Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam

VERHANDELINGEN

BERSTE Sacre

(Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde -
Weerkuade en Ingenieurswetenschappen)

DEE MITE

MET 2 PLATEN

AMSTERDAM — JOHANNES MULLER
Juli 1904.

California Academy of Sciences

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VERHANDELINGEN

DER

KONINKLIJKE AKADEMIE

VAN

WETENSCHAPPEN

ERS i SECTIE

(Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde -
Weerkunde en Ingenieurswetenschappen)

DEEL VIII

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AMSTERDAM — JOHANNES MULLER
Juli 1904

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= Professeur à l'école moyenne de l'Etat „Willem II” à Tilbourg.

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DA ses Deel: VIIL:-N° 1.

AMSTERDAM ,
JOHANNES MÜLLER. Es:
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Juni 1901. mf Oe

L'ÉQUATION FINALE

PAR

I. BES,

Professeur à l'école moyenne de l'Etat „Willem II” à Tilbourg.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 1.

AMSTERDAM ,
JOHANNES MÜLLER.
1901.

TABLE DES MATIÈRES.

TITRE PT eo. Re

Chapitre I. Elimination entre deux équations homogènes à
LEO ONE ER EAN DN
BEENS MELON sten nnen ee a RAR Mk > ao Pied + Ne
Deuxième méthode, par laquelle on obtient les mêmes résultats... .
Quelques propriétés des coefficients des équations finales ........
Résultats obtenus pour des valeurs du degré de la fonction 7’ inféri-

eures au produit des degrés des deux équations données. ......

Chapitre II. Elimination entre z équations homogènes à x + 1
DIE RS PRE AEL tan AVS ogre BANEN 2
Extension des théories du chapitre précédent. . . . .. . .........
Evaluation d’une fonction homogène quelconque des valeurs qui forment

un système de racines de m équations homogènes à # + 1 variables

Chapitre III. Elimination entre x équations homogènes à 2 + »,
id une «eee + dite

DN L'an ee APE ER PO RSR RE TR
1. Quelques théorèmes sur les coefficients binominaux . . . .......

2. Quelques remarques relatives aux résultats obtenus par l'application

dos’ theories, exposées dans ce/mémoire. - +... 4. se... esas

Or

L'équation finale.

$ 1. On appelle équation finale le résultat que l’on ob-
tient en éliminant #—1 variables entre x équations homogènes à
n + x, variables.

Pour opérer cette élimination, nous multiplierons les x, + 1
variables qu'on veut garder, par un facteur quelconque, qu’on
considère comme une nouvelle variable. En ordonnant les
équations données suivant les arguments consécutifs des x
autres variables, on obtient # équations homogènes dont les coef-
ficients sont des fonctions homogènes des 7, + 1 variables qu'on
veut garder. Ces coefficients sont du premier degré par rapport
aux coefficients des équations données. Leur degré par rapport aux
variables qui y entrent, est égal à l’exposant de la variable auxili-
aire dans le terme dont fait partie le coefficient considéré.

En éliminant entre ces 2 équations homogènes les 2 variables
explicites, on obtiendra l'équation finale des équations données sous
la forme du résultant de # équations homogènes à x” variables. Si
les équations données sont respectivement des degrés 9,, o, : : : «Jus ce
résultant est une fonction homogène des coefficients de ces équations

n
dw Geer ET ND «+ «= « J, 2 —, tandis que son degré par rapport aux
1 Ik
coefficients de la première équation est go 93... 4, par rapport
aux coefficients de la deuxième 9, 73. ...9,, et ainsi de suite.

Par rapport aux variables qui y entrent, ce résultant est du
degré g, go. ...9,, comme on le démontre en considérant le poids
du résultant de x équations homogènes à x variables 3).

Au lieu de développer le résultant des 2 équations considérées,
il serait plus aisé de former immédiatement l'équation finale or-
donnée suivant les arguments consécutifs d’une fonction homogène
des n, + 1 variables restantes. On peut y parvenir d’après la

*) Voir: G. Salmon, Leçons d’Algébre Supérieure, n° 77,

6 L'ÉQUATION FINALE.

méthode. d’élimination dite Bezout, comme il sera démontré dans
la suite de ce mémoire 3).

I. Elimination entre deux équations homogènes
à trois variables.
PREMIÈRE MÉTHODE.
$ 2. Soient

9 (a,y,2)=a,2' + ax y + aja’ "zac y + aa" yz |
+ Ms Pen + (44, gay? ain GOE di Gets + (+1) +2) 2 = 0 3

2
a)
ed (æ,7, 2) = b, a” En Ba" y + ba" 2+ 6,0"? + ba" y
m—2 „2 = ‘
+ 6,2"? 2+ 6a" 3 y+ ....., + Onmin" = 0 ,
2 I

les équations données, respectivement des degrés / et m.
L’équation finale contient dans ce cas deux variables et est du
degré Zu.
Formons la fonction homogène de degré quelconque

P= OPES ey. ar REN, 77, ANSE HR. Sree ers seat (2) ,

dans laquelle ® et X sont des fonctions homogènes à coefficients
indéterminés s,, s,, 83, etc. Tout système de racines des équations
(1) satisfait aussi à l'équation

WO amaai RSS NN (3).

Quand il est possible de trouver pour les grandeurs s des va-
leurs qui réduisent la fonction # à une fonction de deux variables,
l’équation (3) sera l’équation finale, un facteur où un multiple de
cette équation, selon que le degré de l'équation trouvée est égal,
supérieur ou inférieur à Zu.

§ 3. Supposons en premier lieu le degré de la fonction Æ ar-
bitraire. Le degré de # étant #, ceux des fonctions ® et X sont
respectivement 4—/ et #—» La fonction F contient alors

ADH)
>

termes et les fonctions ® et X respectivement

1 ' . nig FE . A A 5
) Comparer: Théorie générale de l'élimination, d'après la méthode Bezout, suivant

un nouveau procédé (Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te
Amsterdam [Eerste Sectie], deel VI, n° 7),

; L’EQUATION FINALE. 7

_ &—l+ 1) ¢—/+ 2) (Amt 1)(4—m + 2)
7% 9. et a, = 9 De
En développant la fonction / suivant les arguments consécutifs
d'une fonction homogène des variables 7, 4,2; puis, suivant les
quantités 81, 89, 8, ete., on obtient l'identité

ord, tzit pb, tt 26, +a? PD, + ..... + 270, =|
eros typt gar zat Hea ep }...(4).
EMG Oi OTN TI = mann dend AK

Les grandeurs § du premier membre de cette identité sont des
fonctions linéaires homogènes des indéterminées s. L’assemblant
des coefficients de ces fonctions linéaires contient » lignes de
v, == & + a, éléments, représentés en partie par des coefficients
des équations (1), en partie par des zéros. Les «, premières co-
lonnes de cet assemblant renferment exclusivement des coefficients
de la fonction p et des zéros, les a, suivantes exclusivement des
coefficients de la fonction x et des zéros.

§ 4. Il est possible de satisfaire à l’équation (3) indépendam-
ment des valeurs des variables 2, 4, z, alors il existe un système de
racines s pour toutes les équations

termes.

a

>
w
Ss

La forme de la fonction / fait obtenir immédiatement quelques

\ 0 , 4 C 4 Al Org CA Q €
systèmes de racines s’ pour ces équations. Ecrivant l'équation (3)
dans la forme

X

X p
les deux membres deviendront égaux pour toutes les valeurs des
variables z, y, 2, si l’on pose

LEENE AE (7);

où fest une fonction homogène du degré 4—/—~m des variables a, y, 2.
On peut satisfaire à ces équations d'autant de manières que la fonction

bee k— l—m-+ 1) (4—l—m- 2)
f a de termes, c’est-à-dire de wv, ess - 5 2)
~

=

manières. On obtient ainsi pour les équations (5) æ systèmes de

racines s’.

8 L'ÉQUATION FINALE.

§ 5. Ces », systèmes de racines s’ sont indépendants.

Pour le démontrer, multiplions-les respectivement par les arbi-
traces Fars Yas mmetons SL ajoutons-les; les fonctions linéaires homo-
gènes ainsi obtenues, égalées à zéro, forment v, équations linéaires
homogènes /.

Ces équations peuvent se réduire aux deux groupes suivants:

Groupe I, se composant de z, équations dont les coefficients ne
renferment pas d’éléments a,

Groupe II, se composant de a, équations dont les coefficients
ne renferment pas d’éléments 4.

Multiplions les équations de chaque groupe successivement par

les arguments consécutifs d’une fonction homogène — respective-
ment des degrés #—7 et s—m — des trois variables x, y, z, ou

æ,y,2 sont des grandeurs arbitraires, et ajoutons les résultats de
chaque groupe; on obtiendra les deux équations

TX — 0 A APE 0 Hors RENE NON See dE DOS CENT Oe AE)

dans lesquelles la grandeur T représente une fonction homogène
du degré #—/—» des trois variables +, 7, z, dont les coefficients
seront les v, arbitraires 7.

Si les systèmes de racines s° n'étaient pas indépendants, on
pourrait satisfaire aux équations (8) — #,7, 2 étant arbitraires —
par un système de valeurs # qui ne se compose pas de zéros seuls.
Ce système de valeurs # constituerait un système de racines des
équations 4.

Comme on ne saurait satisfaire aux équations (8) indépendam-
ment des valeurs des variables +,7,2, qu’en choisissant pour les
arbitraires ¢ des zéros, il n'existe pas de système de racines pour
les équations 7.

Par conséquent, les v, systèmes de racines s’ sont indépendants.

§ 6. Les déterminants de l’assemblant des systèmes de racines
s sont premiers entre eux.

in effet, s'ils avaient un commun diviseur qui fût une fonction
des coefficients des fonctions » et x, il existerait dans le cas où
les coefficients auraient des valeurs qui annuleraient le commun
diviseur, au moins un système de racines / pour les équations 7.

C’est impossible, comme il a été démontré au paragraphe pré-
cédent; done, il est de même impossible que les déterminants de
l’assemblant des systèmes de racines s’ aient un commun diviseur,
fonction des coefficients des fonctions et %.

$ 7. kn substituant les valeurs

L'ÉQUATION FINALE. 9

_ AD +42)
2

>

Vi

(FIG [+-2) | Amt) __
9 2 fr

> GHDG+2) (IBU) , 24m?
A 2 br NE Are

HE eral

(&k —l—m-- 1) (k—/—m--_2)
ij 5 en:

ELD GES) (Eu). Am?

dans la forme v — v, + vy, on vérifie aisément la relation

$ 8. Comme on ne peut satisfaire à l’équation (6) indépendam-
ment des valeurs des variables a, 4, 2 par plus de v, systèmes de
valeurs s’ indépendants, il n'existe pour toutes les équations 4 que
v systèmes de racines s’ indépendants entre eux. L’équation (10)
nous montre que les équations 4 sont liées par /m relations linéai-
res indépendantes, car on sait que la relation

k, —k=n—m ast EE NE Se ance RN

\

est vérifiée, si m équations linéaires homogènes à x variables, liées
par # relations linéaires indépendantes, ont en tout #Æ, systèmes de
racines indépendants, et réciproquement 1).

Quand on donne à l’équation (4) la forme

Pr 5, + Po 0 4-03 03 +... tp, b,= 8, +o ----
es Sea ga Ré EE (12),

les symboles € représentent les fonctions linéaires qu'on peut for-
mer des colonnes de l’assemblant de la fonction #

Comme les équations § sont liées’ par /m relations linéaires in-

2 AT sure - + A :
dépendantes, on pourra satisfaire aux équations ¢ par /» systèmes
de racines indépendants entre eux.

$ 9. L’assemblant des », systèmes de racines s est supplémen-

*) Voir: Théorie générale de l'élimination, $ 56%,

10 L'ÉQUATION FINALE.

taire à tout assemblant qu'on peut former avec v—/m lignes quel-
conques de l’assemblant de la fonction Æ Les déterminants con-
tenus dans v—/m lignes quelconques de cet assemblant sont donc
divisibles par leur déterminant supplémentaire de l’assemblant des
systèmes de racines s’, et tous les déterminants contenus dans
v— lm colonnes de l’assemblant de la fonction # sont divisibles
par le même déterminant supplémentaire de l'assemblant des sys-
tèmes de racines s’.

$ 10. Après cette digression sur les propriétés de l’assemblant
de la fonction # nous revenons au problème de la détermination
des valeurs s qui réduisent la fonction # a une fonction de deux
variables.

Pour que ce cas se présente, 1l faut que les coefficients de tous
les termes de la fonction # qui ont pour facteur une même variable
s’évanouissent et que ce ne soit pas le cas avec tous les autres. Le
nombre v—/—1 de ces coefficients doit donc être inférieur à
v—Ilm, car les v équations 4 sont liées par /m relations linéaires
indépendantes. La différence entre v—/m et v—h—1, c'est-à-dire
hk +t-1—-/m, est done un nombre positif. Il s’ensuit que la plus
petite valeur qu’on puisse donner à #, pour obtenir immédiatement
l'équation cherchée à deux variables est /m.

Pour #— lm, on obtient les valeurs suivantes:

(lin +1) (Un +2) Weer Cer \
2 a Oe ee

eh enn
_ Cm lt) lul) ln
ees | (RAS

(nm Delma) We + >
CRE EST — = 5 :

: 2

Um Lm Dm m2) kr, Ger

2

lia:

:
Vo ————

|

L'équation obtenue pour cette valeur de # est l'équation finale.

Nous verrons bientôt que lon peut aussi obtenir dans quelques
cas l'équation à deux variables en prenant pour le degré de la
fonction # une valeur inférieure à /», mais le degré de l'équation
ainsi obtenue ne descend pas à Zm.

L'ÉQUATION FINALE. 1]

§ 11. On peut satisfaire à v—#—1 équations linéaires homo-
gènes indépendantes à v, variables par v, —v +41 systèmes de
racines indépendants entre eux. Il existe déjà pour les 5—#%—1
équations § choisies v, systèmes de racines qui satisfont à toutes
les équations 6. Il reste encore vj —v+ AH 1—+, où # +1 —/m
systèmes qui doivent satisfaire aux v—/s—1 équations 4 choisies
et non à toutes les autres.

$ 12. On évalue un pareil système de valeurs s’, en égalant à
zéro v,+#—/m des indéterminées s; les v, — (wy +A— lm) ou
v—# indéterminées restantes s’obtiennent par la résolution des
v—k—l équations linéaires homogènes choisies. De cette manière
on obtient les autres grandeurs s dans la forme de déterminants
du degré v—s—1.

Ensuite, on doit substituer les valeurs trouvées dans toutes les autres
fonctions § pour obtenir les coefficients de l'équation à deux variables.

Cette substitution s'effectue aisément. Il s’agit d'évaluer les
valeurs des variables de x—J1 équations linéaires homogènes à x
variables et de substituer les valeurs trouvées dans une fonction
linéaire homogène des mêmes variables. Le résultat est, comme
on sait, le déterminant formé des coefficients de la fonction donnée
et de ceux des équations données. Dans le cas en question le
résultat est done un déterminant du degré v—*s.

L’équation à deux variables ainsi obtenue est alors du degré #
et ses coefficients sont des déterminants du degré v—A.

$ 13. Il est clair que l’équation trouvée sera l'équation finale,
si l’on prend pour # la valeur la plus petite, c'est-à-dire dm.
Les coefficients de l’équation finale sont dans ce cas des déter-

minants du degré v—/» ou un) — ln.

Comme il a été remarqué au § 9, tous les déterminants contenus
dans l’assemblant qui fournit les coefficients de l’équation finale,

Iml md 7)

sont divisibles par un même facteur du degré vy = cs

Ce facteur est un déterminant de l’assemblant des v, systèmes
de racines s’ qui satisfont à toutes les équations 6, car cet assem-
blant est supplémentaire a tout assemblant qu’on peut former avec
v—Z/m lignes quelconques de l’assemblant de la fonction 4

Nous avons déja vu (§ 1) que le degré des coefficients de
l'équation finale doit se réduire à /+-m, Les coefficients de
l'équation trouvée doivent donc être divisibles par un commun

12 L'ÉQUATION FINALE.

slm? 2
facteur du degré ( “i Jm. La méthode qui nous
~

fera obtenir ce commun facteur sera exposée dans la suite de ce
chapitre (§ 19 et suivants).

§ 14. La méthode par laquelle nous avons obtenu l’équation
finale, permet aussi de former des équations qui nous donnent
immédiatement la valeur de la troisième variable, quand on a évalué
les deux autres.

Nous appellerons une équation de cette espèce équation
terminale.

Les équations terminales s’obtiennent en faisant disparaître de la
fonction # l’un des termes qui renferme seulement les deux variables
trouvées, et tous les termes qui ont pour facteur la troisième variable,
excepté l’un d’eux qui a cette variable au premier degré; ou bien,
en faisant disparaître de la fonction # tous les termes qui ont
pour facteur Ja troisième variable à un degré plus élevé que le
premier et autant des autres termes que 4-1 termes restent.

Les w—#—] coefficients des termes qui doivent disparaître,
égalés à zéro, forment v—/—1 équations 0, d’où l’on peut résoudre
les grandeurs s.

En substituant ces valeurs dans les autres coefficients on obtient une
équation entre les trois variables a, 7, z, et les coefficients des équa-
tions (1), où l’une de ces variables ne se présente qu'au premier degré.

De la même manière on peut obtenir une équation entre #1
arguments quelconques de la fonction #. Le nombre total des

5 5 Uv
équations résultantes ainsi obtenues est ( À
& +1

$ 15. Appliquons les théories précédentes à quelques exemples,
et posons # ==J/m.

Remarquons d’abord qu’on n’a pas besoin de s'occuper des
valeurs de # supérieures à /m. Les résultats que l’on obtiendrait
ainsi, seraient en général plus compliqués, et ne différeraient des
résultats que l’on obtient pour #—/#» que par des facteurs superflus.

Nous ne mentionnerons pas dans les exemples la marche suivie
pour obtenir les résultats. Qu'il suffise de faire connaître les as-
semblants dont nous nous sommes servis, les équations finales et les
équations qui nous donnent la troisième variable.

Les coefficients de ces équations sont des déterminants contenus
dans un assemblant suffisamment indiqué. Nous emploierons pour
ces déterminants des lettres munies d’indices, qui indiquent les
lignes qu'il faut supprimer de cet assemblant pour obtenir le dé-
terminant proposé.

L'ÉQUATION FINALE. 13

$ 16. Exemples:

1. Deux équations du premier degré:

x

Gan | as
Breite den + by 2

8, 8 |

|
©

à
|
S

Pe ja 4

RE A Le ae PR (15)
pn Ua, V0)
Pa —=8. | a by
Les équations finales:
P3Y A Pa? =0, |
Nn NT et Se et ern en B Se os (16)
Plein — 0, |
2. Une équation du second et l’autre du premier degré :
ae + a ty dage + ayy? + dg y2 + Ge = , | 17
OP hee stare (17)
babyy the, |
| 8 8 83 4 |
4
Ne
rid a, Dy
Po = ty | a 6, 4,
Pa — UZ | Ae bi b, Re Aa ere CLÉ MON PE TT Ve Vane a teren (18)
td
Lln an a by
Bienes Ay bs Do
Pa la, ba
Les équations finales et quelques équations terminales:
; 2 2 5 a A \
Peet + Pie Y2 + Bis?” = ; |
soto. (
er 0 a + Pig 22 + Pis =O, | oN TAP RS RAR À < (19),
€ 2
Parl HDD — Piaf =O;

14

— Ppt + Ps6Y + Past =O;
23 4 + Asx + 220;
— Pis © + Pasy nies 0 6

q ñ ) y 2
Psa ®Y À Pas ®2 + Pis

Pas LY À Pas © 2 — Pis?
P35 CY + Pre 22 + Pas ze

L'ÉQUATION FINALE.

Le) S
“ hed

|

3. Deux équations du second degré:

a 2 + dy wy + a, wz Tag + as ye + a, 2"
bat + by ay + bar +6, pt + b; ya + b À

|

|

L’assemblant de la fonction # et l’assemblant

racines s’:

Sy S2 83 8, 85 So 87 Sg Sg S10 Su Sho
PB a, b,
Py yd bbs
D a's UA eg bi 9G;
Ds = ay? | ay a, a 0502 END"
Be DY dd ay). DU b,
De ERN Be Os ay On we b,
EN Gq.) a, D, Mis
figs — je AiO, eda, 6; 0200500;
ps, tye" Ag as da U, Ors bs 0,
De 27 tty a, be b3
D= A, b,
Pie = Y°2 a, 0 bs by
PEN ye Qs as a, BA Gebr
Pia =?” a, a; bg bs
=d 7 h

Cr)

des systèmes de

L'ÉQUATION FINALE. 15

81 S2 S3 8, S5 8, 8, Sa So S10 Su Sho

t

1 b, b, b; b, bs be €; ls 3 — y = — oad aten terde (24).

Be ty L 2 . .
L’équation finale entre y et z, et une équation terminale pour
l'évaluation de a:

4 _! 3) 22,2
Pr2a3aaas Ÿ + Puasaas Y°2 + Pusoanas Y 2
T) 4 3 4 ———
“> P11 42,3,45 Y2 = P2134 2 ==

2 i 3
— Pr213,14,15 VZ À Di0181445 JE Pi012,1545 yr2
2 Pos VE
ae P101213,15 Y F P1019,13,14 ae a

L’équation finale entre æ et z, et une équation terminale pour
Pévaluation de 7:

©

4 de 2,2
Pa,61015 © — Preroas UZ — P1,34045 LZ

; yo ; JE
== P1,3,645 © Ze Pis640 2° = 0

ie, 2 3 »2
L3,610,15 LY - L5,61015 © — P354015 2°2
# 21 2 4 3 —
+ 235,645 ve + Da5,640 CT

L’équation finale entre + et y, et une équation terminale pour
l'évaluation de z:

ne DT

ÿ „4 Er 1 ne 2 27 3

Paar & == Pin CY — Pram CY — Pas LY
Mie

Fran 4 UE à

Let Oe /

2
Pori UZ — Pasar © À Poor vy — Pons 2Y? NE
zi Po,,51 Y re
Les coefficients des équations (25), (26), (27) sont des détermi-
nants empruntés à l’assemblant (23), après la suppression d’une des
colonnes. ‘Tous les déterminants de cet assemblant sont encore
divisibles par le déterminant supplémentaire de l’assemblant (24),
c'est-à-dire par d,, après suppression de la sixième colonne dans
l’assemblant (23).
Voici encore quelques exemples d'équations terminales contenant
plus d’un terme qui renferme la variable cherchée :
Po101112 ay?e + Paioa4 ay 2 Paoa11522°
+ Pa 1012 ‘à == Pago 92 — was
— Po4314,45 ay = P813,14,15 ayz? + Pe01415 ye? :
++ Poorsrs 2° Æ Pages 2 =O, °° (

ae iar ITA
Pspror LY t+ Proson Uy“ + Pignom 272
nme py eee
Lisp Ve + Pigoro = 0 ,

t2
sr

16 L'ÉQUATION FINALE.

DEUXIÈME MÉTHODE, PAR LAQUELLE ON OBTIENT
LES MÊMES RÉSULTATS.

$ 17, Comme il a été remarqué au § 8, les wv équations 8 sont
liées par dz relations linéaires indépendantes, quel que soit le degré
de la fonction #. Pour les équations ¢ il existe donc dm systèmes
de racines p° indépendants. Il est clair qu'un ou plusieurs des
systèmes de racines # doivent avoir la propriété que leurs éléments
sont proportionnels aux arguments consécutifs d’une fonction ho-
mogene du degré # à trois variables.

Pour trouver un tel système de racines, formons /# systèmes de
racines p indépendants dont /#— 1 éléments correspondant
aux termes de la fonction # qui ne renferment que deux des va-
riables, sont des zéros. De ces Zw systèmes de racines p’ on dé-
duira un autre système dont aucun élément ne s’annule, en les
multipliant respectivement par les coefficients indéterminés ÿ,, J, : ...
Jim et en ajoutant les produits. Les sommes ainsi obtenues for-
ment un système de racines pour les équations € satisfaisant à la
condition citée.

En divisant ces racines respectivement par les arguments consé-
cutifs d’une fonction homogène du degré # à trois variables, on
obtient l'égalité de v proportions, d'où l’on peut éliminer les Zw

quantités g. Cette élimination pourra se faire de Con +1) ma-

nières, c'est-à-dire d'autant de manières qu’il y a de combinaisons,
Im + 1 à du +], de v éléments.

in effet, Zz + 1 membres de cette égalité forment Zw équations
linéaires homogènes entre les Zw arbitraires g. L’élimination de
ces arbitraires fournit une relation entre les variables +, y, z et les
coefficients des équations (1).

Pour obtenir une relation ne renfermant que deux variables, il
suffit de prendre de la susdite égalité Zw + 1 membres qui con-
tiennent seulement deux des trois variables +, y, z. Comme dans
une fonction homogène du degré # à trois variables le nombre des
termes qui contiennent seulement deux quelconques de ces variables,
est # + 1, il faut que # + 1 ne soit pas inférieur à Zw + 1.

Ainsi cette méthode, comme la première, donne Zx pour la plus
petite valeur de #. Pour cette valeur la relation trouvée est
l'équation finale.

L'ÉQUATION FINALE. 17

De la même manière on peut obtenir des équations terminales
pour l’évaluation de la troisième variable, comme on le verra dans
les exemples suivants.

§ 18. Appliquons la théorie générale du paragraphe précédent,
en prenant en premier lieu l’exemple de deux équations homogènes
(17) dont l’une est du second et l’autre du premier degré.

Les deux systèmes de racines py’ indépendants contenus dans les
lignes de l’assemblant

4 Pis Pee Pas Pis P56 0 CE CAEN Das RE TS (29),

VB) Pis Les Das Pis O0 Pag

nous méneront à l'équation finale entre y et z.
De la manière connue on obtient de cet assemblant l'égalité :

Anemie — Yies À G2Pas MPa GrPas =
me vy æ2
nai? 2Pa5 Oss 92 Ps
WL a6 st QE 3, — “et ( == a ore A ie eel EN, re ES (30) 8
J Tie

Des deux derniers membres de cette égalité on déduit

par laquelle Végalité (30) se réduit à

Pi6Y ant tee Be a Past Diet À Pas 2 AN
né vy æ 2
—PisY — Pas? Piso (32
RS A OCT ern SE APE Cay ROOT DJ 4
y z

Les deux derniers membres de l’égalité (32) donnent l’équation
finale entre y et z:

112 » j ye
Ps6Y" + PasY2 + Pip? = 0 .......

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie). Dl, VIII. A?

18 L'ÉQUATION FINALE.

tandis que le dernier membre et lantépénultième fournissent
l'équation pour l'évaluation de @:

— pg + PagY Past SO ooren eeens (34).

De la même manière on déduit de l’assemblant

RES LR Pa.) Bs. Woke

4 ô Dis Ris Dis Pie ieee ee RE (35)

VE) is P23 O “P34. P35 Pe

les équations :

— Pret? + Pis 22 9) 522 = 0% |
NER ce at ENT

et de l’assemblant

Pi Pa” Ps Pa De Pe

41 Pas Laa Pan 0 Las Pac PAC CR LOC (949

72 Piz 9 P23 Pan Pas Pas

les équations:

Pont F-Pro =O,
— Pus? HDs Hart =O,

Les équations (33), (34), (36), (35) sont alors les mêmes que
les équations (19), (20).

Pour deuxième exemple nous déterminerons l’équation finale
entre y et 2 par rapport à deux équations homogènes du second
degré à trois variables (22).

Les 12 équations ¢ sont dans ce cas liées par une seule rela-
tion linéaire. De 11 équations ¢ indépendantes on peut déduire
les quatre systèmes de racines yp’ indépendants entre eux contenus
dans les lignes de lassemblant

L'ÉQUATION FINALE. 19

Pi + Pro Pu Piz #13 Pu Mis
GQ, | Parzrarse + “Proasy4as 711131415 12431415 ? 0 0 |
Yo | Parerars- + Prorgiais Purerns 0 Pi213,14,15 9 0 (39).
Y3\ Pasonsas + + Lioness Purensns 0 0 1214314150
Ya | Panonsra- + Pro21344 Press 0 0 0 P24344145

Par le procédé déjà connu on obtient facilement de cet assem-
blant les équations:

4 Be Dae
Pass tas Y Pasmans 2 + Punaans YZ |
2 pe las Eten
+ Pin rorans V2 TT Puis = 0,

— ae 3 2
Prong 22" + ProgaaasY” À ProazaiasY 2
+- 1192 7 ig
P1042,1315 2 + Pror213,142 US

qui sont les mêmes que les équations (25).

we

QUELQUES PROPRIETES DES COEFFICIENTS DES
EQUATIONS FINALES.

§ 19. Il importe de mentionner quelques propriétés remarqua-
bles des déterminants contenus dans l’assemblant qui fournit les
coefficients des équations finales.

à D ui
Le nombre total de ces déterminants est PA c’est-à-dire le

nombre des combinaisons, /m à /m, de v éléments. Prenant # — /w,
on peut écrire ce nombre de la manière suivante:

Les propriétés que nous voulons signaler, sont les suivantes:
1. Parmi les déterminants contenus dans l’assemblant qui fournit
les coefficients de l'équation finale, on peut choisir de trois
tm +
manières un nombre de ( 2 ) déterminants tous divisibles
lm

A2"

20 L'ÉQUATION FINALE.

par un même facteur du degré /<+», et formant ainsi trois
groupes de déterminants.

2. Les déterminants du premier groupe sont divisibles par le
résultant des équations à deux variables que l’on obtient en posant
æ égal à zéro dans les deux équations données; ceux du deuxième
groupe par le résultant des équations à deux variables que l’on
obtient en posant y égal à zéro dans les deux équations données,
ceux du troisième groupe par le résultant des équations à deux
variables que l’on obtient en posant z égal à zéro dans les deux
équations données.

3. On peut ranger les déterminants des trois susdits groupes
de manière que les termes correspondants sont divisibles par un
même facteur du degré © — ln — l — m, y compris le facteur
commun à tous les déterminants de l’assemblant considéré.

4. Tous les coefficients d’une même équation finale sont divi-
sibles par un commun facteur du degré wv — lou — / — m, de
sorte que ces coefficients peuvent se réduire à des formes du

degré / + m.

$ 20. Pour démontrer ces propriétés, prenons, outre les deux
équations homogènes données, l'équation générale du premier degré
à coefficients indéterminés, c’est-à-dire l’équation:

ORS MOR Dom Ne CC (42).

On obtiendra ainsi un système de trois équations homogènes
à trois variables dont on déterminera le résultant.

Prenons à cet effet, pour le degré de la fonction # la valeur
Zm, alors on obtiendra un assemblant dont les a, + @ premières
colonnes forment l’assemblant appartenant au système des deux
équations homogènes données. Le résultant des trois susdites équa-
tions s’exprime, comme on sait, par la formule:

dans laquelle les symboles ont la signification connue 4).
En posant successivement dans cette formule

| Gj =k to —= 0, ==) 7,
2 G === OPA EN Og Oy ah LC « reco (AAs
3 Gs = 0), Co —(), | B

Voir: Théorie générale de l'élimination, § 97.

L'ÉQUATION FINALE. 21

le numérateur de la fraction (43) peut se réduire à un déterminant
contenu dans l’assemblant qui fournit les coefficients des équations
finales des deux équations données, et le dénominateur à une
forme du degré v — lm — / — m.

Bourse — 1c, = e¢, = 0, le premier membre de l'équation
(43) se réduit au résultant des deux équations à deux variables
que l’on obtient en posant x égal à zéro dans les équations données.

Bourg == 0), le*premisr membre de: 1’ équation
(43) se réduit au résultant des deux équations à deux variables
que l’on obtient en posant y égal a zéro dans les équations données.

Bourse — lj ¢ = «¢, = 0, ‘le premier membre de l'équation
(43) se réduit au résultant des deux équations a deux variables
que l’on obtient en posant z égal à zéro dans les équations donnéés.

Représentant le numérateur de la fraction (43) par P et le
dénominateur par Q, on peut écrire l’équation (43) dans la forme

dans laquelle R est du degré /+m»m et Q du degré v —/m"
— l— m.

Dans cette formule, Æ peut avoir les trois valeurs distinctes
déjà citées. Pour chaque valeur de #, on peut trouver différentes
valeurs pour Q.

Afin d'évaluer le nombre de ces valeurs, il est nécessaire de re-
lever les valeurs v qui se présentent à la détermination du résul-
tant de trois équations homogènes à trois variables respectivement
des degrés /,» et 1.

Ces valeurs v sont les suivantes :

(A+ 1) (4 +2) k +2

9 cy 9 )

j= & Hd te ,
ete DB ee) (tr bP)

a,
RN
(Am + 1) (4 —m + 2) mes TRS
men 2 pet a 2 :
k(&+ 1) k+1
a) |

nn ble

29 L'ÉQUATION FINALE.

(k—m) (i —m + 1) k—m--1
pages CS

ADD _ Ge
2 2

vorst (A0)
(k—l—m-+ 1) (h—l—m-+.2) k—/l—m--2
a ed LDF
(k—l-—m) (k—l—m-+ 1) k—l—m-+1
Bent =O BO RS

Dans le cas en question on a #—/». Le nombre des valeurs

qu'on peut donner à Q dans léquation (45), est alors GRY me

4 m + >
2 , c’est-à-dire le nombre des combinaisons, /m 4 Za,

lin
de 2, éléments.

Ces valeurs de Q sont les mêmes pour chacune des trois valeurs
de &, de sorte que chaque valeur de Q fournit trois déterminants
P, ce qui se voit en considérant les assemblants qui fournissent
le résultant des trois équations homogènes dont nous nous som-
mes occupés dans ce paragraphe.

§ 21. Afin de démontrer que tous les coefficients d’une équation
finale sont divisibles par un même facteur du degre &—/—7—m,
nous constituons les assemblants qui fournissent le résultant des
deux équations données et de l’équation linéaire (42) aux coeffi-
cients indéterminés c.

Dans les /»—+1 lignes de Vassemblant de la fontion Æ qui
correspondent aux différents termes de l’équation finale qui nous
occupe, on trouve les coefficients ¢ à l’exeption de l’un d’entre eux
Im fois, placés en dm colonnes de cet assemblant. Exprimons
le résultant des trois susdites équations de telle manière que le
numérateur D, de la fraction (43) contienne ces x colonnes,
tandis que les autres colonnes dans lesquelles les coefficients ¢ se
trouvent, ont été supprimées,

Le déterminant 2, ainsi obtenu est divisible par un facteur du
degré wv, —?v, — 0 — ln —l—m. Ce facteur reste le même quelles
que soient les valeurs données aux coefficients indéterminés €, , ca, Ca.

Egalant à zéro le coefficient lequel correspond à la variable qui
n'entre pas dans l’équation finale, le déterminant D, peut se dé-
velopper suivant les puissances ascendantes et descendantes des

L'ÉQUATION FINALE. 23

deux autres coefficients c. Comme 2, est divisible par un facteur
du degré v—d/n—/—~m quelles que soient les valeurs des deux
coefficients ¢ restants, tous les coefficients de ce développement sont
divisibles par ce facteur.

On remarquera que les coefficients de ce développement sont,
au signe -+- ou — près, identiques aux coefficients de l’équation
finale considérée.

Tous les coefficients d'une équation finale sont donc divisibles
par ce facteur du degré wv — Jm — l— m. Les divisions faites, ces
coefficients se réduisent aux formes du degré 7+-m, ce qui s’ac-
corde avec la théorie du $ 1.

§ 22. Pour éclaircir ce qui a été dit dans les deux paragraphes
précédents, prenons en premier lieu pour exemple les deux équa-
tions homogènes (17) à trois variables, dont l’une est du second et
l’autre du premier degré.

Le résultant de ces deux équations et de l'équation homogène
(42) à coefficients indéterminés s’obtient de la manière connue des

deux assemblants suivants:

ee
4 o a 4, Fi
Pa =2y | a by bd He
Pa = v2 as Os De Ne Gite Bh Baer eno (47),

rire
A ice by
Por |, % bs bg ce oo ay

mee
Poe % bs C3

| 8% 8 8 % 8 8 |
(à | RG Ca Or m0 sal Sur MC)

Nous écrivons le résultant des trois manières suivantes:

24 L'ÉQUATION FINALE.

died
Ay by b, G
de ND: b c
Sane i 1
IS le b, OUR. (49),
ay by (Os
dz ba by Cy Co
de ba Ca
a, b, C
A0" 6, Co
Gs a De Eee
3 3 1 5: 1
RR = PED. a AT ANSE ! (60);
on by
Ur, b, bo is
ds by Ca
ay by Ci
ds by b, Col ey
HN DC
3 Us 1 3
=S AE b3 BCE. CPE es (o>?
a, by Co
a; ba by Ca
de ba

En posant successivement dans ces trois formes les valeurs (44),
on démontre que

Pos + Pis » Pop Sont divisibles par & ,

P13 > P25 » P36 ” ” ” by >
Pe > Por > P35 EE) EE ” by

Le résultant peut s'exprimer encore des trois manières suivantes :

NP

L'ÉQUATION FINALE. 95
a, b, C,
de bs di Gs 103
ives c c
Bors 3 1 ke
= EN ACTES (59).
b 3
di 2 oS
a; ba Ca, ‘Co
de Ge
ay b, Gi
dy by CSS mi
raed, ER RS c
Ber “Cg 1
HE PEE 1 athe ar de (53),
ay Co
| a; by C3 Co
dé b3 C3
a, Gj
ay b, GG;
a dee da
3 lu #8 1 4
UN need ef (54).
a, 6 Co |
|
en
a ba C3
En posant dans la formule (52) ce; = 1, e, =e = 0,
EE) ” ” (53) Co ly Cy + C3 Ee 0,
EE) EE) ” (54) Ci — F. Co = Ca = 0,
on trouve respectivement
a 4,
KE
AE OUEN NONE chlo Se ET din (55),

26 L'ÉQUATION FINALE.

le résultant des équations:

9 CAE
GEN Gy BY TAI — 0 (56),
b, x zi NOM
a, 6;
R = az Da bj la (ST);
ds ba
le résultant des équations:
2 2
a @* asus Fans a
1 ' 3 ute 6 > / (58),

|

se oil 0
ba b, 2

|
a, ds |
= Gs by Oy) SR RNA SEE (59),
as b, |

le résultant des équations

uy + a, ye Fa
boy + 43 2

On en conclut que p56, 35,35 sont divisibles par le résultant
des équations (56), que ~,5, 25,2, sont divisibles par le résul-
tant des équations (58), que poa, pia Pip sont divisibles par le
résultant des équations (60).

Si Von fait ces divisions, les équations (20) se réduisent toutes
à la deuxième des équations (17), comme on pouvait s’y attendre.

Posant dans l’équation (49).c, — 0, cette équation peut s’écrire

|
A
er)
©
=

|

— Bb, B= pier Pie ONO Pp ore EE Cr OF

d'où lon déduit que pis, pio ‚Pao (les coefficients de l'équation
finale entre y et z) sont tous divisibles par 4,.
Posant dans l’équation (50) «, — 0, on obtient en développant

bo B= pist mis Cy Cy Eee Ca EE (62),

d'où l’on déduit que m3,f16,?36 (les coefficients de l’équation
finale entre w et z) sont tous divisibles par à.

és.

SRE

L'ÉQUATION FINALE. 27

De la même manière on obtient de l'équation (51) en posant
6 = 0

—b; Be = Pis À + Pin Cy Co — Pars oan CEP RAE (63),

d'où l’on déduit que pio, pin ‚pon (les coefficients de l’équation
finale entre 2 et y) sont tous divisibles par 4.

Si l’on divise les coefficients des équations finales (19) par leur
commun diviseur, ils se réduisent à des formes du troisième degré,
ce qui s'accorde avec la théorie du § 1.

Remarque. Si l’on avait choisi pour le degré de la fonction F
une valeur # supérieure à /m, on aurait obtenu pour résultat
différentes équations du degré # entre les deux variables restantes.
Les coefficients de ces équations du degré D, — Vg = v—Jm, tous
divisibles par une forme du degré #4, —=v— Lm — l— m, pour-
raient se réduire à des formes du degré / + », tout comme dans
le cas où l’on a choisi 4 — /».

RÉSULTATS OBTENUS POUR DES VALEURS DU DEGRÉ DE
LA FONCTION F INFÉRIEURES AU PRODUIT DES
DEGRÉS DES DEUX ÉQUATIONS DONNÉES.

$ 23. La plus petite valeur qu’on puisse prendre pour le
degré de la fonction Æ afin de déterminer le résultant de deux
équations homogènes à deux variables respectivement des degrés
Z et », est, comme on sait, 7-+-m—1. S'il s’agit de deux équa-
tions homogènes à trois variables, la même valeur du degré de la
fonction / doit également suffire pour former l'équation finale de
ces deux équations.

Prenant £—/<+m—1, et supposant que l’on ait

Iml < Im ..... Pise MSN Eu IPN Et (64),

on peut former Zm— /— m F2 équations terminales qui contien-
nent en tout Zm Jl arguments différents, dont / +» ne renfer-
ment pas la troisième variable.

En éliminant entre ces équations les Zu — 7—m +- | arguments
qui renferment la troisième variable, on obtiendra une équation à
deux variables. Si cette équation est du degré /», on aura obtenu
l'équation finale.

28 L'ÉQUATION FINALE.

Les coefficients de l'équation trouvée sont des sommes de déter-

5 Lm ke
minants du degré v—/m ou ( ci ear ) — ln. Ces coefficients

wes. Lm I
sont divisibles par un commun facteur du degré ( ae sae )
In — Ll — m, ce qu'on peut démontrer de la même manière

qu'au $ 21.

§ 24 Appliquons cette théorie à exemple de deux équations
homogènes du second degré (22) à trois variables.
Pour #—7/+-»—1—3, on obtient dans ce cas l’assemblant

suivant
5, Sn By USE ns
LUS
M= a, b,
he
Do = ay Co a, ae,
oe
Dar BE As, Ges b,
12.
Pa vy dy ay by.) ‘G5
De tg Bo VN Mo OE acher (65),
Deer DE de da Op b,
SEES:
Te bi on
AN A
DEEE ds Gy bs by
eee)
Do == Ye ag dp b, bs
OUR
ye de bg
d'où l’on peut déduire les deux équations terminales :
p ne 13 à =
P8902" + Po99a04 + Po29,0972 + Perso 22 + Pe1892° de |
| (66).
atl MI,” 1 3 y: a 2 y 3 —S
Praat Psor} TP s.940f 2 À Poagi0® TPsi39% = 0,

Multipliant les deux équations (66) respectivement par y et 2
et ajoutant, on obtient l’équation finale entre y et 2:

: 74 ;
P6,8,910.7 | (Pe,7,9,10 + Logon) Y 82 an P6,1,810 ie Ps7940)7 Age
| | 3 (Pon,sp + Ps 1810) 72° + Pars 24 NN REP CRE ai . (67) e

L'ÉQUATION FINALE. 29

Les coefficients de cette équation, qui sont du sixième degré,
|
Le À A ME
sont tous divisibles par le facteur du deuxième degré | 2
/}
1

Pour le démontrer, nous déterminons le résultant des équations
données (22) et de l’équation du premier degré à coefficients in-
déterminés (42). Ce résultant s’obtient des deux assemblants
suivants :

2

Si stan Sar SB Ao Sree rong eren e
h = & dj b, El
ee aye | Gy a, CRE 3 CME
Po = aa As RCE (REX Gi
Pa = Af | % @ ba bo ran El
Ds = DYL | Us Az Ay bs bx Lo C3 Cg °C shits OED:
Ser 8e | de orbi De ia 7
SONT a4 My “|
ie = yt Ory, bss GMS
Payee de 45 Og bs dt
Po— À | a Di a
a arabe So Gs led |
A Cy} © Cy — Qi ~Ag. Az A4 = On Ae | > (DA
la “A C2 ts 0, by bg by b5 do |
dans la forme
a, b,
as ay bs 6,
a3 a, bs ha
dy 4s by Go Cj |
cal ly NN a NN KD
% 3 be Us ey 4 | 6 &
ay by C5 |
ds ay bs" 04 Ca Co |
Goes bg 5 eN
de De C3

30 L'EQUATION FINALE.

Posant dans l’équation (70) c, = 0, elle peut s’écrire:
| Ge | ï 3
nc Ee | = Pago Ca — (Po789 = Psas10) Ca C3 + D6,7,810 + D51,940)
ba.
i |
DENS 3 4
Cy C3 — (Pe19,10 + 25,390) Ca C3 + Ps8,9,10 bont ge

Comme cette équation est vérifiée quelles que soient les valeurs
de Ca et Cz, on trouve que 268910 » 267940 + Psg,9,0 26,7810 + P5,19,40 »
Perso + Ps1940 25799» les coefficients de l’équation finale (67), sont
|
| à 8
Après division par ce facteur les coefficients de l'équation finale

(67) se réduisent à des formes du quatrième degré, ce qui s'accorde
avec la théorie du § 1.

C. Q. F. D.

tous divisibles par

$ 25. Appliquant la méthode du § 23 au cas de deux équa-
tions homogènes à trois variables dont l’une est du troisième et
l’autre du second degré, on obtient les valeurs:

6.5
er ome
ie 28 ON ape Re one
ee ok BE i eee |
1.0
= ea =e >

Les équations terminales que l’on peut former à l’aide de Vas-
semblant de la fonction Æ# contiennent la troisième variable au
moins dans deux termes. En éliminant entre trois de ces équations
la troisième variable — ce qui peut se faire sans difficulté en
multipliant ces équations par les facteurs propres et en les ajoutant —
on obtient l’équation finale.

Les coefficients de cette équation sont tous divisibles par un
facteur du quatrième degré, comme on peut déduire des valeurs

DRE ren ON

3.2 4,5 5.4

D D RER UE EN nl
NN Mae Sone (73),

=
=
t
L
b
bo
© —
PE =

L'ÉQUATION FINALE. 31

qui se présentent à la détermination du résultant de trois équations
homogènes à trois variables respectivement des degrés 3, 2, 1. En
divisant par ce commun facteur les coefficients de l'équation finale
se réduisent à des formes du cinquième degré, comme ce doit être
le cas.

Il. Elimination entre n équations homogènes
à n + 4 variables.

EXTENSION DES THÉORIES DU CHAPITRE PRÉCÉDENT.

$ 26. Les méthodes qui mènent à l'équation finale exposées
dans le chapitre précédent, sont encore applicables dans ce cas
- plus général.
Etant données trois équations homogènes à quatre variables

|

BDE ER) =O, |
x% @,4,2,4) 0,
ele

W (2, y, 2, %) =
respectivement des degrés /, m,n, on peut former la fonction ho-
mogéne du degré #:

OOH MBH Lh nue, Jaen nelhert. (75).

Cette fonction permet de former un assemblant qui contient v
lignes et v, =a, +a, az colonnes. Les colonnes de cet assem-
blant sont liées par v=, + (29 + 2; relations linéaires, qui sont
à leur tour liées par vz relations linéaires indépendantes 1).

La démonstration de ces propriétés peut se faire de la même
manière que nous avons démontré les propriétés correspondantes
mentionnées dans les paragraphes 3 — 9.

Les valeurs v sont liées par la relation

U—v, + Ug — Us ST) ee A es ee CE 5 (£6);

’) Comparer: Théorie générale de l’élimination, § 88—95.

32 L'ÉQUATION FINALE.

qu'on démontre par la substitution des valeurs suivantes:

FE DELVES) =e
seer 1.2.3 3

Di ai 4 ,

|
ll 2) (4 — 143) ne à
= FE 3 >

{

sg 122753

(k —m + 1) (4 — m + 2) (4 — m + 8) k— m +3
Br 1.2.8 CU

(tk —n-+ 1) (k—n + 2) (k—n+ 8) [k—n+ 5)

En Tir EEE =(

vo = Bi + Bo + Bs
(h—m—n+ 1) (k—-m—n+ 2) (k—-m—n+3) __ ck—m—nt+3

er Ba ae =k 3 )

(k—l—n+1) (Aln) (k—-L--n4+ 8) (kt ant+3
aie Lolo =\ 3 )

_ Amt lj (AAL) GER +
a FA 3

Ps 1.2.3

—__ (k-l-m=n+1) (k-L-m-nt2) md Bs aaa)
ae VD. 233 ry 3 sv

L’équation (76) nous montre que les lignes de l’assemblant de
la fonction # sont liées par Zima relations linéaires indépendantes,
d'où l’on déduit que la plus petite valeur qu’on puisse donner à #
pour déterminer immédiatement l’équation à deux variables, est / 47 x.

Pour 4=/man, on obtient l’équation finale.

Les déterminants qui forment les coefficients de cette équation

sont du degré 4 ar ar ») —/mn. Ces déterminants sont divisibles

: MN 8
par un commun facteur du degré ( as )— Imn—mn—ln

— ln, tandis que tous les déterminants contenus dans l’assemblant
qui fournit les coefficients des équations finales sont divisibles par
un commun facteur du degré

V5 —— 0 Uy — € 4 & » — (nn + ln + lm) (lm n + 2)
UH m0 4-2) (mn + du + ln) + Imn EN ET = (78).

D

L'ÉQUATION FINALE. 33

Du reste, l’application des méthodes exposées dans le chapitre
précédent se fait de la même manière.

Les déterminants contenus dans l’assemblant qui fournit les coef-
ficients des équations finales, ont les mêmes propriétés que celles
traitées dans § 19. Parmi ces déterminants on peut choisir quatre
groupes dont les déterminants sont divisibles par un même facteur
du degré mn +- ln + Im. Ce facteur est le résultant des équations
à trois variables que l’on obtient en égalant à zéro l’une des varia-
bles dans les trois équations données. Les déterminants correspon-
dants de ces quatre groupes sont divisibles par un commun facteur

, (lmn +3
du degré ( zi ) - nn — ma — In — lm, qu'on peut trouver

de la même manière qu'au $ 20. La démonstration de ces pro-

Oy Nee TO: 17
priétés ne diffère pas de celle du paragraphe cité.

La fonction # qui se rapporte au résultant des trois équations
données et de l'équation linéaire à coefficients indéterminés, conduit
aux valeurs v, V1, U's, V3, V4, de sorte que les -coefficients de
l'équation finale sont divisibles par un commun facteur du degré
Á ad ! at aval 7€ > *Q rf : 14 : ay sc r
Va —2v, +3v,. Comme ces valeurs v sont liées par les deux
relations suivantes :

¥— 0, Da ts vi = 0, |

v,—2v,+ 30, id U, = ban + mn + In + Im, |

on obtient pour le degré du facteur commun aux coefficients de
l'équation finale:

Vo 20, +80, =v ban — mn — ln — lm
= ce an > — ban — mn — In — Im... (80).

§ 27. Prenons pour exemple les trois équations suivantes à quatre
variables :

Gx? + agay + age Hagen Lay? + agyz + azyu + agz? + agzu + pu =0, |
ba J- doy — bgz + byu = 0, | (81)

ee egy ee eu = 0,

dont la première est du second et les deux autres du premier degré.
Pour obtenir les résultats les plus simples, on choisira les valeurs

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. VIII. Ao.

34 L'ÉQUATION FINALE.

kh == bmn = 2 ;
k +3 5.4.3 ae
DW re
y= a+ata=1+4+4= 9 Bs PR ie . (82).
% =P, +h, + =1+0F0—= M
1.0.—1
AG TOEREN a: fa

En formant les deux assemblants suivants:

: x
DIT a, b, 6
ARR PET RUE by Ca CG
Dil die; by b,' & Ci
Ps == ye qr by Cy ee CRC Ne (83),
Pe — YZ | % b, ba C3 Cy
Pa Ye Oy by bo C4 Co
— 4
RN HSC bs cg
Po == OY dg b, ba Cy Ca
2
Pit jo b, 6
& 8 Sa A4 & ~8 "8 8, 8%
.
bi Cae Cy gh Cob bar SU Oren ee (84),

on obtient immédiatement l'équation finale entre y et z et les
équations terminales pour l'évaluation des deux autres variables:

; Fr Oy awe
Poo 2 + Paso 20 + Pee = 0,

me Veen or SV 0, Pee eee eee (85)
Paro © Paro © i: VALE UF |

De la même manière on peut obtenir les autres équations finales
et plusieurs autres équations terminales.

L'ÉQUATION FINALE. 35

Les coefficients des équations (85) sont des déterminants de l’as-
semblant (83), après la suppression d’une des colonnes à l'exception
de la première. Tous ces déterminants sont divisibles par le déter-
minant supplémentaire de l’assemblant (84), c’est-à-dire par c,, après
suppression de la cinquième colonne dans Vassemblant (83).

Pour obtenir les quatre groupes de déterminants dont le commun
diviseur est le résultant des équations données après qu’on a égalé
à zéro l’une des variables, prenons, outre les équations données,
l'équation du premier degré à coefficients indéterminés:

en ed us An Ne (86).

Le résultant de ces quatre équations s'obtient de la manière
connue des deux assemblants suivants:

Sages | a WSN, ete Te GER roi, le Ste
Peu Ba by ij d,
Da hy Zo 0 D, En es dy d,
Hede A3 05 b, Cy ce d., d,
pe ob b, ©, eid d,
Py = | 45 bs C2 dy (87),
Pe — Yh | ae ba 0; CARTE d, dy
Ds = Yt | à b, UN Cs Co d, de
D= DA || GS b3 Ce da
en ey b, Os ede dy ds
1 #40 A C4 dy
Coe a eG OT Se So 10. “Ile Pe A8
4 C, Co Cg Cy—b, -b,-b, -b,
bs d, d, dy d, $C, Sy. <q =0y eo
t, -d, -d, -d,-d, 6, bas By «04

Formons le système de 24 déterminants rangés dans la forme de

rectangle de six lignes à quatre déterminants :
ASS

36

P25

we
=
Sl

SN)
Q
A

|

P36
P38
P39
Pes
Peo

P29

L'ÉQUATION FINALE.

|

0
0
0
1

on peut conclure que les déterminants d’une méme ligne du systéme
(89) sont divisibles par un commun facteur du troisième degré,
tandis que les déterminants d'une mème colonne sont divisibles par
un commun facteur du cinquième degré, c’est-à-dire par le résultant
, . \ \ = 5 ’ A x
des équations homogènes à trois variables que l’on obtient en égalant
à zéro l’une des variables dans les trois équations données (81).
En cousidérant les deux assemblants (87) et (88) on trouve, comme
équations finales suivantes:

au § 21, que les coefficients des

2

Poro 2
9

— Piao 7
ape

Paso a

9
Poro 4

| P30

PsAo
Piao

P58

bs

+. Dey 4?
+ Ps u
— py, wv?
"PT 56 2?
+ Pi3 2°
= is TF

0
0
0
0

en: allie ala

cS

|

by by

a) 9, ee Le, seins Wa

Ces divisions faites, les coefficients de ces équations se réduisent

L'ÉQUATION FINALE. 37

a des formes du cinquième degré, ce qui s’accorde avec la valeur

mn + In + Im.

§ 28. Il est aisé d’étendre la théorie d’élimination, comme elle
VAT Ed Tg \ 4 . EN \ .
a été traitée au § 26, a # équations homogènes az + 1 variables:

Py ===) 0 5 —
Pa ==— 0 >
P = LA CE MARS RE eh eT Os ten Or ne CRE TM (92
En = 0,

En représentant les degrés des fonctions homogènes #,, gs, 3, : - + Pn
par 91 Jos Jz --» Jn et le degré de la fonction / par 7, on obtient

les valeurs:

GUN che jé
n J
peas")

v; == ; 3
Du > q — Ir, mL ae =) bearn (93).
a 4 A Ja a Oye à | |

Ces valeurs v sont liées par la relation

HER Oy = ll Goel EC RES oe . (94),
comme il a été démontré dans la note 3 à la fin du mémoire
Théorie générale de l’élimination””.

La plus petite valeur qu’on puisse assigner à j est dans ce cas
Ms 7. C'est à la fois le degré de l’équation finale.

Les déterminants de l’assemblant qui fournit les coefficients des
équations finales, sont du degré

On Oona arog zv
Oeser In OÙ Que j Iu À )— Pinder Ge

Ces déterminants sont tous divisibles par un facteur du degré

38 L'ÉQUATION FINALE.

DR DD TT | + (— 1) &@— Dr, =

Cee In ris O1 Jo + + > - Va LE HN ek en
a (2 ae 1) =I; I2 + In Sg he be In-1 Sa Se PI RCA (95).

On peut obtenir cette valeur d’aprés une méthode conforme a
celle de la note 3 qui se trouve a la fin de louvrage que nous
venons de citer.

L’assemblant qui fournit les coefficients des équations finales contient

(“1 Jn -: sale ai iS
en tout un nombre de déterminants.
I a En

On peut choisir parmi ces ss n — 1 groupes ‘de

(119 ER re — 2
n ) déterminants, tels que les determinants
I Jo + In
d’un mème groupe soient divisibles par le résultant des » équations
données après avoir égalé à zéro l’une des variables.
Les déterminants correspondants de ces # + 1 groupes ont Pope
commun diviseur une forme du degré

di 95 Shae je In + dé =) Yo + Oe Oy, nb =e 24 Io dre te UE

On peut démontrer ces faits en constituant les assemblants qui
se présentent à la détermination du résultant des 7 équations homogènes
données et de l’équation homogène du premier degré à coefficients
indéterminés.

De ces assemblants on peut aussi déduire que les coefficients d’une
équation finale sont divisibles par un commun facteur du degré
Do — 203 + 80, .... E(—1) * ne, 44.

Les symboles wv D d’accents sont ici les valeurs v qui se
présentent à la détermination du résultant des susdites x + 1 équations.

Ces valeurs sont liées par les deux relations suivants:

vi +09 — 08 +... HI) vyr1—= 0, 96)
LA € ) ?
D — Wz + 80's — ... + (—1)*# (m1) d'u +41 = 91 Go Ind ENG... In -A |
d’où l’on déduit facilement la valeur

v's — 20's | 304 NN + (—1)" +1 no'n a

ees

}
: Di Jor Int À =
—I1 92° In Eh fa: In A= € vi bie l ) Nh: In ENA: In-1

En divisant les coefficients des équations finales par leur commun
diviseur, ils se réduisent à des formes du degré E Wi 0d Qu ANAL

L'ÉQUATION FINALE. 39

§ 29. En appliquant la théorie du paragraphe précédent aux
trois équations homogènes à quatre variables :

a, 2 + agay + agaz Hayen + a, y? + Ag Y2 + Az yu
+ ag? + dan + dote "UN,

bad bay + be vz + b, au + by? Hg yz +b, yu } ..(98),
neden bout b, 07 = 0,

ee oY -%2 +a 4 =O,

dans lesquelles on a y, = 2, 99 = 2, 93 = 1, on obtient les valeurs
sulvantes :

ese =. 4
fe ©
D a US mm ne (99).
m= 2553 + is 9
Ss 0

A l’aide des assemblants qui se rapportent aux équations (98), on
trouve immédiatement l'équation finale entre y et z:

4 , zn) ar SOA
P32,33,34,35 À Si P31333435 © U + P31.32,34,95 2° U

+ Parsossss CU + Panna SO). aes ot (100),

dans laquelle les coefficients sont des déterminants du degré 31.

Les autres équations finales et les équations terminales s’obtiennent
de la même manière.

Les coefficients de l’équation finale (100) sont tous divisibles par
le quotient de deux déterminants dont l’un est du degré 27 — 2 — 25
et l’autre du degré 2, de sorte que le degré de ces coefficients se
réduit à 8, ce qui s'accorde avec la valeur gs 93 + 9193 + 919:

On trouve ces déterminants en considérant les assemblants par
lesquels on obtient le résultant des équations données et de l'équation
homogène du premier degré à coefficients indéterminés.

Les valeurs v qui se rapportent à la détermination du résultant
de ces équations sont les suivants:

40 L'ÉQUATION FINALE.

Nimes: = 35,
y= 2258 4 9, ès i
= BEE 4 SSE Be = OT) ee. (101),
v= 2793 +2 ras ae
it = 0,

d’où l’on peut conclure aux résultats déjà mentionnés.

Remarque. Si l’on avait choisi pour le degré de la fonction #
une valeur supérieure à 4, Jo . : -. Jn, On aurait obtenu différentes
équations du degré # entre les deux variables restantes. Les coeffi-
cients de ces équations peuvent se réduire néanmoins à des formes du

degré 2, Ja -: : : : Yn -1» Ce qu'on peut prouver de la même manière
que dans le cas où l’on a choisi 7 = 9, 45 ……… Gn:

$ 80. Dans le cas où l’on a

VL

Ge Ce Tia EN (102),
1

on peut trouver l’équation finale en prenant pour le degré de la
fonction # une valeur inférieure à 4 go -... 9

rt

La plus petite valeur qu’on puisse prendre alors, est Dy, — (2 — 1),
1

c'est-à-dire dans l'exemple du paragraphe précédent

N= Ji == Io a Ui PS arches TN (108).

Par la on obtient les valeurs suivantes :

6.5.4 \
(ta Mt NU

102 DANS
’ A = mn >|
U en 15229 PSS

D ete Se tn ou FO ER 104

en MOVE 2.1.0 5 oe et )
er == 3
2 1:28 1.2.3 4

+ PTT

L'ÉQUATION FINALE. 41
= $i = 20,
site Lo,
Oo tag +4 St + e= Be... (105)
Berta 20,
Da D + + OU:

A l’aide de l’assemblant qui se rapporte à la fonction # appar-
7 . , . - 2 /
tenant aux équations données, on obtient sans difficulté les deux équa-
tions terminales :

717,18,19,20 YU? + P16,4819,20 2° + p1647,19,20 224 +- P16,171820 20? + pre rzasigu® = 0, (106
—P17,13,19,00 92 —- p15,18,19,20 2° + 745,17,19,20 22u À pi5.17,18,20 20° +- pas aras19 US = 0, )
Multipliant les équations (106) respectivement par zet w et

ajoutant, on obtient l’équation finale entre z et w:

P16,8,19,20 2* +- (P16,17,19,20 + p15 18,19,20) 23 + (716,17,18,20 H 15.1719,20) 224?
(16174819 + 715,17,18,20) 243 pasarasagnut == 0 ............... (107).

De la même manière on peut obtenir les autres équations finales.

Les coefficients de ces équations, qui sont du seizième degré,
sont encore divisibles par un déterminant du huitième degré, comme
on peut le voir dans la troisième formule (105).

ÉVALUATION D'UNE FONCTION HOMOGÈNE
QUELCONQUE DES VALEURS QUI FORMENT UN SYSTÈME
DE RACINES DE WV ÉQUATIONS HOMOGÈNES
À NW] VARIABLES.

§ 31. La méthode d'élimination exposée dans ce qui précède nous
permet de déterminer l'équation finale entre deux quelconques des
variables, et les équations terminales pour évaluer les autres variables.

En résolvant ces équations on obtient les systèmes de racines
ou les solutions communes des x équations homogènes données à
n + 1 variables.

Nous nous proposons de déterminer dans ce qui suit une fonc-

42 L'ÉQUATION FINALE.

tion homogène quelconque des valeurs qui forment un système de
racines de ces équations À.

Il est clair que l'équation qui donne la solution de ce problème
est du degré g, go ....9n; Si les a équations données sont respec-
tivement des degrés 4, 95, : : «+ Gn:

Pour le démontrer, égalons à un symbole quelconque la fonction
homogène à évaluer. Transportons ce symbole au premier membre
de l'égalité obtenue, et mettons-le dans le coefficient d’un terme
qui a pour argument une seule variable. De cette manière on
obtient une équation homogène à z +1 variables dont l’un des
termes renferme dans son coefficient le symbole introduit, divisé
par argument de ce terme.

Si l’on joint cette équation aux # équations homogènes données,
on obtient un système de xl équations homogènes à 7 +1
variables. Le résultant de ces équations, étant par rapport aux
coefficients de la dernière équation du degré 9, 4o....9»
égalé à zéro, forme une équation qui est par rapport au symbole
introduit du degré 9/49 7240. see

En développant le premier membre de cette équation d’après
les puissances ascendantes du symbole introduit, on verra que le
degré des coefficients de ce développement diminue d’une unité de
terme à terme. Si le symbole introduit représente une fonction
du degré 9,44, le plus petit degré. de ‘ces coefficients „sera

n 1 n +1 1
G4 GJo Init — et le plus grand ro elen an gee
Ni J2 Jn+1 ie pose fi 92 Jn+1 En

$ 32. La méthode exposée dans le paragraphe précédent four-
nit pour [évaluation de la fonction cherchée une équation dans
laquelle le symbole introduit paraît implicitement dans des déter-
minants qui forment le premier membre de cette équation.

Il est plus aisé de former immédiatement une équation qui est
ordonnée d’après les puissances ascendantes ou descendantes de ce
symbole. Les méthodes que nous avons appliquées pour trouver les
équations finales, conduisent à la solution de ce problème.

Afin de démontrer cette assertion, représentons la fonction cher-
chée, si elle est du degré g, .,, par la gi", puissance d’un symbole
quelconque que l’on peut regarder comme une nouvelle variable. On
obtient ainsi un système de 2 + 1 équations homogènes à » + 2

') Liouvitie a traité cette question, mais d’une autre manière, pour le cas où ilya

deux équations non-homogènes à deux variables. Voir: J. A. Serret, Cours d’Al-
gèbre Supérieure,

L'ÉQUATION FINALE. 43

variables. L’équation finale de ce système entre le symbole introduit
et l’une des autres variables donne la solution du problème proposé.
On verra que les termes qui contiendraient les puissances du symbole
introduit et dont l’exposant n’est pas divisible par g,,,, n’entrent
pas dans cette équation.

$ 33. Appliquons la théorie du paragraphe précédent à quelques
exemples, et prenons en premier lieu les deux équations:

a ® + dy ty + dg vz + ayy? + as yz + a?
b, v i bo y im bs 7

|

| SF LDR),

/

d’où nous nous proposons d’évaluer la fonction homogène du premier
4
degré:

En a CY A DS ue de ee (109).

De cette fonction on déduit l'équation homogène à quatre variables:

ae ee Cy eu ON ee te (110).

Des trois équations homogènes (108) et (110) à quatre variables
on peut déduire les deux assemblants suivants:

Se Sa, Asan Sr Ar Spe) Be By Bo
SAGE)
il a, 4, ay
Pa = ty | dy be 4 Coe oy
jn Vs b, Ca d
Pa = vu a a |
|
Sed |
Ender 24 be C2 neers (111),
Men D 0 GS B by Cg Co
Pr —= yu by asi Cy
2
Pere 7 % be “3
Frio == u? —] |

44 L'ÉQUATION FINALE.

=

4 | Cj (ty ee oie. | Ue
d’où l’on obtient l’équation cherchée entre z et u:

Paso © A Paso 26 Day ae ee (113)

dans laquelle les coefficients sont des déterminants de l’assemblant
que l'on obtient en supprimant dans l’assemblant (1 11) une colonne
quelconque, la première et la dernière exceptées.

Ces coefficients sont tous divisibles, outre par le déterminant
b, bo

supplémentaire de l’assemblant (112), par le déterminant ee
Me

ce qu'on peut prouver de la même manière qu'au $ 27.

En divisant ces coefficients par leur plus grand commun diviseur
ils se réduisent à des formes dont le plus grand degré est cinq, ce
qui s'accorde avec la valeur du $ 31.

Choisissons comme deuxième exemple les mêmes équations (108)
et évaluons la fonction homogène du second degré:

= ca + cay Hezaz + cp? + cy ye + oge... (114).

En opérant de la même manière que dans l’exemple précédent
on obtiendra pour résultat l'équation

»4 j 2,2 PV ES
/32,33,84,35 © Se P31,32,34,35 © U == P31,32,33,34 U == LAB Bata EE (115),

qui est analogue à l’équation (100) du § 29.

Les coefficients de cette équation, étant tout au plus du degré
31, sont divisibles par le quotient de deux déterminants dont le
premier est du degré 25 et l’autre du degré 2, de sorte que la plus
grande valeur pour le degré de ces coefficients se réduit à huit, ce
qui s'accorde avec la théorie du $ 31.

Si nous substituons dans l'équation (115) à w? un symbole du
premier degré, le degré de cette équation par rapport à # se réduit
alors à 2, ce qui s'accorde avec la valeur du $ 31.

$ 34. Dans le cas où l’on a

3 Jk ” < I I2 ay aime In +1 EERE AE Pe er eres PETER , (116),

L'ÉQUATION FINALE. | 15

le degré de la fonction # est encore susceptible de diminution.

Pour trouver l’équation cherchée, on se sert, comme au § 30, de

plusieurs équations terminales.

= Ce cas se présente dans le deuxième exemple du paragraphe précé-

dent, où l’on a gy, = 2, 99 = 1, 9, = 2. La plus petite valeur qu'on

puisse prendre pour le degré de la fonction F, est dans ce cas trois.
De la manière connue on obtient les deux équations terminales:

2 7 3 7 TO
P1718,9,20 YU P161819,20 2 + P6171820 U == 0
7 py] pi
—P17,18,19,20 7/20 In P1517,109,20 27 U = Pisarasao = 0,

d’où l’on peut déduire en éliminant y l'équation cherchée :

P16,18,19,20 2° aE (Picaras0 GIE P15,17,19.20) zu? = P15,17,18,19 uP 0 CEE),

qui est analogue à l’équation (107).

Comme au § 30 on peut prouver que les coefficients de cette
équation, étant tout au plus du degré 16, sont divisibles par un
commun facteur du degré 8, de sorte que la plus grande valeur du
degré de ces coefficients se réduit à huit.

[IL Elimination entre n équations homogènes
à n +n, variables.

$ 35. Dans ce cas, qui est le plus général, on peut éliminer
n— 1 variables, de sorte que le résultat est une équation homo-
gène à x, +1 variables. Cette équation sera l'équation finale,

si le degré en est égal à 9, 9 ....9,. Le degré de ses coefficients
Peder etrevéral as 7.9 …...7,-4

Les méthodes expliquées dans les chapitres précédents sont en-
core applicables dans ce cas, mais elles suflisent telles quelles seule-
ment pour trouver l'équation finale dans le cas particulier où les
équations données, à l’exeption d’une d’entre elles, sont du pre-
mier degré.

Voici quelques exemples:

46 L'ÉQUATION FINALE.

1. Deux équations homogènes à quatre variables, dont la pre-
mière est du second et l’autre du premier degré:

a, @ + a, ay + a, vz + ay au asp? + age + Aq Yb

+ ag 2? Hagen Hag = 0, , = (19)
be ber +032 Thu =O, |
Prenant 7 — 2, on obtient les valeurs:
pus PE = 10,
3.2.1 4080 Sn BEN ee NN 120),
gi rar mn De
Va Qing

et l’assemblant :

Se D
Die pa ey
Pa =| da b 4,
Meek b,
Pi LUI a, 4, b,
Ps A ds basta ern ten Ue (T2
Dering A6 bs by
Po Ter in Ds |

|

Hani a ag bs |
Dh =e Ag NO MES: |
Bo = | %o by

d'où l’on peut déduire l’équation finale entre y, z et w:

4 7, 2 4q 4 APA
76,7890 Y fe Ps189,10 72 rig Ps6,8910 YU ai P5,6,7,940 ?
4 led) Ÿ % 2 —
—- P5,6,7,8,10 eu + ?5,6,7,8,9 U = 0 etwa het ON Oe ets (122).
De la même manière on peut obtenir les autres équations finales.

Les coefficients de léquation (122) sont des déterminants du
cinquième degré, tous divisibles par 4, *. On peut trouver ce commun

L'ÉQUATION FINALE. 47

facteur en prenant, outre les deux équations données, les deux
équations du premier degré à coefficients indéterminés :

GP + OY + ez + au—0, | (123)
da + dy + ded du — 0, | ee OT UNSS as oo

Le résultant des quatre équations homogènes (119) et (123) à
quatre variables peut s'exprimer par

a b, |
ay by b, si
a; 0b, by Cy d,
|
a, 04 b, Gi d,
a b c
5 2 2
en d, -¢, -& | .(124)
| 4 el) Eneco Wd
CON
dr b, Bec, dà de |
dg ba Cs ds |
dy b, ba Ca Cy da da
| &o by Gi d,
EO 0 tn bd, — Od — 0.
Prenant c, — 0, c, — 0 , d, et d, arbitraires, on peut con-
elure que 2567.89, 567810 Yse,7910 Sont divisibles par 4,2.
Prenant ce, — 0 , d, = 0 , c, et d, arbitraires, on trouve que
. . . D]
Poig940 CE P5799: Sont divisibles par 4,*.
Prenant c, — 0 , d, = 0 , c, et d, arbitraires, on conclut que

ne 5
Psegoa0 est aussi divisible par 4,°.

2. Trois équations homogènes à cinq variables dont la première
est du second et les deux autres du premier degré:

ae + ayay dag ae ay où as endag 9207 ye as yu |

+ dg yo + ayy 2? + ayy 20 + Mg 20 Hage Hague Hast =0, |
ba by +o 2 Houdioe=0, |
eq @ t+ey +e 2 au tog v = 0,

Prenant 7 — 2, on obtient les valeurs suivantes:

Le]

»

AS L'ÉQUATION FINALE.

eer ae ENEN
en ( 4 1.2.3.4 15,
Arn 9 belki
ee
1 1.2.3.4 1.2.3.4 ,
Re aa (126),
PR OT il, Sie Oe
2 149794 II OS À
V3 0 »
et les assemblants :
8; Sa. So 8485 56 Besar ia ei
2
A =e | a 4 Ci
Po — dy Ag by b, Ca Ci
Pas == dz Ay U5 b, Ca Cl
Pi, = | a, bj b, C4 C;
Pp, ol A bp b, Cs €,
2
Pe SI |A Le S
Pr YZ | ay 26, Ds
2
Pa —yu| ag OÙ Oo CNT Cat MAS LR den
Dg YU | Ag b; by C5 Co
2
on sb bs C3
Py = % | ay, b, Ds C4 Ca
ee me | ar b, bg C5 C3
me
Pi3 = % dis Un C4
Pra = PQ in b; 4 C5 Cy
ae
P15 Con in bs Cy
| Sy So, La Ma hb eg ok OE |
| ©!

d'où l’on peut déduire l’équation finale entre z, # et v:

heet re 7 2
Pass 2 + P 012131415 2% == Pio,143,1445 20 + Diouiots15 U

d Ar 65 PATES 9(
+ 1041,1213/5 uv Promers? Sy Oer: AAN (129).

ANU

L'ÉQUATION FINALE. 49

Les coefficients de cette équation sont des déterminants du dixième
degré, tous sete par un facteur du cinquième degré, c’est-à-dire
Pac, xX Ke

a Co
l’assemblant (12 de):

On peut trouver ce facteur de la même manière que dans exemple
précédent.

, après suppression de la deuxième colonne dans

3. Deux équations homogènes à cinq variables dont la première
est du second et l’autre du premier degré:

aa +a, ay Hay wztay au Hag vo Hag y Har yztagyutagyr |

+ ao 2? + a, cut ag ev + 013 u Haru Hager? =0, | (130).
b x + by Y + bg Z + by u + 4; o= 0 5

Prenant 7 — 2, on obtient les valeurs:
y + pir = 6.5.4.3 Ae
à ep 1.2.3.4 15, |
RES aa Meee Cee RE ee 131
“i 1.2.3 oe Dr awe ae | ee
Vp Oo;

et Vassemblant

| Sil. WENEN
Pas ig. 8,
aay | 2, 6, 6,
ya ae | da.) D, b,
Pie au) a, |b, b,
Geen ds © bs b,
De = | % bs
Pr Vel 197 by by
Py = YU | a by re EEE gh Oe Ene EE (132),
ES CR |: ds by
Ho = | &o bs
ite ee hy i b, 4s
Pag =) ie ds bs
Pis = À | as by
Pia = UW | dy CA
Ds = À | A5 ds

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. VIII. A 4,

50 L'ÉQUATION FINALE.

d'où l’on peut obtenir facilement l'équation finale entre y, 2, u et v.
Les coefficients de cette équation sont tous divisibles par 4,*, de
sorte que leur degré peut se réduire à 3, la somme des degrés des

7 id 4
deux equation s données.

§ 36. Dans le paragraphe précédent nous nous sommes borné a consi-
dérer des exemples où l’on a

Bo, — (0 — 1) = 9 DRE SO PRE (133).
a

Si cette condition est remplie, il est aisé d’obtenir immédiatement
l'équation finale en appliquant Pune des deux méthodes expliquées
dans le premier chapitre.

Il est clair que l'équation (133) est seulement vérifiée, si toutes
les équations données, à l'exception d’une d’entre elles, sont du
premier degré.

Prenant dans ce cas ÿ = 9, Jo -... GY, on obtient les valeurs
suivantes :

4 ze me D) i
MG)

) ENE at Vase
2 < ee cs a ,
2: de dn res (134).

Da — Ge Ss oe :

v == (|) /

L’assemblant de la fonction # se compose alors de v lignes et de
CP \ 1 A ag hd 5 = el q
v, colonnes. Les colonnes de cet assemblant sont liées par v, — vz + vy
n ae oy] a hd > 4 7 4
—....+(— 1)", relations linéaires, de sorte que v, — va + va
—.... (HR Do, colonnes sont indépendantes entre elles.
Entre les valeurs v il existe dans ce cas la relation suivante:

vt dg a OEE)

L'ÉQUATION FINALE. 51

On peut démontrer cette relation en substituant les valeurs (134)
dans le premier membre de l'équation (135), d’où l’on trouve:

Dt À 09 — Flor =H ù 5 + i's Co à Cpe) . (186);

le deuxième membre de cette équation est, d’après la note 3 à la
. , ~ (in
fin de ce mémoire, égal à ¢ ze i)
n
1
L’équation (135) nous montre que les lignes de Vassemblant de

: É ptm : 3 :
la fonction Æ sont liées par à 3) — 1 relations linéaires,
WL
1

i MN + as
de sorte que v + 1 — ‘ae lignes quelconques sont indépen-
ny =
dantes entre elles.
7 ++ 0 stad Arete it
Comme (a da à est précisément le nombre des termes de l'équation
1

+ 1 variables restantes, on conclut qu'on peut
déterminer les coefficients § de la fonction / de telle sorte que seuls
les termes qui n’appartiennent pas à l’équation finale, disparaissent de
cette fonction.

De cette manière on obtient donc l'équation finale.

Les coefficients de cette équation sont des déterminants du degré

AN.
v + 1 — C ‘ ce contenus dans un assemblant de v lignes et de
1

finale entre les Re

] + ñ js 5
Vv EI colonnes. ou es determmants ae cet asseni-
1—(/ 7 1) colonnes. Tous les dét ts de cet
1
Gs 3 5
2v, + 30,—

blant sont divisibles par un commun facteur du degré v,
GE nn CD" (2 Fi 1) Un
En divisant par ce commun facteur, les coefficients de l’équation
finale se réduisent à des formes du degré

m 20 Bu... HIT, =

kn
Ber EE Ce
ie tee si) ae i a dn Baal =1-+ (x 1)¢ ..(137),

d'après la note 4 à la fin de ce mémoire.
Pourtant ce n’est pas la plus petite valeur pour le degré de ces
coefficients.

a 4 ‘] My
Ils ont encore un commun facteur du degré (z — Oy gi

qu'on pourra déterminer dans chaque cas alien en prenant,
outre les 2 équations homogènes données, #, équations homogènes

du premier degré à coefficients indétermines.
A 4.

t
©

L'ÉQUATION FINALE.
$ 37. Dans le cas où l’on a

re ==) << 9,99 2: TIRÉS OP E (138),
1

les méthodes du chapitre premier sont encore applicables pour déter-
miner l’équation entre les 7, — 1 variables restantes, mais le

7 oe oe ie, Pk
degré de l'équation ainsi obtenue s'élève a g, Dx ores Gi; :

Soit j le degré de la fonction F, on obtient un assemblant de v
. 5 ‘ - Sil)
lignes et de v, colonnes dont », — va +0, —... + (—1)"7*2,,

colonnes sont indépendantes entre elles.
Les valeurs v sont dans ce cas les suivantes:

U

IC

na —l
LT Aman por dealen noi)
n +2, —1 ;
Le nombre des termes de l’équation résultante entre 2, + 1 quel-

; En
conques des variables est @ re à.

n,
Les méthodes du premier chapitre conduiraient immédiatement à
l'équation résultante entre lesz, + 1 variables restantes, si vj — v, + 03

a . oo eee ee pt n
—... +(—1)"~'v, n'était pas inférieur àv + 1 —(/ a BP ou
|

si l’on avait

== J A, |
o— 0, a, NE Cx à RE when,
3 at Ny
On doit donc choisir dans ce cas la valeur de 7 telle que la
relation (140) soit vérifiée.
§ 38. Prenons pour exemple deux équations homogènes du second
degré à quatre variables:

mat + agay + agaz Hayen + ay? + agyz + aq yu + ag 2?

+ dy zu + aw = 0, 141
by 2? $ by ay + by az + Bau + Igy? + Dyye + by yu + dye? | * CAI.
+ bp aw+h),u—0,

Quelle est dans ce cas la plus petite valeur qu’on puisse donner
à j pour obtenir immédiatement l’équation cherchée à trois variables?

L'ÉQUATION FINALE. 53

Prenant 7 = 4, on obtient

= 05) = LE = as,

1.2
5.4.3
. en .
On = 2. TEE === 20 >
MEL NP 142
Beet CLS een
dek WBO :

De ces valeurs on déduit »

n ty = 16 et (/ A mn) — 1 — 14,
1

d’où Von conclut que la valeur j — 4 ne satisfait pas à equation (140).
Prenant 7 = 5, on obtient

D QE — 80, |

5.4
Oa Sea a (ee
(Cd hae i © RACE end Hee (143)
2 Ce ae 4
AN pe MOMIE NU 2

ñ
De ces valeurs on trouve & — vj + v, = 2%et G a ij — 1 — 20,
= ny

d'où Von conclut que la valeur 7 = 5 vérifie l'équation (140). Pour
cette valeur de / la fonction # conduit donc immédiatement à
l'équation cherchée à trois variables.

Cette équation est du cinquième degré. Ses coeflicients sont des
déterminants du degré 36. Ils sont contenus dans un assemblant
dont tous les déterminants sont divisibles par un facteur du quatrième
degré, mais les coefficients de l’équation obtenue ont un commun
facteur d’un degré plus élevé.

Ce facteur s’obtiendrait en prenant, outre les équations données
(141), deux équations homogènes du premier degré à quatre variables,
ayant des coefficients indéterminés, mais la question de rechercher
ce commun facteur est très compliquée.

§ 39. On peut trouver aussi l'équation résultante entre les x, + 1
variables restantes en partant de plusieurs équations terminales.

La plus petite valeur qu'on puisse choisir pour 7 est en ce cas

54 L'ÉQUATION FINALE.

n

Eyx—(n—1), c'est-à-dire trois dans Pexemple de deux équations du
1

second degré à quatre variables. Pour cette valeur de 7, on a les valeurs
suivantes :

= CS) = iar = 20,

DE HN Ll OE En 10
Se Bins À
d'où lon peut conclure que les équations terminales contiennent 13
termes, dont trois au moins renferment la quatrième variable.
Les coefficients de ces équations terminales sont des déterminants

7

du huitième degré contenus dans l’assemblant suivant :

CO ea UT SU Lone SS
A =e di 1
Py = UY a à; > bi
Dar ay b, b,
Da PUN ee dl b,
p= ay ds 4 be i;
Pe 292 a a3 da bg 63 2b,
py = yu Oy. ty Ge. aes : UN :
SE As a3 bs b,
Ps = U2U| ay Oi 705 es be Us
Pijl OT die shi b, (145)
Pu — ds b; ta
PAPE ye a a; bs 4s
Pis = YU Ay a; bs Ds
Pu = YÀ ag a er
Dis = yeu dy ds Ge not Pee de
Ais yu Ay Ay bio Dr
Pn = 2 lg Bs
Ti i oases zu Uy Ag UN Ds
Dig == 201 digde Big. 120,
Po =U do bi

L'ÉQUATION FINALE. 55

En éliminant entre deux de ces équations terminales la quatrième
variable, on obtient l'équation cherchée à trois variables. Elle est
du cinquième degré.

On peut effectuer cette élimination d’une manière plus simple en
formant quatre équations terminales dont les termes qui renferment
la quatrième variable, contiennent en tout quatre combinaisons
différentes des variables.

Si l’on veut déterminer p.e. l'équation en 7, zet wv, on formera
quatre équations terminales dont chacune contienne trois des quatre
arguments ayu, æ2?, eeu, œu?, savoir la première az”, æzu, vu”, la
deuxième zyu, æzu, vu", la troisième 2yu, ez? œu*, la quatrième
YU, wz", T2.

En éliminant entre ces quatre équations les quatre arguments
indiqués, ce qu’on peut faire en multipliant ces équations respec-
tivement par yu, 27, zu, u?, et en ajoutant les produits, on obtient
une équation du cinquième degré à trois variables, dont les coefficients
sont des sommes de déterminants du huitième degré.

Il est probable que ces coefficients sont encore divisibles
par un commun facteur, mais la recherche de ce facteur est très
compliquée.

§ 40. Quand on diminue encore le degré de la fonction #
d'une unité, on obtient dans l'exemple précédent l’assemblant suivant:

SRE
2
Di NC ER
HET |.a> Oo
fa we ed D,
aot | ae D,
/ —— ye /
D= Ge LD: |
; 4 EM Leed. Fs (146)
Pe —=Y2 | a, de
Py =yu| a, ba
=
Py =2 dae be
Ps Lila Dg
9
Po | Go Lo

d'où l’on peut déduire l'équation terminale:

56 L'ÉQUATION FINALE.

a6 a, b a, b a bd a, b
1% 14 1 4 1 Re 1 Ÿ]
ay + az + au + y? + ye
3 Og as bs «y Oy a; bs ag 05
|
Ter a, b & b a, b
|G ú 1 0] 1421 Baia te
+ yu + 2? + cu + ne = Oise HA
| dy by ds bg do dy ay 010

En substituant la valeur de @ tirée de cette équation dans l’une
des deux équations données (141), on obtient l’équation finale. Le
degré de cette équation est quatre, comme ce doit être le cas,
mais la formation de ses coefficients n’est pas si simple que dans
le cas où l’on aurait choisi une plus grande valeur pour le degré
de la fonction 7

NOTES.

1. Quelques théorèmessurlescoefficients binominaux.

k=

reerde = Sip Ci) 9 —k 0.

RE M NP

Démonstration :

k = p iP nki—1(n — ky» — Pi — 1
= (-1)! B ee ay > | =

14/1 In — p/l

k—0 k = 0
EP mM—p+r—1 k=p re a 5
Des np} — A (n—p)n—2p+k] —1

= CI sr nt names ne CON Sn dbs TEE ei

k — 0 (2 —p) me NE 1! (n—p) 2 p/ Lh!

OP) kj —A =
ps aia (Ge P SENAY on
=De nr).

2. Théorème: : = EG JO Ge a oh

Démonstration *) :

k—p—1
z a) Cai Le TZ
ne LE 1 Ext aa OGA) Her a IDG i

‘=p—1

GIDI
q+ = 1 LE, ; Ge) ce Fr ERO, G DE 2 Eo OG By ee L
pi, .
pee OO? 2 Oer? OCD

mt)

*) Comparer: Wiskundige Opgaven met de Oplossingen door leden van het Wiskundig
Genootschap, ter spreuke voerende „Een onvermoeide arbeid komt alles te boven” „Amsterdam
1882. Tome I (1875—1881), n° 162.

58 L'ÉQUATION FINALE.

De là il s'ensuit:

=P EIN ei k=p-4
ROSES

En appliquant cette formule p-fois on obtient:

FOX DRE OH

Ee GED),

1 p/h

kn
5 AVA Ng —À: SI
3. Théorème: Zn 1) Ge Es = Ge
Démonstration: D'après la note 2, on a

EOD NO sea:

En développant la deuxième somme dans le second membre on
obtient :

OCO
CN ROCCO
HOEDEN
CD EOCD EDE OCD
GEDE, OCD EDEN

Mi

k —1
S—n = fn n—k S—U ” 7
i. mr, i = : Cu 1) Co G =) Ap ese 68 Ge
7) Mk ( s—n REA n n—k N s—n
€ ") D 7 > ; (aks a ze Saye G te) TR Ce
puisque, d’après la note 1:

EG) Goi) =

L'ÉQUATION FINALE. 59

k n
4. Théorème: 1} 18 (NES es
Théorème „> oe es ej a
Démonstration :
k= nn n $ 1 k=n 1 L I 1
= k—1 A , S—k = ay, A U s—1—/(f—1) ed
een 6, ( LU ) a sj Kk Go) ( me ) je

k=n— 1
ae ek s—l—k\ s—1
n. B =) ( x De = ARE

d’après la note 3.

2. Quelques remarques relatives aux résultats obtenus par
l'application des théories exposées dans ce mémoire.

1. MNotations des déterminants contenus dans un assemblant.

Afin d’éviter toute confusion, l’auteur s’est cru obligé de suivre
la notation indiquée au § 2 de son mémoire ,, Théorie
de l’élimination’”.

Les indices désignent les numéros des lignes ou des colonnes
qu'il faut supprimer de l’assemblant pour obtenir le déterminant

générale
generale

proposé. Si la différence entre le nombre des lignes et celui des
colonnes n’est pas considérable, cette manière de noter les déter-
minants d’un assemblant n'offre aucune difficulté.

Les déterminants d'un assemblant sont tantôt précédés du signe +,
tantôt du signe —. Nous regrettons de ne pas avoir réussi dans
nos recherches d’une notation qui permette de supprimer ces deux

signes.

2. Construction des équations finales, des équations terminales
et des autres équations résultantes.

Il ne faut que peu d'exercice pour être en état de construire
immédiatement les équations résultantes mentionnées ci-dessus d’un
système de 2 équations homogènes à # + 1 variables.

Le degré de ces équations est égal au produit des degrés des
équations données.

Constituons l’assemblant de la fonction / qui se rapporte au
système des équations données, prenant pour le degré de cette
fonction la valeur déjà assignée, et mettons devant les lignes de
cet assemblant les arguments des termes qui se rapportent à ces

60 L'ÉQUATION FINALE.

lignes. Déterminons ensuite quelles colonnes de cet assemblant
doivent être supprimées pour obtenir l’assemblant dont les déter-
minants forment les coefficients des susdites équations résultantes.

Si cet assemblant contient p lignes et g colonnes, où p > g,
les susdites équations résultantes se composent de p — g + 1 termes.

En supprimant de cet assemblant les y — 7 lignes qui se rap-
portent à p—7 termes de l’équation résultante qui nous occupe,
on obtient un déterminant. Ce déterminant représente, au signe J-
ou — près, le coefficient du terme de l'équation résultante lequel
ne se trouve pas parmi les y—g termes dont les lignes corres-
pondantes ont été supprimées dans l’assemblant.

3. Jiègle pour les signes +- ou — des coefficients des termes des
équations finales, des équations terminales et des
autres équations résultantes.

Les signes + et — précédant les coefficients de ces équations
s'expliquent par la formation de ces coefficients.

Quand on considère tous les termes d’une même équation résul-
tante, il n’est pas difficile de déterminer quels termes doivent être
précédés du signe + ou de —.

Les coefficients de ces termes sont des déterminants du degré
p— 4, se composant de lignes identiques, à une ligne près. Quand
on place cette dernière au-dessus des autres lignes, on passe un
nombre pair ou impair de lignes.

Selon que le nombre des lignes passées est pair ou impair, on
donne au déterminant le signe + ou — (ou inversement).

4. Equation terminale d'un degré plus élevé que le premier.

La méthode que nous avons indiquée pour l'obtention des équa-
tions finales, des équations terminales et des autres équations

4 , Ld 4) A Li 4
résultantes fournit un total de ts see équations résultantes

Par
entre p—g Jl arguments différents de la fonction F.

Si l’une des équations finales a des racines égales, le cas peut
se présenter qu'il est impossible de trouver une équation terminale
du premier degré par rapport à la variable qu’on veut évaluer.
Dans ce cas tous les coefficients de cette équation terminale
s’annulent.

Pour obtenir une équation qui peut remplacer cette équation
terminale, on peut choisir une autre équation résultante où il entre,

L'ÉQUATION FINALE. 61

à part les deux variables de l’équation finale, la variable considerée.
Cette équation est alors d'un degré plus élevé que le premier.
Les coefficients de cette équation sont encore des déterminants de
Passemblant qui fournit les coefficients de l'équation finale.

5. Equation finale à plus de deux variables.

Nous ne prétendons pas avoir épuisé dans le troisième chapitre
le sujet de l'élimination de #—1 variables entre x équations
homogènes à 2 +», variables; nous n'avons fait qu'y mentionner
les résultats qu’on obtient en appliquant les méthodes des deux
premiers chapitres.

A notre regret nous n'avons pu expliquer pourquoi les équations
obtenues par l’application de ces méthodes sont de degrés plus hauts
qu'il ne faut d’après notre théorie. Nous croyons que ce cas de
l'élimination peut encore donner lieu à des recherches importantes.

(24 Juni 1901.)

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LA
7 J 5 7
| rf 7
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J
k

“y>

it
à

Systèmes

PAR

K. BES,
Professeur à l'école moyenne de l'Etat „Willem IL” à Tilbourg.

Andelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.

(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 2.

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
Mei 1902.

Les Systèmes de Racines

d’un système

de n équations homogènes à n +1 variables,
PAR

K. BES,

Professeur à l’école moyenne de l'Etat „Willem IL” à Tilbourg.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 2.

AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
1902.

TABLE DES MATIÈRES.

Les systèmes de racines

Chapitre I. Une équation homogène à deux variables.

1. Nombre des systèmes de racines indépendants.................
2. Cas où tous les systèmes de racines sont différents ............
3. Cas où quelques systèmes de racines sont égaux...............

Chapitre II. Deux équations homogènes à trois variables... .

1. Nombre des systèmes de racines superflus....................
ORE valwatton. des aystémes de racines. :............,,.........

Premier cas. Tous les systèmes de racines des équations données
SO MM Oa OLODIS ed ee vole dt rte deu sues rein at fus ree
Deuxième cas. Les équations données admettent des systèmes de
Mn Austen bales cies PE

3. Détermination des systèmes de racines superflus en fonction des
autres systèmes de racines. ..............................

Chapitre HI. Trois équations homogènes à quatre variables. .

1. Nombre des systèmes de racines superflus....... ............
2. Evaluation des systèmes de racines ......................

3. Les systèmes de racines superflus............... ...........

Errata du mémoire ,,L’équation finale” .................

aol

a à
+ zh ? a ma,

f
¥ aM Lie
i PA:

rhe alen wis hage soll vene

nk
Cu bn
J y \ ? i rd
sénat

Les systèmes de racines.

$ 1. On appelle système de racines ou solution dun sys-
tème de x équations homogènes à » + 1 variables » + 1 valeurs
différentes de zéro, qu’on peut substituer aux variables pour rendre
ces équations identiques.

Afin d'obtenir des systèmes de racines, il faut construire l’équa-
tion finale entre deux quelconques des variables et les équations
terminales par lesquelles on peut évaluer les valeurs des autres
variables. En résolvant ces équations, on obtient en tout 4, 4 ...9,
systèmes de racines, si les ~ équations données sont respectivement
des Ceres 7, Je... On

On sait que les systèmes de racines ainsi obtenus ne sont pas
pour chaque degré des équations données, indépendants entre eux.

Nous nous proposons dans ce qui suit:

1. de déterminer pour chaque degré des équations données le
nombre des systèmes de racines qu'on peut regarder comme indé-
pendants, et par conséquent le nombre des systèmes de racines
superflus ;

2. de constituer les équations par lesquelles on peut évaluer
les 9, Jo---Y, systèmes de racines des équations données;

8. d'indiquer quelques propriétés se rapportant à des systèmes
de racines qui ont deux ou plusieurs éléments communs ;

4. de signaler les relations qui lient les systèmes de racines
superflus aux systèmes de racines indépendants; et

5. d'exprimer les systèmes de racines superflus en fonction des
systèmes de racines indépendants.

