Vollständige Anleitung zur Integralrechnung

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zur

Integralrechnung.

Aus dem Lateiniſchen ins Deutſche überſetzt
von
Joſeph Salomon,
k. k. Profeſſer.

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Erſter Band,

welcher die Integrationsmethoden von den erſten Principien bis zur
Integration der Differenzialgleihungen des erften Grades enthält.

Sedrudt und im Verlage bey Carl Gerold.
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Dem

Hochwohlgebornen Herrn

Adolph Baron v. Frieſenhof,
| feinem eifrigen Schüler,
aus wahrer Zuneigung und. Derehrung
gewidmet

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überſetzer.

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Vorrede des Überfegers,

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D. : claffifche Werth von Euler’ 8 Integralrechnung if
nicht allein in Deutfchland, fondern bey allen gebildeten Nationen
zu allgemein anerfannt, als daß ich es für nöthig erachte, auch
nur ein Wort über die Wichtigkeit dieſes Meiſterwerkes anzu⸗
führen; ich beſchränke mich demnach lediglich auf die Anführung
der Grimde, die mic) zur Veranftaltung biefer deutſchen Ausgabe
*beitimm.ien.

Das - Original, welches, wie alle Sulerirhen Schriften,
einen unerfchöpflichen Reichthum an Kunftgriffen und einen unuber-
fehbaren Schatz von Nefultaten des richtigen mathematifchen Den-
kens dorbietet, iſt aus dem deutfchen Buchhandel gänzlich vers
fhwunden, und fo felten geworden, daß man dasfelbe nur noc)
in größern Bibliothefen findet. Ereignet fi) daher aud) der fels
tene all, dag ein Eremplar diefes vortrefflichen Werkes in einer
Offentlich zu verfaufenden Bücherſammlung angetroffen wird, fo
wird es gewähnlich zu einem fo hohen Preife erftanden, daß der=
felbe für die Eaffe des größern Theiles des mathematifchen Publi-
cumß fehr läftig fallt. Überdieß ift Eulers Integralrechnung,
wie ſich aus den häufigen Nachfragen nad) derfelben fchließen laßt,

durch die neuern Schriften und Sammlungen weder verdrängt,
noch überflüffig gemacht worden, und bleibt immerhin eine reich—
haltige Quelle der wichtigften und intereffanteften Nefultate, mit
weldyen der forfhende Geift die Wiffenfchaft bereicyert hat.

Leonhard Euler's

vollſtaͤndige Anleitung

zur

Integralrechnung.

Aus dem Lateiniſchen ins Deutſche überſetzt

von
Joſeph Salomon,
k. k. Profeſſor.

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Erſter Band,

welcher die Integrationsmethoden von den erſten Principien bis zur
Jutegration der Differenzialgleichungen des erſten Grades enthaͤlt.

Gedruckt und im Verlage bey Carl Gerold.
1828. |

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ht allein in Deutfchland, fondern bey allen gebildeten Nationen
allgemein anerkannt, als daß ich es für nöthig erachte, auch
r ein Wort über die Wichtigkeit dieſes Meiſterwerkes anzu⸗
hren; ich beſchränke mich demnach lediglich auf die urban
e Gründe, die mid) zur Beranftaltung dieſer deutſchen usgabe
timm«en.

Das Original, welches, wie alle Eulereſchen Schriften,
ven unerfchöpflichen Reichthum an Kunftgriffen und einen unüber«
‚baren Schaß von Refultaten des richtigen mathematifchen Den-
18 darbietet, iſt aus dem deutfchen Buchhandel gänzlich vers
wunden, und fo felten geworden, daß man dasſelbe nur noch)
größern Bibliotheken findet. Creignet ſich daher auch der fels
1e Fall, daß ein Eremplar diefes vortrefflihen Werkes in einer
fentlidy zu verfaufenden Bücherfammlung angetroffen wird, fo
ird ed gewähnlich zu einem fo hohen Preife erftanden, daß der=
'be für die Caffe des größern Theiles des mathematifchen Publi-
ms fehr läftig fallt. Überdieß ift Eulers Integralrechnung,
'e fi) aus den häufigen Nachfragen nach derfelben fchließen läßt,
rc) die neuern Schriften und Sammlungen weder verdrängt,
ch überflüffig gemacht worden, und bleibt immerhin eine reich—
Itige Quelle der wichtigften und intereffanteften Reſultate, mit
lchen der forſchende Geift die Wiſſenſchaft bereichert hat.

vi

Ich glaubte daher, nicht allein den Mathematifern, fonder
aud) der Wiſſenſchaft ſelbſt und ihrer Verbreitung einen wichtige
Dienſt zu leiſten, wenn ich eine getreue, mit dem Originale voll
kommen übereinſtimmende und höchſt korrekte Überſetzung dieſe
klaſſiſchen Werkes veranſtaltete. Ich habe mir hiebey keine an
dere Abweichung vom Originale erlaubt, als daß ich den Buch
ſtaben i mit k vertaufchte, um dadurch die DeutlichFeit zu förder
und eine größere Korrektheit zu erzielen, und daß ich an vielei
Orten die noch vorhandenen Fehler verbefferte.

Sollte diefe Arbeit den Benfall des gelehrten Publicums
erhalten, fo werde ich in einem Supplementbande alles das zu:
fammenftellen, was feit des großen Eulers Tode in der Inte:
gralrehnung bisher geleiftet worden ift ‚um auf dieſe Weiſe ein
vollftändige Sammlung aller Leiſtungen in diefem unermeßlicher
Gebiethe der mathematischen Wiffenfchaften zu erhalten.

Ein getreues Verzeihniß der etwa überfehenen Kehler wir
dem legten Bande beygefügt werden.

Wien, im Junius 1828.

Der Überſetzer.

I Inhalt des erften Bandes,

Seite
Einleitung in die Integralrehnung überhaupt . 1
Erfter Abſchnitt.
Von der Integrakion der Differenzialformeln.
Kapitel L
Bon der Integration der rationalen Differenzialformeln : 819
Kapitel I. |
Bon der Integration der Irrationalen Differenzialformeln . .. 45
Kapitel IM.
Bon der Integration der Differenzialformeln mittelft unendlicher Reiben 70
Kapitel W.
Bon der Integration der Formeln, weiche logarithmiſche und Crvoner
tialgrößen enthalten -. . . . . nr 101
Kapitel V.
Bon der Integration der Formeln, welche Winkel oder Sinuſſe der
Winkel enthalten » . . N . . N 121
| Rapiter VI.
Von der Entwickelung der Integrale durch Reihen, welche nach den
Sinuſſen oder Coſinuſſen der vielfachen Bogen fortfhreitn - 1244
u Kapitel VI. | |
Allgemeine Methode, was immer fir Seiegralien ndherungeweiſe zu
beſtimmen.. rn 166
Kapitel VII
Bon den Werthen der Integralien, welche fie nur in n gewiß— en See
annehmen > rn . . 189

Kapitel IX
Bon der Entwickelung der Integralten duch unendliche Sactorenfölgen - 2120

b

VIII

Zweyter Abſchnitt.
Bon der Integration der Differenzialgleichungen.

Kapitel ll €
Bon der Abfonderung der veränderlichen Größen .

Kapitel 1.
Bon der Integration der Gleichungen, mit Hülfe der Multiplicaturen .

Kapitel II
Von der Auffindung der Differenzialgleihungen , welche durch Sactcn
von gegebener Form integrabel gemacht werden - =

Kapitel IV.
Von der particulaͤren Integration der Differenzialgleichungen

Kapitel V.
Von der Vergleichung det tranſcendenten Größen, welche in der Form
Pdx . .
VA + aBx J—
enthalten ſind . . ,
Kapitel vi.

Bon der Vergleichung der tranfeendenten Größen, welche enthalten find
‚unter der Form:

Pdz
— We — — —
v(A + 2Bz 4 Cz? + 3D>»! + E z+)
| Kapitel VI
Bon der Integration der Diffrengialgleichungen durch Annäheruug

Dritter Abſchnitt.

Bon derAuflöfung der Differenztalgleihungen, bey
:welden Die Differenzialien in höhern Potenzen.
ecfheinen, oder felbft in tranfeendenter Form
voröommen . Ps 9— 0 “ ” o

a N

i Einleitung in die ategraltechmuns überhaupt.
Erfiärung nn zu
IT

G. 1. ie Integralrehnung if. die, Methode, aus ei⸗
ner gegebenen Beziehung der Differenzialien die Relation zwifchen den
Größen felbft zu finden; die Rechnung, durch welche dieſes geleiſtet
wird, pflegt man Integra tion zu nennen.

3-4: N ab 1... Ä

gg: 2. Da die Differenzialrechnung aus ‘einer gegebenen Relation

wifhen veränderlichen Größen die. Beziehung der-Differenzialien: ber
Rimmen door, » Kb bie Jutegraltechnung die, umgefehrte Moethode .

| 3 u f. a. 6 2. |
F. 3. &o wie in der Analyfis immer zwey Hechnungboperätionen
einander: entgegengefeßt find, wie Subtraction und Addition, Disifion
und Multiplication, Wurzelausziehen und Potenziren, fo ift auch auf‘
ähnliche Art der Differenzialechnung die Sntegraltechnung entgegen
gelegt.

Zu F A 7 3.
5. 4. Wenn Wiſchen, je zwey veraͤnderlichen Größen x, und. y ir⸗
gend eine Relation gegeben wird, ſo lehrt die Differenzialrechnung das
Verhaͤltniß der Differenzialien dy : dx beſtimmen: ſoll aber umge⸗
fehrt aus dem gegebenen Verhältniß der Differenzialien die swifchen
den Größen x und y flatt findende Relation felbft beſtimmt werben, , ſ
iſt DB dad. Sefchäft. der Integralrechnung.

ale nmerftung ı,,
. 5. Ich habe ſchon in der Differenzialrechnung bemerkt, daß

de Beftimmung der Differenzialien nicht im abfoluten , fondern im tes
Euter’s Integralrechnung. L 9b. N

a

— 2 |

Iativen Sinne zu nehmen fey, To daß, wenn y irgend eine Function
von x bezeichnet, nicht fowohl das Differenziale derfelben dy, fonderz
vielmehr das Verhältniß diefes Differenziald zu dem Differenziale dz
zu beftimmen fey. Denn da alle Differenzialien an und für fi der c
gleich find, fo wird, was auch immer y für eine Zunction von x feyr
mag, immer.dy —=.0-fegn.müffen, fo: daß weiter nichts Abfolutes ge:
fucht werden fann. Der Sag muß alfo richtig fo geftellt werden: man
beftimme, während x einen unendlich Fleinen und verfchwindenden Zu:
fa dx .erhält, das Verhaͤltniß der Zunahme, welche dann die Func—
tion y felbft erhält, zu jenem dx. Denn ift gleichwohl jeder derfelben
gleich o, fo findet dennoͤch ein’ gewiſfes Verhaͤltniß zwiſchen ihnen ſtatt,
welches die Differenzialrechnung auf eine eigenthumliche Weiſe auffin:
vet. : Wenn d¶wratch —— iſt ſo wird in der Differenzialrechnung

gezeigt, daß S —I ax fen , und daß dieſes Verhaͤltniß der Zunah⸗

men nur Bann. wahr fey, wenn das Increment dx, aus welchem dy
entfpriogt,,. == 0 gefest-wird. Übrigens fans man, wenn man Diele
wahre, Bedeutung der Differenzialien feſthaͤlt, die gewöhnliche Sprache,
nach, walcher die Differenzindien: als etwas Abſolutes betrachtet wenden,
dulden, ſo lange man nur, wenigſtens im Geiſte, den richtigen Sinn
damit verfnüpft. Es würde alſo nicht gefehlt ſeyn, wenn wir für
yz=z?:, dann dyiaxdx fegen,. obgleich es eben fo richtig wäre,
wenn. man dym=dxdx oder dy = Axdx ſetzen würde, weil we
geu Yx=o.md dy=o diefe Gleichungen zugleich Statt finden koͤnn

ten; allein nur bie erſte entſpricht dem wahren Verhaltniſſe * 22

Anmerkung2.

$. 6. So wie die Differenzialrechnung von den Englaͤndern di
Methöde der Slurionen genannt wird, fo heißt bei ihnen. die Integra
rechnung: die umgekehrte Methode deu Fluxionen, wenn man. nänlic
von den Ylurionen :auf.die fluenten Größen zurüdfehrt. Die Groͤßer
welche: wir veränderlich nennen, heißen die. Engländer zweckmaͤßige
. fluente Größen, und die unendlich Fleinen oder verfchwindenden Äud⸗

rungen derfelben Slurionen, fo daß bey ihnen Slurionen .dasfelbe ſind
was wir unter den Differenzialien verflehen. Die Verfchiedenheit ir
Ausdrude ift durch den Gebrauch fchon fo eingewurzelt, daß faum ein
Vereinigung zu hoffen iſt. Ich meines Theild. wiirde dem Sprachge
brauche der Engländer gerne nachahmen, wenn nicht die von und ge

Ir

—

— 3 um

brauchten Zeichen bey weitem den Vorzug vor denen der Englaͤnder
verdienten. Da übrigens ſchon ſo viele Bücher nach beyden Syſtemen

verfaßt erſchienen ſind, ſo würde eine ſolche Vereinigung auch ohne
Nutzen ſeyn.

Erflärung a
"7. Da das Differenziale einer jeden Sunction von x die Form

Adsx hat, fo wird, wenn eine ſolche Differenzialformel Xdx, in wel⸗

her X irgend eine Function von x bezeichnet... gegeben ift, jene Func⸗
tion, deren Differengiale glei Xdx ill, dad Integrale diefer letzte⸗
ten genaunt, und gewöhnlich durch das vorgefepte Zeichen / angedeus
tet, fo daß (X dx jene veränderliche Größe bezeichnet‘ ‚ deren Differen⸗
ziale = X dx iſt. . on

RAufap ı

$. 8. Wie nun das Integrale einer gegebenen Differenzialfor: |

mel Xdx, oder wie jene Zunction von x, deren Differenziale =Xdx

ift, und die durch (X dx angedeutet wird, gefucht werden mülfe, iſt
der Gegenſtand der Integralvechnung. |

vo

Zuſatz 2.
$. 9. So wie num der Buchſtabe d dad Zeichen der Differenzia⸗
tion ift, fo wird,durch den Buchitaben / die Integration angedeütät.
Beyde Zeichen bedeuten alfo entgegengefebte, Rechnüngsoperationen,
und heben ſich gleichſam auf; naͤmlich es iſt X X, weil dadurch
jene Größe bezeichnet wird, deren Difjerengiale dx iſt, welche in der
That X ſelbſt iſt.

Zufa b 3.

| $. 10, Weil nun axdx, nz-! dx,

vi bie Differenzias

2—6

lien der Functionen x?, x", Va? — x find, fo wird umgelehrt
ad; Soden; STE - Va: — * ſeyn,
worauo der Gebrauch dieſes Zeichens noch beittfäger erhelt.

⸗
is ri,

Anmertung

Ge 11. Es fcheint zwar, daß hier nur eine einzige veränderliche
Größe in der Rechnung vorkomme, und doch haben wir ven —XEXR

x

mu ji) m

daß ſowohl in der Differenzial= als in der Integralrechnung immer
dad Verhältniß zweyer oder mehrerer Differenzialien betrachtet werde.
Allein, obgleich hier nur eine einzige veränderliche Größe erfcheint, fo
werden doch im Grunde zwey betrachtet; denn die zweyte ift jene Sunc-
tion felbft, deren Differenzial wir durch Xdx vorftellten ; bezeichnen

>. d
wir diefe durch den Buchftaben y, fo wird d.y=Xdx ober —* 2X,

fo daß hier wirklich das Verhaͤltniß der Differenzialien dy: dx gege⸗
ben wird, deſſen NAuotient = X ift; und daher wird y—=/Xdx
feyn. Übrigens muß. man ſich hier ‚vorftellen, daß diefes Integrale
nicht fowohl aus dem Differenziale Xdx, weldes = o.ift, fondern
vielmehr aus dem Werbältniffe desfelben zu dx gefunden werde. Das
Zeichen / fpricht man gewöhnlich durd) dad Wort Summie aus, wel:
ches aus dem irrigen Begriffe entfteht, als wäre das Integrale gleich:
fam die Summe aller Differenzialien, welches aber eben fo wenig rich:
tig ift, als die gewöhnliche Vorſtellung, daß eine Linie aus * Puncten
beſteht.
J : Anmerfung 2

$. 12. Die SIntegralrechnung erftredt ſich viel weiter als auf
die Integration foldher Formeln mit einer veränderlichen Größe; denn
fp wie hier die Sunction einer veränderlichen Größe x aus der geges
benen. Form ihres Differenziald gefucht wird, fo muß man auch die In-
tegralrechnung auf. die Beftimmung der Zunctionen zweyer oder mehre:
rer veränderlichen Größen ausdehnen, wenn irgend eine Relation ih—
rer Differenzialien gegeben iſt. Berner kann fich die Sntegralrechnung
nicht allein auf Differenzialien des eriten Grades befchränfen, fondern
fie muß auch die Vorfchriften ehren ‚nach welchen die Sunctionen eis
ner oder mehrerer Veränderlichen beftimmt werden fönnen, wenn ir:
gend eine Relation zwifchen den Differenzialien des zweyten oder eined
Höheren Grades gegeben ill. Deßhalb haben wir die Integralrechnung
fo definirt, daß fie alle Unterfuchungen Diefer Art umfaßt. Denn une
ter dem Worte Differengialien wollen wir Differenzialien von irgend
'einer Ordnung verftanden willen, und des Ausdrudes: die zwifchen
ihnen Statt findende Relation, habe ich mich deßwegen bes
dient, um einen weiteren Begriff zu bezeichnen, als das Wort Ver:
hältniß ausdrückt, welches nur die Vergleichung zweyer Differenzialien
anzudenten ſcheint. Dieß vorausgefchieft, Fönnen wir num bie Inte⸗
gralrechnung in mehrere Abſchnitte theilen. BE

zum [ um

Ertlärung 3.

. 13. Die Integralrehnung zerfällt in zwey Theile, deren er:
flerer die Methode lehrt, nach welcher die Function einer einzigen ver:
‚p Anderlihen Grüße aus irgend einer gegebenen Relation zwifchen ihren

..Differenzialien des erften oder eines höheren Grades beftimmt werden
fann. Der zweyte Theil’ aber lehrt die Function zweyer oder mehrerer
Veräuderlichen beſtimmen, wenn zwifchen ihren Differenzialten des ers.
fen oder irgend eines höheren Grades die Relation gegeben ift. '

3ufaß ı
$. 14. Se nachdem alfo eine Bunction, die aus einer gegebenen
Relation ihrer Differenzialien beftimmt werden fol, eine oder mehrere
Veraͤnderliche enthält, wird Die SIntegralrechnung bequem in zwey
Haupttheile getheilt, deren Auseinanderfegung wir zwey Bücher widmen. -

Zuſatz =
$. 15. Die Integralrechnung befchäftigt fi demnach ſtets mit
der Auffindung der Zunctionen von einer oder mehreren veränderlichen
Größen, wenn.irgend eine Relation zwifchen ihren Differenzialien ire
gend eines Grades gegeben ift.

Anmerfung.

F. 16. Da ſich alfo nach unferer Eintheilung der erfte Theil der
Sntegralrechnung mit der Beſtimmung der FZunctionen einer einzigen
veränderlichen Größe aus einer gegebenen Relation ihrer Differenzia»

‚ lien befchäftigt, fo hätten wir, wie es fcheint, mehrere Unterabthei=
lungen nad) der Anzahl der in der Function enthaltenen Veränderlichen
angeben follen, fo daß der zweyte Theil die Zunctionen zweyer veräns
derlichen, der dritte die dreyer, der vierte Theil die vierer veränderlis

chen Größen behandelte. Allein bey diefem Tegteren Theile findet bey⸗

nahe diefelbe Verfahrungsart Statt, fo daß man die Bunctionen mit
mehreren VBeränderlichen zu behandeln weiß, fobald die Auffindung der
Bunctionen zweyer Veränderlichen in unferer Gewalt iſt. Wir fönnen
daher die Methoden, FZunctionen zweyer oder mehrerer veränderlichen
Größen zu beflimmen, bequem mit einander verbinden, und diefelben
einem einzigen Theile der Integralrechnung zuweifen, welchen wir in
dem zwenten Buche abhandeln werden.

Dieſer iweyte Theil iſt bisher in den Elementen nirgends atg

J

un /) mm

daß ſowohl in der Differenzial- als in der Integralrechnung. immer
das Verhältniß zweyer oder mehrerer Differenzialien betrachtet werde.
Allein, obgleich hier nur eine einzige veränderliche Größe erfcheint, fo
werden doch im Grunde zwey betrachtet; denn die zweyte ift jene Func⸗
tion felbft, deren Differenzial wir durch X.dx vorftellten ; bezeichnen

wir diefe durch den Buchftaben y, fo wird d.y=Xdx oder = =Y\,

fo daß hier wirfli das Verhältniß der Differenzialien dy: dx gege
ben wird, deſſen Quotient = X ift; und daher wird y = /Xdx
feyn. Übrigens muß man fich hier vorftellen, daß dieſes Integrale
nicht fowohl aus dem Differenziale Xdx, weldes = o iſt, fondern
vielmehr aus dem Werhältniffe desfelben zu dx gefunden werde. Dad
Zeichen S fpriht man gewöhnlidy durch das Wort Sumnie aus, wel:
ches aus dem irrigen Begriffe entftieht, als wäre das Integrale gleid:
fam die Summe aller Differenzialien, welches aber eben fo wenig rid;:
tig ift, als die gewöhnliche Vorftelung, daß eine Linie aus Puncten
beſteht.
Anmerkung2. |

G. 12. Die Integralrechnung erftredt fich viel weiter als auf
die Integration ſolcher Formeln mit einer veränderlichen Größe; denn
fo wie hier die Sunction einer veränderlichen Größe x aus der geges
benen Form ihres Differenziald gefucht wird, fo muß man auch die In-
tegralrechnung auf die Beftimmung der Zunctionen zweyer oder mehre:
rer veränderlichen Größen ausdehnen, wenn irgend eine Relation ih⸗
rer Differenzialien gegeben iſt. Berner fann ſich die Integralrechnung
nicht allein auf Differenzialien des erften Grades befhränfen, fondern
fie muß aud) die Vorfchriften lehren, nach welchen die Zunctionen eir
ner oder mehrerer Veränderlichen beftimmt werden fönnen, wenn it-
gend eine Relation zwifchen den Differenzialien des zweyten oder eines
höheren Grades gegeben ift. Deßhalb haben wir die Integralrechnung
fo definirt, daß fie alle Unterfuchungen diefer Art umfaßt. Deuuk
ter dem Worte Differengialien wollen wir Differenzialien von: h
einer Ordnung verftanden wilfen, und des Ausdrudes: die
ihnen Statt findende Relation, habe ich m“
dient, um einen weiteren Begriff zu bezeichnen:
hältniß ausdrückt, welches nur die Vergleich
anzudeuten fcheint. Dieß vorausgeſchickt
gralreshnung in mehrere Abfchnitte theile

zum 5 mm

Erflärung 3.

$. 13. Die Integralrechnung zerfällt in zwey Theile, deren er:
terer die Methode lehrt, nad) welcher die Function einer einzigen ver:
änderlichen Größe aus irgend einer gegebenen Relation zwifchen ihren
Differenzialien des erften oder eines höheren Grades beftimmt werden
fann. Der zwepte Theil aber lehrt die Function zweyer oder mehrerer
Veraͤnderlichen beftimmen, wenn zwifchen ihren Differenzialien des ers.
ſten oder irgend eines höheren Grades die Nelation gegeben ift.

3ufaß ı .

h. 14. Se nachdem alfo eine Bunction, die aus einer gegebenen
Relation ihrer Differenzialien beftimmt werden ſoll, eine oder mehrere
Veraͤnderliche enthält, wird die Integralrechnung bequem in zwey
Haupttheile getheilt, deren Auseinanderfegung wir zwey Bücher widmen, -

Zufaß = \
$. 15. Die Integralredhnung befchäftigt ſich demnach ftetd mit
der Auffindung der Functionen von einer oder mehreren veränderlichen
Groͤßen, wenn irgend eine Relation zwifchen ihren Differenzialien ire
gend eines Grades gegeben ift.

Anmerfung.

$. ı6. Da fi alfo nad) unferer Eintheilung der erfte Theil der
Sutegralrechnung mit der Beſtimmung der Sunctionen einer einzigen
veränderlichen Größe aus einer gegebenen Relation ihrer Differenzias
‚lien vefhäftige, fo hätten wir, wie es fcheint, mehrere Unterabtheis
lungen nach der Anzahl der in der Function enthaltenen Veränderlichen
angeben follen, fo daß der zweyte Theil die Functionen zweyer veräns
derlihen, der dritte die Dreyer, der vierte Theil die vierer veränderlis
den Größen behandelte. Allein bey diefem Tegteren Theile findet bey⸗
nahe diefelbe Verfahrungsart Statt, fo daß man die Sunctionen mit
Wehreren, Veränderlihen zu behandeln weiß, fobald die Auffindung der
Nunetigi naneger — in unſerer Gewalt if. Wir fönnen
En. Banichigg si zweyer oder mehrerer veränderlichen
— der verbinden, und diefelben
eifen, welchen wir in

nten nirgends abge:

daß ſowohl in der Differenzial- als in der Sntegralrechnung. immer
das Verhältniß zweyer oder mehrerer Differenzialien betrachtet werde.
Allein, obgleich hier nur eine einzige veränderliche Größe erfcheint, fo
werden doch im Grunde zwey betrachtet; denn die zweyte ift jene Bune:
tion felbft, deren Differenzial wir dur) X dx vorftellten ; bezeichnen

wir diefe durch den Buchftaben y, fo wird d ‚yaXdx oder I= X,

fo daß hier wirklich das Verhältniß der Differenzialien dy: dx gege:
ben wird, deſſen Quotient = X ift; und daher wird y=—=/Xdx
feyn. Übrigens muß. man fich hier ‚vorftellen, daß diefes Integrale
nicht fowohl aus dem Differenziale XKdx, welches = o.ift, fondern
vielmehr aus dem Verhaͤltniſſe desfelben zu dx gefunden werde. Das
Zeichen / ſpricht man gewöhnlidy durd) das Wort Summe aus, wel-
ched aus dem irrigen Begriffe entfteht, ald wäre das Integrale gleich:
fam die Summe aller Differenzialien, welches aber eben fo wenig rich:
tig ift, als die gewöhnliche Vorſtellung, daß eine Linie ‚aus 9 Puncten
beſteht.
3J — Anmerkung2.
$. 12. Die Integralrechnung erſtreckt ſich viel weiter als Auf

die Integration folcher Formeln mit einer veränderlichen Größe; denn
fp wie hier die Funetion einer veränderlichen Größe x aus der geges
benen. Form ihres Differenzials gefucht wird, fo muß man aud) die In⸗
tegralrechnung auf die Beftimmung der Zunctionen zweyer oder mehre⸗
rer veraͤnderlichen Größen ausdehnen, wenn irgend eine Relation ih-
rer Differenzialien gegeben iſt. Serner fann fich die Integralrechnung
nicht allein auf Differenzialien des erſten Grades befchränfen , jondern
fie muß auch die Vorfchriften Jehren „ nach welchen die Functionen eis
ner oder mehrerer Veränderlihen beftimmt werden können, wenn ir:
gend eine Relation zwifchen den Differenzialien des zweyten oder eines
Höheren Grades gegeben ill. Deßhalb haben wir die Integralrechnung
ſo definirt, daß fie alle Unterfuchungen diefer Art umfaßt. Denn une
ter dem Worte Differengialien wollen wir Differenzialien von irgend
'einer Drdnung verftanden willen, und des Ausdrudes: die zwiſchen
ihnen Statt fimdende Relation, habe ich mich deßwegen bes
dient, um einen weiteren Begriff zu bezeichnen, als das Wort Ver:
haͤltniß ausdrückt, welches nur die Vergleichung zweyer Differenzialien

anzudeuten ſcheint. Dieß vorausgefchieft, Fönnen wir nun die Inte⸗
gralreehnung in mehrere Abfchnitte theilen. u

— —

——

— 5 sm

| Erflärung 3.
9. 13. Die Integralrechnung zerfällt in zwey Theile, deren er:
flerer die Methode lehrt, nach welcher die Function einer einzigen ver:

_ änderlichen Größe aus irgend einer gegebenen Relation zwifchen ihren
:, ‚Differenzialien des erften oder eines höheren Grades beftimmt werden

fann. Der zwepte Zheil’aber lehrt die Function zweyer oder mehrerer
Veränderlichen beftimmen, wenn zwifchen ihren Differenzialien des ers.
ften oder irgend eines höheren Grades bie Relation gegeben ift.

Zuſag ı.
$. 14. Je nachdem alfo eine Zunction, die aus einer gegebenen
Relation ihrer Differenzialien beftimmt werden ſoll, eine oder mehrere
Beränderliche enthält, wird die Sntegralrechnung bequem in zwey

Haupttheile getheilt, deren Auseinanderfegung wir zwey Bücher widmen.

| Zuſatz = \

9. 15. Die Integralredhnung befchäftigt fi) demnach ſtets mit
der Auffindung der Zunctionen von einer oder mehreren veränderlichen
Größen, wenn irgend eine Relation zwifchen ihren Differenzialien ir⸗
gend eines Grades gegeben ift.

Anmerkung.

G. 16. Da fi alfo nach unferer Eintheilung der erfte Theil der
Sntegralrechnung mit der Beſtimmung der Zunctionen einer einzigen
veränderlichen Größe aus einer gegebenen Relation ihrer Differenzia-
lien befchäftigt, fo hätten wir, wie es fcheint, mehrere Unterabtheis
lungen nach der Anzahl der in der Function enthaltenen Veränderlihen
angeben follen, fo daß der zweyte Theil die Bunctionen zweyer veräns
derlichen, der dritte die Dreyer, der vierte Theil die vierer veränderlis
chen Größen behandelte. Allein bey dieſem Tegteren Theile findet bey»

nahe diefelbe Verfahrungsart Statt, fo daß man die Zunctionen mit

mehreren Veränderlichen zu behandeln weiß, fobald die Auffindung der
Zunctionen zweyer Veränderlichen in unferer Gewalt if. Wir fönnen
daher die Methoden, Functionen ziweyer oder mehrerer veränderlichen
Größen zu beflimmen, bequem mit einander verbinden, und diefelben
einem einzigen Theile der Sntegralrechnung zuweifen, welchen wir in
dem zweyten Buche abhandeln werden.

Dieſer zweyte Theil ift bisher in den Elementen nirgends abge-

—n (0 m

Handelt worden, obgleich die Anwendung deöfelben in der Mechanik,
und vorzüglich in der Lehre von den flüffigen Körpern von fehr großem
Nupen iſt. Da nun in "Unterfuchungen diefer Art außer den erflen Ans
fangsgründen nichts Erbebliches geleiftet worden ift, fo wird unfer
zweytes Buch der Iutegralrechnung nicht fehr reichhaltig feyn, und

außer der Erwähnung deflen, was noch zu wünfchen übrig bleibt, wes

nig erwarten laffen; übrigens ſcheint mir felbft diefes viel zur Erweites
sung der Wilfenfchaft beyzutragen.

Erflärung 4

9. 17. Jedes der benden Bücher der Integralrechnung wird wie⸗

der nach dem Grade der Differenzialien, aus deren Relation die ges
ſuchte Bunction beftimmt werden fol, bequem in mehrere Unterabtbei-
Iungen zerlegt. So befchäftigt fich der erſte Theil mit der Relation der
Differenzialien des erfien Grades, der zweyte mit der Relation der
Differenzialien des zweyten Grades, wiewohl diefer letztere auch die
Differenzialien höherer Grade betrachtet, weil hierin bisher noch wer
aig geleiftet worden iſt.

deren erfterem die zwifchen Differenzialien deö erſten Grades gegebene
Heldtion in Erwägung gezogen werden foll, in dem zwepten Theile
aber werden wir uns mit ſolchen Sntegrationen befaffen, bey weldyen
eine Relation zwifchen den Differenzialien des zwegten oder eined hör
heren Grades gegeben ift.

Zufaß a.

$. 29. In dem erften Theile des erften Buches werben wir und.

mit der Auffindung folcher Zunctionen der Veränderlichen x beſchaͤfti⸗
gen, daß, wenn die Zunction = y und = = p gefeßt wird, jeder
zwiſchen den drey Größen x, y und p gegebenen & relation Genüge’ ge:
feiftet werde: oder Daß, wenn irgend eine Sleihung zwifchen diefen
drey Größen gegeben ift, die Natur der Zunction y, oder die Glei⸗
hung zwifchen x und y mit Ausfchluß von p beftimms werde,
. Zufag 3
$. 20. Die Aufgaben des zweyten Theild des erfien Buches wer:
. y dp da
den wir fo zufammenftellen, Daß wenn Frrieel Zärwiunl (reach El

Ä Zuſatz ı. u
$. 18. Es wird alfo jedes Buch aus zwey Theilen beftehen, in

[ *4 r:

— 1] VEN

limmt er ferner nach erlerntem Potenziren durch die umgefehrte Ope⸗
ation dad Wurzelausziehen, fo befömmt er, fo oft dieß mißlingt, die
von irrationalen Größen, und diefe Kenntniß ift hinreichend durch
* gewoͤhnliche Analyſis. Auf eine aͤhnliche Weiſe leitet uns die
tegralrechnung, wenn die Integration nicht gelingt, auf eine neue
ttung tranſcendenter Groͤßen. Denn koͤnnen wir gleichwohl alle Grö⸗
differenziren, fo können wir doch nicht umgekehrt alle Differenzial⸗
usdrücke integriren.

no, Anmerfung: 3.

$. 30. Gelingen auch die erften Verfuche der Integration nicht
höleih, fo kann man bie gefuchten Functionen noch nicht für tranfcen«
bent halten, denn nicht felten Fann auch das algebraifche Integral nur
jur beſondere Kunftgriffe gefunden werden. Erfcheint aber dann die
pefuchte Function als tranfeendent, fo unterfuche man forgfältig, ob
sicht dieſelbe etwa auf die einfachften Arten der tranfcendenten Größen,
zaͤmlich auf Logarithmen oder Winfel fich zurückführen laſſe, in welchen
Halle dann Die Auflöfung als algebraifch betrachtet werden Fann. Ges
ingt diefed nicht nad) Wunfch, fo fuche man dennoch die gefuchte Fune⸗
ion auf die möglichft einfachite Form tranfcendenter Größen zurüdzus
führen. Kir die Anwendung iſt ed aber wohl am bequemften, die Wer⸗
the tranfcendenter Größen näherungdweife darzujtellen, weßhalb die
Integralrechnung fich vorzüglich mit der Auffuchung unendlicher Reihen
beſchaͤftigt, welche die Werthe jener Bunctionen ausdrüden.

Lehrſatz.
8 Z1. Alle durch Integralrechnung gefundene Functionen find
unbefimmt, und müffen erſt durch die Natur des Problemed, deffen
Auflöfung fie enthalten, näher angegeben werden.

Beweis.
Es gibt immer unendlich viele Functionen, die dasfelbe Differen-
giale haben ; fo 3.8. ift das Differenziale der Sunction P--C für jeden
Werth der conftanten Größe C, =dP; umgekehrt entfpricht dem Dif⸗
frenziole AP das Antegrale P--C, wo wir für C jede beliebige con»
Raute Größe fegen Fönnen. Hieraus erhellt die Unbeftimmtheit jener
Senctign, deren Differenzial = dP gefegt wird, weil fie eine willfürs
Te Conſtante mit fich führt. Dasfelbe muß auch Statt finden, wenn

— 12 —

aus irgend einer Relation der Differenzialien eine Function zu &
men ift, welche immer eine willfürliche Eonftante enthalten wird, wg
welcher in der Relation der Differenzialien feine Spur vorhanden wa
Eine ſolche, durch Integralrechnung gefundene, Function wird de
näch beftimmt werden ; fobald man jener willfürlichen Conftanten ein
beftimmten Werth beylegt, welcher immer durch’ die Natur der Aufgt
deren Auflöfung auf jene Function führte, beftimmt wird.

Zuſatz ı

$. 32. Wenn daher eine Function y von x aus irgend einer gege
benen Relation der Differenzialien gefucht wird, fo kann fie durch Eug
führung einer wilfürlihen Conftanten fo beſtimmt werden, daß 9
x=a, y=b wird: hiedurch wird die Function ſelbſt gegeben ſeyn, unh
ed wird y für jeden Werth von x einen beftimmten Werth erhalten.

Bufap a
$. 33, Wird eine Function y aus einer gegebenen Relation von
Differenziafien des zweyten Grades gefucht, fo führt fie immer zwegd
willfürliche Conftanten mit fich, und laͤßt daher eine doppelte Auflöfung 3
zu, wodurch der Zweck erreicht werden fann, daß für x a nicht als \
lein y einen gegebenen Werth b erhält, fondern auch dad Verhältniß -
= einer gegebenen Größe c gleich werde.
Zuſatz 3.
$. 34. Die aus der Relation der Differenzialien entwidelte Zune - 4
tion y zweyer Veränderlichen x und t wird ebenfalld eine willfürliche =
Conſtante enthalten, durd) deren Beflimmung für t—a eine beftimmie _
Gleichung zwiſchen y und x hervorgeht, oder eine Gleichung, die bie
Natur irgend einer gegebenen Curve ausdrüdt.

Unmerfung.

F. 35. Jene Beftimmung der Integral:Zunctionen, oder jener
Functionen, die durch Integralrechnung defunden worden find, Täßt ſich
jedesuiahl aus der Natur der vorgelegten Frage leicht ableiten, und bies
tet Feine Schwierigkeit dar, wenn nicht etwa unnöthiger Weife die Aufe
löſung auf Differenzialien geführt. worden ift, da fie doch durch die ges
wöhnliche Analyfe hätte bewerkitelliget werden fönnen, in welchem Sale
gerade wie in der Algebra gleichfam überflüffige Wurzeln in Die Rechnung“
verwebt werden. Da aber diefe Beftimmung nur in der Anwendung auf

’
ehe

um 13 ee

fondere Faͤlle Statt findet, fo werden wir hier, wo wir bie Integra⸗
mömethode im Allgemeinen behandeln, Die Integralien in der größten
usdehnung zu entwiceln ſuchen; fo daß bie durch die Integration ein⸗
führten Eonftanten willfürlich. bleiben, wenn und nicht irgend eine
edingung zu deren Beflimmung nöthigt. Übrigend ift wohl jene. Be⸗
krkung der. Functionen von x die infachſte- bey. weicher. dicſela·m für
=o felbft verfhwinden. neh vr Ins
Erflärung eb:

9. 36. Ein Integrale wird vollfiändig-Keomplerd) genaunt,
mn die gefuchte Function ohne Befchränfung mit: einer willkuͤrlichen
aſtanten dargeſtellt wird. Iſt aber dieſe Eonſtante ſchon auf/irgend
e Weiſe beſtimmt, ſo heißt das Integrale ein befonderes (prncatare):

| sufap 1. ir —
3. In jedem galle zibe es alſo nur ein voiffändige® Integral,
ſondere Integralia aber fönnen. unendlich. ‚viele, angegeben werden.
o iſt 2x2 4C das vollftändige Integral. der. Diferenzialformel.x.d’x x;
ſondere Integralien hievon aber gibt es unendlich viele, ais ip,
?Fı,722+2, u. _
Zuſ a b 2.
$. 38. as volltäirbige InkögraFbegieift alle beſondeten Integra⸗
n in ſich, und dieſe können alle aus jenem leicht abgeleitet werden.
igekehrt aber wird aus den beſonderen Integralien Das. ‚vollffäppäge
ht erfannt. Übrigens, gibt ed, wie, wir. ſpaͤter ſehen werdeneg ‚eine
ethode, in. vielen Fällen aus dem beſonderen Zregral das voliſan⸗
e Lu Anden. u. ut rar 338
Anmerkung ni
— 39. Bisweilen kann man ein particulared Integral durch eheige
rlegung in Voraus angeben oder errathen. Wird z. B. eiſſe folche
action y von x gefucht, für welche dy + yPdx= dx -iidyiif,
vird diefer Gleichung -offenbär Genüge. geleiſtet, wenn lan; g,wriix
mt; es ift dieß alſo ein beſonderes Integral, weil es keine willkür⸗
? Conſtante enthaͤlt. Das vollſtaͤndige Integral fty= rer
hes jenes befondere Integrali in fi enshäft, wenn. man. cr ‚legt.
n fo findet man für C=o ein zweytes Integral y= = / welches

obigen Gleichung eben fo gut Genüge leijtet, wie dad erſtere y — x.

»W;

[1
won 6 wo

\ -

Fre ya tes

Erfter Theil,

oder Die Methode, aus einer gegebenen Relation der
Differenzialien des erflen Grades Funckionen einer einzigen
Beränderlichen zu beftimmen.

Erſter Abſchnitt.
Von der Integration der Differenzialformeln.

ULLI LIEST V——

Kapitel l.

Bon der Integration der rationalen Differenzialformeln.

Erflärung.

$. 40. Eh⸗ Differenzialformel heißt rational, wenn das
Diferenziale dx der Veränderlihen x, von welcher eine Function ges
ſucht wird, mit einer rationalen Function don x multiplicirt iſt; oder
‚die Differenzialformel Kax Heißt rational, wenn xe eine rationale Fune⸗
tion von x bezeichnet.

Zufaßt J .
$. Ai. In ve Kapitel wird alfo eine ſolche Funetion y von x

geſucht, für welche S —. = eine rationale Function von x Kr oder

daß, wenn eine folche, Function durch X bezeichnet wird, ZI = =X if, |

3ufa " 2. | -
F. 42. Es wird alfo Hier eine folche Function von x gefucht, de:
ten Diffevenziale = Xdx ift; und demnach ift das Integrale diefer Diffe—

tenzialformel, welches man durch /Adx andeutet, die geſuchte Function
Euler's Integralrechnung. 1. Bd. 2.

— 18 m

3ufag 3. |
$. 43. Iſt P eine ſolche Function von x, daß ihr Differenzi
daP = Xdx ift, fo ift das vollitändige Integral der gegebenen Fo
Xdx offenbar PC, weil die Größe P--C eben diefen Ausdrud
Differenzial hat.

Unmerfung ı

F. 44. Im erften. Theile des erften Buches wollen wir alle jene
Probleme zufammenftellen, bey welchen aus einer gegebenen Relation
der Differenzialien des erften Grades Bunctionen einer einzigen Veran⸗
derlichen x geſucht werden. Wird demnach die geſuchte Function =y

und I —=p gefest, fo ift, fobald irgend eine Gleichung zwifchen den

drey Größen x, y und p gegeben wird, die Natur der Function y, ode
. die Gleihung zwifchen.x und y ohne p auszumitteln. Stellt man aber
diefe Frage in folcher Allgemeinheit, fo ſcheint fie von der Analyfis mehr :
zu fordern, als diefe je zu leiften vermag. Wir müffen und alfo in der
Auflöfung einfacherer Fälle üben, und der erfte ift der, in Fra

P= irgend einer Function von x, nämlich —X ift, fo daß 5 — mi

oder dy — Xdx if, und demnach haben wir das Integrale Kir
zu beftimmen, womit wir uns im erften Abfchnitte befchäftigen wollen.
Übrigens ift auch diefer Fall wegen der Verfchiedenheit der Zunetion X
ſehr ausgedehnt, und bietet viele Schwierigfeiten dar, weßhalb wir in
‚biefem Kapitel nur jene Fälle unterfuchen wollen, in welchen jene Fune⸗
tion X rational ift, dann aber werden wir zu den irrationalen , und
endlich zu den tranfcendenten übergehen. Wir fönnen daher dieſes Haupt»
fü bequem in zwey Abfchnitte theilen, in deren erfierem die Integra⸗
tion der einfachen Sormeln,"bey weldhen p = 7 nur eine Function
von x bezeichnet, behandelt werden follen. Sm zweyten Abfchnitte aber
muß die Sntegrationsmethode gezeigt werden, wenn irgend eine Glei⸗
hung zwifchen x, y und p gegeben if. Mit den Gegenftänden dieſer
beyden Abfchnitte, und vorzüglich denen des erfteren, haben fich die
Geometer am meiften befchäftigt, daher werden diefe Unterfuchungen
den größten Theil des Werfes einnehmen.
N

Anmerfung 2.
F. 45. Die Differenzialrechnung gibt uns felbft die erfien Prin⸗
eipien der Integration, fo wie die Grundfäge der Divifion aus der

zum: 10) mm

Diultiplication, und die des Wurzelausziehens aus den Regeln für das .

Potenziren gewöhnlich genommen werden. Da alfo, wenn die zu dif-

ferenzirende Größe aus mehreren Theilen befteht,, wie 3. B. die Größe
P+-Q—R, ihr Differenziale = dP dQ — dR if, fo wird aud)
unmgekehrt, wenn die Differenzialformel aud mehreren Theilen bejteht,
wiePdx-- Qdx — Rdz, ihr Integrale = /Pdx-+-/Qdx-- /Rdx
feyn, nämlich das Integrale wird aus den einzelnen für fich zu integri⸗
senden Theilen beftehen. Weil ferner adP das Differenzial von aP
ift, fo wird auch a/Pdx das Integral der Differenzialformel aPdx
feyn. Enthält nämlig die Differenzialformel einen eonftanten Factor,
fe muß.mit diefem auch das Integral multiplieirt werden. IR demnach
aPdx--bQdx -+cRdx die Differenzialformel, bey welcher P, Q
und R was immer für Zunctionen von x bezeichnen , fo wird ihr Ins
tegrale ayPdx--by/Qdx-+-c/Rdx ſeyn, fo daß ed nur darauf
onfömmt, die einzelnen Formeln Pdx, Qdx, Rdx zu integriren,
Sind diefe Sntegrationen bewerfftelligt, fo muB noch eine willfürliche Con⸗
flante C hinzugefügt werden, um das vollftändige Iutegral zu erhalten.

Aufgabe ı.
G. 46. Eine Function vonx zu finden, deren Dif:

ferengiale =axndx ift, oder die Differengialformel

az dx zu integriren. _
| Auflöfung
Da mım-ıdx das Differenzial der Potenz x= ift, fo wird um⸗
gekehrt [m xv-i d«—= mx" dx=x” ſeyn, mithin, S xn-ı de — ;

fr m—ı=n ober m=n-ı wir Sedx = und

* watt 40 das voll

ſtaͤndige Integral der gegebenen Differenzialformel à xe dx ſeyn, wel
ches man auch ſchon daran ſieht, daß das Differenzial dieſes Ausdru⸗

a
afx dı= -

.xstı, daher wird
ı n

des wirflid S axr dx iſt. Diefe Integration findet immer Statt,

was auch der Erponent nm für eine pofitive oder negative, ganze oder
gebrochene, oder felbft irrationale Zahl bezeichnen mag.
Der einzige Fall wird bier ausgenommen,- in welchem der Exponent

n——1 iſt, oder wenn die Sormel- Zu integriren ift. Wir haben aber ſchon

in der Differenzialrechnung gezeigt, daß, wenn Ix den hyperboliſchen Los

y,*%

gun 20 —

garithmus von x bezeichnet, d.Ix = = fey; wir fönnen alfo auch

d
umgekehrt ſchließen, daß YA = = Ix und / Ser alzz fügen.

wir demnach noch eine willfürliche Conſtante Hinzu ‚ fo ift das vollſtaͤn⸗
dige Integral der Formel offente malx - C=1.x“ +6,
oder auh (fr C=Ilc)=1.cx. | “

3ufaß ı.
$.-47. Das Sntegral der Differenzialformel ax" dx ift alfo im:
mer algebraifch, den einzigen Fall ausgenommen, wo n — — ı iſt,
und das Integrale durch dogarithmen ausgedrückt wird, welche zu den
‚ franfeendenten Bunctionen gehören. Es ift nämlich
ad x
| | —=als+C=lor.
. Zuſatz a.
$. 48. Wenn der Erponent n pofitive Zahlen bezeichnet, fo muͤſ⸗
fen folgende Integrationen gut gemerft werden, weil fie fehr häufig
vorfommen :

Jadx=ax+C; Jaxdx = +6; Jax’ .=7 +6,

faxdı= +0; faxtdx = "7 +0; far’dx —— 4 0.

Bufag 3.
F. 49. Wenn n eine negative Zahl bezeichnet, wird für n=—m

adx a —
‚ft Sm ment

man bemerfe daher folgende einfacheren Fälle:

adx adı a adx —a u
— | Ferte | eet
adı adx
SE Ere festen
| 3ufag 4

(. 50. Bezeichnet n auch gebrochene Werthe, ſo konnen die In- |

tegralien dennoch hier beftimmt werden. Sey erſtens n=—, fo wird

2

Jadıyoa = mr a Er ze

. Ma

— 27] um

demnach wird
fadxYx=taxyVı-t(C; faxdxyYsr—taeyet6
ax dx Vx —34*6 SazdsVYx=taxtyYx-+-C; ı.
X Zuſatz 5.
$. 51. Setzt man n = —-, fo wird

a d x 3a x — 3a
SEES et et
eraus folgt "

adx ad —aa .' |
[= sayx-L-C; — +6

adx —_—ı3a , ads —aa rn.
IE; — irvi 76; ı’yxı bıtyx +6 \
3ufag 6.

$. 52. Seben wir allgemeinn — F - , fo wird
p p-t»

faxdı= ara x’ +C, oder durch Burzelgeöfen Ä
Saaxyı® —) * yırt? + C.

Set man ddr n = — z, ſo wird:

f adx = x + C, oder durch Wurzelgrößen

x?

rt amd
va"

Anmerfung

$. 53. Haben wir und gleichwohl vorgenommen, in diefem Ka-
el bloß rationale Bunctionen zu behandeln, fo haben ſich dennoch jene
rationalitäten fo von felbft dargebothen, daß fie geräde wie rationale
ößen behandelt werben Fönnen. Übrigens fönnen wir mit Huͤlfe der
en noch zufammengefegtere Ausdrüde integriren, wenn flatt x Sun
ef irgend einer andern Veränderlichen z gefept werden. Setzen wir
zeit gz, fo wird dx = gdz; und daher, wenn wit a mit

zu (02) mais

- vertaufchen wird

Jadz(f + 62) = ar eten tı 2 C,
und für den. Fall, wo n—= — Wr
adz a

Für — — m vi

adz — a
— nern t ©
Sept man aber n—! - fo erhält man

fe
‚rt
/ada (f-+-gz)’ = EST (+ * + C,
und fürn — - wird

adz sa(f+ gr)

Aa u — MITEN 0.

f er
EG+sn’ 6- ) 3 gr)”

Anmerkungs.

G. 54. Übrigens verdient hier eine vorzügliche Eigenſchaft bemerkt
gu werden. Da bier eine ſolche Zunction y gefucht wird, daß dy == ax” dx

fey, fo findet für = = p die Relation p == az” Statt, aus welcher
a

xatı.L.C
re

= 277 + C, und fo haben wir

den Fall, wo die Relation der Differenzialien durch eine Gleichung
zwiſchen x, yund p gegeben iſt, welcher, wie wir ſchon wußten, durch

die Gleichung ya EFT zat> 1. C Genüge geleiflet wird. Allein diefe

die Function y ausgemittelt werden m Weilnun y=

fo wird wegen ax = p auch ya ——

Gleichung iſt in Beziehung auf die in der Gleichung y= * 40

au sgeſprochene Relation nicht mehr daB vollſtaͤndige Integral, ſondern
nur ein beſonderes, weil jenes Integral keine neue Conſtante enthaͤlt,
welche in der Relation der Differenzialien nicht erſcheint. Das vollſtaͤn⸗

dige Integrale aber ift y =. zutt 1 C, welches eine neue Cons
flante D enthält, denn bier wied 77 == aD,z" == p, und baber
| 1 |

en!

— DD. —

3 - +C. Gehört gleichwohl diefe Bemerfung nicht hierher,
; fo wird fie dennody nicht ohne Nutzen feyn.

Aufgabe =
6 55. Eine Function von x zu finden, deren Dif-
ferenziäle =Xdx, wobei X irgend eine ganze ratio
nale Function von x bezeichnet, oder das Integrale
fXdx zu beftimmen.
Auflöfun g.
Da X eine ganze rationale Function von x bezeichnet, fo ift fie
nothwendig enthalten in der Form:
X=atPßx-+t yx +ör° Leit + 2x ti,
daher ift nach der vorhergehenden Aufgabe das gefuchte Integrale
SAdx=>C+ax+:ßr + sy? + 25x? Liexs’ 32x06;
und wenn allgemein X = aÄtßıet yx’ + :c, fo wird
Ä a_ 1 ß 7
Rı=C4,; % 4 tale earı tt rge,

wo die Erpenenten A, a,» . . . ⁊c. auch negative und gebrochene
Zahlen bedeuten Fönnen, wenn man nur bemerft, daß für A= — ı,

* = al(x) iſt, welcher Fall allein zur Ordnung der tranſcen⸗

denten Groͤßen gehoͤrt.

Aufgabe 3
$. 56. Eine Methode zu befiimmen, nach welder
das Sntegralvon Xdx gefunden werden fann, wenn
X irgend eine rationale gebrodene Sunction von x

bezeichnet. |
Auflöfung.

Sey alfo X =: wobei M und N ganze Bunctionen von x bes

zeichnen, fo hat man zuerft darauf zu fehen, gb die höchfte Potenz von
x im Zähler M eben fo groß oder sr fey als im Nenner N. In

dieſem Falle ziehe man aus dem Bruche N M durch wirfliche Diviſi ion die
Ganzen heraus, fo wird, weil die Ontegration diefer <heile Feine
Scwierigfeit hat, alles darauf anfommen, einen foldhen Bruch = zu

— 1 —

betrachten ‚ in deſſen Zähler M die höchfte Potenz von x Fleiner ift
im Nenner N. |

Hierauf fuhe man alle Factoren des Nenners N, ſowohl die re
ellen einfachen, als auch reellen quadratiſchen, welche nämlich die Stelle.
zweper einfacher imaginärer Factoren vertreten, und fehe zugleich
Darauf, ob alle diefe Sactoren ungleich find oder nicht! Denn ſind die

Factoren gleich, fo muß die Auflöfung des Bruches Lin einfache Bri

che auf eine andere Weiſe bewerkſtelliget werden, wenn naͤmlich aus den
‚einzelnen Factoren die Partialbruͤche entſtehen, deren algebraifche Summe

dem vorgelegten Bruche gleich iſt. Es entſteht naͤmlich aus dem ein⸗
A |
fahen Factor a + bx der Brud) — find zwey Factoren eins
ander gleich, oder enthält N den Factor (a+ bx)?, fo entſtehen dar⸗
. „ A B -
aus die Brüche Gr by + a-bı 5 aus dem Factor (a 4 bxy

werden die drey Brüche | -
. A B C
(a + bx)> tar tr a 4 b1
Der doppelte (quadratiſche) Factor aber, von der Zorm
a? — zabx cos. 4 b?xr?,
wenn ihm Fein anderer gleich ift, gibt dem Partialbruch
A-+Bx
a? — 2abx cos.t + b?x2
Wenn aber der Nenner N zwey folche gleiche Zactoren enthält, fo ent:
ftehen daraus die beyden Partialbrüche
_ A-+Bx C+Dx
(a? — aabx cos.& 4 b? x?)? + a? — 2abx cos.C + —X
iſt aber (aa — 2abx cos.2 + b? x2)* ein Factor des Nenners N, ſo
entſtehen aus ihm folgende drey Partialbrüche:
A+Bs C+Dx E-+Fx
(a2—saabx cos.t-+-b?x2)3 + (a2 - 2abx cos. sr r a®—2abx cos.t-+-b2x2
Wenn auf diefe Weiſe der Bruch = * in alle ſeine einfachen Brüche

aufgeloͤſt iſt, fo muͤſſen fie ſaͤmmtlich in einer der beyden Sormen

A-tBx
G@Lb:> oder (a? — aabx cos.t + b2x2)n ‚enthalten feyn.

Multiplieirt man nun jeden einzelnen diefer Brüche durch dx,

*

erhalten, u. ſ. w.

— 25 uam
und verrichtet die Integration, fo iſt das Aggregat aller dieſer Inte⸗
grale der Werth der gefuchten Function JXdı = f = dx.

Zuſatz ı.
G. 57. Die Integration aller Ausdrüde von der Sorm " — <= haͤngt

demnach ab von der Integration folgender zwey Formeln
Adx N " (A+By)dx
n nach und nad) die Werthe 1, 2, 3... 2c. gefchrieben werden.

Zuſatz a.
-$. 58. Das Integrale des erften Ausdruckes iſt fon. oben ($.53.)
DE angegeben worden. Man eepält aus demfelben

Allx
Ike Sl@a+b2)+C,
Adı —A
N b(a-+bx) +6

‚ wenn für

Adx —ıA BR .
Grig ira + C, und allgemein
. Adxı —A
(a + by) — (n—ı)b(a -bx).-: +6
- Bufap 3.

. 59. Um alfo das vorgelegte Problem volftändig zu Iöfen, has
ben wir nur noch) die Integration der Formel

(A-+ Bx) dx
(aa — aabx cos.& 4 b?x2)n

zu lebten, und zwar zuerſt firn=ı,n=2,...ı.

Anmerfung ı. YA

6. 60. Wenn wir die imaginären Größen nicht vermeiden woll:
ten, fo wäre die ganze Auflöfung ſchon in dem bereitS Gelehrten ent:
halten; denn ift der Nenner N in alle feine einfache reellen oder ima⸗
ginären Factoren aufselsſ , fo könnte der gegebene Bruch in Partial⸗

A
brüche von der Form — — —_ F — — oder ai serlegt werden, und
da wir deren Sntegrafion fhon fennen, fo ift dann auch das Integral
des ganzen Ausdrudes F M dx befannt: Dann aber würde es allerdings

ſchwierig ſeyn, je * imaginaͤre Theile ſo zu verbinden, daß ein re⸗

— O0 um

eller Ausdruck zum Vorſchein kaͤme, was doch bie Natur der Sache a
folut erfordert.
Anmerfung 2
6.61. Wir ſetzen bier auch die Möglichkeit der Auflöfung einer
jeden ganzen Function in Sactoren voraus, obgleich die Algebra kei⸗
neöwegs-noch fo weit vorgefchritten ift, daß diefe Auflöfung wirklich ims
mer bewerfftelligt werden fönnte. Es wird aber in der Analyfis durch⸗
aus die Forderung geftellt, bey dem weiteren Sortfchreiten alles Vor⸗
hergehende als befannt anzunehmen, wenn auch die bereitö angeftellten
Unterfuchungen nicht ganz genügen follten. Es genügt uns nämlich,
bier die Möglichfeit, alle Sactoren durdy Näherungsmethoden fo genau
als man will, darzuftellen. Wenn wir in der Integralrechnung weiter, ,
werden vorgerüdt feyn, werden wir auf ähnliche Art die Integralien
aller Ausdrüde von der Form Xdx, was X auch immer für eine Zunes
tion von x bezeichnen mag, als befannt anfehen, und wir werden ſchon
fehr viel geleiftet haben, wenn wir die verwidelteren Sntegralien auf
jene Formen zurüdführen. Pönnen. Dieß hat auch für den practifchen
Gebrauch gar Feinen Nachtheil, da wir die Werthe der Ausdrücke von
der Form (X dx fo genau ald man will, angeben Fönnen, wie wir in der
Folge fehen werden. Übrigens find diefe Integrationen durch die Aufe
löſung des Nenners N in feine einfachen Sactoren abfolut bedingt, bes
fonder8 weil diefe einzelnen Sactoren in den Ausdrud des Integrals
verwebt find. E8 gibt nur fehr wenige Faͤlle die gerade am haͤufigſten
vorkommen, bey welchen wir jene Auflöfung entbehren koͤnnen; wäre

z. ©. die sn Fr gegeben, fo fieht man fogleich, daß fie für

x»» in — 5 5 übergeht, deſſen Integrale -I(a P)=-1(ı +-x:)

ift, hiebey war aljo die Auflöfung in Factoren nicht nöthig; allein diefe
Bälle find für fi fo Mar, daß ihre Behandlung Feiner eigenen Erklaͤ⸗
rung bedarf.

Aufgabe 4

| | (A+Bz)dx .
G:62. Das Integraly = F_aobreosgFbrn zu be:

ſtimmen.
| Auflöfung.

