  de  VKcole  Poli/technique,  XLV«  Cahier,  1878,  p.    18-26). 

83.   Sur   les    équations    linéaires    aux   différentielles    ordinaires    et    aux   différences 
finies  {American  Journal  of  Matltematics,  vol.  VIT,  n°  3,  i885,  56  pages). 

57.  Sur  les  intégrales  irrégulières  des  équations  linéaires  {Comptes  rendus  des  séances 
de  V Académie  des  Sciences,  9  et  16  novembre  i885). 

73.  Sur  les  intégrales  irrégulières  des  équations  linéaires  {Acta  mathematica,  t.  VIII, 
1786,   p.  295-3''t'i). 

182.  Remarques  sur  les  intégrales  irrégulières  des  équations    linéaires   (réponse  à 
M.  Thomé)  {Acta  mathematica,  t.  10). 

278.  Les  méthodes  noucelles  de  la  mécanique  céleste,  t.  I,  chap.  II  (Paris,  Gauthier- 
Viilars,  1892). 

II.    —    Fonctions  fuchsiennes. 

6.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Comptes  rendus  des  séances  de  V Académie  des 
Sciences,    14  et  21  février  1881). 

9.  Sur  une  nouvelle  application  et  quelques  propriétés  importantes  des  fonctions 
fuchsiennes  {Ibid.,  4   avril    1881). 

11.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  18  avril  1881). 

13.   Sur  les  fondions  fuchsiennes  {Ibid.,  28  et  3o  mai  1881). 

1.5.   Sur  les  fonctions  fuchsiennes  (Ibid.,  27  juin  1881). 

16.  Sur  les  groupes  kleinéens  {Ibid.,  11  juillet  1881). 


PREMIÈRE    PARTIE.    —    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  XXXUI 

17.  Sur  une  fonction  analogue  aux  fonctions  modulaires  (Ibid.,  i8  juillet  1881). 

18.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  8  août  1881). 

19.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  17  octobre  1881). 
22.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  23  janvier  1882). 

25.  Sur  les  groupes  discontinus  {Ibid.,  27  mars  1882). 

26.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  10  avril  1882). 

27.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  2]   avril   1882). 

28.  Sur  une  classe  d'invariants  relatifs  aux  équations  linéaires  {Ibid.,  22  mai  1882). 
30.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  9  octobre   1882). 

34.  Sur  les  groupes  des  équations  linéaires  {Ibid.,    12  mars  i883). 

36.  Sur  les  groupes  des  équations  linéaires  {Ibid.,  3o  avril  i883). 

37.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Ibid.,  21  mai  i883). 

59.   Sur  la  transformation  des  fonctions  fuchsiennes  et  la  réduction  des  intégrales 
abéliennes  {Ibid.,  4  janvier  1886). 

61.  Sur  les  fonctions  fuchsiennes  et  les  formes  quadratiques  ternaires  indéfinies 
{Ibid.,  29  mars  1886). 

65.  Théorie  des  groupes  fuchsiens  {Acta  matheinatica,  t.  I,  1882,  p.   1-62). 

66.  Mémoire  sur  les  fonctions  fuchsiennes  {Acta  mathematica,  t.  I,  i883,  p.  193-294)- 

68.  Mémoire  sur  les  groupes  kleinéens   {Acta  mathematica,  t.   lU,  i883,  p.  49-92), 

69.  Sur  les  groupes  des  équations  linéaires  {Acta  mathematica,  t.  IV,   i884,  p.  201- 

3l2). 

70.  Mémoire    sur   les   fonctions    zêtafuchsiennes    {Acta   mathematica,    t.    V,    i884, 

p.  209-278). 

101.  Sur  les  fonctions  uniformes  qui  se  reproduisent  par  des  substitutions  linéaires 
{Mathematische  Amialen,  Bd  XXX,  1882,  p.  553-564;  Bd  XX,  1882,  p.  52-53). 

104.  Mémoire  pour  le  concours  du  Grand  Prix  des  Sciences  mathématiques,    1880. 

«  Perfectionner  en  quelque  point  important  la  théorie  des  équations  différen- 
tielles linéaires  à  une  seule  variable  indépendante.  » 

Ce   Mémoire,    qui   a   obtenu  une  mention   très   honorable,   n'a   pas   été 
publié  sous  sa  forme  primitive. 

174.  Les  fonctions  fuchsiennes  et  l'équation  Au  =  e"  {Comptes  rendus  des  séances  de 
V Académie  des  Sciences,  t.  76,  1898,  p.  627). 
H.  P.  —  I.  e 


\XXIV      ANALYSE    DES  TIIAVAUS   SCIENTIFIQUES  DE   HENRI   POINCARE   FAITE   PAR   LUI-MEME. 

191.  Les  fonctions  fuchsiennes  et  l'Arithmétique  {Journal  de  Mathématiques    pures 
et  appliquées  [Journal  de  Liouville],  4^  série,  1887). 

197.  Les   fonctions   fuchsiennes   et  l'équation  Au  =  e"   {Journal  de   Mathématiques 
pures  cl  appliquées,  5^  série,  t.  IV,  1898). 


in.  —  Équations  non  linéaires. 

24.  Sur  l'intégration  des  équations  différentielles  par  les  séries  (Comptes  rendus  des 
séances  de  l' Académie  des  Sciences,  27  février  1882). 

4S.  Sur  un  théorème  de  M.  Fuchs   {Comptes  rendus  des  séances  de  V Académie  des 
Sciences,  i5  juillet  188/4). 

71.   Sur  un  théorème  de  M.  Fuchs  {Acta  mathematica,  t.  VII,  i885,  p.  i-32). 


IV.  —   Intégration   des   équations 

PAR    LES    FONCTIONS    ALGÉBRIQUES    ET    ABÉLIENNES. 

7.  Sur   les   équations   différentielles   linéaires   à   intégrales    algébriques    {Comptes 
rendus  des  séances  de  l'Académie  des  Sciences,  21   mars  i88i). 

10.  Sur  l'intégration  des  équations  linéaires  par  le  moyen  des  fonctions  abéliennes 
{Comptes  rendus  des  séances  de  V Académie  des  Sciences,  11  avril  1881). 

40.  Sur    l'intégration    algébrique    des    équations    linéaires    (  Comptes    rendus    des 
séances  de  V Académie  des  Sciences,  5  et  26  novembre  i883). 

124.  Sur  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles   {Comptes  rendus   des 
séances  de  l'Académie  des  Sciences,   i3  avril  1891). 

219.  Sur  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre  et 
du  premier  degré  {Rendiconli  del  Circolo  Matemalico  di  Palermo,  t.  5). 

221.   Sur  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre  et 
du  premier  degré  {Rendiconti  del  Circolo  Matematico  di  Palermo,  t.  11). 


V.  —  Courbes  définies  par  les  équations  différentielles. 

3.  Sur  les  courbes  définies  par  une  équation  différentielle  {Comptes  rendus  des 
séances  de  l'Académie  des  Sciences,  22  mars  i88o). 

20.  Sur  les  courbes  définies  par  les  équations  différentielles  {Comptes  rendus  des 
séances  de  l'Académie  des  Sciences,  5  décembre  1881). 

23.   Sur  les  points  singuliers  des  équations  différentielles  {Comptes  rendus  des  séances 
de  V Académie  des  Sciences,  i3  février  1882). 


PREMIERE    PARTIE.    —    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES.  XXXV 

74.  Mémoire    sur   les   courbes    définies    par   une    équation    différentielle    (première 

Partie)  [Journal  de  Mathématiques  pures  et  appliquées,  3^  série,  t.  VII,  p.  370- 
422,  novembre  et  décembre  1881). 

75.  Id.  (deuxième  Partie)  (même  recueil,  3^  série,  t.  VIII,   août  1882,  p.  251-296), 

76.  Id.  (troisième  Partie)  (même  recueil,  4^  série,  t.  I,  1880,  p.  i67-244)- 

77.  Id.  (quatrième  Partie)  (même  recueil,  4®  série,  t.  II,  1886,  p.  151-217). 


NOTE 


LES  PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES 


LES  ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES. 


(Journal  de  l'École  Polyteclinique^  45'  Cahier,  1878,  p.  i3  26  ) 


MM.  Briot  el  Bouquet  ont  étudié  les  propriétés  des  fonctions  définies  par  les 
équations  dilTérentielles.  Us  ont  démontré  que,  quand  le  coefficient  diflerentiel 
est  fonction  holomorplie  de  y  et  de  x,  l'équation  admet  une  intégrale  y  fonc- 
tion holomorphe  de  x.  Ils  ont  examiné  ensuite  ce  qui  se  passe  quand  le  coeffi- 
cient différentiel  cesse  d'être  fonction  holomorphe  de  x  et  de  y.  et  ils  ont  fait 
voir  qu'il  pouvait  se  présenter  deux  cas  : 

I 

\° y  est  fonction  holomorphe  de  x  ou  de  x",  n  étant  un  nombre  entier  quel- 
conque; 

2"  y  est  une  fonction  présentant  des  singularités  plus  complexes.  Dans  ce 
cas,  l'équation  difTérenlielle  peut  se  ramener  à  l'une  des  trois  formes 

pour         x  =  o,         y  =  o, 
»  jc  =  o,         y  =  o, 


"£=/("'-'-^' 

x£=f(.,yu 

df    ^ 

dy  '  °' 

('y 

^"'£=-^^^'-^^' 

oùf(x,  y)  est  holomorphe  en  x  et  en^'.  C'est  la  première  de  ces  formes  qui  se 
présentera  si  l'équation  didérenlielle  donnée,  étant  algébrique,  est  la  plus 
générale  de  son  degré. 


SUR    LES    PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.       XXXVII 

C'est  celle  aussi  que  MM.  Briot  et  Bouquet  ont  étudiée  plus  particulière- 
ment, et  c'est  à  elle  que  se  bornera  la  présente  étude. 
MM.  Briot  et  Bouquet  ont  démontré  que  : 

1°    Si  -j-j  pour  a:=j-  =  o,  n'est  pas  entier  positif,   l'équation  admet  une 

intégrale  holomorphe  s'évanouissant  avec  x; 

2°  Si -7^)  pour  :r  =y  :=  o,  est  commensurable  et  positif,  mais  non  entier, 

1 
l'équation  admet  une  infinité  d'intégrales  holomorphes  en  x"\  m  étant  le  déno- 

j    df 
minateur  de  -r-  : 

3°  Si  -j-,  pour  :r=j'  =  o,  a  sa  partie  réelle  négative,  l'équation  n'admet 
pas  d'autre  intégrale  s'évanouissant  avec  x  que  l'intégrale  holomorphe; 

4°  Si  -^  ,  pour  X  =y  =  o,  a  sa  partie  réelle  positive,  l'équation  admet,  outre 
l'intégrale  holomorphe,  une  infinité  d'intégrales  non  holomorphes  s'évanouis- 
sant avec  X. 

Mais  ces  géomètres  ont  laissé  de  côté  l'étude  de  ces  intégrales  non  holo- 
morphes; nous  démontrons,  au  sujet  de  ces  intégrales  : 

1°  Que,  si  -^  =  À  pour  j;  =  j-  =  o,  elles  sont  holomorphes  en  x  et  x^  si  X 
ay 

n'est  pas  entier  positif  et  a  sa  partie  réelle  positive; 

2°  Que,  si  -~  pour  x  =y  =  o,  est  entier  positif,  elles  sont  holomorphes  eux 
et  xhx. 

Dans  quels  cas  une  fonction  )',  définie  par  une  équation  différentielle  de  la 
forme 

(»  xg=/(x,^), 

où  /  est  une  fonction  holomorphe  de  x  et  de  y  dans  les  environs  de  x  ^  o, 
y  =  o,  peut-elle  se  représenter  dans  les  environs  de  a;  =  o  par  une  série  à 
double  entrée  convergente,  suivant  les  puissances  croissantes  de  x  et  de  x"^, 
où  X  est  un  nombre  quelconque  réel  ou  imaginaire? 

Supposons  que  cela  soit  possible,  et  voyons  quels  devront  être  les  coeffi- 
cients de  la  série.  On  aura 

/  =  <p(jr,  z),         z  -  x'f-. 


WWllI       SIR    LES    PROPRIETES    DES    FONCTIONS    DÉFINIES    POU    LES   EQl'ATIONS  DIFFERENTIELLES. 

OÙ  )-  est  une  fonction  lioloniorplie  de  j;  el  de  3  dans  les  environs  de  :r  ^  o 

et  ;  =  o. 

Remplaçons,   dans  l'équation  (i),    )-   par   sa    valeur  <f(a:,   ;)  et  -j-   par  sa 

,  d-3         dz  do         dts         -,     -.    ,  do 

valeur  -^  +  — -  -ï  ou  -p-  +  kx'^-'  -f-, 
dx        dx  dz         dx  dz 

dy  d<a        ,      d'i 

dx  dx  dz 

DifTérentions  ensuite  l'équation  (i)  ainsi  transformée  un  nomlire  quelconque 
de  fois  par  rapport  à  .r,  un  nombre  quelconque  de  fois  par  rapport  à  :  ;  nous 
aurons  la  série  d'équations 


""dx-- 

-+-X^ 

d'y 

'  dx  dz 

-H 

dy 
dx 

_  df      df  dr 
dx        dy  dx' 

d^Y 
dx  dz 

+  Xi 

d^y 
'  dz^ 

+  > 

dy 
'  dz 

^df 

-  dy 

dv 
dz' 

a^y 

dx^ 

+  X; 

d\r 

'  dx"  dz 

H-  ■} 

d^y 
dx-' 

dx''- 

^^dy     d\f 
dx  dy  dx 

d'-f  dy''- 

dy^  dx- 

+ 

d\v 
dx^ 

df 

dy' 

Voyons  la  composition  de  l'équation  obtenue  par  m  difl'érentiations  par  rap- 
port k  X  el  n  par  rapport  à  ;  : 

1°  Je  dis  c|ue  le  premier  membre  sera 

X  -r—- i^ riz  -j r—^, h  (m  +  ni)  -, /—  • 

d"'-^^xd"z  d"'xd"+'z       ^  '  d"'xd"z 

En  efl'et,  si  cela  est  vrai  pour  les  entiers  /?î,  /i,  ce  sera  vrai  aussi  pour  les 
entiers  m  +  i,  w,  ou  pour  n  +  i,  m.  DifTérentions  en  effet  l'expression  précé- 
dente successivement  par  rapport  à  a;  et  par  rapport  à  ;;  nous  aurons 

X  -T r—         -r-  X  z  —, ; r^ h  (  »î  +  I  -H  n  X  )  —, f—  > 

d'"-^^xd"z  d"'+^xd''+'z       ^  '  d"'+'xd"z 

X  -, ~-. 1-  X  Z  -; -, — =^        +  (  »l  +  X  +  n  X  )  -; ,     \     . 

d"-i-i  X  d^+i  z  d"'xd''-*-^z  ^  'd'"xd"+>z 

2°  Je  dis  que  le  second  membre  sera  formé  d'une  somme  de  produits  ayant 
pour  facteurs  :  i"  un  coefficient  constant  positif;  2°  une  dérivée  partielle  dey 

par  rapport  à  a;  et  à  r;  3°  différents  facteurs  delà  forme  -; rs->  où  a£/n,  £)<n. 

r  rr  ./   '  d'^xdpz  -      '  i^- 

De  plus,  -; f—  n'entre  que  dans  un  terme  où  il  est  multiplié  par  -;-• 

■         '  d"'xd'^z  '  *^        ^       dy 


Sun    LES    PnOPHlÉTÉS    DES   FO^•CTIO^'S    DÉFlNrES    PAR    LES    KQIIATIONS    DIFFÉHEKTIELLES.         XXXIX 

En  effet,  il  est  facile  de  faire  voir,  par  une  simple  différentiation  par  rap- 
port à  X,  que,  si  cela  est  vrai  pour  les  entiers  m,  n,  cela  est  vrai  encore  pour 
les  entiers  m  +  i ,  «et  m,  n-\-i. 

Cela  posé,  voyons  comment  nous  pourrons  déterminer  les  coefficients  suc- 

cessiis -; f—- 

1 .2. . .  m  1 .1. . .  n  a"'.ca''z 

Remarquons  que  .x  et  z  sont  nuls;  le  premier  membre  de  chaque  équation 

se    réduira    à  -; -j—  (m+;A);    la    seconde    équation    deviendra    1=:^-^, 

-r-  pouvant  d'ailleurs  prendre  une  valeur  quelconque. 

r,.     ,,  r    .  ,  d"'+"V     fif     .  .  ■  ,  1     •       • 

51  1  on  tait  passer  le  terme  -, p—  -^  dans  le   premier  membre,   celui-ci 

«^  d"'xd''z  dy  <:  ' 

devient -J-; — ■——  [m -'r  {n  —  i)  A],  et  le  second  ne  contient  plus  que  des  termes 

€4-       X  d     Z 

en  — — -^)  où  a  ■<  w,  (3  <^  «.  On  peut  donc  calculer  successivement  chacune 
des  dérivées  partielles  de  y. 

1°  ,^^  •'^ _  est  égal  à  une  somme  de  produits  ayant  pour  facteurs  :  i°  un 
coefficient  positif  ;  2"  diverses  dérivées  partielles  de/;  3°  un  produit  de  termes 
de  la  forme tt-j  où  a  =:  o,  i  ,  2,  . . .,  m,  ^  ^ —  1,0,  i,  2,  . . . ,  n  —  t. 

En  effet,   on  voit  facilement  que,   si  cela   est  vrai  pour  toutes  les   valeurs 

ae  -j- — TT  '  où  a<m,  3£«,  sauf  pour  -— — j--,  en  remplaçant  dans  l'équation 
d^x  dfiz  ,  I    _      ;  j  d"'3:  d"z  '       '  ^ 

qui   donne  cette   dérivée   toutes  les  dérivées   connues    par   leurs  valeurs,   on 
obtiendra  une  expression  de  même  forme. 


2"  Le  facteur     _.  ne  peut  entrer  dans  aucun  des  produits  à  une  puissance 


.   tn 
supérieure  a  — ■ 


En  effet,  nous  avons  vu  que  le  second  membre  de  ces  équations  se  réduit  à 

"         \d^xd'?zj  dlxd^y' 

où  P  représente  un  produit  de  plusieurs  facteurs  de  même  forme. 

Si  l'on  différentie  cette  expression  par  rapport  à  x,  on  obtiendra  différents 
termes.  Dans  chacun  d'eux,  ou  bien  l'un  des  a  sera  augmenté  d'une  unité,  ou 
bien  y  sera  augmenté  d'une  unité,  ou  bien  0  augmentera  d'une  unité,  et  l'on 


XL      Sln    LES    PKOPUIKTÉS   DES    FONCTIONS   DÉFINIES    PAR    LES   ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES. 

multipliera  par  -j-  •  Si  l'on  diflerenlie  par  rapport  à  ;,  aucun  des  a  ne  variera. 

Donc  l'expression  y  +  ïa  augmentera  d'une  unité  quand  on  différentiera  par 
rapport  à  x,  ne  changera  pas  dans  les  différenliutions  par  rapport  à  z.  Donc 

Supposons  que  la  puissance  à  laquelle  entre  le  facteur soit  plus  petite 

que  -  pour  toutes  les  valeurs  de  a  plus  petites  que  w,  et  remplaçons  ces  déri- 

vées  connues  par   leurs  valeurs    dans   l'expression  de  -; r—  >  comme  nous 

'  i-  d"'xd"z 

lavons  dit  plus  haut.  Le  terme r-  sera  à  une  puissance  plus  petite  que  — 


a  —  X 
m 
a 


et,  a  fortiori,  plus  petite  que  —  c.   q.   f.   d. 

Voyons  maintenant  dans  quels  cas  la  série  est  convergente,  et,  pour  cela, 
remarquons  que  chaque  terme  de  la  série  est  formé  d'une  somme  de  produits. 
Considérons  chacun  de  ces  produits  comme  formant  un  terme  de  la  série,  et 
démontrons  que  le  tableau  des  modules  de  la  série  ainsi  constituée  est  con- 
vergent. 

Premier  cas.  —  Soit  l'équation 

^  ^,  =  ao  +  po.r  + 


ï)(-0 


où  a„  et  p„  sont  choisis  de  telle  sorte  que,  pour  x  ^y  =  o,  le  second  membre 

s  annule  et  que  A  =  -r-  =  ->   P  étant  un  nombre  entier. 
^  dy       p     '^ 

Les  dérivées  partielles  du  second  membre  sont  Ictules  positives.  Il  en  est  de 
même  des  termes r^j  où  a  est  nul  ou  positif  et  S  >  —  i . 

a  -H  (3  A  '  ' 

Donc  tous  les  termes  de  la  série  sont  positifs.  Si  donc  on  démontre  que  les 
termes  arranges  d'une  certaine  manière  forment  une  série  convergente,  il  en 
sera  de  même  du  tableau  des  modules  des  termes  de  la  série. 

Or,  comme  ),=  -,  en  posant  x  =  :P,  on  a  une  équation  de  même  forme, 

où  ).  =  I  et  où,  par  conséquent,  comme  l'ont  fait  voir  MM.  Briot  et  Bouquet, 
y  est  développable  en  série  convergente  suivant  les  puissances  de  ;,  c'est-à-dire 

àexP. 


SLR   LES    PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.      \LI 

Donc,  dans  ce  cas,  la  série  est  toujours  convergente,  car  elle  l'est  lorsqu'on 
range  les  termes  de  façon  que  rii  -+-  nX  aille  toujours  en  croissant. 

Deuxième  cas.  —  Supposons  le  cas  général;  seulement  la  partie  réelle  Je  X 
est  positive, 

"^=-^('^'^)- 

On  peut  toujours  choisir  ).'  :—  —  de  façon  que  la  partie  réelle  de  X  soit  plus 
grande  que  À'. 

Considérons  maintenant  une  équation  de  la  forme  examinée  dans  le  cas  pré- 
cédent, où  X  soit  égal  à  la  valeur  de  X',  que  nous  venons  de  choisir,  où  M  est  le 
plus  grand  module  que  puisse  acquérir/ quand  le  module  de  x  reste  plus  petit 
que  R  et  celui  de  j-  plus  petit  que  R'.  La  série  relative  à  cette  seconde  équation 
aura  son  tableau  des  modules  convergent. 

Pour  passer  de  cette  série  à  celle  qui  est  relative  à  l'équation  donnée,  il  suffit 
de  multiplier  chiujiie  terme  : 

1°  Par  le  rapport  des  dérivées  partielles  de/ à  celles  du  second  membre  de  la 
seconde  équation,  rapport  toujours  plus  petit  que   i,  puisque  chaque  dérivée 

INI 

de /est  plus  petite  que  la  dérivée  correspondante  de ■ — -; 

a"  Par  le  rapport  ^.,„,^.„x-: 

T„  T»       1  pi'oduit  des  a-(- B).'        ,  ...  , 

6    Par  le  rapport  - — r—- — i Rv  >  on  nous  ne  considérons,  pour  le  moment, 

rr         produit  des  a +3a  '• 

que  les  termes  où  3  est  positif.  La  partie  réelle  de  a  +  pX'  est  plus  petite  que 

celle  de  a  +  pX  par  hypothèse;  de  plus,  x  -\-^V  est  réel;  donc 

mod.a  +  pX'<  mod.ï  ■+-  [IX. 

Donc  le  rapport  considéré  est  plus  petit  que  i. 

,     ,.       ,  produit  des  a — •  X' 

A"  Par  le  rapport  - — ^-^ — 3 r-  • 

^  ^'^         produit  des  a  —  X 

D'abord,  comme  x — X'  est  réel  et  que  sa  partie  réelle  est  plus  grande  que 
celle  de  a  —  X,  on  peut  toujours  prendre  a  assez  grand  pour  que  le  module 

de  ^  soit  plus  grand  que  i . 

Par  conséquent,  le  rapport  considéré  peut  être  représenté,  à  moins  que  X  ne 
H.  P.  -  I.  / 


\L11      <IU    l.KS    PUOI'RIÉTKS   DBS   FONCTIONS    DEFINIES    PAH    LES   ÉOl'ATIONS   DIFFÉRENTIELLES. 

soit  un  nomlire  entier  positif,  par 

m  ni 

(,_X-)m(^_X-)^  (g-X')» 

'' 2ÏÏ ^  •  •  •  ' 

(l  — X)'«  (2  — X)-  (a  —  X)» 

en  faisant  varier  y.  depuis  i  jusqu'à  oo,  8  ne  pouvant  devenir  plus  grand  qu'une 
certaine  quantité  K,  pourvu  que  je  démontre  que  le  produit  infini  en  question 
est  convergent. 

Considérons  sa  racine  «('""",  ' 

,_X'   ra  — X')'^ 

t^ô; r---; 

son  logarithme  sera  la  série 

Multiplions  le  terme  général  par  </.-  ;  il  vient 


dont  la  limite,  pour  a  ^oo,  est 

Le''— Le'-        ou         X'— X, 

qui  est  fini.  Donc  la  série  est  convergente,  soil  jjl  sa  valeur.  La  valeur  du  pro- 
duit qui  multiplie  9'"  est  e"'l^. 

Donc,  pour  passer  de  la  série  dont  nous  avons  démontré  la  convergence  en 
étudiant  le  premier  cas  à  la  série  que  nous  avons  à  examiner  maintenant,  il 
suffit  de  multiplier  par  un  terme  qui  est  toujours  plus  petit  que 


/  .r\"'  x"!^ 

K"'c"'lJ-  (  -7         ~r^, 

\x  J      x"^ 


Oi'  un  peut  toujours  prendre  le  module  de  —  assez  petit  pour  que  le  module 
deKe!'^<i. 

X 

Soient  jc=  pe'?,  x'=  p'e'?'; 

a;-X  /  oX     giipX  ■ 


SLR    LES    PROPRIÉTÉS    DES    FON'CTIONS    DEFINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.      XLUI 

Soient  A  =  a  +  i'^,  p  =  e'';  il  vient 

doni  le  module  est  o^e~?Po'"''. 

Or  on  peut  toujours,  si  at  est  positif,  prendre  p  assez  petit  (quel  que  soit  a) 
pour  que  ce  module  soit  plus  petit  que  i.  Tous  les  termes  de  la  première  série 
sont  donc  multipliés  par  un  facteur  plus  |)etit  que  i  ;  la  série  reste  donc  con- 
vergente. 

Donc  : 

Toute  fonction  définie  par  une  équation  différentielle  de  la  forme 

où  ~  =  ),  et  où  X  a  sa  partie  réelle  positive  et  n'est  pas  entier  positif,  est 

développable  dans  les  environs  de  a;  =  o,  suivant  les  puissances  croissantes 
de  X  et  de  x^. 

Limites  de  convergence.  —  Les  deux  conditions 

Keli— ,  <i,  p*e-?3p'->'<  I 

montrent  que  la  région  de  convergence  est  limitée  à  la  fois  par  un  cercle  et  par 
une  spirale  logarithmique;  on  voit  en  même  temps  que  la  série  peut  être  con- 
vergente pour  une  des  valeurs  que  x^'  peut  prendre  pour  une  même  valeur  de  or, 
sans  l'être  en  même  temps  pour  d'autres  valeurs  de  x'^.  Lorsqu'on  franchit  la 
spirale  logarithmique  en  allant  vers  l'origine,  le  nombre  des  valeurs  de  x^  pour 
lesquelles  la  convergence  a  lieu  s'augmente  d'une  unité. 

Du  paramètre   arbitraire.  —   Le  paramètre   arbitraire    est  ici   la   valeur 

de  -^  que  nous  avons  pu  prendre  quelconque.  Remarquons  que  tous  les  termes 

de  la  série  sont  des  polynômes  entiers  par  rapport  à  ce  paramètre,  d'où  il 
résulte  que  la  fonction  _}'  peut  être  ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes 
de  X,  de  x^  et  de  ce  paramètre. 

Equations  d'ordre  supérieur.  —  Cette  démonstration  s'étendrait  sans  diffi- 
culté au  cas  des  équations  d'ordre  supérieur.  En  effet,  'ces  équations  peuvent, 


XLIV      Sl'll    LES    PnOPRlETES    DES    FONCTIONS   DEFINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES. 

1 

dans  les  cas  où  3  cl  ^  ne  sont  pas  fonctions  liolomorphes  de  x",  s'écrire  sous 
l'une  des  formes 

où  9  et  'i  ne  contiennent  ni  terme  constant  ni  termes  du  premier  degré  en  x, 
y,  ;, ou 

-"■:g-/(-,j-). 

■2^'"^  =f\{^,  y)- 

Dans  le  premier  cas,  si  À  et  [a  ne  sont  ni  entiers  positifs  ni  à  partie  réelle 
négative,  y  et  s  sont  liolomorphes  en  r,  x^-,  xV-.  En  effet,  reprenons  la  démons- 
tration précédente,  il  suffira  de  remplacer  )-  par  ijl  dans  un  certain  nombre  de 
facteurs  des  produits  en  m  +  n\. 

La  discussion  précédente  s'appliquera  évidemment  sans  y  rien  changer. 

Cas   où   ).==!. 

Nous  avons  laissé  de  côté,  dans  le  résultat  que  nous  venons  d'obtenir,  deux 
cas  : 

1°  Celui  où  la  partie  réelle  de  X  est  négative;  or,  dans  ce  cas,  MM.  Briot  et 
Bouquet  ont  démontré  qu'il  n'existait  pas  de  fonction  définie  par  l'équation  et 
s'annulant  pour  x  =  o  (  '  )  ; 

2"  Celui  où  A  est  entier  positif;  ce  dernier  se  ramène  facilement  à  celui- 
où  A^  1  par  une  transformation  très  simple,  due  aussi  à  MM.  Briot  et  Bou- 
quet. Nous  nous  réduirons  donc  à  l'étude  du  cas  où  X  =  i. 

Soient 

/  N  dy      j.,  df 

Considérons  l'équation  auxiliaire 

Toutes  les  dérivées  partielles  du  second  membre  de  l'équation  (2)  sont  les 

(')  On  sait  que  ceci  suppose  certaines  reslriction.s  sur  la  maaicre  dont  jk  tend  vers  zéro  ;  uoj'r 
aux  Noies.  (J.  D.) 


SUR    LES    PROPRlÉrÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.       XLV 

mêmes  que  pour  l'équation  (i),  sauf  la  dérivée  première  par  rapport  à  y.  De 
plus,  pour  l'équation  (2),  nous  avons  vu  que  jk  était  développable  suivant  les 
puissances  croissantes  de  x  et  x'-,  que  le  coefficient  de  chaque  terme  était  une 
somme  de  monômes,  et  que  le  tableau  des  modules  des  termes  formés  par 
chacun  de  ces  monômes  était  convergent. 
Soit 

(  3  )  A  x'«  x"^ 

l'un  de  ces  monômes;  soit,  pour  simplifier,  ),  réel.  La  série  des  monômes 

(4)  mod.A(mod..t-)'"(mod.x)'''' 


Posons 

x)=i  t  -\-  X. 

Nous  pouvons  développer  l'expression  (3)  suivant  la  formule  du  binôme;  on 
obtient  une  suite  de  termes  de  la  forme 

(5)  AK  :?'"+/'<"-''. 

Remplaçons  un  instant,  dans  la  série,  x'  par  3,  qui  sera  indépendant 
de  x;  la  série  est  alors  convergente  quand  x  e.X.  z  prennent  des  valeurs  d'un 
module  inférieur  à  certaines  limites  0  et  pi.  Supposons  t  çX  x  positifs  et  tels 
que  ces  conditions  soient  remplies;  la  série  (4)  aura  son  tableau  des  modules 
convergent;  il  en  sera  de  même  de  la  série 

K  mod.A,r"'+/'f''-/', 

puisque  les  termes  de  cette  seconde  série  sont  positifs  et  que,  groupés  d'une 
certaine  manière,  ils  reproduisent  la  série  (4)-  H  en  sera  de  même  encore  de  la 
série  (5),  dont  les  termes  ont  même  module  que  ceux  de  la  série  précédente, 
et  il  en  sera  de  même  encore  quand  on  remplacera  t  ç,\.  x  par  des  quantités 
imaginaires  de  même  module. 

Les  limites  de  convergence  sont  données  par  les  inégalités 

mod.  J-  <  p,  mod..r  -I-  mod  .(x^ —  x)  <  p|. 

Un  terme  quelconque  a  la  forme 

A 

K  7- ^  x"'-^Pt"-n, 

Vyni  +  nk) 


XLVl       SIR    LES    PROPRIETES    DES    ('ONCTIONS    DKl-lNIKS    PAU    LES    EQUATIONS    DIKFERENTIELLES. 

OÙ  A  csl  un  jKilviKMiie  entier  par  rapport  au  paramètre  arbitraire  -r-j  que  nous 
représenterons  par  y.. 

Les  facteurs  de  la  forme   ^^ r-   ne  peuvent  entrer  à  une  puissance    supé- 

.  ,         •              "i              /■,••-  1         •              ( '»+  P ) 
rieure  a  la  puissance  -r-  ou,  a  Joi-tioii,  a  la  puissance g 

Considérons  la  série  obtenue  directement 

t  -—  œ>- —  X, 

Égalons  au  second  membre  de  l'équation  (2),  il  vient 

d'où,  par  diflérentiations  successives  et  remarquant  qu'à  l'origine 

r  =  j'  =  /  =  O , 

dy_^_if__^/_^^\^Jy^ 


dx        dt        dx       \         dy  j  dx 


^f^^{.^'l\^Ly., 


11  est  facile  de  voir  qu'en  déduisant  de  ces  équations  les  valeurs  des  dérivées 
nartielles  de  y,  on  les  obtient  sous  la  forme  de  somme  de  monômes  7 '■ — :-  ; 

I  •^   '  ^ad  l  {fH-\-nf.) 

nue  l'un  fiuelconnue  de  ces  monômes,  multiplié  par  x'^+p  t"^~P,  par ■ 

T  1  1  '11  II         \. •/....  (ni  -\-p) 

Ql  par \ ,  est  la  somme  d'un  certain  nombre  de  termes  de  la  série  que 

r       \.i...(n  —  p)  ^ 

nous  venons  de  considérer. 

Donc    la   série  S ; ^ :  p.„  '    „:,,  x'"^''  '"  p    a    son 

^U  1.2...  (  m  -h p)  i  .7..  .  .  {  n  — p)  l  {m  -h  rt  A) 

tableau  des  modules  convergent. 

De  pluï  il  est  facile  de  voir  que  les  deux  équations  écrites  en  premier  lieu 

donnent  toujours 

aH — ^  =  X,        -y-    demeuraiil  arbitraire, 
dy  dt 


dt 

=  «, 

dy 

__ 

-t 

dx 

i-À 

SUR    LES    PROPBIETES   DES    FONCTIONS    DEFIMES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES.       XLVII 

et  si  l'on  prend 


on  aura 


Donc,  comine  le  facteur r-  ne  peut  s'introduire  dans  l'un  des  monômes  que 

s'il  contient  à  une  certaine  puissance  -r-i  si  l'un  de  ces  monômes  contient  le 

■^  dx 

facteur ^i  le  numérateur  A,  contiendra  à  la  même  puissance  le  facteur  «-|--i^- 

I  —  /.  ^  dx 

Revenons  maintenant  à  l'équation  (i)  et  cherchons  de  même  les  coefficients 
de  la  série.  Rien  ne  sera  changé  dans  le  calcul  précédent,  sinon  que  À  devra 
être  remplacé  par  i . 

Des  deux  équations  écrites  en  premier  lieu,  la' première  donne 

_  <^  =  iV, 
dt        dx 

et  la  seconde 

dt        dy      dt 

est  vérifiée  identiquement.  C'est  donc -^  qui  deviendra  le  paramètre  arbitraire, 

puisqu'on  peut  lui  donner  une  valeur  arbitraire  p. 

Rien  ne  sera  changé  dans  la  série,  sinon  que  chaquet  erme  sera  multiplié  par 

i3'?(l  — X)?     P{  ni  -I-  /!À)   j-''-«'s 


il) 

'—dJ-J 


/a-i-^V     ^("'^")      •'■'■'' 


OÙ  /•  ^  /«  4-  p,  s  ^  n  —  p. 

Or  nous  savons  que,  si  l'on  suppose  À  <  i ,  la  seconde  fraction  est  toujours 
plus  petite  que  K'',  K  étant  une  quantité  finie. 

Comme  q  •<  /•,  il  en  sera  de  même  du  premier  facteur. 

On  peut  donc  toujours  prendre  les  modules  décret  de  t  assez  petits  pour  que 
le  module  de  l'expression  (j)  soit  plus  petit  que  i. 

Donc  la  nouvelle  série  est  convergente. 

Toute  fonction  définie  par  une  équation  différentielle  de  la  forme 

-%=f{^,y). 


XLVIII        SIR    LKS    PnOPRIKTKS    DES    FONCTIONS   DEFIMES    PAU   LES    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES. 

OÙ  —  ^  I,  est  déve/oppable  suii'a/il  les  puissances  croissantes  de  x  et  d'une 
dy  '  ' 

variable  t  définie  par  x  -p  =  t  — ./',  ou  de  xhx,  dans  le  voisinage  de  x^o, 
r  =  o. 

Les  limites  de  convergence  sont  données  par 

mod.^<p.         mocl.(j:-L3:)  <  p,. 

Le  paramètre  arbitraire  est-^j  et  la  fonclion  )•  peut  encore  se  développer 
suivant  les  puissances  croissantes  de  x,  de  t  et  de  ce  paramètre. 


(THÈSES  présentées  à  la  FACULTÉ  DES  SCIENCES  DE  PARIS,  pour  obtenir  le 
grade  de  Docteur  es  Sciences  Mathématiques,  soutenues  le  i"  août  1879  devant  la 
Commission  d'examen  :  MM.  Bouquet,  Président;  O.  Bonnet,  Darbolx,  Exami- 
nateurs.) 


PREMIERE  THESE. 


SUR  LES  PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS 


DEFINIES    PAU 


LES  EQUATIONS  AU\  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 


INTRODUCTION. 


Le  problème  de  l'inlégration  des  équations  aux  différences  partielles  a  été 
abordé  dès  le  siècle  dernier  par  les  géomètres;  mais  ce  n'est  qu'au  commence- 
ment de  ce  siècle  que  Cauchy  et  Jacobi  sont  parvenus  à  ramener  complètement 
l'intégration  des  équations  aux  dérivées  partielles  du  premier  ordre  à  celle  des 
équations  différentielles  ordinaires. 

Toutefois  la  question  n'était  point  épuisée,  car  ce  dernier  problème,  l'inté- 
gration des  équations  aux  différentielles  ordinaires,  était  loin  d'être  résolu. 
L'existence  même  de  l'intégrale  n'était  pas  démontrée  d'une  manière  rigoureuse. 

Cauchy  aborde  ce  nouveau  problème,  et,  dans  le  Tome  XIV  des  Comptes 
rendus  des  séances  de  ^ Académie  des  Sciences  (p.  io20-io23),  il  imagine 
pour  le  résoudre  un  nouveau  mode  de  calcul  qu'il  appelle  calcul  des  limites., 
et  il  démontre  que  les  équations  différentielles  ordinaires  admettent  une  inté- 
grale; il  définit  complètement  cette  intégrale,  ou  plutôt  un  élément  de  cette 
intégrale,  en  montrant  qu'elle  peut  se  représenter  en  général  par  une  série 
H.  l\  -  I.  .. 


1.       PKOPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINIKS    PAR    I.F.S    ÉQUATIONS    At\    DIFFERENCES  l'ARTlELLKS. 

ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  de  la  varlahle  el  convergente  dans 
de  certaines  limites.  C'est  donc  une  intégration  complète,  mais  qui  ne  nous  fait 
pas  connaître  la  valeur  que  prend  la  fonction  cherchée  quand  on  donne  à  celle 
variable  une  valeur  quelconque,  mais  seulement  quand  le  module  de  celle 
variable  reste  plus  petit  qu'une  quantité  donnée. 

Dans  le  Tome  W^  des  Comptes  rendus  des  séances  de  V Académie  des 
Sciences,  il  applique  les  procédés  du  calcul  des  limites,  d'abord  aux  équations 
linéaires  aux  dilFérences  partielles  du  premier  ordre  (p.  44-38),  puis  à  un  sys- 
tème quelconque  d'équations  aux  différences  partielles  d'ordre  quelconque 
(p.  85-ioi).  Il  recherche  quelle  est  l'intégrale  de  ces  équations  qui  est  assu- 
jettie à  se  réduire,  quand  l'une  des  variables  s'annule,  à  certaines  fonctions 
données  des  autres  variables  indépendantes,  et  il  démontre  que  cette  intégrale 
peut  encore,  en  général,  se  représenter  par  une  série  ordonnée  suivant  les 
puissances  croissantes  des  variables. 

Enfin,  dans  le  Tome  XVI  (p.  5^2),  11  recherche  comment  on  devrait  aborder 
le  problème  quand  l'intégrale  particulière  que  l'on  étudie  est  assujettie  à 
d'autres  conditions  qu'à  celle  de  se  réduire,  quand  l'une  des  variables  s'annule, 
à  certaines  fondions  données  des  autres  variables. 

Dans  le  cas  le  plus  général,  le  problème  qui  nous  occupe  a  donc  élé  complè- 
tement résolu  par  Cauchj. 

Il  a  élé  depuis  repris  par  deux  géomètres.  Dans  une  Thèse  inaugurale, 
insérée  dans  le  Tome  80  du  Journal  de  Crelle  (p.  i  el  suivantes),  M""  de 
Kowalewski  a  démontré  de  nouveau  des  théorèmes  déjà  trouvés  par  Cauchy; 
enfin  M.  Darboux  en  a  inséré  une  démonstration  nouvelle  dans  le  Tome  LXXX 
des  Com.ptes  rendus  des  séances  de  l'Académie  des  Sciences  (p.  loi).  Tou- 
tefois, ilexisle  encore  des  cas  où  le  théorème  de  Cauchy  ne  peut  pas  s'appli- 
quer cl  où  l'intégrale,  soil  d'une  équation  dlfferenlielle  ordinaire,  soil  d'une 
équation  au.v  différences  parlicUcs,  ne  peut  se  représenter  par  une  série  con- 
vergente ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  des  variables. 

Pour  les  équations  différentielles  ordinaires,  ces  cas  excepliounels  ont  élé 
étudiés  par  MM.  Briot  cl  Bouquet,  dans  un  McTiioirr  inlilidé  Mémoire  sur 
les  fonctions  définies  par  les  équations  différentielles  el  inséré  dans  le 
Tome  WXVI  du  Journal  de  V Ecole  Polyterlmique. 

Mon  but,  dans  ce  travail,  est  d'étudier  de  même,  pour  les  équations  aux  dif- 
férences partielles  du  premier  ordre,  les  cas  exceptionnels  où  le  théorème  de 
Cauchy  ne  s'applique  plus. 


PROPRIÉTÉS    DES   FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS   ALX    DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       Ll 

Ces  cas  sont  de  deux  sortes  :  ou  bien  la  difficulté  provient,  non  de  la  forme 
même  de  l'équation  proposée,  mais  de  la  manière  dont  est  définie  l'intégrale 
particulière  que  l'on  étudie;  ou  bien  elle  est  due  à  la  forme  de  réquation  pro- 
posée. De  là  la  division  naturelle  de  ce  travail  en  deux  Parties.  La  première  est 
destinée  à  l'étude  des  exceptions  de  la  première  sorte  et  nous  amènera  à  recon- 
naître que  l'on  peut  obtenir  l'expression  implicite  de  l'intégrale  en  égalant 
à  zéro  certaines  fonctions  des  variables,  de  l'intégrale  et  de  ses  dérivées  du  pre- 
mier ordre,  et  que  ces  fonctions  peuvent  se  représenter  par  des  séries  ordonnées 
suivant  les  puissances  croissantes  de  ces  quantités. 

Dans  la  deuxième  Partie,  on  étudie  la  seconde  sorte  de  singularités;  mais  je 
n'ai  pu  arriver  à  des  résultats  que  quand  certains  coefficients  satisfont  à  cer- 
taines conditions  de  signe,  et  j'ai  été  obligé  de  laisser  de  côté  les  cas  où  ces 
conditions  ne  sont  pas  remplies. 

Avant  d'aborder  le  problème  qui  est  l'objet  principal  de  ce  Mémoire,  j'ai  dû 
étudier,  dans  des  lemmes  préliminaires,  quelques  propriétés  générales  des 
fonctions,  et,  en  particulier,  rechercher  ce  qui  se  passe  quand  on  ne  peut  plus 
appliquer  les  théorèmes  de  MM.  Briotet  Bouquet,  relatifs  aux  fonctions  définies 
par  des  équations  dont  le  second  membre  est  zéro,  et  le  premier  membre  une 
série  ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  des  variables  et  des  fonctions 
cherchées. 


LEMMES  PRÉLIMINAIRES. 

On  sait  qu'une  fonction  z  de  n  variables  x,,  x^,  ....  .r„  (ou  plutôt  un  élément 
de  cette  fonction)  est  dite  holomorplic  en  .r,  —  a,,  x^  —  a^.  ...,  Xn  —  ««  quand 
on  peut  la  représenter  dans  une  certaine  étendue  par  une  série  convergente 
ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  de  x^  — a,,  X2 — v-i,  ...,  x,i  —  «„ 
(a, ,  a.2,  . . , ,  a„  étant  des  constantes  données). 

Pour  que  cela  ait  lieu,  il  faut  et  il  suffit  que  la  fonction  ;  reste  finie,  continue 
et  monodrome  quand  les  modules  de  x^  — a,,  x-i  —  aj,  ...,  x„ — c/.„  restent 
plus  petits  que  certaines  quantités  données. 

Théorème  de  MM.  Briot  et  Bouquet. 

MM.  Briot  et  Bouquet  ont  démontré  que,  si  p  fonctions  Z\,  Z2,  •..,  Zp  de 
n  i^ariables  j-,,  Xn,  ■•■,  x,,  sont  définies  par  p  équations  dont  le  second 


I.ll       PROPRIÉTÉS    1>ES    FONCTIONS    llKKINIkS    PAR    LKS    ÉQl'ATIONS   AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES. 

membre  est  zéro  et  les  premiers  membres  sont  p  fonctions  liolomorphes 
en  Zx  —  (3i,  -S»  —  (3;,  ...,  Zp^  ^p,  x^  —  a,,  Tn  —  «j,  ...,  J"„  —  a.,,  (les  c.  et  /es  p 
étant  des  constantes),  si  ces  p  équations  sont  satisfaites  quand  on  Jait 

;,=  [3,,  32=  ?2 -/'=P/M  ^1=^1,  3-j=a2 a-„=a„, 

si  pour  le  même  systè/ue  de  valeurs  le  déterminant  fonctionnel  des  premiers 
membres  des  />  équations  par  rapport  aux  p  fonctions  z  n^est  pas  nul,  les 
p  fonctions  z  ainsi  définies  sont  holomor plies  en  .r,  —  «i,  .r^  —  «a,  •••,  x„ —  a„. 
Je  ferai  dans  la  suite  un  fréquent  usage  de  ce  théorème,  et  je  m'en  servirai 
en  particulier  pour  démontrer  les  lemmes  qui  vont  suivre. 

Définition.  —  Nous  dirons  qu'une  fonction  z  de  n  variables  J7f,  x^,  .  . . ,  Xn 
est  algébroïde  de  degré  m  en  ^i  —  a, ,  Xo  —  a^,  . . . ,  x„  —  «„  quand  elle  satis- 
fera à  une  équation  de  la  forme 

(;-  PJ'«-+-A,„  .,(G-P)"'-'-t-...+ A,(3  — P)  + A„=o, 

où  A,„_|,  ...,  A,,  Ao  sont  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  Xf  — -y.!,  Xi  —  a.,  ...,  x,i  —  a,,,  qui  restent  convergentes  quand  les 
modules  de  jt,  — a,,  X2  —  »;>,  •■•,  x,i  —  a,,  restent  plus  petits  que  certaines 
quantités  données  et  qui  s'annulent  quand 

Dans  tout  ce  qui  va  suivre,  nous  supposerons  que 

a,  =  aj  =  . .  .  =  a„  =  p  =  o. 

Nous  pouvons  toujours  le  faire,  car  si  cela  n'était  pas,  on  ferait 

a?i  =  7i-t-ai,         X2  =  jK2-l-a2 ^n  —  yn-^'^-n,         3  =  3i-H|3, 

et  avec  ces  nouvelles  variables  on  serait  ramené  au  cas  où  les  a  et  (3  sont  nuls. 

Lemme  I.  —  Si  une  fonction  zest  algébroïde  de  degré  m  en  x^,  X2,  •■■,  Xn, 
et  que  Von  y  remplace  x,,  x^,  . .  . ,  Xn  par  des  fonctions  holomorphes  en  t 
s'' annulant  quand  t  =  o,  la  fonction  z  est  développable  en  une  série  conver- 
gente dans  une  certaine  étendue  et  ordonnée  suivant  les  puissances  crois- 

1 
santés  de  f,  p  étant  un  nombre  entier  tel  que 

En  efTet,  reprenons  l'équation 

i"'4-  A„,_ii"'-'-t-.  .  .+  A,;  -f-  Au=  o. 


PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINrES    PAR    LES    ÉQUATIONS    AIX    DIFFÉRENCES  PARTIELLES.      LUI 

Remplaçons  dans  cette  équation 
par  certaines  fonctions 

0,(0,       ?2(0,        •••,       ?«(0 

holomorphes  en  t  et  s'annulant  avec  cette  variable.   Les  A  deviendront  des 

(onctions  holomorphes  en  /  et  s'annuleront  pour  t  =  o,  puisqu'ils  s'annulent 

pour 

,r,  =  37j  = . . .  =  .r„  =  o. 

La  fonction  :;  devient  ainsi  une  fonction  de  /  susceptible  de  m  valeurs.  Quand 
on  fera  varier  /  de  telle  manière  que  le  point  qui  représente  sa  valeur  imagi- 
naire  sur  un  plan  décrive  un  contour  autour  du  point  <  =  o,  il  y  aura  p  de 

ces  m  valeurs  qui  se  permuteront  circulairement  comme  les  p  valeurs  de  f.  11 
est  évident  que,  si  l'on  donne  à  ;  une  de  ces  p  valeurs  comme  valeur  initiale  et 

qu'on  fasse  décrire  à  t  un  chemin  tel  que  ti'  revienne  à  sa  valeur  primitive, 
;;  reviendra  aussi  à  sa  valeur  initiale.  De  plu^,  z  conserve  une  valeur  finie  quand 
le  module  de  l  reste  inférieur  à  une  limite  donnée,  et,  étant  une  fonction  con- 

tinue  de  t,  est  aussi  une  fonction  continue  de  ti'. 

Donc  :;  est  holomorphe  en  f,  et  il  est  d'ailleurs  évident  que 

p  =  m.  c.  Q.    F.    0. 

Dans  les  deux  lemmes  qui  vont  suivre,  on  considérera  une  fonction  2  de  n 
variables  x,^  x^,  . . . ,  x^  définie  par  une  équation 

dont  le  premier  membre  a(-;)  est  une  série 

Ao-H  A|5-+-  A5-2_(_   . . 

ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  de  :;  et  dont  les  coefficients  Ao, 
A| ,  ...  sont  des  fonctions  holomorphes  en  x^,  x^,  ■  •  ■ ,  x„. 
On  supposera  que,  quand  on  fait  dans  les  A 

J^\  =  ^2  ^  .  .  •  ^^  -^ Il  ~— '   O, 

on  ait 

Ao=  Ai=  A,  =  ..  .=  A,„-,=  o        (A,„;îo). 

Lemme  il  —  //  existe  m  fonctions  z  qui  satisfont  à  la  définition  précé- 
dente et  qui  tendent  vers  zéro  quand  ar,,  .To,  . . . ,  Xn  tendent  vers  zéro. 


LIV       PROPRIETES    DES    FONCTIONS    DKFINIF.S    PAR    LES   F-QUATIONS   AUX    DIFFERENCES    PABTIEU-ES. 

En  effet,  soit  •Jo(-^)  ce  que  devient  tp(;)  quand  on  j  l'ait 

.r,  =  .r2=.  .  .  =  x„  =  o. 

Si  l'on  représente  les  parties  réelle  et  imaginaire  de  ;  par  les  coordonnées  d'un 
poinl  dans  un  plan,  on  pourra  toujours  tracer  dans  ce  plan  un  cercle  Cxiyanl 
pour  centre  le  point  ;  =  o  et  dont  le  rajon  R  soit  assez  petit  pour  que  tpo(^) 
ne  s'annule  pas  à  l'intérieur  de  ce  cercle,  si  ce  n'est  pour  z  =  <>.  Ceci  posé,  il 
est  évident  que,  si  l'on  prend  l'intégrale 


/ 


le  long  d'un  cercle  quelconque  Ci,  concentrique  à  C  et  de  rayon  R,   '  R,  cette 
intégrale  sera  égale  à  2  iizm. 

Soit  maintenant  (ft{z)  ce  que  devient  ^{z)  quand  on  donne  à  x^,  x^,  ■■■,  x,, 
certaines  valeurs  déterminées  différentes  de  zéro.  On  peut  toujours  prendre  les 
modules  de  ces  valeurs  déterminées  assez  petits  pour  que  : 

1°  ■^i{z)  diffère  aussi  peu  qu'on  veut  de  tp„(s); 
2°  es',  (3)  diffère  aussi  peu  qu'on  veut  de  tp ',,(;)  ; 

30  j-îi — L  diffère  aussi  peu  ou  on  veut  de  ^-^, —  : 

4°  Enfin  pour  que  /  '  '  "  dz  prise  le  long  du  cercle  C,  diffère  aussi  peu 
qu'on  veut  de    /      ,1    dz  prise  le  long  du  même  cercle,  c'est-à-dire,  puisque 

cette  intégrale  est  toujours  égale  à  1  i-  multiplié  par  un  nombre  entier,  pour 
qu'elle  soit  égale  à  2  inm. 

Donc  on  peut  toujours  prendre  les  modules  de  x^,  .r,,,  .  ..,  Xn  assez  petits 
pour  que  «((s)  s'annule  m  fois  dans  l'intérieur  du  cercle  C,,  quelque  petit 
que  soit  le  rayon  de  ce  cercle. 

Donc  il  existe  ru  fonctions  ;,,  3._,,  ...,  ;,„  de  j;,,  x-,.,  ...,  Xn  qui  aunuleul 
la  fonction  '-2(3)  et  qui  tendent  vers  zéro  rpiand  j?,,  x-,,  ...  x„  tendent  vers  zéro. 

c.  Q.  F.   D. 

Lemme  III.  —  Les  ru  fonctions  Zt,  z-j.  ...,  Zm  sont  algébroïdes  de  degré  m 
En  effet,  les  ni  fonctions  ;,,  z-^.  . . . ,  :„,  sont  définies  par  les  m  équations 

(1)  »(«,)  =  o,  ll>(i,)  =  0,  ...,  'i(3,„;  =  0. 


PROPRIÉTÉS   DES   FONCTIONS   DÉFINIES   PAR   LES   ÉQUATIONS  AUX   DIFFERENCES   PARTIELLES.        LV 

Je  vais  d'abord  remplacer  le  système  (i)  par  un  autre  système  équivalent. 
A  cet  effet,  je  poserai 

f(v)   =  (t._a,)(p  — zj).  ..(p  — j„,), 


/"('■)  =  £• 


Je  poserai  en  outre 


i  —  \ 
i=  m 

i  =  l 
_'V'  fi'^i)  fpi'^if 


Bp 


1=1 


1=1 

11  est  clair  que  le  système 
(2)  B,=  o,        Bî=o,         ...,        B„,  =  o 

est  équivalent  au  système  (  i). 

Les  B  sont  symétriques  par  rapport  à  ;,,  z-..  ...,  ::,„.  De  plus,  ce  sont  des 
l'ouctions  entières  par  rapport  à  ces  varialilcs.  Eu  effet,  les  dcuomiuateurs  Ji{:-i) 
ne  contiennent  que  des  facteurs  de  la  forme  ;,  —  z/^  et  ne  contiennenl  ces  fac- 
teurs qu'à  la  première  puissance.  Donc  les  B  seront  égaux  aux  qiiolients  de 
fonctions  liolomorphes  en  Zf,  z.2,  ■  ■■ ,  z,,,,  j;,,  x-^,  . .. ,  .r,,  par  le  produit  de  tous 
les  facteurs  tels  cjue  zi  —  Zf,--  J'aurai  donc  démontré  que  les  B  sont  eux-mêmes 
des  fonctions  holomorphes  eu  ;,,  :.,,  ...,  ;„,,  .r,,  x-,-,  •.-,  -?«  si  je  fais  voir  (ju'en 
les  multipliant  par  zt —  Zk  et  faisant  :,=  z^  on  les  annule.  Or  cela  est  évident, 
car,  les  B  étant  symétriques  par  rapport  à  .:,  et  à  Zk.  B(.:,—  Zh)  change  de  signe 
quand  on  change  =,  en  Zk  et  ;*  en  ;,.  Donc  il  s'annule  quand  zi=  Zk-  Donc 
les  B  sont  holomorphes  en  ,r,,  arn,  •..,  -f»,  en  s,,  io,  ••■,  ^m  et  symétriques  par 
rapport  à  ces  //(  dernières  variables. 


I.VI      PROPRIETES   DES  FONCTIONS  DEFINIES   PAR   LES  EQUATIONS  AUX   DIFFERENCES   PARTIELLES. 

Posons 

S,  —  V-.,        <;„ v-s  c      —  v-m 

Ces  I»  iioiivi'llcs  variables  saiimileronl  en  même  temps  que  les  ;. 

De  plus,  <m  sail  que  tout  polynôme  entier  symétrique  pai-  rapport  aux  ;  et 
de  degré  p  est  un  polynôme  entier  en 

S,,     Sj,     ....     Sp,     s'tpim, 
et  on 

Si,     S.,,     ...,     S,,,,     si  pi  m. 

Donc  les  B  seront  des  fonctions  holomorphes  en  S),  S^,  ...,  S„,,  x,, 
,r>_, ,  •  •  * ,  Xfi* 

Les  S  sont  donc  définis  en  fonction  des  x  par  m  équations  dont  le  second 
mernhre  est  zéro  et  les  premiers  membres  sont  des  fonctions  holomorphes 
eu  S,,  S_i,  ...,  S,„,  X,,  X.2,  ...,  x„  qui  s'annulent  quand 

01=05=...=   o,,i=:.27i=  Xi  ^  .  .  .  ^  3"rt  =  O. 

Donc,  en  vertu  du  théorème  de  M^I.  Briot  et  Bouquet,  les  S  seront  holo- 
morphes en  X,,  x-^-i  ...,  x„  si  le  déterminant  fonctionnel  des  B  par  rapport 
aux  S  ne  s'annule  pas  quand 

Sj  =82=...  S,„  =  Xi  =  5:2  =  . . .  =  a^n  =  o. 

Il  faut  donc  calculer  le  déterminant  fonctionnel  des  B  par  rapport  aux  S  pour 
ce  système  de  valeurs,  et  pour  cela  calculer,  toujours  pour  les  mêmes  valeurs 
des  variables,  les  dérivées  partielles 


d6k 

1  "  Si  /.  '-;  /«  —  />  + 1 , 

d\ip 

En  effet,  si  dans  »(-)  on  fait 

X,  = 

=  Xi  =  .  .  .—  3 

3(5)  devient 

De  même  on  a,  quand  les  x  s'annulent, 

/—m  I  —  m 


PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS  AUX   DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       LVII 

Le  premier  lermc  est  homogène  et  de  degré  m  — [>  +  ^  P'T'  rapport  aux  ;.,  le 
second  homogène  et  de  degré  m  — />  +  2,  etc. 

Donc,  si  l'on  exprime  maintenant  les  B  en  fonction  des  S,  le  premier  terme 
de  Bp  dans  le  développement  (3)  donnera  un  terme  en  S,„_p+i  et  des  termes 
formés  par  le  produit  de  deux  ou  plusieurs  des  S*  tels  que  A"  <;  «< — p+  i. 
mais  il  ne  donnera  pas  de  terme  en  Sa(A  < /» — />+')  et  indépendant  des 
autres  S.  Les  termes  suivants  du  développement  (3)  n'en  donneront  pas  davan- 
tage pour  les  mêmes  raisons. 

Donc  B^,  développé  en  fonction  dos  S,  ne  contiendra  pas  de  termes  en  Sa. 

Donc 

rfB„ 

Donc  le  déterminant  fonctionnel  des  B  par  rapport  aux  S  se  réduit,  au  signe 
près,  au  produit  des 


dj/n—p+l 


Il  suffit  donc,  pour  faire  voir  que  le  déterminant  nest  pas  nul,  de  montrer 
qu'aucune  de  ces  dérivées  partielles  ne  s'annule. 

Pour  calculer -j^ — - — >  reportons-nous  au  développement  (3)  et  cherchons 

UJm—p-i-l 

d'où  peut  provenir,  dans  le  développement  de  Bp  en  fonction  des  S,  un  terme 
en  Sm-p+\-  il  ne  peut  venir  que  du  premier  terme  du  développement  (3),  que 
nous  appellerons  pour  abréger  T^,,  car  les  termes  suivants  de  (3)  sont  homo- 
gènes par  rapport  aux  2  et  de  degré  supérieur  à  m  —  p  -\-  i . 
Il  suffit  donc  de  s'occuper  des  termes  provenant  de  T^;  on  a 

G  étant  une  fonction  de  S|,  Sj,  ...,  S,„_p  qui  s'annule  avec  ces  variables,  et 
c'est  ctp  qu'il  s'agit  de  calculer.  Comme  cxp  est  une  constante  indépendante 
des  z,  il  suffira  de  calculer  sa  valeur  en  donnant  aux  :  des  valeurs  quelconques, 
par  exemple  les  racines  de  l'équation 

z'"  —  zP-^  —  I  =  o. 
Tous  les  Si  sont  nuls,  et  S„,_p^_i  ^  m  —  p-\-i .  Donc 

Tp=  ap{ni  —  p  -+■  1). 


Or,  on  a 


H.  p.  —  I. 


l.vm       PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

cette  inlégrale  clanl  prise  le  loiij;  d'un  cercle  de  rayon  suffisamment  grand. 
En  elTeU  le  résidu  de  la  l'unelidn  sous  le  signe  /  par  rapport  à  la  racine  c  =  ;/ 
est 

La  somme  des  r('sidus  de  celle  t'onclioa  est  donc  la  somme  de  ces  quantités, 
c'esl-à-dire  ^-  Or,  dans  le  cas  parliculier  où  nous  nous  sommes  placés, 

f(v)    =  P'"—  c/'-i  — I, 

/^(e)  =  0;;,v"'-/'.         où         Cf„=  m(m— !)...(  m— /J-+-I). 


Donc 


v>'-  '  —  I 


dv. 


La  première  inlégrale  est  nulle;  en  ce  qui  concerne  la  seconde,  la  fonction 
sous  le  signe  /  est  développable  (puisque  le  rayon  du  cercle  le  long  duquel  on 
prend  l'intégrale  est  très  grand)  en  série  ordonnée  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  -  et  dont  le  premier  terme  est  -•  Ce  premier  terme  donnera  un<-  inté- 
grale 2/-,  les  autres  une  intégrale  nulle.  Donc 

Donc  les  Xp  ne  sont  pas  nuls;  donc  le  déterminant  fonctionnel  des  B  par  rap- 
port atiN  S  ne  l'est  pas  non  plus;  donc  les  S  sont  des  fonctions  liolomorphes 
en  X I ,  x-j ,  . . . ,  ./■« . 

Les  m  valeurs  de  z,  à  savoir  z,,  z.,,  . . . ,  -,„,  satisfont  à  une  équation 

.-h  a;  ;-+- a;  =  o, 


^  M  -^  J  7  •  '  *  î  -'m  * 
1111 


où  les  A'  sont  des  polynômes  entiers  et  symétriques  j)ar  rapporta 

ces  polynômes  sont  donc  aussi  des  polynômes  entiers  par  rapport  a  S , ,  S  j ,  . . . ,  S 

et  par  conséquent  des  fonctions  holomorphes  en  a;,,  Xj,  .  .  . ,  ./„. 

C'est  dire   que  les   m  valeurs   de  ^  sont   algébroïdes  de   degré    m   en   .r,, 

T..  X,.  C..     O.     V.     I). 

La  démonstration  précédente  suppose  que  Téquation 


PKOPRIÉTÉS    DES  PONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    AIX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES.       LIX 

n  a  pas  de  racines  multiples;   mais  il  est  facile  de  l'étendre  à  ce  cas  d'excep- 
tion. 

Soient  encore,  en  effet, 

/(")  =  (t-  — il)(f'  —  ■!2)...(V— -m) 


et 


.  ,  -3m  représentent  pour  un  instant  des  quantités  quelconques,  et 


soit  encore 


f{v)  e\.fp{i')  sont  des  polynômes  entiers  par  rapport  ù  i'  et  aux  S. 
Soit  maintenant 


_  f'rMAi!^ 


..B,=/ 


/■(") 


dv, 


cette  intégrale  étant  prise  le  long  d'un  cercle  de  rayon  assez  petit  pour  que  !p(f) 
soit  convergent  pour  certaines  valeurs  des  x^  et  assez  grand  pour  contenir  les 
m  racines  de  l'équation 

(B  ('  P  )   =  O 

pour  ces  mêmes  valeurs  des  x. 

Supposons,  de  plus,  qu'on  ne  donne  à  z,,  z-^,  ...,  z,„  ((ue  des  valeurs  dont 
les  points  représentatifs  soient  compris  à  liiitérieur  de  ce  cercle. 

Cela  est  toujours  possible. 

Cette  intégrale  est  une  fonction  continue  des  S  et  des  x,  et  l'on  a  vu  que 
dans  le  cas  où  tous  les  .;  sont  différents,  c  est-à-dire  où  les  S  ne  prennent  pas 
certains  systèmes  particuliers  de  valeurs,  cette  intégrale  se  réduit  à  une  fonction 
holomorphe  des  S  et  des  .r.  11  en  est  donc  encore  de  même  dans  le  cas  où  les  ; 
cessent  d'être  tous  différents. 

Pour  exprimer  que  les  :;  se  réduisent  aux  m  racines  tic  l'équation 

y  (  z  )  =  o 

en  tenant  compte  de  leur  degré  de  multiplicité,  il  faut  encore  écrire  (jue  les  By, 
sont  nuls,  c'est-à-dire  qu'il  faut  égaler  à  zéro  les  mêmes  fonctions  holoniorpiies 
des  S  et  des  x  que  dans  le  cas  où  il  n'y  a  que  des  racines  simples,  c'est-à-dire 
que  la  démonstration  précédente  s'applique. 

Corollaire  I.  —  Si  o  est  une  fonction  algébroïde  en  z,  x,,  x-,,  ...,  x„ 


I,X       PROPRIÉTÉS   DES   FONCTIONS   DÉFINIES   PAR   LES   ÉQUATIONS   AUX    DIFFÉRENCES   PARTIELLES. 

telle,  qu'une  de  ses  valeurs  s'annule  quand  on  a  à  la  fois 

mais  qu'aucune  de  ses  valeurs  ne  s'annule,  quel  que  soit  z,  quand  on  a 

à  la  fois 

a-,=  3-2  =  .  .  .=  3-„=  o, 

si  :  est  défini  en  fonction  des  x  par  V équation 

<p  =  o, 

;  est  une  fonction  oli;ébroïde  en  .r,,  x,,  . . .  ,  Xn- 

En  efl'el,  la  foiiclion  -j  étant  algébroïde  en  ;,  x,,  x.>,  . .  . ,  x„  est   donnée    par 

une  équation 

œ"'-l-  A^^itp"'-'  -I-.  .  .+  Aitp  +  Ao=  o, 

OÙ  les  A  sont  holomorphes  en  z,  x, ,  x-^i  ■  ■  ■ ,  x,,- 
L'équation  o  ^  o  est  donc  équivalente  à  l'équation 

Ao=o. 

Mais  Aq  est  une  fonction  holoinorphe  en  z,  x,,  . . . ,  x^  qui  s'annule  quand 
toutes  ces  variables  s'annulent,  puisque  »  s'annule  dans  ce  cas,  mais  qui  ne 
s'annule  pas,  quel  que  soit ,:,  quand  tous  les  x  s'annulent,  puisque  rs  ne  s'an- 
nule pas  dans  ce  cas. 

Donc  Aq  contient  un  ou  plusieurs  termes  contenant  une  puissance  de  z  et 
indépendants  des  x. 

Si  ;:'"  est  celui  de  ces  termes  dont  le  degré  est  le  moins  élevé,  on  retombe 
sur  le  cas  étudié  dans  le  lemme  précédent,  et  z  est  une  fonction  algébroïde  de 
degré  m  en  a:),  Xn,  . . . ,  Xn-  c.   q.  f.  d. 

Corollaire  II.  —  Si,  dans  une  fonction  hnlomorphe  ¥  en  x^,  x^,  . .  . ,  x„, 
on  substitue  à  la  place  de  ces  variables  n  fonctions  cp,,  tso,  ...,  mn  de  p 
variables  nouvelles  y  ^  ,}'■,,  ■■.,  fp,  algébroïdes  par  rapport  à  y^,  y^,  ...,  yp 
et  s'annulant  avec  ces  variables,  la  fonction  F  devient  une  fonction  algé- 
broïde eny,,yi,  ■.■,yp. 

En  effet,  les  fonctions  o,,  cp.j,  . . . ,  cp„  sont  respectivement  susceptibles  de  m,, 
mj,  ...,  m^  valeurs  différentes.  En  substituant  dans  F  un  système  quelconque 
de  ces  valeurs,  on  donne  à  cette  fonction 

7ni/n2...m„=  M  valeurs  différentes. 


PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DEFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS   AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES.       L\I 

Soient  F|,  F2,  . . . ,  F„  ces  valeurs.  Les  fonctions 

i=l  1  =  1  1  =  1 

sont  holomorphes  par  rapport  aux  différentes  valeurs  de  y,,  o-,,  ...,  cp„.  De 
plus,  elles  sont  symétriques  par  rapport  aux  différentes  valeurs  de  tp,,  aux 
différentes  valeurs  de  Oo.  etc. 

Donc,  en  appelant  Sip  la  somme  des  ^'*""='  puissances  des  diverses  valeurs 
de  9,,  S^p  la  somme  des  ^i*""*  puissances  des  diverses  valeurs  de  œo,  les  fonc- 

i  =  M 

tionsy  Ff  sont  holomorphes  par  rapport  aux  S,  c'est-à-dire  (puisque  les  S  sont 

1  =  1 
holomorphes  par  rapport  aux  j-)  holomorphes  par  rapport  aux  )-.  C'est  dire  <jue 

la  fonction  F  elle-même  est  algébroïde  en  y,,  y-,,  .  . . ,  y  p.  c.  q.  r.  d. 

Lemme  IV.  — •  Si  (f,,  cp2.  ...,  fp  sont  p  fondions  holomorphes  en  Zj^, 
Z2,  ...,  :p,  X,,  x-,,  .-.,  Xn,  si  ces  fonctions  s'annulent  quand  on  annule 
tous  les  :  et  tous  les  x,  si  les  équations 

restent  distinctes  quand  on  annule  tous  les  x,  si  l'on  définit  les  z  en  fonc- 
tion des  X  par  les  équations 

'fl  =  ?!=••■=?/>=  O, 

les  p  fonctions  ainsi  définies  sont  algébroïdes. 

En  effet,  supposons  p  =  2  pour  fixer  les  idées,  z^  et  z^  sont  alors  définis  par 
les  équations 

!B,  =  0,  !B.>=  O  : 

9,  et  92  ne  peuvent  s'annuler  identiquement  tous  deux  quand  on  fait 

car  alors  les  équations 

Ti  =  92=  o 

cesseraient  d'être  distinctes  quand  on  annulerait  tous  les  x  et  se  réduiraient 
toutes  deux  à 

Zt  =  o. 


lAII      PROPRIÉTÉS   DES    FONCTIONS    UKFIMKS    PAR    LES   ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

Supposons  que  ce  soit  o,  qui  ne  s'annule  pas  identiquement  quand 

;,  =  T,  =  a-j  =  .  . .  =  a^n  =  o  ; 

on  pourra  ^Leniiiic  III  cl  Corollaire  1)  tirer  de 

<?,  =  o 

;,  en  fonction  algébroïde  de  z-^,  x^,  x-i,  . . . ,  x„. 

Substituons  cette  valeur  de  ;,   dans  Uoj  cette  fonction  deviendra  algébroide 
en  ;--2,  Xf,  x^.,  .. . ,  Xn  {voir  Lemme  111,  Corollaire  II).  L'équation 

!f2  =   G 

a  donc  un  premier  membre  algébroïde  en  ;n,  x,,  x.j,  ...,  x„  et  qui  s'annule 
avec  ces  variables.  De  plus,  cp^  ne  s'annule  pas,  quel  que  soil  -■_.,  quand  .r,, 
X-,.  . . .  1  x„  s'annulent.  Ce  serait  dire  cpic  les  équations 

0|    =    O,  ti;   =    O 

cessent  d'être  distinctes  quand  les  x  sont  nuls.  Donc  Zn  est  défini  par  l'équa- 
tion oj  ^  o  en  fonction  algébroïde  de  x, ,  x-,,  ....  x,i.  Il  en  est  de  même  de  ;i , 
puisque  rien  ne  le  distingue  de  ;.j. 
Le  lemme  est  donc  démontré. 

Remarque.  —  On  remarquera  que  dans  le  lemme  précédent  on  est  obligé  de 
faire  une  resiriclion,  puisque  l'on  siqipose  que  les  équations 

<Pl  =  <PS  =  -  •  •=  fH=  O 

restent  dislincles  qiiiiud  les  x  s'annulent. 

Les  deux  lemnies  qui  vont  suivre  ont  pour  but  d'examiner  ce  qui  se  passe 
quand  celte  condition  de  restriction  n'est  pas  satisfaite. 

Lemme  V.  —  .Vf  ii/n'  J'onclion  z  est  de  finie  en  fonction  de  x,,  .r^,,  . . . ,  x,, 

par  une  équation 

9  =  0 

dont  le  premier  membre  est  une  fonction  holoniorphe  en  z,  r,.  .r.j,  ...,  Xn. 
s'annulanl  avec  ces  variables^  on  peut  exprimer  s,  .r,,  x,,  . . .,  x„  par  des 
fonctions  algébroïdes  de  n  variables  auxiliaires  \i.,,  [a^j,  ...,  ^^  s'annulanl 
avec  ces  variables. 

En  effet,  toutes  les  dérivées  partielles  de  cp  ne  sont  pas  nulles,  sans  quoi  cette 
fonction  serait  identiquement  nulle.   Supposons  que  toutes  les  dérivées  par- 


PROPRIETES    DES    FONCTIONS    DEFINIES    PAR  LES  BOUATIONS  Al'X  DIFFERENCES  PARTIELLES.       LMII 

tielles  d'ordre  m  ne  soient  pas  nulles,  mais  que  toutes  les  dérivées  d'ordre  infé- 
rieur à  m  le  soient. 

f  •  j.  •    .        !•      I  •  )  1  d""i 

Si  parmi   ces  dérivées  tl  oidre  m  qui  ne  s  annulent  pas  se  trouve  -i—fr,-'  par 

exemple,  on  pourra  exprimer  j-,  en  fonction  aloébroïde  de  ;,  x-i,  x^,  ...,  x„. 

■^1   =/(:,   ^U    -^3,     ••.,    ■'•/!), 

et  alors  il  suflira  <le  poser 

pour  satisfaire  à  l'énoncé  du  lemme. 
Si  l'on  a,  au  contraire, 

d"'  e        f/'"  o  d'"  o 

dz">    ~  dxf  "^  ■•  -^  rfi™   ~ 
on  posera 

-    =  X.ji     +X,7.j    -I-...  — X„7„  +  X„+,_^„H_,, 

a"i  =  «1,171  -*-  «1,272  +  -  ■  ■-+-  «1,'i+i.r/i-M, 


^n=  an.l7l-'-  ««.272  +  - ■■+««, n+l7''^ 


On  pourra  toii|oiirs  choisit'  les  X  et  les  y.  de  telle  sorte  que  leur  déterminant 
ne  soit  pas  nul  et  qu'après  la  substitution 

d'"  <f    ^. 
On  aura  alors  yn^.i  en  fonction  algébro'ide  de  y, ,  y.,.  . . . ,  y„, 

7«+i  =fiyuyi 7"), 

et  il  suffira  encore  de  poser 

7i=l^i.  72=1^2'  •■•'  7«=,«n) 

/  —  n 

i=l 


1  =  1 
iP«=^an,iFi+  ^n-.l/ 


Jour  satisfaire  à  l'énoncé  du  lemme. 


LXIV       PROPRIÉTKS    DES    FONCTIONS    llÉFINIES    PAR    LES  ÉQUATIONS  AUX   DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

Reniaraue.  —  11  faut  rcinar(|uer  que  celle  nouvelle  manière  de  définir  la 
ronitioii  r  ne  nous  en  lail  connaître  qu'un  élénient  plus  restreint  que  ceux  que 
les  lemmes  111  cl  1\  nous  pernieltaient  d'étudier.  Des  fonctions  algébroïdes 
définies  iiar  ces  leninics  nous  connaissions  un  élément  limité  par  ces  conditions 
que  les  modules  de:r,,  3'-.  ...,  x„  restent  respectivement  plus  petits  que  cer- 
taines quantités  données. 

Les  éléments  définis  par  le  lemme  V  seront  restreints  encore  par  d'autres 
conditions,  par  exemple  que,  les  modules  des  x  restant  plus  petits  que  certaines 

(luantilés  données,  les  modules  de  — .  — .  ••■>  —  soient  eux-mêmes  plus  petits 
1  '  j-i    j-,  .Ci  '        *^ 

que  certaines  quantités  données. 

Lemme  VI.  —  Si  p  fondions  Zi,  z-,^  ...,  Zp  de  n  variables  x^,  x-.,  ...,  Xn 
sont  définies  par  p  èquatioiis 


dont  les  premiers  membres  sont  des  fonctions  holomorphes  en  5,,  So,  ...,  Zp, 
j'i,  X..,  . . . ,  .r„  et  s'annulanl  avec  ces  variables^  les  fonctions  ^1,-2,  . . . ,  Zp 
et  les  variables  anciennes  x,,  x,,  .  ■ -t  x„  peuvent  s'exprimer  par  des  fonc- 
tions algébroïdes  de  n  nouvelles  variables  convenablement  choisies  [^1, 
<j..,,  . . . ,  'x,,  et  qui  s'annulent  avec  ces  nouvelles  variables. 

En  eU'el,  supposons  ys  =  2,  pour  fixer  les  idées;  Zt  et  z-y  sont  alors  définis 
par  les  équations 

?1  =   O,  (02  =  0. 

En  vertu  du  lemme  V,  on  peut  tirer  de  cp,  =  o  les  :;  et  les  x  en  fonctions 
algébroïdes  par  rapport  à  « -f- i  nouvelles  variables  que  nous  appellerons  v,, 
vj,  ...,  v„^,  et  s'annulant  avec  ces  variables.  Substituons  ces  valeurs  dans  tp^; 
cette  fonction  deviendra  une  fonction  algébroïde  dev,,  v.j,  ...,  v„+,  (Lemme  111, 
Corollaire  II). 

On  a  donc 

ç',"  -V-  A,„-,  cpf-'  -1-.  .  .  +  A,  Ç2-H  Ao  =  o, 

où  les  A  sont  holomorphes  en  v,,  v.,  . . . ,  v„,  v„+,.  Donc,  égaler  o.j  à  zéro, c'est 
égaler  Ao  à  zéro. 

Or,  en  vertu  du  lemme  V,  on  peut  tirer  de 

A(,=  o 


PROPRIETES   DES   FONCTIONS   DEFINIES    PAR    LES    EQUATIONS   Al\    DIFFERENCES  PARTIELLES.       LXV 

V,,  V;;,  ...,  '/n+i  en  fonctions  algébroïdes  de  n  variables  nouvelles  p.,,  y.,,  ...,  p.n 
et  s'annulanl  avec  ces  variables. 

Donc,  les  z  et  les  x  étant  des  fonctions  algébroïdes  des  v,  qui  sont  des  fonc- 
tions algébroïdes  des  pi,  sont  des  fonctions  algébroïdes  des  a.  De  plus,  z  et 
les  Xf  s'annulant  quand  on  annule  les  v,  qui  eux-mêmes  s'annulent  quand  les  [/ 
sont  égaux  à  zéro,  se  réduisent  à  zéro  quand  on  fait 

[Jli  =  ilo  =  •  ■  •  =  [J^n  =  !>•  c.    0-    F.   D. 

Remarque .  —  La  remarque  relative  au  lemme  V  s'applique  également  au 
lemme  VI. 

Généralités. 

Nous  nous  proposons  d'étudier  les  propriétés  d'une  fonction  ;  de  n  va- 
riables j?i,  x^ /■„  qui  est  liée  à  ses  dérivées  partielles  du  premier  ordre, 

que  nous  appellerons 

dz  _   dz  _    dz 

dxi  '       dx->  ofj'n 

par  une  relation  de  la  forme 

Y{Z,  a-,,  T.,    ...,  Xn,pi,  Pu    •••,   Pn)  =  O. 

Nous  supposerons,  pour  simplifier,  que  F  est  un  polynôme  entier  par  rap- 
port à  :;,  aux  p  et  aux  x,  et  nous  poserons,  conformément  à  l'usage, 

/.=    ——)  A,  =  — —  ,  K,  =  -j—  - 

az  aXi  api 

Nous  nous  bornerons,  comme  l'a  fuit  Cauclij,  à  étudier  un  élément  de  la 
fonction  ^,  c'est-à-dire  la  série  des  valeurs  que  prend  cette  fonction  quand  on 
donne  à  .T),  Xn^  . . . ,  Xn  des  séries  de  valeurs  telles  que,  si 

sont  des  constantes  imaginaires  données, 

Pi,    p.,    ...,    K 

des  constantes  réelles  et  positives,  les  modules  de  x,  —  %f,  x^  —  a._,,  ...,  Xn  —  s<„ 
restent  plus  petits  respectivement  que  p),  ^2»  •  •  ■ ,  ?«■ 
On  pourra  toujours  supposer  que 

a,  =  z,  =  ...=  z„=  o, 
H.  P.  —  I.  i 


LX\I       rROPRIKTKS    DBS    FONCTIONS    nÉKINlES    PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  UIFFERENCES   l'AIlTlELLES. 

car,  si  cela  iiV-lail  pas,  on  poserail 

X,  =^-i-f-a,,         Xj  =  72-t-a., .!-„  =^'„ -+- «„, 

et  avec  ces  nouvelles  variables  on  serait  ramené  au  cas  où  les  a  sont  nuls. 

De  même  on  supposera  toujours  que  la  valeur  que  prend  la  fonction  z  quand 
les  X  s'annulent  est  zéro,  car,  si  cola  n'était  pas,  si  par  exemple  ;  prenait  alors 
une  valeur  finie  (3,  on  poserait 

si  z  prenait  une  valeur  infinie,  on  poserait 

I 

-i 

et  de  toute  façon  on  serait  amené  au  cas  où  ;  s'annule  avec  les  x. 

11  pourrait  arriver  qu'on  soit  obligé  d'étudier  un  élément  de  fonction  plus 
rcsUeint  encore,  comme  on  a  vu  que  cela  avait  lieu,  par  exemple,  dans  les  cas 
où  s'applique  le  lemme  V  (voir  la  Remarque). 

L'élude  que  nous  nous  proposons  de  faire  de  l'équation 

F  =  o 
comprend  la  résolution  de  trois  problèmes. 

l'HOBLÉME  I. 

Rechercher  quelles  sont  les  intégrales  z  de  l'équation  F=:o  qui  sont 
holomorphes  en  x,,  Xj,  . . . ,  Xn- 

PHOBLÈME  II. 
Intégrer  les  équations  différentielles 

ds  dcx        dx2  dxn  —  dp\  — -  dp„ 


(^) 


•^(Pi^i  P,  P;         ■'  P«  X, -+-/>, Z  ■        \„H-y,„Z  • 

1°  Sous  la  forme 

fô)  ?I  =  K,,  92=  K;,  ....  Ç,„=   K.,„, 

où  les  K  sont  des  constantes  arbitraires,  les  tp  des  fonctions  connues  de  z, 
des  X  et  des  j)  ; 
2*  Sous  la  forme 

oii  les  'j^  sont  des  fondions  connues  de  x^et  de  2n  constantes  arbitraires. 


PROPRIKTKS    DES  FONCTIOXS  DEFINIES  PAR  LES  EQUATIONS  \V\   DIFFERENCES  PARTIELLES.       I.XVII 

PROBLÈME  III. 

Recherclier  quelle  est  l' intégrale 

qui  satisfait  à  V  équation  ¥  ^=o  et  qui  se  réduit  identiquement  à  une  fonc- 
tion holomorphe  donnée  en  x,,  X'<,  .  .  .,  jr„ 

^(X,,  Xo, x„) 

quand  une  autre  fonction  holomorphe  donnée  en  x,,  x.j,  .  . .,  x„ 

0(>,,  aro,  ...,  x„) 
est  égale  à  zéro. 

Le  problème  peut  encore  s'énoncer  d'une  nuire  manière. 
En  effet,  les  deux  équations 

4!  —  p  =  o,      e  =  o 

nous  permellent,  en  vertu  du  lemme  VI,  d'exprimer  z,  x,,  x^,  .  ■ .,  x„  en  fonc- 
tions algébroïdes  de  /;  —  i  variables  auxiliaires  a,,  uj,  ...,  a„_,,  ces  fonctions 
s'annulant  avec  C(,'s  nouvelles  variables,  soil 

-=    =  Pi(f^).  'M,  ■■■■,  I-'K-i), 


Le  problème  III  s'énonce  alors  : 

TrouK'er  une  intégrale  de  V équation  V  =  o  qui  se  réduise  identiquement 
à  (3,  quand  on  y  remplace  respectivement  x,,  a?^,  . . .,  x„  par  9,,  9^,,  . . . ,  0,,. 

Cauchy  et  Jacobi  sont  arrivés  à  peu  prés  en  même  temps  à  ramener  la  réso- 
lution du  problème  III  à  celle  du  problème  11.  Rappelons  en  quelques  mots  les 
résultats  auxquels  sont  arrivés  ces  deux  grands  géomètres. 

Équations  linéaires. 
Supposons  que  l'équation  F  ^  o  soil  de  la  forme 

X, /*,-(-  X2/»2  +  .  . .-+-  X„/B„—  Z  =  o, 


I.XVm       PIlOfUIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX   DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

OÙ  \,,  X^.,  ...,  X.„,  Z  sont  des  fonctions  connues  de  x,,  x.^,  ...,  x„,  z.  Les 
équations  différentielles  (4),  (\m  portent  le  nom  (ï équations  des  caractéris- 
liqties,  prennent  ;ilors  la  forme 

dXi  _  dxt  _       _  dXn  _  dz 
A,  Xj  An  ^ 

Supposons  que  le  problème  II  soit  résolu,  c'est-à-dire  que  l'on  ait  les  inté- 
grales des  équations  (4)  sous  la  double  forme 

(5)  ?i=K,,        t?>=Kj tpn=K„, 

(6)  X,  =  i{/,,  j:5=4'.2.  ...,  Xn_,  =  'i„-,  ^  =  '!'«; 

on  trouvera  l'intégrale  que  l'on  se  propose  de  chercher  dans  le  problème  III, 
en  substituant  respectivement,  dans  tp, ,  (fn,  •■i  9n,  Pu  9, ,  9-..,  . . . ,  9„  à  la  place 
de  z,  X,,  Xo,  ...,  Xn,  ce  qui  doiiiieraà  ces  fonctions  cp  la  forme 

et,  en  substituant  ensuite  respectivement,  dans  à,,  <];.),  .  .  . ,  'L„,  •■,,  y.,,  . . . ,  y„ 
à  la  place  de  K,,  K.j,  . . . ,  K„,  on  aura  ainsi  l'expression  de  z,  x,.  x-2,  ■  ■  -,  -fn-i 
en  fonction  de  x„  et  des  [x.  Ce  sera  l'expression  implicite  de  l'intégrale  cherchée, 
et  ensuite,  quand  cela  sera  possible,  on  éliminera  les  [jl  entre  les  équations  qui 
constituent  cette  expression  et  l'on  résoudra  par  rapport  à  l'intégrale  pour  en 
avoir  l'expression  explicite. 

Équations  non  linéaires. 

Gauchj  a  fait  voir  d'abord,  en  ce  qui  concerne  les  équations  non  linéaires, 
que,  si  l'intégrale  cherchée  existe  : 

I  "  Les  dérivées  partielles  du  premier  ordre  p,,  p.,,  .  .  . ,  p,,  doivent  se  réduire 
identiquement,  quand  on  y  remplace  respectivement  x,,  x.,,  ...,  Xn  par  9,. 
62,  . .  .,  b„,  à  certaines  fonctions  u,,  oj^,,  .  .  . ,  w,,  faciles  à  déterminer. 

2"  Si  les  équations 

dz      _  dxt  _       _  dx^  _     —  dpt      _       _      —  dpn 
ont  été  intégrées  sous  la  double  forme 

(5)  <pi=  Kj If2n=   Kon, 

(6)  iri=  4/,,         ...,        />„  =  ij/s,, 


PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DEFINIES   PAR   LES  ÉQUATIONS   AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES.       LXIX 

nous  obtiendrons  l'expression  implicite  de  celle  intégrale  de  la  manière  sui- 
vante. 

Dans  <pi,  92)  •  •  •,  92/1  remplaçons  respectivement 

■^1      P\i      P-2t       ...)      fn^      ^1,      ^2:       •■•»      ^n 

par 

Pi,     (1),,      W.2,      ...,     a)„,     8,,     6.2,      ...,      0„; 

ces  fonctions  cp  deviendront  des  fonctions  des  [ji,  que  nous  appellerons 

yi,  y-2,    ■■■,   72"- 

Dans  A,,  'i2,  •  .  -,  '}2n)  remplaçons  respectivement 

K,,     Kj,     ....     K2,,, 
par 

ri,  y-.,    .-•.  72«, 

nous  aurons  Xt,  X2,  ....  ar„_,,  .:,  p, ,  p.^,  .  . . ,  yj„  en  fonction  de  Xn  et  des  |ji.,  et 
ce  sera  l'expression  implicite  de  l'intégrale  cherchée,  si  celte  intégrale  existe. 
Enfin,  Cauchj  a  fait  voir  que,  pour  que  la  fonction  ^  ainsi  définie  représente 
réellement  une  intégrale  de  l'équation  F  =  o,  il  faut  et  il  suffit  que  les  fonc- 
tions 

dz  dxi  dx«  dXn-\ 


d^i        ^'d^i        '^'dui        ■■■      ^"-'     d^i 

soient  identiquement  nulles. 

Remarque  I.  —  On  peut  toujours  supposer  que  w,,  lo.,,  .  .  .,  to„  sont  algé- 
broïdes  en  i;l,,  ijio,  .  .  .,  [/,,_! . 

En  eflet,  les  fonctions  W),  lOj,  .  .  . ,  w,,  sont  définies  par 

F  (Pi,  6|,  62, 6/i>  Ml,  '^■2,    •  .  -,  t^«)  =  o 

et  par  n  —  i  équations  telles  que 

d&t        df)^  rfBs  rf9„ 

-T—  =  -T— U)|-H  -j—  W.2  +  .  ..-H  -j— <0/l. 

a^j-i       a[ji,  a[j.,  a|jL,- 

Si  ces  II  équations  permettent  d'exprimer  les  w  en  fonctions  algébroïdes 
des  ij.,  il  n'y  a  pas  de  difficulté. 

Si  au  contraire  cela  n'a  pas  lieu,  on  pourra  toujours,  en  vertu  du  lemme  VI, 
tirer  de  ces  n  équations 

Kl,      l^î,      •••,      P«-l,     *^l,      l«J,      •■•,      ^n, 


l.XX      PROPRIKTÉS  DES  FONCTIONS    DÉFINIKS    PAR    LES    ÉQUATIONS    Al\    DIFFliBENCKS    PARTIELLES. 

en  fonctions  algcbroïdes  de  /(  —  i  nouvelles  \ariubles 


On  fera  jouer  alor>  à  ces  variables  nouvelles  le  rôle  ([Lie  joiiaiciU  a,,  <j..^,  ...,  jJi«_i, 
et  il  esl  facile  de  voir  que  ^i,  les  0  et  les  w  s'expriment  en  fonctions  algébroïdes 
de  V|.  v_, v„_|. 

liemarque  II.  —  La  remarque  (jui  précède  ne  s'applique  pas  aux  cas  où  w,, 
(.)j,  .  .  . ,  lOn  ne  gardent  pas  des  valeurs  finies  quand  on  annule  les  jj.. 

Remarque  III.  —  Parmi  l(;s  intégrales  des  écpialions  des  caraclérlsllques 
mises  smis  la  forme 

(5t  (j>|  =  K|,         !f2=  K,,         ...,         <p,„=Kj„, 

il  y  en  a  une,  Oi,,  par  exemple,  tpii  n'est  autre  que  le  premier  membre  F  de 
l'équation  F^o.  Donc,  quand  on  prendra  les  intégrales  des  équations  (4) 
sous  la  seconde  forme 

on  pourra  remplacer  |jailoul,  ilans  ■!>,,  'L^,,  ....  'Lj,,,  Ko,;  par  zéro. 

Propriétés  des  fonctions  J. 

On  a  vu  que  la  métbode  de  Caiu:liy  pour  Finlégralion  des  équatictns  aux  dif- 
férences partielles  était  soumise  à  une  restriction. 

La  fonction  à  laquelle  elle  conduit  ne  représente  l'intégrale  chercliée  que  si 
certaines  fonctions  J,,  J.,,  .  .  .,  J„_i  sont  identiquement  nulles. 

Or  Cauclij  a  démontré  : 

i"  Que  ces  fonctions  sont  nulles  quand  on  y  rempbu'c  x„  par 

(|„l  |A,,  ;ij,    .  .  .,   \Xn'-,i; 

2*  Qu'elles  satisfont  à  l'équation 
c'est-à-dire  que,  J„  étant  la  valeur  de  J  quand  .r„  =:  0„, 


PROPRIETES    DES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR  LES  EQUATIONS  AUX   DIFFKRENCES  PARTIELLES.       LXXl 

Supposons  ijue  l'on  ail  donné  aux  jj.  des  valeurs  quelconques,  par  exemple 

|i,  =  (ij  =  .  ..=  ^x„_,  =o; 

l'intégrale  sera  prise  depuis  la  valeur  do  x„,  qui  correspond  à  .r„  =  9„,  c'est- 
à-dire  depuis  zéro,  jusqu'à  une  valeur  quelconque  de  cette  varialjle. 
Si  Pre^o,  il  est  évident  (jue  l'intégrale 


/''""è 


conserve  une  valeur  finie  et  déterminée,  et,  par  conséquent,  puisque 

.lo  =  o, 

que  J  est  identiquement  nul. 

Si  P„  =^  o,  mais  que  IV  par  exemple  ne  soil  pas  nul,  on  fera  jouer  à  .r,  le  rôle 
qu'on  avait  fait  jouer  à  x^  c'est-à-dire  ([ue,  au  lieu  de  résoudre  les  équations 

(5)  ca,  =  K,,         . . .,         92/,=  K;„ 
en  fonction  de  x,i  pour  les  amener  à  la  forme 

(6)  x,='!fi,         x:,  =  <\iî,  ...,         x„-i=<]/n-i, 


on 


les  résoudra  en  fonction  de  Xi]  l'intégrale  /  dx,i  p-  sera  remplacée  par  l'inté- 
grale  /  dxi-^1  qui  conservera  une  valeur  (inic,  et  les  fonctions  de  J  seront 

encore  nulles. 

Si 

P,  =  P,  =....  =  P„  =  o, 

mais  que 

X,-)-/),Z5o, 

on    résoudra   les    équations    (ô)   en  fonction    de  yo,-,    cl   à  la    place   de  l'inté- 
grale /  dxn  -75-  on  rencontrera  l'intégrale  /  dpi  -^ '- — -,  dont  la  valeur  est  aussi 

finie. 

Dans  ce  cas  encore,  les  fonctions  i  sont  identiquement  nulles. 

On  n'a  donc  à  se  préoccuper  de  la  condition  de  restriction  relative  aux  fonc- 
tions J  que  dans  les  cas  où  l'on  a  à  la  fois 

P,=  P,  =  ...=  p„=o, 
\i+PiZ=\i-\-p.,'L  =...=  X„  +  /)„Z  =  o. 


LXXII      PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  liQUATIONS  AIX  DIFFERENCES   PARTIELLES. 

PREMIÈRE  PARTIE. 

ÉTUDE  DES  CAS  OU  l'oN  n'a  PAS  A  LA  FOIS 

l'i  =  1*2=...=  P„=  O, 
\  I  -h  y,,  Z  =  Xi,  +  /).,  Z  =  .  .  .  =  X„  -+-  /J„  Z  =  o. 

Dans  ces  cas  on  n'a  pas,  comme  on  vient  de  le  voir,  à  se  préoccuper  de  la 
condition  relative  aux  J. 
On  suppose  d'abord  : 

1°  Qu'on  veuille  étudier  une  intégrale  autour  du  point 

Z  =  Xi  =  Xi  =  .  .  .=  Xn=  o, 

cette  intégrale  étant  assujettie  à  se  réduire  à 
quand  on  a 

6(^1,  a-2,    .  ..,  .-Tn)  =  O, 

^  et  6  étant  des  fonctions  holomorphes  des  x  qui  s'annulent  avec  ces  variables; 
2°  Que  les  fonctions  w,,  w.,,  .  .  .,  (o„  auxquelles  les  dérivées/?,,  p.,,  .  .  .,  pn 
sont  assujetties  à  se  réduire,  comme  on  l'a  vu  plus  haut,  quand 

0  =  o, 

prennent,  quand  les  x  s'annulent,  des  valeurs  finies 

yu   72,    •••,   /«; 

3°  Quen  substituant 

o,      o,      o,      ...,      o,     7i,     j!,       ...,     /n, 

dans 

P,,       I".,       ...,       ^n, 

Xi-t-Z'iZ,         ...,         X„  +  /*„Z, 
à  la  place  de 

Z,      X,,      Xi,       ...,      Xn,      Pu      Pl,       •••!      Pn, 

toutes  ces  fonctions  ne  s'annulent  pas  à  la  fois. 


PROBLEME  1. 


Le  problème  I  a  été  résolu  successivement  par  Canclij,  par  M""'  de  Kovva- 
lewski  et  par  M.  Darboux. 


PROPRIÉTÉS  DES  FONCTrONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.      LXXIII 

Théorème  nEM""=DE  Kowalevvski.  —  Si  0(X|,  x^,  ....  t„)  se  réduit  identi- 
quement à  Xn,  c'est-à-dire  si  Von  a  à  étudier  une  intégrale  qui  se  réduit 
à  ^  pour  Xn  =  o,  cette  intégrale  est  holomorphe,  pourvu  que 

{Journal  de  Cvelle,  t.  80.  p.  i3.) 

PROBLÈME  II. 

1.    Intégrer  les  équations  (4)  sous  la  forme  (5). 

Gela  revient  ù  chercher  in  inlégrales  distinctes  de  l'équation  linéaire 

Or  un  au  moins  des  coefficients  de  celte  équation,  P,  par  exemple,  est  diflé- 
renl  de  zéro. 

Cherchons  donc  in  intégrales  de  l'équation  (j)  assujetties  à  se  réduire  res- 
pectivement, quand  ar,  ^  o,  à 

/,     (a-,,  Xi,    ....   Xn,   Z.  p,.  p^, /'„), 

fi   (a-,,  j-j,   x„,  z.  Pu  Pi,  ...,  p„), 


Ani^l,  ^3,    ■  ■  .,  37,,,  -S,  pi,  Pi,    .  ..,  p„). 

1°  Où  y,,  /.,,  .  .  .,  /.,„  sont  des  fonctions  holomorphes  en  x^,  x^,  .  .  .,  x„, 
-i/'i  —ynP-2  —  r-2,  ■  ■  .,  pn—r,,; 

2"  Où/.j„  n'est  autre  chose  que  ce  que  devient  le  premier  membre  de  F  =  o 
quand  on  j  fait  a?i  =  o  ; 

3°  Où  le  déterminant  fonctionnel  des_/' par  rapport  à 

Xi,      Xi,      ....      X„,      Z,     /),,      pi,      ...,     p„ 

ne  s'annule  pas  quand  ces  variables  se  réduisent  respectivement  à 

o,     o,      ...,     o,     o,    Xi,    j,,      ...,    y,,. 

On  peut  toujours  faire  toutes  ces  suppositions. 

Or,  en  vertu  du  théorème  de  M"'°  de  Kowalevvski,  les  m  intégrales  ainsi 
définies  sont  holomorphes  en 

Xi,     X2,      ...,     X„,     Z,     p\—yu     Pï—.rt,      ...,     Pn—fn 

et,  d'ailleurs,  la  dernière  se  réduit  à  F. 
H.  P.  —  I. 


LWIV       l'ROPniKTÉS  nKS  FONCTIONS  nKFIMRS  PAU   LES  6QlIATI0^'S  AIX  111FFÉREN0F.S  PARTIKLLES  . 

Ues  inlégrales  cherchées  du  système  (4)  sont  donc 

f  1  =  K,,  9;  =  Kj,  .  .  .  ,  »,„_,  =  Kan-i,  F  =  Kon, 

où  ç)|,  Oo,   ...,  Q>n-\   sont  holiimorplies  en  X),  x-,,    ■■■•  oc„,  :•,  pt — y,,    ..., 

Pn  —  Vn- 

11.  Soil  maintenant  à  amener  les  intégrales  du  système  (4)  sous  la 
forme  (6  ). 

Cela  revient  à  résoudre  le  système  (5)  par  rapport  à  toutes  les  \arial)les  qui 
V  entrent  en  l'onelion  de  l'une  d'elles,  en  fonction  de  Xi  par  exemple. 

Or  le  déterminant  fonctionnel  des  cp  par  rapport  à  x-2,  .  .  .,  x„,  z,  p,,  .  .  .,  /)„ 
n'est  autre  chose,  pour  les  valeurs  initiales,  que  le  déterminant  fonctionnel  des/ 
par  rapport  aux  mêmes  variables,  qui  n'est  pas  nul,  par  hypothèse. 

Donc  le  théorème  do  MM.  Briot  et  Bouquet  s'applique,  et  l'on  peut  exprimei' 
x>i  a"3,  .  .  . ,  x„,  z,  p\ ,  p>,  .  .  . ,  /'«  en  fonctions  holomorphes  de  x,  et  des  K  : 

(G)       i  =  'ii,         Xi='\t,         ..,,         x,t=<h,„         /'i  =  'l'«+i,  ••., 

PROBLÈME  m. 

PItEiVIIKIt    CAS. 

TnÉORÈME  1.  —  Dans  le  cas  où 


1/' 


M 


ne  s'annule  pa's  pour  les  valeurs  initiales  des  variables,  r intégrale  z  est 
lioloniorphe. 

En  effet,  faisons  un  changement  de  variables  en  posant 

Puisque 

,  V  P   ^"^  - 


/VA 

toutes  les  valeurs  initi;des  des  - —  ne  sont  jias  nulles;  soit,  par  rxemple. 

On  pourra  résoudre  alors  l'équation  (8)  par  rapport  à  x,,  et  l'on  aura 

-i'i  =  G(^,  Xi,  .  .  .,  x„), 
G  étant  holomorphe. 


l'HOPHIÉTÉS  fiES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AIX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES.       LXXV 

Soient  f]i,  f/j,  .  .  . .  q,i_  les  iluiivelles  dérivées  partielles  de  :  par  rapport  à 

on  aura 

M 

M 
Soient  Q,,  Q,,  .  .  .,  Q„  les  dérivées  de  F  par  rapport  à  7,,  q..  .  .  . ,  «y,,  :  on 


aura 


L'intégrale  cherchée  est  donc  assujettie  à  se  réduire  à  une  fonction 

P[G(7,  3-,,  .,.,  a-„),  jTj,  ...,xn], 

qui  est  holoniorphe  en  y,  x-^,  .  •  • ,  .r„  quand 

^■  =  0, 
et  d'ailleurs 

Donc  le  théorème  de  M""'  de  Kowalewski  s'applique,  et  :  est  holoniorphe 
en  y,  ar.,  .  .  .,  Xn  et  par  conséquent  aussi  en  x,,  X-,,  .  .  .,  jr„. 

c.    Q.    F.    n. 

Inlerprctation  géométrique.  —  Sup{)osons  que  l'on  n'ait  que  deux  variables 
indépendantes  x  ely\  l'intégrale 

i  =  f{3:,y) 

peut  alors  être  considérée  comme  représentant  une  surface  S. 

11  est  facile,  dans  ce  cas,  de  trouver  une  interprétation  géomélrique  de  la 
condition  (9). 

L'équation  F  =  o  signifie  qu'au  point 

X  =y  =  z  =  o, 

c'est-à-dire  à  l'origine,  le  plan  tangent  P  à  la  surface  S  est  langent  à  un  cône 
donné  C. 

Dire  que  l'intégrale  ;  est  assujettie  à  se  réduire  à  (3  quand  on  a  9  =  o,  c'est 
dire  que  S  est  assujetti  à  passer  par  une  courbe  donnée  A  qui  passe  elle-même 


I.XXVI       PROPRIETES  DES  FONCTIONS  DEFINIES  PAR  I.ICS  EQUATIONS  AUX   DIPFERENCES  PARTIELLES. 

par  rorigine,  el  par  conséqueiilque  le  plan  P  passe  par  la  tangente  à  l'origine  T 
;\  la  courbe  A. 

On  obtiendra  tlonc  le  plan  V  en  menant  par  T  un  plan  tangent  à  C.  On 
pourra  en  général  en  mener  plusieurs,  c'est-à-rliie  que  par  la  eourbe  A  on 
pourra  faire  passer  plusieurs  surfaces  S. 

Considérons  une  de  ces  surfaces.  Dire  que  ji,  j'j,  .  .  . ,  J«  sont  finis,  c'est 
dire  que  le  plan  P  correspondant  n'est  pas  parallèle  à  l'axe  des  z.  Dire  que 

c'est  dire  que  T  n'est  pas  sur  le  cône  C. 

A  ces  conditions,  la  surface  S  est  représentable  par  une  équation  où  z  est 
égalé  à  une  fonction  holomorplie  de  x  et  de  y. 

DKUXIÈME    CAS. 

j,.  y-,,  ...,_}'„  restent  Unis,  mais  la  condition  (y)  n'est  pas  remplie. 
Géométriquement,  c'est  dire  que  le  plan  P  ne  passe  pas  par  l'axe  des  ;;,  mais 
que  T  est  sur  le  cône  C. 

Supposons  d'abord  (|ue  l'équation  F  =  o  est  linéaire. 

Théorème  11.  —  Dans  ce  cas,  l'intégrale  z  peut  s'exprimer  en  égalant 
à  zéro  une  fonction  <1>  holomorphe  par  rapport  à  z  et  aux  x,  el  sUinnnlant 
avec  ces  variables^  pourvu  que,  si 

ifi  =  Kl,         . . .,         (p„=  K„ 

représentent  les  intégrales  du  système  (4),  et  si  w,,  90,  .  .  .,  -j,,  s'annulent 
avec  z  et  les  x,  z  —  (3  e<  0  ne  s'annulent  pas  identiquement  à  la  J'ois  quand 
tous  les  9  sont  nuls. 

En  ert'et,  si  une  pareille  expression  de  l'intégrale  existe,  elle  pourra  s'écrire 

(10;  'l'(tfi,  ?î,   .  .  .,  œ,,)  =  o; 

9,,  9-2,  .  .  .,  9„  étant  des  fondions  qui,  étant  égalées  à  des  constantes,  repré- 
sentent les  intégrales  du  système  (4),  sont,  comme  on  l'a  vu  (résolution  du 
Problème  11),  holomorphes  par  rapport  à  ;  et  aux  x  et  s'annulent  avec  ces 
variables. 

De  plus,  <I>  devra  être  identiquement  nui  (juaud  on  aura  à  la  fois 

(\\)  i-p  =  o,        6  =  0. 


PROPIIIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       LXXVII 

Faisons  un  changement  de  variables  en  prenant  pour  variables  nouvelles  a^^i, 
9i,02,  ...,  £p„;  nous  aurons 

(6)  -3=  4'!.  ^2=4'=!  ••••  ■^n=<!^n-, 

les  'i   étant  holomorphes  par  rapport  à  a^i   et  aux  cp  et  s'annulant  avec   ces 
variables.  (  Voir  la  résolution  du  Problème  II.) 
Les  équations  (i  i)  deviennent  alors 

B  =  G,  0  =  0, 

B  et  C  étant  holomorphes  par  rapport  à  x,  et  aux  cp  et  s'annulant  avec  ces 
variables. 

On  trouverait  lintégrale  (lo)  en  éliminant  Xi  entre  ces  deux  équations. 

Or  B  et  G  ne  peuvent  être  identiquement  nuls,  quel  que  soit  x,,  quand  les  m 
s'annulent,  sans  quoi  on  aurait  identiquement 

z  —  ^  =  o,         ()  =  o 
quand 

91  =  <?2  =  •••=?«=  o, 

ce  qui  est  contraire  aux  hypothèses  faites  en  commençant. 

On  pourra  donc  tirer  (Lemme  III)  de  C  =  o,  par  exemple,  x,  en  fonction 
algébroïde  des  9;  si  l'on  substitue  cette  valeur  de  a;,  dans  B,  cette  dernière 
fonction  devient  algébroïde  par  rapport  aux  cp,  c'est-à-dire  qu'elle  est  liée  aux  cp 
par  une  équation  de  la  forme 

B"'-f-  A,„-,B"'  '— .  . .-(-  AiB  -H  Ao=  o, 

où  les  A  sont  holomorphes  par  rapport  aux  <p. 

L'équation  B  ^=  o  est  alors  équivalente  à  A^  :=  o,  et  le  premier  membre  de 
cette  équation,  qui  n'est  autre  que  l'intégrale  (10)  cherchée,  est  holomorphe 
par  rapport  aux  9. 

Donc,  si  l'on  remplace  les  9  par  leurs  valeurs,  A„  devient  une  fonction  <P 
holomorphe  en  2,  x,,  x-;,,  .  .  . ,  x,,  et  s'annulant  avec  ces  variables,  et  l'intégrale 
cherchée  s'exprime  en  égalant  cette  fonction  à  zéro,  ce  qu'il  fallait  démontrer, 

TROISIÈME    CAS. 

Les  y  restent  finis,  la  condition  (9)  n'est  pas  remplie,  mais  l'équation  F  =  o 
n'est  pas  linéaire. 

Théorème  III.  —  Dans  ce  cas,  V intégrale  z  peut  s'exprimer  en  égalant 


LXXVIII       PROPRIÉTÉS  DBS  FONCTIONS  DÉFINIBS  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  IIIKFKRENCKS  PARTIELLES. 

à  séro  II  -f- I  fondions  F,,  F..,  .  .  .,  F„_(.i  holomorphes  par  rapport  à  z,  x,, 
Xî^  ....  Xn,  Pi  — ^1,  Pî  — Je.  •  ■  • ,  Pli  — ,'■„  e(  S' annulant  avec  ces  variables, 
pourvu  que.  si 

représentent  les  intégrales  du  système  (4),  si  tp,,  cp^.,  .  . .,  (p.2«  s'annulent 
quand  z  et  les  x  se  réduisent  à  zéro  et  les  p  aux  y,  les  fonctions  z  —  (3, 
Pi — tu,,  P2 — w-2,  ...,  pn  —  w„,  6  ne  s^annulent  pas  identiquement  à  la 
fois  quand 

Çl    =     tp.l  =   .    .    .  =    (p;„  =    O. 

En  effet,  en  raisonnant  comme  on  Ta  fait  pour  le  théorème  |)récédenl,  on 
verrait  que  pour  obtenir  lintéorale  cherchée  il  sulTil  : 

1"  De  changer  de  variables  en  posant 

-  =  't'i,  ^2='j'2,  ••■,  ^n='^i/ii,  P\='^n+U  ■■■,  Pii='\'in, 

les  'I  étant  les  fonctions  qui  sont  définies  dans  la  résolution  des  équations  (4) 
sous  la  forme  (6)  ; 

2"  De  faire  celle  substitution  dans  les  premiers  membres  des  équations 

c  —  p  =  o,         j/,  —  io,  =  o,  ...,         p„—oi„  =  o,         0=0, 

qui  deviennent  alors 

B,  =  o,         62=0,         ...,         B„+,  =  0,         B„^,5=o, 

les  B  étant  des  fonctions  holomorphes  de  x,  et  des  o  s'annulanl  avec  ces 
variables; 

3°  D'éliminer  Xt  entre  ces  n  +  2  équations. 

Or  lî|,  B,,  .  .  .,  Kny'  ne  peuvent  cire  idcnti([uemciit  nuls  à  la  fois,  quel  que 
soit  X,,  quand  les  cp  s'annulent,  à  cause  de  la  condition  de  restriction  posée  au 
début.  Supposons,  par  exemple,  que  ce  soit  Bh+j  qui  ne  s'annule  pas  identi- 
quement dans  ce  cas. 

On  pourra  tirer,  de  B^^.j  =  o,  x,  en  fonction  algébroïde  des  o;  substituant 
celte  valeur  de  x,  dans  B,,  B^,  .  .  . ,  B„-(.i,  ces  fonctions  deviennent  algébroïdes 
par  rapport  aux  o  (Corollaire  II  du  Lenimc  III). 

L'intégrale  s'exprime  donc  en  égalant  à  zéro  n  +  1  (onctions  algébroïdes 
des  9,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  en  annulant  n  +  1  fonctions  holomorphes 
des  cp  ou,  ce  qui  revient  encore  au  même,  /(  +  1  fonctions  holomorphes  en  z, 

X,,  Xi,    .  .  .,  Xn,  pt  —fi,  p-2  —y-2,    ■  ■  .,  fit  —  y'n-  C.  Q.  F.   D. 


PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉOUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES    PARTIELLES.       LWIX 

Théorème  IV.  —  Si,  dans  le  troisième  cas,  :;  ou  les  p  ne  prennent  pas  une 
forme  indéterminée  quand  les  x  s'annulent,  z  est  une  fonction  algébroïde 
des  X. 

En  effet,  on  vient  de  voir  que  l'intégrale  clierchée  s'exprimait  en  égalant  à 
zéro  n  +  i  fonctions  lioloinorplies  en  ;,  x  ^ ,  .r.j,  ....  .r,,,  p^  —  )-, ,  p.^  —  )_,,  .  .  . , 
yO„  — jn  et  s'annulant  quand  on  égale  z  et  les  x  à  zéro  et  les  /)  aux  j)'. 

Soient 

ces  n  +  I  équations.  Si  ces  équations  restent  distinctes  quand  les  x  s'annulent, 
on  pourra  leur  appliquer  le  lemnie  IV. 

Mais  dire  qu'elles  ne  sont  pas  distinctes,  c'est  dire  que  ;  ou  les  p  cessent 
d'être  déterminés  quand  les  x  s'annulent.  Or  cela  n'a  pas  lieu,  par  hypothèse; 
donc  le  leinme  IV  est  applicable,  donc  ;  est  une  fonction  algéhroïde  des  x. 

C.     Q.     K.     I). 

Remarque  l.  —  Il  est  facile,  dans  le  cas  de  deux  variables,  de  trouver  une 
interprétation  géométrique  des  conditions  de  restriction  posées  dans  l'énoncé 
du  théorème  précédent. 

Dire  en  effet  que  :  cesse  d'être  déterminé  quand  x  q\.  y  s'annulent,  c'est  dire 
que  la  surface  S  passe  par  l'axe  des  r. 

Dire  que  p  e.1  q  cessent  d'être  déterminés  quand  x  el  y  s'annulent,  c'est  dire 
que  la  surface  S  présente  un  point  conique  à  l'origine. 

Si  aucun  de  ces  deux  cas  ne  se  présente,  le  théorème  W  est  applicable. 

Remarque  II.  —  Dans  le  second  cas,  les  n  +  i  équations 

H/=o 

se  réduisent  à  une  seule  où  n'entrent  pas  les  p. 

Le  théorème  IV  sera  donc  applicable  toutes  les  fois  que  z  ne  deviendra  pas 
indéterminé  quand  on  annulera  les  x. 

Théorème  ^  .  —  Dans  le  deuxième  et  le  troisième  cas,  Vintègrale  cherchée 
peut  s'exprimer  en  égalant  z  et  les  x  à  des  fonctions  algébrotdes  de  n  nou- 
velles variables  a,,  [Xo,  ....  |jl„. 

En  effet,  il  suffit,  pour  démontrer  ce  théorème,  de  se  reporter  aux  équations 

H|  =  Hj  =  . . .  =  ï\n+i  =  iJ 

et  de  leur  appliquer  le  lemme  \'J. 


L\xx    morniKTKS  dks  fonctions  nicFiNins  par  les  kouations  aux  différences  partikt.les. 

Les  proiiiitM-s  inpml)res  de  ces  équalions  sont  liolonior|)hes  par  nipporl  à  ;, 

Pi  —  Vi-  /'2— .r-j,    ..-,  pn  —  Vn,  -Tt,   ■■■,  x„.  Donc  ;,.?,,    ...,  .r„  pcuvcnl 

s'exprimer  en  (onctions  algébroïdcs  tle  //  variables  auxiliaires  ij.,,  j^.j,   .  .  .,  jj.„. 

Exemple  1.  —  Soit  à  trouver  une  intégrale  de  l'équation 

p^q  =  \ 

qui  se  réduise  à  .r  +  .r  '  quand  on  j  fait 

_y  =  a?  +  x"^. 

Les  équations  (4),  qui  s'écrivent 

ilx        dy        dz  ' 

ont  pour  intégrales 

(5)  z  —  a:  =  Kl,         y  —  a;  =  K^,  ■  ou   Ijien 

(6)  ;;  =  2'+K,,         y  =  .r  +  \\^_. 

En  remplaçant  z  et  y  par  leurs  valeurs  (6)  dans  les  équations 

z  =  X  +  .r-',         j'  =  a"  -I-  ,r-, 

il  vient 

K]  =  .r3,         K.j  =  x'-^ 

ou,  éliminant  x^ 

K5=K?, 

ou 

{z  —xY-  =  (y  —  xY. 

On  était  placé  dans  le  second  cas,  car  l'équation  proposée  est  linéaire  et 

'^Tx^'^Ty-'-'-''- 

C'est  pourquoi  on  est  arrivé  à  exprimer  l'intégrale  en  égalant  à  zéro  une  fonc- 
tion homolorphe  en  x,  f,  ;  : 

{z—x)"-~{y--xy\ 

de  plus,  celte  fonction  ne  s'annule  pas,  quel  que  soit  -;,  quand  x  =y  =  o. 
Donc  le  théorème  IV  s'applique  et  ;  est  algébroïde  en  x  et  en  j'. 

Exemple  II.  —  Soit  à  trouver  une  intégrale  de  l'équation 

qui  se  réduise  à  -  quand  on  fait 

y  =  x. 


PROPRIETKS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  EQUATIONS  AUX  DIFFERENCES  PARTIELLES.      LXXXI 

On  est  encore  placé  dans  le  second  cas,  car  l'équation  est  linéaire  et  la  con- 
dition (9)  n'est  pas  remplie.  Le  théorème  II  s'applique  donc. 
Les  équations  (4);  qui  s'écrivent 

dx        dz  dy 

ont  pour  intégrales 


I  I 


(5)  3  — a;  =  Ki,         «2-1- ^^  —  a:  =  Kj, 
ou  bien 

(6)  z=a;-+-K,,         j' =  ar-f-  K2  — (x -I- K,)-; 

en  remplaçant  j-  et  z  par  leurs  valeurs  (6^  dans  les  équations 

y  —  x-=-o,  z =  0, 

2 

il  vient 

K2— (t -(- K,)-=  o,         a?  =  — 2K1, 

ou,  en  éliminant  a;, 

K2-KÎ  =  o, 

ou  encore 

(12)  (;2  +  _^_a;)-(;;_x)2=0, 

qui  est  l'intégrale  cherchée,  exprimée  par  une  équation  dont  le  second  membre 
est  zéro  et  le  premier  une  fonction  holomorphe  en  x,  y^  z. 

Mais  ici  l'équation  (12)  est  satisfaite,  quel  que  soit  ;,  quand 

X  =  y  =  0. 

Le  théorème  IV  ne  s'applique  donc  pas. 

Exemple  III .  —  Soit  à  trouver  l'intégrale  de 

p^+q  =x+y, 
qui  se  réduit  à  -  pour  y  =z  -. 


X 

1 
'ix 


Les  dérivées  partielles  p  et  q  sont  alors  assujetties  à  se  réduire,  quand  y^=z  ~  .  à 

en  raison  de  la  relation  ^  =/>-)-  ~^q  {Remarque  /,  p.  lxtii)  [• 

Les  valeurs  initiales  de  p  et  q  sont  1  cl  —  i,  et  par  conséquent  finies;  de 
plus,  la  condition  (9)  n'est  pas  remplie;  on  est  donc  dans  le  troisième  cas,  et  le 
théorème  III  s'applique. 

H.  P.  -  I.  ,  ,. 

/  f  7  3  é  / 


lAXXII       PnOl'HIKTK»  III  S   PONCTIONS  IIKFINIKS  l'A»  I.KS  KOUAriONS  AUX  DIFFUnENCBS  PARTIELLBS. 

Les  i'(|Uiitioiis  (  j),  i|iii  s'porivrnl 

dp       iiij        dj-       dy 
I  \    ~  ip         I 

oui  pour  inlc<;riilcs 

(5)  j.    y)==:K|,         ,/— /)  =  K,,        />»-+- 7  —  .r—^  =  Ka, 

ou    llICII 

U'»  '/       K,  I  /',        ^'=K,-i-/),        X  =/)2-f- K,— K,— Kj. 

Si,  liiiiis  les  i'(|Uiil loiis 

y=-      0'-.)'--  =  o, 

on  i'cm|tLicc  </._)■  cl  .»•  par  Iimms  valeurs  (^(i),  il  vient 

ïK|-t-  >/»  =/>•-(-  Kj—  K,—  Kj, 
.,  (/.  -    i)>  —  3/''  —  3  K,  4-  :î  K ,  -H  3  Kj  =  o. 

(îcs  «•(ju.ilioii>  pcuMiil  s  écrire 

•jKi-hi  =  (/)  —  l)'-(-a,         ■i(p  —  \Y=  i/>'-|-  3a; 

en  posaiil,  pour  ai)réuer, 

Kj—  K,  — K,=  a, 
d'où 

4K,-i-7.  — '.a  =  3/>', 


cl  n'iu|)laçanl  dans  la  première  éipialion  /»  |>ar  sa  valeur,  il  vieni 

(.4)  <^4K.+  ,-5.)=(-<-!^i:±f:i^  +  «-,.iO 


Si  ilaii>.  celle  relation  on  remplace  a  par  Kj  — K,  — Kj,  puis  K,  et  Kj  par 
leur!)  valeurs  (5),  h.]  par  zéro,  ce  qui  peut  toujours  se  l'aire,  puisque 

/''•+-'/  — •'•—r  =0; 

un  aura  une  i-qiialion  enirc  />,  ij,  .r,  y  dont  les  ilcux  ineinhres  sont  holoinorphes 

par  rapport  à  ces  variables. 

Cette  relation,  jointe  à 

/>'•+- 7  —  X  —y  =  0, 

Heliiiil/)  et  (j  en  fonction  de  .1:  et  de  j'. 
Si  dans  l'rquation 


X 

ji  =  - 

a 


PBOPBIKTÉS  DES  FOirCTIONS  D^PIMES  PAH  LE8  KCtL'ATIO^^  AUX   niPrÉBENCEg  PARTIELLES.       lAXXIII 

on  avait  remplacé  z  el  x  par  leurs  valeurs  (6),  puis  p  par  sa  valeur  (i'j), 
puis  K),  K2,  K3  par  leurs  valeurs  (5),  on  aurait  obtenu  une  équation  dont  les 
deux  membres  auraient  été  holomoq)liespar  rapport  à  z,  x,y,  p.  q. 

z,  p  fA  q  se  seraient  alors  trouvés  définis  par  trois  équations  ayant  leurs 
deux  membres  holomorphes  en  z,  r,  y,  />,  q,  comme  l'exige  le  théorème  III. 

Voyons  maintenant  si  le  théorème  IV  s'applique. 

Pour  cela,  voyons  si,  en  substituant  dans  l'équation  i\^\),  à  la  place  de  y., 
K,  —  K.J  —  K3,  à  la  place  de  K,,  K,,  K,  leurs  valeurs  (5j,  enfin,  en  fai- 
sant X  ^  y  =^0,  l'équation  en  p  et  en  q  que  l'on  obtient  ainsi  est  distincte 
àt  p''  -\-  q  ^  o.  Mais  si,  dans  les  expressions  (5  j,  on  fait 

X  =y  =0, 

il  vient 

Ki=  —  p,        -/=-/.'. 

L'équation  (if\)  transformée  ne  contient  pas  q;  donc  elle  est  distincte 
de  p'-\-q  ^o,  pourvu  qu'elle  ne  se  réduise  pas  à  une  identité.  Or  on  voit 
facilement  que  son  premier  membre  est  du  degré  2  en  p,  tandis  que  le  second 
membre  est  du  degré  4-  Donc  les  deux  équations  sont  distinctes.  Donc,  en 
vertu  du  lemme  IV.  on  peut  tirer  de  l'équation  {i4)  non  transformée  et  de 

p  fil  q  en  fonctions  algébroides  de  x  et  de^'. 

Donc  z  sera  aussi  une  fonction  algébroïde  de  x  et  de_>'.  Donc  le  théorème  IV 
s'applique. 

Calcul  des  coefficients. 

Dans  les  exemples  qui  précédent,  on  a  formé  les  fonctions  H,,  Hj,  , . . ,  Hn+t 
qui,  égalées  à  zéro,  donnent  l'expression  de  l'inttigrale  par  la  méthode  même 
qui  a  servi  à  en  démontrer  l'existence;  mais,  en  général,  il  est  préférable  d'en 
calculer  directement  les  coefficients  par  le  procédé  que  je  vais  exposer  rapi- 
dement. 

Équations  linéaires  homogènes. 
Soit  l'équation 


X,^^X,^-^...-X 


et  soit  à  en  trouver  une  intégrale  qui  se  réduise  à 


I.XXXIV       PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

quand  on  a 

0(xj,  xj,  .  .  .,  x„)  =  o. 

On  a  vu  que  pour  trouver  cette  intégrale,  il  faut  : 
i"  Remplacer  x^,  .  .  . ,  Xn  par  les  expressions 

(6)  ■  a;2=4<2,  ...,         .r„=4/„; 

les  expressions  cp  —  (3,  9  deviennent  alors  holomorphes  par  rapport  à  aï)  et  à  cp, , 

Çî)  •  •  •  )  9«— '  > 

2"  Résoudre  par  rapport  à  .r,  l'équation 

e  =  o 
ainsi  transformée  et  remplacer  Xi  par  sa  valeur  dans  l'équation 

<p—  P  =  0, 

également  transformée  ; 

3°  Remplacer  dans  l'équation 

?  — P  =  o, 

après  cette  double  transformation,  «,,  c»,,  .  .  .,  o„_i  par  leurs  valeurs  en  fonc- 
tion de  X,,  x-,,  ■  .  ■ ,  x„- 

Si  dans  l'équation  9  :=  o,  après  sa  transformation,  la  première  des  dérivées 

partielles  de  9  par  rapport  à  x,,  qui  ne  s'annule  pas  avec  les  x,  est  -p— ^;  cette 

équation  donne  x^  en  fonction  algébroïde  de  degré  m,  de  tp,,  tp„,    .  .  .,  o„_,  ; 
donc  o  est  également  algébroïde  de  degré  tn  en  tp,,  cp^,  .  .  . ,  »,,_!,  et  par  con- 
séquent en  j;,,  x^,   ...,Xn- 
Si,  par  exemple,  on  a 

dxi  '         dx\  ' 

quand  les  x  sont  nuls,  ip  sera  donné  par  une  équation  de  la  forme 

ç2-t-  Aitp  -H  Ao  =  o, 

où  Aq  et  A,  sont  holomorphes  en  x, ,  ^2,  . .  . ,  x,,. 

Ce  sont  les  coefficients  des  deux  séries  A„,  A,  qu'il  s'agit  de  calculer. 

Pour  que  ce  qui  suit  soit  plus  clair,  nous  emploierons  les  notations   sui- 
vantes . 

Nous  poserons 

_       du  du  du 

dx\  dx^  '  dXn 


PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  EQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       LXXXV 

Il  étant  une  fonction  quelconque, 

De  plus,  nous  remarquerons  que,  dans  les  calculs  qui  servent  à  démontrer 
l'existence  des  fonctions  A,,,  A,,  on  a  employé  deux  systèmes  de  variables  : 

(l(i)  Xu      X,,       ...,       Xn, 

(l5)  .r,,     çi,      ...,     çi„.-i. 

Nous    représenterons    les   dérivées    partielles   par    le    symbole    d    quand   les 
variables  (i4)  seront  choisies  comme  variables  indépendantes,  par  le  symbole  d 
quand  ce  seront  les  variables  (i5)  qui  joueront  le  même  rôle. 
Cela  posé,  voyons  d'abord  ce  que  signifient  les  conditions 

lie      d-ie  ,>"'-ifj  d"'e  ^ 

qui  doivent  être  remplies  pour  que  cp  soit  algébroïde  de  degré  m.  On  a 

de 

dxi 
Or 


De 


Or  X,  n'est  pas  nul,  on  peut  toujours  le  supposer.  Donc  la  condition 

de 


(/e       £/û  rf^/,      (/e  ^^3 

dx^    '    dx-i  dxx        dxi  dxi 

df)    ,/^„ 
dx„   dxx 

1           dXf                     dxt 

^,     di        ^.     f/6                  V     ^^ 
^'dx,-^'dx,^---'^^''dx,, 

=  A6. 

équivaut  à 
De  même, 

Donc  les  conditions 
équivalent  à 


dXi 


A9 


Jx-,  Jx,    dxi 


àQ    _d^9   _ 
dXi        dx\ 

iO  =  A^e  =  o. 


Donc  les  conditions  (i6)  équivalent  à 

a6  =  A^O  =. .  .=  A"'-'6  =  o,        A"' 6^0. 

Donc,  si  le  premier  des  A9,  qui  ne  s'annule  pas  avec  les  x,  est  A" 8,  9  est 


LXXXVI       PROPBIKTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  I.KS  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

algébroïde  de  degré  //(  par  rapport  aux  .r  et  s'exprime  par  une  équation 

o'"-T-  A„,-itp"'-' -(-...  +  A,ç  -h  Ao=  o. 

Je  dis  qu'on  a  idenliquemenl 

P"> 4-  A,„_,  p'"-' -H.  .  . -H  A,  p  -H  A„  =  X8, 

À  étant  une  fonction  lioloniorphe  par  rapport  aux  x.  el,  de  plus, 

AAo  =  AA|  =  . . .  =  AA,„_i  =  o. 

En  effet,  posons 

0,  =  6(a-,,  9,, tp„_,  ) 

el  considérons  0,  comme  une  nouvelle  variable.  On  peut  tirer  x,.  en  fonction 
algébroïde  de  degré  m,  de  a,,  .  .  .,  !p,,_i  el  de  9,. 
Soient 

les  m  valeurs  de.v,  ;  loule  fonction  symétrique  de  ces  m  valeurs  est  holomorphe 
en  0| ,  •  .  . ,  'fn-f  )  'i  • 
Soient 

les  »!  valeurs  que  prend  3  quand  on  y  remplace  x,  [)ar 

-fcj,       Jj,        .,.,       Xj 

Soient  Bu,  B,,  .  .  .,  Bm_,  les  coefficients  de  l'équation 
(■7)  p'" -f-B„,_,  [}'"-• +  ...+  B,^  +  B„=o, 

à  laquelle  satisfont  ces  m  valeurs  de  |3. 

Ces  B  seront  des  fonctions  holomorplies  en  x\,  .  .  . ,  x",""  el  en  a, ,  .  .  . ,  o,;_i, 
et  symétriques  par  rapport  aux  m  jiremières  variables.  Donc  ce  seront  des 
fonctions  holomorphes  en  Ci,  .  .  .,  'i«_i,  &,. 

Eliminer  x,  entre  les  équations 

6  =  0,9  —  [^  =  "> 
où  Ton    considère  les  variables    (i5)    comme   variables   indépendantes,    c'est 

éliminer  0,  entre 

6,  =  o, 

<f'"-^  !!,„_,  9 '•-'-(-... -H  B,ç  -H  Bu=  o. 

Donc,  en  faisant  6,  =:  o  dans 
ces  fonctions  se  réduisent  à 

Ao,      A|,      .  .  . ,      A/n— 1. 


PROPRIÉTÉB  DBS  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQOATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       LXXXVII 

Les  A  étant  fonctions  des  o  seulement,  on  a  identiquement 

AA|,  =  AA,  =  . . .  =  AA„,_,  =  G. 

De  plus,  on  a  identiquement 

Bo=  A(,-H  Xo6|,         B,  =  A,-f- X,e,,         B„_,  =  A,„_, -f-Xm_,9,, 

les  X  étant  holomorphes  en  »,,  tp,,  . .  .,  tp„_,,  0,.  Or  |3  satisfait  identiquement 
à  l'équation  (i7)--  Donc  on  a  identiquement 

P"'+A,„_,p"''i  +  ...^A,p-f-Ao=).e„ 

X  étant  holomorphe  en»,,  Çj,  ...,  'f«-i,  ^i,  ou,  en  reprenant  les  variables  (i  4), 
(i8)  pi'"  -^  A„,_,  p'"-i  +. .  .-t-  A,  p  H-  Ao  =  M, 

X  étant  holomorphe  en  X,,  X2,  ...,a;„.  c.   q.   f.   n. 

L'existence  des  fonctions  A  qui  satisfont  à  ces  conditions  est  démontrée  ;  il 
reste  à  trouver  leurs  coefficients.  Pour  cela,  nous  supposerons  que  l'on  n'ait 
que  trois  variables  2:,,  Xn,  T3  et  que 

A6  =  o,         A'9J:o, 
c'est-à-dire  ni  =  2: 

Prenons  le  A  des  deux  membres  de  l'équation  (iS);    il  viendra,    puisque 

AA|,  =  AA)  =  o, 
(19)  A^'H- A,A?  =  ),Ae-(- Oa).. 

Cette  équation  et  celles  que  l'on  obtient  en  la  différentiant  un  nombre  quel- 
conque de  fois  par  rapport  à  chacune  des  variables  nous  donneront,  quand  on 
y  annulera  les  x,  des  relations  entre  les  coefficients  de  A,  et  de  X,  et  ce  sont 
ces  relations  qui  vont  nous  servir  à  les  déterminer. 

Si  U  est  la  différence  des  deux  membres  de  l'équation  (19),  on  calculera 
donc  les  coefficients  de  A,  et  de  X  à  l'aide  des  équations 


du 

dV 

dXi        rf^U 

f/'U 

dxi 

dxi 

dx^        dx^ 

'~  dxi  dxi 

ou 

Xi  =  a-2  =  a:j  =  o. 

Mais  on  peut  remplacer  le  système 

dU  _  dU   _   rfU  _ 
dx,        dx,        dxi 

par  le  système 

rfU        d\]         .. 
-j—  =  --j—  =  AU  =  o, 
axi        dXi 


LXXXVIII      rnOPRIÉTÉS  des  fonctions  défîmes  par  les  équations  AIX  DIFFÉRENI'.RS  PAHTIF.LLES. 

et  le  système 

rf«U  _  rfMJ  _  rf«U  _     rf'U     _     d'U     _     rf'U     _ 

dx]   ~  d.ri  ~  dx'j   ~  rf.r,  </.rj  ~  t/xt  dx,        dx^  dxf 
par 

rf'U  _     d«U      _  rf»U  _  rfiU  _    rfAU  ^  ^,  jj  _^  ^ 
dx]   ~  dxt  dxi        dxl         dx,  dxt 

et  ainsi  de  suite. 

Ce  seront  ces   nouveaux   systèmes  (jue   nous   cuiploicronsL   à   la   place   des 
anciens. 

PRKMIIiK    CAS. 

Dans  ce  cas,  l'équation  U  ^  o  donne  A,  =  o  ;  l'équation  A'"  U  =  o  ne  contient 

que 

A,.     X,     Aa A"'->),. 

Les  équations 

o  =  AU  =A«U  =  A3U=... 

nous  Idunuiont  donc 

X,    AX,     AO>,     .... 

L'équation  -, —  =  o  ne  contient  que  A,  et  -7—^;  elle  permet  donc  de  calculer 
1  c/.C|  *  dxt  ' 

ce  dernier  coefficient. 

I).  •         rfA"'U  .  ,         ,  1      1      r  .  „- 

L  équation  — -. —  =  o   ne    contient  que  A,,   des  termes  de  la  lorme  A^A, 

et 

dX,        dl        rfAX  r/A'«-iX 


■  )      •  •  •■> 


dxi        dx^        dxi  dxi 

Les  équations 

_  WAU  _  rfA'U  _ 
dxi  dxi 

nous  permettront  donc  de  calculer 

dl       dAl 
dxi        dx\ 

De  même,  si  D  est  le  symbole  d'un  nombre  quelconque  de  différentiations 
par  rapport  à  jt,  et  à  Xj,  les  équations 

0  =  DU  =  r)(AU)  =  D(A5U)=... 

permettront  de  calculer 

DA,,     DX,     D(AX),     ..., 

pourvu  que  l'on  ait  résolu  préalablement  le  même  problème  pour  les  diliéren- 
tielles  de  A,,  a,  AÀ,  . .  . ,  d'ordre  inférieur  à  celui  de  D. 


PBOPniÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       LXXXIX 

Quand  on  connaîtra  les  coefficients  de  A,  et  de  "k,  rien  ne  sera  plus  facile 
que  de  calculer  ceux  de  Ao,  et  alors  tp  sera  connu,  puisqu'il  suffira  de  poser 

çî-l-  A,  ç  -I-  Ao=  o. 
DEUXIÈME    CAS. 

Dans  ce  cas,  'f  se  présente  sous  la  forme 

(p^H-  Aj'f^-t-  A,ç  +  A„=  o, 
et  l'on  a  identiquement 

|3»+A.,p2-i- A.fl-H  Ao=Àe, 
AAj  =  AA,  =  AAq  =  0. 

On  part,  comme  précédemment,  de  l'équation 

U  =  A?3^_  A.jA^'+ A,A^  — XiO  — OaX  =  o 

et  des  é(|ualions  obtenues  en  la  difTérentiant,  et  l'on  voit  facilement  que 


u 

=  o 

donne 

A,, 

AU 

=  0 

» 

A„ 

A'U 

=  o 

» 

X, 

A»U 

=  0 

» 
» 

iX, 

dV 
dx. 

=  o 

dk, 
dx: 

dbM 
dx. 

=  o 

» 

c/A., 
dx: 

i/A2U 
dx. 

=  0 

" 

dX 

dxt  ' 

rfA'U 
dx. 

=  o 

)> 

dM 
dxi 

et,  en  général. 


DU  =  o  donne  iJAj, 

DAU  =  o  ..  DA,, 

DA2  U  =  o  >>  DX, 

DA3U  =  o  »  DaX, 


Connaissant  A,,  A^  et).,  on  connaîtra  donc  A„. 
II.  P.  —  I. 


XC        I'ROI'HI6t|:8    DKS    KONCTIONS    DKPIMRS    I'AH    les    l'IOllATIONS    AUX    (IIPFKRENaBB    PAIITIKM.KS. 

TROISIÈME    CAS. 

AS  =  AO  =  o,         i'P<o,         A-0     o. 

Dans  ce  cas,  ré(iiialioii 

U  =  o 

se  réduit  à  une  itlenlitt'. 

Les  é(|uations  de  la  luriuu  DLJ  =  o  ne  cunlitimu'iil  plus  1)  V, ,  mais  seulemoiil 
des  dérivées  de  A|  d'urdre  inférieur  à  celui  de  I-). 

I  )aiis  ce  cas, 

ASU  =  ^  =  4^=AU  =  o         donne         A,,     \,     M, 
i-'U  =a  .-  A'O,, 

A''L1  =  <)  »  A^À, 


DjU  =  1),AU  =  n,A«U  =  o  .)  n,A,,     D,),,     1),A)., 

D,A'U=o  »  D.A'X, 


DjU  =  l),AU  =  DsA^U  =o  7.  Il, A,,     n.;).,     1),AÀ, 

DjA*U=o  .)  DjAO,, 


Daii'!  le  lalileau  prceédeiil,  I),  esl  le  s_yiulu)le  d  une  seule  dillerenliation  par 
rapport  à  x,  ou  à  j:.j,  D^  celui  d'une  double  dillerenliallon  par  rapport  aux 
mêmes  variables,  etc. 

11  l'sl  à  reniannier  (Mie  Ton  a  ici  plus  d'é(|uali()ns  (ju'il  n'en  faudrait  |ioui' 
délerinincr  les  inconnues  que  l'on  cherche;  mais  elles  sont  évidemment  com- 
patibles, puisque  l'exislcnce  des  séri(;s  Aj,  A|,  A  est  démontrée. 

Il  est  plus  rapide  de  calculer  de  la  façon  suivante.  Introduisons  une  nouvelle 
variable  a,  et  supposons  (jueFoii  ail  à  rechercher  des  foiiclious  A, ,  Au,  ).  de  .ri , 
Xj,  x,  et  y.  satisfaisant  aux  eoiidilions 

(fl  -t-aY)'-+-  A,([J-(-ay)-l-  Ao=  ).0,         AA„=  AA,  =  o, 

■/  étant  une  fonction  donnée  de  x,,  jt.j,  Xs  telle  que 

Ay  <  o         |iijiii         ri  =  .r»  =  a?3  =  o. 
Dans  ce  cas,  si 

U  =  A(P -H  «Y)'^  A,A(|1 -.- ay;  -  A(Xe)  =  o, 


PROl'RIRTriS    DKS    PONCTIONS   DÉFINIES   PAR    LES  EQUATIONS   AUX    DIFrERENCES   PARTIELLES-      XCl' 

récjuulioii 


0  = 

dV 

o  = 

AU 

o  = 

i^U 

o  = 

d1> 

o  = 

«''AU 

0  = 

rfi»U 

rf*U 

rfy.  dx^ 

o  = 

o  = 

dxi 

(loiiiiera 


A, 
A),, 

*   •  1 

^' 


rfA, 
dx^ 

dxx 

dxi 


En  général,  la  série  d'équations 

o  =  -^  DU  =  DAU  =  DA»  U  = . . . 

nous  donnera 

DA|,     DÀ,     l)A/,     Da»/.,     .... 

Il  fil  à  remarquer  que  A,  est  un  polynonii'  du  jiremier  degré,  ).  un  polynôme 
du  second  degré  en  a. 

Quand  on  aura  ainsi  trouvé  A»,  A,,  /,  en  fonction  de  z,  Xx,  .r^,  .r;,,  on  y 
fera  a  =  o,  et  l'on  aura  les  valeurs  cherchées  de  A„,  A,,  A  en  fonction  de  .z,, 

QUATRIftMK  CAS. 
A?  =  A')  =  A»9  =  O,  A'O^o. 

Dans  ce  cas,  posant  encore 

U  =  Ar^-t-x-p'-l- AjArp  -(-a-p'-V  A,ACfi  -Hay)  — Ar/.9>  =  o, 

on  calculera  les  coefficients  de  A,,  A..,,  /.  a  l'aide  des  équations  L)  =  o  et  de 
celles  qu'on  en  lire  par  différentiations  successives. 


XCII      PROPHIBTÉS   DES   FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS   AUX   DIFFÉRENCES   PARTIELLES 

L'équation 

-r  DU  =  o  donnera  DA,, 
fia. 

4-  DAU  =  o  »  DA.,, 

DA'U  =  o  »  DX, 

DA2=o  »  DAX, 


et,  faisant  ensuite  a  =  o,  on  aura  les  valeurs  cherchées  de  A„,  A|,  An,  A. 

Équations  linéaires  non  homogènes. 
Soit  à  trouver  une  intégrale  de  l'équation 

dxi       '     dxi       '  '  '      '  "  dxn  ' 

OÙ  X,,  Xo,  . . . ,  X„,  Z  sont  holomorphes  gw.  z,  X\^  x^^   . . .,  Xn,  cette  intégrale 
étant  assujettie  à  se  réduire  à 

H^U    ^2.     ■■-,    ~^u) 

quand 

9(Xi,  X,,    ...,  x„)  =o. 

Cela  revient  à  chercher  une  intégrale  o  de  l'équation 

d^  d^  d^       y  d<f  _ 

dxi  dxi         '  '  dxn  dz  ' 

qui  se  réduise  à  :;  — ■  p  quand  fj  :=  o,  ce  qui  se  lait  comme  on  vient  de  le  voir. 
Si  celte  intégrale  œ  s'exprime  par  une  fonction  algébroïde  de  z  et  des  x^ 

ç'+  A,!p  +  Ao=  o, 

Ao  :=  o  est  l'équation  qui  nous  donne  l'expression  implicite  de -■  en  fonction 
des  X. 

La  condition  jmur  qu(^  le  théorème  iV  soit  applicable,  pour  que  ;,  par 
exemple,  soit  algébroïde  de  degré  w,  c'est  que  le  coefficient  de  s"'  dans  A,,, 
coefficient  que  l'on  calcule  comme  on  vient  de  le  voir,  ne  soit  pas  nul. 

Équations  non  linéaires. 

Soit  à  trouver  une  intégrale  de 

F  =  o, 


PIIOPHIÉTÉS    DES   FONCTIONS   DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.      XCIII 

qui  se  réduise  à  ^i>  quand  8  =  0;  on  calculera  les  fonctions  w,,  uj,  ...,  w», 
auxquelles  pi,  p-2,  ...,/>„  doivent  se  réduire  quand  9  =  o,  puis  on  cherchera, 
par  les  procédés  que  je  viens  d'exposer,  n  +  i  intégrales  de 

qui  se  réduisent  respectivement  à 

^—  P>      ^1—  Wl.      P-l—'Oiy       ■■■,      Pn—^n 

quand 

9  =0. 

On  obtiendra  ainsi  n  +  i  fonctions  «i,  çi,  . . .,  'fn+i,  qui  seront  données  par 
des  équations  de  la  forme 

?;«+  A,„_,ç;."-<+...+  A,o,+ Ao=o, 

où  les  termes  Ao  se  réduiront  respectivement  à 

H,,     llç,     ...,     H„+,, 

qui  seront  des  fonctions  holomorphes  par  rapport  à  s,  aux  x  et  auxjo. 

Les  équations 

Hi=H,=:...=  H„=H„+i=o 

renfermeront  l'expression  implicite  de  l'intégrale. 

CINQUIÈME    CAS. 

Les  w  ne  restent  pas  finis,  mais  restent  déterminés  quand  les  x  s'annulent. 

Si  l'intégrale  est  assujettie  à  se  réduire  à  [3  quand  9  =:  o,  les  oj  nous  seront 

donnés  par  les  équations 


F,  =  0, 


,      ,  If/S.    ,/0 

(IJC^  ttU/2 


f/s      .   de 
(1), — H-  =  f^-, —  ' 


où  W|,  (1)0,   .  .  .  ,  (i)/(  sont  les  inconnues  cherchées,  A  un  paramètre  à  éliminer 
et  F,  ce  que  devient  F  quand  on  y  remplace  z  par  [3  et  /?,,  p.,  ■  •  -,  Pn  par  w,, 

(1)5,     ....    0),,. 


XCIV      PROPRIÉTÉS   DES   FONCTIONS   DÉFINIES   PAR    1,ES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFERENCES  PARTIlilXES. 

Si,  dans  les  équations  (ao  ),  on  lail 

JT)  =  j:2  =  .  .  .  =  ^ri  =3  =  0, 

ces  équations  deviennent  algébriques;  elles  donnciU  duiir  tonjnurs 

Al        Ao       '  '         A„        A„+i 

A|,  An,  ....  A„,  An+i  élanl  des  fondions  algébriques  des  coefficients  de  F,, 
de  (3  et  de  6,  qui  rcslent  Unies  quand  ces  coefficients  restent  eux-mêmes  finis. 
Si 

yi)  ysi  •••)  y«>  c'est-à-ilirc  les  valeurs  que  prennent  oi,,  Wj,  ...,  (j)„  pour 
X,  =  j;.j  ^ . . .  =  x,,  =  o,  sont  finis  et  déterminés.  C'est  eu  que  nous  avons  tou- 
jours supposé  jusqu'ici. 

Si,  au  contraire, 

A«+i  =  o, 

les  V  ne  restent  pas  finis;  supposons  que  l'on  naît  pas  à  la  fois 

A,  =  As  =  .  .  .  =  A„  =  A„+,  =  o  ; 

soit,  par  exemple, 

Ai5o. 

On  changera  de  varialiles,  et,  au  lieu  de  considérer  z  comme  fonction  de  Xi, 
X-,,  .  . . ,  x„,  on  considérera  x,  comme  fonction  de  z,  x.2,  . .  .,  x„. 

Soient  q,,  qn,  ...,  q„  les  dérivées  de  X\  par  rapport  à  z,  a"-..,  ...,  x„; 
soient  co', ,  w'„,  ...,  '.)'„  les  valeurs  que  prennent  ces  dérivées  quand  on  fait  9  =  0; 

soit  F',  ce  que  devient  F,  fiuand  on  v  remplace  10,,  w.,  .  . . ,  (o„  par  —r> r) 

- — -r-y  •  •  ■  >  —  -^'  et  (lu'on  rend  la  fonction  ainsi  obtenue  entière  en  la  niul- 
tiplianl  par  une  puissance  convenable  de  o), . 

w, ,  M.,,  .  .  . ,  ii)[^  seront  donnés  par  les  équations 

F,  =  o, 

,    rie,        .    M      , 

-r- — H  T^  «s  -i-  i^  -j—  '"->  =  "i 
dxi        dx,  dXi     - 


dx^        dxi  dxi 


(1)3  -t-  /.  -j —  0),  =  o, 


dxn       dxi  dxi 


PROPRIÉTÉS    DBS    PONCTIONS   DÉFINIES  PAR  LES    ÉQUATIONS   AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES.       XCV 
OU 

Fj=o, 
I  —  fj  1  -j—  =  '-<"  1  -, —  > 


d'où 


I  O), 


Al  Aj  A3  ■■■         A„  A„+,  ' 

ui\i  (1)!,,  .  . . ,  w'n  restent  donc  finis  et  déterminés  quand 

Il  en  résulte  que  l'on  est  ranu'né  aux  cas  déjà  étudiés,  et  que  l'on  peut  obtenir 
l'expression  implicite  de  l'intégrale  en  égalant  à  zéro  /;  +  i  fonctions  holo- 
morphesen  ;,  ^,,  x,, ...,  .t„,  f/,  —y',,?.  — Y,,  .••,  qn  —  Y;,,Ti,1'u'  •■■^f,,  étant 
ce  que  deviennent  (x>\ ,  a)!, ,  .  .  . ,  to',,  pour 

.Ti  =  a'^  =  .  .  .  ^  X,i  =1  ;;  rr  o. 

C'est  une  propriété  analogue  au  théorème  111. 

Exemple.  —  Soit  l'équation 

I'\-P\  =  h 

et  supposons  qu'on  veuille  étudier  l'intégrale  de  cette  équation,  cjui  est  assu- 
jettie à  se  réduire  à 

10!i  -f-  JTJ 

quand  on  y  fait 

Xii=  Xi-¥-  X'\. 

(0|  et  Wj  sont  donnés  par  les  équations 

(o|  —  10^  =  1,         2 -h 'la-,  =  a)|-+- wjfi  +  2ari)  ; 

OU  en  tirerait  deuK  valeurs  de  lo,  et  deux  valeurs  de  m,  en  fonctions  de  j*i,  et 
il  est  aisé  de  voir  que,  quand  .r,  s'annule,  l'une  des  valeurs  de  lo,  et  Tune  des 
valeurs  de  co^  deviennent  infinies. 

Considérons  alors  j:-..  comme  fonction  de  x^  et  de  z. 