$ 2. Avant d'entrer dans des détails, il nous semble utile de

rappeler les propriétés de la fonction homogène:
FY, dm D, + 9, 9%, +------ ED egen er (1)

qui se rapporte à un système de > équations homogènes à x + 1
variables :

6 LES SYSTÈMES DE RACINES.

P; == 0 5
Po ser 0 >
Pa 0 JU EEE ENORME Oe Co GOO Oe ag ac (2),
Py — 0 ,

respectivement des degrés Ti Goo TR de
Si la fonction # est du degré 7, les fonctions ®,,®,, &,... .®,,
à coefficients indéterminés $,,%,.....8, sont respectivement des
degrés ji, Ig I—In
4 . . .
Pour toute valeur du degré de la fonction # qui n’est pas in-

nn

férieur à Eg, on peut former avec les coefficients des équa-
1

tions données un assemblant qui contient v lignes et v, colonnes.

Les colonnes de cet assemblant sont liées par v, relations linéaires

liées à leur tour par v, relations linéaires, et ainsi de suite ?).
Les valeurs v que nous avons en vue sont les suivantes:

He peck ( “a à
Nn
"las ae en
1
me D Ne PORT FEVER TE ue
= 0 Gx, Ie 4)

n

v, = (AT: dn jn

1
Entre les valeurs v il existe, comme on sait, la relation:

DD Sen en RD Oates A AAT SAR EE
Après avoir supprimé de l’assemblant de la fonction # les colonnes

qu'on peut regarder comme dépendantes des autres colonnes, on obtient
un assemblant de v lignes et de v, — vg +0 — ... +(— 1)",

*) Nous supposons que deux quelconques des fonctions @ soient premières entre elles.

Pour s’en assurer, on détermine leur plus grand commun diviseur en appliquant
l'opération: connue. Si deux des fonctions @ avaient un commun facteur, le système des
équations données se décomposerait en deux autres systèmes:

1. l’un de » équations homogènes à n + 1 variables;

2. l’autre de x — 1 équations homogènes à » + 1 variables. Etc.

*) Voir: L'équation finale (Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Weten-
schappen te Amsterdam [Eerste Sectie], deel VIII, n° 1), § 26.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 7
colonnes, que nous appellerons Passemblant des coefficients.
En donnant aux coefficients s des fonctions ® les valeurs propres
à éliminer un nombre de v— y, gy ...9, — 1 termes de la fonc-
tion F, on peut obtenir un total de ( 5 ) équations
p 1 92 +. In + À
résultantes, contenant chacune comme variables g, 9 ... 9, +1
arguments différents de la fonction F.
La valeur j = 9, Jo ... 9, conduit, comme on sait, aux équations
finales.
Si l’on prend pour j des valeurs inférieures à 9, Jo... J,, on
obtient des équations résultantes qui contiennent en général plus
de deux variables.
La plus petite valeur qu'on puisse donner à 7, est le plus grand
degré des équations données; remarquons cependant que quelques
valeurs v changent de signification, si l’on prend pour des valeurs
n

inférieures à © /4—». C’est le cas avec v, et quelques autres valeurs
a

v qui contiennent des coefficients binomiaux de puissances négatives.

Les coefficients binomiaux de puissances négatives qui se présen-
tent dans les valeurs v, ne se rapportent pas à des relations liné-
aires entre les colonnes de l’assemblant de la fonction #4). Aussi
on ne sen occupe pas, quand il s’agit de déterminer le nombre
total des relations linéaires indépendantes qui existent entre les
colonnes de l’assemblant de la fonction #

Nous verrons plus tard que la présence de coefficients binomiaux
de puissances négatives parmi les valeurs v, nous permet d'évaluer
le nombre des systèmes de racines superflus des équations données.

§ 3. Prenons pour j une valeur qui n'est pas inférieure à

n
Zgx—2; les déterminants de l’assemblant des coefficients forment
1
les coefficients des équations résultantes découlant de la fonction F.
: v ; ; :
Le nombre de ces déterminants est ( ). Ces détermi-
Ni Je In

nants sont divisibles par un commun facteur du degré v, — 2 v, +
ee (11) vp.

Prenant ÿ — y, Jo. - .ÿ,, on ne trouve parmi les équations résultantes
qu’une seule équation qui contient deux variables désignées; cette
équation est, comme on sait, l'équation finale entre ces deux variables.

Pour bien faire comprendre ce qui suit, nous rappelons la pro-
priété que les déterminants qui forment les coefficients d’une

*) Comparer: Théorie générale de l'élimination (Verhandelingen der Koninklijke
Akademie van Wetenschappen te Amsterdam [Eerste Sectie), deel VI, n° 7), § 72 et § 104.

8 LES SYSTÈMES DE RACINES.

équation finale, sont tous divisibles par un facteur du degré

VL

DIe In — Ji do -++In=—, Y compris le facteur commun
K
à tous les déterminants de l’assemblant des coefficients 5. Ce com-

mun diviseur des coefficients d’une équation finale est composé des
deux facteurs suivants :

1. du facteur commun à tous les déterminants de l’assemblant
des coefficients, pour 7 = 9, > 9,5 et

2. dun déterminant de l’assemblant des coefficients qui se rap-
porte à la valeur ÿ = 9, Ja . .. 4, — 1, divisé par le facteur com-
mun à tous les déterminants de cet assemblant.

Ce résultat découle immédiatement du $ 21 de notre mémoire
, L'équation finale.”

Prenons ÿ = 9, ÿ9...9, — 1 et formons des équations résultantes
contenant outre g, 99 -.. 9, arguments de la fonction # composés
seulement de deux variables désignées, l’un des autres arguments.
Le coefficient du terme qui renferme argument nommé en der-
nier lieu, divisé par le facteur commun à tous les déterminants
de l’assemblant dont il forme l’un des déterminants, est le facteur
commun aux coefficients de l’équation finale entre les deux varia-
bles désignées, abstraction faite du facteur commun à tous les déter-
minants de l’assemblant des coefficients pour 7 = 4, go. - -Yn-

Plus tard nous verrons que, si ce coefficient s’évanouit, l’équation
finale considérée a des systèmes de racines égaux.

Nous nous abstenons de mentionner encore d’autres propriétés
se rapportant à la divisibilité des déterminants de l’assemblant des
coefficients, ou de sommes de ces déterminants. S'il y a lieu d’ap-
pliquer ces propriétés dans la suite, nous nous proposons de les
mentionner ?).

§ 4. Pour toute valeur du degré de la fonction F'les g, go... 9
systèmes de racines qu’on obtient par la résolution des équations
finales forment un assemblant de g, 99... 9, colonnes et de » lignes.
Les colonnes de cet assemblant se composent des arguments con-
sécutifs de la fonction #, après substitution successive des susdits
systèmes de racines aux variables.

Appelons cet assemblant l’assemblant des systèmes de raci-
nes des équations données.

Entre cet assemblant et l’assemblant des coefficients il existe une
relation importante qu'on peut énoncer par le théorème suivant:

1) Comparer: L’équation finale, § 28.
*) Comparer: L’équation finale, § 19 et § 24.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 9

L’assemblant des systèmes de racines des équations don-
nées est supplémentaire à l’assemblant des coefficients.

Pour démontrer ce théorème, substituons dans les équations résul-
tantes qui découlent de la fonction # les y, 9...9, systèmes de
acines des équations données. Chacune de ces équations fournit
91 a+ + - In équations linéaires homogènes entre les g, 9. ..9, +1
coefficients de ces équations. En résolvant ces équations par rapport
aux coefficients on trouve que les déterminants de l’assemblant des
coefficients sont proportionnels aux déterminants supplémentaires de
l’assemblant des systèmes de racines des équations données.

Les deux assemblants contiennent un nombre égal v de lignes,
tandis que le nombre des colonnes du premier déterminant est
DV + U... + (—1)""»,, celui des colonnes du second
fige. -- Ins ensemble v, d’après la relation (4).

Ces deux assemblants sont donc réellement supplémentaires.

§ 5. Si les 7, go... 97, systèmes de racines qu'on obtient en
résolvant les équations finales sont tous différents, les lignes de
l’assemblant des systèmes de racines sont liées par v,— vg + 03 —...+

(—1)""" uv, relations linéaires. Comme ce nombre est précisément
égal à vg, Jo--.g,, on en conclut que les colonnes de cet assem-
blant sont indépendantes.

C’est le cas, si l’on ne prend pas des valeurs pour 7 inférieures

ne
à Er.
1

Si le plus grand degré des équations données est inférieur à ce
nombre, les 9, 9» ... 9, systèmes de racines ne sont pas indépen-
dants.

Prenant dans ce cas pour le degré de la fonction # le plus
grand degré des équations données, les lignes de Vassemblant des
systèmes de racines sont liées par un nombre /, de relations liné-
aires indépendantes, ou #, > v,—v, + %3 + (—1)" "lv,
et par conséquent les colonnes sont liées par 4 = #, —(0—9, 92. ..9,)
relations linéaires, d’après le § 56* de notre mémoire ,, Théorie
générale de l'élimination.” On en conclut que le nombre des sys-
tèmes de racines superflus est égal à #.

Remarque. Le théorème des assemblants supplémentaires est
encore applicable dans le cas où l’on prend pour 7 une valeur

n
inférieure à 2 g~—~z, si l’on supprime de l’assemblant des systèmes
1

de racines un nombre de # colonnes, qu’on peut regarder comme
dépendantes des autres colonnes.
§ 6. Le théorème des assemblants supplémentaires donne le

10 LES SYSTÈMES DE RACINES.

moyen de remplacer les coefficients des équations résultantes par
les déterminants de l’assemblant des systèmes de racines des équations
données. De cette manière on obtient les équations résultantes
exprimées par les 7, 99 -..9, Systèmes de racines des équations
données. Les équations résultantes ainsi exprimées peuvent s’écrire
dans la forme des déterminants du degré g, go ... 9, + 1 égalés
à zéro.

Pour éviter des calculs compliqués, nous ne donnerons pas à 7
des valeurs supérieures à 4, Jo : .. 9-

Prenons ÿ = 91 92 +. Jn; Vassemblant des systèmes de racines
contiendra un nombre de g, 95 ... 9, + 1 déterminants qui renfer-

ment seulement les valeurs de deux variables désignées. Ces déter-
minants forment les coefficients de l’équation finale entre ces deux
variables.

Nous verrons plus tard que tous ces déterminants ont pour
commun facteur le déterminant de l’assemblant des systèmes de
racines se composant des valeurs des mêmes variables, prenant
JAI Gr =

Construisons pour cette valeur de 7 une équation résultante qui
contient outre les g, 99 :.. 9, arguments de la fonction # composés
seulement de deux variables désignées, l’un des autres arguments;
le coefficient de ce dernier argument est le déterminant de l’assem-
blant des systèmes de racines qui ne renferme que les valeurs de
ces deux variables.

Il est clair que ce déterminant s’annule dans le cas où l’équation
finale entre ces deux variables admet des systèmes de racines égaux.

Prenant 7 <4; Jo ... 9, — 1, tous les déterminants de l’assem-
blant des systèmes de racines contiennent en général les valeurs de
plus de deux variables; dans des cas particuliers il peut arriver
que quelques-uns de ces déterminants s’annulent.

$ 7. Pour éclaircir ce qui a été dit dans les paragraphes
précédents, prenons les deux équations homogènes du second degré
à trois variables:

a, a + a, ay + a, ae + ay? + à yz + à À
ba? + bay + bg ze +b, y2? + b, ye Th 22 — 0, J

Les coefficients de ces équations étant arbitraires, les quatre

|
>

systèmes de racines de ces équations — @; 4,2; (à de 1 à 4) —
sont indépendants, parce que 2 n’est pas inférieur à 4, +-g.—2= 2.
Prenant J = 9, 92 = 4, on peut former l’assemblant de la fonc-

tion #:

LES SYSTÈMES DE RACINES. In

5; 52 83 84 85 Sg 87 Sa 89 819 811 Sie
yy — at a, b,
Pa = vy de Aj by by
B = 2% As a, b, b,
Pa = ay?) a, a, a by by by
Ps = yz| dy 4 ay 4; bs b3 by by
Pe — nrg? de a CH ba b,
Pr == Uy Ag by by
p= ay'2 GEE EPE DORE (6),
Py =e ad dede da oh bend: band,
Mo 42° Ug As be ba
Pau = Yÿ* dy be
Pie = 92 a, a bs Vs
Ps = HE Jens Ag 6 95 Va
Hie Ye ag 4s, bg 4s
Ps a be

et l’assemblant des systèmes de racines s’:

| 5 anna Soe er, Ser 60 Sto, FIL 442 |

UT)

A | bibo, by ba by =d “Wp (=O, =O Uy a,

En supprimant de l’assemblant (6) une colonne quelconque,
p. ex. la sixième, on obtient l’assemblant des coefficients:

12 LES SYSTÈMES DE RACINES.

| U RR WE A A to) ia >
Dee a, b,
Py = @Y | a a by b,
Pz =| 4 à CE ml
Pa =| Parts qi ba bg b
DE Lye) He es ANGES SSP EEE bj
Mg =] ag dg bg bg b,
Pr = 42 Fi oe 4 2
der aye Gn kOe Gta be Gage Bape Dees oe SEAT (8);
Doa ayer Ag ds As, bg 0 ba by
Po = 2° 4 be bs
Pu =H a4 Dy
DOTE hs; beb
en ag Op GeO? 0,
md de be Os
ETS be

tous les déterminants de cet assemblant sont divisibles par #,, le
déterminant de l’assemblant (7), qui est supplémentaire à tous les
déterminants de l’assemblant (8).

Il suffira de mentionner entre les équations résultantes qui dé-
coulent de l’assemblant (8) l'équation finale entre y et z 1):

4 4 4, #5) 4, 2 4, 3
P12,13, 14,15 Y ae P11,13,14,15 #2 sie Paso 14,15 #72 ze P11,12,13, 15 #2
4 ANS (
+ P14, 12, 13,14 7 == 0 sa tek ve) ele enh ce. Tear nie Vs ht ein CO

et l’une des équations résultantes entre les trois variables 2, y et 2:

4, 2012 4 bs 4 nana
P10,13,14,15 CY sp Pr, 13,14,15 US ao L4,10, 14,15 #72
4 pb AT EEE
= P4,40,13,15 #2 + Pa, 10,13, 142 VAT eee CRE

Prenant 7 = 4, #3 — 1 — 3, on obtient l’assemblant des coefficients:

‘) Dans les symboles qui représentent les déterminants d’un assemblant des coefficients
nous indiquerons, quand il y en aura lieu, le degré de la fonction # par un chiffre placé
à gauche du symbole. Nous procéderons de la même manière pour les symboles repré-
sentant les déterminants des systèmes de racines des équations données.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 13

PSS: 8g. Se M

NR
Pia o> CA b, |
Py = Ty Gal,» 4 b by
Pe — vs As, din da b,
Pa = ay? a a b, by
Ps = ayz de Og ay” DS Ait bee ANN Means Reem eh (11)
Pe = wz? eig a, Lg 3
BI | a bg
Ps = Ye Gs Wy bs by
Py =¥? | AGE b, 65
Po = À | de be

Les coefficients de l’équation finale (9) sont tous divisibles par
3778.91 Outre par bg, facteur commun à tous les déterminants de
l’assemblant (8).

De Vassemblant (11) on déduit plusieurs équations résultantes, e. a. :

3 2 3 2 2) 2 3 2
P6,8, 9,10 LY — Pis, 9,10 VZ = Pi, 6,9,40 #72 =F Pa,6,8,10 #2
3 Hess
+- P4,6,8.9 2 —— 0 ES RE “elit Gabe Jie isp ary a (12).

Prenant 7 = 9, Ja — 2 = 2, on voit que l’assemblant des coef-
ficients

gL SE
DE ja à
Pa = vy do bs
TR (13)
Pa == y" dy b,
Ps = ge | a, 4, |

ne renferme que deux colonnes. On peut déduire de cet assem-
blant plusieurs équations résultantes e.a. l'équation terminale:

2 See: Rg :
Zane a = Do, 1.5.6 UZ aie P2,3.5,6 Y + P2,3,4.6 Y*
2 2 — 0 (14)
+ Dogs HO. vern. 8
Les assemblants des systèmes de racines des équations données
se rapportant aux différentes valeurs du degré de la fonction #
sont les suivants:

14 LES SYSTÈMES DE RACINES.
qi 92 VE Ya
at (A a* is" Je
3 3 3 3
vey Mey To Yo T3 Y3 Uy Va
wz Dies Lo ee PACE Be,
2,2 2, 2 2, 2 2, 2 2, 2
vey Bey Vo Vo T3 3 Ty Va
d2y2 LNE Lo Volo La Vata 42,2
Y VI 2 2% 3 I3%3 a Ya
rg A Ne So ereen
3 APE 3 3
vy YY; YoYo P33 E44
vy?2 LUNA Lolo Zo Lao Za UY 472
VY" 2 191 A 2/9 9 3/3 23 Vala 24
TL 2
eye HF" lea Cavers NN
es 3 3 3 3
ue LEA Loto AA Bie
Ber 4 4 4 4
JY Ny Ys 93 Ja
48 3 es 3 3
Ye NA Ya #2 V3 23 Va %4
2,2 Rat eo 2, 2 2, 2
Va Yi à Yo? V3 23 Va 24
3 28 3 3 3
je A” IJ2%2 VE Yaèa
À 4 4 4 4
2 2 2 25 CA
di VE VE Ya
a? a,° es da oe
2 2, 2, 2 2
dy a, Lo V9 Tr V3 Vy Va
wz bas By ea i," CRE
2 2 2 2 2
Ze Uy, Too TaY3 U4Y 4
UYz VNA LaYo% 333 U4Y 4% 4
»2 à an ) 2
3 3 3 3 3
yi Ni Ye Is Ya
2, 2» 2» 2» 2
te NA Yo 20 V3 23 Ia 24
aie » 2 tg te
ad NA 92% 9323 Yaa
28 ie res dg ong

rer Oleh ee,

LES SYSTÈMES DE RACINES. 15

Val 2 13 Ja

a Gigs dye, Dt ae

ay PY Boo Ug tate

Le UA Bah Ugg Dy |.............. (17).
Ee Jy” Yo" Ys Is

ae Hey ata «Yara Lace

2 UNS aib a 76

L’assemblant (15) contient les cinq déterminants *X4 9 5.4.5, 7804011
EX ,9,3,4,5,6,7.8,9,10,12 4X4 9, 3,4,5,6,7,8, 9, 10,139 Xian, 1,5,6,7,8,9,10, 149 034567801015
qui ne se composent que des valeurs des deux variables y et z
Ces cinq déterminants sont divisibles par le déterminant °X;, 23456
de l’assemblant (16) qui renferme seulement les valeurs des mêmes

variables.
De Passemblant (15) on déduit l’équation finale entre 7 et z:

4 nie sae ANT on
X4 9,3, 4,5,6,7,8,9,10, 14 J X4 9,3, 4,5,6,7,8,9,410,42 yz + *X (4, 2,3,4,5,6,7,8.9,10,13 Ui 2?

3 4y a: aes
a 4X 12,3, 4,5,6,7,8,9,10,14 WZ SE X,9,3, 4, 5,6, 7, 8,9,10,15 © — Oee CHE
|
|

4 Pr 4 Dr À
J : Is Va

as DAN Seg DN ge 3
YX NA Ie? Y3 23 Ya
2,2 2, 222
ou Ye N° 2 2 Yo Za" Y3r2 “3 2 472
3 ee eee je
ye NA Vote Y33 Yara?

4 „4 4 „4 4
2 7 29 “2 24

qui est la même que l’équation (9), et l'équation résultante
entre æ, y et 2:

AN 212 AV yo 4 2
X 4,9,8,8,5,6,7,8,9,14,12€ X,2,3,5,6,7,8,9,10,14,12€ 2 ia X1035,6,7,8,9,14, 12439? 2
4 4 3 + ANS MT EE »

X4, 2,3, 5,6,7,8,0, 14,1244 Ÿ 2 + X 4 0, 3,5,6,7,8,9, 11, 12,15 NE (20),

DB 2 2p) LE op On,
Ny Laa ® IB Va Ja

ne 24° Gea” Dee da

ay 2,

2 DD de ES ¢
ou vel pu? Veto HZ 44% SO... (21),
6 3 3 nn me
YR Yi Vote ss Ia
AAA 4 PA ad
A Ca | 29 “a CA

identique à l’équation (10).

16 LES SYSTÈMES DE RACINES.

De l’assemblant (16) on peut déduire l'équation résultante :

De aK ae aye DT 2
SX 1,9, 8, 45,7 27 sou X 1.9, 3,5, 6,722 ale X4,9,3,5,7,89 ? X1,9,3,5,7,9 92

3Y De Le
ASX à à ri Ol CNRS 1
LP? AU? Roo Haa WW
yy UY," Laa U3Y3° Laa
Ge? DO Aperen aen Zi"
it 4 2 2, 2 #4
ou 45 Ine Yo Fa. Ga caine == fie Eenes
42 2 2 a]
YE HA Vote Y3%3 Yara
BAE OC eee
|

identique à l’équation (12).
De l’assemblant (17) découle l’équation terminale:

| |
| yy. 2 |
Re Nm NE MT
PE MA ty ts Laa

OU HEN RCE
Jo HA Vote I323 Yaa

Mee wend 2 2
he ee 2, Zo 2, 2,

qui est la même que l’équation (14).

Ys Va | le MANEN ej Bare A

Le théorème des assemblants supplémentaires du $4 s’exprime
pour les différentes valeurs du degré de la fonction # par les

égalités suivantes:

4 AV
X 1,9,3,4,5,6,7,8, 910,11 | X 4,9, 3, 45,6, 7, 8, 9,10, 42

4 AT
P'42,13, 14,45 ——~ “P44, 13, 14, 15

7

4
P10,13, 14,15

3 3N B
ETEN X123259 X 4,9, 3,4,5,7

= —— EE CE EN
3 3 3 . . . .
P7,8,9,40 ——"Pe;7,8)40 1 68,9. 40
2 7 2 7 rs
X 4,2 Xy3 aX
ae -_— 5 = — 5 Set ROMS ei TR ont de
P3, 4, 5,6 —— P2,4,5,6 — P1,8,6,6

§ 8. Le théorème des assemblants supplémentaires conduit encore

aux théorèmes suivants:

1. Il est impossible que tous les déterminants de l’as-

semblant des coefficients s’annulent.

LES SYSTÈMES DE RACINES. l

nl

Pour le démontrer, nous renvoyons aux démonstrations des
$2—9 de notre mémoire , L’équation finale.”

Si tous les déterminants de l’assemblant des coefficients s’annu-
laient, il existerait au moins un système de racines s’ satisfai-
sant à toutes les équations 9, outre les Va — Ua + Va... +(—1)"»,
systèmes de racines indépendants qui satisfont déjà à ces équations.

Cela étant impossible, tous les déterminants de l’assemblant des
coefficients ne peuvent s’évanouir.

Le cas où quelques déterminants de l’assemblant des coefficients
s’évanouissent, se présente, quand le nombre des termes d’une ou
de plusieurs des fonctions @ est inférieur au nombre des termes

e 4 Q ’ Un V/A
des équations résultantes, ou, si l'on a (5 ! 3 ) <9192++-In+1

pour une ou plusieurs valeurs de y.

Les équations résultantes renfermant parmi leurs coefficients les
déterminants qui s’annulent, se ramènent dans ce cas à des équa-
tions d’un degré inférieur au degré adopté pour la fonction #, et
elles contiennent un nombre de termes inférieur ag, 9 ...9, + 1.

2. Tous les déterminants de l’assemblant des systèmes
de racines des équations données peuvent s'annuler.

Cela peut se présenter dans les deux cas suivants:

I. Pour toute valeur du degré de la fonction /, si les systèmes
de racines des équations données ne sont pas tous différents ;

IL. Pour des valeurs du degré de la fonction # inférieures

n

à Ex — 2.
1

Dans le premier cas, les systèmes de racines doubles ou multi-
ples satisfont aussi bien aux équations données qu'à une équation

nt
homogène du degré Sg, —».
1

Pour le démontrer, rappelons-nous que les variations simulta-
nées des variables d’un système de 2 équations homogènes à # +1
variables sont proportionnelles aux valeurs qu’elles ont déjà obte-
nues. Partant de la propriété connue de la fonction homogène
fCæ,y,2,u,...) du ni"? degré, exprimée par l'équation:

2 of
dz | Pry

af So
ee =

ele yer = I UE UE ites
Òz Bean | Seg ) =

on peut écrire le système d’équations (2) comme suit:

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie), Dl. VIT.

18 LES SYSTÈMES DE RACINES.

op oy op dy

me Pec: dE à AS eae ct — 0

OF | Po. 2 Py Ka

TA | dz | ou Malet | ELN (30).
9”, IP, dPn 09, NA

dæ | dy | dz | du ES en )

En différentiant les équations (2) on obtient de même le système
d’équations:

oy Oo, oF; nit

de te ga dan Urn

Py de ; OP, Py et

à dx +- 7 dy - > ZT 5 DET en BIJ,
Bu dx ae on Pal 4 ee dz = af du + VP 0 5

où dv, dy, dz, du, ... représentent les variations simultanées des
variables z, y, z, w‚...

Les «(u +1) dérivées partielles des x fonctions p mènent a
l’assemblant suivant:

Op, OP, dy, Òp,,
dy ° dz du

que nous appellerons l’assemblant fonctionnel.

Cet assemblant contient x lignes et x + 1 colonnes.

Si l’on donne une valeur constante à l’une des variables, les x
fonctions homogènes à 2 + 1 variables se ramènent à un système
de # fonctions non-homogènes à > variables, tandis que l’assemblant
fonctionnel se réduit au déterminant fonctionnel ow au jacobien du
système de ces x fonctions.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 19

Employant la notation connue 4,, 4,...4,,, pour les déter-
minants de l'assemblant (32), on obtient par la résolution des systè-
mes d'équations (30) et (31) les égalités :

ie J 2 u ‘ \
nn a eC — e ».

ds. A 4 ; (33
dx dy dz du a TNA (33),
ee == etc

A, ES 3 A,

d’où l’on peut déduire immédiatement :

de dy, de du

Er, AE EN MA (34)

S
=
&

Deux systémes de racines (CAE EL PO) CIC ON REA Wass

pouvant devenir égaux, les différences BL Ii Vos Ap
U — Ugs. Substituées aux variations simultanées dx, dy, dz, du,.. .
dans les équations (31), doivent rendre ces équations identiques.
Ces substitutions faites, retranchons les équations (31) respectivement
des équations (30); on verra que deux systèmes de racines différents
satisfont aux équations (30), tandis que les coefficients ne changent
pas de valeurs.
_ Pour que ce soit possible, il faut que tous les déterminants de
l’assemblant (32) s’évanouissent 1). Cependant, il suffit qu’un seul
de ces déterminants soit nul, car on peut déduire de la première
équation (33) que tous les déterminants de l’assemblant fonctionnel
sannulent, quand c’est le cas avec lun d’entre eux.

En égalant à zéro l’un des déterminants de l’assemblant fonction-
nel qui ne s’annule pas identiquement, on obtient une équation du

n
degré © 9x; — x, qui devient identique en substituant aux variables
1

les systèmes de racines doubles ou multiples des x” équations
données,

Les systèmes de racines doubles ou multiples des équations don-
nées sont donc les solutions communes de 7 + 1 équations homogènes .
à a+ 1 variables, qu'on peut évaluer suivant les méthodes men-
tionnées dans notre mémoire ,, Théorie générale de l'élimination.”

Dans le cas cité au commencement de cet article sub IT le
théorème des assemblants supplémentaires est encore applicable pour

n à B
4 Egr— n, mais il faut supprimer dans ce cas de Vassemblant
1

des systèmes de racines les colonnes qu’on peut regarder comme
dépendantes des autres colonnes.

*) Comparer: Théorie générale de l'élimination § 21.

>

20 LES SYSTEMES DE RACINES.:

3. Si quelques déterminants de l’assemblant des coeffi-
cients s’évanouissent, les déterminants supplémentaires de
l’assemblant des systèmes de racines s'annulent aussi; et
réciproquement, si les équations données n’ont pas de systémes
de racines égaux, et que quelques déterminants de l’assem-
blant des systèmes de racines s’évanouissent, les détermi-
nants supplémentaires de lassemblant des coefficients
sannulent également.

Ce théorème découle directement du rapport constant entre les
déterminants supplémentaires des deux assemblants supplémentaires.

4. Si un nombre inférieure à 9 gas. de 2 lMignesede
l’assemblant des systèmes de racines sont liées par une
relation linéaire, tout déterminant de cet assemblant qui
contient ces lignes, s’annule; et réciproquement, si tous les
déterminants de Vassemblant des systèmes de racines qui
ont 9, Ja. Int 1 lignes. communes, sannulent ul
existe une relation linéaire entre ces 9, 9 ...9,—k-+ 1 lignes.

La première partie de ce théorème est évidente, la seconde partie
découle des équations résultantes qui existent entre g, Jy . .. 9, + |
arguments quelconques de la fonction #. Pour obtenir cette relation
linéaire, on forme une équation résultante contenant parmi ces
coefficients # des déterminants qui s’annulent..

5. Six équations homogènes à # + 1 variables ont en
tout 9 Ja ... 9, — k systèmes de racines différents, et que
l’on forme de la manière connue, un assemblant de ces
systèmes de racines, les lignes de cet assemblant sont liées
par & relations linéaires, et en outre par les v, — 7, +
Vv, + .. +(— 1)" Tv, relations linéaires existant déjà entre
ces lignes; toutes gg ...9,—-#— 1 lignes de cet assem;
blant sont dans ce cas liées par une relation linéaire.

Ce théorème découle de la théorie exposée dans le numéro
précédent, si on la compare aux conditions nécessaires pour l'exis-
tence de / solutions communes d’un système de # + 1 équations
homogènes à x + 1 variables 3).

Si les # équations données admettent en tout gy, g...9, — k
systèmes de racines différents, les 4 systèmes de racines égaux à
d’autres systèmes de racines de ces équations satisfont encore à une

rt

équation homogène du degré Sg, — x. Le système de » +1 équa-
|

tions homogènes formé par cette équation et les x équations don-

') Voir: Théorie générale de l'élimination, $ 112 et $ 115.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 2]

nées admet dans ce cas / solutions communes. Pour que ce soit
possible, il faut que les lignes de l’assemblant de la fonction #
qui se rapporte à ce système de x + 1 équations homogènes soient
liées par 4 relations linéaires indépendantes. Ces / relations linéaires
augmentent done le nombre des relations linéaires existant déjà
entre les lignes de l’assemblant des systèmes de racines des équa-
tions données.

La dernière partie de ce théorème est un corollaire de la première.

$ 9. Les théorèmes du paragraphe précédent fournissent le
caractère distinctif de l’égalité des systèmes de racines de l'équation
finale entre deux variables désignées, et en plus une méthode
pour évaluer les systèmes de racines doubles ou multiples de cette
équation.

Si 4 systèmes de racines de l'équation finale entre deux variables
désignées sont égaux à d’autres systèmes de racines de cette équation,
de sorte que le nombre de ses systèmes de racines différents est
Mido In k, toutes 9, Ja. In — & + 1 lignes de l’assemblant
des systèmes de racines des équations données qui renferment seu-
lement les valeurs de ces deux variables, sont liées par une relation
linéaire (Voir $ 18).

Dans ce cas, tout déterminant de cet assemblant s’annule,
quand il renferme 4, 4....9, — k + 1 lignes composées seule-
ment des valeurs des deux variables désignées, et son déterminant
supplémentaire de l’assemblant des coefficients s’évanouit également.

Réciproquement, l'équation finale entre deux variables désignées
a en tout 9, 9....9,-— # systèmes de racines différents, quand
ces déterminants de l’assemblant des coefficients s’annulent qui se
rapportent aux déterminants supplémentaires de l’assemblant des
systèmes de racines qui ont 94 Jo... -Y, — # + 1 lignes communes
composées seulement des valeurs de ces mêmes variables.

Ce résultat devient illusoire, quand les équations admettent des
systèmes de racines égaux.

Dans ce cas on n’obtiendrait pas de résultat, car tous les déter-
minants de l’assemblant des systèmes de racines s’annuleraient,
tandis que les déterminants de l'assemblant des coefficients auraient
en général des valeurs différant de zéro.

§ 10. Appliquons la théorie précédente à un exemple général
et supposons que les équations données n’admettent pas de systèmes
de racines égaux.

Prenant ÿ — 9, »....9, — 1, Vassemblant des coefficients ne
contient qu'un seul déterminant qui renferme les valeurs de deux
variables désignées. Pour que l'équation finale entre ces variables

92 LES SYSTÈMES DE RACINES.

contienne des systèmes de racines égaux, il faut que ce déterminant
s’annule. Il doit en être de même du déterminant supplémentaire
de l’assemblant des coefficients, et réciproquement.

Formons pour la même valeur de 7 une équation résultante dont
tous les termes à un près renferment des arguments de la fonction
PF composés seulement des deux variables désignées, tandis que le
terme restant renferme encore une autre variable. Le coefficient
de ce terme est précisément le déterminant en question, qui s’annule,
si l'équation finale a des systèmes de racines égaux. |

L’équation résultante qui nous occupe, se ramène dans ce cas à
une équation de deux variables d’un degré inférieur d’une unité
au produit des degrés des équations données. Les systèmes de racines
de cette équation sont alors les y, 99... 9,,-— l Systèmes de racines
différents de l’équation finale entre les mêmes variables.

$ 11. Dans le cas où deux systèmes de racines de l’équation
finale sont égaux, — sans que ce soit le cas des autres variables
— on peut évaluer le système de racines double de l’équation
finale de la manière suivante.

La plus petite valeur qu’on puisse donner à j dans cette évalua-
tion EST 7 NU ti

Formons pour cette valeur de j une équation terminale conte-
nant 9, 9...9,—1 termes qui renferment seulement les deux
variables de l'équation finale, et deux termes qui ont pour diviseur
un binome du premier degré entre les mêmes variables. Ce binome,
égalé à zéro, fournit une équation qui a pour racines le système
de racines double de Véquation finale. Le polynome formé par les
autres termes de l'équation terminale considérée est dans ce cas
divisible par le même binome.

Pour le démontrer, remarquons que l’équation terminale en
question devient identique pour deux valeurs différentes d’une
troisième variable, tandis que les deux autres variables conservent
leurs valeurs. Pour que ce soit possible, il faut — ordonnant cette
équation suivant les puissances descendantes de la troisième variable
— que les coefficients de ses deux termes s’annulent pour les
valeurs considérées des deux autres variables. ©. Q. #. D.

$ 12. Si parmi les systèmes de racines de l'équation finale entre
deux variables désignées se trouvent deux systèmes de racines égaux
à d’autres systèmes de racines de cette équation, et qui ne se rap-
portent pas à des valeurs égales des autres variables, de sorte que
le nombre des systèmes de racines différents de l’équation finale
considérée est 9, go... 9, — 2, les deux coefficients du binome
considéré dans le paragraphe précédent s’annulent.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 23

vest le caractère auquel on reconnaît, si deux systèmes de racines
de l'équation finale sont égaux à d'autres systèmes de racines de
cette équation. |

Les termes restants de l’équation terminale qui nous occupe,
forment une équation entre les deux variables désignées dont le
degré est inférieur de deux unités au produit des degrés des
équations données. Cette équation a pour racines les 9, gy ... J, —2
systèmes de racines différents de l’équation finale entre les mêmes
variables.

Ce qui a eté dit dans ce paragraphe s’éclaircit en exprimant les
coefficients de l’équation terminale considérée par les systèmes de
racines des équations données. Les coefficients des termes qui ren-
ferment la troisième variable sont des déterminants qui contiennent
Ja: - In — À lignes entre lesquelles il existe une relation linéaire
(Voir $ 18).

§ 13. Pour évaluer dans le cas du paragraphe précédent l’équa-
tion dont les racines sont les systèmes de racines de l’équation
finale qui sont égaux à d’autres systèmes de racines de cette
équation, on peut diminuer encore le degré de la fonction 7
d’une unité.

Prenant ÿ = 9, Jo ... Jn — 3, constituons une équation terminale
contenant 9, 99 -../,-—? termes qui renferment seulement les
deux variables désignées, et trois termes qui ont pour facteur un
trinome du second degré entre les mêmes variables. Ce trinome,
égalé à zéro, fournit une équation du second degré dont les syste-
mes de racines sont précisément les deux systèmes de racines de
l’équation finale égaux à d’autres systèmes de racines de cette
équation.

Le polynome formé par les autres termes de l'équation terminale
en question est divisible par le même trinome, ou, si ce trinome
est un carré parfait, par la racine carrée de ce trinome.

La démonstration de ces faits est la même que celle du § 11.

§ 14. Si le nombre des systèmes de racines différents de
l'équation finale entre deux variables désignées est encore inférieur
à 9192 --- In — 2, tous les coefficients du trinome considéré dans
le paragraphe précédent s’annulent.

C’est le caractère qui fait reconnaitre si plus de deux systèmes
de racines de l’équation finale sont égaux à d’autres systèmes de
racines de cette équation, sans que les valeurs des autres variables
des équations données soient égales.

Tl est clair que l'application de cette théorie peut se continuer.

Pour conclure, évaluons la plus petite valeur qu'on puisse donner

24 LES SYSTÈMES DE RACINES.

au degré de la fonction Æ, si l’on veut obtenir une équation
terminale par laquelle on peut déterminer la troisième variable.

Si le degré de la fonction # est y, elle contient ÿ + 1 termes
renfermant seulement deux variables désignées, et j termes con-
tenant, à part les mêmes variables, une troisième variable au premier
degré. Le nombre total, 27 + 1, de ces termes ne peut être
supérieur à J; Jo ---%Yn + 1, le nombre des termes d’une équation
résultante. Il résulte de la que le degré de la fonction # dans ce
cas ne peut pas être pris inférieur à Jg go . .. 9

$ 15. La propriété que les déterminants de l’assemblant fonc-
tionnel de 2 équations homogènes à # + 1 variables s’annulent en
substituant aux variables les éléments des systèmes de racines doubles
ou multiples de ces équations, explique pourquoi le déterminant
fonctionnel ou le jacobien de x équations homogènes a x variables
doit s’évanouir pour les valeurs des variables satisfaisant à toutes
ces équations.

On peut considérer un tel système d’équations comme un système
de 2 équations homogènes à z + 1 variables dont l’une des varia-
bles a la valeur de zéro. Les solutions communes de 2 équations
homogènes à « variables sont donc les systèmes de racines doubles
ou multiples de 2 équations homogènes à # + 1 variables, la
dernière variable ayant la valeur de zéro.

Si les 7 équations homogènes à 2 variables sont de degrés égaux,
les dérivées partielles du jacobien s’annulent aussi pour les valeurs
considérées des variables '). Ce n’est pas le cas avec les dérivées
des déterminants de l’assemblant fonctionnel, ce qui se prouve
facilement.

[. Une équation homogène à deux variables.

1. Nombre des systèmes de racines indépendants.

$ 16. Soit

p(ry)= a, a a, a y La ge apy 0 oS)

4

l’équation donnée du degré 2. ,
Le nombre des systèmes de racines est, comme on sait, égal à z.
D ? AEL |

1) Voir: G. SALMoN, Leçons d’Algèbre Supérieure, n° 89.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 25

En substituant dans l'équation donnée aux variables les x systèmes
de races (qu'on peut supposer différents), on obtient entre les
n + 1 coefficients de l’équation donnée x équations linéaires homo-
gènes qui suffisent précisément pour la détermination des x + |
coefficients.

Dans le cas où il y a une seule équation homogène à deux
variables il n'existe donc pas de systèmes de racines superflus.

Si l’équation donnée a des systèmes de racines égaux, de sorte
que le nombre total des systèmes de racines différents est x — /,
les coefficients de l'équation donnée ne sont pas indépendants, mais
liés par # relations. Les lignes de l’assemblant des systèmes de
racines différents, prenant 7 — x, sont dans ce cas liées par # + |
relations linéaires indépendantes, comme il sera démontré dans la
suite de ce chapitre.

2. Cas où tous les systèmes de racines
sont différents.

$ 17. Les # systèmes de racines de l’équation donnée (35)
forment l’assemblant :

n n n ,n
U, Lo La RAT Ly,
| n—1, À n—1, ‚nl r n—1, 5
dj VA Lo Yo Vz Ys ae. jer nu = as Le n n
v—?, = n= hd 04 ‘
By rye Wo Yor = | Se a rats Fabel | hoot Se eee (36).
4," ee Ys" aL in ne Aa Yn

Cet assemblant contient x + 1 lignes et z colonnes. Les lignes
sont liées par une seule relation nor (l'équation donnée (35),
done les colonnes sont indépendantes entre elles.

Indiquant les déterminants de Vassemblant (36) par X,, Ng, ete.
on obtient l'égalité:

En substituant les valeurs des coefficients tirées de cette égalité,
dans l’équation donnée (35) cette équation peut s'écrire fare la
forme :

KK a y + X, a GI" Kf" = 0.. (88),

26 LES SYSTÈMES DE RACINES.
a" Zi Fo ! | Ze
nl ‚nl, An eal ‚ni
a 74 vy Yi Lo WOM dise © v, Un
m2, 9 ,n-2,, 2,, n—2,, 2 n= | vo €
OA AE ME Pi DR ee: me Va he (39).
n n A n
Y VA Yo DA awa dro In

Les déterminants de Vassemblant (36) sont tous divisibles par le
déterminant 4) :

‚nl n=! n—1
Vi Lo A Th
2," px n—2, a.” y
1 J 1 2 9 n n
nn ON NE RE (40),
nl n—1 ny N—A
Yi Yo Yn

ce qu'on peut déduire de Pégalité (37).

Comme les déterminants X, et X,,, sont divisibles par le déter-
minant (40), les déterminants X,, Xs, etc. doivent renfermer égale-
ment ce facteur.

Les systèmes de racines de l'équation (35) étant tous différents,
le déterminant (40) ne s’annule pas. Dans ce cas on peut diviser
l'équation (38) par le déterminant (40), d’où Von obtient l'équation
suivante :

IIa -Yu®"—(@Y oY 3° Ya tas + Int Fen Yo Ind? Y
+ (@; Loa. In leo. Ya to: ET at Indy — ate.
Se ay 5 os ee Ore at ne lo Qu
md en Well. 0 De Le à AEN: seren (A

qui nous conduit aux théorèmes attribués à Viète.
L’équation (41) peut se réduire a

(HAAN) (Yot) (Ua LL) (Intl) = ON (42),

qu’on peut obtenir aussi de l'équation (39) en appliquant les théorèmes
connus des déterminants.

3. Cas où quelques systèmes de racines sont égaux.
) N 57 . S . ?
§ 18. Si l'équation (35) admet des systèmes de racines égaux,

*) Comparer: Dr. Paut Gorpan’s Vorlesungen über Invariantentheorie, tome premier,
S 165.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 27

le déterminant (40) et tous les déterminants de l’assemblant (36)
sannulent; et réciproquement, si le déterminant (40) s’annule,
l’équation (35) aura des systèmes de racines égaux, et tous les
déterminants de l’assemblant (36) s’évanouiront également.

Si le déterminant (40) s’annule, il existe entre les lignes de cet
assemblant au moins une relation linéaire. Les x systèmes de
racines de l'équation (35) satisfont done à une même équation
homogène du degré x — 1. Il s’ensuit qu'au moins deux de ses
systèmes de racines doivent être égaux. Les lignes de l’assemblant
(36) sont dans ce cas liées par plusieurs relations linéaires.

Si l’équation (35) a en tout » — # systèmes de racines différents,
toutes #— 4 + 1 lignes consécutives de l’assemblant (36) sont
liées par la même relation linéaire.

Pour le démontrer, formons de la manière connue l’assemblant
des systèmes de racines, prenant » — # pour le degré de la fonc-
tion #. Cet assemblant contient # — 4 + 1 lignes et z colonnes.
Dans le cas en question tout déterminant de cet assemblant s’annule
car il contient au moins deux colonnes identiques. Les lignes
de cet assemblant sont donc liées par une relation linéaire. La
même relation existe évidemment aussi entre toutes ~ — # +1
lignes de l’assemblant (36).

Il est clair que les coefficients de cette relation linéaire sont les
coefficients de l'équation du »#—#"" degré qui a pour racines
précisément les »—# systèmes de racines différents de l'équation
donnée.

§ 19. Si l'équation (35) a en tout 2—/: systèmes de racines
différents, les coefficients de cette équation sont liés par # relations.

Pour obtenir ces relations il faut évaluer les / systèmes de racines
doubles ou multiples de l'équation donnée, qui sont, comme on
sait, les solutions communes des deux équations:

na, an! N—1) dg 22 y n—2) az 1-32 LL... ,+anyti= 0
1 2 y 3 uy

. (43),
ag ont + Zag an—2 y + 3 a, an Sy? J.H nang = 0 \

que l’on obtient en différentiant l'équation (35) par rapport A?
et à y.

Si les équations (43) admettent une ou plusieurs solutions com-
munes, le résultant de ces équations doit s’annuler.

Constituons pour rechercher les solutions communes des équations
(43) les assemblants de la fonction # de ces équations, prenant
successivement pour le degré de cette fonction 22—3, 22—4, 2u—9,

28 LES SYSTÈMES DE RACINES.

ete., et notons les déterminants de ces assemblants respectivement
Dated MD, etc. +)

Pour # — 1, le seul déterminant de l’assemblant 4 s’annule, et
la solution commune s'obtient de l'équation:

Bye a Bey = 0 "5 MR ECC TERRE Het EEE EE A (44).

Pour # = 2, tous les déterminants de l’assemblant 2 s’annulent
(ce qui est le cas, si deux de ces déterminants s’évanouissent), et
les solutions communes sont déterminées par l'équation du second

degré :

5 9 9

Cosa + Ca dy Ors Oe ee ES cede RRC
Pour # = 3, tous les déterminants de l’assemblant C s’annulent

. . . 4 7 a 77 2:

(ce qui est le cas, si trois de ces déterminants s’évanouissent), et
les solutions communes s’obtiennent par la résolution de l’équation
du troisième degré:

Ds Din OY ADELT Di NEEN (46),

etc.
Pour # — » — 1, les deux équations (43) ne forment qu’ une
seule équation. De la on peut déduire que l’on aura dans ce cas

eu ñ na (n—l)
a, — un nombre arbitraire, a, = — À a,, a. =
1 2 1 1229 172

À? a,, etc.

ñ à 140
Ott =( a" a,, Où À représente le rapport constant qui existe entre
n

les termes correspondants des deux équations (43). Le premier
membre de l'équation (35) se réduit dans ce cas à la #°*”* puissance
du binome # + ay, multipliée par a,

En divisant l'équation (35) par léquation qui fournit les # solutions
communes des équations (43), on obtient l’équation du »—#"""* degré
qui a pour racines les #—# systèmes de racines différents de l’équation
donnée (35).

Les coefficients de: cette équation forment les coefficients de la
relation linéaire qui existe entre toutes x — # + 1 lignes consécu-
tives de l’assemblant (36).

§ 20. Appliquons cette théorie à l'équation du quatrième degré:

a, af + a, wy + a, vy? + a, cy? + a y* =O nn PC DE

*) Voir: Théorie générale de l'élimination, § 87.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 29

we
Pourque cette équation ait des systèmes de racines égaux, il
faut que
Aa, dy
À, 9
3d, Aa, 243 4

243 349 4d, 3a, Zas a

Za, 3 dae
dy 2a, Bas 4a, Ba, 243
€ €
dy 243 Aa, 34,

dy Aa 5

Le système de racines double est déterminé par l’équation (44),
ou B, et B, représentent deux déterminants désignés de l’assemblant

Aa, do

Bas Aa, 2a, Ay |
|

>
l

243 3a, 34 2d, | (49).

[q €
dy 24% Aa, 54,

|
a, Aa, |

Si les déterminants B, et B, s'annulent, les systèmes de racines
multiples s’obtiennent de l'équation (45), où C,5, Cet Co repré-
sentent trois déterminants désignés de l’assemblant

Aa, do
5 A |
un eten M AAR (50)
Zas 344
dy Aa, |

Si les déterminants de l’assemblant C s’annulent, tous les sys-
tèmes de racines de l'équation (47) sont égaux, et le premier
membre de cette équation se ramène à la quatrième puissance d’un
binome entre æ et y du premier degré.

30 LES SYSTÈMES DE RACINES.

IL Deux équations homogènes à trois variables.
1. Nombre des systèmes de racines superflus.
$ 21. Soient
pe, 7,2) = aq a! + ag alty + ag al—42 + a, al—2y? + ay at—2yz
bagel + ay elder = 0,
zeg) = bw" + bg wy + date by DG de eM—2yz

bg em—222 1 5, am-8y3 LE... Hm — 0,
2

PRE EN

les équations données, respectivement des degrés / et m, où /7 ».
Prenant / pour le degré de la fonction /, on obtient les valeurs:

On peut tirer de ces valeurs les conclusions suivantes 1):

1. Si m<2, les /» systèmes de racines des équations données
sont indépendants ;

2. Si m > 2, le nombre des systèmes de racines superflus est

a DN nil DE
== 12 =a à ) Le RE eat Tage de en (53).

Exemples: Pour VS nm 6 Nono
lik Mi CS i vs = À,
RU NE =) Vo = 3, etc.
Remarque. La formule qui fournit le nombre des systémes de
racines superflus dans le deuxième cas peut aussi s’appliquer au
premier cas 2).

2

1) Comparer le mémoire de Jacobi dans le journal de Crelle, tome 15 (1836), intitulé:

De relationibus, quae locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum
vel trium superficierum algebraicum dati ordinis, simul cum enondatione paradoxi
algebraici.

Voir aussi: G. Satmon, Courbes planes. n°. 33.

*) Si le premier membre de l'équation du degré le plus élevé peut se décomposer en des
facteurs de moindres degrés, le nombre des systèmes de racines superflus peut s'élever à

n—l . ' , . weal !
& > ) ce qui se prouve géométriquement sans ancune diffieulté. Nous nous bornons
à relever cette particularité, dont la démonstration algébrique nous conduirait à de trop

amples détails.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 3]
2. Evaluation des systèmes de racines.
PREMIER CAS.
Tous les systèmes de racines des équations données sont différents.

$ 22. Pour évaluer les /» systèmes de racines des équations
(51), formons les équations résultantes entre les /m + 1 derniers
arguments de la fonction #, prenant successivement pour le degré
de cette fonction dm, lm — 1, lm — 2, etc. La première équation
résultante est l’équation finale entre y et z, la deuxième contient
æ au premier degré, mais seulement dans le premier terme; la
troisième la contient dans les deux premiers termes, la quatrième
dans les trois premiers termes, etc.

Les deux premiers termes de la troisième équation résultante ont
pour facteur un binome entre y et z du premier degré, les trois
premiers termes de la quatrième équation un trinome entre y et z
du second degré, et ainsi de suite.

Si tous les systèmes de racines de l’équation finale entre y et z
sont différents, les deux premières équations résultantes suffisent
pour l'évaluation des Zm systèmes de racines des équations données.

$ 23. Si l'équation finale a en tout dm — 1 systèmes de racines
différents, le coefficient du premier terme de la deuxième équation
résultante s’annule (§ 10). Cette équation se ramène donc à une
équation entre y et z du degré /» — 1, ayant pour racines les
Im — 1 systèmes de racines différents de l'équation finale. La
deuxième et la troisième équation résultante sont dans ce cas divi-
sibles par le binome entre y et z du premier degré renfermé comme
facteur dans les deux premiers termes de la troisième équation
résultante (§ 11).

En divisant ces deux équations par le binome considéré on obtient
deux équations d’où l’on peut évaluer /» — 2 systèmes de racines
des équations données. Pour l'évaluation des deux autres systèmes
de racines, il faut égaler à zéro le binome considéré, et former
une équation résultante dont deux termes contiennent 2, l'un au
second, l’autre au premier degré. En résolvant ces deux équations
on obtient les deux autres systèmes de racines des équations
données.

§ 24. Si l’équation finale a en tout /» — 2 systèmes de raci-
nes différents, les coefficients des deux premiers termes de la troi-
sième équation résultante s’annulent, et cette équation se ramène à
une équation entre y et z du Zw 2""° degré dont les racines

32 LES SYSTEMES DE RACINES.

sont les /» — 2 systèmes de racines différents de l’équation finale.

Par rapport aux deux autres systèmes de racines de l’équation
finale les deux cas suivants peuvent se présenter:

1. Péquation finale a deux systèmes de racines doubles;

2. cette équation a un seul système de racines triple.

Dans le premier cas la troisième et la quatrième équation sont
divisibles par le trinome entre y et z du second degré contenu
comme facteur dans les trois premiers termes de la quatrième
équation résultante. |

En divisant ces deux équations par le trinome considéré on
obtient deux équations propres à évaluer /7 — 4 systèmes de racines
des équations données. Pour l'évaluation des quatre autres systèmes
de racines, on doit égaler à zéro le trinome considéré et former une
équation résultante dont les trois premiers termes contiennent a, le
premier au second, les deux autres au premier degré. La résolu-
tion de ces deux équations fournit les quatre autres systèmes de
racines.

Dans le second cas le trinome entre 7 et z du second degré
qui est facteur des trois premiers termes de la quatrième équation
résultante se ramène à un carré parfait. La troisième et la quatrième
équation résultante sont dans ce cas divisibles par le binome qui
est la racine carrée du susdit trinome. Ces divisions faites, on
obtient deux équations propres à évaluer dz — 3 systèmes de
racines des équations données.

Pour évaluer les trois autres systèmes de racines on égale à zéro
le binome en question et on forme une équation résultante dont
les trois premiers termes contiennent +, respectivement au troisième,
au second et au premier degré. Ces deux équations fournissent
les trois systèmes de racines restants des équations données.

$ 25. Il nous semble inutile d’entrer dans de plus amples
détails pour montrer comment on peut continuer cette théorie.

Le nombre des cas qui peuvent se présenter quand l’équation
finale a en tout Zm — # systèmes de racines différents équivaut à
celui des manières dont on peut partager le nombre # en des
nombres entiers 1).

1) On peut déterminer ce nombre en partant du développement suivant:
1 | se AN
An) (ia) le), keeg ane EEE
+ 152%" + 29x° + 30x° + 492" +... +n, ah +....,
où le coefficient », de la kième puissance de æ représente le nombre cherché.
Voir: L. Eurer, Introductio in analysin infinitorum, $ 324, traduit en allemand par
H. Maser (1885) sous le titre , Einleitung in die Analysis des Unendlichen.”

LES SYSTÈMES DE RACINES. 33

Cependant, on ne doit pas oublier que le nombre des valeurs
de # qui se rapportent aux mêmes valeurs de y et z ne peut être
supérieur à m, le plus petit degré des deux équations données,
supposant toujours que les équations données n'aient pas un com-
mun diviseur ou qu'elles n’admettent pas de systèmes de racines
égaux.

$ 26. Pour éclaircir la théorie des deux paragraphes précédents,
prenons d’abord les deux équations homogènes (5) à trois variables
du second degré, déjà considérées au § 7, et supposons que ces
équations n'aient pas de systèmes de racines doubles ou multiples.

Constituons les équations résultantes suivantes :

4 4 4 ay 4 1d 4 EE
Pa9,18,44,15 J sj L11,13, 14,15 Y FES Par, 12, 44.15 #72 + Dis,4o, 19,15 2

Dam nel ra AE (54),
Sp, 8,9, 10 ae? zi Spe, 8,9,1C y° ee 206 7,9. 10 ye Ac Spe, 7,8, 10 ya"

ie emd =O Meee OT AQU . (55),
25.4, 5, 6 vy aes P2,1,5,6 © Ain Maser sin ps 4.6 Y#

LAP Poe Meren (56).

Si tous les systèmes de racines de l'équation finale (54) sont
différents, les équations (54) et (55) suffisent pour l'évaluation des
quatre systèmes de racines des équations (5).

Si l'équation finale (54) a en tout trois systèmes de racines dif-
férents, on aura

Ro — 0 EP PCM OM PE RC CE CE EE MODEL TM TO ip RO AC ED PE aes CH

et les équations (55) et (56) se ramènent aux deux suivantes :

Sp, 8,9, 10 7° Le £6,7,9, 42 +8 LG, 7, 8,10 ye Sir VIN, 7, 8,9 ¢ =, |
Fas. 5,5,6 9 + De, 2, 4,5, det? P2,3,5,0 7" Pr “22,3, 4,6 yet? P28, 4, 5 —0, |

(58).

Dans ce cas, on obtient deux systèmes de racines des équations
données en résolvant les équations :

3

: ene EN 5
36, 9,9,10 9° + Pa, 7, 9,10 Y zt po, 7,8.1092 À Perso 2° 0 |
ae ’

2, RS 2. le : Z
Pause TH Pan (59),
9

pj Parse Tr Porsot Panne Lo,
EN |: 20> 4.5.6 2 |

et les deux autres systèmes de racines par la résolution de Péquation

Verhand. Kon. Akad, v. Wetensch. (le Sectie), Dl. VIII. B 3

34 LES SYSTÈMES DE RACINES.
2054569 —- SOIT — 0 PC M SC One Cine (60)

et l’une des équations (5).
Si l’équation finale (54) a en tout deux systèmes de racines dif-
férents, on aura

muse 0 et Won OE (61).

Les quatre systèmes de racines s’obtiennent dans ce cas en résol-
vant l’équation

pose +5 Daan eye de Dn (62)

et Pune des équations (5).

Comme les équations données n’ont pas de systémes de racines
doubles ou multiples, il est impossible que l’équation finale ait un
systéme de racines triple.

§ 27. Prenons pour deuxième exemple les équations:

a 23}-ayu2y-+-a,u%2--ayvy?|-a,vye—-agez?agy3t agyrztagyz*t-m oz? = 0, | (63)
ba? +- by ay + bg az + b, y + yz +6,22=0, |

où /— 3, m= 2, et supposons que ces équations n'aient pas de
systèmes de racines doubles ou multiples.
Formons les équations résultantes suivantes:

6 6 6 5 6 4,2 6
P23,94,25:26,27,28Y de P29,94,95,26,27,28Y 2d P29,93,95,26,27, 289 © a P22,23,94,26,21,

6 2,4 6 5 6 On
SE P22,23,24,95,27,98 2 ze P22,23,21,25, 26,28 V2 + P22,23,21,25,26,27 ? = 0. .(64),

Lo
12
PJ
Lo
=
19
©
12
—
io
eo
SS
à

5 4 5 5 5 4 5 Boa

P1647,18,19,20,21 UZ =e P15474819,20,217 == P15161819,20,217 "Te P15161749,20,21Y 2
5 Zao 5 4 5 Dee

de P1546,1718,20,21Y°2 zE P1516171819,21 YZ zi P151647,1849,20 © == 0. .(65),

4 2 4 3 4 4 4 3
P40,11,12,13,1415 272 otal P9,11,12)13,14,15 2% at P9,101213,14,15 Y a Poon A3 4,157 ©
4 ane 4 3 4 Ape 3
in P9,10,11,12,14,15 V2 = P9104112131572 + Parois 2 == LE COLD

3, 2 3 3 2 3, 3
P5,61,8,910 27 + Piorsoroty? == Pa,5,7,8,910 22 tai P4,5,6,8,9,107
3 2 3 2 3 Dn
a Pa5679107 "2 a 15e sro? zie Pa56,7,89 2 = LÉGER MU (67).

Pour obtenir les systèmes de racines des équations données (63),
on procède avec les équations (64) à (67) de la même manière que
l’on a fait dans le paragraphe précédent avec les équations (54) à (56).

Dans le cas où

3 ue 8, Lu 3, =
Ps, 6,7,8,9,10 — 9; P's, 6,7,8,9,40 — 0, 74,5, 7,8,9,40 — DER tac Seat ts (68),

LES SYSTÈMES DE RACINES. 39

/ : 2 ee rt
l'équation finale (64) a en tout trois systèmes de racines différents,
déterminés par l’équation :

3 8 | 3 rea ieee vex sd |
P,5,68,9107 af P4.5,6,79,10Y 2 JE serge + 3045,6.7,8,9 ae Si 0. zig (6 9).

Par rapport aux systèmes de racines doubles ou multiples de
l'équation finale les trois cas suivants pourraient se présenter:

1. trois systèmes doubles,

2. un système triple et un système double.

3. un système quadruple.

Dans le premier cas on obtient les systèmes de racines des
équations données par la résolution de l'équation (69) et de la
| deuxième des équations (63).
| Les deux autres cas pourraient se présenter seulement, si les
|
.
|

équations données admettaient des systèmes de racines doubles ou
multiples. Il en serait de même, si l’on supposait que l’équation
finale eût moins de trois systèmes de racines différents.
Ces cas restent donc ici hors de considération.

DBUXTE MELCOAS

Les équations données admettent des systèmes de
| racines égaux.

§ 28. Pour s'assurer de l’existence de systèmes de racines doubles
ou multiples, il faut former le résultant du système d'équations
composé des équations données (51) et d’une des équations que
Yon obtient en égalant à zéro les déterminants de l’assemblant

fonctionnel qui ne s’annulent pas identiquement '):

dp og dp
Ov oy Zz

9% 9% A
dæ dy dz

Si ce résultant s’évanouit, les équations données admettent des
systèmes de racines égaux.

Les solutions communes des trois équations mentionnées sont les
systèmes de racines doubles ou multiples des équations données;
savoir, les systèmes de racines doubles des équations données forment

*) Comparer: J. A. Serrer. Cours d’Algébre Supérieure, de édition, tome premier, n° 89.
3%

36 LES SYSTEMES DE RACINES.

une fois une solution commune des trois susdites équations, les sys-
tèmes de racines triples deux fois, et ainsi de suite.

On peut donc évaluer les systèmes de racines doubles ou mul-
tiples des équations données en appliquant la méthode pour l'évaluation
des solutions communes de z équations homogènes à x variables,
mentionnée dans notre mémoire ,, Théorie générale de l’élimination.”

Il ne nous semble pas inutile de rappeler ici que la méthode
par laquelle on obtient l'équation finale et les autres équations
résultantes donne encore un autre moyen pour former les équations
fournissant les solutions communes de 2 équations homogènes à x
variables. Par application de cette méthode on peut écrire immé-
diatement les équations qui fournissent ces solutions communes.

§ 29. Quoiqu’on puisse évaluer de cette manière les systèmes
de racines doubles ou multiples, il n’est pas nécessaire de les déter-
miner séparément des autres systèmes de racines des équations
données. On se servira plutôt de la méthode que nous avons
appliquée, lorsqu'il s’agissait d’équations dépourvues de systèmes
de racines égaux.

Formons de nouveau les équations résultantes entre les /u + 1
derniers termes de la fonction #, prenant successivement pour le
degré de cette fonction 4m, lm — 1, lm — 2, etc. La première
équation résultante ainsi obtenue est l'équation finale entre y et z.
Si les équations données ont en tout Zum — / systèmes de racines
différents, l’équation finale a tout au plus /# — # systèmes de
racines différents. En ce cas il n’est pas de rigueur que le premier
terme de la deuxième équation résultante s’annule.

Si le coefficient du premier terme de la deuxième équation
résultante a une valeur différente de zéro, les deux premières
équations résultantes suffisent pour déterminer les systèmes de racines
des équations données.

Si le coefficient du premier terme de la deuxième équation
résultante s’annule, cette équation se ramène à une équation entre
y et z du degré 7m—1, ayant au moins pour racines tous les
systèmes de racines différents de l'équation finale entre les mêmes
variables. La troisième équation résultante est dans ce cas divisible
par le binome entre y et z du premier degré qui est facteur des
deux premiers termes de cette équation.

Si les coefficients des deux premiers termes de la troisième
équation résultante s’annulent, cette équation se ramène à une
équation entre y et z du degré /»—2, ayant au moins pour
racines tous les systèmes de racines différents de l'équation finale
entre les mêmes variables.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 37

En somme, dans le cas en question évaluation des systèmes de
racines des équations données peut se faire de la même manière
que dans le cas où les équations n’admettent pas de systèmes de
racines égaux.

$ 30. Pour conclure ce chapitre, nous mentionnons brièvement
les changements que subissent les résultats, quand quelques coefficients
des équations données sont des zéros. Il peut arriver dans ce cas
que le nombre des systèmes de racines indépendants est moindre
que dans le cas où tous les coefficients diffèrent de zéro. Un exemple
s'en trouve déjà dans le mémoire Théorie générale de l’élimina-
tion” dans le § 115, où les deux équations (68), qui sont l’une
et l’autre du second degré, ont en tout trois systèmes de racines
formant les trois solutions communes que les équations données
admettent dans le cas considéré.

A première vue, il semble que dans quelques cas les résultats
obtenus subissent des modifications, cependant les résultats généraux
ne changent pas.

Prenons pour exemple le système des deux équations du
second degré:

a, #y + a,a2 +-a,y" + a,yz dage =0,
by ay + bg we + Lg + b; yz + be = 0,

où manquent les termes qui renfermeraient x”.

Toutes les équations (54), (55), (56) s’anéantissent. Il semble
que l'équation finale entre y et z soit du troisième degré et de la
forme 1):

2 Diy 2m 2, ne
Misser Sin (24,8, %, 6 ae AN) ye + (pis 4,5 + 1,2, 1,6) Y2
+ 204 94,5 23 = 0 S'IL Sel, see ES NE (72).

Cependant, tenant compte de l’évanouissement de a, et 4, dans
les équations (5), on peut former les équations résultantes suivantes:

242 4 ae 4 ret ee
Dansanas 72 ae Sr 10,4515 2 = P1A2,435 I + Passe = 0
8 8, ACE 3 ay elt: en 7:
Sp, 8.940 JE zi Sp 1910 ye ae Pissio V2 ai Dire" =O. 3).
2 2 > 2 HAN sees
204 4.56 ve + 2350 Gis + Pissc Y2 <= Pisas 2 =O,

1) On obtient cette équation en éliminant w entre les deux équations terminales:

2 2 2 2 pa | —
rase 82 + “pisse Y° + “Pise YZ + Piast —0,
2 2 2 je 2 pe
— piss ty + preso y + Press YZ + Presse =O

38 LES SYSTÈMES DE RACINES.

On déduit de ces équations que l’un des systèmes de racines
des équations (71) est æ = un nombre arbitraire, y — 0, z= 0,
et que les trois autres systèmes de racines de ces équations, 77, 45,5
différant de zéro, sont déterminés par les deux dernières équations (73).

3. Détermination des systèmes de racines superflus en
fonction des autres systèmes de racines.

§ 31. Si » >> 2, les dm systèmes de racines obtenus par les
méthodes expliquées dans les paragraphes précédents sont liés par

ml . : , : ml
i 9 ) relations, de sorte que l’on peut regarder in—( 9 )

ou Ca 2) de 2 —1] systèmes de racines comme indé-

pendants entre eux.
Cependant, on ne peut prendre arbitrairement un si grand nombre
de systèmes de racines, car les coefficients de la deuxième équation

(51) sont déjà parfaitement déterminés par Gy js > — 1 systèmes
de racines indépendants, c’est-à-dire par m (7 — m) — 1 systèmes

: à m — ] à
de racines de moins que Zw — 9 DE Les m (7 — m) — 1 systè-

mes de racines restants doivent être choisis de telle manière qu’ils
satisfassent à l’équation homogène du u” degré determinée par

Mm = à A :
les ( Es WE 1 autres systèmes de racines indépendants.

Cependant ce n’est pas la seule condition à laquelle les 4x — Gs En 5)

systèmes de racines indépendants doivent satisfaire 1).
Si l’on veut que les équations (51) ne puissent se décomposer
k—]
2

ou dé ju à —— En ir mF à — l des CB de 1) — 1 systèmes de

racines considérés qui peuvent satisfaire à une même équation
homogène du #4" degré entre les mêmes variables, où # < m.
Par contre, si lon veut admettre que les équations données puissent
se décomposer en facteurs de moindres degrés, le nombre des systèmes
de racines indépendants qui peuvent satisfaire à une même équation

du 4” degré est tout au plus de ce a ) = en: a

en facteurs de degrés inférieurs, il n’y a pas plus de mA — (

‘) Comparer: G, SALMON, Courbes planes n° 28,

LES SYSTÈMES DE RACINES. 39

tandis que entre les : )— 1 systèmes de racines restants il
~

, Æ 2 € — Kk. 2 . . = . N
ny en a que ( B JC i ze ) qui puissent satisfaire :

une équation du 4" degré, où A, << #, et ainsi de suite.
$ 32. Cela posé, formons l’assemblant des coefficients, prenant /pour

oe 9
le degré de la fonction #. Cet assemblant contient 1 + € es se)

=

colonnes. Formons ensuite pour la même valeur du degré de la
L A md 2 :
fonction /’ l’assemblant des /» —( 9 ») “systèmes de racines

indépendants. Cet assemblant est supplémentaire à l’assemblant des
coefficients.
Les équations résultantes qu’on peut former au moyen de ces

t+ 2 l— m+2 a
assemblants, contiennent en tout ( 9 )—( 9 ) termes,
l— m+2

à

de sorte qu'il manque dans chaque équation résultante (
arguments de la fonction #. Les coefficients de ces équations ne

1 A OP é
systèmes de racines indépendants.

dépendent que des In OD

~

Prenant 7 = /, on peut former en tout un nombre d’équations

résultantes égal a . Ces équations résultantes ne
Lm 2

mk : /-—-m+2
sont pas toutes indépendantes. En construisant les ( A ) + |
~
, , l— m +2
équations résultantes dans lesquelles à termes manquent
~

Lm 2 PEL .
des ( oe a termes désignés, on obtient un système

d'équations résultantes qui sont indépendantes par rapport aux
arguments de la fonction /, car leur assemblant contient un déter-
minant dont tous les éléments sont des zéros, excepté ceux de la
diagonale. Ces équations linéaires par rapport aux arguments de la
fonction # sont vérifiées en tout par

“ + à ee Gey! à — | = lm — Gr) RE Pe (74),

systèmes de racines indépendants.
Le nombre des systèmes de racines superflus des équations données

AO LES SYSTÈMES DE RACINES.

mol

doit done être ( 8 ), résultat s’accordant avec la formule (53).
a

§ 33. Il n’est pas difficile d’indiquer comment on exprime les
. A Bes im — 1 5
systèmes de racines superflus en fonction des / m—( 9 systèmes

de racines indépendants.

Prenons / pour le degré de la fonction #, constituons les équa-
tions résultantes et exprimons les coefficients de ces équations par
des déterminants de l’assemblant des systèmes de racines indépendants.

Ces équations résultantes sont toutes du /°”* degré. Dans le
cas où l’on a » < JZ, quelques-unes de ces équations se réduisent
à des équations du degré m, le nombre des termes de la deuxième
équation (51) étant inférieur au nombre des termes d’une équation
résultante formée pour 7 = J, car la relation

CEE (75),

qui se ramène à

OR LEE VELE RC MEN (76),

est vérifiée dans le cas considéré ($ 8, 1).

On peut alors remplacer les deux équations données (51) par
deux équations résultantes indépendantes respectivement du degré
let m, dont les coefficients s'expriment par des déterminants de
Passemblant des systèmes de racines indépendants.

En partant de ces deux équations formons l’équation finale
entre deux variables quelconques. De cette manière on obtient une
équation finale dont les coefficients ne peuvent dépendre que des

ml NN
Im — € : systèmes de racines indépendants.

2
a

En appliquant les théorèmes de Viète, on peut déduire de cette
, , . N emd
équation finale une équation homogène du degré 6 > entre les

~

mêmes variables, dont les systèmes de racines sont précisément les

à > Le NS ml
systèmes de racines de l’équation finale qui se rapportent aux 9
systèmes de racines superflus des équations données, comme il sera
exposé dans la suite de ce chapitre.

§ 34. Sil n'existe qu'un seul système de racines superflu, les
deux premiers coefficients de l'équation finale entre y et z obtenue
d’après la méthode expliquée dans le paragraphe précédent suffi-

tie. sit ft

LES SYSTÈMES DE RACINES. 4]

sent pour l'évaluation des éléments y et z du système de racines
superflu.

Dans le cas où il y a / systèmes de racines superflus, les # + 1
premiers termes de l’équation finale entre y et z sont nécessaires
pour évaluer les éléments y et z des # systèmes de racines supertlus.

Divisant le deuxième, le troisième, etc. coefficient de l'équation
finale par le premier coefficient, on obtient des résultats qui sont
respectivement égaux à

ole OND LS
ee + ees LS

29 Zim
de Y1Y2 NI erk Yim—A =
21 22 21 23 iN Zlm—1 lim 4
EE a ee (TE
V1 Ya++ Yk Yi Yo + Yk-1lYk +4 zi
(Ik gia: Ik IIs: -Yk-1 Yk + a
a Zo « ‚ZK : 2 23 Zld Ek HA
Se Yim—k +AYlm=k +2 ==,
2m —k +1 ppp +2. 21m :
etc.
De ces égalités on peut déterminer les valeurs suivantes:
ns HU |
zy 2, oe
ae (4 2 rn 1:73 ein Lin a)
“nee ey 23 1 enke Ae eek (78),

Gay A Yo eeh

2 2: 2 |

exprimées en fonction de coefficients de l’équation finale et des
lu—k systèmes de racines indépendants.

Ces valeurs forment les coefficients du deuxième, troisième, ete.,
JH 1*™e terme d’une équation homogène entre y et z du 4°"
degré, où l’on prend l'unité pour le coefficient du premier terme.
Les # systèmes de racines de l'équation ainsi obtenue représentent
alors les valeurs de y et z qui se rapportent aux # systèmes de
racines superflus des équations données.

Remarque. Pour l'évaluation d’un seul système de racines superflu
on peut se servir aussi des coefficients du premier et du dernier
terme de l’équation finale, pour trois systèmes de racines superflus

49 LES SYSTÈMES DE RACINES.

des coefficients du premier et des trois derniers termes, et ainsi
de suite.

$ 35. Pour éclaircir ce qui a été dit dans le paragraphe précé-
dent, prenons les deux équations homogènes du troisième degré à
trois variables :

aSa 2y as ?2 + a uy + asaye agen Hagy 20092-01028 — 0,

oe
by 03+ dry + b30%2- bay + bsay2bevz? bry? -bgy 22 boyz? Hbo? = 0, Sh

Si ces équations n’ont pas de systèmes de racines égaux, il existe
sans doute un seul système de racines superflu 1).

Constituons Vassemblant des coefficients, prenant 3 pour le degré
de la fonction #:

a &
a, D
Fe 3
dy 4
dir) A Hees oe aen En (80),
ns we
On Ox
CPR AC
a bg
dio ro
et l’assemblant des huit systèmes de racines indépendants:
8 a> 2,2 2,3 a3 a8 a3 a
| PY, Uy 3's Via UsI5 Ye UI Ts
(aa de Ut des Mes Ue MZ, Leg
| M" Toda Las Va Us Ye” UI Tets
LON Vata VY 323 U4 424 UsY5%5 MY 6% UY 727 Tas iss ROIS
AAE Nue Ur een NINE
| nn

M 2, 2 2 2 2, 2, 2,
[LN A Vo 2 Y¥3%3 Va ta V5 % Je B Yr Ve B

nan PP Re ee NE By Ok EE tio ere Bo
N11 Vote Vars Yate” I5%B Vote In sis
Sie B zie Ge Ph 278 „3 „B
2 9 23 4 25 2 aq 28

") Nous nous abstenons dans ce mémoire d'entrer en des particularités relatives aux
systèmes de racines superflus pour le cas où les équations données admettent des systèmes
de racines égaux.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 43

Au moyen du dernier assemblant on peut former les deux équa-
tions résultantes indépendantes:

Kier y— X, 3072 + X,,ay? — Kaye + X, 6x2”
— Xing ai X,87°2 — X,9y2? ris Xi 402” =0, |
Kot a X32 EP X,, ay” == X,,2y2 = X, 422? |
+ Kony? — Xogy?z + Xrgy2* — Koror — 0, ,

qui peuvent alors remplacer les deux équations données (79).
Formons par rapport aux équations (82) l’assemblant des coeffi-

cients, prenant 9 pour le degré de la fonction Æ, et indiquons les

déterminants de cet assemblant par 9Piogasenso °Pipsasongro, ete.

L’équation finale entre y et z prend alors la forme suivante:

9 9 Ip 8,
2 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55. Ÿ == 1 46, 48, 49, 50, 51,52, 53,54,55.7 À +
9 D Ps en 5
ep ET OR ROPE me Pig, 7,48, 49, 50, 51,52, 58, 54 2 =(.... . (8: )-

De cette équation on peut déduire:

A 9
Yo Es £ 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,55 (84),

fi Ye Je 1 4
meat tS +

9 P
8 9 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53,54, 55

d’où s’obtient immédiatement le rapport de y, par 2, exprimé en
fonction des huit autres systèmes de racines.

La valeur de a, s'obtient de la mème manière de l’équation
finale entre æ et z, ou par la substitution des valeurs trouvées dans
une équation terminale, qu'on peut construire pour une valeur
quelconque du degré de la fonction 7

} ;
Remarque. La valeur de Ja. s'obtient encore en se servant du
<9
premier et du dernier terme de l'équation (83). De cette manière
on obtient

id OD ar LA Lens eS RMS EC" (85).
2] 29 28 <9 FE 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 54

9
Y1 Ya Ys Yo P46. 47,48, 49,50, 51,59, 58, 54

§ 36. Nous ne nous arrêterons pas à choisir un exemple d’équa-
tions admettant plus d'un système de racines superflu. La méthode
qu'il faut suivre en ce cas pour exprimer les systèmes de racines
superflus en fonction des systèmes de racines indépendants est sufti-
samment expliquée par ce qui précède.

Reste à remarquer que les coefficients de l'équation finale ($3)

4A LES SYSTEMES DE RACINES.

ne sont pas dépourvus de facteurs superflus, et en plus, que ces
coefficients sont des déterminants dont les éléments sont eux-mémes
des déterminants. I] serait plus important, si l’on pouvait exprimer
immédiatement les systèmes de racines superflus en fonction des
déterminants de l’assemblant des systèmes de racines indépendants,
prenant 7 = /.

C’est possible dans le cas où les deux équations données sont
de degrés égaux.

Pour le démontrer, reprenons les deux équations homogènes (79)
du troisième degré à trois variables, et formons l’assemblant des
coefficients de ces équations, prenant 9 pour le degré de la fonction
F. L’équation finale entre y et z est alors:

"Dig, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55 Pea PG, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55 yz 2

ER Nn ON CT + Pe 90). nnee wle (80):

Le coefficient de y? est égal au produit des deux facteurs

suivants :

celui qui est commun à tous les coefficients de l’équation
finale, y compris le facteur commun à tous les déterminants de
l’assemblant des coefficients;

le résultant des équations où se ramènent les équations données
en égalant à zéro la variable z.

Le coefficient de 2° se compose également de deux facteurs, dont
le premier est le même que le premier facteur du coefficient de y°
et le second le résultant des équations que l’on obtient en égalant
la variable y à zéro dans les équations données 4).

Notant ces résultants par R,_, et &,_,, on obtient la relation:

9, 9
P17, 48, 49, 50, 54, 52, 53, 54,55 ___ 76, 47,48, 49, 50, 51, 52, 53, 54 (87)

pe = RV SRE ee.

Comme les coefficients de y° et 2? dans l'équation finale (86)
forment une proportion avec les produits des racines de cette équa-
tion, on obtient:

Ys Vo Ue Biro Aa dee 4
192-7870, APRES DRE EURE ANT MBE
fi,
En appliquant la même méthode à l’équation finale entre a et z,
on trouve Végalité:

) Comparer: L'équation finale, § 19 et suivants.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 45

D pee gp Nia Vs Ht (89)
Bi 0 k, — 0 hh. ee

dans laquelle Z,_, représente le résultant des équations:

Gy + 4,72 + a, 72" + ap —=0, |
bud be y?2 + by He + bo = 0,

R,,—o le résultant des équations:

a a + a, v2 + agar? Hag —=0, |

Bia del be az" Hbo 2

RK.» le résultant des équations:

—
7
.
eres

|
|

a @ + dy wy + ay ay? + ayy?
b, @ + by wy + by ay” +b, y =0,

En déterminant le résultant des équations (90) par la méthode
de Sytvesrer Ì), on obtient:

v
——

ay by Aq bn | aq bz
> >
dg Ds ay 4, 40 Dio
a, b, az be ag bg a, Ds 7
DER == 5 / | > ] Tepe ss (< e )y
dy by | | io bio Sa Se aa
a, 6 ds Og | do Og
> >
do Ho bo bio do bio

et des résultats analogues pour 2,4 et BR. _».

En substituant aux déterminants de l’assemblant (SO) qui entrent
dans la forme (93), les déterminants supplémentaires de l’assemblant
(81), on obtient l'égalité suivante ?):

") Voir: G. Satmon, Leçons d’Algébre Supérieure, n° 91.

*) Le même résultat, mais obtenu d’après une autre méthode d’élimination, se trouve dans
notre communication adressée à l'Académie Royale de Sciences d'Amsterdam, et intitulée :
Détermination analytique du neuvième point d’intersection de deux courbes planes du
troisième degré qui passent par huit points donnés.” (Verslag van de gewone Vergade-
ring der Wis- en Natuurkundige Afdeeling der Koninklijke Akademie van Weten-
schappen te Amsterdam van Zaterdag 29 Juni 1901),

46 LES SYSTÈMES DE RACINES.

By ys ss. CE tt Arosa Yao Zo: (94)
Le ;
r FF 7 7 T
Xs Xp ‚Xiao | À; Xs » X1,10 Xi, Xin ‚ Xin

i

T ve T 7 T De T
X39 > X40 a5 Xeo Ê Xero Xie. X410 à X36 ? X40 Xin » Xin de Xan , X57

A

r 7 7: ra
X10 > X10 > Xoo X,10 ) X 310 > Xero Xi > X7 > Xin

d'où l’on peut déduire aisément les valeurs de a, yg, 2) en fonction
des huit autres systèmes de racines des équations données (79).

II. Trois équations homogènes à quatre variables.
1. Nombre des systèmes de racines superflus.
$ 37. Soient

p(x, y,2,u)=a, 0! +-agal—1 yt-aza!—1 2 Laçal-A1 u+açat2 y +... ag a 3) ul —0,
3

zege Wb, ab ay + 6, vm—1 2+ b, 2-1 ut 6, am—2 y2 |, +6 çn +3) wn = 0, (95)
3

y (a,y,2, "=e, a" Heart yte,ar—1 zteyar—1 ute, an—2 yt... Ten +3) wet,
> 3

les équations données, respectivement des degrés /, m et n, où
[== mn.
Prenant / pour le degré de la fonction #, on obtient les valeurs:

CE |
ni DEN is
1s € — m 5 n + TE + ae a be Gx on .

sere Gu m En a + ni) |

On tire de ces valeurs les conclusions suivantes:

l. Si x + x 3, les /m » systèmes de racines sont indépendants;

2. Sim-+n2>3,m<3, et par conséquent / > m + #7 — 3, le
nombre des systèmes de racines superflus est

— 0, = ‘Gi as 4 tte 3) Le oil. IE er hr Me ENEN ENS (97);

. (96).

LES SYSTÈMES DE RACINES. 47

oO. Ob m->>'8, n<3, et par conséquent l>m--n —.3, le nombre
des systèmes de racines superflus est

en (os —: > = ce A: ; — 2 TE. eres (98);

4. Sin > 3, Lm n—3, le nombre des systèmes de racines
superflus est

By + Bs — V3 = — ae ‘erie 4- Geer …. (99);

5. Siu > 3, lm n— 3, le nombre des systèmes de racines
superflus est

CD
| —("3 1) + re RTE (100).
|

| Exemples :

|

| BOE m2 — 2 , n= 2 , on trouve —t == 1;
M= N=, ES et == 4;
oo) Sea 9 , a = — 0, == 10;
ao Fn — 0, 4 == 01, 5, 2 Vo — Vg = 105; etc

Remarque. La formule qui fournit le nombre des systèmes de
racines superflus dans le dernier cas, peut aussi s’appliquer aux
autres cas, si l’on regarde comme des zéros les coefficients binomi-
aux des puissances négatives qui se présentent dans le cas où

l>m+an—1 1.

*) Les résultats obtenus dans ce paragraphe ne different pas de ceux mentionnés
par Jacosr dans le journal de Crelle, tome 15 (1836), et qu’il énonce comme suit:

Si gvh, numerus punctorum, per quae superficiem eli ordinis ducere licet, quae
in curva intersectionis duarum superficierum vti et &!i ordinis ex arbitrio accipere licet, est

Si zv, g>, sed pp y Hy fit idem numerus

45) vul) (v Hg?) (y + & — un —3)
2 ate ROLE ua fs

väöl ~+2— 2.3

24:

Si l'on retranche le nombre des points, que l'on peut choisir à volonté, du nombre
de zv, on obtient précisément le nombre des systèmes de racines superflus mentionné
dans ce paragraphe.

48 LES SYSTÈMES DE RACINES.
2. Evaluation des systèmes de racines.

§ 38. Cette évaluation s'opère de la même manière que dans
le chapitre précédent.

Si l’on veut s'assurer de l'existence de systèmes de racines égaux,
il faut former le résultant des trois équations données et d’une des
équations que l’on obtient en égalant à zéro l’un des déterminants
de Vassemblant fonctionnel qui ne s’annule pas identiquement :

Jp dp Ay om
dæ wy Òz du
9% OY OY B
dæ dy dz du
dd dd dd dd
òz OY Oerd

Si ce résultant s’annule, les équations données ont un ou plusieurs
systèmes de racines égaux.

L'évaluation des systèmes de racines doubles ou multiples peut
se faire de la même manière que dans le cas où il y a deux équa-
tions homogènes à trois variables.

$ 39. Pour évaluer les systèmes de racines des équations don-
nées (95), prenons successivement pour le degré de la fonction #
Iman, lmn — 1, lmn — 2; etc., et formons de la manière connue
l'équation finale et les équations terminales qui sont nécessaires pour
la détermination des autres variables.

Si l'équation finale a des systèmes de racines doubles où multi-
ples, il se peut que les équations terminales perdent la troisième
ou la quatrième variable, ou qu’on puisse décomposer ces équations
en des facteurs dont l’un ne contient que les deux variables de
l'équation finale considérée.

En somme, les mêmes cas que nous avons considérés dans le
chapitre précédent, peuvent se présenter dans le cas où il y a trois
équations homogènes à quatre variables.

Nous ne nous arréterons pas à entrer dans d’autres détails.

$ 40. Appliquons en dernier lieu la théorie du paragraphe
précédent aux trois équations homogènes à quatre variables :

a, 0? + agay Hagaz Hagen Jay? +-agyz—--azyu—-agz? Hagen Ja yu? = 0,
bat +-bgny +-bsaz-byvu- by? bye Ora bye” +- bgzu- by yu? =0,) . (102),
cv + egy + eg ou =0,

— As

ie er me,

LES SYSTÈMES DE RACINES. 49

Prenant pour j successivement 4,3,2, on obtient les valeurs
suivantes :

LEURS 4, v— 85, v, = 40, Va = 9, are
2 nou 200, = 18, v= 2) vi 7 2, (103)

ne 2 — 10, p= 6, v, —0, y = 0; |

4 : 3 11
Après avoir construit les assemblants des coefficients, on formera
les équations résultantes :

430 33, 34, 35 2 ae “pa, 33,34, 35 © ay + Spa. 32, 34,35 © aur
ie SW as sn. 580 zu° + 495) 59 93, 95 a AS (104),
Dia, 18, 19, opu Er Die, 18,19, 20 2° je 216, 17,19, 20 zu
Sn D6, al. 19,20 247 + Pi, 7,18,19 u = 0....(105),
22. 8,9. tre P6,8,9,40.74 + 2 Ps, 7,9, 10 a
+ ? ‘6, 7,8,10 24 + Perso w? = 0....(106),
26. LA 109" == 2ps, 7,9, 092+ "Ds, 6,9,10,/%

— Ep 6, 7,10 24 — "Ds, 67,90" = ft)... (1.0%).

Si *y17,18,19,20 est différent de zéro, les équations (104), (105) et
la troisième équation (102) suffisent pour l'évaluation des quatre
systèmes de racines des équations données (102).

Si Von a 9), 18.19.00 — 0, l'équation (105) se ramène à une
/ . i 5 À . ex ,
équation entre les deux variables z et w du troisième degré, avant
au moins pour racines tous les systèmes de racines différents de
Péquation finale (104).

L’équation (106) est dans ce cas divisible par le binome

2D3. 8,9 40 2 + 206 9.9, 10 U rhe th Sept Werelden eb aCe TOME a oO ns et + (108).

Deux systèmes de racines s’obtiennent en résolvant l'équation

207 8,910 2 + 26 8,0 40 U ——— 0 Tete can Oe. let Real cle Pe AN: (109),

l'équation (107) et la troisième équation (102), et les deux autres
par la résolution des équations:

oy 0) 3 ry 5, wore 3 3
P16 A8,19,20 == P164719,20 2 u + P1617,18,20 2% + Pigrrasao 4 0 (110)
en TLE ah :
L7,8,940* + “Pes.9,10 ¥

50 LES SYSTÈMES DE RACINES.

2 aje 2 2
6 7.9,102" T Pe zu + ou
6,7,9,10 P6,7,8,10 Pe,7,8,9 tn (111).

y+ 2 2
P1,8,9,10 ? DE 6,8, 9,10 #

et la troisième équation (102).

Si l’on a 7,991 = 0 et esoro — 0, l'équation (106) se ramène
à une équation entre z et # du second degré, ayant au moins pour
racines tous les systèmes de racines différents de l’équation finale
(104). Dans ce cas, les systèmes de racines des équations données
(102), découlent de l'équation :

2. 2 ; aise
"D6,7,9,10 27 + P6,1,8,1024 À 7%, 7,8,9 RS UC ae (112),

l'équation (107) et la troisième équation (102).
3. Les systèmes de racines superflus.

$ 41. La méthode qui permet d’exprimer les systèmes de raci-
nes superflus en fonction des systèmes de racines qu'on peut regar-
der comme indépendants, ne diffère pas de celle appliquée dans le
cas de deux équations homogènes à trois variables.

Nous nous bornerons par rapport à ce sujet à la determination
du huitième système de racines des trois équations homogènes du
second degré à quatre variables:

da? +-agay Hagve Hagen Ha y? ayez ayu age? Hagen dot? = 0,
6,0? + bgay Hg bau by? + boyz + byyu-+ bg2*- dgzu-- hou? = 0, |... .(113)
ea? + cgay +-egaz + eau + egy? Heppe + cpyu Hege? + cou + cpu? — 0,

en fonction des sept autres systèmes de racines de ces équations.
Les produits des éléments correspondants des huit systèmes de

racines de ces équations forment une proportion avec les résultants

des équations que l’on obtient en égalant à zéro l’une des variables.
On obtient donc l'égalité:

di Lo. . Uitg N12: VIS = Nee Sed Ro U Ug (114)

Fun ee PE Re

y

dans laquelle A, représente le résultant des équations:

ay" + agyz + ay + a + agzu + ot = 0,
boy + bye + 6, yu + bye" + by zu bu = 0,)....... (115),
Cry” + eye +e, yu + 2" + cru + ap = 0,

et ainsi de suite.

LES SYSTÈMES DE RACINES. 51

Par application de la méthode de Sylvester on obtient pour
les susdits résultants des formes composées de déterminants de

l’assemblant :
|
|
AU. à
;
dn 0, Cy
| b
as ah 65
oa oO, c,
a, 6, G
EN ieee nee (116).
a5 A
a 7 Ca
7 LNA
a by Cy
Go Cio Co
En remplaçant ces déterminants par les déterminants supplémen-
taires de l’assemblant des sept systèmes de racines indépendants :
a2 a2 à? a2 2? a2 à? |
Bnn C273 Vala 2575 Pele BIT |
OENE Wal, 0,2, DE, Det Ui
PU Lolly Pala: Bul, Lot, Tele Lin |
PRE Ne 2 2 2 2 2
EE eea A Is Je Jr (124)
AN eta pee IT SAS SAIT >
Boes Jia I55 Ie 6 177
Fie Ue G35 Yd I5Us Iet Inr
2 2 oo sta a ER
oee rn OI Se 6 * &
Bec Zu, Zell, Zee At
SD SNE Sia) 2 2 2 2
eee U 4° Ug” ey

on obtient des expressions du 56"™° degré pour les produits des
éléments correspondants des huit systèmes de racines, d'où lon
peut déduire immédiatement les valeurs de a, yg, 2g, Ug en fonc-
tion des sept autres systèmes de racines des équations données (113).

ERRATA

du mémoire ,,L’équation finale”.

Page 12, dans le § 14 au lieu de #, lisez Zu.

Page 60,
60,

LE)

Page 61,

ligne 2, et page 3, ligne 3 d'en bas au lieu binominaux,
lisez: binomiaux.
au lieu des lignes 6 et 5 d’en bas, lisez:

Le degré des équations finales est égal au produit des
degrés des équations données; le degré des équations
terminales ne peut être pris inférieur à la moitié de ce
nombre; tandis que le degré des autres équations résul-
tantes ne doit pas être pris inférieur à la somme des
degrés des équations données diminuée de > unités. Le
nombre des termes de ces équations résultantes est égal
au produit des degrés des équations données augmenté
d’une unité, quel que soit le degré de la fonction 7
ligne 17 d’en bas, au lieu de p—g, lisez g.
au lieu des lignes 4 et 3 d’en bas, lisez:

Dans ce cas, ordonnant l’équation terminale considérée
d’après les puissances descendantes de la troisième varia-
ble, les coefficients de ses deux termes s’annulent.
ligne 4, au lieu des mots „de l'équation finale” lisez:
des autres équations résultantes.

(24 Mei 1902).

La distribution de la lumière galactique,

5 omparée à la distribution des étoiles cataloguées, =
dans la Voie lactée boréale |

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam
ŒERSTE SECTIE)
Deel VIIL. N° 3.

(Avec 2 planches)

4
i
ADS SERRES 8
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AMSTERDAM ,
JOHANNES MULLER
Januari 1903.

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4 ‘ . …
7 Ged EE ty
A é -
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De in Kn

a © La distribution de la lumiere ralactique,
_ comparée à la distribution des étoiles cataloguées,
B dans la Voie lactée boréale

PAR

eG BHASTOM

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam
(EERSTE SECTIE)
Deel VIII. N° 3.

(Avec 2 planches)

AMSTERDAM ,
JOHANNES MULLER
1903

admire sé Site EEE rs ©: ls

_ TABLE DES MATIÈRES.

I. Distribution de la lumière galactique dans la Voie
lactée boréale, divisée en 108 rectangles; distribution des
étoiles de la „Bonner Durchmusterung” par rapport aux
mêmes divisions.

$ 1. Plan général des recherches.
$ 2. Intensité de la lumière galactique et condensation des

étoiles très faibles. — Classification des étoiles cataloguées.

$ 3. Division de la zone galactique boréale en rectangles. —
Les „aires”’ de STRATONOFF.

$ 4. Représentation numérique de la distribution de la lumière
galactique.

$ 5. La Carte isophotique.

§ 6. Discussion de la méthode de réduction des données con-
signées dans la carte.

§ 7. Détermination de l'intervalle d entre les isophotes, à l’aide
de dénombrements sur un cliché photographique.

s

$ 8. Application de la méthode à la détermination de l'éclat
total galactique de chaque rectangle. — La méthode
est-elle d’une exactitude suffisante au but?

$ 9. Détermination de la densité stellaire pour les quatre
groupes de la B. D., dans les rectangles.

§ 10. Tableau comparatif des densités moyennes des étoiles
@AreELANDER et de la lumière galactique, entre 0° et
180° long. gal. et — 18° + 18° lat. gal.

1°

TABLE DES MATIÈRES.

IT. Discussion du tableau comparatif.

Sa.

Résultats envisagés par rapport à la zone entière, et à
chaque division.

Traits généraux de la distribution des cinq groupes. —
Tableau des ,,prépondérances”.

La question de la corrélation générale entre l’éclat de la
| 2
Voie lactée et la distribution des étoiles de la ZB. D.

Distribution par rapport à la latitude et à la longitude
galactiques.

Condensation de la lumière galactique vers l’équateur
galactique dans les diverses parties de la zone; traits
généraux de la distribution de la lumière en longitude
galactique. — Indications de plans galactiques différents
pour les différents groupes stellaires et les diverses parties
de la zone.

Modification du caractère de la distribution avec le
décroissement de la grandeur stellaire.

Disposition des densités prépondérantes autour d’une
région fortement condensée, dans la région maximale
Cassiopeia — Aquila.

Relations entre les densités d’un même rectangle. —
Types de distribution”.

Manière dont la densité change d’un groupe à un
autre. — En général, pour les quatre groupes de la
B. D., la densité augmente avec l’accroissement de
l'intensité de la lumière galactique, et d’autant plus
fortement que le groupe consiste d'étoiles plus faibles.