Da der Zähler aus zwey Theilen Adx + Bxdx befteht, fo kann
der letztere Bx dx auf folgende Weife weggefchafft werden,

— 97 mm

Weil

(ae — ab con.2 + bear) = f rl mut habee

u — 3aabx cos.& — b?x? 4
is multiplicire man diefe Gleichung duch —- — , und siehe dad Product
der gegebenen Gleichung ab, denn man hätt dann
B a cos. &
— 2 a —sabz cos. 2-+-b?x?) = jew
ab? ©: a2 aabxcos.t + b2x2
daß man nur noch dieſe Formel zu integriren hat. Sept man Kürze
halber A + 2 a = C, fo geht diefe Formel über in

[= — —— + b2 x ' welche auch ſo dargeſtellt werden kann
- Cdx

Man fegenun bz— a cos. 2= av sin.2,

wo: sin.2C -- (bx— a cos. t)2 °

f und bemnady dx = u, fo verwandelt ſich unfere Formel in

Cadvsin.t C dv
b.a:sin2t (ı 4 v2) - 2 sin.g Jr + ve
Tun willen wir aber aus der Differenzialrechnung, daß
bx—acost

dv t _
it vw = Arc. 8- v= @arc. tg. 2 sin. sin. LE 4

und Daher wird, weil C = a te , unſer Sutegrale

Ab +Ba cos. t bx—acost 243
bene ba sin, € arc. tang, nt! folglich iſt

(A + Bx) dx nun
a2 — aabzcos.c + bu
B | Ab B . bx—a cos,
| a ar — abxon2-bt 2) 4 0 ara. *

wozu noch eine willfürliche Conſtante C gefebt werden muß, um dad
Integrale volftändig zu machen.

Zuſatz a.
F. 63. Addiren wir zu arc. tang. bx — aeont ben Ausdruck
a sin.ð

*

arc. tang. 5

z/ welchen wir uns als in der Conſtante enthalten den⸗

bxsint

a — brcost , und fo wird

fen, fo ealten Wir arc. tang.

— 208 use

(A + Bx) dx .
nn
a® — 2abx cost + ber?

3 Ma—sabr cos,24-b?x?) ur cos. 7 bx sin.t

En .t nn
ab? sin.& are. ig

o—hx co8.L. {

!

3ufaß =
$. 64. Soll dieſes Integrale für x = o verfhwinden, fo

—B
Ca —z lat gefept werden, und dann wird

(A + Bx) dx — —

a? — 2aabxcos.t 4 b?x® W N

B,ı Ab-LBa cos. bxsin.t

= l z V(a—2abx cn arc. is·

Dieſes Integrale haͤngt alſo zum Theil von Logarithmen, zum
von Kreisbogen oder Winkeln ab.

Zuſatzz 3.
G. 065. Für B=o verſchwindet der vom Logarithmus abhaͤngende
Theil, und man erhaͤlt: |

Adı A bx sing er.
a? — aabxcos.ct + b?x? absin.t sin. a — hx cos.&

welches Integrale durch € einen Winfel allein beftimmet wird.

2.

Zuſatz 4.
g. 66. Bezeichnet 2 einen rechten 'Winfel, und iſt demnach
cos. ẽ 20 und sin.2= ı, fo wird

SER Ve te) + α . BE 4Conat
Für 2 = 60°, alfo cos.2=+ und sin.2a=:%/3, wird
iE (A + Bx) dx —
— abx 4 b2ı2 |
= 1 V@—abz Hbie) 4 It bx v3

apryvs art. '8- aa—bx’

Endlich für 2= 120°, alfo cos. 2=—: und sin.2 — = , wird

”(A+BI)dzs
as * abz + b2x2
aAb— bxıv3

| B 1
= 7 1. 7 V(e + abx + b? x?) + * = Arc, tg. aatbx"

— 90 —

—Anmerkung 1.
$. 67. Es iſt Hier allerdings bemerkenswerth, daß für 2 = o,
wird der Nenner in das Quadrat a — aabx —- b?x? übergeht,
dem Integrale der Winfel ganz verfchwindet. Denn nimmt man
Winkel 2 unendlich Flein, fo wird cos. 2 = ı und sin. 2 = 2;

er verwandelt. fich der logarithmiſche Theil in zu: 1. =, und
andere heil i in SE an arc. 18: = = „= 88 weil

Tangente des menduch kleinen Bogens u — dem Bogen ſeldſt
ih iſt; es wird demnach dieſer Theil aigenreſ Hieraus folgt:
[+ dx = 1° 4 (Ab + Ba)x + Const.

(“— bi ab(a— bx)
Die Richtigkeit dieſes Ausdruckes erhellt aus dem Worhergehen—
A Bx —B Ab-+tBa
Ip denn es iſt ab — b@_by + Ban Nun iſt aber
Bdx B a ⸗BRx

u Zus l — 3 und

ba—-b)a m» 2

XAb-HBe)de‘- . Ab+Ba : (Ab + Bay “(Ab -+:Ba)ıx

— — u — — ——

bia—bı2 bta—bı) ab: - ab@—br)
an nämlich beyde Integrationen fo verrichtet werben, daß die Inter
lien für x= 0 verſchwinden.

ee -Anmerftung a ar |
$. 68. Wenn in der gebrochenen Differenzialformel — ‚Im

hler M die höchſte Potenz von x um einen Grad niedriger iſt, ie im
nner N, fo faun diefes. Glied durch dieſelbe oben eingehaltene Me⸗
de weggebracht werden. Denn es ſey

= Axıı - Br 4 Co ꝛc.,

= ai + Beam * p al und man 1 fen dx = dy.
Da nun =

I=nax-ı, act ana. det) ya. dx-+ 0,

iſt

— * MR mu ga nr. *

d daher durch Subtraction |

N:

zu 50) ummem

ES [SEE He

wird num der Kürze wegen

B—_ (n—ı) Aß = 8; 0— (1 - 2) Ay =6;D __ (a3) As =D;
na na na

gelegt, Al erhält man
dx(Bın—s 46034 Dr—i+ 1)
yJ=7 ZN +f aza 4 Bxa— Lyra 16
5* dieſe Weiſe laſſen ſich demnach alle gebrochenen Differen
formeln fo reduciren, daß die höchſte Potenz von x im Zähler um
oder mehrere Grade niedriger wird, ald im Nenner.

Aufgabe, 6.
(A -+-By) dx
$. 69. Die Integralformel — — r haupt

auf einen ähbnlihen Ausdrud zurüd gu führen, in wen
hem die Höhfte Potenz im Nenner um einen Grit
niedriger iſt.
Auflöfung.
Man febe der Kürze wegen a — aabx cos. FRRCPFPER

SER = y. Weil IX= — sabäxcnat abiräi]
„HD: — ZalC+HDndX | Däi }

C+Dx anb(C +Dx)(a cos, —R dx
gro — 2
C+D |
wir erhalten alfo ‚+ | |
— — ——

+/[

Nun beflimme man in dee vorhergehenden Formel C und D Vz
daß der Zähler durch X theilbar werde; zu diefem Zwede ſetze man
denſelben = — 2anDXdx, fo wird 5

A-+ anCabcos.@ = — 2nDa un
B-+ 2nDabcos..@ — anCb? = 4nDab cos.2,' -
B — anCb? == anDab cos. 2, und daher

B—anCb:

snaDı= — — aber nach der erſtern Beh

zum 5] ame:

gung ift anDa = mes, durch deren Bteiäfellung
Ba 4 Ab cos. ð

Ba--Abcos. e — anCab: sin. 120 oder GC = —

erhalten wird. Es iſt alſo |
Ba sin2£—Ba-- Ab cos. — Abcos. t— Ba cos.2t

B— an Cha - — — int /
- Ab ->- Ba cost . Ä
pi Da — — —— gefunden wird. Setzt man dem⸗
Ba + Ab cost —Ab--Ba cost .
en na PP wird
+4 - (a Ka *
und daher —— = >= De _ (@n—ı)Df — > oder
(A+Bx)dx pe debe cos.C-F (Ab? + Babcos.d)x ;
Xatı — ana? bh? sin. & Xn +

(an — ı)(Ab + Ba cos.t) dx
+ ana?b sin.?t Xn '

Iſt demnach Sf = befannt,, jo Fann man auch dad Sutegrale |

[ (Ar By angeben.

u aufap n.
| | 9* 70. Seit alfo X=a® — zabx cos.2 + b?x?, mithin

bxsin.t „ j
== ab sin.t sin. ? a — bx cos.t 4 Const., ſo erhaͤlt man
ca (A + Br) de = dx —Ba?— Aabcos.& + (Ab?-+-Bab cos.t)x
* 3a2b? sin. &. X +
Ab + Ba cos.& bxsin.&
* aa>b? sin.5t arc.tE. gr cos. ct

und daber wird für B= o und A— 1

dx —a cos. 4bx hX Sin-
vä— m rang Cs.
(A + Bx)dx

x?

arc. tg.

"I Const.,

Das Integrale enthält demnach Feine Logarithmen.
Bu. | Zufag =

gF. To Da nun _ j

dx — a cos. +-br 3 | dx

x —— Zazb sin2g.X Far sinzt z tr Const.,

— 75) SER

fo erhält man durch Subſtitution des obigen Werthed
SE __zaco.&+bx + 3(—acos.t—+bx)

x 4a®b sin.?26. X? 2. 4. a b sin. &. X
1.9 bx sin.&-
+ 2..4.a%b sin.dt tg, bx cos.t

Hieraus folgert man ferner: ” Sn
dx _ _—acos.c+ bx b(—aco.t -bxr)
x+ 7 Garb sin.25.X5 + 40.0 aut. x

3.5 (—a cos.C-+-bx) .3:5 '. bxsin.g
+7; 4.6.a6b sin. . xt3 4. 5 a’b erar —

3ufas-3. _
$. 72. Geht man fo weiter fort, fo erhält man die Znegre ab
dx
ler Sormeln von der Sorm | —r == / r 2, deren erſt⸗

res bloß durch einen Kreisbogen ausgedrückt iſt; die übrigen a aber ent,
halten überdieß noch algebraifche Theile.

Anmerfung.-

$. 73. Allein es ift hinreichend, das Integrale Sf de zu ken⸗

PR A+Bı)d ,
nen, weil die Formel f —— ſich leicht darauf zurückführen |

laͤßt; denn dieſe Formel laͤßtt ſich auch fo darſtellen:

4 „Ab?dx.-aBb’rdr — 2»Babdx cos. 3Bab dx cos.t
Fr Xatı —

Welche Formel wegen ab’xdx — aabdx cos. 2=d.X übergeht in
a BaX , ı (Ab + Ba cos.) dx.
ab Xatı + b Antı g

»aX. : "1. Ko.
aber weil nr fo wird

(A+bx)dx ° —B Ab + Ba cost
Xutı — anb?Xn + b’ am

„welcher Ausdrud nur von Ser — abhaͤugt, und dieſes haben wir eben
entwidelt.
Dieß find alle Hulfsformeln., welche nr zur Integration ‚gined

jeden gebrochenen Ausdrudes von dee Zorm —dx ‚brauchen, fo Tange

nur M und N ganze Zunctionen von x find. Bir fönnen alfo im Allges

zu 55 mE

⸗

meinen Mle Ausdrücke von der Form VVd x, wobey V was immer, für
eine rationale Function von x bezeichnet, integriren, und man kann
hierbey bemerken, daß alle dieſe Integrale, wenn ſie nicht algebräifch
find, immer durch Logarithmen oder Winfel dargeftellt werden.
Wir haben alfo nur noch dieſe Methode durch einige Beyſpiele zu
etlaͤutern. u

Beyfpie Iı

$. 7. Das Integrale der Differensiatfermet
(A + Bx)dı
SF ben du beffimmen, Br
Weil die Veränderlihe x im Zähler wentger Dimenfionen Sat,
als im Nenner, fo enthält: diefer Bruch feine Banzep; man unterfuche
demnach, ob der Nenner zwey einfache reelle Kactoren enthält, oder
nit? und im erſten Falle, ob die beyden Factoren einander gleich
find? Wir Haben demnach) drey Fälle zu betrachten.
| I. Der Nenner ſoll zwey gleiche Factoren enthalten, und ſey gleich
(a 4 —X& oͤſt man den Bruch EEE
Ab— Ba. .. B
+ — auf, ſo erhaͤlt man: on
(A + Bs)dx Ba — Ab |
SER = nt — bx) 4Coutt.
| Beſtimmt man aber das Integrale fr daß es für x==o ders
ſchwindet ſo findet man,

' (At Bond _ (Ab— Ba) u B abe
Ä (a + bı2 —- ab (a,-Fbx) + b? a
II. Die beyden Factoren ded Nenners:feyen ungleich, es fey naͤm⸗

A+Bx a:
— —5 dx, welche > in Die. zwey
Ab—Ba dx Ag— Bf \
Partialbrüce Be-ag a br + br 7 *7 — zerlegen

laͤßt. Daher —F * bieſuher Inegeah
(A + Bx)dx —
(a - b5) f+82: .

— Ab— Ba, + bx Ag—Bf fHrex

Ber (I J— —7
— Ba — Ag
—* ag) =m+n und br —a$)

f b

mıatba ren tool (A+byY

Beurer re

in die zwey Bort-albriche

lich die gegebene Formel

Man ſetze

damit das Integrale gleich
Euler’s Sntegralrechnung. I Bd.

— 72/5 ——

werde, ſo t

B(ibf—ag) ' B aAbg—Bag—Bbtf
22 * bg (bf—ag) - bg und an = be(bf—ag) !
folglich (A-+-Bx)dı .

@tb)e+en
B BB, (a+bx) (-+gx) + sAbg — B(ag-+-b 1 f(a-+bx)
75 af abg(bf — ag) a(f+gx)
III. Es feyen die einfachen Bactoren des Nennerd bepbe, image
när, in welchem Falle der Nenner von der Form a? — 2abx cos. 2-—-b?x!
ſeyn wird, welcher Fall ſchon oben behandelt wurde; es ift nämlich
(A + Bxe)dx- —
a? — *
— B V[a? — aabx cos.t+-b?x?] Ab 4 Ba cos. & bx sin.£:
bb: } a + sin. & Ar» 18. a— bs eos.t‘
zufag |
.$. 05. Seht man im zwenten gate. a und g=—b, fo wird

ft: — —B ‚® 4 A a+-bt

bt gb a? aab a—bx’
hieraus folgt alfo
| Adx _ A | a+br
aan, © und
Bıdx --B a—b2i2\" B
8* RT) St ©

Zufa b 2.
$. 76. Setzen wir im dritten Salle cos.2 = o, fo erhalten wi

(A+-Bx)dı
SE — — b?x? 1 = arc.1g. = + C,

und hieraus erhalten wir insbefondere
Adxı. A bx
755 = arc. tg. T 4 C und

Bidxz . B,ıı ———
— ———

Beyfpyiel = .
$. 77. Die Differenzialformel — zu integr
zen, wenn ber Erponent m—ı Fleiner ift als .n.

Im letzten Kapitel der Institut. Calcali Differential. haben w

zum: 535 mm
‚gefunden, daß bie einfachen Brühe, in welche ſich der Bruch) -

zerlegen laͤßt, wenn * als dad. Map ziveyer rechten: Winkel: ongefsgen
wird, ‚enthalten feyen in folgender allgemeinen Formel:

. k— . k— k—ı)7 —
ein. OR. TORE, 0, Makzı)z (x—con (ak o)
. nn _ . 2 . . n . j n

la ar, Hk 42)

wo für k nach und nach alle ganzen Zaßten 1, 2, 3, ic. gefegt wer⸗
‚ven kaͤnnen, bis sk — i größer als m wird, ‚Multiplicieen wir Diefen
Ausdruck mit, dx, und ‚vergleichen wir ihn. mie unſerer ——
Formel & — — * 7 ſo wird 2er 1/ beri, 2 (2 Zu

und... k , Zr I . ao: —— =
NH en Rs 2* sin. ma DE Fo co —Fs Dr

N . -
2 n \

eher ke = - —— und Bas — cos. ——

daher wird
AbBb- Ba —ä——
und das Integrale dieſes ea wird feyn ee
— -.00 s. e—rıy( — AX CO PR 22

(ak — ı)r

n

Ionm. ae
gu ri —* W,
n Rn .

x e,
+ 2 sin mE a n |
n ‘ n & @k—ı)a
* ‚x — x 008 —— —

Bezachnet n eine ; ungerade Sat , fo koͤmmt noch der Bruch
—— Hinzu j deſſen Integrale # * 7 216 4 x) iſt, wo das obere

— n(1+%) x)
oder untere Zeichen gilt, je nachdem m ungerade oder gerade iſt. Das

gefuchte Integrale f Tr < = Iäßt fi) demnach auf folgende Weife
darftellen : | Ä | |

— — 800, — X — 9X os. 42 += _ sin; tate. m
1-=xXcC08. =

— 000 „az Iy(i—ax 004, = 2) Li = in. arosg. -—

Te
F 1-—X eos. ger

ar

um 70 mem

2 bme bmx zen.
— BEI 94} sin. — art.tg.- |

1 — x co8. ="

a x sin. *
— cos. mE ygı- 1-22 c08. =+2) Tr; „sinn are. tg. —

.

1X COß —
a %7. zur

| weder Auedruc ich den ungeraden Zahlen die kleiner als 'n' a: fi
fortfäjreitet. Auf diefe! Weiſe wird des ganze Integrale erhaͤlten / wrm
a eine gerade Ba AfL; iſt nbera &ine-umgerade Zahl, fo Femmt.ncd

der Theil F - - 1G +%) hinzu, je nachdem. m ungerade oder gerade ift.
Wäre alfo m=ı,, ‚fo mipte noch der Bei, - 1049 ige Werden

3 u fa b 1. Me Su
$. 78. Sepen wir m= ı, um den Auen zuw'eehalten,

fo wird für die verſchiedenen Werthe von SEE Ze
dx oo.

III. —— 2.608, = AX cos. 5 "+ 9—

ee:
2 04 ; sin. z arc.tg. —+ * 1649

1X COS —
fe

3
— IVO —areon +) + Ban Zara I

,„ Im
| an Zn j u Zr xaın 7
—-ecos. — lyY(ı—ax rien. Tereg- nos Ir

— 57 uuizuuee
dx

V. — == I

’ \ ® u3

x j « x x Ssın. 5
—;cob. ; LV(1ı—ax cos. zt*) +; sin. ʒ ore.ig .
1— X C0S. —
5

— ” .

x sın, 5

— eos. ae 2202220 Tarc.ig. —

+; IGı+x)
VI.

7

x sin, —

—3 008. z IV(ı—2x cos. + x?) + 3 sin. = arc. tg ———
5 1—K&C08. —

6
Br
a IR Ir . Im. er
— — 7 C0®%. 6 l Vlı—ax cos. 6 + x?) 4 7 sın. F arc.tęg. 34
X cos, —
6
bx

x sın. F

2 51 irn 2 01 ÖR —
— eos. I VY(ı—axco. >+2”)+3 sin. z arc.tg. Br

1X C0$. ——

6

Zuſatz 2%

$. 79. Segen wir, wo es die Bequemlichfeit geftattet, ſtatt der

Sinuffe und Eofinuffe ihre Werthe, fo erhalten F

ax
RTV rn are y, 1 (1-}x) oder
dx . ı +x
ent
sin men ——
4 ii v7 7

is ER, VA .xya
re = iv! i—xy3-x? +5; are: '8- 112’

dann aber

ı-x°

dx VGEZTZEG Isa
= 25} I_ıV3Le 5 arc.1g. : tt

— 590 mm
Beyfpiel 3.
‘6. 80, Die Differenzialformel -
gen, wenn der Erponent m—ı Feiner iſt als n.
Jeder Theil des gebrochenen Ausdrudes -

Zr ad welchem Fae⸗

x . ⸗
— zu integri⸗

tor des Nenners er auch entſtanden ſeyn mag, te enthalten in der Sorm |

amkr amkx 217
— 608 — — x — COB, Er

n (1 — *).

A+Bı
welcher aucdrug, mit unſerer Formel —

k .
glihen,a=ı, b=ı, = — gibt, alfo

{) akrx \
2 sin. — sın.

Vers

a. kr. amkrx 2 akr amkr
A == - sin. — sin.
n n n

4 z 608. —— 608.

=, und daher

,

2 „mk
B= — = C0S, —
'n ' n

| . akn . k
Ab 4 Baco.2=- sin. — sin IE.
n Yı

. .
n

Das hieraus entfpringende Integrale wird feyn
2 akmr akr
— - son. — IV: - 2X cos. — 4 x )

+ : sin. akmr

wo für k nach und nach alle ganzen Zahlen 0,1, 2,3 ıc. gefegt werben
miüffen, fo lange 2k die Zahl n nicht übertrifft; aber für k=o wird.

ein Theil des Integrald = — - 1 (1 —x): und wenn n eine gerade

Zahl ift, erhält man für aks=n "den legten Theil des Integrals, welcher
— cos. mx IV + ax —— zo mr Ic +%)

Bezeichnet alfo m eine gerade Zahl, ſo wird cos. mx — 1, if

aber m ungerade, fo wird cos.mr=—ı. Das Integrale f: —%
laͤßt fich demnach auf folgende Weife darſtellen: GE

— 50 m .

— -1(1—3)

ar
1 — Xx cos 7

—————

— 2.008. 7 (1—2x cos. „ sin. —arcıtg. IR
' 1—X.008.

Gmr Gmr x sin. —

— 008, — 1 Y(a—ax cos. a te Hzein. TFare tg. 7

Ii-—X 608. —
n

ꝛc.

3ufaß.

F. 81. Segen wir für m=ı nad) und nach ſtatt n die Zahlen
1, 2, 8, 4.. fo erhalten wir nachſtehende Integrale:

— = — 6—) 4I164 =: zi6 )

—ö— 2z-+-x?)
Ä

x sin, TR

+: sin.?2x arc.tg, ————
1 — ⁊ cos. 3*x

| fe == —:1(1—x) — }cos. srl Var cos. rt)

3 sin. Ir

. 2zarc.t
risag 5 —xcos.:n

—XR
dx

V. —— = ——— IVCi-æx cos. xx)
x sin.2x
3 sin.z X art, tg. —t
- 1 —xX c08.5%

—; cos. tzlyY(ı — 2x cos.;rx + x?)
x sin.dx

IL 2 sin.tx arc.ıe. —————
ri 1 & 1—X cos. x

Ar 0 π .

— HG) — 2000.42] Y(ı—ax cos. str);
x sin. z*

Bi ‚fix +3 sin.gx arc.tg. x goes
[Ea= + 31142) — cos. telVYlGı—axcos. xt)

x sin. ı x

| 23 4
— ın 77 aro. to, ee. -
ss 2 I—xcos.ir

Beyfpiel 4
_ (sm—ı + xm—m—ı)dı
9. 82. Die Differenzialformel en

integriren, wenn n>m-— ı, J

Aus dem zweyten Beyſpiele erhellt, daß, wenn i was immer f
eine ungerade Zahl, die nicht größer als n ift, bezeichnet, jeder Theil
des Integrals im Allgemeinen in ne Sormel enthalten fey:

⁊
zu

—3 cos. ya — ax cos. — + 2).

fi
.

AR.
x.sin. — J

arc. tg. —
— -1—X cos..
an

2

J J— ar
ru . sin, m

“ 3 —m)x
— - cos. (m I mE ya nano li} 2) -_ J
0,04
. x sın. —
un 3 „ I(ia—m)r .
Fa — 4. sin. Ia_m)r are. tg. ——,
nn - n IK
1ı—zco.— |
n |
Nun ift aber |
i(n—m ıimx im x
cos IE u: 008, (+ — =#) ne cos — und
n n 2
ila—m)rx „ir L: i m x imr
sin. sin. (ix — —) = + sin. —,

Daher werden fich die Togarithmifchen Theile aufheben, und dieſer Theil
des Integrals wird im Allgemeinen ſeyn
| ‚ ıIe
‚ An, imx x sın. z
| + = sin. — ar. tg. ————— »
' on 1 — x coS. —
n
Sept man, der Bequemlichkeit wegen, den Winkel - = o,

fo wird

— | u 4
[ —— — sin. m w arc.tg. — sin. w
ı + xa n ‚I—XxCO0S.@

4 2. x sin.3o
- sin. 3m o arc.tg. ——
n 1— 1005. do

x sin.5o

a

n 1-1 cos. 50

x sin. io

+++

* sin. imo arc.tg. ——— ,
n 1—X CO0S.1@
‚ für i die größte ungerade Zahl gefegt werden muß, die den Erpo-
nten n nicht überfteigt. Ift n felbft eine ungerade Zahl, fo verſchwin⸗
: der für 1 = n entflandene Xheil des Integrals, weil sin.mxr = 0
Hier wird alfo das Integrale bloß durch Winfel ausgedrüdt.
3ufapß. ww
F. 83. Auf ähnliche Art findet man das folgende Integrale, wo

ıter Logarithmen zurücbleiben, wenn man wieder = eo feßt:

dam ——
— * — — cos. mo IV(1 -2x cos.0-+-x?)

— cos. 3mo IV(i -ax c0s.3w-L-x?)

. E cos.5ma1ly(ı—ax c0s.504-x?)
— cos. imo IV(1 -2x cos. io-L-x2),
lange nämlich die ungerade Zahl i den Exponenten n nicht überfteigt.

Beyſpiels.
6.84. Die Differenzialformer TTS zu
tegriren, wennn>m-— ı. |
Nach dem Beyſpiele 3 ift, wenn wir der Kürze wegen = (9)
en, jeder Theil des Integrals enthalten in der Form
2
z 608. 2kmo IY(a — axcos. 2kw-+ x)

x sin, 3ko

3.
+2 sin. akmo arc. tg. 0
n mx cos. 2K

cos. 2 (n — m)oly(ı — 2x cos. 2ko + x?)

B1

x sin. ako

2 .
— 7 sin, sk(n—m)w arc. ig. TT.

-

\ (xm—ı — ın—m—ı) dx 4 . x sih. 30

y grale, wobey wieder = == 0 ift:

— 42 ——
Es iſt aber

cos. 2h (n—m)@ = cos. (2lkr — akmo) = cos. akmw
sin, 2k (n—m) » = sin, (2krx — 2kmo) = — sin. 2kmo,

daher geht jener Theil des Integrale über in

4 x sin, ak
z sin. 2kmo arc.tg. u folglich erhält m

1-—-X Cos.3%0

1 — x
4 xsin. 460
sin. amo arc,to. ————
+ n 4 1817 cos. 40

4. x sin. 6®
+ „ sin. oma arc.tig. — —7*

‚ indem man nach den geraden Zahlen fo weit fortſchreitet, fo lange fe
den Erponenten n nicht überfteigen.

Zufap. 3:
6. 85. Ganz auf diefelbe Weile findet man auch Finde Inte

ee + ıı—m—ı) ix =—: 1 (i x)

1 — xa
4

— 2 608. amo IvyCcı-ax c0s.20-4-x?)
_t cos. mw] Ycı — 2x 008.40-4-x?)

* cos. GmoIV (1-2x cos.do+-x?) —..
wo wieder die geraden Zahlen die Gränze n nicht überfchreiten dürfen, |

BSeyfpiel ©. j

$. 86. Die Differengialformeldy =
zu integriren.

Die gebrochene Function, die hier durch dx multiplicirt iſt, laßt
ſich nach den Factoren des Nenners auch ſo darſtellen:

1
und kann in folgende einfache mer aufgeht werden:

dx ©
Er +90)

1 1 1 1 ı -x .
Tat: E *ẽ * 5 dx

t
— 43 ———

Aber edit man Bud Integration —

312 —; + - -+1x x+ 77 TUrS x) — 604 x)
— 41a — x) +31 $3°) + Gara.tg. x,
ticher Ausdrud auf folgende Zorm gebracht werden ann:
— 3-+ 2x + 5x? ı x * 14 22 4 |
=C+ — — — ee — —
Anmerkung. |

$ 5. Wir konnten demnach dieſes Kapitel ſo abbandeln, daß
y dieſer Gattung Integrationen nichts mehr zu wünfchen übrig bleibt.

o oft demnach eine ſolche Zunction y von x zu fuchen ift, daß =

ter rationalen Function von x gleich wird, bietet die Integration
ne Schwierigfeit dar, ed müßten denn die Vorfchriften der Algebra
r Auflöfung des Nenners in feine einfachen Factoren nicht ausreichen ;
am aber trifft diefer Mangel die Algebra, und nicht die hier gelehrte
tegrationsmethode. Srſenders aber müſſen wir hier bemerken, daß

Function y, weit © ri - eine rationale Function Bon x bezeichnet, für

3 Hal, daß fie nice algebraifd ift, Feine andern tranfcendenten Groͤ⸗
ı ald Logaritbmen und Winfel enthalten Fönne; übrigens muß man
nerfen, daß hierbey immer die Hyperbolifchen Logarithmen zu verſte⸗
ı feyen, weil, wenn Feine byperbolifchen Logarithmen genommen

rden, das Differenziale von 1x nicht gleich — fegn Fann; allein die

'duction auf gemeine Logarithmen ift fehr leicht, fo daß die Anwen-
ng des Calculs auf practifche Gegenftände nicht die mindeften Schwie-
‚Eeiten darbietet. Wir werden daher auf jene Fälle übergehen, in

. dy . 2. . .
[chen die Formel = eine irrationale Function von x bezeichnet, wos .

y im Voraus bemerft werden muß, daß in allen Sällen, wo jene
metion durch eine ſchickliche Subflitution rational gemacht werden
nn, auf dad gegenwärtige -Rapitel verwiefen werden fol. Wäre z. ®.

ı k vx — ve
ı + *
ſieht man ſogleich, daß, wenn x = 2° geſetzt wird, mithin

== 62° dz ift, | | |

dy — .dx,

’
me / mE
ı + 23 — 74

Im. 6

dy
werde, alfo ie,

a bat + or 6
daher ift dad Integrale
yariz2 +52. +20 — 72 +22 — 624 6 arcııg.s
und durch Subftitution für 2
8 6 J 6 6 6
ya—}ıVx-}5xVıhx—;Vx’+2Vı—bVxH+bare.tg. Vz}

5.

| r a pyit e [ 1
Bon der Integration der irrafionalen Differenzialforineln.

2

- _ ...- - W ir i

Kufgade 0 en
2 88. a8 "Sategrale der Differenginlformet

du | u beſtimmen. er
_ vVarPpe ty. | -

au Fi öfun % |
DivBröße 44 x 4 Far hat enl weder zwey reelle klei,

r nicht.
I. . Sm. erſten Falle it ber gegebene Ausdruck von der Sorm

wu

| j a
SEP EEE EEE m "Met 483), - J alt.
dieſe Formel rational zu machen, ſee man V tet In san
CHI SCHI
\ ſo wird x = * —, und daher |
| —bf)zd — 73— (aghß)e
= zue—bnei: ä— und V(a-+bx) ( + gx) = gang’
aus folgt | 5
_ ads adz m /ELHGS,
3-2,” g— bz2? und 2 = ar bx.-

en demnach die Buchſtaben b und g gleiche Zeichen, ſo laͤßt fich
; Sntegrale durch Cogarithmen, im entgegen geſeblen Falle aber ya
ufel ausbrüden. F

II, Im zweyten Safe uhelten We

dx

43= Vſaꝛ — aabz cos. ?--bisij"

Sedt man nun
a? — aabx nah bir. = (bx—az)t,

wird -
a (1 — 22).
abx eos.2 Fa=—abxz tan und x 55

ee 6 —

ad-(1 — 22 cos. 4 22)
2 b (eos. - und

alı—3z cos.&-- r?)
(008: 5 3)5 —* —

daher dx —

Ve: — —8 ‚cos, 2 + b?x?). =

alfo
:£ -
dy | bes. 3) und =- — (cos. 2 — z). -;
Es iſt aber ent E
bx — vie; — aabx cos. £ + b2x3) 5
er X zum — 7 — — 7 /438 —
folglich 137* re -- j u a
„a ‚utoms be ven Sara "cost bein) oder

'y-. Lal-acona$.hr + Vie m aabxco.2 + ber).

ENSHEEN
„Bsufabı _
$. Zo. Der Topf Sal ift AR CARE / ſunb lußt ia auf

Sormel dy = briugen, Tobald y eine 99
Größe ift; denn wegen * *V⸗ und Ä cos. 2 ==’ Se > hält ih”

„- 7,1 J
ze, +, et vretretra]+ ©

Zufaß 2. "
$. 90. Da für den erſten Fall

ads i ve-t zb adz avb
Ss: * Kr vp—avb un > = — A

ſo whalten wir folgende. Faͤlheeee·· nn

Pi 4
“nt! . . r
a lies IM

J

re N Vet Hbe) + VE Ir
mem” Ve ‚Ve acht Vberkyır
1 Vale) + VowrFe, 40
— — — ————
re” Ybg man _ vie: 6%)
f dx _ | Vebe=a + VIRoB=

Y(bx — a) (ge —f) Te Verb a) u Vbegx 1) (gX — 1) +

dr —21 —Sä + ——
Sr @- 8). Vie Vo@b) Vorzg:t:

— 47 Emm

dx a Vb(+
m gt |

| dx Vb(g—N
Seen"; ee TC
3ufaß 3.

$. 91. Die vier erften diefer ſechs Integralformeln find in dem
im Zufage ı. angeführten Sale enthalten, die beyden legten aber in

der Formel
dx

va+ß— m)’

- denn ed fey für den vorlegten Ausdruck

af — a, ag—bf—=ß, bey, fo wird

aVg@+ Pr: — yr7)
B- 27x

wenn man den doppelten Bogen nimmt. Führt man aber den Coſinus

ein, ſo erhaͤlt man

dy=

j 2

B — 2yx
— Ft C
VB? + 4ay T
- deren Richtigkeit aud der Differenziation erhellet.

1
= — Arc. cos.
7 vg 4

y
Anmt erfung 1.

$. 92. Aus der Auflöfung dieſes Problemes erhellt auch, daß
TC Br Kr nach den Vorfchriften des
vorhergehenden Kapiteld integrirt werden Fönne, wenn X irgend eine
rationale Zunction von x bezeichnet; denn führt man flatt x die Veraͤn⸗
derliche z ein, wodurch die obige Wurzelgröße rational wird, fo geht
auch X in eine rationale Function von z über. Daöfelbe findet in noch
größerer Allgemeinheit Statt, wenn für Ya --ßx -yx: =u die
Größe X irgend eine rationale Function von.x und u wird, denn dann
geht die Differenzialformel vermöge der angewandten Gubftitution in
eine rationale über, indem ſowohl für x als für u rationale Functionen
von z gefept werden. Man fann diefen Sag auch fo fielen, daß man
fagt, das Integrale von Xdx laſſe fich angeben, wenn die Function
X außer Va + x + yx? feine andere irrationale Function enthält,
weil mit Huülfe der Subftitution jener Ausdrud in eine rationale
Differenzialformel verwandelt werden Fann.

die allgemeinere Formel

nn m —— —

em 48 mm
‚Ammerfung 2.
$. 93. Wenn irgend eine irrationale Differengialformel vorgeleit: —
wird, ſo hat man yor Allem darauf zu ſehen, ob man dieſelbe durch
irgend eine Subſtitution in eine rationale transformiren könne; gelingt
dieß, ſo laͤßt ſich die Integration nach den Vorſchriften des vorherge
henden Kapitels bewerkſtelligen, und man ſieht zugleich ein, daß dad
Integrale, wenn es nicht algebraiſch wird, keine andern tranfeenden 3
ten Größen enthalten fönne, ald Logarichmen und Winkel. J
Laͤßt ſich dieſer Zweck durch keine Subſtitution erreichen, ſo ſtehe
man von allen ferneren Bemühungen ab, weil dann das Integrale we⸗
der algebraiſch, noch durch Logarithmen oder Winkel ausgedrückt wer⸗
den kann. Wäre z. B. Xdx eine ſolche Differenzialformel, welche
auf Feine Weiſe rational gemacht werden kann, fa gehört ihr Integrale
SXdx zu einer neuen Gattung tranfcendenter Größen, bey welchen
wir den Werth des SIntegrald durch Mäherung anzugeben verfuchen.
müffen. Führen wir aber eine neue Gattung tranjcendenter Größen |
ein, fo laſſen ſich unzählige andere Formen darauf zurisffüpren und
integriren. Wir müjfen und alfo hier vorzüglich bemühen, für jede
Gattung folder Größen die einfachfte Form aufzuftellen, und nad.
Zeftfegung derfelben fönnen wir dann Die Integrale der Übrigen. or |
meln beftimmen. Wir werden hier auf eine höchit wichtige Srage ge :
Teitet, wie man nämlid) die Integration verwidelterer Formen auf eins |
fachere zuräcführen müſſe. Bevor wie jur Beantwortung. diefer Grage
übergehen, müflen wir gndere Formen diefer Art unterfuchen , welche
mit Hülfe einer ſchicklichen Subftitution rational gemacht werden Fön:
nen, fo wie wir oben ſchon gezeigt haben ‚ daß ſich die Differenzlalfor:
mel, XKdx in eine rationale trandformiren laſſe, fobald X eine rationale
Zunction von x und u== Va +Bx+ yx? bezeichnet, fo daß fie
außer der QAuadratwurzel von a + ßx + yx? feine andere irrationale
Function enthält.
Aufgabe 7. 9
$. 94. Die Differenzialformel Xdx(a-+-bx)’ ratios
nal darzuftellen, wenn Xirgend eine rationalegune
tion von x bezeichnet. U
Auflöſung.
Man ſetze a+ bx = 2’, damit (a + bx)’ — z" werde, fo

-

me 5573

3ufap 8. f
$. 107. Wenn ſich demnach die Formel zu dx(a bar)?

rational darftellen laͤßt, fo ift dieß auch möglich bey der Formel
E48 |
mtan—ıJyx(a -L bx=)’ ‚ welche ganze Zahlen auch « umd
ß immer bezeichnen mögen.
Zur Beflimmung der reducibeln Fälle ift es demnad) hinreichend,

m<n und a <» zu ſetzen.
3uſas 4.
F. 108. Iſt mo, fo läßt ſich die Formel Z (a + bar)’

u’ —a

b

immer nad) dem erſten Galle rational machen, indem man x =
e+Y—1ı .

fegt; denn dadurch wird unfer Ausdrud in — trans⸗
n(u7T — a

formirt.

Anmerfung ı.
$. 109. Weil für m = kn, wobey k wad immer für eine ganze
| —
poſitive oder negative Zahl bezeichnet, der Ausdruck xm—: dx (a--hxe)
immer rational dargeftellt werden fann, und diefe Fälle für fich klar
find, fo wollen wir die übrigen Säle, die diefe Reduction zulaffen,
einer näheren Betrachtung würdigen. Zu diefem Zwede fegen wir
yon, m<n und »<n, wobey jedoch m--u=n feyn muß: da⸗
durch erhalten wir folgende in ihrer Art höchft einfache Formen, welche
fi) rational darftellen lailen.
L dx(a+ bx2)e .
II. dx(a 4 5 xd x(a 4 bxs)r,
IH. dx(a + bx')?; xdx(a-+ —B
Iv. J , α( Bx; wdx(at bui)F;
xꝰ d x (a +bx)t, )
V. dx(a + bz)%; xtdx(a4+ bxsy®,
Demnach laſſen ſich auch folgende Formeln reduciten

e

mn 50 m

at bx = zAF? gefept wird; denn dann wird .

=! I, ae", war, tod, c.—
ud dı = Art Ann dz. .
Benfpiel.
xdx
$, 98. Wenn diegormeldy=- gege:
VIE — Vi +x +x
ben ift, fo findet man für ı -x=z°:
dy=— eur oder :
ve sBereterenen) '
und daher durch Integration J
0 — 32 12 — 2 — — in — 220; I

oder, wenn man ſtatt z wieder den Werth ſetzt:
— 6 6
y=C—:Va+?—3VCo+9)°— ı — x— ;(ı+x)Vır2—
3 1
(1 Fr) Veı+x) — 3(ı +x)Yı +x,
in welchem Falle das Integral fogar algebraifch wird.

Aufgabe ®&.

+

—8
F. 99. Die Differenzialformel Xdx Ri
rational zu mahen, wenn X irgend eine rationale
Function von x bezeichnet.

Gaflsfung

a-+ bx

Für Tr gx = 2’ wird .
p
b , . —_ f 9»
(= = = m ı=- _,
5 ge — b
y—ı /
baher dx — mas de

(g2 — by
fo geht X in eine rationale Zunction von z über. Bezeichnet man diefe
mit Z, fo erhalten wie die Differengialformel

— 51 u
v(bf — ag) 2 zet>—1dz, -

(82° — b)2 |
welche rational ift, und daher nach Kapitel I. integrirt werden kann.

sutap 1.

—

$. 100. Wenn für (= 2) = u Die Größe X irgend eine

rationale Sunction von x und u — ſo wird durch die angenommene
Subſtitution die Differenzialſormel Kdx eine rationale Form erhalten,
deren Integration befannt ift. ,

3ufag 2. ©
F. sor. Wenn X eine rationale Function fowohl von x ald auch

von den Größen
ı 1
a—bı\ _ a-+bx\® arbxı\ __
en) — —— mn (Fr =) —
it, ſo geht die Differenzialformel Xdx durch die Subſtitution
at br |
f + gx
a — fz

gu? _ b

—

— zAP? in eine rationale über, wobey

Ag» Ä
x ; und um 2"; vozl,; tm zie,

Anmerfung 1.

. 102. Man kann demnach in dieſen Fällen die Differenzialfor⸗
meln rational machen, obgleich) fie verfchiedene Radicalen enthalten,
weil diefe durch diefelbe Subftitution alle zugleich rational werden, und
es laͤßt fich die Größe x felbjt durch eine neue Veränderliche z rational
ausdrücden. Wenn aber das vorgelegte Differenziale zwey folche irra«
tionale Formeln enthält, welche durch diefelbe Subftitution nicht zu⸗
gleich rational gemacht werden fönnen, obgleich dieß bey einer jeden
für fi) genommen angeht, fo läßt ſich die Reduction nicht bewerfftel-
ligen, es müßte denn zufällig das Differenziale felbft in zwey Xheile
zerlegt werden Fönnen, deren jeder nur einen einzigen itrationalen Aus⸗
druck enthalt. Wäre z. B. die Differenzialformel

dx
y=
Yııı — Vı— x —

= gegeben ‚ und man

a*

"um 58 —

83uſatz a —
$. 113. Betrachtet man dad Integrale [am dx.(a+ bxr)”
als bekannt, fo Fönnen aud) alle Integrale von der Form B
| Ei |
getn-ıdy (a-+-bx:)?, *
oder allgemeiner die Integrale von der Form
jsmtLen—ıgr (@ + bx»)” beflimmt werden.
: | Aufgaben. | E
J -+ı
$. 114. Das Sntegrale Ss—ıdx(a--bx)” - auf bes]
| £
Integrale se dx(atber)? zurüd gu führen.

Anflöfung P
+ı_
Das Differenziale der Function m (a +-bxze)? 2 Taßt fich auf
die Sorm

| [ma — —— + a + = za-ı ira + bx=)’

B 1

„nn | +
4 ter .„xa-ı dx(a--bx?)’
bringen, und hieraus folgt

hi . EB |
nahe) 3 nn SERIE märz)” |
woraus |
u Bu | Ei ven (a ben”
Jedea+br! = mHraetn

4 — * er 5 je" dx (a + —*
erhalten wird. |

: mem 55 —⸗
wodurch busdu(a- ku’) erhalten wird, dann aber fönnen wir
für n einen pofitiven Werth annehmen; denn hätten wir
Fe u.
zm-ı dx(a- br)’,
won negativ ift, fo würden wir x = = fegen ‚und fo den Ausdruck
— um du(a + burn)”.
erhalten, welcher der allgemeinen Formel aͤhnlich it. Wir werden nun
unterfuchen,, in welchen Sällen folche Ausdrücke rational gemacht wer:
den Fännen.
4 ufgabe 9
g. 104. Die Zälle zu beſtimmen, in welchen die
Differenzialformel x zmıdx(a +bx). rationalgemadt
werden kann.
. Auflöfung.

suerſt iſt klar, daß für v=ı, wo atfo & = eine ganje Zahi ber
| zeichnet, die Sörmel an und für ſich rational je, und alfo feine Sub-

ſtitution erforderlich iſt. Bezeichnet aber einen Bruch, fo müffen wir
zwey Subftitutionen machen, ‘
IL. Man fege a + br = w, damit. (a +-.bx")’ = uf werde

’»_
— et wir xꝛ *

=, alſo

mn

us.

BEN ur a ur “
(ie N ‚, und baher a "du 1 ) ’

n

| nodurch unſere Formel in rn ehr du (>) . übergeht. '
Hieraus: jene denmach/ daß dieſe Form̃el rational ſey⸗ ſobald

de Erponen = = oder = — eine ganze pofitive oder negative Zahl if.
II. Man IR at b x zu xn2’, mithin

zum 5 am

-

| E
nn FR
mem (a+br) =, few:
2.’ |

m ‘ m
— “ “

mol _, a md de, 5
— — 1
(2? —b)” n — — b)” 7
folglich gebt unfere Formel über in

p
—_ an *; „"t’—14,

Erı
»

n(2° — b)"
Diefe Formel wird demnach) rational fen, fobald — _ +> E di:

ganze Zahl if. Ein wenig Überlegung zeigt die Unmöglicheit, ander
Subftitutionen anzugeben, die unferem Zwede entſprechen. Hieraud

ziehen wir den Schluß, daß die irrationale Sormel x®' dx —*
rational dargeſtellt werden koͤnne, wenn entweder — _ ober —2 tr E
eine ganze Baht ift. U
Zufe tz 1. | a |

$. 105. Bezeichnet — — eine ganze Zahl, fo ift der Fall an mb!

fuͤr ſich Teicht; denn man ſeben m — kn md x v, ſo wird |
P
— vk, wodurdy wir den Ausdrud Z dv(a--b ” erhalten, '

weider nach Aufgabe 7. integrirt werden fann.

Zufaß-2
G. 106. Zft aber — — feine ganze Zahl, fo muß — = +£ Seine

ganze Zahl ſeyn, wenn die Rationalität hergeftellt werden for: was
nur möglich ift, wenn vn iſt. Kolglih muß m Po ein Vielfaches
von ar fon.

— 51 m

v(bf — ap) Ziet’—'dz, .
(82° — by |
welhe rational ift, und daher nach Kapitel I, integrirt werden fann.

Zufaß ı.

—

9»
$. 100. Wenn für G + ) = u bie Größe X irgend eine

f+gx
rationale Zunction von x und u wird, fo wird durch die angenommene
Subftitution die Differenzialformel Kdx eine rationale Form erhalten,

deren integration befannt ift. ,

Zuſatz 2.
$. 101. Wenn X eine rationale Function fowohl von x ald aud)
von den Größen

ı 1 1

+ —

BR m ;
(= u, — ) =v, (4 —t
t+82/ . f + 8x f+ 8:

it, fo, gebt die Differenzialformel Xdx durch die Subflitution
a+bx

— zäb? in eine raticnale über, wobey

i+8
1 gb? N
sa — —; m u 2’; va 2.l?; tm ale,
Au» .
gz — b

Anmerfung uw

$. 102. Man kann demnach in diefen Fällen die Differengialfor-
meln ationaf machen, obgleich fie verfchiedene Radicalen enthalten,
weil diefe durch diefelbe Subftitution alle zugleich rational werden, und
ed läßt fich die Größe x felbjt durch eine neue Veränderliche z rational
ausdrüden. Wenn aber das vorgelegte Differenziale zwey ſolche irra—
tionale Formeln enthält, welche durch dieſelbe Subſtitution nicht zu—
gleich rational gemacht werden koͤnnen, obgleich dieß bey einer jeden
für fich genommen angeht, fo läßt fich die Reduction nicht bewerfftels
ligen, es müßte denn zufällig das Differenziale ſelbſt in zwey Xheile
zerlegt werden fönnen, deren jeder nur einen einzigen irrationalen Aus⸗
druck enthält. Wäre z. B. die Differenzialformel

dx
y=

VYı px — Yı-z

gegeben, und man

h *

\ — 52) m

multiplieirt den Zähler und Nenner durch Vı-tx: LYV 1—x%, fo wird

dsYırx dıYı—x?
dy= — 3x? + 2 12

ıbo jeder Theil für ſich rational gemacht und integrirt werden Fann.
Man findet nämlich

y=C— _VISEVItE oo VIER] —zare.1g. —

2X
Jener Ausdruck aber wird am bequemſten rational dargeſtellt,
wenn man beym erſten Theile V ?= px; und bey dem andern

VTA — gx ſetzt; denn wird gleichwohl dadurch
v.

ı
x — md) x —.

Nr: —ı Ä Vı+rg + ge"
fo erhält man dennoch die rationale Differenzialformel
y= —pdp _ q?dgq

3(e—ı) 2c+q)
| Anmerfung 2.
$..103. Über die aligemeinen Sormeln, welche von der Irratio⸗

nalitaͤt befreyt werden konnen, läßt ſich kaum etwas Ausführlicheres
ſagen, nur den Fall werden wir noch anführen, in. welchem die Func⸗

“ tion X. zwey folche Radicalen Va+bx und Vi-+gx entpält; denn
ſeben: wirsa p X (5) te, fo wird

— ft? tVag— bf VTA
x⸗ und bx= — ; V.
gt? —b’ — Ver —b +8 Ver — b

Es enthält demnach die Differenzialformel nur die einzige irrationale

Größe Vgt: — b, welche nach den beym ſechsten Probleme aufge⸗

ſtellten Saͤtzen durch eine neue Subſtitution leicht rational gemacht

werden kann. Bevor wir nun weiter ſchreiten, müſſen wir die Diffe⸗
p

renzialformel x=—ı dx(a--bx")" mit befonderer Aufmerffamteit bes

trachten, welche wegen ihrer Einfachheit in der ganzen Analyſis eine

fehr haufige Anwendung findet, wobey wir zwar annehmen, daß m,

n, » und v ganze Zahlen bezeichnen, weil im’ entgegengefegten Balle

dieſelben leicht darauf zurüdigeführt werden können. Hätten wir 5.8.
p ö

„"3dr (a+bvx)’, ſo müſſen wir x=u® fegen, alfo dx = bu’ du,

> ee 55 —
= p
modurch 6utdu (+ kur)” erhalten wird, dann aber fönnen wir
fürn einen poſitiven Werth annehmen; denn haͤtten wir
xm-ı dx(a-+ bx-)? ‚
wo n negativ ift, fo würden wir x — = fegen ‚ und fo den Ausdrud
' J
— u-a- du(a-+be)..:.
erhalten, welcher der allgemeinen Formel ähnlich ift. Wir werden nun

unterfuchen, in welchen Sällen folche Ausdrürfe rational gemacht wer:
den Fünnen. |

4 ufgabe 9
Se 104. Die Zölle zu beftimmen, in.welden bie
P
Differengialformel x zum dx(a +bx), rational gemacht
werden kann.
Auflöfung

Buerf iſt klar, daß für »Sa, wo atfo & _ . eine ganze Zahl ver
| jeichnet, bie Zörmel an und für fich rational en, und alfo Feine Suh⸗

ſtitution erforderlich iſt. Bezeichnet aber = — - einen Bruch, fo müffen wir

zwey Subſtitutionen machen.
| j J |
. I. Man ſetze a - he mw, damit (a 4.bx")’ == u werde,

- ’ alfo

’__
p edel wir 2 = - —

’ „
mon

. 1 — — u a\. Ya
/ F, und daher x®-1dx = —u du 2 ) ’
wodurch unſere Formeli in — em du ee übergeht. '
Hier aus rfete demmach- daß dieſe Bor rational ſey⸗ ſobald

der Erponent =

= oder = — eine gange pofitive oder negative Zahi ift,
I. Man fee at b x zu xez), mithin

zum 48 mem
Anmerkung 2.

$. 93. Wenn irgend eine irrationale Differenzialformel vorgelegt⸗
wird, ſo hat man yor Allem darauf zu ſehen, ob man dieſelbe durch

irgend eine Subſtitution in eine rationale transformiren könne; gelingt “

dieß, fo läßt fich die Integration nach den Vorfchriften des vorherge
henden Kapitels bewerfftelligen, und man fieht zugleich ein, daß das

Sntegrale, wenn ed nicht algebraifch wird, Eeine andern ‚tranfcendens -

ten Größen enthalten fönne, als Logarithmen und Winkel. .
Läßt fich diefer Zwed durch Feine Subftitution erreichen, fo ficße ®

man von allen ferneren Bemühungen ab, weil dann das Integrale wer «

der algebraifch, noch durch Logarithmen oder Winfel auögedrückt wer:
den kann. Wäre 5.8. Xdx eine folde Differenzinlfognzel, welche
auf Feine Weife rational gemacht werden fann, fo gehört ihr Integrale
SXdAx zu einer neuen Gattung tranfcendenter Größen, bey welchen
wir den Werth des Integrals durch Näherung anzugeben verfuchen

müffen. Bühren wir aber eine neue Gattung tranfcendenter Größen |

ein, fo laſſen ſich unzählige andere Formen darauf zurikffüpren und
integriren. Wir müſſen und alfo hier vorzüglich bemühen, für jede
Gattung folcher Größen die einfachfte Form aufzuftellen, und nad.
Zeftfegung derfelben Eönnen wir dann die ‘Integrale der übrigen, Sors

meln bejtimmen. Wir werden hier auf eine höchft wichtige Frage ges -

leitet, wie man nämlich die Integration verwidelterer Sormen auf ein:

fachere zurüdführen müffe. Bevor wie jur Beantwortung Diefer Frage

übergehen, müſſen wir andere Zormen diefer Art unterfuchen, welche
mit Hülfe einer ſchicklichen Subftitution rational gemacht werden Fön:
nen, fo wie wir oben fchon gezeigt haben ‚ daß ſich die Differenzialfor⸗
mel Xdx in eine rationale transformiren Taffe, fobald X eine rationale
Zunction von x und u=Vya-tßx-+ yx? bezeichnet , fo daß fie
außer der Quadratwurzel von a + x r yx? feine andere irrationale
Function enthaͤlt. —
A m 2
| ufgabe 7 >
$. 94. Die Differenzialformel Xdx(a--bxr)” ratio:
nal darzuftellen, wenn X irgend eine rationalegunc
tion von x bezeichnet. Ä al.
Auflöfung , |
Man ſetze a + bx= 2”, damit (a + bx)’ — z" werde, fe

- — an [©

— — —

-

un 557 ——
Zufap 3 »

$. 107. Wenn ſich demnach die Formel zu dx(a bar)
rational darſtellen laͤßt, fo ift dieß auch möglich bey der Formel
zutan—ı IAx(a 4- bxe)“ , welche ganze Zahlen auch « und
ß immer bezeichnen mögen.
| Zur Beftimmung der reducibeln Fälle ift es demnach binreichend,
m<n und „a <» zu fehen.

3uſas % e
$. 108. Iſt m==o, fo läßt fi die Formel (a br)’

. . . u? — a
immer nach dem erſten Falle rational machen, indem man x" = —

—d |
fegt; denn dadurch wird unfer Ausdrud in —* trans⸗

nu — a
formirt. \

Anmerfung ı.
F. 209. Weil für m = kn, wobey k was immer für eine ganze
| —
poſitive oder negative Zahl bezeichnet, der Auedruck x- dx (a--hxe)
immer rational dargeflellt werden kann, und diefe Fälle für fich Flar
find, fo wollen wir die übrigen Bälle, die diefe Reduction zulaffen,
einer näheren Betrachtung würdigen. Zu diefen Zwede fegen wir
van, m<n und a<n, wobey jedoh m-+-u=n feyn muß: da-
durch erhalten wir folgende in ihrer Art höchft einfache Formen, welche
ſich rational darftellen laſſen.
I. dx(a 4 bx2)» .
II. ds(a-t ve, xdx(a + bx)s,
II. dx(a + bx*)%; xdx(a-t bx°)%.
IV. ic 4 bx°)}; xdx(a+ bz’)%; x2dx(a-t bx5)%;
x’dx @+be). N}
V. dx(a-t — ztdx(a-t bxt)%, u
Demnach laſſen ſich auch folgende Formeln reduciren

7. 56 u .

tar (a br t
„Ede Iyca+ 3 te 4, (a bat
ETF ER E25 „tar y, (a 4 bxvjt
1% ara hæc) EP; tt58 ——
| „+5« (aber) T TB,
„+5 ————
xLbe ya buy ER, aut B: .
Anmerfung on, *
sg 1120. Laßt fid) auch die Formel x" dx(a + bx")” nicht
rational darftellen, fo fann man dennoch immer die Integration "Aller

Ausdrüde von der Form xmira—ı dx(a+ u die:
felbe zurüdführen, fo zwar, daß die Integrale der legten Ausdraide
angegeben werden können, wenn-man das. ‚Integrale des erjten als
bekannt anfieht; da dieſe Reduction in der Analyfi is Ei aüglid
iſt, ſo müſſen wir dieſelbe hier aus einander ſetzen. Ubr gend können

— — ——— * —E

wir ohne Bedenken behaupten, daß es außer jenen Faͤllen, für welde

wir die Möglichkeit der Reduction auf eine rationale Form nachgewie⸗
fen haben, feine andern exiſtiren, welche durch irgend eine Subſtitu⸗
tion von der Irrationalitaͤt befreyt werden können; denn Wäre die For
« dx

die, für x gefeßt, den Ausdruck Ya bx! rational macht. Man

mel gegeben, fo gibt es keine rationale Funetion von 2,

fann zıvar einwenden, daß der Zwed erreicht werden koͤnne, wenn

auch eine irrationale Function von z flatt x gefeßt werde, „wenn nur

im Nenner Va + bx? ein ähnlicher irrationaler Ausdruck vorfommt,
welcher den irrationalen Coefficienten des Zahlers dx aufhebt wie

dieß bey der Formel 2 — durch die Subſiitution x 2 —
bx3 J Vz: —b —b

der Fall ift. Allein, es laͤßt fich auf Feine Weiſe entdedien, wie der
Runftgriff, welcher hier fo gute Dienſte leiſtet, bey dem -obigen’Zalle
Anwendung finde; jedoch will ich nicht behaupten, daß dieß durchaus
unmoͤglich fey.

— 57 um“
Aufgabe:
2 ganz Die Integeation der —

Ya
0

primären) auf die Integration der gormel .

y

—E urag zu füprem.. >

MN N
Auflöfung. Pr
Durch Differenhidtion der Function xo (bx⸗ erhaͤlt man
P

(max--ı dxi- mbarte- dx + en dx) er) ‚
demnach ift BE Ze
p " =
} „ti | y -
xa (a-- ber). ‚== ma [ze<ı dx (a -Hbxr)’ inc
p
+ en dx (a 4
und, hierauß fo folge. ..

p arb Ä — 1 med
ata— any YaRla ma)
fx t dx! te j . m» ren u " 7
ran J
mya m—ı 2
u Term "ax (a+be).
zu f a 5 1. 3: i Dam,
— 112. Aus der obigen Sleichung folgt au
Br
Am n
Jan che) = wer” |
ua tn FE
. — tem ah, ata-ıdz (a 4 bee).
und hieraus erhalten wir, wenn wir m—n n flatt m fchreiben, folgende
Formel: rrd- anne"
X van ,
| Bi E+i
J n ——— ‚(a + bau)’
fx' ar (a+ bx ) = man
\ mr + nyu)b

—
JS"! dx (a fi bar)?

(mon)ya

“mm 58 —

3uſatz a. *
F. 113. Betrachtet man das Integrale a dx.(a + br)”

ale bekannt, fo koͤnnen auch alle Integrale von der Form ’

*ð

| JPTEr—1dx(a tb),

oder allgemeiner die Integrale von der Form

.
J

jsmfraen—ıdr (e + bx>)’ beſtimmt werden.

| ‚Aufgabe 11.

| $. 114. Das Integrale "aufdast
P
Integrale fan-tdx(a-+-bar)? jurüd zu führen. -- Ä

Uuflöfung 5

| Er
Das Differengial der Function (a + br)? laͤßt ſich auf
die Form

p
[m — WE LFELUIE gn—ı dx(a-t be)?
+mtetmD a dx(a + bir)?

9

1

bringen, und hieraus folgt
ehı E
xm (a. bar)? _ Error fse-ıdx(a+be)”
'p
+1
„tert nase)
woraus | |
yım (a 4 bxn)’
my +n(e +»)

j ' ß +1 "
Ss""'dx(a-+-bıxr)’ =
| . | ı P |
ee _ ar Je dx (a + br)”
erhalten wird.

| — (05 —
md fiir die geraden Zahlen:

. 4 3 .
' _ x dx RE or; ,

| — — —
Vı — x

ssdx ı_ 5 4 sd
— x?
Vı — 2 +3; Vi _a’

. x?”dı 1 6 vn
— ıı — _ı'yı— ı — — —
— — 7 tz Vi a

Keil nun |
dx . xdx \
arc. sin.x und — — — Vr — x.,

Yı x. = 1m 12
p erhalten wir folgende Integrale: |

für das erfte Syſtem

ıC.

dx u .