Soit 

dXi  Jx, 

^         dxi  ^         dz 


XCVI       l'ROlMlIKTKS    DES    FONCTIONS    DEFINIES    PAR    LES  EQUATIONS  AUX  DIFFERENCES  PARTIELLES. 

d'où 

—  q,  I 

L'équation  donnée  devient 

et  il  s'agit  d'étudier  l'intégrale  de  cette  équation,  qui  se  réduit  à  x,  +:r^  quand 
on  fait  ;  =  2X,  +  J^'f",  w',  et  w',  sont  alors  donnés  par 

o)','  —  oj','  =  11,         1  +  2  j;i  =  w',  +  (ii'j(2  -i-  2a-i  ), 

qui,  pour  x,  =  o,  se  réduisent  à 

T?  — T!''  =  >)         '  =  ïi  +  2ïi. 
d'où 

72  =  Oi         ï'i  =  '' 


dF 

znr  =  ^'71' 

dF 

T-  =—  2?!> 
dq^ 

e  =  —  z 

d& 

dd 

dz—' 

Pour  X, 

^  o,  il  vient 

dF 

dq,  -  ^' 

dF               rfe 

dqt          '          dx, 

-   =2, 

l 

et  enfin 

d^    M_       dF_  di'_ 
dq,  dx\         dqi  dz 

Donc  la  condition  (<)),  qui  se  réduit  ici  à 

dF_    M_        dF    flte  ^ 
dqi   dx,         dq2  dz  ■"     ' 

est  remplie. 

Donc  x-i  est  fonction  holomorphe  de  a?,  et  àt  z. 
Soient 

(2l)  Xî=  7ia^i+  9..Z  H .rj-l-  s,x,zA z'^  —  .  .. 

Ir-s  premiers  termes  de  la  série  qui  représente  cette  fonction  :  q^  est  nul;  q,  est 
égal  à  I,  comme  on  l'a  déjà  vu;  quant  à  /"i,  S|,  ^i,  nous  les  obtiendrons  de  la 
manière  suivante.  Differentions 


par  rapport  à  o;  et  à  .s,  puis  faisons  x  ^=  z  ^o;  il  viendra 

(i2)  qir^—  qïSi=o,  q,Si—  qit,=  o. 


PROPRIETES    DES    FONCTIONS    DEFINIES    PAR  LES  EQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       XCÏII 

Faisons  maintenant  dans  (21) 

et  égalons  les  coefficienls  de  x''^;  nous  aurons 

(23)  I— h  -251 -t-  2^1-+-  (72, 

mais,  si  nous  remarquons  que,  pour  x,  =0,  çfi  ^  i ,  ^2  =  o,  nous  verrons  que 
les  équations  (22)  et  (aS)  se  réduisent  à 

'1  =  ^1=  o,  '1=  -• 

Donc  t,  n'est  pas  nul;  donc,  en  vertu  du  lemnie  III,  z  est  algébroïde  de  degré  2 
en  X,  et  en  Xo. 

InterprétcUion  géornétr-ique.  — ■  A  quoi  correspond  géoniélriquement  le  cas 
que  nous  venons  d'examiner  quand  on  n'a  que  trois  variables  x^^x.^  et  5  et  que, 
par  conséquent,  toute  expression  de  z  est  fonction  de  j?,  et  de  Xo? 

Il  est  aisé  de  voir,  en  se  reportant  à  ce  qui  a  été  dit  à  ce  sujet  à  propos  des 
cas  précédents  et  reprenant  les  mêmes  notations,  que  le  plan  tangent  P,  mené 
par  la  droite  T  au  cône  G,  est  alors  parallèle  à  l'axe  des  z;  mais,  comme  il  ne 
peut  être  en  même  temps  parallèle  aux  trois  axes  de  coordonnées,  on  peut  tou- 
jours employer  un  arlilice,  qui  consiste  à  étudier  la  surface  S.  non  plus  comme 
définie  par  une  équation  où  ;  est  égalé  à  une  fonction  de  j?,  et  de  x^,  mais 
comme  définie  par  une  équation  où  x-,,  par  exemple,  est  égalé  à  une  fonction 
de  j^i  et  de  z.  Comme  le  plan  P  n'est  plus  alors  parallèle  à  l'axe  des  x-,,  la  diffi- 
culté a  disparu.  Tel  est  le  sens  géométrique  de  l'artifice  analytique  qui  vient  de 
nous  permettre  de  tourner  la  difficulté. 

SIXIÈUE    CAS. 

Les  W| ,  wo,  . .  . ,  ti)„  ne  restent  pas  déterminés  quand 

Xi^=  X2=-  .  '  .=  Xfi  :=  O. 

C'est  ce  qui  arrive  quand 

Al  =  A2  = . . .  =  A„  =  A„+i  =  o 
H.  P.  -  I.  „. 


XCVIIl       PROPRIETES  DES  FONCTIONS  DEFINIES  PAR   LES  EOU.VTIONS  AUX  DIFFERENCES  PARTIELLES. 

et  que.  j>ar  conséquent,  les  équations 

F  =  o, 


(M) 


d^ 

•^^        dx, 

r/p 

to., j-!- 

dx« 

-X  ''* 
dx\ 

dxi 

d^ 
""       dx„ 

dXn 

ne  restent  pas  distinctes  quand  on  y  annule  les  x. 

Soit  y,,  vj,  .  .  .,  y„  un  système  quelconque  de  valeurs  qui,  suljstitué  à  la 
place  de  o)|,  w._.,  .  .  . ,  a)„  dans  les  équations  (24),  y  satisfont  quand  les  x  s'an- 
nulent. 

Supposons  qu'on  veuille  étudier  un  élément  de  la  fonction  ;;  tel  que  t,, 
ar-j,  .  .  . ,  x„  soient  suffisamment  voisins  de  zéro  et  que  p^^  p.,,  . . .,  p^  soient  suf- 
lisammenl  voisins  de  y, ,  y^,  .  . . ,  y„  ;  par  exemple,  supposons  que  l'on  se  trouve 
dans  le  cas  de  deux  variables  et  que 

=  =/(a:,,a-,) 

soit  considéré  comme  représentant  une  surface;.  Puisque  y^i  et  p-,  ne  sont  pas 
déterminés  quand 

C  =  J"l  =  ^.,  =  o, 

la  surface  présente  un  point  conique  à  l'origine,  et  l'on  se  propose  d'étudier, 
non  pas  toute  la  partie  de  la  surface  qui  est  suffisamment  voisine  du  point 
conique,  mais  la  partie  de  cette  surface  qui  est  limitée  par  deux  courbes  se 
croisant  à  l'origine. 

Il  est  clair  que  l'on  obtiendra  l'intégrale  cherchée  en  égalant  à  zéro  n  inté- 
grales de  l'équation 

(^5)  2jXdx,^'"7û)d];,-Z,diA7àc-^^'d.)==''^ 

qui  se  réduisent  respectivement  à 

\    '       dx,  /  dx2        dx,  \   ^       dxi  /  ' 
1   \  dxi/  dxs        dx,  \   '^       dx:t/ 


/     _d?_\dH M_/  d?  \ 

\^'       dxj  dzn       dxiV'"       dxj 


PROPRIÉTKS   DES   FONCTIONS    DEFINIES  PAR  LES  ÉQOATIONS  AUX  DIFFÉRKNCES   PARTIELLES.      XCIX 

quand  on  a 

6  =  0. 

Les  expressions  (26)   sont  holomorphes  en   x,,  ar,,    ...,   x,,,   3,   p^ — y,, 

Donc  les  n  intégrales  de  l'équation  (as)  sont  algébroïdes   par  rapport  aux 
mêmes  variables.  Si  ces  intégrales  sont  »,,  a.j,  . .  . ,  »„,  les  équations 

(p,  =  y.,  =  . .  .  =  œ„  =  o 
sont  équivalentes  à  n  équations 

OÙ  les  H  sont  holomorphes  en  Xt,  x-,,  ...,  Xm  z,  />, — y,,  />■_. — y>,  .... 
/^«-y«. 

Les  équations  (27),  jointes  à  l'équation  proposée 

F  =  o, 

fournissent  l'expression  implicite  de  l'intégrale  cherchée  :;  et  de  ses  dérivées 
du  premier  ordre  p,,  p.-,  ...,/>„  en  fonction  de  a:,,  x-.,  ...,  x„,  c'est-à-dire 
que  11-  lliéorème  111  est  toujours  applicable. 


DEUXIEME  PARTIE. 

ÉTUDE    DES    CAS    OU    l'ON    A    À    LA    FOIS 
P,=  P,  =  ...=  P„  =  o, 

X,  -H  ;0|  Z  =  Xo  H-  /<2  Z  =:  .  .  .  =  X„  +  /)„  Z  r=  o. 


PREMIÈRE  SECTION. 
L'équation  proposée  est  de  la  forme 

(l)  Xi/>,-|-  \,/)-2-^.  ■  .-H  X„/J„=  >,3, 

où  X| ,  Xo,  . . . ,  X„  sont  des  fonctions  holomorphes  en  a;, ,  .r.,,  . . . ,  x,,,  expri- 
mables par  des  séries  dont  les  termes  de  degré  zéro  sont  nuls  et  dont  les  termes 
du  premier  degré  se  réduisent  respectivement  ù 


C       PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    tlÉflNIKS    PAR    I.KS    ÉQUATIONS    AUX    DIFFÉRENCES   PARTIELLES. 

f/vpotkèse  I.  —  SI  l'on  représente  les  parties  réelles  et  imaginaires  de  A,, 
)vj,  .  . . ,  À„  par  les  coordonnées  de  n  points  dans  un  plan,  ces  n  points  sont  tous 
d'un  même  côté  d'une  certaine  droite  passant  par  l'origine,  ou,  ce  qui  revient 
au  même,  le  polygone  convexe  à  l'intérieur  duquel  se  trouvent  les  points  X,) 
Xo,  .  . . ,  X„  ne  contient  pas  l'origine. 

Hypothèse  II.  —  Les  quantités  ).,,  ^j,  ...,/«  ne  satisfont  à  aucune  relation 

de  la  forme 

m^Xï-^  m^li-h.  .  .-h  m,,!,,  —  11, 

où  m2<  •  •  • .  'Un  sont  des  nombres  entiers  positifs. 

Théorème  1.  —  .Si  ces  hypoilièses  sont  satisfaites^  le  module  de  V expres- 
sion 

^ntiXi — Xi         ,...•.■       •  1       ■      > 

(ou  1  indice  i  varie  de  i  a  n) 


S  ni,- — 1 


est  toujours  plus  grand  qu  un  certain  nombre  positif  K,  quand  on  donne 
aux  nij  des  valeurs  entières  et  positii'es,  mais  d\xilleurs  quelconques. 

En  elTet  : 

1°  Cette  expression  n'est  jamais   nulle,  car,  pour  qu'elle  le  fût,  il  faudrait 

que  l'on  eût 

2;m,X,  — Xi  =  o. 

Or,  toutes  les  fois  que  m,  >  o,  le  point  dont  les  coordonnées  sont  les  parties 

réelles  et  imaginaires  de 

S»!,X,—  X, 
-/n, —  I 

est  à  l'intérieur  du  polygone  convexe  qui  enveloppe  tous  les  points  ),,;  or  ce 
polygone  n'enveloppe  pas  l'origine.  (Le  cas  m,  =  i,  m2  =  •••="'«  ^  o  est 
réservé.) 

Si  au  contraire  /??,  =  o,  on  n'aura  pas  non  plus 

mjXoH-  m3X3-t-. . .+  /w^X,,—  X,  =  o, 

en  vertu  de  l'hypothèse  IL 
Donc 

S/?2,X,—  X, 

2°  Cette  expression  ne  tend  pas  vers  zéro  quand  les  m  tendent  vers  l'infini, 
d'une  manière  quelconque,  mais  en  restant  entiers  positifs. 


PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIO?iS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS   AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES.        Cl 

En  effet,  supposons  que  m,,  «i^,   •••)  "i/i  tendent  vers  l'infini,  de  manière 
que 


1 1  m  —  =  —  ) 


OÙ  les  a,  et  a,  sont  des  quantités  finies,  déterminées,  positives  et  d'ailleurs 

quelconques. 

On  aura 

2/?i,X,— X,        Sa,X: 


Hm 


2  nii  —  I  Sa, 


Or  "y''   '  est  rej)résenté  par  le  ccîiitre  de  gravité  de  n  masses  égales  respecti- 
vement à  a,,  a^,  .  .  . ,  a„  et  placées  aux  points  )>|,  ).,,  .  .  . ,  ).„. 

Ce  centre  de  gravité  est  à  l'intérieur  du  polygone  convexe  circonscrit  aux 

points  X,,  Xj,  .  . . ,  ).„.  Donc 

S  g.- Xi  ^ 
^  o. 

z,y.i     ^  C.    Q.    F.    D. 

Donc  on  peut  choisir  un  nombre  positif  K  tel  que 

S«iiXi—  X, 

mod  — >  K. 

S  m,  —  I  c.   (J.   F.    D. 

Théorème  II.  — Il  existe  une  infinité  de  fonctions  holomorphes  qui  satis- 
font à  V équation 

i=l 

OÙ  s  =X|  -\-x.,  +. .  .-\-x„. 

En  effet,  faisons  dans  l'équation  (2) 

Z  =  Xi—  Xk\ 

il  vient 

Pi=l,  Pk  =  —  i, 

et  l'on  voit  aisément  que  l'équation  est  satisfaite. 
Soit  maintenant 

H-g 

où  H=:  «M  +  a,  d'où 

•^'^^>=[s-(U  +  a)S']^' 
il  viendra 

Pi=f'(S). 


en        PROPRIÉTÉS    DES   PONCTIONS   DÉFINIES    P*R    LES   ÉQUATIONS    AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES. 

et,  par  conséquent,  le  premier  membre  de  l'équation  (2)  s'écrira 

S  —  (nM-H  a)S2 


nH^"-m-^-">- 


,  — aS 


Donc  la  foncliony(S),  qui  est  une  fonction  holoinorphe,  satisfait  également 
à  l'équation  donnée. 

11  en  sera  de  même  des  fonctions 

(3)  K,/(S)+K5(a-,— a:,)  + K3(a:3-,r|  )+...+ K„(a-„—x,), 

où  K|,  K..,  .  .  .,  K„  sont  des  constantes  quelconques. 

CoROLLAiRK  I.  — Pcimii  CCS  J'oiictions ,  il  y  en  a  u?ie  qui  est  représentée 
par  une  série  dont  les  ternies  du  premier  degré  se  réduisent  à  x,. 

En  eflet,  /  (S)  est  représenté  par  une  série  dont  le  premier  terme  est  S. 
Si  donc  on  fait  dans  l'expression  (3) 

Kl  =  —  )  Kj  =  Kj  =  . .  .  =:  K„  =  —  — , 

n  n 

celle  expression  devient    une  série  que  nous  appellerons  a (.2),   et  dont   les 
termes  du  premier  degré  se  réduisent  à  X\. 

Corollaire  II.  —  Si  M  et  a  sont  réels  positifs,  H  et  — q —  seront  réels 
positifs,  et  tous  les  coefficients  de  la  série  f{x)  sont  réels  et  positifs. 

Théoré;me  111.  —  Si  les  hypothèses  I  et  II  sont  satisfaites,  Inéquation  (1) 
admet  une  intégrale  holomorphe,  et  une  seule,  dont  les  ternies  du  premier 
degré  se  réduisent  à  x,. 

i"  Il  existe  une  série,  et  une  seule,  qui  satisfait  formellement  à  l'équation  (i) 
el  dont  les  termes  du  premier  degré  se  réduisent  à  x,. 

En  efTet,  si  une  pareille  série  existe,  on  obtiendra  le  coefficient  du  terme  en 

•*'  i    •*'  2     •  ■  ■  ^  Il    1 

en  diflérentianl  l'équation  (1)  ni,  fois  par  rapport  à  x,,  .  .  .,  m„  fois  par  rap- 
port à  x„,  el  en  égalant  les  r  à  zéro. 
Posons,  pour  abréger, 

Jm,4-m,+  ..,+m„IJ 

DU  = 


dxftdx'^'...dx« 


on  aura 

\)\rPr=-[(\rh+{Pr),\"'<\C!iTh+(Prh\"----.[(^r)n-^{Pr),i]'"", 


PROPHIÉTÉS    DES    FONCTIONS   DÉFINIES    PAR    LES   ÉQUATIONS   AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES.       CI» 

équation  donl  le  second  membre  est  une  expression  symbolique  où  l'on  con- 
vient d'effectuer  la  mulliplicalion  d'après  les  règles  ordinaires  du  calcul  et  de 
remplacer  après  l'opération 

^Y    Mi,/ Y    Mi,        /Y    Mi  rflii+li^+'-'  +  li-X^ 

(X.)Ï.(X.)^...(V)^      par      ^^-^^^-^-_^, 

et  de  même  pour^^- 
Donc  on  a 

»,  ,«,  «r    dDz  d\r  r-.  dX.r  r^  d\r  -^  ^  -^ 

D(Xr/'r)  =  X^-j j-m, -^D,2  -i-m2-— ^Dj  =-(-... -I-  m„-j-^D„;  +  SB. 

dXr  axt  dxi  aXn 

Dans  celte  expression,  D,U  représente  une  dérivée  partielle  de  IJ  qui  ne  dif- 
fère de  DU  que  parce  qu'une  differentiation  par  rapport  à  .r,  a  été  remplacée 
par  une  differentiation  par  rapport  à  x^  de  telle  façon  que 

/  j^m,+m,+...+m„— 1  y 


D,U 


dXr  diT'-'dx'^'dx'r''.  .  .dx" 


Les  B  sont  des  termes  formés  d'un  coefficient  positif,  d'une  dérivée  de  Xr 
d'ordre  supérieur  au  premier  et  d'une  dérivée  de  ;;  d'ordre  Inférieur  à 
m,  +/no  +.  .  .-f-»!„. 

Si  l'on  annule  les  x,  X,-  s'annule  ainsi  cjue  ses  dérivées  du  premier  ordre, 
excepté  -j-^>  qui  se  réduit  à  A^.  On  a  donc 

D(X,./),.)  =  m^X,.D::-i-i;B. 

et  Ds  est  donné  par  l'équation 

ou 

(4)  (m|X,-+-  msXj-i-.. .-(-  "inX„—  X,)!)-  -f-  SB  =  o. 

Si  l'on  connaît  les  dérivées  d'ordre  inférieur  à  celui  de  D;,  cette  équation 
permettra  de  calculer  D;,  puisque 

OT,  Xi  -I-  /«iXj  +  ...-*-  ni„\„  —  Xi  I  o. 

Donc,  si  l'on  connaissait  les  dérivées  du  premier  ordre,  on  pourrait  calculer 
toutes  les  autres  et  l'on  ne  trouverait  pour  elles  qu'une  seule  valeur. 
Or  les  dérivées  du  premier  ordre  sont  données  par  l'équation 

(Xi—  li)pt=  o. 
Si  i^  I, 


CIV        PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS   DÉFINIES    PAR    LES    ÉOUATIONS    AUX    DIFFÉRENCES    PARTIELLES. 

si  (■  =  I.  l\(iualion  est  indéterminée.  On  peiil  choisir  pour  /),  telle  viilcur  que 
l'on  veut,  et,  en  particulier,  on  peut  liiire 

iPi  =  i- 

Donc  il  existe  une  série  satisfaisant  formellement  à  l'équation  (i),  dont  les 
termes  du  premier  degré  se  réduisent  à  .r,,  et  il  n'y  en  a  qu'une. 

2°  11  existe  également  une  série  qui  satisfait  formellement  à  l'équation  (2)  et 
dont  les  termes  du  premier  degré  se  réduisent  à  x,,  et  il  n'y  en  a  qu'une,  car 
l'équation  (2)  est  de  la  forme  [j). 

Les  coefficients  de  cette  série  sont  donnés  par  les  équations 

(5)  (m,+  mj  +  .  .  .+  m„— i)D3-+-  SB,  =  o, 

OÙ  les  B|  sont  formés  avec  les  dérivées  partielles  des  coefficients  des  p  dans 
l'équation  (2)  comme  les  B  avec  les  dérivées  partielles  des  X. 

Celte  série  ne  peut  être  autre  que  o{x);  elle  est  donc  convergente. 

3°  On  peut  former  une  équation  auxiliaire  qui  soit  de  la  forme  (2)  et  qui 
nous  aidera  à  démontrer  la  convergence  de  la  série  définie  par  les  équations  (4). 

Soit,  en  eflet, 

S  =  ar  I -t- a-} -+- .  . . -i- x„  ; 

supposons  que  l'on  ait  toujours 

,     Sw/A; — Al    ^     ,.',,.     ,  ■    ■!■■. 

iiiod.     ^       ^>K     (K  étant  positif), 

z.mi —  1 

ce  qui  est  toujours  possible,  d'après  le  théorème  I. 

Supposons  que  les  fonctions  X,,  Xj,  . .  . ,  X„  restent  holomorphes  quand  les 
modules  de  x^,  .r.,,   .  . .,  x„  restent  plus  petits  que  -  (a  étant  réel  positif)  et 

qu'en  même  temps  les  modules  de  ces  fonctions  X|,  Xo,   .  . . ,  X„  restent  plus 

M 
petits  que  -^-  (M  étant  réel  positif). 

Soit 

MS' 

L'équation 
est  de  la  forme  (2);  elle  admet  donc  une  intégrale  holomorphe 

dont  les  termes  du  premier  degré  se  réduisent  à  x,  et  dont  on  peut  calculer  les 


PROPRIÉTÉS    DES   FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS   AUX    DIFFÉRENCES   PARTIELLES.        CV 

coefficients  à  l'aide  des  équations  (5)  ou  des  équations 
(ibis)  K{mi-T-  m,  +  ..  .+  m„  —  i)  Dj'-t-  1  KB,  =  o. 

4°  Toutes  les  dérivées  partielles  de  KX'^  d'ordre  supérieur  au  premier  sont 
réelles,  négatives  et  de  module  supérieur  à  la  dérivée  correspondante  de  X^. 

5°  Les  D::'  sont  positifs  et  leurs  modules  sont  plus  grands  que  ceux  des  D:; 
correspondants. 

En  effet,  supposons  que  cela  soit  vrai  pour  les  dérivées  d'ordre  inférieur  à 
celui  de  D;  :  je  dis  que  cela  sera  vrai  également  pour  Dz. 

En  effet,  soient  B,  Tun  des  termes  B,  B,,  le  terme  B,  correspondant  : 

B,-^/(A(X,)A,(^), 

où  A  représente  une  dérivée  d'ordre  supérieur  à  i  et  A,  une  dérivée  d'ordre 
inférieur  à  celui  de  D;  ;  de  même, 

KB„=/'A(KX',)A,(^'). 

A,  (s')  est  positif  et  de  module  plus  grand  que  celui  de  A|(;);  A(KX^.)  est 
négatif  et  de  module  plus  grand  que  celui  de  A(Xr).  Donc  RB,,  est  négatif  et 
de  module  plus  grand  que  celui  de  B,-. 

Donc  SKB|  est  négatif  et  de  module  plus  grand  que  celui  de  SB. 

De  plus, 

K( »ii-t-  /Hj-H.  .  .-(-  rn„  —  i) 

est  positif  et  de  module  plus  petit  que  celui  de 

«iiX,+  nitli-i- . .  .-(-  m„Xn  —  Xi. 

Donc 

KSR, 

K(»2i  +  /"!  +  .  .  .H-  nin —  I) 

c'est-à-dire  T)z'  est  positif  et  de  module  plus  grand  que  celui  de 


c'est-à-dire  de  D;;. 
Or  la  série 

est  convergente. 
Donc  la  série 


SB 
S«!,X,— X,  ' 


D3'ar',"'r5''...ar™" 

ï...m„ 


^J  1 .  2 . .  .  /?{[ .  1 . 2 . . .  rrii ...  I 


2; 


[ . 2 . . .  ni  1 . 1   2 ...  m  j ...  1 . 2 ...  m „ 
l'est  également.  c.  g.  f.   d. 

H.  P.  —  I.  n 


CVl       PROPRIBTéS   DES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES    KQIATIONS    MI\    DIFFÉRENCKS    PARTIELLES. 

DEUXIÈME  SECTION. 
Cas  où  l'équation  proposée  est  de  la  forme 

Xl/'l-l-  '^•2/'2  +  -  ■  •+  X„/J„=   Z. 

X|,  X._.,  .  .  .,  X„,  Z  sont  des  séries  ordonnées  suivanl  les  puissances  crois- 
sanles  de  a?,,  x->.  .  .  .,  Xn,  z,  s'annnlanl  avec  ces  varial)les  el  contenant  des 
termes  du  jueniier  degré  |)ar  rapport  aux  x  el  à  z. 


PREMIER    CAS. 


Soit  à  intégrer  les  équations  diflérenlielles 


^  =  x7 


dx„ 

X„  ' 


OÙ  l'on  suppose  les  X  indépendants  de  z  et  où  les  termes  du  premier  degré 

de  X,  s'écrivent 

'L'XikXk. 

Pour  cela,  nous  envisagerons  l'équation 

(i5)  X,/.),  +  X2/)j-+-.. .+ X„/)„=  S;, 

où  S  est  égalé  à  l'une  des  racines  de  l'équation 

;ii—  S 


(i6) 


«IS  «13 

ajj— S     a.23 


■     a««— S 


Nous  appellerons  À,,  À^!  •  .  •  i  À„  les  n  racines  de  cette  équation  (i6). 

Hypothèse  l.  —  L'équation  (iG)  n'a  pas  de  racines  multiples. 

Hypothèse  //.  —  Si  l'on  représente  les  parties  réelles  et  imaginaires  des  /. 
par  les  coordonnées  de  n  points  dans  un  plan,  ces  n  points  sont  d'un  même  côté 
d'une  certaine  droite  passant  par  l'origine. 

Hypothèse  IH.  —  L'un  des  ),  n'est  pas  égal  à  une  fonction  linéaire  à  coefli- 
cients  positifs  des  autres  ).. 

Lem.mb  I.  —  Si  l'hypothèse  I  est  satisfaite,  oit  peut  ramener  par  un  chaii- 


PROPRIÉTÉS    DRS    FONCTIONS    HÉFINIES    PAR    LES   ÉQUATIONS    AUX    DIFFÉRENCES  PARTIELLES.      CVII 

gement  de  variables  Vétude  de  Véqualion  (lô)  à  celle  d'une  équation  de 
même  forme,  mais  où  les  termes  du  premier  degré  de  X|,  Xo,  . . .,  X„  ic 
réduisent  respectivement  à 

Ai3*i,       A2^2)       •••)       ^n^n> 

c'est-à-dire  à  une  équation  de  la  forme  (i). 

Soit,  en  efTet,  un  changement  linéaire  de  variables 

Si  le  délerniinanl  des  |3  n'est  pas  nul,  on  pourra  écrire  les  équations  (17) 


(18) 

Les  équations 


) 

dx\  _  rfa^-j  _       _  t?a-„  _  dz 


deviennent,  après  la  transformation, 

_dy^__  __      dy-,      _       _     dy „      _  (Iz^ 
^'9^  STu-X,-  -  Sy.A.-  Sy«.X,-        Sz' 

Les  conditions  pour  que  les  termes  du  premier  degré  de  SyuX,  se  réduisent 
à  X,yi  s'écrivent 

Yii^ii-t-Tnait:^-  •  ■  + Yi"^i«  _  Yii"?!  "*"  Yi;''2;  +  -  ■  ■+  Y"'"""  _ 


Yn  Yi'- 

Yi" 


Yii<«'n-i- Yiî«'«-^- •  •-+- Yi"*""       1 


d'où 

rot,,— "^>i^ru  +  '^v-.'i\-.-^-  •  ■  +  «i/,Yi«  =  Oi 


^;,lYu+  "nïYlî"'"- ••+(''■'"'"  ^1  'ïl"  =°- 


Ces  équations,  qui  sont  linéaires  par  rapport  aux  y,,,  conduisent  pour  ces 
variables  à  des  valeurs  différentes  de  zéro,  car  le  déterminant  de  leurs  coef- 
ficients est  nul,  puisque  A,  est  l'une  des  racines  de  l'équation  (16). 

La  condition  que  les  termes  du  premier  degré  de  Sy^/X,  se  réduisent  à  ÀaJ'a 
permettrait  de  même  de  calculer  les  yt,. 


CVIII      PROPRIÉTÉS   DES   FONCTIONS   DÉFINIES   PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

D'après  un  ihéorème  connu,  l'équation  (i6)  n'ayant  pas  de  racines  multiples, 
le  déterminant  des  y  n'est  pas  nul.  Donc  des  valeurs  des  y  on  pourra  déduire 
celles  des  |3. 

Donc  on  aura  pu  choisir  les  coefficients  du  changement  de  variables  (17)  de 
telle  façon  que  les  conditions  posées  à  l'énoncé  du  lemme  soient  satisfaites, 
c'est-à-dire  qu'après  la  transformation  l'équation  (i5)  devienne 


ou 

(ao) 

Y,  91 -H  Y,y:  + 

où 

dz                       dz 
'"^dyr          '^'-^dy.. 

et  où  les  termes  du  premier  degré  des  Y  se  réduisent  respectivement  à 

^i^i'     ^!>'î>      ■■■'     ^«/«-  «:•  C  F.  D. 

LemmeII.  —  Si  V  hypothèse  II  est  satisfaite  pour  r  équation  (là),  elle  l'est 
également  pour  l'équation  (20),  et  réciproquement. 

Car  l'équation  (16),  tirée  de  l'équation  (là),  a  les  mêmes  racines  que  l'équa- 
tion analogue  tirée  de  l'équation  (20). 

Lemme  III.  — S'il  existe  une  série,  ordonnée  suivant  les  puissances  des  x, 
qui  satisfait  formellement  à  l'équation  (i5),  cette  série  satisfera  formelle- 
ment à  l'équation  (20)  après  qu'on  y  aura  remplacé  les  x  par  leurs  valeurs 
en  fonction  des  y,  et  réciproquement. 

Lemme  I\  .  —  Pour  que  l'équation  (i5)  admette  une  intégrale  holo- 
morphe,  il  faut  et  il  suffit  que  l'équation  (20)  en  admette  une. 

Car  toute  fonction  holomorphe  par  rapport  à  n  variables  x,,  x-,,  ...,  Xn 
est  également  une  fonction  holomorphe  de  n  combinaisons  linéaires  de  ces 
variables, 

et  la  réciproque  est  vraie  pourvu  que  le  déterminant  des  y  ne  soit  pas  nul. 

TiiÉORJîME  V.  —  Si  les  hypothèses  l,  //  rt  III  sont  satisfaites  pour 
l'équation  (iS),  cette  équation  admet  une  intégrale  holomorphe  différente 
de  zéro. 


PROPRIETES    DES    FONCTIONS    DEFINIES    PAR    LES    EQUATIONS   AUX   DIFFERENCES    PARTIELLES.       CIX 

En  effet,  dans  ce  cas,  l'équation  (20),  qui  est  de  la  forme  (i),  satisfait  aussi 
aux  hypothèses  1  et  II,  c'est-à-dire  aux  hypothèses  I  et  H  de  la  première  Sec- 
tion. Elle  a  donc  une  intégrale  holomorphe  différente  de  zéro,  d'après  le  théo- 
rème III.  Donc,  d'après  le  leinme  IV,  l'équation  (i5)  admet  aussi  une  intégrale 
holomorphe. 

PROBLÈME  II. 

Pour  résoudre  ce  problème,  nous  allons  nous  servir  d'un  théorème  dont 
l'énoncé  nous  a  été  communiqué  par  M.  Darboux. 

Théoriîme  VI.  —  Si  les  conditions  posées  à  l'énoncé  du  théorème  V sont 
satisfaites,  les  équations 

dx\        dxz  dXft 

ont  des  intégrales  de  la  forme 


1 

1 

1 

TV 

T\' 

T^.» 

K, 

~    Kî   ~" 

■■=   K,,' 

OÙ  les  T  sont  des  fonctions  holoniorplies  des  x  et  les  Iv  des  constantes  arbi- 
traires. 

En  effet,  considérons  les  deux  équations 

X,/>,  ■+■  \,p,  -(-...+  \„p„=  X,3, 
X,/)', -I- X./j'j -t- . .  . -^  X„/j;,  =  X,  a'. 
Soient 

deux  intégrales  holomorphes  de  ces  deux  équations;  la  fonction 


f  =     1 

satisfera  à  l'équation 

^'dx,^-dx,^--^^''dx,  - 

c'est-à-dire  que 

J                    ] 

T>".        T^, 

Kl   ""   K,  ' 

ex        PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    nKFlNIES    1"A1(    LES    ÉQUATIONS    AUX    DIFKKHENCES    PARTIELLES. 

OÙ  K.|  el  K..  sont  dçs  constantes  arbitraires,  sera  une  intégrale  des  équations 

dx<        dœ^  dx„ 

A]  A2  An 

Théorème  Vil.  —  5i  les  conditions  posées  à  V énoncé  du  théorème  V  sont 
satisfaites,  les  intégrales  des  équations 

«te,        dj:-,  dx„  dt 

peuvent  s'exprimer  en  égalant  x,,  .r-,,  .  .  . ,  Xnà  n,  fonctions  holomorphes 
en  K,a'.,  K.../^i,  ...,  K„<*»,  K,,  K^,,  ...,  lv„  étant  des  constantes  arbi- 
traires. 

En  eflet,  les  intégrales  des  équations  (27)  s'écrivent 


X),,        x'ï  T^" 


1    s 


K,         K,  K„ 

d'où 


=  t. 


(28)  T„=KVt'-.,         T,=  K"iw\         ....         T„=K;,-/'.. 

Remplaçons  dans  T|,  T..,  .  .  . ,  ï„  les  x  par  leurs  valeurs  (17),  puis  résolvons 
les  équations  (28)  par  rapport  aux  }';  T,,  T^,,  .  .  . ,  T„  ne  contiennent  respecti- 
vement, en  fait  de  termes  du  premier  degré,  que  des  termes  en  j-, ,  y.,,  ■  ■  ■  ■,  y», 
et  aucun  de  ces  termes  n'est  nul. 

Donc  les  équations  (28)  donneront  les  y  en  fonction  hcdoniorphe  de  K^,'<^i, 

K>^t\     ...,Kl''t'-n. 

Donc  les  x  sont  aussi  des  fonctions  holomorphes  de  ces  mêmes  quantités. 

C.     Q.     F.     D. 

PROBLÈME  I. 

DEUXIÈME   CAS. 

L'équation  est  de  la  forme  générale 

(29)  X,/j,  +  X,/-,  +  .  ..-4-X„y)„=  Z, 

mais  les  conditions  posées  à  l'énoncé  du  théorème  Vsonl  remplies  pour  l'équa- 
tion 

..     <•/©         ..     d<f  do  d<f        ,, 

dx,  dXi  dx„  dz  ' 


PROPRIÉTÉS    DES   FONCTIONS    DÉFI^•IES    PAR    LES   EQUATIONS   AUX   DIFFERENCES    PARTIELLES.       CXI 

Théorème   VIII.  —   Uéqualioti  (29)  admet  en  général  n -\- i  intégrales 
holomorphes. 

En  effet,  les  équations 

dxi        dxi  dx,,        dz 

admettent,  en  veriLi  du  théorème  VI,  des  intégrales  de  la  forme 

Ai  -L  1 


Kl         K-.  K„         K„-n 

Donc  les  valeurs  de  ;,  tirées  des  équations 
(3o)  T,  =  o,         T,  =  0,         ...,         T„  =  o,         T„+,  =  o 

seront  des  intégrales  de  l'équation  (29). 

/^  ,     ,      ,    ,  -,     dT \     d'Y i  dT ,,    dT n-^i  ,  11 

Or,  e«  seneral,  les  quantités  -7— >  -;— >  •  •  • .  — r— »  — ; —  ne  seront  pas  nulles 
'        °  '         T  dz      dz  dz         dz  ^ 

quand  ;  et  les  x  s'annuleront. 

On  pourra  donc  tirer  des  équations  (3o),  de  «  +  i  manières,  ;  en  fonction 
holomorphe  des  x.  c.  q.  f.  h. 

PROBLÈME  III. 

Soit  à  tromer  une  intégrale  z  de  l'équation  (29)  gui  se  réduise  à  une 
fonction  donnée  'L ( jji , ,  ia._, ,  .  .  .,  \J-n-\)  quand  on  y  remplace  respectivement 
j?i ,  X-,,  ■  ■  .  1  ^,1  par  des  fonctions  données  9| ,  0...,  .  .  . ,  0,,  de  îj.|  ,  a..,  . .  . ,  [a„_i  . 

On  suppose,  comme  dans  la  première  l'arlie,  que  les  fonctions  •!/,  9|,  'j..,  ...,  f)„ 
sont  algébroïdes  et  s'annulent  avec  les  \x. 
Reprenons  les  équations 

(3o)  T,=  K,Z^,         T,=  K,Z>'.,         ....         T„+,  =  K„+,  ;>"+,, 

z    =  /  (  K,  «■'■.,  K.,  t>:,   ...,  K„+,  <''"+.  ). 
.r,  =/,(K,A.,  K.jh.  ...,  K„H_i«'w.), 
C-ïi)  <;  a-.,  =/,(K,f>.,  K, <'■-■,  .  ..,  K„+i«'-"+i), 


.î-„  =  /«(K,/^.,  KU>>.,  ...,  K„+, /"+.). 


11  faut,  pour  trouver  l'intégrale,  remplacer  dans  les  équations  (3o)  3  par  d. 
Xi,  X-.,   .  .  . ,  x„  par  9|,  Oj,  .  .  .,  9„;   et  enfin  t  par  une  nouvelle  variable  auxi- 


liaire V  analogue  aux  a. 


CXlI      PnOPRlKTÉS   DES   FONCTIONS    DÉFINIES    PAR    LES  ÉQUATIONS   AUX  DIFFÉnENCKS  PARTIELLES. 

T,,  T.j,  ...,  T„+|  deviennent  alors  algébroïdes  par  rapport  aux  iji;  de  plus 

(    l*^!       =^~^''Ti(n,,  ,a.,  ...,  ,u„_i). 
,3^^  )  K.      =  v-'-ïT,(ni,  [1,,  ...,  1^,,-,;, 

y  ) 

(   K„H_,  =  v-^"+.T„+,(,ui,  ,a,,  ...,  ,a„-i). 

11  faut  ensuite  remplacer  dans  les  équations  (ji)  les  K  par  les  valeurs  (Sa); 

on  y  posera  ensuite 

t 

~  =  (j'h-   • 

V 

5,  X|,  Xj,    .  .  .,  .r„  s'expriment  alors  en  fonctions  alf;ébroïdes  de  ja,,  a-j,  .  .  ., 
|jt.„_i,  p.^;',  ijl';',  .  .  . ,  [ji^;'+'  et  s'annulent  avec  ces  variables. 

TROISIÈME  SECTION. 

L'équation  n'est  pas  linéaire. 

Nous  supposerons  que,  si  l'équation  proposée  s'écrit 

F  =  o, 

où  X|,  Xî,  . . . ,  X„,  Z,  P|,  P.j,  . .  . ,  P„  sont  les  dérivées  du  premier  ordre  de  F 
par  rapport  à  .r,,  jTj,  .  .  . ,  x,,-,  :,  pt ,  p^,  ...,/)«)  l'équation 

(  (X,  +  />,Z)-^  +(X,+  p,Z)^+...+  (X„  +  p„Z)p~ 
,33^  I  ('Pi  (fpi  dpn 

'-'•■S;--'^---.ê-<^''"-'-''â=^' 

satisfait  aux  conditions  posées  à  l'énoncé  du  théorème  V. 

Nous  supposerons  que  l'intégrale  que  l'on  cherche  se  réduise  à  <\i(^, ,  pi.,, .  •■ ,  jJ^n-i  ) 
quand  on  y  remplace  x,,  Xo,  . .  . ,  .r„  par  0,,  S^,  .  .  .,  ^„,  et  que,  dans  le  même 
cas,  p,,  p-21  ■  ■  ■  1  pn  se  réduisent  aussi  à  des  fonctions  connues  lo,,  Wo,  .  .  .,  w,, 
de  II,,  [X,,  .  .  .,  jx„_,. 

On  peut  toujours  supposer  que,  quand  [jl,,  jji^,  ...,  [j^„_i  s'annulent,  lo,, 
u).j,    ...,   w„  s'annulent  aussi,  car,  s'ils  se  réduisaient  à  yi,  y.i,    ...,  y»,  on 

poserait 

s  =  a'  -I-  71  .r,  +  ';.,  x-2  +  ...-\-  y„  x,, , 

et  l'on  serait  ramené  au  cas  où  les  w  s'annulent. 
Quand  on  fait 


PROPRIETES   DES  FONCTIONS   DEFINIES    PAR  LES  EQUATIONS  AUX  DIFFERENCES  PARTIELLES.      CXIII 

on  a 

X,  -+-  /),  Z  =  X.  -(-  /);  Z  = . . .  =  X„  -)-  /j„  Z  =  P,  =  P.  = . . .  =  P„  =  o. 

Mais  quand  l'équation  (33)  salisfait  aux  conditions  posées  à  l'énoncé  du 
théorème  V,  toutes  ces  quantités  ne  peuvent  être  nulles  à  la  fois  quand  on 
donne  à  ^,  aux  x  et  aux/>  des  valeurs  suffisamment  voisines  de  zéro  et  annu- 
lant F,  c'est-à-dire  que  les  équations 

F  =  o, 

X,  -H/ij  Z  =  Xj-H/ï^Z  =  .  . .  =  X„-t-/>„Z  =  o, 

P,=  ?,  =  ...=  P„  =  o 

sont  distinctes,  car,  si  elles  ne  l'étaient  pas,  le  déterminant  fonctionnel  des 
premiers  membres  de  ces  équations  par  rapport  à  :;,  x^^  x-j,,  ....  Xn,  pt,  /'21  •••? 
pn  serait  nul. 

Or  l'équation  qui  correspond  à  l'équation  (iG)  est  formée  en  égalant  à  zéro 
un  déterminant  qui  ne  diffère  de  ce  que  deviendrait  ce  déterminant  fonctionnel 
quand  on  y  annulerait  s,  les  x  et  les  p,  que  parce  que  certains  termes  seraient 
diminués  de  l'inconnue  S. 

Donc,  si  le  déterminant  fonctionnel  était  nul,  cette  équation  admettrait  une 
racine  nulle.  Donc  elle  ne  satisferait  pas  aux  conditions  posées  à  l'énoncé  du 
théorème  V. 

PHOBLÈME  II. 
Les  équations 

dxi        dx^  dXn  dz  —  dp^  —  dpn 


P,        P5       ■■■       P„        i:/',P,-t-l-"       X,-h/),Z      •••      X„.  +  p„'L 

admettent,  d'après  ce  qu'on  a  vu  dans  la  deuxième  section,  des  intégrales  de  la 

forme 

(3.1)  T,=  K,;>.,         T.,=  K,^.,         ...,         T,„+,=  K,„+, /■'=,.+,, 

où  les  K  sont  des  constantes  arbitraires,  t  une  variable  auxiliaire,  les  X  des 
constantes  données,  les  T  des  fonctions  holomorphes  de  z,  des  x  et  des  p 
s'annulant  avec  ces  variables. 

Ces  intégrales  peuvent  se  mettre  sous  la  forme 


(35)  ,  f  f  , 

P\—Jn+\^  P'.  —  Jn+I,  ■■■,  Pn  ^=  Jtn, 

OÙ  les  y  sont  des  fonctions  holomorphes  de  K,  Û-',  K2f^',  .  .  .,  Kon+i  <''"*'  s'an- 
nulant avec  ces  variables. 

H.  P.  -  I.  o 


CViy       l<ROI>RIBTÉ$    DES    FONCTIONS    nKKlNIES    PM\  LES   É0UATION8  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

PROBLÈME  111. 

Soit  à  trom-er  une  intégrale  de 


qui  se  réduise  à 
quand  on  y  fait 


F  =  o 

^1  =  9i(|^n,  11-'.,   ■  ■  -,  I-tn-i), 
X.  =  92(n,,  n,,   ..  .,  n„^i), 

1 

r„=  e„([Jl,,   |ij,    .  ..,   [in'\), 

{3   et   les  9  étant    des  fonctions   holoniorphes   des  ^  s' annulant  avec   ces 
variables. 

Quand  on  fait 

Xt=^i,         a:,  =  6,,  ,..,         x„=Qni 

les   p   se  trouvent  assujettis  à  se  réduire  à   certaines    fonctions  des  p.  :   w,, 

Ces  fonctions  sont  délerniinées  par  les  équations 

F(P,  9i,  9s,   .  .  .,  6„,  (0,,  (Uj,  .  .  .,  <o„)  =  o, 

d&  M,  M,  fl^6„ 

-r-      =  <"i  j —      +  "'t  -r^       + .  .  .  +  0J„  -j— , 
ai^i  «1^1  a[x,  d(i, 

,,  ^  /  rfp  <ie,  de,  ,         rfe„ 

(17)  ',-3—       =  (Oi -=—        +^"2:7 —       4-.  .  .-(-  W„  -j— , 

ajjij  ajjt.  ajx,  «ij.» 


rfS  rfO,  M,  rfe„ 


PREMIER    CAS. 

Les  équations  (i"])  donnent  les  w  en  fonctions  algébroïdes  des  \i. 
Ce  cas  ne  présente  pas  de  difficulté  spéciale,  et  l'on  verra  plus  loin  comment 
on  le  traite. 

DELXIÈME   CAS. 

Les  équations  (3j)  ne  donnent  pas  les  w  en  fonctions  algébroïdes  des  |a. 

Les  deux  membres  de  chacune  des  équations  (S^)  sont  holomorphes  par 
rapport  aux  |j.  et  aux  «.  Donc,  en  vertu  du  lemme  VI  (I"  Partie),  on  peut  en 
tirer  les  w  et  les  ia  en  fonctions  algébroïdes   par  rapport  à  11  —  1   nouvelles 


PROPRIÉTÉS    DES   FONCTIONS   DÉriNIBS    PAR    LES   ÉQUATIONS    AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       CXV 

variables 

et  s'annulant  avec  ces  variables. 

Donc  [3,  les  9  et  les  lo  seront  algébroïdes  par  rapport  aux  v  et  s'annuleront 
avec  eux.  On  est  donc  ramené  au  premier  cas. 

Exemple.  —  Un   exemple  fera    mieux  comprendre  ce   qui    précède.   Soit 
l'équation 

Soit  à  trouver  une  intégrale  de  cette  équation  se  réduisant  à 

|xf  +  \xl 

quand 

Les  équations  (3^)  s'écrivent 

(1)*  =  (dJ  +  (0^, 

On  ne  peut  tirer  de  ces  équations  les  u  en  fonctions  algébroïdes  des  jji. 
Mais  posons 

il  viendra 

3  fi;  =  Vi('>,  1^1+  Us), 

3[l|=   ■^,  V5(i8-l-V,|i,, 

d'où 

3(3;j.;  —  ■2v,ai)'=  •2ViV2(3|JLf  —  îviia,  )  +  v?  [X,, 

équations  qui  définissent  jj.,  et  [ji^  en  fonctions  algébroïdes  des  v.  De  même,  w.!;, 
[xj  +  [J.j[A|,  uLj  +  [x^  s'exprimeraient  en  fonctions  algébroïdes  des  v. 

CAS    GÉNÉRAL. 

Dans  tous  les  cas  on  peut  donc  supposer  : 

1°  Que  les  6,  ^  et  les  w  sont  algébroïdes  par  rapport  aux  pi; 
2"  Qu'ils  s'annulent  avec  ces  variables. 


CWl       PROPRIÉTÉS   DES   FONCTIONS   DÉFINIKS    PAR    LES  EQUATIONS  AUX   DIFFERENCES  PARTIEl.l.KS. 

On  poiU  toujours  supposer  que  les  équations  de  la  forme 

o;"  4-  A,„_,  o;"-i  + . . .  -f-  A,  6i+  Ao  =  o, 

qui  définissent  les  S  par  exemple,  de  même  que  celles  qui  définissent  [3  et  les  w, 
sont  irréductibles,  c'esl-à-dire  ne  sont  pas  un  produit  de  deux  équations  de 
même  forme. 

On  remarquera  que,  pour  un  même  système  de  valeurs  des  [a,  (3,  les  9  et  les  w 
sont  susceptibles  de  plusieurs  valeurs. 

Soit 

un  système  fixe  de  valeurs  des  [/.. 
Soit 

pO,        0|,O,        8?,0,         •■■1        "h.O,        <U|,0,        <"2,0j         ••••        '"n.O 

un  système  fixe  de  valeurs  de  p,  des  9  et  des  w,  tel  qu'en  substituant  dans  les 
équations  (  3^  ),  à  la  place  de 

u^i,        iJ-u        ...,     (J^n-i,       p.       6,,       6,,         ...,     0„,       (0,,        oj.,,        ...,     w„, 
fJ^l.o,      1^-2,0,      ■■-,      IJi-n-i.o,      Po,      Oi,o,      9-2.UI      ■••!     '^",o>      <^i.o.      "2,(1,       ■•■,      Wn,o, 

ces  équations  se  trouvent  satisfaites. 

Supposons  maintenant  que  l'on  fasse  varier  les  ij.  d'une  manière  quelconque 
en  partant  du  système  fixe  de  valeurs 

pour  aboutir  au  système  quelconque  de  valeurs 

l'-l.l,       1-^2,11       •  ■  •  !       ;-^n-l,t- 

Supposons  que  [3,  les  9  et  les  w  varient  d'une  manière  continue  en  même 
temps  que  les  y.,  en  partant  du  système  initial  de  valeurs 

?0,       'Jl,Oi       Sz.O,        ■•■)       ^n.u,       "J|,o,       <"2,ll,        •••,       W„,o, 

et  qu'ils  deviennent  égaux  respectivement  à 

(3ybis)  fi,,     6i,i,     6j,,,     ...,     0,,,,,     tu,,,,     lu.,,,      ...,     t,.,,,, 

quand  les  u.  deviennent  égaux  respectivement  à 

H-l.l,        ÎJ-2.11         •■•'        l-t/1-1,1. 

Nous  appellerons  les  valeurs  {'i-]  Ois)  valeurs  correspondantes  de  p,  des  9  et 
des  ui. 


PROPRIETES  DES  FONCTIONS    DEFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES   PARTIELLES.       CXVIl 

Pour  résoudre  le  problème  III,  il  faut  d'abord  remplacer  dans  les  T 

Z,      X,,      Xi,       ...,      X„,      />,,      /).,,       ...,      pn 

par 

P,      fil,      82,      ■■.,      On,      UJ,,      loj,       ...,      w„; 

il  viendra 

Tl='l'l,  T,=   l,,  ...,  'ïi„+i='Yin+\-, 

les  A  étant  algébroïdes  par  rapport  aux  [jl.  Si  l'on  n'a  substitué  à  :,  aux  x  et 
aux  yj,  dans  les  T,  que  des  valeurs  correspondantes  de  |3,  des  9  et  des  w,  les 
équations  qui  définissent  les  '}  sont  irréductibles. 

On  appellera  système  de  valeurs  correspondantes  des  i}»  un  système  de  valeurs 
de  ces  fonctions  obtenu  en  substituant  dans  les  T  un  même  système  de  valeurs 
correspondantes  de  3,  des  0  et  des  10. 

Il  faut  ensuite,  comme  on  l'a  vu  dans  la  Section  précédente,  remplacer  dans 
les  équations  (35)  les  T  par  les  4  et  t  par  [j.,,. 

z,  les  X  et  les/?  s'expriment  alors  par  des  fonctions  algébroïdes  en  [j.(,  i^^,  ..., 

[-«■n-l,   Y-n  1   Y-aï    ■  ■  ■  1    V-n. 

Si  l'on  a  eu  soin  de  ne  donner,  dans  cette  substitution,  aux  ■];  que  des  valeurs 
correspondantes,  les  équations  qui  dédnlssent  s,  les  x  et  les  p  sont  irréduc- 
tibles. On  dira  encore  que  des  valeurs  de  z,  des  x  et  des  p  sont  correspon- 
dantes quand  on  les  aura  obtenues  parla  substitution  dans  les  équations  (35) 
d'un  même  système  de  valeurs  correspondantes  des  i/.  Les  expressions  de  z-, 
des  X  et  des  p  que  l'on  vient  d'obtenir  donnent-elles  l'expression  implicite  de 
l'intégrale  cherchée? 

Pour  que  cela  soit,  il  faut  et  il  suffit  que  l'on  ait  identiquement 

dz  _  '^■^  _  ^*   _ 

1°  Je  dis  que  ces  conditions  sont  remplies,  pourvu  que  les  [x  ne  prennent  pas 
certains  systèmes  particuliers  de  valeurs. 

En  effet,  w,,  co.2,  .  .  .,  oj„,  [3,  0,,  9j,  .  .  . ,  0„  ne  sont  pas  tous  identiquement 
nuls.  II  en  résulte  que,  pourvu  qu'on  ne  donne  pas  à  iji|,  [jl.,,  .  .  .,  (ji„_,  des 
valeurs  qui  satisfassent  au  moins  à  une  relation  donnée 

on  n'aura  pas  à  la  fois 

p  =  (i)j  ^  (»»  =  ...  =  (u„  =  9,  =  6«  = . . .  =  8„  =  o. 

On  pourra  toujours  choisir  les  a  d'une  infinité  de  manières,  de  telle  façon  que 


CXVIll       PROPRIRTBS  DES   PONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX   niFFÉRENCBS  PARTIELLES. 

les  modules  de  p,  des  w,  des  Ô  soient  aussi  petits  que  l'on  veut  et  que  les  [a  ne 

satisfassent  pas  à 

Y  =  o. 

Dans  ce  cas,  comme  on  l'a  vu  au  commencement  de  celle  Section,  les  fonctions 

F,     l'„     l'„     ...,     P,„ 

X,-î-yU|Z,     X«  +  /i.;Z,      ....     X„-t-/>„Z 

ne  s'annuleront  pas  à  la  fois  quand  on  y  remplacera  z,  les  p  et  les  x  par  (3,  les  oj 
et  les  9.  Mais  alors  les  fonctions  J  sont  identiquement  nulles,  comme  on  l'a  vu 
dans  les  Généralités  {\"  Partie);  les  équations  qui  donnent  j,  x^,  x-,,  .  . . ,  x„, 
fk ,  Pli  •  •  •  1  />«  en  fonction  des  [i.  sont  bien  l'expression  implicite  de  l'intégrale, 
et,  par  conséquent, 

dz  _  dz   _  dz 

sf;-^'"     d^,-^'-'      ■■■'     iHF^^P'- 

Supposons  inainleiiant  que  l'on  donne  à 

Hii     l^'.,     ■■■,     H«-i 
des  valeurs  qui  annulent  à  la  fois 

to,,     w.,,      ...,     to„,     p,     0,,     0-,      ...,     (I„, 

et  voyons  si  les  expressions  que  nous  avons  trouvées  représentent  encore  réel- 
lement rintégrale  cherchée. 

Interprétation  géométrique.  —  Supposons  que  Ton  n'ait  que  deux  variables 
indépendantes  x,  et  Xj,  et  que,  par  conséquent,  l'intégrale  soit  susceptible  de 
représenter  une  surface  S. 

Il  s'agit  de  déterminer  la  surface  S  de  telle  façon  qu'elle  passe  par  une  courbe 
donnée  C,  passant  elle-même  par  l'origine,  et  qu'en  chacun  de  ses  points  son 
plan  tangent  P  soit  tangent  à  un  cône  donné.  Nous  avons  trouvé  une  expression 
de  la  surface  S  en  égalant  z,  x^,  x-,  à  certaines  fonctions  de  deux  variables 
auxiliaires  ^,  et  |i.._.. 

.Si,  donnant  à  [Ji|  une  valeur  cotistante  qui  n'annule  pas 

(u,,     w.,     p,     6,,     0,, 

on  continue  à  considérer  j.i.^  comme  une  variable,  ces  expressions  de  :;,  x,,  x-^ 
en  fonction  de  u.,  et  jjl..,  définiront  une  courbe  K,„  passant  par  le  point 

[■»  =  P(Ki>-  ^1=  6i([ii>,  2:2=  0:(|^ijj, 


PROPRIÉTÉS    DES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       CXIX 

qui  est  sur  la  courbe  G  et  que  nous  appellerons  m,  et  passant  aussi  par  l'ori- 
gine. 

Nous  avons  vu  que,  si  la  surface  S  cherchée  existe,  la  courbe  K,„  en  fait 
partie,  et  qu'effectivement,  tout  le  long  de  cette  courbe  G,  la  surface  engendrée 
par  les  courbes  K„,  satisfait  aux  conditions  de  la  définition  de  la  surface  S. 

Supposons  maintenant  que  ^i  tende  vers  une  valeur  qui  annule  à  la  fois  les  m, 
j5  et  les  Ô,  par  exemple  vers  zéro,  c'est-à-dire  que  le  point  m  se  déplace  sur  la 
courbe  G  en  se  rapprochant  indéfiniment  de  l'origine. 

Dans  ce  cas,  ou  bien  tjL2  restera  fini,  et  alors  ;,  Xi  el  .1^  tendront  vers  zéro, 
ou  bien  [jlj  augmentera  indéfiniment  et  z,x,,  x-,  tendronl  vers  dos  limites  finies, 
c'est-à-dire  que,  quand  le  point  m  tendra  vers  l'origine,  la  courbe  Km  se  rap- 
prochera indéfiniment  d'une  certaine  courbe  limite  Kq. 

Il  s'agit  de  faire  voir  : 

1°  Qu'à  l'origine,  c'est-à-dire  quand 

i-^l=0,  i^î^OO 

ou  quand 

fA,>0,  li:  =  0, 

la  surface  engendrée  par  les  courbes  K^  et  par  la  courbe  Ko  satisfait  aux  con- 
ditions de  la  définition  de  la  surface  S  ; 

2°  Que  le  long  de  la  courbe  Kp,  c'est-à-dlrc  quand 

|i,  =  o,  la,  =  », 

cette  surface  satisfait  encore  à  ces  conditions. 

Hypothèse  I.  —  Supposons  donc  d'abord  que  les  équations 

e,  =  o,  =  ...  =  o„_,  =  o 

soient  distinctes,  ce  qui  est  le  cas  le  plus  général.  Alors,  pour  que  l'on  ait 

(3  =  (i)i  =  (D,  =  ...=  &j„=6,  =  62  =  ...=  6„=o, 
et  par  conséquent 

o  =  F  =  P,  =  P,  =  ...=  ?„  =X, -(-/),  Z  =  X,-hy7.Z=...  =  X„  +  /)„Z, 

il  faudra  que  l'on  ait 

(a)  fi,  =  |a.=  (X3  =  .  .  .=  |j.„_,  =  o. 

Donc,  toutes  les  fois  que  ces  conditions  (a)  ne  seront  pas  remplies,  on  aura. 


C\X      PROPRIETES   DES   FONCTIONS  DEFINIES   PAR   LES   EQUATIONS  AIX    DIFFERENCES  PARTIELLES. 
dz    _  d^    _  '^^    _ 

Ihpollièsc  II.  —  On  peut  toujours  supposer  que  les  parties  réelles  des 
quanlilcs  À,,  )._>,  .  .  .,  Aj/,  +  i  sont  positives,  car  on  a  supposé  que,  si  a,  et  p,-  sont 
les  parties  réelle  et  imaginaire  de  À,-,  les  points  dont  les  coordonnées  sont  a,- 
et  3,- sont  d'un  même  côté  dune  certaine  droite  passant  par  l'origine,  c'est-à- 
dire  que  l'on  a,  quel  que  soit  /, 

A  a; -h  B[3,>o, 

A  et  B  étant  deux  constantes  réelles  indépendantes  de  i. 

Si  les  parties  réelles  des  A,-  n'étaient  pas  positives,  on  multiplierait  l'équa- 
tion F  =  o  par  A — /B. 

A, ,  Xn,  . .  . ,  )v...„+i  deviendraient  alors 

(A-iB/A,,     (A-jB)X,,     ...,     (A-iB)X,„+„ 

dont  les  parties  réelles  sont 

Aa,-l-B^,,     Aa,-HB[3,,      ...,     Aa,„+,-f- B|35„+,, 

et  sont  par  conséquent  positives. 


Cas  à  examiner. 
Le  cas  où  l'on  n'a  pas 

OU  bien 

ayant  été  examiné,  il  nous  reste  trois  cas  à  considérer  : 

r  p.,  =  a.  =  .  .  .  =[A„_|  =  o,  i^„  =  oo; 
2"  a„  =  o;  mais  on  n'a  pas  à  la  fois 

l'-\  —  \^ï  —  ---=  Hn-i  =  o; 

.3°  [ji„  est  fini  et  de  plus 

jx,  =  ix.=  ...=  ;i„_i  =  o. 
PREMIER    CAS. 

Piappelons  de  quelle  manière  on  a  obtenu  l'expression  implicite  de  l'inté- 
grale. 


PROPRIÉTÉS   BES    FONCTIONS    DÉFINIES    PAR   LES  É0rAT:ONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.      CXXI 

Dans  les  T,  on  a  remplacé  z,  les  x  et  les  p  par  jj,  les  9  et  les  w,  et  les  T  sont 
devenus  égaux  à  des  fonctions  i  des  [a,  définies  par  des  équations  de  la  forme 

-j-f-t-  A5i_,  ^r-'  +■ ..+  A/' <{//-+-  Ai;'  =  o, 

où  les  A  sont  des  fonctions  liolomorphes  des  jjis'annulant  avec  ces  variables. 
On  a  ensuite,  dans  les  équations 

T,=  K,«>s 

remplacé  les  K,    par  'li   et  t  par  ;jt„,   et  les  T  se  sont  trouvés  définis  par  les 
équations 

( 38 )  Tf  +  A;;,'_,  i-j-i' Tf -'  -+-...  -H  AV ti(™-')>" T,-  +  A»'' ^T^'  =  o. 

Il  est  clair  que,  si  l'on  annule  [jl,,  ou  si  l'on  annule  les  n  —  i  premiers  p  sans 
rendre  ijl„  infini,  on  annule  les  T,  et  par  conséquent  z,  les  x  et  les  />. 

Nous  allons  d'abord  supposer  que  [/.„  tende  vers  l'infini  en  même  temps  que 
les  autres  jj.  tendent  vers  zéro. 

Les  équations  (38)  nous  donnent  une  expression  implicite  de  l'intégrale. 

Dans  les  équations,  les  A  sont  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances 
croissantes  des  ij.,  de  sorte  qu'on  peut  poser 

A  =  S/., 
OÙ 

X  =  Ki[xÇ'(^^'...H^:lV, 

où  K,  est  une  constante,  pi,  p.,,  .  .  .,  p„_|  des  nombres  entiers. 
L'équation  (38)  pourra  alors  s'écrire 

S7.T7'-'',a!l''=o. 
Supposons  que  l'on  fasse  le  changement  de  variables 

OÙ  a,,  a^,,  .  .  .,  a„_i  sont  des  constantes  dont  les  parties  réelles   sont  positives 
et  que  l'on  déterminera  plus  loin.  L'équation  (38)  s'écrira  alors 

où 

^-  —  **i  s  2  Sa  ■  •  ■  -s/i-i 
et 


S  =  |'a,+  |a.  +  ...+  %^=<.-.-^-- 


H..P.  —  I. 


IXIIII       PBOl'UlKTiiS    T)KS   FONCTIONS  DKPINIltS  PAH   l.ltS  K(.H1ATI()N8  AUX  DIKKÉRKNCES  l'ABTIKLI.KS. 

Rl■lllllI■(n^oll^,  nue,  (liiiis  Cfllo  expression, 

k'     K'    ••■•    TT 

sonl  réels  positifs,  tandis  (|ue  a,,  a,,,  .  .  . ,  a„_,,  X,  sont  imaginaires. 

On  peut  toujours  ehoisir  les  quantités  a,,  a.j,  .  .  .,  a„_,  <le  telle  façon  qu'un 
ou  plusieurs  des  S  soient  nuls  pendant  (pie  les  autres  ont  leur  partie  réelle 
positive. 

En  ellVt,  posons 

a,  = /i|  a -+- (/i|.         a5= /i-a -4- «7,-.,  ...,         x,,-,    = /(„    ,  a -t- fX„.- ,, 

X|  =  r,, -+- j'î;,,  X.  —  7),-+- jÇ.:,  ...,  A.jn-i  =  Tj3„+| -+-  t'Ç,,, 


2n+i. 


Dans  ces  expressions,  h,,  h-.,  .  ..,/i„t  sonl  des  quantilés  positives  et  d'ailleurs 
quelconques,  choisies  arbitrairement;  a  et  les  A  sont  les  inconnues  qu'il  s'agit 
de  déterminer;  les  yi  et  les  ^  sont  les  parties  réelles  et  imaginaires  des  À. 

Dans  cliaciinc  des  écpiulions  (38)  et  dans  chacun  des  coefiicienls  \  (|ui  y 
entrent,  prenons  chacun  des  termes  y  et  considérons  le  o  correspondant 

dont  la  partie  réelle  est 

a  (,|i  /„   -H  I  /,,  + .  .  .  +  %'  /.„-,)-  v),. 

Considérons  les  diverses  quantités 

(io)  '^' ■ 


p,/i,-i-(Jj/i,  +  ...-(-P„-,/i„-,' 


\\  r  m; 
ces  c|uantités  ne  peuvent  devenir  plus  ^'randes  (pie 


h  étant  le  plus  petit  des  iiomlncs  A,,  /u,    •  •  -i  /*•»-!  ! 
Tf)  étant  le  |)lus  grand  des  nombres  Yj,,  t)-..,  .  .  . ,  '^■jm  i  ; 

ni,    étant  le   plus  grand  des  nombres  m  correspondant  à   chacune  des  équa- 
tions (.'>8;. 

Il  j  aura  donc  une  ou  plusieurs  des  quantités  (4o)  qui  seront  plus  grandes 
que  toutes  les  autres. 


PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR   LR8  ÉQUATIONS  AUX   DII'FÉRRNCKS  PARTIE1,I,BS.       CXXIII 

PREMIER    CAS. 

En  général,  il  n'y  en  a  qu'une.  Soient 

Pi,o,     p2,oi      •••!     P/i-1,0,     Ko,     rjo 
les  valeurs  correspondantes  de 

Pi,      P:,      •■■.      P'<,      K,     •»),; 

on  posera 

K(,Tln 


La  partie  réelle  du  o  correspondant  sera 

■jT(Pi,ci/ii-f-  fi,,o/':^-l-..  •-•-  PH-i,o''«-i)a  — ■1o=  "; 

la  partie  réelle  des  autres  «5  sera 

(40  ■^(P,A|-t-p5Aj  +  ...4-P„^, An  ,)«  —  ■'„•, 

et  elle  sera  positive,  puisque 


KuTlo  ..^  Kr)/ 


Quant  aux  quantités  A,,  Aj,  .  .  .,  A„_|,  on  les  assujettira  à  la  condition 

•^(Pi,o*]-<-  pî.o^'ï  ^...-1-  P«-i,oA«-,)  — Ço=o, 

i^o  étant  la  partie  imaginaire  du  X  dont  -fi,,  est  la  partie  réelle. 

Alors  tous  les  S  ont  leur  partie  réelle  positive,  excepté  celui  qui  correspond 
à  [il  0,  p-..,o,  •  •  • ,  fln-1,0,  ri„  +  /!^„,  et  qui  est  nul. 

Si  donc  on  liiil  la  substitution  {^tj)  dans  les  équations  (iH),  ces  équations 
prennent  la  forme 

(38  bis)  o  =  Tr-4-  Ç^'Tf-'  A}^,  +.  . .-(-  T,-A'("Çli"-'l>'+  Ai''>çr', 

où  les  A'  sont  liolomorphes  par  ruj)port  à  ;.j,  Çj,  .  .  .,  5n-t  et  à  diverses  puis- 
sances de  y,  dont  les  exposants  ont  leurs  parties  réelles  positives. 

De  plus,  dans  l'une  au  moins  des  équations  (38  bis),  l'un  au  moins  des  A'  ne 
s'annule  pas  avec  v,  quels  que  soient  les  ^. 


CXXIV       PROPUIETES  DES  FONCTIONS  DEFINIES  PAB  LES  ÉOUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

DEUXIÈME    CAS. 

Plusieurs  des  quantités  (4o)  sont  égales  entre  elles  et  plus  grandes  que  toutes 
les  autres. 

Si  le  nombre  de  ces  quantités  n'est  pas  supérieur  an  —  i ,  il  n'y  aura  pas  de 
difficulté;  mais,  quel  qu'il  soit  d'ailleurs,  on  pourra  tourner  la  difficulté,  comme 
on  va  le  voir. 

Egalons  encore  a  à  ce  nombre  positif,  qui  est  égal  à  plusieurs  des  quan- 
tités (4o)  et  plus  grand  que  toutes  les  autres.  L'expression  (4')  sera  encore 
nulle  pour  les  2  qui  correspondent  à  une  quantité  (4o)  égale  à  a,  positive  pour 
tous  les  autres.  On  posera  encore 

(42)  i(P,A-,-Hp,A-,-t-...-r-p„_,;;-„_,)-0=0, 

où  Ion  donnera  aux  |i  et  à  î^;  les  valeurs  qui  correspondent  aux  S  dont  on  vient 
d'annuler  la  partie  réelle. 

Si  le  nombre  des  équations  (42)  est 

<  n  —  I        ou        =  n  — i, 

on  pourra  choisir  les  k  de  façon  à  satisfaire  à  ces  équations,  et,  comme  dans  le 
cas  précédent,  les  équations  (38)  seront  ramenées  à  la  forme  (38  bis). 
Si  le  nombre  des  équations  (42)  est 

>  «  — I, 

on  ne  pourra  plus  choisir  les  k  de  cette  manière,  mais  on  pourra  le  faire  de 
telle  sorte  que  tous  les  0  aient  leurs  parties  imaginaires  positives,  excepté  un 
nombre  fini  d'entre  eux,  que  tous  ceux  dont  la  partie  réelle  est  déjà  nulle  aient 
leur  partie  imaginaire  positive,  excepté  un  ou  plusieurs  dont  la  partie  imaginaire 
devra  être  nulle. 

En  effet,  soit  par  exemple 

/(,  =  A-,  =  .  .  .=  kn^,. 

La  partie  imaginaire  d'un  5  s'écrit 

Considérons  d'abord  ceux  des  0  dont  la  partie  réelle  est  déjà  nulle;  pour  l'un 
au  moins  d'entre  eux,  i^,-  est  positif,  sans  quoi  on  changerait  ^  —  i  en  —  ^'  —  i  ; 


PROPRIETES   DES    FONCTIONS   DEFINIES  PAR  LES  EQUATIONS  AUX  DIFFERENCES  PARTIELLES.       CXXV 

donc,  pour  A",  =  o,  toutes  les  expressions  (42  bis)  ne  sont  pas  positives  : 
pour  A'i  positif  et  très  grand,  elles  le  sont  toutes.  On  pourra  donc  choisir  A, 
positif  de  telle  sorte  qu'il  annule  une  ou  plusieurs  des  expressions  (42  bis)  en 
laissant  les  autres  positives. 

Considérons  maintenant  ceux  des  0  dont  la  partie  réelle  est  positive  ;  il  n'y  en 
aura  qu'un  nombre  fini  pour  lesquels 

^_       le  plus  giartd  des  !;,x  le  plus  grand  des  K 

et,  par  conséquent,  dont  la  partie  imaginaire  peut  être  nulle  ou  négative.  Tous 
les  autres  S  auront  leur  partie  imaginaire  positive. 
Posons  maintenant 

V  =  vj-'*. 

Dans  ce  cas,  les  équations  (38)  s'écrivent 

où 

Oi  =  (i  —  ib)à; 

si  0  =  £  +  t£|, 

81  =  (e  +  6e,)  -I-  i(£i  —  bs). 

1°  Pour  un  nombre  fini  des  quantités  S, 

£=£1  =  0; 
alors 

£ -h  èî,  =  o,         £1 — 6e  =  o,        3,  =  o. 

2°  Pour  un  nombre  fini  des  quantités  0, 

£i  =  o,         £i>o; 
alors 

E  +  èe,  >  o, 
si  b^  o. 

Z"  Pour  un  nombre  fini  des  quantités  S, 

E>o,        ei<o; 
on  pourra  alors  toujours  choisir  b  positif  et  assez  petit  pour  que 

J-f-è£,>0. 

4"   Pour  un  nombre  fini  ou  infini  des  quantités  3, 

£  >o,        £1  >  o; 

si  è  >o, 

i-h  bii>  o. 


CWVI      l'ROPRIÉTKS  DBS  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFKÉKBNCES  PARTIELLES. 

En  résume,  lous  les  o,  ont  leur  partie  réelle  positive,  excepté  un  ou  plusieurs 
qui  sont  nuls.  Les  équaliuns  (38)  prennent  donc  encore  ici  la  forme  (38  bis), 
c'est-ù-dire  que  les  T  sont  fonctions  algébroïdes  de  Ço,  ?j,  .  .  . ,  Çn-i,  de  diverses 
puissances  de  |„  et  de  y,,  dont  les  exposants  ont  leur  partie  réelle  positive,  et 
que  tous  les  T  ne  s'annulent  pas,  <iuelsque  soient  les  $,  quand  v,  s'annule. 

CAS    GÉNÉRAL. 

Dans  les  deux  cas  qu'on  vient  d'examiner,  les  équations  (38)  ont  été  ramenées 
aux  équations  (38  bis).  En  résolvant  ces  équations  (38  bis)  par  rapport  aux  x, 
à  s  et  aux  p,  on  trouvera 

Ces  équations  donnent  l'expression  implicite  de  l'intégrale,  pourvu  que  l'on 
n'ait  pas 

(j:,  =  (Jt,=  .  ..=  [JL„-,  =  o  OU  lin=0, 

c'est-à-dire  pourvu  que 

V^O,  Ç.^O,  $3^0,  ...,  Ç„^0. 

Les  équations  (38  bis)  montrent  que,  quand  les  ^  tendent  d'une  certaine 
manière  vers  certaines  valeurs  différentes  de  zéro, 

pendant  que  y  tend  d'une  certaine  manière  vers  zéro,  les  T  tendent  vers  cer- 
taines valeurs  finies  et  différentes  de  zéro, 

Tj^o,       1 2,0,       •■•)       tjn-^i.Oi 

et  que,  par  conséquent,  z,  les  x  et  les  jj  tendent  vers  certaines  valeurs  finies  et 
différentes  de  zéro, 

2oi      *^l,Oi      ^2,0,       •••!      ^n^Qi      /'l.o,      /'s.O,       ■••»      Pn,0' 

Ces  valeurs  satisfont  évidemment  à  l'équation 

'''(so,  a;,,o,  ^:,oi  ■  •  ■■, -^n,»,  P\,i>,  P-'.o-,  •  •  • , /'«.o)  =  "i 

car  F  est  une  fonction  continue  de  z,  des  x  et  desp,  et  l'on  a  vu  qu'on  pouvait 
satisfaire  à  l'équation  F  =  o  en  donnant  à  ces  variables  des  valeurs  aussi  voi- 
sines que  l'on  veut  de 

^D,       ^i,0,       372,01        •••!       ^n,0,      /'l.O.      7*2,0,        ■••,      Pn,0- 


PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES.       CXXVII 

Il  reste  à  faire  voir  que,  pour 

X\  ^  .^1 ,0'      ^^  ^^  ^^,<ii       •  •  •  »      ^/i  ^^  ^n,Oi 

on  a 

dz  dz  dz    _ 

d^,^P''  rf^=^' d^„-''"' 

ou  que  l'on  peut  prendre  v  et  les  ^  assez  voisins  de  leurs  limites  pour  que 

3  — -o  =  (ar,  —  a?,_o)(/'i,o+E,)  +  (x.— X.,,0  )(/-)•., 0-^-^2  )  +  •  .•  +  (^n— ^«,0  )(/*//. u+  En), 

où  les  modules  de  e,,  e..,  .  .  . ,  £„  sonl  aussi  petits  que  l'on  veut. 

Or  on  a 

dz  dz  dz 

P<  = 

toutes  les  fois  que 


^'=Z^'  f''-=d^,'  ■••'  ''"-  dx„ 


V  r^O. 

Considérons  un  instant  v,  Ç._,,  ^3,  ....  ;„  comme  des  fonctions  holomorphes 
quelconques  d'une  variable  /  qui  tendent  vers 

O,       Çî.U,        Çs.Oj        •  •  •)       $«.0 

quand  t  tend  vers  zéro. 

Remarque.    —  Remarquons  qu'on  peut  toujours  supposer  que,  pour  /  =  o, 

dz        dx,        d.r,  dx„ 

dt'  ih'  "dt'   ■■■'  ~dr 

ne  tendent  pas  vers  l'infini. 

En  eflel,  un  des  T  est  donné  par  l'équation 

(39)  T">+A,„_,T"'  ■•-+-...+ A,  T -H  A„=  0, 

où  les  A  sonl  des  fonctions  holomorphes  de  diverses  puissances  de  t  dont  les 
exposants  ont  leurs  parties  réelles  positives. 
Si  To  est  la  valeur  de  T  pour  t  =  o,  on  aura 

(T-T„)'"+B,„.,(T-T„)"'-'  +  ..,+  B,(T-T„)  +  no=o, 

où  les  B  sonl  de  même  forme  que  les  A. 

Soit  <''l°'k+'f'K)  celle  des  puissances  de  t  qui  entre  dans  le  développement 
de  B,„_K  et  dont  la  partie  réelle  est  la  plus  petite.  Si  tous  les  %  sonl  plus  grands 
que  I, tend  vers  zéro  quand  t  tend  vers  zéro;  or  on  peut  toujours  sup- 
poser que  tous  les  a^  sont  plus  grands  que  i ,  car,  si  cela  n'était  pas ,  on  poserait 

t  =   T'., 


CXXVIII       PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  LES  ÉQUATIONS  AUX  DIFFÉRENCES  PARTIELLES. 

)>  étant  un  nombre  plus  grand  que  tous  les  -jt.  et  Ton  aurait 

OÙ  )>aK  >  I . 

Donc  on  peut  toujours  supposer  que  pour  tout  /  ^  o  on  a 

dT 

—r-  =  o, 
dt 

et  par  conséquent 

dz        dx^  dx^  _        _  dxn  _ 

"dt   ^ 'dt    ^  ~dt  ~dt~'°'  C.Q.F.D. 

Cela  posé,  soient  ï,  une  valeur  quelconque  de  /;  -i,  Xfi,  x.,:,,  .  .  .,  .r„_|  les 
valeurs  correspondantes  de  z  et  des  x  ;  on  aura 


■-jy'{ 


dx,  dx-  dx^ 


Cette  intégrale  existe,  puisque  les  quantités  sous  le  signe  /"restent  finies. 
Or  on  peut  prendre  /|  assez  petit  pour  que  />,,  p..  .  .  .^  pn  soient  aussi  voi- 
sins qu'on  voudra  dey;,  o,  />2.o,  •  •  •  »  /'«  o-  Donc 

-i--o=f    /"     rf;-^'  j  (/>,,o-+-E, )+...+  (    I"     rf^-^  j(/;„,o+£«), 

les  modules  des  e  étant  aussi  petits  que  l'on  voudra,  c'est-à-dire 

-1  — -5o=  (/'i.o-t-  £i)(a:,,,  — a-,,o)-^-.  •  • -t-(/'n,o-l-  e„)  (x„,,  —  a;„,o). 

C.    0-  F-   D. 
DEUXIÈME   CAS. 

p., ,  |j..2,  . .  . ,  tjL„_|  ne  sont  pas  nuls  à  la  fois,  ([ji.„  =:  o). 

Dans  ce  cas,  les  équations  (38)  démontrent  que  les  T  s'annulent,  et  par  con- 
séquent aussi  z^  les  x  et  les/».  Je  dis  que  l'on  a  en  même  temps 

dz  dz  dz 

r/xi        f/ar.       "  '  '       dx^ 

Pour  cela,  il  faut  faire  voir  que,  quels  que  soient  les  n  —  \  premiers  [x,  on  peut 
prendre  [i.„  assez  petit  pour  que 

où  mod.  Çi  <;  E|,  mod.  ^^  <[  Eo,  .  .  . ,  mod.  ç„  <^  e„,  e,,  Eo)   •••)£«  étant  aussi 


PROPRIÉTÉS  DES  FONCTIONS  DÉFINIES  PAR  I.ES  ÉQUATIONS  AUX   DIFFERENCES  PA11TIEI.I.ES.       CXXIX 

petits  ([lie  l'on  veut.  Or  on  a 

Z"^'"  ,       I  dz    dx,  dz    rf.r,  dz    dx„\ 

J^^  '      \dx^   d\Xn        dx«  d\i.,i  dx„   d\x„  j 

ou,  puisque,  toutes  les  fois  que  [j.„(i, 


dz  dz  dz 

d'où 


7^-^'"        d^,-'"-'  •••        ./^„~^"' 


z  =  /        dx„  y  i>i 


Or,  on  aura  pu  prendre  ;j.„ „  assez  petit  pour  (jue,  v.„  variant  depuis  zéro  jus- 
qu'à ;j.„  0  (de  manière  que  son  point  représentatif  décrive  une  lit;ne  droite), 
(Ml  ait 

11)11(1./),  <  £,. 

Dans  ce  cas,  on  aura 


/•  r'""  ax , 

j  d'j.„p,— —  =t,x,  f  morl.  ',  <  £,  ), 

d'où 

;  =  Si;,a:,.  c.  Q.  F.   I). 


TROISIÈMIÎ    CAS. 
|J.|  =  ji,  =  .  .  .  =  ;j.„_,  =  o,  |J.„  "■  30. 


En  ce  cas,  les  T  sont  nuls,  ainsi  que  les  x,  ;  et  les  />;  je  dis  que 

dz  dz  dz 

■    dxy        dxn  dx,i 

En  effcl,  il  suffit  de  faire  la  substitution  (3g)  pour  être  ramené  au  cas  jiré- 
cédenl. 

Remarque.  —  La  démonstration  précédente  (deuxième  cas)  suppose  que  -7—^. 
— — -,  ■■■■  -j-^  sont  finis.  Or  on  peut  toujours  le  supposer,  ainsi  qu'on  l'a  vu 
pour  le  premier  cas. 


(  *)   Voir  la  ceniarque  au  bas  île  la  page. 


H     P.  —  I. 


SECONDE  THESE. 


PROPOSITIONS  DONNÉES  PAR  LA  FACULTE. 


Démontrer  qu'un  ellipsoïde  à  trois  axes  iné},'aiix  peut  être  la  forme  d'équi- 
libre relatif  dun  corps  fluide  homogène  tournant  autour  d'un  axe  d'un  mou- 
vement uniforme  et  dont  les  molécules  s'attirent  en  raison  directe  des  masses 
et  en  raison  inverse  du  carré  des  distances. 


SUR  LES  COURBES  DÉFINIES 


UNE  ÉOUATIOIV  DlFlEKHNTIEI.I.i:  '' 


Comptes  rendus  de  l'Acadcntie  des  Scieiiees,  l.  9(1.  p.  673-675  (2'|  avril  it-So). 


Ce  Mémoire  a  pour  bul  I'cIlkIc  gcoiiiLlriijuc  des  combes  (leliuies  par  une 
équalion  difierenlielle  de  la  forme 

t/x       dv 

où  \  et  \  sont  fies  polynômes  entiers  en  .r  et  r. 

A(in  iFévitcr  les  diffieullés  ([ue  présenterait  l'étude  des  luaiulies  inlinies, 
j'appelle  le  point  (^•,»v)^  nnn  pas  le  point  dont  l'ordonnée  et  l'abscisse  dans  un 
plan  sonl  j'  et  x^  mais  la  projection  gnomonicpie  de  ce  point  sur  la  sphère.  De 
cette  façon,  à  nn  système  de  valeurs  de  x  cl  dey  correspondent  deux  points  de 
la  sphère  diamétralement  opposés. 

Avant  d'étudier  ces  courbes  (que  j'appelle  caracléiistùjucs)  dans  toute 
rétendue  de  la  sphère,  j'ai  dû  nalurelh  nient  rappeler  les  résultais  auxcpiels  a 
déjà  conduit  leur  élude  dans  une  région  restreinte  de  la  sphère.  On  voit  ainsi  : 
1°  que,  par  tous  les  points  de  la  sphère,  sauf  par  certains  points  singuliers, 
passe  une  caractéristique  et  une  seule;  2"  que,  par  certains  points  singuliers, 
passent  deux  points  caractéristiques;  H"  que,  par  d'autres  points  singuliers, 
passent  une  infinité  de  cararlèiistlques  ;  '\°  enlin,  qu'une  troisième  sorte  de 
points  singuliers  est  telle,  que  les  caractéristiques  voisines  tournent  comme  des 
spirales  autour  de  ces  points  sans  (piaucune  d"<'lles  aille  y  j)assei'.  .)  appelle  ces 


(')  Celle  Note  est  l'e.\liail,  rédige  par  Henri  Poincarc    d'u  Mé!iiuire  iju'il  avait  prcsenlé. 
H.  P.  —  I.  ! 


a  SIR    LES    COlllBES    DKFIMES    l'Ai»    INE    EQUATIdN    IIIFFKIIENTIEI.LE. 

trois  sortes  de  points  singuliers  les  cols^  les  no'iuls  et  les  Joye?:<<  de  réfjiiiilion 
donnée. 

Envisageant  la  distrilmllcm  «le  res  points  singuliers  sur  la  splirre,  je 
démontre  que  le  nombre  des  nœuds  el  des  fuvers  surpasse  de  deux  le  nombre 
des  eols. 

Après  avoir  démontré  divers  autres  théorèmes,  dont  Fénoncé  ne  peut 
trouver  place  dans  ce  résumé,  j'aborde  Tèlude  des  courbes  dans  toute  lètendue 
de  la  sphère,  et  j'arrive  au  résultat  suivant  :  la  sphère  est  sillonnée  par  une  série 
de  courbes:  fermées  (elle  :  i"quc  parles  points  ordinaires  passe  une  de  ces  courbes 
fermées  et  une  seule;  2°  caie  chaque  col  soit  un  point  double  d'une  courbe 
fermée;  3°  quepar  lesncruds  et  les  fovers  ne  passe  aucune  de  ces  courbes  fermées. 
Parmi  ces  courbes  fermées,  les  unes  ne  sont  pas  do  caiactéristiqueset  ne  touchent 
une  caractéristique  en  aucun  point  :  je  les  appelle  cycles  sans  contact;  les 
autres  sont  des  caractéristiques  :  je  les  appelle  cycles  limites,  parce  qu'elles 
sont  asymptotes  aux  caractéristiques  voisines. 

Aucun  cycle  sans  contact  ne  rencontic  une  caractèiislicpie  en  jilus  d'un 
point.  La  connaissance  du  système  des  cycles  sans  contact  et  des  cych's  limites 
fournirait  une  idée  complète  de  la  form»^  gèomètri(jue  des  caractéristiques,  ,1e 
donne  d'abord  des  exemples  de  cas  m"i  l'équation  de  ce  système  est  exprimable 
en  termes  finis;  mais,  comme  cela  n'a  pas  lieu  en  général,  je  dois  avoir  recours 
à  un  autre  procédé.  De  même  que,  faute  de  pouvoir  exprimer  les  racines  d'une 
équation  en  nombres  commensurables,  on  les  sépare  et  on  les  resserre  ensuite 
dans  des  limites  de  plus  en  plus  étroites,  je  cherche  à  diviser  la  s])iièic  en 
régions  acycliques,  que  ne  traverse  aucun  cycle  limite,  et  en  régions  inonocy- 
cli(/ues.  aussi  restreintes  que  possible,  cpii  contiennent  un  cycle  limite  tout 
entier  et  n'en  contiennent  qu'un.  Je  donne  une  méthode  générale  pcnir  arriver 
à  ce  résultat,  et  trois  applications  de  cette  méthode. 

Les  résultats  qui  sont  rapportés  dans  ce  lèsumé  se  ra|)porteut  au  cas  le  plus 
général;  mais  j'ai  dû  examiner,  dans  le  Méuiolre,  dill'èrents  cas  exceptionnels, 
sans  pouvoir  pourtant  envisager  tous  ceux  (|ui  se  présentent. 


MÉMOIRE 


LES    COURBES    DÉFINIES 


UNE  ÉOUATION  DIFFÉRENTIEI.Ï.E 


Journal  de  Mathématiques,  3"  série,  l.  7,  p.  37.5-422  (1881)  et  t.  8,  p.  251-296  (1882). 


Une  théorie  complète  des  lonclidiis  tiélinics  par  les  cqualions  cliderenlielles 
serait  d'une  grande  utilité  dans  un  f;rand  nombre  de  questions  de  Mathéma- 
tiques pures  ou  de  Mécanique.  Malheureusement,  il  est  évident  que,  dans  la 
grande  généralité  des  cas  qui  se  présentent,  on  ne  peut  intégrer  ces  équations  à 
l'aide  des  fonctions  déjà  connues,  par  exemple  à  l'aide  des  fonctions  définies 
par  les  quadratures.  Si  l'on  voulait  donc  se  restreindre  aux  cas  que  l'on  peut 
étudier  avec  des  intégrales  définies  ou  indéfinies,  le  champ  de  nos  recherches 
serait  singulièrement  diminué,  et  l'immense  majorité  des  questions  qui  se  pré- 
sentent dans  les  applications  dciiii  iircralcnl  insolubles. 

Il  est  donc  nécessaiie  d'étudier  1rs  lunctions  définies  par  des  équations  diffé- 
rentielles en  elles-mêmes  et  sans  chercher  à  les  ramener  à  des  fonctions  plus 
simples,  ainsi  qu'on  a  fait  pour  les  fonctions  algéiniques,  qu'on  avait  cherché  à 
ramener  à  des  radicaux  et  qu'on  étudie  maintenant  directement,  ainsi  qu'on  a 
fait  pour  les  intégrales  de  diderentielles  algébriques,  qu'on  s'est  elTorcé  long- 
tenqjs  d'exprimer  en  termes  finis. 

Rechercher  quelles  sont  les  |ir()|)riétés  des  équations  différentielles  est  donc 
une  question  du  plus  haut  intérêt.  On  a  déjà  fait  un  premier  pas  dans  cette  voie 
en  étudiant  la  fonction  proposée  dnii.s  lu  voisinage  cV un  des  points  du  plan. 
11   s'agit  aujourd'hui  d'aller  plus  loin  et  d'étudier  cette  fonction  dans  toute 


1  MÉMOIRR    Sin    LES    COimniJS    DKFIMIS    par    CM"    i:0l'ATIO\    nUFÉBENTIRLI.E. 

/  élcitituc  lia  plan.  Dans  colle  rccluMclir,  noire  |joint  de  départ  sera  évidem- 
ment ce  qne  l'on  sali  déjà  de  la  t'onclion  étudiée  dans  une  certaine  région  du 
plan. 

1.  élude  complète  dune  fonction  compi-end  deux  parties  : 

i"  Partie  i|iiaiilative  (pour  ainsi  dire'i,  ou  étude  géométrique  de  la  courbe 
délinic  par  la  ronction  ; 

2"  l'arlie  (|uaiililali\e,  ou  calcul  nMiiiéri(pic  des  valeurs  de  la  l'onction. 

Ainsi,  par  exemple,  pour  étudier  une  écjualion  alt;él>ii(pie,  on  commence 
pai-  rcclierclier,  à  l'aide  du  lliéoréme  de  Sluiin,  quel  est  le  nombre  des  racines 
réelles,  c'est  la  partie  qualitative,  puis  on  calcule  la  valeur  numérique  de  ces 
racines,  ce  qui  constitue  l'étude  quantitative  de  l'équation.  De  même,  pour 
étudier  une  courbe  algébrique,  on  commence  par  construire  cette  courbe, 
comme  on  dit  dans  les  cours  de  Matbémalicpies  spéciales,  c'est-à-dire  qu'on 
cherclie  quelles  sont  les  branches  de  courbes  fermées,  les  branches  infinies,  etc. 
Après  cette  étude  qualitative  de  la  courbe,  on  peut  en  déterminer  exactement 
un  certain  nombre  de  points. 

C'est  naturellement  par  la  partie  qualitative  qu'on  doit  aborder  la  théorie  de 
toute  fonction  et  c'est  pourtpioi  le  problème  qui  se  présente  en  premier  lieu  est 
le  suivant  : 

Construire  les  courbes  définies  par  des  équations  différentielles. 

Cette  étude  qualitative,  quand  elle  sera  faite  complètement,  sera  de  la  plus 
grande  utilité  pour  le  calcul  numérique  de  la  fonction  et  elle  y  conduira 
d'autant  plus  facilement  que  l'on  connaît  déjà  des  séries  convergentes  qui  repré- 
sentent la  fonction  cherchée  dans  une  certaine  région  du  plan,  et  que  la  prin- 
cipale difficulté  qui  se  présente  est  de.  trouver  un  guide  sûr  pour  passer  d'une 
région  où  la  l'onction  est  représentée  par  une  série  à  une  autre  région  du  plan 
où  elle  est  ex|jrimable  |)ar  une  série  différente. 

D'ailleurs,  cette  étude  qualitative  aura  par  elle-même  un  intérêt  du  premier 
ordre.  Diverses  questions  fort  importantes  d'Analyse  et  de  Mécanique  peuvent 
en  cfF'el  s'y  ramener.  Prenons  pour  exemple  le  problème  des  trois  corps  :  ne 
peut-i>n  ])as  se  rlcmandei-  si  l'uu  des  corps  restera  toujours  dans  une  certaine 
région  du  ciel  ou  iiien  s  il  pouira  s'éloigner  indéfiniment;  si  la  distance  de 
deux  des  corps  augmenliTa,  ou  (Jiuiinueia  à  l'inlini,  ou  bien  si  elle  restera  com- 
prise entre  certaines  limites".'  i\e  peiil-on  pas  se  i)oser  mille  questions  de   ce 


MKMOIRE    SUR    LES    COlRnES    DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION   DIFFERENTIELLE.  'i 

genre  qui  seront  toutes  résolues  quand  on  saura  construire  qualitativement  les 
trajectoires  des  trois  corps?  El  si  l'on  considère  un  nombre  plus  grand  de  corps, 
qu'est-ce  que  la  question  de  rin\ariabilité  des  éléments  des  planètes,  sinon  une 
véritable  question  de  Géométrie  qualitative,  puisque,  faire  voir  que  le  grand 
axe  n'a  pas  de  variations  séculaires,  c'est  montrer  qu'il  oscille  constamment 
entre  certaines  limites  ? 

Tel  est  le  vaste  champ  de  découvertes  qui  s'ouvre  devant  les  géomètres.  Je 
n'ai  pas  eu  la  prétention  de  le  parcourir  tout  entier,  mais  j'ai  voulu  du  moins 
en  franchir  les  frontières,  et  je  me  suis  restreint  à  un  cas  très  particulier,  celui 
qui  se  présente  d'abord  loiil  nalurcUcineut,  c'est-à-dire  à  l'étutie  des  éipiatums 
différentielles  du  premier  ordre  et  du  premier  degré. 

Dans  ce  qui  va  suivre,  je  considère  les  courbes  définies  par  une  équation  de 

la  forme 

dx  _  dy 

IC  ~  T' 

où  X  et  Y  sont  deux  |)oljnomcs  entiers  en  x  et  en_}-.  Ces  courbes,  je  les  appelle 
des  caractéristiques. 

Si  l'on  considère  les  deux  portions  d'une  même  caractéristique  qui  se  trouvent 
de  part  et  d'autre  d'un  de  ses  points,  on  aura  divisé  cette  caractéristique,  à 
moins  qu'elle  ne  soit  une  courbe  fermée,  en  deux  denii-caracléristiq ues  dis- 
tinctes. Ces  deux  demi-caractéristiques  joueront,  dans  ce  qui  va  suivre,  un  rôle 
de  quelque  importance.  Par  exemple,  supposons  que  la  caractéristique  soit  la 

spirale  logarithmique 

p  =  e"; 

on  pourra  la  diviser  en  deux  demi-caractéristiques,  comprenant,  la  première, 
tous  ceux  de  ses  points  pour  lesquels 

P<i; 

la  seconde,  tous  les  points  pour  lesquels 

p>i. 

Afin  d'éviter  les  difficultés  que  pourrait  présenter  l'étude  des  branches 
infinies,  nous  supposerons  que  les  courbes  sont  projetées  gnomoniquement  sur 
une  sphère.  Soient  un  plan  P,  et  un  point  quelconque  (.r,  r)  dans  ce  plan  ;  si 
l'on  considère  une  sphère  quelconque  divisée  en  deux  hémisphères  par  un  plan 
parallèle  au  plan  P  et  que  nous  appellerons  plan  de  Véquateur  ;  si  l'on  joint 


f>  MHMOIHK    SI  H    l.KS    (  OIIIIIKS    luiriMKS    PAIl    IINK    ÉQUVTION    Diri'lillENTIEI.I.K. 

If  fiMitrc  (le  la  >|ili(ic  an  |i(iiiil  (^o:,  )),  la  ilroili',  ainsi  iléUTiiiincc,  L'ou|)Lra  la 
split-re  fil  lieux  |)iiiiil>  dianuli-alf  ment  opposés;  nous  appellerons  (:r,)',  i)  celui 
qui  esl  siliif  dans  !<•  piiini(  r  li(-inis[)lif  re ,  (j,  }',  2)  «l'Iiii  (pii  esl  situé  dans  le 
second  hémis|)lif if . 

Toute  ligne  droite  du  plan  P  se  projettera,  sur  la  sphère  suivant  un  grand 
cercle.  Aussi,  quand  nous  parlerons  de  la  tangente  en  un  point  à  la  caractéris- 
tirpie.  il  s'agiia  de  l'are  de  grand  cercle  qui  touclie  la  caractéristique  en  ce 
point. 

Tout  gland  cercle  coupe  léquateur  en  deux  ])oinls  lo,  el  (o^  ;  Fangic  de  direc- 
tion du  grand  cercle  qui  passe  par  les  points  diamétralement  opposés  (o,  et  ojj 
sera  l'ai-e  eumpris  entre  (•),  et  un  point  fixe  de  l'équateur.  Le  coefficient  angu- 
laire sera  la  tangente  de  l'angle  de  direction. 

Enfin,  les  points  d'inllexion  d'une  caractéristique  seront  les  points  où  elle  esl 
osculatrice  à  un  grand  cercle. 

11  esl  évident  que,  dans  ces  conditions,  si  l'on  excejile  quelques  points  singu- 
liers, par  tous  les  points  île  la  s]>lièi'e  passe  une  caraclérislique  et  une  seule,  el 
le  coefficienl  angulaire  de  la  tangente  esl  donné  par  l'équation 

D'ailleurs,  tout  esl  symétrique  par  rapport  au  centre  de  la  sphère. 


CHAPITRE  I. 

DÉFINITIONS    ET    GÉNÉRALIIÉS. 


Avant  d'aller  plus  loin,  il  est  nécessaire  de  donner  certaines  définitions  el 
certains  théorèmes  généraux  qui  seront  d'un  grand  secours  dans  l'étude  quali- 
tative des  courbes  sphériques. 

Considérons  d'abord  des  courbes  sphériques  ne  présentant  ni  point  double, 
ni  point  d'arrêt. 

Nous  appellerons  cycle  sf)lirri(jiir  une  courbe  telle  qu'ajirés  en  avoir  par- 
couru un  arc  fini,  on  revienne  an  pinnl  de  dèpaii  :  par  exemple,  un  petit  ou  un 
grand  cercle. 


MËMOIHE   SUR    LES    COIJIIBES    DEFINIES   PAR    UNE    EQUATION    DIFFI.HENTIELLE.  ' 

Nous  appellerons  spirale  sphériqiie  une  courbe  qui  coupe  un  cycle  sphé- 
rique  en  un  seul  point,  par  exemple  la  loxodromie,  qui  coupe  les  parallèles  en 
un  seul  point. 

Un  cycle  sphérique  divise  la  >urla(<-  de  la  sphère  en  deux  réf;ioiis  que  nous 
appellerons,  l'une,  V intérieur  du  cycle;  l'autre,  Yexlérieur;  on  ne  peut  passer 
de  l'une  à  l'autre  sans  cou[icr  le  cycle. 

Si  l'on  joint  deux  points  d'une  caractéristique  par  un  arc  de  courbe  quel- 
conque qui  n'ait  avec  la  caractèristiipie  d'autre  point  commun  que  ses  deux 
extrémités,  l'arc  de  courbe  et  l'arc  de  caracléi-istique  compris  entre  les  deux 
points  formeront.  |uir  leur  ensemble,  \\\\  cvcle  sphérique.  Par  exemple,  si  l'on 
juiiil  par  nu  arc  de  i;rand  cercle  les  dcu\  c\lièniilès  d'un  arc  de  petit  ceiclc, 
ces  deux  arcs  lormcront  un  cvcle  Icrmè. 

Mais  il  peut  se  préseiil(M'  deux  cas. 

Premier  cas.  —  I^es  deux  InaiK  hes  <le  courbes  formées  par  la  caractéris- 
tiipie,  prolon;;c<'  au  delà  (h's  deux  pc)iiiK(pir  Ton  a  réunis  par  un  ai'c  de  coui'be 
quelconqu<',  sont  imiles  deux  iiilcricii rrs  du  liiiiles  deux  extérieures  au  cycle 
formé  par  les  deux  arcs. 

Dans  ce  cas,  iKuis  dirons  tpie  lare  de  courbe  soiis-teiid  lare  de  caiactéris- 
lique. 

C'est  ce  qui  arri\e,  par  exemple,  <laiis  les  cas  des  deux  extrémités  d'un  arc 
(b'  ]Htil  cercle  réunies  par  nii  arc  de  i;rand  cercle. 

Deuxième  cas.  —  Les  deux  branches  de  courbes  formées  par  la  caractéris- 
tique, prolongée  au  delà  des  deux  points  qu'on  a  réunis  par  un  arc  de  courbe 
quelconque,  sont,  l'une  intérieure,  l'autre  extérieure  au  cycle  formé  par  les 
deux  arcs. 

Dans  ce  cas,  nous  tbioiis  (jiic  lare  de  courbe  sui'-tend  l'arc  de  caractéris- 
tique. 

Supposons,  par  exemple,  que  la  caractéristique  soit  une  loxodromie;  elle 
coupera  un  méridien  quelconque  en  une  inlinité  de  points.  Considérons  parmi 
ces  points  d'intersection  deux  points  consécutifs  et  concevons  qu'on  les  joiijnc 
d'une  part  par  un  arc  de  joxndi-oinie,  cl'autre  part  par  un  arc  de  méridien,  l'arc 
de  méridien  sur-tendra  l'ai'c  de  luxodroiuie. 

De  la  dèlinition  même  des  cmIcs  un  peut  liicr  immcdialemenl  les  résultats 
sui\anlb  : 


s  MKMOIKE    SI  II    I.KS    COURBRS    DF.KIMES    PAU    l'Nli    KyiATlON    ni  FKKIlKrSTIKI.LE. 

i"  Deux  ryck's  se  roiipcut  on  un  nonihro  pair  (lu  iiidni  de  [)i)inU; 
2"  Toute  courbe  algébrique  se  compose  il'un  ou  plusieurs  cycles; 
3°  Toute  courbe  algébrique  coupe  un  cycle  quelconque  en  un  nombre  pair 
ou  infini  de  points. 

TnÉouii.ME  I.  —  Si  l'on  iïci>ise  une.  caracléristi(jne^  (jui  n'offre  ni  point 
double,  ni  point  d'arrêt,  en  deux  demi-caracléristiqucs.  si  l'une  de  ces 
(lemi-caractéi  istiques  ne  cçu/te  aucun  des  cycles  (dgébriques  <jucn  un 
nombre  fini  de  puinls,  la  caraclérislic/ue  donnée  est  un  cycle. 

En  ellet,  consiruisons  une  coiiibc  |ilanc  C  délînie  de  la  manière  suivante  : 
l'abscisse  d  un  point  3,  ipielconi[iii'  de  la  coiirlicC.  st  la  larr  de  la  caractéristitpie, 
compté  depuis  un  point  llxe  a„  justjuà  un  |ioint  a,  coirespondant  à  pi,  et 
l.ordonnée  <!<'  p,  sera  l'angle  de  diirdion  (\i'  la  tangente  à  la  caractéristique  au 
point  a,. 

1°  A  un  point  j,  de  la  <durl)c  tj  (dricspoiid  toii|oui's  un  point  y.,  et  un  seul 
de  la  caracléristiipie  ; 

2"  La  caractéristique  n'ayant  pas  de  point  d'arrêt,  la  courbe  C  n'en  aiiia 
pas  non  plus; 

3"  A  un  point  a,  de  la  caraclérisliijue  correspond  :  ou  un  point  ,3,  de  la  courljc  C, 

la  caracléristiipie  n'est  pas  un  cycle;  ou  une  infinité  de  points  [3/  si  la  carac- 
léristique  est  un  cycle; 

4°  La  courbe  C  ne  coupe  qu'en  un  |)oint  les  droites  parallèles  à  l'axe  des^; 

5°  A  lime  des  dinii-earaetèristiques  coirespond  la  partie  de  la  coiirl)c  C 
située  à  droite  de  l'axe  des  j)';  à  l'autre,  la  partie  située  à  gauclic  de  cet  axe. Nous 
supposerons,  j)our  fixer  les  idées,  (pie  la  demi-caractéristique  qui,  d'après 
bypolhèse,  ne  coupe  aucun  c\cle  algébrique  qu'en  un  nombre  fini  de  points  est 
celle  qui  correspond  à  la  demi-courbe  C,  située  à  droite  de  l'axe  des  y. 

Première  hypothèse.  —  11  y  a  sur  la  demi-courbe  C  une  infinité  de  jioints  p, 
correspondant  à  des  points  a,  situés  sur  l'équaleiir. 

Comme,  par  liypotliése,  la  demi-caraelei  istiqiie  roiisKiérce  ne  (diipc  1  cquateiir 

qui  est  un   cycle  algébrique)   ipi'en   1111   iioiiiluc  Uni  de  points,  il  n'y  a  qu'un 

nombre  fini  de   pomls  a,  soi'  I  éipialciir.    Il    laiil   donc  qii  à    un  point  a,  corres- 

ijondciil  un  noiiiliic  iiiliiii  de  points  [i/,   c'esl-à-dirc  ipic   la   carartéiistique   suil 

un  cycle. 


Mli.MOIFtF,    SUn    LKS   rOURBliS    DÉFINIES    PAR    tlNE    KQVATION    DIFFÉRENTIELLE.  9 

Deuxième  hypothèse.  —  II  y  a  sur  la  demi-courbe  C  une  infinité  de  points  ^ 
où  la  tangente  à  la  courbe  C  est  parallèle  à  l'axe  des  x. 

C'est  dire  qu'il  j  a  une  infinité  de  points  p,-  correspondant  à  des  points  a/, 
qui  sont  des  points  d'inflexion  de  la  caractéristique.  Or  le  lieu  des  points 
d'inflexion  des  caractéristiques  est  une  courbe  algébrique;  donc,  par  suite  de 
Ihypothèse  faite  dans  l'énoncé  du  théorème,  il  y  a  seulement  un  nombre  fini  de 
points  d'inflexion  à  la  caractéristicjue  donnée.  Il  faut  donc  encore  qu'à  un 
point  a,-  corresponde  une  infinité  de  points  p,-,  c'est-à-dire  que  la  caractéristique 
soit  un  cycle. 

Si  l'on  sujjpose  qu'aucune  des  hy|iolhèses  1  et  2  ne  sont  remplies,  quand 
l'abscisse  du  point  p,  sera  plus  grande  qu'une  certaine  valeur  Xq,  ce  point 
correspondra  à  un  point  a,,  qui  sera  toujours  dans  un  même  hémisphère,  dans 
le  premier  liéniisphère  par  exemple,  et  l'ordonnée  de  jî,  ira  toujours  en  décrois- 
sant ou  toujours  en  croissant,  toujours  en  croissant  par  exemple.  On  se  trouve 
donc  en  présence  d  un  troisième  cas  (pu  ((iniiKirle  hu-même  deux  hypothèses. 

Troisième  hypothèse.  —  Ouand  ,r  varie  depuis  Xa  jusqu'à  l'infini,  l'ordonnée 
de  p/,  c'est-à-dire  l'angle  de  direction  de  la  tangente  à  la  caractéristique,  va 
toujours  en  croissant,  niais  en  restant  plus  jiclit  cpi'une  cpiantilé  donnée. 

Fis.  I. 


Soient 

^,  le  )ioint  de  la  courbe  C  dont  l'abscisse  est  x^', 
a,  le  point  correspondant  de  la  caractéristique; 
a|W|  la  tangente  à  la  caractéristique  en  a,  ; 
o),  le  point  où  a|(o,  rencontre  l'équateur; 

a,-  un  point  quelconque  de  la  caractéristique  correspondant  à  un  point  j3,  situé 
à  droite  de  p,  ; 

H.    P.   —    I.  2 


10  MKMOIRK    Sln    T.KS    ClH'linKS    DEFINIKS    l',VI\    I  Ni:    KOIATION    DlFFICniîMIKI.Llî. 

a,(i>,  la  liiiiiiiiili'  iMi  (T  ptmit: 

w,- le  point  où  rcllo  lau^enlo  ronconlic  réqiiaUHir. 

(^iiaml  a,  >"avaui'era  sur  la  (aiaclérlstiijuo,  w/st' déplaeei-a  vers  la  droite,  mais 
en  restant  luu  jouis  sur  l'arc  (réqualeur  (o,  Wj  (' )  ;  la  (Icnii-caractcristique  a,  a,, 
qui  ni'  prut  lianiliii'  ré([ualeiir,  est  convexi'  |)ar  livpotlièse,  et  tout  entière 
comprise  dans  le  iriani^lc  spliéiique  a,(i)|tu^,  c"esl-à-dir<;  (pic  sa  longueur  cur- 
viligne reste  toujours  plus  petite  que  a,  w,  +  (o,  (c)^,  c'est-à-dire  qu'elle  est  (Inie, 
ce  (lui  est  absurde;  la  troisi(^'me  livpollu'se  est  donc  inadmissible. 

Quatrième  /ly/iol/ièse.  —  (^)uan(l  .r  \  arie  depuis  ./q  jusqu'à  l'infini,  l'ordonné* 
du  point  pi,  c'est-à-dire  Tantale  de  direction  de  la  tangente  à  la  caractéristique, 
va  toujours  en  croissant  jusqu'à  l'infini. 

C'est-à-dire  que  l'angle  de  direction  de  la  tangente  à  la  caract('Mislique  peut 

prendre  loiilcs  les  \aleurs 

r'o  -+-  n  -, 

où  l'o  est  une  constante  donnée  et  n  un  nombre  positif  entier  quelconque.  C'est 
dire  que  la  tangente  de  l'angle  de  direction,  c'est-à-dire  le  coefficient  angulaire 
de  la  tangente  à  la  caractéristique,  est  égale  à 

pour  un  nombre  infini  de  points  |j/  difTércnts. 

Or  le  lieu  des  points  où  le  coefficient  angulaire  de  la  tangente  à  la  caracté- 
ristique est  égal  à  tangj'o  est  une  courbe  algébrique  qui  ne  peut,  d'après 
l'hypotlièse,  rencontrer  la  demi-caractéristique  cju'en  un  nombre  fini  de  points  a,-. 

11  faut  donc,  encore  ici,  qu'à  un  point  a,  correspondent  une  infinité  de  points  ^,-, 
c'est-à-dire  que  la  caractéristique  donnée  soit  un  cycle. 

En  résumé,  des  quatre  lijpotliéses  que  l'on  peut  faire,  la  première,  la 
deuxième  et  la  quatrième  conduisent  à  ce  résultat,  que  la  caractéristique  est  un 
cvcle;  la  troisième  est  inadmissible. 

Le  théorème  est  donc  démontré. 

Définition.  —  Nous  appellerons  polycycle  une  courbe  fermée  comme  le 
cycle,  mais  |)résentant  des  points  doubles. 

Exemple  :  intersection  de  la  splière  avec  un  cylindre  qui  lui  est  tangent  en 
un  point. 

(')  Actuellement,  (.),  désigne  l'une  des  extreuiilés  d'un  certain  aie  d'équateur  w,  u,,.  i|ui,  en 
venu  de  la  troisième  liypollièse,  comprend  tous  les  points  w,.  (R.  G  ) 


MEMOIRE    SUR    LES    COURBES    DEFINIES    PAR    UNE   EQUATION    DIFFERENTIELLE.  I  I 

Système  topogvaphique.  —  Si  l'on  trace  sur  la  sphère  un  système  de  cycles 
et  de  polycjcles,  tel  que  par  cliacun  des  points  de  la  sphère  passe  un  cycle  ou 
un  polycycle,  et  un  seul,  excepté  en  queUpies  points  singuliers  par  lesquels  ne 
passe  aucun  cycle,  nous  dirons  que  ce  système  de  cycles  est  un  système  lopo- 
S'f'aphif/ue,  parce  qu'il  est  analogue  au  système  des  courbes  de  niveau  d'un 
terrain. 

Les  |)olnts  douljles  des  polycycles  sont  alors  analogues  auxco/^deee  terrain, 
les  points  singuliers  par  Ies(piels  ne  passe  aucun  cycle  sont  analogues  au-fi  fonds 
et  aux  sommets  du  terrain  ;  de  sorte  que  nous  appellerons  res  divers  points  : 
cols,  Joiif/s  et  sommets  du  système. 

Par  exemple,  le  système  des  courbes 

/(^,7)  =  const.. 

où  /"rsi  un  polynôme  entier  en  x  el  en  y,  si  ces  courbes  ne  coupent  pasTctiua- 
tciii-.  i-~i  lin  •-ystème  lopographique.  Les  cols  sont  les  points  où  l'on  a  à  la  fois 

dx        dy  '  \dxdyj         da-^  dy'-  -^     '    . 

les  sommets  sont  les  points  où  Ton  a 

df  _  df  _  I  d'f    \2      d''-f  d--f  d\f 


Z_  r_  'liL 

dy)        dx'- 


rl  ,-  Jv  °'  \    -7^^,.    )  ^^2      ,lil     <    "'  J^2     <° 


dx        dy  '  \dx  dy  )         dx-   dy-  '  dx 


df       df  l   df    y-       d--f  dH  d^f 


les  fonds  sont  les  [loiiits  où  l'on 

_^_^  (   'flf\ .  

dr        dy        "'  \dxdy)  dx'^   dy^   ^  "'  dx' 

De  nièine,  si  l'on  a  entre  :,  .r  et  y  une  relation  algébrique 

f{3,x,y)  =  o, 

telle  que  l'on  n'ait  jamais 

df 

et  ipie  ;  ne  puisse  rester  fini  et  réel  (piand  x  el  y  sont  inlini>  et  réels,  le  système 

des  ((Uirbes 

.:  =  coiisl. 

est  un  système  topographiqne. 
Par  exemple,  soit 

/l-i-^',  y)  =  {z  —  x)^—  zlx-^y^+i)  =  u; 


Il  MEMOIRE    Sin    LES    COIRBKS    niChlMKS    l'\ll    l  NK    KOUAIKlN    llIKFIiElEM'lIil.l.K. 

<//■  .  ,  • 

-~  ne  pcul  tlri'  mil  inu'  ^i 

co  qui  ("-t  iiii|iii'-'-iIil('. 

De  plii>,  ï'i  I  lUi  i(ia>nlère  -  eonuiie  une  eoiisLunle,  les  lernies  iJii  de^ré  le 
i)lus  élevé  séeiivenl 

c'est-à-dire  (juc  le>  e(iurl)es  ;  =  e(in''l.  iir  e(iii|irnl  |ias  réi|ualeui',  c  est-ù-dire 
que  ces  courbe;-  iVninenl  un  sysiônie  lo|i()i;rii|jluque. 

Le  lieu  des  points  où  chacun  des  cycles  d'un  système  lopograpliique  est 
tancent  à  une  caractéristique  s'appellera  la  courbe  des  contacts. 

Si  le  système  topograpliicpie  est  algébrique,  lu  courbe  des  contacts  sera  ellc- 
nièuie  une  courbe  algébrique. 

Si  Ion  con>idère  un  système  topographique  et  l'un  des  polvcj'clesdu  système 
correspondant  à  un  do  culs  du  svsièine,  une  )iarlH'  des  londs  et  des  sommets 
est  à  l'extérieur  du  piihcyele,  une  au  Ire  parlie  à  l'inlcrieur,  de  sorte  que  chaque 
col  distribue  d'uiit'  certaine  manière  les  londs  et  les  sommets  du  système. 

Deux  systèmes  topographiques  sont  analogues  lorsqu'ils  ont  mêmes  cols, 
mêmes  fonds,  mêmes  sommets  et  que  les  fonds  et  les  sommets  sont  distribués 
p  la  même  manière  par  les  cols. 


CHAPITRE  II. 

ÉTUDE    DES   CARACTÉRISTIOUES    DANS    LE    VOISINAGE    u'uN    POINT    DE    LA    SI'IIÈIIE. 


Avant  d'étudier  les  propriétés  des  caractéristiques  dans  toute  létenduc  de  la 
sphère,  il  faut  rappeler  les  résultats  déjà  acquis  relativement  à  l'étude  de  ces 
courbes  dans  une  région  limitée  de  la  sphère.  Les  piiueijiaux  ihéorèmeN  (pii  se 
rapportent  à  cette  élude  sont  énoncés  et  démontrés  dans  divers  Mémoires 
de  Cauchy,  intitulés  Mémoires  sur  le  calcul  des  limites.,  et  insérés  aux 
lomes  XI \',  XV  cl  XVI  des  Comptes  rendus  des  séances  de  V .Académie  des 
Sciences  cl  dans  le  célèbre  Mémoire  de  A1M.  Rriol  et  Roirquet,  inséré  dans  le 
tome  XXXVI  du  .Journal  de  V Ecole  Polytechni(iue.  .le  me  suis  moi-même 
occirpè  de  cet  h-  rpir'^lioir   dans  une   \iilc  inir  se  Ii(hi\  c  dans  \v  \  L\  ''  Calirri-  ihi 


MÉMOIRE    SUR    LES    COURBES   DEFIMES    PAR    UNE    ÉOIATION    DIFFÉRENTIELLE.  l3 

Journal  de  C  Ecole  Polytechnique  e\.  <\a\\-.  une  Thèse  pour  le  doctorat  (jue  jai 
soutenue  devant  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris  (  '  ). 

Supposons  d'abord  que  le  point  autour  duquel  on  veut  étudier  les  caractéris- 
tiques soit 

X  et  Y,  qui  sont  des  polynômes  en  x  et  en  )•,  peuvent  être  également  consi- 
dérés comme  des  polynômes  en  x  —  a  ety  —  ^8. 

De  sorte  que 

X  =  a^-\-  a\{x  —  %)  ^  a^iy  —  3)-f-..., 

Y  =  èo-H  6,(a.-  —  a)  ^  iof^y  —  |ÎJ  + 

Premier  cas.  —  Oa  et  b^  ne  soul  |ia-~  nuls  à  la  lois;  supposons,  par  ixcinple, 

récpialion  dillércntielle  peut  s'écrire 

(ly       V        , 

où  y   est   une  série   ordonnée   suivant  les   puissances    croissantes  de  x  —  a  et 

Donc,  en  vertu  du  théorème  démontré  par  Cauchy  {^Comptes  rendus., 
t.  Xl\  ),  V  peut  s'exprimer  par  nue  série  ordonnée  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  .r  —  a  et  se  réduisant  à  ^i  pour  x  =^  a. 

Donc,  par  le  point  (  a,  p  )  passe  une  caractéristupir  it  une  seule. 

Deuxième  cas.  —  «„  :=  bg  =  o. 

Mais  a(,  «2,  ^1  et  b^  ne  sont  pas  nuls  à  la  lois. 

Le  point  (a,  ,3)  est  alors  un  point  singulier  ordinaire.  Commençons  par 
rappeler  un  théorème  relatif  à  ces  points  singuliers,  théorème  que  j'ai  démontré 
dans  ma  Thèse  inaugurale. 

Si  l  équation 
(5)  {ai  —  l)<bi—\)-r>in..=  n 

a  deux  racines  différentes.,  A,  et  t.-,  ; 

Si  le  rapport  de  ces  racines  est  positif  ou  imaginaire,  l'intégrale  géné- 
rale de  l'équation 

dx  _  dy 

('  )  Voir  ci;  Tome. 


l4  MÉMOIRE   SfR   LES  COURBES   DKKIMES   PAR    UNE   ÉQI' \TION    DIFFÉRENTIELLE. 

est  (le  la  forme 

OÙ  ;,  et  z-i  sont  des  séries  ordonnées  stii^-a/it  les  puissances  croissantes  de 
X  —  a,  y — 13  et  s^ annulant  pour 

Supposons  que  le  point  ix^y^  se  rapjMocIic  iiidrdaimonl  ilu  point  (a,  [ï),  de 

telle  façon  cjuc 

1 1  m =  [jt  ; 

j:  —  x 

le  rocflirionl  ani;iilaire  tic  la  taniicnle  en  ce  point  (.r,  j')  aura  pour  liinilc 

rtl  -H  «To -Jt 

Donc  la  limite  de  la  droite  tpii  joint  les  points  i^x.y)  et  (^a,  ^)  et  la  limite  de 
la  taui;entc  à  la  caraclénstKjiic  au  poml  {x,y)  forment  un  faisceau  liomoyra- 
pliique. 

Les  droites  doubles  de  ce  faisceau  sont  données  pai'  létpiation 

[ji(ai  +  «5  |Ji)  =  i,  -h  62  l-i- 

Soient  [x,  et  Uo  les  deux  racines  de  celte  équation;  on  calculera  aisément  À, 
cl  Xj  en  fonctions  rationnelles  de  «,,  rt^,  6,,  ^o,  jA|  cl  ijlj. 

Maintenant  on  peul  diviser  le  deuxième  cas  en  quatre  cas  suljinddunes  prin- 
cipaux. 

Premier  cas  subordonné.  —  Les  droites  douljles  du  faisceau  iiomof;raj)hique 
sont  réelles,  et  deux  droites  conjuguées  quelconques  du  faisceau  sont  ou 
louies  deux  dans  l'angle  aigu  formé  j)ar  les  deux  droites  doubles,  ou  toutes 
deux  dans  langle  oljtus. 

Dans  ce  cas,  a,  cl  ).2  sont  réels  et  leur  rapport  est  positif;  le  lliéorcnie  que 
nous  avons  raj)j)elé  en  commençant  est  donc  applicable,  et  i'inlégrale  générale 

s'écrit 

z'^t  s;-'"  =  corisl., 

OÙ  Z|,  Zî  sont  des  fonctions  réelles  de  x  et  àc y  s'annulanl  pour 

«•  =  «,      y  =  '}^ 

penilaiil  que  /.,  cl  ).j  soiil  deux  uninliics  réels  positifs. 


MEMOmn:    sur    les    COlRnES    définies    par    l  ne    équation    niFFÉREXTIEIXE.  I> 

II  s'ensuit  que  toutes  les  caractéristiques  vont  passer  par  le  point  singulier 
(a,  P),  pourvu  qu'elles  pénètrent  dans  une  région  de  la  sphère  assez  voisine  de 
ce  point  pour  que  :;(  et  Zo  soient  convergents. 

Un  [lareil  ])oinl  singulier  s'a|3pellera  un  nœiul. 

Soit,  par  exemple,  à  étudier  les  caractéristiques  qui  satisfont  à  l'équation 

cl.r       dy 
X    ^  -ly 

dans  le  voisinage  du  jhuiU 

x=y  =  o. 

L'équalioii  générale  de  ces  caractéristiques  s'écrira 

y  =  X\r2, 

iii'r  /,  est  une  ciuistanli'.  Dans  le  plan,  cetle  équation  représente  une  série  de 
paraboles  ayant  même  axe  et  ayant  leur  sommet  à  l'origine;  sur  la  sphère,  cette 
même  équation  représentera  les  intersections  de  la  sphère  avec  les  cônes,  qui 
ont  le  centre  de  la  sphère  pour  sommet  et  ces  paraboles  pour  base. 
Toutes  ces  intersections  passent  évidemment  par  le  point 

X  =y=  o. 

Deuxième  cas  subordonné.  —  Les  droites  doubles  du  faisceau  homogra- 
phique  sont  réelles;  mais  deux  droites  conjuguées  du  faisceau  sont  situées  de 
part  et  d'autre  de  ces  deux  droites  doubles. 

Dans  ce  cas,  ^  est  réel  et  négatif,  et  le  lliéorème  dont  nous  avons  |)arlè  n'est 
plus  applicable. 

Mais  MM.  Briot  et  Bouquet  ont  fait  voir,  dans  un  Mémoire  inséré  au  Journal 
de  l'Ecole  Polytechnique,  XXXVP  Cahier,  qu'il  passe  par  le  point  (a,  fi) 
deux  caractéristiques  et  deux  seulement. 

Un  pareil  point  singulier  s'appellera  un  col. 

Soit,  par  exemple,  à  étudier  dans  le  voisinage  de  l'origine  des  caractéristiaues 
définies  par  l'équation 


L'intégrale  .générale  s'écrit 


cl  H3S  seules  caractéristiques  qui  passent  par  le  point 

X  :=  y  =^  a 


dx  _ 

X 

y  ' 

xy^ 

const. 

I<>  MEMOIUE    SIR    LliS    C.OIUIIES    llÉl'IMES    PAR    l'NE    ÉQUATION    DIFFÉnENTIELI.E. 


sont  les  deux  grands  cercles 


y 


l^roisièine  cas  siihordoiuie.  —  Les  droites  doubles  du  faisceau  homogra- 
phiqup  soûl  iiuaginaires,  cl  ce  faisrrau  ne  se  réduit  pas  à  un  système  de  droites 
t'ii  lin  iilulKin. 

Dans  ce  cas,  Xi  et  \.,  sont  (lcii\  iiiiai;iiiaires  conjuguées  cl  leur  rappoil  est 
imaginaire.  Le  théorème  général  s'a])pliqii(î  el  l'intégrale  générale  s'écrit 

^'f'  ^v"'"'  =  const., 

où  ;,  cl  ;o,  À|  et  Xo  scinl  imaginaires  ((injuguées. 
Soit 

12=5  — tï),  >,j— _  Y_|_  ,-5. 

L'intégrale  générale  s'écrit  alors 

^^  -^''^  )    [h-^i)     =consl 

Les  courbes  ^^+  ti-;=  const.  (où  ^  et  y;  sont  des  séries  ordonnées  suivant  les 
puissances  croissantes  de  a:  —  a  el  y — [3,  et  s'annulant  pour  a;  =  a,y=P) 
sont  évidemment  des  cycles  qui  ne  se  coupent  en  aucun  point  et  qui  forment 
dans  la  région  voisine  du  |)(iint  (a,  |3)  un  système  topographique  dont  le 
point  (a,  ,3)  est  un  sommet. 

Or,  si  l'on  remarque  que  les  équations 

,.,,-.,    (1^;)'=. 

ne  donnent  pour  ^  et  Yi,  et  par  conséquent  pour  x  ely,  qu'un  seul  système  de 
valeurs  réelles,  on  reconnaîtra  que  les  caractéristiques  ne  coupent  les  cycles 

Ç2  +  T,î  =   A 

qu'en  un  seul  poiul  el  (pie,  par  conséquent,  ces  caractéristiques  ne  sont  autre 
chose  que  des  spirales;  un  point  qui  parcourt  ces  spirales  dans  un  certain  sens 
va  en  se  rapprochant  indéfiniment  de  l'origine. 

Un  pareil  point  singulier  s'appellera  un  forer. 

Soit,  par  exemple,  l'équation 

dx  dy 

X  —  y        X  ^  y 


MÉMOIRE    Sun    LES    COURBES    DÉFÎMES    PAR    INE    Él^UATION    UIFFERENTIELLE.  17 

dont  l'intégrale  générale  est 

r^     =  const. 

x—iy) 

Si  l'on  passe  aux  coordonnées  polaires,  cette  Intégrale  devient 

p2g-2(o  —  const., 

ce  qui  nous  donne,  dans  le  plan,  une  spirale  logaritiiniiipic,  el,  par  conséciuenl, 
sur  la  sphère,  une  spirale  sphérique. 

Quatrième  cas  subordonné.  —  Les  droites  doubles  du  faisceau  honiogra- 
phique  sont  imaginaires  et  ce  faisceau  se  réduit  à  un  syslènie  de  droites  en 
involution. 

Dans  ce  cas.  A,  el  "/.j  sont  imaginaires  conjuguées,  mais  leur  rapport  est  égal 
à  —  I.  Le  ihéorème  que  nous  avons  rappelé  au  début  n'est  donc  pas  applicable 
en  général. 

Ce  quatrième  cas  est  plus  particulier  que  les  précédents  et  il  ne  se  présentera 
pas  si  X  et  Y  sont  les  polynontcs  les  plus  généraux  de  leur  degré.  Bornons- 
nous  donc  à  cjuelcjues  remarques. 

D'abord,  il  est  impossible  qu'une  branche  de  caractéristique  vienne  passer 
par  le  point  a,  ,3,  puisque  sa  tangente  devrait  être  précisément  Tune  des  droites 
doubles  de  l'involution  qui  sont  imaginaires. 

Mais,  d'après  ce  qu'on  verra  plus  loin,  toute  caraelérisii(jue  est  un  cycle  ou 
une  spirale;  donc,  ou  bien  les  caractéristiques  seront  des  spirales,  el  un  point 
qui  les  ]>arcourrait  tournerait  autour  du  point  (a,  |i)  en  s'en  rapprochant  indéfi- 
niment :  le  point  (a,  |â)  serait  alors  encore  un  /oie/-;  ouljienles  <'aractéristi(jues 
forment  un  système  topographique  dont  (a,  3)  est  un  sommet,  et  alors  le 
point  (a,  |j)  est  un  centre. 

C'est  ce  qui  arrive  quand  le  théorème  que  nous  énoncions  au  début  estappli- 

cablc,  malgré  la  valeur  négative  de  r^- 
En  eUel,  dans  ce  cas,  l'intégrale  sécrit 

où 

•ss  =  ?  —  '^1  : 
c'est-à-dire 

II.  I'.  —  I. 


l8  MÉMOIRE   SDH    LES   COURBES   DÉFINIES    PAR    UNE    ÉOl'ATION    DIFFÉRENTIELLE. 

el  les  caraclérisli(|iio  foriiK-ul  t'vùlcmmciil,  dans  ce  ras,  un  sysli^'inc  lopogra- 

phiquc  de  cycles. 

Par  exemple,  réqiialioii 

d.E         dy 

y     ~   —X 

a  pour  inlft;ralc  j;éiR'ralc 

Cas  piirliiiilii'is  laisses  (l(;  calé.  —  Dans  ce  qui  prccèdo,  ou  a  laisse  de  cùlé 
les  eus  |)arliculieis  où 

cas  (]ul  ne  se  |)résenlei'onl  pus  si  \  cl  \  soûl  les  polynômes  les  plus  généraux 
lie  leur  (l(\i;ré. 

Or,  pdui'  (|ue 

-    Ài  =  X„ 

il  l'aul  el  il  sullll  <pie 

(  «1  4-  b-i)'-  —  61  «2  +  "1  ^2  =  >'. 

Dans  ce  cas,  MM.  Brïol  el  Boucpiel  oui  fail  voir  cpiune  inlinilé  de  caracté- 
risli<pies  pussenl  pur  le  poinl  (a,  ^j,  c'esl-à-dire  qu'on  a  encore  affaire  à  un 
nœud. 

Les  eiiKj  cas  piécédcnls  comprenncnl  lous  les  points  slui;uliers  a,  ji,  lels  cpie 

les  deux  courbes 

X  =  o,        Y  =  o 

s'y  coupent  en  un  seul  poinl  el  non  (mi  plusieurs  points  confondus.  Ces  points 

singuliers  s'appelleront  points  singuliers  de  première  espèce,  <■!   l'on  a  vu 

qu'il  y  avait  quatre  sortes  de  pareils  points  :  les  nœuds,  les  cols,  les  foyers  el 

les  centres. 

Reste  à  examiner  les  cas  où 

X,  =  o 

el ceux  où 

a  (  =  a.2  =  o 

OU 

h\  =  /^2  =  O- 

Ces  cas  se  présentent  quand  les  courljos  \  =  Y  =  o  se  coupciU  en  j)lusicurs 
points  confondus  au  poinl  (a,  [i). 
En  cdel,  diri'  (jue 

(7,  =  «2=0, 

c'esl  (lire  (|iie  \  ^-  <>  ollrr  iiii  |i(iiiil  iiiiilhpic  en  (a,  |j^. 


Ml  MniRK    SXn    LES    COURBES    DEFIMFS    PAR    INE   KOl'ATION    niFFKHEMlEI.LK  1 0 

Dire  que 

61  =  60  =  o, 

c'est  dire  que  Y  =  o  offre  un  point  multiple  en  (a,  fi). 

Dire  que 

>,,  =  o, 

c'est  dire  que 

rt,  _  6, 

c'est-à-dire  que  les  courbes  X  =  o,  \  =o  soûl  l:mi;cnlcs  au  point  (a,  3). 

De  pareils  points  singuliers  s'ap|)f'llcr(inl  points  si/ii; iiliers  de  seconde 
espèce,  et  il  est  évident,  d'après  ce  (pii  précède,  qu'ils  pourront  toujours  être 
considérés  comme  la  limite  d'un  système  de  plusieurs  points  singuliers  de 
première  espèce  confondus  ensemble. 

Les  particularités  que  peuvent  présenter  de  pareils  points  sont  trop  nom- 
breuses et  trop  diverses  pour  que  nous  les  étudiions  en  détail.  Remarquons  que 
de' pareils  points  ne  peuvent  exister  si  \  cl  ^  sont  1rs  pol\M(inies  les  plus  géné- 
raux de  leur  degré. 

Points  situés  sur  rét/iiateiir.  —  Dans  ce  qui  précède,  on  a  supposé  impli- 
citement que  a  et  p  restent  finis,  c'cst-à-dirc  que  le  point  (a,  j3)  n'est  pas  sur 
l'équateur. 

Mais  le  cas  où  a,  |3  est  sur  l'équateur  peut  se  ramener  aisément  aux  cas  déjà 
étudiés. 

Considérons  d'abord  un  |ioint  de  l'èquateui'  non  situé  sui'  le  gi'and  cercle 


nous  poserons 

I  / 

Si  l'on  considère  ensuite  ;  et  /  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  un 
plan,  ce  point  ne  sera  autre  chose  que  la  projection  gnomonique  du  point  {x,y) 
de  la  snlière  sur  un  pian  parallèle  au  plan  du  t;rand  cercle 


l'our  le  point  (  a,  ^  )  de  la  s|)lière,  ces  coordonnées  ;  cl  l  seront  (inies,  c'est-à- 
dire  qu'on  sera  ramené  aux  cas  étudiés  dans  le  commencement  de  ce  Chapitre. 
Si  l'on  voulait  étudier  les  caractéristiques  dans  le  voisinage  de  l'intersection 


ao  MKMOIRE   SIR    I.KS   COUnBKS    DKI-IMES    PAU    UNE    ÉQUATION    UIFFÉRI'NTlELLt . 

de  l'équateur  et  du  grand  cercle 

X  =  o, 

on  poserait 

t  I 

a-  =  -  j  j)'  =  - , 

l'I  liiii  raiMiniii'iail  dv  la  même  manière. 


CHAPITRE  III. 

DISTRIBUTION    DES    POIINTS    SI.Ndn.llliS. 


THÉoniiME  II.  —  Tout  sj-sirme  de  caraclérislit/iics  admet  des  points  sin- 
guliers. 

Première  hypothèse.  —  Les  courbes 

X  =  o,        Y  =  o 

se  coupent  en  des  points  non  situés  sur  l'équaleur. 

Dans  ce  cas,  ces  points  d'intersection  sont  évidemment  des  points  singuliers. 

Deuxième  hypothèse.  —  Les  courbes 

X  =  o,         Y  =  o 

se  ((iMiiciil  en  nu  jioiul  situé  sur  Féqualeur. 

Su|)posons  que  ce  poinl  ne  snil  ])as  sur  le  grand  cercle 


nous  pf)serons 

I  / 

et,  si  ni  est  le  degré  lie  relui  des  deu\   polynômes  X  cl  Y  dont  le  degré  est  le 
plus  élevé,  nous  poserons 

^"'X  =  X,,         i"'Y  =  Y,. 

(.'éfpialum  difrércnlicllc  ilcvicnl  alcii'S 

dz      _         (Il 
..  JY;"  V,-/N,' 


MÉMOini-:    Sl'R    LES    COURBES    nÉl'lMKS    TAK    l  NE    ÉQUATION    DIFFERENTIELLE.  ^I 

pour  <  ^  a,  3  =  o,  on  a,  par  hypothèse, 

Y,  =  X,  =  o, 

et  par  conséquent 

3X1  =  0,         Y,  —  rX,  =  o, 

c'esl-à-dirc  que  le  point 

/  =  a,         z  =  o 

est  un  point  singulier  de  l'équation  proposée. 

Troisième  liypol lièse.  —  Les  courbes  X  ^  o,  Y  =  o  ne  se  coupent  en  aucun 

|ioinl.  I<e  def;ré  de  \  esl  |)lus  i;rand  (pic  celui  de  Y.  Dans  ce  cas,  lun  au  moins 

des  deux  pojvniinics  \  et  ^   est  de  dcj;n-  pair.  De  plus  ^  ,  c>l  divisililc  par  ;,  de 

sorte  que 

Y,=  2Y2. 

Or  il  est  clair  que  pour 

z  =  I  ^  o, 

on  a 

sX,  =  3Y.J  — /X,=  o, 

et  que  par  conséquent  le  point 

z  =  i  —  o 

est  un  point  singulier. 

Quatrième  hypothèse.  —  Les  courbes  X  =  o,  Y  =  o  ne  se  coupent  en 
aucun  point.  Le  degré  de  X  est  inférieur  à  celui  de  Y.  Dans  ce  cas  on  poserait 

t  I 

x=  -,  y=  -, 

et,  en  raisonnant  comme  dans  le  cas  précédent,  on  ferait  voir  que 

j  =  <  =  o 
est  un  point  singulier. 

Cinquième  hypothèse.  —  Les  courbes  X  ^  o,  Y  z=  o  ne  se  coupent  en  aucun 

point.  Le  degré  de  X  et  de  Y  est  le  même. 

Si,  de  plus,  Xa  et  Yo  sont  les  termes  du  degré  le  plus  élevé  de  X  et  Y,  on 

n'a  pas  identiquement 

arYj  — ^Xj  =  o. 

Dans  ce  cas,  le  degré  de  X  et  de  Y  étant  m,  et  nécessairement  pair,  la 
fonction  xY, — jXo  est  homogène  en  x  et  r  et  de  degré  m  +  i,  et  par  consé- 
quent de  degré  impair. 


MKMOinlî    SIR    I.KS   COI  HIIKS    DKFINIES    PAR    IMC    KOIATION    DIFFICRRNTIIÎLLE. 


Elle  s'aniuilf  dom-,  soit  pourj;  =  o,  soil  pourmie  certaine  valeur  finie  de  — 
Si  elle  s'annule  pour  une  eertaine  valeur  a  de  —  >  on  aura  à  la  fois  pour 


juand  on  aura  posé 


e'est-à-dire  (pie  le  |)oinl 


/  =  a,         ^  =  o, 
i  X|  =  Yi  —  /X]  =  o 

I  t 

/  =  a,         ^  =  o 


sera  un  point  singulier. 

Si  la  fonrlion  ,rY.j  — jK-^2  s'annule  pour  :c  ==  o,  on  posera 

t  I 

^=  -'  /  =  7' 

et  l'on  verra,  comme  précédemment,  que  le  point 

i  —  z  =  o 

est  un  |)oinl  sini;ulier. 

Sixirme  liypollièse.  —  Les  courbes  X  et  Y  ne  se  coupent  en  aucun  point. 
Le  degré  de  X  est  le  même  que  celui  de  \  ;  si,  de  plus,  Xo  et  Yo  sont  les  termes 
du  degré  le  plus  élevé  de  X  et  de  Y,  on  a  identiquement 

2-Yj— _xX2=o. 

Cette  hypothèse  est  inadmissible. 
En  efTcl,  si  l'on  a  identiquement 

Xj  est  divisible  par  x  et  égal  à  ^7X3,  Y,  est  divisible  par  r  et  égal  à^^Y,,  de 
sorte  que  l'on  a  identiquement 

•^■7V3=^J-X3 

ou 

Y,=  X.v 

Maintenant  Y3  =  X3  est  une  fonction  homogène  de  degré  impair  en  x  et 
tn  y\  donc  elle  s'annule  soil  pour  jr  =  o,  soil  pour  une  certaine  valeur 
réelle  a  de  —  • 


Donc,  soit  poui-a?  =  o,  soil  pour  —  =  a,  on  auiait  forcément 

Xj=  Yî=o, 


MÉMOIRE    SUR    LKS    COI  liBES    DÉFÎMES    PAR    UNE    ÉQLATION    DIFFÉRENTIELLE.  zS 

c  esl-à-dirc  cjwc  les  cdiirbes  X  =  o,  Y  :^  o  se  coiiperaiciit  on  un  point  de  l'équa- 
teur,  ce  qui  est  contraire  à  l'hypothèse. 

En  résumé,  des  six  hypothèses  que  l'on  peut  faire,  la  sixième  est  inadmissible  ; 
si  l'une  des  cinq  autres  est  réalisée,  l'équation  diderentielle  admet  des  points 
singuliers,  soit  sur  léqualeur,  soil  hors  de  l'équaleur. 

Cas  général.  —  On  peut,  sans  nuire  à  la  généralité,  supposer: 

1°  Que  les  polynômes  X  et  \  sont  de  même  degré; 

2°  Que  si  Xo  et  Y^.  sont  les  termes  du  degré  le  plus  élevé  de  X  et  de  V,  on 

n"a  pas  identiquement 

X  Y;) — y\'<  =  o; 

.1"  Que  les  courbes  X  :^  \  =  o  ne  se  coupent  nulle  part  en  plusieurs  points 
confondus  et  ne  se  coupent  pas  sur  l'écpialeur; 
4"  Que  l'équation 

ÛT  \ i  — J'Xi  =  o 

n'a  ])as  de  racines  inulli]jles. 

Dans  ce  cas,  l'équaleur  est  toujours  une  caractéristique,  el  tous  les  points 
singuliers  sont  de  première  espèce.  De  plus,  on  peut,  sans  nuire  à  la  généralité, 
supposer  que  tous  les  points  singuliers  sont  des  nœuds,  des  cols  et  àt'i,  Juyers. 

Le  nombre  des  points  singuliers  est  évidemment  pair,  puisque  tout  est 
symétrique  par  rapport  au  centre  tie  la  sphère. 

Le  nombre  minimum  des  points  singuliers  est  donc  égal  à  2,  et  ce  cas  peut  se 

présenter  de  deux  manières  : 

i"  Les  courbes 

X  =  o,         Y  =  o 

ne  se  coupent  en  aucun  point;  mais  l'équation  homogène 

i- V'i  —  yS-2  =  o 

admet  une  solution  réelle  et  une  seule. 

.     On  a  alors  sur  l'équaleur  deux  points  singuliers  diamétralement  opposés.  Je 

dis  que  ces   points  singuliers  sont  toujours  des  nœuds.  Pour  le  démontrer,    il 

faut  étudier  les  propriétés  générales  des  points  singuliers  situés  sur  l'équateur. 

Supposons  que  pour 

1  =  7.,        .;  =^  o, 
on  ait 

i:.\i  =  Y,—  <X|  =  o 

et 

X,^o,         Y,j^o. 


H  MKMOIRB    SLR    LES    COlHBliS    DKFINIES    PAU    UNE    EQIATION    DIFFERENTIELLE. 

Posons 

/  =  H  -l-  a, 
et  soit 

X|  =   3^1   -H  Xo-H  X|  H    +  \.i  U-  -^- .  .  . -t-  1  ,„  Il '" , 

Vi  =  x;t  1  +  |Uo-i-  l>-i  II  +  ]i2  II''  -+ .  .  .  -T-  ;!,„  W". 

où  ^,  et  r,i  scmt  des  |iolynoi)ies  entiers  en  z  et  en  //,  et  où  les  ),  et  les  a  sont  des 
constantes.  11  vient,  en  posant 

li  if' -h . . . -h  X,„  w"  =  l,  tr-, 

|Jl2  «2  +  .  .  .  +  |X„,  II'"  =  T,.i  a-, 
X,=   U^,   -l-iÇi   -H  À„  +  X,  II, 

d'où  l'on  lire 

\,—  f\,  =  ;6|+  «'-0,-4-  ([!„—  X„a)  +  (ai—  X,  a  —  Âo)". 

où   0,    et   Oj   sont   des   |iol\nimu's  entiers   en   ;   el   it.    L'éijiialion    dilierentielle 
s'écrit  alors,  en  reinanjuanl  (jiie  Ton  doit  avoir  ^d  =:  AoC, 

ilz i/u (■) 

—  i(X(,-!-  Xi  a  -H  5^1  -i-  a-;^;   ~   (jJli—  Xiï  —  Xu)(t  -)-  cO,  -H  «2 6, 

Les  racines  de  l'équation  (  5  )  sont  alors 

—  Xo     et     [Xi— Xiï  — A„. 

Ces  deux  racines  sont  réelles. 

Donc  tout  point  singulier  situé  sur  l'équaleur  est  un  nœuil  ou  un  col. 
(C'est  ce  qu'on  devait  ])révoir,  l'équaleur  étant  une  caractéristique.) 
Pour  qu'il  soit  un  nœud,  ii  faut  et  il  suffit  que 

Il  -+-  XoX,a  —  Xii|X|  >  (). 

Or  le  jjieiuier  membre  de  cette  inéj;alité  est  précisément  la  valeur  que  prend, 
pour 

l'expression 

iSfius  n  en  changerons  pai  je  sii;nr  en  écrivant 

d  /Y 


df 


{k~r)' 


(')  iJans  celle  phrase,  une  eircui-  de  réilai  lion  a  été  corrigée.    (1!.  G.). 


MliMOlUK    SIR    I.KS   COIRBES    IIICFINIKS    PAU    tMC    K(JUATION    DIFFÉlŒNTIELLE. 

c'esl-à-diii'  (|ijc  le  |iiiiiii  smf;iilicr 


sera  un  col  si,  qu;mfl  —  [)iiss(:'  do  v.  —  s  à  7.  +  s,  l'expression  ^  —  —  passe  du 
négalif  au  posiilf,  cl  qu'il  sera  un  nfriid  si,  ([uand  —  passe  de  a  —  sàa  +  s, 
l'expression  -^  —  —  passe  du  positif  au  négalif. 

Cela  posé,  nous  allons  introduire  un<'  considération  nouvelle  qui  nous  rendra 
les  plus  grands  services.  Soit  un  cycle  situé  tout  entier  dans  un  liémisplière. 
Ce  cycle  divise  la  sphère  en  deux  régions,  dont  l'une,  située  tout  entière  dans 
l'un  des  hémisphères,  s'appellera  Y inh'iiciir  dit  tyclp. 

Si  le  cycle  est  tout  entier  dans  le  |)reniier  hémisphère,  nous  dirons  cpi'un 
])oinl  iiioliilc  décrit  le  cycle  dans  le  sens  |)ositif  s'il  a  constamment  l'intérieur 
du  exile  ù  su  gaiiclia;  si  au  contraire,  le  cycle  était  dans  le  second  hémisphère, 
un  |i(]int  décrirait  le  cycle  dans  le  sens  positif  s'il  en  avait  constamment  l'intérieur 
(/  S(t  ilinitt'. 

Supposons  qu'un  point  niolide  décrix  e  le  evcle  dans  le  sens  positif  ci  ((nisidiTiins 
les  variations  di'  re\|)ressi(>n  -^'  Sml  //  le  iiondiri'  de  fois  (nie  cette  c\hi'cs>ion 
saute  de  — oc  à +02;  soit  k  le  nombre  tie  fois  que  cette  exjiression  saute 
de  +  00  à  —  00.  Soit 

le  nombre  /  s'appellera  Vindice  du  ryc/c. 

Si  l'on  joint  deux  points  A  et  C  il'un  cycle  ABCDA  par  un  arc  AMC  situé 


tout  entier  à  l'intérieur  du  cycle,  le  cycle  ABCDA  se  trouve  décomposé  en  deux 
cycles  ABCMA,  AMCDA,  et  l'on  a  évidemment 


nd.  ABCD.V  =  ind.  ABGVl.V  +  ind.  AlVlCDA, 


II.  P.    -  I. 


ï(>  MKMoiiti:  SI  11  i.i:s  loi  iiiii'-;  iikfimks  pau  im:  l'yi  atihn  i)ii-FÉiti;\Tri:i,i.i:. 

ili'    -Mille    i]ir<)li    |>riil     iMiiiciiii'    II'   liilciil   (le   I  iiidirc   il'iili    CNclc    (liiclii iiKjilc    nu 
calcul  lie  I  i  m  11  ce  do  (lillcrciil>  cvcio  iulinmiciil  pcl  iN  iiiii  le  cumnoseul  . 

TiiK.oiiKMK  111.  —  Un  cycli'  infinimcnl  petit  (fiii  dp  conlicnt  à  son  intérieur- 
aucun  point  singulier  a  pour  indice  o. 

Eu  cllel,  SI  ce  c^  lie  n'est  |ias  cini|ié  pai-  la  ciiiiihc  X  =  o, 

;  /  .       /*-/ 

//  =  o,  /.  —  o,  (  =  =  o. 

i 

Si  le  cycle  est  coupé  par  la  courbe  X  =  o,  il  nest  pas  coupé  par  la 
cinirljc  Y  =  o:  ^  est  toujours  de  même  signe  et  X  passe  une  fois  du  positif  au 
négatif,  une  luis  du  nci;atif  au  positif;  d'où 

/(  =  I ,  /.  =  1 ,  (  =  =  o, 

De  nièine,  si  la  cmirhe  X  :=  o  présentait  à  l'intérieur  du  cycle  un  point  mul- 
tiple d'ordre  /«,  un  aurait 

/  /  .       h-l< 

h  =  m,  A  =  ni,  /  =  ■ =  o. 

Thf.oufimiî  W  .  —  Si  un  cycle  in fininient petit  contient  à  son  intérieur  un 
point  singulier,  son  indice  est  égal  à  ±  \ . 

Il  est  égal  à  -I-  I  si  le  point  singulier  est  un  col;  à  —  i  si  le  point  singulier  est 
un  nœud  ou  un  foyer. 

En  ert'et,  posons 

y  —  |î  =  p  sinw.         X  —  a  =  0  cosio. 

cl  supposons  ipicliui  considère  le  cmIc 

z,  élanl  une  crmsianle  i n fininient  petite . 

l'oipr  di'eiire  ce  e\cle  dans  le  sens  posilit,  il  laiit  laii'c  varier  m  depuis  o 
pi>.(pi  à  ■>.—. 

()i-  on   a.    en   négligeant   les  infini ineni    petits  et   reprenant   les  notations  du 

Clia|)ltre  pn'er-denl , 

Y         1),  -t-  /;..  luii"  (li 


X         II,  -t-  «j  tiiiif;o; 
X  s'annule  dciiN  fois,  car.  ipiaiid  (.)  \arie  depuis  o  jiis(nr;'i  ai 

a^  -h  «2  lilllgn* 


MEMOIIIK   SIR    Lies    COUHBKS    DICFlNMiS    l'.Ul    II.NE    liQIHTION    Dll-KlillENTliaLE.  '7 

s'annulf  deux  fois  pour  deux  Mdcurs  de  (■)  (juc  nous  appellerons  to,,  et  (0,1+—. 
Pour  M  =  (jJo —  ï,  où  E  est  inlininient  petit,  on  a 

,lang  oj  =  tangwu  —  ', 

où  Z  est  positif  et  inliniiiienl  petit .  On  a  donc 

Y        61  H- 62  lariK'Ou — 60^ 
X         «1 -I- «2  inn^Mo — (f,t 

Remarquons    que    la)i"('i,  =  —  — '•    1'    \ieurlra,    eu    ne"ii"eaiit    ù.Z    ile\ant 
1  1  '^  a.,  "^    '^ 

l>,  -+-  Ù2  lani;  (.)„, 

Y        iif  h, —  «261    I 

\  ^        «1        r  ■ 

Done.    ^i    a,l>2  —  «o6|<;o,    ^    pf^n''    (■)  ^  i^o    et    poui-    i.j  ;=  (.)„  +  ir    saute 

de  —  co  à  +  To,  on  a 

•      ''    -'• 
Il  =  2,  A  =  ô,  ;  =  =  I . 


Si,  au  eonli-aire,  a,b-,  —  «^/^i>>o,  -^  P"!"' '■>  =  <''o  •'!  pour  ti)  r=  Wq  +  r  saute 


de  +  oc  à  —  X,  ou  a 


h  =0,  A-  =  ■2,  (  =  =  —  I . 


Alaiuleuaul.  (pielle  t>l  la  ('(iu<lit  mn  p(]Mr  (pie 

rit  l>i  —  ".'''i  >  <J? 

Reprenons  l'i'ipiatiou  (   >  1  cpii  -^  écrit 

l  «i  —  /.  )  (  bi  —  ).  )  —  a-il>\  =  o. 