Ill. Conclusions.

§ 20.
§ 21.

Points de départ fournies par les recherches antérieures.

Les accumulations de la Voie lactée ont assez de cohé-
rence, elles ne sont pas éparpillées dans l’espace et ne
pénètrent guère dans le voisinage du Soleil.

En général les condensations de la Voie lactée paraissent
correspondre à de véritables accumulations stellaires; on
peut regarder les zones galactiques comme des couches
d'étoiles plus ou moins irrégulièrement condensées, et la

§ 26.

Sr:

$ 28.

TABLE DES MATIÈRES. 5

structure apparente de la Voie lactée s’explique assez bien
par cette seule supposition.

[Indices de superposition apparente de couches et
accumulations stellaires. — Profondeur relativement peu
considérable de certaines régions galactiques. |

Le „clustering power” embrasse les grandes masses stel-
laires. Le Max. maximorum dans Cygnus.
JO

Cependant il n’est pas possible d’expliquer plausiblement
certaines particularités qui se sont révélées au cours des
recherches présentes, sans recourir à des suppositions
relatives à la distance.

Les relations entre certaines agglomérations galactiques
DO D |

if ZEN . .

résultent déjà de l’aspect visuel et photographique de la
Voie lactée. — Quelques parties qui paraissent juxta-

| |
4 Li 74 . « .

posées, doivent en réalité se trouver à des distances
très différentes, et quelquefois des parties situées à des
distances diverses sont superposées en apparence.

La fréquence relative des étoiles des différentes grandeurs
dans l’espace, trouvée par Kapreyy, et la distance inégale
des deux branches de la Voie lactée dans Cygnus et
Aquila.

Relation de la forte agglomération stellaire dans Cygnus
avec les étoiles environnantes.

Résumé: Une condensation galactique centrale, d’où

émanent des courants stellaires qui, en partie, entourent

le Soleil.

I.

§ 1. — L'absence de données numériques sur la distribution des
étoiles des divers ordres d’éclat dans la zone galactique pouvait en-
trainer des inconvénients sérieux pour les recherches, au cours des-
quelles il fallait s'occuper du groupement des étoiles ou autres ob-
jets célestes par rapport au plan de la Voie lactée. C’était le cas,
non seulement pour les études speciales, telles que les recherches
d’Esrix sur la distribution des types spectraux IV et II (Astrophysical
Journal, X, 3 Oct. 1899) mais encore pour Vinvestigation de
certains problèmes d’un ordre général — les erreurs d’estima-
tion des grandeurs, dépendant de la densité stellaire; le groupe-
ment des mouvement propres; la question d’un rapport systématique
entre la couleur des étoiles et leurs distances de la Voie lactée;
la distribution des amas stellaires et des nébuleuses, ete.

Pour la distribution des étoiles de la Bonner Durchmusterung dans
la Voie lactée nous possédons, il est vrai, les publications de PLassMANN
Mitteilungen d. Verein v. Freunde der Astronomie, 1893; Himmels-
kunde, 1898, p. 498) et de Srraronorr (Public. Observ. Taschkent 11,
Etudes sur la structure de Univers, I, 1900). Prassmanx a calculé
une „Voie lactée théorique” pour les étoiles d'ARGELANDER; Srra-
ToNorr a continué l’investigation bien connue de ScHIAPARELLI pour
ces mêmes étoiles: il donne des cartes pour la distribution de chaque
demi-grandeur de la 2. D. Mais — ainsi que l’a déjà fait remarquer
W. DE Srrrer (Discussion of Hehometer Observations, ete. 1901 —
des dénombrements si détaillés ont peu de valeur, à moins d’a-
voir été corrigés avec soin pour les erreurs systématiques des gran-
deurs d’ARGELANDER. En outre, les étoiles de la B. D. ne forment
qu'une fraction peu considérable de l’ensemble des étoiles accessibles
à l’observation, mais non cataloguées. Et la classification des étoiles
du grand Catalogue photographique international, qui étendra notre
connaissance des positions des étoiles considérablement en dehors
des limites de la 2. D., se fera sans doute attendre longtemps encore.

Aussi avais-je songé plusieurs fois à continuer et compléter le

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 7

travail statistique, dont il a été publié quelques échantillons dans
les Verslagen d. Kon. Akad. v. Wetenschappen, Amsterdam, afd.
Wisk. 1894/95 p. 183 (Astr. Nachr. N°. 3270), mais l’immense
travail que cela aurait entraîné n’était nullement en proportion avec
le degré très restreint d’exactitude, accessible avec la Durchmuste-
rung. C’est pourquoi je pris la décision de procéder d’une façon
plus globale, en comparant l’intensité de la lumière galactique dans
l'hémisphère boréal à la distribution des étoiles de la B. D.,
groupées seulement dans un petit nombre de classes — bien
qu'il fût impossible de traiter l’hémisphère austral d’une manière
analogue.

L’exécution d’un pareil travail m’a paru d’autant plus désirable,
que la comparaison des résultats obtenus pour toute la zone pour-
rait peut-être mener à des conclusions d’une certaine valeur relati-
vement à la constitution du système galactique.

$ 2. Quant à la représentation de la Voie lactée selon les obser-
vations faites à Voeil nu, il serait impossible jusqu'ici de con-
cilier les observations des différents auteurs quant aux détails; mais
en ce qui concerne les grands traits de l’image galactique, te dés-
accord est plutôt apparent que réel. Les divergences tiennent sur-
tout à ce que les uns ont voulu dessiner tous les détails visibles
dans la Voie lactée, tandis que d’autres se sont appliqués surtout à
la comparaison de léclat de régions assez étendues de la zone.
Quoi qu'il en soit, je suis convaincu que les grandes lignes de
l’image galactique sont suffisamment fixées pour pouvoir former la
base de recherches pas trop détaillées. Pour plus d’umiformité, j'ai
cru devoir me borner à mes propres dessins.

L'intensité de la lumière galactique n’est certainement pas pro-
portionnelle, dans toutes les parties de la zone, au nombre des
étoiles < 9.5 ArG., on peut néanmoins admettre que, prise en géné-
ral, la distribution de la lumière galactique correspond approximative-
ment à la distribution de l’ensemble des étoiles très faibles. IT est
hors de doute en tout cas, que les étoiles de la 2. D. sont loin
de suffire à la production du phénomène galactique: cela ressort
déjà de Pétude de Prassmaxx, d’un travail graphique (qui n’a pas
été publié, à ce que je sache) de Horpex; de mes recherches anté-
rieures(4. WV. 3270) et, avec plus d’évidence encore, des recherches qui
vont être exposées ici. Entre la „Voie lactée d'ARGRLANDER” et la
Voie lactée optique, il y a, à côté d’analogies remarquables, des
différences très grandes, qu’on est bien forcé d'attribuer à linflu-
ence des étoiles très faibles.

8 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

Cette conclusion — que le phénomène de la Voie lactée doit
être attribué pour la plus grande partie aux étoiles très faibles,
non encore cataloguées — est fortement appuyée par la ressem-

blance entre les dessins de la Voie lactée et les photographies qui
embrassent des régions étendues (p. ex. celles de Max Worr,
reproduites dans Knowledge, 1891, de Barnarv dans I’ Astrophys-
ical Journal); quelquefois la ressemblance est même frappante:
comparez la photographie de Barnarp, du 17 août 1895, région
d’Altair, avec la 1° planche de ma Voie lactée boréale (Paris, 1893),
ou bien la région pres de Messier 11, Scutum, photographie prise
le 16 août 1895, avec la carte de l’Uranometria Argentina. \ va
sans dire que l'impression générale qu’on reçoit de ces photogra-
phies ne dépend que pour une fraction très minime des étoiles plus
brillantes que la 10° grandeur. Cet accord entre Vobservation a
l'œil nu et la photographie confirme du reste parfaitement opinion
exprimée par Kapreyn: (Public. Astr. Labor., Groningen, 8, p. 18,
note) que l’énorme condensation des étoiles très faibles vers la Voie
lactée, évidente dans les photographies, est bien réelle et n’est pas
due seulement à une différence dans la couleur des étoiles, dans
la Voie lactée et en dehors de la zone.

Mon travail était en préparation, lorsque parut l'ouvrage de
Srraronorr. Pour le but que je me proposais, le degré d’exacti-
tude des valeurs pour la densité qu'il donne dans | Appendice II
de son livre, est amplement suffisante; je pouvais ainsi m’en servir.
Seulement, les limites des groupes (demi-grandeurs d’ARGELANDER)
n’étant pas constantes — cela a été suffisamment démontré —
pour les diverses régions de la zone, j'ai combiné ses classes (qui
sont aussi celles de SEELIGER, à peu près) de façon à obtenir des
groupes comprenant un très grand nombre d'étoiles; de la sorte l’incer-
titude des limites serait aussi peu gênante que possible, et les irré-
gularités purement locales de la distribution n'auraient pas d’in-
fluence sensible. Ainsi, les trois cent mille étoiles relativement bril-
lantes d'ARGELANDER furent divisées en quatre groupes seulement,
(pour deux groupes tout au moins les limites étaient indiquées d’a-
vance par la nature de la B. D.): groupe IT embrasse les étoiles
de la grandeur 0 — 6.5 ArG.; groupe IT, 6.6 — 8.0; groupe III,
8.1— 9.0; groupe IV, 9.1 —9.5 Arc. |

J'ai dû écarter les travaux d’'Herscaer, EpsruiN, CELoRIA €. a.,
concernant les étoiles plus faibles que celles @ ARGHLANDER, à cause
du caractère fragmentaire de ces travaux, et aussi parceque les
régions qu'ils ont choisies ne sont pas distribuées arbitrairement
sur la zone galactique. |

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 9

$ 3. — Pour la comparaison entre la distribution de la lumière
galactique et celle des étoiles relativement brillantes, j'ai divisé sur
la carte de Marra (Voy. ci-après, p. 11) la zone galactique boréale
en des rectangles mesurant 4° en latitude et 15° en longitude
galactiques, de telle sorte que la zone médiane fût coupée en deux
par l'équateur galactique (selon Marru: Pole nord gal. 1850 = a
12" 40% J + 30°). Ces divisions ont été choisies afin de morceler
le moins possible les taches lumineuses et sombres de la Voie lactée;
encore n’était-1l possible d'obtenir ce résultat pour la zone entière
à moins de sacrifier l’uniformité; ainsi la région remarquable près
d'a Cygni se trouve-t-elle éparpillée dans plusieurs rectangles. Mais
les traits caractéristiques de l’image galactique ont pu être conservés
ainsi. Les divisions ne devaient pas ¢tre trop grandes, pour ne pas
effacer les formes de la Voie lactée, ni surtout trop petites, mais
en tout cas plus étendues que les aires de Srraronorr, dont 2 à 3
ensemble occupent la superficie d’un de ces ,,rectangles galactiques”.

La densité stellaire dans ces rectangles, pour chacun des quatre
groupes dans lesquels les étoiles d’'ARGELANDER avaient été divisées,
se calculait alors facilement, et avec une exactitude suffisante, à
l’aide des données que SrraroNorr fournit pour les ,,aires’ qui se
projettent, en entier ou partiellement, sur ces rectangles. Mais il
fallait d'abord exprimer numériquement l'intensité de la Voie lactée
pour chaque rectangle.

$ 4 — La superficie d’un rectangle était évidemment trop
grande pour qu'on eût pu se contenter d’une simple estimation
de l'éclat galactique pour une région d’une telle étendue sur une
carte de la Voie lactée, ainsi que j'avais pu le faire, non sans dif-
ficulté, dans un travail antérieur, où il s'agissait de régions beau-
coup moins étendues. Il fallait trouver une méthode moins
arbitraire.

J.-C. Houzwav à inauguré, mais seulement esquissé, une méthode
pour fixer les traits de l’image galactique (Annales de l Observatoire
de Bruxelles, Nouv. Série, I, p. 15). Il a tracé sur la carte des
lignes isophotiques, reliant entre elles des régions où la lueur
galactique paraît avoir la même intensité, c'est-à-dire que si, de
l'extérieur à l’intérieur de la Voie lactée, on passe de la ligne a
à la ligne 4, puis à ce, d, etc., l'éclat de la lueur galactique paraît
augmenter chaque fois d’une quantité constante. On peut admettre,
en effet, qu'un observateur expérimenté dans l'étude de la Voie
lactée (ou des étoiles variables) parviendra à démarquer de pareilles
lignes isophotiques avec une exactitude suffisante, et alors on aura

10 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

un moyen de computer la quantité de lueur galactique émise par
une partie déterminée du ciel.

Appelons i Vintensité de la lueur galactique émise par une région
a, où cette lueur est tout juste perceptible distinctement, et d
Pintervalle entre l'éclat de deux régions situées entre des lignes
isophotiques consécutives, on aura ainsi pour les intensités des
endroits: ayia:

a b c d e “a
i id id? id® ide id®

Pour notre but, la valeur d’i importe peu; mais d devra être
déterminé par une méthode photométrique quelconque.

Houznav avait construit ses lignes isophotiques en comparant
l'éclat des taches galactiques à celui d'étoiles de la grandeur 6,
5.5, 5 etc., mais je ne crois pas qu’on puisse jamais appliquer
convenablement cette méthode, en dehors des taches très lumineuses
de la Voie lactée. (Telle est aussi lopinion de l’observateur bien
connu d'étoiles variables et de la Voie lactée, Josepx PLASSMANN, à
Münster). Mes efforts pour établir, à l’aide d’une méthode photo-
métrique directe, Vintensité de quelques parties de la Voie lactée,
wont jamais abouti; la comparaison de la Voie lactée avec des
surfaces faiblement éclairées, ou avec une voie lactée artificielle,
construite à l’aide de points ou de petits disques blancs où gris
sur un fond sombre, ne donnait aucun résultat satisfaisant: sans
doute parce que les sources lumineuses n'étaient pas bien compa-
rables entre elles. Il me paraît possible, mais non probable, qu'une
méthode analogue à celle dont le prof. Max Worr s’est servi pour
mesurer lPintensité de la lumière zodiacale, (avec le ,,Schnittphoto-
meter’) ait quelque succès ici.

Après ces essais infructueux, j'ai suivi la méthode décrite dans
les pages suivantes.

$ 5. — J'ai d’abord construit la Carte isophotique de la
Voie lactée, reproduite ci-après (Planche IT). Laissant de côté ces

régions où la lueur galactique est perceptible, mais souvent douteuse, -

et en prenant soin de comparer minutieusement l'éclat des parties
très écartées de la zone, j'ai choisi six degrés d'intensité, de sorte
que les parties comprises entre la première et la seconde courbe iso-
photique eussent léclat a (lueur distincte quoique très faible), celles à
l’intérieur de la sixième ligne l'éclat f (lueur la plus brillante).
Une série d’observations directes, exécutées dans des saisons diffé-
rentes afin de pouvoir comparer l'éclat des régions extrêmes de la

PT D D

4
}
,
1
;
j

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 11

zone galactique boréale par l'intermédiaire des régions situées vers
le milieu ayant fourni les grands traits du dessin, les détails prin-
cipaux furent insérés à l’aide de mes cartes de la Voie lactée !).

$ 6. — Pour déterminer la valeur d — l'intervalle entre
deux degrés d’éclat .consécutifs — j'ai dû suivre une voie qui,

tout en nécessitant un travail pénible et de longue durée, ne
pouvait mener qu’approximativement au but, mais qui, néanmoins,
me paraissait décidément préférable aux autres méthodes essayés.
J'ai supposé l'intensité d’une portion donnée de la Voie lactée
proportionnelle avec la quantité de lumière émise par toutes les
étoiles télescopiques, visibles sur une plaque photographique à lon-
gue exposition. Dans ce cas, s’il était possible de compter, sur une
telle plaque, toutes les étoiles jusqu’à la plus faible grandeur vi-
sible dans un endroit déterminé où la Voie lactée, selon la carte
isophotique, a l'éclat 7, et d'exprimer l’éclat total © de toutes ces
étoiles dans l'intensité d’une étoile de la classe la plus faible; si
l’on pouvait exécuter le même travail pour un autre endroit, ayant
la même superficie, et photographié dans les mêmes conditions,
mais situé dans la zone où la Voie lactée a l'éclat 6 (appelons &,

l'éclat total des étoiles de cet endroit) — alors d sera connu, car
ds
(pg. 10, ante): 5 =

Les suppositions suivantes étaient nécessaires: a, que la loi de
WeBer— FrCHNER s'applique à ce cas-ci, où il s’agit de comparer des
surfaces lumineuses juste à la limite de la visibilité; 4 que le rap-
port entre les sommes de lumière actinique et visuelle soit le même;

*) La carte céleste sur laquelle ces courbes isophotiques ont été tracées est une ,,Equal
Surface Projection”, exécutée d'après les données de Marru (Monthly Notices R.A.S.
LI, 2 et 6) par PANNeKoek en 1896. Vers cette époque, le Dr. Pannekork et moi
avons mis des reproductions lithographiées de cette carte à la disposition de ceux qui
voudraient faire des observations de la Voie lactée, mais elle est publiée ici pour la
première fois.

Dans cette projection, l'équateur galactique est une ligne droite au milieu de la carte;
les cercles de longitude et latitude galactiques sont aussi des lignes droites (1° en long.
gal. = 5 mM.). Toutes les étoiles visibles à l'oeil nu se trouvent sur la carte, et presque
toutes ont reçu une indication. Pour l'insertion de ces lettres ou numéros, une zone marginale
mesurant 1/, de la largeur de la carte, a été ajoutée de chaque côté; cette marge contient
les noms des étoiles à peu près à la place où les étoiles elles-mêmes devraient être dessinées,
si échelle des latitudes était réduite à la moitié, l'échelle des longitudes restant la même.

Pour indiquer les étoiles, il a été fait usage en premier lieu des lettres de Bayer et
des numéros de Framsreep. Pour celles qui manquent dans le catalogue de FLAMSTEED,
les nos du British Association Catalogue (mis entre parenthèses) ont servi d'abord, puis
ceux de l'atlas de Hris, Atlas coelestis novus (n°. précédé d’une H). Les grandeurs des étoi-
les — indiquées approximativement — sont celles du General Catalogue de Pickering.

12 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIERE GALACTIQUE, ETC.

c, que toutes les étoiles visibles sur la photographie participent à
la formation de l’image galactique, et que les étoiles trop faibles
pour être séparément visibles sur la plaque, n’ont pas d'influence
appréciable, pas plus que la nébulosité qui peut se trouver dans ces
régions; 4, qu'aucune influence appréciable n’est exercée par les
images photographiques des étoiles brillantes, assez grandes pour
masquer des étoiles petites.

Les objections qui peuvent être portées contre la supposition 4,
sont les plus sérieuses. En effet, les régions riches de la Voie lac-
tée contiennent probablement une proportion excessive d'étoiles dont
les rayons sont très actiniques. Et quant à c, on n’a certainement
pas le droit d'admettre que la limite de sensibilité de notre rétine
coïncide exactement avec celle d’une plaque photographique quel-
conque. Il est à remarquer, toutefois, que les étoiles du premier
type spectral, parfaitement comparables entre elles, sont probable-
ment beaucoup plus nombreuses, relativement, dans la Voie lactée
qu'en dehors de cette zone; tandis que les régions comparées sont
assez petites pour qu'on n'y trouve qu’un très petit nombre d’étoi-
les relativement brillantes (6° à 9° gr.) qui, par leur type spectral
différent, pourraient influencer notablement le rapport cherché. Du
reste, au cours de ces recherches (Voy. p. 13), il s’est trouvé que ces
étoiles brillantes ne jouent pas un role important dans la formation
de la lumière totale, et — pour ce qui est des suppositions c et d —
que la part des plus faibles étoiles ( 13.5) est relativement petite:
environ 54 dans la région très lumineuse, + dans l’autre.

§ 7. Le prof. Max Worr ayant obligeammant mis à ma dispo-
sition une plaque photographique des environs de y Cygni (temps
de pose 9°7™, les 29, 30 juin et le 1” juillet 1894 — plaque
N°. 884 Heidelberg), j'y marquai deux régions de superficie égale,
situées à peu près à la même distance du centre de la plaque;
l’une (A) dans la zone f (très lumineuse) de la carte isophotique —
coordonnées pour 1855.0 = a: XXP 2" 30° a XX? 6" 30°;
d: 36° + 37° — l’autre (B) située dans la zone relativement
faible B — ar XX* 18" BOE APSO dr SOB Ie,
Dans les deux régions, les étoiles, jusqu'aux plus faibles qu'il
la

loupe et classées par demi-grandeurs; pour cela, prenant comme

était possible de distinguer séparément, furent observées à

étoiles de répère les quelques étoiles cataloguées qui s’y trouvent,
je choisis d’abord, avec le plus de soin possible, quelques étoiles-
types qui me paraissaient être de la grandeur 10.0, 10.5, 11.0
: : / As > ; N pel
etc., distribuées dans les deux régions; c’est d’après ces étoiles-

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 13

types que j’estimai ensuite la grandeur des autres étoiles, et toutes
furent insérées sur des cartes à leur position et avec leur grandeur
approximatives; après cela seulement, je me mis à les compter.
La limite se trouvait être située vers la grandeur (estimée) 14.0. Les
nombres comptés dans les deux régions, A (éclat galactique /) et B
(éclat galactique 4) se trouvent dans la 1° et 3° col. du Tableau 1;
dans la 2° et 4° on trouve l'éclat total des étoiles de chaque classe,
l'éclat d’une étoile de la dernière classe étant pris comme unité.

Tableau LL.

Grandeur ; | : | : | 8 a
ice: A, étoiles. | A, éclat. | B, étoiles. | B, éclat.
7.6— 8.0 1 243 — a
S.1— 8.5 6 923 D 308
8.6— 9.0 6 | 584 = =
9.1— 9.5 17 1048 2 308
9.6-—10.0 42 1639 9 991
10.1—10.5 61 1509 15 371
10.6—11.0 103 1613 30 470
11.1—11.5 135 1338 42 416
11.6—12.0 134 840 D? 326
12.1—12.5 141 560 52 206
: 12.6—13.0 188 472 67 1658
; 13.1—13.5 229 362 94 149
13 6—14.0 697 697 273 273
Total 1760 11,828 641 3346
Les nombres pour la dernière classe, 13,6—14,0, sont proba-
blement beaucoup trop élevés: dans cette classe, à la limite de la
visibilité, il a été incorporé sans doute beaucoup d'étoiles qui appar-
tenaient en réalité aux classes avoisinantes. Quant au maximum
dans le nombre des étoiles qui semble se produire, pour les deux
régions, vers la 11° grandeur; il est possible qu'il tienne en
partie à une erreur dans l’estimation de l'intervalle entre l'éclat
des étoiles-types, mais il me paraît peu probable que cette cause
4

14 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIERE GALACTIQUE, ETC.

suffise à l'expliquer; du reste, les régions explorées ici ont trop peu
d’étendue pour qu'on puisse baser sur ces nombres des considérations
d’un ordre général. En tout cas, pour ce qui est de ces deux régions,
la moitié environ de la quantité totale de la lumière est due aux
grandeurs 9.6 à 11.5 et il est facile à voir que même des erreurs
importantes dans l’estimation des étoiles-types des classes inférieures
ne sufhiraient pas pour faire contrebalancer cette part prédominante
que les étoiles de la 9° à la 12° grandeur prennent dans la pro-
duction de la lueur galactique, du moins dans cette partie du ciel.

Des totaux des colonnes 2 et 4,1l s'ensuit que log. d = 0,1371,
que i, l'intensité de la région la plus faible a, s'exprime par 2440
étoiles de la grandeur estimée 14.0, sur la superficie À ou B, et

brede. are
que les rapports —,-,-—,-—,—, sont, approximativement de
a tara aa

1.37 1.88 2.58 3.53 4.85 3)

*) Comparons cette valeur, 1: 4,85, trouvée ici pour le rapport entre l'intensité des
i ’ 10
parties les plus lumineuss et les plus faibles de la Voie lactée, à celle qui résulte du
travail d’Houzeau. Cet astronome trouva que les taches éclatantes de la Voie lactée
deviennent invisibles dans le crépuscule en même temps que les étoiles de la grandeur
4 ou 4,5. Quant aux parties les plus faibles, elles s'effacent naturellement en même temps
1 ?
que les étoiles qui sont à la limite de la visibilité à l'oeil nu, et qu'Houzrau estime

Le f
6,5. La différence, deux grandeurs, donne pour le rapport A selon Houzrau:
(ran

La divergence nest déjà pas considérable. Mais les étoiles les plus faibles qui sont
encore distinctement visibles ont plutôt la grandeur 6,2, et d'autre part, Houzrau, qui
observait les étoiles des deux hémisphères, prenait aussi en considération les taches dans
Scutum et Sagittarius, qui sont un peu plus brillantes que celle de Cygnus (d’ailleurs
les valeurs d’Houzeau pour les taches de Cygnus sont certainement trop faibles). Ces
deux considérations tendent à rapprocher les conclusions des deux recherches d’une
manière amplement suffisante, eu égard à la différence entre les méthodes et le degré
d'exactitude très restreint qu'on peut en attendre.

Récemment, au cours d’un travail intéressant: ,A rude attempt to determine the total
light of all the stars” (Astrophys. Journal, Dec. 1901), le prof. Newcomg a étudié la
question de l'intensité des taches galactiques. Il compare l'éclat de ces taches avec la
lueur émise par le fond du ciel, en dehors de la Voie lactée, et trouve qu'une étoile de
la 5e grandeur, dont la lumière est étendue uniformément sur une surface circulaire
ayant un diamètre d’un degré, produit la même intensité que le fond du ciel; ensuite
que les taches brillantes de la Voie lactée ont une intensité 2,28 fois plus grande.

Exprimée en étoiles de la 14e grandeur (estimée), cela donnerait pour la lueur du fond du
ciel env. 3500, et sur la plaque photographiqne nous avons trouvé, pour la même surface,
environ 2500 dans les régions où la lumière galactique est très faible («) et environ
10 000 là où cette lumière atteint le degré e, lequel correspond probablement aux „taches
brillantes” de Newcomr. A ces deux dernières valeurs il faut ajouter l'intensité du fond

'
Ee RE:

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 15

§ 8. Il ne restait plus alors qu'à calculer, pour chaque rect-
angle, quelle partie de sa superficie est occupée par une lueur
galactique de l'intensité /, e, d, etc., et à réduire le tout à l’in-
tensité a, à l’aide des coefficients que je viens d’indiquer; on obte-
nait ainsi des valeurs représentant la quantité de lueur galactique
émise par chaque rectangle, considéré comme une surface lumi-
neuse homogène. Si l’on trouve, par exemple, que dans un certain
rectangle (superficie 60 degrés carrés), 21 d. c. sont sans lueur
galactique appréciable, 15 d. c. ont un éclat galactique a, 7 un
éclat galactique b, 5 c, 4 d, 5 e, et 3 f, alors l'intensité totale
sera de 15 +7 X 1.37 + 5 X 1.88 +4 X 2.58 + 5 X 3.53
+ 3 X 4.85 — 76.51. Mettons pour la moyenne des valeurs obte-
nues ainsi pour tous les rectangles 70.15; l’intensité galactique du
rectangle pris comme exemple sera alors de 1.09, un peu au-des-
sus de la moyenne. C’est de cette manière qu'a été calculée la
dernière valeur dans chaque rectangle, Tableau IT.

Il se présente encore une objection. On n’a aucune certitude
que les étoiles, estimées de la 12°, 13°, 14° grandeur sur la pla-
que photographique, aient réellement cette grandeur dans l’échelle
photométrique, et pourtant, dans la computation de la quantité
totale de la lumière émise par les régions A et B, J'ai admis que

du ciel, de sorte que la proportion e (fond du ciel): a (lum. gal. faible): e (lum. gal.

intense) serait de 3500 : 6000 : 13500, ainsi = == 4 environ, selon nos recherches.

?

9

du même ordre, et assez concordantes, tout considéré.
Il se présente pourtant une difficulté. Si la valeur absolue que Newcomp trouve pour
lum. gal. e est de 1,38 (2,28 — 0,90), sa valeur pour lum. gal. a serait (Voy, plus haut,
pg. 14) de 1,38 :3,53 = 0,4, et sa proportion ce :a 0,9: (0,4 + 0,9), ce qui donnerait

Celles de Newcomp donnent = 2,5 environ. Ce sont là, en tout cas, des valeurs

pour la Voie lactée une valeur-limite, un ,Schwellenwerth” de presque > Or, sil y

a quelque analogie, physiologiquement, entre le phénomène de la visibilité de la Voie
lactée sur le fond du ciel et celui de la différence entre l'éclat légerèment différent de
deux surfaces faiblement illuminées (et le fond du ciel est assez lumineux, relativement),
alors on aurait pu attendre une valeur beaucoup plus petite pour le ,,Schwellenwerth”.
Mais cette question, qui me paraît intéressante en elle-même, n’est plus dans le cadre
des recherches présentes.

Pendant la révision des épreuves, un article de G. J. Burns sur le même sujet a
paru dans l’Astrophysieal Journal, XVI, 3. L'auteur trouve pour la lueur du fond du

5 ks Hate
ciel une valeur plus grande que Newcomn; d'après ses recherches la proportion —

c

serait de 3 environ — résultat intermédiaire, ainsi qu’on le voit, entre celui de Nrw-

A DE (a .
comp et le nôtre. La proposition — serait, selons Burns, de 9°
a

16 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

la proportion A entre deux demi-grandeurs estimées était de 1.58.
ainsi la quantité totale dans A, Z,, fut computée de la façon sui-

vante: 697 + 1.58 X 229 + (1.58)? 188 + (1.58) 141... .: +
(158)H 6 + (1.58)!2. De même la quantité totale dans B, ©, —273+
VOB DALAM + (1.55) 5. Il est extrèmement probable que

les valeurs ainsi trouvées ne sont pas exactes. Cependant, pour le
but que nous nous proposons, cela importe peu, car nous n’avons

‘a

qu’a nous occuper du rapport ui ne change pas lorsqu'une
| >

b
autre valeur, A,, est substituée a A, pourvu que A, soit a peu

prés constante, ce qui est probablement le cas, les évaluations de la
grandeur ayant été faites avec le plus de soin possible. Or, A, est
inconnu, mais si les rapports entre les nombres 697, 229, 188
etc., trouvés pour les étoiles de la gr. 14, 13,5 etc. dans A, ne
sont pas trop disproportionnés à ceux des nombres 273, 94, 67 etc,

/ >
trouvés dans B, le rapport = ne dépendra de A que dans une
b

faible mesure, et pour notre but, l'incertitude dans la détermination
des grandeurs sur la plaque photographique n’aura donc pas un effet
important.

Il va de soi que ces valeurs obtenues pour l'intensité de la lu-
mière galactique dans les diverses parties de la zone, ne sont pas
directement comparables à celles qui indiquent la distribution des
étoiles: elles serviront surtout à indiquer les lieux où la distribu-
tion des étoiles faibles s’écarte sensiblement de celle des étoiles
cataloguées.

$ 9. — Afin de trouver les densités stellaires pour les 4 groupes
de la B. D. (ante, p. 8) dans ces mêmes rectangles, le réseau des
coordonnées ordinaires, où les aires de SrraronNorr avaient été
marquées, fut projeté sur la zone galactique (d’après Marta, Monthly
Notices R. A.8. Vol. LUI N°. 2); pour chaque rectangle, la‘den-
sité de l’un de nos groupes I, IT, IT, IV Ara. résultait de la com-
binaison des densités correspondantes dans les aires de SrRATONOFF
qui s’y projetaient.

Mettons, pour donner un exemple, que sur un rectangle —
superficie: 60 degrés carrés — se projettent, partiellement, cinq
aires’ de STRATONOrF, les n° 16, 17, 88, 39 et 40, qui en
occupent la superficie dans la proportion suivante :

DE LA LUMIERE GALACTIQUE, ETC. U7

NS 16... 6d, carrés:* proportion, 0,1
AA er CO >. > 0,05
SALE: 1: VERRE LO À 4 0,25
PT SUR. 2. 00 à" = 0,9
OR Me ns 0,1

Les densités pour le groupe I ont, dans ces aires, respectivement
les valeurs qui suivent (disons): 0,17, 0,32, 0,20, 0,17, 0,35; et
ces valeurs entrent dans la composition de la densité moyenne pour
ce groupe, dans le rectangle, ainsi qu'il suit: 0,017, 0,016, 0,050,
0,085, 0,035, total: 0,20, ce nombre représente ainsi la densité
moyenne du groupe L dans ce rectangle.

Pour Jes autres groupes, une computation analogue fut faite;
ensuite, pour chaque groupe, les valeurs résultantes furent expri-
mées dans la moyenne pour tous les rectangles de l'hémisphère
boréal. Soit 0,26 cette moyenne pour le groupe I, la densité rela-
tive dans le rectangle sera, pour ce groupe, de 0,77.

Les valeurs moyennes’ pouvaient être contrôlées à l’aide de celles

qu'on déduit facilement des données fournies par SEELIGER (S?fzungs-

Berichte Akad. München, 1884, p. 544) combinées d’une façon
analogue. Le résultat était très satisfaisant: des données de Srra-
ronorr je trouvai, pour les rectangles situés entre — 14° et + 14°
(afin d’exclure les régions extérieures où l’éclat galactique atteint
rarement la valeur a): groupe I dens. moy.: 0,26, IT 1,50,
III 5,5, IV 16,9; les dénombrements de Srrrrarr donnèrent,
pour la zone de — 15° à + 15° lat. gal.: 10,2640; IT 1,5185,
TEN 5.5060: TV" 1658337.

§ 10. Dans chaque rectangle du tableau suivant (II) le premier
nombre représente la densité relative du I" groupe (0—6.5 Arg.),
le second celle du II groupe, (6.6—8.0), le 3"° groupe II]
(8.1—9.0), le 4% groupe IV (9.1—9.5), le 5™° l’intensité relative
de la lumière galactique. Les bandes — 14° à — 18° lat. gal.,
et + 14° à + 18° lat. gal, où les valeurs ont été calcu-
lées sur les mêmes moyennes, ont été ajoutées pour faciliter la com-
paraison, bien qu’elles tombent en dehors de la zone galactique
proprement dite.

Verhand, Kon, Akad. v. Wetensch. (te sectie) Dl. VIII. C2

18 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.
Tableau II.

Densités moyennes des étoiles d Argelander (groupes 1—1F)
et de la lumière galactique, dans la Voie lactée boréale.

180° à 90° long. gal.

ee 0 +18
a
1.42/0.81/0.96)0.73|0.73/0.58/0.65|0,58]0.69
0.83/0.56/0.63/0.73/0.82|0.67|0.75/0.73/0.60
0.9 [O.85/0.9. VL Lee deel 1e RD
Ó.8 0800 Deed de See Seal dik EOD
0.13/0.35/0.58\1,22|1.44|1.84|1.14/0.80/0.60
165 165
0.73|0.62/1.15/1.00/0.81/1.04/0.54/0.69/0.77
0.63/0.58]0.56/0.78/0.85/0.90/1.01/0.79/0.81
oogen 0 Ap epe ed DD
07007 110.0041 i MS Sas SOBO
0.36/0.56{1.14/1.13}1.35/1.42/1.26/1.17]0.79
rn 150
1.73/0.92]0.81/0.73/0.58|0.77|0.69/0.50/0.81
0.58/0.39/0.43/0.51/0,99{1.05|1.08/1.07/1.16
W014: 106. 10.5 [ERE 1 (1. 041 000
016204610078 10.6040. TR Ne ae tess
18/0.34]0.35/0.12/1.00]1.84/1.21]0.62]0.28
135 135
0.88|1.04|1.04/0.69|1.12/0-85/0.69,0.92[1.08
0.73/0.78|0.97|0.88/0.93|0.93/0.8110.79/0.73
DB Omics 0 MON Poe OC OIDs 0207107
0.5 046 00460) 07e OA DDT OS) De B
0.21/0.56/0.56/0.69|1.10/1.02/0.55/0.07/0.06
120 120
0.9210.77 1.08/1.73/1.12/0.96/0.88/0.85 0.62
1.0110.96/0.97|0.90/0.89/0.88 0.71/0.69|0.71
0:9 10:90 10,9 1027. Sunes 105 ANS
0.8 [0.8 10.8 |0.7 (0.8 [0.6 |0.6 |0.4 |0.4
0.04/0.64/1,05/0.90/ 0.49 0.78/0.76/0.21]0.12
105 105
1.3111.0010.85/1.08|1.20/1.15/0.81|1.04|1.28
.98/0.83/1.01]1.10/1.39]1.15]0.77/0.81/0.81
0:9 1.16) DOOM SEE ae eat 7 (0 toulon ra
07 11 101 1 ao DEB | 0.28 OA
0.34|0.89|1.00/1.38|1.42/0.85/0.49/0.20/0.03
90 Ee EN

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 19

Tableau II.
(Suite)

90° à 0° long. gal.

TnT 00

CS
=
a
—
Ww
oo
— ui pd
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Ts 10107 P0 PT PO B

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0.90/0.95/0.98/0.70
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SA AE A A
1.53 1.1910.8310.61

een ET OE Nae] ns el eal) g

20 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

I.

§ 11. — On peut envisager le résultat de ces recherches de
plusieurs manières; d’une part en considérant pour chaque groupe
stellaire la distribution; d’autre part en comparant pour chaque
rectangle les densités des différents groupes.

§ 12. — Traits généraux de la distribution des cing groupes.

Une certaine analogie entre la distribution des quatre groupes
stellaires et de la lumière galactique (Planche I) saute aux yeux.
Pour tous les groupes, la région maximale se trouve pour la plus
grande partie dans la moitié inférieure — 0° a 90° long. gal. —
de la zone boréale, et le maximum absolu entre 30° et 60° long.
gal., et —2 et + 10° lat. galactique.

Il paraît tout naturel que les traits caractéristiques de la distri-
bution des groupes stellaires ressemblent d'autant plus à ceux de
la Voie lactée, que le groupe se compose d'étoiles plus faibles

A
(Comp. le rapport pe PS: 33).

Entre le type du groupe I et le type galactique G, le change-
ment ne va pas régulicrement: la transition est le plus brusque
du premier groupe au second. Les maxima entre 60° et 90° long:
gal., qui se trouvent au sud de léquateur galactique pour les
groupes III et IV et pour G, mais au nord pour le groupe I,
tombent juste sur l’équateur, pour le groupe IT. Tandis que pour
Ill et IV un maximum secondaire assez important se voit dans
Monoceros et Auriga, il s’étend là, pour le I" groupe, une région
presque ininterrompue de faible densité; dans II il s’y manifeste un
maximum peu important. En outre, pour IT nous voyons déjà se
produire les deux régions minimales dans Taurus (le minimum
absolu du groupe se trouve même ici) et dans Camelopardalus, qui
vont s'étendre et se confondent de plus en plus et, pour IIT, IV
et G, produisent le phénomène qui, avec [énorme condensation
vers Cygnus, est le trait le plus caractéristique de la distribution
des étoiles dans la Voie lactée boréale: la région pauvre qui s'étend
à travers Perseus et Auriga, sous un angle de 40° environ, et où

4

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIERE GALACTIQUE, ETC. 21

la densité de la lumière de la Voie lactée, même sur |’équateur
galactique, a un minimum de 0.49. La où se trouve le minimum
absolu du groupe I, vers 7° long. gal. et — 12° lat. gal., on ne
voit plus, dans Il, qu'un minimum peu important, qui ne tarde
pas a disparaitre. Un des traits caractéristiques de la distribution
stellaire en général: la transition brusque entre la région maximale
dans Cygnus et Vulpecula, et la région pauvre au sud de |’équa-

teur galactique — Srraronorr l’a indiqué, avec plusieurs autres
particularités de la distribution stellaire — se voit déjà dans le

II" groupe.

Les traits caractéristiques de la distribution peuvent être mis en
évidence de la manière suivante. Dans chaque rectangle, on choisit
le groupe dont la densité est plus forte que celle des autres groupes;
le rectangle est indiqué par le chiffre du groupe qui y exerce ce
que je voudrais appeler la prépondérance relative. La distribution
des rectangles où un certain groupe exerce la prépondérance est
différente de la distribution des maxima du groupe: ce n’est pas
tant le degré de condensation, que le caractère de la condensation
propre au groupe, qui la détermine. Il va sans dire que si les
étoiles étaient uniformément distribuées, aucune prépondérance ne
se manifesterait, mais elle ne se présenterait pas non plus,
si les étoiles de tous les groupes se condensaient d’une manière
identique.

Naturellement on ne doit attacher aucune importance à une
différence très légère entre deux valeurs pour la densité, c’est
pourquoi j'ai cru devoir indiquer aussi, dans le tableau qui va
suivre, le groupe dont la densité vient en second lieu; du reste il
a été tenu compte des cas où la plus grande densité pouvait
appartenir à Pun de deux ou même de trois groupes, dont
les densités ne se distinguaient pas nettement entre elles. Les
valeurs obtenues pour l’intensité de la lumière galactique n’ont pas
été incorporées dans la table, seulement il a été ajouté un m au
bas des autres chiffres dans ces rectangles où la prépondérance des
faibles étoiles de la Voie lactée paraissait probable.

Les „chiffres dé prépondérance”? ont été indiqués pour 108
rectangles, entre — 18° et + 15° lat. gal.; la où la densité sur-
passe 1.25 dans les groupes I et II, 1.2 dans les groupes IIT et
IV, les chiffres sont soulignés. Les maxima absolus sont marqués
d'un astérique. Dans quelques rectangles, un trait indique que la
densité du I" et du Il", ou du IL et du III groupe est sensible-
ment la même. — (Pour la région comprise entre des traits forts,

voir pp. 28 en 30).

22 LA DISTRIBUTION DE LA LUMLERE GALACTIQUE, ETC.
Tableau III
Prépondérance d'un des quatre groupes a Argelander.
—18 0 +18
GG Q 180
I I I Iv U OW min miv
net srate Ty ATEN Iv TI i
= ev 165
I IV IV NV IV IV Iv
LEN, MED me en Eleme en Il
(m) 150
I I I I TE afte LEAN x A cet e
II, IV VAT Ug = III Gh (ra) ER EY ene
135
| I I Il I ILIILIV EL LL I I
Il II IT = T1, IV (m) = IL MLT
120
il li I I I I 1 I IL
I, III UI Il II IT Il ITI Il I
"i 105
I Iv = aL PL A I 1
nee Ir To yaa) aetna ke I I Il
90 (m)
el 90
ur = LI uy Il IL Il
DO Teer A ee a I I I
= (m) =
IV I 5
I I 2 I
n wun SME LU À Il
| (m) (m) 60
u I I I
BU pT, ME CR, iy =
(am) (m) et a à
V 45
I IV Ie 1 nog (EE IV EL II
1, Lye rl En IT Tit le ——
(m) — (m)
30
I
rm Lay WW 5 Ï 1 I Liv um LV
(m) 5 = on kr En,
15
Iv IV IV
Te delend i SD cu Re AMR ah
(m) (m) (m) In I
mn |)
18 14 10 6 DONNE 6 10 14 ITS

Il résulte en premier lieu de cette Table IT, que la distribution
des chiffres de prépondérance pour le groupe I et pour le groupe
IV dans la Voie lactée boréale est à peu près complémentaire.

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 23

Bag. 1

Prépondérance du groupe I, comparée a la distribution de la

lumière galactique.

(Les chiffres I indiquent les rectangles où le I" groupe
a la prépondérance; les régions où la densité de la V. L. est au

moins = 1 sont comprises entre des lignes pointillées)

bons
in HN ed dd
—

24 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

En considérant les 84 rectangles de la zone galactique proprement
dite (omission faite des bandes extrêmes), nous n’en trouvons que
15, ot I ou IV n’atteignent pas la plus haute valeur entre les
densités. Des 69 cas où ces groupes ont le maximum, 14 peuvent
être regardés comme douteux; des autres, 33 appartiennent à I,
22 à IV. Les prépondérances de IT et III sont ainsi beaucoup
moins nombreuses. Puis, nous voyons cette particularité remarquable
que I occupe la région en dehors de Ja ligne où l'intensité de la
lueur galactique est 1.0; au moins, la prépondérance de I ne se
rencontre nulle part dans la région maximale de la Voie lactée —
à une exception près. (Fig. 1).

L’explication de cette particularité n’est pas difficile à trouver,
elle donne aussi la raison du grand nombre de cas où le groupe
I exerce la prépondérance. Le caractère de la distribution des étoiles
du I’ groupe s’écarte le plus de celui des autres groupes, dont la
distribution, de IL à IV, correspond de plus en plus aux détails
de la Voie lactée; les étoiles de I se condensent, en général, beau-
coup moins vers la région maximale; par conséquent, les moyennes
de ce groupe ont la prépondérance dans les régions où la lumière
galactique (éventuellement le groupe IV) est faible.

L’exception que lon remarque vers a Cygni est d’autant plus
remarquable que tous les groupes d'étoiles plus faibles, de même
que la Voie lactée, atteignent le maximum de leur densité dans
cette partie de la zone. Ainsi, tandis que la courbe de la densité
pour les autres groupes monte assez régulièrement vers le maximum,
le 1" groupe s’étend dans une couche beaucoup plus plate, sa courbe
est beaucoup moins inclinée, mais s’élève brusquement dans la
région de condensation extrême, où elle surpasse toutes les autres
(Voy. pg. 63).

$ 13. — Ici se place la question de la corrélation générale entre
l'éclat de la Voie lactée et la distribution des étoiles de la Bonner
Durchmusterung. SxetGer a cru établir (Betrachtungen Verteil. d.
Fixsterne, 1898, p. 58, 62) qu'une corrélation pareille à celle que
J'avais trouvée (4. N. 3270, Verslagen K. Akad. v. Wet. 1894/95
p. 183) pour deux régions peu étendues de la zone galactique,
dans Aquila et dans Cygnus, entre la distribution de la lumière
galactique et celle des étoiles 9.1 — 9.5 Are., ne se manifeste pas
dans la Voie lactée prise en général. De ce qui précède, il résulte
cependant que, pour les divisions de la zone et les groupes
stellaires adoptés ici; une telle corrélation dans les traits géné-
raux se manifeste dès le II“ groupe (6,6 — 8,0 Ara.). Le résultat

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 29

négatif auquel arrive SxeriGER, même pour les étoiles les plus
faibles d'ARrGrLANDER s'explique, à ce qu'il me paraît, en partie
par l'usage des cartes galactiques trop incomplètes d'HouzEau, mais
surtout par cette circonstance que les jauges d’Herscnez, dont
SeeriGEer déduit la distribution des étoiles très faibles, ont été
effectuées de préférence dans les endroits très riches ou très pauvres
de la Voie lactée, (Comp. Pub. Washburn, M) de sorte que les
valeurs trouvées pour la densité des étoiles faibles dans ces endroits
ne seront pas valables, très souvent, pour les régions environnantes,
beaucoup plus étendues, dans lesquelles SxeriGrr a compté les
étoiles d'ARGELANDER (Voy. SEeLIGER, Betracht., ibid). I est vrai
que Seprreer prend aussi en considération l'hémisphère austral, et
il est possible que le parallélisme trouvé pour l’autre hémisphère
s’efface si l’on étudie la zone galactique entière. Mais la représen-
tation de la Voie lactée, donnée par Hovzrau, est très incomplète
pour l'hémisphère austral, et si mes résultats pour la zone boréale
sont exacts, 1l est très probable que la grandeur stellaire à laquelle
la corrélation se manifesterait dans la zone australe ne serait pas
bien au-dessous des faibles étoiles d’ARGELANDER.

Cependant, la question générale, ainsi posée, me parait seulement
de quelque importance pour ma première conclusion (Voy. § 21).
Car si l’on part de la supposition — aujourd’hui indiscutable —
que dans toutes les régions de l’espace céleste les grandes et les
petites étoiles sont entremélées, et si l’on admet que la structure
du système galactique n’est pas trop compliquée (Voy. § 21), il
est évident qu'une pareille corrélation se manifestera toujours, pour

des étendues assez vastes et des groupes stellaires assez nombreuses:

les fortes condensations produiront un excès d'étoiles de toutes les
grandeurs. Au contraire, quand on considère des surfaces restreintes
et des groupes peu nombreuses, les irrégularités purement locales
détruiront toute corrélation générale qui pourrait exister.

Mais il est très important — ainsi qu'il paraîtra dans la suite
de cette étude — de savoir quelles sont les parties du ciel où se
manifeste une telle corrélation, et entre quelles groupes d’étoiles,
et d'autre part, dans quelles régions la condensation des étoiles,
considerées par groupes, ne présente aucune espèce de régularité.

$ 14. — Distribution par rapport à la latitude et à la longitude
galactiques.

En combinant les rectangles en longitude gal., de façon que les paral-
lèles de — 6° et + 6° lat. gal. forment les limites de la bande centrale,
on obtient pour la zone entre — 14° et + 14° le résultat suivant:

26 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

Tableau IV.

Condensation vers l'équateur galactique.

Lt Par sl ae LA

150 180
10.9 va 11.0
Il 0.9 IL 1.0 TL 1.0
II 0.9 IIT 1.0 III 0.9
IV 0.9 IV 1.0 IV 0.9
(G. 0.8) | G 1.2) | G 0.9)
() 0

y EN Bi nd,

En comparant les deux moitiés de la zone boréale, de 180° à 90°
long. gal. et de 90° à 0° long. gal., on trouve:

Tableau V.

Distribution en longitude galactique.

180 180
I HE pales ee A G
Oo 0.8 0.9 0.9 0.8
90 90
I Il Wer, EV G
en AAD ge i
0 0

Ces deux tableaux (IV et V) montrent clairement combien fut
erronnée la représentation classique de la Voie lactée comme une
couche stellaire condensée assez graduellement vers l'équateur galac-
tique, mais distribuée à peu près uniformément en longitude galac-
tique. Dans la partie boréale de la zone, l’influence du maximum
dans Cygnus sur la condensation des étoiles n’est pas inférieure à
la condensation générale vers l'équateur galactique.

$ 15. — Des cinq groupes, c’est G, celui où prédominent les
étoiles très faibles de la Voie lactée, qui ce condense le plus vers
le plan galactique; il peut être intéressant d'étudier ce phénomène
de plus près. Pour cela, nous groupons les rectangles d’une manière
différente: dans 6 sections, par ordre décroissant de l’intensité de

he.

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 21

la lueur galactique (Comp. pg. 33 ci-après). Dans le VI° tableau,
la colonne A indique ces sections, B le nombre des rectangles
comprises dans chaque division, C la moyenne de l'intensité de la
lueur galactique pour chaque section, D la moyenne de la latitude
galactique des rectangles dans chaque division.

Tableau VI.

Distribution de la lueur galactique.

À B C D
Sect. Nomb. G Lat. gal.
1 13 RAT 4°3
2 14 1230 4°3
3 14 145 T4
4 14 0.92 T°4
5 14 0.73 8°3
6 15 0.40 9°1

Les parties brillantes de la Voie lactée sont ainsi, en général,
situées près de l’équateur galactique, et elles se condensent assez
régulièrement vers ce plan.

Mais une inspection superficielle des cartes de la Voie lactée nous
apprend déjà, que la condensation des étoiles de la Voie lactée vers
l’équateur galactique est loin d’être régulière ou uniforme dans
toutes les parties de la zone, et il résulte du tableau VI que les
13 régions les plus brillantes (Section 1) de la Voie lactée ne se
trouvent pas plus près de l’équateur, en moyenne, que les 14
régions d’un éclat moindre (Section 2).

On peut se demander toutefois, si ce phénomène ne disparaitrait
pas avec application d’une correction dans la position de l’équateur
galactique admise ici. En effet, suivant Houzrau et Risrenparr
(,, Untersuchungen”, Verüffentt. Karlsruhe, IN), le pole nord gal.
serait dans a : 191°9.5, d : 29°19’ (1880.0); Gourp trouve (1875.0);
190°20'; 27°21’. Le point zéro, origine des longitudes galactiques
sur la carte de Marrn, se déplace d’environ deux degrés vers le
côté d’Aquila, en adoptant la moyenne de ces positions. On
remarque alors une condensation beaucoup plus forte de la lueur

28 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

galactique vers l’équateur, mais seulement si l’on fait exception des
rectangles entre 30° et 75° long. gal. qui ont une latitude boréale
gal., et de ceux entre 60° et 100° qui ont une latitude australe,
Ce sont là des exceptions trop importantes pour que la position
nouvelle adoptée pour le pole gal. ait une grande signification ici; 1]
n'en est pas moins vrai que la région pour laquelle il a été fait
exception ici, et qui coupe obliquement l’équateur galactique, paraît
se trouver dans une situation particulière (Comp. tableau IP.
D'autre part nous savons que la zone (,,Belt”) d'étoiles brillantes
décrite par Jonn HerscueL, croise l'équateur galactique dans une
longitude plus élevée et sous un angle plus grand, et que CeroriA
(Pubbl. Brera XIII, p. 18) a remarqué un phénomène analogue
pour l’ensemble des étoiles faibles et des étoiles brillantes. On n’a
pas le droit d'attribuer ces particularités à une cause unique —
en effet, le „Belt” et la „région exceptionelle de la Voie lactée”?
paraissent plutôt complémentaires, Jusqu'à un certain degré (Voy.
Astr. Jour. XII, 2) — mais il est bien évident que pour les
groupes stellaires d’un éclat moyen différent, les plans de plus
grande condensation ne coïncident nullement; par conséquent, la
position du pole galactique dépend de la grandeur stellaire moyenne
du groupe stellaire qu'on prend en considération.

$ 16. — Modification du caractère de la distribution avec le
décroissement de la grandeur stellaire.

On peut dire que, prise en général, la modification du caractère
de la distribution, à mesure que l’on considère des groupes d’étoiles
d’un éclat moyen de plus en plus faible, se traduit de deux façons.
C’est comme si un mouvement rotatoire autour d’un point situé
à peu près au centre de la zone galactique boréale — se produirait
dans toute la zone stellaire, mouvement dirigé d’Hercules à Aquila,
et d'Orion à Monoceros; d'autre part, on remarque un déplacement
graduel de la région condensée dans la direction du zéro de longi-
tude galactique.

Une comparaison des dessins de la Planche J nous montre les

particularités suivantes. La région condensée secondaire, qui
est située dans Orion et Taurus pour le groupe I (principalement
en dehors de la zone galactique proprement dite) oscille autour de
l'équateur Jusqu'au groupe HIT; à partir de ce groupe, sa forme et
Jusq grou] 5

sa position restent à peu près constantes, excepté que la region se
/ AS . . . 57 .

rétrécit pour ainsi dire le long de l'équateur galactique. Dans la
région maximale principale, autour de Cygnus, la région de grande
densité, qui d’abord s'étend bien loin dans l’hemisphère boréal (Voy.

]
|
>
b
3
|
|
4

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 29

SrRATONOFF), s'approche graduellement de l'équateur galactique,
pour se condenser à la fin dans les deux branches bien connues
de la Voie lactée. Il est à remarquer que la branche boréale, faible,
(vers Ophiuchus) se forme le premier): pour le groupe IV ou
rencontre ici des densités élevées, ce n’est que plus tard que paraît
la branche brillante de la Voie lactée, qui passe près d’Altair. De
même, c'est seulement dans les étoiles très faibles que se montre
le rameau brillant de la Voie lactée, qui part de Cygnus, passe
entre Lacerta et Cepheus, et s'étend jusque au-delà de Cassiopeia;
mais même pour les étoiles les plus faibles les courants lumineux
ne s'étendent par plus loin: le „vide de Persée” se creuse même
plus profondément. Par contre, vers l’autre bout de la zone, la
densité devient plus forte à mesure que la grandeur diminue, il
en résulte les accumulations immenses d'étoiles faibles dans. Aquila
et Scutum, où les étoiles brillantes sont assez rares. (Voy. 4. N. 3270).
Il est à noter encore que dans la région maximale secondaire
— dans Auriga et Monoceros — la répartition des densités pour
les groupes faibles de la B. D. est assez uniforme, la Voie lactée
elle-même y est relativement vague et d’un éclat peu varié; aussi
avons nous déjà fait remarquer que dans cette partie de la zone il
se trouve peu d'étoiles brillantes. I] n’en est pas ainsi de la région
condensée principale — entre Cassiopeia et Aquila — là, des den-
sités faibles alternent rapidement avec des densités élevées; mais
un examen plus minutieux nous apprend que la distribution des
étoiles n’y est pourtant pas tout-à-fait irrégulière et accidentelle.
On peut diviser cette partie de la zone, celle où se manifeste la
Grande Condensation, entre 0° et 105° de long. gal., — 14° et
+ 14° de lat. gal., de la manière suivante. Soit A la bande située
entre long. gal. 105° et 75°, (V. le tableau III, p. 22) D celle
entre 0° et 30°; B les 7 rectangles entre 60° et 75° avec les 3
rectangles boréales (à droite) de la bande 45° à 60°; et C les 7
rectangles entre 30° et 45°, avec 4 rectangles de la bande 45° à
60°, comptées du sud au nord. Alors le tableau II montre que:
dans A le second groupe a la prépondérance dans 7 rectangles
des 14 qui s’y trouvent, en outre, ce groupe occupe le deuxième
rang dans 5 autres rectangles; dans B c’est le premier groupe qui
exerce la prépondérance absolue dans S rectangles sur 10; dans
C le /roisième groupe a la prépondérance dans 3 rectangles, mais

*) La région galactique autour de Scorpius, etc. n’est pas la continuation de cette
branche, elle se rattache plutôt à la branche principale dans Sagittarius (Voy. surtout
les photographies de Barnarp).

30 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC,

il vient en second lieu dans tous les autres 8 rectangles de la
subdivision; dans D le quatrième groupe occupe le premier rang
dans 10 rectangles sur 14, et le second dans 3 autres.

$ 17. Cette répartition des densités peut être attribuée en partie
à l'influence de la „région exceptionelle” (ante, p. 28) qui, vers
Cepheus, s'étend sur une partie de la zone où il y a peu de lueur
galactique, et qui a, en général, une densité élevée pour les étoiles
d'ARGELANDER. Mais la cause de la particularité que je viens d’indi-
quer ne peut pas être simplement celle-ci, qu’une région fortement
condensée se projette obliquement de Lyra à Lacerta, sur la bande
médiane de la Voie lactée; car si l’on suit le cours des maxima
pour les groupes I et IT, on s'aperçoit qu’elles partent des environs
da Cygni, et se dirigent vers le nord-ouest (Voy. le tableau LI)
à travers la partie boréale de la zone — où les étoiles plus faibles
de la Voie lactée sont relativement peu condensées — pour revenir
à l'équateur galactique dans Cassiopeia.

Si Pon met à part une région de condensation extrème dans
Cygnus — comprise entre les traits forts du tableau III — il est
mème possible de diviser le reste de telle façon que, dans chacune
des 4 divisions, tous les rectangles, à l’exception d’un seul, appar-
tiennent à l’une des 4 groupes stellaires, qui y exerce la prépondé-
rance ou dont la densité vient tout au moins en second lieu. La
région de condensation extrême, dont je viens de parler, correspond
assez bien à la „région exceptionelle”, précédemment indiquée.
Tous les 5 groupes y atteignent le maximum de leur densité, et
dans toutes les parties de cette région, la densité d’un des groupes
extrèmes, soit du groupe I, soit de la Voie lactée, atteint au
moins la valeur 1.70. 1

De ce qui précéde on peut inférer, je crois, que dans la
„Grande Condensation’, autour d’une région centrale, où la densité

*) Quant aux divisions indiquées; celle où le groupe Ia la prépondérance occupe
tous les rectangles situés au nord de la région centrale, en outre les 5 rectangles boréa-
les de la bande 15° à 30° long. gal. (11 rectangles); celle du groupe If les 4 rectan-
gles boréales de la bande 90° à 105°, les 5 boréales de la bande 75° à 90° et le rect-
angle 60 + 75,—10—6 (19 rectangles); celle du groupe IV toute la bande entre 0°
et 5° long. gal., les2 rectangles australes de la bande 15 à 30 et les 2 australes de la
bande 30 à 45 (11 rectangles), enfin celle du groupe III tous les autres (11). On n'a
pris en considération ici que les 49 rectangles entre 0° et 105° long. gal., — 14° et
+ 14° lat. gal. — la région de la Grande Condensation — mais les bandes extérieures
montrent le même caractère que les divisions avoisinantes. Le tableau IT indique du
reste, que presque dans tous les rectangles limitrophes la densité du groupe qui prédo-
mine dans la division adjacente est élevée.

LL

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 31

est extrême pour tous les groupes stellaires, les „prépondérances”
(chiffre du groupe qui a, dans un rectangle, une densité plus éle-
vée que les autres) ne sont pas distribuées au hasard, ni concen-
triquement, mais que le caractère de la distribution stellaire s’y
modifie, avec le décroissement de la grandeur, de la manière
suivante :

En partant du maximum absolu du groupe I, la zone de la
plus grande condensation de ce groupe s'étend vers le nord et le
nord-ouest. Quand on procède dans la même direction, on trouve
d’abord une région où, relativement, les étoiles du Il" groupe sont
le plus nombreuses; puis, en suivant la région maximale principale
au sud de l’équateur galactique, on voit paraître la région où le
III groupe a la prépondérance, et de cette région on passe, en
se rapprochant de 0° long. gal,, dans Je domaine du IV® groupe.
Nous savons du reste que dans cette partie du ciel, au sud de
l'équateur galactique, paraît la branche brillante de la Voie lactée,
qui, à mesure qu'elle s’avance dans l'hémisphère austral, devient
encore plus éclatante. (Voy. ma Voie lactée dans l'hémisphère boréal,
Pl. I; et l’Uranometria Argentina de GouLp.)

Nous pouvons aussi décrire le phénomène de la manière suivante

Dans la région maximale la plus importante de la Voie lactée
boréale (Cassiopeia—Aquila) le mouvement qui, à mesure que la
grandeur stellaire diminue, paraît déplacer la masse des étoiles vers
0° long. gal., est précédé d’un mouvement en sens inverse pour
les étoiles des deux groupes les plus brillantes, surtout au nord de
l'équateur galactique. 1)

$ 18. — Relation entre les densités d'un méme rectangle.

Un petit nombre de rectangles est tout-à-fait irrégulièrement
composé. Dans un certain nombre, on voit les densités décroitre
ou s’accroitre plus ou moins régulièrement vers les groupes moyennes,
mais dans la plupart il se manifeste un accroissement ou décrois-
sement plus ou moins graduel du groupe le plus lumineux au
groupe le plus faible.

Indiquons par A un rectangle dans lequel la densité décroit
graduellement du groupe I au groupe IV (A? = le rectangle où
le décroissement est @ pew près graduel); B celui où la densité
s’accroit graduellement de I à IV (B? = presque graduellement),

*) Pour les étoiles classées par demi-grandeurs, les maxima se trouvent éparpillés mais
les principaux ont la tendance que je viens d'indiquer; Voy. Risrenparr, Veröffent-
lichungen Slernw. Karlsruhe 1892.

Be LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

le tableau II, pg. 18, montre que sur 108 rectangles il se trouve:
17 A, 19 A?, 8 B et 17 B? En étudiant la distribution de ces
types dans le tableau VII qui va suivre, on voit que la limite
entre les deux types correspond rudement à la ligne qui marque
la moyenne de la lueur galactique, de telle sorte (ce qui était à
prévoir) que le type A se rencontre presque exclusivement la ot
la Voie lactée est peu condensée, B dans les régions de forte con-
densation. En effet, la densité moyenne des groupes I et G est,
dans les rectangles ot la distribution présente un type régulier,
pour A: 1.16 (D et 0.47 (G), pour B 0.79°(D, 1.51 (G) —
Pour les B?, types douteux, on trouve les valeurs peu différentes
0.93. et 4:86:

Tableau VIL

Types de la distribution dans les rectangles.

(Les traits entourent la région où l’intensité de la vine lactée
est au moins égale à 1.0)
—18 +18
hl
A? no Dr
5] Be

90 90

OA ee ZE AE NNS ee 1?

aL 218

L’exception dans Cygnus, remarquée déjà plus d’une fois au
cours de cette étude, se manifeste aussi dans la distribution de
ces types.

$ 19. — Il nous reste d’élucider la question quels rapports
peuvent exister entre la manière dont la densité change d’un groupe

à l’autre. Pour cela j'ai arrangé les 84 rectangles (entre

LOS à

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 33

et + 14° lat. gal.) suivant lintensité décroissante de la lueur
lactée, puis je les ai groupés en six sections A—F, chaque section
comptant à peu près le même nombre de rectangles; ensuite la
moyenne fut calculée pour chaque section, non seulement celle de
la lueur galactique (G), mais aussi celles des densités des quatre

groupes de la B. D.

Tableau VIIL

Densilés, rangées selon la lueur galactique décroissante.

nn |G IV il Il ee ae
Rectangles.
A NE UE LOO A Mamet |, de OY dut
B PLE GaN Pa Uk eRe ES EE A 14
C RC ch ne 096.1 1,09 14
D RAR OGC ko 1.02, MEMO | 2. 10 14
E 0.73 | 0.89 | 0.91 | 0.97 | 0.94 | 14
F Gea) aeron OLE.) 0.71 0:.89 | 16

Ainsi qu'on voit, les valeurs pour la densité tendent à s’égaliser
vers la valeur 1.0 de G, et, en conformité avec ce que nous ve-
nons de trouver, le type B correspond à peu près aux deux rangs
supérieurs, le type A aux deux rangs inférieurs du tableau.

Mais de ce tableau VIII il s'ensuit encore, que pour tous les
quatre groupes stellaires la densité s’accroit en même temps que
l'intensité de la lueur galactique, et sinon pas régulièrement d’au-
tant plus fortement que le groupe est plus proche de G, c’est-à-dire,
consiste d'étoiles plus faibles.

Le quotient A: F a les valeurs suivantes:

A G IV III Il I
PIRE 4.49 2.0 1.85 1.70 1.35

Bien que les valeurs ne soient pas directement comparables, je
donne encore le quotient G:1

G A B C D E F
M RO: 82 -. 106% 0784). 0184, 0048

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. VIII.

34 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

Incidemment, la régularité que nous observons ici paraît donner
une certaine garantie que l'image galactique qui sert de base à
cette étude, n’est pas trop inexacte, dans ses grands traits. Toutefois,
les défauts de la méthode suivant laquelle le tableau IT a été formé,
doivent se faire sentir surtout dans le tableau VIII. Car les évalu-
ations d’ARGELANDER, non corrigées, donnent selon toute probabilité
des valeurs trop faibles pour la densité des étoiles de la B. D.
dans les régions où la Voie lactée est très condensée. Ce sont sur-
tout les valeurs de la partie supérieure de la col. IV, Tabl. VIII
qui en auront souffert. La différence entre la grandeur visuelle et
la grandeur photographique des étoiles exerce son influence dans le
même sens (ante pg. 12). On peut faire remarquer cependant, que
les erreurs d'estimation d’ARGELANDER — qui eussent été en tout
cas bien difficiles à corriger, pour des régions si peu étendues —
ne se font sentir ici qu'aux limites de groupes très nombreuses, et
que l'erreur qui en résulte ne peut être assez considérable que vers
la grandeur 9.0. (Voy. Kaprryn, Verslagen Kon. Akad. van Wet.
1900/1901 pg. 716).

Hl.

§ 20. — En tachant d’interpréter les résultats des recherches
présentes, je veux prendre comme points de départ deux faits seu-
lement, que les travaux antérieurs ont mis hors de doute, savoir:

1°. Entre Véclat réel des étoiles, il existe des différences con-
sidérables.

2°. Les étoiles sont très inégalement condensées dans les diverses
parties du système stellaire.

Je ne veux faire à priori aucune supposition quant à la distance
des agglomérations stellaires.

(Tout ce que nous savons, par la détermination des parallaxes,
sur la distance des étoiles, indique des différences énormes dans
leur éclat réel. Les recherches du prof. J.-C. Kaprnyn, basées pour
la plus grande partie sur la distribution des mouvements propres des
étoiles, portent à la même conclusion.

Je ne suppose pas, du reste, que la proportion entre le nombre
des étoiles des diverses grandeurs soit la même, dans toutes les par-
ties du système stellaire.

L’inégalité de l’éclat réel des étoiles résulte encore indirectement

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 39

des recherches faites depuis 30 ou 40 ans sur la distribution des
étoiles dans l’espace.

La réalité du „clustering” est devenue tellement évidente, depuis
l’époque où Wirrram Herscner abandonna sa première hypothèse,
que je puis me borner à rappeler les recherches de SRETIGER
(Sitzungsber. München, 1898); Vexistences des milliers d’amas stel-
laires, surtout dans la Voie lactée, l'évidence fournie par les pho-
tographies de la Voie lactée).

$ 21. — La corrélation générale qui se manifeste dans
le Tableau VIII ne peut nous mener qu’à cette conclusion
vague: que les accumulations de la Voie lactée ont assez
de cohérence; qu'elles ne sont pas éparpillées dans l’espace,
et ne pénètrent guère dans le voisinage du Soleil.

La réponse à la question si, pour des ordres d'éclat et des parties
du ciel déterminés, il se manifestera une corrélation, un parallélisme
évident dans la distribution des étoiles de grandeurs diverses, dépend
uniquement du nombre plus ou moins considérable des étoiles et
de l’étendue plus ou moins grande des superficies que l’on compare.

Il sera toujours possible de choisir les conditions de telle sorte
qu'une certaine corrélation se produise; d'autre part toute corrélation
s'effacera quand on continue à restreindre les limites des ordres
d'éclat et des surfaces; cela tient aux deux faits caractéristiques de
la distribution et de l’éclat des étoiles énoncés $ 20. Ainsi, il y
a un phénomène de corrélation avec lequel tout le monde est
familier: un hémisphère céleste, divisé en deux moitiés dont lune
contient la Voie lactée, montre un excès de toutes les grandeurs
dans la moitié où la Voie lactée se trouve; par contre nous savons
qu'il existe dans la zone galactique beaucoup d’endroits riches en
étoiles faibles, où l’on ne trouve que très peu d'étoiles brillantes :
ici les surfaces comparées ont trop peu d’étendue pour montrer le
parallélisme.

Si toutes les condensations de la Voie lactée étaient situées à la
mème distance de nous (Système annulaire, centre occupé par le
Soleil), on verrait une corrélation presque parfaite. Car dans les
régions très condensées il doit se trouver, selon toute probabilité,
non seulement un nombre excessif d’étoiles réellement faibles, mais
encore un excès d'étoiles réellement éclatantes (V. pg. 34, § 20, 1°).
On n’a pas le droit de supposer, à priori, que pour des régions
étendues, les grandeurs intermédiaires manquent.

Nous venons de poser ici un cas extrême. Une autre supposition
extréme serait celle-ci: que les agglomérations stellaires se trouvent

C 3*

36 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

aux distances les plus différentes de nous, dans les directions
diverses, ce qui produirait une corrélation minime (A moins qu'il
ne s'agisse d’agglomérations extrèmement petites par rapport à leurs
distances respectives, car alors un nivellement se produirait: toutes
les parties de la Voie lactée nous présenteraient à peu près le mème
éclat, pourvu que le nombre des étoiles fût assez considérable; il
ne pourrait plus être question de parallélisme). En effet, des accu-
mulations situées à des distances extrêmes, beaucoup plus grandes
que la moyenne, dans un certain rayon visuel, n’ajouteront que
des étoiles des classes faibles à celles que le télescope y aura déjà
montrées, à moins de supposer que ces accumulations soient d’une
grandeur énorme, pour compenser ainsi, par le grand nombre
d'étoiles d’un très grand éclat absolu, la distance excessive. I] en
est de même des agglomérations situées (relativement) tout près du
Soleil qui — à moins d’être très petites — en fournissant un nombre
exceptionnel d'étoiles brillantes, détruiraient, sur des superficies con-
sidérables, presque complètement toute corrélation résultant de
la disposition des groupes plus éloignés. Ainsi, le parallélisme
sera d'autant plus prononcé que la grande masse des étoiles
s’écarte moins d’une certaine limite de distance, supérieure et
inférieure.

Or nous avons vu (Tableau VIII) que dans notre système stellaire
le parallélisme va assez loin. Dans un travail antérieur (Verslagen
Kon. Akad. v. Wet. Amsterdam, afd. Natuurk., 1894/95; A. N.
3270) J'ai pu montrer que, au moins pour la dernière classe
d’ARGELANDER, cette corrélation se manifeste dans une partie de la
Voie lactée déjà même lorsqu'on compare entre elles des surfaces
ne mesurant qu'environ 10 degrés carrés. Mais c’est là peut-être
un cas exceptionnel, qui a peu de signification pour une recherche
systématique s'étendant sur toute la Voie lactée boréale. Il n’en
reste pas moins la corrélation générale très prononcée trouvée ici
pour des surfaces qui n'occupent que la 5+, partie de la zone
galactique entière, et pour des ordres d’éclat qui embrassent seule-
ment une fraction des étoiles de la B. 2. et dont le moins nom-
breux (groupe I) ne compte pas la 3000° partie de l’ensemble des
étoiles observables dans la Voie lactée boréale.

Quand même cette corrélation serait moins remarquable, ou ne
se manifesterait qu'à une grandeur plus faible que la dernière classe
d'ARGELANDER, dès que l’hémisphère austral fut prise en considé-
ration (Voy. pg. 25), il n’en resterait pas moins que, entre les deux
suppositions extrêmes que nous venons d’énoncer, la structure du
système stellaire doit s'approcher beaucoup plus de la première que

>
«

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 37

de la seconde. C’est-a-dire qu'il doit y avoir assez de cohérence
entre ses parties condensées, et que, dans les limites de lobserva-
tion, la courbe qui représente les densités des parties de l’espace
(Raum-Elemente, Elements of space) échelonnées sur un même
rayon visuel, ne peut présenter un grand nombre d’oscillations
importantes.

$ 22. En général, les condensations de la lumière galac-
tique paraissent correspondre à de véritables accumula-
tions stellaires; on peut regarder les zones galactiques
comme des couches d’étoiles plus ou moins irrégulière-
ment condensées, et la structure apparente de la Voie
lactée s’explique assez bien par cette seule supposition.

Il y a quelquefois des indices d’une superposition apparente des
couches et accumulations stellaires (Comp. pg. 42 ci-après) et il
est probable que, dans quelques endroits, nous voyons des courants
stellaires plus ou moins en raccourci — par exemple vers a et +
Cygui, et dans Cassiopeia, Sagittarius, ete. (Astrophys. Journ. XII,
2. p. 156) mais la plus grande partie de la Voie lactée paraît
composée de couches stellaires relativement peu profondes. Certaines
ouvertures très caractéristiques de la Voie lactée (la photographie

céleste en a encore, dans ces temps derniers, fait connaître un grand

nombre) avaient déjà conduit Sir Joux Herscner à admettre le
peu de profondeur de plusieurs régions galactiques, et cet argu-
ment, quelque peu modifié, me paraît toujours valable. Le prof.
SEELIGER ayant cru pouvoir le réfuter dernièrement (Astrophys.
Journ. XII, 5, p. 379) je veux dire ici quelques mots sur cette
question, qui a son importance.

Ainsi que l'indique Sprrreer, la probabilité d’espaces vides extre
les étoiles, perpendiculairement au rayon visuel, est indépendante
du plus ou moins d’étendue, dans le sens du rayon visuel, de
l’espace où un nombre constant d'étoiles est distribué. Seulement
SEELIGER n’a pas le droit d'appliquer ce raisonnement général à
ce cas particulier des conditions auxquelles est liée la formation
de la lumière galactique.

Les étoiles qui contribuent le plus à la formation de la lueur
galactique doivent se trouver à des distances moyennes du Soleil.
Il est vrai qu’une étoile excessivement brillante, très éloignée de
nous; de même qu'une étoile assez proche, mais peu lumineuse,
pourront aider à la formation de cette lueur, mais ce sont la des
exceptions. En général, les étoiles situérs à une distance extrême
ne comptent plus, ou presque plus, tandis que les étoiles au-dessus

38 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

d’une grandeur moyenne dans le voisinage du Soleil, se voient sé-
parément. Ainsi, pour que l'illusion optique, qu’est au fond le phéno-
mène galactique, puisse se produire dans une certaine direction,
il faut que dans cette direction la grande masse des étoiles se trouve
à une distance moyenne. Figurons-nous les étoiles d’une portion de
la Voie lactée transportées à dix, cent fois leurs distances, le ciel
nous paraîtra noir dans cet endroit; transportées dans le voisinage
immédiat du Soleil, ces mêmes étoiles seront visibles individuelle-
ment, mais sans fond lumineux. Un certain nombre d'étoiles pro-
duira une lueur galactique à la condition, 1° qu’elles paraissent se
toucher, c’est-à-dire que les distances angulaires qui les séparent,
vues du Soleil, soient excessivement petites; 2° que, dans le sens
du rayon visuel, leurs distances du Soleil soient comprises entre
de certaines limites, déterminées par leur éclat. De cela il s'ensuit
déjà que, pour ce qui est de la formation de la lueur galactique,
les distances des étoiles, dans le sens du rayon visuel, exercent une
grande influence.

Personne ne doute plus, aujourd’hui, que dans la direction où
nous voyons la Voie lactée les étoiles sont très irrégulièrement con-
densées. Sil y a assez d’étoiles, d’une certaine grandeur moyenne,
dans une portion déterminée P d’une partie de l’espace A, nous
apercevons de la lueur galactique dans la direction de P, n’exis-
tit-il aucune autre agglomération stellaire dans cette direction.
Dans l’espace A (supposée très profonde, dans le sens des rayons
visuels) que nous avons en vue, nous devons nous représenter qu'il
existe un nombre considérable de régions d’une densité stellaire
au moins égale à celle de P., distribuées accidentellement. Pour
juger de la densité apparente de la Voie lactée sur une partie de
la voûte céleste, nous devons alors additioner l’éclat de tous les
P, P,, P, ete. qui se trouvent dans un même cône visuel, et il
est évident qui les agglomérations d’une densité extrêmement forte
ou extrêmement faible se neutraliseront d'autant plus que, (en moy-
enne pour tous les rayons visuels qui traversent cette région de
l’espace) le nombre des agglomérations, situées sur un même rayon
visuel, est plus grand; c’est le xive/lement des irrégularités dans
la Voie lactée qui en dépend. Si ces agglomérations P, P,, P,
etc. sont très nombreuses dans toute cette partie de l’espace, la
probabilité est très petite qu’une ,,ouverture” se produise entre des
régions brillantes.

SEELIGER reconnait que „la probabilité d’endroits sombres au mi-
lieu des accumulations de la Voie lactée est très petite (ibid. p. 379),
mais, dit-il, en tout cas la probabilité demeure tout aussi exigué si

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIERE GALACTIQUE, ETC. 39

nous comprimons le méme nombre d’étoiles dans une espace plus
petite, pourvu qu’elle couvre la méme portion du ciel.”

A cela, il y a à répondre que nous n’avons pas en vue une
possibilité théorique, mais un cas naturel. Figurons-nous le même
nombre d’étoiles, de la même grandeur moyenne, mais situées dans
une couche stellaire B, d’une épaisseur qui n’est que la moitié de
celle de l’espace A. Alors, il n’y a aucune raison pour admettre —
il est même extrêmement improbable — que la grandeur des accu-
mulations Q, Q,, Q, etc., qui se sont formées dans B, ait dimi-
nué, par rapport à P, P,, P, etc., dans la mème proportion de
| B à A. Proportionnellement, la force condensatrice plus grande dans
B aura réuni autour de chaque centre un nombre plus grand d’é-
toiles, par conséquent, le nombre de ces centres, de ces accumu-
lations, aura diminué; la chance d’un nivellement aura diminuée,

celle d’une disposition apparente tres irrégulière des taches galac-
tiques sera plus grande.

Nous supposons ici que la matière distribuée dans l’espace est
très peu dense („bei der überaus dünnen räumlichen Vertheilung
der kosmischen Massen...” SekriGer, Betrachtungen pg. 64)
qu'ainsi la dimension des agglomérations est en moyenne très petite
relativement aux distances qui les séparent les unes des autres.
Nous pouvons alors présenter le cas d’une manière encore plus
simple: la force condensatrice plus grande qui, en comprimant les
étoiles dans une couche moins profonde, ainsi que Vexprime Ser-
LIGER, a produit la couche stellaire plus dense dans le sens du
rayon visuel, doit avoir produit également une accumulation plus
forte perpendiculairement au rayon visuel, des centres de conden-
sation plus denses, et des ouvertures apparentes plus considérables
entre ces accumulations.

Et c’est justement le manque d’uniformité de la zone, Valter-
nement d’endroits brillants, très condensés, avec des endroits où
les rares étoiles ne produisent aucune lueur galactique appréciable,
qui nous mène à la conclusion que des régions étendues de la Voie
lactée se composent de couches stellaires relativement peu pro-
fondes.

§ 23. — Ce n’est pas seulement dans les détails de la Voie lactée
que se manifeste le „clustering power”: on le reconnaît aussi dans
les grandes agglomérations stellaires. Ainsi, à côté de la permanence
générale de l’image galactique, des groupes d'ARGELANDER jusqu'aux
étoiles de la Voie lactée, la particularité la plus caractéristique de la
distribution des étoiles sur l’hémisphère boréal est la permanence et

40 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

l'importance de la grande accumulation qui a son centre dans
Cygnus (Comp. pg. 24).

Cette accumulation se montre dès qu’on passe des étoiles très
brillantes aux étoiles télescopiques (Il est à noter qu’elle n’est pas
évidente à l'oeil nu), conserve à peu près sa forme dans les der-
nières classes d’ARGELANDER, et on retrouve ses parties centrales
dans les régions les plus éclatantes de la Voie lactée boréale. Il est
impossible d’évaluer même approximativement le nombre des étoiles
appartenant à cette partie centrale, vers z et y Cygni — parceque
toutes les parties riches entre Cassiopeia et Aquila paraissent s’y
rattacher directement ou indirectement — mais on n’a qu’a jeter
les yeux sur la Planche I pour se rendre compte de l’influence
prépondérante exercée par cette immense accumulation d’étoiles.

Il est impossible de ne pas reconnaître ici l'existence d’une con-
densation réelle, exceptionnellement forte des étoiles — conclusion
appuyée du reste par des considérations d’une autre nature (Comp.
Verslagen K. Ak. v. Wet. Amsterdam, Afd. Nat. 1897/98, Astrophys.
Journal, 1900, XII, 2).

§ 24. — Cependant, il n’est pas possible d’expliquer
plausiblement certaines particularités qui se sont révélées
au cours des présentes recherches, sans faire des supposi-
tions relatives a la distance.

Je ne parle pas ici de suppositions d’une nature générale, s’ap-
pliquant à toute une classe d’étoiles d’une grandeur déterminée, —
il résulte e. a. des derniers travaux de Kaprryn que des supposi-
tions pareilles, lesquelles Crrorra, il y a vingt ans, pouvait encore
croire justifiées, manquent de fondement — mais de suppositions d’un
autre ordre, valables seulement pour une région déterminée du ciel,
et pour lesquelles on a tenu compte de la composition stellaire
(nombre d’étoiles des différentes grandeurs) de cette région, de sa
relation avec d’autres régions, etc.

Ainsi, quand on voit, sur toute l’étendue de la Voie lactée
boréale, les étoiles des groupes I et IT se condenser vers l’agglo-
mération principale, dans Cygnus, sans paraître subir aucunement
l'influence de la „condensation secondaire” dans Auriga et Mono-
ceros — pour les étoiles 0 — 6,5 et même pour des grandeurs
plus faibles encore, un minimum s'étend sur Monoceros et Auriga,
tandis que le nombre des étoiles brillantes est au-dessus de la
moyenne là où, vers Perseus, les étoiles très faibles ont leur minima
les plus remarquables — on ne peut se figurer toutes ces accumu-

IN

lations et couches stellaires situées à la même distance de nous;

mn D VE dd en

|

ee) a es

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIERE GALACTIQUE, ETC. Al

d'autre part il serait excessivement improbable que l’agglomération
Auriga-Monoceros se composit presque uniquement d'étoiles qui
seraient ex réalité exceptionnellement petites; — on est bien forcé
d'admettre que le faible éclat moyen des étoiles de l’agglomération
Auriga-Monoceros est dû principalement à la distance plus grande
de cette agglomération, comparée à Vaccumulation dans Cygnus.

Et de même quand nous voyons, en partant de la partie cen-
trale de l’agglomération de Cygnus, les étoiles brillantes se grouper
vers le nord, les étoiles faibles se condenser vers le sud, il est
difficile de croire à un groupement réel des étoiles, tellement étrange,
que les volumineuses se dirigeraient d’un côté, les petites du côté
opposé, et cela sur une superficie égale à la moitié de la zone
galactique boréale. Il est vrai qu'il doit exister dans l’espace des
endroits où le volume (éclat intrinsèque) moyen des étoiles est très
inférieur ou très supérieur à la moyenne. Mais il n’y a aucune
raison pour admettre que ces lieux exceptionnels se groupent systémati-
quement autour d’un point déterminé. Aussi la régularité assez grande
avec laquelle nous voyons la „prépondérance” (pg. 31) passer du
groupe le plus brillant au groupe le plus faible, suivant la direction
indiquée plus haut, à travers Cepheus, Cassiopeia, Lacerta, Vul-
pecula, Aquila et Scutum, le rend déjà très probable que nous
avons affaire ici, non à un jeu du hasard, mais @ wxe diminution
graduelle de la distance, quand on considère successivement ces di-
verses parties de la grande agglomération stellaire. Cette probabilité
devient extrême si l’on tient encore compte des connexions qui
existent, ainsi que le montre Vaspect de la Voie lactée, entre les
taches et courants lumineux de cette région.

§ 25. Je ne puis entrer en détails, ici, sur l’aspect de cette
région (Comp. La Voie lactée dans l'hémisphère boréal (1893) et
Astrophys. Journal XII, p. 156) mais la relation entre les parties
de la Voie lactée situées vers B — 7, 0, 2—&, ¢ Cygni est telle-
ment évidente, que deux minutes d'étude à Voeil nu, par un ciel
très clair, suffisent à la faire reconnaître. Les photographies de cette
région de la Voie lactée re sont pas moins remarquables sous ce
rapport (Comp. celles de Max Wo ur, reproduites dans Knowledge,
Oct. et Déc. 1891, Febr. 1895, et de Barnarp, Kn. Oct. ’91).
D'ailleurs, déjà Prouémér et après lui Jour Herscuer ont remarqué
que des branches de la Voie lactée paraissent avoir comme point
de départ commun un endroit situé dans Cygnus (Comp. ma
Voie lactée, Introduction).

Le résultat le mieux fondé de l'étude présente, quant à la

42 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

structure de la Voie lactée, me paraît être: que des deux branches
de la Voie lactée, vers 2 Cygni et vers y Aquilae — où la diffé-
rence entre l'éclat n’est pas très considérable — la branche australe
(Aquila, Scutum) est beaucoup plus éloignée de nous que la branche
boréale (Cygnus).

Cela n’exclut pas la possibilité, du reste, que des groupes isolés
d'étoiles se projettent sur les branches, qui peuvent elles-mémes se
composer d’une série (amas ou agglomérations plus ou moins
intimement liées entre elles. Les photographies paraissent montrer
des exemples des deux cas.

La distribution des types A et B (pg. 32) indiquant, pour
chaque rectangle, la régularité de la composition stellaire dans le
sens du rayon visuel, pourra jeter quelque lumière sur la question
si deux couches d'étoiles sont superposées. Là où nous voyons que
dans une partie pas trop restreinte de la Voie lactée, il se mani-
feste un type régulier de distribution, soit A ou B, tandis que la
distribution dans une autre région est apparemment irrégulière, il
est naturel de supposer qu’il existe une différence notable dans la
composition plus ou moins homogène des couches stellaires traversées
par les rayons visuels, dans ces deux directions. Une couche très
épaisse, d’une composition hétérogène, peut aussi, il est vrai, pro-
duire en apparence un type régulier, mais il faut pour cela que
dans la direction du rayon visuel il n’y ait pas d’alternement de
vides très étendus et de condensations épaisses. Où la courbe de la
deusité présenterait, dans le sens du rayon visuel, des oscillations
d’une forte amplitude et d’une largeur considérable, le nivellement
nécessaire à la formation d’un type régulier de distribution ne
pourrait pas se produire. La distribution très irrégulière des couches
stellaires se manifestera alors par une densité relativement trop
grande ou trop faible d’un des groupes intermédiaires, quand on
compare entre elles les valeurs pour les densités dans un même
rectangle: un vide considérable entre deux couches stellaires, espa-
cées sur un même rayon visuel, produira, dans le rectangle situé
dans cette direction, une densité relativement trop faible pour un
groupe intermédiaire.

On pourra done admettre que dans ces régions de la Voie lactée
où règne l’un des types À ou B, la constitution du système stel-
laire, dans le sens du rayon visuel, est relativement homogène. Il
n’est pas étonnant qu’une telle constitution homogène fasse défaut
vers les bords des grandes régions maximales, considérées comme
des accumulations réelles, mais irrégulières en détail. Mais tandis
que la distribution générale des types A et B, dans les régions

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 43

pauvres et dans les régions riches de la Voie lactée, s'explique fa-
cilement, il est à remarquer que les types réguliers, où même
presque réguliers, manquent beaucoup plus souvent dans la région
maximale Cassiopeia-Aquila que dans la région maximale Auriga-
Monoceros; puis, il nous reste à trouver une explication pour l’in-
termixtion du type A à l'intérieur de la région la plus fortement
condensée (vers a Cygni).

Cette dernière particularité pourra être attribuée à un excès
d'étoiles très volumineuses (ou intrinsèquement très brillantes), dans
cette région. (Voy. plus haut).

Par contre, une supposition relative à la distance fournit des
autres particularités la seule explication plausible. Il sera naturel
de supposer alors que, (du moins dans la région maximale, et à
l'exception des endroits où une accumulation extrême peut être
admise) le type A représente une région stellaire proche, le type
B une région éloignée. Dans les zones à l’intérieur de la région
maximale, où le type régulier fait défaut, on admettra qu’il existe
un vide relatif entre les couches stellaires. C’est une circonstance
heureuse, dans une question aussi compliquée que celle de la con-
stitution du système stellaire, que les deux branches de la Voie

lactée dans Cygnus et Aquila — situées à des distances très
différentes, selon toute probabilité — ne sont superposées que pour

une faible partie, ainsi que Vindique déjà l'aspect de la Voie lac-
tée): à cette circonstance est due la composition stellaire, assez
régulière relativement, de la majorité des rectangles, même dans
l'agglomération Cassiopeia-Aquila.

D'autre part, il est à remarquer que les „ponts lumineux” que
les cartes galactiques indiquent entre les deux branches, ne prou-
vent pas que les deux branches se trouvent à peu près à la mème
distance; l’une des extrémités d’un tel ,,pont” peut tout simple-
ment se projeter sur une région galactique beaucoup plus éloignée.
Prise en général, le chiffre de la prépondérance dans un rectangle
indique que la majorité des étoiles qu’on voit dans cette direction
est située à une distance faible, moyenne, ou grande. Il va de
soi qu'on évitera d'entrer dans les détails de la distribution.

§ 26. — Comparons cette supposition aux résultats, récemment
trouvés par _Kaprnyn dans ses recherches sur l’intensité lumineuse des
étoiles fixes (Verslagen K. A. v. Wet., Amsterdam, 1900/1901,
p. 713), en admettant que ces résultats sont valables pour les di-
visions de la zone, considérées ici. On peut inférer du tableau 4,
pg. 727, übid., comment varieront les valeurs pour la densité appa-

44 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

rente, quand la distance augmente considérablement. Prenons les
valeurs de log. L dans la 2°, 7°, 12°, 17° colonne, on trouve alors:

log L log A
Ar BR MIS IDEE à RTS 4.68
VOIR AS EEN 181
0°62 - Sa eee 0.26
B:8% we eee 1.41

Si nous faisons maintenant la distance 10 fois plus grande, par-
tant log. L—2, log A+ 2, les valeurs suivantes s’obtiennent:

Vit mien ete ons ee 6.68
D282 ites re LME DSL
Sin Be Lene steak center dien 2.26
GB 1 tuba atie 3.41

donc, pour les densités correspondantes aux trois valeurs de log. Z
communes aux deux séries:

A B
I . 0. 006 To. oi) 0005
Il 148 Il 0.65
IT 26 LE IR

Les moyennes de ces valeurs sont, pour I: 0.0032, pour II
.22, pour 4, et il en résulte les valeurs suivantes s
1:22, pour III 104, et al lte | leurs suivantes pour les

a | 0.006
densités, type A et type B: es t )
A B
Tt. ei tee. 022
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Ainsi qu'on le voit, la distribution des grandeurs stellaires,
trouvée par KapreyN, n’est pas en contradiction avec la supposition
que nous avons faite. Ce serait un travail intéressant de pousser
plus loin cette comparaison, mais je n’ose décider si les données
fournies par la présente étude ne sont pas trop incomplètes, presque
rien n'étant connu sur la distribution des étoiles dans lhémisphère
austral, ni si elles comportent la précision nécessaire pour des re-
cherches pareilles,

LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC. 45

$ 27. — En terminant, je veux dire quelques mots sur la relation
de l’agglomération stellaire de Cygnus avec les étoiles environnantes.

Par hasard, pour le travail que nous venons d'exposer, la zone
galactique à été divisée ‘de la sorte, que les environs si remarqua-
bles d’ z et de y Cygni ne peuvent être explorés plus en détail,
afin de mieux définir la situation des parties les plus condensées
pour les classes moyennes. Pour les étoiles galactiques, c’est la
grande tache lumineuse (2—y Cy. qui prédomine sur toutes les
autres. Or cette tache, remarquable sous plusieurs points de vue
(Comp. Voie lactée boréale, Description, pg. 43; Astrophys. Journ.
XII, p. 155. Verslagen Kon. Akad. Amst. Afd. Nat. 1897/98,
p. 392) a Vaspect d'une lentille vue presque sur la tranche. Le
bord méridional, situé à peu de distance de l'équateur galactique,
mais toujours dans l'hémisphère boréal galactique, est assez nette-
ment défini, il n’en est point ainsi du bord boréal, lequel, selon
ce qui a été dit plus haut, serait le plus rapproché du Soleil. Or,
il est à remarquer que la lueur est le plus intense vers le bord
méridional; qu’elle s'étend en forme d’éventail vers o et ; Cygni
(Voy. les cartes et les photographies) dans la direction où se trouve
la région où la Voie lactée boréale se rapprocherait le plus du
Soleil; que, selon un travail antérieur (Verslagen K. Ak. v. Wet.
Ard. Naf; 1894/95, p. 186) la corrrélation entre les diverses
grandeurs se prononce exceptionellement vite tout près de là, au
nord-ouest d'a Cygni; que des trainées lumineuses reconnues déjà
par Hers partent de la tache (@—y Cy, vers Lyra et Draco; que
suivant les cartes de Srratonorr, influence de l’agglomération se
fait sentir sur une grande partie de l’hémisphère boréal, dans tous
les ordres d’éclat.

D'ailleurs, les étoiles très brillantes se groupent d’une manière
remarquable dans cette partie du ciel, entre le pole nord galactique,
la constellation d’Ophiuchus et la région pauvre en étoiles brillan-
tes qui s'étend sur Lynx pour aboutir à la partie très faible de la
Voie lactée dans Perseus. Il me paraît très probable qu'un grand
nombre des étoiles brillantes situées dans cette portion de l’hémi-
sphère boréal appartiennent à une couche stellaire se reliant direc-
tement à la partie la plus rapprochée de la Voie lactée boréale:
dans Cepheus et Cygnus.

Je me propose de développer ces considérations dans une publi-
cation ultérieure, où sera également traitée la distribution des né-
buleuses par rapport à la composition stellaire de la Voie lactée.

§ 28. — Il paraît résulter de ce qui précède, que la région

46 LA DISTRIBUTION DE LA LUMIÈRE GALACTIQUE, ETC.

condensée principale (Cassiopeia-Aquila) de la Voie lactée boréale se
compose principalement de deux couches stellaires, situées à des
distances différentes. Ces deux couches correspondent, l’une à la
branche boréale de la Voie lactée (Ophiuchus-Cygnus) et à la région
entre l'aile boréale du Cygne et Cassiopeia; l’autre à la région

Cassiopeia — Lacerta et à la branche australe (Cygnus — Vulpe-
eula — Aquila — Scutum) de la Voie lactée. Les bords intérieurs

de ces deux couches stellaires sont en apparence superposés. La
couche australe est la plus éloignée, tandis que la partie la plus
rapprochée du Soleil, dans cette région de la Voie lactée, se trouve
dans Cepheus, au nord d’une accumulation exceptionnellement 1im-
portante d’étoiles de toutes les grandeurs, dans Cygnus. Les parties
qui se projettent entre @ Cygni et Ophiuchus, et sur Cassiopeia et
Lacerta, se trouvent à une distance moyenne.