1— ı?

12d x

— —=— -ıyı-n +. arc.sin.x,
-Yı_—ı?

——-—G + s)VIzE + 2 aresiaz, J

a (Her Ver

+2 arc. sin. x,

2dı N 1.7 5 1.5.7 SL 1.3.8.7 x) —
Vs = (Get: Tat ran) VI
4.1357 ar
2.4.6.8 c.sin.x;
und für das zweyte Syſtem

= — Vi — x⸗,

"dx 1, 16 j 1.46 ,„ , 2.46 ——
m —— 45* RR +35, Vi x.

u 60 (me

fo erhalten wir daraus die Keduetionsformel
Bo...

Ei, Bi „pl 211 2
m ze | 5*7 _ vom a + be’ 4
Jz=t dx(a-4;bx y | — 7

er
— fun dx (abe); *

und wenn wir m—n und a +-v kei m a fehen, die umgefefe
pormel

my

m—n—f e 2 vy — xa—n (a xn
Sx dx(a Tb). = — —
Ba j By) b
h - — earth).

'y (m—n)

N lg: diefer Formel wird die. Reduction auf ein Mahl bewerkſtelli
get, während die obigen Sormeln eine ‚doppelte Reduction erfordern
wir haben demnach ſechs allerdings merkwürdige Reductionsformeln er
Dal) air wir hier: hſarimen ſelen wollen: .M

hxny une
“1 tm arte) ——— en

·28.: wer u u . ma
J Terre re ”

.

u

| u Senn dx @ * Ber * — ut"

" (m» +n 56

2 Bee ya er
eu. B J E+

au ln Zwar bm

tz 2 * u

J |

+ 5 + — fan dx(at bass.
: on Da Br Be E
— 246 * I ou, yım{a +. bz)". . !
g .5 b i
j FREE u En 2 Pte äxfa-t+ br)’.

wa

,
) JPIFRESHEERSUIER Je = — Be
— * fan-ı dx bay
a et
| Janımı tie) "ori _ u
Peg
le ner farm dx rein.

| Anmerkung Fa re

$.. 119 Bey dieſen Reductionsformeln. iſt vorerſt zu bemerken,

; der erſte Ausdrud algebraifch angebbar ſey, wenn der Eoefficient
zweyten Integralausdraces verſchwindet. So erhält man bey

„(a + buny® J
—B > bey
—,
m—n( bye n 2
für E =, Jxe—ı-ı ix(apbxn) 9 abe — bey

— M

—
. ur, m n) 2:
für =, pa ix(a-hbxr) a —
| | Fi
_ ah dan?
..npb
Auch müſſen Die Sälle bemeeft werden, in welchen der Coefficient
legten Ausdrucdes unendlich wird, denn dann findet die Reduction
et State, und der erite Ausdrud hat ein eigenes Integrale, wel⸗
3 für ſich entwickelt werden muß; dieß ergibt ſich bey der erſten For⸗

—m

fe e , und der Ausdruck xntn— dx (a- bar) ”

für J Be ar) =

—m

; bey

für m=o, Sem dx(a+ber)”

z—n—ıdz.
pn f

fen Integrale nach dem erften Hauptftüde beſtimmt werden muß.
Derfelbe Fall findet bey der zweyten Reductionsformel für m=n

a
t für tbvron ze oder "= über in —

— (02 —

£

Statt, und der Ausbrud = (a 4 bxr)’ verwandelt ſich fi
| > pt —ı
a+bror oder nm, in 7 -
b y
. n(z —a)

Bey der dritten Formel ereignet fich dieß, wenn Em ——ı gefe
wird, und für a--bxe —x"z" oderx= = I; — geht Seräx(a-tbxr)

— 2 —m—n—ıd %

über in ap ober fü = = wird
unfa-ıdun — —umf um ı um—ı du
ı — bu = armer a— burn’
Bey der sierten Formel ergibt fich dieß für ao, umd der Au
druck * Ib - ift für fich rational,
Bey der fünften Formel erfolgt «8 für „emo.
Bey ber ſecheten Formel aber für man, und der Ausden

dr. m +1 u. V Pen
ILPAFRRING geht für a+-bxr = 2’ in —V

über.

2 —a
Beyfpiel ı..
$. 120. Dad Integrale mt dr
Yı — xt
wenn m pofitive Werthe hat.
Da hir a=ı, b=—ı, n=a2, pa—ı, va, ſo gi

die erſte Reductiondformel
ım +ı dx _— myı 2 ım—ı dı
aa an tan) van
und wir erhalten, je nachdem wir für m gerade oder ungerade Zahl
fegen, für Die ungeraden Bohlen:

— 12dx — 4 — —

zu beſtimmer

Vı—ı,
wdı 1 ı2dx
— — _.xI 1 — 2
via _ 4 Vı—= 5 + Vı-x —“
dr 2 syı Zg | —
x?

— 05 —
und fuͤr die geraden Zahlen:

3
xSdx = jevizerzf, xdx ,
3 Yı — x?

Vı — x
f: xSdx = — :eyı=n44 xS3dx ,
1 — 12 5 VTTT

ı’dxı 1 _ ssdı
— — -xyYı— x?
JE 1 — x? 7 +: Vi a a’

ꝛe.
Weil nun

—FF arc.sin.x und ir 2,‘
— — SR — — — ug — 1 — x N

ä erhalten wir folgende Sintegrale:
fee: das erfte Syſtem

dx
JZ — ı?2

2d
JE —_ = — .ıyı—ı +: arc.sin.x,
1 — xX

— | (2745 2 s)Vi—@ + Z arsinz,
1— x? F

6d .3.5
s’ax = — (+7 a z)yı — x

1 — ı?

‚5 o
| | +2 arc, Sin. X, .
_sdı dx 1.5.7 1.3.5.7
— 5 097 V „—_y?
Via 6 +78 Ale r708° 13768 x) u
+ 1.3.5.7 arc.sin.x;
a... 8

und fiir das zweyte Syſtem

IE
! — — yııy,
V
— u (Gr +3) Yı —ıt,
1 —x
ıSdx = —-(: xt + ut 3) Ve= —ıt,
Vımz 3.5
"dx 1 1. 1.46, | 2:46 — | '
SE

u 64 — /

3ufaß % on en. Du
xskd
$. 121. Wit ‚beiten alfe allgemein fir dad Snigute tie,
. X . R 3 5. k ) Y 1
. 32K—1
wenn wir der wir wegen SI mv == K fg, fole

genden Ausdruck:

sudı 2.1 %4 Br
sn —Karo. civ: x R x4345 *æ55 +.

2. A»6...(2k— 2) ık-ı P
(tn aAn)e J
| \

nn

oT. ” : Bufeap. 2. J I,
sg 122. Auf diefelbe Weife wn man für JE Su wenn
VI Ta...
der Kürge wegen Ks ==L beſeht wird, folgende
Gleichung:

sıktıdı

VYı—ıx?

=L-L|: Hier +ior +- er
et zer “= “

damit das Integrale für x=o0 verſchwinde
nn "Beyfpieln
| 3
$. 123. Das Integrate | SU zu alvie-in

1— x?

wenn m negative Zahlen bedeutet.
Hier bedienen wit und der zweyten Reductiondformel, mit date
derer wir finden

ım-3.dı — sm TA 43 m—ı xım—ı xm-ıdr
Vı x | n2 Via

woraus wir für m=ı
dx vr 1—ı?

—— DE. en

erhalten. Gür m=2 geht —

— über in ZI
— 2 — 2?
1 - x = 22 geſetzt wird, deſſen Integrale —

"Li tz _ VE ı4HVıza .

a i-2 1 VYı x

iſt; daher erhalten wir eine doppelte Reihe von Integrationen, nämlich

J — *—

dx — ——7———— ——
Js Vı—x® . ’ v.
Ss: — L:
yı—ı2 '3x2 —
N. dx L _—_y2
EL ViIE, 2 (oe,
ss Yı x? J ur Tun ——
dx _ —Vı—zi dx
Vi — „vie
ꝛe.;
dx _ Via
2Vı_ nm x !
dx. _ -Vı—# + 2 ‚dx
uyıma — 3 x⸗ 3 eyiım
dx u = ıVıZE 4 dx |
Va — * 5x5 zayı — 2
" 1 Fe

Behalten wir alfo die Bezeichnung wie in den beyden vorigen
ſaͤtzen bey, ſo erhalten wir

> dx Vox | \
— IR x — — —*
“ (k — 2) —

J BEN *,
2 ——— 13

— — +: etist

1.3..,(2k —ı)
J 2 mar] Vızat

Anmerfung 1. 4
$. 124. Nun if es nicht ſchwer, das Integrale Jar: dx(ı _.2)?
Mag; Werthe von m, und für alle ungeraden Werthe von anzu⸗

Unſere allgemeinen Reducrionsformeln, für biefen Zweit ein:

* ; find folgende: u „ |

nd ey ae ıdxlı
x f dx(1-—x?) — | m+p-+2 ee 0 22)?
\ Bi, \ . p

Pe xm-3 (1—ı? 3 - m
fxn-3 dx(1—x?)? = — — 4 te Jr! da)"

fuler's Integralrechnung. L Bd. 5

\

jeichnet.

— 70 —

Kapitel L
Bon ber Integration der Differenzialformeln mittelft unend
Reiben.

\

Aufgabe 12.

$. 126. ‚Des Sntegrale der Differenzialforme
dy = Xdx durch eine unendlidhe. Reihe darzufteklek
wenn X eine rationale gebrodhene Function bon x

Auflöfung
Weil X eine rationale gebrochene Bunction ift, fo läßt nd
Werth immer fo daritellen, daß
X = Axm 4 Bet 4 Cxatm + Dırtion | Errtet
werde, woben die Coefficienten A, B, C ꝛc. eine recurrente
bilden, welche aus dem Nenner des Bruches zu beflimmen ift.
multiplicire demnach die einzelnen Glieder durch dx, und integrire
Producte, wodurd dad Integral y durch folgende unendliche Reihl
dDargeftellt erhalten wird:
gt Bern Erbe Om
woben dad Glied Mix erfcheinen wird, wenn in der Reihe für X ein

Glied von der Korm * vorfömmt. s 4

Anmerkung.

ſ. 127. Weil das Integrale /Xd x, wenn es nicht alhelraſ
angebbar iſt, durch Logarithmen und Winkel dargeſtellt werden kann
ſo laſſen ſich die Werthe der Logarithmen und Winkel durch unendlich
Reihen ausdrücken. Mehrere ſolche Reihen find ſchon in' der Eintel
tung zur höheren Analyfid gelehrt worden; allein nicht nur diefe, fi
dern auch unzählige andere können hier durch Integration abgel
werden. Wir wellen und damit begnügen, dieß durch Benfpiele zu ei
läutern, wobey wir vorzüglich folche Formeln entwiceln wollen, derd
Nenner zweptheilig ift; dann aber werden wir auch einige folche ZEE

—— —

zu 67 —

Pd
erhält man, wenn f ar =y gelegt wird:

RB _ Pdx +QdR — nRdQ
‚ta fsteinzane
Mun beftimme man Ri fo, dag Pdx + QdR— nRdQ durd

N theilbar werde, oder weil QAR ſchon den Factor Q enthält, daß
Pdx— nRAdQ = QTdx werde, fo erhält man

dR Tdx
+ *

Pdx AR = Tdx’
met |
Die Sunction RA läßt fich immer fo herimmen, daß Pdx— nRdQ

den Factor Q enthält; Täßt fih dieß gleichwohl im Allgemeinen nicht
zeigen, fo wird man in beftimmten Fällen durch einen leichten Werfuch
gleich einfehen, daß jene Beſtimmung immer gelingt. Ich nehme hier
P und Q ald ganze Zunctionen an, mithin wird fi) auch A als eine
folhe Function darftellen laſſen. Wäre zufällig AR+- Tdx= o, fo
ift das Integrale der vorgelegten Formel algebtaifch, welches auf dem
angezeigten Wege gefunden wird. Im entgegengefesten Falle aber
läßt fich unfere Formel auf andere Brüche zurüdführen, bey welchen
der Erponent des Nenners immer um eine Einheit abnimmt. Wären

oder

eine ganze Zahl, fo fömmt man am Ende auf einen Ausdrud von der

Form * , weldye unftreitig die einfachſte iſt. Da wir in dieſem Ka⸗
pitel kaum einen anderen Kunſtgriff angeben koͤnnen, durch welchen die
Integration der irrationalen Formeln bewerkſtelligt wird, ſo wollen
wir nun die Methode zeigen, dieſe Integrationen durch unendliche Rei⸗
hen auszufuͤhren.

— 79 SEES

Es iſt aber

ZT Ve aadx :. ap.
Fr et (zen

fo dag wir diefe Formeln nicht mehr durch Reihen zu integriren br
Beyfpier >

G. 131. Die Differengialformel —8

Reihe zu integriren. Bu

Efydy—= an —, fo wird fie, weil mer Et

dieſer Winfel durch eine unendliche Reihe ansdruͤcken laſſen. Weil

ner: burg. ei

6

ap Tai Tsterere |
fo erhält man durch Integration . 2... 3 — FJ
x x x’ x5 x? u

y are. tg. — ꝛe
Beyfpiel 3. el
$. 132. Die Integrale der ſormeln rt und F

durch Reihen darzuſtellen.

Weil — en

— 13

dx 0
“ SE ‘+; + . ü u

xdx
fs ie tie at han
1

Allein nad) $. 77 erhalten wir mit, Huͤlfe der Logarithmen und Win

dx ö 9? .
pl) — ο. zV r ann gt
sin. z-

: sin, @ are, t
+3 3 18. rn’

dx

2 .7
—- -5c0. 3 | rm
xsin. 3

Pe \ |
j; sın. Ey arc, ig.

17 x cos 5

)
jeht X in eine rationale Bunction von u über, welche U gefegt,
ms wie früher dy—= + Uu” du (u? + ı1);gibt.

J ‚Beyfpiel
Bir voran Formel ſey
— fax-byı +]. N dx,

wird, indem man x = —— ſetzt:
y= au Tu) Tour u—ı) * E >]: gm du (m? + ı) . oder

dy == tw3du a ) + b(u > 2W+ ı)],
und deſſen Zutegrale iſt J
— a-+b n+s _ a ba ns
BT 177 Ba TE ar 1 Fer a “ Con.
welches immer algebraifch #, wenn nicht etwa n — 2, ne — 2
oder n =o0 ie |

\

seichnet.

— 70 Emm

Kapitel IM
Don der Integration der Differenzialformeln mittelft unendlich
Reihen.

\

Aufgabe 12.

$. 126. Das Integrale der Differengialformel.
dy = Xdx durch eine unendliche. Reihe darzuftetlen,”
wenn X eine rationale gebrochene Bunction dbonx bes. '

Auflöfung
Weil X eine rationale gebrochene Bunction ift, fo läßt PN er

Werth immer fo daritellen, daß | |
X Axn 4 Buate 4 Cxotm 4 Dirtiaı Enter
werde, wobey die Coefficienten A, B, C ꝛc. eine recurrente Reihe
bilden, welche aus dem Nenner des Bruches zu beflimmen if. Man
multiplicire demnach die einzelnen Glieder durch dx, und integrire die
Producte, wodurd das Integral y durch folgende unendliche Reihe :
dargeftellt erhalten wird:

+ + 4 Comet, |
wobey das Glied Mlx erfcheinen wird, wenn in der Neihe für X ein 4

Glied von der Form = vorfönmt. i | |
- |
Anmerkung.
$. 127. Weil das Integrale /Xdx, wenn ed nicht algebraiſch
angebbar iſt, durch Logarithmen und Winkel dargeſtellt werden kann, |
fo laffen fich die Werthe der Logarithmen und Winfel durch unendliche -
Reihen ausdrüden. Mehrere ſolche Reihen find ſchon in' der Einlei⸗
tung zur höheren Analyſis gelehrt worden; allein nicht nur dieſe, ſon⸗
dern auch unzählige andere Fönnen hier durch Integration abgeleitet .
werden. Wir wollen und damit begnügen, dieß durch Beyfpiele zu ers !
läutern, wobey wir vorzüglich folche Formeln entwideln wollen, deren
Menner zweptbeilig ift; dann aber werden wir auch einige folche Fälle

— 7] —

rachten, bey welchen der Nenner drey⸗ oder mehrgliedrig iſt. Vor⸗
lich wollen wir ſolche Beyſpiele auswaͤhlen, ‚bey welchen der Brud)
einen anderen mit einem zweptheiligen Nenner verwandelt werden

n.
Beyfpiel ı.

F. 128. Die Differengialformel Vize einer
:ihe zu integriren.
Es ſey rl ‚ fo if y=l(a+4-x) + Const.; alſo,

un man das Integrale fo beſtimmt, daß es für x—=o verſchwindet:
= l(a-+x) — la Weil nun

1 1 x x? xð x4
— Gen 2 ——) (eis wm Gi — un GEIEBEED Ic J

erhaͤlt man, wenn das Integrale nach demſelben Geſetze beſtimmt
d:

x x? 1x3 x4
‚S,,=757 ut

) hieraus folgern wir die bereitd bekannte Formel
164 43 .4+5— Ca

3 u f a tz PR *
F. 129. Nehmen wir x negativ, fo daß d - Zee, fo erhält,

n auf diefelbe Weife
x x? x⸗ x‘

la-)=la-. - = 75877: 17)

durch Verbindung beyder Sormeln

x? x4 6

Weg green und
at-x 2x3 axs
I: retrmriet“
Zufap 2,

$. 130. Diefe beyden legten Reihen werden auch erhalten durch
legration der Formeln
—2 2x4d —axdı

al = — axdı (= +- * +53 = + e. ) und

2a d x

= ade (i +48 + %.).

mung
a2 — X

— 792 m

Es iſt aber nn 3

—21x42 oo STaadı ',auri
a? — ı? oo : at. 17 . Abe:

ſo daß wir diefe Formeln nicht mehr durch eigen zu integriren braudyen

Beypfpier 2.

$. 13. Die Differengialformel —
Reibe zu integriren.

u -

SER _ dur eins

Es ſey dy * —* — ſo wird Bf, weil year, A An
Diefer Winkel durch eine unendliche Reihe ansdrücken laſſen. Weil naͤmlic

A 1 x? 16
Te 2
fo eihält man Durch Integration - .- 2 auinn isn. dh.
. x x x’ XS
—ñ— 0 — — — — IC.
yz ar 8. ; Sn 2. 7 +52 Fe 78, *
Ben pie 3. BETERTIENERR
xd

$. 132. Die Integrale: —— ge nd *
durch Heiden darzuitellen. F

Weil re = ı ef

’ ’d gi —8 — * —
— oo 7 re 2y7' — — et gro — ꝛe. un
f: +2 x + +5 22*

xdx ö | J
* * 8 —. 2* +5 sn — mE + Ber = 16
Allein nad) $. 77 erhalten wir mit Huülfe der Logarithmen md. Wiul

d — ⸗
—— IC x) — 7 608, 3, - kr ZX 608, Zuse

. Tr 2.
sın, 3 arc. tg. —,

r3

D . x
xsın. 3
3

’

- m :
- " 7 sin. 3 arc, tg.

" ‚I1—XxXc0S =
ur: ı

zn 75 ERBE‘

; da aber W
co. —: cos. ——: =”, nt ” |
38 — 7 . > —— 7 sin. 3 —ß 7 ® 3 zı
:erhält man RE | —
dx , ıv3
5” *1 Gy: lIVı— + 45 are. is Fr x
xdx

fer lat) Filv steh arc. tg. · ⸗&

wenn die Integrale und Reihen fo beſtimmt werden, daß fe iR xp
veichwinden.

Ice

Bufagp 1i.
133, I man dieſe Reihen, ſo erhaͤlt man
= a — ax — 8 ++ 2x1 + zx®
— xio — x +.
Durch Qubtraction ber lehtern Reihe von der erſtern aber foderm man
. tx — 125 Li,
| I TE sx + I x?

— x: — DE I raerz
welche‘ Beige ud den Werth von
x (1 + x)? 1 +2) 4
peter Bas 1 — + =. ‚enthält,

N

3 u ab 2.

. 184. Weil = = Fat fo findet man anf
demfelben Wege |

HG+R)= ir Ze hie nm.

Verbindet man diefe Reihe mit denen des vorigen Zufage®, r er»
feinen. im Refultate alle Potenzen von x. .

1

Beyfpiel 4

d .
(. 1385. Das Integrale = (BE Durch eine
Reihe: darzuſtellen. |

Weil I —-z, >= — x - x? — xi2 L 21° — 2c., fo wird

jextie — Ix 117-2 Lt Zt Zr hc

— //) ——

Setzt man aber in. 82 m=ı, n=4 und = 7 =w, fo at cher
diefes Integral die Form

y=sin.o.arang. FR ° 4 in do .aro.ig, SR,
weil man «7 = 0 = 45°, fo ifl | ,
sinus 1 a 3 1 d j 30 —
u ya’ eos. 7T sn. s 7 un COS, Va’ \
| a 2
wir erhalten demnach “ :
1 x va
y= are. tg. 7, +7 z are1g. · = —z BTC. 1. |

Benfpiel.s.
(. 136. Das Integraley - fe un Durch. eine.
Reihe datzuſtellen. u
Es iſt * = 1 tee mon, Demnach
y—=x + gr — ir — rt! 2 x - Zr — 26.

Sept man aber in .83 m 1, 06 und um =dor, fo iſt

x sin.o ” 2 sin, 3o arc. tg. x sin. Ze⸗
1—xcos.w ! 1—X cos, 30

‚xsin.do _
ı—x cos. 5m’

y m * sin. “ art. ig.

-+ 2 sin. 5o arc.tg.
4 “ 1 J v3 o.
oder, weil sin.o == :,. cos. co = * sin. dw 1, 008.300;

sin. 50 = -, cos. duo =—2:

y= ;arc. 18. - * —3 — 5 —3 are. tg. x 4 3 arc. tg. PER oder

Ixcı 2)...

— 3 x 2 — 2 2.
J — 7 arc, 1 — + 7 arc.tg.x = 7; arc.tg. 14m

$. 137. an = fe u DPA then
fo wird für u:

2m,

3 Er

= ;arıtg. um ’ arc. tg. x°,

= em 175
Wir erhalten ſonach folgende gemifchte Reihe

a 3 L n T 7 n 8
+ 7x” I 2a Ze Zell 1 uk 7 Bold a 5 5 re

ö “ 3x(1— 12)
‚z arc. tang. — ra +3 z arc. tang. x°.
3ufaß 2
$. 138. Sept man n = — ı, und reducirt die beyden Winkel
: Bafeinen, fo erhält man
* 3x(1—x?) 3x — AI 455 —- x

arc. tg. — 7 — * arc, tg. x3 =; arc. ——

welcher Bruch, duch 1 —x? +-x* abgekürzt, den Ausdrud SIE —

gibt, welcher die Tangente des dreyfachen Winkels, deſſen Sangente

=x ift, bezeichnet, fo daß

3x —
— 2

iſt, was die oben gefundene Reihe ebenfalld andeutet.

z arc. tg. - —E arc. tg. x

|
I | Beyfpiel ®.

$..139 Die Formel dy = mittelſt
einer Reihe zu integriren.

|
| ee fo wird
}

xın—m xsaym . xön—ın

xın tm
=; m „+2 — n--m 3a—m + an--m + m
Diefe Reihe bezeichnet demnach ein Aggregat mehrerer Kreisbo⸗

gen, wie aus G. 8a erfichtlich ift.

Zufasp.
$. 140. Wenn ‚die Formel dz =
griren ift, fo findet man wegen
a mıtetetete
auf diefelbe Art |

(sm—ı — xı—m—ı) dx zu intes
—ı.

EEE GERNE.

————

—E — 2 arc.sin.u = a arc. sin, x.
Mittelft der Neihe aber wird

jr _ ı u 1.3 us 1.3.5 W

url EHE)
nt OU .x 1.3.2 .0.3.5 x
elta titan he) V

Bepfpiele.

9. 151. Man entwidle das Integrale ber zer
dy = dxVzax— x duch eine Reihe. _
Sept man x=uf, fo wird dy — au: duyaauw; rd

Aber in der Reductionsfotmel I. ($.rıB) n=2;' m=ı), a3
by, pmıumd va, fo erhältiman ET

[eduya—W=—;jußa— uw) +iefäuvaa
Seht man in der. dritten Heduckionsformel'r m=ı, aaa, b=7
n=2,p=—1 und v=a, fo erhält man

4fäu eva rss
Vaa — us
Nun:ift aber. .. .

. =.
u

du arc. sin, — arc. si Vz
——— = — = .$siID. — \
Vaa — u V24 ——

und daher ar ren: j — en . er
feduysa— = — zulßa ur) +: auyza — u 2
200: . +. z at arc. sin. &:
. en . , . —F
TTTT x
527 uf Yan +33 are. ein, 7a
begud ya, (<— 2) v3 ax — x’ 2 arc. Ä
" Um’ aber die unendliche: Reihe zu finden, fie Man -u:..2 224

— dx Yaaz . ( — *

ı 1.1 x? .1.3 x3
md ran 546 ge) Vi

und demnach ift durch Integration u “

- - gr —

ee 067 m

v

Pd .
o erhält man, wenn Sf ar =y geſetzt wird:

pdx + 4R- nRdQ
+5 - ee gar

Nun beftimme man R fo, daß PAux + QAR — nRdQ durch
0 theilbar werde, oder. weil QAR ſchon den Faetor Q enthält, daß
Pdx — ıRdQ= era⸗ werde, ſo erhaͤlt man

dR Td
Y+ a ——

Pdx AR + Tdx’
Qt .Qn parte —

Die Function R laͤßt ſich immer ſo veFemen, daß Pdx— nRdQ
den Factor Q enthält; Täßt fi dieß gleichwohl im Allgemeinen nicht
zeigen, fo wird man in beftimmten Sällen durch einen leichten Verſuch
gleich einfehen, daß jene Beſtimmung immer gelingt. Ich nehme hier
P und Q ald ganze Functionen an, mithin wird ſich auch A als eine
folche Zunction darftellen laſſen. Wäre zufällig AR + Tdx=0o,f
ift das Integrale der vorgelegten Sormel algebraifh, welches.auf dem
angezeigten Wege gefunden wird. Im entgegengefegten alle aber
läßt fi unfere Formel auf andere Brüche zurüdführen, bey welchen
der Erponent des Nenners immer um eine Einheit abnimmt. Wären

oder

eine ganze Zahl, fo kömmt man am Ende anf einen Ausdruck von der

Form — , welche unftreitig die einfachite if. Da wir in diefem Kas

pitel kaum einen anderen Kunftgriff angeben fönnen, durch welchen bie
Sntegration der irrationalen Formeln bewerkitelligt wird, fo wollen

wir nun die Methode zeigen, diefe Integrationen durch unendliche Rei«

ben auszuführen. E

—

Aufgabe ey
Ds Integral der Formel dy= x +vVire)3
anzugeben. Zr

Auflöfung.
Sept man x + Yıtx ou, fo wird
dur)

a3u°

u—ı

e
|
*

⸗⸗

und dx

x

wodurd) unfere Sormel in dy = Zur du (u? u 1), und Deren
Integral in

un+? us—
tu

4Cont.

ya a(2-+1ı) + a(n—.)
"übergeht ‚ ‚welches alſo immer alsebreiſh iſt, die Säle ı n=ı Be.
n=—ı auögenommen, | | V E *
Zufag ı |

Es iſt ciileuchtend, daß auf dieſelbe Weiſe auch die allgäitieinere

Formel dy=(s+ Yı tr’) Xdx integeirt werden fönne, fobald X

u? —
eine rationale Zunction von x bezeichnet, Sept man nämlidy x — 1

’

fo geht X in eine rationale Zunstion von u über, welde wir. durch U

bezeichnen wollen, und es wird nn
Ber FE 1 r IY Ce een
welche Formel entweder felbft rational ift, wenn nämlich n eine ganze
Zahl bezeichnet, oder wenn das nicht der Ball ift, leicht auf eine ratios .
nale Form gebracht werden fan. . ,
Zufaß 2.
Da dem Vorigen zu Folge Vı x? — W
man furz V + x? durch v bezeichnet, auch die Sormel
dy= [x +-Vı x] Xdx

integrirt werden Fönnen, wenn X was immer für eine rationale $uncs

—ı
— ſo

* - , fo wird, wenn

tion der Größen x und v bedeutet. Denn feßt man x = ai

)
geht X in eine rationale Sunction von u über, welche U gefebt,
8 wie früher dy = + :Uur" du (u? + 1) gibt.
‚Beyfpiel
Die vorgelegte Formel ſey
dy=[ax +bvı+ +x].[x +Vıyrxjdx,
hwird, indem man x — — ſeßt:

—e U ‚zw du. (u 4.1). oder

dy = tu u [aa — ) + b(u + 2wWw 4 M,
und deſſen Zutegrale iſt
b b b—
Et te tg + Comet,

weiche immer algebraifch #, wenn nicht etwa n ms, ne — 2
der n = 0 fl. |

y=

x

— 70 mm

Kapitel IM
Don ber Integration der Differenzialformeln mittelft unendlich
Reihen.
No
Aufgabe ın. “ *

F. 126, ‚Des Integrale der Differengialformel® |
dy = Xdx durch eine unendliche. Reihe barzuftellen,”

wenn X eine rationale gebrochene Function bon x be⸗

zeichnet.
Auflöfung

Weil X eine rationale gebrochene Function ift, fo uaßt fih [3
Werth immer fo daritellen, daß
X = Axr 4 Byate I Cxatm 1 Dirt ı Errte to.
werde, woben die Coefficienten A, B, C ꝛc. eine recurrente Reihe
bilden, welche aus dem Nenner des Bruches zu beflimmen if. Man
multiplicire demnach die einzelnen Glieder durch dx, und integrire die
Producte, wodurd das integral y durch folgende unendliche Reihe .
dargeftellt erhalten wird: |

y- — + — 4 — * + ꝛc. + Const.,

wobey dad Glied Mlx erfcheinen wird, wenn in ber Reihe für X ein _

Glied von der Form = vorfönmt. N

Anmerkung.

$. 127. Weil das Integrale /Xdx, wenn es nicht algebraiſch
angebbar iſt, durch Logarithmen und Winkel dargeſtellt werden kann,
ſo laſſen ſich die Werthe der Logarithmen und Winkel durch unendliche
Reihen ausdrücken. Mehrere ſolche Reihen find ſchon in der Einlei⸗ |
tung zur höheren Analyfid gelehrt worden; allein nicht nur diefe, ſon⸗ |
dern auch unzählige andere fönnen hier durch Integration abgeleitet .
werden. Wir wellen uns damit begnügen, dieß durch Beyfpiele zu ers :
läutern, wobey wir vorzuiglich folche Sormeln entwideln wollen, deren
Nenner zweptheilig ift; dann aber werden wir auch einige folche Bälle

— 7) un

rachten , bey welchen der Nenner drey⸗ oder mehrgliedrig ft. Vor⸗
jlich wollen wir folche Beyfpiele auswählen , ‚bey welchen der Bruch
einen anderen mit einem zweptheiligen Nenner verwandelt werden
m.
Beyfpielı.
$. 128. Die Differengialformel 1 mittelft einer

eihe zu integriren.

Es ſey ler fo ift y=l(a-4+x) + Const.; alfo,

na man dad Sintegrale fo beftimmt, daß es für x=o verfchwindet:
= l(a-+x) — la Weil nun

1 1 x x? xð xs

iR 75353 7 *

erhaͤlt man, wenn das Jutegrale nach demſelben Geſetze beſtimmt
rd:

x x? 3

16
18 757 *
d hieraus folgern wir die bereits bekannte Formel

la+)=lh+?—- +45 — int

Zuſatz u '
$. 129. Nehmen wir x negativ, fo daß d y: = , ſo erhaͤlt
n auf dieſelbe Weiſe

x x? x3 xt
Ic y=la a 222 3a3 77 4

durch Verbindung beyder Sormeln

x? x4 6

le—n)ssu- 3-5 - u un und
a-x 2x3 2x5
E22 22 220222
Zufas 2.

F. 130. Diefe beyden Iegten Reihen werden auch erhalten durch
tegration der Formeln

—a3xıdı 1 x? xs
mm mm axdı aratste) und

2a d x

— ⸗ ads (+5 +5 +2.).

—-axdı \ no "aadx ;,afr
— Bm 2— ı?) — 2
rer 1(a 2) la® und rer |

ſo daß wir diefe Formeln nicht mehr durch feihen zu integriren brau

Es ift aber “ . one,

S. 13h. Die Differengialformel

mn 7) —

Bepfpier 2...

Pat -

SR * durde eius

Reibe zu integriren

» .
’

Es ſey y= —* gr ſo wird ft Bf, weil y = arc.1g, 2, eben
Diefer Winfel durch eine unendliche Neiße anedrücken laſſen. Weil naͤmlich

a 1. ı 4 36

amTıTaststeartre -

ſo eihält man Durch Integration = er antun Dan ii.

x x’ x5 x7

x
== arc. tief, - m - — — — — 2e.
7 5, al Dur et

$. 132. Die — der Sprmeln =
durch Reihen darzuſtellen. —

Er Se

1

—

7 5.) fr i e I . Pre ir —A— In.

te it
x — ıxXt 4 2x1 — xt + Ey — m

2. 1

— * N 14 _
= Fe — 1* 4 * — Eu + ar E17)

Allein nad) $. 77 falten wir mit Hülfe der Logarithmen amp. inf

dx

— —
1

Fr

siert an az.
IE = —_ ir) rc Sl

= - 1049 — 3.008 — Vom 008, zw

\ rn x.
5 - - sin. — :

2 . T t 8
4 = sin. 3 arc. tg. ñ⸗,
a en 1—XxX cos.

1— 22008. +1

— 83
>.

3

oo. [1

7 x2cos. ʒ

x sin.

⸗

an
’ # > sin. — arc. tg.

— 75 GER

Da aber W a .5,
x ar ; v3 an v3.
oz ,. ma sin. - =—ı in n. A
erhaͤlt man — re J re ..

dx

= OH VI trag; er
Br Hera — tg. un

wenn die Integrale und Reihen fo beflimmt werden ,. daß. ie für zer
berſchwinden.

one . er { A & i. u
9 133, Pia man biefe Reihen, fo erhält man
held...

Durch Subtraction bet em Reihe von ber erftern aber findet man

fe Zune Te er 2 ————
| De ee 7 2 Eu . .

welche Beide auch den Werthr von BEE |

„j a+N? _,,a+n

3 I enthält.

— Zuſatz 2. |
ge n90 wer A vy/ ſo finder man uf
demfelben Wege | | ur
alca+ı)= 1 4x6 4 — uunp. ro

Verbindet man diefe Reihe mit denen des vorigen Zuſatzes, fo er:
ſcheinen im Mefultate alle Potenzen von x.

N

Bepfpiel %

(1-+-x2)dx .
(. 185. Das Integrale ul kr — durch eine

Reihe datzuſtellen.

Beil 5 5* „mim + x: — x’? u, fo wird

y-x +: ge 5 zu 2x7. +39. 21 31 7x’ +6

ai

— 74 me

Sept man aber in. 82 m=ı, n=A und 7 = uw, fo erhält ie
dieſes Integral die Form

= sin.o.arao.tg. _ @ sin. w + sin. 30 . arc.t x ein. dw”.
y m sn.0 .arc.iE. x cos, @ ‚s0 „ano. DZy cos.30’
[] LK ®
weil nm 7 == 0 = 45°, fo ift | :
.*
. 1 8 . 1 1 e
in.0= eos. mo; sin. Jo = — und com 5 *

va v3
wir erhalten demnach

1 x aus
y= zarc. a tn arc.tg. · — 7 xc. is · a
Se yfpiel.5.

ı Fx)dx

$. 136. Da8Integraley = — durch eine
Reihe darzuſtellen.
Es iſt = tee J— demnach

Setzt on aber in $.82 m=ı, n==6 und —— ſo iſt

- Zin 3 t x Sin. 30
ᷣvin. 90 are.· iß· x cos, 30

. x sin. 5o
a 1 “ ar ‚ct $ — ——3
‚„ sın 5w arc 8 ı—x cos. de”

y = :sin.o arc. 15. —— A

—

® v3 ®
oder, weil sin.» == :,.cos.0 = —; sin. 3o 1, 008.30 == 0;

sin. dw = -, COS, =:

jy=

! x 2 . run e 3* (1 —
y=sar.te —— + : arc:tg.x = } arc.tg. — —
Zuſatz ı
—DDV————

14 x —7
fo wird für zu: |

, du , ı 3
2 =, gu Free v RLare. iin.

— 7 m
Wir erhalten ſonach folgende gemifchte Reihe
43* +32 —:7 5 D— ri tx Zeh Zr.

FIderen Summe gleid)

3x(1— 12) + n

———_ - arc. tang. x°.
1ı— 4x1? + xt 3 rc. tang

3ufag 2
$. 138. Sept man n = — ı, und redueirt die beyden Winkel
feinen, fo erhält man Ä

3x — 2) „, , 3X — 425 -4s— x
are. is. -W. tg. Km zart, er

‚z arc. tang.

welcher Bruch, duch 1 —x? x abgefürzt, den Ausbrud = — —

gibt, welcher die Tangente des dreyfachen Winkels, deſſen Zangem⸗

=x iſt, bezeichnet, fo daß
' 3 —

— 2

ift, was die oben gefundene See ebenfalld andeutet.

5 arc. ig. - os arc. tg. x

/

i | | | Beyfpiel 6.
| .$. 139. Die Bormel ay = THF TI mittelf

einer Reihe zu integriren.
Beil — 1 x — 132 rin — 6, fo wird

ı —ı2
xa—ım sn+m y3a—m ‚xın}tm . xda—ın
Jon + — n--m — am + an--m + Im ”

Diefe Reihe bezeichnet demnach ein Aggregat mehrerer Kreisbo⸗
gen, wie aus $. Ba erſichtlich ift.

Zufasß.
' (sm—ı — xı—m—ı)dx

F. 140. Wenn .die Formel dz =
griren ift, fo findet man wegen

=ı Fe re +

— zu inte⸗

ı

auf diefelbe Art

— 76 —.

xw 20m „tm xın m nan m Ss—ım,:
n—m In nm m 2n—m an-H-m ön—m \

Den Werth.diefer Reihe findet man $. 84 entwidelt.

Beyfpieln. —

$. 141. Die Formel dy = —— mittelſt einer
t* 4 |

Reihe zu integriren. Ä
ESs iſt offenbar dad Integrale „= 106 x; um abe
dieſen: Ausdruck im eine Neihe zu verwandeln, multiplieire man Bähler

und Nenner der gegebenen Differenzialformel- md 1x, fo wid.

dy —. Da nun lu

I * N ZZ “
‘
— za pattern.
fo eilt man durch Integration | Ä DEE re

3x3 9x6 mo a ,
— eg
3ufag 1, |

$. 149. Auf diefelbe Weiſe Lat ſich yaltı Px te fx)
in eine Beine verivandeln. Denn da EINEN, fo wird

4* 4 +7 + +7+7 +r+5 Hat

2

yar+ +7 547 +5 +5 -aetz J

u 3 uſatz 2.
$. 143. Verwandelt man den Bruch
rente Reihe, "jo findet man
ı x — 22 Fi Lt 2oW x - x — 238° + ⁊c.,
und durch Integration findet mon dieſelbe Reihe , wie vorhin.

tr: i ine en
imn eꝛ oo.

Beyfpiel:ß
$. 144. Diegormeldy= — mittelft ei-

ner Reihe zu integriren.

x
seen
1—3xc0s.C-- x

Pd

AT 2

In $. 64 iſt, wenn man A=ı, Bo, ar, bei, etzt,
das Integral dieſer Formel

"fr 1 x vin. J
y„- arc. 18. ————

1—x1c08s.6
Durch die Entwidlung in eine recuirrente Reihe finden wir
— 77 — 1 4 2x cos. 2 + (1008.22 — ) x?
ı 0. +@008.?2-—-4c0s.2)x°-- (16 008.23 — 129085? 2» ı)x?
-+ (32 cos. 2— 32 c0os.?2.+-6ros. 2) xs Pre. line,
Multipliciren wir diefe Reihe mit dx, und integriren fie, fo er⸗
halten wir das gefuchte Refultat. Stellen wir aber die Potenzen von
‚con. 2 durch die Cofinuffe der vielfachen Winfel dar, fo erhalten wir
J= —VJ !122(2cos, e) + :x (2 cos. ‚224 1)
+ zx'f2 cos.32-F 2 005.2) +3 x? (2 c0s.424+ 2 cos: yd.)
4% ;x° (2 cos. 52-42 008.32 + 2c08.2) + : |
Butes: N
or cos.c) dx Ned
.$. 145. Seht man, dz. ⸗— ſo erhaͤlt man

nach $. 3, wenn dafelbft Ası, B=—cos.2, ı=ı und b=ı
gefegt wird:

sin, c

— — —

2 — cos. 21V ı ax —22 + sine ärc. 6. — 2

Euntwickelt mon aber den J— dx in eine Reihe, fo
erhält man, weil

1—rcos.t __ , .
1—23X nit 1 + x cos. — x?cos. 22x 000.32

Eon. net hen Br rt cos.e-t ic.
"Ligr cos; =L Ixs cs. 2e NEU MITE) SEPP eos. Be
+3

* Bufep 2.
g. * Weil dz— dx —ı eos. & 4 e0s.25 + ein 9 ‚ho ift

Lmazcosd he

=— I —2%00,2-.x sin.?e. an:

2 cos. € ve x.cos, Tr rm
dx

1 — 2x cos. 4 x?

dere unendliche Reihe, die eine logarithmiſche Größe enthält. Nämlich

Für „= erhält man demnach eine an-

— 7B - me

m ——
— — 3x 008.24 x?

+ or: (x + !x?2 cos.2 + 3x? co. 22 + ix*co.32-- x)

Aufgabe 13.

$. 147: Das Integrale der irrationalen Diff
[a

renzialformeldy = d (a +-bx:)’ durch eine um.
‚endlihe Reihe darzuftellen. |

Auflöfung

BT IR cr e

p
Es ſey a = co, fo wird dy=cxm-ı dx (+22), mo
bey wir annehmen, daß c eine reelle Größe bezeichne.
Nun ift
( ı + b ey _ ı 4
a 1

+ LEINE zu

. 39, a:

e (e — >») 2) bs. in
alſo! + — 7— —
alſo durch Integration

— * p.b xatn g (e— ») b? xm+sn
y=6 at: ahnt, 29. 19.29.02" m+tın
————— xm +8n
* 32 “m+3n — *

eine ganze —

*

oo...

welche Reihe ind Unendliche fortgeht/ außer, wenn

poſitive Zahl iſt.
Fuͤr den Fall, daß v eine gerade Zahl iſt, und a eine negative |
Größe bezeichnet, muß unfer Ausdrud auf folgende Art dargeſteut

werden:
m. ——ı a
dy= ıdı(br —a)=b x ”. at)"
| Keil nun |

p
_ a. ,.%9 ,_,,___pa ——
( x) = ı En Tr, x

e-9e-ıne ange, |
\

19. 33.3. b3

zum 70) mm

finden. wir durch Integration

n ‚ 25

(tr , „ER
—3 x nn * »x

— „gen bb mw+-e—v)n

— 29n
( Pr. "+" —— ).
Be—na yx | |
yeeon® „a. bz ° U} ı3C. .

my (ep — 3») n
Sind a und b —* Zahlen, ſo kann man beyde Eutwicltungen
‚brauchen. _
Beyſpiel ı.
$. 148. Das Integral der Formel dy = ——

Via — 18
urch eine Reihe darzuſtellen.

Aus dem bereits Gelehrten erhellet, daß y arc. sin.x, wel⸗
er Winkel demnach durch eine unendliche Reihe ausgedrückt werden
ll. Weil |

1.3.5 1.3.5.7

1 1.3 -
— Ba rat

1 — x?

iſt
1.3 xs 135 x 1.3.5.7:0

ı x
rat
beyde Werthe fo beftimmt find, daß fie für x==o verfchwinden.

Zuſas

$. 149. Wenn alfo x=ı, fo it wegen arc. sin. ı =. =
_ 1.3.5 .1.3.8.7
-ır837 tr trete

- Aber für x: findet man, weil arc. sin. 2= 30° = 27,
——1 u dB. 1.3.5 1.3.57
3 * AT— ART tr

Addirt man die zehn erften Glieder diefer Reihe, fo findet man
52359877, und durch Multiplication mit b.alfo «== 314159262,
nur die achte Ziffer unrichtig iſt.

Zufaß =
$; 150. If die Formel dy =
zur, foerhältman

= = gegeben, und man fegt
x .

— 50 ——

dy 2udu — sdw

y= sarcsin.u = 3 arc. sin, x.

Mittelſt der ve aber wird EP
A 1 * 1.3 „“ .3. 2.3.5 u?
ı , 1. 3 2 Er 5 *

..

Sep Ip iel 2.
_ 151. Man entwidle das Integrale der zerna
— ax V purch eine Reihe a

Set man x=u”, fo wird dy—=au® uva; -feßt mar
‘über in der Reductionsfotmel I. ($.'rıB) n=2, m=ı, am 227
bis, und , fo erhalt man
fwduyaa— u = — ;Zu(2a— u?) En fan
Seht man in. ber. dritten Seduchnsformebin en. a=m2a,b=s—1ı,
n=2, a=— ı undv=a, fo erhält man u

le — Auyaa— us. + en Dun:
Va — u —
Nun: ziſt aber MT ER Fa
== arc, sin, _ _ sin VE
— Bo —
und bahn ne ne ne
Jedavaan u: mi. rate ad)r 4; a HERNE —5
J J * ar arc. sin. v
2 ad : uva
. = ja VRR tie are in
— — vx
Mi y == 16-0 Vax—r + ar arc. sin. A
=. 1m aber die.unendliche: Reihe. zu finden, bie man -
dy = dx Vaax ( _:)
ı x a Ps 1.1.3 x⸗
*1x7 a 75 7 38. | we)

. - Fa
et

2. 54 2.4 AR: :
und demnach ift durch Integration

— {(j —
g
22 an 1.1 2x3 .1. J ax
J ı=(;= x" aa am * 2.4:6 9.8. VE
! oder

=(; a x? ni x3> 1.1.3 > Va
y — 3 - 3 . 5.2.2 2.4 . 7.4.02 — 2.4.6 . 9.B.a3 — «.) 2 24Xx.

Zuſatz ı.
$. 152. Dieſes Integrale. fann leichter gefunden werben, wenn
man a — v feßt, denn dann wird dyy=— dv Ya? — vr, und
nach der dritten Reductionsformel iſt

Jivyva—rı=!v Ve? — vr +: a Va demnad)
y=C— :vVa? — v: — ; a: arc. sin, 2 oder

x

y=C-— :(a—x)Vaax— ar arc. sin. —.
a
Damit nun für x==0 auch > werde, muß man C==}a? are. sin, ı
feßen, wodurd)
yza— 2(a — ı)Yaax— x -+ * a? arc. cos, —
erhalten wird. Bekanntlich iſt aber

a

. Vx ö a—x
arc. sin. —— arc. cos.
Vsa . a

3ufaß =
$ 153. Setzen wir x —, ſo wird * — 4 .
Die Reihe aber gibt J
ı BER 1 — 1.1 1.1.3
= * (=: 2.5.23 a ae)
und hieraus folgern wir |
— 2 2.1 Pe Wr —
406 — 2, 2.5.22 q2 a an)
| * der obigen Entwicklung aber iſt
1 1.8 1.3.5
“ * =3(: + 3.3.22 + 2. 4. 5. 20 * 2. 4.6.72 20 * ».).
Durch Verbindung beyder Reſultate laſſen ſich noch andere verſchiedene

Reihen ableiten.
Euler's Integralrechnung. 1. Bd. bh

!

— 82 —
Beyfpiel 3.
' 5 Die Formel dy — dx

. 154. Die F— = —
$. 254 ⸗
Reihe zu integriren.

Das Integrale it — I(x + Vı + x), vwelches fo beftimmt

mittelft eine

ift, daß es für x o verſchwindet. Weil aber

1 1 1.3 5
ge a ts
ſo wird eben dieſes Integrale durch folgende Reihe megedrict:
x3 1.3 x5 1.3.5 x
13*5— 33 +37 5 "7,67 7*
ann 7. Beyfpiel Aa
dı

J. 155. Dad Integrale der Sormel dy —

12 — ı

durch eine Reihe darzuftellen.

- Die Integration gibt y=Ilx-+ ve—ı, x? — ı), welches für x
verfchwindet. Weil nun
1 1.3.5

va” tetetngee te
fo wird diefes Integrale auch ſeyn
2. 2. 12 2.4:.4%% 2.4.6.6x°

Damit diefes Integrale für x=ı verſchwinde, wird die Con:
ftante fo benimmt—/ daß

HEHE)

J | Zufasß.
ur 156. Für x — 1 P u wir

sy vara m (it )

2
— Ali 1,2 213,0 1350 W .)

3 | m | '
au? 1.3 au?® 1.3.5 au® |
Taufe va tg at)

—— 83 gm

1. u 1.3.u° :1.3.5.u8 7
= (1 — 2.3.2 5,” 2. ante )V
Bepnfpiel 5.

$. 157. Das Integralder Formel dy — Ga in
einer Reihe darzuftellen. '
Durd) Integration erhält man

— 1 ı
IFa-y)t- gen

wenn man für x=o auch y==o feßt, oder

(1 — ı)-ırı — 1

y- — Nun iſt aber auch

yär(ı tn + et EZ 34 x.),
daher kann jenes Integrale auch ſo ausgedrückt werden:

nı? . auruz n(n-+ı)(n- >) x?
yam—x + — — —* J - + — —7 * rꝛe

1

(1 — x)n-ı

Hier wird aber canber auch (n—ı)ytı=

XAnmerfung.

6. 158. Da folche Integrationen äußerſt leicht ſind, ſo halte
ich es für überflüſſig, laͤnger dabey zu verweilen, und werde demnach
eine andere weniger bekannte Mefhode, Reihen zu entwickeln, erör⸗
tern, welche in der Analyfis oft von großem Nugen feyn Fann.

Aufgabe 14.

$. 159. Das Integral der Differenzialformel
p
dy = x"-'ıdx(a+ bar)’
nad) einer zweyten Methode in eine Reihe zu verwans
Deln. |
uflöfung.
| E
Man febe „= (a 4 bu)’. z, fo wird

B_, Ä
dy=(@atbr) [de@+pe) + Fowmı zer],
G *

— 84 —

demnach ze dx = da(a-+brr) + —- —* bxa-ı zdx oder
vım-dx—vdz(a+ ber) Lnpbarmı zdx.

| Bevor wir noch die Reihe, durch welche der Werth von z beſtimmt
wird, aufſuchen, mülfen wir bemerken, daß in dem Falle, wenn u:
verſchwindet 1 EB ) . .
dy= . ‚an .dız=a .dz,
fo dag de = - x" dx if. Sehen wir alfo
z—=Axn 1 Bırtr L Cx=te L Daxntde 4 20, fo wird
dz
5 > mAxmı (m -.n) Bınta- + (m-F2n) Cxet°-:
+ J Dart u
Subſtituiren wir dieſe Reiben ſtatt z und I * - in der Gleichung

*

*6(ö— nubx'2 — yx0 10,

und sonen die einzelnen Glieder nach den Potenzen vonx, fo erhalten
wir die Gleichung =
myaAx=—! -(m-In)vyaBx"te-: --(m--2n)vacxmtre—ı LLC.
—y mvbA + (m--.n)»bB I-.
—+n„bA --nubB .
Werden nun die einzelnen Olieder So gefest, fo werden die an⸗
genommenen Coefficienten durch folgende Gleichungen beftimmt :

myeaA—vo, | alſo J
_ — (my +ng).b .
(m--n)vaB-- (mv InW)bA=o, » B= im „A;

(a-Han»aC+H[(m-Fn)» +ap]bB=o, » c= teten,

| 0.» __ —[(m+20)» +ng]b
(m-+3n)vaD-+-[(m-+-2an)s-Hnu]bC=o, D (mt ön) sa .c

- und fo kann jeder folgende Coefficient aus dem vorhergehenden leicht

gefunden werden. Dann aber wird
. £ ©. .
y. (a + bzr)’.[Ax= 1 Bxmta + Cx"te + 2].

zum {05 —

Auflöfung 2. |
&o .wie wir hier die Reihe nach den fteigenden Potenzgen von x .
geordnet haben, fo läßt ſich auch eine Reihe aufftellen, die nach den
‚ fallenden Potenzen fortfchreitet.
Wir fepen nämlich
z = Axmn 4 Ban 4 Cxm-da 4 Diese + c,
fo wird

Dofms)Arm (ma n)Bx? 1. (m— 3n)Cx=—ör-: +.

Durch Subftitution diefer. Reiben erhält man
t(m-n)»bAzest(m-n)yaAxm-o-ıt(m-an)yaBım ss-ı t(m-In)yaCım-e-ıt..
tnpgbA t(m-2an)»bB t(m-3n)»bC t(m-4n)»bD =
-) tnebB tnpbC tnebD

Hier werden alfo die Goefficienten A, B, C ic. auf folgende Art
beſtimmt:

(im — ) BA PnUbA—520, folglich A=

— bB
—(n—n)» a
(m—any-Fnp "b A

—(m— 2)) a

(m—an)yaB--(m—3n) »bC-EnpbC==o, , C= (m—3n)»-top . B .B

(m—n) vaA +(m—an)»bB--nebB=o, » B=

—(m—än)» a

(m—In)aCH(m—4)»bD--n,bD=o, » Da nn + 5

wo wieder. das Geſetz, nach welchem die Werthe der Coefficienten fort⸗
ſchreiten, klar iſt.

3 u-f a tz 1.
$. 160. Die erfte Reihe ift deßhalb merfwürdig, weil fie in den
Sällen, in welhen (m kn)» -na=o oder — „= =k

wird, abbricht, und ein algebraiſches Integrale darbietet. Die zweyte
Reihe aber bricht ab, wenn m — kn =o oder — = k wird, wo k
eine ganze yofitive Zahl bezeichnet.

Zuf a b 2.

"aba. Beyde Reihen aber haben dad Unbequeme, daß fie nicht
immer brauchbar find. Denn wird m=o oder m--kn=o, fo

. a@

— 7

ya nm xıa hm ‚xös—m,.,
FA .—— | — — 4. — * — — —
= a a rn Fi

Den Werth.diefer Reihe findet man $. 84 entwickelt.

Benynfpieln. 3

$. 14. Die Sormel.dy—= — mittelſt einer;
Reihe zu integriren.
Es iſt offenbar das Integrale 810 +-x--x); um aber
dieſen? Ausdruck in eine Reihe zu verwandeln, multiplieire man Zähler
und Nenner der gegebenen Differenzialformel- ve ı x, ſo wit.

He uns Da nun ' . u

1 2 1 I U
ter ————

ſo ei man — Integeotin u Ä TE er *
+7 7 +7 FEB: J—
Bufaon u |

$. 142. Auf diefelbe Weife laͤßt fi ich y= 1 (1 + x te x)
in eine sehe verwandeln. Den da re —=1l(1—x®), fo wird :

— 22 22 2 22.507 rer

— y} 2* J

2 |

2 23 30,5 16 v3 x

_ X — * eat _9 3 _ '
y-ır77T3; 13 +7 +7 8 rt
3ufas 2. j

in eine recur⸗

S. 143. Verwandelt man den Bruch — * ee | eure

rente Reihe, “fo findet man
ı -x — 2” - — 2oD + x x — 2X +,
und durch Integration findet man diefelbe Reihe , wie vorhin.
Beyfpiel:&
dx
1—3xcos.c+x2

J. 144. Diegormeldy =
ner Reihe zu integriren.

mittelit ei⸗

r ⸗

AU

In $. 6a ift, wenn man A=ı,. Bao, a=ı, bası. febt,
das Sntegral dieſer Gore!
“ yo arc. tg. —— ein. &
sin, *

Durch die Entwicklung in eine recurrente Reihe finden wir

1—X cos.

— 78 1 4 2Xx cos. 2 + (400822 — ı)x?

- + (8 008.°2— 4. 008.2) x’ -+-(16 008.3 — 12 008.2 2b ı) x?
+ (32 c0s.°2— 32 cos 2 +-bcos. 2) +. ° ir.
Multipliciren wir diefe Reihe mit dx, und integriren fie, fo er⸗
halten wir das gefuchte Refultat. Stellen wir aber die Potenzen von
eos.⸗ Buch die Coſi nuſſe der vielfachen Winkel dar, ſo erhalten wir
= = +: ;x?(2cCos.2) +: 2x3 (2 cos. ‚224 1)
+ ix!{2cos. 32-L200s. 2) +ix’(2cos.42}+- 2 cos: 2345)
» + ;x°(2008. 52-4+-2c0s.324+2c08.2) -rc.—

Zuſatßz

$ 246. . Seht man. dz — man, fo erhält mn

nad) $. 03, wenn dafelbſt A=ı, B=—cos. %,azmı und —
geſetzt wird:

= — cos, 2IVı Zaren dp w +si sin. æ arc. 18. „ia. ——

—X cos. J

Entwickelt man aber den Geefeinten. von dx in eine Reihe, fo
erhält man, weil

1—xcos.t _ ,
1—3X cos. 542? — 1 + x co8.2 4- x? cos. 22 42 con. 32

ont u 77*cos. ei.
zu x + t2che.2 + 2x3 608, 22-2 2408! Be ꝓr: vos. dei

Bufeg 2.
g. Weil Az — dr x Los: & + eos2g + sin SW ſo iſt

1 — 3ı2cos.t6 + %

z=— cos, 2lyı—2x cos, 2 x°+sin.’2 Ve
Pi dx

Sy —restre

dere unendliche Reihe, die eine logarithmifche Größe enthält. Nämlich

erhält man demnach eine an-

— 78 - um

a — — —
mV — 3x0. æ -

2 —— 57 — (x + 2x2 cos.2 + !x? cos.22 + ix cos. 32 + ee); _

Aufgabe 13.

$. 147. Das Integrale der irrationalen ir
[si

renzialformel dy = x dx(a-+brr)’ durd eine ww)
‚endlihe Reihe darzuftellen. ‚

Auflöfung. | u

Es ſey a’ a = c, fo wird dyl=cx=-:dx ( 3* », wos
bey wir annehmen, daß c eine reelle Groͤße bezeichne.
Nun ift

2:
(1+;°) = + —— rn + ee mr J
| BIER: 3n
alſo durch Integration + — —
elite

| neuer

R eine ganze

welche Reihe ind Unendliche fortgeht , außer, wenn
pofitive Zahl ift.

Sür den Sal, daß v eine gerade Zahl iſt, und a eine negative
Größe bezeichnet, muß unſer Ausdruck auf folgende Art dargeſtellt

werden:
p Eon pn p

+B-:
dy = mıdx(br — a) = b x » dx(1- =)"

Weil nun
E
a __\y pa Eu — m a? —

— — — _ an
— »„.29.39.b3 ai

zum 70) sam

Anden wir durch Integration

en —
IJ n45 nt a
— v „x . _ — x
— » pen En

| m+ (p == y) n
— y) a2
Er IT, Na »x u.) .

Tom. mrone
Sind a und b pofitive Zahlen, fo kann man beyde Entwicklungen
brauchen. -
Bßeyfpiel ı
$. 148. Das Integral der Formel dy= — dx

VX — 33
urch eine Reihe darzuſtellen.

Aus dem bereits Gelehrten erhellet, daß y=arc. sin.x, wel⸗
er Winfel demnach durch eine unendliche Reihe ausgedrüdt werden
1... Weil

1 1 1.3 ⸗ 1.3. 5

2143*87* 2.46. "+ —

Ze te,

1.3 5 135 x 1.8.8.7. °_

ı x
=ı4+, 777° b + 38° 7 7*7 4.6.8 tie
beyde Werthe fo beftimmt find, daß fie für x=o Verfhinben.
zufaß.