11  est  évident  ipTon  aura 

"1  ^2  —  ^  1  ^1  >  ", 

si  les  deu\  ia<ine>  de  l'équation  sont  imaginaires  ou  de  même  >ii;ne.  e"est-à-dire 
si  le  |ioint  sin^ulieL-  est  un  no'ud  uu  un  iovci".  On  aura  au  contraire 

"1  ^2 —  "îbi  <  o. 

si   les   deux   racines   sont    réelles   et  de  signe  contraire,   e"esl-;i-dire  si  le  point 
singulier  est  un  cid. 

Le  llir'oi'cnu'  est  done  démontre. 


»S  .Mb'.MOIHIv    SIR    LES   COl'IlUKS    DKFIMKS    PMI    U.NK    KQUATION    DlFl'IiHEN  IIULLE. 

I'ruiilkmk  I.  —  Calculer  l'indice  d'un  cycle  situé  tout   entier  dans  l'un 
des  hémisphères. 

Snienl  N  le  mmiluc  de-'  ikimhIs,   !•'  le  iiDinliic  des  foyers,  C  le  iKniilne  des 
cols  conleniis  à  l'iiiléiicur  du  cycle. 

Si  l'on  déco  111  |i(>>c  le  i\  elc  dumié  en  une  mil  ni  lé  de  cycles  inlininieni  |)elils  )', 

Un  nonilire  inliiii  des  cycles  y  aiirotil  poni'  indice      o  ; 

i\  -h  F  des  cycles  y  i>  —  i  ; 

•  '.  des  cycles  y  »  -\-  \. 

1,  indice  du  (  \  cle  donne  sem  <l(uic 

—  (!\  +  F  —  C). 

PiiOBLF.Mi;  II.  —  Calculer  l'indice  de  VcijUtileur. 

Soient  2  N    le  no  Ml  lire  des  noiuls,  •>  C  le  non  il  ire  des  eois  silnrs  sni  rc(jiui|('ur. 
Soit  ?  =;  —  =  hiiii;  M. 

X 

Faisons   varier  m  de|iuis     -  -    juscprà  -f-  "  ■    c'es|-à-dire    lanj;  (i)   depuis    — co 

jus(in'à    -I- x.    Toul    elanl     s\  iiiel  iii|iie    |iai-    ia|i|ioil     an    centre    de    la    s|iliére, 

Y  ^'  ... 

—  :=  — 2  prend  poni(o+-  la  nu'ine  saleur  ipie  pour  (.i  ;  (jnand  on  lerait  yaricro) 

depuis +  -  iiiN([irà  H ^>  -^  repasserai I    par    les   inèincs   valeurs   (|iie   ijuand  to 

...  -    .  T. 

variai I  de a  H 

/.  ■>. 

Donc,  (o  ^al•ianl   de  —  -  à  +  -'   v  s:iulera  -   Cois  de  —  a:   à  +  ce  ,  el  -  lois 

de  +  o^  à  —  ce.      . 

Ceci  posé,  si  Ton  considère  I  expression 

pour  0)  =  —  7'  on  a 

H=-+-x. 

pour  O)  =  -1-  ->  on  a 

Soient  /.  le  nomlire  de  fois  (jue  II  passe  du  ncj;alif  au  |iosiiif,  u.  le  nonilire  de 
fois  (pje  II  pasNC  du   posilifau  néL;alif;  on  aura  é\  idr^ui  iiieiil 

[i-/  =  1. 


MEMOini;    SlIH    LES    COIRBKS    KEFIMKS    PA»    (NE    EOtAIKI.V    lHKFKltKMIELI.E.  ■1\) 

Or  H  peiil   |)M^^('^  du  iit''f;:ilil   :iii  |ioMhl,    ><)il    [inr  n,  n-  iiiii    i'iiii'('>|i(in(l   ii   un 

col,  sfiit  par  x,  ce  ([iii  corresjxind  à  I  une  des  \al('urs  des  —  \aleut>.  de  o),    |inMr 

Y 
X 


lesquelles  —  sauU^  de  —  oo  à  -i-  x. 


Ou  a  dnnc 

-.,       /' 

A  =  G'  H 

l 

De    UK'illc 

'i  =  iN    H : 


l'uir 


N  —  C  =  I =  I  -1-  / , 


d  ou 

/  =  N—  C— I. 

Srolli'.    —   Si    ir    uouilui'   de-.    UiruiU  Mlurs    IniJ'-.   dr    1  l'iMialiiil'   csl    :^  \ ,    relui 

di's  loyers  situés  hor^  de  I  équali'iir  •'.  !■'.  celui  de>  cols  silués  lior>  île  riM|iialeiir 

aC,  celui  des  nonids  silués  mit  I Ciiualeur  ;il\'.  celui  de--   cols  siliics  sur  I Ciiiia- 

leur  aE'.  ou  a  la  lelalioii 

\-r  N  -4-F  =  C-hG'-^i. 

Eli  e  11  cl,  |ioiir  (d)leiiir  ce  résiillal ,  il  Millil  d  i-^aler  les  deux  valeiiï's  de  I  indice 
de  l'équaleiir  obtenues  dans  les  deux  |)idl)]èiiies  jiiécéilenls. 

(Jiji  ollaire  I .  ~  l,e  ikmhIui-  loi  al  des  ineiids  el  des  loyers  es|  (•j;ai  au  nombre 
total  des  cols  plus   ■). 

Corullnire  II.  —  Le  iKuubre  lolal  des  |ioiiils  siii^iilii'is  es|  un  iiiiilliiile  de  j 
plus  2. 

Corollaire  III.  -  Si  le  iKuubre  des  |i(unls  siii<;ulii'i's  se  réduil  à  [>.,  ces  |ioiiils 
sont  (les  meuds  el  des  io\ei's;   ils  s(uil   I(M||(U||s   des  lueiids   s  lis  soiil    sur  I  ccpia- 

leur. 

La  courbe  \  =  o  el  la  lourbc  \  ^o  se  coinposenl  d  un  (iilaiii  uoiiibrede 
rvdes.  (Iiuisidcnuis  Ar\\\  (  jiielei  ui(|ues  de  ces  cxeles  ;  ils  >,■  cnuiierolil 
en  un  muulire  pair  de  poiiils. 

Soient  7.0,7., 7.j„  les  zn  points  d'inierseetion  de  ces  deux  cycles  rangés 

ti'ajjrès  Tordre  où  on  les  rencontre  eu  parciuirant  l'un  des  deux  cycles,  le 
cycle  \  =  o,  par  exemple,  dans  le  sens  pfjsiul'. 

Tui.oi. i;.\n;  \  .  —  Stip/iosons  i/uc  deux  points  to/isécii/ijs  y./,  et  t.h^\  soient 


3(>  MKMoiHK  SIR  i.Ks  c:oiiiiii:s  iii:i'i\ii:s  l'Mi  i  nk  i;oi  vik^n  iiM'I'krk.ntiki.i.i:. 

sifiK'S  dans  !<'  mrinr  hi''niisi>ln''re  :  je  dis  (jiii'  si  v./,  csl  un  /xriid  on  un  foyer. 

^^A+i  est  un  col.  ou  réri proijurnicnl. 

Pour  ci'Im  il  ■'uilil  i\c  liilio  vciir  c|iic  loiit  ex  de  (pii  rnvi'l()|)|ip  a/;  c\  a^.,.,  a  |)our 
indice  u. 

En   olVcl.    voit    (  l'ig.  ô)   AI)   l'arc  ilii   v\i\r  \  ^^  n,   Miilr<[iicl   M'   liduvcnt  lc> 


|)uiiils    a.1.    cl    7.(^1  :    -Miiciil    CI)   cl   l"F   lc>   iiio   du    cycle    V=()    (|ui    vicuncnl 
c(Hi|icr  AB  rc>|)ccti\cmcnl  en  a/,  cl  -jli,^[- 

Il  esl  évident  (jue,  |)iiur  le  cncIc  ADFBECA. 


A  =  I ,  A-  =  I ,  (  =  —  =  o. 


Su|)|iiiMin>,  an   cunlrairc,   qnc   les  piMnls   7/,  l'I   a/,^,    soicnl   dans  denx   licnii- 
sphères  dillerenls.- 


.le  dis  fine  si  y.;,   est  nn   col,   ïa^i   est  nn  col.   cl   (|ne 
fovci'.  y.;,^t  est  nn  noiid  ou  un  lover. 


a/,  esl  un  nonid  ou  nn 


MKMillUI':    SI  II    I.KS    Cdl  lllll.s    lll.l  IMi:S    l'Ail    l'M'     1:1,11  ATIDN    IIHK  KUKX'HI- l.l.K.  il 

Eu  rllii,  s|i|ipiis(iu-  ijlli'  Al>  vieillir  ciiuiiiT  I  r'(|iiiil  (Ml  r  A[\  en  H  { fl  g .  \). 
Considérons  \c   cycl''   ACvHFBEHI^A.    Ce   cycle   c>l    parcdiiiii    il  uns    1rs  daiix 

Itrinisphèrcs  dniis  !<■  sens  posilil. 

Y 

Sii|)|)osons  (|u  en  IrMiicliiss.inl  le  point  A,  —  saule  de  —  x    à  +  oc  ;  il  en  sera 

lie  iiièiiic  (|iiMnd  1)11  li:in(  liira  le  poiiU  II  (iii  li'  |i(iinl  lî,  c  osl-à-dire  que  si 

irirl.  ACHI»  =  I,  Ind.  VCIl  I- BEH  HA  =  2. 

De  même,  si 

ind,  AGIIIJ  =  — I,  iii.l.  Ai:ill'l?KIII)A  =  — ■). 

c'est-à-diie  f|ue,  dans  Ions  les  cas, 

ind.  ACHDA  =  iiul.  IIFBEH.  .:.  g.  v.  n. 

Deuxirme  cas.  -  Dans  Unit  ce  qui  précèdt',  nous  avons  supposé  que  X^ 
et  Y^  élaienl  de  inèiiie  de^ré,  sans  que 

soilidenliquenienl  nul. 

IVous  n'avons  |ias  exartiiiié   ce  qui  se  passerail   si   nous  avions  idenliquenienl 

x\ i—  y\.,^  o. 

A  un  certain  piunt  de  vue,  le  cas  que  nous  avons  étudié  est  plus  général  que 
celui  que  nous  avons  laissé  de  côté. 

A  un  autre  point  de  vue,  c'est  le  contraire;  car  deux  polynômes  X  et  Y 
quelconques  peuvent  être  considérés  comme  des  cas  particuliers  des  polynômes 

X  -+-  XxZ,         Y  +  X/Z, 

où  A  est  une  constante  et  Z  un  jiolynome  de  même  degré  que  \  et  ^  . 
Nous  allons  donc  supposer  cpie  l'on  a  identicpieinenl 

Xo  =.'■/.,         V.,  =  _rZ, 

où  Z  est  une  foiiciion  liomogène  en  .r  et  t. 

Dans  ce'cas,  Véqualear  n'est  p/iis  niu'  cariictérisliqiff,  et  par  conséquent 
les  |)oinJs  singuliers  de  l'équateur  peuvent  être  tout  aussi  hien  des  nœuds,  des 
foyers  et  des  cols. 

La  règle  qui  permettait,  dans  le  cas  précédent,  de  trouver  l'indice  de  l'équa- 
teur se  trouve  eu  défaut  :  d  ailleurs,  si  |  e(pi.i|eiir  coiilient   des  poiiils  siugiili(n's, 

les  coui'bes 

X  =  o,         V  =  o 


3i  MKMoiiii:  SI  II  i.Ks  I  (u  iiiiiis  iii:riMi:s  i'aii  imî  lioi  aiio.n  ihii'iciiimim.i.k. 

SI-  rdiiiii'iil  siii'  rc  i;r;Mi(l  rci'i'lc,  ijiii  ii  ,i  |kii'  i(iM'-c(|iirnl  iilii^,  i'i  |iiii|ii('iiii'iil 
|>;ul<M-,  (limlirc. 

Siiijuosons  (lune  (iiic  I Ciiii^iliMir  ne  coiiiicnnc  pas  de  point  singulier,  et  flier- 
cluiii-  (|ii(l  ol  I  indice  de  ci'  i;r;in(i  cercle. 

Nous  lr()tivoron>  ipie  I  un  ;i  le  Irin;;  île  I  ci|ii;ileiii- 

cVst-à-dii'e  que  rindicc  de  rérpinleiir  ser.i  égiil  à  —  i ,  cl  si  l'on   reniaiipie  qn'il 

est  déjà  (■•^<\\  il 

-(N'  +  F-C), 

2N,  a  F,  :>.C  élaiil  le  niiinljre  des  lueiids,  des  fojcrs  et  des  cols,  on  reconnaîtra 

Mlle  Ion  a 

F  +  N  =  C  +  1 , 

c'est-à-dire  que  le  tliéorènie  que  Idii  a\ail  dénionlré  dans  le  cas  jirécéiienl  est 
encore  \iai. 

Sii|i|i(i~ci|i-.  inaiiilelianl  que  léqualloli  contienne  des  points  siii^uliei-s,  à 
sa\  oir  •'  \'  nieiiiK,  ■>  V  |(>\  eis  et  •!  C  cols,  el  M)m>ii  s  coin  nient  on  pourra  lo  11  ruer 
la  ililliciilté. 

Soil  o-X  -|-  'j  1  ■  +  -'  :=  o  un  i;rand  cercle  qui  ne  |)assc  par  aucun  point  sini;ulier. 

Posons 

,  X  ,  y 

requatioii  dillérenlielle  de\ieiit 

dx'        dy' 
^  =  — - 

OÙ  X'  et   ^  '  sdiil  des  pol\  nomes  en  tiers  en  x   el  y' . 

On  aura  pu  choisir  le  cercle  -j.x  -|-  [i y  -|-  -'  =  o,  de  telle  façon  que  : 

1"    \iieune  réduction  ne  s'opérant,  \'  el  \'  soient  de  nu'me  degré; 
2°   (hie  le  giand  cercle  «^ -{- |ii)' -|- y  =  o  ne  soil   |)as  une  earaetérisiiqiie, 
c'esl-à-diie  que  les  termes  du  degré  le  plus  élevé  de  )'X' — x'X'  se  réduisent. 

Si  (i ,  Il  est  un  point  singulier  de  réqiialion 

dx       dy 
-\    -  t"' 

"  =  1—, >  •'  = 7—, 

a  «  -t-  j  £<  H-  Y  a  n  -i-  a  o  -t-  Y 


MKMOIIIK    SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAn    INK    ÉyUATION    DIFI' lillK,NriKI.I,E.  33 

sera  aussi  un  poini,  singulier  de  réqualioii  , 

dx'       dy' 

Si  (I,  b  esL  un  nœud,  un  col  ou  un  loyer,  a',  h'  sera  un  nœud,  un  coi  ou  un 
lover,  fie  sorte  que  les  nombres  des  nœuds,  des  cols  el  des  foyers  sont 
a(l\  +  N'),  :i(C  +  C'),  a(F  +  F')  et  que,  se  Irouvanl  ramené  au  cas  où 
rc(|uateui'  ne  conlenail  pas  de  [)oinl  slnf;ullci-,  on  peut  écrire 

N  +  N'-H  F-(-F'=C-hC'-i-i. 


CHAPITRE   IV, 

THÉOIIIK     DKS     CONTACTS. 


L'élude  (|ue  nous  venons  de  laii'(^  des  points  singuliei's  va  enlin  nous  |)cr- 
mettre  d'aborder  la  question  des  l'ormes  géométriques  que  peuvent  allecter  les 
caractéristiques  sur  toute  la  surface  de  la  sphère. 

Une  première  considération,  d'une  importance  ca|>ilalc,  est  ccll<'  du  nombre 
des  points  où  un  arc  ou  un  cycle  donné  touchent  une  caractéristi(juc,  c'est- 
à-dire  du  n(unbre  des  conta<'ts  de  cet  arc  ou  de  ce  cycle. 

Le  nombre  des  contacts  d'un  arc  ou  d'un  cyele  al:,>rliriques  est  toujours  lini. 

lleiiiarfjues  prrliniinairi's.  On  a  vu  qu'une  courbe  algébrique  sans  point 
double  se  compose  d  un  eerlain  nombre  de  cycles;  de  nu"'nie  une  courbe  nlgé- 
brnjue  à  points  doubles  se  composi'  d  un  cerlain  nombii'  di'  c\(les  el  de  pol\- 
cycles.  Oi',  ces  poljcycles  eux-mènie^  peuvent  être  considérés  comme  décoin- 
posables  en  un  cerlain  nombre  de  cycles  se  touchant  aux  points  doubles  et 
présentant  en  ces  ponits  des  point-,  anguleux. 

Ainsi  la  courbe 

a;2  — 7-  =  (x'-f- j-2/- 

sc  compose  de  deux  polycycles  dianiétralem<nl  opposés;  chacun  de  ces  pt)lv- 
cycles  se  compose  de  deux  cvcles  qui  se  loiieheiil  au  poiiil 


el  y  présentent   un  point  anguleux  tel  que  l'axe  des  deux  tangentes  soit  de  ()o". 
H.  F.  —  I.  â 


34  MÉ.MOIKE   SIR    LES   COIRIIKS    llKl-IMliS    l'Ail    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE. 

On  a  Ml  (juunr  CiHirlii'  al;;<'l)ri([uc  C  <'(>upe  un  cvilr  ali;c''liri(|nr  (|iiclcoiique 
l'U  un  iionil)r('  liiii  cl  paii-  ilc  [loiiiis.  Ceci  mérite  quelques  expliculiuns. 

Si,  en  un  [idinl  (liinni',  la  imiil)!'  alt^élirique  C  passe  de  rintérienr  du  cycle  à 
1  exléi'icur.  iMi  récipi(ii|ucincnl,  imu^  dirons  (pie  la  coiirhe  lr(H'erse  le  cycle  et 
ce  point  coin|ilcia  poiii'  un  >cnl  piiinl  d  mli  i>ccl ion  ou  pour  nu  nombre  impair 
de  piunl--  d  iiiliM>eclii)ii  (oiiloudii>.  Si,  au  coni  laire,  dan^  le  voisinage  d  un 
|)oinl  donné  coniinun  à  la  courhc  (\  cl  au  c\clc,  la  couiKc  C  lesle  tout  entière 
extérieure  ou  inlérieurc  au  cycle,  nous  diidns  que  la  coulje  louche  le  cycle,  et 
ce  point  comptera  pour  un  womhvc  pair  de  points  d'intersection  confondus. 

Supposons,  par  exemple,  que  le  cycle  donné  présente  un  point  anguleux  à 
l'origine  et  que  son  équation  s'écrive 

o  =  I  ^-  —  'lx)i y  —  \xx)  -1-  O3, 

Oj  étant  un  polvnome  ne  conleiiaiit  que  des  termes  de  degré  )  et  au-dessus. 

Supposons  qu'un  point  infiniment  voisin  de  l'origine  soit  à  l'intérieur  du 
cycle  donné  toutes  les  fois  (pic  (  '  ) 

37  >  o,         (y  —  lx)(y—ixx)  <  o, 
et  à  lextérieur  si 

X  <_«         ou  si         .r  >  o,         (y  —  \x)(y  —  fia?)  >  ». 
Soit 

o  =  V  —  ni.r  -(-  (J2 

l'éipiation  de  la  courhe  C,  où  h,  représente  un  polynôme,  ne  contenant  cjuc  des 
termes  de  degré  2  et  au-dessus. 

Il  est  aisé  de  voir  ipie  la  coiirlx'  C  traverse  le  cycle  toutes  les  fois  ipie 


(  m  —  À  I  (  ni  —  iji  ;  <  o 

et  le  touche  dans  le  cas  contraire. 

Théoiiiîme  \  1.  —  Le  nombre  des  contacts  iP un  cycle  algébriijiie  (jui  n'a 
pas  de  point  anguleux,  qui  n'a  pas  de  contact  d'ordre  supérieur  avec  une 
caractéristique  et  qui  ne  passe  par  aucun  point  singulier  est  toujours  Jini 
et  pair.  • 

En  cllet,  --(lit 

^'(r,  y)  =  o 


Cjlci,  comme  plu>  loui.   p.    ij  el  36,  (liffi-rt-nles  iiiodilicalions  de  signes  ont  été   inlroduilcs 
dans  la  rédaction.  (  K.  G.  ) 


MÉMOini;    SIR    l.KS    COURBES    DKKI.MES    PAR    IINE    ÉOUATION    DIFFÉRENTIELLE.  35 

réijuatiuii  de  ce  cjcle,  on  trouvera  ses  contacl!-  en   cLtMclianl  son  intersection 
avec  la  courbe 

Celte  courbe  étant,  algébrique,  ses  intersections  avec  le  cycle  donné  sont  en 
nombre  pair,  si  l'on  a  soin  de  compter  pour  deux  intersections  les  points  où  la 
courbe  touche  le  cycle.  Or,  en  ces  points,  le  cycle  aurait,  avec  une  caractéris- 
tique, un  contact  d'ordre  pair,  ce  cjue  nous  n'avons  pas  supposé.  Donc,  il  n'v  a 
nulle  part  plusieurs  points  d'intersection  confondus  des  courbes 

o  =  o,        r  =  o. 
Donc,  le  nombre  des  contacts  est  pair.  c.   q.  f.   n. 

Ilcinaicfue  l.  —  l^e  lliéorèmc  e>t  encore  vrai  (piaiid  iiième  le  cvele  donné  a 
des  contacts  d'ordre  supérieur  avec  une  caractérisllque  ;  à  la  condition  toutefois 
que  l'on  ait  soin  de  compter  un  contact  d Ordre  /;  pour  n  eonlacts. 

Remarque  H.  -  Supposons  maintenant  (pie  le  c\ele  alj^ébrùpie  oll're  un 
point  anf;;uleux.  Supposons,  pour  fixer  les  idées,  que  ce  [uiint  anguleux  soit  à 
l'origine,  que  l'équation  du  cycle  s'écrive  encore 

o  =  (  J  —  \x){y  —  \1.T)  -t-  63 

et  que  l'intérieur  du  cycle  soit  défini  par  les  conditions 
3"  >  o,         {y  —  \T)(y — [jLa-)<(). 
Le  polynôme  »  s'écrit  alors,  si  X„  et  ^  „  sont  les  \aleurs  de  X  et  de  \  pour 

tp  =  \f,\%\\i.T  —  (X-H  \i.)y\  -+-  Vo[2_>'  —  (À  -1-  [ji)3-]  -t-  e'j, 

où  O'j  est  un  polynôme  ne  contenant  (pie  des  termes  du  degré  2  et  au-dessus. 
Le  coeflicient  angulaire  de  la  tangente  à  l'origine  à  la  courbe  0^0  est  alors 

Yo(À  -I-  ,u)  — aXpXiJi 
■i  Y„  —  Xo  (  X  H-  |.t  ) 

et  la  condition  pour  que  la  courbe  »  =  o  traverse  le  cycle,  c'est  que 

a  =  [Y„(X  -H  |ji)  —  2XoX(i]  —  X  [iYo—  Xo(X  -hp)], 
P  =  [Yo(X  +  ;!)  -  iXoX.u]  -  ;4>.  Vo-  X„(X  +  ji)] 

soient  de  signe  contraire. 


■i">  MK.MOIlli:    SIR    LES    COI  liBliS    DICKIMES    l'Ail    VSV.    lioL'MION    niFVlinlîNTMiLLi;. 

Or,  on  poiil  oirir(\  (Mi  siin|ilili:iiil, 

a  =(V„— X„X)(;ji-  h), 
P  =  (Y„-X>,[JL)(X  — p); 

ce  qui  |)ioiiv<'  que  hi  condilion  pour  que  a  cl  [3  soicnl  «le  -<ij;ne  conlraire,  c'esl 
(|ue  ^  Il  \,|),  cl  ^||  -\||ijL  soient  de  même  signe,  on,  en  (Tniilres  termes,  que 
Im  idiidilKiii  |ioiii'  (|iie  1,1  cour'be  ■:,  -=  o  traverse  le  evele  donné  est  (|ue  l:i  carac- 
Icri-I  i(|iii'  (jui  passe  par  rorii;iiie  ne  la  lia\('i'S(>  pas. 

I)iinc,  un  point  ani;Mleii\  .eoin|)tera  pour  un  eonlact,  si  la  earaeléristicpu'  (pu 
j)asse  en  ee  point  ne  traverse  pas  le  cyele,  et  pour  deux  eontacts  dans  le  cas 
contraire. 

Remaiciui'  III.  -  -  Supposons  maintenant  que,  le  cycle  passant  toujours  par 
rorigine,  l'origine  soit  un  |)oinl  singulier.  Soient 

X  =  aj-  M-  <^y  --!-«.,, 
Y  =a'.T-t-  «/j  +  O'j, 

h.  et  'j.,  étant  de-.  p()l\  nomes  dont  les  tei'mes  sont  de  degré  ■'.  et  au-dessus. 
(  )n  aura 

La  coiirhe  'i    =  o  passe  par  I  origine. 

Si  elle  n Csl  pas  taiigenle  à  la  courlie  \':=  o,  le  |)oint  singulier  devra  conqiler 
|)our  un  eonlact,  mais  si  elle  a  avec  le  evele  F  ^^  o  un  contact  du  n"'""'  ordre, 
le  point  singulier  devra  c(niipter  pcuir  /i  +  i   contacts. 

()r,  pour  (ju'elle  soit  tangente  à  V  ^  o,  il  faut  et  il  siillit  que,  si 

—       )  —  -  o 
dx         '  dy 

—  >.(«-(-  fiX  )  +  «'-(-  [3' ),  =  6, 

e'esl-à-dirc  qu'il  laiil  et  il  siitlil  (|uc  le  ( ■^ de  F  =  o  soil  langent  à  une  carac- 
lérj~ti(|uc,  piiixpic  le  coelficienl  angulaire  m  de  la  langenle  à  une  des  caraeté- 
riNiiipics  passant  |iar  lUrigine  est  dcniné  par  l'écpiation 


—  //(  (  «  -t-  (j  m  )  -(-  a'  -I-  [i'  //(  —  o. 

Ou  Miiail  lie  mèiiH-  (pic  le  cvclc  F  =  o  aura,  à  l'iMigine,  un  ciuitact  du 
II'""'  ordre  ascc  la  ((Jiirhe  »  =  o,  s'il  a  \[\\  contact  du  //'"'"'  ordre  avec  une  îles 
caraclérisliqucs  passant  par  Fiuiginc 


MiiMoim:  SIR  i.i:s  ■(  (Il  mtijs  hbkimics  i-aii  i  m:  i;(.>i  ation  lui  ii  hkntiei.i.f:.  :>- 

Duiic,  un  point  singulier  par  où  ()asse  le  ivclt'  donné,  mais  qui  n  est  pas  un 
point  anguleuii,  comptera  pour  >i  +  i  eonlaets  si  ]f  c^eie  a,  en  ce  poinl,  un 
eontael  du  )/"'""'  ordi'e  ;ivee  une  earaelérisiiipie. 

liemar<iue  1\  .        Supposons  cnlin  (pie  lorigiiu'  soi!  un  poinl  siii^uIut  el  un 

point  anguleux  du  eycle  donné. 

Soient  ene(uc 

\  =  aa-  4-  [iy  +  0,, 

■^   =  7.' X  -(-  '-J y  ■+■  6.>, 

F  =  (j'-),.r)(jK-,u.r)-r-e3, 

et  à  l'intérieur  du  cycle 

.r  >  o,         (y  —  \r){y — ;j;x)<o. 

On  aura 

o=     (ax  +  pr  )  [-iXfij- —  (X  +  iji)/] 

-\-{7.'t  -¥-  'i'y}['>-y  —  (?>  +  ;ji-)^]  -H  S'j, 

6'.,  étant  un  polynôme  ne  contenant  que  des  termes  du  dei;ré  .'>  et  au-dessus. 

La  courbe  -i  =  o  présente  donc  à  rorigine  deux  branches  de  courbe.  L'ori- 
gine comptera  donc  pour  un  nombre  pair  de  contacts  si  ces  deux  branches 
touchent  toutes  deu'x  ou  traversent  tontes  deux  \c  cych',  pour  un  nombre  impair 
dans  le  (  as  contraiic  ;  c('st-à-(brc  (pie,  pour  ipie  I  Origine  (huvc  ("Ire  compléi; 
pour  un  nombre  impair  de  contacts,  il  faut  cl  il  sutlil  ipie  les  deux  tangentes  à 
l'origine  à  la  courbe  s  =  o  ne  soient  pas  comprises  Icuiles  deux  dans  l'un  des 
angles  formés  parles  tangentes  à  l'oiiglne  à  la  c(uirbe  F  r=  o,  c'est-à-dire  qu'il 
faut  et  qu'il  suflil  cpie 

a  =[(a'-(-  P'X)(X-4-  [i)—  %\n{i  -H(JX)1— X[-3(a'-hp'),)-(c(  -i-  SX)  (X  H-,a)|. 
6  =  [(a'-t-  P';jl)(X  +  y.j  — ■j..X;jL(a-t-p(Ji)]  — (ji[2:a'-)-p»  — (a'-t-  3',a)(X-t-  jx)], 

soient  de  signe  contraire. 

()r,  (Ui  peut  écrire,  en  simplilianl, 

r,  =  f,a'-H3'X)-X(a-)-  flX)]  (  ,Ji  -  X  ), 
h  =  [(  t'  +  S'  ;j.  I  —  ai  a  -f-  [3[ji)]  ( X  —  |x). 

Si  le  poinl  singulier  est  un  foyer,  l'équation 

(a'-(-  (Ji'x)  —  3-(a-t-  |ji:r)  =  o 

n'a  que  des  racines  imaginaires.  Son  premier  membre  est  donc  toujours  de 
même  signe,  a  cl  b  sont  de  signe  contraire  et  le  point  singulier  compte  p(nir  un 
nombre  im])air  de  contacts. 


58  MI-MOIIIK    SI  II    l.KS    imllIlK.S    llkl  IMES    l'Ati    IIM;    liQlATlON    IIIFFKIIKMTF.T.I.K. 

Si  lo  |ioinl  >m^iilii  r  i>l  un  (  ni  ou  un  iki'ikI,  il  coniplr  xnl  [iiinr  un  nnmhir  |iiiir, 
-.oil  |)our  nii  nombre  impair  de  conlacls,  selon  la  po>illon  des  tangentes  à  l'ori- 
gine au  cycle  F  ^  o. 

Résumé.  —  Le  nonii)i'e  des  eonlaels  d'un  evole  alf;él)ii(|iie  es|  toujours  pair 
à  la  condition  ; 

l"   ()ui'  I  iiu  ciiniiile  nu  cnulael  ilu  /('"'"'  ordre  pour  //  eoutaels; 

:>."  (hiuu  point  anf;iileii\  du  cNcle  donné  soll  considéré  connue  un  ou  comme 
deux  contacts,  selon  (pie  la  caractéristique  ipii  a  pas>c  ^  loiiclie  ou  y  traverse 
le  cycle  ; 

3"  Quun  point  singulier  compte  pour  ti  -+- 1  contacts  si  le  cycle  a,  en  ce 
point,  un  contact  du  /; "'  ordre  avec  une  caractéristique; 

.\"  Qu'un  foyer  qui  est  un  point  anguleux  du  cycle  donné  soit  C(unj)té  pcuii- 
un  contact  ; 

.V'  ()u  lin  col  ou  un  iio'ud  qui  est  un  point  anguleux  du  cycle  donné  soit  ciuupté 
pour  un  ou  |)(uir  deux  contacts,  selon  la  position  des  tangentes  au  cycle  au 
point  anguleux. 

Corollaire.  —  Si  deux  arcs  algébriques  ont  mêmes  extrémités,  le  uomi)re  de 
leurs  contacts  peut  être  de  même  parité  (ui  de  parité  différente  si  les  deux 
extrémités  ne  sont  pas  deux  foyers;  il  est  toujours  de  même  jiarilé  si  les  deux 
extrémités  sont  deux  foyers. 

Théorème  VII.  —  .S/,  entre  deux  points  de  la  sphère,  on  peut  mener  un 
arc  quelconque  sans  contact,  on  peut  aussi  mener  entre  ces  deu.r  painls  un 
arc  algébrique  sans  contact. 

En  effet,  soient 

les  équations  de  l'arc  donné,  où  /  est  un  paramètre  convenablement  choisi.  On 
aura  pu  choisir  le  paramètre  de  telle  scjrte  (pie  les  extrémités  de  l'arc  corres- 
pondent à 

/  =  O,  /  —  T.. 

Si  l'ai-c  donné  ne  coupe  pas  l'équateur,  x  et  j' restent  finis  (piant  t  varie  de  o 
à  —;  ce  sont  donc  de--  loncli(jns  Unies  et  continues  de  /  entre'ces  limites,  et  il 
en  est  de  même  de  leurs  dérivées. 

Soient  x, ,  y,  et  t.,,  y-i  les  valeurs  de  x  et  de  y  pour  /  =  o  et  pour  t  ^=  n;  les 


MKMOIIIE    SUll    LES    COI  RBECS    KKFIMKS    PAR    UNIi    EQtATION    DIFFÉIlENTIF.I.l.E.  3iJ 

f()ll(tl(IU> 

/  / 

.r  —  Xi  LOS j-osin-i 

■2  'i 

t  .    I 

y  —  yx  cos-  — ^'.sin  - 

xinl  niillrs  poui'  /  ^  (i  cl   pciur  l  :=^—. 

Les  l'oncUoiis  x  el  i'  pi-uvoMil  ilcmc  se  (lévcldpjjer  en  séries  eonverj;eiites  en 
sin  «(/,  de  la  nianicre  suivante  : 

in  ^  « 

Vt  .        t 
,       A„,  Mil  //(/  -r-  J"i  (OS r-X..  Sin  -  . 

^  2  2 

«1  =  1 


y=     ,7    !>,„  siii /«/ -t-_^'i  i-os i-VjSin-; 

m  =  1 

el  I  on  aura  ilc  lui'uie  en  siiies  e(invcif;enles 

(/.r         -y  .r,    .     /         .r,  t 

—7-=      >      //i.\,„  COSHi/ —    —  Slll r-    —  COS— 1 

lit  ^^  '1  i.  2  •! 

III  — \ 

m  ~-  06 

-^    =       >      HI  B„,  l'Os//(/ -SUI \ COS— • 

cil  ^a^  2  2  2  2 

111=  1 

I  lui  >ul)-lilue  ees  valeurs  à  la  plaee  île  x,  )'  -=->  —t-  ilans  leviMession 

'  '       ut      fit  ' 


Si  r, 


I  I  un  >uii 

dt  dt 

un  ailla  une  luneliun  île  /  i|iii,   i|uanil   /  xarieia  île  u  à  t:,  ne  s'annulera   jias  el 

(lunl    le    liiiri-     reliera    |iar    euiiséi|uenl    luu|uiiis    plus    j;ranil    i|U  une    (|iianlili' 

ilunniT  i'. 

Suienl 

///  —  'j. 

v'  .  '  ■    ' 

An  =     ^    A,„  Slll  «1/ -;- j-i  cop      ^j-osiii-i 
^'        ^  2  "        2 

III  =  \ 

m  .^  a 


Bu.  =     7    l>,„  Slll  «(/ -t-^i  COS  — hj-osin-- 
m  =  I 
L'arc 

esl  aloéhrique  el  a  les  mêmes  exlrémilés  que  lare  ilunné. 

De  )ilus,  un  aura  loujuiiis  |iii    |iren(lre  jji  assez  j;ranii  puur  cjue  A^,  B.j.,  —t~> 


io  MK.MOIIIK    SIR    l.KS    ColHltES    IlÉFIMES    PAR    l  NE    lioUATIIIN    DIl'EKRENTIKl.l.i:. 

— j —  (liMcic'iit    ;iu^M    11(11    (lue  1  Mil  \riil    lie  »(/),  'j(t),   ——<   -p.  on    liieii    pour 


— ; —  (lulcrciu    ;iu^M    peu    (luc  l  mu  \rii     uc  »    /,  '-<((.   — r-'    — r-i 
dl  '  '  .  V     ''    .  V     "    df       dl 


,      f/ l>a  ,-   (^/Aa  ,  I        .        I  v  \  4  r»         i-i^-- 

i|iic  \  — 1  —7—  .  ou  X  f'I  )•  Mint  remplaces  dans  \  li  i  par  Ap^  el  D|j^,  ditlore 


aii>M  pi  11   (pic  Ton  \  cul  Av  \  -V-  —  ^  "F  '  où  j:  et  r  f-oiit  reiiiplarés  dans  X  et  Y 


d'h        y  do 
T77  'di 

par  3  cl   1/ ;  par  exemple,  pour  (pie  celle  expression  ilillcie  de  \.  -^  —  ^  ~^  *^^ 

nioin->  lie  î,  pnur  cpic  I  mi  ail  loupuirs 

,.    dW^i  tl\n 

\    j^ 1     ; .  O. 

dt  dt    '  ■ 

l)aii>  ce  cas,  l'arc 

^  =  '^li-        y  =  ^\>- 

sera  à   la  lois  ali;el>ii(iuc  el  saii^  coiilacl.  c.  (•.  F.  d. 

Si  1  arc  (loiiuc  coupait  retpialeiir,  mais  ne  cmipail  pas  le  j;ran(l  cercle 

ï.r  -,-  '-j^y  -H  ■;  =  o, 
on  ferait  un  cliani;cmenl  de  \ai'ial)lcs  eu  posant 


y 


el  le  llicMiiine  >e  (^lenionlrcrait  de  la  mi'ine  manière. 

Si  i  are  lionne  coupait  liuis  le>  ijrands  cercio  de  la  s|)liéie,  on  le  ik'compo- 
serail  eu  un  ci.'ilaiu  iiMmlii'c  d  ares  secondaires  diml  aucun  ne  couperait  tous 
les  j;raiid-  (  eicles  ili'  la  spliere,  el  le  lluMirciiie  demontrcj  successivenieni  pour 
cliaciin  de  ces  arcs  M'cdiidaires  le  >erail  é^alemeiil   pour  I  arc  lolal. 

Théorème  Vlll.  —  .S'^'  \B  rsl  un  arc  algébrirjue  sttns  conUicl,  si  AA, 
el  BB,  sont  di'tix  ans  de  rararléristiques,  on  pri/l  nuinrr  <lr  A,  à  H,  un  arc 
sans  contact. 

Vax  ellet.  ~i)icnl 

'=T''0>      y  =  'H') 

les  équalion»  de  l'arc  AB,  où  ■:.  el  ■!/  muiI  des  rimetioiis  Cdutiniies  de  /,  n"a\aiil 
ijuiiue  valeur  pour  chacpie  valeur  de  t.  Soient  y.  el  p  les  \aleurs  de  ^  ipii  cories- 
pondenl  aux  points  A  el  lî. 

\  (  liaipic  \aleiir  de  /  ciirrispMiid  une  caraclerislKpie,  el  une  seule,  de  telle 
sorte  (|u  à  a  el  [i  correspoiidenl  les  caraclerisi  icjiies  V  V,  et  Bli,.  Soient  /„,  /,, 
/j,  ...  les  valeurs  de  /  aiiMpiclles  eurrespoiideiil  des  laraili'iislKpies  ipii  \iinl 
passer  par  un  col. 


MÉMOIRE    SUR    LES    COURBKS    DEFIMES    PAR    LNË    ÉQfATION    DlFFKRENTIIÎl.l.E.  4' 

Considérons  la  caractéristique  qui  correspond  à  une  valeur  donnée  de  t; 
soit  s  l'arc  de  cette  caracléristi(|ue  cam|)té  à  parlii-  du  point  où  elle  coupe 
l'arc  AB.  Les  deux  valeurs  de  v  cl  de  I  ilétrriniuenl  un  point  de  la  splière  et 
fornienl  pour  ainsi  dire  un  nouveau  système  de  coordonnées.  Soient 


a, 


t  =  t„, 


i  =  Y  les  coordonnées  de  Ai, 
i  =  0  les  coordonnées  de  Bi, 
s  =  s„     les  coordonnées  des  cols, 


Une  équalinn 


s=  F(0. 


où  F  est  une  fonction  continue  de  I,  qui  ne  prend  qu'une  valeur  pour  chaque 
valeur  de  l,  représente  un  arc  de  courbe  continu  et  sans  contact,  toutes  les  fols 
que  /  n'est  égal  ni  à  l„,  ni  à  I,,  ...  et  si  <  =  /„,  par  exemple,  toutes  les  fois 
que  .s<.s„. 

Or,  on  |)ourra  toujours  ciioisir  F  de  trllc  sorte  que 


poiii  /  =  a, 

F  =  ■!, 

pour  f  =  fi, 

l<  =  S, 

pour  i  =  /„, 

1'  <  -So, 

pouf  <  =  ^1, 

i'<Su 

c'est-à-dire  cpic  l'on  peut  mener  de  A, 
(jueni  un  aie  alj;éljri(pie  sans  contact. 


B|  un  arc  sans  contact  et    par  ciuisé- 

C .   Q .    F .    II. 


THÉORi-;ME   [\.    —  Si  AB  et  A|B,  (Jig.   5)   sont  deux  caractéristiques., 

Kig.  5 


5/  AA|  et  BB|  sont  deux  arcs  algébricjues  qui  ne  coupent  ABef  A,B,  en 
aucun  autre  point  que  A,  B,  A,  ou  B,,  les  nombres  des  contaots  de  AA,  et 
de  BB|  sont  de  même  parité. 

U.  P.  —  I.  6 


4a  .«K.Moini:  sir  i.ks  coi  rbi;s  iikfimi:s  pmi  iiniî  kqi  ation  i)iFKi-:nENTiKi.i,i:. 

Soit  .V  lin  [H)inl  as.sez  vnisln  de  A  pour  cjnc  l'iirc  AA'  soil  sans  contact  el  que 
la  caractoristiijup  A'B'  aille  c()u|)t'r  BB,  en  un  point  B'  tel  que  BB'  soit  sans 
contact. 

Supposons  lie  iiu'mc  cpic  V|B|  soii  un  aie  ilc  caractérisLique  el  que  A|A'|, 
B|B,    soient  sans  eimlacl . 

On  poiiiia  mener,  d  après  le  lin'-oi'èine  pii'ci'ileiil ,  (les  arcs  ali;éi)ri(pips  AB', 
A|  B|  --ans  contact. 

Le  noinl)r('  des  «-oiilaels  du  c\ele  alt;eliii(pu' 

Ar5'B,A,A 

doit  iMie  pair. 

Or,  les  caractéristifpics  \B,  A,!},  loui  lien!  le  cycle  en  A  et  en  B,  ;  les  carac- 
téi'i>ti(iues  A'B  ,  et  A^  IV^  le  travers<'nt  en  H'  el  en  A^.  Donc  les  quatre  points 
ani;uleM\  Cdiiipleiil   |ioui'  un  iioinlue  pair  de  coiilaets.  Donc  on   a 

nombre  îles  coiitacls  AI5'      -+-  nombre  des  contacts  B'B[ 
■+-  nombre  des  contncis  B,  A',  -4-  nombre  îles  contacts  A,  A  ;^  o        (moda), 

ou,  ce  qui  re\ient  au  même, 

Miimbie  des  contacts  A  Aj  +  nombre  des  contacts  BBi  ;=  o         (  nioil  a). 

c.  Q.   F.  I). 

Théoii  i:\iE  \ .  —  Si  un  air  de  cdriichTist  njuc  ijtn  ne  pnssr  par  aiiriin 
point  singulii'f  <'st  soiis-lrmlii  pur  un  <irc  de  coiirhc,  li'  nonihra  des  cuii- 
tncls  du  cet  air  de  rouihe  esl  ini fiair. 

Eneli'et,  sfiit  F  =  (i  réipialimi  de  l'are  sous-lendant.  Considérons  la  fonc- 
tion F;  celte  fonction  passe,  par  exemple,  du  posilil'  au  néj;alif  (juand  le  point 
(j:,  )■),  décrivant  la  caraclérislifpie,  passe  par  I  une  des  cxlrémilcs  de  l'are  sous- 
tendant,  el  du  né};atif  an  jxisilif  quand  il  jiasse  par  l'autre  extrémité  de  cet  arc. 
C'est  dire  (pie,  (piand  le  puiiil  (x,y)  décrit  l'arc  donné  de  caracléristique,  la 
fonction  i'   passe  par  un  uoinlire  iiiipaii'  de  maxima  et  de  niiiuiiia. 

Or,  ces  maxima  cl  ces  minlma  sont  donnés  jiar  l'équation 

<o  =  A  -: H  Y  -r—  =  g; 

d.c  (ty 

c'est  dire  que  l'arc  de  caractéristique  coupe  en  un  nombre  impair  de  points 
la  couriie  »  =  o. 


MKMOIRi:   Sin   LES    COURBES    nÉb'IMKS    PAIt    UNE    ÉQUATION    [)IFEÉRENTIE1,I,E.  4'i 

Or,  celle  cuurljf,  qui  est  algébrique,  coupe  en  un  nombre  pair  de  points  le 
cycle  H  formé  par  l'arc  de  caractéristique  etl'arc  sous-lendant;  donc  elle  coupe 
l'arc  sous-lendant  en  un  nombre  impair  de  |)Oinls. 

Donc  le  nondjre  des  conlacts  de  cet  arc  est  im])air.  c.  q.  f.  d. 

l'ifmiuijiie  I.  —  Si  l'arc  de  caraclérislique  passe  |)ar  un  col,  comment 
faudiM-l-il  modilier  le  llicorrme? 

Le  c<d  a|iparlienl  évidernmenl  à  l.i  courbe  »  ^  o,  mais  11  n'esl  un  maximum 
ou  un  mmimiim  ilc  I*'  qu'à  la  condihiui  ipic  l'arc  de  caractérisliipic  présenle  en 
ce  poinl  un  poml  anguleux. 

En  ell'el,  supposons  d'abord  rpi'il  n'v  ail  pas  de  point  angidcux.  Les  courbes 
F  =  F( ./ ,1,  ji,  )  cl  »  =  o  iraverseionl  louli>  deux,  en  général,  le  cycle  H, 
c'esl-à-dire  cpie  le  col  sera  un  poLul  simple  d  inlersection  du  cycle  et  de  o  =  o, 
sans  correspondre  à  un  maximum  ou  à  nn  minimum  de  F. 

Si,  au  contraire,  il  y  a  un  point  anguleux,  l'une  des  courbes  3  =  0,  F  =  o 
traversera  le  cycle  H,  pendant  que  l'autre  le  touchera,  de  telle  sorte  que,  ou 
bien  le  col  sera  un  point  simple  d'intersection  de  H  et  de  j  =  o,  et  en  même 
temps  un  maximum  de  F,  ou  bien  il  sera  un  point  double  de  H  et  de  s  =  o 
sans  être  un  maximum  de  F. 

Donc,  si  l'arc  de  caractéristique  passe  par  un  col  et  n'y  a  pas  de  poinl 
anguleux,  le  nombre  des  contacts  de  l'arc  sous-lendant  est  pair. 

Si  l'arec  de  caraclérislique  passe  par  un  col  et  y  a  un  poinl  anguleux,  le 
nombre  de  ces  contacts  est  impair. 

Jtcni(irr/iif'  II.  —  On  démonlreraii  i\c  même  C[ue,  si  un  arc  de  caraclérislique 
ne  |)asse  par  aucun  poinl  singulier,  loul  air  de  courbe  (|ui  le  sur-lend  a  un 
nombre  de  conlacl>  pair. 

Contacts  des  systèmes  topoi;r(ip/iii/ites.  —  Si  l'on  considère  un  système 
lopographique  algébrique,  les  contacts  de  ce  système  formeront  une  courbe 
algébrique. 

On  distinguera  les  contacts  intérieurs  et  extérieurs  du  système  lopographique, 
selon  que  dans  le  voisinage  de  ces  contacts  la  caractéristique  qui  y  passe  reste 
intérieure  ou  extérieure  au  cycle  qu'elle  touche,  jjarmi  ceux  du  système  lopo- 
graphique. 

La  courbe  des  contacts  sera  donc  divisée  en  un  certain  nombre  d'arcs  qui 
seront  les  arcs  des  contacts  intérieurs  et  ceux  des  contacts  extérieurs. 


4î  SIK.MOIKR   SIR    LES    COtnBHS    DÉFIMIÎS    PAR    l'NE    ÉyUATION    DlFFÉHENTIliLLlî. 

C-es  aiTS  sfriml  si''])aiv>  : 

1  "  Par  les  points  singuliers  ; 

a"  Par  les  points  où  la  courbe  des  contacts  louche  un  des  cycles  du  système 
lopographlque. 


CHAPITRE  V. 

TllftORlE    DES    CONSÉQUENTS. 


Com-ention  fondamentale.  — Considérons  une  demi-caracléristique  quel- 
conque; nous  la  prolongerons  indélininicnt,  si  l'on  peut  le  faire  sans  rencontrer 
un  point  singulier;  si,  au  contraire,  en  suivant  la  demi-caractéristique,  nous 
arrivons  à  un  nicud,  nous  Tarrèterons  à  un  nœud;  si  nous  arrivons  à  un  col, 
trois  chemins  s'ouvriront  devant  nous  quand  nous  voudrons  continuer  à  suivre 
la  caractéristique,  le  premier  dans  le  prolongement  du  chemin  suivi  jusqu'alors, 
les  deux  autres  à  droite  et  à  gauche;  nous  conviendrons  de  suivre  l'un  des 
chemins  de  droite  ou  de  gauche,  sans  jamais  prendre  celui  qui  est  directement 
devant   nous.    Par  exemple,  nous   cousidérerons   OB  ou   OD   (/«,!,'.  6)  et  non 

Fis.  G 


pas  OC,  comme  le  prolongement  de  AO.  De  cette  façon,  on  peut  dire  que  dans 
le  voisinage  d'un  col  il  y  a  quatre  caractéristiques  collées  l'une  contre  l'autre, 
et  ayant  deux  à  deux  une  hranche  commune  :  ce  sont  les  caractéristiques  AOB, 
BOC,  COD,  DOA. 

Définition  des  consé<iupnts.  —  Soit 


MÉMOIRE    SUR    LES    COURBES    HÉKIMES    PAR    UNE    ÉQUATIOX    DIFFÉRENTIELLE.  45 

un  eirc  algébrique  sans  contact;  cp  cL  •!/  sduI  des  fonctions  algébriques  de  t,  et 
n'ont  qu'une  seule  valeur  pour  cbaque  valeur  de  l.  Les  extrémités  de  l'arc 
correspondront  aux  \aleurs  de  I, 

Un  pareil  arc,  sans  contact,  aura  deux  côtés  que  nous  apj)ellerons  sa  droite 
et  sa  gauche  ;  un  point  infiniment  voisin  de  Varc  AB  pourra,  en  effet,  être  à 
droite  ou  à  gauche  de  cet  arc.  Par  exemple,  le  point  m  sera  à  gauche  de  l'arc  AB 
{fis-  7),  le  point  /;/'  à  droite  de  l'arc  AB,  parce  (pi'on  ne  |)eut  passer  de  l'un  à 


Fie 


l'autre  sans  traverser  l'arc  AB,  ou  sans  s'éloigner  de  cet  arc  à  une  distance 
finie,  ou  sans  passer  par  un  cercle  de  ra\(in  inliiiinicnl  pelil  tracé  avec  A  ou 
avec  B  comme  centre. 

Ceci  posé,  considérons  un  point  (piclconque  M,,  de  lare  AB  {fig.  S);  de  ce 


Fis.  8. 


point  partent  deux  demi-ra/aclérislit/iies,  l'une  vers  la  gauche,  l'autre  vers  la 
droite  de  lare  AB;  considérons  celle  de  gauche. 
11  pourra  se  présenter  plusieurs  cas  : 

1"  Cette  demi-caractéristique  peut  se  prolonger  indéfiniment,  sans  qu'on 
rencontre  de  nouveau  l'arc  AB. 

2°  Celte  demi-caractéristique  finit  en  tournant  autour  d'un  foyer,  avant 
d'avoir  rencontré  de  nouveau  l'arc  AB. 


46  MK.MOIRE    SUR    LES   COIIIIIKS    IIKFIMKS    l'\U    UNE    KOl'A'l'ION    Hl  [•■l'ÉllENTIELLE. 

.>"  Elit"  jilioulii  Ti  Mil  iiumhI  où  iKiiis  {Icvdiis  I  iiii('lri-.  d'iiiiivs  In  ronvenlion 
fondamenlalc,  cl  cc\n  iivani  d'avoir  rmu'oiilrc  de  nom  eau  l'arc  AB. 

Dans  ces  Iroi-.  |)i('iitlt'iN  en'-,  iioii--  iliiim>  (nic  le  point  M,,  na  pas  de 
conséquent. 

'x"  La  diiiii-(aract(''iisll(nu;  \'u'\\\  rcncoiil  rir-  l'aie  AR  on  M,  avant  d'avoir 
liasse  par  un  ijoiiil  Miii;uli('r.  Nous  dirons  alors  ijuc  le  point  Mi  est  le  consé- 
quent du  point  M,|. 

5"  La  dcnii-cara(l(''risli([U('  ahoiilil  à  un  col  a\anl  d'rirr  arrivée  à  rencontrer 
de  iKUiveaii  lare  \H.  Dans  ce  cas,  d  a|irès  la  eonvenlion  londanienlale,  il  tant 
tourner  sciii  il  droite,  soil  à  i;aiiclie,  cl  cliaeiin  de  ces  deux  elieniins  peut  nous 
ct)nduii'e  ou  ni'  pas  nous  conduire  à  rencontrer  de  nouveau  l'arc  AB.  Le 
point  M,i  |ieut  al(Us  a\(iir  o.   i   ou  ■>.  conséquents. 

Il  peut  enlin  arrixer  ipie  la  deini-caractéristique  rencontre  deux  cols  ou  plus 
encore,  el  dans  ce  cas  le  point  M,,  poiinail  avoir  plus  de  deux  consécpients. 

Si,  en  partant  du  point  M,,,  au  lieu  de  considérer  la  demi-caractéristique  de 
gauche,  on  a\ail  envisagé  celle  de  droite,  on  aurait  pu  arriver  à  un  point  M' 
situé  sur  l'arc  AB. 

Ce  point  Al'  s'appellera  V antécédent  du  point  M,,. 

Dans  ces  conditions,  le  point  M,,  sera  liii-inèine  l'anléeédent  de  son  consé- 
quent M|. 

Si  /„  el  /,  son!  fies  valeurs  i\v  I  qui  eorrespiindent  à  M,,  et  à  M,,  la  toi  de 
conséquence  sera  la  relaliiui  (pu  lie  /„  a  /,. 

Théorème  \I.  —  .S"/  /„  =  /|,  In  caractéristique  est  un  cycle. 
Si  t,,'^  I,,  la  caractéristique  est  une  spirale. 

En  ellel,  la  première  partie  de  renoncé  est  une  véritable  tautologie.  La 
seconde  se  démontre  aisément  de  la  manière  suivante  : 

Remarquons  d'ahord  que  l'arc  M„I)M|  (fiff.  g)  sur-tend  l'an-  M„CAL  Ae  la 
caractéristique,  car  il  est  sans  contact. 

De  plus,  cet  arc  MoD\L  ne  peut  rencontrer  la  caractérisliipie  en  aucun  autre 
point  que  M„  et  M,,  (tardes  arcs  tels  ipie  M,  FM^,  MdHM.,  seraient  .ço^/i-Zf/fc/wi 
par  les  arcs  M,  Mo,  M^Mj,  ce  qui  est  impossible,  puisque  ces  arcs  sont  supposés 
sans  contact. 


MEMOIIIE    SLR    LES    COLRBES    DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  4? 

Ceci  posé,  jiar  le  point  N„  infiniment  voisin  de  M,,  et  à  sanche  de  re  dernier, 
on  pourra  mener   un  arc  de    caraclérislique    N„Ei\|    tpii    viendra    rencontrer 


l'arc  M||1M|  en  un  puinl  Ni,  inlinimcnl  voisin  de  M,  el  à  j;aiiclie  de  ce  dernier, 
car  il  ne  poiirrail  passer  à  droite  sans  c(iii|)er  la  caracicristique  MpCM,,  ce  (jiii 
est  impossible. 

Le  cycle  N,M||N,|EN|  ne  rencontre  donc  la  caractéristique  MiiCM,  qu'en  un 
seid  point  (jiii  est  iNf,,.  l3onc,  cette  caractcristiipic  est  une  spirale. 

C.   Q.   K.    I). 

Théorème  \II.  —  Toute  caracicristique  qui  n  aboutit  pas  à  un  nœud  est 
un  cycle  ou  une  spirale. 

En  eUel,  si  cette  caractéristique  ne  rencontre  aucun  cvcle  algébrique  en  une 
infinité  de  points,  elle  est  un  cycle,  en  vertu  du  tliéoréme  1. 

Si,  au  contraire,  elle  rencontre  un  cycle  algébrique  en  une  infinité  de  points, 
comme  ce  cycle  se  compose  d'un  nombre  fini  darcs  sans  contact,  elle  rencon- 
trera l'un  de  ces  arcs,  el  aura  conlacl  rn  plus  iImii  p(uiit,  c  t'st-à-dire  que  l'un 
des  points  d  intersection  aura  un  conséquent. 

S'il  se  confond  avec  son  conséquent,  la  caractéristique  est  un  cycle;  s'il  ne 
se  confond  pas  avec  son  conséquent,  la  caractéristique  est  une  spirale,  en  vertu 
du  tliéoréme  XI. 

Le  théorème  est  donc  démontré. 

ThéorIcme  XIII.  —  5?  M„  ne  correspond  pas  à  une  caraclérislique  passant 
par  un  rol^  et  s'il  a  un  conséquent  M,  ;  si  /,  =  -j,  (/,,)  est  la  loi  de  consé- 


4S  MKMOIHE   Slip,    LUS   i:Ol  HIllCS    DKKIMES    l'Ail    UNE    EQ!  ATION    DIFHÉHENTIELLE. 

ijuencc,  la  fonction  3,  est  holomorplic  pour  les  valeurs  de  t„  l'oisines  de 
celle  qui  correspond  à  M„. 

En  ollel,  iii)ii>  iivdus  supposé  au  di'lnil  (pic  si 

•^  =  9(0-      y  =  '^('} 

sciiil  II-  iMpiiiliiui-  ili-  1  arc  sans  coulacl,  i  cl  'l  soiil  ilcs  (imclioiis  lidloiuorphes 
(le  /  liai!--  le  Miisina^c  de  la  \alciii'  de  /  (pu  c(>ii-esp(Ui(l  à  M,,,  cl  aussi  dt^  celle 
cnii  correspond  à  ^1 , . 

Supposons  que  l\)ii  ciicrciic  une  iiile^rale  de  I  c(pialioii  aux  diUcrcnccs 
parlielles 

\-T-    -\-\-r-    =a, 

ax  dy 

qui  soit  assujcllie  à  se  ié(luir(>  idcnliquemenl  à  /„,  quand  on  y  l'ail. 

Celle  inléyrale  rcprésenle  une  surface  qui  passe  par  la  courhe  gauche, 

X=<1>(Z),  J=(1>(J). 

Daii-  le  \oisinaj;e  du  poiul  M,,,  ccUe  inU'j;rale  esl  iiulomorplic  en  .r  cl  caj; 
car  l'arc 

ne  liMiclie  |)as  une  caraclérisll([iic. 

Hlle  sera  de  même  liolomorplic  en  x  et  en  )•  loul  le  loni;  de  la  caracléris- 
lique  (jui  passe  par  le  poinl  M,,,  à  moins  que  celle  çaraclérislique  ne  passe  ])ar 
un  poinl  sinj;ulier.  Or,  nous  avons  supposé  que  celle  çaraclérislique  allail 
passer  par  le  |)oinl  M,  sans  asoir  rencoiilré  aucun  point  singulier.  Dans  le 
voisiiia;:c  du  poiul  M,,  ;  esi  donc  roaclHui  Indomorplie  de  x  el  de  y;  et,  si 
l'on  y  tait 

z-  devieiil  fonction  lr(diiiii(ir|ilie  de  /,  dans  le  voisinage  de  la  valeur  de  /|,  qui 
correspond  à  M  , . 

Or,  z  n'est  anlrc  (  liosc  ipie  /,,.  Doue.  /„  esl  loucUon  liolomorplie  de  /,.  On 
ficmontrcrail  ideMlKpieiiieiil .  de  la  iiK'iiic  inanieic,  (|iie  /,  esl  lonction  liolo- 
morplie  de  /„  flans  le  Noisiiiage  fie  la  valeur'  de  /„  fpii  coiresponfl  à  M,,. 

Corollilirc  l.  —  La  fonelion  /i^-j,  (  /„  ).  ipii  exprime  la  loi  de  conséfpiciice, 


MÉMOIRE    SUR    LES   COURBES   DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  ilO 

ne  peut  offrir  de  discontinuité  que  pour  les  valeurs  de  t„  qui  corres|)ondenl  à 
des  caractéristiques  passant  par  des  cols. 

Corollaire  //.  —  Si  l'on  divise  l'arc  sans  contact  AB  en  arcs  partiels,  tels 
que  tous  les  points  de  chacun  de  ces  arcs  aient  un  conséquent,  ou  qu'aucun 
n'en  ait,  les  extrémités  de  ces  arcs  partiels  seront  des  points  ayant  pour  consé- 
quent une  extrémité  de  l'arc  sans  contact  AB,  ou  correspondant  à  des  caracté- 
ristiques passant  par  des  cols. 

Corollaire  lll.  —  Si  les  extrémités  de  l'arc  sans  contact  correspondent  aux 
valeurs 

si,  pour  aucune  valeur  de  ,'  telle  que 

a  <  «  <  3, 

la  caractéristique  correspondante  ne  passe  pas  par  un  col; 

si,   pour  toutes  les  valeurs  de   l,    telles   que   (a,   et  [ii  étant  des  constantes 

données),  on  ait 

a<ai<<<Bi<?, 

la  caractéristique  correspondante  est  un  cycle  ; 

les  caractéristiques  qui  correspondent  à  nnc  y lAewv  quelconque  Ae  t  comprise 
entre  a  et  ^  sont  Coûtes  des  cycles. 

Théorème  XIV.  —  La  valeur  de  -r^  est  toujours  positii'e. 

En  effet,  soit  AB  l'arc  sans  contact  {^fîg.  i  i),  soit  MoM,  une  caractéristique. 

Fi  g.  10. 
.'''       -\H 


/      ''       N 

-M 

>-^^\ 

/ 

soit  N„  un  point  infiniment  voisin  de  Mo  et  situé  à  droite  de  ce  point.  Soit  N„N, 

la  caractéristique  qui  passe  par  ce  point.  Le  point  N,  est  infiniment  voisin  de  M,  ; 

H.  P.  -  I.  7 


5o  MÉMOIRE   SUR    LES    COCnBES  «KFINIES    PAR    UNE    EQUATION    DIFFERENTIELLE. 

je  dis  qu'il  est  à  droite  de  ce  jioiiit.  (ïar,  |)Our  qu'il  fût  à  gauche,  il  faudrait  que 
la  earaetéristique  IN„]N|  sortît  du  cycle  M„HM|  N(,M,|  quand  on  la  prolonge  au 
delà  de  N,,  c'est-à-dire  que  l'are  de  caractéristique  N(,N,  fût  sous-tendu  par 
l'arc  NjN,,  ce  qui  est  iiuiiossililc,  puisque  cet  arc  est  sans  contact. 

Elude  de  la  courbe  de  conséquence. —  Si  l'on  considère  les  quantités  /„  et  /, 
comme  les  coordonnées  d'un  point,  la  loi  de  conséquence 

'i=  <Pi('o) 
représente  une  courbe.  Cette  courbe  est  comprise  tout  entière  dans  le  carré 

t^—  a.         'i  =  a. 

Premier  cas.  —  A  aucune  valeur  de  t  comprise  entre  a  et  j3  ne  correspond 
de  caractéristique  allant  passer  par  un  col. 

Dans  ce  cas,  la  courbe  de  conséquence  est  continue;  elle  ne  rencontre  qu'en 
un  point  les  parallèles  aux  axes;  en  suivant  la  courbe  dans  un  certain  sens  con- 
venable, on  va  constamment  en  s'éloignant  de  ces  deux  axes. 

C'est  dire  que  si  KLCD  est  le  carré  (/iff-  i  i) 


'o=  ï. 


/,  =  a, 


'«=P,         U  = 


la  courbe  présente  des  formes  telles  que 

AB,     CD,     EF,     GH. 

Elle  représentera  la  forme  CD  quand  les  valeurs  a  et  3  de  t„  correspondront 
à  des  cycles,  pendant  qu'aucune  valeur  de  t„  comprise  entre  a  et  ^  ne  corres- 
pondra à  un  cycle. 


MÉMOIRE    SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  5l 

Deuxième  cas.  —  Supposons  qu'à  certaines  valeurs  de  y,,,  Yoi  •■■  de  f„  com- 
prises entre  a  et  3  correspondent  des  caractéristiques  allant  passer  par  un  col; 

que,  de  plus,  aux  valeurs  y.  et  ^  correspondent  des  cycles;  cju'à  aucune  valeur 
intermédiaire  ne  corresponde  un  cycle  : 

De  tous  les  cols  partent  quatre  hranciies  de  caractéristiques;  certaines  de 
ces  branches  viennent  rencontrer  lare  sans  contact  donné;  d'autres  ne  le  font 
pas. 

Supposons  d'ahord  que  toutes  celles  de  ces  branches  qui  viennent  rencontrer 
l'arc  sans  contact  donné  partent  d'un  seul  et  même  col  : 

1°  Il  est  impossible  cjue  les  quatre  branches  issues  d'un  même  col  aillent 
rencontrer  l'arc  sans  contact.  Soit,  en  effet,  AB  {fig-  12)  l'arc  sans  contact 

Fig.  12. 


/ 

/ 
/     „    M, 

\ 
\ 

B 

\ 
1 
1 
( 
/ 

donné.  Soit  C  le  col  donné;  soient  CM,,,  CM,,  CN„,  CN,  les  quatre  branches 
de  caractéristiques  cjui  partent  de  ce  col,  de  telle  façon  que  M,  CM,,  N,CNj  ne 
forment  pas  de  point  anguleux. 

D"aj)rès  le  théorème  \,  remarque  I,  la  portion  M,, M,  de  l'arc  AB  sous-tend 
la  caractéristique  MuCM,. 

Les  deux  arcs  AM,,,  M|B  sont  donc  d'un  nièine  côté  du  cycle  M„M|CMn; 
appelons  ce  côté  du  cycle  V extérieur  du  cycle.  Les  deux  branches  de 
courbe  CN„,  CN,  sont  l'une  à  l'extérieur,  l'autre  à  l'intérieur  du  cycle 
MqMi  CM„.  Soit  CN,  celle  qui  est  à  l'intérieur:  elle  ne  pourrait  rencontrer 
l'are  AB  qu'entre  M„  et  M,,  et  du  même  côté  que  les  branches  de  courbe  CM„, 
CM(,  de  telle  sorte  que  l'arc  algébricjue  M,  M,  sous-tendrait  l'arc  de  caractéri.'— 
tique  M,  CIN,,  ce  qui  est  impossible  d'après  le  théorème  X. 

Remarque  I.  —  L'hypothèse  que  nous  avons  faite  en  commençant  est  donc 
absurde.  c.  q.  f.  d. 

2"   11  peut  se  faire  que  trois  des  branches  issues  d'un  même  col  aillent  ren- 


5i  MKMOIRE    SIR    LRS    COURBES  •DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFKBKNTIELLË. 

l'oiitrer  l'arc  sans  conlacl.  Dans  ce  cas,  ou  bien  il  y  a  un  point  qui  a  deux 
conséquenls  et  les  points  situés  entre  ces  deux  conséquents  nont  pas  d'anté- 
cédent ;  OH  bien  il  y  a  un  point  qui  a  deux  antécédents,  et  les  points  situés 
entre  ces  deux  antécédents  n'ont  pas  de  conséquent. 

De  telle  façon  que  la  courl)C  de  conséquence  affecte  soit  la  forme  CHFD,  soit 

la  forme  CABD  {fig.  i3). 

Fig.  i:;. 


3"  11  ne  peut  se  faire  que  deux  on  une  seulement  des  branches  issues  d'un 
même  col  aillent  rencontrer  l'arc  sans  contact. 

En  eli'et,  sup|Hisons  liaixiid  (ju'il  y  ait  deux  branches  de  caractéristiques  CM^ 
et  CM|  '([iii  rencontrent  AB,  et  cpie  M|,CM|  {/îg.  i4)  présente  un  point  anjçuleux 

t'ig.  i,'|. 


en  C.  Lu  piiiiil  iiilinimeiit  voisin  de  M„  aura  un  conséquent  s'il  est  à  droite 
de  Mo,  et  n  iii  aura  |ias  s'il  est  à  gauche.  Donc,  d'après  le  corollaire  II  du  théo- 
rème Xlll,  les  points  de  l'arc  MqA  n'auront  donc  pas  de  conséquent.  Ln  point 
infiniment  voisin  de  A  n'aurait  donc  pas  de  conséquent,  ce  qui  est  absurde 
puisque  A  est  son  propie  conséquent.  De  même,  si  l'on  supposait  que  M|CM„ 
ne  présente  pas  de  point  anguleux,  ou  fpic  CM,  ne  rencontre  pas  l'arc  AB,  on 
arriverait  à  ce  résultat  absurde  qu'un  point  infiniment  voisin  de  A  n'a  pas  de 
conséquent.  Les  hypothèses  faites  au  début  sont  donc  également  absurdes. 

c. .  o .  y.  1  ) . 


MKMOIRK   SUR    LKS    COURnES    DEFIMES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  53 

Nous  n'examinerons  pas  en  détail  les  cas  où  les  branches  de  caracLéiisliques 
qui  viennent  rencontrer  l'arc  sans  contact  sont  issues  de  plusieurs  cols  diffé- 
rents. La  discussion  se  ferait  d'après  les  mêmes  principes,  elle  serait  seulement 
plus  lonj;iic.  Cilons  seulement  quelques  exemples  de  combinaisons  possibles  (' )• 

i"   Courbe  CABD  [fig-  i"))-   —  I/arc  sans  contact  est  rencontré  par  deux 


branches  de  caractéristiques  issues  d'un  premier  col  X  et  par  deux  branches  issues 
d'un  second  col  |j..  Ces  deux  systèmes  de  deux  brandies  de  caractéristiques  pré- 
sentent chacun  un  point  anguleux,  l'un  en  ),.  riiulir  en  a. 

Si  Vin\  fail  varier  /„  depuis  a  juMiii'ii  la  videur  qui  ciirrcspond  iiii  poiiil  A  et 
à  la  caraclérislupic  (pii  pa>sc  en  ),,  on  a  un  C()iiséf[uent  ;  cumiiIi'  /„  variant 
dcjHiis  la  valeur  qui  ciirrespond  au  poinl  \  pisqu'à  celle  qui  ciu'i'espdud-  au 
point  B  et  à  la  caractéristique  qui  passe  en  jji.',  on  n'a  plus  de  conséquent;  et  l'on 
en  a  un  de  nouveau  quand  /„  varie  depuis  In  valeur  qui  corres|)ond  à  B  pisqu'à  p. 


CHÂPirRE  VI. 


THÉORIE    DES    CYCLES    LIMITES. 


D'après  ce  que  nous  avons  vu   plus    haut,   les  caractéristiques   peuvent  se 
diviser  en  quatre  catégories  : 

1°  Les  cycles; 


(')  11  ressort  du  lexie  que  l'auteur  avail  en  vue  un  second  exemple,  correspondant  à  la  courbe 
représenlalive  CEFGHIJ.  Dans  ce  cas,  l'arc  sans  contact  est  rencontré  par  trois  branches  de 
c;iractéristiqucs  issues  d'un  premier  c<  il,  et  par  trois  branches  issues  d'yn  second  col.       {  R.  G.) 


Vt  MKMOIHK    Sl'Il    I.KS   courbes    définies    PAU    UNE    ÉOUATION    DIFFÉRENTIELLE. 

■>"  l.('^  .-.puMles  (iiii-  l'on  peut  snivrr  iiidélinimenl  duns  les  deux  .sens  sans 
aboutir  à  un  nœud  ou  sans  tourner  ault)ur  d'un  tojer,  et  sans  revenir  au  point 
de  départ  ; 

3"  Les  caractéristi(piiN  ipir  I  On  |i(nl  snnie  ludflininieiit  dans  un  sens  sans 
reneonlnr  un  nuMul  mi  se  ia|ipi()(lier  d  un  fover,  iiimIs  (pii,  dans  laulro  sens, 
aboutissent  à  un  nœud  ou  se  rapprocliciil  indiilinimenl  d'un  l'o>er; 

4"   Celles  rpii  aboiilissenl  de  pari  cl  d  autre  à  un  nuud  ou  à  un  fover. 


D 


aprc>  les  mêmes  juin 


principes,  les  demi-carcictéiislif/iies  M'  d[\'\!,t'n\  en  (piatie 


i"   Les  eyeles; 

2"  Les  demi-spirales  cpie  l'on  suit  sur  un  arc  infini  sans  arriver  à  un  nœud  ou 
à  un  foyer  et  sans  revenir  au  point  de  départ; 

3"   Les  demi-caraetéristiques  qui  aboutissent  à  un  nu'ud; 
4"  Celles  qui  tournent  indéfiniment  autour  d'un  fojer. 

D'après  le  théorème  1,  les  demi-earaetcristiques  de  la  seconde  caléf;orie  ren- 
rontrent  certains  cycles  algébriques,  et  par  consé(}uent  certains  arcs  algébriques 
sans  contact  en  une  infinité  de  points. 

Soit  AB  un  de  ces  arcs  algébriques  sans  contact. 

Soit  M„  (y/o'.   i(l)ic  poiiii  d'où  est  issue  la  demi-caractéristique  considérée. 


Soit  M|  le  conséquent  de  M„,  et  supposons  que  M(  soit  à  droite  de  M,,. 

.Soient  Al^  le  cf)nséfjiiciit  de  M,,  M,  celui  de  M^,  etc.  ;  M^  sera  à  droite  de  M,, 
Mj  sera  à  droite  de  AL,  etc. 

En  général,  M„+,  sera  à  droite  de  M„,  et  comme,  quelque  grand  que  suit  n, 
M„  est  toujours  sur  l'arc  AB,  M„  tendra  vers  une  limite  (piand  /(  augmentera 
indéfinimcnl.  Soit  II  celle  limite. 


MKMOIRK    SUR    LES    COURBES   DKKINIIÎS    PAR    UNE    KQUATION    DIFFKnENTIKl.I.E.  55 

l.c  consOfiiicnt  de  M„,  (jiinnd  n  ot  inliiiiiiicnl  gr;iii(l,  esl  inlininu^nl  rapprtxlic 
de  M„.  Donc  H  est  son  propre  (;onsé(jiii'iil  ;  donc  la  caraclcristiquc  qui  jjasse 
par  H  est  nn  cycle;  nous  l'appellerons  cycle  limile  de  la  demi-caraclérislique 
donnée.  (  )n  peul  suivre  sur  la  cararlérislupic  (pu  passe  par  M,,  un  arc  assez 
i;iauil  |i(iui'se  lapproclier  aulanl  que  I  on  ncuI  du  point  II. 

S(Ml  IIK  un  arc  de  la  caraetérisli(pic  cpii  pas>e  par  le  pdiul  II.  Soil  CD  un 
are  ali;él)rique  passant  par  K. 

On  jiourra  prendre  n  assez  grand  pour  (jue  l'arc  de  caractéristique  issu  de  M„ 
aille  l'ciiconl  iei-  CD. 

Sup|iii>(ins,  par  exemple,  (pie  Tare  is.su  de  AL  aille  rencontrer  CD  en  N2. 
L'arc  issu  de  M:i  ira  rencontrer  CD  en  Nj,  ...  l'arc  issu  de  M„,  en  un  |)olnl  N„. 

N3  sera  à  droite  de  \  ,   ...,  N„^,   sera  à  droite  de  N„.  De  sorte  que  la  demi- 
caractéristique  donnée  rencontrera  CD  en  une  infinité  de  points  No,  N3,  ...,  N„, 
et  que  Nb  tendra  vers  K  quand  n  augmentera  indéfiniment. 
En  résume,  toute  demi-caractéristique  de  la  seconde  catégorie  a  un  cycle  limite. 

Tout  arc  algébrique,  si  petit  (pi'il  soil,  (pii  coupe  ce  cycle,  coupe  la  demi- 
caractéristique  en  une  infinité  de  points. 

On  peut  trouver  un  point  de  la  demi-caractéristitpie  qui  soit  aussi  ia])|)roelié 
fpi'nn  vomira  d'un  pouil  quelconque  de  son  cycle  limite. 

.Soil  AU  {/ig-   17)  un   arc  algébrique  sans  contact.    Sujiposons   <pi"à   aucun 

Fig     17. 


point  M  silué  cuire  V  et  H  ne  iiiires|i(iii(le  une  caiaet(''iis|  upic  .illaul  passer  jiar 
un  col;  qu'au  point  M„  correspomle  un  c^cle  limite,  cl  (pi'à  aucun  |)oinl  M  dif- 
férent de  M,|  silué  entre  A  el  B  ne  corresponde  un  cycle  limite.  Toute  caracté- 
ristique qui  rencontre  AB  aura  pour  cycle  limile  le  cvcle  qui  passe  par  M„. 

Si  l'on  con.sidère  un  cycle  limite  C  (  //;,'.  1  .S  )  <|ui  ne  passe  pas  par  un  col  et 
qui  passe  [lar  un  ])iiii\t  M„,  on  pourra  ni(!ner  par  M„  un  arc  algébrique  AB 
assez  petit  pour  qu'il  soit  sans  contact;  pour  qu'entre  A  et  M,,  ou  entre  M„  et  B 
il  n'y  ait  aucun  point  auquel  corresponde  une  caractéristique  passant  par  un  col 
n  cycle  limite.  Toutes  les  caractéristiques  qui  rencontrent  AB  ont  alors  C 


ou  II 


56  MKMOIRK    SUR    I.KS   COI'IIUKS    IIKTINIKS    PAR    UNK    KQI'ATION    DIFFRRKNTIKI.I.H. 

pour  cyclo  limite,  de  sorte  ([ne  C  osl  le  ejcle  liniile  de  deux  séries  tie  caracté- 
ristiques situées  l'une  à  linlérieur  tlu  cycle,  l'aiilic  à  l'cxlérieur. 
\  oyons  ce  qui  se  passe  quand  C  va  passer  par  un  col. 

Fig.  i8. 


Soient  II  le  col,  HA,  HB,  HC,  HD  les  quatre  branches  de  caractéristiques 
issues  de  ce  col.  Su|)posons  que  deux  de  ces  branches,  HA  et  HB  par  exemple, 
aillent  aboutir  à  un  même  point  M,  de  façon  à  former  un  cycle  HAMBH;  ce 
cycle  sera  toujours  cycle  limite  de  courbes  telles  que  aa;  l'inspection  de  la 
figure  le  démontre  (Jig-   19  )• 


F'g-  '9- 


N  I 


Considérons,  au  conlraire,  la  courbe  |î^i;  il  est  aisé  de  voir  que,  si  les  branches 
de  courbe  HC,  HD  ne  vont  pas  aijoulir  en  un  même  point  l\,  le  cycle  IIAMBH 
n'est  pas  cycle  limite  de  [i'fi. 

Si,  au  contraire,  HC  et  HD  vont  se  réunir  en  N,   [ifi  a  pour  cycle  limite  le 

polyr'vcle 

IIAMBHDMCH. 


MÉMOIHE    SUR    LES   COURBES    UÉFIMES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  67 

Théorème  XV.  —  .  /  l' intérieur  et  ù  l'extérieur  dhiii  cycle  limite  quel- 
conque^ il  y  a  toujours  au  moins  un  foyer  ou  un  nœud. 

Pour  démontrer  ce  théorème  nous  allons  appeler  langences  d'un  cycle  les 
points  où  il  touclie  un  des  grands  cercles  x  =  const. 

Les  tangences  seront  directes  si,  dans  le  voisinage  du  point  de  contact,  le 
grand  cercle  tangent  reste  à  l'extérieur  du  cycle.  Elles  seront  inverses  dans  le 
cas  contraire. 

Nous  démontrerons  ensuite  les  deux  lemmes  suivants  : 

Lemme  1.  —  Si  les  jioinls  d' intersection  de  Véijuateur  avec  le  grand 
cercle  x=^o,  points  que  nous  (ijipellerons  m,  m',  sont  tous  deux  à  Vexlé- 
rieur  d^un  cycle,  l'excès  du  nombre  des  tnngen.ces  directes  de  ce  cycle  sur 
le  nombre  de  ses  langences  inverses  est  de  i. 

Si  les  points  w?,  m'  son!  tous  deux  à  lintéiieur  du  cycle,  cet  excès  est 
de  —  2. 

Si  les  points  /»,  //;'  sont  liin  à  l'extéricLir,  l'autre  ù  l'intérieur,  cet  excès  est 
de  o. 

En  efiet,  on  peut  iiasstrd'un  evcle  cpu'lciin([ue  A  à  un  autre  e>ele  également 
(pieleonque  B  par  voie  de  ilélorination  conlinue,  e  est-à-dire  en  passant  du 
cycle  A  à  un  cycle  qui  en  tlillére  infiniment  peu.  A',  et  ensuite  par  une  série  de 
cycles  C  infiniment  peu  difl'érents  les  uns  des  autres,  on  arrivera  à  un  cycle  B', 
infiniment  peu  dillerent  de  B. 

Dans  ces  déformations  successives,  une  langence  directe  ne  se  transformera 
jamais  en  une  tangence  inverse,  ni  une  langenee  inverse  en  une  tangenee  direele, 
car  cela  ne  jiourrait  avoir  lieu  que  si  l'un  des  grands  cercles  x  =  const.  devenait 
oscillateur  à  l'un  des  cycles;  dans  ce  cas,  ce  serait  que  deux  tangences,  l'une 
directe  et  l'autre  inverse,  seraient  venues  à  se  confondre,  et,  dans  ce  cas,  elles 
disparaîtraient  en  général  pour  un  des  cycles  infiniment  voisins  de  C. 

L'excès  qu'il  s'agit  d'évaluer  dans  ce  lemme  ne  peut  se  modifier  dans  ces 
déformations  continues  du  cycle  que  si  deux  des  langences  viennent  à  se  con- 
fondre, puis  à  disparaître.  Or  cela  jieut  arriver  dans  deux  cas  : 

1"  Quand   liin  des  cycles  C  \ientà  passer  par  liin  des   |)oinls   /«,  /)?';  mais 
nous  sujqioserons  :   i"  que  les  points  /;/,  m'  sont  tous  deux  à  l'intérieur  de  A  et 
tous  deux  à  l'extérieur  de  B;  2"  ou  cpie  les  points  »/,  m'  sont  tous  deux  à  l'ex  teneur 
H.  P.  —  I.  8 


5S  MKMOIUK    Sl'R    LKS   COl'nlUÎS    I)K1-|MES    PAU    HNK    KOUATION    DIFFÉRENTIELLE. 

de  A  et  à  I  oxIiTU'iii-  (l(^  B  ;  S"  on  ([uc  /»  xili  ù  rrxlriii'ur-  ilc  \  cl  dr  B  prnilnnl 
que  m'  r>l  à  I  mliTicui-  de  ces  dciiv  cncIo;  et.  pai'  cim'-ccjueiil ,  un  aura  pu 
toujours  clioiMr  la  série  des  eveles  (".  (|ui  periiiel  leiU  de  jKisser  du  cvclc  A  au 
«■yelc  B,  de  telle  .sorle  i|u  aucun  des  e\cles  C  ne  passe  m  pai'  /ii .   m  par  ///. 

2"  Cela  peni  aii[\er  eneiii'e  si  !  un  des  eyeles  G  de\  leul  oseujaleui'  à  lun  des 
cercles  .J' :r^  eonsl.  Mais,  dans  ce  cas,  e'esl  une  lanj;eiiee  ilireele  el  une  tanf^enec 
in\crse  (pii  se  e(Uir(indenl  el  disparaissenl.  L'e\c<''s  à  (Aaluer  n'est  diMie  pas 
niodilié. 

Donc  cet  excès  l'sl  le  niènie  pour  A  e|   pour  B. 

Mais  su|)piis()ns  (pw  A  soit  un  cycle  convexe  quelconque,  el  B  le  cycle 
donné. 

L'excès  eu  (pieslion  sera  de  '.  pouf  A  si  m  et  ///'  scmt  à  l'extérieur  de  A;  il 
sera  de  —  ■>.  s'ils  soni  Imis  deux  à  I  iiilèrieur,  el  o  s'ils  sont  1  y\n  à  1  iiilérieur  el 
1  autre  à  rextérleiir. 

I,  excès  en  (piesiiou  si'ia  donc,  pour  B,  de  2,  de  —  2  el  de  o  dans  les  inèines 
conditions. 

Le  leninie  esl  donc  deinontri-. 

Lemme  il  —  Si  l'on  parcourt  un  cycle  de  manière  à  a\'oir  toujours 
rintrrirur  à  sa  gauche  et  que  l'on  observe  les  variations  du  coeJ/i<ient 
angulaire  -j-i  on  obsencra  qu  a  chaque  tangence  directe,  H-  sautera  de 
+  00  à  —  00  si  l'on  esl  dans  le  premier  hémisphère,  cl  de  —  ce  à  +  00  si 
l'on  esl  dans  le  second  hèmisplière,  et  que  c'est  le  contraire  pour  les  tan- 
gences  imcrses. 

Dénionstralion  du  ikéorènie.  —  Suj>posons  d'abord  que  le  (  \(lc  linule  con- 
sidéré soil  tel  que  les  deux  points  ni  el  m'  soient  d'un  inènie  eùlé  de  ce  cycle, 
côlé  que  nous  appellerons  V e.rtérieur  du  cycle. 

Soienl  ; 

V    le  noinlue  des  iiieuds  el  des  lo\ers  eonlenus  à  I  intérieur  du  cvele; 

v'  le  noinlire  des  nuiids  ei  des  Iomts  silués  à  l'exlèrieur  du  cvele; 

■'  el  "''  le  noiiilire  des  cols  situés  à  l'iiiléneur  et  à  I  exléneiir  de  ce   c\ele. 


On  i 


a 


I>i  cycle   loupe    I  ('•qiiateiir  l'ii   iiii  cerlain  noiiiKic;   de    point»,  de   telle    façon 


MÉMOIRK    SUR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  69 

(ju'oii  |)eul  11-  piirliii;»'!'  en  un  ccriaiii  noniLrc  de  cvclcs  scconclairos  situés  les 
uns  tout  entiers  dans  le  premier  liéniisplière,  les  autres  loiil  entiers  dans  le 
second  hémisphère,  et  formés  à  l'aide  d'ares  du  cycle  primitif  et  d'arcs  de 
l'équateur. 

Sup])osons,  pourfixerles  idées,  quele  cycle  donné  soit  le  cycle  ALDKCGBHA, 
(pii  coupe  l'équateur  aux   points  A,  B,  C,  D  {/ig-  20  ).   I.c  cycle  se  déconq)Ose 

Pis,.    30. 


en  trois  cycles  secondaires  : 

AEBHA,  CFDKC,  CGBEALDFC. 

Ôi',  d'njircs  le  théorème  I  \  ,  on  a 

—  (v  —  -;)  =  iiid.  AKBHA  -h  incl.  CFDKC  +  ind.  CGBEALDFC. 

Soient,   mainteiiaiil,   a,  7.',  a",  a"  le   nomhre   des   tani;cnces   directes  des  arcs 
AHB,  CRD,  CGB,  Al.i);  fi,  [i',  p\  8'"  le  nond.rc  de  leurs  lanj;encc>  Inyerses; 

soient  A  et  ),'  le  noinluc  de  lois  cpie  :rr  sautc>  de  — x    à  +  x    ijuaiul  on  paicourL 

les  arcs  AEB  et  CFD  ;  ^  ci   'x'  le  nond)r(^  de  fois  que  v-  saule  de  -\-  ce   à  —  oc 

quand   on  parcourt  les  arcs  Al^B  et  CFD;   on  a,  en  yerlu  du  lemme  II  et  en 
remarquant  que  tout  le  loni;  du  cycle  d(Uiné  on  a 

a^K  _  Y 

■1  ind.  AEBHA  =  —  a  +  X—  |ji-Hp, 
3  iiiH.  CFDKC  =-  7.'+  l'^  ■j.'+  r. 


d'oii 


2  ind.  CGBEAL  =—  3c"—  a'"-^  ,3"-^  '-,■"—  X  -  }>'+  ji  -^  (x  . 
—  (av  —  2-')  =  S  -•-  ^'-+-  p"-^  S'" —  oc  —  a'  —  a" —  a'", 


fici  MKMOIIIK    SIR    LES   COUHBKS    DKl'lNIES    PAR    UNE    ÉOI'ATION    Diri'rilENTIRI.I.r:. 

OU,  cra|>r('>  le  Irmnic  I, 

—  (  2  V  —  2  Y  )  =  ~  '-I  ^  —  T  =  '  • 

On  a  donc  aussi 

v'-y'=i, 

d'où 

V  >  o,         ■/  >  o.  c.  0-  f-  !>■ 

Dans  les  cas  où  les  points  »),  w'  sont  de  part  et  fraiitic  ilii  cycle,  la  difficullé 
est  facile  à  tourner.  En  ellet,  on  trouvera  loujoiirs  sur  la  sphère  deux  points 
diamétralement  opposés  qui  soient  d'im  mi-me  côié  du  cycle,  et  il  suKira  d'un 
clianf;enicul  de  \arialiles  |)()iir  rctiindxr  sui'  le  cas  précédent. 

SI  l'on  ne  liiiine  pas  sui'  la  splièrc  deux  points  diamélralemenl  opposés  qui 
soii'ul  d'un  même  côte  du  cycle,  c'est  (pie  les  points  du  cycle  sont  deux  à  deux 
diamétralement  opposés,  c'est-à-dire  (juc  le  cycle  est  syméiritpie  à  lui-même 
par  ra|)port  an  centre  delà  sphère,  et  alors  le  théorème  est  évitlent  parlui-mème. 

Théoukmk  W  I.  —  Un  cycle  nlgébric/ue  ijui  passe  jkii-  Ions  les  nœuds  el 
prir  Ions  les  foyers  rencontre  tons  les  cycles  limites. 

En  ellel,  soit  un  cvelc  limite  (-  (pieleonipie  ;  il  ((inlient  ceilains  nceuds  el 
certains  foyers  à  son  inlérieur,   eiTlains  no'iuis  et  certains   foyers  à  l'exléiieur. 

Il  V  a  donc  des  points  du  cycle  alj;él)riipie  donné  (pu  soni  à  ICxtérieur  de  C, 
et  d'aulrcs  qui  sont  à  l'inlérieur,  c'esl-à-dire  (pie  le  cycle  algébrique  donné 
rencontre  C.  c.  q.  f.  d. 

Corollaire.  —  Tout  cycle  ali;él)ii(pie  (pii  passe  par  I(mis  les  no'uds  cl  [tar 
tous  les  loyers  rencontre  toutes  les  caractérislKpu's. 

Tiii';ouh:ME  X\  il.  —  Les  cycles  limites  sont  en  jtontbre  fini,  jtonr^n 
qiûauciin  d'cnx  ne  passe  par  un  col. 

V.n  cM'et,  faisons  passer  un  c\f]r.  ali;éhrique  (]  par  Ions  les  nœuds  el  par  tous 
les  l'oM  Ts.  Soient 

les  équations  de  ce  c\(le  C 

Ce  cycle  C,  rencontrant  tous  les  cycles  limites,  aurait  une  mlinilé  de  points 
d'intersection  avec  ces  cycles  limites,  si  ceux-ci  étaient  en  noiiduc  inliin.  1! 
y  aurait  doui    un   point   de  ce  cycle  C  autour  diKjiiel  ces  points  d  intersection 


MÉMOrnE    SUR    I,F,S   COURBES    DKFINIKS    PAR    U.VK    KQUATION    DIFFlilIKM  lEI.I.IÎ.  <il 

seraient  infiniment  rapprochés,  c'esl-à-dire  que  si 

est  la  loi  de  conséquence  d'un  certain  arc  sans  contact  du  cycle  C,  il  y  aura 
une  certaine  valeur  -  de  t„,  lell(^  que,  /„  variant  de  t  —  s  à  t  +  e,  /,  devienne 
un  nombre  infini  de  fois  égal  à  /„. 

Mais,  si  T  ne  correspond  pas  à  une  caractéristique  passant  par  un  col,  es  (<„) 
est  holomorphe  pour  tg=^-^  et  l'on  ne  peut  donc  avoir  une  infinité  de  fois 
(/„  variant  de-ï —  eàT  +  s) 

Cela  ne  peut  ai'river  non  plus  si  t  ne  corropond  |)as  à  un  cycle  limite. 
Donc  on  ne  peut  avoir  une  infinité  de  cycles  limites  qu<!  si   Fun  d'eux  va 
passer  par  un  col. 

Théorie  des  anneaii.r  limites.  —  .Soit  encore  un  cycle  algébrique  C  passant 
par  liMis  les  nœuds  et  par  Icni'.  1rs  fojers.  On  peut  v  découper  un  certain 
nombre  d'arcs  sans  contact  contenant  tous  les  points  qui  correspondent  à  des 
cycles  limites  et  ne  contenant  aucun  des  points  qui  correspondent  à  des  caracté- 
ristiques passant  par  des  cols. 

Soit  /,  =-j(/(|)  la  loi  de  conséquence  de  l'un  de  ces  arcs,  et  supposons  que 
l'on  fasse  varier  /„  di-piiis  a  jusqu'à  fj  ;  que  les  points  t„^y.,  <„  ^  p  aient  deux 


l''ii;.    2  1  . 


C    ?' 


A     B 


conséquents  /,  =  a',  /,  =  [3'.  Soit  A,  le  point  de  l'arc  sans  contact  qui  corres- 
pond à  ^||=^T.  Supposons  que  l'on  considère  le  point  de  la  sphère  qui  se  trouve 
sur  la  caractéristique  qui  passe  par  A,,  et  qui  est  séparé  de  A,  par  un  arc  s  de 
caractéristique,  et  qu'on  fasse  correspondre  à  ce  point  un  point  du  plan  qui  ait 
pour  coordonnées  5  et  t  {/iff.  21). 


CfX  MÉMOIRE   SUR    LES   COIRIIKS    DKinNIES    PAU    UNE    ÉQIATION   DIFFÉRENTIELLE 

A  lare  .■■ans  cimlacl  curroiioiiilioiil  : 

I  "    Le  M'i;nu'nl  de  la  tirciili'  s  =r  o  i'om|jris  ciiUf  lo  |i(iliil> 
-.  =  01,         -  =  p,         soil  AB   {fiff    21); 

2"    l  11  (  iilain  arc  ilc  i-ourbe  CD,  dédni  nar  IV'iiiialKiii 

).  (t")  étant  la  lon|;ii<Mir  de  la   caractérislitiuc  passant  par  A,  rpril  l'aiil  |)arroiirir 
avani  de  rcnconlier  de  uuiivcaii  l'arc  sans  contact. 

Un  point  quelconque  de  l'arc  sans  contact  sera  représenté  par  un  point  B,du 
segmoiil  AB  et  par  un  poiul  D,-  de  l'arc  (^D.  Tout  arc  de  courbe  allant  de  D,  à 
B,-  représente  un  cNelc;  ce  cycle  sera  sans  contact  si  l'arc  de  courbe  D,- B/  n'est 
tangent  à  aucune  des  di't)iies  t  =^  eonst. 

Oi'  il  est  clair  (pi  ou  peut  joiii<l  re  |)ar  des  droites  A  et  C,  E  et  1),  |)uis  sillunner 
le  quaili'ilatère  niixtilij^ne  ABCI)  |)ar  des  arcs  de  courbe  qui  ne  soûl  taiij^ents 
à  aucune  lies  droites  T  =  eonst.  <■!  ipii  ne  se  coupeni  eu  aucun  |Miinl. 

Conséquence.  —  Aiiloiir  d'un  cycle  liinile  qiielcoii(|ue  se  trouve  une  région 
annulaire  (jui  est  limitée  par  deux  cycles  sans  conlact  que  nous  ap[iellciiuis 
cycles  frontières,  et  ipii  es!  sillonnée  tie  cycles  sans  contact  cpil  ne  se  coupent 
en  aucun  point. 

Ces  régions  annulaires  s'a|)pellei'ont  anneaux  /imites  et  seront  en  nombre 
Uni. 

Autf)ur  fies  nieuds  et  des  fo\ers,  on  peul  également  tracer  une  série  de  cycles 
sans  contact  s'enveicqipanl  miiliiellemeul,  de  sorte  que  les  na'uds  et  les  loyers 
ont  aussi  leurs  anneaux  limites. 

Nous  avons  implif-ilemenl  su[iposé  qu'aucun  cjcle  limite  ne  passait  ])ar  un 
col,  car  nous  avons  envisagé  sur  le  cycle  algébrique  C  des  arcs  sur  lesquels  se 
trouvaient  tou>  les  |)oints  aiix(jucls  correspondent  des  cycles  limites,  et  ne  se 
troiivail  aiicnii  des  points  aux(piels  corrcspondenl  des  caiaclérisli(|ues  passant 
par  des  cols. 

Supposons  maintenant  qu'un  cycle  limite  aille  jiasser  |)ar  un  col;  nous  savons 
que  deux  ca'-  peii\enl   "•>•  piésetiler  ; 

1'  Lne  pareille  (  uiui  terislique  n'e=t  cycle  limite  que  des  caracténstique»  qui 
lui  sont  suffisamment  voisines  et  qui  sont  situées  à  l'intérieur  du  cycle  (voir 
/ig.  19;.  Dans  ce  cas,  on  découpera  sur  le  cycle  C  un  arc  sans  contact,  limité 


MÉMOIRE    SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    l'NE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  63 

;ni  point  qui  correspond  au  cycle  limite  qui  passe  par  nn  col,  et  ne  contenant 
aucun  autre  point  correspondant  à  une  caractéristique  passant  par  un  col  et, 
raisfuinant  comme  dans  le  cas  général,  on  fera  voir  que  le  cycle  qui  passe  par 
un  col  a  également  un  anneau  limite,  mais  dont  il  est  lui-même  le  cycle  fron- 
tière. 

2"  Les  cycles  HAMBH,  HCNDH  {fi g.  19)  sont  cycles  limites  des  caractéris- 
tiques situées  à  l'intérieur  de  ces  cycles  pendant  que  le  polycycle  HAMBHDNCH 
est  cycle  limite  des  caractéristiques  extérieures. 

Raisonnant  comme  dans  le  picmier  cas  |)articulicr,  ou  verrait  que  cliacun  de 
ces  trois  cycles  a  un  anniau  limile,  dont  il  est  lui-même  le  cycle  frontière;  de 
sorte  que  ces  trois  anneaux  liniiles  forment  par  leur  juxtaposition  une  seule 
région  annulaire. 

Régions  inlcrannulaiics.  —  l>es  03  des  Ironliéro  divisent  la  spliére  en  deux 
catégories  de  régions  :  1°  les  anneaux  limites  que  nous  venons  d'étudier;  2"  les 
régi(ui>  intciannuiaires. 

Ln  iiioliile   |iai  courant  une  ('aiactéri^ti(| l'imc  vitesse  uniforme  et  ])artant 

d'un  point  situé  dans  une  région  inlerannulaire  ira,  après  un  temps  fini,  tra- 
verser un  cycle  frontière  pour  passer  dans  un  anneau  limite. 


Caries  régions  intciannuiaires  ne  contiennent  ni  nœud,  ni  fover,  ni  aucun 
[loinl  des  cvcles  limites. 

Je  dis  que  les  régions  interannulaircs  sont,  comme  les  anneaux  llmlles, 
sillonnées  |)ar  des  cycles  sans  contact.  En  effet,  supposou>,  pour  fixer  les  idées, 


b.\  MÉMOIRK    SUR    LES    COURBKS    DÉFINIES    l'AR    UNE    ÉQUATION    DIPKÉliENTIIÎLLE. 

qu'une  région  inlerannulaire  soil  liniilée  par  Irols  cvcli's  (Voiilirrcs  A,  B,  C 
el  divisée  en  deux  parties,  sillonnées,  la  preinièie  par  dos  caractérisliques 
allant  de  A  en  B,  la  seeonde  par  des  caractéristiques  allant  de  A  en  C.  Les  deux 
parties  de  la  région  devront  être  séparées  par  une  caractéristique  allant  passer 
par  un  col  D  (,//:,'.  '22).  Soient  aD,  a'D,  [jD,  [i' D  les  cpiaire  hranclies  de  carac- 
téristiques issues  de  D. 

Soit  T  un  paramètre  quelcontjue  définissant  un  point  A,  du  cvcle  A.  Soient 
(-r,  )•)  un  point  d'une  caractéristique  issue  de  X|,  et  .v  l'arc  de  caractéristique 
qui  sépare  [JCiJ')  de  X,-  Représentons  le  point  de  la  sphère  {j-,}')  par  le  point 
du  plan  dont  les  coordonnées  sont  5  et  t.  La  droite  A|C|B|  (i=o)  (/'^'.  23") 


E^ 

6 

D3 

£3 

S 

D,' 

Ç 

P 

-V 

a. 

~~-  —  ^. 

A, 


E, 


Bi 


représentera  le  cycle  A;  A,  et  B,  représciUeronl  le  point  a;  C,  représentera  le 
pointa';  les  arcs  EjE,,,  E^  I".,  npiésenleront  respectivement  les  cycles  B  etC; 
D,,Do,D;,  représenteront  le  point  D;  E-,  el  E3  représenteront  3;  Eo  et  E, 
représenteront  p'.  D'ailleurs,  on  aura 


Le 


E4D:,=  IÎ3Di,        E2U,=  liiI)j, 
^0,  où  l'on  a 

A,a<A,D3,  PC,<D,C,, 

eC,  >  D|Ci, 


A,D,=  l5,Do. 


Aia  =  B,Y, 

^D,   =0  n,. 


ÇC,  >  IJ,C„        OD,     =  Ç  D,, 

représenli  Ml  des  c\cli-s.  cl  ces  cycles  seroiil  mois  (nnliid  m  les  arcs  a[jy,  os,  Çh 
n'ont  pas  de  tangente  paialliii'  à  l'axr  dis  s.  Or  il  est  clair-  (prou  peut 
sillonner    le    poljgoni'    iiiixliligne    AiB,  l],  l'^jlV|lv,     d'arcs    satislaisaut   à    celle 


MÉHOlnE    SLR    LES    COl'BBES    DÉFINIES    PAR    LNE    ÉQLATION    DIFFÉRENTIKLLE.  65 

condilion.  Donc  on  peut  sillonner  la  région  Jntcrannulaire  de  cycles  sans  con- 
tacl,  ce  qui  j3ermet  d'énoncer  le  tliéorème  suivant  : 

Théorème  XVIII.  — ■  Il  existe  toujours  un  système  toiiographique  formé 
de  cycles  sans  contact^  de  polycycles  sans  contact  et  de  cycles  limites.  Ce 
système  lo/jographicjue  sillonne  toute  la  surface  de  la  sphère.  Les  fonds  et 
les  sommets  sont  les  nœuds  et  les  foyers  de  l'équation  donnée.  Les  cols  sont 
les  cols  de  ^équation  donnée. 

La  connaissance  de  ce  système  topographique  permet  de  discuter  coni|)lè- 
lement  les  formes  allectécs  par  les  courbes  que  délinit  l'équation  dlllérentielle 
donnée.  On  le  comprendra  inicux,  d'ailleurs,  par  les  exemples  qui  vont  suivre. 


CHAPITRE  VII. 

EXEMPLES    DE    DISCUSSIONS    COMPLÈTES. 


Prc  niicr  exemple.  —  Soit  {fig.  24)  récpialion 

dy  de 

xy  —  \  ~   \  —  x'-'—y'- 

On  peut  remarquer  d'abord  que  les  courbes  X  ^  o,  V  =  o,  (jiii  sont  l'une 
a;j- =  I ,  l'autre  a;--|-)'^=i,  ne  se  coupent  en  aucun  point,  ni  en  dehors  de 
l'équatcur,  ni  sur  l'équateur. 

Si,  de  plus,  X;>  et  Y^  sont  les  termes  du  second  degré  de  X  et  de  V,  on  a 

X2  =  — (r«-i-.)-2),  Y,  =  xjK, 

a- Vj  —  _)/ X,  =  ^y  (  2  j:2  _H  _^2  j. 

L'expression  x\i — J'Xa  ne  s'annule  que  pour  )•  =  o. 

Donc  l'équation  ne  présente  aucun  point  singulier  en  dehors  de  l'équateur,  et 
sur  l'équateur  même  elle  en  a  deux  qui  sont  à  l'intersection  de  l'équateur  avec 
le  grand  cercle  j' =  o,  et  qui  sont  évidemment  des  meuds. 

L'équateur,   [)assant  par  tous  les  points  singuliers,  rencontre  tous  les  cycles 

limites;  mais,  comme  c'est  une  caractéristique  et  qu'elle  ne  passe  par  aucun 

col,  elle  ne  peut  rencontrer  aucune  autre  caractéristique  en  aucun  autre  point 

qu'aux  (h'Mx  nuuds  N  et  JN';  elle  ne  rencontre  flonc  aucun  cycle  limite  :  donc 

H.  P.  -I.  9 


6G  MÉMOIRE    SIR    I.ES   COIÎRBES    DKKINIES    PAR    INE    KODATION    DIFFÉRENTIELLE. 

il  n'y  a  pas  tlo  c\Ac  liinito;  donc  toutes  les  caraclérisliques  partent  de  N  pour 
aller  aboutir  en  W. 

La  figure  ■>.\  rejtré.M'ulc  la  |iri)'|t'(lion  stéréogrnpliiquc  du  premier  liénu>pli(''re. 


NBN'B  (>>t  ré(iunteur;  NN'  sont  les  nœuds;  NAN',  N A'N'  sont  des  earaeléris- 
tiques. 

Deuxième  exemple.  —  Soil  (Jig-  2.))  l'équation 

dy       _  dx 

ixy — 5        x- -r- y^ — i 

lei  encore  les  courbes  X  =  o,  \  =  o  ne  se  coupent,  pas,   mais  l'expression 
x\ n  —  y'^-2  se  réduit  à 

de  sorte  (pi'elle  s'annule  pour 

j/ =  o,        y  =  ix,        y  —  — 2,r. 
C  est  dire  : 

I"  Qu'en  dehors  de  l'équateur  il  n'y  a  pas  de  point  singulier; 
2°  Que  sur  l'équateur  il  y  a  six  points  singuliers,  dont  quatre  n(puds  et  deux 
cols. 


En  posant 


r  / 

a"  =  -  '  r  =  :  ' 


MKMOIRE   SUR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  67 

l'équalion  devienl 


clz 


,11 


-(— I  — r-+;-)       ^(4  — /- )  —  i*(  5  — ?) 

Faisons  successivement   <=:o,  <  =  2,  <  =  — 2;   le   cocfiicienl  de   ;  dans  le 
dénominateur  de  dz  sera  ton  jours  négatif. 


Considérons  la  dillércntielle  du  dénominateur  dei^/Ziinr  rapport  à  (\  elle  sera 

Négative  pour  /  =  —  2, 
Positive    pour  /  =  o, 
Néijalive  pour  t  =  •>.. 

Donc  les  points  ;  ;=  o,  <  =  dz  2  sont  des  nœuds;  le  point  3  ^  /  =  o  est  un 
col. 

La  figure  représente  encore  la  projection  stéréographique  du  premier  hémi- 
sphère :  A  et  B  sont  les  deux  cols;  C,  D,  E,  F,  les  quatre  nœuds. 

Le  système  topograjjhique  des  cycles  sans  contact  a  pour  fonds  et  pour 
sommets  C,  D,  E,  F;  pour  cols  A  et  B. 

Considérons  maintenant  le  grand  cercle 


En  aucun  point  de  ce  grand  cercle  qui  se  projette  en  GH  on  n"a 
ni  par  conséquent  dx  =  o.  C'est  donc  un  cycle  sans  contact.  Donc,  si  C  est  un 


68  MÉMoins  scn  les  courbks  dkfinies  par  ine  kohation  différentielle. 

loiiil  du  ^\  sli'iiu'  l()|>(ij;iM|ilii(|ni'  îles  ex  ries  .Sl^n^  coiihicl ,  I',  csl  i-t;:ilciiH'iil  un  (oud 
[U'iuLiut  tjuc  I)  cl   1'   seuil  lies  sduiiucl.'-. 

Les  liiines  tracées  en  Irail^  pleins  sur  Im  ligure  re])résenlenl  mIois  le  système 
lopograpliiiiup  des  cycles  sans  ((inlael.  Dailleurs,  on  ferait  ^()lr,  comme  dans  le 
premier  exemple,  qu'il  n'y  a  ])as  de  cycle  limite. 

Les  caractéristicpies  issues  de  C  iront  donc  aboutir  soit  en  F,  soil  en  D,  et  la 
région  occupée  par  les  caractéristiques  allant  de  C  en  F  sera  séparée  de  celle 
qui  est  occii])ée  par  les  caractéristiques  allant  de  C  en  D,  par  une  caractéris- 
ti<|ue  allant  de  C  en  A. 

11  y  a  donc  une  caractéristique  allant  de  C  en  A,  s'il  y  en  a  allant  de  C  en  D. 
Dans  ce  cas,  il  y  en  a  également  une  allant  de  D  en  B. 

Nous  nous  trouvons  donc  en  présence  de  deux  liypotliéses  : 


Première  liypolliése.    Deuxième  hypothèse. 


Une  infinité  de  caractéristiques  allant. 


Une  caracléristicjue  allanl.... 


(le  G  en  F 
(le  C  en  D 
<le  \i  en  D 

de  C  en  A 
lie  D  en  M 


de  G  en  F 
de  E  en  F 
de  K  en  D 

de  i;  en  A 
lie  F  en   B 


Pour  dérider  entre  ces  deux  hypothèses,  remarquons  que  l'arc  de  grand 
cercle  y  =  o,  qui  va  de  A  en  B,  est  un  arc  sans  contact.  La  caractéristique 
issue  du  point  A  ne  peut  donc  le  couper.  Elle  est  donc  tout  entière  dans  l'un 
des  deux  quarts  de  sphère  AOBCGF,  AOBDHE. 

Dans  le  voisinage  du  point  A,  l'équation  différentielle  s'écrit 


=  —  4  ï  -+-  5  ;'  —  5  /  ;2  +  0  /3  4-  o, , 


»,  représentant  une  série  commençant  par  les  termes  du  quatrième  degré  en  ; 

et  en  /;  d'où  nous  tirons  (  '  ) 

5 


/  = 


z'O 


fj  étant  uiu'  funeliun  iKiloiiioriilie  en  z. 


(')  Il  y  a  ici  une  erreur  de  calcul,   le  développement  de   t  esl  de  la  fcirme   t  =  -z'-hz^h;  en 

conséquence,  c'est  la   deuxième  hypothèse  qu'il  faut  adopter.   Le  lecteur  rectifiera  aisément  la 
figure  si  conformément  à  cette  hypothèse.  (R.  G  ) 


MBiMOIBE    SUR    LES    COURBES    ni:FINIES    PAR    UNE    liQlATJON    DIFFÉRENTIELLE.  i'n^ 

Donc,  dans  \f  vdiMnage  du  [loint  A,  la  caracléri^llqup  qui  |)a-i.se  par  ce  point, 
passe  par  des  points  correspondant  à  /  <;o,  c'est-à-dire  que  la  caractéristique 
est  dans  le  quart  de  sphère  AFGCBO.  Elle  est  donc  tout  entière  dans  ce  quart 
de  sphère;  elle  ne  peut  donc  aboutir  au  nœud  E;  elle  aboutit  donc  au  nœud  C. 
C'est  la  première  hypothèse  qui  doit  être  adojitée,  et  les  caractéristiques  pré- 
sentent les  formes  représentées  en  trait  plein  sur  la  figure  25. 

Troisième  exemple.  —  Soit  (fi g-  2(i)  l'équation 

d.T  ilr 


x(a-^  -h  j''^  —  i)  -  y{x--hy^  +  1  )       y(x'--hy'^ —  i)  -i-  .v (.v'^  ->- y^  -h  i) 

Il  n'y  a  qu'un  point  singulier  dans  chaque  hémisphère;  c'est  le  point 
X  =z  j-  :=  G  qui  est  un  foyer. 

Il  n'y  a  aucun  point  singulier  sur  l'équateur,  qui  est  une  caractéristique  et 
qui  est  par  conséquent  un  cy<'le  limite. 

l'-ig.   aC. 


Considérons  le  système  topographique  des   cercles  qui  ont  leur    centre  à 
l'origine,  c'est-à-dire  des  cycles 

x^-^-y^  —  const. 

La  courbe  des  contacts  de  ce  système  topographique  est 

(x''-  +  y'')(.r'--hy^—i), 
c'est-à-dire  que  tous  ces  cercles  sont  des  cycles  sans  contact,  excepté  le  cercle 


70  UÉMOIRR    SUR    LES    COURBES    PÉFINIES    PAR    UNE    KODATION    DlFFERENTIia.l.E. 

lU'  nivoii  1  (lui  i->l  un  cvclc  liinilf.  Il  u"v  n  |):is  d'Mulre  cycle  limite.  Le  système 
des  caractéristi(|ucs  prcscule  donc  raspcct  tic  la  lit;uic  ii(). 

()i/a/i/t-/ne  exemple.  —  Soil  {Jig.  ay)  létjualion 

dx 


x(x^-\-y'-—  i)(x2  +  _>'2—  (,)  __y(a7î  +  _j'2—  ix  —  8) 

^  ^0: 

yyx'-  +  y- —  i)  {x'' -^- y- ~  ^:i)  +  .r(  j-^-t-j'-—  '^a;—  8 

On  voit  (]u"il  V  a  trois  points  singuliers  : 
I  "  Le  point  O 

T  =  y  =:  o\ 

1°  Les  points  A  et  B  d'intersection  des  cercles 

ar--(-_y- — 9  =  0,         3-H-_^2 — 2x  —  8  =  o. 

Le  poini  O  i>l  un  foyer;  le  point  A  est  un  nouid  ;  le  |)oint  B  est  un  col.    On 


verrait,  comme  dans  l'excniplc  précédent,  rpie  l'équateur  esl  un  cycle  limite; 
que  les  cercles  qui  ont  l'origine  pour  centre  sont  des  cycles  sans  contact, 
excepté  les  cercles 


a;'  -\-  y''-—  1  =  o, 
ar-'  +  _y'^  —  9  =  o, 


qui  sont  des  caractéristiques. 


MEMOIRE    SUR    LES    COURBES    DEFIMES    PAR    UNE    EQUATION    DIFFERENTIELLE.  7I 

Le  premier,  qui  ne  passe  par  aucun  point  singulier,  esL  un  cycle  limite;  le 
second  passe  par  un  nœud  et  par  un  col. 

Il  y  a  donc  trois  catégories  de  caractéristiques  :  les  premières  tournent 
autour  (lu  loyer  O  {fig.  2-)  et  ont  pour  cycle  limite 

x^-\-  y^  — 1  =  0; 

les  secondes  aboutissent  au  nœud  A  et  ont  j)our  cycle  limite 

X-  -^  y^  —  1  =  0; 

les  troisièmes  aboutissent  au  nœud  A  et  ont  pour  cycle  limite  l'équateur. 
Comme  caractérislicjues  exceptionnelles,  on  a  : 

i"  L  c(piat('ur: 

2"  [^c  cercle  J"-+  V"=  1  ; 

3"  Le  cercle  .r--\-y-z=  <); 

4"  Une  caractèri>li(pic  partant  du  ce  il  Bel  a  vaul  |ii)iir  cvrlc  limite  rèqiiatcur  ; 

5"  L'nc  caractèristicpie  |)artant  (bi  cid  B  et  ayant  pour  cycle  liuiite 

Lu  |i(iial  uudiilc  (pu.  >i  t  icpièscnlc  le  temps,  se  meut  daiirès  la  loi 

dv 

-^  =y(x--  +  y'-—\){x-^^  y'-  -9)  +  x(j:î-i-y'-r  v,x-8) 

ne  pourra  sortir  du  cercle 

a-2  -H  ^2  =  I 

s'il  ^e  iroiiyc  à  1  intérieur  de  ce  cercle. 

Cinquième  exemple.  —  Soit  (fig.  28)  Técpiation 

dx  dy 

AC—  15  ^  BC  + a' 
OÙ 

A  =  x{ix--\-  2  j'--t-  I), 

B  =y{>.x'-+  -ly^—i), 

C  =  (  a:' -H /- )- +  r  =  —  _/' -i- o,  I . 

Les  points  sinf;ubers  nous  sont  donnés  par  les  équations 

AC  —  B  =  o, 
BC-i-A  =  o; 


7J  MEMOIRE    SIR   LUS    COURRES    DEl'INIES    PAR    UNE    KQllATION    DIFFERENTIELLE. 

d'où 

A  ==  B  =  o. 

Ils  sont  iloiic  iui  nom  lire  (l(^  Irois,  ilans   rlniquo  liéniisplièrc,  à  savoir' 

i"  Deux  lojers 

x  =  o,        y  =±  —=; 
s/i. 


2°  Un  col 


X  ^  y  =  o. 

Pis.  28. 


Si  nous  considérons  les  ((nirlics 

V  ^ix"^  'r-y'^Y-^x'^  —  y-=  consl., 

leurs  contacts  nous  seront  ilonnés  par  l'éqtiatKin 

^(  AC-  B)+  ^(BC  -t-A)  =  o. 
<lx  ay 

Or 

A   = ;—  )  15  =  -    -7—  , 

■1  <lx  ■?.  ay 

l'équation  précédente  (le\iint  diinc 

(A'^'H-  B2;G  =0, 

ou 

C  =  o. 


MÉMOIRE    SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  fi 

Mais  la  courbe  C  =  o  est  elle-même  une  des  courbes 

F  =  const. 

Toutes  les  courbes  F  =:  const.   sont  donc  l'ormées  de  cycles  sans  contacl, 
excepté  la  courbe  G  ^  o,  qui  est  formée  de  cycles  limites. 
L'équateur  est  aussi  un  cycle  limite. 
Il  reste  à  construire  les  courbes  algébric[ues 

Pour  K  <  —  -.  la  courbe  est  entièi-ement  imaginaire. 
Pour  K  =  —  -1  elle  se  réduit  aux  deux  points  sini;ulii'is 


I 

4 

a-  =  G.         r  =  ±  — =• 
I 


Pour  o  >  K  >  —  -  1  elle  se  compose  de  deux  cycles. 

I 

11  en  est  ainsi,  en  particulier,  de  la  courbe  C  =  ((,  qui  se  compose  de  deux 
cycles  limites. 

Pour  K  =  o,  elle  se  réduil  à  un  polyc^(•le  avani  nu  |)(iint  double  à   l'origine. 

Pour  K  >■  o,  elle  se  compose  d'un  seul  cycle. 

Le  système  des  caractéristiques  présente  donc  la  Inruir  ipii  est  indi(piée  |iar 
la  fio'ure  28. 


CHAPITRE  VIII. 

RECHKRCHE    DES    CYCLES    SANS    CONTACT. 


La  facilité  avec  laquelle  se  discutent  complètement  les  exemples  précédents 
est  due  à  deux  causes.  En  premier  lieu,  les  cycles  limites  étant  algébriques,  le 
système  topographique  des  cycles  sans  contact  et  des  cycles  limites  est  lui-même 
algébrique;  en  second  lieu,  la  forme  même  de  l'équation  différentielle  |)ermet 
de  trouver  immédiatement  ce  système  topogTa|)li]que  ;  mais  il  est  éxideiil  (pie 
cela  n'aura  pas  lieu  en  général. 

Quand  les  cycles  limites  ne  sont  pas  algébricpies,  une  discussion  conqjlète 
est  évidemment  impossible;  car  on  ne  pourra  jamais  trouver  en  ternies  finis 
l'équation  des  cycles  limites.   Mais  on  jieut  arri\er  à  diviser  la  sphère   :    1"  en 

11.    P.    —    I.  10 


74  MÉMOIRE   SUR   LES   COURBES    DÉFINIES   PAR   UNE   ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE. 

régions  acjcliques,  où  l'on  esl  certain  de  n'avoir  aucun  point  d'aucun  cycle 
limite;  2°  en  régions  monocycliques,  où  se  trouvent  tous  les  points  d'un  des 
cycles  limites  et  où  l'on  n'a  aucun  des  points  çl'aucun  autre  cycle  limite. 

Une  pareille  séparation  des  cycles  limites  sera  toujours  possible  quand  les 
cycles  limites  seront  en  nombre  liai. 

Dans  ce  qui  va  suivre,  nous  supposerons  :  1°  qu'il  n'y  a  que  deux  points 
singuliers  situés  en  dehors  de  l'équateuret  que,  par  conséquent,  ces  deux  points 
sont  des  foyers  ou  des  nœuds;  2°  que  ces  deux  points  ont  pour  coordonnées 

a:  =^  =  o. 

Dans  les  cas  où  il  y  aurait  plus  de  deux  points  singuliers,  la  discussion  serait 
jilus  longue  et  plus  compliquée. 

Dans  le  cas  auquel  nous  nous  restreignons,  il  n'y  a  qu'un  nombre  fini  de 
cycles  limites;  de  sorte  (pu-  la  séparation  de  ces  cycles  est  toujours  pos- 
sible. 

Nous  ne  considérerons  que  ce  qui  se  passe  dans  le  premier  hémisphère.  En 
elTel,  tout  se  passe  de  même  de  l'autre  côté  de  l'équateur,  qui  est  en  général  un 
cycle  limite. 

Nous  diviserons  cet  hémisphère  : 

1°  En  régions  acycliques,  qui  ne  peuvent  être  traversées  par  aucun  cycle 
limite  ; 

2°  En  régions  monocycliques,  qui  contiennent  un  cycle  limite  tout  entier,  et 
ne  sont  traversées  par  aucun  autre  ; 

i"  En  régions  cycliques,  qui  contiennent  certainement  un  cycle  limite  tout 
entier,  et  sonl  peut-être  traversées  par  un  ou  plusieurs  autres  cycles  limites; 

{"  En  régions  douteuses,  qui  contiennent  peut-être  un  cycle  limite  tout 
<;ntiev,  peut-être  plusieurs,  et  qvi  peut-être  ne  sont  traversées  par  aucun  cycle 
limite. 

On  poussera  la  discussion  en  cherchant  à  étendre  les  l'égions  acycliques  de 
façon  à  resserrer  les  cycles  limites  dans  des  régions  monocvcliques  de  moins  eu 
moins  étendues,  et  à  faire  disparaître  les  régions  cycliques  et  les  régions  dou- 
teuses. On  pourra,  si  l'on  veut,  terminer  la  discussion,  quand  il  n'y  aura  plus 
que  des  régions  acycliques  et  monocycliques:  on  pourra  aussi  la  pousser  plus 
loin,  de  façon  à  étendre  encore  les  régions  acvrlicpies  et  à  y  tracer  un  plus 
■  grand  nombre  de  cycles  sans  contact. 


MÉMOIRE    SUR    LES    COURBES    DÉFINIES   PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  75 

Méthode  générale.  —  Considérons  une  fonction  algébrique 

i"  Qui  reste  toujours  finie  et  déterminée,  ainsi  ques  es  dérivées,  quand  x 
el  )■  prennent  des  valeurs  réelles  et  finies,  et  devienne  infinie  quand  jr  ou  j- sont 
infinis; 

%°  Qui  soit  nulle  pour  x  =  Y  =  o,  et  positive  toutes  les  fois  que  .r  ou  y  sont 
diflerents  de  o; 

.)"  Dont  les  dérivées  du  premier  ordre  ne  s'annulent  à  la  fois  que  si 
X  =  )'  =  o; 

4"  Telle  que,  pour  x  ^=  y  ^  i>,  on  ait  l'inégalité 

/  q;^f,  y  (fl^      d\y      ,d\  d\  d-^Ft  cl-^Ft 

\  dx  dy  I    \  dy        dx  )  dx   dy    dx''-     dy-    ^     ' 

5"  Telle  que  la  courl)e 

X  r^  +  Y  f^  =  o 

dx  dx 

ne  coupe  pas  rétjuatcur. 

L'écjuation 

où    K|    est   une    cnnstanic   quelconque,    représente  un   système    lopographiqne 
ayant  pour  sommet  l'origine  et  dont  l'équaleiir  est  un  cycle. 
La  courbe  des  contacts  dont  l'équation  est 

X  ^  +  Y  ^  =  o 
dx  dy 

ne  coupe  pas  i'équateur,  en  vertu  de  la  cinquième  condition,  et  a  à  l'origine  un 

point  isolé,  en  vertu  de  la  quatrième  condition  ('  ). 

Les  cycles  F,  =  K  sont  donc  sans  contact  si  K,  est  très  petit  et  s'il  est  très 

grand.  Faisons  varier  K,  depuis  u   jusqu'à  -|- oo,  et  supposons,  par  exemple, 

que  pour 

o  <  Kl  <  a,  le  cycle  Fj  =  Kj  soit  sans  contact; 

a  <  Kl  <  p,  1)  ne  soit  pas  sans  contacl  ; 

P  <  Kl  <  Y,  »  soit  sans  contact  ; 

Y  <  Kl  <  3,  »  ne  soit  pas  sans  contact; 

'5<Ki<-H^  »  soit  sans  contact. 

Alors  les  régions  de  la  sphère,  définies  par  les  inégalités 
o<F,<a,         p<F,<Y,         S<Fi<-hQc, 

(')  Dans  l'énoncé  de  cette  condition,  il  y  a  une  erreur  de  calcul  aisée  à  rectifier.         [R.  G.] 


76  MKMOIRE    SIR    I.KS   COUKIIKS    DKKINIKS    l'AR    l'NIÎ    KQDATION    DIFKÉRKNTIEI.1.E. 

stTDiil  iu\  iIkiiio  ;  lo  icj;inii.s  (k•liIH(■^  par  les  inégalilés 

MTdiil  iloiiicuses.  • 

PiiEMiEii  l'ROBLKMiv.        Heconnaitio  si  une  région  douteuse  est  cyr/ir/iic. 

l'oiii'  crl.i,  ii()ii>  :illiiiis  itoiiiKT  iiii  nniM'ii  ilc>  rccdiinaîli'c  m  diiir--  une  réi;ioii 
ilinil('ii>c  |iii>--<'  1111  ii()nilir<'  |)Mii'  on  iiii|i:iii'  ilc  (•\('lc.s  liiiiiLes.  Il  cbl  claii'  (jue,  *! 
1(111  li'(iu\c  (|ii('  le  nombre  des  cycles  limites  qui  traversent  une  région  douteuse 
fsl  inijiair,  <\'>t  que  cette  région  est  cyclique.  Pour  résoudre  le  problème  que 
nous  nous  sommes  proposé,  il  est  nécessaire  d'introduire  une  notion  nouvelle. 

Soil  VB( .  un  arc  il  un  c\  clc  sans  conlacl,  >oit  EBD  un  are  du  grand  cercle  v=o. 
Soient  i  /ig-  ai))  EB  la  poiliou  de  ccl  arc  (pii  est  située  à  rextérirur  du  cycle  ABC; 


BD  la  poil  ion  (pii  est  située  à  l'intérieur;  BC  la  portion  de  l'arc  ABC  ipii  serait 
à  droite  d'un  (diservateur  ayant  les  pieds  sur  la  sphère  en  B  et  regardant  du  c(')lé 
fie  K:  BA  la  |)(ulion  (pii  serait  à  la  gauciic  de  cet  observateur.  Nous  diron>  que 
le  c^cic  \BC  esl  positil,  par  rappoii  à  l'arc  de  grand  cercle  y  ^  o,  (piand  la 
caractérisliqui'  qui  passe  en  B  est  siluéc  dans  l'angle  EBC,  en  FB  par  exemple, 
(i  (pi'ii  est  négalil  quand  celle  caracléristicpie  e.il  siluée  dans  l'angle  EBA, 
en  F'B  par  exemple. 

Ceci  posé,  remarquons  «pie,  si  l'on  l'ait  varier  le  cycle  ABC,  ce  cycle  eiiange 
fie  signe  :  1"  toutes  les  fois  (|iril  devient  un  cycle  liniile:  •>."  lonles  les  fois  que 
EB  e>i  tangent  à  EB. 

Maintenant  nous  sommes  en  étal  de  résoudre  \c  |iroliliiiie  pro|)osé.  A  cet 
effet,  considérons  la  région  donleiiM'  comprise  enire  les  (-yeles 


MÉMOIHE    SUR    LES    COURBES    DÉFÎMES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE.  77 

Soient  A  et  B  les  points  où  l'arc  de  u;rand  cercle  y  =^  o  rencontre  ces  cycles. 
Soil  À  le  nombre  ries  cycles  limites  compris  dans  la  région  douteuse;  soit  (ji.  le 
nombre  des  contacts  du  grand  cercle  }==o  compris  entre  A  et  B;  soit  v  un 
nombre  qui  est  pair  si  les  cycles  F,  ;=  a,  F,  =  [i  sont  de  même  signe,  impair 
dans  le  cas  contraire;  soit  H  le  nombre  de  fois  que  les  cycles  sans  contact  du 
système  lopographique  délini  au  théorème  XVIII  changent  de  signe  quand  on 
passe  du  cycle  F,  :=  a  au  cycle  F,  =  [3.  On  aura 

0  =  X  -I-  ,tji,         6  ^  V         (  niod  -i): 

d'où 

À  =  ;jH-  V         (mod  a), 

ce  qui  permet  de  voir  si  le  nombre  des  cycles  limites  est  pair  ou  impair. 

Problème  11.  —  Reconnaître  si  une  région  est  monocyclique. 

Pour  résoudre  ce  problème,  appuyons-nous  sur  le  théorème  suivant. 

THÉouiîME  XIX.  —  Si  l'on  pose 

ar=pcos(<),         y  =  çis'inio, 

et  que  Inéquation  différentielle  devienne 

si  '^(p)  est  une  fonction  quelconque  de  p  n'ayant  qu'âne  valeur  finie  pour 
chaque  valeur  finie  de  p;  entre  deux  cycles  limites  quelconques,  il  y  a 
toujours  des  points  où 


ou  bien  oit 


=  X  ou  'J)(p)  =  -x. 


d  l  _d^. 


rfp  \  '  rfp  / 


Soient,  en  effet,  w,,  une  certaine  valeur  de  o),  ûq  etpj,  les  valeurs  de  o  qui  cor- 
respondent aux  points  d'intersection  des  deux  cycles  limites  considérés  et  de 
l'arc  de  grand  cercle 

Considérons  la  fonction 

•Kp'o)  — 'l'Cp»)  =  e(w„), 

et  voyons  comment  elle  varie  quand  w„  varie  de  o  à  2tc.  11  est  clair  qu'elle  varie 
d'une  façon  continue,  qu'elle  reste  finie  et  qu'elle  revient  à  la  même  valeur. 


7**  MEMOIRE    SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE. 

Elle  passe  donc  par  im  maximum,  et,    pour  une  certaine  valeur  co,   de  Wq 
correspondant  à  des  valeurs  z,  et  pj  de  p,,  et  pj,,  on  aura 

dti   _ 

dwo 
OU 

Donc,  si  ion  considère  m  comme  une  constante  égale  à  (o, ,  cl  qu'on  fasse  varier  o 
depuis  3i  jusqu'à  p,.  la   lonction 

deviendra  infinie  ou  passera  par  un  maximum,    c'est-à-dire  que  ion  aura  ou 
bien 

do   ~      ' 


o  =  X, 


ou  hï 


d  \d']j    ,         1 


d^ 


Théorème  XIX  (iÉNÉRALisK.  —  Si  ■■^{x^y)  cl  'li{^x,y)  sont  deux  fonctions 
continues  de  x  et  de  y  telles  qu'à  chaque  système  de  valeurs  de  x  et  de  y 
corresponde  un  système  de  valeurs  de  co  ci  de  <h,  et  un  seul^  et  qu^à  chaque 
système  de  valeurs  de  o  et  de  ■];  corresponde  un  système  de  valeurs  de  x  et 
de  y,  et  un  seul, 

si  l 'on  pose 

o(x.y\  =  c,         •l(x,y)  =  -ri, 

SI,  après  cette  transformation,  l  équation  devient 

dans  la  région  comprise  entre  deux  cycles  limites,  il  y  aura  toujours  des 
points  tels  que 

0  =  oc, 

ou  hien 

dd 

En  effet,  soient  C  et  C  les  deux  cycles  limites  donnes.  Supposons  qu'en 
aucun  point  fie  ia  réfiion  R  comprise  entre  ces  deux  cycles  on  n'ait  f)  =:  x  ;  je 


MEMOinE   SUR    LES    COURBES   DEFINIES   PAR    UNE    EQUATION   DIFFERENTIELLE.  79 

dis  qu'il  y  aura  dans  cette  région  des  points  où  l'on  aura 

En  effet,  soit  m  un  point  du  cycle  C,  et  soit  Tk,  la  valeur  correspondante  de 
la  fonction  ^[a;,y);  l'arc  de  courbe 

qui  passe  en  m,  va  couper  le  cycle  C  en  un  point  m' ,  car,  s'il  ne  coupait  pas 

le  cycle  C,  il  ne  pourrait  sortir  de  la  région  R  qu'en  recoupant  le  cycle  C;   il 

devrait  donc,  dans  cette  région  R,  être  tangent  à  une  caractéristique  (en  vertu 

du   théorème  X).   Or  cela  est  impossible,    puisqu'on  a   supposé   que    dans  la 

région  R  on  n'a  pas 

0  =  x. 


jii«v^ii    X».    V71I    11    et     pil 


Soient  donc  Ç,,  et  ;|,  les  valeurs  de  ;  qui  correspondent  aux  points  m  et  ni'. 
Quand  le  point  m  fera  le  toui'  du  cycle  C,  lu  fonction 

5'o  -  ?o 

passera  par  un  maximum,  c'est-à-dire  que  pour  une  certaine  valeur  y^,  de  ti,,,  à 
laquelle  correspondent  les  valeurs  de  £|  et  ?,  de  ^,-,  et  ;|,,  on  aura 

c'esl-à-dire  que,   (|uanil    r,   est   égal   à  •/•ji    et   que  l'on    fait    varier   ^  depuis  ç, 
jusqu'à  ^', ,  hi  foncliiin  0  jiasse  par  un  maximum  ou  un  minimum,  ou  que 

M 

-3-  =  o  c.  Q.  F.  D. 

Résolution  du  deuxième  problème.  —  Pour  démontrer  qu'une  région  dou- 
teuse est  monocyclique  ou  acyclique,  il  suffit  donc  de  faire  voir  que  l'on  peut 
trouver  deux  fonctions  \  et  ri  satisfaisant  aux  conditions  de  l'énoncé  du 
théorème  précédent,  et  telles  que  l'on  n'ait  en  aucun  point  de  la  région 

n  rfe 

(J  =  3D  OU  -=r  =  O. 

Suite  de  la  discussion.  —  Si  le  système  topograpliique 

F,  =  A, 

ne  suffit  pas  pour  obtenir  une  séparation  complète  des  cycles  limites,  on  consi- 
dérera un  nombre  aussi  grand  qu'on  voudra  de  systèmes  satisfaisant  aux  mêmes 


80  MÉMOIRE   SUR   LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    DNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE. 

conditions 

F,  =  /.-,,         F,=  A;; 

\°  Il  ('>!  clair  que.  cliaiun  de  ces  systèmes  fournissant  de  nouveaux  cycles 
sans  contact,  certaines  portions  des  régions  douteuses  laissées  par  le  système 
F,  =  A")  seront  sillonnées  par  ces  cycles  et  deviendront  acycliques; 

2"  Parmi  les  régions  douteuses  laissées  par  lensemble  de  tous  ces  systèmes, 
il  y  en  aura  dans  l'intérieur  desquelles  il  sera  impossible  de  faire  passer  un  cycle 
entouranl  l'origine;  ces  régions  seront  donc  aussi  acycliques  {i^oir  l'exemple  11 
au  Chapitre  suivant); 

3°  Les  régions  douteuses,  devenant  de  plus  en  plus  restreintes,  finiront 
en  général  par  devenir  toutes  acycliques  ou  monocycliques,  de  manière  à 
achever  la  séparation  des  cycles  limites;  celte  séparation  sera  même  toujours 
possible;  et  quand  on  n'aura  pas  deux  cycles  limites  confondus,  on  pourra  tou- 
jours s'apercevoir  tprelle  est  terminée; 

4"  Les  régions  cycliques  devenant  de  plus  en  plus  restreintes,  on  connaîtra 
le  cycle  limite  avec  une  approximation  aussi  grande  que  l'on  voudra. 

liemarque.  —  La  théorie  de  la  séparation  des  cycles  limites  présente  quelque 
analogie  avec  les  procédés  cjui  servent  à  séparer  les  racines  d'une  équation 
algébrique. 

A  ce  point  de  vue,  la  manière  dont  se  résout  le  premier  problème  rappelle  la 
méthode  des  substitutions,  qui  permet  de  reconnaître  si,  dans  un  intervalle 
donné,  une  équation  algébricjue  admet  un  nombre  pair  ou  impair  de  racines. 

Le  théorème  Xl\  est  l'équivalent  du  théorème  de  RoUe. 

Quant  au  cas  des  cycles  limites  confondus,  qui  correspond  à  celui  des  racines 
multiples,  il  présonle  cci-taines  diflicullés  spéciales  que  je  n'ai  pas  encore 
résolues. 


CHAPITRE  IX. 

EXEMPLES    DE    DISCUSSIONS    INCOMPLÈTES. 


Exempifi  I.         Soit  l'équation  différentielle 

dx  dy 

T(x^-'r  y'^ —  -XT  —  3)  — y       y(x*-hy'^  —  ix —  3)  -^  a" 


.MKMOIIIF.    Sin    I.ES   COURBES    DEFINIES    PAR    UNE    EQUATIOX    DIFFERENTIEM.):.  Si 

ffiii.  ni  iiDsanl 


lIl'S  K'II  I 


;r  =  0  eus  w.         )'  =  ;  5111  (u. 


do  =  p (  p-  —  ■>. •;  ros  10  —  î  i  rfcj . 


I^minii^.   pour  Ir  ■-vsiriiic  l(i|)();:r'ii|)!:i(jii'.'  1";  = /> , .  le;  s\>l,''iiu'  des  cercles 

?  =  /m. 

Ijii  coilihe  lies  conliicl^  île  ces  cercles  se  réilinl  :i  I  elli|i-.'  s[iliéi'ii|iie 

0-  —  :>  0  ros'o  —  ">  ^  o, 

illll  eii\  clii|i|ie  I  luii^iiie.    i'iil'  ci  ill--i'inieill .   les  lé^Kiiis 

p  <  1 ,  s  ^>  j 

solll   iic\clir[iies  |ieiiil;ml   (|ne  la  ri'uiilli 

r  <  ?  <  3 

cl  iloiileie-e  ;    mai-.,   si    l'uii    iiiiserxe    (nie  les    cycles  s  =  l  .  o  =  .'>  siiiil   île   >ii;iie 
conirairc,  du  verra  ([uClle  esl  cyclique. 

A|i|)U\  iins-iiiiiis  niaiiitenaill  sur  le  lliénrènie  \l\.  eu  faisaiil 

'i/(p)  =  Lp,         o(p,  (o)  =  p(p- — 2pcos<u--3), 

d'où 

,/  ,'    ./'M 

-7-      'i  —^       =23  —  2  C0S(0. 
rfp   \  '    (/C  / 

La  couihe  20  —  acosto^o  esl  une  elli|ise  N|iliéii(|ue  passant  par  r(prii;inc 
cl  lani;enle  au  cercle  p  =  1.  Donc,  en  aucun  poinl  ili'  la  réi;ii)n  i<;p<;.>,  lui 
n'a  ni 


d^ 
do 


Donc  celle  région  est  monocyclique 


d  I     d'I 

—  1  (0  — - 
do  \  •    do 


Conséquences.    -~    Outre    réf[iiateur,    il    v   a   un   cycle  liniile  dans  chaque 
léinisplièrc,  et  un  seul;  ce  cycle  est  tout  enfier  dans  la  région 

i<  p  <  3. 
Si  un  poinl  nioi)ile  se  meut  suivant  la  loi  siiiyanle  (  /  étant  ie  temps)  : 

//.i-  =  I  .r(.T-~-  \  - —  ■>..)■  —  1  I        )  I  <//, 
i/r  =  |,)i  J"--^  .i"-' —  ■'. .?.■  —  il---  .)■  I  (//, 


U.  f.  -  I. 


/1-73Ci 


X'  MÉSKIIIU:    !i|  Il    I.KS    lOUnilES    DKKIMKS    l' AU    INl:    l'^lUATlON    DU' KKIIKM  IKLI.K. 

M    |H>iii'  /  ^-;  o  on  a    0  <;  1  ,    le  iiKiIjilc  scirlira    ifitiiliicTiicnl    ilii    c  riclc  g  =;  i  ,  cl 
il  ne  sorlira  (■crtainenicnl  pas  du  cciclc  0  =  3. 


Exeniplr  II.        Soit  1"(  i|iiMii()ii 


dx 


dv 


!•  -  -  2  .'<  (  a--  -:-  j'-  —  4  ■'■  -!-  '  )      ■<■  -I-  ■'■,'  (  •'■"  +  J''  "  4  •''  +  >  I 

il    IMI 

dp 

— i-  ■=  ■;?  0 (  p-  —  1  0  cos  (0  -h  J  ). 

«(0  l       i  i 

Considérons  encore  les  cercles  p  =  /,•,,  nous  verrdns  f|ii('  les  régions  p<'^ 
s  >  3  sont  acycliques  pendanl  que  la  région  i  <  c  <^  .i  est  tlouteiise. 

Seulement  ici  les  cycles  p  =  i,  p  =  3  sont  de  même  signe;  de  sorte  que  l'on 
ne  |)ciil  affirmer  que  celte  région  soit  cyclique. 

Considérons  \r  cycle 

o(p.  w)  =  p-  —  3,  -)p  COS")  —  ■).  =  o 
l'iiiir  (|u  il  ii'il  un  contact,  il  laudrait  que  I  on  eût 


(A) 


l    do  û^9  ,     ,         , 

pi-  =  —  ■>  -7-!-  (  0-  —  1  0  COS  (o  -j-  3  ). 

0  doi  rfp     '  ' 


Mais  tout  le  Ion"  du  cvcle  3  =  o,  on 


I       I    d<i 

da  0  di'. 
dZ 


et 


• —  4  p.costo  -f-  !i  ~  •  I  ,2! 


l-a  ii'iatioii  (Al  ne  peut  donc  être  salistaite,  c'est-à-dire  (pie  le  e^(■le  0  =  0 
est  sans  contact.  1!  en  sera  de  même  des  cycles  'js  = /:.,,  poui\ii  ipie 
—  £<;/i'2<-!-  s  t't  que  £  soit  suflisaniment  [letit. 

La  région  —  z  <C.'s  <^  -~  s.  est  donc  acvcliqiie.  Il  l'esterail   <lonc  deux  régions 

dmileiises  : 

1°  L;i  réginii  1       p  <  3,         ©>•-;-  =  ; 


■j.     I,;i  ii-SKill  I 


Mai>  <lan^  a  11  ci  me  de  ces  ri'gion^  ou  ne  peiil  la  ire  passer  de  c)  de  en\('lop|iaul 
l'origine.  Elles  sont  donc  aussi  ac\('liques. 

Contérfr/rnces.     -  Il  n'v  a  pas  d'autre  e\ele  liniile  que  i'éipiateur. 


MK.MOIRK   Stit    LKS    COI  RBES    DÉFINIliS    PAR  LNK    ÉQUATION    Dll'FÉKKNTIELI.i;. 

l  11  |iiiiiil  niiihilc  so  momaul  suivani  la  loi 

dx  =  [ —  y  -;-  •ix{x--^  y- —  4-''  -r-  j)l  <''• 
dy  =  [x-^  '.yix--:-  y'-—  \x --  ))]dt 


lici 


Il  SI'  ra|)|ir(i(licr  iiKlcfininirnl  <lr  1  <(]iial('iii 


h. 


Exenipli'  Il I .        Sdli  l\(|iiaii(iii 

—^  =0(0-  —  a  3  cosoj  —  J  I  {  c —  -2  0  eus  tu  —  Si. 

La  (•i)ii>i(l(!Talii)ii  (lc>  cycles  o  =  ioii>l.  nou>  iiHinlir 

]"   (^uc  les  réf^ion.s  p  <  i  cl  p  >  i  mjuI  ai;\cli(|ui's  ; 
2"  Que  la  région  i  ■<  p  <  i  «'sL  douteuse. 

De  [)lus,  les  cycles  p  =  i  et  p=  f  étant  de  même  sigiir.  il  ilnil   y  avoir  dan 
celte  région  un  nombre  pair  de  cjcles  limites. 
Considérons  le  cycle 

f)(p.  W  I  —  s- —  20  COSW  —  j,  j  =  o. 

Ce  cycle  est  toiil  iiilicr  dans  la  région  douteuses;  d  est  sans  contact,  ain~l  que 

les  cjcles 

0- —  'pcusio  —  >, 5  =  /.■;,  oi'i  /.o:^-t-ï,  l'«~^ — ', 

cl  ou  i  ol  Iro  pelit.    iJc  (ilu--.    CCS  i-vele^   ne  xjnt   pas  de   même   signe   tpic  li  ■> 
cycles  p  =  I  cl  0  =  "j. 

Nous  a^ons  donc  les  régions  suivantes  : 

I"  région  ?  <C  ' Ac\cli(|uc 

î'  région  i     ,  p  <  4,  'J  <  —  =■ Cycliqni' 

3''  région  t  <  p  <  4,  — ^<9<— ^ Ac\clic|in' 

4''  légion  1  <  p  ■<  4)         6  >  -^  s Cyclique 

j'  région  p  >  \ \(\clii|in' 

Vppli(]iiiia>  maintenani  le  liiéoréine  XIX,  en  faisant 

■i/fp)  =  I,  p,         ç(p,  (o;  =  p(p2  _  2p  cosoj  —  3)  (  p- —  ■>;  cos'o  —  8), 


ou 


d  l    d)j\ 
—  (  o  —j-  I   =  j  (  p  —  ro<  (.)  )  I  p-  —  '^  p  cos  w  —  '>,')• 


Si  MCMOIllK    >t  n    I.KS    l:i)UUll:S    1)I:I''1M|.S    I'AII    I Mî    liQlJ.\rtON    DII'KUllIiX'rlIil.I.fC. 

I  .il  (  iiiirlii'  —r-  (a  —r  )  =  Il  M'  icdiiil  (li)ii('  iiii  \  (Icu  \  (>  des 
p  =  COS(0,  p-  =  up  cosco  4-  "i,  ), 

(|iii   MUil    Idiil   cnllcrs   I  un  (l;ni>   lu   |irrmirrc,    laulrc  dans  la   lr(ii--icmi'    rci^Kin. 

Coiiinic  (1  ailleurs  ni  a  m  -—  i"'  ilcxicnncnl  iiillnis,  la  ilcuxiciiii'  i  i   la  (iiialiiriiic 
'         «p  ' 

région  scmt  inono(\(li(|ui's. 

Conclusion.  —  En  ildiors  de  l'iMiiialeur,  Il  \  a  dans  clia(|iir  liriiils|iliric  deux 
cvclos  liniilrs.  cl   il  u' \   en  a  iiiic  deux. 


SUR  LES  COURBES  DÉEINUES 


LES  ÉQUATIONS  ItllFÉlîENTIEIJ.ES 


Complet  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  '.13.  p.  c|.ii-i|')'  (.5  iléccmlire  lSSi). 


I);ui>  uni'  \(il."  (|ur  i'iil  l'ii  l'li(iiiiici]r  lie  |l|■|■^(■nl('l'  ii  1'  Vcadciiiic  cii  iSSu,  j  ai 
i'IihIic  les  |ir(i|ii'nii's  il  iiiir  l'iiiial  nui  ilillcrrni  irllr  ilr  la  loriuc 

r/x        dy 

lu'i  \  ri  ^  MUil  ilrs  |i(iU  111)111  rs  riilirrs  eu  X  l'I  J'.  CiuiMiliTaul  X  fl  y  ciunuir  l^^ 
ciMU'ilnuiliTs  il  lia  |ioiul  ilaii--  un  |ilau.  |r  |irii|rlais  i;uiuiiiuui|urllirnl  ir  |)iunl 
.sur  iiiir  sphiTr,  ri  |i'IuiIi;hs  la  Iniinr  i;i'iiiiiiir'ii|ur  ilrs  cciractél/s/,lt/ilCS.  (' ol- 
à-iliiT  ilrs  iiiMihrs  s|iIhuii|ui".  ilcliuirs  |)ar  I  ('(lualiiiu  I  il. 

.1  ai  iriiiiiiiii  i|ur  |iar  un  piuiU  niin  sini;nli('r  ilc  la  .splicic  |)a>M'  iinr  .Miilr 
(■ararli'fislli|in',  ri  i|ur  1rs  piunls  miil;iiIuus  se  rc|iarlissriil  e/i  général  l'ii  Injis 
rali''i;orirs  :  [ps  nœuds  par  lui  passrni  uiir  iiiliiiili'  ilr  i  iii'arLiJi'i.sUquc.s,  1rs  cols 
par  iii'i  passrni  ilruv  rararli-i'isl iipu's,  li  les  foyers  par  nu  ne  pas.sc  anciinc 
caraclijrislitj.uc',  mais  aiilniir  ilcsniicls  nnr  ialiiiili;  de  caraclcrislinues  lonrneiil, 
comnic  dos  spirales  en  s  en  rapproeliant  indélinimenl.  .Ini  démontré  de  plus  qui; 
le  noniiire  des  nœuds  et  des  fuvers  surpasse  de  deux  unités  eelui  des  eols. 

.le  Aals  eil\isai;i'r  au|niii'il  liui  un  eas  plus  j;énéral:  jétudierai  léipialion 

(X)  F(,r,  r,g)=o, 

on  F  est  un  polvnunie  entier,  .le  poserai 


8(i  siu  LUS  conuiKs  iii:finii;s  l'.ut  i.i:s  éouatio.ns  difi  i;iniiNTii:i.n;s. 

où  '^1.  ■-;..  '^1  soiil  ilo  liimiioiis  r;ilu)unflle>  l'U  c.  /,,  Z:  on  en  Iiitim 

(3>  *(«,  r,.  ?)  =  0. 

Si  ;,  y,,  'C  >(i;il  li'>  (•(nii'tlonnt'c.s  ilnii  |m)iiiI  dans  rcs|iii(r.  I  l'ijualioii  (  ,'!  ) 
rf|ir('j('lili'  uiir  Mirlacc.  ri  I  é(|iialiou  (  >  )  dcliiiil  rcrliuuo  caractérisfKjllcs  ou 
courbo  Irai'Oi'.s  mit  rdlr  surlacc.  l'ai'  nu  |ioiiil  uuii  miii;mIi('I'  iIc  la  Mirlacf 
passera  une  seule  (•ara(l(''i'i--li((ii(',  il  lo  |hiiii|s  siiii;iili(i>  xioiil.  mininr  |ilii> 
liaiil.  ilrs  iiiriiil.s,  (les  iovers  et  des  cols. 

(  )u  aiiia  |iii  clidiMi'  les  loii(ii(iii>  l'aliiiuncllc-'  '^ , ,  '^j  el  z,-f  de  k'Ilc  ^(l|■U■  i|in' 
la  -iirlacc  (  ■!  )  iiail  |ia>  de  hraïudu's  lidniirs.  Cclli'  Mirlacc  se  i-oni|)(is('  aloi's 
d  nu  cei'laiii  nnuilirc  de  aa|i|ic''  iciinco. 

Suit  S  nur  de  ces  iia|)|ii'>.  p  son  yciirc,  e  csl-à-dire  le  iiuiulno  de  CNili's 
séparés  (|nc  l'on  |)iMit  Iracri'  >nr  eelle  nappe  sans  la  sépai'cr  en  deux  régions 
dilléreulrs  I  aiuM  une  sjilii'i'c,  cl  en  liénéral  une  surlaee  eon\  exe  sera  de  yeni'eo, 
nu  hnc  >ci'a  i\c  i;eni'i'  i,  nur  surtaee  primil  [\  ejiicnl  eonvcxt'  dans  Lnpu'llc  on 
aurait  pciTi' /)  Irons  >era  de  •^vnvc  p). 

Siui'iil  \.  I*  cl  C  les  nombres  des  nii'uds,  des  lo\crs  cl  i\r>  culs  (|ni  sciiuil 
silués  sur  S,  un  aura  la  relation 

N  -J-  F--  C  =  ■>  -  ip. 

I.es   autres   l'ésullals.   énoncés   dans   la   jNole    eiléc    [liiis    lianl,    sniil  éi;alciucnl 
suseeplililes  d  èlic  cicndns  an  cas  (pii  nous  occupe. 


