Skip to main content

Full text of "Verslagen van de gewone vergaderingen der Wis- en Natuurkundige Afdeeling."

See other formats 


Field  Museum 

OF 

NaturalHistory 


Digitized  by  the  Internet  Archive 
in  2017  with  funding  trom 
BHL-SIL-FEDLINK 


https://archive.org/details/verslagvandegewo2811919 


KONINKLIJKE  AKADEMIË 
VAN  WETENSCHAPPEN 
TE  AMSTERDAM 


VERSLAG  VAN  DE  GEV^ONE 
VERGADERINGEN  DER  WIS-  EN 
NATUURKUNDIGE  AFDEELING 

- VAN  31  MEI  1919  - 
TOT  23  APRIL  1920 


DEEL  XXVIII 


jOHANNES  MULLER  : AMSTERDAM 
: : JULI  1920  : : 


a ■ 

Si 

A X 'L^ 


'V'.h 


o 


f 


4 


KONINKLIJKE  AKADEMIË 
VAN  WETENSCHAPPEN 
TE  AMSTERDAM 


VERSLAG  VAN  DE  GEWONE 
VERGADERINGEN  DER  WIS-  EN 
NATUURKUNDIGE  AEDEELING 

- VAN  31  MEI  1919 
TOT  29  NOVEMBER  1919 


DEEL  XXVIII 

(ISTE  GEDEELTE) 


i;  17:^2 

JOHANNES  MULLER  : AMSTERDAM 
; FEBRUARI  1920 


INHOUD. 


Verslag  Vergadering 

31  Mei 

1919  N“.  1 . . 

Blz. 

. . 1 

>»  19 

28  Juni 

„ N».  2 . . 

, . 113 

19  99 

28  September 

„ N».  3 . . 

. . 219 

9 9 9 9 

25  October 

„ N».  4 . . 

355 

99  99 

29  November 

„ N“.  5 . . 

. . 465 

'5  .. 


KONINKLIJKE  AKADEMIE  VAN  WETENSCHAPPEN 

TE  AMSTERDAM. 


VERSLAG  VAN  DE  GEWONE  VERGADERING 
DER  WIS-  EN  NATUURKUNDIGE  AFDEELING 

VAN  ZATERDAG  31  MEI  1919. 

Deel  XXVIII. 

N”.  1. 


Voorzitter:  de  Heer  H.  A.  Lorentz. 

Secretaris:  de  Heer  P.  Zeeman. 

INHOUD. 

Ingekomen  stukken,  p.  2. 

installatie  der  nieuwbenoemde  gewone  leden,  de  Heeren  P.  Ehrenfest,  A.  A.  Hijmansv.  d.  Berqh, 
R.  MAGNUS  en  EUQ.  DUBOIS,  p.  2. 

Prae-advies  van  de  Heeren  P.  VAN  ROMBURGH,  J.  BÖESEKEN,  ERNST  COHEN,  F.  M.  JAEGER  en 
F.  A.  H.  SCHRElNEMAKERS  op  het  verzoek  om  bericht  en  raad  van  den  Minister  van  Onderwijs, 
Kunsten  en  Wetenschappen  nopens  de  uitnoodiging  van  het  „Ramsay  Memorial  Fund”  tot 
deelneming  van  Nederland  aan  de  te  stichten  „Ramsay  Memorial  Fellowships”,  p.  3. 

C.  WiNKLER  : „Over  cyclopie  met  behoud  van  het  Rhinencephalon",  p 4. 

H.  ZWAARDEMAKER  en  H.  ZEEHUISEN:  „Over  den  samenhang  bij  reukstoffen  tusschen  het  electrisch 
ladingsverschijnsel  bij  verstuiving  en  de  intensiteit  van  den  geur”,  p.  11. 

H.  B.  A.  BOCKWINKEL  : ,.Over  een  paar  punten  betreffende  de  voortbrengende  funksies  van  Laplace” 
(Aangeboden  door  de  Heeren  H.  A.  LORENTZ  en  J.  C.  KLUYVER),  p.  15. 

H.  P.  Barendrecht:  „Urease  en  de  stralingstheorie  van  enzymwerking”  IV.  (Aangeboden  door  de 
Heeren  J.  BÖESEKEN  en  S.  HoOGEWERFFi,  p.  23. 

P.  KRUIZINGA:  „Eenige  nieuwe  sedimentaire  zwerfsteensoorten  van  Groningen".  (Aangeboden  door 
de  Heeren  O.  A.  F.  MOLENGRAAFF  en  J.  F.  VAN  Bemmelen),  p.  37. 

P.  N.  VAN  KAMPEN:  „Over  de  phylogenese  van  het  zoogdierhaar”.  (Aangeboden  door  de  Heeren 
Max  weber  en  C.  P.  sluiter),  p.  48 

T.  VAN  LOHUIZEN:  „Het  anomale  ZEEMAN-effect”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  H.  A.  Lorentz  en 
P.  ZEEMAN),  p.  53. 

P.  Zeeman  en  Mej.  Dr.  A.  Snethlage:  „De  voortplanting  van  het  licht  in  bewegende,  doorschijnende, 
vaste  stoffen.  11.  Metingen  over  het  FlZEAU-effect  in  kwarts”,  (Vervolg)  p.  64. 

O.  NORDSTROM:  „Opmerking  over  het  niet-uitstralen  van  een  overeenkomstig  kwantenvoorwaarden 

bewegende  elektrische  lading”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  H.  KAMERLINGH  ONNES  en 
H.  A.  LORENTZ),  p.  67. 

J.  WeedeR;  „De  buiging  der  cirkels  van  een  meridiaankijker”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  W.  DE 

SITTER  en  J.  C.  KapteyN',  p.  73. 

P.  VAN  ROMBURGH : „Over  den  onverzadigden  alkohol  uit  de  aetherische  olie  van  versch  gefermen- 

teerde theeblaren”,  p.  83 

K.  F.  NlESSEN:  „Theorie  eener  methode  ter  afleiding  van  de  gnergieverdeeling  in  een  eng  spectraal- 

gebied  uit  de  energieverdeeling,  waargenomen  in  een  interferometer”.  (Aangeboden  door  de 
Heeren  W H.  JULIUS  en  J.  P.  KUENEN),  p.  87. 

ERNST  COHEN  en  A.  L.  TH.  MOESVELD;  „De  invloed  van  druk  op  de  oplosbaarheid  van  stoffen”.  VI, 

p.  111. 

H.  KAMERLINGH  ONNES:  „Verdere  proeven  met  vloeibaar  helium.  O.  Een  nieuw  geval  van  supra- 
geleiding.  Thallium,  enz.”  p.  111. 

H.  KAMERLINGH  ONNES:  „Verbetering  van  de  cascade  voor  het  verkrijgen  van  lage  temperaturen”, 
p.  111. 

P.  E.  Verkade  en  N.  L.  SöHNGEN;  „De  aantasting  van  cis-transisomere  onverzadigde  zuren  door 
schimmels”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  J.  BÖESEKEN  en  A.  F.  HOLLEMAN),  p.  111. 

Aanbieding  door  den  Heer  J.  Boeke  ter  uitgave  in  de  Werken  der  Akademie  van  het  manuscript 
eener  verhandeling  van  den  Heer  ERIK  AGDUHR  te  Stockholm:  „Sympathetic  innervation  of 
the  muscles  of  the  extremities.  A histo-experimental  study”,  p.  111. 

Aanbieding  van  een  boekgeschenk,  p.  111. 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


i 


2 


Het  Proces-vei’baal  der  vorige  vergadering  wordt  gelezen  en 
goedgekeurd. 

Ingekomen  zijn : 

1°.  Missive  van  Zijne  Exc.  den  Minister  van  Onderwijs,  Kunsten 
en  Wetenschappen  dd.  16  Mei  1919  met  bericht  dat  H.  M.  de 
Koningin  bekrachtigd  heeft  de  benoeming  van  de  Heeren  P.  Ehrknfest, 
A.  A.  Humans  van  den  Bergh,  R.  Magnus  en  Eug.  Dübois  tot 
leden,  van  de  Heeren  Sv.  Arrhenius,  D.  Hilbert,  Axel  Holst, 
Luigi  Luciani,  P.  Sabatier  en  D.  H.  Scott  tot  huitenlandsche  leden 
en  van  de  Heeren  C.  Braak,  L.  Rütten  en  O.  de  Vries  tot 
correspondenten  der  Afdeeiing. 

Aangenomen  voor  kennisgeving. 

2°.  Brieven  van  de  nieuwbenoemde  gewone  leden,  de  Heeren 
Ehrenfest,  Humans  van  den  Bergh,  Magnus  en  Dubois  en  van  de 
nieuwbenoemde  hidtenlandsche  leden,  de  Heeren  Sv.  Arrhenius  en 
D.  H.  Scott,  dat  zij  de  benoeming  met  erkentelijkheid  aanvaarden. 

Aangenomen  voor  kennisgeving. 

De  Voorzitter  heet  de  nieuwbenoemde  gewone  leden,  die  allen  ter 
vergadering  aanwezig  zijn,  welkom  en  installeert  hen  met  eenige 
woorden  van  waardeering,  waarbij  hij  uiting  geeft  aan  de  ver- 
wachting der  Afdeeiing  dat  hun  deelnemen  aan  de  wetenschappelijke 
werkzaamheden  der  Akademie  den  bloei  dier  instelling  zal  helpen 
bevorderen. 


Scheikunde.  — Namens  de  daartoe  aangewezen  Commissie  brengt 
de  Heer  P.  van  Rombukgh  het  volgende  prae-advies  uit: 

Aan  de  Wis-  en  Natuurkundige  Afdeeling  van  de 
Koninklijke  Akademie  van  Wetenschappen 
te  Amsterdam. 

Gevolg  gevende  aan  het  verzoek  om  prae-advies  uit  te  brengen 
nopens  de  uitnoodiging  van  het  Ramsaj  Mernorial  Fund  tot  deel- 
neming door  Nederland  aan  de  te  stichten  Ramsay  Mernorial  Fel- 
lowships,  hebben  de  ondergeteekenden  de  eer  het  volgende  ter  kennis 
te  brengen  van  de  Wis-  en  Natuurkundige  Afdeeling  der  Konink- 
lijke Akademie  van  Wetenschappen. 

Indien  de  Nederlandsche  Regeering  haren  steun  verleent  bij  het 
instellen  der  bedoelde  Fellowships,  zou  daardoor  steeds  een  Neder- 
landseh  chemicus  in  de  gelegenheid  zijn  gesteld  zich  in  Engeland 
gedurende  zekeren  tijd  geheel  aan  wetenschappelijken  laboratoriums- 
arbeid  te  wijden,  onder  genot  eener  toelage  van  £ 300. 

Hieiunede  zonde  dus  voor  de  chemie  dezelfde  weg  worden  betreden, 
die  reeds  sinds  jaren  voor  de  medische  wetenschappen  (bezoek  der 
laboratoria  op  den  Col  d’Olen),  de  zoölogie  (bezoek  van  het  labora- 
torium te  Napels)  en  de  botanie  (bezoek  aan  ’slands  Plantentuin) 
is  gevolgd.  Overweegt  men,  dat  tot  dusverre  op  de  staatsbegrooling 
nooit  ïniddelen  zijn  uitgelrokken  geweest  om  studiereizen,  als  de. hier 
bedoelde,  voor  chemici  mogelijk  te  maken,  en  dat  juist  in  den  aller- 
laatsten  tijd  van  verschillende  zijden  de  aandaclit  van  de  Regeering 
op  het  groote  nut  daarvan  is  gevestigd,  waarbij  werd  verzocht  der- 
geiijke  reizen  van  Rijkswege  mogelijk  te  maken,  dan  ligt  het  voor 
de  hand  den  Minister  met  den  meest  mogelijken  aandrang  te  ver- 
zoeken, het  daarheen  te  leiden,  dat  ook  Nederland  deelnerne  aan 
het  stichten  der  Ramsay  Mernorial  Fellowships,  zoo  mogelijk  op  zoo- 
danige wijze,  dat  de  Regeering  de  beschikking  verkrijgt  over  meer 
dan  een  Fellowship. 

(get.)  F.  M.  Jaeger. 

,,  J.  Böeseken. 

,,  F.  A.  H.  SCHREINEMAKERS. 

„ Ernst  Cohf.n. 

„ P.  VAN  RoMBÜRGH. 

De  vergadering  neemt  dit  prae-advies  ongewijzigd  over.  Het  zal 
als  antwoord  der  Afdeeling  aan  den  Minister  van  Ouderwijs,  Kunsten 
en  Wetenschappen  worden  medegedeeld. 


1* 


Physiologie.  — De  Heer  Winkler  doet  eene  raededeeling:  ,,Over 
Cyclopie  met  behoud  van  het  Rhinencephalon” . 

In  de  Februari-zitting  dezei’  Afdeeling  in  1916  deelde  ik  ervaringen 
mede,  opgedaan  bij  het  onderzoek  der  hersenen  van  drie  cyclopen. 

Toen  wees  ik  er  op,  dat  de  kenmerkende  afwijking  dezer  hersenen 
is  de  aanwezigheid  van  een  dunnen  zak,  waarvan  de  wand  bestond 
nit  het  dak  van  den  door  vocht  sterk  nitgezetten  derden  ventrikel. 

Schwalbë’s  uitspraak  ,,das  Vorderhirn  ist  bei  den  Cyclopen  nie 
in  Hemispharen  geteilt”  moest  ik  bestrijden,  want  in  alle  gevallen 
waren  beide  hemisphaeren  aan  het  occipitale  einde  goed  gedifferen- 
tieerd. Wel  hingen  zij  aan  den  voorpool  met  elkander  samen,  ofschoon 
in  één  der  toen  beschreven  gevallen  een  fissura  sagittalis  ook  aan 
den  frontalen  hemisj)haerenpool  aanwezig  was. 

Ik  ontkende  dns,  dat  men  aan  het  onderzoek  der  hersenen  het 
recht  mocht  ontleenen  om  de  terminatie-periode  der  cyclopie  te 
plaatsen  in  een  tijdperk  \'Oorafgaand  aan  dat,  waarin  de  overlangsche 
splijting  van  het  telencephalon  tot  stand  komt. 

Ook  de  stelling  dat  cyclopie  onvermijdelijk  aan  arhinencephalie 
gepaard  is,  kon  ik  slechts  onder  zeker  voorbehoud  aanvaarden. 

In  alle  door  mij  onderzochte  gevallen  ontbraken  wel  is  waar  de 
bnlbi  olfactorii  en  de  lobi  olfactorii  anteriores.  Maar  de  lobi  olfactorii 
posteriores  werden  teruggevonden  langs  de  mediane  lijn  der  hersen- 
basis.  Daar  waren  zij  nevens  elkander  geplaatst  omdat  het  tusschen 
in  gelegen  gedeelte  van  de  hersenbasis  ontbrak.  Cyclopen-hersenen 
zijn  partieel  arhinencephaal. 

Sedert  heb  ik  verscheidene,  onderling  zeer  verschillende  gevallen 
van  cyclopie  onderzocht  en  het  is  mij  daarbij  gebleken,  dat  een  andere 
misvorming,  de  z.g.  synotie  in  het  nauwste  verband  staat  met  de 
cyclopische  misvorming  en  herhaaldelijk  met  deze  te  samen  wordt 
waargenomen. 

Door  de  welwillende  meewerking  van  Prof.  Kouvver  en  van 
Dr.  Vermeuivën  kreeg  ik  de  beschikking  over  eenige  soortgelijke  monstra. 

1°.  Een  menschenfoetus  met  synotie.  (neus,  oogen  en  bovenkaak 
bestaan.  Aanduiding  van  een  mond.  Geen  onderkaak.  In  de  middel- 


1)  C.  Winkler.  Verslagen  der  K.  Ak.  v.  Wet.  Febr.  1916. 


5 


lijn  samenhangende  ooren.  Bij  dit  wezen  de  hersenen  ongelukkiger 
wijze  verongelukt). 

2".  een  foetus  van  een  varken  met  cebocephalie  (slurf,  twee 
geheel  gescheiden  oogen  in  één  oogkas). 

3“.  een  foetus  van  een  schaap  met  cjciopia  incompleta  (één  lang- 
werpig oog  met  haltervormige  pu[)il  en  twee  N.  optici,  geen  met 
het  bloote  oog  zichtbare  slurf,  ofschoon  de  X-photo  een  os  nasale 
leert  kennen). 

4°.  een  foetus  van  een  kalf  met  bijna  complete  cjclopie  (één  lang- 
werpig oog  met  haltervormige  pupil,  twee  dicht  aaneenliggende 
N.  optici,  geen  slurf). 

5".  een  foetus  van  een  kalf  met  cjciopia  incompleta  en  sjnotie 
(twee  met  elkaar  vergroeide  oogen  in  den  wenkbrauwkring,  geen 
slurf.  Een  mondopening,  naar  boven  begi'ensd  door  een  stevige  boven- 
kaak (X-photo).  Geen  onderkaak  (X-photo),  geen  tong.  Het  tongbeen 
is  volledig  gevormd  (X-photo).  De  ooren  hangen  in  de  middellijn 
samen). 

6°.  een  foetus  van  een  schaap  met  sjnotie.  (Een  kleine  slurf,  geen 
oogen,  geen  kaken,  geen  mond  of  tong.  Wel  een  tongbeen  (X-photo). 
Het  dier  is  dus  anoplithalm,  agnaath,  aprosoop.  De  ooren  hangen 
in  de  middellijn  samen.  Larjnx  en  pbarjnx  eindigen  naar  boven 
in  een  blinden  zak.  Geen  glandula  thjreoidea). 

7".  Een  foetus  van  een  schaap  met  cjclopie  en  sjnotie,  waarover 
deze  mededeeling  handelt. 

In  al  de  onderzochte  hersenen  wordt  een  vliezige  zak  gevonden, 
die  zich  door  aanhechting  aan  de  epiphjse,  aan  taenia  thalami  en 
randboog  ontpopt  als  het  dak  van  den  door  vocht  zeer  verwijden 
3den  ventrikel.  Daaraan  werden  echter  aan  het  frontale  en  aan  het 
occipitaie  einde  wel  eens  bizonderheden  waargenomen.  In  N“.  5 en 
6 bijv.  ging  de  zak  over  in  den  eveneens  dunnen  wand  van 
het  telencephalon  en  in  N“.  7 maakte  aan  het  distale  einde  het 
vliezige  dak  van  mesencephalon  en  cerebellum  deel  uit  van  den 
zak.  De  zak  is  niet  alleen  voor  de  hersenen  van  cjclopen  maar 
ook  voor  die  van  sjnoten  kenmerkend. 

Elders  zal  ik  deze  bizonderheden  meer  gedetailleerd  beschrijven. 

Hier  is  het  mijn  voornemen  stil  te  staan  bij  het  monstrum,  dat 
sub  N“.  7 is  genoemd.  Het  mag  als  een  voorbeeld  gelden  vai>  een 
cjclopische  misvormitig,  die  in  het  bezit  is  van  een  volledig  rhinence- 
phalon  en  het  maant  daardoor  reeds  tot  groote  voorzichtigheid  bij 
de  beoordeeling  der  cjclopie. 

Een  blik  op  de  teekening  van  dit  wezen,  zooals  het  van  voren 
wordt  gezien  (tig.  1)  leert  ons,  dat  het  dier  in  het  bezit  is  van  een 


6 


volledigen  neus  met  neusgaten.  Daaronder  volgt  de  door  de  4 oog- 
leden omkringde  holte,  waarin  de  twee  vereenigde  oogen  zijn  ge- 
plaatst, met  een  kleiner  linker  en  een  grooter  rechter  oog.  Kaken, 


Fig.  1. 

Teekening  naar  een  photo  van  een  schapen  foetus  met  cebo-cephalie  en  synotie 
Het  monstrum  bezit  een  goed  gevormden  en  volledig  ontwikkelden  neus  boven  de 
twéé  in  een  vier-wenkbrauw-kring  gelegen  oogen  Men  vindt  de  beide  mediale 
carunkels  daarin  terug.  De  ooren  zijn  aan  elkaar  gegroeid. 

mond  en  tong  ontbreken.  Vlak  onder  de  oogen  liggen  de  twee 
ooren  in  de  middellijn  tegen  elkander  en  de  beide  uitwendige 
gehoorgangen  bezitten  een  gezamenlijke  opening.  Pharjnx  en  larynx 


7 


zijn  goed  ontwikkeld  en  hangen  samen  in  een  naar  boven  blind 
eindigende  holte. 

De  X-photo  bevestigt,  dat  de  kaken  geheel  zijn  verdwenen,  maar 
leert  tevens,  dat  het  tongbeen  gaaf  ontwikkeld  is.  Bovendien  leert 
de  X-photo,  dat  het  os  ethmoidale  in  zijn  geheel  aanwezig  is.  Crista 
galli,  lamina  cribrosa,  lamina  ' papjracea  en  het  labjrinth  van 
het  ethmoied  kunnen  worden  onderscheiden.  Reeds  voor  het  uit- 
nemen der  hersenen  wist  ik  dus,  dat  deze  cycloop  niet  kon  zijn 
ontstaan  door  het  verdwijnen  van  het  zeefbeen  en  van  den  medialen 
oogkuilswand. 


Fig.  2. 

Teekening  van  de  bovenvlakte  der  hersenen  van  het  in  fig.  1 afgebeelde  monstrum. 
De  zak  (a)  is  zichtbaar.  Hij  is  met  de  dura  mater  (b)  vergroeid.  Aan  het  distale 
einde  (c)  gaat  hij  over  in  het  als  een  dun  vlies  aanwezige  mesencephalon  en  cere- 
bellum.  Door  dit  vlies  heen  schemert  de  tela  in  den  vierden  ventrikel  door. 

Bij  het  uitnemen  der  hersenen  wordt  men  dadelijk  getroffen  door 
de  aanwezigheid  van  den  zak  (fig.  2a),  die  met  de  dura  mater  is 
vergroeid  (fig.  2b)  en  waarvan  het  uitgangspunt  de  epiphyse,  die 
vrij  ligt,  schijnt  te  zijn.  Daarachter  vindt  men  echter  niets  van  een 


8 


mesenceplialon  of  van  een  cerebellura,  De  zak  breidt  zicli  in  occi- 
pitale  richting  uit  en  door  Iiaar  heen  schemert  de  tela  van  den 
ventrikel  door  (fig.  2 c.).  Daartegenover  staat  dat  de  beide  hemispliaeren 
goed  zijn  ontwikkeld.  Er  is  een  diepe  fissura  sagittalis,  waarin  zich  de 
dura-dnplicatenr  met  zijn  sinus  bevindt,  welke  van  de  crista  galli 
moet  worden  afgeknipt  om  haar  verwijdering  mogelijk  te  maken. 

Beziet  men  de  basale  hersenvlakte  (fig.  3)  dan  wordt  men  ge- 
troffen door  de  aanwezigheid  van  twee  wel  ontwikkelde  bulbi  olfac- 
torii  met  tractus,  lobus  olfactorius  anterior,  posterior  en  ammonshoorn, 
kortom  van  een  volledig  ontwikkeld  rhinencephalon. 


Fig.  3. 

Teekening  der  basale  hersenvlakte  van  het  in  fig.  1 afgebeelde  monstrum 
a.  de  plaats  waar  het  defect  in  den  hersensteel  door  een  dun  vlies  is  bedekt. 
b ol.  = bulbus  olfactorius.  l.  ol.  = lobus  olfactorius.  N.  II  = Nervi  optici 
c.  m.  = doorschemerend  corpus  mammillare.  N.  VI.  = Nervus  abducens. 

Er  zijn  twee  N.  optici  (fig.  3,  N.  II).  Het  corpus  mammillare 
schemert  door  de  pia  mater  heen.  Van  de  hersenzenu wen  is  de  N. 
abducens  met  stelligheid  te  bepalen.  Met  de  proximaal  daarvan 
gelegen  zenuw  is  dit  niet  het  geval.  Eerst  bij  de  beschrijving  van 
het  mikroskopisch  beeld  wordt  bepaald,  dat  het  de  N.  trigeminus 
is.  Tusschen  deze  beide  krachtige  zejuiwen  is  de  massieve  hersen- 


9 


basis  vervangen  door  een  vlies,  dat  slechts  door  de  uiterste  zorg  bij 
het  uitnemen  gespaard  is  gebleven. 

Zoodra  men  van  de  dorsale  zijde  uit,  den  zak  openknipt  en  hem 
terugslaat,  neemt  men  waar,  dat  er  een  plaatselijk  defect  is  in  de 
hersenbasis,  ongeveer  ter  breedte  van  1 cM.  Daar  wordt  de  hersen- 
basis  gevormd  door  een  vlies  van  hoogstens  1 mM.  dik,  waarin 
eenige  witte  zenuwstrengen  van  de  middellijn  uit  divergeeren  naar 
een  proximaal  gelegen  massieven  knobbel  zenuwweefsel.  De  knobbel, 
stamgauglia  en  thalamencephalon,  ziet  men  aan  de  basis  in  fig.  3 
door  de  pia  bedekt  doorschemeren.  Er  is  een  continuiteitsonder- 
breking  in  de  hersenbasis  ter  hoogte  van  de  hersensteelen. 

Zeer  merkwaardig  is  de  beenige  schedelbasis.  De  crista  galli 
springt  naar  voren.  Aan  weêrszijden  daarvan  draagt  de  lamina 
cribrosa  de  bulbi  olfactorii,  die  er  de  üla  olfactoria  door  heen  zenden. 
Bovendien  ziet  men  de  foramina  optica  nog  normaal  gevormd,  alsmede 
het  voorste  stuk  van  het  wiggebeen.  Dan  echter  ontbreekt  de  sella 
tui'cica  met  de  hypophyse  en  is  de  schedelbasis  daar  gemakkelijk 
beweeglijk. 

Een  van  boven  genomen  X-photo  geeft  de  verklaring.  Er  is  een 
groot  hiaat  in  de  beenige  schedelbasis.  Het  achterste  deel  van  het  wig- 
gebeen ontbreekt  en  in  de  middellijn  is  het  voorste  stuk  van  den  clivus 
tot  aan  de  boog  van  den  atlas  weggevallen.  De  rotsbeenderen  staan 
intact.  Kaken  zijn  er  niet.  Door  het  verlies  der  facies  orbitalis  van 
de  bovenkaak  zijn  de  oogen  naar  beneden  gezonken.  Zij  liggen  niet 
langer  in  een  beenigen  oogkuil.  De  lamina  papyracea  van  het  zeef- 
been  staat  proximaal  van  het  dubbeloog  en  is  dienteiigevolge  in  de 
X-photo  gemakkelijk  herkenbaar. 

De  oogen  zijn  niet  tot  elkander  genaderd  doordat  de  mediale 
oogkaswand  vernietigd  is,  maar  omdat  de  onderwand  van  de  oogkas 
ontbreekt.  Dit  cyclope  monstrum  is  in  het  volledig  bezit  van  een 
rhinencephalon,  maar  tevens  wordt  het  door  het  verlies  van  de 
onderkaak  enz.  synoot. 

Komt  men  nu  tot  de  vraag,  hoe  zulk  een  monstrum  ontstaat,  dan 
zal  men  moeten  toegeven,  dat  ei-  voor  hem,  die  een  te  kort  aan 
kiemrnateriaal  wil  blijven  verdedigen  onafzienbare  moeilijkheden  rijzen. 

Eenvoudiger  is  de  voorstelling,  die  den  zak  tot  uitgangspunt  neemt. 

Het  pathologisch  proces  dat  den  zak  in  het  leven  roept  (en  hij 
wordt  in  alle  gevallen  van  deze  soort  gevonden)  is  eenerzijds  in 
staat  om  aan  de  dorsale  zijde  het  mesencephalon  en  het  cerebellum 
te  vernietigen,  als  zij  zijn  uitbreiding  in  den  weg  staan. 

Maar  aan  de  ventrale  zijde  vernietigt  het  de  hersensteelen  lokaal 
en  tevens  het  daaronder  liggende  kiemweefsel,  waaruit  kaken,  mond 


10 


en  tong  zich  zullen  vormen.  Op  geleide  van  den  2*^®“  kieuwboog  (het 
tongbeen  was  in  alle  3 gevallen  van  sjnotie  intact)  wordt  alles  vernield 
wat  zich  ontwikkelen  zal  uit  den  kieuwboog  (behalve  soms 
van  gehoorbeentjes)  en  uit  het  proximaal  daarvan  gelegen  weefsel, 
tot  aan  de  sella  turcica  toe. 

Het  lokaal  defect  in  hersensteelen  en  in  schedelbasis  is  hier  sprekend. 

In  den  in  mijn  vorige  meêdeeling  ontwikkelden  gedachtengang  stel 
ik  mij  een  plaatselijk  ontstekingsproces  voor  als  oorzaak  van  den 
zak,  die  door  mechanische  werking  het  defect  aan  de  hersen-  en 
schedelbasis  veroorzaakt. 

Daarbij  ben  ik  echter  niet  blind  voor  de  mogelijkheid,  dat  de  zak 
en  het  basale  defeci  co-efïecten  kunnen  zijn  eener  diep  liggende  oorzaak. 

In  debatten  daarover  in  Leiden  gevoerd  is  door  Dr.  Mürk  Janssen 
de  mogelijkheid  bepleit,  dat  een  te  nauw  amnion,  zoowel  de  zak 
als  het  defect  kan  teweegbrengen,  als  dit  den  kop  van  het  embryo 
in  een  bepaald  vlak  knelt.  Het  gevolg  daarvan  kan  het  afsterven 
van  het  kiemende  weefsel  zijn. 

Ware  dit  het  geval,  dan  zouden  zich  nog  verschillende  mogelijk- 
heden laten  denken,  waarop  ik  echter  nu  nog  niet  wil  ingaan. 

Maar  dit  wensch  ik  vast  te  houden. 

Weefselvernietiging  aan  het  proximale  schedeleiride,  waardoor  het 
ethmoied  niet  wordt  gevormd  en  cyclopie  ontstaat  is  niet  de  eenige 
defectvorming  die  voorkomt.  Er  is  een  andere  plaats  van  praedilectie, 
waarbij  door  ziekteprocessen  de  kieuwboog  vernietigd  wordt. 

Zij  voeren  tot  sy notie. 

Soms  komt  dit  geïsoleerd  voor.  Dan  is  er  synotie  met  aanwezig- 
heid van  bovenkaak,  ongeschonden  oogen  en  neus,  zooals  in  het 
menschelijk  sub  1 genoemde  foetus. 

Soms  komen  de  twee  lokale  processen  onaf  hankelijk  van  elkander, 
naast  elkander  voor.  Dan  ontstaan  cyclope  en  synote  misvormingen 
met  tusschengelegen  intacte  bovenkaak,  zooals  bij  het  monstrum  dat 
sub  5 werd  genoemd. 

Soms  ook  worden  beide  defecten  tot  een  massale  spleet  en  komen 
de  monstra  tot  stand,  zooals  sub  4 werd  geschetst,  n.1.  synotie  met 
anophthalmie,  aprospie  en  agnatie. 

De  rij  der  cyclope  misvormingen  sluit  aan  die  der  sjmote  mis- 
vormingen. Een  in  die  rij  is  bizonder  merkwaardig,  omdat  daardoor 
synotie  ontstaat  met  den  cebocephalen  vorm  der  cyclopie,  een  cyclo- 
pie, waarbij  een  volkomen  gaaf  rhinencephalon  wordt  aangetroffen. 
Mij  komt  het  niet  ondenkbaar  voor,  dat  door  defecten,  die  den  1®‘®'' 
kieuwboog  sparen  maar  alleen  de  bovenkaak  vernielen,  incomplete 
cyclopie  met  volledig  rhinencephalon  zal  kunnen  ontstaan. 


Physiologie.  — • De  Heer  H.  Zwaardemaker  biedt,  mede  uit  naam 
van  den  Heer  H.  Zeehutsrn,  een  mededeeling  aan:  „Over 
den  samenhang  hij  reukstoven  tusschen  het  eJectrisch  ladings- 
verschijnsel  hij  verstuiving  en  de  intensiteit  van  den  geur’. 

In  vroegere  mededeelingen  is  het  eiectriscli  laadvermogen  bij 
verstuiving  van  de  reukstoffen  en  van  een  groot  aantal  saponinen 
en  antipyretica  behandeld.  De  eerste  rubriek,  de  i'eukstotfen,  ver- 
toont het  ladingsverschijnse!  in  de  sterkste  mate.  Daarna  volgen  de 
tweede  en  de  derde  rubriek.  De  oplosbaarheid  der  individneele 
stoffen  in  water  oefent  echter  een  grooten  invloed  op  het  i'esnllaat 
uit,  in  zooverre  ais  dit  laatste  alleen  dan  eenigszins  aanzienlijk  kan 
zijn,  indien  een  voldoend  aantal  moleculen  in  opgelosten  staat  in 
het  water  op  het  oogenblik  van  verstuiving  aanwezig  zijn.  Enkel 
gesuspendeerde  deeltjes  zijn  voor  het  verschijnsel  waardeloos.  Ter 
loops  willen  wij  nog  de  aandacht  vestigen  op  een  vierde  rubriek, 
die  later  uitvoerig  ter  sprake  zal  komen,  n.1.  de  alcaloïden.  Ook 
van  deze  geven  vele  het  phenomeen,  maar,  daar  in  het  algemeen 
hun  oplosbaarlieid  minimaal  is,  kan  het  niet  tot  een  hoogen  graad 
geraken.  Om  een  indruk  te  geven  van  de  groote  velschillen,  die 
zich  voordoen,  wanneer  men  alle  vier  rubrieken  in  den  gezichts- 
kring trekt,  zij  opgeraerkt,  dat  bij  vergelijking  b.v.  van  de  lading 
eener  verzadigde  kamferoplossing  met  die  van  een  verzadigde  chinine- 
oplossing,  de  eerste  minstens  2-maai  sterker  blijkt  dan  de  laatste. 
De  reukstoffen  blijven  derhalve  te  midden  der  organische  stoffen  van 
phjsiologische  werking  altijd  nog  die,  aan  welke  het  sterkste  laad- 
vermogen toekomt.  Zij  leenen  zich  dus  voor  de  verdere  studie  van 
het  verscliijnsel  wel  het  best. 

Vroeger  is  meegedeeld,  dat  in  homologe  reeksen  een,  met  elkaar 
in  intensiteit  op  en  neer  gaan,  van  ladingsverraogen  en  riekend  ver- 
mogen kan  worden  vastgesteld.  Om  na  te  gaan  welke  verhouding 
in  dit  opzicht  voor,  over  allerlei  groepen  en  reeksen  verspreide, 
reukstoffen  bestaat,  werden  er  26  door  ons  zonder  bepaalde  orde, 
geheel  willekeurig,  gekozen  en  haar  waterige  oplossing  zoodanig 
verdund,  dat  zij  bij  verstuiving  een  nauw  merkbaar  ladingsverschijn- 

b K.  Akad.  v.  Wetepsch.  Amst.  25  Maart  1916,  27  Mei  1916,  30  Sept.  1916. 
23  Febr.  1918,  29  Juni  1918.  Arch.  neérl.  de  physiol.  T.  1,  p.  347;  NederI, 
Tijdschr.  v.  Geneesk.  1918  II  980—982. 


J2 


sel  aanboden  (met  een  electroscoop  van  matige  gevoeligheid  een 
uitslag  van  0.1  a 0.2  sehaaldeelen).  In  den  eenvondigen  reukmeter 
onderzocht  gaven  deze  oplossingen  een  zeer  zAvakken  reukindruk, 
waarvan  de  sterkte  zich  gemakkelijk  liet  beoordeelen  door  vast  te 
stellen  over  welke  lengte  de  olfactometrische  cjlinder  moest  worden 
ontbloot  om  een  minimum  perceptibile  te  vei'schaffen.  Tabel  la  geeft 
de  op  deze  wijze  gevonden  olfactiewaarden  der  oplossing,  wanneer 
men  de  „Reizschwelle”  tot  richtsnoer  neemt.  Tabel  \b  vermeldt  van 
dezelfde  reukstoffen  de  lengten,  waarover  het  voorschuiven  van  den 


TABEL  la. 

Rangschikking  der  reukstoffen  naar  de 
reukintensiteit  van  oplossingen,  die  onge- 
veer gelijke,  uiterst  zwakke  lading 
(0,1— 0,2  deelstreep)  geven. 

TABEL  16. 

Rangschikking  der  reukstoffen  naar  de 
>Erkenntenisschwelle”  in  oplossingen, 
die  ongeveer  gelijke,  uiterst  zwakke 
lading  geven. 

Reukstoffen  (van  zwak- 
riekend  naar  sterkriekend 
gerangschikt). 

»Reizschelle”  in 
centimeters  uit- 
schuiving  in  den 
eenvoudigen 
reukmeter. 

Reukstoffen  (van  zwak 
naar  sterk  gerang- 
schikt). 

«Erkenntnis- 
schwelle'’inc.M. 
uitschuiving  in 
deneenvoudigen 
reukmeter. 

Capronzuur 

5 

Capronzuur 

9 

Kunstmuskus 

1 

Kunstmuskus 

8 

Valeriaanzuur 

1 

Valeriaanzuur 

5 

Amylalcohol 

1 

Amylalcohol 

5 

Cumidine 

1 

Cumidine 

5 

Allylalcohol 

1 

p.  Xylenol 

5 

Isoamylacetaat 

0.5 

Allylalcohol 

3 

Terpineol 

0.5 

m.  Xylidine 

2.5 

Skatol 

0.5 

o.  Toluidine 

1.5 

Indol 

0.5 

p.  Toluidine 

1.5 

Pseudocumol 

0.3 

Isoamylacetaat 

1.3 

Xylol 

0.3 

Terpineol 

1 

0.  Toluidine 

0.2 

Skatol 

1 

Aniline 

0.2 

Pseudocumol 

1 

p.  Xylenol 

0.1 

Aniline 

1 

m.  Xylidine 

0.1 

Thymol 

1 

m.  Toluidine 

0.1 

Benzol 

1 

Thymol 

0.1 

Toluol 

1 

Benzol 

0.1 

Xylol 

0.6 

Toluol 

0.1 

Indol 

0.5 

Naphthaline 

0.1 

Naphthaline 

0.5 

m.  Xylenol 

0.1 

m.  Xylenol 

0.4 

Guajacol 

0.1 

Guajacol 

0.1 

Nitrobenzol 

0.1 

Nitrobenzol 

0.1 

Pyridine 

0.1 

Pyridine 

0.1 

Vanilline 

0.05 

Vanilline 

0.1 

Gemiddeld 

0.54  c.M. 

Gemiddeld 

2.16  C.M. 

')  Een  spanning  van  220  volt  gaf  aan  het  instrument  een  uitslag  van  10  schaal- 
deelen  (Het  had  een  capaciteit  van  + 50  Electrostat.  Eenheden). 


13 


cylinder  moet  plaats  hebben,  wanneer  men  in  plaats  van  de  ,,Reiz- 
scliwelle”  de  ,,Empfindnngsschwelle”  opspoort.  In  het  laatste  geval 
geschiedt  de  beoordeeling  wel  is  waar  naar  de  intensiteit  van  de 
gewaarwording,  maar  niet  zonder  dat  vooraf  het  psychologisch  her- 
kennen van  de  qualiteit  verzekerd  is  geworden. 

Gelijk  men  bespeurt,  is  de  gemiddelde  olfactie waarde  onzer  26 
willekeurige  reukstoffen  in  een  verdunning,  waarbij  het  laadvermogen 
aan  de  grens  van  waarneembaarheid  geraakt,  0.52  cM.  (naar  het 
minimum  perceptibile,  zonder  qualiteit,  beoordeeld).  De  afwijkingen 
varieeren  binnen  het  tienvoudige  der  middenwaarden. 

Klaarblijkelijk  valt  de  grens  van  waarneembaarheid  van  riekend 
vermogen  ten  naaste  bij  samen  met  de  grens  van  waarneembaarheid 
van  ladend  vermogen.  Wel  is  een  zekere  variatie-breedte  voorhanden 
in  de  olfactiewaarden,  terwijl  het  laadvermogen  voor  alle  gelijk  heet 
te  zijn.  maar  ook  dit  laatste  is  niet  volkomen,  daar  verschillen 
tusschen  onderdeelen  van  een  tiende  deel  over  den  electroscoop  zich 
niet  voldoende  laten  beoordeelen. 

Een  onzer  heeft  het  vermoeden  uitgesproken,  dat  zoowel  de  inten- 
siteit van  den  geur  als  de  intensiteit  van  het  ladingsverschijnsel  elk 
voor  zich  op  min  of  meer  samengestelde  wijze  zal  afhajigen : 

a.  van  de  vluchtigheid  der  stoffen, 

h.  van  de  verlaging  der  oppervlaktespanning  van  water,  die  zij 
te  weeg  brengen. 

In  dit  verband  is  het  van  belang  zoowel  het  kookpunt  van  de 
reukstoffen  als  het  druppelgetal  van  de  verdunde  waterige  oplossingen 
te  leeren  kennen.  Onderstaande  tabellen  (lla  en  b)  verschaffen  deze 
gegevens.  Een  onmiddellijk  verband  kan  er  niet  uit  worden  afgeleid. 
Wel  kan  een  meer  verwijderde  samenhang  worden  verondersteld’). 

Ook  het  ladingsteeken  is  misschien  van  eenigen  invloed.  Terwijl 
voor  24  van  de  26  stoffen  in  de  meest  verschillende  concentraties 
onderzocht  nooit  anders  dan  een  positieve  lading  kon  worderi  ge- 
constateerd, die  bij  voortschrijdende  verdunning  ten  slotte  vei'dwijnt, 
laden  capronzuur  en  valeriaanzuur  in  zeer  verdunde  oplossing  negatief 
(in  eenigszins  geconcentreerde  positief).  In  de  uiterste  verdunning, 
waiirin  deze  negatieve  lading  nog  waarneembaar  is,  blijkt  de  riek- 

b Rangschikking  van  het  druppelgetal  der  verzadigde  oplossing: 

Naphthaline  49.3,  Kunstmuskus  49.6,  Toluol  50.3,  Pseudocumol  50.5,  Benzol 
50.75,  Allylalcohol  (1:500)51,  Vanilline  51,  Indol  51.5,  Skatol  52.2,  Xylol  55, 
Nitrobenzol  55.5,  Pyridine  (1 ‘’/y)57.25,  Gumidine  66.75,  p.  Xylenol  68.5,  Aniline  69, 
p.  Toluidine  69,  Thymol  73,  o.  Toluidine  75.5,  n.  Xylidine  77,  m.  Xylenol  84, 
Capronzuur  84.5,  Guajacol  85,  Terpineol  90.5,  Valeriaanzuur  106,  Isoamylacetaat 
115,  Amylalcohol  131. 


14 


TABEL  \\a. 

Rangschikking  van  26  reukstoffen  (in 
den  stalagmometer)  der  nog  nauwelijks 
lading  gevende  oplossing  (bij  15°  C). 

TABEL  IIö. 

Rangschikking  van  26  reukstoffen 
naar  hun  kookpunt. 

Water 

49.3 

Water 

100° 

Naphthaline 

49.3 

Benzol 

80° 

Kunstmuskus 

49.6 

Allylalcohol 

97° 

Capronzuur 

49.8 

Toluol 

111° 

Aniline 

50 

Isoamylacetaat 

116° 

Indol 

50 

Amylalcohol 

116.3 

Nitrobenzol 

50 

Pyridine 

116.7 

p.  Xylenol 

50 

Xylol 

142^ 

p.  Toluidine 

50 

Capronzuur 

155° 

Guajacol 

50 

Pseudocumol 

169.8 

Thymol 

50.1 

Aniline 

182.5 

Allylalcohol 

50.2 

Valeriaanzuur 

184 

Toluol 

50.2 

0.  Toluidine 

199.7 

Pseudocumol 

50.5 

p.  Toluidine 

200.4 

Amylalcohol 

50.5 

Nitrobenzol 

205 

m.  Xylidine 

50.5 

Guajacol 

205.1 

m.  Xylenol 

50.6 

Terpineol 

218. 

Benzol 

50.8 

Naphthaline 

218.2 

Vanilline 

51 

p.  Xylenol 

220 

Valeriaanzuur 

51 

m.  Xylenol 

225 

Terpineol 

51.2 

m.  Xylidine 

226 

o.  Toluidine 

52 

Thymol 

231.8 

Skatol 

52.2 

Cumidine 

235^ 

Cumidine 

52.2 

Indol 

253 

Isoamylacetaat 

52.5 

Skatol 

265 

Pyridine 

54 

Vanilline 

sublimeert 

Xylol 

Gemiddeld 

55 

„ ,,/1323.2\ 
50.9  (-g-) 

Kunstmuskus 

?? 

kracht  dezer  stoffen,  vergeleken  met  het  gemiddelde  onzer  stoffen, 
zeer  gering. 

Het  al  of'  niet  sterker  worden  der  lading  door  toevoeging  van 
keukenzout  aan  de  oplossing,  resp.  het  verzwakken  der  lading  door 
deze  procedure ‘),  schijnt  geen  bijzondere  beteekenis  voor  de  onder- 
linge rangschikking  onzer  26  stoffen  te  hebben.  Alle  vertonnen  een 
toename  van  laadvermogen,  met  uitzondering  van  naphthaline,  indol 
en  skatol,  wier  geringe  lading  onveranderd  schijnt  te  blijven,  en  van 
kunstmuskns,  pseudocumol,  p.  xjdenol  en  thjmol,  wier  lading  duidelijk 
zwakker  wordt. 

Onze  conclusie  is  alzoo,  dat,  zuiver  feitelijk  genomen,  de  vei-klaring 
geheel  ter  zijde  latend,  reukkracht  en  laadvermogen  ook  van  wille- 
■ keurig  gekozen  reukstoffen  bij  ongeveer  overeenkomstigen  verdun- 
ningsgraad  hun  grens  van  waarneembaarheid  bereiken. 


b E.  L.  Backman,  Onderz.  Physiol.  Lab.  Utrecht  (5).  Deel  18,  p.  349  Deel  19,  p.  210. 


Wiskunde.  — De  Heer  Lorentz  biedt  een  mededeling  aan  van 
de  Heer  H.  B.  A.  Bockwinkel:  ,,Over  een  paar  punten 
betreffende  de  voortbrengende  funksies  van  Lapla.ce”. 

(Mede  aangeboden  door  de  Heer  Kluyver). 


1.  Lerch  heeft  over  de  in 


integraaljl^ 


e~^’'  q^{r)dr,  of  de  hieruit  door 


de  substitutie  r = — log  t afgeleide, 

1 


o 

waarin  ƒ (^)  de  voortbrengende  funksie  (fonction  génératrice)  en  or  (.r) 
de  bepalende  funksie  (fonction  déterminante)  heet,  de  volgende  merk- 
waardige stelling  uitgesproken  : 

Indien  de  bepalende  funksie  a (x)  nul  wordt  voor  een  oneindig 
aantal  loaarden  van  x die  een  rekenkundige  - reeks  met  pozitief  ver- 
schil p vormen, 


a;  ■=:  § + fiïj,  (fi  = 0,  1,  2, . . . ) (2) 

dan  is  hij  identiek  gelijk  aan  nul,  en  hetzelfde  geldt  van  de  voort- 
brengende funksie  f{i). 

Lerch  maakt  bij  het  bewijs  van  zijn  stelling  gebruik  van  een 
teorema  van  Weterstrass,  n.l.  dat  iedere  in  een  gesloten  interval 
kontinue  funksie  in  dat  interval  door  een  uniform  konvergente  reeks 
van  gehele  rationele  funksies  kan  worden  voorgesteld.  Daar  destel- 
ling, waarop  ook  door  Fincherle *  *)  en  door  Nielsen  *)  de  aandacht 
gevestigd  wordt,  allerlei  interessante  gevolgen  heeft,  schijnt  hij  be- 
langrijk genoeg,  om  nog  eens  langs  andere  weg  bewezen  te  worden. 
We  veroorloven  ons  daarom,  aan  de  redenering  van  Lerch  de  vol- 
gende toe  te  voegen,  waarbij  van  meer  bekende,  altans  meer  gewone 
hulpmiddelen  gebruik  gemaakt  wordt  (nl.  het  teorema  van  Fourier). 


b Lerch,  Acta  mathematica  27,  1903. 

*)  PiNCHERLE,  „Sur  les  fonctions  déterminantes”,  Ann.  de  i’Éc.  Norm.  22,  1905. 
PiNCHERLE  noemt  f(t)  , fonction  génératrice”  en  (x.{x)  „fonction  déterminante”, 
terwijl  Lerch  het  juist  andersom  doet.  Wij  hebben  ons  bij  Pincherle  aangesloten. 
®)  Nielsen,  „Handbuch  der  Gammafunktion”,  p.  118. 


16 


2.  De  volgende  onderstellingen  zijn  voldoende,  om  de  beoogde 
gevolgtrekkingen  te  maken  : 

1°.  De  voortbrengende  fnnksie  f{t)  is,  behalve  misschien  in  ^ = 0, 
kontinu  in  het  integratieinterval. 

2".  De  integraal  (1)  bestaat  voor  zekere  waarde  x = c van  x. 

We  stellen 


t 


o 


Dan  is  g {f)  krachtens  onderstelling  2“  een  in  het  interval  (0,1), 
ook  in  ^ = 0,  kontinue  fnnksie,  en  0 voor  ^ = 0.  Verder  is  volgens 
onderstelling  1“  g [f]  in  alle  pnnten  van  het  genoemde  interval, 
behalve  misschien  in  ^ = 0,  differentieerbaar  en  heeft  men 

9{t)=f{t)t^ (4) 


Men  kan  dns  herleiden,  voor  d"  j>  0, 
1 1 

jf{t)  F dt  =:J g'  (É)  dt  = (<) 

ê s 


1 


^1— c-1  gt 


Is  nu  x een  kompleks  getal  waarvan  het  reele  deel  R (.r)  groter 
is  dan  dat  van  c,  dan  kan  men  in  deze  vergelijking  ö tot  nul  laten 
naderen,  en  dan  komt  er 

1 1 


dt  = g (l)  — (.V — c) 


o 


dt 


(5) 


Hieruit  volgt:  Als  de  integraal  (1)  bestaat  voor  zekere  waarde  van 
X,  X = c,  dan  bestaat  hij  in  het  hele  halfvlak  bepaald  door  R{x)  j>  R{c)  j. 

Uit  de  gelijkheid  (5)  volgt  ook  gernakkelik  dat  de  integraal  in 
het  linkerlid  in  ieder  gebied  S,  geheel  in  het  eindige 'van  R (x)  > 
/f  (c)  + d,  (d  ^ 0),  gelegen,  een  kontinue  fnnksie  van  x voorstelt. 
Eveneens  blijkt  door  een  dergelijke  redenering  als  zo  even  dat  ook 
de  integraal 


b Dit  teorema  is  fundamenteel  in  de  teorie  van  de  voortbrengende  funksies. 
Volgens  Pjncherle  (1.  c.)  is  het  door  verschillende  schrijvers  bewezen,  dikwels 
onder  minder  algemene  onderstellingen  dan  onder  en  2°  vermeld  De  rede- 
nering in  de  tekst  is  van  Lerch  en  wordt  ook  door  Pincherle  gebezigd.  Deze 
redenering  bp.rust  evenwel  op  de  koniinuiteit  van  ƒ(/),  in  het  links  open  interval 
(0,1),  hetgeen  Lerch  vermoedelik  uit  het  oog  verliest  als  hij,  aan  ’t  eind  zijn 
stelling  uitsprekende,  zegt  dat  f (t)  ook  wel  diskontinu,  mits  integreerbaar,  kan 
zijn.  (Natuurlik  wordt  hiermee  niet  beweerd  dat  veralgemening  niet  mogelik  is). 


17 


1 


o 


bestaat  voor  R {x)  ^ R (c),  en  voor  ieder  punt  binnen  dit  halfvlak 
het  differentiaalquotient  van  a (x)  voorstelt,  zodat  a {x)  tevens  een 
analitiese  funksie  van  x is.  Ook  deze  gevolgtrekkingen  vindt  men 
bij  PiNCHERLE  vermeld. 

Lerch  sluit  nu  het  bewijs  van  zijn  stelling  eveneens  bij  de  ver- 
gelijking (5)  aan.  Bij  het  volgende  bewijs  zullen  we  evenwel  gebruik 
maken  van  een  vergelijking  die  uit  (5)  ontstaat  door  de  stap  die  tot 
deze  laatste  gevoerd  heeft,  nog  een  keer  te  herhalen.  We  stellen  dus 

t 

h {t)  = (u)  du (7) 

o 

Dan  is  weer  h(t)  kontinu  en  differentieerbaar  in  (0,1)  en  men  heeft 

h’(t)  = git)  . (8) 

Van  belang  is  echter  dat  deze  laatste  vergelijking  nu  óók  geldt  in 

t — 0,  en  dat  de  afgeleide  van  h{t)  dus  een  in  het  gesloten  interval 

(0,1)  geborneerde  funksie  is.  Merken  we  verder  op  dat  men  heeft 

lim  \]i  (t)  : — A'  (0)  — g (0)  = 0, 

« = o 


zo  vindt  men  door  partiele  integratie,  op  dergelijke  manier  als  zo 
even,  mits  altijd  R{x)  j>  R{c), 

1 1 

1 (t)  dt  = h{\)  — {x—c  — l)  {t)  dt.  . . (9) 


en  dus 


« (,v)  = g (1)  — (x — c)  A (1)  -(-  (x — c)  (x  —c — dt.  10) 


3.  Al  het  voorgaande  geldt  onafhankelik  van  enige  verdere 
onderstelling  omtrent  f{t).  Stel  nu  vooreerst  dat  a{x)  nul  wordt 
voor  de  rekenkundige  reeks  van  waarden 

x = ^-r^,  (,U  = 0,  1,  2,  . . .).  . . . . (11) 

We  kiezen  dan  het  getal  c uit  de  voorgaande  vergelijkingen  gelijk 
aan  §,  dan  is  ^(1)  = 0,  en  dus  ook  de  integraal  in  het  rechterlid 
van  (5)  voor 

+ 1 + (f*  = 0?  1>  2, , . .)  . . . . (12) 

Hieruit  volgt  weer  dat  A(l)  gelijk  is  aan  nul,  en,  in  verband  hier- 
mee, uit  (10) 

2 

Verslagen  der  Afdeeling  Naluurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


18 


(fi=0,  1,2,.  . ^ • ■ (13) 


o 

Nu  hebben  we  gezien  dat  het  ditferentiaalquotient  van  h{t)  be- 
grensd is.  Volgens  een  bekende  stelling  heeft  h{t)  dus  in  het 
interval  (0,1)  een  begrensde  totale  variatie,  en  hieruit  volgt  weer  ’) 
dat  h{t)  ontwikkelbaar  is  volgens  het  teorema  van  Fourikr. 

Men  heeft 


h (t)  = \ n (cin  COS  2jr  nt  -\-  h„  sin  2jr  nt)  ...  . (14) 


waarbij 


en,  voor  = 1,  2,  3,  . . . 


a.=Jl 


h (i)  dt 


X 

iCh  (() 


cos  2?r  nt  dt,  b„  =.  2 


(t)  sir, 


2jr  nt  dt 


o o 

Nu  zijn  de  funksies  cos‘lrrnt  en  sinljtnt  voor  iedere  n ontwik- 
kelbaar in  machtreeksen. 


cos  271  nt  IJ.  Ajj.  te,  sin  27r  nt  ■=  t '' 

o o 

die  in  het  interval  (0,1)  uniform  konvergeren.  Daar  li{t)  in  dat 
interval  begrensd  is,  geldt  dus  de  herleiding 


Volgens  (13)  zijn  dus  alle  koeffisienten  in  de  Foürierse  ontwikke- 
ling (14)  gelijk  aan  nul,  en  is  dus  ook  h (t)  identiek  gelijk  aan  nul 
in  het  interval  (0,1).  Daar  verder  g (0  = h'  it),  geldt  hetzelfde  van 


1)  E.  W.  Hobson,  ,The  Theory  of  Functions  of  a real  variable”,  Cambridge, 
1907,  p.  283. 

2)  Hobson,  1.  c.  p.  680. 


19 


g {t),  en  daar  — (behalve  misschien  in  ^ = 0),  zo  is  ook 

de  voortbrengende  funksie  f{t)  zelf  in  het  interval  (0,1)  gelijk  aan 
nu).  Dit  is  liet  tv^'eede  deel  van  de  stelling  van  Lerch.  Daar  het 
eerste  deel  onmiddellik  uit  het  tweede  volgt,  is  de  stelling  hiermee 
bewezen  in  het  biezondere  geval  dat  de  rekenkundige  reeks  van  de 
nulpunten  1 lot  verschil  heeft. 

Is  dit  verschil  gelijk  aan  het  pozitieve  getal  j],  en  worden  de 
nulpunten  dus  voorgesteld  door  formule  (2),  dan  stellen  we 


t'i  =:  s,  X — r}y,  § ric 
waardoor  de  integraal  (1)  overgaat  in 


o o 

De  funksie  — ^ = cp  (s)  heeft  de  eigenschappen  onder 

1“  en  2"  van  het  begin  van  het  vorige  nummer  vermeld,  zodat  de 
voorgaande  redeneringen  er  op  van  toepassing  zijn.  De  integraal  (15) 
wordt  nul  voor  de  rij  van  waarden  (11),  dus  is  rp  (s)  en  daarmee 
ook  /(.s‘)  identiek  gelijk  aan  nul  in  het  interval  (0,1).  Het  teorema 
van  T.IERCH  is  hiermee  volledig  bewezen. 


4.  Men  kan  het  eerste  deel  van  dit  teorema,  nl.  a {x)  identiek 
nul  wordt,  als  dit  voor  een  rekenkundige  reeks  van  «-waarden  geschiedt, 
ook  rechtstreeks  bewijzen,  zonder  eerst  aan  te  tonen  dat  het  tweede 
deel  juist  is,  en  wel  is  het  een  onmiddellik  gevolg  van  de  stelling; 

Iedere  funksie  a (x)  bepaald  door  een  integraal  van  de  vorm  (1) 
kan,  onder  de  onderstellingen  1“  en  2°  aan’t  begin  van  2 genoemd 
in  een  binomiaalkoeffisientenreeks 


o 

ontwikkeld  loorden,  als  ^ een  getal  is  dat  binnen  het  konvergentiegebied 
van  de  integraal  ligt. 

Nemen  wij  nl.  een  ogenblik  aan  dat  deze  stelling  waar  is.  Wordt 
ci{x)  nu  nul  voor  de  reeks  van  waarden  (11),  dan  stelle  men  in 
(16)  ^ = ‘è-  Door  X achtereenvolgens  gelijk  aan  §,  ^ -f- 1,  ^ -f-  2,  . . . 
te  nemen,  vindt  men  dan  dat  alle  koeffisienten  c„  van  de  binomiaal- 
ontwikkeling  nul  zijn,  en  dat  dus  a («)  identiek  gelijk  aan  nul  is. 

Het  eerste  deel  van  de  stelling  van  Lerch  wordt  op  die  manier 
al  zeer  gemakkelik  ingezien  en  het  zou  dus  geschikt  zijn,  als  men 
uit  dit  eerste  deel  onmiddellik,  of  altans  langs  kortere  dan  de  boven 

2* 


20 


aangegeven  rechtstreekse  weg  het  tweede  deel  kon  afleiden.  Maar 
we  zien  daartoe  vooralsnog  geen  kans.  Op  de  keper  beschouwd  is 
de  gegeven  afleiding  al  taraelik  kort,  naaar  bovendien  achten  wij  het, 
op  gronden  die  we,  ter  wille  van  ruimtebesparing,  hier  niet  nader 
aangeven,  niet  waarscliijnlik  dat  men  voor  het  genoemde  doel  meer 
heeft  aan  het  identiek  nul  worden  van  u [x)  dan  aan  het  nul  worden 
van  deze  funksie  voor  een  rekenkundige  reeks  van  waarden  van  het 
argument. 

Niettemin  is  het  eerste  deel  van  Lerch’s  teorema  op  zichzelf  van 
belang  omdat  daaruit  reeds  mei'kwaardige  gevolgtrekkingen  kunnen 
worden  afgeleid.  Er  blijkt  bv.  uit,  zoals  door  Lerch  wordt  aange- 
wezen, dat  eenvoudige  funksies  als 


2 

sin  kx,  cos  kx, i 0) 

r{l—kx)  ^ ^ ’ 

niet  de  bepalende  van  voortbrengende  funksies  kunnen  zijn,  m.  a.  w. 
niet  door  integralen  van  de  vorm  (1)  kunnen  worden  voorgesteld, 
en  evenmin  produkten  van  deze  funksies  met  andere  die  in  het 
eindige  deel  van  zeker  gebied  R{x)  'g>  c binnen  eindige  grenzen 
blijven. 

De  stelling  over  de  ontwikkeling  van  de  integraal  (1)  in  een 
binomiaalkoeffisien  ten  reeks  kan  op  verschillende  manieren  worden 
bewezen.  In  de  eerste  plaats  vallen  integralen  van  die  vorm  onder 
de  algemene  groep  van  funksies  waarvan  ik  in  een  vroegere  mede- 
deling in  deze  Verslagen  (3  Mei  1919)  heb  aangetoond  dat  ze  in 
reeksen  van  de  gedaante  (16)  ontwikkelbaar  zijn.  Men  beschouwe 
een  gebied  R[x)  > c d,  neme  een  pozitief  getal  <(  d en  stelle 
in  de  sekundaire  integraal,  in  ’t  rechterlid  van  {h),  x = c -\- y, 
dan  is  R{y)>  6 — d,,  dus  essentieel  pozitief.  Men  kan  nu  herleiden 
11  1 


g [t)  dt 


< 


ƒ 


tRiy)  i®'!— 1 g [t) 


dt  < 


9 (0 


dt. 


0 0 o 

welke  laatste  integraal  bestaat,  omdat  g{t)  in  (0,1)  geborneerd  is. 
Dus  is  a (x)  in  het  hele  beschouwde  gebied  van  de  vorm 

a (x)  = (x — b)  p (x) 

waarin  p (x)  binnen  eindige  grenzen  blijft  (b  is  een  zeker  getal  buiten 
het  gebied).  Dergelijke  funksies  kunnen  echter  steeds  in  de  bedoelde 
reeksen  worden  ontwikkeld. 

Een  tweede,  meer  rechtstreeks  bewijs  krijgt  men  door  in  de 
sekundaire  integraal  in  (5)  te  stellen  t = 1 — u en  te  herleiden 


(1  _m)x-c-i  = (1  _ m)/S-c-i  (1  _ ^ ( _ lyn 

o 


21 


waarbij  de  reeks  voor  R («)  ^ R (^)  uniform  in  het  interval  0 < w < 1 
kon  vergeert.  Daar  voor  R {^)f>  R (c)  de  integraal 

1 


— u)  (I — du 


o 

absoluut  konvergeert  (wegens  de  kontinuiteit  van  g{'\ — w)),  kan  men 
na  de  bedoelde  substitutie  term  voor  term  integreren,  en  vindt  dan 
(in  de  afzonderlike  integralen  weer  1 — u door  t vervangende) 

1 00  1 


tx—c—1  dt  — 'yin  (—1)™  J^l  — 1 g 


(17) 


0 0 0 
De  ontwikkeling  is  dus  geldig  voor  R(a;)  ]>  R(li)  j>  R(c).  Daar  het 
produkt  van  deze  reeks  met  .v — c tot  een  reeks  naar  dezelfde 
fakulteiten  van  .v — kan  worden  herleid,  is  de  verlangde  stelling 
hiermee  opnieuw  aangetoond.  ^) 

Een  derde  bewijs  heeft  nog  dit  interessante  dat  het  doet  zien  dat, 
als  de  integraal  slechts  bestaat  voor  x = c,  ook  ontwikkeling  naar 
fakulteiten  van  x — c mogelik  is,  zelfs  al  zou  de  lijn  R{x)  = R{c) 
de  grens  van  het  kon-  en  divergentiegebied  van  de  integraal  in  het 
.r-vlak  zijn,  en  al  zou  de  integraal  volstrekt  niet  in  alle  punten  van 
die  lijn  bestaan.  Het  bewijs  bestaat  hierin  dat  we  het  proses,  dat 
tot  de  stelling  van  Lerch  gevoerd  heeft,  tot  in  het  oneindige  voort- 
zetten ; we  stellen 


o o 

Formule  (10)  laat  zich  dan  veralgemenen  tot 
a{x)  = g{\)  — (l)(.r-c)  + ~ ^ 3 ^ ) 

1 • 09) 

+ (-  1)”-^  9n-\  (1)  + (~1)"  ^ ‘’j  J" {t)  dt  . . . . I 

0 ' 

De  restterm  nadert  tot  nul  voor  R{x)  f>  R{c),  want  men  heeft 


1)  Men  vindt  bij  Nielsen  (1.  c.  p.  125)  een  dergelijk  bewijs  van  de  hier  bedoelde 
ontwikkelbaarheid;  dit  sluit  echter  niet  aan  bij  de  sekundaire  integraal  in  het 
rechterlid  van  (5),  maar  bij  de  oorspronkelike,  zodat  hierbij  nodig  is  te  onderstellen 
dat  ook  deze  absoluut  konvergeert  voor  limt  = 0.  Van  deze  spesiale  onderstelling 
bevrijdt  men  zich  juist  door  de  herleiding  (5). 


22 


achtereenvolgens,  als  G de  maksimummodulus  van  de  geborneerde 
fnnksie  g {t)  in  het  interval  (0,1)  is, 

\gAt)\<Gt  \gAt)\<:Gt\...  1 ^«(0  |<  Gtn, . . . 


dus 


1 

1 

1 f* * 

1 f’i  (i)  dt 

= n j. (q 

\ ^ 

0 

1 

0 

1 


<„ƒ, 


QlR  {x-c)-\  dt 


< 


iG 


R (x — c) 


, voor  R {x — c)  0. 


/a’ — c\  . — R{x—c)—l 

Nu  isl  Ivoor  n=cc  equivalent  met  n 

restmodulus  in  formule  (19)  voor  alle  n kleiner  dan 

H {x — c) 

R [x — c)  c)  ’ 


en  dus  de 


(20) 


waarin  H zeker  pozitief  getal  is  groter  dan  G.  Voor  R{x)A>R{c) 
nadert  dus  de  restterm  met  onbepaald  toenemende  n tot  nul.  Zelfs 
toont  de  majorantwaarde  (20)  aan  dat  op  een  oneindig  lijnsegment, 
uitgaande  van  x = c en  met  de  richting  van  het  pozitieve  deel  van 
de  reele  as,  de  binomiaalreeks  uniform  konvergeert;  want  hierop 
is  R {x — c)  = X — c.  PiNCHERLE  heeft  (l.c.)  opgemerkt  dat  een  derge- 
lijke uitspraak,  die  analoog  is  aan  een  bekende  stelling  van  Abel 
over  machtreeksen,  voor  de  integraal  (1)  geldt  en  dat  die  volgt  uit 
de,  door  partiele  integratie,  ontstane  vergelijking  (5).  Evenzo  kan 
men,  door  partiele  sommatie,  bewijzen  dat  de  hiergenoemde  stelling 
algemeen  geldt  zoowel  voor  reeksen  die  naar  fakulteiten  voort- 

lopen (de  hier  besproken  binomiaalkoeffisientenreeksen)  als  voor  de 
fakulteitreeksen  in  engere  zin  (die  voortlopen  naar  omgekeerde  fakul- 
teiten).  Voor  de  laatstgenoemde  heb  ik  dat  in  een  mededeling  over 
deze  reeksen  nader  aangewezen  ^).  De  ontwikkeling  van  de  integraal 
(1),  in  een  dergelijke  fakulteitreeks  is  evenwel,  zoals  uit  onderzoekin- 
gen van  Nielsen  ’)  en  van  Pincherle  ')  volgt,  slechts  mogelik  onder 
nader  beperkende  voorwaarden  voor  f[t),  nl.  als  dit  een  analitiese 
funksie  is  waarvan  de  konvergentiesirkel  voor  het  punt  t = l door 
t = 0 gaat,  en  die  op  de  omtrok  van  deze  sirkel  van  eindige  orde 
(in  de  zin  van  Hadamard)  is. 


q Verslag  van  3 Mei  1919. 
q Handbuch,  p.  244. 

*)  8ulla  sviluppabilitd  di  una  funzione  in  serie  di  fattorali,  Rendic.  d.  R. 
Acc.  d.  Lincei  1903  (2e  Semestre). 


Scheikunde.  — De  Heer  Böeseken  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
den  Heer  H.  P.  Barendrecht  over;  ,,ürease  en  de  stralings- 
theorie van  enzymiverking”  IV. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Hooqewerff). 

11.  Directe  synthese  van  ureum" door  urease  uit  ammonium- 

carbonaat. 

Volgens  de  boven  ontwikkelde  theorie  zal  het  evenwicht  in  de 
werking  van  urease  op  ureum  niet  altijd  gevonden  worden  bij 
voltooide  hydrolyse. 

Wanneer  de  concentratie  van  urease  laag  is,  zal  de  synthetische 
werking  in  den  spherischen  buitenrand  zich  kunnen  uiten. 

In  een  alkalische  oplossing  van  urease,  wat  ook  haar  concentratie 
zij,  zal  het  enzym  gedeeltelijk  vervallen  in  verloop  van  tijd,  zooals 
aangetoond  werd  in  deel  9.  In  dat  geval  zal  ook  een  omgekeerde 
werking  merkbaar  worden,  evenredig  aan  de  concentratie  van  de 
urease. 

Om  deze  gevolgtrekking  uit  de  hypothese  te  toetsen  werden  de 
volgende  experimenten  uitgevoerd. 

In  elk  van  6 groote  cylinders  van  ongeveer  1 Liter  inhoud  werden 
100  cc.  water  gebracht,  waarin  5,786  gr.  ammonium-carbonaat  waren 
opgelost.  Elk  van  deze  cylinders  was  gesloten  door  een  caoutchouc 
stop  met  twee  doorboringen;  door  de  eene  ging  een  rechte  glasbuis, 
aan  het  einde  voorzien  van  een  geperforeerden  bol,  door  de  andere 
een  gebogen  glazen  buis,  waardoor  de  luchtstroom,  die  doorgeblazen 
moest  worden,  kon  overgaan  in  een  tweeden,  kleineren  cylinder,  waarin 
de  ammoniak  geabsorbeerd  moest  worden.  Elk  van  deze  kleinere 
cylinders  bevatte  daarvoor  186,85  gr.  H2SO4  N (wat  gelijk  is  aan 
185  c.c.  N).  De  grootere  nauwkeurigheid,  door  afwegen  van  het 
absorbeerende  zuur  verkregen,  was  noodig  omdat  het  effect,  dat 
verwacht  werd,  het  verschil  was  van  twee  groote  waarden  en  ver- 
moedelijk klein  zou  zijn. 

In  twee  der  groote  cylinders  werd  3,  in  twee  andere  6 gr.  Soja- 
meel gebracht.  De  glasbuizen  van  deze  cylinders  werden  alle  afge- 
sloten door  caoutchouc  buisjes  en  klemmen.  Na  een  paar  uren  werden 
degene,  die  de  verbinding  regelden  met  de  absorptie-cylinders,  een 


24 


oogenblik  geopend  om  het  koolzuur,  ontwikkeld  door  den  gedeeltelijken 
overgang  van  het  opgeloste  ammonium-carbonaat  tot  ammonium- 
carbamaat,  te  laten  ontsnappen  door  het  zwavelzuur. 

Na  de  zes  paren  cylinders  24  uren  bij  kamertemperatuur  te  hebben 
laten  staan,  waarbij  nu  en  dan  het  Soja  meel  werd  opgeroerd,  werden 
de  verbindingen  met  de  absorptie-cjdinders  geopend  en  250  c.c.  ver- 
zadigde kaliuracarbonaat  oplossing  door  de  lange  glasbuizen  in  elk 
van  de  groote  cylinders  gegoten.  Daarna  werd  door  24  uur  lang 
krachtige  stroomen  lucht,  gewasschen  door  zwavelzuur,  door  te 
voeren,  alle  ammoniak  overgeblazen  in  het  zwavelzuur.  Enkele 
druppels  octyl-alcohol,  gelijktijdig  met  het  Soja-meel  in  de  cylinders 
gebracht,  voorkwamen  het  schuimen. 

De  hoeveelheden  ammonium-carbonaat  en  zwavelzuur  waren  zoo 
gekozen,  dat  slechts  enkele  c.c.  NaOH  noodig  waren  voor  het 
titreeren  van  het  vrije  zwavelzuur,  dat  was  overgebleven. 

De  resultaten  van  een  voorloopig  experiment  op  14  Maart  1916 
waren  de  volgende : 


TABEL  22. 
c.c.  NH3  iV  N iïl: 


Gemiddeld 

NH3  omgezet  tot  ureum 

Amm.  carb.  alleen 

735.8 

735.9 

735.85 

Amm.  carb.  -f-  3 gr.  Soja 

735.15 

734.85 

735.— 

0.85 

Amm.  carb.  -|-  6 gr.  Soja 

734.85 

734.75 

734.8 

1.05 

Later  bleek  echter,  dat  een  aanmerkelijke  hoeveelheid  NHj  uit 
het  Soja-meel  ontwikkeld  wordt. 

Om  dit  te  bepalen  werd  in  elk  van  een  tweetal  groote  cylinders 
250  c.c.  verzadigde  kalium-carbonaat,  100  c.c.  water  en  4 druppels 
octylalcohol  gebracht.  Daarenboven  in  den  een  6,  in  den  ander 
12  gr.  Soja-meel.  Elke  cylinder  was  verbonden  met  een  kleineren, 
waarin  5 c.c.  H^SO^  f N en  wat  water.  Na  een  5 uur  lucht  doorblazen 
bleef  het  geheel  bij  kamertemperatuur  tot  den  volgenden  dag  staan, 
toen  het  blazen  weer  begonnen  en  voortgezet  werd  tot  den  volgen- 
den dag. 

De  6 gr.  Soja-meel  hadden  gegeven  1 ,1  c.c.  NH,  3V  N. 

De  12  gr.  Soja-meel  1,65  c.c.  NH^^VN. 

Dus  gemiddeld  voor  6 gr.  Soja-meel  0,97  c.c.  iV  N, 

1)  Speciale  proeven  hadden  geleerd,  dat  geen  NH3  uit  ureum  gevormd  werd 
door  de  lange  inwerking  van  verzadigde  kaliumcarbonaat. 


25 


Na  correctie  van  de  cijfers  van  14  Maart  met  deze  waarden 
krijgen  wij: 

Ammonia  omgezet  in  ureum  door 
3 gr.  Soja  1,33  c.c.  N 

6 gr.  Soja  2.02  c.c.  yV^. 

23  Maart  1916.  In  de  groote  cylinders  11,572  gr.  ammonium- 
carbonaal  en  100  c.c.  water.  In  de  kleine  cjlinders  190  gr.  H^SO^ 
van  ongeveer  0,8  N (1  gram  = 7,85  c.c.  yö  N). 

In  twee  der  zes  groote  cylinders  6 gr.  Soja-meel,  in  twee  andere 
12  gram. 

Na  24  uur  staan  bij  kamertemperatuur  werden  in  elk  250  c.c. 
verzadigde  kalium-carbonaat  oplossing  en  een  paar  druppels  octyl- 
alcobol  gebracht  en  de  ammoniak  gedurende  48  uur  overgeblazen. 

Resultaten  : 


TABEL  23 
C.C.  NHg  iV  N in: 


^ Eerste 
cylinder 

Tweede 

cylinder 

Gemid- 

deld 

Gecorrigeerd 
voorNHa  uit 
Soja-meel 

NH3  omgezet 
tot  ureum 

Amm.  carb.  alleen 

1462.4 

1462.5 

1462.45 

Amm.  carb.  -|-  6 gr.  Soja 

1460.7 

1460.5 

1460.6 

1459.6 

2.85 

Amm.  carb.  -j-  12  gr.  Soja 

1458.5 

1458.4 

1458.45 

1456.5 

5.95 

16  Mei  1916.  Een  oplossing  werd  gemaakt  van  ongeveer  95  gr. 
ammonium-carbonaat  en  1 Liter  water  en  deze  werd  verzadigd  met 
koolzuur. 

Twee  groote  cylinders,  elk  met  100  c.c.  van  deze  oplossing  en 
250  c.c.  verzadigde  kalium-carbonaat  oplossing  werden  verbonden 
met  kleine  cylinders,  elk  bevattende  174  gr.  H^SO^  0,8  N en  alle 
ammoniak  werd  overgeblazen  in  het  zuur  door  gedurende  48  uur 
een  luchtstroom  te  laten  doorgaan. 

Vier  groote  cylinders  {A)  kregen  elk  100  c.c.  van  die  ammonium- 
carbonaat  oplossing  en  6 gr.  Soja-meel. 

Vier  andere  {B)  elk  100  c.c.  ammonium-carbonaat  oplossing  en 
12  gr.  Soja-meel. 

Na  2 dagen  verblijf  bij  kamertemperatuur  werd  één  cylinder  A 
en  één  cylinder  B geanalyseerd  door  er  250  c.c.  veizadigde  kalium- 
cai'bonaat  oplossing  in  te  brengen  en  de  ammoniak  over  te  blazen 
in  174  gr.  zuur  gedurende  twee  dagen.  Op  dezelfde  wijze  werden 
één  A en  één  B na  3 dagen  behandeld  en  twee  cylinders  A en 
twee  cylinders  ü na  4 dagen. 


26 


Resultaten  : 


TABEL  24. 
c.c.  NH3  ïV  N in: 


Eerste 

cylinder 

Tweede 

cylinder 

Gemid- 

deld 

Gecorri- 
geerd voor 
NHauit 
Soja 

NH3  om- 
gezet tot 
ureum 

Amm.  carb.  alleen 

1352.1 

1352.7 

1352.4 

Amm.  carb.  -f-  6 gr.  Soja,  2 dagen 

1351 

Amm.  carb.  -f  6 gr.  Soja,  3 dagen 

1350.9 

Amm.  carb.  -|-  6 gr.  Soja,  4 dagen 

1350 

1350.5 

1350.3 

1349.3 

3.1 

Amm.  carb. -f-  12  gr.  Soja,  2 dagen 

1349.9 

Amm.  carb.  -f-  12  gr.  Soja,  3 dagen 

1348 

Amm.  carb.  -|-  12  gr.  Soja,  4 dagen 

1348.7 

1348.6 

1348.7 

1346.7 

5.7 

Het  is  duidelijk,  dat  het  evenwicht  in  3 dagen  nog  nauwelijks 
bereikt  is.  Indien  de  activiteit  onveranderd  gebleven  was,  zou  het 
veel  eerder  bereikt  zijn  geworden  of  zou  waarschijnlijk  in  ’t  geheel 
geen  synthese  zijn  teweeggebracht.  In  overeenstemming  met  wat 
wij  boven  gezien  hebben,  was  de  urease  hier  ook  verzwakt  door 
gedurende  zulk  een  langen  tijd  opgelost  te  blijven  in  een  alkalische 
vloeistof  en  moest  daarom  een  geleidelijke  verplaatsing  van  het 
evenwicht  naar  de  zijde  van  ureum  verwacht  worden. 

Deze  experimenten  toonen  duidelijk  aan,  dat  een  klein  deel  van 
de  ammoniurn-carbonaat  verdwijnt  door  de  werking  der  urease  en 
dat  dit  deel  evenredig  is  aan  de  hoeveelheid  urease,  die  tegenwoordig 
is.  Beide  feiten  zijn  in  overeenstemming  met  de  boven  beschreven 
theorie  van  de  synthese  van  ureum. 


12.  De  bepalmg  van  de  H-  en  de  OH-ionen  concentratie. 

Daar  zoowel  uit  de  theorie  als  uit  de  resultaten,  medegedeeld  in 
deze  verhandeling,  duidelijk  zal  gebleken  zijn,  dat  menigvuldige  en 
dus  eenvoudige  metingen  van  pn  van  overwegend  belang  zijn  in 
enzym-onderzoek,  kan  het  nuttig  zijn  de  volgende  bizonderheden  te 
geven  van  de  apparaten,  voor  dit  doel  gebruikt. 

Het  was  ongeveer  dezelfde  inrichting,  als  door  schrijver  dezes  be- 
schreven is  als  ,,A  siinple  hydrogen  electrode”  in  Biochem.  J.  1915,  66. 

De  nauwkeurigheid  was  verhoogd  door  toevoeging  van  een  bekertje 
met  verzadigde  KOI  oplossing,  waarin  zoowel  de  waterstof-electrode 


27 


als  de  buis  van  de  calorael-électrode  gedompeld  werden.  De  laatste 
was  nog  zoo  gewijzigd,  als  getoond  in  Fig.  16,  dat  alle  capillaire 
buizen  en  rubber  verbindingen  vermeden  waren.  Na  een  meting 
werd  de  kleine  flesch,  die  de  eigenlijke  calomelelectrode  bevat,  een 
halve  slag  rondgedraaid  en  het  dompelbuisje  omsloten  in  een  kleine 
buis  met  verzadigde  KCl-oplossing  (zie  Fig.  16). 


Fig.  16. 


28 


Een  glazen  kraan  met  één  rechthoekige  boring  maakte  het  mogelijk 
het  bekertje  van  circa  2 c.c.  inhoud  gemakkelijk  te  ledigen  en  het 
weer  te  vullen  uit  de  groote  voorraad-flesch  met  verzadigde  KCl- 
oplossing. 

Voor  de  dagelijksche  bepaling  van  'pn  is  ook  het  apparaat,  voorgesteld 
in  Fig.  17,  op  den  langen  duur  zeer  praktisch  gebleken.  De  korte, 
doorboorde  plunjer,  die  het  inwendige  van  den  cjlinder  geheel  opvult 
wanneer  hij  den  bodem  daarvan  raakt,  is  onverwrikbaar  verbonden 
aan  een  den  cjlinderwand  omvattenden  mantel  en  is  met  een  schroef- 
draad verplaatsbaar  daarover.  Door  bij  gesloten  kraan  K het  hand- 
vat A achterwaarts  te  draaien  worden  mantel  en  plunjer  meegedraaid 


en  wordt  daardoor  de  laatste  een  weinig  uit  den  cylinder  getrokken. 
De  vloeistof  kan  zoo  in  het  electrode-buisje  worden  opgezogen,  en 
door  het  handvat  A geleidelijk  heen  en  weer  te  slingeren  kan  het 
evenwicht  tusschen  platina-electrode,  vloeistof  en  waterstof  (die  door 
de  doorboring  eerst  is  doorgevoerd)  gemakkelijk  verwezenlijkt  worden. 
Doode  ruimte  en  vergissingen  worden  nog  vermeden  door  de  inrich- 
tingen (7  en  Z)  op  kraan  en  statief.  De  vooruitstekende  koperen 
reep  D maakt,  dat  de  plunjer  alleen  van  den  cylinderbodem  afge- 
draaid kan  worden,  als  de  kraan  gesloten  is  en  het  quadrant  C 
boven  op  de  kraan  dan  in  de  positie  is  als  aangegeven  in  de  figuur. 


29 


Het  is  duidelijk,  dat  diezelfde  inrichting  ook  mede  helpt  om  de  ver- 
gissing te  voorkomen  van  het  openen  van  de  kraan  en  toelaten  der 
waterstof,  terwijl  de  plunjer  niet  den  cjlinderbodera  raakt. 

Na  sluiten  van  de  kraan,  evenwicht  instellen  als  boven  beschreven 
en  instellen  van  de  vloeistof  in  het  electrode-buisje  (door  draaien 
van  het  handvat  A)  op  zulk  een  wijze,  dat  zij  juist  raakt  aan  de 
punt  van  den  platina-draad,  wordt  het  geheele  apparaatje  opgetild  en 
op  het  houten  blok  van  Fig.  16  geplaatst,  het  electrode-buisje  ge- 
dompeld in  het  KCI-bekertje. 

Een  andere  verbetering  was  het  uitvoeren  van  al  deze  bewerkingen 
in  een  lucht-thermostaat  (Fig.  18),  waarin  alle  apparaten,  weerge- 


geven in  Fig.  16  en  17  zoowel  als  waterstofapparaat  en  wasch- 
flesschen  op  27°  gehouden  werden.  Constantheid  van  temperatuur 
binnen  in  de  geheele  binnenruimte  van  dezen  thermostaat,  wat 
ruim  voldoende  is,  werd  bereikt  door  eiectrisch  te  verwarmen  op 
de  volgende  wijze. 

Onder  den  geperforeerden  bodem  A,  evenals  de  zijwanden  en  het 
bovendek  van  den  thermostaat  van  „eterniet”,  een  soort  houtgraniet, 
vervaardigd,  zijn  op  lichte  rekken  ongeveer  130  meter  constantan- 


30 


draad  van  0,4  mM.  dikte  nitgespreid.  De  stroom  van  de  leiding  van 
220  volt  kan  in  dezen  draad  toegelaten  worden  door  het  relais  R, 
een  electrotechnische  inrichting,  in  den  handel  verkrijgbaar.  Een 
zijtak  van  den  stroom  wordt  in  den  transformator  T tot  8 volt 
gereduceerd.  Deze  gereduceerde  stroom  loopt  door  den  electromag- 
neet  E en  wordt  verbroken  of  doorgelaten  door  den  regulateur  C. 
Deze  laatste  is  van  het  type,  beschreven  door  Clark  ^) ; een  nikkelen 
spiraal  zorgt,  dat  het  contact  altijd  op  hetzelfde  punt  van  den  kwik- 
meniscus  plaats  heeft  in  een  2 mM.  wijde  capillair  in  zuivere 
waterstof.  Om  het  vonken  te  verminderen  zijn  de  polen  van  dezen 
regulateur  ook  nog  verbonden  met  een  kleinen  condensator  in  den 
thermostaat. 

Bij  onderbroken  stroom  is  de  ijzeren  plunjer  beneden  in  het 
geëvacueerde  glazen  vat  G en  houdt  het  kwik  in  de  horizontale 
zijbuis,  waardoor  de  hoofdstroom  tusschen  de  ingesmolten  platina- 
contacten  kan  overgaan.  Een  temperatuurstijging  van  een  fractie 
van  een  graad  veroorzaakt,  dat  het  groote  volume  kwik  in  den  regu- 
lateur C contact  maakt  met  de  punt  van  de  nikkelen  spiraal  en 
zoo  den  8 volt  stroom  sluit,  waardoor  de  plunjer  uit  het  kwik  in  G 
wordt  getild.  Het  terugloopen  van  dit  kwik  onderbreekt  den  hoofd- 
stroom en  stopt  zijn  verwarmend  effect  zeer  snel,  omdat  de  verwar- 
mingsdraden,  dank  zij  hun  plaatsing  in  de  open  ruimte  tusschen  de 
tafel  en  den  geperforeerden  bodem  van  den  thermostaat,  spoedig  afge- 
koeld worden.  Een  ander  voordeel  van  deze  inrichting  is  de  auto- 
matische roering  van  de  lucht  in  den  thermostaat  door  de  stroomen 
heete  lucht,  opstijgende  door  de  openingen  in  den  bodem. 

De  voor-  en  achter-wand  zijn  vensters  van  dubbel  glas;  de  eerste 
kan  opgetild  worden  voor  het  uitvoeren  van  het  noodige  werk  in 
den  thermostaat.  Dit  vereischt  slechts  enkele  minuten.  De  tempera- 
tuur is  zoo  snel  weer  hersteld  na  sluiting  van  het  raam,  dat  de 
apparaten  praktisch  op  de  gewenschte  temperatuur  blijven. 

Zooals  aangegeven  in  Fig.  18  is  de  potentiometer  door  dunne 
draden,  gestoken  door  den  zijwand  van  den  thermostaat,  verbonden 
met  de  electroden  daarbinnen,  met  den  capillair-electrometer,  gemon- 
teerd op  een  doos,  waarin  een  accumulator  voor  zijn  lampje  en  aan 
de  andere  zijde  met  den  werk-accumulator  en  het  Weston  element, 
bevat  in  de  derde  doos. 

Zooals  reeds  in  deel  h dezer  verhandeling  vermeld  werd,  was  een 
directe  bepaling  van  de  concentratie  der  hydroxyl-ionen,  of  van 
POH,  in  8 7o  phosphaat-oplossingen  onontbeerlijk  geworden.  Het 


')  J.  Amer.  Chem.  Soc.  1913,  35,  1889. 


31 


principe,  waarop  deze  bepalingen  gegrond  vraren,  was  het  volgende : 

Door  een  geplatineerde  platina-electrode  met  zuurstof  te  verzadigen 
kan  een  OH-electrode  verkregen  worden  op  dezelfde  wijze  als  een 
H-electrode  gemaakt  wordt  met  waterstof. 

Als  Jtc  de  potentiaal  is  van  de  calomel-electrode  met  verzadigde 
KCl-oplossing  en  Jtou  die  van  de  OH-electrode,  dan  is  de  electromo- 
torische  kracht,  gemeten  op  de  gewone  wijze  bij  27° : 

D 

AJ  = jtc  j-  — + 0,0595  log  — , 

c 

wanneer  C voorstelt  de  concentratie  van  OH,  correspondeerende 
met  den  electrolytischen  oplossingsdnik  der  OH-electrode  en  c de 
OH-ionen  concentratie.  In  zulk  een  element  is  de  zunrstof-electrode 
positief,  de  calomei-electrode  negatief. 

Een  tweede  oplossing  met  een  andere  hydroxyl-ionen  concentratie 
geeft  op  dezelfde  wijze : 

C 

E'  = ütc  n'oB.  = Jtc  + 0,0595  log  — 

c 

Daaruit  volgt: 

E’  — E = OH  — ^OH  ^ 0,0595  log  — j 

c 

en  na  substitutie  van  poe  = — iog  c en  p'oK  = — - log  c' : 

0,0595  (p'oH  -Poh). 

Dos,  door  te  meten  de  eiectromotorisclie  kracht  van  de  calomel- 
electrode,  gecombineerd,  eerst  met  een  oplossing  van  bekende  poH, 
b.v.  een  phosphaat-oplossing  van  Sörbnsen,  en  dan  met  een  8 7o 
phosphaat-oplossing,  geeft  deze  vergelijking  voor  E' — E dadelijk  de 
waarde  van  p'oH- 

Dergelijke  metingen  met  twee  verschillende  oplossingen  van  Sören- 
SEN  gaven  nagenoeg  de  jniste  waarden. 

Zooals  echter  wel  bekend  is,  geeft  een  OH-electrode  in  ’t  geheel 
niet  zulke  constante  en  nauwkeurige  resultaten  als  een  H-electrode. 
De  potentiaal  van  een  OH-electrode  is  altijd  bevonden  een  150 
millivolt  te  laag  te  zijn,  wat  algemeen  toegeschreven  is  aan  de 
vorming  van  een  sub-oxyd  van  platina. 

Deze  constante  vermindering  wordt  echter  in  bovenstaande  formule 
geëlimineerd.  Daarenboven  bleek  het  mogelijk  de  experimenten  zoo 
in  te  richten,  dat  de  invloed  van  het  niet  constant  zijn  aanmerkelijk 
onderdrukt  werd. 

Ongeveer  10  c.c.  van  de  te  onderzoeken  vloeistof  werden  gebracht 
in  een  buisje  van  circa  1 c.m.  doorsnee.  Door  het  electrode-buisje 
in  dit  kleine  volume  te  dompelen  kon  een  snelle  en  volkomen  ver- 
zadiging met  zuurstof  verkregen  worden. 


32 


De  zuurstof,  vrij  van  waterstof,  werd  gewasschen  in  een  flesch 
met  3 7o  KI  oplossing  om  mogelijke  sporen  ozon  te  verwijderen. 
Zij  werd  op  de  temperatuur  van  27°  gebracht  door  waschflesch  en 
caoutchouc  buizen  zoowel  als  de  andere  apparaten  (dezelfde  als  ge- 
bruikt voor  de  metingen  van  pi^  in  den  thermostaat  te  houden. 

Na  doorvoer  van  zuurstof  gedurende  een  tien  minuten, 
werd  het  electrode-buisje  uit  de  te  onderzoeken  vloeistof  getild  en 
op  de  gewone  wijze  door  middel  van  het  KCl  bekertje  met  de 
calomel-electrode  verbonden  ; de  electrornotorische  kracht  werd  dan 
na  ongeveer  1 minuut  afgelezen. 

Deze  bewerking  werd  afwisselend  uitgevoerd  met  een  Sörensf.n- 
oplossing  (gewoonlijk  5,6  c.c.  alkalisch  -f-  4,4  c.c.  zuur  phosphaat), 
dan  met  de  8 "/o  phosphaat-oplossing,  en  dan  weer  met  een  andere 
SöRENSEN-oplossing  (9  c.c.  alkalisch  -j-  1 c.c.  zuur  phosphaat).  On- 
middellijk daarna  werd  dezelfde  serie  van  drie  waarnemingen  eens 
of  twee  keer  herhaald.  Elke  bepaling  van  de  onbekende  pon  werd 
dus  voorafgegaan  en  gevolgd  met  denzelfden  tusschentijd  door  een 
meting  in  een  vloeistof  van  bekende  pon-  Daar  in  ’t  algemeen  een 
geleidelijke  verandering  in  de  electrornotorische  kracht  van  dezelfde 
combinatie  waargenomen  was  bij  terugkeer  daaitoe  na  twee  andere 
bepalingen,  kon  in  elk  geval  de  invloed  van  deze  verandering  groo- 
tendeels  door  interpolatie  geëlimineerd  worden. 

Voor  de  negatieve  logarithme  van  de  dissociatie-constante  van 
water  in  8 “/<,  phosphaat-oplossing  werd  zoo  gemiddeld  gevonden 

13,78. 

Wat  betreft  de  nog  steeds  open  kwestie,  waarom  de  potentiaal 
van  de  OH-electroden  gewoonlijk  0,15  Volt  te  laag  gevonden  wordt, 
kan  de  volgende  waarneming  mogelijk  eenige  aanwijzing  geven. 

Indien  de  geplatineerde  platina-electrode  kathodisch  gepolariseerd 
was  in  verdund  zwavelzuur,  was  de  waarde,  gevonden  voor  zijn 
potentiaal  te  laag,  in  overeenstemming  met  de  ervaring  van  vroegere 
onderzoekers.  Indien  echter  deze  electrode  de  anode  geweest  was  in 
zwavelzuur,  vertoonde  de  bepaling  van  zijn  potentiaal  een  waarde, 
nagenoeg  evenveel  te  hoog. 

De  volgende  bepalingen  werden  uitgevoerd  met  dezelfde  8 7, 
phosphaat-oplossing  {pH=  6,92). 

Zuurstof -electrode  kathodisch  gepolariseerd: 

“k  ^calomel  — 0,653  Volt 

^OH  + ^calomel  — 0,421  Volt 


^11  + :7roH 


1,08  Volt 


Zuurstof -electrode  anodisch  gepolariseerd  •. 

Jrjj  -|-  ^ calomel  0,653  Volt 

^OH  + ^calomel  = — 0,736  Volt 
+ ^OH  = 1,39  Volt 

De  theoretische  waarde  voor  de  electromotorische  kracht  van  het 
zuurstof-waterstof  element  bij  kamertemperatuur  is  1,23  Volt. 

Dit  feit  schijnt  er  op  te  wijzen,  dat  het  verschil  tusschen  de 
potentiaal,  waargenomen  aan  de  zuurstof-electrode  en  de  theoretische 
waarde,  te  wijten  is  aan  een  polarisatieverschijnsel,  daar  het  quanti- 
tatief  omgekeerd  kan  worden  door  omkeering  van  den  toestand  van 
polarisatie  der  electrode. 


13.  Algemeene  opmerkingen. 


Het  zal  duidelijk  zijn  geworden  uit  den  inhoud  van  deze  ver- 
handeling, dat  de  theoretische  formule 


nc 

— ^ loq 

0,434  ^ 


I 

ay  =:  mt 

1-2/ 


door  het  experiment  op  verschillende  wijzen  bevestigd  wordt. 

Nu  het  gebleken  was,  dat  de  waterstof-ionen  de  enzym-straling 
absorbeeren,  werd  de  vraag  overwogon,  of  ook  de  hydroxyl-ionen 
deze  eigenschap  bezitten.  Indien  dit  het  geval  was,  zou  de  verge- 
lijking moeten  zijn 


+ + 

n c n c 

0,434 


-j-  (ly  = mt. 


Door  herhaling  van  de  experimenten  van  deel  3,  maar  nu  met 
oplossingen  van  verschillende  pH,  meestal  2^5"=  7,21,  werd  her- 
haalde malen  getracht  deze  kwestie  uit  te  maken.  Combinatie  van 


den  factor 


+ + 

n c -\-  n c 

0,434 


, gevonden  voor  twee  verschillende  pn,  zoude 


4“  — 

noodige  vergelijkingen  geven  om  n en  n te  berekenen.  Zooals  echter 
duidelijk  zal  zijn  uit  de  beschouwingen  in  deel  3,  hebben  de  onver- 
mijdelijke kleine  experimenteele  fouten  een  nog  grooter  invloed  bij 
een  pn  beneden  of  boven  de  ^^  = 7,52  van  maximale  activiteit. 
Het  bleek  onmogelijk  experimenten  uit  te  voeren  van  voldoende 
nauwkeurigheid  voor  dit  doel.  Toch  waren  de  waarden,  verkregen 


voor  n,  ofschoon  sterk  varieerende,  in  ’t  algemeen  zoo  klein,  soms 

3 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A°.  1919/20. 


34 


zelfs  negatief,  dat  zij  de  conclusie  toelieten,  dat  hydroxyl-ionen  (d.i. 
negatieve  electriciteit)  de  urease-straling  niet  absorbeeren. 

Sinds  sclirijver’s  eerste  studie  over  Enzym-werking  in  1904  (K. 
Akad.  Wetensch.  Amsterdam  en  Zeitschr.  pliysikal.  Chemie  49,  4), 
waarin  voor  het  eerst  op  de  waarschijnlijkheid  gewezen  werd,  dat 
ook  de  katalytische  werking  van  waterstof-ionen  en  van  vele  andere 
katalysators  aan  een  straling  te  danken  kon  zijn,  is  de  conceptie 
van  katalyse  als  een  stralingsverschijnsel  van  verschillende  zijden 
opgekomen. 

In  een  serie  verhandelingen  ‘‘)  heeft  Lewis  de  theorie  uitgewerkt, 
dat  waterstof-ionen  katalytisch  werken  door  straling;  een  rnolekuul 
van  de  gekatalyseerde  verbinding  zou  slechts  reageer-vermogen 
krijgen,  als  zijn  energie  door  geabsorbeerde  straling  (ultra-roode 
warmtestraling)  toegenomen  was  tot  den  „kritischen”  toestand. 

In  uitvoerige  experimenteele  onderzoekingen  wees  Nilratan  Dhar  ^) 
op  de  analogie  tusschen  chemische  katalysatoren  en  licht.  Zijn 
conclusie  was,  dat  ,,probably  the  etfects  of  increase  of  temperature, 
of  light,  and  of  Chemical  catalysts  in  a reaction  are  intiraately 
connected  and  are  possibly  identical  in  nature”.  Zij  schenen  alle  te 
wei'ken  door  het  evenwicht  te  verschui\'en  tusschen  ,, actieve”  en 
,, inactieve”  molekulen. 


SAMENVATTING. 


1.  Het  enzym  urease  werkt  door  een  straling,  die  alleen  geabsor- 
beerd wordt  door  zijn  substraat,  ureum,  en  door  H-ionen. 

2.  De  mathematische  formuleering  van  deze  conceptie  is 


X 

— dx  = m 

X -|-  nc 


dt , 


waarin  x is  de  concentratie  van  de  ureum  na  den  tijd  t,  c de 
concentratie  en  n de  absorptie-coëfficient  van  de  H-ionen,  m een 
constante,  eveniedig  aan  de  concentratie  van  de  urease,  mits  H-ionen 
concentratie  zoowel  als  temperatuur  constant  gehouden  worden. 

Integratie  geeft  de  formule 


nc 

0,434 


1 

log  ay  =mt, 

^—y 


waarin  a is  de  aanvangs-concentratie  van  de  ureum,  en  y de  fractie 
van  a,  die  na  den  tijd  t nog  aanwezig  is. 


Trans.  Ghem.  Soc.  1914,  2330,  etc. 

*)  K.  Akad.  Wetensch.  Amsterdam  1916  en  Trans.  Chem.  Soc.  1917,  690. 


35 


3.  Door  talrijke  experimenten  wordt  aangetoond,  dat  deze  verge- 
lijking de  orazettingssnelheden  van  nrease-werkiiig  voorstelt  bij  con- 
stante teinperatmir  en  /)//.  Zij  verklaart  evengoed  de  nagenoeg  rechte 
lijnen  van  de  hjdroiyse  in  alkalische  als  de  praktisch  logarithmische 
krommen  iri  zure  oplossingen. 

4.  Wanneer  men  vergelijkt  gelijke  concentraties  van  nrease  bij 
verschillende  H-ionen  concentratie,  blijkt  de  constante  m afhankelijk 
te  zijn  van  /)//;  d.  i.  de  activiteit  van  een  gegeven  concentratie  van 
nrease  is  een  functie  van  de  />//  van  de  oplossing. 

Wordt  in  als  functie  van  pn  in  teekening  gebracht,  dan  is  de 
resnlteerende  kromme  opvallend  gelijk  aan  de  karakteristieke  krom- 
men voor  de  ongedissocieerde  fractie  van  een  amphoteren  electroljt 
als  functie  van  pu. 

Deze  betrekking  kan  mathematisch  geformuleerd  worden  en  leidt 
tot  de  conclusie,  dat  urease  een  ampholei’e  electroljt  is,  welks 
activiteit  het  grootst  is,  als  hij  niet  gedissocieerd  is.  De  verkregen 
kromme  stelt  voor  de  overmaat  in  activiteit  van  ongedissocieerde 
boven  gedissocieerde  nrease. 

5.  Deze  mathematische  formnleering  voert  tot  een  approximatieve 
bepaling  van  de  dissociatie-constanten  van  urease,  welke  berekend 
worden  niet  veel  te  verschillen  van  die  van  koolzuur  en  ammoniak. 

6.  De  versnellende  werking  op  urease,  door  vorige  onderzoekers 
toegeschreven  aan  koolzuur,  wordt  aangetoond  niet  te  bestaan. 
Amrnoniiim-carbonaat  -j-  koolzuur  vormen  een  krachtig  buffer- meng- 
sel, dat  de  pn  constant  kan  houden,  een  onmisbare  voorwaarde  voor 
constante  enzjm-activiteit  in  een  ureum-oplossing  gedurende  hjdroljse 
door  urease. 

Verdere  bevestiging  van  bovengegeven  formule  voor  het  verloop 
der  hjdroljse  wordt  geleverd  door  talrijke  experimenten  met  dit 
buffer-mengsel. 

7.  De  bepaling  van  de  aanvangssnelheden  der  hjdroljse,  wanneer 
gelijke  concentraties  van  urease  inwerken  op  velschillende  concen- 
traties van  ureum  bij  constante  pn  en  T,  levert  resultaten,  die 
onverklaarbaar  schijnen  zonder  de  stialings-theorie. 

Hoe  lager  de  pn,  hoe  meer  deze  aanvangssnelheden  toenemen  bij 
toename  van  de  concentratie  van  de  ureum.  Bij  hooge  is  er  eerst 
een  toename  en  dan  een  afname  bij  verhooging  van  de  ureuni- 
concentralie. 

Deze  feiten  worden  aangetoond  in  volkomen  overeenstemming  te 
zijn  met  de  stralings-theorie. 

8.  De  invloed  van  neutrale  stoffen  wordt  experimenteel  en  theo- 
retisch onderzocht.  Afname  zoowel  als  toename  der  enzjm-werking 

3* 


36 


door  dezelfde  stof  worden  verklaard  door  den  invloed,  dien  de  neu- 
trale stof  heeft  op  de  dissociatie-constanten  van  water  of  van  urease 
of  van  beide. 

9.  De  hypothese  wordt  opgesteld,  dat  urease-straling,  verzwakt 
door  verspreiding  of  op  eenige  andere  wijze,  de  synthese  veroorzaakt. 

Experimenteel  bewijs  hiervan  woi’dt  geleverd  door  het  feit,  dat  bij 
hooger  waar  de  urease  wordt  aangetoond  in  vervat  te  zijn, 

omkeering  der  hydrolyse  herhaalde  malen  wordt  geconstateerd. 

10.  Een  tweede  gevolgtrekking  van  deze  conceptie,  dat  buiten  de 
spheer  van  hydrolytische  werking  rondom  een  urease  molekuul  een 
gebied  van  straling  mOet  bestaan,  verzwakt  door  de  verspreiding, 
en  dus  van  synthese,  verklaart  het  feit,  vastgesteld  door  een  serie 
van  nieuwe  experimenten,  dat  bij  vermindering  van  de  urease-con- 
centratie  beneden  een  zekere  waarde,  haar  specifieke  activiteit  ver- 
minderd wordt.  Immers  het  is  duidelijk  dat  de  synthetische  werking 
van  niet  in  verval  zijnde  urease  alleen  dan  zich  kan  openba)’en,  als 
de  spheren  van  hydrolytische  werking  elkander  niet  voldoende  snijden. 

11.  Een  derde  gevolgtrekking,  dat  in  een  willekeurige  urease- 
oplossing,  waarin  het  enzym  in  verval  is  door  de  gecombineerde 
inwerking  van  alkaliteit,  temperatuur  en  tijd,  een  synthese  van 
ureum  uit  aramonium-carbonaat,  evenredig  aan  de  concentratie  dei 
urease,  zal  worden  waargenomen,  wordt  experimenteel  onderzocht 
en  bevestigd. 

12.  Beschrijving  van  een  apparaat  voor  de  eenvoudige  bepaling 
van  H-ionen  concentratie  bij  constante  temperatuur. 

De  bepaling  van  de  OH-ionen  concentratie,  die  noodig  is  voor  de 
berekening  van  de  dissociatie-formule  van  urease,  wordt  uitgevoerd 
met  hetzelfde  apparaat,  na  verandering  van  de  waterstof-electrode  in 
een  zuurstof-electrode. 

Laboraiorium  der  Nederlandsche  Gist-  en 
Spiritus- Fabriek  te  Delft. 

Een  volledig  verslag  van  dit  onderzoek,  met  alle  experimenteele 
resultaten,  verschijnt  dit  jaar  in  de  Recueil  des  Travaux  Chimiques 
des  Pays-Bas. 


Geologie.  — De  Heer  Molengraaff  biedt  eene  mededeeling  aan 
van  den  Heer  P.  Kruizinga:  „Eenige  nieuwe  sedimentaire 
zioerf steensoorten  van  Groningen” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  van  Bemmelen). 

Voor  het  verzamelen  van  sedimentaire  zwerfsteenen  deden  zich 
ongeveer  een  tiental  jaren  geleden  wederom  bijzonder  gunstige  om- 
standigheden voor.  Op  een  drietal  plaatsen  nl.  alle  in  de  stad  Gronin- 
gen op  het  Noordelijk  uiteinde  van  den  Hondsrug  gelegen  en  in  de 
nabijheid  van  de  Noorder  Begraafplaats,  welke  als  vindplaats  van 
erratica  reeds  bekend  is  geworden,  werden  belangrijke  ingravingen 
gedaan.  Het  eerst  bij  het  maken  van  de  grondwerken  voor  het  bouwen 
van  de  nieuwe  tramremise  en  kort  daarop  door  den  aanleg  van  een 
paar  nieuwe  straten,  de  Tuinbouwstraat  en  de  Koolstraat. 

Bij  het  graven  van  sleuven,  noodig  voor  het  leggen  van  de  riool- 
buizen, werd  het  Dilivium  op  het  punt,  waar  eerstgenoemde  straat  aan 
de  Nieuwe  Ebbingestraat  aansluit,  niet  meer  bereikt.  De  aanwezigheid 
van  scherven  aardewerk  op  meer  dan  1 meter  diepte  deed  evenwel 
vermoeden,  dat  de  bovenliggende  grond  daar  was  omgewerkt  of 
opgehoogd.  Iets  verder  in  de  Tuinbouwstraat,  kwam  echter  spoedig 
het  Diluvium  te  voorschijn  en  vanaf  dat  oogenblik  naderde  deze 
formatie  steeds  meer  de  oppervlakte,  totdat  ze  ongeveer  halverwege, 
ruim  een  halve  meter  boven  het  tegenwoordige  niveau  der  straat 
verrees  en  nog  slechts  door  een  dunne  laag  teelaarde  werd  bedek't. 
Daarop  daalde  ze  eerst  weer  beneden  straatniveau,  waarna  ze  bij 
de  Nieuwe  Boteringestraat  nogmaals  laatstgenoemde  hoogte  bereikte. 
Later  werd  ze  dan  ook  nog  bij  gelegenheid  van  de  excursie,  welke 
in  1913  door  de  Geol.  Sectie  van  het  Geol.  Mijnbouwkundig  Genoot- 
schap (28,  blz.  83)  is  ondernomen,  aangetrofFen  in  het  eerste  gedeelte 
van  de  Verlengde  Tiiinbouwstraat,  wmar  ze  eveneens  slechts  door 
eene  laag  teelaarde  was  bedekt. 

O»  alle  3 bovengenoemde  plaatsen  werd  keileem  aangetrotFen, 
welke  kalkhoudend,  doch  ook  reeds  geoxjdeerd  is,  bovendien  nog 
verschillende  grintbanken. 

Onder  het  groot  aantal  zwerfsteenen,  door  mij  bij  deze  ingravingen 
aangetrofFen,  bevonden  zich  verschillende  interessante  stukken.  Van 
de  bij  Groningen  zeldzamere  soorten  noemde  ik  reeds  (30,  blz.  231) 
de  Boven-Silurische  kalksteen  met  Pristiograptus  frequens  Jaek.  en 


38 


de  Saliliolmskalk  (ook  de  glaiieoiiietische,  het  zoogen.  Glanconietische 
Terehratida-gesleeiiie)  uit  liet  Daniëti. 

Hiei'  volgen  nog  een  drietal  Siliirische,  welke  tot  dusverre  geen 
van  alle  in  ons  land  bekend  waren  en  waarvan  de  beide  laatste 
bovendien  nog  niet  in  het  buitenland  zijn  aangetroflfen. 

Kdlksleen  met  Strophomena  Jentzschi  Gag. 

Onder  het  zwerfsteen  materiaal,  dat  bij  het  bouwen  van  de  nieuwe 
tramremise  werd  aangetroffen,  vond  ik  o.  a.  een  plaatvormig  stuk 
steen  van  ongeveer  2 c*M.  dikte  en  ruim  1 dM.  lengte  en  breedte, 
waarin  een  groot  aantal  dorsale  kleppen  van  eeue  karakteristieke 
Strophomena  voorkomen.  Van  andere  fossielen  bleek  deze  zwerfsteen 
nog  slechts  eene  overlangsche  doorsnede  van  eene  Pleurotomaria  en 
een  klein  pygidium  van  A.'iaphua  raniceps  Daim.  te  bevatten,  zoodat 
daaruit  reeds  dadelijk  moet  volgen,  dat  dit  stuk  tot  het  Onder-Siluur 
moet  worden  gerekend. 

Het  gesteente  is  een  fijnkorrelige,  vrij  harde  kalksteen  met  ver- 
spreid liggende,  kleine,  afgeronde  kwartskorreltjes.  'Glauconiet  heb 
ik  niet  aangetrotfen.  De  oorspronkelijke  kleur  is  niet  meer  waar  te 
nemen,  daar  deze  door  verweering  is  overgegaan  in  eene  min  of 
meer  geelachtig  grijze.  Ook  komen  nog  enkele  bruinachtige  plekken  voor. 

Bij  het  naslaan  van  de  literatuur  bleek  mij  al  spoedig,  dat  eene 
geheel  overeenkomstige  Strophomena  reeds  door  Gagel  uit  Oost- 
Pruiseu  is  l)eschreven  ouder  den  \\Si2im  Strophomena  Jentzschi  {Ih  h\ï. 
17,  44  pl.  V,  tig.  26).  Een  van  de  twee  stukken,  waarin  dit  fossiel 
daar  gevonden  is,  bestaat  uit  bruinaditig  grijze,  harde  kalksteen  met 
iets  verweerde,  geelachtige  plekken.  Het  is  afkomstig  van  Spittelhof 
en  bevat  behalve  talrijke  dorsale  kleppen  van  bovengenoemd  fossiel 
nog  resten  eener  groote  Strophomena  en  eene  andere  niet  nader  te 
herkennen  brachiopode.  Het  andei'e  stuk  is  afkomstig  van  Pr. 
Holland  en  bestaat  uit  grof kristallijne  kalksteen,  waarin  slechts 
ééne  dorsale  klep  van  Strophomena  Jentzschi  Gag.  \'00rkomt,  bene- 
vens koralen  en  resten  van  crinoiden.  Beide  zwerfsteenen  meende 
Gagel  later  op  grond  van  hun  petrographisch  karakter  tot  het  Boven- 
Siluur  te  moeten  rekenen.  Zooals  echter  aanstonds  zal  blijl^en,  is 
aangetoond,  dat  ook  deze  zwerfsteenen,  of  ten  minste  het  eerstge- 
noemde stuk,  tot  het  Onder-Siliuir  moeten  worden  gerekend.  Het 
andere  daarentegen  zou  volgens  Andersson  mogelijk  uit  het  Boven- 
Siluur  afkomstig  kunnen  zijn  en  eene  iiaverwante  soort  be\'atten. 

Ten  einde  nu  volkomen  zekerheid  te  verkiijgen,  omtrent  de  juist- 
heid van  de  door  mij  gedane  bepaling,  verzocht  ik  Prof.  Andréë 


39 


uit  Koningsbergen  mij  zoo  .mogelijk  een  van  de  origineele  stukken 
van  Gagel  ter  vergelijking  te  willen  zenden.  Met  de  grootst  moge- 
lijke bereidwilligheid  werd  daaraan  gevolg  gegeven,  door  het  zenden 
van  een  paar  afzonderlijke,  goed  bewaarde  kleppen  van  Spitleihof, 
waarvoor  ik  hem  bij  dezen  nog  mijnen  harieiijken  dank  betuig. 

Mijn  vermoeden  werd  daardoor  volkomen  bevestigd.  De  korte 
beschrijving  van  dit  fossiel  door  Gagel  gegeven,  iaat  ik  hier  echter 
volledigheidshalve  nog  even  volgen : 

„ümriss  querverbreitert,  Schlossrand  gleich  der  grössten  Schalen- 
,,breite.  Schaie  anfanglicli  flach,  dann  allmahlig  unter  einem  rechten 
,, Winkel  nach  der  Ventraiseite  zu  gekrümmt,  so  dass  die  Dorsal- 
„schaie  convex  wird.  Oberflache  mit  zahireichen  feinen,  aber  deut- 
,,lichen  runden  Rippen  bedekt,  deren  Zwischenraume  durch  2 — 3 
,,sehr  feine  Radialstreifen  angefüllt  sind.  Ausserdem  befinden  sich 
„auf  dem  flachen  Theil  der  Schaie  noch  eine  Anzahl  unregelmassiger, 
„flacher,  concentrisch  angeordneter  Runzein,  ahniich  wie  bei  Stro- 
,,phomena  rhomboidalis.  In  der  Mitte  der  Dorsalschale  befindet  sich 
,,oft  noch  eine  kleine,  aber  deutliche  Einsenkung”. 

De  concave  ventrale  klep  is  door  Gagel  evenmin  als  door  mij 
gevonden. 

Omtrent  de  petrographische  overeenkomst  tnsschen  den  zwerfsteen 
van  Spittelhof  en  het  door  mij  gevonden  stuk,  kon  ik  echter  door 
mijn  vergelijkingsmateriaal  geen  volkomen  zekerheid  verkrijgen ; wel 
scheen  deze  vrij  groot  te  zijn. 

De  tweede  en  laatste  auteur,  door  wien  zwerfsteenen  met  Stropfio- 
mena  Jentzschi  Gag.  uit  Duitschland  zijn  beschreven,  is  Stollïïy  (20 
biz.  136)  geweest.  Zonder  nadere  opgave  van  vindplaats,  alleen  met 
de  vermelding  uit  Sleeswijk-Holstein,  noemt  deze  nog  twee  stukken. 
Het  eene  bestaat  uit  lichtgrijzen  kalksteen,  waarin  plaatselijk  worin- 
vormige  opeenhoopingen  van  glaiiconiet  korrels  aanwezig  zijn.  Behalve 
een  aantal  exemplaren  van  Strophomena  Jentzschi  Gag.,  bevat  dit 
stuk  slechts  Orthisina  plana  Pand,  Het  andere,  vertoont  veel  overeen- 
komst met  het  voorgaande,  doch  bevat  slechts  zeer  weinig  glaueoniet 
en  leverde  als  begeleidend  fossiel  slechts  Orthisina  concava  v.  d.  Pahl, 

In  Denemarken  is,  voor  zoover  mij  bekend,  deze  Strophomena 
niet  in  zwerfsteenen  aangetrofFen. 

Slechts  eenige  jaren  evenwel,  nadat  Gagel  de  soort  beschreven 
had,  werden  door  J.  G.  Andehsson  (19  bIz.  69 — 86)  ook  een  aantal 
zwerfsteenen  met  hetzelfde  fossiel  uit  Zweden  bekend.  Een  daarvan 
is  afkomstig  van  L.  Brunnby  in  het  kerspel  Stenasa  op  Geland, 
één  van  Kallunge  Myr  op  Gotland  en  vier  van  Gotska  Sandön. 

Deze  stukken  wijken  echter  alle  in  hooge  mate  van  het  Groninger, 


40 


zoowel  als  van  de  Dnitsche  af,  daardat  ze  een  aantal  rolstukken 
van  bruine  phosphoriet  en  bruine  tot  zwarte  phosphoriethoudende 
zandsteen  bevatten.  Het  zijn  dus  echte  conglomeraten,  waarom  ze 
dan  ook  door  Andersson  als  Stropliomena-Jentzschi-conglomeraat 
worden  aangeduid.  Dergelijke  knollen  worden  door  Stolley,  noch 
door  Gagel  vermeld,  terwijl  door  hen  ook  niet  over  eenig  phosphor- 
gehalte  wordt  gesproken.  Ook  mijn  stuk  bevat  dit  niet.  Karakteri- 
stiek is  nog  voor  de  zwerfsteenen  van  Andersson,  dat  enkele  phos- 
phorietknollen  Boven-Cambrische  fossielen  bevatten,  n.1.  Peltura 
scarahaeoicles  Wahlb.,  Sphaerophthahnus  sp.  en  Agnostiis  pisiformis 
Linn.  en  dus  afkomstig  zijn  uit  een  gebied  van  Cambrische  afzet- 
tingen, dat  tijdens  het  begin  van  het  Onder-Siluur  aan  erosie  was 
blootgesteld.  Andersson  (l.c.  blz.  79)  zelf  besluit  naar  mijne  meening 
uit  deze  zwerfsteenen  echter  ten  onrechte,  dat  deze  van  dezelfde 
plaats  afkomstig  zijn,  vanwaar  destijds  ook  de  rolsteenen,  welke  ze 
bevatten,  zijn  gekomen  en  dat  daar  ter  plaatse  dus  minstens  het 
geheele  Boven-Cambrium  moet  zijn  weggeërodeerd.  Ik  geloof,  dat 
dit  geenszins  het  geval  behoeft  te  zijn  en  dat  het  zelfs  waarschijnlijk 
niet  het  geval  is,  doch  dat  het  gebied,  vanwaar  deze  Cambrische 
rolsteenen  afkomstig  zijn,  min  of  meer  in  de  omgeving  moet  gezocht 
worden  van  de  plaats,  vanwaar  deze  Silurische  zwerfsteenen  gekomen 
zijn.  In  de  eerste  plaats  is  daarbij  dan  te  denken  aan  het  kustgebied 
van  het  vasteland  van  Zweden  ten  Westen  en  Noordwesten  van  Gotland. 

Ook  het  cement,  dat  de  phosphorietknollen  samenkit,  verschilt 
soms  meer  of  minder  van  de  eerst  besproken  zwerfsteenen,  daar  dit 
volgens  J.  G.  Andersson  soms  bestaat  uit  grijzen  tot  witgevlekten, 
grofkristallijnen  kalksteen  en  soms  uit  grijzen,  dichten  kalksteen,  waarin 
een  grooter  of  kleiner  aantal,  afgeronde  kwartskorrels  voorkomen, 
evenals  ook  enkele  malen  glauconiet. 

Als  begeleidende  fossielen  worden  uit  de  laatstgenoemde  zwerf- 
steenen vermeld  Orthisina  sp.,  Platystropliia  biforata  Schloth., 
Strepula  sp.,  Tetradella  sp.,  Asaphus  sp.,  Illaenus  nuculus  Pomp., 
lllaenus  sp.,  enkele  Bryozoën  en  andere  niet  nader  te  determineeren 
fossielen.  Hiervan  was  lUaenus  nuculus  Pomp.  tot  dusver  slechts 
bekend  uit  één  door  Pompeckj  (16  blz.  69)  beschreven  zwerfsteen 
van  Oost-Pruisen,  waarvan  door  dezen  auteur  ook  reeds  de  Onder- 
Silurische  ouderdom  vermoed  werd.  Deze  laatste  steen  bestaat  uit 
brumachtigen,  grofkorreligen  kalksteen  met  vele  kwartskorreltjes. 

Tenslotte  is  uit  het  Noord-Balticum  nog  één  zwerfsteen  met 
Stropkoinena  Jentzschi  Gag.  vermeld  door  Wiman  (23  blz.  103),  n.1. 
No.  94  van  Ekebj.  Dit  stuk  bestaat  uit  Roode  Asaphus-kalk  en 
bevat  geen  andere  fossielen. 


41 


De  ouderdom  van  al  deze  zwerfsteenen  kon  worden  vastgesteld, 
doordat  Strophomena  Jentzschi  Gag,  in  vaste  rots  is  aangetrofiFen, 
eerst  door  Andeksson  (l.c.  blz.  77).  op  het  Noordelijk  gedeelte  van 
Geland,  later  door  Lamansky  (22  blz.  177)  aan  de  Wolchow  in 
Rusland  en  ten  slotte  door  Holtedahl  (29  biz.  46)  in  Z.  Noorwegen 
bij  Vaekkerö  en  Töien. 

Lamansky  (l.c.  blz.  177)  vermoedt,  dat  ook  de  brachiopode,  welke 
door  Brögger  (5  blz.  50  pi.  stXs,  Strophomena  rhomboidalis 

Wilck.,  uit  de  Expansns-lei  en  het  onderste  gedeelte  der  Orthooe- 
renkalk  van  Zoid-Noorwegen  vermeld  is,  identiek  zou  zijn  met  Stro- 
phomena Jentzschi  Gag.  De  afbeelding,  waarnaar  wordt  verwezen, 
gelijkt  er  evenwel  in  het  geheel  niet  op,  zooals  reeds  door  Holtedahl 
terecht  is  opgemerkt. 

Op  Geland  werd  dit  fossiel  wel  is  waar  zeldzaam,  doch  constant 
gevonden  in  de  onderste,  glanconietrijke  Asaphus-kalk,  in  Rusland 
in  de  drie  afdeelingen  van  de  zone  Bni  Bni^  en  Bm^  van 

Lamansky.  De  onderste  helft  van  Bju^  wordt  nu  door  laatstgedoemden 
auteur  op  grond  van  zijne  onderzoekingen  geparalieliseerd  met  de 
Onderste  Asaphus-kalk  van  Geland,  het  Strophomena-Jentzschi- 
conglomeraat  echter  met  de  Bovenste  Asaphus-kalk  en  de  Gigas-kalk 
van  Geland  en  met  het  bovenste  gedeelte  van  Lamansky’s  zóne  Bm^ 

en  met  diens  zóne  Bjn^  van  Rusland,  zoodat  daaruit  volgt,  dat 
Strophomena  Jentzschi  Gag.  een  grootere  verticale  verspreiding  heeft, 
dan  oorspronkelijk  door  Andersson  kon  worden  vermoed.  In  Zuid- 
Noorwegen  is  liet  fossiel  gevonden  in  de  zóne  3 c. 

Ten  einde  dus  te  kunnen  bepalen,  waarmee  deze  zwerfsteen  moet 
worden  geparalieliseerd,  is  het  noodzakelijk,  in  verband  met  het 
verschillend  petrographisch  karakter  van  de  in  aanmerking  komende 
afdeelingen  zelve  en  met  het  verschillend  karakter  van  elk  daarvan 
in  verschillende  gebieden,  eerst  na  te  gaan,  van  welk  gebied  het 
stuk  waarschijnlijk  afkomstig  zal  zijn. 

Asaphus  raniceps  Daim.  komt  volgens  Lindström  (11  blz.  9 — 12) 
reeds  in  de  Onderste  Grijze  Orthocerenkalk  van  Zweden  voor  en 
wordt  nog  gevonden  in  de  Bovenste  Grijze  Orthocerenkalk. 

In  Rusland  is  deze  soort  volgens  Schmidt  aangetrotfen  in  de  zónes 
B 2b — B^b,  volgens  Lamansky  (22  blz.  169)  in  de  bovenste  lagen 
van  de  door  dezen  auteur  onderscheiden  afdeeling  Bm^  tot  in  de 
onderste  van  Brn  . 

V 

In  Noorwegen  is  ze  volgens  Brögger  (5  blz.  92)  niet  met  zeker- 
heid aangetrotfen. 


b Aanm.  Slechts  door  dezen  auteur  is  tot  dusverre  eene  ventrale  klep  aangetroffen. 


42 


Van  het  vasteland  van  Scandinavië  zal  deze  zwerfsteen  dan  ook  zeer 
waarschijnlijk  niet  afkomstig  zijn.  Strophomena  Jenizschi  Gag.  toch, 
is  daar  nog  slechts  bekend  van  Z.  Noorwegen  en  bovendien  ver- 
schillen de  gesteenten  van  de  daar  in  aanmerking  komende  zones 
van  onzen  zwerfsteen. 

Eveneens  valt  het  Russische  Siluur  buiten  beschouwing,  al  komt 
laatstgenoemd  fossiel  ook  in  Rusland  voor.  Ten  Westen  van  Reval 
is  het  nog  niet  aangetroffen.  In  dat  gebied  is  van  de  zone  Bjji  ook 
slechts  aanwezig,  en  deze  afdeeling  bestaat  daar  uit  kalkzand- 

steen.  Uit  het  Oost-Balticum  is  dus  onze  zwerfsteen  evenmin  afkomstig. 

Uit  het  Noord-Balticum  is,  zooals  reeds  gezegd  is,  slechts  één 
zwerfsteen  bekend,  welke  Strophomema  Jentzschi  Gag.  bevat,  terwijl 
het  petrographisch  karakter  daarvan  niet  met  dit  stuk  overeenkomt. 
Wel  zijn  daar  stukken  grijze  kalksteen  gevonden,  welke  behooren 
tot  de  Asaphus-kalk  van  Wiman  en  welke  dus  ongeveer  even  oud 
kunnen  zijn. 

Op  Geland  bestaat  de  Onderste  Asaphus-kalk  uit  glauconiethou- 
dende  en  glauconietvrije  kalksteen,  waarvan  dus  het  eerste  gesteente 
misschien  vrij  goed  overeen  kan  komen  met  de  zwerfsteeneu  van 
Stolley,  doch  beide  stemmen  niet  met  het  Groninger  stuk  overeen, 
vooral  wat  betreft  het  gehalte  aan  kwartskorrels. 

Door  de  aanwezigheid  v ixmw me.i  Strophomena  Jentzschi 
Gag.  op  Geland,  Gotland  en  Gotska  Sandön  komt  echter  bovendien 
nog  het  gedeelte  van  de  Oostzee  ten  W.  en  ten  N.  van  de  beide  laatste 
eilanden  als  plaats  van  herkomst  in  aanmerking.  Wel  is  waar  wijken 
de  zwerfsteenen,  welke  vandaar  vermeld  zijn,  ook  sterk  van  het 
Groninger  stuk  af,  toch  moet  dit  gedeelte  van  het  West-  en  Mid- 
den-Balticum  vermoedelijk  als  plaats  van  herkomst  worden  aange- 
nomen. Gok  Stolley  en  Andersson  doen  dit  voor  de  door  hen  be- 
schreven stukken,  terwijl  bovendien  de  aanwezigheid  van  dergelijke 
zwerfsteenen  in  Oost-Pruisen  en  wel  vooral  het  stuk,  dat  door 
PoMPECKJ  beschreven  is  en  de  door  Gagel  van  Spittelhof  vermelde 
steen  zeer  sterk  voor  deze  aanname  pleit. 

Waarschijnlijk  is  dit  stuk  dan  ook  afkomstig  te  achten  uit  eene 
smalle  strook  van  de  Gostzee,  een  weinig  ten  Noorden  van  Gotska 
Sandön  en  op  eenigen  afstand  ten  Westen  van  Gotland. 

Uit  het  voorgaande  blijkt  derhalve,  dat  de  plaats  van  herkomst 
niet  nauwkeuriger  is  aan  te  geven,  zoodat  dan  ook  niet  met  zeker- 
heid is  uit  te  maken  tot  welke  afdeeling  van  de  zóne  Bjn  het  stuk 
moet  worden  gerekend.  Voorloopig  moet  daarom  deze  steen  evenals 
het  Strophomena-Jentzschi-conglomeraat  tot  Bm  in  haar  geheel 
worden  gebracht. 


43 


Kalkzandsteen  met  Asaphus  raniceps  Daim. 

In  de  Tuinbonwstraat,  werd  onder  de  vele  zwerfsteenen  één  stuk 
gevonden,  dat  naar  de  fossielen,  welke  het  bevat,  te  ooi'deelen,  moet 
worden  gerekend  tot  het  Onder-Silunr,  doch  dat  een  absoluut  onge- 
woon petrographisch  karakter  bezit,  daar  het  bestaat  uit  vrij  harde, 
fijnkorrelige  zandsteen  met  een  kalkhoudend  cement.  Een  dergelijk 
gesteente  bleek  bovendien  in  de  zwerfsteenliteratuur  tot  dusverre 
nog  geheel  onbekend  te  zijn. 

Deze  zwerfsteen  heeft  ongeveer  de  grootte  van  een  kinderhoofdje 
en  is  oorspronkelijk  grijs  tot  blauwgrijs  van  kleur  geweest,  zooals 
nog  aan  de  kern  is  te  zien;  aan  de  buitenzijde  is  hij  evenwel  bruin- 
geel verkleurd.  Overigens  heeft  het  gesteente  weinig  door  verweering 
geleden.  De  kwartskorrels  zijn  klein,  vrijwel  kleurloos  en  afgerond. 
Glauconiet  trof  ik  niet  aan,  wel  enkele  stukjes  calciet  en  ook  bevat 
het  gesteente  een  paar  stukjes  min  of  meer  afgeronde,  grofkorrelige 
kalksteen,  welke  aan  hun  omtrek  zwart  en  in  het  midden  wit  zijn. 
Deze  stukjes,  bovendien  nog  gekenmerkt,  doordat  ze  een  groot 
aantal  bruine,  staafvormige  lichaampjes  bevatten,  zijn  vermoedelijk 
rolsteentjes,  daar  ze  zoo  sterk  van  het  omgevende  gesteente  afwijken  ; 
met  zekerheid  is  het  evenwel  niet  uit  te  maken. 

Behalve  één  exemplaar  eener  Orthis-^oovt,  bevat  deze  zwerfsteen 
een  klein,  doch  bijna  volledig  pygidium  van  Asaphus  raniceps 
(Lengte  7'/,  mM.,  breedte  II  mM.)  en  talrijke  andere,  niet  nader  te 
bepalen  brokstukken  van  Asaphiden,  o.a.  een  fragment  van  een 
hjpostoorn. 

Over  het  voorkomen  van  Asaphus  raniceps  Daim.  in  de  Onder- 
Silurische  afzettingen  in  Scandinavië  en  Rusland  is  bij  de  beschrij- 
ving van  de  vorige  zwerfsteensoort  reeds  iets  medegedeeld,  zoodat 
ik  hier  kan  volstaan  met  daarnaar  te  verwijzen. 

Uit  het  bovenstaande  blijkt  derhalve  reeds,  dat  deze  steen  tot  de 
oudeie  lagen  van  het  Onder-Siluur  moet  worden  gerekend  en  wel 
tot  een  van  de  afdeelingen  aequivalent  met  de  Zweedsche  Ortho- 
cerenkalk. 

In  Scandinavië  of  op  Bornholm  is  echter  geen  gesteente  als  vaste 
rots  bekend,  dat  ook  maar  eenigszins  op  dezen  steen  gelijkt.  Slechts 
vanaf  Reval  is  in  het  Westelijk  gedeelte  van  Estland  Bjn^  van 

Lamansky  als  kalkzandsteen  ontwikkeld.  Stukken  van  dit  gesteente 
komen  ook  nog  aan  het  strand  van  het  eiland  Odensholrn  voor, 
zoodat  deze  afdeeling  minstens  tot  daar  hetzelfde  petrographisch 
karakter  behoudt.  Ze  bevindt  zich  daar  reeds  onder  zeeniveau.  Ik 
bezit  echter  geen  vergelijkingsmateriaal  van  dit  gesteente,  zoodat  ik 


44 


mij  omtrent  de  overeenkomst  daarvan  met  dezen  zwerfsteen  niet 
nader  kan  overtuigen. 

Bovendien  zijn  enkele  zwerfsteenen  bekend  geworden,  welke  uit 
kalksteen  bestaande,  een  wisselend  gehalte  aan  afgeronde  kwarts- 
korreltjes  bezitten  en  waarvan  de  ouderdom  overeenkomt  met  Bui, 
zooals  uit  de  beschrijving  der  vorige  zwerfsteensoort  valt  op  te  merken. 

Ik  heb  daarom  gemeend,  dat  dit  stuk  misschien  als  eene  zeer 
kwartsrijke  variëteit  van  de  kalksteen  met  Strophomena  Jeyitzschi 
Gag.  en  van  het  Strophomena-Jentzschi-conglomeraat  is  te  beschou- 
wen, vooral  omdat  ook  in  het  vorige  stuk  een  pygidium  voorkomt, 
dat  tot  dezelfde  Asaphus-fsoort  behoort. 

Toen  ik  daarop  een  nader  onderzoek  instelde  omtrent  een  mogelijk 
phosphorgehalte,  bleken  zoowel  het  gesteente  als  de  vreemde  insluitsels 
van  kalksteen  daarop  zwak,  doch  duidelijk  te  reageeren.  Aan  deze 
laatste  werd  echter  de  lucht  van  bitumen  niet  waarneembaar  wan- 
neer daarvan  met  den  hamer  stukjes  werden  afgeslagen  en  omdat 
hierin  geen  fossielen  aangetrotfen  zijn,  is  derhalve  niet  uit  te 
maken,  of  deze  stukjes  kalksteen,  zooals  het  geval  is  bij  de  door 
Andersson  onderzochte  zwerfsteenen  van  het  Strophomena-Jentzschi- 
conglomeraat,  tot  het  Cambrium  moeten  worden  gerekend. 

Als  waarschijnlijke  plaats  van  herkomst  van  dezen  zwerfsteen 
moet  in  elk  geval  worden  aangenomen  die  strook  van  de  Oostzee, 
welke  ongeveer  de  voortzetting  van  den  kalkzandsteen  in  Estland 
Westwaarts  bedekt  en  zich  verder  langs  de  Noordzijde  van  Gotska 
Sandön  tot  ten  Westen  van  Gotland  voortzet,  aldus  het  gebied  omvat- 
tende, waaruit  het  Strophomena-JenIzschi-conglomeraat  afkomstig  is. 

Kalksteen  met  Dinoholus  transversus  Salt. 

Een  door  verweering  bruingeel  verkleurd  stuk  tijnkorrelig-kris- 
tallijne  kalksteen,  dat  ongeveer  de  grootte  heeft  van  eene  vuist, 
bevat  eene  dorsale  klep  van  Dinobolus  transversus  Salt.  (1  blz.  59, 
pl.  V,  fig.  1 — 6),  welke  ondanks  de  minimale  dikte  bijzonder  fraai 
bewaard  is  gebleven.  Ook  dit  stuk,  dat  eveneens  in  de  Tuinbouw- 
sti'aat  te  Groningen  werd  gevonden,  is  een  geheel  onbekende  zwerf- 
steensoort, daar  ’t  juist  genoemde  fossiel  in  geen  van  de  andere 
landen  werd  aangetroffen. 

De  lengte  der  klep  is  3 cM.,  de  grootste  breedte,  welke  ongeveer 
over  het  midden  verloopt,  4,2  cM.  De  bijna  rechte  slotrand  is  3,3 
cM.  lang. 

De  dorsale  klep  is  bijna  geheel  vlak  en  vertoont  op  haar  opper- 
vlak talrijke,  zeer  flauwe,  concentrische  groeilijnen  en  eene  uiterst 
fijne  radiale  streping.  Of  op  het  uitwendig  oppervlak,  zooals 


45 


Davidson  (l.c.  pl.  -V,  fig.  3 en  3a)  in  eene  figuur  aangeeft,  stekeltjes 
voorkomen  is  niet  uit  te  maken. 

Van  andere  fossielen  bevat  deze  zwerfsteen  behalve  een  aantal 
kleine  steelleden  van  crinoiden,  een  klepje  van  Pholidops  implicata 
Sow.  (1  blz.  80,  pl.  8,  fig.  13 — 17),  een  klepje  Beyrichia  Jonesi 
Boll  (13  blz.  13,  pl.  II,  fig.  10 — 12)  en  een  pjgidium  van  Proetus 
concinnus  Daim.  (9  blz.  78,  18  blz.  41,  pl.  IV,  fig.  1 — 9,  3 blz.  22 
pl.  XVII,  fig.  5). 

Uit  alles  blijkt  derhalve,  dat  deze  zwerfsteen  behoort  tot  het 
Boven-Siluur,  tot  welke  zóne  moet  evenwel  nog  nader  worden  uit- 
gemaakt. 

Pholidops  implicata  Sow.  is  in  tegenstelling  met  P/^o/^(7up.9 
Schloth.  in  onze,  zoowel  als  in  Duitsche  en  Deensche  Boven- 
Silurische  zwerfsteenen  waarschijnlijk  nog  geheel  onbekend,  wat 
vermoedelijk  ten  deele  daaraan  moet  worden  toegeschreven,  dat 
verschillende  auteurs  in  beide  namen  synoniemen  (7  blz.  96,  10 
blz.  173)  hebben  gezien.  Bij  nader  onderzoek  blijken  deze  volgens 
Moberg  en  Grönwall  (24  blz.  30)  te  zijn  gegeven  aan  fossielen, 
welke  we!  is  waar  zeer  na  met  elkander  verwant  zijn,  doch  niette- 
min duidelijke  verschillen  vertoonen.  Slechts  Kiesow  (6  blz.  245) 
vermeldt,  dat  Pholidops  implicata  Sow.  (=  Crania  implicata  Sow.) 
in  West-Pruisen  in  de  zwerfsteenen  van  de  Boven-Silurische  Beyri- 
Pholidops  antiqua  talrijk  is.  Ik  vermoed  echter,  dat  ook  hij  hierbij 
op  Pholidops  antiqua  Schloth.  doelt. 

In  vaste  rots  is  Pholidops  implicata  Sow.  alleen  bekend  van  het 
eiland  Gotland  (uit  de  zónes  c — A van  Lindström  (12  blz.  13).  Munthe 
(27  blz.  12 — J3)  noemt  het  fossiel  uit  de  door  hem  onderscheiden 
lagen  2 — 4 en  Van  Hoepen  (25  blz.  125)  uit  yens"’,.  Wel  vermeldt 
Lindström  ook  het  voorkomen  in  Schonen  (1.  c.  blz.  26),  doch  Moberg 
en  Grönwall  verklaren,  dat  de  daar  voorkomende  soort  duidelijk 
verschilt  van  de  Gotlandsche  en  overeenkomt  met  Pholidops  antiqua 
Schloth.  Welke  van  deze  beide  fossielen  op  Gesel  en  in  Estland 
wordt  aangetroffen,  is  tot  dusverre  nog  niet  bekend. 

Beyrichia  Jonesii  Boll  is  door  Kiesow  (13  blz.  13,  pl.  II,  fig.  10 — - 
12)  van  Gotland  vermeld  uit  Lindström’s  zónes  c — h,  door  Van  Hoe- 
pen (l.c.  blz.  132)  uit  diens  zóne  e'",.  In  Schonen  is  dit  fossiel  niet 
aangetroffen,  terwijl  omtrent  het  voorkomen  ervan  op  Gesel  en  in 
Estland  nog  niets  bekend  is. 

Proetus  concinnus  Daim.  wordt  slechts  door  Schmidt  (l.  c.  blz.  44) 
uit  de  Gnderste  Geselsche  laag  (zóne  J)  van  de  Russische  Gostzee- 
provincies  genoemd,  van  Gotland  door  Lindström  (12  blz.  3)  uit  de 
zónes  c — e en  door  Van  Hoepen  uit  diens  zóne  y,  (van  Mulde)  (l.c. 


46 


blz.  'J42).  Daarenboven  is  dit  fossiel  met  Beyrichia  Jonesü  Bol)  in 
zvverfsteenen  aangeti'offen  in  gezelschap  van  Leperditia  Baltica  Eichw. 
en  Beyrichia  spinigera  Boll  (2  blz.  39,  17  blz.  502). 

Ik  geloof  daarom  te  kunnen  aannemen,  dat  deze  zwerfsteen  waar- 
schijnlijk in  ouderdom  overeenkomt  met  de  Onderste  Oeselsche  laag 
van  de  Russische  Oostzeeprovincies. 

Op  Oesel  bestaat  de  Onderste  Oeselsche  laag  bijna  geheel  uit 
blauwe  mergel  en  dolomiet.  Slechts  in  het  Westen  komt  op  het 
schiereiland  Taggamois  kalksteen  voor  (4  blz.  46).  De  aequivalente 
lagen  op  Gotland  bestaan  daarentegen  uit  mergel,  mergelige  kalk- 
steen en  kalksteen  en  de  aequivalente  lagen  op  het  vasteland  van 
Zweden  uit  graptolietenlei,  zoodat  dit  laatste  gebied  dan  ook  niet 
als  plaats  van  herkomst  in  aanmeiking  kan  komen. 

Als  zoodanig  komt  derhalve  Ootland  en  het  gedeelte  van  de 
Oostzee,  dat  zich  tusschen  dit  eiland  en  Oesel  bevindt,  in  aanmer- 
king en  daarvan  waarschijidijk  in  de  eerste  plaats  het  eiland 
Gotland  met  naaste  omgeving. 

Delft,  Mei  1919. 


LITERATUUR. 

1.  Davidson,  Th.  1864 — 1871.  „British  fossil  Brachiopoda.  Vol.  lll : Devonian 
and  Silarian  Species.”  Londen. 

2.  Krause,  A.  1877.  ,Die  Fauna  der  sogen.  Beyrichien-  oder  Ghonetenkalke  des 

norddeutschen  Diluviuins.”  Zeitschr.  d.  d.  geol.  Ges.  Bd.  XXIX,  S.  1 — 48. 

3.  Angelin,  N.  P.  1878.  ,Palaeontologia  Scandinavica.  Pars  I.”  Stockholm. 

4.  ScHMiDT,  F.  1881.  „Revision  der  ostbaltischen  silurischen  Trilobiten,  nebst 

geognostischer  Uebersicht  des  ostbaltischen  Süurgebietes.  Abt.  I.”  Mém.  d.  1’Acad. 
Imp.  d.  Sc.  de  St.  Pétersbourg,  7e  Ser.,  T.  XXX,  No.  1. 

5.  Brögger,  W.  C.  1882.  „Die  silurischen  Etagen  2 und  3 im  Kristianiagebiet 

und  auf  Eker  etc.”  Kristiania. 

6.  Kiesow,  J.  1884.  „Ueber  silurische  und  devonische  Geschiebe  Westpreussens.” 
Sonderabdr.  Schr.  d.  naturf.  Gesellschaft  in  Danzig,  N F.,  Bd.  VI,  S.  205—303. 

7.  Roemer,  F.  1885.  „Lethaea  erratica,  oder  Aufzahlung  und  Beschreibung  der 
in  der  norddeutschen  Ebene  vorkommenden  Diluvialgeschiebe  nordischer  Sedimen- 
tar-gesteine.”  Palaeont.  Abhandl.  herausgeg.  von  W.  Dames  und  E.  Kayser. 
Bd.  II  H.  5. 

8.  Holm,  G.  1885.  „Bericht  über  geologische  Reisen  in  Estland,  N.  Livland 
und  im  St.  Petersburger  Gouvernement  in  den  Jahren  1883 — 1884.”  Sonder-Abdr. 
Verhandl.  d.  Kais.  Miner.  Ges. 

9.  Lindström,  G.  1885.  „Förteckning  pa  Gotlands  Siluriska  Grustacéer.”  Öfversigt 
af  Kongl.  Vetensk.  Akad.  Förh.  No.  6. 

10.  Vervvorn,  M.  1885.  „Ueber  Patellites  antiquus  Schloth.”  Zeitschr.  d.  d.  geol. 
Ges.  Bd.  XXXVll,  S.  173-176. 

11.  Lindström,  G.  1888.  „List  of  the  fossil  Faunas  of  Sweden.  I.  Gambrium 
and  Lower  Silurian.”  Stockholm. 


47 


12.  Lindström,  G.  1888.  ,List  of  the  fossil  Faunus  of  Sweden.  II.  Upper  Siliirian.” 
Stockholm. 

13.  Kiesow,  J.  1888.  „Ueber  Gotlandische  Beyrichien.”  Sonder-Abdr.  Zeitschr. 
d.  d.  Geol.  Ges.  Bd.  XL.  S.  1—16. 

14.  Moberg,  J.  Chr.  1890.  „Om  en  afdelning  inom  Ölands  Dictyonemaskiffer  sasom 
motsvarighet  till  Ceratopygeskiffern  i Norge.  Samt  Anteckningar  om  Ölands  Ortho- 
cerkalk.”  Sver.  Geol.  Unders.,  Ser.  G,  No.  109. 

15.  Gagel.  C.  1890.  „Die  Brachiopoden  der  cambrischen  und  silurischen  Geschiebe 
im  Diluvium  der  Provinzen  Ost-  und  Westpreussen.”  Beitr.  z.  Naturk.  Preussens, 
herausgeg.  von  der  phys.-ökon.  Ges.  zu  Königsberg,  No.  6. 

16.  PoMPECKJ,  J.  F.  1890.  „Die  Trilobitenfauna  der  Ost-  und  Westpreussischen 
Diluvialgeschiebe.”  Beitr.  z.  Naturk.  Preussens  herausgeg.  v.  d.  phys.  oekon.  Ges. 
zu  Königsberg,  No.  7. 

17.  Krause,  A.  1801.  „Beitrag  zur  Kenntniss  der  Ostracoden-Fauna  in  silurischen 
Diluvialgeschieben.”  Zeitschr.  d.  d.  geol.  Ges.,  Bd.  XLIll,  S.  488—521. 

18.  ScHMiDï,  F.  1894.  „Revision  der  ostbaltischen  silurischen  Trilobiten  Abt.  IV.” 
Mém  de  l’Acad.  Imp.  des  Sc.  de  St.  Pétersbourg  7e  Ser.,  T.  XLII,  No.  5. 

19.  Andersson,  J.  G.  1896.  „Ueber  Gambrische  und  silurische  phosphorit- 
führende  Gesteine  aus  Sch weden”.  Repr.  from.  Buil  of  the  Geol.  Instit.  of  Upsala 
No.  4.  Vol.  II.  Part  2,  1895. 

20.  Stolley,  E.  1898.  „Einige  neue  Sedimentargeschiebe  aus  Schleswig-Holstein 
und  benachbarten  Gebieten”.  Schriften,  der  Naturw.  Ver.  f.  Schleswig-Holstein.  Bd. 
XI.  5.’  133-148. 

21.  ScHMiDT,  F.  1901.  „Revision  der  ostbaltischen  silurischen  Trilobiten.  Abt. 
V.  Liefr.  2”.  Mém  de  l’Acad,  Imp.  de  Sc.  de  St.  Pétersbourg.  8e  Ser.,  T.  XII, 
No.  8. 

22.  Lamansky,  W.  1905.  „Die  aeltesten  silurischen  Schichten  Russlands.  Et. 
B.”  Mém  du  Gom.  Géol.,  N.  Ser.,  Livr.  20. 

23.  WiMAN,  G.  1907.  „Studiën  über  das  Nordbaltische  Silurgebiet  11”.  Buil.  of 
the  Geol.  Instit.  of  the  Univ.  of  Upsala.  Vol.  VIII,  1906,  p.  73 — 188. 

24.  Moberg,  J.  Ghr.  en  Grönwall,  K.  A.  1909.  „Om  Fyledaleiis  Gotlandium”. 

Medd.  fran  Lunds  Geol.  Faltklubb.,  Ser.  B,  No.  3.  Lunds  Univ.  Arsskrift,  N.  F., 
Afd.  2.,  Bd.  5,  No.  1.  Kongl  Fysiogr.  Sallsk.  Handl.,  N.  F.,  Bd.  20,  No.  1. 

25.  Hoepen,  E.  G.  N.  van.  1910.  „De  bouw  van  het  Siluur  van  Gotland”. 
Dissert.  Delft. 

26.  Moberg,  J.  Ghr.  1910.  „Historical — Stratigraphical  Review  of  the  Silurian 

of  Sweden”.  Sver.  Geol.  Unders.  Ser.  C.  No.  229.  Arsbok  4.  No.  1. 

27.  Munthe,  H.  1910.  „The  sequence  of  strata  in  Southern  Gotland”.  Geol. 
För.  1 Stockholm  Förh.,  Bd.  32.  H.  5.  Guide  des  Excursions  du  Gongr.  Geol.  en 
Suède,  No.  19. 

28.  Jonker,  H.  G.  1913.  „Verslag  der  tweede  excursie  der  Geol.  Sectie  naar 
Gaasterland,  Groningen  en  Noord-Drente  onder  leiding  van  de  leden  J.  H.  Bon- 
NEMA  en  H.  G.  Jonker”.  Versl.  der  Geol.  Sectie,  dl.  I,  blz.  65 — 93. 

29.  Holtedahl,  o.  1916.  „The  Strophomenidae  of  the  Kristiania  region.”  Vidensk. 
Skrifter.  1,  Math.  Naturw.  Klasse,  1915,  N'h  12. 

30.  Kruizinga,  P.  1918.  „Bijdrage  tot  de  kennis  der  sedimentaire  zwerfsteenen 
in  Nederland”.  Dissert.  Groningen,  Verhandeling  v/h.  Geol.  Mijnb.  k.  Genootsch. 
voor  Nederl.  en  Koloniën.  Geol.  Serie.  dl.  IV.  p.  1 — 271. 


Zoölogie.  — De  Heer  Webeh  biedt  eene  mededeeling  aan  van  den 
Heer  P.  N.  van  Kampen  : ,,Over  de  phylogenese  van  het 
zo  og  dier  haar” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Sluiter). 

In  zijn  werk  over  ,,Die  in  Deutschland  lebenden  Arten  der 
Sauriër”  (1872)  en  later '),  in  een  afwijzende  bespreking  van 
Maurek’s  bekende  theorie  over  de  afleiding  van  de  haren  der  zoog- 
dieren van  huidzintuigen,  wijst  Leydig  op  overeenstemming  in  den 
bouw  der  haren  met  de  z.g.n.  dij- of  femoraalorganen  der  hagedissen, 
die  hij  beschouwt  als  een  overgangsvorm  tusschen  gewone  epidermis- 
woekeringen  en  haren. 

Aan  deze  opmerking  is  minder  aandacht  geschonken  dan  ze  ver- 
diend had.  Immers  de  bouw  der  genoemde  organen,  welker  functie 
niet  bekend  is  (misschien  spelen  ze  een  rol  bij  de  paring),  vertoont 
inderdaad  veel  oveieenkomst  met  dien  van  een  baar  in  vereen- 
voudigden vorm  ^)  : het  zijn  cylindrische  staven,  uit  verhoornde 
epidermiscellen  samengesteld  en  in  een  huidfolükel  ingezonken.  V"an 
haren  verschillen  ze  in  hoofdzaak  door  het  ontbreken  van  een  cutispupil 
en  daardoor,  dat  ze  geen  differentiatie  in  merg,  schors  en  cuticula 
vertonnen.  Wel  is  waar  zouden  ze  volgens  Maurer  uit  twee 
soorten  van  cellen  opgebouwd  zijn,  maar  de  rangschikking  dezer 
cellen  is  een  geheel  andere  dan  die  van  de  bestanddeelen  van  het 
haar. 

Daar  geen  der  hj'pothesen,  die  haren  van  huidorganen  van  lagere 
Vertebraten  trachten  af  te  leiden,  en  waaronder  de  genoemde,  op  een 
groot  feitenmateriaal  gebaseerde  van  Maurer  wel  de  meest  bekende 
is,  algemeen  ingang  heeft  gevonden  (in  zijn  ovei'zicht  over  deze 
theorieën  komt  Botezat  ^)  dan  ook  tot  het  besluit,  dat  ze  geen  van 
alle  stand  kunnen  houden  en  de  haren  bij  de  zoogdieren  zelfstandig 
uit  de  huid  zijn  ontstaan),  is  het  wenscheiijk  na  te  gaan,  of  het  door 
Leydtg  uitgesproken  denkbeeld  misschien  een  kern  van  waarheid 

1)  Biol.  Centralbl.,  XIII,  1893. 

*)  M.i.  ten  onrechte  vergelijkt  Leydig  ze  met  een  haarbundel,  bestaande  uit 
onderling  verkleefde  haren. 

Die  Epidermis  und  ihre  Abkömmlinge.  Leipzig,  1895,  blz.  212  vv. 

Anat.  Anzeiger,  XL VII,  1914/15. 


49 


kan  bevatten.  Tegen  een  directe  afleiding  der  haren  van  femoraal- 
organen  zou  in  het  midden  te  brengen  zijn,  dat  deze  organen  onder 
de  recente  Reptiliën  slechts  bij  de  Lacertiliers  voorkomen  en  ook  hier 
lang  niet  algemeen,  dikwijls  alleen  bij  het  mannetje  en  bovendien 
altijd  in  een  zeer  beperkt  aantal.  Elders  zijn  onder  Reptiliën  met 
de  dijorganen  eenigszins  vergelijkbare  organen  nog  slechts  bij  kroko- 
dillen aangetrotfen,  waar  ze  volgens  Voeltzkow’s  beschrijving 
tusschen  de  huidschilden  van  den  rng  liggen. 

Maar,  indien  ook  al  de  haren  bezwaarlijk  direct  uit  femoraal- 
organen  ontstaan  gedacht  kunnen  worden,  men  zou  zich  toch  de 
vraag  kunnen  stellen,  of  er  niet  een  verband  tusschen  beide  kan 
bestaan  in  dien  zin,  dat  ze  van  gemeenschappelijken  'oorsprong  zijn. 
Indien  dit  het  geval  is,  zou  allicht  hun  afkomst  het  gemakkelijkst 
op  te  sporen  zijn  bij  de  laatstgenoemde,  eenvoudiger  gebouwde 
organen.  Zoo  zouden  deze  dan  licht  kunnen  werpen  op  den  oorsprong 
van  het  haar. 

De  morphologische  beteekenis  der  dijorganen  is  duidelijker 
geworden  door  het  onderzoek  van  Schafer  ^).  Deze  kan  niet  alleen 
bevestigen,  wat  reeds  door  vroegere  onderzoekers  was  vermeld,  dat 
nl.  bij  Lacerta  de  femoraalorganen  van  het  mannetje  in  den  paartijd 
sterker  ontwikkeld  zijn  dan  daarbuiten,  maar  .hij  geeft  ook  uitdruk- 
kelijk aan,  dat  er  in  den  paartijd  geen  verhoorning  der  cellen  plaats 
vindt.  Maar  van  meer  belang  is,  wat  hij  vond  bij  Sceloporus  acan- 
thinus:  bij  deze  Iguanide  worden  in  de  organen  geen  verhoornde 
cellen  gevormd,  maar  in  plaats  daarvan  een  secreet,  dat  bestaat 
„aus  einer  völlig  zerfallenen,  dem  Secret  von  Talgdrüsen  ahnlich  sehen- 
den  Masse.”  Schafer  komt  tot  de  slotsom,  dat  de  dijorganen  glan- 
dulae  celluliparae  zijn,  verwant  aan  de  niet  met  haren  in  verband 
staande  smeerklieren.  Verhoorning  treedt  slechts  dan  op,  wanneer  de 
uitscheiding  een  langzame  is.  In  verband  met  deze  uitkomst  is  het 
van  belang,  dat  Maurer  ')  vermeldt,  dat  bij  Lacerta  de  in  houd  van 
een  deel  der  cellen  der  dijorganen  een  vettig  karakter  heeft. 

Deze  feiten  wijzen  op  een  nauwen  samenhang  der  femoraalorganen 
met  holokrine  huidklieren,  en  de  conclusie,  dat  ze  van  zulke  klieren 
zijn  af  te  leiden,  ligt  voor  de  hand.  Het  vei'schil  tusschen  beide  is  niet 
groot;  indien  bij  een  smeerklier  de  uitscheiding  van  het  vettige  secreet 
vervangen  werd  door  verhoorning  der  cellen,  dan  zou  een  ver- 
hoornde staaf  gevormd  worden,  die  groote  gelijkenis  met  de  dijorganen 
zou  vertoonen.  Nu  heeft  de  eleïdine,  die  bij  zoogdieren  bij  het  ver- 

b Abhandl.  Senckenberg.  Naturf.  Ges.,  XXVI,  H.  1,  1899. 

b Archiv  f.  Naturgesch.,  LXVIII,  Bd  1,  1902. 

»)  1.  c.,  blz.  220. 

4 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A°.  1919/20 


50 


hoorningsproces  optreedt,  volgens  Maurer  een  vetachtig  karakter  ’), 
terwijl  het  aan  den  anderen  kant  bekend  is,  dat  de  cellen  van  de 
smeerklieren  der  Mainmalia  eleïdine-korrels  bevatten  en  zelfs  ge- 
deeltelijk verhoornen  kunnen  ^).  Trouwens  men  moet  zich  de  klier- 
cellen  ontstaan  denken  uit  gewone  epitheelcellen,  die  het  vermogen 
tot  verhoorning  reeds  bezaten  en  het  kan  niet  bevreemden,  dat  dit 
vermogen  van  tijd  tot  tijd  weer  aan  den  dag  treedt. 

De  fernoraalorganen  van  Lacerta  zijn  dus  uit  hnidklieren  ontstaan; 
den  bouw  dier  klieren  hebben  ze  behouden,  chemisch  zijn  ze  echter 
gewijzigd  en  dat  in  verband  met  de  sterke  verhoorning,  die  voor 
de  huid  der  Reptiliën  in  het  algemeen  karakteristiek  is. 

Indien  men  de  fernoraalorganen  van  huidklieren  kan  afleiden,  dan 
kan  men  zich  ditzelfde  ook  van  de  haren  der  zoogdieren  voorstellen. 
Alleen  is  in  dit  geval  de  differentiatie  verder  gegaan  en  de  bouw 
van  het  orgaan  een  meer  gecompliceerde,  als  gevolg  van  de  belang- 
rijker  i-ol,  die  het  haar  speelt  in  het  leven  der  zoogdieren.  De  haar- 
papil  is  secundair  ontstaan  te  denken,  in  verband  met  de  voor  den 
sterkeren  groei  noodzakelijk  geworden  krachtiger  voeding. 

Maar  er  is  nog  een  ander  verschijnsel,  dat  door  deze  hypothese 
een  eenvoudige  verklaring  vindt.  De  aanleg  van  het  haar  als  een 
massieve  epidermisknop  komt  geheel  overeen  met  die  van  huid- 
klieren, maar  ook  met  die  der  fernoraalorganen  volgens  de  beschrij- 
vingen van  Maurer  en  Schaper.  Eerstgenoemde  wijst  dan  ook  reeds, 
wat  de  dijorganen  betreft,  op  deze  overeenkomst  met  huidklieren 
der  Amphibiën,  maar  hecht  groote  beteekenis  aan  het  verschil  tusschen 
beide,  dat  daarin  bestaat,  dat  de  gladde  spiervezels  van  de  klieren 
der  Amphibiën  bij  de  fernoraalorganen  ontbi'eken.  Hierin  kan  ik 
hem  niet  volgen : deze  spiervezels,  die  bij  de  huidklieren  noodig 
zijn  voor  de  uitstoi'ting  van  het  secreet,  zijn  uit  den  aard  der  zaak 
bij  de  geheel  verhoornde  dijorganen  overbodig  en  het  is  dus  vol- 
komen verklaarbaar,  dat  ze  verloren  gegaan  zijn.  En  hetzelfde  geldt 
in  het  geval  der  haren,  waar  ze  eveneens  ontbreken. 

Een  ander  punt,  waaraan  Maurer  veel  waarde  toekent,  is  de 
eigenaardige  rangschikking  der  rnatrix-cellen,  die  bij  den  eersten 
aanleg  van  haar  en  huidzintuig  op  dezelfde  wijze  te  voorschijn  komt. 
Het  komt  mij  echter  voor,  dat  deze  rangschikking  door  druk  der 
omgevende  cellen  op  de  groeiende  kiem  verklaarbaar  is  en  dus 
gereedelijk  in  verschillende  gevallen  onder  overeenkomstige  omstan- 
digheden optreden  kan. 

b Goette  (Arch.  f.  mikr.  Anat.,  IV,  1868)  beschrijft  ook  het  voorkomen  van 
vetbolletjes  in  den  jongen  epithelialen  haarkiem  van  het  schaap. 

*)  Cf.  ScHèlFEE,  Text-Book  of  Microscopie  Anatomy,  1912,  blz.  476. 


51 


Sinds  de  onderzoekingen  - van  De  Meuere  moet  eeft  poging 
om  den  oorsprong  der  haren  te  verklaren  ook  met  hun  verspreiding 
over  de  huid  rekening  houden.  Waar  bij  zoogdieren  schabben  voor- 
komen, staan  de  haren  in  den  regel  in  gi'oepen  daarachter  ingeplant. 
Daarin  verschillen  ze  dus  van  de  dijorganen,  die  in  het  midden 
van  schubben  staan.  Wei  is  waar  is  hieraan  geen  al  te  groote 
waarde  toe  te  kennen,  maar  toch  wil  ik  er  in  de  eerste  plaats  op 
wijzen,  dat  de  bovengenoemde,  door  Voeltzkow  beschreven  huid- 
organen  der  krokodillen  tusschen  de  huidschilden  staan  en  ver- 
volgens, dat  de  overeenkomst  in  plaatsing  van  haren  en  feraoraal- 
organen  grooter  wordt,  indien  de  beschouwingen  van  Pinkus^)  naar 
aanleiding  van  de  door  hem  beschreven  ,,haarschijven”  juist  zijn. 
Indien,  zooals  hij  zich  voorstelt,  een  ,,Haarbezirk”,  d.  w.  z.  het 
complex  van  schubrudiment,  haargroep  en  haarschijf,  in  zijn  geheel 
aan  een  Reptiiiënsclmb  beantwoordt,  dan  komen  de  haren  in  het 
midden  van  het  gebied  der  schub  te  liggen,  juist  zooals  de  dijorganen. 
Pinkus,  die  de  haarschijven  van  tastvlekken  van  Reptiliën  afleidt, 
kan  voor  het  ontstaan  der  haren  geen  verklaring  vinden  ; ,,Da8 
Saugetierbaar  hat  kein  Homologon  in  dem  Gebiet  der  Reptilien- 
schuppe;  sein  Platz  ist  leer.”  Door  de  boven  ontwikkelde  hypothese 
wordt  dit  bezwaar  tegen  Pinkus’  theorie  opgeheven. 

Op  een  andere  rangschikking  der  haren  heeft  Maurer  gewezen : 
nog  voordat  de  haargroepen  gevormd  zijn,  is  bij  zoogdierembryonen 
een  plaatsing  der  haren  in  overlangsche  rijen  te  constateeren. 
Maürer  ontleent  hieraan  een  argument  voor  zijn  boven  besproken 
theorie,  daar  een  overeenkomstige  rangschikking  ook  bij  huidzin- 
tuigen  algemeen  is.  Dit  argument  vervalt  echter  door  de  waarne- 
ming van  Maürer  zeif^j,  dat  ook  de  eerste  kiemen  der  huidklieren 
bij  Triton  en  Anuren  in  rijen  optreden. 

De  huidklieren  der  Promammalia  hebben  zich  dus  bij  de  Mam- 
malia  in  divergeerende  richting  ontwikkeld : deels  zijn  er  de  haren, 
deels  de  huidkiieren  der  zoogdieren  uit  ontstaan.  Het  complex  van 
haar  en  smeerklieren  is  af  te  leiden,  hetzij  van  een  vertakte  klier, 
waarvan  de  follikels  een  verschillende  ontwikkelingsrichting  inge- 
slagen hebben,  hetzij,  wat  mij  waarschijnlijker  voorkomt,  uit  de 
vereeniging  van  een  aantal  klieren  in  één  follikel,  op  dezelfde  wijze 
als  haren  in  een  bundel  vereenigd  kannen  zijn.  Voor  deze  laatste 
afleiding  is  aan  té  voeren,  dat  ook  een  aantal  femoraalorganen  soms 


1)  Morph.  Jahrb.,  XXI,  1894. 

2)  Arch.  f.  mikrosk.  Anat.,  LXV,  1905. 
I.C.,  blz.  159. 


4* 


52 


een  bunfiel  met  gemeenscliappelijken  follikel  vormen ; ik  vond  dit 
bij  Lacerta  ag'ilis  (zie  fig.). 


Fig.  Lacerta  agilis.  Bundel  van  drie  femoraalorganen  (1 — 3). 


Natuurkuiide.  — De  Heer  Lörentz  biedt  eene  inededeeling  aan 
van  den  Heer  T.  van  Lohuizen  over;  „Het  anomale  Zeeman- 
efect” 


(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Zeeman). 


Om  uit  het  atoommodei  van  Bohr  het  ZEEMAN-effect  te  verklaren, 
zijn  reeds  versciiiliende  pogingen  aangewend  0-  Tot  nu  toe  is  alleen 
het  normale  LoRBNTZ-triplet  verklaard,  vaak  met  overtollige  compo- 
nenten, welke  echter  in  de  theorie  van  Rübinowicz  verdwenen  zijn. 

Met  de  theorie  van  het  anomale  ZEEMAN-effect  is  men  nog  niet 
gevorderd,  evenmin  met  de  verklaring  van  het  PASCHEN-BAOK-etfect. 

Men  kan  nu  echter  beproeven  een  onderdeel  van  het  probleem 
tot  eene  oplossing  te  brengen,  opdat  wellicht  de  daaruit  verkregen 
resultaten  benut  kunnen  worden  bij  de  volledige  oplossing  van  het 
vraagstuk. 

Een  van  de  vragen,  die  zich  hier  voordoet  en  welker  beantwoor- 
ding ik  mij  tot  taak  heb  gesteld,  is  deze; 

Hangt  de  magnetische  splitsing  uitsluitend  af  van  de  begin-  en  de  - 
eindbaan,  waarin  het  electron  zich  beweegt,  of  speelt  de  overgang 
daarbij  een  rol? 

Anders  gevraagd : 

Geldt  bij  de  aanwezigheid  van  een  magnetisch  veld  nog  de  formule : 

IE,— IF, 

“ = ■ ■ ") 


of  moet  deze  vervangen  worden  door  een  formule  als  bijv.: 


V 


TF,  - JV,  eM 

— ± 

h Ajx  mc 


(2) 


zooals  Bohr’)  meende  te  moeten  aannemen. 

Ik  wil  de  vraag  nog  in  een  anderen  vorm  stellen,  omdat  in  die 
formuleering  de  oplossing  het  gemakkelijkst  te  geven  is. 

Zooals  bekend  is,  kan  het  trillingsgetal  van  iedere  spectraallijn 


h N.  Bohr,  Phil.  Mag.  27,  p.  506.  1914. 

K.  Herzfeld,  Phys.  Zs.  15,  p.  193.  1914. 

P.  Debeye,  Gött.  Nachr.  1916,  p.  142,  Phys.  Zs.  17,  p.  507.  1916. 
A.  SoMMEEFELD,  Phys.  Zs.  17,  p.  491.  1916. 

A.  Rübinowicz,  Phys.  Zs.  19,  p.  441  en  465.  1918. 

*)  N.  Bohr,  Phil.  Mag,  27,  p.  506.  1914. 


worden  voorgesteld  als  het  verschil  van  twee  functies,  z.g.  ,, sequensen”, 
bijv.: 

I z = l .2.3... 

— j ^ ^ (3) 

In  mijne  verhandeling  ,,Le  Phénomène  de  Zeeman  et  les  séries 
spectrales”  heb  ik  dat  uitvoerig  uiteengezet  en  wil  daar  verder 
naar  verwijzen. 

Daarin  heb  ik  o.a.  aangetoond,  dat  voor  ieder  „complex”  van 
spectraallijnen,  d.w.z.  alle  spectraallijnen  wier  trillingsgetallen  voldoen 
aan  verg.  (3)  wanneer  de  functies  tp  en  q)  gegeven  zijn  en  daarin 
i en  k ieder  de  rij  van  de  geheele  positieve  getallen  doorloopen, 
geldt  een  bepaald  type  van  anomaal  ZEEMAN-effect,  mits  men  rekening 
houdt  met  den  invloed  van  het  PAscHEN-BACK-etfect.  Men  kan  dus 
kortweg  zeggen,  dat  ieder  type  van  anomaal  ZsEMAN-etfect  bepaald 
wordt  door  den  vorm  van  de  functies  en  (p.  Zijn  deze  functies 
eenmaal  bepaald  dan  levert  het  verschil  dier  functies  voor  positieve 
geheele  waarden  van  het  argument  steeds  een  spectraallijn  met  een 
bepaald  type  van  ZEEMAN-effect. 

Zooals  in  mijn  geciteerde  verhandeling  uitvoeriger  is  aangetoond, 
kan  men  deze  functies  dus  aanduiden  als : 


Enkelvoudig 


/ 


Dubbel 


S 


S' 


D 


D' 


Drievoudig 


n 


n' 


n" 


0' 


0" 


Het  symbool  is  dus  de  korte  schrijfwijze  voor 

1 = 12.3... 


v = n(i)  — 2 (k) 


k=2  .3 .4...  . 


Voor  de  bij  ieder  complex  behoorende  ZsEMAN-etfecten  verwijs  ik 
naar  (1.  c.). 

Men  kan  dus  nu  de  bovengestelde  vraag  ook  zoo  formuleeren: 
Wordt  ieder  der  bovengenoemde  functies  (, .sequensen”)  afzonderlijk 
veranderd  door  een  magnetisch  veld  en  is  dus  het  ZEEMAN-effect  dat 
waargenomen  wordt,  het  resultaa't  van  de  verandering  van  beide 
sequensen  samen? 


1)  T.  VAN  Lohuizen,  Arch.  Musée  Teyler  (III)  2,  p.  165.  1914. 
*)  Voortaan  aan  te  geven  als  (1.  c.). 


55 


Of  men  zou,  wanneer  men  spreekt  van  /7-banen,  S-banen  enz., 
waarmede  men  dus  uitdrukt,  dat  een  electron,  dat  van  een  .2'-baan 
naar  een  //-baan  springt,  een  spectraallijn  doet  opti-eden,  beboerende 
tot  het  complex  n^,  kunnen  vragen ; 

Wordt  iedere  //-baan,  -S-baan,  enz.  in  een  magnetisch  veld  ieder 
voor  zich  in  meerdere  banen  gesplitst,  elk  met  eene  eenigszins  ver- 
schillende energiewaarde,  zoodat  de  electronen  bij  sprongen  van  en 
naar  deze  vervormde  banen  een  trilling  met  een  eenigszins  veran- 
derd trillingsgetal  zouden  uitzenden  ? 

Mocht  deze  vraag  bevestigend  worden  beantwoord,  dan  zou  daaruit 
volgen,  dat,  gegeven  de  splitsingsmanieren  van  elk  der  banen 
(/7,  ^ enz.),  de  waargenomen  typen  van  ZsEMAN-etfect  door  eenvou- 
dige aftrekking  daaruit  zouden  kunnen  gevonden  worden,  m.a.w. 
dat  het  anomale  ZEEMAN-etfect  zou  gehoorzamen  aan  het  z.g.  ,,Koni- 
binationsprinzip”. 

Nu  heb  ik  ter  beantwoording  van  de  gestelde  vragen,  juist  het 
omgekeerde  gedaan.  Ik  heb  n.1.  gezocht  of  in  het  waarnemingsrna- 
teriaal  over  het  anomale  ZEEMAN-etfect  aanwijzingen  waren  te  vinden 
voor  de  al  dan  niet  geldigheid  van  het  ,,Kombinationsprinzip.” 

In  het  volgende  wilde  ik  eenige  van  de  door  mij  verkregen 
resultaten  mededeelen. 

Als  materiaal  heeft  gediend  hetgeen  ik  in  (1.  c.)  had  verzameld. 
Om  een  zoo  groot  mogelijk  aantal  complexen  te  kunnen  bewerken 
met  een  zoo  gering  mogelijk  aantal  sequensen  heb  ik  mij  voor  mijn 
eerste  onderzoek  bepaald  tot  de  drievoudige  complexen  en  daarbij 
gevoegd  eenige  enkelvoudige  complexen  met  vreemde  asymptoot. 

Men  vindt  deze  bijeengevoegd  in  de  volgende  tabel : 


beginbaan 

A 

A" 

d 

eindbaan 

n 

//s 

//A 

nA" 

nd 

n' 

n'2 

/7'A 

/7'A" 

n'd 

n"  • 

n":s 

n"A 

n"A" 

//"  d . 

Voor  de  typen  van  ZEEMAN-etfect,  die  deze  complexen  vertoonen, 
zie  (1.  c.). 


56 


Uit  dit  materiaal  zijn  vooreerst  eenige  algemeene  gevolgtrekkin- 
gen te  maken. 

Als  het  electron  springt  van  een  beginbaan  naar  een  /I-baan  dan 
is  het  ZEEMAN-effect  gecompliceerder,  dan  wanneer  het  van  dezelfde 
beginbaan  springt  naar  een  //'-baan,  en  dit  is  op  zijn  beurt  weer 
gecompliceerder  dan  wanneer  het  van  dezelfde  beginbaan  naar  de 
//"-baan  springt. 

Het  ligt  dus  voor  de  hand  aan  te  nemen,  dat  de  //-baan  in  een 
magnetisch  veld  zich  in  meer  banen  zal  splitsen  dan  de  //'-baan  en 
deze  weer  in  meer  dan  de  //"-baan. 

Dit  geldt  bij  de  dubbele  series  ook  voor  de  P-baan  en  de  P'-baan. 

Beschouwt  men  alleen  de  J.  gepolariseerde  componenten  dan  gelden 
daarvoor  dezelfde  regels,  slechts  moet  ,,meer”  dan  vervangen  worden 
door  ,,meer  of  gelijk”. 

Het  aantal  componenten  //  gepolariseerd,  is  voor  //'  j>  //"  voor 

P=  P'. 

Nog  een  andere  algemeene  gevolgtrekking  is  te  maken.  Bij  sprongen 
van  het  electron  van  ^ (en  ook  van  s en  S)  banen  zijn  de  J.  en 
//  gepolariseerde  componenten  steeds  verschillend. 

Sprongen  van  de  andere  beginbanen  (A,  A',  A"  en  d)  leveren  vaak 
samenvallende  X en  //  gepolariseerde  componenten.  Dit  is  bijv.  het 
geval  bij  sprongen 

van  A banen  naar  //,  //'  en  //"  banen 

„ A „ „ //' 

A"  „ „ //'  en  //"  „ 

d IJ' 

Dit  bijzonder  gedrag  van  de  ^ (resp.  s en  S)  banen,  doet  de 
vraag  opkomen,  of  dit  misschien  verband  houdt  met  de  beschouwing 
van  SoMMERFELD  ')  : 

,,lnfolgedessen  drangt  sich  folgende  geometrische  Deutung  auf : die 
p-  und  f/-Terme  entsprechen  ebenen  Bahnen  in  der  Sjmmetrieebene 
des  Atoms,  ahnlich  den  KEPPLER-Ellipsen ; der  5-Term  bat  seinen 
Grund  darin,  dass  die  beim  Wasserstoff  bestedende  Punktsymmetrie 
durch  die  Atomstruktur  von  Li  und  He  aufgehoben  ist  und  dass 
daher  noch  andere  Bahnen  als  die  in  der  Symmetrieebene  möglich 
werden”. 

Men  zou  dus  de  ^ (resp.  s en  S)  banen  zich  x aequator  kunnen 
voorstellen  en  mogelijkerwijze  zou  het  niet  in  den  aequator  liggen 


h A.  SoMMERFELD,  Zur  Quantentheorie  der  Spektrallmien,  München.  Ber.  4 Nov. 
1916,  p.  153. 


57 


de  reden  kunnen  zijn,  dat  het  elecrton  bij  zijn  sprong  naar  een  baan 
in  het  aeqnatorvlak  geen  samenvallende  componenten  geeft,  terwijl 
het  zich  laat  denken,  dat  bij  sprongen  tiisschen  banen  in  het  aequator- 
vlak  gelegen,  de  gelegenheid  tot  samenvallende  componenten  veel 
grooter  is. 

Uit  een  persoonlijk  onderhoud,  dat  ik  dezer  dagen  met  Prof.  Bohr 
hierover  had,  bleek  mij,  dat  deze  gronden  had  om  te  veronderstellen, 
dat  de  S (resp.  s en  S)  banen  ook  aequatoriaal  zijn. 

Voorts  kan  nog  opgemerkt  worden,  dat  de  complexen  waarover 
dit  onderzoek  loopt,  uitsluitend  voorkomen  bij  chemisch  tweewaardige 
elementen.  Bij  één-  en  driewaardige  elementen  komen  geen  Grieksche 
complexen  voor. 

Na  deze  meer  algemeene  opmerkingen  wil  ik  nu  uiteenzetten  op 
welke  wijze  ik  het  onderzoek  naar  de  eventueele  geldigheid  van 
het  ,,K-ombinationsprinzip”  heb  uitgevoerd.- 

Bij  een  beschouwing  van  de  verschillende  typen  van  het  anomale 
ZEEMAN-effect  voor  de  bovengenoemde  complexen  valt  het  op,  dat 
bij  de  meeste  de  afstanden  der  componenten  van  de  oorspronke- 
lijke lijn  veelvouden  zijn  van  de  helft  van  den  afstand  van  twee 
componenten  van  het  normale  LoRENTZ-triplet. 

Noemt  men  nu  e de  enei'gieverandering,  die  een  baan  moet 
ondergaan,  opdat  een  electron,  springende  van  die  baan  naar  een 
onveranderde  baan,  licht  uitzendt,  overeenstemmende  met  een  der 
J.  gepolariseerde  componenten,  van  het  normale  LoRENTZ-triplet, 
terwijl  het  springende  van  de  onveranderde  baan  licht  van  een 
trillingsgetal  uitzendt,  gelijk  aan  dat  van  de  //  gepolariseerde 
middencomponent,  dan  zal 

8 

dv  = — 
h 


het  verschil  in  frequentie  aangeven  tusschen  beide  genoemde  com- 
ponenten. 

Deze  6 moet  dus  evenredig  zijn  met  de 

Ik  heb  nu  de  hypothese  ingevoerd,  dat  door  het  magnetische  veld 
ieder  der  begin-  en  eindbanen  zich  splitst  in  twee  of  meer  banen, 

8 


die  met  de  oorspronkelijke  baan  energie-verschillen  vertonnen  — ±w . 


2 


(n  = 0. 1.2.3). 

Daarna  heb  ik  nagegaan,  welke  waarden  van  n men  aan  ieder 
der  begin-  en  eindbanen  zou  moeten  toekennen,  om  de  waargenomen, 
componenten  te  kunnen  verklaren. 

Dit  leverde  de  volgende  uitkomsten  : 


58 


B 06 

De  /Zbaan  splitst  zich  in  7 banen  met  energieverschillen  0,  rh  - , ± e,  ± — 


f y 

n'  „ 

)) 

„ „ 4 

5>  >> 

>> 

c 

2’ 

± c 

yy 

n'  „ 

yy 

M >!  2 

)5  yy 

»> 

± 6 

yy 

yy 

j>  >»  2 

yy  yy 

>> 

± 6 

yy 

A „ 

y y 

>>  >»  3 

yy  yy 

5> 

0, 

± C 

yy 

A” 

M M 4 

yy  yy 

y y 

c 

^ 2’ 

±C 

yy 

d „ 

yy 

).  >>  3 

yy  yy 

y y 

0 

± c 

Voor  de 

verschillende 

complexen 

krijgt  men 

dan  de 

volgende 

typen  voor 

het 

ZEEMAN-etFect. 

n:E 



3^ 

— 

6 

- 6 

_ -"S 

) 

26 

y 

6 

— 0 
2 

~2” 

- c — 

2 

- -2c  1 • 

(-6) 

, , 6 

-c)  0-(-6) 

Sc 

c 

-c 

C-(-6)  - 

' ’ 2 

c c _ 

_ c c 

Q c 

^ c _c c _ 

C C 

2 

C C 

2 

v ~C 

2 

c c c 

- 6 , 

. -3c 

-s  , -3c 

_ — (_f) 


n’  2 

2c 

3c  6 

y y 

(0)  — 

^ ’ 2 

- 3c 

- 2c 

c-(- 

f) 

c - c 

(-c) (- 

f) 

c 

c-c  c 

2 

- c 

-c-c 

-c-(-c) 

77  ' JS' 

0 

- 2c 

c-(- 

■f) 

c-c 

-c-c 

- 

c - (-  c) 

nL 

© 

(2c) 

y * 

c 

2 

0 zl 

- 2 

- 3c 

~2~ 

(-2e)  (:!') 

3c 

(-  f) 

2 ^ ^ 

c-(- 

36 

c) 0 c-0 

’ 2 

3c 

c 

2 

c 

c-c  — c 0-c 

2 

-c 

c 

2 

-3c 

^ C_C c 

2 

i-(-c)  O-(-c) 

--0 

2 

0-0  — -0  -c-0 

2 

-3c 

0 

2 

-c  -Sc 

— -(-e)  -6-(-c) 


59 


(2c) 

3e  c 

— c — 

2 - 2 

77'  A 

"o 

-e 

— -c 

2 — 

-3c 

c - (-  c) 

c c 

2 ^ ' 2 

c-c 

c 

c -c-0 

2 

-c 

c -c-c 

2 

- e 

-c-(-e) 

- c 

0 

2 

2c  e 

77  " A 

0 - c 

c - (-  c)  e - 0 

e-3  -c-0 

- C - 3 

- 

c-(-  e) 

77  A" 


5e 

- (2f) 

3c  f -c 
HH)  tt- 


3c 


2 V2 

c-(-c) 


c- 


c 

e — 0 

— 2 — 

- c 

Y 

- c 

- 3c 

^ (-2*) 

3c  c 3c 
e c-c 

e 

c 

0-c 

-c 

e -c-c 

2 2 


c c /-e\  s 6 c 

2-(-f)  2"(  yJ  2 2 '¥ 


O-(-e)  0- 


-c\  -c 
"2 


c 

0-- 

2 


- — -f- 


-c  c 

T ~2 

-cA  - 3e  / -c 

"2  Vi 


- 5c 

~Y 

- 3c 

-e  -c-c  

2 2 

e - 3c  c 

”^"2  2 


-c 


-3c 


2 ( f)  f)  2 ^ 

77'  A" 

? 

2c 


c-(-c)  e 


3c 

T 

'-c\  c /- 


2 


-(ï) 


e 

2 

c 

c 

2 


c-c 


-(-«) 


- c cc 

2 "2 

- c /-c 

VT 

- c - c) 


- c 

Y 

c 

2 

- c- 


-3e  ? 

-c  -2c 

— 2 


-c  c -c 


2 2 


-c  -c-c 


c 

-c 

2 


ƒ7  " A'' 


(2  c) 

€ - (-  C)  C - 


3c 
¥ 
'-C 


c 

2 

c - - 


- c 

o — 

O 


^ (-2^) 


c-c  - c- 


- c 


-3c 

2 


c 

- c 

2 


-c-c 


-e-(-c) 


60 

nd 

A — 36  ? 

- 1 26  — 6 

J 2 

6 

2 

- 6 

(0)  ^ 

? -36  — 

-6  -26 

2 

(t 

. 36 

- 6)  6 (-6) 0 6-0 

2 

36 

6 

2 

6 

6-6  6 

2 

- 6 

0-6 6 -6-6 

2 

-36 

~Y 

|_(_e)  0-(-6) 

6 

--0 

2 

0-0  0-- 
2 

-86 

-6-0 0 

2 

-6 

-36 

e) 

n'  d 

^ — 

(26)  — 6 

^ ^ 2 

6 

2 

- 6 

0 — 

— 2 

- 36 

— (-2a) 

6 

--0 

2 

6 

6-6  — - 6 

2 

- 6 

-6-0 6 -6-6 

2 

- 6 

-t-(-f)  y-O 

n"  d 

(26) 

6 

0 -6 

(-26) 

e-(-  6) 

6-0 

6-6  - 6 - 0 

-6-6 

- 

6 - (-  6) 

Onder  iederen  component  is  aangegeven  uit  welken  sprong  of 

boven 


sprongen  hij  is  gedacht  te  zijn  ontstaan.  Een 


onder 


den  com- 


ponent geeft  aan  dat  hij  — gepolariseerd  is.  Komen  beide  strepen 

voor,  dan  vallen  beide  componenten  samen  of  is  de  polarisatie 
onvolkomen.  Tusschen  ( ) zijn  geplaatst  de  z.g.  overtollige  compo- 
nenten, die  bij  de  waarneming  niet  gevonden  zijn.  Over  de  bijge- 
plaatste vraagteekens  zal  verderop  gesproken  worden. 

Allereerst  een  en  ander  over  de  overtollige  componenten.  Verre- 
weg de  meeste  zijn  uiterste  componenten.  Daar  meestal  de  uiterste 
componenten,  die  waargenomen  zijn,  zeer  zwak  zijn,  is  het  mogelijk 
dat  de  theoretisch  gevonden  componenten  zoo  zwak  zijn,  dat  zij  tot 
nu  toe  niet  konden  worden  waargenomen.  Deze  componenten  toch 
ontstaan  door  sprongen  van  en  naar  de  sterkst  vervormde  banen 
en  deze  zijn  volgens  Sommerpeld  minder  waarschijnlijk  dan  de 
minder  vervormde,  zoodat  het  aantal  sprongen  van  het  electron  van 
deze  sterk  vervormde  banen  naar  verhouding  veel  kleiner  is  en  dus 
de  voortgebrachte  component  veel  zwakker. 


61 


Deze  verklaring  kan  echter  niet  dienen  voor  het  overtollig  zijn 
van  de  middencomponenten  van  n'2  en  Ild. 

Het  zou  echter  ook  mogelijk  kunnen  zijn,  dat  het  „Kombinations- 
prinzip”  aan  een  beperkende  voorwaarde  was  gebonden.  Prof.  Bohr 
was  n.1.  van  raeening,  zooals  mij  uit  een  onderhoud  over  deze 
quaestie  bleek,  dat  het  electron  bij  zijn  springen  ook  nog  gebonden 
moest  worden  aan  de  voorwaarde  dat  het  moment  van  lioeveelheid 

h 

beweging  in  begin-  en  eindbaan  niet  meer  dan  1 X — mocht  ver- 

schillen.  Het  is  mij  tot  nu  toe  nog  niet  gelukt,  deze  voorwaarde  als 
beperking  van  het  ,,Kombinationsprinzip”  in  te  voeren.  Dat  er  echter 
een  beperkende  bepaling,  hoe  dan  ook,  moet  bestaan,  schijnt  mij 
niet  twijfelachtig  toe. 

Dat  toch  echter  het  niet  optreden  van  een  middelcornponent  in 
sommige  gevallen  aan  de  waarneming  kan  worden  toegeschreven, 
moge  uit  het  volgende  voorbeeld  blijken  : 

Tn  mijn  verhandeling  (l.c.)  vindt  men  het  ZKEMAN-effect  voor /Z'A" 
opgegeven  als  een  octet  zonder  middelcornponent,  hier  als  een  nonet 
met  middelcornponent. 

Mijn  eerste  opgave  was  o.a.  gebaseerd  op  de  waarnemingen  van 
Miller ’),  die  geen  middelcornponent  heeft  gevonden,  terwijl  Wendt ’) 
bij  dezelfde  lijnen  de  middelcornponent  wel  vindt:  ,.bei  dem  zweiten 
Begleiter  ist  die  mittlere  Komponente  übersehen”.  (p.  559). 

Daaruit  moge  dus  blijken,  dat  het  geenszins  onmogelijk  is,  dat 
sommige  van  de  waargenomen  typen  van  ZEEMAN-etfect  onvolledig 
zijn,  en  dat  wellicht  sommige  der  door  mij  gevonden  ,, overtollige” 
componenten  bij  fijnere  waarneming  nog  zullen  blijken  aanwezig 
te  zijn. 

Bij  de  uiterste  componenten  van  11’ L!'  is  een  vraagteeken  geplaatst. 
Deze  componenten  zijn  zoowel  door  Wendt  fl.  c.)  als  Miller  (1.  c.) 
gevonden,  echter  zijn  de  afstanden  tot  de  middel-component  iets 
kleiner  dan  overeenkomt  met  2e.  De  polarisatietoestand  kon  door 
Miller  wegens  geringe  intensiteit  niet  bepaald  worden.  Wendt  vindt  ±. 

De  andere  vraagteekens  vindt  men  bij  Tld.  Wendt  vindt  hiervoor 
10  componenten,  terwijl  Miller  er  12  heeft  waargenomen.  Deze 
waarnemer  maakt  hiei’bij  echter  de  opmerking  (l.c.  p.  117): 

„Die  durch  Klammern  zusammengefassten  Linienpaare  liefen  in 


b W.  Miller,  Zeeman-effekt  an  Mg.  Ga.  u.  s.  w.  Ann.  d.  Physik,  24,  p.  105, 
1907. 

b G.  Wendt,  Untersuchungen  an  Quechsilberlinien.  Ann.  d.  Physik,  37,  p.  535, 
1912. 


62 


eine  Linie  znsammen,  wenn  beide  Arten  von  Schwingungen  ziige- 
lassen  waren”. 

Brengt  men  dit  in  rekening  dan  kunnen  de  vraagteekens  vervallen 
en  vervangen  worden  door  e en  — e. 

De  0-component  blijft  dan  nog  onverklaard. 

Een  andere  factor,  die  ter  verklaring  overblijft,  is  de  polarisatie- 
toesfand  der  componenten. 

Ofschoon  is  op  te  merken,  dat  evenals  bij  het  normale  triplet, 
ook  hier  bij  de  anomale  ZEEMAN-effecten,  de  uiterste  componenten 
steeds  j_  gepolariseerd  zijn,  zoo  moet  ik  bekennen,  dat  het  mij  tot 
nu  toe  nog  niet  gelukt  is,  een  eenvoudigen  regel  voor  den  polari- 
satietoestand  der  componenten  te  vinden. 

Wat  de  intensiteit  betreft,  zoo  is  boven  reeds  de  veronderstelling 
uitgesproken,  dat  naarmate  de  electronen  springen  van  of  naar  sterk 
excentrische  banen,  de  intensiteit  der  voortgebrachte  componenten 
geringer  zou  zijn.  Jammer  genoeg  laat  het  waarnemingsmateriaal 
niet  toe  deze  veronderstelling  in  alle  bijzonderheden  te  toetsen,  daal- 
de opgaven  van  verschillende  waarnemers  vaak  tegenstrijdig  zijn. 

Wel  geeft  Miller  (1.  c.  p.  112)  bijv.  voor  de  intensiteiten  van 

77  A 1 2 2 6 2 2 1 

77' A 1 1 4 4 4 1 1 

77"A  < 1 4 8 4 <1 

en  blijkt  hieruit  een  sterke  afname  van  intensiteit  naar  de  buitenste 
componenten  (waarbij  mijne  ,, overtollige”  componenten,  die  nog 
zwakker  zijn,  goed  aansluiten).  Ook  het  feit,  dat  de  middelcompo- 
nenten  sterker  zijn,  is  in  goede  overeenstemming  daarmede,  dat  elk 
dezer  componenten,  door  meerdere  verschillende  sprongen  kan  wor- 
den voortgebracht. 

Algemeen  is  echter  op  grond  van  de  bovengenoemde  onderlinge 
tegenstrijdigheden  dit  onderzoek  nog  niet  door  te  voeren.  De  oor- 
zaken van  deze  intensiteitsverschillen  zijn  door  Zeeman  ^)  onderzocht, 
doch  het  is  uit  de  publicaties  der  verschillende  waarnemers  zelden 
op  te  maken,  welke  omstandigheden  hunne  verschillen  in  intensiteit 
hebben  veroorzaakt  en  wat  of  de  betrouwbare  intensiteiten  zijn. 
Zoolang  dat  niet  met  zekerheid  kan  worden  vastgesteld  zal  een 
onderzoek  als  het  bovenbedoelde  niet  mogelijk  zijn.  Uit  de  uitkom- 
sten van  een  dergelijk  onderzoek  zouden  belangrijke  gevolgtrekkingen 
zijn  te  maken  over  de  al  of  niet  juistheid  der  door  mij  in  deze 
mededeeling  opgestelde  hypothesen. 

1)  P.  Zeeman,  Proc.  Amsterdam,  Oct.  1912  en  Researches  in  magneto-optics, 
p.  94  V.,  Macmillan  1913. 


63 


Uit  het  tot  dusver  gevondene  meen  ik  te  mogen  besluiten,  dat  er 
aanwijzingen  te  vinden  zijn  in  het  waarnemingsmateriaal  voor  de 
geldigheid  van  het  ,,Kombinationsprinzip”  ook  voor  het  anomale 
ZEBMAN-etfect.  Het  is  echter  niet  buitengesloten,  dat  een  beperkende 
bepaling  in  den  zin  door  Bohh  (zie  boven)  gegeven,  maakt,  dat  dit 
principe  niet  altijd  zuiver  te  voorschijn  treedt. 

In  ieder  geval  meen  ik  te  hebben  aangetoond,  dat  de  „sequensen” 
ieder  afzonderlijk  in  het  magneetveld  veranderen  en  dat  het  waar- 
genomen ZEEMAN-etfect  het  resultaat  is  van  de  veranderingen  van 
beide  sequensen  samen. 

In  verband  daarmede  ben  ik  ook  van  meening  dat  de  vergelijking 
van  Bohr 

V 

in  het  magnetisch  veld  hare 
Den  Haag,  7 Mei  1919. 


_ W — W, 

~~  h 

geldigheid  behoudt. 


Natuurkunde.  — De  Heer  Zeeman  biedt,  mede  namens  Mej.  Dr. 
A.  Snetheage,  een  mededeeling  aan  ; ,,Z)e 
licht  in  bewegende,  doorschijnende,  vaste  stoffen.  II.  Metingen 
over  het  Fizeaa-effect  in  hoarts" . {Vervolg). 


'II.  Directe  bepaling  van  de  snelheid  van  de  balk. 

In  I § 3 is  de  wijze  aangegeven  waarop  de  it)aximum-snelheid 
werd  bepaald.  Wij  hebben  die  echter  ook  nog  direct  gemeten  vol- 
gens de  volgende  methode,  die  echter  eerst  bij  de  proeven  met  glas 
toegepast  werd,  maar  hier  een  plaats  vindt,  omdat  zij  de  snelheids- 
bepaling  in  de  ondei'stelling  van  een  met  standvastige  hoeksnelheid 
rondwentelend  vliegwiel  heeft  bevestigd. 

Aan  de  balk  BB  is  een  zwart  schermpje  verbonden  met  twee 
spieetvormige  openingen  en  S.^,  waarin  draden  zijn  gespannen 


voor  nanwkenrige  plaatsbepaling.  De  spleet  *Si,  wij  letten  voorloopig 
alleen  op  een  der  spleten,  beweegt  zich  in  het  lichtveld  van  den 
condensor  L^.  Met  behulp  van  eene  achromatische  lens  L,  wordt 
een  scherp  beeld  van  *Si  ontworpen  in  het  vlak  R van  de  cirkel- 
vormige plaat  van  een  bij  een  grooten  snaargalvanometer  gebezigden 
lichtonderbrekei’.  Dit  laatste  toestel,  waarop  onze  aandacht  werd 
gevestigd  door  den  Heer  Wertheim  Salomonson  en  dat  door  hem  tot 
onze  beschikking  werd  gesteld,  bestaat  uit  een  electromotor  met 
mechanischen  centrifugaalregulator.  Een  der  5 assen  van  het  apparaat 
draait  25-maal  per  seconde  rond.  De  alnrainiumplaat  R (middellijn 
30  cM.)  heeft  in  den  omtrek  40  insnijdingen,  elk  ongeveer  1 m.m. 


65 


breed,  zoodat  1000  opflikkeringen  per  seconde  ontstaan.  De  afstand 
van  twee  insnijdingen  bedraagt  ongeveer  23  in.m.,  zoodat  licht 
gedurende  1/20000  seconde  wordt  doorgelaten. 

Een  beeld  van  de  stilstaande  spleet,  bij  draaiende  schijf  ontwor- 
pen op  de  photographische  plaat  van  de  camera  C,  is  gereproduceerd 
in  6,  op  de  Plaat,  Fig.  1.  Men  ziet  de  beide  kruisdraden  en  rechts 
van  de  spleet  den  rand  van  de  cirkelvormige  plaat  B,,  waarvan  het 
middelpunt  links  ligt.  De  donkere  kringen  worden  teweeggebracht 
door  terugkaatsingen,  maar  hebben  voor  ons  geen  beteekenis. 

Beweegt  de  spleet  zich  en  draait  de  schijf  dan  wordt  telkens  na 
een  duizendste  seconde  het  licht  door  de  insnijding  in doorgelaten 
en  de  spleet  door  middel  van  de  lens  Z,  gephotografeerd. 

De  beelden  van  de  spleet  gaan  schuin  staan,  daar  tijdens  het 
verschuiven  van  de  balk  de  insnijding  in  de  schijf  voortdurend 
hooger  komt  bij  haar  beweging. 

Gemakkelijk  ziet  men  in  dat  de  helling  van  het  beeld  bepaald 
wordt  door  de  verhouding  van  de  snelheid  van  de  insnijding  tot  die 
van  de  balk  of  liever  tot  die  van  het  beeld  op  de  schijf.  Uit  de 
afstanden  van  /Si  en  R tot  en  van  tot  R en  de  plaat  is  de 
reductie,  die  de  snelheid  van  de  balk  in  het  beeld  ondergaat  onmid- 
dellijk te  schatten  of  deze  is  direct  door  photographeeren  eener  verdeelde 
schaal  in  het  vlak  van  /S,  *5,  te  meten.  De  grootte  van  de  helling 
van  het  spleetbeeld  (Plaat  Fig  2)  geeft  al  dadelijk  eene  benaderde 
waarde  van  de  snelheid  van  de  balk,  die  men  trouwens  nog  een- 
voudiger uit  den  afstand  van  overeenkomstige  punten  van  b\  h'\ 
kan  vinden. 

Voor  een  nauwkeuriger  bepaling  van  de  snelheid  komt  de  tweede 
spleet  aSj,  welke  op  4,15  cM.  van  aSj  staat,  te  pas.  Stel  dat  voor 
de  benaderde  waarde  van  de  snelheid  van  de  balk  omstreeks  1000 
cM./sec.  gevonden  is,  dan  is  aS,  derhalve  na  ieder  duizendste  seconde 
over  ongeveer  1 cM.  verschoven  en  komt  na  4 duizendste  seconde 
aSj  ongeveer  op  de  plaats  waar  eerst  aS^  stond.  Derhalve  zal  op  de 
foto  in  het  algemeen  tusschen  de  beelden  van  S^,  een  beeld  van  aS, 
n.1.  verschijnen.  Uit  de  foto  kan  men  nauwkeurig  den  ouder- 
lingen stand  der  spleetbeelden  atleiden,  en  weet  dan  dat  om  den 
afstand  van  4,15  cM.  af  te  leggen  4 -|-  een  breukdeel,  uit  den 
onderlingetj  stand  af  te  meten,  duizendsten  seconden  noodig  zijn. 
Om  de  spleten  van  elkaar  te  onderscheiden  is  alleen  over  aS\  een 
dwarsdraadje  gespannen. 

We  krijgen  op  de  foto  slechts  2 beelden  van  elk  der  spleten, 
omdat  alleen  binnen  een  beperkten  kegel  afbeelding  door  de  verschil- 
lende lenzen  tnogelijk  is. 

5 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A".  1919/20. 


66 


Daar  men  de  snelheid  van  de  balk  w^enscht  te  kennen  bij  een 
bepaalde  bewegingsrichting  wordt  nog  de  liehtafsluiter  (I  § 4),  die 
anders  voor  het  objectief  van  den  waarnemingskijker  staat,  in  O 
tzie  lignnr  boven)  geplaatst.  Hierdoor  is  men  zeker  dat  op  het  juiste 
oogenblik  het  licht  door  den  toestel  gaat.  De  onnauwkeurigheid  van 
de  bepaling  van  de  snelheid  blijkt  hoogstens  f "/o  bedragen. 

Wij  vestigen  nog  de  aandacht  op  eene  bijzonderheid  van  de 
beschreven  bepaling  van  de  snelheid,  die  theoretisch,  hoewel  niet 
praktisch,  interessant  schijnt. 

De  meting  geschiedt  namelijk  met  een  bewegende  meetstaaf  {\Q,r\g\Q 
in  rust  = S^),  eene  eigenaardigheid,  die  wij  ons  niet  herinneren 

bij  eene  andere  methode  praktisch  te-  hebben  zien  gebruiken. 

Wij  zijn  dank  verschuldigd  aan  de  Heeren  W.  de  Groot  en 
G.  C.  Dibbetz  Jr.  voor  hunne  assistentie  bij  het  theoretische  en 
experimenteele  werk  en  aan  den  Heer  J.  van  der  Zwaai-  voor  de 
hulp  bij  de  lastige  reguleering  van  den  toestel  en  de  vervaardiging 
der  hulptoestellen. 


Natuurkunde.  — De  Heer  Kamerlingh  Onnes  biedt  aan  eene 
Mededeeling  van  den  Heer  O.  Nordstrom:  „Opmerking  over 
het  niet  uitstralen  van  een  overeenkomstig  kwantenvoorioaarden 
bewegende  elektrische  lading”.  (Supplement  N®.  44  van  de 
Mededeelingeii  uit  het  Natuurkundig  Laboratorium  te  Leiden). 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  H.  A.  Lorentz). 

Men  hoort  vaak  zeggen:  De  atoomtheorie  van  Bohr  is  in  strijd 
met  de  klassieke  elektrodjiiamika,  daar  ze  aanneemt  dat  een  elek- 
tron dat  overeenkomstig  kwantenvoorwaarden  beweegt  geen  energie 
nitsti’aalt  in  den  vorm  van  elektro-magoetische  golven.  Een  aldus 
geformuleerde  bewering  lijkt  mij  echter  niet  juist  aan  te  geven, 
waarin  de  tegenstelling  tussclien  de  aanname  van  Bohr  en  de  klas- 
sieke elektrodynamika  ligt.  In  het  volgende  zal  ik  trachten 
deze  zienswijze  te  motiveeren.  Eerst  volgen  eenige  algemeene 
beschouwingen. 

Als  men  in  een  overigens  ledige  ruimte  elektrische  ladingen  heeft 
en  de  beweging  daarvan  eenduidig  vaststeit,  dan  wordt  het  elektro- 
magnetische veld  hierdoor  niet  eenduidig  l>epaa!d  met  behulp  der 
veldvergeüjkingen  van  Maxwell-Lorkntz.  Om  eenduidigheid  (e  ver- 
krijgen, moeten  zekere  grensvoorwaarden  vastgesteld  worden  en  op 
deze  zullen  wij  onze  opmerkzaamheid  vestigen.  Hoedanig  het  veld 
ook  moge  zijn,  het  kan  voorgesteld  worden  door  de  elektrodyna- 
mische  potentialen;  de  vektoi'potenliaal  21  en  de  skalaire  potentiaal 
welke  ook  kunnen  worden  sainengevat  in  een  vierdimensionale 
vektorpotentiaal  met  koinponenten : 

(px  = 21j;  , (py  ~ 21,/  , = 21^  , = . . (1) 

De  potentialen  bepalen  eenduidig  de  veldvektoren  t?,  iS  op  grond 
der  vergelijkingen 

iS»  = rot  21,  1 

1 d21  • • • (2) 

€ = — grad.  g — (c=  lichtsnelheid)  | 

c dt 

Daarentegen  zijn  de  potentialen  21  , g niet  eenduidig  bepaald  door 
het  veld.  Men  kan  op  grond  hiervan  hen  de  voorwaarde  opleggen  : 


b Zie  bijv.  M.  Abraham,  Theorie  der  Elektrizilat  II,  Aufl.,  p.  36. 

5* 


1 


68 


1 ^'p 

div  51  — — O, 

c ot 

en  krijgt  dan  voor  de  gezamenlijke  potentiaalkoraponenten  (ingeval 
men  rationeele  eenheden  aanwendt)  de  differentiaalvergelijkingen) : 

d‘‘rp^  1 d*(poc  __ 

dz^  c’  dt^  ^ ^ 

(a  = X,  y,  z,  t). 

Hier  beteekenen  Ox,  Oy,  Oz  de  komponenten  van  den  elektrischen 
stroom,  öt  de  dichtheid  van  elektriciteit.  Ingeval  de  beweging  der 
elektriciteit  bepaald  is,  zijn  öx,  Oi^,  c>t  bekende  funkties  van 
X,  y,  z,  t.  De  algemeene  oplossing  der  differentiaalvergelijkingen  (3) 
kan  dan  op  de  volgende  wijze  aangegeven  worden : 

ya>  ^0  mogen  de  koördinaten  zijn  van  een  punt,  waar  r/'a  gezocht 
wordt.  De  afstand  van  het  punt  (a'^,  zj  tot  een  punt  (x,  y^  z) 
geven  wij  aan  met  v. 

r’  = {x—x,Y  + {y—y^Y  + {z—z.Y (4) 

Deze  formule  bepaalt  wel  niet  het  teeken  van  r maar  dat  zullen 
wij  voorloopig  onbepaald  laten. 

Een  eenheidsvektor  met  de  komponenten 


X X n 


y—y. 


(5) 


geven  wij  aan, door  r.  De  richting  van  i'  is  klaai'blijkelijk  afhanke- 
lijk van  de  keuze  van  het  teeken  van  r.  Laat  F een  willekeurig 
gesloten  oppervlak  zijn,  dat  ook  het  punt  x^,  omsluit.  Een 

oppervlakelement  van  het  oppervlak  jP,  opgevat  als  een  loodj-echt  naar 
buiten  gerichte  vektor  geven  wij  aan  door  d% . Als  wij  deze  sym- 
bolen invoeren,  kunnen  wij  de  algemeene  integraal  der  differentiaal- 
vergelijking (3)  als  volgt  schrijven  L : 


1 i r r ^ / 1 r r A I 

-r~  b Md  -grad(f^-\ — L_A.(6) 

4jr  [J  J \r  cr  Ot  r J \ ^ 


De  oppervlakte  integraal  moet  uitgestrekt  worden  over  het  ge- 
sloten oppervlak  F,  de  ruimte  integraal  over  de  omsloten  ruimte 

V 

V,  (die  ook  het  punt  x^,  y^,z^  omvat).  De  index  # beteekent,  dat 


in  het  rechter  lid  a„,,  cp^,  grad  cpa, 


drpc. 


betrekking  hebben  op  het  van 


h Een  afleiding  van  formule  (6)  vindt  men  in  Finska  Vetenskapssocietetens 
Förhandl.  L.  I.  1908—09,  Afd.  A.  n’’.  6.  Als  men  bij  de  afleiding  het  teeken  van 
r niet  vaststek,  vindt  men  gemakkelijk  het  dubbele  teeken  in  het  rechterlid. 


4 


69 


r 

punt  tot  punt  varieerend  tijdstip  t . Het  dubbele  teeken  voor  het 

c 

rechterlid  moet  aangebracht  worden,  zoolang  het  teeken  voor  r niet 
vastgesteld  is,  maai  vrij  gekozen  kan  worden ; het  -{-  teeken  geldt 
voor  positieve,  het  — teeken  voor  negatieve  r.  Kiest  men  het 

r 

-1-  teeken,  dan  is  t een  vroeger  tijdstip  dan  t en  f/a  moet  dan 

c 

opgevat  worden  als  vertraagde  potentiaal.  Kiest  men  het  — teeken, 
r 

dan  is  t een  later  tijdstip  en  is  op  te  vatten  als  vervroegde 


potentiaal. 

Elke  funktie  die  aan  de  differentiaalvergelijking  (3) 

voldoet,  kan  dm  naar  goedvinden  beschouiod  ivorden  als  een  ver- 
traagde of  als  een  vervroegde  potentiaal,  als  men  slechts  de  bijdrage 
tot  de  potentiaal  loelke  het  grensoppervlak  F levert  (dat  men  ook 
naar  het  oneindige  verschuiven  kan)  in  rekening  brengt. 

Op  grond  hiervan  kan  ook  elk  elektromagnetisch  veld,  d.  w.  z. 
elk  veld  waarvoor  de  vergelijkingen  van  Maxwell-IjOrentz  gelden, 
voor  een  tijdstip  t berekend  worden  naar  goedvinden  öf‘  uit  den 


toestand  op  den  tijd  t — 


(0 


öf  uit  den  toestand  op  het  oogenblik 


(r) 

als  slechts  de  bijdrage  van  het  grensoppervlak  in  acht  ge- 
c 

nomen  wordt.  Deze  bijdrage  heeft  natuurlijk  in  beide  gevallen  onge- 
lijke waarde. 

Als  men  het  oppervlak  F naar  het  oneindige  laat  verschuiven  en 
als  grensvoorwaarde  vaststelt  dat  de  oppervlakte  integraal  de  waarde 
nul  heeft  als  de  potentiaal  beschouwd  wordt  als  een  vertraagde 
potentiaal,  krijgt  men  de  gewone  oplossing  van  het  probleem  om 
het  veld  te  berekenen  uit  de  ladingen.  Maar  deze  oplossing  is  slechts 
een  particuliere,  er  zijn  oneindig  vele  andere. 

Men  moge  mij  verontsclmldigen,  dat  ik  over  deze  zaak  zoo 
uitvoerig  heb  uitgeweid.  Er  schijnt  mij  niet  altijd  voldoende  acht 
op  geslagen  te  worden. 


Wij  zullen  nu  aantoonen,  dat  elke  periodieke  beweging  der  elek- 
triciteit toelaat  een  veld  aan  te  nemen  dat  geen  energie  uitstraalt. 
De  afzonderlijke  punten  der  elektrische  ladingen  identificeren  wij 
met  behulp  van  3 parameters  Elk  stel  waarden  5,  p,  'Q  geeft 

dus  een  bepaald  punt  in  de  elektriciteit  aan,  dat  meegaat  met  de 
beweging  daarvan.  De  beweging  wordt  volkomen  aangegeven  door 
de  vergelijkingen 


70 


X = X (§,  T],  C,  t), 

^ (1^  '»J) 

d.  w.  z.  voor  vastg-estelde  f,  ">2,  ? zijn  de  koördinaten  x,y,z  funkties 
van  den  tijd.  Wij  denken  nn  dat  de  door  de  vergelijkingen  (7) 
voorgestelde  beweging  volkomen  bepaald  is.  Wij  noemen  die  beioeging  1. 
Van  x,y,z  nemen  wij  dns  aan  dat  ze  bekende  funkties  zijn  van 
5,  Tj,  u,  ? en  wel  voor  alle  waarden  van  t vanaf — oo  tot -|- co  . Wij 
berekenen  het  elektromagnetische  veld  door  middel  van  vertraagde 
potentialen  en  kiezen  zoodanige  grensvoorwaarden  dat  de  oppervlakte 
integraal  in  (6)  nul  wordt  voor  elke  potentiaalkomponent  als 
het  oppervlak  F naar  het  oneindige  verschuift.  Dan  is  het  veld  een- 
duidig bepaald  door  de  beweging  der  eleciriciteit.  Het  verki'egen 
veld  noemen  wij  veld  1.  Daarin  hebben  wij  klaarblijkelijk  een 
energieuitsiraling. 

Verder  zullen  wij  eene  andere  beweging  der  electriciteit  beschouwen, 
beweging  2,  die  wij  uit  beweging  1 verkrijgen  door  het  leeken  van 
t om  te  keeren. 

X = X 7j,  — t),  I 

y = y / beweging  2. 

z = z{B.,  rj,  - t),  ! 

Bij  de  beweging  2 worden  klaarblijkelijk  alle  banen  in  tegen- 
gestelde richting  doorloopen  als  in  beweging  1.  Voor  beweging  2 
berekenen  wij  eveneens  het  elektromagnetische  veld  door  middel 
van  vertraagde  potentialen  en  met  dezel/de  grensvoorwaarden  als 
vroeger,  We  krijgen  dan  weer  een  veld  met  energieuitsiraling  en 
we  noemen  dat  veld  veld  2. 

Als  beweging  1 periodiek  is,  is  beweging  2 dit  ook  en  de  uit- 
straling gedurende  eene  periode  is  dan  voor  veld  1 en  2 even  groot. 
Van  veld  2 zullen  wij  overgaan  tot  een  nieuw  veld,  veld  3,  dat 
wij  krijgen  door  het  teeken  voor  den  tijd  t en  de  magnetische 
veldkomponenten  '^z  om  te  keeren.  Zooals  bekend  is,  blijven 

de  veldvergelijkingen  van  Maxvvelt,-Lorentz  geldig  bij  een  dusdanige 
teekenwisseling.  Daar  t van  teeken  wisselt,  wordt  de  beweging  der 
elektriciteit  omgekeerd.  De  beioeging  van  de  electriciteit  in  veld  3 is 
dus  precies  dezelfde  als  in  veld  \ ; wij  hebben  in  beide  gevallen 
beweging  1.  Op  grond  van  de  omkeei'ing  van  het  teeken  \oor 
(terwijl  ^'a:,  S'ï/,  ^*2  hun  teeken  houden)  keert  de  i'ichting  van 
den  energiestroom  om,  zoodat  we  in  veld  3 een  instraling  van 
energie  krijgen.  Voor  periodieke  beweging  der  elektriciteit  is  de 


71 


instraling  gedurende  een  periode  even  groot  als  de  uitstraling  in 
veld  1 en  2. 

Men  vindt  verder  gernakkelijk  dat  veld  3 berekend  kan  worden 
uit  vervroegde  potentialen,  waarbij  de  bijdrage  van  het  oneindige 
nul  is.  Worden  de  potentialen  echter  als  vertraagde  opgevat,  dan 
is  de  bijdrage  van  het  oneindige  niet  nul. 

Wij  superponeeren  nu  veld  1 op  veld  3,  wat  immers  mogelijk 
is,  daar  de  veldvergelijkingen  lineair  zijn.  In  beide  afzonderlijke 
velden  heeft  de  elektriciteit  dezelfde  beweging,  die  ook  blijft  bestaan 
in  het  gekombineerde  veld.  Daarentegen  wordt  door  de  superpositie 
de  dichtheid  van  elektriciteit  overal  verdubbeld.  Om  dit  op  te  heffen 
verminderen  we  de  veldsterkte  in  het  gekombineerde  veld  tot  op 
de  helft.  Daardoor  wordt  de  dichtheid  der  elektriciteit  in  dezelfde 
verhouding  verkleind  en  wij  krijgen  in  het  nieuwe  veld  4 precies 
dezelfde  elektriciteitsverdeeling  en  -beweging  als  in  veld  1.  Als  de 
beweging  periodiek  is,  geeft  klaarblijkelijk  de  energiestroom  in  veld 
4 gedurende  eene  periode  een  totale  uitstraling  nul.  Men  heeft  een 
soort  staande  elektromagnetische  golven. 

Daar  de  elektriciteitsbeweging  in  veld  4 volkomen  identiek  is  met 
die  elektriciteitsbeweging,  van  welke  wij  uitgingen,  hebben  wij  aan- 
getoond, dat  elke  periodieke  beiveging  der  elektriciteit  de  aanname 
toelaat  van  een  elektromagnetisch  veld  zonder  energieuitstraling . Men 
ziet  zonder  meer  in,  dat  de  stelling  ook  geldt  als  de  elektriciteits- 
beweging niet  exakt  periodiek  is,  maar  b.v.  bestaat  uit  een  planeten- 
beweging met  periheliumverschuiving. 

De  vraag  is  nu  maar,  of  de  theorie  van  Bohr  eenig  nut  kan 
hebben  van  het  resultaat,  waartoe  wij  zijn  gekomen,  en  deze  vraag 
moet  wel  ontkennend  beantwoord  worden.  Als  de  electronen  in  een 
atoom  in  alle  eeuwigheid  in  dezelfde  banen  liepen,  zou  niets  de 
aanname  beletten  van  een  electromagnetisch  veld  zooals  veld  4. 
Maar  de  sprongen  van  een  toegelaten  baan  tot  eene  andere  veroor- 
zaken moeilijkheden.  Een  eenvoudig  onderzoek  toont  aan  dat  in 
veld  4 de  energiedichtheid  voor  groote  afstahden  r evenredig  is 

met  — zoodat  de  energie  van  het  geheele  veld  oneindig  groot  is.  Op 

grond  hiervan  wordt  de  energieverandering  bij  het  overspringen  van 
een  elektron  heel  anders  dan  die,  welke  Bohr  moest  aannemen, 
en  het  lijkt  mij  niet  mogelijk  dat  hier  overeenstemming  bereikt  kan 
worden.  De  aangevoerde  beschouwingen  hebben  dus  nauwelijks 
positieve  beteekenis  voor  de  theorie  van  Bohr,  maar  wel  schijnen 
ze  mij  van  eenig  nut  te  kunnen  zijn  om  een  meer  alzijdig 
inzicht  te  krijgen,  waar  de  moeilijkheden  der  theorie  van  Bohr 


72 


liggen.  Een  resultaat  dat  zij  hiermede  naar  mijn  meening  geven  is 
reeds  genoemd  in  het  begin  van  deze  opmerking  en  ik  zon  dit  aldus 
willen  formuleeren : De  gewone  bewering,  dat  het  onverklaarbaar 
zou  zijn  dat  een  elektron  dat  eene  met  de  voorwaarden  der  quanten- 
leer  overeenkomende  beweging  uitvoert,  geen  energie  zou  uitstralen, 
schijnt  mij  op  een  niet  voldoend  algemeene  beschouwingswijze  te 
berusten.  Een  ruimer  blik  op  de  kwestie  lijkt  mij  de  moeilijkheid 
weliswaar  niet  te  kunnen  ophetfen,  maai’  wel  die  te  kunnen  verplaatsen. 