$. 249. Wenn alfo x=ı, fo tw wegen arc. sin. ı = -

— 1.3.5 1.3.6.7
-eratmetg tr WEIT FU

- Aber für x findet man, weil arc. sin. 2 == 30° = mer
ı 1 1.3 1.3.5 1.3.5.7

3 + ta Paz. a + %.
Addirt man die zehn erften Glieder diefer Reihe, fo findet man
52359877, und durch Multiplication mit 6 alfo z== 314159262,
nur die achte Ziffer unrichtig ift.
| Zuſas =
cr dx
F. 150. Iſt die Formel dy= —

ut, fo erhält man

gegeben, und man fest

m 80 ve
sudu sdm u...uk

dy c⸗ m u),
en Yu — ut 1 — u
y 2*2 are. sin. u == 2 .arc. sin, Vx.: ,

Mittelft der Reihe aber wird ur

Bepyfpiela.
„_ 151. Man entwidle das Integrale der Born:
— dxVaax purch eine Reihe. Bu
, Sept man x=u,, ſo wird dy= au? — fit mars
"über in der Reductionsfotmel I. ($. rib) ns, na, e=2,
bil ıj und via, fo erhaͤlt man

feduVya—r=—ju(ßa—w) He fans
Seht man in der. dritten Neduetionsformel ir m=ı ‚amaa,. bs,
n=2, Pp=—1 und v==a, fo erhält man u

ey

. fd za ie uvam + ee 22
Vaa—u uw
Nun: ziſt aber , . J—

94 — ee,

du = arc. sin, — = arc. sin vx '
—— . ve rn
und daher ' a hei! ent

Swduy2a— =. raten uiy* +: Zauyaa—am:

Vx
. J as arc. sin. ——
—W — ’ . . .. : Ji

— zul Var +: „a arc. ——

ns y —— : (x—2) vVa3 ax — x“ Tr a? ‚Arc. sin, |

©. Um aber die.unendliche: Reihe zu finden 1. bie man -\
= dx Vaax ax . ( =)

. ı x 12.1 1 * 1.1. 2.1.3 Ei Ä
ws — 2. — — 30) Vaa

und demnach ift durch a —

.. oo.
41

8 y
a 2 ı ax 1.1 3x3 .1. 3 2 x⸗ 5
*65* aaa 2.4 7.4. * .4. 6 9.8. = .)Vs
oder
_f: ıaı 2. m x3 1.1.3 00x ya
Jm13 T 3 5a 24 7 246° 5%) ayaaz,

Bufoeg un
$. 153. Diefes Integrale, Fann leichter gefunden werden, wenn
non <a —Y feßt, denn dann wird dyy=— dv Var — vr, und
nach der dritten Reductionsformel ist

Jivyva—r =!v Va? —v? -:a Va demnach
y=C—:v a? — y2 — Z at arc, sin. _ oder

y=C—:!:(a—s)Yyaxı— — 4⸗ arc. sin,
Damit nun für x0 auch yo werde, muß man C==}a? are. sin. 1
feßen, wodurd)

y-— ia — s)VYaaı— u + = a? arc, cos. a —x
erhalten wird. Bean ift aber —

— X
aro. sin. * = * arc, cos,

zu ' ab 2 |
$ 153. Setzen wir x — 2, ſo wird ; = - — +,
Die Reihe aber gibt r

| 1 1.2 1.1.3
y— 28° (3 — 2.0.2 2.4.7.3° aa).
und Hieraus folgern wir |
u 3v3 1.1 DR Pi VE
6— Fer 22 a rn).
* der obigen Entwicklung aber iſt
ı 1.8 1.3.5
x =a3 ( 4 3=+ —* 4 — 77 4 ».).
Durch Verbindung beyder Reſultate laſſen ſich noch andere verſchiedene

Reihen ableiten.
Euler's Integralrechnung. 1. Bd. N

/

du du u
d = —20 )
1 Vau-+ u VYau Tr;

— 82 —
Beyfpiel 3.
u. 154. Die Formel dy=

Reihe zu integriren.

Das Integrale it y — I(Xx Vi x”), welches fo beſtimmt

mittelft eine

ı + 2?

Af, daß es für x— o verfhwindet. Weil aber

1 2 1.3 - . 7

ag ag te

fo wird eben dieſes Integrale durch folgende Reihe rent
ı x) 1.5. x5 1.3.5 x?
yarTa +,375 7034687 T

2. Beyfpiel 4. J

$. 155. Das Integrale der Formel dy= ie

. 2? — ı

Durch eine Reibe darzuftellen. |
Die Sntegration gibt y=1(x + Vx? — ı), weldhes für x=ı
verfchwindet. Weil nun
1.3 1.3.5

1
Ve? ı =. te ta ter
fo wird diefea Integrale auch feyn
1 1.3 1.3.5
‚„=C +12 — —- 2.4.6.6

Damit diefed Integrale für x= ı verſchwinde ‚ wird die Con⸗
ftante fo bejtimmt, daß

+ CH) +

Zuſatz.
g 156. Für x — 1 wird

EN au® ‚3. .

— ()) num

oder |
1. u 1. 3. uꝛ 1.3. 5. u
8(— 2.3.2 5,” te )vom

BSenfpiel 5.

$.: 157. Das Integral der Formel dy— an in
einer Reihe dDarzuftellen. Y
Durch) Integration erhält man
1 ı
7 = yo om — — TI
wenn man für x==o auch y=o ſetzt, oder
G—n-arı —
y- — —. Nun aber auch
y=arl(ı Inx „ehr 4 + >arn),

daher Fann jenes Integrale auch fo Ausgebrüc werden: :

nı. au Enz or ——
y-1+7-- tr: rn; — — r%

Hier wird aber henber auch (n—ı)y 4 ı =

(1 — x)a—ı
x nmerfung. |

6. 158. Da folche Integrationen äußerſt leicht ſind, ſo halte

ich es für überflüſſig, länger dabey zu verweilen, und werde demnach

eine andere weniger bekannte Mekhode, Reihen zu entwickeln, eröt:

tern, welche in der Analyſis oft von großem Nugen feyn Fann.

Aufgabe ı4
F. 159. Das Integral der Differenzialformel
. P_,
dy = xmı dx (a-+ ba)’
nad) einer zweyten Methode in eine Reihe zu verwans
Deln. |
Auflöfung.
ER
Man febe „= (a-+ br)’. z, fo wird
dy=(a+br) [1:«+ ba) + - .dx |,
Q*

— 84 —

demnach ze dx = dz(a--brr) + * bzı-ı zdx oder.
yır-ıde= vdz(a-t bxe) Lnabxe-'ızdx,

| Bevor wir noch die Reihe, durch welche der Werth von z beftimmt
wird, auffuchen, müffen wir bemerfen, daß in dem Falle, wenn x

verſchwindet 1 E_, ) u
dy= a ‚sao,.dız=a .ds,

ſo daß dz = am dx ifl. Sepen wir alfo

2 = Axn ı Bımtr LCxmte L Dxmtde 4 20, fo wird
= = mAx"-ı L(m+-n) Bımt-ı + (m-+2n) Cx=t?r-:
’ -- (m +9 Dxrt3o—ı + u.
Subftituiren wir diefe Reihen ftatt z und I * - in der Gleichung .

2 (a+br) + aubamı 2 — ram mo,

und armen die einzelnen Glieder nach den Potenzen von x, fo erhalten
wir die Gleichung
myaAx®—-i--(m--n)yaBxrte—: 4 (m-Lan)raCzmtn—ı +.
—y -- mvbA —- (m-+-n)vbB len
| + nubA -HnubB r
Werden nun die einzelnen Glieder =o gefeßt, fo werden die an-
genommenen Coefficienten ducch folgende Gleichungen beſtimmt:

myaA—vo, alfo A= —;
nn _ -m+ne).b ,
(m+n)vaB-+ (mv -nu)bA=o, » Bas „A;

0 Z[e4mdb4ng)b
(m-+-2n)vaC +-[(m-Fn)» -Fnu]jbB=o, » C= ee —* .B;

| — __ —[(m-+22)»+ng]b
(m-+-3n)vaD-+[(m-+2n)» +na]bC=o, » Def sa ©

- und fo kann jeder folgende Coefficient aus dem vorhergehenden sicht
gefunden werden. Dann aber wird |

—AU
y= (atrbr). [Arm Bath mie +].

zum 05
Auflsfung a. |
&o wie wir bier die Reihe nach den fleigenden Potenzen von x x
geordnet haben, fo läßt ſich auch eine Reihe aufftellen, die nach den
fallenden Potenzen fortfchreitet.
Wir feben nämlich‘
z = As 4 Br" 4 Cy=-da 4 Dim ı X.,
jo wird
Tl s)Arm1m--an)Brr— hm Bn)Cre— tur.

Durch Subftitution diefer: Reihen erhält man
T(m-n)»bAzm+t(m-n)yaAım-o-ıt(m-an)yaBx= s»-1t(m-In)yaCım-n-ı+..
tnpgbA t(m-2an)»bB t(m-3n)»bC t(m-4n)»bD =
—) tnebB tnpebC tnebD

Hier werden alfo die Goefficienten A, B, C :c. auf folgende Art
beſtimmt:

(ma—n)»bA--nubA — v=o, folglich A=

» N)
(m—n)»-Fnp B

— (m—n) » a 4
in- any np b

— (m—o.n)v a

(m—an)yaB-+(m—3n) vbC-InubC=o, », C= (m_3n)»+tng . B . B

(m—n) vaA --{m-—an)vbB-4-nebB=o, » B=

— (m — 3n)y

(m—3n)»aC-(m—4n)»bD--nubD=o, » D= — han E- .C

mo wieder. das Geſetz, nad) welchem die Werthe der Eoefficienten fort»
ſchreiten, klar if.

3 u-f a tz 1.
$ 160. Die erfte Reihe ift deßhalb merfwürdig, weil fie in den
Sällen, in welhen (m kn)» -na=o oder — ‘= =k

wird, abbricht, und ein algebraiſches Integrale datbietet. Die zweyte
Reihe aber bricht ab, wenn m—ln=o oder — ._= k wird, wo k
eine ganze poſitive Zahl bezeichnet.

Zuf a b 2.

G. 165. Beyde Reihen aber haben das Unbequeme, daß ſie nicht
immer brauchbar find. Denn wird m=o ode m--in=o, fo

*

wird die erftere unbrauchbar; wird aber .
Uun — kn)» na =o ve; =k /

ſo wird die zweyte Dice unbrauchbar, weil ihre Glieder unendlich
werden.

Zuſatz 3. | J
G. 162. Übrigens gewähren dieſe beyden Reihen dech den Vor⸗

theil, daß, ſo oft die eine keine Anwendung findet, jedes Mahl die

‚andere ſicher gebraucht werden kann, jene Bälle ausgenommen, in 5
m

welchen fowohl _ und = + = ganze pofitive Zahlen find. . Weil
aber dann »—ı ift, fo bieten diefe Fälle ganze rationale Zunctionen
dar, bey welchen die Integration Feine Schwierigkeit hat.

| Zuſatz 4.

G. 163. Beyde Reihen laſſen ſich für z zugleich auf folgende Weife
verbinden. Es fey die erftere Reihe =P, die zweyte =Q, damit ſo⸗
wohl z=P ald z=Q gefegt werden könne. Durch Verbindung bey:
der Reihen erhält man dann z=aP. + BQ, wenn nur a+B=ı.

Unmerfung.

F. 164. Daraus aber, daß wir zwey Neihen für z entwidelten,
fonnen wir keineswegs Die Gleichheit beyder Reihen folgern; denn es
ift ja nicht nöthig, daß die daraus erhaltenen Werthe für y einander
gleich werden, wenn fie fi nur durch eine conftante Größe von ein«
ander unterfcheiden. Bezeichnen wir die zuerſt gefundene Neihe durch
P, die zweyte aber durch Q, fo wird, weil bey de der erſten

PB
= (a-be)'P,
F
bey der zweyten aber y=(a+br)’Q,
p
offenbar (a —+ bx")’ (P—0Q) eine conftante Größe, und daher

_H
P—Q=C(a-+bx)
Sede der beyden Reihen fteilt nämlich nur ein particulares Integrale
dar, weil fie Feine conftante Größe enthält, welche nicht ſchon in der

—— [7 Sm

Differenzialformel vorfäme. Übrigens kann nach derfelben Methode
auch der vollftändige Werth von z gefunden werben, denn außer der
angenommenen Reihe P oder Q fann man
z=P-a-+ Bx + yru 5X Lere x,
- feßen, und nad) gemachter Subftitution beftimmt man die Reihe P wie
oben.
Für die zweyte neue Reihe aber muß man feben.
nvaßxıı 1 anvayz-ı —- Invaöxde—ı 1 Anvarsie—ı .,. } |
nuba -nvbß —-anvby —+- 3nvbö 0,
+npbß Tneby —npbd
woraus ſich folgende Beflimmungen ergeben:
e b ; — „eb B; = — (4 29 b

ya aya ‘ 3vaj 72
let,
Aya

Auf diefe Art erhält man
=P+oal: Smart EEtN gm
Petra) b> „in ]
a a ee 2a

».29 . 3»
P

oder z=P-+a : + 7°, folgli) y„=P(a-+bx”)’-+aa

welches das vollftändige Integrale ift, indem die willfürliche Conftante
a dabey erſcheint.

er

Beyfpiel ı
$. 165; Die Formel dyy = Er — auf dieſe Weife

Durch eine Reihe zu integrirem.

Vergleicht man diefen Ausdrud mit der allgemeinen Sormel, fo ift
a=ı, b=—ı, m=sı, n=2,„=ı, v=2
Seht man demnach y = z Vı — x, fo gibt die erfte Auflös

fung
z =Ax -+ Bx? + Cx’ +4 Dx’ 4 x, wobey

m 88 m
Hieraus folgt
ya (stge + ide 43 ai Le) IR:
welches ‚Integrale für x==0 verfchwindet. Es iſt demnach y=arc. sin.x;
die zweyte Methode ift bier unbrauchbar, weil — = + io ı ifl.

. z0ı —

Zuſas 1.
$. 166. Fuͤr x=ı ſcheint y„=o zu werden, weil ,— tem"
iſt. Allein man muß erwaͤgen, daß in dieſem alle die Summe De

\ unendlichen Reihe unendlich werde, fo daß man ohne Anſtand y ==

ſetzen kann. Segen wir x=:, fo wird yo = 30 =: 7 und dennag
2.4.6 v3
= (: Haatseatsere +) .Y

Zuſatz 2
$. 267. Auf ähnliche Weife findet man aus der Formel
x . .
= die Reihe
un a 9.4 2.4.6 —
„= («3° + 3.5 — 3.5.7° 4 x.) Vi + x ’
ud es iſt 7 * I(x«+ va + x?)

BSeyfpiela.
$. 168. Mon beftimme dad $ntegrale von

nach derfelben Mes

— 2

d
dy=
V

dy=
thode durch eine Reihe.
Es iſt alſo
m=0o,1—23, A, »— 2, a— wWdb=—.ı,
daher muß die zweyte Reihe gebraucht werden, wobey man
85* = Ax + B CXA + Dx + ic.

1— x?
zu ſetzen hat. |
Man findet A=sı,B=:,A, C=2,B,D=!.C«
Hieraus erhalten wir demnach |
r a 2.4 3.46 | |
1* (5 tr3at3ss rt 3.5.7.0 + x.) Via.

’

dx
. x Yı— x?

—⸗

-.- zum

Aber die Integration gibt y= 1 ZE — au, , welder Werth mit dem
vorigen ‚übereinftimmt, denn beyde verſ hwinden für x=ı.

' 8uſatz u |
$. 169. Da aber diefe Reihe nur convergirt, wenn x>ı genommen

wird, für diefen Fall aber der Ausdrud Yı x? imaginaͤr wird, ſo
iſt diele Rehe unbrauchbar.

Zuſatz 2.
$. 170. Iſt dy er gegeben, fo erhält man n für y

dieſelbe Reihe, nur mit — V—ı: multiplicirt ; es wird nämlich.
ı a 2.4.6 A
ů ä en

5.7.x°

Für x =- wird dy = und y=C — arc. sin. Us

— du
Vı=u
oder y=C — arc. sin. :

wobey C== 0 gefeßt werden muß, weil jene Reihe für x == oo vers
ſchwindet, fo.daß alfo

y= — arc. sin. -
ift, welche Gleichung mit obigem Reſultate übereinftimmt, wenn — - =v
gefegt wird.
| . Beyfpiel 3.
| $. 171. Die Formel dy=
Reihe zu integriren:
Hier iſ mmı, nf pm, sı—a, Sept man demnach

mittelft einer

dx
Va + bx

y„- zVa+bx,
fo gibt die erfte Auflöfung ’
z=Axı+ Br + Cv + Dxis + ic, wobey
A=-; B=— 2. A; c=—L. B; D=—_U,c 10.7
ga 18 a

ſo daß

Sb, 3. 9.7.0 .b2x9 3.7. ı1.b3xı3 |
—— FE > 4
18 6 5a: 5.9.15,2% +.) varbx

Fee

— (0 —
Hier findet aber auch die zweyte Auflöfung Statt, wenn
z= Ar? + Br 7 4 Cr" 4 Dx-’ 4x.
gefegt wird, wobey

1 3a 7a — 112

Hieraus is

! 3.7.02 — d.7.12.03 |

ym— bs 7 tr 5.9.b3 xı2 5.913. na tie) Vet ba4; |
die erftere Reihe verfchwindet für x== 0, die legtere aber für =osT
| Zufaß ı

$r 173. Der Unterfcjied der beyden Reihen ift beftändig, neigt
3.bx® 3.7.b?2?__3.7.11.b5x13 "

+, bar +8 nat

3.a 8.7.22 3.7.11.23 V a--bx*==Co
Hs me
Zuſatz 2.
$. 173. Addirt man dieſe beyden Reihen, fo erhält man
a ꝓ4 b x⸗ _ 3 as-bixı 3.7 abi 0 C ,
abx3 5b a:b?x 5.9 a’b’xıı Va+bıt

wo für C immer diefelbe Größe erhalten wird, welchen Werth wir aud)
bem x beylegen.

3ufag 3.

$. 174. Zür a=ı und b=ı gibt diefe Reihe, mit Yı I x*
multiplicirt, immer eine conftante Größe, nämlic)

(= —. dr ı_ «.)Vıre= 6.

x3 5 x? 5.7 xu

Da alfo für x=
c=(1-; 2-7 5+e) 2V2

wird, fo bezeichnet diefer Ausdrud auch den Werth diefer Reihe für
jeden Werth von x.

Zuſatz 4
$. 175. Diefe legte Reihe, bey, welcher die Zeichen wechfeln, laßt
fih durch Differenzen Teicht in eine andere umflalten, bey welcher alle

JA

— (01 —

hen übereinftimmen; man findet naͤmlich für biefelbe Eonftante
ı 1.3, 13.6 1.3. 5.
(434 4 HE 4 + e)ve,
he Reihe .fchnell genug convergirt. Man erhält näherungsweife
13
=. |
Aunmerftung.
$. 176. Die hier gezeigte Methode befteht darin, daß man irgend
willfürliche Reihe annimmt, und fie aus der Natur der Sache bes
mt. Diefe Methode findet vorzüglich ihre Anwendung bey der Auf⸗
ng der Differenzialgleichungen, obgleich fie auch bey gegenwärtigen
erfuchungen oft mit Nugen gebraucht wird. Mit Hülfe diefer Me:
re fönnen wir auch die reciprofen Werthe tranfcendenter Größen,
3. B. der Erponentialgrößen, und der Sinuffe oder Cofinuffe der
nfel durch Reihen darftellen. Sind gleichwohl diefe Reihen ſchon auf
m andern Wege gefunden worden, fo wird ed dennoch gut feyn, fie
ch Sntegration abzuleiten, weil wir dabey auf andere fchöne Bemer⸗
gen geleitet werden. |

Aufgabe ı9.
$. 177. Die Erponentialgröße y= a in eine
:ihbe zu verwandeln.
Yu f Lö f un g.
Nehmen wir beyderſeits die Logarithmen, fo erhalten wir ly=xla,
d durch Differenziation 2 — dxla oder * — yla; wir müffen
nnach den Werth von y durch eine Reihe ausdrüden. Da das voll-
ndige Integtal eine größere Ausdehnung hat, ‚fo bemerfen wir für

fen Ball, dag y=ı für x=o werden muͤſſe, und nehmen daher
zende Neihe für y an:

y=ı +-Ax+Bx +02: +Dyx +;
raus folgt

= A+saBx-+t sc + ade ꝛc.

Subſtituiren wir dieſe Werthe in der oleihurg —— — —
finden wir

um (2 TEE
At aBx + 3Cz 4 4Dr --5Ex + “ RE |

— 1a — Aula Bela —C.la— D.la— x. \
woraus ſich folgende Beſtimmungen der Cvoefficienten ergeben: |
'Amwla, B=:A.la, C=:B.la, Ds:C.ta«
und fo erhalten wir die Reihe |
xla x? —* xð (I a)⸗ x4 (la)*

yaızsır — 4 — zn nd rl
welche aus ber Eintitung in. die Anatyfie ſchon bekannt iſt.

Anmerkung.

$. 178. Bey Sinuffen und Coſinuſſen der Winkel muß man
zu den, Differenzialien de, zweyten Grades gehen, aus welchen dan
Die, das Integrale darftellende Reihe zu. entwideln iſt. Da aber
iweyfache integration eine doppelte Beflimmung erbeifcht, fo muß d |
ihe fp angenommen iveiden, daß fie zweyen der Natur der Sad
entfpreshenden Bedingungen Genüge leiftet. Allein diefe Methode |
ſtreckt fich auch auf andere Unterfuchungen, die fogar bey algebraifchen‘
Größen Statt finden. Mit einem Benfpiele diefer Art wollen wir be⸗
ginnen. '
Ä Aufgabe ı6.
$. 179. Den Ausdrud y= [xt Vı Fr] in eine
Reihe zu verwandeln, die nach den Potenzen von x
fortſchreitet.

Auflöfung. \
Weil ly=al[s+Yı + x], fo ift day. air ;s um,
y Vı+rxr

nun dad Wurzelzeichen wegzuſchaffen ‚ nehme man die Quadrate, h
erhält man.

F (G+x2)dy® = ny2de. ——
Differenzirt man dieſe Gleichung nochmahls, indem man dx als con-
ſtant betrachtet, und dividirt gleich durch 2dy, fo erhält man ;

ya +) Hadxdy— nmydaer=o —;
Mit Hülfe diefer Gleichung muß nun y in eine Reihe entwicelt werden.
Zuerft ift Far, daß für x=o: y=ı, und daß, wenn x un-
endlich Flein genommen wird, y=(ı -x” =ı-+ nx werde
Man nehme alfo folgende Reihe an: | — |

um (5 mie
pSı+ns tar Be CD HER di

fo erhält man:
='n + 2Axr+ 3Br + 4Cx? + 5Dxst -6Ew’ + ꝛRc.,

= 2A .-- 6Bx 120 + 30Dx: + 30Ex* + ꝛe.
Ro. Nach gemachter Subſtitution bekommen wir |
24A + 6Bx + 12Cx? + 20Dx! -— 30Ex* + 4aFx’ + ıc.
+ aA + 6B —+ısC +30D + x.
+ tt + sA + 3B + 4C + 5D + «.
— n2— n — An — Bn® — On — Dr — ie.
Hieraus ergeben fich folgende Beftimmungen:

| n? n(n?—1ı), — A(n—4), B(n2—0)'
An; B=-—; te; J

=20

ꝛe.

daß man hat
en => n? (n?—4) n(n—ı)(n2—9). _
En ae a a EEE nn
m 24) (a N n (n?—ı) u
12.8.4. 5.6 IB. .0,7 “ru
Bufag ı

$ 180. So wieey=[ı+ Vize) if, fo erbalten wir,
von z=[—x+ Vı + x2] gefegt wird, eine ähnliche Reihe für

z, bey welcher x nur negativ genommen wird ; wir folgern demnad)

2 a EN RE Pu-

1.2.3.4 1.2.3.4 .„ 5.6
* —— * n (n?— ı)(n?—9)
alle Baer vr ru Tel
2 (1) 9) a
+ 1.2.8 .45 .- "r+%

Zuſatz 2.
$. 181. Für x — V—-ı.sin.g wird — = 608.9,
daher
y =*(cos 9 4 Vi sin. 9)? = cos.n9 + v-ı sin.n9 und
2 = (c08.9 — V sing)" = cos.np — Y—ı sin.np,

und hieraus folgern wir

(u (

n?(n?—4)

Zu n2 .
con = 1 7, np 34 sin.? 9 |
n? (n? — 4) (n? — 16) .
Fu Po Tr a Zn ı
sin.ng = nsin.9 — ir insg en sin

n(n? — ı) (n? — 9) (n? — 535)
Bu urur vr Tape

| Zufas 3.
$. 182. Diefe Reihen gehören zur Multiplication der Win
und haben das Eigenthümliche, daß die erflere nur in den. Fällen,
welchen n eine gerade Zahl iſt die zweyte aber für jedes, ungerad
abbricht. |
Aufgabe ım.
| g. 183. Den Sinus und Coſinus eines gegeben
Winfelö 9 durch eine unendliche Reihe darzuſtelle
Auflöſung.
Es ſey y — sin.p und z==.cos. 9, fo iſt
dy= doYı —y: und dz = —doYız.
Nimmt man die Quadrate, fo erhält man |
dp = dpt(i—y?) md dz? = dp: (ı — 22).
Durch nochmahliges Differenziren findet man, wenn dp
conftant betrachtet wird:
| eey= — yd? md dz= — zdp:,'
und fo müffen nun y und z aus derfelben Gleichung beitinnmt werd:
Da nun für y == sin.o, bey dem Verfchwinden von 9, yz=
wird, für z == 008.9 aber z= ı — 92 oder z=ı +09
nehme man folgende Reihen an:
y=9+Ap + Bo + Clp 2ꝛc.
und z= ı +ap FR + ye Höp + ic.
Nach gehöriger Subftitution findet man
a.38.49g+4.5.B®+6,7. vr rei |
4 +: aA + . 0
ı,2.a 3.4. By +5.6. rn
+ ı r «+

t

3’ 4.5? „> re .
au —; ß * 12 u; 1
wodurch wir die wohlbefannten Reihen erhalten:
ng, 3 +38” at *
og 5 + - 4 ‘+:

Anmerfung. —

J. 184. Es war nicht gerade nothwendig, bis zu den Differen-
jialien des zwegten Grades zu gehen: denn aus den Differenzialien der
Formeln y = sin. und z= cos.9, nämlid) aus dy== zdp und
dz=— ydp werden diefelben Reihen auf eine leichte Weife abgelei⸗
tt. Man nehme wie vorhin die Reihen

y=9+Ap +Bp + Cyn +. und
z=ı ae +ßpe + yp +,
fo findet man durch Subftitution aus der erftern
ı --3A9? -+5Bp?--7Cp° +1.
-ı1— a —ß —Y

Dr BER
ı A -LB ’

woraus fich folgende Beflimmungen ergeben-

\=o ‚und aus der zweyten Reihe
B

Cat; ꝛcc.
7

6

1 a

folglich
ı 1 | .

A

|
a —- 3 BP=+4 775 °* Zu

velche Werthe mit den obigen übereinflimmen. Hieraus fieht man, daß
nan öfter zwey Gleichungen zugleidy leichter durch Reihen entwideln
önne, ald wenn man jede einzeln für ſich behandelt,

I}

— 00 —
Aufgabe 18.
J. 185. Den Werth der Größey, weicher: der Bei
dy ndx
hung —I_ — — Genüge leiftet, durch ein
9 Varın Verse 3 ſtet, ®
Reihe dDarzuftellen.
Yu flöfung.
Die integration diefer Gleichung gibt
Zp1[Va+ by + yVb] = 7,1[lVf-+s@ + xvVeh+ C.
‚dieraus folgt

4

ä

nvb ınvb
1 (VEHRR have\mVE _ VER wvs myg
*775 Hr) — ayb 7 (ne ee) Da
wenn die Conflanten hund k fo genommen werben, daß hk=f wir).
Wird x unendlich Flein, fo wird .

J
|

nvb nvb.
Vehzve\mVE vE—zve\mVE
vn u
| nvb nvb
18 77 [(5) u ]
nvb nvb_
nx ykymvs vhymve- |
Hl en +) I
oder, wenn y=A-+-Bx gefeßt wird, fo wird B=- eh 2,
ſo daß die Conſtante B beſtimmt wird aus der Conſtanten
nvb nvb
j Ko vuyTVE — /vhymv8
77, [ir ) A v1) IL
und umgekehrt |
nvVb
A) = AVbHVerbR um
nvb. .
myg
(2) = —- ab H- Verb

Um nun die Reihe zu beftimmen differenſita udn: das Adna
der gegebene Gleichung, nämlich: iin Pina
..., wer). dyr —E dx, j
"on neuen, indem 'man dx conſtant nimmt, ſo erpält man nad) der

I. Divifion durch 2.dy die Gleichung ° z

mdy(hgx) bmgxdedy — nbyde—=o. "
. Nun nehme man für y folgende Reihe an: | Bi
."y=A+Bı+Cx+Dr m E x⸗ + Fx’. + er u
ſo erhaͤlt man durch Subſtitution J
am’fC * 6m? fDxr + 1m? fEr? -— 2om?fFxr>-t ꝛc. I
‚+ z2m’gC + .0m?gD +.
| .& migB + 2mgC + 3m’gD - ı. ⸗
„m®bA—n'bB — n:bC — mbD #)
Werden alfo A und B gegeben, fo werden die übrigen Buchſta—
ben folgender Maßen beſtimmt:

————
2m f 3
De ee
2b _ am: 2b — ı6m2
Fear db er 5
2 — —
I— ba — — sF; I oz G;

und daher ift die Reihe für y befannt.

Beyſpiel ı.

F. 186. Die franfcendente Function er«sin- durch
eine nad den Potenzen von x fortſchreitende Reihe
auszudrücken. |

Sept man y cere. sin.x, ſo iſt i 04

lLy arc. sin. x lc und Ay Arcle, ZZ

. y Yı _y?
demnach dy?(1ı —x?) = y?. (lc)?. dx?, und durch Differenziation
dy(ı—x?) — xdxdy — ydx?(le”? = 0

Nimmt man nun x unendlich Klein, fowdy=e—=ıH+ ale;
man nehme demnach folgende Reihe an:

yaıdteleg Ar hBo tor + Det

Euter’s Integralrechnung. I, 8) 7

— 00 —
Aufgabe 18.
F. 185. Den Werth der Größey, welcher der Gle
dx
hung —AIL_— — IE Genüge leiftet, durch ein
. Veran verem ſtet, dur ch eine,
Reihe darzuſtellen.
Auflöſung.
Die Integration dieſer Gleichung gibt

Z1lVaHbr + yvVbl= äν

4

Hieraus folgt Ä
® nvb ınyb

— — ————— myg
ur, h ) "" ayb ‘arze) ,

wenn die Conftanten hund k fo genommen werden, daß hk—f vin

yk

Wird x unendlich Flein, fo wird .
nyb nvb.
VE+ xvg\ MVB ev
J>-n u () _ 15 =) - oder
n vb nvb
_ vk mv vh\mvg
=) - m) |
nyb nvb.
nx ms myg
J—— nl 9)* 5) ]
oder, wenn y S A- Bx geſetzt wird, fo wird B nn
fo daß die Conftante B beftimmt wird aus der Konftanten
nyb nvb
' vk m vhymvg
av; [r 5) J 5) ]
und mer |
avb |
vb = Avb-+-vVarbir und
nvb.
h\ymVg | — —
a z=—Ayb-+vVa-+ ba

u (j7 —
Um nun die Reihe zu beflimmen, differinfire mane das Quadrut
der gegebenen Gleichnng, nämlich: BEE Dur ze er ar
m3(f 4 gx?).,. dy* = (a). dx, .

on neuen, indem man dx conflant nimmt , ſo erhält man nad) der
- Divifion durch 2.dy die Gleichung z

mdy(ftgr) 4-. mgXxdxdy — nbyder=o.
Nun nehme man für y folgende Reihe an: 3
U yaA+Be + oc +De Her HFetn,
ſo erhält man durch Subſtitution u
am’fC + 6m?fDr - 1em?fEr? + som?fFx-t :c. \.
oõ

u

4 2m?gC 4 6m2gD, in ik}
. migB + 2m’gC + 3m’gD +.
zmbA— n'bB — n?bCc — n:bD #)
Werden alfo A und B gegeben, fo werden die übrigen Buchſta—
ben folgender Maßen beſtimmt:

n2b
C=-——.A;
2m u
.. n2b — m?g _.n®b — Am28.
Dez Ber ©
n?b — gm?g n?b — ı6m?g ,
F=- ; .r.D = mr E 2
um F; I web — om G;
6.7. m?t 7.8. m2f

und baber ift die Reihe für y befannt.

Beyſpiel ı.

$. 186. Die franfcendente Zunetion er«sinx duch
eine nad den Potenzen von x fortfihreitende Reihe
auszudrüden.

Sept man y= care. sin, x, fo iſt J

1 dx.lTec
lLy arc. sin. x Ic un Io —— F

. YO vie
demnach dy?(ı —x?) = y?.(lc)?. dx?, und durch Differenzigtion
dy(lı—x?) — xdxdy — ydr(leo? = o
—* man nun x unendlich Flein, fo wdy=c=ıH+ xlcz
man nehme demnach folgende Reihe an:

yaıtzlotAu Be tot Dahn,

Euler's Integralrechnung. 1. Bd 7

— 08 un

fo erhält man durch Subflitution
1.2.42. 3.Bx+3.4.Cx?-+44.5. Darts, 6.Fxt x
—1. 2. æ —2.3,B —3.4.C
—le —24 —3B. .—4C
— (le? — (ie? —A Ge —Blleo): —CGCey
wodurch wir folgende Werthe für Die übrigen Eoefficienten erhalten:

— 0,

1 7, KerzIcH A; Etler J
EEAXGCMIeE. „ _9+d% 2, m_ is. Kaar
Ba 2; D= 4.6 B; Futter 6.7 .D.

Setzen wir der Kürze wegen le=y, fo erhalten wir

ge ein. == ı + yYx + —. Toy +3 yet Dx ‚ , TON TaFY)

2.2, 12.3. 4
+ 1C+n 6: Nur Fürn m, “+.

Beyſpiel 2.
$. 187. €8 fey x=sin.9; man fude eine nach Po⸗ *
tenzen von x fortſchreitende Reihe für sin.ny.
Man fege y= sin. np, und bemerfe, daß, wenn Y unendlich
Flein wird, x=9 und y=no nx werde, daß beißt y=o-nx,
welches die Anfangeglieder der gefuchten Reihe, find. _ Nun ift aber -
dx — 47 dy „ande
—— - und dp = — J alſo — F
oder, wenn man An quabrirt, '
(1—x?)dy? = n?dx? (Gy), folglich)
d? ya—r) — xdxdy + nyd? = o.
Man nehme demnach folgende Reihe an:
Ax 4 Beton +Dr te,
fo erhält man durch Subſtitution
3. 3. Ax 4 5.B2° . . CxA B. 9. P + x.
— 2.3A —4.5.B — 6.7.0
— n — 34 — 5B — 70 | = 9
+ n° + n?A + n?:B + n?C

woraus fich folgende Beflimmungen ergeben:

dp =

—n(n?— 1) -- (n?— 9 a — (n?— 25)B

Es ift demnach | nn

J Tao "+.
oder u |

nn = nsinig — 2 ZN sin. ⸗ EEE np

n (m2. — ) (n? — 9) (n? — 25)
— 1 . 2. 3 0, | BB. 0 . 6 7 sın,? 9 + ic.
Anmerfung.
$. 188, Weil diefe Reihe nur dann abbriht, wenn n eine un«
gerade Zahl ift, fo ift für die Fälle, wo n gerade it, zu bemerfen,
daß man dann die Reihe bequem durch das Product aus sin. in eine
andere nad) den Potenzen der Cofinuffe von 9 fortfchreitende Reihe dar⸗
ftellen fann. Zu diefem Zwede fegen wir

c8.9 = u und sin.ne = zsin.g = zYı— uw,

- — — d
ſo erhalt man, weil dp = ——, duch Differenziation
— u

Va
—ndueoseng guy RU oder
Vı— Vı—uw |
— nducos.np = dz(1 —u?) — zudu;

betrachtet man da ald conftant ‚ und differenzirt dieſe Gleichung noch
ein Mahl, ſo wird

-ne du? sin. n ꝙ
sin. no

Yı-ı?

sin. no

== d?2(1— u) — 3ududz— zd =—n?zdut,

weil =z if. Es muß demnach die gefuchte Reihe für

aus folgender Gleichung entwidelt werden:

sın.o
d?z (1, -w) — 3ududz — zdu? - n?zdw = o,

wobey zu bemerfen ijt, daß wegen u= cos.p für ein unendlich Flein
werdendes u, in welchem Falle = 90° ijt, entweder z= 0, wenn
n eine gerade Zahl ill, oder z=ı, wen n=4a-t 1; oder
zs= — ı, wenn n—=4a— ı werde. Diefe einzelnen Zälle müfe

' fen für fich betrachtet werden. ,

7

zum 100 umm= .

Kür alle diefe Faͤlle ſey 900 — «, fo pird, wenn « dee
ſchwindet:
U=(008.9=0, sin. » 1; sin.np = sin. (getan —nu)irk
Nun wird für die einzelnen Fälle
I. wenn n = 4a; z= — sin.no = — nu. °
IL wenn n=4a+ı; z= conwm1lj; ...,
II, wenn ns 4a-- 2; z= sin.no >= -+ au; -
IV. wenn n = 4a +3; z= — ca.n0 = — ı;
woraus dann die bereits vekannten Reihen abgeleitet werden.

x

Bu Te Te DIE;

D

RL?" un

Jain

den 401 kenn

— Kapite. 4. w. E
on der Integration der Formeln, welche logarichmifhe und
Exponentialgrößen enthalten.

Aufgakbe:-ıg,

(. 189. Da⸗ Integral der Formel Xdxixgube -
mmen, wenn X eine algebraiſche Function von x
zeichnet. |

Auflödöfung.
Man fuche das Integrale [X dx, welches sich 2 feyn ft.
il das Differenzial von Zix glei dZ1Ix + z° —, fo ift .
Zix = /dZ.lx +s2 =, und demnach
JdZ.\x= fXixlı= Zi — 2.
Auf diefe Art ift die Integration der gegebenen Formel auf bie
tegration des Ausdrudes z° — — zurädgeführt , welcher, wenn Z

e algebraifche Function von x if ‚ feine Logarithmen mehr enthält,
> daher nach den früheren Regeln behandelt werden fann. Laßt ſich
e /X dx nicht algebraifch darftellen , fo nüßt uns die vorige Reducs
a nichtö, und wir müffen uns mit der bloßen Andeutung des In
rales X dx1x begnügen, und den Werth desfelben durd, Nähe:

ig Darftellen ; der einzige Fall X = - ift ausgenommen, denn

ın wird offenbar = lx =: ( ıy +C.

zufas
G. 190. Wenn die Formel xaxiv gegeben iſt, webey V
end eine Function von x bezeichnet, fo findet man auf dieſelbe
ife, wenn SE dx=Z befannt ift, das Integrale jenes Ausdrudes

21V — - /17 wodurch dasfelbe auf eine algebraifshe hormel
ückgeführt wird, ſobald 2 algebraiſch iſt. a SE

— 102 zn
3ufaß 2.

$. 191. Kür den befonbeien- all. = 1x fann man bemerten, |
daß, wenn für 1x— u bie Groͤße V irgend: eine,algebraifche Funetiou
von u ift, die Integration der FormelV = keiner Schwierigkeit uns

terworfen ſey, weil ſie wegen a = du in Udu übergeht, deren. |
" Integration nach dem früheren. Kapitel bewertſteliigt werden kann. |

| Anmer kung.

G. 193. Dieſe Reduction ftügt fid auf den’ Sat, daß, wel“
d.xy=ydx-+-xdy, umgefhrt xy=/ydx -.fxdy, folg ı
lih ‚ydx —=xy— /xdy werde, wodurd) demnach im Allgemeinen F
die Integration. der Formel ydx auf die Integration des Ausdruckes

xdy zurücgeführt wird. Wenn demnach irgend eine Formel Vdx
gegeben wird, und ed läßt ſich die Function V in zwey folche Factor f
ven, naͤmlich V=P.Q, auflöfen, daß das Sntegrale JPdx=$ -
angegeben werden kann, fo wird wegen Pdx=dS offenbar 1
Vde=PQdx=0QdS, und demnach „Vdx= 05 —/S4Q.
Diefe Reduction findet ihre vorzügliche Anwendung, wenn die Formel
J/S4Q einfacher iſt, ald Die gegebene (V dx, und dann läßt ſich die:
felbe auf demfelben Wege auf einen noch einfacheren Ausdruck zurück⸗
leiten. Indeſſen gefchieht. ed öfters, daß uns Diefe Reduction endlich
auf einen Ausdruck führt, der dem gegebenen ähnlich ift, in welchem
Galle die Integration auf diefelte Weife durchgeführt wird. Würden
wir z. B. durch weitere Rechnung auf die Gleichung

ssaQ —=T+ n/Väx geleitet, fo wäre auch
/SVYdx=QS— T—n/Vdx, um demnach) JYdı= 2 =.
Eine folche Reduction Teiftet daher vorzüglich dann gute Dienfte ‚ ’wenn
fie auf einen einfacheren Ausduck, oder auf denfelben Ausdruck führt:
Nach diefem Princip wollen wir nun die vorzüglicheren Bälle behan-

deln, in welchen die Kormel Xdx 1x entweder die Integration geitat=
tet, oder Durch eine Neihe bequem dargeftellt werden kann.

Beyfpieln

ſ. 198. Das Sntegral der Differenzialformel |
x dxIX zı beftimmen, wenn n was immer für eine Zahl
beieichnet

n

— 120 em

sach ap ausdrücken würden, fo wie auch früher der Ausdrud
aro, sin. x in demfelben Sinne zu nehmen iſt, ald wenn man für x ir:
Bend eine Bunction fegen würde. Betrachten wir alfo ſolche Formeln,
Way welchen Sinuffe oder Eofinuffe im Nenner erfcheinen. Die einfady
Rn. find. folgende:

Bo. J. de 3n. 4e, 1. do co p, IV. do.sin.o,
sın, ® cos, o’ sın. oO c03S. 9
ten Integrale vorzüglich wichtig find. Bey der erften Formel wenden
wir folgende Trandformationen an: N
—J— de _ de.sino _ deo.sino _—dx
n: sin, ꝙ — sin. ꝙꝰ — 7cos. gs — —
wenn cos. geſetzt wird; dadurch wird
J de _- —_ :[.ıD —_ ımesg,
sine ·· 1—x a ang"
Für die zweyte Formel feßen wir
dp dp. chip _ dr. con _ d für sing =x,
coos. cos, ꝙꝰ 1 — sin.9? 1 2
ale Sr rn er,
cos. 9 1—ı 1 —sın.o

Die Integration der dritten und vierten Formel wird offenbar
ch Logarithmen bewerkitelligt, es wird daher gut feyn, ſich folgende
tegrale zu merken:

1. [a8 ee MIR 39,

sin. ? 1— cos.o Vı-+-.cos. 9
do „„ı$tsino Vitsia.g Vıtsin.o _ 0 5
1 (ee Visio = 118. (43 * 2,
do . cos. 9 . de 2.0,
Sf sin. o = lsing= ig. 0 = Sdp. cotg.9,
te - 1 cos. 9 = /dp .tg.P.
A Ä c08.9

ieraus erhalten wir durch Addition von III. und.IV.

‚do — Sie — ] 15. 9.
_ sin. . C05.9 cos.ꝙ

— Aufgabe 28.
F. 249. Die Integrale der Formeln

O8. —* oo a
dp.singe ud dg . cos. qm, zu beſtimmen.

. 608, ou sin. gu ur nn
Euter’s Integrafrehnung. 1. Bd. N

— — 1

dı eur ‚
—1ı —_, = X + 37447 +3 3.5 2 hei,
und 57* ee: R elllen. usayiereun
“Ik el— A ee
„x rt DE u — 2
wel ih Integrale ir x verfhwindet. v ei

Denn obgleich 1x dann unendlich wird, fe verſchwindft denneh
l—= «+! 84: 12 +: für ſich, alfo auch ‚wenn; Diele

Ausdruck mit 1(x) multiplicirt wird, denn es ift allgemein x" ix =o0
für ı=0, ſo lange ı n eine pofitive Zeht bezeichuet

|

rt J— nn Ä
Bufapg vo ei: |

$. 197. Segen wir — x— u, wird

dx a du - |

-——_,ıx — — 16 0) ——7 m und. dafe

SE =cturiw tier nu +
Damit dieſes Integral für x=o oder u— 1 betſchwinde— muß
man C gli — — — — 7 — zZ ꝛc. ⸗—I ſetʒzen.
Zuſatz >

F. 198. Setzt man alſo — x=uoder x ru u= J le wer⸗
den folgende Ausdrüce einander gleich ſeyn:

ir. luorlier ie gro E
= — 4 u+r32 + 3W + Bern.
7” — Ix. lu —
— + 3@ + DELL
. . Ä,
Zuſatz 3. '

P

$. 199. Dieſe Reihe wird dann ſehr ſchnell convergiren, wenn
wir x=u= : fehen, und wir finden für dieſen Fall |
tt + <a tz te
wir Fönnen demnach die Neihe
x 4 7x +3? - 53 - 5; 4
nicht allein für x=ı, fondern auch für x == + fummiren. Imierften

Falle ift die. Summe gleich —n im. audern aber =; * (l 2Y.

— 151 um
[4
3ufag a.
$. 251. Der Grund der vorhin erwähnten Ausnahme liegt darin,
il die Sormel ac ——— fuͤr 7 integrabel iſt, denn das In⸗

cos

ral derſelben iſt —

1— 1 cTos. gr!

fe Fälle folgende Formeln:
Sz 9? — cos. ꝙ 1891
q do . sin. o —2 sin. 9? = itg.9t,
cos. 9° ” c0s.9? o
de. sin.o% sin. 9°
— [u 2 — = tg..9°
S cos. 9° ® cos.o° ; s 9
do. sin. 93 sin. 9° ı
—— 1 ı _L z tg. 9%.
S cos. 8 cos. .5r
| Bey ! h iel ı.

$. 253. Die Formel
Die erfie Reduction ar

do . sin, e —_ a do. sin. m
Er c08.9 sin. p + cos. ®
| Gange wir num mit den Sefannten Fällen an, fo erhalten wir

lg,
Pdo. sin. ©

sin, gr ‚ und wir erhalten demnach für

Sin-9® zu integriren.
03.9 ° . “&

* = — 1cos. = *

doing = — sin. +

ra 8 3
p.eing" _ _ 2 gin.or 1sec.
cos. 9 sn? + 0,

Pa 4 " d
9. Sin. o 3 e 8 9
ee Koi

"do. sin. *
cos. y
do. ein.g‘ Ba
COS. ?

d 9. sin, g?
—

— — z sin, p* — sin. 9? + lscc.9,

— + sin.9° — * sin. » — sin. 9 4 — ar

— — 3 sin. 9° — z sin.9° — + sin. 9? + 1lsec,p
3,
g*

um 100 m

saufen:
$. 208, Wenn dy = lu h finden wir auf put
2 1 sdu

für um aber wird

Ser [= (2) —

ı vu an

Weil aber u a Ä
dy= (+: + je + jede),

fo ift auch
y=sYVa+ —uVa+ zevatzzever

ws
<
5
si
=]
ı|
|
u — —

Zzuf a 6 *
$. 203. Durch Multiplication mit VE — erhalten wir demnach
14 *
245 5485 st rn ZFURENARTE: + IG—u),
welche Summe auch gleich

G+VW)IGa+V) Fa —Vo)la—Vo);.
für u= ı wird ee und demnad .

453 7555 tomtemala

4.7

Au fg abe 20.
g. 204. Das Integrale der Formel dy=dP. (Ix)"
su beffiimmen, wenn PeineFunction von x bezeichnet.
| Auflöfung.
Mit Hülfe der oben angezeigten Reduction finden wir
y= P(lx) — /Pd.(ls) = P(ls) — —J (I x)e-.
Setzen wir nun a = Q, fo erhalten wir ‘auf demfelben
Wege

J — =: = Q(lzy' — ef x.

m 107 XC

Fuͤhren wir die Rechnung fo weiter fort, und ſeßen
Pd ’ Rd
weg (E-n; =, —

u ſ. w., fo erhalten wir. für das geſuchte Integral die Gleichung - e

JaP. (ix) = P (ls), — nQ (ix):
+-n(n—ı)R (ix) — n(n—ı)(n—) S(ix)—+ 16;

wenn der Erponent n’ eine ganze pofitive Zahl bezeichnet, en wird dae
Integrale durch eine endliche Reihe ausgedrückt. F
Beyfpiel ı
F. 205. Die Formel xl zu integriren.

Hier it na und P — ‚ alfo
xımtı ımtı
Ray m Rep
wir erhalten demnach
n _mtı (ix2)2 - alx 2.2
/x dx(Ix)’ = x"t — "mr + an]:

welches Integrale für x=o verfchwindet, fo lange m-F-ı> 0.
3ufaß ı.
$. 206... gür x ı erhalten wir. (sm dx (ix)? = ae

‚Aus dem Vorhergehenden aber willen wir, daß, wenn dad /s=dxlx
fo beftimmt wird, daß es für x==o verfchwindet,

—ı
Sx dxix = @M-+ı)
werde, fobald x — ı gefept wird.
| | | Zufaß a
$ 207. Für ms— ı erhält man 2 (1x)?; ed ift demnach
das Integrale diefed Ausdrudes / = (1x)? =! (1x), weldher Fall
allein in der allgemeinen Formel auszufchließen ift.
| Beyfpiel a
F. 208. Die Formel xm—dx(lx)? zuintegriren.
: Seid und P=—, daher

zum 105 am

folglich ift das gefndte Integrale en De
Sesdxd NED [> - oz * in. 3.3 =:
weite Integrale fuͤr x=o serfäwinde, / wenn m>0 ir. R iR
en Zaſatz m Eu

22,6. 20h. Beflimmt man das Integrale ſo, daß es. PR zudem
Ihwindet, und fegt dann zus, fo erhält manı

a dx =:—;j fım"dxılx =

[ze dx(Ix):- = + = und ya ix. * — _! nt,
3ufog =

$. 210, Iſt mo, fo wird daß Sintegrale | — ==) |
welches nicht fo beſtimmt werden kann, daß es für x0 verſchwinden

denn man müßte eine unendliche Größe als Conſtante hinzufügen. Al⸗
lein das Integrale verſchwindet für x=ı.

=
2229

Beyfpiel 3. Ä
$. 211: Die Formel xm—ı dx (ix) zu integriren.

Da bier P=-, ſo iſt — , R=zı sent
Wir erhalten demnach für das gefuchte Integrale Ba |
Jemdxı(lıyy = :
—ym [F- n(Ix)J2-ı n(n-ı) (Ix)2—a _aln-v)(n- 3)(Ix)a—3 +].
m? m?’ m?
r Für m=o aber af nr = —

m A. \
3 ufa ß 1

\

9. 212. Iſt m>o, fo verfhwindet das angezeigte Integrale für
x==0; ſetzt man dann x=ı, fe. findet man das ntegrale
| farm dx (oje + + u

77 =,

wo das obere oder untere Zeichen gilt, ie nachden n eine gerade oder
ungerade Zahl ift.

— 100 ————
Z u f: 6 6. 2. — N
‚$ 218. Diefe Zwendentigfeit fällt weg., wenn man 5Y'
dtatt Ix ſchreibt; dent führt man dann die Integration auf dieſelbe Ak
duch, und feßt x= 1 , fo wird.

Sem dx(| ) — gut,

— — J

| Anmerfung ä
$. 214. ft der Erpoment n eitie gebrochene Baht; fo mird. da⸗
gefundene Integrale” durch eine unendliche Reihe ausgedrückt. Wäre
z. B. =; fo finder man: |

m-—ı d , | . 3 . 3.5 Br -
Sr E tet]
3m? (lx)» . 4m’(Ix)» Emt(iz)e- Er

. » Laßt man x von o bid ı wachfen, fo läßt fi diefe Reife “.
: fo darſtellen;

xm—ı dı ım N 1 1.8
1} V V [= Tome T m Hat I
x x
Iſt der Erponent n negativ, obgleich eine ganze Zahl, fo ſchrei
tet dennoch das gefundene Integrale ins Unendlihe fort; aber man

kann in diefem Falle die Integration auf einem andern Wege bewerf-
dx
lx,

- Fe en

ftelligen, auf weldem man diefelbe endlich auf die Sormel (5

wrüdführt, deren Integration dur feinen Kunſtgriff einfacher ge:
macht werden kann. Diefe Reduction wollen wir in folgendem Pros
bleme lehren. .

Aufgabe 2ı.

$. 215. Die Integration der Kormel dy= *
auf immer einfachere Ausdrücke zur ück zu leiten. 5
Auflöſung. be 0

Man bringe den vorgelegten Ausdrud auf folgende Form:
dx dx —ı ir
dy = Xx u Da nun an = — ſo wird

— Xx 1
sort [=

-

— 150 —

dieſer Reductionsformel kann man ſich sur- Abkürzung der dechnd
mer bedienen, wenn weder 1221 noch v== ı iſt.

.

inmerfung
en 260. Ausdrüde von-der Form Inn enge Toller fi.

durch folgende höchit einfache Methode auf einfachere zurlichfähren.
tiplieirt man nämlich den Zähler durch | sin. 9? 4 cos. 9? = ı, fo
hält man

we do fa do \ Pe u Es a de” «
"JE ym . cos.on ° Sin. m-2, cös, ge in.gm. cos: part

auf diefe Arc fährt man fort, bis endlich im Nenner nur eine: einige
Potenz mi⸗ bleibt, ſo iſt z. B.

kr
I =" Sin. 1 do . cos. do. cos. 9 1 Er.
sın.Q-. COS, 9) c08. 9 no y c089 |

*— do =/ 5 ur, do __ sine — cos.⁊
sin. 92. cos. 92 sin, 2 005.92 rToœ.ẽ sin.o
en!
d / !
Wäre die Formel —5 gegeben, fo kann man, Dakeg

sin.gt.c

die Formel sin.9 .cos.9 = : sin. 20 benigen, man erhält nach

* on do /: do _ ,
= 9271 ——j
sin, (29)2 sin. ou

wenn a = 29 gefehbt wird, welche Formel nach den befannten Vor:
ſchriften aufgelöft wird. Haͤlt man fich alfo an diefe Methode, fo bleilf
rücfichtlich der Zormel dp . sin. 9%. cos. 9”, fo lange m und n gan
pofitive oder negative Zahlen find, nichts mehr. zu wünfchen übrig: be
zeichnen dagegen m und n gebrochene Zahlen, fo laſſen fich weita
Feine Vorfchriffen ertheilen, weil dann die Fälle, in welchen die Jueb
gration gelingt, fich gleichfam von felbft ergeben.

Wie man aber die Integrale, welche ſich nicht darftellen laſen
durch unendliche Reihen ausdrücken koͤnne, wollen wir im naͤchſten Ka
pitel genouer aus einander ſetzen.

Nun aber wollen wir die gebrochenen Ausdruͤcke betrachten, de
ren Nenner à P b cos. 9 oder eine Potenz dieſes Binomes iſt, ‚den:
folhe Formeln fommen in der Theorie der Aftronomie fehr häufig vot-

Aufgabe 3.
9. 261. Die Differenzialformel
grirem.

— — t
ab cos. rn in

— 111 —

— zu sem dı x
Ko

— ın m!xm —
a—ı)dı)e: (n-ı ae” (a—ı)a—3)(n—S)(ixya
Be + : ma—ı xm—ı dg
— — .3.2.1 ix °
Zuſantz.z..

$. 218. Seen wir für n nach und nad) die Zahlen 2, 3, 4...,
erhalten wir folgende Neductionsformeln:

Prm—ı dx __ —ın m. ım—ı dr
dis? — ı “1x
Pam—ı dı om m xm m? xm—ıdx
Ay 5
rm—ıdı — —ım mm m?xm m’ xm—ı dx
um San: — Een — Ama Fam Te

Anmerfung.
$. 219. Diefe SIntegtationen hängen demnach von der Formel

arm "ob, welche free 2, alfo | \

—
wdı= da und Ix=-—1z

die aͤußerſt einfache — zuruckgefuͤhrt wird. Koͤnnte

n dieſes Integrale angeben, fo würde dieß in der Analyſis von groͤß⸗
Nutzen ſeyn; allein noch hat man dasſelbe durch feinen Kunſtgriff
yer mittelſt Logarithmen, noch mittelſt Winkeln darſtellen koͤnnen.
ten ($. 227.) werden wir zeigen, wie ſich dieſes Integrale durch eine

he ausdrücken läßt. Es ſcheint alſo, daß die Formel Sr — eine

mdere Gattung von tranfeendenten Zunctionen darbiethet, deren
wicelung einer genauern Betrachtung allerdings würdig ift. Die:
e tranfcentente Größe kommt aber auch häufig vor bey den Integras
‚en der Erponentialgröfen enthaltenden Ausdrücke, welche den Ge⸗
ftand des gegenwärtigen Kapiteld ausmachen, befonders da dieſel⸗
mit den Iogarithmifchen Größen in fo enger Verbindung ftehen, daß
eine Gattung diefer Größen leicht in die andere verwandelt werden

1. So z. B. wird die eben betrachtete Formel =, wenn lz x,
ze: und dz = e* dx geſetzt wird, umgejtaltet in die Erpos

u ‚1.12 me

nentialgröße e* =, deren Integration alſo denſelben Schwierigkeiten

unterworfen iſt. Wir wollen demnach nur. ſolche integrable Formela
entwickeln, welche ſich durch Feine leichte Subſtitution auf eine
braifche Form zurückführen laffen, Wäre z. B. V irgend eine Zuncti

von v u v as, fo würde die Formel Vd x wegen x = ” 7

dx = übergeben in X, welcher Ausdruck růckſi ichtlich der

X
Variablen v algebraifch iſt. Wir übergeben demnach. hier ‚bie: Auf
drüde von der Korm ardxı weil diefe für ar = y Feine Scätie
Yı 4 aux — zu
rigfeit darbieten, | oo: V——— J
: Aufgabe 22. J !
. $. 220. Man deftimme das Integraleder "Dirk
renzialformel a Xdx, bey welder X irgend eine
Sunction von x bezeichnet.

Auflö ung 1. Br
Weil d.ar = a" dxla if, fo ift umgefehrt [a dx = = tn

zerlegt man demnach den gegebenen Ausdruck in die Factoren x. ar ds, 3
fo erhält man durch Reduction: N ®
y
1
ja Xıı=_a x — — Sa dX. F
Segen wir ferner dX= Pdx, damit |
x 1 x — ı x N
JePdı= _ aP „fj/adP |

werde, fo finden wir die Reductionsformel:

1 1
era iz Pt

Für dP = Qdx ſinden wir ferner

R —— fa dP,

e
4

| u | |
je Xdx ar x— ap: z P + (la) a Q RD
und fo kann man weiter gehen, indem man dQ—=Rdx ‚dR=Sdx, “

ſetzt, bis man endlich auf einen Ausdruck kommt, der entweder an
und für ſich integrabel ift, oder in der möglich einfachften Geſtalt er-

fheint. | a)

— 150 —

.. —b — ab . a? + bt
.4 =; _p’ B * aa ( 75 m En aa (a? —b?)

Den wie; und auf ähnliche Art kann man zu den höheren Poten⸗
Ben fortgehen, obgleich diefe Arbeit nicht gar angenehm iſt.
j. Bolgende Methode aber fheint am Teichtefien zum Reſultate zu

14 f .
jr Man betrachte nämlich die allgemeinere Form en,
ehe

£ do(f-g cos.) A sin. o da(B+-C cos. 9)
Sen - Ho (a + b cos. g)a 9)n Ay ee (a + b cos. 9)* .
Differenzüirt man diefe Gleichung, fo erhält man
at g cos.9 = A cos.9 (a--b cos.9) + nAb sin. 9?
+ (B-F-C cos.9) (a+b cos.9),
weiche Gleichung wegen sin. 2 = ı — cos. ↄ2 folgende Form erhält:

— f — gcos.9 + Ab cos. p:
0,

+ nAb + Aacos.9 — nAb cos. 9%
+ Ba--Bbcos.9 + Cb cos.p
+ Cacos.p
woraus man, wenn die einzelnen Glieder So gefegt werden, folgende
Gleichungen erhält:
ag—bf ; af—bg — (n - ı)(ag—bf)
ey’ B= am und C ei)
Man erhält demnach auf diefe Weife ande Reductionsformel:
dolf+geosg) _ (ag—bf) sin.
(a-+ b cos. o)Jetı —n n (a2 — b3) (a h cos.
4 1 * ſn (af — bg) + (n—ı) (ag— bf) cos. A,
n (a2 — b2) (a-+b cos. 9)n
y . do(b-++-k cos. p) . .
Mdurd) man endlich wu die sn ı — — geleitet wird,
—ak do .
seen Integrale = E 9 4 oa Ib os nad) dem Vorher
gehenden befannt Fi Übrigens abe ift Har, daß immer k= 0 feyn
werde. |

Anmerftung 2.
$. 265. Man ftößt öfter auch auf Formeln, in welchen überdieß
die Erponentialgröße e@?, welche den Winfel @ im Exponenten bey fich
fühet, erfcheint. Wir mülfen nun die Behandlungsweife diefer For⸗

zu= 1/5 mm

Sehen wir hier fir n nach und nach die Werthe o, ı,2, 3 u. !
fo erhalten wir, da im erften Falle die Integration befannt ift, fi
gende Integrale: | ar

fedi=...®ı

ı 1
es, ton

er

1 2 2.1 .
Serdo _ert— dar + dp

1 3 3.2 3.3.1 x
erden, art zeit ag RT

u. f. mw.
Wir ſchließen demnach allgemein für jeden Werth des Erponenten n:
E Ja x dx = |

ar | | nem n (n—ı) xn-⸗ __a@m—ı) (n— 32) 223 (n—ı) (n—2) xa—3
ma FE (la) + . (la)> ° (la)+ ++ J

zu welchem Ausdrucke noch eine willkürliche Conſtante hinzugefuͤgt wer⸗
den muß, um das Integrale vollſtaͤndig zu erhalten.