Il s’ensuit du reste de la distribution des densités (prépondérances)
et de l’aspect de la Voie lactée, que ces couches stellaires ne sont
pas indépendantes les uns des autres, que des connexions se trouvent
surtout entre l’accumulation stellaire dans Cygnus et la région de
Cepheus et Cassiopeia, entre Cassiopeia, Lacerta, Vulpecula et
Aquila.

La région condensée secondaire (Auriga — Monoceros) de la Voie
lactée boréale paraît être située à une distance intermédiaire entre
celles des parties extrèmes de la région Cassiopeia — Aquila.

Cette disposition des étoiles des grandeurs diverses dans la Voie
lactée peut s'expliquer plausiblement de la manière suivante:

La région galactique près de y Cygni forme le noyau
d’une énorme agglomération stellaire, centre de courants
ou couches composées d'étoiles et amas d'étoiles Le plus
important de ces courants se rapproche le plus du Soleil
dans Cepheus, pour se recourber à travers Cassiopeia, en
s'éloignant de plus en plus du Soleil, et former ensuite la
branche principale de la Voie lactée dans Aquila, Scutum,
etc. quise rattache, en traversant tout l'hémisphère austral,
aux condensations stellaires de Monoceros et d’Auriga, en-
tourant ainsi la région de l’espace où se trouve le Soleil.

Rotterdam, 1900—1902.

(12 Januari 1903.)

a dn eend

C. Easton. — La distribution de la lumière galactique, comparée à la distri-
bution des étoiles cataloguées, dans la Voie lactée boréale.

PLANCHE I (Pg. 20).

Distribution de la densité des 4 groupes B. D. et de la lueur galactique.

[La ligne forte indique les lieux où la densité moyenne — 1.0. La Région maxi-
male est pointillée; la Région minimale est indiquée par des croix. Maximum
maximorum — M; Minimum minimorum = =|]

180 [===

GROUPE | (0—6.5 Arg.)
(108 rectangles)

Région maximale 25 rect.,
Dens, = 1.21 +
Région minimale 27 rect.,
Dens. = 0.79 —

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) Dl.

-/3 +18

GROUPE Il (6.6—8.0)
(108 rectangles)

Région maximale 25 rect.,
Dens. =1.17 +
Région minimale 27 rect.,
Dens. = 0.78 —

-48 +18

GROUPE III (8.1—9.0)
(108 rectangles)

Région maximale 22 rect.

Dens. = 1.2 +
Région minimale 23 rect.
Dens. = 0.7 —

VIII.

—/8 +18

1/3 Casscop.
+++

GROUPE IV (9.1—9.5 Arg.)
(108 rectangles)

Région maximale 30 rect.

Dens. =1.2 +
Région minimale 26 rect.
Dens. = 0:7 —

G. (Voie lactée)
(84 rectangles)

Région maximale 27 rect.
Intensité = 1.22 +
Région minimale 21 rect.
Intensité = 0.75 —

Druk van Eduard IJdo — Leiden,

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Phot.Lith. Eduard Yolo, Leiden.

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bution des étoiles cataloguées, dans la Voie lactée boréale.

©. Easton. — La distribution de la lumière galactique, comparée à Ia distri-

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VIII.

Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl.

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rolyse van eenige Zilver-Zouten,

ver de reactie van Waterstofsuperoxyde met

i : Lilveroxyde, Zilverbloxyde, enz,

(Achtste Verhandeling).

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 4.

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
Maart 1903.

Electrolyse van eenige Zilver-Zouten,
en over de reactie van Waterstofsuperoxyde met
filveroxyde, Zilverbioxyde, enz,

(Achtste Verhandeling).
DOOR

EE. MULDER.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 4.

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1903.

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Over de Electrolyse van eenige Zilver-Zouten,
en over de reactie van
Waterstofsuperoxyde met Zilveroxyde, Zilverbioxyde, enz.

(Achtste Verhandeling).
DOOR

E. MULDER.

De electrolyse eener waterige oplossing van azijnzuur zilver werd
vervoled, terwijl werd uitgegaan van een versche zoutoplossmg (om
redenen, die later zullen volgen). De voortgezette studie begon met
een gedeeltelijke analyse (met ’toog op de zeer kleine hoeveelheid
stof beschikbaar) van het zilverzout, dat met water is uitgetrokken
(zie de voorgaande Verhandeling), nadat de gemakkelijk vrijkomende
zuurstof is uitgedreven (zijnde verondersteld, dat oxy-azijnzuur zilver
deel uitmaakt van peroxy-azijnzuur zilver, van welken naam men
zich voorloopig bedient). Men was genoodzaakt uit te gaan van vele
producten van Bereidingen, namelijk van de groepen van Berei-
dingen aangegeven door I, II, III en IV (zie de voorgaande Ver-
handeling), ten einde een hoeveelheid te hebben, voldoende voor
een gedeeltelijke analyse, die toch nog voorloopig is (om er later
op terug te komen, als de opbrengst van een Bereiding zal verbe-
terd zijn op bevredigende wijze, zoodat afdoende analysen kunnen
volbracht worden).

Zilverbepaling van het zout met water uitgetrokken (zie boven).
Er werd uitgegaan van de /o/ale hoeveelheid zilverzout, der groepen
van Bereidingen I, II, MI en IV, die werd omgekristalliseerd (de
oplossing werd gefiltreerd) met plaatsing der oplossing onder een
vacuum-exsiccator (met zwavelzuur), terwijl bij iedere hoeveelheid

Dax

4 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

van gemeld zout dezer vier groepen was gedaan 3 c.c. water, om
het geheel dan eenige dagen te laten staan, dat herhaald zijnde
gezamenlijk bedraagt 24 ec. ce. water. De oplossing werd telken
male in denzelfden kroes gedaan (vooraf gewogen), welke bewer-
king derhalve werd herhaald voor gezegd zout der vier groepen
(waarvan de oplossingen waren bij elkander gevoegd), terwijl de
oplossing vervolgens werd geplaatst (dus achtereenvolgens twee-
maal) onder een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur). De terugblij-
vende massa was ten deele vrijwel gekristalliseerd, maar bood eenig
verschil aan met azijnzuur zilver, naar ’tschijnt. De massa was
meer gekleurd, dan het geval was met azijnzuur zilver, na onder
genoegzaam dezelfde omstandigheden geplaatst te zijn geweest, b.v.
zooveel mogelijk gehouden buiten het bereik van zonlicht (er werd
een zilverbepaling gedaan van dit azijnzuur zilver ter contrôle, en
wel uitgaande van een genoegzaam gelijke hoeveelheid, welks be-
paling een voldoende uitkomst gaf). De geheele hoeveelheid stof
bedroeg 0.1595 gr., zijnde alles, dat ter beschikking was. Na ont-
leding bleef terug 0.1141] gr. zilver of 71.55 p. c., bijgevolg veel
te veel, want azijnzuur zilver (CH, CO, O Ag) eischt 64.65 pe.
Daarentegen mierzuur zilver (H. CO. O Ag.) vordert 70.57 pe., dus
nog lager zijnde dan 71.55. Het is altijd mogelijk, dat er eenige
fout insloop, b.v. als gevolg eener gedeeltelijke ontleding van het
zilverzout, waarvan samenstelling en natuur nog onbekend zijn.
Deze ontleding zou tengevolge kunnen hebben, dat de hoeveelheid
0.1595 gr. stof, waarvan werd uitgegaan, te laag was (de stof was
ten deele gekleurd). Wat de vraag betreft, of het zilverzout, het-
welk in onderzoek is, eenvoudig is mierenzuur zilver, 100 zou
daarop kunnen gezegd worden, dat dergelijk zout zou kunnen ont-
staan door oxydatie als afgeleide van azijnzuur zilver, zij deze reactie:

CH, CO. O 4g + 3 0 = CO, + H, O + H. CO. O Ay.

Ten einde zich te overtuigen van de juistheid al of niet hier-
van, zou men een e/ectrolyse kunnen doen van mierenzuur zilver,
dat dit afdoende zou leeren (aangenomen natuurlijk, dat deze elec-
trolyse uitvoerbaar is op voldoende wijze, dat niet het geval is;
zie later). Maar het is toch beter, in ieder geval als inleidende
proef, om de oplosbaarheid en andere eigenschappen te vergelijken
van het zout (afgezonderd uit peroxy-azijnzuur zilver), met mieren-
zuur zilver, en wel door de waterige oplossing van mierenzuur
zilver onder genoegzaam dezelfde omstandigheden te plaatsen zoo-
veel mogelijk, als het zilverzout der zwarte stof pleegt te worden
geplaatst. En dit is gedaan (zie een weinig later).

KE à

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. D

Merken we nog op met ’toog op het gehalte van gemeld zout
aan zifwer (gie hierboven), dat een ontleed worden van dit zout in
dien zin, dat het gehalte aan zilver veel te hoog wordt, weinig
kans heeft van in te treden, daar dit vooral in strijd zou zjn met
de analyse van zilwerbioryde (afgeleid van de zwarte stof, door be-
handeling met water; zie de voorgaande Verhandeling), die geheel
beantwoordt (namelijk de analyse met salpeterzuur) aan hetgeen dit
bioxyde verlangt, terwijl het ontledingsproduct hierbij gevormd,
wel onoplosbaar val zijn in water, en in dit geval dus vermengd
met het zilverbioxyde (en daarvan is bij de analyse niets gebleken).
Ook zou dit niet in overeenstemming zijn met de uitkomsten bij
de behandeling met water, hetzij bij gewone temperatuur, hetzij
bij verhitten (namelijk bij het elimineeren der gemakkelijk vrij-
komende zuurstof van het veronderstelde oxy-azijnzuur zilver), en
de geringe hoeveelheid stof, die onopgelost blijft bij omkristalli-
satie der massa (zie de voorgaande Verhandeling). Men vroeg zich
af, met ’t oog op de geringe hoeveelheid stof, en de betrekkelijk
groote hoeveelheid water, of ook zilverbioxyde (4g, O,), blijkbaar
wat oplosbaar in water, of zilveroxyde (dg, QO), dat eenigzins oplos-
baar is, ook de oorzaak kon zijn van dit verschil der uitkomst
verkregen en het gehalte aan zilver van azijnzuur zilver. Dit is
evenwel minder waarschijnlijk. Maar in aanmerking genomen, dat
de hoeveelheid zilverzout, afgezonderd uit de zwarte stof, meer ge-
kleurd was dan het geval was met azijnzuur zilver, geplaatst ge-
weest zijnde ongeveer onder dezelfde omstandigheden, schijnt het
veeleer, dat men te doen heeft met een ander zout, of met een
mengsel van zilverzouten, waarvan een zou kunnen zijn azijnzuur
zilver. In ieder geval is de beschikbare hoeveelheid stof te gering,
om deze of gene gevolgtrekking te maken van eenige beteekenis
uit deze eerste analytische uitkomst, en nog wel eene partiéele
analyse. En ten einde de bezwaren aan het onderzoek verbonden
meer of min tegemoet te komen, is het wenschelijk voorgekomen,
eenige kennis te maken met mierenzuur zilver (om daarna glu-
colzuur te laten volgen, wegens redenen, die later zullen worden
medegedeeld), welke kennis zou kunnen strekken tot bevordering
der ontwikkeling van het onderwerp, dat ons bezighoudt. Later zal
overigens worden gehandeld over de analyse van een andere Groep
van Bereidingen.

Menige gegevens met betrekking tot mierenzuur zilver in verband
met het zilverzout afkomstig van het zwarte product van electrolyse.
Door eenige eigenschappen van het zilverzout waarvan sprake is

6 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

(dat trouwens een mengsel zou kunnen wezen) te vergelijken b.v. met
die van mierenzuur zilver, zou men zich wellicht kunnen bedienen
van de methode van uitsluiting, en op die wijze met betrekkelijk
vrij veel waarschijnlijkheid te weten komen, dat gezegd zout geen
mierenzuur zilver is (of een mengsel van zouten). Voor dit doel werd
mierenzuur zilver gemaakt, en wel op de volgende manier. Mieren-
zuur (meer in een onbepaalde hoeveelheid) werd gedaan bij zilver-
oxyde (Ag, O), eenig koolzuur zilver bevattende, in water verdeeld
(terwijl de massa nu en dan werd geschud en mierenzuur bijgedaan).
Na een of een paar dagen te hebben gestaan (bij afsluiting van
licht), werd afgeschonken (ten einde de grootste hoeveelheid vrij
zuur te verwijderen, dat in overmaat moet aanwezig zijn, vanwege
«le aanwezigheid van koolzuur zilver), en bij de massa opnieuw
water gedaan, om daarna eenigen tijd te laten staan. Een deel
dezer oplossing werd geplaatst (na te zijn gefiltreerd) in een glazen
schaaltje (vooraf gewogen), en daarna geplaatst onder een vacuum-
exsiccator. Er bleef terug een hoeveelheid aan zilverzout (en zilver),
van 0.3268 gr., uitgaande van 20 e.e. van gezegde oplossing, dat
dan zou bedragen 0.4085 gr. op 25 e.e. Aangezien men wilde
werken onder dezelfde omstandigheden, voorzooverre dit uitvoerbaar
is, werd uitgegaan van een hoeveelheid, bijna gelijk aan die van
het zilverzout, afgeleid van de zwarte stof van electrolyse. Nu zou de
electrolytische oplossing van azijnzuur zilver 0.25 gr. aan zout be-
vatten in 25 c.c. der oplossing, verondersteld dat zich 10 gr. be-
vinden in een liter (zie de analyse ter contrôle, pag. 4); en het
zilverzout (of mengsel) der reeks van Bereidingen I, II, II en IV
bedroeg 0.1595 gr. (zie vroeger), zijnde dit omgekristalliseerd uit
een hoeveelheid water van 24cc. (de helft hiervan zou hebben
volstaan, maar, om geen stof te verliezen, werd de massa, waarvan
werd uitgegaan, achtereenvolgens tweemaal behandeld met 12 c. c.
water. Want b.v. van groep IV, gaf een behandeling met 3 c.c.
water de eerste maal 0.0393 gr., dat maakt 0.3275 gr. op 25 c. c.
water).

De hoeveelheid van 0.3268 gr. mierenzuur zilver (zie boven)
werd behandeld met water, vele ‘malen achtereenvolgens (telkens
20 c.c.); en na te hebben gestaan, werd afgeschonken (dus niet
gefiltreerd), terwijl met mierenzuur zilver zooveel mogelijk dezelfde
weg werd gevolgd als met het zilverzout van het zwarte product
van electrolyse. De oplossing achtereenvolgens verkregen, gaf:

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 7

aantal dagen

uitgetrokken hoeveelheid te zamen
6 0.1764 gr. 0.1764 er.
6 0.0057 0.1821
6 0.0007 0.1828
6 —0.0001 0.1827.

Onopgelost bleef 0.097 gr. (betrekking hebbende op zilver), en
men heeft 0.097 gr. + 0.1827 gr. = 0.2797 gr., terwijl is:
0.3268 gr. — 0.2797 gr. = 0.0471 gr., dat een betrekkelijk groot
verschil uitmaakt, en wel als gevolg van oxydatie van mierenzuur
zilver, zij deze:

2 (H. CO. OAy) = CO, + Agy + H. CO. OH
(of:
H. CO. O Ay
= ( 9 0 )-
CEE gee MS COL On

Het terugblijvende van 0.1827 gr. werd op zijne beurt met
water behandeld, en wel met 20c.c. (eenige malen achtereenvol-
gens), zooals vroeger (zie boven), de uitkomst waarvan hiernevens
wordt gegeven:

aantal dagen

uitgetrokken hoeveelheid te zamen
6 0.1305 gr. 0.1305 gr.
6 0.0107 0.1412.

Onopgelost bleef 0.0271 gr. (bijgevolg heeft men: 0.0271 gr. +
0.1412 gr. = 0.1683 gr.; en 0.1827 gr. — 0.1683 gr. = 0.0144 gr.
(zie boven, een overeenkomstig geval). Op deze hoeveelheid stof,
die onopgelost was gebleven (die van 0.0271 gr.) werd water ge-
daan, en na staan, afgeschonken (de onopgeloste stof is genoegzaam
uitsluitend zilver), en gevoegd bij de hoeveelheid van 0.1412 gr.
stof (zie boven), terwijl men het geheel liet staan (als altijd onder
een exsiccator zonder zwavelzuur). Zhans heeft men te filtreeren,
terwijl het filtraat wordt ingedampt (onder een vacuum-exsiccator,
zooals regel is), het terugblijvende te wegen, en de som te nemen
van onoplosbaar en één oplosbaar residu. Er bleef toch na
indampen terug 0.092 gr., terwijl dit gekleurd was als de anderen.

1) Zie Handl. d. Org. Chem. v. Beilstein, Bd. I, S. 395.

8 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

Onopgelost bleef 0.0355 gr. (namelijk van de 0.1412 gr.; zie boven),
en op het filtrum 0.009 gr., waarvan dus de som uitmaakt:
0.092 gr. + 0.0355 gr. + 0.009 gr. = 0.1365 gr.

Er werd uitgegaan van 0.3268 gr. stof (zie pag. 6), die trou-
wens reeds ten deele was ontleed, en waarvan achtereenvolgens
onopgelost en opgelost terugbleef:

0.097 gr. in ’t begin
0.0271 vervolgens
0.1365 zie boven (ook het oplosbare gedeelte bevattende

aan ’t einde),
som 0.2606 gr.,

bijgevolg een verschil gevende van 0.3268 gr. — 0.2606 gr. —
0.0662 gr., betrekking hebbende op het verlies aan gewicht door
oxydatie van mierenzuur zilver (zie pag. 6).

Zooals reeds boven opgemerkt, werd op ’t laatst opgelost 0.092 er.
(dat beteekent, dat deze hoeveelheid werd gevonden na indampen).
En al is de ontleding van het zilverzout nog niet volledig, kan
men er zich toch eenig denkbeeld van vormen, door vergelijking
der hoeveelheid 0.092 gr. met die van 0.3268 gr., waarvan werd
uitgegaan.

Bij het decanteeren wordt over ’talgemeen betrekkelijk veel
medegevoerd van de stof (ook te oordeelen naar de kleur, is dit
zeker zilver), en dat zoowel bij de eerste behandeling met water
als later. Maar desniettegenstaande werd wiet gefiltreerd, zooals
reeds werd opgemerkt, maar zooveel mogelijk de weg gevolgd als
met het zilverzout der electrolytische zwarte stof.

Wat betreft de wijze van herleid te worden, zoo geschiedt de
ontleding der oplossing van mierenzuur zilver reeds bij gewone
temperatuur, gelijk dit volgt uit het voorgaande (zonlicht was bui-
tengesloten, voor zooverre de omstandigheden het toelieten, en de
vacuum-exsiccator voorzien van een zwart papieren kap en geplaatst
in een donkere ruimte). ‘loch wordt betrekkelijk veel tijd vereischt
(ij dit eenige weken), alvorens de oplossing ieder spoor van mie-
renzuur zilver heeft verloren (bij afsluiting van licht en gewone
temperatuur), dat trouwens het boven gezegde niet buitensluit.

Henige gegevens met betrekking tot glycolzuur zilver, met toog
op het zilverzount afgeleid van het zwarte product van electrolyse.
Er werd uitgegaan van ongeveer 1.5 gr. glycolzuur, men deed er
water bij, en daarna 5 gr. zilveroxyde (koolzuur zilver bevattende

le

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 9

in zeer merkbare hoeveelheid). Na 6 dagen te hebben gestaan,
werd gedecanteerd, (om het vrije zuur te verwijderen, dat wel-
lieht voorhanden was), en 20 c. c. water bijgedaan. Na opnieuw te
hebben gestaan, werd gefiltreerd, en de vloeistof geplaatst onder
eén vacuum-exsiccator (bij afsluiting van licht). Het gewicht bedroeg
0.1623 gr. glucolzuur zilver (overeenkomende met een oplosbaar-
heid van 0.0081 gr. zout in 1 c.c. of 0.081 gr. op 10 c.c. op-
lossing). Bij het terugblijven de werd andermaal 20 c.c. water ge-
voegd en gefiltreerd; na indampen bleef terug 0.1499 gr., zijnde
0.0075 gr. op Le.e. of 0.075 gr. op 10 c. c. Bij dit laatste voegende
20 e.e. water, en decanteerende, na te hebben gestaan, bleef
achtereenvolgens terug:

aantal dagen gewicht tezamen
8 0.1432 gr. 0.1432 gr.
10 0.0036 0.1468

Er bleef onopgelost 0.0033 gr., zonder twijfel als product van ont-
leding onder den invloed van licht vooral, van het glycolzuur zilver,
zijnde 0.1468 gr. + 0.0033 gr. = 0.1501 gr., dus een verschil
gevende van 0.1501 gr. — 0.1499 = 0.0002 gr.

Overeenkomstige gegevens (zie een weinig vroeger) betrekking heb-
bende op glyoæylzuur zilver. Wen hoeveelheid van 1.5 gr. glyoxylzuur,
goed gekristalliseerd (verkregen door oxydatie van aethyalcohol met
salpeterzuur, en ontleding van het caleiumzout met zuringzuur; de
geheele omzetting der siropige massa in kristallen vorderde trou-
wens ongeveer twee jaar), werd opgelost in 40 €. e. water, waarna
5 gr. zilveroxyde (ook koolzuur zilver bevattende) werd toegevoegd,
terwijl van tid tot tijd werd geschud. Vervolgens werd gedecan-
teerd, om vrij zuur, wellicht nog aanwezig, te verwijderen, en bij
het terugblijvende 20 c.c. water gedaan, nu en dan geschud, en
den volgenden dag gefiltreerd, waarna het filtraat werd geplaatst
onder een vacuum-exsiccator, terwijl terugbleef 0.1614 gr. glyoxyl-
zuur zilver, dus op 10 c.c. uitmakende 0.0807 gr. van dit zout.

Bij de zwarte massa werd voor de derde maal water gedaan,
en wel 20e. ec. enz., terwijl de vloeistof na filtratie bij indampen
gaf 0.1589 gr., of 0.944 gr. zout op 10e. c. water. Het gemiddelde
dezer twee gegevens (namelijk 0.0807 gr. en 0.0944 gr.) bedraagt
0.0875 gr.

Nieuwe Reeks van groepen van Bereidingen. Er werd uitgegaan
van een versche oplossing, en dat met reden. De geleidelijke ver-
meerdering in opbrengst bij de eerste Reeks van groepen van Be-

10 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

reidingen, toen werd gewerkt met een en dezelfde oplossing, zou
wellicht als vingerwijzing kunnen dienen van belang, wat betreft
in ’talgemeen de opbrengst, en bijgevolg meer of min ook de
zuiverheid van het product. Ook wenschte men in zijn gevolgtrek-
kingen, niet af te hangen van één enkele oplossing, die door deze
of gene reden eenige anomalie zou kunnen vertoonen; in ieder geval
is contrôle een vereischte. En, indien werd genomen een versche
oplossing van azijnzuur zilver, dan was dit in de eerste piaats,
om te weten, of deze vrij regelmatige vermeerdering in opbrengst
aanvankelijk, zich zou handhaven; dat als uitgangspunt zou kunnen
strekken voor belangrijke wijzigingen in de Bereiding der zwarte
stof, in verband met de opbrengst (dat weder terugwerkt, zooals
reeds gezegd, op de zuiverheid (tenminste tusschen zekere grenzen)
waarvan de ontwikkeling van het onderwerp in studie afhankelijk is.

Er werd -uitgegaan van een verzadigde oplossing van azijnzuur
zilver, terwijl meer of min dezelfde weg werd gevolgd als by de
eerste Reeks van groepen Bereidingen (zijnde deze groepen aange-
geven met I, II, III en IV). In de volgende Tabel (zie een over-
eenkomstige ‘Fabel in de voorgaande Verhandeling met betrekking
tot de symbolen) bevinden zich eenige gegevens betreffende de op-
brengst, de snelheid van ontleding, enz., ten deele met ’toog op
een analyse, die er van moet gedaan worden. Later volgt een andere
Tabel, meer uitgewerkt, betrekking hebbende op dezelfde Berei-
dingen, op de wijze als dit geschiedde in de voorgaande Verhan-
deling met de eerste Reeks van groepen Bereidingen.

Tabel van groep V van Bereidingen met een versche oplossing.

a b 6 d e Fi g

N°. 31 | 3 |0.0288 gr. — 0.0227 ger.|0.0227 gr.

1°. 32 | 3 0.0297 (0.0227 er.0.0224 (0.0451

N°. 33 | 3 [0.088 0.0449 (0.0328 10.0777 {0.0002 gr.

N°: 34° 3 10.0351 "10.0776 "10/0278 1020547010 0001

N°. 35 | 3 (0.0354 |0.1053 0.0284 10.1337 10.0001

N°. 36 | 3 10.036 10.1337 10.0305 |0.1642

N°.37 | 8 |0.0194 : 101641 001864 04777 0.0001

N°.88 | 3 (0.0208 10.1777 10:0161 0.1938

N*. 39 1.8: (0,018] 0.0193 (0.0141 0.2079

N°. 40 | 3 10.0275 (0.2079 {0.0219 {0.2298

N°.41 | 8 {0.0163 10.2411 10.0115 10.2411 |0.0002

N°. 42 | 3 |0.0202 0.2411 HOT 0.2562

N°. 43 | 3 |0.0415 (0.2558 (0.0344 (0.2902 |0.0004
0.2896 0.0006

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 11

De hoeveelheid stof in het reageerbuisje is bij gevolg 0.2896 gr.
(zijnde eerst 0.2902 gr., maar verliezende 0.0006 gr. in gewicht
in drie maanden, zie pag. 11 onder aan).

Deze hoeveelheid stof leende zich wel niet tot een bruikbare
analyse, niet alleen, omdat deze zeer gering is, maar ook, omdat
zij vertegenwoordigt de som van opbrengst van dertien (13) Be-
reidingen, en een wasschen in zulke geringe hoeveelheden kan niet
anders dan een betrekkelijk groote fout veroorzaken, voor zooverre
de zuiverheid aangaat van het zwarte product. Deze hoeveelheid
stof is bestemd, om, zij het ook slechts weer of min, de ont-
ledingssnelheid te leeren kennen bij gewone temperatuur, door
het buisje met de stof eenvoudig te laten staan (op de wijze als
dit werd gedaan met peroxy-salpeterzuur en peroxy-zwavelzuur zil-
ver); noodwendig met het voornemen, de proef later te herhalen
ouder meer voordeelige omstandigheden.

Over ontledingssnelheid van peroæy-azijnzuur zilver, bij gewone
temperatuur. Ten einde eenige gegevens te hebben, zij het dan ook
van voorloopigen aard, betreffende dit onderwerp, werd uitgegaan
van de Bereidingen N°. 31 tot en met N°. 43 (zie pag. 10), bij
gevolg deel uitmakende van de Eerste Reeks van Bereidingen. Bij
vergelijking dezer numerique gegevens met die met betrekking tot
peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-zwavelzuur zilver, ziet men met
één oogopslag, dat er analogie bestaat, vereenigd trouwens met
eenig verschil, zooals tevens het geval is met de twee eersten ge-
noemd (zie daarover in de Verhandelingen vroeger, en in deze
Verhandeling, laatste gedeelte).

Peroxy-azijnzuur zilver.

ek Ne J g h 0 J
31-43 27 Juni 1900/0.2902 er.

21 Sept. 0.2596 0.0006 gr..0.000016 gr.
ah Dee: 0.2885 O.001] 0.00008

21 Mrt. 1901/0.2881 0.0004 0.00001

21 Juni 0.2881] 0 0

21 Sept. 0.2876 0.0005 0.00001
Dec: 0.2876 0 0

De volgende ‘Tabel is slechts een vervolg van de vroeger ge-
gevene (zie pag. 10), zooals het nummer der Bereidingen trouwens

12 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

vanzelf aanduidt; ook daarom ingevoerd (en dat reeds werkende
met peroxy-salpeterzuur en peroxy-zwavelzuur zilver), ten einde de
ontwikkeling van het onderwerp, dat ons bezighoudt, behoorlijk te
kunnen volgen. Ook verkrijgt men aldus met één oogopslag een
overzicht van eenige beteekenis van numerique uitkomsten. Men
heeft deze Tabellen afzonderlijk medegedeeld, met ’t oog alleen op
bewerkingen met teder dezer te verrichten, terwijl de twee groepen
van Bereidingen vereenigd zijn onder den naam van groep V en
VI (ie de vroegere Verhandeling over de vorige groepen).

Groep VI. Vervolg van de Tabel van groep V der Bereidingen
(zie pag. 10).

0.1814 (0.5836 |0.1261 0.7097 (0.0002
0.1149.,:.10.7096%% 101076 10-8472. .10,0001
3 0.0677 (0.8169. (6.0617 0.8786 . 0.0003
» dd | 8 10.0607 |0.87838 |0.0551 0.93384 (0.0008
» 04 | 3 10.172 10.9832 (OA LID LOAD Te 70-000
„55 8 101598 M.0449 00 524 ul 1975" 1070002

a b c d e i g
N°. 44 | 3 |0.0531 gr. — 0.0432 gr. 0.0432 gr. ==
„ 45 | 3 10.1872 (0.0482 gr.j0.1268 (0.17
„46 13410.1162- |O.1698°S9 01078 102776: 100002 EF:
» 47 | 3 10.0943 10.2774 |0.0868 10.3642 [0.0002
» 48 | 3 |0.1397 10.3642 (0.13883 10.4975 —
494108410092 0.4973 |0.0865 0.58388 |0.0002
3
3
3

Analyse van groep VI der Bereidingen. De hoeveelheid stof,
waarover thans kan worden beschikt, is wel voldoende, zijnde
1.1978gr., evenwel vertegenwoordigende de som aan opbrengst
van 12 (twaalf) Bereidingen, dat niet in het belang is der analyse.
De zuiverheid toch van het product zou te wenschen kunnen over-
laten, als gevolg eener gedeeltelijke ontleding onder den invloed
der betrekkelijk groote hoeveelheid water, in verhouding tot de
geringe hoeveelheid stof van iedere Bereiding, die ieder voor zich
met water is te behandelen. |

Bij genoemde hoeveelheid stof, namelijk die van 1.19738 gr., is
te voegen de hoeveelheid zuurstof, die is vrijgekomen, toen de stof
in het reageerbuisje gedurende vele weken werd bewaard (zie de
Label), de som waarvan is 0.0019gr.; en de totale hoeveelheid
stof, die als ongeschonden kan worden aangemerkt, wordt bijgevolg :

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 13

1.1973 gr. + 0.0019 gr. = 1.1992 gr. Van deze hoeveelheid aan
dus geheeten peroxy-azijnzuur zilver, wil men bepalen in de eerste
plaats het gehalte aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (wel
afkomstig van het oxy-azijnzuur zilver, dat wordt verondersteld deel
uit te maken van het oorspronkelijk product, waarvan trouwens
de structuur nog niet bekend is. Er werden 4 c.c. water
gevoegd bij de zwarte stof (gedaan in een reageerbuisje), en overi-
gens werd dezelfde weg als vroeger gevolgd, toen men overeen-
komstige analysen deed (zie vroeger). Den eersten dag werd ver-
warmd tot ongeveer 65°, en den tweeden dag tot en bij 65°
(gooveel mogelijk bij afsluiting van licht). Het vrijkomende gas deed
zich den eersten dag voor in den vorm van groote bellen, ontstaan
door opeenhooping van gas, vrijkomende uit de zwarte stof, die vrij
verdeeld was, en dat vooral gedurende de eerste uren van verhitten,
waarna de gasbellen zich steeds meer en meer verdeelden. Den
tweeden dag beteekende de hoeveelheid gas die vrijkwam zeer
weinig, en bijgevolg werd het overbodig geacht, om nog een derden
dag te verhitten (zooals dit vroeger bij de analysen plaats had),
omdat den tweeden dag ook in de laatste uren geen gas zich
meer vertoonde.

Na deze bewerking, werd de reageerbuis geplaatst onder een
vacuum-exsiccator (overigens dezelfde wijze van analyseeren volgende
in talgemeen, als bij de Groepen I, II en HE, zie de voorgaande
Verhandeling), bij afsluiting van licht. Er bleef terug van het
mengsel van zilverbioxyde en van het zilverzout, ontstaan door ont-
leding van oxy-azijnzuur zilver. Het verlies in gewicht was 0.0481 gr,
waarbij moet gevoegd worden 0.0019 gr. (zie boven), makende
tezamen uit 0.05 gr. of 4.17 proc. (meer nauwkeurig 4,169 proc).
Het gewicht van gezegd mengsel was 1.1492 gr. (zijnde: 1.1973 gr. —
1.1492 gr. — 0.0481 gr.; zie boven), dat langs directen weg gevon-
den, en bijgevolg de zelfde waarde van 0.0481 gr. op indirecte wijze.
Daar 1.1992 gr. is de hoeveelheid stof, waarvan werd uitgegaan,
na bijvoeging der hoeveelheid zuurstof, bij staan vrijgekomen (zie
vroeger), heeft men bij gevolg: 1.1992 gr. — 1.1492gr. + 0.05 gr.
(zie boven: 0.05 gr. = 0.0481 gr. + 0.0019 gr).

Het mengsel dezer twee lichamen, zijnde in hoeveelheid 1.1492 gr,
werd behandeld met water en wel Se. c., terwijl het geheel bij
gewone temperatuur aan zichzelf werd overgelaten. Vervolgens werd
afgeschonken (bijgevolg ziet gefiltreerd), bij het terugblijvende op-
nieuw S8c.c. water gedaan enz., terwijl de afgeschonken vloeistof
werd geplaatst onder een vacuum-exsiccator. Dezelfde bewerkingen
werden herhaald, tot de minimum grens was bereikt, wat betreft

14 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

de hoeveelheid aan opgelost zout, de uitkomst zijnde achtereen-
volgens:

hoeveelheid te zamen
15% maal 0.0932 gr. 0.0932 gr.
2 0.038 0 Ta
3 0.0244 0.1556
4 0.0059 0.1615
5 0.0015 0.163
6 0.0001 01631.

De gekristalliseerde massa was vee/ minder gekleurd dan vroeger
het geval was in overeenkomstige gevallen; en er is reden, om aan
te nemen, dat de reden hiervan is te zoeken in de betrekkelijk
geringe hoeveelheid water, namelijk die van 4c.c., waarmede het
zwarte lichaam werd behandeld (zijnde deze vroeger ongeveer 12 c. c.
water) op 1gr. zwarte stof.

Het terugblijvende, namelijk betreffende de 0.1631gr., werd
omgekristalliseerd, door behandeling met 8c.c. water, gevende
achtereenvolgens aan het zilverzout:

hoeveelheid te zamen
1°® maal 0.1202 gr. 0.1202 gr.
2 0.0413 0.1615
3 0.0009 0.1624.

Onopgelost bleef 0.0009 gr. Nu heeft men: 0.1624gr. +
0.0009 gr. = 0.1633 gr., terwijl werd gevonden 0.1631 gr. (zie een
weinig vroeger), dus een verschil gevende van 0.0002 gr. De hoe-
veelheid ziwerbioryde bedroeg 0.9865 gr. (directe bepaling). Nu
heeft men: 0.9865 gr. + 0.1631 gr. = 1.1496 gr., en 1.1496 gr. —
1.1492 er. = 0.0004 er. (0.1631 gr. heeft betrekking op de eerste
behandeling met water, zie een weinig vroeger).

Daar men een betrekkelijk veel Aleinere hoeveelheid water had
genomen bij de ontleding van het peroxy-azijnzuur zilver tot het
elimineeren der „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van het oxy-
azijnzuur zilver; zie daarover vroeger), wilde men contrôle hebben
met betrekking tot de al of niet geheele ontleding. Daarom werd bij
gezegd zilverbioxyde (dat zich bevond in een reageerbuisje) 4 c. c.
water gedaan, verhit, eerst een uur tot 60° en daarna een half uur
bij 60° —90°, waarbij hoegenaamd geen gas vrijkwam, zoodat de

j
|

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 15

ontleding van het oorspronkelijk product wel volkomen was. Ver-
volgens geplaatst onder een vacuum-exsiccator , bleef terug 0.9866 gr,
dus een niet noemenswaardig verschil gevende van 0.9866 gr. —
0.9865 gr. — 0.0001 gr.

Uitgaande van deze 0.9866 gr. zi/verbioæyde en daarbij optellende
0.0009 gr. (zie boven), heeft men 0.9866 gr. + 0.0009 gr = 0.9875 gr.
eilverbioayde (Ag, Os). En er werd gevonden 0.05 gr. voor de ge-
gemakkelyk vrijkomende zuurstof (zie boven), dat zamen geeft:
0.9875 gr. + 0.05 gr. = 1.0375 gr., zoodat overblijft voor het zi/-
verzout (langs indirecten weg bepaald) 1.1992 gr. — 1.0375 gr. = |
0.1617 gr., terwijl de directe bepaling gaf 0.1624 gr. (zie boven)
dus een verschil opleverende van 0.1624 gr. — 0.1617 gr. = 0.0007 gr.
Er is dus gevonden voor de samenstelling der zwarte stof: zilver-
bioxyde 0.9875 gr. (directe bepaling), verder

„gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 0.05
zilverzout 0,1617 (indirect)

som 1.1992gr. (zie boven),
of op 100 gem.d. der zwarte stof:

zilverbioxyde 82.35

„gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 4,17 (direct; te nemen in de
beteekenis bekend).

zilverzout 13.48 (indirect)

100 gew.d. zwarte stof.

De overeenstemming met de analysen f) der Groepen III en IV
(die meer vertrouwen verdienen dan de analyse van Groep I) is
betrekkelijk voldoende:

Il IV
azilverbioxyde 80.74 80.23 (indirect)
zuurstof 4.47 4.9 (direct)

zilverzout 14.79 14.87 (direct)

100. 100.

Bij de hoeveelheid zilverzout, namelijk die van 0.1624 gr. (zie
boven) werd gedaan 12c.c. water, terwijl dit werd geplaatst
onder een exsiccator (zonder zwavelzuur) gedurende vijf dagen

*) Verhand. der Kon, Akad. v. W. te Amsterdam (Eerste Sectie). Deel VII. N°. 6.
pag. 24 (1901).

16 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

onder afsluiting van zonlicht. Daarna werd gefiltreerd, en
het filtraat gedaan in een porseleinen kroes (vooraf gewogen). De
hoeveelheid zout was nu 0.1262 gr., geheel kleurloos, dus in dit
opzicht opmerkenswaardig verschillende met het overeenkomstige
product der Groepen I, IT, II en IV (zie pag. 4). Deze hoeveelheid
van 0.1262 gr. zilverzout gaf bij gloeien 0.0907 gr. zilver, overeenko-
mende met 71.87 pet. (zie pag. 4). Om te beantwoorden aan de samen-
stelling van het zout CH,. CO. O Ag, zou men hebben moeten vin-
den 0.0816 gr. zilver, dat dus een verschil uitmaakt van 0.0091 gr.
De formule van mierenzuur zilver H. CO. O Ag eischt slechts
70.57 pet. zilver, en zuringzuur zilver 4g O. CO. CO. O Ag zou
eischen 71.03 pet. zilver, maar, dit zout is onoplosbaar, om niet
van meer te gewagen. Overigens zou het zout kunnen zijn een
dubbelzout, enz. Hen totale analyse alleen, zou het noodige
licht kunnen geven; tevens volstrekt noodig met ’t oog op eenige
onzuiverheid, die zich kan voordoen, vooral door sporen natrium-
nitraat, teruggebleven in het koolzuur zilver, bestemd voor het
maken van zilveroxyde voor electrolyse (zie pag. 21).

Wat aangaat de betrekkelijke oplosbaarheid van het zilverzout
afgeleid van de zwarte stof, en van eenige zouten, die konden op-
treden, zoo werd op 10e. c. water gevonden ongeveer voor:

mierenzuur zilver 0.1634 gr.

glucolzuur 0.0811
gluoxylzuur _,, 0.0875
azijnzuur 5 0.0891 (gemiddeld),

terwijl het zout, afgeleid van de zwarte stof, wellicht ongeveer
stemt met 0.1502gr. Al deze bepalingen hebben betrekking op
ongeveer 15°C.

Groep VIII.
Vervolg van de ‘Tabel van groep VI der Bereidingen (zie pag. 12).

a b c d e fi g

N°. 56 | 3 (0.1103gr| — [0.1041 gr./0.1041 gr.| — gr.
„57 | 8 (0.1054 {0.1041 erj0.1001 0.2042 LE
, 58 | 3 01171 |0.2041 |0.1121 0.8162 |0.0001
„59 | 3 |0.0888 (|0.3161 (0.083 0.8991 |0.0001
, 60 | 3 [0.0802 |0.3989 0.0785 0.4724 |0.0002
61 | 3 |0.0544 |0.4722 (|0.0484 |0.5206 |0.0002
, 62 | 3 10.0481 |0.5205 |0.0429 |0.5634 |0.0001
, 63 | 3 [0.0545 |0.5631 |0.0491 |0.6122 [0.0003
„64 | 3 [0.0579 |0.612 |0.0521 |0.6641 |0.0002
, 65 | 3 10.059 10.6639 10.0529 10.7168 10.0002

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 17

Vervolg van het overzicht der verschillende Bereidingen met de
mieuwe oplossing van azijnzuur zilver. In de volgende Tabel zijn
eenige gegevens verzameld (zie tevens de opgaven van pag. 10 en
11). Men treft er evenzoo de opbrengst aan, maar hier in verband
met vele andere gegevens, te zamen meer of min een geheel vor-
mende, ook met het doel, om zich eenig denkbeeld te kunnen
maken van de ontwikkeling der studie van het lichaam waarvan
sprake is, vooral wat betreft de bereiding (zie de voorgaande Ver-
handeling met betrekking tot de Eerste Reeks van Bereidingen,
terwijl deze de Tweede is). Behalve de ruwe opbrengst, zijnde die

‘op het horlogeglas, is de hoeveelheid stof opgegeven na overbren-

ging der stof in een reageerbuisje (trouwens reeds medegedeeld in
de opgaven van pag. 10 en 11), in verband met het water of de
verzadigde oplossing van azijnzuur zilver, gedaan bij de oplossing
aan electrolyse onderworpen, en ook in verband met de concen-
tratie van den electrolyt. Tevens is er bij opgegeven de hoeveel-
heid zilveroxyde (4g, O) aangewend, trouwens gevoegd bij die van
de vorige Bereiding (terwijl het doel, daarmede beoogd, bekend is
door de voorgaande Verhandeling, namelijk om het zuur te neu-
traliseeren, dat als gevolg der electrolyse is vrijgekomen); en daar-
enboven eenige andere gegevens en opmerkingen.

Uitkomsten der electrolyse eener versche oplossing
van azijnzuur zilver.

| | Hoeveel-
Vol Van de Gewicht | Gewicht | Hoeveel- | heid ver- |
‘d “|nieuwe|Aantal| stof op | stof in |heid water) zadigde | Concen-| Ag, 0 | Opmerkin- |
N° reeks |dagen.| horloge- | reageer- toe- oplossing | tratie. |bijgedaan. gen. |
* [de Nos, glas. buisje. | gevoegd. toe- | |
gevoegd. |
|
31 1 3 |0.0288 gr./0.0227 pr. | 8gr.84°%|Versch. opl.
32 2 3 10.0297 0.024 | 8
33 3 3 0.038 0.0328 8
34 + 3 |0.0351 0.0278 | 8
35 5 3 |0.0354 0.0284 | 8
36 6 3 |0.036 0.0305 8
37 7 3 |0.0194 0.0136 |100c.c.*) | 8
38 8 3 |0.0208 0.0161 7.66¢r.7)| 8
| ini Liter
39 9 3 |0.0181 0.0141 | 10
40 10 3 |0.0275 |0.0219 | 40 | 10
dt | aul 3 |0.0163 [0.0115 | 40 | 10 | °)

") Deze hoeveelheid water heeft betrekking op Bereiding No. 37, en in overeenkom-
stige gevallen is de wijze van opgeven eenzelfde. Het volumen der electrolytische op-
lossing werd ongeveer constant gehouden.

-*) Deze concentratie heeft betrekking op Bereiding No. 37, terwijl de wijze van op-
geven eenzelfde is in overeenkomstige gevallen.
Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. VIII. D2

Maand.

Maart

April

Mei

18 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

Hoeveel-
Volo. | Van de Gewicht | Gewicht | Hocveel- | heid ver-
orde, |nicuwel|Aantal) stof op | stof in |heid water) zadigde |Concen-| Ag, O | Opmerkin- Maand
no. | reeks |dagen.| horloge- | reageer- toe- oplossing | tratie. |bijvedaan. gen. à
* [de Nos. glas. buisje. | gevoegd. toe-
gevoegd,
|
42 12 3 |0.0202 gr.l0.0151 gr. 200. ¢.*) |8.727) 10 2)
43 13 3 0.0415 (0.0344 [100 10 5)
44 14 3 0.0531 0.0432 [100 10 |
45 15 3 |0.1372 |0.1268 (100 10 |
46 16 3 (0.1162 |0.1078 |100 10
47 17 3 |0.0943 |0.0868 50 10
48 18 8 10:1897 [013881 4 60%) 3.96*) 10
49 19 3 [0.092 0.0865 60°) 10
50 20 3 |0.1314 0.1261 | 60°) 10 5)
51 21 3 10.1149 |0.1076 34 1100) 10
52 22 3 10.0677 |0.0617 100*) - 10 7)
53 23 3 |0.0607 [0.0551 100%) 10 d)
54 24 Be (Ot wr DER la He) 50 Da 10 É)
55 25 3 |0.1598 |0.1524 | 10 0
56 26 3 |0.1108 [0.104 505) 10 7)
57 21 3 |0.1054 |0.1001 50 5 ?)
58 28 3} DT CEA 50 5 7)
59 29 3 |0.0888 [0.083 50 5 5)
60 30 3 0.0802 0.0735 50 5 ‘)
61 31 3 |0.0544 |0.0484 50 5 7)
62 32 3 |0.0481 |0.0429 62 5 6)
63 33 3 10.0545 |0.0491 70 10 |?)
64 34 300205190021 TOR 10 |’)
65 35 3 [0.059 0.0529 70 10

Deze Tabel (zie hierboven) geeft aanleiding tot eenige opmer-
kingen (ook in verband met een overeenkomstige opgave in de vorige
Verhandelmg). Wat in de eerste plaats zou kunnen treffen, is de
vermeerdering in opbrengst met iedere nieuwe Bereiding, namelijk
zoo ongeveer gemiddeld genomen (niet medegerekend Bereidingen,
die veeleer miet goed gingen), tot zekere grens is bereikt, waarna
deze opbrengst vermindert (zie tevens de Kerste Reeks in de voor-
gaande Verhandeling). Aangezien wordt verondersteld, dat niet is
toegevoegd van een versche oplossing van azijnzuur zilver, maar
slechts water (zie later), is deze laatste verandering in den grond

*) Deze concentratie heeft betrekking op Bereiding N°. 42, terwijl de wijze van op-
geven eenzelfde is in overeenkomstige gevallen.

*) De hoeveelheid versche oplossing (in ’t algemeen verzadigd)toegevoegd, heeft betrekking
op Bereiding N°. 42, terwijl de wijze van opgeven dezelfde is in overeenkomstige gevallen.

“) De versche oplossing (zie boven) bij te voegen, werd soms aanvankelijk gedeelte-
lijk of geheel ingedampt (mame'iijk onder een vacuum-exsiccator, bij afsluiting van licht).

*) Bij de Bereidingen N°. 41 en N°. 42 liet het contact bij de anode wat te wenschen
over. Daarin werd voorzien met Bereidingen N°. 43 enz., door een nieuwe platina-
anode te nemen (over een anode met plaat en draad als één lichaam, zie later).

*) Het kleine glazen schaaltje is van nu af aan, goed vast geplaatst.

*) Achtereenvolgens werd bij de cathode gevonden aan zilver 5.3 gr.; 5.6 gr.; 5.2 gr;
42 ger.s 3:61 er.s 4.09 gr.; 4.13 ers 3.675 3.67; 3.68; 3,285 2,96: 2.74,

mul” à

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 19

het gevolg van het steeds geringer worden der concentratie onder
genoemde omstandigheden, en dat wel vooral als gevolg van het
geoxydeerd worden van een deel van het azijnzuur, welke reactie
moet genomen worden in den zin van die, aangegeven als „de
reactie van Kolbe”. Laat het nogmaals worden herhaald, het ge-
durende de electrolyse verdampte water, wordt vergoed (zonder bij-
doen van een versche oplossing van het zilverzout). En er werd,
te beginnen met Bereiding N°. 37, bij de electrolytische oplossing
(waarvan genoeg was voor cé» Bereiding niet meer) een zoo-
danige hoeveelheid water met iedere nieuwe Bereiding gedaan (de
oplossing bevindt zich in de groote platina schaal) dat deze tot
boven aan toe was gevuld, terwijl de toestel in werking was (wel
te verstaan de schroef van Archimedes, die de oplossing brengt in
den kleinen trechter, op zijn beurt geplaatst in den grooten trech-
ter, beiden zilveroxyde bevattende), zoodat ook de groote trechter
met vloeistof is gevuld, die daarvan een niet te veronachtzamen
hoeveelheid kan bevatten.

Men zou zoo zeggen, in de eersfe phase van een reeks met een
versche oplossing, dat de opbrengst vermeerdert in de mate als de
concentratie vermindert, terwijl deze met iedere nieuwe electrolyse
afneemt (altijd verondersteld, dat niet wordt toegevoegd van een
versche oplossing) om reden vroeger gezegd, namelijk als gevolg
der reactie, genoemd die van Kolbe (het azijnzuur, dat tijdens de
electrolyse vrijkomt, wordt voortdurend geneutraliseerd; terwijl de
hoeveelheid aan zwart product te gering is, om hier in aanmerking
te komen).

Over de hoeveelheid verzadigde oplossing van azijnzuur zilver, die
is toe te voegen met ‘toog op de opbrengst aan zwarte stof bij de
electrolytische oplossing. In de eerste reeks van Bereidingen (zie de
voorgaande Verhandeling) waren er tusschen de bepalingen van
concentratie 7.15 en 2.5gr. per liter (de laatste bepaling werd
eerst later gedaan, en komt miet voor op de Tabel), 14 Bereidingen
acht :reenvolgens , terwijl de opbrengst aan zwarte stof varieerde van
0.0309 gr. door een maximum van 0.055 gr. tot 0.053 gr., in dit
aantal Bereidingen. Aangezien het verschil van 7.15 gr. en 2.5 gr.
is 4.65 gr., betrekking hebbende op 14 Bereidingen, zou men
dus gemiddeld bij iedere Bereiding aanvankelijk hebben toe te voe-
gen 0.33gr. azijnzuur zilver (5 = 0.33 gr.; en nemende S gr.
van dit zout per liter voor een verzadigde oplossing bij gemiddelde
temperatuur, zou er dan zijn bij te doen 41 c.c. (men heeit:
100:x = 8:0.33: x — 41) der verzadigde oplossing van azijnzuur-

D 2*

20 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

zilver, zij dit bij aanwezigheid eener overmaat van dit zout), ten
einde de concentratie ongeveer te honden op 5.7gr. per liter (zie
de Tabel der Zweede Reeks). In plaats van 41 c. c. werd genomen
50 ec.

Over een nog niet afgezonderde verbinding, wellicht ontstaande
in de oplossing van azijnzuur zilver bij electrolyse. Wel mag
het aangemerkt worden als een feit, namelijk, dat gemiddeld
de opbrengst vermeerdert aan zwarte stof met iedere nieuwe Be-
reiding, totdat een zekere grens is bereikt, waarna de opbrengst
vermindert om de eenvoudige reden, dat de concentratie in zilver-
zout steeds geringer wordt (er wordt verondersteld, dat steeds een-
zelfde oplossing dienst doet; en dat het water, in een vorige Be-
reiding verdampt er telkens bij wordt gedaan; zie dienaangaande
de vorige Verhandeling). Het is duidelijk, dat in ’t algemeen ge-
nomen, een afname in concentratie, een vermindering zou moeten
veroorzaken aan zwarte stof, maar die vermindering vertoont zich
eerst, als de concentratie eenig minimum heeft bereikt, waarna de
vermindering in opbrengst het wint van die in concentratie. Een
verklaring van dit verschijnsel laat zich geven door b.v. aan te nemen:

a. dat de omstandigheden ter vorming der zwarte stof gunstiger
zijn met een nieuwe Bereiding (als altijd tusschen twee grenzen) in
dien zin, dat de moleculen dezer stof zich dan meer kunnen ophoopen,
hetgeen de opbrengst bevordert, daar de kans dan kleiner wordt
om ontleed te worden onder den invloed van het zuur bij elec-
trolyse vrijkomende ;

b. dat er vooral aanvankelijk in de oplossing, tijdens de electro-
lyse, wordt gevormd van een omg-zilverzont als product eener primaire
reactie der electrolytische zuurstof.

Men zou kunnen veronderstellen, dat dit oxy-zout, meer
zuurstof vastleggende, zich dan -verbindt met zilverbioxyde, ten
einde het zwarte product te vormen of het dus geheeten peroxy-
azijnzuur zilver (vroeger werd de meening uitgesproken, dat in de
eerste plaats een oxy-zout ontstaat, en dat het zilverbioxyde
eerder het gevolg is eener secondaire reactie). Er valt slechts aan
te nemen, dat gezegd oxy-zout zuurstof geeft en azijnzuur zilver,
bij verdampen der oplossing (verondersteld, dat men met dit zout
heeft te maken; zie de voorgaande Verhandeling), en een voldoende
verklaring schijnt gegeven. Laat nogmaals worden gezegd, dat de

TT ENT TT
’

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 21

oplossing, zelfs wa 30 electrolysen, bij verdampen bij gewone tem-
peratuur, een lichaam teruglaat, dat in alle opzichten gelijkt op
azijnzuur zilver, oppervlakkig beschouwd; ook wordt na langdurig
koken geen zilver afgezet (dus afwezig b.v. mierenzuur zilver, glu-
colzuur zilver, enz.). Maar een andere vraag is het, of alles aldus
verloopt. Daarvan zou men zich gemakkelijk kunnen overtuigen,
had men niet te doen met zulk een beperkte concentratie, reeds
beperkt in den aanvang der electrolyse met een versche oplossing
van azijnzuur zilver, in gemeld geval verminderd tot ongeveer
2.5 pet., met een steeds verminderende opbrengst (verondersteld,
dat met een en dezelfde oplossing wordt gewerkt).

Waterstofsuperoxyde (H, Os) geeft geen zwart afzetsel, wanneer
het wordt gedaan bij een oplossing van azijnzuur zilver, waarvan
men zich vroeger overtuigde (zie de voorgaande Verhandeling). Dat
er worde bijgevoegd, dat daarmede de vorming van een oxy-zout
niet is buitengesloten, want dit zijn verschillende zaken, die niet
moeten verward worden. Later zullen wellicht proeven worden ge-
nomen in die richting, maar thans niet, want dit zou eenige moeite
kunnen veroorzaken bij de studie in questie, aangezien er wel
eens een verbinding van een ander karakter zou kunnen optreden
als het onderhavige. Ook is het goed te herhalen, dat de zuiver-
heid van het product niet was aan te toonen tot nogtoe, en dat
de kans altijd bestaat, dat het zilveroxyde (47, 0) gebruikt, sporen
hevat aan salpeterzuur natrium, teruggebleven in het koolzuur zilver
bij de bereiding; en dus als gevolg daarvan het afzetsel meer of
minder bevat aan peroxy-salpeterzuur zilver.

Over eenige wijzigingen gebracht in de inrichting van den toe-
stel +). Het is er vooral om te doen, de opbrengst aan zwarte stof te
verbeteren; en de veranderingen, die zijn aangebracht (al mogen ze
wellicht den schijn hebben, van te zijn van betrekkelijk weinig be-
lang) gaven voldoende uitkomsten, waarvan men zich kan overtui-
gen door de Tabellen, welke in dit opzicht duidelijk spreken. De
gezegde wijzigingen zijn:

1°. Er is een inrichting aangebracht ten doel hebbende, de
electroden zoo onbewegelijk mogelijk te maken, op den weg van af
de electrische batterij tot de platina schaal (bevattende de electro-
lytische oplossing), en wel, door in het verticale plankier (aan de
kast om den toestel, voor het grootste gedeelte overigens bestaande

*) Zie over den toestel: ,,Verh. der K. Akad. v. W. te Amsterdam (Eerste Sectie),
DISTR N35; pag. 6, 117,226; a8) 32,

w

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

uit glas) twee cylindervormige stukken aan te brengen van eboniet,
voorzien van koperen schroeven, en dat alles ter bevestiging der
electroden (zijnde deze geïsoleerd, zooals duidelijk is, en wel met
caoutchouc).

2°. De platina schaal, enz., werd geplaatst in een ondiep porce-
lemen vat, betrekkelijk grooter, en waarvan het doel is, om te
kunnen redden de electrolytische oplossing van azijnzuur zilver, in
geval eener verstopping op het filtrum (met zilveroxyde, namelijk
in den grooten trechter), en alzoo het verlies te ontgaan der over-
geloopen oplossing.

3°. Met ’toog op zulk een overloopen (dat zich trouwens nog
niet voordeed, maar in zulk een geval aanleiding zou geven tot
een groot verlies aan tijd; zie de Tabellen der twee Reeksen) is
de groote trechter (zie boven) geplaatst op een glazen ring (ge-
maakt van een trechter), terwijl deze laatste geplaatst is op den
koperen ring van een statief, wel te verstaan, na plaatsing van
haakjes van glasdraad (ten getale van drie) tusschen de twee rin-
gen (namelijk die van koper en glas), ten einde, in geval van een
overloopen, te voorkomen een contact der oplossing van azijnzuur
zilver met koper, dat zou beteekenen een verliezen dezer (van zulke
haakjes van glas, ook drie in aantal, zijn tevens geplaatst tusschen
den grooten trechter en genoemden glazen ring).

4. Aangezien het blijkbaar van belang is, met ‘toog op de
opbrengst (deze opgevat in qualitatieven en quantitatieven zin),
dat het kleine glazen schaaltje betrekkelijk vas? staat, met ’t oog
op een rustig gevormd worden der zwarte stof, is daarvoor een
geheel speciale inrichting getroffen. Dit kleine glazen schaaltje is
pamelijk geplaatst op een glazen driehoek voorzien van drie pootjes,
naar boven gekeerd, en het schaaltje tusschen deze drie pootjes
geplaatst, meer of min gedrukt, om een verplaatst worden van het
schaaltje zoo goed als tegen te gaan (daarin is de anode geplaatst);
zie een weinig verder. Laat er duidelijkshalve aan worden toege-
voegd, dat het zware gewicht (van het uurwerk, gevende de ver-
eischte levende kracht voor de schroef van Archimedes), bevestigd
aan een staaldraad, nu en dan (vooral evenwel als gevolg der con-
structie, die nog wat te wenschen overlaat) aanleiding geeft tot
schokken, die overigens niet krachtig zijn, maar vroeger eenige
malen aanleiding gaven tot een merkbare verplaatsing van het kleine
glazen schaaltje, en dat wel ten koste der vorming van de zwarte
stof. Ten einde te voorkomen, dat de glazen driehoek zich verplaatst,
(anders zou alles te vergeefs wezen) is een der pootjes voorzien van
een verlengstuk, aan het uiteinde omgebogen, welk laatste gedeelte

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 23

gaat door een caoutchouc-kurk (met ’t oog op de schokken), op hare
beurt bevestigd aan een statief (geplaatst op het plankier, waarop
zich bevindt de platina schaal, enz.).

5°. De kast 4) om den geheelen toestel (ten einde dezen te vrij-
waren voor stof enz., gemaakt van hout en grootendeels van glas)
is bedekt met zwart papier gedurende de electrolyse, om het zon-
licht meer of min af te sluiten, daar men te maken heeft met een
oplossing van een zilverzout met een organisch zuur; maar toch

„ook met ’t oog op de zwarte stof.

Analyse van zilverbioayde, afgeleid van peroay-zewavelzuur zilver.
Men wenschte nog een analyse te doen van dit bioxyde, namelijk
met een veel grootere hoeveelheid stof, met ’toog op de belang-
stelling, die het onderwerp vordert. Met dit doel, werd uitgegaan
van zwarte stof, die bevrijd was van gemakkelijk vrijkomende zuur-
stof” (zij deze van oxy-zwavelzuur zilver), en niet minder bedra-
gende dan 16.8654 gr. Deze massa werd met wafer behandeld bij
gewone temperatuur, en wel werd telkenmale 25 c. c. bijgedaan,
waarna men het geheel hiet staan; alles te zamen genomen bedroeg
de hoeveelheid water ten slotte 1475 c.c., dus ongeveer 1.5 liter,
in verloop van ongeveer 20 maanden. De massa werd met water
behandeld tot de vloeistof (die, na afschenken, werd gefiltreerd)
niet meer de reactie gaf met baryumchloride (eerst werd zoutzuur
toegevoegd, ter verwijdering van zilver, en gefiltreerd). De massa
(die zich bevond in een groote reageerbuis), werd vervolgens ge-
plaatst onder een vacuum-exsiccator, en de bewerking herhaald, tot
het gewicht er van constant was, zijnde dit 10.0858 gr. De vloei-
stof, die werd afgeschonken, sleepte altijd wat bioxyde met zich,
dat verklaart het verlies aan bioxyde (zie een weinig later) De for-
mule 5 Ag, 0,.2 S, O, Ag, eischt:

„gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 4. 90

zilverbioxyde 63.26
zwavelzuur zilver 31.84
100.

Men heeft te doen met een mezgsel van zilverbioxyde en zwavel-
zuur zilver, bijgevolg in de verhouding van 63.26 : 31.84, zoodat
63.26 gr. + 31.84gr. == 95.1 gr. bevat 63.26 gr. bioxyde, en
16.8654 gr., zij dit het mengsel waarvan werd uitgegaan, zou dus

') Le. Deel VI. N°. 5, pag. 38.

24 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

moeten beantwoorden aan een opbrengst van 11.218 gr. bioxyde,
dus vertoont zich een verlies van: 11.218 gr. — 10.0858 gr. —
1.1322 gr., eenvoudig verloren gegaan door bovengenoemde oorzaak
(nog zou er bijgevoegd kunnen worden, dat een weinig bioxyde
zal opgelost zijn in deze groote massa water, aangezien het bioxyde
waarschijnlijk eenigzins oplosbaar is; ook bleef de reactie op zilver
in het filtraat zich vertoonen, nadat zwavelzuur zilver was verwij-
derd, en de reactie op zwavelzuur dus niet meer intrad).

Een deel nu van dit bioxyde werd aan analyse onderworpen,
en wel in een reageerbuis, vooraf gewogen, volgens de gebruike-
lijke methode (na, vóór de analyse, onder een vacuum-exsiccator
geplaatst geweest te zijn, tot het gewicht constant was), in hoe-
veelheid bedragende 0.5892 gr. Er werd water bijgedaan, vervol-
gens salpeterzuur, onder verwarming, en de reageerbuis daarna
geplaatst onder een vacuum-exsiccator, tot het gewicht constant
bleef, opleverende 0.8044 gr. salpeterzuur zilver. Aangezien dit be-
vat 0.5486 gr. zilveroxyde (dg, 0), wordt gevonden voor de „ge-
makkelijk vrijkomende zuurstof”: 0.5892 gr. — 0.5486 gr. =
0.0406 gr. of 6.89 pct., bijgevolg:

gevonden 47, O, vordert:

zilveroxyde 98.11 93,54

„gemakkelijk vrij-

komende zuurstof” 6.89 6.46
100. 100.

Analyse van het zilverbioæyde afgeleid van perory-azijnzuur zilver
zoogenaamd. De hoeveelheid bioxyde van Groep VI (vie pag. 15)
bedroeg 0.9866 gr. Op gewone wijze behandeld met salpeterzuur,
na aanvankelijk toevoegen van water, bleef er terug, na staan onder
een exsiccator (zooals altijd in dergelijke gevallen, met zwavelzuur
en kalk), aan salpeterzuur zilver 1.3521 gr. beantwoordende aan
0.9221 gr. zilveroxyde (4g, O). Bijgevolg heeft men voor ,,gemak-
kelijk vrijkomende zuurstof’’ 0.9866 gr. — 0.9221 gr. = 0.0645 gr.,
of op 100 gew. d. zilverbioxyde:

gevonden 47, O, eischt:

zilveroxyde 93.45 93.54
„gemakkelijk vrij-

komende zuurstof” 6.55 6.46

Tober VOD

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 25

Electrolyse van monochloorazijnzuur zilver. Er werd aan electro-
lyse onderworpen een geconcentreerde oplossing van dit zout, ter-
wijl onafgebroken werd gefiltreerd bij de anode (op de wijze,
bekend), en wel eerst door een filtrum met koolzuur zilver, en in
een tweede proef met zilveroxyde, ten einde de oplossing te neu-
traliseeren, door electrolyse zuur geworden. De uitkomst was even-
wel niet aanmoedigend, daar de hoeveelheid aan zwarte stof afgezet,
geen studie toeliet in dien zin. Men begrijpt, dat meer of min
hierbij ook werd gedacht aan electrolyse van glucolzuur zilver, welk
lichaam zou kunnen optreden onder gezegde omstandigheden in de
electrolytische oplossing.

Snelheid van zelfontleding van perooy-zwavelzuur zilver. In de
volgende opgaven (zie de vorige Verhandelingen 5) is opgegeven
onder letter:

c. het nommer der Bereiding;

d. de concentratie;

e. de datum der Bereiding;

f. de datum der eerste weging en volgende wegingen ;

g. het gewicht aan zwarte stof op het Aorlogeglas, dadelijk ge-
plaatst zijnde onder een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur), terwijl
de weging plaats had tusschen twee op elkander gesleepte horloge-
glazen (met klem). Ook is hieronder (namelijk onder y) gegeven
het gewicht der stof, na te zijn overgebracht in een klein buisje
(met glazen stop), dat wordt geplaatst onder een exsiccator (met
zwavelzuur);

i. geeft het verlies in gewicht der stof, bevat in dit buisje:

j. dit verlies berekend op 1 gr. stof en 7 dagen.

') Zie b.v. Verhand, d. Kon. Akad. v. W. van Amsterdam. Deel III. N°, 8, pag. 28 (1896).

)

6

Peroxy-zwavelzuur zilver.

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

c d e if g | À 2 j
20 lhalf.verz.|14-18 Juni 1898.20 Juni 1898.11.2791 gr.
taut A » | horloge- |0.0002 gr. |
glas
es » |1.2098 gr.
in buisje.
22 Sant. .ctall.1996 et 0.0102 gr, 0.00065 gr.
22 Dec. ella en — 0.0031 ,, (0.00019 ,,
| 22 Maart 1899.)1.1957 ., = 0.0008 ,, |0.00005 _,,
22 Juni ae eae — 0.0012 ,, |0.00007 ,,
22 AS ENT: sel Sia es — 0.0031 ,, |0.0002 ,,
22 Dec. sire) OOD aR: — 0.0012 ,, |0,00007 ,,
1229 Maart 1900.11.1896 „ — 0.0006 ,, |0.00004 ,,
22 Juni 1 ISS SON — 0.0007 ,, |0.00004 ,,
| 22 Sept LISE — 0.0019 ,, |0.00012 ,,
(22 Dec. Peels Gees — 0.001 ,, |0.00006 ,,
122 Maart 1901.11.1852 — 0.0008 ,, 10.600005
(22 Tant ne ASSR 0.0009 ,, |0.00005 ,,
(22 Sept. ;; 11.1823-, — 0.002 ,, 0.00013 „
23 Dec. sn ISLE _ 0.0012 ,, |0,0007 ,,
| 24 Maart 1902.11.1804 ,, -- 0.0007 ,, |0.0000 „
21 [half.verz.| 1-4 Juli 1898.) 6 Juli 1898.11.2983 „ ae 5 =
1. oe 5, | horloge- (0.0002 „
glas
8 ” ”
Sh ,, {1.2674 gr.
in buisje. |
| 8 Oct. wp Psa ears 0.0114 ,, 0.00069 ,,
Oran nt LANDAL Ie A 0.0012 ,, |0.00007 ,,
110 April ,, 11-2531, = (0.0011 ,, 0.00006 ,,
10 Juli an eet oe — 0.0018 ,, (0.0001 ,
10 Oct. Pa LEZE Ce — 0.0029 ,, 0.00017 ,
10 Jan. 1900.11.248 ,, 0.001 ,, 0.00006 ,,
| 9 April :;, 112474. 19.0006 ,, 0.00004 ,,
HOT Wisc, RET 3 0.0003 ,, 0.00002 .,
10 Oct. ROAD 0.0017 ,, 0.0001 ,
| 8 Jan. 1901.11.2445 „ - 0.0009 ,, 0.00005 .,
| PO or ee PURES a 0.0005 ,, 0.00002 ,,
| | 9 Juli mae EAS BL oe Sr 0.0007 ,, 0.00004 ,,
| 8 Oct. AA NS -- 0.0023 ,, 0.00015 ,,
| | 9 Jan. 1902124 ;, | - [0.001 ,, |0.00006 ,,
| | 9 April », 1.2392 „ - 10.0008 ,, 10.00005 ,,
|

Zelfontleding van peroay-salpeterzuur zilver ')
trekking op Bereiding N°. 25, en de nieuwe numerique gegevens

Dit heeft be-

zijn een vervolg op vroegere uitkomsten dezer soort.
het vijfde (eigenlijk het zesde) jaar (zie later), dat het product
dezer Bereiding quantitatief is vervolgd, wat betreft de snelheid
van ontleding. Voor de structuurformule is gevonden, in overeen-

!) Verhand. Kon. Akad. (Eerste Sectie) Dl. VII N°. 2 p. 23 (1899).

Het is nu

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 27

stemming met de tot nog toe vastgestelde feiten, de volgende :
3 Ag, O,. NO, Ag. 2 0, en genoemde snelheid van ontleding heeft
betrekking op een deel van het molecuul, namelijk op dat, aan
te duiden met den naam van oxy-salpeterzuur zilver NO, dg. 2 O
(deel uitmakende van het molecuul, te weten van het peroxy-sal-
peterzuur zilver). Ten minste bestaat er aanleiding, dit aan te nemen,
daar het lichaam ontleed wordt bij verhitten met water (ook wel
bij gewone temperatuur, maar dan uiterst langzaam), waarbij het
zilverbioxyde onopgelost terugblijft, en het zitverzitraat in oplossing
treedt, onder vrijkomen van zuurstof.

Ontleding bij gewone temperatuur van peroxy-salpeterzuur
zilver (vervolg).

| |
25 | 200gr. |25 Nov. 1895.28 Nov. 1895.|5.7658 gr
15 Dec. 1896.|5.7492 ., 0.0166 gr. 0.000052 gr.
[16 ,, 1897:15.7948 .,, 0.0144 ,, |0.000047 5,
16°, 1898.15.7158 „ 0.019 |. 10.000063 |,
18 . 1899.|5.6955 „ (0.0203 |. |0.000067 .,
16 1900. HET 0.0164 | 10.000055 „
(118 5, 1901./5.6678 -., 0.0113 |, |0.000038 ..)')
|

De regelmatigheid in ontledingssnelheid bij gewone temperatuur
is wel merkwaardig, en biedt in dit opzicht een meer of min
eenig voorbeeld aan. Voegen we hier aan toe duidelijkshalve met
betrekking tot de Tabel, dat onder letter 7 is aangegeven de hoe-
veelheid „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”, die bij staan vrijkwam,
genomen op 1 gr. stof in één week. Onder letter 7 is opgegeven
de hoeveelheid van genoemde zuurstof, op 5.7658 gr. betrekking
hebbende, namelijk op de hoeveelheid stof bij het begin, in den
tijd van 5 jaar verminderd met 0.0867 gr. (men heeft: 5.7658 gr. —
5.6791 gr. — 0.0867 gr.), of op 1 gr. der stof overeenkomende met
0.015 gr. Aangezien 0.03384 gr. (le) de hoeveelheid is, die over-
eenkomt met 20 op het molecuul, genomen op lgr. stof, wordt
gevonden voor den tijd, die zou vereischt worden voor het doen
vrijkomen van 2 0, in verband met de gevonden waarde van 0.015 gr.
(zie boven):

0.015 : 0.03384 —=5:e, zijnde bij gevolg v= 11.28 (vroeger ”)
werd 13 en daarna 12 jaar gevonden).

*) Later bijgevoegd voor het zesde jaar.
*) Le. Verh. d. Kon. Akad. v. W. v. Amsterdam, Deel VII. N°. 2 p. 28. (Eerste Sectie).

vo
OD

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

Electrolytische proef met een waterige oplossing van seleenzuur zilver.
De electrolyse geschiedde onder gunstige omstandigheden , namelijk
met neutralisatie der oplossing met koolzuur zilver, op een filtrum
geplaatst, en van seleenzuur zilver op een tweede filtrum, om
de oplossing verzadigd te houden (geheel als bij de electrolyse van
zwavelzuur zilver; zie de vorige Verhandelingen), en dat gedurende
drie dagen achtereenvolgens (dag en nacht), maar zonder eenige
positieve uitkomst. En dit laat zich wel verklaren, vooreerst omdat
de oplosbaarheid van seleenzuur zilver zeer beperkt is, want 20 c. c.
eener verzadigde oplossing bij ongeveer 15°, liet achter 0.0167 gr.
zout bij verdampen, zij dit 0.835 gr. zout in een liter aan oplos-
sing. Ook maakt de wel bekende reactie !) van seleenzuur:

Se O, H, + 2 H CI = Se 0, H, +2 + H, 0,

het waarschijnlijk, dat de kans voor het bestaan van een zuur
Se O, , „Hy gering is.

Geoxydeerd water tegenover zilverooyde, zilverbioeyde, koolzuur
en salpeterzuur zilver, en diphenylamine. In ’talgemeen schijnt te
worden aangenomen, dat zilveroxyde en geoxydeerd water elkan-
der aldus ontleden:

Ag, O + Hy Op = Ag, + 00 + H, O.

Niet weinig echter wordt vergeten, er bij te voegen, van welk
oxyde men zich bediende, namelijk gemaakt langs den natten weg
of b.v. door verhitting van koolzuur zilver (of zilverbioxyde), dat
tot eenig verschil aanleiding zou kunnen geven.

Uitgaande van gemelde vergelijking, zou men geneigd kunnen
wezen, voor ztlverbioxyde en waterstofbioryde de volgende reac-
ties aan te nemen:

Bt Ada Oy ERA Or AE ei) oe OO
b. Ag, OS DO, == Ag pr HO OO (me hoven).

En een intermediaire reactie zou kunnen plaats hebben, zij deze:

a. Ag; Op + Hy O, = Ag; + Ho O + 000
B. 000 + H, 0, = H, 0 4-2 00,

*) Zie b.v. de Dict. v. Wurtz. Tom. 2. p. 1469.

*) Zie Berthelot: J. Ch. Soc. Vol. 38 (1880), namelijk Abstr. Anorg. Ch. p. 441; lc.
pag. 442; le. Vol. 79 en 80 (1901), Jan. Abstr. II pag. 8; le. (1902), Juli, pag. 383;
lic. (1902) Jan. pag. 18; April pag. 207; Bach le. April pag. 203. Zie v. Baeyer:
lic, (1901) Juni, pag. 315; le. Dec., pag. 654. Zie ook ,,Dict. Wurtz. Tom. 1,
pag. 1199 (Eau oxygénée).

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 29

dat van hoegenaamd geen invloed is op de einduitkomst. Maar,
zooals later zal blijken, is het verloop geheel anders, zoowel wat
betreft zilveroryde als zilverbioayde.

Zilverbioayde (Ag, O,) tegenover waterstofbioayde (H, O,). Kerste
proef. Het waterstofbioxyde, zijnde een waterige oplossing, waar-
van men zich aanvankelijk bediende, bevatte een weinig ewavelzuur
(later werd gebruik gemaakt van geoxydeerd water, dat zuiver
heette te zijn). Er werd uitgegaan van 0.4042 gr. 21/verhioæyde
(als ontledingsproduct van peroxy-zwavelzuur zilver, zij dit 5 Ag,
O,. 2 SO, Ag, daarbij een methode volgende, die men vroeger
leerde kennen; zie pag. 24), van de samenstelling:

gevonden Ag, Oy eischt:

zilveroxyde (Ag, 0) 93.11 93.54
„gemakkelijk vrijkomende 6.89 6.46
zuurstof”

100, 100.

Bij genoemde hoeveelheid bioxyde werd 10 gr. water gedaan,
terwijl het geheel zich bevond in een groote reageerbuis, met een
klein toegesmolten trechtertje (met ’t oog op stof); daarna werd er
geoxydeerd water bij gedaan (in waterige oplossing, een weinig zwa-
velzuur bevattende), terwijl de buis later werd geplaatst in een
vacuum-exsiccator, waarbij 0.4209 gr. terugbleef van een mengsel
(de bewerking werd herhaald, tot het gewicht constant bleef).
Zuurstof komt vrij onder opbruising, zoodra geoxydeerd water
is toegevoegd. Het residu in de buis werd behandeld met water
(bij gewone temperatuur, waarna werd gefiltreerd), de oplossing
waarvan, onder een vacuum-exsiccator, terugliet 0.0721 gr. aan
zwavelzuur zilver (SO, Ag). Dit geeft voor zilverbioxyde (Ag, O,)
0.4209 gr. — 0.0721 gr. — 0.3488 gr. De hoeveelheid van 0.0721 gr.
zwavelzunr zilver komt overeen met 0.0498 gr. zi/ver, en dit met
0.0571 gr. zi/verbioxyde (Ag, Oy), te zamen makende: 0.3488 gr. +

0.0571 gr. = 0.4059 gr. zilverbioxyde (dg, O,). Aangezien was uit-
gegaan van 0.4042 gr. van dit oxyde, heeft men: 0.4059 gr. —
0.4042 gr. = 0.0017 gr., zoodat de hoeveelheid d/ovyde gerekend

kan worden zoo ongeveer hetzelfde te blijven, namelijk voor en na
de behandeling met geoxydeerd water (74, O,), dat trouwens een
weinig zwavelzuur bevatte, hetwelk noodwendig invloed zou kunnen
hebben op de uitkomst, en, ten minste gedeeltelijk, gemeld verschil
veroorzaken. Hetgeen aanleiding gaf, onder meer, om voortaan
zoogenaamd zuiver geoxydeerd water (77, 0) te gebruiken, welke

30 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

zuiverheid meer of min volgt uit de volgende (gedeeltelijke) analyse,
zoo mede indirect uit eenige numerique uitkomsten (die later volgen).

Gedeeltelijke analyse van zoogenaamd zwwer geoæydeerd water.
Het geoxydeerde water, waarvan sprake is, van Merck, is geacht
in waterige oplossing 30 pet. in gewicht waterstofbioxyde (4/, Oy)
te bevatten in 100 vol. der oplossing, zij dit 30 gr. in 100 €. c.
Een hoeveelheid van 10 gr. dezer oplossing werd geplaatst onder
een vacuum-exsiccator, waarvan achterbleef 0.0005 gr.; bij gevolg,
is het geoxydeerde water waarschijnlijk betrekkelijk zuiver. De op-
lossing gaf ook geen reactie op zwavelzuur, zuringzuur l), en even-
min op zoutzuur en salpeterzuur (het geoxydeerde water wordt dan
eerst ontleed met kalivmpermanganaat Mn O, K, in bijzijn van zwa-
velzuur; volgt de reactie met diphenylamine, WV M. BCe Han
zwavelzuur opgelost).

Tweede proef, met betrekking tot zilverbioxyde tegenover geoxydeerd
water (zuiver, zie boven). Dezelfde weg werd gevolgd (zie vroe-
ger), alleen is het geoxydeerde water, waarvan men zich bediende,
te beschouwen te zijn zuiver; de concentratie zijnde ongeveer 30 vol.
p.c. (zie boven). De bewerking met geoxydeerd water werd vele
malen Aerhaald met hetzelfde zilverbioxyde, om de reactie des te
beter te kunnen nagaan, lettende op de zeven-reacties, die wellicht in-
treden (de reageerbuis werd, na iedere behandeling met A, O,,
geplaatst onder een vacuum-exsiccator, welke laatste bewerking
wordt herhaald tot het gewicht constant is).

Kerste behandeling. Er werd uitgegaan van 0.4224 gr. zilver-
bioxyde (dg, Oo), afgeleid van peroxy-zwavelzuur zilver (5 4g, Oo
2 SO, Ag). Er werd toegevoegd aan water 10 c.c., en daarna
4.5 c.c. der waterige oplossing van /Z, O, (zie boven). Met opbrui-
sing komt zuurstof vrij (een trechtertje, toegesmolten, was geplaatst
op de reageerbuis gedurende de reactie); na inwerking werd het
geheel geplaatst onder een vacuum-exsiccator. Het terugblijvende,
dat bedroeg 0.4162 gr., maakt alzoo een verschil met de oorspron-
kelijke hoeveelheid van: 0.4224 gr. — 0.4162 gr. = 0.0062 gr,
dat geen te veronachtzamen hoeveelheid is. Maar 0.4224 gr. zilver-
bioxyde (dy, O,) bevat 0.0545 gr. zuurstof (te weten de geheele
hoeveelheid), zoodat genoemd verschil daarvan slechts een betrekke-
lijk klein gedeelte witmaakt (zie pag. 29). Tenemde zich evenwel
niet te laten leiden door een twijfelachtige gevolgtrekking, werd

') Zie: J. of the Chem. Sol. Vol. 79 and 80, Nov. (1901), pag. 622,

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 31

de bewerking herhaald met dezelfde hoeveelheid stof, en onder
zooveel mogelijk gelijke omstandigheden.

Tweede behandeling. Het eenige onderscheid bestond daarin, dat
men het geoxydeerde water liet vallen in de buis (met hetzelfde
zilverbioxyde van boven, en 10 c.c. water) op een meer regel-
matige wijze, en wel door gebruik te maken van een trechtertje
met afleidingsbuis en Araan, bevattende het geoxydeerde water,
nogmaals verdund met water voor het doel.

Na verdampen bleef terug 0.4124 gr. stof, dat met 0.4162 gr.
(zie boven) een verschil maakt van 0.4162 gr. — 0.4124 gr. =
0.0038 gr.

Derde behandeling. Met gewichtsverlies bedroeg nog minder, en
wel 0.0024 gr.

Vierde behandeling. Ditmaal was het verlies 0.0026

Bij gevolg bedroeg het verlies achtereenvolgens:

1 2. 3. 4.
0.0062 gr. 0.0038 er. 0.0024 gr. 0.0026 gr.

Het schijnt, dat het verschil geen 0 (ongeveer) zal bereiken,
anders zou men de proef hebben vervolgd. Maar er was reden, een
weinig te twijfelen aan de noodige zuiverheid van het zilverbioxyde
(Ag, Oy) (me pag. 29); en daarom werd een overeenkomstige reeks
verricht met een bioxyde (47, O,) zoo goed als zeker voldoende
zuiver, daar het was afgeleid van peroxy-salpeterzuur zilver.

Derde proef met zilverbioayde tegenover geoxydeerd water (zuiver,
zie pag. 30). Het bioxyde was bereid met peroxy-salpeterzuur zil-
ver (3 47» Où. NO, Ag), zooals reeds gezegd.

Berste behandeling. Bij 0.5087 gr. zilverbioxyde werd gevoegd
10 c.c. water, en vervolgens 5 c. c. geoxydeerd water (te beschou-
wen als te zijn zuiver). De reactie geschiedde onder opbruising.
Na gestaan te hebben onder een vacuum-exsiccator, bleef terug
0.5044gr., zoodat zich een verschil voordoet van 0.5087 gr. -
0.5044 gr. = 0.0043 gr., dus een niet te veronachtzamen hoeveel-
heid. Daarvan zou trouwens eenige onzuiverheid de aanleiding
kunnen zijn, door een secondaire reactie te veroorzaken. Met ’t oog
op hetgeen zou kunnen geschieden, werd de behandeling herhaald,
en wel eenige malen (zie later), daar de onzuiverheid meer of min
zou kunnen verwijderd worden (verondersteld, dat zij aanwezig was).

Tweede behandeling. Bij de massa in de buis werd 10 c. ce. water
gedaan, en daarna 5 c. c. geoxydeerd water, als boven. Na geplaatst
geweest te zijn onder een vacuum-exsiccator bleef 0.504 gr. stof

33 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

terug; het verlies bedroeg bijgevolg: 0.5044gr. — 0.504 gr. =
0.0004gr., anders gezegd, het gewicht aan zilverbioxyde bleef
ongeveer hetzelfde. Ook is dit geringe verschil te veronachtzamen
met ’t oog op de analyse van het geoxydeerde water, waaruit volgt,
dat de zuiverheid miet volkomen is, alhoewel zeer voldoende.

Derde behandeling. Denzelfden weg volgende, werd met de vorige
bewerking een verschil gevonden van 0.0008 gr., namelijk in ver-
lies aan gewicht. Het geoxydeerde water werd er bijgevoegd op
een wijze, die meer regelmatigheid toeliet, zooals dit reeds vroeger
nu en dan geschiedde (zie pag. 31).

Vierde behandeling. Het verlies bedroeg ditmaal 0.0018 gr.

Vijfde behandeling. Er deed zich een vermeerdering voor van
0.0002 gr., dat zoo goed als van geen beteekenis is.

Laten we daar, de vermeerdering na de eerste behandeling, die
veeleer abnormaal toeschijnt, dan heeft men: 0.0004 gr. + 0.0008 gr.
—- 0.0018 gr. — 0.0002 == 0.0028 gr. (alles te zamen is 0.0028 gr.
+- 0.0043 gr. = 0.0071 gr.), dat niet veel beteekent.

Besluit wat betreft de verhouding van zilverbioxyde (Ag, Oo)
tegenover geoxydeerd water (HO). Uit het medegedeelde zou
kunnen afgeleid worden, dat ontleding van zilverbioxyde (4g, Oo),
als deze zich voordoet, in zeer geringe mate optreedt, wanneer
met genoegzaam zuiver gilverbioxyde wordt gewerkt, en dan zoo
ongeveer tot nul te herleiden, te weten met zilverbioxyde afgeleid
van peroxy-salpeterzuur zilver (3 dg, O,. NO, Ay), klaarblijkelijk
het meest zuivere der verschillende bereidingen van dit bioxyde
(het andere was verkregen met peroxy-zwavelzuur zilver: 5 dg, Os.
2 SO, Ag,). Aangezien de omstandigheden bij de reactie wel kun-
nen gerekend worden dezelfde te zijn, schijnen de verschillen tus-
schen het gewicht aan bioxyde vóór en na behandeling, eerder te
moeten verklaard worden, door verwijdering meer of min van ge-
ringe onzuiverheden, die overigens ten deele schijnen te blijven,
en vandaar wellicht die onregelmatigheden, alhoewel op kleine schaal.
Bij gevolg zou het besluit kunmen wezen, dat waterstofsuperoxyde
(11, O,) en zilverbioxyde (Ag, Og) niet op elkander reageeren op
de wijze vroeger aangegeven (pag. 2S), verondersteld, dat beiden
zuiver zijn; want, om aan te nemen, dat het aangewende bioxyde
van zilver eenig merkbaar verschil zou aanbieden, vermag slechts
een gewaande veronderstelling te wezen zonder argument van eenige
waarde.

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 33

Zilveroayde (Ag, O) langs den drogen weg gemaakt, tegenover ge-
oxydeerd water (te beschouwen als zwiver, zie pag. 30). De wijze
van werken was dezelfde, behoudens het verschil in oxyde.

erste behandeling. Het zilveroxyde (47, O) was gemaakt langs
den drogen weg, namelijk door verhitting van koolzuur zilver
(CO, Ag»), bij ongeveer 196°, in een stroom van zuivere lucht. Het
oxyde was genoegzaam scheikundig zuiver, en bevatte slechts sporen
koolzuur zilver (daaruit volgende, dat de opbrengst bij verschillende
bereidingen bedroeg 84—84.3 pct. aan oxyde, namelijk van 100 d.
koolzuur zilver, terwijl de theorie vordert S4 pet. oxyde).

Bij 0.4058 gr. zilveroxyde (zich bevindende in een groote
reageerbuis, enz.; zie vroeger) werd 10c.c. water gedaan, en
daarna 5e.e. geoxydeerd water (te beschouwen als zuiver te zijn).
Na de reactie, geplaatst onder een vacuum-exsiccator, bleef 0.4057 gr.
terug, zoodat het gewichtsverlies slechts bedroeg 0.4058 gr. —
0.4057 gr. — 0.0001 gr. Het gewicht is bijgevolg ongeveer het-
zelfde gebleven, en dat niettegenstaande de zuurstof vrijkwam onder
opbruising , zoodat de scheikundige reactie, die zich als van zelve
deed veronderstellen, wel niet is aan te nemen. Bijgevolg is de
volgende reactie te beschouwen als onaannemelijk:

Ag, O + Hy 0, = Agg + A, 9 + 00.

Dit besluit geldt in de eerste plaats van zwwer zilveroxyde (dg, O),
en in de tweede plaats van dit oxyde langs den drogen weg ge-
maakt (zie vroeger), en afgeleid yan koolzuur zilver door verhitten.
Want er moet worden nagegaan, of dit oxyde gemaakt langs den
natten weg (namelijk door praecipitatie) zich evenzoo verhoudt (zie
later).

Tweede behandeling. Dezelfde bewerkingen herhaald op gelijke
wijze, gaven genoegzaam eenzelfde uitkomst, alleen had een ver-
meerdering plaats van 0.0001 gr., dat van geen noemenswaar-
dige beteekenis is, want zulk een verschil kan zich altijd voordoen,
vooral werkende onder omstandigheden van gewonen aard zonder
bijzondere voorzorgsmaatregelen; ook is niet te vergeten, dat het
geoxydeerde water, alhoewel betrekkelijk zeer zuiver, toch niet vol-
strekt zuiver is (zie vroeger).

Derde behandeling. Opnieuw werd verkregen een vermeerdering
van 0.0001 gr. Er werd gebruik gemaakt van den kleinen trechter
met buis en kraan (zie vroeger), met het doel, om de snelheid
der reactie behoorlijk te kunnen. regelen (op de wijze, als dit reeds
vroeger bij vele proeven geschiedde).

Verhand Kon. Akad. v. Wetensch. (fe Sectie.) Dl. VIII. Des

34 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

Vierde behandeling. Ditmaal een vermeerdering van 0.0002 gr.,
dus evenmin een noemenswaardige hoeveelheid.

Beslmt. Het is bijgevolg, dat het zilveroxyde (dg, O) langs
drogen weg gemaakt, slechts katalytisch werkt, zooals ook zilverbioxyde
(4g, Oz) schijnt (ten minste, te kunnen doen) te doen, waarmede
men alleen wil te kennen geven, dat dit de uitkomst is der reactie
(in zooverre als deze oxyden hetzelfde zijn gebleven, na reactie).

Zilveroxyde (Ag, O) langs den natten wey gemaakt , tegenover ge-
oæydeerd water (als zwiwer te beschouwen zie pag. 30). De omstan-
digheden werden zoo gunstig mogelijk genomen, om een schei-
kundige reactie mogelijk te maken, zooals weldra zal blijken. In
een groote reageerbuis (voorzien van een kleinen toegesmolten
trechter, als naar gewoonte) werd gedaan 10 c.c. water, daarna
0.0943 gr. natrium, en vervolgens werd er aan toegevoegd 0.9279 or.
zilvernitraat (VO, Ag). De volgende reacties hebben plaats:

Wide NG rr eN Ord
bra nN GOH NO. Ag NO Na ie Ag OH;
2 Ag OH Ago) tel):

Bij dezen inhoud nu werd gedaan 5 c.c. geowydeerd water (te
beschouwen zuiver te zijn). Nadat de reactie was afgeloopen, werd
het geheel geplaatst onder een vacuum-exsiccator (de reactie verliep
ook hier onstuimig), en deze laatste bewerking herhaald, tot het
gewicht niet meer veranderde (zooals dit trouwens bij vorige proe-
ven plaats vond, en bi volgende), dat, vooral in het geval dat
ons bezig houdt, veel tijd vereischte.

Verondersteld, dat er geen chemische reacties intreden met het
zilveroxyde (Ag, O), zoo moet het terugblijvende, namelijk na ver-
damping, bestaan uit een mengsel van zilveroxyde (4g, O), natrium-
nitraat (VV Os Ny), en zilvernitraat (VO, dg), welk laatste in overmaat
aanwezig was.

De hoeveelheid watrium en zilvernitraat (VO, Ag), waarvan werd
uitgegaan (zie boven) geeft door berekening de volgende verhouding
dezer drie lichamen :

zilveroxyde (Ag, 0) 0.4741 gr.
natriumnitraat (VO, V,) 0.3482
zilvernitraat (VO, Ag) (on-

veranderd gebleven) 0.2325

som 1.0548 gr.

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 35

De waarde 0.2325 gr. (zie boven) voor zilvernitraat (onveranderd
gebleven) wordt aldus gevonden. Er was uitgegaan van 0.9279 gr.
zilvernitraat, en door berekening wordt gevonden, dat hiervan is
ontleed (onder den invloed van het natriumhydroxyde, Ma OM;
zie boven) 0.6954gr., en bij gevolg 4/ÿf{ terug van dit zilver-
nitraat: 0.9279 gr. — 0.6954gr. = 0.2325gr., gelijk zich boven
bevindt.

Het gewicht van het terugblijvende bedroeg evenwel 1.0567 gr,
zoodat zich het verschil voordoet van 1.0567 gr. — 0.0548 gr. —
0.0019gr., zijnde dit vermeerdering in gewicht. Bijgevolg bestaat
er wel geen aanleiding, om eenige chemische reactie aan te nemen,
maar slechts een katalytische reactie (dat wil zeggen, dat de som
van gevormd en ontleed worden van zilveroxyde = 0 is). Voegen
we hieraan toe, dat de hoeveelheid aan gemaakt zilveroxyde,
zijnde die 0.4741 gr. (zie boven), vertegenwoordigt 0.0327 gr. aan
zuurstof. Maar, zooals gezegd, had er zelfs geen vermindering
plaats in gewicht, maar integendeel een kleine toename.

Contrôle-proef. Ook met ’t oog op het verschil alhoewel gering
(zie boven, zijnde dat van 0.0019 gr.) werd een contrôle-proef ge-
daan, daarin bestaande, dat alle stoffen aanwezig waren behalve
geoxydeerd water (//, 0), terwijl overigens op dezelfde wijze werd
te werk gegaan. Aanvankelijk werden bij elkander gedaan 0.101 gr.
natrium en 5c.c. water, en vervolgens daar bijgedaan : zilvernitraat
0.9843 gr. Het geheel werd vervolgens geplaatst onder een vacuum-
exsiccator, waarbij terugbleef 1.1235 gr. De theorie eischt (zie
vroeger) :

zilveroxyde (Ag, O) 0.5078 er.

natriumnitraat (VO, W.,) 0.3727

zilvernitraat (VO, 49) 5.2404
som 1.1209 gr.

Er werd gevonden 1.1235gr., bijgevolg doet zich een verschil
voor van 1.1235 gr. — 1.1209 gr. = 0.0026 gr., en wel vermeer-
dering, zooals in de proef als zoodanig aanvankelijk vermeld (het
verschil bedraagt in dat geval 0.0019 gr.). Het besluit is bijgevolg
nog, en nu met meer recht dan vroeger, dat er waarschijnlijk geen
chemische reactie plaats heeft (te nemen in den zin boven gegeven),
maar alleen een katalytische reactie (zie boven), bij aanwezigheid
van geoxydeerd water (//, O,), tusschen dit lichaam en zilveroxyde

j D 3*

36 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

(Ag, O), waarbij dit laatste kan geacht worden onveranderd te
blijven.

Koolzuur zilver (CO Ag) tegenover geoxydeerd water (te beschou-
wen als zwiver, zie pag. 30).