Leiden,  18  April  1919. 


Sterrekunde.  — De  Heer  de  Sittbr  biedt  eene  mededeeling  aan 
van  den  Heer  J.  Weeder  c.  i. : ,,De  buiging  der  cirkels  van 
een  meridiaankijker”. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  J.  C Kapteyn). 

Onder  den  invloed  van  de  zwaartekracht  ondergaat  de  cirkelrand 
van  een  meridiaan-instrument  kleine  vervormingen,  die  tengevolge 
hebben,  dat,  gerekend  van  den  nulstreep,  de  lioekwaarden  der  deel- 
strepen afhangen  van  de  richting  des  kijkers. 

Omtrent  de  grootte  van  de  veranderingen  in  bepaalde  hoeken  van 
den  verdeelden  cirkel,  als  deze  in  zijn  vlak  gedraaid  wordt,  kan 
men  de  uitkomst  van  Bessel^  berekend  voor  deti  raeridiaancirkel 
van  Repsold  in  de  sterrewacht  te  Koningsbergen,  met  omstreeks  50 
cM.  straal  en  10  spaken,  vinden  in  de  Astron.  Nachr.  Bd.  25  op 
pag.  42,  volgens  welke  een  streep  in  het  verlengde  van  een  spaak 
in  horizontale  richting  wegens  de  buiging  des  cirkels  onder  den 
last  van  het  eigen  gewicht  over  den  hoek  0''.6726  is  doorgezakt, 
zoodat  de  bovenste  helft  des  cirkels  in  dien  stand  1".35  grooter  zou 
zijn  dan  in  den  horizontalen  stand  van  dat  cirkelvlak.  Ten  opzichte 
van  deze  rekenuitkomst  komt  het  mij  evenwel  voor,  dat  Bessel  in 
^ 14  der  bovengenoemde  verhandeling  ten  onrechte  met  2 vermenig- 
vuldigde, nadat  hij  met  dien  factor  2 aan  het  einde  van  ^ 12  reeds 
had  rekening  gehouden.  Door  de  einduitkomsten  van  Bessel  te  sub- 
stitueeren  in  zijn  eind  vergelijkingen  van  § 13  blijkt  ook,  dat  de  eersten 
gehalveerd  moeten  worden,  en  zijne  becijferingen  voor  de  buiging 
in  het  verlengde  van  een  horizontale  spaak  inderdaad  0",336  ople- 
veren  bij  bovengenoemd  instrument. 

Nu  scheen  voor  mij  de  omstandigheid,  dat  er  door  de  deelfout- 
bepalingen  aan  den  meridiaancirkel  te  Leiden  veel  waarnemings- 
materiaal  beschikbaar  is  om  de  buigingsconstanten  voor  de  cirkels 
van  dat  instrument  er  uit  af  te  leiden,  reeds  voldoende  beweegreden, 
om  aan  Bessel’s  verhandeling  over  dit  onderwerp  bizondere  aan- 
dacht te  schenken.  De  volledigheid  waarmede  hij  daarin  zijne  denk- 
beelden uiteenzet,  en  de  nauwkeurigheid,  door  welke  de  becijferingen 
zijner  toepassing  in  den  regel  uitmunten,  hebben  mij  eerst  medege- 
sleept  en  vervolgens  bewogen,  het  vraagstuk  der  buiging  voor  zulk 
een  cirkel  verder  te  ontwikkelen  in  formules  ten  gebruike  voor 


74 


cirkels  met  een  even  spaken-aantal  of  andere  afmetingen  van  den 
cirkelrand.  De  analytische  ontwikkeling  der  formule  voor  de  buiging 
volgens  den  rand  van  een  spaakeinde  tot  het  volgende,  door  Bessel 
gegeven  [§  8 foi  mule  (18)],  vormt  den  hoofdzakelijken  inhond  dezer 
mededeeling. 

Met  deze  formule  worden  door  mij  ook  de  beperkende  veronder- 
stellingen overgenomen,  onder  welke  zij  afgeleid  is.  In  het  kort  zijn 
deze:  het  gietmetaa!  hebbe  in  alle  deelen  gelijke  elasticiteit  en 
dichtheid,  en  de  sectoren  zijn  ook  in  voim  aan  elkander  gelijk;  de 
s[)aken  zijn  door  platte  vlakken  begrensd  en  hebben  tot  doorsnede 
een  gelijkbeenig  trapezium,  welks  evenwijdige  zijden  en  hoogte  gelijk- 
matig van  naaf  tot  randstuk  in  lengte  afnemen;  de  opeenvolgende  spaken 
zijn  verbonden  door  rechte  stukken  van  standvastige  doorsnede,  die 
samen  een  gelijkzijdigen  veelhoek  vormen,  welke  zijn  hoekpunten 
in  de  spaken  heeft.  Het  randstnk  zij  op  de  cirkelas  afgedraaid,  zoodat 
zijn  doorsnede  ook  over  de  geheele  lengte  standvastig  is.  Al  deze 
stukken  zijn  door  Bessel  behandeld  als  lijnen  in  één  plat  vlak,  aan 
welke  in  elk  punt  zulk  een  gewicht  en  traagheidsmoment  zijn  toe- 
geschreven, als  beantwoorden  aan  de  door  dat  punt  voorgestelde 
slaafdoorsnede ; de  straal  des  cirkels,  die  het  randstuk  voorstelt,  is 
gelijk  genomen  aan  den  afstand  van  het  zwaartepunt  der  randdoor- 
snede  tot  de  cirkelas. 

Zooals  steeds  in  de  elasticiteitstheorie  voor  gevallen  als  dit  toelaat- 
baar is,  zijn  van  de  elastische  verscliuivingen  hoogere  machten  dan 
de  eerste  in  de  formules  weggelaten.  Die  verschuivingen  zijn  dus 
hier  met  de  versnelling  der  zwaarteki‘acht  evenredig  en  zouden 
verdwijnen,  indien  men  het  zwaarteveld  kon  opheffen.  Er  kunnen 
ook  dan  nog  aanzienlijke  spanningen  voorkomen,  en  deze  neemt 
Bb;ssel  wel  in  zijne  algemeene  formules  op,  maar  zoolang  zij  het 
lineaire  der  zwaartekrachtswerking  niet  verstoren,  veranderen  zij  bij 
draaiing  der  cirkels  in  het  vertikale  vlak  de  hoeken  der  deelstrepen 
niet;  ik  laat  om  die  reden.de  termen  in  de  formules  van  Bessel, 
op  die  spanningen  betrekking  hebbende,  terzijde. 

Er  volgt  uit  de  erkenning,  dat  de  te  beschouwen  elastische  ver- 
schuivingen met  de  zwaartekracht  evenredig  zijn,  eene  uitdrukking 
voor  de  hoekverandering  van  een  deelstreep  iv  wegens  buiging. 
In  den  stand  des  cirkels,  bij  welken  ly,  de  helling  is  van  streep  w, 
zijn  de  componenten  van  de  versnelling  der  zwaartekracht  g naar 
richtingen  volgens  die  streep  en  loodrecht  daarop  ^ 7^,  en  co5 

en  voor  hare  buiging  kan  men  schrijven: 

V (w)  sin  lyj  -p  II  (w)  cos  1^ 

V {lü)  en  H{w)  stellen  hierin  de  buigingen  van  streep  lo  voor,  als 


75 


zij  vertikaal  naar  beneden  af  horizontaal  naar  rechts  gericht  is  voor 
iemand,  die  de  randverdeelingaanziet.Wegens  de  gelijk-  en  gelijkvormig- 
heid der  m sectoren  hebben  V {id)  en  ' gelijke  waarden  voor  de 

m strepen  van  overeenkomstige  plaatsing.  Ik  begin  daai'om  lo  te  rekenen 

2jr 

bij  het  einde  van  een  spaak  met  nnl  en  eindig  bij — = ■&.  Het  zij.  de  ^-de 

m 

spaak,  die  in  de  richting  der  toenetnende  graadcijfers  aan  streep  vooraf- 
gaat, en  de  helling  van  deze  spaak  zij  ui,  dan  is  li„  = Ui-\-  n)  en 
dit  in  de  buigingsuitdrukking  overgebracht  en  ontwikkeld,  geeft 
voor  haar; 


I F [w)  cos  w — H (w)  sin  w 


sin  ui  -|-  I H (w)  sin  w -\-  H (w)  cos  w j cos  ui. 


Tot  eene  uitdrukking  van  gelijke  beteekenis  komt  Bussel  aan  het 
eind  van  § 9 door  de  beschouwing  der  even wichtsvoorwaarden 
van  het  elasticiteitsvraagstuk. 

Om  echter  de  overeenstemming  te  verkrijgen  van  de  bovenstaande 
met  de  buigingsformule  (18)  van  Bessel  8]  vervang  ik  door 


, ontwikkel,  en  schrijf : 


^ F (lo)  = F (w)  cos 
G (m>)  = V (w)  sin 


— H (zo)  sin 
-F  H{w)  cos 


Voor  streep  lu  wordt  de  buiging  nu  voorgesteld  door: 


X F (w)  sin  ( u,-  -1 1 A (r  (zo)  cos  j ui  -\ 


De  factor  A is  het  reciprook  van  den  elasticiteitscoëfficient. 


Ter  wille  van  het  overzichtelijk  verband  ga  ik  nu  schetsen,  hoe 
Bessel  dit  elasticiteitsvraagstuk  heeft  behandeld  en  wat  sjmmetrie- 
beschouwingen  leeren  omtrent  de  door  hem  berekende  grootheden. 
Volgens  de  beschrijving  der  figuur  van  den  cirkel  behooren  tot 
eiken  sector  4 rnetaalstukken  samenkomende  in  2 knooppunten.  De 
beide  deelen  van  eene  spaak  zijn  afzonderlijk  te  behandelen  wegens 
het  knooppunt  met  de  dwarsverbindingen;  het  tweede  knooppunt 
ligt  aan  het  spaakuiteinde,  waar  de  spaak  met  twee  randstukken 
samenkomt.  Het  naafeinde  van  de  spaak  wordt  als  een  ingeklemd 
punt  beschouwd;  op  die  plaats  verandert  de  richting  der  spaak 
door  de  buiging  niet,  zoodat  zij  kan  dienen  om  de  veranderde 
richtingen  in  de  knooppunten  er  mede  te  vergelijken.  In  dat 
vaste  punt  komen  twee  krachtcomponenten  en  een  koppelmoment 


7B 


voor;  kende  men  deze  drie  onbekenden,  dan  zouden  de  overeenkom- 
stige drie  grootheden  in  dit  spaakstuk  aan  het  einde  bij  het  eerste  knoop- 
punt te  berekenen  zijn,  alsmede  de  beide  componenten  der  verplaat- 
sing van  het  eerste  knooppunt  en  de  draaiing  der  4 in  dat  punt  saraen- 
komende  stukken.  Voor  elk,  aan  dit  knooppunt  grenzend,  beginpunt 
van  het  2*^®  spaakstuk  en  van  één  dwarsstuk  worden  de  daar  werkende 
spanningswaarden  (twee  krachtcomponenten  en  het  koppelmoment) 
als  6 nieuwe  onbekenden  ingevoerd ; in  die  9 onbekenden  laten  ver- 
plaatsing en  draaiing  van  het  2*^®  knooppunt  zich  uitdrukken,  en  ook 
die  in  het  volgende  eerste  knooppunt,  en  tevens  de  drie  spanningscom- 
ponenten  in  de  eindpunten  van  beide  stukken.  Aan  het  tweede  knooppunt 
kan  men  nu  nog  voor  het  beginpunt  van  het  randstuk  dat  dit  knoop- 
punt met  het  volgende  verbindt,  de  daar  heerschende  drie  spannings- 
waarden als  nieuwe  onbekenden  invoeren,  zoodat  er  in  eiken  sector 
12,  totaal  12?7i  onbekenden  hebben  gediend  ter  verkrijging  van  uit- 
drukkingen voor  de  krachten,  momenten,  verplaatsingen  en  draaiingen 
aan  de  uiteinden  der  samenstellende  deelen.  Ter  bepaling  van  deze 
12m  onbekenden  heeft  men  voor  elk  der  beide  knooppunten  de  drie 
evenwichtsvergelijkingen  te  vervullen,  hetgeen  Qm  vergelijkingen 
oplevert. 

Voorts  zijn  de  verplaatsingswaarden  der  beide  knooppunten  op 
twee  wijzen  uit  te  drukken,  1“.  in  de  spanningsgrootheden  van  den  eigen 
sector,  2“.  in  die  van  den  voorafgaanden  sector  ; hieruit  vloeien  de 
andere  Qm  betrekkingen  voort.  Al  deze  betrekkingen  zijn  lineair 
zoowel  in  de  spanningen  als  in  de  verplaatsingen.  Bij  de  wijze  van 
oplossing  door  Bessel  gevolgd,  worden  omgekeerd  alle  spanningen 
uitgedrukt  in  de  verplaatsingen  van  de  2*^®  knooppunten,  en  zoo 
voor  eiken  sector  een  drietal  vergelijkingen  verkregen,  die  als  on- 
bekenden de  3 verplaatsingsgrootheden  voor  het  randknooppunt  uit 
den  eigen  sector  en  bovendien  nog  die  voor  de  twee  voorafgaande 
en  de  twee  volgende  randknooppunten  bevatten.  De  bekende  termen 
dier  S/n  vergelijkingen  bestaan  uit  constanten  vermenigvuldigd  met 
den  sinus  of  den  cosinus  van  de  helling  Ui  der  spaak  van  den  sector 
waarvoor  zij  gelden,  terwijl  de  coëfficiënten  der  overeenkomstige 
onbekenden  voor  alle  sectoren  dezelfde  constante  grootheden  zijn. 
Eene  algemeene  methode  voor  de  oplossing  van  zulke  cyclische 
stellen  van  vergelijkingen  past  Bessel  ten  slotte  toe,  om  de  verplaat- 
singswaarden in  de  knooppunten  van  den  rand  te  becijferen. 

In  de  uitdrukking  voor  de  buiging  van  eene  deelstreep,  die  Bessel 
afleidde,  maar  niet  verder  ontwikkelde,  komen  deze  3 grootheden, 
die  de  verplaatsing  van  het  voorafgaande  randknooppunt  bepalen, 
als  constanten  voor;  zij  worden  in  zijne  formule  door  Vi,  pi  en  g'^voorge- 


77 


steld ; n als  component  van  verplaatsing  in  radiale  richting  van  het  mid- 
delpunt af,  Pi  als  verplaatsingscomponent  in  de  tangentiale  richting  der 
toenemende  verdeeling  en  qi  als  draaiing  in  het  knooppunt  in  den  zin 
van  de  beweging  der  uurwerkwijzers.  Bovendien  bevat  die  formule 
nog  drie  spanningswaarden  uit  het  zooeven  geschetste  vi'aagstuk,  die 
door  Ui",  Ti"i  en  voorgesteld  zijn,  en  die  beteekenen  : Cj"  de  volgens 
de  koorde  werkende  krachtcomponent  van  het  voorafgaande 
knooppunt  op  het  randstuk,  p-'  de  door  dat  knooppunt  op  het 
randstuk  uitgeoefende  krachtcomponent  in  de  richting  van  den 
pijl,  en  zï'  hel  moment  van  het  koppel  op  het  randstuk  in  zijn 
beginpunt  werkende  en  positief  gerekend  evenals  de  draaiingen. 
Daar  de  accenten  dienden  ter  onderscheiding  van  deze  spannings- 
grootheden  en  die  in  de  spaak-  en  verbindingsstukken  en  de  laatste 
niet  voorkomen  in  de  buigingsformule  (18),  neem  ik  ze  niet  over.  Even- 
als de  buiging  kan  elk  dezer  grootheden  ontbonden  worden;  men  kan 
n.1.  stellen  =rsmuipi  =pcosUi  en  qi~qcosUt  waar  r,  p en  q 
voor  alle  sectoren  gelijk  zijn. 

In  het  algemeen  zijn  er  in  de  uitdrukking  voor  eenige  grootheid 
pi  die  veranderlijk  is  bij  draaiing  van  den  cirkel,  zoowel  termen  met 
cosui  als  met  sinui  aanwezig,  en  geeft  die  ontbinding  dus: 
gi  = pg  dn  Ui , ■4“  9 c cos  Ui-  Beschouwt  men  den  cirkel  in  dien  stand 
van  symmetrie  waarin  twee  spaken  horizontaal  zijn,  dan  is  voor  deze 
Pi  = -|-  of  = — Pc-  Over  de  radiale  verplaatsing  Vi  aan  het  spaak- 
einde  kan  men  opmerken,  dat  zij  wegens  de  symmetrie  ten  opzichte  van 
de  vertikaal  door  het  middelpunt  gelijk  moet  zijn  voor  Ui  = 0“  en 
lij  =180';  dat  kan  alleen  als  rc  = 0 is.  Dezelfde  symmetrie  verlangt 
dat  de  grootheden  p^  en  qi  bij  vertikalen  spaakstand  (iij=90“)  nul 
zijn,  omdat  zij  anders  zouden  wijzen  op  het  bestaan  van  elastische  ver- 
schuivingen in  eene  richting  loodrecht  op  de  lijn  van  symmetrie. 
Waar  nu  ps  en  qs  gelijk  nul  zijn,  laat  ik  bij  r^,  pc  en  qc  de  s 
of  c weg.  Voor  de  3 spanningswaarden  geldt  deze  vereenvoudiging 
niet;  men  heeft  derhalve: 


en  ten  opzichte  van  rp  en  Zi  hebben  ris  en  ijf,  Zg  en  Zf.,  de  overeen- 
komstige beteekenis. 

Er  bestaat  in  de  grootheden  van  dit  vraagstuk  ook  eene  tegen- 
gestelde symmetrie  ten  opzichte  van  de  horizontale  lijn  door  het 
middelpunt,  indien  de  figuur  een  ten  aanzien  van  die  lijn  symme- 
trische!) stand  heeft. 

In  punten  der  figuur,  die  voor  deze  lijn  elkanders  spiegelbeeld 


78 


zijn,  zullen  door  liet  zwaarteveld  elastische  verplaatsingen  ontstaan, 
waarvan  de  horizontale  componenten  alleen  verschillen  van  teeken 
en  de  vertikale  geheel  gelijk  zijn.  Men  overtuigt  zich  hiervan  door 
den  toestand  zich  voor  te  stellen,  waarbij  de  versnelling  der  zwaarte- 
kracht — g is,  en  door  vervolgens  in  de  gedachte  zwaarteveld  en 
cirkel  tezamen  180°  om  het  middelpunt  draaien  te  laten. 

Voor  de  beide  standen  van  sjmraetrie  volgt  uit  deze  voorwaarden, 
dat  de  horizontale  component  der  elastische  verplaatsing  oneven  is  in 
beide  co-ordinaten  x en  y,  terwijl  de  vertikale  component  eene  even 
functie  van  beide  coördinaten  moet  zijn.  Ook  zal  men  er  eigenschap- 
pen voor  de  elastische  krachten  aa)i  kunnen  ontleenen ; zij  zijn  ten 
opzichte  van  de  y-as  elkanders  spiegelbeeld,  indien  de  deelen  waarop 
zij  worden  uitgeoefend  elkanders  spiegelbeeld  zijn;  ten  opzichte  van 
de  x-a,s  zijn  zij  met  die  volgens  het  spiegelbeeld  in  evenwicht. 
Hiermede  weet  ik  nog  niet  goed  te  slagen  in  het  afleiden  van  eenige 
bepaalde  betrekkingen  tiisschen  de  spanningsconstanten  Zg  en 

Vc,  2c,  waarvan  de  getallenwaarden  voor  de  becijfering  der  cirkel- 
buiging  volgens  formule  (18)  van  Bessei,  bekend  moeten  zijn. 

Nadat  in  die  formule  gesubstitueerd  is: 


r{  = r sin  ui  =z  r cos  — sin  \ ui -\ — r sin  — cos 


pi  = p cos  Ui  = p sin  — sin  lui  — j p cos  — cos 


q{  — q cos  Ui  :=L  4 q sin  — sin  ( Mj'  -| ) + ? 


d- 


?/'  — Ss  ^ ) “h  Sc  ^os 


Vi”  = sin  ( 4-  — ) + yc  cos  ( m;  + 

zi”  = Zg  sin  \ Ui  \ Zc  cos  ( ui  -\ 


en  nadat  de  termen  daaruit  zijn  weggelaten,  die  op  den  spannings- 
toestand  onafhankelijk  van  het  zwaarteveld  betrekking  hebben,  geeft 


zij  bij  splitsing  in 


termen 


met  sin 


tot  factor  of  met 


cos  -|-  —J  tot  factor,  voor  de  beide  buigingsfunctiën  de  onder- 
staande uitdrukkingen  : 


79 


r (7ü)  = — r cos  sin  w {p  — q)  sin  — cos  w q sin 1- 

2 2 2 


+ is  • 

+ Vs  • 
+ ^s  • 


'2  J ^ ^2  ' 

> \ ■ /d’ 

b sin  ( 10  4-  b cos  1 w ] — 33 

'2  J ^2 

C sm  I w 4-  c cos w — Ö. 

'2  ; ' V 2 


g'  sin  j ^ + g'  cos  ^ 


+ 

+ 


G (w) 


i9'  _ i9' 

r sin  — sin  ^o  -j-  (p  — q)  cos  — cos  w q cos (- 


+ Sc 


a sin 


sin 


— to  1 -4  '1  cos  I — to  1 — 3J 


ÏO  1 -|-  b cos  ( 


+ 


Zr  . I C S2«  1 tO  + C 

L V2 

1^—  g sin  _ m;  j — g cos  ~ 


(j  - “)  - ® 

ïo  I @ 


+ 


4- 


De  functiën  in  beide  uitdrukkingen,  die  of  ic>  Vs  of  Vc?  ^s  of  Zc 
tot  factor  hebben,  zijn  dus  dezelfde.  De  duitsche  letters  a,  b,  c; 
o/b,  ’cj  31,  g,  g,  gh  g',  © en  stellen  in ’t  algemeen  functiën 

der  veranderlijke  w en  der  constante  i9  voor.  Men  vindt  ze  opge- 
geven door  Bessel  in  § 5,  (pag.  15 — 16)  als  integralen  die,  genomen 
over  het  randstuk  in  zijn  geheel,  evenveel  constanten  geven  voorkomende 
in  de  3 vergelijkingen  (14^),  die  het  verband  uitdrukken  lusschen 
de  3 spanningsgrootheden  aan  het  begitipunt  van  een  randstuk  en  de 
6 grootheden,  die  de  verplaatsing  der  beide  uiteinden  van  dat  rand- 
stuk bepalen.  De  punt  boven  die  letters  beteekent  niets  anders  dan 
een  onderscheid,  geen  differentiaalquotient.  Bij  de  bovenvermelde 
vereenvoudigde  onderstellingen  kunnen  de  15  integraties  alle  worden 
volbracht;  ik  deed  dit  en  verkreeg  voor  de  5 combinaties  in  F {lo) 
en  G {w)  voorkomende  het  volgende : 

i V2  J 

= sm  I ^ w j , ( — li  — cos  (5^ -f- «)  -|-  cos  t ^ w j , ( — \ w ^ sin  0) 


80 


— w cos 1-  (1 — X)  stn  — 

2 ^ ^ 2 

lo  . Y.  . { D Sin w + b cos 10  \ — ■'O } = 

I V2  ; '^2  ; i 

//V  \ , \ 

= sin  I ^ 10  j . ( — ^ ^c  — i sin  0)4-  I ^ ^ j • ( I T — ^ cos  O- 

0  0 

— w sin (1  — )t)  cos  — 

2 ' ’ 2 

\ . fO  \ . fO  \ _| 

lo  . Y.  . ( c sin zc  -|-  C cos w — (è  > = 


■'*) 


0 


sin  — ^ — 10  \ cos h cos w sm  — —to 

2 2^  \2  2 


0 


O 


1 \ . fO  '\  ■, 

— . K . q sm zc  I 4-  q cos w \ — © 

A/j  V2  J ' ^ \2 


d 


=Z  sm  [ — — IC  ) . (—  i l cos  «9-  + 2 1 — 5{)  + 


+ cos  w j . [(14  — x)  w — ^ sin  d ] 

0 O 

— (2  — x)  sin \r  w cos  — 

’ 2 2 


1 


ê 


. Y . { — q sin  I — — IC  I — q cos  f zc^  4-  © | = 

M I ^ V2  J y2  J \ 

. \ 

dn  ( — — w j . [—  (14  — x)  w — 4 sin  #] 


+ cos  — w j . ( — 4 cos  2 -g-  — x) 

& -& 

— w sin (2  — x)  cos  — 

2  ^ 2 


In  deze  formüles  beteekenen  x,  co,  A en  h constanten  voor  den 
cirkel;  h is  de  straal  gerekend  van  het  middelpunt  tot  het  zwaarte- 
punt van  de  randdoorsnede,  A is  het  gewicht  van  1 cm®  van  het 
metaal,  to  is  de  grootte  der  randdoorsnede,  en  in  de  constante  y 
uitgedrukt  is  het  traagheidsmoment  van  de  doorsnede  gelijk  aan 
A®  to  X.  Ten  opzichte  van  de  waarden  p,  q en  r,  die  voor  de  elastische 
verplaatsingen  en  i]  en  2,  die  voor  de  spanningen  zijn  ingevoerd, 
heb  ik  nog  op  te  merken,  dat  aan  r en  p de  werkelijke  verplaat- 
singen 7.  h r en  X h p,  aan  q de  werkelijke  draaiing  7 q,  aan  S en  p 


81 


de  werkelijke  spanningskracliten  S en  ii,  en  aan  het  werkelijke 
spanningsmoment  h z,  beantwoorden,  waar  X evenals  boven  de  rela- 
tieve verkorting  is  van  het  materiaal  onder  den  druk  van  de  gewichts- 
eenheid per  cm’. 

Ook  is  de  buiging  naar  Bessel  uitgedrukt  in  deelen  van  den 
straal  h. 

De  uitwerking  geeft  dus  betrekkelijk  eenvoudige  functiën,  die  het 
verloop  der  buiging  doen  kennen  van  spaak  tot  spaak.  Ik  zal  ze 
verder  niet  herleiden,  doch  nu  de  constante  spanningswaarden,  die 
in  de  formule  voorkomen,  uitdrukken  in  de  3 onbekende  verplaatsings- 
grootheden  en  in  gegevens  van  den  cirkel;  deze  onbekendeji  r,  p 
en  q zijn  slechts  door  oplossing  van  het  geheele  stelsel  van  cyclische 
vergelijkingen  te  vinden,  omdat  de  bizondere  maten  van  de  spaken 
en  de  dwarsverbindingen  daarop  hun  invloed  doen  gelden.  Een 
algemeene  behandeling  komt  voor  deze  niet  in  aanmerking;  men 
kan  hunne  getallenwaarden  voor  den  te  onderzoeken  cirkel  naar 
Bessïil’s  voorbeeld  becijferen  of  ze  aanmerken  als  constanten,  uit  de 
formule  af  te  leiden  door  deze  aan  meetuitkomsten  aan  te  sluiten. 

Voor  de  spanningswaarden  ’Js.  en  7jc  en  Zc  is  dit  anders; 
men  kan  ze  algemeen  oplossen  met  behulp  van  de  drie  vergelijkingen 
(14*)  van  ^ 7 der  BESSEi/sche  verhandeling,  en  deze  oplossing  leerde 
mij  de  bizonderheid  kennen,  dat  Lc  en  gelijk  zijn  en  niet  anders 
beteekenen,  dan  de  kracht  die  met  het  gewicht  van  het  halve 
randstuk  in  evenwicht  is;  een  uitkomst  die  aan  Bessel  blijkbaar  is 
ontgaan,  daar  in  zijne  toepassing  in  ^ 13  (p.  39—40)  voor  de 

eerste  — 5228.68  A,  voor  de  tweede  — 5227.96  A in  rekening  is 

• 

gebracht. 

Ik  zal  hier  alleen  de  uitkomsten  mededeelen,  waartoe  ik  door 
oplossing  der  3 lineaire  vergelijkingen  voor  elk  stel  spannings- 
grootheden  gekomen  ben  ; 

7’  T 

gs=i^AtüA  ; rjs  = — ; Zs=^.^ha)A. 

— r-^p- — q — q 

Schrijvende  o voor en  t voor  — , merk  ik  met  het  oog 

AA  h A 

op  de  dimensie  van  een  dezer  verplaatsingsgrootheden,  q bijv.  op, 
dat  q een  hoek  gedeeld  door  A voorstelt.  Men  heeft  dus  in  q een 

7 

gewicht  per  eenheid  van  oppervlak  te  zien  en  in  — een  gewicht  per 

h 

eenheid  van  volume,  evenals  in  A.  Uitgedrukt  in  a,  0 en  r ver- 
kreeg ik : 

6 

Verslagen  der  Afdeeling  Naluurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


1 


82 

N = d'  sin  '&  — 8(1  — J{)  sin^  — 

2 

= 'd'^  sin  . {7 — 4x  (1 — ö)}  -f-  2 sin^  — . { — 16  -f"  Sx  (1  — t)  j 

2 

ê 

T,  = sin  — . [ê- — 10  -|- 2x  (3 — 2T)j  -f  2 sin  & ( — 1 2T  + 4ö)j]  -|- 

2 

ê 

-|-  cos  — . [■!?’  (3  — 2x)  — & sin  ■&  . (1  -\-4:Xo)] 

2 

Voor  het  2*^^®  stel  spanningsgrootheden  aan  de  spaakeinden  zijn 


mijne  uitkomsten; 

§c=  — ^ h é 

i^^3 — 2 sin  ^ — sin  'd'  (3  -\-4i(ó) 

; ric  = — 4 . h oj  L.. 

' ^ ê — sin  ^ 

en 

Zc  1 

^ . t?  / Ti]c 

•&  cos 2 sin  — 1 4-  1 A a>  A . 

2 2\  ^ h O)  /\J_ 

Scheikunde.  — De  Heer  Van  Rombübgh  biedt  eene  mededeeling  aan  : 
,,Over  den  onverzadigden  alkohol  uit  de  aeiherische  olie  van  versch 
ge fermenteerde  theeblaren” . 

In  1895  onderzocht  ik,  in  gemeenschap  met  mijn  toenmaligen 
assistent  den  Heer  C.  E.  J.  Lohmann,  de  aetherische  olie  uit  versch 
gefermenteerde  thee  ^),  waarvan  hei  ons,  dank  zij  de  medewerking 
van  eenige  theeplanters,  gelukt  was  een  kleine  hoeveelheid  te  be- 
reiden. De  opbrengst  aan  deze  aetherische  olie  is  uiterst  gering;  15 
K.G.  versch  blad  leveren  slechts  1 c.M’. 

Wij  konden  toen  in  de  olie  de  aanwezigheid  van  een  bij  153° — 
155°  kokenden  onverzadigden  alkohol  aantoonen  van  de  samenstel- 
ling CjBjjO,  dus  een  hexjleenalkohol.  Door  oxjdatie  kon  daaruit 
een  naar  ranse  boter  riekend  zuur  verkregen  worden,  welks  calcium- 
zont  bij  de  analyse  een  uitkomst  gaf,  die  op  de  aanwezigheid  van 
boterzuiir  wees.  Gebrek  aan  materiaal  verhinderde  ons  uit  te  maken 
of  het  gevormde  zuur  normaal  dan  wel  isoboterznur  was.  Later, 
kort  voor  mijn  vertrek  uit  Indië,  ben  ik  in  de  gelegenheid  geweest 
mij  een  grootere  hoeveelheid,  ±120cM’,  van  de  aetherische  thee- 
olie  te  verschaffen,  die  mij  in  staat  stelde  het  onderzoek  weder  op 
te  nemen  en  meer  in  ’t  bijzonder  na  te  gaan  of  er  bij  de  oxjdatie 
van  den  onverzadigden  alkohol  werkelijk  een  der  boterzuren  gevoinnd 
wordt.  De  kermis  van  den  aard  van  dat  zuur  is  natuurlijk  voor  de 
kennis  van  de  structuur  van  dien  alkohol  van  overwegend  belang. 

De  ruwe  olie  werd,  na  behandeling  met  loog,  om  liet  methyl- 
salicylaat ”)  (welks- aanwezigheid  wij  in  1896  aangetoond  hadden)  en 
event.  andere  esters*)  te  verzeepen,  verschilleride  malen  gefraction- 
neerd.  De  grootste  fracties  kookten  van  154 — 156°  en  van  156 — 158°. 

Deze  werden  vereenigd  en  in  vacoo  gedistilleerd ; de  hoofdfraktie 
kookte  van  75 — 80°  bij  28 — 30  mM. 

Het  SG  bij  19°  was  0.8465,  1 .43756. 

De  elementair-analyse  gaf  71.17  7o  C en  12.74  "/o  H 
terwijl  C,Hi,0  71.91  % C en  12.10  7o  H vereischt. 

7 Verslag  omtrent  den  staat  van  ’s  Lands  Plantentuin  te  Buitenzorg  over  het 
jaar  1895,  blz.  119. 

7 Idem  over  1896,  blz  168. 

7 Het  afgescheiden  salicylzuur  was  niet  reukeloos.  De  reuk  herinnerde  aan  dien 
van  pbenylazijnzuur. 


6* 


84 


De  vloeistof  werd  nu  met  droog  natrinmsnlfacat  behandeld  en  op 
nieuw  in  vaeuo  gedistilleerd,  zonder  dat  echter  de  analyse  van  het 
daarop  verkregen  product  betere  resultaten  gaf  (71.08  7o  C.  en 

12.597.  H). 

De  onverzadigde  thee-alkohol  addeert,  zooals  vroeger  werd  aan- 
getoond, gretig  broom,  de  hoeveelheid  broom  welke  geaddeerd  werd 
was  echter  geringer  dan  voor  een  stof  van  de  formule  te 

vei'wachten  is  en  bedroeg  daarvan  slechts  87  7o- 

Een  tweetal  nieuwe  bepalingen  gaven  het  volgende  resultaat: 

I.  1.017  G.  van  den  alkohol  addeei'en  in  chloroforrnoplossing 
afgekoeld  met  ijswater  1.363  G.  broom. 

II.  0.529  G.  addeeren  0.707  G.,  waaruit  blijkt  dat  resp.  slechts 

83.2  7o  en  83.5  7c  van  de  berekende  hoeveelheid  geaddeei'd  wordt. 

Daar  ik  vermoedde,  dat  de  onverzadigde  alkohol  wellicht  met 

een  hexjlalkohol  verontreinigd  kon  zijn,  heb  ik  getracht  een  grootere 
tioeveelheid  van  het  vloeibare  brooraadditieproduct  ’)  door  verhitting 
in  vaeuo  op  100°  daarvan  te  bevrijden,  om  vervolgens  door  behan- 
deling met  zinkstof  den  hexjleenalkohol  in  zuiveren  toestand  Ie  ver- 
krijgen. Daar  echter  het  broomadditieproduct  onder  die  omstandig- 
heden broom  waterstof  afsplitste,  moest  ik  van  mijn  voornemen  afzien. 

Behandeling  van  den  onverzadigden  alkohol  met  phenylisocyanaat 
leverde  geen  gekristalliseerd  product,  daarentegen  gaf  n-naphtyliso- 
cyanaat  een  bij  76°  smeltend  «-naphtylurethaan,  waarvan  het  smelt- 
punt, na  herhaald  omkristalliseeren  uit  petroleumaether,  tot  80°  kon 
worden  opgevoeid. 

Door  behandeling  met  phtaalzuuranhydride  gaf  de  thee-alkohol 
een  vloeibaren,  zuren  phtaalzuren  ester  waarvan  het  zilverzout  bij 
140°  smelt. 

De  oxydatie  van  den  thee-alkohol  met  kaliumpermanganaat,  in 
neutrale  zoowel  als  door  natriumcarbonaat  alkalisch  gemaakte  oplos- 
sing, verloopt  zeer  vlot  en  uit  11,5  G.  konden  (met  50  G.  kalium- 
permanganaat in  4 7o  oplossing)  ongeveer  3 cM’  zuur  verkregen 
worden,  dat  evenals  vroeger  weer  een  aan  boterzuur  herinnerenden 
geur  bezat.  Bij  distillatie  van  het  zuur  werd  echtei’,  behalve  een 
geringe  voorloop,  waarin  inierenzuur  aangetoond  kon  worden,  als 
hoofdfractie  eene  bij  125 — 145°  kokende  vloeistof  verkregen,  terwijl 
eenig  hooger  kokend,  naar  zweet  riekend  product  in  de  fractionneer- 
kolf  achterbleef.  De  hoofdfractie,  nogmaals  gedistilleerd,  gaf  een  van 
140° — 145°  kokende  vloeistof,  die  door  koken  met  water  en  calcium- 
carbonaat  in  een  calciumzout  werd  omgezet,  dat  bij  de  analyse 

21.2  7.  Ca  gaf. 


1)  Dit  wordt,  in  vloeibare  ammoniak  afgekoeld, _ niet  vast. 


85 


Deze  uitkomst,  alsmede  het  kookpunt  van  het  verkregen  zuur, 
wijzen  er  op  dat  dit  uit  propionzuur  bestaat,  welks  calciumzout 
21.5  7e  Ca  bevat.  Door  verhitting  van  het  ammoniumzout  werd  een 
bij  78°  smeltend  amide  verkregen,  dat  met  propionamide  gemengd 
geen  verlaagd  smeltpunt  vertoonde. 

De  nit  de  thee-olie  verkregen  hexjleen-alkohol  zou  dan  een  hexeen. 
3.  ol.  6 dus  CH,  . CH,  . CH  ; CH  . CH,  . CHjOH  kunnen  zijn.  Nu  is  door 
H.  Walbaum  ')  uit  de  Japansche  pepermuntolie  een  hexjleen-alkohol 
verkregen,  waaraan  hij  op  grond  van  zijn  onderzoek  de  structuur 
van  een  hexenol  toekent.  Deze  alkohol  zou  dan  identisch  met 
dien  uit  de  thee-olie  zijn. 

Bij  oxjdatie  met  kaliumpermanganaat  levert  het  (iy  hexenol  als 
hoofdproduct  propionzuur,  met  chroomzuur  een  hexjleenzuur ; het 
«-naphtjlurethaan  er  uit  verkregen  smelt  bij  80°,  terwijl  het  smelt- 
punt van  het  zilverzout  van  den  zuren  phtaalzuren  ester  bij  126° 
ligt.  Bij  de  additie  van  broom  wordt  slechts  70  7o  van  de  geëischte 
hoeveelheid  opgenomen. 

De  smeltpunten  van  het  door  Walbaum  verkregen  zilverzout  en 
het  mijne  komen  wel  is  waar  niet  overeen,  maar  overigens  pleiten 
de  eigenschappen  van  den  thee-alkohol  er  voor  om  aan  te  nemen, 
dat  deze  grootendeels  uit  hexenol  bestaat.  Waarom  echter  bij  de 
oxjdatie  met  kalium-permanganaat  vroeger  een  zuur  werd  verkre- 
gen, welks  calciumzout  een  gehalte  van  slechts  18.6  7o  calcium  had, 
vermag  ik  op  ’t  oogenblik  niet  op  te  helderen.  Het  zuur  was  toen 
7iiet  gedistilleerd,  omdat  de  hoeveelheid  daartoe  te  gering  was,  en 
kan  bijv.  hexjlzuur  bevat  hebben  waardoor  het  calciumgehalte  van 
gevormd  propionzuur  verlaagd  werd,  dan  wel  bestaat  de  mogelijk- 
heid, dat  de  verhitting  met  loog,  welke  de  ruwe  thee-olie  thans 
onderging  om  het  methjlsalicjlaat  te  verwijderen,  een  verspringen 
van  de  dubbele  binding  heeft  veroorzaakt.  Het  onderzoek  alsmede 
dat  naar  de  andere  bestanddeelen  van  de  thee-olie  wordt  voortgezet  ’). 

Naschrift.  Sinds  de  aanbieding  van  bovenstaande  mededeeling 
mocht  ik  op  mijn  verzoek  van  de  firma  Schimmel  en  Co.  te  Leipzig 
eene  kleine  hoeveelheid  van  den  onverzadigden  alkohol  uit  de 
Japansche  pepermuntolie  ontvangen,  waarvoor  ik  ook  te  dezer  plaatse 
gaarne  mijn  dank  betuig.  Het  daaruit  verkregen  bij  80°  smeltende 

Journ.  f.  prakt.  Chemie,  96,  245'  (1917). 

De  aeth.  olie  van  de  thee  is  voor  eenigen  tijd  ook  het  onderwerp  geweest 
van  een  onderzoek  van  ür.  Deuss  (Mededeelingen  van  het  Proefstation  voor  Thee 
XLII,  21  1917),  die  echter  slechts  onze  waarneming  bevestigde,  dat  er  een  onver- 
zadigde alcohol  benevens  methylsalicylaat  in  voorkomt. 


86 


I 


«-naplitylurethaan  gaf  met  dat  uit  de  thee-olie  gemengd  geen  ver- 
andering van  het  smeltpunt.  De  er  uit  bereide  zure  phtaalzure  ester 
leverde  een  zilverzout,  dat  bij  128°  smolt.  Door  omkristalliseeren 
uit  alkohol  kon  het  smeltpunt  opgevoerd  worden  tot  134°  (onscherp). 
Gemengd  met  het  uit  den  thee-alkohol  verkregen  zilverzout,  smolt 
het  mengsel  bij  138°. 

Ik  meen  thans  wel  te  mogen  aannemen,  dat  de  door  mij  verkre- 
gen onverzadigde  alkohol  uit  de  thee-olie  identisch  is  met  het  /?y- 
hexenol,  dus  een  hexeen-3-ol-6.  is. 

Utrecht,  Org.  Chem.  Laboratorium  der  R.  Unioersiteit. 


Natuurkunde.  — De  Heer  Jülius  biedt  eene  mededeeling  aan 
van  den  Heer  K.  F.  Niessen  over:  ,, Theorie  eener  methode 
ter  afleiding  van  de  energieverdeeling  in  een  eng  spectraalgebied 
uit  de  energieverdeeling,  ivaargenomen  in  een  interferometer” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Kuenen). 

1. 

Michelson  heeft  de  richting  aangegeven,  waarin  men  naar  een 
dergelijke  methode  zoeken  moet  ^).  Hij  beschouwt  eerst  twee  absoluut 
monochromatische  bundels,  welke  hij  onder  een  phaseverschil  met 
elkaar  laat  interfereeren.  Vindt  dit  plaats  in  den  interferometer  van 
Michelson,  waarin  het  referentievlak  op  een  afstand  / voor  den 
verschuifbaren  spiegel  moge  liggen,  dan  is  het  phaseverschil  der 


als  men  met  hef  golvenaantal  m werkt,  waaronder  we  het  aantal 
golven  in  de  lengteeenheid  verstaan).  De  kijker  wordt  op  oneindig 
ingesteld  en  in  het  midden  van  het  gezichtsveld  (want  daar  inter- 
fereeren de  loodrecht  ingevallen  stralen)  wordt  een  intensiteit  J{1) 
waargenomen,  die  met  behulp  van  de  formule  ’) 

J (/)  =:  2 --j-  2 J ^ cos  4ar  lm (1) 

uit  de  gelijke  intensiteiten  der  interfereerende  bundels  berekend 
kan  worden.  Een  willekeurigen  lichtbundel  kan  men  in  oneindig 
veel  absoluut  monochromatische  bundels  verdeeld  denken  van  de 
sterkte 

/j  — (A)  rfA  of  .....  (2) 

indien  men  het  golvenaantal  m gebruikt.  Daar  intensiteiten,  te  dan- 
ken aan  verschillende  frequenties  zich  scalair  samen  voegen,  zal  dit 
licht,  in  den  interferometer  van  Michelson  toegelaten,  in  het  be- 
schouwde punt  de  intensiteit  J{1)  teweegbrengen,  gegeven  door; 


1)  Phil.  Mag.  (5)  31,  pag.  338,  1891. 
*)  Deude,  Lehrb.  der  Optik,  pag.  123. 


88 


/2 

J(l)=  2j„  (A)  dX  -j-  00 


4jrZ 

cos dA  of 


771^  7/lj 

/(0=  2jx  (m)  dm  4-  (^0  45t  Zm  cZm  of 


Ï7i, 

+ (T 


+« 


J(Z)  = 2^  ^ (,v)  dx  -\-  2 ƒ'<  ic)  cos  4/1 Z (m  |-  x)dx. 


. . (3) 


Hierin  zijn  Aj  en  A,  de  lengten  van  de  kleinste  en  van  de  grootste 
der  aanwezige  golven,  dns  en  m,  de  uiterste  frequenties  aan 
weerszijden,  terwijl  m het  gemiddelde  van  beide  is,  zoodat  m = rn  -|-  x 
gesteld  kan  worden. 

Voor  t{rii-{-x)  is  voorts  (f  {x)  geschreven.  Het  frequentiegebied 
2a  van  den  bundel  onderstelt  Michelson  zeer  klein,  zoodat  hij  alleen 
een  praktisch  rnonochromatischen  bundel  onderzoekt.  Er  zij  al  aan- 
sionds  op  gewezen,  dat  wij  deze  beperking  in  onze  redeneering  niet 
zullen  gebruiken. 

Omdat  m bij  de  integratie  een  constante  is,  kan  de  laatste  verg. 
van  (3)  in  den  vorm 


J{1)  = 


dx  4-  2 cos  4jr  Zm  X O (Z)  — 2 sin  4 jr  Zm  X 'S(Z).  . (4) 


— a 


gebracht  worden;  hierin  zijn  C'(/)  en  X(/)  de  volgende  functies  van  l: 

+ fi  + n 

0(1)  = (x)  GOS  4/t  lx  dx,  S (Z)  (x)  sin  éjt  lx  dx . . (5) 

— a — a 

Ons  doel  is  de  functie  x(^ï)>  dus  q>{x)  te  bepalen. 

Volgens  de  integraalstelling  van  Fourier  is  in  het  algemeen; 

</  (x)  = ~^cos  ax  da^(f  (g)  cos  d§  -| ^ sin  ax  dc^(fi  (§)  sin  §«  cZg  . (6) 

O — 00  O — 00 

Hierin  kan  voov  ('è)  cos  §a  in  de  plaats  gesteld  worden 

— CO 

+a 

J'rf(x)  cos  4:nf  Ivdx,  aangezien  cf.ix)  voor  — a > ,r  j> -f  « toch  nul  is. 


— a 


89 


-|-  00 


Analoog  kan  I f/(§)  sin  vervangen  worden  door 


-fa 

^(f  yx)  si 


sin  l/r  Ixdx 


dus  S{1).  Voor  a is  klaarblijkelijk  4jr/  genomen.  Verg.  (6)  gaat  nu 
over  in : 


-.n  lx  dl 


(7) 


(f  {x)  = A: ^ C (/)  COS  4jr  lx  dl  -f  4^ S (1)  sin  4 
o o 

De  functie  (p{x)  zal  dus  bekend  zijn,  als  men  C en  S als  functies 
van  I kent,  dus  als  men  C en  S voor  elke  waarde  van  I experi- 
menteel kan  bepalen. 

Gegevens  om  hiertoe  te  geraken  zijn  te  ontleenen  aan  de  ,,zicht- 
baarheidskromme”  van  Mïchelson,  wier  ordinaten  hij  definieert  als 

J max.  d 1 


v= 


(waarin  Jmax.  e»  Jmin.  de  intensiteiten  in  de  opeen- 


J mnx.  J \/iin. 

volgende  maxima  en  minima  van  het  stelsel  interferentiefranjes  voor- 
stellen). Blijkens  (4)  is  V een  functie  van  C{1)  en  Sil)-,  nemen  wij 
aan,  dat  F (/)  uit  fotometrische  waarnemingen  voldoende  nauwkeurig 
bekend  was,  dan  beschikken  wij  dus  over  een  betrekking  tusschen 
C{1)  en  S{1),  maar  ieder  afzonderlijk  kunnen  wij  die  grootheden, 
zonder  meer  gegevens,  niet  bepalen.  Slechts  in  enkele  eenvoudige 
gevallen,  die  een  tweede  voorwaarde  betreffende  C(l)  of  S(l)  in- 
hielden, heeft  Mïchelson  den  vorm  van  uit  dien  van  V{1) 

afgeleid. 

Het  doel  van  ons  onderzoek  is  nu,  een  middel  aan  te  geven, 
waardoor  men  in  ieder  willekeurig  geval  een  tweede  betrekking 
tusschen  C{1)  en  S{1)  kan  vinden  en  derhalve  (f{x)  kan  oplossen. 

In  verg.  (4)  kunnen  we  J {l)  voor  een  gegeven  waarde  van  I 

-fa 

experimenteel  bepaald  denken.  Ook  ^ (p{x)dx  kan  gemeten  worden. 


— a 

dit  is  nl.  de  intensiteit,  die  een  der  bundels  in  het  midden  van  het 
gezichtsveld  veroorzaakt,  als  hij  niet  tot  interferentie  gebracht  wordt 
met  den  anderen.  Ora  deze  grootheid  te  bepalen  heeft  men  dus 
slechts  een  der  spiegels  te  bedekken.  Verg.  (4)  kan  dus  beschouwd 
worden  als  een  vergelijking  met  twee  onbekenden  C en  S,  te  nemen 
voor  die  waarde  van  l,  waarvoor  J gemeten  is. 

We  zullen  voor  dezelfde  waarde  van  I een  tweede  vergelijking 
tusschen  C en  *S  moeten  zoeken  om  beide  grootheden  te  kunnen 
oplossen.  Dit  middel^  zal  evenwel  falen,  als  in  de  tweede  vergelijking 
C en  aS  op  dezelfde  manier  gecombineerd  voorkomen  als  in  verg. 


90 


(4),  dus  als  zij  weer  afkomstig  zijn  van  (x)  cos  4:  Jt  I {m x)  dx , 

— a 

waarbij  met  I een  varieerbare  parameter  is  bedoeld,  die  niet  meer 
dezelfde  physische  beteekenis  van  zoo  even  behoeft  te  hebben. 

Prof.  Ornstkin  droeg  mij  op  te  onderzoeken,  of  een  dergelijke 
vergelijking  niet  te  verkrijgen  zou  zijn  uit  de  intensiteitsverdeeling 
in  het  buigingsbeeld  bij  het  echelon.  Het  resultaat  van  dit  onder- 
zoek is,  dat,  zoo  de  intensiteitsformule,  onverschillig  van  welk  in- 
strument, C of  aS  bevat,  zij  hen  steeds  beide  moet  bevatten  en  wel 
in  de  combinatie,  waarin  zij  reeds  in  verg.  (4)  voorkwamen,  tenzij 
men  zich  van  een  nader  aan  te  geven  kunstgreep  bedient.  Zonder 
dezen  zijn  C en  S niet  op  te  lossen  en  is  </>  (x)  dus  niet  te  bepalen. 

2. 


We  zullen  eerst  bewijzen,  dat  voor  absoluut  monochromatisch 
licht  de  intensiteit  altijd  een  even  functie  van  het  golvenaantal  is, 
als  we  voorop  stellen,  dat  het  licht  zich  in  het  apparaat  normaal 
voortplant,  d.w.z.  dat  een  phaseverandering  gepaard  gaat  met  een 
evenredige  wegverandering,  zoodat  b.v.  reflectie  tegen  een  dichtere 
middenstof,  metaal-  en  totale  reflectie  moeten  worden  uitgesloten. 

Een  punt  Q,  waar  we  de  intensiteit  meten,  ontvangt  zijn  licht 
van  zekere  punten  P van  het  instrument,  die  op  hun  beurt  weer 
belicht  worden  door  de  bron  L.  De  punten  P verkeeren  in  ver- 
schillende phasen,  omdat  zij  het  licht  van  de  bron,  ieder  langs  een 
anderen  weg  ontvangen.  Daar  we  overal  de  normale  voortplanting 
van  het  licht  hebben  aangenomen,  zullen  de  phaseverschillen  uit- 
sluitend afhangen  van  verschillen  van  wegen,  uitgedrukt  in  aantallen 


golven,  en  zullen  zij  dus  evenredig  zijn  aan  — of  m,  waarbij  de 


evenredigheidsfactoren  afhangen  van  lengten,  hoeken,  brekingsin- 
dices, enz.  Van  dispersie  zullen  we  afzien,  daar  deze  in  het  later 
te  ontwerpen  instrument  toch  wordt  buitengesloten.  De  wegen,  die 
het  licht  van  uit  de  punten  P nog  moet  afleggen  om  in  het 
waarnemingspunt  Q te  komen,  zullen  ook  optisch  niet  even  lang 
zijn,  zoodat  zich  bij  de  reeds  bestaande  phaseverschillen  andere 
voegen,  die  weer  wegens  de  normale  voortplanting  van  het  licht 
uitsluitend  zullen  berusten  op  wegverschillen  en  dus  evenredig  aan 
zullen  zijn,  zoodat  de  uitwijkingen,  die  de  punten  P tenslotte 
in  Q teweegbrengen,  onderling  phaseverschillen  vertonnen,  die  even- 
redig aan  ?n  zijn.  Stelt  men  deze  uitwijkingen  voor  als  projecties 
van  vectoren,  wier  hoek  met  de  as  van  projectie  gelijk  is  aan  de 


I 


91 


bijbehoorende  phase,  dan  zullen  punten  P,  over  welke  lichtwegen 
loopen  van  L naar  Q,  die  in  aantal  golven  even  lang  zijn,  vectoren 
geven,  die  over  elkaar  vallen. 

Deze  zijn  in  tig.  1 tot  één  vector  vereenigd.  Zoo  kan  de  werking 
van  elk  instrument,  waar  slechts  normaal  voortgeplant  licht  gebruikt 
wordt,  in  ieder  punt  Q bepaald  worden  met  behulp  van  een  vector- 
waaier,  die  in  zijn  geheel  om  O draait  volgens  de 
richting  van  het  pijltje.  De  intensiteit  zal  het  quadraat 
zijn  van  de  resultante  der  vectoren.  Stel,  dat  men 
voor  alle  punten  P„,  P^,  P^, . . . Pi  de  phaseii  van  hun 
verstoringen  in  Q vergelijkt  met  de  phase  vaji  de 
verstoring,  gegeven  door  een  punt  P„,  welks  vector 
AO^  zij,  dus  een  punt,  waarover  de  kortste  optische 
weg  loopt  van  de  bron  naar  het  waarnemingspunt, 
dan  is  A^OA^  =:  c^ni,  /_  A^OA^  = c^m,  enz.,  waarbij  de  constan- 
ten Cl,  C5,  enz.  afhangen  van  allerlei  lengten,  hoeken  en  brekings- 
indices. De  richting  van  den  vector  OA^  zullen  we  kortheidshalve  de 
tijdrichtitig  noemen,  daar  ze  alleen  van  den  tijd  afhangt  ; zij  zal  in 
onze  redeneering  een  groote  rol  blijken  te  spelen  en  wij  zullen 
haar  voortaan  steeds  verticaal  teekenen  en  de  as  van  projectie 
weglaten.  We  hebben  hier  een  waaier  geleekend,  welks  tophoek 
klein  is;  in  werkelijkheid  zal  deze  wel  meerdere  raaien  2 -t  be- 

vatten. Vectoren  immers,  correspondeerende  met  wegen  LQ,  die 
een  geheel  aantal  golven  in  lengte  verschillen,  zullen  in  de  figuur 
wel  over  elkaar  vallen,  doch  niet  als  één  vector  geteekend  worden. 
Dit  geschiedt  alleen,  zoo  de  wegen  optisch  precies  even  lang  zijn. 
Ook  behoeven  de  eindpunten  der  vectoren  geen  doorloopende 
kromme  te  vormen. 

Laten  we  ter  verduidelijking  den  waaier  construeeren  voor  een 

echelon.  Hij  bestaat  uit  eenige  kleinere  waaiers,  welke  spaaksge- 

wijze  in  O staan  gerangschikt  en  wier  aantal  gelijk  is  aan  het 

aantal  platen  van  het  echelon.  In  fig.  2 zijn  er  slechts  drie  van 
geteekend. 

Alle  punten  7^j,  gelegen  in  een  verticale  lijn  op  het  voorvlak 
eener  plaat  liggen  optisch  even  ver  van  de  bron  en  tevens  even  ver 
van  het  punt  Q.  Hun  vectoren  worden  dus  vereenigd  tot  één  enkelen 
vector  OA^  welks  lengte  dus  evenredig  is  aan  de  lengte  der  verticale 
lijn  ’).  Een  willekeurig  punt  van  den  linkerrand  der  eerste  plaat 
kan  als  het  punt  P^  van  zooeveji  beschouwd  worden. 


1)  Het  licht  valt  in  volgens  de  richting  d in  fig.  3. 

2)  Op  deze  manier  kan  men  ook  den  invloed  nagaan  van  diafragma’s,  vóór  de 
platen  gezet,  waar  later  even  van  gebruik  zal  gemaakt  worden. 


92 


De  indices  bij  de  punten  P van  tig.  3 geven  aan,  welke  vector 
in  fig.  2 van  hun  verticale  lijn  afkomstig  is.  Wordt  het  echelon 


onder  een  hoek  0 met  de  normaal  bekeken,  dan  zullen  de  stralen 

sin  6 

uit  Pj  en  onder  een  phaseverschil interfereeren 


<A,OA, 


2.'c,  sin  8 

is  dus Jir  of  zoo  men  in  de  vroegere  notatie 


dezen  gelijk  Cj  stelt,  blijkt  dus  sin  6 , dus  een  con- 

stante') te  zijn,  die  uitsluitend  van  afstanden  afhangt;  <^A^OAa  = 
sin  6 sin  6 

■= 71,  AnOA^  — n,  als  b de  breedte  der  glaspla- 


ten is.  De  andere  waaiers  zijn  met  den  eersten  congruent,  terwijl 
de  laatste  straal  van  een  waaier  steeds  een  zelfden  hoek  am  met 
den  eersten  van  den  volgenden  maakt;  <^am  toch  is  het  phase- 
verschil, te  danken  aan  het  verschil  van  twee  lichtwegen,  de  eene 
gaande  van  een  punt  van  den  rechterrand  eener  plaat  tot  Q en  de 
andere  van  den  linkerrand  der  volgende  plaat  tot  hetzelfde  punt 
Q.  Zijn  n en  d de  brekingsindex  en  de  dikte  van  elke  plaat,  dan 
is;  a = iid — dcosS,  dus  weer  een  constante'),  van  lengtematen  en 
physische  constanten  afhangende. 

Keeren  we  nu  tot  het  algemeene  geval  terug. 

Valt  op  het  instrument  licht  van  een  tweemaal  kleinere  golflengte, 
dan  zal  de  waaier  tweemaal  verder  uitgetrokken  worden,  daar  alle 
hoeken  met  de  tijd  richting  evenredig  aan  m zijn.  Vooral  bij  het 
echelon  blijkt  duidelijk,  hoe  daardoor  de  resulteerende  vector  en 
hiermee  de  intensiteit  in  het  waarnemingspunt  Q van  grootte  zat 
veranderen.  De  intensiteit  is  dus  een  functie  van  het  golvenaantal  m,  en 
om  te  bewijzen,  dat  dit  een  even  functie  hiervan  is,  zullen  we  m 
van  teeken  ornkeeren.  Dit  is  slechts  een  mathematische  kunstgreep, 
waarachter  geen  physische  beteekenis  moet  gezocht  worden.  Punten 


1)  d.  w.  z.  onafhankelijk  van  m. 


93 


Pj,  die  in  hun  beweging  eerst  c^??^  achter  waren  bij  Pj  en  wier 
vector  dus  onder  een  iioek  c^m  rechts  van  de  tijdrichting  lag,  zullen 
P„  nu  als  bet  ware  c^m  vóór  zijn  en  een  vector  geven,  die  weer 
een  hoek  c^m  met  de  tijdrichting  vormt,  doch  nu  links  van  deze 
is  gelegen.  Daar  de  hoek  tusschen  eiken  vector  en  de  tijdrichting 
evenredig  was  aan  >//,  zullen  alle  vectoren  zich  dus  in  deze  richting 
spiegelen  en  zal  de  vorm  van  den  waaier  en  daarmee  de  resultante, 
dus  de  intensiteit  onveranderd  blijven.  Derhalve  is  bij  elk  instrument, 
waarin  het  licht  zich  normaal  voortplant,  de  intensiteit  een  even 
functie  van  het  golvenaantal.  Hierbij  is  absoluut  monochromatisch 
licht  ondersteld,  daar  bij  samengesteld  licht  de  intensiteit  geen  functie 
van  het  golvenaantal  meer  is  wegens  het  integreei-en  naar  in  tusschen 
bepaalde  grenzen. 

3. 

Nu  zullen  we  in  het  instrument  echter  ook  terugkaatsingen  tegen 
een  dichtere  middenstof  toelaten.  De  phase  verspringt  hierbij  plot- 
seling ■,  een  dergelijke  plotselinge  phaseverandering  zullen  we  een 
phasesprong  noemen.-  Stel  dus,  dat  eenige  punten  P'  van  het  in- 
strument verlicht  worden,  door  stralen,  die  een  oneven  aantal  malen 
zulk  een  reflectie  ondergaan  hebben.  Hun  vectoren  maken  nu  niet 
meer  den  hoek  c'm,  doch  den  hoek  c'm  -|-  -t  met  de  tijdrichting. 
Het  punt  P,  gaf  vroeger  een  vector,  met  behulp  van  welks  ricliting 
de  tijdrichting  gedefinieerd  werd.  Komt  het  punt  echter  ook  tot 
de  punten  P'  te  belmoren,  dan  zal  ook  zijn  vector  over  een  hoek 
7r.  draaien,  dus  de  tegengestelde  richting  van  vroeger  verkrijgen. 
Daar  de  andere  groep  punten  van  het  apparaat  normaal  voortge- 
plant licht  blijven  ontvangen,  blijven  hun  vectoren  de  hoeken  cm 
met  P/s  vroegeren  vector  vormen. 

Definieeren  we  nu  de  tijdrichting  opnieuw  en  wel  als  de  richting 
van  den  vector,  afkomstig  van  dat  punt  P^  van  het  apparaat,  over 
hetwelk  de  kortste  optische  weg  loopt  van  de  lichtbron  L naar  het 
waarnemingspunt  Q,  afgezien  van  alle  mogelijke  phasesprongen,  dan 
zal  de  tijdrichting  in  de  volgende  beschouwingen  steeds  de  stand- 
vastige richting  zijn,  ten  opzichte  waarvan  we  den  stand  der  vec- 
toren bepalen.  We  zullen  haar  weer  steeds  verticaal  naar  boven 
gericht  denken.  Een  redeneering,  die  op  deze  tijdrichting  is  geba- 
seerd, zal  dus  zoowel  gelden  voor  het  geval,  dat  dit  punt  P„  licht 
ontvangt,  dat  van  phase  is  versprongen,  als  voor  het  geval,  dat  er 
normaal  voortgeplant  licht  op  valt.  De  constanten  c laten  we  hun 
waarde  behouden,  daar  zij  slechts  van  afstanden  afhangen ; echter 


94 


behoeft  cm  niet  meer  het  phasevei-schil  der  interfereerende  stralen 
te  zijn;  dit  kan  cm tt  geworden  zijn. 

Na  deze  uitvoerige  beschouwingen,  die,  zooals  later  zal  blijken, 
de  kern  der  methode  raken,  gaan  we  in  het  geval  van  twee  pun- 
tengroepeji  P en  P'  den  waaier  in  het  punt  Q construeeren. 

Een  punt  P^  en  een  punt  P^'  geven  vectoren,  die  resp.  de  hoeken 
c,7?i  en  c\m  tz  met  de  tijdrictiting  vormen.  Als  we  nu  m van 
teeken  omdraaien,  zal  de  eerste  groep  vectoren  weer  gespiegeld 
worden  in  de  tijdrichting ; een  vector  uit  de  tweede  groep  zal  echter 
den  hoek  jt  — c\m  in  plaats  van  den  hoek  .-r  -)-  c/???  met  de  tijd- 
richting gaan  vormen  en  dus  klaarblijkelijk  gespiegeld  worden  in 
het  verlengde  der  tijdrichting.  Li  laatste  instantie  zuilen  alle  vectoren 
dus  weer  in  dezelfde  lijn  gespiegeld  worden,  waardoor  de  waaier 
van  vorm  en  dus  de  intensiteit  van  grootte  onveranderd  blijft,  welke 
laatste  dus  weer  een  even  functie  van  m is.  De  stelling  kan  dus 
als  volgt  worden  uitgebreid. 

In  elk  instrument,  waar  het  licht  slechts  phasesprongen  van  een 
geheel  aantal  malen  .tt  kan  ondergaan,  is  de  intensiteit  bij  het  gebruik 
van  absoluut  monochromatisch  licht  een  even  functie  van  het  golven- 
aantal. 

Aan  deze  \'oorwaarden  voldoet  het  licht  uiteraard  in  alle  buigings- 
apparaten,  ook  rPeest  in  die,  welke  op  interferentie  berusten.  Hier 
kan  echter,  zooals  later  blijken  zal,  door  het  geschikt  optreden  van 
phasesprongen  o.a.  bij  reflecties  tegen  metalen  spiegels  de  intensiteit 
wel  eens  een  niet-even  functie  van  het  golvenaantal  worden. 

4. 

Beschouwen  we  nu  het  geval  van  een  nit  meerdere  frequenties 
continu  samengestelden  bundel.  Stel,  dat  het  mogelijk  was  een 
tweede  vergelijking  tusschen  C en  S voor  een  gegeven  parameter  I 
op  te  stellen  met  behulp  van  een  der  gebruikelijke  apparaten,  waar 
we  een  gunstige  werking  van  de  phasesprongen  bij  de  metaalreflec- 
ties  afwezig  zullen  onderstellen;  wat  bij  de  meeste,  zoo  niet  bij  alle 
gebruikelijke  instrumenten  werkelijk  het  geval  is.  We  kunnen  nu 
gemakkelijk  aantoonen,  dat  beide  grootheden  C en  S in  dezelfde 
combinatie  als  in  verg.  (4)  moeten  optreden.  Bevat  toch  de  nieuwe 

vergelijking  b.v.  C,  d.w.z.  J'rp  (.v)  cos  4:  Jt  Iv  da;,  dan  zou  zij  voor  abso- 

— a 

luut  monochromatisch  licht  J cos  4 jt  lx  bevatten,  waarvoor  men  ook 
schrijven  kan  J cos  4 jtI  (m — m).  Doch  voor  enkelvoudig  licht  moet 


95 


de  intensiteit  een  even  functie  zijn  in  m,  zooals  we  zagen  ; dus  kan 
J cos  {m—m)  slechts  in  die  combinatie  voorkomen,  die  haar 
terugbrengt  tot  J cos  i Jt  lm,  welke  even  is  in  7n,  d.w.z.  men  moet 
haar  slechts  aantreffen  in  vormen  van  de  gedaante : 

cos  4jr  Lrn  J cos  4jr  I (m — m)  — sin  Au  lm  J sin  Au  I {m — m)  of 

cos  4ti  lm  J cos  4t  lx  — sin  Ajt  lm  J sin  4jr  lx (8) 

Om  omgekeerd  de  intensiteitsformule  voor  enkelvoudig  licht  uit 
te  breiden  tot  die  voor  samengesteld  licht  heeft  men  in  de  eerste  J 
door  q>  {x)  dx  te  vervangen  en  daarna  naar  x te  integreeren.  De 
groepeering  (8)  gaat  daarbij  over  in  cos  lm  C — .ïm  4 jr /m  *S,  juist 
die  van  verg.  (4).  Hiermee  is  dus  bewezen,  dat  geen  dezer  instru- 
menten een  tweede  vergelijking  tusschen  C en  S kan  leveren,  die 
onafhankelijk  is  van  verg.  (4).  C en  S zijn  dus  niet  uit  hun  combi- 
natie te  scheiden,  </>  {x)  is  dus  oogenschijnlijk  niet  op  te  lossen*). 

5. 

Het  ligt  nu  voor  de  hand,  na  te  gaan,  of  de  functie  (f  ix)  soms 
wel  “bepaald  kan  worden,  zoo  het  licht  in  een  of  ander  instrument 
een  phasesprong  u kan  ondergaan,  welke  van  st  verschilt,  daarge- 
laten of  deze  aan  metaalreflecties  of  andere  verschijnselen  is  te  dan- 
ken. Stel,  dat  een  deel  der  punten  P,  nu  voorzien  van  dubbele  en 
driedubbele  accenten,  zulk  licht  ontvangt.  De  hoeken  der  correspon- 
deerende  vectoi’en  met  de  tijdrichting  zouden  c/V?2,  c^'m...,  Cj"'m, 
c^''m....  zijn,  zoo  het  licht  zich  in  dezelfde  richtingen,  doch  overal 
op  normale  wijze  voortplantte ; nu  z^ijn  zij  dus  c”m  -f-  c:  of  c"’7n  ci-\-  jt, 

al  naar  gelang  op  het  beschouwde  punt  P”  of  P”’  licht  valt,  dat 
behalve  den  phasesprong  a resp.  nog  een  even  (waaronder  nul)  of 

h Terloops  zij  opgemerkt,  dat  C en  5 niet  op  andere  wijze  gecombineerd  voor- 
komen in  de  intensiteitsformule,  die  voor  het  echelon  de  intensiteitsverdeeling  over 
het  geheele  brandvlak  van  den  kijker  bepaalt.  Deze  hangt  voor  de  verschillende 
punten  van  een  parameter  af,  dien  we  l'  zouden  kunnen  noemen.  Ik  heb  dooreen 
berekening,  die  hier  wordt  weggelaten,  bewezen,  dat  deze  functie  van  l'  voldoet 
aan  een  differentiaalvergelijking  van  de  tweede  orde,  waarin  alleen  als  coëfficiënten 
optreden  combinaties  van  C en  S van  de  soort,  als  in  verg.  (4),  te  nemen  voor 
eenige  waarden  van  l,  verband  houdende  met  l'.  Zoo  was  zuiver  analytisch  de 
afhankelijkheid  bewezen  tusschen  de  intensiteiten  in  het  buigingsbeeld  van  het 
echelon  en  die  in  het  interferentiebeeld  bij  den  interferometer  van  Michelson. 
Ofschoon  de  intensiteitsformule  voor  het  echelon  sterk  gewijzigd  kon  worden  door 
te  onderstellen,  dat  voor  de  glasplaten  diafragma’s  van  bijzonderen  vorm  waren 
geplaatst,  bleef  een  dergelijke  differentiaalvergelijking  van  de  tweede  orde  toch  van 
kracht  en  daarmee  de  afhankelijkheid  dus  onverbroken. 


96 


een  oneven  aantal  reflecties  tegen  dichtere  middenstoffen  heeft  onder- 
gaan. Men  heeft  hier  dus  met  vier  groepen  van  punten  te  maken, 
welke  indeeling  uit  het  voorafgaande  duidelijk  zal  zijn.  Beschouwt 
men  uit  elk  dier  groepen  één  punt,  resp.  P,  P' , P",  P"',  dan  maken 
hun  vectoren  met  de  tijdrichting  de  hoeken  cm,  c’m  -f-  a, 

c"'m  4-  « + phasesprong  a is  positief  gerekend  zoo  het  een 

sprong  terug  is  en  negatief  in  het  tegengestelde  geval.  Verwisselt  men 
nu  m van  teeken,  dan  worden  deze  vectoren  resp.  gespiegeld  in  de  tijd- 
richting t,  de  richting  t' , die  een  hoek  n met  de  eerste  vormt,  de 
richting  d,  die  een  hoek  a maakt  met  de  tijdrichting  en  die,  welke 
een  hoek  a Jt  met  de  tijdrichting  vormt,  zijnde  a/  in  fig.  4.  De  vec- 
toren kunnen  dus  ten  slotte  in  twee  groepen  gesplitst  worden,  waar- 
van de  eene  om  de  lijn  tt!,  de  andere  om  een  lijn  aa! , hiermee  een 
hoek  a makende,  gespiegeld  wordt.  Daar  « jr  is  ondersteld,  zal 
de  waaier  nu  wel  vervormd  worden  en  zal  de  intensiteit  niet  meer 
dezelfde  blijven.  Deze  is  dus  geen  even  functie  meer 
van  het  golvenaantal.  Bij  een  dergelijk  instrument 
zullen  C en  S dus  juist  niet  op  de  wijze  van  verg. 
(4)  in  de  intensiteitsformule  mogen  optreden,  het- 
geen weer  via  de  intensiteit,  geldend  voor  enkelvou- 
dig licht,  is  te  bewijzen.  Nu  is  de  scheiding  van 
C en  S dus  niet  meer  principieel  on  mogelijk  en 
dus  zoeken  we  in  de  goede  richting  om  de  functie 
Y'(«)  te  bepalen.  Ten  slotte  zij  nog  opgemerkt,  dat 
een  phasesprong  in  het  gedeelte  LP  van  den  lichtweg  LPQ  het- 
zelfde effect  zal  geven  als  een  even  groote  gelijk  gerichte,  in  het  deel 
PQ,  welke  opmerking  van  belang  zal  blijken  te  zijn  voor  den  interfero- 
meter  van  Michelson.  In  het  voorgaande  is  ondersteld,  dal  de  phasespi’ong 
a zijn  grootte  en  teeken  behield  bij  de  teekenverandering  van  m-, 
hiertoe  moet  hij  dus  een  constante  of  een  even  functie  van  m zijn. 
Alleen  een  instrument,  waarin  hij  een  constante  is,  d.  w.  z.  onaf- 
hankelijk van  m,  zal  praktisch  voor  ons  bruikbaar  zijn.  Ons  doel 
toch  is  bundels  van  de  meest  uiteenloopende  constitutie  te  onder- 
zoeken en  het  zou  niet  doenlijk  zijn  voor  elke  lichtsoort  een  afzon- 
derlijken phasesprong  in  rekening  te  moeten  brengen.  Om  die  reden 
zullen  we  bv.  geen  gebruik  kunnen  maken  van  metaalreflecties. 
Aan  den  anderen  kant  zal  men  er  echter  bezwaarlijk  buiten  kunnen, 
want  in  bijna  alle  interferometers  komen  verzilverde  glasplaten  of 
metalen  spiegels  voor.  Dit  bezwaar  is  echter  geringer  dan  het  schijnt. 
Onderwerpt  men  nl.  elk  der  vier  monochromatische  bundels,  die  de 
puntengroepen  P,  P' , P",  P'"  van  zooeven  veiBchtten  en  dus  reeds 
de  toen  besproken  phasesprongen  moesten  ondergaan,  bovendien  elk 


97 


nog  aan  een  nietaalreflectie,  .die  voor  het  viertal  op  identiek  dezelfde 
wijze  moge,  geschieden,  dan  zal  dit  voor  elk  der  bundels  een  zelfden 
phasesprong  ^ beteekenen.  Door  dezen  laatsten  wordt  de  waaier  niet 
meer  vervormd,  daar  hij  in  zijn  geheel  over  een  hoek  draait,  aan- 
gezien immers  alle  punten  Paan  de  nieuwe  phase verandering  hebben 
deelgenomen.  Wel  zal  bij  een  viertal  bundels  van  andere  frequentie 
de  waaier  over  een  anderen  hoek  gedraaid  worden,  doch  waaiers 
voor  verschillende  frequenties  opgemaakt,  moeten  toch  niet  vectorieel 
worden  samengesteld,  omdat  twee  verschillende  lichtsoorten  nooit 
kunnen  interfereeren.  Dus  ook  als  samengesteld  licht  op  het  apparaat 
valt,  zullen  metaalreflecties  voor  de  intensiteit  zonder  gevolg  blijven, 
zoo  elk  der  bundels  deze  een  gelijk  aantal  keeren  op  identiek  dezelfde 
wijze  ondergaan ; deze  laatste  eigenaardigheid  treft  men,  om  redenen 
van  praktischen  aard,  in  de  gebruikelijke  interferometers  steeds  aan. 
Hetzelfde  geldt  voor  de  phasesprongen,  die  bij  totale  reflecties  plaats 
hebben. 

6. 


We  moeten  dus  een  instrument  bedenken,  waarin  vooreerst  de 
voor  waarde  van  identieke  metaalreflecties  en  van  identieke  totale 
reflecties  is  vervuld,  doch  dat  bovendien  de  eigenscliap  bezit,  voor 
de  eene  helft  belicht  te  worden  door  stralen,  die,  afgezien  van  metaal- 
en  totaalreflecties  geen  of  slechts  phasesprongen  van  jr  hebben 
ondergaan,  en  voor  de  andere  helft  belicht  te  worden  door  stralen, 
die,  afgezien  van  metaal-  en  totaalreflecties,  nog  eens  extra  aan  een 
phasesprong  « onderworpen  zijn  geweest,  welke  van  jr  verschilt  en 
onafhankelijk  van  het  golvenaantal  moet  zijn;  de  stralen  van  de 
eerste  en  de  tweede  soort  moeten  bovendien  coherent  zijn  om  te 
kunnen  interfereeren. 

Vragen  we  ons  nu  af,  over  welke  constante  phasesprongen  we  tot 
nog  toe  de  beschikking  hebben,  dan  is  het  antwoord : 

1“.  een  phasesprong  van  jr  bij  reflecties  tegen  een  dichtere  mid- 
denstof, 

2’.  een  phasesprong  van  st,  zoo  een  evenwijdige  lichtbundel 
wordt  samengeknepen  om  door  een  brand punt’te  passeeren  ^), 


JT 


3°.  een  phasesprong  van  - vooruit,  zoo  een  evenwijdige  bundel 

z 

door  een  brandlijn  moet  gaan  ^). 

De  laatste  twee  sprongen  hebben  resp.  in  het  brandpunt  en  de 
brandlijn  plaats;  alleen  de  laatste  verschilt  van  jr  en  hem  alleen 


h Gouy,  Ann.  de  Chimie  et  de  Physique  (6),  24.  1891. 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A^  1919;20. 


98 


< 

\g cL 

>■ / 

e " 'X; 

} 

' A 

knntien  we  dus  voor  ons  doel  gebruiken.  We  zullen  ons  dus  bedie- 
nen van  twee  cjlinderlenzen,  wier  brandlijnen  samenvallen;  ze  zijn 
in  fig.  o met  de  beschrijvende  lijnen  loodrecht  op  het  vlak  van  de 
teekening  gedacht  en  aan  dezen  stand  zullen  we  ons  bij  alle  volgende 
figuren  houden.  Lijnen,  die  boven  of  in  het  vlak  van  teekening 
gedaclit  worden,  zullen  voluit  gelrokken,  terwijl  lijnen,  die  eronder 
bedoeld  zijn,  gestippeld  zullen  worden.  Stralen,  die  aan  den  boven- 
kant evenwijdig  aan  het  teeken- 
vlak  loopen  (b.v.  a),  kunnen  door 
de  cjlinderlenzen  nooit  aan  den 
onderkant  gebracht  worden,  daar 
Fig-  5-  de  lenzen  geen  brekend  vermogen 

hebben  in  de  richting  hunner  beschrijvende  lijnen.  Analoog  voor 
stralen  h onder  en  evenwijdig  aan  het  teekenvlak.  De  cjlinderlenzen 
zullen  van  dusdanige  qnaliteit  moeten  zijn,  dat  zij  het  interferentie- 
verschijnsel niet  verstoren. 

Het  is  niet  mogelijk  zonder  meer  dit  stel  cjlinderlenzen  in  een 
der  armen  van  den  interferometer  van  Michei.son  te  plaatsen,  daar 
dan  het  licht  het  stelsel  lenzen  tweemaal  doorloopt  en  de  resultee- 

rende  phasesprong  toch  weer  jr 
wordt.  Vei’gelijk  fig.  6,  waarin  de 
vaste  en  de  beweegbare  spiegel  de 
beide  helften  van  het  instrument 
zijn,  bestaande  resp.  uit  de  punten 
P''  en  P;  het  lenzensjsteem  ligt 
nu  zoowel  op  den  weg  LP"  als  op 
den  weg  P"Q  en  we  zagen,  hoe 
phasesprongen  in  beide  deelen  van 
den  lichtweg  aequivalent  zijn,  zoo 
hun  richting  dezelfde  is,  b.v.  als 

Fig.  6. 

voorwaarts  zijn  gericht,  als 
hier,  waardoor  zij  zich  dus  tot  jt  vereenigen.  De  interferometer  van 
Michelson  moet  dus  voor  ons  doel  worden  gewijzigd.  Fig.  7 geeft 
aan,  hoe  dit  kan  geschieden. 

De  spiegels  van  d^n  interfei’ometer  van  Michelson  zijn  vervangen 
door  totaalreflecteerende  piisma’s,  waardoor  bereikt  wordt,  dat  het 
licht  slechts  éénmaal  door  de  lenzen  gaat.  Daar  beide  bundels  pre- 
cies dezelfde  totale  reflecties  ondergaan,  behoeven  we  de  hierbij 
optredende  phasesprongen  niet  in  rekening  te  brengen.  Voorziet  men 
van  den  index  r of  d een  straal,  die  uit  een  van  de  spleet  afkom- 
stigen  straal  bij  diens  reflectie  op  de  verzilverde  glasplaat,  resp.  door 
reflectie  of  doorlaten  is  ontstaan,  dan  toont  de  figuur,  hoe  b.v.  de  gere- 


P”'  > ( 

F ■-  ( 

P 

99 


flecteerde  component  Ir  van  een  straal  1 onmiddellijk  naast  den  doorge- 


laten component  ‘ld  van  een  anderen  straal  2 uit  het  apparaat  treedt, 
7,00  de  stralen  1 en  2 van  af  de  punten  ^ en  j5  in  een  zelfde  horizon- 
taal vlak  zijn  gelegen  en  en  SB  gelijke  hoeken  maken  met  den 
straal  SC,  die  door  de  optische  centra  gaat.  Daar  de  stralen  1 en  2 
coherent  zijn,  kunnen  b.v.  de  componenten  Ir  en  ld  met  elkaar 
interfereeren.  De  uittredende  stralen  kunnen  dus  paarsgewijze  met 
elkaar  interfereeren  en  daar  de  stralen,  welke  een  dergelijk  paar 

7* 


100 


vormen,  onmiddellijk  naast  elkaar  loopen,  zal  in  het  brandvlak  van 
het  objectief  een  scherp  interferentiebeeld  ontstaan.  Dit  wordt  nu 
niet,  zooals  gewoonlijk,  met  het  oculair  als  loupe  bekeken,  doch  het 
oculair  moet  er  een  reëel  vergroot  beeld  van  vormen,  dat  buiten 
den  kijker  valt  en  waarvan  alleen  het  centrale  gedeelte  door  ons 
zal  worden  gebruikt.  Al  het  licht,  dat  loodrecht  op  de  prisma’s  is 
ingevallen,  zal  in  één  punt  Q'  worden  samengebracht. 

Om  de  intensiteit  in  het  punt  Q'  te,  berekenen,  is  het  geschikt 
een  referentievlak  RR  in  te  voeren,  dat  door  de  volgende  verge- 
lijkingen wordt  bepaald  -. 

ED=  CO  ^ PV  , PG  = HJ  ^LM  ....  (9) 

met  welke  grootheden  geometrische  en  geen  optische  lengten  zijn 
bedoeld. 

Ook  de  twee  volgende  opmerkingen  zullen  het  berekenen  van  het 
phaseverschil  tusschen  de  interfereerende  bundels  zeer  vergemakke- 
lijken ; 

1°.  Zij  de  afstand  van  het  voorvlak  tot  de  overstaande  ribbe  gelijk 
p voor  bet  vaste  en  gelijk  q voor  het  beweegbare  prisma,  dan  legt 
elke  straal,  zoo  bij  loodrecht  op  het  voorvlak  invalt,  in  het  prisma 
een  weg  af  van  de  lengte  ‘lp  of  Iq,  al  naar  gelang  dit  in  het  vaste 
of  in  het  beweegbare  prisma  geschiedt. 

2“.  Het  lenzensjsteem  maakt  van  een  vlakken  golf  weer  een 
vlakken  golf,  zoodat  in  fig.  5 de  optische  afstand  van  A naar  A' 
gelijk  is  aan  dien  van  C naar  C' . In  fig.  7 zal  het  lenzensjsteem 
het  licht  dus  evenveel  vertragen  als  een  glasplaat  van  de  dikte  ld, 
als  de  dikte  van  iedere  lens  in  het  midden  d bedraagt.  Behalve  deze 


jt 


vertraging  veroorzaakt  bet  lenzensjsteem  nog  den  pbasesprong  — 


vooruit,  die  juist  een  versnelling  beteekent.  Het  licht  moet  dus  om 
van  C over  het  vaste  prisma  naar  U te  komen,  driemaal  de  glas- 
plaat door,  stel  dus  een  weg  Scf  in  glas  afleggen,  verder  de  wegen 
van  de  volgende  lengten  in  de  bijvermelde  media: 


DE  in  lucht,  lp  in  glas,  {FG — ld)  in  lucht,  en  ld  in  glas. 

Het  licht,  dat  van  C uit  over  het  beweegbare  prisma  het  punt  U 
bereikt,  moet  ook  driemaal  een  glasplaat  door,  dus  weer  een  weg  Sd 
in  glas  afleggen  en  verder  de  volgende  afstanden  in  de  bijvermelde 
media:  [CO  PV)  iri  lucht,  VT  in  lucht,  Iq  in  glas,  NM  in 
lucht,  {ML  -|-  JH)  in  lucht.  Vergelijkt  men  den  eersten  weg  met  dezen 
laatsten,  terwijl  men  gebruik  kan  maken  van  verg.  (9),  dan  blijkt  de 
weg  in  .den  tweeden  (den  verlengbaren)  arm  van  den  interferometer 
l{q — /))  + 2 -|- 2(:/(l — n)  langer  te  zijn  dan  die  in  den  eersten. 


,101 


Brengt  men  nu  nog  den  voorwaartschen  phasesprong 


jï 

2 


bij  het  pas- 


seeren  van  de  brandlijn  in  aanmerking  (de  weg  wordt  hierdoor 
scliijnbaar  verkort),  dan  wordt  het  phaseverschil  der  interfereerende 

stralen  bij  ü : 4;r  VT  -f-  4jr  {q — p 4-  d — pc/)  -j-  — of  4?t  l'm  + — als 

2 2 

men  stelt: 


en 


p—q  + (p  — 1)  d = » 


(10) 


VT—v  = V ........  (11) 

Ook  tüsschen  de  stralen  Ir  en  "ld  bestaat  dit  phaseverschil,  het- 
geen uit  de  figuur  en  uit  de  voorafgaande  opmerkingen  volgt. 

De  intensiteit  voor  samengesteld  licht  wordt  nu,  naar  analogie  met 
verg.  (3): 


j'  (f)  = 2 ƒ'  (to)  dm  -j-  2 (m)  cos  ïm  -j — dm  of 


“2 


J'  (0  = 2 J’'  (m)  dm  — 2 ^y^{m)  sin  4:üt  l'm  dm  of  . . . . (12) 

+ a 

J'{1')  = 2 (x)  dx  — 2 sin  l'm  C {l')  — 2 cos4jr  l'm  S {l')  . (13) 


C en  aS  komen  niet  meer  voor  in  de  combinatie  van  verg.  (4). 
Dit  is  aan  de  cjJinderlenzen  te  danken,  J'  zal  voortaan  de  intensi- 
teit zijn,  gemeten  in  Q',  dus  met  den  gewijzigden,  J die,  behoorende 
bij  den  ongewijzigden  inteiferometer.  Ook  tusschen  / en  /'  zal  een 
dergelijk  ondersclieid  worden  gemaakt : I heeft  betrekking  op  den 
oorspronkelijken  interferometer  en  is  de  afstand  van  den  verschuif- 
baren spiegel  tot  het  referentievlak  ; /'  is  een  grootheid,  die  in  den 
nieuwen  interferometer  den  stand  van  het  beweegbare  prisma  karak- 
teriseert en  de  intensiteit  beheerscht.  Om  nu  6^  en  aS  voor  een  ge- 
geven waarde  /j  te  berekenen  uit  verg.  (4)  en  (13)  zou  men  inden 
eenen  interferometer  den  spiegel,  in  den  anderen  het  prisma  zoo 
moeten  plaatsen,  dat  de  grootheden  I en  V beide  de  waarde  /,  ver- 
krijgen. Dit  zou  praktisch  oiiuitvoerliaar  zijn,  zoo  men  met  de  twee 
interferometei'S  afzonderlijk  werkte.  We  zullen  ze  dus  tot  één  instru- 
ment trachten  te  vereenigen,  waarin  de  grootheden  / en  l'  beide 
optreden  en  van  zelf  reeds  gelijk  zijn.  Dit  lijkt  me  praktisch  even 
onuitvoerbaar  als  het  instellen  van  beide  interferometers  op  éénzelfde 
waarde  /j  der  parameters.  Het  is  me  echter  gelukt  door  nog  een 


102 


kleine  verandering  in  den  interferometer  aan  te  brengen  een  com- 
binatie der  interferometers  te  ontwerpen,  waarbij  de  grootheden 
/ en  l'  uiteraard  steeds  eenzelfde  bedrag  verschillen,  dat  scherp  te 
meten  is.  We  zullen  verder  den  weg  aanwijzen,  hoe  dit  verschil  is 
te  bepalen  en  daarna  aantoonen,  dat  het  constant  zijn  hiervan  ons  in  staat 
stelt  met  dit  instrument  even  gemakkelijk  te  werken  en  evenveel  te 
bereiken  als  met  de  ideale  combinatie  der  interferometers  het  geval 
zon  zijn. 

Men  zou  nl.  uit  den  gewijzigden  interferometer  direct  den  oor- 
spronkelijken  terug  krijgen,  wanneer  de  voorvlakken  der  prisma’s 
werden  verzilverd.  Beide  instrumenten  kunnen  dus  in  één  enkel 
worden  vereenigd  door  van  de  voorvlakken  der  prisma’s  de  boven- 
helft doorzichtig  te  laten,  maar  de  onderhelft  te  verzilveren.  Laat 
de  scheidingslijn  van  beide  helften  in  het  vlak  van  teekening  liggen, 
dan  worden  de  stralen,  die  boven  dit  vlak  loopen  en  dus  voluit 
zijn  geteekend,  totaal  gereflecteerd  en  in  een  punt  Q'  vereenigd, 
zoo  zij  loodrecht  op  de  prisma’s  invielen.  Stralen,  die  onder  het 
teekenvlak  loopen  en  dus  gestippeld  zijn  aangegeven,  zullen  door  de 
verzilverde  onderhelften  worden  teruggekaatst  en  door  een  anderen 
kijker  K in  een  ander  pnnt  Q worden  bijeengebracht,  wanneer  ook 
zij  loodrecht  op  de  prisma’s  invallen.  Men  heeft  hier  dus  eigetdijk 
beide  interferometers  boven  elkaar  ge|)laatst,  wat  mogelijk  was,  dank 
zij  de  eigenschap  der  cjlinderlenzen  om  nooit  een  sti'aal,  die  boven 
en  evenwijdig  aan  het  teekenvlak  loopt,  hieronder  te  brengen. 
Stralen,  die  het  teekenvlak  snijden,  zouden  wel  van  het  eene  in  het 
andere  instrument  kunnen  overloopen,  doch  deze  worden  niet  in  de 
punten  Q of  Q'  vereenigd  en  het  zal  blijken,  dat  we  alleen  in  die 
punten  de  intensiteit  hebben  te  melen.  Ten  overvloede  kan  men  het 
voorvlak  van  elk  prisma  in  drie  zones  verdeelen,  de  bovenste  door- 
zichtig, de  middelste  absorbeerend  en  de  onderste  verzilverd,  w’aar- 
door  als  het  ware  een  ruimte  tusschen  beide  interfei’ometers  ontstaat, 
afhangende  van  de  hoogte  der  middelste  zone.  De  bovenste  en 
onderste  zones  moeten  groot  blijven,  daar  al  het  hierop  loodrecht 
invallende  licht  in  de  punten  Q en  Q'  wordt  geconcentreerd  en  we 
in  deze  punten  een  sterk  geprononceerd  intensiteitsverloop  willen 
hebben,  als  sti-aks  het  beweegbare  prisma  wordt  verschoven^). 

We  zagen  reeds,  dat  de  intensiteit  in  het  punt  Q'  bepaald  werd 


b Desnoods  denke  men  zich  lange  prisma’s  en  met  behulp  van  spiegels  twee 
beelden  van  S gemaakt,  het  eene  boven  het  teekenvlak  gelegen  en  dienende  voor 
de  verlichting  der  bovenste  zones,  het  andere  beneden  het  vlak  gelegen  en  de 
onderste  zones  verlichtende. 


103 


door  verg.  (12)  of  (13).  De  intensiteit  in  het  punt  Q wordt  door 
verg.  (4)  weergegeven,  waarin  / de  afstand  van  den  beweegbaren 
spiegel  tot  het  referentievlak  was  en  waarvoor  dus  VT  van  fig.  7 
moet  genomen  worden.  We  zullen  de  lengte  van  FJ' dus  / noemen. 
Resameerende  vinden  we  dus  in  Q'  en  Q resp.  de  intensiteiten; 


(14) 


waarbij  ï =:-l—v  als  — 


Een  diafragma  met  twee  fijne  gaatjes  op  de  plaats  der  punten 
Q en  laat  twee  bundeltjes  licht  van  bovengenoemde  intensiteit 
vallen  op  een  fotografische  plaat.  Gaat  men  liet  beweegbare  prisma 
langzaam  verschuiven,  dan  veranderen  de  intensiteiten  dier  bundeltjes 
wegens  het  veranderen  van  de  parameters  I en  1'  in  (14).  Het  ver- 
schil I — l'  blijft  echter  constant,  nl.  gelijk  v,  welke  grootheid  blijkens 
(10)  een  instruraent-constante  is.  Wordt  de  fotografische  plaat  bij 
een  geringe  beweging  van  het  prisma  door  een  koppeling  over 
groote  afstanden  in  zijn  eigen  vlak  verschoven  en  zorgt  men,  dat 
de  verschuiving  van  de  plaat  steeds  evenredig  is  aan  die  van  het 
prisma  en  voorts,  dat  de  verschuiving  van  het  prisma  steeds  met 
eenparige  snelheid^)  geschiedt,  dan  zullen  de  twee  lichtbundeltjes  op 
de  fotografische  plaat  twee  strepen  achterlaten,  waar  de  zwarting 
punt  voor  punt  anders  is,  en  die,  zoo  ze  naderhand  met  den  photo- 
meter  en  thexmozuil  van  Dr.  Moll  photometrisch  worden  uitgemelen, 
ons  twee  krommen  geven,  die  van  groot  belang  zullen  zijn  voor  de 
bepaling  van  de  gewenschte  functie 

We  zullen  de  krommen,  die  bij  het  uitmeten  der  strepen  ontstaan 
zijn,  Z{cl)  of  Z'{cl')  noemen,  al  naar  gelang  haar  ordinaten  het  ver- 
loop der  zwarting  aangeven  in  de  onderste  of  de  bovenste  streep, 

die  dus  in  Q of  in  Q'  is  gemaakt.  Geeft  — de  verhouding  aan  van 


c 


de  verschuiving  van  het  prisma  en  de  hiermee  correspondeerende 
van  de  fotografische  plaat  en  neemt  men  in  de  bovenste  streep  dat 
punt  als  nulpunt  N aan,  hetwelk  zich  in  Q bevond,  toen  bet  prisma 
door  den  stand  1 = 0 heenging,  dan  zal  op  die  streep  in  een  punt, 
welks  abscis  cl  bedraagt,  gemeten  van  dat  nnlpunt  af,  licht  zijn 


b Om  den  belichtingstijd  bij  eiken  stand  van  het  prisma  hetzelfde  te  houden. 


104 


gevallen,  welks  intensiteit  bij  den  stand  / van  het  prisma  behoort 
en  dus  door  verg.  (4)  wordt  aangegeven.  De  zwarting  is  hiermee 
evenredig;  wanneer  ƒ dus  een  evenredigheidsfactor  is,  zal  voor  de 
onderste  streep  gelden  : 

J{l)  = fZ{d) (15) 

Analoog 

J' {l')  ^ f Z' {cV)  . . • ^ (16) 

voor  de  bovenste  streep,  als  hierop  als  nulpunt  A’' dat  punt  gekozen 
wordt,  dat  in  Q'  was,  toen  het  prisma  door  den  stand  = 0 heen 
ging,  dus  toen  l = v was  volgens  fl4),  of  V2^=v  (fig.  7). 

De  verg.  (14)  gaan  nu  over  in: 


fZ{d) 


r/ïj  mi 

= + 2j^xl 


/ (w)  dm  + 2 I X {fn)  cos  4jr  lm  dm  . 


(17) 


= . . . (18) 

7?l2  7»2 

De  functies  fZ  en  fZ'  schommelen  bij  het  vergrooten  van  / en  V 


om  dezelfde  constante  waarde: 


totisch  naderen,  want  voor  groote  waarden 


zullen  hiertoe  asymp- 
van  I en  l'  worden 


Wi 


J'/Sm)  cos  Imdm  en  ^y{m)sin‘^^l'mdm  nul,  wegens  het  voortdurend 

omslaan  van  het  teeken  van  den  cos.  of  den  sinus,  zelfs  wanneer 
men  slechts  over  een  klein  interval  naar  m heeft  te  integreeren. 

Volgens  vei'g.  (17)  zal  de  ordinaat  Z het  grootste  maximum  be- 
reiken voor  / = 0.  Deze  kan  men  uit  het  verloop  der  Z kromme 
scherp  bepalen,  zoo  men  met  veelkleurig  licht  te  doen  heeft.  Het 
voetpunt  dezer  ordinaat  is  het  nulpunt  N.  Deze  bewerking  komt 
overeen  met  het  instellen  op  het  witte  punt  bij  den  interterometer 
van  Michelson,  wanneer  men  wit  licht  gebruikt  en  den  beweegbaren 
spiegel  met  het  referentievlak  wil  laten  samen  vallen.  Het  instellen 
kan  uiteraard  veel  juister  grafisch  dan  visueel  geschieden. 

Daar  volg!  «i,  de  verg.  (17)  en  (18): 


vil 


2 ^^x  (^)  CO.S  4jr  lm  dm  =.fZ  (d)  — i f Z^^ax,  • . • • (19) 


105 


TOl 

sin  Ajt  l'm  dm  = — f Z'  {d')  -j-  k/Zmax.  - • (20) 

m 

Zmax.  is  hierin  de  gemeten  ordinaat  van  het  hoogste  punt  der  Z 
kromme;  het  voetpunt  van  die  ordinaat  was  het  nulpunt  N,  van 
waaruit  c/  dus  moet  gemeten  worden  langs  de  abscissenas  der  .2’kromme. 
Trekt  men  nu  een  lijn  evenwijdig  aan  deze  as  en  op  een  afstand 
2 Z,-nax.  hiervan  verwijderd,  dan  zullen  er  van  de  ordinaten  stukken  over- 
blijven, wier  lengte  weer  een  functie  van  c/ zal  zijn,  welke  functie  we 
l{cl')  zullen  noemen. 

Dus  volgens  (19)  en  (20)  is  nu: 


I(d)  = Z{d)~\Z„ 


m)  cos  Atï  lm  dra 


(21) 


Trekt  men  dezelfde  lijn  door  de  Z'  kromme,  dan  zullen  de  over- 
blijvende stukken  der  ordinaten  een  functie /i  (c/')  af  beelden,  zoodat 

I[  {d')  = Z'  {cl')  — I Z,nax.  = — 


Het  nulpunt  N'  op  de  abscissenas  der  .Z' kromme  kan  men  be- 
palen door  de  volgende  overweging.  De  functie  II  {cl')  is  nul  voor 
r “ 0,  doch  heeft  meerdere  nulpunten,  zoodat  men  nog  niet  weet, 
welke  hiervan  als  ' te  nemen  is;  uit  verg.  (22)  blijkt  echter,  dat  de 
functie  oneven  is  in  1'.  Bepaalt  men  dus  van  de  functie  11  het  nul- 
punt, t.  o.  z.  waarvan  de  andere  nulpunten  sjrameti'isch  liggen,  dan 
heeft  men  het  punt  cl' — 0,  dus  het  nulpunt  1^'  op  de  abscissenas 
gevonden.  Dit  is  nii  het  nulpunt,  van  waaruit  cl'  op  de  as  der 
.^'kromme  moet  worden  gemeten.  Vooral  bij  veelkleurig  licht  zal 
deze  symmetrie  sterk  in  het  oog  vallen.  De  redeneering  sluit  in,  dat 
men  ook  bij  negatieve  waarden  van  /'  moet  hebben  waargenomen, 
d.  w.  z.  dat  men  moet  beginnen  met  het  beweegbare  prisma  iets 
diciiter  bij  te  zetten,  dan  met  /'  = 0 dus  met  / = i;,  of  VT=v  zou 
correspondeeren.  Begint  men  dus  met  het  prisma  nog  vóór  het  refe- 
rentievlak  R te  plaatsen  en  het  van  hieruit  met  eenparige  snelheid 
te  verschuiven,  dan  begint  men  zoowel  bij  een  negatieve  waarde 
van  I als  van  /',  zoodat  de  beginpunten  der  strepen  negatieve 
abscissen  liebben. 

Terloops  merken  we  op,  dat  de  grootheid  v nauwkeurig  bepaald 
kan  worden  uit  de  ligging  der  nulpunten  N en  N' . 

De  fotografische  plaat  werd  n.i.  elk  oogenblik  door  twee  licht- 
bundels getroffen,  wier  intensiteiten  van  twee  parameters  I en  l' 


106 


afhingen,  terwijl  het  verschil  dier  parameters,  zoo  ze  op  hetzelfde 
oogenblik  betrekking  hebben,  constant  is,  nl.  = v.  Voor  punten  der 
Z en  Z'  krommen,  die  aldus  gelijktijdig  ontstaan  zijn,  zullen  de 
abscissen  cl  en  cl'  dus  steeds  evenveel,  n.1.  cv,  verschillen. 

De  beginpunten  der  krommen  zijn  dergelijk  gelijktijdig  ontstane 
piniten^;;  men  heeft  dus  slechts  hun  abscissen  te  meten,  genomen  tot 
de  gevonden  nulpunten  op  de  assen  en  het  verschil  hiervan  te  nemen 
om  cv  te  vinden  ’). 

Kiest  men  nu  in  de  grafisch  gevonden  functies  I en  II  de  varia- 
belen gelijk,  d.  w.  z.  past  men  van  af  de  punten  N en  N'  gelijke 
stukken  cl  en  cl'  af  op  de  assen  (onafhankelijk  dus  van  de  vroegere 
beteekenis  van  / en  V),  dan  vindt  men  uit  verg.  (21)  en  (22): 


cos  4 lm  dm  — fl  (d) 


(23) 


r/Jg 


sin  4jr  lm  dm  = — f^-^{d) 


(24) 


Onze  bedoeling  was  oorspronkelijk  C (/)  en  S{1)  uit  verg.  (4)  en 
(13)  op  te  lossen  en  te  snbslitueeren  in  (7).  Dit  zou  neerkomen  op 
het  invoei'en  van  C (l)  en  *S  (/)  in  verg.  (23)  en  (24),  om  ze  hieruit 
te  bepalen  en  dan  te  substitueeren  in  verg.  (7).  Hetzelfde  resultaat, 
de  formule  voor  {■>■),  kan  nu  wel  vlugger  bereikt  worden  door  te 
bedenken,  dat  volgens  de  integraalstelling  van  Fourier  : 


(p  (x) 


cos  §a 


sin  am  da  | 7 (0  sin  §a  da. 


1 r . c 

— I sin  am  da  I 7 

J 


0 — 00  0 — 00 

Men  kan  nu  voor  § kiezen  m en  a = 4^1/  stellen  en  bedenkt  men 
nog,  dat  X (m)  = 0 is  voor  7/1,  <(  m <j  m^,  dan  gaat  de  vergelijking 
over  in  ; 


00  '«1 

X (m)  nz  :os  4jr  lm  d^xi 


cos  én:  lm  dl  I x(™)  cos  4jr  lm  dm  -|  - 4 


00 

tƒs^«  4,Tr  lm 


X {m)  sin  éjt  lm  dm. 


Gebruik  makende  van  verg.  (23)  en  (24)  kan  men  deze  vervan- 
gen door 

00  00 

X (m)  — 2 / ^ (cO  cos  én  lm  dl  — 2f^JI  ( cl)  sin  én  lm  dl . 


b Men  kan  ook  het  licht  plotseling  even  onderscheppen. 

Had  men  achter  het  lenzensysteem  nog  een  glasplaat  van  de  dikte  x geplaatst, 
dan  zou  v—p  — 1)  (d  + x).  In  het  meten  van  V ligt  dus  een  verscherpte 

methode  opgesloten  tot  het  bepalen  van  de  dikte  eener  glasplaat,  ai  is  deze  vrij  dik. 


107 


Daar  het  ons  slechts  orn  den  vorm  der  kromme  x te  doen  is, 
kan  men  2/'=l  stellen,  waardoor  overblijft: 


-P 


00 

ƒ' 


i (cl)  cos  4jr  lm  dl  - (cl)  sin  4jr  lm  dl 


(25) 


o o 

I (cl)  en  II (cl)  zijn  hierin  geregistreerde  functies,  die  volgens  verg. 
(21)  en  (22)  voor  groote  waarden  van  / nul  zijn.  Wil  men  de  fijnere 
structuur  van  praktisch  monochromatisch  licht  onderzoeken,  dan  moeten 
de  Z en  Z'  krommen  eerst  voor  wit  licht  worden  opgenoraen.  Hieruit 
toch  volgt  scherp  de  afstand  der  rmlpunteti  en  iV ' tot  de  beginpunten 
der  krommen.  Het  prisma  wordt  nu  weer  op  dezelfde  plaats  gebracht 
als  zooeven  bij  het  begin  der  meting  ')  en  op  een  andere  fotografische 
plaat  worden  nu  de  Z en  .Z"' krommen  voor  hei  minder  samengestelde 
licht  geregistreerd;  de  nulpunten  N en  N'  liggen  nu  op  dezelfde 
afstanden  van  de  beginpunten  als  zooeven ; zij  zouden  zonder  de 
vorige  meting  echter  moeilijk  te  hei'kennen  zijn  geweest ; bij  absoluut 
monochromatiscli  licht  zou  er  zelfs  in  het  geheel  geen  verschil  tusschen 
de  maxima  of  tusschen  de  nulpunteu  zijn  te  bespeuren  geweest. 

Door  het  witte  licht  echter  is  de  fotografische  plaat  als  het  ware 

geijkt.  Het  bekend  zijn  der  nulpunten  maakt  zelfs  bij  het  meest 

enkelvoudige  licht  een  handelwijze,  als  boven  beschreven  werd, 

mogelijk  en  stelt  ons  ook  hier  in  staat  de  gewensehte  functie  / (m) 
theoretisch  althans  exact  te  benaderen.  In  de  praktijk  kan  deze 

benadering  niet  tot  het  uiterste  worden  doorgevoerd, ^ daar  bij  te 
hooge  gangverschillen  de  lichtbundels  incoherent  worden  wegens  het 
onregelmatig  trillen  van  de  lichtbron,  een  bezwaar,  dat  elke  methode, 
die  op  interferentie  berust,  zal  aankleven. 

Deze  grens  voor  het  oplossend  vermogen  eener  interferentiaal- 
S[)ectroscoop  kan  natuurlijk  ook  hier  niet  worden  overschreden. 
Doch  alle  gegevens,  die  interferentie-verschijnselen  ons  kunnen  ver- 
schaffen omtrent  de  samenstelling  van  schijnbaar  raonociiromatisch 
liclit  worden  volgens  de  besproken  methode  mathematisch  op  de 
eenvoudigste  wijze  verwerkt  en  leiden  tot  het  opbouwen  eener  functie, 
die  de  gezochte  energieverdeeüng  (p  (x)  het  dichtst  nabij  konit *  *). 

Michelson  verwerkt  zijn  gegevens  eerst  tot  een  zichtbaarheids- 
kromme  F"  en  besluit  hieruit  tot  de  waarde  van  C*  -f"  ‘ï^aar  moet 


h Hierbij  kau  men  bv.  gebruik  maken  van  de  duidelijke  beweging  van  de  foto- 
grafische plaat. 

*)  Om  de  benadering  nog  nauwkeuriger  te  maken,  zou  men  óf  de  lichtbron 
regelmatiger  moeten  doen  trillen,  of  een  geheel  ander  instrument  moeten  bezitten, 
dat  niet  op  interferentie  berust  en  welks  oplossend  vermogen  zelfs  dat  van  de 
interferentiaal  spectroscoop  overtreft. 


108 


nii  *S  = 0,  d.w.z.  een  symmetrische  energieverdeeling,  aannemen 
om  verder  te  kunnen  komen.  Hij  verkrijgt  dan')  C{l)  = Py^  F (/) 
en  zal  uit  verg.  (7)  dus  vinden: 


waarin 


q)  {x 


+ a 

zjq  {x) 


o 

,)  = 4PJ 


V (l)  cos  lx  dl 


dx  dus  een  constante  is. 


(26) 


Wij  behoeven  deze  hypothese  niet  te  maken ; daarin  ligt  juist  de 
groote  beteekenis  der  methode.  Leggen  we  ons  die  beperking  toch 
even  op,  dan  zullen  wij  vinden,  dat  de  krommen  I en  II onderling 
afhankelijk  worden.  Volgens  verg.  (23)  en  (24)  is  n.1. 

2 cos  4ji  lm  C (l)  — 2 sin  4jr  lm  S (/)  —fl  {d) 

2 sin  4jt  lm  C {l)  2 cos  4jt  lm  S {l)  = — fll  {cl) 

zoodat  >S'  = 0 leiden  zou  tot : 

— II {cl)  — tg  47t  lm  X I {d).  ’) 

Verder  was  de  grootheid  V een  moeilijk  te  schatten  grootheid, 
die  eigenlijk  alleen  uit  fotometrische  waarnemingen  kan  worden 

J nai‘  J m 


bepaald ; uit  haai’  ingewikkelde  definitie  V = 


blijkt,  dat 


J <nax‘~\~J  11  - 

zij  niet  continu  verloopt  en  dus  nooit  zal  zijn  te  registreeren,  doch 
punt  voor  punt  moet  worden  bepaald.  Verg.  (26),  berustende  op  de 
zichtbaarheidskromme  van  Michf.lson,  geldt  dus  alleen  voor  een 
symmetrische  energieverdeeling,  is  zelfs  in  dit  geval  nog  niet  exact, 
terwijl  de  V kromme  moeilijk  en  slechts  zeer  vaag  is  te  verkrijgen. 

Resumeerende  komen  we  dan  tot  de  slotsom,  dat  we  in  de  be- 
sproken opstelling  een  middel  hebben  gevonden  om  de  energiever- 
deeling, zoowel  over  een  eng  als  over  een  uitgestrekt  spectraal 
gebied  af  te  lezen  uit  twee  registreerbare  krommen,  onverschillig  of 
de  energieverdeeling  een  symmetrische  of  een  asymmetrische  functie 


b Na  eenige  verwaarloozingen,  vermeld  in  noot  2. 

b Dit  substitueerende  in  verg.  (25),  zou  men  f (x)  alleen  met  behulp  van  de 
kromme  I hebben,  uitgedrukt  en  in  dit  speciale  geval  de  cylinderlenzen  dus  schijn- 
baar niet  noodig  hebben  gehad ; doch  om  m te  kennen  moet  men  II  minstens 
voor  één  waarde  van  cl  kennen;  dus  zeK's  in  dit  eenvoudige  geval  is  bet  gebruik 
der  cylinderlenzen  nog  onvermijdelijk,  als  men  mathematisch  streng  te  werk  wil 
gaan.  Michiclson  heeft  ter  bepaling  van  Jmox  — Jmin  bij  het  differentieeren  naar 
I C {l)  en  S (l)  als  constanten  beschouwd;  ook  vindt  men  bij  »S  = 0 C(Z)  = PX  Vil) 
alleen  voor  die  waarden  van  l,  welke  voldoen  aan  S{1)  = — tg  47r  lm'X,C  (l),  dus 
wel  voor  oneindig  veel,  maar  niet  voor  continu  oneindig  veel  waarden  van  l, 
hetgeen  de  mathesis  toch  eischen  zou  om  verg.  (26)  te  laten  volgen  uit  verg.  (7). 


109 


is;  in  het  eerste  geval  zijn  de  geregistreerde  krommen  afhankelijk, 
in  het  tweede  geval  onafhankelijk  van  elkaar. 

Het  dient  opgemerkt  te  worden,  dat  de  metaalretlecties  in  het 
instrument  van  tig.  7 niet  identiek  dezelfde  zijn.  De  r component  is 
tegen  het  zilverlaagje  gekaatst  onder  een  hoek  van  45°  in  hicht,  en 
de  d component  onder  een  kleineren  hoek  in  glas.  Vermoedelijk  zul- 
len de  hierbij  optredende  phasesprongeti  wel  dezelfde  zijn,  anders 
kon  Michelson  verg.  (4)  niet  hebben  opgesteld.  Mocht  deze  onder- 
stelling onjuist  zijn,  dan  geeft  fig.  8 een  opstelling  aan,  waarin  dit 
euvel  verholpen  is;  de  zilverlaagjes  bij  Z en  Z'  woiden  nu  alleen 

onder  een  hoek  van  45°  getroffen.  De  voor- 
vlakken der  prisma’s  moeten  nu  zoowel 
boven  als  beneden  doorzichtig  zijn,  en  de 
cylinderlenzen  moeten  boven  het  vlak  van 
teekening  staan.  De  verzilvering  in  Z (tig.  8) 
en  in  C (fig.  7)  moet  van  dien  aard  zijn, 
dat  de  lichtsterkten  der  in  den  kijker  tre- 
dende bundels  gelijk  zijn,  niettegenstaande 
de  een  reflecties  in  de  lenzen  heeft  onder- 
gaan. Met  behulp  van  een  glasplaat  G 
kan  men  de  intensiteiten  gelijk  houden.  Verschillen  de  intensiteiten 
der  bundels  in  den  gewijzigden  interferometer  van  die  in  den  oor- 
spronkelijken,  dan  moet  in  verg.  (25)  een  der  termen  van  een  evenredig- 
heidsfactor  voorzien  worden,  die  experimenteel  eerst  is  te  bepalen. 

Angstvallig  hebben  we  er  voor  gezorgd,  dat  de  interfereei-ende 
bundels  geen  relatieven  phasesprong  t.  o.  z.  van  elkander  kregen 
door  ongelijke  metallieke  of  totale  reflecties,  zoodat  de  phasesprong, 
dien  de  eene  bundel  op  den  anderen  vóórkrijgt,  alleen  verkregen  is 


Fig.  8. 


in  de  brandlijn  der  cylinderlenzen  ^groot  — J en  dus  niet  van  de 

golflengte  afhangt.  Hierdoor  wordt  het  instrument  bruikbaar  voor 
alle  mogelijke  lichtsoorten  en  voor  spectraalgebieden  van  willekeurige 
grootte,  gesteld  dat  de  lenzen  achromatisch  zijn  gemaakt. ')  Het 
resultaat  der  methode,  uitgedrukt  in  verg.  (25),  is  dus  volkomen 
exact  voor  alle  mogelijke  spectraalgebieden  en  energieverdeelingen, 

üt 

zoo  men  den  phasesprong  — slechts  met  behulp  van  cylinderlenzen 

2 

teweegbrengt. 

b Opdat  in  fig.  7 de  photografische  plaat  Q Q'  eens  voor  altijd  kan  worden 
ingesteld.  Eventueele  dispersie  zou  den  constanten  phasesprong  — ook  niet  beïn- 

U 

vloeden ! 


110 


Is  men  tevreden  met  een  benaderende  methode,  die  alleen  exact 
is  voor  een  praktisch  monocliromatischen  bundel,  en  wel  voor 
een  van  één  bepaalde  frequentie,  dan  kan  men  den  phasesprong 

— wel  zonder  cjlinderlenzen  bereiken,  n.1.  met  behulp  van  een 


scheefhoekig  parallelepipednm,  Avaarin  het  licht  totaal  Avordt  gere- 
flecteerd. Men  kan  nu  met  den  ongewijzigden  interferometer  van 
Michelson  werken  (men  heeft  het  paralellepipedum  slechts  in  een 
der  armen  te  zetten  en  een  rechthoekig  in  den  anderen;  fig.  9),  maar 

moet  nu  met  licht  werken,  dat  van  te 
voren  öf  in  öf  loodrecht  op  het  teekenvlak 
is  gepolariseerd.  Voor  Natrinmlicht  b.v., 
welks  trillingsrichting  loodrecht  op  het 
teekenvlak  staat,  moet  <(  r/)  = 51°20'2r' 

zijn ; dan  bedragen  de  4 phasesprongen 

3jr 

Fig.  9.  11.1.  te  zamen  — ^).  Echter  hangt  cp  niet 


zoo  sterk  van  de  golflengte  af,  dan  dat  hetzelfde  jiaralellepipedum  ook 
niet  voor  naburige  spectraallijnen  zou  zijn  te  gebruiken.  Na  eenige 

± (n^— 1)  cos  674°— 1 

berekeningen  vindt  men  nl.  cos  2rp  = waarin  n 

n‘‘ 

jje  brekingsindex  is. 

Tenslotte  betuig  ik  Prof.  Ornstein  en  Prof.  Jui.ius  hartelijk  dank 
voor  hun  wenken  en  belangstelling,  bij  dit  onderzoek  ondervonden. 
Het  onderzoek,  dat  Prof.  Ornstein  mij  oorspronkelijk  opdroeg,  was 
de  eerste  stap  op  den  weg,  Avaarlangs  ik  tenslotte  den  kunstgreep 
gevonden  heb,  die  in  staat  zou  blijken  te  zijn  het  vraagstuk  theore- 
tisch volkomen  op  te  lossen. 

Ik  heb  den  logischen  gedachtengang,  die  hiertoe  geleid  heeft,  ook  in 
de  mededeeling  gevolgd,  omdat  dan  vanzelf  door  de  beschouwingen 
over  de  vier  puntengroefien  P,  P' , P”,  P"'  als  tweede  stelling  be- 
wezen kon  worden,  dat  de  gezochte  energieverdeeling  door  geen 
der  gebruikelijke  instrumenten  kan  bepaald  worden,  hoe  men  de 
hiermee  gedane  waarnemingen  ook  combineert.  De  phasesprong, 
onafhankelijk  van  de  golflengte  en  verschillende  van  -Jt,  was  dus 
niet  alleen  een  mogelijke,  doch  ook  een  noodzakelijke  kunstgreep 
om  tot  het  gestelde  doel  te  komen. 

Instituut  voor  Theoretische  N atuurkunde. 

Utrecht,  Mei  1919. 


M Voor  y zou  het  paralellepipedum  een  onbruikbaren  vorm  krijgen;  brekings- 
index = 1,5153  voor  licht  croAvnglas. 


.111 


Scheikunde.  — De  Heer  Ernst  Cohen  biedt  mede  namens  den 
Heer  A.  L.  Th.  Moesvei.d  eene  mededeeling  aan  over:  „De 
invloed  van  druk  op  de  oplosbaarheid  van  stoffen”.  VI. 

Natuurkunde.  — De  Heer  Kamerltngh  Onnes  biedt  eene  mede- 
deeling aan  over:  „Verdere  proeven  met  vloeibaar  helium.  O. 
Een  nieuw  geval  van  suprageleiding , Thallium,  enz.” 

Natuurkunde.  — De  Heer  Kamerlingh  Onnes  biedt  eene  mede- 
deeling aan  over : ,,  Verbetering  van  de  cascade  voor  het  ver- 
krijgen van  lage  temperaturen” . 

Scheikunde.  — De  Heer  Böeseken  biedt  een  mededeeling  aan  van 
de  Heeren  P.  E.  Verkade  en  N.  L.  Söhngen  over:  „De  aan- 
tasting van  cis-transisomere  onverzadigde  zuren  door  schimmels” . 

(Deze  mededeelingen  zullen  in  een  volgend  Zittingsverslag  worden 

opgenomen). 

Ter  uitgave  in  de  Wei-ken  der  Akademie  wordt  door  den  Heer 
J.  Boeke,  namens  den  Heer  Erik  Agdühr  te  Stockholm,  aangeboden 
het  manuscript  van  diens  verhandeling:  ,,Sympathetic  innervation  of 
the  muscles  of  the  extremities,  A histo-experimental  studg.” 

De  Voorzitter  stelt  het  manuscript  in  lianden  van  de  Heeren 
J.  Boeke  en  J.  W.  van  Wijhe  met  verzoek  om  rapport,  uit  te 
brengen  in  een  volgende  vergadering. 

De  Heer  F.  M.  Jaeger  biedt  voor  de  boekerij  ten  geschenke  aan 
een  exemplaar  van  zijn  „Historische  studiën.  Bijdragen  tot  de  kennis 
van  de  geschiedenis  der  natuurwetenschappen  in  de  N ederlanden  ge- 
durende de  16®  en  17®  eeuw.” 

De  vergadering  wordt  gesloten. 


31  October  1919. 


KONINKLIJKE  AKADEMIE  VAN  WETENSCHAPPEN 

TE  AMSTERDAM. 


VERSLAG  VAN  DE  GEWONE  VERGADERING 
DER  WIS-  EN  NATUURKUNDIGE  AFDEELING 

VAN  ZATERDAG  28  JUNI  1919. 

Deel  XXVHI. 

2.  - 


Voorzitter:  de  Heer  H.  A.  Lorentz. 
Secretaris;  de  Heer  P.  Zeeman. 


INHOUD. 


Ingekomen  stukken,  p.  114. 

Verslag  van  de  Heeren  J.  Boeke  en  J.  W.  ¥AN  WijHE  over  het  ter  uitgave  in  de  Werken  der  Aka- 
demie  aangeboden  manuscript  eener  verhandeling  van  den  Heer  ERIK  AODUHR:  „Sympathetic 
innervation  of  the  muscles  of  the  extremities.  A histo-experimentai  study”,  p.  115. 

L.  E.  J.  BROUWER:  „Opmerking  over  meervoudige  integralen”,  p.  116. 

Fred.  Schuh:  „De  restterm  der  binomiaalreeks”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  D.  J.  KORTEWEQ 
en  HENDRIK  DE  Vries),  p.  121. 

Fred.  Schuh:  „Een  combinatorisch  probleem  in  verband  met  de  bepaling  van  het  aantal  verschil- 
lende wijzen,  waarop  de  grootste  geraeene  deeier  van  twee  gedurige  producten  kan  worden 
berekend”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  D.  j.  KORTEWEG  en  Hendrik  de  Vries),  p.  123. 

Fred.  Schuh:  „Stelling  omtrent  het  term  voor  term  differentiëeren  van  een  reeks”.  (Aangeboden 
door  de  Heeren  D.  J.  KORTEWEQ  en  HENDRIK  de  Vries),  p.  126. 

R.  Maqnus  en  A.  de  Kleyn:  „Tonische  Labyrinthreflexen  op  de  oogspieren”,  p.  129. 

L.  K.  WOLFF:  „Over  het  z.g.  filtreerbare  virus  der  influenza  van  v.  Angerer”.  (Aangeboden  door 
de  Heeren  C.  Eykman  en  C.  H.  H.  Spronckj,  p.  138. 

A.  Smits,  G.  L.  C.  La  Bastide  en  Th.  de  Crauw:  „Over  het  verschijnsel  na  anodische  polarisatie”,  ll. 
(Aangeboden  door  de  Heeren  P.  Zeeman  en  S.  Hoogewerff),  p.  141. 

E.  H.  BüCHNER  en  ].  KALFF:  „VON  Weimarn’s  theorie  over  den  colloidalen  toestand.”  (Aan- 
geboden door  de  Heeren  A.  F.  HOLLEMAN  en  F.  M.  Jaeger  , p.  145. 

M.  j.  SMIT:  „Over  eenige  nitroderivaten  van  het  dimethylaniline.”  (Aangeboden  door  de  Heeren 
P.  VAN  ROMBURGH  en  ERNST  COHEN),  p.  156. 

F.  QOUDRIAAN:  „De  natriumzinkaten.  Evenwichten  in  het  stelsel  NAjO— ZnO— H2O.”  (Aangeboden 
door  de  Heeren  J.  BöESEKEN  en  F.  M.  jaeger),  p.  159. 

P.  A.  VAN  DER  HARST:  „Waarnemingen  over  de  spectra  van  tin,  lood,  antimoon  en  bismuth  in  het 
magnetische  veld.”  (Aangeboden  door  de  Heeren  P.  Zeeman  en  H.  A.  Lorentz),  p.  170. 

L.  S.  Ornstein  en  H.  C.  BUROER:  „Frequentiewetten  voor  continu  veranderlijke  grootheden.” 
(Aangeboden  door  de  Heeren  H.A.  Lorentz  en  W H.  jULiuS),  p.  183. 

W.  DE  SiTTER:  „Theorie  der  Satellieten  van  jupiier,  11.  De  variaties”,  p.  195. 

J.  A.  Schouten  en  D.  J.  Struik:  „Over  n-voudig  orthogonale  stelsels  van  n— 1 dimensionale  uitge- 
breidheden in  een  algemeene  uitgebreidheid  van  n-afmetingen.”  (Aangeboden  door  de  Heeren 
J.  Cardinaal  en  H.  A.  LORENTZi,  p.  201. 

J.  BÖESEKEN  en  C.  VAN  LOON:  „Over  de  configuratiebepaling  der  cyclische  cis-trans-dioSen  en  de 
verstoringen  in  de  rangschikking  der  atomen  en  atoomgroepen  bij  chemische  reacties”,  p.  213. 

H.  Kamerungh  Onnes:  „Verdere  proeven  met  vloeibaar  helium”,  p.  218. 

Aanbieding  door  den  Heer  J.  Boeke  van  het  manuscript  eener  verhandeling  van  den  Heer  O.  C. 
Heringa;  „Untersuchungen  über  den  Bau  und  die  Entwicklung des  sensibeln  peripheren  Nerven- 
systems”,  ter  uitgave  in  de  Werken  der  Akademie,  p.  218. 

Aanbieding  van  een  boekgeschenk,  p.  218. 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


8 


114 


Het  Proces- verbaal  der  vorige  vergadering  wordt  gelezen  en 
goedgekeui'd. 

Ingekomen  zijn  : 

1°.  Van  de  Heeren  W.  H.  Jülius,  W.  dk  Sitter  en  Eüg.  Dubois 
dat  zij  verhinderd  zijn  de  vergadering  bij  te  wonen. 

2“.  Schrijven  namens  het  „Zeeuwsch  Genootschap  der  Weten- 
schappen” te  Middelburg  met  bericht  dat  dit  Genootschap  op  9 Juli 
a.  s.  zijn  150-jarig  bestaan  zal  herdenken  en  eene  uitnoodiging  aan 
de  Akademie  om  zich  bij  die  gelegenheid  te  doen  vertegenwoordigen. 

De  Voorzitter  zegt,  naar  aanleiding  hiervan,  dat,  mocht  geen  der 
leden  van  de  Akademie  gelegenheid  kunnen  vinden  om  zich  voor 
vertegenwoordiging  beschikbaar  te  stellen,  het  Bestuur  door  een 
schriftelijken  geliikwensch  namens  de  Akademie  uiting  zal  geven 
van  hare  belangstelling. 

3°.  Schrijven  namens  de  ,,Royal  Society”  te  Londen,  waarin  de 
huidige  stand  van  zaken  van  den  onder  de  auspiciën  van  dit  Ge- 
nootschap samengestelden  en  uitgegeven  ,, International  Catalogue  of 
scientific  Literature”  wordt  uiteengezet  en  het  advies  ook  van  onze 
Akademie  gevraagd  wordt  over  de  wenschelijkheid  van  eene  voort- 
zetting dezer  onderneming,  welke  slechts  met  bijzonderen  geldelijken 
steun  van  alle  belanghebbenden  mogelijk  zal  zijn. 

De  Voorzitter  wenscht  dit  schrijven  te  stellen  in  handen  van  de 
leden  der  Afdeeling,  die  de  permanente  Commissie  voor  de  aan- 
gelegenheden van  dezen  Catalogus  vormen,  met  verzoek  om  prae- 
advies,  uit  te  brengen  in  een  volgende  vergadering. 


Anatomie.  — Verslag  over  de  verhandeling  van  Dr.  Erik  Agddhr 
te  Stockholm  : „Sympathetic  innervntion  of  the  muscles  of  the 
extremities.  A histo-experimental  study.” 

In  de  bovengenoemde  verhandeling  beschrijft  Dr.  Agduhr  op  uit- 
voerige en  duidelijke  wijze  de  resultaten  van  zijn  experimenten, 
waarbij  öf  een  aantal  spinale  zenuwwortels  werden  doorsneden  met 
behoud  van  de  sympathische  grensstreng-elementen  en  rami  commu- 
nicantes  öf  wel  juist  die  sympathische  elementen  (ganglion  stellatuiïi) 
werden  geexstirpeerd  met  behoud  van  de  spinale  elementen.  Daarna 
werden,  volgens  door  den  schrijver  uitgewerkte  modificaties  der 
BiELSCHOWSKY-methode,  de  zenuweindigingen  op  de  spiervezelen  der 
door  die  bepaalde  zenuwen  geinnerveerde  spieren  gekleurd  en  de 
degeneratie-verschijnselen  dier  zenuweindigingen  nagegaan. 

De  uitkomsten  dezer  onderzoekingen  worden  op  duidelijke  en 
heldere  wijze  uiteengezet,  de  behandeling  wijst  op  een  juiste 
inrichting  der  proefnemingen,  de  illustraties  geven  blijk  van  zeer 
natuurgetrouwe  afbeeldingen  te  zijn  van  voortreffelijke  preparaten. 
Ondergeteekenden  meenen  dus  zonder  voorbehoud  te  kunnen  advi- 
seeren  tot  het  opnemen  van  dit  geschrift  in  de  Verhandelingen  der 
Akademie.  Slechts  zal  het  Engelsch  een  goede  correctie  behoeven. 

(get.)  J.  Boeke. 

„ J.  W.  VAN  WiJHE. 

De  vergadering  vereenigt  zich  met  de  conclusie  van  het  verslag 
om  de  Verhandeling  in  de  Werken  der  Akademie  op  te  nemen. 

Aan  den  Heer  Agdühr  zal  hiervan  kennis  gegeven  worden. 


8* 


Wiskunde.  — De  Heer  Brouwer  biedt  een  mededeeling  aan : 

„Opmerking  over  meervoudige  integralen” . 

Het  doel  van  deze  inededeeling  is,  in  aansluiting  aan  het  eerste 
gedeelte  van  mijn  in  de  vergadering  van  26  Mei  1906  aangeboden 
opstel;  „Meerdimensionale  vectordistrihuties”  een  tweetal  opmer- 
kingen te  maken. 

^ 1. 

I.  Het  1.  o.  p.  15 — 18  gegeven  bewijs  der  veralgemeening  van  het 
theorema  van  Stores  levert  deze  veralgemeening  niet  alleen  in  haar 
Euclidischen,  doch  ook  in  haar  als  volgt  luidenden  araetrischen  vorm  : 

Theorema.-  Zij  gegeven  in  de  n- dimensionale  ruimte  (.r, de 
(p — lyvoudige  integraal 

I ^ ..  a ^ j D’i I • • • ^n)  dXgi^  ....  dXu.  , . . (1  ) 

rvaarin  de  F’s  continu  en  eindig  en  continu  differentieerbaar  zijn ; 
beschoumen  toe  hiernaast  de  p-voudige  integraad 


(indicatrix  j-^  u aeq.  indicatrix  . . . aj), 
dan  is,  als  het  tioeezijdige  p- dimensionale  fragment  ’)  G begrensd 
wordt  door  de  tweezijdige  {p — \)-dimensionale  gesloten  ruimte  g,  de 
indicatrices  van  G en  g bij  elkander  behooren  en  zoomoei  G als  g een 
continu  varieerende  vlakke  raakvariëteit  bezitten,  de  waarde  van  (1) 
over  g gelijk  aan  de  waarde  van  (2)  over  G. 

Van  dit  theorema,  dat  reeds  in  1899  zonder  bewijs  en  in  een  de 
teekenwet  minder  eenvoudig  tot  uitdrukking  brengenden  vorm  was 

Zie  deel  XV,  p 14 — 26 : de  definities  rekenen  we  gewijzigd  overeenkomstig 
1.  c.  p.  76,  noot  b'  Ik  maak  van  deze  gelegenheid  gebruik,  om  er  op  te  wijzen,  dat 
1.  c.  p.  25  r.  8 in  plaats  van  , stelsel  eindige  gesloten  stroomen”  gelezen  moet 
worden  , eindig  bronloos  stroomstelsel”. 

*)  Math.  Annalen  71,  p.  306. 


117 


uitgesproken  door  Poincarè *  *),  za!  ik  hier  liet  bewijs  opnieuw  geven 
en  daarbij  eenigszins  scherper  redigeeren,  dan  in  mijn  geciteerd 
opstel. 


II.  Zij  in  de  n-dimensionale  ruimte  [a;^, . . . x,,),  die  we  door  S 
zullen  voorstellen,  gegeven  de  p-voudige  integraal 


I ^ <iPai  ■ . w , . . dXa.  , ....  (3) 

\J  ^ ^ 

waarin  de  r//s  continu  zijn.  Zij  Q een  in  S gelegen,  van  een  indi- 
catrix  voorzien  tweezijdig  p-dimensionaal  netfragment ’‘),  o een  grond- 
simplex  van  Q met  de  lioekpuntenindicatrix  ^ een 

willekeurig  punt  van  o,  de  waarde  van  (pu^...0L ^ in  A,  ^X/j.  de 

waarde  van  in  A^.  We  bepalen  voor  elke  o de  waarde  van 

p ' p 


waarin 


,««  ...  a;« 

P P+i  p 

1 ...  1 


en  waarin  A voor  de  verschillende  termen  onder  het  -S'-teeken  ver- 
schillend gekozen  mag  zijn,  en  sommeeren  ,fp  over  de  verschillende 
grondsimplexen  van  Q.  De  bovenste  en  de  onderste  grens,  waar- 
tusschen  deze  laatste  som  tengevolge  van  de  vrije  keuze  der  punten 
A varieert,  noemen  we  de  bovenste  en  de  onderste  waarde  van  (3) 
over  Q. 

Onderwerpen  we  Q aan  een  fundamentaalreeks  van  zich  onbe- 
paald verdichtende  simpliciale  verdeelingen,  die  aanleiding  geven  tot 
een  fundamentaalreeks  Q' , Q”,  . . . van  Q overdekkende  netfrag- 

inenten,  dan  convergeeren  voor  onbepaald  toenemende  r de  bovenste 
en  de  onderste  waarde  van  (3j  over  tot  dezelfde  grens,  die  we 
de  ivaarde  van  (3)  over  Q noemen. 

Zij  F een  in  S gelegen,  van  een  indicatrix  voorzien  tweezijdig 
p-dimensionaal  fragment,  ƒ een  bij  een  categorie  van  simpliciale 


*)  Les  méthodes  nouvelles  de  la  mécanique  céleste  III,  p.  10.  De  beteekenis  der 
hier  geformuleerde  teekenwet  wordt  eerst  duidelijk  na  vergelijking  der  vroegere 
publicaties  uit  de  Acta  Mathematica  en  het  Journal  de  l’Ecole  Polytechnique,  waarin 
de  aequivalentie  van  het  identiek  wegvallen  van  (2)  en  het  wegvallen  van  (1)  over 
iedere  g was  uitgesproken. 

*)  Matb.  Annalen  71,  p.  316, 


118 


vei’deelingen  behoorende  fundaraentaalreeks  van  zich  onbepaald  ver- 
dichtende simpliciale  approximeeringen  P' , P”,  . . . van  F.  Indien 
de  waarden  van  (3)  over  P',  P”,  . . . tot  een  van  de  keuze  van  ƒ 
binnen  de  door  tp  gestelde  grenzen  onafhankelijke  limiet  conver- 
geeren,  noemen  we  deze  limiet  de  loaarde  van  (3)  over  F voor  ip. 


III.  We  gaan  ons  nu  bezighouden  met  de  waarde  van  (1)  over 
de  begrenzing  ^ van  een  in  S gelegen,  van  een  rndicatrix  voorzien 
p-dimensionaal  simplex  o en  rekenen  daarbij,  dat  de  indicatrices  van 
^ en  ö hij  elkander  behooren,  d.  w.  z.  dat  de  indicatrix  van  een 
willekeurige  {p — l)-dimensionale  zijde  van  o wordt  verkregen,  door 
het  niet  tot  deze  zijde  behoorende  hoekpunt  van  o in  de  indicatrix 
van  n achteraan  te  plaatsen  en  vervolgens  weg  te  laten.  We  begin- 
nen met  ons  te  beperken  tot  de  door  den  enkelen  term 


tot  de  waarde  van  (1)  over  p geleverde  bijdrage.  Door  een  passende 
simpliciale  verdeeling  ^ van  de  variëteit  bepalen  we 

een  simpliciale  verdeeling  van  d,  ''s-n  wier  grondsimplexen  telkens 
twee  bij  hetzelfde  waardegebied  van  behooren.  De  schaar 

der  {n—p  4-  l)-dimensionale  variëteiten,  waai'binnen  a;»,,  . . . 

constant  zijn,  snijdt  de  vlakke  p-dimensionale  variëteit,  waarin  o 
bevat  is,  volgens  een  schaar  van  rechte  lijnen,  die  de  paren  van 
correspondeerende  grondsimplexen  van  tot  p-dimensionale  afgeknotte 
simpliciale  prisma’s  verbinden.  Zijn  g,  en  e,  een  paar  correspon- 
deerende grondsimplexen  van  /?,  d het  bijbehoorende  afgeknotte  sim- 
pliciale prisma,  I een  van  een  punt  van  e-,  naar  het  correspondeerende 
punt  van  e.,  voerend  lijnsegment  met  de  ontbondenen 

dan  wordt  de  door  den  term  • • • • • • • • ^ot  de 

waarde  van  (1)  over  e,  en  e,  geleverde  bijdrage 


ei^oci. . . oc 


V 

v=zp 


+ f. 


waaiin  A een  (voor  de  verschillende  termen  onder  het  2^-teeken 
eventueel  verschillend)  punt  van  a voorstelt  en  f bij  onbepaalde 
verdichting  van  S onbepaald  klein  wordt  ten  opzichte  van  ejai  ■ ■ ■ 

Zij  nu  echter  een  hoekpuntenindicatrix  van  e,  en 

de  waarde  van  Xu  in  dan  kan  de  waarde  van  . eSa,  . . . a 

r ’ V 1 p — j 

worden  voorgesteld  door 


119 


(p-l)! 


p—1  f'  p—l 


Xqc  jA’k  , O 

p—l  p — 1 f p — 1 


1 

V 

• • • * ■ 

Xoc 

p—l 

dus 

ook  door 

“ 

4-  6 . 

zoodat  de  door 

den  term 

Jf.,  . . . 

, ■ 

van 

(Ij  over  «j 

en  e^  geleverde  bijdrage  kan 

n 

j 

6 -f 

v=:« 

' P— 

A 1 ÖaJa 

1 ( 

1 . (P‘Ot.^  . . 

Xa,  nX 


p<^x 

‘ M 


OC  H 

/>-l 


>-=1 


en  de  waarde  van  (1)  over  |?  wordt  verkregen  in  den  vorm : 


p 

«1  . . . «^  V=1  A 


dFj 

*' V 

Ö^a 


(indicatrix  jv  (x~j  aeq.  indicatrix  . . . a^,), 

waarin  A een  (voor  de  verschillende  termen  onder  het  -S'-S'-teeken 
eventueel  verschillend)  punt  van  a voorstelt. 

Hieruit  volgt  onmiddellijk,  dat,  als  Q een  in  S gelegen  tweezijdig 
/)-dimensionaal  netfragment  en  R de  grens  van  Q voorstelt,  terwijl 
de  indicatrices  van  Q qïi  R bij  elkander  behooren,  de  waarde  van 
(1)  over  R gelijk  is  aan  de  waarde  van  (2)  over  Q. 


IV.  Om  het  bewijs  van  het  in  I geformuleerde  theorema  te  vol- 
tooien, beschouwen  we  een  zoodanige  categorie  ij;  van  simpliciale 
verdeelingen  van  g,  dat  de  verzameling  der  grondzijden  voor  gelijk- 
matig continu  varieerende  vlakke  raakvariëteiten  bezit  en  de  verhou- 
ding van  den  inhoud  van  een  grondsimplex  tot  de  (p — 1)'^®  macht  van 
zijn  grootste  coördinatenvariatie  voor  tp  niet  beneden  zeker  minimum 
daalt.  Zij  g',  g",  . . . een  fundamentaalreeks  van  zich  onbepaald  vei-- 
dichtende,  bij  ip  behoorende  simpliciale  approximeeringen  van  g. 
Construeeren  we  van  g^'‘'^  een  approximeerende  simpliciale  afbeel- 
ding g^yp)  op  g(p-\  dan  kunnen  we,  door  fx  en  v beide  boven  een 
passende  grens  te  kiezen,  op  grond  van  III  zorgen,  dat  de  waarden 
van  (J)  over  en  zoo  weinig,  als  we  verkiezen,  van  elkander 
verschillen,  terwijl  door  met  den  graad  1 overdekt  wordt, 
zoodat  de  waarden  van  (1)  over  g'r')  en  g(''Py  golijk  zijn.  Er  bestaat 
dus  een  waarde  van  (1)  over  g voor  »|>,  die  natuurlijk  niet  verandert, 


120 


als  in  plaats  van  if>  een  andere  categorie  van  dezelfde  soort  wordt 
gekozen. 

Zij  nu  / een  op  analoge  wijze  als  tf?  gekarakteriseerde  categorie 
van  sinipliciale  verdeelingen  van  G.  De  hieruit  voortvloeiende  sim- 
pliciale  verdeelingen  van  g behooren  tot  een  categorie  ij?  van  de 
zooeven  omschreven  soort.  Zij  G',  G",  . . . een  fundamentaalreeks 
van  zich  onbepaald  verdichtende,  bij  x behoorende  sinipliciale  approxi- 
meeringen  van  G,  dan  wordt  hierdoor  tevens  een  fundamentaalreeks 
van  zich  onbepaald  verdichtende,  bij  tp  behoorende  sim- 
pliciale  approxirneeringen  van  g bepaald.  Daar  op  grond  van  III 
de  waarde  van  (1)  over  gelijk  is  aan  de  waarde  van  (2)  over 
bestaat  er,  evenals  een  waarde  van  (1)  over  g voor  ifi,  een 
waarde  van  (2)  over  G voor  x,  zijn  beide  waarden  aan  elkaar  gelijk, 
en  veranderen  ze  niet,  indien  littzij  voor  of  voor  x andere 
categorie  van  dezelfde  soort  wordt  gekozen. 

h 2. 

Bij  de  1.  c.  p.  18  gegeven  definitie  der  tweede  afgeleide  is  achter- 
wege gebleven  de  omschrijving  van  het  aan  die  definitie  ten  grond- 
slag liggende  begrip  van  normaliteit  van  een  van  een  indicatiix 
voorziene  R^,  en  een  van  een  indicatrix  voorziene  Rn-p,  die  in  de 
van  een  indicatrix  voorziene  Rn  loodrecht  op  elkaar  staan.  Deze 
omschrijving  zullen  we  hier  alsnog  geven. 

Zij  S het  snijpunt  van  Rp  en  Rn—p,  . . . Up  aS  de  indicatrix  van 
Rp  en  ^^...^n-pS  de  indicatrix  van  Rn-p,  dan  noemen  we  Rp 
normaal  op  Rn—p  en  Rn—p  postnormaal  op  Rp,  als  «, . . . ctpSdn-p-  • • 
een  indicatrix  van  R,,  is. 

De  begrippen  normaal  en  postnormaal  zijn  dus  voor  sommige 
waarden  van  n wèl,  voor  andere  niet  gelijkwaardig. 

Verder  noemen  we  een  p-dimensionaal  vectorstelsel  V normaal 
op  een  in  hetzelfde  punt  aangebracht  {Ji — p)-dimensionaal  vector- 
stelsel W en  W postnormaal  op  V,  als  ten  opzichte  van  een  recht- 
hoekig coördinatenstelsel  de  componenten  van  V respectievelijk 
normaal  zijn  op  en  gelijke  scalarwaarden  bezitten  als  de  compo- 
nenten van  W. 

In  deze  terminologie  is  de  tweede  afgeleide  van  de  vectordistributie 
^ X de  normaaldistributie  van  de  eerste  afgeleide  van  de  postnormaal- 
distributie  van  X. 


Wiskunde.  — De  Heer  K.ortbweg  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
den  Heer  Fred.  Schub  : „De  restterm  der  hinomiaalreeks” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Hendrik  de  Vries). 


(m) 


(in) 

waarin  = 

j 


1.  We  beschouwen  de  binoiniaalreeks  2 u 

j=0  ^ 

xj 

= — 77  (nt — k)  is.  We  onderstellen  x reëel  en  m niet  nul  en  geen 
j!  k=Q 

natuurlijk  getal  (daar  anders  de  reeks  af  breekt). 


2.  De  reeks  is  convergent  voor  | | 1,  voor  x — 1,  m i 

en  voor  x~ — 1,  m )>  0,  divergent  in  de  overige  gevallen. 

3.  Blijkens  N*.  2 is  voor  \ x \ en  voor  \ x \ =1,  ni  )> — 1 
voldaan  aan  Hm  = 0. 


4.  Volgens  de  reeks  van  Mac  Laurin  met  restterm  is 


waarin  -. 


dus : 


(1  + 4' 


n— 1 , . 

= 2’  4-  Rn, 

7=0 


Rn 


X”  (1 — (9)"-/' 
{n  — 1) .'  p (1 


H-l 


n(m  — k){p^  0), 

k=:Q 


(»«) 


Rn  = 


(1  + dx)n- 


mx 

V 


1-6»  4"-/' 


1 -j-  0 X 


.—p  (w— 1)  ') 


(1) 

(2) 


5.  De  bedoeling  van  dit  stukje  is  te  doen  zien,  dat  Hm  Rn  = 0 

n=oo 

is  in  alle  gevallen,  toaarin  de  reeks  convergeert,  dus  voor  die  gevallen 

de  geldigheid  van  (1  -|- aan  te  toonen,  en  waX  uitsluitend 

.;=o  ^ 

uit  den  restterm  (iets  dat  in  zeer  vele  leerboeken  op  onjuiste 

’)  De  in  beide  uitdrukkingen  voorkomende  getallen  6 zijn  in  het  algemeen  ongelijk, 
daar  6 van  n en  van  p afhangt. 


122 


wijze  geschiedt).  Hierbij  zal  het  voordeel  verbonden  aan  de  uitdruk- 
king (2)  voor  den  restterni  der  binomiaalreeks  duidelijk  uitkomen. 

6.  Is  dan  is  volgens  (1),  als  men  kiest;  | j 1 | wf'")  | 

dus  Urn  Rn  = 0 zoo  de  reeks  convergeert. 


7.  Is — l<^.r<^0,  dan  volgt  uit  (2),  als  men  daarin 1 stelt : 
I I u4  I m X I , waarin  A het  grootste  der  getallen  1 en 

(1  4-  x)’^—''-  is.  Dit  voert  tot  Urn  R„  = 0. 


8.  Is  x= — 1,  j>  0,  dan  volgt  uit  (2)  door  p = ni  te  nemen: 


R 

n 


U 


(m-l) 
n — 1 


(3) 


In  verband  met  N“.  3 volgt  hieruit  Urn  Rn  = 0 (daarm— 1))> — 1 

«=GO 

is),  een  resultaat,  dat  voor  m 1 uit  de  resttermen  van  Lagrange 
en  Cauchy  niet  te  verkrijgen  is. 

Opgemerkt  kan  nog  Avorden,  dat  (3)  tot  de  identiteit 


m (m — 1 ) 

1 — m 4 

2! 


...  + (-  ir 


m {rn  — 1)  , . , (m  — n 1) 
n ! 


= {-iY 


(m  — 1)  (ra  — 2)  , . . (m  — n) 


voert;  deze  identiteit  is  ook  gemakkelijk  door  volledige  inductie 
(naar  n)  aan  te  toonen,  waaruit  blijkt,  dat  ze  ook  voor  m^O  geldt. 


9.  Zoo  men  van  de  stelling  van  Abel  omtrent  continuïteit  van 

machtreeksen  gebruik  maakt,  kan  men  met  de  beschouwing  van 

den  restterrn  voor  | .^  | <j  1 volstaan.  Om  zonder  onderscheiding 

van  verschillende  gevallen  aan  te  toonen,  dat  dan  Urn  = 0 is, 

??=00 

stelle  men  in  (2)  p = 1 (evenals  in  N".  7). 


Wiskunde.  --  De  Heer  Korteweg  biedt  eene  niededeeling  aan  van 
den  Heer  Fred.  Schur:  „Een  combinatorisch  probleem  in  ver- 
band met  de  bepaling  van  het  aantal  verschillende  ivijzen,  waarop 
de  grootste  gemeene  deeler  van  tivee  gedurige  producten  kan 
worden  berekend”. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Hendrik  de  Vries). 

1.  De  G.  G.  D.  der  tivee  getallen 

a,  a,  . . . a,„  en  h^b^.  . .bn (1) 

ivordt  verkregen  als  het  product  der  mn  grootste  gemeene  deeler s Gij 
van  ai  en  bj  (z  = 1,  2,  . . . , m en  J = 1,  2,  . . . , n),  met  dien  ver- 
stande, dat  twee  getallen,  wier  G.  G.  D.  bepaald  is,  door  dien  G.  G.  D. 
gedeeld  worden  en  de  quotiënten  bij  het  verdere  deel  der  berekening 
voor  de  oorspi'onkelijke  getallen  in  de  plaats  gesteld  worden.  Wordt 
zulk  een  quotiënt  met  een  ander  getal  gecombineerd,  dan  wordt 
opnieuw  door  hun  G.  G.  D.  gedeeld  enz.  '). 

De  mn  getallen  Gij  worden  dus  in  een  bepaalde  volgorde  bere- 
kend. Gij  is  de  G.  G.D.  der  getallen  a'i  en  b'j;  hierin  is  a'i  het 
getal,  dat  uit  ai  ontstaat  door  deeling  door  alle  reeds  eerder  bepaalde 
grootste  gemeene  deelers,  waarbij  ai  betrokken  is,  terwijl  bj  op  dezeljde 
wijze  uit  bj  ivordt  afgeleid. 

2.  We  vragen  nu  naar  het  aantal  manieren,  tvaarop  de  G.  G.D. 
der  getallen  (1)  op  de  in  1 aangegeven  ivijze  kan  worden  berekend. 
Een  andere  volgorde  der  m n getallen  Gij  geeft  echter  niet  steeds 
een  andere  berekeningswijze  van  het  gezochte  getal  (r,  daar  natuur- 
lijk twee  berekeningswijzen  als  dezelfde  te  beschouwen  zijn,  als  ze 
uit  dezelfde  onderdeelen  bestaan  en  alleen  verschillen  in  de  volg- 
orde, waarin  de  afzonderlijke  berekeningen  worden  uitgevoerd.  Het 
is  daarom  bij  twee  getallen  Gij  en  G^i  onverschillig  welk  het  eerst 
berekend  wordt,  zoo  ^ 7^  k en  tevens  j 7^  / is.  Het  komt  dus  alleen 
aan  op  de  volgorde  der  getallen  Gij,  die  óf  in  de  eerste  indices  óf 
in  de  tweede  indices  overeenstemmen. 

3.  De  bijzondere  waarden  der  getallen  «i  , . . . , a^,  ó,  , . . . , 

1)  Wordt  voor  de  laatste  maal  een  der  getallen  «i,  a^, . . . , a-m,  &i,  . . . , bn 
met  een  ander  gecombineerd,  dan  kan  natuurlijk  de  deeling  van  eerstgenoemd 
getal  door  den  gevonden  G.  G.  D.  achterwege  blijven,  daar  het  quotiënt  toch  verder 
niet  meer  in  de  berekening  wordt  betrokken. 


124 


kunnen  meebrengen,  dat  verwisseling  van  twee  getallen  Gij,  die  in 
de  eerste  of  in  de  tweede  indices  overeenstemmen,  toch  geen  andere 
berekeningswijze  van  G geeft.  Zijn  b.v.  en  èj  onderling  ondeel- 
baar en  evenzoo  a,  en  è,,  dan  is  het  onverschillig  of  men  eerst 
(r, j en  dan  (r^,  bepaalt  of  omgekeerd,  daar  deze  grootste  gemeene 
deelers  beide  1 zijn  en  dus  een  deeling  door  6r„  of  (tj,  geen 
wijziging  in  de  getallen  brengt.  Van  dergelijke  toevalligheden  zien 
we  echter  af.  zoodat  we  twee  bepalingswijzen  van  G alleen  dan 
dezelfde  noemen,  als  ze  bij  alle  mogelijke  waarden  van  a,  , . . . ,a,„, 

, . . . , bn  dezelfde  zijn. 

4.  Het  in  N“.  2 gevraagde  aantal  wordt  dan  gelijk  aan  het  aan^a/ 
maniei'en,  waarop  men  de  m n symbolen 

Gij  ...  ,m\  j = \ ,2,  . . . ,n) 

in  volgorde  plaatsen  kan,  als  men  twee  volgorden  als  dezelfde  be- 
schouiot,  zoo  deze  uit  elkaar  kunnen  ivorden  afgeleid  door  eenige  ver- 
wisselingen van  telkens  twee  symbolen,  die  zoowel  in  de  eerste  als  in 
de  tweede  indices  verschillen. 

5.  Voor  m = 2 wordt  het  gevraagde  aantal  het  aantal  A„  der 
manieren,  waarop  men  de  symbolen 

Gn,  Gi2,  Gi3  , . . , Gi,i, (2) 

<?21)  G23  » . • » G2n  • (3) 

in  volgorde  kan  plaatsen,  bij  twee  dier  symbolen  alleen  dan  op  de 
volgorde  lettend,  als  ze  in  bovenstaand  schema  in  dezelfde  rij  of  in 
dezelfde  kolom  staan.  Het  aantal  Au  is  nf-maal  zoo  gi'oot  als  het 
aantal  Bn  der  rangschikkingen,  loaarbij  de  symbolen  (2)  op  de  door 
(2)  aangegeven  wijze  op  elkaar  volgen. 

6.  Men  kan.de  rangschikkingen  in  n groepen  verdeelen,  zoodanig, 
dat  de  i^^  groep  die  rangschikkingen  bevat,  waarbij  6r2i  aan  de  overige 
symbolen  (3)  voorafgaat.  Die  groep  is  weer  in  twee  deelen  te 
verdeelen ; het  eerste  deel  bevat  de  rangschikkingen,  waarbij  G2i 
aan  Gu  voorafgaat,  het  tweede  deel  de  rangschikkingen,  waarbij 
6r2.  na  Gu  komt. 

Het  eerste  deel  der  groep  bevat  evenveel  rangschikkingen  als 

wanneer  men  Gu  en  G2i  schrapt,  dus  Bn—i  rangschikkingen. 

Bij  de  rangschikkingen  voorkomende  in  het  tweede  deel  der  i^^ 
groep  gaan  de  symbolen  Gn,  G12,  • • • • , G\i  aan  alle  symbolen  (3) 
vooraf,  zoodat  men  de  symbolen  Gn,  G12,  . ...  , Gu  kan  schrappen. 
Let  men  alleen  op  de  plaatsing  der  symbolen  G21,  G22,  . ...  , G2,i—i 
onderling  en  ten  opzichte  van  de  (als  onderling  gelijk  beschouwde) 
symbolen 


125 


i+l)  0^2,  f-f-a,  . . . , G‘ini  ......  (4) 

(n — 1)/ 

dan  komt  men  tot mogelijke  plaatsingen.  Ieder  dier  plaat- 

(n—i)/ 

singen  voert  tot  £„—i  mogelijke  rangschikkingen,  als  men  ook  let 
op  de  volgorde  der  n — ï symbolen  (4)  onderling  en  resp.  ten  opzichte 
van  . . . . , Gin-  Hieruit  blijkt,  dat  het  tweede  deel  der 

(n—i)/  ^ 

/de  groep ^n—i  rangschikkingen  bevat ; dit  is  ook  nog  juist 

(n~i)/ 

voor  i = n,  als  men  als  1 interpreteert. 

1 ^ / 

In  het  geheel  bevat  de  groep  dus  -1 Bn-i  rang- 

{n  — i)! 

schikkingen.  Dit  voert  tot : 

B„  = S Bn—i  4‘  7 — ■'  . B„—i  | — (n-f-1)  Bn—\  + {n  1)/  -2"  — — . (5) 

a'=i  {n—-i) ! \ 0 k' 


7.  Vervangt  men  in  (5j  n door  n 
te  onderstellen),  dan  vindt  men : 


B„—i  = (n  — 1)  Bn—2 


1 (waarvoor  noodig  is  w ^ 1 


H— 2 


(n~-2)f  2 
o 


k!  ’ 


waaruit  in  verband  met  (5)  volgt : 

Bn  = 2?^  Bn-1  — {n — 1)^  2. 

Uit  deze  homogene  lineaire  difFerentievergelijking  van  de  tweede 
orde  kan  men,  uitgaande  van  = ï en  j8,  = 2 4,  achtereenvol- 
gens B^,Bi,B^,  enz.  berekenen.  Men  vindt  zoo: 

5,  = 7,  B^  = 34,  B,  = 209,  B^  = 1546,  B,  = 13327,  B^  = 130922, 
= 1441729,  = 17572114,  S,,  = 234662231. 


8.  Wegens  A„  = nIBn  vindt  men  dus  voor  het  aantal  An  der 
manieren,  waarop  men  den  G.  G.  D.  der  getallen  a■^  a,  enb^h^  . . . bu 
berekenen  kan  ■. 

A,  = 2,  A^  = 14,  A,  = 204,  A^  = 5016,  A,  = 185520, 

^,  = 9595440,  ^,  = 659846880,  = 58130513280. 

9.  Zijn  m en  n beide  ^ 2,  dan  wordt  de  bepaling  van  het 
aantal  manieren,  waarop  de  G.  G.  D.  der  beide  gedurige  producten 
.volgens  de  in  N°.  1 aangegeven  methode  berekend  kan  worden, 
aanmerkelijk  ingewikkelder.  Voor  m = n = 3 wordt  (door  systema- 
tisch nitcombineeren  der  verschillende  gevallen)  voor  het  gezochte 
aantal  19164  gevonden. 


0 De  formule  (5)  voert,  in  verband  met  jBq  = 1,  voor  n = 1 tot  = 2,  daar 


dan  0 is  (als  som  van  nul  termen). 


Wiskunde.  — De  Heer  Kortewkg  biedt  eene  inededeeling  aan  v^an 
den  Heer  Fred.  Schub  : ,, Stelling  omtreyit  het  term  voor  term 
diferentiëeren  van  een  reeks.” 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Hendrik  de  Vries). 

1.  Is  voldaan  aan  : 

a.  de  functies  (.r),  (.r),  ....  zijn  in  het  interval  a^x’^b,  dat 

ive  i noemen,  diferentiëerhaar, 

b.  de  reeks  u\  (x)  -1-  u\  (;r)  -[-...  . is  in  het  interval  i gelijkmatig 
convergent, 

c.  de  reeks  u^  (x)  + ?4,  (.r)  -!-••••  d'  'voor  een  tot  het  interval  i 
behoorende  waarde  c van  x convergent  en 

d.  de  functies  u\  (.r),  u\  (x),  ....  zijn  continu  voor  de  tot  het 
interval  i behoorende  waarde  p van  x, 

dan  geldt  ■. 

a.  de  reeks  u^  (.r)  w,  (.c)  -!-••••  kot  interval  i gelijkmatig 

convergent  en 

d-  de  functie  u^  (x)  -|-  f)  -!-••••  is  differentiëerbaar  voor  x = p 
met  u\  (/;)  -|-  [p)  -{-....  als  differentiaalquotiënt. 

Het  spreekt  van  zelf,  dat  voor  x = a of  x = b ,, differentiëerbaar” 
als  ,, rechts  resp.  links  differentiëerbaar”  op  te  vatten  is. 

We  willen  van  deze  stelling  (die  gewoonlijk  in  beperkteren  vorm ') 
nit  het  term  voor  term  integreeren  wordt  afgeleid)  een  eenvoudig  bewijs 
geven  nitslnitend  steunend  op  de  definitie  van  differentiaalquotiënt. 

2.  B e w ij  s van  «.  Stelt  men  u'„^i  {x)  w'„-p2  (.r)  -[-  • • • • = 

dan  is  (als  x tot  het  interval  i behoort): 

U„q-1  (a;)  -|-  u„_|_2  (ir)  -\-  ...  + {x)  = { Wn-j-l  (c)  f M„q-2  (c)  -f  ...  + Un-^-k  (c)|  -\- 

+ I m'ü+1  (s)  + «+2  (^)  + • • • + ^'n+k  (ê)  \{x  — c)  = 

= {u,,_|.i  (c)  +M„_|_2  (c)  + . . . + ((•)!  + (£)  — (x  — c), 

waarin  ^ = c 0 (x — c),  dus : 

|»n+l  (x)  + U„_l-2  (.r)  -f  . . . + (a’)|  < 

~ (o)  -f  M„_|_2  (c)  -j-  . . . -\-  (c)|  -|-  I (5)1  d-  \Rn-\-k  (5)  | } (^  — ®). 

Is  ff  een  willekeurig  positief  getal,  dan  volgt  uit  het  onderstelde  c, 

1)  NI.  in  de  onderstelling,  dat  de  functies  u\  (x),  u'^  (x),  enz.  in  het  geheele 
interval  i continu  zijn. 


127 


dat  men  zoo  kan  bepalen,  dat  voor  n'^  geldt  | (c)  + 

-|-  u„^2  (c)  “h  • • • • + (c)  I'  ^ d.  Uit  het  onderstelde  b volgt 

verder,  dat  men  iV,  zoo  kan  bepalen,  dat  voor  n ^ TV,  geldt 
, ö 

I I <C  • ïs  ^ het  grootste  der  getallen  ISf.  en  N dan 

3(6 — a) 

is  dus  I [x)  -]-  (x)  -j-  ?.in+k  (^')  | <C  ^ ''Oor  iedere 

N en  iedere  x uit  het  interval  i.  Hieruit  volgt  het  gestelde  « ; 
het  onderstelde  d is  hiervoor  niet  noodig. 


3.  B e w ij s V an  /?.  Is  (x)  -j-  ii^  (x)  = rp  {x)  en  u\  (x) 

-j-  u\  dan  drukt  het  gestelde  ,1  uit,  dat 


(p{p  ^ h)  - (p{p) 

km = if)  (p)  . 

/i=o  b 


(1) 


is.  Stelt  men  (.f)  4"  («)  + ....  + m»  (.^’)  = U„  (a’)  en  (a)  -|- 

+ w„_|_2  (a)  . . . . — (a),  dan  is : 

(p{p-^h)  — (p{p)  Unip^h)  -U„{p)  , Qdp^b)  i),,{p) 

W)  = 1 ^ 7 Mp)  = 


= U'n  (p  + 6»/i) 

= if;  (p  + ^b)  — if;  (p)  - 


b ' h 

Qn{p-\-b)  Qn{p} 


b 

Rn  (p 


h 


tf’  (p)  = 


d b)  -j- 


dus  : 

\fp{p-\-b)-~q{p) 


M'(p) 


d- 


< 


ip{p-\-éfb)  — if;  (p) 


t>«(p  + ^0  (>n(p) 


d“  I (P  d“  ^b)  I -|- 


Qn  (p  + b) 

4_ 

Qn  (P) 

b 

b 

(2) 


Volgens  de  onderstellingen  b en  of  is  xfU-U  continu  voor  a = p. 
Is  dus  ö een  willekeurig  positief  getal,  dan  kan  men  het  positieve 
getal  s zoo  bepalen,  dat  | if'(p  -1~  ^0  — I t ^ is,  zoodra  \h\  b 
is;  voor  I A I <^6  is  dan  ook  | if;(p  4~  ^^0 — V'(p)  1 <C 

Wegens  het  onderstelde  h kan  men  zoo  bepalen,  dat  voldaan  is 
aan  | Rn{x)  [ i d voor  iedere  n ^ A\  en  iedere  x uit  het  interval  i. 
Voor  n j>  A,  is  dan  | R,,  (p  + Oh)  | <^  i d. 

Is  h een  bepaald  getal,  dat  aan  | A | ■<  e en  h ^ 0 voldoet,  dan 
kan  men  de  getallen  iV,  en  zoo  bepalen,  dat  voor  n ^ en 
n > A,  geldt  | (p  + A)  | < i d | A j resp.  | (»„  (p)  | < i d | A | . 
Kiest  men  nu  n grooter  dan  het  grootste  der  getallen  Aj,  A,  en  Aj, 

(p  (p  + A)  —<f  (p) 

j ^ (P) 


dan  blijkt  uit  (2),  dat 


(A  0),  waaruit  men  tot  (1)  besluit. 


<j  dis  voor  | A | < 6 


128 


4.  Opmerkingen.  Bij  bet  boven  gegeven  bewijs  der  differen- 
tieerbaarheid van  de  functie  cp  {x)  = {x)  u^{x)  . voor  x = p 

is  slechts  van  de  continuïteit  der  functies  u\  (x),  u\  (xj,  enz.  voor 
X — p gebruik  gemaakt,  zoodai  continuïteit  in  een  interval  niet  be- 
hoefde te  wOrden  ondersteld.  Ook  behoefde  de  integreerbaarheid  der 
functies  u\  {x),  u\  {x),  enz.  niet  te  worden  aangenomen,  zoodat  liet 
gewone  bewijs  (door  de  reeks  u\  (.'»)  -1-  u\  (a;)  -j-  . . . . term  voor  term 
te  integreeren)  op  de  algemeenere  formuleering,  zooals  die  in  N*.  1 
gegeven  is,  niet  van  toepassing  is. 


5.  Neemt  men  het  convergeeren  der  reeks  u^{x)  u.fic) 
in  het  geheele  interval  ^ in  het  onderstelde  op,  dan  kan  men  voor 
het  bewijs  van  het  gestelde  ^ met  de  semi-gelijkmatige  convergentie 
(enkelvoudige  gelijkmatige  convergentie  van  Dini)  der  reeks  -f- 
u'  fx)  -["■•••  in  het  interval  i volstaan.  Die  semi-gelijkmatige  con- 
vergentie is  nl.  eerstens  voldoende  om  tot  de  continuïteit  van  if'(a') 
voor  x=:  p {Q  kunnen  besluiten.  Verder  levert  de  bepaling  der  getallen 
iV,  en  xV,  geen  bezwaar,  waarna  men  aan  n een  zoodanige  waarde 
O iV,  en  ^ iVj  kan  toekennen,  dat  voor  iedere  x uit  het  interval  i 
geldt  I (xj  j X Of  deze  ongelijkheid  ook  voor  iedere  grootere 
waarde  van  n geldt,  is  daarbij  onverschillig. 

Door  Dint  is  in  zijn  Teorica  delle  funzioni  di  variabili  reali  dooreen 
gecompliceerdere  omvorming  van  het  differentiequotiënt  het  bewijs 
van  geleverd  zonder  het  onderstelde  d,  daarbij  de  convergentie 
der  reeks  ïi,  (x) -f- Mj  (.v)  4”- ■ • interval  i aannemend. 


6.  Bij  het  bewijs  der  differentieerbaarheid  van  tf{x)  behoefde  de 
absolute  convergentie  der  reeks  u'  jx)  -j-  u\{x)  niet  te  worden 

ondersteld.  Door  aan  te  nemen,  dat  [w'„(x)|  is  (c,,  onafhankelijk 

van  x)  en  de  reeks  c^  c.^  . convergeert  (hetgeen  gelijkmatige 

absolute  convergentie  der  reeks  rijx)  -j-  u'fv)  insluit)  heeft 

PoRTER  (Ann.  of  Math.  sei'.  2,  vol.  ,3,  1901,  p.  19)  op  zeer  eenvou- 
dige wijze  de  differentieerbaarheid  van  q (x)  voor  x = p aangetoond 
zonder  iets  omtrent  continuïteit  der  functies  u'n{x)  te  onderstellen,  nl. 
door  gebruik  te  maken  van  : 


^pip-hh)  — (f{p) 


— rp(p) 


b'n  (P  ^h)  — Un  (p) 
h 


+ uj  (p  -4-  h)  ~ 2 U j (p). 


»+l 


«+1 


h 


(p)  + 


Physiologie.  — De  Heer  Magnüs  biedt,  mede  namens  den  Heer 
A.  DE  Kleun,  eene  mededeeling  aan  over ; ,,  Tonische  Lahyrinth- 
reflexen  op  de  oogspieren.” 

Het  is  een  bekend  feit,  dat  de  labyrinthen  een  sterken  invloed 
uitoefenen  op  den  stand  der  oogen  in  de  orbita  en  wel  in  dien  zin, 
dat  bij  eiken  stand  van  den  kop  in  de  ruimte,  ook  een  bepaalde 
stand  der  oogen  in  de  orbita  behoort. 

Het  onderzoek  naar  het  verband  van  labyrinth-  en  oogstand  wordt 
zeer  bemoeilijkt  door  spontane  oogbewegingen  en  is  het  dan  ook 
begrijpelijk,  dat  de  uitvoerige  onderzoekingen  bijna  uitsluitend  gedaan 
werden  bij  dieren,  die  weinig  spontane  oogbewegingen  maken.  Onder 
de  gebruikelijke  proefdieren  is  dit  in  de  eerste  plaats  het  konijn.  In 
1917  werd  uit  het  pharmacologisch  instituut  (e  Utrecht  een  uit- 
voerige mededeeling  '■)  over  dit  vraagstuk  gepubliceerd  en  het  verband 
tusschen  labyrinth-  en  oogstand  bij  het  konijn  zoo  volledig  mogelijk 
onderzocht. 

Uitgaande  van  een  primairen  stand  van  den  kop  met  horizontale 
mondspleet  en  onderkaak  naar  beneden,  bleken  er  bij  andere  standen 
van  den  kop  in  de  ruimte  zoowel  constante  vertikale  oogafwijkingen 
als  raddraaiingen  op  te  treden.  Voor  de  waargenomen  zijivaartsche 
bewegingen  der  oogen,  in  de  richting  van  de  oogspleet,  konden  geen 
constante  gegevens  gevonden  worden. 

De  vertikale  oogafwijkingen  zijn  aan  beide  oogen  steeds  tegen- 
gesteld, de  grootste  afwijkingen  werden  gevonden  in  beide  zijlig- 
gingen  van  den  kop,  waarbij  het  bovenste  oog  maximaal  naar  beneden, 
het  onderste  maximaal  naar  boven  afgeweken  is. 

De  raddraaiingen  treden  bij  beide  oogen  steeds  in  dezelfde  richting 
op,  de  grootste  afwijkingen  vindt  men,  als  de  kop  zich  vertikaal 
met  den  snuit  naar  boven  of  naar  beneden  bevindt.  Bij  de  proeven 
werden  de  konijntjes  in  toto  in  verschillende  standen  in  de  ruimte 
gebracht,  waarbij  zorg  werd  gedragen,  dat  geen  verplaatsing  van 
den  kop  ten  opzichte  van  den  romp  kon  plaats  vinden  (halsreflexen). 
De  verschillende  oogstanden  werden  kinomatographisch  vastgelegd. 
Een  nauwkeurige  meting  werd  mogelijk  gemaakt  door  op  de  photo- 

9 J-  V.  D.  Hoeve  und  A.  de  Kleun.  Tonische  Labyrinthreflexe  auf  die  Augen. 
Pflügers  Archiv.  169.  241.  1917. 

9 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A^’.  1919/20. 


130 


gi-aphisclie  platen  de  verschuiving  van  een,  in  locaal-anaesthesie  op 
de  cornea  gebrand  kruis,  ten  opzichte  van  een  mede  gephotographeerd, 
vast  coördinatensysteem  te  bepalen. 

De  resultaten  werden  voor  de  vertikale  oogafwijkingen  en  voor 
de  i-addraaiingen  afzonderlijk  in  den  vorm  van  krommen  weergegeven 
en  wel  voor  3 op  elkaar  loodrecht  staande  draaiingen  van  den  kop 
tn  de  ruimte  om  telkens  360°. 

Op  deze  wijze  leert  men  natuurlijk  slechts  kennen  den  invloed 
van  de  labyrinthen  op  den  stand  der  oogen.  Voor  eene  nauwkeurige 
analyse  der  labyrinthaii'e  invloeden  is  het  echter  gewenscht  den 
invloed  te  leeren  kennen  van  de  labyrinthen  op  elke  oogspier. 

Daar  nu  bij  verschillende  standen  van  den  kop  in  de  ruimte 
dikwijls  eene  combinatie  van  vertikale  oogafwijkingen  en  rolbewe- 
gingen  optreden  en  hierbij  de  insertie-punten  der  oogspieren  op  ver- 
schillende wijzen  verplaatst  worden,  is  het  a priori  niet  vanzelf 
sprekend,  dat  als  de  oogbol  maximaal  naar  boven  of  beneden  afge- 
weken of  als  deze  maximaal  gerold  is,  ook  de  oogspieren  (mm.  rQcti 
en  obliqui)  dan  eveneens  maximaal  verlengd  of  verkort  moeten  zijn. 

Het  was  dus  noodig  na  te  gaan  bij  welken  stand  van  den  kop 
in  de  ruimte  de  verschillende  oogspieren  hun  maximale  en  minimale 
verkorting  vertoonen.  Door  het  bovengenoemde  onderzoek  was  voor 
eiken  stand  van  den  kop  in  de  ruimte  ook  de  daarbij  behoorende 
oogstand  nauwkeurig  bepaald  en  was  dus  verder  niets  noodig,  dan 
een  geschikt  oogmodel  te  construeeren,  bij  dit  model  den  oogbol  in 
de  verschillende  gevonden  standen  te  brengen  en  nu  voor  eiken 
stand  ook  de  lengte  der  6 oogspieren  nauwkeurig  te  bepalen. 

De  anatomische  verhoudingen  der  oogspieren  werden  voor  korten 
tijd  door  Wbssely  ‘)  nader  beschreven.  In  de  bijgevoegde  afbeelding 
vindt  men  echter  niet  de  werkelijke  verhoudingen  in  getallen  uit- 
gedrukt. 

Daarom  werd  bij  verschillende  konijnen  de  lengte  der  oogspieren, 
grootte  van  den  oogbol,  plaats  der  insertie  der  spieren  etc.  nauw- 
keurig bepaald  en  hiernaar  door  den  instumentmaker  van  het  instituut 
F.  A.  C.  Imhof,  een  model  vervaardigd  van  oogbol  en  bijbehoorende 
oogspieren. 

Uitgaande  van  den  primairen  oogstand  werd  nu  met  behulp  van 
de  vroeger  gevonden  waarden  voor  raddraaiïngen  en  vertikale  oog- 
afwijkingen voor  verschillende  liggingen  \an  den'  kop  in  de  ruimte 
bij  het  model  de  bijbehoorende  oogstand  ingesteld  en  nu  de  lengten 
der  ö oogspieren  bij  deze  verschillende  oogstanden  bepaald. 

b K.  Wessely.  Ueber  den  Einflus  der  Augenbewegungen  auf  den  Augendruck 
Arch.  f.  Augenheilkunde.  81.  111.  1916. 


131 


3 


Bij  de  vroeger  verrichte  proeven  waren  steeds  3 draaiingen  uit- 
gevoerd. 

Draaiing  I. 

Dier  oorspronkelijk  in  buikligging  met  horizontale  mondspleet. 
Draaiing  van  het  dier  om  de  bitemporale  as,  richting  van  de 
draaiing  is:  kop  naar  beneden  en  staart  naar  boven. 

Draaiing  II. 

Dier  oorspronkelijk  in  buikligging  met  horizontale  mondspleet. 
Draaiing  van  het  dier  om  de  occipito-caudale  as.  Richting  van  de 
draaiing  is:  rechter  oog  naar  beneden. 

Draaiing  III, 

Dier  oorspronkelijk  in  linker  zijligging  met  het  rechter  oog  naar 
boven,  mondspleet  staat  vertikaal.  Draaiing  van  het  dier  om  de 
ventro-dorsale  as,  de  richting  der  draaiing  is,  snuit  naar  beneden. 

Bij  elke  draaiing  werd  de  oogstand  om  de  15°  nauwkeurig  bepaald. 

Het  resultaat  der  metingen  aan  het  model  van  de  lengte  der 
oogspieren  bij  de  verschillende  oogstanden  werd  in  tabelvorm  gebracht. 

De  publicatie  dezer  tabellen  moge  hier  achterwege  blijven,  daar 
het  noodzakelijk  bleek  eerst  nog  eene  correctie  aan  te  brengen. 

Wanneer  n.1.  het  oog  van  den  normaalstand  uit,  mddraaiingen 
uitvoert  zonder  vertikale  bewegingen,  dan  worden  door  deze  rad- 
draaiingen  van  den  oogbol  de  insertiepunten  van  de  rechte  oog- 
spieren aan  den  bnlbus  verplaatst  en  daardoor  de  lengte  der  rechte 
oogspieren  pasaief  veranderd. 

Wanneer  nu  een  raddraaiïng  zich  met  een  vertikale  oogafwijking 
combineert,  dan  treedt  de  contractie  der  rechte  oogspieren  niet  op 
bij  de  lengte  dier  spieren,  welke  zij  bij  den  normaalstand  van  den 
oogbol  hebben,  maar  bij  een  andere  lengte,  welke  zij  door  de  rad- 
draaiïng (contractie  der  scheeve  oogspieren)  gekregen  hebben.  Wanneer 
dus  het  oog  een  raddraaiïng  uitgevoerd  heeft,  moeten  de  gemeten 
lengten  der  rechte  oogspieren  gecorrigeerd  worden  met  een  bedrag, 
dat  overeenkomt  met  de  passieve  verlenging,  resp.  verkorting,  ver- 
oorzaakt door  de  contractie  der  scheeve  oogspieren. 

Eveneens  moeten  natuurlijk  de  gemeten  lengten  der  mm.  obliqui  bij 
verschillende  vertikaalafwijkingen  gecorrigeerd  worden  met  een 
bedrag,  dat  overeenkomt  met  de  passieve  verlenging,  resp.  ver- 
korting dier  spieren,  veroorzaakt  door  de  contractie  der  rechte 
oogspieren. 

Aan  het  model  kon  nu  op  eenvoudige  wijze  door  eerst  het  oog 
in  normaalstand  te  brengen  en  nu  alleen  radddraaiingen  resp.  alleen 
vertikale  oogafwijkingen  van  den  oogbol  op  te  wekken,  bepaald 
worden  hoe  veel,  bij  verschillende  lengten  der  scheeve  oogspieren, 

9* 


132 


de  passieve  verlenging  of  verkorting  der  rechte  oogspieren  of  omge- 
keerd bij  verschillende  lengten  der  rechte  oogspieren  de  passieve 
verlenging  of  verkorting  der  scheeve  oogspieren  bedraagt. 

De  op  deze  wijze  gecorrigeerde  tabellen  vindt  men  in  den  vorm 
van  krommen  als  tig.  1 — 4 gereproduceerd. 

Deze  krommen  geven  dus  weer  de  gecorrigeerde  lengten  in  mM. 
der  4 oogspieren  (beide  obliqui  en  recti  super,  en  infer.)  bij  de  3 
bovengenoemde  draaiingen  van  den  kop  in  de  ruimte.  Voor  den 
obliq.  superior  is  alleen  de  afstand  van  trochlea  tot  aan  de  insertie 
aan  den  balbus  weergegeven. 

Deze  krommen  leeren  nu  het  volgende: 

De  krommen  van  den  obliq.  superior  en  obliq.  inferior  zijn  precies 
eikaars  spiegelbeeld,  dat  wil  dus  zeggen,  dat  deze  spieren  bij  de 
tonische  labjrinthreflexen  geheel  als  antagonisten  zich  gedragen; 
wordt  de  eene  langer,  dan  wordt  de  andere  korter  en  omgekeerd. 

Eveneens  blijkt  uit 'de  krommen  van  de  mm.  recti  superior  en 
inferior  dat  ook  deze  spieren  als  reine  antagonisten  functioneeren. 

Vergelijkt  men  de  krommen  van  de  scheeve  oogspieren  (fig.  1 en  2) 
met  de  krommen,  die  vroeger  voor  de  raddraaiingen  van  het  oog 
gevonden  werden,  dan  blijkt,  dat  zij  in  de  hoofdpunten  overeenkomen. 
Vooral  vindt  men  voor  de  ligging  der  maxima  en  minima  geen 
essentieel  verschil;  de  raddraaiingen  en  de  verkortingen  der  scheeve 
oogspieren  zijn  ongeveer  het  grootst,  als  de  kop  met  den  snuit 
vertikaal  naar  boven  of  beneden  staat.  Eveneens  komen  de  krommen 
voor  de  rechte  oogspieren  (fig.  3 en  4)  met  de  krommen  overeen, 
welke  vroeger  voor  de  vertikale  oogafwijkingen  gevonden  werden. 
Alleen  is  de  vorm  van  de  kromme  der  oogspieren  bij  draaiing  III 
wat  spitser  dan  de  vorm  der  krommen,  die  voor  de  vertikaal- 
afwijkingen  gevonden  werd. 

De  ligging  der  maxima  en  minima  is  echter  niet  essentieel  ver- 
anderd. Het  maximum  van  contractie  der  beide  rechte  oogspieren  is 
ongeveer  bij  zijligging  van  den  kop. 

Vergelijkt  men  nu  de  krommen  van  de  obliqui  en  recti  dan  vindt 
lïien  het  volgende: 

Bij  draaiing  I ( — ) reageeren  de  obliqui  zeer  sterk,  terwijl  de  recti 
bijna  geen  bewegingen  uitvoeren.  Bij  deze  draaiing  vindt  men  dus 
bijna  uitsluitend  raddraaiingen  zonder  vertikaalbe wegingen. 

Omgekeerd  reageeren  bij  draaiing  II  ( — . — .)  de'obliqui  bijna  in  het 
geheel  niet,  terwijl  de  recti  superior  en  inferior  sterke  bewegingen 
uitvoeren ; bij  deze  draaiing  dus  overwegend  vertikale  bewegingen, 
zonder  raddraaiingen. 


133 


Fig.  1. 


Fig.|2. 


... 

\ 

\ 

"v 

OR.1  . 

RECTUS  INF.  ..  n 

(kobrigimt)  ■■  UI——.- 

/ 

N 

V 



■' 

'n. 

1 

\ 

N 

4( 

s 

\ 

• 

> 

< 

J 

\ 

’\ 

/ 

\/ 

f' 

/ 

... 

/ 

< 

s 

^ -o* 

^ 2 3 4 S 6 7 e 9 10  M i2  >3  M IS  16  t7  18  I9  20  2l  22  23  24  2S  . 

0 IS  30  45  60  75  90  105  120  lOS  iSO  iSS  180  i95  210  225  240  255  270  295  300  315  330  345  360® 


Fig.  3. 


134 


mm 


-- 

— 

V 

OR.I  

RECTUS  SUPER.  ..  U 

(KOflwsiüir)  *• 

/ 

-• 

• 

tmm 

X, 

/' 

\ 

4— 

^ « ' 

/ 

'n 

/ 

f 

/ 

✓ 

/ 

r 

■\ 

‘x 

\ 

\ 

% 

4 

y 

/ 

/ 

/ 

• 

fy 

\ 

\ 

' 

aoU.i.l  1 1 .1  I I i \ 1..,..  I ■„  i - I I,  I ■!  I \ I I I ■ I.  I 1 1 I 

« 2 0 4 s 6 7 e 9 10  II  12  13  14  IS  IB  17  18  19  20  2l  22  23  24  2S 

0 IS  90  48  60  78  90  108  120  I9S  ISO  (68  160  195  210  228  240  255  270  285  900  015  990  948  960^ 


Fig.  4. 

Alleen  bij  draaiing  111  ( — ) vindt  men  een  gezamenlijke  werking 
van  de  obliqui  en  de  beide  recti. 

Hieruit  volgt  dus,  dat  bij  draaiing  I de  labyrinthen  bijna  uit- 
sluitend op  de  obliqnl,  bij  draaiing  II  bijna  uitsluitend  op  rectus 

superior  en  inferior  en  bij  draaiing  III  op  alle  4 de  oogspieren 

werken. 

Op  details  der  krommen  kan  hier  nog  niet  worden  ingegaan,  dit 
zal  later  geschieden,  als  de  afhankelijkheid  der  tonische  labyrinth- 
reflexen  op  de  oogen  van  bepaalde  gedeelten  van  het  labjrinth  spec. 
van  de  otolilhen  nader  zal  worden  nagegaan.  Hier  moge  alleen 

gewezen  worden  op  het  feit,  dat  bij  de  scheeve  oogspieren  de  kromme 

van  draaiing  I een  asymetriscli  verloop  heeft,  bij  de  rechte  spieren 
de  kromme  van  draaiing  II. 

De  nauwkeurigheid  der  vroegere  bepalingen  en  der  nu  uitgevoerde 
metingen  volgt  uit  het  vergelijken  der  correspondeerende  punten  op 
de  verschillende  krommen. 

Bij  de  3 verschillende  draaiingen  werd  namelijk  verschillende  malen 
eenzelfde  stand  van  den  kop  in  de  ruimte  vanuit  verschillende 
richting  bereikt.  Uit  de  kromme  blijkt,  dat  desalniettemin  de  ge- 
vonden lengten  der  oogspieren  opvallend  goed  overeenkomen. 

Correspondeerende  punten  zijn  o.a. ; 

Norrnaalstand.  Draaiing  I No.  1 en  25.  Draaiing  II  No.  1 en  25. 

Rugliggitig.  Draaiing  I No.  13.  Draaiing  II  No.  13. 

Linker  zijligging.  Draaiing  II  No.  19.  Draaiing  III  No.  1. 

Rechter  zijligging.  Draaiing  II  No.  7.  Draaiing  III  No.  13. 

Snuit  naar  boven.  Draaiing  I No.  19.  Draaiing  III  No.  19. 

Snuit  naaj-  beneden.  Draaiing  1 No.  7.  Draaiing  III  No.  7. 

Bij  al  deze  standen  hebben  de  4 gemeten  oogspieren  bijna  precies 
dezelfde  lengte. 

Conclusies. 

Uit  dit  en  het  vroeger  gepubliceerde  onderzoek  kan  over  de  tonische 


135 


labyrinthreflexen  op  de  oogspieren  het  volgende  geconcludeerd  worden  : 

1.  Bij  het  konijn  komt  met' eiken  stand  van  den  kop  in  de  ruimte 
een  bepaalde  contractietoestand  der  oogspieren  overeen  en  daardoor 
een  bepaalde  oogstand,  die  zoolang  voortduurt  als  de  kop  zijn  stand 
in  de  ruimte  niet  verandert. 

2.  Bij  deze  tonische  labyrinthretlexen  konden  bij  het  konijji  voor 
den  rectns  externus  en  internus  geen  vaste  regels  gevonden  worden. 
In  hoofdzaak  betreft  - het  de  werking  van  den  rectns  superior  en 
inferior,  welke  de  vertikale  oogafwijkingen  en  de  beide  obliqui, 
welke  de  rolbe wegingen  der  oogen  veroorzaken. 

Hierbij  verhouden  de  beide  recti  evenals  de  beide  obliqui  zich 
onderling  als  antagonisten;  daarentegen  kunnen  verandeilngen  der 
lengten  van  de  recti  zich  met  die  der  obliqui  in  verschillende  graden 
combineeren.  Deze  beide  spiergroepen  functioneeren  dus  onafhankelijk 
van  elkaar  (hoewel  natuurlijk  tezamen  afhankelijk  van  de  labyrinthen). 

3.  Als  de  kop  zich  met  den  snuit  vertikaal  naar  boven  bevindt 
zijn  de  beide  obliqui  superiores  (rechts  en  links)  in  eenen  toestand 
van  grootste  contractie,  beide  obliq.  infer.  in  een  toestand  van 
grootste  verslapping.  Beide  oogen  zijn  dan  met  de  bovenste  corneapool 
naar  voren  gerold.  Als  de  kop  zich  met  den  snuit  vertikaal  naar 
beneden  bevindt  zijn  de  beide  obliqui  superiores  in  een  toestand  van 
grootste  verslapping  beide  obliq.  inferiores  in  een  toestand  van 
grootste  contractie.  Beide  oogen  zijn  dan  met  de  bovenste  corneapool 
naar  achteren  gerold. 

Bij  alle  andere  standen  van  den  kop  in  de  ruimte  vindt  men 
contractietoestanden  van  de  obliqui,  welie  tusschen  deze  beide  uiterste 
liggen,  steeds  reageeren  beide  oogen  met  rollingen  in  dezelfde  richting. 

4.  Als  de  kop  zich  in  linker  zijligging  bevindt,  is  de  rechter 
rectns  inferior  en  de  linker  rectus  superior  in  een  toestand  van 
grootste  contractie,  de  rechter  rectus  superior  en  de  linker  rectus 
inferior  in  een  toestand  van  grootste  verslapping.  Het  rechter  oog 
is  dan  maximaal  naar  beneden,  het  linker  oog  maximaal  naai' boven 
afgeweken. 

Als  de  kop  zich  in  rechter  zijligging  bevindt,  is  de  linker  rectus 
inferior  en  de  rechter  rectus  superior  in  een  toestand  van  grootste 
contractie,  de  linker  rectus  superior  en  de  rechter  rectus  inferior  in 
een  toestand  van  grootste  verslapping.  Het  linker  oog  is  dan  maxi- 
maal naar  beneden,  het  rechter  oog  maximaal  naar  boven  afgeweken. 

Bij  alle  andere  standen  van  den  kop  in  de  ruimte  vindt  men 
contractietoestanden  van  den  rectus  superior  en  inferior,  welke 
tusschen  deze  beide  uiterste  liggen. 

Steeds  reageeren  beide  oogen  met  tegengestelde  vertikale  oogaf- 


J36 


wijkingen.  De  rectus  superior  van  de  eene  zijde  en  de  rectus  inferior 
van  de  andere  zijde  reageeren  daarbij  in  denzelfden  zin. 

5.  Bevindt  zich  de  kop  eerst  in  zijn  normaalstand  en  wordt  deze 
dan  om  de  bitemporale  as  om  360°  gedraaid,  dan  reageeren  daarbij 
hoofdzakelijk  de  obliqui  en  de  beide  oogen  rollen  in  dezelfde  richting. 
Bevindt  zich  de  kop  eerst  in  zijn  normaaltoestand  en  wordt  deze 
dan  om  de  occipito-caudale  as  om  360°  gedraaid,  dan  reageeren 
daarbij  hoofdzakelijk  de  recti  superior  en  inferior  en  de  oogen  ver- 
tonnen (tegengestelde)  vertikale  afwijkingen. 

Bevindt  zich  de  kop  eerst  in  zijligging  en  wordt  deze  dan  om  de 
ventro-dorsale  as  om  360°  gedraaid,  dan  reageeren  beide  spiergroepen 
en  de  oogstanden  zijn  de  resultanten  van  tegengestelde  vertikale 
oogafwijkingen  en  gelijk  gerichte  rol  bewegingen. 

6.  Na  eenzijdige  labyrinthexstirpatie  blijven  de  vertikale  oogafwij- 
kingen en  rolbewegingen  van  beide  oogen  bestaan.  Een  labjrinth 
werkt  op  de  obliqui  van  beide  oogen  en  de  rollingen  in  denzelfden 
zin,  op  de  recti  (super,  en  infer.)  van  beide  oogen  en  de  vertikale 
oogafwijkingen  in  tegengestelden  zin. 

Een  labyrint!)  verooizaakt  aan  beide  oogen  de  grootste  vertikale 
afwijking  ten  opzichte  van  den  normalen  oogstand,  als  het  zich  bij 
zijligging  van  den  kop  beneden  bevindt.  Dan  is  de  rectus  super, 
van  dezelfde  zijde  en  de  rectus  inf.  van  de  gekruiste  zijde  in  een 
toestand  van  de  grootste  contractie. 

Een  labyrint!)  veroorzaakt  bij  beide  oogen  de  grootste  rolbewe- 
gingen door  contractie  der  obliqui  infer.  als  de  kop  zich  met  den 
snuit  vertikaal  naar  beneden  bevindt. 

Omgekeerd  vejoorzaakt  een  labyrint!)  de  grootste  rolbewegingen 
bij  beide  oogen,  doo)'  conti'actie  der  obliqui  superiores,  als  de  kop 
zich  met  den  snuit  vertikaal  naar  boven  bevindt. 

De  grootte  der  rolbewegingen  is  bij  aanwezigheid  van  slechts  een 
labyrint!)  ongeveer  de  helft  van  de  rolbewegingen  bij  dieren  met 
intakte  labyrinthen. 

7.  Het  gelukt  de  ve)-anderingen  der  oogstanden  bij  bet  intakte 
dier  terug  te  brengen  tot  de  som  van  invloeden,  die  vanuit  het 
rechter  en  linker  labyrint!)  op  de  i-ecti  super,  en  infer.  en  de  obliqui 
super,  en  infer.  van  beide  oogen  worden  uitgeoefend. 

8.  Na  dubbelzijdige  labyrinthexstirpatie  zijn  alle  hier  boven  be- 
schreve))  tonische  reflexen  op  de  oogen  verdwenen. 

9.  De  centrale  banen,  die  bij  het  konijn  voor  de  verklaring  der 
tonische  labyrinfhreflexen  op  de  oogen  (dus  niet  der  draaireacties  en 
calo)‘ische  reacties)  minstens  aanwezig  moeten  zijn,  vindt  men  in 
een  schema  bij  fig.  5 geteekend. 


137 


De  getrokken  lijnen  stellen  de  banen  van  de  recti  super,  en  inf. 
voor,  de  gestippelde  lijnen  dié  van  de  obiiqui. 


Fig.  5. 

Elk  der  4 obiiqui  wordt  beïnvloed  vanuit  beide  labyrinthen,  elk 
der  beide  recti  (super,  en  inf.)  vanuit  slechts  een  labjrinth. 

Een  labjrinth  werkt  op  de  4 obiiqui,  daarentegen  slechts  op  den 
rectus  super,  van  dezelfde  kant  en  op  den  rectus  infer.  van  de 
gekruiste  zijde.  Voor  de  Mexternus  en  interims  konden  bij  deze 
tonische  labjrinthreflexen  geen  vaste  regels  gevonden  worden. 


Bacteriologie.  — De  Heer  Bukman  biedt  een  mededeeling  aan  , 
van  den  Heer  L.  K.  Wolff:  ,,Over  het  z.g.  fdtreevbare  virus 
der  influenza  van  v.  Angerer”. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Spronck). 

Op  liet  eind  van  1918  heeft  v.  Angkrer  inededeelingen  gedaan 
over  een  door  hem  ontdekt  virus  van  de  influenza.  Hij  spoot  ratten 
in  met  sputa  van  lijders  aan  influenza,  filfreerde  het  bloed  van  deze 
ratten  kiemvrij,  als  ze  al  erg  ziek  waren  en  bracht  het  filtraat  in 
glueose-bouillon.  Na  bebi’oeding  in  de  stoof  bij  37°  werd  deze  bouillon 
troebel,  zonder  dat  er  duidelijk  bacteriën  in  konden  worden  gevon- 
den. Wel  beschrijft  von  Angerek  zeer  kleine  vormsels,  angioplas- 
mata,  die  hij  voor  de  verwekkers  van  de  griep  houdt.  Deze  inede- 
deeling  werd  bevestigd  en  aangevuld  door  hem  zelf  en  andere  onder- 
zoekers ’).  Zoo  werd  gevonden  dat  de  rat  niet  meer  noodig  was  om 
het  virus  te  isoleeren  maar  dat  het  voldoende  was  bloed  van  lijders 
aan  influenza  in  de  bouillon  te  brengen. 

Bij  een  onderzoek  over  de  secundaire  bacteriën,  die  bij  de  influ- 
enza-patiënten  de  pneumonie  veroorzaken,  samen  met  Dr.  Snapper  ’) 
verricht,  hebben  wij  ook  enkele  malen  deze  troebeling  waargenomen, 
zonder  dat  het  lukte  eenige.  mikrobe  in  de  vloeistof  aan  te  toonen. 
Wel  was  ons  opgevallen,  dat  er  talrijke  ronde,  gram-negatieve  kor- 
reltjes in  dergelijke  bouillon  waren  te  vinden,  maar  de  ongelijke 
grootte  had  er  ons  van  teruggehouden  deze  vormsels  als  bacteriën 
te  beschouwen.  Nadat  echter  de  mededeélingen  van  von  Angerer 
waren  verschenen,  ben  ik  nader  op  deze  troebelingeu,  die  men  dus 
verkrijgt  door  bloed  van  influenza-patiënten  in  glucose-bouillon  te 
enten  en  deze  vloeistof  dan  bij  37°  te  bebroeden,  gaan  letten  en 
heb  ze  in  een  drietal  gevallen  van  ernstige  influenza-pneumonie  kun- 
nen waarnemen.  Echter  — laat  ik  er  dit  on  middellijk  aan  toevoe- 

b Münchener  Med.  Woch.  1918,  N®.  46  en  47. 

b Pbell  ; ibidem  J 918,  N".  52. 

Leschke,  Bert.  klin.  Woch.  1919,  N®.  1. 

Zie  verder  Olsen  (Verslag  Aertzl.  Verein  Hamburg  7 Jan.  1919)  en  Kronberger, 
Deutsche  Med.  Woch  1919,  N®.  9,  die  de  vondsten  van  von  Angerer  voor  niet 
specifiek  houden. 

®)  Tijdschr.  v.  Geneesk.  1919,  blz.  1483. 


139 


gen  — vond  ik  ze  ook  in  een  geval  van  endocarditis  lenta  bij  een 
kindje  waar  ik  geen  streptococcen  in  het  bloed  vond,  maar  wel  tot 
tweemaal  toe  dezelfde  troebeling. 

De  epidemie  was  toen  bijna  ten  einde  en  ik  had  mijn  onderzoe- 
kingen niet  kunnen  voortzetten,  als  niet  een  gelukkig  toeval,  een 
later  gebleken  verkeerde  meening,  me  verder  had  geholpen. 

Uitgaande  van  het  door  mij  en  ook  door  andere  onderzoekers 
waargenomen  feit,  dat  inenting  van  doode  bacteriën,  welke  de  influ- 
enza eomplieeeren,  dus  pneurno-  en  streptococcen  of  influenzabacillen 
bij  personen  deze  niet  alleen  beschut  tegen  de  complicaties,  maar 
ook  tegen  de  influenza  zelf,  meende  ik,  dat  in  de  door  mij  en  Dr. 
Snapper  verzamelde  culturen  in  bloedbouillon  van  strepto-  en  pneu- 
mococcen  misschien  ook  het  virus  der  influenza  aanwezig  zou  zijn  en 
probeerde  ik  dus  het  virus  door  filtratie  door  een  Berkefeld-filter  en  enting 
in  bloedbouillon  af  te  zonderen.  Inderdaad  gelukte  dit  de  eerste  keeren  ; 
ik  kreeg  vloeistoffen  waarin  geen  gewone  bacteriën  aanwezig  waren, 
maar  die  bij  37°  troebel  werden.  Mijn  resultaten  waren  echter  wis- 
selend; nu  eens  kreeg  ik  wel  troebeling,  dan  weer  bleef  deze  uit. 
Nadat  ik  het  eerst  aan  de  Berkefeldkaarsjes  had  geweten  bleek  me 
ten  slotte  dat  het  ai  of  niet  verkrijgen  van  de  troebeling  af  hing  van 
een  bijmenging  van  een  geringe  hoeveelheid  haemoglobine  en  nu 
was  ook  het  raadsel  spoedig  opgelost.  Brengt  men  bij  bouillon  een 
weinig  haemoglobine-houdende  vloeistof,  dan  blijft  dit  mengsel  .bij 
gewone  temperatuur  helder,  maar  in  de  broedstoof  is  na  24  uur 
een  troebeling  gevormd.  Deze  ontstaat,  ook  in  pepton,  zelfs  in  zout- 
solutie;  echter  moet  de  laatste  zeer  precies  neutraal  reageeren,  daal- 
de ti-oebeling  anders  uitblijft.  De  haemoglobine-oplossing  werd  steeds 
gemaakt  door  erythrocjten  met  zoutsolutie  te  wasschen,  daarna  met 
gedistilleerd  water  tot  oplossing'  te  brengen  en  vervolgens  door  een 
kaars  te  filtreeren. 

De  verklaring  waarom  juist  met  het  bloed  van  ernstige  influenza- 
lijders  deze  troebeling  wordt  verkregen,  is  gemakkelijk  te  geven ; 
bij  deze  ziekte  komt  door  de  secundaire  haemolytische  streptococcen 
een  gedeeltelijke  haemolyse  van  het  bloed  tot  stand  en  het  bloed 
dat  we  in  de  bouillon  brengen,  zal  dus  niet  alleen  roode  bloed- 
lichaampjes maar  ook  haemoglobine,  vrij  in  het  plasma,  bevatten  en 
dit  wordt  in  de  broedstoof  omgezet.  Om  dit  nog  nader  te  bewijzen, 
heb  ik  bij  een  konijn  de  carotis  blootgelegd,  een  weinig  bloed  er  uit 
iu  bouillon  en  in  een  reageerbuis  laten  loopen  (I).  Daarna  werd  in 
de  oorvene  gedistilleerd  water  gespoten  en  korten  tijd  daarna  weer 
bloed  in  bouillon  en  in  een  reageerbuis  uit  de  carotis  afgetapt.  (II). 
De  kolfjes  bouillon  werden  in  de  broedstoof  gezet.  Het  bloed,  dat 


140 


in  de  buisjes  was  opgevangen,  liet  ik  stollen ; het  tweede  bevatte 
lichtrood  gekleurd  serum  en  spectroscopisch  oxyhaemoglobine.  Na 
24  uur  was  de  bouillon  uit  kolfje  II  na  licht  cent  rif  ugeeren  oin  de 
erithrocyten  te  verwijderen,  nog  duidelijk  troebel;  dat  van  kolfje  I 
helder.  Beide  bleken  steriel  te  zijn. 

Thans  rest  nog  de  vraag,  waaruit  de  troebeling  bestaat.  Doet  men 
in  bouillon  wat  meer  haemoglobine-oplossing  en  laat  dit  in  de  broed- 
stoof  staan,  dan  krijgt  men  den  volgenden  dag  een  troebele  vloeistof 
en  een  rood  neerslag.  Dit  laatste  lost  niet  of  heel  moeilijk  op  in 
zuren,  gemakkelijk  in  verdunde  alkaliën.  De  oplossing  vertoont  geen 
duidelijke  absorptiestrepen  in  den  spectroscoop ; brengen  wij  er  een 
weinig  zwavel-ammonium  bij,  dan  krijgen  wij  direct  een  duidelijke 
streep,  karakteristiek  voor  het  haemochromogeen.  Voegen  wij  eerst 
cyaankali  toe,  daarna  zwavel-ammonium,  dan  krijgen  wij  twee 
streepen,  waarvan  de  linksche  iets  naar  het  rood  is  verschoven  in 
vergelijking  met  de  bovenstaande  streep.  Dit  alles  wijst  uit,  dat  wij 
te  doen  hadden  met  haematine. 

Blijkbaar  hebben  wij  dus  een  autolyse  van  het  haemoglobine.  Het 
globine  zal  in  de  meeste  gevallen,  daar  de  bouillon  niet  precies 
neutraal  is,  wel  opgelost  blijven ; in  neutrale  zoutsolutie  kan  het 
echter  tot  de  troebelingen  bijdragen.  Wil  men  de  troebelingen  van 
haemoglobine  in  zoutoplossing  krijgen,  dan  moet  men  zeer  verdunde 
haamoglobine-oplossingen  nemen,  ander  blijft  zij  uit.  Dit  komt,  omdat 
de  reactie  van  de  zoutsolutie  verandert  door  toevoeging  van  veel 
haemoglobine-oplossing. 

Het  troebel  worden  van  buisjes  bouillon  bij  37°  met  bloed,  dat 
geruimen  tijd  geleden  aan  het  lichaam  is  ontnomen,  een  welbekend 
feit  voor  ieder,-  die  veel  met  deze  cultuurvloeistof  werkt,  berust 
natuurlijk  op  hetzelfde  feit:  autolyse  en  het  vormen  van  haematine. 

Resumeerende  kunnen  wij  dus  zeggen,  dat  de  door  von  Angbrer 
beschreven  troebeling  van  bouillon,  na  inbrenging  van  filtraat  van 
bloed  van  ernstige  grieplijders,  niet  specifiek  is,  maar  overal  daar 
moet  optreden,  waar  in  het  levend  organisme  in  het  bloed  belang- 
rijk verval  van  erythrocyten  plaats  heeft  gevonden.  De  troebeling 
is  geen  virus,  maar  haematine  (en  globine),  ontstaan  uit  het  aan- 
wezige haemoglobine. 

Amsterdam.  Laboratorium  voor  de  Gezondheidsleer 

der  üniversiteit. 


Scheikunde.  — De  Heer  -Zeeman  biedt  een  mededeeling  aan  van 
de  Heeren  A.  Smits,  G.  L.  C.  La  Bastide  en  Th.  de  Grauw: 
,,Over  het  verschijnsel  na  anodische  polarisatie.”  II. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  S.  Hoogewerff). 


1.  In  een  vorige  mededeeling*)  werd  aangetoond,  dat  het  ver- 
schijnsel, dat  na  anodische  polarisatie  van  ijzer  in  een  ijzerzout-oplossing 
optreedt,  daaraan  is  loe  te  schrijven,  dat  het  ijzer  zich  bij  het  anodisch 
oplossen  omgeeft  met  een  vloeistoflaag,  die  zéér  rijk  is  aan  ferro-ionen. 


In  den  regel  zal  de  verhouding 


{Fe' 

{Fe' 


in  deze  vloeistoflaag  grooter 


zijn  dan  daar  buiten.  Na  verbreking  van  den  stroom  zullen  der- 
halve ferri-ionen  uit  de  omgeving  in  de  grenslaag  difïundeeren, 
terwijl  de  ferro-ionen  zich  naar  buiten  bewegen,  waardoor  in  de 

{Fe" ) 

grenslaag  de  verhouding  weer  kleiner  wordt.  Deze  verandering 

maakt,  dat  de  potentiaal  van  het  ijzer,  die  aanvankelijk  door  de 
verstoring  van  het  metaal  minder  negatief  of  positief  was,  na  ver- 
breking van  den  stroom  een  minimumwaarde  doorloopt. 

Dat  het  hierboven  vermelde  inderdaad  de  verklaring  van  het 
verschijnsel  is,  werd  aangetoond  door  het  feit,  dat  het  verschijnsel 
geheel  verdwijnt,  wanneer  de  ijzerzout-oplossing  vooraf  in  een  waterstof- 
atmosfeer  met  ijzerpoeder  eenigen  tijd  wox’dt  verhit.  Men  krijgt  dan 
een  ferro-zoiitoplossing,  die  met  unair  ijzer  in  electromotorisch  even- 
wicht is,  zoodat  in  de  grenslaag  bij  het  anodisch  oplossen  van  het 

. . {Fe")  . , . 

Ijzer  de  verhouding  practisch  niet  verandert. 


2.  In  bovengenoemde  mededeeling  werd  er  op  gewezen,  dat  de 
potentiaal  van  Nikkel,  na  polarisatie  in  een  oplossing  van  NiSO^ 
eveneens  een  minimumwaarde  doorloopt,  zoodat  reeds  werd  vermoed, 
dat  dit  verschijnsel  op  dezelfde  wijze  zou  moeten  worden  verklaard 
als  dat  bij  ijzer. 

Om  dit  na  te  gaan  werd  het  verschijnsel  bij  Nikkel  eerst  nog 
eens  fotografisch  opgenomen,  wanneer  het  metaal  was  gedompeld  in 
een  oplossing  van  NiCl,.  Het  minimum  kwam  hierbij,  zooals  de 
nevenstaande  foto  (Fig.  l)  laat  zien,  zeer  duidelijk  te  voorschijn. 
Het  verloop  is  veel  sneller  dan  bij  gebruik  van  een  NiSO^-oplossing, 
tengevolge  van  de  positief  katalytische  werking  der  chloor-ionen. 

Daarop  werd  de  NiCG-oplossing  in  een  waterstofatrnosfeer  eenigen 


Verslag  Kon.  Akad.  v.  Wet.  Dl.  XXVII,  p.  1253. 


142 


143 


r 


144 


tijd  verhit  met  bij  lage  temperatuur  bereid  fijnverdeeld  Nikkel, 
waarna  de  proef  werd  herhaald.  Zooals  de  volgende  foto  (Fig.  2) 
laat  zien  was  nu  het  verschijnsel  geheel  verdwenen. 


3.  In  de  vorige  mededeeling  werd  er  reeds  op  gewezen,  dat  men 
als  het  ware  het  spiegelbeeld  van  het  verschijnsel  kan  verwachten, 
wanneer  men  bv.  ijzer,  gedompeld  in  een  ferro-ferri-zout-oplossing, 

tot  kathode  maakt.  De  verhouding  het  ijzeroppervlak 

het  grootst  zijn,  daar  het  ijzer  door  het  in  oplossing  zenden  van 
-ionen,  de  grenslaag  zoodanig  tracht  te  veranderen,  dat  het  bij 
unair  gedrag  daarmede  in  evenwicht  kan  zijn.  Hoe  verder  de  vloeistof- 
laag  dus  van  het  ijzer  verwijderd  is  des  te  kleiner  zal  de  verhouding 

Maakt  men  dus  ijzer,  in  de  onderstelde  oplossing  ge- 
dompeld, een  oogenblik  tot  kathode,  dan  zal  het  ijzer  uit  de  grens- 
laag worden  neergeslagen  en  de  ionen  uit  de  volgende  laag  zullen 

{Fe') 

in  de  grenslaag  diffundeeren,  en  daar  de  verhouding  --  in  die 

{re") 

volgende  laag  kleiner  is,  komt  het  ijzer,  na  kathodische  polarisatie 


met  een  vloeistoflaag-in  kontakt,  waarin  de  verhouding 


{Fe") 

{Fe") 


kleiner 


is  dan  vóór  de  kathodische  polarisatie,  hetgeen  een  sterkere  verstoring 
in  edele  richting,  dus  een  minder  negatieve  potentiaal  veroorzaakt. 
Na  verbreking  van  den  stroom  zal  nu  door  het  oplossen  van  het 
ijzer  genoemde  verhouding  weer  toenemen,  zoodat  de  potentiaal 
van  het  ijzer  weer  negatiever  wordt.  Daar  het  ijzer  bij  kathodische 
polarisatie  wordt  bedekt  met  een  laagje  ijzer,  dat  aanvankelijk  in 
onedele  richting  van  het  unaire  ijzer  afwijkt,  was  hier  inderdaad 
ook  „een  verschijnsel  na  kathodische  polarisatie”  te  verwachten, 
dat  daarin  zou  moeten  bestaan,  dat  de  potentiaal  van  het  ijzer  bij 
verbreking  van  den  stroom,  na  kathodische  polarisatie,  een  maximum- 
waarde doorloopt  ^). 

Zooals  de  foto  op  Fig.  3 laat  zien  is  dit  vermoeden  bevestigd. 
Het  maximum  B ligt  ongeveer  30  m.V.  minder  negatief  dan  de 
begin-potential,  die  aangegeven  is  door  het  lijntje  DE. 

Er  zal  nu  nagegaan  worden,  of  hetzelfde  verschijnsel  ook  bij 
Nikkel  is  waar  te  nemen. 

Laboratorium  voor  Algemeene  en  Anorganische 

Amsterdam.  27  Juni  1919.  Chemie  der  Universiteit. 


1)  Door  verkleining  van  de  totaal-ionen  concentratie  wordt  de  potentiaal  in  geringe 
mate  negatiever,  zoodat  deze  omstandigheid  het  hier  genoemde  verschijnsel  nog 
eenigszins  tegenwerkt. 


Scheikunde.  — De  Heer  Hollïiman  biedt  eene  mededeeling  aan 
van  de  Heeren  E.  H.  Büchner  en  J.  Kalff  over : ,,von  Weimarn’s 
theorie  over  den  colloidalen  toestand”. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Jaeger). 

Een  der  belangrijkste  inzichten,  die  de  onderzoekingen  der  laatste 
tien  jaren  op  het  gebied  der  colloidchemie  hebben  gebracht,  is  zonder 
twijfel  dit,  dat  men  niet  heeft  te  onderscheiden  tusschen  colloidale 
en  kristallijne  stoken,  doch  tnsschen  den  colloidalen  en  den  kristal- 
lijnen toestand.  Het  aantal  stoffen,  die  men  steeds  alleen  in  den 
kristallijnen  vorm  had  gekend,  doch  later  ook  als  colloid  had  leeren 
bereiden,  was  reeds  meer  en  meer  toegenomen,  toen  von  Weimarn 
zijn  onderzoekingen  begon.  Maar  aan  hem  komt  toch  de  verdienste 
toe,  door  een  systematische  studie  aangetoond  te  hebben,  onder  welke 
condities  men  een  bepaalde  stof  kristallijn,  onder  welke  men  haar 
colloidaal  krijgt,  en  te  hebben  laten  zien,  dat  men  de  juiste  voor- 
waarden kiezende  in  staat  is  zeer  vele,  waarschijnlijk  alle,  kristallijne 
stoffen  ook  in  den  colloidalen  vorm  te  brengen.  Deze  vondsten  hebben 
wel  de  haar  toekomende  erkenning  gevonden,  doch  zij  schijnen 
niemand  aanleiding  tot  nadere  bestudeering  gegeven  te  hebben,  ofschoon 
er  toch  talrijke  vragen  rijzen.  Waarschijnlijk  is  dit  hieraan  te  wijten, 
dat  VON  Weimarn  zijn  experimenteele  resultaten , bedelft  onder  uitge- 
breide theoretische  bespiegelingen,  die  verre  van  duidelijk  zijn,  en 
de  lezing  zijner  verhandelingen  uiterst  moeilijk  maken.  De  funda- 
menteele  beteekenis  van  zijn  werk  maakt  het  echter  wenschelijk, 
meer  aandacht  er  aan  te  wijden  en  het  aan  een  kritische  beschouwing 
te  onderwerpen. 

Voor  heden  zullen  wij  ons  bepalen  tot  wat  von  Weimarn  de  wet 
der  overeenstemmende  toestanden  der  kristallisatieprocessen  noemt. 
Wat  deze  wet  inhoudt,  zij  allereerst  uiteengezet.  Wij  zullen  ons 
daarbij  houden  aan  het  boek  ,,Zur  Lehre  von  den  Zustanden  der 
Materie”,  zijnde  dit  het  laatste  ons  toegankelijke  geschrift  van  den 
auteur,  hetgeen,  naar  wij  moeten  aannemen,  zijn  definitieve  meeningen 
bevat;  wij  hopen  hem  bij  onze  beschouwing  geen  onrecht  te  doen, 
al  maakt  hij  het  zijn  lezers  niet  gemakkelijk,  zijn  gedachtengang  te 
volgen. 

VoN  Weimarn  heeft  in  het  bijzonder  met  één  stof  geëxperimenteerd 

10 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A".  1919/20. 


146 


en  die  zeer  uitvoerig  onderzocht,  namelijk  met  BaSO^.  Bereiden  we 
dit  door  zeer  verdunde  oplossingen  (0,001  n.)  van  een  barjumzout 
en  van  een  sulfaat  bij  elkaai'  te  brengen,  dan  duurt  het  enkele 
minuten,  voordat  zich  eenige  opalescentie  vertoont,  en  enkele  uren, 
vooi-  het  neerslag  zich  afzet.  In  den  aan  vang  hebben  wij  dus,  wat 
men  gewoonlijk  een  suspensie  noemt;  daaraan  gaat,  zoo  mag  men 
stellig  aannemen,  een  stadium  vooraf  — gedurende  de  genoemde 
paar  minuten,  dat  men  niets  ziet  — waarin  de  deeltjes  van  het 
BaSO^  nog  kleinere  afmetingen  hebben  dan  die  eener  suspensie,  en 
het  geheel  dus  volgens  de  tegenwoordige  opvatting  als  een  colloidale 
oplossing,  een  sol,  is  te  beschouwen.  Uit  minder  verdunde  oplossingen 
(0,01  tot  0,75  n.)  krijgen  we  een  duidelijk  kristallijn  neerslag,  uit 
geconcentreerde  oplossingen  eindelijk  ontstaat  een  geleiachtig  preci- 
pitaat,  ja  bij  de  allersterkste  (7  n.)  slaagt  men  er  zelfs  in,  een  door- 
zichtige uit  groote  cellen  bestaande  gelei  te  maken,  als  men  slechts 
de  eene  oplossing  druppelsgewijs  in  de  andere  laat  vloeien.  Met  dit 
voorbeeld  wordt  duidelijk  gedemonstreerd,  dat  een  stof  al  naar  de 
wijze  van  haar  ontstaan,  in  het  bijzonder  naar  gelang  van  de  con- 
centraties der  reageerende  oplossingen,  zich  in  den  vorm  van  een 
sol  of  gel,  beide  vormen  van  den  colloidalen  toestand,  of  als  kristal 
afscheidt. 