3ufas.

$. 224. Sol diefes Integrale fo beftimmt werden, daß es für |
x=o verſchwindet, ſo erhält man: |

Jedı= —® — 5—,
ſats x dx = a a Ta Fam | |
Su xdx= a -mte-5] 3a

(1 a)*
u. ſ. mw .
Beyſpiel a
$. 225. Das Integrale der Formel für jeden
. ganzen pofitiven Werth vonn zu beflimmen.
Hier fünnen wir bequem die zweyte Aufloͤſung anwenden, indem

wir daſelbſt X = = arte P= feßen, wodurch die Ne:

— 1
(n—ı) xa—ı
ductionsformel |

' — 115 mem:

adı x — ar la —

xn — (n—ı)xa—ı + — /=
erhalten wird. Es ift demnach Flar, daß diefe Formel für n — ı zu
feinem Refultate führt, denn es findet dann der oben erwähnte Fall

ardz Statt, welcher eine befondere Gattung von tranfcendenten

| Functionen in fich begreift. Betrachten wir diefe ald bekannt, fo finden
wir folgende Integrale:

ar dx ax la ar dx
f =C— + — -—,

x? L-X 1 X
Sax dx _ ax ala (la)? azdr
S x3 =0— 3.12 2. 1.x + a. x
adı at arla ax (1a)? (la)? fTadx
S 14 20 3.x3 3.2.x° 3.2.1.X + fe '
und daher allgemein: |
azdı
>
c a ar la ar (1a)?
Tan) (m-i)in— 2) (n—ı)(n—a)(a—3) a3

ax (la)n 2 + ‚( aya—ı ax dx
— (a—1)(n—2)...3.2.1.x - &-ı)lann2)...3.2.12 x °
-Bufag n.
. 226. Betrachten wir alſo die tranſcendente Groͤße Sf a: dr
\ x
als befannt, fo Fönnen wir die Formel a”. x” dx infegriren, ed mag

m eine pofitive oder negative ganze Zahl feyn. In jenen Fällen hängt
übrigens die Integration nicht von diefer neuen tranfcendenten Größe ab.

Zuſatz =
$. 227. Bezeichnet m eine gebrochene Zahl, fo ift Feine der bey:
den Auflöfungen zureichend, fondern jede derfelben gibt für das Inte:

| grale eine unendliche Reihe.
Waͤre z. B. m — 2, fo erhalten wir nach der erften Auflöfung |

adı — 1.3 1.3.5 ,
SE- Iraste tet Vet6

ea . 4x2(la)>
nach der zweyten Auflöfung aber:
a: dx ax 42la , Bxsla)? ı6xtda
f yx = + Ak 3 * 1.35 357 ’ |.
g *

zum 152 m
Unmerfung.

.. 253. In den übrigen Faͤllen rückſichtlich des Nenners wird
Integration durch folgende Reductionen zu Stande gebracht:

do.sin.gm sin. gm tı .
og — | eos — m/dp .81n.9®,

d m 1 ° m+ y — 0 } 0
9 . sin.o 0 hi _® [= sin 2,
cos, 9° 2 co8. 9° 2 - £03.9
f® ‚sin. gm ı sin.gmtı m—ı de . 808. 9
— — — — — ———— —— —— ————— — G —— /

cos. ꝙ 3° cos. 9° 8 cos, g?
do . sin.gm — sin.gmtr m—3 / dp. sin.gm
cos. 0° 4 * tos. 9° — 4 cos. a’ ‘

.

Beyfpiel..
$. 254. Die Formel — zu integriren.
Nach der zweyten Reduction erhalten wir, weil mo iſt:
Se He jan
Weil nun die einfachiten Fälle
Sig= und Sa; = 11g. a4: $)
bekannt find, fo laffen ſich alle folgenden Faͤlle auf dieſe zuruͤckfuͤhr

do _ sin. )
cos.

©
o©
“
6

/[ ı sin.o + 1 do
cos. 9° 2 c0s,9? 2 cos.ꝙ
do ı sing 2 sin.o
SE 3° cos. 9° + 3 —
de ı sing 4 1:3 dr
c08, 99 4 cos.o4 2.4 cos. 9? 9? - c08.9 J
. de ı sing :, 21.4 sino 2.4 sin
cos. 98 5° — +3: + 37 -

c08. 95 3.5° cos. 93 3.5°c0sQ

Zufaß ı .
$. 255. Auf ähnliche Weife werden folgende Sntegrationen

0. en 117 mem

at zutsla zat3lla)2

erdemcH + sets da)

. (042) +5 (2a-+3) + 1.2 3041
cbey zu bemerken daß, wenn n a eine ganze negative Zahl ift, wenn
imlich n= — k, 1x flat — = gefept werden mülle.

Beyfpiel 3
$. 230.
endlihe Reihe darzuftellen.

Nach der erften Auflöfung erhalten wir, wegen
1 daxX ı dp 12.2

*

x - dr a’ erg
, do 1.2.3 Fi
RS (u—ı).?
gende Reihe:
S=
- —
1—-x

1.3 1. 2-

1 1
(1 - x)la — (1—ı)? (la)? + (1—x)} da) (i—x)? Tan +.
Werwandelt man ar oder — in eine Reihe, ſo werden noch

jere Reihen gefunden. Die bequemſte Form aber wird durch die An—
me einer Reihe erhalten. Der Kürze wegen nehmen wir e flatt a,

dd
nit le= ı werde, und fegen dy = — oder

) 12 x3 14
1—Xx — ]) — % mm — — ———— —— —— —— ü— ou OÖ,
( 1.2 1.2.3 1.2.3.4 .

Nun nehme man für y folgende Reihe an:

= (EA 4 Br 40H + Dx’ +Ex Fx’-.,
erhalt man durch Subftitution:

B-- 2Cx + 3Dyx? 4 4Ex’ +5Fyt +...
.ı {4a 01 —: —; — 7
Hieraus ergeben ſich folgende Beſtimmungen:
B=ı E=;(ttı3: tr)
= (1-1) F=;(b+tı+:+:r5
ſ. w.

D=;h+tıFt3r u.

— 115 —

Aufgabe 23.

F. 231. Das Integrale der Differenzialformel
dy = xudx durch eine unendliche Reihe darzuftellen.

—

Auflöfung.
Am bequemften gelangt man zum Ziele,. wenn man die Exponen-
tialgröße x®= in eine unendliche Reihe verwandelt, Es ift nämlich
| ar n?x2(] ” n>x3(lx)3 n° 4 (1x)*
stosı nxlx — +7. 1334T1°

Multiplicirt man Bee spe mit dx, und integrirt die einzelnen
Glieder, fo erhält man;

fixox;

Sxdxlx = x? (2 — =);

Ss: dx (ie)? —x° [| + I;
seien 4 *

and

4 4 MM
Ix)4 Ix)3 3(1x)2 * 1 3.
JS dx (a)? —x° 5 2) 1 +4 I_ 4.3.3 rn 2.1
| u | mw |

Subftituirt man diefe Reihen, und ordnet das Refultat nach den
Potenzen von Ix, fo wird das gefuchte Integrale durch folgende un⸗
endlich viele unendliche Reihen ausgedrückt:

n? x? n3x° n‘ı4 I
y= S"dı—_ + (1-74 33 oa tr u)

nı? 1x 1 nx n? x? n’x3 _ ntx4
77 (-F+97- 5 re)
n?x3 (1x)? /ı nx., n?x?. n3x3. nt Ä
7 are rn -%)

n’xt (1x)? /ı nx nt: — —
+ 3.35\ı 5 ta 8 =)

or
welches Integrale fo beftimmt ift, daß es für x o verfchiwinder.
3ufag.

6. 232. Bührt man nad) diefem Gefege die Integration durch,

und ſetzt x = ı, fo iſt der Werth des Integrals /xd x gleich folr
gender Neibe:

— 110 —

ns
+5 rate

welche wegen der Käönen Form ihrer Glieder allerdings merkwuͤrdig ift.

Anmerfung.

. 233. Auf dieſelbe Weife findet man das Integrale folgender
gormel:

yäfs-ı=dxm/ımdx ( — —— + au — +. )-

Durch Integration der einzelnen Glieder ander man:

ymtı

[ı= dx = mp

lx ı
Js"ti!'d<ılı = aut ( — ar); -
(x)? alx 2.1
mar3 m — — —— — I,
Jet ar art (I a + a)

1 “
. famt3 de (Is) = ut ( IAxyr +3: alz 3.3 er)

— ——— nn en. Al —

m+4 (m+4)?
ic.

Wurde man demnach das Jutegrale fo beftimmen, daß es für
x==o verfchwindet, und fegt dann x ı, fo wird der befondere Werth
der Integralformel x” x” dx durch folgende merfwürdige Reihe aus»
gedrüdt:

(m mty

1 n n? n? n®
an ar ta aa ta

Es fällt von felbft in die Augen, daß diefe Reihe unbrauchbar
werde, fobald m eine ganze negative Zahl wird.

Andere Benfpiele von Erponentialformeln füge ich nicht bey, weil
die Integrale derfelben gewöhnlich in einer zu wenig eleganten Form
erfcheinen. Übrigens ift die Methode, fie zu behandeln, hier hinrei«
hend aus einander geſetzt. Inzwifchen verdienen dennoch jene Formeln,
welche an und für fich die Integration zulaffen, und welche in der Form
ee (dP -+- Pdx), deſſen Integrale offenbar e* P ift, enthalten find,
eine befondere Aufmerffamfeit. Allein in diefen Fallen ift es fchwer,
Regeln für die Beftimmung des Integrald anzugeben, und gewöhnlich
fommt das meife auf ein glückliches Errathen an. Wäre z. B. die For
esxd
+
wenn ed anderd möglich ift, die Form er haben werde. Das Dif:

mel — Gr = gegeben, fo ift e8 Teicht zu vermuthen, daß das Integrale,

— 120 um

ferenziale dieſes Ausdruckes iſt te, weiches, mit
der gegebenen Differenzialformel verglichen ,
dz(1ı+-x) + xzdx=xdx

gibt, woben fogleich in die Augen fällt, daß z= ı fey; wäre dieß
nicht für fich Flar, fo fönnte dieß mit Hülfe der Regeln nicht fo Leicht
ausgenittelt werden. Wir gehen daher zu einer andern Gattung von
tranfcendenten Größen, die bereits in der Analyſis aufgenommen find,
über, welche entweder Winkel, Sinuffe oder Zangenten enthalten.

zum 7123 um

Rapiten v.

m ber Integration. der Formeln, welche Winkel oder Sinuffe
der Winkel enthalten.

Aufgabe »4.

$. 234. Die Differenzialformiel Xäxarc.sin.x zu
tegriren.
uflöfung. -

Da à. arc. sin. x — = fo gerlege man die gegebene

1 —
rmel in Die Factoren arc.sin.x. "Kar Wenn nun Xdx die In»
ra togsuläßt, und ‚Xdx==P ift, fo wird dad gefuchte Integrale.

VXdx arc.sin.x = P arc.sin.x — Pdx — ——

V
d ſo iſt die ganze Rechnung zurückgeführt auf die Integration einer
jebraifchen ſormel, wozu die Vorſchriſten ſchon oben gelehrt wor⸗
ı find, ’

Wäre übrigens X == = fo wiirde offenbar das Integrale
1—X

d . .
| fF = arc.sin.x = * (arc. sin.x)?
1 —ı?

n, in welchem einzigen Falle das Quadrat des Winkels im Integrale
heint.

_ Beyfp i el ı
F. 235. Die Formel dy = x" dx are. sin. x zu inte
iren. |
. ntı , En
ReilP= /ıdı = — iſt, ſo erhalten wir

xutı . 1. xatı dx
= — arTc. SID. X — — — —⸗
n-+ı n- 1 Vı—ı?

ir erhalten daher mit Hulfe des (. 120 für die verſchiedenen Werthe
nn folgende Integrale:

xarc.sin. x = xarasi. x + Yı— x — ı,

(dx arc. sin. x= ! xtarc,sin. x ZxyYı —x? — 4 arc.sin.x,

\

— 722 mm

Sx:dx arc.sin.x = ;z°’arc.sin.x+- x +9 xt 22, |

Sx’ dx arc. sin.x = }rtarc.sin.x +} ( x? + — —AA

1 F z. ain. x,
— 7 7. 470 sin. ‚ 1
welche fo genommen find, daß fie für x==o verfchwinden. E
Beyfpie J 2. | E
$. 236. Die Sormel dy = — = arc. sin. x ju inter %
1— x
griren. , .
Da u 1x? =:P ift, fo wird das 8 gefudhte ER
Vı— |
Integral ſeyn
V
y-C— exe. ein. x 2.

1 — ——
und ſo erhält man |

arc. sin. x= C — Yı-— xtaresi.x + x

—

— — — —R

| Wegfpiel 3.
$. 237. Die Formel dy=

arc. sin. x ZU ih .

Denn ba d.arc.cos.x =

7 fo erhalten wir, wenn /Xdx=P.

. (1— x2)>
tegriren.
Hier iſt P dx ’ und hieraus folgt
(1 — xyt ı—ı?
x ‚ıdı
y- arc. sin. x — — oder
7 — ı2 1 ö |
y= > arc, sin.x = - arc, sin. x + 1 vı— — x⸗,
(1 —ı2)2 Vi —_ı? |
welches Integrale für x=o verfchwindet. F
Anmerkung.
$. 238. Auf ähnliche Weiſe integrirt man die Formel
dy = Xdxarc.cos.x. |
\
|

1 —
geſetzt wird:
p dx

Vie"

y= Parc, cos.x 4

Eng AR "oz

J — 4123 —

Waͤre die Formel dy= Xdx are. tg. x gegeben, fo würden

wir, weil d.arc.tg.x = ar für /X4x = P folgendes In-
tegeale erhalten:

y= [Xdxarc.tg.x —= Parc, 'E- x: -[FE
Wenn fi) alfo das Integrale X dx algebraifch darftellen Täßt,
fo wird. jedes Mahl die Integration auf eine algebraifche Formel zu-
rückgeführt, und man kann die Arbeit als vollendet anfehen. In die:
fen Formeln erſchien der Winkel, deſſen Sinus, Coſinus oder Tangente
=x war; nun wollen wir auch ſolche Formeln betrachten, in welchen
dad Quadrat oder eine höhere Potenz diefes Winkels erſcheint.

Au f gabe 25.

F. 239. Es bezgeichne 9 den Winfel, deffen Sinus
oder Zangente irgend eine Function vonx ift, fo daß
dp=udx werde, und es fey die Formel dy=Xdxpr
gegeben, deren Integrale zu beftimmen ift.

Auflöfung.
Es jey Kdr- —=P, ſo daß dy= g"dP ift, fo erhalten wir
durch Integration
y= grP — nygr-ı Pudr.
Auf ähnliche Weife fege man YPudx = Q, fo wird
Sp Pudx = gQ — (n— ı) (9 Qudx,
und für SQudx—R erhält man
SP Qudx == g-:R — (n— 2) /9"-3 Rudx.

Auf diefe Art wird der Erponent von p immer Fleiner, bis man
endlich auf einen Ausdrud kommt, der Fein 9 mehr enthält. Dieß wird
immer möglich feyn, fobald n eine ganze pofitive Zahl ift, umd man
fann nach und nach’ die Integrale /Xdx=P, Pudx = Q,
JOudsx=R :e. fegen. Gelingen diefe Sntegrationen nicht, fo ift
auch die gegebene Zormel nicht integrabel.

Beyfpiel.
F. 240. Es fey 9 ein Winfel, deffen Sinus =x ıfl,
alſo de = — man-infegrire die Sormeldymgrdz.

1 — x:
%

zum 7125

Es ift demnach hier RX⸗i, P=x, = Pdı = —_y hi

4 nd VYı—ı 1
1— x? VIE >

u. ſ. w. Mittelft diefer Werthe erhält man nun
y=/p dxı=g"x + ngumyı— x? — n(n— ı)p°*x
— n(n—ı)(n— 2) gaayı ⸗ + “. .
‚Für Die verfchtedenen Werthe des Exponenten n erhalten wir:
Spdxe or Vi —x —ı,
JSPdix= pr agYı_ı — 2.ıx,
SPdx=px+ Z3oryı x: — 3.29 — 3.2.1Yı x +6 .
x.
‚welche Integrale fo beftimmt find, vo fie für x=o verfhwinden.

| Anmerfung.
$. 241. Wäre Xdx—=udxr dp, fo würde dad Integrale

der Formel 9 do gleich - - et feyn; eben fo, wenn © irgend

eine Function des Winkels & bezeichnet, bat die Integration der For«
mel Sudx = Hdp feine Schwierigkeit. |

Weit ausgedehnter find die Formeln, welche Sinuffe, Coſinuſſe
und Tangenten der Winfel enthalten, deren Integration durch die um⸗
gefehrte Rechnung von fehr auögebreiteter Anwendung ift, indem vor
züglich die Theorie der Aftronsmie auf folchen Formeln beruht. Die
erften Grundfäge müffen aber aus der Differenzialrechnung genommen
werden. Denn da

d. sin. n 9 = ndp cos. n9; d.cos.np == — ndpsin.n9;

d nd
d. tg. na — — tt;
50? cos.2no’ d .· cotg.nꝰ ̃ no”
1 —ndocos.no - 1 __ ndosin.n®,
" sin. no — sin.?ne ? “ cos. no — cos.ꝰ n ꝙ

ſo erhalten wir folgende einfache Integrationen:

Sdp cos. n9 = - sin.no; JIp sin.ng = — - c0oS.0n9;

do ı do 1
SH = n tg.n9; = — = cot. n9,
do cos.np 1 dosin.no __ 1 ,
ning * — 11 sin.no’” cos.2ng — n cos. n ꝙ

-

U

— 7125 um

woraus ſogleich die Integration der Differenzialausdrüde von der Form
do(A-+B00s.9 4 C cos. 29 4 D cos.39 -- E c08.49 2.)
erhellt, Denn offenbar ift das Integrale
| Ap—+-Bsin.p + ;Csin.29 - D sin. 39 + ;Esin. ot.
Hiebey können auch die in den Elementen aufgefkellten Säge über

die Kreiöfunctionen zu Hülfe genommen werden, nämlich:

sin. a sin. ß == + cos. (a—ß) — #cos.(a-+-ß);

cos.a cos.ß = 2 cos. (a—ß) + + cos.(a+-Pß);

sin. a cos. ß sin. (a-+ß) + * sin. (a—ß)
sin.(@+-ß) — * sin. (ß—a);
wodurch die Producte mehrerer Sinuffe und Cofinuffe in einfache is
nuffe oder Cofinuffe aufgelöft werden.

l 1

au fg abe 26.
$. 342. Die Formel dp.sin.p" zu integriren.

Auflöfung
Dan bringe den gegebenen Ausdrud auf die Form
sin. 9=—: dp sin,9, fo ift, weil (dp. sin.p = — C08.9,
‚Sdg . sin. p? = — sin. 97! c008.9 + (n—ı) . /dp sin. 9"? c0s,?9.
Da nun cos? = ı — sin. 9 ift, fo erhält man |
fd . in. 9 =
= — sin. 921 008.9 (n—ı) /dg sin. g = — (n—ı)/dp sin. 9,
wobey das Iebte Glied den gegebenen Ausdruck felbft enthält; wir er:
halten demnach folgende Reductionsformel:

Seine — - - sin. 95-1 cos. + —— dp sin, pn—®,

wodurch die Integration auf die einfachere Bormel dp sin. 97? ges
bracht wird.

Weil demnach die einfachften Falle

Side . sing —=9 und Sdp.sin.g = — C0s.P
befannt find, fo erhalten wir, wenn wir nach und nach zu ven höheren
Erponenten fortfchreiten, folgende Formeln:
Sip.sing’ = 9,
fdp . sin.9g = — (08.9,
Sdp. sin. = — !8in.9.c0.p +39,

— —

— 120 —

Vd 9. Ming? = — 8in. 92. 006.P — 3 cos. 9,

Sp . sin.9 = — 7 8in.9°. cos.9 — 22 sin.9.Cco,. 9 + — 2,
Sdp. sin.95 = — z sin. 9%. cos. 9 — 22 sin.g? . C08. —

36

Sdp. sin. 0 = — z sin.p°. 008.9 — 7Zsin. 9° cos. 9

1.3.5 1.3.5
— 37. ein. 9.008, 9 + Fr
ic. |
| 3ufaß ı.
$. 243. Iſt m eine ungerade Zahl, fo wird das Integrale bloß
dur) Sinus und Cofinus ausgedrückt; iſt aber n eine gerade Zahl, fo

enthält das Integrale überdieß den Winfel felbft, und daher iſt die
Function tranfcendent. |

Zuſatz 2.

u Zu

$. 244. Zür die Faͤlle, wo n eine ungerade Zahl ift, iſt beſon⸗
derö noch zu bemerken, daß bey dem unendlichen Wachfen des Winkels '
oder Bogens 9 das Integrale. dennoch eine gewiſſe Gränze nicht über:
fohreiten Fönner da es doch, wenn n eine gerade Zahl ift, ohne Ende
waͤchſt.
Unmerfung.
$. 245. Auf ähnliche Weife behandelt man dp. cos. p", welche
auf die Form cos. 9-1 dp .cos.p gebracht, die Gleichung
| Vd . cos. -
cos. 9°! sin.p 4 (n—ı) /dp cos. 9°? sin. 9?
== cos. px! sin.p 4 (n—ı) /d® cos. pa — (1) fg cos. p%
darbiethef, aus welcher die Reductionsfvrmel

ı . ' n—L1
Sdg . c08.9° = - 8in.p cos. pr + — Sd9 . cos. 9°
erhalten wird.

Da nun für n=o und n=ı die Integration befannt ift, fo
erhalten wir durch Zortfchreiten auf die höheren Potenzen:
dp .cos.g=9,

SAY . 008.9 = sin.9,
Sig . cos. 92 = : sin.p 008.9 + 79,
Sd9 . cos. 9° = ; sin. 008.9? + 5 sin. 9,

- ..

mu: 127 me
iu 1.3 . BE Le Euer
ꝰ · cos. ↄ. mu zsin.p c08.9° + A ein.p 9
|9.cos. 9 = #sin.p cos. 9? + 2° sin.9 cos. *43 sin.p,
19.08, 9° = zsin.p cös. 95 + 2 sin. 9 cos. 93

1.3.5. 1.3.5
900 P

%,

Aufgabe «7.
(. 246. Das Integrale ber Formel dp sin, p= cos. g*
ı beftimmen.

Auflöfung.
Um leichter zum Ziele zu Eommen, betrachten wir das Product
1.9 cos. 9”, durch deffen Differenziation
pdg sin. gE" cos.g’T! — yde sin, vr cos. .
alten wird.

Se nachdem nun im erften Theile cos. 9 = ı — sin.9*, oder
zweyten sing? = ı — cos. 9? gefeßt wird, erhaͤlt man entweder

d. sin. h cos. ꝙ9
Af sin.gE1 cos. PT! — (a „a do sin. gFT? cos. -1
er d . sin. 9 cos. 9 = |
— vdop sin. gF" 005, 4 - (u--v) dpsin. pl" cos. 9 +,
Hiedurch erhalten wir folgende zwey Reductiondformeln :

Sdg sin. ger! cos." — — sin. pP" cos. 9”

ı
„’ +?
+07 Sf dp sin, pH! c0s,9’—",
Jdg sin, pP! cos. pt! —

+ —— fd sin. g FT! cos. 9’,

iher wird die gegebene Formel Yan sin, 9” cos. 9% nad) und nach
mer auf einfachere Potenzen fowohl von sin. 9, ald auch von cos.p
üdgeführt, bis eine dieſer Größen entweder ganz verfchwindet, oder
r in der erſten Potenz erfcheint, in welchem Salle die Integration.

- sin. pP cos. 9

eſ 128 — |
für ſich klar ift, weil

Sio sin. g= cs = ar sin. get! und

SI P sin, ® 008, Dr — cos, geti iſt.
Beyſpiel.

F. 247. Die Formel dp sin.9°% cos.9° zu integrirem
Nach der erften Reductionsformel erhalten wir wegen a==7 und”
8 2 ' ö
/d® sin. 9° cos. 9’ = — 7J sin. 97 cos.9°--7 dp sin. 9° cos. 97; _
dieſen Tegteren Ausdrud wollen wir nach der zweyten Reductionsformel |
behandeln, wodurd) Ä
[do sin. 9° cos. 9’ = ;; sin. 9’ c08.9° + , /d’9 sin. 9° cos, 9° i
erhalten wird. i
Auf diefem Wege erhalten wir ferner
‚do sin. 9° cos. 9 =— 4 sin. 95 c0s.9°+ #; /d9 sin. 9* cos. 9°,
SAH sin.P* cos. 9° = z sin.9? cos.9* + # /dP sin. 9* 008. 9°,
SAP sin. 9* cos. 9°? = — ; sin. 9° cos.9* + * fd sin. 9° cos. 9°, |
SAP sin. 9% 008.9° = ; sin. 9° co8.9? + 3 /d 9 sin. 9? cos. 9,
Sd® sin.9 cos. = — z sin. cos. 9? -- 5 /dpcos.9(4-# sin. p).

Sieraus finden wir dad Integrale der gegebenen Formel, nämlich.

‚dp sin.®® cos.9’ = — 75 sin. 9’ cos. 9° h
1.7.6 |

1.7 = 047 6 . 5 6
+ 3.3 sin. D’ CO8s.® 5.15.17 910.9’ 008.0

1.7.6.5.4. 3 u
15m cos. p!

1.7.6.5.4.3.23
15.13.11.9.7.5.3

1.7.6.5
+ 19.13.11.9
1.9.6.5.4.3
* 15.13.11.9.7.5
1.7.6.5.4.3.2
* 15.13.11.9.7.5,8

sin. 9° cos.9* —
sin.9° Co8.9? — sin. 9 cos, p'

sin, D.

Unmerfung.

- $. 248. In folhen Fällen ift es aber immer beffer, das Produkt |
sin, = cos. pr in Sinuffe oder Cofinuffe der vielfachen Winfel aufzu-
loͤſen, wo dann die einzelnen Theile fehr Leicht integeirt werden Fönnen.
Übrigens habe ich hier den Wintel bloß durch 9 angedeutet, und die
Sache würde nichts an Allgemeinheit gewinnen, wenn wir ihn auch)

|
|

S

— 129 —

durch ap 4 B ausdrücken würden, fo wie auch früher der Ausdruck

ara. siu. x in demfelben Sinne zu nehmen iſt, ald wenn man für x ir:

} gend eine Function fegen würde. Betrachten wir alfo ſolche Formeln,
hey welchen Sinuffe oder Cofinuffe im Nenner erfcheinen. Die einfach:

fon. find- folgende:
1. C; mar, m dee, y. leer,
sın, ? cos, o sın.o 03.9 .
deren Integrale vorzüglich wichtig find. Bey der erſten Formel wenden
wir folgende Trandformationen an: \ .
de ._ do .sino — de .-sino - — dı
sin, o "sin. —* 1--C03.9% * —7
wenn Cc0s.9 =x geſetzt wird; dadurch wird
do __ ajıtt _ . eos
sin.’ ir 7 71 1 cos. **

Für die zweyte Formel ſetzen wir
do _ do.cos.o do. cos.o

— Be — emp — — — si . = x |
c08.9 cos, o? ı — sin. 9? _ io für n.7 ‚
f do ejıtr _ ter
alſo cos.” EEE T⸗ 1—sin.o

Die Integration der dritten und vierten Formel wird offenbar
durch Logarithmen bewerlſtelligt, es wird daher gut ſeyn, ſich folgende
Integrale zu merken:

1. [a8 — — Fi ⁊ = VE gie,

sin. 9 | 1- 608.9 Vı-F cos. o
u. (a er Voten rg. Hip,
008.9 . 1—sin.o Vı- sing
TIT. dp. co} _ sing ar ao ceig.p/
sin. o u 15.2?
v. et = — 10089 = Sdp.tg.P.
fi 608.9

Hieraus erhalten wir durch Addition von III. und.IV.

de Se? — 1t,9.
. „Jsin.g . cos. ꝙ cos. 9 »

Aufgabe 28.
6. 249. Die Integrale ver en

. C08. om en 1
dp. sim et und 2 zu beftimmen,
. 695.90 . sin. gu EEE 5
Euter’s Integrafrechnung. 1, Bd. 9

— 125 —

für ſich Mar iſt, weil |
fa ® sin. 9” cos. = ar sin, o=t ı und

Sd® sin,® cos. 9 = - 77 - 008, pet iſt.

Beyfpiel.
$. 247. Die Formel do sin.9° cos.97 zu integrirem
Nach der erſten Reductionsformel erhalten wir wegen a==7 und
yaß
Sd® sin. 9° cos.9’ = — 7J tin. 9’ cos.9° +, fd 9 sin. 9° cos. 97;
dieſen Tegteren Ausdrud wollen wir nach der zweyten —E
behandeln, wodurch
dp sin. 9° cos. ;, sin. 9’ C08.9° + — /dP® sin. 0 cos. 9°
erhalten wird.
Auf diefem Wege erhalten wir ferner
do sin. 9° cos. rin 9° cos. 9° —— sin. 9 cos. 9°,
Jdp sin. p* cos. # sin.95 cos.9* + 2 /d9 sin. 9* 008. 9°,
[49 sin. 9* cos.9° = — ; sin. 9° cos. 9* +: 2 fd9® sin. 9? cos. 2
d ꝙ sin. 9° 008.9° = z sin. 9° cos, 9? 4 3 /d 9 sin. 9? cos. 9,
SP sin. 9 cos.9® = — z sin. 9 cos. 9° + /d9cos.9 (+ sin. @).
Hieraus finden wir dad Integrale der gegebenen Formel, namlich
d ꝙ sin.9% cos.9’ = — 7 810.9’ cos. 9°

1.7.6
3.13.27, Sin. 9° cos. p°

4 = — sin. D’ c0s.9° —

.7.6 .5.4
1.7. 6.5.4.3.3

..1.92.6.5
+ 15. 13. 11.9
1,7.6.5. 4.3
* 15.13.11.9.7.5
1.7.6.5.4.3.2

sin. 9° cos.9? — sin. 9° cos. 9*

sin.D° cos.0? — sin. 9° cos, ꝙꝛ

Anmerkung.

- 5.248. In ſolchen Fällen iſt es aber immer beſſer, das Produkt
sin. = cos. 9° in Sinuſſe oder Cofinuffe der vielfachen Winfel aufzus
loͤſen, wo dann die einzelnen Theile ſehr leicht integrirt werden können.
Übrigens habe ich hier den Winkel bloß durch 9 angedeutet, und die
Sache würde nichts an Allgemeinheit gewinnen, wenn wir ihn auch

n

— 129 —

durch ap + PB ausdrücken würden, fo wie auch früher der Ausdruck
aro. sig. x in demfelben Sinne zu nehmen ift, ald wenn man für x ir:
‚gend eine Function fegen würde. Betrachten wir alfo folche Formeln,
hey welchen Sinuffe oder Eofinuffe im Nenner erfcheinen. Die einfach⸗
ton. find- folgende:

J. de ‚m IR de. II. dg . con 9, IV. dp. sin.p.

sın, ? cos, Pr sın. o coS. 9

deren Integrale vorzüglich wichtig ſind. Bey der erſten Formel wenden
wir folgende Transformationen an:

de . de.sino d- sin. — dx

b

sin, o sin, —* 1--COs, 9 1 — 12 4

wenn co8s.9 =x gefegt wird; dadurch wird

do _ __ ejıtr _ bes 9
sine · NEE 7 ’ 1 c0.R

Für die zweyte Formel feben wir

| alfo o —1 din

.? 1 — sin, o

Die Integration der dritten und vierten Formel wird offenbar

durch Logarithmen bewerfitelligt, es wird daher gut feyn, ſich folgende
Sntegrale zu merken:

1 [a8 = erh VER ig ip,

sin. p 1 — C08. 0 Vı + cos. o

do s tee Vi+tsin.g 0
u. (= ng ne F = 11tg. (45 +3 20),

III. ling = fäp. cotg. 9,
v. M sin.g —_

Ä COo8. 2

— 1c03,9 = Sdp.tg.P.
Hieraus erhalten wir durch Addition von IIL und IV.
‚do sin. o
_— — * — 1
_ fa: ‚0089 1 cos. 9 15. 9

Aufgabe 28
| $. 249. Die Antegrale der oe

s.0m ann u
| dp einem u, i beftimmen,
£0S. p" sin. er . . ee

Euler's Integrafrehnung. I Bd. 9

+‘

— 150 se

Auflöfung

Man fieht fogleich, daß die eine Formel in die andere übergeie,
fobald 9 = 90° — P gefegt wird, denn dann wird sin.p = cos}.
und cos.9 = sin.y, woben zu.bemerfen ift, daß dg = — dr IE’
Es ift alfo hinreichend, die Integration der erften Formel nachzuweifen. &
Die 'erfte in F. 246 aufgeftellte Reductionsformel gibt für

12m md — 1 —n
do.sin. gm 1 sin, ga—ı m—ı do.sin.ganm— 5:
SE=--- 2 + ug ne —
wodurch im Zähler der Exponent von sin. immer um zwei Einheiten
Heiner wird, fo daß man endlich auf die Form |

d . do,sin,
f —— oder auf die Form f — = — —
«9 EN do ? P

koͤmmt: und ſo haben wir nur noch - zu beftimmen.

—

und „— 1— nm geſetzt wird:

do.sin.om 1 ‚Singer: n—ı do.sin. gm
cos. gn—2 *— m—n-+2 "cos. 02-ı m—n43 cos. gu '
und hieraus folgt Ä
do . sin.om — 1 sin.omtı m—n-2 do . sin. gm
| — * cos. 00 os!

cos. or n—1ı cos, gr n—1

—
|
Die zweite Neductionsformel $. 246 aber sit, wenn a— ı=mm |
|
|

durch weldye Reduction der Erponent von Coſinus ® im Nenner fletd |
um zwey Einheiten vermindert wird, fo Daß man. endlich auf '
do . sin. gm “
cos. Zu
Die Integration des erfien Ausdrudes ift ſchon oben nachgewie⸗
ſen worden, bey der Integration des zweyten Ausdruckes aber koͤmmt
man, wenn m>ı iſt, mit Hülfe der erſtern Reduction endlich auf

| do — 0 sin. ?._. \
SEE = 1tg.(45°-4+ :9) oder uf (rn — 1cos, 9.

cos oO
3u ſatz ı |
6.250. Die erſte Reduction iſt nicht brauchbar, ſobald m=n wird, |
denn in diefem Falle laͤßt fich SEE dp. sin. 8 nicht auf dp. sin. gm

COS. pr
zurücfführen. - Die zweyte Heduction aber ift immer brauchbar; denn '
it gleichwohl der Ball n = -+ ı audgefchloffen, fo läßt fi) dennoch
die Integration deöfelben nach der erften Reduction bewerfftelligen.

Sdg9 . sin. pm oder auf koͤmmt.

— 1715] m

4
| 3ufag a.
$ 251. Der Grund der vorhin erwähnten Ausnahme Tiegt darin,

de In.'o0—
weil Die Kormel JS 2 7 - für fi) integrabel ft, deiin bad In⸗

cos. “fl
agral derfelben it = „_ .

. gm
diefe Fälle folgende Sormeln: :

de _ sin. sin.o · —t
cos. 9° cos. ꝙ 591
f do . sin. o sin. g?
JS cös. ꝙ ° c0s.9? =.
do ,sin’o? sin. o?
S cos. * ĩ c08. 0° = 3 tg 9 [4

do. sin. 03 , sin. 9* :
Ser=: tip.

‚ und wirerhalten demnach für

cos. ꝙ⸗ cos.9

Beyfpiel ı

$. 258. Die Formel
Die erſte Reduction os

do . ‚sin, —_ na do. sin. FT.
rm ing + ET
| Genom wir num mit "den hetannten Faͤllen an, ſo erhalten wie
= 118.(45° +9),

— lc 9 = u

do.
2 09° u integriren.
cos. .n “

U non U ——
alt al? ? 8
el». #|.
+] cl

% fe
l
H
8

r
„ 8 8]:
"sis “os.
-<
|

cos. 7

sin. + * *

sin. 92 — Isec.9,

F
N
|

— u de
— zeig — sin + co. 0’

7 sin, 2— - sin. 9? + lscc.9,

I
I |

; sin.9° — sin, » — sin. 9 + c08.0 we

N
N

— 5 sin. 9° — zZ sin.p? — ; sin. 9? + 1Isec,9
3. |

.—.—. 10

9 *

—“

— 1]52 —
Anmerfung.

. 253. In den übrigen Faͤllen ruͤckſichtlich des Nenners wird d
Integration durch folgende NReductionen zu Stande gebracht:

Sr sin.gm __ Smgett m/dp .sin.g=,'
. W „eos, 9? . cos. 9 .
d o. sin. gm ı singmfı - m—ı do . sin.gm
— Io I — ———
cos, 0° 2 co8. 9° 2 coS., zZ
do .'sin. gm sin. gm+ı m— 2 de . cos.om
cos. o*+ "3° cos 9° 3 cos; ꝙꝰ 4

1
3
f® . sin. gm ı sin.gmtr "fa . sin. gm
— m _,— —— | m,
cos. 9° 4 tos. 9° 4 cos: 0°
Beyfpiel a2.
9. 254. Die Formel on zu integeiren.
Nach der. zweyten Reduction erhalten wir, weil m=o ift:
do — sin. sine n—2 do
F go" —”n-—ı "cos. cos. gnmı + IE gut ‘
Beil nun die einfachiten Fälle '
i Sd9 =.e und Sa = It2. a +: 9)
bekannt find, fo laſſen ſi ich alle felgenden Falle auf dieſe zuruͤckfuͤhre

de 1 sine + ı (do
cos. 9° — 3 cos. 9 a co8.0’
do ı sin.o 4 % sin. .
cos. 9% 3° cos. 03 3 cos.o/
do ı sin 1.3 sino 1.3 d
cos, 09 4 z + 2 Tr —
* 4 c0s.9 2 : c08.9 2 £ c08. 9
de ı sin. ꝙ + 4.4 sin, 9 +34 ‚Sp
cos. 96 5° cos.g® 3.5 cos.93 "c0s.Q'
3u f ab 1. j

$. 255. Auf ähnliche Weife werden folgende Sntegrationen e

do 1 6089 a cos 2,
sin. ꝙq 3 sin. 99 3 sin. 0’ 3
do - 1 c089 1.3 cosp do
[a4 Bu, sin. o "
Zuſatz 2
$. 256. Demnach ift
to I u
9, cos.gi n—ı cos ga.
de . cos.o — 1 1
——— 5—0
und ferner

= — ,
do . cos. 9° fS . Cc089 -f% . cos: %
— —* — — — — —.

sin.on sin. on sıh, ge—t
Mit Hülfe diefer Neductionen kann man nun weiter geben:
Aufgabe 2.

$- 257. Das Integrale der Sotmel —
beftimmen.

sin. gm . ..bos. ga su

| Auflöfung.
Die oben gebrauchten Reductionen laſſen fich auch für Diefen Zweck
einrichten, wenn man in der vorhergehenden Aufgabe m negativ ſetzt,
man erhält naͤmlich |

do _ 1 1
vin. cos. m-n "sin.gmtı, cos.gn-ı

.. m41 d ?
. * fe gmt® , cos. gu?
feßt man nun m— 2 flatt m, fo erhält man darch Umkehrung.
do _ 1 1
sin, 9m . COS, 9” — — m—1ı ’ sin. gm-ı . co gn—ı

u oo m+n-—a u de
| | | + m— ı fe gm—2 . cos. gr "
| Die zweyte diefer ähnliche Formel ift:

a

zum 125 ——

es iſt demnach hier Ka, P=x, Q= vr, |

Via
Qdx Rdx
Ro I] —=s—-ı,S= = Vi — x⸗, Tax !

1—xı? Vı — ı?
u.f.w. Mittelft diefer Werthe erhält man nun
=fpdxmaprtnpmyıe—na—ı)pux
— n(a—ı)(n— 3) pe yı — x? + ı.
Für Die verfchiedenen Werthe des Erpenenten n erhalten wir:
Spdx = er + VYı— x — ı,
Sid pi + a9 V 7 — 2. 1x,
> Spdx=g'x 4 3aryı —⸗ 3.29x— 3.2. V46
ic.
welche Integrale ſo beſtimmt ſi ſind, daß fie für zo verfchwinden.

Anmerfung.
% 241, Wäre Xdx udx = dp, fo würde das Integrale

der Formel g= dp gleih - get feyn; eben fo, wenn © irgend

eine $unction des Winkelo 9 T Gereichnet „ hat die Integration der For⸗
mel Sudx = Hdp feine Schwierigkeit.

Weit ausgedehnter find die Formeln, welche Sinuffe, Cofinuffe
und Tangenten der Winfel enthalten, deren Integration durch die um⸗
gefehrte Rechnung von fehr ausgebreiteter Anwendung ift, indem vor:
züglich die Theorie der Aſtronomie auf folchen Formeln beruht. Die
erſten Grundfäge müffen aber aus der Differenzialrechnung genommen
werden. Denn da

d. sin, np = ndpcos.np; d. cos.np = — ndpsin.np;

ndo —ndp,
Pr} t o — P\ . —
np c0s.2n0° d. colg.ng = sin.tng”’
1 __ —ndocos.no - 1 — ndo sin. nꝙ
sin. n ꝙ — sin.?ne ? “ cos. no cos.?n op

fo erhalten wir folgende einfache Integrationen:

Sd9 cos.np = - sin.n9; /Iysin.np = — - c05.09;

do 1 do 1
— — — — ; — — — — t n
SH n t5.n9; or n colg. 095
dpcos.ng _ 1 do sin. no — ı ;
sin.no n sin.no’ cos.?ne n 008.09

-

— 71925 m mumme

woraus fogleich die Integration der Differenzialausdrüdte von der Form
dg(A-H-B 005.9 4 C cos. 29 +D 008.39 + E 008.49 +- 1.)
ehellt, denn offenbar ift das Integrale
; A + Bsin.p + :Csin.29 + 53Dsin.35 + #Esin. ot ꝛc.
Hiebey können auch die in den Elementen aufgeſtellten Säge über

die Kreiöfunctionen zu Hülfe genommen werden, nämlich:

sin. a sin, 8 == + cos.(a—ß) — *cos.(a--ß);

cos. a c08,ß = ; cos.(a—ß) —+ + cos.(a--ß);

sin. a 6c08.ß = + sin. (a--ß) + # sin. (a—ß)
3 = : sin. (a+ß) — # sin. (ß—a);
j wodurch die Producte mehrerer Sinuffe und Eofinuffe in einfache Si»

nuſſe oder Cofinuffe aufgelöft werden.

Aufgabe 26.
$. 242. Die Formel dp. sin.p® zu integriren.

Auflöfung.
Man bringe den gegebenen Ausdrud auf die Form
sin, 9—ı dp sin,9, fo ift, weil (dp. sin.g = — cos. 9,
S4p . sin. pP" = — sin. 9°" 008.9 --(n—ı) . Jd 4 sin. 9°? cos.ꝰ 4.
Da nun cos? = ı — sin.2 9 ift, fo erhält man |
fd . sing =
= — sin. 927! 008.9 (n—ı) /dp sin. 9 — (n—ı) dp sin 9,
wobey das letzte Glied den gegebenen Ausdruck felbft enthält ; wir er:
halten demnach folgende Reductionsformel:

Sdpsin.g = — 2 - sin, 9771 005.9 4 —— dp sin. on—3,

wodurch die Integration auf die einfachere Formel dp sin. 9°? ges
bracht wird.

Weil demnach die einfachiten Falle

Sdp.sin9g—=9 md Sdp. sin.p = — C08.Pp
befannt find, fo erhalten wir, wenn wir nad) und nach zu ven höheren
Erponenten fortfchreiten, folgende Formeln;
Sdop . sin.g' = 9,
Sido .sin.9 = — (008.9,
Sdp.sin.p = — !8in.9.c0.9 + 9,

126
Sdp . sing = — sin.p? . 006.9 — 3 008,9,

Sdgp. sin. = — + sin.p?.. c08.9 — En sin.9 . 00,9 + =

Sd9.sin.9 = — z sin. p*.cos. 9 — 25 singt . 008.9 — 5 2. ug

Sdp . sin, 95 — — 7 sin. 9, — 9° .C08,9

ꝛc.

Zuſatz ı.
F. 243. Iſt n eine ungerade Zahl, fo wird das Integrale bloß
durch Sinus und Eofinus ausgedrückt; ift aber n eine gerade Zahl, fo

enthält das Integrale überdieß den Winfel felbft, und daher ijt die

Function tranfcendent.
Sufasß 2.

G. 244. Für die Fälle, wo n eine ungerade Zahl ift, iſt befons
ders noch zu bemerfen, daß bey dem unendlichen Wachfen des Winkels
oder Bogend p das Integrale dennoch eine gewiſſe Gränze nicht über:
fohreiten Fönne, da e8 doch, wenn n eine gerade Zahl ift, ohne Ende
waͤchſt.

Anmerkung.

$. 245. Auf ähnliche Weiſe behandelt man dp. cos. p" , welche

auf die Form cos. 9-1 dp . cos. 9 gebracht, , die Gleichung
Vd .. cos. g%
cos. 9" sin.p 4 (n—ı) /do cos, — sin. 92
== cos. pr! sin.9 — (n—ı) /d® cos. 9 — (n—ı) /dp cos. 9%
darbiethef, aus welcher die Neductionsformel

Sig. cos. — - sin.p cos. gı-ı 4 — Jdp . cos. gr

erhalten wird. |

Da nun für n=o und n=ı die Integration befannt ift, fo
erhalten wir durch Sortfchreiten auf die höheren Potenzen:
J4Pp PN cos, p° m 9,
SAY . c08.p = sin. 9,
fd . 008.p° = :sin.p 005,9 4 79,
Sd9 . c0s.9° 8sin. 9 08.9? + 3 5in.9,

— 17 6in.9.000.9 +. I 9 ”

zum 127 mm

| . 13. ad.
jäp. con. gt = zein.p c08.9° + Fri 00.4279,

. oo. 14. 24 .
‚fäg. cos. 95 = #sin.p c08. 9? 4 3, sin. 9 cos. 9° 4 35 &in.9,

dp. c08, 9° = zsin.p cos. 9° + = sin, 9 COS. p°

1.3.5 3.5
+ - 6 z sin. p co,.9 + — 2 2,6?
8%,

Aufgabe =.

$. 246. Das Integrale der Formel dp sin, gm cos. g*
Fin beftimmen.

j Xuflöfung.
| Um leichter zum Ziele zu kommen, betrachten wir das Product
sin. 9° cos. 9”, durch deffen Differenziation

pdp sin.gE—" cos. 9’ T! — ydo sin. get! cos, 9
erhalten wird.

Se nachdem nun im erften Theile cos. 9 = ı — sin.p?, oder
im zweyten sin. 9? = ı — cos. 9* gefebt wird, erhält man entiveder -

d. sin.of cos.g” — .

= ndp sin.gET1 cos.g9’T! — (u + v) dp sin. gEF! cos. 9’!

- — —

oder d . sin. 9h cos. 9 =
= — vdp sin, p"T" cos.p’—" L(u--v)dpsin. con ꝓ-Pr .
Hiedurch erhalten wir folgende zwey Neductionsformeln:

IL. fdo sin. ger! cos. — sin. HF" cos. 9”

+2 2, /d9 sin, 9 cos, 9’,

I, /do sin, — * cos.0+! —= ___ sin. ꝙh cos,
J4P sin,p 9 ur» p 9

+ Marge Sdp sin. pgT' cos. 9’7",

|
Daher wird die gegebene Formel /dyp sin. p= cos. 9" nach und nach
| immer auf einfachere Potenzen fowohl von sin.9, ald auch von cos.9
zurückgeführt, biß eine dieſer Größen entweder ganz verfchwindet, oder
| nur in der erften Potenz erfcheint, in welchem alle die Sutegration.

— 128 —

fuͤr ſich klar iſt, weil
fd ꝙ sin.9= cos.p =

ar sin.o=t: und
d ꝑ sin.9 case = —

m * cos. art: iſt.
Beyfpiel.
$. 247. Die Formel dp sin. 9° cos.9’ zu integriren.
Nach der erſten Reductionsformel erhalten wir wegen a7 und.
v8
SAP sin. 9° cos.9’ = — „sin. 9’ c0s.9° + [dp sin. 9° cos. 97; |
‚biefen letzteren Ausdruck wollen wir nach der zweyten Reductionsformel “
behandeln, wodurd)
dp sin. 9° cos.9’ = 7, 8in. 97 c08.9° + & Sd 9 sin. 9° cos.95 "
erhalten wird. ’
Auf diefem Wege erhalten wir ferner
do sin. 9° cos. =: sin. ®5 cos. +3: - /d® sin. 9° cos, 2,
Jd® sin. 9° cos. 9° = z sin. cos.9* + $ /dP sin. 9* 008.9’, |
[dp sin. 9% cos. 9° = — ; sin. 9? cos. 9* + 7 fd9 ein. 9° 095. 9°,
SAP sin, 9® 008.9° = z sin. 9° cos.9® + 3 /d 9 sin. 9? cos. 9,
SdP sin. 9 cos.9 = — ; sin. 9 cos.9° + /dp cos.9 (+ sin. p).
Hieraus finden wir das Integrale der gegebenen Formel, nämlich

ı

d ꝙ sin.®® cos.9? = — 7 sin.®? cos. 9°

\

—

4 3 sin. 9’ cos.9° — Zu sin. 9° cos. @°

+ * sin. P° cos. — — * sin. 93 cos; 9°

4 ** > — - sin.®? cos. ꝑ — — sin, pen
.7.6.5.4.3.

* RE 11.9. * = sin, 9

Unmerfung.

- 5.248. In folhen Fällen ift es aber immer beffer, das Produkt
sin. 9= cos. Hr in Sinuffe oder Cofinuffe der vielfachen Winfel aufzu⸗
Jöfen, wo dann die einzelnen Theile fehr leicht integeirt werden können.
Übrigens habe ich hier den Wintel bloß durch 9 angedeutet, und die
Sache würde nichts an Allgemeinheit gewinnen, wenn wir ihn auch

u

— ⸗ 129 —

durch ap + B ausdrücken würden, fo wie auch früher der Ausdruck
are. sin. x in demfelben Sinne zu nehmen iſt, ald wenn man für x ir-
gend eine Function feßen würde. Betrachten wir alfo folche Formeln,
: ey welchen Sinuffe oder Eofinuffe im Nenner erfcheinen. Die einfach:
: Ben. ſind folgende:

i L de | IL. de, 1. do .cos.9, IV do. sin.o.

sin.o ’ cos.ꝙ sine ° "008.9
deren Integrale vorzüglich wichtig find. Bey der erften Formel wenden
wir folgende Trandformationen an: N
de __ dp .sino do . sin.o — dx
sino sin.g: — 1-cos. 9% — ——“
wenn cos. 2x geſetzt wird; Dadurch wird
do _ — _.ı]ıt°__:) eos.
sin. ꝙ ’ 1—Xx h 100.9
Für die zweyte Formel feben wir
s. d x W
un Ann —— q - für sing =x,
1 cos. cos, o? ı — sin.g? 1—
1 -
| | alfo =) —1 =: | ing
| cos. 9 Lu X 1 — sin, oe"

Die Integration der dritten und vierten Formel wird offenbar
durch Logarithmen bewerkitelligt, eö wird Daher gut feyn, ſich folgende
Integrale zu merken:

ı/[z nt VE ge —

sin. 9 1 — 008.9 Vı-+cos.o
u (et — sin. q = 1tg, (45° +3 29),

cos. 9 1510. Vı- sin. o
| fe nn = fäp. cois.ↄ/
. sin. dp . sing
— — 0 0 t «9%

| V. J. anne 1cos.9 = /dp..tg.p

Hieraus erhalten wir durch Addition von III. und IV.

‚do sine _ Lte
| —E ‚cos 1 cos. 3
3 Aufgabe 28
BE - $ 249. Die Integrale der gormeln
" dp.eing® „u, zü bbeſtmmen.
x qos. gu 81n. ꝙu u. tn
Euler’s Integralrechnung 1. Bd. 9

⸗ J

— 130 sm

Auflöfung 2;

Man fieht ſogleich, daß die eine Formel in die andere übergehe,

fobald 9 = 90° — geſetzt wird, denn dann wird sin.9 == cos.$

und cos.9 = sin.d, wobey zu.bemerfen ift, daß dg = — dy ik !
Es ift alfo Hinreichend, die Integration der erften Formel nachzuweifen.
Die 'erfte in F. 246 aufgeftellte Reductionsformel gibt für

u1—m und yv—ı= —æ n
dp.sin. gm 1 sin. gm—ı m—ı do.sin.gmm ,
SE-- —
wodurch im Zähler der Erponent von sin. immer um zwei Einheiten
Heiner wird, fo daß man endlich auf die Form

d . do,sin. 1 '
—— oder auf die Form tn ——
A. .o (n — 1) c0s.@
BE

fömmt: und fo haben wir nur noch y zu beftimmen.

Die zweite Neductionsformel (. 246 aber gibt⸗ wenn p— ımm |!
und v„— ı =—n gefept wird: |

do.sin.om 1 Sin. gmtı n—ı do.sin.gm
cos, 0n—3 mn "cos. ga mon43 cos.
und hieraus folgt Ä W
do. sin.om 1 sin.omtı m—n-2 do . sin. gm
cos. oa = —ı" Fer — 1’ (4
.o n—ı cos.o n 1 cos. 98?

durch welche Reduction der Erponent von Cofinus 9 im Nenner fletö
um zwey Einheiten vermindert wird, fo Daß man endlich auf

|
d
|
}
\
!
c08s.9 -
]

Vd . sin. 9= oder auf dp. ein gi koͤmmt.
Die Integration des erſten Ausdruckes iſt ſchon oben nachgewie⸗

fen worden, bey der Integration des zweyten Ausdruckes aber Fömmt
man, wenn m > iſt, mit Hülfe der erftern Reduction endlich auf

| do sin.o__
SS = 1t8.(45° +: 9) oder uf [= — 1000

c03.9

3ufaß ı
6.250. Die erſte Reduction ift nicht nahe, fobald m=n wird, |
denn in diefem Falle laͤßt fich SEE dp. sin. “nicht auf dp. sin. gm

cos, * cos. ꝙꝑ
zuruückführen. Die zweyte Reduction aber iſt immer brauchbar; denn |
it gleichwohl der Sal n = + ı auögefchloffen, fo Läßt ſich dennoch
die Integration deöfelben nach der erften Reduction bewerfftelligen.

— 131 —
| 3ufag 2.
$ 251. Der Grund der vorhin erwähnten Ausnahme liegt darin,

weil die Sormel S’ ar für ' ch integrabel ift, denn bas Ins

cos

— 1 cos. ge!

diefe Fälle folgende Formeln: :
de _ sin. © —
SE 9° — cos, .® — ts

5 sin. —: sin. 9? = 19.98,
cös. 9°’ cos. 9?

sin. 9°

ttgeal derfelben it = —— _ und wir erhalten demnach für

de. sin’o?

— [m 7 tg. 9°
(do. sin. 03 „ sin. 9*
c08.9 cos. 9?

| \ Beyfpiel ı.
$. 252. Die Formel —
Die erſte Reduction a

do . sin, # —_ 2 do. sin. a
SER ing + SET
om wir nun mit "den en befannten Fällen an, fo erhalten wie

* ri A053 ER DT

zu integriren.

a:
|, „fe
©
|, ©
— 15

—33

= — 1cos. = 1sec.9,
= — sin.p + r,

cos. ꝙ

_ 2 sin.9®2 + 1seoc.p,

I

1 ⸗ J | dp
— > sin. 9? — sin. + c08. 0’

EEE — —
—
Au
2587
ı°® 91° r}
. *° .® 8.
ẽ 5. *6 3.
4

— 7— sin, 9* — 2 sin. 9? + lsco.9,

—
w

— z sin.9° — ; sin.p? — sin. 9 4

—
I

cos. ar

u. —
—

— ; sin. 9° — z sin.p! — ; sin. 9? + 1lsec,p
ꝛe.

—
N

g *

—

— 7,0 —

Ası-Hk! “ren + = n5° + :. oder
3.5 3.5.
re |
und fo erhellt, daß Am — Vs
Auf ähnliche Art findet man
B=n+:n"-- 3n + ı
— — +2 + gu +),

— ) Allein dieſen ſo wie die folgen:

x

und daher Bm - (2

ı—n?
den Werthe kann man leichter auf folgende Art beſtimmen. Da
1

fo multiplicire man durch ı -} n cos.9, und weil
C08.9 . 008.19 = ! cos. (dr — 1) ? +: cos. @+ 1)9,
ſo wird
ı= A— Bcosp Mn Cc08.29 — Decos. % + E cos. 49 —ı. E
An —:Bn +:Cn —:!:Dn— ı. :
—2Bn-+:!Cn —2Dn +:En —:Fn-+ 6; |
woraus, weil wir A ſchon beftimmt haben, die übrigen Eoefficienten |
uf folgende Art gefunden werden:

=A—Bcos.g-+C cos. 2? —D 008.39 E cos.4P —ıc. ,

—

aD — Cn

B=-(A—ı); E =;
_ı@-An, 5 _3E-Dn, |
7 n ı — n » :

X. 3C—Bn aF — En
Dean 6-7 |
ꝛe. N N

Sind demnach diefe Coefficienten gefunden, f läßt fich das In:

tegrale Teicht angeben; denn da /dp cos.Ag9 — z sin,Ap, ſo erhal·
ten wir
A5 - Bein 40 ein, 29 — =D sin. 3
1 cos. ꝙ 8
+: E sin, 49 — 127
welche Reihe nach den Sinuffen der Bogen 95 29; 39; ꝛe. fortferei
tet, wie verlangt wurde.

—

1
do - 1 c08.9 1.3 coso de
un Se +5 fs

sin. @* 2.4 sin.

3ufaß =
F. 256. Demnach ift

do. sin. @ 1 1
S cos. ga . MıTT’ cos. gn—i und

dp . cos. — 1 1
— — in — 5 — — ,/

und ferne

. sin. 9? .
J— cos, QR = / = cos. ꝙh BE cos, —
. c0s.9° de
| SE sin. on = sin. ga — Er sin. gn—a ,
. sing do . sin. o "de. sin. ꝙ
Ä Se con gu =/ won V en ?
| cos. @° do . cos.o - f'do » 0608:9
Sr sin. on - [a fe

Mit Hülfe diefer Reductionen fann man nun weiter geben:

Aufgabe a9.
$. 257. Das Integrale der Formel —
befimmen.

.. 608. 9°

Auflöfung.
Die oben gebrauchten Neductionen laſſen ſi ich auch für dieſen Zweck
einrichten, wenn man in der vorhergehenden Aufgabe m negativ ſetzt,
man erhält nämlich |

dp — 2 1
sin. 97 .C0S, gn — m-+n " sin. gatı . cos. ga—1

. * mn Fein. gmt®,. cos. rn

ſetzt man nun m—2 flatt m, fo erhält man durch Umkehrung.

ı 1

Jertsr gm . cos, 9” — — m—ı sin, gm—t .c08. 90-1
m+n—a u do

+ m—ı fs gm—3 . cos.gn"

| Die zweyte dieſer aͤhnliche Formel iſt:

ee»
de — 2
sin.gm. cos. ga —an—ı."