Kerste behandeling. De weg gevolgd is in den grond dezelfde.
Er werd uitgegaan van 0.4613 gr. koolzuur zilver, waarbij gedaan
werd 10e. ce. water, en daarna 5 e.e. geoxydeerd water (als zuiver
te beschouwen). Zuurstof komt vrij onder opbruising, gelijk het
geval was bij de voorgaande reacties. Vervolgens geplaatst onder
een vacuum-exsiccator, bleef terug 0.4461 gr., zoodat een verlies
intrad van 0.4613 gr. — 0.4461 gr. = 0.0152gr. Het grootste
deel hiervan of alles, zou een gevolg kunnen zijn eener gedeelte-
lijke ontleding van koolzuur zilver, zij dit in den zin, die hier volgt:

CO, Ap, = CO, + Ag, 0,

daar de massa, zoodra als de reactie is begonnen, een zwarte kleur
vertoont (bijgevolg onder den invloed van geoxydeerd water).

V. Baeyer (lc.) deed reeds een overeenkomstig feit kennen, betrek-
king hebbende op het neërslag gevormd door een oplossing van
een zilverzout en een koolzuur zout, dus op koolzuur zilver, waarbij
dan werd gedaan geoxydeerd water.

Tweede behandeling. Geschiedde op gelijke wijze, alleen werd
geoxydeerd water langzamer bijgedaan (omdat de reactie zoo on-
stuiming verliep), door op de reageerbuis te zetten een trechter-
buis met kraan. Het verlies bedroeg ditmaal 0.0036 gr., bijgevolg
aanmerkelijk minder.

Na de eerste reactie was nog koolzuur zilver te zien; maar na
de tweede behandeling was de geheele massa zwart van kleur.

Derde behandeling (zie boven). Het verlies bedroeg 0.0025 gr.

Vierde behandeling. Het verlies was nog wat geringer, zijnde
0.002 gr.

Besluit. Het gewichtsverlies is wel dááraan toe te schrijven, dat
hooldioxyde is vrijgekomen (men heeft: C O3 4g, = CO, + Ag, 0),
wel te verstaan onder den invloed van geoxydeerd water (47, Oa);
overigens zonder invloed direct, op het zilveroxyde, wat de samen-
stelling betreft. Een volledige ontleding van het koolzuur zilver
(CO, Ag) had met plaats, want dan zou 0.073 gr. kooldioxyde
moeten vrijkomen, namelijk op 0.4613gr. koolzuur zilver (zie
boven). De som der verliezen bij de vier behandelingen met ge-
oxydeerd water, namelijk van 0.0152 gr. + 0.0036 gr. + 0.0025 gr. +
0.002 gr. — 0.0233gr., is nog niet het derde gedeelte (zijnde

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 37

0.073 af . .
“3 gr. = 0.026 gr. van het geheel (zie boven). Het wil voorkomen,

alsof het verlies met iedere behandeling geringer werd, bijgevolg
schijnt de grootste hoeveelheid koolzuur zilver onaangetast te blij-
ven. De gegevens, waarom het hier te doen is, maken het alzoo
nog waarschijnlijker, dat hier optreedt de katalytische werking van
zilveroxyde (dg, 0), en derhalve een herleid worden daarvan min-
der waarschijnlijk. Tot dit besluit leiden ook de proeven met zil-
veroxyde (47, 0) als zoodanig (zie vroeger), terwijl de snelheid van
ontleding van geoxydeerd water (//, O,) wel ongeveer eenzelfde is
voor zilverovyde en koolzuur zilver, in beide gevallen onder opbruising.

ii, 0, als zuur.

Men zou zich kunnen voorstellen, dat waterstofbioxyde, LO— OH,
het hydroxyde is van een zuur (7/20) — OH, zijnde een der twee
OH het eigenlijk gezegde hydroxyde, en het andere (O//) de rest
van het zuur, namelijk, van het zuurstof-zuur, welk zuur kan vor-
men met zilveroxyde (4, 0) het zilverzout (4.):

Aa. 2 (HO— OH) + Ag, 0 = 2 (H0—0 Ag) + H, O;
B. 2 (HO— O dy) = Ag, O+ H, OH OO.

Het koolzuur zilver zou bij gevolg aanleiding geven tot de vol-
gende reacties, die in hoofdzaak op hetzelfde neèrkomen:

B.a. 2 (HO—OH) + CO, Ag, = 2(HO—O Ag) + CO, + Hy O;
b. 2 (HO—O Ay) = Ag, O + H, O + 00.

Deze vrije zuurstof (zie 4), men ziet het gemakkelijk in, stamt
af, of van geoxydeerd water of van zilveroxyde (dg, O), maar
veeleer van het eerste lichaam (namelijk van //O—O/Z).

Wat betreft de reacties gegeven, deze kunnen alleen strekken, om
zich eenig denkbeeld te vormen der katalytische werking, die in den
grond zal terug te brengen zijn (zie vroeger) tot scheikundige reacties.

Salpeterzuur zilver (NO, Ag) tegenover geoæydeerd water (als zui-
ver te beschouwen, zie pag. 30). Bij een hoeveelheid van 0.4715 gr.
salpeterzuur zilver (VO, dg) werd gedaan 10 c. c. water, en daarna
5 e.e. geoeydeerd water (te beschouwen als zuiver, zie boven).
Slechts kwamen vrij uiterst kleine gasbelletjes en niet in groote
hoeveelheid, op ‘toog te oordeelen. Als bij vorige gevallen werd
de buis gezet in een vacuum-exsiccator, maar toen was de ontle-
ding van geoxydeerd water heel wat duidelijker. Er bleef aan stof
terug 0.4717 gr. Het verschul 0.4717 gr. — 0.4715 gr. = 0.0002 gr.

38 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

bezit tevens geen noemenswaardige grootte, en bij gevolg is het
besluit gewettigd, dat in gemeld geval geen bepaalde reactie optreedt.

Zoogenaamd peroxy-salpetcrzuur zilver tegenover geoaydeerd water
(beschouwd als zuiver, zie pag. 30).

Eerste behandeling. Bij een hoeveelheid van 0.4367 gr. van ge-
noemde verbinding, gedaan in een reageerbuis (zie de vorige proe-
ven) werd gevoegd 5 c.c. water, en vervolgens 5 c.c. geoxydeerd
water. Zuurstof kwam vrij, en den volgenden dag werd de buis
gezet in een vacuum-exsiccator, geheel als vroeger. Er bleef terug
0.4333 gr., zoodat er een gewichts-verfies was van 0.4367 gr. —
0.4333 gr. = 0.0034 gr. |

Tweede behandeling. Met een nieuwe hoeveelheid geoxydeerd
water (na vooraf water te hebben toegevoegd, enz.) bedroeg het
verlies 0.002 gr.

Contrôle-proef. Eerste behandeling. Alles hetzelfde Enden maar
zonder geoxydeerd water (overigens met een andere hoeveelheid
der zilver-verbinding). Een hoeveelheid van 0.4789 gr. liet terug
0.4791gr., bijgevolg had een vermeerdering plaats van 0.0002 gr.

Tweede behandeling. Ken vermeerdering van 0.0001 gr. dus even-
zoo niet noemenswaardig.

Men nieuwe reactie op zilverbioxyde (Ag, Oo). Bekend zijn de
reacties op zilverbioxyde, die neêrkomen op de oplosbaarheid in
zwavelzuur (sterk), namelijk met brwine kleur, welke zelfde eigen-
schap zich voordoet tegenover salpeterzuur (tevens sterk). Maar
een meer sprekende reactie is die met diphenylamine (W 7. 2 Q, H‚),
opgelost in zwavelzuur (sterk), bij toevoegen eener palace van
zilverbioxyde (Ag, Oj) in zwavelzuur (sterk). Ook kan het zilver-
bioxyde als zoodanig (wiet opgelost) gedaan worden by de oplos-
sing van diphenylamine, maar de blauwe kleur treedt netter op,
als men te werk gaat als gezegd, in welk geval de reactie wel ook
gevoeliger is.

Over het bestendigen der verkleuring van diphenylamine bij owxy-
datie. Bij wijze van voorbeeld is genomen geowydeerd water (be-
schouwd als zuiver, zie pag. 30) als oxydatie-middel, uitgaande
van een oplossing van 0.1 gr. diphenylamine in 10 gr. zwavelzuur
(sterk), aangeduid door a, en van een andere oplossing, gelijkelijk
gemaakt, alleen bijgevoegd 0.24 gr. water, aangeduid met 6. De
PETREE IE van water geschiedde met ’t oog op eenige voorschriften !)

N Zie: Laar. Ber. D. Ch. Ges. J. 15 S. 2086 (1882); Fresenius: Anal. Qual. Ch. S.
32 (1895).

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 39

dienaangaande gegeven. Overigens is de gevolgde weg aangegeven
met de letters 4, B, enz., om verwarring te voorkomen, en eenige
verkregen uitkomsten beter te doen uitkomen.

A. Veelal is men gewoon, op een Morlogeglas wat te doen van
een oplossing van diphenylamine (in meer of min sterk zwavel-
zuur), en er daarna bij te voegen van de te onderzoeken vloei-
stof, bevattende b.v. yeowydeerd water. Ook alzoo werd aangevangen,
dat ongeveer {wee vur vereischt, alvorens het maximum van blauwe
verkleuring intreedt, wat intensiteit betreft (uitgaande van oplos-
sing a of 4), na toevoeging van 3 druppels geoxydeerd water (be-
schouwd als zuiver, zie pag. 30) verdund met ongeveer 10-maal
zijn volumen water. Deze blauwe verkleuring wordt na eenigen tijd
groen, daarna brwin, voor welke omzettingen eenige uren worden
vereischt. Maar wanneer bij de massa na te zijn bruin geworden,
zwavelzuur (geconcentreerd) wordt gedaan, dan komt de groene
kleur weder te voorschijn, om ten slotte weder drm te worden
(bij staan aan de vochtige lucht). Door er nogmaals zwavelzuur bij
te doen, kwam er nog wel een groeze kleur opdagen, maar uiterst
zwak van toon.

B. Wordt het Zehaam in blauwe oplossing, aanvankelijk ge-
vormd (zie A), gedaan in wafer (wel te verstaan in groote over-
maat), dan ontstaat, ten minste schijnbaar, een kleurlooze oplossing,
die weldra een druine kleur aanneemt. Het lichaam in questie
bevindt zich dan waarschijnlijk meer of min (dit hangt af van de
hoeveelheid water) in suspensie, en ten deele in oplossing. Wordt
van een bruin afzetsel ontstaan, gedaan in zwavelzuur (sterk), dan
wordt dit opgelost met Arwin-violette kleur, soms meer naderende
tot blauw-violet, en andere tinten dezer soort, namelijk tusschen
blauw en bruin. Ook vermag de zoogenaamde bruine oplossing (zie
boven) zulk een blauwachtige verkleuring te geven met (sterk)
zwavelzuur in overmaat. Deze laatste bewerking wordt steeds ge-
daan onder afkoeling (namelijk met water), om een te groote ver-
hooging van temperatuur te voorkomen.

C. Voortaan zal een reageerbuis de plaats innemen van een hor-
logeglas, welke reageerbuis wordt voorzien van een kleinen toege-
smolten trechter, en dat om verschillende redenen (vochtigheid der
lucht, stof enz.) Er werd gewerkt met oplossing (a) en (4) (zie
vroeger). Om te maken, dat de blauwe verkleuring optreedt in
haar maximum van intensiteit en door de geheele massa (veronder-
steld, dat de massa niet wordt geschud), wordt ook ongeveer twee
uren gevorderd (zie A), terwijl bijna onder dezelfde omstandigheden
werd gewerkt; overigens werd uitgegaan van | gr. der oplossing

40 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

van diphenylamine (zie in den aanvang van dit hoofdstuk). Den
volgenden dag was de blauwe kleur groen geworden, om in bruin
over te gaan, welke omzettingen betrekkelijk veel tijd vereischten
(hetzij, dat men stil het staan, of van tijd tot tijd schudde). In
de eerste phase zou men somtijds geneigd zijn, het er voor te
houden, dat de Alauwe verkleuring wordt bevorderd (om niet meer
te zeggen) door tusschenkomst van zuurstof der lucht, daar deze
zich betrekkelijk meer begint te vertoonen aan de oppervlakte der
oplossing (in rust gelaten).

D. Dezelfde weg werd gevolgd, maar na de eerste phase van
verkleuring, als namelijk de d/auwe verkleuring is ingetreden (en
wel met haar maximum in intensiteit, den eersten dag ontstaan in
ongeveer twee uur), werd zwaveleuur (sterk) toegevoegd in over-
maat, bij de blauwe oplossing. Het is onder deze omstandigheden,
dat de blauwe verkleuring langer standhoudt, namelijk eenige dagen,
alvorens de groene kleur zich vertoont. Bij gevolg zou men geneigd
kunnen zijn, daaruit te besluiten, dat aanwezigheid van water een
rol vervult met betrekking tot de stabiliteit van het lichaam met
blauwe kleur gevormd. En dat, niettegenstaande in den aanvang
der reactie, de aanwezigheid van water den indruk geeft van veeleer
deze te bevorderen, namelijk de vorming der blauwe stof (zie het
eerste gedeelte met betrekkikg tot de Litteratuur van ons onder-
werp), dat overigens nog is te vervolgen.

Lf. In gezegde richting wilde men een stap voorwaarts doen,
door gebruik te maken van rookend zwavelzuur (inplaats van ge-
woon zwavelzuur) bij de blauwe oplossing (als het maximum van
intensiteit ongeveer is bereikt, dat door ondervinding zoo ongeveer
kan blijken, zij dit na {wee wren der reactie, gedaan onder omstan-
standigheden vroeger medegedeeld, zie het begin van dit artikel en
hetgeen volgt). De d/awwe kleur wordt dan veeleer blauw-violet.

fF. Men wijzigde de omstandigheden onder / meer of min, te
weten met rookend zwavelzuur. Zoo werd geoxydeerd water (name-
lijk het zuivere zoogenaamd, zie pag. 30) gedaan bij gewoon zwa-
veizuur, zij dit een druppel van het eerste bij 1 gr. van het andere
lichaam (rookend zwavelzuur zou hier minder geschikt zijn, in aan-
merking genomen de hevigheid der plaats hebbende reactie). By
deze oplossing nu wordt rookend uwavelguur gedaan (zij dit onge-
veer 5 gr.), en (1 gr.) eener oplossing van diphenylamine in rookend
zwavelzuur (zij dit 0.1 gr. in 10 gr. van dit zuur). Onder deze
omstandigheden, wordt de massa schoon violet gekleurd met groote
intensiteit (wordt niet meer dan 1 druppel genomen dezer oplos-
sing van amine, dan treedt slechts een zwakke verkleuring op).

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 41

G. Een andere wijziging van hetgeen onder Æ voorkomt, was,
dat bij 1.3 gr. van een oplossing van amine in gewoon zwavelzuur
(zij dit 0.1gr. in 10c.c. van dit zuur), werd gedaan 1 druppel
geoxydeerd water (zie vroeger), en daarbij 5 gr. rookend uwavel-
zuur (als gezegd in een reageerbuis, met een kleinen trechter, toe-
gesmolten; zie vroeger). Er treedt dan een schoon violette kleur te
voorschijn, die van alle verkleuringen, boven vermeld, zich het
langst staande houdt (wat betreft het aantal dagen).

Over de structuur-formule van zoogenaamd peroxy-salpeterzuur zil-
ver”. In een arbeid onlangs verschenen, wordt door Tanatar ?) de-
zelfde moleculair-formule, te weten dg, NO,, gegeven, die reeds
vroeger was aangenomen, maar hij geeft de voorkeur aan een
andere structuur-formule, namelijk die van 2 dg, O4. WAg O,, in-
plaats van 3 dg, O,. NAg O,, vroeger als meer waarschijnlijk aan-
gegeven. In de eerste plaats wenschte men te doen uitkomen, wat
deze opvatting betreft, dat de formule van structuur 3 4g, O,. NAg 0;
meer schijnt te beantwoorden aan de feiten dan de andere formule.
Aangezien de argumenten voor beide formules breedvoerig zijn be-
handeld ®), zou men die thans slechts kunnen herhalen, dat wel over-
tollig is. Tanatar grondt zijn argumenten vooral op een verbinding
Ag, FO, volgens hem gemaakt door electrolyse van fluoorzilver (# 4g) in
waterige oplossing (waarvan de studie evenwel nog niet is afgeslo-
ten), en op de veronderstelling, dat van MVwoor en zuurstof wel
geen verbinding zal bestaan. Gezegde verbinding 47, FO,, zou
bij gevolg tot structuur hebben 2 47, O,. F Ag, inplaats van 3 Ag,
O,. # Ag O,. Maar anderzijds twijfelt men gansch niet aan het be-
staan, onder genoemde omstandigheden , van een verbinding van Fluoor
met zuurstof, daar deze in dit geval zeer gunstig schijnen te zijn,
als gevolg van het zilverbioxyde 47, O,, dat het evenwicht staande kan
houden door zijn karakter en zijn massa, met #44 O,. Hetgeen in deze Ver-
handeling voorkomt (zie vroeger) betrekkelijk de wijze, waarop geoxy-
deerd water (//, O,) zich verhoudt tegenover zilveroxyde (47, 0), (uil-
verbioxyde (dg, O,), eenige zilverzouten, en daarenboven perory-sal-
peterzuur zilver, doet in het geheel niet denken aan het bestaan eener
verbinding 47, O,. Dit oxyde, zijnde 4g, O, = Ag, O, + Ag Où,
zou ook in zich sluiten, zij het op indirecte wijze, het bestaan van
een zilversuperoxyde 47 O,, tot nogtoe onbekend. Geoxydeerd water

*) Zie de Verhandelingen over dit onderwerp in het „Recueil”
*) J. of the Chem. Soc. Vol. 81 and 82 Febr. 1902, Abstr. II. pag. 73.
*) Dit ,Recueil”, Tom. XV. pag. 279 (1899).

42 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

verhoudt zich ook Et peroxy- ee à zilver ongeveer
als zilverbioxyde (dg, O

AANHANGSEL.

Over de structuurformule van Cyamelid. ledere structuurformule
voor cyamelid schijnt tot hiertoe te zijn mislukt, aldus op te vatten,
dat men tot nogtoe niet is mogen slagen, een formule voor
te stellen, die genoegzaam, ten minste oogenschijnlijk, beantwoordt
aan de eigenschappen van dit lichaam. Onderzoekingen !) nog on-
langs gedaan, hebben daarin geen wijziging kunnen brengen. Onder
zulke omstandigheden komt het voor, niet overbodig te zijn,
in herinnering te brengen, hetgeen betreffende dit onderwerp voor
eenige jaren *) is gezegd. Genoemde questie staat in een innig
verband met de structuur der cyanuurzuren, zooals bekend, en bij
gevolg met de cyaanzuren. Ter dezer plaatse vestigt men slechts de
aandacht op één structuurformule (zie de oorspronkelijke Mede-
deeling over andere dergelijke formules voor Cyamelid), die men
zou kunnen aannemen behalve de polymeeren (der cyaanzuren
OC == NH en HO—CN), namelijk die van 3 OC= 3 NH en

3 HOV. 3 CN, of wat hetzelfde is:
C=0 C-0H

HN, NH N \ N
u C=O HO-C / C-0H

NH

nevens andere formules (zie het oorspronkelijke) die van 3 O. 3 CNH,
of wat hetzelfde is:

C=NH
0 0
HN=C C=NH

welke structuur vrij wel schijnt te beantwoorden aan de eigen-
schappen van Cyamelid, waarvan overigens het moleculair-gewicht

1) Zie: Chattaway en Wadmore: J. Ch. Soc. Vol. 81 and 82, pag. 191. March, 1902 ;
Le. Senier en Walsh, pag. 290, April, 1902,
*) Dit Recueuil. Tom. VI. pag. 199,

à

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 43

nog is te bepalen (zie voormelde Litt., voor zooverre betreft de
oplosbaarheid van het lichaam in water). Het kan duidelijk wezen,
hoe een lichaam der structuur 3 0.3 NZ gemakkelijk zal zijn om
te zetten in een verbinding der structuur 3 OC. 3 NH (en 3 HO,
3 CN), en wederkeerig. Een dusdanige polymerisatie ontmoet men,
als bekend (te weten in het geval, dat ons bezighoudt), b. v. bij
aldehyden, maar ook bij ketonzuren, zooals ten minste waarschijn-
lijk is (zie onze Verhandelingen, vroeger in het Recueil, over
brandigdruivenzuur, enz.). De omzetting b.v. van OC = NH in den
polymeer 3 0.3 C NH, zou dan geschieden door intermediair der
verbinding — O— C= NH, die niet in vrijen staat zal kunnen
optreden.

Over een gaslamp eener nieuwe constructie (genoemd regulateur-
lamp), met ’t oog op een, bij hooge temperaturen, constant bad.

De geheele inrichting bestaat in een vereeniging van {wee gas-
regulateurs, ieder dezer geplaatst in een bad, zij deze B en D
(gevuld voor het grootste gedeelte b.v. met kopervijlsel, fijn; beter
zou wezen zilver, gekristalliseerd langs electrischen weg). Bad
B is bestemd voor het te verhitten lichaam, terwijl bad D dient,
om de temperatuur fe regelen van den gas-regulateur voor hooge
temperaturen; bad D wordt gehouden op een constante maar
willekeurige temperatuur van b.v. 35°, door een gewonen gas-re-
gulateur naar Bunsen, terwijl bad D een gedeelte bevat van den
gas-regulateur voor hooge temperaturen (zie later). Lettende op de
hooge temperaturen van bad B, die men wil hebben, zij deze tus-
schen 300°—400°, kan men voor den gas-regulateur zich bedienen
van een vat (b.v. van glas, platina, enz.) gevuld met zuivere
lucht, van een inhoud van eenige c.c., waarmede is verbonden
(door aansmelting) een bwis met capillair lumen, maar betrekke-
lijk dik van glas. Deze buis is Morizontaal omgebogen, vervol-
gens verticaal naar beneden, en ten derde male omgebogen, dit-
maal Morizontaal, eindelijk verticaal (V); zie later. Dit laatste ge-
deelte heeft een grooter lumen (het deel, dat verticaal zaar beneden
gaat, kan als een bolletje ergens zijn opgeblazen, om te dienen
tot vat voor het kwik, bij bekoeling), en kwik in het 4orizontale
deel beneden bevat.

Bad Z bevat een thermometer voor /ooge temperaturen, bad
D een gewonen thermometer (namelijk van gewone constructie).
Het deel der buis, dat Zwik bevat, bevindt zich in bad 2, zooals
duidelijk is, terwijl het doel is, de cf en het 4wik (van dit deel
der” buis, vooral voor zooverre de lucht aangaat) te houden op eex
constante temperatuur (wel te verstaan in bad JD). Het /aafste

44 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

gedeelte der buis, dat verticaal is omgebogen (zie boven W),
eindigt in den vorm van een gewonen regulateur van Bunsen. De
temperatuur van bad D is willekeurig betrekkelijk, maar moet con-
stant zijn, en zou b.v. kunnen zijn, als gezegd, die van 35°.

Bad B kan worden verhit op verschillende wijzen, b.v. 1°. door
verwarming met fwee gewone lampen; of 2°. door verhitting met
een en dezelfde lamp van een bijzondere constructie.

1°. Zngeval wordt verwarmd met twee lampen van gewone con-
structie. Bad B wordt verhit met twee gaslampen, een waarin,
zij deze 4, is een genoegzaam constante bron van warmte, terwijl de
tweede lamp, zij deze aangeduid met C, een warmtebron is, die altijd
verandert, één geheel vormende met den regulateur voor 4ooge
temperaturen. Twee bronnen van warmte zijn aan te bevelen (na-
melijk boven één bron van warmte), met ’t oog op de Aooge tem-
peratuur, die constant is te houden, dat zoo ongeveer beteekent een
betrekkelijk groot verlies aan Moeveelheid warmte (in de eenheid van
tijd), welk verlies moet worden aangevuld. Een enkele lamp, met
regulateur, zou wel zóó kunnen zijn, dat zich geen betrekkelijk groot
verschil voordoet tusschen maximum en minimum der hoeveelheid
warmte, en het verlies aan warmte in betrekkelijk weinig tijd zou te
herstellen zijn (verondersteld, dat gezegde maximum-hoeveelheid de
vereischte grens bereikt); maar het behoeft geen betoog, dat /wee
bronnen van warmte verder reiken, omdat de hoeveelheid warmte
beter is te regelen. In de eerste plaats kunnen twee bronnen van
warmte gemakkelijker meer warmte geven, en zal dientengevolge een
hooge temperatuur beter constant te houden zijn, aangenomen, dat er
een geschikte verhouding is tusschen deze twee bronnen van warmte
(te weten, de bron die ongeveer constant is, en de tweede bron,
met regulateur voor hooge temperatuur), wat betreft het maximum
van de eene, en maximum en minimum van de andere bron (die met
regulateur). Teneinde zich eenig denkbeeld te vormen van den weg,
te volgen, om de verlangde temperatuur te bereiken, laten we be-
ginnen met aan te bevelen, in de eerste plaats bad B meer of
min te brengen op de verlangde temperatuur, maar het is duide-
lijk onder deze, te regelen naar de gewone wel bekende manier.
Tegelijkertijd volgt dan de verwarming met lamp C, welke laatste
verbonden is met den regulateur voor hooge temperatuur, waarvan
dan zoowel het maaimum als minimum is te regelen. Dit alles moet
gedaan worden vóór de eigentlijke proef. Onder bad D is evenzoo
een lamp geplaatst (onder bad & bevinden zich ¢wee lampen, zie
boven), in gemeenschap zijnde met een gewonen regulateur naar
Bunsen (hetgeen wil zeggen, dat deze alleen met kwik is gevuld),

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 45

welke regulateur voor gematigde temperatuur (zij deze 35°) zich be-
vindt in bad C.

De lampen zijn voorzien van een dopje van metaalgaas (b.v. van
koper), om het inslaan der vlammen te voorkomen, vax een wen-
schelijke structuur, soodat de vlam niet walmt, want dan zou het
onmogelijk kunnen worden, de temperatuur constant te houden.

2°. De requlateur-lamp. Deze bestaat in een vereeniging der twee
lampen 4 en C (reeds boven gezegd pag. 44), bijgevolg een enkele
lamp witmakende. De constructie dezer lamp is een zoodanige, dat
in een gaslamp naar Bunsen (noemen we de buis dezer lamp Z; van het
nieuwe model, namelijk met een schroef, teneinde de hoeveelheid
gas te kunnen regelen) zich bevindt eeu Koperen buis, zij deze
aangegeven door 47, aangebracht in het kegelvormig gedeelte der lamp
(deze buis 47 is voorzien van een kraan, en deze kraan van een hefboom,
om de hoeveelheid beter te kunnen regelen. Deze buis J/ staat in
gemeenschap met de gasleiding, en zoo ook buis Z der oorspron-
kelijke lamp, thans omgezet in een lamp eener andere constructie
(als gevolg van het aanbrengen van buis 47), geheeten regulateur-lamp ,
bijgevolg gas ontvangende door twee buizen Z en M (terwijl is
verondersteld, dat het gas staat onder constanten druk, in geval het
er meer nauwkeurig op aankomt), die #e/ in gemeenschap staan
met de gewone gasleiding van het Laboratorium, maar een eigen
gasmeter hebben.

Verwarming. Bad B (bestemd voor hooge temperaturen) is om-
geven met dikke platen van asbest, behoudens een gedeelte van
den bodem, om plaats te maken voor de vlam. Tusschen de baden
B en D zijn minstens twee zeer dikke platen van asbest te plaat-
sen, de een op weinigen afstand van de andere, en der vereischte
afmetingen, lettende op het groote verschil in temperatuur der twee
baden. Overigens vangt men aan, bad B te verhitten met het
gas door buis Z van de regulateur-lamp (zie boven), terwijl in
denzelfden tijd (beter is het, dit nog vroeger te beginnen; terwijl
wordt verondersteld, dat er een zacht-leiding ter beschikking is)
bad C op zijn temperatuur wordt gebracht. Is de temperatuur van
bad B ongeveer bereikt, dan wordt de regulateur voor hooge tem-
peraturen geregeld (deze bevindt zich in bad C; het luchtreservoir
er van is in B geplaatst, zie pag. 43); en hetzelfde is gedaan
met den tweeden regulateur, voor een temperatuur zij deze van 35°;
zie. vroeger (beter is, zooals reeds werd opgemerkt, dit te doen
voorafgaan). Als dat alles is geordend, dan wordt de kraan van
buis M geopend (vie boven), en regelt men de hooge temperatuur
op de welbekende wijze. Bijgevolg heeft men bij de regulateur-lamp

46 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

te doen met /wee vlammen, die als één zijn geworden, waarvan
de eene vlam constant is en de andere veranderlijk, gevoed door
twee verschillende gasleidingsbuizen (maar, zooals duidelijk is, uit-
mondende in een en dezelfde breede gasleidingsbuis).

Een vacuum-batterij. De batterij is slechts een accumulator van
een gedeeltelijk luchtledig, bestemd, dienst te doen b. v. in een
scheikundig Laboratorium (terwijl de batterij. b.v. is geplaatst
in het souterrain). De batterij bevat vele reservoirs (in gemeen-
schap staande met de vacuum-pomp), het geheel voorzien van tal
van Aranen, ook voor teder reservoir in ’t bijzonder; terwijl de
batterij dient, een gedeeltelijk luchtledig te maken in eenig wille-
keurig vat.

Constructie. De volgende beantwoordt vrij wel aan het gestelde
doel (zie later), anders vatbaar voor vele wijzigingen. In beginsel
bevat de batterij:

1° verscheiden glazen reservoirs;

2° ieder dezer reservoirs is voorzien van een manometer, en van
een buis met een Araan (het geheel is van glas; maar zou ook
kunnen zijn b.v. van koper);

3° ieder reservoir is geplaatst in een houten kist, die het om-
geeft, met uitzondering van het bovengedeelte, waar zich een
manometer bevindt, en daarenboven een buis, voorzien van een kraan.

Deze houten kist moet dienst doen in geval van ongeluk.

4°. Jeder dezer reservoirs staat in gemeenschap, door middel van
een caoutchouc-buis (bevattende een metalen spiraal) met een metalen
geleidingsbuis, voorzien van een (metalen) kraan.

5° Deze metalen buizen ontmoeten elkander groepsgewijze (b.v.
iedere groep van vijf buizen) in een verzamelaarskraan (van metaal)
betrekkelijk groot van omvang, met even zooveel wegen als er buizen
zijn. De hoeveelheid dezer buizen stemt dus overeen met die der
reservoirs (zie onder 4°), terwijl gezegde constructie ten doel heeft,
ieder reservoir buiten werking te kunnen stellen, dat niet in
orde is.

6°. Van ieder dezer verzamelaarskranen (te weten met verschet-
den wegen; zie onder 5°) gaat een enkele metalen geleidingsbmis,
en deze buizen vereenigen zich in een gemeenschappelijke (metalen)
geleidingsbuis voor a/ de groepen van reservoirs (bijgevolg, voor
al de reservoirs, die in functie zijn). Deze laatste geleidingsbuis
(gemeen van al de groepen) komt uit in de werkzaal (zie wat
lager), en is voorzien van twee (metalen) kranen. De buis staat
in gemeenschap met

à 2

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 47

1° de vacuum-pomp, en

2° een geleidingsbuis leidende naar het te vacueeren vat (niet
te verwarren met de reservoirs, waarvan boven sprake is).

Over eenige nadere bijzonderheden. De capaciteit en de stof der
reservoirs (zij deze van glas of van eenig metaal) zijn vatbaar voor
vele wijzigingen. Voor ’toogenblik bedient men zich van glazen
reservoirs, ieder met een inhoud van ongeveer 20 liters, in groe-
pen vereenigd van wijf reservoirs ieder (zie onder 5°), alles te zamen
inhoudende 200 liters, wel te verstaan, om mede te beginnen.
Het gedeeltelijk luchtledig blijft genoegzaam onveranderd gedurende
weken, terwijl de kranen van vet zijn voorzien (met zoo weinig
vet mogelijk, ook met ’t oog op verstopping). Als het geheel goed
wordt onderhouden, dan vereischt de toestel niet veel tijd, en
weinig herstelling. De manometers zijn voorzien van kleme caout-
chouc-ringen bij wijze van contrôle, om met een oogopslag te zien,
of het gedeeltelijk luchtledig zich goed heeft gehouden.

De vacuum-batterij is geplaatst in den kelder van het Laboratorium,
en de luchtpomp in de werkzaal, met elkander vereenigd door een
metalen geleidingsbuis, als gezegd. In den regel werd het gedeelte-
lijk luchtledig van 60 tot 100 mm. der batterij niet overschreden,
en bij gevolg heeft men het gedeeltelijk luchtledig in het lucht-
ledig te maken reservoir (b.v. een vacuum-exsiccator) nog verder
uit te pompen, zij dit b.v. met een lucht-kwikpomp. Men stelt
zich voor, een kwikpomp (of een andere pomp) automatisch te
laten werken, b.v. in beweging gebracht door water als beweeg-
kracht, of zich eenvoudig bedienende van een water-luchtpomp. Een
vacuum-batterij biedt vele voordeelen aan. In de eerste plaats is
een voordeel, om steeds een gedeeltelijk luchtledig tot zijn beschik-
king te kunnen hebben, namelijk met ’t oog op luchtledig te maken
reservoirs (b.v. vacuum-exsiccatoren); de nog overblijvende te ver-
richten arbeid toch vereischt betrekkelijk weinig tijd, hetzij daarbij ge-
bruik makende van een kwik- of water-luchtpomp, enz. Ook is men
oogenblikkelijk gereed, als het luchtledig slechts zeer gedeeltelijk
is te bewerkstelligen; of de vacuum-batterij meer volkomen is inge-
richt.

Over een reserve-reservoir. Bij hetgeen is medegedeeld, wenschte
men nog te voegen, dat het volstrekt noodig is, aan de lucht-
pomp, b.v. een kwik-luchtpomp, een reserve-reservoir te verbinden
(b.v. van 2 of 3 liters), terwijl deze op zijn beurt is vereenigd
met het te ledigen vat (b.v. een vacuum-exsiccator), en het
reserve-reservoir voorzien is van een manometer, en de noodige
kranen. ‘l'usschen deze twee reservoirs bevinden zich drie groote

48 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

V-buizen, een van welke ten deele gevuld is met zwavelzuur (de
twee andere bevatten niets, en doen dienst als beschermingsbuizen,
met toog op het zwavelzuur).

Over de metalen buizen. Deze geleidingsbuizen zijn dusdanig in
te richten, dat zij niet veel webrstand aanbieden, hetgeen zich anders
verhaalt op den tijd, vereischt tot het luchtledig maken, als gevolg
der wrijving, die gansch niet een te veronachtzamen grootheid is.
Dit nu is noodwendig te bereiken door zich te bedienen van buizen
met een betrekkelijk groot lumen, en van kranen (die zich be-
vinden op den door de gassen afteleggen weg) voorzien van be-
trekkelijk breede wegen.

OVERZICHT.

De voortgezette studie der electrolyse van eenige zilverzouten,
vermeerderd met die betreffende de reactie van watersto fhioxyde
tegenover zi/veroæyde, zilverbioxyde, enz., heeft geleid tot ongeveer
de volgende uitkomsten. De studie van zoogenaamd peroxy-azijn-
zuur zilver gaf aanleiding tot eenige opmerkingen met betrekking
tot mierenzuur zilver, glucolzuur zilver en glusaylzuur zilver. Daar-
enboven zal men aantreffen, als in vorige Verhandelingen, eenige
gegevens aangaande de snelheid van ontleding bij gewone tempe-
ratuur (zelfontleding) van peroæy-salpeterzuur zilver en peroay-zwa-
velzuur zilver. Maar het verst strekkende punt is wel, dat de studie
opleverde der reactie van wafterstofbioayde tegenover zilveroayde
(4g, O), in strijd als de erlangde uitkomst is met hetgeen tot
heden werd aangenomen, van af den arbeid van Thénard. Meer
in bijzonderheden, zouden de uitkomsten aldus kunnen worden terug-
gegeven.

1. Aangezien analysen waren te verrichten met betrekkelijk
veel stof, en de opbrengst zeer beperkt is, was het noodig, te trach-
ten deze laatste te vermeerderen. De maximale opbrengst bleef
evenwel ongeveer dezelfde, alleen de gemiddelde opbrengst werd
iets grooter |).

2. Daar een betrekkelijk geringe hoeveelheid stof ter beschik-
king was, werd ook de methode van uitsluiting gevolgd, met ’t oog
op het te analyseeren zilverzout (als afgeleide van het oorspronke-
lijk product), en wel door eenige eigenschappen van dit zout te

*) Zie deze Verhandeling pag. 1—6, 9—25.

OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN. 49

vergelijken met overeenkomstige zouten, te weten van mierenzuur !)
glucolzuur?) en gluoxylzuur®) zilver, die konden ontstaan zijn (in
water onoplosbare zouten, als koolzuur zilver, zuringzuur zilver,
enz., zijn van zelf buiten gesloten).

3. Men was genoodzaakt, de som der opbrengsten te nemen
van verschillende Bereidingen, om genoeg stof te hebben voor een
analyse. De uitkomsten dezer analysen zijn echter niet afdoende,
omdat de beschikbare hoeveelheid stof niet toeliet, elementair-
analyse te doen (daar iedere analyse ongeveer 2 gr. stof vereischt,
vanwege het overheerschende gehalte aan zilver en zuurstof), en dit
is volstrekt noodig. Ook is de kans niet buitengesloten, dat het
aangewende koolzuur zilver, sporen bevatte van natriumnitraat (zie
de Verhandeling met betrekking tot de bereiding), en dientenge-
volge aanleiding gaf tot verwikkelingen *).

4. Eenige wijzigingen zijn gebracht in de inrichting van den
toestel. 5)

5. Opnieuw zijn analysen gedaan van zilverbioxyde, afkomstig
van peroxy-zwavelzuur zilver ®), en tevens van peroxy-azijnzuur zil-
ver ©) dusgenaamd.

6. Henige waarnemingen zijn gedaan met betrekking tot de
ontledingssnelheid van peroxy-zwavelzuur zilver 5), en peroxy-sal-
peterzuur zilver ®).

7. Monochloorazijnzuur zilver aan electrolyse onderworpen,
gaf aan de anode slechts uiterst weinig van een afzetsel, dat geen
ernstige studie toeliet. 10)

8. De electrolyse van seleenzuur zilver gaf een negatieve uit-
komst. 1) Het is waar, de oplosbaarheid van het zout is tamelijk
beperkt, maar er bestaat reden te veronderstellen, dat bij ge-
wone temperatuur geen verbinding kan bestaan, die meer zuurstof
bevat dan het seleniaat (in dit geval Se O, 47), daar hoege-
naamd niets werd afgezet aan de anode.

9. Men is teruggekomen op de structuurformule van zooge-
naamd peroxy-salpeterzuur zilver ©) (3 dg, O,. NO, Ag), en wel
naar aanleiding van een arbeid door Tanatar; terwijl het geheel
ook in verband staat met het vraagstuk betreffende het bestaan van
verbindingen tusschen Fluorium en Zuurstof.

10. Aangezien men de verhouding wilde leeren kennen van
zilverbioxyde (47, O,) tegenover waterstofsuperoxyde (//, O,), werd

5 Len pags Ov. 7) Ley pags Si 7); kerpag: 9 Pi Lepag.: 21; .*) leupag 21:
*y le. pag. 23; 7) le. pag. 24; “) Le. pag. 25; ‘) Le pag. 26; *°). Le: pag. 25;
™) le. pag. 28; °°) lic. pag. 41.

50 OVER DE ELECTROLYSE VAN EENIGE ZILVERZOUTEN.

dit nagegaan 1), maar na te zijn aangevangen met de studie van
zilveroxyde (Ag, O) tegenover hetzelfde agens ?) (te weten ZZ O,);
gevolgd door de studie met koolzuur zilver 3) (CO, Ag), salpeter-
zuur zilver 4) (VO, dg), en peroxy-salpeterzuur zilver 5) (3 Ags Oo.
N O; Ag) tegenover geoxydeerd water (1 O,).

11. De uitkomst der proeven met betrekking tot de wijze, waarop
zilveroxyde 6) (4g, O) zich verhoudt tegenover geoxydeerd water
(H, O,), is bovenal in hooge mate merkwaardig, daar deze niet
overeenkomt met hetgeen algemeen, om zoo te zeggen zonder uit-
zondering, wordt aangenomen. Er werd guautstatief gewerkt, ter-
wijl in hoofdzaak de weg werd gevolgd, in acht genomen bij de
studie van peroxy-salpeterzuur zilver, enz. (zie de Verhandelingen
dienaangaande). Het geoxydeerd water (ZZ O,), waarvan werd uit-
gegaan, was genoegzaam zuiver. De voornaamste uitkomst bestaat
daarin, dat het gewicht van zilveroayde (Ag, O) onveranderd kan
blijven (verondersteld, werkende onder zekere omstandigheden), bij
de reactie met geoxydeerd water (77, O,), zoodat de Vergelijking
sinds Thénard aangenomen, geen reden meer zou hebben van bestaan,
te weten de wel bekende Vergelijking:

AO 0, AGU.

Zelfs kan het zilverbioxyde *) (dy, Oy) als onveranderd blijven,
verondersteld, dat de reactie met geoxydeerd water (ZZ, Oj) onder
zekere omstandigheden plaats heeft.

12. Er is een reactie gegeven 5) voor zelverbioryde (Ag, Oy), be-
staande in de verkleuring met diphenylamine (2 C, H;. H NV}.

13. De vraag werd gesteld, om zooveel mogelijk de verkleuring
te Jiveeren bij oxydatie van diphenylamine, meer bepaald met ge-
oxydeerd water (Z, Os). 9)

14. Men is teruggekomen op de vraag aangaande de structuur-
formule van Cyamelid 10), waarover eenige jaren geleden in het
Recueil werd gehandeld.

15. Een beschrijving is medegedeeld eener gaslamp, uit-
makende een deel van een inrichting voor een gasregulateur, be-
stemd voor hooge temperaturen 1),

16. Er is een beschrijving gegeven van een vacuum-batteri. ™)

Utrecht, October 1902.

1) Le. pag. 29; *) Le. pag. 33; *) Le. pag. 36; *) le. pag. 387; °) Le. pag. 38;
0 Le. pag. 88; 3)‘ic, pag. 295" *) Tc. pag. 885) lp. pag. 835) Lt pag. 44:
11) Le. pag. 43; ‘*) Le. pag. 46.

(15 Maart 1903).

… FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES

1" PARTIE

Focales des coniques et focales de courbes
planes qui n occupent pas de position particulière

PAR

W. A. VERSLUYS.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam
(EERSTE SECTIE)

DEEL VIII N°, 5

AMSTERDAM
JOHANNES MÜLLER.
April 1903.

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AMSTERDAM
JOHANNES MÜLLER
1903

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES
PAR

W.A. VERSLUYS.

CHAPITRE I.
INTRODUCTION.

$ 1. But: Dans les pages suivantes je me propose de déterminer
des formules, qui expriment l’ordre, la classe, le rang et les sin-
gularités de la focale d’une courbe d en function de l’ordre, de
la classe, du rang et des singularités de la courbe donnée 4.

Méthode: On appelle foyer d’une courbe le centre d’une sphère
de rayon nul, doublement tangente à la courbe. La sphère de
rayon nul est un cône: donc le foyer d’une courbe est en même
temps le sommet d’un cône isotrope doublement tangent à la courbe.

On appelle focale d’une courbe le lieu de ses foyers. Assujettir
une sphère à être doublement tangente à une courbe, c’est l'assu-
jettir à deux conditions; l’assujettir à avoir un rayon nul, c’est
l’assujettir à une troisième condition: donc, en général, il existera
un lieu de foyers, qui sera une ligne.

La détermination de la focale d’une courbe est done un cas
spécial du problème plus général suivant: Déterminer le lieu des
sommets des cônes du second degré, passant par une conique quel-
conque c, et doublement tangente à une courbe donnée 4. Le lieu
ainsi déterminé sera la focale, si l’on remplace la conique cy par
le cercle imaginaire de linfini. Par extension, je vais désigner en-
core par focale ce lieu des sommets des cônes passant par la coni-
que cy, et je considère ces sommets encore comme foyers.

2. Pour résoudre le probléme plus général, on considère le
I 5
sommet # d’un cône (#'e,) doublement tangent à la courbe don-
D 1*

4 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

née d, et passant par la conique cy. Soit 7 une génératrice de ce
cône (Fc) passant par un des deux points, où ce cône touche
la courbe donnée 4. Alors le sommet £ est le point de rencontre
de deux droites /. Si le point # décrit la focale, les deux droites
/ décrivent une surface réglée O, dont la focale est une courbe
nodale. Les deux tangentes aux courbes d et « en les points, où
ces deux courbes coupent la droite 7, sont dans le plan tangent
au cône (Fc), le long de la génératrice 7. Soit o le plan tangent
au cône, tout le long de la génératrice 7 et 0° un second plan o
infiniment voisin. Le plan 0° passera par une tangente à la courbe
d et par une tangente à la conique c,, lesquelles seront infiniment
voisines des deux tangentes à ces courbes d et cy, situées dans le
plan o. Si le plan o s'approche du plan o, les deux tangentes,
situées dans ce plan 0’, passent, à la limite, par les points, où le
plan o touche les courbes d et ¢. Donc, la limite vers laquelle
tend la droite d’intersection des plans o et 0° est la droite /, située
dans le plan o. Par conséquent la surface développable, enveloppée
par le plan o, quand ce plan o glisse sur les deux courbes d et
cy, est la surface réglée, formée par les droites /.

Pour résumer: la focale d’une courbe d est une courbe nodale de
la surface développable O, décrite par une droite 7, qui glisse sur
les courbes d et «, de sorte que les tangentes à ces deux courber d et c,
en leurs points de rencontre avec la droite 7, sont dans un même plan o.

Donc, l’étude de la focale est l'étude de cette surface dévelop-
pable O. (voir G. Darboux: Sur une classe remarquable de cour-
bes et de surfaces algébriques, page 19).

$ 3. Notations. Les notations employées sont celles d’ Zruesto
Pascal, Repertorio di Matematiche Superiori, IL Geometria; Ulrico
Hoepli, Milano, 1900.
Je les fait suivre: Soit
n le degré de la courbe gauche;
yr le rang;
h_le nombre des noeuds apparents;
y Je nombre des plans bitangents à la courbe, qu'on peut
mener par un point donné?
f le nombre des points de rebroussement (points stationnaires) ;
IT le nombre des points doubles (noeuds);
v le nombre der tangentes d’inflexion (tangentes, qui ont de
commun avec la courbe, trois points infiniment voisins);
mla classe de la surface développable;
y le nombre des droites, dans un plan quelconque, par cha-

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. )

cune desquelles passent deux plans tangents à la surface
développable ;

æ le nombre des points dans un plan quelconque, par chacun
desquels passent deux génératrices de la développable, ou le
degré de la courbe nodale;

2 le nombre des plan stationnaires, (plans qui ont de commun
avec la courbe gauche, quatre points infiniment voisins);

G le nombre des plans bitangents (tangents à la développable,
suivant deux génératrices non infiniment voisines);

p le nombre des génératrices d’inflexion (par chacune des quel-
les il passe trois plans osculateurs infiniment voisins);

« le nombre des génératrices doubles, qui sont tangentes à la
courbe gauche dans deux points distincts;

A le nombre des génératrices, qui sont à la fois sécantes de la
courbe gauche;

A’ le nombre des plans osculateurs à la courbe gauche qui sont
encore tangents à la courbe;

p le genre de la courbe gauche;

R le rang de la courbe nodale.

Pour ce qui suit, j’emploierai, par exemple, la lettre & pour
indiquer le nombre des plans stationnaires; encore un plan @ sera
un plan stationnair, tandis qu'un point & sera le point, où un
plan @ se trouve être osculateur à la courbe gauche.

Partout où ces symboles se rapportent à la focale je les saulig-
nerai; ainsi 2 indiquera le nombre des points de rebroussement de
la focale et un point /7 sera un noeud de la focale.

Quand les symboles se rapportent à une projection, ces lettres
seront munies d’un exposant.

Pour une courbe plane seront employées les notations suivantes:
u le degré, v la classe, J le nombre des noeuds, x le nombre des
points stationnaire, 7 le nombre des tangentes doubles, ¢ le nombre

des tangentes stationnaires.

$ 4 Généralités. Si l’on veut déterminer les génératrices 7 de
la surface développable O, qui passent par un point @ de la
courbe donnée 4, il faut mener en le point Q une tangente à la
courbe d; cette tangente rencontre deux tangentes à la conique cy.
Si ces droites sont tangentes à la conique en les points P, et P,,
les droites QP, et QP, sont des génératrices /. Par chaque point
de la courbe d, il passe, par conséquent deux génératrices de la

6 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

surface O, ou cette courbe d est une courbe nodale de la déve-
loppable O.

De même, une tangente à la conique cen le point P rencontra,
en général, plusieurs droites, tangentes à la courbe donnée d en
les points Q,, Q, etc. Les droites PQ, PQ, etc. seront des
génératrices / de la développable O. Sur cette développable, la
conique cg sera done une courbe multiple.

La courbe nodale de la développable O consiste, par conséquent,
en la courbe 4, en la courbe ec; et en une courbe résiduaire 7. Cette
dernière sera la courbe focale de la courbe donnée 4. En effet,
par chaque point # de la courbe / passent deux génératrices / et
/,, comme elle est une courbe nodale; si donc on considère le cône
du second degré, qui a pour sommet ce point # et pour courbe
de base la conique ec, sur ce cône seront situées les deux géné-
ratrices / et /, et ce cône sera doublement tangent à la courbe
donnée 4. Les point de contact seront les points MZ, et 47,, où
la courbe d coupe les deux droites / et /, puisque les tangentes
à la courbe 4 en ces point MZ, et 47, sont situées dans les plans
0, qui passent par les génératrices Z et 4, et que ces plans 0
sont des plans tangents du cône (#e,).

$ 5. Si l’on considère le cône (Qe,) dont un point Q, situé
sur la courbe donnée 4, est le sommet et dont la conique cy est
la courbe de base, on remarquera que ce cône contient parmi ses
génératrices deux droites / ($ 4), et que les plans 0, qui passent
par ces génératrices / sont des plans tangents du cône (Qc) le
long de ces droites / Ces plans o étant des plans tangents de la
développable O le long de ces mêmes droites /, contiennent les
tangentes à la focale 7 en les points où cette focale f rencontre
les droites /, done ce cône (Qc) est un cône doublement tangent
à la focale, par conséquent, le sommet Q de ce cône est un foyer
de la focale; il en résulte, que la courbe donnée d est la tocale
de la courbe focale 7. (G. DarBoux: Sur une classe remarquable
etc. page 19).

En déterminant la courbe focale f d’une courbe d on résoud
en même temps le problème de trouver la courbe dont la courbe
donnée d est la courbe focale.

En appliquant le théorème, que la focale de la focale / d’une
courbe 4, est la courbe 4, il faut bien s'assurer que les deux
courbes f et d soient des courbes nodales de la surface O.

Prenons, par exemple, pour la courbe 4 un cercle; alors la
focale est une droite /, passant par le centre du cercle et perpen-

“Ty

~

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES,

diculaire au plan de celui-ci. I] va sans dire que, dans ce cas,
il n'y a pas de réciprocité entre les courbes f et 7, une ligne
droite n’admettant pas de foyers.

Ici le théorème tombe en défaut, la droite / n'étant pas une
courbe nodale de la surface O, mais l’intersection de deux plans
o singuliers (§ 29).

Il y a encore un cas remarquable. Le cône du second degré,
qui passe par la conique c, et dont le sommet est un point Q de
la courbe 4, ou un point # de la focale /, est bitangent à l’arête
de rebroussement a de la surface OQ. Les points de contact sont
les deux points, où les deux droites / qui passent par le sommet
du cône touchent la courbe a. Par conséquent, la focale de la
courbe « consiste en les deux courbes d et 7. Les points de la
courbe a ne sont pas des foyers des courbes 4 ou /; donc, ici
encore il n'y a pas de réciprocité.

Dans le cas que la développable O se décompose en deux déve-
loppables 0° et O”, la focale de la courbe d consiste en la courbe
(intersection s des deux développables 0° et O” et en les courbes
nodales de ces deux surfaces. La courbe 4 est une courbe focale
de la courbe s, mais elle ne Vest évidemment pas des deux cour-
bes nodales, donc, ici encore il n’y pas de réciprocité (voir $ 70).

$ 6. Des projections de la courbe d sur le plan V. Si d'un
point C de la surface O, comme centre de projection on projette
la courbe donnée 4 sur le plan V de la conique cy, la projection
est une courbe 4, tangente à la conique cy en le point, où la
droite 7 passant par le poinr C rencontre la conique cs.

Si le centre de projection C est situé sur Varéte de rebrousse-
ment a de la surface O, la projection d de la courbe d sur le
plan Ÿ, aura un contact de l’ordre deux avec la conique €, en le
point, où la droite 7, qui est tangente à la courbe a en le point
C, rencontre la conique ca.

Si le centre de projection est un point stationnaire (2 de l’arète
de rebroussement a, la projection d de la courbe d sur le plan /
aura un contact de l’ordre trois avec la conique c,; le point de
contact est le point, où la conique ¢, coupe la droite /, tangente
à la courbe a en le point £.

Si le centre de projection est un noeud 77 de l'arête de rebrous-
sement a, la projection d de la courbe 4 sur le plan 7”, aura deux
contacts de l’ordre deux avec la conique cy; les points de contact
sont les points où la conique «, coupe les deux génératrices 7,
qui touchent la courbe « dans le noeud /7.

eo}

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

Si le centre de projection est un point @ de larête de rebrous-
sement a, la projection d de la courbe d sur le plan / devra
avoir une tangente d’inflexion qui sera, en son point de contact
avec la courbe d, également une tangente d'inflexion de la co-
nique cs. La tangente d'inflexion commune sera la droite d’inter-
section des plans / et a.

La conique €, ne possédant pas de tangentes d’inflexion, il
s'ensuit que l’arête de rebroussement a ne possèdera pas de plans
a. Ce raisonnement tombe en défaut, dès que le centre de pro-
jection se trouve dans le plan V de la conique &. On peut donc
énoncer le théorème suivant.

Si larête de rebroussement a de la développable O possède des
plans stationnaires @, les points de contact & de ces plans seront
tous situés dans le plan 7.

Si le centre de projection est un point de la focale, la pro-
jection de la courbe d sur le plan 7 sera bitangente à le conique ca.

Si le centre de projection est un point triple de la surface O
où se coupent trois nappes de la surface O et où passent par con-
séquent trois branches de la focale, la projection de la courbe 4
sur le plan 7 sera tritangente à la conique c,. Tous ces théo-
rèmes tombent en défaut dès qu’on prend le centre de projection
sur la courbe 4, dans le plan V ou sur la surface développable
dont la courbe d est l'arète de rebroussement.

$ 7. Les inverses de ces théorèmes sont également vrais. Ainsi,
pourque la projection d de la courbe d sur le plan V soit tan-
gente, bitangente au tritangente à la conique «,, il faut que le
centre de projection soit situé sur la surface O, sur la focale, ou
que ce soit un point triple de la focale.

Pour que la projection d de la courbe d sur le plan / ait un
contact de l’ordre un, deux on trois avec la conique c,, il faut
que le centre de projection soit situé sur la surface O, sur l’arête
de rebroussement a de la surface O, ou que ce soit un point
stationnaire 6 de la courbe a.

Pour les théorèmes précédents la courbe 4 est supposée n’avoir
pas de position particulière par rapport à la conique c, ou par
rapport au plan /.

Par exemple posons que la courbe d coupe la conique « dans
un point P. Soit + le plan déterminé par les deux tangentes aux
courbes d et « en le point commun P, alors en prenant le centre
de projection dans le plan zr, le point P sera un point de contact de
la projection d et de la conique cy. Donc, en ce cas, le lieu

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 9

des centres de projection pour lesquels la projection d’ de la courbe
d sur le plan V est tangente à la conique c,, consiste en la dé-
veloppable O et en le plan +.

CHAPITRE II.
FOCALES DES COURBES PLANES.

§ 8. Des foyers conjugués. Soit la courbe donnée d une courbe
plane, située dans un plan W. Soit la droite z la droite d’inter-
section des plans W et /. Soient Z et J les points d’intersection
de la droite z avec la conique c,, située dans le plan 7. Soit c,
la projection de la conique c sur le plan W, le centre de pro-
jection étant un foyer / de la courbe 4, alors la conique cs
passera par les points J et J et sera bitangente à la courbe 4.
Soit située dans le plan "une conique c’,, qui passe par les
deux points / et J et qui est bitangente à la courbe 4. Les deux
coniques c, et c forment une courbe du quatrième degré, qui
est la courbe de base d’un faisceau de surfaces du second ordre.
Parmi ces surfaces du second ordre se trouvent deux cônes. Cha-
cun de ces deux cônes passe par la conique c’, et par conséquent
chacun deux est bitangent à la courbe d; ils passent par la coni-
que «, donc le sommet de chacun de ces cônes est un foyer de
la courbe 4 A une conique c’, il correspond, par conséquent,
deux foyers #, et Æ, de la courbe donnée 4. Ces deux foyers
seront dits conjugués.

Théorème. Deux foyers conjugnés /, et #, sont en ligne droite
avec un point fixe Z du plan /, ce point Z étant le pôle de la
droite z relative à la conique cy. ;

Démonstration. Le plan 7,, déterminé par les deux tangentes
aux coniques & et c’y en le point commun J est un plan tangent
à toutes les surfaces du second ordre du faisceau déterminé par
les deux coniques cy et cy. Un plan tangent d’un cône devant
passe par le sommet du cône, ce plan 7, passera par les deux
sommets À, et Fj.

Il en est de même, pour le plan 7,, déterminé par les deux
tangentes aux coniques c, et c’, en le deuxième point commun /.
Les deux sommets seront donc situés sur la droite d’intersection
de ces deux plans 7, cette droite d'intersection passe par le point
d'intersection Z des deux tangentes à la conique «, en les deux

10 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

point s / et J. Le point Zest le pole de la droite 77, ou ce qui
revient au même de la droite z, relative à la conique cy.

Faisons passer un plan quelconque 7 par les deux foyers con-
jugués Æ et Æ,; dans ce plan se trouveront deux génératrices de
chacun des deux cônes (F c) et (5 ©).

Ces quatre génératrices formeront un quadrilatère complet, dont
la droite A, Æ, et les deux droites d’intersection du plan 7 avec
les plans V et W seront les diagonales. Il en résulte que les
deux foyers conjugués Æ et Æ, et les points d’intersection de la
droite #4 avec les plans / et W, forment un système harmonique.

Si la conique « est remplacée par le cercle imaginaire de
l'infini, le point Z sera la direction normale au plan W et on
retrouve le résultat connu, que pour une courbe plane. le plan
de cette courbe est un plan de symétrie de la courbe focale.

Par conséquent, st la courbe d possède des focales planes, le plan
d’une quelconque 7” de ces focales sera perpendiculaire sur le plan
de symétrie JV et la droite d’intersection sera un axe de symétrie
de cette focale /’, ou si le plan d’une focale f” n’est pas perpen-
diculaire sur le plan W, il faut qu'il existe une seconde focale
plane, qui est la figure symétrique de la focale f”, par rapport
au plan W. (§ 70).

De la réciprocité entre les courbes d et /’ (§ 5) il s’ensuit que
la droite intersection du plan W avec le plan de la focale f”
est un axe de symétrie des deux courbes d et /’.

La projection de la focale sur le plan W, du point Z comme
centre de projection, sera une courbe dont le degré est la moitié
du degré de la focale. Le point, où la droite ZA F, rencontre
le plan W, est le point d'intersection des tangentes à la conique
c’, en les points 7 et J, done la projection de la focale sur le
plan W, le point Z étant le centre de projection est le lieu des
poles de la droite z, par rapport aux coniques cs.

Si la conique «, est remplacée par le cercle imaginaire de lin-
fini, les coniques «”, seront des cercles bitangents à la courbe d,
et la projection orthogonale de la focale sur le plan W sera le
lieu des centres des cercles bitangents à la courbe d.

Le cilindre projetant de la focale est le lieu des centres des
sphères bitangentes à la courbe 4.

Soit c, une conique passant par les points 7 et J et tangente
à la courbe d en les points & et &’. Soient 2, et M, les deux
foyers conjugués, correspondant à la coniqe &,. Les deux droites
i,k et PR seront deux génératrices / de la développable O

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. [1

et les plans tangents à la développable, le long de ces généra-
trices A, R et M,R, seront des plans, déterminés par ces droites
et les tangentes à la conique €, en les points Z et 2’. La droite
d’intersection de ces deux plans, tangents aux deux nappes de la
développable © qui passent par le point /,, sera la tangente à la
focale au point 4. Par conséquent, la tangente à la focale en le
point # coupe le plan W dans le point d’intersection des deux
droites tangentes à la conique «’, en les points Z et £2’. Il en est
de même, pour la tangente à la focale en le point #,, ce qui
donne le ¢héoréme: Les tangentes à la focale dans deux points
conjugués À, et /, se rencontrent dans un point du plan W.

Si, donc, on considère la surface développable engendrée par
les tangentes # à la focale, cette développable aura une courbe
nodale plane, située dans le plan WV, et deux plans osculateurs à
la focale en deux foyers conjugués, se coupent suivent une tan-
gente à cette courbe nodale.

9. Des interrections de la foerle avec le plan W. Si de deux
ë ye

fovers conjugués / et #,, l’un s’approche du plan W, l’autre fera
8 1 2

de même. Si le foyer #, arrive dans le plan WV, il coincide avec

le point A et la sécante ZX F, de la focale devient une tangente.
2 loys D

Excepté au cas, que ce point d’intersection du plan WV avec la

focale, soit un point double de la focale; ce qui donne le #éorème:

Les tangentes à la focale en ses points d’intersection avec le
plan W passent par le point fixe 7, pourvu que ces points soient
des points ordinaires de la focale.

Soit # un point ordinaire de la focale situé dans le plan IV,
et #, un foyer infiniment voisin, alors la droite ZA, rencontra la
focale encore une fois dans le foyer Æ conjugué du foyer #5.

Le plan déterminé par les droites ZF, et ZI) aura de
commun avec la focale quatre points consécutifs, savoir: deux sur
la tangente et deux sur la sécante. Ce plan sera donc un plan
stationnaire & de la focale; d’où le ¢héoréme:

Les points d’intersections de la focale d’une courbe plane davec
le plan W de cette courbe d sont des points doubles ou des points &.

Il en résulte, que pourqu’ une courbe / soit la focale d’une
courbe plane il est indispendable qu'il existe un plan, qui coupe

| | Lest ind labl | exist | 11€
a courbe / seulement en des points # ou en des points doubles
| ber, l t l t les points doubl
(des noeuds ou des points stationnaires).

$ 10. De la symétrie de la courbe a. Considérons dans le plan
W une conique c,, passant par les points Z et J et ayant un

12 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

contact d'ordre deux avec le courbe d, on trouve par un raisonne-
ment analogue à celui du §8, que les sommets des deux cônes
du second degré, qui passent par les deux coniques «, et c’, sont
des points M et M de l’arète de rebroussement. On démontre
facilement les théorèmes suivants.

1° Les deux points WM, et Z,, correspondants à une conique
Co, sont en ligne droite avec le point Z; ce point Z et le plan
W sont en proportion harmonique, par rapport aux points Z et Z,,

2°. Les tangentes à l'arète de rebroussement a en les deux
points M et Æ, se rencontrent dans un point du plan .

3°. Les plans osculateurs o en les deux points Æ et A, se
coupent suivant une droite située dans le plan WV.

4°. La section de la développable O par le plan W consiste en
une courbe double et en des génératrices /.

5°. Les points où la courbe a rencontre le plan W sont des
points 2, des points stationnaires 6 ou des noeuds // de la courbe a.

6°. Si l’on remplace la conique c‚ par le cercle imaginaire de
l'infini, le plan W est un plan de symétrie de la courbe a et de
la développable O.

Supposons qu'il existe dans le plan W une droite p et un point
7”, qui possèdent la propriété qu’ une droite quelconque passant par
le point Z rencontre la droite p dans un point P; et la courbe d
dans des couples de points Q; Q;’, les points d’un couple étant
conjugués harmoniques par rapport aux points 7’ et P;. Supposons
encore que le point Z’ se trouve sur la droite z et que la polaire
2’ du point Z’, par rapport a la conique c, rencontre la droite p.
Le plan (pz) et le point Z sont alors en proportion harmonique
avec chaque couple de points Q; Q; et avec chaque couple de
points #,, 2,', intersections de la conique c, avec une droite quel-
conque passant par le point Z’. Si un plan o touche la conique
c et la courbe d respectivement dans les points 2, et Q,, les points
hk’, et Q'; seront les points de contact d'un autre plan o et les
-droites (R; Q;)s (LR, Q',) seront des droites / et se rencontrent dans
un point du plan (pe). Par conséquent, dans le plan (pz) se
trouve une courbe nodale de la surface O, qui est une focale de
la courbe 4.

Si maintenant on remplace la conique ¢, par le cercle imagi-
naire de l’infini on obtient le théorème connu:

Si une courbe d possède un axe de symétrie p, la courbe aura
une focale f° située dans un plan perpendiculaire sur le plan de
la courbe et passant par la droite y; cette droite p est un axe de

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 13

symétrie de la focale 7’ (P. HZ. Schoute: Comptes Rendus, 6 Déc.
1897 ou Verslagen K. A. v: W. 1897—1898.).

Avant d'aborder l’étude de la focale de la courbe plane la plus
générale, je me propose de traiter quelques cas spéciaux plus sim-
ples, afin de nous familiariser avec la méthode employée, et d’étu-
dier [influence sur la focale des points singuliers de la courbe donnée.

CHAPITRE III.
FOCALES DES CONIQUES. |
Section I.

§ 11. Soit à déterminer la focale d’une conique d,, située
dans un plan W, laquelle coupe le plan / de la conique c, dans
les points 4, et 4.

Comme chaque tangente à la conique cy rencontre sur la droite
d’intersection z des deux plans #7 et W, deux tangentes à la
conique d,, la conique c,, de mème que la conique 4,, est une
courbe nodale de la surface O.

Considérons la section de la surface O par le plan 7. La coni-
que c fait partie de cette section. S'il y a hors de cette conique
« encore un point de la section, la génératrice / de la surface O,
qui passe par ce point, est située tout entière dans le plan 7, cette
droite devant encore rencontrer la conique €, et ayant par consé-
quent un deuxième point situé dans le plan 7. Une droite / doit
toujours rencontrer la conique 4,, une droite /, qui est située dans
le plan V doit, par conséquent, passer par un des deux points 4,
et 4. Une droite / située dans le plan 7 sera représentée par /,.

Le plan o, qui est tangent à la surface O le long de la droite
/,, doit, comme tout plan o, être tangent à la conique «,. La
droite d’intersection des plans v et # étant la droite /,, la droite
/, doit être une tangente à la conique cy, Inversément, toute droite
AS, menée par un des points 4, et 4, et tangente à la conique
« en le point # est une génératrice /,, puisqu’ elle rencontre les
deux coniques dans les points 4 et S et que les tangentes aux
coniques en ces deux points se rencontrent (dans le point 4).

Toute la section de la surface O par le plan / se compose de
la conique €, laquelle, étant une courbe nodale, doit compter
double, et des quatre droites /,, qui sont des génératrices ordi-

14 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

naires de la surface O et ne comptent pas double, puisque le plan
V west pas tangent le long d'elles à la surface O. Le plan o,
tangent le long d’une droite /,, est le plan déterminé par la droite
/,, et par la tangente à la conique d, en le point 4 de la droite /,.

Le section est donc du degré 2 X 2 +4 X 1=8, ou bien: 7 = 8.

Le plan V n’est pas un plan o, parce que un plan o doit
toucher à la conique d,, et le plan / coupe la conique 4, dans
les points 4, et 4.

De même le plan W n’est pas un plan o et le plan WV coupe
la développable O suivant une courbe du degré huit, qui consiste
en la conique d, et en quatre droites /,, passant par les points J et J.

$ 12. Détermination de m. Pour déterminer m, la classe de la
développable O, il faut chercher le nombre de plans o, qui passent
par un point quelconque P de l’espace. Un plan o est tangent
aux coniques d, et &, la droite d’intersection du plan V avec un
plan o passant par le point P sera tangente à la conique c, et
aussi à la conique d,, qui est la projection sur le plan V de la
conique d,, le centre de projection étant le point P. Et inversé-
ment, tout plan passant par le point P et une tangente commune
des deux coniques c, et d, sera un plan o passant par le point
P. Le nombre de tangentes communes aux deux coniques étant
quatre, il passe par chaque point de l’espace quatre plans o, ou
bien tm

$ 13. Délermination de a: nombre des plans stationnaires de
la développable O.

Si un plan o coïncide avec un plan consécutif, ce plan o sera
un plan ag. Soit P un point de la conique c, et 7 la tangente à
la conique c, en le point P. Les plans qui passent par la droite
{et une des deux génératrices et 7, qui se rencontrent dans le
point P, seront deux plans o. Le plan 0, infiniment voisin d’un
de ces deux plans o, passera, en général, par la tangente / de
la conique ¢, consécutive à la tangente /.

Si le plan o coincide avec le plan o’, le plan o, passera aussi
par la tangente # et devra donc être le plan / des deux tangentes
fet ¢. Le plan V n’est pas un plan o, donc si deux plans o
consécutifs coincident, ces deux plans doivent passer par la même
tangente # à la conique c,, et les deux plans consécutifs seront
les plans (44) et (44). Leur intersections avec le plan W étant
deux droites coïncidentes, chacune étant une tangente à la conique
dy, i faudrait que la conique 4, eût une tangente stationnaire ou

Ds

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 15

il faudrait que le plan @ coincide avec le plan W. Or, une coni-
que ne présentant pas cette singularité et son plan n'étant pas un
plan o, deux plans consécutifs ne coincident pas.

Donc: a = 0.

§ 14. Délermination de H: nombre des noeuds de l’arête de
rebroussement.

Si l’on projette, d'un noeud 77 de l’arête de rebroussement a,
comme centre de projection, la conique 4, sur le plan V la pro-
jection d, devrait avoir avec la conique c,, dans deux points dis-
tincts, un contact de l’ordre deux. Les coniques 4, et cy auraient
alors six points communs, donc elles devraient coïncider. Comme
les deux coniques &, et d, coupent la droite d’intersection z des plans
V et W dans des points distincts, les coniques d et c ne pour-
ront pas coincider, par conséquent, il ne peut pas exister de point

H; donc: H— 0.

$ 15. Détermination de G: nombre de plans doubles de la dé-
veloppable 0.

Pour obtenir un plan G, il faut que deux plans 0, non consé-
cutifs, coincident. Deux plans o tangents à la conique «, en les
points P et Q ne peuvent jamais coincider, les tangentes à la
conique €, en ces points P et Q ne coincident pas, excepté le
cas, où le plan / soit un plan o, ce qu'il n’est pas.

Si donc deux plans o coincident, ces plans devront passer par
une même tangente à la conique cy.

Par le point P,, où la droite ¢ est tangente à la conique c,
il passe deux génératrices Z et /,. Les plans (¢ Z) et (¢ J)
seront les deux plans o qui passent par la tangente /; si ces deux
plans coincident, les deux tangentes à la conique 4, , en les points,
où cette conique rencontre les droites Z et /, devront coincider.
Comme i! n’existe pas de droite bitangente à une conique, les deux
plans o, passant par la droite ¢, ne pourront coincider. Il n’est
pas nécessaire que les deux tangentes à la courbe 4 coincident, ou
que la courbe 4 possède une bitangente, si le plan G coïncide
avec le plan W. Comme le plan W n’est pas un plan o ce plan
W ne peut pas être un plan G.

Il se peut encore que les deux tangentes à la courbe d en les
points où elle rencontre les droites 7, et /, coincident si ces deux
droites passent par le même point de la courbe 4 Le point de
rencontre des droites i, tb étant le point P,, il faudrait que la

courbe 4 passe par le point P,, ou bien il faudrait que les courbes

16 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

c, et d se rencontrent. Cette position particulière a été exclu. Par
conséquent: G = 0.

§ 16. Détermination de v: nombre des droites d’inflexion, ou
bien, nombre de fois que deux droites 7 consécutives coincident.
Deux droites 7 consécutives passent, soit par deux points consécutifs,
soit par un même point de la conique cy. Si deux droites consé-
cutifs 7, passant par deux points consécutifs de la conique co,
coincident, la droite v, qu’elles forment, passera par ces deux
points consécutifs et devra être une tangente à la conique c,, donc
la droite v sera une droite /,. Une droite est une génératrice
double de la développable O, tandis que les plans 0, tangents à
la développable le long de cette droite v coincident. Pour qu’une
droite 7, soit une droite v il faut donc, qu’une droite /, soit une
droite double et que ses deux plans tangents o coincident.

Posons que les deux droites / consécutives, qui en coïncidant for-
ment une droite v, passent par un même point P de la conique
Co; les deux droites / passent par deux points consécutifs de la
courbe d. La droite v passe par ces deux points consécutifs de la
courbe 4, donc elle sera une tangente à la courbe 4, ou elle devra
passer par un point stationnaire de la courbe 4.

Quand la courbe d est une conique d,, la courbe d ne possède
pas de point stationnaire et les droites /, et /, ne sont pas de
droites doubles; la surface O ne possédant pas de droites v, v = 0.

$ 17. Détermination de w: nombre des génératrices doubles de:
la surface O.

Par un raisonnement analogue a celui du paragraphe précédent
ou trouve sans aucune diffiuclté que, pour que la surface O puisse
avoir une génératrice double w, il faut qu’une des droites 7, ou
/,, soit une droite double, ou que la courbe 4 possède un noeud.
Maintenant que la courbe d est une conique 4,, qui ne possède
jamais de noeud, les génêratrices 7, et 7, sont des droites simples;
donc w = 0.

§ 18. Maintenant que sont connues les quantités:
r= Bone Alte =, = ae Or Er EE 10
on peut au moyen des formules de Cayley-Plücker déterminer les
nombres, 2, @, 4, 9, y, B, p et R; voir: W. Pascal. Repertorio
Il. Geometria. pages 321, 322, ou Salmon, Geometry of three
dimensions, fourth edition, pages 293— 295. Si dans la suite

hetÂ

J'aurai à renvoyer à ces deux ouvrages je les indiquerai par la

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. £7

notation: #. Pascal II p. 321—322 et Salmon 3 D p. 293—295.
Pour ce qui est de l'usage de Salmon il faut faire attention à ce
que j'ai employé une notation un peu différente, celle de Pascal,
qui met les m pour les ~ et inversement et remplace les y par les À.

Ainsi on obtient les valeurs suivantes:
eo PS = 16,7 — 16, k= 38) 9 = 2,9 =— lL R= 8;

$ 19. Des intersections de l'aréle de rebroussement avec le
plan V. Comme n — 12 l’arête de rebroussement a est une courbe
du degré douze. Pour contrôler les résultats obtenus, déterminons
les points d’intersection de l’arête de rebroussement a avec le plan /.

D'ailleurs il sera toujours utile de connaître la nature de ces
points, puisque, si l’on remplace la conique «, par le cercle imagi-
naire de l'infini, le plan / devient le plan de l'infini et ces points
(intersection seront les points à l'infini de la courbe a.

Ces points d’intersection seront situés sur la conique ¢, et sur
les quatre droites /,.

Le point où une droite / est tangente a l’arête de rebrousse-
ment est la limite du point d’intersection de la droite / avec un
plan ov, situé à une distance infiniment voisine, si ce plan o
s'approche de la droite /. Par conséquent, le point où la droite /, est
tangente a l’arête de rebroussement a sera la limite vers laquelle tend
le point d’intersection de la droite /, avec un plan o passant par une
tangente ¢ de la conique c, consécutive à la tangente /,, si cette
tangente ¢ tend vers la tangente /,. Le point d’intersection de la
droite /, avec ce plan o est le point où la droite /, rencontre la
tangente ¢. La limite vers laquelle tend Vintersection de ces deux
tangentes sera le point #, où la droite /, est tangente à la conique
Ca. Par conséquent, les quatre points A, où les quatre droites /,
sont tangentes à la conique «, sont des points de l’arête de rebrous-
sement a. Un point S doit compter pour deux intersections de la
courbe a avec le plan J’, le plan / passant par la tangente /, à la courbe
a en les points S, et ne coincidant pas avec le plan osculateur v
de la courbe a en ce point S. En effet, ce plan osculateur o est
déterminé par la droite /, et par la tangente à la courbe 4, en le
point 4 où la droite /, rencontre la courbe 4,. Pour déterminer les
points de l’arête de rebroussement a, situés sur la conique €, , il faut
chercher les points P, où une des deux droites /, qui y passent,
rencontre une droite / consécutive; done il faut déterminer les
points P de la conique ¢,, pour lesquels les deux droites /, qui
y passent, sont deux génératrices consécutives. Pour cela, il faut
que ces deux droites / passent par deux points consécutifs de la

Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (4 Sectie) Dl. VIII. Dry

18 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

courbe d,. On obtient les deux points Q, et Q, de la conique
d,, par lesquels passent les deux droites / qui se rencontrent au
point P de la conique c, de la manière suivante. Soit Z le point
où la tangente à la conique «, en le point P rencontre la droite
d'intersection z des plans / et W. Si l’on mène de ce point &
les deux tangentes à la courbe d,, les deux points de contact sont
les points Q, et Q,. Ces deux points coincident uniquement si
le point À est sur la conique d,, done si le point Z coincide avec
un des deux poits 4; alors le point P coincide avec un des quatre
points #. Donc, les seuls points, où l’arête de rebroussement a
rencontre le plan VY, sont les quatre points 8, qui, par conséquent
doivent compter pour trois intersections chacun. Au paragraphe
précédent nous avons trouvé, que ces points comptent pour deux
intersections chacun.

$ 20. Pour enlever cette contradiction, remarquons qu’ un point
S pourrait encore compter pour trois intersections de la courbe a
avec le plan #7, sans être un point, où le plan // est osculateur,
si ce point S est un point double de Varéte de rebroussement a.
Un point double de l’arête de rebroussement est, de la dévelop-
pable O, un point multiple de l’ordre trois ou quatre, selon que
le point double de l’arète de rebroussement est un point station-
naire @ ou un noeud 77. Les points S devront donc être des points
multiples de lordre trois ou quatre de la surface QO. Tous les
points de la conique c,, étant des points doubles, il faut chercher,
sil y a sur la conique c, des points singuliers d'une multiplicité
plus grande. Par chaque point de la conique €, , il passe deux
génératrices /, et /,; par un point singulier 4S’, il passe encore
une troisième génératrice /,. Cette génératrice /, appartient à un
autre, point de la conique «,, donc elle doit être située dans le
plan V. Les seules droites /, situées dans le plan 7 sont les
quatre droites /,, qui sont tangentes à la conique «, en les quatre
points S. Une droite /,, étant tangente à la conique c, en le
point 8, passe encore par un point infiniment voisin du point #!
Par ce point infiniment voisin du point J’, il passe, par conséquent,
trois droites /, done ce point infiniment voisin du point S est un
point singulier sur la conique cg.

On peut s'assurer d’une autre manière que les points # sont
des points triples de la surface O. En effet, par un point #7, il
passe trois branches de la courbe d’insection de la surface O avec
le plan #, savoir la conique c,, qu'il faut compter double et la
droite /,. Le plan #7, n'étant pas un plan o, n’est pas tangent à

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 19

une des nappes de la surface O, qui passent par le point S, par
conséquent, les trois branches d’intersection proviennent de trois
nappes différentes de la surface O. Par le point S il passe, par
conséquent, trois nappes de la développable O, ou bien le point
S est un point triple de la surface OQ.

$ 21. Pour démontrer qu'un point # est un point stationnaire
B de l’arête de rebroussement a, remarquons que la droite /,, qui
est tangente à la conique «, en le point S, rencontre la courbe
d,, done elle rencontre deux tangentes consécutives à la conique
d,. Par conséquent, par la droite /, il passe deux plans tangents

aux deux coniques c et d, à la fois, ou par la droite /, il passe
deux plans o consecutifs. Soit / une tangente à la conique c, infi-
niment voisine de la tangente /,, cette tangente rencontre deux
tangentes à la conique d,, qui sont infiniment voisines des deux
tangentes à la conique d,, qui rencontrent la droite /,. Par la tan-
gente ¢ il passe, par conséquent, deux plans o encore. Par le point
(intersection des droites /, et 4, il passe, par conséquent, quatre
plans o, qui passent par quatre tangentes consécutives à la conique
d, et par deux tangentes consécutives à la conique c,, lesquels
seront donc quatre plans o consécutifs. La limite vers laquelle
tend le point d’intersection des droites / et /,, si la droite ¢ s’ap-
proche de la droite /,, est le point #, done le point S’ est un
point stationnaire (2.

Un point # étant un point stationnaire (2 de la courbe a, et la
tangente 7, à la coube a, en ce point # étant située dans le plan
V, un point S compte pour trois intersections de la courbe a avec
le plan 7. Comme il y a quatre points #, la courbe a rencontre
le plan 7 dans douze points.

On démontre de la même manière que les douze points d’inter-
section de l’arête de rebroussement a avec le plan W, seront les
quatre points de contact des droites /,, avec la conique d,, qui
sont également des points stationnaires 2 et qui comptent chacun
pour trois intersections.

Il est facile de voir, qu'on démontre de la même manière le

[LE]

théorème général.

Si une tangente à l’une des courbes d ou ec, rencontre l’autre
courbe, cette tangente sera une génératrice / et le point de contact
est un point stationnaire de l’arête de rebroussement a.

§ 22. La focale se décompose en deux coniques. x étant huit ($ 18)
D 2*

20 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

la courbe nodale est une courbe du degré huit. Les deux coniques
c et d, faisant partie de la courbe nodale, il reste quatre pour le
degré de la courbe focale. RA étant huit, le rang de la courbe
nodale est huit, le rang de chacune des deux coniques nodales €,
et d,, étant deux, il reste quatre pour le rang de la courbe focale.

Il n’existe pas de courbe gauche du quatrième degré, dont le
rang soit quatre, done la focale f doit se décomposer ou être une
courbe plane.

La focale f doit rencontrer le plan // dans quatre points; ces
points seront des noeuds de la courbe d’intersection du plan J”
avec la surface O et inversement tous les points doubles de la
courbe d’intersection seront des points des courbes doubles de la
développable O, le plan de section 7/7 n'étant pas un plan tangent
o de la surface O.

La courbe d’intersection consiste en la conique c, et en les
quatre droites /, Les quatre droites /, se rencontrent dans six
points; deux de ces six points sont les deux points 4 situés sur
la conique d,, les quatre autres points d’intersection seront sur
la focale. Les points S sont encore des points multiples de la
section, mais ces points multiples sont situés sur la courbe a. Le
plan 7 coupe, par conséquent, la focale dans quatre points, qui
doivent compter, pour une intersection chacune, la tangente à la
focale en un de ces points, étant la droite d’intersection des deux
plans o qui passent par les deux droites /,, dont ce point est l’in-
tersection. Cette tangente n’est pas située dans le plan donc le
focale coupe le plan 7 et n’est pas tangente au plan /. Ces quatre
points sont des points ordinaires de la focale puisque par chaque
point il ne passe que deux nappes de la surface O qui ne se
touchent pas.

De même la focale coupe le plan W dans quatre points, qui
sont des points ordinaires de la focale, savoir les quatre points,
où les deux droites /, qui passent par le point / rencontrent les
deux autres passant par le point /. Ces quatre points étant des
points ordinaires de la focale sont des points @ (§9); par consé-
quent, la focale f ne saurait se décomposer en une droite et une
cubique gauche; elle ne saurait se décomposer non plus en une
droite et une cubique plane, puisque des quatre points d’intersec-
tion des quatre droites /,, jamais trois ne seront en ligne droite;
à plus forte raison la focale ne peut pas être une courbe plane du
quatrième degré.

L’unique possibilité qui reste est que la focale se décompose en
deux coniques, dont aucune se décompose en deux droites, puisque

;

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 21

les seuls droites qui sont situées sur une surface développable O

4 4 Li x Pd P .
sont les génératrices et la surface O ne possède pas des génératri-
ces doubles puisque w = 0.

§ 23. Que la focale consiste en deux coniques, se démontre
encore de la manière suivante. Considérons une conique c’, située
dans le plan WW, passant par les deux points Z et J et qui est
doublement tangente à la conique d,. Les deux coniqnes 4, et c
déterminent un faisceau de coniques, les points d’intersection des coniques
de ce faisceau, avec le droite z forment une involution, dont les points
A,, À, et I, J sont deux couples de points. La corde de contact
des deux coniques comptée deux fois, est une conique du faisceau ;
cette conique coupe la droite z dans deux points coincidents, par
conséquent, cette corde de contact passe par un des deux points
doubles D et D’ de Vinvolution. Par conséquent, il y aura deux
séries de coniques cs, pour les coniques de l’une des deux séries,
la corde de contact avec la conique 4, passe par le point D,
pour ce qui est des coniques de l’autre série la corde de contact
passe par le point JD’. Les points D et D'° forment un système
harmonique avec les points Z et J, de même qu'avec les points
A, et 4.

Le plan 7 déterminé par les droites polaires du pôle 2, par
rapport aux coniques & et c’, est le plan polaire du pôle D par
rapport à toutes les surfaces du second degré, qui passent par ces
deux coniques. Par conséquent, ce plan zr passe par les sommets
WH, et Æ,, des deux cônes de ce faisceau de surfaces du second
degré, il en résulte que la droite Z#, Æ, rencontre la polaire 4
du point D par rapport à la conique c’,. Cette droite 4 coincide
avec la polaire du pôle D par rapport à la conique d,; donc la
droite ZH, #, rencontre la polaire d du point D par rapport à la
conique d,. Ou bien les foyers correspondant aux coniques cs,
pour lesquelles la corde de contact passe par le point J, sont
situés dans un plan (74); ce plan passe par le point 2”. |

Le lieu des foyers, situés dans ce plan est une conique, toute
droite passant par le point Z coupant ce lieu en deux points, et
ce point Z n'étant pas lui même un foyer.

Par conséquent, la focale consiste en deux coniques, l’une située
dans le plan (Zd), l’autre, dans le plan (79); d’ étant la
polaire du point 2° par rapport à la conique ds.

$ 24. Une troisième manière de démontrer que la focale /
consiste en deux coniques, est la suivante. Par un point quel-

22 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

conque /7 de la droite z on peut mener deux droites tangentes à
la conique « en les points P, et P,, ainsi que deux droites tan-
gentes a la conique d, en les points Q, et Q,.

Les quatre droites P, Q,, P, Q,, P, Q,; P,-Q,, seront des
droites /. En général, ces quatre droites 7 ne seront pas dans un
même plan. Ces quatre droites / seront dans un même plan si les
deux cordes de contact P, P, et Q, Q, se rencontrent. Pour cela,
il faut que les deux cordes de contact passent par un mème point
de la droite z. Pour que cela arrive, la condition nécessaire et
suffisante est que le point / soit le conjugué harmonique du même
point par rapport aux deux couples de points J, J et 4, 4».

Il faut done que le point / soit un des points dubles D ou 2
‚de l’involution, détérminée par les deux couples de points 7, /
et A,, Ab.

Menons par le point D les droites tangentes aux coniques €, et
d, en les points P,, P, et Q,, Q,. Les droites P, Py et Q, Q,
passent par le point D’: le plan (P; P,Q; Q,)—7 est un
plan dans lequel se trouvent quatre droites /, savoir P, Q,,
P, ®, P, Q,,P, Q. Ces quatre droites se coupent en six
points, savoir les points P,, P,, Q,, Q et deux autres 2, A.
Les points 2, 2, sont des points de la focale / puisque par chacun
deux il passe deux droites 7. Sur la droite P, P, se trouvent deux
points où se rencontrent deux droites /,, sur la droite Q, Q, se
trouvent deux points de rencontre de deux droites /,,. Dans ce
plan 7 se trouvent, par conséquent, six points de la focale. De
même, dans le plan 7’, déterminé par les polaires du point 2”,
par rapport, aux coniques d, et «, se trouvent six foyers. La
focale f qui est du dégré quatre doit done se composer de deux
courbes planes, qui seront des coniques, tout ce qu’on peut démon-
trer du plan + étant encore vrai pour le plan zr’.

Il se voit aisément que les quatre plans V, W, m et 7 for-
ment un tétraèdre, que dans chaque face de ce tétraèdre se trouve
une conique nodale de la surface et que les trois arêtes dans
chaque face forment un triangle autopolaire par rapport à la coni-
que dans cette face. Si on remplace la conique c, par le cercle
imaginaire de l'infini, les deux plans 7 et 7’ seront les deux plans
de symétrie de la conique d,.

§ 25. Les polaires réciproques des deux coniques c, et d, sont
deux cônes ©, et D,, la polaire réciproque de la développable O,
lieu des plans tangents aux coniques co et dj à la fois, est la
courbe d intersection c, des deux cônes. Par cette courbe d’inter-

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 23

section €, passent encore deux cônes du second degré, de manière
que sur chaque génératrice d’un de ces cônes se trouvent deux
points de la courbe d’intersection c,. Les polaires réciproques de
ces deux cônes seront deux coniques et par chaque tangente à une
de ces coniques passeront deux plans tangents o de la développable
O, par conséquent, ces coniques seront des courbes nodales de la
surface O. Comme le lieu des plans bitangents de la courbe c,
consiste en les quatre cônes du second degré, la courbe nodale
de la surface O consistera en les quatre coniques, ce qui démontre
encore une fois que la focale de la conique 4, consiste en deux
coniques.

De la méme maniére on pourrait trouver la courbe nodale et,
par conséquent, la focale aussi, de la courbe donnée d, en déter-
minant la développable, lieu des plans bitangents de la courbe
d’intersection d’un cône du second degré avec la développable qui
est la polaire réciproque de la courbe d, considérée comme lieu
de ses plans tangents.

Section II.
POSITIONS PARTICULIÈRES DE LA CONIQUE da.

$ 26. La conique d, touche la droite z en le point A, la droite
z étant la droite d'intersection des deux plans V et W dans lesquels
sont situées les deux coniques.

La conique c, est une courbe simple de la surface OQ, chaque
tangente à la conique c, rencontre, il est vrai deux tangentes à la
conique d,, mais la droite z est toujours une de ces tangentes.
Le plan V est done pour chaque point de la conique c, l’un des
deux plans 0, qui passent par ce point; quand ou fait abstraction
de ce plan o singulier, il ne passe par chaque point de la conique
& qu'un seul plan o. Menons du point 4 les deux tangentes 7,
à la conique ¢,; soient 8 et S, les deux points de contact. Alors,
pour un point S aussi le deuxième plan o coincide avec le plan
V. Le plan Vest, par conséquent, un plan o double. La dévelop-
pable O est tangent a ce plan V le long des droites AS, et
AS. Lintersection du plan V avec la développable se compose de
la conique c,, qui est une courbe simple, et des deux droites J,,
qui doiveut compter double, done:

r=2+9X2—6.

24 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

L’intersection de la développable O avec le plan W consiste en
la conique d,, qui doit compter double, comme elle est une courbe
nodale et en deux droites /,,, savoir les deux tangentes, autres que
la droite z, qu'on peut mener à la conique d, des points J et J.
La section est encore du degré 2 X 2 +2 X 1 — 6.

On trouve facilement les valeurs suivantes:

mh, 2 = 0, oe — eee |.
et on en déduit au moyen des formules de Cayley-Pliücker.
gt, hj =, PEAR EN eee

Les points d’intersection de l’arète de rebroussement a avec le
plan / sont les deux points # qui comptent chacun pour trois,
le plan osculateur o en un point # étant le plan 7.

Les points d’intersection du plan W avec l’arête de rebrousse-
ment a sont les deux points de contact des deux droites /, avec
la conique d,. Ces points sont des points stationnaires, dont la
tangente est dans le plan WV, par conséquent, ils comptent pour
trois intersections chacun. ($ 21).

æ — 4. La courbe nodale est de l’ordre quatre, la conique 4,
en fait partie, par conséquent le degré de la focale est deux. La
focale f doit rencontrer le plan W dans deux points, ces points,
de rencontre sont: le point d’intersection des deux droites /,,,
et le point 4. Le point A est situé sur la focale, parce que
le point 4 est le point de contact des deux nappes de la surface
O qui sont tangentes au plan V le long des deux droites /,.
Ce point 4 est, par conséquent, un noeud de la courbe nodale.
Par le point 4 doivent passer deux branches de la courbe nodale,
Pune est la courbe d,, l’autre branche doit faire partie de la
focale. Les tangentes aux deux branches de la courbe nodale, sont
situées dans le plan tangent commun des deux nappes de la sur-
face O. Par conséquent, la focale est tangente au plan / en le
point 4.

Par conséquent: la focale d’une parabole est une parabole.

§ 27. La conique d, est tangente au plan V en le point I.
Si le point de contact 4 (626) est extérieur à la conique c, les
deux droites /, sont réelles et le plan VY est un plan bitangent
proprement dit. Si le point de contact 4 est intérieur à la co-
nique ec, les deux droites de contact 7, sont imaginaires; donc le
plan bitangent / est un plan double isolé.

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 25

A la position intermédiaire, donc si le point 4 est sur la co-
nique c,, le plan bitangent doit devenir un plan stationnaire a.

Pour Vétude des focales des courbes réelles ce cas n’a aucune
importance, puisque si la conique d, rencontre la conique c, dans
un seul point, la conique 4, deviendra imaginaire, aussitôt que
la conique ec, devient le cercle imaginaire de l'infini.
~ La section du plan V avec la surface OQ consiste en la conique
&, qui est une courbe simple et en la droite tangente /, à la
conique & en le point Z. Le plan V est un plan 2 donc la droite
7, doit compter trois fois.

L'intersection du plan avec la surface V consiste en la conique
d, qui doit compter double et en la tangente /,, à la conique d,,
qui passe par le point /. Les deux sections étant du degré
Binden == 5!

Le plan / étant un plan stationnaire: a = 1.

On trouve facilement:

DO Ge OS ed.
Alors par les formules de Cayley-Phicker on trouve:
D le) aD di Di. n 0.

Les quatre intersections de l’arête de rebroussement a avec le
plan VY se confondent dans le point 7, parce que le plan V est
un plan stationnaire tangent en le point J.

L’aréte de rebroussement rencontre le plan W, une fois au
point J et trois fois au point de contact de la droite /,, avec la
conique d,; ce dernier point étant un point stationnaire de la
courbe «, doit compter pour trois intersections. ($ 21).

æ — ? et la conique d, étant une courbe nodale, il n’y a pas
de focale. On peut encore voir, de la manière suivante, qu'il n’y
a pas de focale. La projection 7, de la conique 4, sur le plan
V, coupera toujours la courbe c,, donc cette conique d', ne pourra
jamais être bitangente à la conique c,, quelque soit le point qu'on
choisit pour centre de projection.

$ 28. Sot la droite d'intersectton z des plans V et W une
tangente commune des coniques ce, et d,. Les points de contact sont
les points Z et 4. Si la conique c, est remplacée par le cercle
imaginaire de l'infini, le plan # est un plan isotrope, donc la

26 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

conique d, devient imaginaire. Pour les focales des courbes réelles
ce cas est dénué d'intérêt,

Je ne le considère que, parce que nous avons vu au § 16
qu'une tangente commune pourrait être une droite d'inflexion #7
de la surface O. |

Tout plan passant par la droite z est un plan o, donc la droite
z est une droite singulière /, mais la droite z n’est pas une géné-
ratrice de la surface O, ainsi qu'on peut le voir en déterminant
les droites 7 qui passent par un point infiniment voisin d'un des
points Z ou A.

La section de la surface OQ par le plan / consiste en la conique
Cy, qui est une courbe simple et en la droite /,, qui est une tan-
gente à la courbe «, qu’on peut mener par le point 4. Le plan
V est tangent à la développable O le long de cette droite Z,; donc
cette droite doit compter double. La section de la développable O
par le plan W consiste en la conique d,, qui est une courbe simple
et en la tangente /,, à la conique d,, qui passe par le point J et
qui est une droite de contact. Les deux sections étant du degré
quatre: 7 = 4.

On trouve x = 3; donc la surface O est une développable dont
l’arête de rebroussement est une cubique gauche.

Cette développable ne présentant pas de courbe nodale, il n’y a
pas de focale non plus; résultat qui était à prévoir puisque les
coniques #, et « ayant toujours la tangente commune z, elles ne
pourront plus ètre bitangentes.