Een  groot  aantal  andere  zouten  werden,  meer  of  minder  uitvoerig, 
op  dezelfde  wijze  onderzocht  en  leverden  resultaten,  die  met  de 
bovengenoemde  overeenstemden.  Al  deze  zouten  zijn,  wat  men  on- 
oplosbaar, hoogstens  moeilijk  oplosbaar  noemt;  dit  is  een  voorwaarde 
voor  het  gelukken  van  de  bereiding  van  den  colloidalen  toestand. 
Is  de  oplosbaarheid  in  water  te  groot,  zooals  bij  NaCl  en  dergelijke, 
dan  worden  organische  oplosmiddelen,  alcoholen  of  benzol,  gebruikt. 
Men  kan  dan  of  ’t  NaCl  laten  ontstaan  bijv.  uit  ferrichloride  en 
natriumaethylaat  in  absoluten  alcohol'),  óf  een  oplossing  van  NaCl 
in  methylalcohol  gieten  in  aether.  In  ’t  eerste  geval  krijgt  men  een 
geleiachtig  precipitaat  van  NaCl,  in  het  tweede  een  sol,  waaruit  zich 
na  verloop  van  tijd  een  volumineus,  ,,amorph”  neerslag  afzet. 

Tot  zoover  de  experimenten  van  von  Weimarn,  die  wel  schijnen 
aan  te  toonen,  dat  er  een  verband  bestaat  tusschen  het  voorkomen 
als  colloid  en  de  oplosbaarheid  der  stof  in  het  gekozen  medium. 
Wat  nu  de  algemeene  qualitatieve  uitkomsten  betreft,  daarmee  kun- 
nen w’ij  ons  vereenigen.  Wij  hebben  verscheidene  van  von  Weimarn’s 
proeven  herhaald,  wij  hebben  ook  enkele  zouten  als  colloid  gekregen, 
die  hij  niet  vermeld  heeft,  en  wij  hebben  daarbij  steeds  bevestigd 


1)  Grimaux,  G.R.  98,  105,  1884. 


147 


gevonden,  dat  zich  uit  zeer  geconcentreerde  oplossingen  geleien  of 
geleiachtige  neerslagen  afscheiden,  die  na  korter  of  langer  tijd  in 
vlokjes  uiteenvallen  en  klaarblijkelijk  in  grover  kristalletjes  over- 
gaan ^).  Uit  verdundere  oplossingen  ontstaat  deze  vorm  van  afschei- 
ding onmiddellijk.  Zijn  wdj  het  derhalve  wat  de  uitkomst  der  proeven 
betreft  met  von  Weimarn  eens,  tegen  zijn  tlieoretische  bewerking 
ervan  hebben  wij  groote  bezwaren,  die  deels  van  algemeenen  aard 
zijn,  deels  daarop  berusten,  dat  de  experimenten  de  theorie  niet 
steunen.  In  de  eerste  plaats  zullen  wij  onze  theoretische  bedenkin- 
gen uiteenzetten. 

VoN  Weimarn  formuleert  zijn  resultaten  tot  een  ,, wet  van  de  over- 
eenstemmende toestanden  der  kristallisatieprocessen”,  die  hij  op  ver- 
schillende manieren  uitdrukt. 

1*.  In  overeenstemmende  toestanden  is  de  gemiddelde  grootte  der 
kristalletjes,  die  de  vaste  phase  vormen,  voor  alle  stoffen  gelijk. 

2*.  In  overeenstemmende  toestanden  is  het  gemiddelde  geioidit  der 
kristalletjes  gelijk. 

3“.  In  overeenstemmende  toestanden  is  het  gemiddelde  aantal 
molekulen,  waaruit  de  afzonderlijke  kristalietjes  bestaan,  gelijk. 

Het  is  duidelijk,  dat  öf  deze  drie  formuleeringen  met  elkaar 
strijden  óf  onder  overeenstemmende  toestanden  telkens  iets  anders 
wordt  verstaan.  Von  Weimarn,  die  dit  zelf  opmerkt,  verklaart  het 
laatste  voor  juist:  de  overeenstemmende  toestanden,  die  tot  het  maken 
van  kristallen  van  gelijk  volume  of  gelijk  gewicht  voeren,  zijn  niet 
identiek.  Daar  men  dit  bij  de  toepassing  wel  in  het  oog  houden 
moet,  wordt  deze  reeds  verzwaard;  maar  bovendien  zal  men  zich 
afvragen,  wat  eigenlijk  overeenstemmende  toestanden  zijn.  Wil  dit 
niets  anders  zeggen  dan  toestanden,  bij  welke  de  kristallen  even 
groot  of  even  zwaar  zijn,  dan  is  von  Weimarn’s  „wet”  niets  meer 
dan  een  definitie,  dan  het  geven  van  een  naam.  Hij  bedoelt  natuurlijk 
wel  meer,  n.1.  dat  er  voor  alle  stoffen  bepaalde  omstandigheden  zijn 
te  vinden,  waarbij  de  kristalgrootte  gelijk  is,  maar  behoort  dan  ook 
die  omstandigheden  op  eenigerlei  wijze  aan  te  geven,  wil  er  van 
een  wet,  een  afhankelijkheid  sprake  zijn.  Wellicht  zal  vergelijking 
met  VAN  DER  Waals’  wet  der  overeenstemmende  toestanden,  waaraan 
VON  Weimarn  zijn  denkbeeld  waarschijnlijk  heeft  ontleend,  het  ver- 

b Het  is  goed,  hier  eraan  te  herinneren,  dat  v.  W.  de  colloidale  neerslagen  als 
aggregaten  van  submikroskppische  kristalletjes  opvat.  Ofschoon  deze  opvatting  o.  i. 
volstrekt  niet,  zooals  v.  W.  meent,  door  hem  bewezen  is,  komt  zij  ons  wel  waar- 
schijnlijk en  aannemelijk  voor.  Wij  zullen  daarom  in  het  vervolg  tegenover  colloidaal 
stellen  grofkristallijn,  zonder  dat  daarmee  bedoeld  is,  dat  de  deeltjes  van  dezen 
toestand  al  grooter  dan  mikroskopische  afmetingen  hebben. 

10* 


148 


schil  duidelijker  maken.  De  wet  van  van  der  Waals  zegt,  dat,  als 
men  druk,  temperatuur  en  voluum  uitdrukt  in  de  kritische  waarden, 
men  voor  alle  stoffen  eenzelfde  vergelijking  krijgt ; toestanden,  waarbij 
de  aldus  gemeten  /;,  t,  v gelijke  waarden  hebben,  noemt  men  over- 
eenstemmend. Bij  VON  Weimarn  vinden  we  wel  ’t  laatste,  den  naam, 
doch  niet  het  eerste,  de  wet. 

Terwijl  hij  een  groot  deel  van  zijn  werk  gewijd  heeft  aan  het 
qualitatieve  bewijs  van  wat  hij  een  ,,wet”  noemt  — en  met  succes  — , 
vindt  men  slechts  in  enkele  paragrafen  een  poging  tot  een  scherpere 
forrnuleering,  tot  het  in  een  mathematische  vergelijking  uitdrukken 
der  afhankelijkheid,  tot  wat  wij  pas  een  wet  meenen  te  moeten 
noemen.  Deze  neemt  volgens  v.  W.  den  volgenden  vorm  aan 

N = ~ Kab-  Kcd-  Kbd-  Kac  Z 

JS^  is  de  ,,neerslagcoefficient”,  van  welken  de  vorm  van  het 
precipitaat  geheel  afhankelijk  is;  deze  wordt  blijkens  de  formule 
door  een  groot  aantal  factoren  beheerscht,  doch  gelukkig  behoeft 
men  in  verreweg  de  meeste  gevallen  niet  met  alle  rekening  te  houden. 
De  termen  Kab  enz.  n.1.  geven  den  graad  der  physische  associatie 
en  der  chemische  samengesteldheid  der  stoffen  AB  enz.  aan.  Is  de 
associatie  een  bekende  en  voor  meting  vatbare  grootheid,  de  gecom- 
pliceerdheid van  het  molecuul  is  een  zeer  vaag,  in  elk  geval  niet 
in  cijfers  uitdrukbaar  begrip.  Men  zou  hiermee  dus  in  groote  moei- 
lijkheden geraken,  als  er  (ook  volgens  v.  W.)  geen  redenen  beston- 
den, om  ze  verder  maar  uit  de  formule  weg  te  laten.  Wij  behoeven 
dus  op  dit  punt  niet  in  te  gaan.  Z is  de  viscositeit  van  het  kristal- 
lisalie-medium.  Ook  deze  grootheid  heeft  geen  overwegend  belang. 
Zooals  wij  straks  zullen  zien,  gaat  het  bij  de  toepassing  om  waarden 
van  N,  die  eenige  honderde  of  duizende  malen  grooter  worden; 
een  verandering  in  de  viscositeit  van  een  dergelijke  orde  is  zelfs 
voor  geconcentreerde  oplossingen  onbekend;  de  grootste  waarde,  die 
bekend  is,  is  2,87  (water  = i)  voor  een  4 w.  JSfaHSO^  oplossing. 
Moge  men  ook  tot  7 n.  oplossingen  gaan  en  moge  de  viscositeit  van 
Na-zoutoplossingen  kleiner  zijn  dan  die  van  Mji  of  andei-e  zouten, 
die  door  v.  W.  en  door  ons  gebruikt  zijn,  een  invloed  van  beteekenis 
kan  klaarblijkelijk  de  term  Z niet  hebben.  Wij  houden  dan  als 
factoren  van  belang  slechts  F en  L over.  Hiervan  is  L de  oplos- 
baarheid der  geprecipiteerd  wordende  stof  in  grofkristallijnen  toe- 
stand ; F is  het  verschil  der  hoeveelheid  dezer  stof,  die  door  de 
reactie  ontstaat,  en  de  oplosbaarheid  L,  m.  a.  w.  de  hoeveelheid 
neerslag,  die  gevormd  wordt.  Natuurlijk  zijn  F en  L in  dezelfde 


1)  In  elk  geval  rekent  v.  W.  met  P,  zooals  zij  hierboven  in  overeenstemming 


149 


maat  uit  te  drukken  en  op  hetzelfde  volume  vloeistof  te  betrekken. 

De  formule  komt  dus  ten  - slotte  hierop  neer,  dat  de  vorm  van 
het  neerslag  beheerscht  wordt  door  het  aantal  malen,  dat  de  aan- 
wezige hoeveelheid  stof  de  hoeveelheid,  die  in  het  gegeven  volume 
kan  oplossen,  overtreft;  men  kan  dit  specifieke  oververzadiging 
noemen.  Bij  een  oplosbare  stof,  dus  grooie  L (betrekkelijk  groot  dan 
altijd)  zal  men  een  groote  P moeten  hebben,  d.  w.  z.  zeer  sterke 
oplossingen  dienen  samen  te  brengen,  ten  einde  eenzelfde  soort  van 
precipitaat  te  krijgen,  als  men  met  minder  oplosbare  stoffen  bij  minder 
sterke  oplossingen  reeds  krijgt.  Daar,  om  een  voorbeeld  te  noemen, 
BaSÜ^  veel  sterker  oplost  dan  CuS  moet  men  om  geleiig  BaSO^  neer 
te  slaan  uiterst  geconcentreerde  oplossingen  maken,  terwijl  men  het 
CuS  reeds  uit  meer  gebruikelijke  oplossingen  als  gelei  precipiteert. 
Wat  dit  betreft,  bevestigt  het  experiment  de  theorie  ten  minste 
qualitatief,  maar  de  formule,  zooals  zij  wordt  gegeven,  leidt  tot 
een  andere  gevolgtrekking,  die  volgens  v.  W.  geheel  onjuist  is.  Wij 
bedoelen  deze,  dat  N alleen  afhangt  van  niet  van  de  absolute 
waarde  van  P.  Ofschoon  men  meenen  zou,  dat  het  hetzelfde  moest 
zijn,  of  men  een  bepaalde  N krijgt  door  een  groote  P of  dooi'  een 
kleine  L,  heeft,  naar  v.  W.  uitdrukkelijk  opmerkt,  de  absolute 
concentratie  en  dus  de  absolute  waarde  van  P wel  degelijk  een 
invloed  van  beteekenis;  zij  veroorzaakt  het  ontslaan  van  een  gel  of 
een  sol.  Dat,  indien  dit  juist  is,  de  geheele  formule  waai'deloos 
wordt,  schijnt  v.  W.  niet  te  hebben  ingezien. 

Over  het  verband  tusschen  de  formule  en  de  overeenstemmende 
toestanden  drukt  v.  W.  zich  zeer  voorzichtig  uit,  anders  dan  men 
zou  verwachten.  Hij  uit  namelijk  ,,niet  een  zekeren  graad  van  waar- 
schijnlijkheid het  vermoeden”,  dat  overeenstemmende  toestanden  der 
kristallisatieprocessen  bij  verschillende  stoffen  optreden  voor  gelijk- 
heid van  N.  Dus  twee  stoffen  slaan  in  denzelfden  vorm  neer,  als 


met  Grundzüge  der  Dispersoidchemie  gedefinieerd  is.  Zelf  noemt  hij  P een  vorming- 
snelheid,  en  definieerde  haar  ook  als  zoodanig  in  Koll.  Z.  3,  286.  Volgens  Zustande 
p.  88  is  dit  echter  geen  snelheid  in  den  gewonen  zin  van  het  woord,  maar  de 
hoeveelheid  neerslag,  die  zich  bijna  oogenblikkelijk  afscheidt,  terwijl  in  hetzelfde 
werk  p.  7 gesproken  wordt  van  de  hoeveelheid  stof,  die  zich  na  korter  of  langer 
tijd  moet  afscheiden.  Over  de  dimensie  van  P laat  v.  W.  ons  derhalve  eenigszins 
in  twijfel. 

h Deze  uitspraak  is  .te  vinden  in  Grundzüge,  p.  44;  in  Zustande  komt  zij  niet 
meer  voor.  Wellicht  heeft  v.  W.  haar  laten  vallen.  Wij  wilden  er  echter  op  wijzen, 
omdat  Taylok  in  zijn  Ghemistry  of  colloids,  p.  170  haar  zonder  eenige  opmerking 
overneemt.  Misschien  is  er  mee  bedoeld,  dat  in  het  geval  van  groote  P de  heele 
vloeistof  tot  één  gelei  wordt,  terwijl  in  het  geval  van  kleine  L een  geleiachtig  — 
al  of  niet  vlokkig  — neerslag  in  de  vloeistof  zweeft. 


N,  = Nj  of  ~ Dit  zou  nu,  volgens  onze  opvatting  van  een 

Lj  L, 

wel,  pas  de  wet  der  overeenstemmende  toestanden  kunnen  worden 
genoemd.  En  om  deze  te  toetsen  hebben  wij  in  de  eerste  plaats  een 
aantal  experimenten  uitgevoerd  met  verschillende  zouten,  wier  op- 
losbaarheid sterk  uiteen  liep.  Zooals  reeds  opgemerkt,  geeft  v.  W. 
alleen  over -het  BaSO^  en  het  nog  te  bespreken  Ai(OH),  cijfers;  van 
eenige,  als  CaSO^,  AgCl(Br,J),  PbSO^,  PbCl^  vermeldt  hij,  dat  ze 
uitvoerig  zijn  onderzocht,  zonder  meer;  van  een  groot  aantal  andere 
zegt  hij  slechts,  dat  hij  ze  in  alle  mogeüjke  neerslagsvorraen  heeft 
gekregen.  Wij  hadden  dus  voor  de  toetsing  ons  eigen  cijfermateriaal 
te  zoeken  en  te  bepalen. 

Het  gemakkelijkste  middel  om  na  te  gaan,  of  een  stof  in  den 
geleiachtigen  toestand  is  te  krijgen,  bleek  ons  de  methode  van  v.  W. 
die  hierin  bestaat,  dat  men  een  druppel  van  de  eene  oplossing  in 
de  andere  vloeistof,  die  zich  in  een  reageerbuis  bevindt,  laat  vallen. 
Zooals  V.  W.  besciireven  heeft  voor  het  BaSO^,  overtrekt  zich  dan 
(bij  voldoende  concentratie)  de  druppel  met  een  volkomen  doorzichtig 
huidje  van  BaSO^ ; hij  zakt  dan  uit,  en  valt  ten  slotte  op  den  bodem, 
maar  geruimen  tijd  blijft  het  huidje  geheel  helder.  Langzamerhand 
echter  wordt  het  wit  troebel;  de  submikroskopische  kristalletjes, 
waaruit  liet  bestaat,  groeien  aan;  de  colloidale  toestand  gaat  in  den 
grofkristal lijnen  over.  Men  kan  dit  ook  met  grootere  hoeveelheden 
gedaan  krijgen,  maar  de  druppel  methode  is  het  eenvoudigst  en 
duidelijkst,  daar  6f  de  druppel  helder  is,  en  hoe  lang  hij  helder 
blijft,  zeer  gemakkelijk  is  waar  te  nemen  ^). 

Juist  dit  laatste  is  ook  van  belang,  want  de  duur  van  het  helder 
blijven  is  een  maat  voor  de  stabiliteit  van  den  colloidaien  toestand. 
En  zooals  wij  den  colloidaien  toestand  pas  krijgen  bij  groote  con- 
centraties, zoo  zal  ook,  naar  men  mag  verwachten,  zijn  stabiliteit 
toenemen,  naarmate  de  concentratie  toeneemt,  d.  w.  z.  — ais  wij  op 
de  formule  letten  — naarmate  P grooter  is.  Wij  hebben  dus  niet  alleen, 
dat  een  colloidaal  neerslag  voor  een  stof  met  grooter  L pas  mag 
ontstaan  bij  grooter  P,  maar  ook,  dat  het  bij  een  stof  met  grooter 
L bij  bepaalde  P minder  stabiel  is,  sneller  in  den  grofkristallijnen 
toestand  moet  overgaan.  Wel  is  waar,  heeft  men  bij  deze  werkwijze 
een  der  stoffen  in  overmaat,  doch  wij  hebben  ons  overtuigd,  dat  dit 
geen  invloed  heeft;  wij  hebben  nl.  steeds  zoowel  een  druppel  A bij 


b Het  is  ook  een  scherp  criterium,  veel  beter  aan  te  geven  dan  de  vorm  van 
een  neerslag,  die  zich  slechts  als  vlokkig,  of  geleiig  of  samenhangend  enz.  laat 
beschrijven. 


151 


de  vloeistof  B gevoegd,  als  omgekeerd  een  druppel  B bij  A.  Daar 
dit  hetzelfde  resultaat  had,  mogen  wij  aannemeii,  dat  ook  bij  het 
samenbrengen  van  gelijke  hoeveelheden  dezelfde  uitkomst  zou  zijn 
verkregen  ^). 

Wat  het  BaSO^  betreft,  kunnen  wij  de  proeven  van  v.  W.  geheel 
en  al  bevestigen  ; al  naar  gelang  van  de  concentratie  der  reageerende 
oplossingen  verkrijgt  men  solen  en  suspensies,  kristallijne  en  vlokkige 
geleiachtige  neerslagen,  en  tamelijk  bestendige  heldere  of  troebele 
geleien.  Wij  hebben  slechts  op  te  merken,  dat  men  niet  zijn  toevlucht 
behoeft  te  nemen  tot  de  minder  voorkomende  zouten  baryumrhodanide 
en  mangaansulfaat.  v.  W.  heeft  deze  gekozen  wegens  de  mogelijk- 
heid om  daarvan  oplossingen  tot  7 normaal  toe  te  maken ; men  kan 
echter  ook  met  baryu  ra  bromide  en  -jodide  eenerzijds,  ammonium- 
sulfaat  anderzijds  ver  genoeg  komen,  om  de  geleien  te  kunnen 
bereiden. 

Dezelfde  proef  hebben  wij  nu  genomen  met  CaSO^  uit  CaJ,  en 
(NH/j,  SO4,  OaF,  uit  CaJ,  en  NH^F,  BaF,  uit  BaJ,  en  NH^F,  (COO)jBa 
uit  (COONHjj  en  BaBr,,  (COO)jCa  uil  (COONHJj  en  CaJ,,  MnCO, 
nit  MnSO^  en  NajCOj,  Ba(NO,)j  uit  BaBr,  en  HNO3.  Bij  al  deze 
combinaties  hebben  wij  volkomen  doorzichtige  druppels  gekregen, 
die  vaak  zeer  langen  tijd  bleven  bestaan’).  Bij  al.  deze  constateeren 
wij  derhalve  het  optreden  van  den  colloidalen  toestand,  van  een 
neerslag,  gelijk  van  aard  met  dat  van  BaSO^  uit  4 a 5n-oplossingen 
gemaakt.  En  toch  zijn  de  waarden  van  L voor  deze  zouten  zeer 
uiteenloopend.  Nemen  wij  eerst  BaSO^,  dan  krijgen  we,  daar  L = 2.10 
equivalenten  per  liter,  voor  ongeveer  100000.  Voor  CaSO^,  welks 
oplosbaarheid  0,03  eq.  per  liter  bedraagt,  wordt  N,  daar  de  gebruikte 
oplossing  é,3  n.  was,  140.  Wij  krijgen  dus  deze  tabel : 


CaF,  . ...  L = 4.10-4  ^ ^ 3400  . 

BaF, 18.10-3 75 

CaSO, 3.10-2 140 

BaSO, 2.10-5 100000 


Wij  komen  dus  tot  eenzelfde  soort  van  neerslag,  niettegenstaande 


’)  Men  zou  een  bezwaar  kunnen  vinden  in  den  invloed  der  in  overmaat  aan- 
wezige ionen,  die  de  oplosbaarheid  verkleinen.  In  de  formule  is  echter  sprake  van 
de  oplosbaarheid  voor  groote  kristallen  in  water,  zoodat  we  slechts  hiermede  te 
maken  hebben.  Wellicht  is  dit  maarifen  benadering. 

*)  Wij  hebben  altijd  bij  kamertemperatuur  gewerkt,  tenzij  ’t  tegendeel  wordt 
vermeld.  Bij  sommige  stelsels  lukte  het  niet  altijd;  onbegrijpelijk  is  dit  niet,  waar 
wij  met  instabiele  toestanden  te  doen  hebben. 


152 


iV  uiteenloopt  van  75  tot  100000.  Voor  BaSO^  bestaat  volgens 
V.  W.  ’t  gebied  der  heldere  gelei  boven  90000,  terwijl  de 

kristallijne  neerslagen  ontstaan  voor  waarden  van  N tusschen  50 


en  20000.  De  wet  der  overeenstemmende  toestanden  zou  dus  eischen, 


dat  CaSO^,  CaF^,  BaF^  in  de  concentraties,  die  wij  gebruikten, 
kristallijn  neersloegen,  in  flagranten  strijd  met  het  resultaat  der  proeft). 
Hetzelfde  geldt  voor  de  andere  genoemde  zouten. 

Een  atidere  groep  zouten  gaf  eveneens  resultaten,  die  niet  met 
de  wet  overeenstemmen.  Zij  bestaat  uit  AgCl,  AgBr,  AgJ,  PbJ,, 
PbCl,.  De  waarden  voor  L en  iV  zijn 


N = 7 X 10‘ 


AgCl.  . . . L=  lAO-K 


8 X 10“ 
3 X 10« 


7.10-^ 

1.5.10- 8. 

4.8.10- 3. 


AgBr 
AgJ  . 
PbJ,. 


360 


Deze  wijken  van  de  eerstgenoemde  stelsels  in  zooverre  af,  dat  de 
heldere  druppel  wel  even  ontstond,  doch  slechts  enkele  seconden 
bestaan  bleef;  hij  werd  snel  troebel  en  viel  uiteen.  De  colloidale 
toestand  is  dus  bestaanbaar,  maar  zeer  instabiel.  Ook  dit  is  klaar- 
blijkelijk in  strijd  met  de  wet.  In  één  groep  komen  TV- waarden  van 
360  en  300  X 10“ ; terwijl  we  bij  het  AgJ  een  zeer  bestendige  gelei 
moesten  verwachten,  bestendiger,  nog  dan  het  BaS04,  blijkt  zij  juist 
instabiel;  het  PbJ,,  waarvan  de  verwachting  was,  dat  het  kristallijn 
zou  zijn,  blijkt  nog  in  colloidalen  toestand  te  verkrijgen.  PbCl,  ver- 
scheen bij  kamertemperatuur  niet  colloidaal,  wel  eventjes  bij  30°. 

De  derde  groep  zouten  konden  wij  niet  als  heldere  gelei  ver- 


er  van  de  eerste  twee  door  samen  voegen  van  equivalente  hoeveel- 
heden in  reageerbuizen  dergelijke  troebele  colloidale  precipitaten  te 
verkrijgen,  als  men  van  het  BaS04  maakt,  zoodra  men  de  uiterste  con- 
centratie verlaat.  Heel  snel  valt  het  nog  eenigszins  geleiig  samenhan- 
gende neerslag  in  kleine  vlokjes  uiteen,  die  zeer  spoedig  bezinken. 
Daarentegen  geeft  bijv.  het  KClO,  (uit  NaClO,  + KNO,)  een  onmid- 
dellijk kristallijn  neerslag,  dat  geen  oogenblik  eenigen  samenhang 
vertoont.  Klaarblijkelijk  kan  men  hier  geen  voldoend  grooteP(onze 
oplossingen  waren  5 n.)  bereiken,  omdat  de  oplosbaarheid  te  groot  is. 
Dit  komt  dus  met  de  verwachting  wel  overeen,  maar  de  beide 
loodzouten  geven  weer  verrassingen:  immers  Afwordt  resp.  6500 
en  70,  terwijl  men  bij  vergelijking  met  BaS04  minstens  20000  moest 
verwachten.  Merkwaardig  is  ook  een  vergelijking  van  PbBr,  en  BaF,, 

')  Hierbij  valt  op  te  merken,  dat  BaFo  en  GaF,  door  bestendigheid  uitmunten 
en  zeer  langen  tijd  blijven  bestaan. 


153 


die  gelijke  N'  hebben  eii  in  -den  vorm  van  het  neerslag  sterk  ver- 
schillen. 

Dit  alles  geeft  ons,  gelooven  wij,  het  reclit  v.  W.’s  formule  als 
onhoudbaar  te  qualificeeren.  Zoo  groote  afwijkingen  als  wij  hebben 
gevonden,  berooven  de  formule  van  alle  beteekenis.  Dat  de  concen- 
tratie der  oplossingen  een  rol  speelt  van  belang  voor  den  vorm  van 
het  neerslag,  ontkennen  wij  natuurlijk  volstrekt  niet;  uit  de  proeven 
volgt  het  onmiskenbaar;  maar  wat  wij  oordeelen  door  onze  proeveji 
bewezen  te  hebben,  is,  dat  die  afliankelijkheid  niet  op  zoo  eenvou- 
dige wijze  kan  uitgedrukt  worden.  Wij  vermoeden,  dat  men,  om 
haar  op  rationeele  wijze  af  te  leiden,  vooral  zal  moeten  letten  op 
de  snelheid,  waarmee  zich  het  neerslag  vormt;  bij  geconcentreerde 
oplossingen  is  deze  natuurlijk  groot,  omdat  de  c’s  groot  zijn,  maar 
als  men  verschillende  stoffen  vergelijkt,  zullen  ook  de  snelheids- 
constantes  in  aanmerking  komen,  en  die  kunnen  groote  afwijkingen 
van  elkaar  vertonnen.  Doch  hierop  willen  wij  thans  niet  verder  ingaan. 

Er  is  nog  een  andere  manier,  om  de  wet  te  toetsen,  en  die  heeft 
V.  W.  gekozen.  Zijn  uitgangspunt  is  deze  vraag  geweest;  waarom 
slaat  bij  gelijke  concentraties  BaS04  kristallijn  neer,  AltOHjj  geleiig? 
Zijn  wet  geeft  daarop  het  antwoord  : als  men  slechts gelijk  maakt, 
dan  krijgt  men  ook  dezelfde  soort  van  neerslag.  Hierbij  doet  zich 
de  moeilijkheid  voor,  dat  men  de  oplosbaarheid  van  Al(OH)j  niet 
kent.  Wel  zou  men  uit  analogie  met  Fe(OH)j  de  grootte  kunnen 
schatten,  maar  in  de  eerste  plaats  loopen  de  waarden,  die  men  daar- 
voor vindt  aangegeven  uiteen  van  0,15  mg/liter  tot  5.10”^  mg/liter, 
en  ten  tweede  moeten  we  de  oplosbaarheid  hebben  voor  groote 
kristallen,  terwijl  de  hier  voor  Fe(OH),  gegeven  waarden  gelden 
voor  het  colloidalemeerslag.  Met  zijn  zooveel  kleinere  deeltjes  moet  men 
hier  een  veel  grootere  oplosbaarheid  verwachten  ^),  zoodat  men  aan 
een  berekening  op  deze  wijze  weinig  heeft.  Toch  hebben  wij  be- 
proefd, wat  men  kon  bereiken,  indien  men  ferrichloride  met  ammonia 
neerslaat.  Daarbij  stieten  wij  echter  op  deze  moeilijkheid,  dat  het 
gevormde  hydroxyd  na  eenigen  tijd  weer  oplost.  Voor  geconcen- 
treerde oplossingen  was  ons  dit  wel  bekend ; de  bereiding  van  de 
colloidale  ijzeroplossing  der  pharmakopee  — liquor  ferri  dialjsati  — 
berust  er  op.  Maar  ook  bij  de  verdunde  oplossingen  vertoont  het 


verschijnsel  zich.  Uit  oplossing  kregen  wij  een  geleiig,  samen- 

10 


h Almkvist,  Z.  anorg.  Ghem  103,  239;  en  Landolt— Börnstein— Roth, 
Tabellen. 

*)  Deze  invloed  kan  bij  zoo  kleine  deeltjes  reusaclitig  worden,  Valeton,"  disser- 
tatie Amsterdam  1916. 


154 


n 

hangend,  vrij  snel  bezinkend  neerslag,  uit  — een  troebeling,  die  zich 

£i\J 

vlug  tot  enkele  vlokjes  samenbalde;  na  een  paar  uur  waren  deze 

Tl 

pfecipitaten  verdwenen  en  de  vloeistof  was  weder  helder.  Ook  bij  — 
'nu 

en  zelfs  bij  — — , ontstond  een  troebeling,  die  voor  de  eerste 

twee  in  korteri  tijd,  voor  de  laatste  echter  langzamerhand,  verdween ; 
al  deze  vloeistoffen  zijn  ten  slotte  weder  helder.  Opgemerkt  moge 
nog  worden,  dat  100  cc.  der  beide  oplossingen  bij  kamertemperatuur 
bij  elkaar  werd  gedaan,  zoodat  het  totale  volurne  200  cc.  bedroeg. 
Bij  het  samenvoegen  van  warme  oplossingen  kregen  wij  gewoonlijk 
heelemaal  geen  neerslag,  soms  wel,  zondei-  dat  wij  tot  nu  toe  de 
oorzaak  konden  opsporen.  Men  kan  derhalve  op  deze  proeven  geen 
berekeningen  laten  steunen,  en  geen  vergelijking  maken  met  de 
neerslagen  van  BaSO^. 

Evenmin  lijkt  dit  mogelijk  met  het  Al(OH),,  zooals  v.  W.  doet. 
Deze  is  van  meening,  dat  de  meest  op  elkaar  gelijkende  neerslagen 

lï 

verkregen  worden  bij  100°  uit  — — oplossingen  voor  Al(OH)„  en  4 


oplossingen  voor  BaSO^,  waaruit  hij  dan  met  zijn  formule  de  oplos- 
baarheid van  A1(0H)3  berekent  op  10“^  g.  per  liter  bij  100°,  een  waarde 
die  hem  op  andere  gronden  waarschijnlijk  lijkt.  Wij  moeten  echter 
verklaren  tusschen  deze  beide  neerslagen  absoluut  geen  overeenkomst 
n 

te  zien.  Bij  AlCl,  krijgen  wij  in  de  warmte  onmiddellijk  een 
oOO 

vlokkig  fijn  verdeeld  neerslag;  na  een  poosje  opaliseert  de  geheele 
vloeistof  blauw.  Zendt  men  door  de  vloeistof  het  licht  van  een  boog- 
lamp, dan  ziet  men  geen  vlokken,  doch  een  homogenen  lichtbundel. 
In  de  koude  duurt  het  langer,  voor  er  opalescentie  optreedt;  met 
de  lamp  bekeken,  is  de  intensiteit  van  het  verstrooide  licht  grooter ; 
het  blijft  echter  homogeen,  en  zelfs  na  4 uren  zijn  er  geen  vlokjes 
te  zien.  Daarentegen  is  het  BaSO^  uit  4 n.  oplossingen  een  dikke, 
witte  gelei,  met  vrij  grooten  samenhang.  Eenige  gelijkenis,  doch 

Ti 

alleen  in  de  eerste  oogenblikken,  vertoont  het  met  — Al(OH),. 

Wilde  men  hiermee  v.  W.’s  berekening  uitvoeren,  dan  komt  de 
oplosbaarheid  van  het  Al(OH),  500  X zoo  groot  uit. 

Wij  hebben  deze  proeven  herhaaldelijk  genomen  en  ook  andere 
concentraties  beproefd,  doch  hebben  in  de  verdunde  AlCl,  oplossingen 
nooit  een  neerslag  verkregen,  dat  op  het  BaSO^  leek.  Wel  blijkt  de 
wijze  van  neerslaan  van  allerlei  omstandigheden  afhankelijk.  Of  men 


155 


snel  of  langzaam  samengiet,  of  men  in  reageerbuizen  werkt  of  in 

bekerglazen  met  volumina  van  100  of  200  cc.,  maakt  verschil; 

, . . ...  , , . , . . n n n n 

alummiumnitraat  en  -chloride  in  concentraties  van  — , — , — , 

10  20  40  100 


n 


geven  evenwel  vrijwel  gelijke  neerslagen.  Om  den  aard  van  het 


neerslag  — vlokkig  of  homogeen  — goed  te  kunnen  waarnemen, 
hebben  wij  gewoonlijk,  zooals  boven  reeds  werd  aangegeven,  een  licht- 
bundel door  de  vloeistof  laten  gaan ; dit  maakt  de  onderscheiding 
veel  gemakkeiijker. 

Uit  het  bovenstaande  volgt  wel,  dat  men  den  vorm  van  het  neer- 
slag van  een  hydroxyde  nog  niet  beheerscht;  hij  hangt  te  veel  van 
bijomstandigheden  af,  dan  dat  wij  hem  in  een  formule  in  rekening 
kunnen  brengen.  Op  deze  gronden  achten  wij  v.  Weimarn’s  bereke- 
ning waardeloos,  evenzeer  ais  zijn  stelling  omtrent  de  betrekking 
tusschen  concentratie  en  neerslagsvorm.  Wellicht  heeft  v.  W.  bedoeld 
— zooals  feitelijk  de  formule  eischt  — neerslagen  te  vergelijken, 
waarbij  de  grootte  der  afzonderlijke  kristalietjes  gelijk  is.  Maar  dan 
ware  ’t  noodig  geweest  eerst  een  verband  vast  te  stellen  tusschen 
die  kristalgrootie  en  het  voorkomen  van  het  neerslag,  daar  het  niet 
vaststaat,  dat  veel  op  elkaar  lijkende,  ,, vlokkig  geleiige”  precipitaten 
uit  even  groote  deeltjes  bestaan.  Dan  laten  we  trouwens  nog  daar, 
dat  kleine  deeltjes  ook  bij  de  erg  verdunde  oplossingen  van  BaSO<, 
dus  aan  den  kant  der  solen,  voorkomen ; men  heeft  misschien  meer 
recht,  die  met  de  beschreven  zwakke  Al(OH)j-steisels  te  vergelijken, 
dan  de  door  v.  Weimamn  gekozen  geconcentreerde  oplossingen. 

Resumeerende  besluiten  wij,  dat,  hoe  waardevol  v.  W.’s  werk 
ook  in  quaütatief  opzicht  moge  zijn,  zijn  wet  der  overeenstemmende 
toestanden  noch  tegen  een  theoretische  kritiek  bestand  is,  noch  door 
de  feiten  wordt  gesteund. 


Anorg.  Chem.  Labor.  Universiteit  van  Amsterdam. 


Scheikunde.  — ■ De  Heer  van  Romburgh  biedt  een  inededeeling  aan 
van  den  Heer  M.  J.  Smit:  „Over  eenige  nitroderivaten  van 
het  dirnethylaniline” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Gohen). 

In  1914  verscheen  een  verhandeling  van  van  Rombürgh  en  Mej. 
Wensink  ^),  waarin  de  inwerking  van  ammoniak  en  methjlamine  op 
1.2. 3. 4.  trinitrodimethylaniline  wordt  beschreven.  Hierbij  werd  het 
merkwaardige  verschijnsel  gevonden,  dat,  behalve  de  nitrogroep  op 
de  plaats  3,  ook  de  dimethylaminogroep  door  de  amino-,  resp. 
methylaminogroep  wordt  vervangen.  Op  aansporing  van  Prof.  van 
Romburgh  heb  ik  een  meer  nitgebreid  onderzoek  over  het  gedrag 
van  aminen  en  in  het  algemeen  van  verbindingen,  die  een  amino- 
groep  bevatten,  tegenover  de  trinitroderivaten  van  het  dimethyl- 
aniline,  in  het  bijzonder  tegenover  het  1 .3.4.6.-isomeer,  ter  hand 
genomen.  Deze  onderzoekingen  \erkeeren  echter  betrekkelijk  nog  in 
een  beginstadium  en  zullen  te  zijner  tijd  in  een  proefschrift  uitvoerig 
worden  beschreven. 

Alvorens  tot  bovengenoemde  onderzoekingen  over  te  gaan,  kwam 
het  mij  gewenscht  voor  de  reactie,  waarbij  de  beide  isomere  trini- 
troderivaten van  het  dimethjdaniline  ontstaan,  eenigszins  nauwkeu- 
riger te  bestudeeren.  Immers  bij  de  nitreering  van  hel  1 .3.4  dinitro- 
dimethylaniline ’)  ontstaat  in  hoofdzaak  het  1. 3. 4. 6. -derivaat ; de 
isomere  1 .2.3.4. -verbinding  treedt  slechts  in  geringe  hoeveelheid  op. 
Daar  nu  juist  deze  laatste,  in  verband  met  den  stand  der  nitro- 
groepen,  verreweg  het  gemakkelijkst  reageert,  leek  het  mij  de  moeite 
waard  te  trachten  de  omstandigheden  te  vinden,  waaronder  een 
betere  opbrengst  hiervan  zou  kunnen  worden  veikregen. 

Ondanks  talrijke  proefnemingen,  waarbij  onder  de  meest  uiteen- 
loopende  omstandigheden  werd  gewerkt,  is  het  mij  niet  gelukt  de 
proefcondities  zoodanig  te  wijzigen,  dat  de  vermeerdering  van  de 
opbrengst  aan  1.2. 3. 4 trinitrodimethylaniline  van  eenige  beteekenis  was. 

Bij  deze  proeven  kwam  weer  ten  duidelijkste  de  groote  invloed 
voor  den  dag,  dien  de  aanwezigheid  \an  salpeterigzuur  uitoefent  op 


')  Deze  Verslagen  XXIII,  966  [1914]. 

Van  Romburgh,  Verslagen  Kon.  Akad.  v.  Wet.  23  Febr.  1895.  III,  257. 


157 


de  snelheid,  waarmede  de  reactie  verloopt,  een  verschijnsel,  dat 
reeds  herhaaldelijk  bij  nit-reeringsproeven  is  waargenomen  en  ook 
bij  de  nitreering  van  het  l.S.ö.-dinitrodimethjdaniline  (zie  hieronder) 
werd  teruggevonden.  Voorts  bleek  het  van  belang  het  salpeterzuur 
niet  te  lang  te  doen  in  werken. 

Gebruikt  men  voor  de  nitreering  salpeterzuur,  dat  geheel  vrij  is 
van  salpeterigzuur,  dan  is  het  noodzakelijk  vrij  geconcentreerd  sal- 
peterzuur te  nemen  (S.  G.  1.37—1.40),  ten  einde  een  te  langen  duur 
van  de  reactie  te  voorkomen.  Om  een  groote  temperatuurstijging  te 
vermijden,  dient  een  vrij  groote  overmaat  salpeterzuur  te  worden 
gebruikt. 

In  den  regel  werd  op  1 gram  van  het  uitgangsproduct  10 — 12c.c. 
salpeterzuur  toegevoegd.  Zoo  noodig  kan  men  door  toevoeging  van 
een  korreltje  natriumnitriet  de  reactieversnellen.  Onder  deze  omstan- 
digheden ontstaan  vrijwel  alleen  de  beide  isomere  trinitroderivaten. 

Bezigt  men  echter  salpeterzuur,  dat  veel  salpeterigzuur  bevat,  laat 
men  het  langen  tijd  inwerken  of  werkt  men  bij  een  temperatuur, 
die  aanmerkelijk  boven  20°  C.  ligt,  dan  begint  ook  het  salpeterig- 
zuur zijn  invloed  te  doen  gelden  en  ontstaan  gemakkelijk  nitroso- 
derivalen,  waardoor  de  scheiding  der  gezochte  isomerei.  ten  zeerste 
wordt  bemoeilijkt  en  uit  den  aard  der  zaak  de  opbrengst  minder  wordt. 
Onder  deze  omstandigheden  konden  twee  lichtgele  verbindingen 
worden  geïsoleerd,  resp.  smeltende  bij  108° — 109°  C.  en  201°  C. 
Beide  kunnen  uit  alcohol  worden  omgekristalliseerd  en  vertoonen 
zich  dan  in  den  vorm  van  fijne  lichtgele  naaldjes  met  groenachtigen 
weerschijn.  Het  eerste  kan,  zooals  later  bleek,  worden  verkregen 
door  inwerking  van  salpeterigzuur  op  het  1.3.4. -dinitrodimethylaniline 
en  gaat  door  behandeling  met  salpeterzuur  (S.  G.  1.41)  in  het  tweede 
over.  Dit  laatste  ontstaat  op  zijn  beurt  bij  de  inwerking  van  sal- 
peterigzuur op  het  1.3.4.6.-trinitrodimethylaniline. 

Naar  alle  waarschijnlijkheid  hebben  we  hier  dus  te  doen  met  het 
1.3.4.-dinitrophenylmethylnitrosamine  (Smp.  108'’ — 109°)  en  hetl. 3.4.6. 
Irinitrophenylmetliylnitrosamine  (Smp.  201°). 

Het  in werkingsproduct  van  salpeterigzuur  op  de  1 .2.3.4.-trinitro- 
verbinding,  eveneens  een  gele  stof  met  groenachtigen  reflex,  die,  uit 
alcohol  omgekristalliseerd,  bij  96° — 97°  C.  smelt,  kon  niet  worden 
aangetoond.  Dit  is  trouwens  niet  te  verwonderen,  gezien  de  geringe 
hoeveelheid  van  het  1.2.3.4.-isomeer,  die  bij  de  reactie  ontstaat. 

Directe  nitreering  van  het  m-nitrodimethylaniline  (Smp.  60°)  met 
behulp  van  salpeterzuur  (S.  G.  1.4)  leidde  niet  tot  een  beter  resultaat. 
Ook  hierbij  ontstaat  hoofdzakelijk  de  1.3. 4. 6. -verbinding. 


158 


Ook  de  nitreering  van  het  1.3.6.-dinitrodimethylaniline,  dat,  even- 
als het  overeenkomstige  1.3.4.-isomeer,  door  behandeling  van  dime- 
thylaniline  bij  aanwezigheid  van  overmaat  zwavelzuur  ontstaat '), 
werd  door  mij  nader  onderzocht.  Reeds  van  Romburgh  had  gevon- 
den ’)  dat  het  hoofdproduct  der  reactie  1 .3.4.6. -trinitrodimethylaniline  is. 

Naast  deze  verbinding  kan  nu  in  geringe  hoeveelheid  een  stof 
worden  gewonnen,  die  uit  aethylacetaat  in  zeer  fraaie,  gele,  ruit- 
vormige kristallen  werd  verkregen.  Zij  smelt  onder  geringe  ontleding 
bij  132°  tot  een  lichtgele  vloeistof. 

Oorspronkelijk  meende  ik  een  nieuw  trinitroisomeer  in  handen  te 
hebben,  dat  dan  naar  alle  waarschijnlijkheid  de  1.2. 3. 6. -verbinding 
zou  zijn.  Toen  ik  echter,  in  de  hoop  de  opbrengst  te  vergrooten,  de 
omstandigheden  varieerde  en  daarbij  eenmaal  een  geringere  hoeveel- 
heid salpeterzuur  voor  de  nitreering  gebruikte,  steeg  de  temperatuur 
tot  40°  C.  en  trad  een  heftige  ontwikkeling  van  bruine  dampen  op. 
Tegen  mijn  verwachting  in  was  nu  inderdaad  meer  van  deze  ver- 
binding ontstaan.  Dit  bracht  mij  op  de  gedachte  met  een  in  werkings- 
product  van  salpeterigzuur  te  doen  te  hebben.  Dit  vermoeden  bleek 
iuist  te  zijn.  Lost  men  de  1 .3. 6. -verbinding  op  in  verdund  zwavel- 
zuur (1 : 1)  en  voegt  men  natriumnitriet  toe,  dan  ontstaat  vrijwel 
quantitatief  de  bovengenoemde  verbinding.  Door  behandeling  met 
salpeterzuur  (S.  G.  1,4)  gaat  zij  in  het  bovenbeschreven  nitrosamine 
(Smp.  201°)  over.  Zij  moet  derhalve  als  het  nitrosamine  der  1.3.6.- 
verbinding  worden  beschouwd. 

Ook  bij  de  nitreering  van  het  1.3.6.-dinitroderivaat  is  de  invloed 
van  salpeterigzuur  op  de  snelheid,  waarmede  de  reactie  verloopt, 
buitengewoon  groot.  Door  toevoeging  van  ureum  kan  zij  vrijwel  tot 
slilstand  worden  gebracht.  Wordt  de  reactietemperatuur  aanmerkelijk 
hooger  dan  de  kamertemperatuur,  dan  vindt  men  ten  slotte  alleen 
de  bij  201°  smeltende  verbinding  als  reactieproduct.  Zoowel  de  bij 
132°  smeltende  stof  als  het  1.3.4.6.-trinitroderivaat  gaan  daarbij  in 
genoemd  nitrosamine  over. 

Herhaalde  pogingen  om  een  isomeer  trinitroderivaat  te  verkrijgen, 
hadden  geen  van  alle  succes.  Steeds  weer  komt  het  nitrosamine  te 
voorschijn. 

Deze  onderzoekingen  worden  voortgezet  en  zullen  later  uitvoeriger 
worden  beschreven. 

Bergen  op  Zoom,  Juni  1919. 


1)  Ree.  VI  253  [1887]. 

*)  Deze  Verslagen  III,  258. 


Scheikunde.  — De  Heer  Böeseken  biedt  een  tnededeeling  aan  van 
den  Heer  F.  Goudriaan  over:  „De  natriumzinkaten.  Even- 
wichten  in  het  stelsel  Na,0-Zn0-H,0'’ . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  F.  M.  Jaegeb.) 

De  gegevens,  welke  men  in  de  literatuur  aantreft,  omtrent  de 
inwerking  van  de  sterke  basen  der  lichte  metalen  op  de  onoplosbare 
zwakke  hydroxyden  der  zware  metalen,  zijn  zeer  tegenstrijdig  en 
slecht  gedefinieerd.  Zoo  wordt  doorgaans  aangenomen,  dat  de  hy- 
droxyden van  zink,  aluminium,  lood,  tin  een  amphoter  karakter 
vertoonen,  zoodat  zij  in  een  overmaat  sterke  base  ,, oplossen”  onder 
vorming  van  zouten.  Daarentegen  zouden  de  hydroxyden  van  talrijke, 
andere  zware  metalen  geen  neiging  vertoonen  om  dergelijke  zouten 
te  vormen  en  zou  daarmede  het  sterkere  elektro-positieve  karakter 
dezer  metalen  in  het  licht  treden.  Toch  is  het  een  feit,  dat  de  hy- 
droxyden van  de  z.g.  sterk  elektro-positieve  metalen  onder  sommige 
omstandigheden  eveneens  een  amphoter  karakter  kunnen  vertoonen, 
ja  zelfs  koperhydroxyde  kan  in  een  sterke  oplossing  van  NaOH  of 
KOH  oplossen.  Waarschijnlijk  zijn  dus  de  verschillen,  die  bij  de 
metaalhyd.roxyden  voorkomen,  slechts  van  quantitatieven  aard  en  zal 
het  van  belang  zijn  na  te  gaan  in  welke  mate  de  verschillende 
hydroxyden  het  verschijnsel  vertoonen  en  welke  verbindingen  hierbij 
gevormd  worden.  In  de  eerste  plaats  is  dit  van  belang  voor  de 
analytische  scheikunde,  waar  talrijke  scheidingen  op  het  verschil 
in  oplosbaarheid  der  hydroxyden  berusten;  verder  kunnen  onder- 
zoekingen over  dit  onderwerp  ons  iets  naders  leeren  omtrent  de 
onderlinge  affiniteit  der  metaaloxyden  en  -hydroxyden. 

Tot  dusver  is  nog  niet  met  zekerheid  te  zeggen,  welke  verbin- 
dingen zich  bij  de  inwerking  der  hydroxyden  op  sterke  basen  vormen 
en  onder  welke  omstandigheden  ze  bestendig  zijn.  In  zuiveren  toestand 
zijn  ze  niet  geisoleerd  en  nauwkeurig  beschreven.  Zelfs  omtrent  de 
natuur  der  hydroxyden  zelf  is  men  nog  geheel  in  het  onzekere. 
Meestal  toch  verkrijgt  men  deze  lichamen  als  volumineuze,  gelachtige 
produkten  en  de  vraag  rijst  of  men  deze  te  beschouwen  heeft  als 
vaste  phasen  van  constante  of  wisselende  samenstelling,  'of  wel  als 
vloeibare  van  hooge  viscositeit.  De  groote  moeilijkheden,  welke  het 
oplevert,  deze  stoffen  in  zuiveren  toestand  te  verkrijgen,  zijn  waar- 


J60 


schijnlijk  de  oorzaak  van  de  nog  zeer  weinig  exakte  gegevens 
welke  men  er  over  heeft. 

In  het  volgende  zullen  nu  de  resultaten  worden  medegedeeld  van 
onderzoekingen,  welke  ten  doel  hebben,  de  verbindingen  gevormd 
bij  het  „oplossen”  van  zinkhydroxjde  in  NaOH  m.a.w.  de  natrinm- 
zinkaten,  nader  te  leeren  kennen  en  hun  bestaansgebied  nauwkeurig 
vast  te  stellen.  Dergelijke  onderzoekingen,  aangaande  de  overeen- 
komstige verbindingen  bij  eenige  andere  metalen,  zijn  in  gang. 

De  tot  dusver  bekende  gegevens  aangaande  de  natriumzinkaten, 
zijn  kort  geresumeerd  de  volgende; 

CoMKY  en  Loring  Jackson  kregen  door  oplossen  van  ZnO  in 
heete  NaOH-oplossing,  gevolgd  door  toevoegen  van  alcohol,  twee 
preparaten,  waaraan  ze  respectievelijk  de  formules:  H,  Na^  Zn,  O, 
17  H5O  en  HNa  ZnO,  i HjO  toekennen.  De  eerste  verbinding  heeft 
een  smeltpunt  van  J00°,  de  tweede  scheen  zelfs  bij  300°  nog  niet 
te  smelten. 

Förster  en  Günther  ’)  vinden  slechts  één  verbinding  en  wel  van 

.OH 

de  formule  Zn<^  3 H,0.  Ze  vormde  witte  zijde-glanzende  naaldjes. 

\O.Na 

Herz  *)  precipiteerde  een  oplossing  van  Zn  SO4  van  bekende 
sterkte  met  KOH-oplossing  en  ging  na,  hoeveel  loog  noodig  is,  om  het 
gevormde  Zn  (OH),  weer  op  telossen.  Hierbij  bleek,  dat  op  1 gramion 
Zn  noodig  waren  6 gramionen  OH. 

Hantzsch  o ontkent  op  grond  van  geleidbaarheidsmetingen  het 
bestaan  van  natriumzinkaten  en  schrijft  het  oplossen  van  Zn  (OH), 
in  NaOH  toe  aan  het  ontstaan  van  eene  kolloïdale  oplossing. 

JoRDis  neemt  waar,  dat  in  het  cupron-element,  waarin  zich  zink 
als  negatieve  pool  in  een  oplossing  van  NaOH  bevindt,  op  den  duur 
kristallen  van  de  samenstelling  Zn  (ONa),  ontstaan. 

Tenslotte  zij  nog  vermeld,  dat  door  Rubenbaüer  ®)  en  door  Woon  0 
de  verhouding  tusschen  het  aantal  gramatomen  Zn  en  Na  in  oplos- 
singen van  Zn  (OH),  in  NaOH  is  bepaald  ; omtrent  het  bestaan  van 
bepaalde  verbindingen  kunnen  deze  waarnemingen  weinig  leeren. 


b Amer.  Chera.  Journ.  11,  145  (1889);  Ber.  d.  deut.  Ghem.  Ges.  21,  1589(1888). 

2)  Zeitschr.  f.  Elektroch.  6,  301  (1899). 

s)  Zeitschr.  f.  anorg.  Ghem.  28,  474  (1901). 

b Ibid.  30,  289  (1902). 

b Zeitschr.  f.  Elektroch.  7,  469  (1900). 

b Zeitschr.  f.  anorg.  Ghem.  30,  332  (1902). 

b Journ.  Ghem.  Soc.  97,  886  (1910). 


161 


Men  ziet  uit  deze  gegevens  der  literatuur,  hoe  weinig  zeker  onze 
kennis  aangaande  zulke  betrekkelijk  eenvoudige  verbindingen  nog  is. 

De  even  wichten,  die  kunnen  optreden  in  waterige  oplossing  tusschen 
NaOH,  Zn  (OH)^  en  hun  eventueele  verbindingen,  zijn  te  beschouwen 
als  die  in  een  ternair  systeem  met  de  componenten  : Na,0 — ZnO — H,0. 

Het  oplosbaarheids-diagram  van  dit  systeem  kon  nu  bij  constante 
temperatuur  volledig  worden  bepaald.  Als  uitgangsmateriaal  voor 
deze  bepalingen  diende  uit  natrium  bereid  NaOH,  terwijl  het  ZnO 
verkregen  was  op  de  volgende  wijze:  Zuiver  omgekristalliseerd 
zinknitraat  werd  met  de  benoodigde  hoeveelheid  ammoniak  neerge- 
slagen, met  kokend  water  volledig  uitgewasschen  en  daarna  het  neerslag 
bij  140° — 150° gedroogd.  Ook  werd  het  oxyde  verkregen  door  gloeien 
van  geprecipiteerd  zinkcarbonaat ; daar  dit  oxyde  tengevolge  van  de 
sterke  verhitting  minder  actief  was,  vorderden  de  bepalingen  hier- 
mede een  langere  evenwichtsinstelling.  Beide  preparaten  vertoonden 
gelijke  oplosbaarheid.  Omtrent  de  bereiding  van  het  hydroxyde,  zie 
later.  Het  water  was  gedistilleerd  en  uitgekookt  voor  het  gebruik. 
Alle  bepalingen  werden  in  een  thermostaat  van  30,0°  C.  uitgevoerd. 

In  achterstaande  tabel  1 en  de  daarbij  behoorende  fig.  1 vijidt 
men  een  overzicht  der  resultaten.  Alle  getalwaarden  stellen  \oor 
gewichtspercenten  der  verzadigde  oplossing.  Daar  het  uiterst  moeilijk 
bleek,  de  vaste  phasen  zuiver  te  isoleeren,  werd  in  bijna  alle  ge- 
vallen de  samenstelling  volgens  de  restmethode  van  Schreinemakers 
bepaald. 

Bij  de  bepalingen  van  de  lijn  AB  werd  ZnO  als  vaste  phase 
toegevoegd  *);  de  oplosbaarheid  dezer  stof  blijkt  met  stijgende  NaOH- 
concentratie  snel  toe  te  nemen.  Zooals  uit  den  tweeden  tak  BC  van 
de  isotherm  blijkt,  zet  zich  bij  steeds  toenemende  NaOH-concen- 
tratie  uit  de  oplossing  af  het  natrium- zinka at  van  de  formule ; 
Na^OZnO^H^O.  Als  derde  tak  sluit  zich  hierbij  onmiddellijk  aan,  CD 
waar  de  oplossingen  verzadigd  zijn  aan  het  monohydraat  van 
natrium-hydroxyde : NaOH  . H^O  [Na,0  . SH^OJ.  Blijkens  het  door 
PiCKERiNG  ’)  bepaalde  smeltdiagram  NaOH — H^O  is  dit  hydraat  de 
eenige  bij  30*  bestendige  verbinding  van  NaOH  met  water. 

Er  treedt  dus  bij  30“  maar  één  bestendig  zinkaat  en  wel  van  de 
formide-.  Na^O  . ZnO  .A^H^O  op.  Alle  overige,  in  de  literatuur  be- 
schreven zinkaten,  moeten  bf  als  metastabiel  worden  beschouwd,  bf 
bestaan  in  het  geheel  niet. 


h Uitgezonderd  bij  de  Nos.  26  en  29  (zie  later). 

®)  Journ.  Ghem.  Soc.  63,  890  (1893). 

11 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIIl.  A".  1919/20. 


NO. 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

20 

21 

22 

23 

24 

25 

26 

27 

28 

29 

30 

31 


162 


r 


TABEL  1.  — Stelsel  Na^O — Zn0—H20  (Tèmperatuur  30,0°  C.). 


Samenstelling  van  de 
oplossing. 

Samenstelling  van  de 
rest. 

Vaste  phasen. 

7oNa20 

o/oZnO 

«/oHaO 

7o  Na.0 

o/oZnO 

°/o  H^O 

11.8 

2.6 

85.6 

10.1 

22.2 

67.7 

ZnO 

17.4 

5.0 

77.6 

15.3 

16.9 

67.8 

ZnO 

24.6 

12.6 

62.8 

20.2 

29.1 

50.7 

ZnO 

24.9 

12.9 

62.2 

22.0 

23.5 

54.5 

ZnO 

23.7 

11.3 

65.0 

19.1 

31.2 

49.7 

ZnO 

27.3 

16.0 

56.7 

22.1 

32.7 

45.2 

ZnO 

27.8 

16.5 

55.7 

— 

— 

ZnO  -j-  Na20  . ZnO  . 
.4H2O 

28.0 

14.9 

57.1 

28.1 

28.3 

43.6 

NajO . ZnO  . 4H2O 

33.5 

10.9 

55.6 

28.6 

27.9 

43.5 

NajO  . ZnO  . 4H2O 

36.7 

9.5 

53.8 

31.9 

28.5 

39.6 

NagO . ZnO  . 4H2O 

31.8 

11.7 

56.5 

31.0 

20.2 

48.8 

Na^O  . ZnO  . 4H2O 

30.1 

13.2 

56.7 

29.1 

29.2 

41.7 

i Na20 . ZnO . 4H2O 

33.2 

11.2 

55.6 

29.7 

31.8 

38.5 

Na20  . ZnO  . 4H2O 

31.5 

11.8 

56.7 

29.2 

32.9 

37.9 

NaaO  . ZnO  . 4H2O 

36.9 

10.1 

53.0 

34.9 

17.2 

47.9 

Na2O.ZnO.4H2O 

34.7 

10.4 

54.9 

33.7 

15.6 

50.7 

Na20  . ZnO  . 4H2O 

36.1 

10.2 

53.7 

34.0 

17.7 

48.3 

NaoO  . ZnO  . 4H2O 

36.8 

9.9 

53.3 

33.1 

22.8 

44.1 

NagO . ZnO . 4H2O 

39.2 

9.7 

51.1 

— 

— 

— 

Na20  . ZnO . 4H2O  + 
+ Na20 . 3H2O 

39.4 

9.0 

51.6 

42.6 

7.0 

50.4 

NajO . 3H2O 

39.6 

7.2 

53.2 

41.0 

6.1 

52.9 

NaaO . 3H2O 

40.7 

2.0 

57.3 

42.0 

1.8 

56.2 

Na20 . 3H2O 

40.5 

1.6 

57.9 

42.6 

1.3 

56.1 

Na20 . 3H^O 

40.9 

1.1 

58.0 

42.7 

0.4 

56.9 

Na20 . 3H2O 

41.9 

0.0 

58.1 

— 

— 

— 

Na20 . 3H2O 

24.6 

12.5 

62.9 

23.6 

15.2 

61.2 

ZnO 

19.9 

15.2 

64.9 

16.1 

27.7 

56.2 

Zn(OH)2 

4.6 

1.0 

96.4 

3.7 

15.4 

80.9 

! Zn  (0H)2 

4.5 

0.4 

95.1 

3.7 

20.3 

76.0 

ZnO 

13.7 

7.2 

79.1 

9.3 

30.4 

60.3 

Zn  (0H)2 

10.1 

4.7 

85.2 

6.2 

32.7 

61.1 

Zn  (0H)2 

163 


Ook  de  meening  van  Hantzsch  omtrent  de  koDoïdale  natuur  der 
oplossingen,  houdt  geen  stand,  zooals  in  het  vervolg  nog  nader  zal 
blijken. 

Eigenschappen,  bereiding,  enz.  van  het  natriumzmkaat 
Na,0  .ZnO  .m,0. 

Zooals  uit  het  bepaalde  diagram  reeds  blijkt,  behoort  het  natrium- 
zirikaat  tot  die  zouten,  welke  z.g.  incongruente  oplossingen  vormen. 
Deze  zouten  geven  bij  toevoeging  van  water  geen  eenvoudige  op- 
lossing, doch  één  der  componenten,  waaruit  men  het  zout  gevormd 
kan  denken,  splitst  zich  bij  watertoevoeging  af.  Vele  voorbeelden 
zijn  hiervan  reeds  bekend.  Bij  het  natriumzinkaat  doet  zich  dit  ver- 
schijnsel bijzonder  geprononceerd  voor.  Niet  alleen  zal  toevoeging 
van  water  aan  het  vaste  zout  een  afscheiding  van  ZnO,  dus  een 


ZnQ 


11* 


Loc.  cit. 


164 


ontleding  der  verbinding,  bewerken,  maar  ook  /aillen  verdunde 
oplossingen  van  NaOH  nog  ditzelfde  effect  hebben.  Uit  den  loop 
van  de  isotherm  is  af  te  leiden,  dat  oplossingen  beneden  een  con- 
centratie van  33,3  Gr.  NaOH  op  100  Gr.  oplossing  (dus  1 gew. 
deel  NaOH  op  2 gew.  dln.  water)  een  afscheiding  van  ZnO  uit  het 
vaste  zout  zullen  veroorzaken,  m.  a,  w.  men  zal  de  sterkte  der  NaOH- 
oplossing  tot  boven  deze  grens  moeten  opvoeren  om  zuivere  zinkaat- 
kristallen  te  verkrijgen.  Het  niet  voldoende  in  het  oog  houden  van 
deze  omstandigheid  is  waarschijnlijk  de  oorzaak  van  de  velerlei 
tegenstrijdigheid  in  de  literatuur;  nagenoeg  nergens  vindt  men  de 
concentratie  der  oplossingen  aangegeven  en  daar  blijkens  de  ligging 
der  oplosbaarheidslijnen  de  kans  hierop  zeer  groot  is,  zal  men  in 
vele  gevallen  mengsels  verkregen  hebben  van  zinkaatkristallen  en 
ZnO,  waaraan  bij  analyse  de  onjuiste  samenstelling  eener  verbinding 
werd  toegekend.  Dit  is  o.  m.  het  geval  geweest  bij  de  proeven  van 
Gomey  en  Loring  Jackson  '),  die  zinkaten  bereidden  door  ZnO  op  te 
lossen  in  heete  geconcentreerde  NaOH-oplossing ; zij  voegden  daarna 
alcohol  aan  de  vloeistof  toe  en  verkregen  op  deze  wijze  twee  pre- 
paraten : één  uit  de  waterlaag,  door  deze  zoo  lang  met  alcohol  uit  te 
schudden,  dat  er  kristallen  ontstonden  en  één  uit  de  alcoholische  vloeistof. 

Ik  heb  deze  methode  herhaald  en  ging  hiertoe  uit  van  50  Gr. 
water,  waaraan  50  Gr.  NaOH  werd  toegevoegd.  Na  inbrengen  vaii 
17  Gr.  ZnO  in  kleine  hoeveelheden  tegelijk,  kristalliseerde  het  zinkaat 
in  belangrijke  hoeveelheid  uit.  We  zijn  dan  ook  volgens  ons  diagram 
midden  in  het  verzadigingsgebied  van  het  zinkaat.  De  kristalmassa 
werd  onder  de  noodige  voorzorgen,  buiten  toetreding  van  lucht  en 
koolzuur  afgezogen  en  daarna  op  poreus  aardewerk  gedroogd. 
Natuurlijk  kon  op  deze  wijze  de  moederloog  niet  geheel  verwijderd 
worden,  doch  uitwasschen  zonder  gelijktijdige  ontleding  is  niet  moge- 
lijk. De  analyse  dei'  kristallen  leverde: 

Na,0...29.8  ZnO. ..37.8  H,0...32,4  V,. 

(Tlieoretisch  voor  Na^O  . ZnO . 4H,0...  Naj0...28,9  7o>  ZnO. ..37,6  '/o» 
H(,0...33,5  7o)-  microscopische  beschouwing  bleek  het  produkt 
volkomen  homogeen  te  zijn,  de  kristallen  vertoonden  zich  als  lange 
staafjes  met  stomp  uiteinde;  zij  zijn  zwak  dubbelbrekend.  Amorphe 
deelen  konden  niet  worden  aangetoond.  De  kristallen,  welke  bij  de 
proeven  N^®  8—18  zich  gevormd  hadden,  werden  eveneens  micros- 
copisch onderzocht;  zij  bleken  geheel  ovei’een  te  komen  met  die 
langs  bovenstaanden  weg  verkregen. 

Een  proefje  der  kristallen  met  alcohol  van  96  7o  behandeld,  ver- 


Loc.  cit.  Zie  ook  Gmelin-Kraut’s  Handbuch. 


166 


aiiderde  totaal.  Reeds  een  oppervlakkige  beschouwing  leert  hierbij, 
dat  de  kristallen  onder  inwerking  der  alcohol  langzamerhand  ver- 
dwijnen, terwijl  zich  vlokjes  uit  de  vloeistof  afzetten.  Ook  micros- 
copisch blijkt,  dat  de  kristallen  onder  deze  omstandigheden  niet 
bestaanbaar  zijn,  doch  amorphe  vlokjes  ZnO  (of  Zn  (OH) J afscheiden. 
Zelfs  96  7#-ige  alcohol  werkt  alzoo  hjdroljseerend  op  het  zinkaat 
en  het  behoeft  niet  te  verwonderen,  dat  bovengenoemde  onderzoekers 
produkten  van  onwaarschijnlijke  samenstelling  verkregen.  Al  naar 
gelang  van  de  hoeveelheid  alcohol  en  van  den  duur  der  inwerking, 
zal  een  mengsel  verkregen  zijn,  dat  nog  meerdere  of  mindere  quari- 
titeiten  zinkaat  bevat.  De  formules  voor  dergelijke  produkten  hebben 
geen  zin  en  dienden  dus  uit  de  literatuur  te  verdwijnen. 

Bestendigheid,  bereiding,  enz.  van  zinkhydroxyde.  ■ 

Zooals  algemeen  bekend  is,  verkrijgt  men  het  zinkhj’droxyde  in 
den  i-egel  als  gelachtige,  volumineuze  massa.  Het  was  nu  voor  dit 
onderzoek  van  belang  na  te  gaan,  of  deze  phase  een  constante  of 
variabele  samenstelling  heeft  en  hoe  het  staat  met  zijn  stabiliteit  ten 
opzichte  van  ZnO.  In  de  literatuur  zijn  vele  aanduidingen  te  vinden, 
dat  de  langs  verschillende  wegen  verkregen  hydroxyden  niet  dezelfde 
samenstelling  bezitten.  Euler^  bereidde  uit  het  nitraat  hydroxyden, 
welke  een  verschillende  oplosbaarheid  in  ammoniak  bleken  te  bezitten. 
Herz’)  en  Hantzsoh* *]  wijzen  op  de  groote  moeilijkheden,  welke  het 
oplevert  om  Zn(OH)j  zuiver  te  verkrijgen  en  speciaal  op  de  hard- 
nekkigheid, waarmede  het  snlfaat-ionen  vasthoudt.  Gemakkelijker 
dan  uit  het  sulfaat  schijnt  men  uit  het  chloride  of  nitraat  een  zuiver 
hydroxyde  te  kunnen  verkrijgen.  Bij  de  proeven,  hierover  genomen, 
ging  ik  uit  van  zuiver  ZnO,  dat  in  zoutzuur  of  salpeterzuur  werd 
opgelost;  daarna  werd  het  hydroxyd  door  toevoeging  van  de  bere- 
kende hoeveelheid  ammoniak  geprecipiteerd.  Wordt  dit  neerslag  met 
kokend  water  uitgewasschen,  dan  blijkt  het  reeds  zeer  spoedig,  meer 
korrelig,  zwaarder  en  minder  gelatineus  te  worden.  Na  eenige  malen 
nitwasschen,  gevolgd  door  drogen  bij  100°,  bleek  het  preparaat 
nog  slechts  0.6 '/o  water  te  bevatten.  Het  hydroxyde  is  dus  tengevolge 
van  het  nitwasschen  bij  100°  reeds  tot  oxyde  omgezet.  Bij  100°  is 
dus  niet  meer  bestendig. 

Hierna  werd  getracht  door  nitwasschen  bij  kamertemperatuur  tot 
een  zuiver  hydroxyde  te  komen.  Het  bleek  echter,  dat  zelfs  na  lang- 

h Ber.  d.  deutsch.  Chem  Ges.  36,  3400  (1903). 

*)  Zeitschr.  f.  anorg.  Ghem.  30,  280  (1902);  31,  357  (1902). 

*)  Loc.  cit. 


1 66 

durige  continue  extractie,  de  produkten  nog  steeds  chloride-  of  nitraat- 
houdend  waren.  In  de  eerste  uren  van  het  extraheeren  neemt  men 
een  belangrijke  daling  der  concentratie  van  het  geadsorbeerde  ion 
waar,  daarna  daalt  deze  nog  slechts  zeer  langzaam.  Onderstaande 
cijfers  lichten  dit  nader  toe : 

TABEL  2. 


Extractietijd 
in  uren. 

Cl'  gehalte  in  % na  drogen 
bij  100°. 

0 

0.59 

4 

0.36 

8 

0.35 

16 

0.34 

48 

0.30 

Het  is  dus  praktisch  on  mogelijk  om  uit  het  chloride  langs  dezen 
weg  een  zuiver  hydroxjde  te  verkrijgen.  Soortgelijke  resultaten 
leverde  de  bereiding  uit  sulfaat  en  nitraat  op;  hoewel  men  in  de 
literatuur  vermeld  vindt,  dat  het  nitraat-ion  veel  minder  sterk  dan 
de  overige  zuurrest-ionen  geadsorbeerd  wordt,  waren  zelfs  na  dagen 
lange  extractie  de  producten  nog  nitraathoudend.  Toch  heb  ik  met 
het  gelachtige  zinkhydroxyde  eenige  metingen  omtrent  de  oplosbaar- 
heid in  NaOH  verricht;  niet  omdat  de  gevonden  waarden  een  absolute 
beteekenis  kunnen  hebben,  maar  uitsluitend  met  het  doel  na  te  gaan, 
of  dit  hydroxyde  een  hoogere  oplosbaarheid  vertoont  dan  ZnO  en 
dus  als  metastabiel  ten  opzichte  van  dit  laatste  beschouwd  moet 
worden.  Zooals  onderstaande  getallen  aantonnen,  blijkt  dit  inderdaad 
het  geval  te  zijn,  de  gevonden  punten  liggen  belangrijk  boven  de 
o pi  os  baarheid  si  ij  n {AB)  van  ZnO.  Tevens  blijkt,  dat  de  oplosbaar- 
heid daalt,  al  naarmate  het  hydroxyde  langer  bewaard  wordt.  Ook 


TABEL  3. 


Tijd  sinds  de  bereiding  van 

het  hydroxyde  in  uren. 

Samenstelling  der  oplossing. 

% ZnO 

o/o  Na20 

1 

10.5 

11.3 

10 

9.3 

11.4 

24 

8.2 

11.3 

12 

7.0 

11.3 

167 


dit  pleit  er  voor,  dat  deze  produkten  beschouwd  moeten  worden 
als  metastabiele  phasen,  die  Jiêiging  hebben  zich  te  stabiliseeren  tot  ZnO. 

Voor  de  oplosbaarheid  van  ZnO  bij  een  NajO-concentratie  van 
11.3  7o  vindt  men  door  interpolatie  2.3  7o-  dus  belangrijk  lager. 

Gekristalliseerd  zinkhydroxyde. 

Uit  het  bovenstaande  volgt,  dat  men  de  amorphe,  geleiachtige  hydroxy- 
den  moet  beschouwen  als  phasen  van  wisselend  watergehalte,  welke 
bovendien  zeer  moeilijk  zijn  te  zuiveren.  De  mogelijkheid  bestond  nu,  dat 
onder  bepaalde  omstandigheden  een  gekristalliseerd  hydroxyde  van  con- 
stante samenstelling  zou  zijn  te  verkrijgen.  In  de  literatuur  zijn  eenige 
aanduidingen  te  vinden,  dat  Zn(OH),  soms  in  kristalvorm  schijnt  te  ont- 
staan. Zoo  vermeldt  Becquerel  7,  dat  hij  het  gekristalliseerde  hydroxyde 
verkrijgt  door  een  met  koperdraad  om  wonden  zinkstaaf,  te  plaatsen 
in  een  oplossing  van  kiezelzuur  in  bijtende  loog.  Hierbij  vormden 
zich  regulaire  octaëders,  waaraan  de  formule  Zn(OH)2  werd  toege- 
kend. Verschillende  dergelijke  aanduidingen  vindt  men  in  de  oudere 
literatuur,  zonder  dat  evenwel  eenstemmigheid  heerscht  aangaande 
de  samenstelling  der  kristallen  ’)•  In  fle  latere  jaren  zijn  o.  a.  door 
Klein  ’)  de  zinkhydroxyden  opnieuw  onderzocht.  Deze  onderscheidt 
drie  vormen  van  het  hydroxyde:  vorm  A is  het  sterkst  oplosbaar 
in  loog  en  ontstaat  door  aan  een  loogoplossing  ZnSO^-oplossing  toe 
te  druppelen.  De  analyse  van  het  bij  gewone  temperatuur  gedroogde 
produkt  leverde  op:  2Zn0.H20.  Uit  de  verzadigde  oplossingen  van 
A scheiden  zich  na  verloop  van  tijd,  de  vormen  B of  C af;  beiden 
zouden  de  samenstelling  ZnO.HjO  hebben,  doch  B wordt  soms  in 
mooie  kristallen  verkregen,  terwijl  C steeds  amorph  is. 

Het  behoeft  na  het  voorafgaande  wel  niet  meer  betoogd  te  worden, 
dat  van  een  constante  samenstelling  der  amorphe  hydroxyden  geen 
sprake  kan  zijn.  Het  watergehalte  van  deze  lichamen  hangt  van 
allerhand  factoren:  bereiding,  tijd  van  bewaren,  enz.,  af ; een  bepaalde 
formule  voor  hen  heeft  dus  geen  zin. 

Anders  staat  het  met  het  gekristalliseerde  hydroxyde.  Het  bleek 
mij  inderdaad  mogelijk,  het  zinkhydroxyde  als  gekristalliseerde  phase 
van  constante  samenstelling  te  isoleeren.  Hiertoe  ging  ik  als  volgt  te 
werk:  aan  50  c.c.  eener  normaal  oplossing  van  KOH  werd  uit  een 

h Lieb.  Ann.  94,  358  (1855). 

Zie  o.a.  Bödeker.  Lieb.  Ann.  94,  358  (1855);  Ville,  Gomp.  Rend.  101, 
375  (1885). 

*)  Zeitschr.  anorg.  Chera.  74,  157  (1912).  Zie  ook  WooD,  Journ.  Ghem.  Soc. 
97,  886  (1910). 


168 


baret  toegedruppeld  een  normaal  oplossing  van  zinksulfaat.  Aanvan- 
kelijk lost  het  zich  vormende  hydroxyde  on  middellijk  op,  doch  er 
komt  ten  slotte  een  punt,  waarop  de  vloeistof  bij  omschudden  iets 
troebel  blijft.  Bij  sterk  schudden  en  vooral  na  krassen  van  den  glas- 
wand komt  na  eenige  minuten  staan  een  zwaar,  zanderig  neerslag. 
Ook  enten  met  reeds  verki-egen  kristallen  bleek  de  afscheiding  zeer 
sterk  te  bespoedigen.  Bij  microscopische  beschouwing  maakt  het 
produkt  een  geheel  homogenen  indruk  en  het  blijkt  te  bestaan  uit 
zeer  kleine,  langgerekte  staafvormige  kristallen.  Ze  fütreeren  zeer 
gemakkelijk  en  iti  tegejistelling  met  de  amorphe  produkten,  zijn  de 
kristallen  zeer  snel  uit  te  wasschen.  Na  drogen  bij  40° — 50°  leverde 
de  analyse : 

18,06  V„  H,0  ; 81 ,9J  “/.  ZnO  (Theoretisch  voor  Zn(OH),. . . . 18,11  7„  H,0 

81,89  7,  ZnO. 

De  sterkte  van  de  loog  werd  gevarieerd  tusschen  de  grenzen  van 
4,0  en  0,1  normaal,  de  sterkte  der  zinksulfaatoplossing  eveneens ; steeds 
haddendegevormdekristallen  denzelfden  vormen  dezelfde  samenstelling. 

Stabiliteit  van  gekristalliseerd  zinkhydroxyde  ten  opzichte 
van  zinkoxyde. 

De  proeven  N“^  26 — 31  van  Tabel  1 geven  een  indruk  van  de 
stabiliteitsverhouding  van  het  gekristalliseerde  Zn(OH)3  en  ZnO. 

Bij  N“.  26  werd  de  vaste  phase  als  gekristalliseerd  Zn(OH),  toege- 
voegd, de  massa  werd  ruim  2 weken  in  den  thermostaat  op  30° 
gehouden.  Toen  bleek  het  kristallijne  Zn(OH)j  totaal  omgezet  te  zijn, 
en  de  vaste  phase  bestond  uit  ZnO.  De  analyse  van  oplossing  en 
rest  bevestigde  dit,  het  gevonden  punt  valt  op  de  lijn  AB.  Hieruit 
blijkt  dus,  dat  bij  30°  het  gekristalliseerde  zinkhydroxyde  metastabiel 
is  ten  opzichte  van  ZnO. 

Bij  kortere  evenwichts-instelling  bleek  het  mogelijk  de  metastabiele 
oplosbaarheidslijn  van  Zn{OH),  te  bepalen. 

N“. 27  werd  ingezet  met  gekristalliseerd  Zn(OH)3  en  na  ± 24  uur  de 
oplossitig  geanalyseerd;  de  vaste  phase  bleek  toen  nog  uit  het  kristal- 
lijne hydroxyde  te  bestaan.  In  overeenstemming  hiermede  was  het 
zinkgehalte  van  de  oplossing  (zie  tabel)  belangrijk  hooger  dan  met 
de  lijn  AB  overeenkomt.  De  N°*  30  en  31  zijn  op  overeenkomstige 
wijze  uitgevoerd,  ook  hier  wei'd  gekristalliseerd  Zn(OH)j  als  vaste  phase 
toegevoegd  en  de  oplossing  na  ±24  uur  geanalyseerd.  De  gevonden 
samenstellingen  dei-  oplossing  liggen  wederom  belangrijk  boven  lijn 
AxB.  De  punten,  welke  deze  oplossingen  voorstellen,  vormen  tezamen 


169 


de  metastabiele  qplosbaarheidslijn  EF  vaji  het  gekristalliseerde  zink- 
hydroxjde. 

De  bepalingen  N®®  28  en  29  tenslotte  zijn  verricht  in  éénzelfde 
oplossing,  waaraan  kristallen  Zn(OH)s  als  vaste  phase  werden  toe- 
gevoegd. Na  ± 24  uar  leverde  de  oplossing  de  samenstelling  N“.  28 
en  was  Zn(OH)j  als  vaste  phase  aanwezig.  'Terwijl  een  dag  later 
deze  kristallen  nog  aanwezig  bleken  en  de  oplossing  nog  dezelfde 
samenstelling  bezat,  werd  drie  weken  later  de  samenstelling  N“.  29 
gevonden.  Alle  Zn(OH)j-kri3tallen  waren  verdwenen  ; het  nn  ge- 
vonden punt  ligt  op  AB,  terwijl  ook  de  analyse  van  de  rest  uitwees, 
dat  ZnO  als  vaste  phase  aanwezig  was.  De  oplosbaarheid  van  gekris- 
talliseerd ZnlOHjj  is  dus  onder  overigens  gelijke  omstandigheden 
belangrijk  hooger  dan  die  van  ZnO. 

R E S fT  M É. 

1.  De  oplosbaarheids-isotherm  in  het  stelsel  NajO-ZnO-HjO  werd 
bij  30°  volledig  vastgesteld. 

2.  Hierbij  bleken  als  stabiele  vaste  phasen  op  te  treden : zink- 
oxyde  ZnO,  n atrium  zin  kaat  Na, O . ZnO  . 4H,0,  het  raonohydraat  van 
natriumhydroxyde  NaOH  . H,0. 

3.  Het  natriumzinkaat  vormt  zeer  sterk  incongruente  oplossingen, 
door  oplossingen  beneden  een  concentratie  van  1 dl.  NaOH  op  2 dln. 
water  wordt  het  ontleed  onder  afscheiding  van  ZnO. 

4.  Het  amorphe,  gelatineuze  zinkhydroxyde  moet  beschouwd  worden 
als  een  phase  van  wisselend  watergehalte ; het  is  onmogelijk  van 
geadsorbeerde  ionen  te  reinigen.  Het  is  metastabiel  ten  opzichte  van 
gekristalliseerd  zinkhydroxyde. 

5.  Onder  bepaalde  omstandigheden  is  zinkhydroxyde  te  verkrijgen 
als  kristailijne  phase  van  de  constante  samenstelling  Zn(OH)5. 

6.  Dit  gekristalliseerde  hydroxyde  is  bij  30°  metastabiel  ten  opzichte 
van  ZnO. 

De  kosten  dezer  onderzoekingen  zijn  gedeeltelijk  bestreden  uit  een 
subsidie  mij  ter  beschikking  gesteld  uit  het  van  ’t  HoFF-Fonds.  Aan  de 
commissie  van  beheer  van  dit  fonds,  betuig  ik  ook  te  dezer  plaats 
mijn  hartelijken  dank. 

Delft,  Juni  1919. 

Anorganisch  en  physisck-chemisch  Laboratorium 
der  Technische  Hoo'geschool. 


Natuurkunde.  — De  Heer  Zeeman  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
den  Heer  P.  A.  van  der  Harst:  „Waarnemingen  over  de 
spectra  van  tin,  lood,  antimoon  en  bismutk  in  het  magnetische 
veld'’ . 


(Mede  aangeboden  door  den  Heer  H.  A.  Lorentz). 

Voor  bel  doen  van  de  hieronder  beschreven  waarnemingen  heb 
ik  gebruik  gemaakt  van  de  tralieopstelling  van  het  Natuurkundig 
Laboratorium  te  Amsterdam,  door  professor  P.  Zeeman  te  mijner 
beschikking  gesteld. 

Meer  uitvoerig  zullen  de  proeven  en  waarnemingen  beschreven 
worden  in  mijn  proefschrift,  dat  onder  bovenstaanden  titel  uitkomt 

1.  De  S|)ectra  van  tin,  lood,  antimoon  en  bismuth  zijn  weinig  of 
niet  op  hun  ZEEMAN-effect  onderzocht.  De  eenige,  die  systematische 
waarnemingen  liierover  bij  deze  elementen  deed,  is  Purvis  D.  Diens 
uitkomsten  vertonnen  echter,  zooals  bekend  is,  dikwijls  groote 
afwijkingen  van  die  van  anderen,  wat  in  hoofdzaak  te  wijten  is 
aan  een  fout  in  het  meten  der  veldsterkte.  Bovendien  meet  Pürvis 
slechts  weinig  lijnen  van  deze  elementen,  n.1.  slechts  die,  waarvoor 
geen  langer  belichtingstijd  dan  een  half  uur  noodig  was  om  ze, 
voor  het  meten,  duidelijk  genoeg  op  de  fotografische  plaatjes  te 
krijgen.  Het  leek  me  daarom  goed  de  magnetische  splitsing  bij  deze 
elementen  aan  een  nader  onderzoek  te  onderwerpen. 

2.  De  tralie-opstelling  is  beschreven  door  Mevr.  H.  B.  Bilderbeek — 
v.  Meurs ’).  Het  tralie  is  een  hol  tralie  van  Rowland,  3 p.  straal, 
8 c.rn.  breed,  14438  strepen  per  inch.  Spleet  en  tralie  staan  vast 
ten  opzichte  van  elkaar  en  ten  opzichte  van  een  ijzeren  cirkelvormigen 
boog,  waarop  de  fotografische  plaatjes  geklemd  worden,  zoodat  in 
alle  orden  tegelijkertijd  belicht  kan  worden. 

De  spleetwijdte  bedroeg  gewoon  lijk  ongeveer  20  p,  dat  is  8 maal 

b J.  E Purvis.  The  influence  of  a very  strong  magnetic  field  on  the  spark 
spectra  of  Lead,  Tin,  Antimony.  Bismuth  and  Gold.  Camb.  Phil.  Soc.,  14,  217, 
1907;  Nature,  76,  166,  1907. 

b H.  B.  Bilderbeek — v.  Meurs.  Magnetische  splitsing  van  het  ultraviolette 
ijzerspectrum  (A  2300 — A 4500).  Diss.,  Amsterdam,  1909. 


171 


de  „normale”  spleetwijdte  bij  de  gebruikte  opstelling.  Als  lens 
gebruikte  ik  een  dubbellens  van  kwarts-calciumfluoriet,  doorzichtig 
voor  ultraviolette  stralen  en  bovendien  achromatisch.  Het  beeld  van 
de  lichtbron  viel  steeds  op  dezelfde  plaats  van  de  spleet. 

Het  was  meestal  noodig  de  vertikale  en  horizontale  componenten 
te  scheiden  met  een  kalkspaatrhomboëder,  geplaatst  tusschen  lichtbron 
en  lens.  Van  de  beide  beeldjes,  hierdoor  gevormd,  werd  eén  op  de 
spleet  geworpen. 

De  magneet  was  een  du  Bois  magneet  groot  model,  waarbij  de 
eindvlakken  der  kegelvormige  pooltoppen  cirkelvormig  waren  met 
een  doorsnede  van  doorgaans  8 mm.  De  poolafstand  was  nooit 
grooter  dan  4 mm.  . De  magneetstroom  werd  gemeten  met  een 
thermische  Ampèremeter  van  Hahtmann  en  Braun  en  bedroeg  ge- 
woonlijk 15  Ampère. 

Als  lichtbron  diende  een  vonk,  overspringend  tusschen  electroden 
van  het  te  onderzoeken  metaal  of  alliages  ervan.  De  vonk  stond, 
parallel  aan  een  condensator,  in  de  secundaire  keten  van  een  trans- 
formator (van  Koch  en  Sterzel  te  Dresden)  waarvan  de  primaire 
keten  gevoed  werd  door  stadswisselstroom.  Bovendien  stonden  in 
de  secundaire  keten  een  hulpvonk  en  een  regelbare  zelfinductie  in 
serie  met  de  vonk.  De  bijzonderheden  der  vonkontlading  (lichtsterkte, 
scherpte  der  gevormde  spectraallijnen,  smelten  der  electroden)  en 
den  invloed  daarop  van  zelfinductie,  capaciteit  en  hulpvonk  zal  ik 
uitvoerig  in  mijn  proefschrift  beschrijven. 

Als  fotografische  plaatjes  werden  door  mij  meestal  ,,Agfa  Röntgen” 
platen  gebruikt,  die  ik  kleurgevoelig  maakte  door  ze  van  te  voren 
in  ,,Pynachrom”  te  baden.  De  op  deze  wijze  behandelde  plaatjes 
bevielen  mij  beter  dan  de  in  den  handel  verkrijgbare  kleurgevoelige 
platen. 

De  metingen  geschieden  met  een  coinparateur  van  Zeiss.  De 
resultaten  werden  naar  hun  meer  of  mindere  nauwkeurigheid  in  4 
groepen  verdeeld,  die  ik  in  de  tabellen  achtereenvolgens  een  gewicht 
4,  3,  2,  1 gegeven  heb-  De  eerste  groep  had  een  waarschijnlijke 
fout  van  1 7o  of  minder,  de  tweede  van  1 “/o  lot  5 7o>  de  derde 
van  5 Vj — 10“/,,  de  vierde  van  meer  dan  10  “/,.  Voor  de  voorzorgen, 
bij  de  metingen  genomen  en  de  bepaling  der  font  verwijs  ik  naar 
mijn  proefschrift. 

Ook  de  voorbereidende  proeven : het  scherpstellen  van  den  platen- 
honder,  het  bepalen  van  het  oplossend  vermogen  en  der  schaalwaarde 
zal  ik  hier  niet  nader  behandelen  maar  kan  men  aldaar  vinden 

*)  Schusteb.  The  opties  of  the  spectroscope.  Astroph.  J.,  21,  197,  1905. 


172 


Het  oplossend  vermogen  was  zeker  niet  kleiner  dan  het  theoretische. 

3.  Waarnemingen.  De  verschillende  veldsterkten  werden  steeds 
bepaald  door  de  splitsingen  te  meten  die  er  door  veroorzaakt  werden 
bij  Zn  4680,  waarbij  dan  de  groote  der  splitsing  van  deze  lijn  ver- 
geleken werd  bij  die,  verkregen  met  de  bekende  absolute  metingen 
van  Gmeltn,  Weiss  en  Cotton,  en  Fortrat.  ’)  Ik  nam  als  stan- 

daard waarde  voor  . 10*^  het  gemiddelde  van  de  door  hen  ver- 

kregen  waarden,  9.376.  Gewoonlijk  werkte  ik  met  velden,  die  in 
de  buurt  van  30000  Gausz  lagen. 

Bij  tin  en  lood  waren  de  electroden  buigzame  bandjes  van  deze 
metalen,  die  kruiselings  over  de  pooltoppen  gespannen  werden.  Bij 
tin  werd  de  vonk  nog  door  een  Föhn  koudgeblazen,  omdat  anders 
de  electroden  te  snel  doorsmolten  en  de  ontlading  in  een  continue 
overging.  Bij  lood  werd  van  deze  methode  afgezien,  omdat  de  Föhn 
vaak  haperde,  en  werd  een  hulpvonk  in  de  secundaire  koten  in  serie 
met  de  belichtingsvonk  geschakeld.  Door  van  deze  hulpvonk  den  af- 
stand te  regelen,  heeft  men  de  werking  van  de  belichtingsvonk  veel 
beter  in  de  hand.  De  electroden  der  hulpvonk  moeten  dan  echter 
niet  kunnen  oxydeeren,  daar  men  anders  aldaar  een  meer  continue 
ontlading  krijgt,  terwijl  de  hulpvonk  juist  dient  om  dit  bezwaar,  dat 
men  bij  de  belichtingsvonk  heeft  en  daar  niet  kan  vermijden,  te 
ondervangen  en  dus  te  zorgen,  dat  men  een  onderbroken  ontlading 
houdt.  Daarom  werden  de  bolletjes  van  messing,  waaruit  de  elec- 
troden der  hulpvonk  bestonden,  bekleed  met  platina  kapjes.  De  bandjes 
van  lood  werden  strak  gespannen  gehouden  over  de  pooltoppen, 
daar  ze  anders  steeds  de  neiging  hebben  naar  elkander  toe  te  buigen, 
waardoor  de  vonkafstand  te  klein  wordt.  - 

Van  antimoon  konden,  door  de  groote  brosheid  van  dit  metaal, 
geen  buigzame  bandjes  gemaakt  worden  en  gebruikte  ik  dus  kleine 
platte  staafjes  ervan  als  electroden,  die  geklemd  werden  in  een  vonk- 
statief  van  messing.  Een  voordeel  van  dit  metaal  is,  dat  het  een  vrij 
hoog  smeltpunt  heeft  en  de  electroden  dus  minder  spoedig  door- 
smelten. Bismuth  heb  ik  alleen  als  alliage  met  antimoon  als  electrode 
gebruikt,  (60  gewichtsprocenten  bismuth),  anders  had  het  tegelijker- 
tijd de  bezwaren  van  tin  en  lood,  dat  het  spoedig  smolt,  en  die  van 
antimoon,  dat  het  bros  was.  Bij  het  alliage  was  het  eerste  bezwaar 
opgeheven  en  kon  het  verder  als  antimoon  behandeld  worden. 

‘)  P.  Zeeman.  Researches  in  Magneto-optics.  Mac  Millan  and  Go,  London,  1913, 
blz.  67.  Deutsche  Uebersetzung,  Leipzig,  J A.  Barth,  1914. 

R.  Fortrat.  Recherches  de  magneto-optique.  Thèse,  Paris,  1914. 


173 


Nog  moet  ik  vermelden,  dat  ik  in  de  tabellen,  waarin 
Schippers  *)  zijn  metingen  over  het  antimoonspectrimi  samenvat  en 
die  in  Kayser’s  Handbuch  der  Spectroskopie  overgenomen  zijn,  eenige 
lijnen  aantrof,  die  ik  op  mijn  plaatjes  nooit  vond.  Het  zijn  de  lijnen 
4370,  4295,  4287,  4091,  4078,  4038,  4024,  4006,4004,3979,3721, 
3467,  3460.  Uit  eenige  proefnemingen,  die  ik  nam,  met  het  doel 
om  uit  te  maken  of  deze  lijnen  bestonden,  meen  ik  te  moeten  be- 
sluiten, dat  Schippers  zich  vergist  heeft  en  lijnen  van  de  derde  orde 
voor  lijnen  van  de  tweede  orde  heeft  gehouden.  De  bovenstaande 
lijnen  zijn  volgens  mij  achtereenvolgens  de  volgende  lijnen  van  de 
derde  orde:  2913,  2863,  2858,  2727,  2719,  2692,2683,2671,2670, 
2653,  2480,  2311,  2306. 

In  de  tabellen  heb  ik  naast  mijn  eigen  uitkomsten  die  van  Purvis 
opgenomen.  De  veldsterkte,  die  hij  opgaf,  bracht  ik  echter  niet  in 
rekening,  daar  deze  zeker  te  hoog  opgegeven  staat.  In  plaats  daarvan 
heb  ik  met  behulp  van  mijn  uitkomsten  nagegaan  welke  veldsterkte 
Purvis  gehad  heeft,  door  het  gemiddelde  van  zijn  uitkomsten  te 
vergelijken  met  het  gemiddelde  van  de  mijne;  dit  voor  elk  element 
afzonderlijk.  Ik  vond  zoo  voor  tin,  lood,  antimoon  en  bismuth  achter- 
eenvolgens 30400,  31100,  28700,  31100  Gausz.  Cotton  schat  de 
door  PüRVis  gebruikte  veldsterkte  op  30800,  hij  zelf  geeft  op  39980 
Gausz.  Voor  het  beter  onderling  vergelijken  der  uitkomsten  zijn  die 
d). 

van  PüRVis  voor  — in  onderstaande  tabellen  door  bovenstaande  veld- 
sterkten  gedeeld. 

O 

De  golflengten  staan,  afgerond,  opgegeven  in  internationale  Angström 
eenheden. 

4.  Bespreking  der  tabellen.  Behalve  de  in  de  tabellen  opgenomen 
splitsingen  staan  verder  nog  bij  tin  op  een  van  de  opnamen,  waarop 
beide  soorten  van  componenten  tegelijkertijd  voorkwamen,  de  quadru- 
pletten  2368  en  2762  (booglijn),  die  achtereenvolgens  als  waarden  voor 
(dA : A’H)  . 10^^  hadden:  34.6  (3),  48.0  (2)  en  49  (2),  56.6  (3).  De 
getallen  tusschen  haakjes  geven  het  gewicht  aan.  2266  en  2408 
zijn  gesplitst.  De  grootte  der  splitsing  is  niet  te  meten  maar  bedraagt 
achtereenvolgens  minder  dan  76  en  59.  2355  is  waarschijnlijk  gesplitst. 

Verder  staat  bij  antimoon  nog  op  de  opnamen  de  door  Schippers 
opgegeven  luchtlijn  3640  gesplitst.  Hiervan  is  (d^ : A^H)  . 10’“  = 66.2, 
gewicht  3. 


’)  H.  Schippers,  Messungen  am  Antimonspectrum.  Zs.  f.  Wiss.  Phot.,  11, 
235,  241. 


174 


Bij  de  Bismutlilijnen  zijn  er  eenige,  waarbij  men  met  de  beoor- 
deeling  der  splitsing  voorzichtig  moet  zijn.  In  hetgeen  volgt  zal  ik 
met  een  s aanduiden  alles,  wat  op  de  trillingen  loodrecht  op  de 
krachtlijnen  slaat,  een  p slaat  op  trillingen  evenwijdig  aan  de  kracht- 
lijnen. 

3068.  De  5-figuur  was  op  eenige  opnamen  een  triplet  van  asym- 
metrische intensiteit.  De  overeenkomstige  p-figimr  was  dan  een  doublet 
dat  er  geheel  als  een  omgekeerde  lijn  uitzag,  zoodat  ik  vermoedde 
dat  liet  5-triplet  eigenlijk  een  doublet  van  een  omgekeerde  lijn  was, 
waarvan  de  twee  middelste  deelen  samenvielen.  Dit  bleek  juist  te 
zijn,  toen  later,  door  het  grooter  maken  dér  zeltinductie  waarschijnlijk, 
het  5-triplet  in  een  gewoon  doublet  overging,  het  p-doublet  in  een 
enkele  lijn.  Ook  een  opname,  waarin  minder  bismuth  in  het  alliage 
was,  leverde  dezen  laatsten  vorm,  dus  een  gewoon  triplet.  Zie  ook,  wat 
Puavis  omtrent  deze  lijn  zegt. 

4260.  Ik  vermoed,  dat  hiervoor  hetzelfde  geldt  als  voor  3068. 
Bij  het  opvoeren  van  de  zeltinductie,  om  zekerheid  te  krijgen,  werd 
deze  lijn  echter  te  zwak  om  er  iets  van  te  kunnen  zeggen.  Vóór 
het  vermoeden  pleit,  dat  de  splitsing  van  de  p-componenten  even 
groot  is  ais  van  de  ^-componenten. 

4122.  Dit  is,  meen  ik,  een  ander  geval.  Exner  en  Haschek  geven 
hier  twee  lijnen,  4121,75  en  4122,08,  de  laatste  iets  sterker  dan  de 

O 

eerste.  Ook  ik  vind  twee  lijnen  met  een  afstand  0.24  A.E.  en  dezelfde 
sterkteverhouding.  Ze  zien  er  in  het  geheel  niet  als  één,  omgekeerde, 
uit.  De  5-tiguur  is  een  triplet,  dat  iets  van  niterlijk  verandert  als 
de  omstandigheden  veranderen  (zie  tabel).  Het  verschil  in  splitsing 
tusschen  overeenkomstige  componenten  in  beide  gevallen  zal  wel 
aan  de  moeielijke  en  dus  onzuivere  waarneming  te  wijten  zijn.  Het 
verschil  in  afstand  aan  weerszijden  van  de  middelste  component 
geloof  ik  echter,  dat  werkelijk  bestaat.  Voor  de  p-figuur  staat  een 
triplet  opgegeven.  Er  staat  een  onscherpe  lijn,  die  naar  rood  en  ook, 
maar  nog  veel  zwakker,  naar  violet  over  eenigen  afstand  vervloeit 
en  dan  min  of  meer  plotseling  ophoudt.  Ik  meen  echter  op  enkele 
plaatsen  een  scheiding  te  zien.  De  metingen  zijn  natuurlijk  weinig 
waard.  Pukvts  geeft  voor  de  splitsing  op:  72.3.  Dit  is  ongeveer  gelijk 
aan  wat  ik  voor  de  splitsing  der  buitenste  componenten  van  het 
,s-triplet  vind. 

4723.  Van  deze  lijn  geeft  Wali  Mohammad  een  beschrijving,  wat 
het  gedrag  betreft  bij  zwakke  magneetvelden,  bestudeerd  met  een 
echelon  *).  Ik  zelf  vind  op  de  ,9-opnamen  2 middelste  componenten. 


1)  Gh.  Wali  Mohammad.  Untersuchungen  über  magnetische  Zerlegung  feiner 


175 


op  naast  elk  waarvan  een  breede  veeg-  staat,  die  vrij  plotseling  ophoudt. 
Er  is  haast  geen  afscheiding  te  zien,  waardoor  het  meten  lastig 
wordt.  Toch  komen  de  verschillende  metingen  der  buitenste  com- 
ponenten goed  overeen,  van  de  binnenste  minder.  Het  p-doublet  staat 
zeer  dicht  bijeen,  zoodat  daar  al  vanzelf  een  groote  betrekkelijke 
fout  ontstaat. 

In  de  tabel  is  de  meest  violette  component  met  een  — , de  meest 
roode  met  een  + aangegeven.  In  dat  geval  is  de  splitsing  niet 
= 2d^,  zooals  boven  de  kolom  staat  aangegeven,  maar  = dA ; o 
beteekent  niet,  dat  de  lijn  op  de  plaats  van  de  oorspronkelijke, 
ongesplitste,  staat  maar  alleen,  dat  daar  een  component  staat. 

5.  Algemeens  uitkomsten.  Wanneer  men  in  het  voorgaande  de 
resultaten  vergelijkt,  valt  al  dadelijk  op,  dat,  al  is  ook  de  algemeene 
gang  der  uitkomsten  dezelfde,  er  toch  nogal  veel  afwijkingen  voor- 
komen, die  meer  bedragen,  dan  de  aangegeven  waarschijnlijke  fout. 
Ook  komt  het  een  enkele  keer  voor,  dat  een  quadruplet  voor  een 
triplet  aangezien  wordt,  wat  niet  te  verwonderen  is  bij  de  dicht 
bijeen  staande  middelste  componenten  van  deze  vaak  onscherpe  lijnen. 
Dat  iets  dergelijks  het  geval  kan  zijn  met  andere  lijnen,  die  als 
triplet  opgegeven  staan,  is  niet  onmogelijk. 

Eene  overeenkomst,  zooals  Pürvis  die  aangeeft  tusschen  de  qua- 
drupletten  Pb  3740,  Pb  2873,  Sb  3723,  Sb  3638  en  misschien 
Sb  2668,  Bi  2989,  bestaat  volgens  mijne  metingen  niet,  uitgezonderd 
misschien  die  tusschen  Sb  3638  en  Bi  2989.  — Gaat  men  na,  of  er 
nog  eenig  verband  bestaat  tusschen  de  splitsingen  der  lijnen, 
waarvoor  Kayser  en  Rünge *  *)  de  bekende  constante  trillingsver- 
schillen  vinden,  dan  blijkt  dat  zulk  een  verband  niet  bestaat.  — 
V.  Lohuyzen  ’)  heeft  in  de  spectra  van  tin  en  antimoon  reeksen 
aangegeven.  Aan  de  juistheid  er  van  wordt  echter  getwijfeld  door 
Saunders  ')  en  Arnolds  0-  Ik  heb  nu  nagegaan  of  de  regels  van 
Preston  voor  deze  reeksen  doorgingen.  Van  reeks  I,  die  v.  Lohuyzen 
in  het  tinspectrum  aangeeft,  heb  ik  voor  de  lijnen  3656  en  2785 

Spektralliniën  im  Vakuumlichtbogen.  Ann.  d.  Phys..  (4),  39,  225,  1912;  Diss., 
Göttingen,  1912. 

b H.  Kayser  und  C.  Runge.  Ueber  die  Spectra  von  Zinn,  Blei,  Arsen,  Antimon, 
Wismuth.  Abhandl.  Berl.  Akad.  1893;  Wied.  Ann.,  52,  93,  1894. 

T.- VAN  Lohuizen.  Bijdrage  tot  de  kennis  van  lijnenspectra.  Diss  , Amsterdam 
1912. 

*)  F.  A.  Saunders.  Astrophys.  J.,  36,  409. 

R.  Arnolds.  Das  Bogen-  und  Funkenspectrum  von  Zinn  (von  A 7800 — A 2069). 
Zs.  f.  wiss.  Phot.,  13,  325. 


176 


de  splitsingen  (d.  w.  z.  de  waarden  voor  dA : zie  tabel)  29,6 

en  56,1  gevonden;  2408  in  die  reeks  heeft  een  splitsing  kleiner  dan 
59.  In  de  i’eeks  VII  vind  ik  voor  de  lijnen  3801,2851,2594,2483, 
2422  aclttereen volgens  de  splitsingen  40,5,  42,5,  44,7  (56  en  46,8), 
45,9.  Hierin  geeft  2483  een  qnadruplet,  de  overige  lijnen  geven 
tripletten.  Reeks  VIII:  3175  en  2483  geven  achtereenvolgens  69,7, 
(56  en  46,8)  als  splitsing,  ^^ntimoon.  Reeks  XIII:  de  lijnen  3268  en 
2574  hebben  achtereenvolgens  een  splitsing  van  40,9  en  45.  Reeks 
XIV:  3505  heeft  de  splitsing  63,7  en  2719,  51,5.  Reeks  XX : 3233, 
2653,  2478  hebben  de  splitsingen  60,0,  63,  68,7. 

Bij  de  andere  tin-  en  antimoonreeksen  heb  ik  geen,  of  slechts  één 
lijn  gesplitst  gekregen. 

Gaan  we  de  bovenstaande  resultaten  na,  dan  zien  we  dat  van  de 
reeksen,  waarbij  over  het  volgen  van  de  regels  van  Preston  te  oor- 
deelen  valt,  slechts  reeks  XIII  niet  in  strijd  is  met  deze  regels.  In 
reeks  VII  loopen  de  splitsingen  geleidelijk  op;  de  eerste  en  de  laatste 
splitsing  liggen  meer  dan  de  foutengrens  uiteen.  Bovendien  komt 
daar  midden  tusschen  de  tripletten  een  quadruplet  voor.  Ook  al 
waren,  wat  zeer  onwaarschijnlijk  is,  deze  tripletten  eigenlijk  quadru- 
pletten,  waarvan  alleen  de  middelste  component  niet  gesplitst  gezien 
werd,  dan  waren  toch  de  grootten  der  splitsingen  der  buitenste 
componenten  niet  met  elkander  in  overeenstemming.  — Het  voor- 
gaande pleit  m.  i.  niet  voor  de  uitkomsten  van  v.  Lohuyzkn,  al  blijft 
het  altijd  mogelijk  dat  er  reeksen  zijn  die  niet  aan  den  regel  van 
Preston  gehoorzamen.  Het  nut  van  de  Zeem AN-effec ten  voor  het 
onderkennen  van  spectraalreeksen  kwam  opvallend  voor  den  dag 
toen  Rünge  en  Paschen  in  de  spectra  van  Mg,  Ca,  Sr,  Ba  dubbel- 
lijnen  vonden,  die  in  het  magnetische  veld  op  dezelfde  wijze  ver- 
anderd werden  als  dubbellijnen  in  hoofd-  en  nevenreeksen  in  de 
spectra  der  alkalimetalen,  terwijl  ook  bij  sommige  dubbellijnen  uit 
het  Ra-spectrum  soortgelijke  uitkomsten  werden  gevonden.  De  ver- 
wachtingen, die  in  1902  en  1904  aan  de  genoemde  onderzoekingen 
werden  vastgeknoopt,  wat  het  vinden  van  i’eeksen  betreft,  worden 
dus,  wat  de  door  mij  onderzochte  metalen  betreft,  niet  vervuld. 

Verder  heb  ik  zelf  nog  getracht,  regelmatigheden  te  vinden.  Hierbij 
en  bij  het  voorgaande  heb  ik  gebruik  gemaakt  van  een  grafische 
voorstelling,  die  mij  gemakkelijk  leek.  Daartoe  heb  ik  in  elk  element 
de  splitsingen  volgens  grootte  gerangschikt  en  ze  toen  op  schaal 
vertikaal  onder  elkander  geteekend,  zooals  men  dat  gewoonlijk  doet, 
wanneer  men  splitsingen  onderling  wil  vergelijken.  Daar  twee  opeen- 
volgende splitsingen  over  het  algemeen  slechts  weinig  in  grootte 
verschillen,  ontstaat  zoo  een  kromme.  Een  vertikaal  gedeelte  beteekent 


177 


een  aantal  gelijke  splitsingen.  Teekent  men  de  bijbehoorende  lijnen 


Grafische  voorstelling  der  splitsingen. 

Laad. 


b_ 

L 

1 

i656 

1386 

■ 

Z9/V 

1113 

1 

- 

iU9 

10Z0 

■ 

«186 

Z80Z 

■ 

3283 

1168 

1 

3801 

26131 

1 

1811 

1609 

■ 

Z¥Z9 

2611 

1 

119¥ 

3612 

1 

IHZZ 

Z873 

1 

1 

1189 

1018 

1 

1 1 

Z368 

3613 

1 

1 

3262 

2813 

1 

3033 

3110 

1 

Z8t« 

2611 

■ 

1 

335Z 

1 

IIHJ 

3610 

1 

«SZi 

2663 

■ 

3112 

106Z 

■ 

■ 

t196 

3683 

1 

zm 

2116 

■ 

zm 

2698 

■1 

itez 

1113 

1 

1 

3331 

A 

■ 

zm 

■ 

Z661 

■ 

ZS1Z 

1031 

■ 

ZS63 

3Z6S 

1 

3009 

2111 

1 

1 

Z810 

2116 

1 

1 

3/11 

1361 

1 

1 

zm 

21/9 

1 

1 

3031 

2398 

Z31S 

3118 

1618 

Sl$i 

iBisjnuLh. 

212$ 

2612 

Z683 

m 

3193 

3211 

1 

3391 

261/ 

1 

1 

3S96 

2633 

1 

1 

Z6ZS 

3101 

1 

3011 

3030 

Z993 

zm 

■ 

Z898 

3683 

■ 

im 

3638 

■ 

* iQZi 

11/9 

■ 

Z938 

3U3 

■ 

1 

ilzs 

2121 

1 

1 

Z989 

23/1 

3068 

1818 

3111 

3383 

*■ 

I 

I 

■ 


aan. 


■■ 


naast  de  splitsingsfiguur  aan,  dan  heeft  men  zoo  direkt  een  overzicht 
over  de  lijnen,  die  mogelijk  tot  een  reeks  behooren.  Zie  de  grafische 
voorstelling. 

Hierin  staan  de  splitsingsfignren  slechts  voor  de  helft  opgenomen, 
wat  niet  hindert,  daar  ze  toch  symmetrisch  zijn.  De  componenten 
zijn  niet  door  enkele  lijntjes  aangegeven ; ik  heb  het  heele  gebied, 
waar  ze  zich  volgens  de  waarschijnlijke  fout  kunnen  bevinden,  zwart 
gemaakt.  De  vertikale  lijnen,  die  in  de  figuur  geteekend  zijn,  staan 
op  afstanden  = de  halve  normale  splitsing.  Een  hellend  recht 

12 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A^.  1919/20. 


178 


gedeelte  der  kromme  beteekent  dat  tnsschen  twee  bepaalde  grootten 
de  splitsingen  regelmatig  verdeeld  zijn.  Ging  ik  dit  na  voor  de 
splitsingen  bij  de  vier  door  mij  onderzochte  elementen,  dan  kreeg 
ik  vier  krommen,  elk  bestaande  voor  het  grootste  gedeelte  uit  een 
recht  hellend  stuk,  wat  dus  beteekent,  dat  bij  elk  der  elementen 
haast  alle  splitsingen  over  een  bepaald  gebied  vrijwel  regelmatig 
verdeeld  zijn.  Bij  tin  liggen  de  meeste  splitsingen  op  deze  wijze  tus- 
schen  40  en  70,  bij  lood  tusschen  45  en  70,  antimoon  heeft  een 
reeks  splitsingen  tusschen  60  en  65,  en  verder  eenige  in  de  buurt 
van  70,  van  bisinuth  bestaan  wel  wat  weinig  jesultaten,  maar  deze 
liggen  toch  tamelijk  regelmatig  tusschen  45  en  70. 

Een  duidelijk  vertikaal  gedeelte,  dus  verscheidene  gelijke  split- 
singen, komt  niet  voor.  Veel  resultaat  bij  het  zoeken  naar  reeksen 
met  behulp  \’an  gelijke  splitsingen  verkrijg  ik  dus  door  deze  krom- 
men niet.  Ik  heb  het  ook  beproefd  bij  tin,  en  bij  antimoonlijnen, 
die  een  splitsing  hadden  tusschen  60  en  65,  maar  evenmin  met  resultaat. 

Ook  ging  ik  nog  na  of  er  eenvoudige  betrekkingen  bestonden 
tusschen  de  afstanden  der  componenten  bij  meer  dan  drie-voudige 
splitsingen,  die  nogal  zuiver  gemeten  waren  (gewicht  3 of  4).  Bij 
Sb  3740,  Sb  2671  en  Sb  2878  vond  ik  geen  eenvoudige  verhoudin- 
gen. Bij  Sn  3331  verhouden  zich  de  afstanden  der  componenten  als 
3:  2,  wanneer  men  er  de  waarden  59,3  en  39,5  voor  neemt,  die 
binnen  de  foutengrens  liggen.  Bij  Pb  2802  is  de  verhouding  ook 
3:  2 met  de  waai-den  49,1:  32,7.  Pb  2873  geeft  54,7:41,0  = 4:3. 
Sb  3723  geeft  72,6:  36,3  = 2:  1.  Eenig  onderling  verband  of  een 
eenvoudige  betrekking  tot  de  normale  splitsing  bestaat  echter  niet. 

In  het  kort  kunnen  dus  de  resultaten  als  volgt  samengevat  worden  : 

Van  35  tin-,  23  lood-,  27  antimoon-  en  16  bismuthlijnen  werd 
het  Zeeman-effect  gemeteri.  Hierbij  doen  zich  afwijkingen  voor  van 
de,  op  slechts  enkele  lijnen  betrekking  hebbende,  uitkomsten  van 
PüRVis,  naar' ik  vermoed  tengevolge  van  minder  zuivere  metingen 
van  hem.  Verband  tusschen  de  splitsingen  van  die  lijnen  der  onder- 
zochte metalen,  waarvoor  voorgesteld  werd  ze  in  reeksen  op  te  nemen 
of  die  volgens  de  wetten  van  de  2e  soort  van  Kayser  en  Rünge 
gerangschikt  zijn,  werd  niet  gevonden.  De  splitsingen  liggen  vrij 
regelmatig  verdeeld  tusschen  waarden,  die  ongeveer  1 en  1,5  maal 
die  van  de  normale  splitsing  bedragen.  Als  incidenteele  uitkomst 
vind  ik,  dat  een  aantal  door  Schippers  voor  antimoon  opgegeven 
lijnen  niet  reëel  is. 


179 


6.  l^abellen. 


Tin. 


A 

2 d A (H  = 

= 34930) 

(d  A : A2  H).  10<4 

OPMERKINGEN. 

trilling 
± kr.  11. 

trilling 
//  kr.  11. 

-eigen 

waarnemingen 

waarng. 
dA 
A*  ' 

Purvis 

3,04 

2 d A 

g 

2 d A 

g 

trilling 
± kr.  11. 

trilling 

II  kr.  11. 

trilling 
± kr.  11. 

trilling 
//  kr.  11. 

2335 

0.322 

3 

0 

84.6 

0 

2422 

0.188 

3 

0 

45.9 

0 

2429 

0.18 

2 

0 

43 

0 

2483 

0.24 

2 

0.202 

3 

56 

46.8 

2496 

0.242 

3 

0.14 

0 

55.7 

32 

2547 

0.227 

3 

0 

50.2 

0 

2572 

0.291 

3 

0 

63.1 

0 

2594 

0.210 

3 

0 

44.7 

0 

2661 

0.297 

3 

0 

59.9 

0 

2707 

0.357 

3 

0 

69.9 

0 

72.2 

0 

2780 

0.322 

3 

0 

59.7 

0 

2785 

0.304 

3 

0 

56.1 

0 

2813 

gesplitst 

0 

gesplitst 

0 

De  splitsing  is  on- 

2814 

0.270 

3 

0 

48.9 

0 

geveer  zoo  groot 

2840 

0.385 

3 

0 

68.5 

0 

66.1 

0 

als  die  van  2814 

2851 

0.241 

3 

0 

42.5 

0 

42.6 

0 

2863 

0.372 

3 

0 

65.0 

0 

64.5 

0 

2914 

0.21 

2 

0 

35 

0 

3009 

0.429 

4 

0 

67.9 

0 

66.1 

0 

3033 

0.313 

3 

0 

48.7 

0 

3034 

0.463 

3 

0 

72.1 

0 

70.5 

0 

3142 

0.368 

3 

0 

53.2 

0 

3175 

0.490 

3 

0 

69.7 

0 

70.4 

0 

3219 

0.261 

3 

0 

36.1 

0 

3262 

0.357 

3 

0 

48.2 

0 

49.5 

0 

3283 

0.30 

1 

0 

40 

0 

3331 

0.462 

4 

0.302 

3 

59.6 

39.1 

58.8 

40.0 

3352 

0.39 

2 

0 

49 

0 

3656 

0.276 

3 

0 

29.6 

0 

3801 

0.409 

4 

0 

40.5 

0 

40.0 

0 

4525 

0.725 

3 

0 

50.6 

0 

53.6 

0 

4586 

0.59 

2 

0 

40 

0 

4618 

1.316 

3 

0 

88.5 

0 

5563 

gesplitst 

0 

gesplitst 

0 

5589 

1.02 

2 

0 

47 

0 

12* 


180 


Lood. 


2d  A(H: 

= 32810) 

(d  A:  A2H).  10'4 

A 

trilling 

trilling 

eigen 

waarng. 
d A 

Purvis 

3.11 

OPMERKINGEN. 

± kr. 

11. 

//  kr.  11. 

waarnemingen 

A2  ■ 

2d  A 

g 

2d  A 

g 

trilling 

trilling 

trilling 

trilling 

X kr.  11. 

//kr.  11. 

Xkr.  11. 

II  kr.  11. 

2476 

0.294 

3 

0 

73.2 

0 

2577 

0.277 

3 

0 

63.6 

0 

2613.7 

0.23 

1 

0.13 

1 

51 

o 

CO 

j 

j.  componenten;  hier 
staan  waarschijnlijk  4 

2614 

0.24 

2 

0.21 

2 

53 

46 

lij  ntjes,  2 sterke, waar- 
naast 2 zwakke;  de  2 

middelste  vallenhaast 

2663 

0.308 

3 

0 

66.1 

0 

samen.Waarschijnlijk 

hoorende2zwakkebij 

2613.7,  de  2 sterke  bij 

2698 

0.414 

3 

0 

87.0 

0 

2614.  De  afstand  mid- 
den zwakke  op  mid- 

2713') 

0.426 

3 

0 

88.7 

0 

den  sterke=0.45A.E., 
de  afstand  volgens  de 
tabel  van  Klein  tus- 

2802 

0.173 

48.3 

33.5 

0.249 

3 

3 

46.4 

0 

schen 2613,7  en  2614  — 

O 

0.52  A.E  ,wat  overeen- 

2823 

0.318 

3 

0 

60.6 

0 

41.5 

0 

komt  met  hetgeen  ik 
op  de  opname  zonder 

2833 

0.34 

2 

0.19 

2 

64 

36 

63.0 

0 

veld  meet.  De  over- 
eenkomst 0.45  en  0.52 
is  slecht  maar  was  ook 

2873 

0.297 

0.492 

3 

0.221 

3 

54.9 

58.9 

40.8 

66.0 

31.2 

niet  beterte  verwach- 
ten bij  de  zeer  slecht 
te  meten  componen- 

3573 

3 

0 

0 

ten  van  2613.7. 

3576  2) 

62.1 

0 

//  componenten:  De 
splitsing  130  van  2613.7 

berust  slechts  op  1 

3640 

0.57 

2 

0 

66 

54.2 

0 

66.0 

0 

enkele,  zeer  onnauw- 
keurige meting;  de 
afstand  van  midden 

3672 

0.481 

3 

0 

0 

57.0 

0 

op  midden  bedroeg 
0.49  X.E. 

3683 

0.609 

3 

0 

68.3 

0 

69.2 

0 

3740 

0.576 

4 

0.208 

3 

62.8 

22.6 

64.4 

30.6 

4020 

0.501 

3 

0 

47.3 

0 

4058 

0.646 

3 

0 

57.8 

0 

57.6 

0 

4062 

0.729 

4 

0 

67.3 

0 

68.2 

0 

4168 

0.57 

2 

0.468 

3 

50 

40.8 

4245 

0.537 

3 

0 

45.3 

0 

42.2 

0 

4386 

0.543 

3 

0 

43.0 

0 

37.0 

0 

5609 

1.706 

3 

0 

52.0 

0 

0 boeglijn. 

2)  moet. dit  misschien  3573  zijn? 


A 

2311 

2446 

2478 

2529 

2574 

2598 

2612 

2617 

2653 

2669 

2671 

2683 

2719 

2727 

2770 

2851 

2878 

3030 

3233 

3248 

3268 

3274 

3383 

3505 

3638 

3383 

3723 

4034 

4195 

4219 

4352 


181 


Antimoon. 


2d  A(H 

= 26290) 

(d  A;  A^H).  10'4 

OPMERKINGEN. 

trilling 
j.  kr.  11. 

trilling 
//  kr.  11. 

eigen 

waarnemingen 

waarng.  Purvis 

on. 

2d  ; 

g 

2dA 

g 

trilling 
± kr.  11. 

trilling 
//  kr.  11. 

trilling 
± kr.  11. 

trilling 
II  kr.  11. 

0.23 

2 

0 

81 

0 

0.152 

3 

0 

48.7 

0 

0.220 

3 

0 

68.7 

0 

0.20 

2 

0 

60 

0 

55.2 

0 

0.15 

2 

0 

45 

0 

0.19 

2 

0 

54 

0 

55.5 

0 

0.217 

3 

0 

60.9 

0 

gesplitst 

0 

gesplitst 

0 

0.23 

2 

0 

63 

0 

78.4 

34.7 

Zijn  dit  misschien 

0.234 

3 

0.207 

3 

62.8 

54.5 

dezelfde? 

0.229 

3 

0 

60.9 

0 

0.199 

3 

0 

51.5 

0 

0.21 

0 

0 

73 

0 

41.8 

0 

gesplitst 

0 

gesplitst 

0 

0.367  en  0 

3 

0.160 

3 

+84.8en0 

36.9 

+ 77.0en0 

36.4 

3 j.en  2//compo- 

0.310 

4 

0 

64.8 

0 

68.7 

0 

nenten. 

0.327 

4 

0 

60.0 

0 

60.7 

0 

0.309 

3 

0 

56.2 

0 

0.233 

3 

0 

40.9 

0 

0.35 

2 

0.19 

2 

62 

34 

0.571 

3 

0 

95.5 

0 

0.408 

3 

0 

63.7 

0 

0.484 

3 

0.19 

2 

70.2 

27 

73.2 

34.4 

0.496 

3 

0 

70.2 

0 

0.523 

4 

0.273 

3 

72.3 

37.8 

76.7 

35.0 

0.28 

2 

0 

33 

0 

gesplitst 

0 

gesplitst 

0 

0.65 

0 

0 

71 

0 

0.496 

3 

0 

50.0 

0 

182 


Bismuth. 


2dA(H 

= 26290) 

(dA:A2  H).  10'4 

A 

trilling 

trilling 

eigen 

waarng.  Purvis 

011 

OPMERKINGEN. 

j.  kr.  11. 

//  kr.  11. 

waarnemingen 

^^3.11 

2d  A 

g 

2d  A 

g 

trilling 

trilling 

trilling 

trilling 

± kr.  11. 

//  kr.  11. 

1 kr.  11, 

//  kr.  11. 

2628 

0.175 

0 

0 

48 

0 

2898 

0.247 

3 

0 

56.0 

0 

56.6 

0 

2938 

0.286 

3 

0 

63.2 

0 

59.2 

0 

2989 

0.314 

3 

0.124 

2 

66.7 

26 

64.0 

26.4 

2993 

0.260 

3 

0 

55.3 

0 

51.8 

0 

3025 

0.292 

3 

gesplitst? 

60.7 

gesplitst  ? 

59.2 

21.5 

p figuur:  ik  vind  de  lijn, 
meen  ik,  verbreed,  op  één 

3068 

0.346 

3 

0 

69.8 

0 

plaatje  misschien  ge- 
splitst. Waarschijnlijk  is 

de  opgave  van  Purvis 

3077 

0.242 

3 

0 

48.7 

0 

juist  en  was  de  splitsing 
bij  dit  veld  voor  deze  lijn. 

te  klein  om  gescheiden 

3397 

0.241 

3 

0 

39.8 

0 

41.5 

0 

gezien  te  worden. 

3511 

0.461 

3 

0 

71.1 

0 

3596 

0.321 

3 

0 

47.2 

0 

47.6 

0 

3793 

0.285 

2 

0 

38 

0 

(4122 

—0.30,0, 
+ 0.34  ') 

2 

— 0.32,  0, 
+ 0.31 

1 

— 33,0,  + 38 

—35,0, +34  j 

72.3 

0 

H = 26290  Gausz;  zelf- 
inductie  0.1  millihenry. 

>4122 

—0.28,  0, 
+ 0.31  2) 

2 

te  zwak 

— 31,0, + 35 

te  zwak  1 

H :=  30500  Gausz;  zelf- 
inductie  0.8  millihenry. 

4260 

-0.47,  0, 
+ 0.48  3) 

2 

0.47 

2 

— 49,0,  + 50 

49 

Is  waarschijnlijk  een  triplet 
van  een  omgekeerde  lijn, 

4723 

0.75  en' 
0.35 

70.1  en  29.6 

20.9 

zoodat  de  werkelijke  split- 

2 

0.21 

2 

64  en  30 

18 

sing  ongeveer  is  0.50. 

5145 

0.83 

0 

0 

60 

0 

- 

')  De  meest  roode  component  is  iets  sterker  dan  de  beide  andere,  die  even  sterk 
zijn.  Ze  zijn  even  scherp. 

2)  De  2 buitenste  componenten  zijn  zoowat  even  sterk  en  scherp,  de  middelste 
is  zwakker  en  zeer  vaag. 

3)  De  middelste  component  is  het  sterkst.  De  meest  violette  component  is  zwakker 
dan  de  meest  roode.  Slechts  door  aankrassen  met  een  naald  heb  ik  die  violette 
component  kunnen  meten. 


Hatuur kunde.  — De  Heer  Lorentz  biedt  eene  mededeeling  aan 
van  de  Heeren  L.  S.  Ornstein  en  H.  C.  Burger  : ,, Frequentie- 
toetten  voor  continu  veranderlijke  grootheden” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Julius). 

Ten  einde  eenige  waarschijnlijkheidsgrootheden  te  definieeren  en 
hunne  eigenschappen  te  onderzoeken,  denken  wij  ons  een  kromme 
y—f{x)  gegeven.  De  kromme  stelt  een  éénwaardige  continue  functie 
voor,  die  de  eigenschap  bezit,  dat  in  een  zeer-  klein  inter\-al  van  de 
abscis  reeds  alle  waarden  van  het  differentiaal  quotiënt  met  groote 
talrijkheid  voorkomen  ; hetzelfde  kan  — doch  behoeft  niet  — omtrent  de 
waarden  van  de  ordinaat  ondersteld  te  worden.  Wanneer  men  den 
weg,  die  een  deeltje  bij  de  Brownsche  beweging  in  de  ^--richting 
aflegt,  als  functie  van  den  tijd  graphisch  voorstelt,  krijgt  men  een 
kromme  als  de  boven  beschrevene.  De  beschouwingen  die  wij  hier- 
onder ontwikkelen  .zijn  dus  op  de  Brownsche  beweging  toe  te 
passen.^) 

Wij  vragen  nu  naar  de  kans,  dat  de  waarde  van  ordinaat  y in 
een  interval  A van  den  abscis  aan  het  punt  x gelegen,  tusschen  y en 
y dy  ligt.  Wij  stellen  deze  kans  door  W {y,  x,  A)  dy  voor.  Zij  kan 
als  volgt  gedefinieerd  worden:  wij  kiezen  een  element  A in  de  omge- 
ving van  X en  gaan  de  lengte  na  der  projecties  op  de  .«-as  van  de 
stukken  der  kromme,  waarvoor  de  ordinaat  tusschen  y en  y -j-  dy 
ligt.  De  som  van  deze  projecties  gedeeld  door  A is  dan  de  gezochte 
waarschijnlijkheid.  Gelijk  men  gemakkelijk  inziet,  voert  een  andere 
definitie  tot  dezelfde  waarde  voor  de  kans.  Kies  daartoe  op  toeval- 
lige wijze  een  punt  op  de  kromme  in  het  interval  A,  en  wel  zoo 
dat  evenlange  intervallen  van  de  abscis  x even  waarschijnlijk  zijn. 
De  kans  dat  de  ordinaat  van  het  gekozen  punt  tusschen  y en  y -|-  dy 
ligt,  bedraagt  dan  W {y,  x,  A)  dy.  De  kromme  moet  nu  aan  de  voor- 
waarde voldoen  dat  een  zoodanige  waarde  van  A kan  worden  aan- 
gegeven, dat  W {y  X A)  niet  verandert  als  A met  een  bedrag  van  de 
orde  A toe-  of  afneemt. 

We  zullen  ons  in  het  volgende  beperken  tot  gevallen,  waarin  de 
waarschijnlijkheid  W(y,x)  niet  van  x afhangt;  voor  deze  gevallen 


’)  Met  een  beperking  intusschen,  waarover  hieronder  nader  gesproken  zal  worden- 


184 


die  wij  stationaire  kunnen  noemen,  zullen  wij  de  waarschijnlijkheid 
W iy)  dy  voorstellen. 

Bij  de  Brown’sche  beweging  van  een  vrij  emulsie  deeltje,  waar 
het  gemiddelde  quadraat  van  den  weg  evenredig  met  den  tijd  toeneemt, 
hebben  wij  niet  met  een  stationair  geval  te  doeti,  wel  echter  indien 
het  deeltje  door  krachten  aan  een  nulstand  gebonden  is. 


Een  tweede  functie,  die  wij  beschouwen  zullen,  definieeren  wij 
als  volgt:  Zoek  op  een  interval  A van  de  kromme  de  punten  uit 
waar  de  ordinaat  bedraagt,  ga  vanaf  al  deze  punten  in  de 
positieve  abscis  richting  over  een  afstand  s verder,  gevraagd  de  kans 
dat  de  ordinaat  in  het  bereikte  punt  tusschen  y en  y 
Hebben  wij  met  het  stationaire  geval  te  doen,  dan  is  de  freqnentie- 
wet  onafhankelijk  van  x en  kunnen  wij  deze  wet  voorstellen  door 
W (y„  y,  §)  dy.  ') 

Uit  de  definitie  dei'  functies  W [y]  en  W{y^,y,^)  volgt,  dat  zij 
voldoen  aan  de  identiteiten 


ƒ 


W (y)  dy  =1  en 


jw 


(2/o’y.  §)  dy  = l, 


. . (1) 


waarbij  de  integratie  over  het  geheele  bereik  der  mogelijke  waarden 
van  y moet  worden  uitgestrekt.  Hiervoor  kan  steeds  — go  tot  oo 
gekozen  worden. 

Tusschen  de  functies  W (y)  en  W (y„,  y,  §)  bestaat  een  verband, 
dat  gemakkelijk  kan  worden  aangegeven.  Men  heeft  n.1.  volgens 
hunne  beteekenis 


^ ~S ^ ê)  (2) 

De  integratie  moet  weder  over  het  geheele  bereik  van  de  ordinaat 
worden  uitgestrekt,  terwijl  § een  willekeurige  waarde  mag  bezitten. 


Terwijl  de  integraalvergelijking  (2)  zonder  beperking  geldt,  bestaat 
er  voor  W {y„,  y,  i)  een  integraalvergelijking,  die  echter  slechts  be- 
perkte geldigheid  bezit.  Denken  wij  ons  een  interval  gesplitst  in 
twee  intervallen  en  i'i  dan  zal  volgens  de  beteekenis  der  functie 
W (y,  y §)  de  vergelijking 

^ (2/0.  y,  S,)  =j  w iy»,  Vx  §1)  ivx,  y»  ê\)  dy,  . . . (3) 

gelden,  mits  de  kans  dat  y,  na  een  interval  op  y,  volgt,  onaf- 

b Evenals  bij  het  in  deze  Versl.  Deel  XVll,  1919,  p.  .1146  beschouwde  discrete 
probleem  zijn  nog  andere  kansfuncties  op  te  stellen,  ook  hier  zullen  wij  ons  tot 
de  beide  functies  W (y)  en  W (y,,,  y,  §)  beperken. 


185 


hankelijk  is  van  het  feit  dat  wij  weten  dat  een  interval  tevoren 
door  is  voorafgegaan. 

In  den  regel  zal  dit  bij  willekeurige  keuze  van  Si  idet  het  geval 
zijn;  wij  kunnen  dit  zoo  uitdrukken;  de  integraalvergelijking  (3)  zal 
gelden,  indien  een  interval  zoodanig  gekozen  kan  worden  dat  van 
de  correlatie  der  y waarden  aan  het  begin-  en  eindpunt  van  het 
interval  kan  worden  afgezien.  Hoe  sneller  het  ditferentiaalquotient 
der  kromme  wisselt,  voor  des  te  kleiner  intervallen  zal  de  integraal- 
vergelijking gelden.  *) 

Het  verdient  opmerking,  dat  de  integraalvergelijkingen  (2)  en  (3) 
groote  overeenkomst  met  de  beide  som  vergelijkingen  vertonnen 
waaraan  de  analoge  kansen  voor  getallenreeksen  voldoen.  ”) 

Wordt  het  interval  » oneindig  groot  genomen,  dan  kan  men  nagaan 
waartoe  W{y^,y,i)  nadert.  Het  ligt  voor  de  hand  te  onderstellen 
dat  deze  grootheid  niet  van  afhangt.  Voert  men  deze  onderstelling 
in,  dan  volgt  uit  (2)  dat  W (y,,  y,  oc)  tot  W {y^  nadert. 

Het  is  niet  moeielijk  een  voorbeeld  te  construeeren  van  een  functie 
W {y^,  y,  i),  die  ten  eerste  voor  ^ = 0 alleen  bij  y = y^  een  van  nul 
verschillende  waarde  bezit  (een  ,,Zacke”  vertoont);  die  ten  tweede 
onafhankelijk  van  % een  W (y)  levert,  die  ten  derde  voor  g = oo  in 
deze  W iy)  overgaat  en  die  tenslotte  niet  aan  de  integraalvergelijking 
voldoet. 

Een  dergelijke  functie  is  bijv.: 


^ {y,  y^)  = 


(■V-yo'KO 

. ƒ(?} 


waarin  ƒ en  il?  functies  van  | zijn.  Integreert  men  naar  y van  — oo 
tot  00,  zoo  verkrijgt  men  gelijk  behooi  t één.  Opdat  aan  (2)  vol- 
daan is,  is  het  noodig  dat  ƒ(§)-{- (0  = 1.  Verder  moet  ƒ (0)  = 0, 
ƒ ( oo)  = 1 en  dus  if?  (0)  = 1 en  ( oo)  = 0 zijn. 

De  functie  voldoet  aan  de  integraalvergelijking  wanneer  wij 
ip(£)  = nemen,  waarbij  een  willekeurige  positieve  constante  is.  ’) 
Wij  zullen  nu  uit  de  integraalvergelijking  voor  W(y^,y^)  een 
differentiaalvergelijking  afleiden.  Dit  zal  mogelijk  zijn  als  wij  omtrent 
W (y,  y §)  voor  § = 0 de  onderstelling  mogen  invoeren,  dat  het  gebied 
der  waarden  van  y^ — y^,  waarvoor  W (y,,  y^  $)  van  nul  verschilt,  met  § 
tot  nul  nadert.  Of  scherper,  dat  er  als 

§ < « 

b Bij  vele  in  de  natuur  voorkomende  gevallen  is  aan  deze  voorwaarde  bij 
benadering  reeds  voor  kleine  (tijds)intervallen  voldaan. 

b Vergelijk  onze  mededeeling  deze  Versl.  Deel  XVll,  1919,  p.  1146. 
b Zij  gaat  dan  over  in  een  functie  die  door  Smoluchowski  bij  de  theorie  der 
Brownsche  beweging  is  beschouwd. 


186 


steeds  een  waarde  | y — | is  aan  te  geven  zoodanig  dat 

W (y,,  ï/i,  %)  f"  waarbij  f,  e',  f"  kleiner  genomen  kunnen  worden  dan 
elk  denkbaar  getal. 

Aan  deze  voorwaarden  zal  voldaan  zijn  wanneer  y een  continue 
functie  van  x is.  De  functie  W bezit  dan  voor  § = 0 een 

zgn.  Zacke. 

Wij  gebruiken  nu  de  integraalvergelijking  in  den  vorm 
^ (.Vo*  + §.)  =J' ^ (y.'  .Vi  ?i)  ^ (2/it  S,)  dy. 


en  onderstellen  dat  een  zeer  kleine  grootheid  is.  Dan  heeft 
W (Yj  y^  §3)  slechts  dan  van  nul  verschillende  waarden  alsy, — y^  klein 
is.  Daarom  voeren  wij  nu  in  y^  = y,  -j-  y en  ontwikkelen  in  het 
eerste  lid  naar  en  in  het  tweede  lid  de  functie  W {y^,  y^  -j-  y^  §,) 
naar  y. 

Het  tweede  lid  neemt  dan  den  vorm  aan  : 

^W{y,.y,.l,) 


-r 


+ dr]  + 


-+■  h 


'fj’  ^ (2/,  + ë,)  dri  + 


Wij  zullen  nu  tot  nul  laten  naderen,  hieronder  zullen  wij 
aantoonen  dat  dan  de  ontwikkeling  van  het  tweede  lid  na  den  derden 
term  kan  worden  afgebroken. 

Voert  men  nu  in 

IWiy^  + T],  y„§,)d7]—l 

; =fi  iVi) 


Lim 

h=0 


Lim 

f5=0 


jriWiy^-^  7],  ^,)  djj 


en 


Lim  ^ 

f5=0 


hh^idi  -\-v,y„  §,)d7i 


=A  (Vj) 


=fAy-,)‘ 


dan  verkrijgt  men  voor  de partieele differentiaalvergelijking: 

ö IV  dW  d^W 

+ w 

Tusschen  de  coëfficiënten  en  bestaat  een  betrekking.  Men 

kan  deze  bijv.  afleiden  door  naar  y,  over  het  bereik  der  mogelijke 

waarden  van  y te  integreeren.  Daar  = 1 is  verkrijgt 

partieele  integratie 


men  na 


ƒ 


W{y,,y,^)dy,  = 0, 


187 


waarbij  de  accenten  differentiaties  naar  aanduiden.  Laat  men 
hierin  nu  § tot  nul  naderen,  dan  komt  er,  daar  W t/,,  5)  voor  § ~ 0 


alleen  voor  y — y^  van  nul  verschilt  enj  W y^  §)  dy^  — 1 is, 

f /i  ^ 0 voor  y,  = y,. 

Daar  y,  willekeurig  gekozen  kan  worden,  geldt  de  betrekking 
identiek. 

Maakt  men  van  deze  betrekking  gebruik,  dan  neemt  de  differentiaal- 
vergelijking den  vorm 


^W{y^  y,  S) 


ö ^W{y„y,§) 


dy 


d£  dy 

aan.  Waarvoor  men  ook  schrijven  kan 
g)  d/  dlV{y^,y,i 


+ (/WV)  W{y,,y,l)]  . . (5) 


dy 


dy 


4- F,  W{y,,y,l)  . 


(Sa) 


Hierin  kunnen  en  willekeurige  functies  van  y zijn,  f/ie  y, 
als  parameter  bevatten.  De  aard  van  de  „Zacke”  bepaalt  voor  elk 
bijzonder  geval  den  vorm  van  de  functies  F^  en  F^. 

Wij  moeten  nu  nog  aantoonen  dat  de  ontwikkeling  van  p.  286  kan 
worden  afgebroken  bij  het  diff.  quotiënt  van  de  2e  orde.  Hiertoe 
is  het  noodig  aan  te  toonen  dat 

[ 7iP  W {y  -f  rj,  y,  §)  dy 

Lim = 0 

f=o  § 

als  p ^ 2,  terwijl  gegeven  is  dat  voor  p = 2 de  limiet  eindig  is. 

Wanneer  § tot  nul  nadert,  zal  het  gebied  dei'  waarden  voor  yj 
waarvoor  W {y  -j-  y,  y,  \'an  nul  verschilt,  steeds  kleiner  worden. 
Dientengevolge  zal  de  grootste  waarde  van  y die  iets  bijdraagt  tot 
de  integraal,  tot  een  willekeurig  kleine  waarde  convergeeren  als  § 
tot  nul  nadert.  Het  gevolg  is  dat 

—J'  |t^|p  W {y  -f  7J,  y,  l)  W {y  + v„  y,  §}  dy 

zal  zijn  als  § kleiner  is  dan  een  willekeurig  klein  gekozen  grootheid. 

Is  dus  voor  p=2  de  integraal  gedeeld  door  § eindig,  dan  zal,  als 
I tot  nul  nadert,  voor  p 2 de  integraal  tot  nul  naderen. 

Daarentegen  kan  W {y  y,  y,5)  dy  voor  g = 0 tot  een  eindige 

limiet  naderen,  daar  in  deze  integraal  positieve  en  negatieve  stukken 
elkaar  kunnen  opheffen.  In  elk  bijzonder  geval  moet  echter  ge- 
verifieerd worden  of  /,  en  eindig  zijn. 


üit  de  integraal-vergelijking  (2)  voor  W {y)  is  ook  een  differentiaal- 


188 


vergelijking  af  te  leiden.  Wij  kunnen  in  deze  vergelijking  5 tot  nul 
laten  naderen,  en  wanneer  dan  JV {j/a,  'è)  voor  § een  Zacke  bezit 
kunnen  wij  in  (2)  door  y '-\- vervangen.  Wij  krijgen  dan 


W (v)  =J'^  (.y + ’j)  ^ (y  t V^y  S)  di]  = (vy)J' y,  dtj  + 


dw  r 


rjW(y-\-rj,  y,  ^)dTj  i 


d^fv  r 


Tj’  W (y-j-'t],  y,  %)  dl] 


Voeren  wij  nu  weder  de  functies  /^,  die  van  y afhangen, 

in,  dan  vinden  wij  voor  W (y)  de  differentiaal-vergelijking 


d’  fV  dW 



Deze  differentiaal-vergelijking  geldt  ook,  als  tengevolge  van  de 
correlatie  de  vergelijking  (5)  niet  geldt.  Laat  tnen  § oneindig  worden 
dan  zal  voor  W (y„  y §),  voor  de  gevallen  waarin  de  differentiaal- 
vergelijking (5)  geldt,  uit  deze  vergelijking  een  vergelijking  voor 
W{yayo:)  d.  i.  voor  W {y)  ontstaan,  die  denzelfden  vorm  als  (6)  bezit. 


Als  voorbeelden  van  problemen  waarvoor  een  waarschijnlijkheids- 
functie  door  een  vergelijking  van  den  vorm  (6)  bepaald  wordt,  zullen 
wij  eenige  vraagstukken  beschouwen,  verwant  met  die  welke  in  onze 
medededeeling  over  de  statistiek  van  getallenreeksen  beschouwd  werden. 

Wij  hebben  in  die  rnededeeling  p.  1152  een  vraagstuk  behandeld 
dat  groote  overeenkomst  met  het  vraagstuk  van  de  statistiek  der 
emulsies  — door  Smoluchowski  opgelost  — vertoont.  Wij  beschouwden 
een  groep  deeltjes,  de  kans  dat  een  deeltje  uil  deze  groep  verdwijnt 
werd  P gesteld,  terwijl  de  kans  dat  een  deeltje  in  de  groep  treedt 
zoo  gekozen  werd,  dat  de  groep  gemiddeld  stationair  was.  Dit  proces 
kan  nu  telkens  na  een  interval  r herhaald  worden.  Voor  de  kans 
dat  dan  na  k 1 intervallen  een  aantal  n-y  door  een  aantal  gevolgd 
wordt,  vonden  wij  de  som  betrekking 

W = 2 W k)  ...  (7) 

waarbij 

als  »,  >ê 
en 

W (S,  1)  rz.  «-V/*  als  n,  < 

(§  — a,).^  nj 

Hierin  is  v het  gemiddelde  aantal  deeltjes  in  het  interval.  Wij  laten 
nu  het  interval  t tot  nul  naderen  en  de  kans  P eveneens  tot  nul. 
Om  dan  een  eindige  uitkomst  te  verkrijgen,  moeten  wij  v tot  on- 


189 


eindig  en  rP  tot  nnl  laten  naderen.  De  grootheid  gaat 

dan  toch  over  tot  een  uitdrukking,  die  alleen  dan  van  nul  verschil- 
lende waarden  bezit,  als  | is. 

Op  deze  wijze  vinden  wij  in  de  grens 

tr(n3,  1)  = e— ^("■2+''')  , PF(n,-fl,  n,,  1)  = « -<^«2+'')^ 

en 

W (jij — 1,  1)  = vPe— (”2+'' — 1)^ 

Substitueert  men  dit  in  de  vergelijking  (7)  dan  verkrijgt  rnen 
W (n,  n,,  = W {n^.  n^,k')  ^(”2+’')  — 1 | + 

-(-  n,-|- 1,  0 (Wj  + l)  -f- 

-j-  Pr(Mj,7i,  — l,k)vP 

Daar  n.1.  W{n^,  n^,l)  tot  een  ,,Zacke”  nadert  is,  de  waarde  van 
deze  kans  als  \n^ — w,  | > 1 klein,  en  kan  dus  de  som  tot  de  beschouwde 
termen  beperkt  worden. 

Wanneer  het  aantal  deeltjes  groot  wordt,  kan  men  bewijzen  dat 
de  afwijking  van  n van  het  gemiddelde  v van  de  orde  van  rV2  is. 
Daarom  stellen  wij  n — v = De  grootheid  y,  die  een  maat  is 
voor  de  afwijking  van  de  concentratie  van  het  gemiddelde,  zal  van 
de  orde  van  de  eenheid  zijn  als  v tot  oneindig  nadert.  Stel  den  tijd 
kr  = X 0,  dan  kan  x eindig  blijven  als  r tot  nul  en  k tot  oneindig 
nadert.  Zij  nu  W{y^,y,x)dy  de  kans  dat  y ligt  tusschen  y en  y -j- </?/, 
als  een  tijd  te  voren  de  waarde  y^  bestond.  Deze  kans  komt  in  het 
discrete  geval  overeen  met  de  kans  dat  n,  tusschen  twee  waarden 
nj  en  ligt  die  bepaald  zijn  door  de  betrekkingen. 

Wj'  — ^ y uVi 

nd  — 1’  — (y  "k  dy)  v'A  of  — X dy  rV2, 

Dus  is 

«2 

^ yi^)  = ^ w n,  h) 

na' 

Daar  wij  onderstellen  dat  het  verschil  van  n/  en  n/  relatief 
klein  is,  verschillen  de  termen  in  de  bovenstaande  som  weinig,  dus  is ; 
^ (yo>  y>  ^’)  dy  = X W k) 

Voeren  wij  de  waarde  van  X,  en  n,  in,  dan  krijgt  men 

♦ / X 

W (y„  y,  x)  = rV2  TV  ( r -f  y,  v%  v + yv%  — 

Substitueert  men  dit  in  de  vergelijking  voor  W {n^,  n^,  x),  en  ont- 

dx 

wikkelt  men  de  functie  W naar  de  grootheden  — en  ayv  /s,  dan  vindt 

T 

men  voor  v = oo,  t = 0 en  Pr  = 0,  de  differentiaalvergelijking 


1)  De  X die  hier  gebruikt  is  vervangt  de  veranderlijke  § van  (5). 


190 


p P b\V{y^,ij,x)  P ^W{y^,y,x) 

-w^y.,,j,.)  + ^y—^ +7 

p 

De  grootheid  — moet  dus  eindig  zijn  om  een  eindige  differentiaal- 
r 

vergelijking  te  krijgen.  Voor  IF (//)  geldt  een  soortgelijke  beschouwing. 


Op  dezelfde  wijze  kan  ook  het  door  F.  en  T.  Ehhënfest  in  verband 
met  het  H theorema  gestelde  probleem  tot  een  continu  waarschijn- 
heidsvraagstuk  gemaakt  worden.  Bedienen  wij  ons  van  de  notaties 
van  de  reeds  geciteerde  ïiiededeeling,  dan  is 

TV(A„  1)  = ^ 1V(A„§,0  TFCA  A„l)  = 


= TV(A„  A,  - 2,k) 


- A,  + 
2N 


+ tV(A„  A„0 


A^+  A,  2 
2N 


of  dus 


fV(A,,  A„A  + 1)  A„/:)=  è A,  _ 2,0  + 

+ W^(A„  A,  + 2,0-2  tV(A„  A,01  + 

+ ^ [ fF(A„  A,  + 2,  0 -TV(A„  A,  - 2,  0]  + 

a /V 


+ ^ (A,,  A,  - 2,  0 + tV(A„  A,  + 2,  O.l- 

Wij  gaan  nn  weer  over  van  dit  discrete  tot  een  continu  probleem. 
Met  ]F(A,,Aj,0  moet  dan  IF(yo,  y,  .-c)  r/y  overeenstemmen,  wij  heb- 
ben dan  dat 

(/y  = ^ ^ (Aj,  A,,  0- 

A,' 


In  deze  som  kunnen  weder  alle  Tl^’s  even  groot  genomen  worden, 

A A,>-A', 

het  aantal  is  weer  A,  wij  stellen  verder  y=-^,  dus  dy  = — — = 


2A 


daar  A bij  dit  probleem  met  2 opklimt.  Op  deze  wijze  vinden  wij 


.V.  «)  = A IV  (A,  A„  0, 

/l  # 

waarbij  nog  x = kr  gesteld  is.  Voeren  wij  dit  in  de  somvergelijking 
in,  dan  gaat  deze  over  in 

2 d,IV(y„,y,  .+  , Ay  bW  (y„  y,  x)  ^ ^ 

dx  Nr  dy,  ^ At  dy  ^ Nr 

Voor  T = 0,  moet  Nt  eindig  zijn,  wil  de  differentiaalvergelijking 
eindig  zijn.  Stellen  wij  iVr  = x^,  dan  wordt  de  vergelijking 


191 


^ W (y„  y,  x)  _ ^ d^W{y^,y,  x) 
Ö.ï;  dy^ 


4 d 

+ — ^ Cvi^’Cy.-^/.  ^)) 


Voor  X = CD  wordt 


O/o’  y = 


1 - 

—=re 

2jr 


■j1 

‘^=  W {y),  d.w.z. 


heeft 


men  de  Gaussische  fouten-wet. 

Wij  merken  nog  op  dat  een  eenigszins  gewijzigd  probleem  vrij- 
wel tot  dezelfde  differentiaalvergelijking  voert. 

Wij  nemen,  evenals  in  het  probleem  van  Ehrenfest,  weder  genum- 
merde ballen,  die  over  twee  bakken  verdeeld  zijn.  Wordt  nu  bij 
een  loterij  een  nummer  getrokken,  dan  springt  de  bal,  als  hij  het- 
zelfde nummer  draagt: 

1°.  als  hij  in  vaas  één  is  naar  vaas  twee  ; 

2“.  als  hij  in  vaas  twee  is,  springt  de  bal  zelf  en  springen  nog 
twee  andere  van  een  nummer  hooger,  resp.  lager,  mede. 

Werkt  men  het  probleem  uit,  wat  de  kans  op  een  gegeven  ver- 
schil in  aantal  tusschen  de  bakken  is,  dan  is  de  eenige  wijziging  die 

ö^W{y^,y^x)  6 

te  voorschijn  komt  die,  dat  de  coëfficiënt  van thans  — 

«o 


wordt. 

Het  discrete  probleem  is  niet  langer  omkeerbaar,  daar  de  kans  om 
toe  te  nemen  anders  is  dan  die  om  af  te  nemen.  Dit  is  merkwaardig, 
daar  zal  blijken,  dat  elk  kansprobleem  waarvoor  de  differentiaal- 
vergelijking geldt,  omkeerbaar  is. 


Wij  zullen  nu  het  vraagstuk  der  omkeerbaarheid  voor  het  continue 
probleem  onderzoeken. 

Een  toevallige  functie  zullen,  wij  omkeerbaar  noemen  wanneer  de 
kans  dat  een  waarde  na  een  afstand  x door  een  waarde  y 
gevolgd  wordt,  even  groot  is  als  de  kans  dat  y een  afstand  x te 
voren  aan  y,  voorafging,  of,  met  behulp  van  W uitgedrukt 

W (y„  y,x)=W  (y,  y„  — x) (8) 

Wij  ktmnen  nu  deze  conditie  op  analoge  wijze  als  bij  het  discrete 
probleem  in  een  anderen  vorm  brengen.  Men  heeft  n.1. 


IV  (y)  dy  IV  {y,  y,  x)  dy^ 

f ^(y^  yo 


(9) 


Men  ziet  dit  gemakkelijk  in  als  men  bedenkt,  dat  W (y)  dy  de 
kans  is  dat  de.  beschouwde  kromme  bij  A het  interval  tusschen 
y en  y dy  snijdt,  W {y,  y^,  x)  dy^  de  kans  dat  de  kromme  die  van 
A uitgaat,  bij  B in  een  interval  tusschen  en  y^  -j-  dy^  komt, 


b We  hebben  ook  in  het  volgende  de  f door  x vervangen. 


192 


onverschillig  in  welk  punt  van  het  interval  dy  in  A de  kromme 
uitgaat,  daar  dy  willekeurig  klein  genomen  kan  worden. 

De  betrekking  (9)  volgt  dan,  wanneer  men  W (y,,  y,  — x)  als  een 
waarschijnlijkheid  a posteriori  berekent.  Past  men  nu  (2)  toe  dan 
gaat  (9)  over  in 

W{y,,y,x)W{y,)=W{y,y,x)W{y)  ....  (10) 

Geldt  de  vergelijking  (10)  voor  een  interval  x,  dan  kan  men  be- 
wijzen dat  zij  geldt  voor  het  interval  nx  (waarbij  n een  geheel  getal 
is)  mits  de  integraal-vergelijking  geldt.  Men  toont  dit  als  volgt  aan : 

VP  CVo)  w (,v„  y,  X 4 x')  w (;y,  y,  x')  W {y„  y,  x)  W iy,)  dy  = 

= j Wiy,y,  W(y,  y, , x)  W {y)  dy  ^ W{y)dy  ~ 

— Wiyd  W{y,,y,,x  -f  x). 

Als  (10)  geldt  voor  een  willekeurig  klein  interval,  geldt  zij  alge- 
meen voor  alle  gevallen  waarin  de  integraal-vergelijking  geldt. 
Anderzijds  kan  (10)  gelden  zonder  dat  de  integraal-vergelijking  geldt. 


Wij  kunnen  nu  aantonnen,  dat  indien  W{y^,  y^x)  aan  de  differentiaal- 
vergelijking voldoet,  aan  de  conditie  voor  de  omkeerbaarheid  is  voldaan. 

Wij  beschouwen  daartoe  de  functies  IPj  W{y^,y,&)  en  W' = 
= Wiy^,  y,  X — lij.  Wij  hebben  dan 


en 


dW, 

di^ 


öw, 

dy 


d 

dy 


ÖIP' 

+ F,  W' 
dy 


Vermenigvuldigt  men  de  eerste  vergelijking  met 


tweede  met 


W{y) 


W' 

W{y) 


dy  en  de 


dy,  telt  men  het  resultaat  op  en  integreert  men 


naar  y over  het  bereik  dat  deze  grootheid  doorloopen  kan,  dan 
wordt  het  tweede  lid  nul.  Men  heeft  nl. 

J[-^" 


dy  ( W{y) 


ÖW,  ÖVP'A 


dy 


öy  J 


+ 


W\j)  V dy 


dW' 

dy 


W{y)F,  -i-  F,  I dy. 


Nu  is  volgens  de  differentiaalvergelijking  voor  W (.v) 
F,W[y)  + t\  = C 

dy 


193 


d JV  (v) 

daar  echter  aan  de  grenzen  W {y)  en  — nul  zijn,  is  C'~0.  Men 


dy 


heeft  dus  voor  het  tweede  lid 

F, 


W(^) 


dW,  dW’\ 

W'  -W,^] 

dy  dy  ) 


y = + 00 


dW  dW’ 

doch  aan  deze  grenzen  is  W'  en  evenals  — — ^ en  — — gelijk 

ij  ij 

aan  nul.  Wij  zien  dus  dat  het  tweede  lid  in  zijn  geheel  nul  is. 
Dientengevolge  krijgen  wij  dus 

ö rW{y^,y,d)W{y,,y,x-d) 


of  dus 


ƒ 

ƒ 


W{y) 

W y,  »)  W (y„  y,  x—») 


dy  — d 


Wiy) 


dy. 


onafhankelijk  van  d . 

Nemen  wij  nu  achtereenvolgens  xl  = x en  <>  = 0.  Voor  = 0 
dragen  alleen  termen  bij  waarvoor  y — y^  is.  Voor  ö- = .v  alleen  die 
termen  waarvoor  y = y^  is,  de  beschouwde  integraal  wordt  dus  nog 


W{y,,y,,x) 


rf' 


en 


W{y 


W(y^,y,,x) 


W(Vi,y,  0)  dy  = 


Wiyd 

^ ivx  y, «) 


W{y,)  J - W{y,) 

Deze  waarden  moeten,  daai-  de  waarde  van  de  integraal  niet  van 
ö'  afhangt,  gelijk  zijn  en  wij  verkrijgen  dus 

{Vi^y,^  «)  = W(y,)W  x). 

d.w.z.  voor  een  kansfunctie  die  aan  de  beschouwde  differentiaalver- 
gelijking voldoet,  is  steeds  aan  de  omkeerbaarheidsbetrekking  voldaan. 

Wij  kunnen  de  functie  W{y^,y,x)  gebruiken  om  de  beteekenis 
van  eene  door  Einstein  in  de  stralingstheorie  en  door  Mevr.  de  Haas — 
Lorentz  in  de  theorie  der  BRowNSche  beweging  gebruikte  vergelijking 
nader  te  onderzoeken. 

Voor  de  BnowNsche  beweging  ')  is  nl.  ondersteld  dat  de  versnelling 
du 

~ gegeven  wordt  door: 
dt 

du 

- = ™ + x. 

waarbij  X gemiddeld  bij  gegeven  Wj,  gelijk  is  aan  nul. 

1)  De  snelheid-tijd  kromme  bezit  het  stationaire  type. 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20, 


13 


194 


Wij  zullen  nu  nagaan  onder  welke  voorwaarde  in  de  boven  be- 
schouwde gevallen  een  dergelijke  vergelijking  geldt.  Als  de  integraal- 

.'/«  ■ ..  . 

dy  .......  - 

veigelijking  geldt,  kan  men  voor  — , het  gemiddelde  van  het  diffe- 

dx 

rentiaal-quotient  bij  gegeven  schrijven. 

—yo 

.V  dxj  J 
yi  yi 

= V'  ^ ^ — (3/0^  */.  )dy~ 


dy 

dx 


=ƒ 


^W{y„y,x) 

dx 


^W{y„,yx) 

dy 


+ F^W(y„y,x)  ]dy 


= \ {F ^ — F ^)W{y,,  y,  x)  dy. 


Indien  nu  F^—  F\  gelijk  is  aan  — ay  krijgen  wij 

■y« 


of 


dy  ~yo 

-r=  — «3/ 

dx 


dy 

— = — ay  F F 
dx  ^ 


waarbij  X een  grootheid  is  die  gemiddeld  bij  gegeven  nul  is.  De  for- 
mule van  Einstein  blijkt  dus  een  bijzonder  geval  te  zijn  van  de  relatie 


—yo 

^ = F, 

dx 


- — .Vo  dy 

F ^ of  — = F,  — F -f-  X. 

dx 


Het  bijzondere  en  onbewezene  in  de  onderstelling  is,  dat  de  groot- 
heid a met  inwendige  wrijving  en  afmetingen  van  het  BROWNsche 
deeltje  samenhangt.  De  onderstelling  waaronder  zij  te  voorschijn 
komt,  dat  voor  de  y (snelheid)  waarden  de  integraal-vergelijking  voor 
een  willekeurig  klein  interval  geldt,  is  bij  de  BRow^Nsche  beweging 
niet  vervuld,  wel  zal  de  tijd  (x)  waarop  de  integraalvergelijking  geldt 
zeer  klein  zijn  ten  opzichte  van  alle  meetbare  tijden. 

Utrecht.  Instituut  voor  Theoretische  Natuurkunde. 


1)  Deze  vergelijking  geldt  alleen,  als  de  kans  dat  op  volgt  na  een  interval 
dx  onafhankelijk  is  van  het  feit,  dat  y-^  een  interval  x te  voren  door  vooraf- 
gegaan. 


Sterrekunde.  — De  Heer  de  Sittbr  biedt  eene  mededeeling  aan : 

„Theorie  der  Satellieten  van  Jupiter.  II.  De  variaties.” 

Wij  beperken  ons  nog  steeds  tot  het  niet-periodieke  deel  [2?/]  der 
storingsfunctie,  dat  ook  voor  de  bepaling  van  de  intermediaire  baan 
gebruikt  is.')  De  grootheden  hi,  k{ , vi , oii,  die  in  de  intermediaire 
baan  nul  zijn,  worden  nu  bepaald  door  de  vergelijkingen  (23), 
waarvan  de  oplossing  door  (24)  wordt  gegeven.  Ter  bepaling  van 
de  vijf  waarden  van  heeft  men  den  determinant  (28),  terwijl  dan 
c'ig  en  c''ig  uit  (27)  en  en  c"'iq  uit  de  eerste  en  de  laatste  van 
(25)  worden  bepaald.  De  uitdrukkingen  der  coëfficiënten  aij,  a'ij, 
bij,b'ij,dij,d'ij,eij,e'ij  zijn  gegeven  in  Deel  XII,  eerste  stuk  van 
de  Annalen  der  Sterrewacht  te  Leiden,  blz.  31.  Dan  heeft  men 
Aij  — iSi  {a'i  laij  f h'i  I dl  j), 

Bij  = 2i{a'iibij  -|-  b'iieij), 

Cij  2 1 (d  i I (lij  ^ i I dl 

-Dij  = ^l  (d'i ibij  + e'i I ei j). 

De  berekening  der  grootheden  aij,  a'ij,  etc.  en  Aij,  Bij,  etc. 
zal  uitvoerig  gepubliceerd  worden  in  de  Annalen  van  de  Sterrewacht 
te  Leiden.  Hier  wordt  alleen  het  resultaat  medegedeeld. 

De  determinant  (28)  is:  (zie  formule  A,  volgende  pagina). 

De  coëfficiënten  zijn  gegeven  in  de  eenheden  van  de  achtste  deci- 
maal. Nummert  men  de  kolommen  met  rorneinsche,  en  de  rijen 
met  arabische  cijfers,  en  past  men  dan  de  bewerkingen  toe: 
tel  4 . (V)  -f  2 . (VI)  op  bij  (VII) 

„ 3.(V)~e,.(I)-e,(II)-e,(Hl)-e,(IVj  „ ,.  (VI) 

„ - 2 . (7)  „ (6) 

„ 2 . (7)  — 3 . (6)  „ „ (5) 

„ e;  [(6)  — 2 . (7)]  „ (^)  (i  = 1...4), 

dan  gaat  de  determinant  over  in:  (zie  formule  B,  volgende  pagina). 

1)  Zie  Schets  eener  nieuwe  theorie  der  Satellieten  van  Jupiter.,  deze  Verslagen, 
Deel  XXVI,  blz.  1374  en  1476,  en  Theorie  der  Satellieten  van  Jupiter.  I.  De 
intermediaire  haan,  deze  Verslagen,  Deel  XXVII,  blz.  1204. 

, Schets”  blz.  1477.  De  definitie  van  ^ en  /c;  is  eenigszins  anders  dan  in  de 
,Scbets,”s 'in  overeenstemming  met  de  invoering  van  6^  in  plaats  van  rii  ■ Wij 
hebben  nu 

ei  cos  gi  — ei  -j-  hi 
ei  sin  gi  =:  ki. 


13* 


J9fi 


cc 


+ 

+ 

-t- 

+ 

+ 

1 

1 

+ 

+ 

+ 

i 

+ 

O 

00 

O 

ts9 

tv9 

•O 

ro 

Q 

09 

00 

O) 

09 

00 

09 

<o 

o 

00 

o 

ivo 

o 

00 

O 

o 

o 

K9 

óo 

09 

ÖO 

b\ 

05 

<o 

1 

I 

tb 

+ 

1 

+ 

+ 

+ 

i 

+ 

1 

+ 

+ 

+ 

+ 

o> 

4:^ 

4^ 

4^ 

tvO 

O 

to 

00 

c;^ 

o 

•O 

4:^ 

Oi 

tc 

09 

O) 

tsO 

<o 

09 

00 

09 

09 

-J 

09 

09 

o 

05 

lO 

io 

09 

Ko 

O 

Od 

o> 


^ p 

L] 

^ iO 


'Cö 


+ 


a> 

üi 

I 

■Cö 


+ 


-H 


+ 


+ + 

tO 

O 

00 

tv*i 


'Cb 


--a 

o 


tb 


o 

o 

o 


Cö 


tb 


to 

Ü1 

'a\ 


tb 


+ + 


09 

N9 

4^ 

O 

O 

(O 

O 

09 

09 

09 

UI 

09 

09 

00 

00 

09 

09 

p\ 

09 

00 

In 

iv9 

05 

öo 

ro 

tv9 

tb 


+ + I + + 

ro 

00 
Od 


o -J 

^ Oi 

üi  o o 


+ I + 


+ 


I + 4- 


N9 

to 

O 

^o 

09 

09 

00 

09 

05 

O 

4^ 

09 

o 

N9 

05 

bi 

Ö9 

Ij 

Ij 

05 

09 

■Cb 


+ + 

to 


+ 


O 

o 

o 

o 

o 

00 

•J 

ts9 

p 

k9 

00 

1 

In 

Ij 

•j 

1 

+ 

1 

1 

+ 

+ 

+ 

+ 

p 

o 

05 

po 

09 

O 

o 

o 

09 

tv9 

o 

o 

09 

00 

ö 

05 

ö 

o 

Kd 

3 

4 

+ 

1 

+ 

1 

1 

■f 

+ 

o 

<J\ 

00 

00 

•J 

05 

g 

00 

o 

ïo 

ö 

o 

s 

K9 

05 

1 

ö 

00 

o 

09 

00 

b 

Ü« 

1 

tb 

»« 

1 

+ 

1^ 

1 

+ 

1 

i 

o 

09 

■J 

tv9 

iO 

4>^ 

o 

N9 

ÜT 

09 

05 

ö 

b) 

00 

1 

O 

00 

ö 

00 

b 

b 

N9 

Ö9 

<o 

1 

tb 

po 

cÖ 


t\3 

öo 


'Cb 


ïb 


197 


Den  determinant,  bestaande  uit  de  vijf  eerste  kolommen  en  rijen 
kan  men  zich  ontstaan  denken  door  de  eliminatie  van  yi  uit  de  vijf 
lineaire  vergelijkingen  (waar  Fij  de  elementen  van  den  determinant 
voorstellen) : 

ij  yj  — yi  = ^ = 1 • • . 5) 

Het  verband  tusschen  de  nieuwe  onbekenden  yi  en  de  oorspronke- 
lijke onbekenden  c'i  en  c"i  der  vergelijkingen  (27)  is  gegeven  door 


c/  = yi  — (t  = 1 . . . 4) 

Cl"  -f  + hv 

c,"  = + 22/j, 

<^*'  = yv 
^<'  — y,- 

Bij  elk  der  vijf  wortels  die  van  nul  verschillen,  behoort  een 
stel  (^  = 1 . . . 5).  Dan  worden  y^,  y^  en  y^  bepaald  uit 

2j  Vij  yj  - yi  = 0 0'  = 1 ...  5,  z = 6 . . 8) 

Bepalen  wij  verder  de  grootheden  xi  uit  de  condities 
F 55  7^55  ~r  ^ j ^ } T'  5^1 

(i,  j=l  ...  4) 

F iö  ^ j ^j  ^ ij  ■ ^i  T'  55  = 0, 

en  stelt  men  dan 

F' i j = f ij  x{  F 5j,  (i,  j = 1 ...  4) 

en 

yi  = zi  + 2/61  (i  = 1 . . . 4) 

dan  heeft  men  ter  bepaling  van  Zi  en  /i’  de  vergelijkingen 
(«)  2:j  F'i j zj  — Zi  = 0,  {i,j  = 1 ...  4) 

en  y^  wordt  bepaald  door 

^j  F 5j  Zj  + (7^55  — 2/5  = 0.  (j  = 1 . . . 4) 

De  vergelijkingen  («)  geven  vier  der  wortels /it*.  De  vijfde  wortel  is 

1^6*  = F\,, 

en  de  bijbehoorende  waarden  van  en  Zi  zijn 

2/55  = 1 , 2j5  = 0.  (i  = 1 ..4) 


Ter  oplossing  van  de  vergelijkingen  (o)  stelt  men  Zgq  = i.  Daal- 
de coëfficiënten  F'ij  voor  i =j  veel  grooter  zijn  dan  de  andere, 
kan  men  dan  stellen 


T'  'qq  + êy 

F'i 


iq 


',q 


F'^rj  - F'ii 


iiq 


Men  vindt  dan  ter  bepaling  van  'Sq  en  een  stel  vergelijkingen, 


198 


waaruit  deze  grootheden,  die  klein  zijn,  zeer  gemakkelijk  kunnen 
opgelost  worden.  Men  vindt 

F\,  = + 1025.13, 

terwijl  de  determinant  der  vier  vergelijkingen  («)  wordt 


+ 30250.34— 

— 263.42 

— 214.29 

— 1.41 

— 235.83 

+ 23296. 87-/J* 

+ 289.04 

+ 4.76 

— 71.72 

+ 83.36 

4-  21385.15-/3* 

— 25.51 

+ 0.33 

+ 1.71 

— 34.50 

+ 21087.28 

De  vijf  wortels  /S’,  die  op  deze  wijze  bepaald  zijn,  zijn  nog  steeds 
in  eenheden  der  8e  decimaal  uitgedrukt: 

^,*  = + 30261.15 
= + 23299.79 
= + 21374.51 
^,*=4-  21084.19 
1025.13 

• Men  stelt  nu,  voor  g = 1 . . . 4, 

•1^9  = ^^  T -j-  IpqO  = 3{T  -|-  'Wq  ~t“  7?  “h  qO  4"  ^qOj 

waarin 

^10  = ^80  = ^40  = 0 < Jr„  = 180°, 

dan  zijn  'Wg  = yqZ TCqo  de  lengten  der  ,, eigen”  perijovia,  terwijl 
^q  voor  q = i . . . 4:  de  argumenten  der  ongelijkheden  van  groep  II 
zijn,  en  het  argument  der  libratie  is. 

Voor  de  middelbare  bewegingen  dier  grootheden  in  graden  per 
dag  vindt  men') 

El.  en  Massa’s. 


y,  = 0°.148668 

o 

.-H 

O ‘ 

o 

y,  = 0 .039842 

0 .039593 

y,  = 0 .006949 

0 .007046 

y,  = 0 .001862 

0 .001864 

/3,  = 0 .16347 

0 .16252 

Deze  middelbare  bewegingen  zijn  nog  niet  de  definitieve,  daar 
nog  verwaarloosd  is 

1”.  het  effect  van  het  periodieke  deel  der  storingsfunctie  Zf; — [Z?;], 
2“.  de  quadraten  en  producten  der  grootheden  hi , ki , vi , <x>i , 

3".  de  hellingen  van  de  satellieten-banen  op  den  equator  van  Jupiter. 

b De  bewegingen  yi  en  J3^  bevatten  geen  precessie,  welke  dus  ook  van  de 
waarden  van  yi  uit  El.  en  Massa’s  is  afgetrokken. 


199 


Behoudens  de  correcties  die  eventueel  later  wegens  deze  drie 
oorzaken  nog  aan  te  brengen  zullen  zijn,  kan  het  als  vaststaand 
worden  aangenomen  dat  de  gi’ootheden  en  y,-  geheel  nauwkeurig 
en  volledig  zijn  tot  de  laatste  hier  gegeven  decimaal. 

De  ter  vergelijking  bijgevoegde  waarden  zijn  die  van  mijne  theorie 
van  1908,  op  de  hier  gebruikte  massa’s  gereduceerd*).  Deze  theorie 
is. die  van  Souillart,  met  vei’betering  van  enkele  fouten,  terwijl  de 
berekening  van  de  middelbare  beweging  van  het  argument  der  libratie 
een  orde  verder  doorgevoerd  is  dan  Souillaht  deed. 


De 

voor  de  grootheden  Cig, 

^ iq>  ^ iq  6n  C 

'ig  gevonden  waarden  zijn  : 

9 

1 

2 

3 

4 

5 

<^lq 

-f  0.96868 

4 0.02754 

4-  0.02479 

4 

0.00230 

— 

0.00054 

C2q 

— .04429 

+ 

.93485 

— .17327 

— 

.01584 

4 

.00032 

C3q 

— 00686 

4" 

.03313 

4-  .98970 

+ 

.08804 

4- 

.00004 

Cig 

+ .00006 

4- 

.00012 

— .12098 

4- 

1.00000 

.00000 

C Iq 

4-  0.96038 

4 0.05057 

4 0.02483 

4-  0.00229 

— 

0.00287 

c'2q 

— .01944 

+ 

.97713 

- .15246 

— 

.01400 

4 

.00155 

C'sq 

— .00637 

4- 

.04010 

4 .99952 

+ 

.08891 

4- 

.00018 

C iq 

+ .00006 

+ 

.00012 

— .12098 

-r 

1.00000 

.00000 

c'\q 

+ 2.7649 

4-  0.9617 

— 0.07900 

— 

0.00718 

4-  0.15668 

c' 2(7 

— 3.3850 

4- 

1.8535 

4 .57340 

+ 

.05032 

— 

.26677 

C^'sq 

4-  0.0300 

— 

0.7324 

— .11736 

— 

.01022 

+ 

.02150 

c''iq 

.0000 

.0000 

4-  .00001 

.00000 

.00000 

C"\q 

4-  0.01195 

+ 0.00363 

— 0.00028 

— 

0.00002 

4 0.00012 

C 2q 

— .02934 

4- 

.01436 

4-  .00405 

4- 

.00035 

— 

.00043 

C 3q 

4-  .00052 

— 

.01113 

— .00149 

- 

.00013 

4- 

.00007 

J’i 

C iq 

0 

0 

0 

0 

0 

Het 

effect  van  i 

de  variaties 

op  den  voerstraal  en  de 

lengte  is,  als 

men  producten  en  quadraten  van  verwaarloost,  (evenals  producten 
eifg),  en  als  men  stelt 

'^iq  — ^ 2 i<^iq  + 


(fv  3 

^ q C iq  fq  COS  l|j(y  2 g Tig  Bg  COS  (P.i  'ZtT g'^ 

3.1  2 


— 2 ^9  {Ciq  ~ c'iq  ) f y COS  (li  + tp,,) 

Öwi=  2 g c"{g  Bq  sin  \pg  2 2g  Tig  Bq  sïu  (A,  — ttr g)  -1-  2/  (Cig  — C {g  ) Bq  sin  (li  4- 

In  deze  formules  is  gesteld 


b Over  de  massa’s  en  baanelementen  der  satellieten  van  Jupiter  en  de  massa 
van  het  systeem,  Deze  Verslagen,  i:eel  XVI,  blz.  570  en  709. 


200 


ki  = Xoo  + Jtio  + (c.  — x)  T, 
= C{  T. 


Het 

onderste  teeken  van  moet 

genomen  worden,  als  óf  óf  q, 

doch 

niet 

beide,  2 zijn. 

De  eerste 

term  geeft  voor 

q =1  ..  . 4 de 

ongelijkheden  vat»  groep 

II,  en  voor  g = 5 de  libratie.  De  tweede 

term 

stelt 

voor  q = 1 

. . . 4 de 

middelpunts  vergelijkingen  voor. 

Men  heeft 

9 

1 

2 

3 

4 

b 0.96453 

— 0.03905 

4-  0.02481 

4-  0.00229 

'^2q 

+ .03186 

4-  .95599 

+ .16287 

4-  ,01492 

'fSq 

— .00661 

— .03662 

+ .99461 

+ .08847 

+ .00006 

— .00012 

— .12098 

-f  1.00000 

Voor  q = b is  het  beter  deze  term  te  schrijven  in  den  vorm 


è (CiS  4-  c'tö)  fö  cos  (/,■  — V^ö) 

+ (c/5  4-  c'ih  ) f5  sin  {li  — ifJö) 

Zij  stelt  dan,  evenals  de  derde  term,  kleine  periodieke  ongelijk- 
heden voor,  met  perioden  die  weinig  van  die  der  middelpunts- 
vergelijkingen  verschillen. 

Het  is  van  belang  op  te  merken  dat  de  hier  voorgedragen  theorie 
(intermediaire  baan  en  variaties)  even  ver  gaat  als  die  van  Souillart, 
behoudens  de  kleine  periodieke  storingen  en  de  termen  van  zeer 
lange  periode  ontstaande  door  de  inwerking  van  de  zon,  Saturnus 
etc.  Souillart  heeft  geen  enkelen  term  der  storingsfunctie,  en  geen 
enkele  onderlinge  werking  van  twee  termen,  aanleiding  gevend  tot 
een  term  van  hoogere  orde,  meegenomen,  die  hier  niet  ook  is  be- 
rekend; daarentegen  vele  weggelaten,  die  hier  wel  voorkomen.  De 
hier  gegeven  theorie  is  zeker  volledig  tot  op  een  van  te  voren  aan- 
gegeven numerieke  grens-grootte-orde,  wat  men  van  die  van  Souil- 
lart, hoewel  zij  gewoonlijk  veel  meer  decimalen  geeft,  zeker  niet 
kan  zeggen.  De  nieuwe  theorie  heeft  zich  zeer  geschikt  getoond 
voor  numerieke  berekening. 


Wiskunde.  — De  Heer  Cardinaal  biedt  eene  tnededeeling  aan 
van  de  Heeren  J.  A.  Schouten  en  D.  J.  Struik  : „Over  n-voudig 
orthogonale  stelsels  van  n — \~dimensionale  uitgebreidheden  in 
een  algemeene  uitgebreidheid  van  n afmetingen” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Lorentz). 

I. 

1.  Notaties  Een  uitgebreidheid  van  p afmetingen  worde  ge- 

schreven Yp,  een  euklidische  ruimte’)  van  p afmetingen,  evenals  een 
door  p onafhankelijke  richtingen  in  één  punt  bepaald  gebied  Rp.  Als 
grond  variabelen  in  een  F),  gebruiken  wij  de  stelsels  en  yJ, 
X = a^,  . . . , an,  j = 1,  . . . , n,  met  de  bijbehoorende  ko-  en  kontra- 
variante  maatvektoren  : 

e;,  = e/ 

, 0) 

Sj=X7yj;  sj’ 

waarvoor  geldt: 

ca’  . e>’  = a;’  ; e;. . e;  = 

s/.s/  = o/  ; Sj.sj  = ar^ 

10  voor  A 7^  p 

...  (2) 

3e=( — 1)  2 voor  X = n 
I 0 voor  j ^ k 

Sj  . Sfc’  = 

( X voor  j = k. 

De  fundamentaaltensor  van  deze  F,,  worde  geschreven  ’g: 

1,...  ,n 

’g=  .S"  gxp^xtp-=  2 prVej,’e^’=  2 gjkSjSk=  gj><^s/sk’-  (3) 

A,//.  j,k  j,k 

De  ligging  der  aequiskalaire  F„_i,  behoorende  bij  x'‘  en  yJ  worde 
naar  omstandigheden  verschillend  gekozen. 

2.  Normale  en  V -vormende  velden.  In  een  uitgebreidheid  F„  zij 

b Men  zie  voor  de  in  deze  mededeeling  gebruikte  notaties  verder:  J.  A.  Schouten, 
Die  direkte  Analysis  zur  neueren  Relativiteitstheorie,  Verh.  der  Kon.  Akad.  v. 
Wetenschappen  XTI,  6 (1918),  hier  verder  geciteerd  als  A.  R. 

*)  Onder  een  euklidische  ruimte  verstaan  we  een  uitgebreidheid,  waarvan  de 

4 

Riemann-Christoffelsche  affinor  K nul  wordt. 


202 


een  Z?^-veld  gegeven  door  het  p-vektorveld  der  eenvoudige  /^-vektoren  ') 
yV.  Eenig  stelsel  van  op  pY  volkomen  loodrechte  eenvoudige  (n — p)- 
vektoren  „_/,w  bepaalt  dan  een  iK„_^  veld.  Is  het  veld  „_pW  overal 
volkomen  loodrecht  op  een  stelsel  van  oo”“9' uitgebreidheden 

dan  ligt  de  Z?y-richting  van  Vq  in  elk  punt  in  het  gebied  van  ^v. 
In  het  geval,  dat  niet  ook  nog  loodrecht  is  op  een  stelsel  van 

(^n—q-i  uitgebreidheden  noemen  wij  dan  Vq-normaal 

en  pY  V q-vorm.end. 

Is  pY  = Vj  .77.  V;),  dan  is  pY  F^-vormend,  indien  de  p vergelijkingen : 

V.-  V/=0  , ^=:l (4) 

n — q onafhankelijke  oplossingen  toelaten.  Deze  voorwaarde  is  ook 
voldoende,  aangezien  de  Vq  altijd  gegeven  kunnen  worden  als  door- 
sneden van  n — q stelsels  Fn— i : = c^,  . . . . , fn-q  = c„—q,  waarin 

Cl,  ... , c„-q  veranderlijke  parameters  zijn.  Daar  in  een  R„  een  R„—p^a 
alleen  voor  « = 0 volkomen  loodrecht  kan  staan  op  een  Rp,  is 
noodzakelijk  q ^ p.  Iedere  oplossing  fk  voldoet  ook  aan  de  verge- 

lijking: 

{\j  • V)  (v,- . V)  A-=(vj  1 7 vO . V A 4-  V,  \j  ? V V A = 0,  (5) 

en  derhalve  ook  aan; 

(v.;- 1 V V.-  - v.'  1 V vA . V A = 0 (6) 

Wij  beschouwen  eerst  het  geval  q = p.  (In  dit  geval  is  het  stelsel 
differentiaalvergelijkingen  (4)  een  volledig  systeem.)  Schrijven  wij: 

n — Wi  • . . W,i — p , 

dan  leert  (6),  dat  alle  vektoren  Yj^.  V v,- — vA  7 in  het  gebied 
van  pY  liggen,  wat  ook  aldus  kan  worden  geschreven: 

J ' 1 1 • • I 

7 M — V.4  7 V.;)  . WA;  = 0 ’ ’ ’ ...  (7) 

« = 1 , . . . , ra  — p 

Ware  aan  (7)  voor  enkele  waarden  van  i en  j niet  voldaan,  dan 
zouden  er  zeker  minder  dan  n — p onafhankelijke  oplossingen  zijn, 
daar  men  de  vergelijkingen  (6)  voor  die  waarden  van  i en  j aan 
(4)  zou  kunnen  toevoegen.  Aldus  zou  men  een  stelsel  van  r verge- 
lijkingen verkrijgen  p,  waaraan  alle  oplossingen  van  (4) 

moeten  voldoen  Dit  stelsel  heeft  dan  echter  zeker  meer  dan  n — r 
onafhankelijke  oplossingen.  De  voorwaarde  (7)  is  dus  noodzakelijk 
en  voldoende. 

h Een  eenvoudige  p-vektoi'  kan  worden  geschreven  als  alterneerend  produkt  van 
p reale  vektoren  en  kan  worden  voorgesteld  door  een  deel  van  een  bepaalde  Bp, 
met  een  bepaalden  inhoud,  doch  van  onbepaalden  vorm,  gecombineerd  met  een 
hyperschroefzin. 


203 


Daar : 

2 V ^ (Vi  — vj)  = (V  . vO-Vi  — (V  . Vj)  V,'  + (vi . V)  v^'  — {vj  = V)  Vi,  (8) 
is  (7)  aequivalent  met: 

Wfc  . I V 1 {\i  ^-y)  I ~ w;fc  V 2 (vi  - y) O,  . . . (9) 

of  ook  met : 

V2v.  -v^-  = 0,  D (10) 


en  dus  met: 


„_.w  V ? .V  = 0.  ^ 


(A) 


In  deze  vergelijking  komeiï  de  hnlpvektoren  v en  w niet  meer 
voor.  Zy  is  de  gezochte  voorwaarde,  dat  het  pV-veld  Vp-vormend 
wordt. 

Daar : 

. I V 1 (vi  ^ v_;')  1 = Wfc  . (a  . V)  |a  1 (v»  ^ v_^)  j  *  *)  = 

= (a  . V)|  Wjfc  a ? (vf  ^ \j)Y)  - (a . V)  Wfc  1 ja  i (v,-  v_;)|  = . (11) 

= (Vi  ^ y)  ^ V w^, 

is  (A)  aequivalent  met: 

(v.--v^)2  V - w&  = 0>),  . . . (12) 

en  daar : 

- p 

V — „ -pW  = ^ a Wi  . . WA:_1  (a  . V)  WA:  WA:+1  . • . . . (13) 

k 

ook  met : 


»V  2 V n-pW  = 00 


. . . (B) 


{B)  kan  ook  uit  (A)  worden  afgeleid  zonder  weer  tot  de  hulp- 
vektoren  en  Wk  terug  te  keeren.  Ook  onafhankelijk  van  (A)ka,n 
de  noodzakelijkheid  van  [B)  worden  aangetoond.  Is  namelijk  „-pW 
Fp-normaal,  dan  is  altijd : 

„_^w  = Aj(V/J.'r.(V/n-0j, (14) 

waarin  / een  fiinktie  van  de  plaats  is.  Bijgevolg  is : 

V - w = (V  A)  (V/,)  /;_;,) (15) 


n—p 


waaruit  {B)  onmiddellijk  volgt,  omdat  iedere  v ±'7fj. 


h De  vorffien  (10)  en_(12)  der^voorwaarde  zijn  identiek  met  die,  voorkomende 
bij  E.  voN  Webek,  Vorlesungen  über  das  Pfaffsche  Problem  (Teubneb,  1900) 
bldz.j99  en  100. 

*)  (A)  en  {B)  werden  reeds  zonder  bewijs  aangegeven  in  J.  A.  Schouten, 
Over  het  aantal  graden  van  vrijheid  van  het  geodetisch  meebewegende  assenstelsel. 
Versl.  der  Kon.  Ak.  v.  Wet.  27  (18)_16 — 22. 

S)  De  differentieerende  werking  van  een  differentiaaloperatorkern  strekt  zich  uit 
tot  het  eerstvolgende haakje. 

Deze  term  is  nul,  omdat  Wj.  ± V,-  en  X v^  . 


204 


Voor  p = n — 1 leert  {B),  of  duidelijker  nog  (15),  dat  V w een 
enkelvoudige  bivektor  is.  Hieruit  volgt,  dat,  wanneer  een  veld  w R„—r 
normaal  is  en  w opgevat  wordt  als  de  snel  heids  vektor  van  een  stroo- 
mende  vloeistof,  waarbij  dan  de  rotatiekoraponente  der  beweging  (ten 
opzichte  van  een  geodetisch  meebewegend  assenstelsel)  gegeven  is  door 
V w,  bij  deze  rotatie  de  _2  ±V"~' w punt  voor  punt  onveran- 
derd blijft  ‘).  Immers  dr\  {'7  v)  is  een  vektor  in  het  vlak  van 
V - V. 

Op  dezelfde  wijze  bewijst  men,  dat,  indien  F^-vormend  en  dus 
„—pW  F^-normaal  is,  de  vergelijkingen  gelden  ; 

(A) 

{B') 

waariri  ,/V  een  g-vektor  in  en  een  n — g-- vektor  X Vq  voor- 

stelt. Voor  p = n — 1 leert  {B'),  dat  voor  een  F^-normaal  vektorveld 
w de  compohente  van  Vw  in  Vq  een  tetisor  is. 

3.  Kanoniscke  congrueyities.  Een  veld  van  eenheidsvektoren  be- 
paalt een  congruentie’),  u„  = xi,,  \ V i„  is  de  kromtevektor  der  krommen 
van  die  congruentie  en  de  modulus  (ii„)„i  is  de  geodetische  kromming. 
Daar : 

(Vi„)‘.  = i V(i„.i„)  = 0,  . .....  (16) 

bevat  de  tweede  ideale  faktor  van  V i„  geen  index  n.  V i,i  bestaat 

2 

dus  uit  twee  deelen,  een  deel  h.  in  de  Rn~i  -k  iu,  en  het  deel 
i„  i„  1 V i„  = i„  u„ : 

2 

V i„  = h 4- xi,j  u,.,  .......  (17) 

o 

h is  in  het  algemeen  de  som  van  een  tensor  ’h  en  een  bivektor 
,li.  Is  i een  eenheidsvektor  in  een  der  n — 1 onderling  loodrechte 
hoofdrichtingen  van  ’li,  dan  is: 

x’hU=Ai, ■ (18) 

en  daar : 

V in  =  *  *h  + On  Un  + Un  iO,  . . . (19) 

is  : 

x(V  - i„)U  = Ai -f  jain (20) 

b Voor  de  Rn  is  dit  opgemerkt  door  A.  Sommekfeld.  Geometrischer  Beweis 
des  DupiN’schen  Theorems  und  seiner  Umkehrung,  Jahresberichte  der  Deutsch. 
Math.  Ver.  6 (99)  123—128,  bldz.  128. 

*)  In  A.  R.  hldz.  38  e.v.  is  het  woord  hypercongruentie  gebruikt.  Wij  spreken 
hier  eenvoudigheidshalve  van  congruentie,  in  overeenstemming  o.a.  met  Ricci  en 

Levi-Givita. 


„_^W  V!  pV  = 0 


205 


of  : 


(V ^ ’g)'.  i = Jtfi  i„,  (21) 

daar : 


’g!i  = i (22) 

Uit  (21)  volgt : 

in  (V  --  in  -  *  *g)-i  1 in  = o,  .....  (23) 

of,  indien  X/*  de  kovariante  coördinaten  van  V w i„  zijn  en  inx  de 
kovariante  coördinaten  van  i„,  in  coördinaten  : 


ö *n  aj ^n  o 

^ n 


ai 


X 


«1  «1 


^ 9a\  Oi 


Xfl  a 
I 1 


0 . (24) 


*'n  o Xfl  a ^ ffa  o,  • • • • Xa  o ^ ffa  a 

n n 1 n 1 n n n n 

Deze  vergelijking  van  den  graad  n — 1 in  A noemt  Ricci  de  alge- 
braïsche karakteristieke  vergelijking  der  congruentie  i„.  Daar  de 
(ensor  ^h,  zooals  bekend  is,  n — 1 reëele  hoofdrichtingen  heeft, 
heeft  zij  n — 1 reëele  wortels.  ’)  Zijn  alle  wortels  verschillend 
(d.w.z.  zijn  niet  twee  wortels  in  alle  punten  van  Vn  gelijk,  hetgeen 
niet  uitsluit,  dat  zij  in  bepaalde  uitgebreidheden  van  minder  dan  n 
afmetingen  gelijk  kunnen  worden),  dan  behoort  volgens  (21)  bij 
een  bepaalde  wortel  Xj  de  richting : 


A,  ’g)-iii„ (25) 

Twee  bij  verschillende  wortels  behoorende  richtingen  zijn  onderling 
loodrecht,  omdat  volgens  (20): 

Xj  ij  . i;i;  = ijt  1 (V  ^ i„)  1 ij  = Xjeh  Aj  = 0,  j jé:  k . . (26) 

Een  p-voudige  wortel  bepaalt  een  gebied  volkomen  loodrecht 
op  de  gebieden  der  andere  wortels,  in  welk  gebied  p willekeurige 
onderling  loodrechte  richtingen  als  hoofd  richtingen  gekozen  kunnen 
worden. 

In  elk  geval  kan  men  dus  bij  de  gegeven  richting  i„  in  ieder  punt 
n — 1 onderling  loodrechte  hoofdrichtingen  aanwijzen,  ivaardoor  aan 
de  congruentie  in  n — 1 onderling  loodrechte  congruenties  ij,  j =1,2, 
. . . , n — 1 worden  toegevoegd.  Ricci  noemt  deze  de  tot  i„  behoorende 
orthogonale  kanonische  C07igruenties.  ‘) 


0 G.  Ricci.  Dei  sistemi  di  congruenze  ortogonali  in  una  varieta  qualunque, 
Memorie  R.  Acc.  Lincei  Ser.  V 2 (95)  276 — 322,  bldz.  301. 

*)  Voor  een  rechtstreeksch  bewijs  zie  b.v.  G.  Ricci,  Sui  sistemi  di  integrali 
independenti  di  una  equatione  lineare  ed  omogenea  a derivate  partiali  diDordine, 
Ann.  di  Mat.  Ser.  II  15  (W/ss)  127—159,  bldz.  134. 

®)  Ricci.  Dei  sistemi,  bldz.  302.  Wij  spreken  hier  kortheidshalve  van  kanonische 
congruenties. 


206 


Voor  de  skalaiieu  ^ eii  n volgt  uit  (20) ; 

?.j  = 2 V in,  . . (27) 

V-in  (28) 

en  uit  (18)  volgt  voor  ’h : 

1,.  1 

’h  = ^ Xj  ij  ij, (29) 

J 

en 

0^2  ’hz=0 (30) 

of : 

ijik^.V^in  = 0,  . . . . . (31) 

In  het  bijzondere  geval,  dat  i„  F,j_i-normaal  is,  leert  (6); 

V-i., j^k,  (32) 

waaruit  volgt,  dat  ,li  = 0.  In  plaats  van  (17)  treedt  dan  de  verge- 
lijking; 

V in  = ’h  + Xin  Um (33) 

Aan  de  kanonische  richtingen  kan  met  behulp  van  het  begrip 
geodetische  verandering,  d.i.  verandering  ten  opzichte  van  een  geode- 
tisch meebewegend  assenstelsel,  een  eenvoudige  meetkundige  betee- 
kenis  toegekend  worden.  Tengevolge  van  (17)  en  (30)  is ; 

ij  ^ V i)i  ij  ^ V i,;,  j k.  . . . . . (34) 

Nu  is  xi/F  Vin  de  geodetische  toename  van  i„  bij  een  verplaatsing 
in  het  veld  langs  ü-  per  lengteeenheid,  en  i/t Vin  is  dus  de  pro- 
jektie  van  deze  specifieke  toename  op  de  j-ricliting,  d.  i.  de  speci- 
fieke geodetische  verdraaiing  in  de  n -^j  richting.  Is  dus  ,6^  de 
bivektor  der  specifieke  geodetische  verdraaiing  van  het  assenstelsel 
ij,  ...,i„  bij  een  verplaatsing  in  de  ^-richting; 

V ia  = tl—  1,2,  . . . . (35) 

dan  is  i^- i*  2 v i,,  de  «ji'-kom  ponen  te  van 

in  ij  ^ ==  ij  ik  2 V in,  j ^ k.  .....  (36) 

De  nj-komponenten  van  de  draaiing  jByfc  is  dus  gelijk  aan  de  nk- 
koniponente  van  de  draaiing  ^Bj.  ') 

Is  in  Fn— i-normaal,  dan  wordt  tengevolge  van  (31)  en  (32) : 

i,  ifc2Vin  = 0,  jj6k  (37) 

De  7iji-komponente  van  jBk  wordt  dus  nul  voor  j jé.  k,  d.w.z.  de 
geodetisclie  verdraaiing  van  i,,  bij  een  verplaatsing  in  de  X;-rictiting 

h Fticci,  Dei  sistemi,  bldz.  303  geeft  een  andere  geometrische  interpretatie, 
waarbij  geen  gebruik  gemaakt  wordt  van  het  begrip  geodetische  verplaatsing. 
Daarbij  is  het  dan  echter  noodig,  de  Vn  te  leggen  in  een  euklidische  ruimte  van 
meer  dan  n afmetingen. 


207 


heeft  plaats  in  het  n^-vlak.  Definieert  men  de  hoofdkromterichtingen 
in  een  punt  van  de  Vn-i  als  de  richtingen  iji,  volgens  welke  de 
geodetische  verdraaiing  van  i„  plaats  vindt  in  het  n/(;-vlak  '),  dan  volgt 
hieruit,  dat  de  kanonische . congruenties  de  hoofdkromtelijnen  der 
V„-i±l„  zijn. 

Uit  (29)  en  (33)  volgt  nog: 

üiji  V l„  = j = 1,2,  ,n-l,  ....  (38) 

welke  vergelijking  met  (37)  aequivalent  is  en  evenzeer  als  definitie- 
vergelijking  der  hoofdkromterichtitigen.  van  de  kan  wor- 

den opgevat. 

4.  üe  tweede  fundamentaaltensor  der  Ten  einde  de 

beteekenis  van  ’h  nog  nader  in  het  licht  te  stellen  kiezen  wij  de 
F„_i -L  i„  als  aeqniskalaire  gebieden  van  de  grond  variabele  en 
n — 1 willekeurige  stelsels  van  F„_i  door  i„  als  aequiskalaire  ge- 
bieden der  grondvariabelen  P.  = a„-_i.  Dan  liggen  de  rich- 

tingen van  0;,  en  0/’  in  de  Fn-i-Li„,  terwijl  0a^^  e: 
ting  van  i„  hebben  : 

1 

in  ^n  6(1  Sn  V ” Co  • . 

n K n 

^71 

Het  kontravariante  Pfi-kental  van  ’h  is  dan  : 

’/iV  = 6/  Vh  = è 6/  2 7 ^ 2 

of,  omdat  k ± en  j.  e^,  en  : 

V Cv  V ^ V = 0,  V = a^,  . . . , a 

ook  : 

’AV  z=:  - ^ i,j  e«  ! V e;.  — 4 ’^n  ca  ^ Ve^  — 

= - è in  2 V e;  — Is  h en  2 V e/  = 

1 

= — T — (e^.  e’a  2 \7  e;i-f-e>  e’a  2 V C/,)  = 

1 / da'  dar 

= ( a''  4-  a'  = 

= - ^ (e’a  . V)  ^ >£(i„  . . 

2 Sn  « 

Evenzoo  is  het  kovariante  kental  van  : 


q Deze  definitie  is  de  natuurlijke  uitbreiding  van  de  definitie  der  kromtelijnen 
op  een  F2  in  een  B3  als  de  lijnen,  waarlangs  de  normalen  een  ontwikkelbaar 
oppervlak  vormen. 


0’„  de  rich- 

'■‘n 

. . . . (39) 

(40) 

■1,  . . . (41) 

. . . (42) 


208 


= e;’  c^’  = h e/  ! v i„  + 4 e/  e/  2 7 i„  ™ ' 

1 1 I 

= — Ci’  e/  ^ V Ca  + ^ 6/  e;’  2 V ea  = f 

2f„  ” 2£„  ^ » r 

1 Z®»”,  , ^‘‘'■.  \_  1 /««,.  öoi  \}..  (43) 

~26„Vd.ü''®  dxi  '‘J  ‘ V I 

= 7^(e’a  .V)^;^.  = |>{(in.  V)^v.  1 

2f„  " 

’h  is’  dus  de  tweede  fundamentaaltensor  der  Vn—i  ± in  ‘). 

Is  in  geodetisch,  zonder  F„_i-norrnaal  te  zijn,  dan  is  ii„  = 0 en 
Vi»  ligt  geheel  in  het  gebied  x in  •■ 

2 

Vin  = h (44) 

Daar  i„  bovendien  normaal  is,  wordt  V in  symmetrisch  : 

V in  = “h  ........  . (45) 

Kiest  men  in  dit  laatste  geval  voor  .r""  de  lengte,  gemeten  van 
nit  een  bepaalde  V„-i  -b  i„  langs  de  krommen  der  congrnentie  i„, 
dan  wordt : 

ea  = Ca  ’ = in (46) 

5.  Onderling  orihogonale  V n—\- stelsels  door  een  gegeven  con- 

gruentie hij  eenduidig  bepaalde  kanonische  congruenties. 

Zij  gevraagd  bij  een  gegeven  i„  de  grondvariabelen  y\  . ■ ■ al- 
dus te  kiezen,  dat  de  bijbehoorende  aequiskalaire  F„_i  door  i„  gaan 
en  de  vektoren  Bj  = V yi,  j = 1,  . . n — 1,  onderling  loodrecht  zijn. 

Het  stelsel  vergelijking: 

i„ . V = 0 . . . . . . . . . . (47) 

Sft.Vyi=:0,  k^j (48) 

moet  dus  voor  iedere  waarde  van  j —2  onafhankelijke  oplossingen 
toelaten.  De  noodzakelijke  en  voldoende  voorwaarde  hiervoor  is 
volgens  (7) : 

in  ! V S&  — Sfc  1 V i„  = Ok  SA:  -f-  «n  in,  • . • • (49) 

waai’in  au  en  «„  willekeurige  coëfficiënten  zijn.  Daar  i„  X Sa;,  en 
dientengevolge ; 

i„l  7S;fc  = (VSifc)l  in  = V(sjt.in)-(7in)l  Sfc  = - ( V i J ^ Sfc,  . (50) 
is  (49)  aequivalent  met : 

’)  Vergelijk  Bianchi-Lukat,  Vorlesungen  über  Differentialgeometrie  (1899)  bidz. 
601,  form.  (7).  Men  kan  de  lioofdkromterichtingen  ook  definieeren  als  de  hoofdrich- 
tingen van  den  tweeden  fundamentaaltensor.  Dit  doet  Bianchi  bldz.  609,  618. 


209 


2(V'^i,i)l  Sk  — ~ itk  Sk  ~~  (^n  in  .....  (51) 

Deze  vergelijking  is  echter  van  den  vorm  (20)  en  elk  der  gezochte 
vektoren  vormt  dus  een  der  tot  i„  behoorende  kanonische  con- 
gruenties. Wij  beschouwen  nu  eerst  het  geval,  dat  de  7i — 1 wortels 
van  (24)  alle  verschillend  zijn.' In  dat  geval  moet  iedere  vektor 
met  een  bepaalde  i gelijk  gericht  zijn  : 

1 

ik  = <JkSk=  — Sk' (52) 

Oh 

De  n — bij  i„  behoorende  kanonische  congruenties  moeten  dus 
alle  F„_i-normaal  zijn.  Opdat  dit  het  geval  zij,  moet  i,,  aan  zekere 
voorwaarden  voldoen,  die  als  volgt  zijn  af  te  leiden. 

Toepassing  van  V op  (31)  leert; 

(7b)>.  U-f(VU)l  (V-h)i  b + |V(V-i„)i?iiijfc  = 0,j7^/;,(53) 

en  overschuiving  met  i„; 

in\  (7^)1  (7  ^ i„)l  ik  + i;d  (7  (7  - i,)'  ij  + ij  h in"  7(7in)=0.(54) 

Volgens  (46)  en  (51)  bevat  (7---i„)  1 U alleen  i*  en  i,,.  Verder  is  ij 
F„._i-normaal,  zoodat  volgens  (B) : 

■ (7v)Hfe=:Ul  (7ij)Mn  ......  (55) 

(54)  is  dus  aequivalent  met : 

-ik^.  (7  -i„)i  (7in)i  ij-i/  (7-in)i  (7in)l  ik  + ^ 7(7-i„)=0.  (56) 

Is  nu : 


dan  is ; 


1, . . . , n — 1 

= &n  Uil  bn  bn  = H ^ ij  ij  , . . . 

j 


(57) 


4 

g„  = a,,  b„  bn  an.  • (58) 

een  grootheid,  die  tweemaal  overschoven  met  een  willekeurigen  affinor 
van  den  tweeden  graad  de  komponente  van  dezen  affinor  in  de  Rn~i 
± i„  geeft.  Bij  invoering  van  den  tensor : 

4 

’p  = g„2|(i„.  V)(7'-in)-2  7’(7-in)M7in)i,  • • (59) 

gaat  dan  (56)  over  in 


ij  iit  ^ ’P  = 0.  i j,  ^ = 1,  2,  . . . , n — 1 


[C') 


De  eerste  voorwam'de  is  dus,  dat  de  tensor  ’p  dezelfde  hoofd- 
richtingen heeft  als  ’h. 

Daar  tengevolge  van  (19): 

gn  2 (in  . 7)  (7  - in)  = gn  ? (in  . 7)  ’H  + Un  Un,  . . . (60) 

14 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVllI.  A°.  1919/20. 


210 


en  tengevolge  van  (19)  en  (33): 


g,  2 2 T (V  - inY.  (V  in)  = 2 ’h  ' *h  f u„  u.  f gn  2 2 T’h  1 ,h,  (61) 


18: 


>p  = g„2(i„.V)‘h  — 2 7’‘hi  ,h  — 2’h'.  ’h.  . . . (62)  j 

Daar  "h  ^ 'h  dezelfde  hoofdrichtingen  heeft  als  ’h,  kan  men  ais  t 
eerste  voorwaarcle  dus  ook  stellen,  dat: 


g.  2 |(i„  . V)  >h  - 2 T ‘h  1 ,h| 
dezelfde  hoofdrichtingen  heeft  als  ^h: 


j(i„  . V)  ^h  — 2 T^h  ' ,\i]  = Q,jfk,j,k  = l,  2,..,n-l  . 


{C) 


{O  kan  rnen  ook  direkt  vinden  door  uit  te  gaan  van  (30),  en  dan 
dezelfde  redeneering  te  volgen  als  bij  de  afleiding  van  (C')- 

Om  een  tweede  voorwaarde  te  verkrijgen,  passen  we  V toe  op  (30), 
en  overschuiven  daarna  met  i/.  Dit  levert: 

|(i/ . V)  ij\  i/,2  'h  f {(i/  • V)  ik]  ij  2 ’h  + ij  ik  2 (i/ . V)  ’h  = 0 . (63) 

of,  in  verband  met  (29) : 

h ikii^.  V + f ij  i/  2 V i/t  f ■aijik'i  (i;  • V)  ’h  = 0 . . (64) 

of : 

{^■k  -h)  h ii  2 V ij  + y.ij  i/,2  (i/ . V)  ’h  = 0 . . . . (65) 

Nu  zijn  ij,  ik,  i/  alle  F), _i-normaal  en  onderling  loodrecht,  zoodat: 


ifc  i/  2 V ij  = i/  i/c  2 V ij  = — ij  h 2 V i/  = — • i*  b ? V i/  = ) 
= 1/^2  \7  ik  = ij  i/  2 v ij;.  — _ 2 7 I 

of: 

i/c  i/  2 V ij  = 0, 

en  dientengevolge  is  (65)  aequivalent  met: 

ij  ijfc?  (k  ■ V) ’h  = 0,  jfk,kfl,lfj,  j,  kj  = \ , 2, . . , n—l  . 
Daar  (Vi^)  ij  en  dus  (i/.V)(ij.  ij)  nul  is,  zoodat: 


(66) 

(67) 


ijij2(i/.V)’h.-:(i/.V)(ijij2’h), (68) 

zijn  ook  de  hoofdrichtingen  van  (i/.V)’h  eenduidig  bepaald. 

Aangezien  ;£(/.9  i/1  V ’h  de  geodetische  differentiaal  is  van ’h  bij  een 
verplaatsing  ds  in  de  richting  van  i/,  dinkt  de  tweede  voorwaarde 
{D)  dus  uit,  dat  bij  een  verplaatsing  in  een  richting,  loodrecht  op  i„ 
en  loodrecht  op  m ^ n — 2 der  bij  i„  behoorende  kanonische  richtingen, 

de  kom  ponente  van  de  geodetische  dijferentiaal  van  ’h  in  de  door 
deze  m richtingen  bepaalde  hoofdrichtmgen  heeft,  die  met  m der 
hoofdrichtingen  van  samenvallen. 


i 


211 


De  beide  voorwaarden  (C)  en  {D)  zijn  behalve  noodzakelijk  ook 
voldoende.  Immers,  nit  {€)  of  (C")>  ^'6  volkomen  aequivalent  zijn 
volgt  (56),  terwijl  uit  (30)  verg.  (54)  volgt.  Vergelijking  van  (54)  en 
(56)  geeft  (55).  üit  (D)  volgt  na  vergelijking  met  de  nit  (30)  volgende 
vergelijking  (65)  vergelijking  (67).  Doch  (55)  en  (67)  toonen  aan,  dat 
de  congruentie  tj  F),_i-normaal  is. 

Wij  hebben  dus  ten  slotte  het  resultaat: 

Opdat  door  de  congruentie  \n,  waarvan  de  hijbeho  o rende  algebraïsche 
karahteristieke  vergelijking  slechts  ongelijke  wortels  heeft,  n — 1 onderling 
orthogonale  k^n—i  9^l<^9(l  kunnen  ivorden,  is  het  noodzakelijk  en  vol- 
doende, dat  i,j  voldoet  aan  de  voorwaarden  (C)  en  {D).  ') 

Het  aantal  der  vergelijkingen  (6’)  is  ^ ^ het  aantal  der 


vergelijkingen  [D]  is,  in  verband  met  het  feit,  dat  men  j en  k mag 
verwisselen,  zonder  dat  een  nieuwe  vergelijking  ontstaat,  j en  / 

echter  niet,  ’)  Als  differentiaalvergelijkingen  in  de 

kentallen  van  in  zijn  beide  stelsels  {O  en  (D)  van  de  tweede  orde. 


6.  Vereenvoudigingen  voor  het  geval,  dat  de  gegeven  congruentie 
Vn—i-normaal  is.  Is  i„  F),_i-normaal,  dan  wordt  jlizrzO,  wordt 
de  eerste  en  de  tweede  fundamentaaltensor  der  V„—i  ± in-  Zijn 
hoofdrichtingen  bepalen  de  kromterichtingen.  (61)  gaat  over  in: 

g!,2^2r(7-i„)MVi„)  = 2’hi»h  + xu„Un,.  . . (69) 

en  (62)  in : 

’p  = g„2(i„.v)*h-2*hi^h  .....  (70) 


{€)  gaat  over  in  : 

ij  iic  ? {in  . V)  ’h  = 0, 


(Q 


en  verkrijgt  daarmede  dezelfde  gedaante  als  (D). 
Op  analoge  wijze  als  bij  (68)  blijkt : 


ij  ijt  2 (in  • V)  ’h  = (in . V)  (ij  i/C  2 *h) (71) 

1)  (C')  is  het  eerst  door  Ricci  afgeleid,  Dei  sistemi,  vergel.  (A),  bldz.  309.  (D) 

komt  bij  hem  voor  in  den  minder  eenvoudigen  vorm; 

ij  hiO.VfJ^  y = Uv  • Un)  ij  i/  2 V in  + è (ij  . u,,)  V V (D') 

als  vergelijking  (B),  bldz.  309.  (D')  ontstaat,  wanneer  de  bewerking  (i/ . V)  toege- 

past wordt  op  (31).  (C)  en  (D)  zijn  gevolgtrekkingen  uit  (30),  (C')  en  (D')  uit  (31). 
Hier  hebben  wij  eerst  {C')  afgeleid,  omdat  de  voorwaarde  in  dezen  vorm  identiek 
is  met  de  voorwaarde,  die  voor  is  gegeven  door  Lilienthal,  en  die  voor 
het  probleem  zeer  belangrijk  is,  zooals  in  het  tweede  gedeelte  van  deze  verhandeling 
zal  blijken. 

-)  G.  Ricci,  Sui  sistemi,  bldz.  152. 


212 


zoodat  ook  de  hoofdrichtingen  van  >{(i„  . V)  ’li  eenduidig  zijn  bepaald. 

In  verband  met  de  reeds  gevonden  meetkundige  interpretatie  van 
{D)  hebben  wij  dus  het  volgende  theorema  verkregen. 

I.  Een  stelsel  van  oc^  F„_i  in  een  F„,  waarvan  de  tweede  funda- 
mentaaltensor  ’h,  behalve  op  bepaalde  Fr,  ^ ^ — 1 eenduidig 
bepaalde  hoofdrichtingen  heeft,  behoort  dan  en  dan  alleen  tot  een 
n-voudig  orthogonaalstelsel,  indien  bij  een  verplaatsing  loodrecht  op  m 
der  hoojdrichtingen  de  komponente  van  de  geodetische  differentiaal 
van  ’h  in  de  door  deze  m richtingen  bepaalde  Rm  hoofdrichtingen 
heeft,  die  met  de  genoemde  m hoofdrichtingen  van  ’h  samenvallen. 

Dit  theorema  is  voor  een  stelsel  F,  in  de  Zf,  uitgesproken  door 
Maurice  Levy  ^). 

Zijn  de  hoofdrichtingen  van  ’h  voor  een  zeker  punt  P niet  een- 
duidig bepaald,  dan  volgt  uit  (68),  dat  dan  de  hoofdrichtingen  van 
it{in  . V)  ’h,  en  dientengevolge  die  van  ’h,  voor  alle  punten  van  een 
kromme  der  congruentie  in  door  F op  dezelfde  wijze  onbepaald  zijn. 
Hieruit  blijkt  de  stelling; 

II.  Bij  een  stelsel  van  oo^  F„_i  in  een  Vn,  dat  tot  een  n-voudig 
orthogonaal  stelsel  behoort,  liggen  de  punten,  waar  alle  of  enkele 
kromtelijnen  geen  eenduidig  bepaalde  richting  hebben  [umbilicaal punten 
in  ruimeren  zin)  op  meetkundige  plaatsen,  die  gevormd  worden  door 
krommen  der  congruentie,  loodrecht  op  de  F),— i- 

Ook  deze  stelling  is  voor  een  stelsel  F,  in  de  door  M.  Lévy 
het  eerst  uitgesproken.’) 

Daar  de  kentallen  van  uitgedrukt  kunnen  worden  in  de  eerste 
ditferentiaalquotienten  van  den  parameter,  die  het  stelsel  der  F„_i 
bepaalt,  worden  de  vergelijkingen  (C)  en  (D)  partiëele  differentiaal- 
vergelijkingen van  de  derde  orde  in  dezen  parameter. 

b M.  Lévy.  Mémoire  sur  les  coördonnées  curvilignes  orthogonales.  Journal  de 
l’Ecole  Imp.  Polytechnique  26  (70)  157 — 200,  bldz.  159. 

®)  M.  Lévy.  Mémoire  etc.  bldz.  174. 

Voor  een  kort  overzicht  over  en  een  bespreking  van  de  literatuur  over  deze 
differentiaalvergelijking  van  de  derde  orde  bij  een  stelsel  in  de  Bg  (want  hier 
vervalt  (D)  en  reduceert  het  stelsel  (C)  zich  tot  één  enkele  vergelijking),  zie 
Lucien  Lévy,  Sur  les  systèmes  de  surfaces  triplement  orthogonaux.  Mém.  cou- 
ronnés  et  Mém.  des  savants  étrangers,  Bruxelles  54  (96),  89  bldz.,  bldz.  5 en  volgende. 


Seiieikiin.de.  — De  Heer  Böeseken  doet  eene  mededeeling,  mede 
namens  den  Heer  Chr.  van  Loon;  „Over  de  configuratie- 
bepaling  der  cyclische  cis-trans-diolen  en  de  verstoringen  in  de 
rangschikJdng  der  atomen  en  atoomgroepen  hij  chemische  reacties.” 

In  vorige  mededeeiingen  waarin  de  configuratie  der  hydrindeen- 
diolen  besproken  is,  hebben  wij  er  de  aandacht  op  gevestigd  dat 
het  indeenoxyde,  wanneer  dit  wordt  gehydrateerd,  zoowel  het  cis-diol, 
als  het  trans-diol  kan  geven.  Wij  hebben  intusschen  vastgesteld,  dat 
de  hoeveelheden  dezer  diolen  afhankelijk  zijn  van  de  reactie  van  het 
medium,  in  zoover  het  trans-diol  vooral  gevormd  woi’dt  in  alkalisch 
milieu. 

Nu  is  het  ontstaan  van  trans-diol  uit  het  oxyde,  met  het  oog  op 
de  waarschijnlijke  ligging  der  atomen  in  het  laatste  raolekuul  op- 
merkelijk; n^en  zoude  het  cis-diol  verwachten. 


Het  was  nu  van  het  hoogste  belang  om  de  configuratie  van  het 
cis-  en  trans-diol,  met  alle  zekerheid  vast  te  stellen.  Ongelukkiger- 
wijze kan  hier  de  klassieke  methode,  de  al  of  niet  splitsing  in  optische 
isomeren,  niet  ter  hulp  worden  geroepen,  omdat  de  beide  diolen 
asymmetrisch  zijn  en  derhalve  splitsbaar,  zoodat  een  andere  methode 
moest  worden  gezocht. 

Wij  hadden  reeds  aangetoond,  dat  één  der  diolen  de  geleidbaarheid 
van  het  boorzuur  vermeerderde,  de  andere  niet  en  wij  hebben  gemeend, 
zooals  nader  blijken  zal  terecht,  aan  de  eerste  de  cis-,  aan  de  tweede 
de  trans-configuratie  te  mogen  toekennen. 

[Ik  mag  hierbij  als  bekend  veronderstellen,  dat  bij  een  aantal 
gevallen  gebleken  is,  dat  de  vermeerdering  van  de  zure  eigenschap- 
pen van  het  boorzuur  berust  op  de  vorming  van  complexe  dissocia- 
bele  verbindingen,  hetgeen  vooral  plaats  grijpt  wanneer  twee  OH- 
groepen  ,, gunstig”  ten  opzichte  van  het  boorzuur  gelegen  zijn]. 


214 


Daar  dit  eenige  argument  staat  of  valt  met  het  doeltreffende  van 
de  boorzuurmethode  dient  het  te  worden  getoetst  aan  ons  onderzoek 
inzake  de  cyclopentaandiolen. 

Hier  toch  kannen  wij  de  boorzuur-methode  controleeren  met  de 
klassieke  methode,  daar  alleen  het  trans-diol  niet  met  zijn  spiegel- 
beeld dekbaar  is  en  derhalve  alleen  deze  stof  in  zijn  optische  isomeren 
splitsbaar  moet  zijn. 