7

134 em

sin. gm—ı . cos, ga—ı

+

m-+-n—3a do |
n—ı.,)/sin.gm . cos. gi

Die einfachiten Zusbrüde von diefer Form find :

do dp
Sets: er; ——
„de = — cot 9 de oa t 35
sin.92 8 cos. @? 8.95

und hieraus finden wir folgende zufammengefegtere Sormeln:

f do — 1 — do ,
sin,o . C08.9%- cos. 9 sin. o
do
sin. 9? . cos. ꝙ * sin, o mt cos. 3
de u . de
sinn. co. 3° 008.95 — sin.g . cos. g8
do de Oo .
Si . 008.9 — 3° sin. g3 re Ba sin. 9? - cos,9 ”
dd 0. do
N 5’ cos, nr + —
dp .
Sin.99 one 5m mr + an
1. do |
Sr 9. 008.9 2° cos. = So * sin.o . 608. @
de — 1 do \
— nt Se
do _ 1 do
Sr * 4" * ” + sin, P- . c0s.95’
fi do — 1 m dp ;
sin. 99 * — — 4 sin. 1 sin.o’. cos. ꝙ
1 47
ei 7. 0089 6° cos. FL + sin.Q » cos. 95’

Se « C08.9
do —
Ss 02 . 00900

Dre . c08.9

⸗

1 de
" sin. 96 Yar . cos. a’

IC,
8

sin. ꝙ

ra

mo az” . 00.9 + J

z=1tg.9

zen 1755 m

f de — 1 1 4 4 de
sin. 9% . cos. 9*% 3° sin. . cos. 9° 3 sin.9? . cos. Pr

do 1 1 4 de
Ir o* . cos. 9? m 75m 05. 008.9 + 3.J sin. g?. cos. g*"
Und fo werden was immer für zufammengefeßte Sormeln auf einfachere
zurückgeführt, deren Integration bekannt ift.

Zuſatz ı
F. 258. Die Erponenten von sin.9 und cos. p fönnen beyde zu⸗
gleih um zwey Einheiten vermindert werden; benn durch die erſte Re⸗
duction erhalten wie

F do — 1 1
2⏑ m ,
in. 3 Tr ain. „5.

md nem» iſt:

sin. @ cos. 9 sin. o co8.9
+ e+9—4 dp ‚

—i sin. 9". cos. _
woraus folgt
| dp
— — *
| “ sin, 9" . cos.%

— — 1 1 e£-+ „—:ı ı

m sin, Pe . 608. don sin, ” p3 . co8. Fe

+ ee een

a) 0-9 sin, or 2, 008. .g

zuf ah 2.
$. 259. Bringt man die erften Glieder dieſes Ausdruckes auf ges
meinfchaftliche Benennung, fo erhält man

F do — (2 — 1) sin. ꝙꝰ — (— 1) cos. 4? -?
. pP oo. . p-1 —1

sin.o' . cos. ꝙ (E- 1) (C——) sin.o . 608.9
+ ERDE —H ? ;
| en ra

/

um 1750 —

(1 Fnco.pgP = A + B cos. + Ccos. 2, -+- D cos. 39 *
+ Ecos. 49 + ꝛ
gefegt wird, nad) ben oben angegebenen Formeln

| ’
kai +9, ELEOLZUIZUEREE |
SID eat
Ban σ BE
HDD ey), L
welche Reiben deutlicher auf folgende Art dargeflellt werden: on \
— ala
AsıHy 1). n + 20 nn nt j

+ . ofen mean O3) 15 Lie,
:B=! n + + aan (—4). ns + ꝛe.
Sind aber dieſe beyden Coefficienten A und B beſtimmt, ſo laſ⸗
ſen ſich aus dieſen die übrigen bequemer auf folgende Art finden. |
Da - vl(1-4-n cos. =
=1[A -+B cos.9 4 C cos. 2 + D cos.39 4 E cos. 49 +. ..)
fo nehme man die Differenzialien, wodurch ‚man, wenn gleich durch
— dp dipidirt wird,
ynsin.o — Bsin.o + 2Csin. 22 + 3D sin. 39 + 4Esin. 4 +
1n cos. 9 A+B cos.g + Ceos. 27 + Deos. 8 + Ecos. 40 +:
erhält. Multiplieirt man num übers’ Kreuz, fo kömmt man wegen
sin, Ap C0s.9 = + sin. (A 1)'9: 4 = sin. (A—ı) 9 und
” sin. p C08s.ApP = * sin. (A-Lı) P — sin. R—1) 9
‚endlich auf folgende Gleichung:
o=Bsin.p-+-2C sin, 2p-13D' sin.39--4E sin.49-+-5F sin. bon
+:Bn +2:Cn +4:Dn +!En
+:Cn 4+!Dn +!En +!Fn +?Gn
—yAn —.DBn —’Cn —Dn — En
\ 2 2 2° | &

y

+2Cn +!Dn +!En .+:Fn +6,

un 157 wem
. Aufldß ſ. ung.
Am bequemſten koͤmmt man zum Ziele, wenn man die gegebene

Formel auf die gewöhnliche Form bringt, indem man cos.9 = —
x
pt, damit ein.g = * rational werde. Hieraus folgt
I. adr(ı—T?) - r. ._'adx

Weil nun a-hbcea,py = ne fo wird unfere Sormel
do NT aa Be 8

| a-+b cos. 9. * a+b-+(a—b) 2’
welche entweder einen Winfel oder einen Logarithmus darbietet, ie
nachdem a>b oder a<b ift.
Fuͤr den Fall a>b-finden wir - | oa

J f _b
SE = 2 arc. is — fi a<b aber

Ve—bt
nn De SL — — „at 4· x(b—
| a--b cos. — 75 Ver; — gut

Nun ift aber

x =
r 1

Durch Subſtitution dieſes Werthes erhaͤlt man

(a—b)x ax Va2— b2
2 arc. is. — = arc.1g. arb- ade. babe

' U 2 sin. oVar—b2
= ‘ t . |— Se
eꝛre. i Eh) ( Feos.p) —(a—b) (1 000.9)
sin. ? V a? — b?
a cos. 4 b.
Sir a>b erhalten wir demnach

do ı sin.oe Va? — b2
— 1 art. tg. — —
a--b cos.o Va? _— b2 a c08.9-+-b

| . 3 a2 __h2
Ci0 _ — _——___ ara. sin. MR Ve—B,
a--b cos.o Va? —b a--b cos.o
dd 2 a 008.9 -+-b

€€———m ⏑ — — C.
a--b cos. ꝙ Va2?_—b: arc. 608 a-+-b cos.»

Iſt aber a<b, fo wird

*aro. tg.

oder

—— 758 —

Pe ıV (b-+a) (1+c05.9) + V (ba) (1— cos.)
a-fb cos. ? =! Vb-Fa) (1 008.9) — V(b—2) (1— cos. 2

oder

do — 200g +b + sing VA
a--b cos. b2 __ 22 a b 008,9 5

für bema ift das Sn gleich — - = - 18.39, und denmad;

= tg.:9 ain. ꝙ
— cos.ꝙ ı + 0089

weiche Integralien für 2 verſchwinden.

Zuſatz ı
do . sin. d. cos.
$. 262. Das Integral der Formel ** Acẽ.

iſt gleich — m 5 welches ſo beſtimmt iſt, daß es für = 0

verfchwindet. Es ift demnach
| Set = !i, tr
— 5

a + b cos. ꝙ | a --bcos.p'
Zuſatz = |
. do. cos.9 adp
. 263, Die Formel I Ta. laßt ſich i I Se eo |

umflalten, und nach der Auflöfung unferer Aufgabe finden wir folgen» |
des Sntegrale: |

do .008.9 9 a dp |

a+-bcoso 5b b,Ja-+bcosp‘ |
Unmerfung .

$. 264. Nachdem nun diefes Integrale beftimmt ift, fönnen wie

auch die Formel integriren, wobey n eine ganze Zahl

dp
(a + b cos. p)a
bezeichnet. Unter diefer Vorausfegung fcheint die bequemfte Sorm des
Integrales folgende zu feyn:

do — Asino_ tm
(a +b cos.9)? ab cos 9 ' 5

und man findet A = sp und m * 7x — Su Berner fege man

de __.__ (A+B cos. p) sin. 9 de
fe cos. / " “(ab cos.9)? -+ nf farbeos.e?%' wo

— 150 m
ai; — — ab aa? - bh!
‚=; — Be aa (a2— b?)’ m ab)
fanden wir; und auf Ähnliche Art kann man zu den höheren Poten-
m fortgehen, obgleich diefe Arbeit nicht gar angenehm ift.

Zolgende Methode aber fcheint am leichteften sum Reſultate zu

i f
* Man betrachte nämlich die allgemeinere Form * den,
md fege

do(f-Fg cos.) — A sin. _Asing dg(B-+-C cos. 9) cos. 9)
(a -+ b cos. g)etı (“+ (a b cos. o)a 9)" + (+ “(a + b cos. g)a o)a "
Differenziirt man diefe Gleihung, fo erhält man
f-> g cos.9 = A cos.9 (a--b cos.9) + nAb sin. p*
+ (B-L-C cos.9) (a-+b cos.p),
welche Gleichung wegen sin. 9? = ı — cos. 9* folgende Form erhält:
— f — gcos.9 + Ab cos. p:
+ nAb + Aacos.9 — nAb cos. p
+ Ba--Bbcos.p -— Cb cos. 9? o/
+ Cacos.p
woraus man, wenn die einzelnen Glieder = 0 geſebt werden, folgende
Gleichungen erhaͤlt:

ag—bf af—bg — —
* n (aꝰ — bh)? B * a? — b? und C . .n(a?—b?)
Man erhält demnach auf diefe Weife folgende Reductionsformel:
do(f+geos.p) _ ___(ag— bf)sin.p
(a-+ b cos. p)Jetı *— n (a? — b2) (a--b cos. ꝙ)n
1 de [n (af— bg) + (n—ı) (ag— bf) cos. A,
* n (a? — b?) (a-+b cos. 9)»
. . de(b-+k cos.o) . .
wodurch man endlich ei die Formel * bone geleitet wird,
b?—=ak do

beten Integrale = — np —— SE 0005 nad) dem Vorher⸗

gehenden befannt * Übrigens aber ift ar, daß immer k== 0 feyn
werde. Ä |
Anmerfung 2
$. 265. Man flößt öfter auch auf Formeln, in welden überdieß

die Erponentialgröße e?, welche den Winkel 9 im Erponenten bey ſich
führt, erfheint. Wir müſſen nun die Behandlungsweife diefer For⸗

ee 140 —

meln lehren, da die oben erklaͤrte Methode der Reductionen dadurcqh
erſt in ihr volles Licht trit. Denn durch jene Reduction kommt man
“bier auf eine Formel, die der gegebenen ähnlich iſt, woraus dann das
Integral felbft beftimmt werden kann. Zu diefem Zwecke bemerfe man;
daß jerdp: = - e@? ſey.
| Aufgabe 3ı, |
9. 266. Das Integral der Differenzialformet
dy m e@dosin.pr zu beflimmen.
aufl s ſung.
Nimmt man e°? dp als den Differenzialfactor, fo erhält man
| y- - e?? sin. 9? — - Se”? dp sin. 9%! C08.9;
auf diefelbe Weife findet man
Se? dp sin. 977! 008.9 = = e*? sin. 97-1 c08. 9
— Se? dp [(n—ı) sin. y- cos. 92 — sin.p*],
welchelegte Formel wegen cos. 9=ı — sin. 9? zurüdgeführt wird auf
6- ı) [e”? dp sin. ᷣ --—- nBCꝰ dp sin, p".
Hieraus findet man demnach

Se? dp sin. — - e?? sin.pr — — e?? sin. pr! cos. 9
@

+ —_—
Verbinden wir Diefen legten Ausdruck mit dem erften, fo findet man

6"? sin g"”" (a sin.g — n cos. 9)
a + n2
+ —
Für n=o und n=ı ergibt fi demnach das Integrale von
ſelbſt. Es ift nämlich |
Jetdpd= - er — 2: und

ee

BON 1607 d ꝙ sin. gı-2 — Z fer do sin." .

Set dp sin.go =

J

Se? dp sSin. 9-.

97 (a sin· — cos. e) _._ ;
a +93 — — 1J
und auf diefe Ausdrüde werden alle folgenden, won eine ganze um
eine Einheit wachfende Zahl bezeichnet, zurüd'geführt.

Se dp sin.g =

N u — 7/] um

Zuſa ss.
F. 467. So erhalten wir für n==2 folgendes Integrale:

[ea do sin.e? — eo? sin, 9 (a sin. — 2.005.9) \
9 ·9* — a? + 4
1.93 1.3
+ a(a®-+-4) et — a(® +4)
- Sie ns aber
e”? sin, 9? (a sin.9 — 3cos.9)
a@-+-9
+ 2.3.0" (asin.g — comp) \ 2,3
ET EHI E@+N @+1)@+9)
Hier find die Integralien fo beftimmt, daß fie für = o verfchwinden.

Zuſatz 2. |
F. 268. Sept man aber bey den fo beftimmten Integralien
ap==— co, damit e*? verfchwinde, D erhält man allgemein

| fe? dp sin.’ =

Je? dp sin.p = rn = Se? dp sin. 90;
und hieraus erhält man für ap = — co:
Se? dp =; Je dp DS Zu re
a ea L mı.2 _ ao in. — —28
Se? dp sin.9 —= arm’ Se’? do sin,Y han’
a . — 1.2.3.4, „ao . sun _1:2:3-.4.5
Set dpsin. = ats ars 7° dp ein.p (a2t1) (2219) (a2t25)
3ufag 3.
$. 209. Sn demneq folaende unendliche Reihe
. 3. 4 1.2.3.4.5.6

=ıtar * * — — Tata
gegeben, fo erhält man
.—=— je (ı + sin. 9? + sin. p4 + sin.9° + 26.) oder
= — SZ Fer Z, wenn man nach der Integration ap = — co
ſetzt. N ⸗

Yu fa gabe 38.

$. 270. Die Differenzialformel er? dp cos. 9" au ins
tegriren. |

‚mm 7/2 um
Auflöfung.
Schlägt man bier benfelben Weg ein, wie vorhin, fo erhält man
Se? dp cap = 4 e*? cos.9° 4 fe dp sin.o 008. 9°—",
‚Weil aber
Se”? dp sin.p cos, gr = = e@? sin. 9 cos, ga—ı

— 1 fe08 dp (con.p — (n—1) con.r— sin. ge,
fo wird, weil der legte Ausdruck übergeht in |
— (n— 1) fe”? dp cos. 9° + ne? do cds.gr,

. folgende Gleichung:
Ser dp co. = - e? cos.9° + * 627 sin. 2 cos, 9
+

und hieraus felgen wir

1a

Se? dp cos. gem? — SZ fer c08.9°,

‚(a cos.2 + n sin, 9)
a? - n?
n(n—
+ — —
Hierau ergeben ſich folgende ganz einfache Säle :

Jerdy= er? + C;

€”? cos. 9

Se? dp co.p =

Ir e"? dp cos.gı—,

er
(a cos.» + sin.)
a? + ı$ + C;
worauf alle folgenden, wenn n eine ganze pofitive Zahl it ‚ zuruͤckgelei⸗
tet werden Fönnen.

Se’? dp cos.9 —

| Anmerkung.

$. 271. Nachdem nun die einfachften Fälle angegeben find, fo
fann man das Integrale der vorgelegten Sormeln, ja felbit das des
noch allgemeineren Ausdruckes ef dp sin. pm cos. p* auf einem ande:
ren Wege beflimmen; denn da dad Product sin. pP” cos. 9= ſich in ein
Aggregat mehrerer Sinuffe oder Cofinuffe, wo jedes Glied die Form
M sin.‘9 oder M cos.%9 hat, auflöfen läßt, fo wird die Jutegra-
tion auf eine der beyden Formen e?F? dp sin.AY oder e*? dp 005.79
zurücgeführt. Segen wir alſo Ap = w, damit wir

at Var

— 143 —
@

e®? dp sin. Ao — n e do sin.o und

e“? dp co. =, e dw cos.

halten, wovon die Sntegralien mit Hülfe der Bekannten beſtimmt
werden, wie folgt:
\ . : o

fe8 “ do sin.o — (a sin.o — A cos.o)

a? 4X
Le? (a sin.Ao — A cos. p)
= —,

a 0
Let (a c0s.o0 + A sin. o)

a? + 12
— Le’? (a cos.ig + sin. 0)
a? — 12 ’

fel “ do cos. —

Hier. 18 erhalten wir endlich

e”? (a sin.Ap — A cos.Ao)

e”? (a c08.Ag ++ A sin.Xo)

a? + A? .

Hätten wir gleich allgemein flatt sin.9 und cos. 9 gefchrieben

sin. AP und cos.Ap, fo wäre diefe Reduction nicht nöthig gewefen ;

allein weil man hier auf feine Schwierigkeit ftößt, fo mußten wir die

Kürze berüdfichtigen.

Se? do sin. Ag = und

Se? dp cos. Ay —=

— 17150 —

Wir werden alſo bier vorzüglich unterfuchen, wie die Coẽefflelen⸗
ten in jedem Salle aus denen des vorhergehenden Falles beftimmt wer:
den koͤnnen. Diefen Zweck fönnen wir auf folgende Weiſe erreichen. Da

-— = A-+Bco.p + C 006.29 + D cos. 39 + ic,

(1 n cos —8* 7

ſo ſetze man | |
- = A! + B’ cos.9 -+C/ cos. 2P-4-D’ cos. 39 42e.;

(1-+-n cos. rt!
wird diefe Reihe mit ı 4 n cos. p multiplicirt, fo muß fie in Die obige
übergehen. Es ift aber da8 Product
A + Bicos.9 + C’cos.2P + D’cos.3p + x.
+ An +:Bn +:Cn
4 !:B’n + :C’n + :D’n + :E’n,
woraus wir folgern

2(A— A’) a(B—B) — 3A’n

BI = ; a —:

wäre alſo der Eoefficient A’ befannt, fo würden wir auch die übrigen
B’, C/,D’,.... kennen. Wir wollen alfo unterfuchen, wie A’ aus
A beitimmt werden fönne. Da
p(e+ 1) zehn +2)(+3) , |

nt

Am ı + er) 7 n? +. —— a (e+4) n% + ꝛe.
iſt, ſo behandle mann wie eine Beränbertiche, und bifferengive die erſte
mit n® multiplicirte Reihe, fo erhaͤlt man |

d. An
ar 4 Ehre u
+ e(e+ EIEENEFOGT (e +4) ne-+3 Le,
welche Reihe offenbar = = u ne A’, deßhalb wird 9 durch A ſo be⸗
ſtimmt, daß

d.An®-. nda
* *

d, nF
Da wir alfo für x = ı gefunden haben

1. VE —

me 157 em

.. r —F 2 fo ift wegen dA on
‚Vin: Ä dn (am)
ı n?2 1
Alm n — 1 —— 3

dieß iſt alſo der Werth von A für „S 2, und demnach wird wegen

— — für a3
dn R 2° | ’ .
— | 3m 14,
(i — n2)= 3 (1 —n2)r (1 — nay⸗

Gehen wir auf dieſe Art weiter, ſo finden wir

fr ap = ı: A⸗ — ;

Vı—n

ı

» ma: Am — 2:
B *5 G_m)Vım’

3: FESTEN
>) am 3: 28 —

— (1 —n2)3 V |
_ ı+3n +3n _

— (1 — n?)? V

Zuſatz ı.
6. 287. Auf diefelbe Weife werden auch die übrigen Coefficienten
B’/, C’, D’, ıc. aus den ihnen entfprechenden B, C, D, ic. be
flimmt; und alle jene Relationen werden unter einander ähnlich feyn,
nämlich fo wie | |

RP
d.n®

=, eben fo wird auch |

°

| 'd.Bn®
B . — B ——
u d.n® + pdn "

p
1 = 6 +:

sufep 3. |
— A
2, daher wird

$. 288, Fruͤher aber fanden wir B—

, = Din = B-+ gm und demnach |
„Bdn--ndB-t 2dA= 0.
Multiplicirt man dur nP”", fo wird.
d.Bnf > an'dA=o,
allo durch Integration

Bi’ = — —— x
und daher B— = 4 — Saal dn. .
n |

Srüher aber fanden wir
B= — aAn — 49 = [An dn.

Zu f aß 3.
F. 289. Segen wir diefe Werthe einander gleich y fo erhalten wir
eine Gleichung zwifchen A und D, aus welcher a durch n ausgedrückt
werden kann, denn es wird

nr yn"dA=An + EZ! /An dn,
woraus nach zweymahliger Differenziation -
G-n)asa pri _ a utı)ndadA — p(uhı)Adnr=o
hervorgeht.

Anmerfung ı

F. 290. Vergleichen wir diefe Werthe von A mit den obigen, wo
p eine ganze negative Zahl war, fo finden wir folgende fhöne Übers
einftimmung.

Zür die obigen Werthe: gür gegenwärtige Formeln:
fr v=o: A1 J fuͤr :y —
1—n?
svy=ı! Ası » ma: Am

— —
» v3: A selon tıl m _ -
(1 —n2)? Yı—n?

aka tet _
. .. amp Yın

» vmh: Aumı +3n +30) » ps: Au — +3n + 5m
(1 — 22) Yı—n?

» „=3: A=ı-H?!ın!

26.35

— 159 um

hieraus fchließen wir, daß, wenn
((+n c08. 9)? = A -- B cos.p 4 C 608.29 +,
(1 -n cos. = AP B cos. ꝰ + Cco.2p Lie,
A
A— ſey.

(1 —n2)’ Vı m
Da nun für die Bälle, in welchen v eine ganze pofitive Zahl ift,
der Werth von A leicht beftimmt werden Fann., fo fönnen wir auch für
jene Zälle, in welchen » negativ ift, diefen Werth ohne Mühe angeben.
Anmerfung a,
$. 291. Weil nun für a ı die Werthe der einzelnen Größen
A,B,Cu.f.w. gefunden find, fo ift, wenn man Kürze halber

Vize = m febt:

A=—; Bet; co U, no
Zu me Vi-m = Vin
| 1
und allgemein fuͤr jedes Glied N= —I_.
ı—n?

Bezeichnen wir dadfelbe Glied für den Fall, daß u 2 if, durch
‚bit N-= g. — . Nun ift aber j

a ‚N 2 m’ alnmı! dm mithin
da er dv
u und hieraus folgern wir
amd — am HAvızm)

1 —n? (1 - n2 Yı—n?

N =

(a — 2) |
Segen wir demnach
ı " wu rn
G Fnros.g) = A 4 B C08,9 + C cos. 29 4 D cos, 39
nt + E cos. 49 4 ꝛc./
ſo erhaͤlt man |

A nV, = —————

B
(—n2)3 u—nm): a —n2)3

amt +3 Vı—o’), 2

G_m)3.

D—

+

— 100 ee \

Vezeichnet aber der. Erponent » eine gebrochene Zahl, fo fcheinen.
die Coefficienten A, B, C, D, x. nicht anders ald durch die oben.

entwidelten Reihen beſtimmt werden zu Fönnen. Übrigens läßt fich der
erfte Coefficient A auf eine eigenthümliche Weife näherungsweife bes
flimmen, wie wir in der nächften Aufgabe zeigen werden.

Aufgabe 35.
F. 292. Für Die Entwidlung der $ormel(ı--ncos. 9)
In eine Reihe von der Öeftalt
A + B cos. -F C cos.29 + D 008.39 + Ecos.49 + ıc.
ben abfoluten Werth von A fo nahe als möglich zu be:
ftimmen.
Auflöfung.

Da nothwendig n<ı ift, fo wird zwar die oben für A gefun»
dene Reihe convergiren, fobald aber n nicht viel von der Einheit ver
fchieden ift, muß man zu üiele Slieder wirklich entwideln, ehe man
den Werth von A ein wenig genau befömmt, befonders wenn » eine
etwas große pofitive oder negative Zahl iſt. Weil jedoch, wenn man
die Entwicklung von

(1--n cos. » A— %8cos.9 4C cos. 20Dcos. —
ſetzt, A von A abhängt, fo dag A = (1 — „pt: 2% ift, fo wird
man zur Beftimmung von A zwey Reihen haben:

Amı y eo? — 4 —

Ir

+ 2006-3 * *

2.32.4.4.6

und

A=(-— th + ee
C+HNG+NGCHICHN + CHYECHNIELIECLNEFICHN —

+ 2. 23° 4 . 4 2.2. 4 . 4 :6.6

wo man fich in jedem gegebenen Sale jener bedienen wird, die mehr
convergirt. Weil- aber dann die übrigen Coefficienten B, C, D, E, :c.
convergiren mülfen, fo fteht und noch ein anderer Weg zur näherungs«
weifen Beftimmung von A offen. Denn da diefe Coefficienten wechfel:
weife durch gerade und ungerade Potenzen von n beſtimmt find, fo
wird, was auch immer a für einen Winfel bedeuten mag:

— 70] —

(1 n cos.a)’ = A + Bcos.a -+ Ccos. 2« -+ D cos. 3a

+ Ecos.4a + ıc.
und =

(G—n cos. ay⸗ — A — Bcos.a -+ C 008.24 — D cos. 3a
+ Ecos.4a — ꝛc.
Addirt man dieſ⸗ Ausdruͤcke, fo erhält man
W:(2-En cos.a)’ - 2(1—n cos.a)’ = A -- Ccos, 2a
+ Ecos.4a + Gcos.da. ꝛc.,
wo, wenn füra, 90 — a gefchrieben wird:
:(1--nsin.a)’ -!(1—nsin.a)’ = A — Ccos.2a |
+ Ecos.4a — Gcos.6da + ıc.
it, und daher wird bey der Addition beyder Gleichungen die Hälfte
begder Glieder aufgehoben.
Wir wollen mehrere folche Ausdrüde bilden, und Kürze halber
ı(1 +n cos.a)’ + z(1 —n cos. a)? + 20i n sin.a)”
| + 2(ı—nsina) A,
; (1 nn cos.ß)” + (1 —n cos.ß)” + z(ı-+n sin.ß)’
+ 2 -nsinß B,
3(2 pn cos. y)Y + 3(1—n 008.7)" + z(a +2 sjn.y)’
| | | + 2(1—nsin.y) = €
ꝛc.
ſetzen; die Coefficienten B, €, D,... aber wollen wir durch die Symbole
| (1), (2), 8), (4) » 20. bezeichnen, um auf diefe Weife die vom Ans
fange der Reihe nach fo weit abjtehenden Glieder bequemer darfiellen
} zu fönnen.
Wir erhalten alſo J
A A- (4) cos. 40 + (8) cos.da + (12) cos. 120 4- x6,
B—=A-- (4) cos.4ß + (8) cos.8ß8 —- (12) cos.128 2ꝛe.
— A- (4) cos.4y + (8) cos.dy * (12) cos. 12 Pꝛe.

2⁊c. /
woraus wir folgende Annaͤherungen ableiten:
I. Setzen wir 4a = F oder a 51 fo erhalten wir
= A — (8) + (16) — (24) + ie, daher
A=A+ (0) — (1b) + (29 — c.

Euler's Integralrechnung. L Bd. 11
J

— 188 mm

al |
—)
gegebenen Ausdrud in y — -f Aasva_ı" wo beyde
va—y(a—bP
benfelben Erponenten haben. Setzen wir nun wie vorhin
x=;(a+b) — — b) cos. p,

fo erhalten wir 4 '
Hy i—p | B—ı
„= (=) sKägsing ° (a — 00.9)”,

2
wobey man 9 ohne Ende fortwachfend denfen, und die Integrat
durch Intervalle ausführen Fann. Nach diefen Bemerkungen wird h
Näherungsmethode Faum eine fernere Schwierigkeit Darbiethen.

— 103 —

1

(2. + nf)” erfcheint, wobey £f alle jene Sinnſſe und of inuffe, umfäßt,
to findet man für B:
32—2(ıynfjlı +nf)

a (+ Sadn (a -tnd? — ancı tan? = I,

. 3ufap 2
$. 294. Wie man aus den befannten Coofficienten- A, B alle fol-
genden ableiten Fönne, haben wir fchon oben gezeigt. Sind aber diefe

gefunden, fo ift die Integration der Formel dp (1 n cos. 9 für
fi) klar.
Aufg F be 36. |
F. 295. Dad Integrale der Formel dpl.(1 +ncos,p)
durch eine nach den Sinuffen der Winfel yp, 29, u ꝛe.
fortſchreitende Reihe zu entwidelm

| Auf öfung
Weil | |
J. Garn 003.9) =.nc08s.9 — 4 .n2 c0?9 + : 3n3 008.39
— cos. 4 1,
fo findet man, wenn diefe Potenzen auf einfache Cofinuffe zuruͤckge⸗
führt werden :
l.(ı #n cos.9) =
| 2.2n?2c08.2P 43.3n°?c0s.39 —-,.:n?008,49
.‚n°—z.;nt +3: sw |
ẽ

5 .6
· n

II

eu Ole au wi.
°

Sehen wir
l.(1-+n cos.9) == — A -+ Bcos.9—Ccos. aP-+D cos. 3P— 164,

fo erhalten wir

ı nm 1.3 m 1.3.5 n6 1.3.5.7 n8
IE ER RER ta +0.

2
Betrachten wir nun n als veränderlich , fo wird

ndiA 1 1.3. 1.3. 6
a Str" 5 + ı - "(Gm 1/4
dn dn,

zum 1045 ——

daher erhält man durch Integration:
. _ Inc, le,

denn verfchwindet hier n, fo wird A=1.ı==o,
Dann aber wird a»
ıB — 1. 3 n 1. ns |
7 * n +-- a. 4" 3 + —— 2, 5 + ’ '
daher durch Differenziation

n?2dB . 1.3 1.8.5 _ ı U
da ® "+ 2.4 "+ 2.4.6 "+e= vc—n2)
. _ dn dn,
alſo ya

und durch Integration
4B=-TI9 4240-0,
wenn dad Sintegrale fo beftimme wid, daß ed für n==o verfchwindet.

Wir erhalten demnach für die beyden erflen Glieder
3 —ıvY(ı —n?) 3—3v(ı—n)

ſo daß Auml. iſt. Um die übrigen Coefficienten zu finden, dif⸗

ferenzüiren wir die angenommene Gleichung
— —— = — Bdp sin. + 2C dp sin.29 — 3D dp sin.3p

+ 4E de sin. 49 — ıc.
eng _ Bein. ? 20 sin. 29 — 3D sin. 39
ı--ncos.o . \

+ 4E sin. 49 — ꝛc

Multipliciren wir mit (2 4 an cos.ↄ5), fo erhalten wir-
o= an sin. — 2B sin. + 4C sin. 29 — 6D sin. 39 - BE sin.4p —ıc.

oder 0 ==

— Bn 420n — 3Dn
i -+-2Cn —3Dn —+-4En —5Fn;
bieraud folgt :
B—n, __ 46—Bn, _ 6D—aCn, 8E — 3Dn
= n ? D= 3n E= 4n r= Bbn

Da nun B= un, fo wird

= mo oder C= I):
dann aber wird

ee re

— 405° m

Segen wir nun der Kürze wegen rem = m, fo wird |

l.(1--nco. 9 )=—1. — + 2m cos. 9 — ?m? c08.29.
+ 2m? 008.39 — zm* cos. 4p + x.,
und Daher ift das gefuchte Integrale |
| /dp 1.(1-Fn cos,9) =
== Const, — 9l.—-+im sin. 9 — 2 m? sin. 29
+: m? sin.39 — 3 m* sin.49 + 5 m? sin. 59— x.

sufap.
$. 296. Für n=ı wird m=ı und

l.(1 400.9) = — 12-4 2008. 9 — 208.29 + ? 0.39 |
— 2008.49 + 1%,

I. (1 — 008.9) = — 12 — 2 008.9 — 2008.29 — 3008.39

— 7008.49 — %
Da nun ı + cos.9 = 2 con. ? und 1 — 008.9 = 2sin.! %
fo wird
1. cos. t = — 1a +- 008.9 — cos. 29 +5 008.39 — 4008.49 +
und |
1. sin. ? = — 12 — 008.9 — 008,29 — 008,39 — 008.49 — ⁊c./
alfo | |
1. tang. : za — 2005.99 — 2 008,3 — 2.008,59 — 5008.79 — 16.

— 106 —.

Kapitel VII.
Allgemeine Methode, was immer für Integralien näherungöweife
zu beflimmen,.

näherungsweife anzugeben.
Auflöfung

Aufgabe . Ze
$. 297. D.n Werth der Integralfot mei A

Da jede Integralformel an und für ſich unbeſtimmt iſt, fo be⸗

flimmt man fie immer fo, daß für irgend einen beflimmten Werth für
x, z. B. fürx=a, das Integrale felbft, nämlih y=y/Xdx; einen
gegebenen Werth, 5. B. b, erhält. Hat man die Integration auf dieſe
Weiſe auögeführt, fo handelt es fi nur noch um die Beſtimmung des
Werthes, welchen das Integrale y erhält, wenn x irgend einen ande»
ren, von a verfchiedenen Werth annimmt. Legen wir alfo dem x ei-
nen nur wenig von a abweichenden Werth bey, fegen wir nämlidy
x=a-+a, wo a nur eine fehr fleine Größe bedeutet, fo Fönnen wir
Die Sunction X gleihfam als conftant betrachten, weil fie ſich nur fehr
wenig ändert, wir mögen für.x den Werth a oder a--a fihreiben, es

wird demnach Kx + Const. = y das Integrale der Differenzialfor |

mel Xdx feyn; weil aber für x:=a, ys=b werden muß, und der
Werth von X gleichfam ungeändert bleibt, fo wird Xa--Const.=b,
und daher Const. = b — Xa, woraus wir y=b + X (x— a) fol-
gern. Erhält nun x den Werth ara, fo erhalten wir den entfpres
chenden Werth von y, welchen wir =b + ß feßen, und nun fönnen
wir auf ähnliche Art hieraus y beftimmen, wenn x einen andern Werth
erhält, welcher aa nur wenig übersrifft. Segen wir alfo a-t-a ſtatt
x, fo fann der für X fich ergebende Werth wieder als conftant betrach:
tet werden, und ed wird dann y=b -+ß-+ X(x— a— a). Auf
diefe Art Fönnen wir nad Belieben fortfahren. Zur größeren Deut-
Jichfeit Pönnen wir die Rechnung fo darftellen : .
für za werde X=A wmdy=b,

» xal » A=A/ » y—mb/’ =b -A(a—a),.

» xzzma! » X=Al Alla —a),

» xmal! » XzsAt » yabtızbu + Alla — ar)

u. f. W.,

F — 107 —

| woben wir annehmen, daß die Werthe a, a’, al, ıc. nur nach fehr
; Heinen Differenzen fortfchreiten. E8 wird alſo p— b A (a — a)
der Werth feyn, in welchen die gefundene Formel y=b-+-X(x— 4)
übergeht, denn es wird XX A, weilx=a gefest wird; dann aber
: erhält x den Werth a’, welchem y=b’ entfpricht. Auf diefelbe Art wird
u =b/-+A’ (at — a’) ‚dann buzbr Arılatı —a!) u. f. w.,
wie wir oben angenommen haben. Setzen wir alſo die vorhergehenden
Werthe in den folgenden Ausdrücden, fo ergibt fich:

» =b+A(a@—a),

b" B - A(a —a) 4 A’lar — a),

bs — bh + A(a’ — a) 4 A (all — a’) + Ar (a —al),

bvuz bh 4 A (a⸗ — a) 4 A’ (ad — a’) + Au (a4 — all)

r Arı (a — all)

u. ſ. w. |
Es mag daher x von a noch ſo ſehr verſchieden ſeyn, ſo werden ſich
die wachfenden Werthe a/, a’, a!“, ꝛc. dem x immer nähern, und
das legte Aggregat gibt den Werth von y felbft.

ır u &

\ | Zuſatz ı | |
9. 298. Iſt die Zunahme von x unveränderlih, und =a, fo daß
a m=mata, alma-t 20, alt a-- 3a, uf. w.,
und geht für diefe Werthe von x die Function X über in. Ar, A,
A⸗d ye,, fo wird, wenn wir den’ lesten Werth in jener Neihe durd)
a-- na==x,'und in diefer durch X felbft bezeichnen :
= btaA+atar Lam... ER.

Ä 3ufaß 2. i

g: 299. Man erhält demnach den Werth des Integrals y durch

die Summation der Reihe A, A’, A,. . X, deren Glieder aus

der Zunction X erhalten werden, wenn man 1 dafelbft ftatt x nach und

, nah a, ata, at+2a,....a-tna ſchreibt. Denn addirt

man zur Summe jener durch die Differenz « multiplieirten Neihe die

Größe b, fo erhält man den Werth von y, welcher dem x=zsa-tna
entſpricht.

3 uſatz 3.
9. 300. Je kleiner die Differenzen, un welche x waͤchſt, ange⸗
nommen werden, deſto genauer erhaͤlt man auf dieſe Art den Werth

— 108 —

von y, wenn zugleich die Glieder der Reihe A, A’, Au, u. ſ. w.
nach ſehr kleinen Differenzen fortſchreiten; denn iſt dieß der Fall nicht, F
ſo biethet jene Beſtimmung ein zu unſicheres Reſultat dar.

Zuſatz 4.

$. 301. Nach der Theorie der Reihen erklaͤrt ſich diefe Annaͤhe⸗ |

rungsmethode auf folgende Art.

Aus den Zeigern a, a, all, at.... x bilde man die Rei

A, A., Au, M.... X,

deren allgemeines Glied X durch die Differengialformel dy=Xdr

gegeben ift. Dann fey in diefer Neihe das vorlegte Glied X, welches
dem Zeiger /x entſpricht, und hieraus bilde man die neue Reihe:

A(a—a), Allar— a), Auf(au—ar),....1K(x— 2). .

Wird die Summe diefer Reihe gleih S gefeht, fo erhält man :

näherungsweife da8 Integrale y—=/Xdx=b-+-8.

Anmerfung ı

(. 302. Man erklärt auf diefe Art die Integration ald eine Sum⸗
mation aller Werthe der Differenzialformel Xdx, wenn die Verän-
derliche x nad) und nad) alle Werthe von a angefangen bis x annimmt;
welche Werthe nach der Differenz dx fortgehen, wobey aber diefe Dif:
ferenz unendlich Flein angenommen werden müffe. Diefe Erklaͤrungs⸗
weife der Integration ift demnach jener ähnlich, nach welcher im der
Geometrie Linien als Aggregate von unendlich vielen Puncten gedacht
werden; fo wie nun diefe Idee, richtig aufgefaßt, nichts Anftößiges
Bat, eben fo kann man jene Erflärungsart der Sntegration zulaffen,
wenn man nur zur Befeitigung aller Irrthümer diefelbe aus dem wah⸗
ren hier angeführten Gefichtöpuncte betrachtet. Aus dem Geſagten er
heilt auch, daß man die Integration durdy Summirung zwar nähe-
rungsweife ausführen Fönne, daß aber das Nefultat nur dann die er:
forderliche Genauigfeit haben werde, wenn die Differenzen unendlich
Flein, d. i. als verfhwindend betrachtet werden. Aus diefem Grunde
nennt man die Integration auch gewöhnlich Summation, und bejzeich—
net das Integrale durch /, wobey ed aud) nad der vorausgefchidten
Erflärung fein Bewenden haben kann.

Unmerfung 2

F. 303. Wenn für die einzelnen Intervalle, welche wir zwifchen
aund x feflgefegt haben, die Größen A, A’, A’, ıc. wirflich con-

— —n

— 100 —

- ftant wären, fo würden wir das Integrale /X dx genau erhalten. In

wie ferne alfo für jene einzelne Intervalle die genannten Größen nicht
conftant find, ift das Nefultat fehlerhaft. Nun ift zwar für das erſte
Intervall, in welchem die Veränderlihe x von a bis a’ fortfchreitet,
A der Werth von X, welcher dem a entfpricht, dem nächften Werthe
a’ aber entfpricht A’; fo ange alfo A’ nicht =A ift, fchleicht fi ein

Fehler ein: da nun im Anfange jenes Intervalles X=A ift, am Ende

— — — — — a

aber X— A⸗, fo müßte man lieber irgend ein Mittel zwiſchen A und
A’ annehmen, wie wir ed auch fpäter thun werden, wenn wir von ber
Correction’ diefer Methode fprechen. uͤbrigens wird ed gut feyn, zu
bemerfen, daß es gleichviel fey, ob man den Anfangswerth oder den
Endwerth des Intervalld nimmt. Denn man fieht zugleich, daß, wenn
man im erften Salle zu viel erhält, im andern gewöhnlich zu wenig er⸗
halten werde. Man Fann demnach hieraus zwey Ausdrüde ableiten,
wovon der eine den Werth von y zu groß, und der andere zu Flein ans
gibt, fo daß beyde gleichfam die Grängen von y bilden. Nach unferer
Bezeichnung im $. 301 liegt demnach der Werth von y=— /Xdx
zwiſchen den beyden Graͤnzen

b+A(®— a) A (ara) Au (aan) 4... IR (K— x)
und |
b-FA'(a —a) AU (ar ar) Ar (aa)... + (xx).
Sind diefe befannt, fo laͤßt fi) dann das Nefultat noch genauer bes
ſtimmen.

Anmerkung. 3.

$. 304. Wir haben ſchon oben bemerkt, daß jene Intervalle,
durch welche x nach und nach fortfchreitet, fo Flein angenommen wer
den müſſen, daß die entfprechenden Werthe A, A’, A’, ıc. nur fehr
wenig von einander verfhieden ausfallen; und hiernach muß man vors
züglich beurtheilen, ob es beifer fey, die Differenzen a — a, ar—a’,
al — a’, u. ſ. w. unter einander gleich oder ungleidy anzunehmen.
Denn wo der Werth von X durch die Anderung von x ſich nur wenig
ändert, dort Fönnen die Intervalle, durch welche x fortfchreitet, ohne
Bedenfen größer angenommen werden; wenn aber durd, eine geringe
Änderung von x die Function von X eine große Variation erleidet,
müfjen die Intervalle möglichft Flein genommen werden. Wäre 5. ©.

x pre fo fieht man, daß, wenn x der Einheit fchon fehr

— 170 —

nahe koͤmmt, für jede noch ſo kleine Zunahme von x die Function x |

eine fehr große Anderung erleiden Fönne, weil diefelbe, für x ı fo-

gar unendlich, groß wird. In ſolchen Fällen Fann man fi) demnach je: }

ner Annäherungsmethode nicht bedienen, wenigſtens nicht für. jenes

Intervall, bey deffen einer Graͤnze X unendlich groß wird; allein die"

fem Übel fann man leicht abhelfen, wenn man durch eine zweifnräßige
Subftitution die Formel in eine andere transformirt, oder wenigſtens
für diefes Intervall die Integration auf einem befonderen Wege aud

führt. Wäre 5.8. die Formel — gegeben, fo laͤßt ſich für

das Intervall von x= ı — o bid x == ı nach. der angegebenen Me:
thode das Integrale nicht finden; fegt man aber x ı — z, fo wird
. z eine fehr Fleine Größe bezeichnen, weil es zwifchen o und « liegt,
d2(1 —ı)

dz
var — 3er +2) YVds’ deſſen

und unſere sem geht über in

Sntegrale * 3 VE für jenes Intervall den Theil des Integrale — 272 gibt, !

Diefen —* kann man in allen aͤhnlichen Faͤllen anenben; die
oben befchriebene Methode wollen wir durch einige Beyfpiele erläutern.

Beyſp iel i.
9. 306. Das Integrale y=/wdr näßerungsweife
fo zu beftiimmen, daß e8 für x= o verfhwindet.

Hier ift a=o und b=o, ferner X=xr. Man laffe x von
Null an wachfen, und zwar um die beftändige Differenz a, fo daß den
‚ Zeigern

| 0, a, 2a, 3a, 4ba, da... ... x die Werthe
0, aa, ar, Jan, Zar, 5Han.,..xa entiprechen.
Das vorlegte Glied wird (x — a)" feyn, daher find die Grängen

zatı,

des Integrals y= Ser dr — = .

ae 4 220 4 ga ,...—+ (x—a).] und
ale tat art. one + 2],
welche Gränzen einander um fo näher liegen, je Fleiner das Intervall a
genommen wird. Iſt z. ®.a=ı, fo find jene Grängen
o+ı +++... 4a),
ı - 2 33 - ur -...... 4x2;

für «= + aber erhält man die Graͤnzen

— 77] m
(+: + a +- 3 +4 .... + (ax —ıy).und
*( . . ... ... 4 *),
und allgemein erhält man für a = — die Gränzwerthe
sr(et +64... .+@—),
nl: EI nn + (a2) ),
deren legterer den erſteren um — übertrifft ; hieraus erhellt, daß, wenn

die Zahl m unendlich. groß wird, jeder diefer beyden Gränzwerthe den
wahren Werth des Integrald y = or xatı darbiethe.

Zuſatz ı.
G. 306. Die Summe der Reife 12° 3° +4" +... + (mx)®
nähert ſich daher dem Werthe 277 (m xjet um fo fchneller, ie grös
fer n genommen wird, folglich wird ne mx=z die Summe der Reihe
1 + 2 +- > 440 +5 +... +zumf genauer durch
* zuts ausgedrüdt , je größer z genommen wird.

Zuſatz a.

(. 307. Naqh dem erſten Graͤnzwerthe bezeichnet für nı=s
diefelbe Größe —— zei‘ näherungsweife die Summe der Reihe
o+ Irtstet..ter

Nimmt man hier das Mittel, fo erhält man mit mehr Genauigfeit

At" ++... +@-ı? +32 =- zatı:
oder, wenn man auf beyden Seiten +2” addirt:
2 > 4 -+. ‚Leo zetı — 2,

n-+ı
welches Reſultat am genaueften mit der wahren Summe diefer Reihe
ibereinftimmat.

Bepnfpiel.a.
$. 308. Dad Integrale y = [: näberungsweife
fo zu befimmen, daß es für x=ı verfhwindet.

%

— 1886 ——

| al
— pP —?
gegebenen Ausdrud iny= ———— wo beyde Fac

Vÿ ,
denſelben Exponenten haben. Setzen wir nun wie vorhin
x=t(a4b) —:!(a— b) co. ↄ,
fo erhalten wir / '
—— — ed ——
7 I) 5* SXdpysin.p a (1 — cos. g) *,:

3

wobey man P ohne Ende fortwachfend denfen, und die Integra
durch Intervalle ausführen kann. Nach diefen Bemerkungen wird d
Naͤherungsmethode Faum eine fernere Schwierigkeit barbiethen.

- — 173 —

Zuſatz 2.

9. 310. Da die erſere Reihe aröper ift, als die lehtere, ſo wird
(m--2)- — mı—ı

ıma + Gary + — +.t rer (n-ı) ma—ı (m-Fr)2—ı

— — Ma—ı

1 1
tete tt an

Ä

dirt man nun beym legten Ausdrude beyderfeitd Zr beym erſten aber

‚ und nimmt das arithmetifche Mittel, fo erhält man genauer

ı
ı-j-z)=
ı 1 1 1 |
= (m-+ı)2 + (m+2)® r (m-45)» Teer (m+z)

— (am +n— ı)(m-+z)2 — (22z - am —æ n + ) ma
2 (n — 1) ma (m-+- x)"
elcher Ausdruck für n=ı ſich in 1. ( 4 =) + — * — —
rwandelt.
Zuſatz 3.
6. 311. Segen wir z= mv, fo erhalten wir die Summe fols
mder Neihe näherungsweife ausgedrüdt:

1

atam tat too

—_ am a—ı)(ı +v — om(ı Fv)pn—ı,
- s(n—ı)mr(ı-v)» . ?

ur für n= ı wird

ı — 14v
tat +. +.-m> IHN + zo’
nd hieraus folgt * v= ı naͤherungsweiſe
aa (am-n—ı)—/m+n— ı

\

— D A = aatı (n—ı) me
nd
1° 1 ı 3
tan tan tm te
| Bufap 4

$. 312. Hieraus fließt nun eine Regel für die näherungdweife
'erechnung der Logarithmen nad) fo großen Zahlen, während Die ges
oͤhnlichen Reihen nur für die von der Einheit wenig verſchiedenen Zah:
n gelten. Denn fchreiben wir u flatt ı + v, fo erhalten wir

\ — 174 zanER

ı 1 ı ı 16a
her: tımtr ta m

wodurd) la um fo genauer beſtimmt wird, je größer m genommen wird
| Beyfpiel 3 |
$. 313. Das Integrale y = (25 =
weife fo gu beftimmen, daß es für x0 verſchwindete
Dieſes Integrale iſt bekanntlich y = arc. tang. 7 zu deffen nt
|

im fu

m!

nähberungs

herungöweifen Berechnung wir a=o und bo feben. Laffen wir alfo
x von Null angefangen um bie beftändige Differenz « wachfen, fo er

halten wir wegen X =

für die Zeiger

—
0, a, 3a, 3a, 2 2... .x die Werthe | -
1 c c © c
ce’ are’ are’ arg ta |
woben dad vorlegte Glied X = — —. | u

@+(x— a)?
Esift daher ein Näherungswerth unferes Integrals J == arc.tang.- 2, Ä
und zwar der gröhene:

ec ce ”
« € t+agatatetı 5

der andere aber, naͤmlich der kleinere, iſt:

- € c c ce
(treteat ta)

Addirt man zum erſten Ausdruck « =, zum legten aber «

c
——
und nimmt zwiſchen beyden Reſultaten das arithmetiſche Mittel, fo er-
var man mit größerer Genauigfeit

= trore ar + SFT * re. +5) =
x a fı c — x 202 + x2 ;
== arc. tand. — * 4 * -(; + tx = are. tang. Tr 5
wir erhalten alſo für dieſen Winkel den wahren Naͤherungswerth
arc. tang. - -
ı 8, _ 1. 1 2c2 + x2
ü = ac at et spe + ... 4) — 4 —ã—
welcher Ausdruck von der Wahrheit um ſo weniger abweicht, je kleiner

— 15 —
Bezug auf c iſt. Segen wir alfo c fehr groß, fo können wir für
ie Einheit annehmen, und wir erhalten für x = cv

arc.-tang. v —

s3-+ v?
ats FT +37 37 +37, art tape) ac(1ı+v2) ’
' zwar um fo genauer, je größer c ift.

3ufag 1.
.$. 314. Segen wir c=ı, in welchem Falle der Zehler ſehr ber
tend feyn muß, ſo wird

— 24V? .
.tang. vw=ı4+ — mtr st + 2(1+ v2)’.

v=ı Wird arc. tang. 1 — = ı -2— ?=2, daher z=3,

cher Werth von der Wahrheit nicht zu ſehr abweicht. Gegen wir
=2, fo erhält man

— 1, 1 1 1 2 24 v2
mug. vama G Tatra) Tr

) für v— 1 wir dann

ans 1 (+ * +) u 3 18
»demnach = 4 = 3,1, welcher Werth ſchon genauer iſt.

Zufaß a.
$. 315. Sey c=b, fo wird \
arc, tang. v =
1 1 a 1 | a + v2
6 (z + mt 36-+4 ro.+ 7) u 12 (1 + v2)’

) wenn v—=: und v=: gefeßt wird, erhält man:
v ı 1 tr | 1 — 3
weitet 35474, r +) 20’

.tang. — 6(z ++ ur) .
Nun iſt aber arc. tang. + arc. tang. are. tang. ı = ar

— + Te ai oder
= 7 = 3,1306 . | u
223

— 770 —

Zuſatz 3.
$. 316. Seßen wir aber fogleih v= ı, fo wird'

etrlatutatetatate |
und daher x — 3,13696, welches Reſultat der Wahrheit fchon weit |

näher liegt, nämlich die Addition mehrerer auf einander folgender Glie⸗
der fuͤhrt ſchneller zum wahren Werthe.

Aufgabe 38.

F. 317. Die obige Methode, die Werthe der Inte .

gralien näherungsweife aufzufinden, zu verbeffern,
damit man fich weniger von der Wahrheit entferne,

Yu f Iöfung.

Es fen die Integralformel y= /Xdx vorgelegt, deren Werth
y=b für x=a wir ald befannt annehmen; fey diefer nun durch die -
Bedingung der Integration felbft gegeben, oder ſchon Durch einige Ope⸗
rationen daraus abgeleitet, und legen wir nun dem x felbft einen Werth
bey, der den Werth a, für welhen y=b, nur fehr wenig übertrifft, }
‚und es gehe X in A über, wenn x—a geſetzt wird. Bey der vorigen r
Methode Haben wir angenommen, daß befländig X=A bleibe, wäh:
rend x fehr wenig über a hinaus wählt, und daß demnach

JXdx= A(x—a).
In wie ferne jedoch X nicht conftant ift, Fan auch nicht /Xdx=X(x—a)
feyn, fondern man erhält
J%dx = X(x—a) — /(x—a) ax,
Segen wir alfo AX = Pdx, fo wird /(x—a)dX = /P(x—ı) dx,

dX
und wenn wir nun P.= 47’ fo lange x nicht fehr von a verfchieden

yarıklıa

Int

IE, 1

ift, als conftant betrachten, fo erhalten wir
JP(x—a)dx = :P(x—a)?, und dann wird
y=/Xdx=b + X(x—a) — :P(x—a),

welcher Werth der Wahrheit fchon viel näher kömmt, obgleich für X
und P jene Werthe genommen werden, welche fie erhalten für x= a
oder fürx==a--a, nämlich für den größten Werth, dem fich hierbey
x nad) unferer Vorausfegung nähert; hieraus folgen, je nachdem wir
xa oder x=a-ta feßen, zwey Graͤnzwerthe, zwifchen welchen der

un 177 ——

hre Werth liegt. Auf dieſe Weiſe koͤnnen wir nun weiter fortgehen;
ın iſt P nicht conſtant, fo wird
JSP(x—a)dx = !P(x—a)? — !/{x—a)2dP,-
d für dAP=Qdx wird
/S&—a)’dP = /Q(x—a)?dx = ;Q(x—ı),
nn wir nämlich Q ald conflant betrachten, und fo wird
= /Xdx=b + X(x- 3) — !P(x—a) + Qu).

Verfolgen wir diefen Gang weiter, und fegen
d dX dP d dR
—2, p , 0=—, 132, S=-, u. ſ. w.
finden wir:
= b 4 X(x—a) — :P(x— a) +— Q(x— a)’

1 1
— 1737 R(x—a)' +4 33.738 S(x— 8)’ — ıc.

Iche Reihe fehr fchnell convergirt; wenn nur x nicht viel größer ift
‚a, felbft wenn fie ind Unendliche fortfchreitet, wird fie den wahren
erth von y darftellen, wenn man in den Zunctionen X, P, Q,
ꝛe. flatt x feinen Endwerth a-+-a ſetzt. Will man aber jene Reihe
’t ins Unendliche ausdehnen, fo wird es beifer feyn, durch Inter⸗
le fortzufchreiten, indem man dem x nach und nad) die Werthe a,
ad, a“⸗ beylegt, und dann für jede Funetion X, P, Q, R,Sıc,
entfprechende Werthe fucht, welche wir durch folgendes Schema dar⸗
len wollen: |

für. x=a, al, al, all, a, a’ cc.

werde X A, A, Au, Au, AV, AV cc

= — P= B, B’, B, BW, Bav, Bv ꝛe.
X
— 2 C, C, Cm, Cu, , BY x.
Ler=D, D’, Du, Dw, DW, DV.
>

u. f w.

Dann aber fey
y=b, b/, bu, bis, b!IV, .pV ꝛe.

Nach dieſer Bezeichnung erhalten wir, wie aus dem Vorher⸗

nden zu erſehen iſt:

uler's Integralrechnung. 1. Bd. 13

— ‚170. ze

b’ = b.L Alla —a) — :B/(a — a)

+30@— a) — DW tn

bv = br + Ar (a! — a’) — :BV (a — a’)?

+ ;CH (ar — a)? — ı D’ (a — a/)* +
bu BL -- Au (a — a’) — ı BU (art! — al)?

\
\
|

+ 70/4 (a an): — Dr (am — ar) 4 12 Ä

bIV — bw + AV (a VY— al!) — =BW —**
— 3 CV (alV_ au) — 5 DIV (aIV_— au) Loy,
u f. mw ,
welche Ausdrüde man fo lange fortfeßt, bis man für ein beftimmtes,

vom anfänglichen Werthe a noch fo verfchiedenes x den Werth von
y gefunden hat.

3ufaß ı
F. 318, Diefe Näherungsmethode ftügt fi demnach auf den
fhon in der Differenzialrechnung bewiefenen Eehrfag, daß wenn y eine

ſunchen von x bezeichnet, welche für x—a in b übergeht, und man

ax dP dQ
fept ZI =X, „—=P, —;=Vı ern

allgemein

„= b * re — :P(x—a)? + 5zQ(x—a)!
RR) 4 Sa)! — u fen
| Zufaß 2.
$. 319. Wenn man diefe Reihe ind Unendliche fortfeßen wollte,
fo wäre, es nicht nöthig, dem x einen nur wenig von a verfchiedenen
Werth beyzulegen. Damit jedoch) Die Reihe fehneller convergire, ift es
zweckmaͤßig, die Differenz zwifchen a und x in Intervalle einzutheilen,
und die befchriebene Rechnung für jedes einzelne Intervall durch:
zuführen.
Zufatz 3
$. 320. Laflen wir nun x von a angefangen, um die beftändige
Differenz « wachſen, und fegen wir den Endwerth a-—- na =x,
fo dag für |
x=—32, a-a, a-- 2a, a-t3a een 0. X
X=A, Ai Au, Auı

I AU, AU, 20. x
' d
= = P, B, B/, B, B ran P

we —

a |

dx ®, C, C, C“, CH .O

NR, D,D,;, De, pu. ... k
u ſ. w

und yab, b, bo; bu, pu,.... y
wird, fo erhalten wir durch Summation aller Reihen für x=x:

ymb+ta (A Au Lam L,...+.X)

. — za (EB + BY - Bu .,,.+4P

+32 (0 +07 + 04 ...:+0Q)

— Zza(D’ + D’ + Dw + 46 + R)

u: ſ. w.
Anmerfung i.
$. 321. Der Beweis des im Zufage 1. erwähnten Lehrfages,
auf welchen ſich diefe Näherungsmethode ftügt, geht aus der Natur
der Differenzialien auf folgende Art hervor. Es fey y eine Function

von X, welche fi für x—a in y=b verwandelt, und fuchen wir den

Werth von. y, wenn x von a wie immer verfchieden ift. Beginnen wir
num bey dem größten Werthe, welcher x felbit it, und gehen wit durch
Differenzialien zurüd', fo folgt aus der Natur der Differenzialjen, daß
fa x d,y=y— y+ dy— dy-+ dıy— ꝛc.
=xı—2dı, =y—ady+Idy—4diy + Sdir — c.
=x—3dı, =y-—-I3dy—+ 0 — odey 4 1ödty — ꝛc.

oc 64 dd 1 ii de 6 de cc —.
ir-snde, rar eh

nt) 42 (m+3Y „, J
tern en
Setzen wir nun æ — ndt=a,. fo wid n= ——, mm
demnach unendlich groß, dann aber muß, vermöge der Vorausfepung,
y==b werden, und demnach erhalten wir |
e=2) dy («—apd?y _ —— 6——,.
+ 1. 2 dı2 ‚2:3d2 ! „1.2,3.4 dxa 1

b=y—

Wird *

a X 5. de Br (en u
I=X, „=P = Z=R, uf. w.

geſetzt, fo erhält man wie vorhin:

ir *

\

"ee 180 —

y=b + X(«-a) —:P(x—3)? +4 Q(x—3)’ — 7 R(s—a)!-Fx.

Es folgt hieraus, daß wenn x nur fehr wenig von a verfchieden
ift, ’ed hinreichend ſey, y=b-H-(x—a)X zu feßen, worin das
Sundament der angegebenen Näherungsmethode befteht, nämlich die

Gränze, durch welche X aus dem größern Werthe von x beſtimmt wird,

Anmerftung =.

F. 328. &o wie uns diefer SchInß nur auf einen der oben an:
gegebenen Graͤnzwerthe führte, eben fo leitet er und auch zu den ans
dern. So wie wir nämlich oben von x auf a zurücgegangen ſind, ſo
werden wir nun von a zu x fortfchreiten.