§ 29. Supposons que la conique d, passe par les deux points
I et J de la conique cy. La section de la surface O par le plan
V est la conique «, qui est une courbe nodale.

La section de la surface O par le plan W est la conique d,,
qui est encore une courbe nodale. Les deux sections étant du
degré quatre: + = 4.

On trouve facilement:

eg =) ee es

Les plans tangents aux deux coniques en les points 7 et / sont
des plans bitangents. En effet, si l’on mène d’un point À de la
droite z les deux droites tangentes à la conique «, en les points
Q, et Q,, et les deux droites tangentes à la conique d, en les points
P, et Py, les deux cordes de contact P, P, et Q, Q passeront
par le point de la droite +, qui est en proportion harmonique avec
le point Æ par rapport aux points Z et J. Par conséquent, ces

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 27

quatre points P,, Py, Q,, @, sont dans un plan. Il en est de
même des quatre droites 7, P, Q,, P, Q,, Py Q,, Po Q..

Si le point & coincide avec le point 7, les deux cordes de con-
tact deviendront les deux tangentes en 7, et les quatre droites /
coincident deux à deux, la droite P, Q, avec la droite P, Q,,
et la droite P, Q, avec la droite P, Q,. Dans le plan tangent aux
deux coniques en le point 7 se trouvent, par conséquent, deux
droites / le long desquelles ce plan est tangent à la développable,
ou bien, ce plan est un plan bitangent. Il en est de même pour
le plan tangent aux deux coniques c, et d, en le point J.

Pour les autres singularités on trouve les valeurs suivantes:

= e052 =A, Y= Op = — 8 4 +H = 10,9 — — 1.

n — 0, done, il n'y a pas d’arête de rebroussement.

Les formules de ?/ücker appliquées à la projection de l’aréte de
rebroussement n'ont plus aucune signification; donc; les singulari-
tés qu'on tire de ces formules n’ont plus aucune valeur. Les va-
leurs des singularités qu'on détermine en appliquant à une section
plane de la surface O, les formules de Picker sont bonnes. Donc
les valeurs

T2 n= Ue œ— 4, p—=— 1,

subsistent: il s'ensuit que la surface O se décompose en deux cônes
du second degré, et qu'il n’y a pas de focale. Cependant, il y a
une focale, savoir, la droite d’intersection des deux plans tangents
aux deux coniques en les points 7 et /. Sur cette droite se trou-
vent encore deux foyers singuliers savoir les deux sommets des cônes
qui forment ensemble la surface O0,

Si les deux points de rencontre 7 et J coincident, la surface
O est un cone du second degré et tous les points de ce còne sont
des foyers.

CHAPITTRE IV.
FOCALE DE LA CUBIQUE PLANE SANS POINTS SINGULIERS.
§ 30. Des intersections de la surface O avec les plans V et W.

Soit la courbe d une cubique plane 4, sans points singuliers,
située dans le plan W. Les points de rencontre 4, 4, et 4,

12
ID

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

avec le plan V sont des points ordinaires de la courbe 4, et ne
coincident pas avec les points d’intersection Z et J de la conique
« avec le plan W. Le plan V n’est pas tangent à la courbe 4,
et, par conséquent, ce n’est pas un plan o.

L'intersection de la surface O par le plan W consiste en la
cubique d,, qui est une courbe nodale de la surface O et en les
douze droites /,,, qui sont les tangentes, qu’on peut mener des
points Z et J, à la courbe d,. La section est du degré 2 X 3 +
Ie aes.

La section de la surface O par le plan /, consiste en la co-
nique &, qui est une courbe sextuple, quisque par chaque point
P de la conique cy il passe six droites /. En effet, soit À le point
où la tangente à la conique c, en le point P rencontre la droite
z, l'intersection des plans / et W. Du point & on peut mener
six tangentes à la conique 4. Soient les points de contact les
points Q,, Q,, Q,... Q,; les droites PQ,, PQ,.... PQ, sont
les droites / qui passent par le point P. Dans le plan V se trou-
vent encore six droites /,, savoir les droites, tangentes à la conique
€, qu'on peut mener par les points 4,, 4, et 4. La section est
encore du‘desve 6 09 26 KT TS done PLE:

§ 31. Détermination des quantités m et a. La projection d,
de la courbe 4, sur le plan V, étant de la sixième classe, il y a
douze tangentes communes aux courbes #’, et «,; donc: m — 12.($ 12).

Nous avons vu au $ 6 que les points @ sont tous situés dans
le plan 7. Les points & sont des points de Varéte de rebrousse-
ment a et seront donc parmi les points de la courbe a situés sur
la section de la surface O par le plan V. Ces points sont ceux,
où les droites /, touchent la courbe a; on sait que ces points de
contact sont les points S, où les droites 7, sont tangentes à la
conique c,, et que sur Varéte de rebroussement ce sont des points
stationnaires @ et non pas des points a ($$ 19, 20, 21). Il reste
à voir, si parmi les autres points de la courbe a, situés sur la
conique &, il y en ait encore, qui soient des points a.

Un point P de la conique «, sera un point de l’arête de rebrous-
sement a, si parmi les six droites /, qui passent par ce point P,
il y a deux consécutives. Pourque cela se fasse, il faut que des
six points Q ($ 30) deux soient consécutifs. Les six points Q sont
les points de contact des tangentes qu’on peut mener à la courbe
d, par le point R. Deux de ces points de contact coincident: 1°
si le point Æ se trouve sur Ja courbe 4, et en ce cas le point P
est un point S; 2° si le point & se trouve sur une des neuf tan-

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES, 29

gentes d’inflexion de la courbe d,. Comme par le point X, il
passe deux tangentes à la conique c,, deux points P correspondent
à un point #. Outre les points #, la courbe a et la conique cs
ant donc dix-huit points de rencontre. Ces dix-huit points sont des
points a. En effet, soient Q, et Q, deux points consécutifs de la
courbe d,, pour lesquels la tangente reste la même, et soit & le
point où cette tangente stationnaire Q, Q, rencontre la droite z;
soit P le point de contact d’une des deux droites qu’on peut
mener par le point #, tangentes à la conique c‚. Le plan o tan-
gent à la développable O le long de la génératrice PQ, est le
plan (PRQ,); le plan o tangent à la développable O la long de
la génératrice PQ, est le plan (PRQ,). Les droites 2 Q, et
RQ, coincident, done les deux plans o consécutifs coincident éga-
lement, et le plan (PARQ, Q,) est un plan stationnaire g; donc:
B= hs.

$ 32. Délermination des nombres v, a, G et H. Nous avons
vu aux $$ 16 et 17 que la surface O pourrait présenter une géné-
ratrice d’inflexion v, ou une génératrice double w, si une des
droites /, ou /, était une droite double ou si la courbe 4 pré-
sentait un point double.

La courbe 4 étant ici une cubique sans point double, et les
droites Z, et Z,

Nous avons vu au § 15 que pourque la surface O puisse posséder
un plan bitangent G, il faut satisfaire à une des conditions sui-
vantes: 1° que le plan V soit un plan o, 2° que la courbe 4
possède une bitangente, 3° que les deux courbes d et «, se ren-

contrent.

étant des droites simples, on aura: v = 0, — 0.

La courbe 4, ne satisfaisant à aucune de ces trois conditions
nous aurons: G = 0.

La projection «, de la conique ¢, sur le plan #7, d’un point
H comme centre de projection est une conique, qui a, en deux
points distincts, un contact de l’ordre deux avec la courbe d.
Assujettir une conique à avoir deux contacts de l'ordre deux avec
une courbe donnée 4, c’est l’assujettir à quatre conditions. La
conique c’, devant encore passer par les deux points J et J, elle
doit satisfaire à six conditions. Une conique ne pouvant satisfaire
qu’ à cinq conditions il n’existera pas de conique ¢’,, ayant deux
contacts de l’ordre deux avec le courbe 4, sauf le cas où la courbe
d ait une position particulière par rapport aux points / et J;
done 0.

On peut encore voir de la manière suivante qu'en général il

30 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

n'existe pas de coniques passant par les deux points J et /, et
ayant en deux points distincts, un contact de l’ordre deux avec la
cubique d,. En effet, si une conique a dans les points Q, et Q,
un contact de l’ordre deux avec la cubique d,, les points Q, et
Q, seront en ligne droite avec un des neuf points d’inflexion de
la cubique 4,. Et inversément, si l’on mène une droite quelconque
par un des neuf points d’inflexion cette droite coupe la cubique
dans deux autres points, qui seront des points de contact de l’ordre
deux d’une seule conique.

Ces coniques forment, par conséquent, une infinité simple de
coniques, donc parmi elles, il ne se trouvera pas une, qui puisse
encore satisfaire aux deux conditions de passer par les deux points

Let 17.

$ 33. Détermination des autres singularités. Des formules de
Cayley-Plücker on déduit facilement les formules suivantes qui
expriment les singularités inconnues, », a, 9, 4, y, B et p en
fonction des singularités connues, 7, m, a, v, w‚ H et G.

m1

æ—+}}r(r—10) +8m—3a—2v|

g=tim(m eee ee

Petiet 2 2m}

y=4h\rr—4)—a—2v— 2a}
P=6rt38a—8mu—20

h = 4 {(8r —8m+a—v)? + 27m+7v—227r—102— 2H}

Au lieu d’employer pour le calcul des singularités y, B et /
les dernières trois formules, il est plus commode de calculer d’abord
n et de se servir des trois formules suivantes:

Jt ER M
B = a-+ 2 (u —m)
h=4)n(m-—1)—r—8 B—2 1H}

On trouve les résultats suivants:

n — 90,2 =O MT, B= 6650 = 522 tet py

§ 34. Des intersections de Vartte de rebroussement avec les plans
Vet Wo n étant 36, Varéte de rebroussement a de la dévelop-
pable O est une courbe du degré trente-six. Les points d’inter-

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 31

section de la courbe a avec le plan W sont les douze points où
les tangentes /, qu'on peut mener à la courbe 4, des points / et
J, touchent la courbe d,. Ces points sont des points stationnaires
B ($21) de l’arête de rebroussement a et les tangentes en ces points
à la courbe a étant les droites /,,, chaque point de contact compte
pour trois intersections; ce qui dome 12 > 3 = 36 points com-
muns de la courbe « et du plan JV.

Les points d’intersections de la courbe a avec le plan V, sont
les six points S et les dix huit points z. Chaque point S est un
point stationnaire dont la tangente à la courbe a est une droite /,
qui est située dans le plan V; par conséquent, un point S’ compte
pour trois intersections. Chaque point @ est un point ordinaire de
la courbe a et la tangente à la courbe « en un tel point n’est
pas située dans le plan V, donc, chaque point z compte pour une
intersection. Ce qui donne 6 X 3 + 18 X 1 = 36 points com-
muns du plan V et de la courbe a.

$ 35. Des intersections de la focale avec le plan W. x = 93,
par conséquent, la courbe nodale de la surface O est une courbe
de l’ordre quatre-vingt-treize cette courbe nodale consiste en la focale
et en les deux courbes 4, etc,, cette dernière étant une courbe
sextuple, doit compter pour °*° — 15 coniques doubles. Le degré 7
de la focale est donc 93 —3— 15 X 2 = 60. 2

Le plan W west pas un plan o tangent à la surface O donc,
tous les points doubles de la section de la surface O par le plan
W, sont des points des courbes doubles de la surface O. La
section consiste en la courbe 4, et en les douze droites /,,.
Les douze droites /, se coupent en les points / et J, par
chacun desquels passent six droites /, et encore en trente-six
autres points, qui sont des points ordinaires de la focale. Chaque
droite /, est tangente à la courbe d,, le point de contact est un
point multiple de la section, mais il est situé sur l’arête de re-
broussement et sur la courbe nodale 4, et il n’est pas un point
de la focale. Chaque droite /,, étant une tangente à la cubique
d,, doit encore rencontrer la courbe 4, dans un autre point. Soit
un tel point un point 2. Par un point D il passent trois nappes
de la surface O; savoir: une nappe qui passe par la droite /,, et
deux nappes qui passent par la cubique 4,. Par conséquent, par
un point D, il passe trois branches de la courbe nodale; la courbe
d, est une de ces trois branches, les autres branches font partie
de la focale. Done un point D est un noeud / de la focale et
doit compter pour deux intersections. Il y a douze points D, ce

32 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

qui donne vingt-quatre intersections, qui, avec les trente-six points
(intersection de deux droites /,, donnent les soixante points com-
muns du plan Wet de la focale.

$ 36. Points d'intersection de la focale f avec le plan V.
Les six droites 7, se coupent en quinze points. Trois de ces points
sont les points 4, 4, et 4,, donc il reste douze de ces points,
qui sont situés sur la focale. Par chaque point de contact S d’une
droite /, et de la conique ¢,, il passe quatre branches de la focale,
qui sont tangentes à la droite /,.

En effet, par chaque point 8 passent sept nappes de la surface
O, savoir: une qui passe par la droite 7, et six nappes qui passent
par la conique «. Par conséquent, par chaque point #' il passe
7X6— 21 branches de courbes doubles de la surface O. Parmi
ces vingt-et-une branches il s’en trouve deux de larête de rebrousse-
ment a, le point S étant un point stationnaire de la courbe a, et la
conique ¢, qui doit compter pour quinze branches de la courbe nodale ;
il reste 21 — 2 — 15 — 4 branches qui sont branches de la focale.

Pour toutes les nappes de la surface O qui passent par le point
NS, le plan tangent o passe par la droite /,, par conséquent, cette
droite 7, est la tangente à toutes les branches de la courbe double,
qui passent par ce point S. Le plan o, passant par la droite /,,
est le plan osculateur en le point #° à chacune des quatre branches
de la focale, qui passent par ce point S!

En effet, par le point 4, où la droite /, rencontre la cubique
d,, on peut mener quatre droites, tangentes à la cubique d, en
les points Q,, Q,, Q, et Q,. Les quatre droites SQ,, SQ,, SQ,
et SQ, sont quatre génératrices ordinaires /, par lesquelles passent
quatre nappes ordinaires x/, 2”, x!!!, x!" Les trois autres nappes
qui doivent passer par le point S sont formées par les droites /
consécutives a la droite /,. Ces dernières trois nappes se coupent
suivant les deux branches de Varéte de rebroussement et suivant la
conique €, et forment ensemble un système que je désignerai par la
notation %,. Considérons l'intersection de la nappe triple x, avec
une des quatre nappes simples, par exemple z/. Cette nappe 2!
rencontre deux des trois nappes, qui composent la nappe triple #3,
suivant la conique c, et elle rencontre la troisième nappe du système
x, suivant une branche de la focale. Une droite / consécutive de
la droite /,, tangente à la nappe x’, doit rencontrer la nappe 7!
deux fois; une fois sur la conique cy et une fois sur la focale Le
plan osculateur de la focale au point S est déterminé par la tan-
gente en ce point, et par un point infiniment voisin; donc ce plan est

0

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 33

déterminé par la droite Z, et par un point de la droite / Or com-
me cette droite / rencontre la‘droite /,, ce plan osculateur est
évidemment le plan des droites /, et 7, ou bien le plan o, tangent
à la développable O.

Donc, un point S compte pour huit intersections de la focale
f avec le plan V. Les six points # donnent avec les douze points
de la focale, lesquels sont des intersections de deux droites /,,
6 x 8 + 12 = 60 points communs, tel qu'il le faut.

$ 37. Au §33 on a trouvé B — 66.

Les six points S sont des points @, les points où les douze
droites /, touchent la cubique 4, sont également des points (3.
Donc il reste encore 66 — 12 — 6 — 48 points @ qui ne sont
pas situés dans les plans / et W. Si l’on projette la conique 6,
sur le plan W, en prenant un de ces points (2 comme centre de
projection, la projection «’, passera par les points 7 et J et aura
un contact de l’ordre trois avec la cubique d, ($ 6).

Inversement, il correspond deux points 2 à toute conique c/,
qui passe par les points Z et J et qui a un contact de l’ordre
trois avec Ja cubique d,. Pour contrôler nous allons déterminer
d’une autre manière le nombre de ces coniques «,.

Une conique €, passant par les points 7 et J ct ayant un
contact de l'ordre deux avec la cubique 4, en le point B
est complètement déterminé par le point B. Cette conique c’,
coupe la cubique 4, dans trois points U; ces points U sont
encore complètement déterminés par le point B. Entre les points
B et U il existe une correspondance (3, 15), ce que je vais dé-
montrer.

En effet, nous venons de voir qu'il correspond trois points Ua
un point B. Pour déterminer le nombre des points B qui corres-
pondent à un point U, il faut déterminer le nombre des coniques
C's, qui passent par un point U de la cubique 4, et qui ont autre
part un contact de l’ordre deux.

Pour que la projection c’, de la conique ec, passe par le point
U et ait un contact de l’orde deux avec la cubique 4, il faut que
le point C, le centre de projection, soit situé sur le cône du second
degré dont le point U est le sommet et dont la conique €, est la
courbe de base, et que ce point © soit situé sur l’arête de rebrous-
sement a. Ce cone (Uc) rencontre la courbe a en soixante-douze
points dont trente-six sont situés sur la conique «, et six sur les
deux droites 7, qui passent par le point U, ces droites / étant
des génératrices du cône et des tangentes à la courbe a, tandis que

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. VIII. E 3

34 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

les plans tangents au cône le long de ces génératrices sont des plans
osculateurs o de la courbe a.

Par conséquent, il reste trente intersections qui seront des points
C. A une conique c’, qui passe par le point U et qui a un con-
tact de l’ordre deux avec la cubique 4, il correspond deux centres
de projection C, donc le nombre de ces coniques c’, est quinze.
De la il résulte que la correspondance entre les points B et U
est une correspondance (3,15). Dès qu’un des trois points U coïn-
cide avec un point B la conique c’, est une conique c’,, qui a un
contact de l’ordre trois avec la cubique d,. H faut déterminer le
nombre de ces coïncidences. En appliquant la formule pour le
nombre des coincidences d’une correspondance sur une courbe non-
unicursale, (Sa/mon-Fieller, Wbene Curven, page 426) on trouve,
en y substituant Dlh Bj p= ds WS ke le

ind es

1X (a— 3 — 15)=> 3.2.1
B= PA,

Le nombre des coincidences étant vingt-quatre, le nombre des
coniques €’, est vingt-quatre aussi; donc, le nombre des points (2,
non . situés dans un des plans Ÿ et W, est quarante-huit, ce qui

est conforme au résultat trouvé au moyen des formules de Cayley-
Plicker.

§ 38. Un point stationnair de l’arête de rebroussement, non
situé dans un des plan / ou W, sera indiqué par la notation Pix
Au paragraphe précédent on a trouvé: (4, = 48.

Tout point 2 étant aussi un point de la courbe nodale, (Salmon
3 D. p. 594) les points 6,, qui ne sont pas situés sur les courbes
d ou cj, doivent se trouver sur la focale. En projetant la conique c,
sur le plan W d’un point 8, comme centre de projection, la pro-
jection €, aura un contact de l’ordre trois avec la courbe 4. En
projetant la conique c, sur le plan W d’un point ordinaire # de
la focale, la projection c’, aura deux contacts de l’ordre un. Done,
si le centre de projection se meut sur la focale, les deux points de
contact sont deux points consécutifs, dès que le centre arrive dans
un point 2, de l’arête de rebroussement. Les points de contact
sont les points, où les deux droites /, qui passent par le point #
de la focale, rencontrent la courbe 4. Soit Æ la tangente à la
focale en le point #, et À le point, où cette tangente # rencontre
le plan 7. Si l’on mène de ce point &, les deux tangentes à la
conique &, les deux points de contact étant P, et P,, les deux

LR fc >, rd és

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 39

droites FP, et FP, seront les deux droites /, qui passent, par le

1 2 . . .
point #. Pour que ces deux droites / déviennent des droites con-
sécutives, il faut que le point & soit un point de la conique cg.
Alors les deux droites /, /P, et FP, coincident avec la tangente
Æ en le point # de la focale et ce point / est un point 2, de
la courbe «. La droite 7 passant par un point est la tangente
1 D
à la courbe « en ce point, donc, la courbe / est tangente à la
courbe a en chaque point @,. Et inversement: des qu’une tangente
Æ a la focale en un point # non situé dans un des plans Ÿ ou
W rencontre la conique c,, ce point # est un point stationnaire
de la courbe a et la droite # est une droite /.

Il est facile de démontrer le théorème général: La courbe nodale
d’une surface développable est tangente à l’arête de rebroussement
a dans chaque point stationnaire de la courbe a. (Cremona-Curtze:
Grundzüge einer algemeinen théorie der Oberflächen: page 90).

5 D

$ 39. Points singuhers de la focale. Nous avons déjà vu
(§35) que les points S de la conique c, sont des points quadru-
ples de la focale et que les quatre branches qui passent par un
point S ont la même tangente et même plan osculateur que la
courbe a.

Déterminons maintenant les points singuliers de la focale non
situés dans le plan V. La focale est l'intersection de deux nappes
de la développable O, Elle présentera un point multiple, si les
deux nappes se touchent ou si la focale rencontre une troisième
nappe de la surface O.

Deux nappes de la surface O ne se touchent jamais puisqu’ alors
la surface O possèderait un plan bitangent et nous avons vu, que
R 10}

Si par un point passent trois nappes de la surface O ce point
sera un point triple de la surface et par ce point passeront trois
branches de la courbe double. Il y a plussieurs cas à considérer.

Les trois branches passant par le point triple appartiennent à la
courbe nodale:

1°. Une de ces branches peut être la courbe %,; les deux autres
branches appartiennent à la focale. Ces points triples sont les
points D, de la courbe 4,, où elle est rencontrée par une des
douze droites /,,; ce qui donne douze noeuds de la focale;

2°. Les trois branches de la courbe nodale, qui passent par le
point triple, appartiennent à la focale; alors si l’on prend ce point
pour centre de projection, la projection «, de la conique c‚ sur
le plan W, aura trois contacts de l’ordre un avec la courbe 4.

36 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

Et inversement, dès qu'il y a une conique c, qui passe par les
points Z et J et touche en trois points distincts la cubique 4, , les
deux sommets des cônes du second degré, qui passent par les
coniques c, et cé à la fois, seront des points triples de la focale.

Le nombre des coniques c’, passant par deux points fixes et
touchant trois fois une cubique 4, étant douze, (Cremona-Curtee :
Ebene Curven, 1865 page 254), il existe vingt-quatre points triples
sur la focale.

Des trois branches de courbes doubles passant par un point
triple de la surface, une peut appartenir à l’arête de rebrousse-
ment. Ce cas se présente si l’arête de rebroussement rencontre une
nappe de la surface O.

Soit Z ce point de rencontre de la courbe a, par laquelle pas-
sent deux nappes 2 et x’, avec une troisième nappe #7; soit /
la génératrice de la nappe 2” qui passe par le point Z. Les tan-
gentes aux branches de la courbe focale seront les droites d’inter-
section du plan tangent à la nappe x” le long de la droite /, avec
les plans tangents aux nappes # et 2”, dans le point Z. Comme
ces derniers deux plans tangents coincident avec le plan oscula-
teur de la courbe a en le point Z, ces deux tangentes coincident,
par conséquent, le point Z est un point stationnaire de la focale.
On voit facilement que le plan osculateur en le point Z ou 6 de
la focale est le plan o passant par la droite 4.

Si l’on projette la conique c, sur le plan W, le point Z étant
le centre de projection, la projection c', aura avec le courbe d,
deux contacts, l’un de l’ordre deux, puisque le point Z est un
point ordinaire de la courbe a, et l’autre de l'ordre un, puisque
par le point Z passe la droite /. Et, inversement à toute conique
Cs, passant par les points 7 et J et ayant avec la courbe ds,
deux contacts, l’un de l’ordre deux et l’autre de l’ordre un, il
correspond deux points Z, qui seront des points stationnaires de
la focale.

Soit c’, une conique passant par les points Z et J, laquelle a
en un point P’ un contact de l’ordre deux avec la courbe d,
et passe par un point P de la courbe d,. La conique €, ren-
contre la courbe 4, en deux points ?” encore. Si le point P
coincide avec un point P” la conique c’, devient une conique c'.

Pour déterminer ce nombre de coïncidences, employons la for-
mule: p (a —a—#)+ ¢(6—B—P) = #. 2 D. (Salmon-Fiedler,
Ebene curven 1882, page 426.)

La courbe © consiste ici en les quinze coniques ¢’,, qui passent
par le point P ($ 37); on voit facilement qu’il faut substituer

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 37

k= 15 comme les quinze coniques c’, passent par le point P;
on a trouvé ($ 37) que le nombre de coincidences 7 des points P
Games) 240) 2 — wa =p 15502; Diels
p—3 puisque la conique c’, est osculatrice de la courbe d,,
g = 1; ce qui donne: 3 (24 — 3 — 15) + 1 X (6 — 30 — 30) =
15.2.1 d’où le nombre des coincidences 6 = 72.

Par conséquent, le nombre des points stationnaires (2 = 144.

Si par un point triple de la courbe double passent deux bran-
ches de la courbe a, ce point est un noeud H ou un point £;
H— 0 et un point 6 donne un point ordinaire de la focale, donc
de ce chef, il n’y a pas de singularités sur la focale,

§ 40. Détermination de A: nombre des génératrices qui sont a
la fois sécantes de la courbe a.

Nous avons vu au paragraphe précédent qu’on obtient un point
stationnaire de la conrbe nodale toutes les fois que par un point
A de la courbe a il passe une troisième génératrice /,. Par consé-
quent, on peut trouver le nombre des points @ en déterminant le
nombre A.

La formule qui exprime À en fonction des nombres connus, mz,
RTE; ete. est

Amar d 4) —6(r +) — Awt H)—2v
À = 36 (18 + 4) — 6 (18 + 66) — 4 (0 + 0) — 2 X 0
À = 288.(£. Pascal 11 Geometria p. 322).

Pour trouver le nombre @ des points stationnaires de la focale,
il faut diminuer ce nombre À par le nombre des points A qui sont
situés sur les deux autres courbes nodales.

Les points, où la courbe « rencontre la courbe 4,, ne sont pas
des points A.

Chaque point S doit compter pour douze points A. En effet,
un point À est un point d’intersection de la courbe « avec une
nappe de la surface O.

Par un point S il passe quatre nappes de la surface O qui sont
tangentes à la courbe a en ce point, tandis que ce point est un
point stationnaire de la courbe. Dans les six points #'se sont done
réunis 6 X 12 = 72 points A.

Chaque point g de la conique ¢, compte pour quatre points A
puisque la courbe « y rencontre encore quatre nappes de la surface.
Dans les dix-huit points # se sont réunis 18 & 4 == 72 poinis A.

Il reste donc 288 — 72 — 72 = 144 points A qui ne sont pas
sur les courbes 4, et &, et qui sont, par conséquent, des points

38 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

stationnaires ( de la focale ($ 39) Remarquons que le plan oscu-
lateur en le point 8, de la focale est le plan o tangent à la dé-
veloppable O le long de la droite Z,.

Remarque sur les formules pour A, X et R. Les formules qui
expriment les quantités A, A et Æ en fonction des singularités
ordinaires sont données par 4 Pascal, 11 Geometria p. 322, et par
Salmon, Geometry 3. D. p. 589.

J’ai compulsé les démonstrations, qu’ont données de ces formules
Cremona (voir: Cremona-Curtze, Oberflächen p. 81—95), Salmon
(Geometry. 3. D. p. 580—600 ou Transactions R. I. Academy
1859) et Cayley (Complete Works Vol. VI). Dans ces démonstra-
tions la surface considerée est supposée ne posséder que des courbes
doubles. Des que la surface possède une courbe triple les démon-
strations tombent en défaut, puisqu’ alors la courbe nodale est
située en partie sur la deuxième polaire, par rapport à la surface
considérée, un point quelconque étant le pôle.

Attendu que dans le cas dont il s’agit ici et dans la grande
majorité des cas suivants, la conique c est une courbe d’une mul-
tiplicité plus grande que deux, il est douteux que ces formules
soient applicables. C’est pourquoi j'ai toujours dû contrôler les
résultats, obtenus au moyen de ces formules. Sauf dans quelques
cas, que je me propose de signaler plus tard, les résultats obtenus
par ces formules sont d'accord avec ceux que j'ai trouvés en sui-
vant une autre méthode.

$ Al. Délermination de A: nombre des plans o osculateurs de
la courbe a, qui sont encore tangentes à la courbe a.

Soit /, la tangente à la courbe a en le point, où le plan A’ est
osculateur. Soit / la tangente à la courbe a en le point, où le plan
A est tangent à la courbe a. Les deux nappes 2, et x’ de surface
O qui passent par les deux génératrices Z et / se coupent suivant
une branche de la courbe haste à laquelle la droite / est tan-
gente. Soit / une génératrice a voisine de la génératrice
/’, qui rencontre la nappe u, dans deux points réels. thane le plan
(777) qui est le plan tangent à la nappe #/ se trouvent, par con-
séquent, quatre points de la courbe nodale, ou bien ce plan est
un plan stationnaire de la courbe nodale.

On peut déterminer A’ au moyen de la formule suivante:

À = mr + 4) — 6 (7 + à) — 4 (o + G)—2v

N = 12 (18.4) — 6 (18 +18) +4 (Oe 0) — 2, «0
À = 48. (Z. Pascal 11 Geometria p. 322).

|

|

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 39

Par conséquent, il arrive quarante-huit fois qu’une génératrice /
située sur une nappe x de la surface O, est tangente à une autre

nappe %,.
Ou bien, il existe quarante-huit tangentes communes 4 la courbe
) a et à une nappe de la surface 0.

| Une génératrice /, située sur la nappe triple 2, est tangente en
le point S aux quatre nappes simples qui passent par ce point #
($ 36). Comme le point S' est le point, où la droite /, est tangente
à la courbe a, une droite /, est tangente en le même point à la
courbe a et à chacune des nappes simples.

Par conséquent, une génératrice 7, doit compter pour huit tan-
gentes communes. Done les quarante-huit tangentes communes sont
les six droites /,, et aucun des quarante-huits plans 4’ n’est un
plan stationnaire de la focale.

On peut s'assurer directement, qu'il n’existe pas de plans à
qui soient des plans stationnaires a de la focale.

Supposons qu'il existe un plan A’ tangent à la surface O le long
de la génératrice /. Le plan A’ étant un plan o, doit être tan-
gent à la conique c, en le point P,, où la droite / rencontre la
conique cy. La génératrice / doit rencontrer la conique c,, donc
elle doit également passer par le point P,. Le plan o tangent à
la surface le long de la droite / est le plan déterminé par la
droite / et par la tangente à la conique c, en le point P, ; done,
ce plan o est le plan a’. Par conséquent, ce plan A’ serait un plan
bitangent G ou un plan @ et ce ne serait plus un plan a’. Ce
raisonnement tombe en défaut, si la génératrice / coïncide avec
la tangente à la conique «,, puisqu’ alors ces deux droites ne déter-
minent plus un plan o. Done les seuls plans A’ qui peuvent exister
sont des plans 0, passant par les droites /,, cequi s'accorde avec
le résultat trouvé ci-dessus.

$ 42. Délermination de l: nombre des points de la focale
situés sur chaque génératrice /.

Chaque génératrice d’une surface développable O, rencontrant la
courbe nodale *—4 fois (Salmon 3 D. p. 297), une droite / ren-
contrera la courbe nodale quatorze fois. Une droite / rencontre
une génératrice sur la courbe 4, et cinq génératrices sur la co-
nique cs; done elle rencontre encore huit génératrices en des
points de la focale, d'où: /— 8. Une droite /,, rencontre six
autres droites /, en des points de la focale et passe par un noeud
de la focale, cequi donne huit intersections.

Il existe des génératrices qui ont de commun avec la focale,

40 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

plus de huit points; par exemple: 1° une droite /, rencontre huit
branches de la focale dont elle touche quatre; 2° chacune des
quatre droites / qui passent par un point S rencontre onze bran-
ches de la focale.

Théorème. Soient F,, F,.... Æ, les huit foyers, situés sur une
droite Z, les foyers conjugués A, #,’.... #,’ sont situés sur
la droite /,’, qui passe par le même point Q de la cubique 4, que
la droite Z , et est également une génératrice de la surface O.

Démonstration. Menons un plan par le point Z et par la droite
/, et soient v et w les droites d’intersections de ce plan avec les
plans VY et W. Deux foyers conjugués étant conjugués harmo-
niques par rapport au point Z et à la droite w ($ 8), les foyers

(> Æ,'.... Fg seront situés sur une droite /,, qui passe par
le point Q, les droites /,’ et /, étant conjuguées harmoniques, par
rapport aux rayons w et QZ La droite /, rencontre aussi la
conique cy, parce que le point Z est le pôle de la droite z par
rapport à la conique ec. La droite 7,’ a de commun avec la sur-
face O les huit foyers £” et le point Q, qui sont des points
doubles, et encore son point de rencontre avec la conique ¢,, qui
est un point sextuple. La droite /”, ayant de commun avec la
développable O0, 8 X 2 +2 +6 == 24 points, est située tout
entière sur la surface O, donc cette droite est une génératrice de
la surface O.

Il en résulte encore que, si les deux droites / qui passent par
un foyer # rencontrent la cubique 4, dans les points Q, et Q,,
les deux droites 7 qui passent par le foyer conjugué Æ”, passeront
par les mémes points Q, et Q,.

$ 43. Discussion de y. Un plan y est.un plan, contenant deux
droites / donc c'est un plan bitangent à la courbe a.

Le nombre 7 indique le nombre de ces plans passant par un
point quelconque.

Les deux droites / qui sont situées dans un plan y se rencon-
trent dans un point de la courbe nodale de la surface O, par
conséquent, il y a trois espèces de plans y.

1° les plans y, pour lesquels les deux droites / se rencontrent
dans un point de la courbe d,;

2° les plans y, pour lesquels les deux droites / se rencontrent
dans un point de la conique cs;

3° les plans 7, pour lesquels les deux droites / se rencontrent
dans un point de la focale.

N= 9.

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 41

Démonstration. Soit B un point quelconque du plan V; par ce
point il passe d’abord le plan /, qui compte pour trois plans 4
parce que, dans ce plan se trouvent trois couples de droites / qui
se rencontrent dans les points 4, 4, ou 4, de la courbe d,.
Soit Q un point quelconque de la cubique 4,, soit ZX le point, où
la tangente à la courbe 4, en le point Q rencontre la droite z,
et soient P, et P, les deux points de contact des tangentes à la
conique c, qu'on peut mener par le point X. Le plan (Q P, P,)
est le plan y, du point Q; ce plan coupe le plan / suivant une
droite passant par le point Z Les plans y, qui passent par le point B
doivent, par conséquent, passer par la droite BZ. Soit 2! le pôle
de la droite BZ, par rapport à la conique c,, et soit Q! un des
points de contacts des six tangentes à la cubique 4, qu'on peut
mener par ce point ZL Les six plans (B Z Q!) seront encore des
plans 7, passant par le point B; done y, = 3 + 6 = 9.

Yo = 48.

Démonstration. Soit B un point quelconque du plan W. Les
six droites /, qui passent par le point 7 donnent quinze couples
de droites /, qui se rencontrent dans un point de la conique ce;
le plan WY compte, par conséquent pour trente plans 7.

Soient Q, et Q, deux points de la cubique 4, par lesquels pas-
sent deux droites /, qui se rencontrent dans un point P de la
conique cs; alors les tangentes à la cubique 4, en les points Q,
et Q, se rencontrent dans un point # de la droite z.

Soit v une droite passant par le point B, qui rencontre la
courbe 4, dans les points Q,, Q,, Q, et soient 4, %, /, les tan-
gentes à la cubique 4, en ces points. Si la droite v est telle que
deux des tangentes 7, 4, ¢, se rencontrent dans un point & de
la droite z, il passera par la droite v deux plans y,, puisque du
point & on peut mener deux droites tangentes à la conique ca.
Le lieu des intersections de deux tangentes ¢ est une courbe du
degré neuf. (J. C. Kluyver: Nieuw Archief v. W. Deel XVII
1890). Donc, par le point B il passe encore 9 X 2 = 18 plans
Yo; donc y, = 30 + 18 = 48.

Le nombre y étant 117, il reste pour le nombre y, des plans
y, passant par un point et contenant deux droites / qui se ren-
contrent dans un point de la focale: 117 — 9 — 48 = 60.

Dans le plan W sont situées douze droites /,, qui se rencontrent
dans trente-six points de la focale, par conséquent, le plan W doit
compter pour trente-six plans y,. Par un point B du plan W il
passe done encore vingt-quatre autres plans 7,. Nous avons vu au
$ précédent, que si deux droites / et /,, passant par les points

42 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

Q, et Q, de la cubique 4,, se rencontrent dans un point # de
la focale, les deux droites /, et /, qui passent encore par les
points Q, et Q,, se rencontrent dans le foyer À, conjugué. Les
deux plans 7,, (Q, Q À) et (Q, Q, F,) passent, par conséquent, par la
même droite Q, Q, du plan W. Cette droite Q, Q, est la corde
de contact des deux foyers conjugués #, et /. Le nombre des
plans 7,, outre le plan W, passant par le point B, étant vingt-
quatre, le nombre des cordes de contact passant par le point £
est douze; donc: Les cordes de contact (directrices), enveloppent une
courbe de la douzième classe. La droite z est une tangente sextuple
de cette enveloppe.

Le plan: / est un plan 7, pour chacun des douze points de la
focale situés sur deux droites /,. Par un point quelconque du plan
V il passe, par conséquent, encore quarante-huit plans 7,, outre le
plan V. Les droites d’intersection des plans 7, avec le plan V
enveloppent, par conséquent, une courbe de la quarante-huitième
classe. Soient P, et P, les points, où un plan y, rencontre la
conique €, soient À et JZ, les droites / dans ce plan et soit #
leur point de rencontre. La tangente # à la focale en le pomt #
est l'intersection des deux plans 0, qui touchent la surface O le
long des droites Z et 4. Donc la tangente # rencontre le plan v
dans le point d’intersection des tangentes à la conique c, en les
points P, et P,, ou bien la droite # passe par le pôle de la droite
P, Py par rapport à la conique «,. Les droites P, P, enveloppant
une courbe e de la quarante-huitième classe, le lieu 4 des intersec-
tions avec le plan / des tangentes # à la focale est une courbe
du degré quarante-huit. Le plan #7 comptant pour trente-six plans
93, Va droite z est trente-six fois tangente à la courbe e, done le
point Z est un point multiple de la courbe 4, par lequel passent
trente-six branches de la courbe 4, ce qui est conforme au résultat
trouvé au § 9: que passent par le point Z les droites # tangentes
à la focale en ses points ordinaires, situés dans le plan IV,

$ 44. Détermination de r: rang de la focale. Considérons la
développable Æ dont les génératrices sont les tangentes / à la focale.
La section de cette surface A par le plan V consiste en une courbe
h et en les six droites /,, qui, comptent chacune pour quatre géné-
ratrices /, une droite /, étant tangente aux quatre branches de la
focale, qui passent par un point &.

La courbe 6 est de l’ordre quarante-huit. En effet, considérons
une droite / tangente à la conique ec, en le point P; soit Q un
point de la droite / par lequel passe une génératrice #, Une géné-

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 43

ratrice #, tangente à la focale en le point #, est l'intersection des
deux plans o tangents à la surface O le long des deux droites /,
qui se rencontrent au point Æ# Ces deux plans o coupent. le plan
V suivant deux droites, passant par le point Q et tangentes à la
conique €.

La droite ¢ étant une des deux tangentes à la conique c, qu’on
peut mener par le point Q, un des deux plans o dont la droite
k est Vintersection, passe par la droite /. Par conséquent, il faut
que le point #, où la droite 4 est tangente à la focale soit situé

sur une des droites / qui passent par le point P. Et inversement,

les droites #, tangentes à la focale en les points #, situés sur les
six droites /, lesquelles passent par le point P, rencontrent toutes
la tangente { Sur toute droite / se trouvent huit points #, ($ 42)
et par un point ? passent six droites /; done la droite / ren-
contre quarante-huit droites #, d’où il résulte que le courbe 4 est de
l’ordre quarante-huit. Ce qui est conforme au résultat trouvé au § 43.

Pour contrôler déterminons le nombre des points d’intersection
des courbes 6 et «. Une droite #, étant l'intersection de deux
plans ov, ne peut rencontrer la conique c, que dans les deux cas
suivants: 1° ces deux plans o passent par une même tangente / de
la conique c, et alors la droite Æ doit être la tangente 7; 2° les
deux plans o sont deux plans consécutifs et la droite Æ coincide
avec une droite /. Les droites / qui sont des droites / sont les
quarante-huit droites 7, qui sont tangents à la courbe a en les
points stationnaires (2, ($ 38). Les tangentes / qui sont des droites

% sont les droites /,, et les points de contact S sont des points

de la courbe 4. Par chacun des six points #, passent quatre bran-
ches de la courbe 6. Un point S étant un point d'inflexion de
chaque branche et la tangente d’inflexion étant la droite /,, cela
donne aux six points 8, 6 X 4 X 2 — 48 intersections. Nous
avons donc quatre-vingt-seize intersections; d’où il suit que le degré
de la courbe 4 est quarante-huit. L’intersection totale de la surface
K avec le plan V est du degré 24 + 48 = 72; donc: r= 72.
Autrement. n

On peut déterminer le rang A de la courbe nodale au moyen
de la formule suivante

k=rm + 6r— 3u—I9Iu— 3v—22G
R = 18.12 + 6.18 — 3.36 — 9.12 — 3.0 — 2.0.
f = 18 (12 + 6 — 6 — 6) = 108; (& Pascal II. p. 321).

Le rang de la courbe nodale d, étant six et celui de la conique

44, FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

cy, qui étant courbe sextuple, doit compter quinze fois, étant
trente, il reste pour le rang de la focale 108 — 6 — 30 = 72
donc r = 72.

$ 45. Détermination de m, la classe de la focale. Déterminons le
nombre des plans 0 osculateurs à la focale et tangents à la conique c,; ce
nombre sera le double de m. Par chaque droite #, excepté les droites /,,,
il passe deux plans tangents à la conique cy, ces plans sont des den
o. Si done le plan o passant par une droite #, est tangente à la
conique &, ce plan o coïncide avec un plan 0. Nous avons vu au
$ 36 que le plan osculateur 0 en un point S d’une branche de
la focale, est le plan o passant par une droite /,. Donc, tous les
plans o tangents à la conique &, sont des plans o. Ces plans seront:

1° les plans a; en effet, dans un plan a se trouvent trois droites
/ consécutives; si ces trois droites coupent une nappe de la surface
O, les trois points d’intersection seront trois points consécutifs de
la focale; ce plan @ est done un plan o pour chaque intersection
de ia droite 7, du plan &, avec la focale. Au $ 42 nous avons vu
que ce nombre d’intersections / est huit; donc, tout plan a compte
pour huit plans o et les dix-huit plans 2 comptent pour 18. KS
144 plans 0, tangents à la conique ce, (voir Cremona-Curtze : Ober-
flachen p. 13).

2° Nous avons vu au $$ 39 et 40 que le plan osculateur à
la focale en un point (9 est un plan o; le nombre des points 6
étant 144, cela donne encore cent quarante-quatre plans o tangents
à la conique cy. F

3° Chaque plan osculateur o en un point S d’une branche de
la focale doit compter pour trois plans tangents communs à la
conique « et à la développable A puisque la conique €, et la
focale se touchent au point #. Cela est facile à vérifier en consi-
dérant les polaires réciproques. I] y a six points # par chacun
desquels il passe quatre branches de la focale, ce qui donne 6 XX 4 ><
3 — 72 plans o tangents à la conique c,. En tout le nombre des
plans tangents communs à la conique ¢, et à la développable K
est 144 + 144 + 72 = 360; donc: m= 180. Le plan V n’est
pas un plan 0, done la courbe d’intersection de la surface K avec
le plan V est aussi de la classe »: donc la courbe 4 est aussi de
la classe cent quatre-vingts, ce qu’on avait aussi pu trouver en déter-
minant les tangentes communes aux deux courbes 4 et ca.

§ 46. Détermination de v et de w. En général, v= 0,
effet, supposons que trois foyers /,, /, et Æ, consécutifs, soient

—- =

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 45

en ligne droite. Par chacun des éléments de la focale #, 4, et
it, Fy il passe deux plans o, done par la droite 4 #, F, il passe
quatre plans o. Ce cas ne peut se présenter que lorsque les quatre
plans o coincident deux à deux, done que la droite /, 4, F, est
l'intersection de deux plans #, ou que la droite 4, Æ, F, est une
droite /,. En général les deux droites / le long desquelles deux
plans @ sont osculateurs à la surface O, ne se rencontrent pas.
Les droites /, sont des génératrices doubles de la surface K, il
est vrai, mais ce sont des droites w; done v= 0.

Par une droite w; qui touche la focale en les poits Æ et Æ, il
passe quatre plans o, savoir: les plans o qui sont tangents à la
surface O le long des deux couples de droites /, qui se rencon-
trent aux points # et Æ,. Par une droite non tangente à la co-
nique c,, il ne passe jamais plus de deux plans tangents à la co-
nique «. Ces quatre plans o doivent, par conséquent, coincider
deux à deux; done la droite w doit être l’intersection de deux
plans G et il faudrait encore que les deux droites /, le long des
quelles l’un des deux plans G est tangent, rencontrent les deux
droites 7, le long desquelles l’autre plan G est tangent à la sur-
face O. Cette singularité ne se présente que pour des positions
très particulières de la courbe d; donc, les seules droites qui peu-
vent donner des droites w sont les droites #, tangentes à la conique

Les droites # tangentes à la conique c, sont les six droites /,,
qui étant chacune tangente à quatre branches de la focale sont des
droites. Æ multiples. ne droite /, étant tangente à six couples de
branches doit compter pour six droites w. Les deux points, où
une droite 7, touche les branches de la focale coincident, les deux
plans o tangents à la surface À le long de la génératrice /, coïn-
cident également, par conséquent, chacune des six droites w, qui
se confondent dans une seule droite /,, doit compter double dans
les formules de Cayley-Plücker.

En effet, si d'une droite w les deux points de contact et les
deux plans osculateurs coïncident, la projection de la courbe aussi
bien que la section de la développable, possèdera deux branches
qui se touchent; par conséquent w — 72.

Une fois les quantités — 60, r= 172, m= 180, B= 144,
v= 0, w= 72 connues, on peut au moyen des For ee de Cayley-
Pliücker déterminer les singularités &, æ, Ys h ts ff, 4 Le nées et p.

On trouve les valeurs: # + w = — 2376, y +. w — 2256,
2 = 384, g + G= 15498, yee 1518, i 19.

§ 47. La projection /’ de la focale sur le plan W, le point Z

46 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

étant le centre de projection, est une courbe du degré trente, quis-
que deux foyers conjugués sont toujours en ligne droite avec le
point Z (§ 8); done w = 30. Pour la même raison le nombre des
points stationnaires de la projection # sera la moitié du nombre 8
done x = 72.

La classe de la projection est la moitié du nombre des droites
k, que rencontre une droite 2 quelconque passant par le centre de
projection Z, puisque les tangentes # à la focale soit situées deux
à deux dans des plans passant par le point Z Toutefois il faut
faire attention à ce que la projection d'une droite # passant par
le point Z n'est pas une tangente à la courbe 7”. Par le point Z
il passe trente-six droites /, savoir les tangentes à la focale en les
trente-six points, d’intersections de deux droites /, ($ 9). La droite
n rencontre donc trente-six droites #, qui se projettent en dix-huit
tangentes à la courbe /’; donc: y = 18.

Au moyen des formules de Pfücker on trouve alors: d' = awe!
milsBdl, vS A6 jops=ikb.
~ Pour vérifier, déterminons le nombre 4" d’une autre manière.
Par chaque point de l’espace, il passe cent quatre-vingts plans 0, m2
étant cent quatre-vingts. Par le point Z, il passe trente-six droites #,
et les plans 0, tangents le long de ces droites, sont des plans sta-
tionnaires a. (§ 9).

Par le point Z il passe, par conséquent, hors des trente-six
plans @, soixante-douze plans 0, qui coincident deux à deux ($ 8);
donc, «+ == 86. fa

§ 48. Section s de la surface K par le plan W. La focale
n’étant pas tangente au plan W (§ 35) il n’y a pas de droites 4,
qui fassent partie de la section s. On a vu (§ 8), que la section
s est une courbe nodale de la surface K, done la section s est du
degré trente-six, 7 étant soixante-douze, (§ 44); p= 36.

Par chaque pomt du plan W il passe cent quatre-vingts plans o,
m étant cent quatre-vingts (§ 45). Deux plans osculateurs à la focale,

en deux foyers conjugués, se coupent suivant une droite située
dans le plan W ($ 8); donc, la classe de la section s est quatre-
vingt-dix : vy” = 90.

Pour obtenir les points stationnaires de la section s, il faut con-
sidérer les points où la focale et ses tangentes stationnaires, ren-
contrent le plan W. On a vu que v= 0 ($ 46), done il ne reste
qu'à considérer les intersections du plan W avec la focale ($ 35).
Les points de la focale où se rencontrent deux droites /, sont des
points @ de la focale (§ 9), et on voit facilement, que ces points

ee

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 47

sont des points ordinaires de la section s. La focale rencontre encore
le plan W aux points D, qui sont des noeuds H de la focale.
Ces points D sont des points quadruples de la courbe nodale de la
développable Æ et les quatre branches de cette courbe nodale, pas-
sant par un point D, sont tangentes à une même droite: l’inter-
section des plans osculateurs aux deux branches de la focale en le
point D, (Cremona-Curtze: Oberflächen p. 88). Cette droite d’inter-
section est située dans le plan W, parce qu'elle est l’intersection
de deux plans o osculateurs en les deux foyers conjugués, qui
coincident au point D. Un point D est done un point stationnaire
de la section s et est encore un point stationnaire de la partie
restante de la courbe nodale et compte pour trois intersections de
cette courbe nodale avec le plan W. Le nombre des points D étant
douze, x — 12.

De ces valeurs u’ — : 90, ix" ==)12/0n tire 2’ = 567,
= 174, 7” = 3726, p° = 16.

Pour vérifier, déterminons d’une autre manière les valeurs de 1
et de d”.

Par “chaque tangente stationnaire 4 de la section s, il passe
deux plans stationnaires & conjugués. On a trouvé a — 384
(§ 46), dont trente-six sont osculateurs à la focale en les points «
situés dans le plan W (§ 9). Ces trente-six plans & coupent le
plan / suivant des tangentes ordinaires de la section s. Les 348
plans @ restants donnent 174 tangentes stationnaires de la section
s, donc: # — 174.

Le degré de la courbe nodale x est 2304 parce que a + D
2376 et w — 72, ($ 46). La courbe nodale @ se décompose en la
ae s du degré trente-six et en une courbe restante £ du degré

268. Cette courbe nodale £ rencontre le plan W trois fois dans
Fe point D (voir si-dessus). Elle possède douze branches, qui
passent par chaque point 4, parce que les quatre nappes de la
surface K qui passent par une droite /, rencontrent, au point 4,
quatre autres nappes passant par une seconde droite /,. Par chaque
point À il passe, par conséquent, seize branches de la courbe
nodale 2, quatre de ces branches appartiennent à la section s, donc
il reste encore douze pour la courbe £.

Toutes les seize branches de la courbe nodale étant tangentes à
la courbe d, en le point 4 (636), un point À compte pour vingt-
quatre intersections du plan WV avec la courbe nodale.£.

Les trente-six plans doubles G, qui passent par le point Z($ 47), sont
tangentes à la section s en des points, où se touchent deux nappes
de la surface A. Par chacun de ces points de contact, il passe,

48 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

outre la courbe s, une branche de la courbe nodale £, ce qui donne
encore trente-six intersections de la courbe nodale £ avec le plan
W. Le nombre des intersections restantes de la courbe & avec le
plan W est, par conséquent: 2268 — 12 X 3 — 3 X 24 — 36 =
2124. Par chaque noeud de la section s, il passe quatre nappes
de la surface K; donc, par un noeud de la section s il passe
quatre branches de la courbe nodale £, ce qui donne pour le nombre
des noeuds de la section s: 531. Par un point 4, il passe quatre
branches de la courbe s qui en ce point ont la même tangente,
cequi donne encore trente-six noeuds de la courbe s, donc 9° =
531 + 36 — 567, résultat conforme à celui qne nous avons trouvé
au moyen des formules de Phicker.

Il est impossible de déduire la valeur de +” du nombre y + G,
parce que toute tangente à la section s est située dans deux plans
o; d’où il suit, que pour le plan W, g4+G— +.

§ 49. Section de la surface K par le plan V. On a vu que
cette section consiste en les six droites 7, et en la courbe 4 qui
est du degré quarante-huit ($ 44). La courbe 4 est de la même
classe que la focale parce que le plan / n’est pas un plan o, done
elle est de la classe 180 (§ 45). 3

Pour obtenir les points stationnaires de la courbe 4, on considère
les points où la focale rencontre le plan 7. Ces points sont les
points S, et les douze points B, où se rencontrent deux droites
/,. Ces derniers seuls donnent des points stationnaires de la courbe
b, tandis que les quatre branches de la focale, qui passent par un
point #, donnent quatre points d’inflexion de la courbe 4, les
quatre branches de la focale étant tangentes au plan #7 (§ 36),
done. de

Des valeurs u’ = 48, y = 180, x” = 12 on tire, au moyen
des formules de P/äcker: à” — 408, 3” = 1020, 7° = 15474,
med

Pour vérifier, déterminons d’une autre manière les valeurs de ¢”
et de d”.

Les tangentes d’inflexion de la courbe 4 sont les droites d’inter-
section du plan / avec les 384 plans & (646), et les six droites
l,. Chaque droite /,, étant tangente a quatre branches de la focale,
est quatre fois une tangente d’inflexion de la courbe 4; donc,
if = 884 126. 4 408.

La courbe nodale > de la surface Æ étant du degré 2304, la
section de la surface K, par le plan /, aura 2304 noeuds. Ces
noeuds seront: 1° les noeuds de la courbe 4, 2° les points

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 49

d’intersection de la courbe 4 avec une droite /, et 3° les points
(intersection de deux droites /,. Par chaque point A il passe seize
branches de la courbe æ (§ 48). Par chaque point de rencontre B
de deux droites /,, il passe dix nappes de la surface K, savoir:
quatre passant par chacune des deux droites 7, et deux passant
par la focale. Par chacun des douze points B il passe, par consé-
quent, trente-deux branches de la courbe nodale z.

Par chaque point S il passe quatre branches de la focale, qui
ont la même tangente et le même plan osculateur ($ 36). Consi-
dérons deux surfaces développables dont les arêtes de rebrousse-
ment ont en un point commun la même tangente / et le même
plan osculateur ov. La courbe d’intersection de ces deux surfaces
consiste, 1° en la tangente commune /, comptée deux fois, 2° en
trois branches, qui touchent cette tangente commune #, et 3° en
deux branches ayant une même tangente, située dans le plan o mais
distincte de la tangente 7. Pour mieux nous représenter cette intersec-
tion, prenons comme origine des coördonnées rectangulaires le point
commun aux arêtes de rebroussement. Soit l'axe des +, la tangente
{, soit le plan zz le plan osculateur 0, et soient les deux arêtes
de rebroussement symétriques par rapport au plan yz. Ce plan y z
coupera les deux surfaces développables suivant la même courbe,
qui à un point stationnaire à l'origine; donc, la courbe d’inter-
section des deux développables aura deux branches (formant un
rebroussement) tangentes à l’axe des z. En considérant deux sections,
parallèles au plan yz, situées de part et d'autre de ce plan, à
des distances suffisamment petites, on voit dans chacune des deux
sections trois points de la courbe d’intersection, situés tous les
six du même côté du plan zy; donc, la courbe d’intersection pos-
sède trois branches tangentes au plan ay. Les tangentes à ces trois
branches doivent se trouver dans le plan mz tangent aux deux
développables, done Vaxe des x est la tangente commune à ces
trois branches de la courbe d’intersection.

Il s'ensuit de ce qui précède, que par chaque point S il passe
six fois trois branches de la courbe + tangentes à la droite /, et que
ce point S est encore six fois un point stationnaire de la courbe
æ; donc, chaque point S compte pour quarante-huit intersections
du plan / avec la courbe 2.

Chaque droite J, rencontre encore les vingt-huit droites #, qui
sont tangentes à la focale en ses points d’intersection avec les quatre
droites 7 ordinaires, qui passent par le point #, où la droite /,
touche la conique €, ($ 44). Par chacun de ces vingt-huit points,

où une droite /, rencontre encore la courbe 4, il passe quatre
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VII. 5 4

50 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

branches de la courbe +, parce que en un tel point, les quatre
nappes, passant par la droite /,. rencontrent la nappe, passant par
la droite #.

Le nombre des intersections des courbes 4 et æ non-situées sur
une des droites /,, est, par conséquent: 2304 — 3 X 16 — 12 X
32 — 6 X 48 — 6 X 28 X 4 = 912, ce qui donne 912 noeuds
de la courbe 4 en dehors des points 8 En chaque point #, une
droite Z, est tangente d'inflexion de quatre branches de la courbe
6, d’où il résulte, que chaque point S doit compter pour dix-huit
noeuds de la courbe 5. Le nombre total des noeuds de la courbe 4
est donc: 912 + 6 X 18 = 1020, résultat conforme à que celui,
nous avons trouvé au moyen des formules de ?/ücker.

Remarquons encore, que par le point 7 il passe trente-six bran-
ches de la courbe 6 et que le point Z est un point d’inflexion de
chacune de ces trente-six branches (§ 47).

CHAPITRE V.

FOCALES DE QUELQUES COURBES RATIONNELLES.
Section I.

Focale de la cubique de la quatrième classe.

$ 50. Des droiles w. La courbe 4, étant de la quatrième
classe, elle possède un noeud J. Examinons, si la présence d’un
noeud Jd fournit en effet une droite w de la surface O (§ 17).
Soient / et 4 les deux droites tangentes aux branches 6, et 4,
de la courbe 4,, en le point J; soient 2, et A, les deux points,
où ces tangentes rencontrent la droite z. Si les droites polaires des
points #, et Zl, par rapport à la conique c,, rencontrent cette
conique en les points P,, P,, Ps et P,, les droites dP;, oP,
dP, et JP, seront des droites / et seront les seules droites 7, qui
passent par le point d. Par chacune de ces quatre droites /, ilne
passe qu’une seule nappe de la surface O. En effet, supposoiis
qu'une de ces quatre droites, par exemple la droite J P,, soit une
droite w. Les deux plans o tangents à la surface O, le long de la
droite w, doivent passer tous les deux par ia tangente à la conique
c, en le point P,; done, ces deux plans o doivent coïncider.
Alors devront coincider également les deux tangentes en le point
d aux intersections avec le plan # des deux nappes, qui passent

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. o1

par la droite w; par conséquent, les deux nappes de la surface O,
qui passent par la droite w, doivent passer par la même branche
6, de la courbe d,, tangente a la droite /. Pour que les deux
nappes, passant par la branche 4,, se coupent encore suivant une
droite / qui passe par le point d, il faut que la tangente / rencontre
la conique ¢,, sil en était ainsi cette droite /, serait une droite
/, simple et le noeud J serait un point 2 (§ 21). D'où il résulte
que la présence d’un noeud à ne fournit pas nécessairement une
droite w de la surface O. Or, si la droite JP, coïncide avec la
tangente a la conique « en le point P, il se pourrait que le
noeud J de la courbe d fournit une droite w, puisqu’ alors on ne
peut pas arriver à la conclusion que les deux plans o doivent coin-
cider. Si la droite JP, coincide avec la tangente en le point P à
la conique ec, le noeud J se trouve dans le plan V et on verra
dans un des chapitres suivants qu'à cette condition, le noeud J
fournira deux droites w.

Le raisonnement précédent tombe encore en défaut si les bran-
ches 5, et 4, sont tangentes à une même droite / , puisqu’ alors
il se pourrait que les deux nappes, passant par la droite w, cou-
pent le plan W suivant les branches 4, et dy.

Nous verrons dans un chapitre suivant que la présence sur la courbe
d, de deux branches qui se touchent (singularité qui équivaut a deux
noeuds ordinaires) donne lieu à deux droites w de la surface O.
On peut encore trouver de la manière suivante les conditions sous
lesquelles des quatre droites 7, passant par un noeud J de la courbe
d, il en coincide deux, de manière à former une droite w.

Deux de ces droites coincident si, des quatre points P,, P,
P, et P, situées sur la conique «,, deux se confondent.

Ce qui arrive: 1° si une des tangentes 4, ou 4 rencontre la
conique €; toutefois les droites coïncidentes seront deux droites
consécutives et ne formeront pas de droite w; 2° si les deux points
R, et À, coincident. Ces deux points &, et A, coincident: 1° si
les deux tangentes et /, coincident, 2° si le point de rencontre
de ces deux tangentes, savoir le noeud J se trouve dans le plan 7.

Si la courbe d est une cubique de la quatrième classe n’occu-
pant pas de position particulière, elle n’a pas deux branches, qui
ont la même tangente en un point commun et le noeud ne sera
pas situé dans le plan 7; donc la surface O n’aura pas de géné-
ratrice double w, ou w =

$ 51. Délermination des singularilés de la développable O. La
section de la surface O par le plan #7 consiste en la cubique da,
hi 4"

52 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

qui est une courbe nodale et en les deux fois quatre droites /,,,
tangentes à la cubique 4, qu’on peut mener par les points J et
J; done: r= 2% 3-2 K 4— 14:

La section de la surface O par le plan / consiste en la conique
Cy, qui est une courbe quadruple, et en les trois fois deux droites
/,, tangentes à la conique &, qu’on peut mener des points 4,,
A, et 44, où la courbe 4, rencontre le droite z; donc:

On trouve facilement:
mor res Od =O Oe AO Galas 2

De ‘ces valeurs m= 8, 4=6,r= 14,0=0,90=0, 7—0,
G = 0 on tire, au moyen des formules données au § 33, — 24,
D Ol PLIS b= bo le ole, NP PUR — Oe ae

Les intersections de l’arète de rebroussement a avec le plan W,
sont les points, où les huit droites /, touchent la cubique 4,. Ces
points sont des points stationnaires (2 et comptent pour trois inter-
sections chacun ($21), ce qui donne vingt-quatre intersections.
Les vingt-quatre intersections de la courbe a avec le plan V sont:
1° les six points a; 9° les six points S, où les droites 7, touchent
la conique «,; ces points sont encore des points @ et comptent
pour trois intessections chacun ($ 21).

ue degré de la cubique nodale est trois; la conique €,, étant
Le deg ;

une courbe quadruple, est une courbe nodale du degré douze. Il
reste pour le degré de la focale:

m= 91 — 3 — 12 = 36.

Les trente-six intersections de la focale avec le plan W sont:
1° les seize points, où les droites /,, passant par le point 7, ren-
contrent les quatre droites /,,, passant par le point J;

2° les huit points 2, où les tangentes /,, rencontrent encore la
cubique; ces points sont des noeuds de la focale;

3° le noeud J de la cubique; par ce point il passe deux bran-
ches de la courbe nodale d,; donc, par ce point il passe quatre
nappes de la surface; par un point quadruple de la surface O 1
passe six branches de courbes doubles; donc, il passe par ce point
quatre branches de la focale.

Les intersections de la focale avec le plan V sont:

~

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 53

1° les douze points. outre les points 4, où se rencontrent les

droites /,;
2° les six points S. par chacun desquels il passe deux branches
de la focale, qui y touchent la droite /, (§ 36).

On trouve facilement: y, = 7, y, — 24; donc il reste y, = y —
I, — Jo = 81 — 7 — 24 = 36 ($ 43).

Le plan W est un plan y, pour chacun des seize points de
la focale, où se rencontrent deux droites /,,; en outre il passe par
un point quelconque du plan W vingt plans y,. Donc les cordes
de contact (directrices) enveloppent une courbe de la dixième classe
(§ 43).

Le plan V compte pour douze plans y,, à cause des douze cou-
ples de droites /,, qui se rencontrent dans des points de la focale ;
donc, les intersections des plans y, avec le plan V enveloppent une
courbe de la vingt-quatrième classe. Le lieu des pôles de ces inter-
sections (par rapport à la conique €,), ou bien le lieu des inter-
sections avec le plan # des tangentes #Æ à la focale, ou bien encore
la courbe 4 est du degré vingt-quatre.

Les points de contact des huit droites /,, avec la cubique 4, et
les six points de contact S des droites /, avec la conique ¢, sont
des points stationnaires 8; donc il reste 2 —- 8 — 6 = 38 — 8 —
6 = 24 points 8, situés sur la focale.

Chaque droite 7 rencontre r— 4 — 14 — 4 = 10 autres droites
/ non consécutives, dont une sur la cubique d, et trois sur la
conique &; done chaque droite / rencontre la focale six fois; / = 6.

§ 52. Délerminalion de r. Le rang de la courbe nodale 4,
étant quatre et celui de la courbe quadruple ec, étant douze, il
reste pour le rang de la focale 52 — 4 — 12 = 36; doner = 36.

Autrement: considérons la développable A dont les génératrices
kh sont tangentes à la focale. La section de cette surface A par le
plan Ÿ, consiste en les six droites /, et en une courbe restante 4.
Cette courbe est, comme on la vu au $ précédent, du degré
vingt-quatre. On peut s'en assurer encore en déterminant le nombre
des points de la courbe 6 sur une tangente quelconque de la
conique ¢,. Cette tangente rencontre la courbe 4 vingt-quatre fois,
puisque, par son point de contact avec la conique c,, il passe

54. FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

quatre droites / sur chacune desquelles se trouvent six points de
la focale (§ 44).

Les points de rencontre des courbes 4 et & sont:

1° les six points 4, où la courbe 4 touche deux fois la conique €, ;

2° les vingt-quatre points, où les tangentes à la focale en les
points @, rencontrent la conique €.

La section de la surface A par Je plan V, étant composée de
la courbe 6 du degré vingt-quatre et des six droites /, qui sont
des génératrices doubles w, est du degré trente-six, donc, 7 = 36.

À
À
À

n (r + 4) — 6 (x + 8) — Aw H)—2v
DATI 4) == CAL SE) A0 CE
120.

WU

Les points a et S comptent pour 6 X 2 + 6 X 2. X 3 — 48
intersections de la courbe @ avec une nappe de la surface O; donc,
il reste encore 120 — 48 — 72 points stationnaires (2 sur la focale;
donc 72: 5

Détermination de m et de 2. La classe m de la développable A
sera la moitié du nombre de ses plans tangents 0, qui sont éga-
lement tangents à la.conique cy. Ces plans tangents communs sont:

1° les six plans &, qui comptent chacun pour six plans 0, / étant six;

2° les six plans o, passant par les droites /,; ces plans sont
aussi des plans o ($ 36) et comptent chacun pour six plans tangents
communs ($ 45);

3° les plans o des points 8, cequi donne la relation:

m=, OX6+6X64B8). A).

Des formules de Cayley-Plichker on tire:

P= 3(n — 7) + m + v. (B).
On a vu au $46 que v = 0 et on vient de trouver » = 36,
r = 36. En substituant ces valeurs dans la relation B, celle ci
devient:
LB = 3 (36 — 36) + » + 0 (C).
Des formules A et C il s'ensuit m = B= 72
Des valeurs n= 36, r= 36, m— 12, B — 12, v — 0 on
tire, au moyen des formules données au $ 33, a — 144, © + a=
= 2022 6p =

540, y+ w= 504, 4 + H= 504, y + G= 2822, p

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 55

§ 53. La projection / de la focale sur le plan W, le point
Z étant le centre de projection, est une courbe dont le degré est
la moitié de celui de la focale (§ 8); donc: g = 18.

Par le point 7 il passe seize droites #, tangentes à la focale en
les seize points de rencontre des huit droites 4, ($ 9); donc, la
classe de la courbe 7” est:

y = 1}, (36 — 16) = 10.

72: donc zx’ = 36.
72: donc, il passe par le point Z soixante-douze plans 0.

> ©
lil |

m
Parmi ces plans se trouvent les seize plans stationnaires @, qui
passent par les seize droites #, lesquelles se rencontrent au point
7; done il passe encore par le point Z vingt-quatre plans 0, qui
ie "

Lou: 86, « = 12 on déduit:

coincident deux à deux; donc:

De ces valeurs x’ = 18, v’
7’ = 18, d = 94, p = 6.
=. Sin lon remplace la conique Cy par le cercle imaginaire de Vinfini,

0
‘

|

la projection /’ devient la projection orthogonale de la focale sur
le plan de la cubique 4.

Section II.
FOCALE DE LA CUBIQUE DE LA TROISIÈME CLASSE.

§ 54. Des points stationnaires de la courbe donnée et des géné-
ratrices stationnaires. Une cubique de la troisième classe possède
un point stationnaire. Nous avons vu au $ 16, que si la courbe 4
présente la singularité d’un point stationnaire, il se pourrait que la
surface © possède une génératrice stationnaire v. Soit x le point
stationnaire, soit 7 la tangente à la courbe d en le point x, soit
R le point, où cette droite / rencontre la droite z et soient P,
et P, les deux points, où la polaire du point &, par rapport a
la conique & rencontre cette conique c,. Les droites x P, et Py x
seront les deux droites /, qui passent par le point %. Par le point
x il passe trois tangentes consécutives à la courbe 4, par conséquent,
il passe par ce point x deux triades de plans o consécutifs. Done,
ou le point x est deux fois un point de l’arète de rebroussement,
ou par chacun des deux droites /, il passe une triade de plans 0.

Si par la droite P, x, il passe trois plans o consécutifs cette
droite est une génératrice stationnaire v. Alors chaque plan, et par
conséquent le plan VY aussi, rencontre cette droite P, x dans un
point, qui est un point stationnaire de l’intersection de ce plan
avec la surface OQ. Cette section consiste en la conique c, et en

56 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

quelques droites, dont, en général, aucune ne passe par le point
P,, donc, la droite P, x n’est pas une génératrice stationnaire v
et le point x doit être le point, où la génératrice ordinaire x P,
touche l’arête de rebroussement a.

De même, la droite P, x est tangente à l'arête de rebroussement
a en le point x et, par conséquent, le point x est un noeud 7
de la courbe a.

Ce raisonnement tombe en défaut si le plan V passe par la droite
P, x, puisque chaque plan, passant par une génératrice stationnaire
v, coupe la développable O suivant une courbe avec laquelle la
droite v a un contact de l’ordre trois et que l'intersection ne pré-
sente plus de point stationnaire sur la droite v (Cremona-Curtze,
Oberflächen p. 83).

Done, si le point stationnaire x est situé sur la droite z il est
possible que, par ce point, il passe deux génératrices stationnaires
v. Nous verrons dans un chapitre suivant, que la courbe 4 ayant
cette position particulière, la surface OQ possède en effet deux
droites v.

Sur la développable O, le point x, de la courbe d, est un point
quadruple parce que ce point x est un noeud / de la courbe a.
Par ce point il passe six branches de courbes doubles, dont deux
sont les deux branches de larête de rebroussement « et deux autres
les deux branches de la courbe 4. Par le point x, 1l passe encore
deux branches de la courbe nodale, qui doivent appartenir à la
focale. Comme les plans tangents aux quatre nappes de la surface
coincident deux à deux les quatre branches nodales seront toutes
tangentes à la droite d’intersection des deux plans tangents, savoir,
la tangente à la courbe d en le point x. Par conséquent, le point
Æ est un point stationnaire de la focale, et la tangente à la focale
en ce point, coïncide avec la tangente ¢ à la courbe den le point x.

$ 55. Délermination des singularités de la surface O. La sec-
tion de la surface O par le plan W consiste en la cubique ds,
qui est une courbe nodale et en les deux fois trois droites /,, tan-
gentes à la cubique d,, qu’on peut mener par les points J et J;
done: 7 = NX 8 eZ MOR = 12:

La section par le plan / consiste en la conique cy, qui est une
courbe triple et en les trois fois deux droites /,, tangentes à la
conique €, qu'on peut mener par les points 4, 4, et ds. On
trouve facilement: „== 6, 2—=2%;w—0;v—0,G—0, H—=1
(§§ 31, 32, 54).

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 57

Au moyen des formules de Cayley-Phicker on trouve alors:
n=00) = 83, y= 47, P= 30, A= 138, 9 => 6, p= 2.

Les vingt points d’intersections de l’arête de rebroussement a
avec le plan W sont 1° les points de contact des six droites /,,
avec la cubique d,; ce sont des points 2 et ils comptent pour
trois intersections chacun ($ 21), 2° le point x qui est un noeud
H de la courbe a.

Les points d’intersections avec le plan V sont:

1° les deux points a;

2° les six points de contact S des droites /, avec la conique cy.

On trouve facilement y = 6, y, = 14; donc, il reste y, — 27.
(§ 43).

Le plan W étant un plan y, pour chacun des neuf points de
la focale où se rencontrent deux droites /,,, il passe en outre par
un point quelconque du plan # dix-huit plans 7,. Donc les cordes
de contact (directrices) enveloppent une courbe de la neuvième classe.

Le plan / compte pour douze plans y,, pour les douze couples
de droites /, qui se rencontrent dans des points de la focale; done,
les intersections des plans y, avec le plan V enveloppent une courbe
de la quinzième classe. Le lieu des pôles de ces intersections (par
‘apport à la conique c,), ou bien le lieu des intersections des tan-
gentes # à la focale avec le plan /, ou bien encore la courbe 4,
est de l’ordre quinze.

Les points de contact des six droites Z,, avec la cubique 4, et
les six points de contact S' des droites 7, avec la conique €, sont
des points stationnaires (2; donc, des trente points stationnaires (2
il y en a dix-huit, qui sont situés sur la focale; ou bien 8, — 18.

Chaque droite 7 rencontre 7 — 4 — 12 — 4 — 8 autres droites
/ non consécutives, dont une sur la cubique 4, et deux sur la

conique &, donc chaque droite / rencontre la focale cing fois; / = 5.

$ 56. Determination des singularités de la focale. La cubique
d, est du degré trois, la conique c, étant une courbe triple est
de l’ordre six; donc, il reste pour le degré de la focale: x = 33 —
8 — 6 = 24. i

Les vingt-quatre points d’intersection de la focale avec le plan
W sont: 1° les neuf points, où les trois droites Z,, passant par le
point J, rencontrent les trois droites /,,, qui passent par le point
J; 2° les six points D ott ces tangentes /,, rencontrent encore la

cubique 4,; ces points sont des noeuds de la focale, donc ils comp-
tent double; 3° le point x, qui est un point stationnaire 8, dont

58 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

la tangente se trouve dans le plan W; donc, ce point compte pour
trois intersections.

Les intersections de la focale avec le plan V sont: 1° les douze
points outre les points 4, où se rencontrent les droites /,; 2° les
six points S par chacun desquels il passe une branche de la focale
laquelle y touche une droite /, (§ 36).

Détermination de r

R=r(a-+ 6)— 32 9 m 3v— 24,

R RAS NE cal SRE eel
R= 54 — 30; (Z. Pascal II p. 322).

I

Le rang de la courbe nodale 4, étant trois et celui de la courbe
triple « étant six, il reste pour le rang de la focale 30 — 3 —
6— 21; donc: 7 = 21.

Autrement: considérons la développable A dont les génératrices
k sont tangentes à la focale. La section de cette surface A’ par le
plan Ÿ, consiste en les six droites /, et en une courbe restante 4. Cette
courbe 6 est, comme on l’a vu au $ précédent du degré quinze.
On peut s’en assurer encore en déterminant le nombre des points
de la courbe 4 sur une tangente quelconque de la conique €.
Cette tangente rencontre la courbe 6 quinze fois, puisque, par son
point de contact avec la conique c,, il passe trois droites / sur
chacune desquelles se trouvent cinq points de la focale, / étant
cing. ($$ 44, 55). |

Les trente points de rencontre des courbes 4 et «& sont: 1° les
six points #, où la courbe 5 touche la courbe c,; 2° les dix-huit
points, où les tangentes à la focale en les points B, rencontrent la
conique Co.

La section de la surface A, par le plan 7, étant composée de
la courbe 6 du degré quinze et des six droites /,, qui sont des
génératrices / simples, cette section est du degré vingt-et-un; donc
ES ae

Détermination de (2.

A n(r + 4) — 6 (r + p) A + a‘ H) — 2 v.

A= 20 (12 + 4) — Gaz BON AM (ON TE DG
À = 20.16 — 6.42 — 4 = 4 (80 — 63 Wend ds

Les points @ et $ comptent pour 2 X 1 + 6X 3 = 20 inter-
sections de la courbe a avec une nappe de la surface O; donc, il

ann nd

and

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 59
reste encore 64 — 20 = 44 points A, donnant des points station-

naires Ie sur la focale. Le point z de la conique 4, étant aussi
un D E Ne 54) le nombre total des points étonne p=

Détermination de m et de B. La classe m de la développable K
sera la moitié du nombre de ses plans tangents o, qui sont à la
fois tangents à la conique c,

Ces plans tangents communs sont:

1° les deux plans & qui comptent chacun pour cinq plans o
/ étant cinq; FR

2° les six plans o passant par les droites /,; ces plans sont aussi
des plans o ($ 36) et comptent chacun pour trois plans tangents
communs (§ 45);

3° les plans o, qui sont osculateurs à la focale en les points
stationnaires provenant de la singularité À ($ 45). Le nombre de
ces points stationnaires de la focale est moindre d’un que le nombre
total 2 à cause du point x de la conique 4,, ce point étant un
point £ (§ 54). Le plan osculateur o de ce point 2 n’est pas tan-
gent à la conique cy.

Ce qui donne la relation:

mia LX5H6X8+B—]1) (A).
Des formules de Cayley-Plücker on tire la relation:
B= 3 (x — 7) + m+. (B).

CPV quem — 24 (6 55), r= 2) (K 50) p= 0 (§ 54). Si
Von substitue ces valeurs, la relation B devient:

B = 3(24—21)+m+0=9-+m (C).
Des relations A et C on déduit w — 36, B = 45.

Une fois connues les singularitss 2 = 24, r= 21, m= 36,
B = 45, v=0, on en déduit au moyen des formules de Cayley-
Plicker les autres singularités: a = 69, x + w= 156, y=

144, 2+ H— 198, 9+ G=—516, p= 10.

§ 57. De la projection f' de la focale sur le plan W. La
projection f de la focale sur le plan W, le point Z étant le
centre de projection, est une courbe dont le degré est la moitié
de celui de la focale ($8); done u == 12.

Par le point 7 il passe neuf droites % tangentes à la focale en

60 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

les neuf points de rencontre des six droites Z, ($ 9); donc, la
/
classe de la courbe 7” est:

ILE NE

45; un de ces 45 points 6 est dans le plan W. Ce point
stationnaire se projette comme point ordinaire de la courbe AB
done nw = 22.

m étant 36, il passe par le point Z trente-six plans o. Parmi
ces > plans se trouvent les neuf plans stationnaires a, qui passent
par les neuf droites #, lesquelles se rencontrent au point Z, et le
plan o qui na: au point @, coincidant avec le point x
donc, il passe en outre huit plans o par le point Z; ces art
coincident deux à deux et donnent: # = 4.

De ces valeurs u = 12, 2 Es ien 29,1 — 4ontirer = 3,
db A i
~ 7’ étant trois, la courbe /’ ne peut se décomposer qu’en des
droites et en une seule courbe restante. Cette courbe restante aurait
les: singularités 1 _— ‚4 92 Nr eten — 6; done, ellemme
peut être une courbe autre que la courbe 7”, ou bien la courbe
f ne se décompose pas.

Si la focale se décompose, elle devrait se décomposer en deux
parties, la projection de chaque, partie étant la courbe /’. Les
deux branches de la focale, qui passent par le point x, devraient
alors appartenir à deux courbes différentes, cequi est impossible;
done, la focale f/ ne se décompose pas.

$ 58. De la section de la surface K par le plan W. Nous avons
vu au § 8 que la section de la surface A par le plan West une
courbe nodale de la surface A, et on serait tenté de croire que,
par conséquent, l’ordre 7 de cette surface A’ devrait toujours être
un nombre PA Nous avons vu au $ 56 que 7 — 21. donc, en
le cas dont s , la section ne peut « évidemment pas être formée
par une “us seule. Remarquons que la droite / tangente
à la courbe 4, en le point stationnaire x est une droite / simple
tangente a la Scale en un point stationnaire &. Donc, en ce cas,
la section de la surface A par le plan /V consiste en la droite 4
et en une courbe s du degré dix, laquelle est une courbe nodale de
la surface K; donc: = 10

Les trente points, où la courbe s rencontre la cubique @, sont:
Lisle point xy, où une branche de la courbe Ss touche la bons t,
tangente à la cubique 4, en le point x; ce point compte, par con-
séquent, pour trois intersections; 2° les trois points 4,, dy et 4, en

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 61

chacun desquels la courbe s touche la cubique 4, ($ 48); 3° les
six points D, qui sont des noeuds de la focale et des points sta-
tionnaires de la section s ; la tangente à la courbe s ne coincidant
pas avec la tangente à la cubique d,, chacun de ces points compte
pour deux intersections; 4° les neuf points par chacun desquels il
passe deux droites Æ, tangentes à la focale en des points station-
naires 2, de la courbe a.

Le plan W west pas un plan o et par Es tangente à la
courbe s, il passe deux plans 9 or" donc; = m : 2 == 18.

Des vingt- "quatre points où la focale rencontre le plan W (§ 55)
il n’y a que les six points D, qui donnent des points stationnaires
sur la section s ($ 48); donc, x” = 6.

Les neuf plans «a, qui sont “osculateurs en les points d? intersec-
tion de deux droites /, ne coupent pas le plan // suivant des
tangentes d’inflection de la section s.

Par chaque tangente Winflexion de la section s il passe deux
plans stationnaires a; donc, ¢” = 1/, (a — 9) = 1}, (69 — 9) = 30.

La courbe nodale de la surface K est du degré cent cinquante-
six, cette courbe se décompose en la courbe s et en une courbe
restante du degré 146. Cette courbe rencontre > Je plan W; 1° trois
fois dans chaque point 2; 2° deux fois dans chacun des huit points,
où la tangente ¢ rencontre en plus la section s; 3° une fois dans
chacun des points, ott un des quatre plans Hanke G passant par
le point Z, touche la section s. Le nombre de fois que la courbe
rencontre la section s en des noeuds de cette section est donc:
146—6X 3—8X 2—4— 108. Par chaque noeud de la
section s, il passe quatre branches de la courbe, donc le nombre
de noeuds est vingt-sept; d” — 27. Ces valeurs &” = 10,7’ — 18,
x" = 8, * = 30, 0” = 27 satisfont aux relations de P/ücker; on
en deduit: +” = 103, p” = 3.

Section III.

FOCALE DUNE COURBE DU DEGRÉ QUATRE ET DE LA CLASSE TROIS.

$ 59. Des tangentes doubles de la courbe donnée d. Nous avons
vu au §15 que la développable O pourrait posséder un plan double
G si la courbe / possède une bitangente r.

Soit Z le point, où cette bitangente 7 rencontre la droite z,
soient P, et P, les deux points, où la polaire du point &, par
rapport à la conique cy, rencontre cette conique «, et soient Q,
et Q, les deux points, où la droite 7 est tangente à la courbe d.
Les droites ?, Q, et P, Q sont deux des droites /, qui passent

62 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

par le point P,. Le plan (2, 7) est le plan o, tangent à la dé-
veloppable O le long de la droite P, Q, aussi bien que le long
de la droite P, Q,. Donc, ce plan (P, 7) est un plan G; il en
est de même pour le plan (P, 7); par conséquent, par une droite
bitangente à la courbe d, il passe deux plans G.

Les deux nappes de la surface O, qui passent par les droites
P, Q et P, Q, ont en le point commun P,, le même plan tan-
gent, savoir: le plan (P, 7). Ces deux nappes se coupent suivant
deux branches de la courbe nodale, une branche est la conique cy,
l’autre branche appartient à la focale.

Il en est de même pour le point P, et, en général, nous aurons:
par chaque point, où un plan @ est tangent à la conique €, il
passe une branche de la focale.

$ 60. Détermination des singularités de la surface O. Déter-
minons, comme exemple, la focale d’une courbe 4, du degré quatre
et de la classe trois. |

Les singularités de cette courbe 4, sont:

TR Ie Oy, Oe NR ie ee
on déduit: G == "2 == 2, = op — Oe — 25 — OF 01), oe
HSS OY 52, 94), @ — UO). 02,0

La section de la surface O par le plan W, consiste en la courbe
d,, qui est une courbe nodale et en les deux fois trois droites /,
tangentes à la courbe d,, qu'on peut mener par les points J et J;
done 7 PE RUE PORT

La section de la surface O par le plan 7 consiste en la conique
Co, qui est une courbe triple, y étant trois, et en les quatre fois
deux droites /,, tangentes à la conique &, qu'on peut mener par
les quatre points 4, où la courbe 4, rencontre la droite z; donc:
f= eo xX 2 AND TE

Des singularités déterminées, on tire, au moyen des formules

52, B= 36, y= 70.

données au § 33, u — 24, æ —

Les vingt-quatre points (intersection de l'arête de rebroussement
a avec le plan W sont: 1° les six points, où les droites /, tou-

chent Ja courbe d,; ces points sont des points stationnaires (2 et

ys
comptent pour trois intersections chacun (§ 21); 2° les trois points
stationnaires x de la courbe d,; ces points sont des noeuds // de
la courbe a (§ 54).

Les vingt-quatre points d’intersection de larête de rebroussement
a avec le plan / sont les huit points 8, où les droites /, touchent
la conique Cy, CCB points étant des points @, ils comptent pour
trois intersections chacun.

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 63

Les points de contact S’ des huit droites /, et les six points de
contact des droites /,, avec la courbe d,, sont des points 2; donc
des trente-six points stationnaires (2, il y en a vingt-deux, qui

sont situés sur la focale, ou bien: B, = 22.

On trouve facilement y, = 7, y, = 18, done il reste y, = 45
(§ 43). Le plan W étant un plan y, pour chacun des neuf points
C, où se rencontrent deux droites /,,, il passe, en outre, par chaque
point du plan WV, trente-six plans y,; donc, les cordes de contact
(directrices) enveloppent une courbe de la classe dix-huit.

Le plan V étant un plan y,, pour chacun des vingt-quatre
points B, où se rencontrent deux droites /,, il passe, en outre,
par chaque point du plan / vingt-et-un plans 7,; donc la courbe
b est du degré vingt-et-un ($ 43).

Chaque droite 7 rencontre 7 — 4 — 10 autres droites / non

_ consécutives, dont une sur la courbe 4, et deux sur la conique €, ;

done, chaque génératrice rencontre la focale sept fois ou /— 7.

$ 61. Détermination des singularités de la focale. Délermina-
tion de n. La courbe d, est du degré quatre, la conique c,, étant
une courbe triple, est de l’ordre six; donc, il reste pour le degré
de la focale: z 4 6,. on 2 — 42.

Les quarante-deux points d’intersection de la focale avec le plan
W sont: 1° les neuf points C, où se rencontrent deux droites /,,;
2° les douze points D où les tangentes /, coupent la courbe d,;
ces points sont des noeuds 77 de la focale; 3° les trois points x
de la courbe d,; ces points sont des points stationnaires (2 de la
focale et comptent pour trois intersections chacun ($ 54). À

Les points d’intersection de la focale avec le plan W sont: 1°
les vingt-quatre points B, où se rencontrent deux droites /,; 2° les
huit points #', où Ja focale est tangente au plan 77 (§ 36); 3° les
deux points P, et P, (§ 59).

Délermination de r. La section de la surface A par le plan 7
consiste en les huit droites Z, et en la courbe 4.

La courbe 4 rencontre chaque tangente à la conique cy, vingt-
et-une fois, puisque par son point de contact, avec la conique cs,
il passe trois droites /, sur chacune desquelles se trouvent sept
points de la focale, / étant sept ($$ 44, 60). La section de la
surface A par le plan /, étant composée des huit droites Z,, qui
sont des génératrices Æ simples et de la courbe 4, qui est du degré
vingt-et-un, cette section est du degré vingt-neuf; ou 7 — 29.

64 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

Autrement. La section de la surface A par le plan WV consiste
en les trois tangentes à la courbe 4, en les points stationnaires z
et en une courbe double s ($ 58). Cette courbe double s rencontre
la courbe d, cinquante-deux fois, savoir: 1° trois fois dans chacun
des trois points x; 2° deux fois dans chacun des douze points D,
lesquels sont des points stationnaires de la courbe s; 3° deux fois
dans chacun des quatre points 4, la courbe s étant tangente à la
courbe 4, en chacun de ces points. La section est done composée
de trois droites, génératrices simples, et d’une courbe double du
degré treize; done; sd 29@ 13 SMI

Détermination de m et de B. La classe m de la développable Æ
est la moitié du nombre de ses plans tangents 0, qui sont à la
fois tangents à la conique co. 4

Ces plans tangents communs sont: 1° les huit plans o, passant
par les droites /,; ces plans sont des plans o ($ 36) et comptent
pour trois plans tangents communs chacun ($ 45), 2° les plans 0
qui sont osculateurs à la focale en les points stationnaires B, pro-
venant de la singularité A. Soit (2 le nombre total de points sta-
tionnaires 2 de la focale, parmi ce nombre £ de points, se trouvent
les trois points x de la courbe 4, (§ 54). Les plans osculateurs de
ces trois points ne sont pas tangents à la conique &; donc,

n= + {8 X 3.+ 6 — 3} (A).
Des formules de Cayley-Plichker, on tire la relation:
Ee Operas (eh

On a vu que # — 42, r= 29 et v—= 0 ($ 46); si l’on substi-
tue ces valeurs, la relation B devient:

BBA m (C).

Des relations A et C on déduit: m= 60 — 00!
2
Une fois les singularités %, 7, m, v et B connues on trouve

facilement les autres.

CHAPITRE VI.
FOCALE DE LA COURBE PLANE D'ORDRE & ET DE POSITION GÉNÉRALE.

§ 62. Determination des singularilés ordinaires de la développable
O. Soit la courbe 4 une courbe plane possèdant les singularités

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 65

d, x, + et « et n’occupant pas une position particulière, par
rapport au plan / ou par rapport aux points J et J.

La section de la surface O par le plan W consiste en la courbe
d du degré x, laquelle est une courbe nodale, puisque chaque
tangente à la courbe 7 rencontre deux tangentes à la conique €,
et en les deux fois y droites /,, tangentes à la courbe 4, qu’on
peut mener par les points Z et J (§11); donc r — 2 u 2v.

La section de la surface O par le plan consiste en la conique
€, qui est une courbe multiple d'ordre y, puisque chaque tangente
à la conique c, rencontre y tangentes à la courbe 4, et en p fois
deux droites /,, tangentes à la conique c en les points #, qu’on
peut mener par les # points 4, où la courbe 7 rencontre le plan
V; donc, r=2v +2.

La classe m de la surface O sera le nombre des tangentes com-
munes à la conique c, et à la projection # de la courbe d sur le
plan V, un point quelconque de l’espace étant le centre de pro-
jection ($ 12). La projection # étant, comme la courbe 4, de la
classe y, le nombre de ces tangentes communes est 2 y; donc
m = à y.

De cette valeur m= 2v il s’ensuit que, si la courbe d possède
une focale plane, cette focale sera de la même classe y que la
courbe d.

Nous avons vu au $13 qu’un plan o peut devenir un plan
stationnaire a: 1° s’il coïncide avec un des plans V et W, 2° sil
passe par une tangente d’inflexion + de la courbe 4. Le plan V
n'étant pas tangent à la courbe 4, n’est pas un plan o; de même,
le plan W n'étant pas tangent à la conique c,, ce plan n’est pas
un plan o non plus. Nous avons vu au $ 31, que par une tan-
gente d’inflexion il passe deux plans a; donc a = 24.

Nous avons vu aux $$ 16 en 17 que la surface O pourrait pré-
senter une génératrice stationnaire v ou une génératrice double w,
si une des droites /, ou /, était une droite double, ou si la
courbe d présentait un point double (rebroussement ou noeud).

Les points 4 étant des points ordinaires de la courbe d, les
droites 7, ne sont pas des droites doubles; les droites /, sont éga-
lement des génératrices ordinaires, puisque les points Z et J n’occup-
pent pas une position particulière, par rapport à la courbe 4 (par
exemple, ces points ne sont pas situés sur une tangente d’inflexion
ou sur une tangente double de la courbe d).

La courbe 4 présente des points doubles, mais nous avons vu
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie) Dl. VIII. E 5

w

66 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

aux $$ 50 et 54 que ces points doubles ne donnent pas des droites
v et w, à moins que ces points doubles ne soient pas situés sur
la droite z ou que ces points ne soient pas des points consécutifs
de la courbe d. La courbe 4 n’occuppe pas une position particu-
lière, donc:

r= 0. tos),

Nous avons vu au $ 15, que pour que la surface O puisse
posséder un plan bitangent @, il faut satisfaire à une des condi-
tions suivantes, nécessaires mais peut-être pas suffisantes; 1° que
les plans Ÿ et W soient des plans 0, 2° que la courbe d possède
une bitangente 7, 3° que les deux courbes d et c, se rencontrent.

La courbe 4 satisfait à la deuxième condition et nous avons vu
au $59, que chaque bitangente 7 donne deux plans G; donc:

3 4.

GT

Nous avons vu au $ 382 qu'il n'existe pas un noeud H de la
courbe a, situé en dehors des plans / et W, à moins que la
courbe d n’occuppe pas de position particulière par rapport aux
points 7 et J. Nous avons vu au 6 54 que chaque point x de la
courbe d est un noeud MZ de la courbe a; donc,

H = x = 38 (w—y) +i.

Des singularités déterminées,

r =? (4 +»),

M= y,

2 ape

ay,

Az LE
Gp — w—y— 34,
Hu) +4, ,

on déduit, au moyen des formules données au § 33,

n=? (But 4),

=p dw) — 10u 2y— Be,

y LD th 2 UE lay 2
= ]2u— 4y 6.

Chaque droite / rencontre r — 4 == 2 w + 2 y — 4 autres droites
/ non consécutives, dont une sur la courbe d et » — ] sur la
conique &; done chaque droite / rencontre la focale 2 u + y — 4
fois, ou bien: / = 2 wet

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 67

§ 63. Discussion den, de y, de Bet de À. Les 2(3p +4)
points d’intersection de l’arête de rebroussement a avec le plan W
sont: 1° les 2 y points de contact des tangentes /,,; ces points sont
des points stationnaires (2 et comptent pour trois intersections cha-
cun ($21); 2° les x points stationnaires de la courbe d; ces points
sont des noeuds H de la courbe a et comptent, par conséquent,
pour deux intersections chacun (§ 54). Le nombre total des inter-
sections est donc

Dv KB rr 6(m—v) + Li (3 + 5).

Les points d’intersection de la courbe a avec le plan sont:

1° les 2 points S, qui comptent pour trois intersections chacun
(§ 21); 2° les points a, qui sont au nombre de 2 4.

Des points stationnaires 6 de la courbe a, 2 sont situés sur la
courbe 4, savoir les points de contact de cette courbe avec les
droites /,, et 2m de ces .points sont situés sur la conique cj,
savoir les points #; donc le nombre 2, des points stationnaires de
la courbe a, situés sur la focale est: 6 — 2 u — 2 y donc:

B 10 — 6 y + 64.

Déterminons le nombre des plans 7,, qui sont les plans y pour
lesquels les deux droites / situées dans un tel plan se rencontrent
dans un point de la courbe d. Soit B un point quelconque du
plan V, par ce point B il passe d’abord le plan /, qui compte
pour 4 plans y,, parce que dans le plan V se trouvent & couples
de droites /, qui se rencontrent dans les points 4 de la courbe d.
Les points Q de la courbe d, dont le plan y, passe par le point
B, doivent être tel, que la polaire par rapport à la conique c, du
point Æ, où la tangente à la courbe d en le point Q rencontre
la droite z, passe par le point B. Cette polaire passe toujours par
le point Z, donc le point # doit être le pôle de la droite BZ,
par rapport à la conique €. A un point Z il correspond y points
Q, donc il passe en plus par le point B y plans y, d’où.

N= hy (643).