SIR   LES  COURBES  DÉFINIES 


[J:S   EQUATIONS   niFFEREMIErj.ES 


Coinpiex  renc/ii>:  de  l'Acach-mie  des  Sciences,  t.  98,  p.  3S7-289  (  î  février  i8s'| 


Dans  iino  Note  qui'  j";il  <mi  l'u  nnciir  ili'  pirsciih  r  i'i  rAcadénilc  le 
I .')  (V'\  iici'  iSS"».  |":ii  ('-Indir  le-  |iiijiil^  >ini;ulirrs  (1rs  r(iiii'lips  fie  1  rspace  définies 
|)ai-  \r^  (■■(|iiiilioiis 

dx        dy        dz 

m'i  \.  ^  il  '/,  v(inl  (1rs  |Hihni)m(\s  (■nli(M's  en  .r.  i'  d  ;.  M:irs  I  (•liiile  de  ces 
(■(Mil  l)('s  (huis  le  \o]sinai;e  diui  poini  sini;nlier  ne  nous  donnciiiil  (iiriinc  id(''e 
ini|)arfiiltc  de  leur  forme  géni^rale.  Il  esl  néeessaire  d'inliddiiire  iei  un  i;enre 
n()ii\eaii  de  (■(insid(''rations. 

Il  laiil  d  iilidi'd  elicT'clier  à  reconnailre  m,  [larnii  les  courhes  (lui  salislont 
:in\  é([UMli(ins  111  cl  ([iic  j  a|i|iellerai.  |)nnr  abréger,  les  edurhes  ('..  d  v  a  des 
(■(iui'Ik's  leiniées:  on  v  jiaivicndra  en  appliquant  des  procédés  analof^ues  à 
ceux  que  j"ai  employés  dans  ma  ^iote  du  2.3  juillet  iH83.  Supposons  donc  qn'on 
ail  tronvé  parmi  les  courbes  C  une  courbe  fermée  Ci,,  et  étudions  la  forme  des 
courbes  C  dans  le  voisinage  de  C„. 

Prenons  pour  origine  un  point  de  Cq;  soit  (x,  y)  un  point  du  |)lan  des  xy 
li-és  \oisin  de  celle  origine.  Par  ce  point  passera  une  courbe  C  (pii  \iendra 
couper  de  nouxcau  b^  plan  des  xy  en  un  point  (  cr,.  )  ,  ).  En  général.  ,r,  et  y,, 
(pii  s'annuleioni  en  même  temps  que  .r  et  r.  seront  des  fonctions  holomorplics 
de  ces  coordonnées  initiales,  de  sorte  qu'on  aura 

i  .r,  =  5(3-  -+-  S  V  M-.  .  ., 

(  yi-  -'.x^  oj— . ... 


SS  sin  i.ics  coiniiES  dkkinies  par  lks  ligrATioNs  dm  fkhentielles. 

l'rcDticr  cas.  Si  7.0  —  [j"  <;  o,  les  coiiilics  (".  i[Mi  |iii>soiu  (liui>  Ir  \iii--i- 
Wiy^o  ilr  (",,),  Mliri'N  s'("lri'  m|i|iimicIic('s  d  alinnl  ilc  relie  eiiiirhe,  lini>>enl  |iiil'  >  <'U 
eliiii;ili'|-. 

I>etixièine  cas.  Si  -y.o  -|ï"'>ii.  a-|-o' n.  011  peut  consliiiue  une  mii- 
liii'c  (lui  «'iiV('l()|)|ie  (1,)  el  (|iii  ni'  touclie  en  aucun  poinl  aucune  (les  eourlies  (.. 
(]'esl  une  surface  sans  contact  ([ii'nne  courlie  (\  ne  peul  I  ra\  ei><  r  (|u  un<'  luis. 
l   n  piunl  uui  <li'(  rua  la  cduihe  V.  se  l'ajijii'deliera  iii(l(''liuinienl  île   la  edui'lie  ('.^. 

'J'foisirme  ras.  Supposons  nioinlenanl  aS  —  jîly>>o,  a  +  o  :=  o  :   si  une 

inlinilé  d'aulies  condilKuis  où  enireni  l(^s  coeificienis  des  lernies  d  Ordre  supé- 
rieur des  iié\  eloppenienls  1  ■:>  )  ne;  son!  pas  l'eniplies  à  la  lois,  il  y  a  encore  une 
surface  sans  conlael,  el  I  (Ui  lelonilie  sur  le  cas  pi'éc(''(lenl . 

Otictl/'icnie  cas.  -  Supposons  niainlenanl  (pie  (ouïes  ces  condilions.  donl 
je  \  iens  de  parler,  soieni  remplies  à  la  lois.  Il  piuirra  se  taire  alors  (piil  cxisle 
une  siirlace  S  sur  laipielle  la  c(Mirlie  (.  resie  conslaniaieni,  el  (jii  elle  remplisse 
ciimplèlemenl  (  iilicralldichl  1. 

Cinciiiicmc  cas.  --  Alais  il  jiout  arii\cr  aussi  rpi'il  nexislc  pas  de  pareille 
surlace,  cl  ipn'  li's  coordoiini'cs  .t:,y.  z  d  un  poini  de  la  coiirhe  C  piiisseni 
rroîtrf  sans  liinilc.  Dans  c(»  cas,  la  coiirhe  C  remplil  coinjili'lcnicnl 
\  iihcrillldiclU  )    l'espace    loiil    enlicr. 

Sixième  cas.  —  Enlin  il  penl  se  faire  que  la  courbe  C  ne  reste  jias  ciuis- 
tammenl  sur  une  surface,  mai.s  qu  elle  resle  constaninient  à  l'intérieur  d'une 
certaine  surface,  de  sorte  qu'elle  remplisse  complètement  {  iiberalhlicht)  non 
ICspace  l(Mil  enlier,  mais  toute  une  région  de  lespace. 

Noyons  maintenant  comment  ce  qui  |irécéde  peul  se  rallaelier  à  la  (pieslion 
de  convergence  des  séries  de  M.  Lindslcdt. 

■Nous  pourrons  écrire  les  équations  de  la  coiirhe  (i„  sons  la  forme 

Cl,  :^  =  ?(0,      y  =  '^{t),       -  =  fl(0, 

'.;,  -j  et  0  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples 
de  I.  Posons  ensuite,  pour  une  courlie  C  voisine  de  Cq, 


SUR    LES   COURBES    DEFIMES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFERENTIELLES.  Si) 

les  équations  (  i  )  dcvifiidronl 

dr,X  dX  ,  f/X.  dX^  I    rfîX,    , 

,/t         dx  dy   ■'        dz  ■>   dx^- 

avec  I  ('ii\  cinialKin'-  aiial(ii;ncs  ilunnanl  li"?  \aloiir>  de  — t~  <■!  — ; — 
'  ^  dt  dt 

Dans  les   ('•(iiialuiiis   i  ^  i,   on   a   i'cni|)la(  r,  <lans  les   coefficients   -t-j-t— >  •••. 
'  '  dx     dy 

x.y  et  ;  |iai'  leurs  valeurs  {?)).  Ces  cocf'ticienis  sont  ilone  des  fondions  [lério- 
difuu's  de  l  a\  ee  la  période  :>,— ,  de  sorte  (jue  \r>  éipialions  (  'i  ^  sont  hieii  de  la 
loinie  étudiée  |iai'  Al.  laiid^ledl. 

\  |>|)li(|U(m>  doue  à  (<■>  équations  la  ni(''lli(ide  de  ce  saxanl.  Dans  les 
trois  |iieniiers  las.  il  s  inlroiluira  des  termes  séculaires  dans  les  séries  auxquelles 
on  sera  (-onduit,  et  la  méthode  no  s'aiipliquera  j)as.  Dans  les  trois  derniers  cas. 
an  contraire,  (M  c  est  ce  (|ui  arrive  en  i;énéral  dans  les  é([ualions  de  la  Dvna- 
niii|iie.  il  n  \  aura  |amais  de  |iare!l  terme,  et  les  séries  lrii;oiiomélriqiies  exis- 
teront lou|oiirs.  Mais,  dans  le  (|UMtiiéine  cas,  elles  seroiiL  conM'ri;(Mlles  et  même 
uiiiformémenl  convergentes  pour  toutes  les  valeurs  de  l;  dans  le  cinquième 
cas,  elles  seront  encore  convergentes,  mais  pas  nniforméinent  {  ^leichmassin'  ]. 
Dans  le  sixiémi-  cas  enfin,  elles  ne  sont  nliis  con\erç:entes. 


II.  f.  -  1. 


Sl'R  LKS  COURBES  DÉFINIES 


LES  EQUATIONS   DIFFERENTIELLES 


Journal  tic   Mal hcnuitiqites  /titres  rt  ttppliqut'eii^  V'  série,  t.   I,  p.  iti--':î'i'i  (iSS.')). 


Les  deux  incmit'i'cs  Parlics  dr  ce  Inivail  oiU  |)iitu  (hin.s  ce  Journiil,  la  pic- 
nii("TP  au  mois  de  novembre  et  dérembre  iS8i  (3''  série,  I.  VII  )  el  la  deuxième 
ail  iiiiiis  d'adùi  i88a  (3'' série,  I.  \  HT)  (  ').  Dans  ce  qui  %a  suixrr,  je  conserverai, 
malgré  les  objections  auxquelles  elles  peuvent,  donner  lieu,  les  dénominations 
employées  dans  les  deux  premières  Parties,  afin  de  n'avoir  pas  à  donner  de 
définitions  nouvelles. 


CHAPITRE  X. 

STAillI.ITft      Kl'       IXSTAnil.lTl':. 


(  )ii  na  |iii  lire  les  deux  premières  l'ailics  de  ce  Mémoire  sans  èlre  trappe 
de  la  ressemblance  que  présentent  les  divei'ses  questions  (pii  \  soni  irailées 
avec  le  j^rand  iiroblème  astronomique  de  la  stabilité  du  svstème  solaire.  Ce 
dernier  problèmr  est,  bien  entendu,  beaucoup  plus  compliqué,  puistpic  les 
éfiuations  dinércnlicllcs  du  mouvement  des  corps  célestes  son!  ddrdi'c  liés 
élevé.  Il  y  a  même  plus,  on  rencontrera,  dans  ci'  problème,  une  diinciillé  nou- 
velle, esscntiellenieni  (lillérrnle  de  celles  (jiie  nous  avons  eu  à  surnioiilcr  ilaiis 
li'-l  iidc  du  I  UT  m  ICI-  ordre,  cl  j'ai  Tint  en  lion  de  la  faii'c  ressortir,  siiuin  dans  celle 
troisième  l'arlie,  du  moins  dans  la  suite  de  ce  travail. 

(')  Ces  deux  premières  Parties  sont  reproduites  dans  ce  Tome,  la  première,  de  la  page  3  à  la 
page  'l'i,  la  seconde,  de  la  page  !\\  à  la  page  84. 


SUR    LES    COUKBES    DÉFÎMES    l'Ait    LES    ÉOUATIONS    DIFCÉUEMIELLES.  i)  I 

Mais,  quoi  qui!  en  soil,  ^i  la  soliiiion  exige  de  plus  grands  ellorts  et  des  pro- 
rédés  nom  eaux,  l'analogie  des  quesl:on>  à  résoudre  n'en  csl  pas  moins  évidcnlc. 
Pour  éludicr  ré(juali(ill  dillérenlielle 

dx       dy 

ou  |)rul   poser 

dt  dl 

Regardant  ensiiile  x  et  y  eonime  les  coordonnées  duii  |ioint  mobile,  (  roiiime 
le  lemps,  ou  a  à  leelici-clier  rjnel  est  le  mouvemenl  d  un  |)oinl  dont  on  donne 
la  vitesse  en  lonclKui  de  >es  coordonnées.  C'est  ce  mouvement  cpic  nf)iis  a\ons 
('■liidic,  cl  nous  avons  clieiclié  à  résoudre  des  (pieslions  lelle>  que  celles-ci  :  Le 
poiiil  iiiolulc  (Iccnia-l-ii  une  courbe  lerinéi'".'  Keslera-t-il  loiqoiirs  à  1  inicrieur 
d  une  cerlaine  portion  du  plan?  fin  d  autres  lermes.  cl  pour  pailcr  le  langage 
astronomi(|uc,  nous  a\oiis  reclierclic  si  l'iubili^  de  ce  p(unl  élait  stable  ou 
instable. 

iNous  |iomi-(iiis  nous  jioseï-  des  (luestions  analogues,  lorsque  \  cl  ^  ne  scioiU 
plus  des  |)oK  nomes  en  x  et  y.  mais  des  fonctions  algébri(|ues  de  ces  Aariablcs. 
ou  bleu  encore  lorsipic  rc(pialiiui  dilIérenticUe  sera  d'ordi'c  supéi'ieur  au  pic- 
niier. 

Mais  auparavant  il  imjjorte  de  définir  exactement  ce  qu'on  doit  entendre  par 

stabilité  ou    inslaliililé.   Pour  cela,  nous  allons  étudier  les  cinq  équations  qui 

suivent  et   qui    ihuis   donneront  des  exemples  de  tous  les  cas  (pii   peu\ent  se 

[U'éscnler  : 

I  "   Soiciil  d  aliiud 

dx  _  dy 

'di^'~  ^''     in^-^' 

il  Nicul,  pour  I  cqiialioii  tir  la  ti  cqcctiui'c, 

X--:-  y^=^  consl. 

l.cs  Irap'i'loircs  clanl  des  courbes  Icriuccs,  la  sI.iImIiIc  es|  coinpli'lc. 
■'."  Soiciil   inaïul  cnaul .  en  CM(U'd(iiu)ces  |)(ilaii'cs. 

dia  dz,  I 

/t  étant  une  constante  quelconque.  11  serait  aise,  d  ailleuis.  de  passer  de  cette 
c(nialiiiu  eu  coordonnées  jxilaires  à  léqualion  coirespcuidante  en  coordonnées 


9''  MH  i.i:s  (oinnrs  diîfiniks  i-aii  les  EyuATioNs  nii  fkkkntieli.ks. 

roi'lani;iilaii("'.  cl  l  i>ii  \oira[l  i[iir.  -.i  idii  imi  cclli'  ciiimIioii  >ou>  la  Idinic 

'lu  -K  i"'    -  Y 

dl  ~     '  (//  ~     ' 

\  li   ^     111'    x'i'diil    \)\y[>  (les   |icil\  UDincs   cnlicr-s   en  x  cl    )',    mais   di'.s    l'ouct  loiis 
algébi'if|ii(\-.  (le  co  \  ariahlc--.   1^  ciiiialKm   ilillcrcuticlic   scia   ciicoïc  du  prciiiici- 
nrilrc.  mais  sera  ilc  ilc^^rc  Mi|)criçur. 
<  )n  Iroiixc  immcdialcmcnl  I  inlci;iMlc 


(]  (iaiil  une  eonstaiiU'  <riiUci;ralion. 

Si  //  e.sl  ei)nimeiisui'alilc  a\ee  '.t:,  la  I  ra|eel(iire  csl  une  cou  rlie  lennée,  et  l'im 
rcliimlic  sur  le  cas  |irée(''ilcnl .  Sii|i|ii)s()ns  (|ii  il  n  en  sfiil  pas  ainsi. 

Il  ariixcra  alors  <|iic  la  I  l'ajiMiiiirc  ne  sera  pas  une  eourlie  tcrniec:  mais 
néauinoins  elle  jouira  d  une  cerlaine  slahdilé  :  (in  peut  nK'ine  (lir(  d  une  cci- 
laiiic  p(''riodicil(''  d  une  naliiic  particulière.  Vai  ellel,  soit  i\[  un  pdinl  de  la  I  ra- 
|eeliiirc.  (ieciip(''  un  Icmjis  (  par  le  point  nudiilc.  Décrivons  aiiloiii'  i\\\  pmnl  M 
1111  cer(dc  de  ra  \  (111  /■  aussi  pelil  ipie  nous  xdudrons.  I  ,c  poiiil  m(d)ile  parlaiil 
du  pi  uni  M  sdi'l  ira  ('-n  ideiuineiil  de  ce  cercle,  mais  il  \  icudra  I  ra  xerscr  de  m  m  \  eau 
ce  pelil  cercle  une  i/i/l/ii/c  lie  Joix.  cl  cela,  (pielipic  pelil  ipic  S(ut  /'.  l'.n 
(laiilrcs  Icrmcs,  le  p(unl  nioliilc  parlani  du  piiiiil  M  lie  piuiira  |aiiiais  revenir 
en  ce  piiiiil.  mais  jI  reviendra  eu  des  pcuiils  inlinimcnl   voisins  de  M. 

l'.n  sccdiid  lieu,  le  p(unl  M  rcslcra  l()iij(uirs  à  1  intérieur  de  la  Cduroiine 
limil(''e  ])ar  les  dcii  \  cercles 

i  =  I         cl        p  =  ;>, 

Mai.s  sa  Irap'cidirc  rciii|ilira  cnhcremcul  celle  c(Mirdiine,  sans  laisser  de  lacune. 
Je  V  eu  \  (lire  (pie,  dans  hmlc  aire  plan(%  si  pelile  (piClle  soil ,  si I  née  à  ruité'rieur 
de  la  ciiiir(uine.  il  V  a  des  poiiils  de  la  I  lajccldirc.  I,cs  MIcmands  diraicnl 
(|iie  la  l'uni, Itncnqe^  IdiiiH'c  par  les  dillerenis  pcuiils  de  la  Irap'cloirc,  est 
iiberalldtclit  à  rinh'ricur  de  la  ((uirimuc. 

(\c  second  cas  ne  peiil  pas  se  pix'scnlcr  pour  les  cipialidus  dillcrcnl  iclles  du 
premier  (irdre  cl  du  p,''emicr  dej;r('-.  ('.'est  |iduiipidi  nous  ne  lavons  pimais  ren- 
contré jusqu'ici. 

.j"  SoienI  inainlenanl.  en  coordonni'cs  polaires. 

ftp  ^,  i!o>  _   I 


SDn   LES  COURBES   hEFlNIES   l'Ail   LES   EylATIONS   DIFFERENTIELLES.  <JJ 

OU,  eu  (•(Kirddunécs  rPclani;uliiii'C,s, 

d.r  _   I -!- ,T- -r- /-  V  dy  _   I -i- .7-' -:-  X"  .'• 

L'jiilcj^iiile  i;ciicr;ile  csL 

^^  =  lang(  A  w  -1-  C  ), 

C  ctam  mil'  conslanU'  d  pnl(''i;ralii)H. 

T<l  (Micoic.  si  /(  est  incommensurable  avec  :<-,  h;  |>i-.inl  mobile  ne  peiil  jamais 
revenir  à  son  |iûint  de  déparr,  mais  il  peut  revenir  en  des  points  infiniment 
voisins. 

F/a  dillereiiee  avec  le  cas  précédent,  c"e>l  (|iii^  le  |)oinl  mobile  n  est  plus 
assup'lli  à  resler  dans  une  certaine  rét;i()n  du  plan,  et  fpie  c  est  le  |)lan  tout 
entier  (pie  la  Irajecloirr  remplit  sans  lacune  (  iibcrdlldiclit  i. 

C,r  Iroisiénie  cas  ne  peut,  pas  plus  que  le  deuxième,  se  préscntei-  pour  les 
équations  du  ju-cniier  ordre  et  du  premier  def;ré. 

\°  Comme  (piatrièmc  cxcinpli'.  nous  prendrons  la  spirale  lot;arillimi(pie  dont 

I  e(|uali(Ul  ddlV'i'eiilielle  s  cent 

d: 

ou   lueii 

il.r  dy 

-r-  =  m  -r  —  y,  -f-  =  m  y  -■-  x. 

d'.l  "^  d<: 

\.  intei;rale  ;',eiiérale  est,  comme  on  sait, 

p  =  Ce""". 

Soi!  M  II'  ]i  uni  ili'  départ  du  piuut  mobde;  si  nous  dcci-i\uns  autour  du 
|Hui)t  M  un  cercle  de  ra\  (Ui  suHisammeiit  petit,  nous  \  errons  le  point  mobile, 
parlant  de  M,  sorlir  de  ce  cercle,  et,  après  en  ctri'  sorli,  li\)'  />/lts  jdiiiuis 
I  entrer.  C  est  lo  conti'arre  de  ce  qui  se  passait  dans  les  trois  cas  examinés  jilus 
liant,  et  lui  le  point  mobile,  après  è'Irc  sorti  d  un  cercle  très  lielil,  y  rentrait 
ensuite  une  inlinite  de  fois.  A  ce  |)oint  de  \  uc,  on  peut  dire  ipie  la  trajectoire 
est  instable. 

On  sait  ipu'  les  eei-cics  o  =const.  sont,  poiii'  nos  I  ra|cctoires,  des  cycles  sans 
contact.  De  plus,  tout  le  plan  est  sillonne  par  ces  cycles  sans  contact,  sans 
qu'il  V  ail  de  cycles  liiniles.  (/est  à  la  présence  de  ces  cycles  sans  contact 
ipi  csl  due  I  nistabibté  de  la  trajectoire. 

.')"  Soit  eidin  réipuition 

d'. 

-;-  =  I  ,'^  — i)(  P  —  •-'-)■ 


<).i  !^l  H    I.ICS   CObllllES    DKl'IXlKi    PAK    LliS    KQUATIONS    DIKI'ÉKE.NTIEI.LIIS. 

Li'>  ccrclo  5  =  consl.  soiil  l'iicuii'  do  (•\cl('>  saiis  cuiiUiii,  ('\(r|)lc  les 
«■(•rclo  :  =  I   cl  p  =  }.  ([III  soiil  lies  cncIc^  liniilo.  1.  nili'i;r'alc  i;('uicial('  ('laiil 

C  <•<■'  —  ■< 

'   =   T, ' 

(,  r^ —  1 

<ili  \(iil  aix-mciil  (|iic  lii  I  rii|C(l(m'c  ol  iii.'ilalili'.  c  csl-à-dirc  (|uc.  a|irr.-.  ('Ire 
>()iMic'  d  Mil  cci-clc  MiHi>aniiii('nl  |Mlil  drcrit  aiiloiiidii  |)iiiul  de  dr|iail .  elle  ne 
|i(inira  |ilii>  \    iciil  rci\ 

l.a  dilléreuct'  a\cc  Ir  ca.s  prccodcnl  licnl  à  I CMsIrncr  des  (•v(lr>  limilcs.  Il 
(•11  rc'sulte  que,  .-•!  Ii'  pulnl  de  dc'part  csl  à  riiil(''ri(Mir  de  la  ((niioiinr  limilée  par 
It'.s  deux  cercles  3  ^  i  cl  o  =  :>.,  le  poinl  in(d)ilc  icslcra  liiiijiiiir>  à  i'inh'Tieiir 
de  celle  cdiiroune. 

\(i\i>  |i(iii\iiii>  inaiiileiiaiU .  en  iiiiiis  icleiaiil  aii\  e\eiii|iles  |ireccdeiil'-. 
donner  une  di'liniiKiii  picei^e  de  la  stalnliU'.  ^Sllll^  diroii-s  iiue  la  lra|ecliii  re 
d  un  |Hiiiit  ni(_il)iic  e>l  >lal>le,  IdrMjiic,  dijcrixani  aiildur  du  |i(iinl  de  de|iail  un 
eeiiie  un  nue  >|ilicie  de  ravou  /',  le  jjoiiit  nioLilc,  après  êlre  sorti  de  ce  cercle 
on  (le  celle  sphère,  ^  renirera  une  inllnilé  de  luis,  cl  cela,  ipielipie  pelil  ipic 
siiil  /•.  C  Csl  ce  qui  arri\c  dans  les  trois  premiers  c\cni|>les. 

I".lle  sera  iiistalile  si,  apriî'S  être  sorti  de  ce  ecrelc  ou  de  celle  sphère,  le  poinl 
in(d)ilc  n  \    icnire  pins.  C'est  ce  (|ui  arrive  dans  le^  deux  derniers  exemples. 

l.a  slaliililé  ainsi  dèlinie  ii  a  (ju  une  impoilaiice  llièorunie.  i'onr  la  pi'alii|iie, 
il  landrail  dèleriiiiner  nue  région  de  lespacc  où  le  poinl  moijile  reste  constam- 
iiienl  reiilernie.  Il  arme  justement  ([ue  la  dèlerniination  dune  pareille  région 
Csl  beaiicini|i  pin--  diriielle  dans  le  cas  de  la  slaliililé  que  dans  le  cas  de  l'insta- 
bilité. Il  v  a  la  une  dillienllé.  sur  laquelle  je  ne  \en\  pas  insister  dans  ce  momeni, 
mais  ipii  Ccra,  dans  la  suite  de  ce  travail,  l'oljp't  d'assez  longs  développements. 
I)aiis  les  cas  ipie  nous  avons  étudiés  |us(pi  ici,  c  cst-à-dire  jionrles  équations 
du  iirc'mier  (jrdrc  cl  du  pninier  degré,  les  Irajectoires  sont  des  cycles,  c'est-à- 
dire  des  courbes  lermecs  ou  des  sjjirales  (  voir  théorème  XII,  t.  \  III,  p.  2;'):'))  (  '  ). 
Dans  le  premier  cas,  elles  s;)iit  stables:  dans  le  second,  inslaliles.  On  ne  jieut 
diiin-  |amai,-.  rené  outrer  lien  de  sendilalile  a  ee  (pie  nous  v  eue  uis  d  iiliscrv  er  dans 
les  deiiMeiiie  et   troisième  exemples. 

Imi  général,  le  plan  es!  sillonne  d  une  iiilinil(''  de  cvcles  sans  coiilael  el  di' 
cvcles  limites  (  I luMireme  Wlll,  I.  \lll,  p.  :i-^)(-).  Toutes  les  trajectoires 
sont  des  spirilles,  cxeepte  les  i  v  eles  limites. 

(  '  )   Voir  ce  Toiiic,  p.  !\-. 
I  •  ■    l/./r  (■■-  'l'oirie,  \>.  Ii'i. 


Sun    LRS    (^OinilES    nKFI>flKS    PAU    LES    ÉQl'ATIONS    DIKFÉnENTIEI.I.RS.  l) ') 

I- DiNlaltilitc  csl  iliini-  lii  rri;lr,  cl  hi  slahilrlc  rcxce[)tiViii. 

Il  peut  arriM^i'  iiiissl,  dans  rlrs  cas  très  exceptionnels,  qiw  le  plan,  an  lieu 
ilètre  sillonné  pai'  une  infinit''  de  cyeles  sans  contact,  est  sillonné  par  une  inli- 
iiilé  de  eonriies  Icfinées  satislaisanl  à  l'équation  diUéi-entielli"  proposée  et  tVu- 
mant  un  de  ces  systèmes  ([wo  nous  avons  appelés  topographiqnes  (I.  \ll, 
p.  ,')8,))  (  '  )•  Il  \  a  alors  stabilité.  C'est  ce  qui  arrive  en  particulier  danslevoisi- 
naf;e  de.  ces  |i(iinls  ■'Iniiuliers  exceptionnels  cpie  j'ai  appelés  centres  (t.  \ll, 
p.  ■^)9l)  (->  el  ddiil  iiiMis  allons  faire  une  étude  |)lus  approlnndie. 


CHAPITRE   XI. 

llfîORIF     DES     CENTRES. 


iù'rivons  notre  é(piali(ni  ddléM-enllrlle  soii^  la  fofnie 


ilx  _  dy  _ 

lit   "      '  dt  "     ' 

de  manière  à  lui  faire  représenter  le  mouvement  d  un  poinl  niohih'.  .Sii|)]in.s()n> 
que  X  et  Y  soni  des  polvnomes  de  degré  n  en  <r  et  ony.  Supposons  de  plus 
que  nous  avons  pris  pour  orii;ine  le  point  singulier  que  nous  voulons  étudiei-, 
de  telle  façon  (pic  \  cl   ^   s'annulent  a\cc  j:  el   v-  Nous  ponrrnns  écrire  alors 

X  =  X,+  \,  +-...-- X„, 
■  Y  =  Y, -+-Y5  +  ...-!-Y„. 

\/ et  ^  ,■  étant  des  polynômes  homogènes  de  degré    i  en  .r    cl   eu  )  •  (  .IiitcIioiis 

maintenant  si  Ton   petit  former  un  polynôme  F  en  .r  et   en  y,    (\i-  Icllc  façon 

cjue,  dans  l'expression 

*  =  4^X^^Y, 
ci.r  ay 

qui  est  aussi   un    polvnomi^  enlicicn    r  el   en  j',   les  termes   de  dcgic   inlciicnr 

à^  en  x  et  on  y  soient  lous  nuU. 

Nons  pourrons  écrire 

F=  !•.,+ I",+  F..  +  ... 

(F,-  étant  liomogéne  di'  degré  /  en  .r  et  en  y),  en  siqiposjul .  ce  (pii  csl  ii (■■cessai rc 
pour  notre  objet,  que  F  ne  coniienne  pas  de  terme  de  degré  o  ou  i . 

(')    \'oir  ce  Toine,  p.  ii. 
f-)    Voir  ce*  Tome.  p.  c;. 


<)0  SIR    l.KS    roi  UBKS    DICI'INIES    PAU    LKS    ÉQUATIONS    DIFFliftENTlRlXES. 

l'osi)n>  OUMIlIC 

dF, ..         dFi .. 

'■1?H  sera  iiii  |)ol\noni('  liomoiït'iie  cii'  u(i;i'(';  ?  +  /,■    -  i . 

Si    n(iii>   i'cri\(iiis  (iiic,    (l;ni>  <I>.    Ions  les   Icnncs  de   (l(;;n'  inicncnr  à /;  muiI 

iuil>.  il  \  ii'iulrii 

|'l>..i       =0, 
■l'ai        =— l'-î, 


0) 


'I',.     1,1-=  -'l-,-:^.-!        •1-,,-:,,:,  — ...— 'I',,,,-.. 


La  |)it'mi('ic  lie  ces   écjiialioii.s  imiis  doniura   V-2,   la  ilciixiOinc   F; ,  cl  enfin 

la  /)  —  a"'"""  nou.s  donnera  F^-,,  poiiiiii  toutefois  qu'il  soit  possibL^  d'y  satis- 
faire. 

Considciiiiis  il  aliiird  la  |iicniicrr  rqualrcin. 

Soicnl 

Fo  =  «  .r-  -1-26  xy  -T-  ry^. 

X,=  axH-p_>-,         y  1  = -fx -{- Sy, 


il  \  ifMil 


-  >I>2i  =  (  a.T  —  by)  (aa^  -T-  [iy  )  ■+-  ibx  -+-  cy)  {-^x  -+-  oy), 


de  sDi'lc  i|iii'  la   |irrinirrr  r(|naliiiii  1  1  I  rnlraînr  les  liois  Muvanh's  : 

(   (/  a  -H  6  •'  =  f ' . 

f  /(  ^  +  c  0  =  o  ; 

ces  é(|iiali(pns  ne  sdiil  «niiijial  diics  (juc  m  I  un  a 

(3) 


'J.  o 


\oii.s  >n j>|iipsiT(ins  de  |iliis  (|iii'  les  \alciiis  de  n.  h  cl  c,  (|iic  I  ou  lue  des  cinia- 
linns  (a),  scnil  lcllc>  i|ui'  la  idiiuc  l'\.  muI  dcliiiic  |)(i>ilivc. 

Si  CCS  (Icnx.  coudilions  sonl  rcm|)iic,s,  on  rclondicia  >ni-  le  quatrième  cas 
subordonné  dont  nous  avons  dil  f[n('l(|ue,-.  mois  à  la  |)ai;c  ujo  <ln  Tomr'  ^  Il  (  '  ), 
mais  (jup  nous  n'avons  |)a,s  encore  cindic  à  lond. 

Si   elles   II  elaiciil    pas    rcm|)lies.    an    <(iiil  raire,    le    |ioinl    singulier    scrail     ira 

r  '  j    \  oir  ce  Toino.  |>.  \-. 


Si:n    LES    COURBIÎS    DliFINIES    PAR    LES    ÉyiAllONS    DIFFÉItlî.NTIELLES.  (jy 

nœud,  lin  iuyv  ou  un  col,  et  nous  n'aurions  rien  à  ajouter  à  ce  cjuc  nous  avons 
dcjù  dil  au  sujet  de  ces  points.  Nous  supposerons  donc  ces  deux  conditions 
satisfaites. 

La   forme   F-,  étant  définie  positive,   nous  pouvons  toujoins  1  l'icrire  sous  la 

(orme  Sun  anle  : 

(Xx  -+-  iJ-y)--i-  (X'.r  -+-  iJ-'y)-. 

SI  nous  changeons  ensuite  de  \arial)Ies  en  posant 
il  \  iendia 

F-,  =  x'^-i-  y-. 

En  conséquence,  non-,  pouxons  toujours  supposer  (pie 

F,  =  x'--+-y-; 

car,  si  cela  n'était  pas,  il  suffirait  d'un  cliangement  linéaire  tic  variables  pour 
ramener  F-,  à  cette  forme.  Nous  ferons  désormais  cette  lijpollièsc. 

Quelles  en  sont  les  conséquences  au  sujet  do  X,  et  de  Y(  ? 

Les  équations  (2)  deviennent 

a  =  o,         0  =  0,         j3  +  Y  =  o  ; 
d'où 

Les  autres  équations  (i)  s'écrivent  alors 

(4)  •>'177---''177  =  "'" 

où  F,y  est  un  polynôme  liomogènc  de  degré  q  qu'il  s'agit  de  délernilner,  pen- 
dant que  llç  est  un  polynôme  homogène  de  degré  q  qu'on  jieut  considérer 
comme  donné,  puisqu'il  ne  dépend  que  des  polynômes  X  et  \  et  des  poly- 
nômes homogènes  F^,  F3,  ....  Fy_,  que  l'on  a  du  calculer  avant  Fy. 

Dans  f[uel  cas  est-il  possible  de  satisfaire  à  une  équation  de  la  forme  (  /j)  ? 

Pour  résoudre  cette  question,  nous  allons  passer  aux  coordonnées  polaires  en 

posant 

X  =  p  costû,        ^  =  p  sintu. 

Il  viendra 

dx  dy  du) 

et 

H.  P.  -  I.  i.i 


9»  Sl'H    I.KS   COUBDES   DEFINIES   PAU    l-KS   ÉQUATIONS    DIFFBRENTIELLES. 

De  j)liis,  on  aura 

(s(o))  =  !£A/,cos/.  to  +  S  B/,  siii/iiu, 

i!((a))  =  SC/,-  cos/.(o  +  1  D/,  sin Aïo. 

Dans  ces  expressions.  /»•   n<'  iiomra  prendre  que  des  Aaleiirs  inférieures  on  an 
plus  égales  à  (7,  el  de  nirine  parité  qne  (7.  En  particuliei-,  si  q  est  impair,  il  nr 
pourra  ]ias  y  axoir  <li'  iciinc  louL  connu  (c'est-à-dire  de  ternie  où  A'  =  o). 
l."(''(pialion  (  "i  ^  sécril  alors 

-^  =  ,(., 

Pour  ipi'du  puisse  y  satisfaire,  il  faut  et  il  sidlil  (jue  'l  (co)  ne  conlicnne  |)as  de 
lernie  (oui  connu,  c'est-à-dire  que  l'on  ait 

Co=  o. 

Celle  condilion  est  remplie  d'elle-même,  comme  nous  venons  de  le  voir, 
lorsque  rj  esl  impair.  Elle  ne  l'est  pas,  au  contraire,  en  général,  lorsque  q  est 
pair. 

Si  q  I-.I  impair,  il  y  a  donc  loujoui's  une  manière  et  une  seule  de  satisfaire  à 
l'éipialion  (  ^)  :  il  Millil  déposer 

.Si  q  e>l  pair  el  si,  cejiendanl,  Cl,,  esl  nul,  il  y  a  une  inlinité  de  manières  de 
satisfaire  à  noire  équation;  on  fera  encore,  en  eflcl, 

^1  /.■  est  dinèicnl  de  zéro,  et  l'on  poui'ra  cliolsir  \(,  ari)ilraireineal . 

(^u'ari'iv  e-t-il  cnliii  si  q  e>t  |)air  et  si  Cq  n'est  pas  nul?  Dans  ce  cas,  il  est 
iin|)Ossil)le  de  satisfaire  à  l'écpialioii  (  'j  ),  mais  on  peut  elioisir  Fy  de  telle  façon 
que 


i/.v  dy 


pour  toutes  les  valeurs  de  x  et  dey  si  C^  est  positif. 

Au  contraire,  si  C,,  est  iit';iatif.   lUi  poui-ra  <liol^ir  1'",^  de  telle  façon  que  l'on 
ait  toujours 

Il  'iillil.  pijiir  cela,  de  faire 

.  D/,  C/, 


SUR    LES   COlRnES    DEFINIES    PAU    LES    EQUATIONS   DIFFEHEMIELLES.  99 

pour  toutes  les  valeurs  île  k  dillerentes  de  zéro.  A„  restant  arlHlrairc.   11  vient 
alors 


Suieul,  |)ar  exeni[)l 
Il  \ieildra 


Faisons  alors 
11  \  iendra 


g  =  I,         Il,=  lia;- 

,,  .  /3[î  — a        -^-l-p 

'U=  ?*     — *-^ ! r^  cos4( 

\       I  4 


•'   dx  dy  4  ■^ 


Si  .î|j=:a,  le  premier  nienihre  de  eeltc  étpiation  e>l   nul.  cl  i"iin  a  >ali>l'ail  à 
l'équation  (4)-   '"^i  ^>Iil>a,  le  premier  membre  est  positif,  ([uels  rpie  soient  x 
Q\  y.  Si  .'5p  <<  a,  le  |)remier  membre  est  négatif,  quels  que  suient  x  i'Xy. 
Cela  posé,  on  voit  aisément  que  l'on  peut  faire  deux  hypothèses  : 

1°  On  peut  supposer  d'abord  que  l'un  puisse  déterminer  Fo,  F.s,  ...,  F^_| 
de  faeon  à  satisfaire  aux  q  —  i  premières  équations  (i);  mais  qu'il  soil  impos- 
sible ensuite  de  déterminer  F^  de  façon  à  satisfaire  à  la  q  —  i"™°  équation  (i). 
Dans  ee  eas,  q  est  néeessairement  j)air.  et  nous  déterminerons  F^,  eonime  il 
vient  il'èlre  dit,  de  telle  façon  tpie 

Nous  poserons  ensuite 

F  =  F,+  FaH-...+  F,_,-+-F,,. 

■le  dis  (pie,  si  k  oi  une  conslanle  |)ositi\(-'  suflisamuunl  petite,  l'équalicMi 

F  =  A- 

représenlera  une  courbe  fermée  qui  sera  un  cycle  sans  eonlaet. 

En  effet,  si  p  est  suffisamment  petit  (plus  petit   que  p^,   par  exemple),   la 

finiction  F  va  en  décroissant  cjuand  p  décroît  de  p„  à  zéro,  to  restant  eonsianl  ; 

dp,  .    ,  .         .  dF 

car,  SI  ;  e>t  très  petit,  e  est  —r^  =;  2  i  qui  dunne  son  sisne  a  -i— • 
i  I  d;  '     1  '^  d-j 


loo  sih  LKs  counnics  dkfixif.s  pai\  les  eo''ations  niFFEHF.NTiia.i.Es. 

Suil  Au  la  |)lu,s  petite  valeur  (jiie  piiisse  preiidr*-  1"  le  long  du  ecrclc  p  =  p,,, 
et  soit  /.-  <  An- 

11  est  clair  (|ue  V  =  k  scia  une  eoiii-be  fermée,  ou  |iliit("il  (|ue,  |iarriii  les 
bruiiches  dont  se  compose  cette  courbe  ali;él)ri(|ue,  il  y  en  a  une  (pu  est  reiniée, 
qui  enveloppe  l'origine  cl  qui  est  intérieure  an  cercle  p  ^  Oq.  C'est  celte 
branche  que  nous  envisagerons  à  l'exelusion  de  toules  les  autres. 

Maintenant,  pour  qu'il  y  eût  contact  entre  ce  e^clc  et  une  de  nos  trajectoires, 

il  faudrait  (jue  l'on  eùl 

,       -.  dF       .,  (IF 

ax  dy 

Or  le  polynôme  <1>,  par  hypothèse,  n'a  pas  de  terme  de  degré  inférieur  à  q^  et 
ses  termes  de  degré  q  se  réduisent  à 

Si  p  est  inférieur  à  une  certaine  limite  (et  nt)us  pourrons  toujours  supposer 
que  po  est  inférieur  à  cette  limite),  ce  sont  ces  termes  de  degré  q  qui  donnent 
leur  signe  à  •I',  et,  comme  ils  sont  toujours  de  même  signe,  <I>  ne  peut  pas 
s'annuler. 

11  ne  peut  donc  y  a\ oir  de  contact  entre  nos  deux  courbes. 

AiuM  l'inléneur  de  la  courbe  1"  = /,■„  est  sillonné  par  une  infinilé  de  cycles 
sans  contact  s'cnveloppant  mutuellrment  et  enveloppant  l'origine. 

•Supposons  Co  négatif  pour  fixer  les  idées,   on  aura,  à  l'intérieur  du  cercle 

û  . —  ^0' 

dt        '    dx  dy 

Donc,  lorsque  /  tendra  vers  +  ^ ,  le  point  mobile  ira  en  s'éloignanl  de  l'ori- 
gine jusqu'à  ee  qu'il  miIi  >()rli  de  la  courlje  F  =  A-,,,  et,  une  fois  sorti  de  cette 
courbe,  il  n'y  pourra  plus  rentrer.  Lorsque  l  tendra  vers  — rx,^  le  point  moliile 
se  rapprochera  indéfiniment  et  asyniplotiqueiuent  de  l'origine  en  décrivant  une 
infinité  de  s|jires  autour  de  ce  point.  La  trajectoire  est  donc  une  spirale. 

En  d'autres  termes,  il  y  aura  instahililé^  et  V origine  sera  un  foyer. 

Si  Co  était  positif,  il  suffirait  de  changer  le  signe  de  <,  et  l'on  retomberait 
sur  les  mêmes  résultats. 

Soient,  par  exemj)le, 

dx  'iix^  dy  "y.yx-v  —  3  r' 

d/        ■'  x  (Il  V. 


SUR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  lOl 

Nous  ferons  Fo^  x-  +J'-,  F3  =  o,  et  la  troisième  équation  (i)  s'écrira 

■^  dx  dx  J        i  J 

Nous  avons  vu  qu'il  est  impossible,  en  général,  de  satisfaire  à  cette  équation. 
Nous  prendrons 

et  il  viendra,  comme  nous  l'aNons  vu, 

■'    dx  dy  -1  •'    ' 

D'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  si  3  [j  —  a  n"e>t  |)ii>  nul,  les  courbes 

F2  -H  F4  =  k 

seront  des  cycles  sans  conlact,   |i(iur\u  que  k  soit  suflisainment  petit.  Il  y  aura 
instabilité,  et  l'origine  sera  un  foyer. 

Supposons  maintenant  cjue  3  [3  =  a.  La  troisième  équation  (i)  sera  alors  satis- 
faite. Nous  prendrons  F.j=  o,  et  la  cincpiième  équation  (i)  s'écrira 

rfFe  d¥,       „ 

On  trouve,  d'ailleurs,  en  faisant  [3  =  i,  7.  ==  3, 

3  3 

^i= -x'-y —  (^x■^y^^-\- -y^x, 

et  l'on   voit   qu'il   est    possible  de  satisfaire  à   la    cinquième  équation  (i)    en 

faisant  (') 

5  3 

1  "         4 

Nous  prendrons  ensuite  F,  ;=  o,  et  la  se|)tièine  équation  (1)  s'écrii-a 

rfFs  dV^       „ 

o  ù 

8  Hs=  3o.«'S —  v/àx'' y-  —  t^i.x'' y'' -^  xix^ y^ 
ou 

—  Hj  =    jx^ — idx^ y- —    ■jx''y''->r   ix-y^. 
Posons  X  =.-  p  cosw,  JK  =  p  sinoj;  développons  ensuite  Hg  suivant  les  sinus  et 

(')  Il  s'esl  introduit  ici  une  ei'reur   de  culcul,  qui,    d'ailleuis,   ne    modifie   pas   les   conclusions 

[K.   G   ] 


lOa  Sin    LES    COniBKS    llKFtNlUS    P.Vn    I.ICS    KQLATIONS    lUFI'lilllîNTIlîLLKS. 

cosinus  di's  iiuilliplos  de  w,  l'I  vt)yi)ns  si  In  U'i'inc  tout  (■(iimu 


csl  nul.  On  Un 


d'où 


i  H. 

-—7=12  COS'r.)  ■+-  '1  COS''(0  —  l3  COS''(i)  ■+■  ■?.  cos-io  ; 


4  „         12.35        4-5        i3.G        a        84 


1:^8  16  16  2        128 

Ain-i    il   i"-l   inipossiljlc  de  salisliui'r  à   la   sepLiènic    éijualion  (1);    I  oi'iginc    csl 
doue  encore  un  foyer. 

On  doil  ronelure  de  là  que,  si  le  uiouNeniiMil  dun  |ioinl  mobile  esl  défini  |iar 

les  équations 

d.r  [j.r-'  (iy  ■\'J.x-y  —  [iy^ 

dt  ~  ^         1.    '  dt  ~  2 

Lt  trajectoire  de  ce  point  sera  toujours  instable,  quels  que  soient  y.  et  j5. 

Ainsi,  l'on  cherchera  à  résoudre  successivement  toutes  les  équations  (i\  et, 
dès  qu'on  se  trouvera  arrêté,  on  sera  certain  que  la  trajectoire  est  instable. 

2°  Mais  il  peut  arriver  aussi  qu'on  ne  soit  jamais  arrêté,  ce  qui  exige  une  infi- 
nité de  conditions.  Ces  conditions  sont  évidemment  nécessaii'es,  pour  que  la  tra- 
jectoire soit  stable,  ou  pour  que  l'origine  soit  un  centre.  Sont-elles  suffisantes? 
C'est  ce  (pie  nous  allons  examiner. 

Formons  suecessix  l'iiiciit,  à  l'aide  des  équations  (ij,  les  polsiKuiies  Fo, 
Fj,  .  . .,  Fç,  et  considérons  la  série  infinie 

F=  ¥,+  F3  +  ...-t-F,,-H.... 
Si  elle  est  convergente,  il  n'v  a  pas  dr  difficulté,  car  elle  satisfera  à  l'écpialioii 

^  \       ^  Y  - 

dx  '         dy 

Les  courbes  F  =  A'  seront   donc  les  trajectoires  du   |iiiiii[  inniiilc,  ci   ce  seront 
des  courbes  fermées  si  k  est  suffisamment  petit. 
Il  reste  à  examiner  si  la  série  F'"  eonverge. 

Posons 

X  =  R  coso)  —  p!l  sino),  Y  =  R  sin  w  -h  f  12  cosio. 

Léqualidii  |)ri'ci'dcnlc  dc\  iciiilra 

:{iî  H     :ZIi  o  -  o 


SUR    LES    COUBBES    DKFINIES    PAU   LES    ÉQUATIONS    DIFFÉBENTIELLES.  Io3 

Nous  pourrons  dcvelo])])er  la  fonction  —  -  suivant  les  puissances  croissantes 
de  p,  le  dc\  cloppcnu'nl  commençant  par  un  terme  en  o-;  nous  écrirons 

Oj,  0;,,  .  .  .  étant  des  fonctions  de  w.  L'équali(jn  précédente  deviendra 
et,  si  Ton  pose 


les  z^  étant  des  fonctions  de  w,  on  déterminera  successivement  les  Zq  à  laide 
des  équations  suivantes  qui  remplaceront  les  équations  (i)  : 

>, 
( I  bis }        I   ,'.  =  ,/  ..^ 0^ _,_  3  -., O3 -f-  2 ;. Oi, 


f     -7=   '7   —  l)-'/-l'J2-!-('/   —  ^)-,/-i.03-T--  ■  .+  3^36,-2+   -î-aO,/-!, 

S'il  est  possible  de  satisfaire  aux  équations  (1)  avec  des  polynômes  entiers  en  x 
el  enj',  il  sera  |)ossiLIe  de  satisfaire  aux  équations  (i  bis)  avec  des  fonctions 
purement  trigonomélri(pies  de  o)  (c'est-à-dire  avec  des  polynômes  en  cosw 
et  sin  w  ). 

Si,  au  contraire,  il  n'est  pas  possible  de  satisfaire  aux  équations  (  i)  (c'est-à-dire 
si  les  quantités  C,,  ne  sont  |ias  toutes  nidles),  on  pourra  néanmoins  résoudre  les 
équations  (i  (/is)  et  caleuli'r  successivemenl  les  fonctions  z].;  mais  ces  fonctions, 
au  lien  de  ne  contenir  que  des  termes  trigonomélriques,  contiendront  des 
termes  où  w  entrera,  en  dehors  des  signes  sinus  et  cosinus,  soit  à  la  première 
puissance,  soit  à  une  puissance  supérieure. 

n  est  impossible  de  n'être  pas  frappé  de  l'analogie  des  ternies  ainsi  introduits 
a\  ce  les  termes  que  les  astronomes  appellent  séculaires.  Il  y  a,  cependant,  une 
difl'érence  essentielle  qu'il  importe  de  remarcjuer.  Quand,  dans  les  méthodes 
habituelles  de  la  Mécanique  céleste,  on  rencontre  un  terme  séculaire,  il  n'est 
])as  permis,  pour  cela,  de  conclure  à  l'instabilité  de  l'orbite;  car  il  peut  se  faire, 
ou  bien  que  la  série  soit  divergente,  ou  bien  que  le  terme  ainsi  obtenu  ne  soit 


c 


Io4  SIR    LES    COiniiES    DliriMES    PAR    I.KS    ÉQUATIONS    Dl  l'FERKNTIELLES. 

que  le  ])riMiii(r  l(  riiic  d  un  dcx  i'I(i|)|hiiu'iiI  dont  l<i  .sdinme  reste  toujours  finie. 
C  e^t  ain>i  (jue  ato  peut  être  li'  |>icnii('r  terme  du  dé\  eldiinenieul 

sinaw  =  zto  —  — i .  .  .  . 

6  I20 

11  11  en  e>l  |ui.s  de  iiièuic  dans  le  cas  qui  nous  occupe  cL  avec  la  méthode  que  j 
viens  d'exposer.  Si,  dans  la  suite  des  calculs,  ou  rencontre  un  ternie  séculaire, 
on  pourra  coïKlure  imniédiatenienl  à  linslalulité  ;  il  n  est  pas  niéiiie  nécessaire, 
pour  cela,  ipie  la  série 

soil  con\er;;('nte. 

Nous  pouvons  poser  la  queslion  de  la  convergence  iiiènie  dans  le  cas  où  les 
fonctions  ^y  contiennent  de»  termes  séculaires;  car,  Ijien  que  cette  queslion  pré- 
sente alors  beaucoup  moins  d'intérêt,  il  est  avantageux,  pour  arriver  |)lus  faci- 
lement à  la  solution,  de  se  débarrasser  des  restrictions  inutiles. 

Commençons  par  dire  quelques  mots  des  trois  cas  simples  suivants  : 

1 2  '       rf(U  t>  ^  '  '      '  dui  Si  ^  '  '      '  dM 

On  trouve  alors,  pour  les  intégrales  générales  des  équations  du  mouvement,  en 
appelant  k  une  constante  d'intégration, 

g.  =  /,■,  — i-  )j  — ■ o  =  /:,  h  arr.  laiie  o  —  o  =  /,■. 

?  '  P  p  -H  1  '  p  D  .  . 

Cherchons  à  former  F. 

Dans  le  premier  cas,  on  trouve  aisément 

„*> 
F  = 


Dans  le  troisième  cas,  si  nous  posons 

P  ^i 

I -h  p  arc  tangp       "" 

le  premier  membre  de  cette  égalité  sera  une  fonction  holomorphe  de  p 
(pour  0  =  0)  qui  s'annule  avec  p,  mais  dont  la  dérivée  ne  s'annule  pas  avec  p. 
On  en  déduira,  d'après  un  théorème  connu, 


SUR    LES    COURBIÎS    DKFIMliS    PAR    LES    lîOl'ATIONS   DIFFÉRENTIELLES.  I  o5 

<!/  élant  une  foiKtlmi  lioloniorjilie  de  ^.  On  auin  alors 


L     V' "i"  p  3''c  tangp  —  p'-?/J 


Celte  fonction,  comme  dans  le  premier  cas,  est  liolomorplic  en  p  et  cp,  poinMi 
que  ces  variables  soient  sulTisamnicnt  jietites. 

Dans  le   deuxième   cas,    oii   ne    peut   appliquer    ce    procédé,    parce   que   la 
fonction 


L  +  L-î- 


n  est  pas  liolomorplic.  Posons  alors 

F  =  Il„-i-  11,  o  -: ^  +. .  .H ■■ — 


en  développant  F  non  plus  suivant  les  puissances  de  p,  mais  suivant  celles  de  a. 
On  déterminera  ensuite  les  fonctions  H  successivement  à  l'aide  tics  équations 
suivantes  : 

Ho  =  p^ 

dp 


H„  =  (p2+p3) 


rfH„_| 


Les  fonctions  II  ainsi  délinies  sont  des  polynômes  entiers  en  p,  et  il  est  aisé  de 
voirque  tous  les  coefficients  sont  positifs,  que  le  degré  de  H„  est  2  (n  +  i),  et 
que  ce  polynôme  H„  ne  contient  pas  de  terme  de  degré  plus  petit  cpie  «  +  2. 
Soient  S„  la  somme  des  coefficients  de  H„,  et  S^,  celle  des  coefficients  de  sa 
dérivée  —~;  H„  étant  de  degré  2  (/(  +  1);  on  aura 

S'„  <  2S„( n  +  i). 

D'ailleurs,  les  formules  (i  Cei-)  nous  donnent 

S„+i  =  -îS,,  ; 
d'où 

S„+i  <  4S„(«  +1) 
et 

S„+,  <4«+i(/i-i-i)'! 
II.  1'.  -  I.  14 


I06  SUR   I.ES   COURUES    DÉKINIES    PAR    I.KS    KOUATIONS    DIFFÉRKNTIEIXES. 

Supposons  p  positif  ol  plus   pclil  (|m'    i,  et  cn\  is;ii;f'ons  le  Icrmc  i;^'!!^!:!!  (_!(■  la 
série  (]tii  dôlinil  F:  on  wwrn 

H.,  ra'i 

<(4p<f)". 


Si  donc  33  est   positif  et   plus  priii   rpic  -i    la  séiic  est  convorgcnlr  ol,  rouimc 
tous  ses  termes  sont  positifs,  absolument  eonvert;ente. 

La  eonrlusion,  c'est  que  F  est  une  fonction  lioloniorpbe  de  o  et  de  '.s,  pourvu 

(jUC 

ipi<'>     Ip-î-k!- 

11  était  aisé  de  iirévoir  ce  résultat.  Posons,  en  cd'eL, 


(5) 


-  -i-L  — 

P  P  ■ 


--^=1 


Je  dis  que  Z,  est  une  fonction  liolomorplio  de  p  et  de  es  dans  le  voisinage  du 
point  p  =  u  :=  o  ('  ).  Pour  cela,  il  faut  démontrer  deux  choses  : 

1°  Que  "l  tend  vers  zéro,  toutes  les  fois  que  p  et  cp  tendent  sinudtanénient 
vers  zéro. 

En  ellet,  si  p  et  cp  tendent  vers  zéro,  les  deux  meuibres  de  l'équation  (,")) 
croîtront  indéfiniment.  Or.  |>(Mir  que 

.  y 


croisse  indéfiniment,  il  faut  que  Z  tende  vers  zéro  ou  vers  —  i.  Mais,  si  la 
valeur  initiale  de  Z  est  suffisauiment  voisine  de  zéro,  il  faudra  que  Z,  tende  vers 
zéro  et  non  pas  vers  —  i .  11  suffira  de  le  \érifier,  ce  <jui  est  facile,  lorsque,  es  et 
l'argument  de  o  restant  constants,  le  module  de  o  tend  vers  zéro.  Cela  sera  suf- 
fisant, parce  que  nous  allons  voir  un  peu  plus  loin  (pu'  Z  est  une  fonction  uni- 
forme  de  c  et  de  a. 

2°  Il  faut  démontrer  ensuil<'  que  Z  revient  à  la  même  valeur  quand  c  déci-it 
i\iin>  son  plan,  et  s  dans  le  sieu,  un  contour  suffisamment  petit  enveloppant  le 
point  zéro.  Or,  dans  ces  conditions,  le  premier  et,  par  consé([U('nt,  le  second 
membre  de  léqualion  f:"))  augmenteront  d'un  mullij]|e  de  :> /",  ce  (pii  feia 
décrire  au  |)oint  Z  un  contour  fermé  enveloppant  le  point  zéro. 

C)  Cet  énoncé,  de  forme  trop  générale,  devrait  être  remplacé  par  le  suivant  :  la  functioii 
multiforme  Ç((>,  ?)  définie  par  (5)  possède  une  branche,  liolomurplie  pour  p  =  o,  o  =  o,  et  se 
réduisant  à  o  pour  a  =  o.  C'est  à  celte  branctie  que  s'appliquent  les  considérations  du  i"  et  du  a°. 

[1!.   G   1 


SUR    LES    COUItBES    DEFINIES    PAR    LES   EQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  I07 

Donc  V,  el,  par  coiiséquenl, 

sont  nne  fonction  liolomorplic  de  p  et  de  s  si  ces  variables  sont  assez  ])etites. 
Supposons  maintenant 

r> 

-  Q  =  P(p)  =  ?•=+  fif'+  Y?''  -H. . ., 

P{p)  étant  une  série   ordonnée  suivant  les    puissances   de  p  et  convergente, 
pour\  u  que  p  soit  suflisaniment  petit. 

L'intégrale  générale  des  équations  dinerentiellcs  sera 

r  dû 

"'  ■+-  I  7TT—  =  const. 

^  ■   •  "^     ''^' 

On  trou\cra.  d  adlciirs, 


/ 


Q  (p)  étant  une  l'onction  de  p  lioloinorplie  pour  p  =  o. 
Posons  maintenant 

P  ' 

Nous  considérerons,  parmi  les  fonctions  'C,  (pii  satisfont  à  cette  équation,  celle 
qui  se  réduit  à  o  pour  w  =  o.  Je  dis  que  ce  sera  une  fonction  lioloniorplie  de  p 
et  de  to,  si  ces  variables  sont  suffisamment  j)etites. 

Pour  cela,  il  faut  faire  voir  que,  si  p  et  w  sont  assez  petits,  ^  est  une  fonction 
uniforme  de  p  et  de  lo  (jui  tend  vers  zéro  quand  ces  variables  tendent  simulta- 
nément vers  zéro.  Le  raisounemeni  serait  aljsoluiiuiit  le  même  que  dans  le  cas 

précédent.  11  en  résulte  que 

17  n 

est  une  fonction  holomorphe  de  o  et  de  o). 

Il  est,  d'ailleurs,  aisé  de  trouver  les  coefficients  du  développement  de  F  sui- 
vant les  puissances  de  p  et  de  w.  Ecrivons,  en  effet, 

11,0)2  H„I.J" 

F  =  Ho  +  Hi  tij  H ■  + .  .  .  H i •  •  , 

II„=  Z /,„,,?''■ 

Nou>  suppost  rons,  ce  qui  est  utile  pour  noire  objet,  que  tous  les  cip  sont 
positifs,  et  nous  pourrons  linuser  dei:x  nombres  ^.  et  a,  tels  que 


lo8  Sl'R   LKS  COURBES  DÉl'INIES  PAR   LES   ÉQtATIONS   DIFFÉRENTIELLES. 

Les  II  nous  seront  donnés  par  les  (■■(|iialions 

Ho  =  ?% 


n„  +  l=   P(pj-y— ■ 

a'j 


Nous  ailopleroiis  la  noialion  suivanU;  :  l'inégaliLc 

/(P)<?(P), 

avee  nn  double  signe  d'inégalité,  signifiera  (lorsque  les  coefficients  des  fonc- 
lion^  /  cl  -j  développées  suivant  les  puissances  de  p  sont  positifs,  ce  que  nous 
supposerons)  que  chaque  coefficient  de  /  est  plus  petit  que  le  coefficient  cor- 
respondant de  o.  Nous  pourrons  écrire  alors 

'  i  —  rt  p 

Je  dis  qu'on  pourra  toujours  trouver  un  nombre  M„,  tel  que 

M„n! 


H„(p)< 


(i-ap) 


îii+i 


Supposons,   en  cHcl.   que  cela   soit   \ral  poiii'  II„,    je  dis  (pie  cela  sera  vrai 
])c)iir  II„+|.  Il  viendra,  dans  celte  li v))otliése, 

clHn    ,  M„a«!  (-2 /( -!- i)        V. aM„(n-i-i)!  _ 

d  où 

,,        _p  rfH«     .  ■?.aiiM„{n-hl)\ 
"■*•'-        dp       -      (i-ap)"+3     ' 

d'où 

Il  vient  alors 

P       -y  1I„0)"     ,,-^   Mai-?.aiJ.O))"    _       Mn 
~^     ni         ^  (i  —  ap)^"^'  "   \  —  ap 


(i-«pj2  .       ,.,^.    _ 


(i  —  apy- 
On  conclut  de  cette  inégalité  que  la  série  F  converge,  jhmmnu  que,  par  exemple, 


la  '        8<(;i 


Mais  il  est  aisé  de  vnir  que  le  dé\  elii|]pini(nt    de  II,,  nDiiinciuc   \t:iv  \\n   terme 


SIR    LES   COIHBES   DÉFINIES   PAR    LES   ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES.  lOQ 

en  p-,  celui  (1(^  H,  par  nn  Icrnie  en  p', celui  de  H„  par  un  terme  en  p"+-. 

Donc  la  fonction  F  est  une  fonction  holomorphe,  non  seulement  de  o  et  de  oj, 
mais  de  p  et  pw.  La  série  F  convergera  donc,  ponivu  que 


|p|< — 5  I  oto  I  <  — ^ — -— • 


Donc  celte  série  sera  convergente  pour  toutes  les  valeurs  de  w  comprises  entre 
zéro  et  2-,  pourvu  que 

lp|<— '       ip1<^4— • 

■i.a  '  iia-  \x- 

\  oici  comment  ce  qui  précède  se  rattache  aux  principes  exposés  par 
'SIM.  Briot  et  Bouquet  dans  le  WX\  P  Cahier  du  Journal  de  l'Ecole  Poly- 
technique. 

Considérons  to  ciimuii'  une  (inisiaiilc:   iKiUs  aurons,  enire  \  v\  p,  l'équalion 

dillérentielle 

dX,     _     do 

P(?)~H(p) 
ou 

f/"  >-2    I  _t-  y  _i_  rï 


rfp        p-   1  -i-  ^p  -h 

'L  re[)résentant  un  eiiscmliie  y\v  Lerincs  de  di'gré  au  moins  égal  à  2  en  ^  et  en  o. 
Posons 

Il  \  leiidra 

p  -T-  =  -j  -;-  'j- -H  3 (  r  -f-  'j  j- p'j  -^-  (  1  +  u  1=  i, 

la  fonclion  'j  coulenant  c-  en  facteur. 

C'est  là  nw  t^pe  d'équations  qui.  d'après  nu  llicoicmc  de  .MM.  Briol  et 
BoLiipiel.  adnicl   une  iiilinilè  d  inlègralo  h(il(iiu()i|ilic>,  .-l'annujant  a\cc  o. 

Donc  X.  est  fonclion  lioloniorphe  de  ;.  c;.  o.   i'.  ii. 

Passons  maintenant  au  cas  général. 

Il  importe  d'alirn-d  de  ra|ipi'ler  l'I  de  préci-.!  r  Ir  mus  de  la  noialioa  <:;/  ''éjà 
emplo\ée  phis  haut.  C^iiand  j  écrirai  dans  ce  qui  \a  suin  re  : 

je  regarderai  les  deux  fonctions  /et  C3  comme  développées  sui\ant  les  puis- 
sances croissantes  de  o.  Les  cocfficienls  des  deux  développements  seront  des 
fonctions  de  (o  cpie  je  regarderai  nuMnentanèmeiit  comme  une  constante  et  que 
je  :>up[ioserai  réelle  et  comprise  entre  zéro  et  a—. 


MO  SUR    LES   COURBES   DÉFÎMES    PAIl    LES    ÉQUATIONS   DIFFÉRENTIELLES. 

L'inégalité  signiliera  alors  (juo,  pour  loiitesles  valeurs  réelles  de  w  eom|)rises 
entre  zéro  et  2-,  tous  les  coefticients  du  développement  de  u  sont  positifs  et 
|)liis  grands  en  \aleiir  al)Miliie  (pie  les  eoellicients  eorrespundaais  du  dévelop- 
pement de  /. 

Soient 

Q  =  I -t- Q,  p -h  Q.  p2  _,_...  _|_  û^  p7^ 

Les  roeffieienis  R,-  cl  0,-  des  deux  polynômes  R  et  O  seront  des  fonellons  Iri- 
gono)nélri(pics  de  m.  Supposons  que  toutes  ces  fonctions  I  rii^oiioiml  rupics 
restent  constamment  inférieures  en  valeur  abolue  à  une  certaine  (iiianlilé  posi- 
tive L.  11  viendra 

(6)  —  -  .<■-     (p-H-p^-t-...-l-p/OL        ,  p'L 

Q '^  T  —  (p -H  pî-h. .  .H- pî)  L  '-  I  —  p(L -h  I  )  ■ 

La  (onction    '    ■  cpii  ne  dépend  cjue  de  p  est  développablc  suivant  les 

puissances  de  g,  pourvu  que  p  soit  suflisamment  pelil. 

Il  en  résulte  qu'il  existe  une  série  F,  ordoianée  sui\aul  les  puissances  crois- 
santes (le  p  el  de  w,  convergente  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  w  comprises 
entre  zéro  et  2-,  jioiirvu  que  p  soit  suflisamment  petit,  et  satisfaisant  à  l'égalité 

rfF^  _  £/F\  pM. 

d(i>  dp     i  —  p  (  i>  -t-  I  ) 

De  plus,  y  ,  se  rédiiil  à  p-  pour  to  =  o.  Posons,  comme  jiliis  liaiil, 

F    =  Z.p^-i-  :3p3  +  ...+  z^p'l->r-..., 

F|  =  u.ip--h  «sp'-h.  .  .-(-  (fyp'î'-l-.  .  .. 

Les  fonctions  ;;y  seront  définies  par  les  équations  (1  bis)  et  les  fondions  «^ 

par  les  écpialions  analogues 

(/,  =  t, 


e;/+;  =  (L  +  i)'/I,. 
Cela  posé,  je  ili-,  (piOu  aura  conslaiiiiiieii!,  w  étant  réel  cl  plus  petit  ipie  a-, 
(8>  I -/!<"./• 

F^our  cela,  je  vais  supposer  que  l'inégalité  (S)  a  lieu  pour  c^,  z-i,  ...,  :g_,, 
et  démoiilier  qu'elle  a  encore  lieu  pour  :,/. 


SIR    LES   COlItBES    DKI'INIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  III 

En  eflcl,  s'il  en  est  ainsi,  on  a.  on  coniparanl  les  relations  (  [  bis),  (iV)  cl  (7), 
(9)  \-:,\<"'rr 

La  fonction  :,/  n'est  pas  entièrement  déterminée  j)ar  les  éfjuations  (1  b/s); 
ces  équations  ne  nous  donnent  en  effet  que  la  dérivée  de  Zq  en  fonction  de  3o, 
^3,  . . .,  Zj_i.  Il  en  résulte  cjue  :^  n'est  connue  qu'à  une  conslante  d'intégration 
près.  Nous  disposerons  de  cette  constante  de  telle  façon  que  a^  s'annule  avec  co. 

Dans  ces  conditions,  l'inégalité  (9)  entraîne  l'inégalité 

(8)  |-7l<"'/.  C.Q.F.D. 

Donc  on  a 

F<F„ 

et,  comme  pour  les  petites  valeurs  de  p,  F|  est  convergent  quand  co  varie  de 
zéro  à  2~,  il  en  sera  de  même  de  F, 

Mais,  d'après  la  façon  dont  nous  avons  déterminé  les  z,/,  ce  sont  des  fonctions 
trigonomélritpies  de  (o  (dans  le  cas  où  tous  les  Cq  sont  nuls).  Si  donc  F  con- 
verge pour  les  valeurs  de  o)  comprises  entre  zéro  et  2—,  celte  série  devra  con- 
verger pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  w. 

Il  est  à  remarquer  cjuc,  si,  partant  de  la  série  F  telle  que  nous  venons  de  la 
définir,  on  repasse  des  coordonnées  polaires  0  et  w  aux  coordonnées  rectilignes 
X  et  y,  F  ne  sera  |)his  une  série  ordonnée  suivant  les  jiuissances  croissantes 
de  X  et  de  y.  Cela  tient  à  la  façon  dont  nous  avons  disposé  des  constantes  d'in- 
tégration, de  façon  que  z,/  s'annule  avec  w. 

11  |)oiirra  se  faire  alors,  par  exemple,  (juc  l'on  ait 

F  =  p-+  p^(i  —  cosu)  -h. . ., 
ce  fHii  donne 

F  =  X-+  y--}-  {x-+  j-y-  —  x(x--\- y-)  -i- 

En  effet,  si  l'on  tient  à  ce  que  F  soit  une  fonction  holomorphe  de  x  et  de  y, 
on  peut  disposer  de  la  constante  d'intégration  (que  nous  avons  appelée  plus 
haut  A„)  lorsque  q  est  pair,  mais  on  n'en  peut  plus  disposer  quand  q  est 
impair.  Il  ne  sera  donc  pas  possible  en  général  de  s'arranger  pour  que  Zg 
s'annule  avec  w. 

Cela  n'a  d'ailleurs  que  peu  d'importance  au  point  de  vue  qui  nous  occiqic, 
mais  il  est  aisé  de  tourner  la  dificulté.  On  a 

ï?w  ~  ~  I>  177' 


tu  si.i  i.i:s  roi'RBi'S  nici"ixii:s  par  les  i^hations  i>iimi;iii:.\tii:i.i.es. 

Soit  F^  00  (|nr  (li\  hiil  !■  (piiuid  Dii  \  cliant^c  o  on  —  g,  cl  'o  on  w  -f-  — .  On  aura 
encore,  eonuiie  II  e>l  ai^c  île  le  ^ôrilicr, 

dm  Si     rfp 

ear  —  —  eliaiiLe  de  sii;ne  iiiianil  on  \   eliani;e  c  en  —  r,,  ri  lo  on  w  +  -.  C)n  aura 

doni'  enooro 

d(F-^F,)  _  _  R  rf(  F  -<-  F.  ) 
dw  ~       Q  dp 

ot  la  série  F  +  F2  sera  convergente  ponr  tontes  les  valcni-s  réelles  do  (o,  ))0urvn 
que  p  soit  suffisammcnl  petit.  Si  d'ailleurs  on  repasse  aux  coordonnées  roili- 
lignes  X  et  y,  F  -+-  Fo  sera  une  fonction  holomorplie  de  jc  et  de  y.  On  voit  donc 
([u'il  cNiste  toujours,  si  tous  les  C„  sont  nuls,  une  série  F  convergente,  ordonnée 
sui\ant  les  [)uissances  de  x  et  dey  et  satisfaisant  à  léqualion 

^.  dF       ^  dF 

d.r  ay 

En  résumé,  pour  qur  V oriij;ine  soil  un  cenlre,  c\'st-à~dirc pour  cjue  la  lia- 
jecloire  du  point  mobile  soil  stable,  il  faut  et  il  suffit  que  toutes  les  quan- 
titi's  que  nous  avons  appelées  C,,  soient  nulles  à  la  fois. 

Toutefois,  il  sera  sinnonl  difficile  de  reconnaître  si  ces  conditions,  on 
nombre  infini,  sont  remplies  à  la  fois.  11  y  a  donc  intérêt  à  sif;nulcr  des  cas  où 
l'on  est  corlain  (l'avance  que  tous  les  C,,  sont  nuls. 

.le  ne  signalerai  (juo  le  plus  simple  d'entre  eux. 

Supposons  (pie,  (piand  f)n  change _y  en  — y,  sans  changer  x,  X  se  change 
en  — X  cl  que  ^  no  change  pas.  .le  dis  (pio  les  trajoctoiios  du  point  mobile 
seront  des  courbes  fermées  syniélrupies  |)ar  lapporl  à  l'axe  des  x. 

En  ell'el.  partons,  pour  ^  =  o,  diin  p;)inl  inilial  situé  sur  l'axe  dos  .r.  La 
vitesse  initiale  du  |)oiiil  mobile  seia,  d'après  les  li\pothèsos  fiiites,  perpendicu- 
laire à  cet  axe.  Si  l'on  change  t  en  ~  t,  y  en  — y,  x  en  —  x,  les  é(piations  du 
mouvement  et  ses  conditions  initiales  ne  changent  pas.  Donc  le  polni  mobile 
(jccupei'a  aux  li'iiips  t  et  —  t  den\  poinis  du  plan  symélricpies  par  rapport  à 
l'axe  des  x.  D'apn-^  la  foruie  des  équations,  si  le  point  de  déjiarl  de  noire 
mobile  est  sunisaniinenl  Miisin  de  l'oiigine,  il  arrivera  à  une  époque  l„  où  sa 
Irajecloire  viendra  i-eeoupei-  l'axe  des  x.  Ainsi,  aux  deux  époques  to  et  —  /„,  le 
point  moliilo  (i(cuj)era  un  même  point  de  l'axe  des  x.  Sa  trajectoire  sera  donc 


SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  1  I  ) 

une  courbe  fermée,  et  il  résulte  de  ce  qui  précède  qu'elle  doit  être  symétrique 
par  rapport  à  l'axe  des  x.  Donc  on  est  ccrlain  d'avance  (pie  tous  les  C,,  sont 
nuls. 

On  rencontre  un  exemple  du  cas  que  nous  venons  de  signaler  dans  un  pro- 
blème astronomique  sur  lequel  M.  Tisserand  a  bien  voulu  appeler  mon  attention. 
Delaunaj  a  rencontré  dans  sa  théorie  de  la  Lune  les  équations  suivantes  : 

de 

de  -      /         . 

On  suppose  que,  pour  t  =^  o,  e  est  très  petit  et  que,  le  coefficient  M  étant  de 
l'ordre  du  carré  de  celte  jjclile  quantité,  les  autres  coefficients  sont  finis 
{Mémoires  de  VAcadémie  des  Sciences,  l.  XX\  111,  p.  loy). 

Delaunaj  donne  les  expressions  suivantes  : 

e  cosO  =  SA,-  cosi(%e  -+-  c), 
c  sin  0  =  S  B,  sJn  i(a  i  +  c)  ; 

mais  il  ne  tiaile  pas  la  question  de  la  convergence  cl  de  la  [)Ossiljilité  du  déve- 
loppemenl. 

Les  équations  sont  de  même  forme  (nie  celles  (pie  nous  éludions.  Posons,  en 

cdet, 

c  cosO  =  X,         c  sin  0  =  j', 

il  \  iendra 

dr 

^  =Mjj(Mi-  !■,+  M2eî-Pieî)  —  N7(i-t-N,€'!-l-N2e'>+Nj  £'■■]=  X, 

^  =  M  -h  Mj'H^Ii  +  M2  e-)  +  M.r'(  P,  +  P^  e'-)  -+-  .N.r(i  -h  N,  -^.^  \,  e'--^  N3  e»)  =  V, 


e-  =  -r-  +  7'  ; 
X  et  \  b'aniuileni,  [)our  j'  =  o, 

(10)  M(.i-l-  PiJ!-+  P'-v'-)  +  Nir(H-  NiX-^-i-^,x-+  N3,r6j  =  o. 

En  vertu  des  liypothéses  faites  sur  les  coefficients,  ré(piatioii  (10)  est  satis- 
faite pour  X  =zXi,  X,  étant  une  quantité  très  petite  de  l'ordre  de  j\L 
'  Le  point  x  ^  x^,  y  =  0  est  un  centre;  car  X  change  de  signe  et  Y  ne  cliange 
II.  V.  -  I.  ,5 


Il4  Srn    I.F.S    COURDFS   défîmes    P\n    les    IQI'ATIONS    niFFÉRENTIELI.ES. 

pas  quand  ou  cliangc  v  en  — r.  On  ot't  donc  ccilnin  d'avance  que  toutes  les 
quanlités  que  nous  avons  appelées  C,,  sont  nulles  à  la  fois. 

Il  en  résulte  que  x  et  r  sont  des  fonctions  périodiques  du  temps  /,  qui 
peuvent  être  r<'présentéos  par  des  séries  de  la  forme  (ditenue  par  Delaunaj. 

Si  l'on  a  reconnu  d'une  manière  ou  d'une  autre  ipie  toutes  les  quantités  Cg 
sont  nulles,  on  est  certain  qu'il  v  a  autour  du  centre  une  certaine  répon  du 
plan  R  qui  est  sillonnée  |iar  des  courbes  fermées  ou  cycles  enveloppant  le 
centre  et  qui  sont  les  trajectoires  du  point  mobile  ilans  la  région  considérée. 
Au  delà  de  la  réi;ion  11.  les  trajectoires  seront  en  général  des  spirales.  Cette 
région  sera  limitée  par  un  certain  cycle  frontière  qui  sera  la  dernière  trajec- 
toire fermée.  Je  dis  que  ce  cycle  frontière  doit  passer  par  un  point  singulier. 

En  effet,  nous  pourrons  toujours  tracer  un  arc  sans  contact  venant  couper  ce 
cvcle  frontière,  ainsi  que  les  trajectoires  fermées  qui  en  sont  très  voisines  et  se 
prolongeant  au  delà  de  ce  cycle  frontière  en  dehors  de  la  région  R.  Nous  défi- 
nirons la  position  d'un  point  sur  cet  arc  à  l'aide  d'un  paramétre  t  qui  sera,  par 
exemple,  nul  --ur  le  cycle  frontière,  négatif  à  l'intérieur  de  la  région  R  et  positif 
à  l'extérieur  de  cette  région. 

Reportons-nous  maintenant  au  Chapitre  V  (II'' Partie)  (')  et  à  ce  que  nous 
avons  appelé  la  loi  de  conséquence 

Pour  les  valeurs  négatives  de  /„,  on  est  à  l'intérieur  de  R;  les  trajectoires 
sont  fermées,  et  l'on  a 

Au  contraire,  pour  les  valeurs  positives  de  <(,,  on  est  hors  de  R;  les  trajec- 
toires ne  sont  plus  fermées,  et  l'on  a 

'pi('o)<'o- 

Il  est  donc  impossible  que  la  fonction  j,  soit  holomorphe  pour  /o=  o.  Donc, 
en  vertu  du  théorème  XIII  (t.  VIII,  p.  25J)  (-),  le  cycle  frontière  doit  aller 
passer  par  un  point  singulier. 

('j    Voir  ce  'i'oinc,  p.  4'|. 
I')    Voir  ce  Tome,  p.  47. 


SUR    LES   COURBES    DEFINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

CHAPITRE  XII. 

ÉQUATIONS   DF,   DKGRÉ   SUPÉRIEUR. 


Nous  allons  étudier  maintenant  les  équations  clilTérentielles  du  premier  ordre 
et  de  degré  supérieur,  cest-à-dire  les  équations  de  la  forme 


0) 


'('■^■î)"- 


d.r 

dV 

dr 

d\' 

dz  _  dF          dV 

'dt   ~ 

■  dz  ' 

dl  ~ 

~^dJ' 

dl   ~  d.c  "^      dy 

1-   .  1  ■  d)' 

V  étant  un  nolynome  enlicr  en  x,  )'  cl  -;-■ 
'      •  ■  dx 

\  oici  le  mode  tl<'  représentniion  géoméuique  ipie  nous  adopterons.  Nous 
pourrions  d'abord  en\isager  la  surface 

(■2)  F{.r,  7,  x:)  =  o, 

et  exprimer  les  équations  du  mouvement  du  jioiut  mnlulesur  cette  surface,  de 
la  façon  suivanic  : 

{■xbh) 

1         II  dx    dy     dz  .  .    ,  , 

de  telle  soile  que  -j-,  -j-- ,  -r-  sont  égaux  a  des  pol3'nomes  entiers  en  r,  j',  r. 

C'est  là  le  mode  de  représentation  le  plus  simple,  toutes  les  fois  que  la  sur- 
face F(  /■,  )',  z)  n'a  pas  de  nappes  infinies  ou  de. singularités  gênantes.  Mais  il 
peut  être  avantageux,  dans  certains  cas,  d'employer  un  mode  de  représentation 
plus  général. 

Posons 

les  fonctions  es,,  '^o  et  Ja  étant  rationnelles  en  x^  i  ,  ;. 

Sauf  des  cas  exceptionnels  que  nous  laisserons  de  côté,  on  déduira  des 
équations  (2)  et  (3)  les  équations 

(4)  Fi(?,  ^,,  Ç)  =  o 

et 

F,  étant  un  polynôme  entier  et  B,,  Qj,  Q3  des  fondions  rationnelles.  Les  deux 
surfaces   (2)  et  (4)  se  correspondront  alors  point  par  point  par  une  transfor- 


Il6  SIR   I.KS   COIRBES    UÉl'INIF.S    PAU    LES    lilJlATlONS   DIFFÉRENTIELLES. 

malion  liiralioiinclle,  ol  l'un  auiM 

d^         _         (ft)         _         dt 

les  fonctidiis  'l,.  io  et  -i/j  étant  rationnelles. 

On  |K)una  ili^posci-  de  ee  qu'il  y  a  d'indéterminé  dans  la  transformation 
hiralidiinrije  Ç\)  [imii- (jue  la  Mirfaee  ('i)  n'ait  pas  de  nappes  infinies  el  aussi 
piiiir  atteindre  dillérents  autres  huis,  par  exemple  pour  faire  disparaître  des 
singularilcs  gênantes.  Voici  donc  comment  nous  nous  poserons  le  problème 
des  équations  difTérentielles  de  degré  supérieur. 

On  donne  une  sni^raee  S  avant  jHnir-  é(piali(iu 

et  u'avant  pas  de  najipes  infinies;  el  l'on  demande  d'étudier  le  mouvement  d'un 
point  moliilc  sur  celte  surface,  les  équations  du  mouvement  étant 

■    dx  _  £^  _  Y  "Il  —7 

Tn  ~    '         di  "    '        Tt"    ■• 

où  X,  Y  el  Z  sonl  des  polynômes  entiers  en  J7,  y  el  :;  avec  la  condition 

d?  dV  dV 

— —  \  H — —  1  -\ — ;—  Z  =  MF. 

dx  ily  dz 

Etudions  d'abord  les  trajectoires  du  point  mobile  dans  le  voisinage  d'un 
point  M  de  la  surface.  Nous  distinguerons  le  cas  où  le  point  M  est  un  point 
ordinaire  de  la  surface  S  (tout  en  pouvant  être  un  point  singulier  pour  les 
équations  difTérentielles)  et  le  cas  où  le  point  M  est  un  point  singulier  de  la 
surface  S. 

Dans  le  premier  cas,  on  pourra  exprimer,  dans  le  voisinage  du  point  M,  x, 
y  el  z  par  des  fonctions  holomorphes  de  deux  paramètres  u  et  cet  de  telle  façon 
que  les  Irois  déterminants  fonctionnels 

d(x,y')        d(y,  z)  d(x,  s) 


0(  II,  ^'  )        0{u,  I')  t^l",  1'^ 


ne  soient  pas  nuls  à  la  fois. 
On  pourra  écrire  alors 


du  ^^''  _  V 

'di  ~      '  Tït  ~     ' 


L   et  \    étant  des  fondions  liolonioipiies  en  //  et  en  r.  On  est  alors  ramené  à 
l'élude  des  courbes  planes  définies  par  une  équation   diflcrentieile  du  premier 


SIR    LES    rOlRBES    DEFIMES    PAR    LES    ÉQUATIOXS    DIFFÉRENTIELLES.  1:7 

ordre  el  du  jimuirr  degré;  car,  dans  k'  \oisinage  du  |ii)inl  considéré,  les  fonc- 
tions U  el  y  onl  tous  les  caractères  des  polynômes  entiers. 

Si  le  point  considéré  e^t  un  point  ordinaire,  il  passe  par  ce  point  une  trajec- 
toire et  une  seule. 

Si  c'est  un  point  singulier  de  l'érpiation  didérentielle,  c'est-à-dire  si 
U  ^  V  =  o,  ce  peut  être  un  col,  un  foyer,  un  nœud  ou  un  centre,  présentant 
les  mêmes  propriétés  que  les  points  de  même  nom  définis  dans  la  première 
Partie  ('). 

Dans  le  cas  des  équalions  (2)  et  (2  bis),  les  points  singuliers  sont  donnés  par 

les  équations 

dl'        dl'  dF 

dz         d.r  dy 

Supposons  maintenant  que  le  piiint  envisagé  soit  un  point  singulier  pour  la 
surface  S  elle-même,  c'est-à-dire  que  l'on  ait 

dF__dV__dV_  _ 
dx        dy        dz 

Ce  cas  se  ramène  au  précédent.  Supposons  d'abord,  par  exemple,  que  la  sur- 
face S  présente  une  couri)e  double,  que  le  point  considéré  soit  un  point  de 
cette  courbe  double,  et  que  les  deux  plans  tangents  en  ce  point  soient  distincts. 
Alors  on  pourra  exprimer,  dans  le  voisinage  du  point  envisagé,  x,  y  ei  z  en 
fondions  bolomorphes  de  deux  paramétres  u  et  c,  et  cela  de  deux  manières, 
l'une  des  manières  se  rapportant  à  l'une  des  nappes  de  la  surface  qui  passent 
par  la  courbe  double,  et  la  seconde  manière  à  l'autre  nappe.  On  retombe  donc 
sur  le  cas  précédent. 

De   même,  supposons  que  le  point  considéré,   que  nous  pourrons   prendre 

pour  origine  des  coordonnées,   soit  un  point  conique  du  second  ordre.   Soit, 

par  exemple, 

F  =  F2-1-  F3  +  .  ..-h-  F„, 

F,  étant  un  polynôme  homogène  de  degré  i  en  x,  y,  z.  Considérons  la  portion 
de  celte  surface  qui  est  voisine  de  l'origine,  c'est-à-dire  du  point  conique.  Je 
dis  que  nous  pourrons,  par  une  transformation  birationnelle,  transformer  cette 
portion  de  surface  en  une  autre  qui  n'aura  pas  de  point  singulier.  Il  suffit  pour 
cela  de  poser 

$  =  f(>  --),       ^-  =  f (1--),       ç  =  .-;; 

(')   Voir  ce  Tome,  p.  i\-i-;. 


IlS  sin    l.KS    l-Ol'RHES    DKI'IMES    l>\R    I.KS    lioiATIONS    niFFKBENTIELLES. 

d'où 

Celte  Iransformalioii  l)ira(ionnellc  est  donc  réciproque  et  elle  a  pour  efTet  de 
transformer  la  surface  F  dans  la  suivante  : 

-"-5  F.  H- -"-•■■  (i  —  -)  Fj-l- ;"-»(!  — ;)î  F;  +  .  ..  +  fi  —  i)"  F„=  o. 
Cette  surface  transformée  est  coupée  par  le  plan  :  =  i  suivant  la  conique 

I'"2(^.  /,     ")   =   O- 

et  elle  ne  présente  pas  de  point  singulier  \c  long  de  cette  conique.  D'ailleurs, 
la  portion  de  la  surface  S,  voisine  du  point  conique,  devient,  après  la  transfor- 
mation, la  |iorti(»n  de  la  surface  Iransforniée  voisine  de  cette  conique,  c'est- 
à-dire  une  portion  de  surface  dépourvue  de  point  singulier. 

On  est  donc  encore  ramené  au  cas  précédent.  D'ailleurs,  nous  supposerons, 
dans  ce  qui  va  suivre,  que  la  surface  S  ne  présente  pas  de  pareils  points  sin- 
guliers. 

D'après  les  hypothèses  faites,  la  surface  S  qui  est  algébrique  n'a  pas  de 
nappes  infinies  ;  elle  se  compose  donc  d'un  certain  nombre  de  nappes  fermées  S,, 
S.>,  ...,  Sp  séparées  les  unes  des  autres.  Au  point  de  vue  qui  nous  occupe,  il 
nous  suffira  d'étudier  séparément  la  forme  des  trajectoires  sur  une  de  ces 
nappes,  sur  la  nappe  S|  par  exemple. 

Il  est  une  notion  qui  va  jouer  un  rôle  fondamental  dans  ce  qui.  va  suivre, 
c'est  le  genre  de  la  nappe  S,  au  point  de  vue  de  la  géométrie  de  situation. 

\  oiii  la  définition  de  ce  genre.  Si  l'on  [leut  tracer,  sur  la  surface  fermée  S,, 
p  cycles  fermés  n'avant  aucun  point  commun,  sans  partager  la  surface  en  deux 
régions  séparées,  et  si  l'on  n'en  peut  tracer  davantage,  on  dira  que  la  surface  S,  est 
de' genre/)  (ou  ce  qui  revient  au  même  qu'elle  est  2/>  4-  i  fois  connexe).  Ainsi 
la  sphère  est  de  genre  o,  parce  qu'on  ne  peut  y  tracer  de  cycle  fermé  sans  par- 
tager sa  surface  en  deux  régions.  Le  tore  est  de  genre  i,  paice  qu'un  cercle 
méridien  ou  un  cercle  parallèle  ne  le  divise  pas  en  deux  régions;  et,  si  l'on  a 
tracé  sur  la  surface  un  cercle  méridien,  par  exemple,  on  ne  peut  plus  y  tracer 
un  nouveau  cycle  fermé,  ne  rencontrant  pas  le  premier,  sans  partager  le  tore 
en  deux  régions. 

Terminons  ce  Chapitre  en  étendant  au  cas  qui  nous  occupe  un  théorème 
important  de  la  première  Partie  (  '  ). 

(')   Voir  ce  Tome,  p.  8. 


SIR    LKS    COlllBKS    DÉFINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DI FKÉRKNTIELLES.  Ilg 

Nous  conserverons  la  convention  faite  au  commencement  de  la  deuxième 
Partie  (' ),  c'est-à-dire  que  nous  supposerons  que  toute  trajectoire  qui  va  passer 
par  un  nœud  est  arrêtée  à  ce  nœud,  et  que  toute  trajectoire  qui  va  passer  par 
un  col  est  continuée  soit  à  droite,  soit  à  gauche,  par  l'une  des  branches  de 
courbe  qui  vont  passer  par  ce  col. 

Cela  posé,  il  est  clair  que  les  trajectoires  peuvent  se  partager  en  Cjuatre 
catégories  : 

1°  Les  cycles  ou  courbes  fermées; 

1°  Les  trajectoires  qui  sont  arrêtées  à  un  nœud  ; 

3"  Les  trajectoires  qui  se  terminent  en  tournant  indéfiniment  autour  d'un 
foyer  dont  elles  se  rapprochent  asymptotiquement; 

4°  Les  trajectoires  que  l'on  peut  prolonger  indéfiniment  sans  jamais  revenir 
au  point  de  départ,  sans  jamais  rencontrer  un  nœud  ou  se  rapprocher  asympto- 
tiquement d  un  foyer. 

11  est  clair  que  la  longueur  de  ces  dernières  est  infinie,  soit  (pi'iin  compte 
cette  longueur  d'arc  sur  la  surface  S,  elle-même,  soit  qu'on  la  compte  sur  la 
projection  de  la  courbe  sur  un  plan  quelconque. 

Considérons  maintenant  une  trajectoire  qui  ne  rencontre  aucun  cycle  algé- 
brique qu'en  un  nombre  fini  de  points.  Il  est  évident  qu'elle  ne  pourra  appar- 
tenir à  la  troisième  catégorie,  car  tout  arc  algébrique  passant  par  un  foyer 
rencontre  en  une  infinité  de  points  toute  trajectoire  qui  tourne  indéfiniment 
autour  de  ce  foyer.  Je  dis  cpi'elle  ne  pourra  jias  non  plus  appartenir  à  la  qua- 
trième catégorie.  Pour  cela,  je  vais  faire  voir  que,  en  supposant  qu'une  trajec- 
toire de  cette  catégorie  ne  rencontre  aucun  cycle  algébrique  qu'en  un  nombre 
fini  de  points,  on  trouverait  c|ue  la  projection  de  cette  trajectoire  sur  un  certain 
plan  devrait  avoir  une  longueur  finie,  ce  qui  est  contraire  à  ce  que  nous  venons 
de  voir. 

En  efl'et,  considérons  la  portion  de  la  trajectoire  décrite  par  le  point  mobile 
depuis  une  certaine  époque  i  =  ïp  que  nous  déterminerons  davantage  plus  loin, 
jusqu'à  /  =  4-  oc. 

Nous  partagerons  la  surface  S,  par  un  certain  nombre  de  cycles  algébriques 
en  un  certain  nombre  de  régions,  telles  que  chacun  d'eux  ne  puisse  être  rencontré 
(ju'en  un  seul  point  j)ar  une  parallèle  à  l'axe  des  z.  Ces  cycles  algébriques 
ne  seront  rencontrés  par  la  trajectoire  qu'en  un  nombre  fini  de  points.  Donc 
nous  pourrons  prendre   /„   assez  giand  pour  que,  à  partir  de  l'époque   ^„,  le 

(  '  )    \'olr  ce  Tunic,  p.  l\'\. 


IJO  SIR    LES    COl'RBKS    DKFI.MKS    PAR    LES   EQUATIONS    DIFFERENTIELLES. 

poiiil  nidliilc  ne  rencoiUre  [tins  aucun  de  ces  cycles  el  reste,  j)ar  conséquent,  à 
liult  rieur  diine  dos  régions  (jue  nous  venons  de  définir. 

H  arrivera  alors  (|ue*,  à  [larlii-  de  l'époque  /„,  la  projeclion  du  point  mobile 
sur  le  plan  des  xy  restera  couslaniment  à  l'intérieur  iliiiie  certaine  région 
(înie  R  de  ce  j)laii. 

Considérons  sur  la  surface  S,  le  lieu  des  points,  tels  que  la  projection  sur  le 
plan  des  xy  de  la  trajectoire  qui  passe  par  ce  point  présente  un  point  d'in- 
flexion. Ce  lieu  sera  algébricpie  et,  par  cousécpient,  ne  pourra  être  rencontré 
qu'en  un  nombre  fini  de  points  par  la  trajectoire  que  nous  considérons.  Nous 
pouvons  donc  prendre  tg  assez  grand  pour  que,  à  partir  de  cette  époque  <„,  la 
projection  de  cette  trajectoire  sur  le  plan  des  xy  ne  présente  plus  de  point 
d'inflexion  et  soit,  par  conséquent,  une  courbe  convexe. 

Le  lieu  des  points  de  la  surface  S,  où  l'on  a  -^  =  o,  et  celui  des  points  où 
l'on  a  ^  =  0,  sont  encore  algébriques.  On  peut  en  conclure,  en  raison- 
nant comme  nous  venons  de  le  faire,  que  l'on  peut  prendre  /„  assez  grand  pour 

1  .  dj,-        dv  ■  ,         .  ■  ■  -c 

que,  a  partir  de  cette  époque,  -v-  et  -^  restent  toujours  de  même  signe,  posilils 

par  exemple. 

Soient  mainlenanl  M„  la  projection  du  point  mobile  au  temps  t„,  M,  la  j)rojec- 
tlon  de  ce  point  au  temps  t,  (l,  ^  t„).  Par  le  |)oint  M,,  je  mène  une  parallèle  à 
1  axe  des  .r;  par  le  point  JM,  je  mène  une  parallèle  à  l'axe  des  j»-  renconlrant  la 
première  en  P. 

Soi!  H'  un  rertanglc  dont  les  ci'itès  sdiinl  |iaiallèles  aux  deux  axes  el  (pii  soit 
tel  que  la  région  R  délinie  jiliis  juiul  y  soit  située  tout  entière.  Le  triangle 
curviligne  M„M,P  formé  par  l'arc  de  trajectoire  M„ M,  et  les  deux  droites  MqP, 
M,  P  sera  convexe  et  situé  tout  culier  à  l'inlérieur  de  R'.  Sou  périmètre  sera 
donc  plus  petit  que  dlui  de  R'. 

Donc  l'arc  M^M,  est  toujours  plus  pelil  cpie  le  pèrimèlrc  de  R',  et  cela  quel 
que  soit  le  j)oint  M,.  Donc  la  longueur  de  la  projeclicMi  de  notre  liajeetoire 
serait  finie,  ce  (pii  est  absurile  et  nous  oblige  à  rejeter  l'iiypollièbe  que  la  tra- 
jectoire soit  de  la  (piatrième  catégorie. 

lyoù  la  conclusion  suivante  : 

Toute  trajectoire  (pu  ne  rencontre  aiiciiii  c^cle  algèbiicnie  (iii'en  un  nombre 
fini  de  points  est  un  cjcle  fermé  ou  va  aliouliià  un  uo^iid,  où  l'on  doit  l'arrêter. 


Sl'li    I-i;S    COUIlBIiS    DliriMKS    l>Alt    I.IOS    iCyUATlONS    DlKFi;Hl:NTIEI,LICS. 


C1I\P1TUE   XIII. 


niSl  llIlinillN     DKS    IMIIMS    SIMilLinitS. 


Piepreiifnis  l:i  na|)|)e  S,  de  i^eni'c  yo,  cl  supposons  que  celte  ii;ippc  ne  pré- 
sente ni  point  eonicpie,  ni  cf)urlje  multiple. 

.S(jienl  (_i  le  noinlu'e  des  cols  situés  sui-  celte  nappe,  .N  le  noiidjre  des  nœuds, 
F  celui  des  loyers;  je  dis  (pion  iuira  la  iclalion 

N-i-  F  —  C  =  '2  — 2/). 

Traçons  sur  la  sui'faee  S|  un  cv(de  (pielconipie.  Ce  cycle  seia  touché  en  cci'tains 
de  ses  poiul^  pai-  di\erses  traiecl/)ir(vs,  mais  les  unes  le  touclicront  extérieu- 
remeul,  les  auli'es  intérieuremeul.  Soient  K  le  niuuhre  lies  contacts  cAléiieurs, 
l  celui  des  conlacts  intérieurs:  l<'  noridii'e 


s  appellera  Vui'licc  du  cycle.  Si  le  evcle  pré>enle  un  piiinl  aiii;uleii\,  il  piuirra 
ari'iyer  ipic  la  liap'ctoire  (pu  passe  par  ce  poiiil  liaxcrse  ce  e\(le  en  passant  lie 
l'extérieur  à  l'inléricur,  aiupicl  cas  ce  point  \\r  dnil  |ias  compter  pour  un  con- 
lact.  11  |ioiiria  arriver  aussi  ipie  celte  trajectoire  ne  |)asse  pas  de  l'exlérieur  du 
cycle  à  I  lulérieur,  mais  reste  conslaiiuueiil  a  l'extérieur  si  le  point  anguleux 
est  saillanl,  ou  eoiislammeut  à  rinlérieiir  si  le  point  ani;uleux  est  l'culranl. 
Alors  le  point  anguleux  devra  eom|)lei'  |Hnir  \\\\  contact  extérieur  ou  inlcrii'iir 
(voir  la  jireniière  Partie,  jj.  .i.j).  \ous  sup[)oserons  (jnc  le  cycle  a  clé  choisi, 
de  fa(;on  à  partai;er  la  napjie  .S,  en  deux  régions  dont  une  au  moins  simplement 
connexe. 

Si  la  nappe  .S,  est  de  genre  o,   les  deux  régicms  sont  toutes  deux  simplemeul 
onnexes,  et  il  1' Ira  une  eonventiiui  spi^ciale  pour  décider  la(]uelle  des  deux 


e 

doit  être  regardée' comme  l'intérieur  dn  cycle 


Si  la  nappe  S,  est  de  genre  >•  o,  l'une  des  régions  sera  simplement  connexe, 
et  l'autre  nuilliplement  connexe,  et  ce  sera  la  première  que  l'on  considérera 
comme  l'intérieur  du  cycle. 

Cela  posé,  joignons  deux  points  A  et  B  par  trois  arcs  de  courhe  AMB,  ANB, 
II.  P.  -  I.  ,e 


I  >. '.  SIH    l.F.S   COUIUIKS    Dlil'lNlES    l'An    LES    KQl'ATIONS    IIIEFEIIENTIEI-LES. 

AI'B  (^/'i,'.  .!o  ).  Anus  ilrl<'i'nuiirnin'-  aiii>i  tiois  ocli's 

C,  =  AiNBMA, 
C.2=  APBNA, 
C3=  AI'BMA. 

I.c  liiii>iciiK'  |i<inii'a  (HiL'  rct;artlc  comiiH'  la  somnu'  dt's  doux  aiiU'es 

C3  ^  Cl  -H  G2, 

Je  ili--  i|iic  1  1)11  aina 

inJ.  C3  —  ind,  Cj  +  ind.  Go 

(III.  rc  qui  iixirnt  iui  mt'liu', 

(I)  E3—  I3—  E,4-  11—  E2-4-l2  =  —  2. 

E|,  Ej,  E;,  olaiil  le  nduilii'c  (les  coulacls  cxlcricurs,  I,,  I^,  I3  celui  des  contacts 
inlcriciir.s  des  liajecloires  avec  les  trois  cycles. 


Ces  contacts  .se  (li\i.ser(int  en  cinq  catégories  : 
1"  Ceux  (|ui  (inl  lieu  le  Imi;;  de  AMB. 

2°  Ceux  (|ui  oui   lieu   le  loui;  de  APB. 

Les  |)remi('rs  11  a|ij)aili(uiieni  ([u'aux  cycles  Cî,  et  Cj.  les  seconds  n'appar- 
tiennent qu'aux  cycles  (]^  cl  (ij.  Un  contact  d  uni^  de  ces  deux  catégories 
entrera  donc'  deux  fois  (lall^  le  premier  membre  de  l'égalité  (\),  une  fois  avec  le 
signe  +,  une  fois  avec  le  signe  — ;  les  termes  correspondants  se  délruironl. 

.3"  Ceux  (pii  ont  lieu  le  long  de  AÎNB. 

Un  contart  de  celle  ralégorie  est  exleiicui-  pour  (.,  cl  luléiieiir  pour  C^,  ou 
inversciiicnl.  Il  rulrna  ddiic  deux  lois  dans  le  jireniief  memhre  de  l'égalité  [l), 
une  foi>  a\ec  le  tignc  ^-  cl  une  foi>  avec  le  signe  — .  Les  termes  correspondanls 
se  déiniiioni . 


SIR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  123 

.'j"  Ceux  qui  peuvent  avoir  lieu  en  A. 

Sui\;tiit  la  position  de  la  tiajecloiie  qui  passe  en  A,  on  pourra  avoir  : 

Ou  Lien  un  contact  extérieur  pour  les  trois  cycles; 

Ou  bien  un  contact  extérieur  pour  le  cycle  C,  seulement  ou  pour  le  cycle  Co 
seulement; 

Ou  !)lcn  (flans  le  cas  sciilemenl  où  je  point  A  serait  un  angle  rentrant  du 
cycle  C3  )  un  contact  intiriciir  jiour  le  cycle  Cj  ; 

Ou  Lien  encore  (dans  le  cas  seulement  oïi  le  point  A  serait  un  angle  rentrant 
des  deux  cycles  C,  et  C^,  )  un  contact  intérieur  pour  les  cycles  Cj  et  Cj  et  un 
contact  extérieur  pour  C,. 

Dans  tous  les  cas,  la  somme  des  termes  corrcspoiidaiil>  i\u  premier  membre 
de  (  I  )  se  réiiuira  à  —  i . 

.")"  Les  contacts  cpil  mil  lien  en  H. 

Pour  la  même  raixin,  la  somme  de*  termes  corropondanU  se  i(''duira  à  —  l. 

Le  premier  iiuMllbrc  de  (l)  se  réduit  donc  à  — 2,  de  telle  laeoii  ipie  celle 
égalité  est  vérifiée. 

Donc  l'indice  d'un  cycle  total  est  égal  à  la  somme  des  indices  des  cycles 
partiels  qui  le  composent. 

Cherclions  maintenant  à  délermiiiei'  l'iiiilii  e  d'im  cycle  liiliiumeul  pelil. 

Si  le  cycle  infiuimeiil  pelil  n  l'iixeloppe  aiiciiii  pniiil  Miigulier,  nous  pourrons 
toujours   suj)poser   ipiil    est   convexe,    car,    s  il    ne   1  éUiiL    pas,    mi    pouirail    le 


Kié.  3i. 


Fig.  32. 


décomposer  en  plusieurs  i'\  ejes  plus  petits  encore  el  convexes.  Alors  la  ligure  .i  l 
indique  c[ue  le  cycle  a  seulement  deux  contacts  extérieurs  avec  les  trajectoires 
MP  et  M"P'. 

L'indice  est  donc  égal  à  o, 

Si  le  cycle  enveloppe  un  col,  nous  le  supposerons  encore  convexe,  etla  ligure  .Jii 
montrera  ipi'il  a  quatre  contacts  extérieurs,  et  que  son  indice  est  égal  à  i. 


•2j  Sltl   Li:s  COlRilES  DiiFlMKS  l'Ati   LES   ÉQl'AtlO^S   Dlt'FÉRËNTtELLtS. 

Si  11'  ivclo  (•ii\  cldjiiK'  un  iinMid  (III  iiii  foviM',  je  ilis  (iiir  M)ll  indice  est  — I. 
l'.n  ('l!ct.  diins  le  \oisinai;i'  il  un  miMiil  nu  diin  fovcr.  un  )ii)in'i:i  liiiiiours  mcnci' 
un  rM'Io  sans  conlarl  (|ur  niuis  su|)|iosiT()ns  loiil  riilicr  intriiour  au  (•>('lr  cnn- 
sidcrô.  Clr  rvclc  ((uisidcrr  |)i)iina  alors  ("•tro  décomposé  en  plusieurs  autres,  à 
saMiir  :  le  (■\(Ic  san^  conlad  dunl  d  xicnt  d  être  cpieslion  cl  daiiires  çvclcs 
c(inM'\es  n  ci!\  (dii|ipanl  pas  le  pmni  sini;iilicr.  l/indice  du  c\clc  sans  conlad 
sera  égal  à  —  i  ;  celui  des  aiilrcs  cycles,  à  o. 

l/indicc  du  cvidc  lolal  sera  donc    -  i. 

Il  l'c-idlc  de  liiiil  ce  ijui  préccdi'  (pie  l'indice  d'un  e-\cle  (pieleoiupie  est  cL;al 
au  ii(iml)i'c  (les  c(d>  ipi  d  cdnlieiil  dinmiiié  du  nomlirc  des  nieuds  et  de  celui 
des  li)\crs. 

Les  centres  (pu  sont  des  points  sint;uliers  exceptionnels  rentreront,  à  ce 
point  de  \iie,  dans  les  foyers;  en  cU'el,  autour  d'un  centre,  on  jieut  mener  un 
cycle  Icrmc  avec  (leii\  contacts  inléiieiirs  et  deux  contacts  extérieurs;  ce  cycle 
aura  alors  pour  mdicc         i  . 

.Niiiis  allons  iiiainlenaiil  parlaL;i'i-  la  surt'ace  de  la  iiajipi^'  S|  er.  un  certain 
nomlirc  de   rcuiiin>  siinplcincrit  coiuiexcs  eu  \    Irai  anl   un   cerlain  nomhre  de 

CNclcs. 

l^a  somiiie  des  milices  de  tous  ces  c\elcs  sera  é\ideninicnt 

C  — F  — N. 

l'iiiir  é\aliicr.  d  nue  aiilrc  inanirrr.  celle  soninie  d'indices,  ncuis  assimilerons 
à  un  |)ol\é(lre  la  li;;iire  lorniee  par  la  nappe  S,  dnisi'een  régions  simplement 
connexes. 

1  nul  le  luiiiide  eiiiuiail  le  lliéoréme  d  l'.iiler,  (I  après  lc(piel,  si  a,  [j,  "  sont  le 
uciiiilire  de>  laces,    des   arêtes    et  des  sommels  d  nu  pol  \  cdrc  co/iCCre,   on  doit 

avoir 

a  -  p  -I-  V  =  a. 

Ce  lliéiuéiue  s'i'lend  aisément  au  cas  dû  le  pdhèdre,  au  lieu  d'être  convexe, 
forme  une  surlacc  de  t;eiire  p:  lui  Iroiixe  alors 

Mai-,,  eu  L;edmelJie  de  sil  liai  kjii  .  un  ii  a  |)as  à  s  inipiieler  de  la  Idiine  des  iace.S 
cl  de.s  arêtes:  iidii-,  iiaxons  dune  pii',  hesdin  de  Mi|ipdser  (pie  les  faces  du 
polyèdre  sont  planes,  el  ses  ariiLes  rcctili^ues.  il  en  lésiille  ipic  la  lli;iirc,  formée 
par  la   nappe   S,    divisée    en    réifions    simplemeui    cdiinexcs,   est    un   véritable 


StlR   LES    COliiBES    DÉPlNlES    ^An    LES    ÉQLATiOSB   DIFFKllENriËLLES.  l2*J 

poljèdrc  (■ur\iligne  auquel  bappliquo  le  tlicdi-rnio  liEulcr.  T^os  faces  soûl  alors 
les  régions  siinjilcnirnt  connexes  elles-mêmes;  une  arcte  sera  la  portion  du  péri- 
mètre d'une  de  ces  régions  qui  lui  sert  de  frontière  commune  avec  une  région 
limitrophe;  un  sommet  sera  l'extrémité  d'une  arête,  c'est-à-dire  un  |ioinl  com- 
mun au  périmètre  de  trois  ou  de  jilusieurs  régions. 

Sujiposons  qu'un  sommet  soit  commun  au  périmètre  de  v  régions;  il  sera 
assimilable  à  un  angle  solide  à  v  faces  d'un  polyèdre  rectiligne.  On  aura, 
d'ailleurs. 

:$:•;  =  2  |E. 

Nous  pourrons,  d'ailleurs,  supjioser  que  les  angles,  formés  par  les  diverses 
arêtes  cjui  aboutissent  à  un  sommet,  sont  tous  saillants. 

Nous  cherchons  à  évaluer,  j)our  l'ensemble  de  nos  cycles,  l'excès  du 
nombre  SE  des  contacts  extérieurs  sur  le  nombre  SI  des  contacts  intérieurs. 

I)  aboicl  nous  n  aurons  pas  à  nous  ])réoccuper  (b's  <-onla(ls  (pji  ont  licii  en  un 
point  d'une  arête  ;  car,  si  un  parcd  contact  est  exlciiciii-  par  rapjioil  au  es  clc  ([ui 
loiine  le  périmètre  d'uiu'  d<'s  (b'ux  régions  auxcpiello  1  arè-tc  sert  di-  Ironlièrc 
commune,  il  sera  un  conlacl  lulcricur  poui'  le  |iéiiniètre  d<'  la  sccoude  d(>  ces 
régions,  et  réciprofpiemcnt. 

Nous  n'avons  donc  à  (■onsi(bTcr  (juc  les  ronlacls  ipii  peu\cnt  a\iur  lien  aux 
sommets.  Soit  donc  un  sdininct  commun  à  v  cycles.  La  lra|cctoii-c  qui  passe 
en  ce  |ioiul  lia\erseia  deux  de  ces  cycles  et  aiii'a  un  coulail  extérieur  avi'C  les 
V  —  2  autres.  On  a  donc 

lE  —  XI  =  lie  — -i)  =  rc  —  2--=  -ip—  ay 

La  soiuiue  elienliéi'  des  indices  est,  d'ailleurs,  égale  à 


1'- 


Il  \  lent  donc 


G  —  F  —  N  =  2/5  —  2. 


11  résulte  inimédiatemcnt  de  cette    formule   (pii^  les  surfaces  de  genre  i  sont 
les  seules  tpii  puissent  ne  présenter  aucun  point  singulier. 


126  SIR   LES  COURBliS   DÉFINIES   PAR    LES   ÉQUATIONS   DIFFÉRENTIELLES. 

CHAPITRE   XIV. 

GÉNÉRALISATION    DES   DEUX    PREMIÈRES    PARTIES. 


\(>us  alldiis  i'i'j)i'cii(lr('  niaiiilciiMiil  cliaciiii  do  llicdicmcs  des  Cliapilres  1\ 
à  \  I  pour  \oir  s'ils  sVHeutK'iil  au  cas  qui  nous  occupo  el  dans  quelle  mesure  ils 
doi\  cnl  ("Ire  niodiUés. 

Le  ihéorènic  \  I,  d  apiès  lequel  l(uil  evelc  ali;éi)ii(jue  a  un  nomlire  de  eoii 
laels  pair,  est  eneore  \iai,  mais  seiileiiieul  des  cycles  (lui  divisent  la  nappe. S,  en 
deux  ré<;ions  dont  une  au  moins  simplement;  connexe. 

En  ellel,  l'indice  d'un  pareil  cycle,  qui  dépend  du  iioini)re  des  points  ,sinj;u- 
liers  qui  y  sont  contenus,  esl  essentiellement  entier.  Donc  SE  —  ïl  et,  par 
conséquent,  l'E-f-SI,  c'est-à-dire  le  nomlire  des  eonl_acts,  sont  toiijiuirs  pairs. 

Le  théorème  Nil,  d  après  lecpiel,  si  l'on  peut  mener  t'utre  deux  points  un  arc 
quelconque  sans  contact,  on  peut  aussi  mener  entre  ces  deux  points  un  arc 
algébrique  sans  contact,  est  enctire  \  rai  pour  les  écpiations  de  degré  sii])érieur. 
On  n'a  pour  s'en  assurer  ([u"à  se  reporter  à  la  démonslration  de  la  page  38, 
première  Partie.  Nous  aurons  loutelois  une  modification  à\  introduire;  nous 
représenterons  1  are  sans  loniacl  par  les  é(puitions 

les  extrémités  de  cet  arc  correspondant  à  <  =  o,  /  = -.   La  démonstration  con- 
tinuerait de  la  même  façon  (jue  dans  la  j)rcmiére  Partie. 
Il  nu])orle  de  rciuar(pier  (pie  les  séries 

dx        „       ,  x<    .     t        .?■.,  t 

—!-  =  ^  m  A,,:  cos  ml sui  — i =  cos  -, 

cte  i       ■>.       1        1 

dy       „     „  Y\   ■    I       K-        f 

——  =  i./)!  B,„  COSmt  —  =^511) r  ^^^cos  - 

lit  2  2  2  2 

sont  non  seulemeiU  convergentes,  mais  uiiifoiinéiueiit  convergentes,  ce  qui  esl 
nécessaire  pour  la  suite  de  la  démonstration;  car  la  somme  de  la  série 

^m  Pi.,11  cos  mt, 

reprenant  la  même  valeur  pour /et  pour  9,~  —  /,  est  une  fonction  continue  de  / 
quand  <'etle  vanahle  croil  de      -  y^    à   -l-  X  . 


SUR    LES    COURBES    DEl'MNIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES.  I27 

Le  tiléorème  Vlll  et  sa  dénionstraliou  subsistent  aussi  sans  modification. 

Si  donc  on  pcul  joindre  deux  points  A  et  B  par  un  arc  sans  contact,  et  si  A, 
et  B|  sont  deux  points  des  trajectoires  qui  passent  par  A  et  B,  on  |)ouria  éga- 
lement joindre  A,  et  B(  par  un  arc  sans  conlacl. 

Le  tiléorème  IX  s'énonce  ainsi  : 

Si  AB  et  A,  B|  sont  deux  arcs  de  trajectoires  et  si  AA,,BB|  sont  des  arcs 
algébriques  ne  coupant  AB  et  A|B,  en  aucun  autre  point  que  h.,  B,  A| 
et  B|,  les  nombres  des  contacts  de  AA,  et  de  BBi  seront  de  même  parité. 

Ce  tiléorème  subsistera  encore  dans  le  cas  qui  nous  occupe,  pourvu  que  le 
cycle  ABA|B|  partage  la  nappe  S,  en  deux  régions,  dont  une  simplement 
connexe. 

TnÉoRiiME  X.  —  Si  un  arc  de  trajectoire  qui  ne  passe  par  aucun  point 
singulier  est  sous-tendu  par  un  arc  de  courbe,  le  nombre  des  contacts  de 
cet  arc  de  courbe  est  impair. 

Ce  lliéorènie  sera  encore  vrai,  si  le  cycle  formé  par  les  deux  arcs  divise  la 
nappe  S|  en  deux  régions,  dont  une  simplement  connexe. 

Ainsi  les  tliéorèmes  du  Chapitre  IN  ,  ijui  c<uisliliienl  ce  qiiej'ai  appelé  la  lliéorie 
des  contacts,  s'étendent  as'ec  quelques  modifications  au  cas  qui  nous  occupe. 
Je  passe  mainlenani  à  la  lliéorie  des  conséquents. 

Soient 

r  =  ^(t),        r  =  <V(') 

un  arc  algébrique  sans  conlacl,  et  IM,,,  M,  deux  points  consécutifs  d'inlersection 
de  cet  arc  avec  une  même  trajectoire.  M|  est  le  conséipicnl  de  M,,,  M,,  l'anté- 
cédent de  M|,  et  si  t„  et  /,  sont  les  \aleurs  de  t  cpii  correspondent  à  ces  deux 
points  Mo  et  M,,  la  relation  qui  lie  <,  et  ^q  est  la  loi  de  conséquence. 

Les  théorèmes  XI  et  XII  ne  subsistent  qu'avec  dinijiortantes  modificalions 
sur  lesquelles  nous  reviendrons  plus  loin. 

Le  théorème  XIII,  au  contraire,  reste  vrai  pour  les  éqiialions  de  degré  supé- 
rieur. 

Si  t^=l'^^{l„)  est  la  loi  de  conséquence,  la  fonction  ^i  est  holomorphe.  11 
n'y  a  d'exception  que  pour  les  valeurs  de  t„  qui  correspondent  à  une  tra- 
jectoire allant  aboutir  à  un  point  singulier  avant  d'avoir  rencontré  de  nouveau 
l'arc  sans  contact,  et  pour  les  valeurs  de  /„  ou  de  ;,  qui  correspondent  aux 
extrémités  de  cet  arc  sans  contact. 


12S  srr.  i.i:s  coi  riiuis  di'm'imks  paii  i.i:s  1:1.11  viions  niri'iciiicMiiii.i.KS. 

I.i'  llirciri'iiii'  \l\  icslc  \iiii  rj;iilriiirnl  .  niiiis  l;i  ili'nniiisl  rnlKin  ilml  l'Iro 
modilirc,  cai-  li'  cncIi'  M„ilM|  \,|M,|  iloiil  il  (•^l  (jucsIkiii  (lan>-  la  (IciiKui'-lral  khi 
iloiiiK'c  (laiiN  le  (llia|iilrc  \  |iiiiii'iail  ni'  |ia'  |iai'laj;ci'  la  na|i|ic  S,  eu  ili'ii\ 
ri'iiiiiiiv.  Mai--  vciil  l'ii  lin  |ii>imI  mIik'  sur  I  arc  saii>  CDiilarl  ciilrc  iN,,  cl  iM  ,  i  \(iir 
Ai'.  III.  |i.  ji).  M''  l'ailic)  cl  à  une  ili-lanci'  lime  île  N,,.  .Sinl  1',  un  poinl  siliir 
.-iir  I  arr  saii--  cnnlacl  adrinh'  ilc  M,  li  à  une  dislaiirc  lime  de  ce  |Miinl.  .lin- 
i;ii(ins  l'i,  l'i  par  ni'  arr  di'  ((inrlir  Ici  ijiii'  je  r\  ilc  Icriiu';  M||ÏM ,  l'i  l',.  M,,  cnlcrnir 
uni;  iviiKMi  sriii|i|rini'iil  iiniiicxc  I  .a  lra|c(l()irr  'N'uN,  ne  |iiMirrail  MMlir  At-  ci'llp 
rri;iiin  ■-ini^  s  (■liiii;iiri'  de  la  I  ra|ci'li)ir('  MuM,  à  iiiir  dislaiici'  lime  un  sans  la 
IraM'i'si'r.  ce  ijiii  rsl  un  |iiissil)lc.  I  )iiiic  je  1 11  nul  \  ,  doll  ('■Iro  à  d  niilc  dn   |i(iiiil  M, . 

c.  0.  y.  D. 
^v  dis  (|ii'iin   |iriii    idiijdiirs  iiicner  sur  la  na|i|i('   S,  des   cycles  sans  coiitad. 
Ku  ell'cl  : 

1"  l)ans  le  \iiisiiiai;('  drs  iiir'uds  el  des  l'iiM'r's,  on  |)ciil  Irarcr  des  cycles  sans 
(iinlarl  rn\  cldiiiianl  (les  |ii)inls  sini;iilirrs. 

;'."  Si  m  II  il  \l  I  siinl  ilrii\  |ioinls  d  inli'r.srchiiii  cimsccnlils  dune  li'a|ec- 
loire  M„I'M,  li  dnii  are  sans  ((inlact  ]V1„QM|,  le  cycle  M„QM,PM„  |imirra 
èlre  l'egardc  (■(iminc  sans  ennlaii.  Smenl  en  ellel  N,,  un  |iiiiiil  inlimnienl 
voisin  de  Al|,  el  à  ilrmle  de  ci'  jiniiil  eiiniine  dans  la  lii;iiie  1  n  ipie  nmis  \  emins  de 
citer.  \|  le  eiinséi|iieiil  du  |iiiiiil  \||.  Nuiis  |iiiii  rriins  Iraeer  dans  la  région  inli- 
niiiieiil  ni  I  née  ei  1  ni  |  irise  en  Ire  les  den  \  I  ra|eeliiires  M^  M  ,  cl  Nu  N  1  un  arc  iNuRM, 
iieeiiii|iaiil  eliai|iie  [  la  |eel  1  n  l'e  (iniine  lois.  Le  cy(;le  l\||!lM|QÎ\o,  (ini  dillei'c 
inliniiiieni   |ieii  de   Mu  l'NFi  (^)M„,  sera  alors  sans  eontacl. 


(■ 


\iiisi  donc,  si  la  na|i|ie  S|  cmiliciil  nii  incnd  on  un  ioxer,  on  sera  ccriaiii  d 
|>oii\oir  Iraeer  un  e\cle  sans  conlacl  :  si  elle  n'en  ciinlienl  pas,  lonle  lra|ecloirc 
de\ra  eiiii|ier  an  niiiins  nu  e\ele  alj;élirM|  ne  eu  une  inlinilé  de  poinls  (à  moins 
(le  se  réduire  à  un  e^ele  lerim'',  eoinine  nous  l'axons  \n  dans  le  (^liapilie  \H). 
Ce  cycle  algélji'ii|iie  |)onri'a  Tire  |iarlai;é  en  un  noinlire  lini  d  ares  sans  conlacl. 
Donc  an  moins  un  de  ces  ares  sans  conlacl  sera  couin'  par  la  liaieiioirc  eu  une 
infinité  de  jioints.  l'armi  ces  pniuls,  nous  retiendrons  deii\  points  lonsé- 
culifs  Mo  el  M)  et  ils  nfiiis  doiineroni  un  <\cle  sans  conlacl,  ainsi  ipi  on  \ienl 
(le  le  voii-.  //  y  a  donc  laii juiirs  des  cycles  sd/is  conlacl  à  moins  ijkc  lotîtes 
les  Irajectoircs  ne  se  réduiseni  à  des  cycles  fermes. 

Si   un  cycle  san.s  conlacl  divise  la  nap|)e  S,  en  deux  régions  dont  une  sim- 
plement connexe,  cette  dernière  conlicnl  au  moins  un  ninid  on  un  liMcr. 


Si:il    LES   COniBKS    ODMMES    l'An    LES    EQUATIONS    DIFFKIIEMIIÏLLKS.  I  >9 

En  c'UVl,  I  iiitlicc  ilii  (Ncle  sans  conlacL  est  l'gal  à  —  i.  Si  donc  N,  F  et  C 
désignent  le  nombre  des  n(j'iiil>.  des  foyers  cl  des  cols  contenus  à  l'inléiieur  de 
notre  région  siinnlemeiil  e(>nue\<',  ou  aura 

ce  c[iii  dénionlie  le   lliéorénie  énoncé. 

Sii])j)oson'^  mainlciianl  que  le  cycle  sans  conlacl  di\i''C  la  nappe  S|  <'n  deux 
régions  pmnanl  tontes  den\  rire  iiudli|ili'inciil  e(iiinc\r-.  .le  dis  (|ii  d  \  aiiia 
des  points  singuliers  dans  ciiaeune  de  ces  deux  régions. 

Soil  R  l'une  de  ces  régions  c[iie  je  supposerai  q  fois  connexe  11  >  agit  île 
trou\ei'  rindiee  du  cycle  sans  contact  V.  eu  consitlérani  la  région  \\  comme 
l'intérieur  do  ce  cvcle.  Nous  |H)urrons  cons|niir<'  uni^  calotle  H|  smipleiuenl 
connexe  el  admettaiU  pour  frontière  le  cycle  (-1.  L'ensemble  des  d<'ii\  rcgious  lî 

el  1*1,  i(iriiiera  alors  une  siiilace  lermée  de  genre  -^ >  ceipii  pniuxeeu  passaiil 

ijiie  <i  doil  être  impair  (  c/'.  RiEMAKN,  Gcsammellc  McUliejncitisclic  Jf  cr/,e, 
l'^éd.,]).     1  :>  :    l.ei|izig,  'l'eiibiier.    iS-()i.  l'osons  doue 

<J  =  ï  /(  -r-  I  . 

Si  nous  décomposons  la  réguin  1»  eu  un  eerlaiii  iioiiibre  de  régions  sim- 
plement connexes,  la  surface  fermée  K  -1-  U|  pourra  être  assimilée  à  un  jmh  édre. 
En  appliquant  à  ce  polyèdre  le  lliéorcme  d'Eulei'  el  en  raisonnaiU  comine  dans 
le  Chapitre  précédeni,  on  iroiivera 

indice  de  C    -  S(  —  i/i. 

^i  désignani  la  somme  des  indices  des  cycles  à  1  aide  desiiucls  la  région  11  a  été 
partagée  en  régions  simplement  connexes.  Or,  si  N,  F  et  C  sont  les  nombres 
des  nieiids.  des  foyers  l'I  des  cols  de  la  région  1!,  on  a 

Si  =  C  — N  — F. 

De  plus,  le  cycle  (1  elant  sans  contact,  il  \ienl 

imlicr  de  C  :^  —  I  ; 

d'où 

C  —  N  —  F  =  2A  —  I 
ou 

N-hF-i-G  =  i,         (iiiod.  vt), 

ce  ipii  prouve  ([lie  \,  F  el  C  ne  peuvent  pas  être  nuls  à  la  dus. 

Vu  poiiil  de  \iie  (pu  nous  occupe  en  ce  momenl.  Iniile  lia|eeloire  lermée  ci 
ne  passiinl  par  aucun  point  singulier  pourra  élre  assimilée  à  un  c\cle  sans  con- 

H.    P      -    I.    \  17 


1  JO  Sl'R   LES   COl'RnKS   DEFINIES   PAR    LES   EOUATIONS   DIFFERENTIELLES. 

tact,  je  veux  dire  riue  son  indice  sera  éj;al  à  —  i .  L'iie  irajeetoire  l'crniéc  n'a  pas 
d'indice  à  jM-ojn'emenl  parler,   mais  les  cycles  cpii  en  dillerenl  infininienl  peu 
en  auroni  un.  cl  je  dis  que  cet  indice  sera  —  i. 
En  etlol.  il  peul  se  présenter  deux  cas  : 

SoitMol'^r,,  une  lraje(l<iire  fennec,  soit  AM,,  15  un  arc  sans  conlact,  soit/ 
le  paraïuèlre  cpii  délinil  la  pusiiinn  d'un  piiinl  sur  cet  arc;  soil  o  la  valeur  de  ( 

qui  correspond  à  Mq.  Soit 

'i  =  ?i(?o) 

la  loi  de  conséquence  sur  notre  arc.  On  aura 

»,(<))  =  o. 

11  pourra  se  faire  d'abord  que  la  fonction  es,  —  /„  ne  soit  pas  identiquement 
nulle.  Dans  ce  cas,  soient  t^  une  valeur  infiniment  petite  de  /,  N^  le  point  corres- 
pondant,N,  son  conséquent  et  /,  la  valeur  infiniment  petite  correspondante  de  t. 
Soit  NoQN,  l'are  de  trajectoire  qui  joint  N„  à  N,.  Le  cycle  NoQN,N(,  qui  dif- 
férera infiniment  peu  de  MuPMq  ponrra  être  assimilé,  d'après  ce  qu'on  a  \u 
plus  haut,  à  un  cycle  sans  contact.  Dans  ce  cas,  la  trajectoire  fermée  MoPM„ 
est  un  cycle  limite  et  jouit  des  propriétés  de  ces  cycles  démontrées  dans  la 
deuxième  Partie  ('). 

Il  peut  arriver  aussi  cpie  la  fonction  es,  —  ^i,  soit  idenlicpiement  nulle.  Dans  ce 
cas,  les  trajectoires  voisines  de  MnPMo  sont  des  cycles  fermés  s'enveloppant 
mutuellement. 

Si  alors  on  nu'nc  un  cycle  infiniment  peu  dinèrent  de  MoPMo.  le  niuiibre  de 
ses  contacts  extérieurs  sera  le  même  que  celui  de  ses  contacts  intérieurs  et  son 
indice  sera  encore  —  i.  c.  q.  f.  d. 

Si  donc  une  trajectoire  fermée  partage  la  nappe  S|  en  deux  régions,  il  y  aura 
des  points  singuliers  dans  chacune  d'elles. 

Donc  tout  cycle  algébric/iie  qui  passe  par  tous  les  points  singuliers  ren- 
contre tous  ceux  des  cycles  sans  contact  et  toutes  celles  des  trajectoires 
fermées  qui  partagent  la  nappe  S,  en  deux  régions. 

C'est  la  généralisation  du  théorème  X\'I  de  la  deuxième  Pai'tic  (^). 
Passons  maintenant  à  la  généralisation  du   théorème  XVIII   qui  est  l'objet 
principal  de  ce  Chapitre.  Ce  ihéorême  généralisé  s'énonce  ainsi  : 

(')   Voir  ce  Tome,  p.  53. 
(')  Voir  ce  Tome,  p.  Oo. 


SUR    LES   CDLBBES    DÉFINIES    PAR    LES   EQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  l3l 

On  peut  sillonner  la  nappe  S,  par  une  série  de  cycles  et  de poly cycles 
[courbes  fermées  à  point  double)^  de  telle  façon  que  par  chaque  point  de 
cette  nappe  passe  un  de  ces  cycles  et  un  seul,  excepté  par  les  foyers  et  les 
nœuds  qui  seront  regardés  comme  des  cycles  infiniment  petits.  Parmi  ces 
cycles,  les  uns  seront  des  cycles  sans  contact,  les  autres  des  trajectoires 
fermées. 

Si  le  genre  p  de  la  nappe  S,  est  égal  à  o,  la  généralisation  est  immédiate.  En 
efiet,  pour  démontrer  sur  la  sphère  les  théorèmes  X  à  X\III  des  deux  pre- 
mières Parties  ['),  nous  nous  sommes  appuyés  seulement  sur  une  propriété  de 
la  sphère,  celle  d'être  simplement  connexe  ou  de  genre  o. 

Il  est  encore  un  autre  cas  où  celte  généralisation  j)eut  se  (iuic  iiiiniédiatenniit. 
Supposons  qu'on  ail  découpé  sur  la  na|)pe  S,  une  région  R  ilniil)h'iiicnt  con- 
nexe et  limitée  par  deux  cycles  sans  contact  C  et  C.  Supposons  de  plus  (pic 
cette  région  R  ne  i-enferme  aucun  point  singulier.  Je  dis  que  le  théorème  \\  111 
s'appliquera  à  cette  région,  c'est-à-dire  qu'on  pourra  sillonner  celte  région  j)ar 
une  iniinilé  de  cvcles  K  qui  seront  tous  des  cycles  sans  contact  ou  des  trajec- 
toires fermées. 

11  est  clair  d'ailleurs  (jiic  ces  cycles  K  dcv  roiil  ("trc  disposés  de  fa(;oii  à  par- 
tager la  région  R  en  deux  autres,  la  première,  limitée  par  les  cycles  K  et  C,  la 
seconde  |)ar  les  cycles  K  et  C.  En  d'autres  termes,  il  n'est  pas  possible  que  le 
cycle  K  t'ornic  à  lui  seul  la  frontière  d'une  région  R'  conlciuic  tout  entière 
dans  R.  En  cllct,  l'indice  de  ce  cycle  est  égal  à  —  i,  tandis  cpie  R,  et  par  cun- 
séqucnt  R',  ne  rcnlernu'rait  pas  tie  point  singulier. 

Divisons  niainlcnanl,  à  l'aide  d'un  |iuinl  M  cpiclcoïKiiic,  loute  trajectoire  en 
demi-trajectoires  analogues  aux  demi-caractéristiques  des  deux  premières 
Parties  (2).  L'une  de  ces  demi-trajectoires  comprendra  les  points  où  le  point 
mobile  passera  après  être  passé  au  point  jM  et  l'autre  les  points  où  le  point  mobile 
était  passé  avant  d'arriver  au  point  M. 

Les  demi-trajecloires  se  di^  iseront  alors  en  trois  catégories  : 

1°  Les  trajectoires  l'ermées   qui  rcsleronl    touL   entières  à  l'inlèiietir  de  R; 
2"  Les  denii-lrajccloires  qui  s'étendront  indéfiniment  sans  jamais  se  fermer, 
et  sans  jamais  sortir  de  R; 


(  '  )   loir  ce  Tome,  p.  4^-65. 
(•)  loir  ce  Tome,  p.  S  et  44' 


Ij*  sth  l.tîs  (oinilES  lH;iiNil;s  i^AR  l.ks  liotAilONS  ilill'i.iil:Ntilît.LËSi 

.')"   I.t'>  (li'ini-lniiccldii'cs   (|ul   Miitnil  de  K  par  1  un   des  rjclcs  C  cl  C. 

Nous  (•oiiiiiiciicorous  |)i\r  enhuircr  les  liiijeelmi'es  fermées  dans  des  tiiincaiix 
liiniles  ainsi  que  nous  l'a\iuis  f'ail  dans  la  deuxième  Paiiie  (  |).  ()i).  A  cet  cflet, 
joignons  nn  |niint  de  (.  à  un  |)iiinl  de  (■'  par  un  arc  algébrique  qnelconqne.  Cel 
arc  algébrique  pouria  èlre  décomposé  en  un  nombre  fini  d'arcs  sans  contacl. 
l'ar  diacune  des  extrémités  de  ces  divers  arcs  je  lais  passer  nn  petit  arc  sans 
eonlacl.  .lai  ainsi  trace  à  lintérienr  de  R  nn  certain  nombre  d'arcs  sans  contacl 
et  je  suis  cerlain  (pie  lonle  demi-trajeeloirc  de  la ])reniiérc  catégorie  rencontrera 
au  moins  un  d  entre  eux. 

Considéion-'  un  (pielconque  de  ces  arcs  sans  contact  et  clierelions  quels  sont 
ceux  des  points  de  cet  arc  qui  ont  un  consécpient.  Nous  convenons  pour  cela 
qu(\  si  la  trajectoire  tpii  passe  par  un  point  ~Sl„  d(>  l'are  sans  contact  sort  de  la 
légion  11  ou  SI  elle  ne  ^ient  ])lus  couper  de  nouveau  [l'arc  sans  contact,  le 
pi)int  Mo  sera  regardé  comme  sans  conséquent.  .Si,  au  contraire,  la  trajectoire 
(jui  passe  en  ^I,,  \ient  <ou|)er  de  nouveau  l'arc  sans  contact  en  un  pojnt  jM|, 
sans  être  sortie  de  11.  le  [loini  M,  sera  le  conséquent  de  Mo- 

Parmi  les  arcs  sans  contact,  en  nond)rt'  Uni,  (pie  j'ai  tracés  dans  la  région  P», 
les  uns  ne  seront  rencontrés  par  aucune  trajectoire  fermée  de  la  première 
catégorie  et  devront  être  rejelés,  lo  autres  seront  rencoiilrés  par  au  moins  une 
trajectoire  Ceiiiiée;  je  le>  a|)pelleiMi  iirrs  auxiliaires. 

Considérons  un  are  aiixiliairc  ipuleoiupie  ;  Mir  cet  arc  on  pourra  toii|ours 
trouver  des  jioinls  admcllani  nu  ('(Uisétpient  ;  car  le  ])oinl  où  il  esl  (■ou])^  par 
une  tiajectoire  fermée  esl  son  propre  conséquent.  De  plus,  aucune  trajectoire 
issue  d  un  point  de  l'arc  auxiliaire  n  ira  passer  par  un  col,  puis(pie  la  région  R 
n'en  renferme  pas.  La  courbe  de  consé(pience  aHeetera  donc  l'une  des  formes 
indiquées  sur  la  ligure    i  i  (11'^  Partie,  j).  ,")o). 

Nous  avons  vu  que,  si  1  On  joint  un  point  M,,  d'un  are  sans  contacl  à  son 
conséquent  !Vf(  par  un  arc  de  trajciloiic  MiJ'Mi.  le  cvcie  i\f,|PM|iMo  ]ieiii 
être  regardé  comme  un  cycle  sans  contacl.  Il  v  aurail  exee|)tion,  bien  entendu, 
si  les  deux  points  IMq  et  M,  se  confondaient,  auquel  cas  le  cycle  sans  contact 
se  réduirait  â  une  trajectoire  fermée.  Nous  tra(;ons  les  cycles  sans  contact  ainsi 
obtenus  pour  lous  les  points  de  lare  auxiliaire  (pu  admettent  un  consé(pient. 
L'ensemble  de  ces  cycles  formera  alors  un  anneau  limite  comme  ceux  que  nous 
avons  envisagés  dans  la  deuxième  Pailie. 

Cet  anneau   limite   seia  silloniu'    par   une  si-ric  de  cv(les  sans  contact  dont 


SLH  LES  COtJRBMê  DÉFINIES  tAft   LES  ÉCjtÀtlONS  t)ltFÉRË^•TlkLLËS.  t3i 

(]n(Ii|iie.s-un.-,  se  rcduiront  à  dos  lr;ijecloires  fermées.  Déplus,  cel  anneau  limite 
partagera  la  région  R  en  deux  autres  régions  analogues  Pi'  et  R",  ne  renfermant 
plus  qu'un  nombre  moindre  d'arcs  auxiliaires. 

En  continuant  de  la  sorte  sur  les  deux  régions  R'  et  R",  on  arrivera  à  partager 
la  région  R  en  un  certain  nombre  d'anneaux  limites  et  en  un  certain  nombre 
de  régions  inlcrannulaires  à  l'intérieur  descpielles  on  ne  [jourra  plus  tracer 
aucune  irajecloire  A'rméc  {cf.  W  l'artie,  p.  63). 

Considérons  une  de  ces  régions  interannulaires;  elle  sera  tout  à  fait  analogue 
à  la  région  R;  seulement  on  n'y  pourra  pas  tracer  de  demi-trajectoires  de  la 
|>rcmiére  catégorie.  Je  dis  cpi'on  n'en  pourra  pas  non  ])lus  tracer  de  la 
deuxième. 

En  ellet,  loulc  demi-trajecloiie  de  la  deuxième  catégorie  admet  un  cycle 
limite  (pii  ne  |)oiirrail  être  qu'une  demi-lrajeetoire  de  la  première;  car,  dans 
rintérii'ur  de  la  région  I\,  les  tliéoièmes  du  Gliapitrc  ^  s"a|)|)liquent  sans 
restriction;  donc  une  demi-trajectoire  ne  peut  rester  constamment  à  l'intérieur 
de  la  région  interannulairc  qui  n'est  traversée  par  aucune  trajectoire  de  la  pre- 
mière catégorie. 

Ainsi  une  région  inlcrannulaire  ne  peut  renfernu'r  (pie  des  dcim-trap-ctoircs 
de  la  Iroi-'iènie  catégone;  don  il  suit  (pie  toute  trajectoire  (pu  tra\erse  cette 
région  \a  alimitir  de  part  et  d'autre  à  deux  extrémités  situées  sur  les  deux 
cycles  y  et  y'  (pii  limitent  la  région.  Il  n'est  pas  possible  (pir  les  deux  extré- 
mités soient  sur  un  mémo  cycle  y;  car  un  arc  sans  contact  ne  peut  sous-lendre 
un  are  de  lra|e(i()ire. 

Donc  toute  trajectoire  tracée  dans  la  région  mteranmilaire  \\\  d  un  point  du 
cycle  y  à  un  point  du  cycle  v' ;  ce  (pii  démonlre  la  possibilité  de  sillonner  cette 
région  de  cycles  sans  contact. 

Le  théorème  XVIII  est  donc  démontré  pour  la  région  R. 

Un  cas  particulier  digne  d'intérêt  est  celui  où  la  loi  de  conséipiencc  sur  un 
des  arcs  auxiliaires  s'écrit  ^i  =  l^.  On  reconnaîtrait  alors  par  un  raisonnement 
analogue  à  celui  que  nous  a\ ons  emplové  à  la  lin  du  Chapitre  \l,  en  ri'iiiar(piant 
(pic  ha  région  R  ne  renferme  aucun  point  singulier,  (pic  liuiles  les  trajectoires 
qui  traversent  celte  région  sont  fermées. 

Si  on  laisse  de  côté  ce  cas  particulier,  toutes  les  trajectoires  fermées  sont  des 
c^xles  limites;  elle  théorème  XVII,  d'après  lecpiel  ces  cycles  limites  sonl  en 
nombre  fini,  se  généralise  aisément.  (11  ne  s'agit  jusqu'ici,  bien  entendu,  que 
des  cycles  limites  et  trajectoires  fermées  situés  tout  entiers  à  rintéricur  de  R.) 


l34  SUR    LES   COIRBES   DÉFINIES    PAR    LES   ÉQUATIONS   DIFFERENTIELLES. 

Les  tiléorèmes  XMI  et  X\  III  sont  encore  vrais  quand  un  des  cycles  C  et  C 
([ui  liniilenl  la  ivi;ion  Pi,  au  lieu  d'être  un  evclc  >aiis  eonlact,  devient  une  tra- 
leihiiic  t'eruiéc.  il  ^  aurall  exceplion  toiitclois  [lour  le  théorème  X\  II  si  le 
evcle  C  se  réduirait  à  une  Irajectoire  fermée  allant  passer  par  un  coi. 

Il  nie  reste,  pour  démontrer  les  tliéorèmes  WII  cl  WIII  dans  toute  leur 
généralité,  à  faire  voir  la  possibilité  de  décomj)oser  la  nappe  S,  en  un  certain 
nomlirc  de  réi;ions  telles  ipie  R. 

Pour  cela,  nous  allons  d'ahord  faire  rpielques  remarques  préliminaires. 

Nous  av(uis  \u  (pic  si  Ton  joiiil  deux  poinls  Mq  et  JM,  dun  arc  sans  contact 
par  un  arc  de  Ira jc(  loirc  M„I'M|,  le  c\cle  MqM,  l'Ai;,  ])eut  être  regarde  comme 
sans  conlacl.  c  csl-à-dire  t[ue  par  cliacun  de  ses  points  on  peut  mener  un  cycle 
sans  conlacl  <pii  dillere  infiniment  peu  du  cycle  MoMiPM,,. 

De  même,  supposons  qu'un  arc  de  trajectoire  MpQM,  vienne  aboutir  en  Mi 
à  un  c>ele  sans  conlacl  M|PM,.  Je  dis  que  le  cycle  M,  PM)  QiMoQM,  pourra 
cire  regardé  comme  sans  eonlact. 

En  ell'et.  soient  M;Q'M;,  M;;Q"M';,  ...,MÎQ''Mf  des  arc^  de  trajectoire  infi- 
niment peu  différents  de  MoQM,.  i\ous  pourrons  toujours  tracer  un  arc  de 
courbe,  (piittant  le  cycle  sans  contact  M, PM,  en  M',,  coupant  chacun  de  ces 
arcs  de  trajectoire  en  un  seul  point,  allant  passer  par  le  point  M,,  et  venant 
rejoindre  le  cycle  sans  conlacl  en  M^''.  Le  culc  fermé  M'' PM',  Q"Moi\l'; ,  (pii 
difl'rrc   infiniment  peu  de  M(  PM,  Q^IoQMi,  sera  alors  sans  contact. 

Imaginons  maintenanl  qu  on  ait  liacé  sur  la  iiappc  S,  un  certain  nombre  de 
cycles  sans  contact  (ou  de  trajectoires  fermées  ),  el  qu'on  ail  délcrminé  ainsi 
sur  cette  nappe  une  certaine  région  P  limitée  par  ces  divers  cycles  sans  contact. 
(11  peut  se  faire  que  la  région  P  contienne  la  nappe  S,  tout  entière;  ainsi  sup- 
posons (juc  .S,  soit  un  tore,  cl  qu'on  ail  tracé  sur  ce  tore  un  cercle  méridien  C 
qui  soit  un  cycle  sans  contact.  La  iia|ipc  S,  forme  alors  tout  entière  une 
région  P  limitée  par  deux  cycles,  car  on  (ii'\ra  dislinguci'  les  deux  lèvres  de  la 
coupure  que  Ion  a  failc  sur  le  tore.  > 

Cela  posé,  je  dis  «pie  par  tout  jioinl  Mo  de  la  région  P  on  peut  tracer  à  i  in- 
térieur de  celle  région  un  cycle  sans  contact.  Considérons,  en  effet,  la  demi- 
Irajecloire  qui  passe  par  M,,.  \  oici  les  cas  «pii  pourront  se  présenter  : 

l"  Il  j)ourra  ai'rivcr  iiue  la  dcmi-lra|i'<ioirc  >r  ferme  sans  èli'c  sortie  de  la 
région  P.  C'est  le  seul  cas  d'exceplion;  on  ne  pourra  pas  faire  passer  par  le 
poinl  M„  <lc  cycle  sans  contact,  mais  sculemcnl  une  irajectoire  fermée. 


SUR    LES   COIUBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DlFFÉnENTIELLES.  l35 

2"  Ou  Ijien  que  hi  ilcmi-trajcctoirc  MuQM,  sorte  de  la  région  P  en  M,  par 
un  des  cycles  sans  contact  (iiii  la  limitent,  jtar  exem|)le  par  le  cycle  M,HM,. 
Dans  ce  cas,  le  cycle  M,  HM|  QMqQM,  peut  être  regardé  comme  sans  contact, 
ainsi  qu'on  vient  de  le  voir. 

.5"  Ou  bien  que  la  demi-lrajectoire  aboutisse  à  un  nœud  ou  à  un  foyer.  Ce 
cas  se  ramène  au  précédent,  car  on  peut  entourer  le  nœud  ou  le  foyer  d'un 
])etit  cycle  sans  contact,  que  la  trajectoire  est  obligée  de  traverser  pour  aboutir 
au  nœud  f>u  au  foyer. 

4°  Ou  bien  cpie  la  denii-trajccloire  s'étende  indéfiniment,  sans  se  fermer, 
sans  aboutir  à  un  nœud  ou  à  un  foyer,  et  sans  sortir  de  la  région  P.  On  pourra 
alors  trouver,  dans  la  région  P,  un  arc  sans  contact  qui  coupe  la  demi-trajectoire 
en  deux  points  N„  et  X,.  Il  s"cnsuit,  d'après  le  théorème  \  III,  qu'on  pourra 
joindre  M^  à  un  autre  point  ^I,  de  la  demi-trajectoire  par  un  arc  sans  contact. 
Dans  ce  cas,  le  cycle  formé  par  Tare  sans  contact  MjM,  et  par  lare  de  trajec- 
toire M„|M|  |)ourra  être  regardé  comme  sans  contact. 

Ainsi  l'on  pourra  toujours  mener,  par  le  point  M,,  et  dans  la  région  P,  un 
cycle  sans  contacl  qui  |)ourra.  dans  certains  cas,  se  réduire  à  une  trajectoire 
fermée. 

Si  le  point  AI,,  est  un  col,  il  aboutit  à  ce  col,  non  pas  deux,  mais  quatre 
demi-trajectoires.  On  peut  alors  mener  par  le  point  M,,  deux  cycles  sans  con- 
tacl formant,  par  leur  ensemble,  une  courbe  fermée  à  point  double. 

Cela  posé,  voici  comment  nous  opérerons  pour  jiartager  la  nappe  S,  en 
régions  analogues  à  R.  Nous  commencerons  par  envelopper  tons  les  nœuds  et 
tous  les  foyers  par  des  cycles  infiniment  petits  sans  contact.  Soit  dans  la 
région  P  ainsi  déterminée  un  col  quelconque  ;  parce  col,  je  pourrai  faire  passer 
deux  cycles  sans  contact;  j'aurai  alors  divisé  la  nappe  S,  en  régions  P  plus 
petites;  j'opérerai  de  même  sur  chacun  des  cols,  et  j'aurai  finalement  partagé 
la  nappe  S,  en  un  certain  nfimbre  de  régions  R  limitées  par  des  cycles  sans 
contact  et  ne  contenant  aucun  point  singulier. 

Je  dis  que  chacune  de  ces  régions  est  doublement  connexe  et  limitée  par  deux 
cycles  seulement. 

Supposons,  en  eflVt,  que  la  région  R  soit  q  fois  connexe  et  limitée  jiar 
n  cycles. 

Nous  aurons  d'abord  [roir  Riemann,  loc.  cit.,  p.   12) 
y  >  «  >  o,         q  ^s  n         (nio;).2i. 


e 


l3(j  SIR    LES    COIRBES    DÉFÎMES    PAU    LES    ÉCJUATIONS    DlFrÉRENTlELLF-S. 

Uo  plus,  cliacuii  des  cycles  a  pour  indice  —  i,  eL  il  n'y  a  pas  de  point  sin- 
Hulier  dans  la  région.  Si  nous  fermons  la  région  R  en  construisant,  sur  chacun 
des  cycles  C  (|ui  la  limitent,  une  calotte  simplement  connexe,  puis  que  nous 
divisions  la  région  cllc-nu'mc  en  tloniaines  siniplenicnl  connexes  par  des 
cNclcs   C .    UDiis   obliendrons    une   sorle   de   polyèdre   ciir\ilii;ae   (pii    sera  d 

iicnrc  ^ Le  liiédiènic  li'Eider  nous  doniu'ra  donc 


si  l'on  ilésii;nc  parSi  la  somme  tics  indices  des  cycles  C  cl  parS('  la  somiuedes 
indices  des  cycles  C.  Or  on  a 


g  z=  2,  ;i  =  2.  c.  0-  F.  D. 

Ain^i  loules  nos  régions  sont  doidjlcmenl  connexes  el  limilées  par  tieiix 
cycles  :  nous  pouxons  donc  sillonner  cluicune  d'elles  de  cycles  sans  contact,  ce 
(pii  déiiiDnlre  le  lliéoréme  XVIII  dans  toute  sa  généralité. 

Quand  on  aura  construit  sur  la  nappe  S,  une  série  de  cycles  sans  contact  et 
de  cycles  limites  s'cnveloppant  mutuellement,  on  pourra  s'en  servir  pour 
construire  les  trajectoires  elles-mêmes. 

Si  nu  cycle  sans  contact  divise  S(  en  deux  régions,  il  ne  juiiiira  cire  coupé 
(11  pliii  d'un  poinl  par  nue  luème  trajectoire. 

Cela  ne  sera  plus  \iai,  au  ((inlraiic,  si  le  cycle  sans  conlacl  ne  partage  pas  Si 
111  ilrii\  iégliin>:  mais,  nu'nu'  dans  ce  cas,  la  considéraliou  des  cycles  sans 
roulai  l  11  eu  cijiisirve  pas  moins  une  iiiipnilaucc  capitale.  C  est  ce  cpie  l'on  com- 
pi-endra  mieux  par  les  exemples  (jue  je  vais  donner  dans  le  Chapitre  suivant. 


SUll    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    Dll-EÉUENTIELLES.  13; 

CHAPITRE  XV, 

fillDF.    l'ARTICILlfiRH     UU    TORi:. 


Les  surfaces  de  i;eiii'e  i  sont,  comme  ou  la  \u.  les  seules  sur  lesquelles  il 
puisse  n'exister  aucun  poinl  singulier.  Après  le  cas  des  surfaces  de  genre  zéro, 
f[ui  ne  diffère  pas  en  réalité  de  ceux  qui  ont  été  traités  dans  les  deux  premières 
Parties,  le  cas  le  plus  simple  qui  puisse  se  présenter  est  celui  des  surfaces  de 
genre  i  sans  point  singidier.  C'est  donc  celui  que  nous  allons  étudier  en  détail. 