Wij  zullen  hier  niet  in  bijzonderheden  treden  over  de  bereiding 
dezer  beide  diolen ; wij  volstaan  met  de  mededeeling,  dat  het  eene 
diol  werd  bereid  door  hjdratatie  van  het  cyclopenteenoxyde,  terwijl 
het  andere  uit  cyclopenteen  door  oxydatie  met  KMnO^  werd  gewonnen. 

De  eigenschappen  der  diolen  zijn  de  volgende : 


Smp. 

Kp. 

Sm.  diphenyl- 
urethaan. 

Sm.  di-p.  nitro- 
benzoaat. 

C5Hs(OH)2  uit  CsHg  en  KMn04 

290—30= 

123.9=29 

205° 

1170—118° 

CsHsfOH)^  uit  CsHgO  en  HjO 

540.5-55° 

136021.5 

221° 

145° 

Om  nu  met  zekerheid  uit  te  maken  welke  van  deze  twee  glycolen 
het  cis-  en  welke  het  trans-diol  was,  werden  ze  met  l-menthylisocyanaat 
behandeld,  waarbij  het  eerste  één  enkel  di-l-menthylurethaan  gaf, 
terwijl  het  hoogsmeltende  diol  een  mengsel  van  di-menthylurethanen 
met  zeer  verschillend  draaiend  vermogen  opleverde.  Zonder  deze 
urethanen  af  te  zonderen  en  te  verzeepen  kunnen  wij  het  besluit 
trekken,  dat  hierbij  de  urethanen  van  het  trans-diol  waren  gevormd 
en  wel  d-trans-diol-di-l-menthylurethaan  en  l-tmns-diol-di-I-menthyl- 
urethaan. 

Daarmede  is  echter  nog  niet  zonder  nadere  toelichting  te  besluiten 
dat  nu  ook  het  hoogsmeltende  diol  het  trans-diol  was.  Er  zoude 
immers  tijdens  de  inwerking  van  het  l-menthylisocyanaat  een  soort 
van  Walden’sche  omkeering  kannen  zijn  ingetreden. 

Bij  nadere  overweging  is  dit  echter  in  hooge  mate  onwaarschijnlijk. 
Zooals  wij  in  onze  vorige  mededeeling  hebben  uiteengezet  is  een 
zoodanige  contigaratie-wisseling  alleen  te  verwachten,  wanneer  de 
reactie  intreedt  aan  het  atoom,  dat  de  rangschikking  beheerscht. 
Dit  nu  is  hier  niet  het  geval : 

= C— O— H + RNCO  = =C-0— CO  - 

* ^ I 


RNH 


215 


aangezien  de  reactie  plaats  heeft,  door  splitsing-  van  de  O— H- 
binding,  en  het  tjpische  C-atoom  dus  met  rust  wordt  gelaten  ^). 

Wij  mogen  derhalve  met  groote  zekerheid-  besluiten,  dat  het  hoog- 
sraeltende  isomeer  het  trans-diol  is,  het  laagsmeltende  bet  cis-diol. 

Vervolgens  werd  het  gedrag  der  beide  diolen  ten  opzichte  van 
het  boorzuur  bestudeerd. 

Inderdaad  werd  gevonden,  dat  het  cis-diol  de  geleidbaarheid  van 
het  boorzuur  aanmerkelijk  vermeerderde,  terwijl  het  trans-diol  een 
geringe  vermindering  veroorzaakte. 

De  boorzuiir-methode  blijkt  dus  alleen  een  positief  resultaat  op  te 
leveren  in  het  geval,  dat  de  OH-groepen  in  elkanders  nabijheid  liggen. 

Wij  kunnen  dus  nu  ook  met  volkomen  zekerheid  zeggen,  dat  het 
hydrindeendiol  (z.  v.  m.)  smp.  108°,  dat  de  geleidbaarheid  van  het 
boorzuur  vermeerdert,  het  cis-hydrindeen  diol,  terwijl  het  hoog- 
smeltende  (159°)  zonder  eenigen  twijfel  het  transdiol  is.  Dit  laatste 
oefent  een  geringe  vermindering  uit  op  de  geleidbaarheid  van  het 
boorzuur. 

Daartoe  aangespoord  door  een  mededeeling  van  E.  Fischer  (B.  28, 
1146,  2496  (1895))  over  de  gemakkeiijke  vorming  van  cyclische 
additie-verbindingen  van  polyalkoliolen  met  aldehyden  en  ketonen 
heeft  een  onzer  (Chr.  van  Loon)  een  voorloopig  onderzoek  ingesleld 
naar  het  gedrag  dezer  stereoisomerediolen  ten  opzichte  van  aceton. 

Hierbij  worden  vijf-  (of  zes-)  ringen  gevormd  van  het  type: 


-C-O 


-C— O- 


Hoewel  het  niet  geheel  zeker  is,  is  het  toch  hoogstwaarschijnlijk, 
dat  bij  deze  condensatie  de  toonaangevende  C-atomen  buitenspel  zijn, 
zoodat  ook  hierbij  een  configuratie-verandering  in  den  zin  van  de 
WALDEN’sche  omkeering  wel  buitengesloten  is. 

Met  verrassend  gemak  ontstond  zoowel  bij  het  cis-hydrindeendiol 
als  bij  het  cis-cyclopentaandiol  het  verwachte  condensatie-prodnkt, 
terwijl  de  trans-verbindingen  onder  dezelfde  omstandigheden  [24  uur 
laten  staan  met  een  overmaat  20  : 1 zuiver  aceton,  waarin  1 Vo  HCl 
was  opgelost]  absoluut  onveranderd  bleven. 

Wij  hebben  van  deze  methode  onmiddellijk  gebruik  gemaakt  om 
de  configuratie  van  de  cyclohexaandiolen  vast  te  doen  stellen. 

‘)  Het  is  om  deze  reden,  dat  wij  andere  splitsingsmethoden  (bijv.  verestering 
met  actieve  zuren)  niet  hebben  aangewend,  omdat  daarbij  de  geheele  OH-groep 
kan  worden  verplaatst  en  alsdan  het  asymmetrie  bepalende  G-atoom  wordt  aangetast. 


216 


Deze  beide  verbindingen  waren  gemaakt  door 

1°,  Inwerking  van  kali  op  het  cjclohexeenjoodlijdrine  volgens 
Brunel,  waarbij  het  oxyd  als  tusschenprodukt  mag  worden  aange- 
nomen. 

Dit  diol,  smeltend  bij  104°,  werd  door  Brünel  krachtens  zijn 
ontstaan  uit  het  oxjde  aangemerkt  voor  cis-diol. 

2°.  Oxjdatie  van  cj'Clohexeen  met  KMnO^,  waarbij  een  verbinding 
ontstaat  die  bij  99°  smelt  en  welke  dus  aangezien  werd  voor  het 
transdiol. 

Daar  echter  deze  laatste  verbinding  volgens  proeven  van  H.  Gr.  Derx 
kwantitatief  de  aceton-verbinding  gaf  terwijl  de  bij  104°  smeltende 
niet  in  reactie  trad,  moeten  wij  haar  de  cis-configuratie  toekennen. 

Merkwaardigerwijze  oefent  zij  een  geringen  negatieven  invloed  uit 
op  de  geleidbaarheid  van  het  boorzuur,  zoodat  in  dit  geval  de  aceton- 
methode  betrouwbaarder  is,  dan  de  boorzuur-methode. 

Wij  moeten  echter  opmerken,  dat  de  klassieke  methode  door 
inwerking  van  een  actief  isocjanaat  nog  niet  is  toegepast. 

Bij  de  cyclopentaandiolen  is  dus  op  drie  volkomen  van  elkander 
onafhankelijke  wijzen  de  configuratie  vastgesteld;  de  betrouwbaar- 
heid der  boorzuur-methode  is  daardoor  in  sterke  mate  verhoogd, 
terwijl  de  aceton-methode  nog  nader  zal  moeten  worden  bestudeerd. 
Zij  heeft  het  groote  voordeel  snel  tot  het  doel  te  voeren ; heeft  echter 
het  nadeel,  dat  onder  invloed  van  het  condensatie-raiddel  (HCl) 
omleggingen  niet  geheel  buitengesloten  zijn. 

De  vaststelling  van  de  configuratie  der  cyclische  1.2-diolen  heeft 
het  merkwaardige  feit  aan  het  licht  gebracht,  dat  bij  de  aanlegging 
van  water  aan  de  oxyden  niet  uitsluitend  het  verwachte  cis-diol 
ontstaat,  maar  daarnaast  en  soms  uitsluitend  het  trans-isomeer. 

Komt  dus  aan  het  oxyde  een  configuratie  toe  waarbij  het  zuurstof- 
atoom buiten  den  cyclopentaaii-ring  valt,  welke  met  het  oog  op  de 
materie-verdeeling  de  meest  waarschijnlijke  is,  dan  moet  er  bij  de 
drie-ring-opening  een  omkeering  intreden. 

Het  is  merkwaardig,  dat  deze  omkeering  bij  de  symmetrische 
oxyden  van  het  cyclopenteen  en  cyclohexeen  vrijwel  volledig  is  en 
wel  onder  alle  omstandigheden,  terwijl  zij  bij  het  asymmetrische 
indeen-oxyde  afhankelijk  is  van  de  reactie  van  het  medium. 

Een  zeer  geringe  alkalische  reactie  doet  de  hoeveelheid  cis-diol, 
die  in  zi^ur  medium  in  hoofdzaak  ontstaat,  tot  nul  naderen. 

Er  moge  op  gewezen  worden,  dat  bij  de  reactie  in  alkalisch  milieu 
steeds  '^-kiidrindon  gevormd  wordt  (of  een  condensatie-produkt  daar- 
van), zoodat  door  het  alkali  de  /i-CO-binding  losser  schijnt  te  worden. 


217 


Aarigezien  nu  juist  hierbij  het  trans-diol  gevormd  wordt  en  een 
Walden’sche  omkeei'ing  niet  anders  kan  plaats  vinden  dan  aan  liet 
atoom  dat  de  stereoisomerie  bepaalt,  is  het  zeer  waarschijnlijk,  dat 
de  configuratie-wisseling  aan  het  a-C-atoora  plaats  grijpt. 


Een  tweede  opmerking  moge  ten  slotte  gemaakt  worden  over  de 
oxjdatie  van  het  cyclopenteen  en  het  cyclohexeen  door  KMnO^.  Er 
blijken  daarbij,  ten  minste  in  hoofdzaak,  de  cis-diolen  te  ontstaan. 
Hieruit  volgt,  dat  de  oxyden  geen  tusschenprodukten  kunnen  zijn, 
daar  deze  onder  de  omstandigheden  van  het  experiment  in  de  trans- 
diolen  zouden  overgaan. 

Wellicht  houdt  de  voorkeur  van  de  vorming  der  cis-diolen  door 
KMnO^  samen  met  het  ontstaan  van  complexe  verbindingen  van  het 
drie  waardige  mangaan. 

Er  is  toch  eenerzijds  gebleken  dat  de  oxydatie  van  oxaalzuur  door 
KMnO^  juist  ook  bij  de  vorming  van  deze  mangani-verbindingen  intreedt 
terwijl  anderzijds  gevonden  is,  dat  de  ff-Oxyzuren  zeer  tot  het  vormen 
van  complexe  mangani-verbindingen  geneigd  zijn.  Bij  deze  verbin- 
dingen zijn  de  hydroxyl-groepen  gunstig  gelegen,  zooals  uit  de 
metingen  met  boorzuur  gebleken  is.  Men  zou  dan  hier  moeten  aan- 
nemen, dat  de  mogelijkheid  \an  vorming  dezer  complexen  met  de 
cis-diolen  een  zekeren  drang  zou  uitoefenen  op  hun  ontstaan. 

Er  is  dan  echter  ook  een  gemakkelijke  verdere  oxydatie  der  cis- 
diolen  te  verwachten,  evenals  de  «-oxyzuren  ook  gemakkelijk  door 
mangani-hydroxyde  worden  aangegrepen.  Dit  zoude  dan  de  zeer 
slechte  opbrengsten  kunnen  verklaren,  die  de  20  "/o  i'iöt  overschreden  ; 
een  nadere  studie  zal  dit  echter  moeten  ophelderen. 

Dordrecht 


Juni  1919. 


Delft 


218 


Natuurkunde.  — De  Heer  Kamerltngh  Onnes  biedt  eene  mede- 
deeling  aan  over:  „Verdere  proeven  met  vloeibaar  helium. 

(Deze  mededeeling  zal  opgenomen  worden  in  het  volgende 

Zittingsverslag). 

Ter  uitgave  in  de  Werken  der  Akadeniie  wordt  door  den  Heer 
J.  Boeke,  namens  den  Heer  O.  C.  Heringa,  aangeboden  het  manu- 
script van  diens  verhandeling;  ,,Untersuchungen  über  den  Bau  und 
die  Entwicklung  des  sensibeln  peripheren  Nervensystems.” 

De  Voorzitter  stelt  het  manuscript  in  handen  van  de  Heeren  J. 
Boeke  en  C.  Winkler  met  verzoek  om  rapport,  uit  te  brengen  in 
de  volgende  vergadering. 

De  Heer  Ernst  Cohen  biedt  voor  de  boekerij  ten  geschenke  aan 
een  exemplaar  van  het  door  hem  met  den  Heer  W.  Schut  uitge- 
geven werk  : „Piezochemie  kondensierter  Systeme” . 

De  vergadering  wordt  gesloten. 


25  November  1919. 


KONINKLIJKE  AKADEMIE  VAN  WETENSCHAPPEN 

TE  AMSTERDAM. 


VERSLAG  VAN  DE  GEWONE  VERGADERING 
DER  WIS-  EN  NATUURKUNDIGE  AFDEELING 

VAN  ZATERDAG  27  SEPTEMBER  1919. 

Deel  XXVIII. 

N^.  3. 


Voorzitter:  de  Heer  H.  A.  Lorentz. 
Secretaris:  de  Heer  P.  Zeeman. 


INHOUD. 

Ingekomen  stukken,  p.  220. 

In  memoriam  A.  P.  N.  Franchimont,  p.  222. 

Rapport  van  de  Heeren  J.  BOEKE  en  C.  WINKLER  over  eene  ter  uitgave  inde  Werken  derAkademie 
aangeboden  verhandeling  van  den  Heer  Q.  C.  HERINGA:  „Untersuchungen  über  den  Bau  und 
die  Entwickelung  des  sensibelen  periferen  Nervensystems”,  p.  226. 

Mededeeling  van  een  schrijven  van  de  commissie  van  uitvoering  van  het  Zoölogisch  Insulinde- 
Fonds,  p.  228. 

F.  A.  H.  SCHRElNEMAKERS : „In-,  mono-  en  divariante  evenwichten”.  XIX.  p.  229. 

P.  H.  J.  Hoenen  S.  J.:  „Uitbreiding  der  wet  van  BRAUN  ’.  (Aangeboden  door  de  Heeren  F.  A.  H. 
SCHRElNEMAKERS  en  H.  A.  LORENTZ),  p.  233 

P.  H.  J.  HOENEN  S.  J.:  „Druk-  en  temperatuur-coëfficienten,  volume- en  warmte-effecten  in  bivariante 
stelsels  ’.  (Aangeboden  door  de  Heeren  F.  A.  H.  Schreinemakers  en  H.  A.  Lorentz),  238. 

J.  W.  Le  Heux:  „De  afhankelijkheid  der  werking  van  atropine  op  den  darm  van  diens  cholinegehalte.” 
(Aangeboden  door  de  Heeren  R.  MAGNUS  en  C.  A.  PEKELHARING),  p.  243. 

A.  DE  Kleyn  en  C.  R.  .1.  VERSTEEGH:  „Over  de  al  of  niet  labyrinthaire  genese  van  den  donker- 
nystagmus  bij  honden  ”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  R.  MAGNUS  en  H.  ZWAARDEMAKER),  p.  253. 

W.  Storm  van  Leeuwen  en  Mej.  M.  van  der  Made:  „Onderzoekingen  over  scopolamine-morphine- 
narcose”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  R.  MAGNUS  en  H.  ZwaardemakeR),  p.  255. 

J.  C.  KluyveR:  „Over  de  reeks  van  LAMBERT,  p.  262. 

JAN  DE  VRIES:  „Involuties  in  het  cirkelveld’,  p.  270. 

H.  J.  Backer  en  J.  V.  DUBSKY:  „De  bereiding  van  a-sulfopropionzuur".  (Aangeboden  door  de 
Heeren  F.  M.  JAEGER  en  P.  VAN  ROMBURGH),  p.  274. 

H.  B.  A BOEKWINKEL:  „Over  een  merkwaardige  funksionele  relatie  in  de  teorie  van  de  koeffisient- 
funksies”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  H.  A.  Lorentz  en  J.  C.  Kluyver).  p.  276. 

L.  S.  ORNSTEIN  en  F.  Zernike:  „Energiewisselingen  der  zwarte  straling  en  lichtatomen (Aan- 
geboden door  de  Heeren  H.  A.  LORENTZ  en  P.  Ehrenfest),  p.  281. 

N.  Q.  W.  H.  BeegeR:  „Bepaling  van  het  aantal  klassen  der  idealen  van  alle  deellichamen  van  het 
cirkellichaam  der  m-de  machtswortels  uit  de  eenheid,  waarbij  het  getal  m door  meer  dan  één 
priemgetal  deelbaar  is”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  W.  Kapteyn  en  Jan  de  Vries),  p.  293. 

H.  GROOT:  „Over  de  Effectieve  Zonnetemperatuur”  (2e  mededeeling).  (Aangeboden  door  de  Heeren 
W.  H.  JULIUS  en  H.  HAGAl,  p.  312. 

H.  J.  HAMBURGER:  „Voortgezette  onderzoekingen  over  de  Permeabiliteit  der  Glomerulusmembraan 
voor  Stereoisomere  Suikers”,  p.  318. 

H.  J.  HAMBURGER:  „De  partieele  Permeabiliteit  der  Glomerulusmembraan  voor  d-galactose  en  eenige 
andere  multiroteerende  Suikers”,  p.  327. 

J.  WOLFF:  „Eenige  toepassingen  van  de  quasi-uniforme  convergentie  op  reeksen  van  reëele  en  van 
holomorfe  functies”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  L.  E.  J.  BROUWER  en  J.  C.  KLUYVERi,  p.341. 

J.  A.  Schouten  en  D.  J.  Struik:  „Over  n-voudig  orthogonale  stelsels  van  n-1  dimensionale  uit- 
gebreidheden in  een  algemeene  uitgebreidheid  van  n-afmetingen”.  (Aangeboden  door  de  Heeren 
J.  Cardinaal  en  H.  a.  Lorentz).  p.  353. 

Aanbieding  van  boekgeschenken,  p.  353. 


15 


Verslagen  der  Afdeellng  Natuiirk.  Dl.  XXVlll.  .4®.  1919/20. 


220 


Hel  Pi'oces-verbaal  der  vorige  vergadering  wordt  gelezen  en  goed- 
gekeurd. 

Ingekoraen  zijn  : 

1“.  Kennisgeving  van  de  Heeren  G.  A.  F.  Moi.engraaff,  H.  J. 
Hamburger  en  S.  Hoogewerff.  dat  zij  verhinderd  zijn  de  vergadering 
bij  te  wonen. 

2'.  Eene  missive  van  Zijne  Exc.  den  Minister  van  Onderwijs, 
Kunsten  en  Wetenschappen  dd.  22  Augustus  1919,  N“.  2931,  Afd. 
K.  W.  met  verzoek  om  liet  advies  der  Afdeeling  te  mogen  vernemen 
over  een  request  om  Rijkssubsidie  ad  f 2000.—  ten  behoeve  van 
de  Publicalie-Commissie  van  liet  Geologisch  Mijnbouwkundig  Genoot- 
schap  voor  Nederland  en  Koloniën,  waarop  ten  vervolge  van  den- 
zelfden  Minister  ontvangen  werd  eene  missive  van  den  27  September 
d.a.v.  N“.  3439,  Afd.  K.  W.,  waarbij  (er  kennisneming  was  inge- 
sloten een  requesl  van  dezelfde  strekking  als  dat  bij  ’s  Ministers 
schrijven  van  22  Augustus  overgelegd  en  Zijne  Excellentie  toege- 
zonden door  het  Bestuur  van  voormeld  Genootschap. 

De  Voorzitter  stelt  de  stukken  in  handen  van  de  Heeren  M.  W. 
Bemerinck  en  .1.  F.  van  Bemmelen  met  verzoek  om  prae-advies,  uit 
te  brengen  in  de  volgende  vergadering. 

3°.  Eene  missive  van  Zijne  Exc.  den  Minister  van  Waterstaat  dd. 
1 Juli  1919,  N“.  239,  Afd.  Waterstaat  T,  met  verzoek  om  een  lid 
der  Afdeeling  aan  te  wijzen,  dat  zitting  zou  willen  nemen  als  lid 
der  Commissie  van  Toezicht  op  den  Geologischen  Dienst,  op  welke 
missive  als  vervolg  ontvangen  werd  van  denzelfden  Minister  een 
missive  van  17  Juli  1919,  N".  245,  Afd.  Waterstaat  T met  bericht 
dat  het  den  Minister  aangenaam  zou  zijn  als  uit  de  leden  der 
Afdeeling  twee  personen  werden  aangewezen  om  als  leden  in  boven- 
genoemde Commissie  zitting  te  nemen. 

Door  den  Voorzitter  werden  reeds  aangezocht  de  leden  der 
Afdeeling.  de  Heeren  K.  Martin  on  G.  A.  F.  Molengraaff,  die 
zich  bereid  verklaarden  het  lidmaatschap  dier  Commissie  te  aan- 
vaarden. 

Aan  den  Minister  zal  hiervan  mededeeling  gedaan  worden. 

4'.  Brieven  van  de  Heeren  C.  Braak  te  Weltevreden  en  O.  de 
Vries  te  Buitenzorg,  met  bericht  van  beiden  dat  zij  hunne  benoeming 
tot  Correspondent  der  Afdeeling  gaarne  aannemen. 

Voor  kennisgeving  aangenomen. 


221 


5*.  Brief  van  den  Heer  Axel  Holst,  hoogleeraar  aan  de  Üniver- 
siteit  te  Kristiania,  met  bericlit  dat  iiij  zijne  benoeming  tot  buiten- 
landsch  lid  der  Afdeeling  gaarne  aanneemt. 

Voor  kennisgeving  aangenomen. 

6“.  Bericht  van  het  overlijden  te  Berlijn  op  15  Juli  1919  van  het 
buitenlandsch  lid  der  Afdeeling,  den  Heer  Emil  Fischer. 

Dit  bericht  werd  met  een  brief  van  rouwbeklag  beantwoord, 
waarvoor  reeds  een  dankzegging  is  ontvangen. 

Bij  het  vermelden  van  dit  overlijden  herinnert  de  Voorzitter  tevens 
aan  het  verlies,  dat  de  Afdeeling  geleden  heeft  in  den  dood  \an 
nog  een  buitenlandsch  lid.  Lord  Rayleigh,  van  wiens  overlijden 
geen  bericht  ontvangen  is. 

Aan  de  nagedachtenis  van  beide  overledenen  wijdt  de  Voorzitter 
een  woord  van  sympathie  en  hulde. 

7“.  Bericht  van  het  Bestuur  der  ,,Senckenbergische  naturforschende 
Geselhcliaft"  te  Frank furt  a/M,  dat  aldaar  den  24  Augustus  1919 
haar  eerste  Direkteur,  de  Heer  August  Knobt.auch,  is  overleden. 

Dit  bericht  is  met  een  brief  van  rouwbeklag  beantwoord. 

8“.  Bericht  van  het  overlijden  op  2 Juli  1919  van  het  rustend  lid 
der  Afdeeling,  den  Heer  A.  P.  N.  Franchimont. 

Dit  bericht  werd  met  een  brief  van  rouwbeklag  beantwoord. 


15* 


Naar  aatiieidiiig  van  dit  overlijden  zegt  de  Voorzitter: 
ANTOINE  PAUL  NICOLAS  PRANCHIMONT, 
die  ons  weinige  dagen  na  onze  laatste  vergadering  ontviel, 
was  een  scheikundige  van  groote  beteekenis,  die  tot  de 
ontwikkeling  van  het  deel  der  wetenschap,  waaraan  hij  zich 
wijdde,  in  hooge  mate  heeft  bijgedragen  en  de  beoefening 
daarvan  in  Nederland  krachtig  heeft  bevorderd. 

Hij  werd  den  lOden  Mei  1844  te  Leiden  geboren  en  Avas 
een  leerling  van  het  gymnasium  en  de  LTniversiteit  daar 
tei'  stede.  Dit  laatste  echter  eerst  op  iets  lateren  leeftijd ; hij 
had  in  1864  het  apothekersexamen  gedaan  en  zich  in  1866 
als  a|)otheker  ge\estigd.  Maar  al  spoedig  gevoelde  hij  in 
dezen  werkkring  niet  voldoende  bevrediging  van  zijn  zucht 
naar  zuivere  wetenschap  te  kunnen  vinden;  in  1869  verliet 
hij  zijne  apotheek,  na  het  jaar  te  voi’en  als  student  te  zijn 
ingeschre\'en.  In  korten  tijd  volbracht  hij  zijn  studiën ; reeds 
den  24sten  Maart  1871  verwierf  hij  den  doctorstitel  opeen 
proefschrift:  ,, Bijdrage  tot  de  kennis  van  het  ontstaan  en 
de  chemische  constitutie  der  zoogenaamde  Terpeenhai’sen”. 

Van  grooten  invloed  op  zijn  verdere  ontwikkeling  is  een 
daaro|)  volgend  verblijf  in  het  buitenland  geweest.  Te  Bonn 
vond  hij  bij  Kekulé,  wiens  privaatassistent  hij  werd  en  in 
wiens  laboratorium  hij  menig  onderzoek  verrichtte,  een 
opwekking  die  hij  steeds  dankbaar  herdacht  heeft.  Het 
volgend  jaar,  van  Augustus  1872  tot  den  herfst  van  1873, 
was  hij  te  Parijs  als  assistent  van  Wurtz  werkzaam.  Hij 
voelde  zich  zeer  tot  dezen  aangetrokken,  en  sloot  zich  bij 
Frikdee,  Le  Bee  en  andere  voortreffelijke  vertegenwoordigers 
der  Fransche  scheikunde  aan. 

Na  zijn  terugkeer  uit  Parijs  was  Franchimont  eenigen 
tijd  leeraar  aan  de  Hoogere  Burgerschool  met  voortgezet 
landbouwonderwijs  te  Wageningen,  terwijl  hij  reeds  van 
1869  tot  1871  te  Leiden  onderwijs  had  gegeven  aan  de 


avondschool  van  het  Genootschaf)  ,,  Mathesis  S(‘ientiaiLiin 
Genitrix”.  Ook  liet  verblijf  Ie  Wageningen  was  van  korten 
duur.  Na  het  aftreden  van  Van  der  Boon  Mesoh  kwamen 
er  te  Leiden  twee  leerstoelen  voor  scheikunde,  de  eene  voor 
organische  en  de  andere  voor  anorganische  chemie,  en  zag 
Franchimont  zich  den  eersten  daarvan  toevertrouwd.  Hij  aan- 
vaardde zijn  nieuwe  ambt,  een  buiiengewoon  professoraat, 
dat  in  1877  in  een  gewoon  werd  veranderd,  den  2den  Mei 
1874  met  een  redevoering:  ,,De  verschillende  richtingen 
der  chemie.  Blikken  in  het  verleden,  het  heden  en  de  toe- 
komst dier  wetenschap”. 

Met  deze  intreerede  begon  een  bewonderenswaardige, 
door  nooit  verflauwde  toewijding  gedragen  werkzaamheid 
in  onderzoek  en  onderwijs.  Wanneer  men,  zooals  ik,  het 
voorrecht  had,  vriendschappelijk  met  Franchimont  om  te  gaan, 
kwam  men,  ook  a!  was  meti  zelf  geen  scheikundige,  ondei-  dert 
weldadigen  indruk  van  zijn  wetenschappelijke  geestdrift  en 
van  den  ernst  waarmee  hij  er  naar  streefde,  0[)  zijn  gebied 
door  het  ontraadselen  van  den  bouw  der  verbindingen  en 
het  te  voorschijn  roepen  van  nieuwe  atoomschikkingen  in 
de  verschijnselen  door  te  dringen.  Men  gevoelde  tegenover 
een  meester  der  wetenschap  te  staan  en  begreep  hoeveel 
bezieling  van  hem  tot  zijn  leerlingen  moest  uitgaan. 

Franciiimont  heeft  het  geluk  gehad,  \ele  jongeren  aan 
zich  te  binden,  velen  tot  leidsman  te  zijn.  Meer  dan  een 
dertigtal  pi’oefschriften  zijn  bij  hem  bewerkt  en  er  is  een 
tijd  geweest,  toen  men  kon  zeggen  dat  alle  Netlerlandsche 
hoogleeraren  in  de  organische  chemie  uit  zijn  laboratorium 
waren  voortgekomen.  Hoe  hij  de  bewondering  zijrter-  leer- 
lingen had  opgewekt  en  hunne  genegenheid  had  gewonnert, 
bleek  bij  menige  gelegenheid,  bij  de  veertigjarige  herdert- 
king  zijner-  pr-omotie,  bij  zijrt  veertigjarige  arnbtsvervullirrg 
ert  thans  rra  zijn  overlijden.  Gewaagden  de  onderen  dart 
van  de  moeilijkheden  waarmee  hij  in  den  begirrne  had  te 
kampen  gehad,  toen  slechts  weinig  hulp  err  gebrekkige 
hulpmiddelerr  hem  terr  dienste  stonderr,  varr  de  volhardirrg 
waarmede  hij  die  bezwar-en  was  te  boven  gekomen  err  van 
de  oor-spronkelijkheid  waarmee  hij  het  college  en  het  labo- 


ratoriiimwerk  had  iiigericlit,  de  jongeren  wezen  erop  dat 
in  hun  tijd  Franchimont  nog  dezelfde  was  geweest  als  in 
die  eerste,  lang  vervlogen  jaren. 

Met  welke  nilkoinsten  hij  de  wetenschap  verrijkt  heeft, 
hoe  hij  dooi  de  ontdekking  van  de  nitrarninen  een  nieuw 
hoofdstuk  aan  haar  heeft  toegevoegd,  hoe  hij  wist  te  woe- 
keren met  nieuwe  methoden  zooals  de  behandeling  met 
het  „reëele”  salpeterzuur,  hoe,  al  zocht  hij  zelf  dien  weg 
niet,  sommige  zijner  vondsten  belangrijke  technische  toepas- 
sing hebben  gevonden,  dit,  en  veel  meer,  heeft  in  het 
bijzonder  ons  medelid  van  Rombürgh  in  het  licht  gesteld. 
Ik  zal  mij  niet  vermeten,  op  mijn  beurt  een  overzicht  van 
zijn  werk  Ie  geven.  Maar  wel  mag  ik  eraan  herinneren,  omdat 
het  ook  mij  niet  verborgen  bleef,  dat  hij,  ondanks  zijn  ver- 
bazende feitenkennis,  steeds  het  inzicht  boven  het  weten  stelde, 
dat  hij  de  sirnctiiurchemie  lenig  en  plooibaar  wist  te  houden, 
getuige  de  voorliefde  waarmede  hij  den  ouderlingen  invloed 
van  dicht  bij  elkaar  staande  atoomgroe|)en  deed  uilkomen,  en 
dat  hij  een  open  oog  had  voor  de  beteekenis  van  andere 
richtingen  in  de  scheikunde,  de  stereochemie  aan  den  eenen, 
de  physische  ciiemie  aan  den  anderen  kant. 

Tot  den  bloei  der  scheikunde  in  Nederland  heeft  hij 
bijgedragen  door  zijn  leerboeken,  en  evenzeer  door  zijn 
aandeel  in  de  oprichting  van  het  Recueil  des  Travaux 
Chimiques  des  Pays-Bas,  in  welk  tijdschrift  hij  bij  voorkeur 
zijne  onderzoekingen  publiceerde. 

Dat  hij  eerelid  van  de  Nederlandsche  Cliemische  Vereeni- 
ging  was  en  dat  ook  menige  buitenlandsche  onderscheiding 
getuigde  van  hel  hooge  aanzien  waarin  hij  bij  zijn  vak- 
genoolen  stond,  behoef  ik  nauwelijks  te  zeggen.  Sedert 
1879  was  hij  lid  dezer  Akademie. 

Een  rijk  en  uitermate  vruchtbaar  wetenschappelijk  leven 
heeft  Franchimont  gehad.  Nadat,  nu  zeventien  jaren  geleden, 
een  zware  ziekte  ons  geruimen  tijd  ernstige  bezorgdheid 
had  gegeven,  bleken  tot  onze  vreugde  zijn  veerkracht  en 
zijn  werklust  onverminderd  te  zijn.  Zij  zijn  hem  tot  het 
laatst,  ook  na  zijn  aftreden  als  hoogleeraar,  bijgebleven  en 
zoo  mochten  wij  hopen,  hem  nog  lang  van  een  gelukkigen 


levensavond  te  zien  genieten.  Die  hoop  is  helaas  niet  ver- 
vuld; na  een  zwaar  en  droevig  lijden,  met  voorbeeldigen 
moed  en  berusting  gedragen,  werd  hij  den  2^'’'  Juli  van 
ons  weggenomen,  een  groote  leegte  achterlatende. 

In  de  geschiedenis  der  wetenschap  en  in  onze  herinnering 
zal  hij  een  eereplaats  innemen. 


Anatomie.  — De  Heer  J.  Bokke  brengt,  mede  namens  den  Heer 
C.  WiNKLEK,  het  volgende  rapport  uit: 

Dr.  G.  C.  Heringa,  Conservator  aan  het  laboratorium  voor  Em- 
bryologie en  histologie  der  Rijks-üniversiteit  te  Utrecht,  heeft  onder 
den  titel  ,,Untersuchungen  über  den  Bau  nnd  die  Entwickelung  des 
sensibelen  periferen  Nerven-sjstems”,  een  werk  van  185  bladzijden 
schrift  met  43  tekst-figuren  en  65  teekeningen,  aangeboden  voor 
plaatsing  in  de  Verhandelingen  der  Natuurkundige  Afdeeling  van  de 
Koninklijke  Akademie  van  Wetenschappen. 

De  Commissie  tot  beoordeeling  van  dit  werk,  in  de  vorige  ver- 
gadering benoemd,  brengt  daarovei’  het  volgende  verslag  uit. 

De  schrijver  begint  zijn  arbeid  met  een  onderzoek  naar  bepaalde 
tastorganen  in  den  eendensna\’el,  de  z.  g.  lichaampjes  van  Grandry. 
Hij  voert  het  bewijs,  dat  de  toe\'oei-ende  fibrillenbundel,  nadat  hij 
zich  heeft  opgelost  in  een  van  axoplasma  omgeven  fibrillenreticulum 
— de  tastschijf  tnsschen  de  twee  het  orgaan  opbouwende  cellen  — 
zich  met  intraplasmatische  fibrillen  voortzet  in  de  intracellulaire 
fibrillenreticula  dier  lieide  cellen.  Dit  reeds  oudere  werk  breidt  de 
schrijver  uit  tot  de  z.g.  fastlichaampjes  van  Meissner.  Na  vergelijking 
met  de  literatuur  komt  hij  tot  de  slotsom,  dat  ook  dit  orgaan  mag 
worden  opgevat,  als  de  in  tibrillen  uiteengevallen  fibrillenbundel  der 
toevoerende  zeuuwvezels,  welke  intraplasmatisch  samenhangen  met 
de  fibrillenreticula  van  alle  zich  in  de  kolf  bevindende  cellen. 

Toch  zijn  deze  voorafgaande  uiteenzettingen,  alsmede  een  hoofd- 
stuk, dat  aan  een  kritisch  overzicht  der  literatuur  is  gewijd,  slechts 
de  aanloop  tot  een  breed  opgezette  studie  over  de  wording  van 
het  [leriphere,  vooral  \'an  het  sensibele  zenuwstelsel. 

De  schrijver  staat  daai'bij  op  de  schouders  van  Hans  Held. 

Hij  neemt  een  van  diens  grondgedachten,  op  grond  van  eigen 
waarneming,  over  en  neemt  aan,  dat  een  zenuwfibril  nimmer  naakt 
wordt  aangetrolfen,  maar  altijd  omgeven  is  door  protoplasma  en 
dus  midden  in  een  celuitlooper,  een  syndesma  of  plasmodesraa  ligt, 
die  daardoor  tot  neurodesma  wordt. 

Zijn  onderzoek  bevestigt  ook  een  ander  resultaat  van  Held,  n.I. 
dat  het  plasma,  waarin  de  zenu wfibrillen  worden  aangetroffen,  niet 
alleen  afkomstig  is  van  het  plasma  der  neuro-blasten  maar  ook  door 
het  plasma  der  mesenchy mcellen  wordt  geleverd.  Dan  echter  wijkt 


227 


hij  van  Held  af,  gaat  veel  verder  dan  Held  is  gegaan  en  spreekt 
de  meening  uit,  dat  de  inesenchyincellen,  die  onderling  door  plasma- 
desmen  tot  een  syncy tinna  vereenigd  zijn,  zonder  raeei’  in  staat 
zijn  ook  de  vorming  der  neurofibrillen  op  zicli  te  nemen.  Is  dit 
fibrillisatie-proces  tot  op  zekére  hoogte  gekomen,  dan  snellen  secundair 
nieuwe  mesenchymcellen  (e  hulp  om  het  te  voltooien  en  deze  cellen 

worden  deels  tot  cellen  der  scheede  van  Schwann,  deels  krijgen  zij 

eigenschappen  tot  vorming  van  intracellulaire  übrillennetten,  die  men 
gewoon  was  slechts  aan  nenroblasten  toe  te  schi-ijven  en  doen  zich 

voor  als  de  cellen  der  lichaampjes  van  Gkandry  of  als  cellen  der 

binnenkolven  in  andere  tastlichaampjes. 

• Had  Held  gehoopt  de  nenron-hypothese,  de  nitgroeiïng  van  een 
fibrillenbundel  uit  den  neuroblast,  te  kunnen  verzoenen  met  de  z.g. 
keten  hypothese,  d.w.z.  die  de  fibrillen  doet  voortgaan  in  en  voort- 
komen uit  i'ijen  aaneengeschakelde  cellen,  welke  als  geleidingscellen 
de  latere  zenuwbaan  bepalen,  de  schrijver  maakt  tegen  beide  voor- 
stellingen front. 

Indien  Held  zich  steunt  op  het  feit,  dat  dicht  bij  het  ruggemerg, 
gliablasten  (vooral  uit  de  rnglijst)  zich  langs  den  fibiillenbundel 
voortschuiven,  de  schrijver  erkent  voor  het  perifere  deel  van  het 
zenuwstelsel  dit  feit  niet,  en  ontkent  daar  liet  bestaan  x an  geleidings- 
cellen, in  welken  vorm  dan  ook. 

In  tegenstelling  van  Held,  die  de  vorming  van  tibrillenreticula 
specifiek  acht  voorden  neuroblast,  is  voorden  schrijver  het  mesenchym- 
syncytium  universeel  tot  fibrillenvorming  in  staat. 

De  onderzoekingen  van  den  schrijver  raken  de  grondbeginselen 
van  het  ontstaan  van  het  perifere  zenuwstelsel.  Zonder  twijfel  laten 
een  aantal  zijner  beschouwingen  kritiek  toe  en  is  het  niet  te  vei'- 
wachten,  dat  zijn  gedachtengang  zonder  tegenspraak  zal  blijven,  maar 
zijne  onderzoekingen  zijn  verricht  met  beheersching  der  beste  en 
nieuwste  methoden  voor  fibril-  en  celkleuring,  door  een  scherp 
waarnemer,  die  met  helderen  gedachtengang,  de  vragen,  die  hij  aan 
de  natuur  stelt,  goed  weet  te  formuleeren. 

De  ondergeteekenden  hebben  dan  ook  geen  oogenblik  geaarzeld 
om  te  adviseeren  zijn  werk  in  de  Verhandelingen  op  te  nemen. 

Wel  is  bij  hen  de  vraag  gerezen  of  er  geen  nader  overleg  zou 
kunnen  worden  gepleegd  over  beperking  der  textfiguren,  reproducties 
van  afbeeldingen  door  anderen  over  dit  onderwerp. 

Zij  zonden  kunnen  vervangen  worden  door  verwijzing  naar  de 
juiste  plaats,  waar  die  afbeelding  oorspronkelijk  is  gegeven. 

Het  nadeel,  dat  de  lezing  \'an  zijn  werk  moeilijkei'  wordt,  wordt 
hierbij  opgewogen  door  het  feit,  dat  afbeeldingen,  waarbij  het  op 


228 


iniiiLilietise  details  aankomt,  als  textfigureii  slecht  gerepi'oduceerd  zullen 
worden  en  de  gedachte  onkosten,  die  eraan  verbonden  zijn,  doen  de 
vraag  ontstaan,  of  dan  die  reproductie  gewettigd  is. 

Utrecht,  26  September  1919. 

(get.)  C.  WlNKl.EK. 

,,  J.  Boeke. 

De  vergadering  hecht  hare  goedkeuring  aan  het  rapport,  zoodat 
de  verhandeling  zal  worden  opgenomeu  in  de  Werken  der  Akademie. 
Aan  den  Heer  Heringa  zal  hiervan  kennis  gegeven  worden. 


De  Voorzitter  doet  vervolgens  niededeeling  van  een  schrijven  van 
de  Commissie  van  Uitvoering  van  het  Zoölogisch  Insulinde  Fonds 
aan  het  Bestuur  der  Akademie,  waarin  ei  op  gewezen  wordt  dat 
in  artikel  5 der  Statuten  van  dit  fonds  wordt  bepaald,  dat  de  Com- 
missie van  Uitvoering  gedurende  het  leven  van  den  stichter  naast 
hem  uit  nog  drie  leden  moet  bestaan,  van  welke  drie  leden  er  twee 
door  de  Wis-  en  Natuurkundige  Afdeeling  der  Akademie  worden 
benoemd,  die  het  derde  lid  assumeeren  door  een  keuze  uit  beoefe- 
naars der  Zoölogie,  geen  leden  der  Akademie  zijnde.  De  benoeming 
van  den  Heer  C.  Pn.  Sluiter  tot  lid  der  Akademie  maakte  dat  de 
drie  naast  den  stichter  fungeerende  leden  der  Commissie  nu  allen 
tevens  leden  der  Akademie  waren.  Tengevolge  hiervan  heeft  het 
lid,  de  Heer  K.  Martin,  den  wensch  te  kennen  gegeven  uit  de 
Commissie  te  treden  en  zijn  de  twee  overblijvende  leden,  de  Heeren 
Max  Weber  en  C.  Ph.  Sluiter,  nu  voornemens  den  Heer  P.  N.  van 
Kampen,  Hoogleeraar  aan  de  Universiteit  te  Leiden,  uit  te  noodigen 
in  de  Commissie  zitting  te  nemen. 


êi 


Scheikunde.  — De  Heer  Schreinkmakers  biedt  eene  inededeeliiig 
aan  over:  „In-,  mono-  en  clwariante  evenwichlen” . XIX. 

Evenwichten  van  n kom  ponenten  in  n -j-  1 phasen. 

In  nfiededeeling-  XVI  hebben  wij  gezien  dat  0[)  een  bivariant  veld 

= de  volgende  evenwichten  kunnen  optreden. 

1°  de  grenskurve  E^,  als  de  hoeveelheid  van  een  der  komponenten 
tot  nul  nadert. 

2“  de  keerlijn  Er,  als  tusschen  de  n phasen  eene  phasenreactie 
kan  optreden. 

3®  de  kritische  kurve  Ek,  ais  tusscdien  2 phasen  kritische  ver- 
schijnselen optreden. 

In  mededeeiing  XVII  en  XVIIl  hebben  wij  de  keeidijn  Er  en  het 
veld  in  de  nabijheid  dezer  lijn  nader  besproken.  Wij  zullen  thans 
in  het  kort  nog  de  grenslijn  beschouwen. 

Wordt  in  een  evenwicht  E = Fn  de  hoeveelheid  van 

een  der  komponenten  nul,  dan  gaat  liet  over  in  het  evenwicht 
E^-=^  F^  F,i  van  n — 1 komponenten  in  n phasen,  of,  wat 

op  hetzelfde  neerkomt,  van  n komponenten  in  n-|-l  phasen.  Wij 
beschouwen  dus  dit  laatste  evenwicht,  nl. ; 

i F,  4-  F„^y 

van  n komponenten  in  n-\-l  phasen. 

De  evenwichtsvoorwaarden  zijn  : 

dZ  dZ, 

Zi  — xi  -T yi- . . . = /\ (1) 

Oxi  öyi 

waarin  : Z = 1,  2,  . . . (?<+!) 
en  verder : 


dz, 

dZ, 

__  dz„+i 

da;, 

da;. 

d.r„_|_i 

dZ, 

dZji_p]^ 

Ö.V1 

ö,Vn+i 

waarbij  nog  de  overeenkomstige  vergelijkingen  voor  . . . 74  m,  . . . 
enz.  moeten  gevoegd  worden. 

In  (1)  hebben  wij  n-\-\,  in  (2)  (11 — 1)  (?7 -f"  vergelijkingen; 
samen  dus  vergelijkingen.  Behalve  de  {n — 1)(77-1-^)  verander- 
lijken ,r,  .r,  . . . //j  . . . enz.,  hebben  wij  nog  de  n-j~2  veranderlijken 


‘280 


P T K Kx  ■ ■ ■,  d^is  ia  liet  geheel  n'^  -|-  a -|-  1 veranderlijken  ; het 
evenwicht  heeft  dus  ééne  vrijheid,  het  is  monovariant. 

Bij  de  afleiding  van  (1)  en  (2)  is  aangenomen  dat  elke  phasealle 
koinponenten  bevat  en  eene  veranderlijke  samenstelling  heeft;  de 
beschouwingen  gelden  echter  ook  als  er  phasen  met  constante  samen- 
stelling optreden  of  die  niet  alle  koinponenten  bevatten,  mits  er  ten 
minste  ééne  veranderlijke  [ihase  is,  die  alle  komponenten  bevat.  Op 
andere  gevallen  komen  wij  later  terug. 

Uit  (1)  volgt: 

èZi  dz, 

— Vi  dP  f Hi  dT  + ,r,'  d~  ^y,d~ ~ dK  . . (3) 

Oir,  o_y, 

1 = 1,  2,  ...  (n  4 I) 


waarin  het  teeken  d aangeeft,  dat  gedifferentieerd  moet  worden  ten 
opzichte  van  alle  verandeilijken,  die  de  functie  Z{  bevat,  dus  ten 
opzichte  van 


P 'i  xi  i 

t/i  . . . Uit  (2) 

volgt  : 

dZ, 

- 

dx^ 

dx„^i 

^y. 

öy,i+i 

= dKr 


= dK, 


(4) 


waarin  het  teeken  d dezelfde  beteekenis  heeft  als  boven. 

Wij  schrijven  de  phasenreactie,  die  in  het  evenwicht  E— 
kan  optreden  : 

^-1  h • • • “h  = 0-  . • . . (5) 

De  n verhoudingen  tusschen  de  n 4“  1 reactie-coefficienten  zijn 
dan  bepaald  door  de  n vergelijkingen  : 

~ (0  = I ^2  4“  • • ■ + 4i-(-i  = h , 

2 (X  x)  = A,  -|-  A,  j-  . . . -(-  — 0 f 

^ - • • (6) 

(^-  .V)  ^-T  .Vl  h ^-2  ,'/2  • • • + ~ ^ 

Telt  men  de  ?/, -j-  1 vergelijkingen  (3)  zamen,  nadat  men  de  eerste 
met  A,,  de  tweede  met  A,,  enz.  vermenigvuldigd  heeft,  dan  volgt 
met  behulp  van  (4)  en  (6): 

- ^ {X  V) . dP  4 S (kH).  dT  — 0 
of 


dP  2{IH) 

— = — (7) 

dT  .2' (AF) 

waarin  : 

2(Ar)  = ;.,F, + ;.,F,  4-...  + a„+iF„4.i  j 

2 (A// ) = A,  i . • • + ( • • • 

Hierin  hebben  Aj  . . . A„..j_i  de  waarden,  die  uit  (6)  volgen.  (A  U) 


231 


is  dus  de  volutiie-  en  ^ de  entfopieverandering,  die  bij  de 

phasenreactie  (5)  optreden. 

Daar  het  evenwicht  monovariant  is,  wordt  het  in  het  P,  7-diagram 
voorgesteld  door  eene  knrve,  die  wij  E zullen  noemen  ; haar  richting 
is  bepaald  door  (7). 

Doorloopt  men  deze  kurve  E dan  veranderen  lU  ■ • ■ 

en  dus  ook  Aj  . van  punt  tot  punt  langs  deze  kurve.  Als  nu 
in  een  bepaald  punt  q dezer  kurve  ).q  = 0 wordt,  dan  worden  in 
(8)  Xq  Vq  — 0 en  Xq  Hq  = 0.  In  het  punt  q geldt  dan  : 

(dP^^  2 (XH), 

yar),  S{xr), '' 

Het  evenwicht  E gaat  in  het  beschouwde  punt  q nu  over  in  een 
evenwicht: 

Er  = F,-^  ...+  Fq.^i  + Fq+i  + ■ • • -+  Pn+1  • • . (10) 

nl.  in  een  der  vroeger  beschouwde  evenwichten  Er  van  n kompo- 
nenten  in  n phasen,  waartusschen  eene  phasenreactie 

A,  Pj  -b  . . . Xq^i  t -(-  ^‘9+1  T'  ^-(-1  “b  . ■ ■ + P>i-bi  = 0 . (11) 

kan  optreden.  Dit  evenwicht  is  eveneens  monovariant  en  wordt  in 
het  P,  7-diagram  voorgesteld  door  eene  kurve,  de  keerlijn  Er  van 
het  veld  : 

iE<^  = Pi  -b  . . . + Fq  — \ -b  Fq-\-\  + •••-!-  ^n+l  • • (12) 

Voor  deze  keerlijn  geldt  nu  eveneens  formule  (9).  Uit  onze  be- 
schouwingen blijkt: 

,,de  kurve,  die  het  evenwicht 

P = p 4- P,  + . . . 4- /^n+i 

,, voorstelt,  ligt  in  het  P, 7-diagram  in  het  gemeenschappelijk  deel 
,,der  n \ velden  (Pj)  (P^  . . ■ (T^n+i) ; neemt  in  een  punt  q dezer 
,, kurve  de  phase  Fq  niet  aan  de  reactie  deel,  dan  raakt  de  kurve 
„in  dit  punt  q aan  de  keerlijn  van  het  veld  {Fq).  In  het  algemeen 
„kunnen  er  n + 1 van  deze  raakpunten  optreden”. 

Past  men  dit  toe  op  het  binaire  evenwicht  E=F-{-  L G, 
waarin  P,  L en  G eene  binaire  verbinding,  vloeistof  en  damp  voor- 
stellen, dan  volgt  dat  de  kurve  E binnen  de  dide  velden  P4-  P, 
P-j-  en  L -\-  G moet  liggen.  Krijgt  in  een  punt  a de  vloeistof 

L dezelfde  samenstelling  als  P,  dan  raakt  kurve  E de  grenskurve 
Er  = F-\-L,  fdus  de  smeltlijn  van  P)  in  a.  Krijgt  in  A (4  dezelfde 
samenstelling  als  P,  dan  raakt  kurve  E de  grenskurve  Eii=F-\-G, 
(dus  de  sublimatiekurve  van  P)  in  h.  Kunnen  in  een  punt  c Z en 
G dezelfde  samenstelling  krijgen,  dan  raakt  kurve  E de  grenskurve 
Er  — E G in  f. 


Uit  (7)  volgen  dadelijk  de  bekende  voorwaarden,  waaronder  druk 
of  temperatuur  langs  kurve  E stationnair  (maximum  of  minimum) 
is.  Is  een  der  phasen  b.v.  een  gas,  dan  is  in  het  algemeen 
zeer  groot  in  vergelijking  met  F,  . . ..  Wij  nemen  nu  op  knrve 
E een  punt  a,  waar  = 0 is.  Kurve  E raakt  in  dit  punt  a dus 
aan  de  grenslijn  van  het  veld  F,.  In  dit  punt  a is 

:S'(AF)„=:(/,F, + ....  (13) 

en  in  het  algemeen  van  nul  verschillend. 

In  de  nabijheid  van  punt  a is  A,  echter  niet  meer  nul  en  geldt 
voor  F)  niet  meer  de  waarde  uit  (13)  maar  die  uit  (8).  Daar 
Fj  groot  is  in  vergelijking  met  F,  kan  i:(AF)  in  (8)  dus 

reeds  nul  zijn  voor  eene  kleine  waarde  van  Aj.  Is  nu  S(P.  F)  = 0 
dan  is  volgons  (7)  0 dus  de  temperatuur  maximum  of  minimum. 

Wij  vinden  dus:  ,,als  van  het  evenwicht 

F — j -f-  F + • • • • + F „-j_i 

,,een  der  phasen  b.v.  Fj  een  gas  is  dan  ligt  het  temperatuurmaximum 
,,(of  minimum)  van  kurve  F in  het  algemeen  in  de  nabijheid  van 
,,het  raakpunt  dezer  kurve  met  de  grenskurve 

Er  = F,  I . . . . j-  n+i 

,,van  het  veld  (F,).” 

Past  men  dit  toe  op  het  boven  besproken  binaire  evenwicht 
E = F L G dan  blijkt  dat  deze  kurve  E haar  maximum- 
temperatuurpunt  heeft  in  de  nabijheid  van  haar  raakpunt  met  de 
smelllijn  van  F Men  kan  dit  ook  zoo  uitdrukken:  het  raaxiraum- 
temperatuurpunt  van  het  evenwicht  F-f-L-j-^  verschilt  weinig 
van  het  smeltpunt  van  F onder  eigen  dampdruk. 

Beschouwt  men  de  ternaire  kurve  E=F.^^-\-F,-\-L-\-G  dan 
volgt  dat  deze  haar  rnaximumtemperatuurpunt  moet  hebben  in  de 
nabijheid  van  haar  raakpunt  met  de  grenskurve  Fj-j-Fj-f-L;  de 
gemeenschappelijke  smellkurve  (of  omzettingskurve)  van  F,  4" 
Men  kan  ook  zeggen  : het  maximumtemperatuurpunt  van  het  even- 
wicht Fj  -}-  Fj  "F  ^ ^ verschilt  weinig  van  het  gemeenschappelijk 

smeltpunt  (of  omzettingspunt)  onder  eigen  dampdruk  van  Fj  F,. 

Denkt  men  zich  de  oplossingen  van  dit  evenwicht  E door  eene 
kurve  in  een  concentratiediagram  (b.v.  een  driehoek)  voorgesteld, 
dan  ligt  haar  maximumtemperatuurpunt  dus  in  de  nabijheid  van 
haar  snijpunt  met  de  lijn  FjF,. 

Hetzelfde  geldt  natuurlijk  ook  voor  het  quaternaire  evenwicht 
E = F^  F^  F^  L G.  Stelt  men  de  oplossingen  van  dit 
evenwicht  door  eene  kurve  in  een  concentratiediagram  (b.v.  een 
tetraeder)  voor,  dan  ligt  haar  maximumtemperatuurpunt  dus  in  de 
nabijheid  van  haar  snijpunt  met  het  vlak  FjFjF,. 

Leiden,  Anorg.  Cheni.  Lab.  {Wordt  vervolgd). 


ScheikuDde.  — De  Heer  Schreinkmakers  biedt  eene  mededeeling 
aan  van  den  Heer  P.  H.  J.  Hoenen  S.J.  over;  „Uitbreiding 
der  wet  van  Braün.” 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  H,  A.  Lorentz). 


Door  de  fraaie  onderzoekingen,  in  de  laatste  jaren  in  liet  van 
’t  HoFF-laboratoriurn  uitgevoerd,  is  de  aandacht  weer  gevestigd  op 
de  zoogenaamde  ,,wet  van  Braün.”  Tegenwoordig  steil  men  deze 
wet  gewoonlijk  vooi'  door  de  formule 


Öo; 


^pJt  VÖ7’ 


TLV 


(1) 


bpjT 


waarin  (voor  het  evenwicht:  vaste  stof-vloeibare  oplossing) 

fbx\ 

voorstel!  den  drnkcoëfiiciënt  der  oplosbaarheid,  temperatuur- 

coëfliciënt,  Q de  differentiëele  oploswarmte,  AF"  de  ditferentiëele 
volumetoename. 

Deze  wet  van  Braün  is  een  bijzonder  geval  eener  algemeene  wel, 
die  we  hier  zullen  afleiden. 


1.  We  stellen  ons  voor,  dat  we  een  oplossing  hebben,  met  n 
vaste  stoffen  verzadigd ; de  hoeveelheid  oplosmiddel  zij  één  mol,  de 
hoeveelheid  der  opgeloste  stoffen,  die  bij  een  druk  p en  een  tem- 
peratuur T in  de  verzadigde  oplossing  aanwezig  is,  zij  x,  y,  z . . . . 
molen.  Welnu,  in  dit  geval  geldt  de  betrekking: 


darV  Qx 
bpjr''  T 


1 


/da;  "N 

‘ - X A F,  f 


VöTA 


+ 


by 

ÜT 


X AF,,  4 ...  = 0 (2) 


Hierin  stelt  Qx  voor:  de  warmte  noodig  voor  het  in  oplossing 
brengen  van  één  mol  van  den  eersten  component  in  een  oneindig 
groote  hoeveelheid  vloeistof  van  de  aangegeven  samenstelling  bij 
constante  p en  T,  dus  de  differentiëele  moleculaire  oploswarmte  van 
dien  component;  AF^:  de  overeenkomstige  volumetoename,  dus  de 
differentiëele  moleculaire  volumetoename.  De  andere  notaties  behoeven 
verder  geen  toelichting. 

Hebben  we  slechts  met  één  vaste  stof  te  doen,  dan  gaat  (2)  over  in 


fbx\  Qx 


234 


welke  vergelijking  dezelfde  is  als  (1).  Hel  is  dus  duidelijk,  dat  de 
wet  van  Braun  een  bijzonder  geval  is  van  (2). 


2.  We  zullen  (2)  eerst  bewijzen  voor  het  eenvoudige  geval,  dat 
de  oplossing  met  slechts  twee  vaste  stoffen  verzadigd  is,  waarbij  we 
onderstellen,  dat  deze  twee  stoffen  en  het  oplosmiddel  in  den  zii 
der  phasenieei-  onafhankelijke  componenten  zijn,  zoodat  we  over  2 
vrijheden,  druk  en  temperatuur,  beschikken.  De  S-fnnctie  der  totale 
vloeistofphase  stellen  we  Z,  die  der  vaste  phasen  (per  mol)  en 
Er  is  evenwicht  als 

Sz  = 0 (3) 


en 


d X 


dZ 

dy 


(4) 


De  eerste  leden  dezer  vergelijkingen  zijn  functies  \?^r\  x,y,p  en  T, 
waarin  echter  slechts  twee  onafhankelijk  veranderlijk.  Differenliëeren 
we  beide  vergelijkingen  naar  p bij  constante  7',  dan  komt  er: 

+ — - I (8») 

d’Z  óx 


dy 

/d  F 

dxdy  dp 

\ d^ 

d’Z  dy 

/dF 

dy^  dp 

bxby  ^ ^ ^ ' 

waarin  de  notatie  wel  geen  toelichting  behoeft  ; we  merken  nog  op, 
dat  het  tweede  lid  van  (3u)  — LVx  het  tweede  lid  van  (4a) 

Differentiëeren  we  beide  vergelijkingen  naar  T bij  constante  p, 
dan  krijgen  we : 

d’Z  èy 

bxby  Ö7' 


è'Z  èx 

d“Z  d.r 

èxby  Ö7’ 


rèH 


->13: 


d’Zdy  /d/7 

Vr~ 


V 


m 

(46) 


Q,r 


Het  tweede  lid  van  (36)=:—,  her  tweede  lid  van  {^h)  = ~ 
Welnu  uit  deze  4 vergelijkingen  volgt; 

'dx\  Qx  ^ tt  f^y\  Qy  f ^y 

èp)  ~T  ^ \JÏ' 


dp)  ^ 't 


dTj 


AFy  = 0 


(5) 


d"-Z 


Bewijs:  üit  (3a)  en  (4a)  volgt,  als  we  stellen  ^ = 


d’Z 

èy^ 


d^Z 
’’  ö^/ 


285 


èx  sA  Vy — th  Vx  öt/  sA  Vy 

dp  rt  — s*  ' dp  rt — «’ 

Uit  (36)  en  (46)  volgt: 

^ dx  _ tQx—sQy  _ y óy  ___  rQy—sQx 

02’  rt  — s^  ' dT  rt — s* 

Substitutie  dezer  waarden  in  het  eerste  lid  van  (5)  geeft  een  breuk, 
waarvan  de  teiler  =0,  terwijl  de  noemer  bij  stabiel  evenwiciit 

^0  is;  hiermee  is  dus  de  betrekking  (5)  bewezen. 


Qx 

Merken  we  nog  op,  dat  de  afzonderlijke  sommen  als  — X h 

dp  T 

Tr 

A Ki  niet  nul  zijn,  behalve  in  het  bijzondere  geval  dat 


Qx  _ A Fi 

Qy  A Vy 


3.  We  zullen  nu  trachten,  de  algemeene  betrekking  (2)  te  be- 
wijzen. We  onderstellen  dus,  dat  we  een  vloeistofphase  hebben, 
bestaande  uit  één  mol  oplosmiddel  en  x,  y,  z,  . . . mol  der  opgeloste 
stoffen;  bij  een  druk  p en  een  temperatuur  T is  de  oplossing  met 
deze  n stoffen  verzadigd.  We  tiebben  dus  n -j-  1 componenten  in 
evenveel  phasen  en  beschikken  dus  over  twee  vrijheden. 

De  evenwichtsvoorwaarden  zijn  (voor  de  notatie  zie  boven) : 


dZ 

dz 


= o 


(6) 


De  eerste  ledeii  dezer  n vergelijkingen  zijn  weer  functies  van 
x,y,  z,  . . . p exï  T;  De  laatste  twee  beschouwen  we  als  onafhankelijk 
veranderlijken.  Differentiëeren  we  weer,  eerst  alleen  naar  p,  dan  alleen 
naar  T,  dan  resulteeren  de  twee  stellen  vergelijkingen  : 
d^Z  dx  d'Z  dy  d^Z  dz 

da;*  dp  dxdy  dp  dxdz  dp  1 

d^Z  dx  d^Z  dy  d^Z  dz  A F 1 

dxdy  dp  ^ dy^  dp  dxdz  dp  i ' ’ 

d°Z  dx  d^Z  dy  d^Z  dz 

^ 1 -| P = £xVz 

dxdz  dp  dydz  dp  dz^  dp 

16 

Verslagen  der  Afdeeüng  Natiiurk.  Di.  XXVill.  A®.  1919/20 


236 


d’Z  d.r  d’Z  dy  d^Z  dz 

— ^ H h . . . = — 

d7’  ö.'cö.ydï’  ö.rö^  Ö7'  7’ 

d'‘Z  dx  d^Z  dy  d'Z  Qy 

d,(%  Ö7’  ^ fy^  öY’  ^ ö7^  ^ ~ ^ . . (66) 

d'^Z  d.c  d'^Z  dy  d^Z  dz  ^ 
d'xdJdT  ^dz  07’  ^ ^ 

dV  dH  Q,. 

We  hebben  voor  Vjc  weer  A vooi’  % weer  — enz. 

o.f  d.p  T 

geschreven. 

Vermenigvuldigen  we  nu  de  eerste  der  vergelijkingen  (6a)  met 
d-t  öy 

— — , de  (weede  met  — ~ enz.,  de  eerste  der  vergelijkingen  (66) 
ö.j'  dy 

met  , de  tweede  met  ^ enz.  en  sommeeren  we  de  2n  vergelijkingen 
dp  dp 

dan  resulteert  er  een  vergelijking,  waarvan  het  tweede  lid  is : 
div  ö,  dx  dy  Q,,  dy 

Fy¥  + rT^^-  + i^¥  + èx^'^>  + 

Het  eerste  lid  der  resulteerende  vergelijking  is  nul,  gelijk  blijken 
kan  als  \'olgt.  Iedere  term  van  dit  eerste  lid  bevat  één  der  ,,onbe- 
dx  dy 

kenden”  — , ^ enz.  uit  de  vergelijkingen  (6a).  Beschouwen  we  de 
dp  dp 

, t 

termen,  die  een  dezer  onbekenden  bv.  — bevatten.  Deze  termen 

dp 

worden  in  de  som  geleverd  Ie.  door  de  eerste  termen  der  verge- 
lijkingen (6a)  en  door  geen  andere  termen  dezer  vergelijkingen,  2e. 
door  het  geheele  eerste  lid  van  de  eerste  vergelijkirig  (66),  die  immers 
Öj; 

met  - vermenigvuldigd  werd,  en  door  geen  andere  vergelijking  (66). 
dp 

d.v 

De  termen,  die  — bevatten  zijn  dus: 
dp 

dx  d'‘Z  dy  drZ  d’Z 

■”  Vrd^'  ~~  Yv  ~ ’ ■ ‘ ■ 

d’Z  d.r  d’Z  dy  d’Z  dz 

da;’  d7’’  dxdy  d'/''  dxdz  d7'’  • ' ( )’ 

da; 

alle  termen  vermerugvuldigd  met  — . 

dp 

Welnu  uit  den  bouw  der  vergelijkingen  (6a)  en  (66)  blijkt,  dat 


237 


de  som  der  factoren,  waarmee  — vermenigvuldigd  wordt,  gelijk  is 

Op 

aan  nul,  en  dat  ditzelfde  het  geval  is  voor  elk  der  ,, onbekenden”. 
Het  eerste  lid  der  resulleerende  vergelijking  is  dus  inderdaad  nul 
en  we  vinden  als  resultaat : 


dx  Qx 


èy  Qy  dy  , 


dl' 

d.i.  de  vergelijking  (2),  die  we 
Bhadn  te  bewijzen  voorstelden. 


“f"  — 0) 

ons  als  uitbreiding  der  wet  van 


Opmerking  1.  Het  ,, oplosmiddel”  behoeft  geen  zuivere  stof  te 
zijn,  het  kan  een  mengsel  zijn  van  verschillejide  stoffen  (waarvan 
er  echter  geene  als  vaste  stof  optreedt);  in  deze  onderstelling  blijft 
onze  bewijsvoering  geheel  dezelfde;  het  resultaat  blijft  dus  geldig. 
De  grootheden  Q enz.  hebben  echter,  als  het  ,, oplosmiddel”  een 
andere  samenstelling  heeft,  natuurlijk  in  het  algemeen  een  andere 
waarde. 

Opmerking  2.  Wij  hebben  in  onze  beschouwingen  nergens  gebruik 
gemaakt  van  de  wijze,  waarop  Z expliciet  afhangt  van  de  samen- 
stelling; waaruit  volgt,  dat  de  resultaten  zoowel  bij  constante  als 
bij  reageerende  componenten  geldig  zijn.  Alleen  onderstelden  we, 
dat  de  rz  -f- 1 componenten  onafhankelijk  in  den  zin  der  phasenleer  zijn. 

Opmerking  3.  We  kunnen  voor  het  algemeen  geval  een  bewijs 
geven,  dat  zich  meer  aansluit  bij  het  bewijs,  dat  we  voor  het  een- 
voudige geval  van  3 componenten  gaven;  daarbij  zou  ook  blijken, 
dat  we  met  een  stabielen  evenwichtstoestand  te  doen  moeten  hebben. 
Daar  het  bewijs  ingewikkelder  is,  dan  het  boven  gegevene,  laten 
we  het  achterwege.  Een  ander  bewijs  zullen  we  nog  in  een  volgende 
mededeeling  bij  een  algemeener  probleem  ontmoeten. 

Katwijk  a.  d.  Rijn,  Augustus  1919. 


16* 


Scheikunde.  — De  Heer  Schreinemakers  biedt  aan  eene  mededeeling 
van  den  Heer  P.  H.  J.  Hoenen  S.  J.  over : ,,  Druk-  en  temperatuur- 
coëffciënten,  volume-  en  loarmte-e  fecten  in  bivarinnie  stelsels” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  H.  A.  Lorentz). 

In  eene  vorige  mededeeling  leidden  we  een  algemeene  wet  af, 
(waarvan  de  zoogenaamde  ,,wet  van  Braun”  een  bijzonder  geval  is 
en)  die  een  verband  aangeeft  tnsschen  de  druk-  en  teraperatuur- 
eoëfticiënten  der  oplosbaarheid  van  verschillende  vaste  stoffen,  waarmee 
een  vloeistof  verzadigd  is,  en  de  oploswarmte  en  volume  toename  bij 
oplossing  der  betreffende  vaste  stoffen.  In  deze  mededeeling  zullen 
we  een  dergelijk  verband  trachten  op  te  sporen  voor  willekeui-ige 
bivariante  stelsels. 

1.  Heterogene  evenwichten. 

1.  Bij  n componenten  hebben  we  een  bivariant  stelsel  in  den  ge- 
wonen zin  van  het  woord,  als  er  n phasen  coëxisteeren  ; dan  zijn  er  twee 
onafhankelijk  veranderlijken,  b druk  en  temperatuur.  We  kunnen 
echter  ook  bij  minder  dan  n phasen  slechts  deze  twee  als  onafhankelijk 
veranderlijken  overhouden,  als  we  ons  n.1.  bij  alle  veranderingen  in 
het  stelsel  de  voorwaarde  opleggen,  dat  de  samenstelling  van  het 
totale  complex  constant  blijft.  Dan  blijven,  hoeveel  phasen  we  ook 
hebben  (mits  niet  meer  dan  n),  alleen  druk  en  temperatuur  als- 
onafhankelijk  veranderlijken  over. 

Er  moet  dus  overeenkomst  tusschen  al  deze  stelsels  bestaan;  een 
groot  verschil  met  bivariante  stelsels  in  den  gewonen  zin  (dus  met 
n phasen)  bestaat  hierin,  dat  in  het  laatste  geval  de  samenstelling 
der  phasen  afzonderlijk  onafhankelijk  is  van  de  samenstelling  van 
het  complex,  wat  niet  het  geval  is  met  de  stelsels,  die  alleen  ,, bivariant 
bij  constante  totaalsamenstelling”  zijn. 

We  zullen  het  bovenstaande  even  toelichten  door  de  evenwichts- 
vergelijkingen  te  beschouwen.  We  nemen  aan,  dat  we  hebben  n 
componenten  in  / phasen. 

De  samenstelling  der  1*^'“  phase  zij;  ,r,,  y^,  z^,  . . . . 

)>  >>  ))2  ,,  ,,.  cl'j,  2/j,  . . . . 

>>  >>  >)  I >)  ^ Lt  y ly  ^ h • • • ■ 


')  Deze  Verslagen  onmiddellijk  voorafgaande  mededeeling. 


239 


We  geven  dus  de  sauieiistelHng  van  iedere  phase  aan  door  de 
absolute  hoeveelheid  (in  mol.;  van  eiken  component.  Tnssclien  deze 
grootheden  bestaan  de  betrekkingen  : 


.....  A-/  = A'  i 
.Vi  + .v,  +.....  y/  = r / 
^1  + + S \ 


Het  aantal  vergelijkingen  (1)  bedi’aagt  De  grootheden  A',  K, 
die  de  totaalsamenstelling  bepalen,  worden  constant  gedacht. 

Als  we  de  u-functies  der  afzonderlijke  phasen  voorstellen  door 
Zj,  Z^,  ...  Zi,  zijn  de  evenwichtsvoorwaarden  : 
èZ,  dZ^  _ ^ dZ,  dZ,  ___  ^ dZi  dZ^  _ ^ 

’ dii’,  ’ dxi  d.v,  ’ j 

dZ.  dZ.  dZ.  dZ,  dZi  dZ.  > (2) 

dy..  èy,  öy,  èyi  èy,  \ 


Het  aantal  vergelijkingen  (2)  bedraagt  n (/ — .1). 

Wat  den  vorm  dezer  vergelijkiiigen  betreft:  de  eei'ste  leden  zijn 
functies  van  den  graad  0 in  de  veranderlijken  x■^  y,  . . . , hangen  dus 

Vi 

alleen  af  van  de  onderlinge  verhoudingen  (b.v.  — , — enz.)  niet  van 


.V,  .v^ 

de  absolute  waarde.  We  hebben  daarin  dus,  behalve  />  en  T,  slechts 
I {n — 1)  veranderlijken  of  onbekenden,  daar  we  in  iedere  phase  slechts 
n — 1 verhoudingen  hebben,  die  de  samenstelling  bepalen. 

Als  nu  I = n,  hebben  we  dus  n {n — 1)  vergelijkingen  (2)  met 
n{n — 1)  onbekenden  (behalve  p en  T);  deze  vergelijkingen  bepalen 
dus,  bij  gegeven  p en  T,  de  samenstelling  volkomen,  die  dus  onaf- 
hankelijk is  vaii  de  lotaal-samenstelling  X,  Y,  . . . De  vergelijkingen 
(1)  kunnen  alleen  dienen  ter  berekening  van  de  absolute  waarden 
van  A’i  enz. 

Is  nu  / <( /i,  dan  hebben  we  minder  vergelijkingen  (2)  dan  onbe- 
kenden, die  de  samenstelling  van  iedere  phase  bepalen;  dan  moeten 
we  dus  ter  berekening  dier  samenstelling  de  vergelijkingen  (1)  mede 
gebruiken,  zoodat  dan  de  samenstelling  van  iedere  phase  afiiankelijk 
wordt  van  de  totaalsamenstelling  X,Y,....  We  hebben  echter  steeds 
genoeg  vergelijkingen  om,  bij  gekozen  p en  T,  de  samenstelling  van 
elke  phase  te  berekenen,  want  we  hebben  n -f-  n{l — 1)  = 7il  verge- 
lijkingen met  nl  onbekenden  ,y^  . . . , y,  , . • • , waarbij  dus  p en 

T als  onafhankelijk  vei'anderüjk  kunnen  beschouwd  worden. 

We  hebben  dus  inderdaad,  onafhankelijk  van  het  aantal  phasen 


240 


(als  /<(?0>  „bivariant  stelsel  bij  constante  totaalsamenstelüng”. 


2.  Voor  een  bivariant  stelsel,  bestaande  uit  n componenten  in 
/ phasen  (l^n)  zullen  we  nu  een  verband  opsporen  tusschen  de 
druk-  en  teinperatunrcoëfficiënten  voor  den  overgang  der  componenten 
uit  de  ééne  phase  in  eene  andere  en  de  warmte-effecten  en  volume- 
veranderingen,  die  deze  overgangeu  met  zich  meebrengen. 

De  samenstelling  der  verschillende  phasen  stellen  we  voor  als 
boven.  De  C-functie  van  het  stelsel  stellen  we  voor  door  de 
entropie  door  H,  het  volume  door  V-,  deze  grootheden  voor  de 
afzonderlijke  phasen  noemen  we  V■^,  enz.;  we  hebben  dan: 

Z — Z ^ Z^  ^ Z i- 
r=  F,  f-  V......  4-  F. 

H-j=T-I,+  + Hl. 

Deze  grootheden  zijn  gegeven  als  functies  van  p en  T en  verder 
van  Tj  , . . . enz.,  waarbij  alleen  p en  7' onafhankelijk 

veranderlijk.  Wat  de  notatie  betreft,  zij  het  volgende  opgemerkt : 
een  partiëele  differentiatie  naar  één  onafhankelijk  veranderlijke, 
waarbij  de  andere  onafhankelijk  veranderlijke  alleen  constant  gedacht 
wordt  (waarbij  dus  steeds  evenwicht  heeischt)  zullen  we  aangeven 
door  een  streep  boven  het  differentiaalquotiënt ; een  partiëele  diffe- 
rentiatie naar  één  xerandei’lijke,  waarbij  alle  andere  \'eranderlijken 
cotistant  gedacht  wordeii  (waarbij  geen  heterogeen  evenwicht  behoeft 
te  heerschen)  zullen  we  zonder  streep  of  indices  schrijven. 

De  gezochte  betrekkingen  kunnen  we  afleideu,  gelijk  we  dat  in 
een  vorige  mededeeling  in  een  analoog  geval  deden,  door  de  verge- 
lijkingen (2)  parliëel  eerst  naar  p,  dan  naar  T te  differentiëeren  en 
dan  na  vermenigvuldiging  met  geschikte  factoren,  te  sommeeren. 
De  volgende  methode  is  echter  korter  en,  geloof  ik,  eleganter. 

Wij  gaan  uit  van  de  eenvoudige,  zuiver  analytische  betrekking; 


_ ö"-Z 

die  we  kunnen  schrijven  : 

m ^ m 
Vr~  “ v ^ ^ 


Nu  is 

dF7<SV,\  , 
en 

èH  dHrlx^S  0/7/^  ^ öTT/öyA'  dHjd^ 


241 


Verder  is 


dV 

d2’ 


en 


dV, 

dr 

. dH, 


dv^ 

dT 


+ • 


dF/ 


dH  _dH^  dH^  dff. 
dp  dp  dp  dp 

Daar  nu  voor  eeti  willekeurige  pliase  (/?;) 


omdat 


hebben  we  ook 


dT  ■ 


dVk  , dHk 

ar  + 17  - ® ' 


è^Zjc  dHk 

dl'dp  dp 


d’Zk 

dpdT' 


dV  dB 


67 


Sommeeren  we  dus  (4)  en  (5)  en  letten  we  op  (3),  dan  resulteert  er : 

dx. 


6PVö.r,^  dh 
d V fdi/^ 


d V /dx.^ 

dx,  \^dTj~^  ö^j  ^ öa;,  vd7’ J ^ d.r,  V,  dp 


dTj  dy^  V6|) 


dH  fdx, 
dV  fdy 


^ öy,  Vö  T 


+ ... 

dH  fdy. 


(6) 


' öy,  dp 


-f 


— 0 


Nu  blijkt  uit  de  vergelijkingen  (1): 


da;, 

da;, 

d.t’3 

dx[ 

dT  “ 

dT 

dT  ' ' 

dT 

da;. 

da;, 

da;, 

dxi 

dp 

dp 

dp 

dp 

terwijl  dergelijke  uitdrukkingen  voor  de  grootheden  //j  enz.  af  te 
leiden  zijn. 

Substitueeren  we  deze  uitdrukkingen  in  (6),  dan  komt  er; 


dV  dF\öa;, 
da;,  da;,Jd7' 


dH  dH\dx 


-i- 


dx,  da;,/  dp 

Vdt/,  dp,/d7’ 


dH  dH\dy, 

^yj 


-f 


= o 


Hierin  stelt 


d V 


wat  hetzelfde  is  als 


d F,  d F, 


voor:  de 


d V 

dx,  dxf  V da;,  da;,, 

volumetoename  bij  den  overgang  van  één  mol.  van  den  component  (a:) 
uit  een  oneindig  groote  hoeveelheid  der  eerste  phase  in  een  oneindig 
groote  hoeveelheid  der  tweede  [)hase,  bij  constante  p,  T en  overige 
componenten ; deze  voluraevergrooting  stellen  we  voor  door  Vxi^- 


242 


^ ötelr  voor:  de  warmteopname  bij  dezelfde  verandering, 

OA’, 

gedeeld  door  T-,  dit  warmte-elfect  stellen  we  voor  door  Q.ris;  voor 
de  overeenkomstige  verschillen  voor  de  andere  phasen  en  andere 
componenten  kunnen  we  analoge  notaties  gebruiken ; dan  krijgen  we : 


Qri2d.'c,  dw. 


Qxis  diCj 


+ . 


Qyl2dy 
V,J12  5j.  + — ^ + ■ 


= 0. 


(7) 


En  dit  is  een  betrekking,  die  we  trachtten  op  te  sporen.  We 
kunnen  uit  (6)  nog  / — 1 andere  dergelijke  betrekkingen  afleiden, 
waarin  telkens  de  druk-  en  temperatnurcoëfficiënten  voor  de  bestand- 
deelen  van  ééti  der  / — 1 volgende  phasen  niet  optreden. 

Andere,  minder  sj^mmetrische  betrekkingen  krijgen  we,  als  we 
voor  den  eeiien  component  de  coëfficiënten  voor  één  der  phasen 
elimineeren,  voor  een  tweeden  component  zijne  coëfficiënten  voor 
een  andere  phase. 

Komt  een  component  in  één  dei'  phasen  niet  voor,  dan  verdwijnen 
de  betreffende  coëfficiënten. 

Opmerking  1.  Bevat  één  der  phasen  alle  componenten  en  zijn  de 
andere  phasen  alle  zuivere  componenten,  dan  liebben  we  het  geval, 
waarvoor  we  in  de  vorige  mededeeling  de  ,, uitgebreide  wet  van 
Bkaun”  bewezen  hebben.  Voeren  we  deze  condities  in  (6)  in,  dan 
resulteert  inderdaad  de  vroeger  bewezen  wet.  De  conti’ole  kunnen 
we  wel  aan  den  lezer  overlaten. 

Opmerking  2.  De  warmte-effecten  en  volume-vermeerderingen,  die 
in  (7)  ■ optreden  hebben  een  waarde  onafhankelijk  van  de  totaal- 
samenstelling,  als  we  n componenten  in  n phasen  hebben;  hun 
waarde  is  functie  der  totaalsamenstelliug  als  het  aantal  phasen  kleiner 
is  dan  n,  dus  ais  het  evenwicht  slechts  ,,bivariant  bij  constante  totaal- 
samenstelling”  is. 

Opmerking  3.  We  hebben  in  onze  beschouwingen  weer  nei-gens 
gebruik  gemaakt  van  de  wijze,  waarop  Z expliciet  afhangt  van  de 
samenstelling.  De  resultaten  geiden  dus  weer  ook  bij  reageerende 
componenten. 

Opmerkmg  4.  De  hier  ontwikkelde  gedachtengang  leidt  bij  homo- 
geen e\'enwicht  tot  een  overeenkomstige  formule.  Hierover  in  een 
volgende  mededeeling. 

Katwijk  a.  d.  Rijn,  Augustus  1919. 


Physiologie.  — De  Heer  Magnus  biedt  eeiie  mededeeling  aan  van 
den  Heer  J.  W.  Lk.  Heüx  : ,,De  afhankelijkheid  der  iverkiny 
van  atropine  op  den  darm  van  diens  cholinegehalie'’ . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Pekelhahing). 

De  werking  van  atropine  op  den  intacten  en  geisoleerdeii  dunne- 
darm  van  zoogdieren  lieeft  heihaaldelijk  punt  van  onderzoek  uitge- 
niaakt,  zonder  dat  evenwel  een  verklaring  gegeven  kon  worden 
van  de  wisselende  en  dikwijls  zeer  niteenloopende  resultaten,  welke 
door  de  verscliillende^  onderzoekers  verkregen  werden.') 

Terwijl  aanvankelijk  door  Magnus  “')  gevonden  was,  dat  de  geïso- 
leerde darm  van  de  kat,  die  zicli  in  Ringer’s  vloeistof  bevindt,  door 
groote  doses  atropine  (0.3  7o)  verlamd  wordt,  doch  op  middelmatige 
hoeveelheden  atropine  (0.025 — 0.075  7o)  meestal  met  prikkelings- 
verschijnselen  reageert,  waarbij  tevens  de  slingerbewegingen,  welke 
de  darm  uitvoert  meer  regelmatig  worden  en  wel  vooral  dan, 
wanneer  de  bewegingen  van  den  darm  te  voren  zwak  waren, 
constateerde  Unger  7 buitendien  nog  een  remmende  werking  van 
zeer  geringe  atropinedoses  (0.005  — 0.05  7 o)-  Door  andere  onder- 
zoekers werd  deze  laatste  (verlammende)  werking  nn  eeris  wel  dan 
weer  niet  gevonden. 

Bij  den  geisoleerden  dunnedarm  van  konijnen  en  honden  nam 
Kress  7 prikkeling  door  middelmatige,  verlamming  door  groote  hoe- 
veelheden atropine  waar,  terwijl  dooi'  andei’en  zeer  wisselende  resul- 
taten verkregen  werden.  In  de  meeste  gevallen  veroorzaakten  bij 
den  dnuTiedarm  van  konijnen  kleine  hoeveelheden  atropine  remming, 
terwijl  middelmatige  atropinedoses  schijnbaar  zonder  eenige  regelmaat 
nn  eens  den  darm  [irikkelden  dan  weer  verlammend  werkten. 

De  intacte  konijnedarm  reageert  volgens  P.  Trenuelenbuhg  7 regel- 

')  Een  uitgebreid  literatuuroverzicht  is  door  G.  Liljestrakd,  Pflüger’s  Archiv. 
Bd.  175,  pag.  111,  1919,  gegeven. 

7 R.  Magnus,  Versuche  am  überlebenden  Üünntlarm  von  Saugetieren.  I.  Mitt. 
Pflüger’s  Archiv.  Bd.  108,  pag.  1.  1905. 

7 M.  Unger,  Beitrage  zur  Kenntnis  der  VVirkungsweise  des  Atropins  und  Physo- 
stigmins  auf  den  Dünndarm  von  Katzen.  Pflüger’s  Archiv.  Bd.  119,  pag.  373,  1907. 

7 K.  Kress,  Wirkungsweise  einiger  Gifte  auf  den  isolierten  Dünndarm  von 
Kaninchen  und  Hunden.  Pflüger’s  Archiv.  Bd.  109,  pag.  608,  1905. 

°)  P.  Trendelenburg,  Physiol.  u.  Pharmacol.  Untersuchungen  über  Dünndarm- 
peristaltik.  Schmfedeberg’s  Archiv.  Bd.  81,  pag.  55,  1907. 


244 


lïialig  op  kleioe  quaiita  atropine  met  verlamming,  doch  op  middel- 
matige hoeveelheden  atropine  nu  eens  met  prikkeling-  dan  weer 
met  verlammingsverschijnselen. 

Een  uitzondering  op  het  onregelmatig  gedrag  van  den  darm  der  ver- 
schillende diersoorten  tegenover  atropine  zou  volgens  Trendelünbükg ') 
de  dunnedarm  van  de  cavia  maken,  welke  regelmatig  door  atropine 
geremd  wordt,  een  kwestie  waarop  we  hier  nader  zullen  terugkomen. 

Uit  dit  korte  overzicht  blijkt  voldoende  het  sterk  wisselend  en 
afwijkend  gedrag  van  den  darm  van  verschillende  zoogdieren  tegen- 
over kleine  en  middelmatige  hoeveelheden  atropine,  dat  door  de 
ondei'scheidene  onderzoekers  geconstateerd  is  onder  de  blijkbaar 
incongruente  omstandigheden,  waaronder  zij  hun  onderzoek  deden. 

Een  verklaring  te  geven  van  deze  elkaar  tegensprekende  resultaten 
is  tot  nu  toe  niet  gelukt. 

Uit  otiderzoekingen  van  v.  Lidth  de  Jeüde’)  bleek  duidelijk,  dat 
niet  de  verklaring  gezocht  moet  worden  in  de  verschillende  samen- 
stelling der  voedingsvloeistoffen,  waarin  de  geisoleerde  darm  werd 
onderzocht. 

UtLJESTHAND ')  tooiide  aaii,  dat  evenmin  de  wisselende  samenstelling 
der  gebruikte  atropinepraeparaten  de  oorzaak  der  afwijkende  resul- 
taten kon  zijn ; veel  meer  komt  hij  tot  de  slotsom,  dat  in  den 
toestand  van  den  darm  zelf  de  verklaring  gezocht  moet  worden; 
een  opvatting  welker  juistheid  ik  hier  zal  trachten  te  bewijzen. 

Weiland'*)  heeft  aangetoond,  dat  uit  de  geisoleerde  maag,  dunne- 
darm en  dikkedarm  van  verschillende  diersoorten  door  uittrekken 
met  water  een  coctastabiele  stof  geextraheerd  kan  worden,  welke 
de  eigenschap  heeft  de  beweging  van  den  darm  aan  te  zetten,  en 
dat  deze  prikkelende  werking  door  kleine  hoeveelheden  atropine 
antagonistisch  wordt  opgeheven.  Later  bleek  ons^)  dat  deze  stof 
althans  voor  het  grootste  gedeelte  uit  choline  bestaat  en  in  zulk  een 
hoeveelheid  uit  den  dunnedarm  van  het  konijn  verkregen  kan 
worden,  dat  aan  haar  een  belangrijke  rol  bij  het  tot  stand  komen 
der  automatische  darmbewegingen  moet  worden  toegekend. 

')  P.  Trkndelenburg,  l.c. 

h A.  P.  V.  Lidth  de  Jeude,  Quantitatieve  onderzoekingen  over  het  antagonisme 
van  sulfas  atropini  enz.  Diss.  Utrecht  1916. 

G.  Liljestrand,  Ic. 

■‘■l  Weiland,  Zur  Kenntnis  der  Entstehung  der  Darmbewegung.  Pflüger’s  Archiv. 
Bd.  147,  pag.  171,  1912. 

")  J.  W.  LE  Heux,  Gholin  als  Hormon  der  Darmbewegung.  Pflüger’s  Arcbiv. 
Bd.  173,  pag.  8,  1918. 


245 


P h ar maco logisch  nu  behoort  choline  tot  de  gi'oep  van  het  pilo- 
carpine;  de  prikkelende  werking  die  choline,  evenals  pilocarpine 
op  den  darm  uitoefent  wordt  door  geringe  hoeveelheden  atropine 
antagonistisch  opgeheven. 

Volgens  waarnemingen  van  v.  Lidth  dk  Jeüde zijn  de  hoeveel- 
heden atropine,  welke  noodig  zijn  om  de  pilocarpinewerking  op  den 
darm  antagonistisch  o[>  te  lieffen,  zeer  gering;  reeds  een  concen- 
tratie atropine  van  1 op  10 — 50  millioen  is  hiertoe  in  staat.  Van 
gelijke  grootteorde  (1:  40  millioen)  nu  bleek  bij  mijn  onderzoek  de 
atropine-concentratie  !e  zijn,  welke  een  voorbijgaande  remming  der 
darmbewegingen  tot  stand  bi’engt. 

Brengen  we  deze  feiten  met  elkaar  in  verband,  dan  kannen  we 
ons  de  vraag  voorleggen  of  niet  de  remmende  werking  van  kleine 
atropinedoses  als  eene  antagonistische  tegen  het  in  den  darmwand 
aaiiwezige  choline  moet  worden  opgevat. 

Is  deze  opvatting  juist,  dan  zal  de  remmende  werking  van  kleine 
hoeveelheden  atropine,  wanneer  te  voren  het  choline  door  uitwas- 
schen  uit  den  darmwand  verwijderd  is,  niet  meer  mogen  optieden. 
doch  zal  na  bijvoegen  van  choline  weer  op  toedienen  van  atropine 
te  voorsciiijn  treden. 

Afgezien  van  deze  zoo  juist  besproken  remmende  werking  van 
kleine  hoeveelheden  is  de  feitelijke  werking  vati  atropine  volgens  de 
onderzoekingen  van  Magnüs  ’)  een  den  plexus  van  Aükhbach  prik- 
kelende. Eerst  zeer  groote  hoeveelheden  verlammen  de  zenuwcentra, 
zenuwen  en  spieren  van  den  darmwand. 

De  werking  dezer  laatste  hoeveeliieden  blijft  hier  buiten  beschouwing. 

Bewijsmateriaal  voor  de  bovenstaande  onderstelling  zal  nu  op  de 
\'olgende  wijze  kunnen  worden  geleverd. 

1°.  Zal  een  darm,  welke  oorspronkelijk  door  kleine  hoeveelheden 
ati'opine  geremd  wordt,  door  herhaald  uitwasschen,  waardoor  choline 
aan  den  darmwand  onttrokken  wordt,  in  een  toestand  gebracht 
moeten  worden,  waarin  een  kleine  hoeveelheid  atropine  geen  effect 
meer  heeft. 

2°.  Zal  bij  dezen  darm  na  toedienen  van  choline  het  oorspronke- 
lijk atropine-effect  weer  te  voorschijn  moeten  treden. 

3“.  Zal  een  darm,  welke  oorspronkelijk  op  i^iiddelmatige  hoeveel- 
heden atropine  met  remming  reageert  door  herhaald  uitwasschen  in 

1)  A.  P.  V.  Lidth  de  Jeude,  l.c 

R.  Magnos,  Versuche  ani  überlebenden  Dünndartn  von  Saugetieren.  V.  Mitt. 
Pfiüger’s  Archiv.  Bd.  108,  pag.  1,  1905. 


246 


een  toestand  gebracht  moeten  worden,  waarin  dezelfde  hoeveelheid 
atropine  enkel  prikkeling  geeft. 

De  proeven  om  dit  te  bewijzen  werden  verricht  ipet  de  geïso- 
leerde dunnedarraen  van  konijnen  en  caviae,  die  zooals  ons  vroeger 
gebleken  was  rijkelijke  hoeveelheden  choline  bevatten  en  deze 
— naar  verwacht  mocht  worden  — befrekkelijk  gemakkelijk  aan 
de  vloeistof,  waarin  ze  bewaard  werden,  afgeven. 


Proeven  met  den  dunnedarni  van  het  konijn. 


Bij  de  proeven  mei  den  dnnnedarm  van  het  konijn  deed  zich 
aanvankelijk  het  bezwaar  voor,  dat  na  eenige  dagen  tegelijk  met 
het  wegwasschen  van  het  choline  ook  de  spontane  bewegingen  min- 
der werden,  waardoor  minder  goede  curven  verkregen  werden. 
Gebruik  makende  van  de  ervaring  \an  Laqueur  '),  dat  darmlissen, 
welke  in  paardeserurn  bij  lage  temperatuur  bewaard  worden,  gedu- 
rende dagenlang  hun  motiliteit  behouden,  werd  nu  de  gang  van 
het  onderzoek  als  volgt. 

Van  den  verschen,  zorgvuldig  met  Tjrode  vloeistof  gereinigden 
dnnnedarm  werden  willekeurig  enkele  lissen  afgesneden  en  hiervan 
de  bewegingen  volgens  de  door  Magnus  aangegeven  methode  gere- 
gistreerd. De  vaten  waarin  de  darmlissen  zich  bevonden  bevatten 
75  c.c.  Tjrode  vloeistof  van  38°  C. 

Werden  hierbij  kleine  hoeveelheden  atropine  gevoegd  (0.002 — 0.01 
mgr.)  da))  we)’den  zonder  uitzondering  de  slingerbewegir)ge)i  der 
da)'m lissen  kleiner. 

Fig.  1 geeft  hiervan  een  voorbeeld. 


Fig.  1. 


Fig.  2. 


Fig.  3. 

15  mg.  Atropine 


0.01  Atropine  15  mg.  Atropine  0.01  Atropine 


h E.  Laqueur,  Over  den  levensduur  van  geïsoleerde  zoogdier-organen  met 
automatische  functie.  Kon.  Akaderaie  v.  Wetenschappen  te  Amsterdam.  Verslag 
vergadering  wis-  en  natuurk.  afdeeling  van  24  April  1914,  XXII,  pag.  1318. 


247 


Fig.  1. 

Slingerbewegingen  van  den  dunnedartn  van  het  konijn  onmiddellijk  na  het 
dooden  van  het  dier  opgespannen.  Door  toedienen  van  0.01  mgr.  atropine  wordt 
de  grootte  der  bewegingen  tot  op  de  helft  teruggebracht. 

Fig.  2. 

De  darmlis,  waarvan  de  bewegingen  hier  zijn  opgeteekeiid,  is  dezelfde  als  in 
fig.  1.  Door  3 maal  uitwasschen  met  Tyrode  vloeistof  is  de  voorafgegane  werking 
van  de  atropine  (0  01  mgr.)  volkomen  verwijderd.  15  mgr.  atropine  geeft  nu  sterke 
remming  der  bewegingen  met  geringe  daling  van  den  tonus. 

Fig.  3. 

Een  darmlis  van  denzelfden  darm,  welke  gedurende  3 maal  24  uur  in  de  yskast 
in  herhaaldelijk  ververscht  paardeserum  bewaard  is.  De  darmlis  is  daarna  8 maal 
met  warme  Tyrode  vloeistof  uitgewasschen  en  reageert  nu  niet  meer  op  0.01  mgr. 
atropine.  Na  15  mgr.  atropine  treedt  een  krachtige  prikkeling  met  sterke  toename 
van  den  tonus  op. 

Hierna  werden  driemaal  om  de  JO  minuten  de  darmlissen  met 
versche  Tyrode  vloeistof  uitgewasschen,  waardoor,  zooals  ons  uit 
eigen  ervaring  bekend  is,  het,  door  de  voorafgegane  kleine  atropine- 
gift  teweeggebrachte,  effect  weer  volkomen  wordt  uitgewischt. 

Werd  nu  vervolgens  een  middelmatige  dosis  (15  mgr.)  atropine 
bijgevoegd,  dan  werden  in  verreweg  de  meeste  gevallen  de  slinger- 
bewegingen aanzienlijk  kleiner,  gepaard  gaande  met  een  meer  of 
minder  sterke  daling  van  den  tonus. 

Een  voorbeeld  hiervan  geeft  fig.  2. 

In  enkele  gevallen  volgde  op  de  aanvankelijke  remming,  welke 
deze  middelmatige  hoeveelheid  atropine  teweegbracht  een  meer  of 
minder  sterke  prikkeling.  Dit  was  het  geval,  wanneer  de  darmlis 
reeds  meerdere  malen  was  uitgewasschen,  waardoor  de  darm  in  een 
stadium  is  gekomen,  waarin  de  remmende  werking  van  middel- 
matige atropinedoses  in  een  prikkelende  overgaat. 

Van  den  darm,  welke  gedurende  den  nacht  in  paardeserum  bij 
lage  temperatuur  was  bewaai’d,  werden  den  volgenden  dag  weer 
eenige  lissen  genomen  en,  na  zorgvuldig  van  aanhangend  serum  te 
zijn  bevrijd,  als  boven  opgespannen. 

Deze  lissen  werden  nu  alle,  iedere  tien  minuten,  met  versche  Tyrode 
vloeistof  uitgewasschen.  Een  der  lissen,  en  hiervoor  diende  steeds 
dezelfde,  werd  als  object  gebruikt  om  na  te  gaan  of  door  0.01  mgr. 
atropine  nog  remming  der  bewegingen  werd  teweeggebracht.  Was 
dit  niet  meer  het  geval,  dan  werden  de  andere  darmlissen  nogmaals 
eenige  keeren  uitgewasschen  en  op  haar  gedrag  tegenover  atropine 
onderzocht. 

In  verreweg  de  meeste  gevallen  veroorzaakte  nu  ook  hierbij  een 


248 


kleine  hoeveelheid  atropine  (0.01  mgr.)  niet  de  minste  verandering 
in  de  bewegingen  of  in  den  tonus,  doch  trad  na  toediening  van 
15  mgr.  atropine  een  prikkeling  der  darmbewegingen  met  èterke 
verhooging  van  den  tonus  op.  Zie  fig.  3. 

Bovendien  kon  in  dit  stadium  de  ooi'spronkelijke  remmende  werking 
van  de  atropine  weer  te  voorschijn  gebracht  worden,  wanneer  te 
voren  een  kleine  hoeveelheid  choline  (1 — 2 mgr.)  bij  de  darmlis 
gevoegd  werd. 

Niet  steeds  gelukte  het  reeds  den  tweeden  dag  dit  stadium  te 
bereiken,  doch  was  het  noodig  den  dai'm  eenige  dagen  langer  in 
herhaaldelijk  ververscht  paardeserum  Ie  laten,  om  daarna  door 
herhaald  uitwasschen  met  Tyrode  vloeistof  den  toestand  te  verkrijgen, 
waarin  de  darm  door  kleine  doses  atropine  onbein vloed  blijft. 

Ook  zonder  gebruik  te  maken  van  paardeserurn  als  vloeistof, 
waarin  de  darm  bewaard  wordt,  gelukt  hel  door  uitwasschen  met 
enkel  Tv  rode  vloeistof  den  darm  in  den  gewenschten  toestand  te 
brengen,  hoewel,  zooals  reeds  boven  vermeld,  de  bewegingen  dan 
na  eenige  dagen  kleiner  worden  en  minder  fraaie  curven  verkregen 
worden.  Bewezen  wordt  hierdoor  echter,  dat  door  het  gebruik  van 
paardeserum  de  resultaten  niet  beinvloed  zijn. 

Voor  den  dunnedarm  van  het  konijn  is  dus  aangetoond: 

1”.  dat  door  herhaald  uitwasschen,  waardoor,  zooals  vroeger  is 
aangetoond,  clioline  aan  den  darmwand  onttrokken  wordt,  een 
toestand  verkregen  wordt,  waarin  de  aanvankelijk  aanwezige  rem- 
mende werking  van  kleine  hoeveelheden  atropine  is  opgeheven. 

2".  dat  door  toedienen  van  choline  deze  remmende  werking  van 
atropine  weer  te  voorschijn  kan  worden  gebracht. 

3°.  dat  de  aanvankelijk  wisselende,  bij  mijn  proeven  zich  meest 
als  een  remmijig  uitende,  werking  van  middelmatige  hoeveelheden 
atropitie  door  herhaald  uitwasschen  van  den  darm  in  een  constant 
prikkelende  werking  kan  worden  veranderd. 

Proeven  met  den  dunnedarm  van  de  cavia. 

Als  tweede  object  voor  dit  onderzoek  diende  de  dunnedarm  van 
de  cavia. 

Kortgeleden  heeft  Trbndelenburg  een  fraaie  methode  aangegeven, 
waarop  men  de  peristaltische  bewegingen  van  den  overlevenden 
dunnedarm  van  de  ca\'ia  graphisch  kan  registreeren  en  de  werking. 


')  P.  Trendelenburg,  l.c. 


249 


welke  verschillende  vergiften  op  deze  bewegingen  uitoefenen,  tot  op 
zekere  hoogte  in  getallen  kan  uitdiukken. 

Over  de  werking  van  atro-pine  (op  den  dunnedarrn  van  de  cavia) 
geeft  Trendelenburg  op,  dat  deze  steeds  een  de  peristaltiek  remmende 
zon  zijn. 

Bij  ons  onderzoek,  waarbij  het  er  op  aankwam  na  te  gaan  of  ook 
hier,  evenals  bij  den  dnnnedarra  van  het  konijn,  de  toestand  waarin 
de  darm  verkeert,  zijn  gedrag  ten  opzichte  van  atropine  beheerscht, 
hebben  we  in  hoofdzaak  de  door  Trendelenbürg  aangegeven  methode 
gevolgd  en  zijn  aldus  te  werk  gegaan. 

De  cavia  werd  door  een  slag  in  den  nek  gedood,  de  dunnedarm 
voorzichtig  van  het  mesenterium  losgeknipt  en  herhaalde  malen  met 
warme  vloeistof  volgens  Looke')  gereinigd.  Vervolgens  werd  de  darm 
in  5 stukken  verdeeld,  waarvan  een  stuk  direct  werd  opgespannen, 
de  andere  stukken  werden  in  afzonderlijke  schaaltjes  met  Locke’s 
vloeistof  gelegd,  welke  \doeistof  af  en  toe  ververscht  werd. 

De  darmlis,  welke  in  een  vat  van  150  cc.  inhoud  was  opgespannen, 
werd  eerst  eenigen  tijd  bij  een  binnendruk  van  0 inM.  H,0  aan 
zichzelf  overgelaten,  daarna  werd  langzaam  de  binnendruk  verhoogd 
en  bepaald  bij  welken  druk  voor  de  eerste  maal  peristaltiek  optrad 
(kritische  druk).  De  binnendruk  werd  daarna  weer  op  0 gebracht; 
na  3 minuten  werd  opnieuw  de  kritische  druk  bepaald. 

Deze  bepaling  wei-d  herhaald  nadat  successievelijk  0.1,  1 , en  5 mgr. 
atropine  was  toegevoegd.  In  overeenstemming  met  de  opgave  van 
Trendelknbürg  was  remming  der  peristaltiek  opgetreden,  zoodat  nu 
bij  zelfs  aanzienlijk  hoogeren  binnendruk  geen  peristaltiek  meer  optrad. 

Na  zorgvuldige  reiniging  van  het  apparaat  werd  nu  een  tweede 
darmlis  opgespannen,  welke  eenige  uren  in  Locke’s  vloeistof  bewaard 
was,  en  hiermede  dezelfde  bepalingen  herhaald  voor  en  na  toedienen 
van  atropine.  In  de  meeste  gevallen  bleek  nu  de  kleine  atropinedosis 
reeds  een  veel  geringere  remming  der  peristaltiek  te  geven  als  bij 
de  eerste  darmlis. 

Daarna  werd  weer  een  volgende  darmlis  onderzocht,  die  weer 
eenige  uren  langer  in  Locke’s  vloeistof  bewaard  was  gebleven  en 
eenige  malen  meer  was  uitgewasschen,  enz. 

Een  overzicht  van  een  volledige  proef  geeft  tabel  1. 

Uit  deze  tabel  ziet  men  dat  de  darm,  die  aanvankelijk  door  hoeveel- 
heden van  0.1,  1 en  5 mgr.  atropine  volledig  geremd  wordt  na 
2.5  uur  uitw'asschen  met  Locke’s  vloeistof  reeds  in  een  toestand 


h Van  groot  belang  is  het,  dat  de  vloeistof  uit  zuivere  zouten  en  met  zuiver, 
uit  glazen  apparaten  gedistilleerd,  water  bereid  wordt. 


250 


gebracht  is,  waarin  0.1  en  'J  mgr.  atropine  reeds  een  veel  minder 
sterke  remming  geven. 

Nadat  het  uitwasschen  6 nur  is  voortgezet  is  van  een  remmende 

TABEL  I. 


Nummer 
der  darmlis. 

duur  van 

Kritische  binnendruk  in  mM  HjO. 

het  uit- 
wasschen. 

normaal. 

na  0.01  mgr. 
atropine. 

na  1 mgr. 
atropine. 

na  5 mgr. 
atropine. 

1 

0 

7 

remming 

remming 

remming 

2 

2.5 

20 

25 

30 

remming 

3 

6 

20 

16 

20 

20  (levendige 
slingerbew. 

4 

8 

12-16 

13 

— 

— 

5 

11 

10 

7 

— 

— 

werking  dezer  atropinehoeveelheden  geen  sprake  meer,  daarentegen 
treedt  nu  na  0.1  mgr.  atropine  reeds  bij  lageren  binnendruk  als  in 
de  normaal  periode  peristaltiek  op.  Ook  bij  de  darmlissen,  die  8 en 
11  uur  zijn  uitgewassclien  is  een  duidelijke  prikkeling  door  ati-opine 
te  constateeren,  waardoor  bij  lageren  binnendruk  reeds  peristaltiek 
optreedt. 

Bij  darmlis  N“,  3 was  tevens  na  5 mgr.  atropine  een  zeer  sterke 
vermeerdering  der  slingerbewegingen  merkbaar. 

Hiermede  is  dus  ook  voor  den  dunnedarm  van  de  cavia  aangetoond, 
dat  de  remmende  werking  van  atropine,  welke  Trendelrnbdrg  hierbij 
steeds  constateerde,  door  uitwasschen  kan  worden  opgeheven,  en  dat 
dan  de  eigenlijke  ati-opinewerking,  prikkeling  van  den  plexus  van 
Auerbach  door  middelmatige  hoeveelheden  atropine  te  voorschijn  treedt. 

Begrijpelijk  wordt  het  nu  ook,  waarom  Trendeeenburg  steeds  slechts 
de  remmende  werking  van  atropine  waarnam,  daar  hij  bij  zijn  onder- 
zoekingen de  darmlissen  niet  in  vloeistof  bewaarde,  doch  deze  steeds 
opnieuw  aan  de  met  ui-ethaan  genarcotiseerde  cavia  ontnam. 

De  resultaten  uit  dit  onderzoek  verkregen  stellen  ons  nu  in  staat 
de  afwisselende  werking  van  atropine  op  den  darm  uit  een  ander 
oogpunt  te  beschouwen  en  de  elkaar  tegensprekende  waarnemingen 
der  verschillende  onderzoekers  te  verklaren. 

In  den  darmwand  komt  gedurende  het  leven  choline  in  zulke 
hoeveelheden  voor,  dat  zij  den  plexus  van  Auerbach  iti  prikkelings- 
toestand  brengen.  Wordt  door  herhaald  uitwasschen  choline  uit  den 
overlevenden  darm  in  meerdere  of  mindere  mate  verwijderd,  dan 
komt  bij  zoo’n  darm  de  eigenlijke  werking  van  de  atropine  zuiver 
voor  den  dag.  Zij  bestaat  volgens  de  vroegere  onderzoekingen  van 


251 


Magnus  ’)  in  een  prikkeling  van  den  plexus  van  Aüerbach  door 
middelmatige  hoeveelheden,  terwijl  eerst  zeer  groote  doses  de  centra, 
zenuw  en  spier  verlammen. 

Kleine  hoeveelheden  atropine  beïnvloeden  de  darmbewegingen 
primair  niet. 

Afhankelijk  van  de  aanwezigheid  van  meer  of  minder  choline  in 
den  darmwand  zal  nu  het  resultaat  der  atropinewerking  verschillend 
kunnen  zijn. 

Choline  werkt  prikkelend  op  den  plexus  van  Aüerbach,  zijne  Averking 
laat  zich  door  atropine  antagonistisch  beïnvloeden.  Zoolang  dus  een 
voldoende  hoeveelheid  choline  in  den  darmwand  aan wezig  is,  zal  dus 
een  kleine  dosis  atropine  de  werking  van  het  choline  antagonistisch 
beïnvloeden  en  daardoor  de  darmbewegingen  remmen. 

Het  resultaat  der  werking  van  middelmatige  hoeveelheden  atropine 
zal  daarvan  afhangen,  of  de  directe  prikkelende  werking  op  den 
plexus,  of  de  antagonistische  werking  tegen  choline  de  overhand  heeft. 

Bevat  de  darm  weinig  choline  dan  treedt  de  prikkelende  werking 
op  den  voorgrond,  bevat  hij  veel  choline  dan  overweegt  de  antago- 
nistische (remmende)  werking.  Bij  een  middelmatig  gehalte  aan  choline 
zal  op  een  aanvankelijke  remming  een  prikkeling  kunnen  volgen. 

Ook  de  resultaten  van  vroegere  onderzoekers  kunnen  nu  verklaard 
worden. 

Dat  bij  den  dunne  darm  van  de  kat  de  prikkelende  werking  van 
middelmatige  hoeveelheden  atropine  vaker  zich  voordoet  als  bij  den 
konijne-  en  caviadarm  stemt  met  onze  ervaring  overeen,  dat  de  eerste 
minder  choline  bevat  dan  de  beide  laatste. 

Anderzijds  is  het  begrijpelijk  dat  bij  den  caviadarm,  dien  we  steeds 
rijk  aan  choline  vonden,  regelmatig  de  remmende  werking  van  atropine 
te  voorschijn  treedt. 

Ook  kunnen  we  nu  inzien,  waarom  de  geïsoleerde  konijnedarm 
afhankelijk  van  de  voorafgegane  behandeling  nu  eens  door  atropine 
geremd,  dan  weer  geprikkeld  wordt,  terwijl  de  intacte  darm,  waarbij 
geen  uitwasschen  van  choline  kan  plaats  gehad  hebben,  volgens 
Trendelenbürg  ’)  regelmatig  geremd  wordt. 

Samenvatting . 

We  hebben  vroeger  aangetoond,  dat  de  geïsoleerde  dunnedarm  aan 
zoutoplossingen  hoeveelheden  choline  afgeeft,  welke  in  staat  zijn  op 
den  plexus  van  Aüerbach  prikkelend  te  werken. 

1)  R.  Magnus,  l.c. 

2)  P.  Trendelenbürg,  l.c. 

17 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


252 


Met  dit  verlies  aan  choline  gaat  gepaard  een  veranderd  gedrag 
van  den  darm  tegenover  atropine. 

De  dnnnedarm  van  het  konijn,  welke  voor  het  uitwasschen  door 
kleine  giften  atropine  geremd  wordt,  reageert  nu  niet  meer  hierop, 
doch  wordt  nn  door  middelmatige  doses  geprikkeld. 

De  normale  caviadarm  wordt  door  atropine  steeds  geremd.  Na 
uitwasschen  verdwijnt  ook  hierbij  deze  werking,  om  plaats  te  maken 
voor  eene  prikkeling  door  middelmatige  hoeveelheden  atropine. 

De  verklaring  hiervoor  is  nu  deze:  de  feitelijke  werking  van 
middelmatige  hoeveelheden  atropine  op  den  darm  is  prikkeling  van 
den  plexus  van  Aüerbach;  bevat  de  darm  veel  choline  en  bevindt 
zich  hierdoor  de  plexus  in  sterken  prikkelingstoestand  dan  wordt  door 
een  kleine  hoeveelheid  atropine  deze  prikkeling  ,, antagonistisch” 
opgeheven,  eventueel  verminderd,  eti  het  resultaat  is  remming. 

Middelmatige  hoeveelheden  atropine  werken  evenzeer  remmend, 
wanneer  deze  antagonistische  werking  sterk  genoeg  is,  doch  bij 
aanwezigheid  van  geringe  hoeveelheden  choline  in  den  darm  zal  deze 
geprikkeld  worden. 

We  hebben  hier  dus  een  geval,  waarbij  de  aanwezigheid  van  een 
bekende  chemische  slof  (choline)  in  het  weefsel  bepaalt,  op  welke 
wijze  dit  op  een  gift  (atropine)  reageert. 


Utrecht,  September  1919. 


Pharmacologisch  Instituut  der 
Rijksuniversiteit. 


Physiologie.  — De  Heer  Magnüs  biedt  een  mededeeling  aan  van 
de  Heeren  A.  de  Kleun  en  C.  R.  J.  Versteegh:  ,,Over  de 
al  of  niet  lahi/rinthaire  genese  van  den  donkernystagmus  bij 
honden” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Zwaardemaker). 

Na  een  nitgebreid  klinisch  onderzoek  bij  mijnwerkers  is  Ohm  tot 
de  conclusie  gekomen,  dat  de,  bij  deze  menschen  veel  optredende 
nystagmus,  van  labyrinthairen  oorsprong  is. 

Door  de  ontdekking  van  Raudnitz,  dat  bij  honden  na  een  tijd- 
lang verblijf  in  het  donker,  nystagmus  optreedt,  is  het  Ohm  mogelijk 
geworden  voor  zijn  genoemde  conclusie  experimenteel  bewijzen  aan 
te  voeren. 

Hij  gaat  hierbij  uit  van  de  onderstelling  ,,dass  der  bei  jungen 
Hunden  durch  Diinkelheit  hervorgernfene  Nystagmus  in  bezug  auf 
Ablauf,  Ausschlag  und  Dauer  der  Zuckung,  den  Einflnsz  von  Ruhe 
und  Bewegung  mit  dem  Augenzittern  der  Bergleute  vollkommen 
übereinstimmt”. 

In  verschillende  mededeelingen  beschrijft  hij  dan  enkele  proeven, 
waarbij  hij  geprobeerd  heeft  dubbelzijdige  labyrinthexstirpatie  te 
verrichten  bij  honden  met  bestaanden  donkernystagmus. 

Als  regel  is  hem  dit  zooals  uit  proeven  blijkt  niet  gelukt.  Een 
maal  echter  schijnt  het  hem  gelukt  te  zijn.  Het  proefdier  vertoonde 
hierna  geen  donkernystagmus  meer,  was  echter  zoo  slap  dat  het 
eenige  uren  daarna  overleed. 

Hieruit  trekt  Ohm  de  twijfelachtige  conclusie,  dat  de  labyrinthaire 
oorsprong  van  den  donkernystagmus  experimenteel  bewezen  is. 

Met  behulp  van  een  betere  methode  van  labyrinthexstirpatie  is 
het  ons  echter  gelukt  aan  te  toonen  dat ; 

De  donkernystagmus  hij  jonge  honden  (Raudnitz,  Ohm)  niet  van 
labyrinthairen  oorsprong  is. 

Gebleken  is  dat : 

1°.  Na  dubbelzijdige  labyrinthexstirpatie  de  bestaande  donker- 
nystagmus nog  blijft  voortduren. 

2".  Na  dubbelzijdige  labyrinthexstirpatie  nog  donkernystagmus  is 
op  te  wekken. 

Fig.  1 geeft  dezen  nystagmus  in  curve  gebracht  weer  en  we  zien 

17* 


254 


iii  deze  curve  deii  tjpischen  doiikernypfagtnns  afgewisseld  door  enkele 
spontane  groote  oogbewegingen. 

De  reg'istralie  is  verricht  door  een  draad  door  de  ongevoelig 
gemaakte  cornea  (e  hechten  en  zoodoende  de  beweging  op  een  hef- 
boom over  te  brengen. 

3°.  De  donkernjstagmns  verhoudt  zich  t.o.  van  een  bijgevoegden 
vestibulairen  nystagmus  anders  dan  een  vestibulaire  nystagmus.  Voeren 
we  nl.  een  hond  met  bestaanden  donkernystagmus  een  vestibulairen 
prikkel  toe,  welke  eenen  vestibulairen  nystagmus  geeft,  dan  zien 
we  deze  twee  nystagmusvormen  naast  elkaar  voortbestaan,  zonder 
op  elkaar  in  te  werken. 

Voeren  we  echter  aan  eenen  bestaanden  vestibulairen  nystagmus 
(b.v.  calorische)  eenen  tweeden  vestibulairen  nystagmus,  (b.v.  draai- 
nystagmus)  toe,  dan  zien  we  de  eerste  nystagmus-uitslagen  wel  iets 


Fig  1.  Fig  2. 

onregelmatig'  en  verschillend  van  grootte  worden,  men  krijgt  echter 
den  indruk  met  een  resulteerende  werking  te  doen  te  hebben. 

Fig.  2 geeft  het  typische  voorbeeld  weer  van  wat  we  noemen 
de  combinatie  van  donkernystagmus  en  calorischen  nystagmus.  De 
kleine  slagen  zijn  vat)  den  rustig  verder  gaanden  donkernystagmus; 
de  groote  golven  zijn  gevolg  van  de  oogbewegingen  opgewekt  door 
één  oor  met  koud  water  uit  te  spuiten. 

In  hoeverre  Ohm  dus  recht  heeft  om  de  oorzaak  van  de  mijn- 
werkei'snystagmus  in  het  labyrint!)  te  zoeken  kan  hier  niet  uitge- 
maakt worden;  zeker  is  zijn  rneening,  dat  de  donkernystagmus  bij 
honden  van  iabyrinthairen  oorsprong  is,  onjuist. 

Utrecht.  {Pharnvico logisch  Instituut  der  Rijksuniversiteit). 


Physiologie.  — De  Heer  Magnüs  biedt  eene  mededeel iiig  aan  van 
den  Heer  W.  Storm  van  Leeuwen  en  Mej.  M.  v.  d.  Maüe: 

. ,,  Onderzoeking  en  over  scopolamine-niorphine-narcose” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Zw'aarbemaker). 

Nadat  Schneiderlin  ')  in  1900  de  scopolamine-morpliine-naroose 
in  de  praktijk  heeft  ingevoerd,  is  veel  over  dit  onderwerp  gewerkt 
en  geschreven.  Een  van  de  belangrijkste  punten,  die  daarbij  naar 
voren  kwamen,  was  de  vraag  of  bij  het  toedienen  van  een  mengsel 
dezer  beide  vergiften  ,,potentieering”  optreedt.  Onder  potentieering 
verstaat  men,  volgens  Bürgj,  het  verschijnsel,  dat  een  mengsel  van 
twee  vergiften  soms  een  sterkere  werking  uitoefent  dan  op  grond 
van  de  werking  van  de  samenstellende  deelen  kon  worden  verwacht. 
Over  de  vraag  of  bij  het  mengsel  scopolamine-morphine  potentieering 
optreedt  is  experimenteel  werk  verricht  door  Hauckold ’)  bij  konijnen, 
door  Kochmann *  *)  bij  honden  en  door  Schneiderlin  bij  menschen. 
Hauckold  injiceerde  subcntaan  bij  konijnen  respectievelijk  rnorphine, 
scopolamine  en  rnorphine  -|-  scopolamine  en  vond  daai  bij  een  [loten- 
tieering.  Hij  deelde  o.  a.  mede,  dat  5 mgr.  moijihine  -j-  0.5  mgr. 
scopolamine  per  KG.  bij  het  konijn  narcose  kan  veroorzaken,  terwijl 
10  mgr.  rnorphine  en  200  mgr.  scopolamine,  alleen  ingespoten,  geen 
narcoseverschijnselen  gaven.  Hauckold  besloot  hieruit,  dat,  hoewel 
scopolamine  op  zichzelf  bij  het  konijn  niet  narcotisch  werkt,  het 
toch  in  staat  is  een  niet  narcotische  moi’phinegift  werkzaam  te  maken. 
Deze  vondst  bleek  echter  op  een  onjuiste  waarneming  te  berusten. 
Want  ten  eerste  hebben  wij  met  een  hieronder  te  vermelden  methode 
aangetoond,  dat  zoowel  0.5  mgr.  scopolamine  als  5 mgr.  rnorphine 
bij  het  konijn  wel  degelijk  narcotisch  werken  en  ten  tweede  vonden 
wij,  ook  wanneer  wij  Hauckold’s  nrethode  benutten,  geen  potenti- 
eering, maar  een  eenvoudige  additie  der  werkingen. 

Hauckold  spoot  bij  noiunale  konijnen  de  scopolamine,  de  mor|)hine 

‘)  ScHNETDERLiN.  Eine  neue  Narkose.  Arztl.  Mitt.  aus  u.  für  Baden.  Mai  1900, 
geciteerd  n.  Hauckold  Schneiderlin.  Die  Skopolamin-Morphin  Narkose.  Münch. 
Med.  Wochenschr.  1903.  N*’.  9,  pag.  371. 

*)  E.  Hauckold.  Ueber  die  Beeinflussung  von  Narkoticis  durch  Skopolamin. 
Zeitschr.  f.  exp.  Path.  u.  Ther.  Bd.  7,  pag.  743,  1910. 

*)  M.  Kochmann.  Ueber  die  therapeutischen  Indikatiouen  des  Skopolaminum 
hydrobromicum.  Die  Therapie  der  Gegenv’art.  1903,  pag.  202. 


256 


en  liet  mengsel  scopolamine-morpliine  onderhuids  in  en  ging  dan  na 
of  al  dan  niet  een  narcose  optrad.  Wij  hebben  deze  proeven  her- 
haald, maar,  aangezien  — zooals  ook  H,\ückold  aangeeft  — het 
beoordeelen  der  nareosediepte  bij  konijnen  moeilijk  is,  wijzigden  wij 
eenigszins  de  techniek.  Wij  spoten  n.1.  steeds  op  een  dag  een  heele 
serie  van  ca  20  konijnen  met  de  \'erschiilende  vergiften  in  en  zorg- 
den dat  alle  injecties  nagenoeg  tegelijkertijd  plaats  vonden.  Dan 
werd  om  het  kwartier  de  toestand  van  de  dieren  beoordeeld  en 
genoteerd,  waarbij  het  steeds  zoo  ingericht  werd,  dat  de  beoordeelaar 
niet  wist  met  welk  vergift  elk  dier  was  ingespoten. 

Op  deze  wijze  deden  wij  de  volgende  proeven: 

6 konijnen  kregen  10  mgr.  morphine  per  KG.  subcutaan. 

6 konijnen  kregen  1 mgr.  scopolamine  per  KG.  subcutaan. 

6 konijnen  kregen  5 mgr.  morphine  0.5  mgr.  scopolamine  per 
KG.  subcutaan. 

Alle  dieren  werden  gedurende  2\/, — 3 uur  regelmatig  onderzocht 
en  daarbij  bleek  dat  1 mgr.  scopolamine  slechts  een  zeer  geringe 
narcotische  werking  uitoefent.  De  werking  van  10  mgr.  morphine 
was  duidelijk;  die  van  0.5  mgr.  scopolamine  -|-  5 mgr.  morphine 
was  minder  sterk,  dan  die  van  10  mgr.  morphine  alleen;  er  was 
dus  geen  sprake  van  potentieering. 

Nadat  wij  dit  negatieve  resultaat  verkregen  hadden,  onderzochten 
wij  de  narcotische  werking  van  scopolamine  en  morphine  nog  op 
een  andere  wijze.  Bij  gedecerebreerde  konijnen  werd  een  z.g.  geïsoleerd 
reclus  femoris  praeparaat  gemaakt  en  daarbij  werd  de  invloed  van  moi- 
phine,  van  scopolamine  en  van  morphine  scü|>olamine  op  den 
homolateralen  buigretlex  van  het  konijn  onderzocht.  Na  een  kleine 
technische  verbetering  bleek  deze  methode,  die  wij  bij  katten  reeds 
herhaaldelijk  hadden  toegepast  *),  zich  ook  goed  te  leenen  voor  het 
onderzoek  op  konijnen. 

De  door  faradischen  prikkel  bij  de  gedecerebreerde  konijnen  opge- 
wekte i'etlexen  werden  op  een  kymographion  geregisti-eerd,  de  op 
(leze  wijze  verkregen  curven  van  elke  proef  werden  uitgemeten  en 
het  resultaat'  graphisch  voorgesteld.  Als  voorbeeld  wordt  in  fig.  1 
de  invloed  van  5 mgr.  morphine  op  den  homolateralen  buigreflex 
bij  het  konijn  gegeven. 

We  hebhen  nu  in  deze  proeven  telkens  bij  series  van  5 konijnen 
— wanneer  gebleken  was,  dat  de  door  prikkeling  met  dezelfde 


1)  W.  Storm  van  Leeuwen.  Quantilatieve  phaimakologische  Untersuchungen 
über  die  Refleifuriktionen  des  Rückenmarks  bei  VVarmblütern.  1.  Mitt.  Pflügers 
Arch.  Bd.  154,  pag.  307,  1913.  111.  Mitt.  Pflügers  Arch.  Bd.  165,  pag.  84,  1916. 


257 


intensiteit  opgewekte  reflexen  even  groot  waren  — ingespoten  0.5 
mgr.  scopolamine  of  5 mgr.  morphine  of  0.5  mgi'.  scopolamine  + 
5 mgr.  morphine.  In  het  laatste  geval  werd  eerst  de  scopolamine 
gegeven  eti  20  minuten  later  de  morphine.  Het  resultaat  van  de 
inspuitingen  op  de  grootte  der  reflexen  werd  beoordeeld  voor  de 


10 


1 

f 

'ÊL 

A 

r 

r 

1 , 

n 

A 

3 

r 

V 

1 

A 

1 

v* 

L 

1 1 1 1 

‘1 


20 


5pf  40  SO 


ÓO-WA/JV. 


Fig.  1. 

scopolamine  na  40  minuten,  voor  het  mengsel  scopolamine  -(-  mor- 
phine 40  minuten  na  de  scopolamine-injectie  en  voor  de  morphine 
na  20  minuten.  In  procenten  uitgedrukt  hadden  nu  de  ingespoten 
vergiften  den  volgenden  invloed  op  de  grootte  der  reflexen  : 

0.5  mgr.  scopolamine  geeft  na  40  min.  een  vermindering  van  37  “/„ 
5 mgr.  morphine  ,,  ,,  20  ,,  ,,  ■ ,,  ,,  15 

0.5  mgr.  scop.  -f  5 mgr.  morph.  40  ,,  ,,  ,,  ,,  32  7« 

Deze  getallen  moeten  nog  gecorrigeerd  worden.  Uit  een  aantal 
controleproeven  bleek,  dat  de  reflexgrootte  — wanneer  geen  ver- 


258 


gift  wordt  toegediend  — na  40  minuten  spontaan  9 “/o  daalt  en  na 
20  minuten  4 7o-  deze  correctie  krijgt  men  de  volgende  waarden; 

Na  0.5  ragr.  scopolamine  een  vermindering  van  28  */o 

na  5 mgr.  morphine  een  vermindering  van  11  °/e 

na  0.5  mgr.  scopolamine  5 mgr.  moiphine  een  vermindering 
van  23  '/o- 

Hieruit  is  duidelijk,  dat  men  ook  bij  deze  wijze  van  werken 
zeker  geen  potentieering  vindt,  want  het  in  de  combinatie-proeven 
gevonden  getal  is  niet  hooger,  maar  lager  dan  de  som  van  de  wer- 
kingen van  morphine  en  van  scopolamine  afzonderlijk. 

Velen,  o.a.  Haückoi.d  nemen  aan,  dat  kleine  dosen  scopolamine 
bij  het  konijn  geen  narcotische  werking  zouden  hebben.  Uit  onze 
proeven  is  dus  gebleken,  dat  0.5  mgr,  scopolamine  een  duidelijk 
narcotische  werking  heeft  op  de  reflexgrootte.  In  proeven,  die  wij 
te  zamen  met  Dr.  G.  Lii^jestrand  deden,  gingen  wij  den  invloed 
na  van  verschillende  dosen  scopolamine  op  een  ruggernergsreflex 
van  het  gedecerebreerd  konijn.  Hieruit  bleek,  dat  deze  narcotische 
werking  bij  stijgen  der  dosis  niet  voortdurend  toeneemt,  maar  vrij  spoedig 
een  maximum  bereikt  en  daarna  zelfs  weer  daalt  (zie  tig.  2 getrokken 
lijn).  Blijkbaar  voegt  zich  bij  hoogei-e  dosen  bij  de  narcotische  wer- 
king van  het  vergift  nog  een  prikkelende. 

Men  zuu  kunnen  verwachten,  dat  in  het  algemeen  wanneer  van  een  vergift  een 
twee  maal  grootere  dosis  gegeven  wordt  hierdoor  ook  een  twee  maal  grootore 
werking  wordt  teweeg  gebracht.  Bij  een  aantal  vergiften,  o.a.  bij  vele  der  alcaloiden, 
is  dit  echter  niet  het  geval.  Brengt  men  de  verhouding  tussclien  de  dosis  per  K.G. 
dier  en  de  werking  van  een  dergelijk  vergift  in  curve,  zoodat  op  de  abcis  de 
dosen  worden  uitgezet  en  op  de  ordinaat  de  — in  casu  narcotische  — werking, 
dan  verkrijgt  men  een  lijn,  die  in  het  aanvangsdeel  steil  en  daarna  bijna  horizontaal 
verloopt.  Duidelijk  is  het  o.a.  te  zien  in  fig.  2 (gestippelde  lijn)  die  ontleend  is  aan 
een  mededeeüng  van  Ltljestrand,  v.  d.  Made  en  Storm  van  Leeuwen  b en 
waar  in  de  getrokken  lijn  de  narcotische  werking  van  scopolamine  in  verschillende 
dosen  is  in  curve  gebracht  (concentratiewerkingscurve  van  scopolamine). 

Behalve  Haückold  onderzocht  ook  Kochmasin  dit  vraagstuk.  Hij 
nam  proeven  op  honden  en  meende  daarbij  een  potentieerende  werking 
gevonden  te  hebben.  Daar  wij  noch  met  Hauckold’s  methode,  noch 
met  de  in  ons  instituut  gebruikelijke  methode  (invloed  op  reflexen 
der  gedecerebreerde  dieren)  een  potentieering  konden  aantoonen, 
hebben  wij  ook  Kochmann’s  proeven  gecontroleerd. 

Series  van  3 — 6 honden  werden  daartoe  subcutaan  ingespoten  met 
morphine  of  met  scopolamine  of  met  morphine  -|-  scopolamine.  Alle 
dosen  werden  berekend  per  KG.  dier. 

M Liljesïrand.  V.  D.  Made  en  Storm  van  Leeuwen.  Zur  Konzentrations- 
VVirkungskurve  des  Skopolamius.  Verschijnt  in  Pflügers  Arcb.  1919. 


259 


In  een  eerste  proef  werkten  we  met  dezelfde  dosis,  die  Kochmann 
gebruikt  liad.  Kochmamn  geeft  nl.  aan,  dat  5 mgr.  morphine  en 


0.5  mgr.  scopolamine  (hoewel  het  in  zijn  stuk  niet  vermeld  staat 
hebben  wij  aangenomen,  dat  hij  zijn  dosen  per  KG.  dier  opgegeven 
heeft)  elk  op  zichzelf  geen  narcotische  wei'king  bij  den  hond  uit- 
oefenen, maar  te  zanien  het  diei'  in  diepe  narcose  brengen.  Hij  heeft 


260 


dit  overigens  slechts  in  enkele  gevallen  waai’genomen.  Tn  den  beginne 
meenden  wij  zijn  resultaten  te  kunnen  bevestigen,  want  het  bleek 
dat  bij  den  hond  5 mgr.  inorphine  -j-  0.5  mgr.  scopolamine  samen 
een  even  sterke  werki)ig  uitoefenen  als  10  mgr.  morphine  alleen, 
terwijl  0.5  mgr.  scopolamine  alleen  eerder  een  prikkelende,  dan  een 
vei'lammende  werking  heeft.  Bij  nader  qnderzoek  bleek  nu  echter, 
dat  de  zaak  toch  anders  is,  want  werd  5 mgr.  morphine  alleen 
gegeven  (dus  zonder  scopolamine)  dan  was  de  werking  daarvan 
evenmin  te  onderscheiden  van  die  van  10  mgr.  inorphine.  Deze  vondst 
was  aanleiding  om  de  werking  van  verschillende  dosen  morphine 
op  den  hond  te  onderzoeken.  Daarbij  bleek,  dat  dosen  beneden  de 
1.5  mgr.  slechts  een  geilnge  of  geen  narcotische  werking  hebben, 
1.5  mgi'.  geeft  een  duidelijke  werking,  2.5  mgr.  geeft  een  narcotische 
werking,  die  aanzienlijk  sterker  is,  terwijl  de  werking  van  5 mgr. 
weinig  verschilt  van  die  van  2.5  en  tenslotte  10  mgr.  — zooals 
reeds  vermeld  — ongeveer  dezelfde  werking  geeft  als  5 mgr.  Wilde 
men  deze  eigenaardige  verhouding  tusschen  werking  en  concentratie 
in  curve  brengen,  dus  een  z.g.  concentratie- werkingscurve  van 
morphine  vervaardigen,  dan  zou  men  weder  een  curve  krijgen,  die 
in  den  aan  vang  eeii  vrij  steil  verloop  heeft  en  daarna  ongeveer 
horizontaal  verloopt.  Een  curve  dus  die  in  verloop  overeenkomt  met 
die  van  morphine  en  die  van  scopolamine  op  de  reflexen  van  het 
konijn. 

Nadat  dus  gebleken  was,  dat  de  werking  van  5 mgr.  morphine 
0.5  mgr.  scopolamine  wel  gelijk  is  aan  die  van  10  mgr.  morphine, 
maar  tevens  niet  grooter  is  dan  die  van  5 mgr.  morphine  alleen, 
werd  onderzocht  of  de  werking  van  kleinere  dosen  morphine  door 
scopolamine  zouden  worden  versterkt.  Daartoe  kregen  in  een  nieuwe 
serie  twee  honden  1 en  II  elk  2.5  mgr.  morphine  per  K.G.  en  twee 
andere  honden  lil  en  IV  ieder  2.5  mgr  morphine  -f- 0.5  mgr. 
scopolamine.  Hond  III  was  daarna  even  diep  genarcotiseerd  als 
hond  I en  11,  maar  de  narcose  van  hond  IV  was  aanzienlijk  7nmc?e7’ 
diep  dan  die  van  I en  11.  Hieruit  moet  dus  de  gevolgtrekking  ge- 
maakt worden,  dat  in  dit  geval  scopolamine  niet  alleen  niet  poten- 
tieerend  werkte,  maar  zelfs  de  werking  van  morphine  tegenging. 
Dit  resultaat  werd  nog  bevestigd  door  een  reeks  van  proeven  op 
honden,  waarbij  eenige  dieren  1.5  mgr.  morphine  kregen  en  eenige 
dieren  1.5  mgr.  morphine  -f- 0.5  mgr.  scopolamine.  De  eerste  dieren 
waren  alle  dieper  genarcotiseerd  dan  die  van  de  tweede  groep. 

Uit  deze  proeven  is  dus  gebleken,  dat  scopolamine  in  dosen  van 
0.5 — 1 mgr.  per  K.G.  narcoseverschijnselen  geeft,  maar  daarnaast 
ook  prikkelend  werkt.  Worden  kleine  dosen  morphine  met  scopo- 


261 


lamiiie  gecombineerd,  dan  veikrijgt  men  de  algebraisclie  som  van 
de  werking  der  beide  componenten  en  de  narcotische  werking  van 
de  morpliine  heft  de  prikkelende  werking  van  de  scopolamine  maar 
gedeeltelijk  op.  Geeft  men  grootere  dosen  morphine  dan  treedt  de 
prikkelende  werking  van  de  scopolamine  op  den  achtergrond  en 
het  schijnt,  dat  de  nai’cotische  werking  van  de  morphine  soms  in 
geringe  mate  door  de  scopolamine  kan  worden  versterkt,  maai'  in 
zulk  een  geringe  mate,  dat  het  geen  potentieering  genoemd  kan 
worden,  maar  beschouwd  moet  worden  als  een  eenvoudige  additie. 

ScHNEiDERLTN  scliijnt  op  gi'ond  van  zeer  nauwkeurige  proeven  bij 
menschel!  een  potentieering  gevonden  te  hebben.  Hij  gaf  n.1.  aan  eenige 
patiënten  eerst  een  vrij  groote  dosis  morphine,  na  enkele  dagen  een 
dosis  scopolamine  en  weer  enkele  dagen  later  de  halve  dosis  morphine 
+ de  halve  dosis  sco|)olaniine.  Ter  controle  werd  in  sommige 
gevallen  eerst  de  morphine  -|-  scopolamine  gegeven  en  eerst  later 
de  vergiften  elk  op  zichzelf.  In  alle  gevallen  kwamen  de  patiënten 
na  toedienen  van  het  mengsel  in  algemeene  narcose,  wat  na  morphine 
of  scopolamine  alleen  niet  gebeurde.  Men  kan  hier  dus  van  een 
vverkelijke  potentieering  spreken.  Groot  voordeel  heeft  dit  echter 
voor  de  kliniek  niet  op  kunnen  leveren,  omdat  blijkbaar  het  ver- 
schijnsel niet  constant  is  en  de  gevoeligheid  van  verschillende  personen 
voor  scopolamine  blijkbaar  te  sterk  verschilt  om  een  goede  doseering 
mogelijk  te  maken. 

Uit  de  hier  beschreven  proeven  is  dus  het  volgende  gebleken. 

Morphine  werkt  narcotisch  bij  het  konijn,  bij  den  hond  (en  ook 
bij  den  inensch)  maar  de  curve  die  de  verhouding  tusschen  dosis  en 
werking  aangeeft  heeft  het  verloop  van  een  parabool,  wat  beteekent, 
dat  in  den  aan  vang  van  de  curve  een  grooter  worden  van  de  dosis 
ook  een  intensievere  narcotische  werking  met  zich  brengt,  maar  dat 
daarna  bij  de  hoogere  dosen  een  even  groot  stijgen  van  de  dosis 
een  veel  geringere  vermeerdering  der  narcotische  werking  geeft. 

Scopolamine  werkt  bij  het  konijn  narcotisch.  De  concentratie- 
werkingscurve  komt  overeen  met  die  van  morphine.  Bij  den  hond 
treedt  de  prikkelende  werking  meer  op  den  voorgrond,  bij  den  mensch 
werkt  het  blijkbaar  narcotisch. 

De  combinatie  scopolamine-morphine  lieeft  bij  het  konijn,  noch 
wanneer  met  onze  reflexmethode  wordt  onderzocht,  uoch  wanneer 
Hauckold’s  methode  wordt  benut,  een  potentieerende  werking.  Bij 
den  hond  vonden  we  eveneens  geen  potentieering. 

Bij  den  menscdi  bestaat  volgens  Schneidei.rin  een  potentieering, 
deze  is  vermoedelijk  niet  constant. 


Wiskunde.  — De  Heer  Kluyvek  biedt  eene  raededeeling  aan : 
„Over  de  reeks  van  Lambert”. 


De  reeks  van  Lambert 


Ti=:oo  «=co 

L(z)=  2 = ^ t (n)  z’^ 

„=l  1 — 0=1 

vervormende,  leidde  Schlömilch  de  asymptotisehe  ontwikkeling 
1 

C — log  log- 

z B. 

L{z)  = ; +i- 


1 

log- 

z 


2.2! 


1 \ B 

log-)- 


4.4!v'°4 


af,  die  geschikt  is  om  de  waarde  van  L (z)  te  berekenen  voor 
bestaanbare  waarden  van  z,  die  lot  ^ naderen.  Wigert ’)  verkreeg 
door  eene  kleine  wijziging  in  de  formule  eene  iets  meer  algemeene 
ontwikkeling,  die  bruikbaar'  is,  wanneer  z al  naderende  tot  -f- 1 
complexe  waarden  aanneemt  en  LANOAij  *)  heeft  het  bewijs  van  de 
uitkomst  van  Wigert  vereenvoudigd.  Hansen  *)  heeft  aarigetoond, 
dat  de  cirkel  \z\  =\  eene  natuurlijke  grens  is  van  L (2),  en  in  zijne 
lessen  heeft  Landau  diezelfde  uitkomst  op  eene  eenvoudige  en 
lechtstreeksche  wijze  afgeleid. 

Het  bewijs  van  Landau  is  gegeven  in  eene  verhandeling  van 
Knopp,  die  in  dit  opstel  en  ook  in  zijne  dissertatie  “)  reeksen  van 
het  rneei'  algemeene  type 

;i  = 00  ^}i 

N {z)  =z  2 b„  

n-l  1 — 2" 

beschouwde.  Aannemend,  dat  de  coëfficiënten  h,,  aan  zekere  beper- 
kende voorwaarden  voldeden,  kon  hij  verschillende  gevallen  aangeven. 


b Ueber  die  Lambertsche  Reihe.  Zeitschr.  f.  Math.  u.  Phys.,  Bd.  6,  1861,  p.  407. 
Sur  la  série  de  Lambert  et  son  application  a la  théorie  des  nombres.  Acta 
Matb.,  XLI,  1918,  p.  197. 

Ueber  die  Wigertsche  asymptotische  Funktionalgleichung  für  die  Lambertsche 
Reihe.  Archiv  der  Math.  u.  Phys.,  III.  Reihe,  XXVII,  1918,  p.  141. 

b Démonstration  de  1’impossibilité  du  prolongement  analytique  de  la  série  de 
Lambert  et  des  séries  analogues.  Kong.  Danske  Vitensk.  Selskab  Forth..  1907,  p.  3. 

b Ueber  Lambertsche  Reihen.  Journal  f.  d.  reine  u.  ang.  Math.,  Bd.  142, 
1913,  p.  283. 

*^1  Grenzwerte  von  Reihen  bei  der  Annaherung  an  die  Konvergenzgrenze. 
Berliii,  1907. 


263 


waarin  de  voortzetting  der  functie  iV  {z)  over  den  omtrek  van  den 
convergentiecirkel  ommogelijk  is. 

In  het  volgende  wil  ik  eène  nieuwe  asymptotische  ontwikkeling 
afleiden,  die  past  bij  de  onderstelling,  dat  z,  zich  bewegende  langs 
een  straal  van  den  cirkel  12!  =1,  een  rationaal  punt  op  den  cirkel- 
omtrek nadert.  Buitendien  zal  liet  onderzoek  dienen  om  eenige 
uitkomsten  toe  te  voegen  aan  die  van  Knopp  aangaande  de  functie  N (2). 


1.  Als  men  aanneemt,  dat  p en  q onderling  ondeelbare  geheele 

2nip 

getallen  zijn.  is  9 = een  rationaal  punt  van  de  orde  q 0|)  den 
cirkel  \z\  =1,  en  als  men  neemt  0<^.r<^l,  heeft  men 

li=q-l  n=cc  .^”9+^  öV 


N (.'«  8i')  = S h 


nq 


4- 


^ b 


nq-\-h 


„=1  1 — ' h=:l  „=0  1— 


Nu  heeft  men  blijkbaar 

qx'"f'  ,v‘"l 


h=q—l  ^^nq  ffli/i 


eii 


h=q  - 1 ^jh/i 

„f.  = 

derlialve  verkrijgt  men 

n=  co  X^‘'/"  b h—q — 1 

JSixOP)  — 9 U bnq  + (?— 1)  = -S"  Uk  {x,p), 

n=\  l — x^r  2 k=\ 

waar  de  coëfficiënt  è,  willekeurig  gekozen  is  en  waar 

xnq+h  Qhp  x'‘9  S^P  } 


Uk{x,p)=  JS 


n— 0 


1 — Oh 


■'nq 


1 — x^^^dh 


(1 


(2) 


is.  Het  rechterlid  kan  worden  vervormd,  en  men  kan  ook  schrijven 

n=  00  Oh  \ 

Uk  {x.p)  = — {\—xh  2 bnq-i^h  - + j 


/<=  00 

d-  ^ {bnq-\-h  ^nq) 
n=0 


»=0  (1  — 6>^P)  { 1 — .r"9  Oh) 

xm  Oh 


(3) 


1 — Oh  j 

In  het  bijzonder  vindt  men  door  h„  = 1 en  ook  è,  = 1 te  nemen 


voor  de  functie  van  Lambert 


L{xOp)  - (^L{x<i^)  + è (9—1)  = i Th  (^,p), 

h=\ 


(4) 


waar 


ti=  00  J Qhp 

Th  {x,  p)  = ^ 


«"9  Oh 


— (1— ./A)  ^ 


W=0  ( 1 — .r"9d-^  0^'p  1 — x'^Q  Oh  i 

^«9  0>ip 


n=0  (1— ir”9d-^  Oh)  (1 — .r"9  0^'P) 


(5) 


264 


is.  Nu  kan  men  opmerken,  dat  als  de  moduli  der  factoren 

(1 — en  (1 — S^i')  altijd  eene  vaste  waarde  te  boven  gaan, 
en  dat  daarom  Th  p)  eindig  blijft,  wanneer  x nadert  tot  de  een- 
heid. Dientengevolge  is  het  verschil 


L (x  fP')  — qL 

altijd  eindig,  moet  het  punt  dP  een  singulier  punt  van  L{z)  zijn,  en 
moet  de  voortzetting  van  L{z)  over  den  cirkelomtrek  heen  als 
onmogelijk  beschouwd  worden. 

Om  het  gedrag  van  L{x6i')  wanneer  .r  — ► 1 te  onderzoeken,  zal 
het  voldoende  zijn  om  eene  passende  ontwikkeling  van  de  functie 
Th  (*,  p)  af  te  leiden. 

Stellende 

X = 

I ^ /.:=-!-<»  1 

^ — 1 ^ ocM — hi^-\-27iik' 

heeft  men  dadelijk 

?<=  CC 

Th  {x,p)=  2 I (p  {nqy  + hy)  — 7-  {nqy) 

)i=0 


en  uit  die  uitdrukking  kan  men  zien,  dat  de  toepassing  van  eene 
geschikte  sommatieformule  tot  de  verlangde  uitkomst  zal  leiden. 

Ik  beschouw  het  stelsel  der  goniometrische  reeksen. 


9,  W 


1 “ sin  27r  kt 

— 

nr  1 k 


9t  (0  — f 


1 ^ COS  2jtkt 

^7 


9i  (0  = 


1 ^sin2jr^t 
^ 1 k* 


en  de  identiteit 


00 

o = j j ~ ^ 


(6) 


Eene  integratie  bij  gedeelten  vei-vormt  de  onbepaalde  integraal 
tot  de  uitdrukking 


&=2;)i— 1 


1 5^1  ^ - J - .<7:  (0  j 7 (tgy) + j gk+y-  - J-  gk+i  («)  j (tqy)  + 

4-  7^"*  ^^"'J  I g2m  I ^ 

en  hier  heeft  men  in  te  voeren  de  grenzen  0 en  oo  . Daarbij  heeft  men 

in  aanmerking  te  nemen  de  ondoorioopend heden  van  ^ en  v^an 


(/).  Verder  is  op  te  merken,  dat  (j  (tqy)  en  voor  t—^<x 

tot  nul  naderen,  en  dat 

Si+I  ( - ^)  - (0)  = (- 1)*'+' A (^) 

is,  waarbij  beteekent  den  veelterm  van  Bernoulli  van  de  orde  k. 
Op  deze  wijze  leidt  de  vergelijking  (6)  tot 

«=00  1 I — X /h\ 

^ {(pi^qy  f h)  — v (« ? ,y) ! = ^ h p)  — — ^ q^y\fk\  - ) (jp(*)(0 ) . 

,1=0  I ! k—o  \q  J 

Hierin  heeft  men 


1 3t  hp 

q (0)  = -cot-^ 

2 q 


i 

•2  1 


k-hl 


(Dik)  (;ot  v) 


en  de  restintegraal  ü is  bepaald  door  de  vergelijking 


I£  = — ^2m 


Daar  men  nu  heeft 


y2m  (tqy)  dt. 


k=-\-v) 

j(/)(2«0  (i  g y)j  2m ! ^ 


1 


<2m!  ^ 


(/t|S — 2/1^)’  j”*+i 

1 


< 


'yt=— eo  t’  9*  y’  + (/t/?— 2jr0’  ! — ^7lk  |2m— 1 ’ 


besluit  men  tot 


of  tot 


i^i<2iy2m  (0)1  2w!  q'i-m-X  y'2m—\ 


jr^=+*  1 

2;t=_oo(A^-2?rÖ^-’ 


\R\<C^2mn  \ g2m  (0)  | y^m—x  j gp{2m— i)  ^Q) 


Op  deze  wijze  is  er  aangetoond,  dat  j/^j  kleiner  is  dan  een  eindig 
veelvoud  van  den  modulus  van  den  laatsten  terra  in  de  som,  die 
voorafgaat,  en  heeft  men  gevonden  de  asymptotische  ontwikkeling 

h k=2m-2  / i\k-^\  / 1\A  /h\ 

T,(*,P>  = --  y 5yg-jAy(/»«C0tr)^^*  + 

+ Kqi-‘-'  ("log  1]"“'”’. 


waar  de  waarde  van  K eindig  en  onafhankelijk  van  x is. 
Stellende 

h=q-\  /Ji\ 

Ak=  ^ fk{~]  COt  W)  nhp, 

A=l  \qj  «=  — 

vindt  men  ten  slotte 


(7) 


‘i66 


2?/i  2 

L{.rf)l')—qL{x<l^)  = — \{q — l) — ^ Atc 

k=0 


A+l 


log 


K,  .y2.,-l  log 


2/rt  — I 


waarin  opnieuw  is  eindig  en  onafhankelijk  van  x. 

Uit  (7)  besluit  men,  dat  als  de  functie  L{.rOiA  oneindig 

wordt  op  dezelfde  wijze  als 


qL 


1 

C — log  log  --  2 log  q 

X 

p 

? log- 


en dat  men  heeft  in  de  grens 

i h=q—'i  jxhp 

Lim  I L {x8p)  — qL  {xr)  | = — x (9  - 1) ^ h cot-  (8) 

:)^i  2r/  h=i  q 

Aldus  is  de  eenigszins  opmerkelijke  uilkomsl  verkregen,  dat  het 
alleen  hel  bestaanbare  gedeelte  van  L{x6i')  is,  dat  onbepaald  toe- 
neemt op  eene  wijze,  die  geheel  onafhankelijk  is  van  />. 


2.  Zoo  men  alleen  wenscht  aan  Ie  toonen,  dat  als  x-^1,  de 
functie  L(.r/7^)  niet  eindig  kan  blijven  voor  alle  van  nul  verschil- 
lende waarden  van  k,  zal  een  elementair  onderzoek  van  de  som 

k~q  — 1 

2 L[xOi^')  voldoende  zijn  om  die  uitkomst  te  bereiken. 

*=0 

Men  heeft  onmiddellijk 

k=q — 1 H=oo 

2 L (^x8^)  =:  q 2 t (nq) 

k—0  71=1 


en  als  men  door  D aan  wijst  den  grootsten  gemeenen  deelei-  van 
n en  q,  kan  men  substitueeren 

waardoor  men  verkrijgt 


^ L {x  8^q  = g .2'  p ((/)  < ^ h . 

f=0  djq  \d  J 


k=0  d/q 

Derhalve,  als  men  x tot  1 doet  naderen,  vindt  men 


Lim 


'1  k=0  djq  d 


waar  (p{d)  aanwijst  het  aantal  geheele  getalleji  kleiner  dan  d en 
ondeelbaar  met  d. 

Onderstelt  men  q gelijk  aan  het  produkt  dan  is 


267 


^ — — j=  /7  1 -f  «/, 

djq  d h=l  V Ph 


>1- 


daarom  moet  \L{xd]c)\  voor  x-^1  voor  tenminste  één  waarde  van 
k,  die  van  nul  verschilt,  oneindig  groot  worden. 

3.  Men  ziet  gereedelijk  in,  dat  de  rekenwijze  gevolgd  om  de 
asymptotische  ontwikkeling  van  L{z)  te  vinden,  ook  toegepast  kan 
worden  op  de  reeks 

n=co 

iV  (^)  = ^ hn  . 

„=1  1— 

indien  slechts  de  coëfficiënt  eene  eenvoudige  analytische  functie 
van  het  rangnummer  n is. 

Indien  wij  bijv.  kiezen 

1 


heeft  men 

n=sto  \ 2”  n=ao  00 

M(g)  ==  — ^ — = 2 log  (1  — 2^")  = log  77(1  — 5") 

n 1—5"  „—1  1 

en  dan  opnieuw 

h=:q — 1 

M (x  0P)  — M (a;?’)  = log  q É Vh  («,  p), 

■ h=i 


in  welke  vergelijking 


Vh  {x,  p)  — ^ |log  (l—x^V+^Of^P)  — log  {l  — xM  fi^P)\ 

n—0 


is.  Te  werk  gaande  als  te  voren  zal  men  vinden 

1 A=<jr— 1 1 [ 

M {x  0p)  — M {x9^)  = \og  q 2 A log  2 sin 


+ ^ihg, 


hp 


g h=i  { , q \q 

I 1 k=2m—l  / i\lt  / 1 \A: 

(?’-i)iog--  ^'4 -TT  Wiog- 


24 


X k=i 


waarin 


A=9'-1  /Ji  \ 

A'k=  ^ fk[-]  cot  v)  „hp , 

h~i  V?  / T 


en  is  een  eindig  getal,  onafhankelijk  van  x. 


Nu  is  voor  het  product  77  (1 — x”)  van  Euler,  als  0 ^ a;  < 1), 

1 

4 ff* 


11  1 jr’ 

h è log  2jr  — è log  log 

24  a:  a:  ^ 1 

6 log  — 


18 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIll.  A“.  1919/20. 


268 


derhalve  toont  de  formule  (9)  volledig  het  gedrag  van  M {x  &p),  als 
— >•  1. 

Inderdaad  kan  men  schrijven 

Um\M{xei')—M{x<i^)\=\ogq—-  h j/ilog  |2sin— (10) 
x-*i  q h=i{  9 \9  J) 

en  opnieuw  kan  men  opmerken,  dat  alleen  het  bestaanbare  gedeelte 
van  M (x  êp)  oneindig  groot  wordt,  terwijl  het  imaginaire  gedeelte 
tot  eene  eindige  grens  nadert. 

Neemt  men  bijv. : p = 1,  q = 2,  dan  zal  men  vinden 
Lim  i M{—  ,v)  — M{x*)  I = è log  2, 

ï— 

of 

/7(1  + .rï"- 1) 

Lim^— — — = t/2, 

n{\  + Jr2n) 

1 

eene  uitkomst,  bekend  in  de  theorie  der  i>-functies. 


4.  Ten  slotte  wil  ik  mededeelen,  dat  een  onderzoek  van  de  grond- 
formules (1),  (2)  en  (3)  het  bewijs  kan  leveren  daarvan,  dat  de  functie 

n=co 

N(z)  = 2b„- 

n=l  1 2;’‘ 

niet  over  den  cirkel  ,zi  = 1 heen  kan  worden  voortgezet  in  elk  der 
volgende  gevallen. 

I.  ^>6„>5>0. 

In  dit  geval  heeft  men 


A ^ 1—a  B 

— > Lim N{x  dp)'^~. 

9 ^“►1  1 9 


log 


1 X 


11.  Lim  b„  = A 0. 

n^^cc 

Nu  zal  men  vinden 


Lim 


log 


1—x  A 

(«  Bp)  = — . 

1 9 


1— ; 


lil.  Lim  — =:^  5^0,  s ^ 0. 

In  dit  geval  geldt  de  vergelijking 

Lim  (1  — «)i+^  = r(l  -f  »)?(!  + «). 


269 


IV.  Lim  = O en  hetzij  è„  > O,  of  de  reeks  ^ — 

n—^  ao  ?)=1 

gent  voor  een  onbepaald  aantal  waarden  van  q en  heeft 
die  van  nul  verschilt.  In  de  la_atste  onderstelling  is 


is  conver- 
eene  som, 


Lim  (1—^)  N {x  é»/')  -J  £ 

)i=i 

V.  6n^O  en  buitendien  heeft  men 


Lim  \^q+h  + b-2q+h  + Hq-\-h  + Kq-^h  \ — b 

n— ^00  W 


(A  = l,2,3,  ..  .,?-!) 
voor  een  onbepaald  aantal  waarden  van  q. 


1)  Door  middel  van  eene  geheel  verschillende  methode  leidde  Franel  deze 
formule  af  in  zijne  verhandeling  : Sur  la  théorie  des  séries.  Math.  Annalen,  Bd. 
52,  1899,  p.  529. 


18* 


Wiskunde.  — De  Heer  Jan  de  Vries  biedt  een  mededeeiing  aan 
over:  ,,[nvoluties  in  het  cirkeJveld'’. 

1.  In  een  vlak  zijn  drie  cirkelbundels  (<«),  (7)  gegeven;  in  elk 

van  hen  zijn  de  cirkels  in  de  paren  enz.  van  een  involutie 

gerangschikt.  Zij  de  cirkel,  die  de  cirkels  «j,  7^  loodrecht  snijdt, 

de  orthogonaalcirkel  der  overeenkomstige  cirkels  a^,  dan 

zijn  dj  en  d^  aan  elkaar  toegevoegd  in  een  involutorische  verimnt- 
schap  in  het  cirkel  veld. 

Daar  tweemaal  met  samenvalt,  |3j  tweemaal  met  en  7, 
tweemaal  met  7,,  heeft  de  invohitie  (cfj,  d,)  acht  coincidenties. 

In  hel  algemeen  wordt  een  willekeurig  aangenomen  cirkel 
slechts  door  één  cirkel  a loodrecht  gesneden.  Behoort  evenwel 
tot  den  orthogonaalbundel  van  (0),  dan  is  dus  ook  een  wille- 
keurige cirkel  van  («),  terwijl  en  y,  volkomen  bepaald  zijn.  Met 
d,  komt  in  dat  geval  overeen  elke  cirkel  d,,  die  en  7,  lood- 
recht snijdt. 

De  orthogonaalbimdels  («'),  (^'),  (7')  van  (u),  f/J),  (7)  bestaan  dus  uit 
singuliere  cirkels,  d.  w.  z.  cirkels,  die  in  de  involutie  telkens  aan 
oneindig  vele  cirkels  zijn  toegevoegd. 

Nog  op  een  andere  wijs  kan  d,  singulier  zijn.  Op  een  cirkel  a 
bepalen  de  bundels  [d)  en  (7)  twee  involuties;  daar  deze  één  paar 
gemeen  hebben,  liggen  op  « de  twee  snijpunten  van  een met  een  7. 
Elke  cirkel  « (of  of  7)  behoort  dus  tot  een  drietal  die 

in  een  bundel  liggen,  waarvoor  dus  de  orthogonaalcirkel  onbe- 
paald wordt.  De  cirkel  ci\,  die  de  overeenkomstige  cirkels  «1,  ft,  7i 
loodrecht  snijdt,  is  dus  singulier  en  toegevoegd  aan  eiken  cirkel  van 
een  bepaalden  bundel. 

2.  Een  nader  onderzoek  van  de  involutie  (ft,  ft)  wordt  betrekke- 
lijk eenvoudig,  wanneer  wij  gebruik  maken  van  een  af  beelding  van 
het  cirkelveld  op  de  puntenruimte,  waarop  in  1917  de  aandacht 
werd  gevestigd  door  Dr.  K.  W.  Walstra  ^). 

Om  tot  deze  afbeelding  te  geraken,  nemen  wij  het  vlak  van  het 
cirkelveld  tot  coordinaatvlak  ^ = 0 en  beschouwen  als  beeld  van 
een  cirkel  het  punt  op  zijn  as,  waarvan  de  coördinaat  ^ gelijk  is 
aan  de  macht  van  den  oorsprong  O t.  o.  v.  den  cirkel.  De  punt- 


Verslagen  XXV,  bl.  960. 


271 


cirkels  hebben  hun  beelden  op  een  omwentelin^sparaboloïde  G (grens- 
oppervlak)  en  de  beelden  van  twee  orthogonale  cirkels  worden  door 
G harmonisch  gescheiden.  Twee  wederkeerige  poolrechten  zijn  de 
beelden  van  twee  onderling  orthogonale  cirkelbnndels. 

De  bundels  («),  (/3),  (y)  worden  afgebeeld  door  drie  op  rechten 
a,b,c  gelegen  involuties  B^),  (6\,  C'J.  Het  beeld  D,  van 

den  cirkel  tl,,  die  y,  loodrecht  snijdt,  is  de  pool  van  het  vlak 

B^  C,.  Wij  hebben  dus  nu  te  beschouwen  een  involutie  (D,,  Z),) 
in  de  puntenruirnte,  die  daardoor  is  gekenmerkt,  dat  de  poolvlakken 
A,  en  A,  van  Z),  en  Z),  de  gegeven  rechten  a,  b,  c in  de  paren 
(.1,,  HJ,  (S,,  Sj),  (Cl,  6’J  van  drie  gegeven  involuties  ontmoeten. 

3.  Het  is  nu  gemakkelijk,  de  singuliere  elementen  der  cirkel- 
involutie  terug  te  vinden.  Vooreerst  merken  wij  op,  dat  onbepaald 
wordt,  zoodra  A,  door  a gaat;  voor  A,  kan  men  nu  elk  vlak  nemen 
dat  de  punten  B^  en  6’j  bevat,  dus  voor  D,  elk  punt  der  poollijn 
a',  van  de  rechte  a^  = B^C^.  Laat  men  A,  om  a wentelen,  dan 
doorloopt  Z),  de  poolrechte  a'  van  a,  terwijl  a,  een  quadrafische 
regelschaar  beschrijft.  De  rechte  a',  doorloopt  eveneens  een  quadra- 
tische  regelschaar  (a',)’,  welke  de  poollijnen  b'  en  c'  van  b en  c 
tot  richtlijnen  heeft.  Aan  elk  punt  van  a'  is  blijkbaar  een  bepaalde 
i-echte  van  (a',)’  toegewezen.  Analoog  behooren  bij  de  singuliere 
rechten  h' , c'  de  regelscharen  {b\)A  ic\y. 

In  de  tweede  plaats  wordt  D,  onbepaald  zoodra  Hj,  B^  en  C, 
collineair  zijn,  dus  op  een  transversaal  a'  van  a,  b,  c liggen.  Laat 
men  s de  regelschaar  doorloopen,  die  a,  b,  c tot  richtlijnen  heeft,  dati 
beschrijven  A^,  B^  en  Cj  drie  projectieve  reeksen,  zoodat  A,  een 
kubische  ruimtekromme  osculeert.  Maar  dan  zal  Z),  tot  meetkundige 
plaats  hebben  een  kubische  ruimtekromme  o^,  die  de  rechten  a' , b' 
en  c'  tot  bisecanten  heeft.  Aan  elk  punt  *S=  Z),  der  singuliere 
kromme  o*  is  blijkbaar  een  i-echte  s'  toegewezen,  nl.  de  poollijn  der 
overeenkomstige  rechte  s.  De  rechten  s'  vormen  een  regelschaar 
met  richtlijnen  a',h',c'. 

4.  Als  Z),  de  rechte  / beschrijft,  wentelt  A,  om  de  poollijn  l' , 
zoodat  Hj,  5,  en  C,  projectieve  reeksen  doorloopen.  Ook  A^,  B^,  C\ 
beschrijven  dan  projectieve  reeksen;  A,  osculeert  dus  een  kubische 
kromme,  en  doorloopt  een  kubische  kromme  welke  a\  b' 
en  c'  tot  bisecanten  heeft.  Bijgevolg  zijn  Z),  en  Z),  aan  elkaar  toe- 
gevoegd in  een  kuhiscke  verwantschap. 

Daar  / twee  punten  met  {s'Y  gemeen  heeft,  rust  B in  twee  punten 
op  u’.  De  stralenruimte  wordt  dus  omgezet  in  het  viervoudig  on- 
eindig stelsel  der  kubische  ruimtekrommen,  die  elke  der  lijnen  a' , 
b' , c'  en  o*  tweemaal  snijden. 


272 


Een  vlak  <2»  wordt  omgezet  in  een  kubisch  oppervlak  «l»’,  dat 
door  a' , h' , c'  en  gaat.  De  beelden  van  twee  vlakken  hebben 
deze  vier  lijnen  en  het  beeld  van  van  hun  snijlijn  I gemeen. 

5.  Een  raakvlak  aan  het  grensoppervlak  G is  het  beeld  van  de 
cirkels,  die  door  een  gegeven  punt  gaan.  Voor  de  involutie  (dj,  d,) 
geldt  dus  (§  4)  de  eigenschap : Een  cirkelbunclel  ivordt  omgezet  in 
een  stelsel  van  cirkels  met  index  drie. 

Dit  stelsel  bevat  zes  puntcirkels  en  drie  rechten.  De  singuliere 
cirkels  vormen  drie  bundels  (§  1)  en  een  stelsel  met  index  drie  (§  3). 

Aan  eiken  singulieren  cirkel  is  een  cirkelbundel  toegewezen ; deze 
bundels  vormen  vier  stelsels. 

Het  beeld  van  een  cirkelbundel  bevat  acht  singuliere  cirkels. 

6.  Blijkbaar  stelt  de  afbeelding  van  het  cirkelveld  op  de  punten- 
ruimte  ons  in  staat,  uit  elke  involutie  in  de  laatste  een  involutie  in  het 
cirkelveld  af  te  leiden  en  omgekeerd. 

Een  bijzonder  eenvoudige  involutie  wordt  ais  volgt  verkregen.  Op 
eiken  straal  li,  die  OZ  loodrecht  snijdt,  bepaalt  de  paraboloïde  G 
een  involutie  van  paren  toegevoegde  punten  {P,P').  In  het  cirkelveld 
komt  hiermee  overeen  de  vei  wantschap,  waarin  aan  elkaar  zijn 
toegevoegd  twee  cirkels,  die  elkaar  loodrecht  snijden  en  in  een  vast 
punt  O dezelfde  macht  hebben. 

Het  aan  gekoppelde  punt  P'  is  het  snijpunt  van  den  straal  h 
met  het  poolvlak  n van  P.  Ligt  P op  OZ,  dan  kan  men  voor  A elke 
rechte  nemen  die  OZ  in  P loodrecht  snijdt.  Daar  jt  nu  loodrecht 
op  OZ  is,  zal  aan  P toegevoegd  zijn  elk  punt  van  de  oneindig  verre 
rechte  van  2:  = 0. 

Een  punt  van  G ligt  in  zijn  poolvlak,  is  dus  coïncidentie  der  ver- 
wantschap. Komt  P in  den  top  O of  in  het  oneindig  verre  punt 
van  OZ,  dan  wordt  P'  een  willekeurig  punt  van  2 = 0 of  van  2r  = 00. 

Als  P een  rechte  / doorloopt,  beschrijft  h een  regelschaar  pL  jt 
een  daarmee  projectieven  vlakkenbundel;  de  meetkundige  plaats  van 
P'  is  dus  een  kubische  kromme  P.  De  poollijn  1'  van  / ontmoet  p’ 
in  twee  punten  P' ■,  elk  vlak  door  l'  bevat,  behalve  die  twee  punten, 
nog  een  buiten  1'  gelegen  punt  P' . Dus  is  l'  koorde  van  P.  Ook  I 
is  koorde,  want  haar  snijpunten  met  G zijn  coïncidenties. 

7.  Met  de  punten  P van  een  vlak  W komen  de  punten  P'  van 
een  kubisch  oppervlak  •/’’  overeen.  Twee  dergelijke  oppervlakken 
hebben  vooreerst  de  kromme  P gemeen,  welke  het  beeld  is  van  de 
snijlijn  der  overeenkomstige  vlakken.  Om  een  goed  inzicht  te  ver- 
krijgen in  de  beteekenis  van  de  figuur  welke  zij  bovendien  gemeen 
hebben,  merken  wij  op,  dat  de  involutie  {P,P')  een  bijzonder  geval 
is  \an  de  volgende  verwantschap. 


273 


Zij  gegeven  het  quadratisch  oppervlak  *P°  en  het  paar  poollijnen 
d,d' . Door  een  punt  P wordt  de  transversaal  t üveiv/,G?' getrokken ; 
het  poolviak  n van  P bepaalt  op  t het  punt  P' , dat  aan  P wordt 
toegevoegd. 

De  snijpunten  van  d met  *2»*  noemen  wij  E^,  E^,  de  snijpunten, 
van  d'  met  worden  door  E\,  E\  aangewezen.  De  rechte  E^  E\ 
ligt  op  , aan  elk  van  haar  punten  P is  blijkbaar  elk  van  haar 
punten  toegevoegd.  Met  elk  punt  van  d komt  elk  punt  van  c/' over- 
een. Alle  ribben  van  het  viervlak  E^  E^  E\  E\  zijn  dus  singulier, 
zoodat  aan  hun  doorgangen  met  een  vlak  deze  zes  rechten  zijn 
toegevoegd.  Twee  oppervlakken  •F’ hebben  dan  behalve  de  kromme 
deze  zes  singuliere  rechten  gemeen. 

Vervangen  wij  nu  weer  door  G,  dan  woi'dt  d de  as  OZ, 
d'  de  oneindig  verre  rechte  van  z = 0 en  de  overige  vier  singuliere 
rechten  worden  gevonden  in  de  imaginaire  rechten  volgens  welke 
G door  z = 0 en  z = oc  worden  gesneden. 

8.  Wanneer  P een  rechte  I doorloopt,  welke  OZ  ontmoet,  dan 
beschrijft  h een  bundel  van  evenwijdige  stralen,  die  projectief  is 
met  den  waaier  gevormd  door  de  poollijn  van  P t.  o.  v.  de  para- 
bool in  het  vlak  door  I en  OZ.  De  punten  P'  liggen  nu  op  een 
orthogonale  hyperbool,  welke  door  de  oneindig  verre  rechte  van 
z tot  een  2*  wordt  aangevuld. 

Door  de  verwantschap  der  orthogonale  cirkels,  welke  in  ^ 6 
werd  bedoeld,  wordt  een  cirkelbundel  weer  omgezet  in  een  stelsel 
met  index  drie.  De  puntcirkels  zijn  coïncidenties.  De  beide  cirkels 
van  een  paar  zijn  slechts  dan  reëel,  als  zij  in  O negatieve  macht 
hebben.  Ligt  O buiten  een  cirkel,  dan  heeft  de  toegevoegde  cirkel 
een  imaginairen  straal. 


Scheikunde.  — De  Heer  Jaeger  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
de  Heeren  H.  J.  Hacker  en  J.  V.  Dubsky  over;  „De  herei- 
diny  van  u-sulfopropionzuur” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Van  Romburgh). 

Voor  het  «-snlfopropionzuur  is  tot  dusverre  de  eenige  practische 
bereidingsmethode  de  door  Franchimont  ')  gevondene,  n.1.  de  werking 
van  zwavelzuur  met  propionzuuranhydride. 

Behalve  deze  algemeene  methode  van  Franchimont  ter  bereiding 
van  «-sulfoearbonzuren,  is  bij  de  eerste  term  der  reeks,  het  sulfon- 
azijnzuur,  door  Mei.sens  *1  een  analoge  methode  toegepast,  n.1.  de 
werking  van  zwavelzunranhvdi ide  met  azijnzuur 

De  twee  methoden  vertoonen  veel  overeenkomst.  In  beide  gevallen 
vormt  zich  als  tussehenproduct  het  gemengde  anhydride,  het  acetyl- 
zwavelznur,  zooals  Franchimont  ’)  reeds  had  aangenomen,  en  later 
door  Stillich  werd  bevestigd,  en  voor  de  reactie  van  Mei.sens  is 
bewezen  door  Van  Peski  *). 

Ter  vergelijking  met  de  methode  van  Franchimont  hebben  wij  de 
methode  van  Mei.sens  ook  toegepast  bij  het  propionzuur,  door  dit 
zuur  met  zwaveltrioxyde  te  behandelen. 

Hierbij  bleek  in  beide  gevallen  de  reactie,  evenals  bij  het  azijn- 
zuur, indirect  te  zijn,  waarbij  als  tussehenproduct  het  gemengde 
anhydride,  het  propionylzwavelzuur  moet  worden  aangenomen. 

CH3.CH2.CO2H  + SO3  = CH3.CH2.CO2SO3H  = ) 

= CH3.CH(S03H).C02H. 

(CH3.CH2.C0)20h-H2S04= 

= CH3 . CH2 . CO2H  + CH3 . CH2 . C02S03H^CH3  . CH(S03H)  . CO2H.V 

Voegt  men  de  stoffen  onder  afkoeling  bijeen,  dan  vormt  zich  een 
kleurlooze,  zeer  dikke  vloeistof,  die  eerst  bij  hoogere  temperatuur 
onder  warmteontwikkeling  en  bruinkleuring  het  sulfopi'opionzuur 
levert. 

M Recueil  trav.  chim.  7,  27  (1888). 

®)  Ann.  der  Chemie  52,  276  (1844). 

Versl.  dezer  Akad.  16,  373  (1881). 

-'■)  Ber.  d.  dtsch.  chem.  Ges.  38,  1241  (1905). 

^)  Versl.  dezer  Akad.  22,  996  (1914). 


275 


Den  voortgang  dezer  omzetting  konden  wij  titrimetriscli  nagaan, 
daar  het  propionylzwavelzuur,  na  hjdrolyse,  drie  aequi valenten  base 
neutraliseert  en  het  sulfonzuur  slechts  twee  aequi  valenten. 

Het  sulfopropionzuur  werd  als  barynmzout  afgescheiden  en  gewogen. 
Uit  1 molecuul  propionzuur  met  zwaveltrioxyde  kregen  wij  gemid- 
deld een  opbrengst  van  0.35  molecuul  sulfopropionzuur,  en  uit  1 
mol.  propionzuur-anhydride  met  zwavelzuur  (monohydraat)  0.55  mol. 

Vergeleken  met  de  methode  van  Franchimont  is  de  reactie  met 
zwaveltrioxyde  experimenteel  minder  eenvoudig.  De  werking  is 
heftig;  het  reactieproduct  is  donkerdei-  gekleurd,  het  hieruit  verkre- 
gen baryurazout  eveneens,  en  de  opbrengst  is  wisselend.  Alleen  ter 
bereiding  van  grootere  hoeveelheden  kan  de  methode  worden  aan- 
bevolen. 

De  reactie  van  Franchimont  daarentegen  is  zeer  gemakkelijk  uit 
te  voeren  en  geeft  een  mooi  wit  barynmzout.  Een  nadeel  is  echter, 
dat  van  het  propionzuuranhydride  slechts  de  helft  in  het  sulfonzuur 
kan  worden  omgezet,  terwijl  uit  de  andere  helft  propionzuur  wordt 
teruggevormd. 

Wij  hebben  nu  getiacht  de  voordeelen  der  twee  methoden  — de 
betere  opbrengst  der  eerste  en  de  grootere  zuiverheid  van  het  product 
der  tweede  methode  — te  combineeren,  door  de  beide  reacties  te 
vereenigen.  Hiertoe  kan  men  het  reactieproduct  van  propionzuur- 
anhydride met  zwavelzuur,  hetgeen  een  molecuul  vrij  propionzuur 
bevat,  met  de  aequimoieculaire  hoeveelheid  zwaveltrioxyde  behan- 
delen. Eenvoudiger  is  het  echter  het  propionzuuranhydride  direct 
te  laten  reageeren  met  pyrozwavelzuur. 

(CH,  . C0),0  + H,S,0,  2 CH,  . CHISO^H) . CO,H. 

Als  gemiddelde  opbrengst  werd  op  deze  wijze  verkregen  uit  1 
mol.  propionzuuranhydride  0,75  mol.  sulfonzuur. 

Daar  men  het  pyrozwavelzuur  in  gekristalliseerden  toestand  bij 
het  propionzuur  kan  voegen,  is  de  methode  gemakkelijker  dan  het 
werken  met  zwaveltrioxyde.  De  reactie  gaat  kalmer  en  het  product 
is  zuiverder. 

Ook  bij  het  azijnzuuranhydride  hebben  wij  de  methode  toegepast. 
Voor  een  dergelijk  gemakkelijk  toegankelijk  uitgangsmateriaal  is  de 
oorspronkelijke  methode  van  Franchimont  eenvoudiger. 

Voor  het  sulfureeren  van  kostbare  carbonzuuranhydriden  kan  de 
hier  beschreven  metliode  echter  wegens  de  hoogeie  opbrengst  aan- 
bevolen worden. 


Groningen,  8 Sept.  1919. 


Org.  Cheni  Lab.  der  Rijks-  hniv. 


Wiskunde.  — De  Heer  Lorentz  biedt  eeiie  mededeling  aan  van 
de  Heer  H.  B.  A.  Bock  winkel:  „Over  een  merkwaardige 
fnnksionele  relatie  in  de  teorie  van  de  koeffisientfunksies”. 

(Mede'aangeboden  door  de  Heer  Kluyver). 

].  Zij  (p{t)  een  t'unksie,  die  in  het  komplekse  /-vlak  geen  singuliere 
punten  heeft  buiten  de  sirkel  (1,1),  d.  i.  de  sirkel  met  middelpunt 
/ = 1 en  .straal  1.  Zij  verder  f/(oD)  = 0 en  de  orde  g van  y(/)  op 
de  omtrek  van  genoemde  sii'kel  eindig  of  negatief  oneindig.  In  de 
reeksontwikkeling 


X 


0 


is  dan  de  karakteristiek  .e  = lim\log  ' g,,  \logii\  van  de  koeffisienten 

n=x 

g„  eveneens  verschillend  van  + oo,  want  men  lieeft,  zoals  bekend 
is,  k = g — i . Is  <7  0,  dan  bestaat  de  integraal  rondom  de  sirkel  (1,1) 

^ ^ . i V 0)  . (2) 

2 Jtij 

(1,1) 

voor  /f(a;)  O 0,  omdat  de  reeks  (1)  dan  op  de  omtrek  van  die  sirkel 
konvergeert;  de  waarde  van  t-^  wordt  zó  gedefinieerd  gedacht, 
dat  men  het  argument  van  t laat  lopen  van  — /r/2-j-d  tot  +^1/2 — ö. 
De  funksie  to(.r)  wordt  door  Pinchehle')  koeffisientfunksie  van  (f{t) 
genoemd,  op  grond  van  de  relatie  g„  = to(?i-{~l).  Omgekeerd  heet 
(p{f)  de  voortbrengende  funksie  van  a)(a;).  Pincherle  beschouwt  de 
betrekking  tusschen  beide  funksies  vooral  uit  een  oogpunt  van 
funksionaalrekening.  Schrijft  men 

oy{x)  = I0pit)]  ........  (3) 

dan  is  / een  additieve  funksionele  opei'atie,  die  een  reeks  van  een- 
\oudige  relaties  bevredigt,  welke  o.  a.  kunnen  dienen,  om  de  koef- 
fisientfunksie te  definiëren  ook  in  gevallen  dat  de  integraal  (2)  niet 
bestaat.  Zo  vindt  men  bv.  gemakkelik 

I [« (p  (/)]  = to  (a;  + 1),  en  1 (p'  {t)  = — (.V  —1)  w (x — 1).  . . (4) 
en  dooi'  kombinatie  van  deze  twee  l[(p'{t)\  = — (,r — !)/[/—''/(/)], 
welke  laatste  relatie  door  herhaling  overgaat  in 


1)  Sur  les  Fonctions  Détermmanies^  Ann.  de  1’Ec.  Norm.  (22)  1905,  (Ch.  IV). 


277 


r(^) 


I\t  r(p  (<)] 


r (x  — r) 

Het  is  geiiiakkelik  in  tè  zien  dat  de  laatste  gelijkheid  ook  voor 
negatieve  gehele  waarden  van  geldt.  Het  merkwaardige  is  echter  dat 
dit  ook  nog  het  geval  is  voor  negatieve  en  onmeetbare  waarden. 

Hiervan  heb  ik  gebruik  gemaakt  bij  het  onderzoek  van  een  funksie 

-1 


die  door  een  binomiaal reeks  üc,; 


wordt  voorgesteld welke 


reeks  de  meest  tipiese  is,  waarin  een  koeffisientfunksie  ontwikkeld 
kan  worden.  Het  doel  van  deze  noot  is,  om  van  de  hier  uitgesproken 
bewering  het  bewijs  te  leveren. 


2.  We  stellen  r— — a eti  vervangen,  om  voortdurend  met 
funksies  te  doen  te  hebben  die  regulier  zijn  voor  /=go.  (p{t)  door 
[t — 1)“.  Als  definitie  van  de  afgeleide  van  negatieve  orde  — « 
nemen  we,  in  aansluiting  met  die  van  Rikmann  ’),  de  volgende  aan : 


( — 1)“  D-=' 


y (^) 


I r(a -<)«-!  (f)  (m) 

r{a)J 


du 


(5) 


t 

Daarbij  denken  we  als  integratieweg  de  halfrechte  die  in  het 
verlengde  ligt  van  de  lijn  gaande  van  u = l naar  u = t;  en  aan 
u — t en  u — I kennen  we  hetzelfde  argument  toe,  gelegen  tussen 
— jr  -|-  f)  en  + — ö.  Dan  is  deze  funksie,  evenals  {t)  zelf, 

regulier  buiten  de  sirkel  (1,1)  en  nul  voor  if  = co ; en  door  de  sub- 
stitutie u — 1 = — 1):6‘  vindt  men  na  een  kleine  herleiding  de 
reeksontwikkeling 


(_  1).  D-.  jAI  = V., C..+1K  ^ 


. (6) 


o 

die  dus  in  een  zeer  eenvoudig  verband  staat  met  de  ontwikkeling 
voor  tp  {t)  zelf. 

De  orde  van  deze  afgeleide  is,  zoals  uit  deze  reeks  oïimiddellik 
blijkt,  a minder  dan  die  van  (p  {t)  en  dus  negatief,  als  deze  laatste 
het  is.  In  deze  onderstelling  kan  men  er  de  operatie  / in  de  vorm 
(2)  op  loepassen,  zodat  alvast  van  het  eerste  lid  van  de  te  bewijzen 
gelijkheid 


I 


{-\YD 


(«-!)« 


j r 


(7) 


’)  Deze  Verslagen,  Dl  XXVII,  1919.  Nieuw  Archief  v.  Wisk.  XllI,  2e  stuk  (1920). 
-)  Zie  Borel,  Lecons  sur  les  series  d termes  positifs,  p.  74.  De  konstante  a 
is  hier  gelijk  aan  oo  genomen,  in  verband  met  de  regulariteit  van  ^ voor  ^ — oo . 


278 


het  bestaan  is  aangetoond.  Overgaande  tot  het  tweede  lid,  schrijven  we 

I 


.ï:  + «)  r(a)J 


r{ 

o 

waarin  het  argument  van  .s’  en  van  1 — s nul  te  denken  is,  en 


iit-iy 


(1,0 

zodat  het  genoemde  lid  gelijk  is  aan 


{t-iy 


=-r 

2jtiJ 


dt , 


1 p ^ 

J (t-iy  U 


2'iir{a)J  (t — 1)" 

0,0 


gx—\  - — s)“~^  ds 


dt 


Stelt  men  in  de  tweede  integraal  s — u : t,  dan  gaat  deze  uit- 
drukking over  in 


dt. 


[ r I „J-l  (i  _ M)a-1  du 

2mr{a)J  (t— 1)“LJ 

(1,1)  o 

Daar  het  argument  van  s nul  was,  is  dat  van  u gelijk  aan  dat 
van  t\  de  integratieveranderlike  u gaat  dus  in  het  w-vlak  langs  de 
rechte  van  = 0 naar  u = t.  Men  kan  hem  echter  ook  in  pozitieve 
zin  van  het  hegin^\m\  u — —i')  van  de  sirkel  (1,1)  langs  de  omtrek 
van  die  sirkel  naar  het  punt  u = t laten  gaan.  In  deze  onderstelling 
vatten  we  het  tweetal  van  achtereenvolgende  integraties  als  dubbele 
integraal  op.  Een  bepaalde  waarde  van  u komt  dan  in  het 
ensemble  {u,  t)  te  pas  bij  al  die  waarden  van  t die  men  in  het 
i-vlak  vindt  op  de  sirkel  (1,1),  tussen  t~n^  en  het  gmc^punt 
i = -j- lO'  van  die  sirkel.  De  dubbele  integraal  kan  dus  ook  ver- 
vangen worden  door  het  tweetal  van  achtereenvolgende  integraties 


- o„. r„,-.  r * 

2ml\a)J  LJ 

(1,1) 


du  , 


waarin  de  integratie  naar  t in  pozitieve  zin  gaat  langs  de  sirkel  (1,1) 
van  t—u  naar  t=-\-i6'^).  Wegens  de  eigenschappen  van  it) 
kan  men  deze  integratie  vervangen  door  een  van  u naar  x en  van 
X naar  0.  De  laatste  geeft  een  bedrag  dat  onafhankelik  is  van  u 


0 De  hier  gevolgde  redenering  is  absoluut  streng,  d.  w.  z.  berust  op  bekende 
waarheden,  als  de  te  pas  komende  funksies  in  het  hele  integratiegebied  eindig  zijn. 
Voor  R(x)>l  en  i?(a:)  > 1 is  dat  het  geval;  maar  daar  beide  eindvormen  analitiese 
funksies  zowel  van  x als  van  « zijn  voor  i2(a:)>0  en  >0,  geldt  hun  gelijkheid 
ook  in  deze  laatste  onderstellingen. 


279 


en  dit  levert  dus  voor  de  e«V?(7integratie  naar  u niets  op.  Verwisselt  men 
nog  de  letters  t en  u,  dan  kan  dus  voor  de  voorgaande  uitdrukking 
geschreven  worden 


<a:-l 


_r(a)J  (u-iy 


dt , 


en  dit  is,  als  men  let  op  (2)  en  (5),  juist  gelijk  aan  het  eerste  lid 
van  (7).  Het  doel,  deze  gelijkheid  aan  te  tonen,  is  hiermee  bereikt, 
tenminste  voor  het  geval  dat  ^ 0. 

Is  ^>0  en  vooreerst  0<g<^\,  dan  detinieert  Pincheri,e  de 
koeftisientfunksie  van  <p  (t)  door  een  hulpfunksie  in  te  voeren  : 


(t) 


X)-i  ^ 

t — 1 “ ^(n  + 1)  (<— l)«+i 
0 


(8) 


Voor  deze  is  nl.  de  orde  éen  eenheid  lager  dan  g,  en  dus  negatief, 
zodat  (x)  = I t-fj  (^)  door  (2)  gedefinieerd  wordt.  Men  heeft  nu 
volgens  (4) 

= — I(É—l)  (p\(t)  = xltp,  (t)  — .vl<p^  (t),  . . (9) 

als  de  operatie  (9  gedefinieerd  wordt  door  ö /(«)=  ƒ (:c -1- 1).  Stellen 


1 

we  het  rezultaat  van  de  operatie  («)  = ( — 1)“  D-'^ ^ op 

(t — 1)“ 

zoals  die  wordt  toegepast  in  het  linkerlid  van  (5),  voor  door  (/)«(^)  en 


1 

het  rezultaat  van  de  operatie  (1)  = — D-^ op  <(\{t)  door 


dan  is  dus  volgens  de  voorgaande  vergelijking 


1<P^  — xLpxu.  — 0—^  (10) 

Nu  is  de  operatie  («)  kommutatief,  zoals  het  gemakkelikst  blijkt 
uit  de  reeksontwikkeling  (6).  Men  heeft  dus  (pia=rpai,  indien  deze 
laatste  uitdrukking  het  rezultaat  beduidt,  dat  men  krijgt,  als  eerst  de 
operatie  (1)  en  dan  («)  wordt  toegepast.  Maar  cp^  {t)  is  een  funksie 
waarvoor  we  de  gelijkheid  f7)  al  bewezen  hebben  ; neemt  men  dit 
in  aanmerking,  dan  volgt  uit  (10),  met  gebruikmaking  van  de  formule 
r{y  -\-\)=zy  r(y), 


Ifpa 


r{x) 


r{x-Va) 


xl 


0-1)“ 


(.r  j-  « — 1 ) / - 


o 


-i)“  J 


Opnieuw  gebruik  makende  van  (9)  kunnen  we  herleiden 


X 1 — 


(t-iy 
Verder,  lettende  op  (8) 


~hp. 

(,,_l)i tl=-I 


{t-iy 


0-1)“ 


(11) 


(12) 


280 


{t~\)D 


{t-ir 


ö=ïy«  0-1)“ 


(13) 


Met  behulp  van  (12)  en  (13)  gaat  (11)  tenslotte  over  in  de  te 
bewijzen  gelijkheid  (7). 

De  hier  gevolgde  redenering  kan  tevens  dienen,  om  de  formule 
aan  te  tonen  voor  k<g<k-\-'i,  als  hij  voor  g <k  al  bewezen  is; 
daarmee  is  de  algemene  geldigheid  verklaard. 


Natuurkunde.  — De  Heer  Lorentz  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
de  Heeren  L.  S.  Ornstein  en  F.  Zbrnikb,  over:  ,,Energie- 
wisselingen  der  zwarte  straling  en  licht-atomen” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Ehrenpest). 

In  1905  en  in  1909  heeft  Einstein  ')  verschillende  argumenten 
aangevoerd  voor  de  opvatting,  dat  in  een  stralingsruimte  de  energie 
niet  continu  over  de  ruimte  verdeeld  is,  maar  in  afgepaste  hoeveel- 
heden in  punten  geconcentreerd,  ,,!ichtatornen”.  Herhaaldelijk  is 
op  gewichtige  bezwaren  tegen  deze  theorie  der  lichtatomen  gewezen 
en  zij  heeft  blijkbaar  tegenwoordig  weinig  aanhangers  meer.  Daar 
tegenover  staat,  dat  de  beschouwingen  van  Einstein  slechts  gedeeltelijk 
weerlegd  zijn.  Geheel  onweersproken  is  — zoover  ons  bekend  is  — 
zijn  voornaamste  argument  ontleend  aan  de  energie-wisselingen  ge- 
bleven. In  hetgeen  volgt  geven  we  stap  voor  stap  een  weerlegging 
van  dit  argument.  Om  onze  conclusies  in  het  kort  te  kunnen  aan- 
geven, is  het  noodig  de  veronderstelling  waarvan  Einstein  uitgaat, 
nauwkeurig  te  formuieeren  en  zijn  resultaat  te  vermelden. 

1.  Einstein  beschouwt  twee  samenhangende  ruimten  van  volumina 
y en  F begrensd  door  volkomen  spiegelende  wanden  ’),  waarin  straling 
met  trillingsgetallen  tusschen  y en  y -|-  besloten  is,  en  maakt 
gebruik  van  de  volgende  uitspraken,  waarvan  hij  sommige  niet 
uitdrukkelijk  neerschrijft: 

I.  Energie  en  entropie  zijn  beide  voor  eik  volume  afzonderlijk 
aan  te  geven,  b en  ri  voor  v,  E en  II  voor  V. 

II.  De  gemiddelde  energie  en  entropie  zijn  gelijkmatig  over  de 
ruimten  verdeeld,  dat  is:  s : E = ti  : H = v : V. 

ni.  De  entropie  van  het  geheel  is  gelijk  aan  de  som  van  die  der 
deelen  S = ti  H. 

IV.  Het  principe  van  Boltzmann  S = k Ig  W kan  op  de  straling 
toegepast  worden  om  de  waarschijnlijkheid  W te  vinden  voor  van 
het  gemiddelde  afwijkende  toestanden,  wanneer  men  voor  S de 
thermodynamisch  bepaalde  entropie  neemt. 

1)  Ann.  d.  Physik  (4)  17,  132  (1905),  Physik.  Z.  10,  185,  817  (1909). 

*)  Einstein  spreekt  van  diffuus  volkomen  reflecteerende  wanden.  Om  de  bere- 
kening raogelijk  te  maken,  zullen  we  volkomen,  vlakke  spiegelende  wanden  nemen, 
wat  principieel  echter  geen  verschil  maakt. 


Met  behulp  van  deze  veronderstellingen  en  van  de  stralingswet  van 
Planck  vindt  Einstein  voor  de  middelbare  afwijking  van  de  energie, 
in  het  geval  dat  E"  v is. 


V. 


(6 — e)*  = hvs  f 


c’ 

8jtv*dv 


f’ 

V 


en  interpreteert  deze  formule  als  volgt ; 

VI.  De  tweede  term  geeft  de  energie-wisselingen  door  interferentie 
aan,  zooals  men  die  uit  de  theorie  van  Maxwell  uitsluitend  zou 
verwachten. 

VII.  De  overblijvende  eerste  teiun  h v s,  die  men  uit  klassieke 
beschouwingen  niet  zou  vinden,  is  toe  te  schrijven  aan  het  bestaan 
van  lichtatomen  van  de  grootte  Ar,  die  zich  volgens  het  toeval  over 
beide  ruimten  verdeelen. 

Wij  zullen  in  het  eerste  deel  tot  de  volgende  conclusies  komen : 

a.  Ook  volgens  de  methoden  der  quantentheorie  vindt  men  voor 
Einstein’s  geval  — ruimten  zonder  materie  — alleen  de  tweede 
term  van  V. 

b.  III  is  in  ’t  algemeen  onjuist. 

c.  Het  geval  kan  wel  zóó  gesteld  worden,  dat  III  met  groote 
benadering  geldt,  maar  dan  vervalt  II. 

d.  IV  kan  niet  toegepast  worden,  daar  S voortdurend  constant 
blijft,  ondanks  interferentie-wisselingen. 

Daarmee  vervallen  dan  tevens  E[nstein’s  uitspraken  V en  VII. 

In  verband  met  deze  resultaten  komt  men  tot  de  vraag,  of  IV 
algemeen  onjuist  is.  In  het  tweede  deel  behandelen  we  daarom  het 
geval  dat  een  ruimte  met  straling  in  wisselwerking  met  materie 
staat,  dan  zijn  II  en  III  juist.  Dat  ook  IV  geldt,  toonen  wij  aan 
door  onafhankelijk  van  de  entropie,  zuiver  statistisch,  de  energie- 
wisselingen  af  te  leiden,  waarbij  we  op  het  voorbeeld  van  Einstein’s 
afleiding  der  stralingswet')  van  de  frequentie-bepaling  volgens  Bohr 
gebuik  maken.  Zoo  vinden  we: 

e.  V geldt  voor  straling  in  evenwicht  met  materie,  en  dus  ook  IV. 

ƒ.  VI  vervalt  dan,  en  eveneens  VII. 


A.  Straling  zonder  materie. 

2.  Uit  Einstein’s  onderstellingen  I— IV  volgt  door  een  eenvoudige 
berekening,  geheel  zooals  bij  Einstein  l.c.,  voor  een  willekeurige 
verhouding  v : V 


i)  Verh.  d.  D.  Pbysik.  Ges.  XVIII  p.  318  (1916). 


283 


(«— s)’  = = kT'  — 

n v + V dT 

de,  \v  Vj 

waarin  e,  en  i],  de  energie  en  entropie  per  vol.  eenheid  voorstellen. 

Deze  formule  kan  men  op  alleidei  stelsels  toepassen,  bijv.  op  een 
gas  in  twee  communiceerende  ruimten  v en  V.  In  ’t  bijzonder  voor 
straling  van  trillingsgetal  tusschen  v en  v dv  stelt  mene,  =Mv(/r 
waarmee 


{e—ey  hT^ 


du-,  vdv 
dT 

' + F 


(l) 


wordt.  Maakt  men  verder  gebruik  van  de  stralingswet  van  Planck 


87thv^/c’ 

Av 

ekT  — 1 


(2) 


dan  komt  er 

Av 

— e^T  hvu-jvdv 

= (3) 

gfcT  _ 1 14  -^ 

' V 

Voor  = 00  vindt  men  hieruit  formule  V,  wanneer  men  de 
eerste  breuk  in  twee  termen  splitst  en  weer  iivvdv  = e schrijft. 
Voor  de  volgende  berekening  nemen  we  eenvoudiger  V = v.  Dan 
wordt  het  kwadraat  van  de  wisselingen  dus  half  zoo  groot. 

De  methode  die  men  tegenwoordig  in  de  quantentheorie  steeds 
toepast,  indien  mogelijk,  bestaat  hierin  dat  de  hoofdtrillingswijzen 
van  het  beschouwde  stelsel  bepaald  worden.  Aan  elk  daarvan  wordt 
dan  verder  een  met  de  frequentie  op  beketide  wijze  samenhangende 
energie  toegeschreven.  Wij  zullen  ons  in  het  volgende  eveneens  van 
hoofdtrillingen  bedienen,  die  wij  evenals  in  de  quantentheorie  uit 
de  klassieke  theorie  zullen  afleiden. 

Voor  een  parallelei)ipedum  in  een  rechthoekig  assenstelsel  be- 
sloten binnen  de  volkomen  geleidende  vlakken  a.  = O,  y = O,  z = O, 
x — a,  y = h,  z =:  c zullen  we  deze  methode  toepassen.  De  bekende 
uitkomst  van  de  hoofdtrillingen  luidt: 

voor  elk  stel  geheele  positieve  getallen  k,  /,  in  zijn  er  twee  tril- 
lingen. De  componenten  van  de  electrische  kracht  d en  van  de 
magnetische  kracht  h worden  bijv.  voor  de  eerste  trilling  voor- 
gesteld door 

19 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVlll.  A''.  1919/20. 


284 


X _ 1/  , z 

dx  = Aa  cos  k:r  — siu  Itt  — mi  mjr  - cos  {‘Izrvt — c/o) 
a b c 

.V  V z 

dy  = slv  kzT  — cos  Itt  siv  mjr  - cos  {2m't — ff)  enz. 
ah  c 

X V 

hx=An*sinki:  — cos  Izr  — cos  mcr  - sin  {27rvf — f/)  enz. 

ah  c 

waarin  de  riclitingscosiiuissen  ^ y)  en  {a*  y*)  behooren  bij  twee 

riclitingen  die  onderling  en  op  de  ricliling  (k  hn)  loodrecht  zijn, 
A de  amplitude  en  <f  de  phase  aangeeft,  terwijl  het  trillingsgetal  is 

IS  ’ 

o’  c 


'■ll/ï 


De  tweede  trilling  vindt  men  hieruit  door  als  riehtiugseosinussen 
(«* /i*  y*)  en  ( — a — fi — y)  te  nemen,  en  in  ’t  algemeen  een  andere 
amplitude  en  phase.  Het  aantal  hoofdt.rillingen  (ussehen  r en  r -)-  cfr  is 


Ssrv’'  dv 

n — n b c (4) 

c’  ' 

Deze  bekende  uitkomsten  gebruiken  we  om  de  energie  in  de  eene 
helft  van  onze  ruimte,  waarvooi'  ,r  tusschen  0 en  ^ x ligt,  te  be- 
rekenen. Het  spreekt  vanzelf,  dat  daarbij  geeuerlei  scheidingswand 
aangebracht  mag  worden,  aangezien  de  gegeven  foraiules  slechts 
voor  de  onverdeelde  ruimte  gelden.  Men  vindt  de  bedoelde  energie 
uit  de  algemeene  formule 


6 


a 

I h^)dA=j  'J  \ [(V  dxY  + {2  dyY  + 4)’  4- 

0 o o 


+ {2  hrY  + (-S’A,/)’  + //^)’]  dx  dy  dz 


waarbij  de  sommaties  over  alle  trillingen  genomen  moeten  worden. 
Hieibij  treedt  verder  niet  de  vereenvoudiging  op  die  men  bij  ’t  uit- 
strekken van  de  integraal  over  de  geheele  ruimte  abc  vindt,  dat 
de  producten  van  ongelijke  factoren,  die  bij  het  ontwikkelen  der 
kwadi’aten  ontstaan,  bij  het  integreeren  wegvallen.  Daaruit  volgt  dat 
hier  voor  trillingen  in  de  speelruimte  dv  eigenlijk  niet  de  onder- 
stelling 1 geldt,  d.w.z.  dat  men  die  trillingen  voor  het  berekenen 
van  de  enei’gie  van  één  lielft  niet  afgezonderd  kan  beschouwen. 
LTit  onze  verdeie  berekening  blijkt  evenwel  dat  dit  toch  bij  benade- 
ring mogelijk  is  indien  slechts  een  groot  aantal  trillingen  in  de  be- 
schouwde speelruimte  valt. 

Bij  gebrek  aan  kennis  van  de  wijze  waarop  de  trilli)igen  tot  stand 
gekomen  zijn,  zulten  we  verder  de  arnplituden  voor  alle  beschouwde 


285 


trillingen  — - we  spreken  slechts  van  die  in  de  speelruirnte  dv  — - 
gelijk  nemen  en  hun  phasen  volgens  het  toéval  verdeeld. 

Denken  we  nu  ontwikkeld,  en  in  de  eerste  plaats  de 

optredende  kwadraten  geïntegreerd.  Deze  leverep  eenvoudig  de  helft 
van  de  totale  energie,  m.a.  w.  de  gemiddelde  energie  in  het  halve 
v(f!nme  e.  De  afwijking  daarvan  vinden  we  dan  juist  uil  de  dubbele 
producten.  Eik  paar  drietallen  kli»,  h'l'm'  levert  vier  dubbele  pro- 
ducten. Deze  zullen  bij  het  integreeren  over  e wegvallen,  tenzij 
m = m'  is.  Evenzoo  moet  1=1'  zijn.  De  integratie  levert  dan 


abc 

8jr 


A^aa’ 


sin  {k — (^  + ^0  ~ 
+ - 


k~k' 


k + k' 


cos  {‘iTTVt 


(p)  COS  {2,nv't — (p) 


hetgeen  alleen  \'an  nul  verschilt  als  k — k'  oneven  is.  De  belangrijkste 
bijdrage  tot  de  gezochte  energiewisseling  woi’dt  blijkbaar  geleverd 
door  de  paren  waarvoor  k — k'  klein  is,  gelijk  aan  i,  3,  5 enz.  De 
tweede  term  tusschen  []  komt  dan  tegenover  den  eersten  niet  in  aan- 
merking. Met  dezelfde  benadering  zullen  we,  voor  een  van  de  vier 
dubbele  producten,  <(  = a'  kunnen  nemen.  In  de  drie  andere  komen 
dan  aa*,  a*a  en  «**  voor.  Voegt  men  verder  voor  de  vier  beschouwde 
paren  trillingen  de  termen  uit  de  andere  componenten  en  die  uit 
bij  dezen  eersten  term,  dan  komt  er 


sin  (k  — k ) — 

^ ^ (v~v')  t — i 


(5) 


voor  het  eerste  paar  en  dezelfde  vorm  maar  met  andere  waarde 
van  de  phase  (f — (f'  voor  het  vierde  paar,  terwijl  de  twee  andere 
paren  nul  geven. 

Men  vindt  dus  de  afwijking  e — g door  uitdrukking  (5)  te 
sommeeren  over  alle  paren  trillingen.  Wat  echter  berekend  moet 
worden  is  de  gemiddelde  waarde  van  het  kwadraat  van  die  som. 
De  dubbele  producten  die  in  dat  kwadraat  optreden  zullen  gemiddeld 
nul  zijn  door  de  ongelijke  frequentie  of  phase  van  beide  factoren, 
zoodat  alleen  de  som  der  kwadraten  overblijft,  waarin  het  kwadraat 
van  den  cosinus  4 oplevert.  Dus 


— ^ / a b 


(e— f)=  =1 


8. TT 


Jt 

sird  K — 

Oe  2 

„ ^ 


1 


X 


daar  er  n trillingen  zijn  die  we  elk  als  eerste  van  een  aantal  paren 
kunnen  nemen.  De  laatste  factor  is 


19* 


•286 


1 1 


1 + ^ + -^  + • • • • 


8 


eii  de  amplitude  A hangt  met  de  totale  energie  2f  samen: 


waarmee  men  vindt 

^ n 16jr  r’  dv  v 


(6) 


waarin  v = ^ abc  het  beschouwde  volume  is  '). 

Inderdaad  vinden  we  dus  den  tweeden  term  van  Einstein’s  formule, 


indien  die  nog  gedeeld  wordt  door  1 in  dit  geval  door  2 (zie  V 


en  (3).  Dit  is  wat  wij  boven  conclusie  a genoemd  hebben  ’). 

3.  Einstkin  heeft  geen  rekening  gehouden  met  de  mogelijkheid  dat 
de  tegenspraak  tusschen  zijn  formule  V en  de  theoretisch-optische 
berekening  van  de  interferentie-wisseüngen  aan  een  onjuistheid  in 
zijn,  in  deii  grond  zoo  eenvoudige,  afleiding  zou  zijn  toe  te  schrijven. 
Hij  stelt  dan  ook  ,,die  tatsachlische  statistischen  Eigenschaften  der 
strahlung”  tegenover  het  resultaat  van  ,, klassieke”  berekeningen  •). 

We  meenen  de  fout  in  ’t  volgende  te  moeten  zoeken. 

Laüe  “)  heeft  uitvoerig  het  gedrag  van  de  entropie  bestudeerd  voor 
onderling  interfereerende  stralenbundels.  Wil  men  de  tweede  hoofd- 
wet voor  die  gevallen  handhaven,  dan  is  het  noodig,  zoo  toont  hij 
aan,  de  stelling  te  laten  vallen  dat  de  totale  entropie  gelijk  is  aan 
de  som  van  de  entropieën  der  deelen.  Nu  is  het  duidelijk  dat  in 
het  boven  beschouwde  paralellepipedum  de  toestanden  in  beide 
helften  nauw  met  elkander  samenhangen.  Men  kan,  in  plaats  van 
met  trillingswijzen,  hier  ook  wel  met  lichtbundels  werken.  Dezelfde 
bundels  doorloopen  dan  steeds  beide  helften,  m.  a.  w.  er  is  volkomen 
cohaerentie  tusschen  beide.  In  dat  geval  moet  men  volgens  Laue  de 
totale  entropie  zóó  berekenen,  dat  men  de  beide  energieën  optelt 
en  de  entropie  bepaalt  die  aan  de  waarde  van  de  totale  energie 

h Men  kan  zonder  meer  een  willekeurig  deel  van  het  parallelepipedum  beschou- 
wen, krijgt  dan  een  trigonometrische  reeks  te  sommeeren  en  vindt  daarmee  dezelfde 
afhankelijkheid  van  de  verhouding  van  beide  deelen  als  in  (3). 

De  analoge  berekening  met  behulp  van  stralenbundels  is  reeds  door  Lorentz 
gegeven  (Théories  statistiques  Note  IX).  Ook  in  verband  met  hetgeen  volgt  leek 
het  ons  noodig  te  doen  zien  dat  de  beschouwing  der  trillingswijzen  tot  hetzelfde 
resultaat  voert. 


*)  Physik.  Z.  10,  189. 

Ann.  d.  Physik.  (4)  20.  365,  (1906)  en  23,  1,  795  (1907). 


287 


beantwoordt.  Daar  in  onze  besloten  ruiinle  de  totale  energie  con- 
stant blijft,  vindt  men  daaruit  ook  een  onver  anderlijke  totale  entropie. 

Met  behulp  van  de  hoofdtrillingen  komen  we  tot  hetzelfde  resul- 
taat zonder  gebruik  te  maken  van  de  beschouwingen  van  Laüe. 
Voor  elke  trillingswijze  afzonderlijk  kan  men,  uit  de  eriergie  als 
functie  van  de  temperatuur,  de  entropie  berekenen.  Aangezien  de 
verschillende  trillingen  geheel  onafhankelijk  van  elkaar  zijn,  vindt 
men  de  totale  entropie  door  sommeeren.  In  ons  geval  blijft  elke 
trilling  ongestoord  voortbestaan,  zijn  entropie  is  dus  constant  en 
evenzeer  de  totale  entropie. 

Hiermee  zijn  de  uitspraken  h en  d gevonden. 

Men  kan  de  vraag  stellen  of  de  cohaerentie  en  daarmee  de  niet- 
addiviteit  der  entropie  vermeden  kan  worden  door  het  te  beschouwen 
deel  der  ruimte  slechts  door  een  nauwe  opening  met  de  i’est  in 
verbinding  te  stellen.  We  zullen  bijv.  van  de  ruimte  abc  niet 
langer  in  gedachte  de  twee  helften  beschouwen,  maar  een  volkomen 
spiegelend  tusschenschot,  waarvoor  x = \ is,  aanbrengen,  waarin 
een  zeer  kleine  opening  gemaakt  is.  Aan  beide  zijden  van  het  schot 
zijn  dan  ruimten  met  volkomen  gelijke  trillingsgetallen  gelegen, 
die  slechts  door  de  opening  met  elkaar  samen  hangen.  Het  is  bekend 
dat  in  dit  geval  de  koppeling,  hoe  zwak  ook,  toch  een  groot  effect 
heeft;  de  enei'gie  van  elke  trillingswijze  daalt  telkens  tot  nul  aan  één 
zijde  en  heeft  dan  de  grootste  waarde  aan  de  andei'e  zijde. 

Door  verzwakken  van  de  koppeling  verlengt  men  alleen  de  periode 
waarin  deze  wisseling  plaats  vindt.  Laat  één  trilling  in  de  eene  helft 
gemiddeld  een  energie  S hebben,  dan  wisselt  de  energie  dus  tusschen 
0 en  2 S en  het  gemiddelde  kwadraat  van  de  afwijking  is  ^ 5’. 


Voor 


alle  tril lings wijzen. 


n 

2 


in  aantal,  vinden  we  dus 


(e— 6)*  - 


dus  een  even  groote  waarde  als  volgens  (6)  zondei'  het  tusschenschot. 
Blijkbaar  hebben  we  hier  met  eeji  singulier  geval  te  doen,  want  de 
geringste-  verplaatsing  van  het  doorboorde  tusschenschot  zal  de  vol- 
komen gelijkheid  van  de  frequenties  in  beide  helften  verstoren,  en 
daarmee  het  geheele  verschijnsel  totaal  veranderen.  Een  bekende 
uitkomst  — voor  twee  gekoppelde  stelsels  met  elk  één  vrijheids- 
graad — leert  immers  dat  het  overgaan  van  de  energie  van  het  eene 
op  het  andere  stelsel  in  mindere  mate  optreedt  wanneer  geen  vol- 
komen resonantie  bestaat,  en  wel  des  te  minder  naar  mate  de 
koppeling  zwakker  is.  Ook  in  ons  geval  waar  elk  stelsel  oneindig 


288 


\eel  tri] lings wijzen  heeft,  moet  iets  dergelijks  optreden.  Dat  wil  dus 
zeggen,  dat  men  dan,  door  de  opening  klein  genoeg  te  kiezen,  de 
energiewisselingen  zoo  klein  kan  maken  als  men  verkiest.  Daarmee 
nadei't  blijkbaar  tevens  de  cohaerentie  van  beide  helften  tot  nul,  en 
herkrijgen  dus  hun  entropieën  de  additieve  eigenschap. 

Er  moet  dus  een  andere  reden  zijn  waarom  in  bet  nu  geconstru- 
eerde geval  — onnauwkeurige  verdeeling  in  helften  door  een  wand 
met  zeer  kleine  opening  — de  afleiding  van  Einstein  niet  opgaat, 
en  er  in  ’t  geheel  geen  wisselingen  optreden.  Men  denke  zich  hier 
een  begintoestand  waarbij  de  eene  helft  met  straling  gevuld  is,  de 
andere  geheel  zonder  straling.  Volgens  onze  beschouwingen  za!  de 
energie  der  tweede  helft  dati  van  nul  gaan  verscliillen,  maar  slechts 
m zeer  geringe  mate.  ')  Dat  beteekent  dus  dat  Einstein’s  onderstelling 
11,  gemiddeld  gelijkmatige  verdeeling  van  de  energie  over  beide 
deelen,  niet  meer  doorgaat  (conclusie  c).  Er  treden  weinig  of  geen 
energie- wisselingen  op,  eenvoudig  omdat  de  mogelijkheid  van  ener gie- 
overgnng  tusschen  de  deelen  onvoldoende  aanwezig  is.  Die  mogelijk- 
heid is  blijkbaar  onverbrekelijk  verbonden  aan  de  cohaerentie. 

B.  Straling  met  materie. 

4.  In  het  volgende  beschouwen  we  een  afgesloten  stralingsruimte 
die  aan  materie  grenst  en  vragen  naar  de  energie-wisselingen  van 
de  straling  in  de  speelruimte  dv.  daarbij  de  doorstraalde  ruimte  steeds 
in  haar  geheel  nemende. 

Blijkbaar  vervallen  daarvoor  de  boven  ontwikkelde  bezwaren  tegen 
afleiding  van  Einstein’s  formule,  zoodat  men  op  goede  gronden 
wisselitigen  verwachten  kan  van  de  grootte  gegeven  door  V of  (3). 
In  de  laatste  formule  kan  daarbij  V = oo  genomen  worden  indien 
slechts  de  wannte-capaciteit  van  het  lichaam  groot  genoeg  is. 

Twee  jaai'  geleden  heeft  Einstetn  een  nieuwe  methode  aangegeven 
om  de  stralingswet  af  te  leiden.  We  zullen  van  de  volgende  daar 
gebruikte  onderstellingen  uitgaan  : 

1°.  De  inwendige  energie  der  atomen  neemt  slechts  een  aantal 
discrete  waarden  aan.  en  fj  zijn  b.  v.  twee  daarvan, 

2".  De  verhouding  van  het  aantal  atomen  in  den  toestand  1 tot 
dat  in  den  toestand  2 is,  tengevolge  van  de  warratebeweging  der 

b Deze  uitkomst  schijnt  op  het  eerste  gezicht  verwonderlijk.  Men  bedenke  echter, 
dat  de  koppeling  des  te  zwakker  moet  zijn  naarmate  de  frequenties  minder  ver- 
schillen. Als  men  de  ruimten  grooter  neemt  zal  daarom  de  opening  kleiner  moeten 
zijn.  Ons  resultaat  geldt  dus  niet  wanneer  één  van  de  ruimten  onbegrensd  is. 


289 


materie  van  de  temperatuur  T waarmee  de  resonatoren  in  evenwicht 

zijn,  evenredig  met  e~  : e , onafhankelijk  van  de  straling. 

3'.  De  overgang  2 — ► i kan  spontaan  plaats  hebben  ondei'  emissie 
van  straling  waarvan  frequentie  bepaald  wordt  door  de  betrekking 
van  Bohr  hv  = f , — f j . 

4“.  Straling  van  die  freqnetitie  kan  onder  absorptie  den  overgang 
J — » 2 bewerken,  maar  ook,  onder  emissie,  de  tegenovergestelde. 

EiNSTKiN  voert  verder  de  kansen  in  dat  in  een  kleinen  tijd  t elk 
van  de  genoemde  overgangen  plaats  heeft.  Bij  de  onder  4°  genoemde 
processen  neemt  hij  die  kansen  evenredig  met  de  gemiddelde  stralings- 
dichtheid.  Wij  zullen  ze  evenredig  met  de  werkelijk  heerschende 
dichtheid  aannemeu.  De  formules  worden  doorzichtiger,  wanneei’  in 
plaats  van  die  dichtheid  het  aantal  porties  hv  ingevoerd  wordt,  dat 
blijkbaar  een  geheel  getal  moet  zijn. 

Voor  een  lichaam  en  holte  van  bepaalden  aard,  vorm,  enz.  voeren 
we  nn  de  volgende  grootheden  in  : 

n aantal  elementaire  hoeveelheden  in  de  stralingsrnimie 
ar  kans  op  spontane  emissie  in  den  tijd  t 
pnr  kans  op  emissie  door  stralingswerking  in  den  tijd  r 
c[nT  kans  op  absorptie  in  deti  tijd  t 
waarbij  r zoo  klein  gekozen  wordt  dat  elk  dezer  processen  in  dien 
tijd  nooit  meer  dan  éénmaal  voorkomt.  Uit  de  onderstellingen  1 " — 4" 
volgt  voor  die  grootheden:  a en  p zijn  evenredig  met  het  aantal 
atomen  in  toestand  2,  q met  dat  in  toestand  1 en  dus 

H — h hv 

-=  C,  -—C,  = C, 

P P 

waarin  C\  en  6',  nog  van  v kunnen  afhangen.  Beschouw  nu  onder 
alle  toestanden  die  ons  stelsel  achtereenvolgens  doorloopt  een  groot 
aantal  iV  met  bepaalde  n,  en  volg  die  gedurende  een  tijdje  r.  Bij 
eenige  zal  w met  1 toenemen,  bij  eenige  met  1 afnemen,  bij  alle 
overige  onveranderd  blijven.  Het  eerste  aantal  bedraagt  [a  -f-  pn) 
T N,  het  tweede  qn  xN . Gemiddeld  ovei-  N toestanden  is  de  toe- 
name van  n dns 

(a  + P”  — ?”) 

Het  gemiddelde  van  deze  toename  over  alle  doorloopen  toestanden 
zal  voor  grooten  tijd  nul  moeten  zijn.  Dit  algemeene  tijdgemiddelde 
door  een  streep  aangevende  heeft  men  dus 

(a  j-  pn  — qn)  t = 0 a pn  — qn  — 0 
of 


290 


C,  - 1 

Uit  de  verschiiivingswet  en  het  gedrag  bij  groote  T volgt  dan 
verder  Cj  evenredig  rV/r  en  (7,  = ! en  daarmee  de  stralingswet 
van  Planck. 

Voor  verdere  bespieking  verwijzen  wij  naar  het  geciteerde  artikel 
van  Einstein. 