Wenn a übergeht fo verwandelt fich b
ina-+t da |inb-+ db

» a 2da » b-+ adb + db

» a-+3da |» b+ ab + sub + a

an

» atnd Ab nab —— N zu ED —

Nun fege man a- nda=xrodern— — und der Werth

von b werde gleich y. VBezeichnet man die Werthe der obigen Fune⸗
‚ tionen %, P, Q, R,x. firxm=abud A,B, C D, x., fo
erhält man in diefem Falle

‘db d2b db
Aem, Ben CT %
Wir haben demnach: ee F

— ——— —————————— OD (X-a) ꝓ x
welche Reihe der obigen, ohne Rückſicht auf die Zeichen, allerdings ihn
lich iſt, wenn x die Größe a nur wenig übertrifft ſo daß b+-A (x—a)
„den Werth von y mit hinreichender Genauigkeit bezeichnet, fo erhalten
wir dadurd) den anderen, oben angegebenen Grenzwerth. Wenn wir
nun die Diſtanz zwifchen a und x, wie im (.320, in gleiche, um die
Differenz a von einander verfchiedene Intervalle abtheilen, und in den
einzelnen Neihen die vorlegten Glieder duch «X, P, Q, R, x.
bezeichnen, fo haben wir für y als ziweyten Gränzwerth:

y=b+ a (AA -AUL..., + X)

Fi E. .. 34 5

nn nn m

..

al dad, irrt ®

Y gem 181 u '

+3e(C+@+CH +.... +9)

+3#(D+D’+D“ 4 ....+B
u. ſ. w.,

ſo daß wir auch nach dieſer verbeſſerten Methode zwey Graͤnzen erhal⸗

ten, zwiſchen welchen der wahre Werth von y liegt. Wir werden die⸗

ſen Werth genauer erhalten, wenn wir zwiſchen dieſem Graͤnzwerthe

das arithmetiſche Mittel nehmen, wir erhalten dann: |

y=b+a (A+A! AU L...... + X
| iA + +ije (BP
i +4 one. +0)
— ——
a E FAAEA . ..... - 8)
-
u. few

Die obigen Näherungswerthe werden daher um Vieles genauer,
wenn man nur noch das Glied 3a? (B— P) hinzu addirt.
Beyfpielı,
$. 323. Den Logarithmus einer jeden beliebigen
Sahl x nähberungsweife darzuftellen.

Hier iſt alſo y — , welches Integrale ſo genommen wird,
daß ed für x i verſchwindet; es wird alſo amı, b=o und
X=-; Nehmen wir nun an, daß x, von ı angefangen, um bie
beftändige Größe a wachſe, fo wird, da

_dX 1 dP__ a, a _ 6
di = =: dx ze?
für die Zeige BP

u m j he ı 20, urde 10. ... x
1 1

-. te Ta = tz
pP — I ——, — 1 — , —, se .—
Ci Fe Grat 5 — *

75 2

e — ara’ Perl 5 ..0.o 7
' Ge’ Grat Gap tm

u. f. w.

x

| zum 182 wm
‚ und hieraus folgt:
keelıt tat get et
(+ mie (i3
te For (' Fa Far er), Tor DET, tet =
mie lıt5) tel:

| ———— — — nn. . .

EU u
ı 1
te te tt) |
50 (142 — ze (1 4
uf @
Setzen wir nun a — * | |
.m . |
— 1 _ X. — x2—1
— Hg

»
|
>)

1 1 +:
+:(a+ tataat tes)” Cm im |

bar — — "ot;
Hlatataet te) vomsxs Tram
Ä u. few en
3ufapß.

9. a4: "Sehen wir diefe Reihe ind Unendliche fort, fo iſt die
Summe der lebterr Glieder

— —

— —ı] — jr __ jet,
m—ı ” mx » (m—ı)x
die Summa der erftern aber = + 1 mi, |
Da num . J RR ER:
np Mikr 5 sm _ 1x m td,
ki 15 1 m+ı
fo wird . - . ee

x(m+ı) ı
Im (Fr tsrrt tt
rs (rt amtarst +)
re (a + am | tat er)

u. f- W.;

— 15 —
welcher Ausdruck ind Unendliche fortgefegt, ben wahren Werth von
Er ibt.
Beyſpiel2.
$. 325. Den Kreisbogen, deffen Tangente x it,
auf dieſelbe Weiſe näherungsweife barzufelten. Ä

Es handelt ſi ich hier alfo um das Integrale y — -/ — wel

c?+x x?
ches für x=o verfchwindet; ‚weil Bier a=o und b=o, fo wird
P— dX _ _— scx ap — 2c (e - 3x!)
age Pen ae ea er
—.4Q _ 6x Br — 4) g_—dR __ 6c Bm 33er anna %
in arg Sen Tag
welche Ausdrücke ins Unendliche fortgefegt
ex 023 cx? (cꝰ — 3x?) ex (30? — 4?)
apa Tarp Term Be
cx5 (3c4 — 33021? 2059)
+ er te

geben. Laffen wir nun x durch die Intervalle 4 = ı fortf—hreiten,
fo wird

c 2c9
A=-, B=o, C=— —, D=o
c?

c
A —-{orT N) B/ ——
- 1

A = —, B/ = —

C
m— _Z, Bi
A =’

. . 0.000 —* ..s oe. 00 0. +.

ng rn

a9

BEI R u

—

20 (c?2-ı3) ı2c(3c2-16) |
arm
20 (c?-27) Duu 18e(de?- -36)
er" Erg

“. 00 0 000% .....6. 60.0.0. 00

c 2c(c?-3x?) R= 6cx(de2-4x)
X @ +12 ⸗ 75 (c* + x2)*
und en folgt: J
1 w
J — ++ = 377 +a ta ++ u)

ce —3

3 ri >

cz

7 + 2 (+2)
c?— 37 2—3 —)
art ren
c (et — dx?) — 3x?) cx (30? — 4x?)
60? + 223 + 2) nr Sc + x?)t

— 154 ——

3uſat.. |
$. 326, Sepen wir c=xı=4, ſo wird y==arc. tang. =
und daher:

ı 1

18345 548 4484— -- +5

8 (1256 mt 20° EAN ut
welcher Werth von der Wahrheit fehr wenig abweicht. Diefe Beyſpiele
führe id nur der Erläuterung wegen an, nicht um eine leichtere Ans
näherungsmethode zu geben, als ed auf andern Wegen möglich ift.

‘

Beyufpiel 3

(. 327. Das Integrale y- - näherunge
weife fo anzugeben, daß es für x=o verfhwindet.
Nach den oben angeführten Reduetionen it

S—=: «fo ”ax,
. und der Theil e ‘x verfhwindet für x—= 0. Suchen wir demnad

das Integrale z = fe "ax, denn iſt diefes gefunden, ſo if

———— 1 ei

y=e "x-—z, und wir haben ſchon oben bemerkt, daß man ir in

dieferh Falle eine andere Annäherungsmethode vergeblich fuche.
nun 2 für x=o verfhwinden fol, fo wird a=o und bo; —*

X=e 5, und daher

dP
1
dQ ”T fı 6 6
54)
1
dR 2 fı 12 36 24
s=— ne ss 7 vw zy! u. f. w

-
——

— 105 m

Denkt man fi) die Entwidelung dieſer Werthe ins Unendliche
fortgeſetzt, fe wird

— 57 1 13 1 2 1 1 6 | 6
s = 6 [*-: x ur er — TX (- — 7
ul _ 2, 6 _ a ]
oder + m*r(277 * 2)*2
x ı:lı ‚fı 6
= 6 |:—: :(2-2)-%(42-2+6)
. 1 12 86
+ m(3-3+°2-%)
ı 1 20 120 240
- (5-3 2 x. ı20 } +» “ [| |
welche Reihe fehr langſam convergirt, welchen Werth wir dem x auch

beylegen.

Schreiten wir nun durch die Intervalle von o bis x fort, und
fegen fucceffivex=o, a, 2a, 3a, ıc., wobey zu bemerfen ift, daß
A=0,B=o, C=o, D=o, u f. w., fo erhalten wir nad) unſe⸗
rer Regel |

_ı ı . ı

— — — — “ — un ⁊ — |

male te =. ‚te ')—!ae "—jate er
be °(&- =) + “ (3= — ==)
re]

. xfı 2 —J 71 6, 6
‚2 14 x3 4 x6 7 x4

Wollen wir hieraus den Werth von z für xz=ı ableiten, und

nehmen für a einen Fleinern Bu, - an, » erhalten wir

fe" Here te te =
ee

J e J 4* 75 ıan’e m |

Bi

ne 5*

+

— 4156 —

Wenn wir bier für n nur eine mäßig große Zahl, z. B. 10 au
nehmen, fo finden wir den Werth für z auf Milliontel. genau, um
Diefer Werth würde 20 Mal genauer werden, wenn wir n==20 jeße
werden. | Ä
Unmerfung ı. |

9. 328. Diefes Beyfpiel mag hinreichen, den vortrefflichen Nu⸗
en dieſer Näherungsmethode zu zeigen, übrigens können Faͤlle un
fommen, wo auch diefe Methode Feine Anwendung findet, felbft dann;
nicht, wenn man das Intervall, welches x durchſchreitet, in noch fo
tleine Zwifchenräume zerlegt. Dieß ereignet fich jedesmal, wenn bi
Bunction X für jedes Intervall für irgend einen beftimmten Werth von;
x ind Unendliche fortwäachit, während doch das Integrale = /xdx
in dieſem Falle einen endlichen Verih haben muß.

Jay = , fo würde K=— —— 7a fit x=a

unendlich. werden, während bo; y den endlichen Werih C — av (a—x)

bat. Dieß ereignet fich immer, wenn der Nenner einen Factor von

der Form a—x mit einem Erponenten der Fleiner ald die Einheit ifl,
enthält, weil dann eben diefer Factor im Zähler des Integrale erfcheint. F
Sft aber der Erponent eines ſolchen Factors im Nenner ıdie Einpeit, |
oder größer als ı, dann wird für x a das Integrale ſelbſt unendlich
groß, in welchem Falle hier nur von jenen die Rede iſt, bey welchen
der Exponent kleiner ift als ı, well dann die Annaͤherung geftört wird. } +
Übrigens fann man dieſem Übelſtande leicht abhelfen, denn da en
ſolches Differenziale d ie Form — hat, wobey 2 <p iſt, fo fege

are

man-nur a—ı=z, ſo wird x=a—zr, dx — nf 145, |
und unfer Differenzialausdruc geht über in — „X zT —A—1dz, wels | |
ches für xXa oder z=o nicht mehr unendlich wird: Oder was bat
felbe ift, man führe für. die Intervalle, innerhalb welcher die Function
X unendlich groß wird, die Integration abgefondert durch, indem man |
x—=at 0 fegt, denn dann wird die Sormef X dx, weil w nur einen |
fehr geringen Werth hat, einfach genug, um die Integration ohne

Schwierigkeit auszuführen. Hätten wir z. B. den Werth des Inte⸗

Waͤre z. B. y *

x2d x
var — x*)

5 " .
durch die Intervalle vonx—=o bid x—a—a |
bereits gefunden, fo würden wir für dieſes legte Intervall s=a—u |

grald y =

i ee 107 ui
pieben, und wir haben nur noch den Ausdruck

Pr — _(e-oflaa 1.

Be. v4aa— 6a?a? + au? — w*)

zu integriven, welcher Ausdruck wegen der. unendlichen Abnahme von
“ übergeht in al — +22), deſſen Integrale für „a

offenbar Vaa — are + 53 iſt. Entwickelt man hier mehrere
Glieder, ſo kann man nicht nur für. das letzte Intervall, ſondern auch
für die beyden letztern oder mehreren der. legten Intervalle dieſes Re:
Yultat nehmen, wein man o=a oder 2a feßt; denn, da für
dieſe Intervalle der Nenner ſchon ſehr klein iſt, ſo iſt zweckmaßiger,
ſich dieſer Methode zu bedienen als der vorhergehenden.

Anmerkung2.
F. 329. Bisweilen tritt auch der unangenehme Umſtand ein, daß

. . . Xdx
der Nenner in zwey Sällen verfchiwindet ; wenn z. B. y — Gb)
wäre, wobey die Veränderliche x immer zwifchen den Gränzen b und
a liegen muß, fo daß wenn x von b bis a gewachfen ift, ed wieder von
a bis b abnehmen muß; während dem aber das Integrale y ununter-
brochen währt, fo kann der Werth desfelben wohl nicht bequem durch
Sntervalle beitimmt werden. In diefem Falle nehme man feine Zus
flucht zur Subftitution

0 x=t(a+b) — t(a—b)cos.9,

wodurd dx — (a — b) dp sin.y, um
(a—x) (<—b)=(!(a—b)-+!(a—b) cos.9) (4(a—b)—!(a—b) 605.P),
pder (a—x) («— b)=;(a— b): sin.29 wird, woraus y=—=/Xdp.
folgt, welcher Ausdrud feine weitere Schwierigkeit darbiethet, da wir
den Winkel 9 ſtets wachfend denfen Fönnen. Diefe Bemerfung erſtreckt
fi) auch auf jene Fälle, in welchen die beyden Factoren des Nenners

nicht denfelben Erponenten Haben, wie 3.8. in dem Ausdrude

Xdx .
y — F wobey a und v Fleiner als 2% angenommen

v(a— x)" (x—b)’
find, 2° aber eine beliebige gerade Zahl bedeuten fol. Wäre nun x
und » von einander verfchieden, 3.8. » <p, fo verwandle man den

u: )()/) u

Aufgabe 43
m—-ıdz

$. 351. Den Werth des Sntegrate [ Lin’
dem es fo beftimmt worden ift, Daß ed für x=o®

ſchwindet, für xz=oo.anzugeben.
Auflöfung

Das Integrale diefes Ausdrucks haben wir fhon oben, 67
angegeben, und zwar fo, daß es fir x—o verfchwindet; es ſtellt fh

wenn man Kuͤrze wegen -=u fegt, unter folgender Form dar:

x sin.e
1-2 C084
x sin, 3a)

. 3 2.
— cos. mo IV( — ax cos.0-+-x?) 4 = sin.mw arc.tang.

— <, cos. 3m lvV(ı—2xcos, 3u--x?) + - > sin.3m arc.tg.

1-xXEet J
x sin. &i

— = 005.5 5mwly(1—axcos. 50x?) -+- sin. Smo arc. 18.

L-xXeCt

P)
0 . 2 . . a . . e\ « . . . + . 1 710

2 2 x sin. I
— — „A l — ‘A 2 _ ® . . . Ti
— c08.Ama V(1—2x cos Fr) + „eiaAmware.tg —

wobey A die größte ungerade Zahl bezeichnet, die Fleiner iſt alt 2
Erponent m, und wenn n felbft ungerade feyn follte, koͤmmt noch de
Theil F - I(1-+x) hinzu, je nachdem m eine ungerade oder gera
Zahl iſt; im erften Sale gilt nämlich das Zeichen +, im leptern alt
das Zeichen —, 5 handelt fih nun hier um den Werth jenes Im
grals, welches fich für x—=o0 ergibt. Wir werden zuerft jene Th
in Erwägung ziehen welche Logarithmen enthalten, fo erhalten wi
da wegen x==oo offenbar

lVY(ı—2xcos.Ao--x?)=|1 (x— cos, Au)—ix--1 (1 cos. el) >
indem — — 0 iſt; für die logarithmiſchen Glieder den Werth

21

(cos. mo 4 cos. 3m + cos. m —+...-+ cos.Amo) $
[48 — für ein ungerade n|.;

Segen wir nun diefe Reihe von Cofinuffen, naͤmlich
cos, mo + cos.3mo + c08.5m®--...+cos.Amw =$,
fo erhält man, wenn durch 2sin. mw» multipligirt wird:

⸗

— 1580 —

Kapitel VIII.

hon den Werthen der Integralien, welche ſie nur in gehiffen
- Bällen annehmen.

x

Aufgabe 39.
F. 330, D.: Werth des Integrale —— E

=ı zu beſtimmen, wobey alſo das Integrale fo ge
ommen werden muß, daß es für 550 verſchwindet.

für

Auflöfung.

Zür die einfachfien Fälle, in welhen m=o oder m= ı ifl,
‚hält man für x— ı nad) der Integration

dx x xdx |
N
Wir Haben aber $. 119 gefehen, daß im Allgemeinen
m,t ı " m—ı
[7 - — —— ar Ve—=) tm
Man erhält demnach fürx=ı |
ımtıdı m sm—ıdx
Sal
nd wenn man von dem einfachiten Werche des Erponenten m zu dem
öhern deöfelben fortfchreitet, ergeben ſich folgende Ausdrücke:

dx x | xdx — 1

va=m. 3 u va)
x2dx 1. | x5dx 2
vu—x) "a. v(t—x?) 3
a

23
xtdı 1.3.r f: xidx 24
(= a VG -æ ) "3.5
ıödx 1.35 n x? d x 246
— J— 2.4.63 SEE
x2dx — 1.3. 5.7 7 dx 244668
Fe 2.4.6.8 3 5 3.5.7. 9

— — —— un) T um dr 2468... an |
va—2) 2.4.6.8.10...an a va—2) 3.5.7.9... (an 1)

N

‘

— 100 —
Zuſas,
$. 331. Das Integrale —

allen Faͤllen, in welchen der Exponent m eine ganze ungerade Zahl
ift, algebraifch; in jenen Faͤllen aber, in welchen m gerade ift, ent
hält es die Quadratur des Kreifes, denn ed bezeichnet = immer die
Peripherie eines Kreiſes, deffen Durchmeſſer gleich 1 iſt. ‘

wird alfo für x= ıHt

Zuſaßzß.

(. 332. Multipliciren wir die beyden lebten Formeln mit einane |
der, To ift das Product: |

\

_xmdı dx smtıde — %

vu—m — x2) va — 22) — 58 7 a |

wenn nämlich x ı gefegt wird, welches Reſultat offenbar‘ auch danu
noch gültig iſt, wenn n Feine ganze Zahl bedeutet. |
| Zuſatz 3. | |

$. 333, Diefe Gleichheit findet unter denfelben Bedingungen |

auch dann noch Statt, wenn wir zz? ſetzen, weil seo oder z=ı
wird, für x=o oder x=ı; man behält demnach f

„ea f: what, oa *
V-*) Va? », —antı‘ a’ |

and wenn zn» +r— 1 gefeßt wird r fo findet man für gi! F
S "dz .f= z„PtVYaz — 1 x |
va—ır") va-ı?), er ı)2a0

& , |

|

Unmerfung ı

9. 334. Daß ein ſolches Product zweyer Integralien dargeſtelt |
werden kann, ift um fo merfwürdiger, weil diefe Gleichung noch be: |
ftehen kann, wenn aud, Feine der beyden Formeln algebraifch oder
durch = auögedrüdt werden Faun. So finden wir z. B. fr vi

und 10:

2242 ı m m.
——— va=z) u = 4
und auf ähnliche Art: |

‘

dz 2>dz IR R

„=, 1-0 (70 Snes 35
2dz z»dz J ı 8 RT

‚—=3, p=ı, 5 Ira!
\ dz \ zedz 1 RR, x
u Ss v9 ya ®
| 22dz ,6d2 ı 7 x
v=hb, p=2), Se Seaes =:
j dz »5dz In x
v=5, RB = 0, Ss: vo) 5'318
zdz 6dz ı z x

Dr 5, u = 1, SE: VG—ar) =. ss.
— 5 — 22d42 ‚2’dz ı a _ ©
_ 9 Bd Sr: va—ı) "15° a 30
| an x

»

z3 zsdz z2ds.
u Are — Sem "3%
Welche Säpe ohne Zweifel alle Aufmerffamfeit verdienen.

Anmerfung 2.
§. 335. Hieraus ergibt ſich auch auf eine leichte Weife der Werth
md
Integrale — für x=ı. Denn fegen wir zz, fo
33 zam d | ee!
t dieſes Integrale über in 2 f — daher erhalten wir fuͤr
Fall, dafßx=ı die Werthe

sr ude _ 1.3.5.7
va, * — a
® xdx a sdx _1.3.5.7.9
va—x) 3° * J 22) — 24.6.8.10 *
2 dx. 1.

V(x — x?) 2.4 "

P ssdx __ 135. dr 1.35...(.2m-r) B

v(x— x?) a" = va—2) 246... 2m '
Wir fönnen demnach die Werthe noch verwicelterer Integralien,

lche derley Sormeln enthalten, für x= ı durch Reihen ausdrüden,
? wir durch einige Beyſpiele zeigen wollen.

Bepyſpiel ı

d
$. 336. Den Werth des Integrale (un Für
=» duch eine Reihe darzuftellen.

fo erhalten wir
dx dx 1 1.3 1.3.5
Jr =) — x?) ‚2; "+ 24.7 3..6°
Haare)
Integrirt man alfo die einzelnen Glieder für = ı, fo findet
man 0

dx 8 1.9.25 9. 25.49 |
Ss =:( +75 ae + Freie” —x.)

| Zufag. |
6. 337. Auf diefelbe Weife findet man für den Fall, wenn

x ı iſt
xdx 1 1 1 1 1 *
Sms stsmstgontem
ı2dı ze fı ı2.3 12. 32. 5 12.32. 52.9
SRes=-:C- ts 32.42.62. 8 +)

dx 2 4 6 8 10 _
Seat 5— 7 rt m 2
. x* d x 9—
Nun iſt aber das Integrale f- — = 2 — VC —ı),

und daher = + für x=ı, folglich ift diefe leßtere Reihe = +, was
ohnedem befannt ift.

Beyfpiel 2

1 — 12

F. 338. Den Werth des Integrale [% vita

— 7102 m:
Man n gebe dem Integrale die Form f: ren 4,

für x=ı durch eine Reihe darzuſtellen.
Es iſt ya ar!) =ı-+:ar — Darth ar

Multiplizirt man bier durd)
‚Glieder, fo findet man

ıtaz x 1 11.13 1.1. 1. 3. 3.5
/s —73 ( 7 22 23.244 4 ARRNSELTR ie.)

welche Reihe offenbar die Peripherie der Ellipfe bezeichnet.

dx
Vo und integrirt die einzelnen

nn Zn nn

> — | 193 —

Beyſpiel3.
F. 339. Den Werth des Integrale für
x=ı durch eine Reihe zu entwickeln.
Man bringe dieſen Ausdruck auf die Form —— ſo
wird ſie |
. 1,3 1.3.5
By ren — 2.4 Ge),

fo erhält man durch Integration folgende wei:
dx — 1.9 .9. 25
en 26 3 t x.)

welche von jenen im erſten Beyſpiele nicht verſchieden iſt, und dieß

darf uns nicht wundern, da dieſe Formel ſich auf jene reducirt, wenn
x=z? gefegt wird. ü
Aufgabe 40 _
F. 340. Den Werth des Integrais

[se'dx(ı — 275,
welches für x—o verfhwindet, für x=ı zu beflimmen.
| Aufldfung
Die oben F. 118 angeführten Reductionen geben uns hier
p

J
2 ın (1 — XL
Ss®—!dx (1x) —
fi
u 1.
— am)
Geben wir alfo hier = 2n-- ı, fo wird
| n+; . n—
zn—ıdr (1ı—x? —_ — IT! meıdx 1 — x?
⸗ ) m2an1 )
für x=ı.
Da nun in der vorhergehenden Aufgabe der Werth von * ——

angegeben wurde, und welchen wir der Kürze wegen = A ſetzen wol:
len, fo fehreiten fir von dieſem zu dem folgenden Werthe fort. Es

it namlich.
Euler's Integralrechnung. I. Bd. 13

Jx®'dx (G—x2)* =... =
1. 3
(m-+ı) (m+3)
N 1.3.
Je-'dx(ı X)” = V M,

Aa dx 6 —_ 1) —

fxn-ıdx (2): = M,

und allgemein

) 3 5 u (en — 1)
(mt)

Nun find die zwey Fälle in Erwägung zu ziehen, wenn m — ı
eine gerade oder ungerade Zahl ift: denn ift

m— ı Gerade, fo wid M= ur

m ı Ungerade, fo wird M— — == - | nn

Hieraus ergeben ſu ich nun folgende Werthe:
ax vG -) 27 Sie VGC -) 3

euyaon)=,., |Adıvan)=ı

feiyam)=5,.2 wave) tt
ar = Er rare ag
jo
Li 12.2227 eat =}.:
Std (1 - xm = 2. = [eds 0 =,.1
Ss dr) = 8 5 F ix we) — :. 2 s
— ——
— = =;. 5 fxdx (1—x2): =;.,
Sek = iR iron nt
Ssdx (1-2) = En = Ssd(i—n) - 2 and

— 105 —

Aufgabe 44.
F. 341. Die Werthe der Integralien

| ımdx ımdx
a Jr
Vv

(MX) va —x?)2
für xz=ı anzugeben .

uflöfung.
Sehen wir für die einfachften Falle

[—-*-
va — x?) V

vr —») 1—x)
- dx xdx “ x2d x

JS [= [I = CH,

v(i — x’) V(ı — x3)? vlı — x)?
fo gibt die erfte Reductionsformel des $. 118, wenn daſelbſt a=ı
und b=— ı gefegt wird, für x ı

P | J

Jaeb-ıdı(ı — oe) —

= nn ed (1° — x”),
Alfo wenn zuerft n=3, v=3, und n=— ı gefegt wird

/xt⸗ dx(1—x) ’-

> Jwudt(a0)?,
und im andern Salle, wo a3, ve3mdus—2, if. mr.

[xt dx (1 — 2’) :

m

m — 2
mrr/* Ra)

er

1, *

— 106 —

0

21a uavqao 2990 utaoꝰ ↄaↄquv aiq and

—8
yenegrg_ 7% orey_ FT ; u N
2 ze 6 ® 9 ° ce — xPynX q 11 ° 8 ® 9 ni — XIPęCĩix Vo u Aue y 21 — XP xıX <
(x — ı)A | —ı —
19 LT 8 . 9 _ £ DA , or ’L- p _ („x IA , 6. X N _ (sx af
6 9 2 XP ııX q 998 . XPoıX v7 XP 6X
— 0/ (K—U)A
—E * W A ut. = f
9'E€ Ps: \ dor, 8 xp.X ya XpPoX
' — | wi (x - ihn
4 oT 4 — yi- j eg
Ir — xpsX . a zT Xp 21 Xpex
(x — iA

px

| GE UA | *R Kr
e —
nel al f

: mao9 3733 ↄiq an) 2940q u⸗aijvqao 219%

“r

XPoX

"(exe 1) A

—*

Un iI/0 an: 39 foQ — uag331199 n? ou om

7 (s-+ ug) . tee mwegeg _ («— YA
= ZpPps;ue . 0) u sr [nn 6 ° . SD oje,
der ı)A .

zp 4er

q
YA ug . u . 0.6» 9 Q UA
— * 4 — **
Er Na AT es gesegre u ur *

apnageng, aↄamouabv aoↄquabjo HD nd Inv aa woganfp) envasıg qun

us 6-gorE nm ıı 8 r * 2
IE | =
ang -gre ul N oorrdryen Are
| ai s(T—ı1) A ler) A
Ir — ef ya — ./
Ay ns) NIIT Tre
V (sX—1) A 5 ee
qq — = — nm
ferien ef
| e rn) 2 da) A
f] 2 — - —
ef ef

— 05 ik

3ufaß «. |
$. 342. Diefe Formeln laffen fih auf verfchiedene Arten combis
niren, fo daß aus ihnen folgende vortreffliche. Theoreme entftehen:

> zöndı man . AC“ ı dx
5, —

(— * va _ x3)° vu —ı’)
SF I A’B " fr
en iz var’ va—)
SEE Sen dx _ pe! an Bu * xıdt, "
— 27T u 3 ’ ' ! ®
VG — x’). Vſi x’)? u Bi J vie) .

*

el Bu aufag a” —
.348. Weil up das Verhaͤltniß der Exponenten zu drey keinen
weitern ; Erſuß auf die Rechnung ausübt, ſo erhaͤlt man allgemein Ä

/: Das a Ef dx
—— x LE. —
* _r BE .

2 I > x>)%

x a — dx — ix | J, dx
. a3. 7 7 " — T. 3 — J 3 7
vo. — 2°): va— si: v1 — x) VC(i — x3)?

— -. a „Ar? dx a JS; xdx.
— 7 |
vE—_yH va Ya
ind aus den letzten Auödrücen fliegen wir dab
Ss de. ST dx. =/; xıdı “ | =
va va I va

% u un 3ufasy-3 -

6. 344 Setzt man x=zu und An m, fo erfcheinen unfere
> Theoreme unter folgenden Formen:

ff ‚zeu-ıdz ntan—-ıdz . ı ‚zu—ıdz
am) Salon

= V(ı T zön) Ya — zön)2 vQ — 230)
SEE SZ dz 35 za—ıdz za—ıdz
1; — *5 I
J Y(ı — z3n) v(ı- z30)2 vAı — zn) Yu — Bu

zya—ı d z

va: — *

— ]|00 —

Aufgabe: Aa.

„m+An—ı
F. 345. Das Integrate [

Gm)”

sugeben, wenn dad Integrale (TE vetannt if. j

ir „
für xz=ı 0

—

(x) "

Auflöfung.
Sol diefed Integrale endlic, feyn, fo müffen nothiwendig m und
k pofitive Zahlen bezeichnen. Da nun nach der allgemeinen Reductions«

methode |
= =

fset-ıde(1— x) — na dx (1 — x") if,

fo feße man sn, und a—k—n, alſo ptv=k, fo wird

ıntn—ıdx — m ım—-ıdr
a mp —

(1 — m)" (1 — x)

Bezeichnen wir nun den Werth diefed als befannt gegebenen In⸗

tegrals durch A, ſo erhalten wir durch wiederholte Anwendung dieſer
n—k

Keductionsformel, wenn Kürze halber (1 —ı.) ” —P gefeßt wird:_

ım—ı dx
Jan
ımtn—ıdc m
— sd

STE dx — m(m--n) A
P — @a+himntn+bh " ’

SFR: = m (men) 4
3 GEDECETENNTCE Te u

und allgemein:

\

„” tan—ı dx
_ P —

m(m tn) (m--2n) (m 3n)......... [m (—- 1)1)
— (afk)(mta+kmtaa+k)lm+3ntk)...[m+ta—ı)n}k]

vf
— 200 —

Zuſatz ı
$. 346. Setzen wir auf ähnliche Art einen zweyten Ausdrud
"dx „ . =

—-B für x 1, md fegen Kürze halber (ı— x) =Q,
:(1-x®) "
fo erhalten wir:
„pren-ı 4
=. J
—— Pte 5 |
Et) PE+FI + EP H+RnF+gY:.-.... P+@—Yerq] |

welche Formel eben fo viele Faetoren ald die. erfle enthaͤlt :::-

3ufaß 2
$. 347. Sept man nun p=m-k, damit der lehtere Zähler
dem erftern Nenner gleich werde, fo ift das ‚Product beyder Ausdrüde:
' m(m-En) (man). eecr00r. Im +(a—ı 1]
rt hFrpmtntirg.. ata@lurhtg AB
Sept man ferner m-k-+q=m--n, oder g=n—hk, fo

wird diefes Product auch — » AB, und daher iſt

man”

u gr dx 7 dx
| b n--k ° k —

(—ı2) ” (1 — x)”

m ım—ıdıx ımntk—ıda
——m-+toan n—k Ok

Ga) " G— 2)‘
Das in diefer Formel Tiegende Theorem verdient unfere ganze
Aufmerffamfeit, denn bier ift es nicht mehr nöthig , daß a eine ganze
Zahl bezeichnet.

Zuſatz 3. |
$. 348. Seßen wir Daher m--an=y., fo wird

„eig rs mmidz dx amtimıde tk—ıdı
Ik ° ak

(—ın) " (1 — x) (—xn) " ABER

für m--k=n oder m=n—k werden wir, weil

| 7

— 9201 u

n—k

7 am dx —_ ı_ ao)” ı . |
F- X — —X oT für x ı erhalten on
a — 7
SZ dx a1 ° nk dx x
STE = =, TE
a) (1)? Gy ET

Wird wieder x— 2” gefept, ferner pn=p, vn — q, um
k=An, fo wird |

Sr zr—-ıdz I ä——— — — Zu IA
G— — p (i —. 209 —A

Unmerfung ı.
$. 349. Hieraus folgen nun nachftehende befondere Säge:

RP ‚F
Ln=>; sen de fa _ ı fd m 6
ä
| PT tar „P | Ä
1. n=3; ki; f — — dx 1 =. 23T
- - v 3 ‚sev3
- (1—x?)2 vi—x’) v(ı-ı9? . 04
0 ‚rt!
ef ES Ele 2
57 a — x5)2 v(ı-x)
11. n=4; — il Ken = —
4 2u v3
en V(1-x%)3 u

k— — — 1 xdx Rn
Be, — v(—2) Sea 46

| u3: „dx ‚"+? dx — dx «
fe pt pt
va—x) va —x)3 v(1-x%) Ä

(1 1
ꝛc.
Hiebey iſt zu bemerken, daß die zeemel [EEE rational
Ce EEE
gemacht werden kann. Denn man fege nur — == z", oder
—- ern zus wird TE = Da num unfere Sormel fich

n—k

auf die Form fi (= * =)" — bringen laͤßt, ſo geht ſie durch jene

zu—k—ı Ar

Subftirution über in f Im! welches Integrale fo beftimmt

werden muß, daß es für x=o, alfo aud für z—o verfchwindet;
wird aber x— ı gefeht, fo wird z=00, und wir erhalten den Werth,
welchen wir hier brauchen. Wir werden aber bald zeigen, daß der
—k-ıdaz
Werth des Integrals I Fee

Integral 3 — a durch Winfel ausgedrüdt werden Fönne,

für 200, alfo auch der des

Gm ®

deren Werthe wir hier gleich beyfügten. Es wird auch nicht uͤberfluͤſſi ig

m—ıd
ſeyn, dieſe Transformation der Formel S ii — z du merfen,
(1 — x) "

welche bewerfitelligt wird, wenn 1 — xa = Zn gefegt wird,
k—ı
Es ergibt ſich nämlich dadurch — SE — 7 welches In⸗

HRG
tegrale fo beftimmt werden muß, daß es für x—o oder z=ı ver:
ſchwindet; dann aber hat man x=ı und zo zu feßen. Man kömmt
zu demfelben nelultate, wenn man nach Veränderung des Zeichend,

k— .
die Formel IE ⸗ - fo integrirt, daß es für zo verſchwin⸗
(1 — za) -
det; dann aber z= ı fegt. Da wir nun z mit x vertaufchen koͤnnen/
ſo erhalten wir pr herrliche Theorem: ’
ym—-ıdı = xt—ı dx
— Im’
7 — ın) " (1— x.) "

fo daß man in diefer Formel die Erponenten m und k mit einander
verwechfeln kann; für den Fall nämlih, wenn x= ı iſt, fo erhalten
wir für die vorhergehende Formel, welche fich rational machen Täßt,
und bey welcher m—=n—Kk ift:

xn—k—ıdı xk—ı day
€ n—k —

7
(1 — xn) " (1— ıxn)

=

md hieraus folgt, daß für z= oo | | j
J mckadn _ fakmıdz
14 20 EA; ı-t-ın "
Anmerfung.

F. 850. Wir fönnen daher auch die Integration zuſammengeſ etz⸗
terer Formeln für xi durch Reihen darſtellen. Denn ſetzt man in
der obigen Reductionsformel m +k=y oder KEM— m, fo iſt

⸗ ımtn—ıdx m xm—ıdı
| men u m--n—p
n

n
(12) (2)

Wäre nun folgende Differenzialformel

xm—ı dx

dy= ö— — (A 4 Bx” 4 C xꝛv 4 D xbda 4 ꝛc.)
(1 —- 2)

fo zu integriren, daß y für x—o0 verſchwindet, und man verlangt den

Werth von „für x=ı, fo erhält man, wenn in diefem Falle

xm—ıdı
An — OÖ
n

(1 — x”)

gefeßt wird, jmen Werth

m m (m m(m-+-n) m(m--n) (m--2n) D ꝛc
oe Tr, pe tn) + p(e-+n) (e +20) +36)
Wäre af umgefehrt die Reihe
A nn m(m+n) 0 m(m--n) (m-+2n) D c.

* r e(e-+n) r (en) (e +20) +
vorgelegt, fo würde die Summe derfelben gleich der Sntegralformel

ne (A + Bu L Cxm + Dad + 20),
am) " oo.
wenn nach der Integration x— ı gefeßt wird. Läßt ſich alfo die
Summe der Neibe A + Bxw — Cx’® 4 zꝛec. angeben, dem:
nach die Integratiou durchführen, fo erhält nran die Summe der obi⸗
gen Reihe.

%

,

— ()()/) mu

Aufgabe 43
ım—-ıdı

$. 351. Den Werth des Integrate [” na

dem es fo beſtimmt worden iſt, daß es für x=o ver
fhwinder, für x=oo.anzugeben.

Auflöfung.
Das Integrale diefes Ausdrucks haben wir ſchon oben, $. 71
angegeben ‚ und zwar fo, daß es für x o verfchwindet; ed ſtellt ſich,

wenn man Kuͤrze wegen -=u fegt, unter folgender Form dar:

xsin.o
1=-XC0Ss.0

x’ sin. 3o
1-X 05.30

x sin. Bo
1-X.cC03.50

. 2 2.
— = 608.m0) IV(ı —axcos.0-+-x?) - „ sin.m@ arc.tang.
2 ,
— - 60s.3moo | V (1ı—2x cos, 3u-t-x?) +; sin.3mw arc.tg.

— cos. 5mo IV(i -2x cos. 5w--x?) + sin.dmw arc.tg.

;‘;
r . ® . o . .,... O . . ‘ . ‘ 0 . ‘. .. ©“, ® B0

"x sin. lo
— cos. Amw1| Y(1—2x cos. Aw--x?) +; -sin Am arc.tg. —“

wobey A die größte ungerade Zahl bezeichnet, die Teiner iſt als der

Erponent m, und wenn n felbft ungerade ſeyn ſollte, koͤmmt noch der

1-xXc0s.Äo

heil 4 -1(ı+x) hinzu, je nachdem m eine ungerade oder gerade '

Zahl iſt; im erſten Falle gilt nämlich das Zeichen +, im letztern aber

das Zeichen —, Es handelt fih nun bier um den Werth jenes Inte -
grald, welches fi) für x00 ergibt. Wir werden zuerft jene Theile -

in Erwägung ziehen welche Logarithmen enthalten, fo erhalten wir,
da wegen x=o0 offenbar

- IN
I Y(ı —2xcos.Aw--x?) =1(x—cosAw)—=1x 4-1 ( =) —ly, _

indem a — o ift; für die logarithmifchen Glieder den Werth

]
[+ — für ein ungerades n |.

Segen wir nun diefe Reihe von Cofinuffen, naͤmlich
cos, mo + cos. 3ma + c08.5mo-+...+ co. mo =S$,

fo erhält man, wenn durch 2sin. mc» multipligirt wird:

‘

—— — —

— 205 —

sin.mo==sin.2mw J- sin ‚4mo-t-sin, 6(mw—- „.+-sin, QA-tı)mo
— sin.2mw — sin, 4mw — sin, bmw, -

ac
__ sin. ( ı)mo *
r daher wird S = — —. Iſt demnach n eine gerade Zahl,

wird A=n— ı, und fo erhält man für die logarithmiſchen Theile

lx sin.mno lx sinnxz
————_ —— nu — oe. 07077 weilno iſt.
n sin.mo n sin.mo

Aber da m eine ganze Zahl bezeichnet; fo ift sin.mx = 0, und
daher verfchwinden diefe Theile. Iſt aber n cine ungerade Zahl, fo
wid A=n— 2, und daher die Summe der Togarithinifchen Glieder

lx sin. (n— ı) mo + lx
n sin. m @ —.n'

Nun ift aber sin. (n — ı)mo = sin. (mr — mwo)—= + sin.mw,
wo das obere Zeichen gilt, wenn m ungerade, das untere im entgegens
gefeßten Salle, was aud) wegen der andern Zwendeutigfeit zu merfen

it, und wir erhalten daher 4 —— tr = . Es heben fi ich

n sin.mo —
| demnach jedesmal die logarithmifchen Theile, was auch ſchon daraus
einleuchtet,, weil fonft das Integrale unendlich würde, da ed doch einen‘
endlichen Werth haben muß.

Bir haben demnach nur noch die Kreisbogen zu fummiren. Bes

k
| trachten wir alſo den Ausdruck arc. tang. en, welcher Bogen

xcos
| für x 0 verſchwindet, für den Fall aber, daß x = Wird,

fi) in einen Quadranten verwandelt, und wenn x noch weiter fort⸗
wächft, wird jener Bogen einen Quadranten übertreffen, bis endlich
sin, \o

für <= 50 feine Tangente = — — *— tang. Au=tang. ( —-Aco)

wird, und daher der Bogen felbft = x — Aw iſt; nehmen wir dem⸗

nach dieſe Bogen zuſammen, ſo erhalten wir

- (x — o) sin. mo -(æ — 30) sin. Imo —+ (x — 5w) sin. 5mo--...
| ..+- (2x — Av) sin. Amo];

hieraus ergeben fich die zwey Reihen: |

— (sin. m» + sin. 3m» —+-sin.5mo +... +sin.Amo)= — p; und

_ — (ein.mo-+3sio. Im +5sin.dme +... +Asin Amo)=— * q;

— 900 ——

Dieſe beyden Reihen wollen wir nun abgeſondert unterſuche
Da wir früher Rn
cos.ma + cos.3m» + cos.5mo--.. ‚+ ame =
gefunden haben, fo erhalten wir für die zweyte Reihe, wenn’ wir
als veränderlich betrachten, durch Differenziation

— mdo (sin. mw + 3sin. 3m» -—-5sin.5mw--... +2 sin. Amo)
__ A+1)mdacos. (A+ 1) mo mdo sin. (A+- ı) mo cos. mo
— — — — —— — — mm — ,/

3 sin. Mo 2 sin.2mo

__(&A+2)cos. (+ ı)mo sin. 1) mo cos. mo
alſo —q= 3 sin. mo — 3 sin.?2mo g
oder ge Acos. A+ 1) mo _ sin. mo
3 sin. mw 2 sin,2mw

Zür die andere Reihe ift
p= sin.mo + sin.3mo + sin. 5mo +... + sin. Ama;
multipliciren wir beyderfeitö durch 2 sin. mo, fo ergibt ſich
ap sin.ma—=1—C08.2m0— C08.4m@— 008.6mo0—...—C08.(A--ı)n
4-008.2m@-+-008.4mw»--c0s.6mw--...
1 — c08s.(A+ 1) mo

2 sin. mw
Bezeichnet nun n eine getade Zahl, fo ftA=n— ı, alfo

cos. ( 1) mo = cos.nmw=cos.mzx und

und fo wird p=

sin. (A--ı)mwo =sin mx —=o,
. 1— cos.mr nCcos mr
folglich P= un und — 9 — nm’ nehmen wir daher A
Bogen zufammen, fo finden wir
ar (1 — cos. mr) 20 ncos. mr en
* + — —— — —, milno=x ill
n 3sin.mw n 2 sin. mo n sin. mo

Es bezeichne nun n eine ungerade Zahl, fo wird A=n—
A und daher

cos. (n ı)mo cos. (nx — mw) und
sin. (A-- ı)mo = sin. (nx — mo); oder
. 005. ( 1) mo = cos. mr cos.mw und
sin. (A-ı)mo — — cos. mx sin. mo, alſo
1 cos. Mr cos. mo
p= — — um
3 sin. mw
_ Ga— 1) cos.mr cos. mo COS. mr Cos, mo
1 3 sin. mw — — —⸗

2 sin. mo

— 207 —

Es iſt daher die Summe aller Bogen:

(1 — cos. mr cos. mo + @(n — ı) c0os.mr cos. mo

n sin. mo +

Avelche fih wegen no ⸗ ⁊ auf —— reducirt.

0 cCOs. mæ C0S.mo

m sin. ma n sin. mo

n sın.

Es mag nun der Erponent n pofitiv oder negativ feyn, fo erhal:
ten wir für x==00

3ufaß ı.
$. 352. Hieraus folgt alfo für die oben $. 349 erwähnte Formel

SFr [3 dz nn T
n 1 za . In—k)x . kr’
172 ‚ + sin AZHIR n sin. _U
; n n

wenn 200 gefeßt wird.
Hieraus folgt ferner, daß folgender Ausdrud, deifen Identitat
mit dem letztern wir nachgewieſen haben, naͤmlich
xn—k—ı dx — xk—ı dx — x
n—k — k — kr
Ga) a Ga)" n sin. —

fey, fobald x=ı geſetzt wird.

Zuſatz 2»
$. 353. Wir wollen nun die einfacheren Bälle, welche fi für
beyde Gattungen von Ausdrüden ergeben, wenn z=oo md x=ı
gefegt wird, Furz anführen:

dz dx — Rn _ R
Tr = va) aein.,

w >
c

dz __ „dz -
> 3
1 + L 1 + ⸗ v(i—x?) vi 1—x3)? gein.? *
dz 22d2 = vs tr
N Te

dz 73d2 JE dx “dx x T
ı + 26 ı + zo V( — 15) , vdı—x6)5 . 6ein.”E 3

— 908 um

Zuſatz 3.
\. 354. “in \
1 k(k k(k-Fn) (k
u Sal u oe a vr nee kn usa

a)’

multiplieirt man bepberleitd durch xt: dx und integriert dann, fo
findet man für x=ı

x *6 n) k (k+n) (k+an)
n sin. ft kr =it; ta ürmtz. an.s3n +30) +% Y
und wenn man n—k ftatt k fchreibe, fo erhält man noch

r .ı —k (n—k) (an —k)
n sin. kr 1% + n.(2n—k) + n.2an.($n — k)

n —
(n — k) (an — k) (In —k)
+ n.an.dön.(4n— k) Pu.
Anmerkung.

F. 355. Wir haben ſchon oben für die, tranſcendente Größen
enthaltenden Formeln die vorzüglichften Werthe entwidelt, welche die .
Sntegralien für beftiimmte Werthe der veränderlichen Größe annehmen.
Es wird demnach uberflüffig feyn, und von Neuem mit derley Unter:
fuchungen zu befchäftigen.

Man fieht aber ein, daß vor allen andern jene Werthe des In:
tegrald /Xdx bemerfenswerth feyen, und gewöhnlich viel zierlicher
ausgedrüdt werden Fönnen, welche ſolchen Werthen der Weränderlichen
x entfprechen, für welche die Function X entweder ins Unendliche wächlt
oder verfchwindet. So nehmen 3. B. die Sntegralen |

Sf dx und zm—ıdaz | !
J— tz u
v
( — x»)
beſonders merkwürdige Werthe an, wenn x=ı und 200 geſetzt

wird, in welchem Falle der Nenner des erſten Ausdrucks verſchwindet,
der des letztern aber unendlich wird. Übrigens verdient der elegante

Ausdruck

,welchen wir als den Werth des Integrals

nsin._ Tr
n

m—ıd " |
f — für 2 00 gefunden haben, unſere ganze Aufmerkſam⸗

— 200 mim

eite; da wir den Beweis für die Richtigkeit desſelben durch fo viele
Umfchweife abgeleitet Haben, fo läßt fich mit Recht vermuthen, daß
man auf einem weit fürzern Wege zu demfelben Ziele gelangen Fönne,
obgleich .man die Art und Weife noch nicht deutlich einſieht. So viel
feht man übrigens fchon, daß diefer Beweis aus der Natur der ©i«
nuffe der vielfachen Bogen genommen werden müſſe; in der Einleitung

haben wir sin. x durch ein Product unendlich vieler Facteren aus⸗

gedrüdt, und nun werden wir bald fehen, daß wir dieſelbe Wahrheit
auf einem weit leichtern Wege finden können, obgleich ich auch dieſe
Methode nicht für die allereinfachite ausgeben möchte.

Das folgeride Kapitel habe ich zu Unterfuchungen diefer Art ber
fimmt, wo id) zeigen werde, wie man die Werthe der Integralien,
welche fie, wie in gegenwärtigem Kapitel, nur in gewiflen Bällen an⸗
nehmen, ald eine unendliche Bactorenfolge darftellen fönne. Biethet
uns hiebey gleichwohl die Analyfis die vorzüglichfien Hulfsquellen dar⸗
fo werden wir dennoch dabey manches Neue kennen Iernen,

Enter’d Integralrechnung. 1: Bd. 144

ee. 210

'

Kapitel RK

Bon der Entwidelung der Integralien durch unendliche Factoren⸗
folgen.

Aufgabe 4.

9. 356. D.n Werth des Integrale /— ür

— f
zaı, durdh eine Folge unendlich vieler Factoren
darzuſtellen.
Auflöfung.

So wie wir oben verwideltere Formeln auf einfache zurückgefuͤhrt

haben, ſo werden wir hier von der Formel = ſtets auf ga:
fammengefeßtere übergehen. Da nun für x=ı

xm—ı dx m-ı ıntıdı
SE — * * ſo wird

s?2dx Pırdx __ 2-46 x6dx BER
mn va)” " vun). 1332/va—a)

und hieraus Kaliegen wir allgemein, daß
dx 2:.4.6.8...... 2i x:idx
welche Formel auch dann noch gültig it, wenn i unendlich wird.

: "xıdı
Eben fo wollen wir nun von der Formel Fa aufwärts
fchreiten, fo finden wir .

xdx _ 3.5.7.9 ....@i+ 1), xsitıdez
vu—r) 2.4.6.8 ai , va — 2)?
woben zu bemerfen ift, daß die beyden Formeln m.
x2i d x xꝛi u d x
fx 2) ud [7 va — 9) |
einander gleich werden, fobald i unendlich wird. Denn die urſprüng⸗
liche Reduction zeigt deutlich, daß

ım—ıdı pn — ımt3ödx
Ya — 2) va — x) vGa— ı) 12,’

[}
v7

— 211 —
md.daß allgemein: 9—

mr — Pen .
SS — ı?) ft
[0 fehr auch » und » von einander verfchieden feyn mögen, wenn nur
dieſe Differenz endlich iſt. Da nun

x2i d x ysitıdz
VG — x?) * ——— ſo iſt, wenn
= M und |

1.3.5... (2i — 1) — — —
geſetzt wird,

dx xdx M »
Sea: az Mt Ner: J für x 1.

xd x dx x
Nun iſt aber/ va * 1 und ir = 2 mithin
. d M
vird Van ei nv weil die Producte Mund N aus gleich vielen
Sactoren beſtehen; wenn wir den erften Factor * des Producted® M
wurch den erften Sactor & des Producted N, ferner den zweyten Factor
des erſten Ausdruckes, durch den zweyten Factor E des andern u. ſ. f.

ividiren, ſo wird

nd daher erhalten wir für x ı durch eine unendliche Factorenfolge
. dx 2.3 4.4 6.6 8.8 7
vu) 7 Rear wur as er er 7
3ufag ı. |
\. 357. Wir haben alfo für den Werth von x dasfelbe unendliche
Jroduct gefunden, welches Wallis fchon aufgeftellt hat, und deffen
tichtigfeit wir ſchon in der Einleitung auf ſehr verfchiedenen Wegen

achgewiefen haben; es üjt daher:
3 4:4 6.6 8.

8.
zz = — — 222,720,

Zuſatz 2.
9. 358. Es liegt nichts daran, in welcher Ordnung die einzel:
n Factoren in diefem Producte genommen werden, wenn man nur
inen ausläßt. Wenn man alfo einige der anfänglichen Bactoren

4 *
\

— 912 —

einzeln heraushebt, ſo koͤnnen die andern in die gehörige Orduung
geſtellt werden; wie 5.8. :

te
ni, in ——— ꝛc., oder
Re

Ynmerfung.
$. 359. Diefe Entwickelung fügt fih demnach darauf, daß der
j ‚ira

Werth des Integrals Sf; a woben i eine unendliche Zahl be-

deutet, unverändert bleibe, wie fich die endliche Zahl = auch ändern
"mag. Diefed erhellt zwar aus der Reductiondformel

JE — + xitıdx
V(ı — x?) le
wenn die Werthe von a immer um zwey Einheiten von einander ver:

fhieden angenommen werden. Dann aber läßt fich nicht bezweifeln,
daß das Integrale ‘

xitıdı xidx xit2dx
5 wifgen [ — ud 5 —
als Graͤnzen enthalten ſey. Weil aber dieſe Graͤnzwerthe einander
gleich ſind, ſo folgt nothwendig, daß alle zwiſchenliegende Ausdrüde
denſelben auch gleich ſeyen. Dieſer Satz erſtreckt ſich auf noch zuſam⸗
mengeſetztere Ausdrüde, fo daß, wenn i eine unendliche Zahl bedeutet,

„re d x " id
f Trap Ya Sf ge, gelegt werden Fann.

Denn weil

ımtn—ıdzx m . ‚m—ıdı
S — *— — —
a—ı)® a—n)
(0 werden diefe Ausdrüde für m==co einander gleich ; es folgt hier-
“aus auch ihre Gleichheit für jene Fälle, in welchen a=n oder aan

oder am 3n :c. it; wenn aber a irgend einen mittlern Werth be:

— (015 umm

L jeihnet, fo muß auch der Werth unferes Ausdrudes felbft irgend einen

(e+K)(e-+k+n)(e +k-Fan).... (u+k-+in) yaptiatn—ı dx (ı — x) ”

Mittelwerth zwifchen gleichen Größen bezeichnen, und wird daher den»
felben felbft gleich feyn. Nach Zeftftelung dieſes Satzes fönnen wir
nun zur Auflöfung des folgenden Problems fchreiten.

Aufgabe 45.
F. 360. Das Verhältniß der beyden Integrafien
k—n . i —
Sdx(1— x)" und u -
für x=ı durch eine Folge unendlich vieler Bactoren
auszudrüden.

Aufiöfung
kon | =

—_n+

Weil Jx®"' dx(ı — —8 ————— dx (ı —x.) "

für x ı ift, fo läßt fich der Werth jenes Zaedtels auf das unendlich
entfernte Integrale auf folgendem Wege zurückleiten; es iſt
J k—n
Sse-dx(1— nr)" =
(m-+-k)(m--k-En)(m--k-+2n)... (m-+-k-Hin)
m : (m+n) (m-+an) ..... (min)

kn

ec

jetiata-ı dx (1—x°) ”

wobey wir dem i einen unendlichen Werth beygelegt haben. Aufähn

lichen Wege erhalten wir hie die zweyte Integralformel
k—n

— —

Xx (1 - x-y

kn
si

eE (pet) (p+an)..... (e£-+in)
und dieſe beyden Tegtern Integralformeln müffen ohnerachtet Der Ver:
fehiedenheit der Zahlen m und » einander gleich feyn, weil die Expo⸗
nenten unendlich groß find. Dann aber beftehen diefe beyden unend⸗
lichen Producte aus gleich vielen Faetoren. Dividirt man demnach
die einzelnen Factoren durch einander, nämlich den erften durdy den
erften, den zweyten durch den zweyten u f. w., fo ftellt fi) das Vers
hältniß der beyden gegebenen Integralien unter folgender Form bar;

— 214 mm

ka

Jjemıdxı ae)

kon

Ss "dx(i—xe) "

pm+k) (en) (m+k+m (p-Fon) (m+k-+an)

= er) Imfo) ein) '(mtan) (p-Fktmm)

wenn beyde Sntegralien fo beflimmt werden, daß fie für x =

verfchwinden, und dann x=ı gefept wird. Hiebey müffen aber m,
pr n, k nothwendig pofitive Zahlen bezeichnen.

Zuſatz ı
$. 361. Iſt die Differen; zwifchen m und. p ein Vielfaches von
n, fo heben fich in dem gefundenen Producte unendlich viele Factoren
auf, und die Anzahl der zuräcgebliebenen Factoren ift endlich; wäre
z 8. a—=m-+n, fo wärde man Ä
(m-+-n) (m-+k) (m-+an) (m-+k +2) (m + 3n) (m +k-+-ın)

=

. Ur

m (m--k-Ln) ' (m+n) a (m-+-2n) (m-+k-+-3n) *.
finden, welches Produet ſich auf — Kvedueirt,
Zuſatz 2.

$. 362. Der Werth jenes Produetes ift nothwendig ein endli-
der; dieß erhellt theild aus den Antegralformeln , deren Verhättniß
durch dasfeibe ausgedrückt wird, theild aber daraus, daß in den eins
zelnen Factoren Zähler und Nenner abwechſelnd größer und klei⸗
ner find,
3ufag 3.
$. 363. Für mm=ı, pe=3, n==4 und k=s erhalten wir

S: =

va—x°) 3.3 7,7 11.112 15.15

— nn — „nn: 10),
ı2dı 1.5 5.9 9.ı3 ı3.17
— — — zum = »
v(—xt)

oben haben wir aber das Product diefer beyden Formeln =;
gefunden,

Aufgabe 46. kn
5.364. Den Werth des Integrale Sx=-:ıdx ar)"

für x=ı,durd einProduct unendlich vieler Factoren
zu entwicdeln.

— 015 ————

Auflöfung. “ ‚
Da in der vorhergehenden Aufgabe dad Verhältniß des vorge:
k—n
legten Integrals zu ya dx (a— x") ° durch eine unendliche Sac-
- torenfolge angegeben wurde, fo werden wir hier den Exponenten „ fo
annehmen, daß dad Integrale fich beftimmen läßt. Sehen wir dem:
| nah pm, fo wird unfer Sutegrale
Br 1 | -
LEER. ya” 1— (1x8)
my. (1 — xe) = — |
wenn man Dasfelbe fo beftimmt, daß es für xr=o verfchwindet; num
febe man der Forderung gemäß x==ı, fo erhalten wir, weiß dieſes
Integrale = n wird, das Integrale der vorgelegten Formel für xu= ı

unter folgender Form:
k—n

[x dx (1 — x?) n —
—22 (m}+k) 2n(m-+k+n) Bn (m K 20) e
k m(k+n) (m+n) (k}an) * (m+an) (i+30)’ "7.
oder auch wenn man die einzelnen Factoren trennt, unter folgender
Geſtalt:

2
J —E (1 — —8
_n an(m-+k) ön(m+k-t-n) ntm-{h-kan) x -
—mk 4m (m + an) Gran) "m 4+ 5) urn

3ufag.ı.
(. 365. Da in diefem Ausdrude die Buchſtaben m und k ſich
wertaufchen Taffen, fo können wir auch, wenn x1 gefegt wird, auf
Die Sleichheit nachſtehender Integralien ſchließen: :

kon mn
federn = yuıdr G—e)”",
‘wie wir ſchon oben, 6.349, nachgewieſen haben.

8uſatz 2.
9. 366. Da der Werth unferer Formel für men-k centſch

ıd
ſt mit dem Werthe, weichen | _. für z=o0 annimmt, ſo er⸗

— 210 dem
:

halten wir, wenn m = und = — wegen m +kon[

gefegt wird:

| ze-ıdzx xk—ı dx ss-ı dz zm—ıdaı
u — ——— — — —
Bm ** ———— 172

GG)” 0. (Fr 5* Be
— 4n 2.402 :4.6.% 6.8,

nm —a'on — e& "23503 — a2’ 49m — al
welches Produet: fich auch‘ in det so |
— an . An An 6n
na he) PETK (bn—a) rt
Darf läßt, und bernnädh auch den weg von . Ä

.. {R «“ —— .R
m7a — ar
‚ n sin. — n cos. a Dan
n an: et
(9.353) bezeichnet,
Zufa ß 3.

§. 367. Sehen wir geradezu kon—a, fo wird -

u „amzdı _ zmmdı za—ıdz, Ä —— dı ,
Sa FE FE

(1 — a9)" am"

1 n?2 An? . gn?
n—m ' m (an—m) ' (n -+- m) (3n— m) ' (an 5m) (4n-- —m)
‚welches Product aus dem zuerft gefundenen Ausdrud hervorgeht. Diele
Bleichheit muß demnach, für x= ı und z= og Statt haben.

dd
[U U 2

‘ 2c. /

Anmerfung ı.

9. 368, In der Einfeitung aber Haben wir für die Datpigai
der Winkel

j m? .
i = — — 0)
aib. (a) 5) u
*

und weil sin. = sin, —, fo wird 2 wegen n—m=k

El) GE) (El)

welcher Ausdrud fich auf die Form
sin, Dr MR kr F — k)(n+ k) (an —k)(an+k) ‚ nu) Gn+b) „
nn n2 4n? 9n?