Pour  fixer  davanlage  encore  les  idées,  je  sujiposcrai  ipie  la  suiface  S,  se 
réduit  au  toi'C 

Mais  liiul  ce  fiuo  nous  dii'ons  du   loïc  s'appliquera  à  uni'  surface  quelccinque 

du  geiir<'  I,  ((ui  n'en  dill'èi-e  |)as  an  pcnnl  ilr  \  uc  <lc  la  gédini'lrie  de  situalmu. 

^ous  poserons 

a-  =  (^R  -r-  /■  cosio;  cuso, 

^  =  (R  -h  /•  cos(o)  sin  o, 

a  =  /■  sin  10. 

Nous  mettrons  les  équations  dillérenllelles  sous  la  IVunie 

—  =  o  — ^  =  '1> 

dt  dt 

U  cl  '1'  dc\ii)nt  être  des  polynômes  entiers  en  cos(o,  sinoj,  cos-j  et  sin'i. 
On  trouve,  d'ailleurs, 

.r(a:'-+-  ys.,.  -•>_■_  r;_  ,.2,  y 

cos  te  =  -r— — ,  sin  o  =  co-io  — > 

2R(x2-+-  y-)  '  '   X 

z  X  coso  +  )'  sin  cp  —  R 

sinto  =  —,  COSO)  =  ■ : i , 

r  r 

ce  (jui  montre  que  si  0  et  <I>  sont  des  polynômes  entiers  en  cosw.  sin  t.),  cos'j 

dr     dy         dz  ^        ,■  ■  ■  n 

et  sin'j,  -y-,  -f-  et  -7-  seront  des  fonctions  rationneffes  en  .r,  y  cl  :. 
'      dt     dt        dt  •' 

Pour  bien  saisir  la  suite    de   la    discussion,    il   faut    se    reporter    aux  Ciia- 

pilres    Mil  et  IX  (IP  Partie).  Nous  allons,   en    efi'et,    applicjuer   les   mômes 

méthodes  et   partager  le  tore  en  régions    acjcliques  (sillonnées  par  des  cycles 

H.  P.  —  I.  18 


lîS  Sl'll    l.i:!i    COIKBFS   DKFINIKS    l'AR    l.lvS    ÉQUATIONS    DU  TÉRENTIELI.ES. 

sans  conliicl,  |)iiriiii  k'squcls  il  n'y  a  aucun  cycle  Imulc),  en  régions  cycliques 
(  sillonnées  par  ilcs  cycles  sans  conlacl,  parmi  Icsrpicls  il  y  a  certainemenl  des 
cycles  liniiles'l.  en  régions  nKinocjcliqucs  (où  il  y  a  un  cycle  limite  et  un  seul), 
et  en  iéi;ii)n>  ddiilcuses  (où  l'on  ne  saurait  aflirin(  r  (|u  il  y  ail  ni  (ju  il  n'y  ail 
|m--  (II-  c\c\c  iiniiU')-  l^a  iliseussion  sera  lerminée  lorsqu'il  ne  reslera  plus  (pie 
tics  régions  acycliques  el  monoeycliques. 

Le  problème  revient  donc  à  savoir  si  une  l'égion  esl  cyclique,  el  si  elle  csl 
inoniu\  cliipie.  \  oiei  les  règles  rpie  nous  ap|)liqiicrons  pour  le  reconnaître,  el 
qui    iK'   siToul    aulre    cIkisc  (pic   celles   (pie   nous   avons  exjjosées  dans  le  Clia- 

piiiv  \  m. 

i"  Soii  une  région  R  doublement,  connexe  limitée  par  deux  cycles  sans  con- 
lacl ('  cl  (]'.  cl  soit  AMR  un  arc  algébrique  quelconque  coupant  ces  deux  cycles 
eu  V  cl  en  iî.  Considérons  un  observateur  suivant  cet  arc  et  pénétrant  dans  la 
légion  R  par  le  point  .\.  S'il  a  à  sa  droite  la  demi-trajectoire  qui  s'étend  dans  la 
région  R  à  jiailir  du  point  A,  nous  dirons  que  le  cycle  C  est  positif,  il  sera 
négatif  dans  le  cas  coniraiie.  Sujiposons  maintenant  cjue  l'observateur,  en  sui- 
vanl  cet  arc,  sorte  de  la  l'égion  R  par  le  point  R.  De  ce  point  R  partiront  deux 
demi-trajectoires,  lune  «'étendant  à  l'intérieur  de  R,  l'autre  à  l'extérieur  de 
celle  région.  C'est  cette  dernière  que  nous  considérerons.  Si  elle  est  à  la  droite 
de  l'observateur,  le  cycle  C  sera  positif  (cf.  Chap.  YIII,  ]i.  'j()). 

Si  les  deux  cycles  sont  de  même  signe,  le  nombre  des  cycles  limites  con- 
tenus dans  la  région  R  est  de  même  pai'ité  que  le  nombre  des  contacts  de 
l'arc  AMB;  il  est  de  parité  difTérente  dans  le  cas  contrairi\ 

En  particulier,  supposons  que  les  deux  cycles  C  el  C  soient  deux  cercles 
méridiens  o  =  0^  et  ip  =  tp,.  Supposons  que,  dans  la  région  R  et  sur  sa  fron- 
tière, a  soit  constamment  de  même  signe;  sup|)osons  que  le  long  du  cycle  C 
un  ail 


el  (INI'  Ir  long  ilii  cycle  C'  on  ail 


da 


l'i'iiioiis  |ioiir  l'arc  AMI?  l'arc  de  parallèle  (o  -  o,  rpii  est  sans  contact.  Les 
deux  cycles  seront  de  signe  contraire.  I^e  nombre  des  cycles  limites  contenus 
dans  R  sera  donc  impair.  Donc  celte  région  est  certainement  cyclique. 

•à"   Soient  0  et  'j  les  coordonnées  pcdaires  d'un  point  dans  un  plan;  supposons 


SUR    LES   COURBliS    DKFINIES    PAU    I-KS    ÉQUATIONS    DlKFÉnENTIELLES.  1  Sg 

qu'on  olablissc  enlre  w  et  -^  d'une  [);irl,  p  et  f(  d'aiilre  pari,  une  relation  telle 
que  la  réj;iou  R  ilu  Lore  et  une  cerlaine  région  II,  (loublcmcnl  eonnexe  du  |)lan 
se  correspondeut  |)oint  par  point  et  d'une  l'ueon  uniforme.  Suj)posous  que, 
toutes  transformations  faites,  l'cMpiation  difl'érentielle  proposée  s'éeri%e 

Si  dans  la  région  11  il  y   a  plus  de  deux  eycles  limites,  i\  y  aura  forcément 
dans  la  région  des  points  (u'i 

do  . 

-~  =  o         ou  l>ien         o  =  x 

dp  ' 

{cf.  Clia|i.  Mil.  llieoréme  \I\ '). 

Soient,  en  partieuliei', 

9  =  (1),         p  =  (S  -^  K, 

K  étant  une  ct)n'  la.'.te  cpieleontjue. 

Si  dans  la  région  R  la  fonction  Q   ne  s'annule  pas,    ni  non  plus  la  fonc- 

tuin  -j— )  la  région  U  est  certainement  acyclique  on  monoevclique. 

Nous  étudierons  d'abord  l'exemple  sui\ant  : 

dt  ■  dt 

a.  h.  c  étant  do  e(iii>lanlc>  l<'lli's  que 

a  >  6  >  o,         a  -h  II  <^  i .         c  >■  o 

Nous  poserons 

a  -i-  Ij  ^=  cos'Jo,         Il  —  0  —  cosui, 

les  angles  3,,  et  's,,  étant  compris  entre  o  et— ■ 

La  valeur  de  -j-  ne  s'annulant  jamais,   |(Hl^  le>-  parallèles  w  =  const.  >ont  des 

cycles  sans  contact.  \<iilà  donc  un  premier  système  de  cycles  sans  contact 
parmi  lesquels  il  n'y  a  aucun  cycle  limite. 

Maintenant,    on  voit  aisément  que,  si   a    est  compris    entre   'j,    cl  2-  —  a,, 

da  ....  .  .   .  do  ,       -,■    T 

-~  est  positii,  et  que,  si  cp  est  compris  entre  —  'J(,  et  -+-  ■sj„,  -^  est  negalil.   Le 

tore  se  trouye  ainsi  ]iartagé  en  quatre  régions,  les  régions 

<?1  <  <f  <  2~  —  t?l,  —  <?0<'f<<?u, 


14(*  SUR    I.KS   COl'UBKS    UEI'IMKS    l*All    l-ES    KQUATIONS   DlFFÉRENTlËI.LtîS. 

OÙ  lou>  les  nu'iidioiis  soûl  tics  cycles  sans  conlacl  [ce  soiil  des  régions  acj- 
cli(|ues'^,  cl  les  régions  R  (oo<;  a  <  a,)  et  R'( — cp,<;cp<; — cp,,)  fH"  sont 
iii)iiieiises. 

(  ".onsidérons.  eu  piirliculier,  la  l'éj^ioii  R.  ,1c  dis  {j'ahoid   ijij  elle  esl   e^eli(jue, 
lar-  ou  a 

>  o         pour  le  cycle  o  =  tfi, 


de 


^  o         pour  11'  <'jcle  u  =  'in 


el .  de  j)lii>. 

Les  deux  cycles  sans  conlacl  o  ^  o,  et  es  =  o,,  qui  liuiitenl  la  région  R  sonl 
dou<'  de  signe  contraire,  si  l'on  prend  pour  l'arc  AMB,  dont  il  a  été  question 
plus  haut,  Tare  sans  contact  w  :=  o.  Donc  la  Légion  R  conlienl  au  moins  un 
cycle  limite. 

De  plus,  elle  n'en  peut  couleuir  plus  d'un:  car,  si  elle  en  eonlenail  deux,  on 

1  ■,,•■.■  I     i>       •    /->  •    ^'I' 

ile\  lail  a\()ir  a  l  luleneur  (le  t>  soil  12  =  o,  soil  —r-  =  O. 

CIO 

(  )r  il  ne  -  annule  lauiais,  et  — ;-  =  sin  's,  ne  peut  s  annuler  (lue  pour  z  =  niTZ. 
■'  (t'a  '  '  II, 

c  Cst-à-dire  en  dcli(U'>  de  1{. 

Ddue  dau'^  la  légion  li  ou  peul  Iraeer  un  e>ele  liniile  el  un  seul,  (jiie 
I  appelle  (  '-. 

I^our  la  même  raison,  dans  la  région  R',  on  peul  Iraccr  un  cycle  limile  et  un 
seul  que  [appelle  C. 

iSous  sommes  donc  conduits  à  un  second  système  de  cycles  sans  contact 
parmi  lesquels  il  y  a  deux  cycles  limites  C  et  C  et  une  infinité  de  méridiens. 

Les  deux  cycles  C  et  C  partagent  le  Hn-e  en  deux  régions  1'  el  1",  loiites 
deux  sillonnées  de  cycles  sans  conlacl.  (ionsidérons  le  ])()inl  nudiile  dont  le 
MKiiiveniciil  es|  deliui  par  iio>  é(pialioiis  diHéreulKdles.  Si,  à  l'origine  du  lenips. 
ce  poiiil  iindiile  esi  dans  une  des  deux  régi(jns  P  ou  1",  il  n'en  pourra  jamais 
sortir.  .Si  donc  sa  coordonnée  o  e.st  à  1  Origine  du  leiiqis  com|)rise  entre  es, 
cl  '2T.  —  a,,  elle  restera  toujours  comprise  entre  et,,  el  ar  —  'i„. 

De  plus,  dés  (pie  le  piuiil  iiioliile  aura  franclii  un  des  cycles  sans  conlacl  du 
second  sysléme.  il  ne  pourra  jilus  le  Iraneliir  de  nou\eau.  Quand  le  lemps 
croîtra  indéliniineul,  le  p(uiil  uioliile  se  rapprocliera  asvniploli(piemeiil  de  1  iiu 
des  deux  cycles  C  et  C 


SUR    LES   COUhBKS    DÉFÎMES    PAU    LES    ÉQUATIONS    DIFPlCftENTIELLES.  l4l 

En  d'autres  ternies,  et  pour  reprendre  le  langage  du  Chapitre  X,  l'orbite  du 
point  inoliilc  sera  instable. 

Le  second  exemple  que  nous  traiterons  sera  encore  plus  simple  cpic  le  pré- 
cédenl. 

.l'écrirai  simplemenl 

</(i)  rfto  , 

—r-  =  «,  — r-  =  "i 

dt  '  dt  ' 

a  cl  b  étant  deux  cun;.lanles  positi\e>.  On  \(iit  immédiatiiiiint  que  tous  les 
parallèles  et  tous  les  méridiens  sont  des  cycles  sans  contact,  cl  que  l'intégrale 
générale  s'écrit 

(0         <» 

—  =  -^  =  const. 

a        b 

Si  le  rapport  j  est  commensurablc,  toutes  les  trajectoires  sont  ierniée»;  il  y  a 
donc  stabilité. 

Supposons   maintenant   ipie   le    rapport   j   soit   incomnicnsurabic  :    il    y   aura 

encore  stabilité  en  ce  sens,  que  si  l'on  considère  une  portion/;  du  tore,  si  [letite 
qu'elle  soit,  cette  portion  sera  traversée  une  infinité  de  fois  par  une  (piclcdiupie 
des  trajectoires.  Si  le  point  mobile  occupe  à  l'origine  des  temps  un  certain 
point  A,  il  ne  viendra  pas  repasser  en  ce  point,  mais  il  \iendra  nue  Inlinilé  de 
fois  passer  en  des  points  infiniment  voisins. 
Considérons  la  courljc 

(O  =  cç  -t-  (/, 

c  étant  une  constante  commensurablc  et  d  une  constante  (pielcoiMpic.  Cette 
courbe  sera  un  cycle  fermé,  et  il  est  aisé  de  voir  que  ce  sera  toujours  un  cycle 
sans  contact. 

On  peut  donc  tracer  sur  le  tore  une  infinité  de  systèmes  de  cycles  sans 
contact,  parmi  lesquels  il  n'y  aura  aucun  cycle  limite. 

I>es  deux  exemples  qui  précédent  suflisenl  déjà  j>our  laiic  comprcndie  que 
la  présence  d'un  cycle  limite  est  un  signe  d'instabilité,  et  l'absence  d'un  pareil 
cycle,  un  signe  de  stabilité.  Mais,  pour  mieux  se  reniire  compte  de  ce  fait 
important,  il  est  indispensable  de  pénétrer  plus  avant  dans  la  question. 

Nous  supposerons,  dans  ce  qui  va  suivre,  que  w  et  o  vont  constamment  en 
croissant  avec  le  temps,  c'est-à-dire  que  Q  et  $  sont  toujours  positifs,  et  de  plus 
qu'il  n'y  a  sur  le  tore  aucun  point  singulier. 

Considérons  le  méridien  o  ^  o,  qui  sera  un  cycle  sans  contact.  SoitM(o) 


l4i  SI  U    LUS    COlUBliS    UÉl'INIES    PAR    LKS    EQUATIONS    DIKKERENTIKLLES. 

un  |Hiiiil  <li'  ce  nuTidiru  où  sr  Iroiivc  le  jiniul  inoliilc  à  l'uriyiue  îles  lenips.  Ce 
]iciiiil  ;iiii'a  polir  cooidoniiées 

(0  =  0,    U)  =  lOj). 

Si  roii   lail   (Toitrc  le  leinns.   (■>  el  -j  cioilidiil  é^iileiiicnl,  de  sorle  (lue  o  liiiira 

Il  '  1        t 

par  devenii- égal  à  3.7:;  le  point  mobile  sera  venu  alors  en  un  ])oinl  M(i)  (pii 
sera  situé  sur  le  eyele  sans  contact  o  :=  o  d'où  nous  sommes  partis,  qui  sera  le 
conséquent  du  point  M(o)  et  qui  aura  pour  coordonnées 

(ip  =  1-K,   ta  =  10]). 

Les  deux  quantités  w,,  el  w,  seront  liées  pai-  une  certaine  relation  qui  n'est 
autre  chose  cpie  la  loi  de  conséquence  du  Chapitre  ^  .  J'écrirai  cette  loi  sous  la 
double  l'orme 

(Oi=4>((0o),  (Oo=0(UJ,  ). 

Les  livpolhéses  faites  permettent  dénoncer  au  sujet  de  celte  loi  de  consé- 
quence les  principes  suivants  : 

Premier  principe.  —  La  fonction  'L  est  continue. 

Deuxième  principe.  -~  La  fonction  i  croît  constamment  avec  o),,,  de  telle 
sorte  que 

rf(0(|    ^ 

li .  ilr  plu--,  on  a 

4/(wo+ 2-)  =  il/(ujo)  ^  2- 

Troisième principe.  ■—  La  l'onction  'L  est  liolomorpiic  jioui  loutes  les  \aleiirs 
réelles  de  too. 

D'ailleurs,  il  est  clair  que  la  fonction  0  jouit  des  mêmes  propriétés  que  la 
fonction  '|. 

Soient  maintenant  'M(i),  M(2),  ...,  M(/)  les  conséquents  successifs  et 
M( —  1),  M( —  2  ),  ...,  M( —  i)  les  antécédents  successifs  de  ftl(o).  Leurs  coor- 
données cO),  ti)2,  ...,  (iJ^i,  w_2)  •••  nous  seront  données  par  les  équations 

<"1      =<{'(Wo),  tu,      =4('|l((0a),  0)3     =l)^()/tj/(lO(,),  ..., 

(U_,  --  0  (oJo),  0J_2=  O6((0o),  (0.3=   669  (lOo),  .... 

Les  points  M  forment  un  ensemble  de  points  que  j'appelleiai  P,  d'après  la 
notation  adoptée  par  M.  Cantor.  J'aj)pellerai  1"  l'ensemble  dérivé  de  1\  c'est- 
à-dire  l'ensemble  des  points  dans  le  voisinage  desquels  il  j    a  une  infinité  de 


SUE    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES   ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES.  l/jS 

points  apparleiianl  à  l'ensemble  P.  Enfin  je  désignerai  par 

D(P,  Q) 

l'ensemble  des  points  communs  à  deux  ensembles  P  et  Q.  Je  renverrai,  pour 
plus  de  détails  sur  les  ensembles  de  points  et  l'emploi  des  notations  qui  pré- 
cédent, à  divers  Mémoires  de  M.  Canlor,  parus  en  allemand  dans  les  Mathe- 
inalisclie  Annalen  {t.  15.  17.  20.  21)  el  en  français  dans  les  Acta  niat/ie- 
inatica  (t.  2,  p.  .J49-4o8  ). 

Je  juiis  alnrs  me  poser  les  questions  suivantes  : 

i"  Quelles  sont  les  propriétés  de  l'ensemble  P  des  points  M  cl  de  ses 
dérivés  ? 

2°  Dans  quel  ordre  circulaire  sont  disuibiics  les  points  M  sur  le  cercle  méri- 
dien es  =  o  ? 

Je  vais  démontrer  d'abord  rjue  l'on  a 

D(P,  P  )  =  o 

ou  bien 

D(P,  P  )  =  I'. 

En  (1  autres  termes,  si  l'ensemble  P  a  un  ])oinl  comuuin  aM'c  scui  dérivé  P', 
tous  ses  points  feront  partie  de  cet  ensemble  dérivé. 

En  effet,  soit  M(i)  un  point  de  P  appartenant  à  P';  d'après  la  définition  deP', 
il  j  aura,  dans  le  voisinage  de  M(j'),  une  infinité  de  points  appartenant  à  P. 
Nous  pourrons  donc  trouver  une  série  de  points 

M(A-,),     M(A-.),     ...,     .M(X>'),     ... 
appartenant  à  P.  et  tels  que 

limM(A-;,)  =  M(  n         pour        p  =  x. 
Cela  posé,  soit  M(vl  un  point  quelconque  de  P.  Considérons  les  points 

M(A-,— /-Hv),    M(A-j— j-hv),     ...,     M(A-,,— i-f-v),     .... 

En  vertu  de  la  continuité  de  la  fonction  di,  on  aura 

limM(Ap — £-1- V  I  =  M(v)         pour        p  =  x. 

Donc  M(  v),  cl,  par  conséquent,  tout  point  de  P  appartient  à  P'. 

c.   Q.  F.  D. 

La  condition  D(P,  P')  ^  o,  traduite  dans  le  langage  du  Chapitre  X,  signifie 


I  44  !*<"'  i.Ks  COI  itHi;s  mh'i.Mics  pah  i.ics  k(.>iations  i)iFriiiiENTii:i,i.Ks. 

([Mc  lii  tr,iic(li)lic  ts|  iiisiahlc.  Rn  illrl,  le  [xiiiil  ^[(i))  u'appartt'iianL  [)as  à  P', 
le  |>iiiiil  inohilr  ne   i't\  ii'iiilra   |iiiiiai-.  diiiis  le  \  (ii>iiiai;('  (l(    son   point  ild  départ. 

II  y  a  cNcrpliiiii  Idiilclois  Idrxpic  la  lra|rcl(iii-c  r>l  Icrincr. 

Théoiikmi;  W.  -  Si  ton  a  pour  toutes  les  trajectoires  D(  I'.  1"  )  --  o,  /'/ 
y  a  certainement  an  cycle  tiuiitc.  à  moins  (jue  toutes  les  trajectoires  ne 
soient  fermées. 

Suit,  en  ('H'cl,  N((i)  nu  pdiiil  de  1*',  dans  le  \oiMuai;i'  tlu(pi('l  se  lr(Hi\c  pai' 
dolinilii)a  iine  inliuili'  de  poinU  de  1'.  Soil  (^  rcnsonililc  des  points  N(/),  c't'sl- 
à-diiT  des  antt't'i'dcnls  el  des  consrcpicnls  succcssits  do  1N[(()). 

11  n'est  pas  possible  ipie,  dans  tout  inlei\allc'  compris  entre  deux  points 
qnelconqnes  de  P,  il  y  ait  nn  point  de  Q;  ear,  dans  le  voisinage  de  N(o),  il  y 
a  une  infinité  de  pareils  intervalles  :  il  y  anrait  donc  une  infinité  de  points 
de  ().  (  T  ipii  est  impossible  en  vertu  de  1  livpotliése 

D(Q,  Q')  =  o. 

Soient  donc  M(^o)  et  M(/)  deux  points  de  P  entre  lesfpiels  il  n'y  ait  aucun 
point  de  i).  Il  n'y  en  aura  pas  non  plus  entre  M(t)  el  M(2/);  car.  si  le 
point  ^{k)  se  trouvait  entre  M(/)  et  M(2/),  le  point  N (A"  — /")  serait  entre  M(o) 
cl  M(/),  pnisque  la  fonction  'h  est  constamment  croissante.  Il  n'v  on  aura  pas 
non  |(lus  dans  1  intervalle  eompils  entre  ^\{pi]  et  M(/>i -|-  i).  De  plus,  si  le 
point  .M(t  )est  à  droite  du  point  !M(o),  par  exemple,  le  point  M(/j/+/)  sera  à 
droite  de  M(pô.  Lorsque/)  croîtra,  la  seconde  coordonnée  m  du  point  M(yo*) 
variera  donc  toujours  dans  le  même  sens;  elle  ira,  par  exemple,  toujours  en 
croissant,  mais  elle  ne  pourra  croître  indéfiniment,  sans  quoi  N(o)  se  lrou\erait 
dans  undes  intervalles. Cette  coordonnée  w  tendra  donc  vers  une  certaine  iiniiti' 
(pii  coricspondra  à  \\\\  point  P(  o)  du  cercle  méridien;  on  auia  donc 

lini  M(pi  )  =  P(o)         pour         p  ^= -jz. 

( )n  III  di'diii I 

lim  M  (/)£-+-/,■)  =  P(A), 

limM(/>j  H-  i)  =  P(£), 
.     P(o)=l'(0. 

Ainsi  le  /"""•,  consérpiciii  du  point  P(o),  est  ce  point  lui-même.  Donc  la  tra- 
jectoire  qui   passi'   par  ci'   point  est  fermée,  et  il  est  aisé  de  voir  (pie  (''est  un 

cycle   llliillc. 

]ji  condilioii  Di'P.  P'  )  ;—  p  signifie  (jue  la  trajectoire  est  stable.  En  ell'et,  dire 


SUR    LES    tOUBBliS    DKFIMKS    l'AU    LliS    ÉOI'ATIONS    DUPÉnENTIELLES.  I^i 

que  le  pciiiil  de  départ  M(o)  appartient  à  1*',  i-'est  dire  que  le  point  mobile 
re\icndiii  une  iiifinilé  de  fois  dans  le  voisinage  de  ce  point. 

Si  donc  on  a,  pour  tontes  les  trajectoires  D(  P,  P')  ^  P,  la  stabilité  est  cer- 
taine. (]Vs(  ce  qnl  ari-ive,  par  exemple,  dans  le  second  des  exemples  cités  plus 
haut. 

Mais  on  peut  se  demander  s'il  n'arrne  pas  aussi  cpie  l'on  ait  13(P,  P')  =  o 
pour  eertaiiio  Irajeeloire^  cl  l)  (  P,  P' )  ^  P  pmir  d'auli-es;  ce  sera  là  r(U-ii;ine 
de  toutes  les  dil'licultés  <pie  nous  rencontrerons  dans  la  suite. 

\vant  d'alli'i-  plus  loin,  je  \ais  établir  le  lemme  suivant  : 

Soient  M  (  o  }  e/  y>{  o  )  deux  points  quelconques,  M(  «  )  et  i\  (  i)  leurs  /"-'"'" 
conséquents.  Si  ces  deux  derniers  sont  contenus  tous  deux  dans  Vinter- 
icille  M(o),  I\(o).ye  dis  quil y  aura  un  cycle  limite. 

En  ellel,    s'il   en  est  ainsi,  les  deux  points  M(2/)  et  jN  (  2  <  )  seront  compris 

tous  deux  dans  rinlervalle  M(«)  N(/),  les  deux  points  M(.'^t)  et  N(,'i/),  dans 

rintersalie  M(^a  /)  N(2  /),  Donc,  lorscpie  p  croîtra,  la  seeou<le  coordonnée  (o 

du    p(unl    ■M(/^()   \aricra  l(ui|ours    dans  le   même  sens,   sans  pcuniur   j)ouitaiit 

dépasser  une  certaine  limite.  (  )n  en  conclut,  comme  plus  haut.  re\i>teii<e  d  un 

point  P(  o  ).   le]  (pie 

liiiiiM(/u')  =  Pio)         pour        /)  =  X, 

et,  par  conséquent,  celle  d  un  c^cle  limite. 

Occupon.s-nous  maintenant  de  déterminer  l'ordre  circulaire  dan.s  lequel  sont 
disposes  les  jjoints  M({),  en  laissant  de  coté  le  cas  où  il  v  a  un  cvclc  limite  et 
où  cet  oixire  se  détermine  aisément. 

Soient  a„  la  longueur  de  l'arc  M(o)M(i),  a,  celle  de  l'arc  M(0  M(  2  ),  ... 
et,  en  général,  a,  celle  de  l'arc  M  (  «')M(f  +  1  ).  Je  dis  ipie  le  rapport 

«/-(-  ï/-n-t-.  ■  .-I-  a/-i-n 


tendra,  quand  on  fera  ci-oître  /(  indéfînimenl,  vers  une  limite  finie,  déterminée, 
indépendante  de  /.  mais  incommensurable  avec  2  —  7-. 

Prenons,  à   partir  du  point  M(o),  un  aie  L  du  cercle  méridien,  égal  à  /,  cir- 
conlérences  entières,  c  est-à-dire  à  a/r-/*,  et  supposons 

(1)  2o-t-2i  +  .    .+ 5(v< '2A-irr  <  «0-1- «1+ =<2-^.  .  .-i- «v+i- 

D'après  celte  inégalité,  il  y  a,  sur  l'arc  L,  v  +  2  points  de  P,  à  savoir  :  M(o), 
M^i  ),  ...,  M^v-|-  I  ),  et  il  n'y  en  a  pas  davantage. 

H.  P.  -  I.  ,u 


l4(>  Sl'R    LES    COlinBKS    nKFINIKS    l'AR    LKS    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

l'diir  Ilicn  ciilciulrc  cc{[o  proposition  et  pour  éviter  toute  confusion,  il 
iiuporle  de  luire  la  remarque  suivante  : 

La  seconde  coordonnée  (o  d'un  point  M  du  cercle  méridien  cî  ^  o  n'est  pas 
entièrement  déterminée  ;  car  on  retrouve  le  même  point  en  augmentant  w  d'un 
multiple  de  :>.-.  Si  toutefois  on  se  donne  o),,,  la  coordonnée  w/  des  conséquents 
successifs  Ml  /)  sera  entièrement  déterminée  par  les  écpiations 

(0,  =  4/(a)o),         10,=  i];(to/_,  ). 

Nous  supposerons  donc  que  nous  nous  sommes  donné  to,,,  et  nous  pourrons 
regarder  w,-  comme  complètement  déterminé. 

Il  pourra  être  avantageux,  dans  certains  cas,  d'envisager  non  pas  la  coor- 
donnée (0,-  elle-même,  mais  une  quantité  congrue  à  w,-  suivant  le  module  2iî  et 
comprise  entre  a  et  a+27t(a  étant  la  seconde  coordonnée  d'un  certain 
point  N  du  cercle  méridien).  Nous  désignerons  cette  quantité  par  la  nota- 
tion (w/,  a),  et  nous  l'appellerons  coordonnée  du  point  M(/)  réduite  par 
rapport  au  point  N. 

Ainsi,  dans  la  démonstration  du  théorème  XX,  nous  avons  dit  que.  quand 
on  faisait  croître/?,  la  seconde  coordonnée  lOpi  du  point  M(pi)  variait  toujours 
dans  le  même  sens,  sans  jamais  dépasser  une  certaine  limite.  Il  s'agissait,  non 
de  la  quantité  Mpi  elle-même,  telle  que  nous  venons  de  la  définir,  mais  de  cette 
coordonnée  réduite  par  rapport  au  point  N(o  ). 

Au  contraire,  dans  tout  ce  qui  va  suivre,  il  s'agira  toujours,  sauf  avis  con- 
traire, de  la  coordonnée  co,-  elle-même. 

Ainsi,  quand  je  dis  que  l'arc  L  contient  les  v  +  2  conséquents  successifs 
M(o),  M(i),  ...,  M(  V -f- i),  je  veux  dire  que  les  coordonnées  lo»,  w,,  ....  Wy^, 
sont  comprises  entre  w,,  et  too  +  2 A-. 

En  écrivant  les  inégalités  (i),  j'ai  supposé  que  tous  les  arcs  a„,  a,,  ...,  a,- 
étaient  positifs.  C'est,  en  effet,  ce  (jui  arrive.  .Te  puis  toujours  supposer  que 

a),>  (Oo, 

car  nous  ne  pouvons  avoir  to,  =  w„,  sans  (juoi  nous  aurions  affaire  à  une  tra- 
jectoire fermée,  ce  que  nous  ne  supposons  pas,  et,  si  nous  avions  w,  <<  (Oo-  nous 
compterions  les  arcs  w  en  sens  contraire. 
Le  deuxième  principe  donne  alors 

ou 

a,>  o.  G  0-  F-  D. 


SUR    LES   COURBES   DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  ij" 

Soient  mainlcnaul  A(oi  un  point  quelconque  coiiteuu  eiilre  M(o)  elM(i), 
to|,  sa  coordonnée,  de  telle  sorte  que 

SoiL  io'i  la  coordonnée  de  son  i""'^  conséquenl  ?\[i).  Je  dis  que 
car,  si  l'on  avait 

les  deux  points  N(o)  el  N(j)  seraient  compris  entre  les  points  M(o  )  et  M(^/), 
et  si  l'on  avait 

les  deux  points  M(0  et  M(j4-i)  seraient  compris  entre  les  points  JN(o)  cl 
N(/).  Dans  les  deux  cas,  en  vertu  d'un  leninie  démontré  plus  haut,  il  y  aurait 
un  cycle  limite,  ce  que  nous  ne  supposons  pas. 
De  même,  si  nous  avions 

nous  en  déduirions 

W/+/.  <  <^-'i  <  i^i+k+\- 

D'ailleurs,  nous  a\ons,  jiar  l'inégalité  (  i  ), 

tuy+i  <  (Oo-h  a/iT:  <  lO.;+o, 
et  |iii]'..(pic 

(Oy-HÎ  <   U)|  -t-    2/1—    <^   OJv  +  3. 

Si  donc  nous  prenons,  à  partir  du  point  M  (  1  i,  un  arc  éi;al  à  :</.—/',  c'esl-à-dire 
à  L,  il  jaura  sur  cet  are  v  +  a  points  de  1',  à  saMiir  :  .M(i),  Mi'i).  ...,  _M(v  +  2j. 

En  raisonnant  de  même,  on  verrait  que,  si  l'on  prend,  à  partir  d'un  point 
de  P,  un  arc  égal  à  L,  il  y  aura  sur  cet  arc  /  —  3  points  de  P. 

Si  maintenant  mi  prend  un  |i(mil  \  sur  1  are  a,,,  |)uis,  à  partir  de  ce  point  N, 
un  are  égal  à  L.  cet  are  eontieiulra  eerlainenienl  les  points  .M(i),  M^2  ),  .... 
M(v  +  I  ),  il  contiendra  ou  ne  ((inticndra  pas  li'  pculil  ^1(  v  -f-  a  ),  et  il  ne  con- 
tiendra certainement  j)as  Mi v  +  !  1. 

On  raisonnerait  de  même  si  le  point  j\  était  sur  un  are  quelconque  a,,  d'où 
la  conclusion  suivante  : 

Le  nombre  des  points  de  P  situés  sur  un  arc  quelconque  égal  à  2kT^r  est 
égal  à  V  -f-  I  ou  à  V  -1-  a. 


IjS  Sin   1,ES  COtliUES   Dkt'lNlES   l'AR   tES   EQUATIONS   UIPI'ÉIiKnTi1:I.LE>. 

Si  1  Du  (lomic  à  /,■  une  MiltMir  (liUriMnile  /{' ,   il  on  résultera  poiii'  v  une  valeur 

(lillérenle  v  .  .le  eimsulère  les  deux  inlei\alles  eoninris,   dune  jtart,  enire  — j— 

il  — - —  el.  (laulre   pari.   i^Ure  — p —    el  — -, —  •    .le  (lis   (lue  ces  deux  inlervalles 

auionl  une  paiiie  eoiniuune.  ('onsidérons,  en  ed'el.  un  ace  i'f;al  à  ■Ak/<'~r  et  sur 
ie(|ue!  il  \   ail   M  |)(iinls  de  P.  Il  \iiMulra 

(  V  ■+- 1)/,'  <  M  <  (v  -f-  ■i)k', 
(v'h-i)A-  <M<(v'+2)A-, 

ee  qui  (l(;monlie  lu  proposition  énonec^e.  11  en  serait  encore  de  inèine  si,  au  lieu 
de  considérer  seulement  deux  valeurs  de  /»  et  deux  intervalles,  nous  en  avions 
considéré  trois  ou  plusieurs. 

Ainsi,  si  l'un  dcuiiie  à  />   toutes  les  valeurs  entières  positives,  tous  les  inler- 

\alles  — - — )  — "j—  auniul  une  pallie  eoniniune,  et,  de  plus,  l'étendue  de  l'inlei- 

\  aile  tendra  vers  zéro. 

Donc  — - —  et  — -. — ^  tendront  vers  une  limite  commune.  Unie  et  déterminée 

(pie  j'appelle  a   ('). 

Le  nombre  ij.  ne  peut  pas  ("trc  eommcnsurahle. 

Eu  ellVl.  s'il  était  éi;al  à  3  par  exemple,  il  faudrait  (pie  nous  eussions 

V  +  I   =   t/.-  ou  ■/  -t-  '2  =    i/i. 

Soient,  pour  /,■  =:  I ,  V  +  1  =:  a,  V  +  a  =  o. 

(  )ii  aura,  pour  /.  >  i , 

7  +  2  5  a  /i  -1-  I  ; 
d'm'i 

On  en  déduit  aisément  tpie  l'ordre  circulaire  des  points  M(j),  où  l'indice  i  est 
])osilir,  est  l'inverse  du  suivant  : 

|M((j),  Mc^.),  M(.',),  .  .  .,  ail  iiif.;   M(i),  MC'.),  .  .  ..  ail  inf.J, 

ce  (|ui  impliipicrait  rexistenee  d'un  ew  le  liuiile. 

Si  l'on  avait,  au  contraire,  pmir  /,■  =  i ,  v  +  2  =  2,  il  viendrait,  pour  /,  >>  i , 


(')  Pour  faire  concordci  la  niilalion  avec  les  dcveloppemenU  ilcs  payes  suivantes,  lu  nombre  ;J. 
doit    être    rciiiplacé    ici,    cl    jusc|u  ;i     la     première   formule    de    la    paijc    i'|i)    (li^'ie    5)    par    le 

nombre  -•    (li.  G.) 


SLR    LKS   COtiRBES   dlil'lNIES   tAR   LES   kQUAtloNS    DIFFliRENTlLLI.ËS.  I  i') 

d'où 

L'ordre  circidair-c  strail  alor>  l'ordre  inverse  du  précédent,  l'I  il  y  iiiirail 
encore  un  cycle  limite. 

Donc  ijt  est  incommensurable. 
On  aura  évideninienl 

lini =  pour  n  —  «, 

n  [J. 

ce  que  nous  avions  annoncé. 

Nous  pouvons  donc  dire  que  l'ordre  circulaire  des  points  de  P  est  caractérisé 
par  un  certain  nondjrc  inconiniensurable  [j.,  et  c'est  ce  résultat  que  nous  allons 
l'iiirclier  iiiainlcnant  à  énoncer  d'une  façon  plus  précise. 

l'our  niellrr  en  évidence  ce  l'ail  (pic  v  est  l'onction  de  /,",  j'ti  riiai  v(  /i  i.  au  lieu 
de  V.  .l'envisagerai  ensuite  les  v(A'  )  -t-  2  points  : 

(2)  M(o;,     M(r),     M('a),     ...,     M[viÂ)-^iJ, 

et  ciierclions  dans  (picl  ordre  circulaire  ils  sont  placés. 

11  faudra  d'alioid  placer  M(o  ),  M(i),  ...,  M  [v(  1)  +  1]  sur  le  cercle  méridien 
ilans  l'ordre  tie  leurs  indices.  Ensuite  M[v(i)  +  a]  viendra  se  placer  entre  M(o) 
cl  !M(^i),  M[v(i)  +  ù]  entre  M(  1  )  et  M(  2),  et  ainsi  de  suite  jus(prà  M[v(2)4-i] 
qui  viendra  se  placer  entre  M[v(  1  )  +  1]  et  M(o).  Le  point  suivant  M[v('2')-l- 2] 
sera  placé  entre  M(  o  )  et  M(  1  )  :  il  lesie  à  savoir  s'il  seraavaut  M  |  v(  1  1 -f- :>  | 'ni 
après  ce  ]H)inl.  Il  sera  avant  si 

v(2)  H-  2  =  2V(l)  +  3 

et  après  si 

v(2)  4-  2  =  2v(l)  +  4, 

<('  (|iii  sont  l(^s  deux  seuls  cas  possibles. 

On  continuera  de  la  sorte,  et  ion  ne  sera  jamais  emltarrassé  pour  placer  un 
nouveau  poini  si  l'on  connaît  les  /,  nombres 

V(l),       7(2),        ...,       v(A-). 

Ainsi  l'ordre  circulaiie  des  points  (2)  ne  dépenil  que  de  ces  k  nombres,  c'est- 
à-dire  de  a,  et  il  est  le  même  que  celui  des  quantités  yj-i  —  ^i'^i)-  Mais  /(  peut 
être  pris  aussi  grand  que  l'on  veut. 

Donc  l'ordre  circulaire  des  points  M(t)  ne  dépend  que  du  nombre 
incommensurable  |^,  et  il  est  le  même  que  celui  des  quantités  \xi  —  E(u/) 
[E(.r  )  désignant,  sniviinl  la  couliinic.  le  plus  grand  entier  contenu  dans  ,/■]. 


I  jo  SLR    LES   COUIIUKS    DEtlNlES    PAU    LES    KQIATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

Il  rt'Millc  imnieiliatciiKiil  de  ce  lliéorènu'  (|ii  eulre  deux  [Jinnlb  tjuclcoiujiics 
(le  I'  il  \  fil  il  une  liiliiiitc  d  iiulio:  donc,  cnlrc  doux  [loiiils  (jnelconques  de  P, 
il  Y  ;nir,\  t(m|i>iir.s  des  points  de  I". 

Soit  iN  un  |)oint  ijueleonqne  de  P'.  Dans  le  voisinage  de  ce  point,  il  y  anra, 

par  déiînition,  une  infiniti:'  de  |)oinls  de  P:  entre  deux  quelconques  de  eeux-ei, 

il  y  aura  toujours  un  point  de  P'.  Donc,  dans  le  \oisinagc  de  N,  il  y  a  une  inli- 

nilé  de  jioints  de  P',  c'est-à-dire  que  N  appartient  à  P",  ensemble  dérive  de  P'. 

On  peut  donc  ciiLic 

D(P',  P")  =  P'. 

I)  autre  part,  un  tliéorcuie  de  la  iliéoric  générale  des  ensembles  donne 

D(P',  P")  =  P"; 

d'où 

P'  =  P". 

Ainsi  P'  se  eontond  a\((  son  dérivé;  cesL  donc  un  de  ces  ensembles  que 
M.  Cantor  appelle  parfaits. 

Mais  on  sait  que  M.  Canlor  dislingue  les  ensembles  parfails  linéaires  en  d<'ux 
classes  :  ceux  qui  ne  sont  condensés  dans  aiH:un  intervalle  et  ceux  qui  sont 
condensés  dans  certains  intervalles. 

Nous  pouvons  donc  faire  trois  hypothèses  dans  l'énoncé  desquelles  nous 
reprendrons  le  langage  oi'dinaii'e  : 

i"  iNou>  piiuxuus  sujjjjoseï'  luie  tous  les  points  tic  la  cireontérence  méri- 
dienne -z.  =  I)  apparliennenl  à  P'. 

2°  ISoiis  ])ou\(ins  supposer  ensuite  (pi  il  \  a  Mir  celle  circiinlércace  cerlaiiis 
arcs  doiii  iiiiis  les  points  apparliennenl  à  P'.  sans  ipie,  ccpciulaul.  il  eu  soil  i\f 
iiicnic  de  tous  les  points  de  celte  circonférence. 

.'>°  Nous  pouvons  supposer  enfin  qu'il  n'y  a  sur  cette  circonférence  aucun 
arc  cidiil  tous  les  points  apparliennent  à  P'. 

.le  xais  coiuinciiccr  par  faire  \  oir  (Hie  ladeiixiciiic  iMpulhése  doit  <"'li'c  rcjctce. 
Si  1111  la'ioplail.  Cil  cM'cl.  nu  poiiirail  linincrsiir  la  circonlércncc  un  arc  VB 
dont  Ion-,  le-  points  a|>|uiilicniiciit  à  1";  mais  Ici  cpic,  si  on  le  prolmigi'  au  delà 
de  A  ou  au  delà  de  B,  tous  les  points  du  |n'ol(>ii:;ciiiciil  n  a|)partieiiiicnl  jias  à  P'. 

Soient  A,  et  B,  les  /""'"  conséquents  de  A  et  B;  les  c'''"""  conséquents  <les 
fJifTérenls  points  de  l'arc  AB  seront  les  difl'érenls  j)oinls  de  l'arc  A,B,-,  cl  ils 
devront  évideninieul  faire  tous  partie  de  1". 

•Je  dis  (|iic   le-   ilcu\   arc-   AB  et  A,Bj   ne  pcincnl  a\oir  aïKiiiic  parlu'  coin- 


SUR    LES    COURBES   DÉFINIES    PAR    LES    EQUATIONS   DIFFERENTIELLES.  1  5  I 

mune;  car,  si  A  el  B  étaient  situes  sur  l'arc  A,B,-  ou  si  A,-  et  B,-  étaient  situés 
sur  l'arc  AB,  il  y  aurait  un  cycle  limite,  ce  que  nous  ne  supposons  pas.  Si 
maintenant  le  point  A,-  était  situé  sur  l'arc  AB  el  B,-  en  dehors  de  cet  arc  (ou 
si  B,-  était  situé  sur  l'arc  AB  et  A,-  en  dehors  de  cet  arc),  tous  les  points  de 
l'arc  BB;  (ou  tous  ceux  de  l'arc  AA,  )  cpii  forme  un  prolons^enient  de  l'arc  AB 
au  delà  du  point  B  (  on  du  point  V)  ap|iartiendraient  à  P'.  ce  cpii  est  coniraire 
à  l'hypothèse  faite  plus  haut. 

Soit  M(o)  un  point  de  P  situé  sui-  l'arc  AB,  le  point  M(<  )  sera  sur  l'arc  A,B, 
et  par  conséquent  en  dehors  de  AB.  Mais,  comme  le  nombre  /  est  quelconque, 
11  n'y  aurait  sur  l'arc  AB  aucun  conséquent  ou  antécédent  de  M(o  ),  c'est-à-dire 
aurun  point  de  P  à  l'exception  de  M(o).  Mais,  pour  que  tous  les  points  de 
l'arc  AB  appartienneni  à  P',  il  faiil  qu'il  y  ait  sur  cet  arc  une  iniinité  de  poinN 
de  P. 

La  seconde  hypothèse  doit  donc  être  rejclée  et  il  nous  reste  à  examiner  la 
première  et  la  troisième. 

La  première  hypothèse  jxmiI  cerlainement  être  réalisée;  car  nous  aMins 
reconnu  (prçlle  l'esl  en  effet  pai"  les  équations 

loisque  le  rapport  j  c>\  iucomniensuiahle. 

Je  dis  d'abord  que.  si  tous  les  points  (h>  la  circonférence  apparlicuncul  à  P', 
cela  sera  vrai,  quelle  que  soit  la  trajectoire  à  l'aide  de  laquelle  on  ait  formé  les 
ensembles  P  et  P'.  Considérons  en  effet  une  autre  trajectoire  coupant  le  cercle 
méridien  en  un  certain  nombre  de  points  formant  un  ensemble  Q. 

Je  dis  que  le  dérivé  Q'  de  Q  se  composera  comme  P'  de  tous  les  points  de  la 
circonférence.  En  effet,  soient  en  N(o)  un  point  quelconque  de  cette  circon- 
férence, N(i)  son  j'*""  conséquent,  Q  l'ensemble  des  points  N(/).  Dans  le 
voisinage  de  N(o)  il  y  a  jjar  hypothèse  une  infinité  de  points  de  P,  M(/,|), 
M(A-0,  ...,M(A-„'). 

Lorsque  n  croît  indéfiniment,  l'expression  \J.k,i  —  E(u.A"„)  tend  vers  une  cer- 
taine limite  /*.  Cette  limite  caractérise  la  position  du  point  N(o  )  sur  la  circon- 
férence. 

Je  veux  dire  que  les  trois  points  M(y),  M(A)  et  N(o)  se  présenteront  dans 
le  même  ordre  circulaire  que  les  trois  nombres,  <^j  —  E(jj.y).  'j.k  —  EiuA) 
et  II.  quels  que  soient  les  indices  y  et  k. 


l'yji  SI  II  Li:s  i:oiniii:s  ma  iMiis  par  i.ks  équations  i)ib'i'KUENTiKi,i,i;s. 

On  M'rrail  aiséiiic\il  i|ur  la  |)cisili(iii  (If  lS[i)  est  caraclénséc  de  la  m<~iiii' 
(•arou  par  le  nombre  /(  -|-  [xi  --  E(/(  +  [J-i],  el  l'on  en  conclurait  ([iie  sur  loul  arc 
ii(>  la  circoniérence  il  v  a  nue  infinité  tic  points  de  Q,  ce  (|ui  re\  leiil  à  ilire  (jue 
tous  les  points  de  la  circonférence  appartiennent  à  Q'. 

Vu  point  tpiclconque  de  la  circonférence  est  caractérisé,  comme  on  \ienl  de 
le  \()ir,  par  un  certain  nombre  /;.  Ce  nombre  A  se  réduit  à  ui  —  E(  i/.i). 
IdiMMi'il  s'agit  tl'un  point  M(/)  appartenant  à  Pet  a\ant  |miiii'  ccHirdcjnnée  lo,. 
Il  M'  ivduil  à  zéro  poui'  le  ]»unt  M{o)  ibinl  la  coordonnée  est  (o,,.  De  plus, 
lors(pu'  (.),■  \arie  de  lo,,  à  (o,,  +  :>-,  h  va  constamment  en  croissant  depuis  zéro 
jusipià  I.  Cela  résulte  de  ce  (pie  les  points  de  la  circonférence  se  succèdent 
dans  le  même  ordre  circulaire  que  leurs  nombres  caractéristicpies. 

Donc  A  est  une  fonction  croissante  de  w,  entre  les  limites  d),,  et  io„  +  i^t:;  on 
peut  ddiic  écrire,  en  série  trif;onométri(pie  convergente, 

iT.li  =  SA,,,  cos«î  to  -t-  i^  B„,  sin  m  w 
ou  bun 

(•a)  2-:t/i  —  (D  =  S.\',„  coswiii)  +  -B'„,  sin/?)(o  =  0((o). 

La  fonction  Hi'^'i)  représentée  jiar  la  série  (2)  sera  une  fonction  continue  et 
|)éiio(!i(pie  de  w.  La  loi  de  consécpienee  pourra  alors  s'écrire 

(0,  H-  0(CO,  )   =  (O0+  6((0o)  -^  2T.IX. 

Soit  lin  point  ,N(i))  du  cercle  méridien  ayant  jtoiir  nombre  caractéristi(pie  Ir, 
construisons  la  trajectoire  (pu  jiasse  par  ]N(o)  et  prolonf;eons-la  jusqu'à  ce 
quelle  reiudiitie  de  nom  eau  en  IN  (  i  )  le  cercle  méridien.  Si  nous  attachons  à 
chacun  des  points  de  cet  arc  de  trajectoire  N(o),  N(i)  [à  l'exceplion  du  point 
î\(i)],  le  nombre  caractéristique  h,  tous  les  points  fJu  tore  auront  un  nombre 
caractéristique  et  un  seid.  L'expression 

■i.7:/i  —  (0  +  fjia 

sera  une  fonction  continue  et  périodupie  de  d)  et  de  'j,  exprimable  par  une  série 
Irijjonoméirique  de  la  forme  --iiivante  : 

(3)  Ml  11),  œ;  —  1  A,„„  cos(7n(i)  -t-  nç  -i-  ),,„„). 

L'intégrale  générale  des  é(piations  proposées  s'écrira  alors 

01  =  [la  +  H  (lu,  o)  +  consl. 

On  est  donc  certain   dasance  ipie  cette  intéi;rale  générale  |)eul   s'exprimer  à 


SUR    LES    COURBES    DEFINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES.  l53 

l'aide  d'une  série  trigonométrique,   mais  nous  n'avons  aucune   méthode  pour 

calculer  les  coefficients  de  cette  série. 

Dans  le  cas  qui  nous  occupe 

D(P,  P)  =  P 

pour  toutes  les  trajectoires  et  l'on  ne  peut  tracer  sur  le  tore  de  région  si  petite 
qu'elle  ne  soit  traversée  une  infinité  de  fois  par  toutes  les  trajectoires. 

Venons  maintenant  à  la  troisième  hypothèse,  ce  qui  revient  à  supposer, 
comme  on  le  verra,  que  D(P,  P')  =  P  pour  certaines  trajectoires,  et  que 
D(P,  P')  ^  G  pour  d'autres. 

Imaginons  donc  que  P'  forme  un  ensemble  parfait  qui  n'est  condensé  dans 
aucun  intervalle  ou,  pour  parler  le  langage  ordinaire,  que  l'on  ne  puisse  trouver 
sur  la  circonférence  aucun  arc  dont  tous  les  points  appartiennent  à  P'.  Comme 
P'  est  un  ensemble  parfait,  on  jKiurra  certainement  trouver  sur  la  circonférence 
un  arc  A(o)B(o)  dont  les  extrémités  appartiennent  à  P',  et  dont  aucun  autre 
point  n'appartient  à  P'  (c/.  Cantor,  Acta  mallieinaiica,  t.  I\^,  fasc.  4)- 

Il  arrivera  alors  que  tous  les  arcs  A(/)B(/)  jouiront  de  la  même  propriété; 
d'où  il  résultera  que  deux  arcs  A(<)B(/)  et  A(A')B(A-)  n'auront  aucune  partie 
commune. 

Cantor  a  démontré  que,  si  l'on  a  sur  une  circonférence,  par  exemple,  un 
ensemble  parfait  de  points  qui  n'est  condensé  dans  aucun  intervalle  {^loc.  cit.  ), 
les  points  de  la  circonférence  se  partagei'ont  en  trois  catégories  : 

1°  Les  points  de  certains  arcs  dont  aucun  point  n'appartient  à  l'ensemble; 

2°  Les  extrémités  de  ces  arcs  qui  appartiennent  évidemment  à  l'ensemble  ; 

3"  Enfin  les  points  de  l'ensemble  cjiii  ne  sont  pas  les  extrémités  de  pareils 
arcs. 

Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  les  arcs  dont  les  points  sont  en  dehors  de 
l'ensemble  sont  les  arcs  A(/)  B(i),  les  extrémités  de  ces  arcs  seront  les 
points  A(/)  et  B(/)  eux-mêmes;  enfin  les  autres  points  de  l'ensemble  P' 
s'obtiendront  en  cherchant  les  points  dans  le  voisinage  desquels  il  y  a  une  infi- 
nité de  points  A(«)  et  B(«). 

Il  y  aura  donc  aussi  trois  espèces  de  trajectoires  : 

j"  Je  citerai  en  premier  lieu  les  deux  trajectoires  qui  passent,  l'une  par  le 
point  A(o),  l'autre  par  B(q)  et  que  j'appellerai  les  deux  trajectoires  A  et  B. 
Pour  ces  deux  trajectoires,  on  a  évidemment 

D(P,  P')=  P. 

H.    P.    —    I.  20 


li4  SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉOUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

a"  Viennenl  ensuite  les  linjecloiros  inii  ronconlient  un  des  arcs  A(/)B(»)el 
qui  |);ir  conséijuéiil  l<'s  irnccinlrcnl  Ions.  Si  ]<■  poinl  C(i))  d'une  de  ces  trajec- 
toires est  sur  Tare  A((>  )  B(^u~),  scm  /"'""'  consétjuent  C{i)  sera  sur  Tare  A(/)  B(/). 
Dans  le  voi>inai;c  dim  |)(imt  (|uele()n(nie  de  I",  il  v  a  une  inlinlté  de  points  A (/) 
et  B(i),  il  V  aura  donc  aussi  une  infinité  de  points  C(/).  Si  donc  Q  désigne 
l'ensemble  des  points  C(/)  et  Q'  son  dérivé,  on  aura 

»  Q'=P'. 

Il  est  clair  d'ailleurs  ([ue 

D(Q,  Q')  =  o. 

3°  Il  V  a  enlin  do  trajt  cloires  ([m  passent  |)ai'  les  points  de  la  troisième  caté- 
gorie et  cpii.  par  conséquent,  ne  lencontrent  aucun  des  arcs  A(/)B(r).  Pour 
ces  trajectoires,  l'ensemble  V  est  encore  le  même  et  l'on  a  d'ailleurs 


e 


D(P,  p')  =  r. 

Ainsi  l'ensemble  P'  est  le  même  pour  toutes  lis  trajectoires,  et  l'on  a 

D(l',  F'}=  P        ou        o, 

sui\aiit  la  trajectoire  considérée. 

Les    arcs    A(?)B(/)    se    succèdent    dans    le    même   ordie   circulaire   que   les 

nondjies  ^i  —  E(  u./  ). 

Les  liiriiiulrs 

w,-h  0(10,  )  =  Wo-(-  8(toi,)  -h  2-;j., 

tu  =  cjio  -(-  ll(to,  tp  )  -I-  const., 

OÙ  h{u))  et  H(co, ',sj  désignent  des  séries  Irigonométriques  représentant  des 
fonctions  continues  et  périodiques,  subsistent  encore  ici,  mais  elles  n'ont  plus 
la  même  poitée.  En  ellel,  la  ((Uicllou  (o  -)-  ^i  (  ''J  )  reste  constante  tout  le  long  de 
l'arc  A(^<)B(  /),  et  l'on  trouvciall  de  inriiie  sur  Ir  Imc  des  régions  où  la  fonc- 
tion H(w,  0)4-  ,as  —  w  conserve  une  valeur  constante. 

Il  resterait  à  voir  si  cette  troisième  hypothèse,  dont  nous  venons  de  déve- 
lopper quelques  conséquences,  peut  se  réaliser,  ou,  en  d'autres  termes,  si  elle 
est  compatible  avec  les  trois  principes  (pic  nous  avons  énoncés  plus  haut  au 
sujet  de  la  loi  de  conséquence, 

et  avec  la  forme  particulière  des  éijuations  ditlérenticdles  considérées. 

Je  jjuis  affirmer  qu'elle  est  com|)atible  avec  les  deux  premiers  principes,  en 
\erlu  desquels  la  fonction  'i  est  continue  et  croissante. 


SUR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  l55 

Est-elle  également  coiiipallhle  avec  le  troisième  principe,  en  vertu  duquel  la 
fonction  'h  est  holoniorphe  ?  C'est  ce  cpii  resterait  à  examiner. 

Il  faudrait,  ou  bien  trouver  un  exemple  où  la  troisième  hypothèse  soit 
réalisée,  ce  que  je  n'ai  pu  faire  jusqu'ici,  ou  bien  en  démontrer  limpossibilité 
dans  tous  les  cas. 

Je  n'ai  |iu  non  plus  arriver  à  ce  résultat,  et  je  crois,  d'ailleurs,  cpie  1  hypo- 
thèse est  efTectivenient  réalisable,  mais  il  y  a  des  cas  particuliers  où  l'on  peut 
démontrer  cpi'il  n'en  est  pas  ainsi  et  cpi'on  iloit  s'en  tenir  à  la  première  lijpo- 
thèse. 

Soient  C(o)  un  point  th;  la  circonférence  méridienne,  C(  i  ),  C(:i),  ...,  C{i) 
ses  j'*""'  premiers  conséquents;  on  s'arrêtera  lorsqu'on  arrivera  à  un(t -f-  i)'*"" 
conséquent  situé  sur  l'arc  A(o)  Ad  ).  Soicnl  niainienant  INI,,  et  «/„,  M  ,  et /??  i ,  ..., 
M,_i  et  /n/-.|,  M,  et  /;/,  la  plus  grande  et  la  plus  pclllr  valeur  cpie  peut  prendre 

la  dérivée -j—!->  respectivement  sur  l'ai'c  C(  f))  C(  i),  sur  l'arc  C(  i  )  C(  2  ),  ...,  sur 
l'arc  C(«'  —  I  )  C(/)  et  enfin  sur  l'arc  C(/)  C(  o).  Si 

MoMiMî...M,_iM,<  I         et        MoM,  M2 . . .  M,.,  <  1 
ou  bien  encore  si 

mo'«i  "'2  •  •  ■ '"(-I  "!i  >  I         et        //!o«h  "'2  •  ■  • '"i-i  > ', 

on  est  certain  ipie  la  troisième  hypothèse  doit  être  rejetée. 

Par  le  même  procédé  on  peut  trouver,  dans  tous  les  cas,  la  limite  supérieure 
de  l'un  quelconc[ue  des  ares  A(/)B(j),  définis  plus  haut.  Si  M  est  le  maximum 

et  m  le  mininuiin  de  la  dérivée  -j-^i  tous  les  arcs  A(  i)B{i)  sont  plus  petits  que 


I 
I 
M 


On  peut  faire  encore  une  remarque;  prenons  le  point  A((i)  et  la  trajectoire  A 
qui  passe  par  ce  point.  Soient  C(o^  cl  D(oj  deux  points  très  voisins  de  A(o), 
mais  situés  l'un  à  droite  et  l'autre  à  gauche  de  ce  point;  soient  C  et  D  les  tra- 
jectoires cjui  passent  par  ces  points.  Nous  pouvons  imaginer  trois  points 
mobiles  <?,  c,  d  décrivant  ces  trois  trajectoires  simultanément,  de  façon  à  se 
trouver  toujours  tous  les  trois  sur  le  même  cercle  méridien.  Lorsque  le  temps 
croîtra,  il  arrivera  alors  que  la  distance  ac  tendra  vers  zéro,  et  que  la  distance 


l5fi  SDB    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

ad  ne  tendra  pas  vers  zéro,  et  cela,  quelque  voisins  que  soient  de  A(o)  les 
points  C(o^  et  D(o).  Dans  la  picnilère  hypothèse,  au  contraire,  il  est  impos- 
sible que  la  ilislance  de  deux  points  mobiles  «  et  c  décrivant  deux  trajec- 
toires difTérentes  tende  vers  zéro.  Je  ne  doute  pas  qu'on  ne  puisse  se  servir 
utilement  de  cette  remarque,  bien  que  je  n'en  aie  pu  moi-même  tirer  aucun 
parti. 

Toutes  ces  considérations  n'ont  pu  encore  me  conduire  à  la  solution  de  la 
question  principale  et  ne  m'ont  pas  permis  de  démontrer  rigoureusement  que 
la  troisième  hypothèse  peut  effectivement  être  réalisée. 

Bien  d'autres  questions  se  posent  d'ailleurs,  qui  sont  intimement  liées  avec 
la  précédente.  C'est  ainsi  qu'on  peut  se  demander  comment  varie  le  nombre 
caractéristique  [a,  défini  plus  haut,  quand  on  fait  varier  les  coefficients  des 
équations  différentielles.  On  peut  démontrer  que  cette  variation  est  continue. 
Mais  nous  pouvons  supposer  que,  pour  certaines  valeurs  de  ces  coefficients,  il 
y  ait  un  cycle  limite;  le  nombre  [j.  i)eut  être  alors  regardé  comme  commensu- 
ralile.  Si,  pour  d'autres  valeurs  des  coefficients,  le  nombre  [j.  est  incommen- 
surable (ou  commensurable  sans  qu'il  y  ait  de  cycle  limite)  et  si  l'on  fait  varier 
ces  coefficients  dune  manière  continue  et  de  façon  à  passer  par  les  valeurs  qui 
donnent  un  cycle  limite,  le  nombre  ^  présentera  toujours,  pour  ces  valeurs, 
soit  un  maximum,  soit  un  iiiininuiin.  11  y  a  là  certainement  le  jniint  de  départ 
d'une  série  d'études  qui  seront  sans  doute  fécondes,  et  que  je  crois  devoir 
signaler  aux  travailleurs. 

.l'espère,  d'ailleurs,  pouvoir,  dans  un  Chapitre  ultérieur  de  ce  Mémoire, 
donner  sur  ces  questions  des  résultats  plus  complets.  J'y  reviendrai,  en  effet, 
après  avoir  posé,  dans  la  suite  de  ce  travail,  une  série  de  problèmes,  fort  ana- 
logies au  précédent,  mais  plus  délicats  encore,  et  qui  sont  liés  intimement  avec 
l'importante  question  de  la  convergence  des  séries  trigonométriques  et,  en  par- 
ticulier, des  séries  employées  en  Mécanique  céleste. 

Avant  de  terminer,  je  voudrais  montrer,  en  quelques  mots,  en  quoi  consiste 
le  lien  que  je  viens  de  signaler  entre  le  problème  qui  vient  de  nous  occuper  et 
les  méthodes  de  la  Mécanique  céleste. 

Nous  avons  vu  que  l'intégrale  générale  des  équations  proposées  pouvait  se 

mettre  sous  la  forme 

o)  —  [JUS  —  H  (d),  !p)  =  consl., 

H  étant  une  série  trigonomélrique.  Supposons  que  natre  équation  différentielle 


SUR    LES    COl'RBES    DÉFINIES    PAR   LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  iSj 

s'écrive 

[Ad  est  une  constante,  a  un  coefficient  très  petit  et  F  un  polynôme  en  cosio, 
sinto,  coso,  sintp,  ou  plutôt  encore  une  série  trigonométrique 


11  viendra 


F  =  2  A,„„  cos(mco  H-  ntp  -H  ).„,„). 


Supposons  que  [a  et  H  [missent  se  développer  suivant  les  puissances  de  a,  de 
telle  sorte  que 


Il  viendra 


|Jl  =    |JlO  +    I-tl  X  +    |JL2  ï'  +  .  .  .  , 

H  =  11,2  +  Haa^-H  Hja'-i-... 


f/H,        ^H, 

dli,       dH,        rfH,„ 

ao)  rtcp  rfdi 


On  choisira  les  constantes  [x,,  jjlj,  jj.3,  ...  de  fa(;on  que  les  seconds  membres  des 
égalités  précédentes  soient  des  séries  trigonométriques  débarrassées  de  leur 
terme  tout  connu.  Il  sera  alors  possible  (si  [A,,  est  incommensurable)  de  trouver 
des  séries  trigonométriques  Hi,  H^,  ...  satisfaisant  /b/7/«e//e/»e/!/  aux  équations 
précédentes. 

Il  est  impossible  de  n'être  pas  frappé  de  l'analogie  de  ce  procédé  d'approxi- 
mation avec  la  méthode  de  M.  Lindstedl  en  Mécanique  céleste,  et  de  ne  pas 
comprendre  que  la  question  de  la  convergence  du  procédé  que  je  viens 
d'exposer  est  intimement  liée  à  celle  de  la  convergence  des  séries  employées 
par  le  savant  astronome  de  Dorpat.  Mais  le  problème  que  nous  traitons  ici  est 
évidemment  beaucoup  plus  simple  que  les  questions  analogues  de  la  Méca- 
nique céleste,  et,  si  les  difficultés  sont  de  même  nature,  elles  sont  moins  nom- 
breuses et  sans  doute  plus  aisées  à  surmonter.  C'est  cette  considération  qui  m'a 
engagé  à  insister  sur  la  question  qui  a  fait  l'objet  de  ce  Chapitre,  et  qui  m'y  fera 
sans  doute  revenir  à  mesure  que  je  trouverai  des  résultats  nouveaux. 


l58  SIR    LES   COURBES    DKFINIES    PAR    I.KS    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

Dans  la  qiiatririnr  Partie  <lr  ce  travail,  j'aborderai  rétiide  des  équations  dif- 
fcrentii'llo  du  second  ordre.  .l'aiiandonne  donc  momentanément  les  équations 
du  premier  ordre,  en  me  rései'\ant  de  revenir  dans  la  suite  sur  les  problèmes 
relatifs  à  ces  équations  et  restés  encore  sans  solution,  en  les  rapprochant  des 
problèmes  analogues  fpii  se  poseront  au  sujet  des  équations  d'ordre  supérieur. 

Paris,  kS  janvier  i885. 


SUR  LES  POINTS  SINGULIERS 


DES 


ÉQUATIONS   DIFFÉRENTIELLES 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  94,  p.  4'''-4'8  (  i3  février  i88a). 


J'envisage  deux  équations  différentielles  simultanées 


(>; 


dx 
X 


dy        dz 


OÙ  X,  Y,  Z  sont  des  polynômes  entiers  en  x,  y,  z.  Si  je  regarde  x,  y,  z  comme 
les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace,  ces  deux  équations  définissent  une 
infinité  de  courbes  gauches  que  j'appelle  Cdraclrrislir/ucs. 

Par  chaque  point  de  l'espace  passe  une  caracléristic|U(!  cl  une  seule.  Les  seuls 
points  qui  ne  satisfont  pas  à  cette  règle  sont  les  /loirits  sinv^utiers,  c'esl-à-dire 
les  points  d'intersection  des  trois  surfaces 


{2) 


X  =  o, 


V  =  o. 


Z  =  o. 


En  général,  ces  trois  surfaces  ne  se  couperont  pas  suivant  une  courbe,  et  les 
points  singuliers  seront  isolés.    Pour  les  classer,  on  envisagera  l'équation  en  S 


(3) 


Nous  supposerons  que  cette  équation  n'a  pas  de  racine  multiple  ni  de  racine 
nulle,  ce  qui  arrivera  en  général.  Il  y  aura  alors  quatre  sortes  de  points  sin- 
guliers : 


d\ 

d\ 

d\ 

dr 

S 

^ty 

dz 

d\ 

d\       „ 

d\ 

dx 

^-' 

dz 

dZ 

dZ 

dZ 

dx 

dy 

dz 

l6o  SUR    LES    POINTS    SINGLLIEItS    DKS   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

i"  Les  luvuds.  L'ccjualiim  (3)  a  loules  ses  racines  réelles  el  de  même  signe. 
Toutes  les  earaclérisliques  qui  pénèlrenl  dans  une  |>elitc  sphère  décrite  autour 
du  point  siiij;uliei'  viennent  converger  en  ce  point  :  exemple,  l'équation 


(/.r  _  dy  _  clz 
x    "   y    '~    z  ' 


dont  l'intégrale  générale  s'écrit 


-=-•?'  =  - 
abc 


a,  b,  c  étant  les  constantes  d'intégration. 

2"  Les  cols.  L'équation  (3)  a  loules  ses  racines  réelles,  mais  non  de  même 
signe.  Une  inlinilé  de  caractéristiques,  dont  l'ensemble  forme  une  surface, 
viennent  converger  au  point  singulier;  en  dehors  de  celte  surface,  il  existe 
encore  une  autre  caractéristique  qui  vient  passer  par  le  point  singulier;  les 
autres  restent  constamment  à  une  distance  finie  de  ce  point  :  exemple,  l'équa- 
tion 

dx        dy         dz 
X    ~  y    "  —z' 

dont  l'intégrale  générale  s'écrit 


-  =  Z  =  _!_. 
a         b         cz 


Une  infinité  de  caractéristiques, 


X        Y 
â=b' 


situées  toutes  sur  la  surface  s^o,  viennent  passer  par  l'origine.  11  en  est  de 

même  de  la  caractéristique 

x=y  =  o. 

Les  autres  restent  à  une  distance  finie  de  l'origine. 

3°  Les  foyers.  L'équation  (3)  a  une  racine  réelle  et  deux  racines  imaginaires 
conjuguées,  dont  la  somme  est  de  même  signe  que  la  racine  réelle.  Une  carac- 
téristique, et  une  seule,  passe  par  le  foyer;  les  autres  tournent  autour  de  ce 
foyer,  en  s'en  rapprochant  asymplotiquement,  en  forme  de  spirales  et  de  tire- 
bouchons. 

4"  F^es  cols-foyers.  L'équation  (3)  a  une  racine  réelle  et  deux  racines  ima- 
ginaires conjuguées,  dont  la  somme  n'est  pas  de  même  signe  que  la  racine 
réelle.  Une  caractéristique,  et  une  seule,  passe  par  le  point  singulier;  une  inii- 


SUR    LES    POINTS    SINGILIF.HS    DES    KQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  l6l 

nité  d'autres,  dont  l'ensemble  forme  une  surface,  tournent  autour  de  ce  point 
en  s'en  rapprochant  asjmptotiqueraent  ;  les  autres  restent  à  une  distance  finie 
de  ce  point. 

Un  cas  particulier  intéressant  est  celui  où  les  trois  surfaces  (2)  se  coupent 
suivant  une  même  courbe,  qui  est  alors  une  ligne  singulière. 

Considérons  un  point  de  cette  ligne  singulière.  En  ce  point,  l'équation  (3)  a 
une  racine  nulle.  H  J  a  toujours  une  caractéristique  qui  passe  par  le  point  sin- 
gulier, et  c'est  la  ligne  singulière  elle-même. 

Les  points  d'une  ligne  singulière  sont  d'ailleurs  de  trois  sortes  : 

1°  Les  na'uds.  L'équation  (3)  a  une  racine  nulle  et  deux  racines  réelles  et 
de  même  signe.  Dans  le  voisinage  de  ces  points,  une  infinité  de  caractéristiques, 
dont  l'ensemble  forme  une  surface,  viennent  converger  en  chaque  point  de  la 
ligne  singulière. 

2°  Les  cols.  L'équation  (,3)  aune  racine  nulle  et  deux  racines  réelles  et  de 
signe  contraire.  Par  chaque  point  de  la  ligne  singulière  passent  deux  caracté- 
ristiques (outre  la  ligne  singulière  elle-même)  ;  les  autres  restent  à  distance  finie 
de  cette  ligne. 

3"  V^es  foyers.  L'équation  (3)  a  une  racine  nulle  elles  deux  autres  imaginaires 
conjuguées.  Toutes  les  caractéristiques  se  rapprochent  alors  asjmptotiqnement 
de  la  ligne  singulière. 

On  trouverait  des  singularités  d'ordre  plus  élevé  aux  points  qui  séparent  les 
arcs  de  la  ligne  singulière,  dont  tous  les  points  sont  des  nœuds,  des  arcs  dont 
tous  les  points  sont  des  cols  et  de  ceux  dont  tous  les  points  sont  des  foyers. 


H.  P. 


SUR   L'INTÉGRATION 


DBS 


ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES 

PAR  LES   SÉRIES 


Comptes  rentius  de  l'Académie  des  Sciences,  l.  9i,  p.  5-j--5^8  (27  février  18S2) 


i^aiichy  a  démontré  depuis  longtemps  que,  si  l'on  a  un  ensemble  d'équations 
dififérentielles  simultanées  telles  que 

les  intégrales  peuvent  se  développer  en  séries  convergentes  ordonnées  suivant 
les  puissances  de  x^Xg,  Xg  étant  la  valeur  initiale  de  la  variable  .r.  Malheu- 
reusement ces  séries  ne  restent  convergentes  que  pour  les  petites  valeurs  de 
X  —  Xq]  aussi,  dans  la  plupart  des  applications,  dans  le  calcul  des  perturbations, 
par  exemple,  leur  a-t-on  préféré  d'autres  séries  et  en  particulier  des  séries 
trigonomé  triques. 

J'ai  pensé  qu'il  y  aurait  quelque  intérêt  à  rechercher  si  l'on  ne  peut  pas 
intégrer  les  équations  difïérentielles  par  des  séries  qui  restent  convergentes 
pour  toutes  les  valeurs  réelle.';  de  la  variable.  Voici  comment  on  peut 
procéder.  On  peut  ramener  un  système  quelconque  de  relations  algébriques 
entre  un  nombre  égal  de  fonctions  d'une  seule  variable  indépendante  et  les 
dérivées  de  ces  fonctions  à  la  forme  suivante  : 

II)  ^^~  ~  "y"  "•••"  ~\^  ' 

A|  Ai  An 

où  X,,  X2,  . . .,  X„  sont  des  polynômes  entiers  en  x^,  Xn,  •  •  • ,  x,,.  J'introduis 


SUR    b'iNTÉGBATION    DES   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLKS    PAR    LES    SÉRIES.  l63 

une  variable  auxiliaire  s  définie  par  l'équation  différentielle 
rfa-,        dTo  dxn  ds 


(2) 


X,       X,      ■■•      x„       X]-HX^  +  ...-t-x;',-t-i 


Je  démontre  qu'on  peut  toujours  trouver  un  nombre  a  tel  que  a;,,  x,,  .  . .,  x,, 
puissent  s'exprimer  par  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de 


et  convergentes  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  s.  Les  coefficients  sont  des 
fonctions  rationnelles  de  y.,  des  coefficients  des  polynômes  X  et  des  valeurs 
initiales  des  variables. 

Celte  formule  permet  de  calculer  ^r,,  :p.,,...,  ar,,,  tant  que  ces  quantités 
restent  réelles  et  ne  prennent  pas  des  valeurs  qui  annulent  à  la  fols  X.,, 
Xj,  . . . ,  X„.  Si,  par  exemple,  on  voulait  l'appliquer  aux  équations  de  la  Méca- 
nique'céleste,  les  séries  resteraient  convergentes  pour  toutes  les  valeurs  réelles 
du  temps. 

Je  n'ai  voulu  donner  qu'un  exemple,  montrant  qu'il  était  possible  d'intégrer 
une  équation  diflerentielle  quelconque  par  des  séries  toujours  convergentes 
pour  des  valeurs  réelles  de  la  variable;  mais  ce  [problème  comporte  une  inlinité 
de  solutions,  et  dans  chaque  cas  particulier  il  y  aurait  lieu  de  rechercher  quelle 
serait  la  plus  avantageuse. 


SUR 

LES  SÉRIES  TRIGONOMÉTIUQUES 


Comptes  leiidus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  101,  p.  ii3i-ii34  (7  décembre  iS85). 


Les  séries  de  la  forme  siiivanle 

SA  siiia/ 

qui  sont  convergentes  sans  l'être  uniformément  présentent  un  certain  intérêt, 
parce  qu'on  en  rencontre  d'analogues  dans  la  Mécanique  céleste.  Dans  une 
Communication  que  j'ai  eu  l'honneur  de  faire  à  l'Académie  le  3o  octobre  1882, 
j'ai  montré  qu'une  fonction  définie  par  une  pareille  série  peut  devenir  plus 
grande  que  toute  quantité  donnée.  Mais  on  peut  se  demander  si  elle  c  tend  vers 
l'infini  »  (c'est-à-dire  si,  après  être  devenue  plus  grande  qu'une  quantité  donnée, 
elle  reste  plus  grande  que  cette  quantité),  ou  bien  si  sa  valeur  subit  des  oscil- 
lations d'amplitude  indéfiniment  croissante.  Dans  ce  dernier  cas,  quelque  grand 
que  soit  <„,  on  peut  toujours  trouver  une  valeur  de  /  J>  <o  et  telle  que  la  fonc- 
tion ait  la  valeur  que  l'on  veut. 

Je  vais  montrer  par  deux  exemples  que  les  deux  cas  peuvent  se  présenter. 
Soit 

F(;)  =  sln<  -I-  A  siii h  A^i  siii  --  +  ,  .  . -1-  A"  siii  — 

2  4  ■'" 


■>" 


Cette  série  sera  absolument  convergente  si  A  <^  2  ;  mais  la  convergence  ne  sera 
pdb  uniforme  si  A  >•  1 .  On  a  alors 

V(>.i)  =  \  Vit)  -+-  »'\i\it, 
d'où 


SUR   LES   SÉitlES   TRIGONOMÉTRIQUES.  l65 

Observons  mainlenanl  que,  si  l'on  suppose  t  >o, 


111  —  >  —  (  I—  ^  )• 
2"        1"  \        b  / 

d'où 


<3 

5111/  >  /  —  —  ,  su: 

Cl 


(2)  F(t)>{t-'^j        ' 


A 

1 

Prenons  ensuite 

«„<^,  d'où  /„_^_^=B>o; 

si  /y  <^  /  "<  2  ^Oî  «Jn  aura,  en  verlu  de  rinégalité  (2), 

■2 

Soit  5  une  quantité  positive  plus  grande  que  i.  Faisons 

A=- ^.  ^_  =  __+/,         ,/,>o 

A  satisfera  bien  aux  conditions 

i<  A  <  2. 

L'inégalité  [2)  donne  alors 

F(0>  _^;^  -1-/'         (<o<«<2/„); 
puis  l'inégalité  (1)  donnera 


F(0>  ^-3:^  +A»/(         (/,/.<<<  8/0), 


F(<)  >       _      -H  A"  A  (2''/„<  /  <  2"+Wo). 

On  voit  ainsi  que  la  fonction  F(t)  reste  toujours  positive  et  «  tend  vers  l'infini  ». 
Prenons  maintenant 

F(/)  =  5in/  —  A  si  11  — H  A'siii .  .  .  -1-  (—  A  )"  siii  —  ±.  .  .  , 

2  4  '         2"  ' 


l66  SDR   LES   SÉRIES  TRIGONOMÉTRIQUES. 

de  sorte  que 

\'i2t)  =  — A  F(0-t-  siii  .'.«, 

d'où 

—  AF(0  —  i<F(20<—  AFir)-(-i. 

Si  A  est  compris  entre  i  el  2,  la  série  sera  convergente  sans  l'être  unifor- 
mément. On  pourra  donc  trouver  une  valeur  de  t,  telle  que  F(')  soit  aussi 
grand  que  Ion  veut,  en  valeur  absolue.  On  est  donc  certain  que  F(/)  peut 
devenir  ou  bien  positif  et  très  grand,  ou  bien  négatif  et  très  grand. 

Dans  le  premier  cas,  on  pourra  écrire 


A  — I  ' 

h  étant  positif  et  aussi  grand  qu'on  le  veut.  On  aura  alors 

F(îO<--5-^ A/(, 

A  —  I 

el  F(2<)  sera  négatif  et  très  grand. 
Dans  le  second  cas,  on  pourra  écrire 

F(0<-^1,  -A, 
/(  étant  positif  et  très  grand,  et  il  viendra 

de  sorte  que  F(2/)  sera  positif  et  très  grand. 

On  est  donc  certain  que  F(  <j  peut  devenir  successivement  positif  et  très 
grand,  et  négatif  et  très  grand;  par  conséquent,  la  valeur  de  cette  fonction  ira 
constamment  en  oscillant,  et  l'amplitude  des  oscillations  croîtra  au  delà  de 
toute  limite.  En  d'autres  termes,  F(^)  prend  une  infinité  de  fois  toutes  les 
valeurs  possibles. 


SUR  LES  COURBES  DÉFINIES 


r.KS   EQUATIONS   DIFFERENTIEU,ES 


Journal  de  Mathémalii]ues,  \'  série,  t.  î,  p.  \h\->^-  (rR86). 


CHAPITRE   XYI. 

ÉQUATIONS    DU    SECOND    ORDRE;    POINTS    SINGULIERS. 


Nous  allons  aborder  niaiiitenant  rtlinlc  des  équations  diirérenlielles  d'ordre 
supérieur.  ^  oici  sous  quelle  forme  nous  les  écrirons  :  soient  x,  y  cl  z  les  coor- 
données d'un  point  mobile  dans  l'espace,  et  t  une  variable  auxiliaire  que  nous 
regarderons  comme  représentant  le  temps;  nous  écrirons 

dx  dy  dz 

X,  Y  et  Z  seront  des  polynômes  entiers  en  x^  y  et  z.  11  est  clair,  en  effet,  que 
toute  équation  flu  second  ordre  et  du  premier  dej^ré  peut  être  ramenée  facile- 
ment à  celte  foruie. 

De  même,  toute  équation  du  («  —  ly-mo  g^dre  et  du  premier  degré  pourra 
être  mise  sous  la  forme 

dxi  dx,  rf.r„ 

(2)  W=^"        -dT^^''        ■■■•        ^-^'" 

X|,   Xii,    ...,  X„   étant  des   polynômes  entiers  en  x,,  x^,   ...,  x„-   Si  l'on  a 

affaire  à  une  équation  du  («  —  jy''"'!-  ordre  et  de  degré  supérieur,  on  pourra 

écrire 

dxi  dx,_  dxn       Y 

1^=^"        ^'-^^'        •   ■'        ~dT -^"^ 


l68  Sl'R    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

X|,  X^ \„  élanl  (lo  jiolvnomcs  entiers  en  x,,  Xn,  .  .  .,  x„  el  :;  et  z  étant 

une  fonction  de  .r,,  x,,  .  .  . ,  x„  liée  à  ces  variables  par  une  relation  algébrique 

F{X,,  Xt, T„,   s)  =  o, 

dont  le  iircniiiM-  nieml)re  est  un  polynoiiu'  entier. 

Inlnuluisons  une  nouvelle  variable  t,  nous  pourrons  écrire 

</,r,  _       rfF 
rf^  -^'rf^' 


dxi       ^.    rfF 
d^-^'dz' 

dXn        Y     rfF 
■rfr    -^"rf^ 

..    dF        ^.    rfF 

..     rfF 

^'rfx,        ^'rfr,       • 

■      ^"rf^/ 

Les  seconds  niciiibresde  ces  nouvelles  é(jiiatit)ns  étant  des  polynômes  entiers 
par  rapport  aux  x  et  à  z,  les  équations  sont  ramenées  à  la  forme  (2);  seulement 
l'ordre  en  est  élevé  d'une  unité. 

Si  l'on  veut,  dans  le  cas  des  équations  (2),  employer  le  mode  de  représenta- 
tion géométrique  ilont  nous  avons  fait  usage  jusqu'ici,  il  faut  regarder  .r,, 
X21    .  .  .,  Xn  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace  à  n  dimensions. 

La  Géométrie  n'est  plus  alors  qu'un  langage  qui  peut  être  plus  ou  moins 
avantageux,  ce  n'est  plus  une  représentation  parlant  aux  sens.  Nous  pourrons 
néanmoins  être  conduits  à  employer  quelquefois  ce  langage. 

Au  contraire,  dans  le  cas  des  équations  du  second  ordre  de  la  forme  (1),  qui 
est  celui  que  nous  étudierons  plus  particulièrement,  la  représentation  géomé- 
trique conserve  tous  ses  avantages,  et  nous  continuerons  à  l'employer  cons- 
tamment. 

Il  arrivera  aussi  quelquefois  qu'au  lieu  de  considérer  les  trajectoires  du  point 
mobile  (•2',J)',  z)  dans  l'espace  tout  entier,  nous  aurons  à  considérer  seulement 
les  portions  de  ces  trajectoires  qui  sont  comprises  dans  une  certaine  région  de 
l'espace;  nous  n'aurons  plus  besoin  alors  de  supposer  que  les  fonctions  X,  Y 
et  Zsont  des  polynômes  entiers,  mais  seulement  qu'elles  se  com|)ortenl  comme 
des  polynômes  entiers  à  l'intérieur  de  la  région  considérée. 

Il  est  aisé  de  voir  que  |)ar  tout  point  de  l'espace  passe  une  trajectoire  et  une 

seule.  Il  III'  peut  y  avoir  d'exception  que  pour  les  points  où  les  trois  fonctions 

X,  Y  et  Z  s'annulent  et  que  l'on  appelle  points  sinn-nlirrs. 

Les  trois  équations 

X  =  o,         Y  =  o,         Z  =  o 

représenl('nl  trois  surfaces  algébri(|iies.   Il  peut  6C  faire  que  ces  trois  surfaces 
aillent  passer  par  une  même  courbe.  Tous  les  points  de  cette  courbe  sont  alors 


SUR    LKS    COIHBES    DÉFINIES    PAR    LES   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  1 69 

singuliers  et  l'on  a  alors  une  courbe  singuU<':re.  Nous  reviendrons  jiliis  loin  sur 
ce  cas  iniporlant. 

Ne  considérons  jmur  li-  iiiomenl  que  les  points  singuliers  isolés.  Deux  cas 
peuvenl  se  jirésenler  : 

„  ^.     ,  .  .        ,  ,    .    .       rfX     f/X     d\     ci\     d\     d\     d'L    dZ     dZ 

1     Uu  bien  toutes  les  dérivées  -;—>-;—)  —r-  \  -r-  •  -r-  >  — ;-  ;  -7-  '  -r-  >  -;-  ne  sont 

dx     dy     dz     dx     dj      dz     dx     dy     dz 

pas  nulles  à  la  fois  :  c'est  le  cas  que  nous  allons  étudier  en  détail; 

2°  Ou  bien  ces  neuf  dérivées  sont  nulles  à  la  fois.  Ce  cas  se  ramène  au  pré- 
cédent par  les  procédés  de  Biioi  ei  Bou(juet  [Journal  de  VEcole  Poly/eclt- 
ni(jue,  XXXVl'  Cahier). 

.Supposons  donc  (pic  les  neuf  dérivées  ne  soient  pas  nulles  à  la  lois  cl  fui  niiuis 
ré(piali(Ui  en  .S  : 


(3) 


—  S 


d\ 

d\ 

d\ 

di-' 

d^ 

dz 

d\ 

d\ 

d\' 

dx 

dy--" 

dz 

dZ 

dZ 

dZ 

dx 

dy 

dz 

Cette  équation  n'aura  pas  de  racine  nulle,  ni  de  racine  miilliple  si  les  poly- 
nômes \,  \  et  Z  sont  les  plus  généraux  de  leurs  degrés.  Je  ne  dirai  rien  du  cas 
particulier  où  lécpialion  en  S  aurait  des  racines  nulles  ou  miilti|)les;  p'  me  boi- 
nerai  à  iinvojer  à  ce  (pie  j'ai  dit  de  cas  aiialoi;iies  dans  la  première  Partie  de  ce 
Iravail  ('.H''  série,  I.  \'ll,  p.  .'Jgi)  ('). 

Ce  cas  exceplidiuicl  èlaiil  exclu,  nous  avons  à  examiner  les  ciiui   liypollièses 
suivantes  : 

Preitiière  hypolkèse.  —  Les  trois  racines  de  l'èqualion  en  S  soni  réelles  et 
de  même  signe.  [On  peut  les  supposer  j)ositives.] 

Dans  ce  cas,  les  inlègrales  générales  des  éqiialions  (  1)  |)euvenl  se  m<  lUesoes 
la  forme  suivante  : 

Il'i'        H?.'        llï;' 


f4) 


A. 


Dans  ces  relations.  II,,  llj  et  If;)  sont  des  fondions  de  .r,  )'  et  0,  holoinorphes 
dans  le  voisinage  du  point  singulier  et  s'anniilanl  en  ce  jjoint  singulier;  S,,  S^ 
et  S3  sont  les  racines  de  l'éipialion  (3);  A,,  A^  et  A3  sont  des  constantes  d'in- 


(')   Voir  eu  Toiiir,  p.  iS. 
II.  V.  —  l. 


170  Sl'n    I.liS   COURBES    nKFlNIES    PAR    LKS    KOUATION'S    DlFl'KRENTIELI.KS. 

tégration.  Ce  lliéorènie  a  été  diJmonlrc  (lan>  ma  Thèse  iiiaiii;ui'ale  (^  Paris,  Gau- 
tliier-Villars,  i8-i|,  p.  ro). 

11  esl  aisé  de  voir  (jue  le>  é(|UMlions  (4)  rcpréscnlenl  une  liitinilé  de  eourbcs 
qui  vont  loules  passer  |)ar  le  poini  singulier. 

Done,  dans  le  eas  qui  nous  oecupe,  loules  les  Irajecloires  (pii  passeni  dans  le 
voisinage  du  point  singulier  vont  converger  en  ce  point.  On  dit  alors  qiu^  le 
pcunl  singulier  est  un  iKciid. 

Dcuxicinc  liypulkèsc.  —  Les  trois  laeiues  de  r(''(|uation  en  S  sont  réelles, 
mais  non  de  même  signe. 

Supposons,  par  exemple,  que  S|  et  S2  soient  positifs  et  S3  négatif. 

On  ne  pourra  pas  alors,  en  général,  mettre  les  intégrales  des  équations  (1) 
sous  la  forme  (4)- 

Mais  le  théorème  de  Briot  et  Bouquet,  dans  le  Mémoire  cité  plus  haut,  nous 
ap|)rend  qu'il  existe  trois  intégrales  partienlièi'cs  des  équations  (1),  qui  ctnt   la 

forme  sui\anle  : 

x  =  9i(k),         y  =  'i..{u),         z  =  <f3(u), 

'^1,  ^2  el  cB:i  étant  des  fonctions  holomorphes  d'une  mèuie  variable  ti .  ipii  s'an- 
nulent avec  cette  variable  si  le  point  singulier  est  pris  pour  origine. 

Le  théorème  n'est  pas  tout  à  fait  présenté  sous  cette  forme  par  Briot  et  Bou- 
quet; mais  il  est  aisé  de  passer  de  l'énoncé  de  ces  deux  géomètres  à  celui  qui 
précède. 

Dans  le  eas  qui  nous  oeeiipe,  ces  trois  intégrales  son!  réelles;  nous  sommes 
done  certains  déjà  que  tiois  Irajecloires,  (pie  j'appellerai  T,,  T^  et  T;,.  vcnil 
passer  par  le  point  singulier. 

Pour  pousser  plus  loin  celle  analyse,  faisons  un  changenu^nt  linéaire  de 
variables,  ou  un  changement  de  coordonnées,  en  prenant  pour  origine  le  point 
singulier  cl  pour  axes  les  tangentes  aux  trois  trajectoires  T|,  T^  et  T;|.  Après 
ce  changement  de  coordonnées,  les  équations  (i)  conservenml  la  même  forme, 
elles  racines  de  l'équation  en  S  ne  changeront  pas.  Seuleineut  les  termes  du 
prniiirr  degré  de  \,  ^    et  Z  se  léduiionl  lespi'Clivemenl  à 

S|.r,     Sjk,     s.,  c. 
(>ela  posé,  je  di^  rpic  1  éipmlKm  aii\  dépixées  pailielles 

X  '^f  +  Y  ^  =  Z 
r/.c  (ly 

admettia  une  iiitéi;iali:  ImiIumiiu  plie  s  aniiulaiil  avec  ./  et  )'. 


SUR    LES   COUUBES    DEFIMES    PAU    LES    liyl  ATIONS    DIFFÉHENTIELLES.  I7I 

Il  exisli'  en  effet  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  de  .r 
et  de  _)'  cl  qui  satisfait  formellement  à  celle  équation.  Pour  former  les  coeffi- 
cients de  celte  série,  posons 

et  nous  chercherons  s'il  existe  une  série 

cpii  satisfasse  à  l'équation  proposée,  que  nous  écrinuis 

dx  •'  dy  dx  dy 

Le  coellicienl  a,„„  de  ./"')",  dans  la  série  cherchée,  nous  sera  dnuué  par 
r<''quation 

|3  étant  un  ensemble  de  termes  dé[)endanl  des  coefficients  de  X',  \',  /  ainsi 
(pie  des  coefficients  a^yoù/^  et  q  sont  inférieurs  à  »i  et  à  n.  (L'un  des  indices /j 
ou  q  peut  toutefois  être  égal  à  l'indice  correspondant  m  ou  n\  mais  on  ne  peut 
pas  avoir  à  la  fois  p  ::=  m,  q  ^  n.) 

11  reste  à  démontrer  que  la  série  ainsi  obtenue  est  convergenic.  Il  n'y  aurait 
pas  de  diflicullé  si  S3  était  positif  comme  S|  et  So.  Dans  ce  cas  en  effet,  on 
u'awrail  qu'à  renvoyer  au  théorème  de  ma  Thèse  inaugurale,  que  j'ai  déjà  cité 
plu'^  iiaul . 

iMaLs  ici  Sj  est  négatif,  cl  il  faut  se  servir  d'une  équation  auxiliaire 

{3  ÙIS)  S,37  -j hSaVj i.3  3=\'-j h   \      -j hZ. 

dx  dy  dx  dy 

Dans  celle  équation,  S3  est  uni'  quantilé  positive  plus  petite  que  S,  et  que  S^; 
\",  \",  Z"  sont  des  polynômes  cjue  l'on  obtient  en  renqjlaç.anl  dans  \',  Y'  et  Z' 
chaque  terme  par  sa  valeur  absolue. 

Il  existera  alors  une  série 

qui  satisfera  forniellenienl  à  1  équation  (  5  />/.v),  cl  celte  série  sera  convergente, 
puisque  ili  est  positif. 

Le  coefficient  a',„„  se  déduira  de  l'cipialion 

(rnSi -h /1S2— S3)7.„,„=  P', 
|j'  étant  formé  avec  les  coefficients  de  X",   \",  Z"  et  avec  les  a'      comme  (3  est 


17'  SIR    I,i:S   COURBES    DliPIMKS    l'Ail    l.liS    |:(,>11A  I  ID.NS    1)1  FhKIlKM  IHM.HS. 

fornu'  avec  k\s  cuclticienls  de  X',  \'.  Z,'  eL  uvcc  les  a,,,^.  Tous  les  a^„„  sont  posi- 
tifs. En  effet.,  si  cela  est  vrai  de  tous  les  a'  y,  (3'  sera  positif,  puisque  les  coefli- 
cienls  de  X",  \  ",  Z"  sont  positifs. 

D'ailleurs  »i  S,  -)-  /;  S^  —  i^^  est  toujours  positif. 

,1e  dis  maintenant  (jue 


*-mn  1  --^  ^nuf 


En  elfel,  si  cela  est  vrai  pour  les  indices  inférieurs  à  m  el  a  ii,  on  aura 

I M  <  r- 

On  a  d'ailleurs 

/hSj  -I-  nS2 —  S3>  mii-\-  nSi —  S.,, 

puisque  S.,  est  positif  cl  S:i  négatif.  Il  vient  donc 

ce  qui  |)ioiive  que  la  série 

est  convergente. 

Ainsi  l'équation  (  5  )  admet  liicii  une  intégrale  lioloinorplic  comme  |c  l'avais 
annoncé.  Dans  le  langage  géomi'lriqiie,  cela  veut  direcpie  parle  point  singulier 
passe  une  surface  U  sur  laquelle  sont  situées  une  inlinilé  de  trajectoires.  Les 
trajectoires  T,  et  Tj  sont  situées  sur  cette  surface,  mais  il  nenlSsl  pas  de  même 
<lc  T:,. 

Si  l'on  remplace,  dans  les  équations  (i),  j  par  la  série  Sa,,,,,./'"  )",  ces  c(|ua- 
lions  prennent  la  forme 

\  et  ^  étant  (les  [onctions  lioiomorplies  de  x  el  de  y  s'aiinulant  avec  ces 
varialiles.  l-,es  termes  iln  |>rcmier  degré  se  ré<luiseiil  respectivement  à  S|.r  et 
àS,j. 

On  est  donc  ramené  au  cas  des  équations  du  premier  ordre,  où  l'on  n'avait 
(pic  deux  variables,  x  et  )',  représentant  les  coordonnées  d'un  point  dans  un 
plan.  Les  courlics  définies  par  les  équations  (())  seront  les  |irojections  des  tra- 
jectoires situées  sur  la  surface  L)  ;  il  est  aisé  de  vérifier  ipic,  pour  ces  courbes 
planes,  le  jioint  singulier  est  un  nceiid,  d'(u'i  la  <iinclusion  suivante  : 

Toutes  les  Irajerloires  situées  sur  la  surface  (J  vont  se  croiser  <iu  point 
singulier. 

On  peut  d'ailleurs  vérifier  aisément  que  les  autres  trajectoires  ne  vont  pas 


Sin    LES   COIHBES    DKFINIb'S    PAU    l.KS    KOIATIONS    IIIKKRRKN  HHL[,l;S.  lyî 

passer  par  le  point  singulier;  mais  qu'après  s'être  approchées  plus  ou  moins  de 
ce  point,  elles  s'en  éloignent  et  sortent  de  son  domaine. 

Ainsi  une  infinité  de  trajectoires  dont  l'ensemble  forme  une  surface,  ainsi 
qu'une  autre  trajectoire  isolée,  viennent  passer  par  le  point  singulier;  toutes 
les  autres  restent  à  une  distance  finie  de  ce  point. 

Le  point  singulier  s'appellera  alors  un  col. 

Troisième  hypothèse.  —  L'équation  (3)  a  une  racine  réelle  et  deux  racines 
imaginaires  conjuguées  dont  la  somme  est  de  même  signe  que  la  racine  réelle. 

Soient 

Si  =  a  — [îj,         S;,  =  a — (3t         et         S3 

ces  trois  racines.  L'intégrale  générale  des  éfpiations  (i)  pourra  s'écrire,  comme 
dans  la  première  hypothèse, 


A,    ~   A,   ~   A 

on  s 

pourrons 

poser 

(1  ailleurs 

2  =  K  —  (  K', 

K  et  K   étant  des  fonctions  linlniiKirplies  /relies  de  .r,  y  ^^  -• 
Considérons  l'équation  générale 

(7)  K2-I-  K«-)-  H-:;  =  const. 

Cette  équation  représente  une  infinité  de  surfaces  s'eu\  eli)p|)ant  muluelle- 
meut  et  enveloppant  le  point  singulier. 

Il  est  aisé  de  vérifier  qu'aucune  des  trajectoires  ne  peut  couper  aucune  de 
ces  surfaces  (ju'en  un  seul  point,  si  la  constante  du  second  mcmhre  est  suffi- 
samment petite.  En  effet,  les  équations  d'une  trajectoire  quelconque  peuvent 
s'écrire 

K  —  iw  =  {C  —  iU}n'{~''\ 

G,  D,  Y  et  0  étant  quatre  constantes  réelles.  (Remarquons  (jue,  pour  une  même 
trajectoire,  H.i  devra  toujours  conserver  le  même  signe.)  Les  surfaces  (7)  sont 
donc  des  surfaces  sans  contact,  analogues  aux  cycles  sans  contact  étudiés  dans 
les  Parties  précédentes. 

Une  trajectoire,  une  fois  qu'elle  aura  pénétré  à  l'intérieur  d'une  des  sur- 
faces (7),   ira   toujours  en  se    rapprochant  du    point  singulier;   mais   elle    ne 


174  '^l  11    >ES    COtRHKS    DKKINIKS    IVXn    r.KS    KyiAIIONS    111  KKI'IIIATIKI.I.KS. 

iioiirta  s'en  rapprciilici-  (|u  :is\  m|il(iliqiiciiiPiU  (^comnic  ihiii>  le  ras  do  Joycis 
de  la  |iicniit'i('  l'aiiic  de  ce  Iravail);  car  il  esl  aisé  de  voir  (luClle  ne  saurait 
aller  passer  par  le  point  sint;nlier  avec  une  lani;enle  déleniiinée. 

Il  V  a  tontet'ois  une  exee|)lion.  Nous  avons  vu  (pie,  d'après  Briol  et  Boucpiel, 
il  V  a  trois  trajectoires  T,,  T^  et  T;,,  dont  le>  é([uations  s'écrivent 

a,,  '^-2  et  -^3  étant  des  fonctions  lioloniorphes  d'une  même  variaMc  u. 

ici  deux  de  ces  Irajccloire»  sont  imaginaires;  mais  une  autre  est  réelle  et  a 

pour  équation 

K  =  K'  =  II. 

Cette  trajectoire  va  passer  par  le  pioint  singulier  avec  une  tangenle  ilélermiiiée. 
Mainlenanl,  il  y  a  une  inlinité  de  trajeclaires  siluées  sur  la  siiilace 


celles-là  sont  des  siiirales  analogues  à  celles  que  nous  avons  rencontrées  dans 
la  |)reniière  Partie.  Les  autres  seront  aussi  des  spirales  tracées  sur  les  surfaces 

dont  l'équation  générale  est 

K'-i-K2 

; ^ =     COIlStl 

Suivant  la  valeur  de  S:,  ces  surfaces  seront  des  surfaces  ordinaires  à  plan 
langent  iinif[iie,  ou  des  surfaces  comparables  à  celle  cpi'engendrerait  la  révolu- 
tion d'une  parabole  autour  de  la  tangente  au  sommet. 

Dans  le  second  cas,  les  trajectoires  pourraient  plutôt  être  comparées  à  des 
tire-bouchons  qu'à  des  spirales. 

Les  points  singuliers  de  cette  sorte  pourront  s'appelcry'o)e/'.v. 

Quatriè/nn  hypothèse.  —  L'équation  ('■'>)  a  une  racine  réelle  et  deux  racines 
imaginaires  conjuguées  dont  la  somme  est  de  signe  contraire  à  la  racine  réelle. 

Les  intégrales  des  écpiatioiis  (i)  ne  peuvent  plus  alors  se  iiiellre  sous  la 
forme  (f).  I^es  trois  trajectoires  T,,  Tj,  T^  définies  plus  liaiil  exisient  toujours, 
mais  une  seule  d'entre  elles,    I  ,,  est  réelle. 

Nous  pourrons  faire  un  cliangemenl  de  coordonnées,  tel  cpic  l'origine  soit 
transportée  au  point  singulier,  et  que  les  termes  du  [iremier  degré  de  X,  Y  et  Z 
se  réduisent  respectivement  à 

7.x -h  ^y,     yx-i-Sy     et     H^z. 


SLR    LES    COUtiniîS    DKFIMKS    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIKFÉnENTIKl.LKS.  175 

11  anivciii  alors  (et  on  le  dcmonirerait  comme  dans  le  deuxième  cas)  que 
l'é(|uallon 

dx  ay 

admelli'a  une  laléi^rale  lioloiuorplie  en  x  el  )•  cl  s  annulanl  avec  ces  variables. 
Il  y  a  donc  une  surlace  qui  passe  |)ar  l'origine  elsui'  la([uclie  >onl  Iracées  une 
inlinilé  tie  Lrajec'loiics.  Soil 

l'équalion  de  cette  surface.  Si  Ion  remplace  :;  par  ■p(^,  y)  dans  X  et  ^  ,  les 
équations  (i)  sont  ramenées  au  premier  ordre  et  représentent  des  courbes 
planes,  projection  sur  le  plan  des  xy  des  trajectoires  tracées  sur  la  surface  en 
question.  Il  est  aisé  de  voir  (pic  [)our  ces  courbes  planes  l'origine  est  un  foyer. 

11  exisle  donc  une  surface  sur  laquelle  sont  tracées  une  induite  de  trajec- 
toires qui,  tournant  comme  des  spiralcN  aiiloui'  du  point  singulici-,  s'en  lap- 
prochent  asjmptotiquement. 

11  y  a  en  outre  une  trajectoire  Tf  qui  \a  passer  |)ar  ce  |)oinl  siugLilicr.  Toutes 
les  autres  en  restent  à  une  distance  finie. 

Un  pareil  point  peut  s'appeler  col-fovi'r. 

Cinquième  hypollu'se.  —  L'équalion  (oj  a  une  racine  réelle  et  deux  imagi- 
naires conjuguées,  dont  la  somme  est  nulle. 

Ce  cinquième  cas  doit  être  regardé  comme  un  cas  limite  et  exceplionnel,  car 
il  ne  se  présentera  pas  si  les  polynômes  \,  \  et  L  sont  les  plus  généraux  de 
leurs  degrés. 

Dans  ce  cinquième  cas,  il  n'arrivera  pas  en  général  tpie  les  intégrales  des 
équations  (i)  puissent  se  mettre  sous  la  forme  (4). 

Si  cependant  cela  arrivait,  et  que  nous  posions 

Hi=Kh-(K',  H.2=K  — ;K', 

Si  =  ('a,  8»=  —  l'ï, 

on  verrait  aisément   que  toutes  les  trajectoires   sont  situées  sur  des  surfaces, 

telles  que 

K'  -H  1\'-  =  consl. 

Nous  aurions  alors  une  trajectoire  réelle  T,   passant  par  le  point  singulier  et 

ayant  pour  équation 

K  =  K'=o. 

Noii's  aurons  également  une  surface  Ha  =  o  passant  par  le   point  singulier. 


176  SIR  i.Es  couuiir.s  défîmes  i'.vr  i.ks  équations  iufférkntielles. 

el  sur  laquelle  seront  tracées  une  infinité  de  trajectoires.  Les  trajectoires  tracées 
sur  celte  surface  sciout  des  courbes  fermées  enveloppant  le  point  singulier. 

Les  surfaces  R- +  Iv'- =  const.  sont  des  es|)èces  de  gaines  enveloppant  la 
trajectoire  T,.  de  sorte  (|u'on  pourrait  les  comparer  à  des  cylindres  ayant  pour 
axe  T,.  et  qui  auraient  été  plovcs  et  d«!'forniés  en  même  temps  que  celle  trajec- 
toire. 

Les  trajectoires  tracées  sur  cette  surface  sont  alors  des  espèces  d'hélices  dont 
le  pas  irait  consiaiiimcnt  en  décroissant,  de  telle  façon  cpie  la  courbe,  au  lieu 
de  s'élendre  à  l'infini,  se  i-approche  asymptotiquemenl  de  la  surface  II;,  =  u. 

Un  pareil  point  singulier  s'appellera  un  centre. 

Si,  au  contraire,  les  intégrales  ne  peuvent  pas  se  mettre  sous  la  forme  (4),  le 
poinl  singulier  jouira  des  mêmes  propriétés  qu'un  iojev  ou  qu'un   col-foyer. 

Je  ne  m'étendrai  pas  plus  longtemps  sur  ce  cas  exceptionnel,  en  me  réser- 
vant d'y  revenir  plus  tard,  si  j'en  avais  besoin,  pour  quelque  ajijdication.  Je 
me  bornerai,  pour  le  moment,  à  renvoyer  au  Chapitre  XI,  où  j'ai  étudié  en 
détail  les  points  singuliers  analogues  des  équations  du  premier  ordre. 

Si  donc  on  laisse  de  côté  le  cas  limite  qui  vient  de  nous  occuper,  les  équa- 
tions du  second  ordre  ont  quatre  espèces  de  points  singuliers  :  les  cols,  les 
nœuds,  les  foyers  et  les  cols-foyers. 

Il  serait  facile  d'étendre  cette  théorie  à  des  équations  d'ordre  /;. 

Remarquons  seulement  que,  quand  on  fait  croître  «,  le  nombre  des  espèces 
de  points  singuliers  croît  très  rapidement.  Nous  avons  vu,  en  eU'et,  qu'il  était 
de  '■>  pour  /(  =  i ,  de  4  pour  11^  2\  on  verrait  sans  peine  qu'il  est  de  S  pour 
n  =  3  el  de  10  pour  n  =  4- 

Examinons  maintenant  le  cas  particulier  où  les  trois  surfaces 

X  =  o,         V=o,        Z  =  o 

se  coupent  suivant  une  même  courl)c,  qui  rst  alors  une  combe  singulière. 
Nous  changerons  de  variables  en  iios^mt 

'/)  ^  ==9t(j^',y\  2'),         y '=<T'i(-'-',  y,  s' I,  z  =  ?:,(a;',  y.  c'), 

'■pD  '-pa  cl  ■-':,  étant  des  fondions  lioioniorjdies  dans  le  domaim,'  envisagé. 

On  pourra  l(iujoiii-s  choisir  ces  fondions  liol()moi|dies  de  telle  façon  que  la. 
courbe  singulière  ait  pour  nouvelles  ((juations 

x'=y=o, 

Soient,  en  eli'et, 

/(T,y,z)  =  (),  f,(.r,y,z)=o 


SUR   LES   COURBES   DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFERENTIELLES.  I77 

les  équations  de  la  courbe  singulière,  et  soient 

a:  =  a,         ^  =  13,         s  =  y 

les  coordonnées  d'un  point  de   celte   courbe;   soit  f.^^x,  y^  z)   une  fonclion 
holomorphe  quelconque  s'annulant  au  point  M.  Nous  poserons 

1   x'—f  {X,  y,  z), 
(8)  l  y=.f,{x,y,z), 

(  z=Mx,y,z). 

Nous  pourrons  toujours  choisir  la  fonction  f2  de  telle  sorte  que  le  détermi- 
nant fonctionnel  de  _/',  fi  et  J\  ne  soit  pas  nul  au  point  M,  et  par  conséquent 
que  les  équations  (8)  puissent  être  résolues  sous  la  forme  {'])■ 

Il  n'y  aurait  d'exception  que  si  la  courbe  singulière  présentait  un  point 
double  ou  une  autre  singularité  quelconque  au  point  M,  ce  que  nous  ne  suppo- 
serons pas. 

Il  résulte  de  là  que  nous  pouvons  toujours  supposer  que  la  courbe  singulière 
est  l'axe  des  s,  et  que  le  point  de  cette  courbe  qu'on  envisage  est  l'origine. 

Il  faudra  alors  que  X,  \  et  Z  s'annulent  quand  x  et  )'  sont  nuls  à  la  fois. 

Nous  allons  maintenant  faire  un  nouveau  changement  de  variables  qui  sera 
cette  fois  linéaire,  et  sera  par  conséquent  un  simple  changement  d'axes. 

Il  est  clair,  d'après  ce  qui  précède,  que  les  termes  du  premier  degré  de  X,  Y 
et  Z  doivent  être  de  la  forme 

nx  +  i'y,     p^-(-8'j',         ■ix  +  'i'y. 

Je  vais  conserver  pour  axe  des  ;  la  ligne  singulière,  mais  je  changerai  le  plan 
des  xy,  et  je  choisirai  le  nouveau  plan  des  r y  de  telle  façon  que  y  et  y'  s'an- 
nulent. 

Nous  formerons  alors  l'équation  suivante,  analogue  à  l'équation  (3),  mais  qui 
n'est  plus  ici  que  du  second  degré  : 

—  S  a' 

j3         |â-S 


(9) 


Si  cette  équation  a  deux  racines  réelles  et  de  même  signe,  ou  deux  racines 
imaginaires  conjuguées  dont  la  somme  n'est  pas  nulle,  l'équation  aux  dérivées 
partielles 

X^  -hY—  =Z 

dx  dy 

admettra  une  intégrale  holomorphe  s'annulant  avec  x  et  y.  On  n'a  pour  s'en 
H    P.  —  1.  23 


178  SUR    LES    COURBES    DKFIMKS    PAR    LES    KOl'ATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

convaincre  qu'à  reprendre  le  ralsonncmenl  que  nous  avons  fail  dans  la  seconde 
hypothèse. 

11  y  a  donc  une  surface  passant  par  le  point  siiii;ulier,  et  sur  laquelle  sonl 
tracées  une  infinité  de  trajectoires.  L'élude  des  trajectoires  situées  sur  celte 
surface  se  ramène  au  cas  des  é{|uations  du  premier  ordre;  il  suffit,  pour  cela, 
de  remplacer  dans  les  équations  (1),  s  par  sa  valeur  tirée  de  l'équation  de  la 
surface.  On  voit  alors  que,  pour  les  trajectoires  tracées  sur  cette  surface,  le 
point  singulier  est  un  meud  si  les  racines  de  l'éipialiim  (9)  sont  réelles  et  de 
même  signe,  et  un  foyer  si  ces  racines  sont  imaginaires  conjuguées. 

En  un  nœud,  ainsi  qu'en  tous  les  points  de  la  ligne  singulière  qui  en  sont 
assez  voisins,  viennent  donc  se  croiser  une  infinité  de  trajectoires. 

Autour  d'un  foyer  ainsi  qu'autour  de  tous  les  points  voisins  de  la  ligne  sin- 
gulière, viennent  senrouler  une  inlinilé  de  trajectoires  qui  s'en  rapprochent 
asymptotiquement. 

Il  reste  à  examiner  le  cas  où  l'équation  (9)  a  ses  deux  racines  réelles  et  de 
signe  contraire.  Dans  ce  cas,  le  lliéorénie  de  Briot  et  Bouquet,  cité  plus  haut, 
nous  apprend  qu'il  existe  encore  deux  trajectoires  qui  vont  passer  par  le  point 
singulier  avec  une  tangente  déterminée.  Ce  sont  les  deux  trajectoires  que  nous 
avions  appelées  T|  etT^;  quant  à  la  trajectoire  T^,  elle  se  réduit  à  la  ligne  sin- 
gulière elle-même.  Toutes  les  autres  trajectoires  restent  à  une  distance  finie  du 
point  singulier.  Un  pareil  point  singulier  s'appellera  un  col. 

Ainsi  par  lîn  col  et  par  tous  les  points  assez  voisins  de  la  ligne  singulière, 
passent  deux  trajectoires;  toutes  les  autres  trajectoires  restent  à  une  distance 
finie  de  la  ligne  singulière. 

Il  y  aura  donc  sur  une  ligne  singulière  des  arcs  dont  tons  les  points  seront 
des  nœuds,  d'autres  dont  tous  les  points  seront  des  foyers,  d'autres  dont  tous 
les  points  seront  des  cols.  Les  points  qui  sépareront  ces  arcs  les  uns  des  autres, 
ainsi  que  les  points  multiples  de  la  ligne  singulière,  présenteront  des  singula- 
rités spéciales  dont  je  ne  parlerai  pas  ici. 

Je  terminerai  ce  Chapitre  en  donnant  un  exemple  très  simple  de  chacun  des 
cas  traités  plus  haut. 

Points  SI m;i  Lr ERS  isolés  :  i"  Nœuds.  —  Soit 

X         y  z 

Les  trajectoires  sonl  des  droites  passant  par  rinigiiie. 


Sun    LES    COURBES    DEFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  I79 

2°  Cols.  —  Soit 

f/x  _  dy  _     fl^    _    , 

X  ~  y  ~  zr--"^  ■ 

Sur  la  surface  ;^o  qui  passe  par  rorii;ine  sont  tracées  une  iufmité  île  tra- 
jectoires qui  sont  des  droites  passant  par  l'origine.  En  outre,  l'axe  des  ;  est 
aussi  une  trajectoire  qui  passe  par  l'origine. 

Les  autres  trajectoires  qui  ont  pour  ccpialions 

xz  =  coiisl.,         yz  =  const. 
sont  des  hjperljoles  qui  restent  à  une  dislance  finie  de  l'origine. 

3°  Foyers. 

dx     _        dy        _  ^^  _    , 
X -k- y        — X -\- y  ~   z    ~ 

L'axe  des  :;  est  ici  la  trajectoire  T,  qui  passe  par  l'origine. 

La  surface  11,1  =o  n'est  autre  chose  que  le  j)lan  des  xy  :  les  aiilrcs  irajec- 
loires  sont  tracées  sur  des  cônes  de  révolution;  elles  se  projrlknl  toutes  sur  le 
plan  des  xy  suivant  des  spirales  logarithmiques;  elles  vont  donc  toutes  en  se 
rapprochant  asymptotiquement  de  l'origine. 

Remarquons  qu'ici  les  surfaces  dont  nous  avions  écrit  l'équation  générale 
sous  la  forme 


Si+S, 

H,  s» 


consl. 


se  réduisent  à  des  cônes  de  révolution.  Elles  ne  présenteijt  donc  aucune  des 
deux  formes  que  j'avais  altrilniées  à  ces  surfaces.  En  effet,  nous  avons  allaire  à 
un  cas  d'exception. 

Si  nous  avions  eu  pour  équations  dilTérenlicilcs 

dx  dy  dz 


x-\-y        —  .^  -t-y        «z 


ces  surfaces  auraient  eu  un  plan  tangent  unique  pour  a  <;  i  ,  et,  pour  c.  >  i , 
elles  auraient  présenté  la  forme  delà  surface  engendrée  par  la  révolution  d'une 
parabole  autour  de  la  tangente  au  sommet.  11  n'y  a  donc  d'exception  que  j)our 
le  cas  de  a  =  i . 


4"  Cols-foyers.  —  Soit 

dx                dy  dz 

X -h  y        — X -i- y  — ;; 

Une  trajectoire,  l'axe  des   z,  va  passer  par   l'origine;   une  infinité  d'autres 


=  dt. 


l8o  SUR    LES    rOliRBES    DKFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

sont  tracées  sur  le  plan  des  xy  et  sonl  des  spirales  logarithmiques  se  rappro- 
chant asjmptotiqiiement  de  l'origine. 

Les  autres  trajectoires  sont  situées  sur  les  surfaces 

(x^-+-  y^)z^  =  consl., 

el  restent  par  conséquent  à  une  distance  finie  de  l'origine. 

5°  Centres.  —  Soit 

dx         dy         (Iz        , 

y    ~  —^  ~    z    "      ' 

Les  trajectoires  ont  |)i)ur  équation  générale 

x''- -^  y^  =  r"^ ,         arctang—  =logc  +  A, 

A  et  r*  étant  deux  constantes  d'intégration.  Les  trajectoires  sont  tracées  sur 
des  cylindres  de  révolution.  Une  seule  d'entre  elles,  l'axe  des  3,  va  passer  par 
l'origine.  Une  infinité  se  réduisent  à  des  cercles  situés  dans  le  plan  des  xy.  Les 
autres  sont  des  courbes  qui  tournent  indéfiniment  sur  les  cylindres  en  se  rap- 
prochant asymptotiquement  du  plan  des  xy. 

Points  d'uine  ligne  singulif.re  :  6"  Nœuds. 

d.c        dy        dz 
X    ~   y    ^    o 

Les  trajectoires  sont  les  droites  parallèles  au  plan  des  xy  et  rencontrant  l'axe 
des  5,  qui  est  la  ligne  singulière. 

7"  Cols. 

dx         dy  dz 

X         —y        o 

Les  droites  z  =  const.,  a;  ^  o,  et  les  droites  ;  =  const.,  )'  =  o,  sont  des  tra- 
jectoires qui  rencontrent  l'axe  des  :;,  c'est-à-dire  la  ligne  singulière.  Les  autres 
sont  situées  sur  les  cylindres  hyperboliques 

xy  =  consl. 

et  restent  à  une  distance  finie  de  l'origine. 

8"  Foyers. 

dx  dy  dz 

X  -\-  y        —  3!  -\-  y         (1 


SUK    LES   COURBES    DEFIMES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  l8l 

Les  trajectoires  sont  des  spirales  logarithmiques  situées  dans  des  plans  paral- 
lèles au  plan  des  xy;  elles  enveloppent  la  ligne  singulière  en  s'en  rapprochant 
asympto  tique  ment. 


CHAPITHE   XVII. 

INTÉGRATION      PAR      LES      SÉRIES. 


Nous  avons  vu  qu'une  équation  ilillercntielle  quelconque  peut  loujours  se 
mettre  sous  la  forme 

"^  -d'c'-^"         "dt-^"         ■■■'        HJ  -^"' 

où  les  X  sont  des  polynômes  entiers. 

Si  l'on  regarde  t  comme  représentant  le  temps,  ces  équations  définiront  le 
mouvement  d'un  point  mobile  dans  l'espace  à  n  dimensions. 

Il  arrivera  alors,  quand  le  temps  croîtra  indéfiniment  : 

i"  Ou  bien  que  le  point  mobile  restera  loujours  à  distance  finie  et  ne  se  rap- 
prochera pas  indélinimeiit  d'un  point  singulier; 

2"  Ou  bien  que  le  point  mobile  s'éloignera  à  l'inlini; 

3"  Ou  bien  que  le  point  moliile  ira,  au  bout  d'un  temps  fini,  passer  par  un 
point  singulier; 

4"  Ou  i)ien  que  le  point  moliile  ira  en  se  rapprochant  indéfiniment  d'un 
foyer  ; 

5"  Ou  bien  que  le  point  mobile  viendra  repasser,  à  des  intervalles  de  temps 
finis  et  une  infinité  de  fois  dans  le  voisinage  d'un  point  singulier,  de  telle  sorte 
que  sa  distance  à  ce  point  singulier  puisse  devenir  plus  petite  que  toute  quan- 
tité donnée,  mais  pour  redevenir  toujours  finie  dans  les  intervalles  des  différents 
passages. 

En  d'autres  termes,  la  distance  du  point  mobile  à  un  point  singulier  quel- 
conque peut,  ou  bien  rester  finie  (premier  cas  et  deuxième  cas),  ou  bien  tendre 
vers  zéro  (troisième  et  quatrième  cas),  ou  bien  osciller  de  façon  à  devenir  plus 
petite  que  toute  quantité  donnée  £,  mais  sans  rester  plus  petite  que  cette  quan- 
tité s  et  par  conséquent  sans  tendre  vers  o  (cinquième  cas). 


l8î  SUR    LKS    COIUBKS    llKKlNIliS    l'An    I.KS    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

Il  V  a  donc  cinq  espèces  de  trajectoires,  et  il  est  aisé  de  construire  des 
exemples  de  ces  cinq  espèces. 

Il  V  aurait  évidcninicnt  un  ^rand  intérêt  à  exprimer  .r,,  X2,  .  .  . ,  .r,  à  l'aide 
de  séries  ordonnées  >uivanl  diverses  fonctions  du  temps,  et  convergentes  pour 
toutes  les  valeurs  réelles  du  temps  depuis  t  =  —  00  jusqu'à  <  =  +  oo. 

Il  est  toujours  possible  de  résoudre  ce  problème,  et  je  vais  en  effet  en  donner 
une  solution.  Mais,  d'après  sa  nature  même,  ce  problème  peut  être  résolu 
d'une  infinité  de  manières.  Rien  ne  prouve  donc  que  la  solution  que  je  vais 
donner  soit  toujours  la  plus  avantageuse;  bien  au  contraire,  il  est  extrêmement 
peu  probable  qu'une  même  solution  convienne  également  bien  à  tous  les  cas 
particuliers  possibles.  11  faudra  donc,  pour  chaque  équation  qu'on  aura  à  inté- 
grer, chercher  une  solution  analogue,  mais  non  identique  à  celle  que  je  vais 
développer,  et  s'efforcer  de  la  choisir  convenablement  en  s'inspiranl  des  condi- 
tions spéciales  du  problème. 

Introduisons  une  nouvelle  variable  s  en  écrivant 

,  dx^  dxï  dxi, 


de  telle  sorte  que 


dx^ 
ds 

=  Y.„ 

ds        X, 
dt  ~  Y, 

X5 

Y2 

x„ 

Y,.' 


Les   \    seront  des  fonctions  de  J?|,   x.^^    ...,  x„  satisfaisant  aux  conditions 
suivantes. 

Pour  toutes  les  valeurs  réelles  des  x  et  pour  toutes  les  valeurs  des  x  dont  la 
partie  imaginaire  est  comprise  entre  —  [îl  et  -|-|3,  les  fonctions  Y  sont  holo- 
morphes  et  leur  module  est  plus  petit  que  M. 
Si  donc  on  a  à  la  fois  : 

I  l'iirlic  imaginaire  de  ar,  |  <  p, 
I  l'ailie  imaginaire  de  x^  \  <  fi, 


Partie  imaginaire  de  x,,  j  <  p, 
on  aura  ainsi  à  la  fois 

|Y,  |<M,         1Y.,|<.M,         ....         |Y„|<M 
Soient  alors 

un  système  de  \aleurs  réelles  de 


SUR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS   DIFFERENTIELLES.  l83 

Toutes  les  fois  que 

les  fonctions  Y  seront  lioloinorphes.  et  leur  module  sera  plus  petit  que  M. 
Si  donc  nous  développons  \  selon  les  [juissances  croissantes  de 

Xi         X  ^  ,       X.2         .ï^.^,        •  •  -  )       X,i  ^,,, 

les  coefficients  seront  plus  petits  que  ceux  de 

Mg 


=  2 

P  —  Xi  —  Xi  —  ...  —  X„-^-x1-hX^-\-...-\-x'^l  ' 

Nous  écrirons,  en  employant  les  notations  du  Chapitre  XI, 

Y<Z, 

les  \  et  Z  étant  supposés  développés  suivant  les  puissances  des  j;,  —  a:". 

Soit  «0  la  valeur  réelle  de  s  qui  correspond  aux  valeurs  x°  des  a;,-.  En  partant 
des  équations  (2),  on  pourra  développer  les  x  suivant  les  puissances  de  s  —  .«o, 

Si  l'on  suppose  maintenant  un  autre  point  mobile  dont  les  coordonnées  x 
satisfont  aux  équations 

dxi       dxi  th„ 

on  pourra  aussi  développer  les  coordonnées  de  ce  nouveau  point  mobile  suivant 
les  puissances  de  s  —  Sq, 

Les  coeflicienls  des  séries  A  seront  tous  positifs  et  respectivement  plus  grands 
que  les  coeflîcients  correspondants  des  séries  o. 

Cherchons  les  valeurs  des  '];,  c'est-à-dire  intégrons  les  équalions  (2  bis),  il 
viendra  d'abord 

X\         .T ^  =^  .V)        J'^  =  .  .  .  =  Xn         Xfi . 

Appelons  u  la  valeur  commune  de  ces  quantités.  Les  équalions  (2  bi.'i)  se 

réduiront  à 

du  M 


ds  nu 

d'où 


i84  si;n  LES  courbes  défîmes  par  les  éqi'ations  différentielles. 

et  enfin 

nu  =  (3  —  v/j3'— 2prtIVl(s  —  s„). 

Le  radical  s'annule  pour 

.-.  -     -L. 
■/.  M  n 

Donc  les  séries  A  sont  converj;enLes  toutes  les  fois  que 

Il  en  est  donc  de  même  des  séries  tp. 

Ainsi  les    fonctions    •■s(.'i)    sont   holoiiiorphes    à    l'intérieur    d'un    cercle    de 

rajon  -^^  ayant  sou  centre  en  un  point  quelconque  i»  de  l'axe  X  des  quantités 

réelles. 

Si  nous  menons  de  part  et  d'autre  de  X  deux  parallèles  à  une  distance  de  X 

égale  à  — ^ — >  ces  deux  parallèles,  dont  l'équation  sera 


Partie  imaginaire  de  i  =  ± 


■1  ,\1  n 


limiteront  une  bande  B  du  plan  à  l'intérieur  de  laquelle  les  fonctions  o  seront 
holomorphes. 

Nous  allons  chercher  lu  représentation  conforme  [âhnUclie  AbbiUlung)  de 
cette  bande  sur  un  cercle.  Soit 

««■'  — I 

p  =  .  avec         i  =  ii-l-î^2. 

e»» -h  1 

Cherchons  la  condition  pour  que 

iiiod  p  <  I, 

Il  vient 

e"-'!  (  cos  a  is -(-  j  sinas.  )  —  i 

V  =   : — I 

e«*i(cosaf2-(- I  sinas,)  +  I 

,„  (e»*!  cosas.2— 1)2  +  e'asi  sin'ai.2 

moil'c  = — i — r-- 

(e*»'i  rosotJ2-t-  i)  +  '"''''  sin-îtSi 

OU 

gîas, -4_  ,  _  .pe««i  cosasj 

mod'c  =  --— r • 

e»a.<,  _)_  1  _(_  îgï»,  cosasj 

Pour  que  cette  quantité  soit  plus  petite  que  i,  il  faut  et  il  suffit  que  cosasj 
soit  positif,  ou  que 

I  asj  !  <  -• 


Sl'R    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  l85 

En  d'autres  ternies,  le  point  s  devra  être  à  l'intérieur  d'une  bande  comprise 
entre  les  deux  droites 


Si  nous  prenons 

n  iM  - 

cette  bande  sera  la  bande  B,  et  la  relation  entre  {■•  et  s  définira  la  représentation 
conforme  de  B  sur  le  cercle  de  centre  o  et  de  rayon  i . 

Si  nous  considérons  maintenant  a;,,  x^,  ...,  Xn  comme  fonctions  non  plus 
de  5,  mais  de  c,  ce  seront  alors  des  fonctions  holomorphes  à  l'intérieur  de  ce 
cercle;  ces  quantités  pourront  donc  être  développées  en  séries  ordonnées, 
suivant  les  puissances  croissantes  de  v,  et  convergentes  toutes  les  fois  que  le 
module  de  p  est  plus  petit  que  i . 

Les  coefficients  de  ces  séries  peuvent  se  calculer  par  récurrence. 

Il  n'existe,  en  effet,  qu'un  système  de  séries  développées  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de 

e«<  —  i 
e»'  -t- 1  ' 

et  qui  satisfassent  formellement  aux  équations  (2). 

Ces  séries  sont  convergentes  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  s  ;  car,  quand  5 
est  réel,  le  module  de  f  est  plus  petit  que  i . 

Je  vais  maintenant  montrer  que  l'on  peut  toujours  choisir  une  variable  s 
satisfaisant  aux  conditions  précédentes.  Il  suffit  pour  cela  de  prendre 


Je  dis,  en  premier  lieu,  que 


Y.=        ^' 


i  +  SX^ 


sera  holomorphe  pour  toutes  les  valeurs  réelles  des  x.  En  effet,  cette  fonction 
ne  pourrait  cesser  d'être  holomorphe  que  si  l'on  avait 

H-SX2  =  o, 

ce  qui  n'est  pas  possible  quand  les  x  sont  réels. 

En  second  lieu,  si  les  X  sont  réels,  Y;  sera  toujours  plus  petit  que  ^  en  valeur 
absolue. 

Soient  j;",  J7°,  .  .  .,  x"^  un  système  de  valeurs  réelles  des  x;  et  soit  A  un 
H.  P.  —  I.  -  24 


l8(i  SUR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LIÎS    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

domaine  formé  de  tous  les  systèmes  de  valeurs  des  x,  tels  que 

\xt-x<>\<p,         !.rj-r§I<p,     •    ...,         |^„-^»l<p. 

La  quantité  p  pourra  s'appeler  le  rayon,  et  le  système  de  valeurs  x",,  ;r",  ..., 
ar°  pourra  s'appeler  le  centre  du  domaine  A. 

On  pourra  toujours  prendre  le  rayon  de  A  assez  petit  pour  qu'à  l'intérieur 
de  ce  domaine  les  Y  restent  hoiomorphes  et  plus  petites  que  i  en  valeur  absolue  ; 
mais  nous  choisirons  pour  p  la  plus  grande  valeur  qui  satisfasse  à  celte  con- 
dition. 

Je  dis  maintenant  que  p  restera  toujours  supérieur  à  une  quantité  cons- 
tante poï  quel  que  soit  le  centre  du  domaine  A.  En  effet,  lorsque  ce  centre  se 
déplacera  d'une  manière  contiriue,  p  variera  aussi  d'une  manière  continue;  p  ne 
pourra  jamais  s'annuler  pour  un  système  de  valeurs  finies  de  x',  a?",  .  .  .,  x",, 
sans  quoi  les  fonctions  Y  cesseraient  d'être  hoiomorphes  en  ce  point. 

Il  reste  à  faire  voir  que,  quand  le  centre  du  domaine  A  s'éloignera  indéfini- 
ment, p  ne  tendra  pas  vers  o. 

Supposons,  par  exemple,  que  x^  croisse  indéfiniment  pendant  que  les  autres 
quantités  .r°  pourront  croître  aussi  indéfiniment  ou  rester  finies. 

Changeons  de  variables  en  posant 

a")  —   —  y  x^  —   —  j  •  •  •  ï  ir,i  —   —  j 

ri  7l  yr 


r"  —  


r  y 


,».U   s 


r;         -    'y" 

Nous  pouvons  supposer  qu'en  même  temps  que  x"  croît  indéfiniment  les 
quantités  J'",  . . . ,  j'"  tendent  vers  des  limites  finies;  en  effet,  si  cela  n'était  pas 
on  n'aurait  qu'à  faire  entre  les  x  un  changement  linéaire  de  variables. 

Nous  pouvons  toujours  supposer  :  i"  que  les  polynômes  X,,  X,,  ...,  X„  sont 
tous  d'un  même  degré  ni  ;  2°  que  les  termes  de  degré  m  de  ces  /(  polynômes  ne 
peuvent  s'annuler  à  la  fois  sans  que  toutes  les  variables  j;,,  x^,  •••,  x„  s'an- 
nulent aussi.  Si,  en  effet,  il  n'en  était  pas  ainsi,  on  ferait  un  ciiangement 
linéaire  de  variables  (je  veux  parler  ici  d'une  substitution  linéaire  fraction- 
naire). 

Toutes  ces  hypothèses  étant  faites,  nous  poserons 


SUR   LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  187 

et  il  viendra 


.  ^?"'-(-X7-hX'/-(-...  +  x',? 


Cette  fonction  ne  pourrait  cesser  d'être  holoinorphe  par  rapport  aux  y  (si  les  y 
sont  réels)  que  si  l'on  a  à  la  fois 

y^  =  x;  =  Xi  = . . .  =  x;,  =  0. 

Or  cela  est  impossible,  d'après  les  hypothèses  faites  plus  haut. 
Donc,  si 

y;  =  ..,  y'i,      ...,     y?. 

sont  un  système  de  valeurs  réelles  des  }',  on  pourra  trouver  une  quantité  p', 
telle  que  les  fonctions  Y  soient  holomorphes  et  de  module  plus  petit  que  i , 
toutes  les  fois  que 

\J'>\<?\        li--2-7"l<p',         •••,        \j'n~y?,\<9'- 

Gela  suffit  pour  montrer  que  p  ne  tend  pas  vers  o. 

Il  en  résulte  qu'il  existe  une  quantité  po  qui  est  toujours  plus  petite  que  p  et 
qui  est  telle,  par  conséquent,  que  les  Y  soient  holomorphes  et  de  module  infé- 
rieur à  I,  toutes  les  fois  que  les  parties  imaginaires  do  tous  les  x  seront  plus 
petites  que  po  en  valeur  absolue.  c.   q.  f.   d. 

Ainsi,  la  variable  s  étant  définie  comme  nous  l'avons  fait  plus  haut,  les  x 
peuvent  se  développer  suivant  les  puissances  de 


et  le  développement  est  valable  pour  toutes  les  Aaleurs  réelles  de  *•  ou  de  t. 

Nous  avons  vu,  toutefois,  qu'il  y  aurait  une  difficulté  si  les  termes  de  degré 
le  plus  élevé  des  polynômes  X  pouvaient  s'annuler  à  la  fois;  il  suffirait  alors, 
comme  nous  l'avons  dit,  de  faire  un  changement  de  variables.  Mais  il  est  plus 
simple  d'opérer  de  la  façon  suivante  :  nous  pouvons  toujours  trouver  un  poly- 
nôme Z  de  degré  m,  tel  que  les  ternies  de  degré  m  des  n  +  i  polynômes  X|, 
X._,,  .  .  .,  X„  et  Z  ne  puissent  s'annuler  à  la  fois  sans  que  tous  les  x  s'annulent. 
On  poserait  alors 

Y,=  "" 


i  +  Xf  ^-X|-h...+  X2-+-Z2' 
et  l'on  démontrerait,  comme  précédemment,  que  les  "i  restent  holomorphes  et 


l88  Sl'R    l.ES   COURBiiS    DÉFINIES    PAR    LES    É0l'ATtO>S    DIFFÉRENTIELLES. 

de  module  plus  petit  que   i,  toutes  les  fois  que  les  parties  imaginaires  des  x 
sont  inférieures  en  valeur  absolue  à  une  quantité  donnée  p,,. 

Les  séries  que  nous  venons  de  définir,  et  qui  sont  ordonnées  suivant  les  puis- 
sances de 


représenteront  toutes  une  trajectoire;  il  eonvient,  toutefois,  d'obseiver  que  si 
cette  trajectoire  va  passer  par  un  point  singulier,  elle  devra  être  regardée 
comme  coupée  en  ce  point  singulier  qu'on  considérera  comme  un  point  d'arrêt. 
En  eflel,  le  point  mobile  ne  peut  (d'après  la  forme  même  des  équations) 
atteindre  un  point  singulier  que  pour  des  valeurs  infinies  de  s  et  de  t. 

Parmi  les  équations  auxquelles  on  poui'i'ait  être  tenté  d'appliquer  la  méthode 
précédente,  on  peut  citei-  les  équations  du  problème  des  trois  corps,  auxquelles 
elle  est  effectivement  applicable. 

Les  développements  ordonnés  suivant  les  puissances  croissantes  de 


e^s  __  I 


seront  alors  valables  pour  toutes  les  valeurs  du  temps. 

Il  y  aurait  exception  seulement  si  les  données  initiales  étaient  telles  que 
deux  des  trois  corps  vinssent  à  se  choquer  au  bout  d'un  temps  fini;  il  arriverait 
alors  en  ellel  que  .s  deviendrait  infini  à  l'époque  du  choc.  Les  formules  ne 
seraient  donc  valables  que  jusqu'à  l'époque  du  choc;  mais  il  est  évident  que, 
pour  des  époques  postérieures  au  choc,  le  problème  est  illusoire. 

Soit  maintenant  t  le  temps  [il  s'agit  ici  du  temps  véritable  et  non  du  temps 
auxiliaire  que  j^avais  introduit  un  peu  arbitrairement  dans  les  équations  (i)]. 
.Si  l'on  était  sûr  à  l'avance  que  la  distance  de  deux  quelconques  des  trois  corps 
restera  toujours  supérieure  à  une  limite  donnée  (elle  peut  d'ailleurs  croître 
indéfiniment),  on  pourrait  affirmer  que  les  coordonnées  des  trois  corps  peuvent 
être  développées  suivant  les  puissances  de 


en  séries  toujours  convergentes. 

Je  ne  crois  pas  toutefois  qu'on  puisse  tirer  grand  parti  des  applications  de 
cette  méthode  à  la  Mécanique  céleste.  Je  n'ai  vo*ilu,  je  le  répète,  que  donner 
un  exemple,  et  non  exposer  une  méthode  qu'il  convient  d'appliquer  dans  tous 


SUR    LES    COURBES    OÉFIMES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  189 

les  cas.  On  peut  choisir  la  variable  s  d'une  infinité  de  manières;  le  choix  que 
j'ai  fait  était  tout  à  fait  arbitraire,  et  rien  n'empêche  de  multiplier  à  l'infini  les 
méthodes  analogues  à  celle  que  je  viens  d'exposer. 


CHAPITRE   XVIII. 


DISTRIBUTION    DES    POINTS    SINGULIERS. 


Ce  Chapitre  sera  tout  entier  une  application  d'un  théorème  de  AI.  Kronecker. 

Ce  théorème  est  l'objet  de    deux   Mémoires   intitulés  :    Ueber  Sysieme  von 

Fiuictionen  mehrerer  Variabeln,  et  ont  été  insérés  dans  les  MonatsbericlUe 

de  l'Académie  de  Berlin  (mars  1869,  août  1869). 

Soit 

F(a",  y,  z)  =  o 

une  surface  quelconque  (jue  je  supposerai  fermée. 

Soit  dw  un  élément  quelconque  de  cette  surface.  Soient 


S  =  -f-  /\2  -t-  Y2 


Z2, 


/dV^       dF^       rfF» 
y   d^  '^  dy^  ^  dl^  ' 


R  = 


L'intégrale 


,n^  rfK  ûfF 

dx  dy  dz 

dX  d\  d\ 

dx  dy  dz 

dY  d\  d\ 

dx  dy  dz 

dL  dL  dL 

dx  dy  dz 


4^J 


S» 


étendue  à  tous  les  éléments  de  la  surface  considérée   ou  d'une  nappe  fermée 

quelconque  de  cette  surface,  s'appellera  V indice  de  celle  surface  ou  de  cette 

nappe. 

Soit,  par  exemple, 

X  =  x,         Y=jK,         Z  =  z, 

F  =^  X- -\- y- -\-  z-  —  a-. 


igO  SIR    LES    (lOUHBES    DKKINIES    PAR    I.KS    ÉQUATIONS    DIFFERENTIELLES. 

Notre  surface  est  alors  une  sphère  qui   enveloppe  l'origine,   laquelle  est  un 
nœud. 
11  vient 


o     IX     iy     2Z 


R=  -- 


.71         00 

y      o         1         o 
s         (I  o  I 


L'indice  est  alors  égal  à 


Mais  /  clw  est  la  surface  de  notre  sphère,  F=:  o,  c'est-à-dire  ^-d-.  L'indice 

est  donc  égal  à  1 . 

Si  X  =  :r,  Y  =  )•,  Z  = — •  r,  l'origine  est  un  col  et  l'indice  est  égal  à  —  1. 

Si  X  ^  j^,  Y= — •»',  Z= — -z,  l'origine  est  encore  un  col,  mais  l'indice  est 
égal  à  +  1 . 

Si  X  =  —  .r,  \  ^  —  )',  Z= —  3,  l'origine  est  un  nœud  et  l'indice  est  égal 
à  —  I. 

Voici  maintenant  le  théorème  général  qu'on  peut  déduire  aisément  de  celui 
de  M.  Kronecker. 

Nous  distinguerons  deux  sortes  de  points  singuliers  :  les  points  singuliers 
positifs,  pour  lesquels  le  déterminant 

d\     d\     dX. 
dx      dy      dz 

dY  d\_  il^ 

dx  dy  dz 

dL  dZ  M 

dx  dy  dz 


(>) 


est  positif,  ei  les  |)oints  singuliers  négatifs  pour  lesquels  ce  déterminant  est 
négatif. 

Il  est  aisé  de  voir  qu'il  y  a  des  nœuds,  des  foyers,  des  cols  et  des  cols-foyers 
positifs,  et  d'autre  part  des  nœuds,  des  foyers,  "des  cols  et  des  cols-foyers 
négatifs. 

C'est  le  contraire  de  ce  qui  arriverait  dans  le  cas  des  équations  du  premier 

ordre 

rf£  _  dy_  _y 

dt  ~     '         dt." 


SUB    LES   COURBRS    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS   DIFFÉRENTIELLES.  I9I 

Dans  ce  cas,  en  effet,  tous  les  nœuds  et  tous  les  foyers  sont  positifs  et  tous 
les  cols  sont  négatifs. 

D'après  le  théorème  de  M.  Kronecker,  l'indice  d'une  surface  fermée  quel- 
conque est  égal  au  nombre  des  points  singuliers  positifs  situés  à  l'intérieur  de 
cette  surface,  diminué  du  nombre  des  points  singuliers  négatifs. 

Supposons  maintenant  que  la  surface  considérée  soit  une  surface  sans  con- 
lact.  c'est-à-dire  qu'on  n'ait  en  aucun  point  réel  de  cette  surface 

ax  dv  dz 

Je  distinguerai  d'abord,  parmi  les  surfaces  sans  contact,  deux  espèces  diffé- 
rentes :  l'espèce  positive,  pour  laquelle 

rfF        dV  ^       dF  ^       dF^ 

-y-  =-3-.X.-l--7-Y-i--j-Z>o. 

dt         dx  dy  dz 

et  l'espèce  négative,  pour  laquelle 

dF_rfF^       ^Y-i-— Z<ro 

dt         dx  '         dy  dz 

Pour  distinguer  ces  espèces,  il  convient  de  choisir  F  de  telle  sorte  que  F  soit 
plus  grand  à  l'extérieur  de  la  surface  fermée  qu'à  l'intérieur  de  cette  même 
surface. 

Cela  posé,  je  vais  montrer  que  l'indice  d'une  surface  sans  contact  ne  dépend 
que  de  son  espèce  et  de  son  genre  (au  point  de  vue  de  V Analysis  Situs,  cl. 
IIP  Partie,  Chap.  XII). 

Je  vais  faire  voir  que  l'indice  d'une  surface  d'espèce  positive  ne  change  pas 

quand  on  remplace  X,  Y  et  Z  par  -j-,  -y- et -r; ,  et  que  celui  d'une  surface 

'^'^    y      -         ^     ,      ^  dF 

d'espèce  négative  ne  change  pas  quand  on  remplace  X,  \   et  Z  par  —  -j— j 

~5y'       dz- 

Représentons,  en  effet,  la  vitesse  du  point  mobile  par  une  flèche  dont  les 
projections  sur  les  trois  axes  seront  X,  Y  et  Z.  Par  chacun  des  points  de  notre 
surface  passera  donc  une  flèche  ;  toutes  ces  flèches  seront  dirigées  vers  l'exté- 
rieur, si  la  surface  est  positive,  et  toutes  vers  l'intérieur  si  la  surface  est 
négative. 

Nous  allons  maintenant  faire  varier  d'une  manière  continue  X,  Y,  Z  et  F,  de 
façon  à  déformer  la  surface  et  à  faire  varier  les  flèches.  L'indice  ne  changera 


ig!  si'R  LES  coviinns  hkfinies  par  les  kqi  ations  différentielles. 

pas,  pourvu  ijuà  aucun  inonwMil  de  la  déforniaLion  la  vitesse  d'aucun  point  de 

la  surface  ne  devienne  nulle. 

C'est  ce  qui  arrivera  si  la  surface  reste  conslanimenl  sans  contact,  et  si  elle 
conserve  son  genre  et  son  espèce. 

Ainsi  l'indice   d'une  surface   sans  contact   ne  dépend  que  du   genre  et  de 

l'espèce,   et  en  particulier  on  peut  remplacer  X,  Y  et  Z  pav  ±  -z- ,  ± -j- , 
±  -7;^  en  prenant  le  signe  -+-  ou  le  signe  — ,  suivant  que  la  surface  est  positive 

ou  négative. 

En  particulier,   considérons   une  sphère  sans   contact;   nous   avons   vu   par 
l'exemple  traité  plus  haut, 

qu'une  pareille  sphère  a  pour  indice  +1  si  elle  est  positive;  elle  a  d'ailleurs 
pour  indice  —  i  si  elle  est  négative,  comme  on  le  voit  en  faisant 

\=  —  a-,         Y=— 7.         Z=— 3,         F  =  .r2  +  jK'^+ 3^— n-. 

Ainsi  une  surface  sans  contact  de  genre  o  a  pour  indice  ±  1 ,  selon  qu'elle 
est  positive  ou  négative.  Dans  le  cas  des  équations  du  premier  ordre 

un   cjcle    sans    contact  avait  toujours  pour  indice  +1,    qu'il    fût   positif  ou 
négatif. 

Il  résulte  de  là  les  conséquences  suivantes  : 

A  l'intérieur  d'une  surface  sans  contact  de  genre  o  et  positive,  le  nombre  des 
points  singuliers  positifs  est  supérieur  d'une  unité  à  celui  des  points  singuliers 
négatifs;  il  lui  est  inférieur  d'une  unité  si  la  surface  est  négative. 

A  l'intérieur  d'une  surface  sans  contact  de  genre  o,  il  y  a  toujours  au  moins 
un  point  singulier. 

Ce  sont  des  considérations  analogues  qui,  dans  le  cas  du  premier  ordre, 
nous  avaient  conduits  à  une  relation  entre  le  nombre  des  cols,  des  foyers  et  des 
nœuds.  JNous  n'avons  Ici  rien  à  attendre  de  seini)lable.  C'était  en  effet  une  rela- 
tion entre  le  nombre  des  points  singuliers  positifs  (à  savoir  les  noeuds  et  les 
foyers)  et  le  nombre  des  points  singuliers  négatifs  (à  savoir  les  cols).  Mais,  dans 
le  cas  qui  nous  occupe  maintenant,  un  nœud,  un  col,  un  f(jyer  ou  un  col-foyer 


SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  igS 

peut  aussi  bien  être  positif  que  négatif.  C'est  ce  qui  empêche  la  relation  dont 
je  viens  de  parler  de  se  généraliser. 

Soit  maintenant  une  surface  sans  contact  de  genre  o  et  positive;  et  une 
seconde  surface  sans  contact  de  genre  o  et  négative,  intérieure  à  la  première. 
Soit  E  l'espace  compris  entre  les  deux  surfaces.  La  différence  des  indices  est 
égale  à  2.  Donc  le  nombre  des  points  singuliers  positifs  situés  dans  l'espace  E 
est  supérieur  de  deux  unités  à  celui  des  points  singuliers  négatifs.  (Il  lui  serait 
inférieur  de  deux  unités  si  la  surface  positive  était  intérieure  à  la  surface 
négative.) 

Donc,  entre  deux  surfaces  sans  contact  de  genre  o  et  d'espèce  différente,  il 
y  a  toujours  au  moins  deux  points  singuliers. 

Clierchons  maintenant  l'indice  d'une  surface  sans  contact  de  genre  i .  Soit 

F  =  (x^-hy-^^z^-ha^)''—  ^  a-^(x^-hy^)  =  c'' 

l'équation  générale  d'une  famille  de  surfaces,  c>  étant  un  paramètre  arbitraire 
(surfaces  engendrées  par  la  révolution  d'un  système  d'ovales  de  Cassini). 

Les  surfaces  F  =  c'  sont  de  genre  o  si  c  >  a,  et  de  genre  i  si  c  <Ca.Si  c  =  a 
la  surface  F  ^  a'  admet  un  point  conique. 

Les  équations  différentielles  des  trajectoires   orthogonales  de  ces  surfaces 

seront 

dx  _  dF  dy  _  dF  f^_^ 

~di  ~  Ix'  dt  ~  Hy^         in  ~  dz' 

Pour  ces  trajectoires,  il  n'y  a  qu'un  point  singulier  qui  est  l'origine,  et  ce 
point  singulier  est  positif,  comme  il  est  aisé  de  s'en  assurer. 

De  plus,  pour  ces  mêmes  trajectoires,  les  surfaces  F  =  c'  seront  des  surfaces 
sans  contact  positives. 

Soient  donc  deux  surfaces  ¥  r=  b\  ¥  =:  d\  (b'  <^  a''  <^  d^)  :  la  première 
sera  de  genre  i ,  la  seconde  de  genre  o;  l'indice  de  la  seconde  est  -!-  i  ;  soit  I 
l'indice  de  la  première.  La  différence  des  indices  devra  être  égale  au  nombre 
des  points  singuliers  positifs  compris  entre  les  deux  surfaces,  moins  le  nombre 
des  points  singuliers  négatifs.  Or  il  y  a  entre  les  deux  surfaces  un  point  sin- 
gulier positif  et  pas  de  point  singulier  négatif.  On  a  donc 

I  —  I  =-i-i. 
d'où 

1=0. 

Ainsi  l'indice  d'une  surface  sans  contact  de  genre  i  et  positive  est  nul,  et  il 
en  serait  de  même  de  l'indice  d'une  surface  sans  conlacl  de  genre  i  et  négative. 
H.  p.  —  I.  25 


I<)4  SUR    I-RS    i:OlII\BKS   DÉFINIES    PAU    LES    KyUATIONS    niFl'KnKNTlKLl.KS. 

Jiii  raisoiinanl  de  la  inêine  manière,  on  verrail  que  l'indice  d'une  surface 
sans  conlacl  de  genre  p  est  —  {p  —  i)  si  elle  est  positive,  «l  +  (/>  —  i)  ^'  ^^^ 
est  négative. 

La  conséquence  immédiate  de  ce  résultat  est  qu'à  l'intérieur  d'une  surface 
sans  contact  quelconque,  il  y  a  toujours  des  points  singuliers,  à  moins  que  cette 
surface  ne  soit  de  genre  i ,  auquel  cas  on  ne  sait  rien.  . 

Soient  deux  surfaces  sans  contact,  l'une  extérieure  à  l'autre;  et  soit  E  l'espace 
compris  entre  ces  deux  surfaces. 