Bij  emissie  neemt  n'  toe  met  2n -f-  J,  bij  absorptie  af  met  2w — 1. 
Voor  toestanden  van  bepaalde  n is  de  gemiddelde  toename  van  n’ dus 
(2n  T 1)  (a  1 pn)r — (2n — \)  qm 

en  het  algemeene  tijdgemiddelde  van  deze  uitdrukking  moet  weer 
nul  zijn,  uitgewerkt : 

2n  a -f  a -f-  '^pn'^  H pn  — 2qn^  qn  — Q. 

Substitueer  hierin  a — {q — p)  n dan  komt  er 

2 (q—p)  — n"^)  2q  n = 0 

of 


n’  rj’ = (n — (8) 

q~p 

Bedenkt  men  dat  de  gemiddelde  stralingsenergie  e =r  Vdv  — hvn 
is,  dan  vindt  men  door  (8)  met  A’r’  te  vermenigvuldigen  en 
kv 

<i/p  z=  e — in  te  voeren 

KX 

h 

(f  — f)’  = hv  Jiv  V dv 

' ' h 

eVr  _ 1 

wat  inderdaad  overeenstemt  met  (3)  voor  oo  '). 

5.  Wanneer  k gfoot  is,  kan  men  in  (8)  p verwaarloozen 
en  vindt  dus  de  bekende  eenvoudige  toevalsformule  terug.  ’)  De 


M Wij  hebben  hier  alleen  het  gemiddelde  kwadraat  afgeleid  omdat  dat  voor 
onze  beschouwingen  voldoende  is.  Het  gelukt  echter  evenzeer  uit  de  ingevoerde 
kansen  de  waarschijnlijkheid  voor  verschillende  waarden  van  n — n af  te  leiden. 
Wij  zullen  de  uitvoerige  berekening  uit  een  integraalvergelijking  die  benaderd  door 
een  differentiaalvergelijking  kan  woi'den  opgelost,  hier  niet  weergeven,  maar  vol- 
staan met  de  opmerking  dat  voor  groote  n het  resultaat  een  Gaussische  wet  is, 
die  met  (8)  overeenstemt  en  die  tevens  de  geldigheid  van  het  principe  van  Boltz- 
MANN  (IV)  nader  bevestigt. 

")  Formule  (8)  kan  ook  op  het  volgende  bekende  geval  worden  toegepast. 
Beschouw  een  ideaal  gas  in  een  ruimte  v,  die  met  een  andere  ruimte  1^  in  ver- 
binding staat.  Laat  n het  aantal  moleculen  in  v,  N het  totale  aantal  moleculen 
voorstellen.  De  kans  dat  in  een  tijd  r een  molecuul  uit  v naar  V gaat,  is  even- 


stralingswet  heeft  dan  den  vorm  van  Wlen  en  dit  verklaart  dan  de 
eerste  uitkomsten  van  Einstein  in  1905,  toen  hij  van  de  wet  van 
WiEN  uitging. 

Kan  men  in  (8)  p niet  verwaarloozen,  dan  worden  de  wisselingen 
dientengevolge  grooter,  zonder  dat  er  sprake  is  van  een  onaflianke- 
lijke  tweede  oorzaak,  die  er  een  teian  bij  oplevert.  Inderdaad  mist 
Einstein’s  interpretatie  in  dil  geval,  waar  we  zijn  formule  bevestigd 
vinden,  allen  grond,  omdat  de  enei'gie  van  de stralingsruirnte 
niet  door  interferentie  kan  veranderen. 

Uil  onze  afleiding  van  de  formule  van  Einstein  ziet  men  dat  het 
verschijnsel  der  energie-wisselingen  niet  zijn  oorzaak  vindt  in  de 
discrete  structuur  der  energie  of  in  een  discontinue  uitbreiding , maar 
in  het  feit  dat  de  energie  slechts  in  afgepaste  hoeveelheden  aan  de 
straling  toe-  en  af  gevoerd  kan  worden. 

Men  kan  ten  slotte  de  energie-wisselingen  in  een  gedeelte  van  de 
hier  beschouwde  straiingsruimte  in  het  oog  vatten.  Laat  dat  deel 
een  volume  v,  het  overige  deel  U hebben.  De  wisselingen  tenge- 
volge van  de  onregelmatige  emissie  en  absorptie  verdeelen  zich 


gelijkmatig  over  de  geheele  ruimte,  zoodat  men  ^ - voor  het 

deel  zal  vinden  door  de  overeenkomstige  waarde  voor  het  geheele 

V 

volume  V -|-  V te  vermenigvuldigen  met  dus 

V \ V 

kv 

(s  — p)"  V T c*Uu  V 

/ip  — =:  hv 1 

s — V -\-V  x)  \-  V v-\-V 

ekT_  1 

waar  de  door  Einstein  toegepaste  s|)litsing  gebruikt  is.  Hierbij 
zullen  we  de  bijdragen  van  de  interferentie- wisselingen  optellen. 
Voor  deze  geldt  volgens  i6) 


redig  met  de  dichtheid  n v,  de  kans  op  de  omgekeerde  verandering  evenredig  met 
. . N~n , , 

de  dichtheid  — r-—  in  het  andere  deel.  Mathematisch  heeft  men  hier  dus  het  boven 


behandelde  geval  als  men  stelt  q = 


C 

V 


p 


c 

V 


a = 


CN 

~V 


waarmee  (7)  en  (8)  geven. 


— A 1 V 

V \ 1 V Y v' 

V V 


{n — ny 


n 

n 


dus  de  bekende  uitkomst,  die  men  gewoonlijk  vindt  door  de  N molekulen  volgens 
bet  toeval  in  de  ruimte  V -+  v te  plaatsen  Tegenover  die  statische  methode  kan 
men  onze  afleiding  dynamisch  noemen. 


dus  totaal 


(e— e) 


= hv 


V 


(9) 


f 


Sjt 


Laat  V constant  blijven,  maar  geef  V allerlei  waarden.  De  energie 
wisselingen  in  v woi'den  dan  volgens  (9)  kleiner,  wanneer  V grooter 
is  en  zijn  ’t  grootst  voor  F’^:  0.  Merkwaardig  is,  dat  de  tweede 
term  onafhankelijk  van  T^is.  Wanneer  men  van  te  voren  den  eisch 
stelde,  dat  de  wisselingen  in  v onafhankelijk  van  V moeten  zijn  — 
wat  voor  de  hand  schijnt  te  liggen  — dan  zon  dit  het  verdwijnen 
van  den  eersten  term  eischen.  Einstein  heeft  er  reeds  op  gewezen, 
dat  daaraan  slechts  voldaan  wordt  dooi' de  stralingswet  van  Rayletgh- 
Jeans. 

Samen  vattend  meenen  we  aangetoond  te  hebben  dat  de  formule 
van  Einstein  voor  de  energie- wisselingen  der  straling  alleen  juist  is 
in  een  ander  geval  dan  het  door  hem  beschouwde,  dat  zijn  inter- 
pretatie van  die  formule  daardoor  vervalt  en  de  energie-wisselingen 
«iaarom  geen  argument  voor  het  bestaan  van  lichtatomen  opleveren. 


Wiskunde.  — - De  Heer  W.  Kapteyn  biedt  een  inededeeling  aan 
van  den  Heer  N.  G.  W.  H.  Beeüer  over:  „Bepaliny  van 
het  aantal  klassen  der  idealen  van  alle  deellickamen  van  het 
cirkellichaam  der  m-de-mackts-wortels  xdt  de  eenheid,  tvaarbij 
het  getal  m door  meer  dan  één  priemgetal  deelbaar  is”. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Jan  de  Vhies). 

In  twee  vorige  stukken  ')  lieb  ik  de  uitdrukking  afgeleid  voor  ’t 
aantal  klassen  der  idealen  van  alle  deellicliainen  van ’t  cirkellichaain 
der  /^'-de-maclits- wortels  uit  de  eenheid.  / was  daarbij  een  priemgetal. 
Thans  heb  ik  ’t  zelfde  gedaan  voor  de  deellichamen  van  alle  andere 
cirkellichamen.  Hiermede  is  <lan  van  alle  lichameti  van  Abel  het 
aantal  klassen  bepaald.  Hel  is  merkwaai-dig  dat  de  door  mij  afgeleide 
uitdrukkingen  geheel  dezelfde  gedaante  hebben  als  die  van  ’t  cirkel- 
lichaam zelf. 

Slechts  vooi’  de  deellichamen  die  bij  cyclische  ondeigroepen  be- 
liooren,  was  het  aantal  klassen  reeds  vroeger  afgeleid,  nl.  door  Fuchs  ’). 
Zijne  beschouwingen  zijn  ingewikkeld  en  steunen  natuurlijk  nog  niet 
op  de  tegenwoordige  opvatting  der  theorie  van  de  getallenlichamen. 
Zijne  eindformules  hebben  niet  de  eenvoudige  gedaante  die  ik  thans 
voor  alle  deellichamen  heb  gevonden. 

Bij  het  volgende  gebruik  ik  steeds  de  theorie  der  getallenlichamen, 
zooals  die  is  uiteengezet  door  Hilbert  in  zijn  ,, Bericht  über  die 
Theorie  der  algebraïschen  Zahlköiper” ’).  Het  zal  voortaan  worden 
aangeduid  door  ,,H”.  Verder  maak  ik  gebruik  van  de  theorie  der 
groepen  van  Abel  en  die  der  cirkellichamen,  zooals  die  te  vinden 
is  in  ,,Lehrbuch  der  Algebra”  van  Weber  11de  deel  bl.  38 — 86. 
Dit  werk  duid  ik  aan  door  ,,W”. 

1.  Beschouwingen  over  het  cirkellichaaw  der  m-de-nuichts-ivortels 

uit  de  eenheid. 

^ 1.  De  substituties  van  d lichaam. 

De  groep  der  substituties  van  ’t  bovengenoemde  lichaam  is  een 

*)  Verslagen  XXVIl  bl.  324  en  561. 

Cr.  Journ.  B.  65.  bl.  74. 

*)  Jahresb.  d.  D.  M.  V.  B.  4 


294 


groep  van  Abel,  die  isoiiiorpli  is  met  de  groep  der  getalklasseii 
{mod  m)  ’),  d.  w'.  z.  als 

, Aj  , . . . Atf,  . . (1) 

de  getallen  zijn,  die  yn  en  relatief  priem  met  m zijn,  en  men 
stelt  de  substitutie 

‘ini 

(Z,Z^’^i)  , Z = e'^ 

voor  door  .S’-,  dan  zijn  de  substituties  van  ’t  lichaam: 

S,,S,,....S^ (2) 

waarbij  </  ter  bekortijig  is  geschreven  voor  q{m). 

We  zidlen  daarom  de  groep  der  getalklassen  maar  kortweg  de 
groep  van  ’t  lichaam  noemen.  En  wanneer  we  ondergroepen  van 
de  groep  (2)  noodig  hebben,  dan  kunnen  we  evengoed  de  isomorphe 
ondei'groep  van  (1)  daarvoor  in  de  plaats  nemen.  De  groep  (1)  duiden 
we  voortaan  aan  door  de  letter  G. 

Het  getal  m,  zij  voortaan  van  de  gedaante 

^ • • • • 

ondersteld,  waarbij  /,,  l.„  ...  . verschillende  oneven  priemgetallen 
voorstellen. 

Om  de  groep  G door  een  basis  voor  te  stellen’),  onderstellen  we 

dat  r,,  . ...  , resp.  primitieve  wortels  zijn  van  //'>,  //a, 

Stellen  we  verder  dat  de  getallen  A^,  A^,  . . . . oplossingen  zijn 

van  de  congruenties : 

A,  = — 1 (mod  2^*)  = 1 (mof/ 1/‘‘)  = 1 (mod  IJ'*)  .... 

Aif,  — 5 ,)  — 1 ))  1 »>  .... 

A,  = 1 ,,  = ,,  I ,,  .... 

Aj  “ ; 1 ,,  — 1 11  — - r,  ,,  .... 

Ze  vormen  een  basis  van  G.  Ieder  getal  van  G kan  dus  eenmaal, 
en  niet  meermalen,  geschreveji  woi’den  irj  den  vorm 

A,““  A^“*  Aj“i  ....  (mod  m) 

\vaarbij  de  exponenten  voldoen  aan  de  volgende  voorwaarden,  en 
heele  getallen  zijn; 

0 M„  < 2 ; 0 ^ < 4 ; 0 ^ w,  < rp, ; 

Ter  bekorting  is  hier  in  plaats  van  fp(2^**),  enz.  geschreven 

7*,  rp,  enz. 


>)  „W."  bl.  74  en  § 18. 
-)  ,W”  § 18. 


295 


Op  te  merken  valt  nog : 

1*.  Als  h^  = 0 vervallen  en 
2*.  Als  /<*  = 2 dan  vervalt  A^. 

3®.  h^  = 1 kan  voor  het  volgende  buiten  beschouwing  blijven  '). 


^ 2.  De  ontbindings-  en  traag keidsgroep  der  priemidealen. 
Theorema  1.  De  traagheidsgroep  van  een  priemideaal  p dat  niet 
op  m deelbaar  is,  bestaat  sleclits  uit  de  identieke  substitutie. 

Bewijs:  We  weten  dat 

^.7/1  1 — (j; — Z) ....  {x — 

Na  deeling  door  x — 1,  volgt  hieruit,  voor  x—ï  : 

mrrr  (1— Z)(l— .2»).  . . . (1— Z"»  1) (1) 

Iedere  factor  van  ’t  rechterlid  is  dus  niet  deelbaar  door  Zij  nu 
S={Z:Z'^)  een  substitutie  van  de  traagheidsgroep,  dan  moet®): 

S Z = Z {niod  'P) 

dus 

Z (Z«-l  — 1)  = {mod  p) 

Volgens  het  voorgaande  kan  dit  alleen  als  a = l. 

Theorema  2.  De  onibindingsgroep  van  een  niet  in  m opgaand 
priemideaal,  dat  op  het  prieragetal  p deelbaar  is,  is 

p’,  , . . . pf  {mod  m) 

als  pf  de  kleinste  macht  is  van  p die  imodin)  met  de  eenheid  con- 
gruent is. 

Bewijs:  Zelfde  als  dat  van  Weber  blz.  742  voor  ’t  geval  m=.l^- 
Voor  dat  we  nu  de  traagheidsgroep  kunnen  bepalen  van  de  in 
m opgaande  priemidealen,  moeten  we  ,,Satz  146”  van  Hii.bert  aan- 
vullen. 

Theorema  3.  In  ’t  cirkellichaam  gelden  de  volgende  ontbindingen  : 

m 

" 2'‘-' 

1 z — (£^01  . . £oeo) 

voor  h^'  = 0, 1,  . . . .,h:j^ — 1,  terwijl  n alle  getallen  doorloopen  kan 
die  zijn  eu‘  niet  deelbaar  door  2. 


m 


1-Z 


, h,— l- 
= (£,-,  ....  £,,.) 


fi.' 


voor  hi'  = 0,  1 hi — 1,  terwijl  n alle  getallen  doorloopen  kan, 
die  zijn  en  die  niet  deelbaar  zijn  door  . 

2 = (£oi ....  £o.,)iP* 


•)  ,W."  § 20. 

»)  ,H.”  bl  251. 


296 


zijn  prieniidealen  en  f\  is  de  kleinste  exponent  waarvoor 


= lymod  , terwijl  = De  graad  der  priemidea- 

len is  f . 


'Ti 


-u 


li  = (i^l  .... 

zijn  verschillende  priemidealen  van  den  graad  als  fi  de 


kleinste  exponent  is,  waarvooi' 


1 


( mod 


m 

ih 


en 


711 

li'i 


Alle  getallen  van  den  vorm  1 — Z'i  die  niet  onder  de  bovenge- 
noemde voorkomen,  zijn  eenheden. 

Bewijs:  Volgens  Bilbert  *)  gelden  de  in  het  theorema  genoemde 
ontbindingen  der  prieingetallen  2 en  ii.  Verder  volgt  uit  (1)  dat 
ieder  getal  van  de  gedaante  1 — óf  een  eenheid  is,  óf  slechts 
deelbaar  is  door  priemidealen  die  in  m opgaan.  Volgens  Bibbert ’) 

2jr?. 


geldt  in  ’t  lichaam  y de  ontbinding: 


waarbij  1„  een  priem-hoofdideaal  is.  Biernit  volgt  de  eerste  der  in 

’t  theorema  opgegeven  ontbindingen  voor  ’t  geval  n = l. 

2jri 

.TVIIT' 

M > ’ 


Verder  is  in  ’t  lichaam  k \e 


waarbij  1,  een  hoofd-priernideaal  is.  Biernit  volgt  de  tweede  ontbin- 
ding die  in  ’t  theorema  genoemd  is,  voor  ’t  geval  n = l. 

Om  nu  het  bewijs  te  leveren  voor  de  andere  waarden  van  ?i, 

/ 2jri  \ 

merken  we  op,  dat  in  ’t  lichaain  k ^ e J de  ontbindingsgroep 
van  ’t  priemideaal  1,  uit  alle  substituties  van  dat  lichaam  bestaat. 

m 


Deze  substituties  zijn  die,  waardoor  het  voortbrengend  getal 


1)  ,H”.  Satz  125. 
S)  ,H”.  Satz  122. 


‘297 


vervangen  wordt  door  de  machten  daarvan,  met  exponenten  die 
2**—**'  zijn  en  die  niet  deelbaar  zijn  door  2.  Hieruit  volgt  de  in 
’t  tlieorema  genoemde  ontbijiding  voor  de  verschillende  waarden 
van  n.  Op  dezelfde  wijze  vindt  men  de  andere  ontbindingen. 

Om  nu  ’t  laatste  gedeelte  van  ’t  theorema  te  bewijzen,  merken 
we  op  dat  ‘t  product  van  alle  getallen  van  den  vorm  1 — Z^!  waarvan 
de  ontbinding  reeds  is  gevonden,  deelbaar  is  door  een  macht  van  ’t 
product 

l'oi  • . . . l^Oeo 

waarvan  de  exponent  gelijk  is  aan 

(p  (2^  f 2y  + + 2^'*-!  (f  (2)  = (f^ 

en  ook  deelbaar  door  een  macht  van  ’t  product 

....  ^2e- 

I 

die  tot  exponent  heeft 

’P  (//'Ó  + k <P  “ ')  + ....+  //''■■■'  u (^0  = h,  <p  {k  ^•) 

Men  vindt  gemakkelijk  dat  m ook  juist  door  dezelfde  machten 
der  genoemde  producten  deelbaar  is.  Uit  (1)  volgt  daarom  dat  alle 
getallen  1 — Z'^  waarvan  de  ontbinding  nog  niet  gevonden  is,  een- 
heden zijn. 

Theorema  4.  De  traagheidsgroep  van  een  in  /,  opgaand  priem- 
ideaal 2 bestaat  nit  de  <f'i  substituties  die  ^ vervangen  dooi’  de 
machten  van  Z waarvan  de  exponenten  zijn 

m — h ■' 

1 -|-  n — — — , Al  = 0,  1,  ...  . Aj- — i , n ' 

‘2  I 

en  niet  deelbaar  door  4,  voor  zoover  deze  getallen  relatief  priem 
zijn  met  m.  Hierbij  kan  4 ook  het  in  m opgaand  priemgetal  2 voor- 
stellen, wanneer  men  verder  den  index  i vervangt  door  *. 

Bewijs:  Een  substitutie  S is  dan  en  slechts  dan  een  substitutie 
van  de  traagheidsgroep  als  voor  alle  geheele  getallen  Si  van  't  lichaam 

S S2  = Si  {mod  8)  ') 

Door  dit  toe  te  passen  op  ’t  geheele  getal 

^ = Z 

vindt  men  gemakkelijk  het  bewijs  als  men  van  ’t  vorige  theorema 
gebruik  maakt. 

Theorema  5.  De  ontbindingsgroep  van  een  in  4 opgaand  priem- 
ideaal 2 wordt  verkregen  door  de  substituties  van  de  traagheidsgroep 
van  te  vermenigvuldigen  met  de /’j  eerste  machten  van  de  substitutie 


>)  ,H.”  251. 


298 


li  -|-  n 


m 


ir 


m 


ala  dit  getal  datgene  van  G is  dat  congruent  is. 

fi  is  de  graad  van 

Hetzelfde  geldt  ook  vooi'  4 =r  2 als  men  i door  * vervang!. 

Bewijs:  Het  lichaam  k = k ) behoort  in  K=h{Z)  tot  de 
ondergroep 

-^i  » • • • • 


De  (f 


(?) 


substituties 


-^0“”  ^,“2  ....  {mod  nt) 

— h,l,  . , . . ^ 1 f itj  — Ofl,  . . . . (p^  1 ï . . . . 


leveren  ( mod 


m 


hl 


evenveel  substituties  van  de  groep  van  ’t  lichaam 


k op.  Er  is  dus  onder  de  getallen  van  G slechts  één  getal  dat 

( moe/ ) met  / cojigrwent  is.  Dit  zij  het  in ’t  theorema  genoemde. 
V /;*  / 

We  toonen  verder  aan  dat  de  eerste  machten  van  dit  getal  juist 
de  groep  opleveren  waarmede  de  Iraagheidsgroep  moet  vermenig- 
vuldigd worden  om  de  onibindingsgroep  te  krijgen.  In  k geldt  de 
ontbinding  : 

4 = cp >) 


waarbij  ''Pj  verschillende  priemidealen  zijn. 

Volgens  theorema  2 is  de  onibindingsgroep  van 

/ /■’ 

‘’l  t • . . . ''i 

in  K komen  deze  getallen  overeen  met  de  in  ’t  theorema  ge- 
noemde. Uit  de  ontbinding  van  /,  i»  /tT,  volgens  theorema  3,  volgt 
nu,  dat  in  K: 

'P,  = g.V' 

De  substituties  die  'P,  onveranderd  laten,  laten  dus  ook  onver- 
anderd. De  in  ’t  theorema  genoemde  getallen  belmoren  dus  tot  de 
ontbindingsgroep.  In  verband  met  Satz  69  van  Hii.bert,  volgt  hieruit 
het  te  bewijzen  theorema. 


II.  De  deeltichamen  van  het  cirkellickaam . 

\ 3.  Bepaling  en  eigenschappen  van  alle  ondergroepen  van  G. 

Het  cii’kellichaam  zelf  stellen  we  verder  voor  door  K.  Bij  iedere 


M ,H.”  Satz  125. 


299 


ondergroep  van  G behoort  een  deeüichaam  ^).  We  beschouwen  alleen 
primaire  deeliichamen  hetgeen  geen  beperking  is.  Iedere  onder- 
groep van  6r  wordt  op  de  volgende  wijze  bepaald  ’).  Gegeven  zijn 
de  getalstelsels 

bon  ) ^*n  1 . • • • 1 

. . (1) 

^ I 

0 2 o bgfji  ^ (pi/. ; 0 6i}j  \ , I 

Om  zulke  stelsels  te  krijgen,  kan  men  er  eerst  eenige  verschil- 
lende opschrijven.  Zonder  dat  dit  invloed  lieeft  op  de  te  bepalen 
ondei'groep  '’)>  han  men  er  dan  andere  stelsels  bij  voegen  totdat  ze 
een  groep  vormen,  d.w.z.  zoodat  de  sommen  der  overeenkomstige 
getallen  van  twee  stelsels,  weer  de  getallen  van  een  stelsel  vormen  ; 
men  rekent  daarbij  de  getallen  resp.  volgens  de  modnli 

- 2 , ^ (p^ , f/j  j , . . . . 

We  zullen  nu  aannemen  dat  het  systeem  (1)  een  groep  is.  De 

orde  is  dan  -. 

r 

Zij  nu 

Ziti  2ni 

g ® =:  ei?* ; f = e fi  ; . . . . 

We  beschouwen  alle  stellen  van  geheele  getallen 

• • • • 

0 ^ «o  < 2 ; o ^ a*  < i ; 0 ^ < // , ; 

waarvoor 

%%  . 

60  6^  £1  ....=1. 

fp 

a = 1,  2.  . . . . - 
r 

De  getallen 

.4  = ....  (modm)  ......  (2) 

vormen  dan  en  slechts  dan  een  primaire  ondergroep  als  niet  ieder 
getal  bon  door  2 deelbaar  is;  niet  ieder  getal  b^n  door  2 deelbaar  is ; 
niet  ieder  getal  bi„  door  /,  deelbaar  is  als  j>  1 en  niet  ieder 
getal  b\„  door  /, — 1 deelbaar  is  als  h^=l;  enz.  De  orde  van  de 
ondergroep  die  door  de  getallen  A gevormd  wordt,  is  r.  De  voor- 

b ,H.”  § 38 

3)  ,W.”  bl.  77. 

S)  ,W.”  § 14. 

,W.”  bl  56; 

20 

Verslagen  der  Afdeeüng  Natuurk.  Dl.  XXVtli.  A".  1919/20. 


800 


waarden,  waaraan  de  getalstelsels  a„  a^,  . . . . moeten  voldoen, 
kunnen  blijkbaar  geschreven  worden  in  den  vorm 
/ m \ f m \ 

i r/  (m)  ao  bon  + 2 (f  ( — J a*  b:^,,  + <P  Ja,  bu,  -f  {mod  cp)  (3) 

ff 

1,2, 

r 

leder  stelsel  a„,  voldoet  dus  aan  alle  congruenties  (3). 

De  hier  gedefinieerde  ondergroep  (der  getallen  A)  van  de  groep 
G,  zal  verder  worden  aangeduid  door  g.  Het  daarbij  behoorende 
deellichaam  door  k. 

Omdat  de  ondergroep  g primair  wordt  ondersteld,  komen  er  niet 
in  voor  de  getallen,  die 


of 


zijn  en  ook  niet  de  getallen  die  een  macht  hebben  die  {mod  m)  con- 
gruent is  met  een  getal  dat  aan  een  of'  meer  der  congruenties 


1 1, .... 

voldoet  ’) 

Wanneer  ’t  getal  oi  slechts  eenmaal  den  factor  2 bevat,  heeft  ’t 
cirkellichaam  geen  primaire  deellichamen.  We  behoeven  dns  slechts 
te  beschouwen  de  gevallen  A*  = 0,  2 of  ^ 3.  Bij  de  verschillende 

bewijzen  zullen  we  telkens  ’t  laatste  geval  nemen,  omdat  het ’t  meest 
ingewikkelde  is ; ’i  is  dan  gemakkelijk  na  (e  gaan  hoe ’t  bewijs  moet 
veranderd  woi'den  voor  de  beide  andere  gevallen. 

We  maken  nu  nog  de  volgende  belangrijke  opmerking.  De  karak- 
ters van  een  ondergroep  S van  G,  vormen  zelf  een  groep,  die  iso- 
morph  is  met  S‘').  Het  karakter  van  een  eletnent  yl  is  echter  bepaald 
door  het  stel  waarden 


^1'  • . • • 


Deze  stellen  getallen  vormen  dus  eveneens  een  groep  die  isomorpli 
is  met  S.  Beschouwen  we  nu  de  getallen 


. . . {mod m) 


zoodat  de  stelsels 


^0^  öjjj,  (x^  , . • . cn 

b^.yj,  b\Y^,  .... 


h ,W.”  § 20  en  21. 
'I  „W.”  § 13. 


301 


voldoen  aan  de  congruenties  (3).  Die  getallen  Bu  vormen  de  reei- 
proke  groep  van  S.  ')  De  stelsels 

^Oni  . 

vormen  dus  zelf  ook  weer  een  groep  die  isomorph  is  met  de  reci- 
proke  groep  van  We  kunnen  daarom  zeggen:  de  stelsels 

^0’  ^1»  • • • • 

vormen  een  groep,  waarvan  de  stelsels 

■ ' 

de  reciproke  vormen,  als  ze  verbonden  zijn  door  de  congruenties  (3). 
Het  product  van  de  graden  van  beide  groepen  is  dan  gelijk  aan  <p *  *). 
^ 4.  Hulptheorema’s. 

1.  In  een  primaire  ondergroep  g komen,  behalve  de  eenheid, 
geen  getallen  voor  van  een  der  volgende  vormen  : 
m 

1 4"  waarbij  A*  ^ ^ 1 of  waarbij  — 0 is  en  n on- 

even of  als  h:^  = 2,  die  waarbij  A';^  = i 
1 + ” — r — rv  waarbij  In  h'i  ^ 1 , n niet  deelbaar  dooi' 

7 * 

Li 

Bewijs  : 

Ten  eerste  merken  we  op  dat,  in  ’t  geval  A*'  = 0 de  getallen 
van  den  eersten  vorm  niet  in  g voorkomen  omdat  ze  even  zijn  en 
dus  onderling  deelbaar  met  ni  (als  hi^  ^ 0).  Is  A*  = 2 en  A*'  = 1 
dan  komen  die  getallen  niet  voor  volgens  ^ 1. 

Als  verder  een  der  overige  getallen  van  den  eersten  vorm  in  g 
voorkwam,  zou  er  een  stel  exponenten 

Öj  • . . . 

bestaan,  die  voldoen  aan  f3)  en  zoodat 

A/*  . . . . = 1 + n ("iocf  m) 

Hieruit  zou  een  congruentie  [niod  2^*7,^'.  . .)  volgen,  en  dus  vol- 
gens de  definitie  der  basisgetallen  ; 

A,  1 {modl^j 


zoodal  ai  = a, 
of 


. . . . = 0.  Er  zou  dan  overblijven 
1 (mod^!'*') 


en  hieruit  volgt  a^  = 2 aj  en  a„  = 0 omdat  A,^' )>  1 is. 


b ,W.’'  bl.  56,  8. 

*)  .W.”  bl.  55,  7. 


20* 


30-2 


Door  dit  in  de  congruenties  (3)  te  substitueeren,  vindt  men 
2V-1  b^n  = O {mod 

Omdat  g primair  is,  zijn  niet  alle  getallen  h^n  door  2 deelbaar, 
üit  de  congruentie  volgt  daarom  dat  deelbaar  moet  zijn  door 
2h*—h*\  Dat  kan  niet  want  dan  zou  deelbaar  zijn  door  2^*“%  ter- 
wijl a*  juist  kleiner  is  dan  dat  getal. 

Op  gelijke  wijze  wordt  de  rest  van  ’t  theorema  aangetoond. 

2.  Zij  /,  een  der  oneven  priemgetallen  die  in  m 0[igaan.  een  , 
priemideaal  dat  in  /,  opgaat.  De  graad  van  de  grootste  gemeen-  * 
schappelijke  ondergroep  van  g en  de  traagheidsgroep  van  8 is  gelijk  * 
aan  d^,  zijnde  de  grootste  gemeene  deeler  van  de  getallen  b^n-  '■ 

Is  h.j^  ^ 3 en  2 een  in  2 opgaand  priemideaal,  dan  is  de  gemeen- 
schappelijke ondergroep  van  g en  de  traagheidsgroep  van  2 van  den 
graad  1 of 2 ai  naardat  l\n h^n  niet  voor  alle  waarden  van  weven 
is  of  wel. 

Is  = 2 dan  is  de  graad  van  de  zooeven  genoemde  gemeen-  - 
schappelijke  ondergroep  gelijk  aan  1. 

Bewijs:  Volgens  theorema  4 en  ’t  vorige  hulptheorema  kunnen 
de  substituties  van  de  gemeenschappelijke  ondergroep  slechts  zijn 

de  getallen  van  den  vorm  1 -1- waarbij  n niet  door /,  deelbaar 

I ** 

is.  Als  zoo’n  getal  tot  g behoort,  bestaat  er  een  stel  exponenten 
(Hy  «1,  • • • • zoodat 

. . . . = 1 f n — - {mod  m) 


en  die  voldoen  aan  de  congruenties  (3).  Evenals  bij  ’t  vorige  bewijs 
leidt  men  hieruit  af  dat  alle  exponenten  = 0 zijn,  behalve  n,.  üit 
de  congruenties  (3)  volgt  dan  dat 

m 


Al 


ö I ” b {mod  <p) 


of 


(f 

ai  bin  = 0 {mod  y,)  n = 1,  2,  . . . . — . 

r 

Omdat  niet  alle  getallen  b[,^  door  deelbaar  zijn  volgt  hieruit 

(f 

dat  a,  deelbaar  moet  zijn  door  — . 

Men  toont  gemakkelijk  aan  dat  deze  voorwaarde  ook  voldoende 
is,  want  zij 


' A,*  . . . . = .r  {mod  m)  . ...  (4) 


303 


dan  volgt  hieruit 


en  dus  ic  = ']  4-  n — r-- 

A ' 

dit  wel  zoo  was,  zou 


1 = a?  ( mod 


m 


V 1,"' 

Hierbij  -is  n niet  door  /,  deelbaar  want  als 


iv  = 1 {mod  /j) 


zijn.  Dus  4,  ' =l{modl^)  volgens  (4).  Dit  kan  niet  omdat  = r, 
{mod  ld  en  r.^  een  primitieve  wortel  van  /,  is.  Er  zou  nl.  uit  volgen 

dat  — n\  deelbaai'  is  door  /, — 1,  dus  u,  zou  deelbaar  zijn  door  <f  ^ 

d, 

terwijl  a,  < 

Beschouwen  we  nu  ’t  tweede  geval. 

Volgens  theorema  4 en  ’t  vorige  hulptheorema  kunnen  de  bedoelde 

m 

getallen  slechts  zijn  van  den  vorm  1 -|-  n waarbij  n oneven  is. 


Als  zoo  ’n  getal  tot  g behoort,  bestaat  er  een  stel  exponenten  . . . 

zoodat 

A;’‘A:,'‘*A"\...  = \+n~^{modm).  ...  (5) 

2 

Hieruit  volgt  weer  dat  alle  exponenten,  behalve  de  eerste  twee, 
gelijk  aan  nul  zijn,  Na  substitutie  in  (3)  vindt  men 

2^*  ^ ao  6o„  -f  a*  = 0 2)  .....  (6) 

We  onderscheiden  twee  gevallen:  /t#  > 3 en  h^  = ^. 

In  ’t  eerste  geval  is  b^n  = 0 {mod  Omdat  niet  alle  getallen 

even  zijn,  moet 

(6)  gaat  dan  over  in 

ao  bon  f = O {mod  2)  .......  (6) 

Nu  is  cl^<C.¥p#  dus  a'#  2.  We  behoeven  dus  slechts  na  te  gaan 

welke  der  volgende  combinaties  aan  deze  congruenties  voldoen  : 

a,  = O,  a*‘  = o 

0 1 

1 O 

1 1 

De  tweede  voldoet  niet,  omdat  niet  alle  door  2 deelbaar  zijn. 
Ook  de  3'^*'  niet.  De  laatste  alleen  als  bon  + b^,,  even  is  voor  al  de 
waarden  van  n.  De  eerste  voldoet  steeds. 

Men  toont  nu,  evenals  vroegei’,  aan,  dat  deze  twee  voorwaarden 
voldoende  zijn. 


304 


Nu  het  geval  = 3.  Uit  (6)  volgt: 

" ao  6o)i  1 a:f.  = h {mod  2) 

Verder  geheel  als  ’t  vorige  geval. 

3.  Zij  p een  prienngetal  dat  niet  in  m opgaat  en  waarvan  de 
exponent  (modin)  gelijk  is  aan  f.  Zij  d de  graad  van  de  grootste 
gemeenschappelijke  ondergroep  van  </  en  de  ontbindingsgroep  van 
een  priemideaal  dat  in  p opgaat.  Verder  zij 


p—  Ag  A^  V . . . . {mod  m) 

en  tfj  de  grootste  gemeene  deeler  van  de  getallen 


^ <p  (m)  iiop  6ü«  + (p 


^*>1  f' 

1,  2, 


m 

ijr 


^1/)  ^*n 


r 


dan  is 


/ 


Bewijs:  Volgens  theorema  2 bestaat  de  in  ’t  theorema  genoemde 
ondergroep  uit  de  d machten  van  p,  waarvan  de  exponenten  zijn 


f ol 

d'^  d' 


dL 

d 


p^  is  dus  de  kleinste  macht  van  p die  tot  de  ondergroep  9 behoort; 

uit  de  congruenties  volgt  dus  dat  ~ het  kleinste  getal  is  dat  voldoet 

d 

aan  de  congruenties 

f 


i 7)  (m)  ao,;'-  bon 
d 


2 (p 


2^* 


Lh 

^*p  d ” 


o (mod  (f;) 


Hiei’uit  volgt  het  theorema. 

4.  Zij  /j  een  der  in  in  opgaande  priemgetallen  (ook  2)  eii  d^  de 
graad  van  de  grootste  gemeenschappelijke  ondergroep  van  g en  de 
cyclische  groep  van  den  graad  die  in  theorema  5 bepaald  is. 
Stel  dat  voor  ’t  in  theorema  5 bepaalde  getal  de  volgende  congru- 
entie geldt: 


ld 


.4,^'  . . . . {mod  m) 


Zij  tp  de  grootste  gemeene  deeler  der  getallen 


è V (^)  «o  + 27) 


(s) 


b:fcn 


n = l,2,....^ 
r 

d ' ■ fi  v' 

dan  IS  ~ = (Zie  voor  /,  theorema  3). 

4/  t/, 


305 


Bewijs;  Geheel  als  ’t  vorige. 

^ 5.  Ontbinding  der  priemgetallen  in  priemidealen  van  ’t  deellichaam  k. 
Door  BachmAnn  ’)  is  de  ontbinding  behandeld  der  priemgetallen  in 
een  deellichaam  van  een  lichaam  van  Galois.  Deze  beschouwingen 
zijn  hier  dus  direct  van  toepassing.  Ze  worden  iets  vereenvoudigd 
omdat  we  hier  te  doen  hebben  met  een  lichaam  van  Abei.,  zoodat 
de  substituties  de  commutatieve  eigenschap  hebben. 

Theorema  6.  Is  p een  niet  in  ni  opgaand  priemgetal  en  ƒ de 
kleinste  exponent,  waarvoor  pf=l  {mod  m).  Dan  is  p in  k gelijk 
ed 

aan  ’t  product  van  — verschillende  priemidealen  van  den  graad 
r 


./ 

d 


Daarbij  is  ef=ip. 


Bewijs:  De  door  Bachmann  op  bl.  489  bepaalde  groep,  die  g en 
gemeen  hebben,  wordt  hier  de  groep  die  g en  g^  gemeen 
hebben.  Deze  is  bepaald  in  ^ 2,  3.  In  ’t  complex  (42)  van  B.  komen 

rf 

dus,  voor  iedere  substitutie  s,  d gelijke  voor.  Dus  — verschillende. 


Daar  G uit  ef  substituties  beslaat,  moet  men  — complexen  (42)  nemen. 

‘ r 

êd 

Het  getal  e van  B.  is  dus  hier  — en  de  getalleri  A,  zijn  hier  alle 

gelijk  aan  d.  Verder  is  op  bladz.  494  SigtSi~‘^  hier  gelijk  aan  gt, 
zoodat  we  nog  de  gemeenschappelijke  ondergroep  moeten  bepalen 
van  de  traagheidsgroepen  g.  Volgens  theorema  1 zijn  dus  alle  getallen 
t^  van  B.  hier  —1.  Ook  rt=l,  zoodat  de  getallen  t/,  van  B.  hier 
ook  = 1 zijn.  Uit  ’t  theorema  dat  B.  op  bl.  495  geeft,  volgt  nu 
hetgeen  te  bewijzen  was. 


Theorema  7. 

Zij  een  oneven  priemgetal  dat  in  m opgaat  en  /,  de  kleinste 


exponent,  waarvoor  //“=  l(  mod  —j—  J en  y ( -y-  1=  . Dati  is  /,  in  k 


m 


m 


r 


jh, 

j_  i.,  U-.I.  1 j,  , 


d\ 


verschillende 


gelijk  aan  de  — de  macht  van  het  product  van 

r 

priemidealen  van  den  graad  — . leder  zoo’n  priemideaal  is  gelijk  aan  de 


r/,-de  macht  van  ’t  product  van  — p verschillende  priemidealen  van  K. 

d^d  j 

Is  A»  ^ 3 dan  is  het  priemgetal  2 in  k gelijk  aan  de  qp^i^-de  macht, 


b Allgemeine  Arithmetik  der  Zahlkörper,  bl,  495 


806 


of,  als  bon  -f-  b^n  voor  al  de  waarden  van  n even  is,  gelijk  aan  de 
^r/’^-de  macht  van  ’t  product  van  resp.  — ^ verschillende 


priemidealen  van  den  graad 


Ieder  zoo’n  priemideaal  is  gelijk  aan  de  resp.  2'^'=  macht  van 

r 

2 (hl! 


r T 

een  product  van  — , resp.— — verschillende  priemidealen  van  K. 


en 


Hierbij  is  ƒ*  de  kleinste  exponent  waarvoor  2./*  = j^mo£/ 

Is  = 2 dan  geldt  hetzelfde  als  boven  gezegd  is  voor  ’t  geval 
dat  èo„  4 b^n  tdet  voor  alle  waarden  van  n even  is. 

Het  bewijs  ligt  weer  opgesloten  in  de  door  Bachmann  gegeven 
be.schouwingen. 

^ 6.  Bejialing  vun  het  grondgetal  van  ’t  deellichaam  k. 

llieorema  8.  Voor  het  grondgetal  van  ’t  deellichaam  k geldt  de 
volgende  uitdrukking 


± 2 


nu 


,h. 

U * 


iti  \liJu-hi-l)-di -i-  1 


als  t = 0 wanneer  bg,,  + niet  voor  alle  getallen  n even  is  of 
ook  als  /i*  =2  is ; en  t—\  als  bon^b^n  voor  alle  waarden  van  n 
even  is. 

Bewijs:  Zij  D het  grondgetal  van  K,  de  relatieve  discriminant, 
Sfc  het  relatieve  grondideaal,  dan  gelden  de  volgende  betrekkingen  ‘) : 

= 

;■  = 2,  3,  . . . . , r 

als  Aj  de  getallen  zijn  die  de  groep  g vormen.  (Het  zijn  dus  niet 
de  basisgetallen  van  g)  en  A■^  =1. 

Daar  D slechts  door  priemfactoren  deelbaar  is,  die  in  m opgaan, 

zal  volgens  bovenstaande  betrekkingen  het  element  ook  slechts 
deelbaar  zijn  door  een  of  meer  der  priemidealen  die  in  2 of  l,  op- 
gaan. Verder  blijkt  uit  de  gedaante  van  het  ideaal  dat  alle 

getallen  ervan,  slechts  deelbaar  zijn  door  het  hoofdideaal  {Z-—Z  J)  = 


‘)  ,H”.  Satz  38,  39,  bl.  205.  De  relatieve  discriminant  wordt  door  Hilbert 
voorgesteld  door  Dk  O.k  noemt  Hilbert  Relativdifferente. 


307 


het  ijoofdideaal  (1 — Z'^j  ').  Als  dit  laatste  getal  een  eenheid  is,  zal 
het  element  ^ ' dus  identiek  zijn  met  het  ideaal  © van  alle  geheele 
getallen  van  K.  Dus  alleen  als  Aj  een  getal  is  van  de  traagheids- 

groep  van  een  der  priemidealen  die  in  2 of  4 opgaan,  zal  niet 
met  @ identiek  zijn,  volgens  theorema  3.  Door  toepassing  van  ^ 2. 
2 en  ’t  geen  in  ’t  bewijs  daarvan,  gevonden  is  over  den  vorm  der 
substituties,  en  door  theorema  3 vindt  men  ; 

Sfe  = (i^oi ....  r ....  1', 

I 

Het  product  loopt  over  alle  oneven  priemgetallen  li  die  in  m 
opgaan.  Verder  is  volgens  theorema  7 

= en  iVi  = b/' 

als  \oj  een  der  in  2 opgaande  priemidealen  van  k voorstelt  en  1,^ 
een  der  in  /,•  opgaande  priemidealen  van  k. 

Maakt  men  nu  gebruik  van  de  in  ’t  begin  van ’t  bewijs  opgegeven 
betrekkingen  dan  vindt  men  de  verlangde  uitkomst,  als  men  D 
bepaalt  volgens  Satz  88  en  Satz  121  van  ,,H” . Daarbij  bedenkt 
men  dat  D qx\  d reëele  getallen  zijn. 


III.  Voornaamste  kiilptheorema’ s voor  de  bèrekeinng  van 
het  aantal  klassen  der  idealen  k. 


$ 7.  Theorema  9. 


als  in  'teerste  product  v alle  priemidealen  vari  k doorloopt,  die  in 

p opgaan;  in  ’t  tweede  product  heeft  het  symbool  ] — — ] de 

beteekenis  die  in  ^116  van  ,,H” , wordt  uiteengezet.  Als  = 2 is, 
moet  in  ’t  symbool  weggelaten  worden  en  als  h^=0  dan  moet 
ook  Aoh  weggelaten  worden. 

Bewijs:  We  zullen  van  het  rechterlid  der  vergelijking  aantonnen : 

f 

1®.  dat  het  daarin  voorkomend  symbool  een  — -de-machts-wortel  uit  de 

d 


eenheid  is  en  2°.  dat  iedere 


/ 


-de-rn  ach  ts- wortel 


uit  de  eenheid 


ed 


d r 

malen  in  het  product  voorkomt.  Hiei'mede  zal  dan  ’t  bewijs  van  de 
gelijkheid  gegeven  zijn,  want  ei‘  volgt  uit  dat  ’t  rechterlid  gelijk  is 
aan 


308 


ed 


eii  volgens  theorema  6 is  deze  uitdrukking  gelijk  aan  ’t  eei’Ste  lid 
van  de  te  bewijzen  gelijkheid. 

1°.  Zij  ƒ»  = ± 5^"’*  (mod  2^*) 

p = {modl^') 


waarbij  't\,  i\,  . . . , de  reeds  in  ’t  begin  gebruikte  primitieve  wortels 
voorstellen.  Verder  zij 


P- 


1 


de  grootste  gemeene  deeler  van en  2;  öj/’,,  = 2 *) 

2 

>>  '»  ))  j>  )>  p*  è J * — - 2 

..  ,,  „ ,,  Px  en  (p,  ; e,  f,=  (f\ 


Zooals  direct  uit  de  definitie  der  symbolen  volgt,  is  dan 

pi. 

— = een  /„-de-rnachts-wortel  uit  de  eenheid  en  geen  lagere, 


Zij  nu  = grootste  gemeene  deeler  van  ƒ,  en 

!>  ,,  n f*  61^ 

9x  ^ M „ ,,  M /i  en  d„ 


Dan  is  ’t  duidelijk  dat 


P 


''Oh 


/o 


2’ 

— 

een  — 

9» 

P~ 

2** 

9* 

P ~ 

'>ln 

A 

9x 

de-machts-wortel 


uit  de  eenheid  is 


> j yy  yj  > » 


yy  yy  > > 


Als  nu  kleinste  gemeene  veelvoud  van 


9o  9*  9" 


. dan  is 


h De  letters  e^),  fo.  e*,  f^,  ei,  enz.  hebben  bij  dit  bewijs  dus  een  andere  be- 
teekenis  dan  in  theorema  7. 


309 


_6onï  b\fi. 


= een  ?’-de-tnachts-wortel  uit  de  eenheid. 


ƒ 


We  hebben  nu  nog  aan  te  toojien  dat  — deelbaar  is  door  v.  Uit 

d 

de  definitie  der  getallen  volgt  dat 

p — 1 

= aoy, ; />!  = <hi„  . . . . , zie  hulptheorenia  3. 

2 

Uit  de  daar  gegeven  bepaling  van  volgt  dat  dit  getal  de  giootste 
gemeene  deeler  is  van  de  getallen 

è (p*  U’dPt  • • • • ^0/>  + 2 f/’j  ...  . a^p  b^n  + • • • • ‘‘V  + • • • • 

n = 1,  2,  . . . . — . 

r 

Omdat  de  G.G.D.  van  en  dip  = en  alle  teiunen  van  boven- 
genoemde getallen  door  deelbaar  zijn,  is  tp  door  deelbaar  en 
dus  tp  = (?,  X G G.D.  van  alle  getallen 

aip 

i V*/ ^ (Pt  ■ • • ■ ®0/»  f>0),  rp,  . . . . a^p  b^,t~\-(p^  ....  bin  ■ . . . 

En  omdat  alle  getallen  6i„  deelbaar  zijn  door  c/, , is  tp  = X G.G.D. 
van  alle  getallen 


2 ~ 'Pi  • • • • ~ V 2 

ffi  9i 


dip  biu 

V + 'p*  'Pi-  ■ ■ i 

^1  9i 


/ 'P 

Bovendien  is  — = — : 

d t., 


'P*  <P'-. 


^9i  A 
9i 


De  factor  kan  dus  uit  teller  en  noemer  van  de  eerste  breuk 
achter  het  = teeken  worden  weggedeeld.  In  den  noemer  blijft  dan 
alleen  de  laatstgenoemde  G.G.D.  over.  Als  deze  noemer  nu  nog  een 

factor  met  — gemeen  heeft  dan  moet  die  factor  deelbaar  zijn  op 
9^ 

— • • 

volgens  de  bepaling  der  G.G.D.  Want  — is  relatief 

. d \ b \ii 

priem  met  <f\  dus  ook  met  - en  niet  alle  getallen  — hebben  nog 

9i  9i 

een  factor  met  gemeen.  Maar  daaruit  volgt  datiederefactor,die  bedoelde 

noemer  nog  met  gemeen  heeft,  ook  in  den  teller  van  de  eerste 
9i 

breuk  achter  het  = teeken  voorkomt.  Men  kan  die  factor  er  dus 

uit  deelen,  waarna  de  noemer  relatief  priem  is  met  ‘4. 

9i 

Nu  is  — geheel  en  ook  — , waaruit  volgt  dat  ook  de  eerste  breuk 

d 


310 


acliter  het  = teeken  geheel  is,  m.  a.  w.  — is  deelbaar  door  — . Analoog 

d 9, 

bewijs  voor  — enz. 
ff* 

2“.  Onderstellen  we  dat  voor  twe.e  verschillende  stellen  waarden 


en 


^01.  ^*11  . 
bo2.  ^*2)  ^12)  .... 


P 

J>oi,  b^i,  bn, 


bo2,  b^i,  6i2, 


Na  invoering  van  de  waarden  der  symbolen,  blijkt  dat  voldaan 
is  aan  de  congruentie 

/ m\  _ 

i <p  (m)  (boi—bo2)  ao,,  + j (^*1  -^*2)  + . . . = 0 (rnod  rp). 


Daar  echter  de  stelsels  der  getallen  hji  een  groep  vormen,  zullen 
de  in  deze  congruentie  optredende  verschillen  ook  weer  een  stelsel 
vormen  dat  tot  de  groep  der  gegeven  stelsels  hji  behooi-t.  We  moe- 
ten dus  aantoonen  dat  aan  de  congruentie 


h 'P  ("d  aop  I j a^i,  -t  (p  «*/.+  • . . . = 0 {mod(p)  (7) 

ed 

voldaan  wordt  door  - der  gegeven  stelsels  van  getallen  hji.  Want 
r 

ed 

als  dit  bewezen  is,  is  ook  aangetoond  dat  telkens  — stelsels  van  ge- 


tallen bji  aan  het  symbool 


/ 




bom  b^n  • . . 


dezelfde  waardegeven,  m.a. w. 


een  — de-machts-wortel  nit  de  eenheid  komt  onder  de  symbolen  van 
d 


het  recliterlid  der  te  bewijzen  gelijkheid  - malen  voor  en  niet 

r 

meermalen. 

Alle  stelsels  der  b’s  die  aan  de  congruentie  (7)  voldoen,  voldoen 
ook  aan  alle  congruenties,  die  men  nit  (7)  afleidt  door  voor  aop, 
a^tj,  ....  in  de  plaats  te  stellen,  de  stelsels  a„,  a^.,  ....  die  de  onder- 
groep y opleveren;  juist  volgens  de  bepaling  dier  laatste  stelsels 
in  ^ 3. 

Dat  zijn  r stelsels.  De  getallen 

/ 

p,p\  ...  .p<i 


behooren,  volgens  liet  bewijs  van  liulptheorenia  3,  niet  tot  de  onder- 
groep g.  Bovendien  is  ’t  duidelijk  dat  alle  stelsels  der  è’s  die  aan 
(7)  voldoen,  ook  voldoen  aan  de  congruenties  die  men  uit  (7)  kan 

afleiden  door  voor  ao^, achtereenvolgens  in  de  plaats  te  stellen 

de  stelsels 

2<ï0/j,  ‘2iü\p,  .... 


/ 


j ^*1» 


Dat  zijn  — stelsels.  Door  de  groep  der  eerstgenoemde  r stelsels 

d 

te  vermenigvuldigen  met  de  gi'oep  der  laatste  ^ stelsels,  krijgt  men 

d 

nu  — stelsels  der  getallen  d,  die  evenveel  congruenties  (7)  geven, 

d 

waaraan  de  gezochte  stellen  6’s  moeten  voldoen.  Volgens  de  opmer- 
king aan  ’t  eind  van  ^ 3 is  nu  het  aantal  der  gezochte  stelsels  der 
rf  c(7  , ... 

o’s  gelijk  aan  </-:  — , hetgeen  te  bewijzen  was. 

d r 

In  ’t  product  van  ’t  rechterlid  der  te  bewijzen  gelijkheid,  komen 

(f)  f ed 

— factoren  voor.  Een  ^-de-machts-wortel  komt  — malen  voor,  zooals 
r d r 

juist  is  aangetoond.  Daar  nu  — . — ==—  is,  zal  ook  iedere  — -de- 

r d r d 

machts- wortel  in  ’t  product  voorkomen. 


Theorema  10. 

1 \ _ ^ 1 j r 1 1 

^ (0^/  >1  ( _^0hi  ^2h) _ 

Hierbij  is  een  oneven  priemgetal  dat  in  m opgaat.  In  ’t  eerste 

product  doorloopt  I alle  priemidealen  van  k,  die  in  opgaan, 

’t  Tweede  product  loopt  over  alle  stelsels  der  getallen  h waarin 

=0.  Als  — 1 dan  moet  in  ’t  symbool  6.„  worden  weggelaten; 

en  als  = 0 moet  ook  worden  weggelaten. 


Natuurkunde.  — De  Heer  Julius  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
den  Heer  H.  Groot:  ,,Over  de  EJfectieve  Zonnetemperatuur.” 
(2de  Mededeeling). 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Haga). 

In  een  vorig  artikel,  van  Maart  J919,  werd  aangetoond  dat  de 
bepaling  van  de  effectieve  zonnetemperatuur  door  toepassing  van  de 
stralingsformule  van  Planck  op  gegevens  van  Abbot  niet  leidt  tot 
eenzelfde  temperatuur,  onafhankelijk  van  de  beschouwde  lichtsoort, 
zooals  A.  Defant  meende,  maar  dat  daarentegen  de  aldus  bepaalde 
T op  stelselmatige  wijze  met  / verandert. 

In  dit  artikel  zal  worden  nagegaan  wat  de  beteekenis  der  toen 
gevonden  uitkomsten  zou  kunnen  zijn. 

Het  is  noodig  vooraf  zoo  scherp  mogelijk  te  omschrijven  wat  wij 
' met  den  term  „effectieve  temperatuur”  bedoelen,  aangezien  men  aan 
deze  uitdrukking  niet  algemeen  dezelfde  beteekenis  toekent. 

Dat  wij  niet  van  zonnetemperatuur  zonder  meer  kunnen  spreken, 
vindt  zijn  oorzaak  eenendeels  hierin,  dat  de  zon  niet  op  alle  diepten 
dezelfde  temperatuur  heeft,  (immers  de  thermodynamica  leert,  dat 
bij  een  uitgebreide  gasmassa  — als  hoedanig  wij  de  zon  moeten 
beschouwen  — de  temperatuur  van  laag  tot  laag  een  andere  is)  en 
anderendeels  daarin,  dat  wij  ook  niet  de  temperatuur  van  een  bepaalde 
laag  kunnen  aangeven,  noch  bekend  zijn  met  de  manier  waarop  de 
temperatuur  afhangt  van  den  afstand  tot  het  middelpunt  van  de  zon. 

Wèl  kunnen  wij  echter  aangeven  welke  temperatuur  wij  aan  de 
zon  zouden  moeten  toeschrijven,  opdat  zij  zich,  indien  zij  een  abso- 
luut zwart  lichaam  ware,  in  een  bepaald  opzicht  juist  zoo  zou 
gedragen  als  wij  in  werkelijkheid  waarnemen. 

Men  kan  bijv.  vragen  welke  temperatuur  een  „absoluut  zwarte 
zon”  zou  moeten  hebben,  opdat  de  plaats  van  maximum  intensiteit 
in  haar  spectrum  dezelfde  zou  zijn  als  in  het  ware  spectrum;  of 
opdat  de  zonneconstante  dezelfde  waarde  zou  hebben  als  de  experi- 
menteel bepaalde.  Op  de  1®'*^  vraag  kunnen  wij  een  antwoord  vinden 
met  behulp  van  de  verschuivingswet  van  Wien;  op  de  2^®  door  toe- 
passing van  de  formule  van  Stefan-Bolzmann. 

De  aldus  gevonden  temperatuur  noemt  men  ,, effectieve”  tempe-' 
ratuur. 


3J3 


Aangezien  de  zon  nu  eenmaal  geen  absoluut  zwart  lichaam  is, 
behoeft  het  niet  te  verwonderen  dat  de  effectieve  zonnetemperaturen, 
die  men  op  deze  verschillende  wijzen  vindt,  niet  onderling  gelijk 

zijn.  Daarom  is  het  noodzakelijk  bij  het  aangeven  van  de  effectieve 

temperatuur  van  de  zon  duidelijk  voorop  te  stellen  uit  welke  voor- 
waarde, opgelegd  aan  de  temperatuur  van  het  absoluut  zwarte 

lichaam,  dat  wij  voor  de  zon  in  de  plaats  gesteld  denken,  zij 

bepaald  is. 

In  het  volgende  is  nu  gekozen  de  voorwaarde  dat  de  energie- 
verdeeling  in  het  spectrum  van  het  zwart  lichaam,  berekend  volgens 
de  wet  van  Planck,  zoo  goed  mogelijk  zal  overeenkomen  met  die  in 
het  zonnespectrum,  zooais  dit  door  Abbot  uit  bologrammen  is  op- 
gemaakt. 

De  temperatuur  dus,  die  wij  aan  zulk  een  „zwaarte  zon’'  moeten 
toeschrijven,  opdat  deze  voorwaarde  vervuld  zij,  is  de  effectieve 
temperatuur  waarover  in  dit  artikel  sprake  zal  zijn  en  waarvan  wij 
gevonden  hebben  dat  zij  afhankelijk  van  de  gekozen  k blijkt  te  zijn. 

Het  verband  tusschen  7’  en  X is  hieronder  in  tabel  I nogmaals 
afgedriikt : 


TABEL  I. 

A, 

A2 

T 

0.4  m 

0.5 

(6400) 

0.5 

0.6 

9000 

0.6 

0.7 

10.000 

0.7 

0.8 

9600 

0.8 

1.0 

8000 

1.0 

1.2 

5500 

1.2 

1.5 

3800 

1.5 

1.8 

(5400) 

1.8 

2.0 

— 

De  manier  waarop  de  waarden  van  T berekend  zijn  is  in  ’t 
kort  deze ; 

Uit  de  formule  van  Planck  : 

^ ^ _ 7,211  . 10* 

2,1562X2890  ^ 

10  ^ — 1 ) 

volgt  voor  elke  waarde  van  7’  en  keuze  van  de  eenheden  factor/) 


314 


een  bepaalde  kromme  />  = (p  (i),  die  de  intensiteitsverdeeling  in  het 
spectrum  van  het  absoluut  zwarte  lichaam  voorstelt. 

Omgekeerd  zullen  f en  T te  vinden  zijn  als /;,  voor  twee  waarden 
van  X bekend  is. 

Het  waargenomen  energiespectrum  van  de  zon  komt  echter  niet 
met  het  energiespectrum  van  het  zwarte  lichaam  overeen,  zoodat 
indien  wij  nu  toch  de  formule  van  Planck  gaan  toepassen  tei'  be- 
rekening van  f en  T uit  de  experimenteel  bepaalde  7;,  de  waarde 
van  T zal  afhangen  van  de  plaats  waar  wij  />  kiezen. 

In  de  tabel  I geven  en  kolom  de  waarden  van  X nit 

wier  bijbehoorende  ƒ>  de  7'  der  3'’'^  kolom  is  berekend.  De  toe- 
passing van  de  formule  van  Planck  op  het  experimenteel  bepaalde 
energiespectrum  der  zonnestraling  heeft  m.i.  weinig  zin,  tenzij  men 
dit  werkelijk  als  nagenoeg  overeenkomend  met  het  spectrum  van 
een  absoluut  zwart  lichaam  zou  kunnen  be.schouwen  — het  kriterium 
waarvan  zou  bestaan  in  het  vinden  van  dezelfde  T uit  willekeurig 
gekozen  combinaties  van  />. 

Reeds  iji  mijn  vorig  artikel  schreef  ik  ; 

,,De  onderstelling,  dat  alle  lichtsoorten  tot  ons  komen  van  uit  één 
fotosfeeroppervlak  m.  a.  w.  dat  licht  vari  alle  golflengten  uit  één- 
zelfde diepte  van  de  zon  afkomstig  zou  zijn,  blijkt  . . . hoe  langei' 
hoe  meer  onhoudbaar. 

Indien  echter  in  werkelijkheid  licht  van  verschillende  golflengte 
afkomstig  is  uit  verschillende  diepten  vau  de  zon,  dan  wordt  het 
zéér  de  vraag  of  wij  nog  wel  de  formule  van  Planck  mogen  toe- 
passen zooals  wij  dit  Defant  zagen  doen”. 

Inplaats  van  te  denken  aan  één  fotosfeeroppervlak,  zooals  Defant, 
zouden  wij  nog  kunnen  probeeren  waartoe  de  onderstelling  leidt, 
dat  de  zon  opgebouwd  is  uit  een  aantal  concentrische  ,,partiaal- 
fotosfeeren”,  die  ieder  stralen  als  een  absoluut  zwart  lichaam,  zoodat 
de  totale  waargenomen  straling  opgebouwd  wordt  gedacht  uit  een 
aantal  partiaalstralingen  afkomstig  uit  verschillende  lagen.  In  mijn 
vorig  artikel  sprak  ik  de  verwachting  uit,  dat  bij  deze  onderstelling, 
gezien  het  feit  dat  uit  het  werk  van  Spukeuboeh  en  van  Cittert 
schijnt  te  volgen  dat  men  over  ’t  algemeen  voor  rood  licht  dieper 
in  de  zon  kan  zien  dan  voor  violet,  de  effectieve  temperatuur  met 
de  golflengte  zou  aangroeien. 

Deze  verwachting  is  onjuist  gebleken.  En  bij  nader  inzien  was 
zij  ook  ongegrond.  Immers  de  effectieve  temperatuur  eener  laag  kan 
slechts  afgeleid  worden  uit  de  energieverdeeling  in  haar  spectrum  — 
en  daaromtrent  leert  ons  het  genoemde  resultaat  van  Spijkerboer 
en  van  Cittert  niets.  Intusschen  is  het  de  moeite  waard  de  gevolgen 


315 


der  hypothese  van  de  ,,partiaalfotosfeeren”  na  te  gaan,  omdat  het 
hierdoor  wellicht  duidelijk  zal  worden,  hoe  de  volgens  Planck 
bepaalde  effectieve  temperaturen  niets  anders  dan  rekengrootheden 
zijn,  waaraan  men  nauwelijks  fysischen  zin  kan  hechten  en  die 
zeker  geeti  inzicht  geven  in  de  werkelijke  temperatuien  op  de  zon. 

Volgens  onze  veronderstelling  dan,  zou  iedere  fotosfeer,  indien 
wij  slechts  een  middel  bezaten  om  uitsluitend  licht  te  beschouwen, 
dat  ons  van  uit  deze  fotosfeerschaal  bereikt,  haar  eigen  energie- 
spectrum  bezitten,  dat  van  fotosfeer  op  fotosfeer  verschillend  zou 
zijn  en  wel  om  twee  redenen  : 

ten  omdat  de  werkelijke  temperatuur  in  dieper  gelegen  lagen 
anders  is  dan  in  de  buitenste; 

ten  2*^^®  omdat  de  straling,  die  uit  de  diepere  lagen  tot  ons  komt, 
een  grooter  verlies  door  absorptie  en  verstiooiing  heeft  ondergaan 
(en  wel,  wat  de  laatste  oorzaak  betreft,  in  veel  sterker  mate  voor 
de  kleinere  golflengten,  dan  voor  de  grootere)  tengevolge  waarvan, 
zelfs  als  de  werkelijke  temperatuur  der  verschillende  lagen  overal 
dezelfde  was,  het  waargenomen  energiespectrurn  van  laag  lot  laag 
toch  anders  zou  zijn. 

Wat  wij  evenwel  waarnemen,  is  niet  het  door  verstrooiing  enz. 
gewijzigde  spectrum  van  iedere  laag  afzonderlijk,  maar  de  combinatie 
van  al  die  spectra  te  samen. 

Uit  dit,  allesbehalve  ,, zwarte”  spectrum  op  de  besproken  manier 
een  effectieve  temperatuur  te  willen  afleiden,  schijnt  niij  absoluut 
ongeoorloofd  toe,  daar  juist  niet  voldaan  is  aan  den  fundamenteelen 
eisch,  dat  het  gebruikte  energiespectrurn  in  hoofdtrekken  gelijken 
zou  op  dat  van  een  absoluut  zwart  lichaam. 

Indien  wij  het  procedee  echter  toch  toepassen,  behoeft  het  geen 
verwondering  te  baren  dat  de  gevonden  7”s  in  hooge  mate  afhan- 
kelijk blijken  van  7.. 

Dit  laatste  moge  nog  aan  een  sterk  geschematiseerde  voorstelling 
verduidelijkt  worden. 

Denken  wij  ons  een  energiespectrurn,  ontstaan  door  de  super- 
positie van  slechts  twee  spectra,  afkomstig  van  twee  werkelijk 
,, zwarte”  lichamen,  die  ongeveer  evenveel  tot  de  totale  straling 
bijdragen  doch  wier  temperaturen  sterk  uiteenloopen.  Zulk  een 
geval  is  voorgesteld  in  figuur  1. 

Laaf  de  kromme  I beantwoordeii  aan  de  absolute  temperatuur 
3000°,  de  kromme  II  aan  1500'".  De  maxima  liggen  dan  respectie- 
velijk by  7 = 1^  en  7 = 2(j.  Sommatie  van  deze  geeft  de  kromme 
III,  doch  daaruit  is  door  halveering  der  ordinaten  afgeleid  IV  wier 
inhoud  w’ederom  gelijk  is  aan  den  inhoiid  van  elk  der  componee- 

21 

Verslagen  der  Afdeeling  Naluurk.  Dl.  XXVIII.  A**.  1919/20. 


316 


rende  krommen,  d.  w.  z.  wij  reduceeren  alle  gevallen  op  gelijke 
totaalstraling . 


Men  ziet  nu  gemakkelijk  in,  dat,  wanneer  men  de  temperatuur 
gaat  afleiden  uit  den  vorm  van  een  klein  deel  {ah  of  cd)  der  sum- 


317 


matiekromme,  dil  deel  daarbij  telkens  bescliouwende  als  te  behooren 
tot  een  energiekromme  van  een  zwart  lichaam,  men  vooi:  kleine 
waarden  van  A een  tempei'atniir  zou  vinden,  gelegen  tusschen  3000°  en 
'1500°,  maar  dichter  bij  3000°^  terwijl  daarentegen  voor  groote  waarden 
van  A een  tusschenliggende  temperatuur  meer  naar  den  kant  van 
1500°  zou  zijn  gevonden. 

(De  twee  gefingeerde  tusschenliggende  sti’alingskrommen  van  zwarte 
lichanten  zijn  gestippeld  geteekend,  zóó,  dat  elk  wederom  ongeveer 
denzelfden  inhoud  omsluit). 

Nog  sterker  uiteenloopend  zouden  de  temperaturen  zijn,  berekend 
voor  verschillende  waarden  van  A,  indien  I niet  de  oorspron lijke 
energiekrorame  van  een  zwart  lichaam  ware  geweest,  doch  wegens 
moleculaire  verstrooing  een  veel  sterker  verloop  aan  den  violelten 
kant  had  vertoond. 

Terwijl  voor  de  zon  alles  natuurlijk  veel  gecompliceerder  is  dan 
in  deze  voorbeelden,  blijft  de  gevolgtrekking  geldig,  dat  T afhanke- 
lijk van  X moet  worden  gevonden,  indien  onze  onderstelling  gewettigd 
mocht  zijn,  dat  elke  laag  straalt  als  een  zwart  lichaam.  Maar  hoewel 
deze  hypothese  dus  tot  op  zekere  hoogte  rekenschap  geeft  van  de 
veranderlijkheid  der  gevonden  waarden  van  T met  A,  en  in  zooverre 
te  verkiezen  is  boven  de  stellig  onhoudbare  onderstelling  van  Dkfant 
en  anderen,  dat  de  zonnestraling  zou  uitgaan  van  één  enkele  absoluut 
zwarte  fotosfeeroppervlakte  — bevredigend  kan  de  hypothese  der 
„partiaalfotosfeeren”  toch  ook  niet  worden  genoemd. 

Zoolang  men  niet  langs  andere  wegen  eenig  inzicht  verkregen 
heeft  in  het  emissievermogen  van  de  opeenvolgende  lagen  der  zonne- 
massa  en  van  do  mate,  waarin  deze  de  verschillende  lichtsoorten 
verstrooien  en  absorbeeren,  is  uit  de  energieverdeeling  in  het  zonne- 
spectrura  zoo  goed  als  niets  af  te  leiden  aangaande  temperaturen 
op  de  zon. 

Het  begrip  ,, effectieve  zonnetemperatuur”  heeft  weinig  waarde. 
Die  temperatuur  toch  valt  zeer  verschillend  uit,  al  naar  gelang  van 
de  wijze,  waarop  men  haar  definieert,  en  geene  der  definities  levert 
eenigen  waarborg,  dat  men  daarbij  een  benadering  vindt  van  tempe- 
raturen, die  werkelijk  op  de  zon  heerschen. 


21* 


Physiologie.  — De  Heer  Hamburger  biedt  een  mededeeling  aan, 
getiteld : ,,  Voortgezette  onderzoekingen  over  de  Permeabiliteit 
der  Glomendusmemhraan  voor  Stereoisomere  Suikers." 

Vroeger*)  werd  aangetoond,  dat  wanneer  de  vloeistof,  die  door 
bet  vaatstelsel  der  nieren  gevoerd  wordt,  een  doelmatige  samen- 
stelling bezit,  de  in  die  vloeistof  opgeloste  druivejisuiker  door  de 
glomerulusmembraan  wordt  tegengeliouden.  Daarbij  speelt  het  ge- 
halte der  vloeistof  aan  Ca-ionen  en  H-ionen  de  hoofdrol.  Deze 
retentie  van  glucose  is  zeer  merkwaardig,  daar  andere  krystalloiden 
zooals  keukenzout,  sulfaten  en  phosphaten,  door  de  glomerulus- 
membraan niet  worden  tegengehouden.  De  vraag  werd  nu  geopperd, 
wat  de  oorzaak  wel  zijn  kon  van  dit  doelmatige  gedrag  van  glu- 
cose: lag  het  aan  de  grootte  van  het  molecuul?  Deze  onderstelling 
moest  vervallen,  toen  het  bleek,  dat  lactose  (CuH^^Ou),  dat  een 
bijna  dubbel  zoo  groot  moleculair  gewicht  bezit,  er  volkomen  door- 
heen ging,  wat  eveneens  het  geval  was  zelfs  met  raffinose  (C^gHj^O,,). 
Er  bleef  toen  niets  anders  over  dan  aan  te  nemen,  dat  het  ver- 
schijrtsel  aan  een  bijzondere  configuratie  van  het  glucosemolecuul 
toe  te  schrijven  was"). 

Om  deze  gevolgtrekking  aan  het  experiment  te  toetsen,  werden 
nog  andere  met  glucose  isomere  hexosen  (CjHjjOj  onderzocht.  Het 
bleek  daarbij,  dat  in  tegenstelling  met  glucose,  de  fructose  en  man- 
nose  volkomen  werden  doorgelaten.  De  kikvorschnieren  zijn  dus  in 
staat,  glucose  te  onderscheiden  van  fructose  en  mannose. 

De  oorzaak  was  dus  inderdaad  gelegen  in  verschillen  in  de  che- 
mische structuur.  Het  lag  voor  de  hand  om  te  denken  aan  het 
bekende  beeld  van  sleutel  en  slot:  de  sleutel  glucose  zou  dan  niet 
passen  op  de  glomerulusmembraan,  terwijl  de  sleutels  fructose  en 
mannose  dit  wel  zouden  doen. 

Wij  stelden  ons  thans  de  vraag,  zou  een  atoom  groep  in  het  glucose- 
molecmd  zijn  aan  te  wijzen,  die  voor  de  retentie  verantwoordelijk  kan 
gesteld  worden.  De  poging  om  deze  vraag  te  beantwoorden  vormt 
den  inhoud  van  het  onderhavige  artikel. 

*)  Hamburger  en  Brinkman,  Verst.  Koninkl.  Akad.  v.  Wetensch.,  Zittingsverslag 
van  27  Januari  en  29  September  1917. 

2)  Hamburger  en  Brinkman,  Verst.  Koninkl.  Akad.  v.  Wetensch.,  Zittingsverslag 
van  28  September  1918. 


319 


Het  spreekt  vanzelf,  dat  het  daarvoor  noodig  was,  een  aantal 
isomere  en  stereoisoniere  suikersoorten  op  hun  gedrag  tegenover  de 
nieren  te  onderzoeken  en  wel. niet  alleen  hexosen,  maar  ook  penfosen. 
De  heeren  Jhr.  Alberda  van  Ekenstein,  Prof.  Backeh,  Prof.  Böeseken 
en  Prof.  Neuberg  waren  zoo  vriendelijk  mij  hierbij  zooveel  mogelijk 
tegemoet  te  komen.  Ik  breng  hun  hierbij  nogmaals  mijn  oprechten  dank. 
Nochtans  was  de  verscheidenheid  van  materiaal  zeer  beperkt. 

De  gevolgde  methodiek  week  van  de  vroegere  niet  af. *  *)  Zij  berustte 
op  de  vergelijking  van  het  reduceerend  vermogen  der  afgescjieiden 
kunstmatige  urine  met  dat  van  de  doorstroomingsvloeistof.  Deze 
doorstroomingsvloeistof,  waarin  de  suikers  opgelost  werden,  had  weder 
de  volgende  samenstelling;  NaCl  0,5  7o>  ï^Cl  0,02  "/o.  CaClj.ö  aq 
0,04 7o)  NaHCO,  0,285  7o'  De  suikerbepaling  geschiedde,  zooals 
vroeger,  volgens  Bang  (1916);  in  den  laatsten  tijd  werd  ecliler  de 
nieuwste  metliode  van  dezen  schrijver  gebruikt. ’)  Zij  berust  wederom 
op  de  bepaling  van  de  reductie.  Hierbij  wordt  de  fout,  die  teweeg- 
gebracht kan  worden  door  verschillen  in  de  intensiteit  van  het  koken, 
geëlimineerd  en  wel  doordien  in  de  kokende  vloeistof  heete  water- 
damp geleid  wordt,  waardoor  het  koperoxydule  door  middel  van 
joodzuur  oogenblikkelijk  in  koperoxjde  wordt  omgezet.  Verder  wordt 
ook  de  oxydatie  door  de  lucht  vermeden;  de  eindtitratie  geschiedt 
door  0,01  n thiosulfaat  en  amylumoplossing. 

Gebruikt  men  a cc  thiosulfaat,  dan  laat  zich  de  reductie,  in  glucose 
uitgedrukt,  berekenen  volgens  de  formule  (1,97— a) : 2,8.  Is  geen 
suiker  of  reduceerende  substantie  voorhanden,  dan  moet  dus  a = 1,97 
gevonden  worden,  wat  inderdaad  het  geval  is,  indien  de  gebruikte 
stoffen  zuiver  zijn.’)  Deze  nieuwe  methode  bleek,  evenals  de  oude, 
zeer  goede  resultaten  op  te  leveren.  De  uitkomsten  zijn  zelfs  scherp. 
In  het  algemeen  zijn  de  cijfers,  die  men  voor  de  reductie  veikrijgt, 
bij  de  nieuwe  methode  wat  hooger  dan  bij  de  oude,  doch  aangezien 
het  hier  geldt  vergelijkende  onderzoekingen,  is  dit  meestal  niet  van 
essen  tieele  beteekenis. 

Ten  einde  een  leiddraad  voor  onze  onderzoekingen  te  hebben, 


1)  Vergelijk  ook  Hamburger  en  Brinkman,  Biochemische  Zeitschrift  88,  97,  (1918). 

*)  Bang,  Biochemische  Zeitschrift,  92,  344,  (1918). 

®)  Wij  wenschen  daarop  in  het  bijzonder  de  aandacht  te  vestigen,  omdat  na 
lang  zoeken  gebleken  is,  dat  het  KOI  „pro  Analyse”  van  Kahlbaum  reduceerende 
stoffen  bevatte.  Hetzelfde  was  het  geval  met  het  door  de  British  Drug  Houses  in 
Londen  als  chemisch  zuiver  geleverde  KCl.  Na  herhaald  omkrystalliseeren  was  hét 
KGl  van  reduceerende  stoffen  bevrijd  en  kregen  wij,  evenals  Bang,  voor  a een 
waarde  van  1,97. 


320 


aoH 

werd  de  willekeurige  hypothese  opgesteld,  dat  de  groep  | 

- H-C-OH 

in  het  ghicoseiooleciml  de  retentie  veroorzaakt. 

Was  deze  hypothese  juist,  dan  moesten  naast  de  d-glucose  eveneens 
de  1-gulose,  l-talose,  1-mannose  en  d-galactose  tegengehouden  worden. 


(1)  d-glucose 

(2)  1-gulose 

(3)  l-talose 

(4)  1-mannose  (5)  d-galactose 

C-OH 

1 

C-OH 

1 

C-OH 

C-OH 

1 

C—OH 

1 

1 

H— C— OH 

1 

1 

H— C— OH 

j 

H— C— OH 

1 

1 

H— COH 

1 

H-C-OH 

1 

1 

OH-C-H 

1 

j 

H— C— OH 

1 

H-C-OH 

1 

H— COH 

1 

OH— C— H 

1 

1 

H-C-OH 

1 

OH— CH 

1 

j 

H— C— OH 

j 

1 

OH-C— H 

1 

OH— C— H 

1 

H-  c—on 

1 

H— C— OH 

1 

1 

OH— C— H 

1 

OH-C-H 

1 

H— C— OH 

1 

CH,OH 

CE.on 

1 

CH,OH 

1 

CH,OH 

j 

CH,OH 

Hiervan  stonden  echter  slechts  de  d-glucose,  de  1-mannose  en  de 
d-galactose  te  onzer  beschikking. 

Het  experiment  leerde  echter,  dat  de  1-mannose  volkomen  door- 
ging: in  4 proeven  bleek,  dat  bij  doorstrooming  met  een  0,09  “/o 
oplossing,  die  een  reductie  gaf,  overeenkomende  met  een  glucose- 
oplossing  van  0,06  de  kunstmatige  urine  eveneens  een  reductie 
van  0,06  bezat,  dus  geen  retentie.  Terloops  zij  echter  erop  gewezen, 
dat  na  vervaardiging  van  de  1-mannoseoplossing  de  draaiing -f- 10, So 
bedroeg,  16  uren  daarna  — 13,5°.  In  het  volgende  opstel  komen 
wij  hierop  terug. 

Wat  de  d-galactose  aangaat,  deze  werd  niet  geheel,  doch  voor 
een  gedeelte  tegengehouden.  Ook  daarop  zullen  wij  in  het  volgende 
artikel  terugkomen. 

Verder  vorderde  onze  hypothese,  dat  de  volgende  reeks  de  glome- 
rulusmembraan  zou  passeeren. 


(6)  1-glucose 

C-OH 

I 

OH-CH 

H-C-OH 

OH-C-H 

I 

OH-C-H 

I 

CHjOH 


(7)  d-gulose 
C-OH 
I 

OH-CH 

I 

OH— CH 

I 

H-C-OH 

OH— C— H 
1 

CHjOH 


(8)  d-talose 

C-OH 

I . 

OH-C-H 

1 

OH-C-H 

1 

OH-C-H 

I 

H-C-OH 


(O)  d-mannose 
C-OH 
I 

OH-C-H 

1 

OH— C-H 

I 

H-C-OH 

H-C-OH 

I 

CH^OH 


(10)  1-galactose. 
C-OH 
I 

OH-C-H 

I 

H-C-OH 

I 

H-C-OH 

1 

OH-CH 

I 

CHjOH 


CH2OH 


321 


Wij  beschikten  slechts  over  1-glucose  en  d-matineso. 

Inderdaad  bleek,  dat  de  I-glucose,  in  tegenstelling  met  de  d-glucose, 
geheel  doorgelaten  wordt.  Opgelost  in  de  gebruikelijke  Ringervloei- 

stof  vertoonde  de  0,1  “/o  l-gbicoseoplossiiig  een  reductie  van  0,075  “/o ; 

in  de  4 proeven  bezat  de  urine  dezelfde  reductie. 

Ook  van  de  d-mannose  werd,  overeenkomstig  de  hypothese,  geen 
spoor  tegengehouden  *). 

De  andere  hiergenoemde  suikers  stonden  ons  niet  ter  beschikking, 
wel  echter  nog  de  d-glukosamine : 

C-OH 

I 

H— C-NHj 
I 

OH-C-H 

I 

h_c~oh 

I 

H-C-OH 

I 

CH20H 

Zoowel  de  oplossing  van  0,1  7o  van  0,08  "/«  d-glukosamine  in 
Ringer  passeerde  de  glomerulusmernbraan  volkomen. 


Voorts  werden  eenige  pentosen  onderzocht.  De  hypothese  verlangde, 
dat  de  volgende  reeks  zou  tegengehouden  worden ; 


(1)  1-arabinose 
C-OH 
I 

h-c~oh 

I 

OH-C-H 

I 

OH-C-H 

1 

CH2OH 


(2)  1-xylose 
C-OH 
I 

H-C-OH 

I 

OH-C-H 

I 

H-C-OH 

i 

CH20H 


(3)  d-ribose 
C-OH 
I 

H-C-OH 

I 

H-C-OH 

I 

H-C-OH 

I 

CH20H 


Wat  de  1-arabinose  betreft,  werd  een  oplossing  van  0,07  7,  door- 
gevoerd; zij  bezat  een  reductie  van  0,0714  7o  glucose,  wat  ook  het 
geval  was  met  de  kunstmatige  urine;  er  was  dus,  in  tegenspi'aak 
met  de  hypothese,  niets  tegengehouden. 

De  1-xylose  daarentegen  vertoonde  wel  retentie,  maar  deze  bedroeg 
slechts  ongeveer  Vs  gedeelte,  terwijl  van  de  d-ribose  niet  meer  dan 
V4  deel  werd  tegengehouden. 


b Vergelijk  Hamburger  en  Brinkman,  Versl.  Koninkl.  Akad.  t.  Wetensch.,  Zittings- 
verslag  van  28  September  1918. 


322 


Op  die  partieele  retentie  van  1-xylose  en  d-ribose  komen  wij  in 
het  volgende  opstel  terug. 

Ten  slotte  volge  hier  een  reeks  van  pentosen,  waarvan  de  hypo- 
these een  volkomen  doorgaan  deed  verwachten. 

(4)  d-arabinose  (5)  d-xylose  (6)  d-lykose  (7)  1-ribose 


C_OH  C-OH 

C-OH  C-OH 

1 1 

OH— C-H  OH-C-H 

1 1 

OH-C-H  OH— C-H 

1 1 
H-C-OH  H-C-OH 

1 1 
OH-CH  OH-C-H 

1 1 

H-C-OH  OH-C-H 

1 1 
H-C-OH  OH-C-H 

1 1 

CH2OH  CH2OH 

1 1 
CH2OH  CH2OH 

Van  deze  4 pentosen  hebben  wij  slechts  de  eerste  twee  kunnen 
onderzoeken.  Geheel  in  overeenstemming  met  hetgeen  verwacht 
moest  worden,  was  bij  de  d-arabinose  van  retentie  geen  sprake.  Anders 
was  het  bij  d-xylose,  waarvan  wederom  een  gedeelte  werd  tegengehouden. 

Voegen  we  hieraan  nog  toe,  dat  van  de  d-l-arabinose  evenmin 
iets  tegengehouden  werd  als  van  de  d-  en  van  de  1-arabinose. 

De  tetrosen  konden  niet  onderzocht  worden;  men  had  anders 
moeten  verwachten,  dat 

d-erythrose  en  d-threose 


C-OH 

C-OH 

1 

H-C-OH 

1 

H-C-OH 

j 

H-C-OH 

1 

OH-C-H 

1 

CH2OH 

geretineerd  werden,  en 

1 

CH2OH 

1-erythrose  en  1-threose 


C-OH 

C-OH 

j 

OH-C-H 

1 

OH-C-H 

1 

OH-C-H 

1 

H-C-OH 

j 

CH2OH 

doorgelaten. 

1 

CH2OH 

Om  het  overzicht  te  vergemakkelijken,  laten  wij  thans  een  tabel 
volgen,  waarin  de  resultaten  der  onderzoekingen  zijn  samengevat. 
Hierbij  zij  echter  opgemerkt,  dat  over  d-galactose  en  1-xylose  een 
veel  grooter  aantal  proeven  verricht  zijn.  Deze  zullen  in  het  vol- 
gende artikel  een  plaats  vinden. 


323 


Permeabiliteit  der  nieren  voor  stereoisomere  suikers. 


Datum 

der 

proeven. 

De  doorstroomingsvloei- 
stof  bevat: 

Reductie  der 
doorstroo- 
mingsvloei- 
stof,  uitge- 
drukt in  pro- 
cent glucose. 

De  urine 
heeft  een 
reductie 
van: 

Retentie 

(II-III). 

Procent 

der 

retentie 

(berekend 

uit 

I en  IV). 

15  Nov.  1918 

0.09  o/o  l-mannose 

0.06  % 

0.06  % 

0 

0 

12  Juni  1919 

0.05  „ d-galactose 

0.0964  „ 

0.0535  „ 

0.0429 

44  o/g 

1 Juli  1919 

0.25  „ „ 

0.193  „ 

0.125  „ 

0.0680 

35  „ 

19  Nov.  1918 

0.1  „ d-glucosamine 

0.1125  „ 

0.1125  „ 

0 

0 

11  Aug.  1919  0.08  „ HCl-glucosamine 

0.0964  „ 

0.0964  „ 

0 

0 

12  Aug.  1919 

0.07  „ „ 

0.075  „ 

0.075  „ 

0 

0 

14  Nov.  1918 

0.1  „ l- glucose 

0.075  „ 

0.075  „ 

0 

0 

20  Aug.  1918  0.1  „ d-mannose 

0.0825  „ 

0.0825  „ 

0 

( 

1 0 

21  Aug.  1918 

0.1  „ 

— 

— 

— 

— 

13  Aug.  1919 

0.07  „ l-arabinose 

0.0714  „ 

0.0714  „ 

0 

0 

13  Nov.  1918 

0.1  „ l-xylose 

0.0725  „ 

0.05  „ 

0.0225 

31  % 

5 Nov.  1918 

0.05  » d-ribose 

0.06 

0.0468  „ 

0.0132 

22  „ 

26  Oct.  1918 

0.09  „ d-arabinose 

0.075  „ 

0.075  „ 

0 

0 

26  Oct.  1918 

0.09  , 

0.08  „ 

0.0745  „ 

0 

0 

14  Aug.  1919 

0.07  „ 

0.0535  „ 

0.0535  , 

0 

0 

23  Oct.  1918 

0.1  „ d-xylose 

0.125  „ 

0.1 

0.025 

20  o/„ 

30  Oct.  1918 

0.04  „ 

0.0525  „ 

0.026  „ 

0.026 

50  „ 

10  Juli  1919 

0.2  „ 

0.2 

0.1783  „ 

0.0217 

10.5* 

Vatten  wij  de  uitkomsten  van  de  hierboven  beschreven  proeven 
samen,  dan  moeten  wij  concludeeren,  dat  de  hypothese  als  zou  de 
C— OH 

groep  j in  het  d-glucosemolecuul  de  oorzaak  zijn  van  de 

H— C— OH 

retentie,  een  hypothese  die,  gelijk  wij  reeds  opmerkten,  van  geheel 
willekeurigen  aard  was,  niet  juist  kan  zijn.  Immers,  dan  zouden 


324 


1-mannose  en  1-arabinose  geheel  moeten  tegengehouden  worden,  ter- 
wijl zij  in  wei’kelijkheid  doorgaan.  Aan  den  anderen  kant  echter 
worden,  in  overeenstemming  met  de  hjpothese,  d-galactose,  l-xylose 
en  d-ribose  tegengehouden,  maar  dit  geschiedt  slechts  met  een  deel 
van  ieder  der  doorgevoerde  suikers.  En  wat  nu  de  suikers  aangaat, 
waarvan  de  hypothese  een  volkomen  doorgaan  verlangde,  zij  allen 
passeerden  inderdaad  de  glomerulusmembraan,  behalve  de  d-xylose, 
die  voor  een  gedeelte  werd  tegengehouden.  Op  dit  gedeeltelijk  tegen- 
houden zullen  wij,  gelijk  gezegd,  nog  in  het  volgende  artikel  terug- 
komen. Nemen  wij  voorloopig  aan,  dat  waar  een  geheele  retentie 
moest  plaats  hebben,  ook  de  partieele  de  hypothese  bevestigt;  dan 
blijven  in  ieder  gevat  nog  over  de  1-mannose  en  de  1-arabinose, 
waarvan,  in  strijd  met  de  hypothese,  niets  wordt  tegengehouden. 
Men  zal  dus  geneigd  zijn  om  een  grootere  atoomgroep  van  het 
glucose-molecuul  aansprakelijk  te  stellen  voor  de  retentie,  zoo  bijv. 
C— OH 

H—  C — OH  . Maar  ook  in  dat  geval  moest  1-arabinose  geheel  wor- 

OH— O— H 

den  tegengehouden. 

C-OH 
H— C— OH 

Wanneer  men  de  atoomgroep  nog  grooter  neemt,  nl.  OH — C — H 

H -C-  OH 

dan  zou  deze  voor  de  retentie  van  glucose  aansprakelijk  kunnen 
gesteld  worden,  maar  dan  blijft  men  toch  nog  moeilijkheden  met  de 
partieele  retentie  houden.  Voorloopig  is  het  dus  gewaagd  de  retentie 
te  verklaren  met  het  beeld  van  sleutel  en  slot,  tenzij  men  niet  een 
deel  \ an  het  molecuul  neemt,  maar  de  groepeering  van  het  geheel. 
Tot  een  nagenoeg  soortgelijk  besluit  kwam  de  Graaff  bij  zijn 
uitvoerige  onderzoekingen  over  het  gedrag  van  typhus  en  para-typhus- 
bacillen  tegenover  stereoisomere  suikers. 

Bij  dezen  stand  van  zaken  zal  men  geneigd  zijn  een  aanknoopings- 
punt  te  zoeken  met  specifieke  physische  eigenschappen  van  de  glucose, 
en  dan  denkt  men  aan  oppervlaktespanning,  viscositeit  en  adsorptie. 
Wat  nu  de  oppervlaktespanning  betreft,  werden  vergelijkende  proeven 
verricht  met  d-glucose  en  d-fructose  ’),  van  welke  laatste  suiker, 
zooals  men  zich  heiinneren  zal,  geen  spoor  door  de  nier  geretineerd 

1)  W.  G.  DE  Graaff:  De  biochemische  eigenschappen  der  paratyphusbacillen. 
Leiden,  S.  G.  van  Doesburgh,  1918. 

*)  Wij  nemen  juist  deze,  omdat  wij  over  een  voldoende  hoeveelheid  van  deze 
doorgaande  suiker  beschikken. 


325 


wordt.  Maar  het  bleek  door  stalagmometrische  experimenten  (J.  Traube) 
en  door  proeven  met  behulp  van  de  kapillaire  stijghoogte,  dat  geen 
verschil  in  oppervlaktespanning  tusschen  de  beide  suikers  bestond. 
Evenmin  bleek  de  viscositeit  van  de  beide  suikei's  een  verschil  te  vertoonen. 

Toen  wendden  wij  ons  tot 'de  adsorptie.  Zou  liet  glomerulusepithe- 
lium  wellicht  glucose  adsorbeeren,  fructose  daarentegen  niet  ? Eigenlijk 
zouden  wij  ons  met  proeven  in  deze  richting  niet  hebben  bezigge- 
houden, indien  O.  Cohnheim  niet  soortgelijke  proeven  had  verricht. 
Immers  stel  eens,  dat  het  glomerulus-epitheliurn  d-glncose  adsorbeerde, 
doch  laevulose  niet,  dan  zou  het  toch  uiterst  moeilijk  zijn  om  daar- 
mede het  verschillende  gedrag  der  levende  nieren  tegenover  de  beide 
suikers  te  verklaren.  Maar  in  ieder  geval  zou  dit  dan  toch  een 
aanwijzing  zijn  voor  de  richting,  waarin  men  een  verklaring  der 
feiten  zou  moeten  zoeken.  Daarbij  komt,  dat  Cohnheim  inderdaad 
verschillen  kon  waarnemen  in  het  adsorptievermogen  van  fijnge- 
maakte niersubstantie  van  warmbloedige  dieren  tegenover  glucose 
en  laevulose.  Echter  zijn  er  verschillende  gronden  om  de  juistheid 
van  deze  conclusie  van  Cohnheim  te  betwijfelen.  Ik  zal  daarover  op 
een  andere  plaats  mededeelingen  doen  en  aan  de  hand  van  proeven 
met  kikvorschnieren  aantoonen,  dat  de  door  dezen  onderzoeker  ge- 
volgde methode  om  met  fijn-gehakte  niersubstantie  proeven  te  ver- 
richten over  het  adsorptievermogen  van  de  nier  voor  suikers,  tot 
geheel  onbetrouwbare  uitkomsten  moet  leiden. 

Samenvatting  en  Besluit. 


Om  na  te  gaan  of  voor  de  retentie  van  glucose  door  de  nier  een 
bepaalde  atoomgroep  kan  aansprakelijk  gesteld  worden,  werden  een 
aantal  stereoisomere  hexosen  en  pentosen  op  hun  gedrag  tegenover 
de  nieren  onderzocht. 


C— OH 


De  hypothese,  dat  de  groep  H — C — OH  de  retentie  zou  bewerken, 
kan  niet  juist  zijn,  aangezien  de  1 rnannose  en  de  1-arabinose,  die 
deze  groep  bezitten,  de  nier  volkomen  passeeren  ; terwijl  de  d-galactose, 
de  1-xylose  en  de  d-ribose,  waarin  deze  groep  eveneens  voorhanden 
is,  weliswaar  voor  een  deel  worden  tegengehouden,  maar  toch  ook 
voor  een  ander  deel  worden  doorgelaten  (partieele  retentie  dus). 

In  overeenstemming  met  de  hypothese  werden  de  suikers,  wier 


C— OH 


eerste  atoomgroep  niet 


H— C— OH 


, doch 


C— OH 


OH-C-H 


was,  (I-glu- 


b Gohnheim:  Zeitschr.  f.  Physiol.  Chemie,  84,  p.  451. 


326 


cose,  d-niannose,  d-arabinose)  doorgelaten;  alleen  de  d-xylose,  die  dit 
ook  moest  vertoonen,  werd  voor  een  deel  tegengehouden. 

De  proeven  hebben  dus  twee  resultaten  opgeleverd  : 

1'.  Va?i  alle  onderzochte  suikers  {hexosen  en  pentosen)  wordt  alleen 
de  glucose  volkomen  tegengehouden. 

2°.  Deze  exceptioneele  eigenschap  kan  niet  aan  de  atoomgroep 
C-OH 


H — C — OH  toegeschreven  worden,  evenmin  aan  een  grootere  atoom- 
groep in  het  molecuul-,  zij  schijnt  aan  de  geheele  atoomgroepeering 
van  het  glucosemolecuul  gebonden. 

Toch  zal  in  het  volgende  opstel,  in  het  licht  van  de  partieele  re- 


tentie blijken,  welk  een  belangrijke  beteekenis  de  groep 


H— C— OH 


hier  bezit. 

De  boven  beschreven  onderzoekingen  werden  voor  een  deel  ver- 
richt door  den  Heer  C.  L.  Alons,  Med.  Cand,  assistent  aan  het 
laboratorium. 


Groningen,  September  1919. 


Physiologisch  Laboratorium. 


Physiologie.  — De  Heer  Hamburgkr  biedt  eeiie  mededeeling  aan, 
getiteld  : „De  partieele  Permeabiliteit  der  Glomerulusmembraan 
voor  d-galactose  en  eenige  andere  multiroteerende  Suikers”. 

Reeds  door  vroegere  ondeizoekingen  was  gebleken,  dat  c^-galactose 
slechts  gedeeltelijk  door  de  glomernlns-membraan  wordt  tegenge- 
houden *).  Bij  nader  inzien  schijnt  dit  echter  met  het  begrip  permea- 
biliteit weinig  in  overeenstemming  te  zijn,  want  een  filter  houdt  öf 
een  stof  terug,  óf  laat  deze  zonder  meer  passeeren ; een  middenweg 
laat  zich  nauwelijks  denken,  wanneer  men  namelijk  met  een  enkel- 
voudige stof  en  niet  met  een  mengsel  te  doen  heeft.  Wij  zijn  dan 
ook  geneigd  geweest  om  het  begrip  permeabiliteit  te  laten  vallen, 
maar,  zooals  uit  het  vorige  opstel  blijkt,  hebben  wij  tevergeefs 
getracht,  aansluiting  te  zoeken  met  oppervlaktespanning,  viscositeit  en 
adsorptie.  Daarom  keerden  wij  weder  naar  het  perrneabiliteitsbegrip 
terug. 

Bij  nadere  beschouwing  schenen  ons  twee  verklaringen  mogelijk. 

1*.  De  concentraties,  waarin  de  galactoseoplossing  tot  dusverre 
was  aangewend  (0,1  Vo  en  0,15  ®/o).  waien  te  hoog,  rn.a.w.  ze  lagen 
boven  de  tolerantie  der  nier  voor  d-galactose.  Wij  dachten  hierbij 
aan  onze  ervaringen  omtrent  de  glucose;  wij  vonden  toch  indertijd  *), 
dat  wanneer  het  glucosegehalte  van  de  doorstroomingsvloeistof  de 
physiologische  waarde  slechts  met  0,02  overschreden  heeft,  reeds 
een  weinig  van  de  glucose  wordt  doorgelaten  en  dat  deze  hoeveel- 
heid toeneemt,  naarmate  het  suikergehalte  der  doorstroomingsvloeistof 
hooger  wordt,  zoodat,  wanneer  het  glucosegehalte  der  doorstroomings- 
vloeistof 0,2  °/(,  is  geworden,  nagenoeg  niets  meer  wordt  tegenge- 
houden. Het  was  dus  niet  uitgesloten,  dat  ook  de  galactose-concentratie 
te  hoog  was  geweest  en  dat  het  daaraan  moest  worden  toegeschreven, 
dat  een  deel  geretineerd  werd,  een  ander  deel  niet.  Daarom  was 
het  gewenscht,  tolerantiebepalingen  der  nieren  voor  d-galactose  te 
verrichten.  Zou  het  dan  blijken,  dat  de  galactose  ook  in  zwakke 
concentraties  niet  evenals  glucose,  geheel  kon  tegengehouden  worden, 
dan  kon  het  verschijnsel  der  partieele  retentie  niet  door  het  tolerantie- 

1)  Hamburger  en  Brinkman,  Versl.  Koninkl.  Akad.  v.  Wetensch.,  Zittingsverslag 
van  28  Sept.  1918. 

®)  Hamburger  en  Brinkman,  Biochem.  Zeitschr.,  88,  97,  (1918). 


328 


begrip  verklaard  worden  en  dan  zon  per  exclnsionem  een  tweede 
verklaring  de  juiste  moeten  zijn. 

2*,  Deze  tweede  verklaring  kon  gezocht  worden  in  het  feit,  dat 
de  d-galactose  in  twee  modificaties  voorkomt,  een  a-  en  /3-vorm.  In 
waterige  oplossing  verkeeren  deze  beide  vormen  met  elkander  in 
evenwicht.  Aangenomen  moest  dan  worden,  dat  een  der  beide  modi- 
ficaties door  de  glomernlnsmembraan  geretineerd  wordt,  de  andere 
daarentegen  niet. 

1.  Tolerantie  der  nieren  voor  d-galactose. 

Om  de  tolerantie  te  bepalen,  werd  de  doorstrooraings-vloeistof 
bedeeld  met  verschillende  hoeveelheden  d-galactose,  liggende  tusschen 
0,05  •/„  en  0,25  "/o-  volgende  tabel  geeft  een  overzicht  van  de 
verkregen  resultaten.  Zij  zal  zonder  nadere  toelichting  duidelijk  zijn. 
Slechts  zij  opgemerkt,  dat  voor  de  bepaling  der  reductie  de  nieuwste 
methode  van  Bang  (1918)  werd  gebruikt  ').  Telkens  werden  de 
beide  nieren  van  2 kikvorschen  tegelijk  doorstroornd.  (Zie  tabel  I). 

Wat  leeren  deze  proeven? 

1*.  Dat  geen  van  de  gebruikte  galactoseoplossingen,  wier  concen- 
traties zich,  gelijk  gezegd,  bewegen  tusschen  0,05  */o  ©r'  0>25  "/o.  geheel 
door  de  nieren  worden  teruggehouden. 

2“.  Dat  in  alle  gevallen  de  retentie  gemiddeld  de  helft  bedraagt, 
onveischillig  of  doorstroornd  is  met  een  zwakkere  dan  wel  met  een 
sterkere  galactoseoplossing. 

Op  beide  punten  wijkt  de  galactose  van  de  glucose  af;  immers 
werd  bij  de  glucose  een  volkomen  retentie  gevonden,  wanneer 
de  oplossing  beneden  0,05  “/o — t),087o  (individueele  verschillen)  lag, 
bij  de  galactose  daarentegen  is  van  een  volkomen  retentie  geen 
sprake.  Eu  wat  het  tweede  punt  betreft,  blijft  bij  de  galactose,  niet- 
tegenstaande de  stijging  van  de  suikerconcentratie,  de  tolerantie 
onveranderd.  Eerst  wanneer  de  concentratie  0,25  "/e  bedraagt,  begint 
de  tolerantie  af  te  nemen.  Proeven  met  hoogere  concentraties  waren 
niet  uitvoerbaar,  daar  dan  de  afscheiding  van  kunstmatige  urine  te 
gering  wordt. 

Wij  beschikken  nog  over  eenige  oudere  proeven,  waarbij  de 
reductie  bepaald  werd  volgens  de  vroegere  methode  van  Bang  (1916), 
en  die  reeds  gedeeltelijk  gepubliceerd  werden.  Men  vindt  ze  te  zamen 
in  tabel  II.  Gelijk  men  zal  opmerken,  veiloonen  de  uitkomsten  niet 
dezelfde  gelijkmatigheid  als  die  van  Tab.  I,  maar  zij  liggen  toch  in 
dezelfde  richting. 


1)  Men  vergelijke  hiervoor  ons  vorige  opstel  in  deze  Verslagen,  p.  319. 


TABEL  L 

De  tolerantie  van  de  glomerulusmembraan  voor  rf-ga1actose. 


329 


C V 
ro 

> 5 5 -g 

OJ  aj  ^ ^ 

"O  -rl 
£.■2  0) 

^ p -o  oiO 
fl;  ir.  ^ ^ 

•5  «u  ge" 

(/)(/) 

11?  r 

cj  i2  h u 

sai's 

o-  5 


X 

O iTf 
Cvj  l'O 
Tt*  Oï 
O |0 


sO  fO 
ir\  m 


sO  fO 


IA  ro 
IA  IA 


Al  r" 

ii-\  IA 


fvl  fA 


ro 
f<)  ro 


o 

D:: 


o> 

O) 

lO 

lO 

Oï 

co 

co 

r- 

cvi 

CN 

h- 

OÜ 

kO 

Aa 

a> 

iO 

AJ 

A- 

AJ 

ro 

r- 

O 

co 

a; 

TT 

co 

iO 

kO 

a) 

CO 

r- 

co 

4» 

O 

O 

o 

O 

o 

CN 

o 

o 

o 

o 

o 

O 

o 

O 

c 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

o 

d 

o 

J 

co 

Ok 

co 

00 

lO 

r- 

r' 

CN 

GO 

kO 

kO 

CN 

Al 

o 

r* 

Al 

co 

co 

co 

CO 

co 

co 

CO 

co 

kO 

co 

co 

o 

O 

o 

O 

O 

o 

o 

o 

o 

o 

O 

o 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

o 

o 

o 

O) 

D:: 


c 

^ ‘IJ 

S • 

4^  ® !ü 
c 

OJ  0^  S 
4^  > -2 
-o 

4>  C o 

.£  ïo-' 


— <U 

4J  •- 
*o  ^ 


kO 

kA 

■w^ 

lA 

r- 

CO 

co 

co 

p' 

OÜ 

CN 

o 

p' 

Oi 

kO 

kA 

kA 

kO 

»A 

CN 

CO 

kA 

co 

kA 

00 

Al 

o 

o 

O 

o 

o 

o 

O 

o 

O 

o 

<3 

O 

o 

o 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

3 oJ 
o;  ^ 
Q -o 

4^ 


I 

sz 

^ u 
a>  S 
u 

o;  = 

•O  u 

^ <y 


kA 

h' 

co 

co 

o 

kO 

kA 

lA 

p- 

a> 

kA 

kA 

kO 

co 

ro 

CO 

CO 

kA 

kA 

o 

co 

Al 

CO 

O 

O 

o 

O 

o 

O 

o 

CO 

O 

o 

o 

O 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

d 

o 

d 

d 

d 

o 

I 

g 'f  S aJ 

^ ^ O 

I-  s -o  o 
JU  tuO?^  3 
^ c ^ öiO 
” E 3 o 

o o, -o' 


O 

O 

o 


m 

00 

l>- 

o 


o 

o 


iD 

O 


O c 

.3 

(/) 


O o 

? te  3 aJ 

2 ifi 


|1|« 
^ ÖiO  4»  CÖ 

<ü.E-Q 
Q E 


iO  lO 

o o ^ 


oo  oo  oo  oo 


lO  kO 

d d 


C4 

d d 


iC  kA 
CN  AJ 


t -C 

o 

> 


<CQ  <03  < ca  < ca  < ca  < ca  < ca 


u 

o> 

4k  • 

•O  n 

Oi 

4> 

E 

• wm 

C OJ 

c 

C 

C 

p o 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

5 a 

•-> 

Q 

Al 

CO 

O 

CO 

TABEL  II. 

Het  gedrag  der  nieren  tegenover  galactose. 


330 


G ^ 

^ ^ ’a 

o;  ^ 3 

^ «Q 

g.'2  <u  c 

^ C’O  o 

Aj  C 


O) 


<uO 
•c  . 

U CJ 

C 5 01 

o WO 

is 

p “ “ 

/P  M > 


.iÉ  > 

U 

o 5 c 
o X)  m 


O' 

ro 


T-  T-  O vO  9^ 


o vO 

ro  ro 


9' 

C>4 


u 

<D 

*3 

in 

m 

in 

iO 

»o 

kA 

kO 

in 

lO 

CM 

CM 

CM 

in 

p* 

CM 

co 

CM 

CM 

CO 

(>• 

CM 

CM 

CM 

CM 

<U 

O 

o 

o 

O 

O 

o 

o 

C-5 

O 

O 

o 

o 

c 

O 

o 

o 

O 

o 

o 

o 

o 

O 

O 

O 

o 

d 

u 

o; 

c 

in 

in 

CM 

kO 

kO 

o 

in 

m 

in 

CM 

CM 

co 

co 

O 

CM 

r- 

iO 

r* 

kA 

Um 

CN 

CM 

CM 

CM 

co 

CO 

CM 

CM 

CM 

CM 

a> 

o 

O 

O 

o 

O 

o 

o 

o 

O 

o 

o 

o 

O 

j;: 

o 

d 

O 

o 

O 

o 

d 

d 

O 

o 

d 

o 

o 

0) 

Di 

: u 

* ^ 

in 

lO 

ïO 

in 

kO 

CM 

CM 

o 

CM 

CM 

00 

kO 

) c 

CM 

CO 

CO 

CO 

kO 

00 

o 

lO 

kO 

j 

O 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

O 

o 

o 

< CU 

o 

o 

<D 

o 

o 

d 

d 

d 

d 

d 

O 

d 

o 

ic 

[ o; 

co 

lO 

in 

in 

CM 

in 

CM 

O) 

00 

CO 

co 

kA 

rr 

. c 

<N 

CO 

CO 

r- 

«o 

»f> 

kO 

> 

o 

O 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

O 

o 

o 

o 

* u 

CU 

o 

o 

o 

o 

d 

d 

d 

d 

d 

o 

d 

d 

o 

o 

i: 

t: 

M 

R 

• 

in 

kO 

kO 

in 

lO 

iO 

CM 

CM 

r- 

in 

in 

00 

Oi 

o 

o 

o 

o 

O 

o 

O 

o 

o 

d 

o 

d 

d 

d 

c 

01 

c tuo 

S o =ü 

^ p U) 

it:  £ S 

flj  > *^ 

•=•0  M 

0.)  C O 

•E  Si^ 

^ ^ M 
cj  co 

<D  3 > 

^ a> 


•o 


-C 

o 

<u 


CJ 


u * ^ 

0 o 3 5^ 
^ •c  l-  o 

01  SJ,  "S  3 
=-£^-5) 

:S  E ^ o 

E o 

•o  u ^ c 


o o 

g-So  C 43 
g’i-o 
§ ^ > .5 

"O  bi}  Qj  a 

oj  .E  ^ 
o E 


in 

o 


TG  ^ 

^ O 
> 


< CQ 


<CQU  <CQU  <CQ 


o 

•o 

5 

3 

CO 

Q 


oo 

5> 


CJ 

O 


b/i 

b/i 

b/) 

3 

3 

3 

< 

< 

< 

CO 

00 

a 

OI 

C/) 


M 

3 

< 


eo  — — 


331 


Ook  uit  deze  tabel  blijkt,  dat,  in  tegenstelling  met  hetgeen  steeds 
voor  glucose  werd  gevonden,  in  geen  der  proeven  de  galactose geheel 
wordt  tegengehouden  en  verder,  'dat  het  geretineerde  deel  ongeveer  de 
helft,  hier  de  kleinste  helft,  bedraagt. 

Daarmede  is  dus  de  op  pag.  328  genoemde  eerste  verklaring  ver- 
vallen en  zijn  we  wel  genoodzaakt  per  exclusionem  de  tweede 
verklaring  aan  te  nemen,  n.1.  die,  welke  berust  op  de  overweging, 
dat  in  waterige  oplossing  de  galactose  in  twee  modificaties  voorkomt. 

2.  De  galactoseoplossing  bevat  twee  vormen  van  galactose,  die 
zich  tegenover  de  nieren  verschillend  gedragen. 

Zooals  bekend  is,  vertonnen  een  groot  aantal  suikers  multirotatie 
(Dcbrunfaut),  d.w.z.  eenigen  tijd  na  de  bereiding  der  waterige 
oplossing  bezitten  zij  een  andere,  meestal  een  geringere  specifieke 
draaiing  dan  onmiddellijk  nadat  de  oplossing  is  vervaai'digd.  Men 
heeft  daarvoor  verschillende  verklaringen  gegeven,  waarop  wij  hier 
niet  behoeven  in  te  gaan.  Men  is  het  er  echter  over  eens  geworden, 
dat  onder  den  invloed  van  het  oplosmiddel  een  deel  van  de  suiker 
in  een  anderen  vorm  overgaat  van  een  geringer  draaiings vermogen. 
De  twee  vormen  zijn  met  elkander  in  evenwicht. 

Deze  gedachte  is  in  de  eerste  plaats  gegrondvest  op  de  onder- 
zoekingen van  Tanret  ^),  die  uit  een  oplossing  eerst  van  glucose, 
weldra  ook  van  d-galactose  en  andere  suikers,  drie  vormen  kon 
afscheiden  met  verschillend  draaiingsvermogen  en  verschillende  andere 
physische  eigenschappen  en  die  hij  met  a,  en  y betitelde:  de 
«-moditicatie  van  d-galactose  met  een  specifiek  draaiingsvermogen 
van  -{-  135°,  een  ^-modificatie  met  [«]d  — 81°,  en  een  y-modi- 

catie  van  [«jo  = + 53°. 

Nadere  onderzoekingen,  vooral  van  E.  Roux  ’)  en  verder  van 
Bourqüeeot  '),  hebben  echter  geleerd,  dat  de  /J-vorm  van  Tanret 
geen  zelfstandige  suiker  is,  maar  bestaat  uit  een  mengsel  van  a en  y, 
die  met  elkander  evenwicht  maken. 

Het  schijnt  mij  nuttig  hier  te  wijzen  op  een  verwarring  in  de 
literatuur,  die  mijzelf  veel  last  heeft  veroorzaakt  en,  naar  ik  vernam, 
ook  anderen.  In  verschillende  wetenscha[)|)elijke  verhandelingen  en 
leerboeken  wordt  erkend,  al  of  niet  stilzwijgend,  dat  er  slechts  2 

h Tanret,  Bulletin  de  la  Société  Ghimique,  [3],  13,  (1895),  p.  728  [3],  16, 
(1896),  195. 

•)  E.  Roux,  Ann.  Chim.  et  de  Phys.,  VII  Série,  30,  p.  422. 

*)  Bourquelot,  Journal  de  Pharm.  et  de  Chem.  [7],  14,  (1916)  225. 

22 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


332 


modificaties  bestaan,  en  men  noemt  deze  dan  de  «-  en  de  /?-modi- 
ficatie.  Men  zal  begrijpen,  dat  de  liierbedoelde  /?-modificalie  eigenlijk 
is  de  y-modificalie  van  Taniiet.  Maar  vooi'  zoover  ik  gezien  heb, 
voegt  niemand  dit  er  aan  toe.  Tot  welke  foutieve  opgaien  deze 
verwisseling  kan  leiden,  blijkt  o.a.  uit  de  bekende  tabellen  van 
Landolt-Bohnstein,  4e  Aufl.,  1912.  Daar  leest  men  bij  d-galactose: 
,,Anfangsdrehung  nach  7 Minuten  als  o-Modifikation 
Enddreliung  nach  7 Stunden  als  /1-Modifikation  -j-  80°. 27.  Nu  is 
indei'daad  de  einddraaiing,  die  een  gewone  d-galacloseoplossing  ver- 
toont, 80°. 27,  of  eenvoudig  81°,  maar  dit  is  niet  de  draaiing  van 
de  tweede  modificatie;  die  draaiing  is  -1-53°.  Een  draaiing  van  81° 
ontstaat,  wanneer  de  twee  modificaties  van  117°. 5 en  -1-53°  met 
elkander  evenwicht  maken.  En  dit  evenwicht  ontslaat  zoowel  wan- 
neer men  van  a als  van  y uitgaat.  In  beide  gevallen  ontstaat  een 
mengsel  met  een  rotatievermog’en  van  81°. 

Het  is  wellicht  nuttig  om  hetgeen  hier  voor  d-galactose  in  het  midden  gebracht 
werd.  ook  voor  de  zooveel  meer  gebruikte  d glucose  onder  het  oog  te  zien. 

Tanret  onderscheidt  .3  vormen  van  d-glucose,  een  a-vorm  met  [a]i)  = 106°, 
een  /?-vorm  met  [a]j)  = 53°,  en  een  y-vorm  met  [a]^  = 19°.  Zoowel  de  a als  de 
y-vorm  vertoonen  na  oplossing  in  water  ten  slotte  een  rotatie  van  53°.  Tanret’s 
/?  vorm  moet,  zooals  de  onderzoekingen  van  Roux  e.  a.  geleerd  hebben  en  thans 
wel  algemeen  aangenomen  wordt,  als  een  evenwicht  van  « en  y worden  aange- 
zien; /?  is  dus  geen  zelfstandige  modificatie,  doch  slechts  een  mengsel  Maar  nu 
leest  men  het  volgende:  er  bestaan  2 modificaties  van  glucose,  de  a- en  de /J-vorm, 
en  dan  voegt  men  er  niet  zelden  aan  toe:  de  a vorm  gaat  in  den  /?-voim  over. 
Hoe  kunnen  zij,  die  zeggen,  dat  hier  een  evcnwichtsreaclie  aanwezig  is,  dun  spreken 
van  een  evemvkht  tusschen  <x  en  /3?  Zeide  men,  de  a gaat  gedeeltelijk  in  den 
/?-vorm  over,  dan  zou  men  duidelijk  zijn. 

Bij  Holleman  vindt  men  in  zijn  bekend  leer  boek  over  Organische  Chemie,  5e  dr., 
1912,  p.  3ü0,  de  zaak  al  weder  anders  voorgesteld.  Deze  spreekt  ook  van  een 
a-vorm  van  106°,  een  /?-vorm  van  19°  en  een  y-vorm  van  53°.  Deze  y-vorm  is 
volgens  hem  een  mengsel  van  « en  /?.  Wat  bij  Tanret  y is,  noemt  Holleman  dus /?. 

Men  vraagt  zich  af,  wat  de  oorzaak  is,  dat  men  zich  aan  de  nomenclatuur  van 
Tanret  niet  gehouden  heeft.  Nadat  Emil  Kischer  geleerd  had  kunstmatige  glm  osiden 
te  bereiden,  *)  toonde  hij  aan,  dat  van  ieder  gliicosied  stereoisomere  modificaties 
beslaan : de  eene  werd  aangetast  door  biergist  (invertine)  en  de  andere  door 
emulsine.  Ter  onderscheiding  noemde  hij  de  eerste  het  a glucosied  en  het  tweede 
het  /?-glucosied,  en  de  daaraan  beantwoordende  glucose-vormen  ex.-  en  /?*d  glucose  *) 
Het  is  aan  die  nomenclatuur,  dat  de  latere  schrijvers  schijnen  te  hehben 
vastgetiouden.  Daartoe  bestond  in  zooverre  aanleiding,  dat  wanneer  er  slechts  twee 
vormen  beslaan,  het  minder  rationeel  schijnt,  de  tweede  y te  noemen.  Toevalliger- 
wijze komt  hetgeen  E.  Eischer  /?  noemt,  overeen  met  hetgeen  Tanret  tezelfder 
tijd  met  y betitelde. 


')  Emil  Eischer,  Ber.  d.  D Chem.  Ges.  26,  2400  (1893). 

!)  Dezelfde,  Ber.  27,  2985,  (1894);  28,  1145,  (1895). 

3)  Vergel.  ook  E.  Eischer,  Z.  f.  physiol.  Chemie  26,  60,  (1898). 


333 


Om  nu  de  parfieele  retentie  van  de  door  de  nieren  gevoerde 
galactoseoplossing  te  verklaren,  nemen  wij  aan,  dat  slechts  een  van 
de  heide  modijicaties  door  de  ylomeridusmembrnan  moordt  tegengehouden, 
de  andere  doorgelaten. 

Zooals  uit  tabel  I en  II  blijkt,  woi'dt  van  iiiel  te  groote  concen- 
traties ongeveer  de  helft  geretineerd. 

Nu  is  het,  bij  nadere  beschouwing  van  hetgeen  boven  werd  aan- 
gevoerd, mogelijk,  op  eenvoudige  wijze  de  relatieve  hoeveelheden  «- 
en  /?-galactose  te  berekenen. 

Noemt  men  in  de  d-galactoseoplossing,  waarin  evenwicht  bereikt 
is,  tusschen  (t  en  i?,  x de  hoeveelheid  van  den  u-vorm  (draaiing  -|-  135°), 
dan  is  (1 — x)  de  hoeveelheid  van  den  /1-vorm  (draaiing -j- 53°),  en 
dan  moet,  daar  de  draaiing  van  het  mengsel  -f-  81°  bedi-aagt,  de 
volgende  vergelijking  gelden : 

135x  + 53(l— x)  — 81. 

X = 0,34. 

1— X = 0,66. 

Dus  is  de  verhouding  tusschen  de  hoeveelheden  van  den  a-  en 
den  |?-vorm  34  : 66. 

Deze  getallen  nu  maken  geen  aanspraak  op  groote  nauwkeurigheid, 
want  in  de  eerste  plaats  vindt  men  bij  andere  schrijvers  voor  de 
specifieke  draaiing  der  ö-moditicalie  niet  135°,  maar  117°.  Is  dit 
getal  het  juiste,  dan  zou  men  voor  de  verhouding  tusschen  de  beide 
modificaties  krijgen  44  : 56.  Verder  heeft  men  te  bedenken,  dat  de 
concentratie  en  de  temperatuur  der  galactoseoplossing  niet  zonder 
invloed  op  het  evenwicht  zijn.  In  het  algemeen  kan  men  echter 
wel  zeggen,  dat  de  grootere  helft  de  /l-vorm  is  (y-vorm  volgens  Tanret). 

Een  dergelijke  verhouditig  laat  zich  ook  uit  de  onderzoekingen 
van  E.  Roux  over  de  omzettingssnelheden  van  den  «-  en  y-voi‘m 
afleiden. 

Het  is  nu  zeer  merkwaardig,  dat  ook  in  onze  doorstroomings- 
proeven  ongeveer  de  helft  der  galactose  woidt  teruggehonden.  Dit 
parallelisme  is  als  een  steun  voor  onze  hypothese  te  beschouwen. 
Of  het  de  «-  dan  wel  de  y-vorm  is,  die  geretineerd  wordt,  durven 
wij  op  het  oogenblik  niet  met  zekei-heid  zeggen.  Dat  zou  het  geval 
kunnen  zijn,  ten  eerste  indien  de  rotatiewaarden,  waarvan  wij  boven 
gebruik  maakten,  bij  de  afleiding  van  de  relatieve  hoeveelheden  van 
den  a-  en  y-vorm  bij  zoo  zwakke  concentraties  waren  gemeten  als  die 
phj'siologische  concentraties,  welke  wij  bij  de  doorstroomingspioeven 
hebben  aangewend  (0,057o  — 0,15“/j)-  In  de  tweede  plaats  laten  ook 
de  rotatiewaarden,  van  chemische  zijde  verricht  bij  concentraties  van 
6“/, — 18V*>  wenschen  over.  En  dan  verder  mag  men  niet 

22* 


334 


vergeten,  dat  de  nanwkeurigheidsgrens  van  de  reduotiebepalingen 
bij  onze  doorstrooinings|)roeven  nit  den  aard  der  zaak  beperkt  is. 
Orn  dit  in  te  zien  moet  men  bedenken,  dat  de  hoeveelheid  kunst- 
matige urine  bij  de  kikvorschproeven  slechts  0,1  co.  bedroeg.  Nemen 
wij  nu  een  willekeurig  voorbeeld,  om  te  zien,  welken  invloed  een 
geringe  fout  bij  de  titi'atie  heeft. 

In  tab.  1 werd  bij  doorsti'oorning  met  0,15  "/o  galactose  voor  het 
verkrijgen  van  de  eindreaetie  gebruikt : 

1 rechter  nier  J,83  cc.  thiosulfaat 

voor  urine  van  kikvorsch  A 

I linker  nier  1,81  ,,  „ 

rechter  nier  1,83  ,,  ,, 


voor  urine  van  kikvorsch  B 


linker  nier  1,80  ,, 


Uit  deze  getallen  laat  zich  een  galactose-retentie  berekenen  voor 
kikvorsch  A van  55  7o  en  49  7o.  ''Oor  kikvorsch  B van  55  7o  «« 
46  7»-  Een  fout  dus  van  0,0'2  cc.  thiosulfaat  heeft  een  fout  in  het 
retentievermogen  gegeven  van  55  — 49=6  7o- 

Om  de  nauwkeui igheid  hooger  op  te  voeren,  zou  men  met  groo- 
tere  dieren  moeten  werken,  die  dus  meer  urine  leveren,  met  nieren 
derhalve  van  warmbloedige  dieren.  Daartoe  heeft  men  echter  een 
kamer  noodig,  die  op  lichaamstemperatuur  moet  gebracht  worden, 
wat  onder  de  tegenwoordige  tijdsomstandigheden  nog  niet  mogelijk  is. 

Hoe  dit  ook  zij,  indien  de  verschillen  tusschen  het  geretineerde 
en  het  niet-geietineerde  veel  grooter  waren  geweest  — wij  vonden 
immers  ongeveer  de  helft  wel  en  de  helft  niet  geretineerd  — en 
daarmede  in  overeenstemming  het  verschil  tusschen  de  hoeveelheid 
der  a-  en  ^/-modificatie  der  galactose-oplossing  aanzienlijker,  dan 
zoude  nu  reeds  dadelijk  in  het  oog  zijn  gesprongen,  welke  vorm 
geretineerd  wordt  en  welke  vorm  niet.  Wij  komen  bij  de  xylose 
daarop  terug. 

Alvorens  tot  het  gedrag  van  xjlose  over  te  gaan,  willen  wij  nog 
een  tegenwerping  onder  het  oog  zien,  die  bij  oppervlakkige  beschou- 
wing tegen  onze  voorstelling  zou  kunnen  gemaakt  worden.  Men  zou 
kunnen  opmerken,  dat  wanneer  één  van  beide  modificaties  door  de 
nier  verwijderd  is,  uit  de  andere  in  de  circulatie  achtergebleven 
modificatie  zich  weer  de  eerste  zou  kunnen  vormen,  en  dat  op  die 
wijze  ten  slotte  alle  galactose  de  nier  zou  moeten  verlaten.  Men 
bedenke  echter  in  de  eerste  plaats,  dat  zich  in  onze  doorslroomings- 
proeven  uit  de  doorstroomingsvloeistof  slechts  een  geringe  hoeveel- 
heid urine  vormt  en  dus  slechts  weinig  van  de  eene  soort  galactose 
verwijderd  wordt.  Verder  bedenke  men,  dat  niet,  zooals  in  het  nor- 


335 


male  lichaam,  dezelfde  doorstroomingsvloeistof  blijft  circuleeren ; in 
onze  proeven  keert  de  uit  de  vena  renalis  vloeiende  oplossing  niet 
meer  in  de  arteria  renalis  terug. 

Maar  wat  zou  dan  wel  de  oorzaak  zijn,  dat  in  het  normale  orga- 
nisme de  urine  niet  altijd  galactose  bevat,  d.w.z.  die  moditicatie, 
waarvoor,  naar  onze  voorstelling,  de  nier  permeabel  is?  Is  het 
misschien  juist  deze  vorm,  die  voor  den  opbouw  van  de  cerebrosiden 
gebruikt  wordt?  Dit  zal  nog  door  verdere  onderzoekingen  moeten 
uitgemaakt  worden. 

Ten  slotte  schijnt  het,  alvorens  de  galactose  te  verlaten,  interes- 
sant, nog  met  een  enkel  woord  de  aandacht  er  op  te  vestigen,  hoe 
gering  het  verschil  in  structuur  van  den  «-  en  y-vorm  is,  waaraan 
het  al  of  niet  geretineerd  worden  gebonden  is.  Dank  zij  vooral  de 
onderzoekingen  van  Emil  Fischer  (l.c.),  Alberda  van  Ekenstein, 
Bökseken^),  waarmede  ook  die  van  Bourquelot’)  overeenstemmen, 
moet  men,  eenigszins  in  afwijking  van  de  gebruikelijke  opvatting  wet 
aannemen,  dat  de  structuurformules  van  de  beide  galactosevormen 
zich  op  de  volgende  wijze  laten  uitdrukken. 


; H-C-OH 
H-C—OH 
OH- 

C— H 

H-C-OH 

I 

CH2OH 

«-d-galactose. 


Uit  deze  formules  blijkt,  dat  hier  mutatis  mutandis  de  retentie 
uitsluitend  afhangt  van  de  onderlinge  plaais  van  de  OH  en  H aan 
het  eerste  asymmetrische  C-atoom. 


De  yartieele  retentie  van  l-xylose. 


De  gedachte  aan  de  in  de  vorige  paragraaf  gegeven  verklaring 
van  de  partieele  retentie  der  galactose-oplossing  was  bij  ons  opge- 

h Böeseken,  Verst.  Koninkl.  Akad.  v.  Wetensch.,  Zittingsversl.  van  29  Juni 
1912;  25  Maart  1916. 

*)  Bourquelot,  l.c. 


336 


komen,  toen  waargenomen  werd,  dat  ook  xylose-oplossingen  een 
partieele  retentie  ondergingen.  Want  in  overeenstemming  hiermede 
staat  het  feit,  dat  evenals  uit  galactose-oplossingen,  ook  uit  xylose- 
oplossingen  door  Tanuet  twee  modificaties  konden  afgescheiden 
worden.  Ook  van  xylosen  heeft  Emil  Fischer  twee  glucosiden,  of 
beter  gezegd,  twee  xylosiden  kunnen  afscheiden,  een  «-  en  een 
iï-vorm,  bijv. : 


CH2OH  CH2OH 

«-melhyl-l-xyloside  ^-methyl-l-xyloside, 

waarvan  de  eerste  alleen  door  invertine  wordt  omgezet  en  de  tweede 
alleen  door  emulsine  en  die  door  Fischer  met  « en  werden  aan- 
geduid. Deukt  men  zich  de  CH,  vervangen  door  H,  dan  ontstaat 
weer  n-  en  fi-xylose. 

Gelijksoortige  proeven  als  voor  galactose  werden  dan  ook  voor 
1-xylose  verricht.  AVij  laten  een  tabel  volgen,  die  bedoelde  experi- 
menten bevat.  (Zie  tabel  111). 

Uit  deze  tabel  blijkt,  dat  de  1-xylose  evenmin  als  de  d-galactose, 
volkomen  tegengehouden  wordt.  Steeds  gaat  het  grootste  gedeelte 
door  de  glornerulusmembraan  heen,  een  procentisch  grootere  hoeveel- 
heid echter,  dan  bij  de  galactose  het  geval  was.  Gemiddeld  woi’dt 
van  de  1-xylose,  aangewend  in  concentraties,  waarbij  de  afscheiding 
van  kunstmatige  urine  niet  lijdt,  tusschen  7»  V4  tegenge- 
houden. 

Nu  vindt  men  bij  von  Ltppmann  7 voor  de  rotaties  der  1-xylosen : 
Begiiidraaiing  -|~  "^8°.  einddraaiing  -j-  J9^.  De  «-vorm  draait  dus 
-|- 78°,  de  i^-vorm  is  evenwel  nog  niet  geisoleerd,  en  dus  is  niet  uit 
te  maken,  in  hoeverre  deze  mede  de  einddraaiing  -j- J 9°  beinvloedt. 
Ook  voor  xylose  is  dus  hieruit  niet  af  te  leiden,  Avelke  modificatie 
door  de  nieren  wordt  tegengehouden  en  welke  doorgelaten. 

Dat  de  glomei-ulusmembraan  het  vermogen  bezit  een  doorgaande 
en  niet  doorgaande  suiker  als  het  ware  gelijk  een  zeef  quantitatief 


7 Von  Lipuann,  Chemie  der  Zuckerarten. 


TABEL  III. 

Tolerantie  der  nieren  voor  /-xylose. 


337 


C 

> 

*0  •—  3 

• — 1.»  o ^ 

c c 

43T3  U 

"•  S ^ 2; 

5 -O  *1^ 

5?)  = 

•IC  c«  flJ  c ^ 

o *0  4> 

C3  ^ 

^ ^ « c 

o ^ > c 


O'  ro. 
fO  co 


ro  ro 


ïf\ 

T- 


ir\  00 


sO  00  ^ 

^ C^l  <N 


CO 

co  c>  lO  co 

CN  ^ CO  CO 

O O o o 


co  00 

rf  (^J 

O o 


ro  \o 

<M  — . 
O O 


O S ^00 

CVJ  o CO  CM 

O O o o 


C^' 


o o 


oo  oo  oo  oo 


u 

3 

*0 

a> 


c o 

(L  U 
biO 

tuO® 

OJ  S 
c co 

.5  > 


0) 

Q 


<i> 

c 


0) 
(U  .3 
•o  CS 


co 

m cn  co  lO 

co  co  to  r* 

o o o o 


O) 

ïfi  iO  — 
CM  ^ l> 


m 
o o 


GO 

o 


o o o o 


o o o o 


u 

o 


t-  co 

lO 

ro  CO 
O o 


m CM 

r- 
o o 


in  CM 
CM  CO 


O O o o o o 


"I — 1“ 

CM  CM 


lO 

^ <yi 

— o 


iiO  iO 

r-  r- 
o o 

o o 


§ li 

^ C 3 (ƒ) 
T’ Q 


o;  -E  .-=  M 

i = 

^£=.S 


, ^ 


O) 

kO 

o 


00 

o 


CM 

O 


O 


O O 

p cn  c . 
i:  X 

cfl  o ^ 
^ ^ o 

C > "^  — 

•3  CX  53 

c=  ^ • 

<SJ  *3 

O E 


m 

o 


CM 

O 


A CJ 

^ (/) 

bc;  o 
> 


<CQ  <CQ  <CQ  < ca  <CQ  <0Q 


u 

4^ 

Oï 

o> 

o» 

o» 

00 

00 

^ S 

O) 

s 

S 

o» 

5 

5 

E S 

3 O 

> 

”3  u 

*3 

*3 

*3 

3 

CJ 

o 

ca  Q_ 

_ Wi. 

o 

2: 

«•M 

r- 

00 

O 

o 

CM 

1)  In  deze  reeks  bedroeg  de  hoeveelheid  urine,  uit  elke  nier  afzonderlijk  afgescheiden,  minder  dan  0.1  cc.  Daarom  werden 
de  vloeistoffen  uit  de  linker  en  rechter  nier  niet  bij  elkaar  gevoegd.  In  net  algemeen  kon  men  bij  hoogeie  xyloseconcentraties 
steeds  een  langzamere  urmeafscheiding  waarnemen. 

2)  De  beide  laatste  met  * aangeduide  reeksen  zijn  met  behulp  van  de  vroegere  BANo’sche  methode  (1916)  uitgevoerd. 


338 


te  scheiden,  konden  wij  vroegei-  aantonnen  aan  mengsels  van  glucose 
en  frnctose,  en  van  glncose  en  lactose  ^). 

Merken  wij  nog  op,  dat  de  onderzoekers,  die  zich  bezighouden 
met  de  onderscheiding  van  suikers  door  middel  van  microben  ’),  er 
rekening  mede  hebben  te  honden,  dat  de  beide  modificaties,  waarin 
tal  van  die  suikers  voorkomen,  zich  niet  op  gelijke  wijze  tegenover 
die  organismen  behoeven  te  gedragen.  Overigens  zijn  bij  zulke  proeven 
de  verhoudingen  wel  eenigszins  anders  dan  bij  de  onze;  immers 
men  heeft  bij  de  vergislingsproeven  te  doen  met  evenwichtsverstoringen, 
verooi'zaakt  door  het  eventueel  verbruik  van  een  der  modificaties, 
een  verstoring,  die  evenwel  hersteld  wordt.  (Vergl.  blz.  334). 

Het  gedrag  der  nieren  tegenover  andere  suikers,  dan  galactose 

en  xylose. 

Uit  de  tot  dusverre  beschreven  onderzoekingen  is  gebleken,  dat 
men  3 gevallen  onderscheiden  kan: 

1'.  De  suiker  wordt,  wanneer  de  concentratie  de  phj'siologische 
grens  niet  meer  dan  een  weinig  overtreft '),  volkomen  geretineerd. 
Dit  geldt  uitsluitend  voor  de  glucose. 

V.  Er  heeft  een  partieele  retentie  plaats.  Dit  was  het  geval  bij 
oplossingen  van  d-galactose,  van  d-  en  1-xylose,  van  d-ribose  en  van 
maltose. 

3“.  Er  wordt  niets  tegengehouden.  Wij  vonden  dit  voor  1-glucose, 
1-  en  d-arabinose,  1-  en  d-mannose  en  lactose. 

Maar  alle  onder  1",  2“  en  3°  genoemde  suikers  vertoonen  multi- 
rotatie  en  komen  dns  in  2 modificaties  voor.  De  vraag  ligt  dns  voor 
de  hand:  waarom  gedragen  zich  niet  ook  de  sub  1“  en  3°  genoemde 
suikers  als  de  galactose,  m.a.w.  waarom  \ertoonen  zij  niet  alle  par- 
tieele retentie?  Ik  meen,  dat  de  verklaring  daarin  moet  gezocht 
worden,  dat  van  glncose  de  beide  modificaties  tegengehouden  worden, 
van  galactose  en  van  de  andere  sub  2“  genoemde  suikers  slechts 
één  rnodificalie,  en  van  arabinose  en  de  andere  onder  3"  genoemde 
geen  van  de  beide  vormen. 

Het  zal  onze  taak  zijn,  deze  zienswijze  aan  het  experiment  te 
toetsen.  Wij  houden  ons  daarmede  bezig;  wij  hebben  voorloopig 
reeds  bevredigende  resultaten  bereikt. 

1)  Hamburger  en  Brinkman,  Koninkl.  Akad  v.  W.,  Ziltingsverslag  v.  28  Sept.  1918. 

*)  Vergel  o.a.  A.  J.  Kluyver,  Biochemische  Suikerbepalingen.  Diss.  Delft  1914. 

W.  C.  de  Graaff,  De  biochemische  eigenschappen  van  paratyphusbacillen, 
Leiden,  S.  G.  van  Doesburgh,  1919. 

®)  Hamburger  en  Brinkman,  Die  Toleranz  der  Nieren  für  Glukose,  Bioch.  Zeitschr, 
94,  131,  1919, 


339 


Samenvatting  en  Besluit. 

De  boven  beschreven  onderzoekingen  honden  zich  bezig  rnet  de 
vraag,  wat  de  oorzaak  kan  zijn,  dat  uit  een  0.1  ° oplossing  van 
d-galactose  slechts  een  deel  van  de  suiker  wordt  tegengehouden,  het 
andere  deel  niet.  Twee  verklaringen  waren  mogelijk : De  eerste 
bestond  daarin,  dat  de  vroeger  door  ons  gebruikte  oplossing  van 
gaiactose,  namelijk  0,1  “/o.  wellicht  te  hoog  genomen  was.  Er  werd 
namelijk  gedacht  aan  onze  vroegere  onderzoekingen  over  glucose, 
waarbij  o.  a.  bleek,  dat  wanneer  door  het  bloedvaatstelsel  van  de 
nier  een  glucoseoplossing  geleid  wordt,  die  de  physiologische  waarde 
(±  0,07  7e)  slechts  ongeveer  0,03  7o  overtreft,  reeds  een  weinig 
suiker  wordt  doorgelaten  en  dat  deze  hoeveelheid  stijgt,  naarmate 
het  glucosegehalte  grooter  wordt,  en  wel  in  dien  zin,  dat  bij  gi'ootere 
glucose-concentraties  steeds  minder  glucose  wordt  tegengehouden.  De 
nier  kan  grootere  glucose-concentraties  niet  verdragen,  m.a.w.  de 
glomerulusmembraan  wordt  ziek.  Tegenover  de  gaiactose  echter 
gedroeg  zich  de  nier  geheel  anders.  Onverschillig  of  kleinere  dan  wel 
grootere  concentraties  werden  doorgevoerd,  steeds  werd  een  gedeelte 
doorgelaten,  en,  wat  merkwaardig  is,  steeds  ongeveer  de  helft  (zie 
tabel  I en  11).  De  eerste  verklaring  kon  dus  niet  de  juiste  zijn. 

Per  exclusionem  moest  dus  de  tweede  wel  aangenomen  worden, 
nl.  deze,  dat  van  de  beide  modificaties,  waarin  de  d-galactose  in 
waterige  oplossing  aanwezig  is,  de  «-  en  de  i3- modificatie,  de  eene 
geretineerd  wordt,  de  andere  doorgelaten.  Deze  voorstelling  is  in 
overeenstemming  met  het  vroeger  door  ons  waargenomen  feit,  dat 
de  giomeralusmernbraan  in  staat  is,  doorgaande  en  niet  doorgaande 
suikers  quantitatief  van  elkander  te  scheiden,  wat  aangetoond  werd 
bij  mengsels  van  glucose  en  fructose  en  van  glucose  en  lactose. 
Verder  vindt  de  voorstelling  nu  een  kraclitigen  steun  in  het  feit,  dat 
volgens  onze  berekening  in  een  oplossing  van  d-galactose  nagenoeg 
evenveel  van  de  a-  als  van  de  /?-modificatie  voorhanden  is ; dezelfde 
verhouding  dus  ongeveer,  waarin  zij  geretineerd  en  niet-geretineerd 
wordt.  Welke  vorm  wordt  tegengehouden,  de  «-  of  de  /S-vorm  is 
op  het  oogenblik  juist  met  het  oog  daarop  niet  met  zekerheid  te 
zeggen.  Evenmin  kan  inen  dit  doen  ten  aanzien  van  de  1-xylose,  die 
evenals  de  d-galactose,  een  partieele  retentie  vertoont.  Het  is  namelijk 
uit  onze  doorstroorningsproeven  gebleken,  dat  gemiddeld  74  lol  V« 
deel  der  i-xjlose  wordt  tegengehouden. 

Uit  hetzelfde  gezichtspunt  mag  men  nu  bezien  de  partieele  retentie, 
welke  werd  waargenomen  bij  d-xjlose,  bij  d-ribose  en  bij  maltose. 
Ook  deze  reduceerende  suikers  komen  in  overeenstemming  met  hun 


340 


inultirotatie  in  twee  modificaties  voor ; ook  deze  suikers  vertoonen 
partieele  retentie. 

Intusschen  is  gebleken,  dat  niet  alle  suikers,  die  in  oplossing  in 
twee  modificaties  voorhanden  zijn,  partieele  retentie  vertoonen. 
Vooreerst  niet  de  d-gincose,  die  in  phjsiologische  concentratie  aan- 
wezig, geheel  door  dc  glornerulnsmembraan  wordt  tegengehouden  en 
als  zoodanig  een  geheel  bijzondere  plaats  inneemt ; en  toch,  ook  de 
glucose  komt  in  2 modificaties  voor.  Het  laatste  geldt  ook  voor  de 
1-glncose,  de  d-mannose,  de  1-  en  d-arabinose.  Van  deze  suikers 
wordt  niets  tegengehouden. 

Resumeereude,  kan  men  de  multiroteerende  suikers  in  drie  groepen 
verdeelen  : 

1“.  de  groep,  en  daarvan  kennen  wij  slechts  één  vertegen  woordiger 
n.1.  de  d-glncose,  waarvan  de  beide  moditicaties  worden  tegengehouden; 

2°.  de  groep  (d-galactose,  d-  en  1-xjlose,  d-ribose),  waarvan  slechts 
één  modificatie  wordt  tegengehouden  ; 

3“.  de  groep  (l-glucose,  d-mannose,  d-  en  1-  arabinose),  waarvan 
geen  van  de  beide  modificaties  wordt  geretineerd. 

Bij  de  meer  uitvoerig  onderzochte  leden  van  de  2e  groep,  nl. 
d-galactose  en  1-xjlose,  wordt  het  al  of  niet  geretineerd  worden 
geheel  beheerscht  door  de  plaats,  die  de  aan  het  asymmetrische 
C-atoom  gebonden  H en  OH  ten  opzichte  van  elkander  innemen. 

Opmerking  verdient  nog,  in  de  eerste  plaats,  dat  de  hier  voor- 
gedragen voorstelling,  die  door  tal  van  proeven  behoort  te  worden 
gecontroleerd,  een  physiologischo  illustratie  geeft  van  het  bestaan 
van  de  langs  chemischen  weg  gevonden  modificaties.  In  de  tweede 
plaats  stellen  zij  in  het  licht,  dat  wanneer  men  het  gedrag  van 
slereoisomei-e  suikers  tegenover  lagere  organismen  wil  onderzoeken, 
zooals  dit  reeds  door  verschillende  onderzoekers  gedaan  is,  men  er 
vüortaan  rekening  mede  heeft  te  houden,  dat  de  suiker,  welke  men 
onderzoekt,  niet  is  een  enkelvoudige  verbinding,  maar  een  mengsel, 
waarvan  de  beide  componenten  zich  tegenover  een  organisme  niet 
op  dezelfde  wijze  behoeven  te  gedragen. 

Bij  dit  onderzoek  verleende  de  Heer  R.  Roelink  zijn  bekwame 
hulp. 

Groningen  September  1919. 


Pkysiologisch  Laboratorium. 


Wiskunde.  — De  Heer  Buouvvkr  biedt  een  mededeeling  aan  van 
den  Heer  J.  Wolff:  „Eenige  toepassingen  van  de  quasi- 
unifornie  convergentie  op  reeksen  van  reëele  en  van  holoniorfe 
functies" . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  J.  G.  Kluyvee). 

Wij  beschouwen  een  gebied  G van  het  complexe  vlak,  en  een 
rij  van  functies  die  alle  analytisch  in  G zijn.  Con- 

vergeert de  rij  gelijkmatig  in  ieder  afgesloten  gebied  binnen  G,  dan 
is  de  grensfnnctie  ƒ analy  tisch  in  G.  Deze  stelling  van  Wkikrstuass 
is  echter  in  den  laatsten  tijd  aanmerkelijk  nitgebreid.  Weet  men  dat 
de  rij  convergeert  in  een  punt  verzameling  met  een  inwendig  punt 
van  G tot  verdichtingspunt,  en  tevens  dat  zij  in  ieder  afgesloten 
gebied  binnen  G gelijkmatig  begrensd  is,  reeds  dan  kan  men  besluiten 
tot  de  gelijkniatige  convergentie  in  ieder  afgesloten  gebied  binnen  G, 
dus  tot  het  analytisch  zijn  van  de  grensfnnctie  ƒ* *).  Zelfs  kan  men 
hetzelfde  besluiten  als  G een  cirkel  is  en  men  slechts  onderstelt  de 

gelijkmatige  begrensdheid  van  de  fnnctierij  in  (r  en  haar  convergentie 

00 

in  de  punten  z^,  z„  . . met  77  (zk—  z^)  — 0,  waarin  z^  liet  rniddel- 

1 

punt  van  G is  en  ZkT^z^*)-,  eveneens  als  men  slechts  aanneemt  dat 
er  twee  vaste  getallen  a en  6 bestaan,  zoodat  nergens  binnen  6^  een 
van  die  beide  waarden  door  een  functie  van  de  rij  wordt  aangenomen, 
en  dat  de  rij  convergeert  in  een  puntverzaraeling  met  een  inwendig 
punt  van  G tot  verdichtingspunt’).  Al  deze  stellingen  voeien  tot  geen 
andere  functierijen,  dan  die  welke  reeds  door  Weierstkass’  stelling 
omvat  worden.  Men  zou  zich  dus  de  vraag  kunnen  stellen  of  een  rij 
van  functies,  die  alle  analytisch  zijn  in  een  gebied  G,  convergeeren 
kan  tot  een  in  G analytische  functie,  zonder  dat  deze  convergentie 
gelijkmatig  is  in  ieder  afgesloten  gebied  binnen  G.  Dat  er  zulke  rijen 
bestaan  bewijst  een  door  Montel  gegeven  voorbeeld,  dat  ten  doel 
had,  de  meening  van  Pompi<;ju  te  weerleggen,  als  zou  voor  het 

h G.  ViTALi.  Arrnali  di  Matematica,  Serie  3a-,  tomo  10  (1904),  bl.  65. 

Voor  een  eenvoudig  bewijs  zie  b.v.  Verh.  der  Kon.  Ak.  v.  W.,  deel  27  (1918), 
bl.  319. 

*)  W.  Blaschke.  Leipz.  Berichte,  Band  67  (1915),  bl.  194. 

*)  C.  Carathéodory  en  E.  Landau.  Sitz.  Ber.  Ak.  v.  W.  Berlin,  Band  32 
(1911),  bl.  587. 


342 


analytisch  zijn  van  de  grensfunctie  ƒ van  een  convergente  reeks  van 
analytische  functies  in  G noodig  zijn  dat  de  reeks  termsgewijze  mag 
worden  geintegreerd  langs  lederen  integratieweg  binnen  G^).  Inderdaad 
convergeert  de  reeks  van  Montel  in  het  geheele  vlak  tot  nul,  terwijl 
termsgewijze  integratie  latigs  de  reëele  as  van  0 lot  1 niet  het  bedrag 
nul,  maar  het  bedrag  1 oplevert.  Van  gelijkmatige  convergentie  in 
ieder  begrensd  gebied  kan  hier  dus  geen  sprake  zijn.  Merken  we  nog 
op  dat  Montel’s  reeks  voor  ^ = 0evenmin  terrasgewijze  gedifferenti- 
eerd mag  worden,  daar  men  -1-  oo  in  plaats  van  nul  tot  uitkomst 
zou  ki'ijgen.  Het  voorbeeld  van  Montel  wordt  door  geen  enkele  van 
bovengenoemde  stellingen  omvat.  De  vraag  doet  zich  voor  naar  een 
noodige  en  voldoende  voorwaarde  waaronder  een  in  G convergente 
rij  van  analytische  functies  een  analytische  grensfunctie  / heeft. 

Noodig  is  dat  de  convei'gentie  van  de  rij  quasi-uniform  is  in  ieder 
afgesloten  gebied  binnen  G,  wegens  de  continuïteit  van  en  ƒ.  Geeft 

men  omgekeerd  deze  quasi-uniforme  convergentie,  dan  volgt  hieruit 
wel  de  continuïteit  van  / binnen  G,  niet  echter  het  analytisch 

zijn  van  ƒ,  hetgeen  een  voorbeeld  van  Montej,  ’)  aantoont.  In  het 
volgende  zal  o.a.  een  noodige  en  voldoende  voorwaarde  worden  afgeleid. 

I. 

Wij  beschouwen  een  rij  van  functies  . . . alle  continu 

in  de  rij  convei-geert  in  0 .r  ^ a.  Zij  ƒ (a;)  de  grensfunctie. 

1.  De  functie  = f^pc) — f^y)  is  bepaald  op  den  rechthoek 

0 ^ .V  ^ a,  0 P y ^ a en  is  daar  continu.  De  functierij  ^P,(x,y), *  *PJx,y),... 
convergeert  in  ieder  punt  van  den  rechthoek  waar  niet  tegelijkertijd 
.r  ^ 0 en  y = 0 of  .i’  = 0 en  y^O  plaats  heeft.  De  grensfunctie  is 

fl*{x,y)  = f{x) — ƒ(?/),  in  ieder  punt,  waar  j>  0 en  y ^ 0,  en  nul 

in  X = 0,  y = 0,  omdat  daar  iedere  <P,;  = 0 is.  Zij  gegeven  dat  f{x) 
tot  een  eindige  grenswaarde  convergeert  voor  a* —>•  0.  Wij  beschouwen 
een  puntverzameling  PiG\,y^),  Ptiy\,y^), . . . metO<^.r^^a, 

IimXj^  = 0,  l/my^  = 0,  en  geven  twee  willekeurige  positieve  getallen 

k—m 

f en  iSF.  Zij  N„  een  willekeurig  natuurlijk  getal  j>  N, 

Men  heeft  </> y^(0,0)  = 0.  Wegens  de  continuïteit  van  kan  men 
een  getal  d,  bepalen  zoodanig  dat  in  ieder  punt  P^  waar  x^ 

en  t/jfc  dl  de  ongelijkheid  plaats  heeft. 

Daar  J-{x)  voor  .r-ȟ  tot  een  eindige  limiet  nadert,  heeft  men 

b P-  Montel.  Bul.  des  Sc.  math.,  série  2,  tome  30,  dl.  1 (vol.  41, 1906,  bl.  191). 

*)  P.  Montel,  1.  c.  bl.  190. 

, These  bl.  98. 


343 


een  getal  tf,,  zoodat  voor  rf,  en  d,  ook  de  ongelijkheid 

plaats  heeft. 

Is  d dj  en  tevens  d,,  dan  heeft  men 

Er  bestaat  nu  slechts  een  eindig  aantal  indices,  waarvoor  x,  > d, 
y^>d.  In  ieder  van  de  daarmee  overeenkomende  punten  kan 
men  een  index  > N vinden,  zoodat 

I ^ te'  yi)  ~ I < 

Op  de  beschouwde  puntverzameling  convergeert  derhalve  de  fnnetie- 
rij  fpn  qnasi-uniform. 

2.  Laat  omgekeerd  gegeven  zijn,  dat  op  iedere  puntverzameling 
A(^i.  yi).  yJ.  • • • ™et  0 < ^ a,  0 < ^ a,  Hm  x — 0, 

k—<io  * 

Um  y = 0 deze  functierij  quasi-uniform  convergeert. 

fc=oo 

Zij  M het  maximum  van  f{x)  in  0,  m het  minimum.  Men  kan 
een  puntverzameling  x^,x^,  . . . construeeren,  met  j;^^0en  Hm  x =0, 

zoodat  Hm  /(^,)  = M-,  evenzoo  een  puntverzameling  y^,  y„  . . . , met 

en  limy^  = 0,  zoodat  Hmf(yj^  = m.  Beschouwen  we  nu  de 

puntverzameling 

A(^h.yi).  -f".  ’ dan  is  Um  <P  {x  , y = M ~ m , (!) 

Jc='X> 

tenzij  m = -j- 00  of  iif  = — co.  Nu  kan  men  volgens  onderstelling 
in  ieder  der  punten  uit  een  vast  aantal  indices  1,2,..  . n{e)  een 
keuze  doen  om  te  zorgen  dat 

<1 (2) 

als  s een  willekeurig  gegeven  positief  getal  is.  Wegens  de  continuïteit 
van  alle  4>n^{x,y)  en  de  eindigheid  van  het  hier  beschouwde  aantal 
bestaat  er  nu  een  getal  d,  zoodat  voor  ieder  punt  met  x^^c^  d 
en  y^<^  d voldaan  is  aan 

dus  weg 

‘*'”«(00)=  o is  j . ...  (3) 

Uit  (2)  en  (3)  volgt:  y^")!  <^6  voorir^<^d,  y^ d,  en  hieruit 

wegens  Hm  Xj^  = 0 en  IHn  y = 0 

t=00  k=<X> 


344 


Ihn  0 (x,  y ) = O 

IC  ‘ k 


k=.a> 


(4) 


Uit  (1)  en  (4)  volgt  dat  M—m,  dus  lim  f{x)  bestaat  en  is  eindig, 

:r— ^0 

als  niet  jn  = -f"  of  M = — co  is. 

Had  men  m = -)-  dan  was  A oor  iedere  puntverzarneling  .... 

met  X ^ 0 en  lini  x = 0 de  ïim  /(.r  ) = -1-  oo. 

K » /v  i fC 

k~  00  4:=  00 

Bij  iedere  x^^  van  zulk  een  verzameling  kan  men  een 
vinden  zoodat  /{Hj)  ^ /(‘^V  “t~  ^ on  zoodat  =0.  Dan  is 

1{=<XI 


Urn  *I>  = — 00,  hetgeen  in  strijd  is  met  de  formule  (4).  Evenzoo 

k=.  ® 

blijkt  dat  onmogelijk  M = — oo  kan  zijn.  Samenvattende  hebben 
we  de  volgende  stelling  : 

Heeft  men  een  rij  van  functies  (a*),  die  continu  zijn  voor 
0<x^a  en  heeft  men  Urn  f (x)  = f{x)  voor  0<jx^a,  ddn  is  een 

??=Q0 


noodige  en  voldoende  voorwaarde  waaronder  f{x)  in  O tot  een  eindige 
limiet  nadert-,  de  quasi-uniforme  convergentie  van  de  functierij 
dy,  {x,  y)  = f^^  (a)  — f^^  (y)  op  iedere  puntverzaïnelmg  {x^,  yj,  (a,,  y,) , . . . 
met  O <f  X < a,  O <j  y,  a en  Hm  x = O,  Hm  y = 0. 

K * tC  j rC  j * rC 


II. 


3.  Laten  /i(a),  ƒ,  (a),  . . . continu  zijn  voor  O^a^a  en  in  O met 
eindige  afgeleiden  /(O)  voorzien.  Laat  de  rij  convergent  zijn  voor 

ƒ (^.)_/  (0) 

O < .r  < a.  De  functies  f*{.v)=— — voor  a '>  O en  = /'(O) 

— — ^ ^ ^ n ' 

voor  a = 0 zijn  uit  hoofde  van  de  gemaakte  onderstellingen  continu 
in  0<a<rt  en  de  functierij  /*(.r)  convergeert  voor  üc^a^a  tot 

de  grensfunctio  f*{x)  = '^^ — waarin  f{x)  = Hm  f{x). 

X n=  00  " 

Heeft  f{x)  in  O een  eindige  afgeleide,  dan  nadert  /*(a)  vcor  a-»0 
tot  een  eindige  limiet,  en  omgekeerd. 

Door  toepassing  van  de  in  I behandelde  stelling  vinden  we  der- 
halve, als  we  bedenken  dat 


f:  (•")  iy)  = 


yf„  — '¥Sy)  + (o) 


xy 


Heeft  men  een  rij  van  functies  ffx),  die  continu  zijn  voor  O "^x  "^a 

en  in  O met  eindige  afgeleiden  f'fO)  voorzien,  terwijl  voor  O ^ a ^ a 

Hm  f (.c)  = /(a),  dan  is  een  noodige  en  voldoende  voorwaarde  waar- 
« = 00 

onder  f{x)  in  O een  eindige  afgeleide  heeft-,  de  quasi-uniforme  con- 


345 


.v4 W — Cv)  + (■« — .v)/„(0)  ^ 

vergentie  van  ae  funciierij  ify  (x,y)  = 

xy 

iedere  puntverzameling  yj,  yj,  . . . met  O xjc  a,  O y^  ^ a, 
en  Hm  x = O,  Um  y = 0.. 

&=»  * k=:oo' 

4.  Merken  we  op,  dat  in  deze  stelling  omtrent  de  convergentie 
of  divei-gentie  van  de  rij  /^[(O)  niets  verondersteld  wordt.  Laat  deze 

rij  convergeeren.  Dan  convergeert  de  rij  van  continue  functies f*  (x) 
in  0 ^x  -^a,  tot  ƒ *(^0  voor  x j>  0,  tot  X = Hm y | (0)  voor  x = 0. 

fj=  00 

Is  ƒ '(0)  = /wj /yO),  dan  is 

n=  00 

Ivn  f*  (x)  =z  X ........  (5) 

x=0 

Beschouwen  we  een  puntverzameling  x^,x^,...,  met  Um  x =0 

lc=0  ^ 

en  geven  we  weer  twee  positieve  getallen  6,  N.  Er  is  een  index 
iVo  j>  N,  zoodat 

• w 

•^*0 

Daar  (0)  = continu  is  en  wegens  (5)  heeft 

men  een  zeker  getal  zoodat  voor  iedei’e  k'^  k,, 

Daar  men  in  ieder  van  het  eindige  aantal  punten  x^  waarvoor 
k^k^  een  index  Nk^-N  vinden  kan  zoodat 


blijkt  dat  de  funciierij  /*  (.r)  op  de  beschouwde  puntverzameling 
qnasi-iiniform  convergeert. 

Convergeert  deze  funciierij  qnasi-uniform  op  iedere  pnntverzame- 
ling  van  de  boven  beschouwde  soort,  dan  blijkt  door  een  redeneering 
als  in  ^ 2 gehouden,  dat 

/'(0)  = /m/;(0). 

n— 00 

We  hebben  dus  de  volgende  stelling; 

Heeft  men  een  rij  van  functies  ff*'),  die  continu  zijn  voor  0^x<a 
en  in  0 met  eindige  a fgeleiden  voorzien,  terwijl  f fe)  tot  j{x) 

convergeert  voor  0 ‘^x  ^a  en  de  rij  (0)  convergeert,  dan  is  voor 
„het  termsgewijs  diferentieeren  in  0”,  d.  lo.  z.  voor  Hm  f'f^)  — /’(0) 


noodig  en  voldoende,  dat  de  functierij 

f*  (x)  = dl 


346 


quasi-uniform  convergeert  op  iedere  puniverzarneUng  . . . met 

Hm  X.  — 0. 

7 « 


De  functie  f{x)  = 


- convergeert  overal  tot  nul,  dus/'(0)=0 


f*  (^)  = (0)  = 1 . (-^.2/) 

« 1 -|-  n X " 


1 


1 


1 + rdx‘‘  1 -4-  ny 


y)convei'geert  overal  tot  een  continue  functie,  dus  quasi-uniform 

in  ieder  eindig  gebied,  zoodat  aan  het  in  ^ 3 gegeven  kenmerk 
voldaan  is.  /'(O)  is  dan  ook  eindig.  Maar  als  we  e Yj  kiezen  en 
hebben  we  een  eindig  aantal  indices,  dan  is  voor  iedere  voldoend 
kleine  x voor  ieder  van  die  indices  ƒ*  {x)  Y>  Vi>  terwijl  voor  x ^ 0 
Hm  f*  (x)  = 0.  Aan  het  in  deze  § gegeven  kenmerk  is  derhalve  niet 

n=oo 

voldaan.  Men  heeft  dan  ook 


/m/J  (b)  = 1 7^/'  (0). 

n=  00 

De  behandelde  stellingen  zijn  onmiddellijk  uit  te  breiden  tot  het 
complexe  vlak  en  worden  op  analoge  wijze  bewezen. 


III. 


5.  Zij  gegeven  een  rij  van  functies  • • • > analjdisch 

in  den  cirkel  j2|  <Y  n,  en  convergent  in  dat  gebied.  We  zullen  de 
volgende  stelling  bewijzen: 

Een  noodige  en  voldoende  voorwaarde  ivaaronder  de  gremfunctie  f 
analytisch  is  in  |2|<jn  bestaat  in  de  quasi-uniforme  convergentie 
van  de  functierij 


iy—^)fn  (^’)  + {^-y)fn  (^)  + iy) 

{x—z)  (y—z) 


(1) 


op  iedere  gesloten  verzameling  V {x,  y,  z),  die  met  de  verzamelingen 
{x  = z,  y zfz  z)  en  {x  z:jzz,  y — z)  geen  punt  gemeen  heeft. 

Voor  if?  {x,  y,  z)  kan  men  schrijven  Y — vvaarin 

fn  {u)—fn  {U) 


v)  =' 


U V 


(2) 


Daar  de  analytisch  zijn  voor  \z\  <C  is  xpfx,y,z)  een  analy- 
tische functie  van  x,  y en  2 in  het  gebied  Y’|  a,  \y\<fa,  |2|<Yö!, 
mits  men  voor  u = v stelt  v)  = ’t  geen  boven  stilzwijgend 

ondersteld  is. 

6.  Laat  gegeven  zijn  dat  ƒ analytisch  is.  Zij  [x^,  y,,  zj  een  punt 
van  F,  en  x^  ^ z^,  dan  is  y^^  z^. 

Dan  is 


347 


hm  tfj  {x^,  y,.  z,)— ^ = M’(^oi.Vo.«o)- 

In  een  voldoend  kleine  omgeving  Si'  van  {x^  y,  z,i  heeft  men 
insgelijks 

, (?/— ^)/('^)  4-(-v-y)/(2)  + (^— .r)/(y) 

hm  {x,  y,  z)  — — =r  tp  (o;,  y,  z). 

«=«  " 


Uit  het  analytisch  zijn  van  ƒ volgt  dat  van  xf  («,  y,  2)  in  Si',  in  ’t 
bizonder  de  continuiteit  van  ip(.v,  y,  2). Geven  we  e en  N,  dan  is  er 
een  index  JSl N waarvoor 


Uit  de  continuiteit  van  en  tp  in  Si'  volgt  dat  er  in  52'  een 

omgeving  Si  ligt  waar  overal 

1 ^ I < e • • • . . . . (3) 

Heeft  men  ir„  = y,  = 2,,  dan  is  tp  y^,  25)  = 0 voor  iedere  n. 
Ook  is  tp^  continu  in  een  omgeving  Si'  van  {x„,  y^,  2,)  en  als  (a’,  y,  2) 
de  verzameling  V doorloopt,  is  Ihn  y,  2)  =:=  0,  zoodat  ook  hier 

a:=V 

y=''9 

Z=Zo 

in  een  omgeving  Si  van  y^,  2,)  de  ongelijkheid  (3)  plaats  heeft. 

Ieder  punt  van  V ligt  dus  in  een  omgeving  52,  zoodat  in  52  F\ oor 
één  en  denzelfden  index  JSf„  aan  (3)  voldaan  is.  Daar  V begrensd 
en  gesloten  is,  kan  men  F met  een  eindig  aantal  van  die  omge- 
vingen overdekken  *),  waaruit  volgt,  dat  ip^^  quasi-uniform  op  F 


convergeert. 

7.  Laat  omgekeerd  de  quasi-uniforme  convergentie  van  op 

iedere  F gegeven  zijn.  Zij  2„  een  willekeurig  punt,  waarvoor  |2o|  a. 

Voor  F kiezen  we  nu  een  willekeurige  pnntveizameling  y„,  2,), 

Vi»  '^•)>  y i>  •^o)>  • • • aiet  ^ 2j,  y z^,  lim  x^^  — x^, 

k=<n 

Km  y^  = y.. 

Jt=O0 

Gegeven  is  dat  men  in  ieder  punt  van  F een  keuze  kan 
doen,  zoodat 

I ^0)  - lp ^.) l< ^ • • • • (4) 

Wegens  de  continuiteit  van  tp^  en  de  eindigheid  van  het  aantal 
indices  bestaat  er  een  positief  getal  ö,  zoodat 'voor  |a';t  — ^ 

en  |y^  — y,|  <^ö  men  heeft 


E.  Borel.  Legons  sur  les  Fonclions  monogènes,  bl.  11. 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A'’.  1919/20. 


23 


348 


Daar  (a;„  y„,  2j  = O,  volgt  uit  (4)  en  (5): 

I ^ ï/jfc.  «.)!<«  voor  I |<  (f  en  i 3/^— y,  1 < tf, 


(5) 


d.w.z. 


/(^J— /(^.)  f{y^—f{^,) 


x-z. 


Vk  — ^^ 


<€. 


Hieruit  volgt,  dat 


/(■^J  — /(2o) 


tot  een  eindige  limiet  nadert  als 


X zifz  een  willekeurige  puniverzaraeling  doorloopt  met  tot  eenig 


verdichtingspunt,  en  hieruit  weer  dat  er  een  eindige /zm 


/W— AO 


X — >zo  «r  — 

bestaat,  zoodat  f {z)  in  z^  een  eindige  afgeleide  heeft.  Daar  dit  voor 
iedere  \ z \ <^a  geldt,  volgt  uit  een  stelling  van  Goürsat,  dat  f{z) 
anal^ytisch  is  in  | ^ | <^  a. 

üpgemerkt  kan  worden,  dat  we  hier  slechts  een  gedeelte  van  de 
onderstelling  gebruikt  hebben. 

8.  Als  de  rij  van  functies  ƒ,  (2),  /,  (2),  . . .,  die  alle  analytisch 
zijn  voor  | ^ | n,  convergeert  in  een  punt  2„  binnen  dat  gebied, 

f {x) — A(y) 

terwijl  de  functie  f*  {x,y)='— — quasi-uniform  convergeert 

" ' X — y 

op  elke  afgesloten  puntverzameling  binnen  \ x \ <ja,\y  \ <fa,  dan 
convergeert  f^^  (2)  voor  iedere  j 2 | <^  a,  de  grensfunctie  f is  analytisch 

en  men  heeft  overal 

f (2)  z=  limfj  (2). 

fï  = 00 

Dat  ƒ (2)  overal  convergeert  volgt  uit  de  convergentie  van 

fn  ~~  fn  T7 

-•  Voor  x = y=z  valt  f*{x,y)  samen  met  f'{z).  Dus 


Z — z. 


ffz)  convergeert  eveneens.  Is  C een  binnen  | 2 | gelegen  cirkel 

met  2j  als  middelpunt,  dan  convergeert  fn{.z„,z)  quasi-uniform  in 
C.  Deze  functie  is  continu  in  C en  valt  voor  z = z„  met  f'^fz) 

samen.  Wegens  de  quasi-uniforme  convei-gentie  is  de  grensfunctie 
ook  continu  in  C.  Deze  grensfunctie  is"^- — - voor  zzfz,,. 


*=^0  ^ '®o  >1=00  ” 


Derhalve  is 


349 


waaruit  volgt,  dat  f'(z^)  bestaat  en  ƒ ' (2„)  = /i'm  ƒ ' (2,).  Daar 

7ï=  00 

willekeurig  binnen  \z\  a gekozen  mag  worden,  is  hiermee  de 
stelling  bewezen. 

9.  Als  de  rij  van  functies  fjz),  ƒ,  {z),  ....  die  alle  analytisch  zijn 
voor  1^1  a,  daar  overal  convergeert  tot  een  analytische  functie  f{z), 
terwijl  men  voor  iedere  z heeft: 

f'  (^)  = /». 


dan  convergeert  de  functie  ƒ*  (.r,  y)  = 


/„(^)— /„(.V) 
X — y 


guasi-uniforni  op 


elke  afgesloten  puntverzameling  binnen  |j;[  a,  \y\  <f  a. 

f i-r) — ƒ(?/) 

Wegens  de  convergentie  van  ƒ convergeert  ƒ * (j;,  y)  tot 

X y 

voor  x^y  on  tot  f\z)  voor  x = y — z,  omdat  daar  f*  {x,y)=ffz). 
De  overal  continue  functie  ƒ*  {x,  y)  convergeert  derhalve  tot  een 
functie,  die  wegens  het  analjlisch  zijn  van  ƒ eveneens  overal  continu 
is.  Daaruit  volgt  de  quasi-uniforme  convergentie  van  ƒ*  {x,  y)  op 

elke  afgesloten  verzameling  binnen  j.r|  a,  |j!/|  <C  *• 

10.  Men  kan  de  stellingen  van  ^ 8 en  9 als  volgt  kort  samenvatten  ; 
Voor  het  termsgewijs  differentieeren  van  een  convergente  reeks  van 
analytische  functies  is  noodig  en  voldoende  de  guasi-uniforme  con- 
vergentie der  reeks  2 f*  (x,  y). 

11.  Als  men  binnen  \z\  <ifa  een  convergente  reeks  van  analytische 

functies  ffz)  heeft,  zoodanig  dat  de  grensfunctie  f{z)  in  0 ee7i 
eindige  afgeleide  heeft,  terwijl  de  reeks  ff  (0,  z)  -f-  ff  (0,  2)  -f-  . . 
guasi-uniform  convergeert  op  0 | ^ | ^ 6 a,  dan  kan  men  de 

termen  der  reeks  2 [z)  zoodanig  in  groepen  vereenigen,  dat  de 

nieuwe  reeks  termsgewijs  gedifferentieerd  mag  icorden  in  0. 

Noemt  men  2f  (z)  = S„(z)  en  2 f*  {0,  z)  = S*  (0,  .2)  dan  is 

S*  (0,  z)  continu  in  0 ^ ^ | ^ en  S*  (0,0)  = Sj  (0). 


Verder  is  voor  ] ^ | > 0 

lim  S*  (0,  z)  = 


/(^)-/(0) 


=f*iO,z). 


Deze  functie  nadert  volgens  onderstelling  tot  een  eindige  limiet 
/'(O)  voor  z 0. 

Wij  geven  een  willekeurig  getal  ^ 0 en  construeeren  een  punt- 
verzameling Zi,  2,,  . . . met  lim  z = 0.  Uit  een  beperkt  aantal  indices 

kan  men  in  ieder  van  die  punten  er  een  kiezen  zoodat 


350 


is.  Er  zijn  derhalve  oneindig  veel  punten  waar  men  één  en 
denzelfden  index  gebruiken  kan,  dezen  noemen  we  n^.  Nadert 
tot  nul,  dan  nadert  aS,*  (0,  2^)  tot  (0)  en  ƒ *(0, 2^)  tot  /'(O). 
Hieruit  volgt  dat  | *S'„^(0) — ^^/‘'(0)|  ^ fi-  Zij  fj,  e,  . . . een  afneraende 
rij  van  positieve  getallen  met  nul  tot  limiet.  Boven  ?2,  kan  men 
weer  uit  een  beperkt  aantal  indices  voor  iedere  2^  een  keuze  doen 
waarbij  |*S',*^(0,  2^ — ƒ * (0,  2^)|  e,,  waaruit  even  als  boven  het 

bestaan  van  een  index  ^ n,  volgt,  zoodat  | aS'„.j(0) — /"'(O)]^?,. 

Zoo  voortgaande  zien  we  dat  er  een  partieele  functieiij  is : *S'„,(0), 
aS'  (0),  . . . , zoodat  lini  S'  (0)  — /'(O),  waarmee  de  stelling  bewezen  is  *). 

pz=zco  ”p 

12.  De  stelling  der  vorige  ^ laat  zich  als  volgt  omkeeren: 

Als  men  binnen  |2|<jrt  een  convergente  rij  van  annhjtische  functies 
heeft  (2),  zoodanig  dat  de  grensfunctie  f (2)  continu  is  voor  2 7^  0 
en  in  0 ee7i  eindige  a fgeleide  ƒ ' (0)  hee  ft,  en  als  men  een  partieele  rij 
f (^)>  • • • vinden  kan  waarvoor  //m  ƒ' (0)  = /'(Oj,  dan  convei'- 

”■  p='X> 

geert  de  functieidj  fj  [0,  z)  quasi-imifoimi  op  0 |2|  ^ 6,  tvaarin  b 

een  willekeurig  getal  <f  a,  is. 

Wij  geven  twee  positieve  getallen  f en  N.  Men  kan  een  getal 
Up  'f>  iV  bepalen,  zoodat 


I /'(0)-/'(0)|<e. 

P 


getal  6 bepalen,  zoodat 

I ƒ*  (0,  2)  —fn^  (0.  I < f voor  1 « I < (f. 

Daar  ƒ * (0, 2)  op  den  ring  tot  de  continue  functie 

/*(0,  2)  convergeert,  is  die  convergentie  daar  quasi-uniform,  d.  w.  z. 
men  kan  uit  een  beperkt  aantal  boven  N gelegen  indices  in  ieder 
punt  2 van  den  ring  een  keuze  n^  doen,  waarbij 
|/*(0,  e)— /,*  (0,  2)|<6  is. 

In  ieder  punt  van  0 |2|  ^ 6 kan  men  dus  uit  een  beperkt  aantal 
boven  jV  gelegen  indices  zulk  een  keuze  doen,  waarmee  de  stelling 
bewezen  is. 

13.  Eenige  van  de  boven  afgeleide  resultaten  zullen  we  toepassen 
op  het  blz.  342  geciteerde  voorbeeld  van  Montel,  dat  we  hier  even 
reproduceeren : 

De  funtie  c/  (2)  = nadert  voor  n =co  tot  nul  voor  iedere 


1)  Verg.  Verk.  der  Kon.  Ak.  v.  W.,  deel  27  (1919),  bl.  1102. 


351 


rëeele  z.  Beschouw  de  3 rechthoekeu  /„  ( — n<  x<n, 


n. 


1n 


2n 


n<x<  n, 


n 


^ ^ n ) en  77/,,  [ — n ^x^  n, — ^ y ^ 


Er  bestaat  een  polynoiniuin  P„  (2:),  dat  in  /„  minder  dan — afwijkt 

4n 

1 

van  (pn{z),  in  /ƒ„  en  //7„  minder  dan  — van  nul.  De  functie  P (z) 

n ” 

nadert  voor  71  = cc  blijkbaar  tot  nul  in  het  heele  vlak.  Volgens  de 
stelling  van  ^5  moet  de  functie  xpn(-v,7/,z)  quasi-uniform  convei-geeren 
op  iedere  puntverzameling  V:  7/^,  0),  P,  («5,  .Vj,0),  . . . met 

ƒ/&  7^  0,  Uinx^  = 0 en  lim  7/^  = 0.  Dat  dit  het  geval  is  blijkt 

k—  00  k=  co 

als  volgt:  Kies  een  willekeurig  getallenpaar  t,  iV.  Zij  ^ ^ en 
1 

tevens  • Van  af  een  zekeren  index  liggen  en  y beide 
in  zoodat 


^1  ^6 


Er  is  dus  een  getal  d , zoodat  voor  | | ^ ^ en  | | ^ ^ 

Dit  gebeurt  dus  van  af  zekeren  index 

Verder  is  er  een  getal  ^ N te  vinden,  zoodat  TV,  ^ 


4.M 


waarin  M = het  maximum  van  | | en  | | » 'ni  het  minim.um 

1 1 

voor  k =z  1 , 2,  . . . ^,  — 1,  en  zoodat  tevens  — <^  | | <^  TV,  en 

y.V  1 1\  I 

<C  I ?4  |<C  -^1  '^oor  k = 1,  2,...  7', — 1,  zoodat  depunten  P,,  P„  . . .P*-j_i 

binnen  77jV,  +7/7iv,  liggen,  en 

4:M 


’l’jv,  h' 


<r  f 

N.m^ 


Daar  nu  in  ieder  punt  van  het  vlak  P/n  if’n  = 0,  voldoet  in  ieder 
punt  van  V één  der  beide  indices  xV,  en  TV,  aan  |ip„ — Urn  | e, 

n=  co 

waarmee  de  quasi-uniforme  convergentie  is  aangetoond.  Verder  heeft 
de  grensfunctie  in  0 nul  tot  afgeleide,  terwijl  Iwi  F (0)  = + Q®  ')■ 


i)  Immers  voor  iedere  n is 


(Pfi  P)  (fn  (0! 


t' 


^ 4n’  + 2 ^ 2n*-t-l 
^ 2jr  3~ 


Daar  qp'  (0)  = n*,  heeft  men  |P'  (0)  | ^ 


n*  — 1 


3 


352 


Volgens  $ 8 kan  de  functie  P*  (x,  y)  niet  quasi-uniform  convergent 
zijn  op  iedere  V.  Voor  V kiezen  we;  x = {),  0<y^a.  Daar 
de  continue  functie  P*{x,y)  voor  y^O  convergeert  tot  nul  en  voor 
y = 0 tot  -f-  00,  is  de  convergentie  niet  quasi-uniform. 

J4.  Als  in  een  gebied  G een  reeks  van  analytische  functies  cojiver- 
geert  tot  een  analytische  functie,  terwijl  de  reeks  der  afgeleiden  op 
iedere  gesloten  puntverzameling  van  G quasi-uniform  convergeert, 
dan  mag  de  reeks  overal  in  G termsgewijs  gedifferentieerd  voorden. 

Vooreerst  merken  we  op,  dat  ieder  gebied  van  ö' een  ander  gebied 
bevat,  waar  de  convergentie  gelijkmatig  is'),  zoodat  in  bet  laatste 
gebied  de  termsgewijze  differentiatie  mag  worden  toegepast. 

Daar  f’fz)  tot  een  in  G continue  functie  convergeert  die  op  een 
overal  dichte  puntververzameling  met  f\z)  samenvalt,  heet  men  overal 
f\z)  = limf'ffz). 


')  P.  Montel.  These,  bl.  83. 


353 


Natuurkundo.  — De  Heer  Cardinaal  biedt  eene  mededeeling  aan 
van  de  Heeren  J.  A.  Schouten  en  D.  J.  Struik  : „Over  n-voudig 
orthogonale  sielseh  van  n — 1 dimensionale  uitgebreidheden  in 
een  algemeene  uitgebreidheid  van  n-af metingen” . 

(Deze  mededeeltng  zal  in  een 'volgend  Zittingsverslag  worden 

opgenomen). 


De  Heer  J.  Böeseken  biedt  voor  de  boekerij  der  Akademie  ten 
geschenke  aan : 

1.  Namens  den  Heer  G.  E.  Hoefeelman  een  exemplaar  van  diens 
dissertatie:  „De  acetj-leering  van  nitrophenolen  onder  den  invloed 
van  eenige  katalysatoren”- 

2.  Namens  den  Heer  Chr.  van  Loon  een  exemplaar  van  diens 
dissertatie:  „Stereochernie  der  cyclopentaan  en  der  hydrindeen 

1,2—  diolen”. 

De  vergadering  wordt  gesloten. 


18  December  1919. 


KONINKLIJKE  AKADEMIE  VAN  WETENSCHAPPEN 

TE  AMSTERDAM. 


VERSLAG  VAN  DE  GEWONE  VERGADERING 
DER  WIS-  EN  NATUURKUNDIGE  AFDEELING 

VAN  ZATERDAG  25  OCTOBER  1919. 

Deel  XXVIII. 

N°.  4. 


Voorzitter:  de  Heer  H.  A.  Lorentz. 
Secretaris:  de  Heer  P.  Zeeman. 


INHOUD. 


Ingekomen  stukken,  p.  356. 

De  Heeren  A.  EiNSTEiN,  hoogleeraar  te  Berlijn  en  L.  Rutten,  de  nieuw  benoemde  correspondent 
der  Afdeeling,  worden  door  den  Voorzitter  verwelkomd,  p.  356. 

De  Heer  H.  A.  LORENTZ  doet  eene  mededeeling  naar  aanleiding  van  de  jongste  onderzoekingen 
van  Prof.  EiNSTEIN,  p.  356. 

Prae-advies  van  de  Heeren  M.  W.  Beijerinck  en  j.  F.  VAN  Bemmelen  over  een  request  aan  Z.E. 
den  Minister  van  O.,  K.  en  W.  om  eene  Rijkssubsidie  ten  behoeve  van  de  Publicatie-Commissie 
van  het  Qeologisch-Mijnbouwkundig  Genootschap  voor  Nederland  en  Koloniën,  p.  357. 

P.  E.  VERKADE  en  N.  L.  SÖHNOEN:  „De  aantasting  van  cis-transisomere  onverzadigde  zuren  door 
schimmels”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  J.  Böeseken  en  A.  F.  HollemaN),  p.  359. 

H.  ZWAARDEMAKER ; „Poloniumbestraling  en  functieherstel”,  p.  370. 

L.  E.  J.  BROUWER:  „Over  de  structuur  der  perfekte  puntverzamelingen”.  (Derde  mededeeling).  p.  373. 

B.  P.  HaalmeijeR:  „Opmerking  over  lineaire  homogene  puntverzamelingen”.  (Aangeboden  door  de 
Heeren  L.  E.  J.  Brouwer  en  Hendrik  de  Vries),  p.  376. 

B.  VON  KERéKjéRTó:  „Ueber  Transformationen  ebener  Bereiche”.  (Aangeboden  door  de  Heeren 
L.  E.  J.  Brouwer  en  Hendrik  de  Vries),  p.  379. 

J.  F.  VAN  Bemmelen : „De  vleugelteekening  der  Chaerocampinen”,  p.  380. 

P.  Ehrenfest:  „Over  de  capillariteitstheorie  van  den  kristalvorm”.  (Aangeboden  door  de  Heeren 
H.  A.  Lorentz  en  J.  P.  Kuenen),  p.  390. 

D.  COSTER:  „Over  ringen  van  bindingselectroiien  in  BRAGO’s  kristalmodel  van  diamant”.  (Aange- 
boden door  de  Heeren  H.  A.  Lorentz  en  H.  Kamerlinoh  Onnes),  p.  391. 

H.  ZWAARDEMAKER  en  F.  HoOEWiND:  „Verstuivingselectriciteit  en  Watervaleleetriciteit  '.  p.  398. 

L.  Rutten  : „Foraminiferenhoudende  gesteenten  uit  het  stroomgebied  der  Lorentzrivier  (Zuidwest 
Nieuw-Quinea)”,  p.  408. 

R,  Brinkman  en  Mej.  E.  van  DaM:  „Een  methode  voor  de  bepaling  van  ionenconcentraties  in 
ultrafiltraten  en  andere  eiwitvrije  oplossingen”.(  Aangeboden  door  de  Heeren  H.  J.  HAMBURGER 
en  F.  M.  JAEGER),  p.  417. 

N.  Q.  W.  H.  BEEGER:  „Bepaling  van  het  aantal  klassen  der  idealen  van  alle  deellichamen  van  het 
cirkellichaam  der  m-de  machtswortels  uit  de  eenheid,  waarbij  het  getal  m door  meer  dan  één 
priemgetal  deelbaar  is”  (2e  gedeelte).  (Aangeboden  door  de  Heeren  W.  Kapteyn  en  Jan  de 
Vries),  p.  427. 

H.  W.  BERINSOHN:  „De  invloed  van  licht  op  de  vermenigvuldiging  der  wortelcellen  van  Allium 
Cepa”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  F.  A.  F.  C.  Went  en  Q.  VAN  Rijnberk),  p.  447. 

J.  A.  Schouten  en  D.  J.  Struik;  „Over  n-voudig  orthogonale  stelsels  van  n— .l-dimensionale  uit- 
gebreidheden in  een  algemeene  uitgebreidheid  van  n afmetingen”.  (11).  (Aangeboden  door  de 
Heeren  J.  CARDINAAL  en  H.  A.  LORENTZ),  p.  452. 

Fernand  MeunieR:  „Quelques  insectes  de  1’Aquitanien  de  Rott,  Sept  Monts  (Prusse  rhénane)”. 
(Aangeboden  door  de  Heeren  K.  Martin  en  J.  F.  VAN  Bemmelen),  p.  464. 

J.  WOLFF:  „Over  reeksen  van  analytische  functies”,  p.  464. 


24 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


356 


Het  Proces-verbaal  der  vorige  vergadering  wordt  gelezen  en  goed- 
gekeurd. 

Ingekomen  zijn : 

1°.  Bericht  van  de  Heeren  I.  K.  A.  Wertheim  Salomonson  en  Max 
Wkber  dat  zij  verhinderd  zijn  de  vergadering  bij  te  wonen. 

2°.  Eene  missive  van  Zijne  Exc.  <Ien  Minister  van  Onderwijs, 
Kunsten  en  Wet&nschappen  dd.  27  September  1919,  berichtende  dat 
bij  Zijner  Exc.’s  beschikking  van  dien  datum,  n",  2942\  Afd.  K.  W. 
aan  den  Heer  H.  Boschma,  overeenkomstig  hel  voorstel  der  Afdeeling, 
ten  behoeve  van  zijne  uitzending  naar  het  botanisch  Station  te 
Buitenzoi'g  ook  eene  Rijkssubsidie  over  1919  is  verleend  van  ƒ 700 
en  verzoekende  van  de  Afdeeling  te  mogen  vernemen  wanneer  de 
Heei‘  Boschma  naar  Buitenzorg  denkt  te  vertrekken. 

De  inbond  dezer  missive  is  aan  den  Heer  Boschma  medegedeeld 
met  verzoek  om  den  vermoedelijken  datum  van  zijn  vertrek  aan  de 
Afdeeling  op  te  geven. 

3*.  Eene  missive  van  denzelfden  Minister  dd,  14  October  1919 
met  bericht  dat  de  voorgestelde  wijzigingen  \'an  § § 8,  13  en  20 
van  het  Reglement  van  Orde  der  Afdeeling  door  Zijne  Exc.  zijn 
goedgekeuid. 

Aangenomen  voor  kennisgeving. 

4°.  Bericht  van  den  Heer  H.  Boschma  dd.  6 October  1919,  daj; 
hij  voornemens  is  in  Juli  1920  zijne  studiereis  naar  Buitenzorg,  voor 
rekening  van  het  Buitenzorg-fonds  met  steun  der  Rijkssubsidie,  te 
aanvaarden. 

Aan  den  Minister  van  Onderwijs,  Kunsten  en  Wetenschappen  is 
hiervan  kennis  gegeven. 

5'.  Bericht  van  den  Heer  L.  Rutten  dd.  14  October  1919,  dat  hij 
zijne  benoeming  tot  Correspondent  der  Afdeeling  aanneemt,  onder 
dankzegging  voor  de  benoeming. 

Aangenomen  voor  kennisgeving. 

De  Voorzitter  verwelkomt  den  Heer  A.  Einstein,  hoogleeraar  te 
Berlijn,  die  thans  in  Nederland  vertoevend,  de  vergadering  bijwoont. 

Ook  richt  hij  een  woord  van  welkom  tot  den  Heer  L.  Rutten, 
onlangs  benoemd  tot  Correspondent  der  Afdeeling  en  tijdelijk  in 
Nederland  verblijvend,  die  voor  de  eerste  maal  bij  eene  vergadering 
der  Afdeeling  tegenwoordig  is. 

De  Heer  H.  A.  Lorentz  doet  eene  mededeeling  naar  aanleiding 
van  de  jongste  bevestiging  van  de  algemeene  relativiteitstheorie  van 
Prof.  Einstein.  (Deze  mededeeling  wordt  niet  afgedrukt  in  dit  Verslag). 

Aan  de  thans  volgende  gedachtenwisseling  wordt  deelgenomen 
dooi-  de  Heeren  W.  H.  Jui.ius,  M.  W.  Beijerinck,  W.  Einthoven, 
J.  P.  Kuenen,  P.  Ehreneest  en  Prof.  Einstein  zelf. 


Geologie.  — Praeadvies  Betreffende  een  missive  van  Zijn  Excel- 
lentie den  Minister  van  Onderwijs,  Kunsten  en  Wetenschappen,  dd. 
22  Augustus  1919,  N“.  2931,  Afd.  K.  W.  en  een  als  vervolg  daarop 
ontvangen  schrijven  van  denzelfden  Minister  dd.  27  September  1919, 
N°.  3439,  Afd.  K.  W.,  beide  vergezeld  van  een  request  van  gelijke 
strekking,  in  welke  missiven  het  advies  der  Afdeeling  gevraagd 
wordt  over  het  in  die  requesten  uitgedrukte  verlangen  om  een  Rijks- 
subsidie ad  ƒ 2000  te  mogen  ontvangen  ten  behoeve  van  de  Publi- 
catie-Commissie  van  het  Geologisch  Mijnbouwkundig  Genootschap 
voor  Nederland  en  Koloniën. 

Het  Geologisch-Mijnbouwkundig  Genootschap  voor  Nederland  en 
Koloniën,  waarvan  alle  hoogleeraren  voor  de  Geologie,  de  Minera- 
logie, de  Geografie  en  cte  Technische  vakken  der  Mijningenieurs  in 
Nederland  lid  zijn,  is  een  lichaam  analoog  aan  het  Nederlandsch 
Aardrijkskundig  Genootschap  en  van  een  geheel  wetenschappelijk 
karakter,  zooals  blijkt  uit  alle  stukken,  die  in  bare  ,, Verhandelingen” 
verschijnen. 

Een  onderdeel  van  het  Genootschap,  speciaal  belast  met  het  ver- 
zamelen harer  werken  is  de  Publicatie-Commissie.  Op  dit  oogenblik 
is  voor  den  druk  onder  bewerking  een  Geologische  Nomenclatuur 
in  Hollandsch,  Fransch,  Duitsch  en  Engelsch,  ten  doel  hebbende 
uniformiteit  te  bréngen  in  de  benoeming  van  de  geologische  begrippen. 

Dat  dit  reuzenwerk  in  Nederland  begonnen  wordt  is  daarom  van 
zooveel  belang,  omdat  daardoor  in  ons  land  een  centrum  zal  kunnen 
ontstaan  voor  de  codificeering  der  geologische  nomenclatuur. 

De  toenemende  belangstelling,  die  de  Werken  van  het  Genootschap 
tot  zich  trekken,  verhoogt  uit  den  aard  der  zaak  de  kosten,  welke 
aan  de  publicatie  der  Verhandelingen  verbonden  zijn.  Maar  dit  is 
in  niet  mindere  mate  het  geval  tengevolge  der  tegenwoordige  prijs- 
stijgingen. Daai’  deze  kosten  thans  zoozeer  zijn  toegenomen,  dat  zij 
zelfs  met  den  steun  van  verschillende  Maatschappijen,  de  contributie- 
vermeerdering  der  leden  en  de  bijdragen  der  particuliere  lichamen, 
die  bij  het  Genootschap  belang  hebben,  niet  meer  kunnen  bestreden 
worden,  heeft  het  Bestuur  zich  tot  Zijn  Excellentie  den  Minister  van 
Onderwijs,  Kunsten  en  Wetenschappen  gewend  met  verzoek  om  een 
subsidie  van  ƒ 2000. 

Op  grond  van  de  groote  wetenschappelijke  beteekenis  die  aan  de 

24* 


358 


bovengenoemde  omvangrijke  onderneming  moet  worden  toegekend, 
zoowel  voor  de  verdere  ontwikkeling  der  Geologie  in  het  algemeen 
als  die  van  Nederland  in  het  bijzonder,  geven  ondergeteekenden  de 
Akademie  in  overweging  het  verzoek  van  het  Genootschap  wel  te 
willen  ondersteunen. 

(,get.)  M.  W.  Beijerinck. 

,,  J.  F.  VAN  Bemmelen. 

De  vergadering  neemt  dit  prae-advies  ongewijzigd  over,  dat  nu  als 
het  advies  der  Afdeeling  aan  den  Minister  zal  worden  medegedeeld. 


# 


Scheikunde.  — De  Heer  Böeseken  biedt  een  mededeeling  aan  van 
de  Heeren  P.  E.  Verkade  en  N.  L.  Söhngen  over:  „De  aan- 
tasting van  cis-tvansisomere' onverzadigde  zuren  door  schimmels” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  A.  F.  Holleman). 

De  voor  eenigen  tijd  in  deze  Verslagen  verschenen  mededeeling 
van  Böeseken  en  van  Loon  over  cis-transisomerie  geeft  ons  aan- 
leiding tot  publikatie  der  voorloopige  resultaten  van  een  reeds  voor 
een  paar  jaar  opgezet  onderzoek,  hetwelk  ten  doel  heeft  het  gedrag 
van  isomere  organische  zuren  (in  het  bizonder  van  cis-transisoraeren) 
tegenover  versciiillende  schimmels  na  te  gaan.  Het  zal  nl.  in  het 
onderstaande  blijken,  dat  het  door  ons  op  dit  gebied  verzamelde 
feitenmateriaal  in  overeenstemming  is  met  de  door  genoemde  auteurs 
gegeven  theoretische  beschouwingen,  in  zooverre  als  ook  hier  weer 
geen  algerneene  zekerheid  betreffende  de  konfiguratie  dezer  onver- 
zadigde zuren  kon  worden  verki-egen. 

Directe  aanleiding  tot  dit  onderzoek  was  het  algemeen  bekende 
feit,  dat  fumaarzuur  uiterst  gemakkelijk,  maléinezuur  daarentegen  in 
het  geheel  niet  door  aspergillus  niger  of  penicillium  glaucuni  wordt 
geassimileerd.  O.a.  is  dit  geval  uitvoerig  bestudeerd  door  Buchner’), 
welke  voor  het  onderzoek  gebruik  maakte  zoowel  van  de  zure  als 
van  de  neutrale  ammoniumzouten  dezer  beide  zuren  in  oplossingen 
van  diverse  koncentraties.  Hij  konkludeerde : 

,,dass  den  Mjcelpilzen  die  F'ahigkeit  mangelt,  Maleïnsaure  in 
Fumarsaure  überzuführen,  eine  Urawandlung,  die  ftir  den  Chemiker 
zu  den  leichtesten  Operationen  gehort”. 

Ook  bij  andere  biologische  processen  openbaart  zich  een  dergelijk 
frappant  vei'schil  tusschen  fumaar-  en  maleïnezuur.  Zoo  vond  Jshizuka*) 
bv.  dat,  aangewend  in  gekoncentreerde  oplossing  ne\\{ra\e 
zouten,  de  remmende  invloed  op  de  ontwikkeling  van  chlorophjd- 
houdende  planten  (bladei-en,  takken,  zaden  enz.)  en  van  lagere  water- 
dieren (rotatoriën,  infusoriën,  capepoden)  bij  maleïnezuur  aanmer- 
kelijk grooter  was  dan  bij  fumaarzuur.  In  zeer  verdunde  oplossing 
was  er  daarentegen  tusschen  de  werking  van  beide  zouten  geen 


1)  Deze  Verslagen  27.  5 (1918). 

2)  Ber.  25.  1161  (1892). 

»)  Buil.  Coll.  Agr.  Tokyo  2.  484;  C.  1897  (1)  934. 


360 


verschil  waarneembaar;  misschien  werd  hier  het  maleïnezuur  in 
fumaarzuur  omgezet,  alvorens  het  nog  remmend  kon  werken. 

Dezelfde  onderzoeker  konstateerde  een  dergelijk  verschil  tusschen 
beide  zuren  wat  betreft  hun  invloed  op  het  dierlijk  (honden-')  lichaam. 
Kuim  1 gr.  maleïnezuur  per  K.G.  lichaamsgewicht  was  reeds  doodelijk, 
terwijl  een  gelijke  dosis  fumaarzuur  geen  noemenswaardige  gevolgen 
had. 

Volgens  Shibata  had  een  neutraal  zout  van  fnmaarzuur  wel, 
van  maleïnezuur  daarentegen  geen  chemotactische  werking  op  de 
spermatozoïden  van  Isoëtes  japonica.  Juist  wat  betreft  de  chemotaxis 
wordt  echter  gewoonlijk  een  omgekeerd  resultaat  verkregen ; dit 
bleek  bv.  bij  de  onderzoekingen  van  Lidforss’)  over  Equisetum- 
spermatozoïden  (maleïnezuur  wel  chemotaktische  werking,  fumaarzuur 
niet),  van  Pfefpfr®)  over  die  van  de  varens  (maleïnezuur  iets  beter 
dan  fumaarzuur)  en  van  Shibata^)  over  die  van  Salvinia. 

Hisciioff  ‘)  vermeldt  daarentegen,  dat  penicillium  glaucum.  in  waterige 
oplossingen  van  zoowel  citrakon-  als  mesakonzuur  ook  na  163  dagen 
staan  bij  kamertemperatuur  geen  groei  vertoonde. 

Natuurlijk  zijn  in  de  literatuur  nog  wel  verspreide  mededeelingen 
te  vinden  over  de  aantastbaarheid  van  verschillende  onverzadigde 
zuren  door  schimmels;  vergelijkende  proeven  met  dergelijke  stereoiso- 
mere  zuren  hebben  wij  echter  verder  niet  kunnen  vinden.  Waar 
dus  blijkbaar  onze  kennis  op  dit  gebied  nog  zeer  gering  is,  kwam 
het  ons  wenschelijk  voor  te  trachten  hierin  eenige  verbetering  te 
brengen. 

Bij  een  dergelijk  onderzoek  speelt  de  zuiverheid  der  te  onderzoeken 
preparaten  een  uiterst  belangrijke  rol ; het  is  daarom  zeker  niet 
overbodig  hier  een  en  ander  over  herkomst  en  zuivering  der  zuren 
(en  dan  tegelijkertijd  iets  over  hun  konstitutie)  mede  Ie  deelen. 

1.  maleïnezuur-.  preparaat  van  Kahlbaüm,  gezuiverd  via  het  anhy- 
dried.  Smpt.  13.5°. 

2.  fumaarzuur-.  do.,  omgekrist,  uit  water. 

3.  citrakonzuur -.  verzameling-preparaat  T.  H.,  omgekrist,  uit  aether- 
petroleumaether.  Smpt  91°. 

4.  mesakonzuur  -.  do.,  tevens  zelf  uit  citrakonzuur  bereid *  *),  omgekrist, 
uit  water. 

1)  Ber.  d.  deutsch.  botan.  Ges.  22.  478  (1904). 

»)  ibid.  23.  314  (1905). 

*)  Untei's.  a.  d.  botan.  Inst.  Tübingen  1.  382. 

The  botanical  Magazine  19.  219  (1905). 

6)  Ber.  24.  1072  (1891). 

®)  Fittig:  Ann.  304.  117  (1898). 


361 


De  konstitutie  dezei-  vier  zuren  staat  volkomen  vast: 

H-C-COOH  H-C-COOH  H3C-C-COOH  H3C-C  COOH 


H-C-COOH  HOOC-C-H  H-C-COOH 

maleïnezLiur  fumaarzuur  citrakonzuur 


HOOC-C-H 

mesakonzuiir 


5.  itakonzuuy.  verzameling-preparaat  T.  H.,  omgekrist,  uit  water. 

6.  pkenylitakonzuur  \ bereid  volgens  Stobbe  C door  kondensatie 
van  barnsteenzure  ester  met  benzaldehjde  en  Na-aethylaat.  Omge- 
krist. uit  water,  daarna  uit  aelher-petroleumaether. 

Deze  beide  zuren  bezitten  onderstaande  structuur; 


H— C— H 


C.H.— C— H 


HOOC— CH,— C— COOH  HOOC— CH,— C— COOH 

itakonzuur  phenjlitakonzuur 

Die  van  het  laatste  zuur  is  o.  a.  door  Stobbe  en  Horn ’)  bewezen; 
met  gekoncentreerd  zwavelzuur  ging  het  nl.  in  zijn  anhydried  en  niet 
in  het  a-indon-^- azijnzuur  over,  in  tegenstelling  met  het  uit  phenyl- 
itakonzuur  door  koken  met  natronloog  verkregen  stereoisomere 
phenylatikonzuur, 


7.  allokaneelzuur  ■.  verkregen  door  partieele  katalytische  reductie 
volgens  Paal  van  phenylpropiolzuur ; het  zuur  werd  via  zijn  aniline- 
zout  gezuiverd  en  tenslotte  uit  petroleumaether  omgekristalliseerd. 
Smpt.  68°. 

8.  kaneelzuuv.  verzameling-preparaat  T.  H.  (synthetisch),  meermalen 
omgekrist,  uit  water.  Smpt.  133°. 

Ook  van  deze  beide  zuren  staat  op  tal  van  gronden  de  konstitutie 
met  zekerheid  vast : 


H-C-C.H^  C3H3-C-H 

II  II 

H— C— COOH  H— C— COOH 

allokaneelzuur  kaneelzuur 

9.  glutakonzuur  ■.  eigen  preparaten,  bereid  volgens  verschillende 
methoden  ’).  Omgekrist,  uit  aethylacetaat  en  uit  aether-benzol. 
Smpt.  136 — 138°. 

10.  akoniet  zuur  •.  verkregen  door  inwerking  van  70  Vo*'g  z,wavel- 
zuur  op  citroenzuur  C-  Omgekrist,  uit  water,  daarna  uit  aether-benzol. 

In  deze  beide  zuren  zijn  — zooals  o.  a.  uit  de  onderzoekingen 


1)  Ber.  41.  4350  (1908). 

2)  ibid.  41.  3983  (1908). 

®)  Verkade:  Deze  Verslagen  24.  955  (1916). 
0 Hentschel:  J.  pr.  (2)  35.  205  (1887). 


362 


van  Thorpe  c.s.  ‘)  gebleken  is  — de  «-  en  y-positie  identiek.  Men 
schrijft  hen  tegenwoordig  een  „normale”  structuur  toe,  waarin  een 
waterstofatoom  gelijktijdig  onder  invloed  van  het  «- en  het  y-koolstof- 
atooni  staat  en  dus  in  zekeren  zin  een  vierring  gevormd  wordt;  de 
dubbele  binding  is  ,, zwevend”.  De  stand  der  karboxylgroepen  ten 
opzichte  van  elkaar  in  de  ruimte  is  dan  vooralsnog  onbekend. 


we* *.  — t-  — c.  — t. o w 

akonietzuur 


>Coo  ^ co  o V'- 


glutakonzuur 


11.  isocrotonzuur  ^). 

12.  crotonzuur-,  bereid  door  kondensatie  van  paraceetaldehyde  met 
malonzuur  in  tegenwoordigheid  van  ijsazijn  ’).  Omgekrist,  uit  water. 
Smpt.  72°. 

13.  dimethylakrylzuur  ■ bereid  uit  aceton,  malonzuur  en  azijn- 
zuuranhjdride  ").  Omgekrist,  uit  water.  Smpt.  70°. 

14.  angelicazuur  ’). 

15.  tiglinezuur*). 

16.  undekyleenzimr  •.  zeer  zuiver  preparaat,  verkregen  door  vakuüm- 
distillatie  van  ricinusolie.  Kpt  = 165°.  Smpt.  24°. 5. 

17.  oliezuuv.  preparaat  van  Kahi.baum. 

18.  eldidinezuur do.,  tevens  zelf  uit  oliezuur  bereid;  omgekrist, 
uit  alkohol.  Smpt.  51°. 

19.  erucazuur-,  do.,  omgekrist,  uit  alkohol.  Smpt.  33—34°. 

20.  hrassidinezimr  ■.  bereid  uit  erucazuur  met  behulp  van  salpeterig- 
zuur®);  omgekrist,  uit  alkohol.  Smpt.  66°. 

De  zuren  13  en  16  hebben  resp.  de  struktuur: 


H— C— H 

II 

H— C— (CHJ,-COOH 
undekjleenzuur 

Die  der  zuren  11,  12,  14,  15,  1 


CH,— C— CH, 

II 

H— C— COOH 
/l|l-dimethy]akrylzuur. 

, 18,  19  en  20  staat  echter  nog 


1)  Thorpe  en  Rogerson:  Soc.  87.  1669  (1905);  Thole  en  Thorpe;  ibid.  99. 
2187  (1911)  (glutakonzuur) ; Rogerson  en  Thorpe  : ibid.  89.  631  (1906)  (akonietzuur). 

®)  Dr.  Montagne  te  Leiden  was  zoo  vriendelijk  ons  een  kleine  hoeveelheid  van 
dit  zuur  te  zenden.  Het  werd  niet  verder  gezuiverd. 

*)  Komnenos  : Ann.  218.  147  (1883). 

‘‘)  Massot:  Ber.  27.  1574  (1894). 

0 Reimer  en  Wiel:  Ber.  19.  3321  (1886). 


363 


geenszins  vast;  op  grond  hunner  chemische  en  physische  eigenschap- 
pen worden  hun  meestal  de  volgende  formules  toegekend  : 

H— C-CH,  H,C— C— H 

II  II 

H— C— COOH  H— C— COOH 

crotonzuur  isocrotonzuur 


H— C— CH, 


H,C— C— H 


H.C— C— COOH 
tiglinezuur 


H,C— C-COOH 
angelikazuur 


H— C~(CH,)  — CH,  H.C— (CH,),— C— H 


H-C— (CH,),— COOH 
elaïdinezuur 


H— C— (CH,),— COOH 
oliezuur 


H— C— (CH,),— CH,  H.C— (CH,),-C-H 


H—C— (CH,).  - COOH 
brassidinezuur 


H-C— (CH,)..— COOH 
erucazuur 


Van  al  deze  zuren  was  de  zuiverheid  door  zoi'gvuldige  titraties 
met  barietoplossing  en  eventueel  door  bepaling  der  dissociatiekonstante 
gekontroleerd. 


De  kultuurvloeistof  bestond  steeds  uit  leidingwater,  waarin  was 
opgelost  ijVVo  KH,PO.,  aVVo  MgSO„  Tw’/o  FeCl,  en  rèo  Vo  MnSO,. 
Als  stikstof  bron  werd  toegevoegd  hetzij  Vo  Am,SO<,  hetzij  -2VV0 
KNO,;  op  de  resultaten  maakte  dit  geen  verschil,  gelijk  uit  de  des- 
betreffende proeven  bleek. 

Aan  deze  vloeistof  werd  nu  toegevoegd  \ "/o  van  het  te  onderzoeken 
zuur,  benevens  een  overmaat  CaCO. ; vervolgens  werd  gedurende 
10  min.  bij  110°  gesteriliseerd  *).  Van  alle  zuren  werd  dus  het 
Ca-zout  onderzocht;  dat  deze  zouten  vaak  weinig  in  water  oplos- 
baar zijn  doet  hier  niets  ter  zake;  immers  de  aantasting  door  de 
schimmels  gaat  zeer  langzaam  en  de  oplossing  blijft  dus  altijd  wel 
met  het  Ca-zout  verzadigd.  Een  overmaat  CaCO,  werd  aangewend 
met  het  doel  eventueel  bij  de  assimilatie  door  afbraak  ontstane 
nieuwe  zuren  te  binden  en  zoodoende  de  vloeistof  steeds  zooveel 
mogelijk  neutraal  te  houden. 


’)  Bij  deze  hooge  temperatuur  is  een  gedeeltelijke  omlegging  van  sommige  dezer 
zuren  in  hun  stabiele  stereoisomeren  niet  ondenkbaar.  Proeven  werden  daarom  ge- 
nomen, waarbij  het  zuur  ten  slotte  aan  de  van  te  voren  gesteriliseerde  kultuur- 
vloeistof + krijt  werd  toegevoegd,  waarna  nog  een  oogenblik  werd  opgekookt.  De 
dus  verkregen  resultaten  kwamen  met  de  langs  den  bovenbeschreven  weg  verkre- 
gene  overeen. 


364 


De  proeven  met  aspergillus  niger  werden  verricht  bij  30°  C.,  die 
met  penicillium  glaucum  bij  22°  C.  De  resultaten  van  verschillende 
onderling-  met  elkaar  kloppende  series  zijn  vervat  in  onderstaande 
tabel';  zij  zijn  volmaakt  betrouwbaar,  daar  steeds  in  twijfelachtige 
gevallen  de  proeven  met  een  nieuw  preparaat  van  het  zuur  werden 
herhaald. 


Ca-sout  van 

Aspergillus  niger. 

Penicillium  glaucum. 

1.  maleïnezuur 



— 

2.  fumaarzuur 

goed 

goed 

3.  citrakonzuur 

— 

— 

4.  mesakonzuur 

— 

— 

5.  itakonzuur 

— 

— 

6.  phenylitakonzuur 

1.  allokaneelzuur 

— 

— 

8.  kaneelzuur 

goed 

goed 

9.  glutakonzuur 

zwak 

zwak 

10.  akonietzuur 

goed 

goed 

11.  isocrotonzuur 

— 

— 

12.  crotonzuur 

— 

— 

13.  /?/?-dimethylakrylzuur 

— 

— 

14.  angelikazuur 

— 

— 

15.  tiglinezuur 

— 

— 

16.  undekyleenzuur 

— 

n.  oliezuur 

goed 

goed 

18.  elaïdinezuur 

— 

19.  erucazuur 

goed 

goed 

20.  brassidinezuur 

— 

Het  eerste  springt  hier  wel  in  het  oog  het  volmaakt  gelijke  gedrag 
van  beide  schimmels.  Wij  zullen  misschien  later  gelegenheid  hebben 
op  dit  punt  uitvoerig  terug  te  komen. 

Van  eenige  regelmatigheid  der  resultaten  in  verband  met  de  atoom- 
kontiguratie  der  zuren  valt  intusschen  niets  te  bespeuren.  Op  de 
volgende  punten  zij  nog  terloops  de  aandacht  gevestigd : 

a.  Typisch  is  wel  het  verschillend  gedrag  van  olie-  en  elaïdine- 


365 


ziuir,  resp.  van  eruca-  en  brassidineznur ; ]uist  het  in  de  natuur  voor- 
komende labiele')  isomeer  wordt  geassimileerd. 

b.  Bij  de  lagere  termen  der  reeks  van  oletinemonokarbonzuren  treedt 
een  dergelijk  markant  onderscheid  tusschen  de  stereoisomeren  absoluut 
niet  op  (vgl.  11  met  12,  14  met  15);  het  is  bijgevolg  uitgesloten  ovi 

— zooals  lüij  hoopten  — de  al  of  niet  aantasting  door  schimmels  te 
gebruiken  als  biochemische  onderscheiding smeiJiode  tusschen  dergelijke 
paren  van  cis-transisomeren. 

c.  Ditzelfde  blijkt  ook  bij  andere  homologe  reeksen ; zoo  is  bv. 
het  scherpe  verschil  tusschen  fumaar-  en  maleïnezuur  bij  hun  mono- 
methyl-derivaten  (3  en  4)  geheel  weggevallen  ’).  Omgekeerd  worden 
zoowel  het  gewone  als  het  allokaneelzuur  (7  en  8)  gemakkelijk 
aangetast. 

d.  Beide  zuren  met  een  „zwevende”  dubbele  binding  (9  en  10) 
worden  door  de  schimmels  als  voedsel  gebruikt. 

Ook  ten  opzichte  der  sporevorming  werden  zeer  uiteenloopende 
resultaten  verkregen.  Soms  bleef  sporevorming  geheel  achterwege 
(bv.  bij  kaneelzuur);  bij  andere  zuren  (bv.  mesakonzuur)  trad  bij 
een  uiterst  geringe  hoeveelheid  mycelium  een  goede  sporevorming 
op  enz.  Wij  achten  het  echter  van  geen  belang  hierop  thans  nader 
in  te  gaan. 

Geheel  overeenkomstige  resultaten  werden  met  beide  schimmels 
verkregen,  wanneer  in  plaats  van  de  calcium-zouten  de  vrije  zuren 

— indien  mogelijk  tot  een  koncentratie  van  '/<  “/o ; anders  tot  ver- 
zadiging — aan  dezelfde  kultuurvloeistof  als  boven  werden  toege- 
voegd. Alleen  trad  nu  met  kaneelzuur  in  het  geheel  geen  groei  op. 

Wij  hebben  getracht  het  gedrag  der  vrijeonverzadigde  zuren  tegenover 
de  schimmels  aan  de  hand  van  enkele  in  de  literatuur  vermelde 
feiten  op  eenvoudige  wijze  te  verklaren,  echter  zonder  veel  succes, 
zoodat  wij  voorloopig  de  al  of  niet  aan  tastbaarheid  der  zuren  in 
hoofdzaak  wel  op  hun  verschillende  chemische  konstitutie  moeten  terug- 
voeren ; over  den  aard  van  het  verband  tusschen  chemische  kon- 
stitutie en  physiologische  werking  valt  intusschen  niets  met  zekerheid 
te  zeggen. 

Van  de  opgeworpen  verklaringswijzen  noemen  wij  de  volgende: 

1)  Vgl.  betreffende  de  stabiliteit  o.a.  de  door  Stohmann  en  Lanqbein  bepaalde 
verbrandingswarmten  dezer  zuren : J.  pr.  (2)  42  361  (1890);  Ph.  Gh.  10.  412(1892)^. 

De  remmende  werking  van  de  methylgroep  is  voor  andere  gevallen  (methyl- 
barnsteenzuren)  reeds  door  Wateeman  gekonstateerd  (Proefschrift  Delft  1913, 
pag.  115—116). 


366 


1.  Door  Waterman';  zou  — o.a.  door  proeven  met  kleine  hoeveel- 
heden zwavelzuur  — aangetoond  zijn,  dat  de  aanwezigheid  van 
0.6  ragr.  waterstofionen  in  50  cc.  vloeistof  reeds  een  duidelijk 
remmenden  invloed  op  den  groei  van  penicillium  glaucum  uitoefent, 
terwijl  bij  aanwezigheid  van  ± 1 mgr.  dezer  ionen  in  die  vloeistof 
de  groei  geheel  zou  uitblijven;  aan  de  werking  der  waterstofionen 
schreef  hij  ook  toe,  dat  in  eenigszins  meer  gekoncentreerde  oplos- 
singen van  oxaalzuur,  malonzuur,  wijnsteenzuur  enz.  geen  groei 
optreedt.  Aspevgillus  niger  zou  aanmerkelijk  minder  gevoelig  voor 
waterstofionen  zijn;  hier  trad  nl.  eerst  remming  van  den  groei  op  bij  een 
ongeveer  4.5  X zoo  groote  kóncentratie  dezer  ioneiX). 

Het  sterkste  der  door  ons  onderzochte  zuren  is  het  maleïnezuur 
(K  = 1.2  X10“2);  in  50  cc.  eener  '/X/o-ige  oplossing  hiervan  be- 
vinden zich  volgens  berekening  0.56  mgr.  waterstofionen,  zoodat  wij 
hier  juist  de  kóncentratie,  waarbij  remming  optreedt,  zouden  bereiken. 
Bij  alle  andere  zuren  is  deze  hoeveelheid  nog  aanmerkelijk  kleiner 
(bij  akonietzuur  bv.  0,2  mgr.,  bij  crotonzuur  slechts  0.04  mgr.  per 
50  cc.  enz.).  Het  niet  aangetast  worden  van  de  meeste  der  zuren 
door  de  schimmels  is  dus  langs  dezen  weg  niet  te  verklaren  ; trouwens 
de  in  tegenwoordigheid  van  een  overmaat  CaCO,  verkregen  resultaten 
zouden  dan  ook  nog  op  een  interpretatie  wachten. 

2.  Geleid  door  de  gewichtige  op  breeden  grondslag  verrichte 
onderzoekingen  van  Overton  en  ook  van  Hans  Meyer  over  het 
verband  tusschen  de  snelheid  van  indringen  van  vele  verbindingen 
in  de  cel  en  hun  verdeeling  tusschen  olie  en  water  kon  bv.  Waterman *  *) 
de  wei’king,  welke  allerlei  stoffen  op  de  groei  van  penicillium  glaucum 
uitoefenen  uit  hun  oplosbaarheid  resp.  in  water  en  in  olijfolie  ver- 
klaren. 

Van  een  aantal  der  door  ons  bestudeerde  onverzadigde  zuren 
hebben  wij  nu  deze  zelfde  oplosbaarheden  bij  25°. 0 bepaald,  teneinde 
na  te  gaan  of  ook  in  ons  geval  het  — vaak  frappante  — gedrag 
der  zuren  uit  deze  gegevens  te  verklaren  zou  zijn. 

De  gebruikte  olijfolie  was  ,,01io  finissimo  d’oli\  a di  Lucca”,  merk 
,,lja  Gama”,  welwillend  door  de  Fransch-Hollandsche  Oliefabriek 
Calvé-Delft  voor  dit  doel  ter  beschikking  gesteld;  zij  reageerde  zeer 
zwak  zuur,  zoodat  bij  de  oplosbaarheidsbepalingen  steeds  een  kleine 
correctie  werd  aangebracht.  Een  overmaat  van  het  te  onderzoeken 
zuur  werd  met  de  olijfolie  in  gesloten  stopfleschjes  in  een  thermo- 
staat bij  25°. 0 geschud  tot  zich  het  evenwicht  had  ingesteld,  wat 

1)  Proefschrift  pag.  106  e.v. ; Zentralbl.  f.  Bakteriologie  42.  639  (1915). 

*)  Böeseken  en  Waterman;  Deze  Verslagen  20.  1246  (1910—11). 

*)  Proefschrift  pag  72  e.v. 


367 


steeds  binnen  enkele  uren  het  geval  was.  Een  deel  der  oplossing 
werd  nu  na  bezinken  nitgepipetteerd,  overgebracht  in  een  gewogen 
stopflesch,  gewogen  en  na  toevoegen  van  wat  koolzuurvrij  water 
onder  voortdurend  heftig  schudden  met  barietoplossing  getitreerd. 
Als  indikator  diende  liierbij  fenolftaleïne. 