On peut déterminer le nombre des plans y,, passant par un
point quelconque, lesquels sont les plans y, pour lesquels les deux
droites 7 qui sont situées dans un tel plan, se rencontrent dans un
point de la conique cy, en prenant pour le point quelconque un
point B quelconque situé dans le plan WV. Les y droites /,, qui
passent par le point 7 donnent 4 (y?—-y) couples de droites /, qui

E 5*

68 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

se rencontrent sur la conique ¢,; il en est de même pour le point
J, donc le plan W compte pour y?—y plans 4.

Nous avons vu au $48 qu'on obtient deux plans y, pour chaque
point # de la droite z, lequel satisfait à la condition, que le point
B se trouve sur une droite, qui joint deux des y points de con-
tact des tangentes à la courbe 4, qu’on peut mener par le point
R. Le nombre de ces points est wy — 1(3y + x), GU. C. KLurver
Nieuw Archief v. W. deel XVII). De ce qui précède il ressort que:

Yo =v? — y +2 Eu —4(8y+ x)}) =v? + 2 py—y— 3 p—41.

Le nombre de plans y,, passant par un point quelconque de
l’espace, lesquels sont des plans y pour lesquels les deux droites /,
situées dans un tel plan, se rencontrent dans un point de la focale
est donc: y — y, — gg d'où y, = 2 p? + 2 wy Ly—2u— A».

Le plan / compte pour Stes 5 en SE You, à cause A en —
couples de droites /,, qui se rencontrent dans des points de la
focale; donc, les intersections des plans y, avec le plan /, enve-
loppent une courbe de la classe y, — (2 — 2), ou bien de la
classe v (2 w+ y — 4).

Le lieu des pôles de ces intersections, par rapport à la conique
c,, ou bien le lieu des intersections des tangentes # à la focale,
avec le plan VY, ou bien encore la courbe 5 est du degré
y (2 e+ y — 4).

Dans le plan W sont situées 2y droites /,, qui se rencontrent
dans les y? points C de la focale, donc, le plan W doit compter
pour y? plans yz. Par un point quelconque du plan W il passe,
par conséquent, 2 u? + 2 puy — Zp — Av autres plans y,. Nous
avons vu au $43 que deux plans y,, appartenant à deux foyers
conjugués, passent par une même droite du plan WV; cette droite
est la corde de contact des deux foyers conjugués avec la courbe d.

Par conséquent, ces cordes de contact (directrices) enveloppent
une courbe de la classe pe? wy — wo — y.

A = m(r + 4)— 6 (r + a) —4(w + G) — 2», (B. Pascal IT Geo-
metria. p. 322); si Von substitue dans cette formule les valeurs
des singularités trouvées au § 62 on trouve:

A = 4 p(y — 2).

On obtient un plan a’ toute fois que la courbe a et une nappe
de la surface O ont une tangente commune. Chaque droite /, touche
en un point # à la courbe @ et à y — 2 nappes de la surface O;

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 69

_ donc, une droite /, compte pour 2 w — 2) tangentes communes.
Par les 2 a droites /,, il passe, par conséquent, 4 y (y — 2) plans
A; donc, en dehors du plan 7, il n'existe plus de point a’, où
une droite / touche une nappe de la surface O. Il en résulte que
la focale ne possède pas des plans æ, provenant de la singularité A’.

$ 64. Détermination de n et de r. Le degré de la courbe 4
étant y et celui de la conique &,, qui doit compter pour + y (y — 1)
coniques doubles, étant y (y — 1), le degré de la focale est:

2 — pm —v(v — 1); donc,
m= 2 pu? + 4 py + v? ll

Les intersections de la focale avec le plan W sont:

1° les y? points C, où les droites /,, qui passent par le point
J rencontrent les droites /,, qui passent par le point /;

2° les x points stationnaires de la courbe d; ces points sont des
points stationnaires ( de la focale; la tangente à la focale en un
de ces points coincide avec la tangente à la courbe d, donc, un
tel point compte pour trois intersections ($ 54);

3° les d noeuds de la courbe d; ces points sont des points
quadruples de la focale ($ 51);

4 les 2v(m— 2) points D, où les 2 y tangentes /,, coupent
la courbe 4; chacun de ces points compte pour deux intersections,
parce que ce sont des noeuds de la focale ($ 35).

Les points de la focale situés dans le plan // sont donc au
nombre de v° + 3 x 4 4 d + 2y(u —2)X 2.

Si l’on remplace dans cette expression les singularités d et x par
leurs valeurs en fonction dessingularités 4, v et ¢, l'expression devient
2 up? + A pay y —Illu—y—-3:, ce qui est bien la valeur
trouvée pour .

Les intersections de la focale avec le plan V sont:
24 (2 um — 2)
GE
2° les 2 points S; par chacun de ces points S, il passe y — 2
i ,
branches de la focale, qui y sont tangentes au plan /;
3° les 27 points G où un plan @ touche la conique c, (§ 59).
Le nombre des points de la focale situés dans le plan V est donc:

Mu) Pop DK Hr
Zp + 4 puy + vy? — 11 pu — y — 3 1.

1° les

points B ott se rencontrent deux droites /,

70 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

Détermination de r. R—=rm+6r—-3n—9m—30—2G
(E. Pascal IT Geometria. p. 322), si l’on substitue dans cette for-
mule pour 7, m, 2, v et G les valeurs trouvées au $ 62, on obtient:

R=2(2 pv + — Zp Uw).

Le rang de la courbe d étant y et celui de la conique c,, qui
. 7 y — | \
est une courbe multiple, étant de Om 2 Xd i reste pour le

degré de la focale R — y — (y — 1); donc,
r = 4 pay + y — Au — 4 y.

Autre manière de déterminer r. Les droites #, tangentes à la
focale, engendrent une développable K. La section de cette déve-
loppable A, par le plan V consiste en les 2 droites /,, qui, étant
tangentes chacune à — 2 branches de la focale, comptent y — 2
fois, et en une courbe restante 5. Cette courbe 6 est, comme on
l’a vu au $ précédent, de l’ordre v (2 y + y — 4); donc:

=p) rudd),
r = 4 py + y — 4 — 4 y.

On peut déterminer le degré de la courbe 5 aussi en considé-
rant le nombre des points de la courbe 4, situés sur une tangente
quelconque de la conique c,. Cette tangente rencontre la courbe
b, v(2 pm + y — A) fois, puisque par son point de contact avec la
conique cy, il passe y droites / sur chacune desquelles se trouvent
2 pp y — 4 points de la focale, / étant 2 w + y — 4. ($$ 44, 62).

Troisième manière de déterminer r. La conique c, rencontre la
développable X,

1° aux 2 points S; par chaque point S' il passe y — 2 bran-
ches de la focale, laquelle est l’arête de rebroussement de la sur-
face K; ces branches y touchent la conique, done un point S
compte pour (y — 2) X 2 X 2 intersections;

2° aux 10 u — 6y + 6: points où les droites / tangentes à la
focale et à la courbe a en les points 8,, rencontrent la conique €, ;

3° aux v?—y— yp

34 points G, où la focale rencontre la
conique €; ces points comptent doubles puisque la focale est une
courbe double de la surface K;

4° aux points, où la conique cg rencontre une droite /, qui

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 71

touche la focale et provient de la singularité A’; nous avous vu au
20 : / RU :
$ précédent que les points A’ se réunnissent tous aux points S,
qui ont été déjà comptés sub 1°.
Le rang de la surface K est la moitié du nombre de ces inter-
sections; donc:

ee OR LO OO Are),
r=4Amy+v?—Ay—A4y.

Détermination de v. Par le mème raisonnement que celui tenu
au $ 46 on trouve v = 0.

§ 65. Détermination de m et de B. Chaque tangente à la courbe
b est Vintersection du plan V avec un plan o tangent à la surface
K et chaque plan o tangent à la surface K coupe le plan / sui-
vant une tangente à la courbe 4. Le plan #7 n’est pas un plan o,
puisque le plan / ne coïncide pas avec un des plans o qui tou-
chent la surface K le long des génératrices Æ, situées dans le plan
V (§ 36); donc, la classe m de la surface À est égale à la classe
de la courbe 4. La classe de la courbe 4 est la moitié du nombre
des tangentes communes aux courbes &, et 5.

Ces tangentes communes sont :

1° les 2 droites /,; chaque droite /, est une tangente d’in-
flexion de y —2 branches de la courbe 4, le point d’inflexion
étant le point S où la droite /, touche la conique ¢,; done une
droite 7, compte pour (y — 2) X 3 tangentes communes;

2° les 2: droites d’intersection des plans a avec le plan /; cha-
cune de ces droites d’intersection touche la courbe 4, 2 » + y — 4
fois, puisque la droite / située dans le plan æ& correspondant, ren-
contre la focale 2 u + y — 4 fois, / étant 2u + y — 4 ($ 62);

3° les droites d’intersection du plan / avec les plans o oscu-
lateurs à la focale en les points stationnaires 6’, qui proviennent
d’une singularité À non située dans un des plans / on WV;

4° les droites d'intersection du plan V avec les plans A’ pour
lesquels la tangente commune aux courbes a et / n’est pas située
dans le plan /; ce nombre est zéro, comme on l’a trouvé au
§ 63; donc:

\

On obtient un point stationnaire de la focale à cause de la sin-

12 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

gularité A ou à cause de la présence d’un point stationnaire x sur
la courbe d ($ 54); donc:

2 — ca + y. (B).

Des formules de Cayley-Plücker on tire la relation:

É RS en CET ee

Des formules A, B et C on déduit en tenant compte des valeurs
obtenus pour les singularités x, 7, et v ( 64):

m= 2[3 w(e dr) Him dr) + by],
B=2(84+)Qu+)— 57 pt lvs,

B=28e+) (24+ — 60 u + 24y— 281.

Pour vérifier ce résultat déterminons (2 au moyen de la formule
pour le calcul de A donnée par E Pascal IT Geometria p. 322:

A—=n(r +4) — 6 (r HP) 4 (wo + 1) — 20.

Si l’on substitue dans cette formule les expressions trouvées pour
les singularités x, r, 2, H, wet v (§ 62), la formule devient
A—A4f(3 wid (u + v) — 18 u + Óv— 84}.

Les points À sont les points où l’aréte de rebroussement « ren-
contre une nappe de la surface O. Parmi ces points de rencontre
se trouvent:

1° les 24 points @, situés sur la conique Cg, Où la courbe a
rencontre y — 2 nappes de la surface O;

2° les 2 points S, situés sur la conique c,, où la courbe a
rencontre également y — 2 nappes de la surface O, la courbe a
a de commun avec chacune de ces nappes, trois points, puisque
un point S’ est un point stationnaire (2 de la courbe a et parce que
la nappe qu’elle rencontre touche sa tangente en le point &.

Dans le plan W se trouvent aussi des points A, savoir les points
x de la courbe d, où deux branches de la courbe « rencontrent
chacune deux nappes de la surface O. Chaque point x compte,
par conséquent pour quatre points A. Dans la formule pour la
valeur de A on a déjà tenu compte de ces points A, savoir: dans
le terme — 4 H.

Le nombre des points A non-situés dans les plans V et W est
donc: A — 2s (vy — 2) — 24% (y — 2). 3. Chaque point À non situé
dans un des plans / et W, donne un point stationnaire IE} de la
focale, donc:

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. | 13

B =d pu + 7) — 30 à + 12 » — 144},

résultat conforme à celui que nous avons trouvé tout à l'heure.

Maintenant que sont connues les singularités 7, 7, m, (2 et v on
peut déterminer les autres au moyen des formules de Cayley-Plicker.

§ 66. Pour résumer je fais suivre les formules trouvées aux
§ § 62—65, qui expriment les singularités de la surface O et de
la focale en fonction des singularités ps, v et + de la courbe 4.

r—2{(u + y),
mm? y
a— 21

CITE DR Sr.
ee Fee er ay.

==),
i == 0;
n —= 2(3 w+ 3)

e= 2 (pu + y) — 10 pp — 2 y — 34.
y=) — Au Ay
B—=12u —4y +6.

AAB +) (e+ yv)— 184+ 6y— 84).
A= 4 pv — 2).

R= 2 (2 py +? — 2 — Lw).

n= 2 w+ 4p trl Bt u Au —
NON Er.
= 4 puy + vy? — Ap — Ay.

IS IS
pan,
S

m=(38 p+ 21) (26+) +38 ur — 86 pu + 12y — 18: —
= 6 pla +y—6) +2: 4+ y— 9) + 12».

B=2Gu+I@Rp Er) —5Tp+Ily — 27: (Bu +)
(Au + 2? y — 19) + 21 y — 8 4.

a=6(2e+4) (24+) —4 — 2 puy — 9 y? — 107 x +
+ 47 y — 57 4.

$ 67. En appliquant les formules du §66 aux courbes du
degré quatre, on obtient la table suivante.

14 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

B A Re Li STE a AN ee a ae

A „8 0 8 mt oO MON ZATEN PT ie TOC Om hia Go
4-4 1 290 T0) MO TS EE SSS
4,16 2) DAWA ZAL Sa SIS: AS REINE PRICES 5
Av 6) Ber Or 167 AMD! 12 ATA DIOR “SEG! Ope EN AI
A 6 0.2 S26 1.20 125 Von AO (22 OE A
ALF OUT AO PUAN IDE AY ESO MAA OS Ae ZAL 00
A 82-90 112 0 8 2416724 AS NO SG aA ANS Sea
A vO MOP 16 ALO 926" eS NES NON OMIS Orta” joe on
A 10 de) MIS 16 28 220% 36. 60, 32 OO bao ov 6
4 12 0 .24 28 53 941 AS 72 5OL 240 272 one "816

CHAPITRE VII.
DE QUELQUES COURBES DÉRIVÉES DE LA COURBE d.

§ 68. De la développée plane de la courbe d. Considérons comme
au § 10 une conique Ge passant par les points / et J et ayant
un contact d’ordre deux avec la courbe d. La droite Z EE;
qui joint les deux points Z et “, de l’arête de rebroussement a,
correspondants à la conique €, rencontre le plan WV dans le point
d'intersection des deux tangentes à la conique c, en les points 7
et J; par conséquent, la projection des deux points conjugués Z,
et Æ, sur le plan W, le point Z étant le centre de projection est
le pôle de la droite z, par rapport à la conique cy, et la projec-
tion de l'arête de rebroussement a est le lieu des pôles de la
droite z, par rapport aux coniques c'e.

Si maintenant on remplace la conique ec, par le cercle imaginaire
de Vinfini, on trouve que la projection orthogonale a de l’arête
de rebroussement a sur le plan W est le lieu des centres des cercles
osculateurs, ou bien, est la développée plane de la courbe d.

Il passe par le point Z les plans o osculateurs à la courbe a en
», ol les 27 droites /, sont tangentes à la courbe
d. Ces points #, sont des points stationnaires de l’arête de
rebroussement a ($21), et se projettent en des points ordinaires
de la projection a’. La tangente à la courbe a en un point #,,

étant une droite /, située dans le plan W, cette droite /, sera la
tangente à la projection a en le point 8

les points S à

cequi donne les théo-

ws

remes suivants.

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 19

1° Une courbe est tangente à sa développée en les points de
contact de ses tangentes isotropes.

2°. Les foyers de la courbe sont des foyers de la développée.
(Laurent: Traité d'Analyse, IT p. 108).

Réciproquement, les foyers de la développée sont des foyers de
la courbe, car, si une tangente à la projection a passe par le
point 7, il faut que les deux droites /, dont cette tangente est la
projection, passent également par le point 7, et les droites / pas-
sant par le point / sont des droites /,, tangentes à la courbe 4,
qui coincident avec leurs projections.

Un point stationnaire x de la courbe d étant un noeud H de
la courbe a ($ 54), ce point est un point de la projection a. Les
deux branches de la courbe a, passant par le point x, se projet-
tent en une seule branche de la courbe a’; donc: un point station-
naire x de la courbe d est un point ordinaire de sa développée.

Les singularités de la courbe à étant connues ($ 66), on en déduit
celles de sa projection a. Le centre de projection Z n'étant pas
situé sur la courbe a, le degré u de la projection a’ est égal à
Amd OM NOR (Su En) = Bye ni,

Le point Z n'étant pas situé sur la développable O, chaque
droite passant par le point Z rencontre 7 = 2 (4 + y) tangentes à
la courbe a, qui se projettent deux à deux en u + y tangentes à
la projection a’; d'où v = pu + y.

On obtient une inflexion de la projection a si par le point Z
il passe un plan osculateur o ou si la courbe a possède une tan-
gente stationnaire v; m étant 2v il ne passe par le point Z que
les 2y plans o, qui sont osculateurs en les 2 y points #',. et v = 0.
(902), done; =="0:

Les points stationnaires 6 de la courbe « se projettent deux a
deux en des points stationnaires x *de la courbe a’, exceptés les
2 y points stationnaires #,, qui sont situés sur la courbe 4, donc:

x= + {(B—2v} = 4 (12 Arre} = bu Bv

+ 31= 38 +) — (Hv)

Par conséquent, les singularités de la développée plane sont:

k=Sp div ety =—0,% =3 8Be+)—38 (u +).
(Salmon-Fiedler: Ebene curven p. 122).

Les 2 points stationnaires 6 de la courbe a, qui sont situés
sur la conique c, (les points #),se projettent en points station-
naires de la développée. Ces & points ont la droite de l'infini z
pour tangente commune. Les 24 points a de l'arête de rebrousse-
ment a, qui se trouvent sur la conique €, se projettent en les 4

76 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

points intersection restants de la droite de l'infini avec la développée.
Le cilindre projettant de la courbe « est enveloppe des plans
normaux de la courbe d ou bien est la surface polaire de la courbe d.

§ 69. Des développées gauches. Chaque droite / est une droite
isotrope, si la conique c, est le cercle imaginaire de l'infini, et,
par conséquent, est perpendiculaire au plan isotrope o, passant par
elle. Donc, chaque droite / coupe orthogonalement la tangente à
la courbe d située dans le même plan o. Par conséquent, la courbe
a est une développée gauche de la courbe d, ce qui démontre
encore une fois que sa projection orthogonale a’, est la développée
plane de la courbe d.

La longueur de la droite /, comptée de son point de contact
avec la courbe a jusqu’ à son point de rencontre avec la courbe
d étant nulle, puisque cette distance est le rayon d’une sphère de
rayon nul, les distances de deux points quelconques / et £’ de
la developpée a à sa développante d sont égales, d’où il suit que
la longueur de Pare de la courbe a, compris entre ces deux points
quelconques # et Z”, est nulle, ou bien la courbe a est une courbe
de longueur nulle (Darboux: Classe rem. p. 10).

Si au lieu de prendre pour la conique c, le cercle imaginaire
de l'infini, on prend pour la conique ce, une conique située dans
le plan de Vinfini et tangente au cercle imaginaire de linfini en
les points Z et J, chaque droite / sera perpendiculaire à la tan-
gente à la courbe d en le point où la droite / rencontre la courbe
d, donc, pour ce choix de la conique c,, l'arête de rebroussement
a est une développée gauche de la courbe d. Et inversement chaque
développée gauche de la courbe d est en choisissant convenable-
ment la conique €, l’arête de rebroussement d’une Haelen
O. En déterminant les singularités de la courbe a ($ 62), j’ai donc
déterminé les singularités we toutes les développées gauches de la
courbe d. Les points d’intersection d’une developpée gauche a de
la courbe d avec le plan W de la courbe d, sont les 2 y points
S,, où les tangentes isotropes touchent la courbe d et les x points
stationnaires de la courbe d. Les points S,, sont des points station:
naires de la développée a et les points x en sont des noeuds, ($ 63).

$ 70. Des courbes parallèles. Les droites /, rencontrant une
même conique c, bitangente au cercle imaginaire de l'infini, font
toutes des angles égaux avec la direction du point Z, donc coupent
aussi toutes sous un même angle le plan W normal à la direction
du point Z. Par conséquent, le plan VW et un plan W”, parallèle

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 77

au plan WY interceptent sur toutes les droites / des segments de
même longueur, et la courbe de section de la développable O par
le plan WV" est une courbe parallèle de la courbe d. Donc, les
singularités d’une courbe parallèle d’une courbe 4 sont celles d’une
section plane de la surface O; (voir, Sa/mon-Fiedler ; Ebene Curven).

Si la courbe d possède une focale plane f,, située dans un plan
W,, la courbe p,, l’intersection de la surface O avec un plan
parallèle au plan WW, sera une courbe parallèle de la courbe /,.
Les courbes parallèles des courbes d et f, auront les mêmes sin-
gularités. Ces courbes parallèles peuvent encore différer par la nature
de leurs points à l'infini.

Exemple. Nous verrons plus tard qu’une cubique circulaire de
la troisième classe 4, dont le point réel à l'infini 4, est un point
d’inflexion, possède une focale plane f du quatrième degré et de
la troisième classe, dont les points 7 et J sont des points station-
naires (voir P. H. Schoute: Comptes Rendus 6 Déc. 1897). Les
courbes parallèles de ces deux courbes auront les memes singula-
rités Plückériennes. Les points à l’infini de la courbe parallèle de
la courbe d sont les points Z et /, qui sont des points triples et
le pomt 4 qui est un noeud (inflexions knoten), tandis que les
points à l’infini de la courbe p, sont deux points quadruples, coïn-
cidant avec les points circulaires du plan W,.

Soient d et « des courbes réelles, alors la surface O sera réelle
également et chaque section s par un plan quelconque sera une
courbe réelle. Si maintenant on remplace la conique c, par le cercle
imaginaire de l’infini la courbe s restant réelle, la surface O devient
la développable focale (Darboux : Classe rem.) de la courbe s. La courbe
primitive d et sa focale f feront partie de la focale de la courbe s.

On voit facilement, que la figure symétrique de la développable
O par rapport au plan W est une seconde développable focale O°
de la courbe s, de sorte que la focale de la courbe s consiste, 1°
en la courbe d et sa figure symétrique, 2° en la courbe / et sa
figure symétrique, 3° en la courbe d’intersection des deux déve-
loppables O et 0", autre que la courbe s elle même.

La réciprocité entre la courbe s et sa focale ($ 5) n'existe plus
que pour la partie de la focale nommée sub 3°.

En appliquant ces résultats à une courbe parallèle » d’une courbe
d, dont la focale est une courbe /, on trouve, que la focale de
la courbe p consiste, 1° en deux courbes 4 situées en des plans
parallèles au plan de la courbe p, 2° en deux courbes 7, 3° en
une cinquième courbe pour laquelle le plan de la courbe p est un
plan de symétrie,

18 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

On démontre facilement les théorèmes suivants.

1° Une développée gauche d’une courbe parallèle se décompose
toujours en deux courbes dont l’une est la figure symétrique de
l’autre par rapport au plan de la courbe p.

2° La courbe parallèle de la courbe parallèle p se décompose
toujours en deux courbes parallèles de la courbe d.

3° Si la développable focale d’une courbe plane d se décompose,
cequi ne peut être qu'en deux figures symétriques, les développées
gauches et les courbes parallèles de la courbe d se décomposent
également, et réciproquement.

4° De chaque courbe simple tracée sur la développable focale
O, la développable focale et la focale se décomposent. De cette
focale font partie la courbe d et sa focale.

$ 71. Du lieu des centres des cercles bitangents et du leu des
points pour lesquels deux tangentes sont égales. Nous avons vu au
§8 que la projection orthogonale de la focale sur le plan de la
courbe d est le lieu des centres des cercles bitangents.

Les singularités de la focale étant connues ($ 66) on en déduit
comme aux $$ 47, 53 et 57 celles de sa projection 7’. On trouve
alors que les singularités du lieu / des centres des cercles bitan-
gents sont:

pin dw bd.

yo À (7 — 19) = 9 puy — 9 pu — 2 y.

DÉC TORP BN u Fr) 30 ut 1d.
tlm Br) B dv De (Rv — M) +
+ 6y—3T

Soit comme au $8 # un point de la focale, soit la conique c’,
un cercle bitangent à la. courbe d correspondant au point #, et
soient Z, et À, les points de contact.

La tangente # à la focale en le point # rencontre le plan W
dans un point Z, où se rencontrent les tangentes à la courbe 4
en les points 2, et A, (§ 8). Les deux droites ZR, et LR, sont
en mème temps des tangentes au cercle c', et, par conséquent, sont
égales, cequi donne le théorème:

La courbe nodale s de la développable A ($$ 44, 48), située
dans le plan W est le lieu des points pour lesquels deux des tan-
gentes, que l’on peut mener à la courbe d sont égales entre elles.

Les singularités de la développable A, étant connues ($ 66), on
en déduit, comme aux $$ 48 et 58, celles de la courbe d’inter-

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 19

section s. On trouve alors, que les singularités du lieu s, des
points pour lesquels deux tangentes à la courbe / sont égales, sont:

M on ee T+.

3 pa Qu Hv) iu + y — 9) + 6».

de he ys eh

=¢(@—v)— 38 (242+ 4) (um + v) — 2 we? — py — 55 pe +
22¥—- 3381:— 3rT.

Ia: EN

a . x | als.

Les tangentes a la courbe d en les points x font encore partie
du lieu.

Si la focale consiste en une ou plusieurs courbes planes le lieu
s consiste en une ou plusieurs droites.

§ 72. Du point Z comme centre de la développable O. Nous
avons vu aux §§ 8 et 10 que le point Zet le plan WV sont con-
jugués harmoniques par rapport aux couples de points conjugués
de la focale f et de l’arête de rebroussement a. Si donc on prend
pour le plan de Vinfini le plan W, le point Z sera un centre de
symétrie des courbes /, a, co et 6 et des développables O et K.

Corollaires.

1° Si la focale est de degré impair elle passe par le point Z,
et réciproquement.

2° Si la focale est une courbe plane ou consiste en une courbe
plane et quelques courbes gauches, le plan de la partie plane de
la focale passe par le point Z, et le point 7 devient un centre
de symétrie de cette partie plane et de la partie gauche si le plan
W devient le plan de l'infini.

3° Si plusieurs courbes planes font partie de la focale, les plans
de ces focales planes passent par le point Z ou ces focales planes
sont situées deux a deux dans des plans paralléles si on prend le
plan W pour le plan de Vinfini.

4° Si la courbe d possède une focale plane /’, dont le plan W”
passe par le point Z, la courbe d sera une courbe à centre, en
prenant pour droite de Vinfim du plan JV, son intersection avec
le plan I’, le centre de la courbe d étant le pôle Z de Vinter-
section des plans W" et V, par rapport à la conique c,. Si le
plan W” devient le plan de l’infini, le point 7’ devient aussi le
centre de la conique ca.

Si la courbe d est une conique à centre d,, la développable
O possède quatre coniques nodales ($$ 22—25). Si le plan d’une
de ces quatres coniques nodales devient le plan de Vinfini, les

80 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

trois autres coniques nodales auront le même centre. Si la conique
c, devient le cercle imaginaire de l’infini, le centre de la conique
d, est le centre des coniques focales, de la courbe a et de la
développable focale O.

FIN DE LA PREMIÈRE PARTIE.

Heerenveen 1902. W. A. VERSLUYS.

(1 April 1903).

Table des Matières de la première partie.

Cuarrrre I — Introduction.
ban Buts Mager: dial al alde. oY Lo amer,
$ 2. De la développable O, dont la courbe donnée et sa
locale ‘sent des courbes: nodales.. 214.2... «
ede EAT Se LE LT ary a mn: dore
§ 4. De la courbe nodale de la surface O............
$ 5. De la réciprocité entre la courbe et sa focale......
§ 6. Des projections de la courbe d sur le plan V.....
hed "Des anverses.des, théorèmes, precedents... 22220 «4 ….

Cuapirre Il. — Des focales de courbes planes

Neos Ves MOVERS (COMPUTES, 0) PSE. Joint. aad 2
§ 9. Des intersections de la focale avec le plan W
§ 10. De la symétrie de la courbe a

sw Aa, art Mal RT fe) tente aie @, le à

Cuapirre Ill. — Des focales de coniques.

Section 1. — La conique n'occuppe pas de position particu-

lière, par rapport au plan /, ni par rapport aux points / et J.

$ 11. Détermination de ?
RS LION 6 Hak. emule se eue die cm onu ee es
RÉ IonNde ig sae ON See hs a ke vn aan
OE M/S Pari 10 Ol Cr RSR
RP Determination AMG à +. dr mue e uen nu a eq ee
ADO MDP OR Ad Die we ek Li tit ee
Ee ERGERDEN eenn kw ces Ses, Lo de
§ 18. Détermination des autres singularités............
$ 19. Des intersections de l’arête de rebroussement a avec

RADAR RENAN LT at ss. LR
ODE Se. MAR. Tia, orb la gd!
§ 21. Les points S sont des points stationnaires (2

Sees OD et ge) a eN apa el el ee let 61 vba, qe) ee

ry

LG
16

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES,

§ 22. La focale d’une conique se décompose en deux
comiques. WL, COROT). Ses RE EEE
§ 23. Deuxième démonstration de cette décomposition. . . .
§ 24. Troisième démonstration de cette décomposition . . ..
§ 25. Quatrième démonstration de cette décomposition. . . .
Section I]. — Positions particulières de la conique d).
§ 26. La focale d’une parabole est une parabole........
§ 27. La conique 4, est tangente au plan V en le point J.
§ 28. La conique 4, est située dans un plan isotrope.... .
& 2097 Dela focale -d'untcerele. A RS eee ne
Cuaritre IV — De la focale d’une cubique plane sans
singularités.

Nn nn ng
co oo
oo —

CP CP D D D DD en
>
C9

Des sections de la surface O par les plans V et W.
Determination. dé; pet Ge Be cho vant Seat ee
Détermination de v, de w, de G et de H........

. Détermination ‘des autres singularités ............
4. Des intersections de la courbe a avec les plans V et WV.

Des intersections de la focale avec le plan W.....
Des intersections de la focale avec le plan V.....

- Des: points stationnames: WO as sot rage ees oe

Des points. stationnaires 2; KS Sr ps ae
Des points singuliers de la focale............. Ne.

. Détermination. de-2 etyder Bi. ah... neue 4 OM. ll
Détemmmation: de ee ce ee cen en ee a ee

Dêterminattonwde all. We mk Shee) a

+ Discussion deu: des ditecimices 4e ere 2,

Déterminationude mers. Bes OLS TS ee, RES

"Détermination. dE Mrs ree Ut PR 2 RS CS

Détermination de v et de w et des autres singula-
rités: dele MOCALE sr earn CE SERRE SE

§ 47. De la projection de la focale sur le plan W......
§ 48. De la section s de la surface A par le plan WV...
$ 49. De la section 6 de la surface Æ par le plan V....
Cuapirre V. — Des focales de quelques courbes ration-
nelles.
Section I. — De la focale d’une cubique de la classe quatre.
§ 50. Des noeuds de la courbe donnée et des génératrices

doublesæuiauntstnte dito arte. (eee aie en 2

\
N
N

FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES.

51. Détermination des singularités de la surface O.....
52. Détermination des singularités de la focale ........
53. De la projection 7” de la focale sur le plan W...

Section II. — De la focale d’une cubique de la troi-

§

N
$

sième classe
54. Des points stationnaires de la courbe 4 et des géné-
iem ee EE EMT OT
55. Détermination des singularités de la surface O.....
56. Détermination des singularités de la focale

Brela en ET oi ©

$ 57. De la projection /’ de la focale sur le plan W ...
$ 58. De la section s de la surface K par le plan W...
Section III. — De la focale d'une courbe du degré quatre

DDD ld

Da a ma

et de la classe trois.
59. Des tangentes doubles 7 de la courbe d et des plans
GONE En NARREN
60. Détermination des singularités de la surface O....,
61. Détermination des singularités de la focale. .......
Cuarirre VI. — De la focale de la courbe plane d'ordre
gm et de position générale.

62. Détermination des singularités de la développable 0.
63. Discussion de », de y,-de Bet de A...........
64. Détermination de 2, de r et de v..............
65. Détermination de m et de B.........
66. Table des formules obtenues...................
67. Table des valeurs numériques obtenues en appliquant

les formules trouvées aux courbes du degré quatre .

Cuaprrre VII — De quelques courbes dérivées de la
courbe d.

G3. De la développée plane de la courbe d..........
68. Des développées gauches de la courbe d.........
AO Wem venurpes: paraileless Ru ee
71. Du lieu des centres des cercles bitangents et du lieu

des points pour lesquels deux tangentes sont égales.
72. Du point Z comme centre de la surface O. .

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.

61
62

63

La Dépendance ou l'Indépendance

d’un système

d'équations algébriques,
PAR

EK. BES,

Professeur à l’école moyenne de I’Ktat „Willem II” a Tilbourg.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 6.

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
Januari 1904.

ay

La Dépendance ou l'Indépendance

d’un systeme

d'équations algébriques,
PAR

EE. BES,

Professeur à l’école moyenne de l'Etat „Willem II” à Tilbourg.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 6.

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1904.

ee ice DES MATIÈRES.

La dépendance ou l’indépendance d’un système d’équations
EELDE oe AA EE

NE NE LOSE Eeten Le ee sa eee
eta rest TS SR EE
1. Trois équations non-homogènes à deux variables. .............

2. Deux équations non-homogènes à deux variables ..............

DR EE TEE CORP ne taan ter ln sn a's +

IV. La dépendance ou l’indépendance des fonctions algé-
EBC ARBOREA le Et,

NRE PEN A eee

1. Les solutions d’un système de » équations non-homogènes à » varia-
bles appartenant au domaine de l'infini....................
2. Les solutions d’un système de » équations non-homogènes à # varia-
bles ayant tm élément common... er. en .........
3. Combien de et quels déterminants d’un assemblant doivent s'annu-
ler, pour que ce soit le cas avec tous les déterminants de cet
ee pen ne à Curie vince voor A
4. Les relations qui doivent exister entre les coefficients de x + 1
équations homogènes à # variables, pour que ces équations ad-

mettent unelsolntiOn COMMUNE). sn «sess. ora enlaces ss

Errata du mémoire ,,Les systèmes de racines d’un système de
7 Q \ . 5
a équations homogènes à # + 1 variables”. .

D © ©

—
D we CO

La dépendance ou l'indépendance d'un système
d'équations algébriques.

$ 1. La théorie de la dépendance ou de l'indépendance d’équa-
tions algébriques a été fondée par Jacobi dans son mémoire intitulé
„De determinantibus functionalibus” (Journal de Crelle, tome 22),
où il dit:

Voco aequationes a se independentes, quarum nulla neque ipsa
identica est neque reliquarum ope ad identicam reduci potest.

Il nomme done indépendantes entre elles quelques équations, si
aucune nest identique d’elle-méme ou ne peut être rendue iden-
tique au moyen des autres.

Cela veut dire en d’autres termes que # équations ax variables,
où m mest pas supérieur à x» (les équations supposées rendues
homogènes), sont dépendantes ou. indépendantes, selon qu'on obtient
une équation identique ou non-identique en éliminant wl varia-
bles entre ces équations.

En partant de cette définition nous voulons considérer la dépen-
dance ou l'indépendance d’un système d'équations algébriques.

En général, nous supposerons les équations comme étant non-
homogènes. S'il nous semble nécessaire, il sera aisé de les rendre
homogènes.

$ 2. Dans le cas où le nombre des équations est égal à celui des
variables qui y entrent, après avoir rendu les équations homogènes,
la seule condition, pour que les équations soient dépendantes, con-
siste en ce que leur résultant s’annule.

Dans le cas où le nombre des équations, rendues homogènes,
est inférieur à celui des variables, il faut et il suffit que tous les
coefficients des équations finales s’annulent, pour que les équations
données soient dépendantes.

Il semble que le cas où le nombre des équations, rendues homo-
gènes, est supérieur à celui des variables, se déduit du cas où ces
nombres sont égaux. En effet, chaque équation de plus exige une

6 LA DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

condition nouvelle, pour que cette équation dépende des autres,
mais ce cas donne encore lieu à une autre considération }).

La recherche de la dépendance des équations a donc un grand
rapport à celle des solutions communes à ces équations.

Les conditions pour la dépendance des équations données étant
remplies, nous nous proposons de montrer comment on détermine
pour tout cas possible la relation de dépendance qui existe entre
ces équations.

I. Formes binaires.

$ 3. Le seul cas à considérer est celui d’un système de deux
équations non-homogènes à une variable.

Il s’agit dans ce cas de déterminer le résultant de ces équations
et la relation de dépendance existant entre elles, si leur résultant
sannule. De plus, il est nécessaire de considérer tous les cas pos-
sibles touchant le nombre des solutions communes à ces équations.

$ 4 Soient les équations données:

Pat Wed a, = 0, | BEN Ee AG)
vba + be + 6,—= 9, |

Les premiers membres de ces équations sont hés par une rela-
tion ne contenant pas explicitement les variables. On obtient cette
relation en éliminant + entre les équations:

a, 2 + age + 43 DÉCO MINES LAN ON EE (2),
bt pt bp Sep

d’où l’on obtient:

| a, b,

NT Osha 2270). oel) ano Mart Seip (8)
| 43" bg by |

| Ag b,—w

ou

(4, Pama iti)? - - 2 (a, b. = ls b,) (4, pe tb)
— (a, by — ay bj) bo — ag) = 0... (4).

‘) Voir l'Appendice 4 de ce mémoire.

LA DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. a

§ 5. Pour former le résultant des équations (1), on prend,
comme on sait, 3 pour le degré de la fonction ?):

F=O%97-+ Th ..... HA Ne MIRE EE AN À ee dép et (5),

LEN AN A pan à .(6),
od SCA |
où les coefficients sont d’abord indéterminés.
On obtient par là l’assemblant de la fonction /:
Be San Sg 18
|

Bea, b,
En ddr nn Un wes (7),
® | dg Ay by by
] as, ba |

d'où l’on déduit la condition nécessaire pour la dépendance des
équations données:

a, by
HT Ge
ee terme en A D Fh Fate (8).
A, Ay b, by

43 bs

Dans le cas où les équations (1) admettent une seule solution
commune, on obtient cette solution en résolvant l’équation:

La relation de dépendance entre les équations données s’exprime
dans ce cas par l’équation:

RE EE NES et EL RO er el En (10),

*) Voir: Théorie générale de l'élimination |Verhandelingen der Kon. Akad. van
Wetensch. (Eerste Sectie), deel VI, n°. 7], § 71.

8 LA DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

où les symboles s ont les valeurs suivantes:

8 8 s §
: == 3 == 7 S= a: (asa Gl 1)
b, | a, b, a, a, 46,
a, by b, = as by b, ds el > 400,
Ay 0 Dy | a3 ba by ds A by Ca Ay Va |

On déduit facilement de la relation (10) que l’on a, à un fac-
teur constant près:

b b
AT ON Wet S4) te @ + ae ‘|
tty, by [Ga A Ae ny METIER (12)
a, b a, b |
D =6 # +s)l | Al Ke
D 12 + 52 a, Ba | | ag 8, | |

Dans le cas ot les équations données admettent deux solutions
communes, tous les déterminants de l’assemblant:

|
2
a ke b,
Ba 0 OENE Te ee Se ek at | (13)
1 iia ba

II]. Formes ternaires.

§ 6. Les formes ternaires mènent à considérer trois ou deux
équations simultanées à deux variables.

1. Trois équations non-homogènes à deux variables.

$ 7. Soient les équations données:
9
9 =a, a +a, zy dara + ay + de

Ÿ = b, a? -|- by avy + b, a + by y + bs y oe b, 2207.

|
ono
AA
—
or
a

PRET -

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 9
Les fonctions y, 4 et % sont liées par une relation où les

variables n’entrent pas explicitement. On obtient cette relation en
éliminant æ et y entre les trois équations:

a, @ a, xy Faz tag +ay+a— 9=0,
batt bay + bye by + by Hb — U =0, }.----(16).
anale, |

Le résultat de cette élimination s'obtient de l’équation (19) en
y substituant aux a,, be, cz respectivement a,—y, be, c—%.

$ 8. Le résultant des équations (15), que l’on obtient des
deux assemblants suivants 1):

Seta SIMS ete Za, 10 Pi Sie
a? | a, b, a
Bey | dd CELA TE |
x A a, 03 Peak a „6 |
ay” | dy ay by by Ca ál
vy ds da da bg by Vo Ca Co Ered BAVA | alae ree CRE (LT):
æ de da 06 ba Ca Gj
y° a4 b, Ca
y? ds y Ar CCS
ÿ de % be 4, GEA
1 ds be GA
heen an Sese denn Sah Sg S10, LL Sa
t rape ae CA CON EN OL NC ER TO EE (18),
lo EN 0 Ca bb 05 0, De 06

égalé à zéro, forme la condition, pour que ces équations soient
dépendantes ?):

*) Voir: Théorie générale de l'élimination, $ 107.

a, de

a différent de zéro.
5 6

*) Nous supposons

10 LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

b, ei |
do ail bs 6, En te,

A di bs b, Ga Gi
ay dy bi Os Co c, |
Oz Wa as Ox NOS Gales | dst DE |
ag CRETE is Cs AT ER
dy b, Cy
dy Oy bs ba Ca
dg as by 05

de be

_ Dans le cas où les équations (15) admettent une seule solution
commune, on obtient cette solution en résolvant les équations:

Di DONE EN ERA (20),
me 73 = 0

dans lesquelles les symboles p représentent des déterminants dé-
signés ') de l’assemblant:

BEEN A GO, Le)

BY | Ay be Ca C,

a) 4 à DD
æ as des Gj. NES AE at ea A SCT, PR SR TES (21)
2 j +

plat ie Sa RO Ee

y Us, Ds €3 Co

1 | a0, Ge

La relation de dépendance entre les équations données est la
suivante :

(8 @ + Say + 83) 9 + (844 + sy + 8) v + (87 + ss ay
+. 3 @+ 31997) KO. .(22),

dans laquelle les symboles s représentent les déterminants successifs
de l’assemblant :

*) Nous supposons que p, ne s’annule pas.

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 11

à |

a, by Cy |
dy a, by b, Co €}
As, a, 6, bj 6% C,
Ay Ay by o Cà €,
ds dg Uy Os by dy GS TCR ite ead EE MEL AR NE PERS INE (23),
a dz Og 3 C3

ay Un Ca

as a, bs b, Ca

dg as be b;,

formé par la suppression des deux dernières colonnes et de la
dernière ligne dans l’assemblant (17).

Dans le cas où les équations (15) admettent deux solutions com-
munes, tous les déterminants de l’assemblant (21) s’annulent. Les
équations (15) sont dans ce cas liées par la relation:

LORS ORNE TRE TY cay Or es whe has ee (24)

dans laquelle les symboles s représentent les déterminants successifs
de l’assemblant:

ne che lee eeen ln revienne (ke PP tene erie eye x

ALERTE

formé par les quatre premières lignes de l’assemblant (21), tandis
que les deux solutions communes sont déterminées par les équations:

P56 en Pac Y + Pas minh se
gese? + P36 4 + Pas FAT

dans lesquelles les symboles » sont des déterminants désignés 1) de
l’assemblant :

*) La deuxième équation (26) est la même que la troisième équation (15).
Dans le cas où p,, ou c, s'annule, les deux solutions communes aux équations (15)
sont déterminées par les deux équations:
Qy+e =0,
= Dot + Pi. +h, — 0

12 LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

B lo Gants Ord (Ree a an de RENE ET: (27)
9 | a Cy
|
Jo Nues C3 Co
] de Ca

2. Deux équations non-homogènes à deux variables.

$ 9. Dans ce cas il s’agit d'éliminer l’une quelconque des
variables. Les coefficients des équations finales, que l’on obtient
ainsi, doivent s’annuler.

Pour obtenir les équations finales, on forme lassemblant des
coefficients des équations proposées, prenant le produit des degrés
de ces équations pour le degré de la fonction 4.

Remarquons d’abord qu'il ne suffit pas pour la dépendance des
équations données que les déterminants de cet assemblant qui for-
ment les coefficients d’une équation finale désignée s’annulent,
mais qu'il faut que ce soit le cas avec tous les déterminants de
cet assemblant.

Si le cas mentionné se présentait, les équations données admet-
traient des solutions communes ayant un élément commun }).

Pour que les équations données soient dépendantes, il faut et
il suffit que tous les coefficients d’une équation finale désignée et
pareillement ceux d’une équation terminale contenant la troisième
variable dans un seul terme, s’annulent. Si ces coefficients obtien-
nent la valeur zéro, les coefficients de toutes les autres équations
résultantes découlant des mêmes assemblants s’annulent également.

Il semble donc qu'un total de 2 Zw + 1 conditions est exigé,
pour que deux équations, respectivement des degrés / etm, soient
dépendantes, mais il est évident que ce nombre peut se réduire
dans tout cas à Zw + 1, le nombre des déterminants qui doivent
sannuler, pour que ce soit le cas avec tous les déterminants de
Passemblant de la fonction #, prenant / +» — 1 pour le degré
de cette fonction ?).

1) Comparer: Les systèmes de racines d'un système de x équations homogènes à n + 1
variables [Verhandelingen der Kon. Akad. van Wetensch. (Herste Sectie), deel VIII,
ne Diy oe 26:

*) Voir: l’Appendice 3 de ce mémoire.

>

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 13

La relation de dépendance s'obtient de manière analogue à
celle du paragraphe précédent. Elle nous montrera que les premiers
membres des équations données ont un commun facteur, si ces
équations sont dépendantes ?).

De la découle que tous les déterminants contenus dans l’assem-
blant de la fonction #, prenant / + » — 1 pour le degré de
cette fonction, doivent s’annuler, pour que les équations données
soient dépendantes.

$ 10. Soient les équations données:

== a, a + Ug RY Haze + ay? +ay+a—=0,| (28).
DRE by = 0, |

En général, il n'existe pas entre » et & une relation dépourvue
des variables # et y explicitement, car on ne peut éliminer w et 7
en général entre les deux équations suivantes:

2 jn - gl carey chs sien
av a dg VY ain ag & y Fay a ae pl, | DIAS ond (29).
ba thy +b,—v=0, |

Pour construire les équations finales et les autres équations ré-
sultantes des équations (28), on forme l’assemblant des coefficients:

/

Si So Sa Sy

2

æ a, by

ay do by b, |

æ a, bs eee eee RER (30),
ge a4 by

de D.

prenant 2 pour le degré de la fonction #?).

Dans le cas qui nous occupe, où les équations données sont
dépendantes, tous les déterminants de [assemblant (30) doivent
sannuler, et ces équations sont liées par la relation:

He LEN en nl URSS (31),

dans laquelle les symboles s ont les valeurs:

1) Comparer: J. Molk, Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la
théorie générale de l'élimination (Acta Mathematica 6, 1885), chap. II, § 2.

*) Voir: L’équation finale |Verhandelingen der Kon. Akad. van Wetensch. (Eerste
Sectie), deel VIII, n°. 1], § 16.

14 LA DEPENDANCE OU L’INDEPENDANCE.

8, So Ss s
poe. Weeki: Fi en -— .(32)
b, | a | | a, b, a, “bj |
4d | A Ay b, ds by SE by b, |
3 A | '% 4 as bs 0, | az bs
ou
one Ai = ze Sui le os oe NT (33).
b,? —a, 6, a, bo — 43 b, a; 6, — a,b,

La relation de dépendance (31) montre que la fonction p est
divisible par la fonction 4 et par s,a@ + s3 y + 84.

$ 11. Pour bien faire comprendre les particularités qui peuvent
se présenter dans ce cas, il faut considérer un exemple où l’équa-
tion finale soit d'un degré plus haut.

Prenons donc les équations:

P= Gy Se BY TOO Ga dela de 0 Et (34),
v= b, a + bay + bia + by? + by + by —0

et 4 pour le degré de la fonction #, on obtient, si a, est diffé-
rent de zéro, l’assemblant des coefficients:

Sy aise Sh So Sr ABD $49 Su |
æ | a, b,
TY | Oa, ba b,
x? As, a, ba b,
BN 2 4) Dion EE
LANGAGE CG RE. la band Er
a? Ue As Geo, ba
ay” Ohh apie 4 by
ay dy A, Ag Ay Bea) On RO EL ab NE CHENE ae (35),
vy Ag Os A, As De bs, ba
æ As (ls bé
y* My by
Va derd, beeb,
y° Ug Us My be Or,
y Ag Os, De
I le |

dont tous les déterminants sont divisibles, comme on sait, par a, 1).

") Voir: L’équation finale, $ 16, 3.

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 1

Qt

Les déterminants de cet assemblant forment les coefficients des
4 La . 4 . „ .
équations finales et des autres équations résultantes. Si tous ces
déterminants s’annulent, les équations (34) sont dépendantes.

§ 12. Comme la relation:

(s, #7 + 5, ay + sa + sy + sy + 8) 9 + (8 a? -+- 8, ay +
2 of
ne te Si 4) et (36)

ne peut être vérifiée en prenant

— 9= 3, 2° Hs + sx +809? +817 |

car a, est différent de zéro, on en conclut que les fonctions y et 4
ont un commun facteur dans le cas considéré.
La relation de dépendance (36) se réduit donc à

Pa a een) Sd oY | =O a (38),

dans laquelle les symboles s représentent les déterminants successifs
de l’assemblant:

ce 1
do Ay bs 0,
| 43 a, La NE gee ae ER (39),
Ay Ay bb
de A dy 05 bg by
formé par les cinq premières lignes de l’assemblant:
| vila Rg ne SE nd a
x3 ay b, |
Byl a à; by b,
an as SAS SYD
BY Ni thy Uo bids
vy GERAAS OO PER See ea eae (40)
a | A a, be Ds
7 43 ba
1” ds dy Bis Oy
7 Ag Gs be bs
| ZA b .

16 LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

D'après la relation (38), tous les déterminants de l’assemblant (40)
doivent s’annuler.

La fonction ® est donc divisible par s,æ + sy +s, et la
fonction % par s,æ + s, y +s,. Ces divisions faites, on obtient
l’une et l’autre fois leur plus grand commun diviseur 3).

$ 13. On peut encore évaluer le plus grand commun diviseur
des fonctions P et J en construisant les équations terminales des
équations (34). Pour cela on peut se servir de lassemblant:

Serg
ger
ay | ag by
æ GRO RE Sa UN END ERA Ee oe EE (41),
y dy Un
J ds bs
1 a, Oe

d’où l’on déduit les équations terminales suivantes :

a, A a b, a A a by a, A |
ay + æ + Wet ap tr
Ay ba CA ba 44 i a; Ds) 4 bg A
a, Ae faye bay [ee A id A _ la by Bis
ay by a by by [45 05] a %

Les premiers membres de ces équations doivent être divisibles
par le plus grand commun diviseur des fonctions p et 4 7). En
écrivant ces équations dans la forme suivante :

*) De l’évanouissement de tous les déterminants de l’assemblant (40) et également de
ceux de l’assemblant (35) on déduit facilement que les trois déterminants:

nb, db, | DD
riedel ne Os, (Oy DENDE a, a, b, b,
CRO a; ds 0670, dd, bb,

De Ga; 16, |

s'annulent dans le cas où les équations (34) sont dépendantes.

Cependant, l’évanouissement de ces déterminants n’entraine pas la dépendance des
équations (34), mais seulement l’existence de solutions communes dont l’un des éléments
est nul ou dont les deux éléments sont infinis.

*) Cela découle de l'identité: = og + Wb.

LA DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 17

| |
a, b, | | a, 5, | la, b, | 5e b, | a,b,
1 | d | Vite 14 me LE
lestel? Ta bs || lab + 5 Os à ae bo |
| | | | he)
a,b, pra 43 by ts A [as by __|æ dl Er |
a,b, a, D, | ag Oe | {| a, by as bs || 7)
’ . ; MR | a, 5, | la, 5, |
on voit facilement que la premiere est divisible par Mell Pee
| | a Do | | Ae Oz
| dy By PAU ds [73 2 |
et la seconde par | * “le — ke:
| as 9, as bs |

En divisant par ces facteurs on obtient l’une et l’autre fois le
plus grand commun diviseur cherché.
Les équations:

ab, NA
— DS
43 by hs dbs
Re BOA RRA aring) zel eri (44)
dy by CARE |
a, by EA

déterminent une solution commune aux équations (34), les autres
solutions communes à ces équations doivent satisfaire à l’équation
que l’on obtient en égalant à zéro le plus grand commun diviseur
des fonctions p et U.

$ 14. Pour éclaircir la théorie précédente, il suffit de prendre
un exemple d'équations à coefficients numériques. Soient les équa-
tions données:
2e + 5 ay —32 +3 —1y—20—0, | (34 %.

tea Md Oe y + 10 = 0; |

Ces équations sont dépendantes, car tous les déterminants de
l’assemblant:

PS 2
la aa 1e 2
ay ew 2 |
ie ae
NE A Le A Labs ru Hein (40 *),
Bote Te 9 |
3 - 3 |
EN 5 CA
Bal 7 10 1
_20 10

bo

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1e Sectie). Dl. VIII. F

LA DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

—
ee}

sannulent. Les équations terminales:

Aay — led 6y?— 8 y — 30 = 0, (42 *
Aa? + 6xy +62 —6y—10 — 0, Staite) cadets) 0, D'ECPADRICEN Je, ~ >
peuvent se décomposer en facteurs, comme suit:

ag nn A at oe er lenge 43%,

2(@—1)@e+8y+5)=0, |

d'où Von trouve 2e + 3 y+ 5 pour le plus grand commun divi-
seur des premiers membres des équations données (34 *).

Il est clair que les facteurs obtenus par la méthode d'élimination
employée, appartiennent au même domaine de rationalité où se
rapportent les coefficients des fonctions qui forment les premiers
membres des équations données !).

$ 15. Sil arrive que tous les déterminants de l’assemblant (41)
s’annulent, les équations (34) sont liées par la relation linéaire:

et toutes les solutions de l’une des équations (34) satisfont alors
à l’autre.

[IL Formes quaternaires.

$ 16. La voie à suivre dans ce cas ne s’écarte pas de celle
que nous avons suivie dans les paragraphes précédents.

Le cas où l’on a deux équations non-homogènes à trois variables
se traite de la même manière que le cas de deux équations non-
homogènes à deux variables. La considération de ce cas mettra en
évidence que deux équations ne sont dépendantes que, si leurs
premiers membres ont un commun facteur.

Les cas où Von a trois ou quatre équations non-homogènes à
trois variables nous mènent à des considérations plus compliquées.

Après ce qui précède, il suffira de donner des exemples d’équa-
tions linéaires.

*) Comparer: Kronecker, Festschrift (Journal de Crelle, tome 92) et J. Molk, Acta
Mathematica, tome 6,

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 19

1. Quatre équations:

PSS AY. A2 a, — 0 |
MDP br 020, —0,

LN ch PEU (46)
Ee Of Get ol;
=> 4 = —-
=de dy + de d, = 0,
Ces équations sont dépendantes, si lon a
de Oerd,
in by Cy do 7
5 * ST Nel nn EEN (47),
LE AE
Gn 0, Cd
et elles sont liées par la relation:
1 | | |
bed a, ¢, d, a, 6, d, | | a, 4, €,
by Ca da |P —| Ay Cy dy |W + | dy Oy da |%—| Go 03 Co | w= 0.. .(48),
7 | | |
bs Cy da | Az Ca Uy 4s by dy | ds by Ce |

si la relation (47) est vérifiée.

2. ‘Trois équations:

C—O dy et @, — 0]
EE SU A A ae (49).
OOP a Cn oy be A 0,

Pour la dépendance de ces équations il est nécessaire que tous
les déterminants de l’assemblant:

æ \ a, b, c

=
à
NO
d
bo

> SS
©)
EA
©
=~
TZ

s'annulent, et ces équations sont dans ce cas liées par la relation:

F 2#

20 LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

| |
| 6, Ci ol C |
05 Cg |

43 Ca, do by |
3. Deux équations:

P=arhagy +a,2+4,—0, |
= 0, Pein ver ds zb, —0, | BEREN EMED CAS ue

Ces équations sont dépendantes, si tous les déterminants de
l’assemblant :

S1 $9
RAIN |
han Nek at ne ONK a tre FA nn ES MN ee Cr dt 2 (53),
2 da Os
Le aig Oy
s’annulent, et elles sont liées en ce cas par la relation:
OD INE RE ACER ADE NEEN arene (54).

IV. La dépendance ou l'indépendance des fonctions
algébriques.

$ 17. Dans ce qui précède, nous avons rencontré plusieurs
fois des fonctions liées par des relations ne contenant pas les variables
explicitement. Ces fonctions se nomment fonctions dépendantes ?).

Il n’est pas nécessaire que les équations obtenues en égalant à
zéro quelques fonctions dépendantes, soient elles-mêmes dépendantes,
p. e. les fonctions

p OD dl
y= ba + be Siete tale WR aie ar Te nial Me Te come dt IE UE

*) Comparer: H. Laurent, Traité d’Analyse, tome I, chap. VII.

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 21
sont certainement dépendantes, car on a la relation:
EN name OE ale Us Shs Ee Deel nt ue (56),
mais les équations:
en ee ee INEST Vic EE Foo (57)

beb, — 0)

sont seulement dépendantes, si leur résultant, c-à-d 4,4, —4,4,,
s’annule.

Réciproquement, il peut arriver que quelques équations algé-
briques sont dépendantes, tandis que les fonctions qui forment
leurs premiers membres sont indépendantes, p. e. les équations (28)
se trouveraient dans ce cas, si tous les déterminants de l’assem-
blant (30) s’annulaient, tandis que la forme 2 a,4,—a,6, ne s’an-
nule pas.

§ 18. Si le nombre des fonctions que l’on considère, est d’une
unité supérieur a celui des variables qui y entrent, ces fonctions
sont continuellement liées par une relation dans laquelle les varia-
bles ne figurent pas explicitement. On obtient cette relation en
éliminant les variables entre les équations que lon obtient en
égalant ces fonctions à des symboles distincts, comme nous avons
opéré dans les paragraphes 4 et 7.

$ 19. Pour le cas où le nombre des fonctions est égal à celui
des variables qui y entrent, JacoBr a montré que le caractère
distinctif qui fait reconnaître si ces fonctions sont dépendantes, con-
siste en ce que leur déterminant fonctionnel s’annule identiquement ?).

Nous ne nous arrêterons pas à donner la démonstration de ce
théorème, laquelle est d'une notoriété très-grande. Il suftira de
mentionner un exemple. Les fonctions:

Pa a + a ay + aa + ap + ary + ag, | (58)
— b, x + hy Y +~ OG | EEE) Oe 5

sont dépendantes, si leur déterminant fonctionnel :

| 2 GB ap y a, ard Vargas | :

: Per nd 2100
| b, hy | (59),

*) Voir: Jacobi, De determinantibus functionalibus (Journal de Crelle, tome 22),
traduit en allemand dans Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften, n°. 78.

22 LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

s'annule identiquement, et indépendantes, si ce n’est pas le cas.

Pour la dépendance des fonctions (58) il est donc nécessaire que
les trois formes 2 a, 6, — a, b,, a, 6, — 2 a, 6, et a, bj — a, 6, s'an-
nulent.

Si l’une de ces formes a une valeur différente de zéro, les fone-
tions (58) ne sont pas liées par une relation où les variables ne
figurent pas explicitement.

§ 20. Si le nombre des fonctions que l’on considère, est infé-
rieur à celui des variables qui y entrent, la condition nécessaire
et suffisante, pour que ces équations soient liées par une relation
ne contenant pas les variables explicitement, consiste en ce que tous
les déterminants de l’assemblant fonctionnel de ces fonctions s’an-
nulent identiquement, p. e. les fonctions:

P—=az+ ay + 432+ a, |
v=bethy+tb,24 hy, | ai poy as ur Sak Mey “am yuh mi ital es lenin alate ere) bin’ Ue iat he

sont dépendantes, si tous les déterminants de l’assemblant fonctionnel :
|

s’annulent, et indépendantes, si au moins l’un de ces déterminants
a une valeur différente de zéro.

Appendices.

1. Les solutions d’un système de » équations
non-homogènes à x variables
appartenant au domaine de linfint.

$ 21. Dans notre mémoire intitulé ,,Les systèmes de racines
d’un système de » équations homogènes à 2 + 1 variables” nous
n'avons pas considéré spécialement le cas où l’un des éléments
d’un système de racines obtient la valeur zéro.

Il n’y avait pas alors sujet de considérer ce cas en parti-
culier, car les résultats généraux ne subissent pas de modification
importante par la présence de telles solutions. Le degré de l’équa-
tion finale reste encore égal au produit des degrés des équations

AT

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 23

données, mais quelques déterminants de l’assemblant des coefficients
de ces équations s’annulent dans ce cas À).

§ 22. Dans le cas où l’on considère un système de > équations
non-homogènes à % variables, on rencontre parfois des solutions qui
se rapportent au domaine de Finfini.

En éliminant dans ce cas les variables, à l’une quelconque près,
on obtient une équation résultante dont le degré est inférieur au
produit des degrés des équations données.

Les solutions que nous avons en vue, s'accordent avec celles du
système de 7 équations homogènes à # + 1 variables obtenu
du système des équations données en introduisant une nouvelle
variable, et où la variable introduite obtient la valeur zéro.

§ 23. Pour qu'un système de # équations non-homogènes à x
variables admette des solutions infinies, il faut que le résultant des
n équations homogènes à 7 variables que l’on obtient en égalant à
zéro l’ensemble de leurs termes du degré le plus élevé, s’annule.

Le plus grand nombre des solutions communes à ces équations
est Yo J3----Jn» Si les équations données sont respectivement des
degrés 91, Jas Jasfns OÙ NS Ja > ge > Iu

Comme l'équation finale de # équations non-homogènes à x
variables est, dans le cas général, nécessairement du degré 4, gy
J3--.-fns Si son degré s’abaisse, il faut que quelques-unes de ces
racines soient infinies.

Le plus grand nombre des solutions d’un système de # équations
non-homogènes a % variables appartenant au domaine de linfini,
est, comme nous avons VU, gs Ja: : + fn:

De la découle que le degré de l'équation finale ne peut s’abaisser

qu'à (9, —1) Jo a + In:

2. Les solutions d’un système de «
équations non-homogènes à # variables ayant
un élément commun.

$ 24. Il semble que le degré de l'équation finale s’abaisse
aussi dans le cas où le système d'équations données admet des
solutions ayant un élément commun.

L’équation finale par laquelle on évalue l'élément considéré doit
avoir des racines égales dans ce cas. :

Si l’on compose cette équation finale en prenant pour ses coefti-
cients les déterminants désignés de l’assemblant des coefficients

*) Comparer: Les systèmes de racines, § 30.

24 LA DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

des équations données, fixant le produit des degrés des équa-
tions données pour le degré de la fonction #, sans avoir divisé ces
déterminants par leur plus grand commun diviseur, tous les coef-
ficients de cette équation doivent s’annuler D. L’équation terminale
contenant dans un seul terme une deuxième variable, se réduit
dans ce cas à une équation à une variable dont le degré est d’une
unité inférieur au produit des degrés des équations données. Il
semble donc que le degré de l’équation finale s’abaisse d’une unité.

Prenant dans la détermination de l’équation terminale considérée
le degré de la fonction / d’une unité inférieur au produit des
degrés des équations données, le coefficient du terme qui tombe
de l’équation terminale considérée, est, comme on sait, commun
facteur de tous les coefficients de l'équation finale ?). C’est l’évanou-
issement de ce commun facteur qui entraine que tous les coeffi-
cients de l’équation finale se détruisent dans ce cas.

En divisant les coefficients de l’équation finale par leur plus
grand commun facteur, ils ne s’annulent plus. L’équation finale
conserve son degré, mais elle admet au moins deux racines égales
dans ce cas.

3. Combien de et quels déterminants d’un
assemblant doivent s’annuler, pour que ce soit
le cas avec tous les déterminants ‘

de cet assemblant.

§ 25. Dans ce qui précède, le cas se présente plusieurs fois
que tous les déterminants d’un assemblant s’annulent. Reste à savoir
combien de et quels déterminants d’un assemblant doivent s’annu-
ler, pour que ce soit le cas avec tous les autres.

Considérons en premier lieu le cas où Vassemblant proposé con-
tient y colonnes indépendantes et » lignes liées par p—g relations
linéaires indépendantes, où p>gq.

En choisissant g—1 lignes non liées entre elles par une relation
linéaire et ne contenant pas une ligne composée de zéros seuls,
ces lignes forment un déterminant avec chacune des autres lignes
de l’assemblant considéré. On obtient ainsi p— + 1 détermi-
nants, liés par une relation linéaire.

Si ces déterminants s’annulent, les autres déterminants de l’assem-
blant considéré s’annulent également. Cela se voit facilement en

1) Comparer: Les systèmes de racines, $ 26.
*) Voir: Les systèmes de racines, § 3.

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 25

considérant les p équations linéaires homogènes à g variables qu’on
peut former des lignes de l’assemblant proposé 1.

$ 26. Considérons en deuxième lieu le cas où les coefficients
des p—gq relations linéaires existant entre les lignes de l’assemblant
considéré forment les arguments consécutifs d’une forme binaire du
degré p—1.

Si les variables de cette forme ne peuvent s’annuler, le nombre
des déterminants qui doivent s’annuler, pour que ce soit le cas
avec tous les autres, se réduit à p—g. Les p— 41 détermi-
nants que l’on obtient en supprimant alternativement p—g lignes
de p—g-+1 lignes consécutives sont liés par la mème relation
linéaire. Si p—g de ces déterminants s’annulent, le dernier s’annule
également, et de même tous les autres déterminants de l’assemblant
considéré.

Si l’on admet que l’une des variables de la forme binaire puisse
obtenir la valeur zéro, les conclusions que l’on peut tirer dans le
cas où les variables ne peuvent s’annuler, deviennent inexactes.
Dans ce cas, la première ou la dernière ligne de l’assemblant con-
sidéré doit se composer de zéros seuls. Pour tirer la conclusion
que tous les déterminants de l’assemblant s’annulent,il faut que ce
soit le cas avec p— g+ 1 déterminants choisis de telle manière
qu’ancun d’entre eux ne contienne la première ou la dernière ligne.

$ 27. Dans le cas où les lignes de l’assemblant considéré sont
liées par p—g relations linéaires dont les coefficients forment les
arguments consécutifs d’une forme ternaire, on peut tirer des con-
clusions analogues à celles du paragraphe précédent.

Il est clair que ce cas ne se présente que, si p a une valeur
de la forme (5).

Si les variables de la forme ternaire ne peuvent s’annuler, l’éva-
nouissement de p—g déterminants désignés de l’assemblant suftit,
pour que tous les autres s’annulent.

Si l’on admet que l’une des variables de la forme ternaire peut
obtenir la valeur zéro, on conclut facilement que les lignes de
Passemblant qui s'accordent avec les termes de la forme ternaire
ne contenant pas la variable considérée, sont liées entre elles par
une relation linéaire. Les déterminants qui contiennent toutes ces
lignes s’annulent identiquement.

Afin que dans ce cas tous les déterminants de l’assemblant s’annu-
lent, il suffit que ce soit le cas avec y—g + 1 d’entre eux, ne

*) Voir: Théorie générale de l'élimination, § 4—7.

26 LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.

contenant pas toutes les lignes qui s’accordent avec les termes de
la forme ternaire, se composant exclusivement de deux variables.

4. Les relations qui doivent exister entre
les coefficients de » + 1 équations homogènes à #
variables, pour que ces équations admettent
une solution commune.

$ 28. Il nous parait que la dépendance d’équations homogènes
dans la cas où leur nombre est supérieur à celui des variables qui
y entrent (voir § 2), exige l'existence d’une solution commune à
toutes ces équations.

Cette assertion n’est pas une conséquence directe de la définition
de dépendance donnée par Jacogr, mais elle découle nécessairement
des recherches faites dans le mémoire présent.

Pour que # + 1 équations homogènes à x variables admettent
une solution commune, il ne suffit pas que les 7 + 1 systèmes de
de 2 équations homogènes à z variables, obtenus par la suppres-
sion successive de l’une de ces équations, aient des résultants qui
sannulent, mais il faut qu’ils admettent le même système de
racines.

On obtient les relations qui doivent exister entre les coefficients
de n + 1 équations homogènes à # variables, pour que ces équa-
tions admettent une solution commune, en considérant ce système
d'équations comme un système de # + 1 équations homogènes à
n + 1 variables dont l’une des variables a obtenu la valeur
zéro. Dans ce cas il existe, comme nous avons vu, une relation
linéaire entre les lignes de Vassemblant de la fonction # apparte-
nant au système de x + 1 équations considérées, qui s’accordent
avec les termes de la fonction # ne contenant pas la variable
introduite, laquelle doit s’annuler.

Tous les déterminants de lPassemblant formé par ces lignes doi-
vent done s’annuler. Les équations qui expriment l’évanouissement
de ces déterminants, forment alors les conditions qui doivent être
remplies, pour que les équations données admettent une solution

commune.
Si les équations données sont respectivement des degrés 4, , go,
gars Gin OU ES ae Or. BLS Fa al NT deoprendre

Jy too +.....+g, — (2— 1) pour le degré de la fonction F
dans la formation de cet assemblant.
Voici un exemple.

LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. ay

Les équations:

en Te end
dn NRT Ri aT I) EEE (62)
Cay + C3 2 EN

admettent une solution commune, si tous les déterminants de l’as-
semblant:

| 44 by Co
ds U, bs by Ca Co
Ag 4s be bs Ca. Ga

a bg C3

sannulent. Cet assemblant se forme des quatre dernières lignes de
l’assemblant (17).

L’évanouissement de tous les déterminants de cet assemblant
entraine non seulement la dépendance des équations (62), prises
deux à deux, mais aussi l’existence d’une solution commune à
toutes ces équations, ce qui se démontre facilement.

$ 29. Pour conclure, nous donnons encore deux exemples de
n + 1 équations homogènes à x variables dont l’évanouissement
des » + 1 résultants de ces équations, prises ” à », n’entraine pas
nécessairement l'existence d’une solution commune à toutes ces
équations.

1. Pour que les trois équations:

a, w+ day + a3ÿ = 0,
ÊTRE Det AT ENTER NEA (64)
ea? + ay + cp? =0,

admettent une solution commune, il faut et il suffit que tous les
déterminants de l’assemblant:

| 44 b, C,
a di by by Cy % |
dz Ay bz by Cz Cy

as bs C3

s annulent.

28 LA DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE.
2. Les quatre équations;
a, @ + ay ay + a, vz + ay? + ayez +4,2=0,
by a? + by ay + bg az bag + bye Ti =O, (66)
er 42h Gy ty EG #2 Aers DEN Ye te CIE |
PAPAS 0 1 272 rule as
de ddy ded degen de ei |

admettent une solution commune, si tous les déterminants s’annu-
lent que contient l’assemblant suivant:

a, by (4
by by
h. b Ca
Uy De li
bs ba by
a, Des De
bie By
be b, ba by

As a,

Gd, a, da d,
d 4 do

ds ds dy

a4 lo u,

Az dada, Gj b, c

b

d,
ag 43

a ay dj dp
ds dy dz dy

dé ds

(67).

ds Uy a Ay

Ag Us Ua Ay De bs

b

bs by d. dy

a3 6

Uy
ds dy
de a; Uy

ag O5

by

bb,

by bs, by
be Or

C5 C4
CG Cr C4

CG C5

ds d,
de ds d 4
dy ds

de be Ee de

Remarquons, en terminant, que les déterminants de cet assem-
blant contenant toutes les colonnes qui sont liées par une relation
linéaire, s’annulent identiquement.

Les coefficients de ces relations linéaires sont contenus, comme
on sait, dans les lignes de l’assemblant suivant:
|

dy dy dg dy ds dg -Cj -Co =C3 =C4 -Cz -Ce |
by by bs by b; A

dj -9 “la “ty, “a; “Ag

-d, -d, -d3 -d, -d. dé
dj dy da dy dz dé

Cp Ca CB Cy C5 Cg ~by “Va “bg ba Os Oo KES

de

A Red CR Sed EEE 6

by by Os

dj Mg Ag Uy dz

1 by, bs bg -dy “Ua -dz Uy, As “AG

ERRATA

du mémoire „Les systèmes de racines d’un système
de x équations homogènes à # + 1 variables.

Page 20, ligne 12, au lieu de ces, lisez: ses.
PDA sn 7, au leu des mots si deux de ces déterminants,
lisez: si deux déterminants désignés de cet assemblant.

Page 28, ligne 12, au lieu des mots si trois de ces déterminants,
lisez: si trois déterminants désignés de cet assemblant.

Page 31, ligne 10, aw lieu de la, lisez: le.
PM dès 5 d'en bas, aw heu de mp << v + p, lisez:

ppv + à.

(30 Januari 1904.)

Anwendung der Cyklographie
auf die Lehre von den ebenen Curven

VON

H. DE VRIES.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 7.

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
Mei 1904.

ien vb. es

Anwendung der Cyklographie
auf die Lehre von den ebenen Curven

H. DE VRIES.

Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).

Deel VIII. N° 7.

AMSTERDAM,
JOHANNES MÜLLER.
1904.

ge
§ 2.
ES.
ined
§ 5
§ 6
7
$ 8
§ 9
§ 10.
§ 11.

INHALTSVERZEICHNIS.

BRSTER TELL.

Einleitung. Die cyklographische Fläche .....
Andere Autiassung dieser Flache...........
Ordnung der Fläche. Querschnitt mit B und Z,
Klasse, Ordnung der Riickkehrkante, Anzahl
der stationären Schmiegungsebenen und Erzeu-
genden. Die Zahlen 6, y 4+-d, we 4d, g+ A,
Or ENG er EEE
Ore sane ar en ee EEN
Die Zahlen y, 4, À. Tabelle aller charakteris-
To EU TRE
Die Rückkehrkante der Fläche und die Evolute
der ebenen Curve. Die Scheitel dieser Curve.
Anzahl der Krümmungskreise welche die Curve
überdies noch anderswo berühren..........
Die Restdoppelcurve der Fläche und das System
der die Curve doppelt berührenden Kreise. Die
Brennpunkte der Curve. Anzahl der doppelt
berührenden Kreise deren einer Berührungs-
punk vorveschitehen, it. var...
Die unendlich fernen Punkte der Restdoppel-

Klasse des Ortes der Centra der doppelt be-
rührenden Kreise. Anzahl der Rückkehrpunkte
padaboppelpunlkte. tes eaten ae
Die dreifachen Punkte der Restdoppelcurve und
die Anzahl der die gegebene Curve in drei ver-
schiedenen Punkten berührenden Kreise. An-
zahl der Punkte welche Mittelpunkte sind von
2 verschiedenen doppelt berührenden Kreisen .

>

32-
G 1*

Sh

§ 12.

§ 13.

§ 14.

§ 15.

§ 16.

ZWEITER TENS

Das System der Kreise welche die Curve be-
rühren und durch einen gegebenen Punkt gehen.
Punktindex des Systems der Krümmungs- und
der doppelt berührenden Kreise. Spezielle Fälle.
Anzahl der Kreise welche die Curve berühren

und durch zwei vorgeschriebene Punkte gehen S.

Das System der Kreise welche die Curve und
überdies eine gegebene Gerade berühren. Tan-
gentialindex des Systems der Krümmungs- und
der doppelt berührenden Kreise. Die Parallel-
curven der gegebenen. Kreise welche die Curve
und zwei Geraden berühren, oder die Curve
und eine Gerade berühren und durch einen
gegebenen Punkt Behe sne geeen eS
Das System der Kreise welche die Curve und
einen gegebenen Kreis gleichzeitig berühren.
Anzahl der Krümmungs- und doppelt berüh-
renden Kreise dieses Systems. Speziell wenn
der gegebene Kreis selbst Krümmungs- oder
doppelt berührender Kreis ist. Die beiden In-
dices des Systems. Anzahl der Kreise welche
die Curve und zwei Kreise berühren .......
System der Kreise welche zwei Curven zugleich
berühren. Anzahl der Krimmungskreise der
einen Curve welche die andere beriihren. Anzahl
der Kreise welche die eine Curve doppelt, die
andere einfach berühren. Klasse des Ortes der
Mittelpunkte des Systems. Anzahl der Punkte
welche Mittelpunkte sind von zwei verschiede-
nen, die beiden Curven je einmal berührenden
Kreisen. Die beiden Indices des Systems... .
Das Apollonische Problem für 3 beliebige Curven.

9)

>

3849
42- 46
46-48
48— 56
56—57

Anwendung der Cyklographie auf die Lehre von den
ebenen Curven.

VON

EH. DE VRIES.

ERSTER TEIL.
Die cyklographische Flache.

§ 1. Es sei gegeben eine ebene Curve C, von der Ordnung y,
der Klasse », mit d Doppelpunkten, x Rückkehrpunkten, 7 Dop-
peltangenten, : Wendetangenten, welche tiberdies e-mal durch jeden
der beiden absoluten Kreispunkte /,, Z, im Unendlichen hindurch-
geht, und ¢ mal die unendlich ferne Gerade ihrer Ebene berührt.
Legt man durch einen beliebigen Punkt P dieser Curve die Nor-
malebene (senkrecht zur Tangente 4), und zieht in derselben die
beiden Geraden e, e* durch P und unter 45° gegen die Ebene
der Curve, so bilden die cyklographischen Bildkreise !) sämtlicher
Punkte dieser beiden Geraden das System der die Curve in P
berührenden Kreise. Lässt man den Punkt P die ganze Curve
durchlaufen, so erzeugen die Geraden e, e* eine zur Ebene der
Curve orthogonalsymmetrische developpable Fliche, developpabel,
weil zwei unmittelbar auf einander folgende Kreisbüschel em Exem-
plar, nämlich den Kriimmungskreis an der betreffenden Stelle der
Curve, gemein haben, und also je zwei unmittelbar auf einander
folgende Erzeugenden e, (sowie orthogonalsymmetrisch auch die
beiden e*) sich schneiden. Sämtliche Punkte dieser so entstehenden

1) Wan. Frepver: ,Cyklographie.” Seite 15.

6 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

„eyklographischen Fläche” der Curve haben die Eigenschaft dass
ihre Bildkreise die Curve berühren; den besonderen Punkten der
Fläche, wie etwa denen der Rückkehr- und Doppelcurve, ent-
sprechen besondere Kreise der Ebene, nämlich die Krümmungs-
und doppelt berührenden Kreise, und überhaupt wird man, ein-
mal im Besitz der cyklographischen Fläche, im Stande sein die
Antwort zu geben auf alle Fragen welche gestellt werden können
in Bezug auf die Kreise welche die Curve unter vorgeschriebenen
Bedingungen berühren. Man kann aber weitergehen und zwei oder
drei Curven mit ihren zugehôrigen Flächen zugleich betrachten ;
dann gibt das Studium der diesen [lichen gemeinsamen Punkte
Aufschluss über die Kreise welche die Curven zugleich beriihren ,
und eventuell noch anderen gegebenen Bedingungen geniigen.

Die Beantwortung der hier angeregten Fragen in der angege-
benen Weise bildet den Zweck der vorliegenden Abhandlung.
Freilich miissen diese Probleme, wie sich das wohl von selbst ver-
steht, auch auf andere Weise erledigt werden kônnen; die Tat-
sache aber dass bei den hier folgenden stereometrischen Betrach-
tungen sämtliche Resultate aus einer einzigen Quelle fliessen, und
sozusagen von (ler cyklographischen Fläche unmittelbar abgelesen
werden können, sichert denselben vielleicht, wie der Verfasser zu
hoffen wagt, ihre Existenzberechtigung.

§ 2. Wir geben von der cyklographischen Fläche eine etwas
andere Auffassung, welche das Studium derselben wesentlich er-
leichtert. Es schliessen ja sämtliche Erzeugenden der Fläche mit
der Ebene der Curve, die wir als Bildebene Z bezeichnen wollen,
Winkel von 45° ein; folglich ist der Richtungskegel der Fläche
ein gerader Kreiskegel mit verticaler Axe (B horizontal gedacht),
und einem Winkel von 90° an der Spitze; dieser Rotationskegel
schneidet die ebene Z, in einem gewissen, den imaginären Kugel-
kreis in den beiden absoluten Punkten /,, /, von B berührenden,
Kegelschnitte Az, und es müssen also sämtliche Erzeugenden der
Fläche die gegebene Curve und den Kegelschnitt Az schneiden.
Aber je zwei auf einander folgende Erzeugenden liegen in einer
Ebene, welche also sowohl die Curve C wie X, berührt; die cy-
klographische Fliche ist also einfach die durch diese beiden Curven
als Leitcurven bestimmte Developpable.

s ist diese developpable Fläche, und eine solche der näm-
lichen Art, wo nämlich unser reeller Kegelschnitt Az durch den
imaginären Kugelkreis selbst ersetzt worden ist, und also die
ganze Fläche imaginär wird bis auf ihre Doppelcurve, bereits un-

~

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN.

tersucht worden von Herrn W. A. Versruys '), nur hat sich der
Verfasser dort auf den Fall beschränkt wo die gegebene Curve
keine spezielle Lage einnimmt, und also die im $ 1 genannten
Zahlen ¢ und ¢ beide gleich null sind; diese Zahlen beeinflussen
aber unsere sämtlichen Resultate in sehr hohem Grade, wir sind
also genôtigt in aller Kürze die charakteristischen Zahlen unserer
Fläche unter Beriicksichtigung der Zahlen ¢ und a herzuleiten.

$ 3 Nehmen wir für einen Augenblick an es seien ¢ und ¢
gleich null, so ist sofort einzusehen dass die Curve C eine Dop-
pelcurve, A aber eine v-fache Curve der Fläche ist. Denn irgend
eine Tangente von C schneidet 7, in einem Punkte P, aus wel-
chem an Ke» zwei Tangenten gehen; die Verbindungslinien der
Berührungspunkte derselben mit demjenigen der zuerst genannten
sind Erzeugenden der Fläche, und es gehen deren somit durch
jeden Punkt von C zwei. Ist aber P der Schnittpunkt von gz
mit einer Tangente von Az, so gehen durch denselben an Cv Tan-
genten, und es ist also jeder Punkt von A» der Schnittpunkt von
y Erzeugenden. Hieraus ergibt sich dann weiter dass die Ordnungs-
zahl der Fiche, also die Rangzahl r ihrer Rückkehrkante, gleich
2m + 2vy ist; denn der vollständige Querschnitt mit der Ebene
B besteht aus der Doppelcurve C und den zweimal y Tangenten
welche aus den Schnittpunkten von Az mit B, also in unserm
Falle aus den beiden Kreispunkten Z,, Z,, an dieselbe gehen, jede
dieser- Tangenten nur einmal gezählt, weil die Schmiegungsebenen
durch dieselben entweder die Tangente in /,, oder in J, an Kz
enthalten, und also in keinem Falle mit 2 zusammenfallen.

Oder, indem man die Ebene Zo zu Hiilfe nimmt, der Quer-
schnitt der Fläche mit dieser setzt sich zusammen aus der v-fachen
Curve Aj, und den » mal zwei Tangenten welche aus den Schnitt-
punkten von g» mit Can jenen Kegelschnitt gelegt werden können,
jede derselben, aus dem nämlichen Grunde wie oben, einmal ge-
zählt.

Wenn aber die Curve C die Gerade ge in einem Punkte Z2
berührt, so trennt sich die Ebene 7, doppelt gelegt, von der
Fläche ab; denn unter den Tangenten aus jedem Punkte P von
go an C findet sich immer die Gerade go selbst, und es tritt also
jeder Strahl des Strahlenbüschels in #7, und am Scheitel 2 zwei-
mal als Erzeugende der Fläche auf, nämlich für die beiden Lagen

1) ,Focales des courbes planes et gauches”, Verh. Kon. Akad. Tome VIII, N°. 5.

8 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

von P auf den Tangenten in den beiden Schnittpunkten des be-
treffenden Strahles mit Aa.

Wenn also die Curve C die Gerade go ¢ mal berübrt, so wird
die Zahl + um 2¢ Eimheiten kleiner.

Es soll die Curve durch 7, hindurchgehen. Legen wir dann
in diesem Punkte die Tangenten an C und Ke», so wird die Ver-
bindungslinie der Berührungspunkte derselben innerhalb der durch
die beiden Tangenten bestimmten Ebene völlig unbestimmt, weil
man eben den Punkt JZ, mit sich selbst verbinden muss, und es
trennt sich also diese Ebene von der Fläche ab; und wenn man
beobachtet dass sich die Zahl der von J, an C gehenden Tangenten
um zwei verringert hat, und also der Schnittpunkt irgend einer
in B legenden Gerade mit der Tangente in J, selbst für zwei in
Wegfall kommende Punkte zählt, so erkennt man dass die sich ab-
trennende Ebene doppelt in Rechnung zu bringen ist. Geht also
unsere Curve smal durch jeden der beiden Kreispunkte hindurch,
so wird dadurch die Ordnungszahl der Fläche um 4 ¢ Einheiten
verringert. Wir finden desshalb:

r—Èêpm+er—d4Ee— 2 0.

Wir prüfen dieses Resultat an den beiden einfachen Beispielen
des Kreises und der Parabel. Für den Kreis (u =» = 2, ¢= 1,
¢ = 0) finden wir + = 4, was offenbar richtig ist, weil in diesem
Palle die Fläche aus zwei zur Ebene £ orthogonalsymmetrischen
Rotationskegeln besteht; und für die Parabel (u =» = 2, € — 0,
¢ — 1) finden wir r= 6, was ebenfalls mit den Tatsachen im
Einklange ist. 4)

Für die nach Wegfall der sich abtrennenden Ebenen übrig
bleibende „eigentliche’” cyklographische Fläche ist die Curve C
immer noch eine Doppelcurve, und der vollständige Querschnitt mit
B setzt sich zusammen aus dieser Doppelcurve und den zweimal
y —2e— x 'l'angenten welche aus den Punkten /,, Z, noch an
sie gehen; A» hingegen ist eine (y — c)-fache Curve, denn aus
dem Schnittpunkte irgend einer Tangente von Ke mit go gehen
an C ausser go noch y—co Tangenten, durch den Berührungs-
punkt auf A, gehen also y—o Erzeugenden, und der Quer-
schnitt der Fliche mit Z, besteht aus diesem (v — ¢)-fachen Kegel-
schnitt, den zweimal y — 2¢— 2 « 'Tangenten an denselben aus

*) Man vergleiche z. B. Fieorer „Darstellende Geometrie”, II, Seite 379, N°. 2.
(Be Auflage).

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 9

den einfachen Schnittpunkten von go mit C, und den 4¢ je zwei
und zwei unendlich benachbarten Tangenten aus den ¢ Berührungs-
punkten von go mit C. Aus diesem letzten Resultate ergiebt sich
zugleich dass Z, für jede der 2¢ Tangenten an A aus diesen ¢
Berührungspuukten Schmiegungsebene ist, und dass sich in jedem
dieser Berührungspunkte zweimal zwei nicht benachbarte Erzeu-
genden der Fläche schneiden, sodass die Restdoppelcurve dieser
letzteren einfach durch dieselben hindurchgeht; und schliesslich
bemerken wir noch dass die Punkte /,, Z,, trotzdem sie nicht
bloss auf K. liegen sondern zugleich e-fache Punkte von C sind,
dennoch, wie alle andern Punkte von K.,(vy—o)-fache Punkte
der Fläche sind. Denn irgend eine Gerade durch /, in B hat
mit der Fläche ausser J, u — e auf © gelegene, und also doppelt
zihlende, und yv — 2e — a auf den Tangenten aus Z, an C lie-
gende, und also einfach zählende, Punkte gemein, das heisst im
ganzen © pm + y — 4e— 5; die Differenz aber dieser letzteren
Zahl und r—2u+2y—4e— 2x ist y—c. Es müssen also
auch durch JZ, und /,, wie durch jeden andern Punkt von K»,
y — a Erzeugenden gehen, und diese sind in der Tat leicht auf-
zufinden. Erstens haben wir die y — 2¢—-¢ 'l'angenten aus J,
an C, deren Berührungspunkte ausserhalb g. liegen; sodann aber
ist folgendes zu bemerken. Nehmen wir auf y. einen Punkt P
ganz in der Nahe von Z, an, und betrachten von den € durch /,
gehenden Zweigen von C nur einen, so gehen aus P an diesen
und an A» je 2 Tangenten, deren Berührungspunkte, verbunden,
4 nahe zusammenliegende Erzeugender der Fläche liefern. Nihert
sich P dem Punkte JZ, immer mehr um schliesslich mit ihm zu-
sammenzufallen, so nähern sich die 4 Erzeugenden zwei in der
durch die Tangenten an Ke und den Curvenzweig bestimmten
Ebene legenden, durch JZ, hindurchgehenden Grenzlagen, und weil
Cemal durch /, hindurchgeht, so erhalten wir im ganzen 2 ¢
solcher Erzeugenden, welche mit den y— 2¢—c in B liegenden
vereimigt in der Tat die Zahl »—o wieder hervorbringen. Zu-
gleich ist ersichtlich dass die genannten Ebenen Schmiegungsebenen ,

und zwar in Folge der Symmetrie Doppelschmiegungsebenen sind.

$ 4. Zur Bestimmung der Klassenzahl der Fläche betrachten
wir entweder einen beliebigen Punkt in B oder in /#,. Im er-
steren Walle gehen durch denselben y Tangenten an C und also 2»
Berührungsebenen der Fläche; im letzteren gehen durch den Punkt
2 Tangenten an Az, durch deren jede » — « Schmiegungsebenen
gehen; Me selbst aber ist ($3) eine 2 ¢-fache Schmiegungsebene,

10 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

also finden wir in beiden Fallen, wenn wir die Klassenzahl, wie
iiblich , mit 2 bezeichnen ,

Weitere Grössen, welche einer directen Bestimmung leicht zu-
giinglich sind, sind die Ordnung m der Riickkehrkante, die Anzahl
a ihrer stationären Schmiegungsebenen, und die Anzahl 0 ihrer
stationären Erzeugenden.

Die Zahl m wird bestimmt indem wir die Schnittpunkte der
Rückkehrkante mit einer der beiden Ebenen B oder Z, aufsuchen.
Die Bildkreise der Punkte dieser Curve sind die Kriimmungskreise
der Curve C, ein Schnittpunkt mit B bedingt also einen Krüm-
mungskreis vom Radius null, und diesen findet man nur in einer
Spitze. Die Rückkehrkante geht also durch die x Spitzen von C,
und aus der Entstehungsweise der Fläche ist ohne weiteres klar,
dass diese Punkte fiir die Riickkehrkante Doppelpunkte sind,
während die Tangenten in denselben in der Ebene durch die Spitze
senkrecht zur Spitzentangente legen und unter 45° gegen B ge-
neigt sind.

Es hat aber die Riickkehrcurve noch andere Punkte mit £ ge-
mein. Wir sahen oben bereits dass sich aus jedem der beiden
Punkte Z,, J, »—2«—c nicht auf ge beriihrende Tangenten
an C legen lassen, deren jede der cyklographischen Fläche ange-
hort. Die beiden einer solchen Tangente unendlich benachbarten
Erzeugenden der Fläche schneiden sich in Folge der Symmetric im
Berührungspunkte, sodass dieser letztere als Schnittpunkt dreier
unendlich naher Erzeugenden erscheint; d. h. jeder solche Beriih-
rungspunkt ist eine Spitze der Rückkehrcurve, und die Tangente
derselben liegt in B und geht durch J, oder Z,. Auf diese Weise
entstehen also 6 (y — 2e — ao) neue Schnittpunkte; fügen wir die
x Doppelpunkte hinzu so finden wir:

m= 2%"%-+ 6(v— 2e—a).

Es ist aber, wenn wir bedenken dass wir unter J nur die wirk-
lichen Doppelpunkte von C verstehen, und also die beiden ¢-
fachen Punkte /,, /, für sich betrachten müssen:

Ge(e—1)—S8-»x
3y=3 p(m—1)— 60 — bele —1) — 9», und folglich:
1—3y——3u+x, oder

—_———_ À

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 11

substituiren wir diesen Wert von x in die obige Formel, so finden
wir
m—2(4+<Su—6e

3 T).

Die Schnittpunkte der Rückkehrkante mit /, sind dreierlei
Natur; zieht man erstens aus dem Schnittpunkt einer Wendetan-
gente von C mit go die beiden Tangenten an Az, so erkennt man
leicht dass deren Berührungspunkte einfache Punkte der Rückkehr-
kante sind; die Anzahl derselben ist also 2+. Legt man zweitens
die beiden Tangenten an Az aus einem der u — 2e — 2 & ein-
fachen Schnittpunkte von ge mit C, so sind dieselben Erzeugenden
der Fläche, und es lehrt die Anschauung dass sich auch hier wie-
der die ummittelbar vorhergehende und folgende Erzeugende im
Berührungspunkte der betreffenden Tangente begegnen; diese Be-
rithrungspunkte sind also wiederum Spitzen mit in #7, gelegener
Tangente, d. h. auf diese Weise erhalten wir 6 (py — 2¢— 2c)
neue Schnittpunkte mit 12.

Drittens endlich ist selbst eine 2 ¢-fache Schmiegungsebene
in den Berührungspunkten der Tangenten an Az aus den Berüh-
rungspunkten von C mit go; wir erhalten also noch weitere 6 ¢
Schnittpunkte hinzu, und finden in Ubereinstimmung mit dem

Vorigen

Cab Gl ee — 2c) br = 8 (1 + Su Ge — 3c).

Betrachten wir noch einmal die soeben gefundenen 2 ¢ einfachen
Schnittpunkte der Rückkehrkante mit Z,. Diese Punkte entstanden
aus den Wendetangenten der ©, ihre Schmiegungsebenen enthalten
also drei auf einander folgende Erzeugenden der Fläche und sind
somit stationär; umgekehrt muss jede stationäre Schmiegungsebene
die Ebene B schneiden in einer Wendetangente von C; es ist also

Endlich ergibt sich die Zahl § der stationären Erzeugenden der
Flache gleich null. Denn eine stationäre Erzeugende bedingt in
jedem ebenen Querschnitt der Fliche eine Spitze; nun hat aller-
dings die C Spitzen, allein diesen entsprechen, wie wir gesehen
haben, Doppelpunkte der Riickkehrkante; es ist also in der Tat

= 0.

12 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

Die bis jetzt bestimmten Zahlen 7, #, m, a, 9, sind mit ein-
ander verbunden durch die Beziehung

damnn) B;

durch Substitution der oben gefundenen Werte wird dieselbe be-
friedigt. Zugleich aber sind wir jetzt in den Stand gesetzt zur
Berechnung der übrigen charakteristischen Zahlen die Cayuny-
Prücker’schen Formeln anzuwenden, ?) mit deren Hülfe die nach-
stehenden Resultate erhalten werden. Man hat in der Satmon-
Frrprer’schen Bezeichnung *) die Formel

nt+§9—P=3(r—w);

setzt man hier die bereits bestimmten Werte ein, so erhalt man
für die Zahl der Spitzen der Rückkehrcurve :

P= a 4y + 61— 24e— 12 5.

Wir benutzen ferner die Formel:

m=rr—1)—2(y+d) 3 (n+ 9),

wo y die Klassenzahl der der Rückkehrkante doppelt umschriebenen
Developpabeln, d die Anzahl der Doppeltangenten dieser Curve
bedeutet. Durch Hinsetzung der Werte findet man:

y+d=8(u dre) — 4(p Hy) Bet Aat.
Weiter nehmen wir:
n—=r(r—1)—2(x + d)—3(m + 0),

wo æ die Ordnung der vollständigen Doppelcurve der cyklographi-
schen Fläche angibt; wir finden:

31+ 20¢€-+ 10c.

et+d=2(4¢+r—2 os Lw Bi
He i

*) SALMON-Frrprer „Anal. Geom. d. Raumes”, 3e Aufl. 2er Teil, S. 108.

*) _SALMON-Frrepren. 1, c.
*) Vergleiche für dieselbe Satmon-Fiepier 1. e. S. 105 ff. und die tabellarische Ueber-

sicht in Pascau’s ,Repertorium”, II. S. 228.

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 13

Betrachten wir ferner die Formel:

aa;

r—=n(rx — 1) — 2 (y + A)

wo g die Anzahl der Geraden in einer Ebene angibt durch welche
zwei nicht benachbarte Schmiegungsebenen hindurchgehen, und A
die Zahl der doppelten Schmiegungsebenen bedeutet. Für die
Summe dieser beiden Grössen finden wir:

gtA=2710—1)—p—3i+2et+c.

Endlich bedienen wir uns der Formel:

r==m(m —1)—2(h+ D)— 3B,

wo 4 die Zahl der scheinbaren, D diejenige der wirklichen Dop-
pelpunkte der Rückkehreurve bezeichnet. Wir finden:

A+ D=20+3p—G6¢e—30%— 224+ 5y— 10,
+ 44e + 220.

Und zur Bestimmung des Geschlechtes p können wir uns der
Formel:
(m — 1) (m — 2)
RS

DB,

oder einer damit gleichwertigen bedienen, und finden leicht:

p=p—vy+i—ee— dl.