Si  ces  surfaces  sont  toutes  deux  positives  ou  toutes  deux  négatives,  l'espace  E 
contiendra  toujours  des  points  singuliers,  à  moins  que  les  deux  surfaces  no 
soient  de  même  genre. 

Si  ces  deux  surfaces  sont  l'une  positive  et  l'autre  négative,  l'espace  E  con- 
tiendra toujours  des  points  singuliers,  à  moins  que  les  deux  surfaces  ne  soient 
l'une  de  genre  o  et  l'autre  de  genre  2  ou  toutes  deux  de  genre  i . 

Il  est  aisé  d'étendre  les  résultats  qui  précèdent  au  cas  général  des  équations 

Soit,  en  ciret, 

F(.ri,a".2,  .  .  .,  x„)  =  0 

l'équalion  d'une  multiplicité  (/?  —  ly'nip  l^Mannigfaltigkeil)  qui  jouera  dans 
l'espace  à  /(  dimensions  le  même  rôle  qu'une  surface  dans  l'espace  ordinaire. 
.Soit  (Jw  un  élément  (juelconque  de  cette  multiplicité.  Soient 

Soit  A  un  déterminant  où  le  premier  élément  de  la  première  colonne  est  o; 
où  le  (e  -|-  i)''"'"  élément  de  la  première  colonne  est  X,-;  où  le  («  -f-  i  )'*"""  élément 

de  la  première   ligne  est  -^ — ;  ou   enfin  le  (/.+ 1  )''*"'°  élément  de  la  (j'+ 1)"'"'° 


dx 
colonne  est 


d\u 


dxi 
Soit  ro  l'intégrale 

dv, 


/' 


étendue  à  tous  les  éléments  de  la  multiplicité 

xf  -I-  a?;  -H  .  .  .  -h  arj  =  1 . 


SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

L'intégrale 

1    r  A  div 


195 


étendue  à  tous  les  éléments  de  la  multiplicité  F=;  o,  sera  V indice  de  cette  mul- 
tiplicité. 

La  distinction  des  points  singuliers  positifs  et  négatifs  se  fera  comme  dans  le 
cas  particulier  déjà  étudié,  et  l'on  verra  que  l'indice  d'une  multiplicité  est  égal 
au  nombre  des  poinLs  singuliers  positifs  situés  à  l'intérieur  de  celte  multiplicité, 
diminué  du  nombre  des  points  singuliers  négatifs. 

Mais  il  j  a  lieu  ici  de  faire  une  remarque  importante.  Pour  classer  les  points 
singuliers,  on  forme  l'équation  en  S, 


d\, 

S 

f/X, 

d\, 

dx, 

dx. 

dx„ 

dX. 
dxx 

d\n 

dx-i 

S      . 

dX, 
dx„ 

d\„ 

d\„ 

d\n 

dx  I 

dx, 

• 

dXn 

Supposons  que  cette  équation  de  degré  a  ail  p  racines  réelles  positives, 
q  racines  réelles  négatives;  ir  racines  imaginaires  à  partie  réelle  positive; 
2  s  racines  imaginaires  à  partie  réelle  négative.  On  a 

p  +  q  +  1  r  H-  ai  =  n. 

Les  quatre  nombres  p,  q,  r,  s  caractériseront  le  point  singulier  et  feront 
connaître  la  forme  des  trajectoires  dans  le  voisinage  de  ce  point.  Toutefois,  les 
points  {p,  <7,  /•,  s)  et  les  points  (q,  p,  .1,  r)  devront  être  regardés  comme  do 
même  espèce,  c'est-à-dire  que  la  forme  des  trajectoires  est  la  même  dans  les 
deux  cas. 

Ainsi,  si  nous  faisons  n  =  3,  on  voit  que  pour  les  équations 


dx 

lit 


dt 


dz 


l'origine,  qui  est  un  point  singulier  caractérisé  par  les  quatre  nombres  (3,  o,  o,  o), 
est  un  nœud  de  même  que  pour  les  éijualions 


dx 

dt 

-r> 

dz 

dt 

où  elle  est  caractérisée  par  les  qpalre  nombres  (o,  3,  o,  o). 


196  SIR    LES   COURIIKS    DÉFINIES    PAR    I.RS    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

IMaintenani  un  point  sinf;ulier  est  positif  si  q  est  pair,  et  négatif  si  q  est 
impair. 

Il  est  aisé  de  voir  f|ue  si  n  est  pair, 

/)  =  (/         (moda), 
et  que  si  n  est  impair. 

p  ^s  q  -i-  i  (  iiiod  2). 

D'où  il  suit  que,  si  n  est  paii',  les  deux  points  singuliers  (/),  c/,  r,  s)  et 
[q,  p,  r,  s)  sont  tous  deux  positifs  ou  tous  deiix  négatifs.  Si,  au  contraire, 
«  est  impair,  ces  deux  points  singuliers  sont  de  signe  contraire. 

Il  résulte  de  là  que,  si  n  est  pair,  deux  points  singuliers  de  même  espèce  sont 
toujours  de  même  signe,  et  qu'il  n'en  est  plus  de  même  si  n  est  impair. 

C'est  ainsi  que,  pour  n  =  2,  les  foyers  et  les  nœuds  sont  toujours  positifs  et 
les  cols  toujours  négatifs,  et  que,  pour  n  =  3,  les  nœuds  (de  même  que  les 
foyers,  les  cols  et  les  cols-foyers)  peuvent  être  positifs  ou  négatifs. 

On  définira,  comme  on  l'a  fait  plus  haut  pour  les  surfaces,  les  multipli- 
cités (n  —  ly^mc  sans  contact,  qui  pourront  se  répartir  en  deux  espèces,  l'espèce 
positive  et  l'espèce  négative. 

Une  multiplicité  (  n  —  1^""-  sera  caractérisée  au  point  de  vue  de  VAnatjsis 
Sifiis  par  ses  n  —  2  ordres  de  connexions  tels  qu'ils  sont  définis  par  Riemann 
(Gesammefle  Werke;  Leipzig,  Teubner,  iS^yf),  p.  44'^),  et  par  Brioschi 
(Annnli  di Matemalica.,  t.  V). 

L'indice  d'une  multiplicité  sans  contact  ne  dépendra  que  de  ses  ordres  de 
connexion  et  de  son  espèce. 

Considérons  maintenant  deux  multiplicités  sans  contact,  ayant  mêmes  ordres 
de  connexion  et  étant  l'une  positive,  l'autre  négative;  leurs  indices  seront 
égaux  et  de  môme  signe  si  n  est  pair,  égaux  et  de  signe  contraire  si  /(  est 
impair. 

Une  multiplicité  sans  contact,  simplement  connexe  et  positive,  aura  pour 
indice  +  1 .  Le  nombre  des  points  singuliers  positifs  situés  à  l'intérieur  surpas- 
sera d'une  unité  le  uomlire  des  points  singuliers  négatifs. 

Si  n  est  pair,  les  points  singuliers  de  même  espèce  seront  toujours  de  même 
signe,  et  nous  aurons  ainsi  une  relation  entre  le  nombre  des  points  singuliers 
(les  dillérentes  espèces.  Nous  n'en  aurons  pas  si  /;  est  impair.  C'est  ainsi  que 
nous  avons  obtenu  une  pareille  relation  pour  n  =  2,  et  que  nous  n'en  avons 
pas  obtenu  pour  /;  =  3. 

Soient  iM  et  M'  deux  muliipiiciiés  sans  contact  ayant  mêmes  ordres  de  con- 


SUR    LES   COLIIBËS    DÉFINIES    PAU    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  I97 

nexion,  la  première  positive,  la  seconde  négative,  la  première  extérieure  à  la 
seconde.  Soit  E  l'espace  compris  entre  M  et  M'. 

Lorsque  n  sera  impair,  l'espace  E  contiendra  toujours  des  points  singuliers 
si  l'indice  de  M  n'est  pas  nul,  et  en  particulier  si  M  est  simplement  connexe. 
Nous  ne  pourrons,  au  contraire,  rien  affirmer  si  n  est  pair. 


CHAPITRE  XIX. 

ÉTUDE    DES    COURBES    FERMÉES. 

Parmi  les  trajectoires  d'un  point  mobile,  définies  par  les  équations 

dx  _  dy  _  dz  _    , 

il  peut  y  en  avoir  qui  si)ient  des  courbes  fermées.  Nous  allons  voir  (ju'on  peut 
faire,  au  sujet  des  trajectoires  qui  s'approchent  assez  prés  d'une  trajectoire 
fermée,  une  ihécu'ie  toul  à  fait  analogue  à  celle  que  nous  avons  faite  au  Cha- 
pitre XVi  pour  les  trajectoires  qui  s'approchent  assez  prés  d'un  point  singulier; 
de  sorte  que  ces  courbes  ferméesjouent  dans  une  certaine  mesure  le  même  rôle 
que  les  points  singuliers. 

11  faudrait  d'abord  savoir  reconnaître  s'il  existe  des  trajectoires  fermées; 
mais  je  ne  puis,  pour  le  moment,  donner  à  ce  sujet  beaucoup  de  développe- 
ments, .le  me  bornerai,  en  me  réservant  de  revenir  [)lus  tard  sur  ce  point,  à 
donner  ici  un  exemple  simple. 

Soit  un  tore  sans  contact  à  l'intérieur  duquel  il  n'j  ait  aucun  point  singulier. 

Coupons-le  par  des  plans  méridiens,  et  supposons  que  ces  plans  n'aient  non 
plus  aucun  contact  avec  les  trajectoires  à  l'intérieur  du  tore. 

Prenons  un  système  particulier  de  coordonnées.  Supposons  d'abord  qu'on 
ait  clioisi  pour  axe  des  :;  l'axe  du  tore,  et  pour  plan  des  x,  y  son  plan  de  symé- 
trie, de  telle  sorte  que  son  équation  s'écrive 

(a;2  +  _^2+   -2^  R2_  ^2)2^   ^   R2  (  ^2  ^.  _^,2  ,. 

Posons  ensuite 

5=if),         a?  =  (Ç  -I- R}  cosuj,        jK  =  (Ç -h  K)  sinu), 


19^*  sim  LES  coimnES  oékinies  par  les  équations  différentielles. 

(le  telle  sorte  que  réquation  du  tore  devienne 

Il  ,    .  »  ■  ,  f/f')  . 

^es  jiliins  ineridu'ns  w  =  consl.  etaiil  sans  coiUacl,  -7-  sera  constamment  de 

même  signe,  constamment  positif,  par  exemple.  Quant  au  tore,  je  supposerai, 
pour  fixer  les  idées,  que  c'est  une  surface  sans  contact  négative,  de  telle  sorte 
que  le  point  mobile,  une  fois  entré  à  l'intérieur  du  tore,  ne  puisse  jilus  en 
sortir.  Par  le  point  Mo  intérieur  au  tore  et  ayant  pour  coordonnées 

?  =  ?o,  -O  =  -In,  lu  =  o, 

je  fais  passer  une  trajectoire;  au  bout  d'un  certain  temps  C,  le  point  mobile 
parti  de  sa  position  initiale  Mn  se  trouvera  en  un  point  M,  intérieur  au  tore,  et 
dont  les  coordonnées  seront 


r,  =  nt. 


Posons 


—  =  çi  —  ;o,        Il  = 'Il  — 'le; 

Z  et  H  seront  des  fonctions  liolomorphes  de  ^0  f^l  de  r,,, .  Si  l'on  a 

H  =  H  =0, 

la  trajectoire  qui  passe  par  le  point  Mo  sera  fermée. 

Dans  le  plan  méridien  m  =  o,  appelons  indice  d'une  courbe  quelconque, 

F(?„,r,„)  =  o, 

l'intégrale  suivante 


étendue  à  tous  les  cléments  ds  de  cette  courlu;.   Dans  cette  expression  on  pose. 
comme  dans  l'intégrale  de  M.  Kronecker, 


s  =  ^/E'+n^ 


/dF-        rfPs 


et 


H  = 


dF  dF 

<'/^a  dr,n 

<n„  di;„ 

d\\  d\\ 

dc,si  dfio 


Considérons,  in  pai  lu  ului',  la  courb 


SUR    LES   COURBES    DÉFINIKS    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  I99 

c'est-à-dire  le  cercle  méridien  du  lore.  Si  l'on  observe  que  l'on  a  constamment, 
le  long  de  celle  courbe, 


et,  par  conséquent, 


$oH-Hr,oH  <o, 


on  verra  sans  peine  que  l'indice  de  notre  cercle  méridien  est  égal  à  4-  i . 

Donc  il  j  a  à  l'inlérieur  de  ce  cercle  au  moins  un  point  ;oi  '^o  pour  lequel  S 
et  H  s'annulent;  donc  il  y  a  à  l'intérieur  du  tore  une  trajectoire  fermée. 

c.    y.    F.    D. 

Je  rappellerai  en  outre  que,  dans  une  Note  insérée  au  Tome  I  du  Bulletin 
astronomique^  et  intitulée  Sur  certaines  solutions  particulières  du  pro- 
blème des  trois  corps,  j'ai  montré  que  les  équations  de  la  Mécanique  céleste 
admettent  certaines  intégrales  particulières  qui  peuvent,  à  un  certain  point  de 
vue,  être  regardées  comme  représentant  des  trajectoires  fermées. 

Supposons  donc  que,  d'une  façon  ou  d'une  autre,  on  ait  démontré  l'existence 
d'une  trajectoire  fermée.  Appelons  s  l'arc  de  cette  trajectoire,  compté  à  partir 
d'une  certaine  origine,  et  l  la  longueur  totale  de  la  courbe.  Nous  ferons  usage 
d'un  système  particulier  de  coordonnées. 

Soient  O  l'origine  des  arcs,  M  un  point  quelconque  de  la  trajectoire  fermée. 
Soit  s  l'arc  OM.  Au  point  M,  je  mène  un  plan  normal  à  la  trajectoire,  dans  ce 
plan,  et  par  le  point  iM  deux  axes  rectangulaires.  Soient  x  &l  y  les  coordonnées 
d'un  point  de  ce  plan  normal,  par  rapport  à  ces  deux  axes. 

Un  point  quelconque  de  l'espace  sera  alors  déterminé  par  ces  trois  coordon- 
nées X,  y  et  s.  Ce  système  de  coordonnées  convient  pour  représenter  un  point 
très  voisin  de  la  trajectoire  fermée. 

Soit  Po  un  point  du  plan  normal  5  :=  o  de  coordonnées  x^,  yi,  et  o.  Si  x„ 
et  j^o  sont  suffisamment  petits,  la  trajectoire  qui  passe  parle  point  Po  ira  couper 
successivement  tous  les  plans  normaux,  de  telle  façon  que  s  ira  constamment 
en  croissant.  Elle  finira  par  couper  en  un  point  P,  de  coordonnées  a",,  Xi  et  l 
le  plan  normal  s  ^  l,  qui  n'est  d'ailleurs  autre  chose  que  le  plan  s  =  o  lui- 
même.  Si  Xo  et  jKo  sont  assez  petits,  x,  el  y,  sont  des  fonctions  liolomorphes 
de  Xo  et  j'u  s'annulant  avec  ces  variables.  Soient 


•JOO  SIR    l.KS    rOl'RBES    DÉFINIRS    PAR    LES    KQl'ATIONS    DIFrKIlEN'TIlil.LES. 

1^  et  R'  désignanl  un  ensemble  de  termes  de  degré  supérieur  nu  premier  en  j-„ 

etjo- 
Posons 

les  équations  différentielles  pourront  s'écrire 

—  =  X  i^  =  Y 

Les  fonctions  X  et  Y  seront  des  séries  développées  suivant  les  puissances 
croissantes  de  x  et  j',  et  convergentes  si  j?  et  jk  sont  assez  petits.  Les  coeffi- 
cients de  ces  séries  seront  eux-mêmes  des  séries  trigonométriques  ordonnées 
suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  t.  Enfin  X  et  Y  s'annuleront 

avec  X  et  y.  Soient 

hx  -¥■  ky,         h'  A-  -¥-  k' y 

les  termes  du  premier  degré  de  X  et  de  Y.  Les  coefficients  li.  / ,  //  et  /,'  seront, 
comme  nous  l'avons  dit,  des  séries  trigonométriques.  Considérons  les  équations 

dx       ,  .  dy 

—  =hx+ky,  ^=hœ+ky. 

Leurs  intégrales  seront  de  la  forme  suivante  : 

iT  =  A|  e^i'  (fi  (  < )  -H  Ao e^a'  <f2 (  ' )' 


'  _>' =  Aie>'.'4'i(^)  +  A,e'->'i)/2(/). 

Dans  ces  expressions  A,  et  A^  sont  des  constantes  d'intégration  o,,  «o,  'i,  et 
'I/o  seront  des  séries  trigonométriques.  Quant  à  ),,  et  X^i  t^e  sont  des  constantes 
qui  nous  sont  données  par  l'équation 

a  —  e2>t  \i 

y  S  —  e2>>t      ~  " 

ou 

(f)  S2— (o(-4-S)S +  (a5  — Py)  =  o.         S  =  c2),Tt. 

Etudions  maintenant  les  divers  cas  qui  peuvent  se  présenter. 

Premier  cas.  —  Il  peut  arriver  que  les  deux  racines  de  l'équation  en  S  soient 
imaginaires  conjuguées,  et  que  leur  module  ne  soit  pas  égal  à  i . 
On  trouve  alors 

X,  =  X-t-tX',         X2  =  X  — (X',         A,=  Ae'e,  A2=Ae-'ô, 


SUR    I.KS    COURBES    HEFIMES    PAR    LES    EQlIATrONS    DlFFiatENTlE I.LES.  -tôt 

X,  )/,  A,  A',  !5,  »',  ']>  et  'V  étant  réels.  De  plus,  ),  n'est  pas  nul.  Nous  suppose- 
rons, pour  fixer  les  idées, 

).  >  o. 

Les  équations  (i)  deviennent 

(  .r  =  Ae'''[cos(X'?-i- 6)  of/)  —  siiWX'/ +fl)o'(7)l, 
\  y  =  A  e>'[cos (),'<-!-  'i)'i>i  /)  —  s!n(A'/-i-  0)<Y{/)\. 


Posons 
Les  surfaces 


(.r'\,  —yoy-^{.r']/—y'ç■r- 
F{.r,  y.l    = -^, j— — ^• 


P(x,y,t)  =  C 


seront  (si  ■>'.}■,  et  par  conséquent  C,  sont  assez  petits)  des  surfaces  de  genre  i 
à  l'intérieur  desquelles  la  trajectoire  fermée  se  trouvera  contenue. 
Si  dans  F  on  remplace  x  el  y  par  leurs  valeurs  (i  l/is),  d  vient 

F  =  A2e2>>', 
(i  'où 

^  =  ^l\^e"-^'  >  o. 

Mais  si  l'on  observe  que  les  équations  (  i  his)  sont  les  intégrales  des  équations 

diflerentielles 

dx       ,  ,  (ly       ,,         ,, 

—-=  hx  +  KV.  —7-=hx  +  A  V, 

dt  ■'  dl 

on  verra  que  l'on  a 

c/|-        rfF        d\',  ,     ,       rfF    ,,  ,,     ^ 

—  =  — ; — <^  -^  {hx  -^  k  y)  ^  -^  {h  X  ^  k  y). 
Ot         dt        dx  ■'  '        dy  ^  • 

On  a  donc 

Mais,  si  .r  et  v  sont  assez  petits,  lix  -t-  ky  et  li  x  +  k' y  différeront  assez  peu 
de  X  et  ^  ,  de  soite  qu'on  aura 

^F       .,.  d?       .,  dP 
dt  dx  dy 

Ainsi  donc  les  surfaces  F  =  C  sont  des  surfaces  sans  contact,  si  C  est  assez 
petit. 

Si  ),  >o,  ces  surfaces  sont  positives,  et  le  point  mobile  va  constamment  en 
s'éloignant  de  la  trajectoire  fermée. 

Si,  au  contraire,  X<^o,  nos  surfaces  sont  négatives,  et  le  point  mobile  se 
rapproche  asjmplutiquement  de  la  trajectoire  fermée. 

H.  P.  —  I.  26 


202  SIR    LES    COIIRBKS    nÉPINIES    PAR    LES    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES. 

Second  cas.  —  11  peut  arriver  ensuite  que  l'équatinii  en  S  ail  ses  deux 
racines  réelles  positives,  et  toutes  deux  plus  grandes  que  i.  Alors  )v,  et  X.^  sont 
réels  et  positifs. 

Posons 

j_    a-iij — yifi  _    .r'i, — y<^, 

? l'I*!— ?-2  +  i  '  '  ^  <?i ']>■;  — tfa'i'i' 

On  verrait,  comme  précédemment,  que,  si  C  est  assez  petit,  les  sur- 
faces F  =  C  sont  des  surfaces  de  genre  i  contenant  la  trajectoire  fermée,  et  que 

de  plus  on  a 

rfF       ^.  rfF       ^,  dP 
dt  dx  dy 

ce  qui  montre  que  les  surfaces  F  =  C  sont  sans  contact  et  positives. 

Cela  prouve  que  le  point  mobile,  infiniment  voisin  de  la  trajectoire  fermée 
pour  /  =  —  00,  va  constamment  en  s'en  éloignant. 

Si,  au  contraire,  les  deux  racines  de  l'équation  en  S  étaient  réelles,  positives 
et  toutes  deux  plus  petites  que  i,  la  même  analyse  montrerait  que  les  sur- 
faces F  =  C  sont  sans  contact  et  négatives.  Par.  conséquent,  le  point  mobile  se 
rapprocherait  asvmptotiquenient  de  la  trajectoire  fermée. 

Troisième  cas.  —  Les  deux  racines  de  l'équation  en  S  sont  toutes  deux 
réelles  positives,  mais  l'une  plus  grande  et  l'autre  plus  petite  que  i.  Alors  les 
deux  ),  sont  réels  et  de  signe  contraire. 

Je  dis  que  dans  ce  cas  on  peut,  dans  le  plan  normal  s  =  o,  faire  passer  deux 
courbes  K  et  K'  qui  rencontrent  la  trajectoire  fermée  aux  points  .r  =  o,  j'  =  o, 
5  =  o  et  qui,  (le  plus,  jouissent  des  deux  propriétés  suivantes  : 

i"  On  peut  mettre  leur  équation  sous  la  forme 

X  =  (b(  u),         j'  =  i}/ (;/,), 

3  et  'i  étant  des  fonctions  lioiouiorjjlies  d'une  même  variable  u,  s'annulant  avec 
cette  variable  ; 

2°  Si  le  point  .TTo,  Ko  est  sur  l'une  des  courbes  K  ou  Iv',  11  en  sera  de  même 
du  point  .r,,  y, . 

En  effet,  nous  pouvons  toujours,  [jar  un  changement  linéaire  de  variables, 
amener  les  relations  qui  lient   r,,    )',  à  .f,,,  y„  à  la  forme  suivante  : 

^3  j  ri  =  S,.>-o-<-'l'i(ar„, /o), 


SUR   LES    COURBES    DEFIMES    PAR    LES   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  2o3 

$1    et  <î>;,  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes   de  Xo 
et  )'o,  et  commençant  par  des  termes  du  second  degré. 

Soit 

y  =  3.-2 x^  -i-  01.33:^ -i-  ...  +  i„x"  +  .  .  .  ■--  if(x) 

l'équation  de  la  courbe  K.  Nous  devrons  avoir  ideiilujuement 

Si  'K^o)-i-*i[.r„,'l;0„)]  =  '^l  S.2a-„-(-'î>,[j!'„,4/(.r'o)|j. 

En  identiliant  les  deux  membres  de  celte  égalité,  on  trouve  une  série  de  rela- 
tions qui  donneront  successivement 

1-2,     a,,      ....     a„,      .... 

Nous  supposerons  S|  >  i  ]>  S^.  Nous  pourrons  toujours  trouver  deux  quan- 
tités positives  M  et  ^  telles  que  l'on  ait,  en   employant  la  notation  du  Cha- 

Cela  posé,  considérons,  à  côté  des  é(|ualit)ns  (3),  les  équations  auxiliaires 

|ri-s,ro-  ,_p(,„+_^„)' 

(ibis) 

!  \  —  [i{x„-^y„) 

Si  nous  raisonnons  sur  ces  équations  (3  bis)  comme  nous  l'avons  fait  sur  les 
équations  (3),  nous  verrons  qu'il  existe  une  série 

y  =  'j.'.2  x-  +   ïï  ./•'  -h .  .  .  -h  -xliX"  +  .  .  .  =  <\l' i  x) 

qui  satisfait  à  la  condition 

MM-^,+  y(x,)y-        \         •  Mfin^u  +  y(^o)]M 

On  a,  d'ailleurs, 

']i(x)  <  (}/'{■  a-). 

Or  la  série  '!^'  (x)  est  convergente  ;  car  on  l'obtient  en  résolvant  réquatiaii  (  '  ) 

La  série  A  est  donc  également  convergente.  c.  q.   f.   d. 

On  démontrerait  de  même  l'existence  de  la  courbe  K',  qui  aurait  pour  équa- 
tion 

(')   (bi/-aux  Notes  (J   D.). 


11)4  ^UR    LES   COURBES    DKKIMICS    PAB    I.RS    KQUATIONS    DM  FKUENTIKI.LES. 

L'existence  des  courbes  K  et  K'  étant  établie,  on  reconniiîliail  sans  peine  que 
les  trajectoires  se  répartissent  en  trois  espèces  : 

1°  Celles  (jul  rencontrent  la  courbe  Iv  ;  les  poinis  (jui  décrivent  ces  trajec- 
toires, inlîniineiît  voisins  de  la  trajectoire  fermée  jiour  /  ;=;  —  »,  vont  constam- 
ment en  s'en  éloii;nant; 

2"  Celles  qui  rencontrent  la  courbe  R',  et  qui  vont  en  se  rapprochant  asymp- 
totiquement  de  la  trajectoire  fermée; 

3°  Enlîn  les  autres  Irajectoires,  qui  restent  à  une  distance  finie  de  la  trajec- 
toire fermée. 

Il  resterait  à  examiner  le  cas  où  une  ou  deux  des  racines  de  l'équation  en  S 
seraient  négatives;  mais  il  ne  peut  pas  arriver  cpi'une  seule  des  racines  soit 
négative,  et  si  elles  le  sont  toutes  deux,  on  letoinlje  sur  les  formules  du  premier 
cas  en  v  faisant 

a 

11  est  impossible  de  n'être  pas  frappé  de  l'analogie  que  présente  l'analyse  qui 
précède  avec  la  théorie  des  points  singuliers.  Le  premier  cas  (les  deux  X  imagi- 
naires) correspond  au  cas  des  fojers;  le  second  cas  (les  deux  X  réels  et  de 
même  signe)  correspond  au  cas  des  nœuds,  et  le  troisième  (les  deux  À  réels  et 
de  signe  contraire)  correspond  au  cas  des  cols.  Il  nous  restera  à  examiner  un 
cas  exceptionnel,  celui  où  les  deux  S  sont  imaginaires  conjugués,  et  ont  pour 
module  i.  Ce  cas  correspond  à  celui  que  nous  avons  étudié  en  détail  au  Cha- 
pitre XI.  Nous  allons  voir  l'analogie  se  poursuivre  pendant  un  certain  temps, 
et  nous  trouverons  des  résultats  tout  à  fait  semblables  à  ceux  de  ce  Chapitre. 
Mais,  en  approfondissant  notre  analyse,  nous  verrons  surgir  des  différences 
essentielles,  et  nous  rencontrerons  des  diflicultés  tout  à  fait  nouvelles. 

Mettons  les  équations  différentielles  sons  la  form<; 

<lx       ,.        ,,  . 

_=X,  +  X,  +  ...^-K„H-...=  X, 

^'  =  V,H-Y,-H...  f-Y„-t-...=  Y; 

X,-  et  \i  seront  des  polynômes  homogènes  de  degré  i  en  x  et  en  j)',  dont  les 
coetficients  seront  des  séries  trigonoim'tricpies  ordonnées  suivant  les  sinus  et 
cosinus  des  multiples  de  t. 

Posons  maintenant 

!•  =  l'a-t-Fa^    ..+  F,-t-...+  F,„ 


SUR    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    I.liS    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  î.o5 

F  sera  un  polynôme  entier  en  x  et  en  y,  dont  les  coefficienls  seronL  des  séries 
Irigononiélriques  de  <;  et  F,- représeulera  l'ensemble  des  termes  de  degré  i  en  J" 
et  en  y ■ 

Le  polynôme  F  ne  contient  donc  ni  terme  de  degré  o,  ni  terme  de  degré   i . 

Nous  allons  chercher  à  déterminer  F2,  F;,,  .  .  . ,  F^,_|  de  telle  façon  que,  dans 

l'expression 

^       d?  ^.       clP  ^,       rfF 
dx  (ly  al 

tous  les  termes  de  degré  iniérieur  à  p  en  x  ftX. y  soient  nuls. 
Si  nous  posons 

il  viindiii 


(4) 


'!> 

il.  ~ 

</F, 
dx 

\k 

(/Fo 
dl 

+  *..- 

0, 

dt 

+  *31  = 

— 

1>2„ 

dt 

+  *41  = 

— 

'P32- 

-<h.. 

3l 

d¥,. 

^+*„ 

-<^„ 

dt 


1>„ 


La  première  de  ces  équations  nous  donnera  F.>,  la  seconde  F;,,  ....  et  la 
(/'  —  I  )"'""'  nous  donnera  Fp_i,  pourvu  toutefois  qu'il  soit  possible  d'y  satisfaire. 

D'aj)rès  les  hypothèses  que  nous  avons  faites  au  sujet  des  racines  de  l'équa- 
tion en  S,  il  est  toujours  possible  de  satisfaire  à  la  première  des  équations  (4). 
En  effel,  les  intégrales  des  équations  linéaires 

§-"■•    ï  =  ^' 

pourront,  comme  dans  le  premier  cas,  se  mettre  sous  la  forme  (i  bis),  avec 
celte  dillèreiice  que  \  sera  nul;  on  aura  donc,  pour  les  intégrales  de  ces  équa- 
tions (5), 

X  =  \  [cos(X'^  -(-  6)  9(n  —  sin(A'<  -t-  0)  <i>(0], 
^  =  A[cos(X'<-(-0 )■}(<)  —  siii(X'/  +  0)  (!/'(/)]. 

Si  nous  posons 

xij'  —  y^'  x^  —  Y'i 

?  =  — h — i — T'         ■'1  =  — r' — T~^' 

et  que  nmis  prenions  i  et  tj  pour  nouvelles  variables  à  la  place  de  x  et  de  )•  (ce 
qui  est  un  changement  de  variables  linéaires  en  ce  qui  concerne  x  et  y,  mais 


aoB  SUR    LES   COI  RBKS    DÉFINIES    PAU    I.ES    ÉQUATIONS   DIFFÉRKNT1KLI,F.S. 

non  linéaire  en  ce  qui  etniccrne  l),  les  équalions  ('))  (le\iemir(inl 

dt  -  ^  ^''  dt  -       '^i- 

Nous  pourrons  toujours  su|i|joser  que  ce  changement  de  vntiables  ait  été  fait, 

cl  iiiir  conséquent  que 

X,  =X>,  Y,=-X'.r. 

Nous  prendrons  donc 

Les  autres  équalions  (i)  s'écriront  alors 

dF„       -,/     rfF„  dF,,\ 

où  Vq  est  un  |)olvnoiiie  iionioj;ène  de  degré  ^  qu'il  s'agit  de  déterniinei',  et  où  H^ 
est  un  polynôme  de  même  degré  que  l'on  peut  regarder  comme  donné,  car  il 
ne  dépend  que  de  F^,  F;,,  .  .  . ,  Fy  _i,  <|ue  l'on  a  dû  calculer  avant  F^.  Les  coef- 
ficients de  Hy,  comme  ceux  de  Fy,  sont  d'ailleurs  des  séries  trigonomiHriques 
en  t. 

Si  l'on  pose 

.r  ^  p  cosio,         jr  =  p  sinoj, 

il  viendra 

F,^=  pi  'i(to,t),         \\^=  p'i  i>(M,  t), 

<p(w,  t)  et  '1{m,  l)  étant  des  séries  trigonométriques  dépendant  des  deux  argu- 
ments tij  el  /. 

L'équation  (6)  devient  alors 

do        ,  ,  f/'f         ,  , 

On  peut  toujours  trouver  une  série  Irigonométrique  o  en  to  et  en  t  satisfai- 
sant à  cette  équation,  pourvu  que  la  série  Irigonométrique  '|>(w,  t)  ne  contienne 
pas  de  terme  Co  indépendant  de  (o  et  de  l  (et  (pic,  d'ailleurs,  X'  soit  incommen- 
surable, ce  que  nous  supposerons). 

Si  Co  n'est  pas  nul,  il  est  impossible  de  satisfaire  à  l'éfpiation  (^(j)  ;  mais  on 
peut  choisir  F^  de  telle  façon  que  l'on  ait  loii|i)uis 

t/F„       .,/     d\\,  dV,,\    ^  ,, 

si  Co  est  positif  (l'inégalité  changeant  de  sens,  si  Co  est  négatif). 


SUR    LES   COURBES    DÉFI>(IES    PAR    LES    ÉgUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  '207 

Nous  pn^ndrons  pour  cela 

Si  nous  envisageons  alors  le  polynôme  de  degré  r/, 

l'expression 

^.  dF       ^.  dF       dF 

'^  =    X  -; h    1    -; 1 r- 

cijT  ay        lit 

sera  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  de  X  et  de  y,  et  dont  les  coeffi- 
cients seront  des  séries  trigononiétriques  de  t.  Les  termes  du  degré  le  moins 
élevé  de  <I>  se  réduiront  d'ailleurs  à 

1 

Si  donc  on  envisagé  les  surfaces  F:^K,  où  K  est  une  constante,  ce  seront, 
si  K  est  assez  petit,  des  surfaces  de  genre  i  enveloppant  la  trajectoire  fermée, 
et  qui  seront  sans  contact  et  positives  si  Co  est  négatif,  sans  contact  et  négatives 
SI  Co  est  positif. 

Ainsi,  si  tous  les  dj  ne  sont  pas  nuls,  on  retonihe  sur  le  premier  cas  et  il  j  a 
inslidulité. 

Le  cas  où  tous  les  Co  sont  nuls  semble  d'abord  très  exceptionnel,  puisque, 
pour  le  rencontrer,  il  faut  remplir  une  infinité  de  conditions;  il  n'en  est  pas 
moins  très  important,  non  seulement  à  cause  des  difficultés  spéciales  qu'il  pré- 
sente, mais  encore  parce  que  c'est  celui  sur  lequel  on  tombe  en  étudiant  les 
équations  générales  de  la  Dynamique. 

Nous  avons  à  résoudre  d'abonl  le  problème  suixanl  :  comment  pourra-t-on 
reconnaître  a  priori  que  tous  les  Co  s'annulent  à  la  fois,  car  on  ne  saurait  se 
contenter  de  le  vérifier,  puisqu'il  faudrait  une  infinité  de  vérifications.  Voici,  à 
cet  égard,  une  règle  simple. 

S'il  existe  une  fonction  M  cpii  soit  bolomorplie  en  x,  y  et  t,  et  de  plus  réelle, 
positive  et  bien  déterminée  en  tous  les  points  de  la  trajectoire  fermée;  si,  de 
plus,  on  a 

dl  M  X  )        di.  M  Y  )        d\\ 


o 


n  est  certain  d'avance  que  tous  les  C„  seront  nuls. 


■jo8  SIR    LES    COI'RIIKS    DKFIMES    l'Ail    l.l'.S    KQIIATIONS    niKIKIIliN  rlI!I,I.RS. 

Je  vais  iloiiioiitrt'r  ou  olVfl,  (iiii;,  s'il  en  esl  iiiii^i,  il  lu;  peeU  y  avoir  de  surface 

F=  K 

de  i;enre  i,  ouvcloppaiU  la  liajicloirc  l'ciuiéc,  et  de  plus  saus  coulacl. 

Considérons  on  elVel  un  inslanl  x,  y  et  t  comme  représentant  les  trois  coor- 
données rectangulaires  d'un  point  dans  l'espace.  Les  points  qui  satisferont  aux 
conditions 

F<K,  0</<2Tt 

rempliront  un  certain  volume  V,  limit('  d'une  pari  par  une  sorte  de  surface 
cylindrique  F  =  Iv,  et  d'autre  part  par  deux  plans  t  :=  o,  t  :=?,-.  Soit  c?(i)  un 
élément  quelconque  de  la  surface  F  =  K. 

Soit  ^ 

Le  tliéorème  de  Grcen  nous  donnera 

Dans  le  premier  membre,  la  première  intégrale  esl  étendue  à  tous  les  éléments 
de  la  surface  !<' =  R,  la  deuxième  à  tous  les  éléments  du  jilan  /  =  o,  la  troi- 
sième à  tous  les  éléments  du  plan  l  r=  2  7t;  enfin  l'intégiale  du  second  membre 
est  étendue  à  tous  les  éléments  du  volume  V. 

[^'intétrrale  du  second  membre  est  nulle  en  veitu  de  la  relation  (>);  les 
deuxième  et  troisième  intégrales  du  premier  membre  se  détruisent,  puisque  la 
foiulion  M  reprend  la  même  valeur  tpiand  /  augmente  de  2  71. 

La   première   intégrale    devrait  donc   èlre   nulle.   Mais  cela    est   iniposslble, 

M               .                  .  .,.                dV  V        d¥  ,          f/F  .  ,        , 

puisque  ^  est  toujours  |)ositit,  et  que  -^  X  H — j-  i  H j  esl  toujours  denu'uie 

signe. 

Donc  il  ne  peut  j)as  y  avoir  de  surface  sans  contact  F  =  K. 

Donc  tous  les  C,,  sont  nuls.  i:.  Q.  f.  n. 

I-^nvisageons,  en  particulier,  l'équation 

d^x 
OÙ  les  C3  sont  des  sérif's  liiii(>mnin!ri(nn;.s  oimIouih-cs  suivant  it's  sinus  et  <:osinus 

I  o  1 


SUR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAU    LES    ÉQUATIONS    UIFI-ÉRENTIELLES.  209 

des  multiples  de  l  (nous  ne  supposons,  pour  le  moment,  qu'un  seul  argument), 
et  qui  a  été  étudiée  par  MM.  Gjldén,  Lindstedt  et  Callandreau.  Nous  pouvons 
écrire  celte  équation  sous  la  forme 

qui  est  précisément  la  forme  que  nous  éludions.  On  voit  aisément  que 

d\       d\  _ 

et  par  conséquent  que  tous  les  C„  sont  nuls. 

Il  résulte  de  làaue,  si  l'on  cherche  à  iniégrer  l'équation 

.,.  rfF       ^.  ^F       d^ 
dx  dy        dt 

par  aj)proximations  successives,  en  négligeant  d'abord  les  puissances  troisièmes 
de  X  et  de  j',  puis  les  puissances  quatrièmes,  et  ainsi  de  suite,  il  ne  s'introduira 
jamais  de  terme  séculaire.  C'est  là  l'explication  du  succès  de  la  méthode  de 
M.  Lindstedt;  nous  sommes  maintenant  en  mesure  de  démontrer  que  cette 
méthode  doit  toujours  réussir;  M.  Lindstedt  n'avait  pu  établir  celte  propo- 
sition qu'en  imposanl  des  restrictions  inutiles  dont  nous  pouvons  désormais 
nous  affranchir. 

Si  tous  les  Cq  sont  nuls,  il  existe  une  série 

F  =  F5+F3-^..., 

ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  de  x  et  Aq  y  et  suivant  les  sinus  et 
cosinus  des  multiples  de  /.  et  satisfaisant  formellenient  à  l'équation 

.,  rfF       ,,.  rfF       dV 

a.v  dy         dt 

Si  donc  cette  série  est  convergente,  il  existera  une  série  de  surfaces  F  =  K 
qui  seront  des  surfaces  fermées  de  genre  i,  et  sur  lesquelles  seront  tracées  les 
trajectoires. 

Jusqu'ici,  l'analogie  avait  été  parfaite  avec  l'analyse  du  Chapitre  XI,  mais 
elle  va  maintenant  cesser.  Dans  le  Chapitre  XI,  la  série  F  était  toujours  con- 
vergente; il  n'en  sera  plus  de  nièuieici;  cela  tient  à  ce  que  l'intégrale  de  l'équa- 
tion 

(6  bis)  -1  —  )/ -^  =  (!/  =  SAcos(/M<  -i-«to-i-0) 

dt  diM 

11.  l'.  —  I.  a- 


■>H>  SIR    LKS   COI  unies    DKFINIES    par    les   liQlATIONS    DIFKKIlKNTlial.ES. 

s"t'«  rit 

■^  A  siii(H!;  -1-  no)  -\-  6) 

■^^Z jt-^th:' ' 

et  que  le  diviseur  ///  —  u'k'  peul  être  très  petit. 

11  en  résulte  qu'il  n'arrivera  pas  toujours  que  les  trajectoires  soient  tracées 
sur  une  série  de  surfaces  F  =  K.  Pour  mieux  nous  en  rendre  compte,  nous 
allons  prendre  un  exemple  particulier. 

Nous  allons  faire  usage  d'un  système  particulier  de  coordonnées.  Posons,  en 

effet, 

.r  =  rcosto,         j'  =  /sinio. 

Posons  ensuite 

,       (r— 1)^-1^  z'-                                          :                                 z 
c  =  lo" ,  o  =  aictang ai'C  tang • 


A  chaque  système  de  valeurs  de  o,  co  et  o  correspondra  un  point  M  de  l'es- 
pace, et  un  seul;  ce  point  restera  le  même  quand  w  ou  a>  croîtra  de  2~. 

Les  surfaces  p  =  const.  sont  des  tores  qui  s'enveloppent  mutuellement. 

La  surface  p  =  —  œ  se  réduit  au  cercle  /'  =  i ,  ;  =  o  ;  et  si  o  =  — -ce,  la  posi- 
tion du  point  M  est  indépendante  de  es. 

La  surface  p=-|-oo  se  réduit  à  l'axe  des  ;,  et  si  p=-|-cio,  la  position  du 
point  M  est  indépendante  de  w. 

Les  surfaces  w  =  const.  sont  des  plans  passant  par  Taxe  des  ;.  Les  sur- 
faces o  =  const.  sont  des  sphères  ayant  leurs  centres  sur  l'axe  des  :;. 

Cela  posé,  envisageons  les  équations  diflérentielles 

-^=ï,         777  =  P'         -^  =  SA,„„cos(mw  + «o +  fJ,„„)=  0. 

Je  supposerai  que  la  série  (■)  est  uniformément  et  absolument  convergente 
pour  toutes  les  valeurs  de  to  et  de  cp.  D'ailleurs,  m  et  n  peuvent  prendre  toutes 
les  valeurs  entières  positives  et  négatives. 

L'intégrale  générale  de  ces  équations  est 

DJ    =   'J.t  +  tOo,  O   =   3/  -+-  'fo, 

P  =  ?o+  >  —    "'"       [sin (;»(.)  -t-  ntf  -+-0,„„)  —  sin(M(o„-f-  /!tpo+  0,„„)], 

W(,,  Oq  Cl  ^0  étant  des  constantes  d'intégration.  Dans  la  dernière  formule,  nous 
supposerons  implicitement  compris  le  terme 

Aou?. 


SUR    LES    COURBES    DEFIMES    PAR  LES    ÉQUATfONS    DIFFÉRENTIELLES.  211 

Nous  pourrons  toujours  supposer  que  l'origine  du   temps,  celle  des  w,  et 
l'unité  de  longueur  aient  été  choisies  de  telle  sorte  que 

Wo  =  <?o  =  po  =  o. 

Pour  simplifier  les  formules,  je  supposerai  en  outre  que  tous  les  9„,„  sont 
nuls,  quitte  à  revenir  plus  tard  sur  le  cas  général.  Il  reste  alors 

(0  =  a/,  ti  =  ^/, 

p  =  Aoo'  +  7  '■ — r  sm(  «ito  +  /;  9  ). 

Plusieurs  cas  peuvent  se  présenter. 

Premier  cas.  —  Le  rapport  ^  est  incommensurable,  et  Aqo  n'est  pas  nul. 
Je  dis  qu'alors  on  pourra  trouver  une  fonction  F((o,  a)  développable  en  série 
trigonomélrique  et  telle  que  la  surface 

p  =  F((o,  tp) 

soit  une  surface  sans  contact,  c'est-à-dire  que  l'on  ail 

(8)  e>a^+?f- 

du>  d'f 

pour  toutes  les  valeurs  de  w  et  de  a,  ou  bien  l'inégalité  de  sens  contraire. 

Je  pourrai  écrire 

0  =  61  -+-  Bj-i-  Ado, 

0i   ne  comprenant  qu'un  nombre  fini  de  termes  de  0,  et  Q-,  élanl  aussi  petit 
que  l'on  veut  (cela  est  toujours  possible,  puisque  la  série  0  est  absolument  et 
uniformément  convergente). 
Je  prendrai 


Soit  alors 
et 

de  sorte  uue 


|e,|<|A„„|. 

©1  =  i  \i„j  cos(m  (o  -(-  7(  tp  ) 

f/['        .  (/F 

ï  -7-  +  f.  -j-  =  H, 
(toi  rttp 


L'inégalité  (8)  devient  alors 

Aoo4-H,-l-ei>0, 

ou 

A„(|  >  —  02,         ou  bien  l'inégalité  conliaire  el  l'une  des  Jeux 


•.'.la  Sin    LKS    (^Ol'UBES    Di:l'INIF,S    P.\Il    LES    KOUATIONS    DII'l'IinENTIELLES. 

esl  évidente,  puisque  la  valeur  absolue  du  premier  membre  est  supérieure  à 
celle  du  second. 

Nous  nous  trouvons  donc  dans  le  cas  déjà  étudié  des  surfaces  sans  contact 
enveloppant  la  trajectoire  fermée,  il  y  a  instabilité. 

Deuxième  cas.  —   i^e  rapport  7;  est  commensurable  et  A„„  est  nul. 

Supposons,  pour  fixer  les  idées,  que  p  =  i  et  que  a  soit  un  nombre  entier 
positif. 

Il  n'est  plus  avantageux  dans  ce  cas-ci  de  supposer  que  les  valeurs  ini- 
tiales (Jq,  Ço  et  po  de  co,  o  et  0  sont  nulles. 

Posons,  pour  abréger, 

|ji  =  /«  a  +  /i  p  =  m  a  +  n  ; 

UL  sera  un  nombre  entier,  et  l'on  retrouvera  le  même  nombre  [jLpour  une  infinité 
de  systèmes  de  valeurs  de  m  et  de  n.  On  aura  [/  =  o  si  «  =  —  a  m. 

On  trouve  alors 

(jj  =  a  /  -h  (Ou,  o  =  <  -)-  tOo» 

V^  A  ' 

p  z=  Po-)-  tZk'in  cos  «!(wo—  a'^o)  -t-^  — ^  [sin(  jji?  -H  /«Wo-H  "Ço)  —  siii(/;itOo-l-  «<?o)]i 

OÙ 

A^„=A,„,j         pour        «= — 'j.in,         ou         |ji  =  o 

Ici,   comme  le  nombre   [j.  est  toujours  entier,  la  série  Irigonométrique  qui 
donne  0  est  uniformément  convergente. 
Quant  au  coefficient  de  <, 

S  A'„,  cos  7/i  (wo  —  auo  ), 

il  jjeul  être  positif  ou  négatif  selon  les  valeurs  de  Wo  et  de  Ço-  H  en  résulte  que, 
selon  la  trajectoire  choisie,  p  tend  vers  -}-co  ou  — oo  quand  le  temps  t  croît 
indéfiniment. 

Il  y  a  donc  encore  instabilité,  puisque  p  ne  reste  pas  fini,  mais  c'est  une  ins- 
tabilité d'une  nature  toute  différente  de  celle  du  premier  cas;  il  est  impossible, 
en  effet,  de  construire  une  surface  sans  contact. 

Le  point  mobile  se  rapproche  asymptotlquemenl,  soit  de  l'axe  des  z,  soit  du 
cercle  ;  =:  o,  /■=!,  suivant  la  région  où  se  trouve  sa  position  initiale.  Il  y  a 
même  des  trajectoires  fermées  qui  correspondent  au  cas  où 

X  A',„  cos  m(  Mo —  a'io)  =  o. 

l'roisièrne  cas.  —  Le  ra|)porl  r;  est  incommensurable  et  Aoo  est  nul. 


SUR    LES   COURBES   DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  2l3 

Nous  supposerons  de  nouveau 

wo  =  <fo=  Po  =  Oi 
de  sorte  qu'on  aura 

V^  A,„„    . 

to  =  a?,  o  =  jif,  p  =    >    ■ SI  11  [J.  I. 

Il  [)eut  arriver  alors  que  la  série  qui  donne  p  soit  uniformément  convergente 
pour  toutes  les  valeurs  de  t,  c'est-à-dire  que  la  série  à  termes  positifs 


soit  convergente.  Alors  la  trajectoire  se  trouvera  tout  entière  sur  la  surface 


V-V,„„    .    ,  , 

^     sin( /;;  (0 -t- Ait?), 

qui  est  de  genre  i  et  analogue  à  un  tore.  La  forme  des  trajectoires  sur  cette 
surface  est  tout  à  fait  semblable  à  celle  qui  a  été  étudiée  au  Chapitre  X^^ 

Quatrième  cas.  —  Nous  ferons  les  mêmes  hypothèses  que  dans  le  cas  pré- 
cédent, avec  cette  différence  que  la  série 

convergera,  mais  non  uniformément,  de  telle  sorte  que  la  série  (9)  soit  diver- 
gente. 

Cette  hypothèse  peut  se  réaliser.  Supposons,  par  exemple, 

/  r  \  I  "'  I  + 1  «  I 
P  =  i,  =>!,  A„,„=(-l 

Nous  serons  certains  alors  que  la  série 

i  A „, „  cos (  m  10  -;-  ?!  !f  ) 

converge  absolument  et  uniformément. 

Réduisons  maintenant  a  en  fraction  continue 


a^  a\- 


«3  +  .. 


P, 

Soit  -^  la  7('*"'°  réduite  de  a;  nous  supposerons 


■M  4  Sl'll    LES    COl'RBliS    DÉKINIES    l'Alï    LES    KQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

Considérons  la  série 
le  coefficient  de  sin  (P,,  —  Q„  «)  /  dans  cette  série  sera 


On  aura 
el 

Q«+l  =  Qn-l  +  ««+1  Q/1  ?    "^/i+l- 

Or  je  peux  prendre  arbilraireinent  les  nombres  n„;  je  supposerai  donc,  par 
exemple, 

««+.=   110": 

H  étant  un  entier. 

Le  coefficient  de  sin  (P„  —  Q„  a)  /  sera  alors  plus  grand  que 

110.         /    H    \0 


il'n+l!.. 


H    Y"         I 


11  csl  aisé  de  voir  que  si  11  est  plus  grand  que  2'-"^',  cette  expression  croît 
indéfiniment  avec  n.  Les  coefficients  de  la  série  (lo)  peuvent  donc  croître 
au  delà  de  toute  limite,  et  par  conséquent  cette  série  ne  peut  être  uniformément 
convergente. 

Plaçons-nous  donc  dans  l'iijpothèse  où  la  convergence  de  cette  série  n'est 
pas  uniforme. 

J'appellerai  sur/ace  de  genre  i  régulière  une  surface  continue  qui  satisfera 
à  des  conditions  analogues  à  celles  dites  de  Dirichlet  (dans  l'élude  de  la  série 
de  l'ourier)  et  dont,  par  conséquent,  l'équation  pourra  s'écrire 

p  =  S  B„,„  cos(m(o  -H  «y)  -t-  XG„i„  sin(/n(u  +  /np). 

11  est  impossible  qu'une  surface  régulière  soit  sans  contact. 
Si,  en  cfFet,  elle  était  par  exemple   positive,  on  devrait  avoir  en   tous  ses 
points 

t/p         r/p   (ho        ihj    do 
'di'^diâlù^'c/ô'dl 
OU 

K  =  s  A,„„  cn';(«(o)  -H  /i  '*)  H-  S  B„,„(a«!  -h  ^n)  sin(«;  w  -h  n-^) 

-^  S  C,„ «  (  «  "'  +  p  /(  )  cos (  m  ;<)  +  «  -i  )  >  » 


SUR    LES   COUKBES    DÉFÎMES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  2 1  "i 

et,  par  conséquent, 

/       du)  /       K  rftf  >  o. 

«   0  •  'o 

Or  celte  intégrale  est  nulle,  car  Aoo  est  supposé  nul. 

11  ne  peut  pas  arriver  non  plus  qu'une  trajectoire  soit  tout  entière  sur  une 
surface  régulière. 

Car  sur  cette  surface  on  devrait  a\  oir 


et,  par  conséquent, 
La  série 


o, 

A 

^                       ^  mil 

^""'       o(m-Hp 

n 

C/iin 

sin(//i(o  -h  /i'y) 

ne  serait  pas  alors  convergente. 
Mais  il  y  a  plus,  nous  avons 


9—7 —K^'n{l 


n?.)t. 


La  série  du  second  membre,  qui  n'est  pas  uniformément  convergente,  peut 
devenir  plus  grande  que  toute  quantité  donnée,  ainsi  que  je  l'ai  établi  dans  une 
Note  insérée  au  Bulletin  nstrononiit/ue,  t.  I,  p.  3 19. 

Ainsi  donc  p  peut  croître  indélinimcnt,  sans  qu'il  y  ail  de  surface  sans  con- 
tact. Mais  on  peut  se  demander  si  p  tend  vers  l'infini,  c'est-à-dire  si  l'on  peut 
prendre  t  assez  grand  pour  qu'à  partir  de  l'époque  t,  p  reste  plus  grand  que 
toute  quantité  donnée,  ou  bien  si  la  valeur  de  p  va  constamment  en  oscillant  de 
façon  que  l'amplitude  des  oscillations  aille  indéfiniment  en  croissant,  et  que 
les  limites  supérieure  et  inférieure  atteintes  dans  ces  oscillations  tendent  res- 
pectivement vers  -t-  00  et  —  00.  Dans  ce  dernier  cas,  p  repassera  une  infinité  de 
fois  par  une  valeur  quelconque. 

Il  est  aisé  de  voir  que  les  deux  cas  peuvent  se  présenter.  Soit,  en  effet,  D  un 
entier  positif  non  carré  parfait;  soient  a  et  v  deux  entiers  positifs  tels  que 

lÛ  —  D  ('2  =  I  . 

Soit 

(a-..v/D)"  =  «„-,'„v/D=X", 

Un  et  i'n  étant  entiers.  Nous  prendrons  alors 

-^  =  0  =  S(My  cos(u„(o  — i'„9)         (/!  =  o,  I,  2,  ...  adinf.) 


>.|6  SUB    LES   COURBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

et 

dt  '  dt 


^'"  =  a  =  ,,       ^  =  ?  =  v/n, 


de  sorte  que 

p  =  SA"  ?iiiX"<. 

Si  I  A  I  >  I ,  I  Al  I  <  ' ,  celte  série  est  convergente  sans  l'être  uniformément. 

Si  A  est  positif  et  suffisamment  grand,  tout  en  restant  inférieur  à  -  >  la  valeur 
de  0  tend  vers  l'infini;  si,  au  contraire,  A  est  négatif  et  compris  entre  —  i 
et  —  ,  )  la  valeur  de  p  subit  des  oscillations  indéfiniment  croissantes. 

Pour  la  démonstration,  il  faut  se  reporter  à  une  Note  que  j'ai  communiquée 
à  l'Académie  des  Sciences  {Comptes  rendus  des  séances  de  l'Académie  des 
Sciences,  séance  du  ^  décembre  i885)  ('). 

Ainsi  deux  cas  peuvent  se  présenter  :  ou  bien  p  varie  depuis  —  co  jusqu'à  +  oc, 
et  tout  se  passe  alors  comme  si  Ai,,,  n'était  pas  nul;  ou  bien  o  prend  une  infinité 
de  fois  toutes  les  valeurs  possibles. 

Nous  aurons  évidemment 

iei<M, 


M  étant  une  quantité  positive  convenablement  choisie.  Nous  aurons  donc 

<M,  |pl<iM<|. 


Cela  posé,  nous  ferons  a  =  i,  de  sorte  que,  à  des  intervalles  de  temps  pério- 
diques et  égaux  à  2-,  w  prenne  les  valeurs  o,  2-,  i -,.,.,  2 /;-,,..,  et  que  le 
point  mobile  se  retrouve  dans  le  plan  10  =  o  ;  on  aura  d'ailleurs,  à  ces  époques, 

(5  =  2  [3  «  T. 

Nous  poserons 

R(ç>  )  =  ç  —  imr., 

m  étant  un  entier  choisi  de  telle  sorte  que  R(»)  soit  compris  entre  o  et  2t:. 
Si  nous  considérons  le  cercle  C,  qui  a  pour  équations 

p  =  o,  (0  =  0, 

la  position  d'un  point  sur  ce  cercle  sera  déterminée  parla  valeur  deR(»),  puisque 

R(o  +  2-)  =  R(<p). 
Les  équations  de  notre  trajectoire  nous  donneront 

p  =  2,  — ^^  ^'"  i'-''  ~  "i'(^ 0- 

C)  Ce  Tome,  p.  164. 


SUR   LES    COLUBES    DÉFINIES    PAR    LES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  liy 

l'our  <  ;=  2«-,  w  ^  o  (mod.  2-),  to  =  2  p  «tî, 

p  =  'i'(2mz). 

A  chaque  point  du  cercle  C,  pour  lequel 

R(tp)  =  (9.  ^/j  —  ■lin)-         (a  et  m  entiers), 

correspondra  donc  une  valeur  de  p  qui  sera  'I>(2  /;-).  Considérons  celle  valeur 
de  p  comme  une  fonction  du  point  considéré  du  cercle  C,  c'est-à-dire  comme 
une  fonction  de  R('-p),  et  appelons-la 

F[R(?)]- 
Cette  fonction  sera  discontinue  et  ne  sera  bien  définie  que  pour  les  points 

R  (  (B  )  =  (  2  jï  re  —  7.m)T.. 

Je  vais  montrer  d'abord  que,  sur  un  arc  de  cercle  C,  si  petit  que  soit  cet 
arc-i  il  j  a  toujours  des  points  pour  lesquels  notre  fonction  F  est  définie  et  a 
des  valeurs  aussi  grandes  qu'on  le  veut. 

En  effet,  je  vais  envisager  le  point  suivant,  que  j'appelle  P, 

p  =  o,        o)  =  /,        0  =  |3/. 

Les  valeurs  de  oj  et  de  o  sont  les  mêmes  pour  notre  point  mobile  et  pour  le 
point  P.  D'ailleurs,  ce  point  reste  constamment  sur  le  tore  p  =  o. 

Soit  AB  l'arc  du  cercle  C  que  je  considère.  On  voit  sans  peine  que,  si  petit 
que  soit  cet  arc,  on  peut  trouver  une  quantité  h  assez  grande  pour  jouir  de  la 
propriété  suivante  : 

Soit  ta  une  valeur  quelconque  de  t,  choisie  arbitrairement;  pour  une  valeur 
de  t  comprise  entre  ^0  et  <„  -{-  h,  le  point  P  viendra  sur  l'arc  AB.  En  d'autres 
termes,  l'intervalle  de  temps  qui  s'écoule  entre  deux  passages  consécutifs  du 
point  P  à  travers  l'arc  AB  est  toujours  plus  petit  que  /(. 

Soit  donc  une  valeur  de  t,  pour  laquelle 

soit  positif  et  très  grand  ;  appelons  t„  cette  valeur  de  t.  Nous  avons  vu  plus  haut 
qu'il  en  existe  de  telles. 

Il  existera  une  quantité  k  plus  petite  que  h  telle  que  le  point  P, 

p=o,         aj  =  iu-t-/>,         tf  =  P(/o-i- A), 
H.  l>.  —  I.  28 


ilS  SIR    l.KS    COUUl)i:S    Dlil'IXIES    PAU    I.KS    K(JIIAT10NS    DlPFKHliMIEl.I.ES. 

soil  situé  sur  l'arc  AB.  On  aura  alors 

Comme  1*^/,,)  est  positif  et  très  grand,  tandis  que  M  cl  /;  sont  finis,  F(^/,i  +  k) 
sera  aussi  positif  ut  très  grand.  Au  point  du  cercle  C, 

U(9)=  R(3/„4-p/o, 

([111  appartient  à  l'arc  AB,  la  valeur  de  F[ll(j)]  est  donc  positive  el  très  grande. 

c.     Q.     F.     I). 

On  étahlirait  de  même  que  F[R(c5)]  peut  devenir,  sur  l'arc  AB,  négatif  et 
liés  grand;  car  '!>(<)  peut  devenir  négatif  et  très  grand,  soit  pour  des  valeurs 
positives,  soit  pour  des  valeurs  négatives  de  /. 

Soit  maintenant 

une  suite  indéfinie  de  valeurs  de  cp,  telles  que 

lim  Rftp,,)  =  A, 
llinF[R(9„)J  =  F,. 

Nous  disons  que  1"|  est  une  des  valeurs  limites  de  la  fonction  F  pour  le  point 

R(ç;)  =  A. 
Supposons  qu'aux  deux  points 

R(!i)  =  Ao,         R(o)  =  A; 

la  fonction  F  soil  bien  définie  el  ait  respectivement  pour  valeurs  F  et  F„.  Je 
suppose,  de  plus,  qu'au  point  R(!s)  =  A„  elle  admette  la  valeur  limite  F,.  Je 
dis  qu'elle  admettra  au  point  R(-j)^A'j  une  valeur  limite  F',,  et  que  cette 
valeur  sera 

F|-  i"„-t-  f;. 

En  enVl,  d'aj)rés  les  hypothèses  faites,  il  existera  deux  entiers,  A  et  ).',  tels 

que 

R('2,a/.-;  =  Ao,  R(2fiX'7T)  =  A;, 

'^(2À7T)  =  F„,         <i.('..);-)=F'„, 

et  il  existera  en  outre  une  série  d'entiers 

tels  que 

liiii  Ri2|î;/„-)  =  Aj,  lim  <!' (  2  ;j.„  -  )  =  F"). 


SUR    LKS    COIROES    nKFINIRS    PAR    LKS    EQUATIONS    DIFFKRKNTlIil.LKS.  '.U) 

Considérons  la  suite  infinie  d'entiers 

et  l'on  auia  évidemment 

limR[2  7:([ji„+X'— )0|3]  =  a;. 
Je  dis  que 

Um<t>[2Ti(ixn-hX'—'>.)]  =  F\=  f,  +  f;-f„. 


En  effet,  il  vient 


-r-ilt. 
elt 


Or,  si  Ton  tient  compte  de  la  double  condilion 

liiiiR(ipiJi.,Tr)  =  R(2[3X-), 
lim  K[i  P(|ji„+X'— >,)ti]  =  RCî^a'tt), 

il  viendra,  pour  la  limite  du  second  membre  de  (i  i), 


J    -    'di' 


■  dl  =  F,  -  Fo 

et,  pour  celle  du  premier, 

F',- F,. 

Il  reste  donc 

F'i  =  F,  +  F'„  —  Fu.  r.  o.  f.  d. 

La  fonction  F[('^)]  était  uniforme,  mais  n'était  définie  qu'en  des  points  par- 
ticuliers du  cercle  C.  La  fonction  F|[R('i)],  qui  représentera  désormais  une 
quelconque  des  valeurs  limites  de  la  fonction  F  dans  le  voisinage  du  point  R(o), 
sera  au  contraire  définie  pour  tous  les  points  du  cercle  C,  mais  elle  ne  sera  plus 
uniforme. 

Soit  maintenant 

A,,     A.,,     ...,     A„,     ... 

une  suite  indéfinie  de  points  du  cercle  C,  ayant  pour  limites  le  point  B. 

Soit 

Fi,     Fj,     .  .  . ,     F,|,     ... 

une  suite  de  valeurs  limites  de  la  fonction  F  correspondant  respectivement  aux 
points  A| ,  Ao,  ....  A„,  ....  Soit 

limF„  =  G. 

Je  dis  que  G  sera  une  des  valeurs  limites  de  la  fonction  F  au  point  B. 

En  efl'el,  il  résulte  des  hypothèses  faites  que  l'on  peut  trouver  une  infinité  de 


210  Sl'R    I.KS    COUHDES    DEFINIES    PAR    I,ES    EQl'ATIONS    DIFFERENTIELLES. 

points  A„  tels  que  leur  dislance  lui  |)<iiiii  B  et  la  différence  G  —  V,,  soient  aussi 
petites  qu'on  le  veut;  et  do  plus  que  dans  le  voisinage  de  chacun  de  ces 
points  A„  on  peut  trouver  une  infinité  de  points  M,  tels  que  leur  distance  au 
point  A„  et  la  différence  F„  —  F(M)  soient  aussi  petites  qu'on  le  veut.  Il  résulte 
de  là  que  la  limite  du  point  M  est  le  point  B  et  que  G  est  la  limite  de  F(M),  si 
hien  que  G  est  une  des  valeurs  de  la  fonction  l',  (B)  définie  plus  haut. 

c.    Q.    F.    D. 

Je  dis  maintenant  que  si  en  un  point  M  la  foiiclion  F|B(œ))  prend  la 
valeur  F„  et  si,  en  même  temps,  Fi  est  une  valeur  limite  de  cette  fonction  F  au 
même  point  M,  2  F,  —  Fo  sera  également  une  valeur  limite. 

En  effet,  nous  avons  une  suite  infinie  de  points 

Al,     A2,     . , . ,     A„, 
où  la  fonction  F  a  respectivement  les  valeurs 

F(A,),     F(A,),     ...,     F(A„),     ..., 

et  d'après  les  hypothèses  faites,  la  distance  A„]M  tend  vers  o  et  F(A„)  vers  F( 
quand  n  croît  indéfiniment.  D'après  un  résultat  démontré  plus  haut,  une  des 
valeurs  limites  de  la  fonction  F  au  point  A„  sera 

F,  +  F(A„)-F(:M)=  F,-F„+F(A„); 

quand  n  croîtra  au  delà  de  toute  limite,  le  point  A„  viendra  en  M  et  F(A„)  se 
réduira  à  F,  ;  donc  2  F(  —  Fo  sera  une  valeur  limite  de  la  fonction  F^  au  point  M. 
Ainsi,  si  nous  considérons  la  fonction  F'i[R(o)]  définie  plus  liant,  il  pourra 
.se  présenter  les  cas  suivants  : 

1°  Ou  hien  la  fonction  F,  ne  pourra  prendre  que  les  valeurs  zhoo; 

2°  Ou  jjien  la  fonction  F|  prendra  seulement  au  point  M  les  valeurs  ±00 
et  F(M); 

3"  Ou  bien  la  fonction  F,  prendra  en  chaque  point  M  toutes  les  valeurs  pos- 
sibles et  sera  non  seulement  non  uniforme,  mais  complètement  indéterminée; 

/\"  Ou  bien  la  fonction  Fj  prendra  au  point  M  une  infinité  de  valeurs  différant 
les  unes  des  autres  par  une  période  constante.  Ce  sera,  en  d'autres  termes,  une 
fonction  périodique  analogue  à  l'arc  sinus. 

La  première  de  ces  liypothèses  j)eut  certainement  se  réaliser  [car  mius  avons 
vu  plus  haut  qu'il  |)eul  arriver  que  la  fonction  '!•('),  tendant  vers  l'infini,  ne 
reprenne  une  valeur  donnée    qu'un  nombre  fini  de  fois]. 


SIR    LES    COURBES    DÉFINIES    PAR    LES   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  'lll 

J'ai  tout  lieu  de  croire  qu'il  en  est  de  même  de  la  troisième;  mais  qu'au  con- 
traire la  quatrième  ne  se  réalisera  jamais.  Mais  ce  qui  précède  suffit  pour  donner 
une  idée  de  la  grande  variété  des  cas  qui  peuvent  se  présenter. 

1°  Il  peut  arriver  que  p  ne  puisse  prendre  une  valeur  donnée  qu'un  nombre 
fini  de  fois  et  tende  vers  ±zc  quand  le  temps  croît  indéfiniment  si  A,io  n'est 
pas  nul,  ou  bien  encore  si  Auo  est  nul,  mais  que  ^  soit  commensurable  ;  ou  bien 
encore,  quoique  A„a  soit  nul  et  que  ^  soit  incommensurable,  si  la  série  ^(t) 
n'est  pas  uniformément  convergente  et  si  elle  tend  vers  Tinfîni   • 

2°  Mais  il  peut  arriver  encore  que  g  oscille  constamment  entre  certaines 
limites,  de  façon  à  reprendre  une  infinité  de  fois  toutes  les  valeurs  comprises 

entre  ces  limites    si  Aoo  est  nul,  -r  incommensurable  et  la  série  $(<)  uniformé- 
ment convergente   • 

3"  Enfin  il  peut  arriver  que  p  reprenne  une  infinité  de  fois  toutes  les  valeurs 
possibles 
pas  uniformément  et  ne  tend  pas  vers  l'infini 


si  Aqo  est  nul,   t  incommensurable  et  si  la  série  ^{t)  ne  converge 

r 


Dans  le  premier  cas,  le  point  mobile,  ou  bien  va  constamment  en  s'éloignant 
de  la  trajectoire  fermée  p  ^ —  oo  (si  c  tend  vers  +oc),  ou  bien  s'en  rapproche 
asjmplotiquement  (si  p  tend  vers  — x).  Il  peut  même  arriver  que  certaines 
trajectoires   s'éloignent   constamment   de    la   trajectoire   fermée    pendant  que 

d'autres  s'en  rapprochent   asjmptotiquement  (si  Aoo  est  nul,   et  ^  commen- 
surable I 


Dans  tous  ces  cas,  il  y  a  instabilité,  c'est-à-dire  que,  si  le  point  mobile  à 
l'époque  /  =  o  se  trouve  très  voisin  de  la  trajectoire  fermée,  ou  bien  il  n'en 
sera  plus  très  voisin  pour  des  valeurs  très  grandes  et  positives  de  t;  ou  bien  il 
n'en  était  pas  très  voisin  pour  des  valeurs  très  grandes  et  négatives  de  t. 

Dans  le  second  cas,  au  contraire,  il  j  a  stabilité,  c'est-à-dire  que  si  le  point 
mobile  est  à  l'époque  «  =  o  très  voisin  de  la  trajectoire  fermée,  il  en  reste 
constamment  très  voisin  pour  toutes  les  valeurs  positives  ou  négatives  de  (. 

Enfin,  dans  le  troisième  cas,  il  y  a  instabilité  en  ce  sens  que  si  le  point  mobile 
est,  à  l'origine  des  temps,  très  voisin  de  la  trajectoire  fermée,  il  pourra,  à  cer- 
taines époques,  s'en  éloigner  beaucoup.  Mais  il  y  a  stabilité,  au  contraire,  en 


•iîi  STR    I.RS    COrnBES    DKFINIES    PAI»    LES    EOI'ATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

ce  sens  que  le  poinl  mobile,  après  s'êlre  éloifçiié  beaucoup  de  la  trajectoire 
fermée,  s'en  rapprochera  de  nouveau  beaucoup  et  en  redeviendra,  à  certaines 
époques,  extrêmement  voisin. 

L'exemple  simple  que  nous  venons  de  loiij^uement  étudier  nous  permet 
niaiutenanl  de  revenir  sur  le  cas  général  et  de  dire  : 

De  ce  que  tous  les  C,,  sont  nuls,  il  n'est  pas  permis  de  conclure  que  la  série 


délinie  plus  haut,  soit  convergente  ni  qu'un  [)oint  très  voisin  de  la  trajectoire 
fermée  en  restera  toujours  très  voisin,  ni  même  qu'après  s'èlre  éloigné  de  cette 
trajectoire  il  s'en  rapprochera  de  nouveau. 

Il  peut  arriver,  ou  bien  qu'un  point  très  voisin  de  la  trajectoire  fermée  en 
reste  très  voisin,  ou  bien  qu'il  s'en  éloigne  une  infinité  de  fois  pour  en  rede- 
venir une  infinité  de  fois  très  voisin,  ou  bien  enfin  qu'après  s'en  être  éloigné  il 
en  demeure  très  éloigné.  Ces  trois  cas,  logiquement  possibles,  peuvent  effecli- 
voment  se  rencontrer. 

D'après  ce  qui  précède,  on  comprendra  sans  peine  à  quel  poinl  les  difficultés 
que  l'on  rencontre  en  Mécanique  céleste,  par  suite  des  petits  diviseurs  et  de  la 
cjuasi-commensurabilité  des  moyens  mouvements,  tiennent  à  la  nature  même 
des  choses  et  ne  peuvent  être  tournées.  11  est  exlrèmemenl  probable  qu'on  les 
retrouvera,  quelle  que  soil  la  méthode  que  l'on  emploie. 

Puris.   i3  (Ji.''cen]lire  i8S5. 


SUR  LES  SÉRIES  DE  POLYNOMES 


Comptes  reinlus  de  l'Académie  des  Sciences,  l.  96,  p.  637-609  (5  mars  iS83). 


Oa  sait  quel  parti  l'Analjse  a  lire  des  fonctions  définies  par  des  séries 
dont  le  n""^°  terme  est  un  polynôme  entier  d'ordre  n.  On  connaît  en  parti- 
culier les  travaux  de  MM.  Tchebjehef,  Darboux,  Frôbenius,  Halphen  et 
Appell.  Je  suis  arrivé,  au  sujet  de  ces  séries,  à  un  résultat  incomplet,  mais 
qui  peut  présenter  quelque  intérêt  à  cause  de  sa  généralité. 

Considérons  une  série  de  polynômes  Pq,  Pi,  P2,  ...,  tels  que  P«  soit 
un  polynôme  entier  de  degré  n  en  x,  et  soit  lié  aux  k  polynômes  précédents 
par  une  relation  de  récurrence 

(1)  QoP,.-^QlP«-l+Q2P«-2^-Q3I^,^3■^-•..+  Q/.lVA  =  o. 

Dans  cette  relation  je  suppose  que  Q,-  est  un  polynôme  entier  donné  en  ,r 
et  en  «,  de  degré  i  en  x.  Je  considère  les  séries  de  la  forme 

{■?.)  aoPo+aiPiH +  a.,r,i-~..., 

OÙ  les  a  sont  des  coeflicienls  constants,  cl  j  en  recluTclic  les  conditions  di' 
convergence.  Le  plan  des  x  sera  divisé  en  deux  régions  par  une  certaine  courbe 
limite;  dans  l'une  des  régions  la  série  (2)  sera  conxergente,  dans  l'autre 
divergente,  (^uand  on  fera  varier  les  coeflicienls  a,  il  est  aisé  de  voir  que  la 
courbe  limite  variera,  mais  les  diverses  courbes  limites  formeront  une  seule 
série  de  courbes  s'enveloppant  mutuellement,  de  telle  façon  que  par  un  point 
du  plan  passe  une  courbe  limite,  et  une  seule.  C'est  ainsi  que,  si  P,,  se  réduit 
à  x",  les  courbes  limites  sont  des  cercles  ayant  pour  centre  l'origine,  et, 
si  P„  se  réduit  au  polynôme  de  Legendre  X„,  elles  sont  des  ellipses  ayant  pour 
foyers   — i    et   +1.   Cherchons  à  déterminer  ces   courbes    limites.   Pour  cela 


2i4  SUR  LES  SERIES  DE  POLYNOMES. 

envisageons  la  série 

(3)  l'„+-:P,-t-...-t-3''P„  +  .... 

Si,  dans  celle  série,  on  regarde  un  inslant  x  comme  une  conslanle  et  ;  cumme 
la  variable  indépendante,  on  voit  qu'elle  satisfait  à  une  équation  différentielle 
linéaire  dont  les  coefficients  sont  des  ])oljnonics  entiers  en  x  et  en  ;.  Pour 
trouver  les  limites  de  convergence  de  la  série  (3),  il  faut  chercher  les  points 
singuliers  de  cette  équation;  on  les  obtient  en  égalant  à  zéro  le  premier 
coefficient  de  cette  équation,  qui  est  un  poljnomc  entier  en.r  et  en  r.  Voici 
comment  on  formera  ce  coefficient  :  soit  \  la  plus  haute  puissance  de  n  dans  le 
premier  membre  de  (i);  formons  l'expression 

Cette  expression,  si  on  l'ordonne  suivant  les  puissances  de  /i,  s'écrira 

H  n>' H- K /!>■'  +  ... , 

II,    K,  .  .  .    étant   des   polynômes   en  x   el  z.  \i  sera  le  coefficient   cherché 

L'équation 

H  =o 

nous  donne  alors  lès  points  singuliers.  On  en  tirera  A'  valeurs  de  z,  que 
j'appelle  z^,  z.,^  ■  ■  ■  i  ^k-,  en  fonction  de  x.  Le  plus  petit  module  de  ces  A  quan- 
tités sera  aussi  une  fonction  de  x,  que  j'appelle  9(2;).  L'équation  générale  des 

courbes  limites  sera  alors 

(^(•f)  =  const. 

Si,  par  exemple,  on  a 

H  =  Z-+  1ZX  +  1, 

les  courbes  limites  seront  des  ellipses  ayant  —  1  et  +  i  pour  foyers. 

Si  l'on  a 

H  =  (z  —  X  +  a)(z — x-{-b)y 

les  courbes  limites  seront  formées  de  deux  arcs  de  cercle  ayant  pour  centres 
l'un  le  point  «,  l'autre  le  point  b. 

Cette  méthode  est  en  défaut  quand  le  polynôme  H,  ordonné  suivant  les 
puissances  de  z,  se  réduit  à  un  seul  terme;  mais  la  difficulté  peut  être  tournée. 
Posons,  en  efTet, 

p  étant  un  nombre  donné,  positif  ou  négatif,  entier  ou  fractionnaire.  On  aura 


SUR    LES    SKRIES    DE    POLYNOMES.  2V>.5 

entre  les  R„  une  relation  de  récurrence  de  la  forme 

Sq  Rn-t-  S,  R„_|  -^. .  .+  S/,R„_/.  =  o, 

les  S  étant  des  polynômes  entiers  en  x  et  des  fonctions  de  /(  ;  on  pourra 
choisir  ^  de  telle  façon  que 

lim =  H.         (pouin  =  x), 

ni'-  ' 

H|  étant  un  polynôme  entier  en  x  et  en  z,  et  l'on  aura  pu  choisir  p  de  telle 
façon  que  ce  polynôme,  ordonné  suivant  les  puissances  de  z,  contienne  plus 
d'un  terme.  Le  polynôme  H,  remplacera  alors  le  polynôme  H. 

Il  resterait  à  trouver  les  conditions  pour  qu'une  fonction  donnée  ï''{x)  puisse 
être  développée  en  série  de  la  forme  {2)  à.  l'intérieur  d'une  certaine  courbe 
limite.  11  faut  qu'elle  soit  holomorphe  à  l'intérieur  de  celle  courbe  limite. 
Mais  je  n'ai  pu  encore  démontrer  rigoureusement  que  celte  condition  soit 
sufdsante. 


H.  P. 


SUR  LES  ÉQUATIONS  LINEAIRES 

AUX  DIIFKIlliNTlELLES  OIIDIXAIIIES  ET  Al'X  DIFFÉltENCES  FINIES 


Aineiican  Joiinial  of  Mathematics,  vol.  Vil,  |i.   i  jii,  (iSS.i). 


I.  —  Étude  sommaire  des  intégrales  irrégulières. 

Les  résultais  que  je  vais  cliercher  à  démonlrer  dans  le  présent  Mémoire  et 
qui  se  rapportent  tant  à  certaines  équations  différentielles  linéaires  qu'à  des 
<'(|uallons  analogues,  mais  à  différences  (inics,  ont  déjà  été  énoncés  les  uns  dans 
un  Mémoire  que  j'ai  présenté  à  l'Académie  des  Sciences  pour  le  concours  du 
Grand  Prix  des  Sciences  mathématiques  le  !"■  juin  iS8o  et  qui  est  resté  inédit, 
les  autres  dans  une  communication  verljale  faite  à  la  Société  mathématique  de 
France  en  novendjre  1882  et  dans  une  note  Insérée  aux  Comptes  rendus  de 
C Académie  des  Sciences  le  ;">  mars  i883. 

Soll 

•'  dx"  '  dx"-'  dx  -^ 

une  équation  diirércntlelle  linéaire  où  les  coeKicienls  P  seront  des  polynômes 
eu  X  que  je  supposerai  tous  de  même  degré,  à  savoir  de  degré  y».  J'appellerai  A,- 
le  coefficient  de  xf  dans  le  j)oljnome  P,. 

Nous  allons  étudier  la  façon  dont  se  comporlent  les  intégrales  de  l'équa- 
lion  (i)  quand  x  croît  indéfiniment  d'une  certaine  manière,  par  exemple  par 
valeurs  réelles  positives.  Il  reste  donc  convenu  jusqu'à  nouvel  ordre  cjue  x  est 
réel  et  positif,  tandis  que  les  intégrales  j'  et  les  coefficients  des  polynômes  P 
peuvent  être  imaginaires. 

Nous  allons  avoir  à  considérer  l'équallDii  algébrique 

(i)  \,.2"+\„  iz"   1+...+ A|:  + Ao=o, 


SUR    I.HS    ÉOUATIONS    MN'KAIRES   AUX    DIFFÉRKN'TIKLLKS   ORDINAIRES,    ETC.  227 

INous  supposerons  d'abord  que  cette  écnuition  n'a  pas  de  racines  multiples, 
et  même  qu'elle  n'a  pas  deux  racines  ayant  même  partie  réelle. 

Les  méthodes  de  M.  Fuchs  ne  sont  pas  applicables  au  problème  qui  nous 
occupe,  parce  que  les  intégrales  de  l'équation  (i)  sont  irrégiillères  dans  le 
voisinage  du  point  x  =  30.  11  faut  donc  employer  des  procédés  particuliers. 

Nous  poserons 

^'       0  ^'  -  R 

"n  A  n 

et,  supposant  d'aijord  l'équation  (1  )  du  deuxième  ordre,  nous  l'écrirons 

Posons 

/  Il  dx 
y  =  «■'  , 

l'équation  dilléientielle  deviendra 

Je   dis  que  quand  x  croîtra  indéfiniment,   u   tendra  vers   une  ties  racines  de 
l'équation  (2  ).  Soient  en  effet  a  et  [i  les  deux  racines  de  cette  équation,  de  telle 

sorte  que 

(2_a)(3  — P)  =  c2-^B,3-hH„ 

et  que  la  partie  réelle  de  a  soit  plus  (grande  que  celle  de  'j. 

•Soit 

V  =  ('  +  h>'  —  log(H  —  a  I  —  log(  Il  —  ^). 

il  viendra 

^  —  rs  —   1  '^'+  Qi"-*-  Qd, 

dx  ~    ^  H-+  B,  «  +  Bo 

Nous  allons   étudier  le  si^ne  de  la   partie   réelle  de -;-)  c'est-à-dire  dc-r-- 

Si  l'on  donne  à  x  une  valeur  très  grande,  les  difl'érences  Q,  — B,  et  Qo —  Bu 

sont  très  petites  de  l'ordre  de  -•  Gela  posé,  on  peut  démontrer  successivement 

les  résultats  suivants. 

Supposons  que  Q,  —  »,  et  ()„ —  Bu  aient  des  valeurs  ilun/ires  sudisamnient 
petites,  et  soit  K  un  nombie  donné  positif.  On  peut  trouver  deux  nondjres  s 
et  £,  tels  que  toutes  les  fois  que 

1  »  -  -.  I  >  I,  I  „  _  p  I  >  s, 


•>.-iS  SUR   LKS   EQUATIONS   LINÉAIHES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC. 

on  ait  également 

,t(Q,-Bi)-t-(Qo-Bo) 


(3) 


ii2+  Bi  a  +  Bo 


<K. 


De  plus  lorsque  (),  —  B,  et  Qo —  Bq  tendront  simultanément  vers  zéro,  K  ne 
variant  pas,  s  et  î,  lendroiil  aussi  siimiltanémenl  vers  zéro. 

En  second  lieu,  on  peut  toujours  trouver  un  nombre  K  assez  petit  pour  que 
-j-  soit  négatif  comme  la  partie  réelle  de  (j3  —  a),  lorsque  l'inégalité  (3)  a  lieu. 
Il  suffît  pour  cela  que  l'on  ait 

K<cos[arg(a  — P)]. 
Enfin  on  peut  trouxer  deux  nombres  k  et  k,  tels  que  les  inégalités 

I  (,  -  a  |<  £,         I  ,i  _  p  |<  e, 

aient  Heu  toutes  les  fois  que  c  est  compris  entre  k  et  —  /., . 

On  conclut  de  tout  cela  que  si  x  est  suffisamment  grand,  il  existe  deux  nom- 
bres /:  et  /•■,  tels  que  -r-  soit  négatif  toutes  les  fois  que  ('  est  compris  entre  /.■ 
et  —  A,  ;  de  plus  lorsque  x  croît  constamment  et  indéfiniment.  A' et  k,  croissent 
iiussi  constamment  et  indéfiniment. 

Supposons  que  pour  une  valeur  donnée  de  x,  c  ait  une  certaine  valeur 
initiale  comprise  entre  A'  el  — A'i,  on  est  certain  que  v  va  décroître  tant  qu'il 
sera  supérieur  à  — k,,  et  que,  si  après  a\oir  décru,  il  arrive  qu'il  croisse  de 
nouveau,  il  ne  pourra  jamais  en  tout  cas  redevenir  supérieur  à  —  k,. 

Soit  M(h)  la  plus  grande  valeur  que  puisse  prendre  v  quand  x  varie  de  A 
à  +  oo.  Lorsque  h  croîtra,  lM(/i)  décroîtra  ou  du  moins  ne  pourra  jamais  croître. 
Donc  quand  h  grandira  indéOnimcnt,  iM(/i)  tendra  vers  une  limite,  Jiiiie  ou 
infinie,  que  j'appellerai  M.  Si  M  =  — oo,  on  est  certain  que  c  tend  vers  —  oo; 
tandis  que  si  M  était  Uni,  il  jiourrait  arriver  ou  bien  que  c  tendît  vers  la 
limite  M,  ou  que  v  ne  tendît  vers  aucune  limite.  Dans  le  cas  qui  nous  occupe 
on  vient  do  \oir  qu'on  peut  prendre  /tassez  grand  jiour  que  l'on  ait 

M  (/,)<- /m, 
d'où 

Mais  nous  pouvons  prendre  x  assez  grand  pour  que  /. ,  soit  aussi  grand  que  l'on 
veut.  On  a  donc 

M  =  —  y; 

ou 

liill  t>  =  —  v:,  liiii  u  =  a.  C.  Q.  F.  D. 


SUR    LES   ÉQUATIONS    LINÉAIliES   AUX    DIFFERENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  Î'Q 

Le  raisonnement  précédent  n'est  en  défaut  que  si  la  valeur  initiale  de  v  n'est 
pas  comprise  entre  k  et  —  /i|.  Mais  nous  avons  choisi  arl)itrairement  la  valeur 
initiale  de  x,  nous  aurions  pu  prendre  tout  aussi  bien  une  valeur  quelconque 
de  cette  variable.  Pour  que  le  raisonnement  soit  en  défaut,  il  faut  donc  que, 
(juel  que  soit  x,  c  soit  plus  grand  que  k  ou  plus  petit  que  —  A  , .  Or  quand  x  tend 
vers  l'infini,  il  en  est  de  même  de  A-  et  de  /.,.  Donc  c  tend  aussi  vers  droo. 
Donc  it  tend  vers  [ï  ou  vers  a.  En  résumé,  la  limite  de  u  est  en  général  a,  mais 
pour  une  intégrale  particulière,  elle  peut  èlre  égale  à  [i. 

Faisons  encore  le  raisonnement  pour  les  équations  du  troisième  ordre. 
L'équation 

peut  s'écrire 

(4)  ^  '^lâ''^"^'^'''^"^'^  Qi"--^  Q.  "  -t-  Qo  =  o. 

Soient  a,  [3,  y  les  trois  racines  de  l'équation  (2)  rangées  par  ordre  de  parties 
réelles  décroissantes.  Nous  considérerons  à  côté  de  l'équation  (  i)  l'équalion 

(  /,'"■■< )  ^  +  ^  ( 3 V  -t-  lîj )  +  i'»  +  B. fî  +  n,  (■  +  B„  =  o, 

dont  l'intégrale  générale  est 

~      X  e»-'^-(-  [jieP'^  +  v  eY-r 

1,  u,  V  étant  les  constantes  introduites  par  l'intégration.  Nous  allons  chercher 
une  fonction  réelle  des  parties  réelles  et  imaginaires  de  v  et  de  -y-  choisie  de 
telle  sorte  que  sa  dérivée  soit  toujours  négative.  Nous  considérerons  ensuite 
une  fonction  formée  de  la  même  manière  avec  les  parties  réelles  et  imaginaires 
de  u  et  de  -y-,  et  nous  reconnaîtrons  que  la  (hjrivée  de  celte  nouvelle  fonction 
sera  aussi  toujours  négative  pourvu  que  la  fonction  elle-même  soit  comprise 
entre  deux  limites  données,  lesquelles  limites  tendent  respectivement  vers  dz  ce, 
quand  x  tend  vers  +  od.  La  méthode  que  nous  suivrons  sera  donc  de  tout  point 
semblable  à  celle  que  nous  avons  employée  pour  le  cas  du  deuxième  ordre. 
La  fonction  que  nous  cherchons  à  former  dépend  de  ti  et  de  -r-  et  par  con- 


séquent de  y,  de  ^  et  de  -j^-   11  y  a  avantage  à  introduire  directement  ces 

éléments. 

Employons,  pour  abréger,  la  notation  de  Lagrange  de  façon  que  )  '  désigne 


l'io 


Sl'fl    l.RS    KOIATIONS    l.lNKMniîS    M'\    DirKKIlENTlKLl.liS   OUniNAiniiS,    KTC. 


dv    ,  ,,,..</-)■. 

-f-  el  Que  )■   a('si"ne  -7—:  ot  posons 

i/r         '       ■  "^        (l.r-        ' 

y  =  X  +  Y  -+-  Z, 
y  =  a  X  +  l^.  Y  +  -,-  Z, 
^'■'=a^\  +  fiM'+Y5Z. 

La  (JiUéreucialiou  nous  donnera 

/=    ^'+     v'+     /:, 

y'=y.  X'+jî  Y'+ V  Z', 

—  Q-o'"—  Qi.r'—  Q".)-  =  «-^'+  ?'-Y'^  y"Z'. 


osons  encore 


il  viendra 

On  a  alors 
d 


a3  +  Q,  a'  +  Q,  a  +  Qo  =  A(  a  -  p  j  (  a  -  •,•)  , 

7^+  Q.T'+  Q,7  +  Q„=  <:(y  -  a)  f-f  -  ?), 

X'=aX  — (AX  +  BY  +  CZ), 
Y'=pY  — (AX  +  BY  +  CZ), 
Z'=-/Z  —  (AX-4-  BY  +  CZ). 


f/j-     ^  X 


X  Y  /  Z        Z  \ 

,  +  A  -  B  -  A  Û  -(-  I!  ^  _H  C  (  -  _  -  j  =  ji  -  a  -t-  A 


avec  des  expressions  analogues  pour  les  déri\ées  logarilhniiques  de  ^^  et,  de  y- 
Lorsqu.e  .r  croît  indélininient,  A,  H  et  G  et  par  conséquent  le  terme  coinplé- 
nienlaire  A  tendent  vers  zéro.  La  variable  ,r  ajant  une  valeur  donnée  suffisam- 
ment grande,  on  peut  trouver  un  nombre  positiC  •  tel  que  l'expression 


(lA|  +  lBH-|Gh(i+^j 


soit  plus  petite  que  la  partie  réelle  de  a  —  j3  et  que  celle  de  [i  —  v.  Si  alors  les 
valeurs  absolues 


X 

Y 

X 

Z 

Y 

Z 

Y 

î 

X 

» 

Z 

ï 

X    ' 

Z 

1 

Y 

sont  simultanément  plus  grandes  que  e,  on  aura 

|Al<(IAH-lB|-HlG!i(^i  +  ^), 

et  par  conséquent,  les  dérivées  logarithmiques  de  ^,  de  ^  et  de  ^  aiironl   leur-. 
parties  réelles  négali\es,  de  sorte  ([ue 


c/x 


log 


_V  I 

X, 


dx 


log 


<"'        ,7^'"s|y 


<0. 


SLR    LES    EQUATIONS    LINEAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  23 1 

De  plus  lorsque  x  croîtra  iiidéfîniiiient,  e  tendra  vers  zéro.  Ajoutons  d'ailleurs 

Y I  .  I  Z  " 

que  la  dérivée  logarithmique  de     ^    reste  négative  quand  niênie  h^ 

seraient  plus  petits  que  :.  De  inèine  on  aura 


ou     Y 


dx  -'^ 

«^  I 

dx     ° 


<o, 


même  si 

V 

z 

ou 

Y 
X 

même  si 

\ 
z 

ou 

X 
Y 

et  \-^ 


Ouelle  est  la 


Soit  niainlenanl  H  la  |)lus  grande  des  deux  quantités 
condition  pour  que  H  soit  une  fonction  décroissante  de  x!  .fe  dis  qu'il  sullit 
que  II  soit  compris  entre  £  et  ->  £  étant  bien  entendu  supposé  plus  petit  que  i. 
En  effet  nous  piuvons  faire  deux  Iivpothèses: 


(III  a  alors 


lor 


>e, 


et  par  conséquent 


II  = 


> 


X 

X 

> 

z 

Y 

>^, 


>l>e, 


rfll 

d 

^ 

dx 

dx 

X 

<o 

Z 

^ 

11  = 

X 

> 

X    ' 

C.  Q.   l'.   1). 


>h 


et  par  conséquent 


>i>s, 


(/Il  _  ^ 
dx         dx 


<o. 


> 


c.  Q.  F.  n. 


Ainsi  H  décroit  toutes  les  fois  qu'il  est  compris  enire  £  et  -  • 
Or  pour  .r  =:  co  on  a 


Donc  on  a  aussi 


d  où  1  on  déduit  aisénient 


lllll  ~   ^  o, 


liin  Y   ~  "' 


lini  ((  =  liiii  •—  =  z. 


u.  Q.  r.  D. 


11  n'y  aurait  d'exception  que  si  H  restait  constamment  supérieur  à  -  >  auquel 


a3a  si'R  LES  équations  i.imoai»i;s  aux  différentif-lles  ordinaihes,  etc. 

cas  sa  liinile  serait  infinio.  Dans  ce  cas,  on  a  toujours 


>s, 


>^, 


to 


nies  les  lois  ruic    v"    est  compris  entre  £  et  -  •  En  effet  il  vient,  ou  bien 

1  £ 


ou  bien 


d'où 


Il  = 


>->s, 


z 

X 

= 

z 

Y 

Y 
X 

>E, 


>I>E, 


II  = 


Z 

, 

Z 

X 

>->., 

Y 

Y    _    Y      Z 
X    ^    Z      X 


>', 


TT      >   I  >  s. 


\i 


>£, 


>£, 


D'où  Ton  doit  conclure  que  la  fonction    -r;    est  décroissante  toutes  les  fois 

qu'elle  est  comprise  entre  £  et  -;  il  en  résulte,  comme  nous  l'avons  fait  voir 
plusieurs  fois,  que  cette  fonction  tend  en  général  vers  zéro,  et  qu'elle  peut 
aussi,  mais  exceptionnellement,  tendre  vers  l'infini.  Dans  le  premier  cas  on  a 

Uni  u  =  3, 


dans  le  second 


lim  M  =  Y- 


C.  Q.  F.  D. 


11  n'est  pas  besoin  d'insister  pour  faire  comprendre  que  ce  raisonnement  est 
applicable  à  une  équation  d'ordre  quelconque.  Daiis  tous  les  cas  la  limite  de  la 
dérivée  logarithmique  de  r  est  une  des  racines  de  l'équaticui  (2). 

De  ce  que  la  limite  de  —  est  égale  à  un  nombre  lini   et  déterminé  a,  il  ne 

s'ensuit  pas  forcément  que  -^  tende  vers  une  limite  finie  et  déterminée;  car  si 
l'on  avait  par  exemple  ^  =  xe'"'  il  viendrait 


liiii  =^  =  a, 

y 


lini  —  =  X. 

gJtJT 


Ce  n'est  que  dans  un  paragrapiie  ultérieur  que  nous  démontrerons  que  la 
limite  — =^--—  est  en  général  finie  et  déterminée. 

Pour  le  moment  supposons  que  x  tende  vers  l'infini  de  façon  que  l'on  ail 


X  =  pA, 


Si;n    I.KS    liOL'ATlO.NS    LI  m;  A  lit  ES    AUX    DIFFÉlllîNÏIKI.LKS   ORDINAIKES,    ETC.  V,33 

p  croissant  indéfiniment  par  valeurs  réelles  positives  et  K  étant  une  quantité 
constante  d'argument  w,  et  de  module  i.  H  est  facile  de  ramener  ce  cas  au 
précédent. 

En  efTet  Féquallon  (i)  devient 

^       '  X"    f/o"  ^  X"-'    rfp''-'  ^■■■^   ),   dp  ^    '-^        ' 

où  la  nouvelle  variable  o  croît  indéfiniment  par  valeurs  réelles  positives. 

L'équation  (2)  relative  à  la  nouvelle  variable  et  à  la  nouvelle  équation  (i'"*) 
s'écrit 

(■j.''")  A„3"+  \„-ilz"->  +. . .+  A,X''-i^  -h  A„X''=  0, 

et  si  les  racines  de  réf[uation  (2)  étaient 

(5)  a,,     -/.,,     ...,     a„, 

celles  de  l'éfpiation  (2*")  sont 

a,  X,     oi-^'f.,      ■  . .,     a„  À. 

Lorsque  x  croissait  par  valeurs  positives,  nous  avions 

(0)  -41  =  a,, 

et,  étant  l'une  des  racines  de  (5  ).  De  même  ici  nous  aurons 

— 4-  =  =('.X, 
Cf./,  étant  encore  une  des  racines  ("));  d'où 

y  dx 

Mais  il  y  a  toutefois  une  différence  entre  le  cas  de  l'écfualion  ((i)  et  celui  de 

l'équation  ((3'"*).  Lorsque  x  varie  par  \aleurs  positives,  la  limite  a,  tic  — -f-  est, 

yax 

en  général,  et  en  laissant  de  côté  les  cas  exceptionnels  dont  il  a  été  question 
plus  haut,  celle  des  racines  de  l'équation  (5)  dont  la  partie  réelle  est  la  [)lus 
grande.  Si  au  contraire  j"  r=  oX  la  limite  a;  de  — ^  sera,  en  "énèral.  celle  des 
racines  de  l'équation  (5)  qui  est  telle  que  la  partie  réelle  de  y.f^X  soit  aussi 
grande  que  possible. 

Nous  avons  supposé  au  début  de  ce  paragraphe  que  l'équation  (^!)  n'a  pas  de 
H    V.  —  I.  3u 


■'3i  SIR    I.KS    ÉylATIONS    LINKAlllKS    Al!\    D11'1'"É1\RXT1KI.LI:S    ORDINAMIES,    ISTC. 

racines  multiples  et  ([uV'lle  n'a  pas  non  plus  deux  racines  ayant  même  partie 
réelle.  \'oyons  cependant  ce  cjui  arriverait  si  cette  équation  avait  deux  racines 
a>anl  nièiiie  |)ailie  réelle. 

En  premier  lieu  suppu-.ons  (pie  ces  deux  racines  ne  soient  pas  celles  dont  la 
partie  réelle  est  la  plus  grande.  En  particulier,  dans  le  cas  du  troisième  ordre, 
où  nous  avons  appelé  les- trois  racines  en  question  a,  p,  et  y,  supposons  que  la 
partie  réelle  de  i.  soit  plus  grande  que  celle  de  [i  et  y,  la  partie  réelle  de  [i  étant 
égale  à  celle  de  y.  En  se  reportant  au  raisonnement  qui  précède,  on  verrait  que 
)■  étant  l'intégrale  générale  de  l'équation  (i),  le  rapport 

dy 


y  dx 

a  encore  pour  limite  a  et  que  le  raisonnement  ne  se  trouve  en  défaut  que  dans 
les  cas  exceptionnels  dont  il  a  été  question  plus  haut  (quand  la  valeur  initiale 


de  II  est  plus  grande  que  -)  et  j)ar  conséquent  pour  certaines  intégrales  parti- 
culières de  l'équatiou  (i). 

En  second  lieu,  si  l'équation  (2)  n'a  pas  de  racines  multiples,  l'équation (2*") 
n'aura  deux  racines  ayant  même  partie  réelle  que  pour  certaines  valeurs  parti- 
culières de  X  et  par  conséquent  la  difficulté  dont  nous  parlons  ici  ne  se  présen- 
tera que  pour  certaines  valeurs  exceptionnelles  de  l'argument  to  de  oc. 

Reste  le  cas  où  l'équation  (2)  a  des  racines  multiples.  Reprenons  le  cas  du 
troisième  ordre  où  les  racines  sont  a,  ^  et  y,  et  supposons  a  ^  j3.  Si  l'on  voulait 
répéter  le  raisonnement  que  nous  avons  fait  en  supposant  les  trois  racines  dis- 
tinctes, on  poserait 

_,•  =      X  +  V  -+-  z, 

y=î<  X  +  Y^a  +   ^  ^  +  Y  Z, 
y'=a-^X  +  Y(a2+^)+Y'Z, 


X 


et  l'on  reconnaîtrait  que  la  liiiiiie  de  —  est  égale  à  a  en  général,  et,  pour  une 

certaine  intégrale  particulière,  à  y. 

Nous  pouvons  d'ailleurs  embrasser  tous  ces  cas  particuliers  dans  le  résultat 
suivant  qui  ne  comporte  aucune  exception  et  dont  nous  ferons  usage  plus  tard. 

Supposons  que  x  tende  vers  l'infini  par  valeurs  réelles  positives.  Soit  a  un 
nombre  dont  la  partie  réelle  soit  supérieure  à  celles  de  toutes  les  racines  de 


SUR    LKS    ÉOlfATIONS    LINÉAIRES    AUX    DIKFÉRKNTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  235 

l'équation  (2).  On  aura 

lilll  J'  6—"^=  o. 

y  étant  une  quelconque  des  intégrales  de  l'équation  (i). 

On  peut  alors  Irouver  deux  nombres  b  el  c  tels  que  la  partie  réelle  de  b  soit 
plus  petite  que  celle  de  a  et  plus  grande  que  celle  de  c,  et  que  la  partie  réelle  de 
c  soit  supérieure  à  celles  de  toutes  les  racines  de  l'équation  (2). 

Cela  posé,  considérons  l'équation  différentielle  d'ordre  /(  +  i 

Cette  équation  admet  toutes  les  intégrales  de  l'équation  (1)  et  en  outre  l'inté- 
grale e'-''  de  sorte  que  son  intégrale  générale  s'écrit 

À  e'-f-t-j--,, 

A  étant  une  constante  arbitraire  et  )i  l'intégrale  générale  de  l'équation  (1). 
L'équation  (2)  relative  à  l'équation  (1''^')  s'écrit 

et  admet  les  même  racines  que  l'équation  (2),  plus  lu  racine  c  don!  la  partie 
réelle  est  plus  grande  que  celle  de  toutes  les  autres. 

11  en   résulte  que  l'expression  —  a  pour  limite  c,   lorsque  y  est  l'intégrale 

générale  de  l'équation  (i ''"')■ 

Il  j  a  exception  toutefois  pour  certaines  intégrales  particulières  de  celle 
équation.  Ces  intégrales  exceptionnelles  ne  sont  autres  d'ailleurs  que  les 
intégrales  de  l'équation  (i)  elle-même. 

De  là  on  peut  conclure  qu'à  partir  d'une  certaine  valeur  .r^  de  x  on  a 

y 

partie  réelle  de  --  <  b, 

y 

on  déduit  de  là 

yo  étant  la  valeur  de  )•  pour  x  =  jCq,  ou  bien 

la  partie  réelle  de  (/;  —  a)  étant  négative,  la  limite  du    second  membre  est 

nulle,  on  a  donc 

liiii  j'  e-«''  =  o. 


l3G  Sllt    LES    KOlVriONS    MNKAIUKS    AUX    I1IF1'KRKNT1KLI.1:S    OIUIINAIUKS,    ICTC. 

Ce  résultai  ne  païaîl  d'ahord  s'a[i|)li(|iKT  qu'aux  intégrales  qui  sont  telles  que 
•-  tend  vers  c.  cl  ne  pas  sul)sistei-  pour  les  intégrales  exceptionnelles  de  l'équa- 
tion (i''"').  à  savoir  les  intégrales  de  l'équation  (i).  Mais  une  pareille  intégrale 
peut  toujours  être  regardée  eoinine  la  dill'éi-enec  de  deux  intégrales  non 
exceptionnelles.  Le  résultat  suhsistc  donc  pour  une  intégrale  quelconque  de 
Tcqualion  (i).  c.  q.  f.  n. 

Si 

el  que  0  tende  vers  l'infini  par  valeurs  réelles  positives;  si  a  est  un  noinliie  tel 
(|ue  la  partie  réelle  .de  «A  soil  plus  grande  que  la  partie  réelle  d'une  racine 
quelconque  de  l'équation  (2)  multipliée  par  À,  on  a  encore 

lim  ye-"''  —  o. 

Il  est  à  remarquer  que  dans  tout  ce  qui  précède  nous  ne  nous  sommes  nullement 
appuyés  sur  ce  que  les  coefficients  P  de  l'équation  (i)  sont  des  poljnomes  en  j:. 
Les  résultats  énoncés  plus  haut  subsistent  donc  pourvu  que  les  rapports 

P/i— 1       '  «—2  Li       _ 

P     '       i^     '     •  ■  ■  '      P   '      P 

^  n  '  rt  '  n  ^  Il 

tendent  vers  des  valeurs  finies  el  déterminées  quand  x  croît  indéfiniment. 

Nous  avons  supposé  d'autre  part  que  les  polynômes  P  étaient  tous  de  même 
degré.    Les  résultats  subsisteraient  encore  si  un  ou  plusieurs  des  polynômes 


étaient  de  degré  inférieur  à  p,  P„  restant  de  degré  p.  Mais  il  n'en  serait  plus 
de  même  si  le  degré  de  P„  était  inférieur  à  celui  d'un  quelconque  des  autres 
polynômes.  Dans  ce  cas,  l'équation  (i)  rentrerait  dans  un  autre  type  d'équa- 
tions linéaires  que  nous  étudierons  plus  loin. 

II.  —  Équations  aux  différences  finies. 

Avant  de  poursuivre  les  conséquences  des  résultats  précédents,  nous  allons 
étendre  ces  résultats  aux  équations  à  différences  finies  de  la  forme  suivante  : 

(l)  P/,I/„+/,-+-  I'/,_iM„+/._,-H...4-  P,  «„  +  !-+-  Po«„=  o, 

les  coefticients  P  étant  des  polynômes  d'ordre  p  par  rapport  au  rang  n  de  la 


SUR    I.rCS    EQUATIONS    MNIÎAIIIKS    AUX    hll'l' KIIENHEI.LKS    OUDINAIIIRS,    ETC.  237 

fonclion  ii„.  Il  est  aisé  de  voir  l'analogie  de  cette  équation  avec  les  équations 
linéaires  que  nous  avons  envisagées  dans  le  paragraphe  précédent;  car  si  l'on 

pose 

Ah„  =  «,,-n— i/„,         i-«„  =  Ak„+i  — Ah„,  ..., 

l'équation  (i)  s'écrira 

H/,i''«„+  Ha-i  A''-i  ((„  +...+-  Hi  A".,  +  R,)î(„  =  o, 

les  coellicients  R  étant  des  polynômes  entiers  en  n. 

Nous  appellerons  A,  le  coeflîcient  de  ni'  dans  le  polynôme  I',:  et  nous  envisa- 
gerons l'équation 

(2)  \i,z'--\-kk-i  ;''"-'  -t- ...  -f-  A,  i  +  Ao  =  o . 

Posons  de  plus  • 

Laissant  d'abord  de  côté  le  cas  exceptionnel  où  l'équation  (2)  aurait  deux 
racines  égales  ou  deux  racines  de  même  module,  je  vais  démontrer  le  résultat 
suivant  : 

l^orsque  n  tend  vers  l'infini,  le  rapport  ""^'  tend  vers  une  des  racines  de 
l'équation  (2)  et  en  général  vers  celle  dont  le  module  est  le  plus  grand. 

Supposons  l'équation  du  troisième  ordre  pour  fixer  les  idées,  elle  s'écrira 

««+3  +  Qi  «H+-2  ■+-  Ql  Î'«H  4-  Qo  lin  =  O. 

Soient  a,  3,  y  les  trois  racines  de  l'équation  (2)  rangées  par  ordre  de  module 

décroissant.  Posons 

ii„      =      \n+      V„-(-      Z,„ 

"rt+l  =  '■'■   ^;i  +  1^     '  /i  -t-  T    Z„, 
(f„-t-o=  a=\„-t-  pM  „-+-  y'Z,,, 


on  en  conclut 


Poso 


ns  encore 


w»i+i  =      -^«+1-1-       '«+1+      Z„+i, 

"«+2='*    ^«4-1 -t-p      1/1  +  1-+-  Y    Z„+l, 

"n+3  =  '■'■'  ^ii+l  -t-  p-  1  n+\  -+-  '!'  2,1+1. 

«S-HQ^aî-H  Qia-4-Qo=  A(«-P)(a-7). 
p3+Q.,[32+Q,p  +  Q„=  B(j3-a)(p-7), 
Ï^-I-Q2ï2-+-  Q,yH-0„=  C(-^_ot)(v_p). 


■iSS  SUR   LES  ÉaUATIONS   LINEAIRES   AUX   DIKFERENTlIiLLES   ORDINAIRES,    ETC. 

Il  viendra 

X„ ^,  =  a  X„ -  (  A  X,.  +  B  V„  -H  C Z„  ), 

Y„  +  ,=  pV„-(A\„+BY„  +  CZ„), 

Z„+i  =  V  Z„—  (  A  \„  -h  I!  V„  +  G  Z„  ). 

(  )ii  tilt"  fie  là 

V      X       P-(a-^  +  b  +  c|^) 

X„+,  V„  "  ^^(^^^.^rV^  ^^z^\ 
avec  des  formules  analogues  pour 

11  résulte  de  là  que  Ion  peut  trouver  un  nombre  e  tel  que 


x„ 
v„ 

} 

Y„ 

x„ 

} 

x„ 
z„ 

x„ 
z„ 

> 

z„ 
x„ 

J 

x„ 

Y„ 

Y„ 

z„ 

î 

z„ 

ï 

x„ 

el 


et 


iF^       et 


1^' 
Z„ 

Z^ 
Y„ 

x„ 


>  e,  on  ait 

>  e,  ou  ail 

>  s,  on  ait 


■Vn+l     1/! 
Z/,_n    \/i 


Z^f-t-1     l  n 


<I 

<  I. 


D'ailleurs  quand  n  croil  indéfininienl,  A,  B  et  C  tendent  vers  zéio;  il  en  est  de 
même  de  t. 


fonction  <le  ii  qui  sera  décroissante  toutes  les  fois  qu'elle  sera  comprise  entre  £ 


et  \^\-  Je  dis  que  H  sera  une 


et 


En  ellel  deux  cas  peuvent  se  présenter  : 


H  = 


v„ 


=  n  >  ^' 


x„ 


Y 
X 

1 

> 

z 

X 

) 

y 

> 

> 

>^, 


l> 


Donc 


Y„ 


v^    et  i)ar  conséquent  H  est  décioissanl. 

X/i 


De 


x„ 


11  = 

Z 
X 

n 
n 

> 

Y„ 

x„ 

1 

x„ 

Y„ 

> 

x„ 

Z,, 

>h 

z„ 

x„ 

>s, 

z„ 

Y„ 

el 

pai 

COI 

isé( 

liri 

1   II  est 

,] 

('■< 

1( 

1 

isan 

1. 

>  I  >  -'. 


SLR    LES    KOUATIONS    LINEAlllF.S   AL\    DIFFÉRENTIELLES    ORDINAIRIS,    ETC.  aSg 

11  résulte  du  là  que  H  tend  vers  zéro  comme  nous  l'avons  (nh  voir  dans  le 
paragraphe  précédent,  à  moins  qu'il  ne  reste  constamment  supérieur  à-  • 


est  une  fonction  conslam- 


•  I     .       .  I Z 

Si  H  est  constani  ment  supérieur  à  -  i  je  dis  que    -~ 

ment  décroissante  si  elle  est  comprise  entre  s  et  7-  On  a  alors,  en  effet  : 
1°  ou  bien 


II 


et  par  conséquent, 

2°   ou  bien 
et  par  conséquent, 


H  = 


>7   >^. 


Y„ 


>^.  ^       >B, 


>I>E. 


£1  7-      >^. 


Y„ 

x„ 

= 

v„ 

x„ 

Dans  l'un  et  l'autre  cas  la  fonction 


>I>£. 

est  décroissante.  On  en  conclut,  en 


répétant  le  raisonnement  que  nous  avons  déjà  fait  bien  des  fois,  (jue 
vers  zéro  en  général  et  exceptionnellement  vers  l'infini. 
Il  y  a  donc  trois  cas  possibles  : 


V„ 


tend 


P 


reniier  cas,  gi'nêral  : 


Z„ 


Il  m 


lim  H  =  o 

Deuxième  cas,  exceplloiinel  : 
lim  H  =  00,  lim 

Troisième  cas,  plus  exceptionnel  encore 
lim  H  =  lim 


X^ 
Y„ 


=  o, 


=  o, 


Irm  =  2. 


lim =  3. 


lien 


"<;  +  ! 


Le  même  raisonnement  s'applique  sans  difficulté  au  cas  des  équations  d'ordre 
supérieur  au  troisième.  Je  me  bornerai  à  indiquer  ici  la  marche  du  raison- 
nement dans  le  cas  du  quatrième  ordre. 

Soient  a,  p,  y,  5  les  racines  de  l'équation  (2)  rangées  par  ordre  de  module 
décroissant.  Nous  poserons 


u„+i  =  (x'\„  +  P'Y„  +  -('Z,,  -+-  û'T„         (J  =  o,  I,  2,  3). 


■>4t>  Sin    LES   ÉQUATIONS    I.INKAIRICS    AliX    IHI'FÉRENTIELLES   OBDINAIRES,    ETC. 

Nous  démoiiiriToiis  ensuite  (ju'il  existe  un  nombre  e  tendanl  vers  zéro  avec  - 
et  jouissant  îles  propriétés  suivantes  : 


V„ 


i"   La   fonction     -rr^     ou   ^  ,   eu  supprimant   l'indice   /i    pour  abréger,   est 


\  I       I  \  I 


sont  phis  grands 


décroissanli'  toutes  les  lois  cpic    ^  '    V   '     7    '  Pf 

que  £. 

I  Z 
2"   Il  en  est  de  même  de    -^    toutes  les  Cois  que 

sont  plus   grands  que  s,  et  ainsi  de  suite   en   considérant  successivement  les 


Z 
X 

y 

X 

z 

X 

'     V 

X 

'  î 

z 

'     Y 

) 

Z 
T 

fonctions 


Z|     |T 
Y    'Y 


^   )  qui  sont  décroissantes  à  des  conditions  analogues, 


aeiles  à  former  par  des  perniulations  des  lettres. 
Cela  posé,  soient  II  la  plus  grande  des  quantités 


et  H,  la  plus  grande  des  quantités 


Y 
X 

> 

Z 

f 

T 
X 

On  démontre  que  H  est  décroissant  quand  il  est  compris  entre  s  et--  On  en 
conclut  qu'en  général  II  tend  vers  zéro,  et  par  conséquent,  — ^^  vers  a. 

11  y  a  exception  quand  H  est  toujours  plus  grand  que  -,  mais  alors  on 
démontre  que  H,  est  toujours  décroissant  s'il  est  compris  entre  s  et;-  On  en 
conclut  (lu'en  général  II,  tend  vers  zéro  et  — ^^  vers  3. 

Il  V  a  encore  exception  qiuind  II,   est  toujours  plus  grand  que  7,  mais   alors 

on  démontre  que 

en  conclut  (lu'en  général  1  41  tend  vers  zéro,  et  ""'*''  vers  v- 
'  »  I  Z I  u„  ' 

Enfin,  il  reste  un  dernier  cas  plus  exceptionnel  encore  que  les  deux  [u'écé- 
dents,  et  où  \y    reste  toujours  [)lus  grand  que--  Alors  -^^'  tend  vers  0. 

Il  nie  reste  à  examiner  les  cas  où  l'équation  (2)  a  deux  racines  égales,  ou 
deux  racines  de  même  module. 

Supposons  d'abord  trois  racines  c,  [ï,  y  dont  deux  égales,  par  exemple, 

a  =  ;i,        I  a  '  =  1  p  I  >  I  Y  |. 


est  toujours  décroissant  s'il  est  compris  entre  £  et  --  On 
T| 


SUR    LES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  24 1 

Nous  poserons 

"        =  X„-l-      Y„-i-      Z„, 

Un-^i  =  a   II  +  -\\„-j-  a  \„-i-  Y  Z„, 


d'où 


u„+i  =:<■-(  I  -1-  ^  )  .\„  +  a-  V„  +  7-Z„, 


"«+1  = 

-^//+1  ^~        '  ^i-+-l  ~t~       ^n-i-l 

M„+2=    3C     1 

l^n  +  l+î'    ^  ;i+l  +    Y^«+li 

((„-t.3=«-( 

1  H 

)  X„+| -+- ai  V„+i  + --2  Z„+|. 

l'osons  niainlenant 

a3H-Q,a2-t-    Q,7  +  Q„=A, 
■3a2-t-2Qja+  Q,=  B, 

il  vient 

X„+,  =  ('-t-  ^)"-'*^"+'^'' 
Y„_n  =  a  V„  +  B', 

Zn+l  =  T  '^"  "+"  G', 

A',  B'  et  C  étant  des  fonctions  linéaires  en  A,  B  et  C,  ayant  des  coefficients 
dépendant  de  X„,  Y„,  Z„.  A,  B  et  C  tendent  vers  zéro  quand  n  croît  indéfi- 
niment, et  l'on  verrait  comme  précédemment  qu'il  en  est  de  même,  en  général, 
de  A',  B'  et  C.  Il  en  résulte  que,  e/i  général, 

li.m^^  =  lim  — -  =  G,  liiii  — — î  =  a. 

A-n  1  „  Un 

^'oici  maintenani  une  propriété  qui  subsiste  alors  même  que  l'équation  (2) 
admet  des  racines  de  même  module  et  qui,  par  conséquent,  ne  souffre  aucune 
exception. 

Soit  a  une  quantité  de  module  plus  grand  que  toutes  les  racines  de  l'équa- 
tion (2)  ;  l'expression  -|^  tend  vers  zéro,  quand  n  croît  indéfiniment. 

La  démonstration  serait  la  même  que  pour  la  propriété  correspondante  des 
équations  différentielles  démontrée  à  la  fin  du  paragraphe  précédent. 

III.  —  Transformation  de  Laplace. 

Revenons  maintenant  aux  équations  différentielles.  Nous  avons  vu  dans  le 
paragraphe  I   que  si  l'on  envisage  l'intégrale  générale  j- de  l'équation 

II.  F    -  I.  i, 


lil  SUR    LES   B4UATI0NS    LINEAIRES    AUX    DIFKBRBNTIBLLES   ORDINAIRES,    ETC. 

étudiée  dans  ce  paragraphe,  la  dérivée  logarilhmique 

I  dy 

y  dx 

tend  vers  une  certaine  limite  a,  mais  qu'on  n'en  pouvait  pas  conclure  immé- 
diatement que  ye~*-^  tend  vers  une  limite  finie  et  déterminée.  C'est  pourtant 
ce  qui  a  lieu  en  général  ;  mais  pour  le  démontrer,  nous  serons  forcés  d'em- 
ployer la  transformation  de  Laplace. 

Voici  en  quoi  consiste  cette  transformation.  On  pose 

y  =  I  V  e--'  dz. 

i-  étant  une  fonction  de  ;  cpi'il  reste  à  déterminer,  et  l'intégrale  étant  prise 
le  long  d'un  chemin  imaginaire  convenablement  choisi.  L'intégration  par  parties 
donne 

xy  =   I  vx  e'-^  dz  =  [f  e^-"']  —  /    j~  *"'  ''•^■ 

Le  chemin  d'intégration  devra  être  choisi  de  telle  façon  que  le  terme  tout  connu 
de  celte  intégration  par  parties  soit  nul,  sans  cependant  que  l'intégrale  j' le  soit 
elle-même. 
■  On  aura  ensuite 

"■^•>'  =  ~j  dz"-  '-■^"'^  =-  [tTz  "--"l  ^.1  ,77»  '="•'  '^'' 

nu,  >i  le  terme  tout  connu  est  supposé  nul, 

Li  ainsi  de  suite;  on  aura 

x'y  =  (—1)'   I    —e-^  dz         (  i  =  o,  i,  i,   .  .  .,  p  ), 

pourvu  (|ue  le  chemin  d'intégration  ait  été  choisi  de  telle  sorte  que  les  termes 
tout  connus  des  intégrations  successives  par  parties  s'annulent,  c'est-à-dire  que  : 

[5?*''J'""        (i  =  o,  i,  i,  ...,p  —  i). 

De  même,  on  aura 

.d''r      ,       .  rd'(vzi') 


•  d'c 
-r—e~-^dz. 
dz^ 


SUR    LES    ÉQUATtONS    LINKAIRES    AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  243 

pourvu  que  les  termes  tout  connus 


[d'v    ,        1 


soient  nuls  aux  deux  limites  d'intégration. 
Si  nous  écrivons  l'équation  (i)  sous  la  forme 

dûo''  \k  =  O,   T,    2,    .  .  .,    /( 

l'équation  transformée  s'écrira 

d'ivz'') 

Pour  trouver  les  points  singuliers  de  celle  équation  (3),  il  suffit  d'égaler 
à  zéro  le  coefficient  de  -3 On  trouve  ainsi  l'équalion 

OU,  en  reprenant  les  notations  du  paragraphe  1, 

(2)  S,\4.3''  =  0. 

ce  qui  est  l'équation  (2)  du  dit  paragraphe. 

11  faudrait  ajouter  à  ces  points  singuliers  le  point  00  où  les  intégrales  sont 
irrégulières  pour  l'équation  (3)  comme  pour  l'équation  (i).  Si  l'équation  (2) 
n'a  pas  de  racine  multiple,  ce  que  nous  supposerons  d'abord,  le  coefficient 

(le  -7—;  ne  s'annule  que  du  premier  ordre  en  chacun  des  points  singuliers,  d'où  il 

résulte  que  pour  chacun  de  ces  points  l'équalion  déterminante  a  i^p — 1)  racines 
respectivement  égales  à  o,  i,  2,  . . .,  /)  —  2,  la  y^'*""  étant  quelconque.  Ce  sont 
donc  des  points  singuliers  réguliers. 

11  faut  maintenant  choisir  le  chemin  d'intégration  de  façon  à  satisfaire  aux 
conditions  que  nous  nous  sommes  imposées.  Nous  devons  choisir  les  deux 
limites  de  ce  chemin  de  façon  qu'en  chacune  d'elles  on  ait 


/  i  —  o,  i,  1,  .  .  .,  p 
\  /,■  =  o,  i ,  2,  . .  . ,  « 


Si  l'une  de  ces  limites  est  à  dislance  finie,  on  devra  avoir 
d'p 


dzi 


=  0  (/■  =  o,  I,  2,  ..,,  /)  —  I), 


244  SI"    'K*    KQl'ATIONS    I.INÉAIIIES   AU\    DIFFKRENTIELI.KS   ORDINAIRES,    ETC. 

sans  (]iie  rialéi;rale  r  soit  identiquemeni  mille.  Celle  limile  deiia  donc  être 
un  /)oinl  si/ii; ii/ier.  Celle  condilioii  n'est  d'ailleurs  pas  suffisante.  11  faut  encore 
(|u'en  ce  point  sin';ulier,  où  comme  nous  l'avons  vu,  {p  —  i)  des  racines  de 
l'équation  déterminante  onl  pour  valeurs  o,  1,2,  ...,/;  —  2,  la  p''*""'  racine  de 
celte  équation  soit  plus  grande  que  [p  —  1)  et  de  plus  que  l'intégrale  i'  soit 
convenable  meut   choisie. 

Supposons  maintenant  une  limite  à  distance  inlinio.  On  devra  avoir 

lim  — — re=-'^  =  o, 
dz'  ' 

et  d'abord 

lim  PC'"'  =  o. 

C'est  le  moment  de  recoui-ir  à  la  proposition  établie  à  la  fin  du  paragraphe  I. 
Formons  l'équation  qui  joue  par  rapport  à  l'équation  (3)  le  même  rôle  cjue 
l'équation  (2)  par  rapport  à  l'équation  (1).  Elle  s'écrira 

(4)  i:c,„r-i)''^'  =  o, 

en  appelant  x  l'indéterminée  qui  entre  dans  cette  équation. 

L'équation  qui  donne  les  points  singuliers  de  l'équation  (i)  s'écrit,  d'autre 

part, 

^  G/„  xi  =  o. 

Si  donc  a,,  «2,  ...,  «y  sont  les  points  singuliers  distincts  de  l'équation  (1), 
les  q  racines  distinctes  de  l'équation  (4)  sont  —  a,,  —  a^.  . .  .,  —  a^.  D'où,  en 
appliquant  les  principes  du  paragraplie  l,  on  verra  que 

lime  e-'-'  =  o, 

si  z  est  réel  positif,  et  si  en  désignant  par  R.(«)  la  partie  réelle  d'une  quantité 
imaginaire  w,  on  a 

R(x)<R(«,),         n(37)<R(a,),         ...,         K(x)<R(a,/). 

Si  maintenant  ;;  est  imaginaire,  et  si  l'on  a 

arg  z  =  \, 
R(xe-";<  li(a,  e-"),         R(.r  e-'î-X  R(a2  «-'*),         ...,         R(  a;  e-")<  R(a,/ «-'>•), 

le  produit  ve'^  tendra  vers  zéro  quand  z  croîtra  indéfiniment  avec  l'argument  \. 
il  est  clair  d'ailleurs  qu'il  en  sera  de  même  des  diverses  cxpr-essions 

d'v    . 
dz' 


SUR    LES    EQUATIONS    LINÉAIBES    AUX    DIFFÉRENTIKLLES   ORDINAIRES,    ETC.  245 

Les  hypolliéses  (5)  sont  donc  suffisantes  pour  que  le  chemin  d'intégration 
satisfasse  aux  conditions  que  nous  nous  sommes  imposées. 

On  peut  d'ailleurs  remarquer  que,  si  le  point  x  est  extérieur  au  polygone 
con\exe  qui,  ayant  pour  sommets  certains  des  points  a,  laisse  tous  les  autres 
à  son  intérieur,  on  pourra  toujours  trouver  une  valeur  de  X  satisfaisant  aux 
inégalités  (5). 

Supposons  donc  le  point  x  extérieur  à  ce  polygone  que  j'appellerai  P.  Voici 
quel  chemin  d'intégration  nous  ferons  suivre  au  point  z.  Nous  partirons  de 
l'infini  avec  un  argument  satisfaisant  aux  inégalités  (5),  et  après  avoir  décrit  un 
certain  chemin,  nous  reviendrons  à  l'infini,  soit  avec  le  même  argument,  soit 
avec  un  autre  argument  satisfaisant  également  à  ces  mêmes  inégalités.  Il  faudra 
naturellement  que  le  chemin  ainsi  décrit  enveloppe  un  certain  nombre  de 
points  singuliers  [c'est-à-dire  de  racines  de  l'équation  (2)];  car  sans  cela, 
l'intégrale 

y  =    l  V  e-^  dz 

serait  identiquement  nulle. 

Nous  pourrons  supposer  que  ce  chemin  enveloppe  un  seul  point  singulier. 
En  effet,  un  contour  enveloppant,  par  exemple,  les  points  singuliers  a^  et  «0 
peut  toujours  se  décomposer  en  deux  autres,  enveloppant,  le  |)reniier  seu- 
lement le  point  rt|,  et  le  second  seulement  le  point  a-^.  Donc  les  intégrales 
qu'on  obtiendrait  par  la  considération  des  contours  enveloppant  plusieurs  points 
singuliers  ne  seraient  cpie  des  combinaisons  linéaires  de  celles  que  nous  allons 
considérer  et  qui  sont  engendrées  par  des  contours  envelojipant  un  seul  point 
singulier. 

Soit  a  le  point  singulier  enveloppé  que  nous  supposerons  d'abord  être  une 
racine  simple  de  l'équation  (2).  Son  équation  déterminante,  qui  est  de  degré  />, 
a,  comme  nous  l'avons  vu,  {p  —  i)  racines  égales  à  o,  i,  2,  ■  ■  ■■,  ji  —  2,  la  p''"^^ 
étant  égale  à  [j.  et  différente  de  (/j  —  i). 

Il  résulte  de  là  que  le  point  a  n'est  pas  un  point  singulier  pour  p —  i  inté- 
grales de  l'équation  (3)  linéairement  indépendantes  et  que  la  p"'""'  intégrale 

s'écrit 

K'i,  =  {z  —  a)V-^(z), 

<I'(;)  étant  holomorphe  dans  le  domaine  du  point  «,  l'intégrale  générale  s'écrit 

donc 

i'  =  A(i— _a)l^^<t>(z)  -^'lizj  =  kyp+'l{z). 


246  SUR    LES    EQUATIONS    I.INÉAIBK9   AUX   D1FFKHENTIELLE8   OBDINAIRKS,    ETC. 

it{z)  étant  holoniorphe  dans  le  domaine  du  pointa.  On  a  alors 

/  ii{z)e'^  dz  =  o, 

d'où 

j'  =  /  1'  e--<^  dz  =  \  I  i'i,  e-''  dz. 

Ainsi,  si  l'on  fait  abslraction  «lu  facteur  constant  A,  l'intégrale  y  ne  dépend 
pas  du  choix  de  l'intégrale  c. 

Qu'arrive-t-il  maintenant  si  a  est  une  racine  double  de  léquation  (2)? 
Alors  l'intégrale  générale  s'écrira 

A  et  B  étant  deux  constantes  arbitraires,  $(;)  étant  holoniorphe  dans  le 
domaine  du  point  a,  et  i'p  et  f/)_i  étant  deux  Intégrales  particulières.  Il  vient 
alors 

y  =   j  V  e-'  dz  =  X  I  Vp  e~-^  f/s  +  B   /  P;,_i  e~-^  dz. 

Ainsi,  quelle  que  soit  l'intégrale  c  choisie,  on  ne  pourra  jamais  obtenir  poury 
plus  de  deux  intégrales  linéairement  indépendantes. 

De  même  si  a  est  une  racine  multiple  d'ordre  plus  élevé. 

Ainsi,  à  chaque  racine  simple  de  l'équation  (2),  correspond  une  intégrale  de 
l'équation  (1),  à  chaque  racine  multiple  d'ordre  ni,  correspçndent  m  intégrales 
de  celte  même  équation.  On  obtient  donc  en  tout  de  la  sorte  n  intégrales  de 
l'équation  (i),  et  comme  cette  équation  est  d'ordre  n,  on  en  a  l'intégrale  géné- 
rale. Il  resterait,  il  est  vrai,  à  démontrer  que  ces  n  intégrales  sont  linéairement 
indépendantes,  mais  c'est  ce  qui  ressortira  de  diverses  propositions  que  nous 
établirons  plus  loin. 

Nous  n'avons  examiné  jusqu'ici  que  le  cas  où  les  deux  limites  d'intégration 
sont  infinies;  il  est  aisé  de  prévoir,  d'après  ce  qui  précède,  que  les  intégrales 
obtenues,  en  supposant  qu'une  ou  deux  des  limites  soient  finies,  ne  seront  que 
des  combinaisons  linéaires  de  celles  que  nous  connaissons  déjà. 

Considérons  de  nouveau  un  point  a  qui  soil  une  racine  simple  de  (2)  et 
soient 

O,       I,       2,        .  .  .,      p  —  2,       l-l-, 

les  racines  de  l'équation  déterminante  correspondante.  Soit 


SUR    LES    ÉQUATIONS    LINKAIRES    AIX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  '47 

une   intégrale  de  (3),  où  't(â)  est  holomorphe  dans  le  domaine  du  point  a. 
Soit 

l'intégrale  correspundante  de  (i),  la  quadrature  s'efTectuanl  le  long  du  contour 
défini  plus  haut,  qui  enveloppe  le  point  singulier  z  =  a. 
Envisageons  maintenant  l'intégrale 


Nous  supposerons,  ce  qui  est  toujours  possible,  que  le  chemin  d'intégration 
reste  constamment  intérieur  au  contour  le  long  duquel  a  été  prise  l'intégrale  _)'. 
Si 

l'intégrale  _^2  sera  finie  et  sera  une  des  intégrales  de  l'équation  (i),  d'après  ce 
qu'on  a  vu  plus  haut.  Mais  on  voit  aisément  qu'on  aura 

Les  deux  intégrales  j',  et  )'^  ne  différent  donc  que  par  un  facteur  constant.  Il 
résulte  en  même  temps  de  là  que  l'intégrale  j^^  est  une  intégrale  de  l'équation  (i) 
toutes  les  fois  qu'elle  est  finie,  c'est-à-dire  toutes  les  fois  que 

Soient  et, ,  a^.,  ....  a„les  racines  de  l'équation  (2)  que  nous  supposerons  toutes 
simples.  Soient 

O,        l,       -2,        ...,       /î  —  ?.,        |X, 

les  racines  de  l'équation  déterminante  relative  au  point  singulier  rt,.  Il  existera 
toujours  une  intégrale  de  la  forme 

V,=  (5  — n,)H-.  <t>,(î), 

<&,(s)  étant  holomorphe  dans  le  domaine  du   point    a,,   et  l'on  en    conclura 
l'existence  d'une  intégrale  de  l'équation  (1), 

Y,-  =  /     V,  e'-'  dz, 

pourvu  que 

|ji,-  >  —  I . 

Supposons  donc  d'abord  que  tous  les  a  sont  plus  grands  que  — i,  de  façon 


■j48  SOR    les    équations   linéaires    M\    DIKrÉRENTIELLES   ORniNAIRES,    ETC. 

que  les  p  intégrales  Y,  exislenl,  ou  mieux  encore,  supposons  d'abord  que  tous 
les  II  sont  plus  grands  que  (y)  —  i). 

Joignons  un  point  quelconque  b  à  chacun  des  points  singuliers  a,,  a^,  ...,  a„ 
par  des  chemins  /,,  /^,  ...,  /„.  Soit  cn,  la  valeur  que  prend  au  point  6  la 
dérivée  A'^"'  de  V,  quand  la  variable  va  du  point  ai  au  point  h  par  le  chemin  /,. 

Posons  maintenant 

T,  =   /     V,  «=•<•  dz, 

l'intégrale  étant  prise  bien  entendu  le  long  de  /,-. 

Il  viendra,  en  appliquant  à  l'intégrale  T,  la  méthode  d'intégration  par  parties, 

/'  d'"  V- 

(6)  x"'T,  =  x"'-i  e''-^c,i,  — ^"'-2e''''c,-, -H  j;"'-3e''-»c,-2±.  ..±e''-'^c,-,,„--irf:  /         J  e-"^  dz. 

Soit  maintenant  di,k.,^  la  valeur  que  prend  au  point  b  la  dérivée  X''"""^  de  V,;j; 
il  viendra  de  même 

(7)  ^"'  -^  =  -^"'~'  e''^  di.o.,,—  x">-^  ei'^di.t.,,  +  ...zf  i     '"l/J,f    e~^  dz. 

D'ailleurs,  il  est  clair  que  les  <i,-.A.j  s'expriment  très  simplement  à  l'aide  de  b 
et  des  d.k- 

11  résulte  de  ce  qui  précède  que,  si  l'on  substitue  T,  à  la  place  de  y  dans 
l'équation  (1),  le  résultat  de  cette  substitution  s'écrira 

(  8  )  A  (  Ti)  =  gi.p^x  xi'-i  e'-^-t-  gi.i^j,xi>-^  eb':-\-...-^gi.„  e*-»-, 

les  coefficients  gi,^  étant  faciles  à  calculer  en  fonction  des  c,./,.  Si  n  est  plus 
grand  que  p.,  on  pourra  trouver  n  nombres 

A,,     hi.      ....     h„ 
satisfaisant  aux  conditions  suivantes  : 


(9)  Z..'''Si.k='^        (/.=o. 


I  ,•>.,...,/>  —  I  ) 


Le  nombre  des  solutions  linéairement  indépendantes  des  équations  (9)  sera 
donc  de  {n  —  p). 
On  aura  alors 

ce  qui  veut  dire  que  "ZlicTi  est  une  intégrale  de  l'équation  (1).  C'est  une  inté- 


SUR    LES    EQUATIONS    LINEAIRES    AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  2/ig 

grale  prise  le  long  d'un  chemin  complexe,  mais  restant  toujours  à  distance 
finie. 

11  existe  toujours  (ii  — p)  pareilles  intégrales  linéairement  indépendantes.  Ces 
intégrales  diffèrent  essentiellement  de  celles  dont  une  limite  est  infinie.  Ces 
dernières  ne  sont  valables  que  si  le  point  x  est  extérieur  au  polygone  P, 
d'après  ce  que  nous  avons  vu  plus  haut;  au  contraire,  les  intégrales  telles 
que  S/i,T,,  c'est-à-dire  les  intégrales  prises  le  long  d'un  contour  à  distance 
finie,  sont  valables  quel  que  soit  .r.  De  plus,  elles  sont  lioloniorphes  dans  toute 
l'étendue  du  plan. 

Posons 

* 
d  où 

Y,=  T,-+-U,-. 

Les  équations  (9)  peuvent  d'ailleurs  se  remplacer  par  les  équations   plus 

simples  qui  suivent 

ZhiCik  =  o. 

Il  suffit  pour  s'en  convaincre  de  rechercher  quelle  est  l'expression  des 
coefficients  gii^  en  fonctions  des  cut.  Mais  des  équations  ainsi  transformées,  on 
déduit  aisément  l'identité  suivante  : 

i;/,,v,  =  o, 

qui  subsiste  quel  que  soit  ;.  On  a,  par  conséquent. 

Ces  relations  montrent  dabord  que  la  nouvelle  intégrale  S//,T,  n'est  pas 
linéairement  indépendante  des  intégrales  déjà  connues  Y,;  elles  font  voir 
ensuite  que,  lors  même  que  tous  les  u.  ne  sont  pas  plus  grands  que  (/>  —  1), 
l'expression  S/«,T/  reste  une  intégrale  de  l'équation  (i)  pourvu  que  les  T,  et 
les  Y,-  soient  finis,  c'est-à-dire  pouivu  que  tous  les  p.  soient  plus  grands 
que  - —  I . 

Qu'arrive-l-il  enfin  si  tous  les  u  ne  sont  pas  plus  grands  que  —  i  ?  La  diffi- 
culté est  aisée  à  tourner.  Décrivons  du  point  b^  comme  point  inilial,  un  contour 
fermé  revenant  au  point  b  après  avoir  enveloppé  le  jioint  singulier  f/,.  Opérons 
de  même  |)Our  chacun  des  points  singuliers.  Nous  aurons  ainsi  //  contouis 
fermés  ^,  Z^,  ...,  /„•  Appek)ns  T,  l'intégrale 

f\,e='dz, 
H.  H.  -  I.  3) 


230  SIR    LES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES   AVX    DIFFÉRENTIELLES  ORDINAIRES,    ETC. 

prise  le  long  du  contour  //,  ou  ce  qui  revieni  au  même,  l'intégrale 

('  6'^  dz 


/■ 


le  Ions;  du  même  contour,  ('désignant  une  intégrale  ^fue^conyj/e  de  l'équation  (3). 
Appelons  c,a  1;'  valeur  dont  s'accroît  la  dérivée  A'*"°  de  V,-  quand  on  décrit  le 
contour  //,  en  parlant  du  point  b  comme  valeur  initiale  et  revenant  au  point  b 
comme  valeur  finale  ;  appelons  de  même  di.is.q  la  valeur  dont  s'accroît  la 
dérivée  /;"'''"'  de  \ iz'^  dans  les  mêmes  circonstances. 

Si  l'on  emploie  ces  notations,  les  équations  (6),  ('j)  et  (^8)  subsisteront.  Par 
conséquent,  si  l'on  a  n  nombres  //,■  satisfaisant  aux  équations 

(lo)  ï:/^,c,,^  =  o, 

l'expression  ^/i/Ti  sera  une  intégrale  de  l'équation  (i).  Cette  expression  jouit 
d'ailleurs  de  la  propriété  remarquable  d'être  holomorphe  dans  tout  le  plan. 

Or,  les  équations  (lo)  admettent  (/; — p)  solutions  linéairement  indépen- 
dantes. 

Donc,  si  n  > /',  l'équation  (i)  aura  (n  — p)  intégrales  liolomorphes  dans 
tout  le  plan. 

Ce  théorème  peut  d'ailleurs  se  démontrer  directement. 

Je  n'insisterai  pas  davantage  sur  celte  transformation  de  Laplace  qui  permet, 
comme  on  le  sait,  d'intégrer  l'équation  (i)  lorsque  p  =  i . 

IV.  —  Étude  approfondie  des  intégrales  irrégulières. 

Nous  allons  maintenant  nous  servir  des  expressions  précédentes  des  inté- 
grales de  réquati(3ii  (i  )  pour  étudier  la  façon  dont  elles  se  comportent  quand  x 
croît  Indélinimenl,  d'une  manière  ])lus  précise  et  plus  approfondie  ([ue  nous 
n'avons  pu  le  faire  dans  le  paragraphe  I. 

Démontrons  d'aljoril  le  résultat  suivant.  L'intéiiraie 


=/•■ 


e--^'  dz 


(si  X  est  positif  et  très  grand,  si  j  i^  j  reste  constamment  inférieur  à  une  certaine 
quantité  M,  et  si  le  chemin  d'intégration  reste  constamment  à  gauche  de  l'axe 
des  parties  imaginaires)  tendra  vers  zéro  quand  x  croîtra  indéliniment. 

.Soient,  en  elFet,  L  la  longueur  totale  du  cliemin  d'intégration,  et  --  ç  la  plus 


SUR   LES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES   AUX   DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  til 

grande  valeur  de  la  partie  réelle  do  s,  de  telle  façon  que  le  long  du  chemin 
d'intégration  on  ait 


Il  vient  alors 

d'où  enfin 
et 


/ 


R(--)i-f. 
I  J  I  <  ML  6-5-^, 


lim  J  =  0         pour  x  =  x.  c.  Q.  F.  D. 


Passons  maintenant  au  cas  où  le  chemin  d'intégration  restant  toujours  à 

gauciie  de  la  droite 

R(ô)=-Ç 

s'étend  à  l'inlini  par  l'une  de  ses  extrémités.  Nous  supposerons  de  plus  que, 

quand  z  croît  indéfiniment  en  suivant  le  chemin  d'intégration,  on  peut  trouver 

un  nombre  X  tel  que 

lira  i>e^'^  =  o. 

Cela  est  loujours  possible  comme  le  prouve  le  paragraphe  I,  avec  les  fonc- 
tions i>  que  nous  avons  à  considérer. 

Faisons  encore  une  hjpotlièse  sur  le  chemin  d'intégration.  Nous  supposerons 
qu'il  se  compose  d'un  certain  arc  de  courbe  situé  à  distance  finie,  suivi  d'une 
portion  de  ligne  droite  s'étendant  à  l'infini  ;  pour  tous  les  cas  que  nous  avons 
déjà  considérés  ou  que  nous  aurons  à  considérer  dans  la  suite,  rien  ne  s'oppose 
à  cette  hypothèse.  Dans  ces  conditions,  on  peut  trouver  un  nombre  fx  tel  que 
l'intégrale 

/  I  e\^~  ds 

soit  égale  à  une  quantité  finie  [..  On  pourra  également  trouver  nu  nombre  M, 

tel  que  l'on  ait  constamment 

I  V  e'-~  I  <  M. 

Nous  pourrons  toujours  supposer  A  et  ijl  réels.  On  aura  alors 

i  =  I  V  e'".  e-<-f-''-|i'.  el^=  ds, 

d'où 

I  J  I  <  LM  e-5(x-X-(ii, 

quand  x  croît  indéfiniment;  on  a  donc 

lim  J  =  o.  c.  Q.  F.  D. 


■':>2  Srn    I,KS   ÉOI  ATIONS    I-INÉAIUES    aux    nil-l-KnENTIELLES    ORDINAinEP,    ETC. 

De  même  on  verrait  aisément  que  x'" i  tend  encore  vers  zéro,  quelque  f^rand 
que  >oit  l'exposant  m. 

Nous  allons  niainlenanl  étudier  l'intégrale  suivante  : 


-/ 


<•  £=■••  dz. 


La  limite  supérieure  d'intégration  peut  être  une  quanlilé  finie  a,  ou  bien  être 
infinie,  mais  le  chemin  d'intégration  restera  toujours  à  gaucLe  de  l'axe  des 
parties  imaginaires.  La  (onction  c  sera  assujettie  aux  mêmes  conditions  que  plus 
haut  ;  je  supposerai  de  plus  que  dans  le  domaine  du  point  zéro,  la  fonction  v 
peut  se  développer  en  série  de  la  forme  suivante  : 

(i)  Aos»-)- A,3«+i-f-A2Z'-<+-'-i-.  .  ., 

a  étant  quelconque. 

Je  dis  que  dans  ces  conditions, 

j:«+iJ     tend  \  ers     — r(a  +  i)Ao 

quand  x  croît  indéfiniment. 

En  effet,  nous  pouvons  toujours  supposer 

I  A„  |<  HP", 

•j.  et  p  étant  deux  quantités  convenablement  choisies  de  telle  façon  que  le  rayon 
du  cercle  de  convergence  de  la  série  (i)  soit  égal  à  -• 

Nous  pourrons  décomposer  le  chemin  d'intégration  en  deux  parties  :  la  pre- 
mière, intérieure  à  un  cercle  décrit  du  point  zéro  comme  centre  avec  /■  pour 
rayon  (rp  <]  i)  ;  la  deuxième,  extérieure  à  ce  cercle.  Nous  aurons  alors 

J  =  K  +  ll, 

K  et  II  étant  les  deux  parties  de  l'intégrale  correspondant  à  ces  deux  parties  du 
chemin  d'intégration.  D'après  ce  qui  précède,  il  vient 

lim  37»+'  H  =  o. 

Il  reste  à  chercher  la  limite  de  a;'^+'  K. 
Nous  pouvons  écrire 

V  =  Aojî'-H  A,^»+'-i-...-hA„,;^+"'+  M,„, 
R,„  étant  le  reste  de  la  série  (i).  Il  vient  alors 

0  I  z^  e^--:  (Iz -{- \,       z'-'--'-'  e--'  dz  ^...-ir-  \,„  j  :.=^+'"  e--'^  dz -tr-  j  II,,,  e=^  dz, 


SUR    LES   EQUATIONS    LINEAIRES   AUX    DIFFERENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC. 


a53 


les  intégrales  étant  prises  le  long  de  la   première  partie   du    cliemin    d'inté- 
gration. On  aura 

tx( ro  )"'->-i  r« 

i—  rp 

Si  donc  l  est  la  longueur  de  la  première  partie  du  chemin  d'intégration,   il 
viendra 


l>" 


e--^  (U    < 


/(^(/•p  )"■+!/•« 


On  peut  toujours  prendre  m  assez  grand  pour  que  le  second  membre  de  cette 
inégalité  soit  aussi  petit  qu'on  voudra.  .Mais  on  peut  aller  plus  loin  encore. 
Supposons,  ce  qui  est  toujours  possible,  que  la  première  partie  du  chemin 
d'intégration  soit  recliligne,  et  pour  fixer  les  idées  davantage  encore,  qu'elle  se 
réduit  au  segment  de  droite  o,  —  ;■.  Il  viendra  alors 


ou  enfin 


*^o  I         I  «^0 

a;!x-M   /        \i.«-e~-^dz\<T{a-i-i), 


=  r(ï  +  i), 


f/-  < 


r((X4-l)fj(rp)"'-^' 


Comme  ro  est  plus  petit  que  i,  on  pourra  prendre  m  assez  grand,  quel  que 
soit  x,  pour  que  le  second  membre  de  cette  inégalité  soit  plus  j)etit  que  , 
/•  étant  indépendant  de  .r. 

Le    nombre    m   est   désormais   déterminé,    et   nous    allons   faire    varier  x. 
Le  y"'""^  terme  du  second  membre  de  l'expression  (2)  s'écrit 

T,=  A,/  f      z^+'i  e-^  dz. 
Cherchons  la  limite  de  T^a;"+'  ;  pour  cela  posons 

II7  =  A,/  /         zO'+'i  e--^  dz  ; 

un  aura 

lira  j'<»+'U,/=  o, 


d'où 


lim  a:ï+i  x,,  =  lim  x=^+-  A ,   /         z^^'l  e--^  dz  =  Vu 


Ti  a  -I-  <7  -f-  i)A, 
^1 


Cetle  limite  est  égale  à  zéro  si  f^r  est  positif  et  à  —  r(a-[-i)Ao  si  y  est  nul.  Donc 


25.(  SUB    LES    ÉQUATIONS   LINÉAIRKS   Al'X    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    KTC. 

si  Ion  niiiltipUe  |)ar  x^"^'  chacun  des  m  premiers  termes  du  second  membre 
de  {2),  le  premier  des  produits  ainsi  obtenus  aura  pour  limite  —  A(,r(a  +  i), 
et  les  autres  zéro.  Or,  nous  pourrons  toujours  prendre  x  assez  grand  pour  que 
chacun  de  ces  piodiiils  difTèrc  de  sa  limite  d'une  quaiilité  moindre  cjue 


On  aura  alors 
d'où 

lim  .r"-"-' J  =  lima;"+'  K  = —  Ao  r(a  ■+■  i).  c.  o-  F.  d. 


Nous  allons  enfin  considérer  l'intégrale  suivante  : 


J 


prise  le  long  d'un  contour  enveloppant  le  point  zéro. 

,Ie  supposerai  qu'à  l'intérieur  de  ce  contour  la  fonction  v  soit  partout  holo- 
morphe  excepté  au  point  zéro,  et  que  dans  le  voisinage  de  ce  point  cette  même 
fonction  puisse  se  mettre  sous  la  forme  (i).  On  peut  remarquer  que,  dans  cette 
expression  (  i  ),  il  n'est  plus  nécessaire  de  supposer  y.^  —  1 ,  comme  nous  avions 
dû  le  faire  dans  l'exemple  précédent. 

Nous  allons  faire  croître  x  indéfiniment  par  valeurs  réelles  positives.  Nous 
pouvons  donc  supposer  que  le  contour  d'intégration  est  formé  comme  il  suit  : 

1°  Une  portion  de  ligne  droite  AB  venant  de  l'infini  et  se  terminant  à  un 
certain  point  B. 

2°  Un  arc  de  courbe  quelconque  BC  allant  du  point  B  au  point  C  ==:  —  /', 
/■  étant  une  quantité  positive  très  petite.  Ces  deux  premières  portions  du  con- 
tour seront  tout  entières  à  gaucJie  de  l'axe  des  parties  imaginaires. 

3"  Un  cercle  décrit  du  point  zéro  comme  centre  avec  /•  pour  rayon,  com- 
mençant au  point  C  pour  finir  au  point  C. 

4°  et  5°  L'arc  CB  et  la  droite  BA  parcourus  en  sens  inverse. 

Nous  poserons  alors 

.1  =  Il  -I-  K  -H  H', 

H  se  rapportant  à  la  portion  ABC  du  contour,  H'  à  la  portion  CI5A,  et  K  au 
petit  cercle  de  rayon  r. 

11  vient  alors,  d'après  ce  qui  précède, 

limx«+'J  =  lima;«+'K. 


SUR    LES    EQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  255 

On  a,  d'autre  part, 

On  peut  toujours  supposer  que  m  est  assez  grand  pour  que  a  +  m  soit  positif. 
.  Dans  ce  cas  rintéi;rale 

piise  le  loni;  du  cercle  de  rayon  /■,  est  égale  à 

'-'il 
Elle  est  donc  plus  petite  en  valeur  absolue  que 

r(«  +  1)  ;ji(/-p/"+' 


I  _  gî'itac  I 


i—rp 


et  elle  tend  uniformément  vers  zéro  quand  m  croît  indéfiniment,  et  cela  quel 
que  soit  x. 

De  même  on  a 

lini  x^+'  I  3»+'/  €•■':  f/i  =  o         (  y  >  o), 

linia;«+i    /  a«      e^-^' rfs  =  —  f  i  —  e"ta)  r(a -f- i). 