Deze  methode  is  veel  eenvoudiger  dan  de  door  Waterman  gevolgde; 
immers  deze  kookte  de  uitgepipetteerde  olijfolie  herhaaldelijk  (soms 
zelfs  20  maal)  met  gedistilleerd  water  uit  en  titreerde  dan  telkens 
de  waterige  vloeistof.  Uit  kontróleproeven  met  afgewogen  hoeveelheden 
salicj'lzuur  bleek,  dat  onze  methode  eveneens  zeer  goede  resultaten  gaf. 

Bepaald  Averden  de  volgende  oplosbaarheden  in  grammen  per 
100  gram  van  het  oplosmiddel. 


in  100  gram  water. 

in  100  gr.  olijfolie. 

EG.  25 

1.  maleïnezuur 

80.8 

0.089 

0.0011  1 

2.  fumaarzuur 

0.63 

practisch  onoplosbaar 

zeer  klein) 

3.  citrak onzuur 

360 

0.49 

0.0014  1 

4.  mesakonzuur 

0.058 

) 

7.  allokaneelzuur 

0.845') 

) 

8.  kaneelzuur 

0.0546  ') 

1.17 

21.4  ) 

10.  akonietzuur 

40.0 

0.008 

0.0002 

11.  isocrotonzuur 

00 

00 

12.  crotonzuur 

9.40 

9.3 

1 ) 

16.  undekyleenzuur 

zeer  weinig  oplosbaar 

00 

00 

n.  oliezuur 

practisch  onoplosbaar 

00 

OO  ) 

18.  elaïdinezuur 

» M 

7.87  2) 

zeer  groot^ 

19.  erucazuur 

» n 

zeer  groot 

zeer  groot^ 

20.  brassidinezuur 

» n 

0.75 

zeer  groot! 

Het  verdeelingsgetal  is  dan ; 

grammen  stof  in  100  gram  olijfolie  ’) 

V IjT  

grammen  stof  in  100  gram  water. 


Ij  JuL.  Meyer;  Z.  f.  El.  17.  978  (1911). 

2)  Elaïdinezuur,  opgelost  in  olijfolie,  kristalliseert  bij  afkoeling  — in  tegenstelling 
met  alle  andere  zuren  — zeer  gemakkelijk  uit;  de  groote  kristallisatiesnelheid  van 
dit  zuur  is  trouwens  bekend. 

S)  De  dissociatie  der  zuren  in  waterige  oplossing  is  oorzaak,  dat  het  aldus 
bepaalde  verdeelingsgetal  afhankelijk  is  van  de  koncentratie;  hiermee  is  echter  om 


368 


Deze  cijfers  geven  aanleiding  tot  de  volgende  opmerkingen  : 

a.  In  de  eerste  plaats  valt  op,  dat  van  twee  isomeren  datgene, 
hetioelk  het  meest  in  water  oplosbaar  is,  ook  het  beste  in  olijfolie 
oplost  (vgl.  1 met  2,  3 met  4,  7 met  8,  11  met  12). 

b.  Van  een  aantal  der  zuren  is  nu  het  gedrag  tegenover  de  schim- 
mels inderdaad  zeer  goed  uit  de  oplosbaarheidsgetallen  te  verklaren  : 

1°.  fuinaarzuur  en  akonietzuur  hebben  zeer  kleine  vei'deelings- 
getallen  ; zij  dringen  dus  slechts  langzaam  in  de  cel  door  en  zullen 
dus  gemakkelijk  door  de  schimmels  kunnen  worden  verwerkt. 

2“.  bij  olie-  en  erucazunr  zijn  de  verdeelingsgetallen  zeer  groot; 
intusschen  zal  hier  van  een  overlading  van  het  organisme  geen  sprake 
zijn  - het  zuur  zal  toch  als  voedsel  kunnen  dienen  — daar  de 
absolute  oplosbaarheid  in  water  zoo  uiterst  gering  is  en  het  zuur 
daardoor  toch  nog  maar  langzaam  en  in  kleine  hoeveelheden  in  de 
cel  doordringt. 

3".  kaneelzuur,  isocrotonzuur  en  crotonzuiir  vertonnen  geen  groei; 
dit  is  in  overeenstemming  met  hun  groot  verdeelingsgetal,  gepaard 
aan  hun  reeds  meer  of  minder  aanzienlijke  oplosbaarheid  in  water. 

c.  In  alle  andere  door  mij  onderzochte  gevallen  loopen  wij  echter 
hopeloos  vast ; ook  deze  mogen  hier  even  in  het  kort  worden  besproken  : 

1°.  de  oplosbaarheid  van  elaïdinezuur  en  brassidinezuur  m o\\.iio\\e 
is  wol  aanmerkelijk  geringer  dan  die  van  hun  isomeren  olie-  en 
erucazunr,  doch  toch  altijd  zeker  nog  groot  genoeg  om  flijiken  groei 
der  schimmels  te  doen  verwachten,  ook  nog,  indien  zooals  uit 
konklusie  a afgeleid  zou  kunnen  worden,  hun  oplosbaarheid  in  water 
eveneens  geringer  is. 

2°.  het  undekyleenznur  vertoont  dezelfde  oplosbaarheidsverhou- 
dingen  als  het  oliezuur,  is  alleen  iets  meer  in  water  oplosbaar. 
Wij  zouden  dus  ook  hier  groei  verwachten;  deze  blijft  intusschen 
geheel  uit. 

3°.  in  hun  oplosbaarheidsverhoudingen  vertonnen  maleine-,  citrakon- 
en  akonietzuur  groote  overeenstemming ; niettegenstaande  dat  worden 
de  beide  eersten  niet,  het  laatste  echter  wordt  zeer  gemakkelijk  door 
de  schimmels  geassimileerd. 

4°.  geheel  hetzelfde  als  bij  3"  vinden  wij  bij  vergelijking  van 
rnesakon-  en  fumaarzuur. 

Aannemende  dat  de  assimilatie  plaats  vindt  via  een  lipoïdlaag  en 
dat  de  lipoïdoplosbaarheid  der  zuren  vergelijkbaar  is  met  die  in  olijf- 
olie komen  wij  dus  allerminst  tot  een  verklaring  voor  de  al  of  niet 

voor  de  hand  liggende  redenen  bij  ons  onderzoek  geen  rekening  gehouden.  Evennain 
weten  wij  iets  over  een  eventueele  polymerisatie  der  zuren  in  de  olijfolie,  welke 
eyeneens  het  verdeelingsgetal  zou  beïnvloeden. 


369 


aantastbaarheid  der  zuren  door  de  schimmels.  Evenmin  — en  dit 
behoeft  niet  nader  betoogd  te  worden  — komen  wij  tot  een 
verklaring  indien  aangenomen  wordt,  dat  de  zuren  in  het  orga- 
nisme via  een  ivaterlaag  (protoplasma)  doordringen.  Bijgevolg 
kan  ook  de  onderstelling  dat  de  cel  wand  uit  lipoïd  en  water  is 
opgebouwd  en  de  te  assimileeren  stoffen  dan  van  den  eenen 
of  van  den  anderen  weg  of  van  beide  wegen  gebruik  kunnen  maken 
om  in  het  organisme  te  komen,  hier  niet  voldoen.  Van  dergelijke 
uitbreidingen  van  de  OvERTON’sche  lipoïdtheorie  — welke  dus  hier 
geen  klaarheid  geven  — noemen  wij  die  van  Nathansohn,  welke  de 
plasraahuid  als  een  raozaiek  van  lipoïd  en  protoplasmatisch  materiaal 
aanneemt,  van  Czapf.k,  welke  deze  als  een  uiterst  fijne  vet-emulsie 
opvat of  van  Lepenschkin,  welke  deze  uit  lecithine-albuminever- 
bindingen  opgebouwd  denkt. 

Alleen  met  de  onderstelling,  dat  de  plasmahuid  een /yopAze/ i'o//ofc/p 
zou  zijn  — dat  ze  bv.  zou  bestaan  uit  lipoïde,  hetwelk  een  aan- 
zienlijke hoeveelheid  water  heeft  opgezogen  — zijn  onze  resultaten 
met  de  vrije  zuren  niet  per  sé  in  tegenspraak.  Wij  weten  nl.  niet, 
hoe  een  dergelijke  wand  zich  tegenover  de  zuren  zou  gedragen. 

Echter  blijft  dan  nog  over  het  gedrag  der  Ca-zouten  te  verklaren. 
Wij  zouden,  daar  ze  zich  tegenover  de  schimmels  gelijk  gedragen, 
moeten  aanneraen,  dat  deze  — met  uitzondering  van  Ca-cinnemaat 
— overeenkomstige  verdeelingsgetaiien  voor  lipoïd-water  bezitten  als 
de  vrije  zuren.  Dit  is  mij  vrij  onwaarschijnlijk. 

Het  eenige  positieve  feit,  hetwelk  uit  deze  onderzoekingen  af  te 
leiden  is,  is  dat  de  al  of  niet  assimileerbaarheid  der  zuren  zeker  wel 
vooral  afhangt  van  de  konstitutie,  dus  van  de  verschillende  rang- 
schikking der  atomen  in  het  molekuul ; zeer  goed  blijkt  dit  ook  al 
uit  het  vrijwel  geheel  parallel  loopen  der  resultaten  verkregen  resp. 
met  de  calcium-zouten  en  met  de  . vrije  zuren. 

Rotterdam — Wageningen,  29  April  1919. 

')  Vgl.  voN  Moellendorff  : Kolloïd-Zeitsclir.  23.  158  (1918).  Deze  neemt  een 
schuimstruktuur  van  het  protoplasma  aan,  verwerpt  echter  de  onderstelling  eener 
semi-permeabele  plasraahuid. 


Physiologie.  — De  Heer  Zwaardemakbr  spreekt  over;  ,,PoIoniiini- 
bestraling  en  functieherstel” . 

Een  aantal  organen  staken  hun  functies,  wanneer  men  uit  hun 
omgeving  de  kaliumionen  wegneemt,  die  steeds  in  de  circulatie- 
vloeistoffen  worden  aangetroffen.  Deze  functies  keeren  onmiddellijk 
terug,  wanneer  in  plaats  van  kalium  andere  radioactieve  atomen  in 
de  circulatievloeistoffen  worden  opgenomen  in  een  hoeveelheid,  die 
aequi-radioactief'  is  met  het  weggelaten  kalium.')  Het  is  hierbij 
onverschillig  of  de  ^ervanger  een  «-  dan  wel  een  jS-straler  is,  mits 
zijn  hoeveelheid  slechts  zoodanig  wordt  gekozen,  dat  de  totale  radio- 
activiteit van  het  nieuwe  bestanddeel  ongeveer  gelijk  kan  worden 
geacht  met  die  van  het  oorspronkelijke.  Voor  de  proefneming  is 
geen  orgaan  zoo  geschikt  als  het  hart  van  een  koudbloedig  dier, 
met  name  van  den  kikvorsch,  omdat  zijn  cellen  aan  alle  zijden 
haast  onmiddellijk  (alleen  door  een  endothelium  gescheiden)  door 
het  bloed  worden  omstroomd. 

Het  aantal  elementen,  die  op  die  wijze  ter  kaliumvervanging  kunnen 
strekken,  is  vrij  groot.  Behalve  rubidium,  dat  reeds  als  zoodanig 
aan  S.  Ringer  bekend  was,  bevond  ik  uranium,  thorium,  radium, 
ionium,  emanatie  en  actinium  (als  bijmengsel  tot  lanthanium  en 
ceriurn)  werkzaam,  terwijl  van  niet-radioactieve  elementen  alleen 
caesium  bruikbaar  bleek. 

Maar  niet  alleen  dè  materieele  toevoer  van  radioactieve  elementen 
langs  de  bloedbaan  kan  de  verloren  gegane  functie  lerugroepen,  ook 
bestraling  van  buiten  af  is  hiertoe  in  staat.  *)  Dit  gelukte  met  in 
glas  besloten  mesothorium,  achter  mica  gehouden  radium  en  vrij 
geëxposeerd  polonium  (galvanoplastisch  op  koperblik).  De  hoeveel- 
heid is  van  de  orde  van  die,  welke  van  uit  denzelfden  afstand  de 
cultures  van  bacteriën  in  haar  groei  belemmert.  Voor  de  functie^ 
herstellende  bestraling  diende  mill.gram-uur,  voor  opwekking  van 
steriliteit  van  bacteriën  12  mill.gram-uur. 

1)  Zittingsverslag,  Deel  25,  p.  517  en  p.  1096,  p.  1282.  Deel  26,  p,  555  en 
p.  776.  Proceedings  vol.  19,  p.  633  en  p.  1043,  p.  1161.  Vol.  20,  p.  768  en  p.  773. 

®)  H.  Zwaardemakbr,  C.  E.  Benjamins  en  T.  P.  Feenstra,  Radiumbeslraling 
en  hartswerking.  Ned.  Tijdschr.  v.  Geneesk.  1916  II,  p.  1923  (10  Nov.  1916). 

H.  ZwAARDEMAKER  en  G.  Grijns,  Arch.  néerland.  de  physiol.,  t.  2,  p.  500, 1918. 


371 


De  oorzaak  van  het  functieherstel,  ligt  alzoo  in  de  radioactiviteit, 
zeker  in  het  geval  van  de  vrije  bestralingen. 

Het  is  tot  dusverre  een  open  vraag  gebleven  of  deze  werking  der 
bestraling  direct  of  indirect  tot  stand  komt. 

Het  zou  n.1.  kunnen  zijn,  dat  de  bestralingen  eerst  voerden  tot 
vi'ijmaking  van  kalium  uit  de  kaliumdepots,  die  in  de  hartspier 
voorhanden  zijn  en  eerst  secundair  dit  losgemaakte  kalium,  naar  de 
circulatievloeistof  ditfundeerende,  de  functie  doet  terugkeeren.  Deze 
mogelijkheid  kon  niet  a priori  worden  ter  zijde  gesteld,  daar  het 
een  feit  is,  dat  tijdens  bestraling  niet  onaanzienlijke  kaliumhoeveel- 
heden  de  bloedcellen  en  misschien  de  hartcellen  kunnen  verlaten.  ’) 

Dezer  dagen  was  ik  in  de  gelegenheid  een  experimentum  crucis 
in  te  stellen. 

Er  bestaat  n.1.  een  antagonisme  tusschen  «-  en  ^-stralers.  Zij  doen, 
in  gelijke  activiteit  te  zelfder  tijd  aangebracht,  elkanders  werking 
volledig  te  niet. 

Dit  antagonisme  geldt  ook  voor  de  tegenstelling  uitwendige  polo- 
nium-bestraling  (o-straler)  en  inwendige  toediening  van  kalium  (/?- 
straler).  Het  bleek  toen  aan  een  kikvorschhart,  dat  door  onttrekking 
van  het  kalium  aan  de  circulatie  tot  stilstand  was  gebracht  en  door 
polonium  zijn  kloppingen  had  hervat,  dat  toevoer  van  een  phj'Sio- 
logisehe  dosis  kalium  stilstand  gaf,  terwijl  herstel  kwam  èn  door 
verwijdering  van  het  polonium  èn  door  verwijdering  van  het  kalium. 
Toen  het  polonium  verwijderd  werd,  herwon  het  kalium  allengs  zijn 
invloed;  toen  het  kalium  verwijderd  werd,  bleef  de  nawerking  der 
«-bestraling  alleen  over. 

Uit  het  bestaan  van  het  antagonisme  polonium-kalium  volgt  zonder 

1)  In  de  hartspiercellen  bevindt  zich  een  aanzienlijke  hoeveelheid  kalium  in  voor- 
raad. Bevreemding  wekt  het,  dat  dit  permanente  kalium  op  zichzelf  niet  in  staat 
is  de  functie  te  onderhouden.  De  oorzaak  der  onwerkzaamheid  kan  niet  hierin 
liggen,  dat  de  straling  van  het  depótkalium  den  zetel  der  automatie  niet  zou 
kunnen  bereiken.  Aan  W.  E.  Ringer  en  mij  bleek  de  straling  hiervoor  te  door- 
dringend. Eerst  een  weefsellaag  ter  dikte  van  1 m.M.  is  in  staat  de  sterk  door- 
dringende straling  van  het  kalium  tot  op  de  helft  te  verminderen.  Ik  heb  alzoo 
deze,  door  mij  aanvankelijk  gehuldigde  veronderstelling  moeten  opgeven.  Op  dit 
oogenblik  ben  ik  geneigd  de  verklaring  te  zoeken  in  de  gelijktijdige  aanwezigheid 
van  ijzer.  De  hartspiercellen  bevatten  ijzeratomen  ongeveer  terzelfder  plaats  als  de 
kaliumatomen.  De  miniatuur  magnetische  veldjes,  die  de  ijzeratomen  omringen, 
zullen  alzoo  de  ^-deeltjes  van  het  kalium  uit  hun  baan  moeten  brengen.  De  moge- 
lijkheid dient  m.  i.  overwogen  te  worden  of  misschien  daardoor  een  beletsel  voor 
straling  naar  builen  gegeven  zou  zijn.  Eindelijk  blijven  nog  biologische  verklaringen 
uitgaande  van  de  onwerkzaamheid  eener  continueele  oorzaak  en  de  prikkeling  van 
lijdelijke  afwisselende. 

Nog  ongepubliceerde  onderzoekingen  (zullen  elders  meegedeeld  worden). 

25 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A^*.  1919/20. 


372 


meer  het  rechtstreeksche  van  de  straling siv er king  in  dit  geval.  Want, 
indien  de  vrijstelling  van  kalinm-atornen,  gesteld,  dat  zij  plaats  heeft, 
als  intermediair  zon  hebben  moeten  dienen,  dan  ware  het  onmogelijk 
in  te  zien,  dat  de  toevoeging  van  een  kleine  hoeveelheid  kalium, 
geheel  binnen  de  phjsiologische  grenzen  liggend,  het  polonium- 
kloppen  tot  stilstand  zou  hebben  gedoemd.  Integendeel,  ware  de 
veronderstelde  mogelijkheid  verwezenlijkt,  dan  zouden  de  vrijge- 
maakte en  de  nieuw  toegevoegde  atomen  kalium  elkander  hebben 
gesteund  en  de  functie  hebben  onderhouden,  in  stede  van,  zooals  nu 
de  poloniumstraling  en  het  inwendig  circuleerende  kalium  gemeen- 
schappelijk tot  stand  brachten,  de  functie  te  verstoren. 


Wiskunde.  — De  Heer  Bkouweh  biedt  een  mededeeling  aan : „Over 
de  structuur  der  perfekte  puntverzamelingen”  (Derde  mede- 
deeling  ^)). 


§ J. 

Een  oppervlakkensysteem  resp.  oppervlak  is  in  het  volgende  ge- 
definieei'd  door  een  zoodanig  tweedimensionaal  fragment’)  resp. 
samenhangend  tweedimensionaal  fragment,  waarvan  de  in  een  element- 
hoekpiint  samenkomende  elementzijden  6f  alle  öf  alle  op  twee  na 
aan  twee  elementen  gemeenschappelijk  zijn.  In  het  eerste  geval 
noemen  we  het  hoekpunt  geivoon,  in  het  tweede  geval  buitengewooj} , 
terwijl  we  een  elementzijde  gewoon  of  buitengewoon  noemen,  al 
naarmate  ze  tot  twee  of  tot  een  enkel  element  behoort.  Het  opper- 
vlakkensysteem resp.  oppervlak  wordt  gevormd  door  het  fragment 
met  uitzondering  van  de  buitengewone  elementzijden  en  element- 
hoekpunten,  die  tezamen  de  grens  van  het  oppervlakkensysteem  resp. 
oppervlak  vormen. 

Een  oppervlakkensysteem  resp.  oppervlak,  welks  elementen  grond- 
simplexen  eener  simpliciale  verdeeling  van  het  oppervlakkensysteem 
of  oppervlak  to  zijn,  zal  een  deelopperv  lakken  systeem  resp.  deel- 
oppervlak  van  ta  worden  genoemd. 

Zij  a een  op  het  oppervlak  ca  met  niet-negatieve  karakteristiek 
gelegen  afgesloten  continuüm,  dat  op  ca  geen  elementair  restgebied* *) 
bepaalt,  d = ca,  ....  een  a approximeerende  reeks  van  deel- 

oppervlakken  van  ca,  zoodat  dus  a = X)  («',  .•••)>  mogen  we 
voor  elke  v aannemen,  dat  aW  op  ca  geen  elementair  restgebied 
bepaalt,  dat  een  deeloppervlak  is  van  en  dat  de  grenzen 

van  «W  en  «('■'+!)  geen  punt  gemeen  hebben.  Zij de  karakteristiek 
van  «W,  jTzW  het  maximum-aantal  elkaar  niet  ontmoetende  enkel- 
voudige gesloten  krommen  van  , die  tezamen  «W  niet  verdeelen, 
dan  kunnen  voor  toenemende  v nóch  noch  md  toenemen,  zoodat 
een  geheel  positief  getal  g bestaat  met  de  eigenschap,  dat  = K'S') 
en  voor  elke  niet  negatieve  p.  De  door  «1''/+'“+^)  in  ds+r-) 

h Vgl.  deze  Verslagen  XVIll,  p.  833;  XIX,  p.  1416. 

*)  Vol.  Math.  Annalen  71,  p.  306. 

*}  Een  deelgebied  van  w heet  elementair,  indien  het  slechts  op  « samentrekbare 
enkelvoudige  gesloten  krommen  bevat. 


25* 


374 


bepaalde  restoppei’vlakken  zijn  derhalve  alle  cjlinderoppervlakken, 
het  topoloo'ische  karakter  van  «(.'7+/')  is  voor  elke  p gelijk  aan  dat 
van  «W  en  ontstaat  uit  door  binnenwaartsehe  terug- 

trekking der  randen.  Hieruit  volgt,  dat  tusschen  a en  de  «<9+/“)  de 
volgende  relaties  bestaan  : 

1.  Bij  elke  combinatie  (s,  fj,  p)  bestaat  een  zoodanige  met  s tot  0 

convergeerende  dat  elke  f-keten  van  door  een  eindige 

reeks  van  fj-wijzigingen ')  binnen  ff(.9+/^)  in  een  fj-keten  van  « kan 
worden  overgevoerd. 

2.  Bij  elke  e bestaat  een  zoodanige  met  f tot  0 convergeerende 

f,,  dat  elke  s-keten  van  een  door  een  eindige  reeks  van 

f, -wijzigingen  binnen  «(9+-“)  in  een  keten  van  o kan  worden  over- 
gevoerd. 

3.  « en  alle  «<9+9)  bezitten  een  gelijke  minimale  multipliciteit  der 
basis  der  cyclosis’). 

4.  Bij  elke  combinatie  van  een  voldoend  kleine  s',  een  s'j  en  een 
p bestaat  een  zoodanige  met  e'  tot  0 convergeerende  e,,  dat  elk 
systeem  van  (e,  f')-fundamentaalketens van  o<9+9)  door  een  eindige 
reeks  van  e,- wijzigingen  binnen  «<9+9)  in  een  systeem  van  (fj,  e'J- 
fundamentaalketens  van  « kan  worden  overgevoerd. 

5.  Bij  elke  f'  bestaat  een  zoodanige  met  f'  tot  0 convergeerende 
e",  dat  elk  systeem  van  (f,  e')-fundamentaal ketens  van  een  «C9+9)  door 
een  eindige  reeks  van  ^''-wijzigingen  binnen  0C9+9)  in  een  systeem 
van  (e,  6")-fundamentaalketens  van  a kan  worden  overgevoerd. 

6.  Bij  elke  e bestaat  een  zoodanige  f°,  dat  elk  systeem  van  (e,  ê')- 
fundamentaalketens  van  « voor  elke  «(9+9)  een  systeem  van  (e°,  s')- 
fundamentaalketens  is. 

Deze  relaties  zullen  we  tot  uitdrukking  brengen,  door  « een 
cyclomatisch  extract  van  «(9)  te  noemen. 


Zij  thans  « een  willekeurig  op  a>  gelegen  afgesloten  continuüm, 
«,  de  puntverzameling,  die  ontstaat,  als  we  alle  elementaire  rest- 
gebieden  van  « aan  n toevoegen,  «jC9i)  een  «j  als  cyclomatisch  extract 
bevattend  deeloppervlak  van  m.  Bij  elke  combinatie  (s,  sj  bestaat 
dan  een  zoodanige  met  s tot  0 convergeerende  dat  elke  s-keten 
van  «j(9i)  door  een  eindige  reeks  van  e, -wijzigingen  binnen  w in 
een  Sj-keten  van  « kan  worden  overgevoerd.  We  zullen  ooh  a een 
cyclomatisch  extract  van  «iC9i)  noemen. 

In  het  bijzonder  zullen  we  een  cyclomatisch  extract  van  een  element 


b Vgl.  Math.  Annalen  72,  p.  422. 
Ibid.,  p.  424. 


375 


een  elementair  continuüm,  een  cyclomatisch  extract  van  een  cylin- 
deroppervlak  een  cylinder continuüm  noemen. 

§ 2. 

Zij  « een  op  het  oppervlak  a>  met  niet-negatieve  karakteristiek 
gelegen  afgesloten  pnntverzameling,  die  op  to  geen  elementair  rest- 
gebied  bepaalt,  «'  = to,  ....  een  « approximeerende  reeks  van 

deeloppervlakkensjstemen  van  m,  dan  mogen  we  voor  elke  v aan- 
nemen, dat  «('•')  op  (O  geen  elementair  restgebied  bepaalt,  dat  «(■'+1) 
een  deeloppervlakkensysteem  is  van  «f")  en  dat  de  grenzen  van 
en  «('’+i)  geen  punt  gemeen  hebben.  Zij  het  oppervlak kensjsteem 
dat  ontstaat,  als  we  aan  «(■'Jde  stukken,  die  de  topologische  gedaante 
van  een  element  of  van  een  cjlinder  bezitten,  ontnemen,  S een 
willekeurig  stuk  van  ^ (S)  de  karakteristiek  van  S,  7n  {S)  het 
maximum-aantal  elkaar  niet  ontmoetende  enkelvoudige  gesloten 
krommen  van  S,  die  tezamen  S niet  verdeelen,  dan  kunnen  ^ (S) 
en  ?n  (S)  geen  van  beide  negatief  en  niet  beide  =0zijn.  Er  bestaan 
dus  twee  geheele  niet-negatieve  getallen  ^ en  h met  de  eigenschap, 
dat  elke  (3(9+-“)  bestaat  uit  h stukken  (3/9+-“),  (33(9+/“) , . . . . (30/+/^) , het 
topologische  karakter  van  elke  (3(9+“)  voor  elke  p en  elke  s gelijk  is 
aan  dat  van  ^(9),  terwijl  (3(9+/“+i)  uit  (3(9+-“)  door  binnenwaartsche 
terugtrekking  der  randen  ontstaat,  en  het  als  5!)  ((3(9),  (3(9+i),  . . .)  be- 
paalde stuk  van  « een  cyclomatisch  extract  van  (3(9)  is. 

Het  hiermee  verkregen  resultaat  kan  in  den  volgenden  vorm,  die, 
zooals  door  een  triviale  redeneering  blijkt,  voor  oppervlakken  ta  met 
negatieve  karakteristiek  haar  geldigheid  behoudt,  worden  uitgedrukt : 

Bij  iedere  op  een  oppervlak  o gelegen  afgesloten  pnntverzameling 
« bestaat  een  deeloppervlakkensysteem  if?  van  oj  mei  de  eigenschap  dat 
u bestaat  uit  ten  eerste  een  cyclomatisch  extract  van  elk  der  stukken 
van  lp,  ten  tweede  een  verzameling  van  elementaire  continua  en 
cylindercontinua. 

Is  in  het  bijzonder  ta  een  bol,  dan  zijn  alle  stukken  van  u ele- 
mentaire continua. 

Is  ta  een  projectief  vlak,  dan  zijn  öf  alle  stukken  van  a elemen- 
taire continua,  öf  alle  met  uitzondering  van  één,  dat  een  cyclomatisch 
extract  van  ta  is. 

Is  ta  een  torus,  dan  zijn  öf  alle  stukken  van  « elementaire  con- 
tinua, öf  alle  met  uitzondering  van  één,  dat  een  cyclomatisch  extract 
van  ta  is,  öf  alle  met  uitzondering  van  een  afgesloten  cyclisch 
geordende  verzameling  van  cylindercontinua,  cyclomatische  extracten 
van  op  ta  continu  in  elkaar  over  te  voeren  deelcylinders  van  ta. 


Wiskunde.  — De  Heer  Brouwer  biedt  een  naededeeling  aan  van 
den  Heer  B.  P.  Haalmeijer:  „Opmerking  over  lineaire 
homogene  puntverzamelingen” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Hendrik  de  Vries). 

We  noemen  een  lineaire  puntverzanieling  jr  in  het  interval 

AB,  wanneer  haar  binnen  een  willekeurig  deelinterval  van  AB 
gelegen  deelverzameling  eeneenduidig  en  gelijkmatig  continu  is  af 
te  beelden  op  het  binnen  het  interval  AB  gelegen  deel  van  Jt  ‘). 

Ligt  de  verzameling  rr  in  het  interval  AB  geometrisch  overal  dicht, 
dan  brengt  zulk  een  afbeelding  tevens  een  eeneenduidige  continue 
afbeelding  der  geheele  lijnsegmenten  mee;  zooals  we  zullen  aantoonen, 
mogen  we  in  dat  geval  onderstellen,  dat  elk  der  door  de  homogeniteit 
gepostuleerde  afbeeldingen  de  richting  invariant  laat.  Zij  n.1.  CDeen 
deelinterval  van  AB  (eventueel  het  geheele  interval  AB)  en  E een 
punt  gelegen  tusschen  C en  D.  We  onderscheiden  de  volgende 
mogelijkheden : 

1.  Voor  elke  keuze  der  punten  C,  Z)  en  Z is  bij  de  afbeelding 
der  segmenten  CD  en  CE  op  elkaar,  de  richting  invariant. 

2.  Dit  is  niet  het  geval. 

Eerste  geval.  Moet  AB  worden  afgebeeld  op  een  deelinterval  FH 
(volgorde  van  links  naar  rechts  A,  F,  H,  B),  dan  zijn  volgens  de 
onderstelling  zoowel  AB  als  FH  met  behoud  der  richting  af  te  beelden 
op  AH  en  dus  ook  onderling. 

Tweede  geval.  Er  bestaat  dan  een  interval  CD  dat  op  zijn  deel- 
interval CE  wordt  afgebeeld  met  omkeering  der  richting.  Daar  het 
betreft  een  topologische  afbeelding'  der  geheele  segmenten,  volgt  uit 
het  continuiteitsaxioma  het  bestaan  van  een  punt  7^ (niet  noodzakelijk 
tot  de  verzameling  n behoorende),  dat  aan  zichzelf  beantwoordt. 
Hieruit  volgt  dan  echter  terstond  het  bestaan  van  een  topologische 
afbeelding  van  het  binnen  CD  gelegen  deel  van  n op  zichzelf  met 
omkeering  van  den  richtingszin.  Eenzelfde  afbeelding  bestaat  dus 

b Een  analoge  definitie  van  homogeniteit  is  door  Hausdorff  gegeven  voor 
geordende  verzamelingen,  Grundz.  der  Mengenlehre,  p.  173.  Voor  lineaire  puntver- 
zamelingen heeft  Brouwer  de  volgende  ruimere  definitie  ingevoerd : men  noemt 
een  lineaire  puntverzameling  tt  homogeen,  wanneer  voor  elk  puntenpaar  A B dier 
verzameling  een  eeneenduidige  continue  transformatie  der  rechte  lijn  in  zichzelf 
bestaat,  waarbij  A in  B overgaat  en  in  zichzelf.  Vgl.  deze  Verslagen  XXV,  p,  1426. 


377 


eveneens  voor  het  binnen  een  willekeurig  deelsegment  van  AB 
gelegen  deel  van  en  hieruit  volgt  onmiddellijk,  dat  bij  elke  dooi- 
de homogeniteit  gepostuleerde  afbeelding  de  richting  invariant  is  te 
houden. 


We  formuleeren  thans  de  volgewdQ  ■.  Het  lineaire  continuiiin 

is  niet  te  splitsen  in  twee  overal  dichte  homogene  puntverzamelingen 
met  hetzelfde  geometrische  type. 

We  geven  een  indirect  bewijs.  Stel  twee  puntverzamelingen  n en 
.-t'  van  de  bedoelde  soort  vullen  het  open  lijnsegment  AB.  Nu 
hebben  rr  en  jt'  hetzelfde  geometrische  tjpe,  d.w.z.  zij  zijn  eeneenduidig 
en  gelijkmatig  continu  op  elkaar  af  te  beelden.  Onderstellen  we  eerst, 
dat  bij  deze  afbeelding  de  richting  omkeert.  De  verzameling  n is  nu 
te  splitsen  in  twee  deelverzamelingen  en  .Tj,  zoodanig  dat  elk 
punt  van  jr,  links  ligt  van  het  correspondeerende  punt  van  jt'  en 
elk  punt  van  .-tt,  rechts  van  zijn  beeldpunt.  Bovendien  ligt  elk  punt 
van  -Tj  links  van  elk  punt  van  rr,.  Daar  de  somverzameling  zt  geo- 
metrisch overal  dicht  ligt,  volgt  uit  het  continuiteitsaxioma  dat  Jtj 
en  .Tj  een  scheidingspunt  R bepalen.  Dit  punt  R kan  echter  niet  tot 
jr,  of  behooren.  Stel  namelijk  het  behoorde  tot  dan  lag  het 
links  van  zijn  beeldpunt  en  uit  de  continuiteit  der  afbeelding  zou 
verder  volgen,  dat  dit  ook  het  geval  was  voor  alle  punten  van  üt  binnen 
een  zekere  eindige  omgeving  van  R,  wat  tegen  het  voorgaande 
strijdt.  Het  punt  R behoort  dus  tot  de  complementaire  verzameling 
zt' . We  komen  dan  echter  weer  tot  een  contradictie,  want  het  feit 
dat  R öf  links  óf  rechts  van  zijn  beeldpunt  moet  liggen,  is  niet  te 
rijmen  met  de  omstandigheid,  dat  alle  links  van  R gelegen  punten 
van  jt'  ook  links  van  de  correspondeerende  punten  liggen,  en  de 
rechts  van  R gelegene  ook  rechts  van  hun  beeldpunten. 

We  komen  nu  tot  de  tweede  mogelijkheid,  dat  namelijk  bij  de 
afbeelding  van  Jt  op  n'  de  richting  invariant  blijft.  We  onderschei- 
den hierbij  twee  gevallen  : 

1.  Er  komen  in  n zoowel  punten  voor,  die  links,  als  die  i-echts 
van  hun  beeldpunten  liggen. 

2.  Alle  punten  van  jt  liggen  aan  dezelfde  zijde  van  hun  beeld- 
punten. 

Eerste  geval.  Laat  het  punt  van  links  van  zijn  beeldpunt  P' 
liggen  en  P,  van  rr  rechts  van  zijn  beeldpunt  De  deelverzameling 

van  JT  gelegen  tusschen  P^  en  P,,  inclusief  de  eindpunten,  stellen 
we  voor  door  .Tj.  Zij  de  deelverzameling  van  bestaande  uit 
de  punten,  die  evenals  alle  meer  naar  links  gelegen  punten  van  jt^ 


378 


aan  hun  beeldpunten  voorafgaan  ^).  Zij  R het  meest  naar  rechts 
gelegen  grenspunt  van  We  komen  dan  zoowel  door  aan  te 

nemen,  dat  R aan  zijn  beeldpunt  voorafgaat,  als  door  aan  te 
nemen,  dat  R op  zijn  beeldpunt  volgt  (n.1.  bij  de  tot  het  geheele 
lijnsegment  A B uitgehreide  afbeelding  van  71  op  jt')  direct  tot  een 
tegenstrijdigheid.  R moet  dus  bij  deze  afbeelding  aan  zichzelf  be- 
antwoorden, maar  dit  is  on  mogelijk,  zoowel  als  R tot  tt,  als  wanneer 
R tot  jr'  behoort. 

Timede  geval.  Alle  punten  van  liggen  links  van  hun  beeldpunten. 
Laten  met  de  punten  Pj  en  P,  van  n correspondeeren  de  punten 
P'  en  P^  van  71'  en  laat  de  volgorde  van  links  naar  rechts  zijn 

P , P',  P2,  P\  Een  dergelijk  systeem  van  punten  is  steeds  te 
vinden. 

We  kiezen  een  punt  C van  jr',  gelegen  links  van  P^  en  we  beelden 
71  eeneenduidig  en  gelijkmatig  continu  op  zichzelf  af,  waarbij  we 
P'  in  C laten  komen  en  P^  onveranderd  laten.  Dat  een  dergelijke 
transformatie  mogelijk  is,  volgt  uit  de  homogeniteit.  Noemen  we  de 
getransformeerde  verzameling  Ji",  dan  bestaat  tusschen  n"  en  7t  een 
eeneenduidige,  gelijkmatig  continue  correspondentie,  waarbij  een  punt 
van  7t”  aan  zijn  beeldpunt  voorafgaat  en  een  ander  op  zijn  beeld- 
punt volgt.  Verder  is  de  redeneering  van  het  eerste  geval  te 
gebruiken. 

Aan  professor  L.  E.  .1.  Brouwer  ben  ik  dank  verschuldigd  voor 
verschillende  opmerkingen,  welke  in  het  voorgaande  zijn  verwerkt. 


')  Met  , voorafgaan”  aan  bedoelen  we  .links  liggen  van”. 


Wiskunde.  — De  Heer  Brouwer  biedt  een  mededeeling  aan  van 
den  Heer  B.  von  Kbrékjartó  te  Ujpest  (Hongarije):  „Ueber 
Trans jormationm  ebener  Bereiche” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Hendrik  de  Vries). 

In  der  vorliegenden  Note  wird  eine  Anwendung  gemacht  vom 
folgenden  BHOUWERScheii  Fixpunktsatze  : 

Eine  eineindeutige  stetige  AbbUdung  der  abgeschlossenen  Kreisscheibe 
auf  einen  Teilbereich  derselben  Idsst  wenigstens  einen  Punkt  invariant. 

Mit  Hilfe  dieses  Satzes  beweisen  wir  das  folgende 

Theorem.  Eine  eineindeutke  stetige  Abbildung  eines  von  endlich- 
vielen  Jordanschen  Kurven  hegrenzten  abgeschlossenen  ebenen  Bereiches 
auf  einen  Teilbereich  desselben,  bei  welcher  die  Grenzkurven  des 
ursprünglichen  und  des  Bildbereiches  T^arweise  aquivalent  sind,  jedoch 
eine  und  nur  eine  Grenzkurve  in  eine  dquivalente  übergeht,  Idsst 
wenigstens  einen  Punkt  invariant. 

(Hierbei  solien  zwei  einander  nicht  kreuzende  Kurven  aquivalent 
genannt  werden,  wenn  in  ihrem  Zwischengebiete  keine  Grenzkurve 
iiegt). 

6’,  sei  die  aussere  Grenzkurve  des  gegebenen  Bereiches,  ihr  Bild 
Cf  sei  mit  ihr  aquivalent ; die  übrigen  Grenzkurven  seien  Cj,  G,, . . . Cn, 
ihre  Bilder  Cf,  Cf,...  C».  Man  erweitere  die  gegebene  Abbildung 
durch  eine  an  sie  anschliessende  Abbildung  des  Innern  von  C»  auf 
das  Innere  von  Coc'  (o  = 2,  3,  . . . n).  Hiermit  erhalt  man  eine  einein- 
deutige stetige  Abbildung  des  Innern  von  auf  das  Innere  von  Cf, 
welche  nach  dera  obigen  BROUWERSclien  Satze  wenigstens  einen  Punkt 
invariant  lasst;  dieser  Fixpunkt  kann  aber  nicht  im  Innern  von 
[a  7^  1)  liegen,  gehort  somit  zum  ursprünglichen  abgeschlossenen 
Bereich. 


b Für  eine  analoge  Anwendung  nebst  daraus  gezogenen  Konsequenzen  vgl.  Math. 
Annalen  80,  S.  34. 


Dierkunde.  — De  Heer  J.  F.  Van  Bemmelen  biedt  eene  mede- 
deeling  aan  over;  ,,De  vkugelteekening  der  Chaerocampmen” . 

In  een  Monographie,  toegevoegd  aan  het  Zeitschrift  für  wissen- 
schaftliche  Inseklenbiologie  van  Chr.  Schröder  te  Husurn,  waarvan 
de  eerste  aflevering  mij  onlangs  gewerd,  behandelt  Dr.  F.  Denso,  de 
bewerker  der  Palaeairtisclie  Sphingiden  in  Seitz’  Macrolepidoptera, 
de  tot  nu  toe  bekend  geworden  vlinderhj'briden,  en  begint  die  bewer- 
king met  beschouwingen  over  de  vleugelteekening  der  Celerio-soorten. 
Hij  zegt  daarvan  op  blz.  1 : 

,,Eingehende  Untersuchungen  tind  theoretische  Betrachtungen,  die 
naher  ins  Auge  zu  fassen  hier  zu  weit  führen  würde,  zeigen  deut- 
lich,  dass  die  Zeichnungeu  (und  Farbungen)  aller  Celerio-Falter  sich 
leicht  und  zwanglos  von  einer  Urform  ableiten  lassen,  die  von  der- 
jenigen,  wie  sie  heute  noch  die  alteste  Celerio-Art  O.  oder 

aber  lineata  (wenn  man  sich  die  weissen  Adem  wegdenkt)  aufweisen, 
nur  sehr  wenig  abweicht.  Es  sei  hierbei  bemerkt,  dass  die  Urzeich- 
nung  dei'  Celerio-arten  der  der  nachstverwandten  Pergesa-arten  sehr 
nahe  steht”. 

Het  is  zeker  te  betreuren,  dat  Dr.  Denso  niet  heeft  kunnen  besluiten 
om  zijn  ,, grondige  onderzoekingen  en  theoretische  beschouwingen” 
over  de  onderlinge  phylogenetische  verhouding  tnsschen  de  verschil- 
lende Celerio-soorten  in  bijzonderheden  mee  te  deelen.  Nu  moeten 
wij  de  redenen,  waarom  hij  juist  zygophylli  en  lineata  voor  de 
(phylogenetisch)  oudste  soorten  houdt,  uit  enkele  in  den  tekst  zijner 
verhandeling  verstrooide  opmerkingen  trachten  af  te  leiden. 

Onder  deze  omstandigheden  meen  ik  ei‘  de  voorkeur  aan  te  mogen 
geven,  mijne  eigene  opvattingen  onafhankelijk  van  Denso’s  beschou- 
wingen mee  te  deelen,  en  daarna  te  trachten  over  de  gevolgtrek- 
kingen van  laatstgenoemde  een  oordeel  uit  te  spreken. 

Mijns  inziens  dan  kan  slechts  door  de  vergelijking  met  andere 
Sphingiden,  in  ’t  bijzonder  Chaerocampinen,  een  juist  inzicht  in  het 
vleugelpati'oon  der  Celerio-soorten  verkregen  woi'den,  en  blijkt  daarbij 
duidelijk,  dat  dit  patroon  een  sterk  gewijzigde  variant  van  de  gemeen- 
schappelijke grondteekening  der  Heterocera-vleugels  is,  waarbij  de 
oorspronkelijke  ook  bij  hen  aanwezige  zeven  dwarsbanden  op  de 
bovenzijde  van  den  voor\  leugel  grootendeels  door  de  F-diagonaal- 
teekening  (zooals  ik  mijn  vorige  mededeeling  over  de  vleugelleeke- 


381 


ning  der  Saturninen ')  de  schuin  van  voor-buiten  naar  achter-binnen 
loopende  lijnenteekening  noemde)  is  uitgewischt.  Daaruit  volgt,  dat 
naar  mijne  overtuiging  die  Chaerocampinen  de  oorspronkelijkste  tee- 
kening  hebben  behouden,  bij  welke  de  F-diagonaal-baan  den  gering- 
sten  invloed  op  de  dwarsbanden  heeft  uitgeoefend.  Dit  nii  is  volstrekt 
niet  het  geval  bij  Celerio  zygophylli  en  lineata,  maar  integendeel  bij 
Pergesa  {Deilephila,  Metopsilus)  porcellus,  en  eveneens  nog  veel  dui- 
delijker bij  Berutana  {Metopsilus)  syriaca.  Hier  ziet  men  op  den 
voorvleugel  een  dwarsbandenteekening,  welke  met  die  van  Smerin- 
thus  populi  een  opmerkelijke  overeenkomst  vertoont,  al  zet  zij  zich 
ook  niet  noemenswaard  op  den  achtervleugel  voort.  Van  de  T^-dia- 
gonaalteekening  is  slechts  aan  de  vleugelspits  een  aanduiding,  en  wel 
in  den  vorm  van  de  voorste-buitenste-driehoekvlek,  die  zich  als  een 
donkerbruin  naar  achteren  toe  lichter  en  smaller  wordend  recht- 
hoekig-driehoekig  veldje  van  den  voorrand  af  uitstrekt  en  door  het 
reeds  meermalen  bij  zoo  talrijke  vlindervormen  opgemerkte  schuine 
lichte  lijntje  wordt  afgescheiden  van  den  convexen  maiginaalvlek 
(Band  1).  Ook  de  achter-buiten-driehoekvlek  is  goed  ontwikkeld,  en 
door  een  afstand  van  drie  tusschen-adervelden  van  de  voor-dito 
gescheiden,  in  welke  velden  zich  slechts  flauwe  sporen  van  donkere 
vlekken  vertoonen. 

Bd.  II  is  volledig  en  scherp,  Bd.  III  daarentegen  uiterst  flauw,  IV 
is  een  breede  donkere  baan,  die  naar  builen  toe  geleidelijk  uit\  loeit 
ovei'  het  gebied  waar  III  had  moeten  liggen,  als  hij  zichtbaar  was, 
naar  binnen  toe  daarentegen  zeer  scherp  is  afgegrensd.  V is  tamelijk 
duidelijk,  maar  bereikt  den  achterrand  niet,  VI  is  door  een  flauw 
golflijntje  even  gemarkeerd,  VII  niet  kennelijk  waarneembaar.  Op 
de  bovenzijde  van  den  achtervleugel  is  slechts  een  breede  donkere 
randzoom  en  een  wortel-verdonkering  te  \inden. 

Aan  den  onderkant  vertoont  zich  het  gebruikelijke  patroon,  n.1. 
een  teekening,  die  op  vóór-  en  achtervleugel  gelijk  is  en  in  ver- 
gelijking met  den  bovenkant  gereduceerd,  bestaande  uit  een  duide- 
lijke marginaalvlekken-zoom,  die  naar  binnen  toe  door  een  grillige 
kartellijn  wordt  begrensd,  en  verder  uit  de  banen  II  en  III  (-f- IV ?), 
vertegenwoordigd  door  bruine  lijnen  op  een  lich teren  grond. 

Van  het  syriaca-pd^iroon  laat  zich  de  teekening  van  porcellm 
\Tij  gemakkelijk  en  met  groote  mate  van  waarschijnlijkheid  afleiden. 
Immers  alle  zeven  dwarsbanden  zijn  in  de  streek  van  den  voor- 
rand des  voorvleugels  duidelijk  te  onderscheiden,  terwijl  1,  II  en  III, 
dus  de  buitenste  of  distale,  tot  aan  den  achterrand  doorloopen.  Dat 

1)  Verslagen  der  K.  Ak.  v.  Wet.,  Afd.  Wis-  en  Naluurk.,  Deel  XXVIl,  1919, 
p.  1368. 


382 


echter  deze  oorspronkelijkheid  niet  mag  opgevat  worden  in  den  zin, 
die  gewoonlijk  aan  dat  woord  gehecht  wordt,  laat  zich  bij  porcellus 
bijzonder  treffend  betoogen. 

Niet  slechts  het  patroon  der  zeven  d warsbanden  toch,  maar  evengoed 
dat  van  de  V-diagonaal,  is  op  den  voorvleugel  aanwezig.  Men  kan 
dit  ook  uitdrukken  door  te  zeggen,  dat  men  het  patroon  van  porceUus 
verkrijgen  kan,  door  dat  van  Smernnthus  populi  te  combineeren  met 
dat  van  Deilephila  elpenor,  gallii  en  euphorbiae,  natuurlijk  onder 
weglating  en  reductie  van  enkele  deelen  van  elk.  Het  best  laat  zich 
deze  bewering  bewijzen,  door  de  bedoelde  patronen  op  een  afbeelding 
van  porceUus  in  te  teekenen,  of  wel  door  daaruit  die  elementen, 
die  men  op  den  2^orcé//tt.y-vleugel  terugvindt,  door  een  donkere  nuance 
sterker  te  doen  spreken. 

Bd.  1,  m.a.w.  de  marginaal-  of  buitenrandszoom,  heeft  bij  porcellus 
het  voor  de  Chaerocampinae  gewone  type  van  een  onregelmatige 
gehakkelde  (paarsroode)  strook,  die  aan  de  vleugelspits  met  het 
eveneens  algemeen  voorkomende,  boven  reeds  vermelde  schuine 
streepje  begint,  welk  streepje  tevens  het  distale  aanvangslid  der  V- 
diagonaal  vormt. 

Bd.  II  begint  met  een  tamelijk  scherp  en  vrij  donker  blokje  in 
het  wijnrood  van  den  voorrand,  maar  wordt  veel  flauwer  zoodra 
hij  het  geelbruine  middenveld  betreedt,  en  doorloopt  dat  veld  met 
een  duidelijk  binnen waartsche  buiging.  Bd.  111  begint  aan  den  voorrand 
met  een  dubbel  blokvlekje,  maar  wordt  enkelvoudig  in  het  geel, 
terwijl  hij  tegelijkertijd  in  contact  komt  met  de  groote  discoïdaalvlek, 
die  zelf  mag  opgevat  worden  als  een  overblijfsel  van  Bd  IV.  Verderop 
loopt  111  dan  evenwijdig  met  II,  en  is  dus  evenals  deze  eenigszins 
binnenwaarts  verplaatst. 

Bd.  V en  VI  worden  door  een  paar  groenachtig-bruine  streepjes 
in  het  rood  gemarkeerd,  Vil  door  een  onduidelijk  bruinachtig  wortel- 
veldje. 

Op  de  bovenzijde  van  den  achtervleugel  vormt  slechts  de  wijn- 
roode  randzoom  een  duidelijk  punt  van  overeenkomst  met  den  voor- 
vleugel, maar  de  onderzijde  bewijst  weer,  dat  ook  bij  porcellus 
kennelijke  overblijfselen  der  dwarsbanden,  in  den  vorm  van  donkere 
vlekken  en  strepen  op  den  lichtgelen  en  rozerooden  grond  aanwezig 
zijn.  Als  gewoonlijk  zijn  deze  langs  den  voorrand  bijzonder  sterk 
uitgedrukt. 

Aan  den  onderkant  is  ook  weer  de  overeenkomst  tusschen  vóór- 
en  achtervleugel  veel  grooter  dan  aan  de  tegenovergestelde  zijde, 
terwijl  de  teekening  op  den  eerstgenoernden  vleugel  meer  dan  op 
den  anderen  is  gereduceerd,  bepaaldelijk  wat  het  wortelveld  aangaat. 


383 


Dezelfde  paarsroode  en  groengoïidbruine  tinten,  die  porcellus  ver- 
sieren, vindt  men  bij  elpenor  terug,  waardoor  een  groote  oppervlak- 
kige overeenkomst  tusschen  deze  beide  soorten  teweeg  wordt  gebracht, 
die  in  de  populaire  namen  ,, Groot  en  Klein  Avondrood”  tot  uit- 
drukking is  gekomen.  Maar  in  het  patroon  bestaat  aanmerkelijk 
onderscheid,  want  bij  elpenor  ontbreken  de  sporen  der  d warsbanden 
langs  den  voorrand  zoo  goed  als  geheel,  terwijl  daarentegen  de 
F-diagonaal-teekening  sterk  is  uitgesproken,  al  is  het  waar  dat  zij 
den  achterrand  des  vleugels  meer  in  zijn  distaai  gedeelte  treft,  en  dus 
van  de  oorsprotikelijke  dwarsrichting  der  primaire  banden  minder 
sterk  afwijkt  dan  bij  andere  Chaerocampinen  het  geval  is. 


Denso  schenkt  bijzondere  aandacht  aan  de  wisselende  verhouding 
tusschen  de  beide  stukken,  waarin  bij  de  soorten  van  het  geslacht 
Celerio  de  achterrand  van  den  voorvleugel  wordt  verdeeld  door  de 
bovenbedoelde  schuine  lijn,  die  van  de  vleugelspits  afkomend,  het 
lichte  middenveld  buitenwaarts  begrenst  (AP).  Hij  rangschikt  deze 
soorten  in  een  reeks,  beginnende  met  lineaia,  waar  het  ontmoetingspunt 
dezer  lijn  met  den  achterrand  het  verst  proximaalwaarts  ligt,  en 
eindigend  met  nicaea,  die  in  meer  distale  ligging  van  dat  punt  onge- 
veer overeenkomt  met  elpenor. 

Zoover  ik  zijne  opvattingen  meen  te  begrijpen,  houdt  hij  daarom 
lineaia  voor  oorspronkelijker  dan  nicaea,  terwijl  naar  mijn  inzicht 
de  verhouding  tusschen  die  beide  soorten  juist  omgekeerd  is.  Merkwaar- 
digerwijze komt  Denso  bij  het  inededeelen  eener  andere  bijzonderheid 
der  vleugelteekening,  die  slechts  bij  enkele  exemplaren  van  nicaea 


384 


voorkomt,  tot  een  met  mijne  inzichten  overeenstemmend  besluit, 
daar  hij  het  somtijds  optreden  eener  donkere  lijn  over ’t  midden  van 
den  vleugel  (welke  lijn  hij  fa'  noemt,  en  die  volgens  hem  parallel 
aan  zijn  middenbaan  am  zou  loopen)  als  een  atavistisch  verschijnsel 
beschouwt.  Deze  lijn  nu  kan  moeilijk  anders  zijn  dan  Bd.  III  van 
porcellus,  zoodat  haar  voorkomen  ra.i.  terecht  als  een  terugkeer  van 
een  element  der  oorspronkelijke  teekening  mag  worden  opgevat. 

Trouwens  deze  mij  onverklaarbare  verwarring  en  tegenspraak  in 
opvattingen  meen  ik  op  meerdere  plaatsen  in  Denso’s  beschouwingen 
te  bespeuren.  Bij  de  beschrijving  der  ImeataAeekenmg  zegt  hij  ; 

,,Meine  Untersuchungen  führten  mich  dazu  anzunehraen,  dass 
lineata  und  gewisse  zygophylli-¥a\{QY  eine  der  ursprüngliciien  Celerio- 
zeichnung  sehr  nahestehende  zeigen.  In  der  Tat,  wenn  wir  die 
Umrisse  der  /möata-Zeichnung  anfertigen,  so  umschliessen  diese  voll- 
kommen  die  Zeichnungselemente  aller  übrigen  Celerio-arten,  so  dass 
diese  letzteren  aus  der  mehr  oder  weniger  weitgehenden  Reduktion 
der  ursprünglichen  Zeichnungsanlage  entstanden  zu  sein  scheinen. 

Fig.  2 moge  dies  erlautern”. 


Die  figuur  nu  laat  ons  zien,  hoe  bij  lineata  behalve  de  lichte  V- 
diagonaal  enkel  nog  een  buitenrandsband  (I)  is  te  onderkennen,  zoo- 
dat van  de  oorspronkelijke  teekening  zoo  goed  ais  niets  is  over- 
gebleven, terwijl  daarentegen  bij  euphorbiae  langs,  den  voorrand 
overblijfselen  van  minstens  vier  dwarsbanden,  zij  het  ook  slechts  in 
den  vorm  van  geïsoleerde  vlekken,  aanwezig  zijn.  Op  Denso’s  wijze 
redeneerend,  zou  eenkleurigheid  de  oorspronkelijkste  toestand  van 


385 


den  vleugel  zijn,  waaruit  men  alle  patronen  door  oplossing  van  den 
grondtint  in  vlekken  en  banden  kon  afieiden. 

En  dit  niettegenstaande  hij  eenige  regels  te  voren  heeft  beweerd: 

,,Was  die  Flügelunterseiten  betrifft,  so  tinden  wir  auch  bei  ihnen, 
dass  mit  dem  .Fortschreiten  der  phjlogenetischen  Ent wicklung  immer 
mehr  von  ihren  Zeichnungselementen  verloren  geht  (ik  cursiveer). 

Lineata  zeigt  den  grössten  Reichtura  an  Einzelheiten,  weniger, 
zijgopliylli  ebenfalls,  und  die  wenigsten  Zeichnungsmuster  weisen 
euphorhiae  und  nicaea  auf’. 

Het  behoeft  geen  nader  betoog,  dat  naar  mijne  opvatting  deze 
laatste  uitspraak  ook  geldig  is  voor  de  bovenzijde  van  vormen  als 
C.  lineata  of  Deilephila  elpenor,  in  vergelijking  respective  met  C. 
euphorhiae  of  D.  porcellus. 

Ook  met  de  beschouwingen  op  blz.  5 over  ^,das  Auftreten  ata- 
vistische!' Charaktere”  kan  ik  mij  niet  vereenigen. 


Dbnso  schrijft:  ,,Sehr  haufig  bemerken  wir  auch  bei  reinen  Arten,  z.B. 
gallii  oder  euphorhiae  eine  dunkle  verschwommene  Linie,  die  im  Apex 
an  der  Schragbinde  p beginnend,  parallel  zum  Distalrand  durch  das  Saum- 
feldzieht.  (Men  vergelijke  Fig.  1).  In  den  meisten  Fallen  ist  sie  nur  kurz 
und  verschwindet  etwa  in  der  Mitte  zwischen  Apex  und  Hinter- 
winkel,  in  seltenen  Fallen  erreicht  sie  diesen  Winkel  und  vereinigt 
sich  mit  der  Hinde  p.  Sie  verlauft  genau  so  wie  die  distale  Begren- 
zung  der  Hinde  p bei  lineata.  Wir  haben  es  hier  zweifellos  mit 
einem  atavistischen  Charakter  zu  tun,  es  ist  eben  die  aite  Begrenzung 
der  p-Binde.  Wir  werden  sie  deshalb  vergeblich  in  der  /mga/a-Gruppe 


386 


suchen  und  sie  nur  selten  und  scliwacli  bei  zygophylli  antreffen,  bei 
der  die  Zurüekrückuiig  erst  begonnen  bat.  Gallii  zeigt  diese  Linie 
haufig,  eupkorbiae  seltener  und  nicaea  sel)r  selten,  was  verstandlich 
ist,  da  diese  beiden  letzteren  als  relativ  jnnge  Arten  schon  seit 
langerer  Zeit  diese  Begrenzungslinie  von  p verloren  haben.” 

Bij  vergelijking  der  vleugelteekeningen  van  yalliï,  zygophylli  en 
livornica  (zooals  ze  b.v.afgebeeld  zijn  bij  Seitz,  vergelijk  vol.  II  Taf.  41. d.), 
komt  het  mij  voor  dat  de  tweede  der  genoemde  soorten  de  /a'-lijn 
wel  degelijk  altijd  bezit,  maar  iets  binnenwaarts  verschoven,  en  dat 
zij  eveneens  voorkomt  bij  Pergesa  oldenhamiae  en  japonica  en  bij 
Celerio  boisduvali  en  minor,  maar  dat  de  tint  verschillen  kan  in 
donker-  of  lichtheid. 

Overigens  zie  ik  niet  in,  waarom  juist  deze  lijn  een  bijzondere 
atavistische  beteekenis  zou  hebben,  ofschoon  het  van  zelf  spreekt, 
dat  zij  ontstaan  is  door  versmelting  van  de  buitenste  vlekkenreeks 
(Bd.  I),  die  vlak  bij  en  evenwijdig  aan  den  buitenrand  der  vleugels 
verloopt. 

Evenmin  kan  ik  inzien,  dat  er  nog  verschil  in  den  graad  van 
atavisme  zou  bestaan  tusschen  de  onderscheidene  dwarslóopende 
lijnen,  die  volgens  Denso  somtijds  bij  variëteiten  optreden. 

Denso  schijnt  wel  van  deze  meening,  want  hij  zegt: 

,,Wahrend  die  Linie  /«  einen  Charakter  darstellt,  der  noch  inner- 
halb  des  Genus  Celerio  begründet  ist,  geht  eine  andere  atavistische 
Linie  viel  weiter  zurück,  und  zwar  auf  Zeichnungselemente,  die 
auch  in  dem  Genus  Pergesa  auftreten.  Es  ist  dies  eine  dunkle  Linie 
fa^,  die,  arn  Costalfleck  nic^  beginnend,  langs  der  Costalzone  ac 
parallel  zum  Proximalrand  von  p nach  dem  Hinterrand  hinzieht. 
Sehr  oft  werden  durch  sie  mc^  und  rnc^  mit  einander  verbunden. 
Sie  tritt  nur  bei  den  Faltern  auf,  bei  denen  die  Tendenz  der  Auf- 
lösung  der  Costalzone  in  einzelne  Costalflecke  besteht  oder  bei  denen 
die  Auflösung  schon  stattgefunden  hat,  also  bei  zygophylli,  vespertilio, 
der  euphorbiae-(jiY\\}^\)Q.  und  nicaea.  Nie  erscheint  sie  bei  hippophaes, 
gallii  und  lineata.” 

Te  oordeelen  naar  vespertilio,  vergeleken  met  askoldensis  en  mellus, 
is  de  hier  bedoelde  lijn  de  door  mij  als  Bd.  III  bestempelde,  maar 
versmolten  met  IV,  en  ziet  men  bij  dahli  en  bij  euphorbiae  nabij 
den  achterrand  de  sporen  dezer  lijn,  en  wel  niet  slechts  bij  enkele, 
maar  bij  alle  exemplaren. 

In  overeenstemming  met  het  bovenstaande  spreekt  het  vanzelf, 
dat  ik  in  zake  de  vleugelteekeningen  der  Euphorbiae-gvoct'p  een 
opvatting  huldig,  die  met  Denso’s  meeningen  daaromtrent  in 
volstrekte  tegenspraak  verkeert.  Denso  toch  zegt  (bl.  6):  ,,Bei  C. 


387 


euphorbiae  L ist  der  Auflösungsprozess  der  ursprünglichen  Celerio- 
zeichnung  sclion  selir  weit  fortgeschritten”.  Naar  mijn  overtuiging 
is  hier  geen  ,, Auflösungsprozess”  in  ’t  spel,  maar  zijn  integendeel 
langs  den  voorrand  de  laatste  sporen  van  dwarsbanden  nog  als  ge- 
ïsoleerde vlekken  te  bespeuren,  terwijl  het  achterste,distale  deel  van 
den  vleugel  hoofdzakelijk  door  de  P^-diagonaal  wordt  beheerscht.  Wel 
wil  ik  gaarne  toegeven,  dat  de  reductie  der  transversale  vlekken- 
rijen  tot  drie  of  vier  voorrandsvlekken  (die  Denso  Costalflecke  noemt) 
en  de  afnemende  grootte  dezer  vlekken  naar  den  vleugelpunt  toe, 
zonder  twijfel  in  verband  staan  met  het  beloop  der  F’-diagonaal,  en 
dat  zij  met  hun  drieen  of  vieren  beantwoorden  aan  de  donkere 
voorrandsbaan  van  C.  lineata.  Maar  ik  vat  laatstgenoemde  baan  op 
als  een  ineenvloeiïng  van  die  vier  vlekken,  dus  als  een  partieele 
egaliseering,  die  leidt  tot  éénkleurigheid  van  ’t  geheele  voorrands- 
veld.  Het  bewijs  voor  die  beschouwing  zie  ik  in  toestanden  zooals 
bij  Celerio  gallii  (Fig.  3),  waar  de  vlekken  wel  met  elkaar  in  verbinding 
zijn  getreden,  zoodat  de  geheele  vleugelvoorrand  gelijkmatig  donker 
gekleurd  is,  maar  hun  grenzen  nog  te  onderscheiden  zijn  door  haak- 
vormige insnijdingen  die  in  den  lichten  diagonaalband  overgaan. 
Denso’s  tegenovergestelde  opvatting  van  dezen  toestand  blijkt  uit  zijn 
uitspraak:  Gallii  besitzt  einen  breiten  Costalrand,  in  dem  vom 

Mittelfeld  am.  her  die  Grundfarbe  vor  allem  an  drei  Stelten  einge- 
drungen  ist”  (ik  cursiveer). 

Hetzelfde  geldt  voor  de  donkere  driehoekige  baan,  die  den  lichten 
diagonaalband  aan  den  buiten-achterkant  begrenst,  en  die  Denso  p 
noemt.  Bij  de  behandeling  van  C.  euphorbiae  zegt  hij  daarvan  : ,,Die 
Schragbinde  p ist  dort,  wo  ihre  Proximalbegrenzung  den  Hinterrand 
berührt  (im  Punkte  I)  weit  nach  dem  Hinterwinkel  zu  verschoben.” 
Omtrent  gallii  zegt  hij  wel  is  waar  slechts : ,,Die  Binde  p ist  breiter 
als  wie  bei  euphorbiae.^  Ihr  Endpunkt  P.  liegt  mehr  basalwarts”, 
maar  te  voren  heeft  hij  verklaard : ,,vom  Distalrand”  (der  lichte 
middenbaan)  ,,her  nimmt  die  Saumfarbung  von  a/ auf  Kosten  von  p. 
einen  grosseren  Raum  ein,  und  ferner  verbreitert  sich  am  am  Hinter- 
rand, wodurch  p in  seiner  proximalen  Begrenzung  steiler  zum 
Hinterrand  abfallt”. 

Ook  in  dit  opzicht  staan  dus  Denso’s  meeningen  diametraal  tegen- 
over de  mijne. 

Desniettegenstaande  bestaat  naar  mijn  inzicht,  toch  nog  een  moge- 
lijkheid dat  Denso  in  zijne  opvattingen  het  bij  ’t  rechte  eind  heeft. 
Dit  zou  n.1.  het  geval  zijn,  wanneer  men  moest  aannemen  dat  bij 
go.llii  en  in  nog  sterker  mate  bij  euphorbiae,  de  aanwezigheid  der 
voorrandsvlekken  berustte  op  terugkeer  tot  het  oude  patroon,  dus 

26 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A'’.  1919/20. 


388 


op  atavisme.  Men  had  zich  dan  voor  te  stellen,  dat  in  het  lineata- 
patroon  de  gelijkmatige  donkere  voorbaan  van  het  diagonaalpatroon, 
die  ontstaan  was  door  samenvloeiing  der  voorrandsstiikken  van  de 
oorspronkelijke  zeven  dwarsrijen  van  vlekken,  zich  wederoai  in  een 
aantal  stukken  oploste.  Dat  dit  aantal  lager  is  dan  zeven,  geeft 
steun  aan  de  meening,  dat  wij  hier  met  secundaire  scheiding  eener 
aanvankelijk  samenhangende  voorrandsbaan  te  doen  hebben. 

Als  oorzaak  dier  oplossing  mag  echter  m.  i.  de  nog  in  den  aanleg 
aanwezige  neiging  tot  vorming  der  geïsoleerde  voorrandsvlekken 
van  het  oude,  aan  alle  Heterocera  gemeenschappelijke  dwarsband- 
patroon  worden  beschouwd. 

Beproeft  men  op  dezelfde  wijze  als  voor  de  boven  besproken 
soorten,  de  zoo  uiterst  grillige  teekening  op  de  bovenzijde  des  voor- 
vleugels van  den  Oleanderpijlstaart  {Deilephila  {Daphnis)  nerii)  te 
analyseeren,  dan  blijkt,  dat  men  ongedwongen  in  de  donkere  en 
lichte  plekken  langs  den  voorrand  de  resten  der  zeven  vlekkenbanen 
kan  terngvinden,  maar  dal  slechts  één  dezer,  n.1.  nummer  V,  onaf- 
gebroken tot  den  achterrand  doorloopt,  terwijl  VI  dit  bijna  doet, 
daar  hij  slechts  door  den  witten  buitenzoom  van  het  donkere  wortel- 
veld  doorsneden  wordt. 

De  verstoidngen  in  de  overige  dwarsbanen  laten  zich  verder 
grootendeels  terugbrengen  op  de  twee  ons  reeds  bekende  invloeden, 
n.l.  die  van  de  V-  en  de  A-diagonaal-teekening.  De  eerstgenoemde 
openbaart  zich  op  overeeidcomstige  wijze  als  bij  eupliorhiae,  gallii 
etc.,  maar  van  de  lichte,  schuine  middenbaan  der  overige  Deilephila’s 
zijn  bij  nerii  slechts  fragmenten  te  bespeuren.  In  de  eerste  plaats 
het  lichte  apicaalsl reepje,  scherp  afstekend  tegen  het  bijzonder 
donkere  voorste  segment  van  baan  I.  Dan  het  witte  gebogen  streepje 
in  ’t  midden  van  den  acliterrand,  dat  proximaal  begrensd  wordt 
door  een  bijzonder  donker  achterstuk  van  een  d warsband  (waar- 
schijnlijk een  fragment  van  IV)  en  dat  naar  voren  toe  twee  keer 
zigzagsgewijs  een  scheipen  hoek  maakt.  Vermoedelijk  geeft  ons  dit 
witte  zigzaglijntje  een  stuk  van  de  buitengrens  van  den  driehoekigen 
en  daarom  naar  achteren  breeder  wordenden  lichten  middenzoom  te 
zien,  die  voor  Chaerocampinae  zoo  kenmerkend  is. 

Van  dezen  lichten  zoom  is  verder  slechts  het  meest  proximale 
gedeelte,  nabij  den  vleugel  wortel  aan  den  achterrand  aanwezig,  en 
dit  gedeelte  gaat  versmald  en  met  een  buitenwaarts  convexe  bocht 
in  het  gebied  van  VI  over,  waardoor  het  tot  aan  den  voorrand  komt 
door  te  loopen.  Ook  aan  de  buitenzijde  van  V zet  zich  de  lichte 
kleur  sclnün  distaalwaarts  tot  aan  den  vleugelvoorrand  voort,  en 
komt  zoodoende  in  aanraking  met  het  vooreind  eener  nog  lichtere 


389 


bandpartij,  die  in  de  strook  van  III  aan  dien  voorrand  begint,  maar 
zoo  schuin  buitenachterwaarts  loopt,  dat  het  gebied  van  III  als  ’t 
ware  naar  dat  van  II  wordt  opgebogen. 

Iets  dergelijks  ziet  men  ook  bij  een  andere  Sphingiden-soort,  wier 
voorvleugelpatroon  met  dat. van  nerü  merkwaardig  veel  punten  van 
overeenkomst  vertoont,  n.1.  Dillina  tiliae.  Hier  doet  zich  het  bedoelde 
verschijnsel  aan  ’t  voorste  stuk  van  den  buitenrand  der  donkere 
mediaanbaan  voor,  die  het  voorvleugelviak  op  zoo  kenmerkende  wijze 
in  een  binnen-  en  buitenveld  bieekt,  en  die  zelf  ter  hoogte  van  de 
tweede  cubitaalader  volledig  of  bijna  volledig  iji  een  grooter  vóór- 
en  een  kleiner  achterstuk  is  verdeeld,  door  een  insnoering,  die  in 
plaats  en  karakter  overeenkomt  met  het  bovenvermelde  witte  zigzag- 
lijntje  van  neriï. 

Van  de  gegrondheid  der  hier  ontwikkelde  opvatting  der  neriï- 
voorvleugelteekening  wordt  men  vooral  overtuigd,  wanneer  men  haar 
vergelijkt  met  verwante  soorten,  b.v.  hypothous  (Moore  Lepidoptera 
Cejlon  PI.  83.,  Cramer  Pap.  Exot  III.  pl.  285  D.,  Seitz  X 63a2), 
layardi  (Moore  Pl.  84,  Seitz  63a''),  protrudens  (Novara  Exp.  Zool. 
II  2 Taf.  LXXVI,  7,  Seitz  X 63. b. 2),  angustans  (Nov.  Exp.  Zool.  Bd. 
II  2),  placida  (Seitz  X 63. a 4). 

Het  allermerkwaardigst  scliijnt  mij  in  dit  opzicht' en  ver- 
wanten {miskini,  anceiis,  sericeus,  cinerea),  waar  de  ^zeriï-teekening 
voor  een  deel  als  ’t  ware  staat  geprojecteerd  op  het  patroon  van 
Smerinthus  populi,  welke  laatste  er  om  zoo  te  zeggen  doorheen- 
schijnt. 

Groningen,  October  1919. 


26* 


Natuurkunde.  — De  lieer  Lorentz  biedt  eene  mededeeling  aan 
van  den  Heer  P.  Ehrenfest  : „Over  de  capillaodteitstheorie 
van  den  kristalvorm” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Kuenen). 

In  eene  mededeeling  over  de  capillariteitstheorie  van  den  kristal- 
vorm ')  heb  ik  onder  anderen  de  interessante  verhandeling  van  Prof. 
M.  Brili-ouin  : ,,Tensions  superficielles  et  formes  cristallines.  Domaine 
d’action  moléculaire”,  *)  aangehaald.  De  Heer  Brillouin  heeft  mij  nu 
in  een  brief  er  terecht  opmerkzaam  op  gemaakt,  dat  mijne  citaten 
eene  verkeerde  opvatting  omtrent  de  strekking  en  de  resultaten  van 
zijn  onderzoek  zouden  veroorzaken. 

Het  zou  namelijk  kunnen  schijnen,  alsof  de  Heer  Brillouin  de 
verklaring  der  kristalvormen  volgens  de  theorie  van  Curie  (uit  het 
principe  van  het  minimum  der  totale  oppervlakte-energie)  voor  juist 
zou  aannemen.  Ik  haast  mij  om  te  verklaren,  dat  dit  niet  het  geval 
is.  Integendeel  : de  Heer  Brillouin  ontwikkelt  en  beredeneert  bij 
gelegenheid  van  de  bovenaangehaalde  ondei-zoekingen  uitvoerig  de 
bewering  dat  de  vaste  lichamen  in  onge  deformeer  den  toestand  een  opper- 
vlaktespanning nul  bezitten,  en  dat  bij  hen  oppervlaktespanningen  eerst 
als  gevolg  van  deformaties  optreden,  (zie  in  ’t  bijzonder  het  einde 
van  ^ 10).  Dat  zijn  opvatting  met  die  van  Curie  en  dus  ook  met 
de  grondgedachten  van  mijne  mededeeling  principieel  in  strijd  is, 
was  mij  ten  tijde  van  de  publicatie  van  mijne  mededeeling  nog  niet 
zoo  duidelijk  als  nu,  dank  zij  den  brief  van  den  Heer  Brillouin. 
Ter  nadere  oriënteering  van  den  lezer,  die  zich  vooi'  deze  zaak 
interesseert,  wil  ik  nog  het  volgende  opmerken  : 

1.  De  Heer  Brillouin  heeft,  voor  zoover  mij  bekend  is,  het  eerst 
den  mogelijken  invloed  van  kanten  en  hoek-energieën  op  het  gedrag 
van  vaste  lichamen  nader  besproken  (zie  § 11  tot  19  van  zijne  ver- 
handeling, in  ’t  bijzonder  ook  de  veelbelovende  bespreking  van  de 
vormen  van  diamantkrassen  op  glas  en  van  instabiliteit  van  scherpe 
glaskanten)  en  het  is  in  hoofdzaak  daarvoor,  dat  ik  die  onderzoeking 
heb  aangehaald. 

2.  De  argumenten  van  den  Heer  Brillouin  tegen  oppervlakte- 
spanning bij  afwezigheid  van  deformatie  (zie  ^ 10  van  zijne  ver- 
handeling) zijn  gelukkig  niet  van  toepassing  op  mijn  model,  omdat 
dit  laatste  absoluut  hard  is,  en  daarom,  niettegenstaande  de  aan- 
wezigheid van  oppervlaktespanning  ongedeformeerd  kan  blijven  en 
rechte  kanten  kan  bezitten. 


‘)  Akad.  V.  Wetensch.  Versl.  29  Mei  1915  (XXIV,  p.  158). 
®)  Ann.  de  chimie  et  de  physique.  VI  (1895),  p.  540. 


Natuurkunde.  — De  Heer  H.  A.  Lorentz  biedt  eene  mededeeling 
aan  van  den  Heer  D.  Coster  : ,,  Over  ringen  van  hindinqs- 
electronen  in  Bragg’s-  kristalmodel  van  diamant”. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Kamerungh  Onnes). 

Door  de  mooie  onderzoekingen  van  de  beide  Bragg’s  ')  is  de 
structuur  van  het  diamant  met  groote  zekerheid  bekend  geworden. 
Zooals  men  weet,  kan  men  volgens  deze  onderzoekers  den  bouw 
van  dit  kristal  door  het  volgende  schema  aangeven  ; 1“  een  stelsel 
van  kubi,  waar  de  C’-atomen  in  de  hoekpunten  en  de  middens  der 
zijvlakken  liggen,  2* *  hierin  een  stelsel  van  identieke  kubi,  dat  men 
uit  het  eerste  verkrijgt  door  het  parallel  aan  zichzelf  in  de  richting 
van  één  der  lichaamsdiagonalen  vari  den  grondkubus  over  een  kwart 
van  deze  diagonaal  te  verschuiven.  (Zie  tig.  71,  waarin  alleen  die 
atomen  zijn  aangegeven  die  liggen  binnen  een  grondkubus).  Indien 
men  aanneemt,  dat  de  waardigheid  der  atomen  ook  in  het  kristal 
een  principieële  rol  speelt,  is  dit  systeem  van  volmaakte  symmetrie. 
Elk  C-atoom  vindt  nl.  in  zijn  omgeving  4 andere  C-alomen  op  den- 
zelfden  afstand  en  volkomen  symmetrisch  gelegen.  (De  verbindings- 
lijnen van  een  atoom  met  de  4 dichtstbijzijnde  vormen  de  lichaams- 
diagonalen van  een  kubus).  Op  deze  wijze  is  aan  de  vierwaardigheid 
van  het  C-atoorn  voldaan.  Het  ligt  nu  voor  de  hand  aan  te  nemen, 
dat  de  bindingen  tusschen  de  atomen  gevormd  worden  door  elec- 
tronenringen,  zooals  dit  het  geval  is  in  het  model  van  het  water- 
stofmolecuul  van  Boer.  Debije  en  Scherrer  ’)  doen  bijv.  een  model 
aan  de  hand,  waarbij  elk  koolstof-atoorn  4 electronen  zou  afstaan, 
één  voor  elke  binding,  voor  welke  dus  2 electronen  beschikbaar 
komen.  Deze  zouden  wentelen  om  de  verbindingsas  van  twee  atoom- 
kernen in  een  vlak  loodrecht  op  deze  as  en  halverwege  den  afstand 
tusschen  de  kernen.  De  kern  zelf  zou  dus  nog  2 electronen  behou- 
den en  zich  naar  buiten  gedragen  als  een  viervoudige  lading.  Is 
men  eenmaal  bereid  toe  te  geven,  dat  de  bindingen  door  electronen- 
ringen  gevormd  worden,  zoo  is  er  uit  een  oogpunt  van  symmetrie 
a priori  veel  voor  dit  model  te  zeggen  ‘).  Debije  en  Scherrer  ') 
komen  evenwel  tot  de  conclusie,  dat  een  dusdanig  model  onvereenig- 


1)  Proc.  Roy.  Soc.  Londen  (1914)  A 89,  p.  277. 

Zie  ook;  Bragg.  X-rays  and  crystalstructure. 

*)  Phys.  Z.  S.  (1918)  XIX,  p.  476. 

®)  Er  blijven  natuurlijk  nog  vele  moeilijkheden,  bijv.:  hoe  is  de  draaiingsrichting 
der  banen.  Ook  over  vorm  en  grootte  der  banen  laat  zich  weinig  zeggen. 


392 


4 c/  en 
door 


baar  is  met  de  experimenteele  gegevens  van  de  Bragg’s  (en  ook 
met  de  gegevens,  die  zij  volgens  hun  methode  van  kristalfotografie 
verkregen  hebben).  M.  i.  echter  zien  zij  in  Imn  redeneering  een 
belangrijk  element  over  het  hoofd  en  valt  er  op  ’t  oogenblik  op 
grond  van  gegevens  omtrent  verstrooiing  van  Röntgenstralen  over  het 
al  of  niet  bestaan  van  dergelijke  electronenringen  nog  niets  te  zeggen. 
Hetgeen  ik  in  het  volgende  hoop  aan  te  toonen.  Hierbij  zal  ik  aan- 
vankelijk de  aanschouwelijke  methode  door  Bkagg  aangegeven,  volgen. 

We  beschouwen  de  octaëdervlakken  (de  vlakken  (111)  in  de  ge- 
bruikelijke notatie),  waarin  zich  C-atomen  bevinden.  Dit  is  bijv.  het 
vlak  door  de  atomen  A,  B,  C,  F,  G en  H (zie  fig.  1),  een  tweede 

kan  men  zich  denken  door 
D,  een  derde  door  E.  Deze 
vlakken  bevatten  evenveel 
atomen,  hun  onderlinge  af- 
stand is  afwisselend,  ^ 
f d als  aangegeven 
fig.  2.  Bij  terugkaatsing 
alleen  aan  de  vlakken  a, 
krijgt  men  uitgaande  van  de 
bekende  veronderstellingen 
een  maximum  intensiteit  in 
den  teruggekaatsten  straal  als 
2c/  sin  (p  = nl,  hierin  kan  n 
enz.  Werken  ook  de  vlakken  a'  mee, 
dan  verdwijnt  het  spectrum  van  de  2*^® 
orde  {n  = 2),  omdat  hiervoor  a'  een  halve 
golflengte  phaseverschil  met  a geeft.  Om 
dezelfde  reden  zou  bijv.  ook  het  spec- 
trum van  de  orde  verdwijnen,  indien 
dit  overigens  nog  waarneembaar  zou  zijn. 

De  Bragg’s  hebben  met  gebruikmaking 
van  7//i.-/^^stralen  spectra  tot  en  met  de 
5'^®  orde  waargenomen,  van  het  spec- 
trum van  de  2*^®  orde  was  geen  spoor 
te  bekennen.  Dit  gaf  hun  juist  één  van 

hun  sterkste  argumenten  voor  het  door  ^ ^ 

hen  voorgeslagen  kristal  model.  Bij  het 
model  van  Debije  en  Scherrer  staat  de 
zaak  anders.  Zooals  gebruikelijk  gaan 
zij  ‘uit  van  de  veronderstelling,  dat  de 
verstrooiing  alleen  door  de  electronen 


M. 

d 

.'M 

L- 


Fig.  2 en  3. 


393 


veroorzaakt  wordt  en  dat  men  deze  op  de  „klassieke”  wijze  kan 
berekenen.  Zij  nemen  aan  dat  ze  voor  lum  berekeningen  de 
„bindingselectronen”  mogen  plaatsen  in  bun  gemeenschappelijk 
zwaartepunt  op  de  bindingsas.  Schematisch  voorgesteld  liggen  de 
octaëdervlakken  hier  als  in  fig.  3.  In  b en  b'  liggen  nu  de  bindings- 
electronen  en  wel  in  6 3 maal  zooveel  als  in  è'.  Voor  het  spectrum  2'^*^ 
orde  leveren  ook  nu  de  kernelectronen  (in  a en  a')  niets  op,  de  bindings- 
electronen  zouden  hier  evenwel  een  intensief  spectrum  pp  moeten 
leveren,  terwijl,  zooals  gezegd  is,  het  experiment  daarvan  niet  de 
geringste  aanduiding  geeft;  weshalve  Debi.je  en  Schehrer  dit  kristal- 
model  verwer[»en. 

Vat  men  evenwel  een  bepaald  octaëdervlak  in  het  oog  (bijv.  met 
positieve  indices  111)  dan  vallen  van  de  baanvlakken  der  bindings- 
electronen  slechts  \ gedeelte  daarmee  samen  (het  zijn  die  welke  liggen 
in  b'  tig.  3).  De  andere  maken  met  dit  vlak  hoeken  van  ongeveer 
70°  (hoek  tusschen  de  lichaamsdiagonalen  van  een  kubus).  Het  zal 
uit  de  volgende  rekening  blijken,  dat  men  voor  de  laatste  niet  mag 
aaunemen,  zooals  Debije  en  Scherrer  feitelijk  doen,  datde  electronen 
steeds  in  het  octaëdervlak  blijven.  Voor  een  eenvoudige  rekening 
nemen  we  aan,  dat  de  binditigselectronen  zich  gelijkmatig  in  cirkel- 
banen  bewegen.  Zij  bb  (fig.  4)  het  beschouwde  octaëdervlak,  c c het 

baanvlak,  beide  loodrecht  op  het 
vlak  van  teekening.  Voor  de 
phase  van  den  volgens  de  ge- 
wone reflectie  regels  aan  het  vlak 
b b teruggek  aatsten  straal  is  alleen 
van  belang  de  loodrechte  af- 
c stand  h van  het  electron  tot  è è. 

Fig-  4^-  Het  is  dus  alsof  de  electronen 

loodrecht  op  6 6 oscilleeren  met  amplitude  l.  Maken  we  de  resultante 
op  van  de  gereflecteerde  stralen,  dan  moeten  we  die  van  elk  electron 

4 3X  sin  cp 


h 


— i /.h 


waarin  k = 


vermenigvuldigen  met  den  phasefactor  e 

{(p  is  complement  van  den  invalshoek).  Nemen  we  de  electronen  op 
hun  banen  willekeurig  verdeeld  aan,  dan  is,  zooals  licht  is  in  te  zien, 
de  waarschijnlijkheid,  dat  een  electron  zich  bevindt  op  een  afstand 
h—^h-\-  dh 

(1) 

De  totale  amplitude  van  den  teruggekaatsten  straal  is  dus  te  ver- 
menigvuldigen met : 


394 


ƒ 


+ i 
dh 


a — i X h 


n 


Vv^ 


u 


ilxcosf^  C^tu  = {Iy) 


(2) 


-I 


hierin  is  J.  de  functie  van  Bsssel  van  de  orde  nul. 


4 7ï  sin  rp 

Bedenken  we,  dat  >e  = , dan  is,  voor  het  geval  dat  aan  de 


relatie  van  Bragg 
voldaan  is, 


2d  sin  (p  = nX 


2 Ji  n 


X — 


d 


(3) 


Zooals  bekend  is,  is  de  functie  reëel  voor  reëele  waarden  van 
het  argument  en  oscilleert  tusschen  afnemende  positieve  en  negatieve 
grenzen ')  en  gedraagt  zich  dus  als  ,, gedempte”  sinusfunctie.  Dit 
beteekent  hier,  dat  de  resulteerende  straal  in  phase  is  of  180°  in 
phase  verschilt  met  den  aan  het  vlak  h teruggekaatsten  straal.  De 
absolute  waarde  van  (2)  is  behalve  voor  het  argument  0 steeds 
kleiner  dan  1 ; de  beweging  der  electronen  houdt  dus  een  verzwak- 
king van  het  teruggekaatste  Röntgenlicht  in.  Het  experiment  eischt, 
dat  het  spectrum  van  de  orde  door  terugkaatsing  aan  h en  h' 
verdwijnt.  Dit  gebeurt  strikt  genomen  als 

3J„(Zx)  + l = 0 (4) 

aangezien  b 3 maal  zooveel  electronen  bevat  als  h' . 

De  kleinste  waarde  van  l,  die  aan  (4)  en  (3)  voor  n = 2 voldoet 
is  0,258  d.  Neemt  men  met  Bragg  f/=2,03.10~®  c.M.  dan  is 
/ = 0,524  10“®  cM.,  hetgeen  voor  den  straal  van  den  electronenring 
ongeveer  r = 0,56,  10“®  c.M.  zou  geven,  welke  waarde  men  niet 
als  a priori  onmogelijk  kan  uitsluitend).  Van  belang  is  hierbij,  dat 
(4)  onafhankelijk  is  van  de  golflengte  der  gebruikte  Röntgenstralen. 
Nu  is  het  niet  mijn  bedoeling  veel  waarde  te  hechten  aan  de  be- 
rekening van  den  straal  van  den  electronenring.  1’en  eerste  niet, 
omdat  mijn  veronderstelling  (gelijkmatig  doorloopen  cirkelbaan)  te 
schematisch  is.  Ten  tweede  is  het  niet  waarschijnlijk,  dat  Debije  en 
ScHERRER  een  intensiteit  zouden  hebben  kunnen  constateeren,  die 
beneden  een  100®'®  van  die  van  het  spectrum  1®  orde  bleef.  Dit 
geeft  in  het  boven  geschetste  geval  globaal  genomen  voor  r o.a. 
alle  waarden  van  0,52  tot  0,62  10“®  c.M.  en  ook  van  0,70  tot 


0 Voor  grafische  voorstelling  en  tabellen  van  deze  functie  zie:  Jahnke  u.  Emde, 
Funktiontafein  p.  110  e.  v. 

Als  we  alleen  in  rekening  brengen  de  ladingen  van  de  twee  betreffende  kernen 
(als  viervoudige  lading)  en  van  alle  storingen  afzien,  dan  heeft  volgens  Bohr  een 
éénquantige  ring  van  2 electronen  een  straal  van  ongeveer  0,75  10—8  c.M. 


395 


0,81  10~®  c.M.  Grootere  waarden  van  r zijn  a priori  onwaarschijnlijk. 

De  vraag  rijst  nu,  of  , toch  niet  op  de  door  Debue  en  Scherrer 
gedachte  wijze,  het  experiment  over  het  al  of  niet  bestaan  van  ringen 
van  bindingselectronen  zon  kunnen  beslissen.  De  spectra  van  hoogere 
orde  verkregen  door  terugkaatsing  aan  het  octaëdervlak  zijn  m.i. 
daartoe  niet  geschikt.  Zoo  zou  het  spectrum  van  de  6^®  orde  weer 
verschil  geven  tusschen  het  model  mèt  en  dat  zonder  de  bindings- 
ringen.  Ten  eerste  evenwel  neemt  in  het  algemeen  de  intensiteit 
sterk  met  de  orde  van  het  spectrum  af');  ten  tweede  zou  de  hier 
volgens  (2)  verwachte  intensiteit  toch  al  gering  zijn,  daar  voor 
de  beschouwde  waarde  van  r (ongeveer  0,55  10~®  cM.)  weer  negatief 
is  voor  n = 6 (vgl.  4). 

Het  is  nu  van  belang  de  reflectie  aan  de  andere  kristalvlakken  te 
beschouwen.  We  zullen  daarbij  de  ook  door  Debue  en  Scherrer 
gebruikte  methode  volgen.  Hebben  we  een  regulair  kristal,  dan  is 
de  intensiteit  van  een  volgens  de  relatie  vati  Bragg  teruggekaatsten 
straal  evenredig  met  het  quadraat  van  de  z.g.  structuurfacfor ’)  S, 
die  gegeven  is  door : 

S = + ....  (6) 

Hierin  is  An  evenredig  met  de  door  het  stralingscentrum  van 
den  grondkubus  uitgezonden  amplitude,  pnqnVn  zijn  de  coördinaten 
van  dit  centrum  in  den  grondkubus,  waarvan  de  zijde  1 is,  /q,  h^,  A, 
zijn  de  indices  van  het  beschouwde  kristalvlak.  Deze  laatste  kunnen 
ook  een  gemeenschappelijken  deeler  hebben.  Zijn  zij  bijv.  024,  dan 
is  bedoeld  het  spectrum  van  de  2^®  orde  aan  het  vlak  (012)  in  de 
gewone  notatie. 

Voor  het  kristalmodel  van  Bragg  is  deze  factor: 


< i'rtiq-f-Aj) 

)\l-^e  +e  + e 


(6) 


Debue  en  Scherrer  nemen  aan,  dat  de  bindingsring  op  gelijke 
wijze  verstrooit  als  de  bij  de  kern  gebleven  electronen.  Ook  voor 
hun  model  zijn  alle  Jn’s  = 1 te  stellen. 

Zij  krijgen  dus : 


= 2[(l 


+ 6 


1 n (^1+^2)  , 

1+  (?  4-  « 


+ « 
t n (hs+/it) 


")] 


(7) 


4-  c 


h Zie  bv.  Bragg.  Proc.  Roy.  Soc.  A.  89,  p.  279,  fig.  2. 

S)  Zie  D.  en  ScH.  Phys.  Z.  S.  (1916),  p.  279. 

Voor  de  beteekenis  van  dezen  factor  zie:  Marx  Handb.  d.  Rad.  Bd.  V.  p.  581  e.v. 


396 


Houdt  men  evenwel  op  de  boven  aangegeven  wijze  rekening  met 
den  stand  van  de  banen  van  de  ringelectronen,  dan  krijgt  men  voor 
structuiirfactor : 


= 2[ 


1 + e 


(*^0  5^)  + 


1 7t  ( hi+ht)  i n i TT  (h^+hi) 

1 4-  < + ö + ö 


(8) 


Hier  hebben  ï en  k dezelfde  beteekenis  als  in  (2)  en  (3),  de  indices 
bij  de  verschillende  grootheden  / honden  verband  met  de  vier  ver- 
schillende hoeken,  die  de  electronenbanen  in  het  algemeen  met  het 
beschouwde  ki-istallografische  vlak  kunnen  maken. 

15>| 

Bijgaande  tabel  geeft  berekend  ')  voor  de  drie  gevallen  en  wel 

64 


voor  het  laatste  geval  éénmaal  voor  een  waarde  van  r = 0,56.10~^  c.m. 
en  éénmaal  r — 0,81 .10~®  c.m.  (r  is  straal  bindingsring).  Van  principieel 
gewicht  zijn  hierbij  slechts  de  onderlinge  verhouding  van  de  in  dezelfde 


Indices. 

Br. 

D.  en  Sch. 

r = 0.56.10  ® 

r = 0.81. 10  ® 

(111) 

18 

11.6 

2.9 

5.6 

(002) 

0 

0 

0 

0 

(022) 

36 

4 

0.61 

7.8 

(113) 

18 

0.34 

1.64 

3.55 

(222) 

0 

16 

0 

0.038  - 

(004) 

36 

4 

11.1 

9.0 

(133) 

18 

2 

2.1 

2.42 

(024) 

0 

0 

0 

0 

kolom  voorkomende  getallen.  Opgemerkt  dient  te  worden,  dat  de 
specti'a  (002)  en  (024'i  verdwijnen  onafhankelijk  van  de  aangenomen 
waarde  voor  r.  Slechts  om  ook  het  spectrum  (222)  te  doen  verdwijnen 
is  men  voor  r aan  zekere  grenzen  gebonden. 

Met  verschillende  factoren  ’).  die  de  intensiteit  van  de  te  verwach- 
ten spectra  sterk  beïnvloeden  (het  meest  die  van  hoogere  orde)  is 


h De  eerste  twee  kolommen  zijn  overgenomen  uit  het  artikel  van  D.  en  ScH. 
2)  Bijv.  z.g.  Lorentz-  en  DEBiJE-faktor,  vgl.  Mabx  Handbuch  V,  p.  581  e.v. 


397 


bij  samenstelling  van  de  tabel  geen  rekening  gehouden.  Aangezien 
alles  nog  zoo  onzeker  is  en  bovenstaande  beschouwingen  zeer 
schematisch  zijn,  is  het  m.  i.  onnoodig  deze  in  de  rekening  te  betrek- 
ken. Een  blik  op  de  tabel  leert  evenwel,  dat  met  name  de  getallen 
van  de  vierde  kolom  niet  in  sterker  tegenspraak  zijn  met  de  experi- 
menteele  gegevens  ')  dan  die  van  de  eerste.  Waaruit  wel  volgt,  dat 
het  voorloopig  niet  mogelijk  is  uit  expei’imenteele  gegevens  een  con- 
clusie te  trekken  omtrent  het  al  of  niet  bestaan  der  bindingsringen. 
Misschien  kan  hier  bestudeering  van  kristallen  van  chemisch  homo- 
loge stoffen  {Si,  Ge)  ’)  een  beslissing  brengen. 

1)  Zie  hiervoor  Bragg  l.c.  en  Debije  en  Scherree  I.c. 

®)  Si  schijnt  zich  volkomen  als  diamant  te  gedragen,  c.f.  Debije  en  Sch.  Phys. 
Z.  S.  (1916)  p.  282. 

Bij  •Ge  is  het  aantal  ,bindingselectronen”  reeds  klein  t.o.v.  de  ,kernelectronen”. 


Physiologie.  — De  Heer  Zwaardemaker  biedt,  mede  namens  den 
heer  F.  Hogewind,  eene  mededeeling  Siscn  ov^v.  ,,  Verstuiving s- 
electnciteii  en  WatervaleUctriciteit” . 

Het  ontstaan  van  verstuivingselectriciteit  en  dat  van  waterval- 
electriciteit  zijn  ongetwijfeld  verwante  processen,  doch  zij  zijn  allerminst 
identiek. 

Het  heeft  daarom  zijn  nut  hun  overeenkomsten  en  verschillen  hier 
kort  uiteen  te  zetten. 

De  verstuivingselectriciteit  ontstaat,  doordat  lucht  een  uiteenspatten 
van  waterdruppels  tot  stand  brengt;  de  watervalelectriciteit  doordat 
reeds  bestaande  waterdruppels  op  een  grensvlak  lucht-vloeistof  of 
-vaste  stof  stooten.  In  verband  hiermee  is  de  verstuivingsnevel  van 
het  punt  van  zijn  ontstaan  af  geladen,  de  waterval  eerst  op  het 
oogenblik,  dat  hij  den  bodem  bereikt.  In  beide  gevallen  vormen  zich 
groote  en  kleine  drupjes,  tusschen  welke  zich  een  tegenstelling  in 
lading  openbaart.  De  lucht  in  de  omgeving  wordt  zoowel  bij  de 
verstuiving,  als  bij  den-  waterval  naar  alle  zijden  tot  op  grooten 
afstand  doordrongen  met  die  overal  heenvliegende  allerkleinste  drupjes. 

Bij  de  verstuiving  blijven  de  groote  di'uppels  de  eenmaal  begonnen 
baan  volgen,  totdat  zij  op  een  hindernis  stuiten.  Deze  hindernis  ont- 
moeten de  druppels  eerst  lang,  nadat  zij  geladen  zijn  geworden.  Bij 
den  waterval  echter,  vormen  zij  zich  pas,  groote  zoowel  als  kleine 
drupjes,  op  hetzelfde  oogenblik,  waarop  de  lading  ontstaat,  n.1.  op 
het  moment,  dat  de  straal  de  hindernis  treft. 

In  beide  gevallen  verhoogen  de  voorwaarden  : 

,,druk” 

,, temperatuur” 

het  electrisch  effect  enorm.  Twee  atmospheren  overdruk  geven  veel  meer 
electriciteit  dan  één  atmospheer.  Men  behoeft  verder  den  nevel  slechts 
te  brengen  in  een  ruimte,  die  10°  hooger  in  temperatuur  is,  om 
een  groote  versterking  dei’  verstuivingselectriciteit  te  verkrijgen. 
Evenzoo  voert  een  verwarming  van  het  reservoir,  dat  den  waterval 
voortbrengt,  tot  aanzienlijke  vergrooting  van  de  watervalelectriciteit. 
De  aanwezigheid  van  een  electrisch  veld  -doet  beide  sterk  toenemen. 

De  afstand,  waarop  de  schijf,  die  als  hindernis  dient,  geplaatst  is, 
oefent  op  beide  invloed.  De  \erstuivingselectriciteit  kent  een  opti- 


399 


malen  en  een  kritischen  afstand.  De  watervalelectriciteit  neemt, 
volgens  Lenard,* *)  met  den  afstand  der  schijf  toe. 

Doch  ook  de  grondvloeistof  en  de  kleine  chemische  toevoegingen 
zijn  van  beteekenis.  De  meeste  waarnemingen  zijn  met  water  als 
grondvloeistof  gedaan,  maar  ook  met  paraffinum  liquidum  kan  men 
verstuivingselectriciteit  en  met  kwik  watervaleleciriciteit  verkrijgen. 
Wij  hebben  voornamelijk  den  invloed  van  kleine  toevoegingen  van 
bekende  chemische  geaardheid  nagegaan. 

De  verstnivingselectriciteit  wordt  sterk  verhoogd  door  de  bijmenging 
van  stoffen,  die  de  oppervlaktespanning  verlagen  en  bovendien  vluchtig 
zijn  (reukstoffen,  antipyretica,  narcotica^  alcaloiden)  en  kan  daar- 
door bedragen  bereiken,  die  de  watervalelectriciteit  verre  en  verre 
overtreffen. 

Volmaakt  zuiver  water  geeft  geen,  met  een  gewonen  electroscoop  waarneembare 
verstuivingselectriciteit.  ’) 

Sporen  reukstof  zijn  voldoende  om  haar  excessief  te  doen  worden, 

De  verstuivingselectriciteit  is  daardoor  een  middel  om  de  aanwezigheid  van 
kleine  hoeveelheden  reukstof  te  ontdekken  anders  dan  door  den  reukzin. 

De  watervalelectriciteit  ,wordt  reeds  primair  door  zuiver  water 
voortgebracht.  De  plaats,  die  den  waterval  stuit,  laadt  dezen  positief  op. 

Kleine  toevoegingen  van  reukstoffen,  smaakstoffen,  colloidale  stoffen,  wijzigen 
de  lading  van  het  water  sterk.  Deze  wijziging  heeft  soms  in  positieven,  soms 
in  negatieven  zin  plaats. 

Het  was  Lenard,  die  in  1892  het  eerst  het  probleem  onderzocht, 
en  er  al  dadelijk  eene  theoretische  verklaring  voor  gaf*),  die  hij  in 
zijn  latere  publicaties  eenigszins  gewijzigd  en  uitgebreid  heeft  *). 

Voor  ons  onderzoek  maakten  Avij  met  geringe  wijzigingen  gebruik 
van  het  toestel,  zooals  het  door  Lenard  ‘)  reeds  is  aangegeven. 

Aan  een  stevigen  metalen  cylinder  van  ± 2’/,  Liter  inhoud, 
waaraan  het  deksel  door  middel  van  3 schroeven  luchtdicht  is 
bevestigd,  is  in  den  bodem  een  metalen  buis  met  kraan  aangebracht, 
die  uitloopt  in  een  glazen  buis  met  fijne  uitvoeropening  (1  mm. 
diameter).  In  het  deksel  bevinden  zich  2 openingen,  waarvan  de 
eene  in  verbinding  staat  met  de  aanvoerbuis  van  de  luchtperspomp 
met  gashouder  van  2 cub.  M.,  en  de  andere,  afgesloten  door  een 
schroefdop,  dient  ter  vulling  van  den  cylinder. 

In  de  aanvoerbuis  van  den  gashouder  is,  ter  isolatie,  een  barn- 
steenen  buis,  ter  lengte  van  rt  2 7,  cm.  aangebracht,  en  bovendien 

b P.  Lenard  : ,Ueber  die  Elektricitat  der  Wasserfalle”.  Wied.  Ann.  46  p,  584.  1892 

*)  Tenzij  een  electrisch  veld  voorhanden  is. 

®)  P.  Lenard:  ,Ueber  die  Elektricitat  der  Wasserfalle”.  Wied.  Ann.  46 — 1892, 

b ld.  id.  ,Ueber  Wasserfallelektricitat”.  Ann.  der  Physik.  Bd.  47 — 1915. 


400 


2 kranen : de  een  vlak  bij  den  cjlinder,  de  ander  bij  de  hoofdbuis 
naar  den  gashouder. 

De  lieele  cjlinder  liangt  in  een  drievoet  en  is  daarvan  geïsoleerd 
door  middel  van  barnsteenen  stiftjes. 

De  punt  van  de  glazen  uitvoerbuis  bevindt  zich  op  rfc  1 M.  boven 
een  grooten  glazen  bak,  het  opvangreservoir,  waarin,  steunend  op 
een  paar  blokken,  een  zinken  plaat.  Deze  is  geleidend  verbonden 
met  den  metalen  cjlinder. 

Het  opvangreservoir  is  op  zijn  beurt  weer  van  de  omgeving  geïso- 
leerd, doordat  het  staat  op  een  paraffineplaat  met  4 barnsteenen 
pootjes. 

Het  geheel  is  geleidend  verbonden  met  een  geaarden  electroscoop. 
Op  deze  wijze  zijn  dus  de  cjlinder,  het  opvangvat  en  de  electros- 
coop onderling  geleidend  verbonden  en  tegelijkertijd  alle  drie  van 
de  omgeving  geïsoleerd. 

De  druk  in  de  luchtpomp  en  den  gashouder,  gecontroleerd  door  middel 
van  een  manometer,  wordt  op  2 atmospheren  gebracht,  de  cjlinder 
gevuld  met  1 Liter  der  te  onderzoeken  vloeistof,  en  de  beide  kranen 
in  de  toevoerbuis  geopend,  waardoor  de  vloeistof  in  den  cjlinder 
onder  2 atmospheeren  druk  komt  te  staan.  Wordt  nu  de  onderste 
kraan  geopend,  dan  stroomt  de  vloeistof  onder  krachtigen  druk  uit 
het  glazen  buisje  en  treft  onder  een  hoek  van  90°  de  daaronder 
gelegen  zinken  plaat.  Hierbij  ontstaat,  al  naar  gelang  van  den  aard 
der  vloeistof,  positieve  of  negatieve  electriciteit  en  de  electroscoop 
slaat  uit. 

De  uitslag,  dien  de  electroscoop  na  1 minuut  doorstroomen  van  de 
vloeistof  vertoont,  wordt  als  maat  voor  de  watervalelectriciteit 
genomen. 

Daar  het  heele  toestel  een  tamelijk  groote  capaciteit  bezit,  begint  de 
electroscoop  pas  uit  te  slaan,  als  deze  capiciteit  is  opgeladen,  wat  bij 
de  verschillende  vloeistolfen  verschillend  lang  duurt.  Daarom  wordt 
het  aftikhorloge  eerst  in  werking  gesteld,  als  de  electroscoop  begint 
uit  te  slaan,  en  van  dit  oogenblik  af  een  volle  minuut  doorstroomd. 

Tijdens  het  onderzoek  wordt  de  onderzoekkamer  goed  gelucht, 
daar  de  luclit  in  de  kamei'  ook  geladen  wordt,  en  wel  in  tegen- 
gestelden zin,  als  de  vloeistof.  Deze  luchtlading  zou  dus  bij  volgende 
proeven  de  vloeistofoplading  kunnen  tegenwerken. 

Bovendien  wordt  het  opvangvat  bedekt  met  een  kleinmazig 
ijzergaas,  met  een  centrale  opening,  waardoor  de  straal  heenvalt. 
Dit  gaas  dient,  om  de  weggeslingerde  vloeistofdrupjes  en  mogelijk 
ontstaand  schuim  tegen  te  houden,  terwijl  de  uiterst  fijne  nevel 
ongehinderd  zich  in  de  omgevende  lucht  kan  verspreiden. 


401 


Als  standaard  vloeistof  werd  zuiver  leidingwater  genomen,  dat  bij 
onze  proeven  een  gemiddelden  uitslag  van  50  streepjes  gaf.  Het 
ütrechtsclie  leidingwater  is  zeer  zuiver  en  bevat  weinig  zouten. 
Bovendien  is  de  temperatuur  vrij  constant,  wat,  in  aanmerking  ge- 
nomen den  grooten  invloed  van  de  temperatuur  op  de  waterval- 
electriciteit,  van  groot  belang  is. 

Tusschen  2 proeven  in  werd  steeds  een  controleproef  met  water 
ingeschoven,  waardoor  de  goede  functioneering  van  het  toestel  kon 
worden  nagegaan. 

Verder  werd  na  iedere  proef  de  cylinder  met  leidingwater  onder 
druk  doorgespoeld,  daar  kleine  hoeveelheden  in  het  vat  achterge- 
bleven ladende  stoffen  bij  de  volgende  proeven  onzuivere  uitkomsten 
konden  veroorzaken. 

Wij  vonden  bij  de  watervalelectriciteit  de  reukstoffen  niet  alle  in 
denzelfden  zin  werken.  De  meeste  versterkten  de  positieve  lading 
van  het  water,  andere  veranderden  haar  niet  of  nauwelijks,  terwijl 
enkele  haar  zelfs  verzwakten  en  een  negatieve  oplading  bewerkten. 

En  dit  alles  schijnbaar  zonder  dat  van  eenige  regelmaat  of  lijn 
iets  te  bespeuren  was. 

Wel  werd  algemeen  bij  sterkere  concentraties  (die  bij  de  bijna 
steeds  zeer  weinig  oplosbare  reukstoffen  altijd  gering  blijven)  groo- 
tere  verstei’king  of  verzwakking  geconstateerd.  Bovendien  vonden 
wij  in  de  homologe  reeksen  een  toenemenden  uitslag,  naar  gelang 
wij  van  de  lagere  naar  de  hoogere  termen  overgingen. 

Een  regel  aan  te  geven,  volgens  welken  bepaalde  reukstoffen  zouden 
versterken  of  verzwakken,  lijkt  voorshands  echter  geheel  onmogelijk. 

Dat  de  watervalelectriciteit  niet  identiek  is  met  de  nevelelectrici- 
teit  kan  b.v.  blijken  uit  ’t  gedrag  van  indol,  dat  bij  de  eerste  een 
zeer  groote  versterking  van  de  waterlading  geeft,  bij  de  tweede 
daarentegen  bijkans  werkeloos  is. 

Omgekeerd  geeft  b.v.  thymol  zeer  sterke  nevellading  en  zoo  goed 
als  geen  watervalelectriciteit. 

Bovendien  geeft  versch  gedistilleerd  water  hierbij  een  duidelijke 
versterking,  terwijl  het  bij  verstuiving  volstrekt  onwerkzaam  is. 

Wij  laten  hieronder  eenige  reukstoffen  volgen  met  hunne  ladingen 
in  den  teller  van  de  breuk,  terwijl  in  den  noemer  steeds  de  uit- 
slag van  leidingwater  voorkomt,  telkens  on  middellijk  van  te  voren 
opgenomen.  Het  teeken  van  de  lading  is  mede  aangegeven. 

Phenol  N.  opl. : + '“Vs, 

Cressol  V,,.,  N.  opl. : + 

Xylenol  N.  opl.:  -f 


402 


Amjlacetaat  Yioo»  opl. 

= + “7.. 

1 7o  aethylacohol.  -(-  '“76o 

Th j mol  opl.  (verzad). 

+ ^7,. 

5 7o 

1 00/ 
~ /60 

Toluol  (verd.  opl.) 

+ '“7eo 

10  7o 

1 20/ 

1 /60 

Kunstmuskus  (verd.) 

+ *7so 

20  »/„ 

20  / 

M / 60 

1 7o  Aethylalcohol 

1 100  / 

"T  /60 

Indolopl.  (verd.) 

+ ^“7.0 

Kamferopl. 

(verzad.)  — '7,„ 

Eucalyptol  (verzad.) 

1 130  / 

r / 60 

Bornylacetaat  ( ,,  ) -f-  ^76o 

Safrol  (verzad.) 

+ ^"760 

Capronzuur 

opl-  + '760 

Git  ral  (verz.) 

+ *760 

Azijnzuur  7: 

3 opl.  + ‘7,„ 

Blijkbaar  versterken  dus  de  meeste  reukstoffen  de  positieve  water- 
lading.  Slechts  kamfer  en  hornjlacetaat,  twee  in  reuk  zeer  verwante 
stoffen,  verlagen  haar,  resp.  doen  de  lading  omkeeren. 

Bovendien  verminderen  de  reukstoffen,  die  tot  de  zuren  behooren, 
de  lading  van  het  water,  evenals  alle  andere  zuren. 

En  eindelijk  doen  zeer  sterke  concentraties  van  reukstoffen,  zooals 
wij  die  bij  aethylalcohol  kunnen  bei-eiken,  de  lading  verzwakken 
(geven  zelfs  negatieve  lading)  juist  zooals  bij  de  verstui vings-elec- 
triciteit  het  geval  is. 

Overgaande  tot  de  smaakstoffen,  vonden  wij,  dat  aan  den  eenen 
kant  de  zoetstoffen  alle  min  of  meer  versterkten,  ofschoon  eerst  in 
sterkere  concentraties  dan  de  reukstoffen. 

Aan  den  anderen  kant  verzwakken  alle  zouten  en  zuren  de 
waterlading,  terwijl  de  bitterstoffen,  voor  zoover  ze  tot  de  electro- 
lyten  behooren,  eveneens  verzwakten. 

Die  bitterstoffen  echter,  welke  tot  de  colloidale  stoffen  gerekend 
moeten  worden,  versterkten  de  positieve  waterlading  weer,  evenals 
alle  andere  onderzochte  colloidale  stoffen. 


Zoetsto ff  en. 

Bitter  stoffen. 

Saccharose 

i7o 

+ ^7,6 

Chinin.  pur  (verz.  opl.).  — ’76o 

Laevulose 

1 7, 

+ ‘"760 

Bisulf.  chin.  1 7o  — ’"/«6 

Glucose 

7o 

+ "760 

Chloret.  magnes.  1 7o  — ‘7»o 

> > 

i7o 

+ ‘""Ao 

Sulfas  natricus  J 7o  — ‘Aiu 

Sach.  lactis 

i7o 

+ ‘’"Ao 

Chloret.  plumb.  7i  "/o  — Aco 

Glycocoll 

'A  7o 

+ ‘"760 

Glycerine 

1 7« 

+ ‘""Ao 

CoUoidale  bitterstoffen. 

Fel  Tauri  ‘Aooo:  + “"Ao 

Extr.  guassiae  sice  7g„„ : -j-  *“7,^ 
Glycochoiz.  natr.  : -f  «7,„. 

403 


Zouten. 

Zuren. 

Sulfas  natric.  1 ®/o 

15  / 

/ 60 

Ac.  lactic  Vg 

+ ’Vso 

Sulf.  kalic.  1 7o 

_ 15/  • 

/ 50 

„ acet.  V,  7, 

+ ‘Vso 

Sulf.  ammon.  1 7o 

— 30/ 

/ 69 

1 0/ 

-^  / 0 

- ’V.O 

Chloret  magn.  1 7» 

— 

/ 50 

„ hydrochl.  V,  7„ 

80  / 

/ 60 

„ natr.  1 7, 

— 'V 

/ 50 

„ citric.  1 % 

30/ 

/ 60 

„ kal.  1 7„ 

31  / 

\ 60 

„ amygdal.  V,  7„ 



/ 05 

,,  ammon.  1 7o 

— 'V 

/ 50 

„ tartaric.  7, 

7®/ 

/ 100 

,,  plumbic.  1 7o 

00  j 
/ 50 

,,  calcic.  1 % 

40  / 

/ 50 

Nitras  kalic.  1 

60 

/ 50 

Basen 

Sol.  NaOH  J 7.  = 

■ — 

/ 60 

„ KOH  1 7, : 

40  / 

/ 60 

„ NH,OH  V//.: 

+ ‘Vso 

De  Ijotrope  reeks  is  ook  hier  weer  in  te  herkennen,  evenals  bij 
de  verstuivingselectriciteit,  tenminste  ^’Oor  de  anionenreeks : 


Sulfas 

Kalic. 

V, 

N. 

-30 

Phosph. 

) 

V, 

N. 

—30 

Citras 

> > 

7. 

N. 

—25 

Chloret. 

> 

Vo 

N. 

—22 

Nitras 

> J 

V, 

N. 

—15 

Acetas 

1 

V. 

N. 

—13 

Rhodan. 

7, 

N. 

-12 

Jodet. 

> 

V, 

N. 

—10 

Hierbij  neemt  alleen  het  acetaat  een  te  lage  plaats  in,  vergeleken 
bij  de  lyotrope  reeks  bij  de  verstuivingselectriciteit.  Van  de  andere 
stoffen  die  werkzaam  bleken  bij  verstuiving,  onderzochten  wij  eenige 
glycosiden  en  saponinen,  antipyretica  en  alcaloiden,  die  alle,  mits 
niet  als  zout  onderzocht,  de  waterlading  bleken  te  versterken  : 


Glycosiden  en  Saponinen.  Alcaloiden. 


Aesculine 

V • 

/ 800  • 

+ '7.0 

Coffeine  (verd.) 

+^“7.0 

Saponine 

7 • 

/ «00  • 

+ '7.0 

Theophyline  (verd.) 

+ ““/.o 

Digitaline 

Opl.  : 

+ “7.0 

Hydrochl.  morphini 

+ ‘7,0 

Antipyretica. 

Pyramidon  ’7io 

Antipyrine  +/,  . 

27 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVlll.  A^.  1919/20. 


404 


Ten  slotte  bleken  alle  onderzochte  colloidale  stoffen  de  water- 
lading  te  versterken,  zelfs  een  eiwitoplossing,  die  steeds  zouten 
bevat,  mits  de  oplossing  voldoende  gedialyseerd  is. 


Gelatine  Ve  7o  op^-  • 

Tragacanth  (zéér  verdund) : 'Vs 

Tragacantli  verd.  opl. : + ^Vs 

Amyl.  oryzae  7^  7, : 

Dextrin  7i  V«  '•  , 

Gummi  arabic  Ve»o  ■ 

Fel  Tauri  Viooo: 


Colloidale  stoffen. 

+ ^7,„  Extr.  quassiae  : + '’Vr» 

Glycocholz.  natr.  -ff 

Albumen  ov.  sicc.  7o  + ’Vso 
„ „ gedialyseerd  + *7^, 


+ 'Vso 
+ ^Vs. 
+ 'V,s 
+ 


Het  spreekt  vanzelf  dat  bij  sterkere  concentraties  door  verhoo- 
ging  van  de  viscositeit  de  uitslag  verminderen  moet. 

De  invloed  van  de  temperatuur  op  de  watervalelectriciteit  is,  gelijk 
gezegd,  groot. 

Leidingwater  van  8°  : 40 

„ 35°  . 100. 


Temperatuursverhooging  versterkt  dus  de  positieve  waterlading 
aanmerkelijk. 

De  invloed  der  toevoeging  van  zoutoplossing  is  eveneens  onmis- 
kenbaar. Het  positief  sterk  opladende  alcohol,  dat  zonder  zout  in 
water  de  positieve  lading  zeer  verhoogt,  verliest  bij  gelijktijdige  aan- 
wezigheid van  keukenzout  dit  vermogen  aanvankelijk  voor  een  deel 
en  moet  het  bij  geconcentreei-de  zoutoplossing  zelfs  geheel  afstaan. 
De  negatieve  oplading  door  het  zout  krijgt  dan  de  overhand.  Het 
zout  aan  het  negatief  opladende  kamfer  toegevoegd  verhoogt  deze 
negatieve  lading.  Kamfer  en  zout  werken  samen.  Er  heeft  dus  in 
het  geval  van  de  watervalelectriciteit  naar  het  schijnt  eenvoudige 
additie  plaats  van  watereffect,  zouteffect  en  het  effect  van  het  vluch- 
tige toevoegsel  7- 

Om  deze  verschijnselen  te  verklaren,  zou  men  zoowel  de  verstui- 
vings-  als  de  watervalelectriciteit  kunnen  opvatten  als  een  vorm 
van  wrijvingselectriciteit.  In  beide  gevallen  zou  dan  de  wrijving, 
tusschen  vloeistof  en  lucht  tijdens  het  uitstroomen  bij  de  verstuiving, 
tusschen  vloeistof  en  zinken  plaat  bij  den  waterval,  het  loslaten  van 
electronen  veroorzaken,  die  in  de  omgevende  lucht  worden  verspreid. 


b In  het  geval  van  de  verstuivingselectriteit  is  de  toedracht  van  zaken  veel 
ingewikkelder,  Zie  E.  L-  Backmah.  Onderz,  Physiol.  Lab.  Utrecht  (5)  XIX  p.  210, 


405 


Echter  zou  dan  de  vloeistof  noodzakelijkerwijze  steeds  positief  opge- 
laden moeten  worden,  wat  blijkens  de  proeven  in  een  groot  aantal 
gevallen  niet  uitkomt.  Men  moet  dus  een  dieper  werkend  proces 
aannemen,  waarbij  grootere  vormsels  ontstaan  als  dragers  van  de 
electrische  lading.  Deze  vormsels  zouden  kunnen  ontstaan  uit  dez.g.  ionen, 
en  wel  positief  en  negatief  geladen  ionen  in  gelijk  aantal  ^),  waarom- 
heen de  waterdamp  zich  tot  druppeltjes  kan  condenseeren,  en  waarmee 
de  zoutdrupjes  zich  later  vereenigen  kunnen. 

Lenard  “)  veronderstelt,  dat  in  de  oppervlakkige  lagen  van  iedere 
di-electrische  vloeistof  niet  alleen  een,  door  de  moleculaire  krachten 
der  vloeistof  zelf  veroorzaakte,  electrische  dubbellaag  aanwezig  is, 
met  de  negatieve  laag  aan  de  buitenzijde,  maar  dat  deze  lagen  ook 
materieel  verschillend  zijn.  Deze  materieele  verschillen,  die  varieeren 
door  in  de  vloeistof  opgeloste  stoffen  (electrolyten,  vluchtige  stoffen, 
complexe  moleculen)  beïnvloeden  de  dikte  en  de  sterkte  van  de 
electrische  dubbellaag. 

Hij  voert  dus  de  waterval-  èn  de  verstuivingselectriciteit  terug  tot 
den  specifieken  toestand,  waarin  de  oppervlakte  van  iedere  di-elec- 
trische vloeistof  zich  bevindt. 

De  eigenlijke  oorzaak  van  de  oplading  zou  dan  zijn,  niet  een 
afgeven  van  electronen,  maar  een  wegslingeren  van  uiterst  fijne  vloei- 
stofdruppeltjes,  de  z.g.  ,, dragers”,  die,  al  naar  gelang  van  den  opper- 
vlakte-toesfand  der  vloeistof,  öf  zéér  klein,  en  dan  negatief  geladen 
zijn,  doordat  zij  geheel  ontstaan  uit  de  uiterste,  negatief  geladen 
laag  der  vloeistof,  óf  iets  grooter,  en  dan  positief  geladen  kunnen 
zijn,  doordat  zij  voor  het  grootste  deel  ontstaan  uit  de  meer  binnen- 
waarts gelegen  positieve  vloeistoflaag. 

Voor  bijzonderheden  verwijzend  naar  het  artikel  van  Lenard  zelf, 
volstaan  wij  met  te  constateeren  dat  het  meerendeel  van  de  door 
ons  verkregen  uitkomsten  bij  de  watervalelectriciteit  door  deze  theorie 
voldoende  verklaard  worden. 

Niet  verklaard  worden  hiermee  de  versterkende  invloed  van  tem- 
peratuursverliooging  (Lenard  zelf  meende,  op  grond  van  theoretische 
overwegingen,  dat  een  verzwakking  zou  moeten  optreden). 

Evenmin  waarom  kamfer  en  bornylacetaat  de  waterlading  ver- 
zwakken. En  eindelijk  blijft  de  versterkende  werking  van  de  zoet. 
stoffen  en  de  colloidale  stoffen  ook  door  deze  theorie  onverklaard. 

De  uitkomsten  bij  de  proeven,  die  reeds  vroeger  over  de  verstui- 
vingselectriciteit in  het  Utrechtsche  Physiologisch  Laboratorium  zijn 

1)  H.  Zwaahdemaker.  Le  Phénomène  de  la  charge  des  brouillards  de  substances 
odorantes.  Arch.  Neerl.  de  Phys.  de  1’homme  et  des  animaux  Tomé  I 1917  p.  347. 

®)  P.  Lenard.  Ueber  Wasserfallelektricitat.  Ann.  der  Pbysik,  Bd.  47 — 1915. 

27* 


406 


genomen  *),  laten  zich  veel  minder  goed  verklaren  met  behulp  van 
deze  theorie. 

In  de  eerste  plaats  geven  zuiver  leidingwater  (ütrechtsch)  en 
versch  gedistilleerd  water  (oud  gedistilleerd  water  is  wèl  werkzaam) 
bij  verstuiving  geen  of  zoo  goed  als  geen  lading. 

Vervolgens  is  over  het  algemeen  de  versterking,  die  de  lading 
ondergaat  door  toevoeging  eener  werkzame  stof,  zéér  veel  grooter 
bij  verstuiving  dan  bij  den  waterval. 

In  de  derde  plaats  geven  zoutoplossingen,  overeenkomstig  Lenard’s 
theorie,  een  duidelijke  negatieve  watervalelectriciteit ; daarentegen 
gaven  zij  geen  lading  bij  verstuiving  *). 

Eindelijk  zijn,  volgens  Lenard’s  theorie,  de  grootere  positieve 
dragers  van  een  keukenzoutsolutie  bij  de  watervalproef  natrium- 
lioudend,  de  kleinere  negatieve  dragers  daarentegen  bestaan  uit 
zuivere  watermoleculen,  wat  hij  aantoonde,  door  de  dragers  tusschen 
de  platen  van  een  condensator  te  brengen.  Hierbij  gingen  de  grootere 
positieve  Na-houdende  dragers  naar  de  negatief  geladen  condensator- 
plaat,  alwaar  hij  het  Natrium  kon  aantoonen.  De  kleinere,  negatief 
geladen  dragers  gingen  naar  de  positieve  plaat,  waarop  hij  geen 
Natrium  kon  aantoonen. 


1)  H.  ZwAARDEMAKER.  Het  in  overmaat  geladen  zijn  van  reukstof  houdende 
nevels.  Verslagen  K.  A.  v.  Wetensch.  Deel  XIX  N°.  1. 

H.  ZwAARDEMAKER.  Specifieke  reukkracht  en  odoroscopisch  ladingsverschijnsel 
in  homologe  reeksen,  ld.  Deel  XIX  N®.  2. 

H.  ZwAARDEMAKER.  Reukstofmengsels  en  hun  laadvermogen  door  nevelelectriciteit 
ld.  Deel  XXV  HO  Sept.  1916. 

H.  ZwAARDEMAKER.  Le  phenomène  de  la  charge  des  brouillards  des  substances 
odorantes.  Arch.  Neerl.  Physiol.  T.  1,  p.  347. 

H.  ZwAARDEMAKER.  Le  sens  de  l’adsorption  des  Subst.  Volatiles  Acta  Oto-lary- 
agologica. 

H.  ZwAARDEMAKER  en  H.  Zeehuisen.  Over  het  teeken  v.  h.  ladingverschijnsel 
en  de  bij  dit  verschijnsel  waargenomen  invloed  op  de  lyotrope  reeksen.  Verslagen 
K.  A.  V.  Wetensch.  deel  XXVII  1918. 

E.  L.  Backman.  De  olfactologie  der  methylbenzolreeks.  ld.  Deel  XXV  27  Jan. ’17. 

E.  L.  Backman.  Ueber  die  Verstaubungselektricilat  der  Riechstoffe.  Arch.  f.  d. 
ges.  Phys.  Bd.  168  S.  351. 

C.  Huyer.  De  olfactologie  v.  aniline  en  homologen.  Diss.  „Onderz.”  (5)  Deel 
XVIII,  p.  1,  89. 

*)  Het  is  ons  later  gelukt,  ook  bij  verstuiving  van  een  1 ®/o  keukenzoutsolutie 
een  geringe  negatieve  lading  aan  te  toonen,  door  vermindering  van  de  capaciteit 
van  de  opvangschijf.  Doch  deze  lading  is  bij  lange  na  niet  zoo  groot,  als  die  bij 
den  waterval  ontwikkeld  wordt  en  valt  in  het  niet  tegenover  de  verstuivings- 
electriciteit,  welke  ontstaat  bij  toevoegingen  van  vluchtige  en  oppervlak-actieve  stoffen. 


407 


Herhaalt  men  deze  proef  bij  verstoven  zoutsolutie  ‘),  dan  blijken 
zoowel  de  groote  positieve  als  de  kleine  negatieve  dragers  Natriiun- 
hondend  te  zijn. 

Watervalelectriciteit  en  verstui vingselectriciteit  mogen  derhalve  al 
onderling  verwante  processen  zijn,  volkomen  identiek  zijn  ze  klaar- 
blijkelijk niet. 

0 A.  Stefanini  en  G.  Gbadenigo.  Inhalazione  di  Nebbië  Salina  Secche.  Lucca 
1914,  p.  22. 


Geologie.  — De  Heer  Kutten,  correspondent  der  Afdeeling,  biedt 
eene  mededeeling  aan  : ,,  Foraininiferenhoudende  gesteenten  uit 
het  stroomgebied  der  Lorentzrivier  {Zuidwest  Nieuw-Guinea)’' . 

De  Nederlandsche  Zuid  ISlieuw-Guinea-expedities  van  1907  en  1909 
brachten  eene  vrij  groote  gesteenteverzameling  uit  het  stroomgebied 
der  Lorentzrivier  (Noordrivier)  mede.  Vele  gesteen temonsters  bevatten 
Foraminiferen  van  tertiairen  ouderdom.  Zij  zullen  in  het  onder- 
staande kort  beschreven  worden. 

Na  de  laatste  samenvatting  der  Foraminiferen-literatuur  van 
Nieuw-Guinea  0 is  er  slechts  eene  enkele  publicatie  van  R.  Bullen 
Newton  ’)  verschenen,  waarin  enkele  Lepidocyclinenhoudende  kalk- 
steenen beschreven  worden,  die  aan  de  sneeuwgrens  op  den 
Carstensz  Top  gevonden  werden.  Wat  de  literatuur  betreft,  kan  dus 
naar  de  vroegere  samenvatting  verwezen  worden. 

De  gesteenten  der  bovengenoemde  expedities  zijn  afkomstig  uit 
eene  zone,  waaruit  K.  Martin  *)  reeds  in  1911  talrijke  fossielen 
beschreef;  het  stroomgebied  der  Lorentzrivier  neemt  echter  in  deze 
zone,  die  zich  van  den  J37sten  tot  den  141sten  lengtegraad  uitstrekt, 
slechts  eene  bescheiden  plaats  in.  Men  mocht  dus  a priori  ver- 
wachten, dat  de  collectie  — voorzooverre  ze  uit  rolsteenen  bestond  — 
weinig  nieuws  zoude  opleveren.  Van  meer  belang  waren  natuurlijk 
de  stukken,  die  van  de  vaste  rots  afgeslagen  waren;  zij  zijn  echter 
weinig  talrijk. 

Uit  een  geologisch  oog[)unt  beschouwd  bestond  er  dus  geen  aan- 
leiding, om  de  collectie  intensief  te  bespreken.  Ook  palaeontologische 
overwegingen  maakten  eene  slechts  korte  beschrijving  van  het 
materiaal  wenschelijk.  Verreweg  de  meeste  stukken  zijn  kalksteenen 
met  Lepidocyclinen  of  Nummulieten  als  talrijkste  fossielen.  De 
fossielen  kunnen  niet  uit  het  gesteente  losgeprepareerd  worden  en 
moeten  dus  aan  dunne  slijpplaatjes  onderzocht  worden.  Nu  is  wel 
is  waar  de  systematiek  der  indische  Lepidocyclinen  eenigerniate 
opgehelderd,  maar  de  verschillende  soorten  zijn  zelfs  dan  moeilijk 

h L.  Rutten.  In  Nova  Guinea,  VI.  2.  1914,  p.  22 — 25. 

2)  R.  Bullen  Newton.  Organic  Limestones  etc.  from  Dutch  New  Guinea.  Reporls 
on  the  collections  made  by  the  British  Ornithological  Union  Expedition  and 
the  VVollaston  Expedition  in  Dutch  New  Guinea,  1910 — 191B,  Vol.  II.  Report  20, 1916. 
Voor  Engelsch  Nieuw-Guinea,  zie  nog  R.  Bullen  Newton,  Geol.  Mag.  (6).  V.  1918, 
p 203—212. 

K.  Martin.  Samml.  Geol.  Reichsmus.  Leiden  (1).  IX.  1911,  p.  84  e.v. 


409 


van  elkaar  te  onderscheiden,  als  men  geïsoleerde  individuen  voor 
zich  heeft.  Gedetailleerde  bestudeering  van  dunne  slijpplaatjes  geeft 
daarom  meestal  zeer  weinig  resultaat.  Met  de  Nummulieten  is  het 
nog  erger:  men  kent  de  specifieke  verschillen  der  Indische  soorten 
zeer  slecht,  zoodat  zelfs  de  determinatie  van  geïsoleerde  individuen 
vaak  moeilijk  is. 

Zoowel  geologische  als  palaeontologische  overwegingen  maken  dus 
eene  slechts  korte  beschrijving  van  het  materiaal  wenschelijk. 

1).  De  Lepidocyclinenkalksteenen.  Rolsteenen  met  Lepidoc;y'clinen 
werden  in  de  Loientzrivier  bij  Sabang  en  Geitenkamp,  in  de  Bibis- 
rivier  (Van  der  Sande-rivier),  en  aan  de  uitmonding  der  Koekoeks- 
rivier  in  de  Reigerrivier  gevonden  ')■  Vaste  rots  van  Lepidocyclinen- 
kalksteen  werd  in  het  Resigebergte,  het  Wentgebergte,  aan  den 
Permadiberg  en  bij  het  Peramelesbivak  aangetrofFen.  De  kalksteenen 
behooren  tot  verschillende  types. 

Het  talrijkst  zijn  zuivere,  grijze  tot  bruingrijze  kalksteenen,  die 
steeds  door  het  voorkomen  van  groote  Lepidocyclinen  gekenmerkt 
worden.  Daarnaast  komen  meestal  Heterosteginen  en  vaak  zeer 
kleine  Nummulieten  voor  (Rolsteenen:  Sabang  no.  85.  1907,  11:1a. 
1907,  Geitenkamp  no.  195.  1907,  Bibisrivier  no.  544.  1909,  Koe- 
koeksrivier  no.  385,  1907;  Vaste  Rots:  Wentgebergte  no.  631, 1909 
en  Perameles  Bivak  nos.  629  en  930.  1909).  De  diameter  der  Lepi- 
docyclinen bedraagt  meest  meer  dan  15  m.m.,  in  één  stuk  (544. 
1909)  zelfs  meer  dan  40  m.m.  Ze  zijn  macrosfeer,  en  de  eerste 
kamer  wordt  door  de  tweede  geheel  omvat.  De  fossielen  zijn  zwak 
lensvormig  en  bezitten  geen  duidelijken  medianen  tuberkel.  Zuiltjes 
van  tusschenskelet  zijn  soms  afwezig;  meestal  echter  komen  zij  voor 
en  zijn  dan  regelloos  over  de  geheele  schaal  verdeeld.  Ze  zijn  duidelijk 
conisch;  meest  is  hun  diameter  kleiner  dan  die  der  laterale  kamers, 
soms  echter  worden  ze  grooter  en  omvatten  dan  in  de  tangentiale 
doorsnede  de  laterale  kamers.  Deze  Lepidocyclinen  behooren  tot  de 
groep  der  Lepidocyclina  insulaenataüs  J.  a.  Ch. 

De  Heterosteginen  kunnen  van  de  recente  H.  depressa  d’Orb. 
nauwelijks  onderscheiden  worden;  in  één  handstuk  (544.  1909)  is 
echter  het  nummuliforme  deel  sterk  ontwikkeld,  zoodat  de  fossielen 
gelijken  op  H.  margaritata  Schlumberger  ’). 

De  Nummulieten  behooren  tot  de  kleine  tusschenvormen  tusschen 
Nummulites  en  Operculina,  van  welke  Verbeek  o.a.  N.  Niasi  II  en 
N.  Doengbroeboesi  beschreven  heeft.  Hun  diameter  bedraagt  slechts 

9 Zie  voor  topographische  details  de  kaart  in  Bulletin  N'’.  64  der  „Maatschappij 
ter  bevordering  van  het  Natuurkundig  Onderzoek  der  Nederlandsche  Koloniën”,  1910. 

9 G.  Schlumberger.  Sannnl.  Geol.  Reichstnus.  Leiden  (1).  VI.  1902,  p.  250— 252. 


410 


2 mm. ; het  getal  der  omgangen  is  3-4.  Ze  gelijken  op  Numraulites 
door  de  niet  snelle  lioogtetoename  der  omgangen,  op  Operculina  door 
de  geringe  omvatting  der  omgangen  en  door  de  wandsti’uctuur.  Zij 
zijn  zonder  eenige  stratigraphische  waarde. 

Naast  de  genoemde  fossielen  komen  nog  voor:  kleine  Lepidocy- 
clinen  (629.  1909),  Cycloclypeus  (85.  1907),  ? Poljstomella  (85. 1907), 
Gypsina  (630  en  631.  1909),  Rotalidae  (544.  1909)  en  ? Orbitolites 
(85.  1907).  Merkwaardig  is  hel  voorkomen  van  Alveolinen  met  slechts 
1 laag  van  kamers  per  omgang  (85.  1907).  Ook  in  West  Nieiiw- 
Guinea,  bij  Kaï’as,  werden  in  een  Lepidocyclinenkalksteen  sporen  van 
dergelijke  primitieve  Alveolinen  aangetroffen  '). 

Uit  liet  talrijke  voorkomen  van  groote  Lepidocyclinen  en  van 
primitieve  Alveolinen  blijkt,  dat  de  beschreven  gesteenten  tot  het 
oudste  Mioceen  of  tot  het  Oligoceen  moeten  behooren. 

Een  rolsteen  van  de  helling  van  den  Permadieberg  (452  m.) 
(no.  353.  1907)  verschilt  van  de  boven  beschreven  gesteenten  slechts 
daardoor,  dat  kleine  Lepidocyclinen  onder  de  fossielen  de  overhand 
hebben.  Hierop  gelijkt  weer  een  grijze  kalksteen  uit  het  Went- 
Gebergte,  die  naast  schaarsche  groote  Lepidocyclinen  en  talrijke 
Heterosteginen  nog  Gypsina,  Alveolina  s.str.,  Amphistegina,  PCalcarina, 
Rotalidae  en  Lithothamnium  bevat  (NL  623,  1909). 

Sterk  verschillend  van  de  tot  nu  toe  beschreven  gesteenten  is  een 
rolsteen  van  Sabang  (NL  84.  1907),  die  vol  Koralen  en  Lithotham- 
niën  zit,  maar  slechts  sporen  van  Lepidocyclinen  bevat. 

Een  rolsteen  uit  de  Koekoeksrivier  (NL  382,  1907)  bevat  Cyclocly- 
peus  annulatus  Martin,  kleine  Lepidocyclinen  met  zeer  dikke  wratten, 
Globigerinen  en  Koralen. 

Vier  gesteenten  uit  het  Resigebergte  (NL  310,  31 1,  3J  2,  361 . 1907) 
en  een  rolsteen  van  Geitenkamp  (NL  170.  1907)  sluiten  de  rij  der 
Lepidocyclinengesteenten.  Het  zijn  alle  grijswitte,  vrij  kristallijne  kalk- 
steenen, die  zeker  bij  elkaar  behooren,  al  bevatten  niet  alle  karak- 
teristieke fossielen.  Kleine  Lepidocyclinen  komen  in  170  en  310. 1907 
voor,  slecht  bewaarde  Nummuliniden  in  310,  311,361  1907,  andere 
slecht  bewaarde  Foraminiferen  in  170,  310,  311.  1907,  Lithotham- 
nium in  170  en  311.  1907,  en  slecht  bewaarde  Koralen  in  170 
310,  361.  1907. 

We  zagen  dus,  dat  in  het  stroomgebied  der  BibiS'  Lorentz-  en 
Reigerrivier  neogene,  Lepidocyclinenhoudende  gesteenten  moeten 
voorkomen.  Uit  de  beide  eerste  stroomgebieden  is  ook  het  vaste 
gesteente  bekend:  in  het  gebied  iusschen  Resigebergte  in  het  Zuiden 


b L.  Rutïen.  Nova  Guinea,  1.  c.,  p.  38. 


411 


en  Permadiberg  in  het  Pi  oorden  moeten  oudmiocene  tot  oUgocene  af- 
zettingen groüie  verspreiding  hehhen. 

Alle  Lepidocjclinenkalksteenen  zijn  zeer  zuiver. 

2.  De  Operculina-  en  Heterosteginakalksteenen.  Uit  de  omgeving 
van  liet  Wentgebergte  komen  nog  drie  kalksteenen,  die  van  de  vorige 
niet  onbelangrijk  verschillen.  Twee  rolsteenen,  beide  542.  1909  ge- 
nummerd, werden  in  de  Bibisrivier  gevonden.  De  eene  is  een  vrij 
kristallijne,  roodgrijze  kalksteen  met  schaarsclie  kwartssplinters.  Hij 
bevat  vele,  niet  goed  bewaarde  Heterosteginen.  De  andere  is  een 
glauconitische  kalkzandsteen,  waarin  men  naast  talrijke  kwaï-tskorrels 
vele  Operciilinen  en  sporen  van  Heterosteginen  ontwaart. 

Een  witgrijze,  suikerkorrelige  kalksteen  van  den  Permadiberg 
(N“.  349.  1907)  bevat  naast  zeldzame  kwartskorrels,  slecht  bewaarde 
kleine  Rotalidae,  Textuiaridae,  Miiiolidae  en  andere  kleine  Foratnini- 
ferenresten  talrijke  kleine  Operciilinen. 

Een  glauconitische  kwartsrijke  kalksteen  uit  het  Wentgebergte 
(N“.  616.  1909)  bevat  naast  schaarsche  Operculinen  en  Milioliden 
zeer  talrijke,  kleine  Heterosteginen.  Het  zijn  kleine  (horizontale 
doorsnede  2 — 3 mm.,  verticale  doorsnede  1 mm.),  knoopvormige 
fossielen,  die  bijna  geheel  uit  spiralen,  die  elkaar  omvatten,  opgebouwd 
zijn.  De  oppervlakte  is  bedekt  met  talrijke,  dikke  wratten,  die  het 
basale  deel  van  conische  zuiltjes  van  tusschenskelet  zijn.  Deze  wratten 
worden  met  elkaar  verbonden  door  dunne,  onregelmatig  verloopende 
ribben.  In  de  dwarse  doorsnede  lijken  deze  fossielen  sterk  op  kleine 
Nummulieten,  in  de  inediane  doorsnede  ziet  men  echter,  dat  het 
kleine  Heterosteginen  zijn,  die  het  periphere,  evolute  skeletdeel,  dat 
anders  bij  dit  genus  meestal  voorkomt,  bijna  steeds  missen.  Het  zijn 
individuen  van  Heterostegina  (Spirocljpeus)  pleurocentralis  Carter. 

Over  den  ouderdom  der  besproken  Operculina-  en  Heterostegina- 
kalksteenen kan  niets  positiefs  gezegd  worden,  maar  het  is  zeer 
waarschijnlijk,  dat  zij  tot  dezelfde  formatie  als  de  Ijepidocyclinen- 
kalksteenen  belmoren.  Merkwaardig  is,  dat  de  Operculina-Heteroste- 
ginakalksteenen  alle  kwartskorrels  of  kwartssplinters  bevatten,  ja, 
dat  sommige  echte  kalkzandsteenen  zijn. 

3.  Kristallijne  kalksteenen  uit  het  Helhuiggebergte.  Zeer  kristallijne, 
suikerkorrelige,  grijze  tot  grijsroode  kalksteenen  zonder  herkenbare 
fossielresten  werden  in  het  Heil wiggebergte  (N“.  337,  1907;  650, 
652,  666,  1909)  en  op  den  Kristalberg  (N“.  342.  1907)  verzameld. 
Hun  ouderdom  is  volmaakt  onbekend. 

4.  De  Alveolina-  en  Lacazina kalksteenen.  Een  aantal  eocene 
kalksteenen,  waarin  nu  eens  de  Aiveolinen,  dan  weer  de  Lacazinen 
de  overhand  hebben,  werden  deels  als  rolsteenen  verzameld,  deels  als 


412 


vast  gesteente  aangetroffen.  Steeds  zijn  het  zwartgrijze  gesteenten, 
waarin  de  fossielen  als  witte  vlekjes  te  herkennen  zijn. 

Vijf  rolsteenen  (Sabang  N“.  117.  1907,  Alkmaar  no.  286a.  1907, 
Bibisrivier  N°.  527.  1907,  zijrivier  der  Bibisrivier  N“.  738.  1909  en 
Geitenkamp  N“.  187a.  1907)  behooren  tot  de  Alveolinenkalksteenen. 
Alle  zijn  dichte,  grijze  kalksteenen  met  schaarsche  kwartssplinters. 
Zij  zitten  vol  met  Alveolineii,  die  tot  liet  primitieve  type  behooren. 
Voor  een  deel  zijn  ze  spits  spoelvormig,  en  behooren  tot  A.  Wichmanni 
Kutten,  voor  een  ander  deel  zijn  ze  meer  ellipsoidaal  en  behooren 
dan  wellicht  tot  A.  Javana  Verbeek.  Daarnaast  komen  kleine  Rotaliden 
en  Milioliden  voor.  Talrijk  zijn  voorts  kleine,  meer  dan  5 mm. 
metende  Nummuliniden,  die  hetzij  tot  Operculina  of  tot  Nummuliles 
behooren.  Ze  gelijken  sterk  op  de  tnsschenvormen  tusschen  deze  beide 
genera,  die  uit  den  eocenen  Alveolinenkalksteen  van  Tandjoeng 
Seilor  (Oost  Borneo)  bekend  zijn.  ’) 

Een  andere  Alveolinakalksteen,  waarschijnlijk  ook  een  rolsteen, 
werd  aan  de  noordelijke  helling  van  den  Geluksheuvel  gevonden 
(no.  320.  1907).  De  kalksteen  is  zeer  gebleekt;  hij  bevat  dezelfde 
versteeningen  als  de  boven  beschreven  rolsteenen.  Merkwaardig  is, 
dat  vele  Alveolinen  in  dit  gesteente  onregelmatige  vormen  vertoonen, 
die  waarschijnlijk  het  gevolg  van  groeistremrningen  tijdens  het  leven  zijn. 

Drie  grijszwarte  kalksleenen,  die  sterk  op  de  vorige  lijken,  werden 
aan  het  vaste  gesteente  van  den  Wilhelminatop  verzameld  (N“®  707, 
709,  712.  1909).  Naast  zeer  talrijke  individuen  van  Lacazina  Wich- 
manni Schl.  komen  in  het  gesteente  ook  resten  van  Alveolina  Wich- 
manni voor.  Daarnaast  Milioliden,  Rotaliden  en  kleine  Nummuliniden. 
Ofschoon  de  kalksteenen  van  den  Wilhelminatop  tot  hetzelfde  type 
behooren  als  de  rolsteenen  uit  de  Lorentz-  en  Bibisrivieren,  moeten 
de  laatste  toch  eene  andere  herkomst  hebben,  omdat  de  verdeeling 
der  fossielen  in  de  gesteenten  verschillend  is:  in  de  rolsteenen  zijn 
Lacazinen  afwezig,  terwijl  zij  aan  den  Wilhelminatop  de  overhand 
hebben. 

De  boven  beschreven  Alveolina  en  Lacazinakalksteenen  behooren 
zeker  tot  het  Oudtertiair. 

Merkwaardig  is  de  zuiverheid  dezer  kalksteenen,  die  slechts  zelden 
splinters  van  kwarts  bevatten. 

5.  Ninnmulina- Alveolina  kalksteen.  Een  zwartgrijze  kalksteen  van 
eene  rolsteenbank  bij  Sabang  gelijkt  op  het  eerste  gezicht  sterk  op 
de  beschreven  Alveolinenkalksteenen  (N°.  144.  1907).  In  de  slijp- 
plaatjes  ziet  men  echter,  dat  de  Alveolinen  in  het  gesteente  schaarsch 
zijn,  en  dat  Nummulieten  onder  de  fossielen  verre  de  overhand  hebben. 


‘)  L.  Rutïen.  Samml.  Geol.  Reichsmuseum  Leiden  (1).  X.  1915,  p.  10. 


413 


De  Alveolinen  zijn  zeer  merkwaardig.  Ze  behooren  zeker  tot  het 
eenvoudige  type.  Hun  vorm  is  absoluut  onregelmatig:  liij  voegt  zich 
geheel  naar  de  tussehenruimten,  die  de  Nummulieten  in  het  gesteente 
laten;  de  Alveolinen  vullen  als  het  ware  in  „allotriomorphen”  vorm 
de  Testruimten  tusschen  de  ,,idiomorphe”  Nummulieten  (Fig.  1 en  2)  op. 
Daar  déze  nooit  sterke  deformaties  vertoonen,  mag  men  ook  niet 
aannemen,  dat  de  deformaties  der  Alveolinen  na  hunnen  dood  door 
gebergtedruk  ontstaan  zijn.  Waarschijnlijk  zijn  deze  deformaties  het 
gevolg  van  groeistremmingen  : de  Alveolinen  groeiden  op  den  bodem 
tusschen  doode  Nummulietenschalen  en  waren  genoodzaakt,  hunne 
vormen  aan  de  omgeving  aan  te  passen. 

De  Nummulieten  schijnen  tot  verschillende  soorten  te  behooren. 
Voor  het  grootste  deel  zijn  het  kleine  vormen  (horizontale  doorsnede 
4 — 5 mm.,  verticale  doorsnede  — 2 mm.),  die  sieclits  ongeveer  6 
omgangen  bezitten.  Skeletzuiltjes  zijn  niet  talrijk;  waar  zij  aanwezig 
zijn,  hebben  zij  steeds  conische  vorm.  Soms  is  een  centrale  tuberkel 
aanwezig.  De  septaalbanden  schijnen  in  zwakgegolfde  lijnen  radiair 
te  veiioopen.  Wellicht  behooren  deze  Nummulieten  in  de  groep  van 
N.  Bagelensis  Verbeek  thuis.  Daarng,ast  komen  echter  ook  grootere 


Fig.  1. 


vormen  voor  (diameter  meer  dan  10  mm.),  welker  maeandriforme 
septalbanden  met  schaarsche  wratten  bezet  zijn. 

Deze  kalksteen  bevat  slechts  scliaarsche  kwartssplinters. 


414 


6.  Nummulieteiihalksteenen.  Talrijke  Nummulietenkalken  werden 
als  rolsteenen  gevonden.  Wellicht  is  van  één  vindplaats  ook  het 
vaste  gesteente  veilegenwoordigd.  Aan  de  noordwest  en  zuidwest- 


Fig.  2. 


helling  van  den  Permadiberg  werden  twee  Nummulietenkalksteenen 
gevonden,  van  welke  de  eene  waarschijnlijk  een  rolsteen  is  (N®.  350. 
1907),  terwijl  de  andere  mogelijkerwijze  uit  het  vaste  gesteente  komt 
(N®.  347.  1907).  Beide  zijn  zeer  fossielrijke  kalksteenen  met  schaar- 
sche  kwartssplinters.  Zij  zijn  zwak  glanconitisch.  Verreweg  de  tal- 
rijkste fossielen  zijn  Nummulieten,  die  zelden  grooter  dan  15  mm. 
worden ; daarnaast  komt  Lithothamnium  voor. 

Een  rolsteen  van  rooden  Nummulietenkalk,  die  zeer  veel  kleine 
kwartssplinters  bevat,  werd  in  de  Bibisrivier  gevonden  (N®.  559. 1909). 
Hij  bevat  vele  kleine  en  groote  Nummulieten  met  netvormige  sep 
taalbanden  en  enkele  Operculinen. 

In  de  Lorentzrivier  werden  rolsteenen  van  Nummulietenkalk  bij 
Sabang  (N®.  111.  1907),  Geitenkamp  (N®.  196.  1907)  en  Alkmaar 
(N°.  243,  286.  1907)  gevonden. 

N®.  111.  1907  is  een  grijsbruine  Nummulietenbreccië  met  iets 
glauconiet  en  sporen  van  kwarts.  Naast  groote  en  kleine  Nummulieten 
komen  zeer  schaarsche  Lithothamniën  voor.  Ook  N®.  196.  1907  is 
eene  Nummulietenbreccië  met  sporen  van  Alveoiinen.  De  Nummulieten, 
met  doorsneden  van  niet  meer  dan  15  mm.,  hebben  maeandriforme 


415 


septaalbanden.  Ook  in  N°.  243.  1907  komen  Nummulieten  met 
maeandriforme  septaalbanden  voor,  die,  met  zeldzame  Alveolinen,  in 
een  roode  grondmassa  van  kalksteen  liggen.  De  aan  kwartssplinters 
rijke  kalksteen  N“.  286.  1907  bevat  halfgroote  Nummulieten  en 
eenige  Alveolinen. 

Drie  rolsteenen  van  Nummulietenkalksteen  werden  in  de  Schultz- 
rivier,  een  oostelijke  zijtak  van  de  Lorentzrivier  gevonden  (Nos.  796, 
797,  798.  1909).  Het  zijn  alle  grijze  kalksteenen,  rijk  aan  splinters 
en  afgerolde  kori'els  van  kwarts,  waarin  vele  groote  en  kleine  Num- 
mulieten voorkomen.  De  Nummulieten  bezitten  voor  een  deel  net- 
vormige septaalbanden.  Naast  Nummnlina  komt  Miüola  en  wellicht 
Operculina  voor. 

Bij  de  uitmonding  der  Koekoeksrivier  in  de  Reigerrivier  werd 
ten  laatste  een  kalksteen  met  schaarsche  kwartssplinters  gevonden 
(N“.  388.  1907),  die  naast  dubieuse  Heterosteginen  talrijke,  tot  15  mm. 
groote  Nummulieten  met  net  vormige  septaalbanden  bevat. 

Terwijl  de  in  den  aanvang  beschreven  Lepidocyclinenkalksteenen 
en  waarschijnlijk  ook  de  Operculina-Heterosteginagesteenten  tot  het 
Neogeen  belmoren,  zijn  de  Alveolina-Lacazinagesteenten  en  de  Nummu- 
lietenkalken  zeker  eogeen.  De  afwezigheid  van  Assilinen  en  Ortho- 
phragminen  en  het  veelvuldig  voorkomen  van  Nummulieten  met 
net  vormige  septaalbanden  wijst  er  echter  op,  dat  we  met  de  jongere 
deelen  van  het  Eogeen  te  doen  hebben. 

Enkele  zeer  jonge,  slibbare,  kleiige,  Foraminiferenhoudende  ge- 
steenten werden  zuidelijk  van  de  gebergte-zone  gevonden.  In  een 
klei  van  Kruisheuvel  bij  Sabang  (N°.  107.  1907),  welke  de  laatste 
gebergteplooiing  nog  heeft  meegemaakt,  werden  talrijke  Rotalidae 
aangetroffen.  Vele  Polystomellen  komen  vooi'  in  een  klei,  die  als 
vast  gesteente  op  den  Zuilenheuvel,  niet  ver  van  Geitenkamp,  voor- 
komt (N“.  177a.  1907).  Een  bij  Alkmaar  optredende  klei  is  rijk  aan 
verschillende,  stratigraphisch  onbelangrijke  Textularidae  en  Miliolidae 
(N".  258a.  1907).  De  drie  genoemde  kleien  gelijken  sterk  op  de 
jongtertiaire  mergels,  die  van  Timena  in  Noord  Nieuw-Guinea 
bekend  zijn  ^).  Waarschijnlijk  is  ook  hun  ouderdom  ongeveer  dezelfde. 

Ten  laatste  moeten  nog  eenige  ontypische  Foraminiferenhoudende 
gesteenten  vermeld  worden.  Een  rolsteen  van  Alkmaar  (N°.  224. 
1907)  is  een  glauconitische,  donkergrijze  kalk  met  Lithothamnium, 
Koralen,  ? Bryozoen,  ? Orbitolites  en  een  zeer  kleine  Nummulinide 


b L.  Kutten.  Nova  Guinea,  1.  c.,  p.  34. 


416 


waarschijnlijk  Polystomella  van  beslist  tertiairen  ouderdom.  In  de 
Bibisrivier  werd  een  vaste  kalksteen  gevonden,  die  naast  talrijke 
Lamellibranchiatae  en  Koralen  kleine  Individuen  van  Poljstomella 
cf.  craticulata  F.  en  M.  bevat.  Ook  dit  gesteente  is  tertiair. 

Naast  de  tot  nu  toe  beschreven  gesteenten  werden  nog  een  aantal 
andere  kalksteenen  en  kalkzandsteenen  uit  het  stroomgebied  der 
Lorentzrivier  onderzocht,  waarin  echter  geen  Foraminiferen  bleken 
voor  te  komen. 

Merkwaardig  is,  dat  in  geen'  der  onderzochte  gesteenten,  die  voor 
een  deel  vrij  grofklastisch  rvaren,  vidcanisch  materiaal  voorkomt. 
In  dit  opzicht  bestaat  er  dus  eene  scherpe  tegenstelling  tusschen 
Noord-  en  Zuid-Nieuw-Guinea. 


Buitenzorg,  Noxember  1916. 


Physiologie.  — De  Heer  Hamburger  biedt  een  mededeeling  aan 
van  den  Heer  R.  Brinkman  en  Mejuffr.  E.  van  Dam,  getiteld : 
,,Een  methode  voor  de  bepaling  van  ionenconcentraties  in 
idtrajiltraten  en  andere  eiwitvrije  oplossingen’ . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  F.  M.  Jaeger.) 

A.  De  bepaling  van  het  gehalte  aan  vrije  Calciuin-ionen. 

Voor  de  beteekenis  der  biologische  zontwerkingen  komen  in  de 
eerste  plaats  de  ionen  werkingen  in  aanmerking.  Het  is  daarom 
wenschelijk,  dat  wij  over  een  methode  kannen  beschikken,  waarmee 
inonenconcentraties  gemeten  worden. 

Tot  nu  toe  wordt  alleen  de  concentratie  der  vrije  H--ionen  direct 
gemeten  ; de  concentraties  van  andere,  eveneens  physiologisch  belangrijke 
ionen  werden  of  niet,  of  alleen  indirect  door  berekening  bepaald. 

De  concentratieketen-methode  kan,  door  de  storende  gasontwikkeling,  zeer  moeilijk 
voor  de  physiologisch  belangrijke  metalen  worden  toegepast.  Drucker  b heeft  een 
methode  aangegeven,  waarbij  een  Ba-amalgaam  als  electrode  gebruikt  werd;  een 
analoge  methode  kan  misschien  uitgewerkt  worden  voor  alkalimelalen.  Dergelijke 
bepalingen  zijn  echter  nog  niet  uitgevoerd. 

Als  voorbeeld  van  een  geval  waarbij  het  noodig  is  de  ionen- 
concentrafie  te  kennen,  kannen  wij  den  toestand,  waarin  het  calciam 
in  het  bloed  voorkomt,  noemen.  Het  komt  daar  nl.  voor  in  3 vormen, 
als  Ca"  ion,  als  niet-gedissocieerd  calcinmzoat  (Ca  (HCo,),)  en  als 
kolloidale  calcium-eiwitverbinding ; in  den  laatsten  vorm  bevindt  zich 
ongeveer  25  “/o  van  het  totale  calcium.  Volgens  en  Takahashi') 
wordt  de  ionenconcentratie  van  het  calcium  in  het  serum  bepaald 
door  de  evenwichtsvergelijking. 

[CdAXDCOA 

^ rr:  k . {k  is  gemiddeld  350). 

Voor  het  serum,  dat  de  physiologische  [H’]  en  koolzuurspanning 
heeft,  beteekent  dit  een  [Ca"]  van  20 — 25  mgr.  per  L.  Van  de  + 
100  mgr.  per  L.  calcium  die  in  het  serum  voorkomen  is  dus  slechts 
Vj  deel  in  ion-vorm  aanwezig.  Men  ziet  uit  de  vergelijking  dat  deze 
Ca-ionen  concentratie  niet  direct  afhankelijk  is  van  de  totale  hoeveelheid 

1)  Zeitschr.  für  Elektrochemie  19,  804  (1913). 

b Biochem.  Zeitschr.  49  p.  390. 


418 


calcium;  de  concentratie  van  liet  phjsiologiscli  belangrijkste  deel 
van  het  plasma-calcium  wordt  dus  niet  beheerscht  door  de  hoeveelheid 
aanwezige  calciumzouten,  maar  door  de  waterstof  en  bicarbonaationen- 
concentratie. 

Met  behulp  van  de  door  ons  aangegeven  methode  kan  men  nu  op 
eenvoudige  wijze  deze  Ca"  ionenconcentratie  direct  meten  ; de  methode 
kan  in  principe  evengoed  voor  andere  ionen  worden  toegepast. 

Wij  zijn  begonnen  met  de  meting  der  Ca”  ionenconcentratie  omdat 
de  uitkomsten  der  meting  hier  gemakkelijk  door  berekening  kunnen 
gecontroleerd  worden. 

I.  Algemeen  beginsel  der  methode.  Enkele  technische  opmerkingen. 

Indien  van  een  opgelost  binair  electrolj’t  de  concentratie  van  het 
anion  = Ca,  die  van  het  kation  = Ck  en  die  van  het  niet-gedisso- 
cieerde  zout  = Cn,  dan  bestaat  volgens  de  massawerkingswet  de 
betrekking : 

c ^ . c,  = k . c , waarin  k een  constante  is. 

Is  het  electrolyt  nu  zeer  weinig  oplosbaar,  dan  is  het  zout  practisch 
geheel  gedissocieerd,  en  de  concentratie  van  het  niet-gedissocieerde 
deel  kan  verwaarloosd  worden. 

Indien  nu  de  oplosbaarheid  van  het  slecht-oplosbare  zout  = >4  is, 
dan  is  dus  Ca=  Ck  = A,  en  heeft  het  product  CA-Ck  = A'  een 
constante  waarde  (oplosbaarheidsproduct). 

Is  dit  product  en  de  concentratie  van  één  der  ionen  bekend,  dan 
kan  dus  de  concentratie  van  het  tweede  ion  berekend  worden. 

Stel,  dat  een  oplossing  een  concentratie  aan  Ca"  ionen  heeft  = 6ca ; 
dan  is  de  concentratie  der  0,0/'  ionen,  die  vrij  naast  deze  Ca"  ionen 

P 

bestaan  kunnen,  maximaal  = — , indien  P het  oplosbaarheidspi’oduct 

Cca 

van  CaCjO^  voorstelt.  Voegt  men  dan  nog  meer  C,0/'  ionen  toe, 
dan  zal  CaCjO^  neerslaan  of  in  oververzadigde  oplossing  blijven. 

Kan  men  het  ontstaan  van  een  oververzadigde  oplossing  vermijden, 
dan  kan  men  door  geleidelijk  meer  en  meer  C,0/'  ionen  aan  een 
Ca"  ionen  bevattende  oplossing  toe  te  voegen,  waarnemen,  dat  op  een 
zeker  oogenblik  een  fijne  troebeling  van  CaC,0<  ontstaat.  Dan  is  de 
CjO/'  ionenconcentratie  zoo  groot  geworden,  dat  het  opiosbaarheids- 
product  juist  is  overschreden.  Dan  zijn  dus  bekend  het  oplosbaar- 
heidsproduct en  de  C,0/'  ionenconcentratie,  de  Ca”  ionenconcentratie 
kan  dus  berekend  worden.  Omgekeerd  kan  men,  indien  men  van  een 
bekende  [Ca”J  uitgaat,  zoo  de  grootte  en  de  standvastigheid  van  het 
oplosbaarheidsproduct  bepalen. 


419 


Bij  deze  methode  moet  men  dus  waarnemen,  hoe  groot  de  [C,0/'] 
is,  waarbij  nog  juist  een  CaCjO^  troebeling  wordt  bespeurd.  In  ’t 
algemeen  kan  dit  op  de  volgende  wijze  geschieden  : 

Bij  een  reeks  buisjes,  die  alle  1 cM®  eener  bekende  CaCl,  oplos- 
si)ig  bevatten,  werden,  telkens  in  het  opvolgende  buisje  geleidelijk 
grooter  wordende  hoeveelheden  oxalaat-oplossing  gevoegd,  met  een 
capillair-pipet,  die  in  tienduizendste  kubieke  centimeters  verdeeld 
was.  Dan  werden  de  buisjes  7^  — ^ zichzelf  overgelaten, 

en  vervolgens  werd  bepaald  in  welk  buisje  de  eerste  fijne  CaC^O^ 
troebeling  was  opgetreden. 

Het  is  duidelijk  dat  het  ontstaan  van  oververzadigde  CaC,0^  op- 
lossingen vermeden  moet  worden. 

Bevatte  de  oplossing  nog  andere  zouten,  in  eenigszins  lioogere  con- 
centraties (bv.  Ringersche  oplossing,  ultra-filtraat)  dan  hebben  wij  nooit 
oververzadiging  bemerkt.  Wel  kwam  oververzadiging  voor  in  zuivere 
CaCjO^  oplossingen.  Men  kan  dit  vermijden  door  als  volgt  te  werken : 

Met  een  capillairpipet  worden  in  de  droge  buisjes  de  noodige 
hoeveelheden  eener  bv.  0,05  N.  sterke  oxalaatoplossing  gebracht.  Op 
een  waterbad  worden  de  buisjes  dan  tot  droog  ingedampt.  Daarna 
wordt  de  Ca"  ionen  bevattende  vloeistof  in  de  buisjes  gebracht.  Op 
deze  wijze  wordt  dus  vermeden  dat  van  te  voren  oververzadigde 
oplossingen  ontstaan. 

Voor  het  bepalen  der  calciumionenconcentratie  is  het  bovendien 
noodig  om  buisjes  te  gebruiken  die  met  een  ingeslepen  glazen  stopje 
goed  gesloten  zijn  ; dit  is  noodig  om  het  water  koolzuurvrij  te  houden 
of  om  een  bepaalde  koolzuurspanning  constant  te  kunnen  houden. 

Voor  de  beoordeeling  van  het  al  of  niet  ontstaan  zijn  van  het 
CaCjO^  neerslag  is  het  noodig,  dat  de  buisjes  zoo  goed  mogelijk 
gereinigd  zijn.  Dit  kan  op  de  gebruikelijke  wijze  geschieden  (chroom- 
zuur,  uitstoomen  volgens  Abegg,  etc.).  Het  best  beschouwt  men  dan 
de  buisjes  in  een  kastje  waarin  licht  door  een  spleet  in  den  bodem 
door  de  oplossing  valt.  Men  moet  zorg  dragen,  dat  het  licht  niet  in 
de  oogen  van  den  onderzoeker  valt.  Door  het  Tjndall-phaenomeen 
ziet  men  de  fijnste  troebelingen.  Bevat  de  oplossing  van  te  voren  al 
een  lichte  opaliseering  (niet  afkomstig  van  CaC^Oj,  zooals  dit  soms 
bij  serum  en  ultrafiltraat  het  geval  is,  dan  kan  het  doelmatig  zijn  de 
oplossingen  in  rood  licht  te  beschouwen.  Daar  de  golflengte  van  dit 
licht  te  groot  is  om  hier  buigingsverschijnselen  te  geven,  wordt  de 
opaliseering  dan  niet  zichtbaar.  Natuurlijk  moet  ook  de  temperatuur 
bij  de  proef  constant  zijn.  Het  best  werkt  men  daarom  in  een  water- 
bad van  constante  temperatuur. 

Sog  op  een  andere  nnjze  kan  men  de  resultaten,  die  met  hoven- 

28 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIIl.  A®.  1919/20. 


420 


staande  methode  zijn  verkregen,  controleeren,  nd.  door  meting  van  het 
electrisch  geJeidingsvermogen  der  ojdossingen. 

Voegt  men  aan  een  oplossing,  die  Ca**  en  Cl'  ionen  bevat,  C,  0/ 
en  Na'  ionen  toe,  dan  kan  liet  product  Ca**XC,  0/'  het  kwadraat 
der  oplosbaarheid  van  Ca  Cj  0^  niet  overschrijden ; zijn  er  te  veel 
Cj  0/'  ionen  toegevoegd,  dan  moet  ongedissocieerd  Ca  C,  0^  ont- 
staan. Hoeveel  Ca  C,  0^  zal  er  ontstaan  indien  het  product  met  een 
bepaalde  hoeveelheid  C,  0/  wordt  overschreden?. 

Er  wordt  aan  een  binair  electrolyl  met  de  oplosbaarheid  A een  zout  toegevoegd 
dat  het  anion  met  het  eerste  gemeen  heeft,  in  de  concentratie  x.  Hierdoor  wordt 
de  oplosbaarheid  van  het  eerste  zout  veranderd  tot  A'.  De  totale  concentratie  van 
het  anion  bedraagt  dan  A'  -\- X,  die  van  het  kation  A'.  Het  oplosbaarheidsproduct 

is  dan  dus  A'{A'-\~x),  en  daar  dit  constant  is  hebben  we  dus 

{A'  -+  A' 

of 

— .r  ± 1/4  + x'‘ 

~ 2 ■ 

De  hoeveelheid  niet-gedissocieerd  zout,  die  ontstaat  wanneer  x Mol 
zout,  dat  1 ion  met  het  eerste  gemeen  heeft,  wordt  toegevoegd  is  dus  : 

— .ï  ± 1/4  4’  + .r’ 

2 — -- <') 

als  A de  oplosbaarheid  van  het  eerste  zout  voorstelt. 


Wij  hebben  nu  bijvoorbeeld  5 cc.  eener  GaCb  6 aq.  oplossing  in  GO;j- vrij  water, 
die  per  L.  0,56  millimol  Ga"  en  (2  Gij  bevat.  Hieraan  wordt  eenige  malen  achter 
elkaar  0,0050  cc.  van  een  0,05  N.  Na^CjO^  oplossing  toegevoegd.  Na  elke  toe- 
voeging wordt  het  geleidingsvermogen  gemeten.  Het  NagGaOj,  mag  hier  wel  in 
oplossing  toegevoegd  worden,  daar  de  oplossing  hier  wel  oververzadigd  mag  worden. 

Met  behulp  van  de  eerste  methode  is  nu  voor  het  oplosbaarheidsproduct  ge- 
vonden 0,055.  Hieruit  volgt  dat  met  de  aanwezige  0,56  millimol  Ga"  een  C2O4" 
concentratie  groot  0,1  millimol  overeenkomt.  Bij  elke  toevoeging  van  0,0050  cc. 
0,05  N.  Na2G204  aan  5 cc.  GaG^  6 aq.  oplossing  stijgt  de  GoO/'  concentratie  met 
0,025  m.M.  Na  4 toevoegingen  is  dus  het  oplqsbaarheidsproduct  bereikt.  Hoe 
verhouden  zich  nu  de  totale  ionenconcentraties  bij  deze  toevoegingen? 

Voor  de  eerste  toevoeging  is  de  totale  ionenconcentratie 

0,56  millimol  Ga"  -]-  0,56  m.M.  (2  Gl")  = 1 ,12  m.M. 

Na  de  eerste  toevoeging  van  0,025  m.M.  Na2G204 

0,56  Ga"  + 0,56  (2  Gl")  + 0,025  G2O4  + 0,025  (2  Na")  =1,17  m.M. 

Zoo  is  de  totale  ionenconcentratie  na  de  2e  toevoeging  1,22  m.M.,  na  de  3e 
1,27  m.M.  en  na  de  4e  1,32  m.M.  Met  de  5e  toevoeging  wordt  het  oplosbaarheids- 
product overschreden.  Volgens  de  afgeleide  formula  (1)  is  de  hoeveelheid  ontstaan 
ongedissocieerd  GaG204  = 


— 0,025  ± 1/4  X 0,055  + 0.025’ 


= 0,0115  mM. 


1/0,055  — 


2 


421 


De  totale  ionenconcentratie  wordt  dus  na  de  5e  toevoeging 
1,32  m.M.  + 0,025  020/'  + 0,025  (2Na")  — 0,0115Ca-  —0,0115  GgO^"  = 1,347  m.M. 

Het  totale  ionengehalte  neemt  nu  dus  niet  toe  met  0,05  m.M.  maar  slechts  met 
0,027  m.M. 

Met  de  zesde  toevoeging  krijgt  nren  voor  de  hoeveelheid  niet-gedissocieerd  GaG.204: 


V/0,055 


0,050  + 1/4  X 0,55  + 0,05'^ 

= 0,024  mM. 


De  totale  ionenconcentratie  is  na  de  6e  toevoeging  1,372  m.M.,  de  toename  is 
0,025  m.M. 

Na  de  7e  toevoeging  bedraagt,  op  dezelfde  wijze  berekend,  de  totale  ionen- 
concentratie 1,402  m.M.,  de  toename  0,03  m.M. 

Met  ziet  dus,  dat  de  totale  ionen-concentratie  bij  de  4 eerste  toe- 
voegingen regelmatig  met  0.05  m.M.  toeneemt;  vanaf  de  5e  toe- 
voeging neemt  zij  echter  slechts  met  0,025  tot  0,030  m.M.  toe.  Onder- 
zoekt men  nu  het  electrisch  geleidingsvermogen  na  elke  toevoeging, 
dan  moet  dit  analoog  aan  de  vermeerdering  der  totale  ionen-con- 
centratie  toenemen.  Vindt  men  dan  dat  na  de  4 eerste  toevoegingen 
het  geleidingsvermogen  nog  slechts  met  de  helft  der  eerste  waarden 
toeneemt,  dan  is  dit  een  bewijs  dat  voor  het  oplosbaaiheidsproduct 
de  juiste  waarde  is  gevonden. 


II.  Bepaling  van  de  Calciumionenconceniratie  eener  zuivere 
CaCI^  öa^.  oplossing. 

In  8 buisjes  met  ingeslepen  stop  worden  respectievelijk  0,0010, 
0,0015,  0,0020,  0,0025,  0,0030,  0,0035,  0,0040,  0,0045  cc.  eener 
0,05  N.  Na^CjO^  oplossing  gebracht.  Daarna  worden  de  buisjes 
eenigen  tijd  in  ’t  waterbad  gebracht,  totdat  de  oxalaat-oplossingen 
geheel  ingedampt  zijn.  Vervolgens  wordt  in  elk  buisje  1 cc.  eener 
CaClj  6 aq.  oplossing  gebracht  die  125  mgr.  per  L,  bevat.  Na  1 uur 
wordt  het  resultaat  afgelezen. 

De  GaCk  6 aq.  oplossing  was  bereid  uit  een  zuiver  preparaat  (The  Britisch 
Drug  Houses) ; de  sterkte  der  oplossing  werd  door  Ghloorbepaling  gecontroleerd. 
Het  zout  was  opgelost  in  zorgvuldig  uitgekookt  gedistilleerd  water ; alle  bepalingen 
geschiedden  in  kleine  buisjes  van  2 cc.  inhoud  met  ingeslepen  stop. 

De  Na2G204  oplossing  werd  bereid  uit  zuiver  Na2G204  volgens  Sörensen  (Kahlbaum). 
Het  bevat  geen  kristalwater,  is  niet  hygroscopisch  en  verdraagt  temperaturen  tot 
200°. 

Het  blijkt  dat  de  eerste  6 buisjes  geheel  helder  zijn  gebleven  maar 
dat  de  buisjes  met  0,040  en  0,045  cc.  oxalaat-oplossing  een  fijne 
troebeling  bevatten. 

Het  oplosbaarheidsproduct  was  dus  bereikt  wanneer  gemiddeld 
N 

0,0375  cc.  — Na,C,04  oplossing  aan  1 cc.  CaCl,  6 aq.  oplossing  was 


28* 


422 


toegevoegd;  de  CaCI,  6 aq.  oplossing  bevatte  12.5  mgr.  CaCl,  6 aq. 
of  0,57  millimol  Ca"  per  L. 

De  oxalaatconcentratie  was  dan  dus  0,095  in.M.,  het  oplosbaar- 
heidsproduet  wordt  gevonden  0,095  X 0,57  = 0,054  mM.  per  L. 
De  temperatuur  gedurende  alle  proeven  was  20°.  Tabel  I vermeldt 
de  uitkomsten  van  een  reeks  dergelijke  proeven. 


TABEL  I. 


Sterkte  der  Ca"  con- 
centratie. 

Sterkte  der  C2O4"  concen- 
tratie. die  moest  toegevoegd 
worden  om  juist  een  neer- 
slag te  krijgen. 

Oplosbaarheidsproduct. 

0.57 

millimol. 

0.095  m.m. 

0.054 

0.55 

M 

0.095  „ 

0.052 

0.38 

n 

0.145  „ 

0.055 

0.37 

M 

0.15 

0.054 

0.28 

0.20 

0.056 

0.28 

0.20  „ 

0.056 

0.10 

0.54  „ 

0.054 

1.00 

)» 

0.056  „ 

• 

0.056 

Uit  deze  tabel  blijkt  dus  dat  voor  zuivere  CaCl^  6aq.  oplossingen 
van  verschillende  sterkte  een  constant  oplosbaarheidsproduct  van 
CaOjC)<  gevonden  wordt,  groot  0,055  m.M.  per  L. 


De  controle  van  deze  waarde  geschiedde  door  meting  van  het 
electrisch  geleidingsver mogen  zooals  dit  hierboven  werd  beschreven. 

Het  geleidingsvermogen  werd  bepaald  in  een  weerstandsvat  volgens  Hamburger. 
De  methode  vindt  men  beschreven  in  Osmot.  Druck  u.  lonenlehre.  Bd.  I,  pag.  98. 
De  temperatuur  was  constant  25°. 

Bij  5 cc.  eener  GaCb  6 aq.  oplossing  die  125  mgr.  per  L.  bevatte  werd  telkens 
0,0050  cc.  eener  0,05  N.  Na2C204  oplossing  gevoegd.  Na  elke  toevoeging  werd  het 
constant  geworden  geleidingsvermogen  gemeten. 

De  weerstand  van  de  zuivere  CaCC  6 aq.  opl.  was 
8,709  X2000  C Ohm  (6’ = capaciteit  van  het  weerstandsvat). 
Tabel  II  geeft  de  afname  van  weerstand  na  elke  toevoeging  van 
oxalaatoplossiiig. 


423 


TABEL  II. 


Samenstelling  der  oplossing. 

Weerstand. 

Weerstandsafname. 

5 cc.  CaCL  6 aq. 

- 8.709  X 2000  c.  Ohm 

— 

5 cc.  CaCl2  6 aq.  -|-  0 . 0050  cc.  Na2C204 

8.452X2000  c.  Ohm 

0.257  X 2C00  c.  Ohm 

5 cc.  CaCb  6 aq.-|-0.010  cc.  NaoC204 

8.200X2000  c.Ohm 

0.252  X 2000  c.  Ohm 

5 cc.  CaClj  6 aq.  + 0.015  cc.  Na2C204 

7.929 X 2000  c.  Ohm 

0.271  X 2000  c.  Ohm 

5 cc.  CaCl2  6 aq.-)-0.020  cc.  Na2C204 

7.696X2000  c.  Ohm 

0.233  X 2000  c.  Ohm 

5 cc.  CaCb  6 aq.-|-0 . 025  cc.  Na2C204 

7.600X2000  c.  Ohm 

0.096  X 2000  c.  Ohm 

5 cc.  CaCb  6 aq. -1-0.025  cc.  Na2Q04 

7.500X2000  c.  Ohm 

0.100  X 2000  c.  Ohm 

5cc.  CaCl26aq.-j-O.O3O  cc.  Na2C2Ü4 

7.410X2000  c.Ohm 

0.090  X 2000  c.  Ohm 

Meji  ziet,  dat  na  de  4®  oxalaattoevoe^ing  de  afname  van  den  weer- 
stand op  minder  dan  de  helft  verkleind  wordt.  Met  de  4®  toevoeging 
was  dus  het  oplosbaarheidsproduct  bei'eikt;  toen  was  de  C^O/'  con- 
centratie 0,1  milimol,  de  Ca"  concentratie  0,56  millimol,  het  product 
dus  0,056  millimol. 

Wij  hebben  nu  meerdere  dergelijke  bepalingen  gedaan,  die  altijd 
tot  resultaat  hadden  een  oplosbaarheidsproduct  van  0,053 — 0,058; 
gemiddeld  0,055. 

Hierbij  moet  nog  opgemerkt  worden,  dat  men  niet  verwachten  kan, 
dat  het  oplosbaarheidsproduct  juist  aan  het  einde  van  een  toevoeging 
bereikt  zal  zijn;  men  tnoet  dus  de  gemiddelde  waarde  nemen. 

Men  zou  nog  kunnen  vermoeden,  dat  de  vermindering  der  weer- 
standsafname  ontstond,  doordat  het  in  groote  concentratie  toegevoegde 
oxalaat  practisch  niet  meer  compleet  dissocieerde;  de  wijze  van 
vermindering  zou  dan  echter  niet  plotseling  zijn.  Om  dit  na  te  gaan 
zijn  de  zelfde  hoeveelheden  oxalaat  aan  5 cc.  gedistilleerd  water 
toegevoegd;  het  geleidingsvermogen  bleef  evenredig  aan  de  toege- 
voegde hoeveelheden  toenemen. 

Met  2 van  elkaar  onafhankelijke  methoden  hebben  wij  dus  nu 
voor  het  constante  oplosbaarheidsproduct  de  waarde  0,055  m.M. 
gevonden;  wanneer  Ca”  en  0,0/'  ionen  bij  elkaar  gevoegd  worden. 

De  oplosbaarheid  van  Ca  Cj  0^  is  door  Kohlrausch  bepaald  op 
4.35.  10“-^  Mol  per  L.  (18°);  het  oplosbaarheidsproduct  hieruit  be- 
rekend bedraagt  0,0019  m.M.  per  L.  Dit  is  dan  yeel  kleiner  dan 
het  door  ons  gevondene. 

Kohlraüsch  heeft  het  geleidingsvermogen  van  een  verzadigde 


424 


Ca  Cj  0^  oplossing  gemeten;  hij  is  dus  niet  van  de  afzonderlijke 
ionen  uitgegaan. 

Herz  u.  Muhs  ’)  hebben,  door  bijeenvoeging  der  ionen  voor  de 
oplosbaarheid  van  Ca  C,  0^  aq.  gevonden  0,034  gram  per  L.,  waaruit 
een  oplosbaarheidsproduct  van  0,054  volgt.  Dit  product  komt  dus 
geheel  niet  het  onze  overeen. 

De  bepalingen  van  Herz  u.  Muhs  en  onze  eigen  bepalingen  met  2 
methoden  wijzen  met  voldoende  zekerheid  uit,  dat  wij  met  een  constant 
oplosbaarheidsproduct  van  0.055  hebben  rekening  te  houden. 

III.  Bepaling  der  Ca"  ionenconcentratie  in  oplossingen  die  meer 

zouten  bevatten. 

1.  De  Ca  ’ ionen  concentratie  van  0,027o  Ca  Cl,  6aq.  in  0,57»  NaCl 

Voor  het  systeem  GaClj  ^ Ga"  + 2 Gl'  geldt:  GaGlg  ^ Z Ga"  GI'*.  Z kan  ge- 
vonden worden,  indien  de  ionisatiegraad  a van  een  bepaalde  GaGlj  oplossing 
bekend  is.  Voor  GatNOslg  0,1  7o  (=  6 m.M.  per  L.)  is  « = 0,67  2). 

Wij  hebben  dus 

[GatNOslH  - « [GatNOglH  = Z « Ga"  (NOg)* 

of  daar 

[GaNOj]  = [Ga"  ] = [NOg]  = 6 m.M.  per  L. 

1 — 0,67  = ZX 0,67*  (NOg)* 

1 _ 0,67  = Z X 0,67»  X 0,036 
Z = 30. 

Dit  is  dus  de  dissociatieconstante  voor  Ga(N03)2 ; die  voor  GaGb  zal  hier  weinig 
van  afwijken. 

Voor  0,02  7o  CaCl^  6 aq.  of  0,91  millimol  per  L.,  in  0,5  “/o  NaCl  geldt  nu  weer 

[GaGl2]  = ZGa"Gl'2. 

De  conc.  van  Gl'  wordt  gegeven  door  de  dissociatie  van  0,5  “/o  NaGl.  Hiervoor 
is  « = 0,82  (Osmot.  Druck  u lonenlehre,  p.  53) ; [Ch]  wordt  dus  7 m.M.  Hierbij 
komt  nog  de  [CF]  van  0,91  m.M.  GaG^,  wat  we  voor  + de  helft  gedissocieerd 
kunnen  rekenen,  zonder  groote  fout  te  maken.  De  totale  [CF]  wordt  dan  i 8 m.M. 

Dus 

GaGb  =-Z  (0,91 —GaCk)  0,064.  Z=30.  CaGb  0,60  m.M. 

Van  0,91  m.M.  CaGb  is  dus  0,60  m.M.  niet  gesplitst  en  0,31  m.M.  wel  gedis- 
socieerd. De  oplossing  bevat  dus  12,4  mgr.  vrije  Ca"  per  L. 

Experimenteel  blijkt,  dat  0,18  mM  oxalaatconcentratie  noodig  is, 
voordat  in  de  oplossing  NaCl  0.5  7o  + CaCI,  6 aq.  0,02  7»  een 
troebeling  ontstaat.  Hieruit  volgt  een  [Ca"]  van  — 0,055:0,18  = 
= 0,30  mM.  of  12  mgr.  per  L.  Deze  bepaling  komt  dus  goed  overeen 
met  de  berekening. 


1)  Ber.  36.  4,  p.  3717. 

2)  Osmot.  Druck  u.  lonenlehre.  I,  p.  53. 


425 


2.  Bepaling  van  de  caïciumionen- concentratie  in  physiologische  zout- 
oplossingen. 

In  een  oplossing  van  de  samenstelling:  NaCl  0,7  7„,  NaHCO,  ± 
0,18  KCi  0,02  en  CaCl,  6 aq.  0,040  “/„,  die  een  zekere,  niet 
precies  bekende  koolzuurspanning  bevatte,  was  de  waterstof  ionen- 
concentratie 0,3.10~^  (bepaald  met  neutraal  rood  volgens  Sörensen) 
en  de  bicarbonaat  ionenconcentratie  0,02  N (bepaald  door  titratie  met 
0,01  N.  HCi  en  raethjloranje. 

Hieruit  volgt  voor  de  Calcium  ionenconcentratie 

^ 0,3  . 10  -7 

[Ca  ] = 350  — — = 20  mg.  per  L. 


Experimenteel  ontstond  een  Ca  C,  O,  troebeling  bij  een  oxalaat- 
concentrafie  van  0,1  millimol.  Hieruit  volgt  een 

[Cd  ] van  0,055  : 0,1  = 0,55  m.M.  — 22  mgr.  per  L. 


In  een  soortgelijke  vloeistof,  waarin  de  [H]  echter  0,45 . 10 ~7 
en  de  [HCOJ  = 0,02  N.  was,  werd  de  Ca  C,  0<  nevel  gevonden  bij 
[C,0;-]  = 0,07  mM.  Dus: 

[Ca“]  = 0.055  : 0.07  = 0,8  niM.  = 32  mgr.  per  L. 

0 45  . 10~7 

Berekend  wordt  [Ca”]  = 350  mM.  = 0,75  mM.  == 

^ 0,02 


= 30  mgr.  per  L. 


Bepaling  van  de  calciumionen-concentratie  in  ultrajiltraat. 

Menschenserum  werd  gedurende  2 uur  in  ultrafilters  volgens  De 
Waard  gecentrifugeerd.  Door  het  ultratütraat  werd  CO,  geleid  tot 
[HJ  = 0,3 . 10  “7  was.  (Dit  werd  vastgesteid  door  de  kleur  van  neutraal- 
rood  in  het  ultrafiltraat  te  vergelijken  met  neutraalrood  in  een 
phosfaat mengsel  volgens  Sörensen,  dat  een  [H‘]  = 0,3 . 10~7  had). 

Er  ontstond  een  CaC^O^  neerslag  bij  een  [CjO/'l  van  0.1  m.M. 
per  L.  Hieruit  volgt  een  [Ca"J  van  0.55  m.M.  of  22  mgr.  [Ca  ] 
ionen  per  L.,  zooals  dit  ook  door  Rona  en  Takahashi  is  waarschijnlijk 
gemaakt. 


Tracht  men  deze  metingen  direct  in  serum  toe  te  passen,  dan 
gelukt  dit  lang  niet  altijd,  doordat  de  CaCjO^  troebeling  in  serum 
veel  minder  duidelijk  is  en  men  gehinderd  wordt  door  de  normaal 
vaak  voorkomende  serumopalescentie. 

De  enkele  malen  dat  wij  in  serum  een  duidelijk  omslag  punt 


')  Arch.  Néérl.  de  phys.  2 530  (1918). 


426 


kregen,  werden  dezelfde  Ca"  ionen  concentraties  gevonden  als 
die  in  iiltrafiltraat.  In  het  algemeen  is  het  echter  voor  serum- 
bepalingen  noodig  om  ultrafiltraat  te  maken,  wat  met  ultrafilters 
volgens  De  Waard  zeer  eenvoudig  is. 

Samenvatting . 

Er  wordt  een  eenvoudige  methode  beschreven,  waarmede  het 
mogelijk  is  de  concentratie  der  Ca"  ionen  te  meten  in  een  oplossing 
van  een  mengsel  van  zouten,  b.v.  in  ultrafiltraat. 

De  methode  berust  op  het  volgende  principe : Aan  de  Ca"  bevattende 
oplossing  worden  zooveel  C^O/'  ionen  toegevoegd  dat  het  oplosbaar- 
heidsproduct  van  CaiCjO^  juist  bereikt  is.  Het  oogenblik,  waarop 
zooveel  C5O/'  ionen  zijn  toegevoegd  dat  dit  product  juist  is  over- 
schreden constateei’t  men  door  het  optreden  van  een  fijnen  nevel  van 
CaCjO^.  Het  is  onverschilling  of  in  het  zoutmengsel  nog  andere  ionen 
voorkomen  die  met  het  oxalaat  een  neerslag  kunnen  geven.  Het  is 
alleen  noodig  dat  het  CaC^O^  de  meest,  onoplosbare  stof  is  die  in 
de  oplossing  ontstaan  kan. 

De  methode  is  nauwkeurig  tot  op  2 — 3 mgr.  Ca"  per  L.  De 
waarde  van  het  oplosbaarheidsproduct  werd  gecontroleerd  door  meting 
van  het  electrisch  geleidingsvermogen  der  oplossing. 

Het  beginsel  der  methode  kan  eveneens  voor  andere  ionen  worden 
aangewend.  De  eenige  eisch  is,  dat  men  beschikt  over  een  reagens 
dat  met  het  ion,  waarvan  de  concentratie  gemeten  moet  worden 
een  zeer  moeilijk  oplosbaar  zout  geeft. 

Physiologisch  Laboratorium  der 
Rijksuniversiteit  te  Groningen. 


September  1919. 


Wiskunde.  — - De  Heer  W.  Kapteyn  biedt  een  mededeeling  aan 
van  den  Heer  N.  G.  W.  H.  Beegèr  over;  ,, Bepaling  van 
het  aantal  klassen  der  idealen  van  alle  deellichamen  van  het 
cirkellichaam  der  m-de-machts-ivortels  uit  de  eenheid,  ivaarhij 
het  getal  m door  meer  dan  één  priemgetal  deelbaar  is”.  IP). 


(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Jan  de  Vries). 


Bewijs:  We  moeten  van  ’t  rechterlid  weer  twee  dingen  bewijzen: 
1“.  dat  het  symbool,  dat  er  in  voorkomt,  een  ^Pde-machts-wortel 

(I  ^ 

uit  de  eenheid  is  en  2".  dat,  in  ’t  product,  ieder  zoo’n  wortel  uit 
de  eenheid  -----  malen  voorkomt.  Want  als  dit  bewezen  is,  volgt 


er  nit  dat  ’t  rechterlid  gelijk  is  aan 

1 

1 — 


«1  dl  d'i 


A 

L 


welke  uitdrukking,  volgens  theorema  7,  gelijk  is  aan  ’t  linkerlid 
der  te  bewijzen  gelijkheid.  De  getallen  enz.  hebben  hier  dezelfde 
beteekenis  als  in  genoemd  theorema. 

Volgens  ^ 4,  volgt  datgene  wat  hier  onder  1".  genoemd  is,  uit 
hetgeen  in  ’t  vorige  theorema  onder  V.  bewezen  is. 

Om  de  rest  te  bewijzen  diene  het  volgende : 

Nemen  we  aan  dat : 


" 

~^01>  ^*1*  ■ 

. 

Door  de  waarden  der  symbolen  in  te  voeren,  vindt  men,  omdat 
de  verschillen  der  overeenkomstige  elementen  van  twee  stellen  è’s, 
weer  een  stel  è’s  opleveren,  dat  dit  laatste  stel  è’s  voldoet  aan  de 
congruenties : 


b Vervolg  van  ,, Verslagen”  Deel  XXVIII,  blz.  293. 


428 


waarin  a„,  a^,  ....  de  exponenten  voorstellen  die  in  § 4 zijn  bepaald. 
We  moeten  nn  weten  hoeveel  stellen  è’s  aan  deze  congruentie  vol- 
doen. Daartoe  gaan  we  eerst  na  hoeveel  der  gegeven  stelsels  6’s 
1,  (1))  een  6i„  bezitten  die  =0  is.  Alle  hm  zijn  deelbaar  door 

hun  grootste  gemeene  deeler  d^.  Er  zijn  dus  verschillende  getallen 

Ui 

, , <P 

b\n,  waarvan  er  maar  een  = 0 is.  Daar  er  in  ’t  geheel  — stelsels 

'/■ 


tp  <p^ 

zijn,  zijn  er  — die  een  0 hebben. 

Alle  stelsels  der  getallen  a,  die  de  groep  g vormen,  voldoen,  als 
we  ai  weglaten,  aan  alle  congriiejities  (3)  als  men  daarin  hm  = 0 

W 

stelt.  De  modulus  van  deze  congruentie  wordt  dan  — . Volgens  de 

fpi 

opmerking  aan  ’t  einde  van  hoofdstuk  II  ^ 3,  is  ’t  aantal  verschil- 
lende stellen  a’s,  wanneer  men  niet  op  a,  let,  dus  gelijk  aan 


IL 


r d. 


r 


We  merken  nu  verder  op  dat  de  gezochte  stellen  h’s  die  aan  (8) 

r 

voldoen,  ook  voldoen  aan  de  — congruenties,  die  men  verkrijgt  door 

Uj 

ao,a*,  ....  te  vervangen  door  de  verschillende  stelsels  a’s  waarvan 
’t  aantal  zoojuist  is  berekend.  Bovendien  voldoen  de  gezochte  stelsels 

6’s  ook  nog  aan  de  ^ congruenties  die  men  uit  (8)  verkrijgt  door 

a j 

de  daarin  voorkomende  a’s  te  vervangen  door  hun  2-voud,  3-voud, .. . 

fx 


d\ 


:;^-voud.  Want  volgens  hoofdstuk  II  ^ 4,  behooren  deze  stelsels  niet 


tot  de  vorige  stelsels  omdat  de  ^ eerste  machten  van  ’t  getal 

«I 


- , 7n  . , , 

/j -f- n -y  met  tot  g behooren. 


Door  de  groepen  der  beide  genoemde  stelsels  van  a’s  met  elkaar 

vf 

te  vermenigvuldigen,  krijgt  men  een  groep  van  stelsels  die  even- 

veel  congruenties  (8)  geven  waaraan  de  gezochte  stelsels  6’s  voldoen. 
Er  zijn,  volgens  de  opmerking  aan  ’t  einde  van  hoofdstuk  2 § 3,  dus 

rf,  e,d^d\ 


fp 


d^d\ 


gezochte  stelsels  6’8. 


429 


f 

Hiermede  is  nu  aangetoond,  dat  iedere  4^-de-machts- wortel  uit  de 

eenheid,  die  in  ’t  product  van  ’t  rechterlid  der  te  bewijzen  gelijkheid 

voorkomt,  daarin  malen  voorkomt. 

r 

Het  aantal  factoren  van  genoemd  product  is,  zooals  reeds  berekend 

. /i  V 11-7 

IS,  geluk  aan  — hjn  omdat  nu  — . =—:~,  zal  ook  iedere 

r öi  c/j  r r «j 

f e d d'^ 

^-de-machts-wortel  uit  de  eenheid  — malen  voorkomen.  Hier- 

a j r 

mede  is  ’t  bewijs  geleverd. 

Theorema  11.  Als  m even  is,  is 


n(\ ~ 77 

1 V ’ifOv  « 


1 — 


&1>7,  62r!)  • 


1 I 

■^1 


als  in  ’t  eerste  product  I alle  priemidealen  doorloopt  die  in  2 opgaan 
in  k.  Het  tweede  product  loopt  over  alle  stellen  der  b’»  waarin 
b(jn  — b^n  — 0 is. 

Het  bewijs  is  geheel  in  overeenstemming  met  de  beide  vooraf- 

f 

gaande.  Men  toont  eerst  aan  dat  ’t  symbool  een  -=^-de-machtswortel 

Cl  ^ 

uit  de  eenheid  is.  Bij  ’t  verdere  |ldeelte  van  ’t  bewijs  is  ’t  noodig 
3 gevallen  te  onderscheiden:  en  èon  + è*»  niet  voor  alle 

waarden  van  n even;  en  bon b^n  wel  voor  alle  waarden 

van  n even ; h^  = 2. 


IV.  Berekening  van  ’t  aantal  klassen  der  idealen  van  ’t 
deellichaam  k. 


^ 8.  Hulptheorema  *)  en  ajieiding  voorloopige  formule. 

= 0. 


1.  ^ 
rt=l 


Bewijs:  Zij  a relatief  priem  met  m dan  is 


7^  0 en  7^  1,  dus 


a 

m 

2 

n 

711 

= 2 

n a 

n=l 

U=1 

_ _ 

Omdat  n a tegelijk  met  n een  volledig  restsysteem  {mod  m)  doorloopt. 


b Ter  bekorting  laat  ik  verder  de  getallen  b in  ’t  symbool  weg. 


430 


is  de  laatste  som  weer  gelijk  aan  -S’ 

)i=i 

kelijk  het  bewijs. 

Voor  het  aantal  klassen  H gebruiken  we  nu  de  bekende  uit- 
drukking : ^). 

1 , 1 

H = — lim  n 

ü ,=i  1— a 


Hieruit  volgt  gemak- 


waarbij  p alle  pidemidealen  van ’t  deellichaam  A- dooidoopt.  Wanneer 
we  nu  de  theorema’s  toepassen  die  in  ’t  vorige  hoofdstuk  bewezen 
zijn  en  de  factoren  die  betrekking  hebben  op  ’t  stelsel  waarbij  alle 
i^’s  = 0 zijn,  afscheiden  van  de  andere  dan  vinden  we: 


1 

H = — lim  {s  - 


’fl'-  1 

1)  n n n 

)(=2  fj  1 —P  ^ p 


^0)n  hin 


ps 


Hierbij  is  aangenomen  dat  èoi  = = <^,1  = • • • • = 

Het  tweede  en  derde  product  loopt  over  alle  priemgetallen  ]>. 
We  weten  dat 


1 

lim  (s — 1 ) n = 1 . 

5=1  p 1 ~p~^ 

Verder  ontwikkelen  we  iederen  factor  van  het  derde  product  op 
de  bekende  wijze  in  een  reeks  van  Dirichlet  en  vermenigvuldigen 
al  deze  reeksen.  Het  resultaat  is^an 


1 fk  » 

H ■=.  — lim  n 2 

,S=1  i=2!!=l 


hi  1 b I , bi 


Wanneer  men  hierin  substitueert 


I 

n* 


- = — fe 

r («)  J 


g— Wa-  1 (ƒ.-(• 


en  men  stelt 


t=i 


F (x) 


zoo  vindt  men,  door  gebruik  te  maken  van  de  vergelijking 
als  n = n'  {mod  m) : 


n 

1 

1 ^ 

► 

1 

1 

_ 

1 

1 

1 

1 ?!'■  r F(x) 

H==—n  

H n=2  J X 


X"‘) 


dx 


als  men  zich  bovendien  bedient  van  ’t,  in  ’t  begin  dezer  § bewezen 


')  ,H”.  Satz  55  en  § 27. 


431 


hulptheorema.  De  integrand  wordt  gesplitst  in  rationale  gebrokens. 
Als  men  daarna  de  integratie  uitvoert,  is  ’t  resultaat 


1 fl’-  1 m 


H = — n 2 F \ e j ] log 

X n=2  m fc— 1 


27tfct 


kni 

e - 


-kni 


^ Ji  i ' 


k Jti  'i 


Nu  is  nog 


]c~\ 

zoodat  we  krijgen  : 

1 


m 

m 

2n  kni 

-] 

J k—\ 

n=l 

n 

e = ik 

n=l 

n 

m 


"invki 


1 m / 

H — — n ^ F \ e 

>««=2  rnjc=\ 


\log 


kni  — kmi 
gm  — g m 


e — 0 

k=l 


■ kni 


(9) 


Om  dezen  vorm  verder  te  kunnen  herleiden  moeten  we  gebruik 
maken  van  vier  liulptheorema’s  die  ik  thans  eerst  zal  afleiden. 


§ 9.  Hulptheorema’ s voor  het  herleiden  van  (9)  ‘). 

Voor  alle  volgende  hulptheorema’s  is  het  stelsel,  waarbij  alle 
è’s  = 0 zijn,  uitgesloten. 


1. 


"ik  ni'~ 

F{  edF  | = ( — l)^0n  + ^lr!+- 


Het  bewijs  komt  op  ’t  zelfde  neer  als  dat  van  ’t  overeenkomstige 
theorema  in  mijn  verhandeling  Verslagen  XXVII,  blz.  561. 

2.  Zij  2^'*  de  hoogste  macht  van  2 die  op  deelbaar  is,  waarbij 
we  — 2 nemen  als  Is  echter  ook  6on— 0 dan  nemen 

we  = h^.  Als  h^  = 2 is,  dan  is  = 0 als  Ao»  = 1 is  en  =2 
als  Aon  = 0. 

Zij  verder  de  hoogste^  macht  van  /j  die  op  Am  deelbaar  is, 

waarbij  we  h\  = A,  nemen  als  Am  = 0 is.  Enz. 

Zij  d = 2''*  /i^i' . . . dan  is 


n + mjd 

n 

Bewijs  : 

Beschouwen  we  eerst 


m/d 


'On 


en 


On 


Is  Aon  = o dan  zijn  deze  symbolen  beide  =1,  dus  gelijk.  Is 


m 


Aon  0 en  n even,  dan  is  ook  w -j- — even,  omdat  dan  ju/r/ deelbaar 


1)  Deze  hulptheorema’s  moeten,  in  anderen  vorm,  ook  door  Kummer  gebruikt 
zijn.  De  bewijzen  vindt  men  echter  nergens. 


432 


is  door  4.  De  symbolen  zijn  dan  beide  — 0 en  weer  gelijk.  Is, 
ten  slotte,  bo»  7^  0 en  n oneven,  dan  is  ook  n m/d  oneven  en 


-j-  m/d 


On 


/ m \ ?i  — 1 


(-1) 


“On 


n 

¥ 


'On 


Wanneer  men  nu  voor  de  andere  symbolen  op  analoge  wijze  te 
werk  gaat  vindt  men  ook  voor  deze  de  gelijkheid. 

2n]ci^ 


3.  Als  d dezelfde  beteekenis  heeft  als  boven,  dan  is  F\e  J = 0 
als  de  grootste  gemeene  deeler  van  k en  m ^ d is  en 

als  die  grootste  gemeene  deeler  wel  = d is. 

Bewijs : 


F =2: 

n=\ 


11 

m 

e ^ 

n -\-  m/d 

n=l 

— — 

Zr^nJci 

e 


2^711 


^ r«  -f  m/d 


2n(n-\-mld)'ki 

e 


n-\-m/d  doorloopt  tegelijk  met  n alle  getallen  waarvoor  het  symbool 
7^0  is,  omdat  door  de  definitie  van  d het  getal  m/d  relatief  priem 
is  met  de  getallen  die  n doorloopt.  Dus  gaat  ’t  bovenstaande  over  in 

2kni 

F = e~F  F 


Als  h niet  door  d deelbaar  is,  volgt  hieruit  if=0. 

Onderstellen  we  nu  verder  dat  h we!  door  d deelbaar  is,  maar 
dat  k = dtv,  m = dtm'  zoodat  di  de  grootste  gemeene  deeler  is  van 
k en  m,  Dan  is 


2Tiki  X X 27iyi ' 

F [ « “ \=Fie  "''  ] = ^ 


— 2nvni 


m'  dt 

^ e »»'  2 

n=l  i=l 


n=l 

n -j-  sm! 


en  volgens  2 


m' 

= d ü e ^ 

n=l  s=0 


n -j-  sm' 


We  zullen  nu  aantonnen  dat  de  laatste  som  = 0 is. 


rn' 


Zij  x een  getal  van  den  vorm  1 -| y (waarbij  g de  grootste  ge- 

9 ' 


meene  deeler  is  van  n en  m')  dat  relatief  priem  is  met  m.  Zoo’n 
getal  bestaat  want  we  weten  dat  bovengenoemde  vorm  oneindig 
veel  priemgetallen  bevat,  als  we  y laten  varieeren. 


433 


JN  LI  IS  nx  —n\L  -\ y \ = n -\ ym  eii  als  we  een  eetal  n-^sin' 

V 9'  J , 9 ' 

vermenigvuldigen  met  x dan  komt  ei-  weer  een  getal  van  dezen 
vorm,  zooals  gemakkelijk  is  Jia  te  gaan.  Stel  dat  verder 


X {n  -(-  sm')  = X (n  -|-  s'ni')  I rnod 


m 


d 


s,  s'<^  t 


dan  zou 

X s m'  = X s'  m' 

X {s  s')  m'  = 0 dus  s — s'  = {mod  t) 

Dat  kan  niet,  omdat  s en  s'  t zijn.  Hiermede  is  nu  aangetoond 
dat  de  getallen  n sm'  waaibij  s = 0,1,  ....  t — 1,  na  vermenig- 
vuldiging met  X (^nod  weer  diezelfde  getallen  opleveren. 

Hieruit  volgt: 


n 

n -f-  sm' 

(=1 

(n  -1-  sm') 

— ^ 

nd-sm' 

s=0 

S=1 

5=1 

i— 1 


'7i-\-sm'' 


= 0. 


Hieruit  volgt  gemakkelijk:  2 
Om  het  tweede  deel  van  ’t  theorema  te  bewijzen  merken  we  op  dat 

2Tr  nki 

^ IC.  KJ.  "*  rr  IC.  KJ 


kjd 


-1  m 
))=1 


kjd 


als  k en  m het  getal  d tot  grootste  gemeene  deeler  hebben. 

Het  getal  — kan  met  m slechts  die  priemfactoren  gemeen  hebben, 
d 

waarvan  de  bijbehoorende  //s  = 0 zijn.  Want  was  bijv.  7^0  dan 
is  d deelbaar  door  een  macht  van  /j  die  <[//'•  Ei‘  volgt  uit,  dat 

'n  kld 

n kjd  en  n tegelijk  alle  getallen  doorloopen  waarvoor 


7^0 


is.  Zoodat 

F = 


kjd 


-1  m 
n=l 


— 1 271  ncli  [— 


e = 


k/d 


F 


2n  di 


4.  In  dezelfde  onderstelling  omtrent  d is 

Wi\  , 

gm  JiTlgïn  j ==:  (— 1)  0«“'"  lr>  ""dm 

waarbij  F'  beteekent  dat  in  de  functie  F de  getallen  b resp.  ver- 
vangen zijn  door  2 — bon,  h '/’* — Fi — • • • • 

Bewijs:  We  beschouwen  eerst  het  geval  dat  geen  der  getallen  b 
gelijk  is  aan  nul. 


434 


F = 2 

n=X 


2niikdi 


k “ 

II 

ï 

n 

_ _ 

7Ï=:1 

als  k onderling  ondeelbaar  is  met  m want  dan  doorloopt  tegelijk 
met  71  een  volledig  restsysteem  {mod  m).  Er  volgt  uit : 

— 2-Knkdi 

e 

2nkdi 

Beide  leden  vermenigvuldigen  we  met  g en  sommeeren  dan 
over  alle  waarden  van  L die  en  relatief  priem  met  m zijn. 

Omdat  geen  der  getallen  b = 0 is,  vindt  men  dan 

27r()i-|- 1 ^kdi 

2 e 

k 

Zij  t de  grootste  gemeene  deeler  van  ii  1 en  in. 

Men  kan  alle  getallen  k die  m en  relatief  priem  met  m zijn, 

ni 


m 

n 

2-K{n-\-l)kd 

mid 

n 

F F'  = 2 

^ e 

= d 

n=l 

k 

{mod  )n/d)  vei-deelen  in 


/ m 

dt 


711 


en  relatief  priem  met  — zijn 

mjd 

F.F’  = d 2 

n=l 


maal  de  groep  der  getallen  die 


Zoo  vindt  men 


vi- 

\dt 


2 e 


711 


waarbij  k nu  alle  getallen  doorloopt,  die  ^ en  onderling  ondeel- 
baar met  dat  getal  zijn.  De  laatste  som  is  dus  de  som  der  primitieve 

lil 


dt 


-de-maclits-wortels  uit  de  eenheid,  zoodat  we  krijgen  : 


F F'  = d (f  (m)  .2' 


m 


dt 


(p 


m 


dt 


f 7H  \ 771 

Daar  p f ~ slechts  dan  7^  0 is  als  — door  geen  kwadraat  deel- 
\dtj  dt 

baar  is,  behoeven  we  slechts  met  die  waarden  van  71  rekening  te 

7)1 

houden  waarvoor  — gelijk  is  aan  een  deeler  van  2 . . . ..  Die 

getallen  ii  zijn  van  den  vorm  — 1 -}-  st  waarbij  s alle  getallen  door- 

7)1 

loopt,  die  <^  — en  relatief  priem  ermee,  voorzoover  deze  getallen 


435 


— 1 st  tenminste  onderling  ondeelbaar  zijn  met  m.  Stellen  we 
daarom 


m 


— = 2“  . . . , ; a,  Oj,  . . , , = 0 of  1 

dt 

dan  is  , 

t — 2**— **'— « . . . 

We  maken  voorloopig  de  volgende  onderstelling;  t is  door  alle 
priemfactoren  van  m deelbaar  en  ook  door  8.  Dan  zijn  dus  de 
exponenten,  die  in  bovenstaanden  vorm  voor  t,  voorkomen,  grooter 
dan  nul. 

Alle  getallen  — 1 st  waarbij  s bovengenoemde  waarden  door- 

loopt, zijn  nu  ook  relatief  priem  met  vi.  In  bovenstaande  som  komen 

dus  ^ termen  voor  die  7^  0 zijn.  We  schrijven  die  som  in  den 

volgenden  vorm  : 


m 


m 


1 — st 


Nu  is 


~l—st 


1 — st 


2^* 


1 omdat  t = 8-voud. 

27r  b*v*i 


= e 2 want  1 — st  dr  5*'  {mod  2^*) 

dus  1 ± 5^'  {mod  ) 

en  daar  de  macht  van  2,  die  in  den  modulus  voorkomt,  ^ 2*  is, 
volgt  er  uit:  s'  = v^.  Het  getal  % is  oneven  want  anders 

zou  s deelbaar  zijn  door  2 en  dat  kan  niet  omdat  t de  grootste 
gemeene  deeler  van  n \ en  m is,  en  m even  is.  Verder  is 


1 — st 

7ÏF. 


In 


enz.  Uit  dit  alles  volgt  nu  dat 


/ 

= e ‘1 
’1 — st 


rn 


= primitieve  — -de-machts- 
dt 


wortel  uit  de  eenheid.  Dus  S 


1 —st 


m 


= de  som  der  primitieve  — - 
^ dt 


de-machts-wortels  uit  de  eenheid  = p ( — ).  We  krijgen  nu  dus 


m 


F F'  — (._  1)  *0n+*ln+  ■ • • • V- i 


29 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


436 


waarbij  t alle  deelers  van  ....  doorloopl.  Men  vindt  gemakkelijk 
dat  (f  maal  de  laatste  som  gelijk  is  aan  m,  waarmede  dan  in  ons 
bijzondere  geval  ’t  theorema  bewezen  is. 

Om  aan  te  geven  hoe  ’t  bewijs  wordt,  voor  ’t  geval  dat  niet  aan 
alle  der  laatst  gemaakte  onderstellingen  voldaan  is,  nemen  we  het 
geval  dat  — h\ — = 0 en  n^=\,  terwijl  aan  alle  andere  der 
vroeger  gemaakte  onderstellingen  wel  voldaan  is.  We  krijgen  dus 

'1  -sf 


h\  = Aj — 1.  In  de  som  U 


moet  nu  s niet  meer  alle  getallen 


m 


doorloopen  die  z,ijn  en  relatief  priem  daarmee,  want  omdat  t 

niet  door  /j  deelbaar  is,  kan  1 — st  wel  voor  sommige  waarden  van 
s,  door  /j  deelbaar  zijn.  Is  1 — zt  = 0{niodl^)  dan  voldoen  de  getallen 
m ^ 

A I /,  aan  dezs  congruentie.  Van  deze  getallen 


^ z -j-  . z -j-  f 

) 


V,(//  /j 


zijn  er  (f 
som  nog 


7)1 

dtlj 


7)1 


ondei-ling  ondeelbaar  met  . Er  blijven  dus  in  de 

dt 


(p 


(m 


rn 

dtL 


getallen  1 — st  over,  die  symbolen  opleveren  welke  7^  0 zijn. 
Voor  die  waarden  van  .s  is  evenals  vroeger 

2nb'  2^^'2ï('’2 


1 — st 

br. 

0)1  ^ 

1 — st 

*n  » 

0 

2^ 

1 — st 

_ 2’  _ 

^ ï 

2'‘* 

1 ^2 

L.  •'3  _J 

Maar  verder  is 


1 — st 

1 — st  J-  /, 

1 

1 

1» 


De  getallen  1 — st,  die  in  de  som  voorkomen,  kunnen  we  (mot//,) 

verdeelen  in  maal  een  groep  getallen  die  <( /,  zijn.  Deze 

laatste  groep  bevat  /, — 2 termen.  Onder  deze  komt  het  getal  0 niet 
voor,  evenmin  als  1,  want  geen  der  getallen  I — st  is  door  /,  deel- 
baar en  t is  niet  door  /,  deelbaar  en  ook  ,s'  niet  omdat  s relatief 

Dl 

priem  is  met  — en  dit  getal  is  wel  door  /,  deelbaar.  We  nemen  nu 
dt 


’1 — st 


I ^'1 

h _l 


Ir? 


opleveren,  bij  elkaar. 


de  termen,  die  gelijke  waarden  van 
Volgens  het  voorgaande  wordt  deze  waarde  dan  vermenigvuldigd 
met  de  som  der  primitieve  ^^-de-machts- wortels  uit  1.  Dus 


dt  L 


437 


1 — st 

/ m '' 

\ h 

n 

^ — 1— 

X 

' u—2 

in 


Volgens  ’t  eerste  hulptheorema  van  dit  hoofdstuk  is  de  laatste 
som  = — 1,  want  we  krijgeji : 


Ih. 

W=:l 


fi=i 


In 


omdat,  daar  bm  door  deelbaar  is: 


n 

hn_ 

7l' 

In 


Ten  slotte  is  nu  2 


1 — st 


als  n = n’  (mod  / J 

= — 1 . p 


rn 

, ! = . 
dtl^J  \dt 


Verder  wordt  het  bewijs  weer  als  in  ’t  vorige  geval.  Hiermede 
is  voldoende  aangegeven  hoe  ’t  bewijs  worden  zal  als  men  nog  meer 
der  vroeger  gemaakte  beperkingen  opheft.  Maar  we  zullen  nog  nagaan 
hoe  ’t  bewijs  wordt  wanneer  één  of  meer  der  getallen  6 = 0 zijn. 

Nemen  we  weer  als  voorbeeld  bm  = 0.  In  de  som  F zijn  nu  alle 


m 


termen  waarvoor  onderling  ondeelbaar  is  met  — , ongelijk  nul. 


En  verder  is 


n 

7Z' 

- 

_ _ 

als  n = w'  ( mod 


m 

‘■1 


Bovendien  kan 


men  alle  getallen  die  m zijn  en  relatief  priem  daarmee,  ^ 


771 


verdeelen  in  X de  groep  der  getallen  die  <^  — en  relatief  priem 
met  — . Dus 


F = 2 


2n  n di 


■■f+fY 


+ « 


+ ... 


Omdat  d deelbaar  is  door  //i,  volgt  hieruit 

2n  n di  / 2nn  di 

F = lFi2  e m 


als  dezelfde  functie  is  als  F wanneer  men  in  plaats  van  77\  het 

771 

getal  — neemt.  Voor  deze  functie  F^  is  reeds  bewezen: 

F F'  — F^ . l,h  F^  = F^  F^'  = 

= {—ifon  + ^„  + • • • Y2h,  ^ ^ 1)  + *ln  + • • • 


29* 


438 


^10.  Theorema  s over  de  realiteit  van  ’t  deellichaam  ken  bepaling 
van  ’t  getal  v.. 

Als  voor  al  de  waarden  van  n de  som  èon  + + • • ■ • ®ven  is, 

dan  is  ’t  deellichaam  k reëel  en  anders  imaginair. 

Bewijs : Het  voortbrengend  getal  van  k is 

als  Ah)  ieder  getal  van  de  ondergroep  g beteekent. 

Nu  is 


A\')  ^ . (jnodm) 

waarbij  de  exponenten  aan  alle  congruenties  (3)  voldoen.  Omdat  alle 
sommen  hon  + èn?  + . . . . even  zijn,  wordt  aan  die  congruenties  ook 
voldaan  door  = 1 ; = 0 ; a^  = rp^-,  . . . . 

Maar  dan  is  ook 


«Oj  4“  o V,*i  ) + ^(p-^1  ...  . 

een  oplossing  der  congruenties  (3).  Verder  is 

+ ' A ....  = — Art  (mod  7n) 

De  getallen  Art  en  — Ab’>  zijn  (modm)  verschillend,  want  was 

^{i/  = — {rnod  m) 

dan  zou 

2 A(*)  = 0 {mod  m) 

zijn.  Dat  kan  niet  want  Ab)  is,  als  getal  van  _</,  relatief  priem  met  ??i. 
Hiermede  is  nu  aangetoond  dat  de  getallen  Ab)  van  g in  paren 

'_^d) 

kunnen  worden  gerangschikt.  Voor  zoo’n  paar  is  = reëel 

getal.  Hieruit  volgt  dat  ij  reëel  is. 

Het  bewijs  van  ’t  tweede  deel  is  als  volgt:  Alle  reëele  getallen 
van  ’t  cirkellichaam  /{  blijven  onveranderd  voor  de  substitutie 
{Z  \ ■=  s . Want  zij  zoo’n  getal 

^ = «o  + «1  ^ + 

dan  is 


2jr  sin  4 jr 

sin [-  a, 1-  . . . . = 0 

rn  m 


en 


zoodat 


2jr 

s Si.  — “h  "V  h . . . . 

m 


Si  — 5 = 0. 