$ 5. Es sind im letzten $ die Summen æ + d, y + d, g + A
und 4 + D ausgerechnet worden; wollen wir also die in denselben
auftretenden Grössen einzeln kennen lernen, so muss jetzt nach-
träglich noch eine directe Bestimmung von d, A, D gegeben wer-
den. Was nun zunächst die Zahl / der Doppelerzeugenden der
Fliche anbetrifft, so ist schon aus cyklographischen Griinden klar
dass dieselbe gleich null sein muss.

Denn die Bildkreise der beiden Berührungspunkte einer solchen
Doppellinie mit der Rückkehrkante wären zwei Kriimmungskreise
der Curve C im nämlichen Punkte und an der nämlichen Tangente ,
was offenbar nur möglich ist wenn zwei Doppelpunkte von C zu-
sammenrücken in einen Berührungsknoten, d. h. wenn zwei Cur-

14 AN WENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

venäste sich berühren,. was gegen die Voraussetzung geht. Hs wäre
allerdings denkbar dass sich unter den besonderen Erzeugenden der
Fläche, wie etwa denjenigen durch die cyklischen Punkte u.s. w.
solche befinden würden die zweimal in Rechnung zu bringen waren ;
allein in den vorhergebenden $$ haben wir ja dieselben alle unter-
sucht, ohne dass sich die Erschemung um die es sich hier handelt
gezeigt hätte.

Was die Zahl D der wirklichen Doppelpunkte anbetrifft, so
fanden wir bereits ($ 4) dass jede Spitze von C ein Doppelpunkt
der Rückkehrkante ist, während umgekehrt einleuchtet dass ein
Doppelpunkt der letzteren in B einen Punkt vom Krümmungsradius
null in C bedingt. Liegt ein Doppelpunkt ausserhalb B, so muss
sein Bildkreis die Curve C an zwei verschiedenen Stellen osculieren,
was aber im allgemeinen nicht möglich ist. Denn das System der
Krümmungskreise bildet eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit ;
es wird also im allgemeinen eine endliche Anzahl solcher Kreise
geben, welche die Curve noch anderwärtig berühren, aber keinen
der sie zweimal osculiert. Es ist also:

Dr — 1 +8 (x — »). (§ 4).

Insbesondere mag hervorgehoben werden dass die Rückkehrkante
nicht durch die Punkte Z,, Z, hindurchgeht.

Endlich die Zahl A der Doppelschmiegungsebenen. Jede Dop-
peltangente von C gibt zu zwei solchen Ebenen Veranlassung,
welche symmetrisch in Bezug auf B liegen, und weil wir die
Anzahl der Doppeltangenten, ge nicht mitgerechnet, gleich 7 vor-
ausgesetzt haben, so ist die Anzahl der Ebenen 27. Uberdies ist
Ex (§ 3) eine 2o-fache Schmiegungsebene, oder also. die Ver-
einigung von ¢ (2¢— 1) Doppelschmiegungsebenen, und endlich
haben wir noch die 2e Ebenen zu berücksichtigen durch die 'Tan-
genten in Z, und Z, an Ks und C (§ 3, am Schluss); es ist also:

A=2@rt<oe(@c—i1)+2¢
oder, wenn wir den Wert von 7 aus der Prücker’schen Formel:
w~=viy—1)—- 2 tr— co (o—1)— BI

einsetzen :

A—y(y— 1)—p—31+ 2e+ où.

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 15

$ 6. Aus den in den vorhergehenden Nummern verwendeten
Formeln ergeben sich drei Singularitäten nicht, deren Kenntniss
dennoch für uns von Wichtigkeit ist; es ist dies erstens die Zahl
derjenigen Erzeugenden der cyklographischen Fläche welche die
Rückkehrkante, wie natürlich, an einer Stelle berühren, und über-
dies noch anderswo schneiden. Es ist klar dass die Bildkreise dieser
Schnittpunkte die Curve C osculieren und zugleich an einer andern
Stelle berühren. Für die Zahl y dieser Punkte haben wir die
Formel :

y=rm+ 12r— 14m—6n—8)—4d—4 DT;

durch Einsetzung der Werte rechts findet man:

y=4}(u+r—2e—o(+3um—6e—30. 6) Si
24 p + 48 € + 210 |.

Für einen beliebigen Kegelschnitt (u = » — 2,1: — € — « — 0),
wadstursdaesParabel (u — = 2, t==¢ = 0, ¢= 1) findet man
y = 0, was offenbar richtig ist, weil ein Kreis einen Kegelschnitt
nicht dreipunktig und tiberdies noch zweipunktig berühren kann;
für den. Kreis aber (u —=v—=2, € — 1, à: — o — 0) findet man
y = 24, was natürlich falsch ist; allein wenn man die Formel
nicht in obiger Gestalt, sondern in der von Pascar gegebenen
schreibt D, so tritt die Grösse (2 darin auf, also die Zahl der Spitzen
der Rückkehrkante, und diese ergibt sich beim Kreise gleich — 8 ;
es ist also die Formel auf den Kreis überhaupt nicht anwendbar.

Zweitens haben wir zu betrachten die Zahl ¢ der dreifachen
Punkte der Doppelcurve, also die Anzahl der Punkte deren Bild-
kreise die Curve C an drei verschiedenen Stellen zweipunktig be-
rühren; wir finden dieselbe aus der Formel:

lt — etat Br Sr a HS) + 420-478 m | js

SEL

wo wir der Einfachheit halber, denn die Formel wird in den
griechisen Buchstaben sehr complicirt, die lateinischen stehen lassen.
Wir finden hier nicht nur fiir einen beliebigen Kegelschnitt oder

1) Satmon-Fiepter |. c. S. 662, oder in etwas andrer Form Pascar-Scurpp „Reper-
torium”, II, S. 227, oder Cremona Curtze, „Grundzüge einer allg. Th. d. Oberfliichen”’. 8. 87

16 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

eine Parabel, sondern auch für den Kreis, {— 0; in Bezug auf
den Kreis gilt aber die gleiche Bemerkung wie oben.

Endlich fügen wir noch hinzu die Ordnung ZX der developpabeln
Fläche, deren Rückkehrkante die Doppelcurve der cyklographischen
Fläche ist, und für welche die Formel gilt:

R=rn+ 6r—3m—9n— 384—2A , oder
R=4v+8)(%+y7— 2e—«) 16 (4 +7) —2v?+ 36-4
18 ¢ —- 2 ¢*.

Hier finden wir für einen beliebigen Kegelschnitt 8, für die
Parabel 4, und fiir den Kreis 4; aber wenn die Curve C ein be-
liebiger Kegelschnitt ist, so setzt sich die Doppelcurve zusammen
aus C, K», und zwei Kegelschnitten in den Ebenen durch die
Axen des Kegelschnittes senkrecht zur Ebene desselben, und es
wird also in der Tat eine beliebige Gerade von 8 Tangenten der
Doppelcurve getroffen. Bei der Parabel ist À, eine (vy — c)-fache,
also nur eine einfache Curve, und die ganze Doppelcurve besteht
aus der gegebenen Parabel und einer zweiten in der Ebene durch
die Axe der ersten; est ist also richtig R= 4. Und beim Kreise
endlich besteht die Doppelcurve aus C, A, und den beiden Spitzen
der Kegel in welche die cyklographische Fläche zerfallt ; also eben-
falls À — 4.

Wir stellen jetzt sämtliche bis jetzt erhaltenen Resultate in fol-
gender Tabelle übersichtlich zusammen, wobei wir die Summen
etd, ytd, g+A, 4+ D im ihre einzelnen Bestandteile
zerlegen. Hs ist also:

der Rang der Riickkehrkante, oder die Ordnung der cyklogra-
phischen Flache, rp 2 &—o)

die Klasse der Flaiche, » = 2 » ; ;
die Ordnung der Rückkehrkante,

m=2tt+3u—é6e 30)

die Anzahl der Spitzen der Rückkehrkante,
Clem Av 6 24e 120;

die Anzahl der stationären Erzeugenden der Rückkehrkante,
i= 0

die Anzahl der Doppelerzeugenden der Riickkehrkante ,
d=) :

die Anzahl der stationären Schmiegungsebenenen derselben ,

Me

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 17

die Anzahl der Doppelschmiegungsebenen derselben,
A=vv—1)—p—3i+¢7+2¢ ;

die Anzahl der Doppelpunkte derselben ,
D=1-+ 3 (pm —v)

die Ordnung der vollständigen Doppelcurve ,
rp 2e—o)?— 10n— 2v— 314 Oet 10e ;

der Rang der vollständigen Doppelcurve ,
R = 4(v + 3)(u y —2e— x) —16 (u dv) — Lv + 36 € +
18 ¢ — 2 o°

die Anzahl der dreifachen Punkte derselben,

VAE | |
tege 3 r(n + 3m) + 42 n + 78 m|

die Klasse der der Rückkehrkante doppelt umschriebenen Deve-

loppabeln ,
y—=2(m+vr—2Ee

die Zahl der Geraden einer Ebene durch welche zwei nicht be-
nachbarte Schmiegungsebenen hindurchgehen, also die Anzahl der
Doppeltangenten irgend eines ebenen Schnittes der cyklographischen
Fläche, abgesehen von den A aus den Doppelschmiegungsebenen
hervorgehenden,

g=v—1) + a(i —2)

die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte der Rückkehrkante ,
A=20 13 4— 6¢e—3e7%— 25 p+ Sy —11:+ 4424 226;

o)?—4(e+v)—+:+ 8e+4e

die Zahl der die Riickkehrkante beriihrenden und zugleich an-
derswo schneidenden Geraden,

y=) 3u beet 6)—24y
a re Ed

endlich das Geschlecht der Rückkehrkante,
p=e—yti—2e—-e+ 1.

$ 7. Wir unterwerfen jetzt die Riickkehrkante der cyklogra-
phischen Fläche einer etwas genaueren Priifung. Die Bildkreise
ihrer Punkte sind die Krümmungskreise der Curve C, ihre ortho-
gonale Projektion auf die Ebene Z dieser Curve fällt also zusammen
mit der Evolute derselben. Es begegnen sich hier, und auch in
der nächsten Nummer, unsere Untersuchungen mit denen des Herrn

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie). Dl. VILL G 2

18 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

VersLuys 1), immerhin, den verschiedenen Zwecken entsprechend,
nur flüchtig, und mit dem bereits betonten Unterschiede (§ 2)
dass hier auch die Singularitäten ¢ und & berücksichtigt worden
sind.

Infolge der Symmetrie in Bezug auf die Ebene B fallen die
Projektionen je zweier Punkte der Raumcurve zusammen; es ist
also die Ordnung der Evolute = + m, d. h. nach der Tabelle
der vorhergehenden Nummer ist

die Ordnung der Evolute = 1-3 pedo.

Die Klasse erhalten wir indem wir die Anzahl der Ebenen be-
stimmen welche durch irgend eine vertikale Gerade gehen und die
Rückkehrkante berühren, denn die Spuren dieser Ebenen sind die
sämtlichen Tangenten an die Projektion der Curve durch einen

Punkt. Es ist diese Zahl im allgemeinen = 7, infolge der Sym-
metrie aber in unserm Falle nur = 4 7, d. h. es ist

die Klasse der Evolute = p+y—2e—.

Betrachten wir eine Spitze der Rückkehrkante. Es schneiden sich
in derselben drei aufeinander folgende Erzeugenden der Fläche,
folglich berührt ihr Bildkreis die Curve C 4-punktig, und es muss
sich also aus der Zahl der Spitzen der Riickkehrkante die Zahl der
,Scheitel” der Curve C ergeben. Allerdings mit einiger Vorsicht.
Wir fanden nämlich (§ 4) dass die Berührungspunkte der zweimal
y — 2e — a Tangenten an C aus den beiden Punkten J,, J,
Spitzen der Rückkehreurve sind; die Schmiegungsebenen derselben
gehen durch die Tangenten in Z, und Z, an Az, und enthalten
somit den Schnittpunkt derselben, oder den Pol von ge in Bezug
auf K„, oder, weil Az und der imaginäre Kugelkreis sich gerade
auf gx doppelt berühren, den Pol von g» in Bezug auf diesen
letzteren, d.h. die der Gerade ge senkrecht zugeordnete Richtung
Ze, also das Projektionscentrum für die orthogonale Projektion auf
B. Es verlieren also die Spitzen durch die Projektion ihren Cha-
rakter, indem sie übergehen in emfache Punkte der Evolute , aller-
dings in solche wo die Evolute und die Curve C sich berühren,
und wir erhalten also zwar den bekannten Satz: „die Curve C und
thre Bvolute berühren sich in allen denjenigen Punkten, deren Tan-

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 19

gente durch einen der beiden Kreispunkte geht’, aber diese Punkte
sind fiir die Curve C keine Scheitel.

Wir fanden weiter (§ 4) dass jeder einfache Schnittpunkt der
Curve C mit ge in den Berührungspunkten der beiden von ihm
an Ke gehenden Tangenten Spitzen der Rückkehrcurve bedingt,
deren Schmiegungsebenen sich in der Tangente in ihm an C schnei-
den, und erkennen nun überdies dass die Verbindungslinie dieser
beiden Spitzen als die Polare des betrachteten Punktes in Bezug
auf K, durch das Projektionscentrum Ze geht. Es fallen also die
Projektionen der beiden Spitzen zusammen in einen Punkt von
gx, der dem betrachteten Punkte harmonisch zugeordnet ist in
Bezug auf die beiden Kreispunkte, und dieser Punkt ist zwar eine
Spitze der Evolute (mit auf ge liegender Rückkebrtangente), führt
aber, wie die jetzige Untersuchung gelehrt hat, nicht zu einem
Scheitel von C.

Immerhin betonen wir im Vorübergehen den Satz: „jedem ein-
Jachen unendlich fernen Punkte der Curve C entspricht als Krüm-
mungsmttelpunkt eine unendlich ferne Spitze der Hvolute mit ganz
in unendlicher Ferne gelegener Rüchkehrtangente, und die beiden
einander auf diese Weise zugeordneten Punkte beider Curven liegen
in zw einander senkrechten Richtungen.”

Wir wollen nun die Zahl 6 = 12 » — 4y + 6:-—- 24e — 120
der Spitzen der Rückkehrkante vermindern um die Zahl 2 (vy —
2 € — a) derjenigen welche in B liegen und also nach dem Obigen
beim Projiciren verloren gehen; es bleiben dann noch 72 x — 6 v
+ 61 —20¢—10¢ übrig, und diese fallen beim Projiciren paar-
welse zusammen; wir finden also:

die Anzahl der Rückkehrpunkte der Hvolute =p —53y +3:
— 10€— 5; von diesen liegen 7%— 2e-—2c im Unendhchen,
den übrigen 5 w—3v + 31—S8e—S3e aber entsprechen ebenso-
viele Scheitel der Curve C.

Für einen beliebigen Kegelschnitt erhalten wir hieraus 4 Spitzen
im Endlichen und 2 im Unendlichen, für die Parabel resp. Z und
0, was offenbar richtig ist.

Was nun die übrigen Schnittpunkte der Evolute mit go anbe-
trifft, so ist folgendes zu bemerken: die Berührungspunkte der
beiden T'angenten an Az aus dem unendlich fernen Punkte einer
Wendetangente der C sind nach § 4 einfache Punkte der Riick-
kehrkante, deren Verbindungslinie, wie wir jetzt wieder hinzufügen
wollen, durch Ze geht; jedem der + Wendepunkte der C entspricht
also ein einfacher unendlich ferner Punkt der volute, natirlich in
einer Richtung senkrecht zur Wendetangente. Endlich ist Z, selbst

G 2%

20 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

Schmiegungsebene in den Berührungspunkten sämtlicher Tangenten
an À, aus den ¢ Berührungspunkten von C mit ge , welche Punkte
auch wieder, und immer aus dem nämlichen Grunde, paarweise
in Geraden durch Z, liegen, und also durch die Projektion über-
gehen in ¢ Wendepunkte der Evolute mit unendlich ferner Wende-
tangente; „jedem Berihrungspunkte von C mit go entspricht also in
der volute eine wnendheh ferne Inflevion mit unendhch ferner
Tangente.”

Addiren wir sämtliche unendlich fernen Punkte so erhalten wir:

3(m—2e—A2o)+'+8e—':+3u—6e—3e,
also wieder die Ordnungszahl der Evolute.

Nachdem jetzt Ordnung, Klasse und Anzahl der Riickkehrpunkte
der Evolute bekannt sind kann nunmehr die Anzahl der Doppel-
punkte aus der bekannten Prücker’schen Formel ermittelt werden.
Jeder derselben ist die Spur einer durch Z, gehenden vierfachen
Sekante der Rückkehrkante, und also der gemeinschaftliche Mittel-
punkt zweier verschiedener Kriimmungskreise ; nach Ausführung der
Rechnung erhält man folgendes Resultat:

die Anzahl der Doppelpunkte der ÆEvolute ist gleich

OP DE SET OMR Es ar AU a ae

Sv = Orb dae 166%:

Jeder dieser Punkte ist der Mittelpunkt zweier Kriimmungskreise.

Soll die Evolute eine Inflexion aufweisen, so muss entweder die
Riickkehrkante eine stationäre Erzeugende besitzen, oder aber es
muss eine Schmiegungsebene durch Z, gehen; das erstere ist nach
der Tabelle des $ 6, S. 16 nicht der Fall, denn es ist 0 —= 0,
und was das letztere anbetrifft, so sind die Schmiegungsebenen
durch Zo die 2 (yv — 2 € — x) Schmiegungsebenen durch die beiden
Tangenten in 7, und I, an Kz (sieh oben), die zweimal ¢ Dop-
pelschmiegungsebenen durch die nämlichen Tangenten und welche
C in den Kreispunkten selbst berühren, und endlich die 2 c-fache
Schmiegungsebene Z» selbst. Die Ebenen der ersten Gruppe
ergaben, wie wir sahen, die Berührungspunkte der Evolute mit
der Curve C, gewöhnliche Punkte der Evolute; die der zweiten
ergeben je einen Wendepunkt auf den Tangenten in Z, und J, an
C, und #, fügt zu denselben noch ¢ auf gz gelegene hinzu. Hs

ist also :

in td

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN, 21

die Anzahl der Wendepunkte der Evolute — 2 8 Ja, und von
diesen liegen a im Unendlichen und die übrigen einzeln auf den
Tangenten an C in den imaginiren Kreispunkten.

Aus der Ordnung, der Klasse und der Zahl der Wendepunkte
erhalten wir in bekannter Weise diejenige der Doppeltangenten.
Man findet: es st

die Anzahl der Doppeltangenten der Evolute gleich

| : sn

Neer

Für den allgemeinen Kegelschnitt erhält man 3, nämlich die
beiden Axen und gs, für die Parabel 0, wie erforderlich. In
complicirteren Fallen zählt gz für mehrere Doppeltangenten; es
liegen ja auf ihr ¢ Inflexionen und p — 2e — 2 a Spitzen, für
welche die Tangente allemal mit y: zusammenfällt. Lost man die
vielfache ‘Tangente in Doppeltangenten auf, und subtrahiert die
erhaltene Zahl von der obigen, so gibt der Rest die Anzahl der
Doppelnormalen der Curve C an. })

Wir discutieren endlich noch die Zahl y der Punkte der Rück-
kehrkante durch welche je eine nicht benachbarte Erzeugende der
Fläche hindurchgeht; nach Abzug einer gewissen Gruppe von im
Unendlichen liegenden Punkten dieser Art und nachheriger Division
durch zwei erhalten wir diejenigen Kriimmungskreise welche C
noch anderswo zweipunktig berühren. Diese abzuziehenden Punkte
sind die folgenden. Es schneidet erstens die Rückkehrkante die
Curve Ke einfach in 24 Punkten, herrührend von den : Wende-
punkten von C; durch jeden dieser Punkte gehen, ausser den beiden
unendlich benachbarten Erzeugenden die sich in ihm schneiden,
y — x — 2 andre, und es zählen also alle diese Punkte zusammen
für 2 + (v — a — 2); dieselben sind abzuzichen weil sie offenbar nicht
zu den von uns verlangten Kreisen führen.

In zweiter Linie haben wir die 2¢ auf Asx gelegenen Punkte
der Rückkehrkante zu betrachten welche herrühren von den ¢ Be-
rührungsstellen von C mit gx, die Punkte also für welche Z, selbst
Schmiegungsebene ist ($ 3). Es schneiden sich in Ay »—c Blät-
ter der Fläche, an jeder der von uns betrachteten Stellen aber,

1) Die vorstehenden Resultate sind im Kinklang mit den in Satmon-Fiepiee’s , Ebene
Curven”, 2e Aufl. S. 122 gegebenen, sobald man bemerkt dass dort vorausgesetzt worden
ist, es gehe die Curve G e-mal durch einen Kreispunkt, während wir, um uns auf
reelle Curven beschriinken «zu können, vorausgesetzt haben sie gehe e-mal durch beide
Kreispunkte. Es ist also in den citirten Formeln jedes e durch 2e zu ersetzen,

5

22 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

ausser den beiden durch die Rückkehrkante gehenden, nur » — ¢ — 7,
weil aus einem Berührungspunkte von C mit ge nur noch y — ¢ — 1
andre Tangenten an dieselbe gehen; an jeder dieser Stellen hat die
Riickkehrkante mit jedem dieser Blätter eine zweipunktige Berüh-
rung, denn es wird sich aus späteren Betrachtungen ergeben
($ 12), dass von den drei hier unendlich nahe zusammenliegenden
unendlich fernen Punkten der Riickkehrkante nur zwei als auf
Kz liegend betrachtet werden dürfen; es ist also zu subtrahieren
die Zahl 4 ¢ (vy — x — 1).

Endlich ist noch auf die 2(4—2e—2c) auf Ke liegenden
Spitzen der Rückkehrkante zu achten, welche von den gewohn-
lichen Schnittpunkten von C mit gs herrühren, und durch deren
jede »—o—2 Blätter der Fläche gehen ausser den drei durch
die Rückkehrkante, entsprechend den Tangenten aus einem gewohn-
lichen Curvenpunkte an dieselbe. Weil die Riickkehrtangente zu-
gleich eine Tangente von A» ist, so hat die Spitze mit jedem
Blatt 3 zusammenfallende Punkte gemein, es ist also schliesslich
noch die Zahl 6 (%— 2 ¢— 2c) (v—o — 2) zu subtrahieren.

Fürht man nun die Rechnung wirklich durch, so erhält man
folgendes Resultat :

es besitzt die Curve C

y = (Cu dvd) 6e-—3oe — 12)
+ ¢(—o—1)--6ma¢-+ 24v— 1414+ Io

Kriimmungskreise, welche sie noch in einem andern Punkte zwei-
punktig berihren.

Als Beispiel, und teilweise zur Kontrolle, fügen wir die Zahl
dieser Kreise hinzu für die verschiedenen Gattungen von Curven
dritter Ordnung. Man erhält:

für die C3 (also die allgemeine C*) 72;
» >, Of (also mit Doppelpunkt) 36;
» » C3 (also mit Rückkehrpunkt) 22;
» » Os («= 1, welche also 9. bertihrt)-46';
Lae? ANO ae DE
or Cs COLO:
Gs eineulare CNET) OU
ite 5 Ore ==) 0!
ta AE ef CAE ==

Die letzten drei Resultate ziehen wir zur Kontrolle heran. Es

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 23

hat nämlich ein Kreis mit einer C? 6 Punkte gemein; ist nun
die Curve circular, so hat ein Krümmungskreis mit derselben
3 +. 2 — 5 Punkte gemein, und folglich kann er die Curve nicht
überdies noch berühren. Das nämliche gilt auch von einer C#
welche bicircular ist, also die imaginären Kreispunkte zu Doppel-
punkten hat; in der Tat gibt auch in diesem Falle unsere Formel
die Zahl 0, ganz gleichgültig ob die Curve noch einen dritten
Doppelpunkt besitzt oder nicht. Weiter kann man in dieser Rich-
tung natürlich nicht gehen, weil eine C° mit zwei dreifachen
Punkten nicht möglich ist.

$ 8. Das System der die Curve C doppelt berührenden Kreise
ergibt sich aus der Betrachtung der Doppelcurve der cyklogra-
phischen Fläche; die Bildkreise der Punkte dieser Curve sind im
allgemeinen Kreise der verlangten Art. Nun setzt sich aber die
vollständige Doppelcurve, deren Ordnung # wir der Tabelle auf
Seite 17 entnehmen, aus der Curve C, dem (vy —)-fachen
Kegelschnitt A>, und einer Restcurve zusammen, ($ 3), und es
ist klar dass nur diese letztere hier in Betracht kommt; ihre Ord-
nung 2 & erhalten wir indem wir von der Zahl z die Ordnung x der C

ove —l)

und überdies die Zahl 2

subtrahieren; man findet:

2e —2u+y—2e— 0) — 11 — 1° + Dyo— y — 3 tH
20 € — x? + Io.

Diese Resteurve nun ist symmetrisch in Bezug auf die Ebene
B; es ist also der Ort der Centra der die Curve C doppelt beriih-
renden Kreise eine ebene Curve von der Ordnung 2’. +)

Die Schnittpunkte der Restdoppeleurve mit der Ebene B sind
die folgenden :

a) Die x Spitzen der C. Nach § 4 sind diese Punkte Doppel-
punkte der Rückkehreurve der cyklographischen Fliche, und die
beiden Schmiegungsebenen in emem solchen Punkte schneiden sich
in der Tangente der Spitze. Es gehen also durch den Punkt 4
je zwei und zwei unendlich benachbarte Erzeugenden der Fläche,

1) Man erkennt leicht dass es, um darzutun dass die Zahl x’ immer durch 2 teilbar
ist, genügt zu zeigen dass ge + v° + v + 4 4 c¢*—co immer gerade ist. Nun ist
#=yv(v—1)— rele —1)— 3e, alsog + 1° Hv +i +e¢(¢—1)=2)*?—27r— 2,
also gerade.

24 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

d. h. es schneiden sich in demselben 4 Paare zicht benachbarter
Erzeugenden, oder es gehen 4 Aste der Doppelcurve durch ihn
hindurch, welche aber alle von der nämlichen Tangente, nämlich
der Rückkehrtangente von C, berührt werden; zwei dieser Aste
bilden die Spitze von C, die beiden andern eine Spitze der Rest-
curve; in jedem der x Rückkehrpunkte hat also die Ebene B mit
der Restcurve einen dreipunktigen Contact, d.h. es gelten diese
Punkte für 3% oder 24 + 9 (fa — y) einfache Schnittpunkte.

6). Die Jd Doppelpunkte der C. Jeder dieser Punkte ist der
Schnittpunkt von 4 nicht benachbarten Erzeugenden der Fläche,
also ein sechsfacher Punkt der vollständigen oder ein vierfacher der
Restdoppelcurve, während leicht einzusehen ist dass die Tangenten
an die 4 verschiedenen Aste nicht in B liegen. Es gelten also
diese Punkte für 4d einfache Schnittpunkte. Nun ist

Ge i Lt et ee ae a ae , und
x — + 3 (u— 7) , folglich
2 wo? — 20 p + 16y— de(s —1) — 641.

LUN
(Se
|

c). Die einfachen Schnittpunkte mit C der zweimal yv — 2 8 — a
Tangenten an C aus den beiden imaginären Kreispunkten. Jede
solche Tangente hat mit C im Berührungspunkte 2, und im be-
treffenden Kreispunkte € Punkte gemein, aber weder die einen
noch die andern gehören der Restdoppelcurve an. Denn was den
Berührungspunkt anbetrifft, so ist derselbe nach $ 4 eine Spitze
der Rückkehreurve, während die zugehörige Schmiegungsebene die
Tangente selbst und den Punkt Zo enthält und also senkrecht ist
zur Ebene B; nun ist eine Spitze der Rückkehreurve ein gewöhn-
licher Punkt der Doppelcurve, während beide von der nämlichen
Gerade berührt werden‘); es geht also nur die Doppelcurve C
durch diesen Punkt, nicht aber die Resteurve. Und was die ima-
ginären Kreispunkte anbetrifft, so wissen wir bereits ($ 3) dass
dieselben, wie alle anderen Punkte von AK», (v — «)-fache Punkte
der Fläche sind; es geht also die Restdoppelcurve ebensowenig
durch die Kreispunkte wie durch irgend einen beliebigen andern
Punkt von Kz.

4s hat aber die von uns betrachtete Tangente noch u —s — 2
einfache Schnittpunkte mit € gemein und diese sind für die Rest-
curve Doppelpunkte. Weil nämlich die Tangente selbst auf der

*) Cremona-Currze „Oberflächen” S. 90.

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 25

Fläche liegt, so gehen durch jeden solchen Schnittpunkt 3 Erzeu-
genden der Fläche; der Punkt ist also ein dreifacher für die voll-
ständige, und somit ein zweifacher Punkt für die Restdoppelcurve,
und die beiden ‘Tangenten an die letztere liegen in der soeben
genannten vertikalen Schmiegungsebene, aber nicht in 2; wir erhalten
also zwei Schnittpunkte. Und weil es im ganzen 2 (vy — 2 ¢— co)
Tangenten, und auf jeder derselben 2 (w — ¢— 2) Schnittpunkte
gibt, so erhalten wir, alles zusammen genommen,

Dhaene ely EE)

d) Die Schnittpunkte der zwei Gruppen von y — 2 ¢ — a Tangen-
ten aus den imaginären Kreispunkten unter sich; jeder solche Punkt
ist der Schnittpunkt zweier Erzeugenden der Fläche und somit ein
einfacher Punkt der Doppelcurve, und weil er weder auf C noch
auf K» liegt so gehört er der Restcurve an. Es sind diese Punkte
die sogenannten Brennpunkte der Curve C; wir finden also im
Vorübergehen den Satz:

es besitzt die Curve C (v— 2e — 5)? Brennpunkte.

e) Endlich sind noch die ¢ Berührungspunkte von C mit g» zu
berücksichtigen. Durch je zwei unendlich benachbarte Schnittpunkte
von C mit g» gehen 4 paarweise unendlich benachbarte Tangenten
an Kz, welche ($ 3) Erzeugenden der Fläche sind. Dieselben bil-
den ein umgeschriebenes Vierseit dessen eine Diagonale die Gerade
ge ist; die beiden andern gehen also durch den Pol von go in
Bezug auf Ks, d.h. durch Zo. Eine derselben ist die Verbindungs-
linie der Berührungspunkte der Tangenten mit Az, die andre ver-
bindet die beiden letzten Eeken, welche den beiden auf y. liegenden
unendlich benachbart sind; diese gehören der Curve C an, jene
also der Restcurve, d. h. es geht die Resteurve durch die ¢ Be-
rührungspunkte hindurch und hat dort durch Z, gehende Tangenten;
wir erhalten somit zu den schon vorhandenen Schnittpunkten der
Resteurve mit B noch ¢ einfache hinzu, und wenn wir jetzt alle
in den Gruppen a....e enthaltenen Punkte addiren, so erhalten
wir genau die Zahl 2 2’, womit dieselbe controlirt ist.

Die Anzahl der die Curve C in einem gegebenen Punkte P
und überdies noch an einer andern Stelle berührenden Kreise er-
halten wir indem wir eine der beiden durch P gehenden Erzeu-
genden der Fliche mit der Doppelcurve schneiden. Nun wird eine
Erzeugende von 7 — 4 nicht benachbarten geschnitten 1), unter

1) CRremona-Curtzeé „Oberflächen”’ S. 12,

26 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

diesen befinden sich aber y — x — 7 welche die gegebene auf Ku,
und eine welche sie auf C schneidet, sodass für die Resteurve nur
7, — (v — 0) — 4 übrig bleiben. Indem wir den Wert von r auf
Seite 16 einsetzen erhalten wir:

unter den doppelt berührenden Kreisen gibt es jeweils

2a t+yv—4e—c—4 |

welche die Curve an einer vorgeschriebenen Stelle beriihren. Oder
anders ausgedriickt :

unter den x Schnittpunkten einer beliebigen Normale der Curve
C (oder Tangente der Evolute) mit dem Ort der Centra der doppelt
berührenden Kreise gibt es 24+ y—4e— x — 4, deren zuge-
hörige Kreise die Curve im Fusspunkte der Normale beriihren.

Ist P ein Doppelpunkt von C so wird jeder der beiden Zweige
von 2+ »— 4¢—a—6 doppelt berührenden Kreisen berührt,
denn irgend eine der 4 durch P gehenden Erzeugenden der Fläche
wird jetzt in P nicht von emer, sondern von drei andern Erzeu-
genden geschnitten, und wenn endlich P in eine Spitze fallt, so
fallen die beiden beim Doppelpunkte getrennt liegenden Systeme
zusammen während die Anzahl der Kreise um eine Einheit wächst.
Eine Spitze von C ist nämlich ein Doppelpunkt der Riickkehr-
curve der Fläche (§ 4), und die Erzeugenden der Fläche in diesem
Punkte sind die Doppelpunktstangenten selbst. Jede derselben wird,
ausser von der andern, noch von 7 — 6 weiteren Erzeugenden ge-
schnitten 1); im Unendlichen aber ändert sich nichts, also ist die
Anzahl der in der Spitze berührenden doppelt berührenden Kreise
y—6—(v—e¢—1)—2p+v—4e—eo—S.

§ 9. Für unsere weiteren Zwecke ist auch eine genaue Kennt-
nis des Verhaltens der Doppelcurve in unendlicher Ferne notwen-
dig; wir zählen also die Schnittpunkte mit /, wieder der Reihe
nach auf. Hier finden wir in erster Linie die ¢ Berührungspunkte
von C mit ge wieder, von denen im vorhergehenden $ sub e) gezeigt
worden ist dass in ihnen die Restdoppelcurve die Ebene / be-
riihrt; wir finden also:

a) 2¢ Schnittpunkte in den Berührungspunkten von C mit go.

6) Die Schnittpunkte der T'angenten an Az aus den p—2e— 2¢
einfachen Schnittpunkten von C mit go unter sich, wobei aber

1) Cremona-Curtze ,Oberflichen” S. 88.

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 27

die auf C selbst liegenden Schnittpunkte ausser Acht bleiben, eben
weil sie auf C und also nicht auf der Restcurve liegen. Jede Tan-
gente muss also mit 2(uw—2e—2c)—2 andern geschnitten
werden, sodass wir eine Anzahl Schnittpunkte erhalten gleich

2(¢—2e—2o)\(m—2Ze—2o—]).

c) Die Schnittpunkte der Tangenten an A. aus den ¢ Berüh-
rungspunkten von C mit go unter sich, die auf y. selbst hegenden
abgerechnet, denn diese sind bereits sub a) beriicksichtigt. Bedenkt
man dass jede dieser Tangenten fiir zwei unendlich benachbarte
gilt, weil die Schmiegungsebene der Riickkehrkante lings derselben
mit MZ, zusammenfällt (§ 4), so sieht man unmittelbar ein dass
jeder Schnittpunkt zweier solcher Tangenten für 4 Punkte der
Doppelcurve gilt, d.h. dass die Doppelcurve in jedem solchen
Punkte einen Doppelpunkt hat und in demselben die Ebene Z,

/ D € D)
berührt. Wir finden also Fed Gel me
Punkte.

d) Die Schnittpunkte der sub 4) und c) genannten Geraden
unter einander. Weil jede Gerade der Gruppe c) doppelt zählt so
wird in einem Schnittpunkte einer solchen mit einer Gerade der
Gruppe 4) die Doppelcurve die Ebene /.beriihren längs der letzteren ;
folglich erhalten wir 2.2 (u — 2e — 2 «) 2 « neue Schnittpunkte.

e) Betrachten wir noch einmal eine Gerade der Gruppe 6). Ist
S» der zugehörige Schnittpunkt der Curve C mit ge, ¢ eine der
beiden Tangenten aus S, an Ke, und 7, der Beriihrungspunkt,
so gehen durch diesen an Erzeugenden der Fläche erstens die Ge-
rade 4, selbst, zweitens die beiden dieser Gerade zu beiden Seiten
unendlich benachbarten (7, ist eine Spitze der Rückkehrkante, § 4),
drittens die y— x — 2 andern welche 7, verbinden mit den Be-
rührungspunkten der aus #, noch an C gehenden Tangenten, im
ganzen also y — +7. Durch einen Geliebigen Punkt von Ko
gehen aber nur y — a, also begegnen wir in Tx einem Schnittpunkte
von Ko mit der Restdoppeleurve, und zwar werden durch Tx

oder 8 ¢ (a — 1) weitere

y — 0 — 2 Zweige der Resteurve gehen, entsprechend den Schnittpunkten
der einen überzähligen Erzeugende tx mit den v—oa—2_ nicht
benachbarten, und alle diese Zweige werden von der Gerade tx be-
rührt, weil die Schmiegungsebene lings jeder der y — ¢ — 2 Erzeu-
genden durch tx selbst hindurchgeht und also von der Schmiegungs-
ebene lings to im dieser Gerade selbst geschnitlen wird. Wir erhalten
somit 2. 2 (u — 2 € — 2c) (v— « — 2) weitere Punkte.

vo
D

cr

ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

f) Betrachten wir auch noch einmal eine Gerade der Gruppe c).
Sx, Ae seien die beiden unendlich benachbarten Schnittpunkte von
C mit go, tx, l die unendlich benachbarten Tangenten aus ihnen
an Kz, so ist der Schnittpunkt T, der Berührungspunkt. Nun gehen
aus S% noch y — x — 1 Tangenten an C, durch JT. also ausser
lo, Le noch y — ao — 1 Erzeugenden, und also im ganzen wieder
y—a-+t 7. Die eine überzählige schneidet aber jetzt v — a — 1
nicht benachbarte, es gehen also jetzt durch Tov — à — 1 Zweige
der Restcurve, welche, aus dem niimlichen Grunde wie sub e), alle
von ls berührt werden. Allein, was von to gilt, gilt ebenfalls von
U». d.h. es hat in diesem Falle jeder der v — x — 1 Zweige der
Resteurve in T mit HW» einen dreipunktigen Contact. Und die auf
diese Weise neu hinzukommende Schnittpunkteanzahl ist also
3.2¢(¥—oe— 1).

g). Wir haben endlich noch die Doppeltangenten der Curve C
zu betrachten. Es habe eine solche mit C gemein die benachbarten
Punkte À, & und 2, R°, während sie y. in #, schneide, und
eine Tangente aus So an Kz mit dieser Curve die Nachbarpunkte
To, T’o gemein habe. Es gehen aus So. an C noch y» — 5 —2
Tangenten, und es gehen also durch 7, die Erzeugenden 7, 2,
T» R, und noch y — x — 2 andre, und ebenso durch 7”, die Er-
zeugenden To A, TR, und noch y—oa— 2 andre. Durch
jeden dieser beiden Punkte gehen also, wie durch irgend einen
andern Punkt von Aj, nur » — oc Erzeugenden, aber während im
allgemeinen die zu zwei Nachbarpunkten gehôrigen Erzeugenden
windschief sind haben hier 7, 2 und 7% &',, und ebenso Tz À,
und J’, # einen Punkt gemein; wad es schneidet also die Rest-
curve die Ebene Ly in Tr, während leicht einzusehen ist dass die

Tangente der vierte harmonische Strahl zu Ts Sx in Bezug auf

To R, Te R, vst, dh. also die Strecke zwischen den Berührungs-
punkten der Doppeltangente senkrecht halbirt.

Die Anzahl dieser letzten Gruppe von Schnittpunkten ist 27,
oder, indem wir eine der Pröücker’schen Formeln benutzen,
y(y— 1) —w—23:—o(¢—1). Und die Addition aller in den
Gruppen q)......g) enthaltenen Anzahlen führt in gehöriger Weise

k, 5 sly 9 ,’
wieder zu der Zahl 2 a’.

§ 10. Die Resultate des vorhergehenden Paragraphen sollen
jetzt benutzt werden zur Bestimmung der Anzahl und der Natur
der vielfachen Punkte unseres Ortes der Centra der doppelt berüh-
renden Kreise. Es kann die Restdoppeleurve keine Doppelpunkte
zeigen, ausser etwa in gewissen Punkten welche sie mit C oder

nn

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 29

kK. gemein hat; denn sobald mehr als zwei Erzeugenden der Fläche
sich im nämlichen Punkte begegnen erhält die Doppelcurve minde-
stens einen dreifachen Punkt; diese sind aber für uns von grosser
Wichtigkeit, denn ihre Projektionen auf B sind die Mittelpunkte
von Kreisen welche die Curve C in drei verschiedenen Punkten
berühren; es gilt also deren Anzahl zu bestimmen.

Besitzt die Projektion der Restdoppelcurve Doppelpunkte, so
werden diese also herrühren von Geraden senkrecht zur Ebene B
welche die Raumcurve in mehr als einem Punkte schneiden, und
zwar wird die Anzahl dieser Punkte 4 sein miisssen, infolge der
Symmetrie der Curve in Bezug auf B; hieraus ergibt sich dass
die Doppelpunkte unsres Ortes Mittelpunkte sind von zwei ver-
schiedenen die Curve C doppelt berührenden Kreisen, und auch
die Anzahl dieser Punkte ist also für uns von Wichtigkeit.

Zur Bestimmung dieser Anzahlen berechnen wir nun in erster
Linie die Klasse des Ortes der Centra der doppelt berührenden
Kreise. Denken wir irgend eine Gerade y senkrecht zu B. Die-
selbe wird nach $ 6, S. 17 von Z Tangenten der vollständigen
Doppeleurve geschnitten, und unter diesen Æ Tangenten befinden
sich v, welche an C gehen, und 2 an Kz; allein Ko ist eine
(v — o)-fache Curve der Fläche, und kann also aufgefasst werden
als die Superposition von } (vy — c) (y — ¢ — 1) Doppelkegelschnit-
ten; jede der beiden Tangenten gilt daher als eine Tangente an
jeden dieser Kegelschnitte, beide zusammen gelten also für (vy — «)
Yv — ¢ — 1). Subtrahieren wir diese letztere Zahl, vermehrt um v,
von À, so erhalten wir die Anzahl der Punkte von g durch welche
nummehr Tangenten der Restdoppelcurve gehen, und diese Tan-
genten werden infolge der Symmetrie im allgemeinen paarweise mit
g in einer Ebene liegen, und die Spur einer solchen Ebene wird
eine Tangente sein unseres ebenen Ortes aus dem Fusspunkte der
Gerade g in B. Allein auch hier gibt es wieder Ausnahmen; denn
die Gerade g enthält den Punkt Z., und durch diesen gehen er-
stens die Tangenten in den (y — 2 ¢ — c)? einfachen Schnittpunkten
der Restdoppelcurve mit Z (den Brennpunkten von €, $ 8, S. 25),
und zweitens die Tangenten in den ¢ unendlich fernen Punkten,
welche herrühren von, und zusammenfallen mit, den Berührungs-
punkten von C mit go (§ 8, S. 25), und es ist klar dass diese
beiden Gruppen von Tangenten hier auszuschliessen sind, weil die
Ebenen durch dieselben und g die Raumeurve berühren ohne dass
ihre Spuren Tangenten der Projektion derselben sind. Also erst
nachdem auch noch die um ¢ vermehrte Zahl (y — 2 ¢ — c)? ab-
gezogen ist erhalten wir emen Rest, der, durch 2 geteilt, die Klasse

30 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

unseres Ortes ergibt. Nennen wir das Resultat der Division 2’, so
erhalten wir: die Klasse des Ortes der Centra der die Curve C
doppelt berihrenden Kreise ist gleich

R —=2 (+ Su +y—2e— 0) — 8(u+v— Lry eo)
— ge(e+o— 9) — 20 (x — 4).

Nachdem jetzt die Klasse unsrer Curve bestimmt worden ist
brauchen wir nur noch die Anzahl ihrer Rückkehrpunkte zu kennen
um mittelst einer der PLücker’schen Formeln auch die Anzahl der
Doppelpunkte zu erfahren. In Bezug auf die Rückkehrpunkte nun
ist folgendes zu bemerken. Es besitzt erstens die Restdoppelcurve
x Rückkehrpunkte in den x Spitzen der Curve C ($ 8, S. 23),
allein diese verschwinden in der Projektion, weil die Tangential-
ebenen in denselben senkrecht sind zur Ebene B; in der Projek-
tion erhalten wir hier einfach Übergänge von parasitischen in nicht
parasitische Teile. Dann aber zeigt die Restdoppelcurve eine Spitze
in jedem Punkte wo die Rückkehrkante von einer diese letztere
Curve anderswo berührenden Gerade geschnitten wird; denn in
einem solchen Punkte werden zwei längs der Rückkehrkante zu-
sammenstossende Blätter der Fläche von einem einfachen Blatte
geschnitten, was, wie die directe Anschauung lehrt, zur Folge hat
dass auch die Doppeleurve diesen Punkt enthält, und zwar als
- Spitze. Die Anzahl dieser Punkte beträgt nach § 7, S. 22 2 y';
dieselben liegen aber paarweise symmetrisch in Bezug auf PB, sodass
die Anzahl der Rückkehrpunkte des Ortes der Centra der doppelt
berührenden Kreise y beträgt.

Nennen wir jetzt die Anzahl der Doppelpunkte d’, so ergibt die
Prücker’sche Formel:

R'— x (# —1)—2d — 37, oder

p= i (æ — 1) R—37y

Allein diese Punkte sind bei weitem nicht alle wirkliche Dop-
pelpunkte, sondern es müssen infolge des complicirten Verhaltens
der Restdoppelcurve in unendlicher Ferne mehrere der im vorher-
gehenden Paragraphen erhaltenen Anzahlen jetzt wieder subtrahiert
werden. Vorher aber sei noch bemerkt dass die d vierfachen Punkte
der Restdoppeleurve, welche mit den Doppelpunkten der C zusain-
menfallen ($ 8, S. 24), durch die Projektion übergehen in Dop-
pelpunkte, und zwar, wie unmittelbar einzusehen, in solche deren

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 31

beide Tangenten die Winkel der Tangenten im nämlichen Punkte
an C halbieren; und zweitens dass die $ 8, S. 24 sub c) genann-
ten Punkte, welche Doppelpunkte für die Restdoppelcurve sind,
diesen Charakter durch die Projektion verlieren, wiederum infolge
der Symmetrie.

Es kommen jetzt in Wegfall:

1°. die Punkte sub c) § 9, S. 27, deren Anzahl 2 & (¢ — 1)
beträgt, und in deren jedem die Restdoppelcurve einen Doppel-
punkt besitzt mit mit Mo zusammenfallender Tangentialebene. Es
liegen diese Punkte zu je zwei und zwei auf Geraden durch Ze,
sie projicieren sich also in ¢(¢— 7) Punkte auf g», und diese
Projektionen sind offenbar Berührungsknoten für unsern Ort der
Centra, so dass jeder derselben zwei Doppelpunkte absorbirt, im
ganzen also 2¢ (¢ — 1);

2°. die Punkte 7. sub e) § 9, S. 27, durch deren jeden die
Restdoppeleurve v— « — 2 Zweige hindurchschickt, alle mit der
nämlichen Tangente ¢. Auch diese Punkte liegen paarweise auf
Geraden durch Z», sie projicieren sich also in u — 2 ¢ — 2 ¢ Punkte
von ge, und es wird in denselben die Gerade gz von y — ¢ — 2
Zweigen des ebenen Ortes der Centra berührt, sodass wir es hier
zu tun haben mit einer Vereinigung von zwei (y — ¢ — 2)-fachen
Punkten, oder von (v— ¢ — 2) (v— ¢ — 3) Doppelpunkten. Weil
die Anzahl der hier in Betracht kommenden Punkte u — 2 ¢—2¢
ist, so kommen also im ganzen in Wegfall (uw — 2 ¢ — 2 ¢)(v — ¢ — 2)
(v — ¢ — 3) Doppelpunkte ;

.3. die Punkte To sub f) § 9, S. 28. Durch jeden derselben
gehen y — ¢ — 1 Aweige der Restcurve, und jeder dieser Zweige
hat in 7 mit #, einen dreipunktigen Contact. Es gibt 2 ¢ solcher
Punkte, allein auch diese legen wiederum paarweise in Geraden
durch Ze, und projicieren sich also in ¢ Punkte von gz. Durch
jeden derselben gehen » — + — 1 Zweige des Ortes der Centra,
und jeder derselben hat im betreffenden Punkte einen Wendepunkt
mit mit ge zusammenfallender Tangente. Es liegen also jetzt drei
(v—o— 1)-fache Punkte unendlich nahe zusammen, d. h. jeder

Saves
solche Punkt absorbirt AD 1) (v— a — 2) Doppelpunkte;

3
Q . . €
es sind also im ganzen zu subtrahieren = 5 (v

a
nn
=
—
=
à
|
|
Oo
nee

Doppelpunkte.

Nennen wir das Resultat der Subtraktion d*, so erhalten wir:

32 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

Lw —1)—R 87 |-ece—n 2:29

\

Dn

3
ve Debed eZ).

Allein jetzt haben wir immer noch nicht die wirklichen Doppel-
punkte, denn unter den d* Doppelpunkten befinden sich auch noch
die dreifachen, d. h. die Centra der die Curve C dreimal berüh-
renden Kreise. Wir geben die Bestimmung dieser letzteren in der
nächsten Nummer, wollen aber vorher zum Schlusse des jetzigen $
die verschiedenen unendlich fernen Punkte des Ortes der Centra
der doppelt berührenden Kreise tabellarisch zusammenstellen. Zs
besitzt dieser Ort auf go:

a). 5 einfache Punkte in den Berührungspunkten von C mit ge;
(Gruppe a des $ 9);

b). (ke) (u 2e — 25—1) weitere einfache Punkte
(Gruppe 6 des $ 9), im Richtungen welche die Winkel der Asym-
ptoten der Curve C halbieren;

c). 9(9-— 1) Bertihrungsknoten mt mit go zusammenfallender
Tangente (Gruppe e des § 9), ia Richtungen welche die Winkel der
Geraden nach den Beriihrungspunkten von C mit gz halbieren ;

d). 2¢(4-——2¢—22) einfache Punkte, in denen aber die Curve
die Gerade gx berührt (Gruppe d des § 9), in Richtungen welche
die Winkel zwischen je einer Asymptote und einer Gerade nach einem
Berührungspunkt von © mit ge halbieren;

e). (4 —2e-—-22) Punkte in Richtungen welche denen der
jt —2e— 25 einfachen Schnuittpunkte von C mit gx senkrecht zu-
geordnet sind, und in deren jedem y — 5 —2 Lweige der Curve die
Gerade gx berühren (Gruppe e des § 9);

J). 5 Punkte in Richtungen welche denen der a Bertihrungspunkte

von C mit gx senkrecht zugeordnet sind, und in deren jedem v — 5 — 1
Zweige der Curve die Gerade gx osculieren (Gruppe f des § 9);

g). Teinfache Schnittpunkte, entsprechend den T Doppeltangenten
der CU; die zugehörigen Asymptoten sind die Geraden, welche die
Strecken zwischen den beiden Beriihrungspunkten jeder Doppeltangente
senkrecht halbieren (Gruppe g des § 9).

§ 11. In der Tabelle des § 6, S. 17, findet sich der Voll-
ständigkeit halber auch eine Formel für die Anzahl der dreifachen
Punkte der Doppelcurve unserer cyklographischen Fliche, allein es
muss bemerkt werden dass diese Formel uns hier nicht nützen kann.
Denn es bezieht sich dieselbe auf die vollstindige Doppelcurve, und

——ee NE

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 33

diese hat, sobald » — 5 > 2 ist, unendlich viele dreifachen Punkte,
weil ja der Kegelschnitt Az eine (vy — o)-fache Curve ist. Wir
brauchen also eine Formel fiir die Anzahl der dreifachen Punkte
der Lestdoppelcurve, und erhalten dieselbe indem wir der Methode
folgen nach welcher Crumona 4) im allgemeinen Falle die entspre-
chende Formel für die nicht degenerirte vollständige Doppelcurve
gefunden hat, und welche einfach hierin besteht dass man die
sämtlichen Schnittpunkte der Curve mit der zweiten Polarfläche
irgend eines Poles O in Bezug auf die cyklographische Fläche
bestimmt, und bemerkt dass sich unter diesen auch die gesuchten
Punkte vorfinden miissen, weil die dreifachen Punkte der Doppel-
curve zugleich dreifache Punkte der Fliche, und deshalb auf der
zweiten Polarfläche irgend eines beliebigen Poles gelegen sein müs-
sen. Uberdies zählt jeder solche Punkt für 3 einfache Schnitt-
punkte, eben als dreifacher Punkt der Curve. Wir haben also
folgendes: es ist die Ordnung der Restdoppelcurve 2 2 ($S,S. 23),
diejenige irgend einer zweiten Polarfliiche 7 — 2, und somit die
Anzahl der Schnittpunkte beider 2 (7 — 2), und diese Schnitt-
punkte setzen sich nun in unserm Falle aus den folgenden zehn
Gruppen zusammen:

1°. den Punkten, in denen die Erzeugenden der Fliche, lings
welcher die x == 2y Tangentialebenen aus O an dieselbe sie be-
rühren, von anderen Erzeugenden geschnitten werden. Denn diese
Punkte sind für den vollständigen Querschnitt einer solchen Tan-
gentialebene mit der Fläche selbst dreifach (dieser Querschnitt be-
steht nämlich aus einer Curve von der Ordnung 7 — 2 und der
Berührungserzeugende doppelt gezählt), also mit der ersten Polar-
fiche von OQ zweifach, und also mit der zweiten einfach. Nun
wird jede solche Berührungserzeugende von 7 — 4 anderen ge-
schnitten; einer dieser Schnittpunkte liegt aber auf C, v— 5 — 1
andere liegen vereinigt auf AK», auf der Restcurve liegen also nicht
mehr als 7 — yv + 5 — 4, und es besteht also diese erste Gruppe
aus % (7 — y + 5 — 4) Punkten.

2°. Ein Doppelpunkt der Riickkehreurve ist für die Doppelcurve
vierfach, und gilt für zwôlf Durchschnittpunkte der letzteren Curve
mit der zweiten Polarfläche irgend eines Poles O. 7) Nun besitzt
unsere Rückkehreurve in der Tat Doppelpunkte, und zwar in den
Spitzen der Curve C, deren Anzahl x — 4 + 3 (4 — y) ist; in jedem

1) „Oberflächen” S. 87, ff.
2) Cremona-Currze ,,Oberflichen”, S. 89.

Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (fe Sectie), Dl. VII Ga

34 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

dieser Punkte besitzt nicht nur die Curve C, sondern auch die
Restcurve eine Spitze (§ 8, S. 24), beide mit der nämlichen Tan-
gente, d. h. es verhalten sich die Curve C und die Restcurve in
diesen Punkten ganz gleich, und wenn also ein solcher Punkt in
Bezug auf die vollständige Doppelcurve 12 Schnittpunkte absor-
but, so repräsentirt er für die Restcurve deren sechs. Und es
besteht also diese zweite Gruppe aus

6 D=6x=—6:+ 18(p —v) Punkten.

3°. Kin Rückkehrpunkt der Rückkehreurve ist fiir die Flache,
als Schnittpunkt dreier Erzeugenden, ein dreifacher Punkt, aber
von der besonderen Eigenschaft dass der kubische Berührungskegel
aus drei mit der Tangentialebene zusammenfallenden Ebenen be-
steht. Irgend eine erste Polarfläche hat also in ihm einen unipla-
naren Doppelpunkt, und jede zweite Polarfläche geht einfach durch
ihn hindurch, und berührt in ihm die Tangentialebene der Fläche,
und damit auch die Doppeleurve, denn die Doppeleurve und die
Rückkehrkante haben in emmer Spitze der letzteren die nämliche
Tangente. 5) Wir erhalten also als dritte Gruppe von Schnittpunkten
die Anzahl der Rückkehrpunkte der Rückkehrkante , multipliziert
mit zwei. Allein vorher sind abzuziehen die 2 (y — 2 € — 6) in den
Berührungspunkten der 'Tangenten aus den beiden Kreispunkten an
C liegenden ($ 4, S. 10), weil diese von der Doppelcurve C, nicht
aber von der Resteurve berührt werden, und überdies wollen wir
auch noch die 2(u—2e— 20) auf Ko liegenden Spitzen sub-
trahieren ($ 4, S. 11), denn diese zeigen ein weit complicirteres
Verhalten, und sollen also weiter unten (sub 7) für sich untersucht
werden.

Es ist nun die Anzahl der Spitzen überhaupt (§ 6, S. 16):

BR —12u—4y +Gi—24e— 125;

subtrahiert müssen werden: 2 uw + 21 — Se — 65, sodass übrig

bleiben

10p -—6y+6Gi—16e— 6a;

und diese Anzahl, multipliziert mit zwei, ergibt als Beitrag dieser
dritten Gruppe

\

1) Cremona-Curtze ,Oberfliichen” S. 90,

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 35

4, Die zweite Polarfläche eines beliebigen Poles hat mit der
Doppelcurve einen dreipunktigen Contact in jedem Punkte der
Rückkehrkante wo diese letztere von einer anderswo berührenden
Erzeugende der Fläche geschnitten wird 1); jeder solche Punkt ist
nämlich ein Rückkehrpunkt für die Doppelcurve, während sich
zeigt dass irgend eine zweite Polarfläche die Rückkehrtangente be-
rührt. Die Anzahl der auf der Restdoppelcurve liegenden Punkte
dieser Art ist 27° (§ 7, S. 22), der zu unserer Schnittpunkte-anzahl
beigesteuerte Betrag also 6 y.

5°. Ein Doppelpunkt der Curve C ist der Schnittpunkt von 4
Erzeugenden der Fliche, und also für diese ein vierfacher Punkt;
jede zweite Polarfläche geht also zweimal durch ihn hindurch, und
weil er auch ein vierfacher Punkt fiir die Restdoppelcurve ist
(§ 8, S. 24) so zählt er für 8 einfache Schnittpunkte beider; wir
erhalten also eine weitere Anzahl von

8I= 4} p?— 1044+ Bv 2e(e—1)— 31}.

6°. Aus jedem der beiden Kreispunkte gehen an Cr — 2 ¢—- a
Tangenten, deren jede die Curve in jz — ¢ — 2 einfachen Punkten
schneidet; diese Punkte sind dreifache Punkte für die cyklogra-
phise Fläche und Doppelpunkte für die Restdoppelcurve (§ 8, S. 24),
durch jeden geht also die zweite Polarfläche einfach hindurch,
während er für zwei der gesuchten Schnittpunkte gilt; der jetzige
Beitrag ist also

4 (vy — 2€—7)(m@ — € — 2),

7°. Jetzt müssen endlich noch einige Gruppen von unendlich
fernen Punkten der Restdoppelcurve in Betracht gezogen werden.
Nehmen wir zuerst die 2(u—2e—25) Berührungspunkte auf
kK, der Tangenten aus den einfachen Schnittpunkten von C mit
go an jenen gezogen (§ 9, S. 27, e). Durch einen solchen Punkt
gehen v —5—+ 7 Blätter der Fläche, alle die Tangente an K,
berührend, und y — 5 — 2 Zweige der Restdoppelcurve , ebenfalls
diese Gerade berührend, er absorbirt also 2 (y — 5 — 7) (y — 5 — 2)
Schnittpunkte der Restcurve mit irgend einer zweiten Polarfläche,
denn von dieser letzteren gehen offenbar y — 5 -— 7 Blätter, auch
wieder die nimliche Gerade berührend, durch ihn hindurch. Zu-
sammenfassend erhalten wir also 2. 2 (u — 2¢— 2c) (v—a 1)
(v — 5 — 2) neue Punkte.

1) Cremona-Curtze ,Oberflichen” S. 90.

[ep
ep;
Ge

30 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

8°. Jetzt nehmen wir einen Punkt 7 der Gruppe /, § 9, 8. 28.
Durch diesen gehen »y—-c-+- 1 Blätter der Fläche selbst, also
y —a-— 1 irgend einer zweiten Polarfläche, und » — « — 1 Zweige
der Restcurve, alle die Tangente an Az im betreffenden Punkte,
und die unendlich benachbarte, berührend; zusammengenommen er-
halten wir also Se oa)

9°. Auch müssen wir noch die Punkte der Gruppe y, § 9, S. 28
ins Auge fassen, welche herrühren von den Doppeltangenten der
Curve C. Hs schneidet in diesen Punkten die Restdoppelcurve
Kz einfach, und durch A gehen an dieser Stelle y—o Blätter
der Fläche selbst, und also y — 5 — 2 jeder zweiten Polarfläche;
die Gesamtzahl der Schnittpunkte ist also

27 (vy —o— Dele 2) } 9 —1)—p—31—0(5 —1)}.

10°. Und schliesslich müssen wir der Punkte gedenken um die
es ja eigentlich geht, nämlich der dreifachen Punkte der Restdop-
pelcurve, deren Anzahl wir gleich 2 # setzen wollen, weil sie paar-
weise symmetrisch liegen in Bezug auf B und es uns um ihre
Projektionen zu tun ist. Wir erhalten also als letzten Beitrag 6 7’;
denn durch jeden der 24 Punkte, welche sowohl für die Doppel-
curve wie für die Fläche dreifach sind, geht eine zweite Polarfläche
einfach hindurch.

Eine Gleichung zur Bestimmung der Zahl # erhalten wir nun
mdem wir die Summe der in den vorhergehenden zehn Gruppen
enthaltenen Anzahlen gleichsetzen der eingangs dieses $ gefundenen
vollständigen Anzahl 2 a’ (r — 2). Führt man die Rechnung wirk-
lich durch, so erhält man eine aus 39 Gliedern bestehende Formel,
welche allen Versuchen, diese Glieder in einfachere Klammeraus-
drücke zusammenzufassen, widerstanden hat, sodass wir genötigt
sind dieselben in extenso hinzuschreiben. So erhalten wir denn
folgenden Satz:

Ls gibt:

1 € €
/ eer nerede naven

+ Gao — 48 wve— 12 peve+ 48 pect — 12vte 350
+ 48 ve + 3ya% + 24veEa 32 «8 — 48 ea — 18 € 9° — 0

— 66 p? — 45 wv — 18 pi + 258pe + GF po yv Ivt
Sdve +- 24v 5 — 240 € + 36 61 — 18060 — 21 0? + Doi

- 194 up — 58 y + 781— 304€ — 1226 |

Kreise, welche die Curve C in 3 verschiedenen Punkten berühren.

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 31

Wir besitzen für diese Formel mehrere Kontrollemittel. Erstens
muss die rechte Seite immer durch 6 teilbar sein. Nun sind eine
ganze Anzahl von Coefficienten an und für sich schon durch 6 teil-
bar; fassen wir die anderen Glieder zusammen, so lassen sich die-
selben in folgende Klammerausdrücke einordnen :

3 (v + 5) (ue + v? + y Ht + a? —a)+ 2} (2 x? 1 7) —v (v? — 7)
te Lo (ee 1),

Und nun ist w+ 7? y Ht 4-02 — nach der Bemerkung
$8,S.23 unten immer eine gerade Zahl, während, wie leicht zu
sehen, die Ausdrücke pe (2 p? + 1), v (v? — 1), e(e? + 2), (52 — 1)
einzeln immer den Factor 3 enthalten. Also, u.s. w.

Dann gibt es eine ziemliche Anzahl von Fällen wo dreifach be-
rührende Kreise unmöglich sind, wie z. B. beim allgemeinen Kegel-
schnitt und bei der Parabel, und ebenfalls, was wichtiger ist, bei
der circularen C2, C? und C3, und den verschiedenen Varietäten
von bicireularen C*. In allen diesen Fallen gibt die Formel die
richtige Antwort. !

Nachdem jetzt die Anzahl der dreifachen Punkte des Ortes der
Centra der doppelt berührenden Kreise aufgefunden ist, kann nun-
mehr auch die Anzahl der wirklichen Doppelpunkte dieser Curve
bestimmt werden, denn dieselbe ist einfach gleich d* — 3 7’, wo d*
der Formel des $ 10, S. 32 zu entnehmen ist. Vermindern wir
diese Zahl nun auch noch um die Zahl à, also die Anzahl der
Doppelpunkte der gegebenen Curve C, welche ebenfalls Doppel-
punkte unserer neuen Curve sind, so erhalten wir die Anzahl der-
jenigen Punkte der Ebene B welche Mittelpunkte sind von 2 ver-
schiedenen die Curve C doppelt berührenden Kreisen. Also:

Es gibt in der Kbene der Curve C J* —_ J __ 34 Punkte, welche
Mittelpunkte sind von zwei verschiedenen die Curve C doppelt be-
rührenden Kreisen.

Die in dieser Formel auftretenden Grössen y’, a’, d, À", £ finden
sien der Reihe nach vor im $ 7, 8. 22, § 8, S. 23, 24, § 10,
S 130, Galle S-186:

*) Wir werden weiterhin, § 15, noch eine weit schärfere Kontrolle finden.

38 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

ZWEITER TEIL.
Anwendungen.

$ 12. Wir wollen’ nun die im ersten Teile dieser Arbeit stu-
dierte cyklographische Fläche dazu benutzen weitere Anzahlen her-
zuleiten welche in Beziehung stehen zu den Kreisen welche die
Curve C unter vorgeschriebenen Bedingungen berühren, und fangen
an mit der Frage nach denjenigen unter ihnen welche durch einen
willkürlich gegebenen Punkt P gehen. Sämtliche Kreise durch P
sind die Bildkreise der Punkte eines gleichseitigen Rotationskegels,
dessen Spitze in P liegt und dessen Achse in diesem Punkte senk-
recht steht auf der Ebene 2, eines Kegels also, für welchen die
Ebene B eine Symmetriebene ist; und die verlangten Kreise sind
somit die Bildkreise der Durchdringungscurve dieses Kegels mit der
eyklographischen Fläche. Diese Durchdringungscurve ist eine Raum-
curve von der Ordnung

2r=4(ut+y— 2e—s) 4800: Selk

allem dieselbe zerfällt in eine Curve von der Ordnung 2 (v — 6),
nämlich den Kegelschnitt AG, (9 — o)-mal gezählt, weil dieser auf
beiden Fläichen zugleich liegt, und einen Rest von der Ordnung

4 + 2yv—S8e— 2a.

Dieser Rest ist symmetrisch in Bezug auf B, und somit erhalten
wir das Resultat: der Ort der Mittelpunkte der die Curve C be-
rührenden und überdies durch einen beliebigen Punkt der Ebene
gehenden Kreise ist eine Curve von der Ordnung 2 à + y — 48 — a.

Kinem unendlich fernen Punkte dieser Curve entspricht eine
Tangente der Curve C durch P, allein anstatt die Zahl y zu erhal-
ten erhalten wir 2 gp +-v— 4¢—a. Dieser scheinbare Widerspruch
ist aber sehr leicht zu heben. Denn es besteht der Bildkreis eines
durch eine bestimmte Gerade unter 45° Neigung zur Ebene B
gegebenen unendlich fernen Punktes aus der Spur derjenigen Ebene
durch diese Gerade, für welche diese letztere eine Falllinie ist;
allein dann gibt eine zur ersteren parallele Gerade im allgemeinen

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 39

eine andere Spur, obgleich sie durch den nämlichen unendlich fernen
Punkt hindurchgeht; der Bildkreis eines solchen unendlich fernen
Punktes ist also bis zu einem gewissen Grade unbestimmt, indem die
denselben vertretende Gerade parallel sich selbst verschoben werden
darf, und hieraus erklärt sich die Tatsache dass man unter Um-
ständen unter den Lösungen einer cyklographischen Aufgahe gerade
Linien erhalten kann welche der Aufgabe nicht in allen Stiicken
genügen. Im Übrigen sind im vorliegenden Falle die sämtlichen
unendlich fernen Punkte unserer Curve leicht aufzufinden ; es liegen
deren v in Richtungen senkrecht zu den Tangenten aus P an C,
die übrigen 2 u — 4e — a erhalten wir in 2 Gruppen von resp.
2(um—2e— 25) und 35. Betrachten wir nämlich einen Punkt
T der Gruppe e) $ 9, S. 27. Durch diesen gehen nicht, wie
durch irgend einen andern Punkt von Kz, v — 5, sondern y — 5 + 7
Blätter der Fläche, und es gibt also das eine überzählige Blatt
durch seinen Querschnitt mit dem Kegel einem durch 7} gehenden
Zweige der Restdurchdringung den Ursprung, und dieser Zweig
wird überdies die Tangente 4, berühren, weil sowohl das Blatt
der Fläche wie der Kegel dies tun, woraus dann weiter hervorgeht
dass unsere ebene Curve, welche die Projektion der Restdurchdrin-
gung ist, im entsprechenden Punkte die Gerade gs berühren wird;
und die Anzahl dieser Berührungspunkte ist 4 — 2 s— 25, näm-
lich die Hälfte der Anzahl der Punkte 7%. Und die Betrachtung
der Punkte 7 der Gruppe f $ 9, S. 28 führt in analoger Weise
zu a weiteren unendlich fernen Punkten, welche aber Wendepunkte
der Curve sind, mit mit y. zusammenfallender Inflexionstangente.

Ms schneidet also unsere Curve die Gerade gx in v einfachen Punk-
ten, welche in Richtungen liegen senkrecht zu den Tangenten aus
P an C; sie beriihrt go in p—2e— 26 Punkten, in Richtungen
senkrecht zu den Asymptoten der C; und sie oseutiert go ins Punk-
ten, im Leichtungen senkrecht zu denjenigen der Berihrungspunkte
von C mit gx.

Die Rückkehrkante der cyklographischen Fiäche ist von der
Ordnung

m=2(0+ 3 w—6e—3a) (Ke SM

folglich ist die Anzahl der Schnittpunkte derselben mit dem qua-
dratischen Kegel gleich 2». Von den unendlich fernen Punkten
der Riickkehrkante liegen wm — 2c auf Kz 4), folglich ist die An-
zahl der nicht in unendlicher Ferne liegenden Schnittpunkte gleich

1) Vergleiche die Note im diesem nämlichen §, S. 41.

40 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

m + 25. Diese Punkte sind offenbar Spitzen der Durchdringung;
ihre Projektionen auf die Ebene Z fallen paarweise zusammen, und
sind ebenfalls Spitzen der Projektion, und zugleich Mittelpunkte
von Krümmungskreisen welche durch P gehen, während sich an-
dererseits aus dem Umstande dass die Durchdringung auf dem qua-
dratischen Kegel liegt leicht ergibt dass weitere Spitzen nicht exis-
tieren. Wir erhalten somit folgende Sätze:

Der Ort der Mittelpunkte aller Kreise welche durch P gehen und

i
C berühren enthalt 3" +o—i+Su —6e—25 Rückkehrpunkte.

Und: Von den Krümmungskreisen der Curve C gehen jeweils
ij 3 2 — 6 e— 256 durch einen beliebigen Punkt, oder es bilden diese
Kreise eine Kreisreihe vom Punktinder + + 3 pp — 6 € — 2 0.1

Für den allgemeinen Kegelschnitt, die Parabel, und den Kreïs,
erhält man resp. 6, 4, 0.

Die Restdoppelcurve der cyklographischen Fläche ist § 8, S. 23
zufolge von der Ordnung 2 +, sodass dieselbe von unserm Kegel
in 4a’ Punkten geschnitten wird, von welchen im Unendlichen
liegen die 4(u —2e— 2c) (v—a— 2) Punkte der Gruppe e)
§ 9, S. 27, die Gov — 5 — 1) der Gruppe /) ebendaselbst, und
die 2T—v(y—1)—p—31—5(5 — 1) der darauf folgenden
Gruppe 9). Werden diese drei Anzahlen subtrahiert so bleiben die
im Endlichen befindlichen Schnittpunkte übrig, und diese liegen
paarweise symmetrisch in Bezug auf B und stellen die Doppelpunkte
der Durchdringung dar, während ihre Projektionen die Doppel-
punkte unserer ebenen Curve und zugleich die Mittelpunkte der-
jenigen doppelt berührenden Kreise sind welche durch P gehen.
Die Rechnung nun ergibt folgendes:

Der Ort der Mittelpunkte aller Kreise welche durch P gehen und
C beriihren enthilt

\

z =
pend te dt oe ell AE 7)

Doppelpunkte. Und:
Von den die Curve C doppelt berührenden Kreisen gehen jeweils

1
= | 2 +y—4e— 5) —13u— y — 314+ 24e +70) durch

einen beliebigen Punkt, oder es bilden diese Kreise eine Kreisreihe
mit der genannten Zahl als Punktindee.

1) CREMONA-Currze „Einleitung etc.” S. 48.

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 41

Beiläufig sei bemerkt dass man, wenn man beweisen will dass
der Klammerausdruck gerade ist, wieder auf den Ausdruck
um + + y-+-,-+ c%—a und damit auf die Bemerkung des
§ 8, S. 23 geführt wird, womit der Beweis geleistet ist. Für
allgemeinen Kegelschnitt, Parabel und Kreis gibt die Formel bez.
die Anzahlen 4, 2, 0.

Aus der Ordnung, der Anzahl der Doppelpunkte und derjenigen
der Rückkehrpunkte lassen sich nun in bekannter Weise die übrigen
Singularitäten herleiten; insbesondere findet man für die Klasse
das merkwürdig einfache Resultat 2 u — 2e, welches auch des-
wegen auffällig ist weil weder » noch + noch 5 darin auftreten.

Wird P auf der Curve C selbst gewählt so berühren Kegel und
Fläche sich längs der beiden Erzeugenden in den Tangential-
ebenen welche die Tangente in P an C enthalten; hieraus folgt
dass sich von unserer ebenen Curve die Normale in P zu ©, zwel-
mal gezählt, abtrennt, so dass ein Rest übrigbleibt dessen Ordnung
um zwei Einheiten niedriger ist als im allgemeinen Falle. Das
Büschel der die C in P berührenden Kreise enthält nach früherem
einen Krümmungskreis und ($ 8, S. 26) 2u +y—4e—5— 4
Kreise welche in P selbst und noch an einer andern Stelle be-
rühren; subtrahieren wir diese beide Anzahlen, die erste mut drei,
die andre mit zwei multipliziert 4), vom Punktindex der Kreisreihe
der Krümmungskreise und der doppelt berührenden Kreise, so

*) Die beiden Erzeugenden welche die Fläche und der Kegel gemein haben enthalten
je 2 unendlich benachbarte Punkte der Rückkehrkante; die Schmiegungsebenen dieser
Punkte sind aber zugleich Tangentialebenen des Kegels, daher die Rückkehrkante an
beiden Stellen mit dem Kegel eine dreipunktige Berührung eingeht, oder also 6 Punkte
mit demselben gemein hat. Dieselben liegen aber paarweise symmetrisch in Bezug auf
B, in der Projektion sind also 3 Einheiten zu subtrahieren. Ubrigens ist dies auch wohl
aus planimetrischen Gründen evident, denn durch jeden Punkt einer Curve gehen 3
unendlich benachbarte Krümmungskreise. An den Stellen aber wo die nämlichen Erzeu-
genden der Doppelcurve begegnen findet eine einfache Berührung statt; diese Punkte
zählen also nur doppelt. Zugleich erhalten wir jetzt hier ein Mittel um zu zeigen
(vergl. §7, S. 22) dass von den drei in einem Punkte der Gruppe f, § 9, S. 28 ver-
einigt liegenden Punkten der Rückkehrkante nur zwei als auf Ko liegend angesehen
werden dürfen. Lägen sie nämlich alle drei auf Kw, so würden sämtliche m unendlich
fernen Punkte der Rückkehrkante auf Ka liegen, und es würde also die letztere den
quadratischen Kegel in m endlichen Punkten schneiden, d. h. durch einen beliebigen
Punkt P würden im—:+3p—6e—30, und durch einen Punkt der Curve selbst
1 Sg be do Krümmungskreise gehen. Diese Formel gibt für die Parabel
die Anzahl 9, was offenbar falsch ist, denn der Krümmungskreis in einem Punkte A schnei-
det die Parabel noch in einem andern Punkte B; durch B geht also wenigstens ein
Krümmungskreis, und nicht kein einziger; anstatt — $ « muss die Formel also das Glied
— 2a enthalten, dann aber liegen von den drei unendlich benachbarten Punkten nur
zwei auf Ko.

42 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

erhalten wir: durch einen beliebigen Punkt der Curve C gehen
t+ 3 h—6e—20—38 Kriimmungskreise welche die Curve nicht
in diesem Punkte selbst osculiéren. Und:

durch einen beliebigen Punkt der Curve C gehen

5 y

Jury deet tit Oet Het 16
doppelt berührende Kreise, deren Berihrungspunkte nicht mit diesem
Punkte zusammenfallen.

Es gibt die letztere Formel für allgemeinen Kegelschnitt und
Parabel null, was offenbar richtig ist, fiir den Kreis aber 4; allein
für den Kreis ist 2+ »—4¢—a—4= — 2, also negativ;
die Formel hat somit fiir den Kreis keinen Sinn.

Man kônnte nun weiter den Punkt P in emem Doppelpunkte
der C wählen, oder in einer Spitze, u.s. f., oder, ihn wieder von
der Curve entfernend, in einem Brennpunkte, etc., allein zur Ver-
meidung von Weitschweifigkeit gehen wir an allen diesen Problemen
mit Stillschweigen vorüber, prinzipiell dürfen sie aber als gelôst
betrachtet werden. Nur folgendes fügen wir zum Schlusse noch
hinzu; wählt man ausser P noch einen zweiten Punkt Q, so durch-
dringen sich die beiden zu P und Q gehörigen Kegel in einer
zur Ebene £ symmetrischen gleichseitigen Hyperbel, welche zwei
Punkte von A» enthält, und deshalb die cyklographische Fläche
schneidet in

2r =. 4(u +vy—2e— 5) Punkten,

von denen aber 2(y — 5) im Unendlichen liegen; subtrahieren wir
diese und dividieren den Rest durch zwei, so erhalten wir: es gibt
2 +-»—4¢—a Kreise welche die Curve C berühren und überdies
durch zwei beliebige Punkte gehen.

Es ist diese Zahl genau gleich der Ordnungszahl der in diesem
§ untersuchten ebenen Curve, was aus der Entstehungsweise beider
wohl auch evident ist.

Man kann nun wieder einem der beiden Punkte, oder auch
beiden, spezielle Lagen erteilen, und so eine ganze Reihe von
Spezialfällen bilden, auf die wir aber hier nicht eingehen wollen.

§ 13. Wenn in der Ebene B eine Gerade g gegeben is so kann
man fragen nach allen Kreisen welche C berühren und g unter
einem Winkel von vorgeschriebenem Cosinus schneiden, bez. eben-
falls berühren. Wenn wir uns auf den Fall des Berührens, als den

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 43

interessanteren , beschränken, so haben wir zu bemerken dass sämt-
liche Kreise welche g berühren die cyklographischen Bildkreise
aller Punkte derjenigen beiden Ebenen sind welche durch g gehen
und unter 45° gegen B geneigt sind. Fassen wir eine dieser Ebenen
ins Auge und schneiden dieselbe mit der cyklographischen Fläche,
so erhalten wir unmittelbar den nachstehenden Satz:

der Ort der Centra der die Curve C und die Gerade g beriihr-
enden Kreise ist eine ebene Curve von der Ordnung

r= 2(utv— 2e—a), von der Klassen = 2 v, mit
m=2( +3 4—6¢e—3a) Rickkehrpunkten 5, und 2 à + pu
Doppelpunkten.

Nämlich, was die Doppelpunkte anbetrifft, so sind dieselben die
Projektionen der Schnittpunkte unserer Ebene mit der Restdoppel-
curve ($ 8, S. 23) und mit der Curve C selbst. Die u mit den
Schnittpunkten von g und C zusammenfallenden Doppelpunkte sind,
cyklographisch gesprochen, von geringer Bedeutung, die 2 a” übrigen
aber sind die Mittelpunkte derjenigen doppelt berührenden Kreise
welche auch g berühren, d. h.:

unter den die Curve C doppelt beriihrenden Kreisen gibt es jeweils
2a welche überdies noch eine beliebige Gerade berühren, oder es
bilden diese Kreise eine Kreisreihe vom Tangentialinder 2 x’.

Und entsprechend für die Krümmungskreise :

unter den Kriimmungskreisen der Curve C gibt es jeweils
2e + 34—Ge—3a), welche eine beliebige Gerade berühren,
oder es bilden diese Kreise eine Kreisreihe vom Tangentialindex
BG +3 p—G6e— 3a).

Unter den singulären Punkten unseres ebenen Ortes gibt es einen
der noch nicht hervorgetreten ist. Es schneidet nämlich die durch
g gehende Ebene die Ebene /#. in einer Gerade ¢, welche in
einem gewissen Punkte 7, den Kegelschnitt A. berührt, und es
enthalt also der Querschnitt der Ebene mit der cyklographischen
Fläche v — co Zweige welche alle in 7, die Tangente 4» berühren.
Die übrigen unendlich fernen Punkte des Querschnittes sind die
2 (u — 2e— 2c) Schnittpunkte von ¢. mit den Tangenten an Ax
aus den einfachen Schnittpunkten von C mit ge, und die 25
Schnittpunkte mit den Tangenten aus den o Beriihrungspunkten von
C mit ge, jeder der letzteren doppelt gezählt, weil die Tangenten
selbst für zwei zihlen ($ 3, S. 7). Uber das Verhalten unseres
ebenen Ortes in unendlicher Ferne lässt sich also folgendes sagen:

der Ort der Centra der die Curve C und die Gerade g berühren-

") Man vergleiche für diese Zahlen die Tabelle $ 6, S. 16.

44 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

den Kreise enthilt im Unendlichen einen Punkt, in einer Richtung
senkrecht zu g, wo v—a Zweige die unendhch ferne Gerade be-
rühren, weiter 2 (u — 25 — 2 5) einfache Punkte, und schliesslich
26 Berührungspunkte mit gx.

Man kann nun wieder der Gerade g eine ganze Reihe von spe-
ziellen Lagen erteilen, sie etwa zusammenfallen lassen mit einer
beliebigen 'Tangente , einer Wendetangente, Doppeltangente , Asymp-
tote, einer Gerade welche durch einen der Berührungspunkte von
C mit ge geht, u. s. w.; den wichtigsten Spezialfall erhalt man
aber wenn man g ins Unendliche riickt, und diesen wollen wir
daher noch kurz erörtern. Man kann dann für die durch y gehende
Ebene jede zu B parallele Ebene nehmen, und erhält daher durch
Projektion der Querschnitte auf die Ebene B die zur Curve C ge-
hôrigen Paralleleurven. Ordnung, Klasse und Anzahl der Rück-
kehrpunkte derselben sind einfach gleich Ordnung, Klasse und Ord-
nungszahl der Rückkehrkante der cyklographischen Fläche, für die
Doppelpunkte aber ist die genaue Betrachtung der unendlich fernen
Punkte erforderlich. Da erinnern wir uns nun zunächst ($ 8,
S. 25, sub e) dass die 5 Berührungspunkte von C mit ge zugleich
Punkte der Restdoppelcurve sind; ausser diesen enthält die Quer-
schnittebene deren noch 2 2 — 5, und dies ist also die Anzahl der
nicht in unendlicher Ferne liegenden Doppelpunkte der Parallelcurve.

Nennen wir irgend einen der ¢ hier in Betracht kommenden
Punkte Pa. Es gehen von ihm aus zwei Tangenten an A», welche
der cyklographischen Fläche angehören; die Schmiegungsebenen längs
derselben fallen beide auf Mx. Po ist also aufzufassen als der
Schnitt der beiden Berührungserzeugenden einer Doppelschmiegungs-
ebene, d. h. es berühren sich in 2, zwei Blätter der Fläche, oder
schneiden sich in emmer Curve mit einem Doppelpunkt in ?, (die
beiden Zweige sind C und die Restdoppelcurve).

Irgend ein ebener Schnitt durch P. würde nun die beiden Blätter
der Fläche schneiden in zwei Curvenästen die sich in Px berühren
würden, in unserm Falle aber enthält die Querschnittebene die
Tangente an einen der beiden Aste der Doppelcurve (nämlich an
0), folglich geht die Berührung über in eine Osculation.

Wenn wir nun, fortfahrend, bemerken dass die 4 — 2e — 2a
einfachen Schnittpunkte von © mit ge gewöhnliche Doppelpunkte
der Paralleleurve sind, so bleiben nur noch die imaginären Kreis-
punkte zu untersuchen übrig. Darch jeden derselben, sagen wir
5 Tangenten an ©, welche zur Fläche gehören,
und deren zugehörige Schmiegungsebenen sämtlich die Tangente in
/, an Kz enthalten ($ 3, S. 9), und ¢ Doppelschmiegungsebenen,

[,, gehen y — 2e

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 45

welche durch die nämliche Tangente an KA. und die ¢ Tangenten
an C gehen. Ein ebener Querschnitt durch g» geht also mit
y — Ze — a einzelnen Zweigen durch 7, während 2 € andere sich
dort paarweise berühren. Und dasselbe gilt von /,. Zusammen-
fassend können wir also sagen: |

de Parallelcurven der Curve C sind von der Ordnung
r= 2(e+yv—2e—a), und von der Klasse n = 2 v; die Anzahl
der Rückkekrpunkte ist gleich m = 2(G+3p—6:— 35), die
Anzahl der nicht in unendlicher Ferne liegenden Doppelpunkte
2e — 5, während die unendlich fernen Punkte sich zusammensetzen
aus m —2€e— 25 gewbhnlichen Doppelpunkten, 5 Punkten wo zwei
Curvenäste sich gegenseitig in drei und gx in zwei Punkten berühren,
und den beiden imaginiren Kreispunkten. Durch jeden dieser letz-
teren gehen y — 2 € — 5 einzelne, und Ze sich paarweise berührende
Aste hindurch. 5)

Die Prücker’schen Formeln gestatten diese Ergebnisse zu kon-
troliren, und die Anzahl der Wende- und Doppeltangenten hinzu-
zufügen; aber aus der planimetrischen Entstehungsweise der Paral-
leleurven ist ja schon klar dass die Anzahl der Wendepunkte einfach
gleich 24 ist, und dann ergibt sich die Anzahl der Doppeltangenten
gleich 2v(v—1)—up+2e—20(5 — 1)— 31.

Es sei ausser der beliebig angenommenen Gerade g noch eine
zweite Gerade 4 gegeben. Schneiden wir eine der zu 4 gehôrigen
45° Ebenen mit den beiden Ebenen durch g so erhalten wir zwei
Geraden unter beliebiger Neigung zur Ebene B, deren jede also
die cyklographische Fläche in r = 2 (4 + v — 2e — 5) im allge-
meinen im Endlichen liegenden Punkten schneidet; also :

es gibt zweimal 2 (4% + y —2e— 5) Kreise welche de Curve C
und zwei beliebige Geraden berühren.

Ist C ein Kreis, so erhalten wir die 8 Lösungen eines der Apol-
lonischen Probleme, und wenn C ebenfalls eine Gerade ist die 4
ein- und angeschriebenen Kreise des Dreiecks.

Es seien ein Punkt P und eine Gerade g gegeben. Eine der
zu g gehôrigen 45° Ebenen schneidet den zu P gehörigen Kegel
in einer Parabel, und diese die cyklographische Fläche in
êr—4(p +y—-2e— 5) Punkten, von welchen aber 2 (v — 5)
im Unendlichen liegen, weil die Parabel A, berührt; also:

es gibt 2(2a@+v—4¢e-—s) Kreise welche durch einen Punkt
gehen und überdies eine Gerade und die Curve C berühren; ihre Mittel-

1) Für einen Teil dieser Ergebnisse vergleiche man SarmoN-Freprer ,, Ebene Curven”
S. 129, und Versluys l.c. S. 76.

46 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

punkte legen auf der Projektion der Parabel im Raume, also ebea-
falls auf einer Parabel, und für diese letztere ist offenbar der Punkt
der Brennpunkt, die Gerade die Leitlinie.

Ist auch hier wieder C ein Kreis oder eine Gerade, so erhält
man wiederum bekannte elementare Ergebnisse.

Auf die zahlreichen sich hier darbietenden Spezialfälle gehen wir
wieder nicht ein.

§ 14. Es sei gegeben ein beliebiger Kreis A. Sämtliche Kreise
welche denselben berühren sind die Bildkreise von zwei zur Ebene
B symmetrischen gleichseitigen Rotationskegeln, welche sich im
Endlichen nur in diesem Kreise durchdringen, lassen wir einen
dieser Kegel ins Auge und schneiden ihn mit der cyklographischen
Fläche, so gibt uns die Projektion der Durchdringung auf B den
Ort der Mittelpunkte aller Kreise welche zugleich C und A be-
rühren. Nun haben wir bereits im $ 12 einen solchen Kegel mit
der Fläche geschnitten; allerdings war derselbe damals symmetrisch
zur Ebene B, allein dies hat keinen wesentlichen Einfluss auf die
Durchdringung selbst, sondern nur auf ihre Projektion; wir werden
also hier der Hauptsache nach die doppelten Anzahlen von dort
finden müssen.

Wir können das Ergebnis wie folgt in Worte fassen :

der Ort der Centra der die Curve C und einen beliebigen Kreis
K berührenden Kreise ist eine Curve von der Ordnung 2(2 pp Hv
— 4e — 0), und welche im Endlichen 8(1+—3um—6Ee—2 0)
Spitzen und (2 pu +y—4€e— 5) — 11m —y—31+24e+70
Doppelpunkte enthält. Die unendlch fernen Punkte bestehen aus 2 v
einfachen Punkten, in Michtungen senkrecht zu den gemeinschaft-
lichen Tangenten von C und K, &—2s—2a Punkten, in kich-
tungen senkrecht zu den Asymptoten der C, wo je 2 Curveniiste
einander und gn berühren, und 5 Punkten, in Richtungen senkrecht

zu denjenigen der Berührungspunkte von C mit gx, wo je zwer Aste
einander und gx osculeren.

Denn was die unendlich fernen Punkte anbetrifft, so sind dieselben
im Raume genau die nämlichen wie im § 12, und aus dem näm-
lichen Grunde wie dort fallen also auch hier die Projektionen der-
selben paarweise zusammen; aber die durch diese Punkte hindurch-
gehenden Curvenäste fallen nun in der Projektion nicht mehr paarweise
zusammen, daher die Verdoppelung der resp. Anzahlen derselben.

Weiter ist zu bemerken dass wir bei der Anzahl der endlichen
Doppelpunkte anstatt — 13 4 wie auf S. 40 — 71 g geschrieben
haben; dies riihrt daher weil der Kreis A die Curve C in 24

LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 47

Punkten schneidet welche sowohl für die Durchdringung selbst wie
für die Projektion Doppelpunkte sind; die Anzahl der Doppelpunkte
im jetzigen Falle ist also gleich zweimal der Anzahl im früheren
Falle, vermehrt um 2 y.

Will man die Klasse der Curve bestimmen, so hat man zu be-
denken dass in jedem der y —- 2 ¢ — 25 obengenannten unendlich
fernen Punkte zwei, und in jedem der + Punkte sogar drei Dop-
pelpunkte unmittelbar neben einander liegen; mit Beriicksichtigung
derselben findet man fiir die Klasse die Zahl

2) (2p Een 0) Odde gat.

Wenn man im obigen allgemeinen Satze bei der Anzahl der
Doppelpunkte die Zahl — ZZ wieder ersetzt durch — 13 x, so
lässt sich aus demselben unmittelbar ablesen wieviel Kriimmungs-
kreise oder doppelt berührende Kreise der Curve C einen beliebi-
gen Kreis À berühren; die Anzahlen sind einfach zweimal so gross
wie die entsprechenden des $ 12. Und wenn man von diesen beiden
Zahlen 4 und resp. 2 Binheiten subtrahiert so hat man die Anzahl
der Kriimmungskreise welche einen behebigen Kriimmungskreis, und
die Anzahl der doppelt berührenden Kreise welche einen beliebigen
doppelt beriihrenden Kreis berühren. Denn wenn Æ ein Krümmungs-
kreis wird so fällt die Spitze des zugehörigen Kegels auf die Rück-
kehrkante der cyklographischen Fläche, und die beiden durch die
Kegelspitze gehenden Erzeugenden der Fläche liegen zugleich auf
dem Kegel; die Rückkehrkante schneidet also den Kegel in der
Spitze und in zwei Nachbarpunkten, aber diese Punkte zählen für
4, weil die Kegelspitze als Doppelpunkt des Kegels doppelt zählt.
Und wenn Æ ein doppelt berührender Kreis ist so fällt die Kegel-
spitze auf die Doppelcurve der Fläche, absorbirt aber jetzt, wie
leicht zu sehen, nur zwei Schnittpunkte.

Es sei zur Bestimmung von Punkt- und Tangentialindex der
hier betrachteten Kreisreihe ausser dem Kreise A ein Punkt P ge-
geben. Der zu P gehörige Kegel schneidet die beiden zu A’ ge-
hörigen je in einem Kegelschnitt, dessen unendlich ferne Punkte
auf A liegen und also zusammen 2 (vy —5) Schnittpunkte mit der
Fläche absorbiren, sodass 2 r — 2 (v—«a) = 2(2 pp + y — de — 0)
übrigbleiben. Weil die beiden Kegelschnitte in Bezug auf B sym-
metrisch liegen, so hat man folgenden Satz:
es gibt 2(2 ju Av —4e— 6) Kreise welche die Curve C und einen
beliebigen Kreis K berühren, und überdies durch einen vorgeschriebenen
Punkt gehen; die Mittelpunkte derselben liegen auf einem Kegelschnitt,

48 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE

Ist an Stelle des Punktes P eine Gerade g gegeben , so schneidet
eine der beiden 45° Ebenen durch g die beiden zu A gehôrigen
Kegel in 2 verschiedenen Parabeln, also:

es gibt zwei Systeme von je 2 (2 pp + y — 4e — 5) Kreisen welche
C, einen beliebigen Kreis und eine beliebige Gerade berühren, und
die Miltelpunkte aller dieser Kreise sind über zwei Parabeln verteilt.

Und wenn endlich zwei Kreise K,, A, gewählt werden, so schnei-
det einer der beiden zu A, gehörigen Kegel die beiden zu Ky ge-
hörigen in zwei verschiedenen Kegelschnitten;

es gibt also ebenfalls zwei Systeme von je 2 (2 4+ y — 4e — 5)
Kreisen welche C und zwei beliebige Kreise beriihren, und die Mit-
telpunkte aller dieser Kreise sind über zwei Kegelschnitte verteild.

§ 15. Wir gehen jetzt über zur Betrachtung von zwei Funda-
mentalcurven C und © zugleich und wollen die beiden zu ihnen
gehörigen cyklographischen Flichen mit # und #, bezeichnen , und
überhaupt alle mit der zweiten Curve oder Fläche in Verbindung
stehenden Grössen durch den Index 7 auszeichnen. Die Durch-
dringung der beiden cyklographischen Flächen muss uns über die
Kreise belehren welche die beiden gegebenen Curven zu gleicher
Zeit berühren, denn die Projektion der Durchdringung auf die
Ebene B ist der Ort der Mittelpunkte dieser Kreise. Es setzt sich
diese Durchdringung aus zwei Teilen zusammen, nämlich aus einer
gewissen Raumcurve und dem Kegelschnitt A. ; denn letzterer hegt
auf beiden Flächen zugleich, und zwar als (y — 5)-fache Curve auf
F und als (y —5,)-fache Curve auf /,, woraus sich ergibt dass
er bei der Durchdringung als (9 — 5) (y, — 5,)-fachen Kegelschnitt
in Rechnung zu bringen ist, und weil die Ordnungszahl der voll-
stindigen Durchdringung = rr, ist ($ 6, S. 16), so ist die Raum-
curve von der Ordnung #7, —2 (v — a) (v, —a,), und weil diese
letztere symmetrisch ist in Bezug auf die Ebene Z so erhalten wir:

der Ort der Centra der die beiden Curven C und C, berührenden
Kreise ist eine Curve von der Ordnung

4
M

=p + y — 2e—o) (pe, +, —2 €, 0) — 9), -— 4).

Fragen wir zunächst nach dem Verhalten unserer Curve in un-
endlicher Ferne. Wenn durch einen Punkt von Ax genau (y — 5)

Blätter der einen Fläche und (vy, —5,) der andern gehen, so gilt
dieser Punkt als (y — 5) (v, —5,)-facher Punkt der Durchdringung,

und gehôrt als solcher, mit einer einzigen Ausnahme von der gleich
nachher die Rede sein soll, zu Ax aber nicht zur Raumcurve ; die

A.AW.Hubrecht. FURCHUNG UND KEIMBLATTBILDUNG BEI TARSIUS.

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