On  déduit  de  là,  par  le  même  raisonnement  f|ue  plus  liaul, 

lima-«+' J  =  lima;»-*-'  K  =  (  e-'"*—  i)  A,,  r(a  +  1).  c.  Q.  r.  D. 

Le  second  membre  prend  la  forme  illusoire  o  X  «5  lorsque  x  est  entier  négatif. 
Mais  dans  ce  cas  il  est  aisé  de  voir  que  la  fonction  sous  le  signe  /  est  méro- 
iiKjrphe  à  l'intérieur  du  contour  d'intégration.  On  a  donc 

J  =  .  /,.  [a„  (-3_^^^,  +  A,  ^_';^1"^,,  +  . .  .  +  A-«-.^  +  A_,_,]  . 

Pour  passer  au  cas  où  le  point  singulier  enveloppé  par  le  contour  d'inté- 
gration n'est  pas  zéro,  mais  un  point  quelconque  a,  il  suffit  de  changer  z 
en  z  +  a.  l'our  passer  au  cas  où  x  croît  indéfiniment,  non  plus  par  valeurs 
réelles  positives,  mais  avec  l'argument  Xj  il  suffit  de  changer  x  en  xe'^  en  même 
temps  que  z  en  ze"'^.  Les  résultats  se  déduisent  immédiatement  de  ceux  qui  ont 
été  énoncés  plus  haut. 


256  SUB    LES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    niFFÉRENTIELLES  ORniNAIRES,    ETC. 

Il  est  aisé  devoir  comment  ce  qui  précède  peut  s'appliquer  aux  intét;rales  de 
l'équation  (i).  Soient 

les  n  racines  de  l'équalion  délcrniinante  relative  au   point  singulier  «,  et  c/ 
rintéï;rale  qui  peut  se  mettre  sous  la  forme 

{z  —  ai)\'-^i{z), 

'!>/  étant  holomorpiie  dans  le  voisinajjc  du  point  it;. 

Nous  allons  faire  tendre  x  vers  oo  avec  l'argument  A.  Soit  maintenant  /,  un 
chemin  d'intégration  dont  les  deux  limites  sont  rejetées  à  l'infini  et  enveloppant 
le  point  singulier  a;.  Nous  supposerons  que  quand  ;  tend  vers  l'infini  le  long 
de  ce  contour,  son  argument  tend  vers  une  limite  "h!  telle  que 


par  exemple  vers  tî  —  A. 
Soit  enfin 


iT        ,        , ,        3  7: 
-  <X  +  X'<  — ,■ 
■2  2 


yt=Jvie-^dz, 


l'intégrale  étant  prise  le  long  du  chemin  /,. 

F'our  achever  de  préciser  le  contour  /,,  nous  le  formerons  :  1°  de  la  droite 
a, +Re''"~^',  r/,- +  s  e'''^~'  ,  R  et  s  étant  des  quantités,  la  première  infiniment 
grande,  la  seconde  infiniment  petite  ;  2"  d'un  cercle  complet  décrit  du  |)oint  a, 
comme  centre  avec  s  pour  rajon  ;  o"  de  la  droite  rt,  +  îe"""'',  «j  +  Re"^""' 
parcourue  en  sens  contraire.  Ce  contour  pourra  d'ailleurs  être  remplacé  par 
tout  autre  contour  équivalent. 

Dans  ces  conditions,  lorsque  .x  croîtra  indéfiniment  avec  largunienl /,,  l'inté- 
grale )';  se  comportera  comme 

c'est-à-dire  que  le  rapport 

tendra  vcis  line  limite  (inie  et  déterminée. 

Tel  est  le  résultat,  plus  complet  que  celui  que  nous  avions  obtenu  au  para- 
graphe I,  que  nous  permet  d'atteindre  la  transformation  de  Laplace. 

On  remarquera  d'abord  le  rôle  important  que  joue  dans  ce  résultat  l'argu- 
ment A  avec  lequel  a:  croît  indéfiniment.  On  en  conclura  que  les  intégrales  de 
l'équation  (l)  ne  se  comportent  pas  de  la  même  manière  (|uelleqiie  soit  la  taçon 
dont  X  tend  vers  l'infini. 


SUR    LES    ÉQUATIONS    MNÉMURS    AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  2')7 

Une  autre  conséquence  imporlante,  c'est  que  les  n  intégrales 

Xi-    Xi,     •••-    y,, 

sont  linéairement  indépendantes. 

Faisons  croître,  en  cfl'et,  x  par  valeurs  réelles  positives,  et  supposons  que 
les  ?i  quantités 

soient  rangées  par  ordre  de  parties  réelles  croissantes.  (On  peut  toujours 
supposer  qu'il  n'y  a  pas  deux  de  ces  quantités  qui  aient  même  partie  réelle, 
sans  quoi  on  ferait  croître  r  indéfiniment  avec  un  aii;ument  différent  de  zéro.) 

Soit 

A,  =  lim  e-''i-^xV-t+^ y-j         (A,  dilTcreut  de  zéro). 

Supposons  qu'il  existe  une  identité  linéaire  entre  nos  n  intégrales 

(3)  C|  j-i^  C,  r» -H. . .-(- C„_;-„=  (I. 

Multiplions  l'identité  par 

et  faisons  croître  x  indéfiniment.  L'identité  devient  à  la  limite 

C„A„  =  o,         d'où         C„=o. 

Effaçons  le  dernier  terme  de  l'identité  (3),  multiplions-la  par 

et  faisons  x  =  x.  II  vient  encore 

C„_,  A„_i  =  o.        d'oi'i        C„_i  =  o. 

En  continuant  de  la  soite,  on  démontrerait  successivement  que  tous  les 
coefficients  G  sont  nuls,  ce  qui  montre  que  nos  n  intégrales  sont  linéairement 
indépendantes.  La  transformation  de  Laplacc  conduit  donc  à  l'intégrale  géné- 
rale de  l'équation  (i). 

Il  est  aisé  d'étendre  ce  raisonnement  au  cas  où  l'équation  (^a)  a  des  racines 
multiples. 

Dans  le  paragraphe  1,  nous  avons  vu  que  si 

R(a„)  >  R(a„-,)  >  R(«„-)  >•  •  ■>  R(a,), 

il  peut  y  avoir  certaines  intégrales  particulières  dont  la  dérivée  logarillunique 

tend  non  pas  vers  a„,  comme  cela  a  lieu  pour  l'intégrale  générale,  mais  vers 

«„_,,  vers  a„_2,    ...   ou  vers  a,.  Toutefois  les  principes  de  ce  premier  para- 

H.  P.  -  I,  33 


■ii&  SIR    LES    liol'ATIONS    I.INEÎAIIIKS   AUX    DIl'FEnF.NTIlîLLES    ORDINAIRES,    ETC. 

graplu'  ne  nous  pciinelluicnt  ]);is  diiflirmer  (jiir  ces  Intégrales  parùculières 
exislaiont  réellement.  Ce  que  nous  vouons  de  dire  démontre  l'existence  de  ces 
intégrales  particulières. 

Comme  applicalion  de  ce  qui  précède,  posons-nous  le  problème  suivant  : 

Reconnaître   si   r<'i/i/ii/io/i    (i)   ddiitet    comme    intégrale   un   polynôme 
en  lier. 

Pour  cela  il  faut  d'abord  que  l'une  des  racines  de  l'équation  (2')  soit  nulle. 
Supposons  qu'elle  soit  simple;  soit  par  exemple  : 

c,  =  o. 

Il  faudra  ensuite  que  la  quantité  que  nous  avons  appelée  [j.,  soit  entière  néga- 
tive. Quand  u,  est  entier,  il  n'existe  pas  en  général  d'intégrale  de  l'équation  (3) 

de  la  forme 

o,=  (3  — a/)!J-.'î>,(3), 

car  le  j)oint  singulier  (//  est  en  général  un  point  singulier  logarithmique.  Si 
l'intégrale  c  contient  des  logarithmes,  l'intégrale 


'~-f' 


e'-''  dz 


prise  le  long  d'un  contour  //  en^eloppant  le  point  zéro,  ne  peut  se  réduire  à 
un  polynôme  entier. 

Mais  dans  certains  cas  particuliers,   le  point  sngulicr  zéro  n'est  pas  loga- 
rithmique, il  existe  une  intégrale  de  la  forme 

<t/  étant  holomorj)lio  dans  le  voisinage  du  point  zéro.  La  fonction  re'-''  est  alors 
méromorphe  à  l'intérieur  du  contour  /,,  d'où  il  résulte  que  l'intégrale  yi  se 
réduit  à  un  polynôme  entier. 

Ainsi  pour  que  l'équation  (i)  admette  pour  intégrale  un  polynôme  entier,  11 
faut  et  il  suffit  : 

1°  que  l'équation  (2)  ail  une  racine  nulle; 

2"  que  l'une  des  racines  de  l'équation  déterminante  relative  au  point  singu- 
lier correspondant  de  l'équation  (3)  soit  entière  négative  ; 
3"  que  ce  point  singulier  ne  soit  pas  logarithmique. 

Cela  peut  d'ailleurs  se  vérifier  directement. 


SLR    LES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  2jg 

V.  —  Étude  du  groupe  de  l'équation  (i). 

Cliaciin  sait  ce  qu'on  entend  par  ■groupe  d'une  cqiiation  linéaire.  Lorsque 
la  variable  indépendante  décrit  un  contour  fermé  autour  d'un  point  singulier, 
les  intégrales  de  l'équation  subissent  une  substitution  linéaire  et  c'est  la  combi- 
naison de  ces  substitutions  qui  engendre  le  groupe  de  l'équation. 

On  sait  également  qu'une  subslitutlon  linéaire  est  caractérisée  principa- 
lement par  ses  multiplicateurs  et  que  les  multiplicateurs  de  la  substitution 
relative  à  un  point  singulier  s'obtiennent  immédiatement,  lorsque  les  inté- 
grales sont  régulières  dans  le  voisinage  de  ce  point.  En  efiet  on  les  déduit 
aisément  de  l'équation  déterminante  relative  à  ce  point. 

Il  n'en  est  plus  de  même  quand  le  point  singulier  est  irrégulier,  c'est-à-dire 
quand  les  intégrales  ne  sont  pas  régulières  dans  le  voisinage  de  ce  point.  On 
n'a  alors  pour  le  calcul  des  multiplicateurs  que  des  méthodes  d'approximation 
plus  ou  moins  rapides. 

C'est  ce  qui  arrive  pour  l'un  des  points  singuliers  de  l'équation  (i),  à  savoir 
pour  le  point  x  =  ao.  Ce  point  sera  en  effet  irrégulier  en  général.  Pour  qu'il 
fût  régulier,  il  faudrait  que,  le  polynôme  P„  étant  de  degré />,  le  polynôme  P„_i 
fût  de  degré  (p  —  i)  au  plus,  le  pohnome  P,,_2  de  degré  (p  —  2)  au  plus,  etc. 
Dans  ce  cas  l'équation  (?.)  aurait  toutes  ses  racines  nulles.  Si  on  laisse  de  côté 
ce  cas  très  particulier,  on  n'a  pas  de  méthode  rapide  pour  trouver  les  multi- 
plicateurs de  la  substitution  S  que  subissent  les  intégrales  de  l'équation  (1) 
quand  le  point  x  décrit  un  cercle  de  rayon  très  grand. 

Le  groupe  de  l'équation  (.'>)  est  dérivé  de  n  substitutions  fondamentales 
correspondant  aux  différents  points  singuliers  de  cette  équation,  c'est-à-dire 
aux  différentes  racines  de  l'équation  (2).  Si  ces  racines  sont  simples,  les  points 
singuliers  correspondants  sont  réguliers.  On  peut  donc  trouver  aisément  les 
multiplicateurs  de  ces  subslilutions  fondamentales,  mais  pour  calculer  les  coeffi- 
cients du  groupe  lui-même,  il  faut  employer  des  méthodes  d'approximation. 

Il  y  a  toutefois  entre  le  groupe  de  l'équation  (3)  et  la  substitution  S,  un  lien 
que  je  désirerais  faire  ressortir.  Si  nous  supposons  connu  le  groupe  de  l'équa- 
tion (3),  je  dis  que  nous  connaîtrons  aussi  la  substitution  S. 

Voici  sous  quelle  forme  nous  nous  donnerons  les  coefficients  du  groupe  de 

l'équation  (3).  Considérons  un  point  singulier  quelconque  a,  de  cette  équation; 

soient 

o,     i.     2,     ...,/>  —  ?,     ,u. 


26o  SI  II    LES    KOUATIONS    I.INKAlKIiS     VIA    DIFI'ÉRKNTIKLLES   ORDINAIRES,    ETC. 

les  racines  de  sou  oquulion  délermiuiiiite  el 

''/,1>        ''/.!■         •  ■  •  1        1'/./' 

les  inlégrales  correspoiidaiiles  île  telle  façon  que 

»>//,  =  (--  -«/)'■-'•!'(;)         (/v-  =  i,  V,  ...,/>  -1), 
*;■,,=  (z  —  ai)\>-     <I'(3), 

$(;)  étant  holoniorpiie  dans  le  voisinage  du  point  a,.  Soit  6,  un  point  très 
voisin  du  point  rt/.  Opérons  de  même  pour  chacun  des  points  singuliers; 
joignons  bih/]  quand  la  variable  :;  ira  de  bi  en  bj  en  suivant  la  droite  b,bj,  les 
intégrales  r/^  prendront  certaines  valeurs  qui  pourront  s'exprimer  linéairement 
à  l'aide  des  intégrales  cy.A. 

En  d'autres  termes,  il  y  aura  une  substitution  linéaire  S/y  qui  changera  les 
intégrales  i'n  dans  les  intégrales  e^v,,  de  telle  façon  qu'on  puisse  écrire  avec  la 
notation  symbolique  ordinairement  employée  : 

1',/.=  t'iA-S,;. 

La  connaissance  des  substitutions  S,y  suffit  pour  déterminer  le  groupe  de 
l'équation  (3).  Ce  sont  en  ellet  les  substitutions  que  j'ai  appelées  auxiliaires 
dans  mon  Mémoire  sur  les  groupes  des  équations  linéaires  (Acta  malhema- 
tica,  t.  4,  p.  ao'j;  i884)  (')■  H  est  à  remarquer  que  ces  substitutions  ne  sont 
pas  indépendantes  les  unes  des  autres. 

On  voit  aisément  que  si  l'on  connaît  (n  —  i)  des  substitutions  S,y  (convena- 
bloment  choisies)  on  connaîtra  toutes  les  autres  (^loc.  cit.^  p.  207).  Nous 
conserverons  néanmoins,  pour  plus  de  symétrie  dans  les  notations,  les  «(/i  — ^  i) 
substitutions  S,y  et  Sy/. 

Nous  achèverons  de  délinir  les  intégrales  c,/,  grâce  à  la  convention  suivante  : 

1"  si  /,  :=  j9,  ^{z)  se  réduit  à  1  pour  z  =  ai  ; 

2°  si  A<ip,  î>(3)  se  réduit  à  i  et  ses  (/;  —  1  —  A)  premières  dérivées 
s'annulent  pour  ;  =:  «,. 

Cela  posé,  supposons  d  abord  x  réel  positif  et  très  grand.  Supposons  que  les 
droites  a/è;  qui  sont  très  petites  soient  parallèles  à  l'axe  des  parties  réelles  et 
de  telle  fanon  que  : 

Soit  D,  une  demi-droite  |)arallèle  à  cet  axe,  parlant  du  point  b;  et  s'étendant 
à   l'infini   du   côté  des  parties  réelles  négatives.  Soit  C,  un  cercle   décrit  du 

'')  f^*:'inres,  t.   Il,  p.  3oo. 


SUIS    Li:S    liyUATIOXS    LlNliviniîS    AUX    DIFFÉBIÎNTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  ïOl 

point  Ui  comme  centre,  avec  a,bi  pour  rayon.  Soit  /,  un  contour  formé  de  la 
droite  D,-,  du  cercle  Cj  et  de  la  droite  D,-  prise  en  sens  contraire.  Soit  : 

yi=j  vt,,e--'^dz, 

prise  le  long  du  contour  /,. 

Supposons  maintenant  un  chemin  quelconque  E,;  partant  du  point  bi  et 
sélendnnt  à  l'infini  de  toile  façon  que  l'argument  de  z  tende  vers  la  limite  -n. 
Soit  T-.,  un  contour  formé  du  ciiemin  E,,  du  cercle  C,  et  du  chemin  E,-  pris  en 
sens  contraire.  Cherchons  à  évaluer  l'intégrale 

J  =   /  i'i>  e=<"  dz, 

le  long  du  contour  L,. 

.le  puis  toujours  supposer  cjue  le  chemin  E,  ait  été  remplacé  par  un  contour 
E'j  équivalent,  c'est-à-dire  tel  que  l'on  puisse  transformer,  par  une  déformation 
continue,  E;  en  E^  sans  franchir  aucun  point  singulier.  La  valeur  de  l'intégrale  .1 
n'en  sera  pas  changée. 

Or  on  pourra  toujours  trouver  un  chemin  E^  équivalent  à  E,;  et  formé  de  la 
façon  suivante  ;  ce  chemin  se  réduira  à  une  liane  brisée  dont  les  sommets 
seront  des  points  cj^  infiniment  voisins  de  divers  points  singuliers  aj.  Le  pre- 
mier de  ces  sommets  sera  /',=  c,.  Le  sommet  suivant  sera  cy,  infiniment  voisin 
d'un  point  singulier  aj.  mais  pouvant  être  différent  de  b j.  Puis  viendra  C;,  infi- 
niment voisin  d'un  point  singulier  n^,  et  ainsi  de  suite.  Enfin  la  ligne 
brisée  E|  se  terminera  par  une  demi-droite  partant  du  dernier  sommet,  paral- 
lèle à  l'axe  des  parties  réelles  et  dirigée  du  côté  des  parties  réelles  négatives. 

Nous  pourrons  supposer  que  le  contour  formé  de  la  ligne  brisée  E'-  et  de  la 
demi-droite  D,  ne  contient  pas  à  son  intérieur  d'autre  point  singulier  que  ceux 
qui  sont  infiniment  voisins  d'un  des  sommets  de  E^  .  11  est  évidemment  possiljle 
de  déformer  d'une  manière  continue  ce  contour,  jusqu'à  ce  qu'il  aille  passer 
infiniment  près  de  chacun  des  points  singuliers  qu'il  contient  à  son  intérieur 
(et  cela  sans  lui  faire  franchir  aucun  point  singulier). 

Supposons  maintenant  que  l'on  étudie  ce  que  devient  l'intégrale  c,-/,  lorscjue 
la  variable  z  partant  du  point  bi  décrit  la  ligne  brisée  E|.  Au  moment  où  nous 
arriverons  en  un  sommet  Cj  de  cette  ligne  brisée,  infiniment  voisin  d'un  point 
singulier  ny,  et  que  nous  serons  par  conséquent  dans  le  domaine  de  ce  point 
singulier,  l'intégrale  Vip  pourra  s'exprimer  linéairement  à  l'aide  des  p  intégrales 


■262  SLR    LES    ÉQUATIONS   LINÉAIRES   AIX    1)11  I  ÉHKNTlELLIiS   ORDINAIRES,    ETC. 

de  telle  façon  ciu'oii  aura 

(4)  ''/.,.=  a;.,  (7,,+  A)..,i>/.j  +  ...-+- A^./,cy,,,. 

Les  coeflicienLs  Ay  ,  peuvent  èlre  regardés  coinnie  connus,  car  leur  valeur 
découle  immédialement  de  la  connaissance  des  subsliuilions  S,j,  c'est-à-dire  de 
la  connaissance  du  groupe  de  l'équation  (3). 

Cela  posé,  nous  pouvons  décomposer  le  conlour  L,  de  la  manière  suivante  : 
soit  A,-  le  conlour  formé  de  la  ligne  brisée  E]-  cl  de  la  demi-droite  D,.  Nous 
remplacerons  L,  par  le  conlour  A,,  par  le  conlour  /,  cl  par  le  conlour  C,  pris 
en  sens  contraire.  I>c  contour  lolal  ainsi  obtenu  est  évidemmeni  écpiivalenl  à  L,. 

L'intégrale 


/•■ 


prise  le  long  de  /,,  n'est  autre  que  i/. 

Si  l'on  appelle  K  la  même  intégrale  prise  le  buig  de  /.,,  on  aura 

J  =  K(i  —  e^'t^j-f-J",. 

Maintenant  si  le  conlour  ),,  contient  un  certain  nombre  de  points  singuliers 

aj,     aj',     cij-,      ..., 

on  pourra  le  ieni|)lacer  par  les  contours  correspondants 

/j,    /,.,    /r,    .... 
L'intégrale 


/■ 


prise  le  long  de  /y,  se  réduit,  en  vertu  de  la  relation  (4),  à 

•''    J'" 

il  vient  donc  enfin 

( 5 )  J  =  ( I  -  e^'Tta. ;  v/  A/,^, j.^.  +  J-,-. 

On  voil  que  si  a,-  est  entier  négatif  et  si  le  ])oint  rt,  n'est  |)as  logaiilliiiilf[ue,  il 
reste 

quel  que  soit  le  chemin  L,. 

Cela  posé,  voyons  ce  que  deviendra  l'intégrale  j) ,  lorsque  .r,  partant  d'une 
valeur  réelle  positive  très  grande,  reviendra  à  cette  valeur  après  avoir  décrit  un 
cercle  de  rajon  très  grand.  Pendant  que  x  variera  de  la  sorte,  nous  serons 
obligés  de  déformer  le  conlour  /,  le  long  duquel  est  prise  l'intégrale  jj',-;  car  si 


SLR    Li;S    lioi'ATIO.NS    I.INKA1BIÎS    AUX    DIK|-KHENTlELr.ES    OIIDINAIRES,    ETC.  9.63 

l'on  ne  cliaiigeait  pas  ce  contour,  quand  l'argument  de  x  serait  devenu  plus 

grand  que-^,  l'intégrale  aurait  cessé  d'être  finie  car  la  valeur  absolue  de  e" 

aurait  pu  devenir  jilus  grande  que  toute  quantité  donnée. 

Voici  maintenant  comment  il  faut  déformer  le  contour  /,;  nous  conser\erons 
le  cercle  C,  mais  nous  remplacerons  la  demi-droite  Dj  parcourue  deux  fois  en 
sens  inverse,  par  une  ligne  quelconque  E,  qui  partira  du  point  //  et  s'étendra 
à  l'infini  et  qui  devra  être  également  parcourue  deux  fois  en  sens  contraire. 


Dt 


Nous  nous  arrangerons  toujours  pour  que  l'argument  de  x  soit  à  chaque 
instant  égal  à  -  moins  l'argument  que  prend  ;  en  s'éloignant  indéfiniment  sur 
la  ligne  E,.  De  plui  il  faudra  que  la  ligne  E,  dérive  de  la  demi-droite  D/  par 
déformation  continue  et  cela  sans  jamais  franchir  aucun  point  singulier. 

Quand  l'argument  de  x  sera  revenu  à  la  valeur  zéro,  après  un  cercle  complet, 
la  ligne  E,  (que  d'ailleurs  on  peut  toujours,  comme  nous  l'avons  vu,  supposer 
réduite  à  une  ligne  brisée  E])  prendra  une  forme  définitive  F,  et  l'argument 
de  s  à  l'infini  sur  Fj  sera  égal  à  -. 

Ainsi  dans  la  figure  i ,  on  a  supposé  5  points  singuliers  «,  b.  c,  cl,  e  et  l'on  a 
figuré  le  cercle  C/,  la  droite  D,  et  la  ligne  F,. 

L'intégrale  prise  le  long  du  contour  formé  de  la  ligne  F,,  du  cercle  C/  et  de 
la  ligne  F;  prise  en  sens  inverse,  peut  se  calculer  par  le  procédé  que  nous  avons 
exposé  un  peu  plus  haut;  elle  aura  pour  valeur 

en  conservant  les  mêmes  notations  qu'au  commencement  de  ce  paragraphe. 


at>;i  SIR    I.KS    K^l'ATlONS   I.INKAIIIRS   AUX    nilM'KIlE.NTIiai.ES    OIIDINAIBES,    ETC. 

Mais  cette  intégrale  n'est  aiilrc  rliosc  que  ee  que  devient  r,  quand  x  a  déerit 
un  cercle  très  grand. 

Nous  avons  donc  la  valeur  finale  de  y,  exprimée  linéaiieiiienl  à  l'aide  des 

valeurs  initiales  des  n  intégrales  Vt,  Js J«-  En  d'autres  termes,  quand 

nous  connaissons  le  groupe  de  l'équation  (.'5),  nous  connaissons  aussi  la 
substitution  linéaire  que  subissent  les  intégrales  de  l'équation  (i).  lorscpie  la 
variable  r  déerit  un  cercle  de  rajon  1res  grand.  c.   q.  f.    n. 

Ou  peut  d'ailleurs  faire  la  remarque  suivante.  Si  |ji,  est  entier  négatif  et  que 
le  point  a,  ne  soit  pas  logarithmique,  la  valeur  finale  de  )',  ne  dillere  pas  de  la 
valeur  initiale;  cette  intégrale  n'est  pas  altérée  par  la  substitution  linéaire  que 
nous  envisageons.  On  devait  le  prévoir  puisque  nous  avons  vu  que  cette  inté- 
grale se  réduit  alors  à  un  polynôme  entier. 

VI.   —  Généralisation  des  paragraphes  I  et  II. 

Dans  le  paragraphe  11  nous  avons  considéré  l'équation  aux  dillérences  linies 

(i)  P/.((„+/,-H  PA^iî<„4./,_i-t-.  .  .+  P, ;/„+,+  Pu('„=  0, 

OÙ  les  coefficients  sont  des  polynômes  d'ordre  p  en  n.  Nous  avons  vu  que  la 
limite  du  ra]iport 

"» 

était  en  général  celle  des  racines  de  l'équation 

(2)  A/.c*-+-  A/,_i ;:'•-' -H. .  .h-  Ai  3  +  A»  =  o, 

dont  le  module  est  le  plus  grand;  A/  désignant  le  coefficient  de  ni'  ilans  1'/. 
Nous  avons  piisé  ensuite 

P,  -'^"  A,-*"" 

d'où 

B,  =  lim  Q,  (;i  =  X) 

et  nous  avons  vu  qu'on  peut  remplacer  les  équations  (1)  et  (a)  par  les  suivantes 

(l'"'»)  Un+k-i-  Qt-I  "«+/.— 1  -t-  •  .  ■  +  Qo  «n  =  •'. 

(2'"*)  ^*-H  Bi_i 3''-'  +  ...-+-  Bo  =  o. 

Nous  avons  vu  également  que  le  résultat  subsiste  encore,  lorsque  (),  au  lieu 
d'être  le  quotient  de  deux  polynômes  entiers  de  degré  /;  en  /(,  est  une  fouclion 
quelconque  de  h,  tendant  vers  la  liiuile  B,  cpiand  n  croît  indéfiniment. 


SLR    LES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX   DIFFÉRENTIELLES  ORDINAIRES,    ETC.  265 


II 


Si  lune  des  quantités  B,  est  infinie,  on  en  conclut  que  le  rapport  — ^^  croît 
indéfiniment  avec  n.  C'est  ce  qui  arrive  en  particulier  quand  le  polynôme  P* 
est  de  degré  inférieur  à  celui  des  polynômes  suivants  P/. 

Il  est  nécessaire  alors  d'employer  l'artifice  suivant  : 

Posons 

"„  =  {n'.)\>-v„, 

[X  étant  une  constante  réelle  positive  qu'il  s'agit  de  déterminer  de  telle  façon 
nue  -^^  tende  vers  une  limite  finie. 
L'équation  (i  bis)  devient 

""+'-■  +  (TTTTyi^  '"  ^'•-  +  [(„-4-/o(«^A-.)]i^  ''"^''-'  +  ■••="' 
et  il  s'agit  de  déterminer  [jl  de  telle  façon  que,  pour  n  =  ce,  les  expressions 


(3) 


[{n-hk)\]V- 


soient  toutes  finies  sans  être  toutes  nulles.  Pour  cela,  il  suffit  d'envisager  le 
degré  en  n  de  chacune  de  ces  expressions,  c'est-à-dire  l'exposant  de  la  puis- 
sance de  n  par  laquelle  il  faut  la  diviser  pour  que  le  quotient  tende  vers  une 
limite  finie  quand  n  croit  indéfiniment.  Supposons  que  le  coefficient  Pi  de 
l'équation  (i)  soit  un  polynôme  entier  de  degré  pi  en  n;  Qj  sera  alors  de 
degré  {pi—  p/,).  Or 

est  un  polynôme  d'ordre  /.  —  i  en  n.  Donc  le  degré  en  n  de  l'expression  (3)  est 

Pi  —  [H  —  [i.{k—i)- 
Il  faut  donc  donner  à  jj.  la  plus  j)etite  valeur  qui  satisfasse  aux  inégalités 

(4)  Pk-i-['-/'LPi-^  i^i- 

Si  l'on  cliolsil  jiisleincnl  pour  ia  cette  plus  petite  valeur,  toutes  ces  inégalités 
seront  satisfaites,  de  telle  sorte  que  toutes  les  expressions  (3)  tendront  vers  une 
limite  finie  et  une  d'elles  au  moins  se  réduira  à  une  égalité,  de  telle  sorte  (jue 
toutes  les  expressions  (3)  ne  tendront  pas  vers  zéro. 

On  peut  trouver  graphiquement  cette  plus  petite  valeur  de  [x  de  la  manière 
suivante;  on  marquera  tous  les  points  qui  ont  pour  abscisse  «et  pour  ordon- 
née pi;  on  construira  le  polygone  convexe  qui  enveloppe  tous  ces  points,  et 
H.  P.  —  I.  34 


'6fi  SI  II    l.KS    KQUATIONS    I.INKAIHIÎS    AUX    Kl  I' I  lillI.NI'l  lil.l.lîS    (II\|IINAII1I:.S,    lîlO. 

relui  (les  C(">lés  de  ce  poljj^oiK^  (|ui  iilioiiliiM  nu  |i(iiiil  (/.■,  />/,)  nous  donnera  [A 
|>,ir  son  cocflicicnl  iiiij^iiliiirc.  Ou  Irouvi'ra  dans  la  lij;uic  '  un  oxeinplc  de  cctU; 
di'Icrmiualion  de  •; ,  en  sii|i|ios:inl 


l,rs  [loinls  A,    iî,  C,   I),    l\   I''  corr(^s|)oiidcul    ifs|)ci',|iv(:iii('iil  aux  |iolvn(inics 
!'„,  l'i,  l':i,  V..,  \\,  !'„  cl  c'csl  le  côlé  Ad  du  |iolyj;i)nc  yVCFD  dont  li;  coefficient 


aiiLiiiiaiic  doiiiir  la  valeur  de  u.. 


Soil  alors  (',  la  liiiiili'  de  l'expression  (3)  pour  /;  r_z:  -yj,  ou  loiuieia  recjuaUou 

(  l.!'-')  Zl'^  r,/,:    1  ;'.-!+...+  G,  C  -)-  C„=  O. 

Soil  7.  colle  lies  racines  de  celle  cqiialion  (pu  a  le  module  le  plus  j^iaiid,  nous 
aurons 


(/j+i)    !'•  =  «         (  pour /(  =  «). 


Supposons  iiiainleiiaiil  (jiie  Ions  les  H/  soleil!  mils,  le  ia|i|)i)rl  -^^  lendra 
vers  zéro,  l'oiir  se  rciidi-e  eoiiiple  de  la  façon  donl  ce  iaj)port  tend  vers  zéro,  ou 
clicrcliera  encore  la  plus  |)elile  valeur  de  [;.  (pii  satisfasse  aux  inéi;a!ilés  {/\)\ 
celle  valeur  sera  celte  fois  négative.  On  posera  encore 

Il  I  équation  (i'"'^  deviendra 


fin  iDiiiieia  re(jualion 


yk^S:  !(;,:'=: 


c'ii  appidant  Ci,  la  limite  piuir  /<  infini,  du  coidlicient  de  r„  , ,  dans  I  écpialion  (i'''  )• 
Si  l'on  désigne  ensuite  par  a  cidlc  des  racines  de  (2''')  donl  le  module  est 


■Slîll    IJiS    ICylîATlONS    LINIÎAIRKS    AUX    Din' KHKNTIKI.LISS   OnDINAlHKS,    ETC.  ïfiy 

Ir  plus  ^l'iiiul  ou  .'iiii'.'i 

litn  — ^';-  (/(  -H  I )-!'•  =  oc        I  |)()Mi'  /(  =  05). 

Ui, 

r.;i  iiK^nic  niétliddc  prul  s'applliiuci- aux  (''quations 

(a)  A„c''-4-  A„_,  3""'      +...-4-   Aij     -H    A„    =0, 

ouvisagéos  dans  le  |iaiaf;ia|)lii-  II. 

Supposons  (pic  (picl(|iics-uiis  lies  15  (JcvK'UUcnl  luliuis  <iu  (pu'  Ions  1rs  l> 
devienuriil  nuls.  Dans  Ir  premier  cas  In  dcrivi'c  l(if;aiilliuii(|u<'  <li'  )•  tciidia  vci's 
l'iiiliiil,  dans  le  second  cas  vers  zéro. 

Ou  pourra  loujoui's  Irnuvo^r  deux  noiul)res  (1,  et  'i;  tels  (jiie 

Uni  ^,  =1         I  pciiir  3?  =  »). 

Si   [X/=:o,     \\i=(\i\         si   |Ji/>o,     U/=v.  ;         si  |X/<o.      1!/— o. 


On  considénra  alors  l'ilipialion 

{■/.''■'■)  z"-\-  C„  -,a;l'-..-iî"-<-h.  .  .-1-  CiT!'-.;  -\-  Cnxl'-'—  o. 

Si  dans  (■elle  é(pialiiiii  on  pose  z  =^  tx' ,  elle  di-vienl 

e"-h  y:(\,x\>-i-i'"-iu'  =  o. 

On  donnera  à  X  une  valeur  telle  que  tous  les  exjiosants  A/ — ),(//  -  /)  soient 
tous  nuls  ou  néf^alil's,  sans  être  tous  néf^atifs;  et  faisant  ./'^rx  dans  l'éipiation 
précédente,  il  viendra 

(■/'/'""'■'■)  /" -h  i;  g; /' =  o, 

où 

ù'l=(\l  si    |A/ =),(/(  — /), 

C/=o  si   |X/<X(«  —  ('). 

L'équation  (  ^j//""''' )  en  t  aura  alors  toutes  ses  racines  finies,  sans  (pi'eilos 
soient  toutes  nulles,  .l'appellerai  y.  celle  de  ces  racines  dont  la  parlii'  léelli!  est 
la  plus  f;rande.  .le  dis  qu'on  aura  en  général 

hm  x->-  — —  =  y., 
y  ax 


268  SUR   LES  ÉQUATIONS   LINÉAIRES   AUX   DIFFÉRENTIELLES  ORDINAIRES,    ETC. 

IVmr  le  démontrer,  changeons  de  variable  en  posant 
p  étant  un  exposant  qu'il  reste  à  déterminer;  il  viendra 

les  D  étant  des  coefficients  numériques. 

L'équation  (i'"')  devient  alors 
(i")  i:Q*D,/,ar'P-*-^  =0. 

Dans  cette  équation  le  coefficient  de  -rz^  s'écrit 

D„„x"P-". 

Posons 

2QA-D,Aa:''p-* 


R,= 


D„„x«p-'' 


Remplaçons  dans  Rt  la  lettre  x  par  sa  valeur  ^P,  et  l'équation  (  i")  deviendra 


Quel  est  le  degré  du  coefficient  R,-  en  q?  Le  degré   de   Qa  est  égal  à—; 


vj.  =  — -  H 

P  P 

Le  degré  de  R,  en  ?  sera  la  plus  grande  des  (/;  —  '  +  i )  quantités 

vu-  t  —  n         ( X-  =  f ,  i'  -n ,  ('  -h  2,  .  .  . ,  /)  )• 

Nous  voulons  que  les  degrés  de  tous  les  R,  soient  tous  nuls  ou  négatifs  sans 
être  tous  négatifs.  Nous  choisirons  donc  p  de  manière  à  satisfaire  aux  inégalités 


1^/.  -+■  "  —  ^' 


nio        (i  =  I,  2,  ...,  k). 


9 

Le  degré  de  Ro  est  d'ailleurs  égal  à  ^~ n.  Donc  les  inégalités  précédentes 

peuvent  se  ramener  aux  suivantes  : 

■-= — \-k  —  nio        (/>- =  o,  I,  2,  . . .,  «  —  ij 

ou  i>ien 

|x/,+  n  — A- 


SUR    LES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  sGg 

On  prendra  pour  p  la  plus  petite  valeur  qui  satisfasse  à  ces  inégalités.  Com- 
parons p  à  la  quantité  que  nous  avons  appelée  plus  haut  A.  Ci41e-ci  était  définie 
par  les  inégalités 

[JIA —  X(/l  —  /i)î  G 

OU 


n  —  k 
On  a  donc 

!i    =  X  -f-  I  . 

Si  l'on  donne  à  p  cette  valeur,  les  coefficients  R,  tendent  vers  des  limites 
finies,  quand  x  croît  indéfiniment.  Les  conclusions  du  paragraphe  II  sont  donc 
applicables  à  l'équation  (i*").  Formons  donc  l'équation  (2'"')  qui  joue  par 
rapport  à  (i*")  le  même  rôle  (ju(t  (2)  par  rapport  à  (i).  Si  nous  posons 

liraR,=  E,        (,c=x), 
cette  équation  s'écrira 

(a'')  SE,3'=o, 

et  si  [3  est  celle  des  racines  de  cette  équation  dont  la  partie  réelle  est  la  plus 

grande,  on  aura  en  général 

,.       dv        ,.     x-'-      dy       r, 

liin  — -;-  =  lim — f-  =  p. 

yd\  p    y  ax 

Il  reste  à  déterminer  E,-. 

Pour  cela  reprenons  l'expression 

"  n  II 

Parmi  les  termes  du  second  membre,  il  pourra  y  en  avoir  dont  le  degré  en  x 
est  négatif  et  d'autres  dont  le  degré  en  x  est  nul.  Nous  n'avons  pas  à  tenir 
compte  des  premiers  dont  la  limite  est  évidemment  nulle  pour  x  infini. 

Or  si  k  >  i,  les  inégalités  (5)  montrent  que  le  degré  en  x  de 

est  toujours  négatif.  Il  reste  donc 

E,=  IimQ,ï^  ^u-HMp-i). 

Or  il  est  aisé  de  voir  que 

D„=p', 
il  reste  donc 

E,=  C,o'-",        si  |jt,=  X(/(-0, 
et 

E,=  o,  SI  [Ji,<  X(«—  {■). 


•170  Sl'R    LES    ÉQUATIONS    I.INKAIBHS    AUX    DIFFERENTIELLES   OHRINAIUKS.    ETC. 

Donc   pour  passci-  de   réqualion   (2'"')    à    l^'qiuiticui   (2'/"'"''),  il    siiffU   do 

poser 

_  _  t 

il  vient  donc 

^'\ 

Umx—>-  — —  ■=  a.  c.  Q.  F.  D. 

y  clx 

On  pout  lircr  de  là  une  conclusion  importanli'.  Soit  v  un  nomljre  réel  positif 
plus  grand  que  la  |)artie  réelle  de  —  -  Je  dis  que 

tendra  vers  zéro  quand  x  croîtra  indéfiniment  par  valeurs  réelles  positives.  11 

viendra  en  efTet 

di'  dy  ^ 

e  dx       y  dx 


d'où 

I  i  m   f — I.    

V  dx 


,.  .      dv 

Il  m  x~''  — T-  =  a  —  Yp 


"'"'K"'"''^)"'^*^"     'P*^°' 


R(h)  désignant  toujours  la  partie  réelle  de  u.  Soit  maintenant  5  lui  nombre 

positif  tel  que 

R(a  —  Yp)  <  —  S  <  o. 

Donc,  à  partir  d'une  certaine  valeur  Xa  de  x,  on  aura 

d  ou 

I  •'  l<  I  "0  I  e      ^  , 
Vf,  désignant  la  valeur  de  v  pour  x  =  x^i 
et  par  suite         .  limc=:o.  c.  o- F- !'• 

Celte  proposition,  comme  le  résultat  analogue  démontré  à  la  lin  du  para- 
graphe I  ne  souflVe  aucune  exception. 

Une  dernière  remarque  :  comme  0  est  essentiellement  réel  positif,  la  méthode 
précédente  se  trouve  en  défaut  quand  on  a  pour  tous  les  a^ 

^    ,  +1  <o 
n  —  a: 


SUR    LliS    EQUATIONS    LINEAIRES    AUX    Dll'l' ERE.NTIELLKS   ORDINAIRES,    ET<:.  '7I 

OU 

[//.l— («  —  A). 

Mais  on  n'a-  pas  à  s'inquiéter  de  ce  cas  d'exception,  car  les  intégrales  de. 
l'équation  (i)  sont  alors  rcgiilières  pour  x  très  grand. 

VII.  —  Des  séries  de  polynômes. 

Les  conclusions  des  paragraphes  il  et  \  I  sont  susceptibles  d'une  application 
importante.  Elles  permettent  en  effet  de  résoudre  le  problème  suivant. 

Soient 

P„(.r),     \\(x),     Ps(^),      ...,     P„(T),      ... 

nue  inlinité  de  polynômes  entiers  en  jr,  liés  entre  eux  par  une  relation  de 
récurrence  de  la  forme  suivante  : 

n)  Q/. P„+/.+  Q/,-1  P«+/.-i  + . . .+  Q,  P„+,  +  Qo P„  =  o, 

où  les  Q  sont  des  polynômes  entiers  en  n  et  en  x.  Formons  maintenant  la 
série 

(2)  aoPo+aiPt-+-----+-a«P/.+-- -, 

OÙ  les  a  sont  des  coefficients  constants  quelconques.  Cette  série  sera  conver- 
gente tant  que  le  point  x  restera  intérieur  à  une  certaine  région  du  plan,  et 
divergera  quand  le  point  x  sortira  de  cette  région.  On  demande  quelle  est  la 
courbe  qui  limite  cette  région  de  convergence. 

J'avais  donné  une  solution  de  ce  problème  dans  une  communication  que  j'ai 
faite  là  la  Société  mathématique  de  France  en  novembre  1882  et  dans  une  Note 
que  j'ai  présentée  à  l'Académie  des  Sciences  de  Paris  le  5  mars  i883  ('). 

A'oiei  quelle  est  la  méthode  que  j'employais.  .J'envisageais  la  série  suivante  : 

(3)  _^  =  P„+sPj  +  ...+  2''P„  +  ... 

qui  représente  une  fonction  de  :;  et  de  x.  On  voit  aisément  que  cette  fonction 
satisfait  à  une  équation  différentielle  de  la  forme  suivante  : 

où  les  coefficients  R  et  le  terme  tout  connu  S  sont  des  polynômes  entiers  en  x 

('  )    Cl'  Tullir.    p.    223, 


27'  SUR   LES    KQUATIONS   LINEAIRES   AUX    DIFFERENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC. 

et  en  ;  [').  On  ohliondrn  les  points  singuliers  des  intégrales  de  cette  équalion 
(en  regardant  un  instant  x  comme  une  constante  et  ;  comme  la  seule  variable) 
en  égalant  à  zéro  le  coefficient  R^,.  Soit 


celle  des  racines  de  l'équation  Rp  =  o  (qui  e>.l  une  équation  algébrique  en  ;) 
dont  le  module  est  le  plus  petit.  La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que 
la  série  (3)  converge  (en  laissant  de  côté  certains  cas  exceptionnels)  c'est  que 

mod  z  <  mod  a. 

Or  a  est  évidemment  une  fonction  de  x.  Donc  pour  une  valeur  quelconque 
supposée  donnée  de  z,  la  courbe  qui  limitera  la  région  de  convergence  de  la 
série  (3)  dans  le  plan  des  x  aura  pour  équation 

mod  a  =  mod  z. 

On  en  conclut  aisément  que,  si  les  coefficients  de  la  série  (2)  sont  tels  que  y/a„ 
tende  vers  une  limite  finie  et  déterminée  quand  n  croît  indéfiniment,  la  courbe 
qui  limitera  la  région  de  convergence  de  la  série  (2)  aura  pour  équation 

mod  a  =  const. 

Cette  méthode  a,  on  le  voit,  l'inconvénient  d'être  sujette  ;i  objection  lorsque 
^/a„  ne  tend  pas  vers  une  limite  déterminée. 

Depuis  M.  Pincherle  a  publié  dans  les  Annali  di  Matematica  un  Mémoire 
où  il  traite  par  la  même  méthode  des  questions  analogues.  {Siii  sistemi  di  func- 
tioni  analitiche  . .  .,  2''  série,  t.  12.) 

jM.  Pincherle  envisage  une  fonction  quelconque  <I>(a;,  z),  la  développe  en 
série  selon  les  puissances  croissantes  de  :r  et  de  ^;  il  ordonne  ensuite  cette 
série  suivant  les  puissances  de  z  de  telle  façon  que  l'on  ait 

(5)  <I>fj-,  ;)  =  *(,  +  <J)|  3  -t-  <Iijj=-i-..  .+  <J>„i"-H..  ., 

<l>o.  'l'i,  'Po,  .  .  .  étant  des  fonctions  de  x.  Si  l'on  connaît  les  points  singuliers 
de  'I>(x,  c)  considérée  comme  fonction  de  j,  on  trouvera  aisément,  comme  nous 
\enons  de  le  voir,  les  conditions  de  convergence  de  la  série  (5).  Considérant 
ensuite  la  série  plus  générale 

f5"^)  «0 'l'o  H- ai"!'! +  ■.■-(-  2,,*,,  +  ..., 

(')  L'entier  p  est   le  degré  le  plus  iHevé  des  Q,  en  n,  le  coefficient  R        est  le  produit  de  zv-' 
par  un  polynôme  en  z  de  degré  k;  la  démonstration  en  sera  donnée  plus  loin.  (J.D.) 


SUR    LES    ÉgiUTlONS    LINÉAIRES    AUX    DIFFÉRENTIELLES   OBDINAIRES,    ETC.  '."3 

OÙ  les  a    sont  des  coeflîcienls   quelconques,    M.    Pinclierle  en    détermine    les 
conditions  de  convergence  en  recherchant  un  nombre  tel  que 

lim  a„(  R -t- £)-"  =  o,  liniz„(R  —  ;  )— "  =  x  (pdiii-   /i=x). 

quelque  petite  que  soit  la  quantité  positive  s.  11  est  clair  alors  Cjue  la  série  (5''") 
sera  convergente  ou  divergente  en  même  temps  que 

■!•(,  +  *,  H  -h  l'a  R-  +  •  •  •  -*-  */,  R"  + 

Cette  méthode,  employée  presque  simultanément  par  M.  Hncherle  et  par 
moi,  est  sujette  à  l'inconvénient  que  j'ai  signalé  |>lus  iiaut.  C'est  ce  qui  m'a 
décidé  à  l'abandonner  et  à  employer  de  préférence  les  résultats  des  para- 
graphes Il  et  \l  du  présent  Mémoire. 

La  relation  de  récurrence  (i)  est  tout  à  i'ail  analogue  à  l'équation  (i)  du  para- 
graphe H.  I>es  polynômes  P„  y  jouent  le  même  rôle  que  jouaient  dans  ce  para- 
graphe les  quantités  inconnues  ii „  et  les  coelTicienls  Q  sont  des  polynômes 
entiers  en  n,  pourvu  que  nous  regardions  un^instant  x  comme  une  constante. 

La  lègle  du  paragrapiie  cité  nous  peiincltra  donc  de  déterminer  la  limite  du 
rapport 

y—  (|)oiir  n  =  x). 

Supposons  en  effet  que  les  polynômes  Q  soient  d'ordre  p  en  /?,  et  soit  A,  le 
coefficient  de  nP  dans  Q,-.  Formons  l'équation 

.(6)  A/,z''-h  Ai-,z''~~'-i-. .  .-H  Al  3  -I-  Ao=  o. 

Elle  sera  analogue  à  l'équation  (2)  du  paragraplie  11. 

Il  est  à  remarquer  qne  les  coefficients  A  sont  des  fonctions  de  x. 

Imaginons  que  a  soit  celle  des  racines  de  l'équation  (6)  dont  le  module  est 
le  plus  grand,  a  sera  aussi  une  fonction  de  x  et  l'on  aura,  en  général, 

(7)  11™*^=  a 

'  Il 

et,  par  conséquent, 

(8)  lim 


Cela  posé,  quelles  sont  les  conditions  de  convergence  de  la  série  (2)? 
Formons  la  série  de  puissances 

(9)  a^-ir  ^it  -\-Clif>'-ir  ..  .-^  ï„l"  -{-.  .  .. 

H.  P.  -  I.  S5 


•174  SUR    l.KS    ÉOIATIONS    LINÉAIRES    AUX    DIFFÉRENTIELLES    OllDlNAIRES,    ETl, 

Elle  aura  un  certain  rayon  de  convergence  p,  c'est-à-dire  qu'elle  convergera 
pourvu  que 

Je  dis  que,  si  nous  laissons  de  côté  certains  cas  exceptionnels,  sur  lesquels 
nous  reviendrons  plus  loin,  la  condition  nécessaire  et  suflisante  pour  que  la 
série  (2)  converge  s'écrira 

En  eflet  considérons  une  valeur  de  X  pour  laquelle  celte  condition  soit 
remplie.  On  trouvera  toujours  un  nombre  /  tel  que 

|al<|n<p. 

Pour  celte  valeur  de  t  la  série  (9)  convergera;  de  plus  on  auia,  à  partir  d'un 

certain  rang, 

I  P„  l<  t", 
|a„P„  |<,a„<"î. 

Donc  tous  les  termes  de  la  série  (2)  seront  plus  petits  en  valeur  adsolue  que 
les  termes  correspondants  d'une  série  convergente.  Donc  la  série  (2)  conver- 
gera, c.  g.  F.    n. 

Supposons  au  contraire 

I  a  !  >  P- 

Nous  choisirons  t  de  telle  façon  que 

ia|>l'l>P- 

Il  en  résultera  que  la  série  (9)  sera  divergente  et  qi|e  la  série  (2),  dont  chaque 
terme  est  plus  grand  en  valeur  absolue  que  le  terme  correspondant  de  la 
série  (9),  divergera  également.  c.   q.   f.   n. 

11  résulte  de  là  que  les  courbes  de  convergence  des  séries  de  la  forme  (2), 
c'est-à-dire  les  courbes  qui  limitent  les  régions  du  plan  où  les  séries  de  cette 
forme  convergent,  ont  pour  équation  générale 

[  a  j  =  consl. 

Voici  quelques  exemples  :  .Soit  d'abord 

(«--M)P„-t.2  —  ■in'-x\\,+i-v-(n-+  3;-)\'„  =  u 

la  relation  de  récurrence  qui  lie  trois  pol^jnomes  1'  consécutifs. 
Foriuons  l'équation  (G),  elle  s'écrira 

0'  —  asT  -f-  I  =  1), 


SUR    LES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    OIKFÉRENTIELLES    ORDINAIRES,    ETC.  '.'^S 

et  aura  pour  solutions 

z  =  X  ±  v/ar2  _  ,  ^ 

on  en  conclura  que  les  courbes  de  convergence  ont  pour  équations 


'  I  X  zt  i^x- —  I  I  =  consi . 

si  l'on  a  soin  de  choisir  le  signe  +   ou  le  signe  : —  de  telle  façon  que  le  pre- 
mier membre  soit  aussi  grand  que  possible. 
Posons 

il  viendra 

—  iO-r)"' 

d'où 

X  ±  \/x-  —  I  =  Ç    ou    -• 

A  chaque  valeur  de  x  correspondent  deux  valeurs  de  Ç  dont  le  produit  est 
égal  à  I .  L'une  d'elles  aura  donc  son  module  plus  grand  que  i ,  l'autre  son 
module  plus  petit  que  i .  JNous  choisirons  celle  dont  le  module  est  plus  grand 
que  I.  On  aura  alors 

t.>|i 

et  par  conséquent  les  courbes  de  convergence  auront  pour  équation 

111  =  const. 

Soit 

I  5  I  =  <,         ^  =  te"i', 

il  viendra 

X  =  -  (  t  -\ —  )  ces*  H —  ( / )sln>I>. 

Les  coordonnées  du  point  x  auront  pour  expression 

-(t-\ — )  ces  il»      et      -it Isin*. 

Pour  avoir  les  courijes  de  convergence,  il  faudra  donner  à  l  une  valeur  cons- 
tante et  faire  varier  <I>  de  o  à  2-.  On  obtiendra  ainsi  une  ellipse  ayant  pour 
foyers  les  points  dz  i .  Ce  sont  donc  ces  ellipses  qui  sont  les  courbes  de  conver- 
gence des  séries  de  la  forme 

aoPo-l-aiPi-+-  xsPo-t-...-!-  a„P„  -(- 


•7'î  si'n  i.i;s  kquvtions  linéaires  aux  I)Ifi'i:hentiei.les  oiioinaires,  etc. 

Comme  deuxième  exemple,  supposons  que  la  relation  de  récurrence  (i)  s'écrive 

(«'-l-i)P„+8— 2«^a;P„+l-+-("2.^:2—  n^  )  P„  =  o. 

L'équation  (6)  s'écrira 

;- — iizx-hr-  —  1  =  0,  ' 

el  aura  pour  racines 

z  =  T±l. 

Si  donc  p  est  le  rayon  de  convergence  de  la  série  S ;(„<",  les  conditions  de 
convergence  de  la  série  Sa„P„  s'écriront 

|.r+i[<p,         |j^  — i|<p. 

La  région  de  convergence  se  composera  donc  de  la  partie  commune  à  deux 
cercles  décrits  avec  p  pour  rayon,  des  points  -|- i  et  —  t  comme  centres.  Les 
courbes  de  convergence  seront  donc  formées  de  deux  arcs  de  cercle  de  même 
rayon,  ayant  pour  centres  ces  deux  points  et  limités  en  leurs  points  d'intersec- 
tion sur  l'axe  des  parties  imaginaires. 

Il  est  à  remarquer  que  ces  deux  cercles  ne  se  coupent  que  si  leur  rayon  est 
plus  grand  que  i .  La  série  Sa^  P,,  ne  converge  donc  pour  aucune  valeur  de  x  si 
la  série  1-j.a  n'est  point  convergente. 

Passons  maintenant  aux  cas  d'exception  dont  j'ai  parlé  plus  haut  et  que 
nous  avions  provisoirement  laissés  de  côté.  Le  premier  de  ces  cas  se  présente 
(juand  l'équation  ((i)  a  deux  racines  qui,  sans  être  égales,  ont  même  module  et 
un  module  plus  grand  que  celui  de  toutes  les  autres.  Ce  cas  ne  se  présentera  en 
général  que  pour  des  valeurs  particulières  de  ,r,  à  moins  que  l'équation  (6)  ne 

soit  de  la  forme 

[s  — g(x)]  fs  —  e'«  9(a^)J<I'(3,  ;e)  =  o, 

y.  désignant  une  constante,  o  {x)  une  fonction  de  ;c  et  <I>  un  polynôme  entier 
en  z.  11  arrive  alors  que  le  cas  exceptionnel  dont  nous  parlons  se  présentera 
pour  toutes  les  valeurs  de  x  ou  pour  toute  une  région  du  plan.  Mais  on  pourrait 
voir  que  les  résultats  qui  ont  été  exposés  dans  ce  paragraphe  n'en  subsistent  pas 
moins.  Nous  n'avons  donc  pas  à  nous  intjuiéter  de  ce  premier  cas  exceptionnel. 
Le  second  cas  est  plus  important.  Nous  avons  vu  dans  le  |)aragraphe  II  que 
si  u„  est  l'intégrale  générale  de  récpiation  (  i  )  de  ce  paragraphe,  et  si  a,  p, ... ,  )> 
sont  les  racines  de  l'équation  (2)  rangées  par  ordre  de  module  décroissant,  on 
a  en  général 

lim =  a, 

Un 


SUR    LES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES.    ETC.  «77 

mais  que  pour  certaines  intégrales  particulières  ou  peut  avoir 


lui) ■    =  p,  7,  ...      ou     A. 


Appliquons  cela  au  cas  qui  nous  occupe.  Nous  pouvons  choisir  arbitrairement 
nos  Â-  premiers  polynômes  P,,,  P,,...,  P,;_|,  les  polynômes  suivants  P^,  P/,+  i, 
.  .  .  étant  déterminés  successivement  par  la  relation  de  récurrence  (i). 

Soient  a,  jii,  .  .  .,  ).  les  racines  de  l'équation  (6)  rangées  par  ordre  de  module 
décroissant.  On  aura  en  général 


c'est-à-dire  que  si  l'iui  choisit  d'une  manière  ([uelconque  les  k  premiers  poly- 
nômes P,  ce  n'est  que  pour  certains  clioix  particuliers  que  cette  relation  pourra 
cesser  d'être  vraie  et  qu'on  pourra  avoir 


p 

I  ■        ^  n- 
lim    -jr- 


p V   1  !  ■  •  •     ■■"     "■ 

Ainsi  pour  certains  choix  parli('ulicrs  des  premiers  polynômes,  il  pourra  y  avoir 
exception.  A  quelle  condition  un  pareil  cas  exceptionnel  pourra-t-il  se  pré- 
senter? 

Pour  nous  en  rendre  compte  cherchons  à  former  l'équation  (4)-  Ecrivons  le 
coefficient  Q/  de  la  relation  (i)  sous  la  forme  suivante  : 

0,=  A,.,,(/!  -H  f  )/)-!-  A, ./,_,(«  -H  t,),,-i  +.  ..-H  Ai.->(«  +  t,i2-t- A,.i(rt-t-  Oi^-  ^\-i>('>  ■+-  ')o, 
où  les  A  sont  des  polynômes  entiers  en  x  et  où 

n,j=  n(ii  —  \)...{ii  —  (7-1-1),  /;,  =  «,  «,,=  1. 

il  est  aisé  maintenant  d'écrire  l'équation  (4).  Soit  en  effet,  avec 

k 

dzi  ' 


le  premier  membre  d'une  équation  de  la  forme  (i).  Substituons  à  la  place  de 
y  la  série  — P„c"  et  obser\ons  que  ;'/  -rj^  =i/;,/:"P„,  ce  premier  membre 
deviendra 

V  3"+i- V  [„,,c,,,,r„  +  (n  -^  .)7C,M-ii'"+i  +  .  •  •  +  («  +  in.c^.orn+A-]- 

n  ff  =  0 

Nous  devons  nous  arranger  de  telle  sorte  que  tous  les  termes  où  l'exposant  de  z 


Ï~S  SUR    LBS    ÉQUATIONS    LIMÉAIRES    AUX    DIFFÉRENTIKLLKS   ORDINAIRES,    KTO. 

dépasse  une  certaine  limite  disparaissent.   On  remarquera   que  lu  coellicicnt 
de  «"+*  ne  dépend  que  de  P„,  .  .  . ,  Pn+A  et  peut  s'écrire  : 

^  P«+,[("  -^-  i)pCp,/,-,-\-(n-h  i),,-iCp^t_,,-,-h...-h{n  ■+-  f)()Go,*_,]. 

1  =  0 

Pour   qu'il    soit    nul    en    vertu    de   la    relation    (i),    et  de  l'expression   des 
Qi,  il  suffira  de  prendre  C^.*-,-  =  A,- y,  <]  variant  de  o  à  /)  et  /  de  a  à  /•  (  '  ). 
Le  premier  membre  de  l'équation  (4)  s'écrit  donc 

d'/y 


E  2»'--'-  -"S 


7  =  0      ,ni  =  o 


OU  encore,   en  remplaçant  l'indice  ni  par  l'indice  i^k  —  m,  qui  varie  aussi 
entre  o  et  k. 


2a„./^-^^ 


dz'i  ' 

quant  au  second   membre,  on  le   trouvera  aussi  aisément  |:  Le   polynôme   P„ 

n'est  défini  que  pour  les  valeurs   positives  de  n  ;  convenons,  par  définition, 

d'écrire 

P_i  =  P_2  = . , .  =  P_„  =     .  =  o. 

Quand,  dans  le  premier  membre  de  la  relation  (4),  on  calculera  le  coeffi- 
cient de  !;"+'  pour  /t  =  —  i ,  —  2,  .  . . ,  —  A",  le  résultat  de  ce  calcul  ne  sera 
pas  nul  ;  appelons  H) ,  IIj,  ...,11^  ces  résultats. 

On  verra  alors  que  le  résultat  de  la  substitution  de  J' =  2P„;"  dans  le  pre-. 
mier  membre  de  l'équation  (4)  s'écrit 

Di  a*-i  +  11 ,  i''-^  -+-  . .  +  n /,. 
L'équation  (4)  s'écrira  donc 

Ainsi  dans  le  premier  des  exemples  cités  plus  haut,  le  premier  membre  (4) 
s'écrira 

M)  On  a  modiné  légèrement  ici  l'exposition  de  H.  Poincaié,  qui  avait  iiitiodiiit  sans  nécessité 
le  développement  des  A,  suivant  les  puissances  de  x  :  A ,  =  ï  15,- ., a;''.  Le  résultat  est  donc 
valable  dans  le  cas  où  les  A,    ne  sont  plus  des  polynômes  en  x  [et   par  suite  les  P„  non  plus]. 

(J.  n.) 


SUR    LES   ÉQUATIONS   LINEAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES    ORDINAIRES,    ETC.  279 

En  général  une  équation  de  la  forme 

(les  R  el  S  étant  des  polynômes  entiers  en  :;)  présentera  dans  le  voisinage  du 
point  ;  =^  G  (et  par  conséquent  dans  le  voisinage  d'un  point  z  quelconque)  au 
moins  une  intégrale  particulière  holoniorphe. 

Il  n'y  aurait  d'exception  que  si  tous  les  polynômes  R  s'annulaient  à  ta  fois 
pour  5  =  0,  ou  si  le  point  s  ^  o  était  un  point  singulier  logarithmique,  ou 
plus  généralement  un  point  singulier  dont  l'équation  déterminante  admet  des 
racines  entières. 

Il  résulte  de  là  que  si  l'équation  privée  de  second  membre 

admet  p  intégrales  holomorphes  linéairement  indépendantes,  l'équation  à 
second  membre  en  admettra  (/J  +  i)  (ou  n'en  admettra  aucune,  dans  les  cas 
exceptionnels  dont  il  vient  d'être  question). 

Ainsi,  si  nous  revenons  à  l'équation  (4)  qui  nous  occupe  ici,  le  point  5  =  0 
est  pour  l'équation  sans  second  membre  un  point  singulier  ordinaire  dont 
l'équation  déterminante  n'a  pas  en  général  de  racines  entières.  Donc  en 
général,  l'équation  à  second  membre  admettra  une  intégrale  holoniorphe  el 
une  seule,  c'est  l'intégrale 

Égalons  maintenant  à  zéro  le  coefficient  de  -777»  ce  qui  donne 

et,  considérant  dans  cette  équation  x  comme  une  constante,  envisageons  les 
diverses  valeurs  de  z  qui  annulent  le  premier  membre  (').  Soit  a  celle  de  ces 
valeurs  dont  le  module  est  le  plus  petit  (à  part  3  =:  o,  bien  entendu).  Dans  le 
voisinage  du  point  .;  =  a  [si  a  est  une  racine  simple  de  l'équation  (9)],  l'équa- 
tion à  second  membre  (4)  admettra  en  général  p  intégrales  holomorphes 
linéairement  indépendantes  y',,  y'j,  ...,  jp  el  une  (/>-+-  1)""""  non  holo- 
niorphe y^o+i  dont  il  sera  aisé  de  trouver  le  développement. 

Ces  développements  seront  valables  à  l'intérieur  d'un  certain  cercle  ayant  le 

(')  Celle  équalion  (9)  seréthiil  à  (G)  quand  on  remplace  -3  par   -•  (J.  t>.)     • 


aSO  Sl'n    LES    KO'ATIONS    linéaires    \V\    niFFRRENTIEI.I.lS   OBniNAIRES,    ETC. 

[loiiil  y.  pour  ceatre,  el  c'est  ce  cercle  que  l'ou  pcul  iippeler  le  doiiKtiiie  du 
piiiul  :>:,  de  uième  (|ue  le  cercle  (|ui  a  le  j)()inl  zéro  couiitie  ccuire  el  |  a  |  comme 
ra^'on,  el  à  l'inléricur  duquel  la  série  il',,;"  est  certainemenl  converj;enle, 
s'appellera  le  domaine  du  point  zéro. 

Ces  deux  domaines  ont  une  partie  couimunc.  Si  dans  cette  partie  commune, 
SP„;"  s'exprime  linéairement  à  l'aide  deyi,  /j,  .  .  . ,  y'^,  la  série  ^l\z"  sera 
convergente  pc|,ur  des  modules  de  ;  supérieurs  à  |  ^  |  et  l'on  aura 

P„ 


lini 


> 


Mais  cela  n'arrivera  pas  en  général. 

Je  n'en  dirai  pas  plus  long  sur  ce  second  cas  exceptionnel,  qui  demanderait 
une  élude  plus  approfondie,  et  je  passerai  à  un  troisième  cas  exceptionnel  non 
moins  important  que  les  deux  premiers. 

Reprenons  la  relation  de  récurrence  (i)  et  supposons  que  dans  celte  rela- 
tion les  coefficients  Q,,  regardés  comme  des  polynômes  entiers  en  /(,  soient 
tous  de  degré  inférieur  au  premier  d'entre  eux  Q/,,  ou  bien  que  l'un  des  coeffi- 
cients Q,  soit  de  degré  supérieur  à  Qt.  11  arrivera  alors  que  l'équation  (6) 
aura  toutes  ses  racines  nulles,  ou  bien  aura  une  racine  infinie.  Nous  avons 
appelé  a  celle  des  racines  de  cette  équation  ((j)  dont  le  module  est  le  plus  grand. 

Nous  aurons  ici 

|.x  I  =  o     ou     bien  x 

et,  par  conséquent, 


lim 


P„ 


=  o     ou     bien   ». 


La  méthode  exposée  plus  haut  pour  trouver  les  courbes  de  convergence  des 
séries  2a„  P„  se  trouve  donc  en  défaut,  et  c'est  le  cas  d'appliquer  les  principes 
du  paragraphe  VI.  Posons 


Les  séries  £a„P„  deviennent 


P„=  P'„(/^!;^. 


et  sont  ordonnées  suivant  les  polynômes  P'„  au  lieu  de  l'être  suivant  les  poly- 
nômes P„.   Les  courbes  de  convergence  des  séries  de  la  forme  -a„  l''„  seront 
donc  les  mêmes  que  celles  des  séries  de  la  forme  Sz„P„. 
La  relation  de  récurrence 


devient 


i:Q,p„+,  =  o 


SUR    LES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES    AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  sBi 


«  =  «.['^^]'- 


Nous  avons  vu  dans  le  paragraphe  \1  qu'on  peut  toujours  trouver  une 
valeur  de  u  positive  ou  négative,  telle  qu'aucune  des  fonctions  Q-  (considérées 
comme  fonctions  de  n)  ne  soit  d'ordre  supérieur  à  Q,,  et  qu'une  d'elles  au 
moins  ne  soit  pas  d'ordre  inférieur. 

Soit  alors  q  le  degré  de  Q^^  de  telle  sorte  que 

Q' 

et  soit 

lim  -^  =  A!-         («  =  3c). 

Nous  formerons  l'équation 

(6'"---)  ia;;'"  =  o 

dont  les  racines  seront  toutes  finies  sans  être  toutes  nulles.  Nous  appellerons  x 
celle  d'entre  elles  dont  le  module  est  le  plus  grand;  |  a' |  sera  en  général  une 
fonction  de  s,  et  les  courbes  de  convergence  cherchées  auront  pour  équation 

générale 

j  3t'  I  =  const. 

Je  prendrai  pour  exemple  les  polynômes  de  Legendre  (')  qui  sont  liés  entre 
eux  par  la  relation  de  récurrence  bien  connue, 

(i)  P„+j— •2a"(-2«-(-  3)P„-|.i+  4("  -l-iPP„  =  o. 

Dans  ce  cas  l'équation  (6)  s'écrit 

4  =  0, 


et  l'on  voit  aisément  alors  qu'elle  a  deux  racines  infinies  cl  que,  par  conséquent, 

ons  alors 

r:,(n\)V: 


la  méthode  générale  est  en  défaut.  Posons  alors 


[^a  relation  (1)  deviendra 

p;,+..,("  -^■i)v-{n  -i-  i}v-—-ix(iii  -+-S)(ii  -i-i)!^p;,+i-i-  i(."  +  u-'';,  =  » 

et  si  l'on  prend  ijl  =  1 ,  elle  s'écrira 

(l'"-'J  {n■--h'^ll  +  2)P'„+5  —  2j:(iii  -h  3)(/i  -(-i)P;,+  ,  -h  i{ii  -{-i)-V'„=  o, 

d"  .... 

(')   H    l'oincaré  adopte  ici  la  iléfinilion  .   Pn  =  —, —   (x'— i)",  c'est-à-dire  P„  =  3"h!X„  ou.X,, 

ax" 
est  la  désignation  courante.  (J.  D.) 

H.  P.  —  I.  36 


28»  SL'll    LES    ÉQUATIONS    LINÉAIRKS    AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC. 

d'où  l'on  déduit  l'équation 

(6''")  j2_  4^2-t- 4  =  o. 

Cette  équation  ayant  pour-  racines 


-z  =  xzt  v/.i-î  —  I , 


on  en  déduit  commo  plus  haut  que  les  courbes  de  convergence  sont  des 
ellipses  a^ant  les  points  ±:  i   pour  fojers,  ce  qui  est  un  résultai  bien  connu. 

Un  autre  cas  exceptionnel,  que  M.  Courier  a  bien  voulu  me  signaler,  est 
celui  où  les  racines  de  l'équation  (6)  ou  de  l'équation  (6  bis)  sont  indépendantes 
de  X. 

Prenons  pour  exemple  les  polynômes  P„  définis  par  la  relation 

d" 

et  liés  entre  eux  par  la  loi  de  récurrence 

(l)  P«+2-t-  23-P„+i-|-  -il  /(.   -(-  I)P„=  O. 

L'équation 

(6)  2=0 

ayant  ses  racines  infinies,  nous  poserons 

!>„=  !"„(«!  )?, 
d  où  résulteront  les  équations 

(1*")  ^{ri-^-\){n-^i)P'„_y^-'r-xx  ^n  -+- 1  P;,+,  •+  i(n  -+- i)P'„  =  o, 

(6*«)  32-1-2  =  0. 

Les  racines  de  l'équation  (6'"')  sont  rh  y  —  2  et  sont  par  conséquent  indé- 
pendantes de  X,  de  soite  que  les  régies  précédentes  se  trouvent  encore  en 
défaut. 

Pour  traiter  ce  cas  exceptionnel,  imaginons  d'abord  une  relation  de  récur- 
rence 

où  les  coefficients  Q,  sont  des  polynômes  entiers  en  n  et  en  a;  [ce  qui,  comme 
on  le  voit,  n'est  pas  le  cas  de  la  relation  (i'''^)j  et  formons  les  équations   (4) 


SUR    LES    ÉOrATIONS    LINÉAIRES   Al'X    DIFFÉRENTIELLES    ORDINAIRES,    ETC.  283 

et  (6)  correspondantes 

(6)  SA,2'=o. 

Soit  a  celle  des  racines  de  (6)  dont  le  module  est  le  plus  grand;  supposons 
que  cette  racine  soit  indépendante  de  x. 

Que  dire  alors  de  la  série  2a„P„?  Si  le  rayon  de  convergence  de  la  série 
Sa„<"  est  plus  grand  que  ja|,  la  série  Sa^P«  est  toujours  convergente;  si  ce 
rajon  est  plus  petit  que  |a|,  la  série  Sa,, P„  n'est  jamais  convergente;  enfin 
si  ce  rayon  est  égal  à  |  a  |,  nous  ne  pouvons  rien  dire,  ou  plutôt  le  crité- 
rium fondé  sur  la  limite  du  rapport  -^^^  se  trouve  en  défaut.  On  doit  donc 
recourir  à  d'autres  critères  de  convergence  des  séries;  par  exemple  à  celui-ci. 

On  pose 

u„    ~         n  ' 

et  l'on  cherche  la  limite  de  [i,,  pour  «  =  oo.  Si  cette  limite  a  sa  partie  réelle  plus 
grande  que  i ,  la  série  est  convergente  ;  si  elle  a  sa  partie  réelle  plus  petite  que  i , 
la  série  est  divergente. 

Appliquons  ce  principe  au  problème  qui  nous  occupe. 

Ecrivons  la  relation  (i)  sous  la  forme  suivante,  en  ordonnant  selon  les  puis- 
sances décroissantes  de  /;  : 

m- S  A,  ?„+,-+-  «/'-'  2  B,P„«-(- . . .  =  o, 

les  A,  et  les  B,  étant  des  polynômes  en  x  indépendants  de  n.  Nous  savons  que 
l'équation 

(6)  SA,<;'  =  o 

a  une  racine  indépendante  de  x.  Nous  pouvons  supposer  que  cette  racine  est 
égale  à  i ,  car  si  elle  était  égale  à  a,  nous  poserions 

P„=a"P',,, 

et  nous  remplacerions  les  polynômes  P„  par  les  polynômes  Pj, ,  ce  qui  ne  chan- 
gerait pas  les  courbes  de  convergence. 

On  aura  donc 

SA,  =  o. 

J'appelle  F(3)  le  premier  membre  de  l'équation  (6),  on  aura 

F(i)  =  o. 


aS'l  SIR    LES    KOIATIONS    I.INKAIRKS   AUX    DIFFÉRKNTIELLES   ORDINAIRES,    ETC. 

Soit  donc 


P,,.,=  P„(.-^),  !•„,,=  P„(,-^;^) 


n  -H  1 


Ecrivons  maintenant  la  relation  de  récurrence  (i)  en  remplaçant  les  P  par 
ces  valeurs  et  en  ordonnant  suivant  les  puissances  décroissantes  de  /(.  Nous 
aurons  en  divisant  par  P„ 

/i/'lA, —  ni'  '  1  A/Yjj.i-h  rtP-'i:  B,-t- des  lennes  en  «''-',  nf-'^,  . .  .  =  o. 
Dans  cette  t'orniule,  on  a  posé 

Si  lini^„=  [3,  on  aura 

Si  l\>n  remarque  que  SA;=(),  on  verra  que  le  terme  en  «/'""'    qui  est  le 

.       .• 
premier  terme  s'écrit 

ni'  '(i:B,— SA,Y«,). 
A  la  limite  ce  ternie  doit  s'annuler,  ce  qui  donne 

|3i;A,=  i;B, 
ou 

^       il  A,-        F'u)' 
Considérons  alors  une  série 

—  ■*'('   ni 
OÙ 

=<n+1  ,         Y,,  ,. 

=  1—  "  >  oiii  Y«  =  Y- 

=<n  n 

La  condition  de  convergence  s'écrira 

R(S  +  Y)>>- 

Il  résulte  de  là  (|ue  les  eouiljcs  de  convergence  ont  pour  équation  générale 

R([J)  =  const. 


R     7T —  I  =  cons 
[h  (i)J 


Ce  résultat  peut  se  rattacher  à  l'élude  de  l'équation  (4)  de  la  manière  sui- 
vante. Pour  cette  équation  le  point  ;=  est  un  point  singulier,  mais  nous  avons 
miintié  plus  liaut  comment  on  peut  toujours  supposer  a  =  i.  Le  point  singu- 
lier que  nous  avons  à  considérer  est  donc  z  ^  \ .  On  a  alors 

I' 


m:r  les  i';qiiatioxs  mxkaires  aux  différentielles  ordinaires,  etc.  285 

et  la  série  SP„;"  qui  est  une  intégrale  de  l'équation  (4)  est  convergente  dans 

le  cercle  de  rayon  i .   Nous  supposerons  que  le   point  :  =  i    est   une    racine 

simple  de  l'équation  (6),  alors  les  racines  de  l'équation  déterminante  corres- 

ponilanle  seront 

o,      I,     2.      ...,     p  —  1,     n. 

Cherchons  la  valeur  de  p..  Le  premier  membre  de  l'équation  (j)  s'écrit,  en 
reprenant  des  notations  employées  un  peu  plus  haut. 


Or  si  l'on  remarque  que  ces  notations  donnent 

A,=  A,-,,, 

on  verra  que  les  deux  premiers  termes 'du  premier  membre  de  l'équalion  (4) 
seront 

dP  V  dl'~^  V 

1  dzf-^  dzP-^ 

pour;  =:  1 ,  le  coefficient  de  -jf^  s'annule  et  si  l'on  divise  par  ;  —  i,  le  quotient 

•  df — ^  V 

se  réduit  à  —  t  (•)>  quanl  au  coefficient  de    ,^  ^ j^  il  se  réduit  à 

Z\\,~ p  F  (i). 

L'équation  déterminante  s'écrit  alors 

—  F'(i)p(p  —  U.  ••(?—/>  +  U  +  f-  1^/  — />?■(!)]?■(, o  —  t).  .  .(p  —/J  + 2)  =  o. 

On  lire  de  lA 

i;B, 


F'(i) 
ou 

Il  est  aisé  d'apercevoir  le  défaut  de  ce  raisonnement.  Il  suppose  l'existence 
de  la  limite  fl  ;  je  crois  qu'il  n'y  aurait  pas  de  difficulté  à  démontrer  cette 
existence  mais  cela  m'entraînerait  trop  loin. 

Parlons  maintenant  des  cas  où  la  méthode  précédente  ne  s'applique  pas,  et 
d'abord  revenons  sur  l'exemple  dont  nous  avons  parlé  plus  haut  et  considérons 


>S()  SUR    LES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES    AUX    DIFFÉRENTIELLES    ORDINAIRES,    ETC. 

les  polynômes 

L'équation  (i''")  ordonnée  suivant  les  puissances  décroissantes  de  n  s'écrira 

n(P'„+, -H  îP;,)  +  v/n.2xP'„+, -^  (.^  P',,+2  ■+- P'„+, )+...=  o. 

La  présence  du  terme  en  \//(  empêche  que  la  méthode  précédente  puisse  s'ap- 
pliquer. De  plus  une  autre  difficulté,  spéciale  également  au  cas  qui  nous 
occupe,  vient  encore  s'ajouter  à  la  première.  En  efl'et,  l'équation 

a  deux  racines  de  même  module.  On  en  conclut  que  l'on  peut  poser 

P;,=  Q„+R„, 

Q„  et  R„  étant  des  fonctions  de  x  telles  que 

P' 

tandis  qu'en  général  -^^  ne  tend  vers  aucune  limite. 

De  plus  Q„  et  R„  satisfont  à  la  même  relation  de  récurrence  que  1*^.  l'osons 
alors 

n  II 

il  viendra 

d'"-)  «(— Q;,+i!-^-Q'«)^-/■^  2£>Q'„+,-|-...=  0, 

d'/'"""-)  n(—  R'„+2-t-  R'„)  —  v^2n.2«:cR'„+,H-.  .  .  =  o. 

Posons  ensuite 

Q;„.  =  Q.(.^f|);      Q-  =  *..(-7|=)- 

La  relation  (i''')  ordonnée  suivant  les  puissances  décroissantes  de  n  s'écrira 

/n(Pn-l-  '^,l+^)-^^/^^n  2ixQ'„+,-4-.  .  .  =  o, 

d'où 

liiiip„  =  — ix\/'i,  pour         (/i  =  k). 

Si  de  même  on  pose 

KU,  =  R;i.-  ^ 

on  trouvera 

liiii'P),  =  2J.r /a. 


SUR    LKS   ÉQUATIONS    LINKAIllES   AUX    DIFFÉRENTIELLES   ORDINAIRES,    ETC.  287 

Soit  maintenant  la  série 


et 


=  1 7=)  lini  Yn  =  Y  =  T')-^- 'ïi- 


La  condition  de  convergence  sera 

partie  réelle  de  (y  -t-  -lix^i)  >  o. 
En  conséquence  les  conditions  de  convergence  de  la  série 


s  écriront 


(partie  imaginaire  de  .cj'<  ôTo- 


Les  régions  de  convergence  sont  donc  limitées  par  deux  droites  parallèles  à 
l'axe  des  quantités  réelles  et  situées,  de  part  et  d'autre,  à  égale  distance  de  cet 
axe.  L'ensemble  de  deux  de  ces  droites  forme  une  courbe  de  convergence. 

De  même,  en  supposant  que  les  coefficients  de  la  relation  (i)  soient  des  poly- 
nômes entiers  en  «,  auquel  cas  la  difficulté  précédente  serait  écartée,  la 
méthode  exposée  plus  haut  serait  encore  en  défaut,  si  F'(i)  était  nul.  Voin 
comment  il  faudrait  opérer  dans  ce  cas  : 

1"  Supposons  que  F'(i)  soit  nul  sans  que  SB,-  le  soit.  On  posera 
Supposons,  pour  fixer  les  idées,  ^  =  2  ;  la  relation  (1)  s'écrira 

Il  vient  en  ordonnant  suivant  les  puissances  décroissantes  de  n  et  en  posant 

Q,  =  A,/i''-H  Bin/'-i-h.  .., 

1 
nP(  A2  +  A, -H  Ao )  —  p /"  ' (  2  A.2 -I- A,  )  + /i/--' (  l^i  +  B,  +  B„ ) 


Soit 
d'oi'i 


-+-  Aara''-'^^-!-  /i''-i(ïn-t-i  A..2+  Tu  A.,-)-  y„A,  )+...=  o. 
lim  Y„=  Y, 
lim(Y„-nA2-+- Y«A, -+- YnA,)  =  y  F'(')  i 


■iSS  SIH    I.KS    ÉQUATIONS    LINKAIRES   AUX    UH'KÉIlliNTIKLLES   OnOlNAinES,    ETC. 

il  viendra,  en  tenant  compte  de 

F  (i)  =     A.2+  A,+  A„=  o, 
F(i)  =  2Aj+  A|  =  o, 

et  en  divisant  par  nP~' 

A,|3»+B.,+  B,+  B„-hH  =o, 


H  représentant  des  termes  qui  s'annulent  avec  -  •  On  tire  donc  de  là 


n 

i;B, 


A, 
Les  courbes  de  convergence  ont  pour  équation  générale 

paiiie  réelle  de  [3  =  const. 

2"  Supposons  maintenant  que  F'(i)  et  SB/  soient  nuls  à  la  fois;  dans  ce  cas 
le  point  5  =  1  est  un  point  singulier  pour  l'équation  (/j)  dans  le  voisinage 
duquel  les  intégrales  sont  régulières.  (Elles  sont  irrégulières  lorsque  F'(i)  est 
nul  sans  que  SBj  le  soit).  Les  racines  de  l'équation  dèleruiinante  seront 

o,      I,     2,     3,      ...,     p  —  3,     p'     et      a". 
Si  l'on  pose 

P        -?    (x        ^" 


lim  [3„=  |Ji  +  I, 
a  étant  celle  des  racines  a'  et  iji."  dont  la  partie  réelle  est  la  plus  petite. 

VIII.  —  Résumé. 

Dans  ce  travail  je  me  suis  proposé  plusieurs  buts,  mais  le  premier  et  le  plus 
important  d'entre  eux  était  de  contribuer  à  l'étude  des  intégrales  des  é(|uations 
linéaires  dans  le  voisinage  d'un  point  donné.  Si  en  ellet  nos  connaissances  sont 
assez  complètes  à  ce  sujet  lorsque  le  point  donné  est  un  point  singulier  à  inté- 
grales régulières,  nous  ne  savons  presque  rien  sur  les  intégrales  irrégulières. 
J'ai  cru  qu'il  ne  serait  pas  inutile  de  montrer  comment  on  peut  trouver  une 
fonction  simple  dont  le  rapport  à  l'intégrale  étudiée  tende  vers  l'unité  quand 
on  se  rapproche  du  point  singulier.  C'ét;iit  un  premier  pas  dans  l'étude  de  ces 
intégrales  irrégulières. 


SUR    LES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES   AUX    DIFFÉRENTIELLES    ORDINAIRES,    ETC.  289 

Pour  atteindre  ce  but,  j'ai  dû  employer  comme  auxiliaire  la  transformation 
de  Laplace,  et  j'ai  été  amené  en  passant,  à  compléter  la  théorie  de  cette  trans- 
formation, comme  nous  le  permettent  les  progrés  récents  de  nos  connaissances 
sur  les  variables  imaginaires.  J'ai  rencontré  ainsi  deux  théorèmes  qui  peuvent 
d'ailleurs  se  démontrer  aisément  sans  l'aide  de  la  transformation  de  Laplace. 

En  premier  lieu,  si  une  équation  linéaire  d'ordre  n  a  pour  coefficients  des 
polynômes  de  degré  p  en  x,  elle  admettra  («  —  p)  intégrales  indépendantes  holo- 
morphes  dans  tout  le  plan. 

Le  second  théorème  peut  faciliter  la  recherche  des  cas  où  une  équation 
linéaire  admet  comme  intégrale  un  polynôme  entier. 

Les  équations  dilTérentielles  linéaires  présentent  la  plus  étroite  analogie  avec 
les  équations  aux  différences  finies  de  forme  linéaire,  ou  en  d'autres  termes, 
avec  les  relations  linéaires  de  récurrence  entre  (/r-|-i)  quantités  consécutives 

Cette  analogie  se  poursuit  dans  les  résultats,  et  la  même  méthode  qui  permet 
d'étudier  les  intégrales  irrégulières  des  équations  différentielles,  nous  donne, 

dans  le  cas  des  relations  de  récurrence,  la  limite  du  rapport  — ^^  pour  n  infini. 

Ce  résultat  a  une  application  immédiate  dans  la  reciierche  des  courbes  de 
convergence  des  séries  ordonnées  suivant  des  polynômes  [récurrents],  c'est- 
à-dire  des  séries  de  la  forme 

«0  Po  +  «1  Pi  + .  . .  -1-  a„  P„  + .  . . , 

lorsque  les  P  sont  des  polynômes  entiers  on  x  et  qu'il  y  a  une  relation  de  récur- 
rence entre  k-\-\  polynômes  consécutifs. 

Ces  considérations  font  comprendre  comment  j'ai  été  conduit  à  réunir  dans 
un  même  travail  des  recherches  en  apparence  très  différentes  et  expliquent  un 
défaut  d'unité  que  je  prie  le  lecteur  de  vouloir  bien  excuser. 

Paris,  10  novcmljie  1S84. 


H.  P.  -  I.  37 


SUR 

LES  INTÉGRALES  IRRËGULIÈRES 


DES 


ÉQUATIONS  LINÉAIRES 


Acta  matliemalica,  t.  8,  p.  2g5-344  (1886). 


I.  —  Séries  asymptotiques. 

Tous  les  géomètres  connaissent  les  curieuses  propriétés  de  la  série  de  Stirling. 
Cette  série  : 


I  /i\  RiRt 

lop;  r(x  +  i)  =  -logdTî)  -H  (a;4-  -]\oex  —  x-\ ' :r4  -; 

1  \  '■  /  \  .i.  X        3 . 4  Jî' 


_5î  -L 

5.6  a:^ 


est  toujours  divergente.  Cependant,  on  peut  en  faire  légitimement  usage  pour 
les  valeurs  très  grandes  de  x.  En  eflet,  les  ternies  après  avoir  décru  avec  une 
très  grande  rapidité,  croissent  ensuite  au  delà  de  toute  limite.  Mais  si  l'on 
s'arrête  au  plus  petit  terme,  l'erreur  commise  sur  la  valeur  de  logr(j;  +  1)  est 
très  petite. 

En  d'autres  termes,  la  série  de  Stirling  représente  asymptotiquement  la  fonc- 
tion logr(a;+  i);  c'est-à-dire  que  si  S,j  est  la  somme  des  premiers  termes  de 
cette  série  jusques  et  y  compris  le  terme 


in  (in  —  I  )  X" 

l'expression 

.c'>+i(logIV.r-Hi)-S„] 

tendra  vers  zéro  quand  .r  croîtra  indéfiniment. 

11  existe  évidemment  une  infinité  de  séries  dont  les  termes  après  avoir  décru 


SUR    I»ES   INTÉGRALES   IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQUATIONS   LINÉAIRES.  agi 

très  rapidement  croissent  au  delà  de  toute  limite.  Si,  par  exemple, 

A.,,     A,,     ...,     A„,     ... 

sont  une  série  de  nombres  tous  plus  petits  que  i,  mais  ne  tendant  pas  vers  zéro, 

la  série 

Al  A,  A„ 

—  .1  H r.i-2-*----H 7,  ■i.2.3...n-f-... 

sera  divergente,  et  l'on  y  trouvera  des  termes  aussi  grands  qu'on  voudra.  Mais 
cependant  si  x  est  très  grand,  les  premiers  termes  décroissent  très  rapidement. 
Ainsi,  si  .r  =  n  et  que  n  soit  très  grand,  le  n'""''  terme 


A„ 

1.2. 


••"<'('-i)('-^)---('-V)<"^-" 


est  extrêmement  petit. 

Je  dirai  qu'une  série  divergente 

,  ,  .         A,        A,  A„ 

(l)  AoH ■  -\ --!-.. .H "-i-..., 

'  X  X^  X"  ' 

où  la  somme  des  (/j  +  i)  premiers  termes  est  S„,  représente  asymptotiquement 
une  fonction  J(x)  si  l'expression 

x«(J-S„) 

tend  vers  zéro  quand  x  croît  indéfiniment.  En  effet,  si  x  est  suffisamment 
grand,  on  aura 

e  étant  très  petit  ;  l'erreur 

commise  sur  la  fonction  J,  en  prenant  les  n  +  i  premiers  termes  de  la  série,  est 
alors  extrêmement  petite.  De  plus,  elle  est  beaucoup  plus  petite  que  l'erreur 
commise  en  prenant  seulement  n  termes,  et  qui  est  égale  à 


£  étant  très  petit  et  A„  fini. 

Il  résulte  donc  de  là  que  la  série  (i)  se  comportera  tout  à  fait  comme  la  série 
de  Stirling;  que,  si  x  est  très  grand,  ses  termes  décroîtront  d'abord  rapidement 
pour  croître  ensuite  au  delà  de  toute  limite,  et  que  malgré  sa  divergence,  il  sera 
légitime  de  s'en  servir  dans  le  calcul  de  J.  Je  dirai  aussi  quelquefois  pour 
abréger  que  la  série  (i)  est  une  série  asymptotique. 


)9^  SUR   LES   INTEGRALES   IRRÉGULIERES   DES  EQUATIONS  LINÉAIRES. 

On  peul  imiltiplier  l'une  par  l'aulre  ilciix  séries  asjmplotiques  d'après  les 
mêmes  règles  que  les  séries  ordinaires.  Soit  en  efiet,  asjniploliquement, 

A,        A,  A„ 


J  (jc)  =  Ao  ■.  .       ,     


,,,  ,     .,     A',     A!,  a;, 

J'(x)  =  A„H !.  -+-  -^  -4- . . .  +  _i! 

X  X^  X" 


en  définissant  S„  et  S„  comme  plus  haut, 


„=A(,H h...-t--^, 

X  X" 

A'.  A' 

"         X  x" 

Les  deux  équations  (2)  signifient  que 

(3)  lira  a;«(J  —  S„)  =  lim  a^"(J'— S;,  )  =  o. 

Faisons  le  produit  de  nos  deux  séries  d'après  la  même  règle  que  si  elles 
étaient  convergentes  ;  soient 

2  =  B(,-1 1 -t-...H -*-... 

X         x'  x" 

et  Sn  la  somme  de  ses  n  premiers  termes. 

Comme  S„,  S|,   et  S„  sont  simplement   des   polynômes  en-,   on  aura  évi- 
demment 

lim.r"(S„S;,—  !.„)  =  o. 
On  a,  de  plus, 

lim  ^  =  uni  —  =  I,  hm  —  =  lim  — -  =  i. 

O/i  Ofi  A(j  Aq 

C'est  une  conséquence  immédiate  des  équations  (3). 
11  vient  alors 

•^  =  S"  ^-  ^  •        ■•  =  S'«  +  ;^  ' 

lim  £  =  lim  e'  =  o, 

d'où 

S'„E-HS„£-t-- 

JJ'=S„S'„+  — ; 

S'   tend  vers  A',  et  s  vers  zéro;  donc  S'e  tend  vers  zéro.  De  même  S„e'  et  — 

tendent  vers  zéro.  Donc 

lim  x"(M' —  S„S^,  )  =  o 

et,  par  conséquent, 

limx"(JJ'—  !„)  =  o, 


SUR    LES    INTÉGRALES    IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  1^3 

ce  qui  veut  dire  que  l'on  a,  asjmptotiquement, 

JJ    =  hioH 1 -+....  C.  Q.  F.  D. 

En  particulier,  il  est  permis  d'élever  une  série  asjmptolique  au  carré  ou  à 
une  puissance  quelconque.  Soit  maintenant 

(4)  F(z)  =  B„-t-Bi3+...+  B„i''  +  ... 

une  fonction  liolomorphe  de  ,:  dans  le  voisinage  de  ;  =  o  ;  la  série  du  second 
membre  sera  cette  fois  convergente.  Soit 

X 

une  série  diveriicnte  représentant  asjmptoliquenieut  une  fonction  J.  Si  l'on 
élève  la  série  S — Aq  à  la  puissance  n  d'après  la  même  règle  que  si  elle  était 
convergente,  on  obtiendra  une  série  (S  —  A^)"  ordonnée  suivant  les  puissances 
de  -  et  représentant  asjmptotiquement  (J  —  Ao)". 
Formons  ensuite  la  série  divergente 

B„+  Bi(S- A„)H-...-f-B„(S-A„)«H-... 
et  ordonnons-la  suivant  les  puissances  croissantes  de  -•  Nous  obtiendrons  une 

'  X 

série  divergente 

X  X'  X"  ' 

dont  la  somme  des  («  4-  i)  premiers  termes  sera  2„.  Je  dis  qu'elle  représentera 
asjmptotiquement  la  fonction  F(J  —  Aq). 
En  effet  S„  et 

2!,=  Bo-+-B,(S„-Ao)-hB2(S„-Ao)'^-h...+  B„(S„-A„)'' 

sont  deux  poljnonies  entiers  en  -  dont  les  termes  de  degré  inférieur  à  («  +  i) 
ne  diffèrent  pas.  On  aura  donc 

Umx"i  ï:-—  ï'  »  =  I 

X=  oo 

Je  dis  maintenant  que 


X=  ùO 


lim^"[F(J-Ao)-l'„]  =  o. 
En  eflfet,  on  aura  évidemment 

limar«[B4-(  J  —  Ao)"—  B/t(S„-  A„)"]  =  o, 


2()4  SUR    LES   INTÉGRALES   IRHÉGULIÈRES   DES   ÉQl'ATIONS   LINÉAIRES. 

puisque  (S  —  Aq)*  représente  asymploliquemenl  (J  —  Ao)*.  Posons 

T„  =  li„+  13, (.1  -  A„)  -H. .  .-H  B„(J  -  A„)«, 

il  viendra 

lin,  r''(T„-S;,)  =  o. 

11  reste  à  démontrer  que 

lini  ar''(F  —  T„)  =  o. 
Or,  il  vient 

F-T„=  IWi(.l  -A„)"+'+B„+2(J-A„)''+2  +  ., 

ou,  puisque  la  série  (4)  est  convergente, 

I  F  -  T„  |<  M  1  J  -  A„  1''+'  <M\x{i-Xo)  1"+'  ^ . 

M  étant  une  constante  positive  assignable.  Or,  on  a 

limar(J  —  Aj)  =  A],  \\mx"—^^=o, 

d'où 

lim  œ"\F  —  T„  1=0.  G.  Q.  F.  D. 

Ainsi,  il  est  permis  de  substituer  une  série  asymptolique  dans  le  dévelop- 
pement d'une  fonction  holomorphe  comme  s'il  s'agissait  d'une  série  convergente. 
Soit,  par  exemple, 

X  x^ 

une  série  représentant  asjmjilotiquement  une  fonction  J.  Elevons-la  au  carré, 
au  cube,  etc.,  et  appelons  S^,  S',  ...  les  séries  divergentes  ainsi  obtenues. 

Formons  la  série 

I  -(-  S  -I-  S2  -+-  S'  -<- . . .  -H  S"  H- . . . , 

et  ordonnons-la  suivant  les  puissances  croissantes  de  -•  Nous  obtiendrons  ainsi 

'  X 

une  série  S  qui  représentera  asjmptotiquement  la  fonction 


1  — J 


Cela  montre  que  l'on  peut  diviser  l'une  par  l'autre  deux  séries  asymptoliques 
pourvu  que  le  premier  terme  Aq  de  la  série  diviseur  ne  soit  pas  nul. 
En  effet,  si  l'on  a  par  exemple 


A„    .      ^     -H J, 


S'=  A'o-H  ^  -(-...=  J', 

X 


SUR    LES    INTÉGRALES   IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQUATIONS   LINÉAIRES.  7.^5 

la  série  -r  sera  représentée  asymptotiquement  par  la  série  divergente 

r  +  |^(Ao-S)+|i(A,-S)»  +  ... 

qui  est  facile  à  former. 

Il  est  permis  d'intégrer  [terme  à  terme]  une  série  asymptotique.  Ainsi,    si 
l'on  a  asymptotiquement 

x^        ar'  x" 

je  dis  qu'on  aura  asymptotiquement 

/      i  cix  = h  ■ — -  + .  .  .  + -I- .    .  =  S  . 

J^  X        ix^  (n  — i)a;"-' 

En  effet,  la  première  équation  signifie  que  l'on  peut  prendre  x  assez  grand 
pour  que 

|J-S«I<:^ 
quelque  petit  que  soit  z. 
On  en  déduit 

/      J  dx  —  I      S„  c/x 


X" 


< 


(n—t)x''~i 
qui  veut  dire  que  S'  représente  asymptotiquement   /  idx. 


c.    Q.    F.    n. 


Il  ne  serait  pas  permis,  au  contraire,  de  differentier  [terme  à  terme]  une 
série  asymptotique. 

Nous  dirons  aussi  quelquefois,  si  F,  <I>  et  J  sont  trois  fonctions  de  x,  que  J 
est  représenté  asymptotiquement  par  la  série 


FA,       FAs 

<1>  +  FAo  H -I -ï  -I- . . . 

X  X* 


quand  la  série 

A         A.1        A, 

X         x^ 


,      e  ■         J  — "J» 

représentera  asymptotiquement  la  tonction 


F 
Il  résulte,  par  exemple,  de  l'analyse  qui  précède,  que  si  l'on  pose 

F  =  e-*ar^'  \/ikx, 


296  SIR    LES   INTÉGRALES   IRRÉGULIÈRES   DES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES. 

on  «Tura  as^mplotiquenient 

les  C  étant  des  coefficients  faciles  à  calculer;  les  premiers  ont  pour  valeur 

Nous  avons  dit  jusqu'ici  c(ue  x  croissait  indéiinimeiit,  sans  dire  de  quelle 
manière;  mais  il  a  été  sous-entendu  que  cette  variable  croissait  par  valeurs 
réelles  positives.  11  est  toutefois  évident  que  la  théorie  n'est  pas  changée  quand 
on  suppose  que  x  tend  vers  l'infini  avec  un  art;uiiient  déterminé  différent 
de  zéro. 

Voici  maintenant  une  remarque  très  importante  pour  ce  qui  va  suivre  :  Une 
série  divergente  ne  peut  pas  représenter  une  même  fonction  J  quel  que  soit 
l'argument  avec  lequel  x  tend  vers  l'infini. 

Je  dis,  en  effet,  que 

ne  peut  pas  tendre  vers  zéro  pour  tous  les  arguments  de  x  (ou  du  moins  ne 
peut  pas  tendre  uniformément  vers  zéro),  sans  quoi  J  serait  une  fonction  holo- 

morphe  de  ->  et  la  série  serait  convergente. 

On  peut  se  demander  si,  pour  un  même  argument  de  j",  une  même  série  peut 
représenter  asjmplotiquemenl  plusieurs  fonctions  différentes.  La  réponse  doit 
être  affirmative. 

11  suffit,  pour  s'en  assurer,  de  vérifier  qu'il  j  a  des  fonctions  .1  qui  sont 
représentées  asymplotiquement  par  une  série  dont  tous  les  termes  sont  nuls, 
c'est-à-dire  des  fonctions  telles  que 

I  i  m  .1 X"  =  o 

quel  que  soit  «,  quand  x  croît  indéfiniment  par  valeurs  positives. 
Tel  est,  en  effet,  le  cas  de  la  fonction 

J  =  e--''. 

En  revanche,  pour  un  même  argument  de  x .  une  même  fonction  ne  peut  être 
représentée  asymplotiquement  que  par  une  seule  série. 


SUR    LES    INTEGRALES    IRREGULIERES    DES    EQIATIONS    LINÉAIRES  297 


II.  —  Séries  normales. 

Je  vais  maintenant  rappeler  succinctement  les  principaux  résultats  obtenus 
par  MM.  Fuchs  et  Tliomé  ;ui  sujet  des  équations  linéaires. 
Soit 

une  équation  où  les  coefficients  P  sont  des  poljnomes  entiers  en  x.  Je  me  pro- 
pose d'étudier  les  intégrales  pour  les  valeurs  très  grandes  de  |  x  |. 

Si  le  degré  des  polynômes  P„,  P„_(,   .  .  . ,  Po  va  constamment  en  décroissant, 
il  y  a  n  séries  de  la  forme  suivante  : 


(2) 


x«(a„+^. 


qui  satisfont  formellement  à  l'équation  et  qui,  de  plus,  convergent  si  j  J7  [  est 
assez  grand.  En  d'autres  termes,  il  y  a  n  intégrales  régulières. 

Les  valeurs  de  y.  sont  données  par  une  certaine  équation  déterminante;  il  y  a 
exception  dans  le  cas  où  la  différence  de  deux  racines  de  cette  équation  devient 
un  entier  ;  le  logx  peut  alors  s'introduire  dans  les  séries. 

Si  le  degré  des  polynômes  P  ne  va  jamais  en  croissant,  mais  ne  va  pas  tou- 
jours en  décroissant,  et  si  le  degré  de  Po  est  plus  petit  que  celui  de  P,,,  il  y  a 
dans  certains  cas  m  séries  de  la  forme  (2)  (m  <;  n)  qui  satisfont  formellement 
à  l'équation,  mais  elles  ne  convergent  pas  toujours. 

Enfin,  si  on  laisse  de  côté  certains  cas  limités  et  exceptionnels  dont  je  parlerai 
plus  loin,  on  démontre  qu'il  y  a  n  séries  de  la  forme  suivante  : 


(3) 


M*'*v*.^--) 


qui  satisfont  formellement  à  l'équation;  Q  est  un  polynôme  entier  en  x.  Une 
pareille  série  s'appellera  une  série  normale,  et  elle  sera  d'ordre  p  si  le  poly- 
nôme Q  est  d'ordre  p. 

Malheureusement  ces  séries  normales  ne  sont  pas  toujours  convergentes.  Si 
l'une  d'elles  converge,  on  dira  que  l'équation  admet  une  intégrale  normale. 
Mais  cela  n'arrivera  qu'exceptionnellement. 

Passons  maintenant  à  l'examen  de  divers  cas  exceptionnels. 

Le  polynôme  Q  étant  supposé  connu,  a  nous  sera  donné  par  une  équation 
H.  P.  —  I.  3s 


29$  SUR   LB8  INTÉGRALES   IRRÉGULIÈRES   DBS   ÉQUATIONS   LINÉAIRES. 

déterniinanle.  Dans  le  cas  où  celte  équation  a  deux  ou  plusieurs  racines 
différant  entre  elles  d'un  entier,  il  peut  j  avoir  exception,  et  l'on  peut  trouver 
au  lieu  d'une  série  normale  proprement  dite  une  série  de  la  forme  suivante  : 

eQ  j:"'[i|/o-<-  loga:^.i|/i  -+-  log' a:.4't-t- ■  •  • -t-  log'i-.J/,/], 

les  (1/  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes  de  —  ■ 

Nous  appellerons  une  pareille  série,  série  normale  logarithmique  à' oràre  p. 
Soit  a  le  coefficient  de  xp  dans  Q,  et  supposons  qu'aucune  des  séries  nor- 
males qui  satisfont  à  l'équation  (i)  ne  soit  d'ordre  supérieur  à  p.  Il  arrivera 
alors  que  a  nous  sera  donné  par  une  certaine  équation  facile  à  former. 

Dans  le  cas  où  cette  équation  a  des  racines  multiples,  il  peut  arriver  que  le 
procédé  qui  permet  de  former  les  séries  normales  devienne  illusoire.  M.  Fabry, 
dans  une  llièse  récemment  soutenue  devant  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  a 
fait  voir  que  l'on  peut  former  alors  des  séries  de  la  forme  suivante  : 

où  Q  est  un  polynôme  entier  de  degré  >  (/j  —  i)n  et  Spn  en  x"  et  où  •!;  est 

ordonné  suivant  les  puissances  croissantes  de  a;  ".  Ces  séries,  "énéralement 
divergentes,  satisfont  formellement  à  l'équation  (i). 

J'appellerai  une  pareille  série,  série  anormale  d'ordre  yo. 

Voyons  comment  l'ordre  des  séries  normales  se  rattache  au  degré  des  poly- 
nômes P.  Soit  M,-  le  degré  de  P,.  Soit 

N,.=  MiIl4:'. 
n  —  i 

Soit  h  la  plus  grande  des  n  quantités  N,-.  Soit  p  l'entier  qui  est  égal  (ui  immé- 
diatement supérieur  à  h.  On  trouve  que  toutes  les  séries  normales  ou  anor- 
males qui  satisfont  formellement  à  l'équation  (i)  sont  d'ordre  y>  au  plus. 

Je  vais  démontrer  la  réciproque. 

J'appellerai  le  nombre  h  le  rang  de  l'équation  (i).  Je  vais  faire  voir  que  si 
n  séries  normales  d'ordre  égal  ou  inférieur  à  p  satisfont  formellement  à  une 
équation  linéaire  de  la  forme  (i),  cette  équation  est  au  plus  de  rang/j. 

En  eflet,  l'équation  peut  s'écrire,  en  la  divisant  par  P„, 

d''y        „        d^-^Y       „        c/"-')'  „    dy 

les  F  étant  des  séries   convergentes  ordonnées  suivant  les  puissances  décrois- 


SUR   LES    INTÉGRALES    IHRÉOULIÈRES    DES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES.  ïgg 

santés  de  x.  La  série  F,-  commencera  par  un  terme  a;"-""  et  l'une  au  moins  des 
séries  F,  coiumencera  par  un  terme  x'''-"~^K 

Cela  posé,  soient 

Si,    Sj,     . . . .    s„ 

/)  séries  normales  d'ordre  p  satisfaisant  formellement  à  l'équation.  Appelons  SJ' 
la  dérivée  A'^"^"  de  S,  formée  d'après  les  règles  ordinaires  du  calcul,  en  difle- 
rentiant  chaque  terme  comme  si  la  série  était  convergente,  puis  en  ordonnant. 
Formons  un  tableau  de  n  lignes  et  de  (n-f-i)  colonnes  où  le  i'^""  terme  de  la 
première  colonne  est  S,-,  et  où  le  t'"""  terme  de  la  (A -t-i)'""'"  colonne  est  S^. 
Soit  Aa  le  déterminant  formé  en  supprimant  dans  le  tableau  la  A'*°"  colonne. 
On  calculera  ce  déterminant  par  les  règles  ordinaires  du  calcul,  et  l'on  obtiendra 
une  série  divergente  que  l'on  ordonnera  de  la  même  manière  que  les  séries  S. 

Quant  au  quotient 

A/-H 

si  on  l'effectue,  d'après  la  règle  ordinaire  de  la  division  des  séries,  on  obtient 
une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  décroissantes  de  x  qui  doit  être  iden- 
tique à  ±  F,',  et  qui,  par  conséquent,  est  convergente. 

Mais  on  voit  sans  peine,  d'après  la  loi  même  de  sa  formation,  qu'elle  ne  peut 
commencer  que  par  un  terme  d'ordre p{n  —  /)  en  x  au  plus. 

On  a  donc 

h^p.  C.  Q.  F.  D. 

D'ailleurs,  supposons  que  l'on  ait  une  équation  de  rang  (p  -+- 1),  et  que  l'on 
forme  l'équation  qui  donne  le  coefficient  de  jr/'+'  dans  les  polynômes  Q.  Si 
toutes  les  séries  normales  étaient  d'ordre  yo  ou  au-dessous,  toutes  les  racines  de 
celte  équation  devraient  être  nulles,  et  il  est  aisé  de  voir  alors  que  le  rang  de 
l'équation  différentielle  s'abaisserait. 


III.  —  Cas  du  premier  ordre. 

Nous  commencerons  par  nous  restreindre  au  cas  où  toutes  les  séries  normales 
sont  de  premier  ordre,  c'est-à-dire  où  dans  l'équation 

le  degré  d'aucun  des  polynômes  P  ne  surpasse  le  degré  m  de  P,i.  Soit  alors  A( 


ion  SLR    LES    INTEGRALES   IRREGULIERES   DES    EQUATIONS    LINEAIRFS.- 

le  coefficienl  de  x"'  dans  P,;  nous  formerons  réijualion 
A„  a"  H- A„_i  ««-'-!-.  ..+Aia  +  Ao  =  o. 

Soient  (7|,  rto,  . . .,  a„  les  racines  de  celle  équation  que  je  supposerai  d'abord 
toutes  distinctes.  L'équation  (i)  sera  salisfaile  alors  par  n  séries  normales  du 
premier  ordre  de  la  forme  suivante 

où  a,,   a2,    ■  .  .,  «rt    sont   des  constantes   convenaljlement  choisies,   et  où  cp,, 

rs.2i   •  •  •)  '-^'1  sont  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes  de  — • 

Considérons  la  transformée  de  Laplace  de  notre  équation  (i)  pour  laquelleje 
renverrai  à  mon  Mémoire  su?'  les  équations  linéaires  aux  différentielles 
ordinaires  et  aux  différences  finies,  inséré  au  Tome  7  de  V American  Jour- 
nal of  Mathematics  (').  Cette  transformée  pourra  s'écrire 

^     rf'"''        r.         d'"-W  ^    dv 

(3)  Q„,  -, hQm-i-; ;  -+-■■  •  "1-  Q.  T  +'.>««' =  0. 

'  dx'"  di'"-'  (/z 

Les  Q  sont  des  poljnomes  de  degré  n  au  plus  en  ;,  et  l'on  a 

(im=(z  —  ai)(z  —  a.)...(z  —  a„). 

L'équation  (3)  admet  alors  n  points  singuliers  simples, 

z  =  a,,         z  =  «ï,  ...,         ;  =  a„. 

Formons  l'équation  déterminante  relative  au  point  singulier  :•  =  (/,.  Les 
racines  de  cette  équation  seront 

o,      I,      2,      .  .  . ,      m  —  2.      ^j. 

.le  supposerai  d'abord  que  jj,-  n'est  |)as  entier  positif  nu  négatif.  11  existera 
alors  (m  —  i)  intégrales  de  l'équation  (3)  qui  seront  iiolomorphes  dans  le  voi- 
sinage du  point  -:  =  a,-  et  une  m"'""'  que  j'appellerai  i','  et  qui  sera  de  la  forme 
suivante  : 

(4)  f,=  f  z  -  a,)3.+  C,(i  —  a,)?'i+'  -+-  C,(s  —  a,)(i.+-+. ... 

Construisons  maintenant  un  contoui-  fermé  / ,  de  la  façon  suivante.  Du  point  a,- 
comme  centre  avec  un  rajon  très  petit,  décrivons  un  cercle.  Par  le  point  ai 

(  '  )  Ce  Tome,  p.  22IJ. 


SUR    LES    INTÉGRALES    IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQCATIONS    LINÉAIRES.  3oi 

menons  une  droite  jDaralléle  à  l'axe  des  quanlités  réelles,  et  prolongeons-la 
indéfiniment  dans  la  direction  des  quantités  réelles  négatives  j  elle  coupera  notre 
petit  cercle  en  un  certain  point  6,.  Cela  posé,  le  contour  ki  sera  formé  comme 
il  suit;  on  suivra  d'abord  la  droite  que  je  viens  de  définir  depuis  l'infini  jusqu'au 
point  6,-,  puis  on  fera  le  tour  du  petit  cercle  pour  revenir  au  point  6,-,  et  enfin 
on  retournera  du  point  bi  à  l'infini  en  suivant  la  droite. 

Si  l'on  se  reporte  au  Mémoire  cité  (^American  Journal  of  Matkematics, 
t.  7),  on  verra  que  l'intégrale  suivante 


-f- 


prise  le  long  du  contour  /. ,  est  une  intégrale  de  l'équation  (i)  pourvu  que  la 
partie  réelle  de  x  soit  suffisamment  grande,  et  en  particulier  si  x  est  positif  et 
très  grand. 

Nous  décomposerons  cette  intégrale  J,  en  trois  autres 

J  i  =  j  ^  -\-  j  i  -}-  J , , 

la  première  J;  étant  prise  le  long  de  notre  droite  de  l'infini  à  />,■;  la  seconde  JJ  étant 
prise  le  long  du  petit  cercle  qui  a  pour  centre  le  point  oi  et  qui  passe  par  le 
point  6,;  et  la  troisième  J,"  étant  prise  le  long  de  la  droite  suivie  en  retour 
depuis  6t  jusqu'à  l'infini. 

J'ai  montré  dans  le  Mémoire  cité  qu'on  peut  trouver  deux  quantités  D  et  D' 

telles  que 

I'  V' 

lim — ii— -  =  D,  lim       ,',      =  D', 

lorsque  x  tend  vers  linlini  par  valeurs  réelles  positives. 

Comme,  par  construction,  la  partie  réelle  de  6,  est  plus  petite  que  celle  de  a,, 
on  peut  en  conclure  qu'on  aura 

lim  x'/  «-«.■'■(  J;  -t-  i"-)  =  o, 
quel  que  soit  q. 

Ecrivons 

P,  =  (i  -  „,.)3.-H  C,(-  -a,)P.+i  +  . .  .-H  C/,r5  -  CT,)[5.+''-H  R*, 

Ra  étant  le  reste  de  la  série  (4)-  Je  puis  prendre  le  rayon  de  notre  petit  cercle 
assez  petit  pour  que  cette  série  soit  convergente. 
On  a  alors 

J';=   f{z  —  ai)?te=-^dz-^-...+  CA-  Ç  {z  — ai)^.+''e~^  dz -\-  jï{,,e"->^dz, 
les  intégrales  étant  prises  le  long  du  petit  cercle. 


302  SUR  LBS   INTÉGRALES  IRnÉGULIÈRES  DES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES. 

J'ai  montré  dans  le  Mémoire  cité  que  l'expression  suivante 

x'J  e-'^i'  1  Ri  e='  dz 

tend  uniformément  \ers  zéro  pour  toutes  les  valeurs  de  x  quand  k  croît  indéfi- 
niment. 

Cela  est  vrai  d'ailleurs,  quel  que  soit  q. 

D'autre  part,  l'expression  suivante 

(z  —  ai)''  e~^  dz 


f^^ 


est  représentée  asymptotiquemenl  par  l'expression 

(gî.ix/.  __,)r(/,  -f-i)j7-''-i  e«.-'-. 

Je  veux  dire  que  la  différence  de  ces  deux  expressions  multipliée  par  x''e~"i-^ 
tend  vers  zéro  quand  x  grandit  indéfiniment. 

Il  résulte  de  là  que  JJ,  et  par  conséquent  J,,  est  représenté  asymplotiquement 
par  la  série  suivante  : 

Or,  il  est  aisé  de  vérifier  que  cette  série  n'est  autre  chose  que  la  série  normale 

que  nous  avons  définie  plus  haul.  (On  a  a;  =z  —  [î,;  —  i.) 

Ainsi,  une  série  normale  du  premier  ordre,  alors  même  qu^elle  est  dii'er- 
gente,  représente  asymptotiquemenl  une  des  intégrales  de  l'équation  à 
laquelle  elle  satisfait  formellement. 

Cette  série  normale  pourra  s'écrire,  à  un  facteur  constant  prés, 

Ainsi,  à  chaque  point  singulier  simple  de  l'équation  (3)  correspondra  une 
intégrale  de  l'équation  (i)  et  une  série  normale  qui  la  représente  asymptoli- 
quement.  J'ai  supposé  jusqu'ici  que  x  tendait  vers  l'infini  par  valeurs  réelles 
positives  ;  mais  cela  reste  vrai  quand  x  tend  vers  l'infini  avec  un  argument 
donné,  différent  de  zéro. 


SUR    LES    INTÉGRALES    1RRKGULIÈRE8    DES    ÉQUATIONS   LINÉAIRES.  3o3 

Il  faut  toutefois  faire  attention  à  une  chose.  A  chaque  point  singulier  ai  cor- 
respond une  intégrale  de  (i),  quel  que  soit  l'argument  de  x;  mais  quand  cet 
argument  varie,  cette  intégrale  ne  reste  pas  la  même;  pour  certaines  valeurs  de 
cet  argument,  cette  intégrale  se  change  brusquement  en  une  autre  qui  n'en  est 
pas  la  continuation  analytique.  C'est  ce  que  j'ai  exposé  en  détail  dans  le  para- 
graphe V  du  Mémoire  cité. 

Comme  à  un  point  singulier  corres[)ond  toujours  la  même  série  normale,  il 
en  résulte  que  la  même  série  normale  ne  représentera  pas  asjmptotiquement 
la  même  intégrale  quand  l'argument  x  variera,  si  ce  n'est  dans  des  cas  excep- 
tionnels. 

Passons  maintenant  aux  cas  particuliers. 

Nous  supposerons  d'abord  que  |îlj-  étant  entier,  l'intégrale  c,  contienne  un 
logarithme.  Soit 

l'y  =  O  -f-  log(.3  —  «,)'!', 

©  et  'i  étant  holomorphes  dans  le  voisinage  de  ^  =  «,.  On  aura  alors 

J,=   /  e=-''[(B  -H  i]/  log(3  —  a,\\  dz  =   1  e''''\i  dz  log(3  —  a,  ), 

les  intégrales  étant  prises  le  long  de  /»•,•.  Ici  encore  nous  aurons 

j,  =  j^  +  j';  +  J7, 

en  divisant  le   contour  ki  en  trois   parties  comme  il  a  été   dit  plus  haut,   et 

de  plus, 

lirn  xi  e-".'  (J',  -H  J',")  =  o. 

Soit 

^  =  Co(i  — i,)P.-l-Ci(î  — a,)P.-+i-l-... 

une  série  que  nous  supposerons  convergente  tout  le  long  du  petit  cercle. 
Nous  aurons  alors 

.r'/  e-''i'^i"j=  SC/f  I  {z  —  a,)P.+''-  e~''  iog{z  —  a/je-oi^'a?'/  dz, 

l'intégrale  étant  prise  le  long  du  petit  cercle.  La  série  du  second  membre  sera 
uniformément  convergente  quel  que  soit  x,  ainsi  qu'il  a  été  dit  plus  haut.  11 
reste  donc  à  trouver  la  valeur  asjmptotique  de  l'intégrale 

Ji,k  =  /  (^  —  at)?i+'--  e--^  \og(z  —  ai)  dz 

prise  le  long  du  petit  cercle.  D'autre  part,  aijpelonsy,/,  la  même  intégrale  prise 
le  long  du  contour//  tout  entier  et  décomposuns-là  en  trois  parties  ; 

Jiit  =  j'ik-^j'ik+j'h 


3o4  SUR    LES    INTÉGRALES   IRRÉGULIÈRES   DES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES. 

comme  l'intégrale  J,-  elle-même.  Nous  aurons  encore 

lim  x'i  e-"i'--(j"n.-hj"i'i)  =  o, 

ol,  par  conséquent,  la  valeur  asjmptotique  <\e  j"i^  sera  la  même  que  celle  de  /,i. 
Calculons  doncya-  H  vient 


/ 


(z  —  ai)''  e-'^dz  =  (e"-''^'' —  \)  T(/t  +  i)ar-''-'  e"-"^, 

lorsque  rintéf;rale  est  prise  le  lonj;  du  contour  /  /.  En  dilTérentiant  par  rapport 
à  A,  il  vient 


/ 


(3  —  a,)''  e-^\og{z  —  ai)dz  =  2ire"'"''  r(/!  +  \)x-''-'  e''.-^-h  (e"'^''  — i)/), 


D  désignant   la  dérivée    de   F^// +  i  )  j;~*~' e"  •'    par  rapport  à   II.   Si  l'on  fait 
/(  =z  3;  -f-  A',  et  si  l'on  tient  compte  de  ce  fait  que  p,  est  entier,  il  viendra 

11  résulte  de  là  que  J;  est  représenté  asjmptotiquemenl  par  la  série 
S  Ckju  =  2  JTi  S  C/,V(  p,-+  /,■  +  i)a;-P.-'*--'  €•:■':, 

qui  est  précisément  la  série  normale 

Le  théorème  démontré  plus  haut  subsiste  donc  encore  dans  ce  cas. 

La  formule  qui  donne  J,  quand  on  connaît  c,  devient  illusoire  quand  p, 
est  entier  positif  et  qu'il  n'y  a  |)ns  de  logarithme  dans  l'intéi^rale  c,  ;  car  alors 
l'intégrale 


/ 


p,  e-^  dz 

prise  le  long  du  contour  A"j  est  nulle.  Il  convient  alors  de  remplacer  le  contour/,- 
par  un  chemin  d'intégration  différent.  On  prendra  pour  ce  chemin  une  droite 
menée  à  partir  de  «,•  parallèlement  à  l'axe  des  quantités  réelles  et  prolongée 
indéfiniment  dans  la  direction  des  quantités  réelles  négatives.  On  verra  ainsi 
que  le  théorème  subsiste  encore.  Je  dois  ajouter  que  si  [3,  est  entier  positif  sans 
que  Vi  contienne  le  logarithme,  jî,-  devra  être  supérieur  ;'i  [in  —  i). 
Considérons,  par  exemple,  l'équation  suivante  : 

(l^  Y 

x^  yY  =  (  a'  x'  +  2  )  / 


SUR    LES    INTÉGRALES    iriRÉGL'LIÈRES    DES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  3o5 

qui  admet  pour  intégrales 

,...(i_,)      et     --(i+^) 

et  dont  la  transformée  de  Laplace  est 
qui  admet  pour  intégrales 

C  étant  une  constante  et  F  une  fonction  rationnelle. 

Nous  considérerons  deux  contours  fermés  li  et  A',  formés  comme  le  contour  /  , 
défini  plus  haut,  et  enveloppant,  le  premier  le  point  ?.,  le  second  le  point  —  a. 
Nous  prendrons  alors  les  intégrales 


Ji\e--^dz     et       /  V,  e-'^  c/z, 


et  nous  obtiendrons  ainsi  deux  intégrales  de  l'équation  en  j'.  Or,  nous  avons,  à 
un  facteur  constant  près,  —  4^') 

(',=  log(3-a)H î H*, 

Z  7. 

<!>  étant  liolomorplie  dans  le  voisinage  du  point  3  =  a.  On  aura  donc 

/  p,  c-'  dz  =  I  e--^' dz    log (  3  —  cz )  + =  2  j  u  £"■'  (  - 

La  seconde  intégrale  nous  donnerait  de  même 

\x 

Nous  avons  ainsi  intégré  l'équation  en  y,  en  nous  servant  seulement  de 
l'intégrale  (-'i  et  sans  employer  l'intégrale  \\.  Il  importe  cependant  pour  notre 
objet  de  montrer  que  l'on  pourrait  tirer  quelque  chose  de  cette  dernière  inté- 
grale . 

Traçons  à  partir  du  point  a  une  droite  et  prolongeons-la  indéfiniment  dans 
un  sens.  Si  r,,  s'annulait  ainsi  que  sa  dérivée  au  point  a,  l'intégrale 


/■■ 


t'o  e-'  dz 
H.  P.  —  I.  3n 


3o6  SUR    LES   INTEGRALES    IRREGULIliRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES. 

prise  le  long  de  cette  droite  serait  une  intégrale  de  IVMjuuLiou  en  y  et  il  ny 
aurait  rien  à  ajouter.  Mais  (•„  ne  s'annule  pas. 
\  oici  donc  ce  que  nous  ferons;  posons 

V  =  e«-''  -—  (  /  «-«■»■  )  ; 

y'  satisfera  comme  y  à  une  équation  du  deuxième  ordre  facile  à  former.  Pour 
olitenir  la  transformée  de  Laplace  de  cette  équation,  il  suffira  de  poser  dans  la 
transformée  de  réquation  en  j' 

y'  =  iM  s  —  a  )2. 

L'une  des  intégrales  sera  donc 

i.'„  =  p„(3-a)2=(i-a)î. 

Comme  celte  intégrale  s'annule  au  point  a  ainsi  que  sa  dérivée,  l'intégrale 

/  ^'<i  e-''  ds  =   i  {z  —  yif  e='  dz 

prise  le  long  de  la  droite  qui  aboutit  au  point  a  satisfera  à  l'équation  en  y'  ;  on 
aura  donc 

f  gUX 

y=J  (z-y:fc-.rdz^c^, 

C  étant  un  facteur  constant.  On  en  tire 

y  =  C  gï'  (  -  -t-  p  -H  T  .r  j , 

|ii  et  Y  étant  deux  constantes  d'intégration.  On  voit  qu'il  faut  prendre 

p  =  —  a ,         -/  =  o. 

Si  maintenant  ^,-  est  entier  négatif  sans  qu'il  y  ail  de  logarithme  dans  c,. 
l'intégrale  .1,  se  réduit  d'elle-même  à  e"'-'^  niidtiplié  par  un  [loljnonie  entier  en  x. 

Il  reste  à  examiner  le  cas  où  deux  des  racines  de  l'équation  (2)  deviennent 
égales  entre  elles.  L'équation  (3)  admet  alors  un  point  singulier  double  que 
j'appellerai  «,.  11  peut  arriver  alors  que  dans  le  voisinage  de  ce  point  les  inté- 
grales de  (3)  soient  irrégulicres.  C'était  impossible  au  contraire  dans  le  cas  des 
points  singuliers  simples. 

.le  reviendrai  plus  tard  sur  ce  cas,  en  me  bornant  pour  le  moment  à  faire 
remarquer  que  c'est  celui  où  l'équation  (i)  n'admet  pas  de  séries  normales, 
mais  seulement  de  ces  séries  anormales  dont  il  a  été  question  plus  haut. 

Mais,  à  certaines  conditions,  les  intégrales  de  léquation  (3)  pourront  être 


SUR    LES    INTEGRALES    IRHÉGULIÈRES    DES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES.  307 

régulières  dans  le  voisinage  du  point  :;=  a,.  Il  y  aura  alors  une  équation  déter- 
minante dont  les  racines  seront 

o,      1,     i.      ...,     m  — 3,     p,-,      p;. 
Il  existera  alors  deux  intégrales  r,-  et  c',  qui  seront  de  la  forme 

p;=(î  — a;  )?'<?;-, 
o,  et  'j\  étant  holomorphes  dans  le  voisinage  de  ;  =  a,.  Alors  les  intégrales 

J,  =   /  Vi  e-^  dz,         J',  =   /  v'^  e-^  dz 

[irises  le  long  du  contour  /f;  seront  deux  intégrales  de  l'équation  (i),  qui  seront 
représentées  asymptntiquement  par  deux  séries  normales  faciles  à  former. 

Dans  le  cas  particulier  où  [i,  et  [i',  diffèrent  d'un  entier,  l'une  des  deux  inté- 
grales Vi  et  v.  contient  un  logarithme  et  par  conséquent  l'une  des  deux  séries 
normales  qui  représentent  asjmplotiquement  J,  et  J',  devient  logarithmique. 

En  résumé  lorsque  toutes  les  séries  normales  sont  du  premier  ordre,  une 
quelconque  d'entre  elles  représente  asjmptotiquement  l'une  des  intégrales  de 
l'équation  (i).  Mais  l'intégrale  ainsi  représentée  par  une  même  série  normale 
ne  restera  pas  la  même,  en  général,  quel  que  soit  l'argument  avec  lequel  x  croit 
indéfiniment. 

IV.  —  Intégrales  normales. 

Quand  une  série  normale  est  convergente,  elle  représente  une  intégrale  de 
l'équation  (i)  et  on  l'appelle  intégrale  normale. 

Nous  nous  restreindrons,  comme  dans  le  paragraphe  précédent,  au  cas  où 
toutes  les  séries  normales  sont  du  premier  ordre.  Soit  alors 

(■i)  <•,  =  (3  -  aipi  -H  C,  (  :  ~  «,-)15.+'  +  Cîf  3  —  a,  )3.+2-H. .  . 

une  intégrale  de  l'équation  (3),  transformée  de  Laplace  de  l'équation  (i).  A  cette 
intégrale  correspondra  une  intégrale  J,-  de  l'équation  (i) 


,  =  a/ 


Vi  e-^  dz 


(A  étant  un  facteur  constant)  qui  sera  représentée  asymptotiquement  comme 
nous  l'avons  vu  par  la  série  normale 

(4)  ;^, -^C,(p,+  ,)-Ç^_-^C,([i,+  0(p,+  2)-^+.... 


3o8  SUR    LES    INTÉGRALES    IBriKCULlKniCS    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES. 

Pour  ijiie  celte  série  normale  converge  pour  les  valeurs  suflîsamineul  grandes 
de  X,  il  faut  et  il  suffit  (jue  l'expression 

'(/G„(p,-hi)(p,  +  2)...(p,+  n) 
tende  vers  une  limite  linie  pour  /;  infini.  Mais  d'autre  part  on  a 
lim  '(/(p,-!-  i)(|3,+  a).  .  .  ([i,-t-  n)  =  x         pour  x  =  x. 
Donc  pour  (jiie  la  série  (4)  converge,  il  faut  que 

liin  v/(;„  =  <), 

et  (juf  par  conséquent  la  série  (2)  converge  dans  toute  l'étendue  du  plan. 
11  faut  donc  que  c,  soit  de  la  forme  suivante 

(z  —  aip.'^{z), 

'■s{z)  étant  liolomorphe  dans  toute  l'étendue  du  plan. 

Je  dis  ([ue  cette  condition  est  suflisante. 

Si  elle  est  remplie  et  si  l'on  se  reporte  au  Mémoire  cité,  on  verra  tjuc  Ion  peut 
toujours  trouver  trois  nombres  positifs  b,  c  et  //  tels  que 

|.(j,'  I  <  b  e<-i---",i 

SI 

\z  —  ai\>  h. 
Envisageons  ensuite  l'intégrale  suivante 

cette  intégrale  étant  prise  le  long  d'une  droite  menée  à  partir  du  point  a;  et  pro- 
longée indéliniment  avec  un  argument  w-(-t:,  m  étant  l'argument  de  x.  Cette 
intégrale  sera  toujours  finie  et  ce  sera  une  fonction  de  ,r  qui  sera  holomorplie 
pour  toutes  les  valeurs  très  grandes  de  x.  De  plus  J,-.rPi  sera  uniforme  et  se 
reproduira  quand  on  fera  décrire  à  .r  un  contour  fermé  inlinimeut  grand, 

Je  décomposerai  cette  intégrale  en  deux  parties  :  J',  prise  le  long  d'une  partie 
de  la  droite  définie  plus  haut  depuis  le  point  z  =(7,  jusqu'au  point 

z  =  rt,  —  h  e"^ 

et .)"  prise  le  long  de  la  seconde  partie  de  cette  droite  depuis  ce  dernier  point 
jusqu'à  l'infini. 

Il  vient  alors,  en  posant  z  =  «(+  t.. 


J"  «-".-'■  I  <  1      Oei'-f'f'  dt 


SUR    LES    INTÉGRALES   IRRÉGULIÈRES    DES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  Sog 

d'où  Ton  déduit  aisément  que,  quel  que  soit  P ar g ument  de  x,  l'expression 

a-?.-^2  J';  e-^i-'' 
tend  uniformément  vers  zéro. 

Quant  à  J,,  il  est  aisé  de  l'évaluer;  soit 

!•,  =  (:  —  ai)':^'-+-  Ci(z  —  rt,)?.-^'-i-  IV,, 

IV,  désignant  une  suite  de  termes  dont  le  premier  est  C2(;  —  «,)?'+-. 
On  a 

.j;  =  Af^  -  «,)?,+  Ct{z-a,)?'-*']  e--'-(lz.  +    Cwie-^dz 

On  démontre  tjue 

tend  uniformément  vers  zéro.  De  même  en  [losanl 

j;  =   f[iz  —  «,,)"-.+  r.,  (z  —  aip>+'  ]  «=■'•  elz 

et  si  les  deux  premiers  termes  de  la  série  normale  qui  représente  asymptotique- 

ment  J,  sont 

A  e".»- .£-?.-»  +  B  e",'^ j;-p.-2  =  II , 

on  verrait  que 

^3,+3e-«,r(jj'_H) 

tend  uniformément  vers  zéro. 
Posons  donc 

t' 

on  trouvera,  en  regardant  L,  comme  une  fonction  de  /, 

L,=  A  -+-  (  15  +  e)?, 

où  z  icnd  vers  zéro  quand  t  Itnid  vers  zéro  et  cela  uniformément  quel  que  soit 
l'argument  de  /.  De  plus,  ce  sera  une  fonction  uniforme  de  /.  Ce  sera  donc  une 
fonction  holoniorphe  de  /  dans  le  voisinage  de  <  =  o.  Donc  L,-  pourra  se  déve- 
lopjjer  en  série  convergente  suivant  les  puissances  de  l.  c.  q.  f.  d. 

Ce  raisonnement  suppose  implicitement  que  p,  est  positif  et  plus  grand  que/i, 
puisque  ce  n'est  que  dans  ce  cas  que  l'intégrale  J,  est  finie  et  appartient  à 
l'équation  (i)  quand  on  la  prend  le  long  de  la  droite  dont  nous  nous  sommes 
servis  et  qui  aboutit  au  point  a,-.  Si  cela  n'avait  pas  lieu,  on  remplacerait  cette 
droite  par  un  contour  fermé,  analogue  au  contour  A",  du  paragraphe  précédent 
et  formé  d'un  petit  cercle  et  d'une  droite  parcourue  deux  fois  en  sens  contraire. 


3 10  Sl'K    LES   INTÉGBALRS    inRÉGULIÈRES   DES   ÉQUATIONS   LINÉAIHCS. 

Cette  droite  devra  avoir  raii;iinuMil  (o  +  tz,  m  étant  celui  de  x.  Le  raisonnement 
serait  du  i-esle  absolunu-nt  le  même. 

Il  faut  observer  encore  que  dans  le  raisonnement  qui  précède  nous  n'avons 
pas  clé  obligés  de  nous  appuyer  sur  ce  fait  que  v,  était  une  intégrale  d'une 
équation  linéaire,  ou  plutôt  nous  ne  nous  en  sommes  servis  que  pour  établir 
l'existence  des  trois  nombres  positifs  b,  c  et  h  tels  que 

I  i^,-|  <  6e'-|  =  -".l  si  |c  — (7,j>/i. 

En  d'autres  termes  nous  avons  eu  seulement  à  supposer  que  la  dérivée  logarith- 
mique de  i',  tend  uniformément  vers  une  limite  finie  cpiand  :;  croît  indéfini- 
ment avec  un  argument  donné. 

Soit  donc  une  fonction  entière  quelconque  œ(;)  jouissant  de  celte  propriété. 
Soit 

Nous  supposons  que  quand  ;  croît  indéfiniment  avec  un  argument  donné,  la 
dérivée  logarithmique  de  9  tend  vers  une  limite  finie  et  déterminée,  qui  peut 
d'ailleurs  varier  quand  l'argument  de  i  varie. 
Formons  l'intégrale 

prise  le  long  d'une  droite  partant  du  point  zéro  et  s'étendant  indéfiniment  avec 
l'argument  w  -|-  ~,  w  étant  l'argument  de  x. 

J  sera  représenté  asjmptotiquement  par  la  série 

Co     Cj     'iC,  <■«!" 

1 in —  +.  .  .H =  -(-.... 

X  X-  x-^  X" 

D'après  le  raisonnement  précédent,  cette  série  devra  converger  pour  les  grandes- 
valeurs  de  x.  Donc  

tend  vers  une  limite  finie  quand  11  croît  indéfiniment.  Cette  propriété  appar- 
tient à  toutes  les  fonctions  entières  tp(3)  qui  satisfont  à  la  condition  énoncée 
plus  haut. 

Ce  résultat  doit  être  rapproché  de  celui  que  j'ai  obtenu  dans  une  Note  inti- 
tulée :  Sur  les  fonctions  entières  (Bulletin  de  la  Société  mathématique  de 
France,  t.  Il,  188;^,  n"  4,  p.  i3(j-i44). 

De  celte  analyse,  il  suit  que  pour  qu'une  série  noiniale  converge,  il  faut  et  il 


SUR    LES    INFÉGBALBS    IRRÉGULIKRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  3ll 

suffit  que  Finlégrale  Vi  qui  lui  correspond  dans  la  transformée  de  Laplace,  soit 
égale  à  une  fonction  holomorplie  multipliée  par  une  puissance  de  [z  —  a,). 

Mais  il  convient  d'ajouter  que  nous  avons  laissé  de  côté  le  cas  où  vi  contient 
des  logarithmes  et  où  p;  est  entier. 

Soit  donc 

p,.=  i,;--i- tv;iog(5  — «,); 

<.-[  sera  holomorphe  ou  tuéromorphe  dans  le  voisinage  du  point  z  =  o,.  S'il  est 
méromorphe,  nous  écrirons 

t,             „           ,,               Gi                         G.2                                           Gr 
V ,  =    P;  -I-  Wi  =   C,    H '  '  '  


Quant  à  w-  nous  l'écrirons 

11';=  Co-t-  C,(  ;;  — «T,)  H-  CJc  —  a,)»-1- 

Nous  aurons  alors 


,=   /  v"j  e~-'(lz-h  I  iv'î  e=-'dz -h   1  ir;  log(3  —  «,)  e=-f  rfz. 


La  première  intégrale  est  nulle;  la  seconde  est  égale  à  e"'^  multiplié  par  un 
polynôme  entier  de  degré  (r — i)  en  x;  quant  à  la  troisième  elle  est  représentée 
asjmptoliquement  par  la  série 

e".-^  2t"K[Co  r(  1)3^-1  +  c,  r(-i)a7-' -H  C2  r(3)ar-3 -i-. . .]. 

L'our  que  cette  série  soit  convergente,  il  faut  évidemment  que 

lim  y/C„  =  o 

et  par  conséquent  que  w\  soit  une  fonction  holomorphe  dans  tout  le  plan, 
v'i  pouvant  d'ailleurs  être  quelconque. 

Cette  condition  est  d'ailleurs  suffisante;  on  a  en  effet,  quel  que  soit  l'argu- 
ment de  X, 

ii=  I  "1  e"'^  dz  -\-  j  «•/  log(z  —  a,)  e--^'  dz. 

La  première  intégrale  étant  égale  à  e"^^  multiplié  par  un  polynôme  entier  en  .r, 
nous  n'avons  pas  à  nous  en  occuper.  Quant  à  la  seconde,  si  w\  est  holomorphe 
dans  tout  le  plan,  elle  sera  toujours  représentée  asymptotiquement  par  la  même 
série  normale,  et  si  l'on  fait  varier  l'argument  de  jr,  elle  représentera  une  même 
fonction  de  x,  uniforme  et  continue.  En  raisonnant  encore  comme  plus  haut, 
on  verrait  donc  que  la  série  normale  correspondante  doit  être  convergente. 

G.     Q.     F.     D. 


3l  >  SIR    LES    INTÉGRALES    IHRÉGI'LIÈRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES. 

Si  j3,-  esl  cnlier  positif  sans  ((u'il  y  ail  de  logarilhme  dans  i,-,  ce  qui  exige  que 

[i,  >  m  —  I . 

aliirs  la  condilion  nécessaire  et  suffisante  pour  que  la  série  normale  correspon- 
dante conxerge,  c'est  que  c,-  soit  holomorphe  dans  tout  le  plan. 

Si  enfin  p,-  est  entier  négatif  sans  qu'il  y  ait  de  logarithme  dans  c,,  la  série 
normale  correspondante  convergera  toujours,  car  elle  se  réduira  à  un  poljnome 
entier  multiplié  par  une  exponentielle. 

Jai  peu  de  ciiose  à  ajouter  sur  le  cas  <jù  deux  points  singuliers  simples  a, 
el  Hj  se  confondent  en  un  seul  point  singulier  double  cij.  Si  les  intégrales  sont 
irréguliéres,  il  n'y  a  pas  de  série  normale  et  nous  devons  laisser  ce  cas  de  côté. 
Si  les  intégrales  sont  régulières,  il  y  a  une  équation  déterminante  qui  aura 

pour  racines 

o,      I,     ■?,,     ...,     m— 3,     p,,     [i;-. 

Si  [ji  el  [i'^-  ne  difl'érenl  pas  d'un  entier,  il  n'y  a  rien  à  changer  à  ce  qui  précède; 
si  [i,-  et  P'-  différent  d'un  entier,  il  arrivera  en  général  qu'une  intégrale  r,-  sera 

de  la  forme  suivante 

(  5  —  «,)?'■[  9  +  (?'  log  (  I  —  «,•  )  ]. 

a  et  o'  étant  holomorphes  dans  le  voisinage  du  point  s  =  «,.  Pour  que  la  série 
normale  correspondante  converge,  il  faut  et  il  suffit  ipie  o  et  cp'  soient  holo- 
morphes dans  tout  le  plan. 

Considérons  maintenant  une  équation  (i)  et  sa  transformée  (3);  supposons 
que  cette  dernière  n'ait  que  des  points  singuliers  simples  et  qu'aucun  des  Jâ,  ne 
soit  entier.  Alors  nous  aurons  /i  séries  normales  à  chacune  desquelles  corres- 
pondra une  fonction 

V,  =  (3  — a,).".(p„ 

»j  holomorphe  pour  ;  =  (//. 

Une  série  normale  sera  convergente  si  la  fonction  -j,  correspondante  esl  une 
f(jnclion  entière;  l'équation  (i)  aura  précisément  autant  d'intégrales  noimalcs 
f|ue  réqiialion  (3)  aura  d'intégrales  égales  à  nue  fonction  entière  multipliée  par 
une  puissance  de  (s  —  a). 

A  une  même  intégrale  de  (3)  ne  pourront  pas  coiTcspondre  plusicuis  inté- 
grales normales  de  (i).  11  n'en  sei'a  plus  de  même  si  plusieurs  des  p,  sont  cnticis 
et  s'il  y  a  des  logarithmes.  Supposons  par  ex(!mple  que  l'on  ait  pour  une  inté- 
grale de  (3) 

p,=  <f  -1-  ■\i  log(s  —  a)  -t-  0  log(3  —  0), 


SUR    LES    INTÉGRVLES    IRHÉGILIKRES    DES    ÉQUATIONS   LINÉAIRES.  3i3 

■S  et  9  étant  holomorphes  dans  tout  le  plan  et  a  étant  holomorphe  dans  le  voisi- 
nage des  points  a  et  /y,  mais  d'ailleurs  quelconques. 
Les  deux  intégrales 

1   Vi  e--'  dz     et        /  v,  e--^  dz 

{k  et  /.'  étant  deux  contours  analogues  à  Ai  et  enveloppant  le  premier  le  point  a 
le  second  le  point  b)  seront  deux  intégrales  normales  de  l'équation  (i). 
Envisageons  par  exemple  l'éqiialion  suivante 

dont  la  transformée  de  Laplace  sera 

d-  V  dv 

(3')  ,,._..)_+4,_+(,_^)..  =  o. 

C'est  une  équation  hjpergéométrique,  dont  les  points  singuliers  sont 

a,     —  a,     K 

avec  des  équations  déterminantes,  dont  les  racines  sont  respectivement 


Pour  ([ue  dans  le  voisinage  du  point  singulier  a  par  exemple,  une  intégrale 

prenne  la  forme 

tj;  -H  s  log(  3  —  a), 

f  étant  liolomoiphe  dans  tout  le  plan,  il  faut  que  l'une  des  racines  de  l'équa- 
tion déterminante  relative  au  point  c  =  oc  soit  entière.  Cela  n'arrive  que  si 

P  =  n{n-i-  I), 

/(  étant  entier.  Supposons  donc  [îl  =  «(«  -|-  i^.  Alors  l'équation  (3')  admet  pour 
intégrale  un  polynôme  entier  P  en  z.  Une  seconde  intégrale  sera  de  lu  forme 

P  =  Plogi^-t-Q, 

Q  étant  méromorphe  dans  le  voisinage  des  points  z  ^  y.,  c  =  —  a.  Donc  linlé- 
grale 

/  V  e-^  dz 

pi'ise  successivement  le  long  de  deux  contouis  analogues  à  /,  et  enveloppant 
H.  P.  —  I.  4o 


3l4  Sl'H    LES   INTÉGRALES    IRBÉGULIÈRES    DES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES. 

respectivement  le  point  c  ^  a  et  le  point  ;= — a,  nous  donnera  deux  inté- 
grales normales  de  l'équation  (i).  Nous  retrouvons  ainsi  un  résultat  donné 
autrefois  par  Liouville  et  qui,  depuis  les  travaux  de  Al.  Halphen,  n'est  plus 
qu'un  cas  particulier  d'une  théorie  plus  générale. 

Gomme  second  exemple,  nous  choisirons  l'équation  suivante  considérée  par 
M.  Halphen  [Sur  la  réduction  des  équations  linéaires  aux  formes  inté- 
grables,  p.  i8o) 


Formons  la  tiansformée  de  Laplace,  il  viendra 

/  I      \  d^v  d^v  dv 


•«)=-(-  a^ 


et  soily  une  racine  cubique  de  l'unité. 
Les  points  singuliers  seront 

a,      ■xj,     ayî     et      x. 

Les  racines  de  l'équation  déleriliinante  seront  pour  les  points  singuliers  à  dis- 
tance finie 

I,     o     et     — i. 

Pour  le  point  singulier  oo  elles  seront  données  par 

0  (  ;  —  I  )  (  p  —  2  )  H-  9  p  (  3  —  I  )  -H  { 1 9  —  /i'  )  p  -I-  8  —  a  «'^  =  o 
ou 

p'  H-  6 p'  -(-  (  1  x  —  «2 )  p  -1-  8  —  ■>.  n-  =  (). 

Cette  équation  admet  la  racine  — 2;  en  la  faisant  disparaître,  Il  reste 

p-  -t-  4  p  -(-  4  —  rt*  =  o 

dont  les  racines  sont  —  i±  n. 

Dans  le  voisinage  du  point  ;  =  -/,  l'intégrale  logarithmique  v  peut  se  mettre 

sous  la  forme 

s  -i-  'i/  log(i  —  a),  * 

»  étant  méromorphe  et  'l  liolomorphe  dans  le  don  aine  de  ce  point. 

l'our  que  la  série  normale  correspondante  converge,  il  faut  et  il  suflil  que  •{/ 
soit  hoioniorphe  dans  tout  le  plan.  Alois  'L  doit  correspondre  à  la  racine  { — 2-)-/i) 


SUR    LES    INTÉGRALES   IRRÉGULIÉRES   DES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  3l5 

fie  la  troisième  équation  déterminante  et  être  un  poljnome  entier  de  degré  (n — -a). 
[1  faut  alors  que  n  soit  entier.  De  plus  i  doit  être  une  intégrale  de  l'équation  (3). 
D'ailleurs  tout  se  passe  de  même  dans  le  voisinage  des  points  ;  =  «y  ,  s  =  ctj^, 
de  sorte  que,  pour  que  l'équation  (i)  admette  une  intégrale  normale,  il  faut 
que  l'équation  (3)  admette  comme  intégrale  un  poljnome  entier. 

Posons  donc 

(|/  =  i;A,z>, 

il  viendra 

(J-H  2)  (t  +  «  +  2)(î  —  n  H-  2)A,  =  a3(/-f-  3)(j -(-■2;(! -H  i)Ai+3. 

Nous  prendrons  le  polynôme  de  degré  (n  —  a);  nous  prendrons 

i  ^  n  —  2         (  mod  3  ), 

et  cette  équation  nous  permettra  de  calculer  par  récurrence  tous  les  coefficients 
du  polynôme  '},  à  moins  que  l'un  des  facteurs 

i  -h  ■?.,     i  +  /i  -<-  2,     i  —  «  +  •> 
ne  s'annule,  ce  qui  ne  pourra  avoir  lieu  puisque 

t  >  o,        i  <^  n  —  4- 

Donc  il  existera  toujours,  si  n  est  entier  et  plus  grand  que  4)  "'^  polynôme 
entier  satisfaisant  à  l'équation  (3). 

Pour  aller  plus  loin,  posons  z'^  =^  t;  l'équation  (3)  deviendra 

d^  V  d"^  V  dv 

/•/*  ç  dv  dv 

+  8ir----  +54<-7-  -H  3<(i()  — n2)-p  +(8  — 2«')c  =  o. 
at^  at  '  al 

Il  n'y  a  plus  que  trois  points  singuliers 

o,     I     et     x 

et  les  racines  des  équations  déterminantes  sont  respectivement 

I  2 

3'  V 

o,  I,  —  i; 

2  2  n  2  « 

~3'      ~3^3'      ~3~3"" 

Supposons  que  n  ne  soit  pas  divisible  par  3  et  pour  fixer  davantage  les  idées 

soit 

n  ^  I         (mod  3). 


■îlfi 


srn  i.F.s  iNTi:(;nAi.F.s  inHKiii  r.iKDKS  ues  kqiations  mneaihes. 


Siiionl  \,  \,  Z,  trois  intégrales  de  l'équallon  en  /,  la  seconde  se  réduisant,  à  •!>. 
,1e  choisirai  ces  trois  intégrales  de  telle  façon  que,  quand  le  point  t  tournera 
autour  tlti  point  o,  elles  subissent  la  substitution  linéaire 


I 

f) 

o 

o 

./ 

o 

o 

o 

r 

Quand  on  tournera  autour  du  point  i,  nos  intégrales  subiront  la  substitu- 
tion linéaire 

abc 

o       1       o 

a      b'     c' 

Les  racines  de  l'équation  déterminante  étant  o,  i  et  —  i ,  on  devra  avoir  itlenti- 
quement  par  rajipoit  à  S 


a  —  S        b  c 

o  I  —  S         o 

a'  b'        c — S 


=  d—  S)3. 


De  plus,  comme  une  seule  intégrale  est  logarithmique,  il  faut  que 
ab' — ba' =  b' ;         rb'  —  c' b  = — b. 

Quand  le  point  t  décrira  un  contour  de  rayon  très  grand,  les  trois  intégrales 
subiront  la  substitution  linéaire 

«  bj  cj 
o  /  o 
a      b'j     c'p 

Mais  en  ce  qui  concerni'  le  point  l  ^=  co,  les  racines  de  l'équation  déterminante 

■f.    n  —  2    —  />  —  ■'.  .  .1.1 

sont  —  -)  — 5 — I et  par  consecpient  sont  égales,  a  des  entiers  près. 

à  o,  -  et  :7»  11  en  résulte  (jiie  Ion  a  identiquement 


a  —  S       bj  c/2 

o      y — S        o 

a'  b'j       c' j- — S 

Ces  conditions  suffisant  pour  montre]-  que 

a  =  c  =  I,         a' c  ■ 


=  I-S3. 


SUR    LES    INTÉGRALES    IRRÉGULIÈRES    HKS   ÉQUATIONS   LINÉVIRES  3l7 

ceci  nous  conduirait  aux  hypothèses  suivantes  : 


a  =  c  = 

o; 

a'  =  i, 

c  =  o, 

b 

=  o; 

c  =  I, 

a'  =  o, 

h' 

=  f). 

Les  deux  dernières  hypothèses  sont  inacceptables,  car  elles  conduiraient  à 
admettre  que  l'équation  (3")  a  une  seconde  intégrale  holomorphe  dans  tout  le 
plan  et  qui  ne  pourrait  cire  qu'un  polynôme  entier.  Or  cela  est  manifestement 
impossible. 

Nous  devons  donc  adopter  la  première  hypothèse,  et  nous  pouvons  conclure 
que  l'équation  (3")  a  une  intégrale  de  la  forme 

'L  étant  le  polynôme  défini  plus  haut  et  M  étant  méromorphe  dans  tout  le  plan. 
On  arriverait  au  même  résultat  si  l'on  avait 

«  ï=  2         (mod  3). 

On  conclut  de  là  que  l'intégrale 

'  c  e'--^  dz 


/■■ 


prise  successivement  le  long  de  trois  contours  analogues  à  ki  et  enveloppant 
respectivement  le  point  a,  le  point  y.j  et  le  point  ay-,  nous  fournira  trois  inté- 
grales normales  de  l'équation  (i). 