Omgekeerd : Als  een  getal  onveranderd  blijft  voor  de  substitutie 
s dan  is  ’t  een  reëel  getal. 

Hieruit  volgt  nu  dat  ieder  reëel  deellichaam  van  /f  een  deellichaam 


1)  „W.”,  p.  85. 


439 


is  van  ’t  deellichaam  dat  bij  de  groep  .<?,  5’  behoort  en  dat  een 
lichaam,  dat  bij  een  groep  behoort,  die  niet  de  substitutie  s bevat, 
imaginair  is.  Als  Jiii  niet  alle. sommen  • . even  zijn,  dan 

voldoet  het  stelsel  a„  = 1 ; = 0 ; a,  = ^ r/',  . . . . niet  aan  de 

congruenties  (3),  waaruit  volgt  dat  de  groep  ^ niet  de  substitutie 
s bevat,  ’t  Lichaam  is  dus  imaginair. 

Theorema:  Als  niet  alle  stellen  b’s  een  even  som  bon 
hebben,  dan  is  ’t  aantal  stellen  waarbij  deze  som  oneven  is,  gelijk 
<P 

aan  — . 

2?’ 

Bewijs  : Alle  stellen  b’s  waarbij  de  genoemde  som  even  is,  vormen 
blijkbaar  een  groep,  omdat  de  moduli  2,  </ ^,  . . . . e\en  zijn.  Om 

uit  deze  groep  de  groep  van  alle  stellen  b’s  te  krijgen,  moet 
de  eerstgenoemde  groep  vermenigvuldigd  worden  met  een  groep  die 
op  de  identieke  substitutie  èoi  = 0i  b^^  = 0,  . . . . na,  alleen  uit 
stelsels  b’s  bestaat,  waarvoor  de  som  oneven  is.  Waren  er  in  deze 
laatste  groep  twee  stellen  met  oneven  som  dan  zou  er  ook  in  voor- 
komen het  stelsel  dat  door  optelling  dezer  twee  verkregen  wordt  en 
dat  weer  een  even  som  zou  hebben.  Dat  kan  dus  niet.  Hieruit  volgt 
dat  de  bedoelde  groep  slechts  één  stel  b’s  bevatten  kan  met  oneven 
som  bon  -j"  + ....  Deze  groep  is  dus  van  den  graad  2.  Daaruit 

(p 

volgt  dat  er  i . — stelsels  b’s  zijn  met  even  en  dus  evenveel  met 
1' 

oneven  som. 


Bepaling  van  ’t  getal  v.  ‘). 

1°.  Als  ’t  lichaam  reëel  is,  dan  is  w = 2 want  de  eenige  reëele 
wortels  uit  de  eenheid  zijn  ± 1.  Omdat  ’t  lichaam  een  lichaam 
van  Galois  is,  zoodat  de  geconj ageerden  weer  met  ’t  lichaam  zelf 


identiek  zijn,  is  ?■,  = 0 en  i\  = - . 

r 

2'.  Is  ’t  lichaam  imaginair  dan  is,  om  dezelfde  reden  als  boven  : 


Nu  moet  nog  het  getal  w bepaald  worden. 


Zij  tv,  = 1 als  alle  getallen  a,  = 0 zijn  en  anders  0. 

Zij  2“’*  de  hoogste  macht  van  2 die  op  alle  getallen  a^  deelbaar 
is  en  w^  — h^  — 2 als  alle  getallen  = 0 zijn.  — 0 als  niet  alle 
getallen  a^  door  2 deelbaar  zijn  en  ook  = 0 als  niet  alle  a,  = 0 
zijn;  = \ als  alle  = 0 zijn  en  alle  a^  deelbaar  door  2. 

Zij  /j*"'  de  hoogste  macht  van  l^  die  op  alle  getallen  deelbaar 


1)  „H.”,  p.  229, 


440 


is  terwijl  = Aj  — 1 als  alle  a^=0  zijn.  Mj  = 0 als  niet  alle 
getallen  door  — 1 deelbaar  zijn  en  u^  = l als  wel  alle  getallen 

door  — 1 deelbaar  zijn  enz. 

Dan  is 

als  A*  = . . . 

als  A^=:2is:u>  = 2“'‘>+'C''“’‘+'\... 
als  A;*  = 0 is  : w = 2^^“'^'"'"*”'^  . . 

Bewijs : Het  deellichaam  k kan  slechts  die  wortels  uit  de  eenheid 
bevatten,  die  machten  van  zijn,  omdat  .ATslechts  deze  bevat.  Alleen 
als  m oneven  is,  bevat  K ook  de  machten  van  Z met  het  negatieve 
teeken  voorzien.  Stel  nu  dat  in  k voorkomt,  dan  blijft  dit  getal 
onveranderd  voor  alle  substituties  van  g..  Dus  als  we  alle  getallen 
van  g Hb’)  noemen,  dan  is 

waaruit  volgt : 

ö (A(')  — l)^^(modm) . (10) 

Omgekeerd  : als  aan  deze  congruentie  voldaan  is,  voor  alle  getallen 
van  g dan  bevat  ’t  lichaam  k de  wortel  uit  de  eenheid  Z^. 

Als  nu  alle  getallen  = 0 zijn,  dan  bevat  ’t  lichaam  de  getallen  ± i. 
Bewijs:  Voor  ieder  getal  Hb')  geldt  nu 

A(')  5“*  {mod  2^*)  dus  A(0  = 1 {mod  4). 

m 

Volgens  voorgaande  komt  in  ’t  lichaam  dus  voor,  ’t  getal  Z^  = i. 
Dus  ook  — i. 

Als  alle  getallen  «^^  = 0 zijn  en  ook  alle  = 0 dan  bevat ’t  lichaam 

‘2m 

Bewijs  dito.  Als  alle  getallen  a„  = 0 zijn  en  alle  getallen  a# 

2iii 

hoogstens  deelbaar  zijn  door  2“’*  dan  bevat  ’t  lichaam  ’t  getal 
Enz. 

Men  bewijst  dit  alles  met  behulp  van  (10). 

Wanneer  men  nu  nog  bedenkt  dat,  als  in  ’t  lichaam  voorkomt 

27tt 

e^wi+i^  er  ook  de  eerste  machten  hiervan  in  ’t  lichaam  voor- 

komen, dan  vindt  men  de  opgegeven  formules. 

§ 11.  Afleiding  van  de  definitieve  uitdrukking  van  het  klassenaantal. 
Theorema:  Als  voor  ieder  stel  A’s  de  som  Aon  + Am  -l-"  • • • • even 
is,  dus  als  ’t  lichaam  k reëel  is,  dan  geldt  voor  het  aantal  klassen 
H de  uitdrukking: 


441 


r 


Vr  2 

77  ^ 

)i=2  s=1 

s 

Aor?)  A^„,  Ain  . . • 

log  As 

R 

waarbij  Ag  = y' (i — ^ *) 

/?  = de  regulator, 

terwijl  is  ondersteld  dat  = . . . . = 0. 

Is  = 2 dan  is  er  niet  en  is  A*  = 0 dan  is  ook  Aon  er  niet. 

Als  niet  voor  ieder  stel  A’s  de  som  Aq»  + Ai„  -j-  • • ■ even  is,  dus 
als_  ’t  lichaam  A imaginair  is,  dan  geldt  voor  het  aantal  klassen  de 
uitdrukking  ; 


B: 


m 

IV  n ^ 

i 

n «=1 

^ 2 


77  ^ 

n s=l 


Aon,  A^n,  Ai„, . 


loff  A, 


(2to)  V 


2>- 


E' 


Hierbij  is  w het  in  § 10  bepaalde  getal,  ’t  Eerste  product  loopt 
over  alle  waarden  van  ?i  waarvoor  Aon  + Am -|- . . . oneven  is;  ’t 
tweede  product  over  alle  waarden  van  waarvoor  Aon  + Am  . 
e^’en  is. 

Ag  = 1/(1 — Z^)  (1 — Z^^)  en  R’  is  de  determinant  van  de  logarithmen 
van  een  stelsel  reëele  fundamentale  eenheden.  Is  = 2 dan  is' 
A^n  er  niet  en  is  = 0 dan  is  ook  Aon  er  niet. 

Bewijs:  We  leiden  eerst  de  eerste  uitdrukking  af  en  gebruiken 
daartoe  (9). 

Vervangt  men  in  de  som,  welke  in  (9)  voorkomt,  de  letter  A door 
m— k en  gebruikt  het  eerste  hulptheorema  van  § 9 dan  vindt  men 


7-,  km 

^F.  — 


m 

Er  blijft  dus  over : 


als 


1 f/.  1 

H = — 2: ^ F e ]logAu 

n^2  ')nk=l  \ J 


kiti 


te 


2km\ 
in  I 


=i/(, 


2^:71!  \ 


De  nu  verkregen  uitkomst  vooi’  H herleiden  we  met  behulp  van 
het  en  4'^*®  hulptheorema  van  ^ 9.  Volgens  ’t  derde  blijven  van 
de  som  alleen  die  termen  over,  voor  welke  het  getal  A met  m tot 


442 


grootste  gemeene  deeler  heeft  het  getal  d dat  we  verder  door  dn 
zullen  aanduiden.  We  krijgen  dus,  voor  de  som: 


kid 

k 

- 

n is 

— 1 


A]c  Ajc'  . A rn  • - < • A jn 

k + j-  k+{d„~\)j- 

n n 

zooals  gemakkelijk  is  na  te  gaan.  De  som  gaat  over  in  : 
F 


/ 27rrf„i\ 

1 

— 1 


{loy  A]c'  + log  A 
k 

Gebruiken  we  nu  ’t  2'^®  hulptheorema  van  ^ 9 dan  gaat  deze  som 
over  in 


F 


logA, (11) 


want  omdat  k'  en  midn  relatief  priem  zijn  en  in  de  voorlaatste  uit- 
drukking k alle  getallen  doorloopt  die  met  m het  getal  dn  tot  grootste 
gemeene  deeler  hebben,  krijgt  men  een  som  waarin  s alle  getallen 
doorloopt  m en  die  met  m relatief  priem  zijn  of  nog  deelbaar  door 
die  priem  factoren  van  m waarvan  de  betreffende  6’s  gelijk  aan  nul 

zijn.  Dus  s doorloopt  dan  alle  getallen  waarvoor  ^ 0 is. 

In  de  formule  voor  H komt  nu  het  product 


'^Ir 
HF 

n=2 

te  voorschijn,  waarvan  de  waarde  wordt  berekend  met  ’t  vierde 
hulptheorema  van  § 9.  Omdat  in  een  groep,  bij  iedere  substitutie,  ook 
de  reciproke  substitutie  vooikomt,  zal  hier  bij  ieder  stel  6on,  h^n,  • • • 
ook  voorkomen  ’t  stel  2— éon,  • • • Zijn  deze  twee  stellen 

verschillend  dan  is  volgens  ’t  vierde  hulptheorema  het  product  der 
bijbehoorende  F F'  — dnm.  Zijn  ze  echter  gelijk,  dan  is,  even- 
eens volgens  dat  theorema,  de  bijbehoorende  F gelijk  aan  ±{/d„m. 
Hieruit  volgt  dat  het  product  (12)  gelijk  is  aan 


_L 1 m 

m2^  77  [/dn 

n=2 

op  het  teeken  na. 

Alvorens  dit  product  nader  te  bepalen,  herleiden  we  eerst  de  som 
die  in  (11)  voorkomt.  Ten  eerste  kunnen  we  de  exponent  — 1 


weglaten,  omdat,  zooals  reeds  is  opgemerkt,  bij  ieder  stel  é’s  ook 
voorkomt  2 — ban  enz.  Verder  is 


m 

S=1 


<-2  <-2 

5 

log  A^=  S 4-  ^ 

m — s 

- 

S=I  S=1 

_ _ 

log  Am-^! 


Want  als  m oneven  is,  is  dit  duidelijk  omdat 

m/2 


m 


= 0 is.  Is 


echter  m even  dan  is  steeds 


= 0 omdat  m door  4 deelbaar  is. 


Als  we  nu  gebruik  maken  van  de  betrekking 


*0n  + *ln  + - • 


= (-l) 


en  opmerken  dat  Am-s=-  Ag,  dan  vinden  we  voor  de  som  die 
herleid  is : 


: 2 

2 ^ 
S=I 


log  Ag 


Als  we  dit  nu  invoeren  en  ook  de  waarde  van  invoeren  dan 
blijft  nog  het  product  van  alle  getallen  dn  te  berekenen.  Daar  dit 
voor  ’t  tweede  deel  van  ’t  theorema  ook  moet  geschieden  zullen  we 
het  uitstellen  totdat  we  zoovei-  gekomen  zijn.  Door  voor  ’t  grond- 
getal de  waarde  te  gebruiken  die  in  ^ 6 is  gevonden,  krijgt  men 
dan  na  eenige  herleiding  de  verlangde  uitkomst. 


Afleiding  van  de  hveede  uitdrukking. 


Het  product  dat  in  (9)  voorkomt,  ontbinden  we  in  twee  producten, 
waarvan  het  eerste  loopt  over  de  waarden  van  n waarvoor  de  som 

ban  + + . oneven  is,  terwijl  het  tweede  loopt  over  alle 

waarden  van  n waarvoor  deze  som  even  is.  Het  laatste  product 
wordt  op  dezelfde  manier  herleid  als  in  'teerste  deel  van  ’t  bewijs. 
In  'teerste  product  krijgen  we,  door  toepassing  van  'teerste  hulp- 
theorema  van  ^ 9,  als  we  het  getal  k in  (9)  vervangen  door  m — k-. 

m / 

2 F [ e ^ 

V 

Er  blijft  van  de  som  die  in  (9)  voorkomt,  dus  over: 


log  Ak  = 0. 


jii 

— k F 
m-k=\ 


Volgens  ’t  3*^®  hulptheorema  wordt  dit: 


444 


waarbij  k alle  getallen  doorloopt,  die  met  m het  getal  tot  grootste 
gemeeiie  deeler  hebben. 

Verder  is,  als  k — lcdn\  d = dn 

1 


k 

dn  ^ - 
k d 


omdat 


k/d  " 

-1 

k' 

— 1 

d -j-  mjd, 

— 

= 2 k' 

-j-  2 {k'  m/d) 

k 

k' 

k' 


— 1 


. . . . .2"  (^'  -f-  {d — 1)  mjd) 
k!  mjd 


— 1 


— V 


d- 


k {d — 1)  mid 


= 0 


— 1 


volgens  1®^*^  hulptheorema  van  ^ 8.  We  vinden  dus  de  uitkomst 


71 1 


F \ e ’» 

m 


2nd  i 

tl 


2 

S=1 


— 1 


waarbij  de  exponent  — 1 mag  worden  weggelaten  omdat,  als  de 
som  der  h’s  oneven  is,  ook  die  van  2 — bon  enz.  oneven  is. 

’t  Blijkt  nu  dat  in  (9)  weer  te  voorschijn  komt  het  product 
\/ndn  als  we  de  factoren  F in  paren  bijeen  nemen,  en  ze  volgens 

Jï=2 

’t  4‘^‘^  hulpth.  van  § 9 herleiden.  Hierbij  treden  dan  machten  van  i 
op,  die  ook  bij  de  verdere  herleiding  nog  te  voorschijn  komen,  maar 
we  kunnen  deze  buiten  beschouwing  laten  omdat  het  getal  H 
natuurlijk  een  positief  geheel  getal  is. 


fjr 

^12.  Bepaling  van  ’t  product  TI  dn. 

n=2 

We  berekenen  daartoe  afzonderlijk  de  macht  van  2 die  in  dit 
product  \'Oorkomt  en  de  macht  van  Er  zijn  ^ verschillende 
getallen  omdat  de  groep  primair  is.  leder  dezer  getallen  komt 

(p 

dus  in  alle  stellen  6’s  — : ^ malen  voor.  Nu  zijn  van  de  verschil- 
lende getallen 

2h*—4:  getallen  juist  door  2 deelbaar 
„ „ 2’ 


2"  2^*— 3 

1 2^*-2 

y>  yy  » > " yy 

Een  eenvoudige  berekening  geeft  voor  de  macht  van  2: 

2 ?*'■ 

als  men  bedenkt  dat  het  stelsel  bon  = b^n  = = 0 niet  moet 

worden  meegeteld. 


445 


Nu  moet  echter  nog  rekening  gehouden  worden  met  de  gevallen 
waarin  b^n  en  b^n  beide  — 0 zijn.  Voor  ieder  zoo’n  geval  moet 
bovenstaande  macht  van  2 nog  met  2^  worden  vermenigvuldigd. 

(p 

Er  zijn  — stelsels  waarin -èon  = 0.  De  stelsels  waarin  bon=b^n  = 0 
2r 

vormen  een  ondergroep  van  de  groep  van  alle  stelsels.  De  stelsels 
//s  waarvan  5*  = 0 vormen  ook  een  groep.  Het  is  duidelijk  dat  de 
eerstgenoemde  groep  weer  een  ondergroep  is  van  de  laatste  of  aan 
de  laatste  gelijk  is.  Is  zij  een  ondergroep  dan  verkrijgt  men  daaruit 
de  groep  van  de  stelsels  waarin  b^^n  = 0,  door  deze  ondergroep  te 
vermenigvuldigen  met  de  groep  die  bestaat  uit  de  stelsels 

0,  0,  0,  ...  . 

1,  o,  o, ...  . 

Hiernit  volgt  dat  juist  de  helft  van  alle  stelsels  waarbij  b^n  = 0, 
stelsels  zijn  waarin  èon  = 0 en  b^n  = 0.  Dit  is  dus  zoo,  als  niet  steeds 
tegelijk  bon  = = 0.  Als  echter  bon  + b^n  voor  alle  waarden  van 
n even  is,  -dan  is  steeds  bo»  = b^n  — 0. 

Men  vindt  nu  geraakkeiijk  dat  bovenstaande  macht  van  2 nog 
moet  v ermenigvuldigd  worden  met 


a I - 
2 \ 


waarbij  het  getal  t dezelfde  beteekenis  heeft  als  in  § 6 theorema  8. 
Bepalen  we  nu  de  macht  van  die  in  het  product  opgaat. 

Als  dy  de  grootste  gemeene  deeler  is  van  alle  getallen  bm  dan 

zijn  er  — verschillende  getallen  bm-  Ieder  dezer  komt  in  alle  stellen 

6’s  dus  — : malen  voor.  Omdat  de  groep  primair  is,  is  a,  niet  door 
r öj 

/j  deelbaar  en,  als  = 1 is,  niet  door  /, — 1.  De  getallen  bm  die 
door  /,  deelbaar  zijn,  zijn  dus 


ddi  > 2 ddi  , 


L-1 


■ W--' 


Hiervan  zijn 


getallen  juist  door  deelbaar. 


ih-i 


11  11 


n ld 


^-1 


d 


1 getallen  juist  door  deelbaar. 


446 


Denkt  men  om  de  combinatie  waarbij  alle  b’s  = O zijn,  niet 
mede  te  tellen  dan  vindt  men  in  ’t  product  van  alle  dn  een  macht 
van  /i  die  gelijk  is  aan 


Is  nu  D het  grondgetal  dat  in  § 6 bepaald  is,  dan  vindt  men, 
na  een  eenvoudige  berekening  voor  alle  gevallen : 

'l’/r  J^_l 

[/  D . n dn  = 2 , 


n=2 

In  den  noemer  staat  nu  nog  de  regulator  R.  Als  we  een  stel 
reëele  grondeenheden  nemen,  dan  is 

log  riP)  = \lk  (Vi)  ') 

omdat  de  geconjugeerde  lichamen  reëel  zijn.  Als  we  dit  in  R invoe- 
ren en  de  factoren  2 uit  den  determinant  verwijderen,  ontstaat  het 
gewenschte  resultaat. 


b ,H.”  p.  215.  In  de  formule  boven  aan  bl.  376  noemt  Hilbert  het  getal  E 
den  regulator.  Dat  is  niet  in  overeenstemming  met  zijn  definitie  op  blz.  221. 


Plantkunde.  — De  Heer  Wknt  biedt  een  mededeeling  aan  van  den 
Heer  H.  W.  Berinsohn  ; „De  invloed  van  licht  op  de.  vermenig- 
vuldiging  der  wortelcellen  van  Allium  Cepa” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  van  Rijnberk). 

Door  Mevr.  Drooglever  Fortuyn — Van  Leyüen  is  gevonden  dat 
bij  jonge  katten  een  periodiciteit  in  de  vermenigvuldiging  der  cellen 
bestaat  dusdanig,  dat  ’s  nachts  een  maximum  aantal  kerndeelingen 
bereikt  wordt  en  des  daags  een  minimum.  Evenzoo  is  door  Karsten ’) 
geconstateerd  dat  in  de  groeikegels  van  Zeamais  een  periodieke  kern- 
deeling  optreedt,  waarbij  het  maximum  ook  in  den  nacht  valt.  In 
de  wortels  van  Vicia  Faba  echter  vond  hij  geen  periodiciteit,  zoodat 
hij  besluit:  ,,Das  Wurzelwachstum  entbehrt  der  Periodizitat.”  Bij 
deze  [iroeven  bleven  de  planten  steeds  in  het  duister.  Nu  trachtte 
hij  door  belichting  invloed  uit  te  oefenen  op  de  periodiciteit  in  de 
jonge  spruiten,  hetgeen  hem  gelukte.  Daarentegen  heeft  hij  niet  na- 
gegaan den  invloed  van  licht  en  duister  op  de  celvermeerdering  in 
de  wortels.  Daar  de  wortelgroei  toch  blijkbaar  geen  periodieke  is, 
zal  hier  de  invloed  van  licht  en  duisternis  het  duidelijkst  op  den 
voorgrond  moeten  treden. 

Als  studiemateriaal  koos  ik  Allium  Cepa  omdat  de  Allinmcellen 
zich  goed  fixeeren  en  kleuren  laten  ; omdat  men  in  de  worteltopjes 
zeer  veel  kerndeelingen  aantreft  en  omdat  het  aantal  worteltjes 
groot  is,  zoodat  men  dan  onderzoekt  deelen  van  éénzelfde  individu. 

Aan  een  kiemenden  ui,  welke  in  daglicht  stond,  werden ’s  ochtends 
om  8 uur,  om  11  uur  en  ’s  middags  om  3 uur  eenige  worteltopjes 
ontnomen.  Daarna  plaatste  ik  denzelfden  ui  in  het  donker  en  liet 
hem  staan  tot  den  volgenden  dag,  waarna  ik,  terwijl  de  ui  in  het 
donker  bleef,  om  6 uur  ’s  ochtends  en  om  12  uur  en  67,  uur ’s  mid- 
dags eenige  topjes  nam.  Gedurende  deze  beide  dagen  verschilde  de 
temperatuur  7»°  (opgenomen  met  maximum  en  minimum  ther- 
mometer.) 

Ik  droeg  zorg  steeds  worteltopjes  te  nemen  kleiner  dan  25  mM. 
en  van  ongeveer  gelijke  lengte.  De  worteltopjes  werden  gefixeerd 

b Mevr.  Drooglever  Fortuyn — van  Leyden.  Verslagen  Konink.  Akad.  Amst. 
1915—1916,  blz.  1658. 

*)  Karsten.  Zeitschr.  f.  Botanik  1915,  bldz.  1. 


448 


in  sublimaat  keukenzout,  dan  tot  paraffine  gebracht,  ingesloten  en 
in  seriën  gesneden  ter  dikte  van  lOp  en  de  coupes  werden  gekleurd 
volgens  Hf.idënhain’s  ijzerhaematoxyline  methode.  Van  deze  coupes 
werd  van  eenige,  over  een  lengte  van  1 mM.  van  het  topje  af,  het 
aantal  kernen  geteld  en  vastgesteld  het  aantal  kerndeelingsfiguren. 
Ik  telde  steeds  centrale  coupes.  Tabel  1 en  II  geven  mijn  resultaten. 


TABEL  I (bij  daglicht). 


Tijd. 

Tot.  aant. 
getelde 
kernen. 

Tot.  aant. 
mitosen. 

Spireem 
en  losse 
chrom. 

Monaster. 

Diaster. 

Twee 

kernen. 

8 v.m. 

4000 

— 

— 

— 

— 

— 

11  v.m. 

4345 

139 

53 

53 

17 

16 

3 n.m. 

2290 

47 

26 

14 

5 

2 

TABEL  II  (in  het  donker). 


Tijd. 

Tot.  aant. 
getelde 
kernen. 

Tot.  aant. 
mitosen. 

Spireem 
en  losse 
chrom. 

Monaster. 

Diaster. 

Twee 

kernen. 

6 v.m. 

4702 

210 

125 

66 

19 

0 

12  n.m. 

4204 

180 

147 

21 

20 

4 

6'/2  n.m. 

4043 

124 

65 

29 

10 

20 

Ten  einde  deze  resultaten  te  kunnen  vergelijken  heb  ik  in  onder- 
staande tabellen  de  uitkomsten  uitgedrukt  in  procenten.  Kahsten 
neemt  het  gemiddelde  uit  zijn  tellingen.  Het  schijnt  mij  echter  nauw- 
keuriger deze  feiten  in  procenten  uit  te  drukken,  zooals  ook  Mevr. 
Dkoogi.ever  Fohtuyn — VAN  Leyden  doet,  daar  toch  Kahsten  naar  alle 
waarschijnlijkheid  niet  steeds  hetzelfde  aantal  cellen  heeft  onderzocht. 


TABEL  III  (bij  daglicht). 


Tijd. 

Tot.  aant. 
getelde 
kernen. 

Tot.  aant. 
mitosen. 

Spireem 
en  losse 
chrom. 

Monaster. 

Diaster. 

Twee 

kernen. 

8 v.m. 

4000 

0.00  o/o 

0.00  % 

0.00  »/„ 

0.00  ‘/o 

0.00  o/o 

11  v.m. 

4345 

3.19  „ 

1.01  „ 

1.01  „ 

0.38  „ 

0.37  „ 

3 n.m. 

2290 

2.05  „ 

1.13  „ 

0.61  „ 

0.21  , 

0.08  , 

449 


TABEL  IV  (in  het  donker). 


Tijd. 

Tot.  aant. 
getelde 
kernen. 

Tot.  aant.' 
mitosen. 

Spireemi 
en  losse 
chrom. 

Monaster. 

Diaster. 

Twee 

jonge 

kernen. 

6 v.m. 

4702 

4.46  o/„ 

3.19  7o 

1.4  0/^ 

0 

0^ 

0 

0.00  0/0 

12  n.m. 

4204 

4.28  „ 

3.49  „ 

0.49  „ 

0.48  „ 

0.09  „ 

6V2  n.m. 

4043 

3.06  „ 

1.60  „ 

0.71  „ 

0.24  , 

0.49  „ 

Zooals  men  ziet  bereikt  overdag  liet  aantal  kerndeelingen  zijn 
maximum  tussclien  8 en  11  uur  (zonnetijd),  hetgeen  overeenkomt 
met  het  bekende  feit  dat  men  goede  kerndeelingen  bij  Hyacinth  en 
Allium  ziet  tusschen  10  en  11  uur  voormiddags.  Vanaf  elf  uur  daalt 
het  aantal  kerndeelingen  tot  2.05  “/o  ’s  middags  om  3 uur. 

Bij  den  ui  in  het  donker  vond  ik  ’s  ochtends  om  6 uur  het 
grootste  aantal  kerndeelingen,  4.46  7a-  Dit  was  om  12  uur ’s  middags 
slechts  weinig  gedaald  4.28  7»  en  om  67,  uur  ’s  avonds  was  de 
daling  nog  iets  grooter.  Het  totaal  aantal  kerndeelingen  overtrof 
echter  om  6 uur  ’s  ochtends  en  om  12  uur  ’s  middags  het  maximaal 
aantal  kerndeeiingen  geconstateerd  bij  daglicht,  terwijl  het  minimum 
in  het  donker  slechts  weinig  minder  was  dan  het  maximum  bij  dag- 
licht, zoodat  de  conclusie  wel  gerechtvaardigd  schijnt:  In  het  donker 
neemt  bij  Aliium  in  den  wortel  het  aantal  kerndeelingen  toe,  hetgeen 
Karstkn  ')  ook  bij  Spirogjra  en  andere  planten  geconstateerd  heeft. 

Vergelijken  wij  in  beide  tabellen  III  en  IV  het  aantal  spireem,  losse 
chromosomen  stadia  met  het  aantal  monaster  stadia,  dan  zien  wij 
in  de  eerste  tabel  van  elf  op  drie  uur  een  toename  van  het  aantal 
spireem  en  losse  chromosoom  stadia  en  een  afname  van  de  monaster 
stadia.  Dit  zou  wijzen  op  een  toename  in  het  aantal  kerndeelingen 
en  niettemin  is  het  totaal  aantal  mitosen  verminderd.  Doen  wij 
ditzelfde  voor  tabel  IV  dan  zien  wij  van  6 op  12  uur  iets  dergelijks 
gebeuren.  Beschouwen  wij  nu  spireem,  losse  chromosomen  en  monaster 
als  één  stadium  (prophase)  dan  blijkt  in  de  derde  tabel  om  1'J  uur 
2.027,  o™  3 uur  1.747,  iu  dit  stadium  te  verkeeren,  hetgeen 
dus  op  een  vermindering  wijst.  Ditzelfde  geldt  voor  tabel  IV.  Om 

6 uur  verkeert  4.59  7o)  d2  uur  3.98  7,  en  om  67,  uur  2.31 7, 

in  prophase,  dus  er  is  een  totaal  afname.  Dit  feit  lijkt  mij  een  be- 
vestiging van  de  nlgemeene  opvatting  spireem,  losse  chromosomen  en 
monaster  als  een  stadium  op  te  vatten  ’). 


1)  K AKSTEN.  Zeitschr.  f.  Botanik  1918. 
Pekelhaeing.  Weefselleer,  bldz.  67. 


450 


Het  lijkt  mij  ook  mogelijk  om  uit  dergelijke  gegevens  als  in  tabel 
III  en  IV  vervat  zijn,  iets  naders  te  weten  te  komen  betreffende  de 
overgangssnelheid  van  propliase  naar  anaphase  en  van  anaphase 
naar  telopliase.  Beschouwen  wij  daartoe  tabel  lil.  Om  11  uur  ver- 
keerden 2.02  7»  i’i  prophase  en  0.38  7o  in  anaphase.  Het  aantal  kerndee- 
lingsfiguren  in  prophase  is  om  drie  uur  verminderd  met  13.8  7o  en  het 
aantal  kerndeelingen  in  anaphase  is  verminderd  met  44.7  7<i. 
sterker  verminderd;  dat  wil  dus  zeggen  de  overgang  van  anaphase 
naai-  telophase  geschiedt  sneller  dan  de  overgang  van  prophase  naar 
anaphase.  Dit  geldt  ook  voor  den  ui  in  het  donker  voor  heel  den  dag, 
maar  gedurende  den  dag  heeft  er  een  omkeering  plaats  dusdanig 
dat  van  6 tot  12  uur  de  ovei-gang  van  prophase  naar  anaphase 
sneller  gaat  dan  van  anaphase  naar  telophase. 

Natuurlijk  zijn  deze  gegevens  te  weinig  talrijk  om  dergelijke  ver- 
strekkende conclusies  te  trekken,  maar  doel  van  deze  berekening 
was  alleen  maar  te  doen  zien  dat  het  mogelijk  is  de  relatieve  snel- 
heden te  leeren  kennen.  Wil  men  dergelijke  onderzoekingen  doen 
dan  is  het  in  de  eerste  plaats  noodzakelijk  de  waarnemingstijden  veel 
korter  te  kiezen,  bijvoorbeeld  één  of  anderhalf  uur.  Het  is  ook 
mogelijk  uit  dergelijke  tabellen  den  duur  van  een  kerndeeling  te 
bepalen.  Beschouwen  wij  tabel  1 dan  vinden  wij  om  8 uur  geen 
kerndeelingen  en  om  11  uur  vonden  wij  16  kernen  in  telophase. 
De  kerndeeling  zou  dus  bij  Allium  Cepa  ongeveer  drie  a vier  uur 
duren,  Jolly  vond  bij  Triton  den  duur  van  de  kerndeeling  in  de 
roode  bloedlichaampjes  bij  20'^  C.  ongeveer  2Yj  uur.  Uit  de  tabel  van 
Mevr.  Drooglkvek  Fortuyn — van  Leyden  meen  ik  den  duur  van  een 
kerndeeling  bij  de  kat  te  mogen  schatten  0[)  twaalf  uur,  daar  om 
2 72  ^ ^-23  7o  kernen  in  prophase  verkeerden  en  geen  telophasen 

geconstateerd  werden.  Eerst  te  272  werd  voor  hel  eerst  0.20  7o 
kernen  in  telophase  gezien. 

Vatten  wij  nu  onze  resultaten  te  zamen,  dan  zien  wij  dus;  dat 
in  het  donker  de  worteltoppen  van  den  ui  meer  kerndeelingen  ver- 
toonen  dan  in  het  licht.  Blijkbaar  oefent  licht  een  remmende  werking 
uit.  Verder  is  het  waarschijnlijk  dat  de  overgang  van  prophase  naar  ana- 
phase langzamer  plaats  heeftdandeovergangvananaphasenaartelophase. 

Door  gebrek  aan  tijd  kon  ik  deze  feiten  niet  nader  controleeren. 
Hiervoor  zou  toch  noodig  zijn  een  onderzoek  naar  de  dagelijksche 
schommelingen  in  het  aantal  kerndeelingen  bij  den  ui,  waarbij 
zoo  mogelijk  de  waarnemingstijden  zoo  lang  mogelijk  (drie  a vier 
dagen)  moeten  zijn.  Tegelijkertijd  zou  men  bovenstaand  onderzoek 
moeten  herhalen.  Voor  deze  beide  onderzoekingen  kan  men  metéén 
ui  volstaan.  Men  snijdt  dan  den  bol  in  tweeën  en  gebruikt  een  helft 


451 


voor  de  eerste  proefreeks  en  de  andere  helft  voor  de  tweede  proef. 
De  twee  proefreeksen  zijn  dan  nitgevoerd  met  deelen  van  éénzelfde 
individu.  Dit  laatste  heeft  noch  Mevr.  Drooglever  Fortuyn: — van  Leyden 
noch  Karsten  gedaan,  waardoor  de  resultaten  veel  aan  zuiverheid 
verliezen. 

Niettegenstaande  de  onvolledigheid  van  mijn  onderzoek  schijnen 
mij  de  gevonden  feiten  l)elangrijk  genoeg  om  nader  onderzocht  te 
worden,  waarom  ik  dan  ook  deze  mededeeling  doe.  Tevens  zij  het 
mij  vergund  hier  den  heer  M.  W.  Woerdeman  te  danken  zoowel  voor 
de  aansporing  tot  dit  onderzoek  als  voor  de  vriendelijke  hulp  mij 
hierbij  verleend. 

Histologisch  Laboratorium,  Amsterdam. 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A®.  1919/20. 


30 


Wiskunde.  — De  Heer  Cardinaal  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
de  Heeren  J.  A.  Schouten  en  D.  J.  Struik:  „Over  n-voudig 
orthogonale  stelsels  van  n — \ -dimensionale  uitgebreidheden  in 
een  algenieene  uitgebreidheid  van  n afmetingen.” 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  H.  A.  Lorentz). 

II. 

7.  De  stelling  van  Dupin  en  een  omkeering.  Uit  het  theorema  I 
volgt,  dat  de  stelling  van  Dupin  ook  voor  een  algemeene  uitgebreid- 
heid geldig  is : 

De  V„—i  van  een  n-voudig  orthogonaal  stelsel  snijden  elkaar  volgens 
de  kromtelijnen . 

Deze  stelling  laat  de  volgende  omkeering  toe: 

Wanneer  n — 1 onderling  orthogonale  Vn-i-stelsels,  bepaald  door  de 
daarop  loodrechte  congruenties  ii,  . . . , elkaar  snijden  volgens  een 
congruentie  i,„  en  de  volgorde  der  eerstgenoemde  congruenties  zoodanig 
kan  worden  gekozen,  dat  de  congruentie  i,;  in  iedereVn—k-{-\  , - • , 
een  congruentie  is  van  kromtelijnen  voor  de  Vn-k,  die  doorsnede  is  van 
deze  Vn-k-{-\  met  de  Vn-i  -L  ü,  k — . . . . , n — 1,  dan  is  lood- 

recht op  een  Vn-i-stelsel,  orthogonaal  op  de  n — 1 gegeven  stelsels 
en  ii,  . . . , i„  zijn  de  congruenties  der  kromtelijnen  voor  elk  der  n stelsels. 

Bewijs.  Indien  de  fundamentaal tensor  ’g  van  de  Vn  geschreven 
wordt : 

’g=:aa=bb=...,  . . . . . (72) 

dan  is  de  ideale  factor  a als  volgt  te  splitsen : 

a = a'  4-  a", (73) 

waarin  a'  alleen  th,  . . . , in,  a"  alleen  ij,  ...  , u_i  bevat. 

’g'  ==  a'  a'  = b'b'  =:....  is  de  fundamentaaltensor  der  V n-k-\-i  J- 

i,,  . . . , ifc-i  en  de  geodetische  differentiatie  van  een  vektor  v,  geheel 

in  die  Vn-k->t-\  gelegen,  is  bepaald  door  de  vergelijking: 

V'v^’g'i  V (a'.v)a'  (74) 

Voor  xk  geldt  dus: 

in  ^ V ifc  = in  I V (ii  . a)  a = in  1 V (i*  . a')  a'  + in  1 V (i*  . a')  a"  = 

= in  1 V'  i*  + in  \ V (ii: . a')  a". 


453 


Volgens  onderstelling  is  nu  i„  een  congruentie  van  kromtelijnen 
voor  de  Vn-k,  die  in  de  beschouwde  Vn-k^i  JL  h zijn,  zoodat  volgens  (38) : 

^ \ V i&  ^ Qk  in  , (76) 

waarin  Qk  een  nog  onbekende  coëfficiënt  is.  Uit  (77)  volgt  dus: 

1,..  yk—\ 

X 1 V ifc  = (77) 

3 

waarin  nog  onbekende  coefticienten  zijn.  Ondersteld  wordt  dus, 
dat  het  mogelijk  moet  zijn  aldus  te  rangschikken,  dat 

tegelijkertijd  voldaan  wordt  aan  (77)  voor  alle  waarden  k = l, n — 1. 
Daar 

ijt  . i/ = 0,  ^ = 1, n,  k^l  . . . (78) 

volgt  door  toepassing  van  U . V : 

iUn  ^ V i*  — — ijt  in  ^ V i/  . . . . . . (79) 

Voor  ^ volgt  dus  uit  (77),  (78)  en  (79): 


ik  in  1 V i/  — 0, 

Z = 1,  . . . . , n 

— 1 . . 

. . (80) 

zoodat 

o 

II 

s. 

Z:  = 1,  . . . , , n — 1 

• • (81) 

;■  =:  1,  . . . . , n — 2 

. 

De  vergelijkingen  (77)  gaan 

daardoor  over  in : 

« in  1 ik  — Qk  in 

Z:  = 1,  . . . . , n — 1 

. (82) 

hetgeen  meetkundig  wil  zeggen,  dat  i„  in  elk  der  n — 1 gegeven  Vn—i- 
stelsels  een  congruentie  van  kromtelijnen  is.  Door  toepassing  van 
ik  . V volgt  uit  (78) : 


i/iA:?Vin  = — in  iyfc  ^ V i/,  Z = 1, . . . .,  n — 1.  , . (83) 

Nu  is  1/  Un— i-normaal,  dus  Vi/  sj^mmetrisch  in  k en  n,  zoodat  uit 
(80)  en  (83)  volgt : 

i/iA:?Vin  = 0,  Z = 1, . . . , , n - 1 , . . . (84) 

in  is  dus  Fn— i-normaal  en  ij,  ...  , i„_i  zijn  de  congruenties  der 
kromtelijnen  der  Fn-i  ± in- 

Daar  ij,...,in_i  Fn— i-normaal  zijn  en  onderling  loodrecht,  is 
bovendien  volgens  (67) : 

i>iü;?Vi/  = 0 A,  Z = 1,  . . . . , n — 1.  . . . (85) 

zoodat  ij,  . . . , in  de  congruenties  der  kromtelijnen  zijn  voor  elk  der 
n stelsels  1 ij,  ...  , in. 

Voor  een  F,  luidt  de  bewezen  stelling: 

Wanneer  twee  onderling  orthogonale  oppervlakkenstelsels  elkaar  snijden 
volgens  een  congruentie  van  krommen,  die  de  kromtelijnen  zijn  van 
een  der  oppervlakkenstelsels,  dan  bestaat  er  een  oppervlakkenstelsel, 

30* 


454 


orthogonaal  op  de  twee  gegeven  stelsels  en  de  drie  stelsels  snijden  elkaar 
volgens  hunne  kromtelijnen. 

Vooi'  de  Ri  is  deze  stelling  liet  eerst  afgeleid  door  Darboux^). 


8.  De  voorwaarden  van  Lilienthai-.  De  bedoeling  is  thans,  verband 
te  leggen  tusschen  verschillende  vormen,  waarin  in  het  geval, 
dat  i»  Fn— i-normaal  is,  de  voorwaarden  in  de  literatuur  voorkomen, 
en  te  onderzoeken,  in  hoeveri-e  zij  geldig  blijven,  wanneer  men 
algemeenere  uitgebreidheden  ten  grondslag  legt. 

Evenals  ’h  krijgt  de  tensor  '‘p,  zoo  in  F„_i-normaal  wordt,  een 
eenvoudige  beteekenis.  Daar  volgens  (19)  en  (42): 

V ^ in  = — — . V)  g'!'  ] e’/  e’;.  + in  ^ u„,  . • . (86) 

^ > a 

is  het  kontravariante  «/?-kental  van  «(in  . V)  V ^ in : 

X e«  2 (in . V)  ( V - in)  = - è 6^9  e.  ^ ^ [e’;.  e’;.  (in  • V)’  + 

ifj. 


+ { (in  • V)  e’>,  e’v.  I (in . V)  Ca  2 u„  u„  = 

= — i(in  .V)*  er=ez  2 .S"  {(V'-'in)‘^  e;,e// (i,,  •V)e’/e’«j  + e,9ea2  UnUn= 

/y. 

= — g'^^—  -2'(V'-"in)?  e;e//je’/eV?  (k .V)e^eK|  + e;9e«?  u,(Un= 

'ly. 

=— è(in-V)V'H^’'(V--in)2  e;e,„|e5e’«2  ((Vi„)i  e^ea  + e^Vk)!  ea)l+ 

ïfj. 

+ Ba  ? Un  U„  = 


.(87) 


= — \ (in . V)’  g^^  4-  Ca  M V - in)  1 e.  eV  1 (V  in)  1 e,3  + 

r 

+ e;9  M V ^ in)  1 e)  e’;,  ^ (V  in)  1 Ca  + 


+ e«  1 (V  ^ in)  \ in  in  \ (V  in)  \ 6/3  + 6/3  \ (V^i«)  \ in  in  \ (V  in)  \ 6a  = 

= - Hin  . V)F9“/'  + 2 e.  6/3  2 T ( V -in)  ' V in, 

waaruit  in  verband  met  (59)  volgt ; 

*P  = 6’a  6’,3  (in  . V)"  5^“/®  = 6’«  6’/3  (in  • V) . . (88) 

Voor  ?^  = 3 kan  men  dus  de  voor  waarde,  dat  *h  en  ’p  dezelfde 
hoofdriclitingen  hebben,  in  coördinaten  schrijven; 


güa 

gab 

gbb 

(in  • V) 

(in  • 

7)  g^^  (in  . V)  g^’^ 

= 0, 

(in  . V)^ 

(in  . 

\7y  .9“*  (in . V)’ 

b G.  Darboux,  Sur  les  surfaces  orthogonales.  Annales  sc.  de  l’Ecole  Normale 
3 (66)  97—141,  bldz.  liO. 


455 


en  dit  is  juist  de  vergelijking,  die  het  eerst  voor  de  Z?,  is  aange- 
geven door  Lilienthal  '),  en  waarop  voor  kort  nog  eens,  eveneens 
voor  de  R^,  de  aandacht  werd  gevestigd  door  Wieringa’).  Deze 
voor  waarde  is  dus  een  speciaal  geval  van  de  eerste  van  Riccr.  Verder 
geldt  zij  voor  een  willekeurig  lijnelenient,  en  ook,  hoewel  niet  meer 
als  eenige  voorwaarde,  voor  n > 3. 


7.  De  voorioaarden  van  Ricci.  Is  i„  weer  i-norniaal,  dan 
kan  men  een  grondvariabele  ?/"  invoeren  en  vektoren  s„  en  s’„,  zoodat 

1 

in  — On  Sn  = Sn  .......  (39) 

Ön 

Uit  (C)  en  {D)  (blz.  210)  kan  dan  i;i  verwijderd  worden  en  vervangen 
door  Sn. 

Daar : 


(in  . V)  (V  ^ in)  = (in  • V)  {dn  V S„  + ^ (V  0„)  S,,  "b  è Sn  V dn  j,  . (90) 
is  ; 


4 4 

é”  ^ (in  • V)  (V  ' ' in)  én  ^ I (in  .'7  dn)  V Sn  dn  in  1 W Sn  d" 

-b  i (V  dn)  in  1 V Sn  4'  è (U  V Sn)  V dn  j, 

of  daai’ : 

V dn  V (xSn  . Sn)  ^ 3<dn* *  (V Sn)  ( Sn  — dn  Un  “b  ^^n  Sn  1 (V dn)  Sn»  (92) 

ook  : 

4 4 

én  ? (in  • V)  (V  ^ in)  — é’’  ^ { (in  • V dn)  V Sn  ~\-  On^  Sn  1 W Sn—  XUnHn}.  (93) 


Daar  uit  (31)  en  (69)  volgt: 

ij  i*  2 I 2 XT  (V  ^ in)  1 V inl  = ij  ifc  2 Un  Un, 

verkrijgt  voorwaarde  (C")  (blz.  209)  den  vorm  : 

3)  j 7^  ^ 


(C,)  ijU?  ^)CO„^  Sn  1 VV  Sn  — 2 Un  Un  j = 0 

Daar : 


. . (94) 

’ y,  ^ = 1,  2, n — 1. 


V Sn  V in  “b  f ^ 1 in  i 

dn  V dn 


(95) 

(96) 


is  verder,  in  verband  met  (30)  en  (33) : 

ij  i/fc  ^ Vsn  = 0 

waaruit  door  toepassing  van  (i  .V)  volgt: 

^ (i/  1 V ij)  1 (V  in)  1 ii  + — (it  ^ V h)  \ (V  in)  1 ij + 0 Uit  ^ 7Vsn=0.  (97) 


dn 


dn 


b R.  V.  Lilienthal,  Ueber  die  Bedingung,  unter  der  eine  Flachenschar  einem 
dreifach  ortliogonalen  Flachensystem  angehört.  Math.  Annalen  44  (94),  449  — 457. 

*)  W.  G.  L.  WiERiNGA,  Over  drievoudig  orthogonale  oppervlakkensystemen.  Diss. 
Groningen,  (18)  59  bldz.,  zie  bidz.  13. 

®)  Zie  noot  9 op  de  volgende  bladzijde. 


456 


Daar  (Vi„)'.  h volgens  (38)  alleen  i* *  en  i„  bevat,  volgt  hieruit  in 
verband  met  (67) : 


(_Dj)  ij  ijc  i/  ^ W Sn  — 0 1 j ^ j ^ ^ ^ ^ 1.  ) 


De  vergelijking  (Z),)  kan  gesplitst  worden  in  : 


iy  i^:i/  3 (V  - V)s„  = 0 


of : 


en : 


ij  ifci/ 3 (V -- v)  Vy"  = o,  , . . 


. • (J)\) 


(98) 


ijifck  MV  - V)sn  = 0 (99) 

4 

Zoo  K de  RiEMANN-CHRESTOFFEi/sche  affinor  van  Vn  is,  kan  men 
(99)  schrijven  : °) 

K ! Vy”  = 0, (100) 


of 


ij  i;t  i/  3 K 1 i„=  0, 


. (i?/') 


De  vergelijkingen  (C,),  (D^),  iD\)  en  (100)  komen  bij  Ricci  voor. ’) 

(n — 1)  (n — 2)  (w  — 3) 

Het  aantal  \ ergelijkingen  (Z) ,)  is  — 


1.2.3 


-,  het  aantal  ver- 


gelijkingen {D")  is  omdat  behalve  j en  k ook 

3 

k en  I verwisseld  mogen  worden  *).  {D\)  bevat  derde,  {D'\)  slechts 
eerste  ditferentiaalquotienten  van  ?/". 

De  voorwaai'den  {D'\)  verdwijnen  identiek,  wanneer  de  Ikjn- 

4 

ken  tallen  van  K verdwijnen.  Daar  in  een  ruimte  van  konstante 
RiEMANN’sche  kromming  K, : 


K = 2 Z:.  (a  - b)  (a  - b)  *)  . . . 


. (101) 


IS : 


i„hUv4K  = 0, (102) 

zoodat  in  een  ruimte  van  konstante  RiEMANN’sche  kromming,  in  het 
bijzonder  in  een  euklidische  ruimte,  de  voor  waarde  (D'\)  identiek 


b (C3)  kan  ook  op  analoge  wijze  als  (Di)  uit  (84)  worden  afgeleid. 

*)  Verg.  A R.  bldz.  59. 

®)  G.  Ricci,  Dei  sistemi  etc.,  bldz.  314.  De  vergelijkingen  (C3)  en  (Di)  komen 
hier  voor  als  (Aj  en  (Rj).  G.  Ricci,  Sui  sistemi,  bldz.  151. 

b Vergelijk  de  opmerkingen  van  Ricci  naar  aanleiding  van  een  verhandeling 
van  Drach,  Comptes  Rendus  125  (97)  598 — 601  en  810 — 811. 

°)  Verg.  bijv.  Bianchi-Lukat,  Ie  druk,  bldz.  574. 


457 


vervuld  is.  Hier  reduceert  (D,)  zich  dus  tot  (Z>\).  Voor  de  euklidische 
ruimte  is  de  voorwaarde  {D\)  gegeven  door  Darboüx  ^) ').  Deikjn- 

kentallen  van  K verdwijnen  oók,  wanneer  de  Vn—i  l in  geodetisch  zijn. 
8.  De  voorwaarden  van  Lévy,  Cayley  en  Darboüx.  Door  ditferenti- 


eeren  van  de  betrekking : 

in  Oyi  Sn  (103) 

ontstaat : 

V ifj  :=  (V  On)  Sn  -|“  V Sn (104) 

Nogmaals  dilFerentiëeren  geeft : 


W in  — (W  On)  Sn  -f-  (V  Sn)  ^ 3 (V  On)  3 -j“  (V  On)  V Sn  “h  Sn,  (105) 

en  hieruit  en  uit  (104)  volgt  voor  VV  On : 

5€  W On  = On  (W  in)  1 in  — ön’  (VV  Sn)  1 in  -j-  (V  On)  (V  On).  (106) 

On 

Daar  n u : 

(V  V in)  ^ in=v  { (V  in)  | - (V  in)  1 a (Vin)  1 a=r:-’h  ! ’h-(Un  . Un)  in  in,(i  07) 
is,  in  verband  met  (92) : 

4 4 

gn  ? VVO„=  — Xö„*hl  ’h  — KOn’gjj ‘f  (VV  Sn)  ^ Sn  -f  2 0„  Un  Un.  (108) 
In  verband  met  (Cj)  geeft  dit  een  nieuwen  vorm  voor  de  eerste 
voorwaarde : 


G.  Darboux,  LeQons  sur  les  systèmes  orthogonaux  et  les  coördinées  curvi- 
lignes  I (98),  bldz.  130,  form.  (85). 

Als  een  eenvoudig  voorbeeld  van  de  toepassing  van  (Cg)  en  (D'j)  voor  een 
euklidische  ruimte,  kan  men  nemen  het  stelsel  u=  (^b  + • • • 4"  Yn  (y^),  waarin 

. ,yn  Cartesische  coördinaten  zijn.  Om  goioi  etc.  uit  te  rekenen,  is  het  noodig 
een  stelsel  van  n — 1 Vn—i  te  vinden,  dat  in  de  Fn— i u = const.  een  stelsel 
coördinaten  eo^ . . . bepaalt.  Dan  is  y.eai  . et»!  = etc.  Daarvoor  moet  men  zoeken 
n—1  onafhankelijke  oplossingen  van  de  diff.vgl. 

1 , . . . , w cSii  dili  b • • • , ^ 

of  .S- 


■ • • ' " dw  öib 
^ ^ = 0, 


dy*  öt/* 


Yi  (y0^  = 0. 


èyi 


Voor  de  berekening  vergelijke  men  bijv.  Wieringa,  Diss.  bldz.  21  en  volgende.  Men 
ziet  dan,  dat  de  voorwaarde  {D\)  identiek  is  vervuld,  zoodat  alleen  de  voorwaarde 
van  Lilienthal  (Cg)  overbiijft  die  in  dit  geval  geschreven  kan  worden: 


Yf 

YlYi"  — 2 Yi' 


1 

Yi' 

YiYl'  — 2 Yl" 


Yii' 

Yii  Yk"  — 2 Yk'" 


of  Yi  Yi" — 2 Yi"^  — AYf  B,  waarin  A en  B konstanten  zijn. 

Dit  resultaat  is  voor  n = d door  Serret  afgeleid,  en  voor  algemeene  n door 
Darboüx  op  een  andere  wijze  dan  hier.  Vergelijk  Darboux,  Legons  sur  les  systèmes 
orthogonaux  etc.,  bldz.  140  en  141. 


458 


i;  \k  2 VV  <T«  — 2 KOn* *  ifc  2 |sn  HV  7)  Sr,|  = Xön  ïj  ifc  ^ (i„  1 K Hj?)  (109) 
of 


4 

ij  ik  ? VV  On  — KOn  in  ij  ijt  in  ^ K. 


ic,) 


4 

Voor  een  Vn,  waarvoor  de  (nkjn)  kentallen  van  K verdwijnen, 
kan  dus  de  eerste  voorwaarde  worden  geschreven : 


ij  ik  ^ W ön  — 0. 


iC\) 


Deze  vergelijking  drukt  uit,  dat  de  tensor  VV(7,i  dezelfde  hoofd- 
richtingen heeft  als  ’h.  De  meetkundige  beteekenis  van  On  is,  dat 
deze  grootheid  evenredig  is  met  den  langs  in  gemeten  infinitesimalen 
afstand  van  opvolgende  Fn-i  J.  in- 

In  een  ruimte  met  konstante  RiEMANN’sche  kromming  /f,  is,  in 
verband  met  (101): 


b i*  2 j i„  1 K 1 in}  = - K,  \j  ik  2 (K’g  - in  in)  = 0,  . . (110) 

waaruit  volgt,  dat  in  deze  ruimte  de  eerste  voorwaarde  den  vorm 

(C/)  heeft,  in  het  bijzonder  is  dit  dus  het  geval  in  een  euklidische 

ruimte.  In  dit  laatste  geval  is  ze  voor  7i  = ‘ó  afgeleid  door  Levy  ^), 

Cayley'^)  en  Darboux*),  en  voor  algemeene  waarden  van  7i  door 
Darboüx^).  De  noodzakelijk  en  voldoende  voorwaarden  voor  ruimten 
van  konstante  kromming  zijn  dus  (6V)  en  {Df. 


9.  De  voorwaarde  va7i  Weingarten.  We  zoeken  een  vorm  der  voor- 
waarden, waarin  alleen  i„  voorkomt,  en  niet  meer  de  2, . . ,n — 1. 

Wordt  een  tensor,  wiens  hoofdriehtingen  niet  met  die  van  ’h  samen- 
vallen, eenmaal  met  “h  overschoven,  dan  ontstaat  een  affinor, 
waarvan  het  alterneerende  deel  zeker  niet  nul  is.  Als  voorwaarde 
voor  het  samenvallen  der  hoofdrichtingen  kan  dus  gesteld  worden, 
dat  het  alterneerende  deel  van  de  eerste  overschuiving  met  ’h  ver- 
dwijnt. (109)  is  dus  aequivalent  met: 

4 4 

5 g (7  t.)  1 (V  V On)  - On  (V  in)  In  2 R ^ b | = 0,  . . (111) 

waarin  B aanduidt,  dat  het  bivektordeel  genomen  moet  worden. 


b M.  Lévy,  Mémoire  etc.,  bidz.  170. 

b A.  Cayley,  Sur  la  condition  pour  qu’une  familie  de  surfaces  fasse  partie  d’un 
système  orthogonal,  Gompies  Rendus  75  (72),  een  reeks  van  verhandelingen. 

*)  G.  Darboux,  Sur  l’équation  du  troisième  ordre  dont  dépend  Ie  problème  des 
surfaces  orthogonales.  Comptes  Rendus  76  (73)  41 — 45,  83 — 86. 

*)  G.  Darboux,  Legons  sur  les  systèmes  orthogonaux  etc.,  bIdz.  128.  De  formule 
(32)  daar  is  onze  formule  (C'4). 


459 


Daar  nu  ; 


Vl(Vin)’  (V(Tn)j  = (VVin)l  V dn  + E (V  In)  ^ (a  . V)  V (?n,  (112) 

i6  : 


4 

V-|(7in)l  V<J„}  = SV|(Vin)(  7<J„|  = V,  K ! InVdn-^  (7in)  1 77<t„,(113) 
zoodat  (111)  aequivalent  is  met: 

4 r 14  4 1 


— ((7in)  1 7 2 K ? in  7 On  — O»  S in)  in  ^ 


K 1 in 


=0.  (114) 


Daar  in  een  ruimte  van  konstante  kromming  tengevolge  van  (92) 
en  (101): 

4 4 4 4 4 

g ! K ! in  7 (7„  = - g 2 K 2 i„  u„  — - 2 (Tn  A'o  g 2 in  - Un  = 0,  (115) 

luidt  de  voorwaarde  voor  een  dergelijke  ruimte,  in  verbant!  met 
(110),  dat  de  kornponente  van  7 |(7in)l  7(Jni  in  het  gebied  j.  i,, 
verdwijnt.  Daar  echter  wegens  de  wet  van  Stores ‘)  voor  iederen 
vektor  v geldt; 


ƒ' 


\ . dx  = 


(116) 


waarin  s een  gesloten  kromme  is  en  ,fdrf  de  bivektor  van  het  opper- 
vlakte-element  van  eenig  door  die  kromme  begrensd  oppervlak  o, 
volgt  hieruit,  dat  in  een  ruimte  van  constante  RiEMANN’ó'c/iö  kromming 
als  eerste  voorioaarde  ook  gesteld  kan  worden  het  verdwijnen  van  de 
lijnintegraal  van  den  vektor  (7in)l  7(7n  over  iedere  gesloten  kromme 
in  een  Fn_i  ± in.  Deze  voorwaarde  is  voor  een  F',  de  eenige.  Voor 
een  is  zij  het  eerst  aangegeven  door  Weingarten ’)  en  Ricci  heeft 
naar  aanleiding  van  Weingarten’s  werk  opgemerkt,  dat  de  voor- 
waarde ook  geldt  in  een  Vt  van  konstante  kromming.  *)  Uit  het 
bovenstaande  blijkt,  dat  de  voorwaarde,  doch  niet  meer  als  eenige,  ook 
geldt  voor  uitgebreidheden  van  konstante  kromming,  waarvoor  ^ 3. 


10.  Onderling  orthogonale  Vn—i-stelsels  door  een  gegeven  kongruentie 
b Verg.  A.  R.,  bldz.  37  en  61. 

2)  Weingarten,  Ueber  die  Bedingung,  unter  welcher  eine  Flachenfamilie  einem 
orthogonalen  Flachensystem  angehört.  Grelle  83  (77),  1 — 12. 

®)  G.  Ricci,  Della  equazione  di  coudizione  pei  parametri  dei  sistemi  di  superficie, 
che  appartengono  ad  un  sistema  triplo  orlogonale.  Rendiconü  Acc.  Lincei  Ser.  V, 
Ilk  (94)  93—96. 

Ricci  merkt  voor  het  geval  n = 3 op,  dat  de  stelling  van  Weingarten  ook  geldt, 

4 

zoo  K den  vorm  heeft: 

K = M (a  ^ b)  (a  ^ b)  + r (i^^  i,)  (ij  ^ i,) 
zoo  V een  willekeurige  coëfficiënt  is.  Dit  geldt  echter  ook  voor  algemeene  waarden 


van  n. 


460 


hij  niet- eenduidig  bepaalde  kanonische  kongmenties.  Zijn  de  wortels 
van  (24)  niet  alle  enkelvoudig,  dan  worden  door  die  wortels  in 
het  algemeen  q onderling  loodrechte  gebieden  bepaald. 

Bituien  het  gebied  Rp^  voldoen  onderling  loodrechte,  maar  ove- 
rigens willekeurige,  richtingen  aan  de  kanonische  voorwaarden.  De 
vergelijkingen  (47 — 51)  leeren,  dat  de  kanonische  richtingen  in  elk 
der  gebieden  Rp^  zoo  gekozen  moeten  kunnen  worden,  dat  zij  V„-\- 
normaal  zijn,  opdat  er  door  in  7i — 1 onderling  loodrechte 
stelsels  zullen  gaan.  Het  is  echter  volstrekt  niet  noodig,  dat  de  kanonische 
kongmenties  voor  iedere  mogelijke  keuze  F„_i-normaal  zijn.  De 
voor  waarden  (C)  en  (D)  zullen  dus  niet  meer  zonder  meer  gelden, 
daar  zij  berusten  op  (55),  i-esp.  (67),  d.w.z.  op  het  F^j—i-normaal 
zijn  van  alle  kanonische  kongruenties. 

Zijn  p,i,  . . . ,pj.  de  eenheidS'/^-vektoren,  behoorende  bij  de  gebieden 
Rp^ Rp  , dan  zullen  de  vergelijkingen  : 

|„i  V^^  = 0 (117) 

p\\'7y^  = 0 «=z  1, 1,  1 

Pii  onafhankelijke  oplossingen  moeten  toelaten.  Volgens  (B)  is  dus; 


(in  pj. 

en  hieruit  volgt: 


i)2  V 


ijfc  in  ^ V ij  — 0, 

h ^ i/  2 V ij  = 0, 


(118) 

(119) 

(120) 


waarin  iy  tot  een  ander  gebied  behoort  dan  i*  en  i/,  en  de  keuze 
overigens  vrij  is,  mits  k ^ l. 

(119)  heeft  geheel  denzelfden  vorm  als  (55)  en  uit  (120)  volgt  voor 
het  speciale  geval,  dat  i^-,  i*,  U alle  drie  tot  verschillende  gebieden 
behooren : 


iti;2vi,=0, (121) 

een  vergelijking  van  denzelfden  vorm  en  op  dezelfde  wijze  afgeleid 
als  (67). 

De  vergelijkingen  (C')  en  [D)  gelden  dus  nu  alleen  nog  onder  de 
genoemde  beperkende  voor  waarden.  Bovendien  zijn  zij  niet  meer 
voldoende.  Een  aanvullende  voorwaarde  wordt  als  volgt  verkregen. 

Vergelijking  (65)  leert: 

{Xk  — ^i)  ijk  i/  2 V ij  + y\j\k  i/  3 V ’h  = 0, ) 

(ijiJ) 

(1/  — Xj)  M 2 V ly  + nj  uij;  3 V ’h  = 0. 1 
geldende  voor  het  geval,  dat  en  k tot  hetzelfde  gebied  behooren 
en  ij  tot  een  ander  gebied.  Dan  resulteert  uit  (122),  in  verband  met 
(121),  zoo  beide  vergelijkingen  van  elkaar  worden  afgetrokken: 


461 


V ’h  = O 1)  k^l,  j.  k = \,2,...,  n—\. 


{E) 


De  vergelijkingen  (C"),  (Z>)  en  {E)  zijn  onder  de  genoemde  voor- 
waarden, behalve  noodzakelijk,  ook  voldoende.  Want  nit  {E)  volgt 
in  verband  met  (122),  daar  — dat  ^ ij  symmetrisch  is  in 
/ en  k,  indien  / en  k tot  hetzelfde  gebied  behooren,  doch  yen  / niet. 
Uit  {D)  volgt,  op  een  analoge  wijze  als  dit  is  uitgewerkt  in  het  eerste  deel 
dezer  verhandeling,  dat  V ij  symmetrisch  is  in  / en  indien  iQuk  tot 
verschillende,  van  j verschillende  gebieden  behooren.  (C')  zegt,  dat 
V ij  symmetrisch  is  in  n en  k,  indien  k verschilt  van  j.  Deze  drie 
voorwaarden  volstaan  dus  juist,  om  aan  te  toonen,  dat  Viy  sym- 
metrisch is  in  het  gebied  j.  ij,  dus  dat  ij  F?j_i-normaal  is. 

Noemen  wij  ’)  pi,pj,...,pq  de  multipliciteit  der  wortels  van 
de  algebraïsche  karakteristieke  vergelijking  (24),  dan  is  het  aantal 
der  vergelijkingen  {C')  de  som  van  de  produkten  der  getallen 
P\>  Ps)  • • • » Pq^  twee  aan  twee  genomen,  en  dat  der  vergelijkingen 
(D)  driemaal  de  som  der  produkten  dezer  getallen,  drie  aan  drie 
genomen.  De  vergelijkingen  {E)  zijn  in  aantal  gelijk  aan  de  som 

'ph  -f  PJc 


/ J 

van  de  produkten  van  den  vorm  puphi- 


— 1 


11.  Vereenvoudigingen  voor  het  geval,  dat  de  gegeven  kongruentie 
V„—\-normaaI  is. 

Is  i„  F„_i-normaal,  dan  gaat  (6’)  over  in  (Cj  of  {C\),  geldende 
voor  het  geval,  dat  ij  en  ik  tot  verschillende  gebieden  behooren.  (Z)) 
kan  ook  in  den  vorm  (DJ  gebracht  worden  en  geldt  dan  voor  het 
geval,  dat  iy,  i* *  en  i/  tot  verschillende  gebieden  behooren. 

Uit  (97)  volgt  voor  het  geval,  dat  F en  i/  tot  hetzelfde  gebied 
behooren  en  ij  tot  een  ander : 


ij  (i^;^  ii)  3 VV  s„  = 0 . 

welke  vergelijking  ook  in  den  vorm  : 

^ 1 j„:=0  J 


(123) 

(Ed 


gebracht  kan  worden,  die  formeel  overeenkomt  met  (D/'),  echter  onder 
andere  voorwaarden  geldt.  Nu  is  echter: 

4 

Dki  in  — do  i/  3 K 1 j„ (124) 


9 (E)  is  de  vergelijking  (C)  van  Ricci,  Dei  sistemi,  bldz.  312,  doch  afgeleid 
van  *h,  en  niet  van  V ^ in. 

*)  Vergelijk  Ricci,  Dei  sistemi  bldz.  312. 

*)  (Ep  is  (Cj)  van  Ricci,  Dei  sistemi,  bldz.  314. 


462 


de  verandering  van  den  vektor  in,  wanneer  deze  langs  den  rand 
van  het  oppervlakelement  da  geodetisch  is  rondgevoerd ').  (^,)  eischt 
dns  dat  deze  verandering  in  het  gebied  van  i^;  en  i/  valt  ’). 

In  een  gebied  van  konstante  kromming  is  de  voorwaarde  [E^ 
altijd  vervuld,  tengevolge  van  de  opmerking,  bij  de  bespreking  van 
(Z>"i)  gemaakt. 

We  hebben  dus  het  volgende  theorema  verkregen  : 


III.  Een  stelsel  van  oo‘  in  een  V„,  welker  tweede  fundamen- 

taaltensor  behalve  op  bepaalde  V,-,  r <C  n,  q eenduidig  bepaalde  hoofd- 
gebieden R ^ heeft,  doch  binnen  de  gebieden  van  meer  dan  één 

afmeting  geen  eenduidig  bepaalde  hoofdrichtingen,  behoort  dan  en  alleen 
dan  tot  een  n-voudig  orthogonaal  stelsel,  indien  bij  een  verplaatsing 
loodrecht  op  m der  hoofdgebieden  de  komponenten  van  de  geodetische 
differentiaal  van  in  de  door  deze  m-gebieden  bepaalde  uitgebreidheid 
hoofdgebieden  heeft,  die  met  de  m genoemde  hoofdgebieden  van  samen- 
vallen, en  indien  bovendien  bij  het  geodetisch  rondvoeren  van  i„  langs 
een  in  eenig  hoofdgebied  gelegen  oppervlakteelement  de  toename  van 
i„  geheel  in  ditzelfde  hoofdgebied  valt. 

12.  Voorwaarden,  noodig  opdat  een  Vn  n-voudig  orthogonaleYn-v 


stehels  kan  bevatten. 

De  voorwaarde  [Dj)  is  een  voorwaarde  voor  de  Fn,  waarin  het 
?«-voudig  orthogonale  stelsel  moet  liggen.  Wenscht  men,  dat  ieder 
stelsel  van  n onderling  loodrechte  (n — l)-richtingen  in  ieder  punt 
der  Vn  tot  een  n-voudig  orthogonaal  Fn_i-stelsel  kan  belmoren,  dan 
is  het  noodig'  dat  D'\  voor  ieder  stel  van  vier  onderling  loodrechte 

i 

eeidieidsvectoi'en  geldt.  Men  kan  bewijzen  dat  daartoe  K van  den 
vorm 


4 

K = (a  ^ z)  (a  --  z) 


(F) 


4 

moet  zijn,  waarin  z’  een  willekeurige  tensor  is.  Voor  n = 3 kan  K 
altijd  in  dezen  vorm  gebiucht  worden  en  ieder  stel  van  drie  onder- 
ling loodrechte  richtingen  in  eenig  punt  kan  dus  belmoren  tot  een 
drievoudig  orthogonaal  stelsel,  een  eigenschap,  die  reeds  aan  Cotton  ®) 
bekend  was. 


1)  A.  R.  bldz.  64. 

2)  Een  soortgelijke  meetkundige  interpretatie  is  ook  aan  voorwaarde  {Dj')  te 
verbinden. 

E.  CoTTON.  Sur  une  généralisation  du  problème  de  la  représentation  conforme 
aux  variétés  a trois  dimensions  Gomptes  Rendus  125  (97)  225 — 228,  vergelijk  ook 
E.  Gotïon,  Annales  de  Toulouse  1 (99)  385 — 438,  Gliap.  III. 


468 


ERRATA. 


In  liet  eerste  gedeelte  dezer  verhandeling  (blz.  201 — 212)  gelieve 


men  de 

volgende  drukfouten  te 

verbeteren 

bldz. 

201  form. 

(2)  staat 

e,. 

te 

lezen 

eV. 

>> 

201  „ 

(3) 

"g  = 

51 

55 

X-g 

= 

202  „ 

(4) 

5 

5 

■ 

V/ 

5 ) 

204  regel  7 

en  8 v.b.  ,, 

V ^ V 

5 

55 

'7 

) > 

204  „ 

lOv.o.  ,, 

i» 

5 

55 

ü in 

Un 

207  „ 

15  V.  b.  ,, 

j(/, 

5 

5 

0.’^ 

209  form. 

(59) 

V (in 

55 

5 

V ^ 

- in 

In  de  formules 

(17),  (19),  (21)  en  (33) 

is 

rechts  x te  schrappen. 

in  (21), 

(23),  (25) 

en  (26)  is  V 

— . i,i  te  vei 

■vangen 

door 

« V ^ in  en 

in  (60) 

en  (61)  u„ 

door  K u„. 

464 


Dierkunde.  — De  Heer  K.  Martin  biedt  een  mededeeling  aan  van 
den  Heer  Fernand  Meunier  over : „ Queïques  insectes  de  V Aquita- 
nien  de  Roit,  Sept  Monts  {Prusse  rhénane)” . 

(Deze  inededeeling  zal  in  een  volgend  verslag  worden  opgenomen). 


Wiskunde.  — De  in  het  verslag  van  27  September  1919,  op 
blz.  341  opgenomen  mededeeling  van  den  Heer  J.  Wolff,  getiteld: 
„Eenige  toepassingen  van  de  quasi-uniforme  convergentie  op  reeksen 
van  reëeïe  en  van  holomorfe  functies” 

is  door  den  Heer  L.  E.  J.  Brouwer  oorspronkelijk  aangeboden 
onder  den  titel:  „Over  reeksen  van  analytische  functies”. 

De  vergadering  wordt  gesloten. 


12  Januari  1920. 


KONINKLIJKE  AKADEMIE  VAN  WETENSCHAPPEN 

TE  AMSTERDAM. 


VERSLAG  VAN  DE  GEWONE  VERGADERING 
DER  WIS-  EN  NATUURKUNDIGE  AFDEELING 
VAN  ZATERDAG  29  NOVEMBER  1919. 
deel  XXVIII. 

N°.  5. 


Voorzitter:  de  Heer  H.  A.  Lorentz. 
Secretaris:  de  Heer  P.  Zeeman. 


INHOUD. 


Ingekomen  stukken,  p.  466. 

F.  A.  H.  SCHREINEMAKERS:  „In-,  mono-  en  divariante  evenwichten”.  XX.  p.  467. 

W.  KapteijN:  „Over  eene  formule  van  Sylvester",  p.  480. 

A.  J.  DEN  Hollander  en  F.  E.  van  HaefteN:  „Over  de  nitratieproducten  van  p-dichloorbenzol”. 
(Aangeboden  door  de  Heeren  A.  F.  HOLLEMAN  en  S.  HOOGEWERFF),  p.  488. 

A.  J.  P.  VAN  DEN  Broek:  „Over  den  invloed  van  radio-aktieve  elementen  op  de  ontwikkeling”. 
(Aangeboden  door  de  Heeren  H.  Zwaardemaker  en  J.  Boeke),  p.  492.  (Met  één  plaat). 

G.  A.  F.  Molenqraaff  en  MAX  WebeR;  „Het  verband  tusschen  den  plistoceeneb  ijstijd  en  het 
ontstaan  der  Soenda-Zee  (Java-  en  Zuid-Chineesche  Zee)  en  de  invloed  daarvan  op  de 
verspreiding  der  koraalriffen  en  op  de  land-  en  zoetwaterfauna”  , p.  497.  (Met  twee  kaarten). 

NiL  Ratan  Dhar:  „Catalysis.  Part.  Vil.  Notes  on  Catalysis  in  heterogeneous  systems".  (Aange- 
boden door  de  Heeren  ERNST  COHEN  en  P.  VAN  ROMBURGH),  p.  545. 

Nil  Ratan  Dhar:  „Notes  on  Cobaltanimines”.  (Aangeboden  door  de  Heeren  ERNST  COHEN  en 
P.  VAN  ROMBURGH),  p.  551. 

B.  VON  KERéKjdRTó:  „Ueber  die  endlichen  topologischen  Qruppen  der  Kugelfiache”.  (Aangeboden 
door  de  Heeren  L.  E.  J.  Brouwer  en  Hendrik  de  vries),  p.  555. 

H.  T.  Deelman:  „Bijdrage  tot  de  kennis  van  de  dermatomerie  bij  de  vogels  (duif)”.  (Aangeboden 
door  de  Heeren  G.  van  Rijnberk  en  C.  Winkler),  p.  557. 

W.  J.  H.  MOLL:  „Een  nieuwe  registreerende  microfotometer”.  (Aangeboden  door  de  Heeren 
W.  H.  JULIUS  en  j.  P.  VAN  DER  STOK),  p.  566.  (Met  één  plaat). 

H.  A.  BROUWER;  „Kristallisatie  en  Resorptie  in  het  Magma  van  den  Vulkaan  Roeang”  (Sangi  eil). 
(Aangeboden  door  de  Heeren  G.  A.  F.  Molenoraaff  en  C.  E.  A.  Wichmann),  p.  576. 

Aanbieding  van  een  boekgeschenk,  p.  576. 

Erratum,  p.  576. 


Verslagen  der  Afdeeling  Natiiiirk.  Dl.  XXVIII.  A°  1919/20. 


31 


466 


Het  proces-verbaal  der  vorige  vergadering  wordt  gelezen  en 
goedgekeurd. 

Ingekomen  zijn  ; 

1®.  Bericht  van  de  Heeren  F.  A.  H.  Schreinemakers  en  G.  van 
Iterson  Jr.,  dat  zij  verhinderd  zijn  de  vergadering  bij  te  wonen. 

2®.  Van  zijne  Exc.  den  Minister  van  Onderwijs,  Kunsten  en  Weten- 
schappen een  bij  renvooi  i^an  13  November  1919,  no.  4091,  Afd. 
K.  W.  aan  de  Afdeeling,  met  verzoek  om  bericht  en  raad,  door- 
gezonden request  van  den  Heer  H.  Nort,  te  Gouda,  om  boven 
de  hem  reeds  verleende  Rijkssubsidie  voor  astronomische  onder- 
zoekingen, ter  voltooiing  van  zijn  onderzoek,  in  de  eerstvolgende 
vijf  jaren  nog  eene  jaarlijksclie  Rijkstoelage  van  ƒ 360. — te 
verleenen. 

Door  den  Voorzitter  wordt  het  request  gesteld  in  handen  vaji  de 
Heeren  J.  C.  Kapteyn  en  W.  H.  Juliüs,  met  verzoek  om  daarover 
te  prae-adviseeren  in  de  volgende  vergadering. 


Scheikunde.  — De  Heer-  Schreinemakkrs  biedt  eene  iiiededeeling 
aan  over:  „In-,  mono-  en  divariante  eveyiivichten” , XX. 


Eveniüichien  van  n /componenten  in  n pfiasen,  waarin,  de  hoeveelfieid 
van  één  der  /componenten  tot  nul  nadert-,  de  invloed  van  een 
nieuwe  stof  op  een  invariant  [P  of  T)  evemvic/it. 


In  de  mededeelingen  XVI,  XVII  en  XVIII  hebben  wij  gezien  dat 
een  veld  in  de  nabijheid  eener  keerlijn  twee-  en  in  de  nabijheid 
eener  grenslijn  [b.v.  kurve  ab  of  cd  in  fig.  1 (XVI)]  éénbladig  is. 
Wij  zullen  dit  laatste  nu  nader  beschouwen. 

Wij  nemen  het  evenwicht  E = F,  -|- 7^^, h '^^.n  n kompo- 

nenten  in  7i  phasen  bij  constanten  druk.  Dit  evenwicht  is  (Med. 
XVll)  monovariant  {P);  het  heeft  n.1.  bij  constanten  druk  ééne  vrijheid. 

Voor  dit  evenwicht  gelden  de  vergelijkingen  (2)  en  (3)  (XVII); 
bij  verandering  van  een  der  veranderlijken  b.v.  van  v,  doorloopt 
dit  evenwicht  in  het  P, 7-diagram  eene  rechte  lijn,  evenwijdig  aan 
de  P-as. 

♦ 

In  de  nabijheid  eener  grenslijn  van  een  veld,  b.v.  in  de  nabijheid 
van  kurve  ab  of  cd  in  fig.  1 (XVI),  nadert  de  hoeveelheid  van  één 
der  komponenten  tot  nul.  Is  dit  het  geval  met  den  komponent  X, 
n.1.  met  dien  komponent,  wiens  hoeveelheden  in  de  verschillende 
phasen  door  a:,  . . . .r„  worden  aangegeven,  dan  worden  in  (2)  en 
(3)  (XVII): 

aZj  dz,  dZn 

dx,  dx„ 


oneindig  groot;  in  Z,  komt  n.1.  de  term  x,  log  in  Z,  de  term 
log  a’,  enz.  voor. 

Wij  schrijven  nu: 

Z,  =z  Zé  + 727’  X,  loy  Z^  = Zé  -f  RT  x,  log  .r,  . . (1) 


enz.  Hierin  blijven  Zf  Zf  . . . en  hunne  difFerentiaalcoëfücienten  ook 
voor  x,  = Q .r,  = 0 . . . eindig.  Uit  (1)  volgt : 


bZ,_bZé 

d.r, 


bx^  d.v. 


RT{1  -f  log  X,) 
log  x^) 


(2) 


enz.  De  n vergelijkingen  (2)  (XVII)  gaan  nu  over  in: 


31* 


468 


— RT  — .'c, 

Z;  - RT  — A-, 


dZ/ 

bZ' 

> 

Öa, 

bZ’ 

bz: 

i 

da. 

dv,  • • 

. . . = 

(3) 


enz. 

De  eerste  rij  der  vergelijkingen  (3)  (XVII)  gaat  nn  over  in: 
bz:  dZ' 

^ + RTlor/x^  = ^ + KT  log  x^  =.....=  — RT  . (4) 

0.rj  ' Oo:, 

De  volgende  rijen  der  vergelijkingen  (3)  (XVII)  worden: 


dZ,'  _dZJ 


^yn 


= K„ 


(5) 


enz.  Uit  (4)  volgt: 


X,  dZ'  dZJ 

RTlog^  = ^-^ 
X,  0.r,  ox. 


RT  log 


of 


x^  = fi,  x^ 


_bZ^ 

dic, 

= M.  •'«'■i 


bx. 


. Xn  = 


(6) 


(7) 


waarin  ji,  ja,  . . . bepaald  zijn  door  (6). 

Voor  oneindig  kleine  waarden  van  a’,  a,  . . . zijn  de  Verhoudingen 
tusschen  a,  . . . x„  dns  door  (7)  bepaald. 

Wij  geven  nu  aan  de  veranderlijken  T x^  a,  . . . y,  ■ enz., 
waarin  wij  a,  = 0 a,  ==:  0 . . . nemen,  de  aangroeiingen  : dT . .a,  a,  . . . 
dy^  dy^  . . . enz. 

Uit  (3)  volgt  nu: 


(O- 

//,  d'T  -j-  R T a,  -j-  ?/,  öf  ^ 

+ . . . 

. . — ~ dK 

bZ ' 

//,  dT  + RT  a,  y^d 

VV, 

+ . . . 

. . r-  —dK 

(8) 


enz.,  waarin  het  teeken  d aangeeft,  dat  naar  alle  veranderlijken 
moet  gedifferentieerd  worden. 

Wij  tellen  nu  de  n vergelijkingen  (8)  samen,  nadat  wij  del®  met 
de  2®  met  enz.  vermenigvuldigd  hebben.  Wij  krijgen  dan,  als 
wij  gebruik  maken  van  de  betrekkingen  die  uit  (5)  volgen: 

fbZ'\ 

2:  (/  H)  dT  + RT  ^ {X  x)  -f  ^ {).  y)  d j +...=—  X (i)  • (9) 

Wij  bepalen  A,  . . . nu  zoo,  dat  zij  voldoen  aan  de  n — 1 
vergelijkingen  (10) 


469 


^ (A)  = -|-  -^5  + + ■^•11  = O j 

— ^'■1 3/i  + ^3  + • • • • • + ^'n  ^li  = o ( . . (10) 

2 {?.  2)  =r  A,  -j-  2,  4" 4-  ^'■n  = 0 | 

enz.  Hierdoor  zijn  de  71— 1 verhoudingen  tusschen  de  n coëfficiënten 
Aj  A,  . . . bepaald. 

Daar 

^ (P.  x)  = Pj  a!j  4-  Aj  .r,  -j-  . . . . . -4  ‘^n  I 

S{xa)  = i.ji,  + ff.  ( • • ' ' 

is,  is  de  verhouding  \ eveneens  bepaald.  Uit  (9) 

volgt  nu  : 4 

RT  :2{).x) 


{dT)p  = 


(12) 


^ {Km 

De  waarde  van  dT  in  (12)  hangt  af  van  ^(^.x),  dus  nog  van  de 
71  aangroeiingen  x■^  . . . x„.  Men  kan  deze  echter  in  één  dezer  aan- 
groeiingen,  b.v.  in  ,v^  uitdrukken.  Met  behul|)  van  (7)  krijgt 
.men  dan  : 

RT  x^  S (A  [x) 


{dT)p  = - 


(13) 


V(p  H) 

waarin  ; 

^ (P  fi)  4 U A,  fij  4“ A77  Hn  ....  (14) 

Neemt  men  het  evenwicht  E = B\  F,,  van  71  kom- 

ponenten  in  71  phasen  bij  constante  temperatuur,  dan  is  liet  mono- 
variant  (T).  Op  dezelfde  wijze  als  boven  vindt  men  nu: 

RT  2!  (P  x)  R'I  X 2 (P  u) 

{dR)T  = ^ KJF  ....  (15) 

^ ’ 2i?.V)  :r(PF)  ^ ^ 

Hierin  hebben  Pj  P^  . . . weer  de  waarden,  die  door  (10)  zijn 

bepaald.  S(Pa’)  heeft  ook  dezelfde  waarde  van  (11)  11. 1.: 

2 (P.  x)  :::2:  X^  4“  ^'2  “H  • • • • . 4~  A»!  Xn  j 

terwijl  • • (16) 

^ (P  V)  = V,  -f-  A2  F,  -h + A„  Vn  I 

2:(Pju)  heeft  weer  dezelfde  waarde  als  in  (14). 


In  de  vorige  beschouwingen  is  aangenomen  dat  de  hoeveelheid 
van  den  komponent  X in  het  evenwicht  E = F-^  Fn 

van  71  komponenten  in  7i  phasen  zeer  klein  is.  Wordt  die  hoeveelheid 
echter  nul,  dan  gaat  E over  in  een  evenwicht  van  n-  1 komponenten 
in  71  phasen.  Dit  is  monovariant  en  wordt  in  het  /47’-diagram  voor- 
gesteld door  een  kurve.  Bij  constanten  druk  is  het  invariant  (P), 

')  Voor  eene  andere  afleiding  zie  men  F.  A.  H.  Schkeinemakers,  Die  hetero- 
genen GleicLgewichte  von  H.  . Bakhuis  Hoozeboom  UF  289. 


470 


bij  constante  temperatnui'  invariant  (7’).  In  dit  invariante  [P  of  T) 
evenwiclit  kan  tnsschen  de  pliasen  . . . Fn  eene  reactie  optreden; 
de  lioeveelheden  der  aan  deze  reactie  deelnemende  phasen 

zijn  bepaald  door  (10).  De  bij  deze  reactie  optredende  entropie- 
verandering  is  door  (II),  de  optredende  voluineverandering 

iS’(AP)  is  door  (16)  bepaald. 

Van  de  coëfficiënten  P.;  . . . zijn  eenige  positief,  andere  negatief. 
Zoo  lang  men  hiervoor  geen  bepaalden  regel  aanneemt,  kan  men 
positief  en  negatief  wil  leken  rig  verwisselen.  Wij  nemen  het  volgende 
aan.  De  coëfficiënten  der  phasen,  die  bij  eene  reactie  ontstaan, 
nemen  wij  positief;  de  coëfficiënten  der  phasen,  die  bij  de  reactie 
verdwijnen,  nemen  wij  negatief. 

Nn  is  2{).)  de  algebraïsche  som  van  de  hoeveelheden  der  phasen, 
die  aan  de  reactie  deelnemen;  deze  is  natuurlijk  nul. 

ij^Ay)  is  de  algebraïsche  som  van  de  hoeveelheid  van  de  komponent 
V die  aan  de  reactie  deelneemt ; deze  is  eveneens  nul.  Hetzelfde 
geldt  voor  de  andere  komponenten. 

Daar  de  komponent  X niet  in  het  invariante  (P  of  T)  evenwicht 
vooi'komt,  heeft  2{kx)  dus  een  andere  beteekenis.  Voegt  men  echter 
aan  dit  evenwicht  een  weinig  van  den  komponent  x toe,  dan  ver- 
deelt deze  zich  tnsschen  de  //  phasen ; deze  verdeeling  is  bepaald 
dooi'  (7),  zoodat  .r,  . . . x„  en  dus  ook  i;(A.?;)  bepaald  zijn. 

Wij  denken  ons  nu  eene  reactie  in  het  invariante  (P  of  7’)  even- 
wicht; Aj  . . . stellen  dus  de  hoeveelheden  der  aan  de  reactie  deel- 
nemende phasen  voor.  Als  deze  phasen  nu  eens  de  hoeveelheden 
.r,  . . . ,t’n  van  den  nieuwen  komponent  bevatten,  dan  zou  2J(Aj;)  de 
algebraïsche  som  zijn  van  de  hoeveelheid  van  den  komponent  X, 
die  aan  deze  reactie  deel  neemt.  Wij  zullen  2J(Aa')  daarom  noemen 
,,de  fictieve  reactiehoeveelheid  van  den  komponent  A”. 

Wij  nemen  nu  een  punt  op  de  grenskurve  van  een  veld,  b.v. 
punt  /<  op  de  grenskurve  aó  in  fig.  1.  (XVI).  Deze  grenskurve  stelt 
een  evenwicht  voor  van  n — 1 komponenten  (nl.  de  komponenten 
V,  X,  U . .)  in  71  phasen;  dus  een  monovariant  evenwicht.  In  het 
punt  h zelf  hebben  PTy^y^  . . . . enz  bepaalde  waarden;  hetzelfde 

geldt  voor  de  verhoudingen  van  . A„,  die  door  (10)  zijn  bepaald. 
Wij  voegen  nu  een  weinig  van  den  komponent  AT  toe ; deze  verdeelt 
zich  over  de  //,  phasen;  deze  verdeeling  is  bepaald  door  (7).  Voor 
een  bepaalde  waarde  van  bv.  .x\  zijn  nu  de  verhoudingen  U(Ax):  ^(XH) 
en  2J(Xx):  I!(XV)  eveneens  bepaald.  Men  kent  volgens  (12)  en  (15) 
dus  ook  {dT)p  en  (dP)  t- 

Is  nu  {dT)p  positief,  dan  ligt  liet  veld  F rechts  van  het  punt  A; 


471 


men  gaat  dan,  zooals  in  tig.  1 (XVI,,  van  h uit  in  de  richting  hl 
het  veld  binnen. 

Is  {dP)T  negatief,  dan  ligt  het  veld  Ë beneden  punt  h ; men  gaat 
dan,  zooals  in  fig.  1 (XVI),  van  h uit  in  de  richting  hm  het  veld 
binnen. 

Het  veld  E ligt  dus  rechts  en  beneden  het  punt  h. 

De  richting  van  kurve  ah  zelf  is  in  ieder  punt  bepaald  door: 


dP  _2:{kH) 
dï'  ~ iS"  {XV) 


(17) 


Uit  onze  aanname  over  het  teeken  van  {dT)p  en  {dP)'r  volgt, 
dat  wij  negatief  en  eveneens  negatief 

hebben  aangenomen.  Uit  (17)  volgt  dan  dat  kurve  ah  in  de  nabij- 
heid van  het  punt  h een  met  de  temperatuur  stijgende  kurve  moet 
zijn,  zooals  ook  in  fig.  1 (XVI)  geteekend. 

In  tig.  3 (XVI)  stelt  ahchd  eene  grenskurve  voor,  die  in  h een 
druk-  en  in  c een  temperatuurmaximum  heeft. 

Uit  de  richting  van  tak  ah  volgt  met  behulp  van  (17)  dat 
en  '^{kV)  hetzelfde  teeken  hebben;  wij  kiezen  de  teekens  van 
).n  nu  zoo,  dat  beide  positief  zijn.  Uit  de  richting  der  takken 
hc  en  cd  volgt  dan,  met  behulp  van  (17),  welke  teekens  en 

i:(AF)  op  deze  takken  moeten  hebben.  Men  heeft  dan: 


op  tak  a 
in  h 

op  tak  h 
in  c 

op  tak  c 


S(A  £7)>0 
2 (///)  = 0 
UfA  /7)<0 

(A  /7)<  o 

S(A  //)<  o 


2 (1  U)  > 0 
2 (;i  F)  > 0 
2(?,  F)>0 
u (A  F)  = o 
2(A  F)<0 


In  elk  punt  van  kurve  ahchd  heelt  2 (A-r)  een  bepaald  teeken; 
men  kan  dit  vinden  met  behulp  van  (7)  en  (10). 

Neemt  men  aan  dat  2(;.d')  in  ieder  punt  der  kurve  negatief  is, 
dan  volgt  uit  (12)  en  (15)  dat  het  veld  E geheel  binnen  de  grens- 
kurve ahcd  moet  liggen  en  dus  niet  zooals  in  fig.  3 (XVI)  waar 
het  deel  afe  er  buiten  ligt. 

Is  in  elk  punt  van  kurve  ahcd  2 (A.r)  O 0 dan  volgt  uit  (12) 
en  (15)  dat  het  veld  links  en  boven  tak  ah  moet  liggen,  rechts  en 
boven  tak  hc,  rechts  en  beneden  tak  cd.  Men  heeft  dan  fig.  o (XVI). 
[Zooals  uit  den  stand  der  letters  blijkt,  heeft  de  drukker  deze  figuur 
gedraaid  ; de  lezer  legge  ze  daarom  zoo,  dat  de  i'aaklijn  in  b hoii- 
zontaal  en  in  c weer  vertikaal  staat]. 

Wij  kunnen  ook  aannemen  dat  i:(kx)  in  het  eene  deel  der  kurve 
positief,  in  een  ander  deel  negatief  is.  Wij  nemen  aan  dat  2(A,r)in 


472 


deel  (ibf  van  knrve  abcd  lig.  3 (XVI)  positief  en  in  het  deel fcd 
negatief  is.  Uit  (12)  en  (15)  volgt  dan  dat  het  veld  moet  liggen, 
zooals  in  lig.  3 (XVI)  geteekend  nl.  dat  een  deel  n fe  van  dit  veld 
buiten  de  grenslijn  moet  liggen  en  dat  dit  veld  een  keerlijn  e ƒ moet 
hebben. 

Dat  dit  |)unt  f een  punt  van  de  keerlijn  moet  zijn,  blijkt  uit  het 
volgende.  In  dit  punt  is  = Daar  in  dit  punt  ook  de  ver- 

gelijkingen (10)  gelden,  zoo  kan  er  tusschen  de  n phasen  van  het 
evenwicht  E — F„  waarin  thans  ook  een  oneindig  kleine 

hoeveelheid  van  den  kom|)onent  X voorkomt,  eene  phasenreactie : 
-f  • • • + = 0 optreden. 

Is  dus  in  een  bepaald  punt  ƒ van  knrve  abcd  IJ(P..r)  = 0,  dan 
is  ƒ een  gemeenschappelijk  punt  van  keer-  en  grenslijn;  wij  zullen 
laten  zien  dat  ƒ een  raak|)unl  is.  Verandert  .i"  {).x)  in  ƒ van  teeken, 
dan  is  /’ een  eindpunt  der  keerlijn,  zooals  in  tig.  3 (XVI) ; verandert 
in  /'  echter  niet  van  teeken,  dan  is  ƒ geen  eindpunt,  maar 
zet  de  knrve  zich  verdei'  voort. 


Uit  (12),  (15)  en  (17)  volgt  de  betrekking: 


(dP)r  : {dT)p 


(18) 


De  index 


.c— 0 in  het  tweede  lid  van  (18)  geeft  aan  dat 


dP 

dT 


geldt  voor  de  grensknrve,  waarin  de  komponent  ontbreekt. 

Om  de  beteekenis  \an  (18)  in  te  zien,  denken  wij  ons  de  P,T- 
kiii've  van  het  grenseven wicht,  waarin  dus  de  komponent  A"^  niet 
voorkomt,  geteekend.  Men  neme  daartoe  kurven  ab  en  cd  in  de 
figui'en,  1,  2 en  4 (XVI)  en  knrve  abcd  in  de  figuren  3 en  5 (XVI). 
[Men  legge  deze  laatste  figuur  weer  in  den  goeden  stand]. 

Wij  zullen  de  takken,  waarop  bij  7’-verhooging  de  druk  toeneemt, 
de  ,, stijgende”  takken  noemen ; b.v.  de  takken  a b en  c d in  de 
tigiiren  1,  2,  3,  4 en  5 (XVU.  Een  tak,  zooals  b.v.  bc  in  fig.  3 en 
5 (XVI),  waarop  bij  7’-verhooging  de  druk  afneemt,  noemen  wij  een 
,, dalenden”  tak. 

Op  een  stijgenden  tak  is  positief;  uit  (18)  volgt  dan,  dat 

\d  I Jj_=o 

{dP)T  en  {dT)p  tegengesteld  teeken  hebben.  Is  {dT)p  positief  en 
dus  {dP)i'  negatief,  dan  ligt  het  veld  dus  rechts  en  beneden  den 
tak;  dit  is  het  geval  ten  opzichte  van  tak  ab  in  de  fig.  1,  2 en  4 
(XVI)  en  ten  opzichte  van  tak  cd  in  de  fig.  2,  4 en  5 (XVI).  Is 
{dT)p  negatief  en  {dP)T  dus  positief,  dan  ligt  het  veld  dus  linksen 


473 


boven  den  tak;  dit  is  het  geval  ten  opzichte  van  tak  ah  in  tig.  3 
en  5 (XVI)  en  ten  opzichte  van  tak  c d in  de  tig.  1 en  3 (XVI). 

Wij  vinden  diis:  een  veld  ligt  altijd  rechts  en  beneden  of  links 
en  boven  den  stijgenden  tak  zijner  gi-enskurve. 

negatief.  Uit 

x=o 

(18)  volgt  dat  [dP)T  en  (dT)p  dan  hetzelfde  teeken  hebben.  Zijn 
beide  positief,  dan  ligt  het  veld  dus  rechts  en  boven;  zijn  beide 
negatief,  dan  ligt  het  links  en  beneden  den  tak.  In  tig.  5 (XVI)  ligt 
het  veld  rechts  en  boven  tak  hc  -,  in  tig.  3 (XVI)  ligt  het  veld  rechts 
en  boven  het  stuk  b f en  links  eïi  beneden  het  stuk  ƒ c van  tak  (6  c. 

Wij  vinden  dus: 

een  veld  ligt  rechts  en  beneden  of  links  en  boven  den  stijgenden 
tak  van  zijn  grenskurve;  het  ligt  rechts  en  boven  of  links  en  beneden 
den  dalenden  tak  van  zijn  grenskurve. 

In  Mededeeling  XI  over;  ,,Evenwichten  in  ternaiie  stelsels”,  hebben 
wij  deze  zelfde  eigenschap  reeds  afgeleid  voor  een  bijzonder  geval 
nl.  vooi'  het  tei  iiaire  veld  F L G,  waarin  F eene  binaire  ver- 
binding voorstelt,  ten  opzichte  van  zijne  binaire  grenskurve  F-\-F-\-(^- 

Het  blijkt  thans  dat  dit  geheel  algemeen  geldt  voor  elk  willekeurig 
veld  ten  opzichte  van  al  zijn  grenskurven. 


Op  den  dalenden  tak  eener  grenskurve  is 

\(i  1 J 


Men  kan  de  boven  verkregen  uitkomsten  ook  op  andere  wijze 
uitdrukken.  Het  evenwicht  E = F^  F»  ' ^ komponenten 

iji  w phasen  is  monovariant  of  iijvariaut  {F  of  T).  Voegt  men  een 
weinig  van  een  nieuwe  stof  X toe,  dan  kan  een  nieuw  evenwicht 
Ë'  — F\  -f-  . . . -)-  .F'n  ontstaan.  Hierin  hebben  de  onveranderlijke 
phasen  dezelfde  samenstelling  als  in  E;  de  veranderlijke  phasen  (die 
natuurlijk  niet  alle  de  nieuwe  slof  X behoeven  te  bevatten)  ver- 
schillen nog  slechts  zeer  weinig  van  die  in  E. 

Men  kan  zich  nu  de  vraag  stellen  : 

hoe  moet  men  bij  constante  F de  tempeiatuui-  veranderen, 
of  : hoe  moet  men  bij  constante  (7’ den  druk  veranderen  opdat  in 
beide  gevallen  het  evenwicht  E in  E'  overgaat. 

Het  is  wel  duidelijk  dat  beide  xragen  slechts  een  andere  vorm 
zijn  van  de  boven  behandelde:  hoe  moet  men  bij  constante  P de 
temperatuur  ‘ en  bij  constante  7’  den  druk  veranderen  om  van  eene 
grenskurve  over  te  gaan  in  het  bijbehoorende  veld. 

Wij  nemen  het  evenwicht  E=  L Ft  ~\~  ■ 'an  n — 1 

komponenten  in  n |)hasen  (of  van  n komponeJiten  in  n -j-  1 phasen). 
Hierin  stellen  F^  F^  . . . \aste  stoffen  voor  van  onveranderlijke  samen- 


474 


stelling  en  L eene  vloeistof.  Bij  toevoeging  van  een  nieuwe  stof  X 
treedt  deze  dus  alleen  in  de  vloeistof  op. 

Als  in  dit  evenwicht  E bij  constante  T en  P de  reactie: 


P-i  i 4-  ^3  4“  • • • • • = 0 • • • • (19) 

optreedt,  dan  is  U (A ^)  =: /^  .i;,  als  n.l.  x de  concentratie  van  de 
nieuwe  stof  in  de  vloeistof  voorstelt. 

Stelt  men  Aj  = 1,  dan  zijn  en  iS  (a  F)  de  entropie  — en  de 

volumetoename,  als  bij  de  phasenreactie  één  hoeveelheid  vloeistof 
wordt  gevormd.  Wij  stellen  ze  voor  door  LH  en  L V~. 

(12  en  (15)  gaan  nu  over  in: 


{dT)p  = 


RT  X 

LH 


en 


{LP)t  = 


RTx 


(20) 


Stelt  men  de  iioeveelheid  warmte,  die  toegevoerd  moet  worden,  om 
bij  de  reactie  één  hoeveelheid  vloeistof  te  vormen,  door  LW  voor, 
dan  gaat  (20)  over  in : 


u/r  X 

en 


(AP)r 


E2'  X 

~'lv' 


(21) 


Reactie  (19)  kan  het  gemeenschappelijk  smelten  voorstellen  van 
de  vaste  stoffen  F,  . . . ; dit  is  liet  geval,  als  de  reactie  van 


den  vorm 

+ . . ..  . . (22) 

is  en  A,  A,  . . . positief  zijn. 

Is  de  reactie  van  den  vorm : 

Pi  Et  L 'P  Ep  -\~ (23) 

waai'in  wij  eveneens  alle  coëfficiënten  positief  nemen,  dan  stelt  ze 
de  omzetting  voor  van  de  stoffen  F»  ■ ■ ■ in  E'p  ■ ■ ■ onder  gelijk- 
tijdige vorming  van  vloeistof. 


Wij  nemen  nu  aan  dat  bij  de  vorming  van  vloeistof  uit  vaste 
stoffen,  dus  bij  smelten  volgens  (22)  en  bij  omzetting  volgens  (23) 
warmte  toegevoerd  moet  worden;  L l¥  is  dan  positief;  de  volome- 
verandering  bij  het  smelten  of  omzetten  kan  zoowel  positief  als 
negatief  zijn.  Uit  (21)  volgt  nu: 

De  gemeenschappelijke  smelt-  of  omzettingstemperatuur  van  een 
of  meer  stoffen  wordt  door  toevoeging  van  een  nieuwe  stof  verlaagd; 

de  gemeenschappelijke  smelt-  of  omzettingsdruk  van  een  of  meer 
stoffen  wordt  door  toevoeging  van  een  nieuwe  stof 

verhoogd,  als  bij  bet  smelten  of  omzetten  het  volume  toeneemt, 
verlaagd,  als  bij  het  smelten  of  omzetten  het  volume  afneemt. 
Deze  verhooging  en  verlaging  zijn  bij  eerste  benadering  even- 
redig met  de  hoeveelheid  van  de  nieuwe  stof. 


475 


Past  men  deze  regels  toe  op  het  smelten  van  een  enkelvoudige 
stof,  dan  volgt  de  bekende  regel  der  smelt-  of  vriespuntsverlaging ; 
de  eerste  formule  (21)  is  dan  de-bekende  formule  van  Raoult-van’t  Hoff. 

Wij  kunnen  de  voorafgaande  afleidingen  ook  toepassen,  als  wij 
in  (19)  de  vloeistof  L vervangen  door  een  gas  G.  In  liet  algemeen 
is  A F”  dan  positief  en  bij  benadering  gelijk  aan  het  x'olume  V 
van  het  gas;  men  kan  hierdoor  aan  de  tweede  formule  (21)  een 
anderen  voro-ï  geven,  n.1. 

{dP)T  = Fx  ........  (24) 

Wij  kunnen  de  vorige  regels  ook  op  de  volgende  wijze  afleiden. 
Wij  nemen  het  evenwicht  E — L waarin  de 

nieuwe  stof  X nog  niet  aanwezig  is,  bij  constanten  druk;  het  is 
dan  invariant  (P)  en  bestaat  bij  eene  bepaalde  temperatuur,  die  wij 
Pj  zullen  noemen.  Neemt  men  aan  dat  reactie  (22)  van  links  naar 
rechts  onder  warmtetoevoer  plaats  heeft,  dan  volgt: 

P,  -f  P,  + A P > 0 

{F)  I (P,)  (P.) 

naar  lagere  T \ naar  hoogere  T. 

Het  evenwicht  {L]  = F^  -F  P»  ■ bestaat  bij  temperaturen  lager 
dan  Tg.  Voegt  men  de  nieuwe  stof  X toe,  dan  gaat  E over  in 
E'  = L'  F F,  F Ft  F waarin  L'  van  P verschilt;  dit  even- 
wicht E'  bestaat  bij  eene  temperatuur  T' , die  van  verschilt. 

Neemt  men  uit  E'  de  vloeistof  L'  weg,  dan  gaat  het  over  in 
P, -j- • • • > hierboven  besproken  evenwicht  (L); 

daar  dit  bij  lagere  temperaturen  beslaat  dan  T^,  zoo  volgt  T'  F 2\. 
Bij  toevoeging  van  de  nieuwe  stof  moet  dus  het  gemeenschappelijk 
smeltpunt  dalen. 

Men  vindt  uit  reactie  (23)  hetzelfde  voor  het  gemeenschappelijk 
omzettingspunt.  Neemt  men  het  evenwicht  E ~ L F F^  -j-  F^  -{-•••. 
waarin  de  nieuwe  stof  nog  niet  aanwezig  is,  bij  constante  tempe- 
ratuur, dan  is  het  invariant  {T)\  het  bestaat  dan  bij  een  bepaalden 
druk  l\' 

Ais  nu  reactie  ,22)  van  links  naar  reclits  onder  voluraetoenaine 
plaats  vindt,  dan  volgt: 

FFr  FtF  .....  AF>0 

(L)  j (P,)  (P,) 

naar  hoogere  F '\  naar  lagere  P 

Het  evenwiciit  (L)  = P,  4“  P,  • bestaat  dus  bij  drukken 
grooter  dan  P^.  Hieruit  volgt  dat  het  evenwicht  eveneens  optreedt 


bij  een  druk  liooger  dan  Treedt  bij  het  gemeenschappelijk  smelten 
dus  volumevergrooting  op,  dan  rijst  de  smeltdruk. 

Uit  reactie  (23)  volgt  hetzelfde  voor  het  gemeenschappelijk  om- 
zettingspunt. 

Neemt  men  aan  dat  AT^<^0  is,  dan  volgt  dat  bij  toevoeging  van 
de  nieuwe  stof  de  smelt-  of  omzettingsdruk  daalt. 

Wij  nemen  nu  het  evenwicht 

+L,  + T A,  + 

van  u — J (of  n)  kompouenten  in  n (of  J)  phasen. 

. . . stellen  weer  vloeistoffen,  . . . weer  vaste  stoffen 

van  onveranderlijke  samenstelling  voor.  Wij  hebben  vroeger’)  de 
temperatuur,  waarbij  dit  evenwicht  onder  constanten  druk  optreedt, 
de  schichtungstemperatuur  genoemd;  men  kan  ze  ook  de  stratificatie- 
temperatuur  noemen. 

Wij  schrijven  de  in  dit  evenwicht  optredende  reactie: 

P.,  L,  f L,  -p -|-  ftj  F,  -|-  ft,  -^1  + =0.  (25) 

Wij  kunnen  bij  deze  reactie  de  2 hoofdtypen: 

ft,  i',  i ftj  A,  • • • • ^ ^1  + ^5  T/,  -]-.•••  + ft^  Fq  -(-••••  (26) 

+ ••••  + f'i  Fj  + ft,  F,  . . . . ^ Z/y,  -j-  . . . . 4-  fty  F^  . . . . (27) 

onderscheiden,  waarin  wij  alle  coëfficiënten  positief  nemen.  In  (26) 
kunnen  de  vaste  stoffen  aan  de  rechter,  in  (27)  aan  de  i-echter-  of 
linkerzijde  ontbreken.  Van  beide  typen  zijn  experimenteele  voor- 
beelden bekend  U-  Om  het  verschil  tusschen  beide  reacties  uit  te 
drukken,  zullen  wij  zeggen  : in  (26)  liggen  alle  vloeistoffen  in  reactie- 
coujunctie,  in  (27)  liggen  twee  of  meer  in  reactieoppositie ')■ 

Voegt  men  een  nieuwe  stof  toe  dan  verdeelt  deze  zich  tusschen 
de  vloeistoffen;  zijn  concentraties  zijn  bepaald  door  (7).  [Het 

is  wel  duidelijk  dat  de  ft’s  in  (7)  een  geheel  andere  beteekenis  liebben 
dan  in  (25),  (26)  en  (27)]. 

Voor  reactie  (26)  is  U (2a;)  ==  waarin  alleen 

de  P.’s  en  niet  de  ft’s  optreden.  Daar  de  A’s  alle  positief  zijn,  is  ^().x) 
eveneens  positief.  Wij  nemen  hierbij  aan,  dat,  om  reactie  (26)  van 

')  F.  A.  H.  ScHREiMAKERS,  die  heterogenen  Gleichgewichte  von  H.  W.  Bakhuis 
Roozeboom  UB  108. 

s)  F.  A.  H.  ScHREiNEMAKERS  ibid.  UB  106  — 113,  193—203. 

*)  Om  verwarring  te  voorkomen  lette  de  lezer  op  het  volgende.  In  de  bovenge- 
noemde boeken  UB  en  UB  is  meermalen  gesproken  over  phasen,  die  in  het  diagram  in 
conjunctie  of  oppositie  liggen.  Noemt  men  deze  ligging  diagramconjunctie  en  diagram- 
oppositie,  dan  hlijkt  dat  reaclieconjunctie  met  diagramoppositie  en  dat  reactieoppositie 
met  diagramconjunctie  overeenkomt. 


477 


links  naar  rechts  te  doen  verloopen,  warmte  toege\  oerd  moet  worden, 
zoodat  ook  positief  is.  Het  teeken  van  2:(;iF)  is  echter  on- 

bepaald. [Het  is  wel  duidelijk  dat  in  2:{aB)  en  2: (AF)  ook  de  p’s 
van  (26)  optreden]. 

Uit  (12)  en  (15)  volgt  nü -. 

{dT)p  c^O  en  (rfP)7->0 (28) 

Hieruit  volgt:  heeft  men  een  invariant  (F  of  T)  evenwicht  met 
2 of  meer  vloeistoffen,  die  alle  in  reactieconjunctie  liggeji  en  voegt 
men  een  nieuwe  stof  toe,  dan  wordt  : 

bij  constante  F de  stratificatietemperatuur  verlaagd, 
bij  constante  T de  stratificatiedruk  verhoogd,  als  bij  de  vorming 
der  vloeistoffen  het  volume  toeneemt, 

verlaagd,  als  bij  de  vorming  der  vloeistoffen  het  volume  afneemt. 
Voor  reactie  (27)  is 

2 {X  x)  ■=  Xp  -j- — a\  — X^  — ... 

zoodat  Il{Xx)  zoowel  positief  als  negatief  kan  zijn.  Dit  hangt  af  van 
de  verdeeling  van  de  nieuwe  stof  tusschen  de  verschillende  vloei- 
stoffen. 

Om  dit  nader  toe  te  lichten  beschouwen  wij  een  bepaald  geval, 
nl.  het  evenwicht 

+ P,  4- F + + iV.  . . . (29) 

tusschen  de  n komponenten  Y Z...  N.  In  dit  evenwicht  treden  dus 
alle  komponenten,  behalve  F,  als  vaste  phasen  op.  Daar  er  dus 
n — I vaste  en  2 \loeibare  phasen  zijn,  is  het  invariant  {F  of  T). 
Wij  stellen  nu  de  reactie  voor  door: 

Al  -|-  A,  Z/,  Y Z F -\-  .....  4 An-j-i  = 0 . (30) 

zoodat  'L(k  x)  = Aj  A,  x^.  Ter  bepaling  van  de  verhouding  tusschen 
A,  en  A,  nemen  wij  uit  (10)  de  vergelijking  2;  (A  y)  = ü.  Daar  de  stof 
Y alleen  in  de  beide  vloeistoffen  optreedt,  zoo  volgt: 

^ (Ay)  = A,  y,  4- A,  y,  = 0 (31) 

Hieruit  blijkt  dat  Aj  en  A,  tegengesteld  teeken  hebben,  zoodat  reactie 
(30)  tot  type  (27)  behoort.  Wij  schrijven  ze  in  den  vorm: 

A-i  + A,  Z 4"  F -|- ^ Avj  . . . . (32) 

Wij  hebben  dus  A,  = 1 gesteld;  A,  is  dus  positief;  één  of  meer 
der  coëfficiënten  A,  . . . . kunnen  natuurlijk  negatief  zijn.  Verder  nemen 
wij  aan  dat  A,  de  vloeistof  is,  die  zich  bij  toevoer  van  warmte  vormt. 
[Was  dit  met  het  geval,  dan  zouden  wij  L■^  in  het  linker  lid 
van  (32)  hebben  geplaatst]. 

Wij  hebben  nu  : 2 (A  y)  = — A,  y,  eu  2 (A  x)  = — Aj  x^.  Hieruit 

volgt  • 


478 

2:(A  x) 

= *■(; 

Uit  (12)  en  (15)  volgt  nu: 

RT^ 

(dT)p  = 

— 

LW 


en 


{dP)T  = 


RTx,  ( 


a:. 

y, 


AF 


(33) 


(34) 

(35) 


Hierin  is  A IF  de  warmte,  noodig  om  één  (loeveelheid  der  vloeistof 
L,  te  vormen;  AF  is  de  bij  deze  vorming  optredende  volumetoename, 
die  zoowel  positief  als  negatief  kan  zijn. 

Wij  zullen  nu  onder  verdeeüngscoëfficient  van  een  stof  verstaan  : 
de  concentratie  van  die  stof  in  de  vloeistof,  die  zich  bij  warmte- 
toevoer voi'mt,  gedeeld  door  de  concentratie  van  die  stof  in  de  andere 
vloeistof.  .X’,  : X,  is  dus  de  verdeelingscoëfticient  van  de  nieuwe  stof, 
y,  : IR  die  van  den  komponent,  die  niet  als  vaste  pliase  optreedt. 

Wij  vinden  dus  : 

als  in  een  invariant  {P  of  T)  evenwicht  met  2 vloeistoffen  alleen 
komponenten  als  vaste  phasen  optreden,  dan  liggen  beide  vloeistoffen 
in  reactieoppositie.  De  stratificatietemperatuur  wordt  bij  constante  P 
door  toevoeging  van  een  nieuwe  stof : 

verhoogd  (verlaagd)  als  de  verdeelingscoëfficient  van  de  nieuwe 
stof  kleiner  (grooter)  is  dan  die  van  den  komponent,  die  niet  als 
vaste  phase  optreedt  *). 

Uit  (35)  kan  men  overeenkomstige  regels  afleiden  voor  den  invloed 
van  een  nieuwe  stof  op  de  drukverandering  bij  constante  T. 

Men  kan  aan  (34)  en  (35)  ook  nog  een  eenvoudiger  vorm  geven. 
Wij  hebben  n.1.  de  concentraties  der  komponenten  in  de  vloeistoffen 
zoo  uitgedrukt,  dat  elke  vloeistof  in  het  geheel  één  molecuul  bevat. 
Wij  kunnen  onder  concentratie  echter  ook  verstaan  de  hoeveelheid 
der  komponenten,  als  de  vloeistof  één  molecuul  bevat  van  den 
komponent,  die  niet  als  vaste  phase  optreedt;  in  ons  geval  dus  van 
den  komponent  Y.  Daar  en  y,  dus  1 worden,  gaan  (34)  en  (35) 
over  in : 


(,v„ — o;,)  RT  (x. — a^j) 

<">  = — — kV— • • 


1)  Voor  enkele  voorbeelden  van  den  invloed  van  een  derde  stof  op  binaire  even- 
wichten  zie  men  F.  A.  H.  Schreinemakkrs,  Die  heterogenen  Gleichgewichte  von 
H.  W.  Bakhuis  Roozeboom  IIH  160. 


479 


Men  vindt  nu : 

de  stratificatieteinperatuur  wordt  bij  constante  P door  toevoeging 
van  een  nieuwe  stof  verhoog*d  (verlaagd)  als  de  concentratie  van  de 
nieuwe  stof  in  de  vloeistof,  die  zich  bij  verwarming  vormt,  kleiner 
(grooter)  is,  dan  haar  concentratie  in  de  andere  vloeistof. 

De  eerste  formule  (36)  is  reeds  vroeger  voor  evenwichten  met 
twee  en  meer  *)  komponenten  afgeleid. 

Wordt  vervolgd. 

Leiden,  Anorg.  Chem.  Lab. 


b F.  A.  H.  ScHEEiNEMAKERS.  Zeitschr.  f.  Phys.  Ghem.  25  320  (1898). 
2)  H.  A.  Lorentz.  ibid.  25.  332  (1898). 


Wiskunde.  — De  Heer  W.  Kapteyn  biedt  eene  raededeeling  aan : 
,,Over  eene  formule  vari  Sylvester”. 

Onder  den  titel:  “On  the  partitioii  of  nnmbers”  heeft  Sylvester 
in  the  Quart.  Jonrn.  of  Math.  I (1857)  p.  141— 152,  eene  aigemeene 
formule  gegeven  voor  het  aantal  oplossingen  in  positieve  geheele 
getallen  (nul  inbegrepen)  van  de  vergelijking 

+ «i  ‘«5  + «r  = a (1) 

waarin  de  grootheden  n en  a bekende  positieve  getallen  voorstellen. 
Deze  formule,  die  zonder  bewijs  is  medegedeeld,  toepassende  opeen 
bijzonder  geval,  kwam  ik  tot  het  ongerijmde  resultaat  dat  het  aantal 
oplossingen  een  gebroken  getal  zoude  zijn.  Dit  gaf  mij  aanleiding 
naar  een  bewijs  te  zoeken  en  daarbij  vond  ik,  zooals  uit  het  volgende 
zal  blijken,  dat  de  bedoelde  formule  eene  kleine  verbetering  behoeft. 
Wanneer  men  de  breuk 

1 1 

= . ...  (2) 

<1*  [x]  (1 — .«“l  )(1  — . . (1 — x^^r) 

naar  opklimmende  machten  van  x ontwikkelt,  dan  vindt  men  voor 
den  coëfficiënt  van  juist  het  aantal  gevraagde  oplossingen  van  de 
vergelijking  (1).  Het  ligt  dus  voor  de  hand  om  bovenstaande  breuk 
in  gedeeltelijke  gebrokens  te  ontbinden  en  ieder  dezer  naar  opklim- 
mende machten  van  x te  ontwikkelen.  Daartoe  moeten  we  eerst  de 
verschillende  factoren  van  den  noemer  en  liiinne  aantallen  bepalen. 

Schrijven  we  de  vergelijking  die  alleen  de  primitieve  wortels  van 
1 — ,)?”*  = 0 bevat  ,1 — x’'‘ = 0 en  noemen  we  de  deelers  van  m : d^, 
(f,  . . . d]c  isf  = 1,  tifc  = m)  dan  is 

k 

1 — /7  1 xdi (3) 

Om  dit  te  bewijzen  stellen  we 

m~  p^-  qi^  . . U- 

aannemende  dat  p,  q,  . . . t de  ondeelbare  factoren  van  m.  voorstellen. 
De  deelers  van  m zijn  dan  de  termen  van  het  produkt 

(^1  + . . (^1  + 

Nu  heeft  de  vergelijking  j — xA  — Q waarin  r/ = p"  f/'' . . . /^  een 
aantal  primitieve  wortels  gelijk 


481 


Past  men  dit  toe  op  alle'  deelers  ck  van  m,  dan  vindt  men  een 
totaal  aantal  primitieve  wortels 


1 + ( 1 - - J Sp" 


1 


/3 

1 


r r 

1 A ^ 1 

1 f 1 - 

V 

tji  J 

= qF 


P'  = rn. 


Daar  nu  al  deze  primitieve  wortels  verschillend  zijn  en  voldoen 
aan  1 — = 0,  zoo  blijkt  dat  wanneer  men  alle  deelers  1 — van 
1 — x'n  nitsclirijft  en  van  ieder  dezer  den  factor  bepaalt  die  gelijk 
nu!  gesteld  de  primitieve  wortels  oplevert,  het  produkt  dezer  factoreji 
juist  weer  1 — .r”*  oplevert. 

Zoo  bijv.  in  = 20  = 2’  . 5,  dan  zijn  de  deelers 
1,  2,  4,  5,  10,  20 


waarmede  correspondeeren  de  factoren 

1 — .V,  !-!-''«>  1 -j- + 1 — — .1'’  + A'k  1 

of 

1 — .V,  1 — 1 — x^,  1 — x^,  1— 1 — ,f’“. 


Het  produkt  dezer  factoren  is  nu  juist  J — -a-’",  of 

6 

l—x^’‘=n{\—xdi). 

i=X 

Ontbindt  men  op  deze  wijze  alle  factoren  van  (r),  dan  neemt 
dit  produkt  den  vorm  aan 

— x^i)  . (1 — x^^)  . . . (1 — ) ....  (4) 

waarin  de  exponenten  «,  die  we  naar  opklimmende  grootte  gerang- 
schikt denken,  de  verschillende  deelers  aanduiden  die  in  a,,  . . a,- 

optreden  terwijl  het  aantal  der  daarin  voorkomende  deelers  door 
7'i  wordt  voorgesteld.  Hierbij  is  = 1,  = r. 

Is  bijv.  de  gegeven  vergelijking 

x^  -\-  2 X,  5 A-,  -f  10  + 20  x^  r=  n 

dan  is 

0{x)  = (1— a)  (1— a’)  (1— a*)  (1-a^«)  (1— 

1 — X = 1—  A 

1 — a’  = 1 X . 1 — a’ 

1— A®  =1  — A . 1 A® 

1-a'“=1— A . 1— A*  . 1— A®  . 1— A^* 

1— A^»=l— A . 1— a’  . 1— a"  . 1— A®  . 1— A^°  . 1— A^® 

dus 


Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIH.  A°.  1919/20. 


32 


482 


0(,'f)  = (1— (1— (1— .^■*)*  (l-.f"’)’  (1— 

Gaan  we  nu  tot  de  ontbinding  over,  dan  maken  we  gebruik  van 
de  bekende  formule  van  Cauchy 

1 

<P  (x) 

waarin  de  dubbele  haken  aanwijzen  dat  de  residu  genomen  moet 
worden  voor  alle  wortels  van  de  vergelijking  = dns  voorde 
wortels  van  de  vergelijkingen 


1 


((  ^ G) )) 


(5) 


0,  1—^“’  =0,  . . . 1- 


'«  = 0 


Schrijft  men  nu  in  het  tweede  lid  van  de  vergelijking  (5) 

1 / X x^  x'^ 

= - 1 + - + ^+ 


X — z 


dan  vindt  men  onmiddellijk  voor  den  coëfficiënt  van  .r'’ 

1 


r 1 


2«+i  ((  <2»  (2) ))  "*■ 


waarin 


2"+l  (1 2“l)''  (1 2“2)’’  . . ((1 2:**))’'  . . (1 2"*’»)’ 

of,  zoo  men  den  oorspronkelijken  vorm  van  weer  invoert 


1 1 — 2^ 

2"+l  (1— 2«l)  (1  — 2«ü)  . . (1  — 2«,)  ( (1  — 2“  )) 
waarin  dus  de  residus  genomen  moeten  worden  voor  alle  wortels 
van  de  vergelijking 

1—2“  =0  - (6) 

Stelt  men  nu  een  willekeurige  wortel  van  de  laatste  vergelijking 
voor  door  q en  verder 


dan  wordt 


z — Q e~^ 


Q~ 


(1 — p"i  (1  — ()“2  e- . . (1  — Q ’ e ’’  ) ((t)) 


(7) 


waarin  nu  de  residu  genomen  moet  worden  voor  de  pool  ^ = 0 en 
de  sommatie  zich  uitstrekt  over  alle  wortels  van  de  vergelijking  (6). 

Bij  de  toepassing  dezer  formule  kan  de  term  nader  worden 
uitgewerkt.  Dan  toch  is  de  vergelijking  (6) 

1 — 2 = 0 of  1 — 2 = 0 


483 


zoodat  (>:=!.  Derhalve  bevat  Wj  slechts  één  terra  nl.  de  residu 
voor  de  pool  t = 0 


pVt 


(1 — (1 — . . (1- 


-o  t 


nm) 


Deze  residu  is  de  coëfficiënt  van  — in 

t 

X^—gnt  — lg{l  — e-a^i)  - Ig  {I  — g- ..  . — (1 

Nu  is 

11  B,  B,  5. 

= — ^ -| ^ 2^*  d 1 — . . mod  z <^2jr 

e^~l  z " ^ 2 / 4/^6/  ^ 

waarin 

B — i B — ^ B — -i- 

Integreert  men  beide  leden  dezer  vergelijking  tusschen  0 en  z, 
dan  komt 


B^  z^  B^  z' 


Ig  ~lgz  — \ 

^ ^ ^ 2 / 2 4 / 4 6 /6 

Met  behulp  dezer  ontwikkeling  wordt 


. («) 


X,= 


1 


vt 


B^  s B„  s t* 

t j I I J 

1 / 2^  3 / 4’ 


Cj  a,  . , ttr  f 

zijnde 

V = n d-  i «1  en  Si  = a/‘  d-  «jt  ■ • «;•' 

Derhalve  vinden  we  voor  W^,  evenals  Sylvëstbr,  den  coëfficiënt  van 

/'■“i  in  het  produkt 

1 / 111 
1 + 1’^^+  - d-  - V»  f . . 

a,  a,  . . «r  V ^ / 3 / 4 / 


1 


’ t*- 


24  ' 1152 


« 4 

1 d ^ . . 

^ 2880 


Passen  we  het  voorgaande  toe  op  het  voorbeeld 

2 d-  5 .-r,  d-  10  ^4  -b  20  = 7i. 

De  verschillende  deelers  van  1,  2,  5,  10,  20  zijnde 
1,  2,  4,  5,  10,  20 

0 (x)  = (l-^)‘  (1-^T  (1-A-^)  (1— (1—0 

32* 


zoo  18 


484 


We  moeten  dus  berekenen  W,  TFj  en 
Volgens  het  voorgaande  is  de  coeff  van  het  bovenstaande 
prodiikt  waarin 

aj  = l,  aj  = 2,  rt,  = 5,  ö^  = 10,  «5  = 20 

s,  =38,  Sj  = 530,  5^  = 170642,  ï;=?i-j-19 

derhalve 


1 

W = 

' 48000 


r-  — 265  -f 


72741' 


10 


of 


1 

\V  = 


„4  ^ 70  „S  ^ 17366«  + 41930 


48000 

Voor  14^,  wordt  de  vergelijking  (6) 

1— ^^  = 0 


10 


of 

1 + ^ = 0. 

De  eenige  wortel  p = — 1 zijnde,  zoo  bestaat  slechts  nit 
één  term 

(— t 


'n=if 


of  ( — 1)"  maal  de  coëfficiënt  van  — in 

t 


nt — lg{\  — lq{l  — e~^^- — (<7(1 -lq{l.  — e— — lg^\ — g—20i\ 

X^=:  e ' " ‘ ' ' 


Daar  nu  volgens  de  vergelijking  (a) 


15 


z 3 5,  , 

^ 22  2/  16  4/ 

zoo  vinden  we  met  behulp  van  (a)  en  {b) 

\f  97 

¥7  + 


(15v*  - 727  i) 


X,  = — ^ — ( 1 + + 
^ 1600«\ 

dus 

(—1)” 
TF,  — ^ ’ 

’ 48000 

of 

(-1)« 

11/  = 

48000 

(15  + 570  « + 4687  0 


Voor  147  wordt  de  vergelijking  (6) 

1 —2^  = 0 


of 

derhalve 


1 +^’  = 0 


. ih) 


485 


w = ' 

' ‘^(1— -0(1— ()=e-20(l— ^)'e-5  0(l— 

waarin  de  som  genomen  moet  worden  voor  de  beide  wortels  q van 
de  vorige  vergelijking.  We  kunnen  dus  door — 1 vervangen,  zoodat 

Q—n  gti 


w,=  s£ 


= — 2:  ^ 


( 1 ~Qe ~i)(l^e~^>)(l  — Qe-5t)(ï-\-e-iotj(l _e-20 

1 


80  (1— 160 

Schrijven  we  nu  voor  de  som  der  machten  van  de  wortels 
der  vergelijking  1 -\-  z^  = 0 en  merken  op  dat  9^  = 1,  dan  is 
i;.  = 2 i;=o  s,  = ~2  s,  = o 
en  algemeen 

= 2 = 0 2^4fc-]-2  = — 2 2j4;fc-|_3  = o 

dus 

Naar  gelang  dus  = 4 p,  4:p  i,  4 p -f-  2,  4 />  -f-  3,  heeft  men 

600 

W,~ (0,  1,  0,  —1) 

' 48000  ^ 

Voor  Wf,  wordt  de  vergelijking  (6) 

1 — = 0 


of 

dus 

Zij 


1 + .t’  A-’  4-  + X^  = 0 


Q—n  gil  t 


(l-(>e-0(l— ;)(l_e-i0()(i_e-20i)  ((i)) 


nt~lg  {\-  {ie~^)—lg  (1 — Q^e  ~‘^‘)—lg  ‘)—lg{l~e~^^‘)—lg(l—e~'^^^) 


X,  = e 

dan  komt  met  behulp  van  de  vergelijkingen  (a)  en  (ó) 


X.  = 


525 


p 2p^  35'\  / p 4p^ 

1— p “ 2 V2(ï^(>)'  ^ 2(1 -p^)^  ~ ~Ü 

1000  (1— p)(l—p^)  i" 


Bepaalt  men  hieruit  den  coëfficiënt  van  — dan  vindt  men 


p-« 


2000  (l_p)(l_p^) 


4 


525  34p  + 98p’  — 42p'  — 114p^ 


(1-pT 


486 


of 


n’  -|-  35n  + 


2000 


525 


(i~e)  (i-e’) 


n p-’i  (2p  + 6p’) 

2ti 


2000  (1—^)  (!—(»=')* 

1 ()-"(34p  + 98(>* 42^*  — 114()') 


2000  (1  (1  __ 

Met  dezelfde  notaties  als  boven  d.i. 

= 4 Sj  = - 1 S,  = - 1 S,  = - 1 S,  = — 1 
dus  algemeen 

•—  4,  =13  1 2(5^_j_2  = 1 2j5^-j_3  1 S5^_|_4  1 

vindt  men,  naar  gelang  n = 5p,  hp  -f-  1 > 5p  -j-  2,  5^  5p  -j-  4 

^7^ — VTT — r,  = r 2p“"(l-(-’)(l-?‘)  = ^ = 

(1—9)  (1  — 9)  5 5 

1 

= — (y4n-b  ■^4n-j-2  S4n-{.3 — S4n-J-4)  (1 1 0,  1,  — 1,  — 1) 

9—”  (29  69’)  1 

S = - (2  2:4„+3  + 4 2:4„+4  - 6 r4„)  = (-  6,  o,  o,  2,  4) 

(1— 9)  (I — 9*)^  5 

9-»(349  + 989’— 429*  — 1149‘)  1 


(1-9)(1-9T 


— — ( — 538  Sin  — 8 S4n-j-i  -|- 

25 


+ 32  r4„+2  + 162  i;4„+3  + 352  i:4n+4)  = F (-  269,  - 4,  16,  81,  176) 

5 

Derhalve 

(24n*  + 840n  + 6300)  (1,  0,  1,  - 1,  - 1) 


+ . 48n(3,  0,  0,  — 1,  - 2) 

^ 48000  V . , - . / . 

1 48 

H (269,  4,  — 16,  — 81,  — 176) 

48000  5 ^ ’ 

Op  dezelfde  wijze  vindt  men,  naar  gelang 

n = 10p,  lOp  + 1,  10^4-2,...  lOp  + 9 

^>o  = 7FLF  (120n  + 1800)(—  1,  0,  1,  3,  3,  1,  0,  - 1,  — 3,  - 3) 
4oUUU 


1 


' 48000 
en  naar  gelang 


. 60  (5,  16,  21,  29,  19,  —5,  —16,  — 21,  — 29,  — 19) 


487 


n = 20;>,  20p  + l,  20 />  + 1,  . , . 20ju4-19 

1200 

'^”“48000^“^’ 

5,  -8,  5,  7,  5,  3,  0,  —3,  -5,  —7) 

Uit  de  vorige  formules  kunnen  wij  de  aantallen  oplossingen 
afleiden  voor  n = ‘lOp  q =0,1.  . 19). 

Voor  n = 20/9  -|-  7 staat  deze  berekening  bijv  zoo 


IV, 

IV,  = 

IV,  = 
IV.  = 
+ 

+ 

M^,.= 


— — 4-  76n* 

48000  ^ ^ 


1 


,48000 

1 

48000 

] 

48ÖÖÖ 

1 

48ÖÖÖ 

1 


( 


( 


( 


( 


I901a^  + 17366a  + 419303^-) 
15a’  ■—  570a  — 4687^  ) 

— 600  ) 
24a’  4-  840a  6300  ) 

- 1534  ) 


48000^ 

1 

48000 ^ 

1 

48ÖÖÖ^ 


— 120n—  1800  ) 

— 1260  ) 
3600  ) 


dus 

^ + 1910a’  + 17516a  + 43329) 

= i(P  + 1)(P  + 2)(10p’  + 22p  + 9). 

Dat  dit  getal  geheel  is  ziet  men  gemakkelijk  wanneer  men  het 
schrijft 

ip(i>  + 1)(P  + 2)(10p’  4-  22)  + 3(;9  + l)(p  4-  2). 

Uit  het  voorgaande  blijkt  dus  dat  in  de  formule  van  Sylvester 

Q”  t 

(1 — (?— ')  (1 — Qf’ie—Oif)  . . (1  — ■ e ((<)) 

0"  in  Q—^  veranderd  moet  worden.  Bij  de  berekening  van  TV,  en 
TV,  geeft  deze  verandering  geen  verschil,  wel  echter  bij  de  overige 
termen  TV.  In  het  voorbeeld  dat  Sylvester  behandelt  nl. 


4~  2 tZj,  4“  ^ V 1 ^4  4~  ^ 'T~  0 «r,  — 

moeten  dus  ook  de  termen  TV,  TV,  TT4  TT^,  herzien  worden. 


Scheikunde.  — De  Heer  Hotj.eman  biedt,  namens  de  Heeren 
A.  J.  DEN  Hollander  en  F.  E.  van  Haeften  eene  mededeeling 
aan  ; „Over  de  nitratie-producten  van  p-dichhorbenzol.” 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  S.  Hoogewebff). 

JuNGFLEFscH  heeft  in  1868  p-dichloorbenzol  genitreerd  door  het 
met  een  mengsel  van  rookend  salpeterzuur  en  zwavelzuur  gedurende 
eenige  uren  te  koken.  Hij  verkreeg  daardoor  een  mengsel  van  dini- 
tro-p-dichloorbenzolen,  omtrent  welks  samenstelling  de  meeningen 
nog  steeds  verdeeld  zijn.  Theoretisch  zijn  er  drie  isomeren  mogelijk  n.l. 


Cl 

Cl 

Cl 

no/^Nno, 

\/ 

/\NO, 

en 

o" 

O 

IZi 

Cl 

Cl 

Cl 

JüNGFLEiscH  zelf  isoleerde  er  twee  verbindingen  uit,  die  hij  met  a 
en  d aanduidde,  doch  welker  structuur  hij  niet  bepaalde.  Voor  de 
«-verbinding  gaf  hij  het  smp.  87°,  voor  de  d-vevh.  107°  op.  Van  de 
eerste  ontstaat  volgens  hem  veel  meer  dan  van  de  tweede.  Door 
Körner  ’)  en  veel  later  door  Uli.mann  en  Sake  is  voor  dit  hoofd- 
product de  structuur  I bewezen;  het  smeltpunt  werd  door  hen 
echter  bij  105°  gevonden.  Engelhahdt  en  Latschinoff  hadden  dit 
hoogere  smp.  ook  reeds  waargenomen,  en  konden  ook  uit  het 
reactieproduct  de  (1-verbinding  isoleeren,  bevestigden  dus  in  hoofd- 
zaak de  resultaten  van  Jungfleisch. 

Daarentegen  beweren  Morgan  en  Norman  dat  verbinding  III  als 
hoofdproduct  ontstaat;  Hartley  en  Cohen  "),  die  hunne  proeven  her- 
haalden, bevestigen  dit  en  geven  als  smeltpunt  105 — 106°  op.  Ein- 
delijk heeft  Mej.  Edith  Nason ')  in  het  vorige  jaar  op  nieuw  p-dich- 
loorbenzol  genitreerd  en  nit  het  reactiemengsel  eveneens  lil  in  eeiie 
opbrengst  van  45.6  “/o  vermogen  te  isoleeren,  waarvoor  zij  echtei 
het  smp.  81°  opgeeft. 

0 A.  ch.  (4),  15  259. 

’)  J.  1875,  324. 

»)  B.  44,  3730  (19J2). 

*)  Z.  1870,  234. 

«)  Soc.  81,  1378,  1382  (1902). 

«)  Soc.  85,  868  (1904). 

7)  Am.  Soc.  40,  1602  (1918). 


489 


De  structiiurbewijzeji,  die  deze  ojiderzoekers  voor  hun  vermeend 
isomeer  III  aangeven,  zijn  echter  geheel  onvoldoende.  Er  bleef  dus 
nog  uit  te  maken:  1°.  welk  isomeer  of  welke  isoraeren  naast  I 
(waaromtrent  iedereen  het  eens  is)  ontstaan  ; 2".  een  afdoend  structuur- 
bewijs  voor  dat  isomeer  of  die  isomeren  te  levei'en. 

De  Heeren  den  Hollandek  en  van  Haeften  hebben  nu  in  de  eerste 
plaats  aangetoond,  dat  alle  drie  isomeren  ontstaan,  en  wet  I als 
hoofdproduct,  II  en  III  als  nevenproducten.  Zij  zijn  daarbij  als  volgt 
te  werk  gegaan:  Het  ruwe  reactieproduct  wordt  met  een  overmaat 
van  4 N-alcoholische  ammonia  overgoten,  en  wel  op  1 mol  dichloor- 
dinitrobenzol  4 mol  NH,.  Na  eenig  omroeren  gaat  alles  in  oplossing. 
Men  laat  nu  gedurende  eenige  dagen  bij  kamertemperatuur  staan. 


NH, 


no,/Nno, 


Hierbij  wordt  I omgezet  in 


2-6-dinitro-4-chlooraniline, 


Cl 


smp.  145°,  dat  zich  grootendeels  in  fijne  naaldjes  en  nagenoeg  zuiver 
afzet.  Men  filtreert  nu  en  distilleert  het  alcoholische  filtraat  af; 
hierbij  blijft  een  rest  terug,  die  uit  de  isomeren  II  en  Hl  bestaat, 
maar  ook  nog  een  zekere  hoeveelheid  van  bovengenoemd  chloor- 
dinitraniline  bevat.  Deze  rest  wordt  met  water  uitgewasschen  om  Am- 
nitriet  te  verwijderen,  daarna  gedroogd  en  in  ca.  | L.  benzol  opgelost 
(als  van  1 mol.  reactieproduct  is  uitgegaan).  Deze  oplossing  wordt 
eenige  malen  met  20  cc.  geconc.  zwavelzuur  uitgeschud,  waardoor 
het  chloordinitraniline  verwijderd  wordt.  Dit  is  het  geval,  als  het 
zwavelzuur  zich  niet  meer  kleurt. 

Daarna  wordt  het  benzol  afgedistilleerd ; men  houdt  dan  een  residu 
over,  dat  uit  de  verbindingen  II  en  III  bestaat,  zooals  kan  worden 
aangetoond  door  het  opnieuw  met  alcoholische  ammoniak  te  be- 
handelen, en  wel  op  50  gr.  mengsel  100  cc.  4N.NH,.  Thans  echter 
wordt  gedurende  24  uur  op  een  waterbad  aan  een  opstijgenden  koeler 
gedigereerd  (temp.  in  de  kolf  80 — 85°)  en  eenige  malen  ammoniak- 
gas ingeleid  om  het  verlies  te  compenseeren.  Men  neuti-aliseert  nu 
de  vloeistof,  distilleert  het  grootste  gedeelte  van  den  alcohol  af  en 
giet  de  rest  in  water  uit.  Door  behandeling  van  het  reactie-pi-oduct 
met  zwavelzuur,  als  boven  aangegeven,  gaat  2-nitro-3-6-dichlooraniline 


Cl 


Cl 


/^\NH, 


in  oplossing  en  l-4-dichloor-2-5-dinitrobenzol 


//\NO. 


Cl 

blijft  achter. 


Cl 


490 


Na  oinkriötallisatie  uit  alooliol  is  dit  laatste  zuiver  en  vertoont 
dan  het  smeltpunt  van  119°. 

De  vorming  van  2-iiitro-3-6-dic‘hlooraniline,  smp.  68°,  waarvan  de 
structuur  door  een  onderzoek  van  Bkilstein  en  Kurbatow  *)  vaststaat, 
bewijst  dat  in  het  ruwe  reactieproduct  het  l-4-dichloor-2-3-dinitrobenzot 


Cl 

/\NO, 

aanwezig  moet  zijn.  Inderdaad  kon  er  dit  ook  door  lang- 
C1 


durige  gefractioneerde  kristallisatie  uit  alcohol  uit  worden  afgescheiden. 
Het  is  waarschijnlijk  het  isomeer  van  Jüngfleisch  en  smelt  bij 
103°.  De  structuur  werd  bewezen,  door  in  2-nitro-3-6-dichlooraniline 
de  NH, -groep  door  NO,  te  vervangen  volgens  de  methode  van 
Körner  en  Contardi’)- 

Voor  het  derde  isomeer  van  het  smp.  119“  blijft  dus  enkel  de 
structuurformule  III  over.  Deze  werd  echter  nog  op  de  beide  vol- 
gende wijzen  nader  bewezen  : 


Cl  Cl  Cl  Cl 

1».  /\  NH  ac.  /\  NH  ac.  /\  NH,  /X  NO, 


NO. 


Cl 


NO, 


Cl 


2“. 


NH, 


NH, 

X\ 


NO,' 

Cl  Cl 

NH  ac. 

X\ 


NO, 


Cl  Cl 

NH  ac.  Cl 

NO,  /\  NO 

' ' NO, 


Cl 


\/  NO, 
Cl 


NO, 


Cl 


waarbij  de  structuur  der  tusschenproducten  telkens  werd  vastgesteld. 

Wil  men  uit  het  luiwe  nitratieproduct  van  Jüngfleisch  de  drie 
bestanddeelen  afzonderen,  dan  gelukt  het  wel  door  zeer  langdurige 
gefractioneerde  kristallisatie  uit  alcohol  om  de  verbindingen  I en  II 
in  zuiveren  toestand  te  verkrijgen,  niet  echter  III.  Men  verkrijgt  nl. 
ten  slotte  eene  vrij  aanzienlijke  hoeveelheid  eener  bloemkoolachtige 
massa,  die  voor  verdere  scheiding  door  kristallisatie  niet  meer  bruik- 
baar is,  en  die  — blijkens  de  daarop  toegepaste  behandeling  met  alco- 


1)  A.  196,  221  (1879). 

2)  Atti  (5)  22  II,  632  (1913). 


491 


holische  ammoniak  als  boven  aangegeven  — in  hoofdzaak  uit  I, 
verder  uit  een  weinig  II  en  vrij  veel  III  bestaat.  Rationeeler  is  het, 
om  het  ruwe  nitratieproduct  in  zijn  geheel  met  alcoholische  ammoniak, 
eerst  bij  gewone  temperatuur,  vervolgens  bij  80 — 85°  te  behandelen, 

NH,  Cl 

/\nh. 


omdat  uit  de  verkregen  verbindingen 


NO, 


iNO, 


en 


Cl 


VNO. 

Cl 


zich  de  overeenkomstige  dichloordinitrobenzolen  door  diazotatie  ge- 
raakkelijk  laten  terugwinnen. 

Eene  uitvoerige  beschrijving  van  dit  onderzoek  zal  binnenkort  in 
het  Recueil  verschijnen. 


November  1919. 


Org.  chem.  lab.  d.  Univ.  v.  Amsterdam. 


Physiologie.  — De  Heer  Zwaardemaker  biedt  eeiie  mededeeling  aan 
van  Prof.  A.  J.  P.  v.  d.  Broek:  ,,Over  den  invloed  van  radio- 
ahtieve  elementen  op  de  ontwikkeling 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Boeke). 

Eén  van  de  elementen,  die  de  levende  stof  opbonwen,  het  kalium, 
is  radioaktief.  De  onderzoekingen  van  Zwaardemaker  en  zijn  leer- 
lingen omtrent  de  beteekenis  van  het  kalium  in  het  organisme, 
hebben  geleerd  dat,  in  hoofdzaak  bij  doorstroomingsproeven  van  het 
geïsoleerde  kikvorschhart,  het  kalium  door  eene  aequiradioaktieve 
hoeveelheid  van  elk  ander  radioaktief  element  kan  worden  vervangen. 
Op  grond  hiervan  komt  Zwaardemaker  tot  de  uitspraak^):  ,,die 
Radioaktivitat  und  keine  andere  Eigenschaft  der  sich  gegenseitig 
vertretenden  Atome  erfüllt  die  für  die  Automatie  notwendige  Bedin- 
gung”  (l.c.  blz.  49).  Naast  deze  vervangbaarheid  heeft  Zwaardemaker 
de  aandacht  op  een  tweede  verschijnsel  gevestigd,  n.1.  op  een  anta- 
gonisme tusschen  verschillende  groepen  van  radioaktieve  elementen. 
In  het  volgend  schema  komt  dit  antagonisme  tot  uitdrukking; 

' ; Uranium 

Kalium  | Thorium 

Kubidium  . Radium 

(Casium)  lonium 

Niton  (Emanatie) 

Kan  dus  bij.  bepaalde  proeven  het  uranium  het  kalium  vervangen, 
beide  elementen  Ie  zamen  hetfen  eikaars  werking  op. 

Deze  onderzoekingen  deden  de  vraag  rijzen  of  het  mogelijk  ware 
tijdens  de  ontwikkeling  het  kalium  door  een  ander  radioaktief  element 
te  vervangen.  Ik  heb  getracht  op  deze  vraag  door  proefondervindelijk 
onderzoek  eeri  antwoord  te  verkrijgen.  Van  de  genomen  proeven  en 
verkregen  resultaten  wil  ik  een  kort  ovei'zicht  geven. 

De  proeven  werden  met  kikvorscheieren  genomen  en  als  volgt 
in  gericht. 

Onmiddellijk  na  de  bevruchting  (in  het  laboratorium)  wordt  de 
eimassa  in  gelijke  hoeveelheden  verdeeld  en  deze  worden  in  vloei- 

1)  H.  Zwaardemaker,  Die  Bedeutung  des  Kaliums  im  Organismus.  Pflügers’ 
Archiv.  Bd.  173. 


'iiv.p 


A.  J.  P.  V.  d.  BROEK:  „Over  den  invloed  van  radio-aktieve  elementen 
op  de  ontwikkeling”. 


cVUi 

8 ‘J 

;;6 

P.6 

13 

A 

Cv 

ff 

ff 

O 

tf 

H 

6 Ö luj  . 

Physiologie.  — De  Heer  Zwaakdkmaker  biedt  eeiie  niededeeling  aan 
van  Prof.  A.  J.  P.  v.  d.  Broek  ; „Over  den  invloed  van  radio- 
ahtieve  elementen  op  de  ontwikkeling 


(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Boeke). 


Eén  van  de  elementen,  die  de  levende  stof  opbouwen,  het  kalium, 
is  radioaktief.  De  onderzoekingen  van  Zwaardemaker  en  zijn  leer- 
lingen omtrent  de  beteekenis  van  het  kalium  in  het  organisme, 
hebben  geleerd  dat,  in  hoofdzaak  bij  doorstroomingsproeven  van  het 
geïsoleerde  kikvorschhart,  het  kalium  door  eene  aequiradioaktieve 
hoeveelheid  van  elk  ander  radioaktief  element  kan  worden  vervangen. 
Op  grond  hiervan  komt  Zwaardemaker  tot  de  uitspraak  : ,,die 
Radioaktivitat  und  keine  andere  Eigenschaft  dei‘  sich  gegenseitig 
vertretenden  Atome  erfüllt  die  für  die  Automatie  notwendige  Bedin- 
gung”  (l.c.  blz.  49).  Naast  deze  vervangbaarheid  heeft  Zwaardemaker 
de  aandacht  op  een  tweede  verschijnsel  gevestigd,  n.1.  op  een  anta- 
gonisme tusschen  verschillende  groepen  van  radioaktieve  elementen. 
In  het  volgend  schema  komt  dit  antagonisme  tot  uitdrukking: 


Uranium 

Thorium 

Radium 

lonium 


Kalium 

Rubidium 

(Casium) 


Niton  (Emanatie) 


Kan  dus  bij  . bepaalde  proeven  het  uranium  het  kalium  vervangen, 
beide  elementen  (e  zamen  heffen  eikaars  werking  op. 

Deze  onderzoekingen  deden  de  vraag  rijzen  of  het  mogelijk  ware 
tijdens  de  ontwikkeling  het  kalium  door  een  ander  radioaktief  element 
te  vervangen.  Ik  heb  getracht  op  deze  vraag  door  proefondervindelijk 
onderzoek  een  antwoord  te  verkrijgen.  Van  de  genomen  proeven  en 
verkregen  resultaten  wil  ik  een  kort  overzicht  geven. 

De  proeven  werden  met  kikvorscheieren  genomen  en  als  volgt 
ingericht. 

Onmiddellijk  na  de  bevruchting  (in  het  laboratorium)  wordt  de 
eimassa  in  gelijke  hoeveelheden  verdeeld  en  deze  worden  in  vloei- 

i)  H.  Zwaardemaker,  Die  Bedeutung  des  Kaliums  im  Organismus.  Pflügers’ 
Archiv.  Bd.  173. 


'Hl  i)  '^Suu\\  'Ih  P <)2;!i  Iii;|7 


At  J.  P.  V.  d.  BROEK:  „Over  den  invloed  van  radio>aktieve  elementen 
op  de  ontwikkeling". 


aC 

fuf. 


ff 


t 


♦ ♦ 


M 


fi- 


ff 


♦f 


t 


Op  de  bijgevoegde  plaat  zijn  minimum-  en  maximumgrootfe  van  larven 
uit  verschillende  uraniumhoudende  vloeistoffen  en  die  welke  aan  rijst-  en  aan 
dierlijk  voedsel  waren  onderworpen,  op  verschillende  tijdstippen  weergegeven. 


493 


stoffen  geplaatst  waarin  kalinin  of  een  hoeveellieid  van  een  nraan- 
zont  is  opgelost. 

Terwijl  in  het  ütrechtsche  leidingwater  praktisch  geen  kalinm  wordt 
aangetroffen,  werd  tevens  zooveel  mogelijk  zorg  gedragen  de  ,,uraan- 
larven”  met  een  kaliloos  voedsel  groot  te  brengen,  terwijl  de  in 
kaliiimhondende  vloeistof  geplaatste  larven  zooveel  mogelijk  gewoon 
(dierlijk)  voedsel  kregen.  Als  kaliumloos  voedsel  werd  rijst  verstrekt^ 
die  in  gedistilleerd  water  gekookt  was.  Ten  einde  te  ontgaan,  dat 
kalinm  uit  het  glas,  waarin  in  het  eerste  proefjaar  ook  de  nraan- 
larven  verbleven,  zon  worden  opgelost  en  opgenomen,  werden  in 
het  tweede  (en  derde)  jaar  de  nraanlarven  in  kwartsbakken  groot 
gebracht. 

I.  Een  eerste  reeks  van  proefnemingen  bestond  in  de  toevoeging 
van  bepaalde  quanta  nraniumnitraat  aan  het  water. 

Ter  compenseering  van  het  in  de  eieren  aanwezige  kalinm  werd 
4 7,  mgi'.  nraannitraat  per  liter  gegeven  ; bovendien  nog  12.5,  25  mgr. 
(dns  in  het  geheel  17  en  29  7^  mgr.)  en  50  mgr.  per  liter. 

Naast  de  larven  in  deze  vloeistoffen  werden  andere  in  gewoon 
leidingwater  groot  gebracht  met  piscidine  7 en  met  rijst. 

De  eieren  waren  gelegd  op  14  April.  De  ,, piscidine”  larven  zijn 
op  29  Mei  13 — 12  m.m.  7 gi’oot  en  bezitten  achterpooten ; op 
6 Juni  zijn  er  larven  van  34.2  rn.na.  met  achter  en  voorpooten ; dan 
volgt  regelmatig  de  metamorphose  en  slaartrednctie.  Op  26  Juni  zijn 
er  nog  slechts  enkele  larven  van  8 — 12  m.m.  die  nog  niet  gemeta- 
morphoseerd  zijn. 

De  rijstlarven  ontwikkelen  aanmerkelijk  langzamer;  daarbij  blijkt 
tevens,  dat  op  een  zelfde  tijdstip  de  mate  van  ontwikkeling  der  larven 
vrij  sterk  kan  uiteenloopen.  Op  26  Juni  vind  ik  larven  van  6 — 3 2 
m.m.;  dan  gaat  de  groei  langzaam  door;  op  6 Augustus  vind  ik  de 
eerste  algeheele  metamorphosen  (staart  verdwenen);  de  grootte  is  dan 
15  m.m.  Op  10  October  komt  nog  eene  staartreductie  tot  stand. 
Enkele  larven  metamorphoseeren  niet,  doch  groeien  tot  zeer  groote 
dieren  uit,  n.1.  16 — 17  m.m.,  die  slechts  achterpooten  hebben. 

Wat  nu  de  uraanlarven  betreft  zijn  de  meest  op  den  voorgrond 
tredende  kenmerken  het  achterblijven  in  groei  en  de  verlangzaming 
der  ontwikkeling.  De  volgende  tabel  licht  ons  omtrent  de  grootte  in. 

Uit  deze  tabel  blijkt  wel,  dat  de  ontwikkeling  aanmerkelijk  lang- 
zamer is  gegaan  dan  bij  de  controle-dieren,  en  dat  ook  de  afmetingen 

1)  Piscidine  is  een  preparaat  dat  uit  gedroogde  en  gepoederde  visch  bestaat. 

*)  Bij  deze  en  alle  volgende  maten  geldt  de  lengte  vanaf  de  punt  van  den  kop 
tot  het  begin  van  den  staart. 


494 


4V2  «n.gr.  uraan- 
nitraat per  L. 

1 

17  m.gr.  uraan-  i 
nitraat  per  L. 

291/2  m.gr.  uraan- 
nitraat per  L. 

26  Juni 

5.5 — 10  m.m. 

5—  9.8  m.m. 

5 —7.5  m.m. 

10  Juli 

6 —11  m.m. 

5—10  m.m. 

4.5—9  m.m. 

30  Juli 

7 —11  m.m. 

6—  9.5  m.m. 

5 —10  m.m. 

14  Augustus 

9.5  m.m. 

24  Augustus 

10.5—11 .5  m.m. 

3 September 

14  September 

12  m.m. ) voorp. 

; begin 

1 1 m.m.  t staartred. 

10.2  m.m.)  voorp. 

> begin 

8.4  m.m. ; staartred. 

8.5— 9.6  m.m.  (voorp. 

27  November 

10  m.m. 

11  m.m. 

8—11.8  m.m. 

geringer  zijn.  Al  zijn  de  verscliillen  klein,  toch  schijnt  het,  dat  de 
larven  des  te  kleiner  zijn,  naarmate  de  quantiteit  uraannitraat  grooter 
is.  Dit  blijkt  ook  uit  het  volgende,  meer  gedetailleerde  overzicht. 

o.  41/2  mgr.  uranylnitraat  per  Liter. 

26  Juni  en  10  Juli  zijn  de  maten  als  opgegeven;  de  grootste  larven  hebben 
slechts  eene  aanduiding  van  achterpootjes.  30  Juli  bezitten  de  grootste  larven 
achterpooten,  die  niet  meer  vlak  langs  den  staart  liggen,  doch  geabduceerd  zijn. 
Op  14  Augustus  braken  voor  het  eerst,  bij  eene  larve  van  9.5  m.m.  voorpooten 
door;  op  3 September  en  13  September  werden  de  eerste  staartreducties  waarge- 
nomen. Op  27  November  is  de  laatste  larve  10  m.m.  met  kleine  achterpootjes 
wegens  teekenen  van  verminderende  vitaliteit  gedood  en  gefixeerd. 

5.  17  mgr.  uranylnitraat  per  Liter. 

Van  14  April  tot  10  Juli  vordert  de  groei  zeer  weinig,  dan  is  de  maximum- 
lengte  eerst  10  mm.  en  zijn  slechts  uiterst  kleine  stompjes  van  achterpooten  aan- 
wezig; eerst  op  30  Juli  zijn  bij  ééne  larve  de  achterpooten  zoo  groot,  dat  zij  in 
abductie  staan;  op  3 September  wordt  de  eerste  staartreductie  waargenomen;  op 
27  Nov.  heeft  de  laatst  levende  larve  eene  lengte  van  11  mm. 

c.  291/2  mgr.  uranylnitraat  per  Liter. 

De  groei  gaat  nog  langzamer  dan  bij  de  voorgaanden.  Op  30  Juli  vond  ik 
larven  met  stompjes  van  achterpooten.  Voor  het  eerst  werd  het  begin  van  staart- 
reductie op  7 September  waargenomen;  daarna  regelmatig;  de  grootte  der  larven 
is  dan  9,6—11,5  mm.  27  November  werden  de  laatste  2 larven,  8.5  en  11  m.m. 
gefixeerd. 

II.  Op  verschillende  tijdstippen  der  ontwikkeling  zijn  larven  uit 
de  nraanoplossingen  in  gewoon  leidingwater  overgebracht.  Dan  bleek 
dat  vrijwel  onmiddellijk  de  ontwikkeling  sneller  verliep  dan  bij  de 
larven  die  in  de  uraanoplossing  bleven  ; met  dien  verstande  natuurlijk 
weer,  dat  de  met  piscidine  gevoederde  larven  sneller  groeiden  dan 
de  rijstlarven. 

III.  Een  aantal  larven  zijn  op  een  jong  stadium  der  ontwikkeling 


495 


(o|)  30  April)  in  een  vloeistof  gebraclit,  die  eene  hoeveellieid  uraniuni- 
üont  en  een  aequiradioaktieve  hoeveelheid  kalium  bevatte,  lii  deze 
vloeistof  groeiden  de  larven  bijna  even  snel  als  de  contróledieren ; 
op  15  Juli  vond  ik  reeds  eene  larve  met  vooi'-  en  achterpooten ; 
verschillende  andere  larven -krijgen  deze  spoedig;  de  kleinsten  zijn 
8 — 9 m.m.  Deze  larven  groeiden  dus  sneller  dan  de  uraanlarven. 

Als  algemeen  resultaat  der  genomen  proeven  kan  men  zeggen, 
dat  kikvorschlarven  in  een  medium  met  een  aan  kalium  antagonis- 
tische radio-aktieve  stof  minder  snel  groeien  en  metamorphoseeren 
dan  in  een  medium,  waarin  alleen  kalium  is.  De  oorzaak  dezer 
verlangzaming  ligt  niet  in  den  aard  van  het  aan  de  larven  gegeven 
voedsel,  want  ook  ten  opzichte  van  met  rijst  gevoedde  larveti  in 
gewoon  water  blijven  de  uraanlarven  achter  in  groei. 

De  eerste  vraag,  die  zich  voordoet  is  deze,  of  de  larven  naast  of 
in  plaats  van  kalium  ook  uranium  hebben  opgenomen. 

Deze  vraag  kan  nog  niet  bevestigend  beantwoord  worden.  Uit 
een  onderzoek,  door  Prof.  Ringer  welwillend  verricht,  is  gebleken, 
dat  geen  uranium  in  de  larven  aantoonbaar  was. 

In  ander  opzicht  heeft  dit  onderzoek  toch  een  zeer  belangrijk 
resultaat  gehad.  Terwijl  bij  larven  met  piscidine  gevoed,  het  percen- 
tage kalium  bij  twee  bepalingen  resp.  0.76  en  0.82  '/o 
gedroogde  lar\'en  bedroeg,  uraanlarven  de  minimale  kaliumhoeveel- 
heden  klaarblijkelijk  hadden  opgenomen  en  zelfs  0.91  */»  kalium 
gevonden  werd,  bedroeg  het  kaliumgehalte  van  larven,  waarbij  in 
het  water  IVVj  m.gr.  UOj  (NOJ,  en  50  m.gr.  KCl.  per  Liter  was 
gevoegd  (dus  aequiradioaktieve  hoeveelheden)  slechts  0.49  7o-  Het 
maakt  hierbij  dus  den  indruk  of  bij  de  aanwezigheid  van  ± aequi- 
radioaktieve hoeveelheden  der  antagonistische  stoffen  de  opname  van 
kalium  bemoeilijkt  is.  Merkwaardig  intusschen  dat  de  betrokken 
larven  slechts  weinig  in  groei  achterbleven  bij  de  normaal  opge- 
kweekte larven  ')• 

Het  achterblijven  in  groei  zoude  men  aan  eene  mogelijke  giftig- 
heid van  het  uraniumzout  kunnen  toeschrijven. 

In  1919  heb  ik  hieromtrent  een  enkele  proef  genomer).  Op  6 Mei 
werden  in  bakken  met  4 Liter  water  en  resp.  0,  272.  5,  77,  en  10 
m.gr.  uranium-acetaat  elk  75  larven  gebracht.  Op  19  Juni  waren 
in  deze  bakken  nog  in  leven  51,  38,  24,  20  en  20  larven,  zoodat 
het  schijnt,  alsof  in  hoogere  concentraties  de  larven  spoediger  en  in 

*)  Prof.  Ringer  maakt  er  opmerkzaam  op,  dat  het  scheikundig  onderzoek,  resp. 
het  onderzoek  op  de  radio-activiteit  der  gedroogde  larven  aan  zoo  geringe  gewichts- 
hoeveelheden  der  gedroogde  larven  is  geschied,  dat  eene  herhaling  van  dit  onder- 
zoek, met  name  naar  de  afwezigheid  van  uranium,  gewenscht  is. 


496 


grooter  getale  sterven.  Dit  resultaat  is  dan  niet  in  overeenstemming 
met  de  resultaten  van  Hirsch  *),  die  meent  dat  de  snelste  ontwik- 
keling tot  stand  komt  in  de  concentratie,  die  het  dichtst  bij  de 
giftigheidsgrens  staat.  Men  zoude  dan  in  de  hoogere  concentraties 
eene  snellere  ontwikkeling  verwachten  dan  in  de  lagere,  wat  niet 
gebleken  is.  Trouwens  strekt  H[rsch  zijne  onderzoekingen  telkens 
slechts  over  een  kort  tijdsverloop  (7  dagen)  uit,  wat  met  het  oog  op 
de  groote  variabiliteit  in  de  ontwikkeling  van  kikvorschlarven  mij 
niet  gewenscht  voorkomt.  Hoewel  dus  schijnbaar  in  de  oplossingen 
met  grooter  hoeveelheid  uraanzout  een  giftigheid  niet  onmogelijk  is, 
pleiten  de  feiten  dat  vele  larven  zelfs  in  aanmerkelijk  sterkere 
uraanoplossingen  rustig  voortleven  en  zich  ontwikkelen  en  verder 
het  ontbreken  van  uianium  in  het  lichaam  tegen  het  aannemen  van 
de  giftigheid  van  het  nraninmzout  als  oorzaak  der  verlangzaming. 

Mikroskopisch  onderzoek  van  seriesneden  van  enkele  uranium- 
larven,  vergeleken  met  normale  larven  van  dezelfde  grootte,  heeft 
nog  geen  verschillen  in  bouw  of  ontwikkelingsgraad  van  bepaalde 
organen,  die  voor  den  groei  van  belang  zijn,  aan  het  licht  gebracht. 

h E.  Hirsch.  Die  biologische  Wirkung  einiger  Salze.  Zool.  Jahrbücher  Band  34. 


Geologie.  — De  Heeren  G.  A.  F.  Molenghaaff  en  M.  Weber 

bieden  eene  mededeeling  aan : Het  verhand  tusschen  den 
plistoceenen  ijstijd  en  het  ontstaan  der  Soenda-zee  {Java-  en 
Zuid-Chineesche  Zee)  en  de  invloed  daarvan  op  de  verspreiding 
der  koraalrijfen  en  op  de  land-  en  zoetnmter-fauna. 

L GEOLOGISCH  GEDEELTE  door  G.  A.  F.  Molengkaaff. 

De  vastelandsplatten  en  de  factoren,  die  hun  vorming  heheerschen. 

Het  is  een  bekend  feit,  dat  de  continenten  over  groote  afstanden 
onageven  zijn  door  zeeën,  waarvan  de  diepte  zeer  langzaana  tot 
ongeveer  100  vaam  toeneemt.  Verder  zeewaarts  neemt  deze  sneller 
toe,  totdat  de  gemiddelde  diepte  der  oceanen  is  bereikt. 

De  bodems  dier  ondiepe  zeeën  woi’den  de  vastelands-  of  circum- 
continentale  platten,  te  zamen  wel  het  vastelandsplat  of  het  plat 
{the  Continental  shelf)  genoemd.  De  totale  vlakteuitgebreidheid  van 
dat  vastelandsplat  is  volgens  Muhray  ongeveer  25.000.000  K.M.'-* * 

In  de  meeste  handboeken  wordt  zelden  iets  medegedeeld  over 
de  wijze  van  ontstaan  der  vastelandsplalten,  en  wordt  in  hun 
bestaan  min  of  meer  als  in  een  fataliteit  berust.  Ook  overigens  in 
de  Europeesche  geologische  literatuur  behoort  het  vraagstuk  van 
het  ontstaan  der  continentale  platten  tot  de  min  of  meer  verwaar- 
loosde. Ten  onrechte,  want  de  platten  zijn  in  staat  door  hun  al  of 
niet  voorkomen  en  door  hun  wijze  van  ontwikkeling  veel  licht  te 
werpen  op  de  geologische  geschiedenis  van  een  bepaald  gebied. 

Platten  moeten  ontstaan  om  ieder  continent,  zoolang  zijn  ligging 
ten  opzichte  van  den  zeespiegel  onveranderd  blijft;  het  plat  wordt 
dan  opgebouwd  en  zeewaarts  uitgebouwd  door  de  sedimenten,  waar- 
van het  materiaal  door  het  totaal  van  alle  denudeerende  werkingen ') 
van  het  land  naar  de  zee  is  getransporteerd  ").  Bij  voortschrijdende 
denudatie  blijkt  toenemendei’  mate,  dat  het  circum-continentale  plat 
de  geleidelijke  onderzeesche  voortzetting  is  van  de  boven  den  zee- 

h Hierin  is  ook  begrepen  de  werking  der  brandingsgolven,  de  afslag  aan  de 
kusten  en  de  vorming  van  het  abrasievlak. 

*)  Zoolang  de  toestand  van  stabiliteit  van  land  en  zee  ten  opzichte  van  elkaar 
blijft  bestaan,  zal  het  plat  door  groei  zeewaarts  in  uitgebreidheid  toenemen,  land- 
waarts zal  het  echter  terrein  inboeten,  omdat  de  schiervlakte  zich  bij  toenemende 
denudatie  niet  alleen  landwaarts  uitbreidt  maar  ook  door  aanslibbing  of  verlanding 
eenig  terrein  op  het  plat  verovert. 

33 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVlll.  A".  1919/20. 


498 


spiegel  gelegen  schiervlakte. ’)  De  groei  van  liet  plat  zeewaarts  neemt 
slechts  een  eind,  als  het  bedoelde  continent  tot  nagenoeg  aan  zijn 
eindniveau  is  geërodeerd,  d.  w.  z.  een  volmaakte  schiervlakte  is 
geworden. 

Hiervan  zijn  geen  voorbeelden  bekend,  omdat  de  platvorming 
telkens  fal  geschiedt  dat  met  tnsschenpoozen  van  duizenden  jaren, 
zal  meti  liet  woord  ,, telkens”  geologisch  niettemin  mogen  gebruiken) 
wordt  gewijzigd  of  tegengegaan  of  ook  wel  eens  vvordt  versneld 
door  bewegingen  van  land  en  zee  ten  opzichte  van  elkaar. 

Om  juist  te  kunnen  beoordeelen,  hoe  die  bewegingen  de  platvor- 
ming beïnvloeden,  verdient  liet  aanbeveling  den  naam  grndntievlak 
te  geven  aan  het  vlak,  dat  men  zich  kan  ontstaan  denken  uit  de 
vereeniging  van  schiervlakte  en  plat.  Vastelandsplat  is  dan  het 
gedeelte  van  het  gradatievlak,  dat  door  de  zee  wordt  bedekt,  scliier- 
vlakte  het  gedeelte,  dat  boven  water  uitsteekt. 

Het  wordt  dau  duidelijk,  dat  de  ontwikkeling  van  het  plat  afhan- 
kelijk is 

1".  van  de  ontwikkeling  van  het  geheele  gradatievlak, 

2“.  van  de  mate  v an  onderdompeling  van  het 'gradatievlak, 

3°.  van  den  stand  v,an  het  gi-adatievlak. 

De  uitgebreidheid  van  het  plat  houdt  vooreerst  ceteris  paribus 
gelijken  tred  met  deu  groei  van  het  geheele  gradatievlak,  maar, 
onafhankelijk  daarvan,  neemt  zij  ook  toe  en  af  al  naarmate  meer 
of  minder  van  het  gradatievlak  beneden  den  zeespiegel  komt  te 
liggen.  Eindelijk  wordt  zij  beïnvloed  door  den  stand  van  het  gradatie- 
vlak ; wordt  dit  uit  den  oorspronkelijken,  zeer  zwak  zeewaarts  hel- 
lenden stand  door  bodembewegingen  in  een  anderen,  bijv.  in  een 
steileren  stand  gebracht,  dan  zal  gedurende  die  beweging  de  diepte 
van  het  water  op  hel  plat  zeewaarts  telkens  meer  toenemen  en  dit 
zal  ten  gevolge  hebben,  dat  de  sedimenten,  die  van  het  land  zee- 
waarts gevoerd  worden,  telkens  meer  ruimte  vinden  en  allicht  niet 
meer  in  staat  zullen  blijven  om  het  plat  tot  naliij  den  zeespiegel  op 
te  bouwen  en  dus  nog  veel  minder  om  het  plat  zeewaarts  uit  te 
breiden. 

De  bovengenoemde  drie  voorwaarden  voeren  tot  de  volgende 
besluiten  : 

1.  Diastrophisme,  dat  gewoonlijk  de  hellingen  van  den  vasten 
bodem  zoo  boven  als  onder  de  zee,  dus  ook  die  van  het  gradatie- 

M Terecht  worden  denudatie  van  het  land  en  ophouw  van  het  plat  door  Chamberlin 
beschouwd  als  de  twee  deelen  van  een  grooter  proces,  dat  hij  gradatie  noemt. 

T.  C.  Chamberlin.  Diastrophism  and  the  formative  processes.  lil.  Journal  of 
Geology  XXI.  p.  585,  1913. 


499 


vlak  zal  vergrooten,  werkt  daardoor  in  eerste  instantie  de  platvor- 
ming  bijna  altijd  tegen  en  zal  aanvankelijk  meestal  steile  kusten 
met  gering  ontwikkelde  of  onibi-ekende  platten  doen  ontstaan.  Veelal 
echter  leidt  diastrophisme  een  nieuwen  cjclus  van  erosie  in,  doet  dus 
het  denudafieproces  herleven  en  heeft  daardoor  op  den  duur  versterkte 
gradatie  en  daarmede  groei  der  vaslelandsplatten  ten  gevolge. 

Een  tijdperk,  dat  terstond  volgt  op  een  periode  van  diastrophisme, 
zal  voor  de  gebieden,  die  door  het  proces  zijn  getroffen,  er  een  zijn 
van  krachtige  denudatie,  sterke  sedimentatie  en  daarmede  van  over- 
eenkomstige ontwikkeling  van  het  gradatieviak  en  dns  ook  van 
groei  van  het  vastelandsplat. 

2.  Negatieve  beweging  der  strandlijn,  d.i.  rijzing  van  het  land  of 

daling  van  den  zeespiegel,  zal  eo  ipso,  dus  onmiddellijk,  het  vastelands- 
plat smaller  maken  of  geheel  doen  verdwijnen  door  uitbreiding  van 
het  bovenzeesche  deel  van  het  gradatieviak  ten  koste  van  het  onder- 
zeesche  deel,  maar  daar  tegenover  zal  zulk  een  beweging  door  ver- 
lagen van  het  eindvlak  van  denudatie  de  erosie  krachtiger 

maken  en  dus  op  den  duur  den  groei  van  het  vastelandsplat  zee- 
waarts weer  bevorderen. 

3.  Positieve  beweging  der  strandlijn,  d.i.  daling  van  hef  land  of 
rijzing  van  den  zeespiegel,  zal  eo  ipso,  dus  onmiddellijk,  de  breedte 
van  het  vastelandsplat  doen  toenemen  door  uitbreiding  van  het 
onderzeesciie  deel  van  het  gradatieviak  ten  koste  van  het  bovenzeesche, 
al  wordt  op  den  duur  de  groei  er  vaii,  doordat  het  eindvlak  van 
denudatie  in  een  hooger  niveau  wordt  gebracht,  tegengegaan.  Zelfs 
al  is  bij  intreden  van  zulk  een  positieve  beweging  het  bovenzeesche 
deel  van  het  gradatieviak  weinig  of  niet  ontwikkeld,  dan  zijn  er 
toch  nog  omstandigheden  denkbaar,  waarbij  het  plat  dan  sterk  in 
uitbreiding  zal  toenemen.  Dit  heeft  plaats,  zoo  de  rijzing  van  den 
zeespiegel  langzaam  gaat  maai-  lang  aanhoudt.  Dan  zal  de  zee,  ook 
al  biedt  het  land  hevigen  weerstand,  in  staat  zijn  over  zeer  groote 
afstanden  terrein  te  veroveren,  het  land  tot  aan  het  abrasievlak  te 
vernietigen  en  het  abrasievlak  bij  het  plat  in  te  lijven.  Geldt  het 
een  eiland  van  niet  al  te  groote  uitgestrektheid,  dan  zal  dit  geheel 
afgeknot  en  met  den  zeespiegel  gelijk  gemaakt  kunnen  worden, 
d.  w.  z.  tot  een  vlak  gemaakt  worden,  dat  nergens  hoven  de  opper- 
vlakte der  zee  zal  uitsteken  en  zeer  zwak  zal  hellen  in  de  ricliting 
van  de  zijde,  van  waar  de  zee  gewoonlijk  placht  aan  te  grijpen,  dus 
bijv.  in  de  richting  van  waar  heerschende  winden  waaien.  Zulk  èen 
eiland  wordt  dus  een  onderzeesche,  nagenoeg  geheel  vlakke  bank. 

Het  is  duidelijk  dat  de  bovengenoemde  uitbreiding  van  het  vaste- 
landsplal  bij  positieve  strandverschni\'ing  sneller,  gemakkelijker 

33* 


500 


en  volkomenei'  zal  plaats  hebben,  zoo  aan  die  positieve  beweging 
een  periode  van  stabiliteit  van  het  land  en  dus  van  schiervlakte- 
vorining  is  \ oorafgegaah.  Immers  behoeft  dan  de  zee  niet  raet  groote 
inspanning  het  land  te  vernielen  en  op  te  ruimen  om  een  abrasievlak 
te  vormen  en  bij  het  plat  in  te  lijven,  iriaar  zij  vindt  dan  reeds 
een  schiervlakte,  dus  een  laag  land  van  groote  vlakteuitgebreidheid 
aanwezig  dat  zij  zonder  strijd  kan  veroveren  en  tot  een  plat  maken. 

En  in  nog  hoogere  mate  zal  dit  het  geval  zijn,  wanneer  aan  die 
periode  van  stabiliteit  weder  een  van  diastrophisme  is  voorafgegaan, 
omdat  zij  dan  zal  gekenmerkt  zijn  door  krachtige  ontwikkeling  der 
processen  van  peneplenisatie  en  sedimentatie.  De  transgressie  der  zee 
treedt  dan  in  op  een  oogenblik,  dat  zoowel  het  plat  als  de  daaraan 
aansluitende  schiervlakte  reeds  sterk  zijn  ontwikkeld')  en  met  haar 
intreden  onder  deze  omstandigheden  zijn  optimale  condities  voor  de 
uitbreiding  van  het  vastelandsplat  verwezenlijkt. 

Waar  nu  op  aarde  in  uiteengelegen  gebieden  thans  opvallend 
groote  platten  voorkomen,  ligt  het  voor  de  hand  zich  af  te  vragen 
of  wellicht  in  den  jongsten  geoiogischen  tijd  dergelijke  optimale 
voorwaarden  \oor  de  uitbreiding  der  \ astelandsplatten  hebben 
bestaan. 

Die  vraag  zal  hier  bevestigend  beantwoord  worden. 

Vooreerst  zijn  de  \'Oor waarden  voor  pfatvorming  thans  gunstig, 
omdat  het  plistoceen  en  ook  nog  wei  het  holoceen  (het  heden)  tijd- 
perken zijn,  in  welke  de  processen  van  demidatie  en  sedimentatie, 
dus  ook  die  van  gradatie  en  platgroei,  over  groote  oppervlakten  der 
aarde  zeer  krachtig  verloopen ten  gevolge  van  het  diastrophisme, 
de  orogenetische  bewegingen,  in  tertiairen  tijd,  die  zich  nog  tot  in 
het  heden  doen  gevoelen,  maar  daarbij  komt  ra.i.  nog  een  tweede 
voorwaarde,  die  voor  de  buitengewoon  groote  uitbreiding  van  de 
hedendaagsche  platten  beslissend  is  geweest.  Deze  is,  dat  na  den 
afloop  van  den  plistoceenen  ijstijd  voor  een  groot  deel  der  aard- 

1)  Isostatische  opwaartsche  bewegingen  der  continenten  zullen  insgelijks  in  het 
algemeen  het  zeewaarts  uitgroeien  der  platten  tegenwerken.  De  plastische  uitzakking 
der  continenten  zeewaarts  {Continental  creep,  zie  T.  G.  Ghamberlin  l.c.  p.  585,  191 3) 
bevordert  daartegen  de  ontwikkeling  der  platten.  Deze  beide  factoren  zullen  hier 
verwaarloosd  worden,  omdat  hun  invloed  in  het  gebied,  dat  nader  zal  worden 
beschouwd,  n.l.  den  Oost-Indischen  Archipel,  tegenover  andere  invloeden  slechts 
verdwijnend  klein  kan  zijn. 

2)  Barrell  beschouwt  in  zijn  belangrijke  studie  over  de  „rhythms  in  deoudation” 
den  tegenwoordigen  tijd  ais  eenen  in  de  geschiedenis  der  aarde,  waarin  het  conti- 
nentale denudatieproces  bijzonder  krachtig  verloopt.  J.  Bakeell.  Rhythms  and  the 
measurements  of  geoiogical  time.  Buil.  of  the  Geol.  Soc.  of  America,  XXVÜI, 
p.  775,  1917. 


501 


oppervlakte  een  transgressie  der  zee  zich  heeft  doen  gevoelen.  Zij 
trad  in  op  een  oogenbük,  dat,  zooals  uit  het  bovenstaande  blijkt,  de 
platten  en  de  daaraan  aansluitende  schiervlakten  reeds  sterk  waren 
ontwikkeld  ten  gevolge  van  de  orogenetisclie  bewegingen  in  jong- 
tertiairen  tijd.  Het  doel  van  dit  opstel  is  voor  een  der  gi-ootste  platten 
der  aarde  aan  te  toonen,  dat  het  zijn  ontstaan  dankt  aan  die  opti- 
male condities  voor  platvorraing,  welke  intraden  na  afloop  en  ten 
gevolge  van  den  plistoceenen  ijstijd. 

Invloed  van  den  plistoceenen  ijstijd  op  den  stayid  van  den  zeespiegel. 

Wat  is  de  invloed  geweest  van  den  ijstijd  op  den  stand  van  het 
water  in  de  oceanen  en  dus  op  den  stand  van  den  zeespiegel? 

In  plistoceenen  tijd  — den  zoogenaamden  ijstijd  — moeten  de 
ijskappen  van  groote  dikte  en  uitgebreidheid,  die  toen  een  aanzienlijk 
deel  van  het  land  op  hooge  breedten  iti  en  om  de  poolstreken 
bedekten,  en  in  mindere  mate  ook  de  groote  fiertivelden  en  gletschers 
in  de  bergstreken  buiten  die  poolgebieden,  groote  hoeveelhec^en  water 
uit  de  oceanen  in  zich  hebben  vastgelegd.  Het  water  in  de  oceanen 
moet  tengevolge  daarvan  ten  opzichte  van  het  land  bij  den  aan  vang 
van  den  plistoceenen  tijd  gedaald  zijn. 

Na  afloop  van  den  ijstijd,  dus  aan  het  eind  van  het  plistoceene 
tijdvak,  nam  de  ijsbedekking  in  hooge  breedten  af  tot  den  tegen- 
woordigen  toestand. 

Zulks  moet  tengevolge  gehad  hebben,  dat  het  verloren  water  door 
het  smelten  van  de  ijsbedekkingen  weder  aan  de  oceanen  werd 
teruggegeven  en  deze  dus  het  peil,  dat  zij  voor  den  aanvang  van 
het  plistoceene  tijdvak  bezaten,  thans  weer  ongeveer  zullen  hebben 
bereikt.  Dit  wel  zeggen,  dat  van  het  eind  van  den  plistoceenen 
ijstijd  tot  op  lieden  de  zee  in  tropische  streken  langs  alle  kusten 
ten  opzichte  van  het  land  moet  zijn  gerezen.  De  zee  moet  dus 
overal  in  tropische  streken  terrein  veroverd  hebben  op  het  land  en, 
waar  dit  land  zich  weinig  boven  den  zeespiegel  verhief,  moet  de 
horizontale  terreinwinst  der  zee  sedert  het  plistoceen  aanzienlijk  zijn 
geweest.  Penck  ')  heeft  den  invloed  van  den  plistoceenen  ijstijd  (ge- 
durende andere  ijstijden  zal  hetzelfde  hebben  plaats  gehad)  op  den 
zeespiegel  reeds  in  'J882  iielder  uiteengezet.  Omtrent  liet  bedrag  dier 
schommeling  van  den  zeespiegel  kan  men  van  gevoelen  verschillen. 

0 A.  Penck.  Scliwankungen  des  Meeresspiegels.  Jahrb.  der  geogr.  Ges.  zu 
München  Vil  1882  p.  47. 

In  lioofdpunten  schijnt  mij  Penck’s  voorstelling  onwederlegbaar  en  zij  mag  eerder 
een  theorie  dan  een  hypothese  genoemd  worden. 


502 


Met  iiiachtneiiiing  van  eeiiige  der  bijkomstige  voor  waarden,  die  het 
\ raagstnk  ingewikkelder  maken,  zijn  daaromtrent  o.a.  berekeningen 
nitgevoerd  door  Croi.l  M in  1875,  door  Penck  in  1882,  en  door  Daly  in 
1910  en  1915.  Penok  kwam  toen  tot  de  slotsom,  dat  in  plistoceenen 
tijd  in  tropische  streken  de  zeespiegel  meer  dan  100  Meter  *)  lager 
moet  hebben  gelegen  dan  thans.  Later,  in  1894 ')  kwam  hij,  van 
dezelfde  [)raemisse  uitgaande  en  een  gendddelde  ijsdikte  van  1000  M. 
in  de  veigletscherde  gebieden  aannemend,  lot  het  cijfer  van  1 50  Meter 
welk  cijfei'  in  1887  ook  door  von  Drygat.ski  werd  genoemd.  Daly 
komt  bij  zijn  berekeningen,  insgelijks  aannemend  dat  de  maximale 
ontwikkeling  der  ijskappen  in  plistoceenen  tijd  overal  op  aarde  te 
gelijker  lijd  bereikt  werd  en  hnn  gemiddelde  dikte  1100  M.  bedroeg, 
lot  een  (‘ijfei',  dat  in  ieder  geval  tnsschen  23  en  129  M.  moet  liggen 
en  waarschijidijk  tnsschen  50  en  60  Meter  ligt. 

Waar  zoo  juist  over  bijkomstige  vooi’waarden  werd  gesproken, 
die  het  vraagstuk  ingewikkelder  maken,  werd  gedacht  aan  andere 
verschijnselen,  die  de  verhoudingen  lusschen  land  en  zee  kunnen 
wijzigen,  dus  bewegingen  veroorzaken,  die  deels  evenwijdig  met  deels 
tegengesteld  aan  de  bovengenoemde  verloo|)en. 

Voor  zoover  deze  iets  met  den  ijstijd  Ie  maken  hebben,  zijn  dat 
de  volgende : 

1".  schommelingen  van  den  zeespiegel,  veroorzaakt  door  het  feit, 
dat  bij  het  groeien  van  het  landijs,  dat  op  den  vasten  bodem  rust, 
de  aantrekkende  werking  van  dat  ijs  op  het  water  iti  de  oceanen 
toeneemt  en  bij  afsmellen  van  hel  ijs  weder  afneemt.  De  oppervlakte 
van  den  zeespiegel  ovei-  de  geheele  aarde  woi’dt  hierdoor  gewijzigd, 
maai'  alleen  in  de  onmiddellijke  nabijheid  van  de  ijskappen  is  de 
vervorming  \ au  beteekenis  en  lut  zich  daar  door  een  rijzing  van 
den  zeespiegel.  De  daarmede  samen  hangende  daling  van  den  zee- 

')  J.  Croll.  Olimate  and  time,  Londen  1875. 

’)  Penck  kwam  I.  c.  p.  67  tot  dit  cijfer  .slechts  bij  de  veronderstelling,  dat  in 
plistoceenen  tijd  de  groote  uitbreiding  der  verijsde  gebieden  niet  tot  één  halfrond 
is  beperkt  geweest,  maar  zich  tegelijker  tijd  over  de  geheele  aarde  heeft  doen 
gevoelen,  een  voorstelling,  waarbij  wij  ons  hier  aansluiten. 

Indien  men  aanneemt,  dat  in  plistoceenen  tijd  de  sterke  ijsbedekking  tot  het 
noordelijk  halfrond  is  beperkt  gebleven,  dan  zou  volgens  Penck  l.c.  pag.  29  de 
algemeene  stand  van  den  zeespiegel  minstens  50  en  hoogstens  66.5  M.  hooger  zijn 
geweest  dan  thans,  al  naar  mate  men  aanneemt,  dat  het  ijs  op  het  zuidpoolcontinent 
al  dan  niet  tol  verdwijnens  toe  zou  verminderd  zijn. 

*)  A.  Penck.  Morphologie  der  Erdoberflache  II.  p.  660,  1894. 

R.  A Daly.  Pleistocene  glaciations  and  the  coral  reef  problem.  Amer.  Journal 
of  Science  XXX,  p.  300,  1910  en  The  glacial-control  theory  of  coral  reefs.  Proc. 
of  the  Amer.  Acad.  of  Arts  and  Sciences  LI,  p.  173,  1915. 


508 


spiegel  overal  elders  op  aarde,  die  liet  sterkst  zich  zal  doen  gevoelen 
in  de  streken  die  het  verst  van  de  vergletscherdo  gebieden  verwij- 
derd liggen,  is  niet  aanzienlijk;  men  mag  aannemen,  dat  zij  gedu- 
rende den  lijd  van  maximale  giaciatie  in  [ilisloceenen  tijd  in  de 
tropische  zeeën,  bijv.  in  den  Oost-lndisehen  archipel  hoogstens  10 
Meter  ')  heeft  bedragen. 

2".  Schommelingen  van  den  zeespiegel,  veroorzaakt  door  het 
\erdringen  van  water  in  de  oceanen  dooi'  ijs.  In  de  poolstreken 
wordt  door  het  landijs,  dat  van  de  landen  zich  zeewaarts  beweegt, 
langs  de  kusten  het  water  der  zee  over  eenigen  afstand  terugge- 
drongen en  dit  lerugdi'ingen  had  gedurende  den  ijstijd  op  grooter 
schaal  jdaats  dan  thans.  Von  Dkygalski  meent,  dat  gedui-ende  den 
ijstijd  hierdoor  de  zeespiegel  in  het  algemeen  0 M.  hooger  moet 
hebben  gelegen  dan  thans 

3".  Schommelingen  van  den  zeespiegel,  die  veroorzaakt  worden 
door  de  elastische  benedenwaartsche  beweging  van  de  aardkorst  onder 
het  gewicht  van  het  groeiende  landijs,  ge\  olgd,  bij  weder  afsmelting 
van  het  ijs,  met  eenige  vertraging,  door  een  beweging  in  tegenge- 
stelden zin  van  overeenkomstige  grootte.  Deze  belangrijke  bewegingen 
zijn  beperkt  tot  de  landstreken,  die  door  het  landijs  bedekt  werden, 
zooals  vooral  door  herhaalde  zorgvuldige  onderzoekingen  in  Noord- 
Amerika  is  vastgesteld*):  zij  kunnen  geen  invloed  van  beteekenis 
hebben  op  de  hoogte  van  den  zeespiegel,  behalve  in  de  verijsde 

gebiedej)  en  hun  onmiddellijke  nabijheid.  In  tropische  streken  zullen 

’)  Dit  bedrag  is  hier  ontleend  aan  Daly's  giacial-conlrol  theory  of  coral  reet's, 
pag.  174.  Daly  heeft  het  cijfer  afgeleid  uit  berekeningen,  gegeven  in  R.  S.  Woodwaru. 
On  the  form  and  position  of  the  sea  level.  Bulletin  No.  48  of  the  U."S.  Geol. 

Survey  1888.  Daarin  waren  echter  (zie  noot  op  pag.  78)  de  resultaten  nog  niet 

verwerkt,  waartoe  E.  von  Drygalski  kwam  in:  Die  Geoidformation  der  Eiszeit. 
Zeitscbr.  der  Ges.  für  Erdkunde  XXII  p.  169,  1887.  In  dat  opstel  heeft  von 

Drygalski  den  deformeerenden  invloed  op  den  zeespiegel  der  ijskappen,  die  op 
continentale  landmassa’s  in  den  ijstijd  opgehoopt  waren,  welke  invloed  door  Penck 
l.c.  was  overschat,  tot  een  juistere  en  bescheidener  maat  terug  gebracht.  Opmerking 
verdient,  dat  al  deze  berekeningen  zijn  geschied  bij  meer  of  minder  volledige  aan- 
sluiting aan  de  meeningen  van  Groll,  die  veronderstelde,  dat  gedurende  een  ijstijd 
altijd  slechts  één  der  halfronden  zeer  sterk  is  vergletscherd,  het  andere  daarentegen 
weinig  of  niet,  zie  J.  Croll,  Glimate  and  Time,  vooral  hoofdstuk  XXIIl,  London 
1875.  Nieuwe  berekeningen  omtrent  den  invloed  van  de  aantrekking  van  het  landijs 
op  den  algemeenen  vorm  van  den  zeespiegel,  uitgaande  van  de  thans  vrij  algemeen 
aangenomen  onderstelling,  dat  gedurende  den  ijstijd  overal  op  aarde  tegelijkertijd 
de  gletschers  en  ijsbedekkingen  grooter  waren  dan  thans,  zijn  gewenscht. 

2)  E.  VON  Drygalski  l.c.  p.  199. 

*)  Zie:  H.  E.  Eairchild,  Post-glacial  uplifl  of  northern  America.  Buil.  of  the 
Geol.  Soc.  of  America  XXIX,  p.  187,  1918. 


504 


deze  bewegingen  zich  slechts  door  een  geringe  rijzing  van  den  zee- 
spiegel gedui'ende  de  periodes  van  groei  en  daling  gedurende  de 
afsmeltingsperiodes  hebben  gekenmerkt. 

In  tropische  streken  worden  dns,  zooals  uit  het  bovenstaande 
blijkt,  al  die  bijkomstige  invloeden  slechts  in  zoo  geringe  mate 
gevoeld,  dat  het  liootd verschijnsel  er  niet  belangrijk  door  kan  zijn 
gewijzigd. 

Zorgvuldige  waardeering  van  alle  mij  bekende  bereketiingen  geeft 
m.i.  het  recht  aan  te  nemen,  dat  het  vereenigde  resultaat  van  al  de 
bovengenoemde  invloeden,  die,  zooals  reeds  werd  opgemerkt,  ten 
deele  in  dezelfde  richting  werken  ten  deele  elkaar  tegenwerken,  is 
geweest,  dat  de  zeespiegel  gedurende  de  tijdperkeji  van  maximale 
uitbreiding  der  ijsbedekkingen  in  plistoceenen  tijd  in  tropische  streken 
(dat  zijn  dus  die  streken,  die  gemiddeld  het  verst  van  de  groote 
centra  van  ijsophooping  verwijderd  waren)  minstens  40  vaam  (72 
Meter)  lager  moet  hebben  gelegen  dan  thans.  Daly  ‘)  heeft  dit  cijfer 
geschat  op  33 — 38  vaam  of  60  tot  70  Meter. 

De  verhoudingen  tusschen  land  en  zee  worden  echter  ook  nog 
beïnvloed  door  bewegingen  van  de  aardkorst,  die  geheel  onafhankelijk 
van  de  ijstijden  optreden.  Ik  bedoel  in  de  eerste  plaats  zelfstandige 
orogenetische  bewegingen  (plooiing  en  blokvoi’ming)  van  het  land, 
die  schijnbare  bewegingen  van  den  zeespiegel  ten  gevolge  hebben, 
zich  uitend  door  verschuivingen  van  de  strandlijn,  niet  zelden  van 
aanzienlijk  bedrag.  Zij  worden  over  de  geheele  aarde  verspreid  aan- 
getrotfen,  maar  treden  lokaal  op,  uitsluitend  in  gebieden,  die  tektonisch 
actief  zijn. 

Eindelijk  worden  de  verhoudingen  tusschen  land  en  zee  overal 
nog  voortdurend  gewijzigd  door  verschuivingen  van  de  strandlijn 
ten  gevolge  van  groei  der  alluviale  gronden  ten  koste  van  de  zee 
door  materiaal,  afgevoerd  bij  denudalie  (door  water  en  wind)  van 
het  land  en  ten  gevolge  van  ditferentieele,  isostatische  opwaartsche 
bewegingen  van  het  land,  die  de  gevolgen  der  den udatie  aanmerkelijk 
compenseeren,  welke  twee  laatstgenoemde  verschijnselen  ik  hier 
voorloopig  buiten  beschouwing  wil  laten. 

Aan  de  juistheid  van  de  hier  boven  geschetste  theorie  kan  m.i. 
in  dezen  algerneenen  vorm  moeielijk  getwijfeld  worden,  zoo  men 
althans  aanneemt,  dat  in  den  ijstijd  inderdaad  ijsmassa’s  van  groote 
dikte,  bijv.  gemiddeld  1000 — 1200  M.,  over  een  groote  uitgestrekt- 
heid op  de  poolwaarts  gelegen  landen  der  aarde  opgehoopt  zijn 
geweest.  Tot  nu  toe  is  echter  de  juistheid  dezer  theorie  nog  niet 


1)  R A.  Daly  l.c.  p.  174,  1915. 


504 


deze  bewegingen  zich  slechts  door  een  geringe  rijzing  van  den  zee- 
spiegel gedurende  de  periodes  van  groei  en  daling  gedurende  de 
afsmeltingsperiodes  hebben  gekenmerkt. 

In  tropische  streken  worden  dus,  zooals  uit  het  bovenstaande 
blijkt,  al  die  bijkomstige  invloeden  slechts  in  zoo  geringe  mate 
gevoeld,  dat  het  hoofd  verschijnsel  er  niet  belangrijk  door  kan  zijn 
gewijzigd. 

Zorgvuldige  waardeering  van  alle  mij  bekende  berekeningen  geeft 
m.i.  het  recht  aan  te  nemen,  dat  het  vereenigde  resultaat  van  al  de 
bovengenoemde  invloeden,  die,  zooals  reeds  werd  opgemerkt,  ten 
deele  in  dezelfde  richting  werken  ten  deele  elkaar  tegenwerken,  is 
geweest,  dat  de  zeespiegel  gedurende  de  tijdperken  van  maximale 
uitbreiding  der  ijsbedekkingen  in  plistoceenen  tijd  in  tropische  streken 
(dat  zijn  dus  die  streken,  die  gemiddeld  het  verst  van  de  groote 
centra  van  ijsophooping  verwijderd  waren)  minstens  40  vaam  (72 
Meter)  lager  moet  hebben  gelegen  dan  thans.  Daly  ‘)  heeft  dit  cijfer 
geschat  op  33 — 38  vaam  of  60  tot  70  Meter. 

De  verhoudingen  tusschen  land  en  zee  worden  echter  ook  nog 
beïnvloed  door  bewegingen  van  de  aardkorst,  die  geheel  onafhankelijk 
van  de  ijstijden  optreden.  Ik  bedoel  in  de  eerste  plaats  zelfstandige 
orogenetische  bewegingen  (plooiing  en  blokvoi’ming)  van  het  land, 
die  schijnbare  bewegingen  van  den  zeespiegel  ten  gevolge  hebben, 
zich  uitend  door  verschuivingen  van  de  strandlijn,  niet  zelden  van 
aanzienlijk  bedi’ag.  Zij  worden  over  de  geheele  aarde  verspreid  aan- 
getroffen, maar  treden  lokaal  op,  uitsluitend  in  gebieden,  die  tektonisch 
actief  zijn. 

Eindelijk  worden  de  verhoudingen  tusschen  land  en  zee  overal 
nog  voortdurend  gewijzigd  door  verschuivingen  van  de  strandlijn 
ten  gevolge  van  groei  der  alluviale  gronden  ten  koste  van  de  zee 
door  materiaal,  afgevoerd  bij  denudatie  (door  water  en  wind)  van 
het  land  en  ten  gevolge  van  differentieele,  isostatische  opwaartsche 
bewegingen  van  het  land,  die  de  gevolgen  der  denudatie  aanmerkelijk 
compenseeren,  welke  twee  laatstgenoemde  verschijnselen  ik  hier 
voorloopig  buiten  beschouwing  wil  laten. 

Aan  de  juistheid  van  de  hier  boven  geschetste  theorie  kan  m.i. 
in  dezen  algemeenen  vorm  rnoeielijk  getwijfeld  worden,  zoo  men 
althans  aanneemt,  dat  in  den  ijstijd  inderdaad  ijsmassa’s  van  groote 
dikte,  bijv.  gemiddeld  1000 — 1200  M.,  over  een  groote  uitgestrekt- 
heid op  de  poolwaarts  gelegen  landen  der  aarde  opgehoopt  zijn 
geweest.  Tot  nu  toe  is  echter  de  juistheid  dezer  theorie  nog  niet 


b R A.  Daly  l.c.  p.  174-,  1915. 


G.  A.  F.  MOLENGRAAFF  en  M.  WEBER:  „Het  verband  tusachen  den  plisttceeneo  ijstijd  en  het  ontstaan  der  Soenda-zee  (Java-  en  Zuid-Chineesche  Zee 

en  de  invloed  daarvan  op  de  veripreiding  der  koraalriffen  en  op  de  land-  en  zoetwater-fauna". 


i 


1 


505 


over  groote  sti’ekeii  der  aardoppervlakte  getoetst  aan  de  verlioudingen, 
die  men  thans  aan  de  kusten  vindt. 

In  tropische  streken  zullen  deze  toetsingen  eenvoudiger  zijn  en 
eerder  tot  een  juist  resultaat  moeten  leiden  dan  buiten  de  tropen. 
Immers  wordt  het  verschijnsel  van  een  stijgen  en  dalen  van  den 
zeespiegel,  al  naar  mate  de  polaire  ijskappen  geringere  of  grootere 
uitbreiding  hadden,  buiten  de  tropen  en  wel  voornamelijk  in  de 
gebieden,  die  onmiddeliijk  grenzen  aan  de  gedurende  den  ijstijd  ver- 
gletscherde  gebieden,  onduidelijk  gemaakt  door  den  invloed  der 
hierboven  opgesomde  bijkomstige  invloeden,  die  zich  hier  sterk,  in 
tropische  streken  daarentegen  slechts  zwak  doen  gevoelen  Voorts 
zal  zulk  een  toetsing  slechts  resultaat  kunnen  hebben  in  streken, 
die  sinds  plioceenen  tijd  niet  door  tektonische  bewegingen  zijn 
getroffen. 

Er  bestaat  dus  een  redelijke  kans,  de  verschuivingen  van  de 
strandlijn,  die  in  en  na  het  plistoceen  door  den  invloed  der  wisse- 
lende ijsbedekkingen  zijn  ontstaan,  ook  werkelijk  terug  te  kutinen 
vinden  en  te  kunnen  bepalen  in  tropische  streken  en  daar  uitslui- 
tend in  de  gebieden,  die  sinds  den  aanvang  van  het  plistoceen  stabiel 
zijn  gebleven. 

In  hetgeen  volgt  zal  worden  beproefd,  in  een  gedeelte  van  den 
Oost-Indischen  archipel  de  verhoudingen  tusschen  land  en  zee,  het 

b Dit  wil  nog  niet  zeggen,  dat  men  het  verschijnsel  van  de  schommelingen  van 
den  zeespiegel  ten  gevolge  van  den  plistoceenen  iistijd  niet  zou  kunnen  terugvinden 
in  gematigde  luchtstreken.  Het  zal  ook  daar  te  vinden  zijn,  maar  moeilijker,  omdat 
men  het  eerst  moet  losmaken  van  de  bovengenoemde  bijkomstige  invloeden,  waarvan 
men  de  grootte  in  verhouding  tot  die  van  het  gezegde  hoofdverschijnsel  nog  niet 
voldoende  kent.  Omgekeerd  is  er  een  factor,  die  een  soortgelijk  onderzoek 
in  de  nabijheid  van  de  verijsde  gebieden  toch  weer  vruchtbaarder  zou  kunnen 
maken  n.1.  de  omstandigheid,  dat  zich  daar  de  opeenvolgende  glaciale  en  interglaciale 
tijdperken  door  variaties  in  de  marine  fauna  zullen  verraden.  Zoo  zal  b.v.  de  eerste 
nadering  van  het  ijs,  bij  den  aanvang  van  den  ijstijd  zich  in  hel  noordelijk  halfrond 
hebben  verraden  door  eenigszins  ,arktisch”  worden  der  fauna.  Het  is  bekend  dat 
zulks  reeds  in  het  laatste  gedeelte  van  het  „plioceene”  tijdperk  in  Engeland  en 
Nederland  merkbaar  is,  en  dat  op  dien  grond  er  iels  voor  te  zeggen  zou  zijn,  dat 
de  ijstijd  reeds  is  begonnen  in  wat  gewoonlijk  „Boven-plioceen”  wordt  genoemd. 

De  wisseling  van  interglaciale  en  glaciale  tijden  zal  daarentegen  in  tropische 
streken  vermoedelijk  geen  merkbaren  invloed  op  de  fauna  gehad  hebben,  zoodat, 
wat  dat  betreft,  het  onderzoek  in  tropische  streken  een  hulpmiddel  zal  moeten 
ontberen,  dat  buiten  de  tropen  beschikbaar  is.  Alles  te  samen  genomen,  zullen  de 
strandverschuivingen  tengevolge  van  het  groeien  en  weer  verdwijnen  der  polaire 
ijskappen  in  tropische  streken  echter  zooveel  regelmatiger  blijken  te  zijn  en  zooveel 
minder  gewijzigd  door  andere  invloeden  dan  daarbuiten,  dat  onderzoek  in  tropische 
streken,  althans  voor  de  hoofdlijnen  van  het  verschijnsel,  verre  de  voorkeur  verdient 
boven  dat  in  gematigde  streken. 


onderzeese!)  relief  en  de  verspreiding  der  koraalriffen  in  verband  met 
den  plistoceenen  ijstijd  te  beschouwen. 


Het  stabiele  en  het  labiele  gedeelte  van  den  Oost- Indischen  archipel. 

li)  den  Oost-Indischen  archipel  kan  men  twee  tegengestelde  gebie- 
den onderscheiden,  een  met  opvallend  rustig  en  gelijkmatig  onder- 
zeese!) i’elief  en  een  tweede  met  opvallend  onrustig  onderzeese!)  relief. 
Deze  beide  gebieden  zijn  in  de  nevensgaande  scliets  (Fig.  1)  onder- 
scheiden. Tot  de  zeeën  niet  rustig  boderarelief  behooren  de  Soenda- 
zee  en  de  Sal)Oe!-bank,  tot  die  met  onrustig  boderarelief  alle  overige 
zeeën  van  den  Oost-lndischen  archipel. 

Merkwaardig  is,  dat  deze  tegenstelling  )-eeds  in  het  jaar  1845  aan 
W.  Eahi.e  *)  is  opgevallen.  Hij  noemde  het  Soenda-plat  de  Great 
Asiatic  bank  e))  de  Sahoel-bank  de  Great  Australian  bank.  Hij  merkte 
de  zeei'  gelijkmatige  gemiddelde  diepte  van  de  zee  boven  die  banken, 
door  hem  op  30  vaam  gesteld,  op  en  vestigde  de  aandacht  op  het 
feit,  dat  het  karakter  van  het  land  en  van  de  kusten,  die  die  banken 
o)ngeven,  ot)deiling  overal  groole  ovei-eenkomst  vertoont  en  sterk 
afwijkt  van  dat  der  overige  landstreken  in  den  Oost-lndischen  archipel. 

Verbeek  heeft  het  eerst  in  zijn  Moiukken  verslag*)  deze  beide 
gebieden  geologisch  tegenovei-  elkaai-  gesteld  en,  uitgaande  van  eenigs- 

b W.  Earle.  . On  the  Physical  Structure  and  Arrangement  of  the  islaiids  of 
the  Indian  Archipelago.  Journ.  Royal  Geogr.  Soc.  XV.  p.  358,  1845. 

Earle  zegt  1.  c.  op  pag.  359: 

These  banks  which  extend  from  the  continenis  of  Asia  and  Austraüa  form  very 
remai’kable  features  in  the  geography  of  this  part  of  the  world,  and,  as  such,  are 
deserving  of  more  attenllon  than  has  hitherto  been  bestowed  upon  them,  since 
it  wilt  be  found  that  a!l  the  counhies  lying  upon  these  banks  partake  of  the 
character  of  the  continents  to  which  they  are  attached ; whüe  those  which  are 
situated  on  the  deep  sea  which  separates  them  are  ail  of  comparatively  recent 
volcanic  formation,  witli  the  exceptioo  of  a few  small  coral  islands,  which,  in  all 
probability,  are  constructed  upon  the  summits  of  submerged  volcanoes.  The  depth 
of  water  on  these  banks  averages  about  30  fathoms,  deepening  rapidly  as  the 
edge  is  approached,  and  shoaling  gradually  towards  the  land.  It  will  be  seen  that 
the  one  1 have  termed  the  Great  Asiatic  Bank  extends  into  the  Archipelago  from 
the  soüth-eastern  extreme  of  Asia  to  a distance  of  nearly  1000  miles,  in  fact  to 
within  50  miles  of  Gelebes,  and  i strongly  suspect  that  it  will  be  found  to  extend 
to  the  south-western  extreinity  of  that  island  also ; but  as  there  is  a space  of 
nearly  30  miles  across  which  no  soundings  have  been  carried,  I have  preferred 
reducing  the  bank  to  the  limits  for  which  we  have  actual  data. 

R.  D.  M.  Verbeek.  Moiukken  verslag.  Geol.  verkenningstochten  in  het 
oostelijke  gedeelte  van  den  Ned  O.-I.  Archipel.  Jaarb.  v.h.  Mijnwezen  XXXVll, 
p.  797  en  volg.  1908. 


507 


zins  andere  geologische  opx  atlingen,  is  lielzelfde  door  sclirijver  dezes '), 
in  het  jaar  1912  gedaan. 

De  jongste  geologische  geschiedenis  van  den  Oost-Indischen  Archipel 
leert  dan,  dat  de  twee  eerstgenoemde  ondiepe  zeeën  of  platten  deel 
uitmaken  van  grootere  gebieden,  die  in  den  laatsten  tijd,  althans  na 
het  plioceen,  stabiel  zijn  gebleveit  en  zich  dus  geologisch  gesproken 
,, continentaal”  hebben  gedragen,  terwijl  alle  andere  deel  nitmaken 
van  bewegelijke  strooken  of  geosynclinalen,  die  iii  dienzelfden  tijd 
zeer  actief  zijn  geweest. 

In  den  Oost-Indischen  archipel  komen  dns  naast  elkaar  deelen 
van  de  aardkorst  voor,  die  zicli  tektonisch  in  den  jongsten  tijd  zeer 
verschillend  hebben  gedragen  ; in  de  stabiele  of  passieve  gedeelten 
zullen  de  gevolgen  van  de  schommelingen  van  den  zeespiegel  in 
verband  met  den  ijstijd  ongewijzigd  waarneembaar  zijn,  in  de  labiele 
of  actieve  gedeelten  zullen  die  .schommelingen  even  goed  hebben 
plaats  gehad,  maar  de  sporen  er  van  zullen  alleen  waarneembaar 
zijn,  waar  zij  niet  uitgewischt  of  al  te  zeer  gewijzigd  zijn  dooi- 
de gevolgen  van  diastrophisme,  of  anders  gezegd  van  de  orogenetische 
bewegingen  van  het  land.  Dit  is  een  zeer  gunstige  omstandigheid, 
daar  zij  gelegenheid  geeft  de  theorie,  waar  het  om  gaat,  op  allerlei 
wijze  aan  een  toets  te  onderwerpen. 

De  wijze  van  ontslaan  der  Soenda-zee. 

In  het  jaar  19J6  bracht  schrijver  dezes  hel  ontstaan  van  de  boven- 
genoemde merkwaardige  ondiepe  zeeën  van  rustig  relief  en  gelijk- 
blijvende diepte,  de  Soenda-zee  of  het  Soenda-plat  en  de  Sahoel-bank, 
in  verband  met  den  plisloceenen  ijstijd")  en  dal  denkbeeld  zal  in 
hetgeen  volgt  thans  nader  worden  ontwikkeld. 

Ondersteld  wordt,  dat  de  Soenda-zee  evenals  ook  de  Sahoel-bank, 
gedurende  den  tijd  van  rijzing  van  den  zeespiegel  tengevolge  van 
het  afsraelten  der  groole  ijsbedekkingen  uit  den  ijstijd,  door  onderloopen 
van  een  laag  land  zijn  ontstaan. 

De  uaam  Soenda-zee  wordt  hier  gegeven  aan  de  ondie[)e  zee 
tusschen  Malakka,  Snmatra  en  Java  aan  de  ééne  zijde  en  Borneo 

')  G.  A.  F.  Molengraaff.  De  jongste  bodem  bewegingen  op  het  eiland  Tirnor 
en  hunne  beteekenis  voor  de  geologische  geschiedenis  van  den  O.-l  Archipel. 
Verslag.  Afd.  Nat.  d.  Kon.  Akad.  van  Wet.  Amsterdam,  XXI.  p.  IBO  en  volg.  1913. 

*)  G.  A.  F.  Molengraaff.  Het  probleem  der  koraaleilanden  en  de  isostasie. 
Versl.  Afd.  Nat.  d.  Kon.  Akad.  v.  Wet.  Amsterdam.  Dl.  XXV  p.  217,  1916 

f*J.  WiNG  Easton  ging  in  1919  van  een  soortgelijken  gedachtegang  uit  bij  zijn 
besprekingen  over  bet  ontstaan  der  tinertsbeddingen  in  Nederlandsch  Indië.  Zie: 
Het  ontstaan  der  tinertsbeddingen  in  Indië.  Weekblad  de  Ingenieur,  12  Maart  1919. 


508 


aan  de  andere  zijde,  welke  de  geheele  Java-zee  en  het  zuidelijkste 
deel  van  de  Chineesche  zee  omvat.  Deze  zee  heeft  thans  geen 
afzonderlijken  samenvattenden  naam,  maar  maakt  zoowel  geografisch 
ais  genetisch  een  niet  wel  deelbaar  geheel  uit.  Nikrmkyer  heeft 
reeds  in  1911  aan  den  bodem  der  ondiepe  zee  tusschen  Snmatra, 
Java  en  Borneo  den  naam  Soenda-plat  *)  gegeven.  Ik  sluit  mij  daar 
bij  aan,  maar  breid  dien  naam  uit  tot  het  geheele  plat,  dat  ontstaan 
is  door  onderloopen  van  alle  schiervlakten  van  het  nader  te  defi- 
nieeren  Soenda-land,  die  gevormd  waren  gedurende  de  tijdperken 
van  verlaging  van  den  zeespiegel  gedurende  de  plistoceene  glaciaal- 
tijden. 

De  wijze  van  ontstaan  van  dat  lage  land  kan  men  zich  ais  volgt 
\oorstellen. 

Voor  den  aanvang  van  het  plistoceene  tijdperk,  dus  tegen  het 
einde  van  het  plioceen,  werd,  wat  nu  de  Soenda- zee  is,  vermoedelijk 
ingenomen  door  vrij  laag  land  of  door  een  eilandengroep.  Men  mag 
zich  daarvoor  voorstellen  een  onvolkomen  ontwikkelde  schiervlakte, 
die  ten  deele  tot  geringe  diepte  door  de  zee  was  bedekt.  *) 

Bij  het  begin  van  den  plistoceenen  tijd  tiok  de  zee  zich  ten  gevolge 
van  den  gi’oei  der  ijsbedekkingen  terug  en  dit  gebied  werd  daardoor 
een  aaneengesloten  land,  het  Soenda-land,  dat  met  de  hedendaagsche 
eilanden  Snmatra,  Borneo  en  Java  een  geheel  nitmaakte  en  zich 
over  het  algemeen  niet  hoog,  maar  toch  gemiddeld  wel  meer  dan 
70  M.  boven  den  zeespiegel  verhief. 

In  den  plistoceenen  tijd  volgde  er  een  tijdperk  van  langdurige 
erosie,  een  erosie,  die  verlevendigd  en  bijzonder  krachtig  was 
geworden  door  de  verlaging  van  het  eindvlak ; er  vormde  zich 
dientengevolge  een  uitgebreide  schiervlakte,  waaruit  alleen  de 
terreinen,  die  het  meeste  weerstand  boden,  als  heuvels,  zoo- 
genaamde monadnocks . of  hardkoppen  uitstaken.  Deze  groote 
schiervlakte  werd  naar  Zuid,  Zuidwest  en  West  begrensd  door 
de  deels  vulkanische,  deels  niet  vulkanische  bergketenen  van  Java 
en  Snmatra,  naar  Noord  resp.  Noordoost  door  de  granietkern, 
het  hooge  plateauland  en  de  ketengebergten  van  Borneo.  In  die 
groote  schiervlakte  vereenigde  zich  waarschijnlijk  al  het  water, 

1)  J.  F.  Niermeyer.  Barrière-riffen  en  atollen  in  den  Oost-Indischen  archipel. 
Tijdschr.  Kon.  Ned.  Aardr.  Gen.  2.  XXVIll  p.  880,  1011. 

2)  Krümmel  heeft  dit  plat  de  Borneo  Javaschelf  genoemd.  Hij  geeft  voor  de 
uitgebreidheid  het  cijfer  1.850.000  K.M^.  bij  een  zeediepte  van  50—100  M.  Zie 
O.  Krümmel,  Handbuch  der  Ozeanographie  1,  p.  113,  1907. 

Uit  de  tot  nu  toe  bekende  geologische  gegevens  is  deze  onderstelling  niet  te 
bewijzen,  maar  die  gegevens  zijn  evenmin  met  onze  onderstelling  in  strijd. 


509 


dat  van  die  beide  berggebieden  in  naar  elkaar  toegekeerde  rich- 
tingen afstroomde,  tot  eenige  groote  stroomen.  Een  dier  stroomen 
moet  ergens  in  het  gebied,  waar  thans  de  Java-zee  zich  uitstrekt, 
zijn  bed  gehad  hebben  en,  de  schiervlakte  naar  Oost-Zuidoost  ont- 
waterend, zich  ontlast  hebben  in  het  zuidelijkste  gedeelte  van  de 
straat  Makassar.  Door  een  tweeden  stroom  werd  die  groote  schier- 
vlakte waarschijnlijk  naar  Noord  en  Noord-Noordoost  ontwaterd  in 
de  richting  van  de  Chineesche  Zee. 

. Het  stroomgebied  van  die  twee  stroomen  moet  zeer  groot  geweest 
zijn,  n.1.  ongeveer  1.285.000  K.M\  Zij  moeten  dus  wanneer  wij  een 
regenval  aannemen,  die  met  den  tegen  woord  igen  overeenkomt  ^), 
2.7  M.  per  jaar,  =h  1156  K.M*  water  naar  zee  hebben  afgevoerd, 
d.  i.  ongeveer  het  dubbele,  van  wat  de  Missisippi  (552  K.M’)  afvoert, 
in  wier  stroomgebied,  dat  veel  grooter  is  (3.6184.640  K.M’.),  de 
gemiddelde  regenval  gering  is  en  op  ruim  52  cM.  mag  geschat  worden. 

Men  mag  verwachten,  dat  deze  rivieren  zich  trots  hun  gering 
verval  door  hun  groote  watermassa  in  de  schiervlakte  diep  zullen 
hebben  ingesneden  en  hun  bed  tot  beneden  den  zeespiegel  zullen 
hebben  uitgeschuurd.  Zoo  met»  in  aanmerking  neemt,  wat  hieromtrent 
bij  andere  groote  rivieren  wordt  waargenomen,  mag  men  veilig 
aannemen,  dat  de  geulen  van  die  rivieren  in  hun  benedenloop  in 
de  schiervlakte  minstens  10 — 15  M.  diep  zullen  geweest  zijn. 

Na  afloop  van  den  ijstijd  begon  de  zeespiegel,  naarmate  de  ijs- 
massa’s op  hoogere  breedten  wegsmolten,  geleidelijk  weder  te  stijgen. 
In  het  Soenda-land  werkte  thans  alles  samen  voor  het  intreden 
van  optimale  condities  voor  platvorming.  Diastrophisrne  in  tertiairen 
tijd  had  een  periode  van  sterke  erosie  en  dus  snelle  ontwikkeling 
van  het  gradatievlak  voorbereid,  het  terugtrekken  der  zee  bij  het 
begin  van  den  ijstijd  had  door  verlagitig  van  het  eindvlak  van 
denudatie  in  denzelfden  zin  gewerkt,  belemmerende  factoren  voor 
platvorming  waren  er  in  het  Soenda-land,  dat  sinds  het  einde  van 
het  tertiaire  tijdvak  stabiel  was,  niet  geweest,  dit  alles  had  sameti- 
gewerkt  om  een  gradatievlak,  grootendeel  als  schiervlakte,  van 
buitengewone  afmetingen  te  doen  ontstaan.  En  juist  toen  die  toestand 
was  ingetreden  begon  de  zeespiegel  te  stijgen.  Zeer  nitgestrekte 
landstreken  kon  de  zee  bij  stijging  bij  haar  gebied  inlijven  en  tol 
plat  maken.  De  Soenda-schiervlakte  liep  onder,  totdat  de  zee  daarop 
de  tegenwoordige  diepte  van  gemiddeld  50  Meter  had  bereikt. 
Aldus  o)itslond  de  tegenwoordige  Soenda.-zee  en  het  Soenda-plat,  het 
grootste  en  een  der  merkwaardigste  platten  der  wereld. 

')  Aangenomen  is,  dat  1/3  van  het  water,  dat  in  het  stroomgebied  viel,  naar 
zee  werd  afgevoerd,  welke  ruwe  schatting  voor  dit  geval  toelaatbaar  is. 


510 


De  groote  stroomen  werden  bedolven  en  al  liun  zijtakken  werden 
tot  zelfstandige  rivieren,  die  thans  in  de  Soenda-zee  uitmonden. 
Verschillende  dei-  monadnocks  werden  door  de  zee  omspoeld  en  tot 
eilanden  gemaakt,  zooals  Banka,  Billiton,  Singkep  de  Karimata- 
eilanden,  de  Karirnoen-Djawa  eilanden,  Bawean,  de  Arendseilanden, 
Klein-  en  Groot-Salembouv\  en  tal  van  andere  kleine  eilanden. 

De  hier  gegeven  voorstelling  moet  beschouwd  worden  als  een 
sterk  \ ereenvoudigde  wedergave  van  hetgeen  in  werkelijkheid  ge- 
schied is;  immers  is  de  ijstijd  niet  één  ei»kele  koude  periode  geweest, 
maar  een  opeenvolging  van  zulke  perioden,  afgewisseld  door  mildere, 
interglaciale  tijdperken  en  tengevolge  daarvan  moet  in  werkelijkheid 
iets  zijn  gebeurd,  dat  veel  iïigewikkelder  is  geweest  dan  hierboven 
is  geschetst.  Men  kan  zich  voorstellen,  dat  gedurende  den  eersten 
glaciaaltijd  de  Soenda-schiervlakte  nog  slechts  zeer  onvolledig  werd 
gevormd,  dat  zij  gedurende  den  eersten  interglaciaaltijd  door  de  zee 
werd  bedekt,  dat  de  tweede  glaciaaltijd  haar  wat  volkomener  maakte, 
dat  de  tweede  interglaciaaltijd  haai'  weder  onder  water  zette,  dat 
in  de  daarop  volgende  glaciaaltijden  dezelfde  wisselingen  zich  her- 
haalden, totdat  de  laatste  glaciaaltijd  de  Soejida-schiervlakte  tot  die 
volmaaktheid  bracht,  welke  thans  het  relief  van  den  bodem  der 
Soenda-zee  ons  doet  kennen. 

Vele  eigenaardigheden  van  de  Soenda-zee  en  de  haar  omgevende 
kuststreken  zijn  met  de  hierboven  gegeven  voorstelling  in  overeen- 
stemming of  worden  door  haar  op  aannemelijke  wijze  verklaard. 

Maar,  alvorens  deze  verder  na  te  gaan,  is  het  noodig  de  volgende 
twee  vragen  te  beantwoorden. 

i".  hoe  ver  strekte  zich  het  plistoceene  Soenda-land  uit?  en  2“. 
wat  waren  de  grenzen  van  dat  land  ? 

Het  plistoceene  Soenda-land. 

Het  samenvattende  antwoord  op  de  twee  vragen  is;  Het  Soenda- 
land  is  dat  gedeelte  van  de  westelijke  helft  van  den  Oost-Indischen 
archipel,  dat  bij  het  laatste  maximum  van  glaciatie  in  plistoceenen 
tijd  zich  boven  deji  zeespiegel  verhief.  Volgens  onze  onderstelling  is 
dit  Soenda-land  na  dat  laatste  maximum  van  glaciatie  tot  op  heden 
door  het  stijgen  van  den  zeespiegel  tot  ongeveer  72  M.  hoogte  door 
de  zee  bedekt. 

Het  Soenda-land  bestond  uit  Java  met  Madoera,  Suniatra,  Borneo, 
Malakka  en  de  tegenwoordige  zee  met  haar  eilanden  om  die 
landen  tot  een  diepte  van  40  vaam  (72  M.)  zoodat  de  grenzen  van 
het  plistoceene  Soenda-land  terstond  uit  de  kaai-t  (Fig.  1)  kunnen 


worden  afgeleid.  Evenwel  geldt  al  wat  hier  gezegd  wordt  alleen 
voor  het  gedeelte  van  het  Soenda-land,  dat  sinds  plistoceenen  tijd 
stabiel  of  orogenetisch  niet  actief  is  geweest;  alleen  voor  dat  ge- 
deelte mag  men  de  tegenwoordige  isobaath  van  40  vaam  als  kustlijn 
gedurende  het  laatste  maximum  van  glaciatie  in  plistoceenen  tijd 
aannemen.  Het  is  dus  om  de  uitbreiding  van  het  stabiele  of  conti- 
nentale gedeelte  van  het  Soenda-land  te  leeren  kennen  nog  noodig 
de  grens  te  weten  tusschen  het  land,  dat  orogenetisch  niet  actief  is 
geweest  sedert  het  eind  van  het  plioceen  en  het  land,  dat  zulks  wel 
is  geweest.  Op  de  kaart  is  die  grens  met  veel  voorbehoud  door  een 
gebroken  lijn  aangegeven.  Al  wat  daar  binnen  ligt  is  hel  stabiele 
gedeelte  van  het  Soetida-land,  wat  ik  het  Soenda-land  in  engeren 
zin  wil  noemen. 

Tot  dit  stabiele  Soenda-land  behoort  vooreerst  al  wat  hierboven 
Soenda-zee  is  genoemd,  verder  Horneo,  waarschijnlijk  met  uitzonde- 
ring van  het  noordelijkste  gedeelte,  Malakka  en  de  oostelijke  kust- 
strook van  Sumatra,  hier  en  daar  misschien  een  klein  gedeelte  van 
de  noordelijke  kuststrook  van  Java  en  Madoera.  Al  het  land  gren- 
zend aan  den  Indischen  Oceaan,  dat  tot  de  groole  Maleische  geosyn- 
clinaal  behoort,  valt  buiten  het  Soenda-land  in  engeren  zin.  Dat 
tektonisch  actieve  gebied  is  klaarblijkelijk  de  \ erlenging  van  de  wes- 
telijkste plooibundels  van  de  Birrna-boog,  thans  nog  orogenetisch  een 
der  meest  actieve  gebieden  der  wereld.  Het  is  )iiet  mogelijk  de  grens 
tusschen  het  stabiele  en  het  labiele  gedeelte  van  het  vroegere  Soenda- 
land  precies  aan  te  geven ; waarschijnlijk  is  er  geen  scherpe  en 
blijvende  grens,  maar  is  deze  veranderlijk.  Ik  ben  geneigd  de  ge- 
bieden die  vulkanen  bezitten,  welke  gesteenten  van  het  atlantische 
type  leveren,  ais  de  Moeriah,  de  Loeroes  en  de  Ringgit,  tot  het 
stabiele  gebied  te  rekenen,  omdat  de  Bawean-eilanden  met  hun 
atlantische  gesteenten  stellig  daarin  liggen  en  omdat  de  vulkanen 
der  Maleische  geosynclinale,  evenals  die  van  nagenoeg  alle  andere 
geosynclinalen  op  aarde,  overigens  uitsluitend  gesteenten  van  het 
pacitische  type  hebben  aan  de  dag  gebracht,  maai'  het  is  onvermij- 
delijk de  grens  tusschen  het  stabiele  en  het  labiele  gebied  dan  zulk 
een  verloop  te  geven,  dat  de  twee  gebieden  in  Oost-Java  hier  en 
daar  in  elkaar  grijpen.  Misschien  worden  daardoor  de  juiste  ver- 
houdingen wel  zeer  goed  weergegeven.  De  Sibbaldsbank,  de  Kaloe- 
Kaloekoeang-bank,  de  Laarsbanken,  de  Bril,  de  Paternoster-eilanden 
en  de  Postiljons-eilanden,  thans  alle  koraaleilanden  en  misschien  ook 
het  Spermonde-plat  en  een  deel  van  Zuid-Celebes  vormden  naar  mijn 
meening  in  plistoceenen  tijd  eilanden,  die  tot  het  stabiele  Soenda- 
land  behoorden. 


5J2 


Wat  zijn  nu  de  eigenaardigheden  die  bekend  zijn  van  de  tegen- 
woordige Soenda-zee,  haar  eilanden,  en  haar  kuststreken? 

De  tegemnoordige  Soenda-zee. 

a.  Algemeen  relief  van  den  bodem  der  Soenda-zee  en  der  kaar 
omgevende  kuststreken. 

De  Soenda-zee  heeft  een  opvallend  gelijkmatige  diepte,  gemiddeld 
is  deze  40 — 45  Meter  en  zelden  gaat  zij  50  Meter  te  boven.  Het 
ondiepst  is  het  gedeelte,  waar  de  eilanden  Banka  en  Billiton  liggen, 
een  diepte  van  meer  dan  20  vaam  wordt  daar  slechts  op  enkele 
plaatsen  aangetroffen. 

Behalve  in  enkele  geulen  worden  grootere  diepten  dan  23  vaam 
(i'uim  50  Meter)  alleen  gevonden  in  het  uiterste  oostelijke  deel, 
waar  op  de  Borneo-bank  de  diepte  naar  de  veel  diepere  Sti-aat  van 
Makassar  langzaam  toeneemt,  en  weder  in  het  noordelijke  deel, 
waar  hetzelfde  geschiedt  naar  het  diepere  bekken  der  Chineesche 
Zee,  en  eindelijk  in  de  nabijheid  van  Straat  Soenda,  die  zich  als 
een  diepere  geul  onderzeesch  als  ’t  ware  nog  een  eind  weegs  in  de 
Java-zee  voortzet.  Het  meest  opvallende  kenmerk  van  de  Soenda-zee 
of  het  Soenda  plat  is  dus  zijn  gelijkblijvende  diepte, 
effenheid  van  zijn  bodem.  Zulk  een  onderzeesch  relief  is  juist,  wat 
zou  ontstaan,  indien  deze  zee  ware  gevormd  door  onderloopen  van 
een  groote  schierv  lakte.  De  bijzonderheden  van  dit  relief  zijn  ook 
zeer  begrijpelijk,  zoo  men  aanneemt,  dat  die  schiervlakte  naar  de 
Bali-zee  en  naar  de  Chineesche  Zee  ontwaterde  en  dat  een  baai,  de 
tegenwoordige  Straat  Soenda,  van  uit  den  Indischen  Oceaan  een 
eindweegs  er  in  greep. 

Het  kustland  van  Borneo  tot  eenige  honderden  kilometers  land- 
waarts in  is  zeer  weinig  geaccidenteerd  en  hetzelfde  geldt  voor  de 
kuststreek  van  Oost-Sumatra  en  voor  de  eilanden  in  de  Soenda-zee, 
als  bijv.  Banka,  Billiton,  Singkep,  enz.  Het  grootste  gedeelte  van  al 
dat  land  draagt  het  karakter  van  een  schiervlakte  en  verheft  zich 
slechts  weinig  boven  den  zeespiegel,  terwijl  hier  en  daar  heuvels, 
bestaande  uit  gesteenten,  die  tegen  erosie  meer  weerstand  biedend 
zijn,  meestal  met  zachte  glooiingen  uit  het  lage  terrein  zich  verheffen. 
Alleen  voor  de  kuststrook  van  Java,  op  welk  eiland  vulkanische 
werkzaamheid  het  land  telkens  van  vorm  deed  wijzigen  en  ophoogde, 
geldt  deze  beschrijving  in  mindere  mate. 

De  zeer  weinig  geaccidenteerde  oppervlakte  van  den  bodem  der 

1)  Inderdaad  is  al  dat  land  te  zamen  het  nog  niet  door  de  zee  overstroomde 
deel  der  groote  schiervlakte,  die  in  plistoceenen  tijd  is  gevormd. 


513 


Soenda-zee  zet  zich  als  ’t  ware  voort  op  het  omringende  land.  Langs 
de  kust  van  West-Borneo  zon  een  terugtrekken  van  de  zee  tot  een 
diepte  van  niet  meer  dan  10  vaam  talrijke  eilanden  met  de  kust 
verbinden  en  de  nog  bestaande  schiervlakte  van  West-Borneo  met 
haar  eigenaardige  zacht  glooiende  monadnocks  sterk  vergrooten,  zonder 
dat  dan  eenig  kenmerk  in  het  terrein  zou  kunnen  doen  onderscheiden, 
wat  nimmer  zee  was  geweest  en  wat  zoo  juist  weer  tot  land  zou 
zijn  geworden. 

Alle  eilanden  in  de  Soenda-zee,  zooals  bijv.  Billiton  en  Singkep, 
vertonnen  zoo  sterk  het  beeld  van  terreinen,  die  door  de  aanwezig- 
heid van  talrijke  hardere  kernen  iets  in  rijpheid  van  erosie  bij  hun 
omgeving  zijn  ten  achteren  gebleven,  dat  als  vanzelf  het  denkbeeld 
opkomt  West-Borneo  met  Bangka,  Billiton  enz.  te  verbinden  en  het 
geheele  gebied  der  Soenda-zee  op  te  vatten  als  een  ondergedoinpelde 
schiervlakte,  uit  welke  de  tegenwoordige  eilanden  als  meer  weer- 
stand biedende  kernen  zich  eenigszins  verhieven,  toen  in  plistoceenen 
tijd  de  zeespiegel  lager  lag. 

h.  Aard  van  dm  bodem,  der  Soerida-zee. 

De  bodem  van  de  Soenda-zee  is  zeer  modderig;  de  groote  meer- 
derheid der  loodingen,  die  in  deze  zee  verricht  zijn,  geeft  als  aard 
van  den  ondergrond  slib  of  modder  aan,  terwijl  schelpen  en  koraal- 
fragmenten  slechts  zelden  vermeld  worden.  Dit  kan  in  een  ondiepe 
zee,  zooals  de  Soenda-zee  is,  niet  wel  verklaard  worden  door  den 
invloed  der  rivieren,  die  thans  in  haar  uitmonden.  Immers  brengen 
deze  wel  een  groote  hoeveelheid  slib  in  die  zee  tot  op  vrij  grooten 
afstand  van  de  kust,  maar  zeer  waarschijnlijk  nei’gens  verder  dan 
60  K.M.  uit  den  wal.  In  Februari  1894  vond  ik  bij  hoog  water 
voor  de  mondingen  der  Kapoewas  in  West-Borneo  de  uiterste  grens 
van  het  modderige  rivierwater  tot  op  50  K.M.  buitengaats.  ')  Zoo 
men  bedenkt,  dat  het  modderige  zoete  water,  zeer  langzaam  zee- 
waarts uitwiggend,  op  het  zwaardere  zeewater  drijft,  en  in  zeewater 
de  bezinking  meer  dan  tienmaal  sneller  geschiedt  dan  in  zoet  water, 
kan  men  zeker  zijn,  dat  slib  niet  veel  verder  dan  tol  die  50 — 60  K.M. 
van  de  kust  tot  bezinking  komt. 

Neemt  men  verder  in  aanmerking,  dat  de  Kapoewas  en  de  Barito 
de  grootste  en  slibrijkste  rivieren  zijn,  die  in  de  Soenda-zee  uitmonden, 
dan  zal  men  stellig  geen  fout  begaan  door  te  zeggen,  dat  de  grens, 
tot  waar  slib  in  de  Soenda-zee  bezinkt,  ligt  tusschen  de  strandlijn 
en  een  afstand  van  ± 60  K.M.  uit  den  wal. 

De  kaart  leert,  dat  de  bodem  echter  in  de  geheele  Soenda-zee 


■)  Die  grens  ligt  daar  uiterlijk  62  K.M.  uit  den  wal. 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Di.  XXVlll.  A".  1919/20. 


34 


514 


overal,  dus  tot  op  afstanden  van  100  K.  M,  en  meer  van  de  naastbij 
gelegen  kust,  uit  slib  bestaat. 

Ziet  men  in  de  Soenda-zee  een  verdronken  schiervlakte,  dan  is 
het  zeer  begrijpelijk,  dat  de  zee,  toen  zij  zacht  en  allengs,  zonder 
het  zwakke  relief  vee!  te  wijzigen,  die  vlakte  overstroomde,  overal 
een  bodem  van  slib  vond  en  dezen  tot  den  haren  moest  maken. 
Juist  die  slibbigheid  van  den  bodem  en  de  nog  altijd  sterke  invloed 
van  het  zoete  water  der  vele  rivieren,  die  in  de  wordende  zee 
uitmondden,  belemmerden  de  snelle  verspreiding  van  zeedieren,  met 
name  van  koralen,  en  daardoor  werd  de  aard  van  het  bodemslib 
door  de  mariene  invasie  weinig  veranderd. 

Men  mag  de  slib,  die  bijna  alle  loodingen  in  de  Soenda-zee  als 
het  hoofd  bestanddeel  van  den  bodem  hebben  leeren  kennen,  beschou- 
wen als  een  slib  of  modder,  gevormd  gedurende  de  lange  periode 
van  erosie  en  fluviatiele  sedimentatie,  toen  de  schiervlakte  werd  ge- 
vormd of  ten  deele  reeds  was  gevormd. 

c.  Geen  sporen  van  opheffing. 

De  kusten  der  eilanden,  die  de  Soenda-zee  orageven  of  er  uit 
oprijzen,  vertoonen  geen  sporen  van  opheffing  van  eenige  beteekenis. 
Zoo  men  in  aanmerking'  neemt,  dat  in  streken,  waar  rifbou wende 
koralen  aan  de  kust  leven  — en  dat  geldt  voor  de  Soenda-zee,  al 
is  deze  vergeleken  met  de  zeebekkens  der  Molukken  arm  aan  rif- 
bou wers  — , iedere  opheffing  van  het  land  (of  daling  van  den  zee- 
spiegel) zich  bijna  onfeilbaar  verraadt  door  he!  boven  water  komen 
en  bewaard  blijven  — althans  geruimen  tijd  — van  rifkalken,  dus 
door  de  zoogenaamde  opgeiieven  koraal-rifFen,  dan  is  het  duidelijk, 
dat  men  het  recht  heeft  uit  het  ontbreken  van  zulke  kenmerken 
bijna  overal  aan  de  kusten  van  de  Soenda-zee,  de  gevolgtrekking 
te  maken,  dat  in  den  jongsten  geologischen  tijd  aan  de  kusten  der 
Soenda-zee  althans  geen  negatieve  strandverschuiving  van  eenige 
beteekenis  heeft  plaats  gehad. 

d.  Sporen  van  daling-,  verdronken  en  verzonken  rivieren. 

Aanduidingen  van  daling  van  die  kusten  of,  wat  in  dit  verband 

hetzelfde  is,  van  rijzing  van  den  zeespiegel,  zijn  er  daarentegen  wel. 

De  wijze,  waarop  de  groote  slibrijke  rivieren  van  Snmatra  en  van 
Borneo  in  zee  uitmonden,  is  kenmerkend.  Zoowel  het  ontbreken  van 
delta’s  als  het  aanwezig  zijn  van  wijde,  trechtervormige  mondingen 
— zeer  opvallend  bijv.  bij  de  Sampit  — en  van  groote  diepten  in 
den  benedenloop  der  rivieren  wijst  op  positieve  strandverschuiving. 

Slechts  één  rivier,  de  slibrijkste  van  alle,  de  Kapoewas,  heeft 


515 


het  tot  het  vormen  van  een  delta,  die  echter  bijna  niet  in  zee 
nitsteekt,  gebracht. 

Voorts  zijn  de  sporen  der  rivieren  van  de  Soenda-schiei  vlakte,  die 
door  de  rijzing  van  den  zeespiegel  zijn  ontleed  en  verdronken,  duidelijk 
waarneembaar.  Op  het  eiland  Singkep  heeft  de  exploitatie  van  het 
tinerts  zulke  verdronken  rivieren  doen  kennen.  (Zie  tig.  2).  Hel  is 
daar  gebleken,  dal  het  tinerts,  dat  in  de  diepste  gedeelten  van  het 
allnvinm  der  rivieren  Dabo  en  anderen  door  het  stroomend  water 
is  afgezet,  zich  nog  ovei’  aanzienlijken  afstand  in  zee  voortzet  en 
dat  de  geulen  van  de  Dabo  en  andere  rivieren  daardoor  nog  tot  een 
afstand  van  omstreeks  1500  Meter  nit  den  wal  te  vervolgen  zijn. 
Bij  één  dier  rivieren,  de  Djangkang,  ligt  het  benedenste  tinhoudende 
gedeelte  van  het  rivieralluviurn  thans  op  ongeveer  17  M.  beneden 
den  zeespiegel.  De  rivierafzettingen  zijn  daar  op  den  afstand  van 
1300  M.  uit  den  wal  ongeveer  10  M.  dik,  terwijl  de  zee  daarboven 


Fig.  2.  Naar  een  kaart  in  het  bezit  van  de  directie  der  Singkep  Tin  Maatschappij. 

34* 


516 


7 M.  diep  is.  De  exploitatie  vaji  het  zoogenaamde  zeetin  bij  het 
eiland  Singkep  heeft  de  geleidelijke  voortzelting  van  een  aantal 
rivierdalen  onderzeesch  met  stelligheid  aangetoond. 

Door  daling  van  het  land  of  rijzing  van  den  zeespiegel,  maar  ook 
daardoor  alleen,  is  dat  verschijnsel  gereedelijk  te  verklaren.  Ik  meen 
te  mogen  voorspellen,  dat  ook  bij  andere  tin-eilanden  in  de  Soenda- 
zee,  met  name  bij  Bangka  en  Billiton,  het  bestaan  van  dergelijke 
tinertsafzettingen  onder  den  zeespiegel  in  de  stroomgeulen  van  ver- 
dronken rivieren  zal  kunnen  worden  aangetoond.  Het  is  zeer  wel 
mogelijk,  dat,  evenals  dit  thans  bij  het  eiland  Singkep  reeds  het 
geval  is,  de  exploitatie  van  zulk  zeetin  ook  bij  Bangka  en  Billiton 
een  belangrijke  oeconomisclie  beteekenis  zal  kunnen  verkrijgen. 

Niet  altijd  behoeven  de  stroomgeulen  der  verzonken  rivieren  thans 
in  zee  te  liggen;  zij  kunnen  ook  nog  in  het  land,  maar  dan  in  een 
zoo  laag  niveau  liggen,  dat  zij  bij  den  tegen woordigen  stand  van 
het  eindvlak  van  denudatie  (de  zeespiegel)  nimmer  tot  zoo  diep  door 
de  erodeerende  werking  van  het  water  kunnen  uitgeschuurd  zijn. 
Zulke  abnormaal  diep  liggende  stroomgeulen  heeft  de  exploitatie 
van  het  stroomtin  zoowel  op  Bangka  als  op  Billiton  leeren  kennen. 
Verbeek  ’)  vermeldt  hiervan  verscheidene  voorbeelden,  waarvan  ik 
hier  zal  noemen  : 

Op  het  eiland  Bangka,  de  plistoceene  geul  van  het  riviertje  Krasak 
in  het  district  Pangkalpinang,  die  minstens  16  M.  diep  beneden  de 
bedding  van  den  tegen  woordigen  waterloop  is  ingesneden,  het  oude 
bed  van  het  riviertje  Paiidji  in  het  district  Blinjoe,  dat  9.25  M. 
beneden  het  tegenwoordige  bed  en  niet  veel  minder  beneden  den 
zeespiegel  ligt,  het  oude  bed  der  (nat-rivier  in  het  district  Soengeiliat 
dat  in  haar  benedenloop  13—19  Meter  onder  haar  tegenwoordige 
bed  en  ongeveer  even  veel  beneden  den  zeespiegel  ligt ; 

op  het  eiland  Billiton  het  oude  bed  van  de  Sidjoek-rivier,  dat,  bij 
mijn  N*.  30,  6 — 11  Meter  dieper  ligt  dan  het  tegenwoordige,  een 
zijtakje  van  de  rivier  Moensang  in  het  district  Manggar,  waarvan 
het  bed  tot  5 M.  diepte  met  afzettingen  gevuld  is,  verscheidene  oude 
riviergeulen  nabij  de  plaats  Manggar,  waarin  de  benedenste  afzet- 
tingen, die  het  tinerts  bexatten,  in  diepe  koilings  zijn  ontgonnen  en 
veelal  ondei-  den  tegen  woordigen  zeespiegel  liggen,  hij  de  mijn  N“.  30 
bijv.  niet  minder  dan  6\/,  Meter. 

In  verband  met  het  voorkomen  dezer  verzonken  en  verdronken 
stroomtinertsafzettingen  zij  nog  iets  opgemerkt  omtrent  den  invloed 
der  zee,  met  name  der  brandingsgolven,  op  de  niet  samenhangende 

')  R.  D.  M.  Verbeek,  Geol.  Beschrijv.  van  Bangka  en  Billiton.  Jaarb.  van  het 
Mijnw  XXVI,  p.  143—156,  1897. 


517 


zoetwaterafzeUingen,  gedurende  het  tijdperk  van  stijgen  van  den  zee- 
spiegel, dus  van  onderloopen  van  de  Soenda-schiervlakte.  Hoewel  in 
die  aanvankelijk  zeer  ondiepe  zee  met  zwakke  getijden  de  werking 
der  brandingsgoiven  het  algemeen  bodemrelief  niet  veel  zal  hebben 
kunnen  wijzigen,  zullen  die  onsamenhangende  afzettingen  toch 
zeker  wel  min  of  meer  oingewerkt  zijn.  Wat  de  tinertseilanden 
betreft,  is  het  mijn  meening,  dat  zoowel  gedurende  het  tijdperk  van 
stijgeti  der  zee  na  het  plistoceen  als  gedurende  de  periodes  van 
kleinere  schommelingen  van  den  zeespiegel  in  recenten  of  subrecenten 
tijd  zoowel  de  stroomtinertsafzettingen  als  de  eluviale  afzettingen 
door  het  zeewater  min  of  meer  kunnen  zijn  oingewerkt  en  vooral 
wat  de  laatste  betreft,  daarbij  kunnen  zijn  geconcentreerd.  Als  zulke 
door  de  zee  betrekkelijk  kort  geleden  omgewerkte  tinerisafzettingen 
meen  ik  die  te  mogen  beschouwen,  welke  even  boven  den  zeespiegel 
op  het  eiland  Singkep  langs  het  strand  ten  Westen  van  de  hoofd- 
plaats Dabo  werden  aangetroffen  maar  thans  uitgewerkt  zijn  (zie  fig.  2)^). 

Gaat  het  bij  de  eilanden  Singkep,  Hiiliton  en  Bangka  slechts  om 
betrekkeiijk  kleine  rivieren  uit  het  heuvelland  van  het  vroegere  Soenda- 
land,  er  bestaat  reden  te  mogen  verwachten,  dat  ook  de  geulen  der 
groote  stroomen,  die  het  Soenda-land  ontwaterden  en  in  de  Soenda- 
schiervlakte  hun  beddingen  hadden  ingesneden,  bij  het  geleidelijk 
overstroomeii  dier  vlakte  ten  gevolge  van  de  rijzing  van  den  zee- 
spiegel wel  ten  deele  zullen  zijn  toegeslibd,  maar  toch  nog  niet  geheel 
zullen  zijn  verdwenen.  In  dat  geval  zon  de  mogelijkheid  bestaan 
hun  verloop  te  kunnen  aflezen  uit  het  verloop  der  isobathen  in  de 
tegenwoordige  Soenda-zee. 

Evenwel  zijn  de  isobathen,  zooals  die  op  de  zeekaarten  voorkomen, 
geconstrueerd  uit  een  beperkt  aantal  loodingen,  die  zelfs  in  zeer 
gunstige  gevallen  nog  wel  ongeveer  een  kilometer  uit  elkaar  liggen  ^). 
Bovendien  zijn  die  loodingen  verricht  ter  wille  der  belangen  der 
scheepvaart  en  hebben  deze  altijd  veeleer  ten  doel  gehad  de  ondiepe 
punten  dan  wel  de  diepere  plaatsen  of  geulen  te  leeren  kennen  en 
op  de  kaart  weer  te  geven. 

Raadpleegt,  men  nu  de  bestaande  kaarten’)  en  de  minuutbladen, 

Eene  samenvatting  van  discussies,  gevoerd  over  de  wijze  van  ontstaan  der 
tinertsafzettingen  en  over  de  rol  van  het  zeewater  daarbij  vindt  men  in  een  artikel, 
dat  gedurende  het  ter  perse  zijn  van  dit  opstel  is  verschenen,  getiteld:  J.  Rueb. 
Onstaan  der  alluviale  tinertsafzettingen  van  Banka  en  Billiton.  De  Ingenieur 
35e  Jaargang  p.  21,  1920. 

Dit  geldt  voor  de  vrij  goed  afgeloode  gebieden  der  wereld,  w'aartoe  slechts 
enkele  gedeelten  van  den  O.  I.  archipel  behooren. 

'*)  De  kaarten,  die  in  den  handel  zijn,  geven  slechts  een  deel  der  verrichte  loodingen 
aan ; het  totaal  daarvan  is  te  vinden  op  de  minuutbladen,  die  bij  de  afdeeling 


518 


dan  blijkt  het  inderdaad  mogelijk  daaruit  iets,  doch  niet  zeer  veel, 
af  te  leiden  omtrent  het  verloop  der  groote  rivieren  in  de  plioceene 
Soenda-schiervlakte.  Vooi'eerst  blijkt,  dat  in  deze  Soenda-schiervlakte 
de  hoofd  waterscheiding  tusschen  de  Bali-zee  en  de  Chineesche-zee 
heeft  geloopen  van  Snmatra  over  de  tegenwoordige  eilanden  Bangka, 
Billiton,  door  de  sti-aat  Karimala,  en  verder  over  de  Kariinata-eilanden 
naar  Borneo.  Wij  zullen  haar  de  Karimata-waterscheiding  noemen. 
Verdei'  is  uit  het  verloop  van  de  isobaath  van  40  vaam  op  te  maken, 
dat  van  uit  de  Chineesche  zee  een  baai  (zie  fig.  1)  diep  in  het  land 
ingreep  tusschen  de  eilanden  Groot-Natoena  en  Soebi.  Die  baai  is 
aanvankelijk  wijd,  maar  versmalt  zich  zuidwaarts  en  gaat  over  in 
een  grooten  stroom,  die,  uit  het  Zuiden  komend,  er  zich  in  ontlastte. 
Die  stamrivier  liep  ten  Westen  van  de  Tarnbelan-eilanden  en  juist 
langs  de  Badas-eilanden  en  is  zuidwaarts  tot  nabij  Pedjantan 
duidelijk  te  vervolgen. 

Deze  gi’oote  riviei-,  die  de  geheele  Soenda-schiervlakte  ten  Noorden 
van  de  Karimata-waterscheiding  ontwaterde,  nam  vermoedelijk  als 
voornaamste  rechter  zijrivieren  de  Kapoewas  en  de  Sambas  in  zich 
op,  en  als  voornaamste  linker  zijrivieren  de  Moesi  en  de  Djambi, 
die  zich  evenwel  misschien  al  tot  één  stroom  vereenigd  hadden,  voor 
zij  den  hoofdstroom  bereikten.  De  onderzeesche  voortzetting  van  de 
Kapoewas  is  zwak  aangeduid  als  een  geul,  gelegen  in  het  verlengde 
van  den  Poengoer-arm,  terwijl  direct  langs  de  noordwestkust  van 
Bangka  een  geul  met  diepten  van  20  tot  25  vaam  het  vroegere 
stroombed  van  de  Moesi  aangeeft.  De  Kapoewas-geul  is  op  de 
bestaande  kaarten  niet  verder  dan  tot  P.  Datoe,  de  Moesi-geul  niet 
verder  dan  tot  de  meridiaan  van  de  noordpunt  van  Bangka  te  vervolgen. 
De  gegevens,  aan  de  kaarten  ontleend,  maken  dus  slechts  waar- 
schijnlijk, dat  de  Kapoewas  en  de  Moesi  zich  in  den  hoofdstroom 
ontlastten  op  de  wijze,  zooals  op  kaart  1 is  voorgesteld.  Bewijzen 
doen  zij  het  niet. 

Var)  de  Indiagiri  en  de  Kampar  is  het  onzeker,  langs  welken 
weg  zij  den  genoemden  hoofdstroom  bei’eikten ; alleen  wettigt  ons, 
wat  van  het  tegen wooi’dige  onderzeesche  reiief  bekend  is,  aan  te 
nemen,  dat  van  straat  Sit)gapoi‘e  oostwaarts  een  stroomgeul  in  de 
richting  van  de  Victorj  e)i  Barren  eilanden  veidiep  welke  zich  van 
daar  tot  in  den  hoofdstroom  laat  vei'volgen. 

Het  water  van  de  Siak-rivier  en  een  deel  misschien  ook  van  dat 


hydrographie  van  het  Departement  van  Marine  berusten.  Met  dankbaarheid  maak 
ik  hier  melding  van  de  welwillende  wijze,  waarop  de  directeur  dier  afdeeling,  de 
Kapitein  ter  Zee  Phaff,  mij  inzage  van  de  minuutbladen  heeft  gegeven. 


519 


der  Kaïnpar-rivier  ontlastte  zich  door  de  straat  van  Malakka,  in  welke 
straat  de  isobaath  van  40  vaam  de  aanwezigheid  van  een  diepe  baai 
van  uit  het  Noordwesten  aanwijst,  in  welke  do  rivieren  van  een  deel 
van  het  toenmalige  Malakka  en  Noord-Snmatra  uitmondden. 

Ten  Noorden  van  de  Kaïrgean-eilanden  greep  insgelijks  een  diepe 
baai,  de  oostbaai,  van  nit  de  Bali-zee  in  het  Soenda-land  in.  In  die 
baai  mondde  een  groote  stroom  uit,  die  door  het  verloop  der  isobathen 
van  40  en  meer  stroomopwaarts  van  37  en  35  vaam  over  een  afstand 
van  omstreeks  350  K.M.  eenigszins  te  x ervolgen  is,  en  wel  van  een 
punt  ten  Noorden  van  de  Karimon-djawa  eilanden  in  oostelijke 
richting,  Noord  langs  Bawean  en  vervolgens  zuidoostwaarts  naar 
de  reeds  genoemde  oostbaai. 

Deze  groote  stroom  werd  gevormd  door  de  vereeniging  der  rivieren  van 
het  deel  van  het  Soendaland,  dat  ten  Zuiden  van  de  Karimata- waterschei- 
ding was  gelegen.  Men  mag  aannemen,  dat  hij  aan  zijn  linkerzijde, 
het  watei'  van  de  Koemai,  de  Sampit,  de  Katingan,  de  Kahajan, 
de  Kapoewas  Moeroeng  en  de  Barito  in  zich  heeft  opgenoraen.  Een 
gedeelte  van  de  verdronken  Sampit  rivier  ter  lengte  van  65  K.M. 
is  nit  de  isobaath  van  10  vaam  goed  af  te  lezen.  De  Kahajan  en  de 
Kapoewas  Moeroeng  .vereenigden  zicii  waarschijnlijk  niet  ver  zuid- 
waarts van  hun  tegenwoordige  monden  en  die  vereenigde  rivier 
ontlastte  zich  ongeveer  60  K.M.  meer  stroomafwaarts  in  de  Barito. 
De  Barito  stroomde  in  de  Soenda-schiervlakte  waarschijnlijk  in 
zuidelijke  richting  ten  Westen  van  de  Arends  eilanden  en  Groot 
Salembouw  en  ontlastte  zich  daarna  in  de  groote  Oost-baai.  Meer 
kan  men  omtrent  het  verloop  van  deze  thans  verdronken  slroom- 
loopen  niet  uit  de  kaarten  afleiden, 

Op  eenigen  afstand  van  de  noordkust  van  het  tegenwoordige  eiland 
Java  liep  vermoedelijk  ook  een  aanzienlijke  stroom,  die  stellig  wel 
door  vele  zijrivieren,  op  het  bergland  van  Java  ontspringend,  moet 
zijn  gevoed. 

Eindelijk  mag  men  waarschijnlijk  het  spoor  van  een  groote  rivier, 
die  in  de  richting  van  straat  Soenda  een  deel  van  het  Soenda-land 
ontwaterde,  zien  in  een  smalle  diepte,  die  thans  tusschen  30  en  40 
vaam  onder  den  zeespiegel  ligt  en  sterk  gelijkt  op  het  zeewaarts 
verbreede  deel  van  een  verdronken  stroom.  Zij  verloopt,  zooals  op 
tig.  1 is  aangegeven,  juist  ten  Zuiden  van  de  Hoorn-eilanden  en 
van  P.  Pajoeng  en  kan  van  daar  noordoost waarts  nog  over  een 
afstand  van  70  K.M.  met  nagenoeg  gelijkblijvende  diepte  van  onistreeks 
30  vaam  vervolgd  woiden. 

Er  bestaan  nog  geen  gegevens,  waaruit  men  het  verder  verloop 
van  dezen  stroom  en  van  haar  zijtakken  kan  afleiden. 


520 


e.  Sporen  van  verjongde  erosie  in  plistoceenen  tijd.  Eenige  der 
groote  rivieren  van  Borneo  bezitten,  waar  het  lage  land  in  het 
heuvelland  overgaat,  terrassen.  De  rivieren  hebben  zich  hier  een 
bed  ingesneden  in  grint,  vroeger  door  hen  afgezet.  Dat  moet  geschied 
zijn  in  een  tijd,  dat  de  insnijdende  werking  der  rivieren  grooter 
was  dan  nu,  want  tlians  hebben  zij  dat  bed  weder  grootendeels 
met  fijnere  afzettingen,  zand  en  slib  gevnld.  Deze  oude  grintterrassen 
werden  door  mij  waargenomen  aan  de  Kapoewas  bij  Sintang,  even 
boven  de  samenvloeiing  van  die  rivier  met  de  Melawi  en  aan  de 
Katingan  bij,  en  langs  haar  rechteroever  ook  nog  stroomaf  van,  het 
punt,  waar  de  Samba  zich  in  haar  uitstort^).  Bij  Sintang  werd  nog 
in  het  jaar  1894  goud  gewasschen  uit  het  grint  van  deze  terrassen. 
Ik  ben  geneigd  aan  Ie  nemen,  dat  het  grint  van  deze  terrassen 

door  de  rivieren  werd  afgezel  in  laat-plioceenen  tijd  en  nog  in  den 
aanvang  \’an  het  plisloceen,  toen  in  Borneo  de  denudatie  nog  lang 
niet  zoo  ver  was  gevorderd  als  thans.  Het  ontstaan  der  terrassen 
is  dan  zeer  goed  te  verklaren,  zoo  men  aanneemt,  dat  gedurende 
den  ijstijd  het  eindniveau  van  denudatie  omstreeks  75  M.  lager  werd 
gebracht;  hierdoor  werd  het  verval  der  rivieren  vergroot  en  de 
kracht  tot  erosie  versterkt;  zij  groeven  zich  diepe  beddingen  in  hun 
eigen  grintafzettingen,  die  gedurende  de  afwisselende  perioden  van 
versterkte  en  verminderde  erosie  in  de  opeenvolgende  glaciale  en 
interglaciale  tijdperken  ten  slotte  tot  wijde  dalen  werden  verbreed. 

Thans  ligt  het  eindvlak  van  denudatie  weer  ongeveer  zoo  hoog, 
als  bij  den  aanvang  van  het  plistoceen,  maar  omdat  intusschen 

Borneo  sterk  gedenndeerd  is  en  de  erosie  zoo  sterk  is  voortgeschreden, 
dat  de  toestand  van  rijpe  erosie  is  bereikt,  hebben  de  rivieren  thans 

op  de  plaatsen  waar  vroeger  grint  werd  gebracht,  nog  slechts  het 

vermogen  zand  en  slib  af  te  voeren.  De  breede  plistoceene  dalen, 
ingesneden  in  de  grinttei-rassen  worden  thans  langzaam  met  zand 
en  slib  gevuld. 

In  den  midden-  en  bovenloop  van  verscheidene  der  rivieren  in 
Sumatra,  die  aan  de  oostkust  uitmonden,  woiden  juist  zulke  oude 
grintterrassen  gevonden.';  zij  zijn  vermoedelijk  eveneens  van  plisto- 
ceenen ouderdom  en  ontstaan  door  dezelfde  oorzaken  als  die  der 
rivieren  van  Borneo,  maar,  aangezien  Sumatra  niet  tot  het  stabiele 
deel  van  het  Soenda-land  behoort,  is  het  zeer  wel  mogelijk,  dat 
daar  eigen  orogenetische  bewegingen  van  het  land  hebben  mede- 
gewerkt tot  de  wording  dezer  terrassen. 


’ j G.  A.  F.  Molengraaff.  Geol.  Verkenningstochten  in  Centraal  Borneo  p.  19 — 21 
en  p.  409 — 410,  Leiden  1900. 


521 


De  verspreiding  en  wijze  van  ontwikkeling  der  koraalrif  en ; het 
groots  Soenda-harrüre-rif . 

De  verspreiding  der  koraalriffen  in  de  Soenda-zee  is  eigen- 
aardig. In  de  eerste  plaats  valt  op,  dat  de  Soenda-zee,  die  opper- 
vlakkig besclioiiwd  vooi-  de  ontwikkeling  van  koralen  buitengewoon 
gunstig  gelegen  schijnt  te  zijn,  over  het  algemeen  genomen  arm  is 
aan  koralen.  Aan  de  kusten,  zoowel  van  Borneo,  als  van  Sumatra 
en  Java,  zijn  koraalriffen  zoo  weijiig  ontwikkeld,  dat  zij  op  de  be- 
staande hydrographisclie  kaarten  bijna  nergens  worden  aangegeven. 
Vrij  van  de  kusten  geldt  hetzelfde;  ook  daar  zijn  koraalriffen  er 
zeldzaam.  Dit  is  gemakkelijk  te  begrijpen,  indien  wij  in  het  oog 
houden  dat  de  Soenda-zee  krachtens  haar  hierboven  geschetste  wordings- 
geschiedenis snel  in  vlakteuitgebreidheid  moet  zijn  toegenomen 
maar  in  den  aanvang  een  zeer  geringe  diepte  moet  gehad  hebben, 
gepaard  aan  gering  zoutgehalte  en  groot  slibgehalte  en  dus  een  weinig 
gunstig  milieu  moet  geweest  zijn  vooi-  de  verspreiding  van  rif- 
bou wende  koralen. 

Een  uitzondering  maken  slechts  het  uiterste  randgebied  van  de 
Soenda-zee,  namelijk  daar,  waar  zij  aan  zeeën  grenst,  die  reeds  vóór 
haar  bestonden  en  van  waar  het  water  is  toegevloeid,  dat,  door  over- 
strooming  der  schiervlakte  van  het  Soenda-land,  de  Soenda-zee  deed 
ontstaan.  In  het  randgebied,  dat  ik  0[)  het  oog  heb,  ligt  de  archipel, 
waartoe  de  Natoena-eilanden  behooren,  welke  rijk  ontwikkelde  strand- 
riffen  en  eenige  los  uit  zee  oprijzende  koraaleilanden  bezit,  verder 
de  archipel  der  Duizend-eilanden  ten  Noordoosten  van  straat  Soenda 
en  ten  slotte  in  het  uiterste  Oosten  van  de  Soenda-zee  de 
Borneobank.  Van  uit  die  drie  zijden  is  klaarblijkelijk  de  Soenda-zee, 
die  aanvankelijk  zeer  ondiep,  modderig  en  door  zoet  water  verbrakt 
was,  langzamerhand  met  koi-alen  bevolkt,  toen  zij  geleidelijk  dieper, 
helderder  en  zouter  werd  ; dat  bevolkingsproces  is  waarschijnlijk  nog 
in  vollen  gang. 

Meer  nog  dan  deze  kwestie  van  de  geleidelijke  verspreiding  der 
koraalfauna  over  het  Soenda-plat  trekt  de  volgende  vraag  onze 
aandacht:  waren  langs  de  kust  van  het  plistoceene  Soenda-land  kust- 
ritfen  ontwikkeld  en  zoo  ja,  wat  is  d'aarmede  geschied  bij  de  post- 
plistoceene  overstrooming  van  het  land?  Zijn  de  kustritfen  wellicht 
opgegroeid  tot  van  hel  land  verwijderde  ritfen,  bijv.  barrière-ritfen, 
op  de  wijze  zooals  voor  het  eerst  door  Darwin  in  zijn  klassiek  werk 
over  het  ontstaan  van  barrière-ritfen  en  atollen  is  aannemelijk 
gemaakt?  De  kusten,  waar  het  hier  om  gaat,  zijn  aangegeven  op  de 
kaart  (Fig.  1)  door  het  \ erloop  van  de  40  vaam  lijn  vooreerst  in  de  Zuid- 


522 


Chiiieesche  zee,  verder  ten  Noorden  van  Straat  Soenda,  dus  in  liet 
bovenste  deel  van  de  Soenda-baai,  die  in  bet  plisloceene  Soenda-land 
ingreep  en  eindelijk  naar  bet  Oosten  tnsschen  de  Borneo-kust  en 
het  zuidelijke  deel  van  de  straat  van  Makasser. 

Uit  bet  verloop  der  diefiere  isobatben  bijv.  die  van  100  vaam  of 
van  200  M.  blijkt  dat  voor  de  kust  van  bet  Soenda-land  in  de 
Cbineescbe-zee  in  plistoceenen  tijd  een  nitgestrekt  plat  lag,  waarop 
de  zee  noordoostwaarts  slechts  zeer  langzaam  dieper  werd  en  dat 
vermoedelijk,  wat  de  tegenwoordige  zeebodem  nog  verraadt,  zeer 
modderig  was,  ook  al,  omdat  waarscbijnlijk  een  of  meer  groote 
rivieren  \ an  bet  Soenda-land  er  op  uitmondden.  De  voorwaarden  voor 
krachtige  ontwikkeling  van  kustritfen  waren  bier  derhalve  ongunstig 
en  bet  kan  ons  niet  verwonderen  dat  wij  van  de  vroegere  kustlijn 
thans  slechts  bier  en  daar  uit  een  diepte  van  40  vaam  rifgroepen 
tot  nabij  den  zeespiegel  oprijzend  \inden.  Toch  is  bet  opvallend  dat 
de  eenige  vrij  van  land  ontwikkelde  riffen,  die  thans  in  de  Zuid- 
Cbineesclie  zee  worden  gevonden,  zich  vrij  wel  houden  aan  de 
op  onze  kaart  aangegeven  40  vaam  dieptekrornme,  dus  aan  de 
vermoedelijke  kustlijn  van  bet  ondergedompelde  Soenda-land. 

Het  is  moeilijk  te  beoordeelen,  of  langs  een  zoo  bijzondere  kust, 
als  bet  boveneinde  van  de  Soenda-baai  moet  geweest  zijn,  de  voor- 
waarden voor  de  ontwikkeling  van  kustriffen  al  dan  niet  gunstig 
zijn  geweest.  Zooals  hierboven  reeds  is  opgemerkt,  greep  de  Soenda- 
baai  reeds  in  plistoceenen  tijd  diep  in  bet  Soenda-land  in  en  vormde 
zich  jnist  znid  van  de  tegenwoordige  Hoorn-eilanden  en  P.  Pajoeng 
tot  een  diepe  genl,  welke  overging  in  den  verwijden  mond  van  een 
stroom,  die  uit  het  Noordoosten  kwam. 

Opvallend  is  bet  echter  stellig,  dat  de  sti'ook  ten  Noordoosten  van 
straat  Soenda,  waar  dus  vroeger  bet  boveneinde  der  Soenda-baai 
lag,  thans,  in  tegenstelling  met  alle  andere  deelen  der  Javazee,  rijk 
is  aan  echte  koraaleilanden,  die  los  van  bet  land  zich  uit  een 
diepte  van  20  vaam  of  meer  tot  aan  of  nabij  den  zeespiegel  verheffen. 
Vele  van  deze,  en  dat  geldt  vooral  voor  die  welke  nit  geringe  diepte 
oprijzen,  zijn  waarscbijnlijk  jong  en  zijn  ontstaan  door  de  vereeniging 
van  kleine  koraalvormingen,  die  op  losse  steenen  afzonderlijk  waren 
ontwikkeld,  zooals  door  Sluiter^)  is  aangetoond.  Uit  ondiep  water 
bijv.  van  12  vaam  diepte  gaat  bet  opgroeien  van  nieuwe  koraal- 
eilanden o|)  die  wijze  nog  steeds  door.  Voor  die  eilanden  echter  uit 
degroepder  Duizend-eilanden,  welke  uit  dieper  water,  van  40  vaam 

0 C.  Ph.  Sluiter.  Einiges  über  die  Entstehung  der  Korallenriffe  in  der  Javazee 
und  Branntweinsbai,  und  über  neue  Korallenbildung  bei  Krakatau.  Nat.  Tijdschr. 
voor  Ned.  Indië  XLIX  p.  365  en  volg.  1889. 


523 


diepte  en  meer,  opiijzen,  zooals  bijv.  P.  Pajoeng  en  andere,  aeht 
ik  het  waarschijïilijk  dat  zij  ontstaan  zijn  door  opwaarts  groeien 
van  riffen,  die  in  de  vroegere  Soenda-baai  aan  de  knst’van  het  plisto- 
ceene  Soenda-land  vóór  zijn  onderdompeling  reeds  ontwikkeld  waren. 

Veel  sprekender  en  ondubbelzinniger  zijn  de  verhoudingen  aan 
de  vroegere  oostkust  van  het  Soenda-land.  Hier  grenst  het  passieve 
Soenda-land  aan  het  tektonisch  actieve  gebied  der  Molukken-zee  en 
wel  onmiddellijk  aan  de  straat  van  Makasser,  één  dei'  \ele  diepzee- 
troggen,  die  daar  nog  steeds  dieper  worden,  terwijl  andere  deelen, 
de  tegenwoordige  eilanden,  zich  nog  sleeds  verheffen.  In  plistoceenen 
tijd  was  deze  trog  of  sjncline  (misschien  een  slenk)  tusschen  Borneo 
en  Celebes  reeds  in  volle  ontwikkeling  en  dus  waren  de  voorwaar- 
den voor  de  ontwikkeling  van  een  plat  aan  de  oostkust  van  het 
Soenda-land  (oen  zeer  ongunstig.  De  dalende  zeebodem  bracht 
de  sedimenten,  die  het  Soenda-land  aanvoerde,  steeds  in  zoo  diepe 
niveau’s,  dat  het  niet  tot  |)latvoimiing  kon  komen.  Het  Soenda-land 
was  daardoor  naai-  het  Oosten  begrensd  door  een  diepe  zee,  de 
tegenwoordige  straat  van  Makassar,  en  zijn  kust  was  daar  steil.  Een 
plat  was  niet  aanwezig.  Dus  ideale  voorwaarden  voor  koraalont- 
wikkeling:  een  diepe  zee,  stellig  helder  en  zout  water,  althans  op 
eenigen  afstand  van  de  groole  rivier  of  rivieren,  die  ten  Noor'den 
van  Madoera  stroomden  en  het  Soenda-land  in  de  i-ichting  van,  de 
straat  van  Makasser  ontwaterden,  een  flinke  branding  en  een  steile, 
ten  deele  stellig  rotsachtige  kust.  Geen  wonder,  zoo  langs  deze 
kust  een  levenskrachtig  rif  zich  ontwikkelde. 

En  wat  zien  wij  thans? 

Op  den  uitersten  oostelijken  rand  van  het  Soenda-plat,  de  zoogenaamde 
Borneo-bank,  staat  een  rif  (Fig  3)  als  een  smalle,  op  vele  plaatsen 
onderbroken  muur  oprijzend  van  uit  een  diepte  van  70  tot  90  M.  tot  aan  of 
nabij  de  oppervlakte  der  zee.  Landwaarts  van  dit  rif,  op  het  Soenda- 
plat,  neemt  de  zeediepte  van  af  70  M.  slechts  zeer  langzaam  af; 
zeewaarts,  naar  de  straat  van  Makasser,  neemt  de  diepte  zeer  snel, 
plaatselijk  wellicht  bijna  loodrecht,  tot  200  M.  en  meer  toe,  zoodat 
op  een  afstand  van  eenige  kilometers  van  het  rif  reeds  diepten  van 
meer  dan  1000  Meter  voorkomen.  Dit  rif  staat  op  den  rand  van  het 
plistoceene  Soenda-land ; het  was  in  plistoceenen  tijd  vóór  het  af- 
smelteji  van  het  ijs  in  hoogere  breedten  een  strandrif  van  dat  Soenda- 
land  en  naarmate  de  Soenda-schiei'vlakte  na  plistoceenen  tijd  door 
de  zee  werd  overstroomd,  bouwden  de  koralen  het  i'if  opwaarts  tot 
zijn  tegenwoordige  gedaante.  Dat  rif  is  dus  een  echt  barrière-i-if,  om 
het  onder  het  w^ater  verdwijnende  vSoenda-land  opgegroeid  op  de  wijze, 
zooals  Dakwin  zich  de  barilère-riffen  in  het  algemeen  gevormd  denkt. 


524 


Alleen  maakt  dat  rif  op  liet  eerste  gezicht  niet  terstond  den  indruk 
van  een  barrière-rif,  omdat  het  land,  waartoe  het  behoort,  op  zoo 
onregelmatige  wijze  en  in  verhouding  tot  de  diepte  van  het  water 
over  zoo  buitengewoon  grooten  afstand  is  ondergeloopen.  Gaan  wij 
meer  in  bijzonderheden  het  verloop  van  dit  rif,  dat  het  groote  Soenda- 
barrière-rif  mag  genoemd  worden,  na,  zoo  blijkt  dat  het  begint  bij 
het  Amboengi  rif,  dat  tol  de  Kleine-Paternoster-eilanden  behoort. 
Deze  groep  van  koraaleilanden,  die  zich  in  oost-westelijke  richting 
van  Tandjong  Aroe  tot  ongeveer  75  K.M.  van  de  kust  van  Borneo 
uitstrekt,  mag  misschien  als  de  noordelijkste  grens  van  het  Soenda-plat 
aan  de  oostkust  van  Borneo  worden  beschouwd.  Het  koraaleiland 
Amboengi  ligt  ongeveer  120  K.M.  ten  Zuiden  van  den  mond  van  de 
Koetei  rivier.  Van  het  Amboengi-koraaleiland  verloopt  ons  barrière-rif 
in  zuidoostelijke  richting  tot  een  punt  tegenover  en  op  gelijke  breedte 
met  Tandjong  Ongkona  op  Celebes.  Op  dat  punt  is  het  rif  230  K.M. 
van  de  tegenwoordige  kust  van  Borneo  verwijderd,  maar  slechts 
44  K.M.  van  de  kust  van  Celebes.  Ten  Westen  van  het  rif,  in  de 
richting  van  Borneo,  is  de  zeediepte  nergens  grooter  dan  75  Meter, 
aan  de  oostzijde  van  het  rif,  in  de  richting  van  Celebes,  neemt  deze 
aanstonds  tot  200,  zeer  sjioedig  tot  1000  en  verder  tot  2385  Meter 
toe.  Van  hier  af  verloopt  het  rif  eerst  in  zuid-westelijke,  daarna  in 
zuid-zuidwestelijke  richting  door  tot  ongeveer  5°40'  Z.Br. 

Een  Vl  ij  goed  aaneengesloten  gedeelte  van  het  rif,  dat  bij  eb  op  vele 
plaatsen  droog  loopt,  ligt  tusschen  4°  20'  en  5°  30'  Z.Br.  Dat 
gedeelte  is  op  de  zeekaarten  als  de  Laurel-riffen  onderscheiden.  De 
totale  lengte  van  het  Soenda-barrière-rif  van  Amboengi  tot  5°  40' 
Z.Br.  is  ongeveer  500  K.M.  Verder  dan  5°  40'  is  het  rif  op  de 
kaarten  niet  te  vervolgen,  maar  ongeveer  100  K.M.  verder  in  zuid- 
westelijke richting  begint  het  weer  bij  het  Kwong-Eng-rif  en  het  kan 
van  daar  door  een  aantal  koraaleilandjes  tot  bij  de  Kangeang-eilanden 
ver\'olgd  worden,  ook  hier  weder  de  uiterste  grens  van  het  Soenda- 
plat,  dus  van  het  overstroomde  Soenda-land  markeerend. 

De  gaping  van  ruim  100  K.M.  in  het  rif  vormt  den  ingang  van 
een  grooten  imham  of  baai,  waarin  zich  vermoedelijk  de  groote 
stroom  of  stroomen  ontlastten,  die  in  plistoceenen  tijd  het  Soenda- 
land  in  de  richting  van  het  zuidelijkste  deel  der  straat  van 
Makasser  ontwaterden.  Het  ontbreken  van  riffen  wordt  daardoor 
gereedelijk  verklaard. 

Het  groote  barrière-rif')  bezit  volgens  de  zeekaarten  talrijke  onder- 

1)  Niermeyer  heeft  l.c.  p.  884  en  kaart  XIII  No.  2 reeds  een  deel  van  dit 
groote  rif  als  een  barrière-rif  opgevat  en  beschreven,  maar  m.  i.  het  werkelijke 
verband,  dat  er  bestaat  tusschen  de  genese  van  de  Borneobank  en  van  dit  barrière-rif 


524 


Alleen  maakt  dat  rif  op  het  eerste  gezicht  niet  terstond  den  indruk 
van  een  barrière-rif,  omdat  het  land,  waartoe  het  behoort,  op  zoo 
onregelmatige  wijze  en  in  verliouding  tot  de  diepte  van  het  water 
over  zoo  buitengewoon  grooten  afstand  is  ondergeloopen.  Gaan  wij 
meer  in  bijzonderheden  het  verloop  van  dit  rif,  dat  het  groote  Soenda- 
barrière-rif  mag  genoemd  worden,  na,  zoo  blijkt  dat  het  begint  bij 
het  Amboengi  rif,  dat  tot  de  Kleine-Paternoster-eilanden  behoort. 
Deze  groep  van  koraaleilanden,  die  zich  in  oost-westelijke  richting 
van  Tandjong  Aroe  tot  ongeveer  75  K.M.  van  de  kust  van  Borneo 
uitstrekt,  mag  misschien  als  de  noordelijkste  grens  van  het  Soenda-plat 
aan  de  oostkust  van  Borneo  worden  beschouwd.  Het  koraaleiland 
Amboengi  ligt  ongeveer  120  K.M.  ten  Zuiden  van  den  mond  van  de 
Koetei  rivier.  Van  het  Amboengi-koraaleiland  verloopt  ons  barrière-rif 
iif  zuidoostelijke  richting  tot  een  punt  tegenover  en  op  gelijke  breedte 
met  Tandjong  Ongkona  op  Celebes.  Op  dat  punt  is  het  rif  230  K.M. 
van  de  tegen wooidige  kust  van  Borneo  verwijderd,  maar  slechts 
44  K.M.  van  de  kust  van  Celebes.  Ten  Westen  van  het  rif,  in  de 
richting  van  Borneo,  is  de  zeediepte  nergens  grooter  dan  75  Meter, 
aan  de  oostzijde  van  het  rif,  iri  de  richting  van  Celebes,  neemt  deze 
aanstojids  tot  200,  zeer  spoedig  tot  1000  en  vei-der  tot  2385  Meter 
toe.  Van  hier  af  verloopt  het  rif  eerst  in  zuid-westelijke,  daarna  in 
zuid-zuidwestelijke  richting  door  tot  ongeveer  5°40'  Z.Br. 

Een  vrij  goed  aaneengesloten  gedeelte  van  het  rif,  dat  bij  eb  op  vele 
plaatsen  droog  loopt,  ligt  lusschen  4°  20^  en  5°  30'  Z.Br.  Dat 
gedeelte  is  op  de  zeekaarten  als  de  Laurel-riffen  onderscheiden.  De 
totale  lengte  van  het  Soenda-barrière-rif  van  Amboengi  tot  5°  40' 
Z.Br.  is  ongeveer  500  K.M.  Verdei-  dan  5°  40'  is  het  rif  op  de 
kaai'ten  niet  te  vervolgen,  maar  ongeveer  100  K.M.  verder  in  zuid- 
westelijke richting  begint  het  weer  bij  het  Kwong-Eng-rif  en  het  kan 
van  daar  door  een  aantal  koraaleilandjes  tot  bij  de  Kangeang-eilanden 
vervolgd  worden,  ook  hier  weder  de  uiterste  grens  van  het  Soenda- 
plat,  dus  van  het  overstroomde  Soenda-land  markeerend. 

De  gaping  van  ruim  100  K.M.  in  het  rif  vormt  den  ingang  van 
een  grooten  imham  of  baai,  waarin  zicli  vermoedelijk  de  groote 
stroom  of  stroomen  ontlastten,  die  in  plistoceenen  tijd  het  Soenda- 
land  in  de  richting  van  het  zuidelijkste  deel  der  straat  van 
Makasser  ontwaterden.  Het  ontbreken  van  riffen  woidt  daardoor 
gereedelijk  verklaard. 

Het  groote  barrière-rif^)  bezit  volgens  de  zeekaarten  talrijke  onder- 

1)  Niermeyer  heeft  l.c.  p.  884  en  kaart  XIII  No.  2 reeds  een  deel  van  dit 
groote  rif  als  een  barrière-rif  opgevat  en  beschreven,  maar  ni.  i.  het  werkelijke 
verband,  dat  er  bestaat  tusschen  de  genese  van  de  Borneobank  en  van  dit  barrière-rif 


I 


G.  A.  F.  MOLENGRAAFF  en  M.  WEBERi  „Het  verbond  tusschen  den  | -listoceenen  iistijd  en  het  ontstaan  der  Soenda-zee  (Java-  en  Zuid- 
Chineesche  Zee)  en  de  invloed  daarvan  op  de  verspreiding  der  koraalriffen  en  op  de  land-  en  zoetwater-fauna.” 


KAART  DER  KORAALEILANDEN  IN  STRAAT  MAKASSER  Fig.  3. 

Schaal:  1 : 2.000.000. 


Doorgaande  liiii  Kust. 

Stippellijn Isobanth  vim  40  vaam  o(  72  meter. 

/wart Koni.ilvormingen,  die  boven  water  uitstéken  of  tol  5 vaam  daar  beneden  blijven. 

Scliuin  gestreept Koraalvormingen,  die  tnssclien  5 en  20  vaam  beneden  de  zeespiegel  liggen. 


525 


brekingen  en  bereikt  slechts  liier  en  daar  de  oppervlakte  van  het 
water,  op  de  meeste  plaatsen  ligt  het  op  geringe  diepte  en  alleen 
ten  Zuidwesten  van  de  Laur.el-riffen  wordt  zijn  ligging  tot  5°40' Z. Br. 
allengs  dieper.  Klaarblijkelijk  waren  hier,  waarschijnlijk  door  on- 
voldoend zoutgehalte  vair  het  water,  de  voorwaaiden  voor  het 
opwaarts  groeien  van  het  kustrif  bij  de  geleidelijke  onderdompeling 
van  het  land  niet  zoo  gunstig  als  meer  noordelijk  in  de  straat  van 
Makasser. 

De.  atollen  en  verwante  koraaleilanden,  die  wortelen  op  afgeknotte  en 
verzonken  eilanden,  die  tot  het  Soenda-land  behoorden. 

Het  zuidelijkste,  ondiepste  deel  van  de  straat  van  Makasser  wordt 
naar  het  Noorden  van  de  diepere  deelen  dier  straat  en  naar  het 
Zuidoosten  van  de  Flores-zee  gescheiden  door  eenige  groepen  van 
koraaleilanden  en  atollen  '),  en  wel  naar  het  Noorden  door  de  Kaloe 
Kaloekoeang-eilanden  en  de  Laarsbanken,  naar  de  F'lores-zee  door  de 
Paternoster-  en  Postiljoneilanden  (zie  fig.  3).  Zij  vertonnen  in  bouw 
een  sterke  verwantschap. 

1.  De  groep  der  Kaloe  Kaloekoeang-eilanden.  Alle  zijn  koraal- 
eilanden. De  meeste  wortelen  op  den  rand  van  een  bank,  die 
tamelijk  vlak  is,  gemiddeld  20  en  nergens  meer  dan  40  vaam  beneden 
den  zeespiegel  ligt.  Drie  loodingen,  die  diepten  van  resp.  66,  90  en 


niet  ingezien.  Hij  vraagt  voor  het  gedeelte  van  dat  rif,  dat  tusschen  de  Laurel-riffen 
en  de  Kleine  Paternoster-eilanden  de  oppervlakte  der  zee  niet  bereikt,  „is  hier  een 
randrif  bezig  zich  op  te  bouwen?”  Het  is  duidelijk,  dat  ik  hierop  bevestigend  antwoord, 
maar  dat  ik  mij  dat  opbouwen  denk,  niet  uit  een  diepte  van  200  M.  maar  uit  een 
diepte  van  75  tot  90  M.,  gelijken  pas  houdend  met  het  allengs  stijgen  van  den 
zeespiegel  na  den  ijstijd.  Tevens  zij  geconstateerd,  dat  ik  de  uitspraak,  in  datzelfde 
artikel  op  p.  881  gedaan:  „geen  plat,  geen  barrière-rif”,  niet  onderschrijf.  Voor  het 
omgekeerde  zou  wel  iets  te  zeggen  zijn ; immers  ontwikkelde  zich  bij  het  Soenda-land 
in  de  Zuid-Ghineesche  Zee,  waar  het  een  uitgestrekt  plat  bezat,  geen  barrière-rif, 
in  de  Straat  van  Makasser  daarentegen,  waar  het  geen  plat  bezat,  een  voortreffelijk 
barrière-rif.  Evenmin  kan  ik  de  meening,  op  p.  893  uitgesproken,  dat  de  bouwwijze 
der  barrière-riffen  in  den  Oost-lndischen  archipel  „een  nieuw  getuigenis  is  tegen 
de  theorie  van  Darwin,  volgens  welke  de  barrières  uit  strandrifïen  zouden  ontstaan 
zijn”,  deelen.  Veeleer  zie  ik  de  meening  van  Darwin  door  de  bouwwijze  der 
barrière-riffen  in  den  Oost-lndischen  archipel  bevestigd  en  zoo  zij  mij  tot  één  uitspraak 
aanleiding  zou  geven,  dan  zou  het  deze  zijn:  „zonder  daling  van  den  bodem  of 
rijzing  van  den  zeespiegel,  wat  in  dezen  hetzelfde  beduidt,  geen  barrière-riffen  en 
geen  atollen”. 

b Onze  kennis  van  deze  koraaleilanden  is  nog  zeer  onvoldoende  en  nieuwe 
opmetingen  zullen  hier  allicht  nog  groote  verrassingen  brengen,  zooals  ook  het 
geval  was  bij  de  jongste  opmetingen  van  de  eilanden  der  Toekang  besi  groep  in 
1916  en  van  het  atol  der  Zandbuisbanken  in  1910. 


526 


meei-  dan  100  vaam  aangeven,  wijzen  er  op,  dat  de  bank  door  een 
smalle,  diepe  straat  in  twee  deelen  wordt  gescheiden. 

Rondom  neemt  de  zee  van  af  den  rand  van  de  bank,  die  overal 
ongeveer  40  vaam  diep  ligt,  snel  toe.  Van  dien  rand  is  een  koraalrif 
omhoog  gegroeid  dat,  vooral  naar  boven  toe,  zeer  sterk  onderbroken 
is.  Aan  de  noordelijke  helft  van  de  bank  bereiken  de  toppen  van 
dit  rif  de  oppervlakte  der  zee  op  vele  plaatsen,  maar  aan  de  zuidelijke 
helft  is  dit  niet  het  geval.  Behalve  aan  den  rand  verheffen  zich  van 
het  bovenvlak  van  de  bank  ook  nog  op  verschillende  andere  plaatsen 
rif  bouwsels,  die  hier  en  daar  tot  aan  den  zeespiegel  reiken.  Op  het 
uiterste  noordelijke  deel  van  de  bank  zijn  de  rifbouwsels  ringvormig 
gerangschikt  en  vormen  aldus  een  faro  of  atol  Ion.  De  Kaloe  Kaloe- 
koeang-eilanden  vormen  te  zamen  een  samengesteld  atol,  waarvan 
de  ring  niet  geheel  gesloten  en  vooral  in  het  zuidelijke  gedeelte  over 
groote  afstanden  onderbroken  is.  In  bouw  gelijkt  het  atol  volkomen 
op  de  samengestelde  atollen  van  den  Malediven-archipel,  bijv.  op  het 
Miladdnmmadula-atol/)  waarvan  de  ring,  die  zich  verheft  van  af  den 
rand  van  een  bank,  die  gemiddeld  20 — 25  vaam  onder  den  zeespiegel 
ligt,  insgelijks  op  zeer  veel  plaatsen  onderbroken  is  en  bovendien 
over  groote  afstanden  beneden  den  zeespiegel  blijft.  Alleen  is  dit 
Miladummadnla-atol  gerekter  van  vorm  dan  het  Kaloe  Kaloekoeang- 
atol;  de  lengte  en  breedte  van  het  eerste  zijn  146  X 31  K.M.,  van 
het  tweede  98  X 58  K.M. 

2.  De  Paternoster-  en  de  Postiljon-eilanden.  Voor  deze  koraal- 
eilanden geldt  in  hoofdzaak  de  beschrijving,  zooeven  van  de  Kaloe- 
koeang-eilanden  gegeven.  Zij  bestaan  uit  drie  onderzeesche  banken, 
met  een  diepte,  die  van  17  tot  40  vaam  gaat.  Van  de  eerste  bank, 
waarvan  de  grootste  afmetingen  140  X 50  K.M.  zijn,  en  wel  in 
hoofdzaak  aan  den  rand,  verheffen  zich  tot  aan  of  nabij  den  zee- 
spiegel twee  gi-oepen  van  rifbouwsels,  die  ieder  nu  ringvormig  ge- 
rangschikt zijn,  en  te  zamen  het  samengestelde  dubbel-atol  der 
Postiljon-eilanden  vormen.  Dat  dubbel-atol  bestaat  uit  het  zuidweste- 
lijke Sarasa-atol  en  het  noordoostelijke  Sabalana-atol.  Een  deel  der 
rifeilandjes  van  het  eerste  atol  zijn  wederom  ringvormig  tot  een 
faro  gerangschikt,  de  Sapoeka-faro.  Het  noordoostelijke  Sabalana- 
atol  bezit  zoowel  westwaarts  als  oostwaarts  een  opmerkelijker)  uit- 
looper  of  hoorn,  naar  het  Westen  het  Bangkawang-atollon,  naar 
het  Oosten  het  Sabalana-atollon.  Het  zuidwestelijke  Sarasa-atol  zou  men 
ook  als  een  bijzonder  groote  faro  of  atollon  van  het  geheele  Sabalana- 
atol  kunnen  beschouwen  en  dan  zou  de  naam  dubbel-atol  vervallen. 

h A.  Agassiz.  The  coral  reefs  of  the  Maldives.  Mem.  Mus.  Comp.  Zool. 
Harvard  College  XXIX  p 83  en  PI.  1-3.,  1903. 


527 


De  tweede  bank,  die  der  Patenioster-eilanden,  groot  115x  26  K.M. 

en  van  gelijke  diepte  als  de  andere  draagt  insgelijks  vooral  aan  zijn 
rand,  die  ongeveer  40  vaam  diep  ligt,  talrijke  koraaleilanden,  die  tot  een 
steilen  in  éénrichting  verlengden  en  gebogen  en  ondnidelijken  krans 
zijn  gerangschikt.  Te  zamen  vormen  zij  een  weinig  typisch  atol. 

Een  weinig  ten  Zuiden  van  de  Paternoster-eilanden  ligt  een  groep 
koraaleilandjes,  waarvan  de  fraaie  atol  vorm  door  het  opnemings- 
vaarlnig  Lombok  in  liet  jaar  1910  is  bekend  geworden.  Zij  vormen 
te  zameii  een  nagenoeg  gesloten  ring  uit  drie  gedeelten  bestaande, 
die  de  Zandbnisbanken,  Maria  Reigersbergen  en  Huzaar  genoemd 
worden.  De  lagune  is  gedeeltelijk  meer  dan  100  vaam  diep. 

Ik  veronderstel  dat  in  plistoceenen  tijd  deze  banken  eilanden 
vormden,  die  tot  het  Soenda-land  behoorden  maar  daarvan  reeds 
afgescheiden  waren  door  bodemdalingen  in  verband  met  de  vorming 
van  de  bekkens  van  de  Bali-zee  en  de  Straat  van  Makasser.  De 
vorming  van  deze  diepe  zeeën  was  een  uiting  van  de  orognetische 
bewegingen,  die  nog  heden  in  het  oostelijk  deel  van  den  archipel  in 
vollen  gang  zijn.  Hier  greep  dus  reeds  voor  den  aanvang  van  het 
plistoceen  het  labiele  Oosten  in  in  het  stabiele  Westen  \'an  den 
archipel.  Wat  geschiedde  nu  met  deze  eilanden,  het  Kaloekoeang-, 
het  Paternoster-  en  het  Postiljon-eiland  ? Zij  kwamen  evenals  het  ge- 
heele  Soenda-land  aanvankelijk  minstens  72  Meter  hooger  ten  opzichte 
van  den  zeespiegel  te  liggen.  Het  is  niet  bekend,  maar  wel  aan- 
nemelijk, dat  deze  eilanden  voordat  de  daling  van  den  zeespiegel 
intrad,  door  rifpantsers  tegen  de  vernielende  werking  der  brandings- 
golven  beschermd  waren  en,  zoo  men  de  beginselen  aanvaardt,  door 
Dai.y  uiteengezet  in  zijn  glacial-control  theory  ’),  kan  men  zich  denken, 
dat  zij  in  plistoceenen  tijd  geheel  door  de  brandingsgolven  werden 
geabradeerd  en  tot  banken  gemaakt,  die  zoo  diep  onder  den  zee- 
spiegel lagen  als  de  werking  der  golven  reikte.  Daly  is  van  oordeel, 
dat  de  abrasie  en  afknotting  voornamelijk  heeft  plaats  gehad  ge- 
durende de  maxima  van  glaciatie,  d.  w.  z.  de  perioden  van  laagsten 
stand  van  den  zeespiegel,  door  het  proces  van  afslag.  Het  komt  mij 
voor,  dat  die  abrasie  en  afknotting  vooral  sterk  en  voortschrijdend 
zal  zijn  geweest  gedurende  de  overgangen  van  glaciale  tot  interglaciale 
tijdperken,  dus  gedurende  de  tijdperken  van  langzame  en  langdurige 
stijging  van  den  zeespiegel.  Bij  den  aanvaug  van  iederen  interglaciaaltijd 
werd  de  abrasie  en  afknotting  der  inmiddels  ook  telkens  sterker 

h R.  A.  Daly.  Pleistocene  glaciation  and  the  coral  reef  problem.  Amer. 
Journal  of  Science  XXX  p.  297,  1910;  Origin  of  the  coral  reefs.  Science 
Gonspectus  I p.  120,  1911;  The  glacial-control  theory  of  coral  reefs.  Proc.  of  the 
Amer.  Acad.  of  Arts  and  Sciences  LI  p.  157,  1915. 


528 


gepenepleiiizeerde  eilanden  vollediger  gemaakt,  zoodat  ten  slotte  aan 
het  eind  van  het  plistoceen  de  eilanden  volledig  afgeknot  en  tot 
onderzeesche  banken  gereduceerd  werden,  die  bij  uiteindelijk  stijgen 
van  den  zeespiegel  na  den  ijstijd  tot  een  diepte  van  meer  dan  72  Meter 
door  de  zee  werden  bedekt.  De  strandriffen,  die  aan  het  eind  van 
het  plistoceen  aanwezig  waren  evenals  de  rifbouwsels,  die  bij  het 
laatste  onderloopen  hier  en  daar  op  de  bank  ontstonden,  groeiden 
geleidelijk,  naarmate  het  water  steeg,  op  tot  de  atollen  en  atolachtige 
koraaleilanden,  zooals  die  nu  zich  voordoen. 

3.  De  Spermonde-hanlc. 

Zoo  men  geneigd  is,  de  Koeloekoeang-,  de  Paternoster-  en 
de  Postiljo)!  eilanden  te  beschouwen  als  gedeelten  van  het 
Soenda-land,  die  volgens  de  glacial-control  theory  tot  koraaleilanden 
ontwikkeld  zijn,  dan  ligt  het  voor  de  hand  te  vermoeden,  dat  het 
groote  plat  aan  de  westkust  van  Zuid-Celebes,  dat  de  groep  van 
koraaleilanden  draagt,  bekend  als  de  Spermonde-archipel,  eveneens 
tot  het  Soenda-land  in  nauwe  betrekking  heeft  gestaan.  De  Borneo- 
bank  en  de  Spermonde-bank  hebben  zeer  veel  met  elkaar  gemeen ; 
beide  liggen  gemiddeld  50  en  hoogstens  75  M.  onder  den  zeespiegel, 
aan  den  rand  van  de  Spermonde-bank  is  een  barrière-rif  ontwikkeld, 
dat  in  duidelijkheid  niet  ten  achter  staat  bij  het  Groote  Soenda- 
barrière-rif  en  het  Spermonde-plat  is  evenals  de  Borneo-bank 
bezet  met  een  groot  aantal  rifbouwsels,  die  hier  en  daar  de  opper- 
vlakte van  het  water  bereiken.  Het  Spermonde-plat  houdt  bij 
4°J6'  Z.Br.  plotseling  op  en  hel  Spermonde-barrière-iif,  dat  van 
5°40  Z.Br.  noordwaarts  over  een  afstand  van  230  K.M.,  zij  het 
ook  niet  samen  hangend,  toch  als  een  reeks  van  koraaleilanden  te 
vervolgen  is,  legt  zich  hier  tegen  de  strandriffen  aan  en  meer  noord- 
waarts draagt  de  kust  van  Celebes  slechte  onbeduidende  strandriffen. 

Het  maakt  den  indruk,  alsof  de  westkust  van  Zuid-Celebes  in  den 
jongster!  geologischen  tijd  dezelfde  geschiedenis  heeft  gehad  als  hel 
Soenda-land,  in  tegenstelling  met  andere  deelen  van  Celebes. 

4.  De  Laars-hanken  en  het  atol  de  Bril. 

De  koraaleilanden,  bekend  als  de  Laars-banken  en  het  atol  de 
Bril,  die  in  het  kanaal,  dat  de  straat  van  Makasser  met  de  Flores- 
zee  verbindt,  zijn  gelegen,  geven  het  recht  aan  te  nemen,  dat  deze 
nog  in  post-plistoceenen  tijd  dieper  is  geworden.  De  Laars-banken 
vormen  te  samen  een  samengesteld  atol.  De  i-if bouwsels  zijn  tot  een 
ring  gegroepeerd,  die  groote  gapingen  vei-toont.  Zij  verheffen  zich 
van  een  voetstuk,  dat  meer  dan  100  vaam  diep  is  gelegen,  maar 
in  bijzonderheden  nog  niet  bekend  is.  In  het  noordelijk  deel  zijn  de 
riffen  tot  een  afzonderlijken  ring  of  faro  gegi’oepeerd,  welk  atollon 


529 


op  de  zeekaarten  den  naam  van  den  Laars-eilanden  draagt.  De  koraal- 
eilanden ,der  Laars-banken  zijn  vermoedelijk  op  dezelfde  wijze  ont- 
staan als  die  op  de  Kaloe-Kaloekoeang  bank ; de  Laars-bank  zon 
dan  vroegei'  op  dezelfde  diepte  als  de  Kaloekoeang- of  de  Paternoster- 
bank  hebben  gelegen  en  behoorde  even  als  de  laatstgenoemde  bij 
den  aanvang  van  het  plistoceen  als  een  eiland  tot  het  Soenda-land. 
Na  het  plistoceen  verzonk  echter  de  bank  waarop  het  Laars-atol 
stond  door  dieper  worden  van  het  water,  dat  de  straat  van  Makasser 
met  de  Flores-zee  verbindt,  en  de  koraalvormingen  bleven  slechts 
hier  en  daar  in  staat  door  opwaartschen  groei  tot  aan  of  nabij  den 
zeespiegel  te  blijven.  Het  atol  Bril  kan  men  zich  op  dezelfde  wijze 
ontstaan  denken  als  her  Laars-atol.  Evenzeer  ben  ik  geneigd  aan  te 
nemen,  dat  het  Zandbuis-atol  met  zijn  lagune  met  diepten  van  meer 
dan  100  vaam  op  een  bank  staat,  die  nog  na  het  plistoceen  is 
weggezonken. 

Schommelingen  van  den  zeespiegel  in  recenten  en  suhrecenten  tijd. 

Uit  de  ligging  van  eindmoraines  en  uit  andere  eigenaardigheden 
der  terreinen,  die  door  de  plistoceene  ijsbedekkingen  bij  hun  terug- 
trekken zijn  ontruimd,  heeft  men  kunnen  opmaken,  dat  dit  terug- 
trekken niet  ononderbroken  is  voortgegaan,  maar  is  afgewisseld  door 
perioden  van  rust  en,  waarschijnlijk  ook  wei  van  tijdelijk  hernieuwden 
groei  van  het  ijs.  Ook  in  historischen  tijd  heeft  hetzelfde  plaats 
gehad  ; de  gletschers  der  Alpen  waren  sedert  den  Romeinsclien  tijd  tot 
in  de  laatste  decaden  der  eeuw  kleiner  dan  thans,  daarna  namen 

zij  snel  in  uitgebreidheid  toe  en  bleven  over  het  algemeen  sterker 
ontwikkeld  dan  thans  het  geval  is  tot  omstreeks  het  jaar  1850  ; na 
dat  jaar  zijn  zij  bijna  onafgebroken  afgenomen  tot  op  heden,  maar 
zijn  nog  lang  niet  zoo  klein  ais  bijv.  in  het  jaar  1570.  Deze  feiten 
wijzen  voor  de  uitbreiding  der  gletschers  in  de  Alpen  in  historischen 
tijd  althans  op  één  geheele  belangrijke  schommeling,  geringe  uit- 
breiding tusschen  ± 50  ri.  C.  en  1570,  sterkere  uitbreiding  van 
1570  tot  1850  en  weder  geringere  uitbreiding  na  het  jaar  1850, 
welke  nog  steeds  voortduurt.  Er  is  geen  reden  het  niet  voor  waar- 
schijnlijk te  houden,  dat  deze  schommelingen  zich  over  alle  ver- 
gletscherde  gebieden  der  aarde  op  overeenkomstige  wijze  hebben 
geuit  en  in  dit  geval  zouden  zij  moeten  zijn  weerspiegeld  door  cor- 
respondeerende  geringe  schommelingen  van  den  zeespiegel.  En  het 
is  daarom  wel  te  verwachten,  dat  ook  aan  de  kusten  van  de  Soenda- 
zee  iets  van  deze  of  van  dergelijke  schommelingen  van  gering  bedrag 
zal  waarneembaar  zijn.  Inderdaad  zijn  in  enkele  der  geologisch  goed 

85 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVlll.  A''.  1919/550. 


530 


bekende  gedeelten  van  het  gebied  der  Soenda-zee  verschijnselen  waar- 
genomen, die  op  een  iets  lioogeren  stand  van  den  zeespiegel  in 
geologisch  kort  veideden  tijd  wijzen.  Zoo  meldt  Verbeek,  dat  aan 
de  kusten  van  Billiton  0 en  op  de  omringende  eilanden  veel  opgeheven 
koraal  kalk  wordt  gevonden,  die  echter  niet  meer  dan  1 a 2 meter 
boven  hoogwaterstand  is  gelegen  en  dikwijls  bedekt  is  door  los 
koraalgrnis  en  zeezand.  Voor  het  eiland  Bangka  deelt  Verbeek 
hetzelfde  mede  en  voegt  ook  voor  dit  eiland  er  bij,  dat  hem  daar 
geen  plaatsen  bekend  zijn,  waar  koraalkalk  meer  dan  1 of  2 meter 
boven  hoogwaterstand  is  opgeheven. 

Het  voorkomen  van  die  koraalkalk  (het  zeezand  bewijst  niets, 
omdat  het  kan  opgewaaid  zijn)  bewijst  dat  in  betrekkelijk  recenten 
tijd  een  kleine  schommeling  van  den  zeespiegel  heeft  plaats  gehad, 
gedurende  welken  tijd  de  zeespiegel  2 meter,  of  nog  iels  meer,  hooger 
moet  hebben  gestaan  dan  thans. 

Cornets  de  Groot’)  Tneent,  dat  het  geheele  eiland  Billiton  na  het 
tertiaire  tijdperk  eenige  meters  hoog  is  opgeheven  op  grond  van  het 
vinden  van  zeeschelpen  van  jong-plistoceenen  (of  recenten)  ouderdom  “) 
in  den  sti'oomtinerlsgrond  in  de  mijn  Ditjang  N°.  8 van  het  district 
Tandjong  Pandang,  niet  ver  van  het  tegenwoordige  strand.  Echter 
is  het  uit  de  beschrijving  van  de  Groot  niet  op  te  maken,  of  deze 
laag  stroomtinertsgrond  (kaksa)  boven  den  gemiddelden  tegen woor- 
digen  stand  van  den  zeespiegel  ligt  of  niet,  terwijl  Verbeek  mededeelt, 
dat  zij  waarschijnlijk  een  weinig  onder  het  tegenwoordige  niveau 
der  zee  ligt.  In  het  jaar  1911  vond  ik  juist  zulk  een  afzetting  van 
recente  zeeschelpen  in  de  kaksa  van  de  mijn  Merante  in  het  district 
Linggang.  Deze  mijn  ligt  niet  ver  van  de  kusten  de  laag  met  schelpen  vond 
ik  ongeveer  8 Meter  onder  het  maaiveld.  Hoewel  de  hoogte  van  het 
maaiveld  aldaar  niet  nauwkeurig  bekend  is,  staat  toch  wel  vast,  dat 
die  laag  met  schelpen  niet  boveji  maar  beneden  den  gemiddelden 
stand  van  het  zeewater  is  gelegen. 

Verbeter  ^)  vermeldt  het  voorkomen  van  juist  zulke  scheiplagen, 

b R.  D.  M.  Verbeek.  Geol.  beschrijving  van  Bangka  en  Billiton.  Jaarb  van 
het  Mijnw'ezen  XXVI,  1897  pag.  81. 

*)  R.  D.  M.  Verbeek,  l.c.  pag.  62. 

CoRN.  DE  Groot.  Herinneringen  aan  Blitong.  ’s  Gravenhage  1887,  p.  200. 
208  en  vooral  p.  470-473. 

9 Martin  heeft  deze  schelpen  onderzocht  en  komt  tot  de  conclusie  „that  the 
fauna  in  question  belongs  to  a very  recent  past”  en  ,that  the  fauna  agrees  with 
that  of  the  sea  surrounding  the  island  of  Blitong”.  Zie  K.  Martin.  On  a posttertiary 
fauna  from  the  stream-tin-deposits  of  Blitong.  Notes  from  the  Leyden  Museum 
Vol.  111  p.  17  and  19,  1881. 

b R.  D.  M.  Verbeek  l.c.  pag.  170.  :: 


531 


bebaive  van  de  bovengenoemde  plaatsen  ook  nog  van  de  mijn  30 
ten  Oosten  van  Manggar  en  van  de  mijn  N*.  1 in  het  district  Ling- 
gang  en  voegt  er  bij  dat  zij  .op  ongeveer  het  tegenwoordige  niveau 
der  zee  zijn  gelegen. 

Het  wi!  mij  in  verband  met  een  en  ander  niet  gerechtvaardigd 
voorkomen,  op  grond  van  deze  vondsten  van  schelpen  van  geringen 
ouderdom;  gevolgtrekkingen  te  maken  omtrent  een  mogelijke  geringe 
rijzing  van  het  eiland  ten  opzichte  van  den  zeespiegel. 

In  het  tektonisch  niet  stabiele  gedeelte  van  het  Soenda-land,  waartoe 
het  grootste  gedeelte  van  Sumatra  en  Java  behooren,  zijn,  zooais  te 
verwachten  is,  in  plistoceenen  en  post-püstoceenen  lijd  bewegingen 
van  uiteenloopend  karakter  geconslateerd.  Het  is  niet  het  doel  van 
dit  opstel,  deze  te  vermelden  en  hiui  wijze  van  ontstaan  in  discussie 
t©  brengen. 

De  Sahoel-bank. 

De  Sahoel-bank  is  liet  ovei'Stroomde  deel  van  een  vlak  land,  een 
schiervlakte,  die  behoorde  tot  een  groot  land,  waarvan  in  plisto- 
ceenen tijd  Australië,  Nieuw-Goinea,  de  Aroe-eilanden  en  eenige 
naburige  eilanden  deel  uitmaakten.  Na  den  plistoceenen  glaciaaltijd 
liep  door  het  stijgen  van  den  zeespiegel  dat  vlakke  land  onder  en 
werd  de  Sahoel-bank  of  het  Sahoel-plat  (Fig.  1)  gevormd,  dat  thans 
zeer  gelijkmatig  ongeveer  50  Meter  onder  den  zeespiegel  ligt,  onge- 
veer zoo  diep  als  het  Soenda-plat. 

De  iioodige  gegevens  ontbreken  mij,  de  geologische  gesctiiedeiiis 
van  het  Sahoel-plat  nader  te  kunnen  uitvorschen.  Alleen  zij  vermeld, 
dat  de  rivieren  van  Noordwest  Australië,  die  thans  op  het  Sahoel-plat 
uitmonden,  voort refFelijke  typen  van  verdronken  rivieren  vertoonen. 
De  Prince  Regent  River  zou  als  een  voorbeeld  van  een  verdronken 
rivier  kunnen  dienen. 


Conclusies. 

De  voor  waarden  voor  platvorm  ing  waren  in  plistoceenen  tijd 
zeer  gunstig  en  bereikten  in  tropische  streken  aan  het  eind  van  het 
plistoceen  een  optimum. 

In  plistoceenen  tijd  stond  de  zeespiegel  in  tropische  streken 
gedurende  de  maxima  van  glaciatie  minstens  40  vaam  (72  Meter) 
lager  dan  thans. 

Malakka,  Sumatra,  Java  en  Borneo  waren  toen  tot  één  land,  het 
Soenda-land,  verbonden. 

Gediii-ende  den  plistoceenen  tijd  ontstond  bij  zeer  gunstige 

35* 


voorwaatden  voor  vorming  van  een  gradatievlak  in  dat  Soenda-land 
de  uitgestrekte  Soenda-schiervlakte. 

Na  afloop  van  de  piistoceene  ijstijden  ontstond  bij  optimale 
condities  voor  plaivorming  de  Soenda-zee  of  het  Soenda-plat  dooi' 
onderloopen  der  Soenda-schiervlakte. 

Het  groote  Soenda-barrière-rif  is  ontstaan  door  opwaartschen  groei 
van  de  strandriffen  van  het  piistoceene  Soenda-land  gedurende  de 
periode  van  rijzing  van  den  zeespiegel,  die  op  den  ijstijd  volgde. 

De  atollen  en  atolachtige  koraaleilanden  in  het  zuidelijkste  deel 
van  de  straat  van  Makasser  zijn  in  hoofdzaak  onstaan  op  de  wijze, 
zooals  Dalj  zich  de  vorming  van  zulke  koraaleilanden  voorstelt  in 
zijn  gl.acial  control  theory. 

NASCHRIFT. 

Nadat  de  bovenstaande  mededeeling  reeds  was  afgesloten,  kwam 
mij  een  artikel  van  L.  .1.  C.  van  Es')  in  handen,  waarin  een  onder- 
werp wordt  behandeld,  dat  met  het  mijne  in  vele  opzichten  verband 
houdt.  Het  is  mij  niet  mogelijk  de  resultaten,  waartoe  van  Es  komt, 
hier  uitvoerig  weer  te  geven  en  met  de  mijne  te  vergelijken.  Alleen 
zij  hier  op  enkele  punten  gewezen,  die  ik  ontleen  aan  de  slotsom 
van  zijn  artikel,  dat  ook  overigens  vele  lezenswaardige  bijzonderheden 
bevat.  Van  Es  denkt  zich  in  laat-plioceenen  tijd  de  eilanden  Borneo 
en  Sumatra  onderling  en  Sumatra  ook  met  Java  ën  Malakka  verbonden. 
Kaart  XXX  geeft  bij  zijn  artikel  een  beeld  van  de  verdeeling  van  land 
en  zee  in  dien  tijd  en  daarop  zijn  de  stroomloopen  van  sindsdien 
verdronken  rivieren  in  dat  groote  jong-plioceene-oud-kwartaire  land 
aangegeven,  zooals  hij  die  meent  te  kunnen  atleiden  uit  het  vei'loop 
van  eenige  der  isobatlien  in  de  tegenwoordige  Java-  en  Zuid-Chineesche 
zee.  In  diluvialen  tijd  denkt  hij  zich  daling  van  het  land  en  daardoor 
transgressie  van  de  zee  tot  boven  de  tegenwoordige  kustlijn.  Gedurende 
dien  tijd  ontstonden  uit  de  walritFen  langs  de  jongplioceene-oud- 
kwartaire  kustlijn  bij  de  daling  van  den  bodem  barrière-riffen  en  bij 
kleine  eilanden  atollen.  Gedurende  het  alluvium  neemt  van  Es  rijzing 
van  den  bodem  aan.  Hij  denkt  zich  deze  rijzing  evenals  de  daaraan 
voorafgegane  daling  onregelmatig  en  wel  het  grootst  voor  die  streken 
waar  ook  vroeger  de  bodem  bewegingen  het  aanzienlijks!  waren. 

b L.  J.  C.  van  Es.  De  voorhistorische  verhoudingen  van  land  en  zee  in  den 
Oost  Indischen  archipel  en  de  invloed  daarvan  op  de  verspreiding  der  diersoorten. 
Jaarb.  van  het  Mijnwezen  XLV  p.  255,  1918.  Hoewel,  zooals  uit  het  titelblad  blijkt, 
dit  deel  van  het  Jaarboek  van  het  Mijnwezen  reeds  te  Batavia  in  het  jaar  1918 
het  licht  zag.  werd  het  door  den  boekhandel  eerst  in  de  laatste  maanden  van  het 
jaar  1919  in  Nederland  verspreid. 


5H8 


De  grootste  verschiilen  met  mijn  opvatting  zijn  : 

1°.  dat  VAN  Es  in  het  plistoceen  daling  van  het  land  ten  opzichte 
van  den  zeespiegel,  ik  daarentegen  rijzing,  en  dat  hij  in  het  post- 
plistoceeu  rijzing  van  het  land  ten  opzichte  van  den  zeespiegel,  ik 
daarentegen  daling  aanneem. 

2V  dat  VAN ‘Es  alle  verschuivingen  van  de  strandlijn,  zoowel  de 
prae*plistoceene  als  de  plistoceene  en  post-plistoceene,  aan  bewegingen 
van  den  bodem  toeschrijft,  ik  daarentegen  in  plistoceenen  en  post- 
plistoceenen  tijd  zeer  grooten  invloed  toeken  aan  schommelingen  van 
den  zeespiegel  teïi  gevolge  van  den  ijstijd. 

3®.  dat  VAN  Es  geen  verschil  maakt  tusschen  het  stabiele  en  het 
labiele  gedeelte  van  den  Oost-lndischeii  archipel,  waarmede  bedoeld 
worden  de  twee  gebieden,  die  sinds  den  aanvang  van  het  plistoceen 
stabiel  of  niet  stabiel  zijn  geweest,  terwijl  ik  juist  van  raeening  ben, 
dat  alleen  de  groote  stabiliteit  (wat  in  zich  sluit  het  geheel  ontbre- 
ken van  bodembewegingen)  van  het  grootste  gedeelte  van  het  voor- 
malige Soenda-land,  in  verband  met  de  schommelingen  van  den  zee- 
spiegel tengevolge  der  plistoceene  glaciaties,  het  merkwaardig  uniforme 
karakter  van  de  tegenwoordige  Soenda-zee  en  den  aard  en  de  ontwik- 
keling der  koraalriffen  in  dat  deel  van  den  archi[)el  kan  verklaren. 

II.  BIOLOGISCH  GEDEELTE  door  Max  Weber. 

De  in  het  voorafgaande  door  Prof  Moi-engraaef  in  hare  geologische 
en  hydrographische  gevolgen  helder  uiteengezette  theorie  van  het 
dalen  van  het  water  der  oceanen  in  den  plistoceenen  ijstijd  raakt 
ook  op  veelzijdige  wijze  de  biologische  wetenschappen,  in  de  eerste 
plaats  de  fannistiek  en  zoogeographie  van  den  indo-australischen 
Archipel;  in  hoeverre  ook  de  phytogeographie  is  niet  aan  mij  te 
beoordeelen. 

Sedert  lang  heeft  de  zoogeographie  aangenomen,  dat  in  het  jongste 
tertiair  Sumatra,  Java,  Borneo  en  de  daartusschen  gelegen  eilanden 
onderling  en  met  het  schiereiland  van  Malakka  en  daardoor  dus  met 
den  aziatischen  continent  door  land  moeten  verbonden  geweest  zijn. 

Slechts  hierdoor  was  de  faunistische  eenheid  tusschen  hen  te  ver- 
klaren. 

De  faunistische  verschillen,  die  daarnaast  bestaan,  zijn  van  twee- 
ërlei aard.  Voor  een  deel  zouden  zij  tot  stand  gekomen  zijn,  ook 
als  het  uitgestrekte  landcomplex,  dat  van  de  Westpunt  van  Sumatra 
tot  Straat  Makassar  reikte  — het  *Soenda-land  van  Moi.engraaff  — , 
nimmer  uiteengevallen  ware  in  zijn  thans  gescheiden  onderdeelen : 
eenvoudig  als  gevolg  van  zijn  uitgestrektheid  en  de  daaruit  volgende 


534 


versciieidenheid  van  levensvoorwaarden.  Voor  een  ander  deel  trachtte 
men  de  faunistische  \'er8chillen  te  verklaren  uit  den  langeren  of 
kortei'en  duur  van  den  saraenhang  van  de  tlsans  gescheiden  onder- 
deelen.  Zoo  werd  b.v.  aangenomen,  dat  Java  het  eerst  zijn  verband 
verloor  met  Borneo  en  Sumatra,  terwijl  Sumatra  het  langst  met  het 
continentale  Azië  verbonden  bleef. 

Hoe  deze  laiidvaste  verbinding  tot  stand  kwam,  hoe  zij  later 
verbroken  werd,  daaromtrent  liepen  de  hypothesen  idteen;  zij 
waren  meesta!  ad  hoe  en  door  zoölogen  bedacht  en  misten  een 
geologische  basis.  Merkwaardig  genoeg  ontbrak  onder  hen  eene 
besehonwing,  die  wij  kortheidshalve  als  de  theorie  van  Crüll  en 
Penck  zullen  aanduiden,  waarbij  Prnck  den  invloed  van  den  plis- 
toceenen  ijstijd  op  den  stand  van  het  water  in  de  oceanen  in  een 
op  cijfers  steunend  algemeen  saraenvattend  betoog  niteenzette.  En 
deze  theorie  zou  toch  een  goede  verklaring  aan  de  hand  gedaan 
hebben  otnfrent  de  jongste  veranderingen  van  land  en  zee,  die  de 
zoogeographie  voor  de  door  haar  waar-genomen  feiten  eischte. 
Desniettennn  ging  zij  tot  den  liuidigen  dag  spoorloos  voorbij  aan 
de  zoogeographen,  die  zich  met  de  talrijke  problemej],  die  de  indo- 
austi’aüsche  Archipel  hen  biedt,  bezig  hielden. 

Dat  is  ook  te  betreuren,  omdat  omgekeerd  de  zoogeographie  van  den 
Archipel  bewijsmateriaal  kon  leveren  ter  ondersteuning  van  de  juistheid 
van  de  theorie  van  Croi.l-Penck.  Zij  had  dan  andermaal  gelegenheid 
gehad  te  toonen,  dat  zij  ovei-  gegevens  beschikt  ter  staving  van  geolo- 
gische hy[)othesen  en  dat  zij  dus  als  hulpwetenschap  voor  den  geoloog 
dienst  kan  doen,  wanneer  deze  zich  met  vragen  bezig  houdt,  die 
betrekking  hebben  op  den  jongeret)  en  jongsten  tijd  der  aardgesciiiedenis. 

Voor  de  juistheid  der  theorie  van  Croll-Penck  zou  al  dadelijk 
pleiten,  dat  zij  de  eischen  der  zoogeographie  op  treffende  wijze  vervult. 

Maar  de  zoogeographie  levert  betere  bewijzen  voor  hare  juistheid : 
één  ei'  van  wil  ik  hier  ter  sprake  brengen. 

De  veronderstelde  daling  der  Java-  en  Zuid-Chineesche  Zee  om 
70  M.  moest  onder  meer  van  invloed  zijn  op  de  bestaande  rivier- 
systemen. Onbeduidend  was  die  invloed  langs  de  Westkust  van  Sumatra 
en  de  Zuidkust  van  Java.  Hier  werd,  zooals  uit  de  kaart  op  pag.  315 
blijkt,  de  kust  slechts  enkele  kilometers  breeder,  de  loop  der  rivieren 
evenveel  langer,  wat  natuurlijk  zonder  gevolgen  was  voor  hare 
fauna.  Omgekeerd  moest  elders  die  invloed  zeer  groot  zijn.  Een 
rivier,  die  in  de  Java-  of  in  de  Zuid-Chineesche  Zee  uitmondde, 
moest  zich,  toen  deze  droog  lagen,,  eene  verlenging  van  haar  bed  in 
het  nieuwe  land  graven  om  eene  uitmonding  te  vinden  in  de  terug- 
gedrongen zee,  zij  moest  nieuwgevormde  zijrivieren  opnemen,  die  het 


535 


nieuwgevormde  land  ontwateren  moesten.  Maar  nog  belangrijker  voor 
ons  is,  dat  veelal  twee  thans  gescheiden  rivieren  in  onderliiigen  samen- 
hang traden  of  deel  gingen  uitinaken  van  een  grooter  riviersjsteem. 

De  geologie  leert  ons  hoezeer  de  riviersystemen  van  Nederland 
en  Duitschland  in  jongen  .tijd  afweken  van  den  liedendaagschen 
toestand.  Hoe  b.v.  de  Thames  een  zijrivier  van  den  Rijn  was,  de 
Schelde  een  anderen  loop  had  als  thans,  hoe  een  groote,  Duitschland 
van  Oost  naar  West  doortrekkende  stroom  de  heden  gescheiden 
Weichsel,  Elbe  en  Weser  vereenigde. 

Op  soortgelijke  wijze  kon  in  het  ons  interesseerende  gebied  de 
Mussi  van  Oost-Sumatra  een  zijrivier  geweest  zijn  van  een  grooten,  in 
de  Chineesche  Zee  zich  uitstortenden  stroom,  die  tevens  den  aan  de 
Westkust  van  Borneo  uitmondenden  Kapoewas  en  vermoedelijk  ook 
continentaal  aziatische  zijrivieren  opnam.  Een  ander  riviersysteem 
mondde  wellicht  dooi’  Straat  Soenda  in  den  Indik  uit  en  voerde 
naast  het  regenwater,  dat  op  het  land  der  droogiiggende  Java-Zee 
viel,  ook  het  water  der  rivieren  af,  die  zich  vroeger  in  haar 
ontlastten. 

Als  deze  beschouwingen  een  kern  van  waarheid  bevatten,  is  te 
veronderstellen,  dat  zich  daarvan  iets  weerspiegelen  moet  in  de 
hedendaagsche  fauna. 

Laten  wij  veronderstellen,  dat  de  Kapoewas  van  West-Borneo  in 
het  plistoceen  deel  uitmaakte  van  een  rivierstelsel,  waarbij  de  Mussi 
van  Sumatra  behoorde.  Daardoor  was  gelegenheid  geboden  tot  uit- 
wisseling der  fauna  en  tot  onderlinge  veri’ijking.  Maar  tevens  is  dan 
te  verwachten,  dat  zich  dat  uiten  moet  in  een  groote  faunistische 
overeenkomst  der  heden  ten  dage  gescheiden  rivieren,  die  zelfstandig 
uitmonden. 

Geheel  anders  moet  zich  de  Mahakkam  (Koetei)  van  de  Oostkust 
van  Borneo  gedragen. 

Op  dezen  grooten  stroom,  die  in  de  Makassar-Straat  uitmondt, 
bleef  het  zonder  invloed  of  deze  tot  meerdere  duizend  meter  diepe 
Straat  70  M.  ondieper  werd.  Al  werd  zijn  benedenloop  al  eenige 
kilometers  langer,  hij  bleef  wat  hij  was;  hij  kon  geen  toevoer  uit 
andere  rivieren,  geen  verandering,  geen  verrijking  zijner  fauna 
ondergaan. 

De  juistheid  onzer  overlegging  was  dus  niet  beter  te  toetsen,  dan 
door  een  vergelijkend  onderzoek  x an  den  Kapoewas  en  den  Mahakkam. 
Als  vei’gelijkmateriaal  kon  de  vischfauna  dienst  doen,  daar  zij  het 
best  bekend  is. 

Hierbij  moest  scherpe  kritiek  en  eenige  beperking  toegepast  worden, 
ten  aanzien  van  het  te  gebruiken  vischmateriaal.  Uit  te  sluiten  waren 


58B 


marine  imn)igranten,  Irouwena  alle  zoog.  aiiadj-ome  en  katadrome 
\ isso.hen,  voorts  alle  bi'akwater-visschen  ; slechts  die  soorten  mochten 
in  aanmerking  komen,  waarvan  vaststaat,  dat  zeewater  een  voor  hen 
ijiet  te  overschrijden  barrière  vormt. 

Toen  immers  aan  het  einde  \ an  den  ijstijd,  die  hier  gemakshalve 
als  een  eenheid  wordt  opgevat,  het  smeltwater  van  ijs  en  sneeuw 
allengs  het  ni\'eau  der  zeeën  deed  rijzen,  zal  vóór  het  definitieve 
intreden  van  den  hnidigen  toestand  de  zee  in  de  nabijheid  van  de 
groote  riviermonden  van  Borneo  en  Sumatra  aanvankelijk  een  brak 
karakter  gehad  hebben.  Toen  bestond  dus  voor  vissclien,  die  brak- 
water verduren  kunnen,  de  mogelijkheid  voor  verhuizing  uitdeeene 
rivier  in  een  andere.  Die  mogelijkheid  verdween  eerst  toen  de  saliniteit 
haar  detinitiet'  karakter  had  verkregen. 

Na  deze  schifting  stelt  het  materiaal,  waarmede  gewerkt  kon 
worden,  zich  samen  uit  2 soorten  van  Notopterns,  een  Scleropages, 
17  genera  van  Sibiroiden  met  39  soorten  en  37  genera  van  Cypri- 
noiden  met  100  soorten.  In  zijn  geheel  dus  56  genera  met  142 
soorten. 

De  betrouwbaarheid  der  resultaten  zal  toenemen  met  den  omvang 
van  het  materiaal.  Daarom  zij  in  het  licht  gesteld  wat  dit  cijfer  van 
142  soorten  beteekent.  Zijn  omvang  wordt  duidelijk  uit  het  feit, 
dat  het  aantal  echte  zoetwatervisschen  in  de  boven  omschreven 
beperking,  waarbij  dus  marine  immigranten  uitgesloten  zijn,  voor 
het  landcomplex  dat  Nederland,  België,  Duitschland  en  de  Donau- 
landen  tot  aan  de  Zwarte  Zee  omvat,  slechts  ongeveer  60  soorten 
bedraagt. 

Wij  hebben  ons  mateiiaal  uit  den  Kapoewas  en  Mahakkam  in 
de  hierbij  gaande  tabel  vereenigd  en  daaraan  toegevoegd  welke 
soorten  teiens  in  de  rivieren,  die  aan  de  Zuidkust  van  Borneo  in 
de  Java-Zee  uitmonden,  voorkomen.  Voorts  zijn  in  de  tabel  die 
soorten  o|)genomen,  die  tevens  in  Oost-Sumatra,  in  Java  en  in  rivieren 
van  het  continentale  Azië  (Malakka  en  Siam)  optreden. 

Hieruit  blijkt,  dat  vau  de  142  soorten  slechts  52  aan  beide  rivieren 
gemeenschappelijk  zijn.  Van  de  90  ovei'blijvende  soorten  zijn  23 
eigen  aan  den  Mahakkam  en  67  aan  den  Kapoewas.  Van  deze  67 
in  den  Mahakkam"  ontbrekende  soorten  zijn  55  of  82  7s  ook  in  andere 
rivieren  vertegenwoordigd  en  wel  75  °/o  io  de  rivieren  van  Oost- 
Sumatra.  Slechts  12  soorten  of  1.8  “/o  zijn  uitsluitend  uit  den  Kapoewas 
of  ook  uit  nalturige  eveneens  in  de  Zuid-Chineesche  Zee  uitmondende 
rivieren  bekend. 

Hiertegeno\  er  is  de  Mahakkam  23  soorten  rijk,  die  in  de  Kapoewas 
otitbreken.  Maar  van  deze  23  soorten  zijn  17  of  74  "/o  alleen  uit 


537 


Kapoewas.  j 

1 

Mahakkam. 

Zuid-Borneo. 

Oost-Sumatra. 

West-Sumatra.  | 

Java. 

Continent. 

(M=Malakka:  S--Siam) 

Notopterus  chitala  (H.B.) 

+ 

+ 

+ + 

. 

3-  + 

Notopterus  borneensis  Blkr. 

-f 

'f  -1- 

Scleropages  formosus  (Müll.  & Schl.) 

+ 

+ 

+ + 

Silurichthys  phaiosoma  (Blkr.) 

+ 

+ + : 

M. 

Wallago  leerii  Blkr. 

+ 

+ ' + 

Wallago  miostoma  Vaill. 

+ 

■ + 

Belodontichthys  dinema  (Blkr.) 

+■ 

-f  1 3- 

M.5. 

Silurodes  hypophthalmus  (Blkr.) 

+ 

+ 

. ■ + 

Silurodes  eugeneiatus  (Vaill.) 

+ 

Hemisilurus  chaperi  (Vaill.) 

-f 

Hemisilurus  heterorhynchus  (Blkr.) 

+ 

. -f 

Hemisilurus  scleronema  Blkr. 

-f 

+ 

Cryptopterus  macrocephalus(Blkr.) 

+ 

. ' + 

? 

Cryptopterus  bicirrhis  (C.V.) 

+ 

+ 

+ + 

+ S. 

Cryptopterus  lais  (Blkr.) 

+ 

+ 

Cryptopterus  cryptopterus  (Blkr.) 

+ ' + 

M.S. 

Cryptopterus  limpok  (Blkr.) 

+ 

+ 

' + 

Cryptopterus  apogon  (Blkr.; 

+ 

+ 

i-  + 

Cryptopterus  micronema  (Blkr.) 

+ 

3-  + 

-f  s. 

Chaca  chaca  (Ham.  Buch.) 

+ 

-1-  + 

Pseudeutropius  brachypopterus 

(Blkr.) 

-f 

-1- 

Lais  hexanema  (Blkr.) 

-i- 

+ M. 

Pangasius  nasutus  Blkr. 

+ 

+ + 

Pangasius  polyuranodon  Blkr. 

+ 

+ 

+ 

+ s. 

Pangasius  nieuwenhuisi  (Popta) 

+ 

Pangasius  micronema  Blkr. 

+ 

-f  + 

+ 

Glyptosternum  majus  (Blgr.) 

+ 

"h 

Bagarius  bagarius  (Ham.  Buch.) 

+ 

+ 

-j- 

. + + 

538 


Kapoewas. 

Mahakkam. 

Zuid-Borneo.  i 

Oost-Sumatra. 

West-Sumatra. 

CQ 

> 

CQ 

1 

j Continent. 

Macrones  nigriceps  (C.V.) 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

M.  S. 

Macrones  micracanthus  (Blkr.) 

+ 

4" 

-U 

1 

+ 

4-- 

■ 

Macrones  wolffi  (Blkr.) 

+ 

4" 

4- 

M.S. 

Macrones  nemurus  (C.V.) 

+ 

+ 

4- 

+ 

+ 

+ 

M.  S. 

Macrones  planiceps  (C.V.) 

+ 

1 

4- 

4- 

M. 

Bagrichthys  hypselopterus  (Blkr.) 

+ 

Bagroides  melapterus  Blkr. 

+ 

4- 

+ 

S. 

Leiocassis  fuscus  Popta 

+ 

• 

Leiocassis  mahakamensis  Vaill. 

+ 

. 

Leiocassis  stenomus  (C.V.) 

+ 

+ 

+ 

4- 

Leiocassis  poecilopterus  (C.V.) 

+ 

• 

• 

+ 

4- 

Leiocassis  micropogon  (Blkr.) 

+ 

+ 

M. 

Leiocassis  vaillanti  Reg. 

Breitensteinia  insignis  Steind. 

+ 

+ 

Gastromyzon  borneensis  üthr. 

+ 

+ 

• 

Gastromyzon  nieuwenhuisi  (Popta) 

+ 

Homaloptera  wassinki  Blkr. 

+ 

+ 

4- 

+ 

Homaloptera  ophiolepis  Bklr. 

+ 

4- 

4- 

Homaloptera  orthogoniata  Vaill. 

+ 

+ 

Homaloptera  tate  regani  Popta 

+ 

Parhomaloptera  microstoma  (Blgr.) 

+ 

Botia  macracanthus  (Blkr.) 

+ 

+ 

+ 

+ 

4- 

Botia  hymenophysa  (Blkr.) 

4- 

4- 

+ 

4- 

+ 

S.  M. 

Acanthopsis  choirorhynchus  (Blkr.) 

+ 

+ 

4- 

4- 

. 

4- 

1 

T 

Lepidocephalus  pallens  (Vaill.) 
Acanthophthalmus  lorentzi  M.  Web. 

1 

* de  Bfrt. 

'T 

’ 

* 

Acanthophthalmus  kuhli  (C.V.) 

+ 

4- 

M. 

Acanthophthalmus  borneensis  Blgr. 

+ 

* 

539 


- 

Kapoe\vas. 

Mahakkam. 

Zuid-Borneo. 

1 

Oost-Sumatra. 

West-Sumatra. 

Java.  ! 

Continent. 

AcanthophthaimusanguillarisVaill. 

+ 

Elxis  obesus  (Vaill.' 

4- 

• 

Vaillantella  euepipterus  (Vaill.) 

+ 

Nemachilus  longipectoralis  Popta 

4- 

4 

Nemachilus  fasciatus  (C.V.) 

4- 

+ 

+ 

Chela  oxygastroides  (Blkr.) 

+ 

+ 

4- 

4 

+ 

S. 

Chela  hypophthalmus  Blkr. 

+ 

4 

Chela  oxygaster  (C.V.) 

+ 

+ 

4 

+ 

M. 

Marcrochirichthys  macrochirus 
(C.V.) 

4- 

4 

4 

4- 

4 

S. 

Rasborichthys  helfrichi  (Blkr.) 

.+ 

4- 

4 

Rasbora  argyrotaenia  (Blkr.) 

+ 

4 

+ 

4- 

+ 

4 

Rasbora  vaillanti  Popta 

4- 

Rasbora  volzi  Popta 

+ 

+ 

Rasbora  trilineata  Steind. 

4 

. 

Rasbora  kalochroma  (Blkr.) 

+ 

+ 

+ 

• 

M. 

Rasbora  einthoveni  (Blkr.) 

+ 

4- 

+ 

4- 

M.  S. 

Rasbora  lateristriata  var.  suma- 
trana  (Blkr.) 

+ 

+ 

4 

M. 

Rasbora  lateristriata  var.  elegans 
Volz. 

+ 

+ 

4 

M. 

Rasbora  lateristriata  var.  trifasci- 
ata  Popta 

4 

Luciosoma  trinema  (Blkr.) 

+ 

+ 

Luciosoma  setigerum  (C.V.) 

4- 

4 

4 

M. 

Luciosoma  spilopleura  Blkr. 

+ 

4- 

4- 

S. 

Leptobarbus  hoevenii  (Blkr.) 

+ 

+ 

+ 

S. 

Leptobarbus  melanopterus  M.  Web. 
& de  Bfrt. 

+ 

Leptobarbus  melanotaenia  Blgr. 

• 

+ 

Rohteichthys  microlepis  (Blkr.) 

4 

4 

+ 

540 


Kapoewas.  , 

Mahakkam. 

Zuid-Borneo.  ! 

Oost-Sumatra.  j 

West-Sumatra. 

Java. 

Continent. 

Amblyrhynchichthys  truncatus 
(Blkr.) 

+ 

+ 

+ 

• 

s- 

Amblyrhynchichthys  altus  Vaill. 

+ 

Albulichthys  albuloides  (Blkr.) 

+ 

+ 

4- 

Dangila  ocellata  (Heek.) 

-1- 

+ 

+ 

+ 

Dangila  fasciata  Blkr. 

+ 

+ 

Dangila  cuvieri  C.V. 

-f 

+ 

+ 

M. 

Dangila  sumatrana  Blkr. 

-f 

Dangila  festiva  (Heek.) 

+ 

+ 

■ 

Barynotus  mierolepis  (Blkr.) 

+ 

+ 

Thynniehthys  vaillanti  M.  Web.  & 
de  Bfrt. 

+ 

Thynniehthys  polylepis  Blkr. 

+ 

. 

Osteoehilus  borneensis  (Blkr.) 

+ 

-f 

S. 

Osteoehilus  melanopleura  (Blkr.) 

+ 

"r 

4- 

S. 

Osteoehilus  kelabau  Popta 

+ 

Osteoehilus  sehlegeli  (Blkr.) 

+ 

_L 

+ 

+ 

s. 

Osteoehilus  kahajanensis  (Blkr.) 

+ 

4- 

M. 

Osteoehilus  repang  Popta 

■f 

Osteoehilus  vittatus  (C.V.) 

+ 

-1- 

+ 

-f 

+ 

+ 

M. 

Osteoehilus  hasselti  (C.V.) 

+ 

+ 

4 

4- 

+ 

M.S. 

Osteoehilus  kappeni  (Blkr.) 

+ 

Osteoehilus  brevieauda  M.  Web. 

& de  Bfrt, 

+ 

Hampala  maerolepidota  (C.V.) 

+ 

“1" 

4- 

+ 

+ 

+ 

Hampala  ampalong  (Blkr.) 

+ 

+ 

. 

Hampala  bimaeulata  (Popta). 

+ 

Labeobarbus  tambroides  Blkr. 

+ 

* 

+ 

+ 

Labeobarbus  douronensis  (C.V.) 

+ 

. 

4 

4" 

+ 

Cyelocheiliehthysheteronema(Blkr.) 

M. 

541 


Kapoewas. 

Mahakkam. 

Zuid-Borneo. 

Oost-Sumatra. 

West-Sumatra. 

> 

Continent. 

Cyclocheilichthys  janthochir  (Blkr.) 

, 

Cyclocheilichthys  apogon  (C.V.) 

+ 

4- 

+ 

4- 

-1- 

CyclocheiHchthys  repasson  (Blkr.) 

+ 

+ 

+ 

S. 

Cyclocheilichthys  lineatus  (Popta) 

+ 

■ 

Cyclocheilichthys  armatus  (C.V.) 

+ 

+ 

+ 

4- 

S. 

Cyclocheilichthys  siaja  Blkr. 

+ 

-f 

+ 

M. 

Puntius  schwanefeldi  (Blkr.) 

+ 

+ 

+ 

+ 

M.S. 

Puntius  lateristriga  C.V. 

+ 

+ 

+ 

M. 

Puntius  tetrazona  (Blkr.) 

+ 

+ 

M. 

Puntius  fasciatus  (Blkr.) 

+ 

• 

+ 

+ 

Puntius  binotatus  (C  V.) 

+ 

+ 

4- 

M. 

Puntius  anchisporus  (Vaill.) 

+ 

+ 

■ 

Puntius  sumatranus  (Blkr.) 

+ 

+ 

S. 

Puntius  bramoides  (C.V.) 

+ 

+ 

■f 

S. 

Puntius  collingwoodi  (Gthr.) 

+■ 

-f 

Puntius  bulu  (Blkr.) 

_L 

1 

+ 

-U 

+ 

Puntius  waandersi  (Blkr.) 

4- 

+ 

+ 

Puntius  nini  M.  Web.  & de  Bfrt. 

+ 

• 

* 

Balantiocheiluamelanopteru3(Blkr.) 

+■ 

+ 

s. 

Barbichthys  laevis  C.V. 

+ 

+ 

4 

+ 

Labeo  (Morulius)  chrysophekadion 

-f 

. 

4“ 

-h 

s. 

(Blkr.) 

Labeo  (Labeo)  rohitoides  (Blkr.) 

+ 

+ 

4- 

Labeo  (Labeo)  pleurotaenia  (Blkr.) 

+ 

M. 

Schismatorhynchus  heterorhynchus 

+ 

+ 

(Blkr.) 

♦ 

Tylognathus  hispidus  (C.V.) 

+ 

4 

Tylognathus  bo  Popta 

Tylognathus  falcifer  (C.V.) 

+ 

+ 

+ 

• 

542 


Kapoewas. 

Mahakkatn. 

Zuid-Borneo. 

Oost-Sumatra. 

West-Sumatra. 

Java. 

Continent.  1 

Gyrinocheilus  pustulosus  Vaill. 

+ 

4- 

Paracrossochilus  vittatus  (Blgr.) 

+ 

+ 

Discognathus  borneensis  Vaill. 

Epalzeorhynchus  kallopterus  Blkr. 

_u 

+ 

+ 

Crossochilus  oblongus  (C.V.) 

4" 

+ 

4- 

4 

M. 

Crossochilus  cobitis  (Blkr.) 

+ 

4 

+ 

4 

/ 

den  Maliakkam  of  ook  uit  naburige,  eveneens  in  Straat  Makassar  uit- 
mondende rivieren  bekend.  Van  de  resteerende  6 soorten  komen 
slechts  3 of  13  7o  ook  in  Oost-Snmatraansclie  rivieren  voor  en  3 
andere  soorten  hebben  eeji  i'uirnere  verspreiding. 

Letten  v^dj  op  de  goed  omgrensde  genera  dan  blijken  van  de  53 
genera,  die  den  Kapoewas  bewonen  20  of  38  "/»  b'  den  Maliakkam 
te  ontbreken.  Merkwaardig  genoeg  zijn  eciiter  van  deze  20  genera 
18  wel  in  de  rivieren  van  Oost-Snmatra  vertegenwoordigd.  De 
Maliakkam  daarentegen  bezit  slechts  36  genera,  waarvan  33  gemeen- 
schappelijk zijn  met  den  Kapoewas,  alleen  3 genera  ontbreken  daarin, 
maar  deze  3 zijn  van  elders  niet  bekend  en  zijn  voorloopig  als 
antochthone  vormen  te  beschouwen. 

Wij  komen  dns  tot  het  besluit,  dat  de  Kapoewas  zijn  belangrijk 
grooteren  rijkdom  aan  visschen  niet  dankt  aan  antochthone  vormen, 
maar  aan  zulke,  die  ook  in  Oost-Sumatra  gevonden  worden.  Zij 
wijzen  op  een  vroegeren  sanieuhang  met  Oost-Sumatraansche  rivieren, 
die,  zooals  boven  aangeduid,  zijn  verklaring  vindt  in  de  theorie  van 
Ckoi.l-Pbnck.  Hierin  verschilt  de  Kapoewas  belangrijk  van  den 
Maliakkam,  alhoewel  hun  oorsprongsgebied  in  Ceniraal-Borneo,  slechts 
weinige  uren  van  elkander  verwijderd  is. 

Als  mijn  betoog  juist  is,  moet  het  ook  juist  zijn  voor  andere 
diergroepen  wier  verspreiding,  althans  in  het  plistoceen,  verandering 
onderging;  niet  alleen  voor  zoetwater-  maar  ook  voor  landbewoners. 
Voor  de  laatsten  vormde  immers  het  land  der  droogliggende  Java 
en  Zuid-Chineesche  Zee  de  landbrnggen,  die  de  zoogeographie  eischt 
voor  emigratie  en  immigratie. 

Dit  moge  nn  in  principe  juist  zijn,  de  bewijzen  daarvoor  zijn  niet 


543 


zoo  gemakkelijk  te  leveren  en  zijn  niet,  altijd  zoo  doorzichtig  als  in 
het  geval  van  de  vischfauna  van  den  Kapoewas  en  den  Mahakkam. 
Nadenken  brengt  tal  van  complicaties  naar  voren. 

Ten  eerste  zijn  de  elementen,  die  eene  fanna  samenstellen  niet 
even  ond.  Er  zijn  daarin  oudere  en  jongere  strata  te  onderscheiden 
met  verschillende  verspioidings-mogelijkheden. 

Naast  dit  historische  moment  zijn  er  ook  biologische  van  verschil- 
lenden aard. 

Al  bestaat  voor  eene  soort  de  gelegenheid  tot  verhuizing  en  de 
mogelijkheid  haar  woongebied  te  verruimen,  zij  zal  er  slechts  gebruik 
van  kunnen  maken,  als  de  levensvoorwaarden  \ an  het  te  veroveren 
woongebied  aan  de  levenseischen  der  soort  beantwoorden. 

Voo  ris  is  de  vraag  in  het  oog  te  honden  of  tijdens  den  ijstijd  niet 
nog  andere  gebeurtenissen  de  landen,  die  ons  interesseeren,  of  een 
deel  van  hen,  getroffen  heeft. 

De  fauna  van  Java  b.v.  heeft  den  zoogeographen  steeds  bizondere 
moeilijkheden  in  den  weg  gelegd.  Boven  werd  dan  ook  reeds  aan- 
gestipt, dat  men  sedert  lang  veronderstelt,  dat  Java  zich  anders  dan 
Sumatra  en  Borneo  gedroeg  en  daardoor  in  zijn  fanna  afwijkt.  Men 
heeft  getracht  dat  te’  verklaren  door  b.v.  aan  te  nemen,  dat  Java 
zich  het  eerst  vidj  en  zelfstandig  maakte  uit  het  landcomplex,  dat 
hen  vereenigde. 

Maar  de  faunistische  bizondeidieden  van  Java  kunnen  ook  het 
gevolg  zijn  van  gebeurtenissen  in  verband  met  de  vorming  der  ge- 
weldige vulkaanketen,  die  het  smalle  eiland  van  West  naar  Oost 
doortrekt;  ook  kunnen  de  producten  van  haar  uitbarstingen  (ascli- 
regen,  slijkstroomen  e.  d.  m.j  van  directen  invloed  op  de  fauna 
geweest  zijn  en  van  indirecten  door  wijziging  van  het  klimaat 
(onderschepping  der  zon  door  aschregen,  overvloedige  regens). 

Deze  en  andere  vraagpunten  meer  zullen  de  studie  bemoeilijken 
bij  de  toepassing  van  de  theorie  van  Ckoll-Penck  op  de  leer  van 
de  dierverspreiding  in  den  indo-australischen  Archipel,  maar  zij 
zullen  voor  een  goed  deel  te  overwinnen  zijn. 

Die  theorie  geeft  immers  een  gewenschte  basis  voor  tal  van  ver- 
onderstellingen van  bestaan  hebbende  landverbindingen  tusschen  thans 
gescheiden  eilanden,  die  door  zoogeographen  gemaakt  wei'den  om 
de  door  hen  waargenomen  feiten  te  verklaren.  Daarnaast  geeft  zij 
een  juister  inzicht  in  het  tijdstip,  waarop  die  veronderstelde  land- 
verbindingen tot  stand  kwamen. 

Over  de  Oroote  Soenda-Eilaiiden  spraken  wij  reeds  boven. 

Maar  de  theorie  van  Prnok  werpt  ook  nieuw  licht  op  het 
oostelijk  gedeelte  van  den  Archipel.  Hier  dwong  de  verspreiding  der 


544 


dieren  tol  de  hypothese,  dat  Nienw-Guinea  met  de  Aroe-Eilandeii, 
met  Waigeoe  en  naburige  kleinere  eilanden  een  land  massa  vormde, 
die  met  Noord-Australië  samenhing. 

Die  landen  zijn  thans  gescheiden  door  ondiepe  straten  en  een 
vlakzee,  die  de  Sahoel-bank  bedekt.  Daalt  het  niveau  der  zee  om 
70  M.  dan  komt  zij  droog  te  liggen. 

In  verschillende  geschriften  trachtte  ik  aan  te  toonen,  dat  die 
toestand  in  het  plioceen  plaats  greep  en  dat  in  het  plistoceen  de 
tegenwoordige  toestand  van  land  en  water  zich  ontwikkelde.  *) 

Ook  P.  en  F.  Sarasin  nemen  in  hun  bekend  werk  over  Celebes 
een  plioceene  ,,Festlandsepoche”  voor  den  Archipel  aan,  en  R.  D. 
M.  Verbekk  schreef,  dat  tegenwoordig  en  vermoedelijk  reeds  sedert 
het  plioceen  Nieuw-Gninea  van  Australië  door  een  ondiepe  zee 
gescheiden  is.  Andere  schrijvers  (b.v.  Hrdley  en  Matthews)  verge- 
noegen zich  er  mede  deze  gebeurtenis  in  het  ,,late  tertiair”  te  plaatsen. 

Men  liet  haar  plaats  grijpen  door  veronderstelde  rijzingen  of 
dalingen  van  land  of  zee  van  meer  of  minder  lokalen  aard.  Voor 
deze  vrij  willekeurige  veronderstellingen,  die  uit  de  behoefte  aan 
landverbindingen  geboren  werden,  treedt  met  de  theorie  van  Croll- 
Pknck  eene  algemeenere  beschouwing  in  de  plaats,  die  een  tastbare 
basis  heeft.  Maar  daarmede  verschuift  zich  tevens  de  veronderstelde 
positieve  of  negatieve  daling  van  het  plioceen  naar  het  plistoceen. 

Ook  hier  weer  is  het  veroorloofd  te  zeggen,  dat  de  dooi’  de 
Zoologie  waargenomen  feiten  voor  de  juistheid  der  theorie  van 
Croll-Penck  pleiten. 

b Een  binnenkort  in  de  Silzungsberichte  d.  Heidelberger  Akademie  d.  Wissen- 
schaften verschijnend  geschrift  geeft  een  kort  overzicht  over  deze  beschouwingen. 


Scheikunde.  — De  Heer  Ernst  Cohen  biedt,  eene  mededeeling  aan 
van  den  Heer  Nil  Ratan  Dhar  : „Catalysis”  — Part  VII  — 
Notes  on  Catalysis  in  lieterogeneous  systcms. 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  van  Romburgh). 

1.  It  is  known  for  a long  time  that  violet  chromic  chloride  is 
practically  insolnble  in  water,  biit  in  presence  of  redncing  agents 
solution  takes  place  diie  to  the  transformation  into  the  solnble 
inoditication. 

Anhydrons  ferric  sulphate  dissolves  slowiy  in  water  at  the  ordi- 
narj'  temperatnre,  in  other  words,  it  may  be  said  to  have  a sraall 
velocity  of  solution.  1 have  found  that  redncing  agents  like  stannoiis 
chloride,  ferrous  sulphate,  siilphnrous  acid  etc.,  inarkedly  accelerate 
the  velocity  of  solution  of  ferric  sulphate  in  water. 

In  the  case  of  chromic  chloride,  it  is  assumed  that  the  redncing 
agent  first  reduces  the  insolnble  chromic  chloride  to  chromous 
chloride,  and  the  original  chromous  chloride  is  transformed  into 
solnble  chromic  chloride.  The  newly  formed  chromous  chloride  then 
acts  on  the  insoluble  chromic  chloride  as  before. 

The  difliculty  of  an  explanation  like  this  is  that  we  assume  that  the 
reducing  agent  acts  on  the  solid  chromic  chloride  and  reduces  it; 
from  our  experience  in  heterogeneous  Systems,  we  know  how  diffi- 
cult  it  is  to  reduce  a solid  substance  rapidly  with  a solution  of  a 
reducing  agent. 

Moreover,  in  the  case  of  fei'ric  sulphate  we  do  not  know  two 
varieties  of  the  salt  as  in  the  case  of  chromic  chloride. 

It  is  difïicult  to  assume  that  ferrous  sulphate  would  reduce  ferric 
sulphate,  for  we  know  that  a mixture  of  ferric  and  ferrous  salts 
can  exist  unchanged  for  an  indefinite  period  in  absence  of  oxygen. 

So  we  can  say  with  Ostwald  (Grnndlinien  der  anorganischen 
Chemie,  Leipzig  1900;  A.  Findlay’s  trans.  603, 1902)  that  a sufficiënt 
explanation  of  these  actions  is  still  wanting. 

2.  The  action  of  nitric  acid  on  the  metals  generally,  is  somewhat 
complex,  because  the  main  reaction  is  cornplicated  by  side  or  con- 
current, and  by  consecutive  reactions.  These  again  depend  not  only 
upon  the  particular  metal  under  consideration  but  also  on  the 

36 

Verslagen  der  Afdeeling  Naluurk.  Dl.  XXVIll.  1919/20. 


546 


conceuti-alion  of  t!te  acid,  llie  temperatnre  and  the  concentration  of 
tlie  Products  of  the  reaction  accumulating  in  tiie  solution. 

MtT,LON  (Compt.  rend.  1842,  14,  904)  and  Veley  (Pliil.  Trans. 
1891  A,  182,  279)  have  shown  tSiat  metals  like  copper,  silver, 
mercurj  and  bismnth  have  no  action  on  cold  dilnte  nitric  acid 
unless  a tracé  of  nitrous  acid  is  present.  Tlie  nitrous  acid  inay  be 
present  in  the  nitric  acid  as  an  impnritj  ; it  may  be  formed  by  the 
incipient  decomposition  of  nitric  acid  when  it  is  warmed. 

According  to  Veley,  rherefore,  the  dissolution  of  copper  in  nitric 
acid  proceeds : Cu  + 3 HNO,  = Cu  (NO,),  + HNO,  + H,0,  is  a 
resuitant  of  a series  of  consecutive  reactions : Cu  -j-  4 HNO,  = 
Cu  (NOJ,  + 2 H,0  + 2 NO ; followed  by  Cu  (NO,),  + 2 HNO,  = 
Cu  (NO,),  + 2 HNO,. 

The  sinall  tracé  of  nitrous  acid  thus  acts  as  a catalytic  agent; 
nitrous  acid  is  continuously  produced  and  continuously  decomposed 
according  to  the  following  equiübriurn  : 

\ 

3 HNO,  HNO,  + 2 NO  + H,0 

Similar  results  have  been  obtained  by  Ray  (Trans.  Chem.  Soc.  1911, 
99,  1012)  in  the  case  of  inercury  and  by  Stansbie  (J.  Soc.  Chem. 
Ind.  1913,  32,  311)  in  the  case  of  silver. 

Now  Milj.on  (loc.  cit.)  and  Vei.by  (loc.  cit.)  have  pointed  out  that 
the  presence  of  ferrous  sulphate,  “which  reraoves  the  nitrous  acid 
as  fast  as  it  might  be  formed”  serves  to  prevent  the  Chemical  change 
between  nitric  acid  and  the  metals. 

But  I have  observed  that  ferrous  sulphate  exerts  an  accelerating 
influence  on  the  complete  dissolution  of  copper  in  207o  nitric  acid 
at  18°.  This  result  being  different  from  those  of  previous  investigators 
I thought  it  worth  while  to  observe  the  effect  of  both  ferrous  and 
ferric  salts  and  various  other  substances  on  the  complete  dissolution 
of  copper  in  excess  of  20“/„  nitric  acid. 

Equal  lengths  of  copper  wire  of  uniform  sectiona!  area  were 
placed  into  test  tubes  and  covered  with  an  excess  of  20“  , nitric 
acid.  The  mean  temperatnre  of  the  experirnents  was  18°  and  the 
tubes  containing  equal  volumes  of  nitric  acid  and  equal  weights  of 
copper  wire  were  kept  at  rest.  Weiglied  qua.ntities  of  the  solid 
substances  used  were  added  at  the  beginning  of  the  experirnents. 
The  whole  of  the  copper  wire  dissolved  in  about  30  minutes  and 
the  exact  time  of  dissolution  was  noted.  In  order  to  get  exactly 
comparable  results  one  test  tube  was  always  set  apart  for  a blank 
parallel  experiment. 

It  has  been  found  that  the  following  substances  exert  an  accelera- 


547 


tiiig  effect  on  the  complete  dissolution  of  copper  in  20%  •liti’ic  acid  : 

ferroiis  snlphate,  ferrons  chloride,  ferric  snlphate,  ferric  chloride, 
ferric  nitrate,  lead  snlphate,  .lead  nitrate,  lead  acetate,  copper  nitrate, 
copper  chloride,  barium  nitrate,  thallium  nitrate,  lithium  nitrate, 
sodiiim  uitrite,  manganese  chloride,  chromic  chloride,  arsenious 
oxide,  strychnine  snlphate,  ethylene  bromide,  carbon  tetrachloride, 
hexachlorobenzene,  phthalic  anhydride  etc. 

On  the  other  hand,  the  following  substances  have  a retarding 
effect:  hydrogen  peroxide,  potassium  chlorate,  potassium  permanganate, 
chromic  acid,  sodium  nitrate,  ammonium  nitrate,  manganese  nitrate, 
thorium  nitrate,  sodium  sulphite,  titanic  acid,  molybdic  acid,  ammo- 
nium pei'sulphate,  mangenese  snlphate,  cobalt  chloride,  copper  acetate, 
copper  snlphate,  calcium  nitrate,  tartaric  acid,  ether,  ui-ea,  acetic 
anhydride,  benzoic  anhydride  etc. 

In  a foregoing  paper  of  this  series  (Trans.  Chem.  Soc.  1917,111, 
707)  1 have  shown  that  sulphnric  acid  in  small  concentration  is  an 
accelerator,  whilst  in  large  concentrations  it  is  a retarder  in  the 
oxidation  of  oxalic  acid  by  chromic  acid.  Similar  resnlts  have  been 
obtained  in  the  action  of  nitric  acid  on  copper.  The  following  sub- 
stances in  very  small  concentration  exert  a slight  accelerating  effect, 
whilst  in  large  concentrations  they  have  retarding  effect: 

Zinc  chloride,  nickel  chloride,  cobalt  nitrate,  aluminium  nitrate, 
potassium  chloride,  strontinm  nitrate,  cadmium  nitrate,  magnesium 
chloride  etc. 

When  • the  concentration  is  very  small,  the  effect  of  potassium 
nitrate,  uranium  nitrate,  citric  acid,  potassium  dichromate  etc.  is 
practicaliy  uil,  bat  in  concentrated  Solutions  they  are  all  retarders. 

The  effect  of  monochloracetic  acid  is  very  peculiar.  In  small  con- 
centrations, it  is  a feeble  accelerator  and  in  concentrated  Solutions 
it  has  a retarding  effect,  which  instead  of  increasing,  decreases  with 
increase  of  concentration.  A similar  phenomenon  has  already  been 
observed  in  the  case  of  the  oxidation  of  formic  acid  by  chromic 
acid  in  presence  of  manganese  chloride  (loc.  cit.  p.  726). 

It  is  practicaliy  impossible  to  give  a complete  explanation  of  these 
results,  they  being  so  diverse. 

Ferrons  snlphate  and  ferrons  chloride  behave  as  marked  accelerators. 
It  would  appear  that  the  acid  nucleus  in  this  pariicular  instance,  plays 
no  part.  A part  of  the  ferrous  ion  reduces  the  nitric  acid  to  nitric 
oxide  and  passes  into  the  ferric  state.  The  nitric  oxide  dissolves  in 
the  ferrous  salt  solution  forming  the  unstable  substance  FeNO°°.  The 
dissolved  nitric  oxide  then  reduces  a part  of  the  nitric  acid  according 
to  the  following  equation  : HNO, -j- 2 NO -j- H,0  ^ 3 HNO,. 

36* 


548 


It  is  quite  possible  that  some  nitrons  acid  is  prodnced  by  tbe  direct 
reduction  of  nitric  acid  by  ferrous  ions.  The  formation  of  nitrous 
acid  either  by  the  direct  reduction  of  nitric  acid  by  ferrous  salts 
or  by  the  indirect  reduction  through  the  intervention  of  nitric  oxide 
is  proved  by  the  following  experiment.  If  nitric  acid  of  the  strength 
used  in  this  research  be  taken  in  a test  tube  and  a crystal  of  ferrous 
ammonium  sulphate  or  ferrous  sidphate  be  added  to  it,  almost 
immediately  the  crystal  is  covered  with  the  deep  brown  FeNO°°  ion 
and  a little  nitric  oxide  also  escapes.  If  urea  crystals  are  now  added, 
they  are  immediately  oxidized  with  the  evolution  of  carbon  dioxide 
and  nitrogen,  indicating  the  presence  of  nitrous  acid.  So  in  presence 
of  ferrous  salts,  nitrous  acid,  whicli  is  the  active  substance  in  the 
action  of  nitric  acid  on  copper,  is  formed  when  we  have  an  excess 
of  nitric  acid.  This  explains  the  accelerating  intluence  of  ferrous  salts 
in  the  complete  dissolution  of  copper  in  20  nitric  acid. 

As  a matter  of  fact,  the  accelerating  effect  of  ferrous  salts  is  slightly 
greater  than  the  accelerating  effect  of  sodium  nitrite  on  the  dissolution 
of  copper  in  nitric  acid.  The  greater  the  concentration  of  tlie  ferrous 
salt,  the  greater  is  the  acceleration. 

Ferric  sulphate,  ferric  nitrate  and  ferric  chloride  exert  a mai’ked 
accelerating  effect,  though  their  activity  is  slightly  less  than  that  of 
sodium  nitrite  and  the  accelerating  effect  is  proportional  to  the 
concentration  of  the  ferric  salt.  It  would  appear  that  the  acid  nucleus 
in  this  case  also,  plays  no  part.  The  explanation  of  this  aciivation 
seem  to  lie  in  the  reduction  of  ferric  salts  by  the  nitric  oxide  which 
a product  of  the  Chemical  change  between  nitric  acid  and  copper. 
The  ferrous  salt,  which  may  thus  be  formed,  will  reduce  a part  of 
the  nitric  acid  into  nitrous  acid,  which  activates  the  action  of  nitric 
acid  on  copper.  It  seems  plausible  that  a part  of  the  ferric  salt  would 
be  reduced  to  the  ferrous  stafe  by  fhe  metallic  copper.  It  is  well 
known  that  when  a solution  of  a ferric  salt  is  shaken  with  metallic 
copper,  the  ferric  salt  is  partly  reduced  to  the  ferrous  state  and  the 
copper  is  oxidized  to  the  cupric  salt  and  an  equilibrium  is  set  up : — 
2 FeCl,  + Cu  2 FeCl,  + CuCl, 

The  ferrous  salt  thus  formed  reduces  the  nitric  acid  to  nitrous 
acid,  which  accelerates  the  action  of  nitric  acid  on  copper. 

In  a similar  way  the  accelerating  effect  of  arsenious  oxide,  strych- 
nine sulphate,  phthalic  anhydride  etc.  may  be  explained  on  the 
basis  of  the  formation  of  nitrous  acid  by  the  action  of  these  reducing 
agents  on  the  nitric  acid. 

The  retarding  effect  of  the  oxidizing  agents  like,  KMuO^, 


549 


KOIO3,  (NHJjSjOg  etc.  and  of  the  i'ediicing  ageuts  like  urea, 
sodiiim  sulphite  etc.  is  certainly  due  to  the  destriiction  ofthenitrous 
acid  as  soon  as  it  is  foraied.  Wlien  tlie  experiment  was  performed 
iji  such  a condition  so  as  to  cover  the  eopper  wire  witli  solid  urea, 
the  reaction  became  very  slow,  but  it  did  not  stop  altogether. 

It  is  very  ditïicult  to  explain  the  diflference  in  the  behaviour  of 
the  nitrates  on  the  oxidation  of  eopper  by  nitric  acid.  Lithium  nitrate 
is  an  accelerator,  whilst  sodium  and  potassium  nitrates  are  retarders; 
from  anology  we  should  expect  calcium  nitrate  to  have  an  accele- 
rating  effect,  but  as  a matter  of  fact,  both  calcium  and  strontium 
nitrates  are  retarders,  whilst  barium  nitrate  is  an  accelerator. 

Rennie  and  Cook  (Trans.  ehem.  Soc.  1911,  99,  1035)  have  found 
that  the  accelerating  or  relarding  effects  of  the  nitrates  of  K,  Rb, 
Cs  were  functions  of  the  temperature  and  of  the  concentration  of 
the  acid. 

Higley  (Amer.  chem.  Jour.  17,  18  (1895))  has  shown  that  both 
NO.J  and  NjO,  are  the  products  of  the  reaction  between  eopper  and 
nitric  acid.  Evidently  in  the  solution,  we  should  consider  the  following 
equilibria ; 

3 HNO,  2 NO  + KNO,  + H,0  ....  (1) 

N,0,  + H.O^HNO,  + HNO, (2) 

3 NO,  4-  H,0  ^ 2 HNO3  + NO (3) 

Lewis  and  Edgah  (J.  Amer.  chem.  Soc.  1911,  33,  292)  have  shown 
that  in  equilibrium  (1)  there  is  a change  in  the  equilibrium  constant 
with  the  concentration  of  nitric  acid.  It  seems  probable  that  nitrates 
may  affect  one  or  more  of  these  equilibria  and  change  the  concen- 
tration of  nitrous  acid,  which  being  the  activating  agent. 

In  this  connection,  it  is  interesting  to  observe  that  several  reac- 
tions,  in  which  nitric  acid  is  the  oxidizing  agent,  are  autocatalytic. 
As  for  example,  the  actions  of  nitric  acid  on  metals  like  Copper, 
Silver,  Bismuth,  Mercury  etc.,  on  starch,  on  sngar,  on  arsenious 
oxide,  on  hydrogen  iodide  (Eckstadt,  Zeit.  anorg.  Chem.  1901,  29, 
51),  on  nitric  oxide  (Lewis  and  Edgar,  loc.  cit.)  etc.  become  more 
pronounced  as  the  Chemical  change  proceeds. 

The  explanation  is  not  far  to  seek.  The  nitrous  acid  is  the  active 
substance  and  its  concentration  and  hence  the  reaction  velocity 
increase  with  the  progress  of  the  Chemical  change.  In  all  these  cases 
I have  found  that  the  Chemical  change  becomes  more  rapid  when 
a nitrite  is  added  at  the  commencement  of  the  reaction. 

It  has  been  observed  that  the  Chemical  change  between  nitric  acid 
and  copper  may  be  practically  stopped  by  agitating  vigorously  the 


550 


tube  contaiiiiug  copper  and  nitric  acid,  because  the  nitrous  acid 
cannot  acciimulate  round  the  copper. 

Summary  and  Conclusion: 

1.  The  velocity  of  solution  of  anhydrous  ferric  sulphate  can  be 
it)creased  by  the  presence  of  sulphurous  acid,  stamious  chloride, 
ferrous  sulphate  etc.  No  satisfactory  explanalion  of  reactions  of  this 
type  is  forthcoraing. 

2.  The  action  of  nitric  acid  (20  Vo)  o»  copper  has  been  studied 
in  the  presence  of  various  substances  and  it  has  been  observed  that 
when  the  nitric  acid  is  in  excess  and  the  whole  of  the  copper  is 
made  to  dissol ve,  ferrous  and  ferric  salts  exert  a marked  accele- 
rating'  effect.  In  the  light  of  the  present  investigation,  the  view 
hitherto  accepted  as  regards  the  part  played  by  ferrous  salts  in  des- 
troying  nitrous  acid,  has  to  be  modified.  As  a matter  of  fact,  it  has 
been  proved  that  nitrous  acid,  which  is  the  active  substance  in  this 
reaction,  is  formed  by  the  action  of  nitric  acid  on  ferrous  salts. 
Oxidizing  agents  like  H^O,,  KMnO^,  H,Cr,07  etc.  destroy  the  nitrous 
acid  and  hence  retard  the  change. 

Out  of  the  56  substances,  the  effect  of  which  was  investigated, 
22  act  as  accelerators  and  22  exert  a retarding  influence  in  all 
concentrations ; whilst  8 of  them  are  slight  accelerators  in  small 
concentratioHS  and  are  retarders  in  concontrated  Solutions.  Four  of 
these  56  substances  have  been  found  to  be  neutral  in  small  and 
retarders  in  large  concentrations. 

My  best  thanks  are  due  to  the  van  ’t  Hoff  Fund  Committee  for 
a grant  for  this  research, 

Chemical  Laboralory,  Miiir  Central  College,  Allahabad,  India. 


Scheikunde.  — De  Heer  Ernst  Cohen  biedt  een  inededeeling  aan 
van  den  Heer  Nil  Ratan  Dhar  : ^^Notes  on  Cohaltnmmines” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  van  Rombuegh). 


In  two  previons  investigations  (Zeit.  Anorg.  Chem.  1913,  80,43; 
84,  224)  1 bad  occasion  (o  stndy  certain  proporties  of  tlie  cobalt- 
amniines.  This  note  is  tbe  resiilt  of  the  continnation  of  tny  previons 
work. 

1.  Let  us  consider  tlie  folio wing  series  of  compounds 


K 


[Co(NH.).]  Ci., 
(NH.1 


CL. 

Cl, 

(NO,)  J 

L (NO,).J 

7 

L (NO,).J 

Co 


(N0,),_ 


and  K,  [Co  (NO,)j].  For  the  preparation  of 


CL, 

Cl, 

and  K 

L (NO,)  J 

L (NO,),J 

_ (N0,),_ 

L (NO.)J 

the  genera!  raethod  of  procedure  is  to  mix  a cobalt  salt,  ammonium 
chloride,  ammonium  hydroxide  and  a uitrite;  by  this  a complex 
cobaltous  compound  is  formed  which  is  turned  into  the  stable  cobaltic 
compound  by  oxidation.  The  amount  of  a certain  compound  which 
will  be  formed  depends  on  the  concentration  of  the  reacting  substances 
and  on  the  solubility  of  the  resulting  complex  compound.  If  the 
concentration  of  the  nitrite  in  the.solution  is  large  in  comparison 
with  the  concentrations  of  ammonium  hydroxide  and  ammonium 
chloride  we  should  expect  that  several  (NOJ  gronps  would  enter 
the  complex. 

It  is  known  froni  a long  time  that  aquopentammine  salts  can  be 
converted  into  the  corresponding  hexammine  salts  by  heating  the 
aquo  compound  with  ammonia  in  a sealed  tube  or  in  a bottle  under 
pressure. 


I found  that  if 


(NOJ  _ 


CL 


is  warmed  with  a dilute  solution 


of  sodium  or  potassium  nitrite  we  get  mainly 
could  be  purified  by  recrystallisation. 

In  a similar  way  croceo  cobalt  chloride 


(N0.),_ 


Cl,  which 


Co 


(NH3), 

(N0.)._ 


Cl  can  be 


552 


converled  iiito 


Co(NH.). 


by  warming  it  witli  a dilute  solution  of 


a nitrite,  whilst 

fn  (NH.)r 

can  be  converted  into  K 

L (NOJ.J 

L (NO,)J 

by  warming 


Co 


(NH 

(NO,) 


8. 


witli  a concentrated  solution  of  potassium 


nitrite,  ammonia  escaping  from  tlie  solution. 


I tried  to  prepare  the  compound  K 

(NH.: 


Co 


(NH.) 


which  is  still 


(NO,)J 


unknown,  by  warming  K Co 
unsuccessful. 

On  the  other  hand,  one  can  couvert  K 


(NO  ). 

with  potassium  nitrite,  but  was 


Co  *(!)(*** 

into 

Co 

(NO,)J 

L (NO,),J 

and 


Co 

into 

Co 

L (NO,).J 

L (NO,)J 

Cl  by  warming  the  compound  in 


question  with  a mixture  of  ammonium  chloride  and  ammonium 
hydroxide. 

In  all  these  cases,  ammonium  salts  are  used  along  with  ammonium 
hydroxide  and  their  function  is  to  suppress  the  ionisation  of  the 
base  and  form  undissociated  NH^OH,  which  is  in  equilibrium  with 
NH..  The  NH,  then  enters  into  the  complex  molecule. 

2.  If  a fairly  concentrated  solution  of  aqnopentammine  cobaltic 


chloride 


Co 


(H.0) 

corresponding  purpureo  salt 


Cl.  is  left,  it  slowly  gives  a precipitate  of  the 
(NH.) 


Co 


(Cl)  J 


Cl, 


Cl,  + H,o 

L (Cl)  _ 

L (H.0)  J 

Cl,. 


This  is  a case  of  equilibrium  in  solution  and  the  purpureo  salt 
being  much  less  soluble  comes  out  as  a precipitate. 

Co  Cl 

(Cl)  ’ 

aud  add  ammonium  hydroxide  and  warm  the  mixture  we  get  the 

(NH.) 


If  we  start  with  a solution  of  purpureo  cobalt  chloride 
ld  add  ammonium 
aquopentammine  salt 


(H.O) 


Cl,  in  solution  and  this  is  the  usual 


method  of  preparation  of  the  aquo  salt. 

I ünd  that  the  ammonium  hydroxide  has  only  a catalytic  effect 
on  the  hydrolysis  of  the  purpureo  salt  into  the  aquopentammine  salt. 
A solution  of  the  purpureo  chloride  takes  up  a molecule  of  water 


553 


and  passes  into  the  aquo  salt  verj  slowlj  even  at  tlie  oidinaiy 
teinperature.  This  hydrolysis  is  raarkedly  accelerated  by  thepresence 
of  hydroxyl  (OH')  ions.  The  greater  the  concentration  of  the  hydroxide 
ions,  the  greater  is  the  acceleration.  The  study  of  the  reaction  velocity 
of  this  hydrolysis  may  seA'e  as  a means  of  determining  the  concen- 
tration of  hydroxide  ions  in  a dilute  solntion  of  a base.  Thus  if  we 
make  a solntion  of  the  purpureo  salt  and  add  a few  drops  of  a 
dilute  solntion  of  potassium  hydroxide,  the  purple  colour  changes 
and  becomes  rosé  in  a few  ininntes ; but  with  a weak  base  like 
ammonium  hydroxide  the  colour  change  takes  a long  time.  This 
explanation  may  be  true  in  the  case  of  hydrolysis  with  the  corre- 
sponding  compounds  of  chrorniurn  and  platinum.  There  is  evidence 
to  show  that  in  some  other  cases  of  hydrolysis  by  alkali,  the  action 
of  the  hj’droxide  ions  is  catalytic.  The  decomposition  of  sodium 
chloracetate  by  alkali  is  a case  in  point  (Senter,  Trans  Chern.  Soc. 
1907,  91,  473). 


One  can  get  the  hydroxides  of  the  cobaltammines  in  solntion  b}' 
treating  the  corresponding  halide  with  moist  silveroxide  : 

(NHJ 


L (NOJJ 


Cl  -f  AgOH  = 


Co 


(NOJ, 


OH  -f  AgCl 


Co 


The  solntion  slowly  decomposes  even  at  the  ordinary  temperatures. 
The  hydroxides  of  the  other  members  of  this, series  can  also  be 
prepared  by  this  doublé  decomposition.  These  hydroxides  turn  phenol- 
phtalein  pink  and  electric  condnctivity  measnrements  show  that  they 
are  strong  bases  of  the  type  of  sodium  hydroxide. 

But  one  cannot  prepare  the  hydroxide  from  purpureo  cobalt  chloride 

Cl,  by  doublé  decomposition  with  silver  oxide.  The 

explanation  becomes  simple  on  the  light  of  the  catalytic  effect  of 
hydroxide  ions  on  the  hydrolysis  of  purpureo  salts  into  the  aquo 
compounds.  The  hydroxide  ions  set  free  by  the  doublé  decom- 
position acts  catalytically  on  the  purpureo  salt  and  actually  one  gets 

- 

in  alkaline  solntion,  (compare  ürbain  et  Sénéchal,  Chimie  des  com- 
plexes,  p.  280,  “Les  seis  purpureo  ne  donnent  pas  une  reaction  de 
ce  genre”). 


the  aquopentammine  hydroxide 


(OH),,  which  is  stable 


Summary  and  Conclusion. 


1.  The  principle  of  the  preparation  of  the  cobaltammines  is  guided 
by  the  law  of  mass  action  and  thus  depends  on  the  concentration 


554 


of  the  reactiiig  substaiices.  One  oan  öiibstitute  a niti'O  (NO,)  group  in 
a compound  by  the  groiap  (NHj  on  warming  it  witli  a mixture  of 
ammonium  hydroxide  and  a ammonium  salt  and  on  the  other  hand, 
NH,  is  replaced  by  NO,  when  the  salt  is  warmed  with  a nitrite  solution. 

(NH,); 


■ (Nh;)/ 

Ci 


Cl,  + H,0 


Co 


(H,0) 


Cl, 


This  hydrolysis  reaction  is  catalytically  accelerated  by  the  presence 
of  OH'  ions  and  the  velocity  is  proportional  to  the  concentration  of 
hydroxide  ions. 

^ (NO,)  J (NO,),  J 

are  strong  bases  and  ean  be  prepared  in  solution.  The  base  obtained 
from  the  purpureo  cobalt  chloride  is  the  aquopentammine  hydroxide 
(NH.), 


Co 


H.0 


(OH), 


Chemical  Laboratory,  Muir  Central  College,  Allahabad,  India. 


Wiskunde.  — De  Heer  ■ Brouwer  biedt  een  mededeeling  aan  van 
den  Heer  B.  von  Kerékjartó  te  Ujpest:  „Ueher  die  endlichen 
iopologischen  Gruppen  der  Kugelfiache” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Hendrik  de  Vries). 

Die  vorliegende  Arbeit  gibt  eine  nene  Herleitnng  des  Resnltates,  dass 
die  endlichen  topologisclien  Transformationsgnippen  init  invarianter 
Indikatrix  der  Kugelfiache  mit  den  Gruppen  der  regularen  Körper 
identisch  sind,  was  nach  dem  BROuwERSchen  Grundsatz '),  laut  dessen 
die  topologischen  Gruppen  mit  den  konformen  homöoniorph  sind, 
aus  dem  die  konformen  Transformationsgruppen  der  Kugelfiache 
betreffende!!,  bekannten  Satze  folgt. 

Wir  betrachten  eine  Gruppe  G von  n topologischen,  die  Indikatrix 
erhaltenden  Transformationen  der  Kugelfiache  in  sich.  Eine  willkürliche 
Transformation  t von  G ist  nach  dem  Rotationssatz  *)  eine  r-periodische 
Drehung,  die  also  zwei  Fixpunkte  P und  Q hat;  die  Anzahl  der 

11 

mit  P bei  G aquivalenten  Ponkte  ist  — . Wir  verbinden  P mit  Q 

V 

durch  einen  Weg  h,  der  seine  bei  den  Potenzen  von  t entstehenden 
Bilder  ausser  in  P und  Q nicht  tritft.  Sei  von  P aus der  erste  solche 

Punkt  von  h,  dass  P È eines  seiner  bei  G entstehenden  Bilder  ausser- 
halb  P trifft.  Wenn  R — Q,  so  ist  G mit  der  zyklischen  Rotations- 
gruppe  1,  t,  f,....  identisch.  Wenn  aber  R^  Q,  so  kann  auf 

dem  Bogen  PR  höchstens  ein  mit  R aquivalenter  Punkt  R'  liegen. 

Wenn  auf  PR  kein  mit  R aquivalenter  Punkt  liegt,  so  ist  R bei 

einer  Transformation  von  G invariant,  sodass  der  Bogen  PR  ein 
zwei  nicht-aquivalente  Fixpunkte  von  G verbindender,  seine  Bilder 
ausserhalb  der  Endpunkte  nicht  treffender  Bogen  c ist.  Wenn  aber 

auf  PR  ein  mit  R aquivalenter  Punkt  R'  liegt,  der  bei  keiner 
Transformation  von  G ausser  der  Identitat  invariant  ist,  so  betrachte 

man  das  System  der  Bilder  des  Bogens  R'R  von  b ; es  besteht  aus 
einander  nicht  tredenden  Jordanschen  Kurven,  da  R zu  genau  zwei 
solchen  Bogen  gehort;  ferner  ist  dieses  System  bei  G invariant. 


b Diese  Verslagen  XXVII,  S.  1201—1203  (29.  Marz  1919). 
b Math.  Ann.  Bd.  80,  S.  36. 


556 


Sei  y eiiie  der  geiiaiuiteii  Kui  ven  ; da  das  innere,  d.  h.  keinen  Bild- 
punkt  von  7^  entlialteiide  Gebiet  voii  y bei  jeder  es  invariant  lassendeii 
Transformation  von  G einer  Potenz  derselben  Drehung  unterworfen 
isf,  so  kann  man  R'  mit  dern  im  Innern  von  y existierenden  einzigen 
Fixpunkt  S (der  nicht  mit  Q zusammenfallen  kann)  dnrch  einen 
seine  Bilder  nicht  trefFenden  Weg  verbinden,  welcher  mit  dem  Bogen 
PR'  von  h zusammen  einen  seine  Bilder  ausserhalb  der  Fixpnnkte 
von  G nicht  trefFenden  und  zwei  Fixpnnkte  verbindenden  Weg  c bildet. 

Die  Bilder  von  c zerlegen  die  Kugelflache  in  Elemente ; falls  eines 
dieser  bei  einer  Transformation  von  G invariant,  also  einer  Drehung 
unterworfen  ist,  so  kann  man  einen  Fixpunkt  seiner  Grenze  mit  dem 
in  seinem  Innern  liegenden  einzigen  Fixpunkt  T durch  einen  seine 
Bilder  nicht  trefFenden  Weg  d verbinden.  Die  samtlichen  Bilder 
von  c und  d ergeben  zusammen  ein  bei  G invariantes  Sj^stem  7? von 
folgender  BeschafFenheit ; 1.  77  zerlegt  die  Kugelflache  in  Elemente, 
von  denen  je  zwei  aqnivalent  sind  und  jedes  nur  bei  der  Identitat 
invariant  ist;  2.  jeder  Fixpunkt  von  G liegt  auf  77;  3.  jeder  Punkt 
von  77,  der  zu  rnehr  als  zwei  Bogen  von  77  gehort,  ist  ein  Fixpunkt 
von  G.  Die  Anzahl  der  Elemente,  in  welche  77  die  Kugelflache 
zerlegt,  ist  n ; die  Anzahl  der  nicht  aquivalenten  Fixpunkte  ist  3, 
ihre  gesamte  Anzahl  ist  also,  wenn  r,,  iq,  v^  ihre  Multiplizitaten 

anzeigen,  gleich  n { ^ 1 );  die  Anzahl  der  Kanten  jedes 

Vv,  V,  vj 

Elementes  ist  4,  also  die  gesamte  Anzahl  der  Kanten  2n.  Mithin 

besteht  nach  dem  EuLERSchen  Polyedersatz  die  Formel 

n 1 2 

n ^ 2 n — 2,  oder  ^ — = 1 , 

V.  r . n 

I t 

woraus  sich  die  bekannten  Lösungen  ergeben  ’). 

Mittels  der  gleichen  Methode  werde  ich  die  BROUWEHSchen  Resultate  ’) 
in  bezug  auf  die  endlichen  Gruppen  von  topologischen  Transformationen 
des  Torus  herleiten. 


q Klein,  Vorlesungen  über  das  Ikosaeder,  S.  119. 
»)  G.  R.  t.  168,  S.  845  (28.  April  1919). 


Physiologie.  — De  Heer.  van  Rijnberk  biedt  een  mededeeiing  aan 
van  den  Heer  Dr.  H.  T.  Deelman');  ,, Bijdrage  tot  de  kennis 
van  de  dermatomerie  hij  de  vogels  [duif). 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  Winkler). 

Het  onderzoek  naar  de  ligging  en  uitbreiding  van  de  derinatomen 
bij  de  vogels  is  nog  slechts  zeer  onvolledig  verricht.  Uit  de  andere 
groepen  van  gewervelde  dieren  kennen  wij  toch  meerdere  dermatoom- 
studies  van  onderen  en  jongeren  datum’),  terwijl  het  met  dekennis 
van  het  vogeldermatoom  nog  maar  matig  gesteld  is.  En  evenals 
VAN  Rijnberk  in  1907  Sparvoli')  op  deze  leemte  opmerkzaam  maakte 
en  hem  tot  een  studie  aanzette,  zoo  ook  deed  hij  het  10  jaar  later 
schrijver  dezes.  Waren  de  uitkomsten  van  het  onderzoek  van  Sparvoij 
dan  negatief  geweest?  Geenszins,  maar  zijn  resultaten  konden  slechts 
een  voorloopig  karakter  dragen,  doordat  het  aantal  verrichte  experi- 
menten betrekkelijk  maar  gering  was.  Reeds  hier  wil  ik  dadelijk 
mededeelen,  dat  mijn  uitkomsten  niet  veel  talrijker  waren;  daar  zij 
echter  in  veel  opzichten  een  volkomen  bevestiging  zijn  van  de  vondsten 
van  Sparvoij,  is  het  dunkt  mij  belangrijk  genoeg  ze  hier  mede  te 
deelen. 

Waarom  ontbreekt  de  vogel  onder  de  proefdieren  die  voor  dermatoom- 
studies  gebruikt  zijn?  Een  vogel  is  een  moeilijk  proefdier.  Men  moet 
over  bijzondere  apparaten  beschikken  tot  fixatie  van  het  dier,  de  be- 
dwelming moet  zeer  voorzichtig  worden  toegediend.  Voorts  brengt  het 
zoeken  der  ruggemergswortels  groote  moeilijkheden  met  zich.  In  het 
halsgebied  — te  midden  van  bloedrijke  spieren  en  bij  slechte  fixatie  — 
is  het  opzoeken  der  wortels  haast  ondoenlijk.  In  het  lumbale  gebied 
brengt  het  beenige  kanaal  waarin  het  ruggemerg  besloten  is,  weer 
andere  moeilijkheden.  Het  thorakale  gebied  is  nog  het  beste  voor  de 
proefnemingen  geschikt. 

Aanvankelijk  werden  de  kip  en  de  eend  als  proefdieren  gebruikt. 

b Naar  onderzoekingen  verricht  in  het  Physiologisch  Laboratorium  der  Univer- 
siteit  van  Amsterdam. 

Koschewnikoff  voor  ' den  kikvorsch,  Sherringtün  voor  den  aap,  Winkler  en 
VAN  Rijnberk  voor  den  hond,  van  Rijnberk  bij  den  visch ; later  ook  Klessens 
voor  de  kat  en  van  Trigt  voor  de  hagedis. 

®)  Sparvoli,  Suil’  innervazione  segmenlale  della  cuté  negli  uccelli.  Archivio  di 
Anatomia  e di  Embriologia,  Vol,  VI.  fase.  3.  1907. 


558 


Deze  dieren  bleken  eciiler  minder  gescliikt  daar  men  te  gemakkelijk 
bij  de  operaties  groote  bloedingen  verkrijgt,  die  de  dieren  niet  door- 
staan. Ik  bepaalde  mij  toen  verder  bij  de  duif.  Bij  de  duif  had  ik 
maar  zelden  last  van  bloedingen  bij  de  operatie,  terwijl  het  mij  heeft 
getroffen,  hoe  goed  de  dnif  ook  niet  volkomen  steriele  ingrepen 
verdraagt.  Infecties  behoorden  gelukkig  tot  de  uitzonderingen.  (Op 
de  eerste  reeks  van  25  duiven  slechts  3 gevallen). 

Wat  de  proefmethode  aangaat,  zoo  werd  ik  als  vanzelf  in  de 
banen  van  Sp.arvoli  geleid.  Een  deel  van  het  ruggemerg  w'erd  bloot- 
gelegd, de  wortels  naar  behoefte  doorsneden,  de  wond  in  twee  lagen 
(spieren  en  huid)  gehecht.  Het  is  vooral  bij  mijn  latere  proeven  het 
streven  geweest,  om  bij  worteldoorsnijdingen  links,  zooveel  mogelijk 
te  werken  op  de  rechter  lichaamshelft,  om  — behoudens  de  door- 
gesneden linkerwortels  — de  andere  zenuwstammen  zoomin  mogelijk 
te  beschadigen  ’).  De  uitbreiditig  van  de  gevoelige  velden  werd  in 
de  volgende  dagen  door  knijpen  met  een  pincet  bepaald.  Het  dier 
wordt  dan  door  een  helper  vastgehouden  — men  zorgt  voor  een 
volkomen  rustige,  diffuus  verlichte  omgeving  — en  de  gevoelige 
gebieden  met  een  kleurstof  aangestipt.  Electrisehe  prikkeling  geeft 
minder  goede  uitkomsten.  Spakvoli  kwam  tot  hetzelfde  resultaat*). 

Van  de  uitgevoerde  proeven; 

Ik  heb  drie  proefreeksen  uitgevoerd:  i.  enkelvoudige  doorsnijding 
van  1 of  2 dorsale  woidels  en  daaropvolgende  bepaling  van  het 
ontstane  ongevoelige  huidgebied;  2.  ,,isoleering”  van  een  dermatoom 
tussehen  twee  ongevoelige  hnidgebieden  (,,remaining  sensibilitj”  van 
Shbrrington)  ; 3.  doorsnijding,  achtereenvolgens  van  een  geheele 

reeks  dorsale  wortels,  en  bepaling  keer  op  keer  van  de  daardoor 
ontstane  uitbreiding  van  het  analgetiscli  gebied  en  de  daaraan  beant- 
woordende verplaatsing  van  de  grens  tussehen  voelend  en  niet-voelend 
gebied  (gewijzigde  methode  van  Rossi).  De  uitkomsten  dezer  dier- 
proefreeksen  zal  ik  achtereenvolgens  bespreken. 

b Prof.  VAN  Rijnberk  maakte  mij  opmerkzaam,  steeds  ook  de  heterolaterale 
lichaamshelft  op  sensibiliteitsstoornissen  te  onderzoeken.  Dit  heb  ik  dan  ook  in  de 
latere  proeven  steeds  gedaan.  Een  anaesthetisch  gebied  aan  beide  zijden  van  de 
operatiewond  — dan  weer  eens  wat  breeder,  dan  weer  wat  smaller  — - kon 
wel  steeds  worden  vastgesteld.  Overigens  werden  op  de  heterolaterale  lichaamshelft 
geen  sensibiliteitsstoornissen  aangetroffen. 

Een  tandartsen-boormachine  bewees  uitnemende  diensten  bij  het  openmaken  van 
het  ruggemergskanaal ; vooral  ook  in  het  lumbale  gebied  bereikt  men  hiermede 
veel  sneller  zijn  doel  dan  met  allerhande  knabbeltangen. 

2)  De  strychnine-isolatiemethode  (Klessens,  Barenne)  geeft  bij  de  duif  geen 
uitkomst.  Hyperreflectorische  gebieden  blijven  achterwege. 


559 


■1*.  Enkelvoudige  doorsnijding  van  1 of  2 loortels. 

' Wwmeer  men  één  wortel  doorsnijdt  gelukt  het  niet  een  unaesthehsck 
gebied  te  bepalen.  De  hidd  blijft  overal  gevoeliq. 

Ook  Sparvoli  boekte  hetzelfde  resultaat.  Bij  eerste  5 duiven 
werd  één  wortel  doorsaeden  in  het  thoracale  of  hoogelumbaal- 
gebied. 

Bij  duif  VI — XII  werden  twee  opvolgende  wortels  doorsneden 
(ook  wederom  in  het  thoracale  gebied  of  hooge-lendengebied).  In  de 
volgende  dagen  kon  een  tamelijk  breed  ongevoelig  gebied  op  de 
romp  worden  vastgesteld,  dat  zich  in  dorso-ventrale  richting  uitstrekt. 
De  grenzen  laten  zich  tamelijk  scherp  bepalen.  Soms  werd  de  dorsale 
mediaanlijn  door  het  bepaalde  ongevoelige  gebied  niet  geheel  bereikt, 
zonder  dat  het  gelukt  hier  een  scherpe  grens  aan  te  teekenen  (lig.  1). 


Fig.  1.  Ongevoelig  huid  veld  verkregen  na  doorsnijding  van  2 opvolgende 
thoracale  wortels  (links)  bij  duif  VIII. 


Het  ongevoelig  gebied  wordt  naar  de  ventrale  mediaanlijn  iets 
breeder,  al  is  het  verschil  maar  gering.  De  schets  aan  duif  VIII 
ontleend,  geeft  er  een  beeld  van.  Ter  vergelijking  geef  ik  fig.  2, 
aan  de  mededeeling  van  Sparvoli  ontleend,  waarbij  ook  twee  wortels 
links  bij  de  duif  zijn  doorsneden.  Met  de  dikke  lijnen  van  Sparvoli 
wordt  waarschijnlijk  uitgedrukt  dat  hij  de  grenzen  niet  scherp  vond. 
Toch  .is  mijn  ervaring  dat  het  wel  gelukt  een  duidelijke  grens  aan 
te  wijzen.  Ook  konden  versmallingen  van  het  ongevoelige  gebied 
in  de  ,,axillair”-lijn  worden  aat)getoond,  al  was  het  meest  niet  zoo 
duidélijk  als  bij  Sparvolï.  (Zie  de  maten  in  fig.  1). 


560 


In  een  nieuwe  reekvS  van  proefnemingen  werden  bij  een  aantal 
duiven  twee  opvolgende  wortels  doorgesneden.  Bij  duif  3 (N.R.)  de 


Fig.  2.  Ontleend  aan  de  mededeeling  van  Fig.  3.  Ongevoelig  huidveld  (gedeeltelijk  op 

Sparvoli,  waarbij  evenals  bij  duif  VIll  twee  linker  achterpoot)  na  doorsnijding  van  de  beide 

thoracale  wortels  werden  doorgesneden.  laatste  thoracale  wortels  (links)  (duif  3 N.R.). 

beide  laatste  tliorakale  wortels  (fig.  3),  bij  duif  4 (N.R.)  de  laatste 
tliorakale  en  eerste  lenden  wortel  (fig.  4)  en  bij  duif  5 (N.R.)  de 


Fig.  4.  Ongevoelig  huidveld  (gedeeltelijk  op  linker  achterpoot)  na  doorsnijding 
van  den  laatsten  thoracalen  en  eersten  lendenwortel  (links)  (duif  4 N.R.). 

2e  en  3e  lumbale  wortel  (fig.  5).  De  figuren  geven  duidelijk  weer 
het  verplaatsen  van  de  anaesthetische  gebieden  in  eaudale  richting, 


561 


terwijl  tevens  blijkt,  dat  de  ongevoelige  gebieden  van  duif  4 en  5 
te  zamen  juist  den  geheelen  achterpoot  innemen,  doordat  de  caudale 


Fig.  5 Ongevoelig  huidveld  na  doorsnijding  van  den  tweeden  en  derden 
lumbalen  wortel  (links)  (duif  5 N.R.). 

grens  van  het  ongevoelige  gebied  bij  duif  4 juist  de  cranïale  grens 
is  van  het  ongevoelige  gebied  van  duif  5. 

2.  Isoleering  van  1 dermatoom  {„remaining  sensibility”). 

Bij  de  duiven  genummerd  XIII  tot  XXI  werd  getracht  de  isolatie- 


Fig.  6.  Geïsoleerd  gevoelig  gebied  bij  duif  Xlll,  verkregen  na  doorsnijding  van 
4 wortels  (2  craniaal  en  2 caudaal  van  één  thoracalen  wortel  (linksi. 

87 

Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A".  1919/20. 


562 


metliode  van  Sherrington  toe  te  passen.  Eén  wortel  werd  intact 
gelaten  en  twee  wortels  craniaal  en  twee  wprtels  caudaal  van  deze 
werden  dooi'gesneden.  Regelmatig  werd  nn  een  ongevoelig  gebied 
gevonden,  dat  gelegen  is  in  een  breede  zone  waarin  het  dier  geen 
reactie  op  mechanische  prikkels  geeft.  De  fignur  aan  duif  XIII 
ontleend  geeft  dezen  toestand  weer  (fig.  6).  Het  gevoelige  gebied,  dat 


Fig.  7.  Geisoleerd  gevoelig  gebied  na  isolatie  van  een  wortel  tusschen  twee 
craniale  en  twee  caudale  doorgesneden  wortels  (fig.  aan  de  mededeeling 
van  Spakvoli  ontleend. 


Fig.  8.  Idem  als  fig.  7. 


563 


op  deze  wijze  verkregen  werd,  reikt  tot  iets  verder  dan  de  axillair- 
lijn  en  loopt  naar  ventraal  tamelijk  breed  uit.  In  de  latere  gevallen 
werd  getracht,  door  een  been-spier-huidbrng  boven  den  niet-door-te- 
snijden  wortel  te  laten  staan,  de  beschadigingen  door  de  operatie 
veroorzaakt  aan  dezen  wortel  zoo  gering  mogelijk  te  doen  maken. 
Wel  kon  ik  dan  vinden  dat  het  gevoelige  gebied  iets  meer  nog  naar 
de  dorsale  mediaanlijn  reikte,  maar  deze  werd  echter  nooit  bereikt. 

Fig.  7 en  Fig.  8 zijn  twee  afbeeldingen  van  gelijke  proeven  van 
Spakvou.  De  gevoelige  gebieden  die  ik  op  bovenstaande  wijze  vond, 
waren  dunkt  mij  we!  steeds  grooter  dan  die  van  S.  Met  nadruk  wijs 
ik  er  op,  dat  i-egelmatig  een  verbreeding  naar  de  ventrale  zijde 
gevonden  werd.  Voorts  werd  de  indruk  verkregen,  dat  met  toe- 
nemende ervaring,  de  gevonden  gevoelige  gebieden  grooter  werden. 

3".  Achtereenvolgende  doorsnijding  van  een  reeks  dorsale  loortels 
(gewijzigde  methode  van  Rossi).  Uitbreiding  van  de  studie  werd  nu 
in  deze  wijze  van  opereeren  gezocht.  Deze  methode  levert  het  groote 
voordeel  op,  dat  elke  proef  een  aantal  gegevens  verschaft  óp  één- 
zelfde dier  verkregen,  waarbij  dus  de  individueele  variabiliteit,  welke 
in  het  hoofdstuk  der  segmentaal-anatomie  zulk  een  groote  rol  speelt, 
uitgeschakeld  is.  Fig.  9 (aan  duif  22  ontleend)  geeft  een  indruk  van 


Fig.  9.  Opvolgende  vergrooting  van  het  ongevoelige  huidgebied  tusschen  de 
lijnen  1 en  2,  1 en  3,  1 en  4,  en  1 en  5,  na  doorsnijding  van  2,  3,  4 
en  5 wortels.  (Rossi-raethode). 

de  uitkomsten  op  deze  wijze  verkregen.  Allereerst  werd  hier  de 
laatste  cervicaaizennw  doorgesneden.  Geen  anaesthetisch  gebied  werd 

37# 


564 


gevonden.  Twee  dagen  later  werd  de  eerste  thoracale  zenuw  door-^ 
gesneden.  Nu  komt  er  een  ongevoelig  gebied  als  tiisschen  de  lijnen 
1 en  2 is  aangegexen.  Weer  twee  dagen  later  volgt  de  volgende 
zenuw.  De  lijn  3 geeft  nu  de  caiidale  grens  aan.  Deze  is  slechts 
een  paar  m.m.  meer  caiidaal  dan  lijn  2,  terwijl  2 en  3 op  den  rug 
van  het  dier  samen loopen.  Na  twee  dagen  wordt  de  volgende  zenuw 
doorgesneden  en  lijn  4 wordt  de  caudale  grens  van  het  anaestheti- 
sche  gebied.  Bij  doorsnijding  van  de  volgende  zenuw  wordt  lijn  5 
de  caudale  grens  van  hot  nu  langzamerhand  tamelijk  breede  onge- 
voelige gebied. 

Bij  opvolgende  worteldoorsnijding  vindt  men  dus  een 'steeds  broeder 
anaesthetisch  gebied,  al  is  de  breedte-toename  bij  eiken  volgenden 
wortel  ook  niet  constant. 

Beschouwing  der  met  de  drie  methoden  verkregen  uitkomsten. 

Uit  al  onze  proeven  blijkt,  dat  de  gevoelige  wortelgebieden,  ook 
bij  de  duif,  op  den  romp  als  ononderbroken  gordelvormig  serieel 
gerangschikte  zónes,  van  de  dorsale  tot  de  ventrale  middenlijnen 
verloopen.  Voor  zoover  men  mag  oordeelen  uit  de  enkele  proeven 
binnen  het  gebied  der  extremiteiten,  schijnt  het,  dat  ook  hier  de 
serieele  rangschikking  behouden  is.  In  de  afbeeldingen  van  fig.  3,  4 
en  5 ziet  meji  de  caudale  grenzen  van  Th  X,  Th  XI  en  L 1,  en 
de  craniale  grenzen  van  L /,  L 7/  en  L IV  gelijkmatig  op  den 
achterpoot  verschuiven,  zoodat  op  de  dij,  de  craniale  grens  van  L 7/ 
ongeveer  samenvalt  met  de  caudale  van  L 1. 

Bij  de  isoleering  van  een  wortel  veld  op  den  romp  bleek  mij  — 
evenals  aan  Sparvoli  — dat  de  gevoelige  zone  niet  de  doi’sale 
middenlijn  bereikt. 

De  ongevoelige  gebieden  die  gevonden  worden  bij  twee  opvolgende 
worteldoorsnijdingen,  worden  regelmatig  breeder  naar  de  ventrale 
zijde  toe,  al  is  deze  breedtetoename  ook  niet  erg  groot.  De  gevoelige 
gebieden  met  de  isolatiemethode  verkregen,  worden  naar  de  ventrale 
zijde  toe  aanmerkelijk  breeder.  Deze  beide  waarnemingen  zonder  erop 
kunnen  wijzen,  dat  de  dennatomen  bij  de  duif  naar  de  ventrale 
zijde  toe  aanmerkelijk  in  breedte  toenemen.  Men  weet  hoe  er  voorat 
in  de  latere  jaren  een  kwestie  is  geweest  over  het  ontstaan  van  den 
vorm  van  het  dermatoom.  De  Boer  *)  heeft  getracht  waarschijnlijk 
te  maken,  dat  de  grootere  uitbreiding  van  het  dermatoom  aan  de 
ventrale  zijde  met  het  grooter  aantal  prikkels  in  verband  moet  worden 
gebracht,  die  de  buikzijde  van  het  dier  verkrijgt  in  vergelijking  met 


Ó Feestbundel  voor  Winkler  1918. 


565 


de  rugzijde  (functioneel  verband  tusschen  de  uitbreiding  van  het 
derraatooin  en  prikkelhoeveelheid). 

Wanneer  nu  mijn  waarnemingen  aan  de  duif  juist  zijn  verricht, 
dan  hebben  wij  ook  liier  wederom  een  diersoort,  waarbij  de  dermatomen 
naar  \entraal  aanmerkelijk  in  afmetingen  toenemen.  Ik  zou  er  nu 
op  willen  wijzen,  dat  dit  geen  steun  is  voor  de  opvattingen  van  de 
Boek,  daar,  wanneer  men  meet  — langs  de  i-ugmiddenlijn  — de  afstand 
van  hals-implantatie  tot  aanhechting  van  het  staartstompje,  en  dezen 
afstand  vergelijkt  met  den  afstand  tusschen  correspondeerende  punten 
van  de  ventrale  middenlijn,  dat  het  dan  blijkt,  dat  de  laatste  afstand 
ongeveer  2 maai  grooter  is  dan  de  eerste.  Hij  de  vogels  is  — dank 
zij  den  schuitvormigen  bouw  van  den  romp  — het  verschil  tusschen 
de  lengte  van  dorsale  en  ventrale  mediaajilijn  wel  veel  grooter  dan 
bij  elke  andere  diersooi’t  (vergelijk  hiermede  den  volkomen  buisvor- 
migen  romp  van  de  hagedis,  van  Tkigt).  Terecht  kan  men  dunkt  mij 
verwachten  dat  reeds  hierom  de  dermatomen  naar  de  venti-ale  zijde 
aanmerkelijk  in  breedte  zullen  moeten  toenemen,  zonder  dat  het  nood- 
zakelijk is  deze  breedtetoename  met  functioneele  factoren  in  verband 
te  brengen. 


Natuurkunde.  — De  Heer  Jl'i,ius  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
den  Heer  W.  J.  H.  Mou. : ,,Een  nieuioe  registree rende  Micro- 
foto meter” . 

(Mede  aangeboden  door  den  Heer  van  der  Stok). 

De  naain  „Microfototneter”  is  het  eerst  door  Haktmann  gegeven  aan 
een  door  hem  ot)tworpen  toestel,  bedoeld  oin  van  zeer  kleine  deelen 
eener  fotografische  plaat  de  zwarting  te  bepalen. 

Het  te  onderzoeken  deel  der  fotografische  plaat  wordt  daartoe 
vergeleken  met  een  deel  van  een  „fotografische  wig”  (een  fotografische 
plaat  van  geleidelijk  afnemende  zwarting),  en  de  meting  komt  neer 
op  het  uitzoeken  op  de  wig  van  een  plaats  van  gelijke  zwarting. 
De  wijze  waarop  beide  zwartingen  worden  vergeleken,  is  op  neven- 
staand schema,  tig.  1,  aangegeven.  is  de  fotografische  plaat,  en  /tT de 


A ' W 

Il=ï  S 


M 

Fig.  1. 

wig,  welke  beiden  door  tusschenkomst  van  de  spiegels  S en  S'  licht 
ontvangen  van  een  plaatje  rnelkglas  M,  dat  door  een  lampje  L wordt 
beschenen.  W is  een  dubbelprisma  naar  Lummkr  en  Brodhun,  op  het 
hypothenusavlak  waarvan  de  objectieven  O en  O'  een  scherp  beeld 
van  kleine  deelen  der  beide  fotografische  platen  ontwerpen.  In 
het  oculair  A,  ingesteld  op  het  midden  van  het  hypothenusavlak, 
ziet  men  in  het  centrum  eeri  zeer  klein  deel  van  de  plaat  P,  en  rond 


b J.  Hartmann,  Zeitsclir.  f Instrumentenk.  19,  p.  97,  1899. 


.567 


daaiomheeii  een  deel  van  de  wig  W.  Men  verschuift  nu  de  wig, 
tot  liet  contrast  verdwijnt,  en  leest  den  stand  van  de  wig  af. 

Op  deze  wijze  kan  men,  door  de  fotografische  plaat  te  verschuiven, 
deze  punt  voor  punt  onderzoeken. 

In  zijn  oorspronkelijken  vorm  was  Hartmann’s  microfotometer 
slechts  bedoeld,  om  op  de  fotografische  plaat  plaatsen  van  gelijke 
zwarting  op  te  sporen;  hij  was  als  zoodanig  een  hulptoestel  bij  de 
fotografische  fotometrie  van  zeer  zwakke  lichtbronnen  (sterren,  nevel- 
vlekken). Om  b.v.  de  lichtveixleeling  in  een  nevelvlek  te  onderzoeken, 
werd  deze  gefotografeerd.  Vervolgens  werd  op  een  ander  deel  derzelfde 
fotografische  plaat  een  ,,intensiteitsschaar’  ontworpen,  die  verkregen 
werd  door  met  een  aardsche  lichtbron  naast  elkaar  liggende  vakjes 
te  verlichten,  telkens  gedurende  precies  denzelfden  tijd,  maar  van  uit 
verschillende  nauwkeurig  bepaalde  afstanden.  Daarna  werd  de  plaat 
in  haar  geheel  ontwikkeld  en  gefixeerd.  Nu  is  het  verband  tusschen 
zwarting  van  een  fotografische  plaat  en  de  lichthoeveelheid,  die  deze 
zwarting  heeft  veroorzaakt,  van  allerlei  factoren  afhankelijk,  maar 
onafhankelijk  van  eenige  zwartingswet  geldt,  dat  plaatsen  van  gelijke 
zwarting  gelijke  (d.w.z.  fotografisch  gelijke)  hoeveelheid  licht  per  c.m.® 
hebben  ontvangen.  Door  dus,  met  de  wig  als  vergelijkingsobject,  in 
het  fotografisch  beeld  der  nevelvlek  een  aantal  plaatsen  op  te  zoeken 
van  gelijke  zwarting  als  een  der  vakjes  der  intensiteitsschaal,  kent 
men  voor  evenveel  plaatsen  der  nevelvlek  de  mate  waarin  ze  licht 
uitzenden. 

Maar  niet  minder  belangrijk  is  een  andere  toepassing,  die  de 
microfotometer  van  Hartmann  heeft  gevonden,  n.1.  het  onderzoeken 
naar  de  zwartingsverdeeling  in  het  fotografisch  opgenomen  beeld  van 
een  of  ander  object  of  verschijnsel,  een  spectrum  bijvoorbeeld. 

Een  dergelijk  onderzoek  echter  beteekent  het  bepalen  van  de 
zwarting  plaats  voor  plaats  van  een  meer  of  minder  uitgebreid  gebied, 
en  wel  door  visueele  fotometrie.  Dit  is  een  tijdroovend  werk  en  voor 
den  waarnemer  zeer  vermoeiend,  de  nauwkeurigheid  van  instelling 
neemt  daardoor,  zelfs  bij  de  uiterste  inspanning,  snel  af'.) 

Het  groote  bezwaar  dat  bij  een  dergelijk  uitgebreid  fotometrisch 
onderzoek  de  subjectieve  waarneming  oplevert,  heeft  Koen  ’)  geleid  tot 
den  bouw  van  een  geheel  automatisch  toestel,  een  zelfregistreerenden 
microfotometer. 

Koch  werpt  het  principe  van  den  contrast-fotometer  over  boord, 
en  bepaalt  de  zwarting  door  directe  meting  van  het  doorgelaten  licht. 


b Fijne  détails  komen  daarbij  uiteraard  in  het  geheel  niet  tot  hun  recht. 
P.  P.  Koch,  Ann.  d.  Phys.  39,  p.  705,  1912. 


568. 


en  wel  met  Dehulp  van  een  foto-electrische  cel.  Fig.  2 geeft  een 
schematische  voorstelling  van  de  inrichting  van  zijn  apparaat. 


* Nj 

Fig.  2. 

Het  licht  \aii  een  Nernstlamp  wordt  door  een  condensor  C 
geconcentreerd  op  de  fotografische  plaat  F.  Het  doorgelaten  licht  treft 
het  objectief  O,  hetwelk  op  de  spleet  Si  een  vergroot  beeld  ontwerpt 
van  de  fotografische  plaat.  Het  licht  dat  door  de  spleet  wordt  door- 
gelaten, en  dus  afkomstig  is  van  een  smalle  strook  der  fotografische 
plaat,  treft  een  foto-electrische  cel  F,  en  wel  de  met  Kalium  bedekte 
kathode,  die  met  de  negatieve  pool  van  een  accumiilatorenbatterij  B 
is  verbonden.  De  anode  is  via  een  snaar-electrometer  E van  het 
gebruikelijke  type,  en  via  een  zeer  grooten  weerstand  met  de  aarde 
verbonden. 

Al  naar  gelang  van  de  zwarting  van  de  fotografische  plaat,  zal  de 
cel  door  meer  of  minder  licht  getroffen  worden,  en  zal  de  electro- 
rneter  een  grooter  of  kleiner  uitslag  krijgen. 

Deze  uitslag  wordt  met  behulp  van  een  tweede  Nernstlamp  iV,, 
en  een  paar  lenzen  L,  en  L,  fotografisch  geregistreerd  op  een  ge- 
voelige plaat  R,  en  een  zelfde  uurwerk  verschuift  gelijktijdig  de 
platen  P en  R,  F zeer  langzaam  in  horizontale,  en  R vrij  snel  in 
verticale  richting.  Op  deze  wijze  wordt  op  de  plaat  R een  kromme 


569 


lijn  geregistreerd,  waarvan  de  abscissen  met  verschillende  plaatsen 
van  de  plaat  P overeenkomen,  en  de  ordinaten  een  maal  zijn  voor 
de  op  die  plaatsen  beslaande  zwarting. 

Koch  wijst  zelf  op  de  moeilijkheden,  die  het  verkrijgen  van  be- 
trouwbare opnamen  met  dit  zeer  subtiele  instrumentarium  oplevert. 
Om  de  schommelingen  in  de  lichtsterkte  van  de  Nernstlamp  (die 
om  voldoende  gevoeliglieid  te  verkrijgen,  overbelast  wordt),  tengevolge 
van  luchtstroomingen  en  wisselingen  in  de  spanning  der  stroorn- 
leverende  batterij,  te  compenseeren,  neemt  hij  in  de  keten  : batterij- 
cel-electrometer-aarde  eeti  tweede  cel  op,  die  door  dezelfde  Nernst- 
lamp wordt  bestraald,  en  die  tegen  de  eerste  is  geschakeld. 

Ook  als  alle  voorzorgen  zijn  getroffen  om  den  electrometer,  de 
cellen  en  hun  toeleidingen  electrostatisch  te  beschermen,  doen  zich 
onverwachte  kleine  bewegingen  van  de  snaar  voor,  en  deze  is 
bovendien  uiterst  gevoelig  voor  dreuningen. 

Maar  bovenal  levert  de  traagheid  der  foto-electrische  cel  een 
principieel  bezwaar.  Bij  constante  bestraling  van  de  cel  bereikt  de 
electrometer  eerst  na  eenige  minuten  zijn  einduitslag.  De  electro- 
meter volgt  de  intensiteits-wisselingen  van  het  licht  dus  slechts  lang- 
zaam. Met  de  bedoeling  om  de  snelheid  van  aanwijzing  te  vergrooten, 
wordt  een  derde  cel  in  de  keten  opgenomen,  maar  het  effect  daarvan 
is  slechts  gering. 

Nu  komen  in  de  fotografische  plaat  maar  zelden  sprongsgewijze 
\ eranderingen  van  zwarting  voor,  en  daarom  vallen  de  contrasten 
die  door  een  trage  cel  worden  geregistreerd  inderdaad  nog  wel  mee, 
maar  de  geregistreerde  intensiteitsverdeeling  is  niet  de  juiste.  Een 
volkomen  symmetrische  spectraallijn  b.v.  zal  tengevolge  van  de 
traagheid  der  cel  een  asymmetrische  kromme  leveren,  en  men  kan 
aan  dat  bezwaar  slechts  tegemoet  komen,  door  de  fotografische  plaat 
met  de  uiterste  langzaamheid  te  verschuiven. 


Bij  allerlei  spectrografische  onderzoekingen,  die  in  den  laatsten 
tijd  in  het  Utrechtsche  Physische  Laboratorium  worden  uitgevoerd, 
deed  zich  de  behoefte  gevoelen  aan  een  microfotometer.  Hierin  heb 
ik  een  aanleiding  gevonden  zelf  de  constructie  van  een  toestel  ter 
hand  te  nemen.  Elders  zijn  reeds  enkele  resultaten  gepubliceerd,  die 
met  het  oorspronkelijke  toestel,  en  een  aanmerkelijk  verbeterd 
exemplaar  zijn  verkregen.  Waar  thans  het  instrument  een  meer 
definitiever!  vorm  heeft  aangenomen,  wil  ik  in  het  koit  daarvan 
een  beschrijving  geven : 

Het  principe,  dat  aan  dezen  nieuwen  microfotometer  ten  grondslag 
ligt,  is  in  hoofdzaak  hetzelfde  als  door  Koen  is  toegepast,  maar 


570 


voor  bet  registreeren  der  intensiteit  van  het  door  de  fotograüsche 
plaat  verzwakte  licht,  wordt  niet  gebruik  gemaakt  van  de  combinatie 
foto-electrische  cel  en  electrometer,  maar  van  de  combinatie  thermo- 
zuil  en  galvanometer.  Dat  daarbij  in  lioofdzaak  stralen  van  groote 
golflengte  een  rol  spelen  maakt  geen  wezenlijk  verschil  uit,  de 
verzwakking  die  deze  stralen  door  de  fotografische  plaat  ondergaan 
kan  juist  evengoed  als  maat  voor  de  zwarting  dienen,  als  de  ver- 
zwakking van  de  eigenlijke  lichtstralen  alleen  '). 

Deze  combinatie  biedt  daarentegen  een  aantal  voordeelen  : 

De  galvanometer  en'  de  tliermozuii,  van  een  constructie  zooals  ik 
die  vroeger  heb  beschreven  zijn  instrumenten,  die  Juist  voldoen 
aan  de  eisclien  die  de  microfotometer  stelt.  Zij  zijn  snel,  zeer  ge- 
voelig, en  zoo  onafhankelijk  van  uitwendige  storingen,  dat  zij  onder 
het  gebruik  geen  speciaal  toezicht  behoeven. 

Het  zij  me  vergund  tnet  een  fotografisch  geregistreerd  diagram,  zie 
tig.  3,  de  wijze,  waarop  tliermozuii  en  galvanometer  fuoctioneeren, 
overtuigend  te  toonen. 

Een  dergeiijke  tliermozuii  voorzien  van  een  uiterst  smalle  spleet 
vormt  het  gevoelige  deel  van  den  nieuwen  microfotometer.  In  neven- 
staand schema,  tig.  4,  stelt  T de  tliermozuii  voor,  en  aSJ  de  spleet 


ÏÏ»' 


p 


R 


C 


Fig.  4. 


h Men  heeft  echter  te  bedenken,  dat  de  maat  waarin  de  zwarting  wordt  gemeten 


voor  beide  gevallen  verschillend  is. 

Deze  Verslagen,  22,  p.  206  (Juni  1913),  en  p.  614  (Nov.  1913). 


571 


L is  een  lantaarn  waarin  een  gloeilampje,  en  voorzien  van  een 
condensor  C,  die  de  gloeiende  spiraal  van  het  lampje  projecteert  op 
de  spleet  S^.  0,  en  0^  zijn  twee  mieroscoop-objectieven,  waarvan 

het  eerste  dient  om  de  spleet  *S,  sterk  verkleind  af  te  beelden  op  de 
fologratische  plaat  P,  en  iiet  tweede  om  een  vergi'oot  beeld  van  de 
fotografische  plaat  op  de  spleet  aS,  te  vormen.  De  fotografische  plaat 
P is  vastgeklemd  tegen  een  plaathonder  (niet  in  de  figuur  geteekeud), 
welke  plaathonder  met  behulp  vau  een  micrometerschroef  zijdelings 
verschoven  wordt.  De  thermozuil  is  direct  aan  den  galvanometer  X 
aangesloten,  en  deze  werpt  een  lichtbeeld  (afkomstig  van  een  tweede 
gloeilampje,  dat  naast  of  boven  den  galvanometer  is  opgesteld)  op 
een  registreertrommel  R. 

De  wijze  waarop  de  bewegingen  van  F en  R zijn  gekoppeld  zal 
straks  nader  worden  aangegeven. 

Fig.  5 geeft  een  schets  van  het  complete  instrument  op  7?  van  de 
natuurlijke  grootte.  De  verschillende  boven  reeds  genoemde  onder- 
deelen  zijn  door  dezelfde  letters  als  in  fig.  4 aangegeven. 

De  voet  van  het  toestel  bestaat  uit  twee  stevig  aan  elkander 
bevestigde  deelen,  een  zware  gegoten  bronzen  grondplaat  ü,  waarop 
een  tafel  D en  verdere  opstaande  stukken,  en  een  ijzeren  rail  V 
van  driehoekig  profiel.  De  rail  heeft  geen  andere  bestemming,  dan 
alleen  om  daarlangs  drie  ruiters  J,  II  en  V te  kunnen  verschuiven, 


Fig.  5. 

waarvan  / het  lantaarntje  L,  II  de  spleet  en  V de  thermozuil 
T draagt.  Op  de  bronzen  grondplaat  en  de  tafel  is  het  bewegings- 


572 


mechanisme  aaiigebraclit,  en  op  de  tafel  D bovendien  de  beide 
standaards  ///en  IV  welke  de  objectieven  0^  en  O,  dragen. 

Het  voornaamste  onderdeel  van  het  bewegingsmechanisme  vormt 
de  hoofdas  A.  Dat  gedeelte  van  de  hoofdas,  dat  zich  binnen  liet 
blok  B bevindt  draagt  een  micronieterschroef  van  1 m.m.  spoed, 
waarmede  dit  blok,  dat  inwendig  van  een  moer  is  voorzien,  tnsschen 
twee  lijsten  en  zijdelings  verschoven  wordt.  Aan  de  af  werking 
van  deze  schroef  en  moer  is  de  alleruiterste  zorg  besteed.  Op  het 
blok  B wordt  met  drie  scliroeven  de  plaathonder  Q bevestigd,  waar- 
tegen de  te  onderzoeken  fotografische  plaat  wordt  vastgekiemd  (de 
plaathonder  is  niet  in  de  schets  geteekend). 

Verder  draagt  de  as  bij  G een  drievoudige  wormschroef,  die  in 
het  wormrad  H grijpt,  en  daaraan  bij  draaiing  een  tienmaal  ver- 
traagde beweging  mededeelt.  De  vaste  as  van  dit  wormrad  wordt  door 
tusschenkomst  van  een  dubbele  cardanische  overbrenging  Y,  gekop- 
peld aan  het  drijfwerk  van  den  registreertrommel  (niet  in  de  schets 
geteekend).  Door  omschakeling  van  een  tussclienrad  van  dit  drijfwerk 
kan  men  den  trommel  öf  dezelfde  snelheid  geven  als  H,  bf  wel  een 
4 maal  kleinere.  Op  den  trommel  wordt  een  vel  broonzilverpapier 
gespannen,  van  circa  40  c.rn.  lengte.  Een  verplaatsing  van  het  ge- 
voelige papier  over  40  c.rn.  komt  dus  overeen  met  een  verschuiving 
der  fotografische  plaat  /'*  over  40  resp.  10  m.m. 

Eindelijk  draagt  de  hoofdas  een  wormrad  J van  200  tanden, 
waarin  de  wormschroef  K grijpt.  Deze  schroef  wordt  door  middel  van 
een  buigzame  as  Z direct  gekoppeld  aan  een  electromotor  (niet  in  de 
schets  geteekend),  die,  voorzien  van  een  vliegwiel,  voor  matige  snel- 
heid is  ingericht.  In  de  leiding,  die  den  stroom  aan  den  electrometer 
toevoert,  wordt  een  regelbare  weerstand  en  een  commutator  opgenomen 
(beide  niet  geteekend  in  de  schets).  Met  behulp  daarvan  kan  men 
de  snellieid  van  draaiing  der  hoofdas  binnen  wijde  grenzen  varieeren, 
en  de  richting  van  draaiing  kiezen.  Er  is  een  inrichting  getroffen,  die 
de  beweging  van  het  blok  B beiderzijds  beperkt.  Wanneer  n.1.  het 
blok  in  den  eenen  of  den  anderen  uitersten  stand  is  aangekomen,  maakt 
een  stuiting  verdere  draaiing  van  de  hoofdas  onmogelijk,  zonder  dat 
de  micrometerschroef  daarvan  nadeel  ondervindt.  Doordat  het  wormrad 
J niet  vast  aan  de  hoofdas  is  bevestigd,  maar  met  zware  wrijving 
over  die  as  kan  draaien,  zal  van  het  oogenblik  af  dat  de  hoofdas 
wordt  gestuit,  de  motor  niets  anders  doen  dan  deze  wrijving  over- 
winnen, maar  de  plaat  P en  de  trommel  R zullen  blijven  stil  staan. 
Door  het  omzetten  van  een  hefboom  kan  bovendien  de  schroef  K 
worden  vrijgemaakt  van  het  wormrad  J.  Men  kan  dan  de  hoofdas 
uit  de  hand  ronddraaien,  en  dat  deel  van  de  fotografische  plaat 


W.  J.  H.  MOLL:  „Een  nieuwe  registreerende  Microfotometer”. 


Fig.  3.  Fotografisch  diagram  opgenomen  met  de  thermozuil  en  den  galvanometer  (de 
beide  hulpinstrumenten  van  den  microfotometer),  ter  demonstratie  van  de  betrouwbaar- 
heid en  snelheid  van  aanwijzing  dier  instrumenten. 

De  straling  van  een  kaars,  geplaatst  op  1 meter  afstand  van  de  thermozuil  (voorzien 
van  een  spleet  van  1 m.m.  breedte),  werd  intermitteerend  telkens  5 sec.  toegeiaten  en 
5 sec.  onderschept. 


Fig.  6.  Diagram  geleverd  door  den  micro- 
fotometer van  een  ZEEMAN-sextet.  De  6 lijnen 
hadden  tezamen  een  breedte  van  circa  0,6  m.m. 


Fig.  7.  Diagram  geleverd  door  den 
microfotomer  van  een  .,Abbesche  Test- 
platte”  : hetzelfde  object  tweemaal  achter- 
eenvolgens opgenomen. 


Verslagen  der  Afdeeliiig  Natuurk.  Dl.  XXVIII.  A'^.  1919/20. 


tasscheii  de  objectieven  brengen,  dat  men  onderzoeken  wil.  Bij  deze 
draaiing  wordt  wel  is  waar  ook  de  registreertronimel  meegenomen, 
maar  deze  laat  zich  van  buiten  af  in  den  gewenschten  beginstand 
brengen. 

Wat  het  optische  systeem  van  den  microfotometer  betreft,  dit  is 
in  hoofdlijnen  reeds  in  tig.  4 geschetst.  Hier  volgen,  onder  verwijzing 
naar  tig.  5,  nadere  bizonderheden.  De  lantaarn  L met  condensor  C 
bevat  een  gloeilampje  voorzien  van  een  speciale  fitting,  die  een  on- 
veranderlijken  stand  van  het  lampje,  en  bovendien  een  geheel  be- 
trouwbaar electrisch  contact  verzekert.  De  beide  objectieven  en  O, 
zijn  door  middel  van  de  beide  schroeven  en  in  de  richting 
van  de  optische  as  te  verstellen,  en  met  behulp  van  de  schroef  N 
kan  men  de  thermozuil  T en  tevens  de  spleet  aS,  een  zijdelingsche 
verschuiving  geven.  De  lantaarn  en  de  thermozuil  zijn  gemonteerd 
op  twee  ruiters  1 en  V,  de  ruiter  11  draagt  een  montuur  met  de 
spleet  aS,.  De  ruiters  kunnen  over  de  ijzeren  rail  V verschoven 
worden,  en  worden  vastgeklemd. 

Om  den  microfotometer  in  te  stellen,  verwijdert  men  voorloopig 
de  spleet  aS',,  schuift  het  objectief  (9,  tot  vlak  bij  de  fotografische 
plaat  en  verlicht  zoodoende  een  vrij  groot  deel  daarvan. 

Men  zorgt  nu  eerst  voor  de  scherpe  afbeelding  van  de  fotografische 
plaat  op  het  vlak  der  spleet  aS,  en  zoekt  dus  den  juisten  stand  op 
van  het  objectief  0^.  Wanneer  de  fotografische  plaat,  die  men  heeft 
te  fotometreeren,  b.v.  een  lijnenspectrum  bevat,  zal  men  daarna  zorg 
dragen  dat  de  geprojecteerde  spectraallijnen  evenwijdig  loopen  met 
de  spleet  aS,,  die  men  hiertoe  een  weinig  kan  draaien.  Nu  wordt 
de  spleet  aS,  in  haar  montuur  geschoven  en  op  aS,  een  scherp 
beeld  van  de  spiraal  der  gloeilamp  geworpen.  Vervolgens  zal 
men  het  objectief  O,  hebben  in  te  stellen,  om  te  zorgen  dat  ook  de 
spleet  aS,  scherp  wordt  afgebeeld  op  het  vlak  van  S^,  daarna  wordt 
het  montuur  van  de  spleet  aS\  gedraaid')  tot  het  beeld  daarvan  even- 
wijdig is  met  aSj,  en  ten  slotte  wordt  de  spleet  aS,  met  behulp  van 
de  schroef  iV  zooveel  zijdelings  verschoven,  dat  het  beeld  van  aS, 
met  aSi  samenvalt.  Men  beoordeelt  dit  laatste  het  scherpst  met  behulp 
van  den  galvanometer,  en  draait  dus  N tot  de  maximale  galvanometer- 
uitslag  is  bereikt. 

Met  behulp  van  deze  methode  (maximale  gal vanometer-uitslag)  kan 
men  bovendien  de  instelling  van  de  objectieven  corrigeeren,  in  zoo- 
verre als  de  visueele  scherpstelling  niet  volkomen  overeenstemt  met 

De  wijze  waarop  de  spleet  aS'j  (en  tevens  de  thermozuil),  en  de  spleet  om 
een  horizontale  as  gedraaid  kunnen  worden,  is  niet  in  fig.  5 aangegeven. 


574 


de  scherpstelling  voor  de  langere  golven,  welke  voor  de  thermozuil 
een  hoofdrol  spelen.  Deze  correctie  kan  men,  als  men  niet  het  uiterste 
van  den  microfolometer  verlangt,  zonder  bezwaar  achterwegen  laten. 

Wat  de  opstelling  van  den  mici'ofotometer  aangaat,  zal  men  hoofd- 
zakelijk hebben  te  letten  op  een  goede  plaats  voor  den  galvanometer. 
Een  gewone  console  aan  een  stevigen  miuir  is  daarvoor  alleszins 
voldoende.  Het  registreeren  behoeft  niet  in  donker  te  geschieden, 
men  heeft  slechts  te  zorgen  dat  er  geen  direct  licht  op  de  cilinderlens 
van  de  registreertrommel  valt.  Men  stelle  de  rail  evenwijdig  aan 
den  mnnr  en  daarvaii  afgekeerd,  het  optische  sjsteem  is  dan  ge- 
makkelijk toegankelijk  '),  en  bij  het  instellen  vervangt  men  tijdelijk 
de  registreertrommel  door  een  doorschijnende  afleesschaal. 

De  beide  spleten  6',  en  zijn  6 m.m.  lang,  en  0.06  m.m.  breed.  Bij 
de  gebruikelijke  vei-grooting  (circa  zesvoudig)  heeft  het  oppervlak, 
waarvan  men  de  zwaï'ting  bepaalt,  dns  een  afmeting  van  1 bij  0.01  m.m. 
De  uitslag  dien  men  dan  verkrijgt  met  een  heldere  fotografische  plaat 
(dus  in  de  volkomen  ongezwarte  partijen)  is,  bij  1 meter  afstand  van 
galvanometer  tot  registreertrommel,  circa  iOO  m.m. 

Bij  het  onderzoek  van  zeer  zwarte  platen  zal  men  breedere  spleten 
prefereeren,  in  sommige  gevallen  korte  spleten  of  zelfs  vierkante 
openingen.  De  zeer  eenvoudig  geconstrueerde  spleten  van  het  in- 
strument kunnen  zonder  bezwaar  door  anders  gevormde  vervangen 
worden. 

De  spleet  aS,  kan  ook  wijder  worden  gekozen  dan  *Si,  of  ook  geheel 
worden  weggelaten,  zelfs  kan  de  condensor  worden  gemist,  en  de 
gloeiende  spiraal  zelf  op  de  fotografische  plaat  worden  afgebeeld. 
De  galvanometer- uitslagen  worden  daardoor  wel  is  waar  grooter, 
maar  fijne  détails  in  de  zwarting  gaan  verloren,  en  wel  daardoor, 
dat  de  verstrooiing,  welke  de  stralen  ondervinden  van  de  talloos  vele 
reflecteerende  zilverdeeltjes  in  de  gelatinelaag  een  groote  rol  gaat 
spelen.  Wanneer  n.1.  een  breed  gedeelte  van  de  fotografische  plaat 
wordt  verlicht,  zullen  tengevolge  van  deze  verstrooiing  stralen  naai- 
de thermozuil  worden  gezonden,  die  wel  afkomstig  zijn  van  het  ge- 
observeerde smalle  gebied,  maar  primair  afkomstig  zijn  van  naast 
liggende  plaatsen.  En  zoo  zal  de  mate  van  zwarting  van  die  naast- 
liggende plaatsen  mede  van  invloed  zijn  op  den  galvanometer-uitslag. 

Dit  euvel  wordt  in  den  microfotometer  van  Koen  niet  verholpen 
door  een  spleet,  die  hij  achter  de  fotografische  plaat  heeft  aangebracht, 
(/S'  in  fig.  2).  Deze  spleet  komt  slechts  de  scherpte  van  afbeelding 
ten  goede,  doordat  ze  het  ,,valsche  licht”  ten  deele  afdekt. 

1)  De  thermozuil  is  door  een  glazen  plaatje  afgedekt,  en  dus  ongevoelig  voor  de 
.stralende  warmte”  van  den  waarnemer  uitgaande. 


575 


In  het  thans  beschreven  toestel  zijn  beide  storende  invloeden, 
de  verstrooiing  en  het  valsche  licht,  tot  een  minimum  ternggebracht. 
Door  namelijk  niet  de  lichtbron  zelf,  maar  een  smalle  verlichte  spleet 
op  de  fotografische  plaat  af  te  beelden,  wordt  alleen  de  plaats  die 
in  observatie  is  belicht,  en  wordt  alle  overbodige  licht,  en  dus  ook 
alle  storingen  die  dit  licht  zou  veroorzaken,  uitgesloten. 

Ten  slotte  mogen  eenige  diagrammen  met  den  nieuwen  micro- 
fotometer  opgenomen,  de  wijze  waarop  het  instrument  werkt  illu- 
streeren. 

Fig.  6 is  de  reproductie  van  een  diagram  geleverd  door  een 
ZEEMAN-sextet.  De  fotografische  plaat  werd  mij  welwillend  door 
Prof.  P.  Zeeman  afgestaan. 

Fig.  7 is  een  reproductie  van  een  diagram  vei’kregen,  niet  met 
een  fotografische  plaat,  maar  met  een  ,,Abbesche  Testplatte”.  Het 
zelfde  object  werd  2 maal  achtereenvolgens  opgenomen.  De  Test- 
platte bestaat  uit  een  zilverlaag  op  glas,  waarin  4 reeksen  ieder  van 
11  lijnen  zijn  gekrast.  Ieder  van  die  lijnen  heeft  een  breedte  van 
circa  0.02  mm.,  en  de  tusschenruirate  tusschen  twee  lijnen  is  ongeveer 
even  breed.  De  lijnen  zijn  met  opzet  niet  regelmatig  gekrast,  en  zoo 
vertoont  het  diagram  duidelijke  verschillen  tusschen  de  verschillende 
lijnen.  Maar  daarentegen  is  er  volkomen  overeenstemming  tusschen 
beide  opnamen  onderling. 

Mij  rest  een  woord  van  dank  te  brengen  aan  de  heeren  Prof.  Dr. 
L.  S.  Ornstein  en  Dr.  H.  C.  Burger.  De  eerste  heeft  mij  door  zijn 
onverflauwd  enthousiasme,  zijn  groote  belangstelling  en  zijn  vriend- 
schap aangemoedigd,  en  mij  opgewekt  steeds  naar  betere  resultaten 
te  streven,  de  tweede  heeft  mij  met  zijn  raad  herhaaldelijk  bijgestaan. 

Den  bekwamen  instrumentmaker  van  het  Physisch  Laboratorium 
te  Utrecht,  den  heer  G.  Koolschijn  dank  ik  voor  zijn  hulp. 

De  complete  micro-fotoraeter,  zooals  geschetst  in  fig.  5,  met  den 
bijbehoorenden  galvanometer,  thermozuil,  registreertrommel,  etc.  wordt 
geleverd  door  de  N.V.  P.  J.  Kipp  en  Zonen  te  Delft. 

Utrecht,  October  1919. 


576 


Geologie.  — De  Heer  Molbngraaff  biedt  eene  mededeeliiig  aan 
van  den  Heer  H.  A.  Brouwer.  ,, Kristallisatie  en  Resorptie 
in  het  Magma  van  den  Vulkaan  Roeang”.  {Safigi  eil.). 

(Deze  mededeeling  zal  in  een  volgend  Ziftingsverslag  worden 

opgenomen). 

Voor  de  boekerij  der  Akademie  biedt  de  Heer  J.  P.  Kurnen  ten 
geschenke  aan  een  exemplaar  van  zijn  onlangs  verschenen  werk 
,, Die  Eigenschaften  der  Oase  {Kinetische  Theorie.  Zustandsgleichungf  ’ , 
uitgegeven  als  Band  III  van  „Handboch  der  allgemeinen  Chemie 
heransgegeben  von  W.  Ostwaid  und  C.  Driicker”. 

De  vergadering  wordt  gesloten. 


ERRATUM. 


In  de  mededeeling  van  den  Heer  L.  E.  J.  Brouwer:  ,,Over  de 
structuur  der  perfekte  pimtverzamelmgen”  (derde  mededeeling)  p.  374 
r.  6 staat:  een  zoodanige  met  s tot  0 convergeerende 

lees:  een  zoodanige  slechts' van  e en  p afhangende  en  voor  vaste 
p met  e tot  0 convergeerende 
r.  17  staat:  een  zoodanige  met  e'  tot  0 convergeerende 

lees:  een  zoodanige  slechts  van  c' en  p af  hangende  en  voor  vaste 
p met  e'  tot  0 convergeerende 


'■^V- 


■ ■•M 


r 


I 

■'t 


'i 

■'i 

« 


V 


- ■{