Si  pj-  est  entier  négatif  et  si  l'intégrale  c,  correspondante  n'est  pas  logarith- 
mique, l'intégrale  J,-  correspondante  sera  toujours  normale.  Reprenons  par 
exemple  les  équations  (i")  et  (3")  et  faisons-y  /i  =  i .  La  théorie  précédente 
semble  alors  en  défaut,  car  l'équation  (3")  n'admet  plus  comme  iotégrale  un 
polynôme  entier.  L'intégrale  générale  de  l'équation  (  3")  est  alors 


A  -h  B  j:  +  G  3" 

c  =  : -. > 


A,  B  et  c  étant  des  constantes  arbitraires.  Nous  n'avons  plus  alors  ni  intégrale 
entière,  ni  intégrale  logarithmique,  mais  les  intégrales  sont  méromorphes  dans 
le  voisinage  des  trois  points  singuliers.  L'équation  (i")  doit  donc  encore 
admettre  trois  intégrales  normales,  ce  qu'il  est  d'ailleurs  aisé  de  vérifier. 

Dans  le  cas  où  ,3,  est  entier,  positif,  et  où  l'intégrale  c,  n'est  pas  logarith- 
mique, une  même  intégrale  de  (3),  holomorphe  dans  tout  le  plan,  peut  fournir 


3lS  SUH    LES    INTÉGRALES    IRRIÎGUMKRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES. 

plusieurs  intégrales  normales  do  (i).  Ainsi  si  l'équation  (3)  admet  une  inté- 
grale holomorphe  dans  tout  le  plan  et  s'annulant,  ainsi  que  ses  (n  —  i)  premières 
dérivées  en  k  points  différents  (^cjul  doivent  être  alors  des  points  à  apparence 
singulière),  l'équation  (i)  admettra  /:  intégrales  normales. 

Dans  les  exemples  que  nous  avons  considérés  plus  haut  [équations  (i') 
et  (|i  ')],  les  transformées  de  Laplace  (3')  et  (3")  avaient  toutes  leurs  intégrales 
régulières.  Cela  arrivera  toutes  les  fois  que  P„  sera  de  degré  n  et  divisible 
para;",  P,,-!  divisible  para;"-',  P,,...,  divisible  par  ûû"-^,  .  .  .,  P,  divisible  par  x. 

Supposons  que  l'équation  (i)  satisfasse  à  ces  conditions.  Alors  l'équation  (3) 
aura  toutes  ses  intégrales  régulières  tant  à  distance  finie  que  dans  le  domaine 
du  point  3=00.  Si  donc  elle  admet  une  intégrale  égale  à  une  fonction  entière 
multipliée  par  une  puissance  de  s  —  a,,  cette  fonction  entière  ne  pourra  être 
qu'un  polynôme. 

D'où,  cette  conclusion,  que  si  l'équation  (i)  satisfait  aux  conditions  énon- 
cées, une  série  normale  ne  pourra  converger  qu'à  la  condition  d'être  limitée. 

Il  est  aisé  de  former  des  équations  admettant  un  nombre  déterminé  d'inté- 
grales normales. 

Soit  une  équation  linéaire 

^    d"u         ,        r/"-'M  ^   du       ^ 

où  les  polynômes  Q  sont  de  degré  m  <  n.  Cette  équation  admettra  {/>  —  m)  in- 
tégrales holomorphes  dans  tout  le  plan.  Posons  ensuite 

u  =  p(z  —  a)". 

Alors  v  satisfera  aussi  à  une  équation  linéaire  (3")  facile  à  former.  La  trans- 
formée de  Laplace  de  (3")  aura  alors  évidemment  {»  —  m)  intégrales  normales. 


V.  —  Cas  du  second  ordre. 

Nous  allons  chercher  maintenant  à  étendre  au  cas  général  les  résultats  qui 
n'ont  été  jusqu'ici  obtenus  qu'en  supposant  que  toutes  les  séries  normales  sont 
du  premier  ordre  et  par  conséquent  que  tous  les  polynômes  P  sont  de  degré 
égal  ou  inférieur  à  celui  de  P„. 

Considérons  une  équation 


Sl'R    LES    INTÉGRALES    IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  3l9 

OÙ  les  degrés  des  polynômes  P„  vont  en  croissant,  mais  de  la  manière  sui- 
vante :  P„  sera  par  exemple  de  degré  m;  P„_i  sera  de  degré  {m  -+-  i)  au  plus; 
P„_2  de  dei;ré  [m  -\-  2)  au  plus,  etc.;  P,  de  degré  (m  -\~  n  —  1)  au  plus,  el  P„  de 
degré  {m  -\~  n)  au  plus.  Il  arrivera  alors  en  général  que  l'équalion  (1)  admettra 
n  séries  normales  du  deuxième  ordre 

On  aura  d'ailleurs 


tp,(a;)  =  eoi^'-*-''.-"^.?».  'J/,  (  -  )  > 


'!(  —  1  étant  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  de  -,  mais 
généralement  divergente. 

Soit  y=^f[x)  une  intégrale  quelconque  de  réquation  (1).  Posons 

u=f{x)f{-x). 
11  est  aisé  de  voir  que  u  satistait  à  une  équation  linéaire  d'ordre  11'^ 
,^     d"'u        ^         d"'—Ui  du 

où  les  coetficienls  Q  sont  des  polynômes  entiers  en  x. 
Cette  équation  admettra  les  n-  séries  normales  suivantes 


qui  sont  toutes  du  deuxième  ordre.  Donc  les  degrés  des  polynômes  Q  iront  en 
croissant  de  telle  façon  que  le  degré  de  Q„î  /,  ne  puisse  dépasser  celui  de  Q„, 
de  plus  de  h  unités. 

De  plus  cette  équation  (2),  d'après  son  mode  de  formation,  ne  devra  pas 
changer  quand  on  changera  j?  en  —  x;  d'où  il  résulte  qu'un  même  polynôme  R 
ne  pourra  contenir  que  des  puissances  de  x  d'une  même  parité.  Chacun  des 
polynômes  Q  sera  ou  une  fonction  paire  ou  une  fonction  impaire;  si  Q„,  est 
pair,  Q„!_i  sera  impair,  Q„!_2  sera  pair  et  ainsi  de  suite  ;  ce  sera  le  contraire 
si  Q„,  est  impair. 

Posons  maintenant 


nous  aurons 


</''«      V^  \P  ,       „       d'/u         ,    ^  , 

dxi'       Ad   \p  —  q    ■'■  <J~P  dt'l  y^  -f--  f  -    11 


3iO  SUR    I.RS    INTÉC.nVLES    IRBÉGIILIÉRES    DES    ÉQUATIONS   LINÉAIRES. 

L'équation  {2),  qu'on  peut  écrire 
deviendra  donc 


ou  bien 


>, >  qi,{>.xy-'i-i' != =  o. 


les  Ry  sont  des  polynômes  définis  de  la  manière  suivante  : 

i^./  =  ^ Q/> ( •' ^ y--'-"  I j, _  Jt, y  _ ^^       {plq\p^'iq;  pi»^)- 

Nous  aurons  en  particulier 

Soit  m  le  degré  de  Q„, ;  celui  de  Qp  sera  au  plus  égal  à  (in-\-n-  —  p).  Le 
degré  de  R,,?  (en  x)  sera  égal  à  (m  +  «-).  Le  degré  de  Q/,(2 x)-,,_p  sera  au  plus 
égal  à  (m  -\-  n--\-  2C/  —  2/3);  mais  l'on  observe  que  (q  —  p)  est  au  plus  égal  à 
zéro,  on  verra  que  le  degré  de  Qp{2x)-'/~f  et  par  conséquent  celui  de  Ry  est  au 
plus  égal  à  {m  -\-  n-). 

Donc  le  degré  d'un  quelconque  des  polynômes  Ry  est  au  plus  égal  au  degré 
de  R„,. 

Nous  pouvons  toujours  supposer  que  (in-\-n-)  est  pair.  Car  si  cela  n'était  pas, 
nous  multiplierions  l'équation  (2)  par  ûc,  augmentant  ainsi  m  d'une  unité. 
Alors  Q„,  sera  une  fonction  paire  ou  impaire  selon  que  ni  sera  pair  ou  impair. 
De  plus  les  polynômes  Q^  devront  être  alternativement  di;s  fonctions  paires  ou 
impaires,  d'où  il  suit  que  Qp{2x)-''~P  et  par  conséquent  R^  est  toujours  pair. 

Si  donc  on  remplace  x''  par  t,  Ry  est  un  polynôme  entier  en  t. 

L'équation  (3)  est  alors  une  équation  de  même  forme  que  (i),  mais  qui  sera 
de  rang  1  et  non  plus  de  rang  2,  pour  employer  l'expression  du  paragraphe  2. 

Soit  par  exemple  l'équation 

Soit  j'i  ce  qu'on  obtient  en  changeant  ic  en  —  x  dans  y  ;  on  aura 

Soit  «  ^yy,  ;  nous  désignerons  [):tr  y',  y\,  u',y",  etc.  les  dérivées  successives 


SIR    LES    IMÉGRALES    IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  321 

dey,  yi  el  a.  On  obliendra  en  tenant  compte  des  équations  différentielles 


fS') 


«  =yri, 

«'  =yy>->-yy\; 


(^r-^--l)yyu 


u"  =  (8 x''  +  4  — ■',  }yyi^(  I ■'.  X  ■ 


^i)yy\  +  ('2  +  J;)/>i  +  sx'-yr'i- 


En  éliminant  entre  ces  cinq  équations  (5')  les  quatre  (juanlllés  y)',,  y'y\, 
yy[,  y'y\,  on  arrive  à  l'équation 

/    'N  ,f/*'<  d^"-        ,    .  d^u         _       lia        ,,,,,, 

(■O  x-^^-^x—-,x'-^-i(,x^^^-(hx^--^)a  =  o. 

11  est  aise  de  \ériller  que  cette  équation  est  de  rang  2. 
On  trouve  ensuite 

R3  =  Qv(').a7)2.i2  +  Q3('>a-)3=  Sfir'-, 

R.2=  Q4.r'.  +  Q3(2a7).6  +  Qj(2a?j«  =  —  i6t6+ •.)i.r2, 

Ri=  Q.J.2  -I-  Qi(2x)  =—  4oa:', 

R„=0„-=- 8x2+4; 

d'où  enfin  l'équation 

qui,  comme  on  le  voit,  est  de  rang  1. 

L'intégration  de  l'équation  (i)  est  ainsi  ramenée  à  celle  de  l'cquattion  (3) 
qui  est  de  rang  i.  On  formera  donc  la  transformée  de  Laplace  (4)  de  cette 
équation  (3)  et  l'on  obliendra  ainsi  u  sous  la  forme  d'une  intégrale  définie. 

Comment,  lorsque  l'on  connaîtra  «,  pourra-l-on  obtenir j'? 

Appelons  )i  ce  que  devient  y  quand  on  j  change  x  en  — x.  On  trou- 
vera n--\-  I  équations  de  la  forme  suivante  : 


d^  II. 


V  V    ^'^y'"y^     /po,  ,,2,...,«2    X 

\  ■;  =  o,  I,  2,  . . . ,  n  —  I  / 


Dans  ces   équations,  F^py  désigne   une  série  de    fonctions    rationnelles  en  x. 

D'ailleurs  naturellement -^ —  représente  u.  Ces  équations  sont  analogues  aux 

équations  (5')  écrites  plus  haut. 

11.  P.  -  I.  4i 


3?.î  Pl'R    LES    INTÉGRALES    IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQUATlOiNS    LINÉAIRES. 

Si   l'on    éliiniiio    par    un    iléterminanl,    entre   ces    (/i-+i)   équations,    les 
n-  produit/S 
,,.  d?y  dyy 

on  obtiendra  l'équation  (2).  Ne  retenons  plus  maintenant  que  les  /i^  premières 
équations  (5),  celles  où  l'on  a  pour  a  successivement  les  valeurs 

a  =  o,  I,  'i,  ....  «' —  I . 

On  pourra  alors  résoudre  les  n-  équalions  par  rapport  aux  n^  produits  (6) 
(comme  si  ces  «-  produits  étalent  des  variables  indépendantes)  pourvu  toutefois 
que  le  déterminant  correspondant  ne  soit  pas  nul,  ce  que  nous  supposerons. 
Nous  nous  réservons  d'ailleurs  d(;  revenir  plus  loin  sur  le  cas  |)arliculier  où  ce 
déterminant  est  nul. 

On  tirera  en  particulier 


dy 


sous  la  lornie  suivante  : 


rlu  ^    .d'u  _.  dn''-i  u 

yy,  =  *„  u  +  *,  ^^  +  *,]^  +  .  .  .  +  *„.-,  ^^-^  , 

dv  .  .  du  . ,        d"'-'  u 

ce  qui  donnera  enfin 

y  4.'  — 

dy  __  Ad     '' dxi' 
Zf     " dxr 

Si  u  est  connu,  cette  équation  donnera  j'  par  une  simple  quadrature. 

On    peut    d'ailleurs    obtenir    ce    résultat    d'une    infinité    de    manières;    en 

calculant 

d^ri     ,,^     dy  d^Xi 
y  dx'^  dx   dx^ 

Il  n'arrivera  pas  que  toutes  ces  quantités  soient  nulles  à  la  fois. 

Voyons  malmenant  ce  qu'il  faudrait  faire  si  le  déterminant  était  nul  et  si  par 
conséquent  on  ne  pouvait  pas  résoudre  les  équations  (5)  par  rapport  aux 
n^  produits  (6j. 

Pour  le  voir,   faisons   «  =  a  et  écrivons  les  équalions  (5)  en  reprenant  la 


SlIH    LES    INTÉGIIAI-ES    IHRKIiLI.IÉRES    DES    KQrATlO.NS   LINÉAIRES. 

notation  de  Lagrange 


323 


(5") 


=  ■•^  yy^  -t- 1'  yy\  -^  c  fy^  -+-  d  y'y\ , 

"=  "^'yyx  +  B>r',  +  C'^-'j-,  +  l>'yy\  ; 


A.  B,  C,  D,  A',  B',  C  D'  seront  des  fonctions  rationnelles  de  x  telles  que  le 

déterminant 

1       o      o      o 

o        I        I       o 

A      H      C      D 

A'     I!'     C     D' 

soit  nul.  Nous  supposerons  toutefois  que  les  mineurs  du  premier  ordre  ne 
soient  pas  tous  nuls  à  la  fois.  Nous  pourrons  alors  écrire 

yy'=  «- 

yy\  =  a  H  -4-  |î  (t'-+-  Y  u"-¥-  s  «'"+  E  y'y\ , 
y'yi  =  a.'ii  -^  fJ'(('-!-  y'""^-  8'i<"'+  i'y'y\, 

a,  |j,  V,  etc.  étant  lalionnels  en  x.  En  faisant  le  produit  des  deux  dernières 
équations  et  en  y  remplaçant  yy\  par  (/,  on  obtient  une  équation  du  second 
degré  en  y'y\-   11  en  résulte  que  y'y\  et  par  conséquent   )'j'i,  yy\,  y'yi   et 

enfin  —  sont  des  fonctions  algébriques  de  .r,  it ,  ii' .  ii"  et  //". 

Toutes  les  fois  donc  que  le  déterminant 


sera  nid,  l'expression 


sera  non  plus  une  fonction  rationnelle  mais  une  fonction  algébrique  de  ,r,  de  u 
et  de  ses  dérivées.  Donc  quand  on  connaîtra  u,  on  en  déduira  y  par  une 
simple  quadrature. 

Il  est  facile  maintenant  d'étendre  au  cas  général  ce  que  nous  venons  de  dire 
des  équations  de  rang  2.  Supposons  que  (i)  soit  une  équation  de  rang  p  et  soit 
satisfaite  par  n  séries  normales  d'ordre  p.  Soit 


ot 

=  0,  1 

■i, 

? 

=  0,  I 

a, 

V 

=  0.  I 

dy 
y  dx 

2, 

y=/i^) 


3ï4  Sln    l.KS    INTKGR\LKS    IRnKUl'MKRES    DES    ÉQUATIONS   LINÉAIRES 

une  intégrale  ([uclconque  de  l'équalion  (i).  Posons 

i<=/(^)/(«,r)/(a5j-).../(a''-i.r). 

a  étant  une  îles  racines  ^"'""'*  priniilives  de  l'unité. 

Il  arrivera  alors  que  ii  satisfera  à  une  équation  différentielle  linéaire  (2)  de 
rang  j)  et  d"ordre  «''  dont  les  coelTicients  seront  des  polynômes  en  x.  L'équa- 
lion ne  devra  pas  changer  si  l'on  change  x  en  y.x.  Il  en  résulte  que  si  l'on  écrit 
cette  équation  sous  la  forme 


on  de\  ra  avoir 


.    k  —  /(  =  une  constante         (moH/)). 

En  multipliant  l'équation  par  une  |)uissance  convenablement  choisie  de  x, 

on  aura  alors 

k  !^  h         (  iiiocl  p). 

Faisons  maintenant 

xP  =  t. 

L'équation  (  a)  deviendra  par  ce  changement  de  variajjle 

(3)  2'^"  7777="- 

les  Ry  étant  des  polynômes  entiers  en  /.   Cette  équation  (3)  sera  de  rang  i. 
Supposons  qu'on  en  tire  u;  comment  ohtiendra-t-on  j?  On  obtiendra  nP  -\- i 
équations 

(5)  I  (It=^     Zl   ^'^••■■'■,/,,:i   di-t '"    ,/.,■>. 

/  (a  =  o,  X,  ■*,  .  ..,  «/';  [i,  -;,...,  X  =  o,  1,  -2,  ...,//  —  i). 

Dans  ces  équations,  les  F  sont  des  fonctions  rationnelles  de  r,  tl  y,,  désigne 
la  fonction /(aîx). 

Ues  nP  premières  équations  [j)  on  tirera  les  11 ''  produits  : 

d:'y        dty  '/b-r-\ 


dxP        dx-(  dxK 

Si  l'on  considère  en  effet  ces  nP  produits  comme  des  \ariables  indépendantes, 
les  nP  premières  équations  (;"))  seront  linéaires  par  rapport  à  ces  nP  variables. 
On  pourra  donc  les  résoudre,  pourvu  que  leur  déterminant  ne  soit  pas  nul. 


SUR    LES    INTÉGRALES   IRRÉGULIÈRES    DES    ÉQl'ATIONS    LINÉAIRES.  325 

On  obtiendra  ainsi 

les  $  étant  rationnelles  en  x.  On  en  tirera 

^  _  ''  dx'l 

y  dx        -^        di  u 

Zi^''d^ 

de  sorte  que  la  dérivée  logaritlimif[ue  de  )■  est  une  fonction  rationnelle  de  x, 
d<'  u  et  de  ses  dérivées. 

Si  le  déterminant  des  équations  (5)  était  nul,  cette  dérivée  logarithmique 
ne  serait  plus  fonction  rationnelle,  mais  serait  fonction  algébrique  de  x,  de  u 
et  de  ses  dérivées. 

Dans  tous  les  cas,  si  l'on  suppose  ii  connu,  y  s'obtiendra  par  une  simple 
quadrature. 

VI.  —  Généralisation  des  paragraphes  III  et  IV. 

Quelle  est  la  condition  pour  que  Téqualion  (i)  envisagée  dans  le  paragraphe 
précédent  ait  une  intégrale  normale,  c'est-à-dire  pour  que  l'une  des  séries 
normales  qui  j  satisfont  converge? 

Supposons  pour  fixer  les  idées  que  cette  équation 

d"  V  d"~^ y 


soit  de  rang  2  et  soit 


■  es  (  ar  ) 


une  série  normale  qui  y  satisfasse;  nous  allons  chercher  la  condition  pour  que 
cette  série  converge.  Si  elle  converge,  il  en  sera  de  même  de 

ou  encore  du  produit 

S   =   C>5"'3i(/Ï)cp(^   /<), 

OÙ  l'on  a  posé 

t  =  x'-. 

Mais  cette  série  normale  S,  qui  est  du  premier  ordre,  satisfera  formellement 


3l6  SUR    LES   INTÉGRALES    IRRÉGULIÈRES    DES    K(Jl'ATIONS   LINÉAIRES. 

à  réqiialiiiii 

(iiie  l'on  toriiiern  i-oninie  dans  le  paragraphe  précédent,  en  appelant  y,   ce  que 
devient^  quand  on  change  a;  en  —  x,  et  en  faisant  u  ^=yy\  et  l  =  x-. 

Mais  cette  étjuation  (3)  est  de  rang  i;  pour  qu'elle  admette  une  intégrale 
normale,  il  faut  donc  et  il  suffit  que  sa  transformée  de  Laplace  (4)  admette  une 
intégrale  de  la  forme  sui\anl('  : 

G{z)  étant  une  fonction  entière  de  :■. 

Celte  condition  est  donc  aussi  nécessaire  pour  que  l'équation  (i)  ait  une 
intégrale  normale. 

Je  dis  qu'elle  est  également  suflisante.  Supposons  en  ell'et  qu'elle  soit 
remplie;  alors  on  pourra  trouver  une  intégrale  de  l'équation  (3)  qui  *oit  de  la 
foriiii' 

o  désignant  une  lonction  holomorphe  en  -  pour  /  =  oo. 

Nous  avons  vu  au  paragraphe  précédent  qu'en  supposant  que  le  déterminant 
des  équations  (5)  ne  soit  pas  nul,  on  aura 


yy 

dy  -^        di  u 

'di  •^'  ""lu     ''  rf^  ' 

les  <ï>  et  les  «!>'  étant  rationnels  en  x.  Si  dans  ces  équations  nous  remplaçons  u 
par  sa  valeur  (6),  puis  que  nous  les  divisions  l'une  par  l'autre,  il  vient 

dv  ,        c        d        e 

— f-  =  •>.  aa;  -H  o  H 1 H -I- 

y  dx  X       .r'        X' 

Car  on  voit  aisément  que 

2    ,  d'i  u 


d'I  II 


peut  se  développer  en  série  suivant  les  puissances  croissantes  de 


Sin    LES   INTÉGRALES    IRRÉUUHÈBES   DES   ÉQUATIONS   LINÉAIRES.  327 

On  en  déiliiil  aisément 

y  =  e«-^'+'"J/(a:).i"', 

■l  étant  une   série   convergente   ordonnée   suivant   les    puissances    croissantes 
de  -  •  I>a  condition  énoncée  plus  haut  comme  nécessaire  est  donc  aussi  suffisante. 

a;  '■ 

Elle  l'est  encore  si  le  déterminant  des  équations  (5)  est  nul.  Il  arrive  alors 

que  l'on  a 

i/y  _     I  du  d"'—'  u  \ 

yH:  "      V^'  "'  d^'  '"'  dx"'-'  )  ' 

F  étant   ralgorithme    d'une    l'onction    algébrique.   De   plus,  la  fonction  F  est 

1.11,.  .        du  d"'~^u 

homogène  et  de  degré  zéro  par  rapport  a  «,  -y-,  •  ■  • ,    ,  ^,_^  ■ 

Si  donc  on  y  remplace  n  par  son  expression  (6)  l'exponentielle  g-"-*'  qui 
entre  dans  celte  expression  disparaîtra,  ce  qui  montre  qu'après  cette  substi- 
tution le  point  .r  =  o)  sera  pour  la  fonction  F  (qui  ne  dépend  plus  maintenant 
que  de  x  puisqu'on  a  remplacé  ii  par  une  fonction  connue  de  ,r)  un  point 
singulier  algébrique. 

On  pourra  donc  développer  F  suivant  les  puissances  décroissantes  (entières 
ou  fractionnaires)  de  x.  Si  l'on  n'a  que  des  puissances  entières,  il  viendra 

dy  c 

y  dx  X 

et  l'on  retombera  sur  le  cas  précédent.  Si  au  contraire  on  avait  des  puissances 
fractionnaires,  on  trouverait 

'.p  étant  l'algorithme  d'un  polynôme  entier  et  i  celui  d'une  fonction  holomorphe. 

L'équation  (i)  devrait  donc  être  salisfaite  par  une  série  anormale,  ce  que 
nous  n'avons  pas  supposé. 

On  doit  donc  en  conclure  que  la  condition  énoncée  est  dans  tous  les  cas 
nécessaire  et  suffisante  pour  qu'une  équation  de  rang  2  ail  une  intégrale 
normale  et  l'on  verrait  delà  même  manière  qu'il  en  est  de  inème  pour  une  équa- 
tion de  rang  quelconque. 

Supposons  maintenant  que  la  série  normale  qu(i  nous  envisageons  et  qui 
satisfait  à  l'équation  (i)  ne  soit  pas  convergente.  Soit 

S  =  e'-^-'+l^^Ti-  <f(x} 

cette  série  normale  divergente;  formons  la  série 

S,  =  e'"''-''^x^  (f  (—  x). 


■îîS  SIR    I.KS    INTÉtin.M.ES    inilKOll.IKRIÎS    DKS    ÉQUATIONS    I.IMSAIRES 

et  inulliplions  ces  deux  séries  membre  à  membre,  nous  trouverons 

S'=  SS,  =  e-"'  Ù-  i>{s/T)  'ii—  \/'~t)        {I  =  x^) 

et  S'  sera  une  série  normale  du  premier  ordre  en  t  et  qui  satisfera  formellement 
à  l'équation  (3)  qui  est  de  rang  i.  Cette  série  S'  représentera  alors  asympto- 
titpiement  une  certaine  intégrale  //  de  cette  équation  d'après  ce  que  nous  avons 
démontré  au  paragraphe  111. 
Si  l'on  pose  ensuite 

y  *■  ^ 

ily  _  Ai     ''  dx'i 
Y  dx         x^  ^     (/'/ 


Zi     ■'  dx-i 


(les  <ï>  elles  «!>'  ayant  même  signification  que  plus  haut)  >•  sera  une  intégrale  de 
l'équation  (i)- 

Je  dis  que  j'  sera  représenté  asymplotiquement  par  la  série  S. 

En  effet,  on  pourra  former,  d'après  les  règles  ordinaires  du  calcul,  les  séries 

suivantes  : 

di'i'  •<c^  .    d''S' 


On  obtiendra  ainsi  deux  séries  divergentes  qui  représenteront  asymplotique- 
ment 

. ,  d'y  u  -^        d'i  u 


y, ,  ai  M  V"'    .      "''  " 

Jmd     '  dx'l  ^U     '  dx'l 


Cela  demande  un  mot  d'explication;  pour  élaljlir  les  égalités  asymplotiques 

V^  i,  rfvS'       v'   .,  d'i  II  v'  ^    rf'/ S'       v^  ^    d'i  u 

•  1  r  1  d'IU  ,  .  .  d'l'>'       ,      ,  , 

il  laut  admettre  que  -j —  est  représente  asymptotiijueuient  par  -^—^  ,  de  la  même 

manière  que  u  est  représenté  [)ar  S'.  Or  les  principes  du  paragraphe  I  ne 
permettent  pas  en  général  de  différentier  une  égalité  asymptolique  comme  une 
égalité  ordinaire. 

Mais  ici  celle  difficulté  ne  peut  nous  arrêter.  En  effet  u  satisfait  à  une  équa- 
tion linéaire  d'ordre   n^   et  de   rang    i,   qui   est  l'équation  (3).   Il  en    résulte 

immédiatement  que  -v,-  doit  satisfaire  à   une   équation  linéaire   (8)   qui  sera 

comme  l'équation  (3)  d'ordre  «^  et  de  rang  1.  En  raisonnant  sur  l'équation  (8) 
comme  sur  l'équation  (3),  on  verrait  que  cette  équ;ition  est  satisfaite  formel- 


SIR    LES    INTÉGRALES    inRÉfiUl.lKRES    DES    ÉQl'ATIONS    LINKAIllES.  32i> 

lement  par  une  série  normale  et  que  celle  série  réprésente  asymptotiquement 
une   des  intégrales  de  l'équation.   On  vérifierait  ensuite  sans  peine  que  cette 

1  diu  ..       .   ■  d''S'    ^         , 

intégrale  est  -j—  et  que  cette  série  est  —jT;f  Un  a  donc  asyniplotiquenient 

tJ'/u  __  d'/S' 
dl'l    "    dVi 

et  par  conséquent 

it'iu  _  d'fS' 
lix'l         dx'i 

On  a  donc  aussi  asymploliquement 

^     ■  ax'i 

Il  est  d'ailleurs  aisé  de  vérifier  que 

On  auiu  donc  asyniplotiquenient 

j'r\=    I   H x-^-i ^— --H. .  .=  1 -(- s,, 


a^,x'•  «0  «0 

ix.0.1'-   dx  a,i  ;i„ 

Si  donc  nous  posons 

g— 2r(>' 

77/1=  '-+ 


les  fonctions  oj,   et  oj^,  seront  représentées  asyniptoliquenienl  par  les  séries 

et  S^,  et  l'on  aura 

dy  foo 

Mais 


I  —  w.  -H  Ojf 


est  une  fonction  holomorplie  de  to,  pour  w,  =0.  On  peut  donc,  d'après  les 
principes  du  paragraphe  I,  y  substituer  son  expression  asjmptotique  ï,  d'après 
les  règles  ordinaires  du  calcul;  on  obtiendra  une  série  divergente  i'j  qui  repré- 


sentera asyniiilotifiucnient • 

'  '  '  1  +  W| 

H.  p.  -  1. 


33o  SIR    I.KS    INTÉGRALES    IRBÉGULIF.RRS    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES. 

Mais  d'après  les  principes  du  même  paragraplie,  nous  avons  le  droit  de  mul- 
tiplier les  deux  égalités  asyniptoliqnes 


d'après  les  règles  ordinaires  du  calcul,  ce  qui  nous  donne  asymploliquenient 

y 

Si  je  ra|)pclle  (.-n  milre  que  les  principes  du  paragrajdu"  I  nous  perinellent 
d'intégrer  les  égalités  asyinplotiques  comme  les  égalités  ordinaires,  j'écrirai 

'"sr=  /  '/■ci;:ii;2. 

ce  qui  nioiilre  que  log^'  peut  être  représenté  asjmptotiquement  par  une  cer- 
taine série  que  l'on  peut  former  aisément  et  que  nous  écrirons 

ax^-\-  bx  -t-  X  \oex  -l-  —  -H  -^  h-  .  .  •  =  ax-  -t-  b.c  +  X  \ogx  -+-  Si, 
X         x^ 

l'osons  alors 

y,  sera  représenté  asymptotiquement  par  ^i,.  Mais  e''  est  une  (onction  holo- 
morphe  de  y,  pour  r,  =  o;  j'y  puis  donc  substituera  la  place  de  t,  son  expression 
asymptotique  ï^,  ce  qui  donne  asymplotiquement 

11  en  icsultc  que  y  est  représenté  asymptolicjuemcnL  par  une  série  de  lorme 
normale  qui  ne  peut  être  différente  de  S. 

L'égalité  asyniptotique 

_r  =  S 

est  donc  démontrée. 

Mais  il  convient  d'observer  tpic  toutes  les  intégrales  de  l'équation  linéaire  (2) 
ne  peuvent  pas  cire  regardées  comme  le  produit  d'une  intégrale  y  de  l'équa- 
tion (i)  par  ce  que  devient  cette  même  intégrale  lorsqu'on  change  .r  en  — x, 
m  même  comme  le  produit  d'une  intégrale  y  de  l'équation  (1)  par  une  inté- 
grale j,  de  l'équation  (]')  obtenue  en  cliangeant  .t  en  —  .r  dans  l'équation  (1). 
Celle  propriété  n'appartient  qu'à  certaines  intégrales  j)articuliéres  de  l'équa- 
tion (2). 


(8) 


SIR    LES    INTÉGRALES    IRRÉGULIÉRES    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  33l 

Il  résulte  de  la  que  si  l'on  tire  j--  de  l'égalité 


d'i  u 
dy  _  ^"'''  dx<J 
ydx"  s^  ^    dfru 
.^     ''  dx'l 


la  valeur  de  j'  ainsi  obtenue  ne  sera  une  intégrale  de  l'équation  (i)  que  si  l'on 
a  choisi  pour  u  certaines  intégrales  particulières  de  l'équation  (2).  Parmi  ces 
intégrales  particulières,  on  peut  toutefois  en  trouver  n-  qui  sont  linéairement 
indépendantes. 

11  est  aisé  do  voir  que  parmi  les  intégrales  de  l'équation  (2)  il  j  en  a  une 
(que  j'appellerai  «,)  qui  est  représentée  asjmptotiquement  par  une  série  nor- 
male S|  (en  supposant  par  exemple,  pour  fixer  les  idées,  que  x  croisse  indé- 
finiment par  valeurs  réelles  positives)  et  qui  est  telle  que  l'on  en  puisse 
trouver  (/i^ —  1)  autres  dont  le  rapport  à  h,  tende  vers  zéro  (|uand  x  croît 
indéfiniment. 

En  appelant  «o,  «;,,  .  .  . ,  it„,  ce.s  (//^  —  1)  intégrales,  on  aura 

Il  ni  —  =0,  Il  m  —  =0,  ....  Il  m ^  o. 

«1  «1  «1 

L'intégrale  générale  de  l'équation  (2)  sera  alors  de  la  forme 

Al  M|  -f-  Aj  ((2  -(-•  ■  --H  A,,j»„>, 

et  elle  sera  représentée  asjmptotiquement  par  la  série  AiS,  pourvu  cjue  A,  ne 
soit  pas  nul.  Ainsi  l'intégrale  la  ])lus  générale  de  l'équation  (2)  sera  représentée 
asjmptotiquement  par  une  série  normale. 

Considérons  maintenant,  non  plus  l'intégrale  la  plus  générale  de  l'équa- 
tion (2),  mais  la  plus  générale  parmi  celles  qui,  substituées  à  a  dans  l'équa- 
lion  (8),  donnent  pour  y  une  intégrale  de  l'équation  (i).  Si  l'on  veut  qu'il  en 
soil  ainsi,  on  ne  peut  pas  choisir  les  constantes  d'intégration  A,,  Ao,  .  .  .,  A„i 
d'une  façon  arbitraire;  il  faut  qu'il  j  ait  entre  elles  certaines  relations  qua- 
dratiques (9).  Mais  quand  même  on  suppose  que  ces  équations  quadratiques  (9) 
sont  satisfaites,  A,  ne  sera  pas  nul  en  général.  Donc  l'intégrale  de  l'équation  (2) 
la  plus  générale  parmi  celles  qui  satisfont  aux  relations  (9)  est  encore  repré- 
sentée asjmptotiquement  par  une  série  normale. 

Il  suit  de  là  et  des  raisonnements  développés  plus  haut  que  l'intégrale  la 
plus  générale  de  l'équation  (i)  sera  représentée  asjmptotiquement  par  une 
série  normale. 


33l  SI  R    I.KS    INTKGnAI.ES    inilKC.l  LIKRKS    IIKS    KQIIATIONS    LINÉAIBES. 

C'est  (Imiis   ce  sens  que  les  résultais  du  |)ar;ii;ra|)lie  III  peuveul  èlre  regardés 


roiiime  "('•iiéralisos. 


Le  raisoiiuenicut  qui  iiiécède  s'applique  comme  si  le  délcrniinant  des  équa- 
tions {à)  étant   nul,  l'expression  — ^  n'est  plu-,   une  fonction  rationnelle  mais 

ali^ébrique  de  ,r,  de  ii  et  de  ses  dérivées.  Ce  raisonnement  est  fondé  en  effet 
sur  ce  principe,  démontré  au  paragraphe  1.  ijue  toutes  les  opérations  du  calcul 
sont  applicables  aux  égalités  asymptolicpies,  si  l'on  excepte  la  diOérentialion. 
Il  n'est  pas  permis  en  général  de  dilTérentier  une  égalité  asymptotique.  Mais 
d'après  ce  que  nous  avons  vu  plus  haut,  dans  le  cas  particulier  où  u  est  une 
intégrale  d'une  équation  linéaire,  il  est  permis  de  difieientier  1  égalité  asvmp- 

totique 

u  =  S'. 

Il  ne  se  présente  donc  aucune  difliculté. 

Il  n  V  aurait  rien  à  changer  aux  développt'ments  qui  précèdent,  si  l'équa- 
tion (i)  au  lieu  d'être  de  rang  2  était  de  rang  quelconque. 

Les  résultats  des  paragraphes  111  et  IV  peuvent  donc  s'étendre  au  cas  le  plus 
général,  avec  les  restrictions  énoncées  plus  haut. 

Je  puis  donc  énoncer  le  résultat  suivant  qui  sera  la  conclusion  de  ce  Mémoire  : 

L'intégrale  la  plus  générale  d'une  équation  de  rang  quelconque  est  repré- 
sentée asynq)totiquement  par  une  des  séries  normales  qui  satisfont  formelle- 
ment à  celte  même  équation. 

Il  peut}'  avoir  exception  si  l'équation  admet  des  séries  anorniak's. 

Pars,  le  7  février  iSSCi. 


REMARQUES 


LES  INTËGIULES  lURÉGULlÈRES 

DES 

ÉQUATIONS   LINÉAIRES 

(RÉPONSE    A    M.    THOMÉ) 


Acta    rnalheinalica,    t.    10.    p.    .iio-3i2    (1887). 


J'ai  publié  deux  Mémoires  sur  les  inlé;4rales  irréi;ulières  des  équations 
linéaires,  le  premier  Sur  les  équations  linéaires  aux  différentielles  ordi- 
naires et  aux  différences  finies  dans  Y  American  Journal  of  mat  hématies 
(t.  7,  i885,  p.  2o3-2;')Sj,  le  second  Sur  les  intégrales  irrégulières  des  équa- 
tions linéaires  dans  les  Acta  nia/hemalica  (t.  S,  1886,  p.  29.')-344)-  Ces 
deux  Mémoires  ont  inspiré  à  M.  Tliomé  une  Bemerhttng  zur  Théorie  der 
linearen  Di[ferentialgleichungen  qu'il  a  fait  imprimer  dans  le  Journal  de 
Crelle  (t.  101,  1887)  et  que  je  ne  puis  laisser  sans  réponse. 

Soit  une  équation  linéaire  de  la  forme  suivante  : 

en  P„4^H-  P,,-,^^^'  +...  +P,^'  +  p„y  =  o, 

t/x"  dx"-^  dx  "■' 

où  les  P  sont  des  polynômes  entiers  en  x  d'un  même  dej^ré  m. 

On  démontre  (jue,  pour  x  très  yrand,  cette  équation  admet  n  intégrales  de  la 

forme  suivante  : 

a:p''i/,-         (t  =  î,  ->,...,  «j, 

les  'h  étant  des  séries  converaentes  doublement  inlinies  procédant  suivant  les 
puissances  positives  et  négatives  de  x.  Mais  on  n'a  aucun  moyen  de  déterminer 
les  exposants  p  et  les  coefficients  des  séries  4. 


335  REMARQl'ES    SUR    LES    INTÉGRALES    MlBÉGliEIÈRES    DES    ÉQIATIONS    LINÉAIRES. 

D'autre  jiiirl,  ou  trouve  /;  séries  que  j'appellerai  S(hies  normales  et  qui 
SAtisfont  formellement  à  réqualion  (i).  Ces  séries,  cjiii  sont  généralement 
divergentes,  sont  fie  la  forme 

eajJ^a-'.Oi         a  =  i,  ■>.,...,  n). 

les  o   étant  des  séries  ordonnées  suivant   les   puissances  négatives  de  x.  J'ai 
démontré  à  ee  sujet  deux  théorèmes  : 

1°  Pour  qu'une  série  normale  soil  convergente,  il  faut  et  il  suftil  que  la 
transformée  de  Laplace  de  l'équation  (i)  admette  une  intégrale  holomorphe 
dans  tout  le  plan  : 

2*  Alors  rjiiême  qu'une  série  normale  diverge,  elle  représente  asymplotique- 
ment  une  des  intégrales  de  l'équation  (i"),  quand  r  croît  imlc'linimeiil  avec  un 
argument  déterminé. 

M.  Thomé  attaque  ces  deux  théorèmes,  mais  à  deux  points  de  vue  différents. 
Quant  au  premier,  il  n'en  conteste  pas  l'exactitude,  mais  il  le  déclare  dénué 
d'intérêt.  C'est  là  un  point  sur  lequel  il  est  malaisé  de  discuter. 

D'après  M.  Thomé,  il  est  aussi  difficile  de  distinguer  si  l'équation  trans- 
formée a  une  intégrale  holomorphe,  que  de  reconnaître  si  la  série  normale  con- 
verge. J'en  conviens  volontiers,  mais  j'estime  cju'il  n'est  pas  inutile,  quand  on 
est  en  présence  de  deux  problêmes  également  insolubles,  de  montrer  qu'ils  se 
ramènent  l'un  à  l'autre. 

On  croirait  que  M.  Thomé  attendait  de  moi  l'énoncé  sous  forme  explicite 
des  conditions  de  convergence  des  séries  normales.  Il  ne  dépendait  pas  de  moi 
de  le  lui  donner;  ces  conditions  s'expriment  évidemment  par  des  relations 
entre  les  («  -I-  i)  (/«  +  i)  coefficients  des  polynômes  P;  mais  ces  relations  ne 
sont  pas  algébriques.  Tout  ce  que  l'on  peut  faire,  c'est  étudier  les  transcen- 
dantes qui  y  entrent.  En  établissant  que  la  convergence  se  rattache  à  une  pro- 
priété du  groupe  de  l'équation  transformée,  je  montrais  en  même  temps  que 
ces  transcendantes  sont  intimement  liées  à  d'autres  fonctions  que  j'ai  étudiées 
dans  mon  Mémoire  Sur  les  groupes  des  équations  linéaires  (Acta  niathe- 
matica.  t.  -i,  i88^,  p.  aoi-.3i  i)  (').  Les  résultats  que  j'ai  donnés  au  sujet  de  ces 
deux  classes  de  transcendantes  sont,  il  est  vrai,  fort  incomplets:  mais  il  est  pro- 
bable que  l'on  n'en  trouvera  pas  d'autres  flic'i  à  quelque  temps;  c'est  ce  qui 

(')  Œuvres  de  H.  Poincaré,  t.  II,  p.  3oa. 


REMARQUES   SUR    LES    INTÉGRALES    IRRÉGILIÈRES    DES   ÉQUATIONS    LINÉAIRES.  335 

m'a  déterminé  à  les  publier,  tout  en  partageant  les  regrets  de  M.  Thomé  au 
sujet  des  lacunes  qui  y  subsistent  encore. 

Quant  au  second  théorème,  M.  Thomé  le  regarde  comme  faux,  et  cela  parce 
qu'il  l'interprète  de  la  façon  suivante  : 

Ce  serait  toujours  la  même  intégrale  qui  serait  représentée  asymptotique- 
ment  par  la  même  série  normale,  quel  que  soit  l'argument  avec  lequel  x  croît 
indéfiniment;  d'où  il  résulterait  que  les  exposants  /•/  devraient  être  égaux  aux 
exposants  p,. 

Je  n'ai  jamais  dit  une  pareille  bêtise  et  M.  Thomé  me  la  prête  gratuitement. 
Le  paragrapiie  V  du  Mémoire  de  V American  Journal  est  tout  entier  destiné 
à  démontrer  le  contraire  et  j'ai  encore  répété  le  contraire  à  plusieurs  reprises 
dans  le  Aléinoire  des  Acla  mathematica,  et  en  particulier  dans  les  deux  der- 
nières lignes  de  la  page  6og  et  les  huit  premières  lignes  de  la  page  3io. 

En  ce  qui  concerne  ces  dix  lignes,  je  reconnais  que  j'aurais  mieux  fait  de  les 
souligner;  mais,  quant  au  paragraphe  V,  je  ne  pouvais  imaginer  qu'un  para- 
graphe tout  entier  échappât  au  lecteur  le  plus  inattentif. 

Je  |)révois  la  réponse  de  M.  Thomé  :  mais,  dira-t-il,  si  vous  ne  pouvez  nous 
donner  explicitement  la  valeur  des  exposants  o,  votre  travail  est  dénué  d'in- 
térêt. J'en  suis  fâché,  mais  cette  délermiualion  explicite  est  impossible;  on  est 
obligé  de  se  contenter  de  procédés  d'approximation  indéfinie  et  c'est  ce  que 
j'ai  fait  en  définitive,  dans  le  paragraphe  \',  en  ramenant  le  problème  à  la  déter- 
mination du  groupe  d'une  équation  linéaire,  question  que  j'avais  traitée, 
quoique  d'unie  façon  incomplète,  dans  le  Mémoire  cité  des  Acla  mathematica 
(t.  i). 

l'aiis,  le  -24  juillet   1887. 


KXTHAIT 


MÉMOIRE  INÉDIT  DE  HENRI  POINCARÉ  i 


Ar/a  iiia/heniatica,  t.  39,  p,  58-1)3  (iÇ)23). 


Dans  la  dornière  livraison  du  Journal  de  Borchardt  (-),  M.  Fuchs  a  publié 
un  Mémoire  dont  le  résumé  se  trouve,  dans  une   lettre  à  M.  Hermite  insérée 


(')  Ce  Mémoire  a  été  publié  pour  la  première  fois  par  M.  Miltag-Leftler  dans  le  Tome  39  des 
Acta  tnathematica.  On  sait  que  le  Tome  38  du  même  Recueil  a  été  consacré,  par  l'émineut 
matliémalicien  suédois,  à  un  exposé  d'ensemble  de  l'OEuvre  magistrale  de  H.  Poincaré  —  sous 
ses  multiples  aspects  ^  exposé  dont  nous  avons  déjà  utilisé,  dans  ce  Volume.  1'  «  Analyse  des 
liavaux  scienUfiques  de  H.  Poincaré  faite  par  lui-même  ».  Le  Tome  39  groupe  Karl  Weierstrass, 
Ilrnri  Poincaré  et  Sonja  Kowalewsky  dans  un  même  sentiment  de  gratitude  et  comprend,  avec 
une  Conférence  sur  la  vie  de  Weierstrass,  une  correspondance  étendue  de  ces  divers  savants  et  le 
Mémoire  inédit  en  question  Nous  saisissims  celte  occasion  de  rcnien  ier  puliliqnemenl  M.  Mittag- 
l.effler  pour  l'impurtait  service  qu'il  a  ainsi  rendu  à  la  Science. 

M.  -N.-E.  Nôrlund,  qui  présente  le  Mémcnre  inédit  de  H.  Poincaré,  raccoiiipiignc  de  remarques 
auxquelles  nous  empruntons  l'essentiel  des  lignes  qui  suivent  : 

L'.\cadémie  des  Sciences  de  Paris  avait  proposé  pour  sujet  de  concours,  pour  le  Grand  prix  des 
Sciences  mathématiques  à  décerner  en  i88n,  la  question  suivante  :  «  Perfectionner  en  quelque 
point  important  la  théorie  des  équations  dilTérentielles  linéaires  à  une  seule  variable  indépen- 
dante. )i 

Le  Mémoire  n°  5  —  dont  H.  Poincaré  s'est  déclaré  l'auteur  —  se  compose  de  deux  parties  dis- 
tinctes. \/A  première  contient  les  recherches  sur  les  intégrales  irrégulières  des  équations  dilîé- 
rcntielles  linéaires,  développées  dans  deux  Mémoires  insérés  respectivement,  American  Journal 
nf  malliematics  (t.  7,   iH85,  p.  2i]3--j,58),  et  Arta  matheinatica  (t.  8,  i886,  p.  ac|5-3.')4j. 

(Ces  <leux  .Mémoires  i)récédenl,  dans  ce  Volume  des  Œuvres,  le  Mémoire  actuel.) 

C'est  la  deuxième  Partie,  qui  contient  les  réflexions  inspirées  à  Poincaré  par  la  lecture  d'un 
Mémoire  de  L.  Fuchs,  que  nous  reproduisons  inaintenant. 

Le  Mémoire  de  L.  I''uclis  a  été  reçu  par  II.  Poincaré  au  début  de  mai  eS8u  et  le  Mi'iiioiie  pré- 
senté au  Concours  est  parvenu  à  l'Académie  le  i"  juin  i8So. 

Nous  avons  ici  la  première  ébauche  des  recherches  de  II.  Poincaré  sur  l'intégration  des 
équations  dilTérenlicllcs  linéaires  à  coeflicienls  rationnels  par  l'emploi  des  transcendantes  uni- 
formes obtenues  en  regardant  la  varialde  indépendante  comme  fonction  du  quotient  de  deux 
solutions  d'une  équation  du  second  ordre.  Le  Tome  II  de  ces  Œuvres,  tout  entier,  peut  être 
regardé  comme  un  développciiunt,  exceptionnel  par  son  étendue  et  sa  profondeur,  des  remarques 
faites  dans  ce  premier  travail,  (,I.  !>,) 

(-)  T.  89,  i88o,  p.   L^i-iUç,, 


EXTR\IT    d'un    mémoire    INÉDIT    DE   HENRI    POINCARÉ.  337 

aux  Comptes  rendus  (^).  Ce  Mémoire  se  rapporte  aux  équations  du  second 
ordre.  Je  supposerai  que  l'équation  différentielle  considérée  est  ramenée  à  la 
forme  canonique 


d^-y 


tlx"- 

M.  Fuchs  démontre  que,  à  certaines  conditions^  si  ]\x^  et  o(a;)  sont  deux 
intégrales  [linéairement  distinctes]  de  l'équation  proposée  : 

i"  Si  l'on  pose 

X  est  fonction  méromorphe  de  r  ; 
2°  Si  l'on  pose 


/       f{-'>:)dx  -^\r    [         /(X|)(/.t-,  =   M,, 

•A) 


toute  fonction  rationnelle  symétrique  de  x  et  de  Xi  est  fonction  méromorphe 
de  «I  et  de  Mj. 

Ce  dernier  résultat  lui  permet  de  définir  des  fonctions  analogues  aux  fonc- 
tions abéliennes  ;  mais  je  ne  m'occuperai  ici  que  du  premier  qui  permet  de 
définir  des  fonctions  analogues  aux  fonctions  doublement  périodiques. 

Pour  que  ce  premier  résultat  soit  vrai,  les  conditions  de  M.  Fuchs  ne  sont 
pas  nécessaires  et  suffisantes. 

Il  faut,  pour  que  x  soit  fonction  méromorphe,  que  pour  tous  les  points  sin- 
guliers, y  compris  le  point  o),  la  différence  des  racines  de  l'équation  détermi- 
nante soit  une  partie  aliquole  de  l'unité. 

En  effet,  soit  une  valeur  quelconque  de  z, 

ne  correspondant  pas  à  un  point  singulier  de  l'équation  proposée.  On  a 

f{x)  —  Z<!i{x)  =  0, 

rl'où  l'on  lire  x  ordonne  suivant  les  puissances  de  ;  —  a,  à  moins  que  les  deux 
expressions 

/(J7)  —  rt  Ç(X), 

f'( x)  —  a  o  (X) 

(')  T.  90,  i8So,  p.  678-680. 

H.   P.  —  I.  43 


338  EXTRAIT    DLN    MKMOlllK    INÉlllT    l>E    UENHI    l'OlNCAHÉ. 

ne  s'anniilcul  a  la  lois.  I\lais  comme  nous  avons  supposé  que  la  valnur  ^  =:  « 
correspondail  à  une  valeur  de  x  qui  n'esl  pas  un  point  singulier  de  l'équation 
proposée,  ces  deux  expressions  ne  pourraient  s'annuler  pour  cette  valeur  de  x, 
qu'à  la  condition  que 

liil  identiquement  nul,  c'est-à-dire  quey\^)  et  ts(:r)  ne  fussent  pas  linéairement 
indépendants,  ce  qui  a  été  exclu. 

Supposons  maintenant  que  a  corresponde  à  un  point  singulier  x  ^^  b  situé 
à  dislance  finie  :  on  a  alors  f\{x)  et  f-i{^)  étant  des  fonctions  de  a;,  holo- 
morphes  et  $o  pour  x  =  6;  a,  j3,  y,  S  étant  des  constantes;  p,  et  po  étant  les 
racines  de  l'équation  déterminante, 

ou  si  :  partie  réelle  de  p,  >  partie  réelle  de  po 

(x  —  6)p.-p./,(.r)(a -(- Y^) +/2(.r)(P -f- 5î)  =  o. 

Pour  ^  ^  a,  on  doit  avoir  a?  =  6,  c'est-à.dire  que 

p  +  Sa  =  o. 
D'ailleurs  on  a 

a-(- ya^o, 

sans  quoi  l'on  aurait 

?-5' 
ce  que  nous  n'avons  pas  supposé;  on  a  donc 

(x  —  b)?<-!".  =  —^ '-  i .''  . 

fi(x)  a  -(- YO  -H  Yl-ï  — «) 
ou 

—  Sf-,(x) 


(p,  —  p,)L(  X—  b)=  L(z  — a)-(-L 


J\{x)[a-h  Ya-t- y(-:~«)J 
OU 

,  —  ^^/»(-g) 

i^('~a)  _  ,  _  ,   _    Vi(-g)[«-H  V«-t-r(g  — a)]  ' 


ou,  pour  s  =  a,  ^  ^  6, 


,.      \4z-a) 


or  si  X  est  fonction  holomorphe  de  z  pour  s  =  a,  on  a 

.£  — i^  =  A„(  *  —  «)''-+-  A„+,  (s  — «)''+' -f-.  .., 


el  par  suite 


EXTRAIT    d'un   MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  Sîg 


L{z~a)         I 

'""  n — "TT  =  -' 

L(  x  —  o)  Il 


pi  —  p2  =  —  ■ 
n 


Donc  il  faut  que  la  différence  des  racines  de  Vèquation  déterminante 
soit  une  partie  aliquote  de  r unité. 

Réciproquement,  si 

il  vient 

¥{x,z\  =  (a-  — 6)/,"(a:)(a  -f-T-)"+(— i/'"'/"(^)(?  +  o-3)"  =  o. 
et  l'on  en  tirera  .r  en  fonction  holomor|ihe  de  :;  ;  car  pour  ;  =  a, 

d¥ 

—  =/,"(x)(a+Ya)" 

n'est  pas  nulle. 

Même  raisonnement  si,  pour  s  =  a,  j:  =  oo. 

Conséquence  :  Pour  que  x  soit  fonction  méroniorphe  de  z,  —  toutes  les  fois 
que  z  prendra  une  valeur  correspondant  soit  à  une  valeur  finie  de  x  qui  ne  soit 
pas  lin  point  singulier,  soit  à  une  valeur  finie  de  x  qui  soit  un  point  singulier, 
soil  à  une  valeur  infinie  de  x  — ,  il  faut  et  il  suffit  que,  pour  tous  les  points 
singuliers,  y  compris  le  point  ce,  (p,  —  po)  soil  une  partie  aliquote  de  l'unité. 

Ces  conditions  sont  donc  nécessaires  pour  que  x  soit  fonction  méroniorphe 
de  z  dans  toute  l'étendue  du  plan. 

Sont-elles  suffisantes?  ¥\\es  le  seraient  si  l'on  pouvait  faire  voir  que  l'on 
peut  obtenir  toutes  les  valeurs  de  z  en  faisant  décrire  à  x  un  nombre  fini  de 
fois  des  contoursyî/;/.?  sur  la  sphère.  C'est  ce  que  M.  Fuchs  semble  avoir  admis 
sans  démonstration. 

Si  cela  était,  si  x  décrivant  dans  le  plan  un  contour  quelconque  en  ne  fran- 
chissant chacune  des  coupures  (qu'on  j  peut  pratiquer  entre  les  points  singu- 
liers) qu'un  nombre  fini  de  fois,  z  prenait  toutes  les  valeurs  possibles,  alors  la 
fonction  x  de  z  serait  non  seulement  méroniorphe  dans  toute  l'étendue  du  plan, 
mais  dans  toute  V étendue  de  la  sphère,  et  par  conséquent  rationnelle. 

W  s'ensuivrait  que  l'équation  (i)  admettrait  une  intégrale  algébrique,  ce  qui 
arrive  quelquefois  mais  ce  (lui  n'arrive  pas  toujours,  M.  Fuchs  lui-même  l'a 
démontré. 


3io  EXTRAIT    n'UN   MÉMOIRE    INÉDIT    DE   HENRI    POINCARR. 

Donc  en  décrivant  un  certain  contour  donné  (enveloppant  plus  d'un  point 
singulier)  un  nombre  infini  de  fois,  on  arrivera  pour  :;  à  une  certaine  valeur 
singulière  qu'on  ne  pourrait  obtenir  en  décrivant  des  contours  finis  un  nombre 
fini  de  fois. 

S'il  n'y  a  sur  la  sphère  qu'une  on  deux  de  ces  valeurs  singulières  de  s,  il  n'y 
a  pas  de  difficulté. 

Soient,  en  efiet,  a  et  ^  ces  deux  valeurs  singulières;  on  posera 

3  e''  -+■  a 
z  =  !—— . 


Alors  z  ne  pourra  être  égal  à  a  ou  à  Ti  pour  aucune  valeur  finie  de  l;  donc  pour 
toutes  les  valeurs  finies  de  /,  a"  est  fonction  niéromorphe  de  :■  et  par  conséquent 
de  t.  Donc  xest  fonction  monodrome  de  t  dans  toute  l'étendue  du  plan  et  par 
conséquent  dans  toute  l'étendue  de  la  sphère.  On  est  donc,  pni-  un  changement 
de  variables,  ramené  au  cas  où  .r  est  niéromorphe  dans  toute  l'étendue  du  plan; 
seulement,  c'est  de  t  et  non  de  z  que  x  est  fonction  niéromorphe;  pour  qu'il  le 
fût  également  de  z,  il  faudrait  que  x,  considéré  comme  fonction  de  t,  admît  la 
période  zn,  ce  qu'on  ne  peut  prévoir  a  priori. 

S'il  y  a  sur  la  sphère  plus  de  deux  valeurs  singulières,  un  pareil  artifice 
n'est  plus  applicable.  Quel  que  soit  le  changement  de  variable  qu'on  efi'ectue, 
il  restera  toujours  au  moins  un  point  singulier  à  distance  finie  et,  pour  que  x 
soit  fonction  monodrome  dans  toute  l'étendue  du  plan,  il  faudra  que  x  soit 
fonction  monodrome  dans  le  voisinage  de  ce  point  singulier.  Or  la  démons- 
tralion  de  M.  Fuchs  ne  s'applique  pas  à  de  pareils  points. 

Cette  objection  ne  se  présente  pas  jiour  les  démonstrations  analogues  qu'on 

rencontre  dans  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  ou  abéliennes.  Soit  en  effet, 

par  exemple, 

dx 


f 


\/(t  —  x-^){i  —  k*x^) 


On  démontre  aisément  que  x  est  méromorphe  en  z  pour  toutes  les  valeurs  de  z 
que  l'on  peut  obtenir  en  faisant  décrire  à  a*  un  nombre  fini  de  fois  un  contour 
fini  sur  la  sphère.  On  peut  en  conclure  que  x  est  monodrome  dans  toute 
l'étendue  du  plan,  et  par  conséquent  dans  toute  l'étendue  de  la  sphère;  car, 
quand  on  fait  décrire  à  x  un  contour  quelconque  un  nombre  infini  de  fois, 
z  tend  vers  l'infini. 

Rien  de  pareil  n'a  lieu  dans  la  théorie  des  équations  différentielles  linéaires. 


EXTRAIT    n't'N   MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCABÉ.  34l 

Je   crois  avoir  montré  que  la  démonstration  de  M.  Fiichs  est  insuffisante. 
Considérons  cependant  encore  la  question  à  un  autre  point  de  vue. 
L'équation  différentielle  peut  toujours  se  mettre  sous  la  forme 

Q  étant  fonction  de  x. 

En  posant  — ^  =  /,  on  trouve  (')  entre  les  fonctions  x,y,  z-,  t  les  équations 
difTérenlielles  suivantes  : 

Pour  que  ,r  soit  fonction  méromorphe  de  ;,  il  faut  et  il  suffit  que,  toutes  les 
fois  que  z  est  fini^  toutes  les  relations  entre  x  eX  z  tirées  de  ces  équations  diffé- 
rentielles soient  de  la  forme 

x=  fdnclion  iiionodroiiie  de  .:, 

ou 

z  =  const. 

Or  X,  y,  t  sont  méromorphes  en  3,  sauf  : 

1°  Quand  Q  =  oo; 

2"  Quand  X  =  co\ 

3°  Quand  y  =  00; 

4°  Quand  /   =  ce . 

M.  Fuchs  n'a  examine  que  les  deux  premières  exceptions;  il  reste  à  exa- 
miner les  deux  autres.  Soit  donc  y  =  co.  Comment  y  peut-il  devenir  infini  ? 
Supposons  que  x  décrive  une  infinité  de  fois  un  certain  contour  C;  que,  quand 
X  décrit  une  fois  ce  contour,  il  j  ait  deux  intégrales/ et  tp  de  l'équation  (i)  qui 
se  changent  respectivement  en  a/ et  en  [icp,  et  soit 

Quand  X  décrira  m  fois  le  contour  C,  y  se  changera  en 

Xa'"/+  |jLp"'<p; 
mais  d'après  la  forme  particulière  de  l'équation  (i),  on  peut  supposer 


[7  1  dv  dv 

A  conclilioD  de  poser  c  =  '—^,   i)uis(|ue  l'on  peut  prendre  y  -j-^  — y^  ;/     ~  '• 


dx       •'  '  rfx 


34s  EXTRAIT    n'UN    MFMOinE    INÉniT    DE    HENRI    POINCAHÉ. 

Donc,  il  moins  que  Ion  n'ait  iiiod  a  =  i ,  on  a 

limite  «le  y  (  pour  m  =  oc)  =  00. 

Soil  donc  v^oc.  Posons  alors  v=  ->  les  équations  differenlielles  deviennent 

dx  dt\  (H       dz 

^'  ^  =^  "  Q  "^' 

dont  les  intéurales,  si  Q<o,  l^<x>,  se  réduisent  à 

ï)  =  o,         3"  =  const.,         z  =  const. 

La  relation  entre  x  et  s  se  réduisant  ici  à  ;  :=  const.,  il  n'}'  a  pas  de  difficultés. 
Supposons  donc  Q  =  o,  et  posons 

1  _i 

''t  =  ■ni  -'>  f  =  tiZ     -, 

il  vient 

dz        d.c  dfi'i  dtx 


THi^      -'Il      — -ni'i  — è^/i      Q-^-^'l■nï 

Il  reste  à  démontrer  que  x  reste  holomorphe  en  z;  quand  on  a 

r,,  =  Q  =  o,        ti>x, 

et  c'est  ce  que  M.  Fuchs  n'a  pas  fait. 

Il  faudrait  ensuite  examiner  les  cas  suivants  : 

t  =  co, 

^.=  Q=oc,  y=2t  =  Q  =  cc,  j  =  a-  =  a>, 

y  =  t  =  X  =  ce. 

Ces  considérations  montrent,  je  pense,  l'insuffisance  de  la  démonslralion  de 
M.  Fuchs  et  la  nécessité  d'une  étude  plus  approfondie  de  la  question. 

Envisageons  d'abord  un  exemple  cité  par  M.  Fuchs,  à  savoir  l'équation  (i) 
{Journal  de  Borcliardl,  7.'  Heft,  89°  Band,  p.  168)  : 

d^y       r  ■>-  5  35         1 

i  I  )  — ^   = 1 y. 

'  dx''         L       ^{-^—ao''         i8(ar  —  a,)  (a:  — a»j         144  (x  —  a,)«J -^ 

Celle  équation  admet  trois  points  singuliers  : 

ai,     a-i     el     x. 

f.a  dill'érence  des  racines  de  l'équation  fondamentale  déltriinnante  est  : 


|>oni    a]. 


EXTRAIT    d'un   MÉMOIHE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  S43 

Traçons  sur  la  sphère  représenlalive  des  x  deux  coupures,  allanl  l'une  de  eu 
à  a,,  l'autre  de  a^  à  l'infini. 

Soit,  r  =  — — -.  /(x)  et  'f(x-)  étant  deux  intégrales  de  l'équation  (i),  que  l'on 

aura  toujours  pu  choisir  de  telle  sorte  que  z  se  change  en  —  s  quand  x  tourne 
autour  de  l'infini,  c'est-à-dire  quand  il  décrit  un  contour  fermé  en  franchissant 
la  seconde  coupure. 

Quand  x  franchira  la  première  coupure  de  façon  à  tourner  autour  de  «,,  s  se 
changera  en  z',  z'  étant  lié  à  3  par  une  équation  de  la  forme 


a'— p  a  — p 

Donc  quand  x  tournera  autour  de  «.,  de  façon  à  franchir  successivement  les 
deux  coupures,  z  se  changera  en  z",  où 

Z  —a  —  --i-n 

(2)  —, â  =  e 


Or  les  racines  de  l'équation  déterminante  relative  à  a»  ayant  pour  diflerence  ^, 
z  doit  être  lié  à  z"  par  une  équation  de  la  forme 

(3)  ±=lJ  =  e-^^. 


Z 


S 


En  identifiant  les  équations  (2)  et  (3)  on  trouve,  par  des  calculs  algébriques 

faciles,  que  a(3  est  nul,  d'où 

a     ou     (3  =  o; 

soit  par  exemple 

a  =  o,         et  ensuite         S  =  o. 

Posons  alors 

I 

X  sera  une  fonction  de  t  qui  ne  changera  pas  quand  on  changera 

t     en     —  t, 

■2111 

t     en     p'-i-e"^(«  —  P'). 
t    en    Y'-t-^'    ('  — t'),        où        PP'=yy'=i; 
d'où  l'on  conclut  que  cette  fonction  ne  change  pas  quand  on  change 

t     en     <-l- pV— e  ^  j -h  YV-l-«  ^  / 


344 
ou 


KXTHAll    D  UN    MEMOIRE    INEDIT    DE    UENKI    POINCAUE. 


c'  )  -+-  P'i.i  +  e''  ). 


t    en     <  +  Y  \i  —  c 

De  plus,  en  faisant  un  nombre  infini  de  changemenls 

(le     t     en     —  /, 


ou 


ou 


de     l     en      ^'-he  ^    (<  —  [3'), 


de     <     en     y'+  e  '    (Z  —  y'), 


ou  bien  l'on  fait  tendre  t  vers  l'infini,  ou  bien  l'on  lournc  toujours  dans  un 
cycle  formé  d'un  nombre  fini  de  valeurs  de    t.   Il  en  résulte  qu'il  n'y  a  qu'un 

seul  point  singulier 

e  =  X. 

Or  X  ne  peut  cesser  d'être  nionodrome  en  t  que  pour  les  valeurs  de  t  qui  corres- 
pondent à  des  points  singuliers;  x  est  donc  monodrome  pour  toutes  les  valeurs 
finies  de  l;  X  est  donc  méromorphe  dans  tout  le  plan. 

Par  conséquent,  x  est  une  fonclion  doublement  périodique  de  t. 

La  ligure  donnera  une  idée  des  propriétés  de  cette  fonction.  Les  parallélo- 
grammes des  périodes  sont 

AiA.AsAf,,     A2A3A0A7,     AsAfiAioA,,,     

Fig.   I. 


Ces  parallélogrammes  sont  des  losanges  formés  de  deux  triangles  équilatéraux. 
On  décompose  chacun  d'eux  en  deux  triangles  équilatéraux  (égaux à  la  huitième 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  345 

punie  de  la  surface  du  parallélogramme)  que  Ion  couvre  de  hachures,  el  en  un 
hexagone  régulier  qui  reste  blanc. 

La  fonction  x  ne  change  pas  quand  l  tourne  ; 

i"  De  i8o°  autour  du  sommet  d'un  des  triangles  couverts  de  hachures; 
2°  Ou  bien  de  120"  autour  du  centre  d'un  de  ces  triangles; 
3"  Ou  bien  de   60"  autour  du    centre  d'un  des  hexagones  réguliers  restés 
en  blanc. 

Quand  on  connaît  x  en  fonction  de  <,  l'équation  (i)  s'intègre  aisément;  on  a 

en  efTet  pour  intégrales  : 

.   /dx  ,  /a 

\/-dr    y-c 


(dx 

dt  ' 


Or  si  X  est  une  fonction  doublement  périodique  de  f,  x  sera  lié  à  -j-  par  une 

('([uation  algébrique.  L'une  des  inlégralcs  sera  donc  algébrique  en  x.  Si,  en 
ell'i't,  on  forme  l'équation  (i),  on  trouve 


dx- 


35  1 


i)(j-  — f^l'         i8(a:  —  «,)(a;  — «î)         \l\!\(x  —  a.,)'- 

dont  les  intégrales  sont  évidemment 

1  -5- 

y\  =  {x  -«,)-'(x  — «2)'- 
et 

y,=  (x  —  ai)-' (x  —  a^)'-  I  (x  — Cl,)    J  (x  —  a,)    '■  dx. 
On  a  donc 

^-^  =  1=1    {X  —  ri,)     ■'  (.T — a,)     »  dx, 

d'où  l'on  tire  effectivement^  en  fonction  doublement  périodique  de  /. 

Remarque.  —  L'équation  (i)  n'admet  donc  qu'une  intégrale  algébrique  et 
en  admet  une:  elle  fait  partie,  en  effet,  d'une  classe  très  nombreuse  d'équations 
différentielles  qui  ont  une  intégrale  algébrique  et  une  seule. 

Soit 

d--Y  ^      I  y        A,  Y  2B,7  1 

'  dx"^   ~^   y^{x  —  (tif       ^{x  — ai)(x —  ai,)\' 

Cette  équation  admettra  une  intégrale  algébrique  pourvu  que  l'on  ait 

H.  P.   -  I.  kk 


340  KXrnAlT    d'un    MKMOinR    INKIMT    DR    HENRI    POINC.ARÉ. 

La  seconde  intégrale  se  trouve  par  une  simple  quadrature  ('). 


L'exemple  (|iii  précède  fait  voir  que,  dans  certains  cas,  le  théorème  de 
M.  Fuchs  est  exact,  et  que  x  est  fonclion  (loiiblemenl  périodique  de  z. 

Cherchons  comment  cela  peut  avoir  lieu;  proposons-nous  de  tromper  dans 
(juel  cas  X  est  une  fonction  de  z  susceptible  d'être  ramenée  aux  fondions 
doublement  périodiques. 

Cherchons,  ce  qui  revient  au  même,  dans  quel  cas  x  est  une  fonction  de  ;; 
telle  qu'il  n'y  ait,  sur  la  sphère  représentative  des  ;,  que  itn  ou  que  deux 
points  singuliers. 

Supposons  que  le  théorème  de  M.  Fuchs  soit  vrai,  c'est-à-dire  que  x  soit 
fonction  monodrome  de  :\  ce  sera  une  fonction  de  s  qui  se  reproduira  quand 
on  changera  .:  en  i' ,  où 

,        <is  -^  b 


(5) 


a'  z  -\-  b' 


(et  cela  pour  une  infinité  de  systèmes  de  valeurs  de  a,  b,  a',  b'). 

Or  la  relation  (5  )  entre  ::  et  ;'  peut  toujours  se  mettre  sous  la  forme 

ou  sous  la  forme 

(7)  ^i_  =  _!_+x. 

z  —  a        z  —  a 

Premier  cas. 

Supposons  que  x  ne  change  pas  quand  on  change  ;  en  ;'u,  ou  en  :'^,  ou 
en  ij,  .  .  .;  et  que  toutes  les  quantités  s',,,  s',,  z'^,  ...  soient  liées  à  z  par  des 
relations  qui  peuvent  se  mettre  sous  la  forme  (6)  et  de  telle  façon  que 


(')  Si  l'on  pose  a,  =  -±i/y  4- .^,,  ces  comlitions  sohl  suffisantes  (elles  ne  sont  nécessaires 

que  dans  le  cas  de  trois  points  singuliers)  pour  que  _j^,  =  n(j?  —  a,)*'  satisfasse  à  léquaiion.  Il 
faut  donc  en  outre,  pour  que  celte  intégrale  soit  algébrique,  après  avoir  fixé  le  signe  des  radicaux, 

—-  donne  alors 
_     Xi 

^'=f=r2!f.  (J.D., 

yx   •     J  y' 


EXTRAIT    d'un    MÉMOinE    INKIIIT    DE    HKNRI    POINCARÉ.  34? 

h  étanl  coniinensuiable.  Dans  ce  cas,  le  nombre  des  quantités  z'^,  z',,  z!,,  .  .  . 
sera  forcément  limité  et  x  sera  une  fonction  rationnelle  de  3.  L'équation  (i) 
sera  intégrable  algébriquement. 

Deuxième  cas. 
Supposons  que  x  ne  change  pas  quand  on  change  ;  en  ;',  où 

l- 1=  (raodX^ij. 


Posons 


s  —  a 
ô  =  '- 


X  sera  une  fonction  monodrome  de  /  qui  ne  changera  pas  quand  on  changera  l 
en  ).r 

Il  y  aura  alors  deux  points  singuliers  : 

<  =  O,  t  ~   X. 

Il  ne  pourrait  y  en  avoir  davantage  sans  qu'il  y  en  eût  une  infinité,  car  les 
points  <  =  o  et  <  =  oc  sont  les  seuls  qui  se  reproduisent  quand  on  change  l 
en  Kt.  Quand  x  tourne  autour  d'un  des  points  singuliers  de  l'équation  (i),  t  se 
change  en  f',  où 

ici 

lin 

X,  =  e  "  , 

n  étant  entier.  Si  l'on  veut  qu'il  n'y  ait  qu'un  nombre  fini  de  points  singuliers, 
il  faut  que  la  substitution  (8)  reproduise  le  système  des  points 

Or  cela  peut  arriver  de  deux  manières  : 

1°  Si  la  substitution  (8)  reproduit  le  point  /  =  o,  et  reproduit  également  le 
point  /  =  00. 

Pour  cela,  il  faut  que  la  substitution  (8)  s'écrive 

2  (U 

2°  Si  la  substitution  (8)  change  le  point  /  =  o  en  <  =  oo,  et  le  point  /  =  oo 
en  t  =  o. 


a 

b 

' 

t—  a 

t 

—  a 

t'-^a 

"       t 

-f-  a 

tt'- 

o, 

l' 

~  T' 

318  EXTRAIT    n'ilN    MÉMOlHn:    1NÉ1>1T    DE    HENRI    POINCABÉ. 

Un  pareil  échange  ne  peut  avoir  lieu  que  si  la  subslilulion  (8)  change  t  cnt' 

et  l'  en  t,  c'est-à-dire  si  • 

X,  =  -.. 

Si,  dans  l'équation  (8),  on  fait 
il  vient 
d'où 


ou  enfin 


Pour  qu'on  n'ait  qu'un  nombre  fini  de  points  singuliers  il  faut  donc  que,  quand 
X  tourne  autour  d'un  des  points  singuliers  de  l'équation  (i),  t  se  change  soit  en 

ii-a 

te     ,  soit  en  — 

Nous  aurons  donc  une  fonction  monodronie  de  t  qui  ne  changera  pas  quand 

on  changera 

t    eu     ht, 

ou  l  en 

2/71  2i7I  2  f  71 

ou  /  en 

Kl  K,  K;, 

T'    T'     •■■'     T' 

1                 1  •    1-                      Ivi      K|  K| 

et  par  conséquent  quand  on  multipliera  t  par  yr-i  jt-j  t^  >  ou  encore  par 

e'"  ,  m  étant  le  plus  petit  commun  multiple  de  n,,  n-2,  •  •  • ,  "a- 

Posons  maintenant 

I  =  e", 

X  sera  une  fonction  monodronie  de  ii  qui  ne  changera  pas  quand  on  changera 

Il  en  Î/-1-L/.,  ou  a  en  u-\ >  ou  a  en  i<  +  LK, — LK.jOu  en  m-|-LKi — LK3.  ..., 

'  m 

ou  en  u-\-  LK,  —  LK^,. 

Cette  fonction  admet  donc  un  certain  nombre  de  périodes;  il  faut  que  ces 
périodes  soient  compatibles,  c'est-à-dire  qu'on  puisse  trouver  des  quantités 
commensurables 


«j,    ««, 


EXTRAIT    d'un   MEMOIRE    INEDIT    UE    HENRI    l'OINCARÉ.  349 

telles  que 

a,LX  +  LK,— LK»,       «sLX -+- LK,  —  LK:;,        ...,       a^  Là -t- LK,— LK^ 

soient  comniensiirables  avec  li-r:. 
On  peut  toujours  supposer 

car  on  a  pris  pour  A  V une  quelconque  des  quantités  par  lesquelles  on  peut 
multiplier  t  sans  altérer  x.  Il  faut  alors  que  l'on  puisse  trouver  des  quantités 
commensurables  «3,  .  . .,  ap  telles  que 

soient  commensurables  avec  211:.  Donc  : 

K       K 

Condition  l.  —  r   Les  logarithmes  des  modules  rr^j^-'   ■    •    doivent  être 

Ki      Kl 

commensurables  entre  eux. 

Condition  II.  —   2°  Les  quantités 

L  mod  î^ 
Kl 

doivent  être  commensurables  avec  2iT:. 

Si  ces  conditions  sont  remplies,  x  sera  une  fonction  doublement  pério- 
dique de  u. 

Continuons  cette  discussion  et  tout  d'abord  remarquons  qu'il  ne  peut  jamais 
arriver  que,  lorsque  x  tourne  autour  d'un  point  singulier  a  de  l'équation  (1), 
/  se  change  en 

te  "  , 

comme  il  semblait  au  premier  abord  que  cela  pourrait  se  faire. 

En  effet,  si  cela  était  pour  a?  =  a,  <  serait  égal  à  zéro  ou  à  l'infini,  c'est-à-dire 
irait  en  un  point  singulier,  ce  qui  est  absurde. 

Toutes  les  fois  que  x  tournera  autour  d'un  point  singulier  de  l'équation  (i), 


p . 


,  Kl  K,  K 

t  se  changera  en  —  )  ou  --"  )  •  •  •  >  ou  — ^ 

Donc,  pour  tous  les  points  singuliers  de  l'équation  (1),   la  différence   des 

racines  de  l'équation  déterminante- fondamentale  est  égale  à  -• 


350  EXTRAIT    l)'UN    MÉMOIllK    INKDIT    IIK    HENRI    l'OINCAIli:. 

Problème.  —  Une  fonction  doublement  périodique  peut -elle  donner  nais- 
sance ainsi  à  une  équation  différentielle  linéaire  du  second  ordre? 

Soient  /(  t'i  k  les  doux  périodes  de  x  considéré  comme  fonction  doublement 
périodique  de  u  ;  nous  écrirons 

A  =  o         [  lund  (  /(,  A)] 

quand  on  aura   . 

A  =  mh  -f-  nk, 

m  et  n  étant  dos  entiers  réels. 
On  devra  avoir 

LK,  — LKo=LK,  — LK3  =  ...=  LK,-LK^  =  o        [inod(/i,  A)]. 
117!=^  o         [mod  (II,  k)]. 

Pour  une  même  valeur  de  x,  u  pourra  prendre  une  infinité  de  valeurs;  soit  u, 
l'une  de  ces  valeurs;  les  autres  devront  satisfaire  à  l'une  des  con^ruences 

«^U],         u  ^  LK, —  i<i,         a  ^  LKj — iit,         ...,         u^LKp — Ut         [mod(h,  k)], 

c'est-à-dire  à  l'une  des  deux  congruences 

M  s  ai,         «  ^i  LK| — u,         [  mod  ( /(,  A")], 
car  on  a  évidemment 

LK, —  H|  ^  LK2 — Miis...^I,K^ — M,         \mod(h,  k)]. 

Il  n'y  a,  dans  le  parallélogramme  des  périodes,  (jue  deux  valeurs  satisfaisant 
à  ces  congruences.  Donc  x  est  une  fonction  doublement  périodique  de  u  à  deux 
infinis;  nous  supposerons  que  cos  infinis  sont  — a  et  -f-a,  c'osl-à-dire  que 

LK,=  o; 

nous  pouvons  toujours  le  faire,  car  si  cela  n'était  pas  on  n'aurait  qu'à  multi- 
plier t  par  un  facteur  convenable. 
Nous  poserons  alors 


on  a 


X  —  A(m); 

-j-   =  o 
du 


toutes  les  fois  que 


h 
M  =  -, 

2 


ou 

k  h  -+-  k 


1 


u^ [mod  (A,  A)  j. 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARR.  35l 

Toutes  les  fois  que  ;j-  <o,  n  se  développe  suivant  les  puissances  croissantes 
de  {x  —  a)  si  x  est  fini,  ou  de  -  si  x  est  infini. 
Supposons  au  contraire  m  =  o,  et  soil 

A(o)=a. 

Quand  x  tourne  autour  du  point  a,  u  se  change  en  —  u  et  u  est  égal  à  zéro 
pour  a:  =  a  ;  enfin  on  a 


X  —  ï=A2M'-t-A.«^-(-. 


où  Aj^o;  d'où  l'on  déduit 


«  =  /j;  —  a  [  B„ -H  B,  (  X  —  a) -H  B.(a:  —  a)2 -^ .  .  .  ], 


où  Bo^o. 


Soil  de  même     • 


on  aura 


"-  ^'        =  A-Y[B'^-HB';(:r-Y)-(-B;;(a"-Y)2  +  ...], 
-  /i  -H  A- 


u-'J-!iJi  =  y,'x-  0  [b;';-+-B7(x-  8)  +  b:(j,--s)^ -+-...], 

où 

B'„>o,      b;;>o,      b;'^o. 

Soient  maintenant 

A  une  même  valeur  de  x  correspondent  uni,'  infinité  de  valeurs  de  u;  soit  «„ 
l'une  d'entre  elles;  les  autres  seront 

Mo  -H  Wi/i  H-  nk, 
—  Mj-t-  m  h  -H  /i/. , 

où  ni  et  /i  sont  entiers.  On  aura 

A  (  Mo  -+-  "t  /(  -t-  nk)  =  A  (  «0  )j 
A  (—  Mo -^- "' /< -t- «  A- j  =  A (  «0  ), 


d'où  l'on  tire,  par  differentiation, 


A'(Mo-Hni/n-nA)  =  M{u„), 
A'( —  «o-t-  mh-ir  nk)  =  A'(mo)- 


J32  E\TR\IT    D  UN    MEMOIRE    INEDIT    DE    HENRI    POINCARE. 

Si  Ton  fait  (/  =r  Uo  dans  les  formules  qui  donnent  y,  et^jo,  on  trouve  pour  ces 

fonctions  des  valeurs 

Jin     el    y,o- 

Si  maintenant  on  fait 
on  trouve 

Faisons  maintenant 
il  viendra 


tl  =  «0-1-  1)1  II  -+-  Il  />, 

mil  +  nf^ 

jK!  =  ±_rsoe  ^      . 

«  =  —  u„  -i-  m  h  -\-  n  k, 

mft-hnk 
rn/t  +  nk 

r2  =  ± /— i.''io  e     -      . 

Doncj)',  et  _}'2  sont  des  fonctions  de  x  qui  peuvent  prendre  une  infinité  de 
valeurs  pour  chaque  valeur  de  x  ;  mais  si  y,n  et  r-jo  sont  un  système  de  valeurs 
de  ces  fonctions,  toutes  les  autres  seront  de  la  forme 

yi  =  «yio-^?  y-20, 
et  de  plus  le  déterminant 

sera  toujours  égal  ù  i.  C'est  dire  que  y,  et  y^  satisfont  à  une  équation  de  la 
forme 

—-4  =  U  y, 

où  U  est  une  fonction  de  x  monodrome  dans  tout  le  plan. 

Pour  étudier  la  fonction  U,  il  faut  donner  à  x  toutes  les  valeurs  possibles 
sur  la  sphère,  el  il  suffit  de  les  lui  donner  une  seule  fois;  c'est  ce  que  nous 
airiverons  à  lairc  en  donnant  à  (/  toutes  les  valeurs  comprises  dans  l'intérieur 
du  parallélogramme  des  périodes. 

Donnons  d'iilmril  à  i/  une  valeur  telle  que 

d.T  . 

il  est  clair  que  j',  et  y-,  sont  développables  suivant  les  puissances  de  x  —  a,  si  x 
est  fini.  De  j)lus,  nij)-,  ni  j)',  ne  sont  nuls.  C'est  dire  c|ue  U  est  holomorplie  en  a: 
si  X  est  fini. 


EXTRAIT    d'un   MÉMOIRE    IKEDIT    DE   HENRI    POINCAHÉ.  Î53 

Faisons  maintenant  ;/  =  o;  on  a  alors 


d'où 
ou 

avec 
ou  bien 

avec 
De  plus, 


«  =  y/a;  —  a  [Bo+  Bi(a-  —  x)  -(-...  ], 
a:  —  a  =  Aj  «'-+-  A;.,  u>  +  .  .  . , 


■y-    =  2  A,  M  -H  3  A3  K'  -1-  ...  , 

(lu 


^.  =  rfïI=^^"-''^^»+'"'■^-='^-^■■ 


Co<o, 


t/^  =  v/ar  — a[Do-t-D,(x  — «)-+-.. 
D„^o. 


e     ■■'  =  [K„+  E,(r  —  z)  +  .  .  .]-!-  y/x  —  a  [F„+  F,(a:  —  a  1  +.  .  . J, 

OÙ 

Eo<o,         FoJ'o, 

ou  enfin 

yt  =  y/x  —  a  I  '•/ii  +  (7|(x  —  z)  -I-  .  .  .]  -)-  y/a;  —  ot  y/ a;  —  x[i,j+6i(a-  —  z)-h...] 
et 

_yi—  y/a;  —  x[«|)-t-rt,(3"  —  a)-+-...]  —  \/.v  —  a  y/a;  —  a[6,)-+-6|(a-  —  a)-i-...|. 

Ici 

Donc,  pour  x  =  a,  U  présente  un  infini  double;  le  point  a;  =  a  est  donc  un 
point  singulier  de  l'équation 

et  les  racines  de  l'équation  déterminante  correspondante  sont 

I  3 

-     et     -. 

4  4 

On  arrive  au  même  résultai  en  faisant 

h  k  h  -4-  / 

M  =  —  )  u  =   -  ,  M  = ) 

2  2  2 

et  par  conséquent 

X  =  ^,        a;  =  Y>         3"  =  3. 

Conséquence.  —  U  est  une  fonction  méromorphe  de  x  dans  toute  i étendue 
de  la  sphère;  c'est  donc  une  fonction  rationnelle. 

H.  p.  —  I.  45 


H\  lixrnAiT  d'un  MiiMomii  inkiht  \>e  iikmm  i-oincakk. 

L'cqualion 

est  donc  à  coefficients  rationnels;  elle  admet  quatre  points  singuliers  à  distance 
finie,  et,  pour  ces  quatre  points  singuliers,  les  racines  de  l'équalion  détermi- 
nante sont 


1  ô 

4  4 


On  concliil  (1(^  là 


On  peut  toujours  former  une  équation  di  /frrcntiellf  linéaire,  à  roeffi- 
cients  rationne/s,  et  s' inlégranl  à  l'aide  d'une  fonction  doublement  pério- 
dique donnée  à  deux  infinis. 

Si  1  un   choisit  celte  louction  doublement  péiiodique  (a\ec  des  périodes  II 

et  /.)  de  telle  façon  que 

li-K  ^o         I  111  od  (//,  k }]. 

o;  sera  une  fonction  monodronie  de  u  admellanl  la  période  ■lir.;  ce  sera  donc 
une  fonction  monodronie  de  t  et  par  conséquent  de  z. 

l'ar  conséquent,  il  existe  des  cas  où  le  théorème  de  M.  Fuchs  est  vrai. 

Si,  au  contraire,  on  choisit  cette  fonction  tloublemcnt  périodique  de  telle 
façon  que  l'on  n'ait  pas 

2  JTt  ==  U  I  lllud  (  /(,  li  }] 

.T  sera  une  fonction  niouodrome  de  u;  mais,  n'admettant  pas  la  périotie  2t-, 
elle  ne  sera  pas  niouodrome  en  t,  ni  par  conséquent  en  z. 

Donc  il  existe  des  cas  où  le  théorème  de  M.  Fuchs  est  faux,  bien  que  les 
conditions  posées  par  ce  géomètre  soient  remplies. 

Cherchons  à  former  des  étjuations  différentielles  linéaires  qui  satisfassent  aux 
conditions  précédentes. 
Ces  équations  s'écriront 

i  '^  -        A»  Ba  C.  hi 

y  dx^  "  (a-  — a;2        (a-  —  p  I-  "^  (X  —  y)2  ^  (x  —  S)> 

.       A,  B,  C,        .        D, 


X  —  y.        x  —  3        X  —  Y        .r^o 
Pour  que,  relativement  aux  quatre  points  singuliers  a,  [i,  y,  o,  les  racines  de 


KXTRAIT    d'un   MÉMOIRE    IIMÉDIT    nE    HENRI    POINCAnÉ.  355 

l'équation  déterminante  soient-  et  -.  il  faut  que 

4        1 

(9)  A,=  B,  =  C,=  D,  =  -  ij- 

Faisons  maintenant  .r  ^  ^)  et  étudions  l'équation  dans  le  voisinage  de  :  =  o; 
il  vient 

G,  3'  D2  s'-! 


Y  3)2        (1  —  0 -j'- 
Ai s  Bt  s  Gt  3  I-*i  -3     I 
I—  as         1  —  ps         \  —  -{Z         I  —  03J 

1  "  Dans  le  voisinage  de  ;  =  o,  les  intégrales  de  l'équation  doivent  être  régu- 
lières; donc,  dans  le  développement  du  second  membre,  le  coefficient  de  ;  doit 
être  nul  ;  donc 

110)  A,-H  n, -H  G]  4- Di  =  o; 

2"  Les  racines  de  l'équation  déterminante  doivent  être  égales  à  o  et  à  —  i; 
donc,  dans  le  développement  du  second  membre,  le  coefficient  de  3*  doit  être 
nul  ;  d'où 

(II)  A5+  B2-+-  C2-1-  D.,-+-  A,a  -J-  B|  p+  CiY  -1-  0,5  =  o; 

3°  Les  développements  des  intégrales  ne  doivent  pas  contenir  de  loga- 
l'itlimes;  <lonc  le  coefficient  de  3'  doit  encore  être  nul,  c'est-à-dire  que  l'on  a 

(vi)  2A2a  +  2B,p-l-'.>.Cs-c  H-  2D,o  -)-  Ai5;!-f-  B,^2+c,Y»-(-  0,02=  „. 

L'équation  ainsi  formée  dépend  encore  de  cinq  paramètres.  En  efl'et,  nous 
avions  primitivement  douze  paramètres  : 

0(        [3        y        S, 
A.,     B.     G,     D,. 
A,     B,     G,     1),, 

et  nous  avons  trouvé  entre  ces  douze  paramètres  les  sept  équations  (9).  (10), 
(11),  (12). 

Considérons  maintenant  une  fonction  doublement  périodique  quelconque 
ù  deux  infinis.  Cette  fonction  peut  s'écrii-e 

\Z{u  —  a)  —  KZ{u  —  b)  +  n=\(u). 
Cette  fonction  \{u)  dépend  de  six  paramètres,  à  savoir  : 


356  feXTHAlT    d'iN    mémoire    INÉniT    DE    HENRI    POINCARE 

1°  Les  deux  périodes  A  et  X  ; 

2°  Les  deux  infinis  a  ei  b; 

3"  Le  résidu  relatif  aux  deux  infinis,  c'esl-à-dire  A; 

4°  La  conslanle  iî. 

Si  deux  fonctions  A((/)  ne  différent  ni  par  les  périodes  li  et  /. ,  ni  parles 
quantités  A  et  B,  mais  seulement  par  les  infinis  a  et  6;  si  de  plus  (a  —  h)  a  la 
même  valeur  pour  les  deux  fonctions,  ces  fonctions  donneront  naissance  à  une 
même  équation  différentielle. 

Si,  au  contraire,  les  deux  fonctions  diffèrent  de  toute  autre  manière,  elles  ne 
pourront  donner  naissance  à  une  même  équation  différentielle. 

Donc  la  fonction  A(  h)  la  plus  générale  donne  naissance  à  une  équation  diffé- 
rentielle dépendant  de  cinq  paramètres  et  de  cinq  seulement. 

Donc  poin  que  l'équation 

,  ,.  X  d^r  _        K,  B,         ,         G,         ,         D, 


y   dx^         (x—OLf-        ix  —  l^)''-        {x  —  ';f        (x  —  ù)"- 
A,       ,        B,        ,        C,  D, 


soit  intégrable  par-  des  fonctions  doublement  périodiques,  il  faut  et  il 
suffit  qu'il  y  ait  entre  les  douze  paramètres  qui  y  entrent  les  relations  (y), 
{io),{M)et{i2). 

Avec  une  condition  de  plus,  on  pourrait  déterminer  les  périodes  de  A  (m)  de 
telle  façon  que  le  théorème  de  M.  Fuchs  soit  vrai.  Mais  cela  n'a  pas  lieu  en 
général. 

Troisième  cas. 

Supposons  que  x  soit  une  fonction  monodrome  île  ;;  qui  ne  change  pas 
quand  on  change  ;  en  :',  où 

-; == h  l. 

C  —  a         z  —  a 

Faisons 

1 


X  sera  une  fonction  monodrome  de  /,  admettant  la  période  /, ;  il  n'v  aura  ipi'un 
point  singulier 

car  s'il  y  en  avait  davantage,  il  y  en  aurait  une  ialinité. 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  357 

Quand  x  tournera  autour  d'un  des  points  singuliers  de  l'équation  (i),  t  se 
changera  en  /'  où 

t  —  0  t  —  o 

Et  cette  substitution  (i4)  devra  reproduire  le  point  singulier  unique  <  =  oo  ; 
elle  devra  donc  s'écrire 

X  sera  donc  une  fonction  de  /,  monodrome,  et  qui  ne  changera  pas  quand  t  se 
changera  en 

ou  en 

lin  2  In  2£5 

11  est  aisé  de  voir  qu'on  peut,  en  combinant  de  toutes  les  façons  possibles  ces 
différentes  substitutions,  faire  voir  que  x  admet  un  certain  nombre  de  périodes 
diflerentes. 

Il  iaut  donc  que  ces  périodes  soient  compatibles,  et,  si  elles  le  sont,  x  est 
fonction  doublement  périodique  de  /. 

On  pourrait  maintenant  discuter  la  compatibilité  de  ces  périodes.  Je  ne  le 
ferai  pas;  car  dans  le  cas  qui  nous  occupe,  Vèquation  diff'érentielle  {\)  admet 
toujours  une  intégrale  algébrique  el  une  autre  que  Von  peut  trouver  par 
quadrature,  ainsi  que  je  vais  le  faire  voir. 

Supposons  que  l'on  ait 

3-  =  A(0, 

A(<)  étant  une  fonction  doublement  périodique  de  <;  on  aura  alors 

pour  les  deux  intégrales  de  l'équation  (i).  U  est  clair  que  ^,  est  lié  à  x  par 
une  relation  algébrique,  et  que  f,  et  par  conséquent  y-,,  peut  se  calculer  en 
fonction  de  x  par  quadrature. 

Donc,  d'après  ce  qu'on  a  vu  plus  haut,  si  l'équation  différentielle  linéaire 
donnée  (i)  peut  s'écrire 

y  dx'^       ^{x  —  ai)''      ^  {x  —  di )  (X  —  cifi) 


358  F.XTRVIT    d'un    mémoire    INKIIIT    DR    HF.NBl    POINCARK. 

{t>oir  p.  •'>4">),  »^>n  clmra  avoir  les  relations 

(.5,  ^-=\\Wl-^^']    t-\/j^^^l 

I  où  les  radicaux  sont  coniniensurablcs|. 

Remarquons  que  si  les  conditions  (i5)  sonl  remplies,  et  s'il  en  est  de  même 
des  conditions  de  M.  Fuchs,  le  ihéorènie  de  M.  Fuchs  sera  tciujours  vrai. 

Exem[)le  :  l'équation  que  nous  avons  étudiée  plus  haut,  pages  342  et  sui- 
vantes. 

/iésiinii'.  —  Résumons  cette  longue  discussion  : 

Pour  que  l'équation  (i)  soit  inlégrable  à  l'aide  d'une  fonction  doublement 
périodique,  il  faut  et  il  suffit  : 

i"  Ou  ijien  qu'elle  satisfasse  aux  conditions  (là),  et  en  outre  aux  condi- 
tions de  M.  Fuchs  ; 

2"  Ou  bien  qu'elle  soit  de  la  forme  (i3)  et  satisfasse  aux  conditions  (g), 
(lo),  (i  i),  (12);  d'oii  il  résultera  par  surcroît  qu'elle  satisfera  aux  conditions 
de  M.  Fuchs. 

Dans  le  premier  cas,  il  y  a  toujours  une  intégrale  algébrique,  et  le  théorème 
de  M.  Fuchs  est  toujours  vrai.  Dans  le  second  cas,  il  n'y  a  pas  d'intégrale  algé- 
brique, el  le  théorème  de  M.  Fuchs  est  tantôt  vrai  et  tantôt  faux. 

Cas  particulier. 

Nous  allons  maintenant  faire  une  étude  spéciale  d'un  cas  jiaiticulier  fort 
important,  c'est  celui  où  l'on  n'a  à  distance  finie  que  deux  points  singuliers  a, 
el  a-j.  Alors  l'équation  (1)  s'écrit 

1   d^y  A,  aB A. 


V  dx'-        {x  —  Oij'-'        {x  —  a\){x — «;)       (,£  — a./' 

Soient   î,,   p.j  et  /•  les  différences  des  racines  des  équations  déterminantes 
relatives  respectivement  à 

x  =  «,,        r  =  «î        et        a:  =  00, 
A,,  iî  et  A:;  sonl  parfaitement  délmiiinés  en  fonction  de  c,,  p^  el  /•. 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    HB    HENRI    POINCARÉ.  359 

Si  les  conditions  de  M.  Fuchs  sont  remplies,  on  a 

_   I  _   1  _   I 

'  '       rai  '  "*      71,  '  p' 

où  /!,,  n-,  et/)  sont  des  entiers.  Ne  supposons  pas  pour  le  moment  qii elles  le 
soient. 

Soient,   comme  nous  l'avons  supposé  jusqu'à  présent,  o(x)  el  f{x)  deux 
solutions  de  l'équation  (i)  et 

On  aura  toujours  pu  choisir /"(x)  et  tp(a;)  de  telle  sorte  que,  quand  x  tourne 
autour  de  a,,  z  se  change  en  '/.:,  où 

Cela  posé,  quand  x  tournera  autour  de  a-,,  z  se  changera  en  :;',  où 

z' —  y.  2  ^  a. 

(i6)  —, n  =  H^ ô'  [1  =  e-'^P>. 

z  —  i  z  —  \i 

On  aura  aussi  toujours  pu  choisir  /(x)  el  »(f)  de  façon  que  a  =  i  par 
exemple  (ou  (3  =  i  si  a=:o).  Quand  ./•  tournera  autour  de  oo,  z  se  changera 
en  s"  où 

z  —  a  z —  0 

Si  X  tourne  autour  de  a,,  puis  autour  de  «_.,  c'est  comme  s'il  tournait  autour 
de  l'infini  dans  un  certain  sens;  donc  z  se  change  en  ;";  or  z  se  change  d'abord 
en  \z  quand  x  tourne  autour  de  a,  ;  donc  quand  x  tourne  autour  de  ao, 
).:  doit  se  changer  en  z".  c'est-à-dire  que  l'on  a 

(18) 


z"—  p       '  Xz—^ 
Identifions  les  équations  (i-)  et  (18).  Si  l'équation  (1  t)  développée  s'écrit 

a  zz"-+-  l?  z  -r-  cz'-^  d  =  o. 

on  aura 

6*-i-c' — lad 

''        ' j  1-1  =  0. 

ad  —  oc 

Or  l'équation  (18)  développée  s'écrit 

Zz'lil  —  (Jl)  -!-  ZÀI  j5  |Jl  ^  ï)  -h  3''(a|a  —  [3)  -f-  ï^d  —  |Jl)  =  O. 

On  a  donc 

a  b  c  d 


X(.I—  ,a)         X(Pjjl  — x)         x.'Ji—  ^        aP(l  — jji) 


î6o  EXTllAIT    DtN    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    l'OlNCARK. 

el  p.nr  conséquent 

(v>-i-i)[apX(i  —  |jl)2—  À(fj[ji  — aXajJi  — Pi] 

—  v[X2([ifJi  — a)2-(-(a|jL—  |3)«—  2apX(t—  |jl)2)  =  n 
OH 

7.2  [(•/»+  1)  XjJl  —  V(Xî-+-    (Jlî)]  -h   pî[(V=+l)X[Jl  —  V(X-|JI»+I)] 

—  ■.!afl[(v'-:-t-l)X(ji  — vX(  I  —  [ji  )2  —  v|ji(X2+  i)]  =  o, 

q  est  alors  donné  par  une  équation  du  second  degré.  Formons  le  discriminant 
de  cette  équation,  nous  aurons 

.V  =  [l  v2-(-l)XfJL  — vX(l  —  |;i)'—  vjJiCX'iH-  I)]2 

—  f(v5-Hl)  XfX  —  V(X5+   |JlS)][(v2-M)X|Jl  —  v(X2[Jl2+l)], 

ou 

.V  =  V(v2  +  l)  XjJt(l  +   X^-H   |Jl-  +  X=(Jl=—   liX  -+■  ilXjJl  —  ïXjJl^  —  -IjJlA^—  2|Jl) 

H-  iv^XiJid  -(-  X'+  |j.'-(-  X=;i- —  2X  -f-  4^  |J^  —  '-"X  [i*—  a[jiX-  —  2  iji), 

ou  enfin 

A  =  X  |Jiv(v  +  1)2  (X  —  I  )M  ;ji  —  I)-. 

d'où  l'on  tire 

a  _  (v2—  i)X|ji.  — vX(i  —  [j^)2  — v(x(X2+  i)zh  (y  -f-i)(X  —  i)(jjL  —  1)  /Xp^ 

Laquelle  des  deux  racines  faut-il  choisir?  Cela  est  facile  à  décider.  Sup- 
posons d'abord,  en  effet,  que  A=).o,  [Ji  =  [J<-o,  v  =  vo;  \o,  [J-o  et  vq  étant  tels 
que  l'équation  (1)  admette  une  intégrale  algébrique.  Alors  le  choix  de  la  racine 
se  fera  sans  difficulté.  On  fera  ensuite  varier  d'une  façon  continue  À,  u,  v 
depuis  les  valeurs  initiales  Ao.  [J-u,  vo  jusqu'à  des  valeurs  quelconques,  etl'on  fera 

varier  de  même  „  d'une  façon  continue;  nous  ne  serons  donc  jamais   embar- 

P 

rassés  pour  savoir  quelle  est  celle  des  deux  valeurs  de  „  qui  convient. 

Soient  deux  équations  E  et  E'  de  la  forme  (1);  supposons  que,  pour  la  pre- 
mière, les  différences  des  racines  des  équations  déterminantes  relatives  à  a,,  a^ 

et  co  soient  respectivement 

Pi,     P?,     '•, 

cl  que  pour  la  seconde  ces  différences  soient 

p'i,        P2  5        ''• 

Supposons  que  les  quantités  p,  —  p',,  p.j — p!,,  /•  —  /-'soient  des  nombres  entiers, 
alors  A,  [j.,  V  auront  les  mêmes  valeurs  pour  les  deux  équations  E  et  E'.  L'équa- 
tion du  second  degré  en  ;;'  sera  la  même  pour  les  deux  équalious  différentielles 
E  et  E'.  Devra-t-on  choisir  la  même  racine? 


EXTRAIT    d'un   MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  :i6l' 

Remarquons  que  les  deux  racines  de  l'équalion  en  ^  se  permutent  quand  )., 

fi 

'j.  ou  V  décrit  un  contour  simple  autour  du  point  zéro.  On  retombera  donc 
d'une  racine  sur  l'autre,  ou  bien  on  retombera  sur  la  même  racine  selon  que  le 
nombre  des  contours  simples  décrits  autour  du  point  zéro  soit  par  A,soil  paru, 
soit  par  v,  sera  impair  ou  pair. 

Or  quand  /.  décrit  un  contour  simple  autour  du  point  zéro,  p,  se  change 
en  pi  +  i  ou  p, —  i;  quand  jj.  tourne  autour  de  zéro,  p^  se  change  en  p2+  i 
ou  pa — i;  quand  v  lourn(!  autour  de  zéro,  /'  se  change  en  /■  +  i  ou  /• — •  i. 

Donc  on  devra  prendre  pour  -r  la  même  valeur  ou   deux  valeurs  diflercntes 

pour  les  deux  équations  E  et  E',  selon  que 

pi  —  p'i  +  p2 —  pi  +  '■  —  '''=0  (IllOll  2), 

ou 

Oi  —  p',  -+-  On  —  P2  +  '■  —  z-';^  I  (  iiiod  ■>.). 

Si  donc  Pi  —  p, ,  p.j —  p!,,  /'  —  '''  sont  entiers  et  si  la  somme  de  ces  entiers  est 
paire,  on  pourra  choisir  deux  intégrales  de  l'équation  E, 

<p(x)     et    f(x). 
et  deux  intégrales  de  l'équation  E', 

o'{x)     et    /'(-f), 

telles  que,  quand  x  décrit  un  contour  fermé  quelconque,  les  valeurs  finales  de 
a'îx)  et  /' (x)  s'expriment  linéairement  à  l'aide  des  valeurs  initiales  de  ces 
mêmes  intégrales  par  la  même  formule  qui  exprime  les  valeurs  finales  de  o(x) 
e{  f{x)  en  fonctions  linéaires  des  valeurs  initiales  de  ces  mêmes  intégrales. 

Remarque.  —  D'après  ce  qui  précède  on  aura  toujours  le  moyen,  quand 
l'équation  (1)  n'admet  que  deux  points  singuliers  à  distance  finie,  d'exprimer 
les  valeurs  finales  des  intégrales  de  cette  équation  en  fonctions  linéaires  des 
valeurs  initiales  en  supposant  que  x  ait  décrit  un  contour  fermé  quelconque,  et 
par  conséquent  de  reconnaître  si  ces  intégrales  sont  algébriques. 

Discussion. 

Supposons  que  les  conditions  de  M.  Fuchs  soient  remplies;  on  a 

X  =  cos  iTZfn-i-  i  sin-iT.ç,i,  |ji  =  cos  -iTtpj-h  i  sin  ■iTTp.j,  v  =  cos  2  -/ ■+  i  sin  2  -  r, 

H.  P.  -  I.  46 


36a  RXTHAIT    d'un    M^.MOIRF,    INKDIT    de    HENni    POINCAHÉ. 

d'où 

ou 

a        cos  'ir.r  —  cos  >, -3,  —  cos  >.  TrpîM-  i  zp  4  cosTrr  sinnp,  sinrip, 

p  cos'.-/' COS9!Tt(p,- —  p..) 

Dans  cette  formule,  ^  s'exprime  par  une  fonction  monodronie  de  p,,  p^  et  /•. 
P 
Donc,  par  raison  de  continuité,  la  racine  qui   conviendra  à  la  question  sera  ou 

bien  toujours  celle  qui  correspond   au  signe  +,  ou  bien  toujours  celle  qui 

correspond  au  signe  — .  En  prenant  pour  exem|)le  une  équation    ayant  une 

intégrale  algébrique,  on  déciderait  aisément  lec[uel  des    deux   signes  on  doit 

prendre. 

Soit  donc,  par  exemple. 

y  =:  [.T—  a,)-       '  (oc  —  a. )•       ^  . 

Celte  fonction  satisfait  à  l'équation  diflerentielle 


y   c/jt-'  (x-a^y  (x  —  a^)(x —  (II)  (x  —  n.2)^ 

et  il  est  clair  que  la  différence  des  racines  de  l'écpiation  déterminante  est  ici  : 


pour 

«i> 

pi; 

pom- 

Cl- 

ps; 

pon  r 

=o,       1 

—  pi- 

-P' 

Posons  donc  r  =  \  —  S|  —  po,  il  viendra 

\  ( i  —  cof  2-pi  ;  (i  —  COS  a~p5)  —  sin  itlÇii  fin  aup» 
a  /      :p  [ — sin  axpi  sin  2Kp.i-t-(i  —  cosî7rpi)(i  —  cos.aaps)]^ 

'3~  — VI.  sin  aicpi  sin  2Trp-  ' 

or  il  e>l  flair  que,  dans  le  ('as  particulier  qui  nou';  occupe,  on  doit  avoir  ^  =»'■, 

donc  toutes  les  fois  que 

'•=  I  —  P|  —  Pu 

c'est  le  signe  —  qu'on  doit  |)i't.'iidre;  el  |)ar'  raison  de  continuité,  c'est  le  signe  — 
f|u'iiii  doit  prendre,  quels  que  soient  /',  pi  et  p-,. 
Donc,  quels  que  soient  /•,  p,  et  p^.,  on  a 

a        eus  •>. itr  —  cos  îTTp,  —  cosa-p,-)-  i  —  ^  cos -r  s'iti'Kp,  sinrp» 
|i  cos-^-r  —  cos  ïTt(  pi—  ps) 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    IIE    HKNRI    POINCAHÉ.  363 

Si  les  conditions  de  M.  Fuchs  sont  remplies,  cette  valeur  est  réelle. 

Supposons  en  particulier 

I 

p.  =  -, 

il  vient 

a        cos  i-nr  —  cos  2^pi  -h  'i  —  4  cos;ir  simrpi 
p  cos  2i:r  +  cos  2iTpi 

Ne  supjioson»  plus 

Gv,  =    - 
'  "  2 


et  revenons  à  l'expression  générale;  nous  verrons  qu'elle  peut  se  simplifier  et 
se  mettre  sous  la  forme  suivante  ; 


ou  bien  encore 


cos  -  (pi-t-  p!  —  r)cos  -"  (  pi  4-  pi-l-  '■) 
cos-  (pi  —  p.-H  /•)  cos  7  (  pi  —  ?î—  r) 


a        cos  Tir -f- cos7t(  p, -t- Pj) 
^        cos  ur -t- cosit(pi  —  pj) 


Soient  en  général  o(a)  et  f{x)  deux  intégrales  d'une  équation  du  second 
ordre.  Quand  x  décrit  un  certain  contour  fermé,  les  valeurs  finales  de  ces 
intégrales  sont  données  en  fonctions  linéaires  des  valeurs  initiales  par  des  for- 
mules 

Aç(x)-+-B/(.r), 

En  général,  on  ne  sait  pas  calculer  A,  J3,  C,  D.  Mais  si  le  contour  fermé  ne 

contient  qu'un  seul  point  singulier,  on  saura  toujours  Iromer  les  racines  de 

l'équation  en  w  : 

(  A  — w)(D  —  0))—  l'.G  =  o. 

On  ne  peut  plus  le  faire,  en  i;énéral,  quand  le  contour  contient  plus  d'un 
point  singulier. 

Cependant,  on  vient  de  le  voir,  s'il  n'j  a  que  deux  points  singuliers  à  distance 
finie,  on  pourra  toujours  faire  ce  calcul,  quel  que  soit  le  contour  considéré; 
on  pourra  même,  en  faisant  attention  au  choix  des  intégrales  tp(x)  el /[x), 
calculer  les  coefficients  A,  B,  C,  D  eux-mêmes. 

Cette  circonstance  va  nous  permettre  de  discuter  plus  complètement,  dans  ce 
cas  particulier,  le  théorème  de  M.  Fuchs. 


3(\'f  KXTnxrr  d'un  mémoire  inkdit  de  meniii  rniNCAni:. 

Supposons,  pour  fixer  les  idées. 


t  I  I 


X  ne  changera  pas  quand  on  changera 


i^     en      e  '■    ;  • 

Z  —  0  -  —  0 

Le  premier  de  ces  changements  nous  l'appellerons  l'opéralion  L,  le  second 
l'opération  M,  le  troisième  l'opération  N,  et  nous  désignerons,  par  exemple, 
l'opération  complexe  qui  consiste  à  faire  /  fois  l'opération  L,  puis  m  fois  l'opé- 
ration ^I,  puis  /;  fois  l'opération  N.  puis  de  nouveau  /,  fois  l'opération  L,  par 

la  notation 

L'IW'IN'a'i. 

On  aura 

a        \/3  —  V  2 
P  ~  l  '3  -I-  /â  '■ 

r-  est  donc  positii;  on  verrait  aisément  que  -  a  pour  argument  -  • 

Je  suppose  maintenant  que,  sur  le  plan  représentatif  des  x,  on  fasse  deux 
coupures  en  ligne  droite,  l'une  de  «i  à  a,,  l'autre  de  a.2  à  l'infini.  Supposons  a, 
et  rto  réels.  Supposons  que  les  intégrales  »(.ï)  et  J'{x)  aient  été  choisies  de 
telle  sorte  que  si 

z  :=o  pour  X  ^  a,  et  ^  =  i  pour  x  ^  a^  ou  a  =  i . 

Toutes  ces  suppositions  peuvent  toujours  cire  faites. 

Quand  x  suivra  la  coupure  de  a,  à  a-2  d'un  certain  côté  de  cetlc  coupure,  du 
côté  que  nous  appellerons  A,  o{x)  PXf(x)  resteront  réels  et  |)ar  conséquent  ; 
sera  réel  et  variera  en  ligne  droite  de  o  à  a,  c'est-à-dire  de  o  à  i .  Quand  x 
suivra  celte  même  coupure  de  l'autre  côté,  l'argument  de 

/(^)  "  " 

expression  qui  contient  en  facteur 

(.X  —  'l,)', 


EXTRAIT    D  UN    MIÎMOIRE    INEDIT    DE    HENRI    l'OINCAIlE. 


365 


sera  conslant  et  égal  à  f;  ;  variera  donc  de  o  à  a\/—  i  ou  de  o  à  \' — i. 
Quand  x  suivra  la  coupure  de  a^  à  l'infini  du  côté  a  de  cette  coupure,  l'argu- 
ment de 

a  —  a 

qui  était  zéro  quand  x  suivait  du  côté  A  la  coupure  a,  a^,  devient  -)  puisque 
l'expression 


contient  (.r  —  a.,)-  en  facteur  et  que,  quand  en  suivant  la  droite  a^n-^co,  on 
dépasse  le  point  a,,  on  voit  l'argument  de  {x — a^)  augmenter  de  t:. 

Quand  x  décrira  cette  coupure  <7j  oo,  z  décrira  donc  dans  son  plan  un  arc 
du  cercle  décrit  sur  a|3  comme  diamètre,  arc  allant  de  x  à  p. 

On  démontrerait  de  même  que,  quand  x  décrit  celte  même  coupure  de 
l'autre  côté,  z  suit  un  arc  du  cercle  décrit  sur  x  ^'  —  i .  i^  y'  —  '  comme  diamètre, 
arc  allant  de  a  y/ —  i  à  y. 

Il  en  résulte  que,  si  x  décrit  tout  son  plan  sans  franchir  aucune  coupure, 
z  restera  à  l'intérieur  du  quadrilatère  mixtiligne  ao  a'y. 

Fig.  i. 


Dans  la  figure  2,  a  représente  la  quantité  imaginaire  a;  a',  «(,  a'j  repré- 
sentent les  quantités  a  y/ — i,  — a,  — a  y/ — i  ;  Yi  yn  Yî)  Ys  représentent  y, 
—  yy/— I,  —y,  y  y/—  i. 

Le  cercle  y,  ayo  est  le  cercle  décrit  sur  a|j  comme   diamètre.   Permettons 


366  F.XTKAIT    d'un    MKMOIRE    INÉDIT    DE    HRMd    lOINCARK. 

maintenant  à  X  de  franchir  la  coupure  OiOa;  alors,  jjour  voir  la  région  où  ;; 
restera  confiné,  appliquons  au  polygone  aoa'y  les  opérations 

L,     L«,     L3 
et  nous  obtiendrons  le  quadrilalère  curviligne 

TTi  Y2  Y3  ; 

les  cercles  qui  le  forment  se  coupent  aux  sommets  du  quadrilatère  sous  des 
angles  de  60". 

Du  point  O  comme  centre  décrivons  un  cercle  HH' coupant  orthogonalemeni 
le  cercle  ayô. 

Ce  cercle  n'est  pas  altéré  par  lt!S  opérations  L,  M,  N. 

Or  le  quadrilatère  Yi'^l-t-'  est  tout  entier  intérieur  à  ce  cercle.  Si  x  décrit 
dans- son  plan  un  contour  quelconque,  z-  reste  dans  ce  quadrilatère  ou  dans  le 
transformé  de  ce  quadrilatère  par  une  des  opérations  combinées  à  l'aide  de 
L,  M,  N.  Or  tous  ces  transformés  sont  intérieurs  au  cercle  HH',  puisque  le 
transformé  d'un  point  intérieur  à  ce  cercle  est  intérieur  à  ce  cercle.  Donc,  quel 
qiiesoil  le  contour  décrit  par  x  dans  son  plan,  zne  pourra  jamais  sortir  du 
cercle  HH'. 

Une  autre  remarque,  c'est  que  tous  les  transformés  des  cercles  YYi)1'iy2! 
y-Ji  Y^'  •  •  •  P'"'  ^""-^  opération  quelconque  combinée  à  l'aide  de  L,  M,  N  coupent 
orthogonalement  le  cercle  llll'. 

Cela  posé,  je  suppose  que  l'on  permette  à  x  àe.  franchir  un  plus  grand 
nombre  de  coupures;  alors,  la  région  décrite  par  ;  ira  en  s'éleiidant  de  plus  en 
plus.  Pour  s'en  rendre  compte,  il  faut  ajouter  au  quadrilalère  vyiv^vj  un  cer- 
tain nombre  de  ces  transformés  obtenus  par  les  opérations  L,  M,  N  répétées  un 
certain  nombre  de  fois. 

Quelques  définitions  d'abord  :  J'appellerai  co/i/'«^Mé  d'un  point  a  le  pointai 
qui  sera  le  pied  de  la  perpendiculaire  abaissée  du  point  a  sur  la  polaire  du 
point  rt  par  rapport  au  cercle  HH'. 

.l'appelle  opération  S  par  rapport  au  point  a  l'opération  qui  consiste 
à  changer 


z  —  Ut 


Si  a  est  le  transformé  de  y  P^r  une  opération  combinée  à  l'aide  de  L,  M,  N, 
l'opération  S  sera  une  des  opérations  combinées  à  l'aide  de  L,  M,  N. 

J'appelle  quadrilatères  Q  les  différents  quadrilatères  curvilignes  qui  sont  les 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  867 

transformés  du  quadrilatère  YYiy-jys  par  une  opération  combinée  à  l'aide 
de  L,  M,  N. 

Considérons  un  polygone  curviligne  P  quelconque  susceptible  d'être  décom- 
posé en  un  certain  nombre  de  quadrilatères  Q.  J'applique  aux  difTérents  qua- 
drilatères Q  qui  composent  ce  polygone  les  opérations  S,  S=,  S',  S>,  S'  par 
rapport  à  chacun  de  leurs  sommets;  sauf  pour  les  quadrilatères  qui  ont  un 
sommet  sur  le  périmètre  du  polygone,  ces  opérations  ne  feront  que  reproduire 
des  quadrilatères  Q  faisant  déjà  partie  du  polygone  P.  Mais,  appliquées  aux 
quadrilatères  qui  ont  un  sommet  sur  le  périmètre  du  polygone,  ces  opérations 
conduisent  à  des  quadrilatères  nouveaux,  que  j'annexerai  au  polygone  P  de 
façon  à  former  un  polygone  plus  grand  P'.  Cette  iransformaLion  de  P  en  P' 
s'appellera  r opération  T. 

Cela  posé,  appliquons  l'opération  T  au  quadrilatère  ';'{\'(i'{î^  j'obtiendrai  un 
premier  polygone  P,  ;  j'applique  de  nouveau  l'opération  T  à  ce  polygone  et 
j'obtiens  un  second  polygone  Po,  puis  un  troisième  P,,  etc.  Les  polygones  P,„ 
sont  des  régions  que  s  peut  parcourir  sans  qu'on  fasse  franchira  x  des  coupures 
en  nombre  infini. 

Je  dis  que  le  polygone  P,  a  ses  angles  égaux  à  60°  ou  à  120°.  En  effet,  consi- 
dérons la  figure  3  qui  représente  grossièrement   la   décomposition  du  poly- 


Fi£ 


gonc  P|  en  quadrilatères  Q.  Sur  cette  figure,  les  arcs  de  cercle  ont  été  remplacés 
par  des  droites.  Comme  les  quadrilatères  Q  ont  tous  leurs  angles  égaux  à  60°, 
on  voit  que  les  angles  du  polygone  P,  : 


et 


Aj,     A-j,     ...,     A, 2     sont     (le       60" 

Bi,     B.2,      ...,     Bit      sont     (le     i-jo".  c.  Q.  F.  D. 

De  plus,  on  n'a  jamais  deux  angles  de  tio"  de  suite.  Passons  au  polygone  Pa- 


368  EXTRAIT    d'i'N    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ. 

Sur  les  figures  4  et  5,  les  angles  marqués  A  sont  de  6o°,  les  angles  marqués  B 
de  120°. 

En  général,  les  quadrilatères  cinnexés  au  polygone  P,  se  divisent  en  deux 
catégories  :  i"  ceux  qui  n'ont  qu'un  sommet  commun  avec  1',  et  trois  avec  P..>; 
en  ces  trois  sommets,  les  angles  de  Po  sont  un  de  6o°  et  deux  de  120";  2°  ceux 
qui  ont  deux  sommets  communs  avec  P|  et  deux  avec  P^;  les  deux  angles  cor- 
respondants de  P2  sont  de  120°. 

Sur  les  figures  4  et  5  les  traits  pleins  représentenl  une  portion  du  polygone  P, 
partagé  en  quadrilatèies  Q.  et  les  quadrilatères  en  pointillé  sont  ceux  qu'on 
doit  annexer  au  polygone  [',  pour  former  le  polygone  P^,.  Sur  la  figure 
à  gauche  on  envisage  une  portion  du  pcriuiclrc  de  P,  où  cm  angle  de  120°  suc- 
cède à  un  angle  de  60",  sur  la  figure  à  droite  une  portion  de  ce  périmètre  où 
deux  angles  de  120°  se  succèdent.  On  voit,  à  la  seule  inspection  des  figures,  que 
les  angles  du  polygone  P^  sont  encore  de  60"  et  de  120°. 


Fig.  5. 


/b 


On  démontrerait  delà  même  façon  qu'il  en  est  de  même  des  angles  du  poly- 
gone P3,  et  en  général  du  polygone  P„,. 

Conséquence.  —  Les  polygones  P,„  sont  des  polygones  curvilignes  dont  les 
côtés  sont  formés  par  les  arcs  de  certains  cercles  qui  coupent  orthogonalement 
le  cercle  HH',  et  dont  les  angles  sont  tous  saillants. 

Ces  préliminaires  établis,  nous  pouvons  nous  poser  maintenant  la  question 
suivante  : 


La  fonction 


X  =  e(:). 


qui,  nous   l'avons  vu,  n'existe  pas   quand   le   module  de   z    est  plus    grand 

que  OH,  rcste-t-elle  méromorphe  quand  le  module  de  z  est  plus  petit  que  OH? 

l'our   résoudre    cette    question,  reportons-nous  à  ce  qui  a  été  dit  dans   la 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  SÔg 

Note  \I(').  On  se  rappelle  qu'on  a  considéré,  dans  cette  Note,  certaines 
régions  R,„  et  j'ai  montré  que  la  condition  pour  que  x  reste  monodrome  en  :;, 
c'est  que  cette  région  R„,  n'arrix  e  jamais  à  se  recouvrir  partiellement  elle-même. 
Nous  avons  vu  en  outre  que  cette  région  Pi,„  peut  se  recouvrir  partiellement 
elle-même  de  deux  manières  différentes;  ou  bien  en  laissant  tout  le  reste  de  la 
sphère  d'un  même  côté  de  son  contour,  ou  bien  en  formant  une  sorte  d'anneau 
de  telle  façon  que  la  portion  de  la  splièie  qui  ne  fait  pas  partie  de  R,„soit  divisée 
en  deux  régions  bien  distinctes  et  qu'on  ne  puisse  aller  de  l'une  à  l'autre  sans 
traverser  R,„. 


(')  Note  VI.  —  On  peut  se  rendre  compte  de  la  manière  suivante  de  l'insuffisance  de  la  démons- 
tration (le  M.  Fuchs.  Je  suppose  que,  sur  la  sphère  représentative  des  x,  je  joigne  chaque  point 
singulier  au  point  oo  par  une  coupure.  Si  l'on  fait  décriie  à  j;-  un  chemin  qui  soit  assujetti  h  ne 
pas  traverser  les  diverses  coupures  plus  de  m  fois,  le  point  représentatif  de  z  décrira  un  chemin 
qui  sera  assujetti  à  rester  dans  une  certaine  région  B^  de  la  sphère.  Quand  m  va  augmenter,  la 
région  R„  va  s'étendre  de  plus  en  plus. 

Si,  en  s'étcndant,  la  région  R„,  arrive  ;\  se  recouvrir  en  partie  elle-même,  de  telle  sorte  que  le 
point  représentatif  de  ;  puisse  venir  de  deux  manières  dilTérenles  en  un  certain  point  de  la  sphère, 
il  est  clair  que  x  ne  sera  pas  fonction  monodrome  de  z;  si,  au  contraire,  cela  ne  peut  avoir  lieu, 
X  sera  monodrome  en  z. 

Or  on  peut  concevoir  de  deux  manières  dill'ércntes  que  la  région  H„,  se  recouvre  en  partii- 
elle-même,  comme  l'indiquent  les  figures  qui  suivent. 


Fig.  6 


Fig-  7- 


Dans  ces  figures,  les  deux  cercles  représentent  les  deux  hémisphères;  les  parties  restées  en  blanc 
sont  les  portions  de  la  sphère  qui  ne  font  pas  partie  de  la  région  R„,  ;  la  région  R  est  couverte  de 
hachures  et  l'on  observe  deux  couches  de  hachures  dans  les  portions  de  la  sphère  où  la  région  R„, 
se  recouvre  elle-même. 

M.  Fuchs  a  démontré  que  la  région  K^  ne  peut  pas  se  recouvrir  partiellement  elle-tnéme  ile  la 
première  manière,  puisqu'il  a  fait  voir  que,  quand  c  décrit  dans  l'inlérieiir  de  la  région  R„,  un 
cercle  infiniment  petit,  x  revient  à  la   même  valeur. 

Mais  il  n'a  pas  démontré  que  la  région  R,„  ne  peut  pas  se  rerouvrir  partiellement  elle-même 
de  la  seconde  manière. 

H.  P.  -  I.  47 


370  EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    l)F.    IlENIll    rOINCARÉ. 

La  démonstralion  de  M.  Fuchs  signifie,  je  le  rappelle,  qiie  la  région  R„,  ne 
peut  se  recouvrir  elle-même  de  la  première  manière.  Cherchons  donc  si  elle 
peut  se  recouvrir  elle-même  de  la  seconde  manière. 

Or  ici  les  régions  R,„  sont  représentées  par  les  polygones  P,„,  ou  du  moins 
les  polygones  P,„  peuvent  jouer  dans  la  démonstration  identiquement  le  même 
rôle. 

Considérons  la  sphère  qui  a  pour  grand  cercle  le  cercle  IIH',  projetons  xlé- 
réographiquement  la  figure  qui  est  dans  le  plan  de  ce  grand  cercle  sur  cette 
sphère.  Les  polygones  P„,  vont  se  projeter  suivant  des  polygones  curvilignes 
sphériques  H„,  dont  les  côtés  seront  des  petits  cercles  coupant  orthogonalement 
IIH'  et  par  conséquent  situés  dans  des  plans  perpendiculaires  à  celui  de  ce 
grand  cercle  et  dont  les  angles  seront  tous  saillants. 

Projetons  encore  la  figure  orthogonalement  sur  le  plan  tle  ce  grand 
cercle  HII'  ;  les  polygones  II„,  vont  se  projeter  suivant  des  polygones  recti- 
lignes  K,„  dont  les  angles  seront  tous  saillants. 

Or  il  est  clair  qu'un  polygone  rectiligne  dont  tous  les  angles  sont  saillants  ne 
peut  se  recouvrir  partiellement  de  la  seconde  manière. 

Donc  ni  les  polygones  K„,,  ni  par  conséquent  les  polygones  P,„,  ne  peuvent 
se  recouvrir  partiellement  de  la  seconde  manière. 

Donc  X  est  méromorphe  en  z  dans  l'intérieur  des  polygones  P,„. 

Mais  quand  m  tend  vers  l'infini,  les  polygones  V„,  se  rapprochent  de  plus  en 
plus  du  cercle  HII'.  En  efTet,  si  cela  n'était  pas,  quand  m  tend  vers  l'infini  le 
polygone  P,„  tendrait  vers  un  certain  contour  P  qui  devrait  être  un  contour 
fermé  sans  point  double  et  reproductible  par  toutes  les  opérations  combinées 
à  l'aide  de  L,  M,  N,  ce  qui  n'est  possible  qm;  du  cercle  HII'. 

Donc  X  est  méromorphe  en  z  dans  l'intérieur  du  cercle  IIH'. 

La  fonction  x,  nous  l'avons  vu,  n'existe  pas  dans  toute  l'étendue  du  plan,  de 
sorte  qu'on  ne  peut  pas  dire  positivement  que  ce  soit  une  fonction  analjticjiie 
de  z;  uiais  c'est  une  Jonction  parfaitement  déterminée  de  cette  variable.  C'est 
ainsi  qu'tm  doit  entendre  dans  ce  cas  le  théorème  de  M.  Fuchs,  et  cela  d'ail- 
leurs suffit  pour  les  conséquences  que  ce  géomètre  en  tire. 

Faisons  cpiclques  remarques  sur  la  fonction  x. 

D'abord  elle  peut  être  représentée  par  une  série  convergente  :      .    est  en 

effet,  si  X  est  convenablement  choisi,  une  fonction  .méromorphe  de  z  qui  rcslo 
finie  tout  le  long  du  périmètre  du  quadrilatère  YY'T-T"  '^^  P'"  conséquent  tout 


EXTRAIT    d'un    MÉMOIRE    INÉDIT    DE    HENRI    POINCAHÉ.  87 1 

le  long  du  périmètre  du  polygone  P,„.  De  plus,  quand  m  tend  vers  l'inlini,  le 
périmètre  de  ce  polygone  reste  fini. 
Donc  l'intégrale  [de  Cauchy] 


S 


{x-X)(z-l) 


prise  le  long  du  polygone  P,„  reste  finie  quand  m  tend  vers  l'infini. 

Or  cette  intégrale  est  égale  d'une  part  à  une  série  convergente  ordonnée 
suivant  les  puissances  de  z\  d'autre  part  à  — ■/{:■)  plus  une  série  de  termes  en 

A 

jf  —  a 

faciles  à  former.  En  efTet,  soit  a  l'un  des  infinis  de  la  fonction 


aurons  un  terme  en 


Supposons  que  l'on  sache  que  x  ne  change  pas  quand  on  change 


z     en      — -, 

h  z  -^  k 

alors  nous  aurons  un  autre  infini 


Il  —  ah' 

avec  le  résidu 

k'h  —  h'k 
{h—ah'f' 

ce  qui  nous  donne  le  terme 

k'  h  —  /('  k  I 


(h  — ah')'  k  —  ak' 

z  -i-    

h  —  a  h' 

La  somme  de  tous  ces  termes  diminuée  de  /(:■)   et  nuihipliée  par  2jti  repré- 
sente l'intégrale  considérée.  Bien  entendu,  on  ne  doit  prendre  que  les  termes 
relatifs  aux  infinis  situés  à  l'intérieur  de  P,„. 
On  a  alors 

(f{z)  étant  holomorphe  en  z;   quand  m  tend  vers  l'infini,   tp(:)qui  est  égal 
à  l'intégrale  divisée  par  2<Tt  tend  vers  une  limite  finie,   en  même   temps  que 

/_  —^ — devient  une  série  infinie.  Cette  série  infinie  est  donc  convergente. 


372  i:xTn.viT  n'iN  mkmoirk  imUiit  de  iiiînui  poincark. 

Donc  f{z)  peut  se  mettre  sous  la  forme  suivante  : 

où   <^{:)   est   /lo/oniorp/ie   dans    l'intérieur   du    cercle   Illl'  et   où    /,  ■ 
est  une  série  convergente  dont  le  terme  général  est  facile  à  former. 

Une  autre  remarque  :  Soit  une  équation  difTérenliclle 

dx-  \_{x  —  «,)'        {x  —  aij(x  —  a,)        (x  —  a^Y  \ 


tell 


e  que 


que 


I  I  I 

p,  =  1+   -,  p2=H- 

4 


■2  G 

par  exemple. 

Pour  ne  pas  confondre  la  variable  x  qui  entre  dans  cette  nouvelle  équation 
avec  celle  qui  entrait  dans  l'ancienne,  appclons-là  :r,,  mais  continuons  à  poser 

yi(-^i) 


cî,(xi)  et  f,{x,)  étant  des  intégrales  convenablement  choisies  de  la  nouvelle 
équation;  z  sera  une  fonction  de  x^  qui  aura  une  infinité  de  valeurs,  mais  on 
les  obtiendra  toutes  en  appliquant  à  l'une  d'elles  toutes  les  opérations  com- 
binées à  l'aide  de  L,  M,  N  (^voirp.  3(34)  ;  or  x  est  une  fonction  monodrome  de  ; 
qui  ne  change  pas  quand  on  applique  à  cette  variable  l'une  de  ces  opérations. 
Donc  X  est  monodrome  en  x,;  seulement,  ici  encore,  x  n'existe  pas  pour 
toutes  les  valeurs  de  x^  ;  cette  fonction  n'existe  que  pour  les  valeurs  de  .r, 
telles  que  z  soit  à  l'intérieur  du  cercle  HH'. 

Dernières  remarques. 

Le  mode  de  discussion  que  nous  venons  d'employer  peut  être  Utilisé  toutes 
les  fois  que  l'on  n'a  que  deux  points  singuliers.  La  di/^(iculté  augmente  avec  le 
nombre  de  ces  points.  Voyons  comment  on  devrait  aborder  la  (juestion,  si  l'on 
avait  par  exemple  trois  points  singuliers. 

S<jicnt  «I  et  a.,  deux  de  ces  points  singuliers;  supposons  qu'ils  sont  réels  et 
que  les  coefficients  de  l'équation  dilTérentielle  sont  également  réels;  réunissons 
ces  deux  points  par  une  coupure  en  ligne  droite,  et  joignons  de  même  les  autres 
points  singuliers  par  des  coupures. 


EXTIIAIT    ll'UN    iMli.MOIRK    INÉDIT    DE    HENRI    POINCARÉ.  Syî 

Quand  x  décrira  d'uncerlain  côté  la  coupure  a,ao,  c  restera  réel  et  variera 
de  a  à  (3;  quand  on  appliquera  aux  différents  points  de  ce  segment  de  droite 
les  diverses  opérations  qui  ne  font  pas  varier  x  quand  on  les  applique  à  la 
variable  z,  les  transformés  successifs  de  ce  segment  de  droite  seront  une  inll- 
nitc  d'arcs  de  cercle. 

Pour  que  le  théorème  de  M.  Fuchs  soit  vrai,  il  faut  et  il  suffit  qu'aucun 
de  ces  arcs  de  cercle  ne  vienne  couper  le  segment  de  droite. 


NOTES  ET  ERRATA 


Les  pages  i  à  lïz  ont  été  définitivement  imprimées  sous  la  direction  de  G.  Darboux. 
C'est  ce  qui  a  motivé  le  numérotage  en  cliiliVes  romains. 

1.   Page  XLiv,  ligne  19  : 

Divers  travaux  ont  permis  de  compléter  les  résultats  de  Brint  et  Bouquet  et  de 
H.  Poincaré,  et  de  les  étendre  à  une  équaliou 

dv        a  X  -i-  b  y  -h.  .  .  ;  ,,       .,, 

-~-  =  —, :  r V  ou         ab  —  ba  ^  o, 

dx        a  X  -\-  b  y  -^.  „ . 

et  aussi  à  des  cas  plus  généraux. 
Il  faut  particulièrement  citer  ; 

E.  Picard,  Traité  d'Analyse,  t.  HI,  ?.'  édition,  p.  23-3o;  C.  R.  Acad.  Se,  Paris,  87, 
1878,  p.  43o,  743;  Bulletin  Soc.  math.  France,  t.  12,  i883-i884,  p.  48- 

I.  BendiXSON,  Ôffersiçt  Velensk.  Akad.  furhandl.  (Stockholm),  t.  SI,  1894, 
p.  i4i-i5i;  t.  52,  1895,  p.  81. 

J.  HoRN,  Zeit.  Math.  Phys.,  t.  49,  igo3,  p.  246;  Arch.  Math.  Phys.,  V  série,  t.  8, 
1905,  p.  23;. 

E.  LiNDELoF,  Acla  Soc.  scient.  Fennicœ,  t.  22,  1897,  Mém.  n"  7,  p.  1-2G. 

II.  DuLAC,  /.  Éc.  Polyl.,  1'  série,  cah.  9,  1904,  p.  i-i25;  Ann.  Univ.  Grenoble,  t.  M, 
1905,  p.  i;  Journ.  Math,  pures  et  app.,  6' série,  I.  2,  190C,  p.  38i;  Bull.  Se.  math., 
2'  série,  t.  .S2,  1908,  p.  23o-252. 

Quand   une   intégrale  yix)  d'une    équation    du    premier    ordre    est    définie    par   une 

relation 

/(■'v,y)^C, 

où  c  est  la  constante  d'intégration,  il  peut  se  faire  que  sous  la  seule  condition  :  x  tend 
vers  .Tn,  c'est-à-dire  \x  —  xo\  tend  vers  zéro,  la  valeur  correspondante  y  de  l'une  des 
branches  j'(.r)  tende  vers  j',,  ;  le  point  iCo  est  alors  un  point  de  détermination  pour  ^'(j:-). 
Mais  il  existe  des  cas  où  la  limite  des  valeurs  que  prend  j'  dépend  du  chemin  suivi  par.r, 
c'est-à-dire  des  derniers  éléments  de  ce  chemin.  La  branche  y  {x  )  doit  être  regardée 
comme  une  intégrale /)ren«n<  en  x^  la  valeur  y»,  si  cette  valeur  est  la  limite  de  y  pour 
certains  chemins  L  sur  lesquels  \x  —  Xa\  tend  vers  zéro.  Ces  chemins  L  balaient  une  aire 
autour  de  œ^  ;  ils  ne  sont  soumis  qu'à  des  conditions  d'inégalité.  Le  point  Xn  est  alors  un 
point  d'indétermination  pour  la  fonction  jK(ar). 


376  NOTES    ET    ERRATA. 

Considérons  l'équation  de  Briot  et  Bouquet 

dx         •' 

si  X  n'est  ni  zéro,  ni  un  entier  positif,  ni  une  quantité  réelle  négniive.  il  existe  pour 
cette  équation  des  solutions  j'(.r),  non  liolonioiphes  mais  développables  en  série  suivant 
les  puissances  de  x  et  de  x'  et  convcri;oaiil  lorsque  |  a"  |  et  \x'-\  sont  assez  petits:  elles 
dépendent  d'une  constante  arbitraire  G. 

Soit  \  =  a -^  ib  avec  a  négatif;  y  ne  tend  vers  zéro  avec  x  que  si  le  chemin  L  suivi 
par   X  ^  r  e'^   finit    par   rester   compris     entre    deux    spirales    d'équation    r  —  e-'"^,    où 

lorsque   m  >  o,  m  >■  ,  0  augmente  indéfiniment  par  valeurs  positives,  ou  bien  entre 

a  " 

deux  spirales  analogues,  — 8  augmentant  indéfiniment  par  valeurs  positives,  lorsque 

—  b 

m   <  O.  1)1   >    : • 

a 

Ce  dernier  cas  ne  peut  se  présenter  que  pour  b  négatif. 

Soit  maintenant  a  positif;  le  module  de  x'',  qui  est  e"'"^''~'''\  tend  vers  zéro  sur  tout 
chemin  L  où  r  tend  vers  zéro  et  où  6  demeure  fini.  Mais  on  peut  prendre  aussi  pour 
chemin  L  tout  chemin  qui  finit  par  demeurer  entre  deux  spirales  :  r  =  e-"'^\  pourvu 
que  m  et  am^-b  soient  positifs,  6  croissant  indéfiniment  par  valeurs  positives. 

Si  X  n'est  pas  un  entier  positif,  il  existe  une  scilulion  j'(  j-j  Imlnmorplie  en  x  et  s'anuu- 
lanl  avec  .r  ;  il  n'en  existe  qu'une  seule. 

Si  X  est  un  entier  positif  I»,  il  n'existe  pas  en  général  de  solution  Imliiniurplie  en  x 
s'annulant  avec  x.  La  transformation  de  Briot  et  Bouquet 

y  =  x( z  -\ 

lamène  l'équaticui  donnée  à  la  forme 

dz        , 
X  ——  =(/H  —  \)z  +  a.x  -^ .  .  ., 
dx 

où  m  est  remplacé  par  (/«  —  i):  son  application  répétée  conduit  d(inc  à  une  équatimi 

dt 

X  -r-  =  t  ■+-  «m— 1  X  -h.  .  . 
dx 

el  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  l'existence  d'une  solution  /  holomorphe  en  .r 
et  nulle  pour  a:  =  o  [et  par  suite  aussi  d'une  solutifm  j']  est  que  ^„i-\  soit  nul. 

En  dehors  de  cette  solution  l'équation  possède,  d'après  H.  Poincaré,  une  infinité  de 
solutions  développables  suivant  les  puissances  de  J"  et  <le  .r  log.r,  quand  les  modules  de  ces 
quantités  sont  assez  petits.  Les  chemins  L  que  l'on  doit  suivre  pour  que  ^'  tende  vers  zéro 
avec  X  sont  tous  ceux  pour  lesquels  r  et  rO  tendent  à  la  fois  vers  zéro. 

Si  X  est  une  quantité  réelle  négative,  en  dehors  de  la   solution  y  holomorphe    il  n'en 

dy 
existe  pas  qui  s'annule  avec  x  de  façon  que     ;      tende  vers   une   liniiti-    nu    qui   s'annule 

•  dx 

quand  X  tend  vers  zéro  sur  nn  chemin  L  admettant  une  tangente  à  l'origine. 

Lorsque  X,  négatif,  est  rationnel,  H.  Dulac  a  montré  qu'il  y   a  en   général  une  infinité 

d'intégrales  y  tendant  vers   zéro   avec  x  sur  des   chemins   L  convenables.  Il  donne  en 


NOTES    ET    ERRATA.  077 

exemple  l'équatinu 

dont  l'intégrale  générale  est 

I  +  xy  \o^x  =  (^.xy. 

1-e  cas  X  =  I  a  été  étudié  en  détail  par  H.  l'oincaré,  dans  le  domaine  réel  {Théorie  des 
centres).  Voir  ce  Tome,  p.  gS. 

Knfin,  lorsque  X  =  o,  E.  Picxnn  {Traité  d'Analyse,  l.Wl,  a' édition,  1896,  p.  36)  établit 
qu'à  côté  de  l'intégrale  holomorphe  il  en  existe  une  infinité  d'autres  y  tendant  veis  zéro 
avec  X,  sur  des  cliemins  L  convenables. 

2.  Page  XLVll,  ligne  17  :  au  lieu  de  cliaquet  ernie,  lire  cliaque  terme. 

3.  Page  I,  ligne  \  :  au  lieu  de  24  avril  1S81,  lire  22  mais  1880. 

4-  Page  I,  ligne  4  à  partir  du  bas  :  au  lieu  de  deux  points  caractéristiques,  lire  deux 
caiactéristiques. 

S.   Page  2,  ligne  9,  au  lieu  de     :     ,     lire 

G.   Page  8,  ligne  9  :  au  lieu  de  la  caractéristique,  lire  si  la  caraclérijtique, 

7.  Page  8,  ligne  25  :  au  lieu  de  liypothèse,  lire  l'hypothèse. 

8.  Page  8,  ligne  3o  :  au  lieu  de  qui,  lire  (qui. 

9.  Page  9,  ligne  i  :  au  lieu  de  ji,  lire  p,. 

10.  Page  12,  ligne  19  :  au  lieu  de  la  même,  lire  de  In  même. 

11.  l'âge  i3,  udie  au  bas  de  la  page  :  au  lieu  de  ce  Tome,  lire  ce  Tome,  p.  XI.IX. 

12.  Page  20,  dernière  ligne  :  au  lieu  de  —r-'  '"'^  — :r— • 

5  .\  I  ;  X  ( 

13.  Page  3i,  dernière  ligne  :  au  lieu  de  axe,  lire  angle. 

14.  Page  37,  ligne  4  à  paitii'  du  bas  :  au  lieu  de  |ji',  (ji,  lire  j3',  (3. 

15.  Page  5i,  première  ligne  :  au  lieu  de  valeurs  de,  lire  valeurs. 
10.  Page  (19,  ligne  (>  :  au  lieu  de  trait  plein,  lire  trait  pointillé. 


17.   Page  75,  ligne  11  et  note  (  ')  :  Il  faut  ajouter  au  premier  membre  de   l'inégalité   le 
terme 

\  dx  ày        dy  dx  , 


M  ._    ,..         ...  ._  ^Woxdy)  àx'-   dy'-y 


18.   Page  75,  ligne  i3  :  au  lieu  de  y —1-^ ,    lire   y  — 7— '  • 

■'   dx  '  dy 

II.  P.  —  I.  4s 


378  NOTliS    lîT    EllRATA. 

19.  Page  87,  ligue  l  :  la  Noio  en  (luestion  csl  repioduile  piigc  iruj  du  présciU  Tome. 

20.  l'agc  92,  ligue  i4  :  au  lieu  tic  occupe  uu  Icuips,  lire  occupé  au  temps. 

;21.   Page  08,  ligue  8  :  au  lieu  de ,    >    lire    — •  -^• 

diu  du) 

22.   l'age  ini,  ligue  19  l't  uole  (M  :    I-a  valeur  exacte  de  Fr,  est 

—  -  —  -•^'J'-+  i3;'-y\ 
^         i  4 

qui  iliiuuc 

II 8  =  -,|8 —  Ga;«  y-  H r  a."'  V* X-  y^, 

4  -^  4  'i 

d'iiii  l'ou  déduit  par  la  ruélliode  iudiquée 

^«-64 

2;^.   f'age  iov!,  ligne  ai  :  ««  /(V(/  de  aux  p()iul>,  /('/<•  au  pciinl. 

24.  Page  2l3,  ligne  14  :  Dans  les  t'oiiuules  (']  Ins)  et  jusqu'au  bas  de  la  page  il  faut 
remplacer  pailoul  S,  par  S,,  qui  esl  plus  giand,  ce  qui,  de  même  que  l'emploi  des  fonc- 
lions  uiajorantes  pour  — <J>i  et  'l'j,  teud  à  augmenter  le  module  des  coefficients  de  <\i(x). 

La  foucliciu  'Y i  x)  est  alors  choisie  de  façon  que  la  courbe 

demeure  invariante  par   la  transformation 

Posons 

x„  +  ya=z„,  x,-hyi=  z, 

et  chercbons  d'abord  une  courbe 

X  =  <I>(z)  =  Yi3  +  YîS'H-.  ..+  y„3''  +  .  .  . 

qui  soit  invariante  par  la  tiansformalion  eu  x,  z  : 

_  <        .  _  *;  M 1^-  zl 

I—  p  3o 

ce  qui  donne  la  condition 


'P(S,S„)  =  S,<I>(3„)- 


1  —  M>i 


Pour   \  Ztil  <  -  on  obtient  iniMii'dialement,  en  égalant  les  coefficients  des    mêmes   pniiî- 
sances  de  z„  dans  les  deux  inemlucs, 

T,  =  -.  et  Y"(«i-S',')  =  -Mp". 


NOTES    KT    ERRATA.  879 

L'équation  x^=  *(2o)  s'écrit  alors,  avec  les  variables  Xa  ^o, 

^<'=    S^^Z-g-of -2^0 +  7U  )'  +  ...+    g     _g,.   <-^(.-t-ro)"  +  -       •• 

où  la  série  du  second  membre  est  convergente,  puisque  S|>  i. 

Comme  _;'o=  4''(^o),  c'est  bien  là  l'équation  du  texte;  la  fonction  implicite  y„  est  donc 
aussi  développable  en  série  convergente  suivant  les  puissances  de  x„. 

L'élude  des  courbes  invariantes  par  des  transformations  ponctuelles  à  deux  variables, 
au  voisinage  d'un  point  double,  a  été  poursuivie  par  : 

T.  J>EVi-CivtTA,  So/ira  alcitni  criteri  di  instdhililà  (Annali  di  Matematica,  'i'  série, 

t.    \',    I<)Ol). 

J.  llAOAMAnn,  Sur  l'itération  et  les  solutions  asyinptotiques  des  équations  différen- 
tielles {Bulletin  de  la  Soc.  math,  de  France,  t.  X\\  I,  içi'Hi. 

S.  Lattes,  Sur  les  équations  fonctionnelles  qui  déjîniasent  une  courhe  ou  une  sur- 
face invariante  par  une  transformation  {.Innali  di  .Matematica,  J'"séiie,  t.  Xlll, 
190C). 

25.  Page  ?.66,  figuie  i  :  Les  points  K,  C  d'une  part,  D,  15,  A  d'autre  part,  sont  sur  des 
parallèles  à  l'axe  horizontal. 

26.  Page  iSi,  ligne  i5  :  au  lieu  de  a,  lire  a'. 

Jui-iîS  DR.VCH. 


FIN     DU     TOME 


TABLE  DES  MATIERES 

DU    TOME    I. 


Pages. 
Préface,  par  M.  Paul  Afpell v 


Première  section  :  Analyse  pure. 

Analyse  des  Travaux  scientifiques  de  Henri  Poincaré  faite  par  lui-même  (Acla 
mathematica,  t.  38,  igai,  p.  i-i35).  F'remière  Partie  :  Équations  différentielles, 
p.  35-6/i I 

Note  sur  les  propriétés  des  fonctions  définies  par  les  équations  difiérentielles  (Journal 

de  l'Éco/e  Polytechnique,  (t'y  Cahier,  18-8,  p.  i3-36) xxxvi 

Sur  les  propriétés  des  fonctions  d'éfinies  par  les  équations  aux  différences  partielles 
{Thèses  présentées  i.  la  Faculté  des  Sciences  de  Paris,  faoùl  1S79) il-cxxxu 

Sur  les  courbes  définies  par  une  équation  différentielle  (Comptes  rendus  de  l'Aca- 
démie des  Sciences,  t.  90,  22  mars  1880,  p.  673-670  ) i 

Mémoire  sur  les  courbes  définies  par  une  équation  différentielle  (/ourna/ </e  y)/a</ie- 

matiques,  3°  série,  t.  7,  188 1,  p.  375-422,  et  t.  8,  1883,  p,  251-396) , 3 

Sur  les  courbes  définies  par  les  équations  différentielles  (Comptes  rendus  de  l'Aca- 
démie des  Sciences,  t.  93,  5  décembre  1881,  p.  95i-g52) .85 

Id.  (Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  98,  i4  fév.  1884.  p.  387-289).  87 

Sur  les  courbes  définies  par  les  équations  différentielles  (/OK/via/ rfff  Mathématiques 
pures  et  appliquées,  !^'  série,  t.  1.   i885,  p.  167-244) 9" 

Sur  l'intégration  des  équations  différentielKs  par  les  séries  (Comptes  rendus  de 
l'Académie  des  Sciences,  t.  94,  27  février  iS8>,  p.  577-678) 163 

Sur    les    séries   trigonométriques    (Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences, 

l.   101,  7  décembre   i883,  p.   ii3i-ii34) i63 

Sur  les  courbes  définies  par  les  équations  dilTéicnticlles  (Journal  de  Mathéma- 
tiques, 4"  série,  t.  2,  1886.  p.  151-217) '''V 

Sur  les  séries  de  polynômes  (Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  96, 
g  mars  i883,  p.  687-639  ) 232 

Sur  les  équations  linéaires  aux  différentielles  ordinaires  et  aux  différences  finies 
(American  Journal  of  Mathematics,  vol.  VII,  i885,  p,  i-56) 225 

Sur  les  intégrales  irréguliéres   des   équations   linéaires   (Acta    mathematica,    t.  8, 

1886,  p.  395-344) '90 


383  TABLE    DES    MATIÈRES. 

Pages. 
Remarques  sur  les  intégrales  irrégulières  des  équations  linéaires  (Képonseà  M.TIiomé) 

(Acta  mathematica,  l.  10,  18S7,  p.  3io-3i3) .i33 

Extrait  d'un  Mémoire  inédit   de  Henri  Poincaré  {Acta   mathematica,  t.  39,  igsî, 

p.  58-93) 336 

Notes  et  Erhata,  par  M.  Jules  Dracii 875 

Table  des  Matières 38i 


FIN    UE    I-A    TARLE    DES    MATIERES    DU    TOME    1. 


PARIS.    -     IMPRIMfiRIE    G  A  UTH I E  R- V ILL  A  RS    ET   C" 

56530-27        Quai  des  Grands-Anguslins,  55. 


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31East  10  "Street 
New  York  3