— 217 m

gen läßt, und wenn für k wieder ſein Werth geſetzt wird, erhaͤlt

En mann) (nm) Gn—m) (an-+m) dn—m)
n . n? - An | on s

- 7 offenbar dasfelbe Product, welches

n sin. —
n

er findet man für

Werth yguferer Integralien bedeutet, und fo.gewiunen wir einen
n Beweis für jenes herrliche Theorem, welches wir oben of Dips
Umwegen gefunden haben. Daß nämlich:

ym—dı su—m—ı dx zu—ı zm—ı ds go—-mrıdz
— — * *— = +2 PR — - (a N + 2
(1 — ın)” (1—ı») "

EN
m »

n
Anmerkunga. F

$, 369. Um unſerer Formel eine größere Ausdehnung zu. ver⸗
fen, feßen wir 2 oder , ſo erhalten wr

—

far-ı dx TE = .
LEHE. (m np) 3 (my. n(p-+>)) 4m +n(e + %)) ꝛe
ne" (mn) (pe +») "(m+2u)(p +29)" (m-+3n) -35) J
»„ 2(mi4np) 3(my--na-n») 4(my-ng-+2n») „„ms-Hnp-+ 3m)
ap *(m+n)(e-+3J° (m+2n)(pt2»)” (m-+-3n) (+3) "( (m-F4n) (u-}+4>») ꝛc./
velchem Ausdrucke die Buchſtaben m, n mit „nnd » vertaufcht
den Fönnen, außer im erften Sactor, welcher von dem Bildungs
be, nach welchem die übrigen Factoren fortfchreiten, unabhängig
multipliciren wir aber durch 'n, fo ift jene Vertaufchung an Feine
nahme mehr gebunden, und wir fönnen fehließen, daß

| B_ı -— ‚
n/x=—ıdx (—x2) = vfxe=!dx (1 — 2)" ‚
he Sleihung fih für » = n auf die oben angeführte redueirt.
rigend wird ed nüglich feyn, die vorzüglichften Bälle in Erwägung
ieben, welche fi durch die verfchiedenen Werthe von a und u
ben,

Be

un 2156 —

Beyfpiel ı.
s. 370. Für a=ı und vs erhält man

S smmds _ 3 »(am+o) &(am-+3n) 4lam- du)
va — 2) m d(m+n) * 5(m-F-an) ° 7(m-+3n)

* * dx | '

” va — ya
Weiher Ansdrud fih auf folgende bequemere
Bringen laͤßt:

JE 2 4(am +'n) 6 (am +30)" 8 (am +5r

va — x) — m '3(am-+an) ' 5(am +4n) 7 (am +61
hieraus’ ergeben fich folgende ganz fpecielle Faͤlle:

2. 4 4.6 6.8 — dx
er I.3°5.507.7,— V(i — x)

: dx —g 4.5 6.11 8.19 10.28, _?
vu—2) 8.8 5.14°7.20° 9.36 “=; 3

| "xdx = ı 4:97 6. 6.13 8.19 10.25 2
va te 3

7 7
fi x’dx _:? 4.6 6.10 8.4 10.18 —W
va) HE Te
| Beyfpiel =
6. 371. Für — und v—3 wird .
f xm—ıdı 53 a(@m-+n) 8 (3m ++ 4n) 4 (3m 4 7n

va — xn)? m 4m En) 7m ran) (mr

— 3 dx
— 5 T—

V(1 — x3)n—m

— 2]0 u

Horaus wir wieder folgende ganz befondere Fälle ableiten:

dx 3 2.5 3. 47 5. 23 3 dx
3 =..73' 7. 7.5°1o. IT var)
V(1 — 12)? 7 u
6

= 3 2.7 3.9 4. 33 5.88 dx
77 ——— — — — — (, —
4.57. 9 10.13 18. 17 ,.4J% —

Gr} va—2)
[a — 1. 2.13 3.25 -4.37 5.49 ꝛc 2 dx
EINER? vr AR —TT
VGu—xry ren a0 13.19 I ya — 3)

Beyfpiel 3.
$. 372. Fuͤr y=2 und»=3 wird

xm—ıdx — 3 2 (3m -} an) 3 (3m +ön) Gm 489 x
3 am 5im-+n) ° 8(m-+an) ° 1 (m -F3n)

xdx

m — ;
V(I- 75)e»—m
aus werden folgende beſondere Faͤlle abgeleitet:

iera
dx 53 2.7 3. 3.13 4. 4.19 b.25 8 $(,xdx.
3 — 3 57 3 8.5 5’. 7 "14.9 9 gm va—2°)

[ dı 3 2.9 3.18 4.27 ‚53. fe

3 — 1 57 577 eo oo

Va) 2 4 8 11.10 14.18 va _
ö 6.6

5 7
. 3 9. 9 12
oder End ut er Areale ‘
[- ıdx 5 2.12 3.21 4.30 5.3 ꝛe ıdx
TT,]
-8) 8 | 11.21 " J | Ya—x)
0 4.6.7.9 1012 13.
oder 7.55°'8.8 um —
dı 3 2.11 3.23 4.35 5.47 .. 3 xdx.
= -. —— — 1. E50
3 » 5.5 8.9 ı1.ı3 14.17 4Js.
v(1--x%) v(ıı3)P

xdx 1 2.17 3.29 4.41 5.53 3 xdx
3 57 nnd 15 14.19 wm, u —
vu—x) ‘7 ' V

g "38.

xm-ıdx

Sn:
—— xey⸗

m 20 ——
Beyfpiel 4.
Sür p=ı und v=4 wird

s a(4m + n) 3(4m + 5n)
"Blm+n) " 9 (m-+an)

f de
ala: m
vcı — san

woraus fi) folgende fpecielle Bälle ergeben: -

BICEL

13 (m -+ In)

g PARSE = 4 2.6 8.24 4 ed „2:30 = [7
—E 1.5.3 9.5 13.7 17.9 ° vw
\ 4% 4 3 6.7 8.ıı 10.5

m Oder 25 "3.5°5.9 ‘7:18 9.17

dx — 4 2.7 3:9 43 84
—E ı 5.4 9.7 10 ad 8 Yu
Az Ixdx _: a. 3.23 4. 35 5.40, 4 Ä
15.5 9.8° 3. 11" 4 .1 235 3
Va—ızı ı 5 >. 9 1 7.14 yo
S: - RaRn! * *8. — 7
ax) a un 8.0 nn va
—. 4 4.4 .ı12 20 130.2
der = 15.59.9133 17.17
4,2» 8 6.12 10.16 14.30
15.5°9.9° 1343 19497 '

⸗ ade 4 2.16 3.32 4.48 5.64 = /- J
.4 5'5,.0°%0. IE
— 33.7 9.11 1315 17.19 Ya.

| — 4 4.8 6.16 8.24 10.32
3'5.7'9.11 12315 17.19
4 4.8 8.12 1216 46. 20
3°5.7°9.11° 1315 1719

Sowohl i in dieſen als in den vorhergehenden Formeln ift der
wenn a=3 und v—4 iſt, enthalten.

den Brüchen

Unmerfung.

$. 374. Übrigens geftatten diefe Formeln, in welche w
Größen „ und » eingeführt haben, Feine weitere Ausdehnung, al
‚anfänglich argenemmen haben, denn die Reihen hängen von dei

m
_ und E
n

ab; da fi) nun Diefe aber immer auf d

Benennung zurdefbringen laſſen, fo wird die Betrachtung der Aut

— 2391 en

/ ın—ıdı f- "xk-ıdı
I —777DRAjg Tr

v( — zn) va—z)m
reichend ſeyn. Der Werth derfelben für x = ı wird durch dad Prodnet
1 n(m+k) anfmtkthn) Bntmtiten) |,
k°m(k+n)'(m+n)(k+2n) "(m + an) (k+3n)
wgeftellt, welches, wenn in den einzelnen Gliedern die Kactoren der
ähler vertauſcht, und die Glieder anders vertheilt werden , fich auch
if a Form bringen läßt:
n(m+k+n) an(m-+k-+an) 30 (m-+k-+-3n) | 5.
I °“ (m-+n) (k-+-n)°"'(m-+ an) (k +2n) " (m-+-3n) (k + ön)
ı welcher Geſtalt ſich diefes Product dem Gedächtniffe leichter einzu⸗
rägen ſcheint. Da nun auf aͤhnliche Art
f ıP"'dx = /- xT"'dx
va — xB)nq. V(i — xa)n—p
—_ P+4, n(p-+q+n) an(p-Fq-F?n) 3n (p-+q-+3n)

°C.

pg (ptn)(gte) * (p+an)(qtan) " (p+4-3n)(qt3n) wi
v erhalten wir, wenn wir jenen Ausdruc durch diefen dividiren:
k—n ⸗
jseıdı aa)" —
g—n
J"dx (1 —xa) "
— Pı(m+k) (pFm)eahmdmtktn) (ppand(ghandmtk-han) .

deifen Glieder fämmtlich nach demfelben Geſetze fortfchreiten.. Hieraus
laſſen fich aber herrliche Vergleichungen folcher Formeln ableiten, bey
velchen wir der Kürze willen folgende bequeme Schreibart gebrauchen
vollen, um ſ e deſto leichter merken zu koͤnnen.

Erklärung.
g-n
$. 375. Den Werth des Integrals Ss?! dx ((—x)" für
== ı wollen wir der Kürze wegen durch dad Symbol (£ ) andeuten,
sobey man den Erponenten n fich denfen muß, dem wir bey der Ver:
Heichung mehrerer folcher Ausdrüde denfelben Werth beplegen
vollen.

‚

„me. 222
3ufasß ı.

$. 376. Buerft iſt Mar, dap (? )= (2) fer und daß jeeb]
diefer Symbole das Product |
p+ta, n@tatn) anp+gtm)
pi (p+tm(gq+») (p+2n) (44 20)

begeichne. Das Kortfchreiten der Glieder dieſes Productes iſt fuͤr ſi id}
Mar, indem die einzelnen Factoren ſowohl des Zähler und Nermerd |
ſtets um diefelbe Größe n vermehrt werden; fo daß man, fo bald das’!
erſte Glied bekannt ijt, die folgenden Teicht bilden fann. |

3ufag =
$. 377. Wenn p=n ift, fo ift offenbar wegen der Integrabili.
tät unferes Ausdruds

Dr

Weil ferner: /xP"dx(ı IRA = ——, fo ie wegen
. nsin. B

= — —_ se — —
— ————

n sin.
Der Werth des Ausdruckes ( ) laͤßt ſich daher jedes Mal an⸗
geben, wenn entweder p=n oder g=n oder p+ q=n iſt.
3ufag 3.
$. 378. Da wir die Reductionsformel

g—n g—

+ Ssmdz(ı m

gefunden haben, fo folgt auch) hieraus, daß ( P >) — F— (2):
und hieraus wieder 1

| (2) = (!) = — (2 _ — (> )
p pra-a\gq p+rga—n \g—n
p (p—n) (a—n) P
dann aber iſt auch (5) — P+gI-m@Ptı—m) ei und
| daher können jedes Mal die Zahlen’ p und q, die Feiner ald n find,
ausgelaſſen werden.

jete-ıdx(ı nn). =

— 025 m

Aufgabe Ar.
$. 379. Aus je zwey folden Sormeln verfchiedene
Yroducte abzuleiten, welche einander gleich find.
Auflöfung. | |
Man fuche folche Zahlen, a, b, c, d, und p, gı r, 8, deß

—VB————

— n@tbn) , (= e+d nt+d+n) — —
F — ab (a-+-n) (afn) (b-n) " c ed. ® (c+-n) (d-+n) .r
p p+ta ‚Etat . r+s n(r+s+n)
= I oma) ' (6; ) 7

o wird jene Gleichheit Statt finden, wenn
(a+b) (e+d) C ern oder \
abcd pqgrs

abed(p+q) (r+s) = pars(a+b) (c+d)
wird; fo zwar, daß, weil auf beyden Seiten fechs Factoren vorhan⸗
sen find, diefe einzeln genommen einander gleich find. Es müffen alfo
unter je vier, a, b, c, d, und p, q, r, s, wenigſtens je zwey
:inander gleich feyn. Set man alfo s=d, fo muß

abe (p+gqg) (r+d) = par (a+b) (c+-d) feym.

I. Man nehme nun den ändern Zactor r, welcher nicht gleich c
feyn kann, weil fonft (5) = (:) würde, und fege r—=b, damit
ac (p+g) (b+d) = pq (a+b) (e+d) werde.

Hier kann wdcrpnodgq=p+ 1 gelegt werden, wir müjlen
alfo entweder

ı) p-qg=a-b ſetzen, damit ac (b-+-d) =pq (c+d)
werde, weil weder c noch b--d glei cd werden fann, indem
fonft entweder d=o, oder b=c und (£) =(}) wäre; ed bleibt

und alfoa—=c+tdundpq=wac(b-+d), und demnah p=b+d

b
und q=c, und hieraus erhält man ) G)=( <) (6) /

oder man muß
2) ptq=e+rJd, alfoac (b+-d)=pq(a+-b)
fegen. Hier kann c weder gleich p, noch gleih q feyn, weil fonft

pP\ _ fÜ würde: ı =
(?) = ( ) werden würde; man. ſete demnach c=a--b, fo daß

— 029) ' mm

pq=a(b-Pd) werde, alfop=a, g=b-+d, r=b, sd, |

‚rss (5) (=)

I. Weil für r—b das Reſultat vom vorigen nicht abweicht,
indem a und b vertaufcht werden fönnen, fo fege man r—=p--g, ſo
wird abe (d+-p-+g) = pq (a+b) (c-+d).

Weil nun r nicht gleich c werden fann, fo darf man and) den
Saetor d-+-p-tq weder =p nod =q noch mc -4-d fegen; es bleibt
demnah d-p+-q=a+tb und abe==pg (c+-d) zurüd.

Da nun hier e nicht gleich o+-d gefegt werden Tann, und dief |

ſich eben fo mit p und q verhält, fo ſetze man p==c, fo wird

a+b—c—d=gqg und ab=(c+d) (a +b-—c—d),

daher a—=c+Jd, qzb, p=c, r=b-.c, ed,
und fo erhält man

c+d c c b+te\
9080
Zuſatz ı |
$. 380. Diefe Auflöfungen find beynahe dasfelbe, und daher

entftehen dann folgende drey Producte, aus je zwey Formeln die einan-
der gleich find: \

.OHI-VH-0&H),

oder durch die Buchflaben p, q, r außgedrüdt:

OH-GH-YCH-

3ufaß =.
$. 381. Verwandelt man diefe Ausbrüde in unendliche Producte,
fo findet man
(?) (+) = Pratr n2(ptg tr tm 40? phg+r+en)
pqr (p+n)(g+n)(r+n) (p+an)(q+mm) (r+an)
. und hieraus leuchtet ein, daß man die drey Größen p, q, r wie im:
mer unter einander vertaufchen Fönne, zu welchem Schluſſe auch ſchon
jene drey Formeln berechtigen.
Zufag 3:
$. 383. Führen wir die Integralformeln felbft ein, fo erhalten
wir folgende drey gleiche Producte:

Us

— — — —

— 25 —

arta⸗ setttdr x-'dx zit’ dr
u prman_ wem
i 2 var —* va—ıyı-r

"(Way (an)
j pn Put 2 di
va Kan
Sufap 4.
$- 383. Der Fall, in weldem p-- ga iſt, verbiene bemerit

oerden, denn dann werden, wegen 9 = [6) = Br und

⸗— dieſe drey Produete =
nsin, ER

*
nesin. =?

Es wird nämtic;:
r-1dr —— * dx KIT
vo

— var 1m Ayo ar

nrsin. we

Anmer u ung
$ 384. Die befondere Eigenfchaft diefer Producte aus je zweyen ı
en Ausdrücen iſt höchſt mrerfwürdig, und man erhält für die vers
yenen, flatt p, q, r zu fubfituisenden act folgende beſon ⸗
Gleichungen:

133 09683695
383334
36669906
33 368388
223 8680* )-
[313 Od &= :
233 66
1144298
34 6936
11346 iM]
1414 66
[2 4 I HO=ON:-
[341 9@=&
2/4144 WG DO
1340-9 &
344 606 6 65.

ers Integralrehnung. I. Bd.

— 290 —

Diefe Formeln gelten für alle Werthe von 2, und wenn Zahlen
sorfommen, die größer als n find, fo fann man ſolche auf Hleinere zus
rüdführen, wie wir fchon oben gefehen haben.

| Au fgabe 48.

6. 385. Verſchiedene Producte zu entwideln, wel
He aus drey folhen Ausdrüden sufammengefegt und |
einander gleich find. f

Auflöfu n g.
Man betrachte das Product ( ). (4°) —— tar 9) fo
gibt die Entwicklung desfelben

ptatrt® __nptatrtetn)
pgrs "P+mDatn)e+tnEH+n

welches offenbar für jede Vertaufchung der vier Buchftaben denfelben
Werth erhält. Dosfelbe Refultat findet man auch durch die Entwide:

lung deö Producted (2) () (22), wobey dieſelbe Vertaufhung |

Statt findet. Folgende Prodnete find demnach alle einander glei: |
Ce); () CH)
(2) (e* ) () |
(2) 0) FE); (?) (=) (et:+>),

() E) CE):

ACHT VCH es),
(: —) (+);

(2) (7) (FI); (2) (2°) FE):
OKI

Die Producte der zweyten Form ergeben ſich, vermöge der dor:
hergehenden Eigenfchaft, hieraus von felbft, denn es iſt

a) =)

— 227 —

Entwickelt man das Product (2) (*+*) (#2), fo erhatt

P+ITrIPHLrIN . w.
man für den erſten Theil —55 ‚ in: welchen Ausdrucke
ſowohl p und r, als auch q und s mit einander vertauſcht werden kön⸗

nen, und fo erhält man-

dEHICH-HCHH.

Anmerfung.
F. 386.” &o vielumfailend dieſe Refultate auch zu feyn fcheinen,.
fo geftatten fie dennoch Feine neuen Vergleihungen, welche richt ſchon
in dem Frühern enthalten wären. Denn die legte Gleichung

VEALH-AEACH

entſpringt aus der Multiplication folgender zwey Gleichungen:
GO) E)=C) CH
OA A):

Die Bildung der erſten Ausdrüde aber erhellt aus folgendem
Benfpiele. Das Product der beyden Gleichungen

EI -CH) CH)
EC) () (E)
VCH) EI) -0 CH

Diefe Vergleichungen aber dienen vorzüglich dazu, um die Werthe
ver verfchiedenen Ausdrüce derfelben Ordnung, oder umgefehrt für
inen gegebenen Werth von n zu reduciren, damit die Integration auf
o wenige Ausdrücke ald möglich zurüdigeführt werde,.und wenn’ diefe
jegeben find, die übrigen mittelft derſelben beitimmt werden fönnen.

Aufgabe 49. .
$ 387. Die einfachſten Formeln zu tagen, auf
yeldhe die Integration aller in der Form.
(2) = de
y va — va — sg
nthaltenen Faͤlle zurädgeführt werden fann.
ı5 *

— 0220 —
-duflöfung.
Zuerſt ift (2) = 7 und hieraus folgt :

9-0-5 0-5 0-5 Q=+:

Ferner iſt ( 2): = — es find- demnach die Werthe aller bier

. n sın. —
. n

fer Sormeln befannt, und wir wollen fie auf folgende Art begeichnen

Aland

allein dieſe reichen zur Beflimmung -aller übrigen nicht hin, und wir
muͤſſen überdieß die folgenden als befannt anfehen:

= (

dann laſſen fich aus diefen alle übrigen beftimmen, wenn wir die oben
bewiefenen Gleihungen zu Hülfe nehmen. Wir werden daher vorzüg—
lich die nachftehenden bemerfen:

ANDI
(—) (>= — *) (ee —) 20
IIHIF-IH)
Sehen wir in der erſten Sormel a=b--ı, fo finden wir:

FA: En)

und daher wird durch die angenommenen Formeln der Werth des Aus⸗
deuckes (C) beſtimmt. |

: Wird aber in der zweyten Formel b=ı geſetzt, fo gi diefe

(I a — R (=) =): n—a
Die dritte Formel aber gibt für b=ı
n—a—ı\ _ /n—1t n—a n—a=ı — 22
FIT):

und fo werden alle übrigen Ausdrücke von der Form *8 ——

op, (=) =6, (=>) =» re

— 220 —

'unden; und mit Hülfe dieſer, wenn in der dritten Gormel ba

est wird:
3
»

EIEHIHEHEHIE

raus EN die Werthe der unte⸗ der Form (==) erhaftgne} |
Sdrüde ergeben, und fo weiten. fort dier? Wertho aer Aud⸗
icke, deren aligeinelne Bogen (FH „Die Urbeit wird
er durch die ie erfien ih ng bedeutend abgefärzt. ‚De hat
* ) ‚gefunden, ſo gibt die erſte Sleichung u ( J J

n x
’ “ .

(- IE ): de du ;

zweyte Gleichung aber

e>- (>) >) (2):

) auf ähnliche Art leitet man aus den’ unte; der Form FENG Ä
‚haltenen befannten Ausdruͤcken nachſtehende ab: oo,

EEE
Dr ET: (ae

q
*⁊

tr x 2a: 0% F =)
9. 888. Aus der Gleichung De a

(> — )= _ *
eben fich Me Nelekioreii; | Nor BE
re 737 sid a =
de Gleichung | BE iii, ni an gen

(TI) =f =) —E
Tr 2* — | ro

* = (3 „B, Inn REN

) 2 ra rat

\$ ‘

— 250 — |

BSufap =.
$. 389. Die Gleichung

Ze DO casa!

ID = 22 n u n @ N 2 @ :

ve a fi die unter der zum. Ä 0
EINE

enthaltenen Ausdräde:

(Fe = (ir

fo wie auch die unter der Form

(ZZ) = (=) >): m

— — — — — ...

begriffenen Formeln:
— a (=) — ers, ou
(Ei.
ScA

3ufap 3 .
6. 390. Die Oleichen

=)-() (5) >) ie 2
= —apABC, n—5 eBBCD. (FI- _ aßCDE,
FyAB” TAB” "7 73eAB 3
2 — SBDEF _ .
«AB ——

daher si ni (> )Q): =) ſaleende Me
353 & __ydcAB- (Zeit 16;

aßABC’ — "saßBCD’ BaAGDE
und aus der Gleichung:

(79-0): =)

erhält man: En
(> — aryBCD n—6 . aßyEDE , (n—7! eByDER .

373483)”, AB —TITITEraB

— 95) ——

Beyſpiel .
p
$. 391. Die in der Bormer TE ö, bey

welcher na iſt, enthaltenen Faͤlle zu entwideln, für

pr2\ — p W
we),
Es ift einleuchtend, daß alle diefe Formeln ſich entweder älgl:
braifch oder durch Winfelfunctionen darftellen laffen; bedienen wie une,
aber der obigen Regel, fo erhalten wir, weil die Zahlen p und q nicht
größer als = fon Fönnen, nur. die einzige kom Kreife abhängige Formel

(- ) — — 724, und die moͤglichen Säle m ind alſo:

2 sin.”
60) 13 =, N ..
(2) — a. t
Beyfpiela
$ 398. Die in dem Ausdrude „dx —— = (?),
va —

won=3 ift, enthaltenen Sälle zu. veRimmen, bey wels

B+3\ _ _P_
Sen Cz ): * rl):
Die Hauptfäle, auf welche: die übrigen. ur jneädteiten Tafen
find hier: |

va—ıy
nimmt man an bieſen lehtern Ausdrud als befännt an— Al find die übrigen
G) =; () m 55 Q)=
0*43 @) —
64. a Er Ze 5 oe

Beyfpiet 3 I *
F. 393. Die Bälle, welde in der zorner

| ıP!dı — p | 22.
PR 5 ) be) der n= =4ifh

ri) |
enthalten find, erstellen für weige

= PET 0 if

N — 032 —

Die beyden Formeln
41 — =" _
G) = —*z = ava ar und m ( )= fin, 37 u; — ß

haͤngen vom ibegen ab. uͤberdieß aber iſt noch eine bader trans Ä
feendente Größe nöthig, und diefe if = A, die übrigen geben dann
folgende Ausprüde; ; |

Yen; der 6023 Geh . |
ma; eher |
Berl
aA

087. to

Beyfpi e L 4
246
g. 394. Die Bälle, bey melchen (= * 0.

"dx. A
iſt, und welche in dem Ausdende * =
YA — N

für welden=5 ift, enthalten find,.zu enföifeln.
_ Bolgehde zweh Formeln haͤngen vom Kreiſe abr

© — —* 7 =. er und G) = — —

Bein. 5*4
J

Außer dieſen muß man noch sten neue rafenbent ‚Brößen an:
nehmen ‚ nämlich:
(9): = A: md geb,
mittelft welchen ſich alle übrigen auf felgende Art weſimmen zellen:
G=-1,;, 6) = s G) = * i5 © —

6 243 =; 7 = Q)= Er Ru Y
JA; ö=8 @) = Be u,
0=-90=8; |

@ _ A: EEE

— 255 ——

Beyſpiels.

J BR
G. 395.: Die in der Bormei ſ, — —* -© ent.

va — zo.
baltenen Sälle, für welden=hb iſt, zu beffimmen,
Die drey Werte . ee np
5 x x. JAN ._ T on —ß
Oi ea
sın. — : , 6

3J/ Ir F

a "6 7 re Ham
Hängen v vom | Kreife ab, und wenn man ferne bie ww trauſcendenten
Groͤßen 29
—9— — aA und 0 = B aͤnnimmt, U—

ſo ergeben ſi ich die uͤbrigen laͤmmtlich auf folgende Art: |
O= 1; = Ges), = $=%
Ga 9-3 Be d ** 5 Gurt

am 0=-850-0- u, ey

G)=- S; ® — B; Y-y \ | Eu = einie

€) 3, =; a *
4 . | erlernen Nyon

G = —
ie Yımerfung in
G. dab. Diefe Beſtintmungen laſſen fich nach Velleben eörtfepen,
nur uß. man hierbey ‚jene Faͤlle beſonders hemerken,, welche neye
tranſcendente Groͤßen enthalten... Die erfie-Dieler,.neyen.tranfesgbenten
Größen erſchtint für n=3j UA iſt (- ) ==) dx

— , deſſen
u —
Werth durch ein unendliches Produet ausgedrückt
—
— m. 7 ————— 10. %C.y

n=: alıch

LU} ——— LU] E. nnd
— 0 f}

ı
gefunden wird,

— 022) ' mm

pq=a(b-Ed) werde, alfopma, qg=b-+d, r=b, 04,

‚ia 6) FE) =)

II. Weil für r—b dad Nefultat vom vorigen nicht abweicht,
indem a und b vertaufcht werden Fönnen, fo jege man r—=p-+-gq, ſo
wird abe (d+-p-4+g) = pq (a+b) (c+-4).

Weil nun r nicht gleich ce werden fann, fo darf man and) den |
Sactor d+-p-Fq weder =p noch =q noch mc —+d fepen; es bleibt | |
demnach d-p+q=a+b und abo=pg (c+d) ;urüd.

Da nun hier e nicht gleich c-+d gefept werden kann, und dieß
fi) eben fo mit p und q verhält, fo fepe man p==c, fo wird

a+b—c—d=qg und ab=(c+d) (a +b—c—d),
daher a=c-+d, geb, p=c, r=b-+c, s=d,
und fo erhält man

FI |

3ufaß ı.
. 380. Diefe Auflöfungen find beynahe dasfelbe, und daher
entftehen dann folgende drey Producte, aus je zwey Kormeln die einan-
der gleich find: \

0900

oder durch die Buchſtaben p, q, r ausgedrückt:

VH-IEH-DEeH. |

3ufaß =. |
$. 381. Verwandelt man diefe Ausdrüce in unendliche Producte,
fo findet man |
(2) (+) = Ptgtr n2(p+g+r [
pqr (p+n)(q+n)(r+n) (p+an)(g+sn) (r+an)
. und hieraus leuchtet ein, daß man die drey Größen p, q, r wie im:
mer unter einander verfaufchen Fönne, zu welchem Schluſſe auch [hen
jene drey Formeln berechtigen.

Zuſatz 3. j
$. 382. Führen wir die Integralformeln ſelbſt ein, fo erhalten
wir folgende drey gleiche Producte:

Ks

— 228 —

2 aα S: aPt9-1dr I!dx sit’dx
. = I —

va £ Ya ar va ana I ya-ını
-f "dx Se
va I Ya
ET 7

$. 383. Der all, in weldem p--q=n iſt, verdient bemerfe
ptay _fa\)_ 1,
werden, denn dann werden, wegen (+) = @ =: und

' ® . '
) = diefe drey Producte =

. Rp
nein, P nesin. ZB
n J
Es wird naͤmlich:
mare — F —— jez
Va’ Ya vum I ya une
= u .
arsin. ER
n

Anmerkung.
$ 384. Die befondere Eigenſchaft dieſer Producte aus je zweyen

hen Ausdrüden if höchſt merkwuͤrdig, und man erhält für die ver⸗

edenen, flatt p, q, r zu fubilituirenden Zahlen, folgende beſon ⸗

e Gleichungen: _

elalr 5
29009 =W
ıl2|2 D)O)=G
ı/2/)3|G Q)=G)
3684628
23666
33382
33832
11444 9 [9]
' = 4 9 G)
1 4 = %
1414/00 =®
:)2|4 O0 Q0=®
2)3|4 2938
4438829
sl 6 6=&

uler's Integralrechnung. I. Sp.

— 926 —

Dieſe Formeln gelten für alle Werthe vonn, und wenn Zahlen
vorkommen, die größer ald n find, fo kann man ſolche auf Hleinere zus
rüdführen, wie wir fchon oben gefehen haben.

Au fga be 48.

6. 385. Verſchiedene Producte zu entwideln, wels
He aus drey ſolchen Ausdrüden sufammengejfegt und

einander gleich find. |

Auflöfung.

Man betrachte dad Product ( ). (+9) Ge +ı+ —2 ſo
gibt die Entwicklung desſelben

ptatr+s _ n(pta+r+stn) ꝛe.,
pgqrs (p+n)(g+n) (r+n)(s+n) |
welches offenbar für jede Vertaufchung der vier Buchftaben denfelben |
Werth erhält. Dosfelbe Refultat findet man auch durch die Entwide:

Iung des Productes (2) ( ) +1) wobey diefelbe Vertaufchung
Statt findet. Folgende Producte find demnach alle einander glei: |

(2) (*9 ar (2) (2°) —S

+) (e+1#°), | |

(2) Et) ar 46 —S |

CH EC)
GE) ED

OEACI 0 (te),
OXc Ic

Die Producte der zweyten Form ergeben ſich, vermöge ber vor:
hergehenden Eigenſchaft, hieraus von ſelbſt, denn es iſt

E9 — —W

3weyter Abſchnitt.
n der Integration der Differenzlalgleich gen.

.(1)

FE | y
ee
Fr

—

.

Bon der Abfonderung der veränderlichen Größen... BE

7
Erf L aͤrun g.
397. an ſagt, in einer Differenzialgleichung laſſen PR

Veräuderlichen abfondern, wenn ſich die Gleihung im 'swey
jeder fo theilen läßt, daß in einem jeden nur eine einzige Verander⸗
e mit ihrem Differenziale erſcheint. | ee

Zuſatz u.° .

$. 398. Iſt alſo eine Differenzialgleichung fe beſchaffen, daß fie

' die Form XKdx—=Ydy zurüdgeführt werden Fanny, wobey X

ß eine Sunetion von x, und Y' bloß eine Function vony bezeichnet,

fügt man, jene Gieichung geſtattet die Abſonderuug der Ver⸗

erlichen. BEE

Zuſatz 2. EEE}

F. 399. Bezeichnen alſo P und X nur Functionen von x, und

n ſo Q und Y bloß Yunctionen von. y, ſo laͤßt die Gleichung

dı= QXdy die Abfonderung der Deränberiähen zu; denn Durch

Divifion mit XY geht fü e über in zix = ray, wo Die Veran⸗
lichen abgeſondert ſind.

Zuſatz 3.
$ 400, E83 findet alfo allgemein in der Oreichung = = v

Abſenderung. der Veraͤnderlichen Statt, wenn Y eine. fie Fune⸗

— 220 —
.Auflöfung.
Zuerft ift (2 -) = 7 und hieraus folgt :

9-0: 0-5 0-5 Q=:=

Ferner iſt ( )= — es find- demnach die Berthe aller die

nsin, pr
. n

fer Formeln bekannt, und wir wollen fie auf folgende Art bezeichnen i

>) =) = er)

allein diefg reichen zur Beftimmung -aller übrigen nicht bi 1 und wir
muͤſſen überdieß die folgenden als befannt anfehen:

I I I

dann laſſen ſich aus diefen alle übrigen beflinnmen, wenn wir die oben

bewiefenen Gleichungen zu Hülfe nehmen. Wir werden daher vorzůg⸗
lich die nachftehenden bemerfen:

HOHEN

"ATFI-AIEH

AAICH- AH)
Segen wir in der erfien Sormela=b-+ ı, fo finden wir:

IA): En en

und daher wird durch die angenommenen Sormeln der Werth de3 Aus:
druckes beſtimmt.

Wird aber im der zweyten Formel 31 geſetzt, fo gt Biefe

FI ACH Zu

Die dritte Formel aber gibt für b=ı

EI-AEHEH:E

und fo werden alle übrigen Ausdrüde von der Form ——

n—2

—— — —

funden; und mit Hülfe dieſer, wenn in der dritten Formel ba

fest wird:
3
#

EIEEIHEFEAIE

rang Ei die Werth⸗ den unte} der Form (==) erhaltene)
isdrücke ergeben, und fo «weiten. fere.: wie: Wertho aHer · Aud⸗
ücke, bern allgemehn⸗ son (° FH - Die Arbeit wird
er ur die je aflen Gleichungen bedeutend ahgekurzt. ‚Denn hat
‚fo gibt die erite Gleichung Br

Re

o- (A

⸗ zweyte Gleichung aber

e>)- >): FE in

d auf ähnliche Art Teitet: man aus den’ unfer der Form —
thaltenen befannten Ausdruͤcken nachſtehende ab:

AI |
/ DR (5 EL. iR >

Zr _f FrerTE BRASS )

am.

1

nn)

N

g. 388. Aus der e Steg Bu \.
n— * Au 0 a n—a

(= )= a. — NN “ 3 72 ) |

zeben fd —2 N - Be \ Zn en ze

oa n—ı — n—ı N
— ri re Evi er =

» .. Heine
8 pi re ' 2*: HEFOFT its une RA NET gi Hi

AA) —

er endende: :

Zz)= (7 n—3, -" B. (7 n4\ yore £ D-n\
m IC: h
= 7 \$ ‘

rm .

7

,mm 9730) —

BSufap =.
$. 389. Die Gleichung

FA AIEI:E @
(Fir = * (2 2, (® er Ä DE.
Aeraue ergeben ſich die unter der om. |
EB
Ehe =)

fo wie auch die unter‘ der Form —.

(=) = (>) c ). a

begriffenen Sormeln :

Zu (erg ——
u — 6 er .. ..

. 3ufop 3. .
g 500. Die Gleichung

(= 2) = (= ) G ) (=>): (>) S gib:

nn —apABO. n—5 —aBBCD, ()= _epßCDE,

ByAB ’ ySAB 3A B ʒ
= u GPDEF 1: Bu
«AB 2;
un a (23) = C >) Ware

—— —— (Fee J

ıaBABC’ saßBCD’ BaßCDE j
und aus der Gleichung:

| (=) = = (2?) (==): m

erhält man: _
(> adyBED , * ui PYCDE ju—7 ——
)= Sy3aB’ YEAR’ T)- Jirab

— 951 —

Bepnfpiel.n |
9. 391. Die in der Bormel [ —— >= 6 9 bey

welcher na iſt, enthaltenen Faͤlle zu entwickeln, fuͤr

———

Es iſt einleuchtend, daß alle dieſe Formeln ſich entweder it
braifch oder durch Winkelfunctionen darftellen laffen; bedienen wit uns
aber der obigen Regel, ſo erhalten wir, weil die Zahlen p und q nicht
größer als 2 fon fönnen, nur. die einzige kom Lreiſe abhängige Formel

( ) = = - == a, und die möglichen Sälle in Ind alſo:

‚ı @=-:ı 0*, N .
(+) = a. »

Bepyfpiel 2.

$. 398. Die in dem Ausdende -— er = (?),

va 4
won=3 ift, enthaltenen Bälle zu beflimmen, bey wel⸗

Gen (=) = | — 0)

Die Hauptfaͤlle, auf welche: die übrigen ſich iin Tafen,
find bier:

G)= = — * we mi (; ) = = = ——

nimuit inan —* lehtern Aubdruck ale bekannt an, ® find bie übrigen
0 *1;3 we =; j
@:=.a 6) m - FE Er 2

7% .
4. ent rs a
8B 9 ie 3:0 © a |
$. 303. Die Faͤlle, welche in der Formel —
| Se Op dep der =4ifh
VG —- 34 |
enthalten find, parintelen, für werde

= * 0 if

Sn — 9392 — -

Die benden Sormeln

Oben oE erst

4 sin, - T

bängen vom reibogen ab. Überdieß aber ift noch eine befonber tran⸗
feendente Größe nöthig, und dieſe in 6 A, die übrigen geben dann
folgende Ausdruͤcke; oo, . |

Gain; =: 3 = Cu .

|
Jesse ROLE | J |
—J—

9-5 rn
| Beyfpiel 4.
p+5
9. 394. Die Bälle, bey werden (?42 — (2).

.
if, und Weide in dem Ausdende ii 02
Yu — N .
für welden=5 if, enthalten finv, zu entwideln.
|

Solgende zweh Formeln hängen vom m Arie ab: we = BE
4 x | |
m
G ) bein.r

| Außer dieſen * man noch zwey neue — Groͤßen an:
nehmen, nämlich:

= *

Gem 6 B,
mittelſt welchen ſich alle übrigen auf felgende Art Yeftimmen laffen:
=, Q)=: A = 2 Ge; 60 1
9=:0-5 0 = * Rue Ä
= 6=850=5 | Bu
o=# 7; a = B;

.
1] . ı v6 ® ‘ : ' 7 »1215*

’ . ’
(-) = — 7 R . . °
.
_ ut “
Bu ; ‚ , . .. . »
* ‘

en — —
oe

Bepyfpiel 5.
§. 395. Die in der Bormer

- ent-

VG — 156-8.
baltenen Fälle, für welden=b ih, zu beftinimen,
Die Den Werthe Ä ET, TEE
= ar ( J x RR ß;
a — 7. = mm = — — 3
6sin. z 8 ö 2 . 650, svs
wol, |
in i .5.,6n 6 BEE ZEN .
haͤngen vom Seſe ab, und wenn man er Die awe⸗ tranſcen donten
Groͤßen N \
. 6 = 2 und 6) = B ‚annimmt, N

fo ergeben fi ich die übrigen ſaͤmmtlich auf folgende Art:
=, 0er0- Au M=B
= a =; Ok SU. Eck ur)

=

eig
H

*

94:06 e u, ap
9-5: B-30=r
3, O= un
N 2. .
Aumerfung N

$. dab. Diefe Beftinfmungen laſſen fich nach Belieben eörtfegen,
nur „muß. man hierbey jene Faͤlle befonders bemerfen, ‚ welche. neue
tranſcendente Größen enthalten... Die erſte dieſer neuen. tranfergbenten |

Größen eelgint für | ı= = 3; und iſt ) m): —— deſſen
vd. — x>)2 .
Werth durch ein unendliche Probuet ausgedrückt
28 51 6 IB. iQ: "8.8 ”... I Br . ed
— ,—2, 270 ., |

wie wir. oben ‚gehen habe / welches mittelſt der Formel () wegen
n = auch ö » . ‚ a

1
gefunden wird,

u 25, m

Bey ben Werthen, welche fich für n—4 ergeben, flößt man auf.
folgende ‚neue tranfcendente Form:

©) = fo = I 4 — fh —
V(1 — 1x0)ä v(ı — — ıt)3 (a »”

weiche gleich ift folgendem Producte aus unendlich vielen Faetoren:
3 4.7 B.nı 18.15 16.19

22°5.6°9.10 18.14 17, 7.

3
3 3.7 4. u 6 ..ı8 8.19
BIETE BE Fan —

Die Reihe der Werthe für n=5 ade uns wen neue e trauſen

dente Oroͤßen dar, naͤmlich: oo. 6 EEE
() — Pads 2 10. 1044 18. 19
1 Ya un — en * "58° 12.13 ° 16. 1
x d x 10.14 18.19
G)= fr . 7 “18.13 zer lodes de

v(r — 3°)’

(): () = —-/ —5— 7. 3. 3*

Unter den für n16 ſich ergebenden Werthen eis, nian ı bie zwey
tranſcendenten Größen:

d d
” () — x3Sd« „fi =: fi I y ,
Ya x6)s — VG — y))5

wenn man nämlich x? == y feßt.

3 x2dx m! dy ı de |
s G) AT fr fan” = Pe |

wenn man y — x⸗ and z=—x’ annimmt. Hiebey ift noch zu bemerlen,
daß zwifchen biefen Ausdrüden und den erften Größen
2* dx ydy

Sf)

va— 1% va—ıy

eine Relation Statt finde, die durch die Gleichung:
| 2, 0) 0) — 26) 6 IW
ausgedrůckt wird, ſo daß, wenn die erſte tranſcendente Groͤße als be⸗
kannt angenommen wird, hier die zweyte Binreichend if.

-
u

— uni

Erſſtes Bud
der |

Sntegralrehnung

Erfier Theil. Zweyter Abfchnitt.

+

. Zwepyter Abſchnitt.
n der Integration der Differenzialgleicht gen.

III ILL PL IC LAITH ZART SIEHE
- d.

u

+”

Kapitel |,
Bon der Abſonderung der veraͤnderlichen Groͤßen. |

7
Esfläryun g.
g 397.. an Tagt, in einer Differenzlalgleihung laſſen PR

Veränderlihen äbfondern, wenn fid) ‘die Gleihung im 'gwey
eder fo theilen laͤßt, daß in einem jeden nur eine einzige. Verlader-
e mit ihrem Differenziale erſcheint.

Zuſatz aä.

$. 398. Iſt alſo eine Differenzialgleihung fo kefhafen, daß de
‚die Form Kdx— Ydy zurüdgeführt werden fann, wobey X
‚ eine Bunetion von x, und Y bloß eine Function vony bezeichnet,
ſaͤgt man, jene Gleichung geſtattet die Abſonderuug der Ders
verlichen. Da er 2
3ufag 2. 22

F. 399. Bezeichnen alſo P und X nur Functionen von x, und

n fo Q und Y bloß Functionen von y, ſo laͤßt bie Gleichung
(dx = QXdy die Abfonderung der _Deränbericien zu; denn durch
Diviſion mit XV geht fie über in dx = Ja y, wo bie Werän-

lichen abgefondert find.

» Dr
.

3ufep 3. |
5. 400. Es findet alfo allgemein in der Oreisung —* = v

e Xhfenderung- der Beränderlichen Statt, wenn V eine. fie Zunce

— 027308 um

tion von x und y ilt, daß fie fih in zwey Factoren auflöfen laͤßt,
deren einer bloß die Veraͤnderliche x, der andere aber bloß y enthaͤlt.

Denn iſt V=XT, fo erhält man die abgeſonderte Sleihung I — Kar.

Anmerfung
F. 401. : Sept man den Differenzialguotienten 7 == p, ſo de

trachten wir, unferem Plane gemäß, in diefem Abfchnitte, jene Bes
ziehung zwiſchen x, y und p, durch welche p als irgend eine Function
von x und y erflärt wird. Wir werden alfo bier zuerft jenen Kal
unterfuchen, in welchem fich jene Function in zwey Factoren auflöfen
laͤßt, deren einer bloß eine Zunction von x, der andere aber bloß von -

y bezeichnet, fo daß alfo Die Gleichung auf die Form Xdx — Ydy |
8 werden kann, wobey die beyden Veraͤnderlichen von einander
abgeſondert erſcheinen. Dieſer Fall umfaßt die früher behandelten
einfachen Formeln, bey welchen Y=zı, alſo ay = Xdx um
y=/Xdx if, wo. allo das ganze Geſchaͤft auf die Integration
der Formel Xdx zurüdgeführt wird. Die abgefonderte Gleichung

Xdx = Ydy biether auch feine größere Schwierigkeit dar, und laͤßt
fi) eben fo wie die einfachen Formeln behandeln, wie wir in dem fol

genden Probleme zeigen werden. 8

Aufgabe 50.

S. 408. Eine Differenzialgleichung, in welder Ä
Die Veränderliden abgefondert find, zu integriren, '

oder eine Gleichung zwifhen diefen Beränderligen
ſelbſt zu finden.

x uflöfung

Jede Sleihung, welche die Abfonderung der Veraͤnderlichen zu⸗
laͤßt, kann auf die Form Ydy —= Xdx gebracht werden, wobey
Xdx als das Differenziale einer Bunction von x, und Ydy als das
Differenziale irgend einer Zunetion von y angefehen werden fann. Da
ann diefe Differenzialien einander gleich find, fo müffen auch ihre In⸗
tegralien einander gleich ſeyn, oder ſich nur durch eine conftante Größe
unterſcheiden. Man integrire demnach den Vorfchriften bes Yorigen
Abfchnittes gemäß die beyden Formeln für ſich, oder man beftimme
die Integralien /Xdy und Xdx; find dieſe bekannt, fo wird auch

— 2350 m.

/Ydy—=y/Xdx + Const., durch welche Gleichung die endliche Res
Iation zwiſchen den Größen x und 7 ausgedrückt wird.

zu ſ ap 1. |
F. 403. So oft alfo eine Differenzialgleichung die Abfonderung
ber Veränderlichen zuläßt, laßt fi die Integration, nach den für bie
einfacheren Formeln oben aufgeftellten Vorſchriften, jedesmal ausführen.

Bufap = -
; $. 404. In der Integralgleihung (Ydy = /Xdx 4 Const,
find die Functionen (X dy und SXdx entweder beyde algebraifch, oder
bie eine algebraifd) und die andere tranfcendent, oder endlich beyde
tranſcendent, und ſo wird alſo die zwiſchen x und y Statt findende
Relation entweder durch einen algebraifchen oder tranſcendenten Aus⸗
druck gegeben.

Anmerkung.

$. 405. Manche bauen das ganze Fundament der Aufloͤſung der
Differenzialgleihungen auf die Abfonderung der Veraͤnderlichen, fo
daß wenn die vorgelegte Gleichung die Abfonderung nicht zuläßt, eine
zwedmäßige Subftitution auögemittelt werden muß, mit Hülfe deren
die eingeführten neuen Beränderlichen fi abfondern laſſen. Es koͤmmt
alfo hier nur darauf an, in irgend einer vorgelegten Differenzialglei«
hung eine ſolche Subftitution vorzunehmen, oder neue veränderliche
Größen einzuführen, daß dann die Abfonderung der Veränderlichen
möglich wird: Es wäre allerdings zu wünfchen, eine Methode auf;
zufiuden, für jeden Fall eine zweckmaͤßige Snbflitution auszumitteln ;
allein wir befigen hiefür Feine zuverläßige Regel, denn die meiften bis⸗
ber üblichen Subflitutionen gründen ſich nicht auf beſtimmte Prinzipien.
Man kann daher auch die Abfonderung der Veränderlichen nicht als
dad wahre Fundament aller Integrationen betrachten, befonders weil fie
bey den Differenzialgleichungen eines zweyten oder höheren Grades
feine Anwendung findet; weiter unten aber werde ic) ein anderes Prinz
zip aus einander feben, welches viel allgemeiner ift. Inzwiſchen wird
ed ſich der Mühe lohnen, in diefem Kapitel die vorzüglichften Intes
grationen, welche ſich Durch Abfonderung behandeln laſſen, aus einans
der zu ſetzen; da es bey diefer befchwerlichen Arbeit vom größten Nugen
iſ, ſo viele Methoden als moͤglich kennen zu lernen.

— 20 m

Aufgabe- Bi...

$. hob. In der Differenzialgleihung Pdx = Qay, !

in welden P und Q homogene Sunctionen desſelben
Grades von x und y feyn follen, die Veränderlichen
abzufondern, und das Integrale desfelben su be
ſtimmen.
Auflsſung.
Da P und Q homogene Functionen derſelben Ordnung von x und
y find, fo wird ° eine homogene Bunction von ber Ordnung Null feyn,

welche für y = ux in eine wunction von u,bergeht. Man ſetze dem⸗

nah y= ux, fo verwandelt fih & 5 in V, welches eine Function von

u bezeichnet, fo daß dy = Udx,wird. Weil aber y—= ux, fo wird
dy = udx + xdu, und durd Subſtitution diefer Werthe erhält
'unfere Gleichung die Form udx + xdu = Udx, welches eine Gleis
chung zwifchen zwey Veränderlihen x und u ift, und offenbar die Ab.
fonderung zuläßt. Denn bringt man die den Factor dx enthaltenden
Glieder auf eine Seite, fo erhält man

xdu = u) dx und daher = — u

und durd Integration Ix =

änderliche u beftimmt wird, * dann hieraus y=ux ſelbſt be
fannt ift.

Zuſatz ı.
$. 407. Ließe fich demnach das Integrale * —* auch durch
Logarithmen ausdrücken, fo daß Ix gleich wäre dem Logarithmus irgend
einer Function von u, fo erhielte man eine algebraiſche Gleichung zwi⸗
fchen x und u, und daher auch eine algebraifche Gleichung awiſchen

x und y, wenn für u fein Werth 7 _ z gefegt wird.

3ufaß =
$. 408. Da y=ux ift, ſo wirdly=lu-+- 1x, und daher,

r du du du
yehu+ fon =/"r U,’

_ =; fo daß nun x durch die Ver -

|
|

|

— —

— —— — — — m

— 11 —

: und wenn man dieſe Integtalien in einen Ausdruck vereinigt; fö wird

Udu
u(U—u)‘
bey jeder Integration für Ix und ly eine willfürliche Conſtante hinzu⸗
fügen dürfe, denn ſobald man dem einen Integrale eine Conſtante bey⸗
gefügt bat, iſt auch zugleich die dem aubern Integrale binzugufügende
beftänbige Größe beftimmt / weil y= —ix F be ſeyi muß.

— 3.0,
A Weil F u Ä

du—dUrdU AU du
wel Ü— u ‚ = In. ——— U — u u N.
fo wird, da das letztere Glied durch Login integrirt werden Fann,
1x -/ — 1 U.) oder I (U) = (-.

Es ift alfo einerlen, ob man die Formel
— du © dU , 0.,
| 5— oder — integrirt.

Anmerkung

$. A10s- Weil dieſe Methode auf alle homogene Gleichungen ſich
erſtreckt, und hiebey ſelbſt die Srrationalität, welche etwa in den Fune⸗
tionen Pr und Q vorhanden ift, nicht im Wege ſteht, fo ift fie vorzüg—
lich zu beachten, und den andern Methoden, welche nur auf befondere
Sleihungen paſſen, bey weiten vorzuziehen: Wir fehen auch zugleich
ein, daß alle Öleichungen, welche durch irgend eine Subflitution homo
gen gemacht werden koͤnnen, ſich nach derſelben Methode behandeln

laſſen. Waͤre „8. die Gleichung d dz + z:dx =" gegeben, fo

y= Übrigens iſt hier zu bemerken, daß man nicht

ſieht man fogleic) ‚ daß fie file z = - fi ich in die Somogine Gleichung |

dy ax _ „dr oder xdy==dx a — ay?) verwandle.

Übrigens ift es he ſchwierig zu unterſuchen ob eine vorgelegte
Gleichung durch eine ſolche Subſtitution homogen gemacht werden
könne. So oft dieſe Reduction möglich iſt, iſt es meiſtens hinreichend,
die Subſtitutionen x = u” und y==v” zu verſuchen ı, Wo man dann
leicht beurtheilen wird, ob die Exrponenten m und n fo angenommen
werden fönnen, daß überall diefelbe Anzahl von Dimenfionen komme,

Euler's Integralrechnung. 1. Bd. 16

— 272 —

denn verwiekeltere Subſtitutionen kann man in ſolchen Faͤllen ſchwerlich
vornehmen, ſie müßten ſich denn gleichſam von ſelbſt darbiethen. Es
wird nicht unnuͤtz ſeyn, die hier erllaͤrte Antegrationemethode durch
einige Beyſpiele zu beleuchten.

ge .. Beyfpiet i. J
uw kin. Die Gomogens Differansialgleihung

xdx + ydy = mydx

zu integriven. ' |
Hier ift alfo © I, = Wird y=ur ‚gelebt; fo erhält

nmy—ı mu —

man. F = ‚und daher, w weil dy— udx + xdn iſt:
mn udr+t ea um dx, alfo J

7 3 TZ-mtuw’ oder
dx üdu — Imdu -mdu J |
’ ii 0" mı +8 ı- mut _
Alfo durch Integration: |
du
lx = — :l(ı — mu uw) — :;m -murw + Const., |

woben drey Bälle zu betrachten find, denn es iſt entweder m > 2,
m< 2 oder m=2.

ı) Es ſey m>2, fo hat s—mu-tu? die Form — * =) |
Pub m=etr — Eu |

‚ und weil

a "du a

er eng, au vn wird
Tan ——

Ik = 1 mut‘) — —— (3 )* + Con, “
| |

|

|

oder layG mut) — E ar ==. Ic,

ey] au—ı

und wenn wieder u — 2 gefegt wird, erhält man die Integralgleichung
a? -- ı 27 — a?z |
vemesıtr) + — 2(@ 1) — le, oder,

ay— a2ı\?(a —ı)
) Ä vorm asyty)=c

— 2/5 ee

2) Sey m<2 oder m==2 cos.a, fo wird: \

du I u sin.
= * arc, tang. -————.
1— 2ucos.a--u? sin. « ‚1-ucos.a
Daber: ”
usin,.«
IxyG mu) = =(C—

z are. tang. 1—u cos.’

der:
cos. @ ysin.a

IV@—mey-Ly2) —=6— Ir arc, tang.

ı—y cos.a
' ar = —, und daher:
5

1
. oder 1(x—y) = B — —

3) Seoym=a, ſo wird

Ixı — u)) — C —

Beyſpiel a... Ta
$. 412. Die homogene Differengialgleidung
dx (ax By) = dy(yx-+-5y)
u infegriren.
Sept man y=ux, fo wird udx + umär.
nd daher:
x du(y-fou) Audutrly—i9 Fdu@ytt DD
x a+su— yua—du * a-+ R— Du— dur
Alfo durch Integration: J
x=C—Wl[c+ +8—y)u —5W]+:(6-+7) a+ 6 —
vobey dieſelben Bälle wie vorhin zu betrachten find; naͤmlich wenn der

Renner a + (B—y) a — Su? entiveder zwey reelle und ungleiche,
der gleiche, oder endlich imagindre Bactoren bat. /

B eyſpie I 3.

F. 413. Man beſt imme das Integrale der dene
jenen. Differengialgleihung

‚ish räy = ady — yir.

etpu
yräu”.

I a7

Weil bier 2 = I. fo wird für y-uxr

Bu + „ dx oder xdu=! tw dx;

du — ud
bieraus folgt: & — Is duude, und durch Integration:

ix arc.tang. u—1ylı +W) + c, oder
IV(4) = 04 arc. Lang, 5

26*

— 244 —

Beyſpiel 4

F. 414. Man ſuche das Integkale der homogenen |

Diffesensiatstei hung x!dy = ("—ay?) dx.

Hier iſt alſo = = Hr ‚und für y=ux erhält man

udx + xdu = (ı — au?) dx; daher

dx du ' du
— = — — und Ix = ——
x 1—u— au? 1— u— au?

mit deſſen Entwiefelung ı wir und nicht aufzuhalten brauchen.
Beyfpiel-d.

$. 415. Man beftimme das Iutegrale der homo— |

genen Differenzialgleihung
zdy — ydx = dxy(® + y2).

Es iſt 2 = teen, und wenn y=ux gefept wird,

‚erhält man

udx rs xdu= (a+yYCı -u2)) dx oder xdu —=dıylı u),
du J

ſo daß = = vorm wird; das Integrale hievon iſt:

Ile + IV vet] lat true m] |

oder Iixmala-+. J— und hieraus folgt: .

ax

— — — 2 2
x Ve+my oder V(x?-+y?) a-ty, und daher

x? = a? 4 2ay,
Unmerfung
F. 416. Hieher kann man auch die tranfeendenten Zunctionen
rechnen, wenn nur die Bunctionen ir Bezug‘ auf x und y teine Dimen⸗
ſionen haben, weil fie für y=ux zugleich in Functionen von u uͤber⸗
gehen. Wenn z. B. in’ der Gleihung Pdx=Qdy, in weldher P
und Q homogene Zunctionen deöfelben Grades bezeichnen, auch noch
Ausdrüde von der Form
2). 7
l. ——e— *, arc. sin — Jen’ cos, * u. J w.
vorfommen würden, fo läßt ſi ich die erklaͤrte Methode mit en Er:

folge auch hier anwenden, weil für y=ux der Quotient 2 eine
Sunction einer einzigen Veränderlichen u wird.

‘

— 25 ——

Aufgabe 5».
$. 417. In der Differengialgleihung des erften

Grades

dx(a--ßx-+yy) =dyl+er+2y)
die veränderlihen Größen abzufondern, und die fo -
erhaltene Gleichung zu integriren.

Auflöſung.

Man ſetze a — Bx yyt nd 5-tex+ >y =» »
dag tdx —= udy wird; hieraus erhalten wir aber |

| gtt— yu+at+yd ü "Sumectt ar — Bd
* — | und —/ N

und hieraus: dx: dy = 2dt — ydu: Bdu- — a und Gier.
aus erhalten wir folgende Gleichung:
etdt — yıdu — ßudu — eudt, ober
dt (et + eu) = = du (ßu + yt).

Da diefe Gleichung homogen iſt, und mit dem Beyfpiele (. 412
übereinftimmt, fo. ift die Sntegration fchon befannt.. . . .,. ;

Es gibt übrigens einen Fall, in welchem die vorgelegte Gleichung
ſich nicht homogen darftellen kaͤßt, wenn naͤmlich BE — ye=o iſt,
weil dann dadurch die eingeführten neuen Verdiiderlihen t und a ver⸗
ſchwinden. Diefer Fall erfordert alſo eine befondere Auflöfung , welche
wir auf folgende Art erhalten; weil fi! bie e vorgelegte‘ Gleichung in
diefem Falle auf die Zorm

adx + Bx+yPdxsödy+n Bx +rn)dy
bringen läßt, fo ſetzen wir Bx » yyzz, und. Ebalten dadurch
38 at:

ST +nz' |

Nun ift aber dy = lſo une in dx,

wo ſich offenbar die Beränderlichen abfondern laſſen, denn es wird

de (ö-+nz)
= 7y+B5t@+radez Die Integration dieſes Ausdruckes
führt auf Logarithmen, wenn nicht 726 S o' iſt, in welchem

Falle das Integrale algebraiſch wird , naͤmlich x — —— 24 C.

d
hr,
dx =

2 (ay+ PS)

—

— 240 —

Zuſatz ı.
$. 418. Es laͤßt ſich demnach die fogenannte Differenzialglei⸗
chung des erſten Grades im Allgemeinen nicht homogen darſtellen,
ſondern ed müffen die Säle, in welden B2==ye ift, ausgenommen

werden, welche auch zu einer ‚abgefonderten, allerdinge von ber t fri-

hern verſchiedenen Gleichung führen.

Zuſatz 2.
$. 419. Wenn bey dieſen Ausnahmen 10 wird, oder wenn
Kolgende, Sleihung ödy=dx(a-+PBx-+- yy) vorgelegt wird, und
man ſetzt Bx + yy=z, fo erhält man, weil 551 ift, die Glei⸗
dz
chung dx = 7 deren Integrale
1. — = 1,2 raıtfetrr oder

yz —

PB+Yra+ßstn=Ce.
Aufgabe 53.

$. 420. In der Differenzialgleihung
dy+ Pyd= Qdz,
iR welder P und Q was immer: für gunctionen von
x feyn mögen, die andere Veränderlihe y aber mit
ihrem Differengiale nirgends mehr als eine Dimen
fion haben foll, die Veränderliche abzufondern und
felbe zu integriren.

Auflöfung.

Man fuche eine ſolche Funetion X von x, daß nach der @ubfli-
tution y= Xu in der neuen Gleihung die Abfonderung möglid .

wird, man erhält dann
Xdu + udX + PXudx = Qdx,
welche Gleichung die Abfonderung offenbar zuläßt, wenn
dX-+-PXdx=o oder — = — Pdx if;

die Integration gibt IX = — /Pdx oder X = e-/Pir .
Laffen wir diefen Ausdrud als die gefuchte Function X gelten,
fo erhalten wir die trandformirte Gleichung .

Xdu = Qdx oder du = —* == e/Pdx, Qdx,

|

de);
0

— DT me
und daher ift, weil P und Q gegebene Bunctionen von x find,
u = jelPis Od = 7
Es iſt demnach das Integrale der gegebenen Gleichung:
yaeo-/fPrir fesPd: Qix,

Zuſatz ı. J |
F. 421. Bey der Auflöfung der Gleichung dy-HPydx = Qds,

bat man demnach eine doppelte Integration vorzunehmen, denn eins

mal bat man den Ausdruf /Pdx und dann Ses Pd Qdx zu ent:
wideln. Übrigens ift es hinreichend, wenn man dem legtern Integrale
eine willfürliche Conftante hinzufügt, weil der Werth von y “nur eine
einzige erhält. Wenn man aud) bey der erften Integration /Pdx +.C
ftatt (P dx fest, fo findet man dennod) dasfelbe Reſultat für— y.

Zuſatz 2.

5 422. Bey der Beſtimmung des Integrald von Pdx ifl es
alſo hinreichend, ein beſonderes Integrale davon zu nehmen, und daher
wird man den in der Rechnung erſcheinenden Eonftanten einen ſolchen
Werth beylegen, daß dad Integrale in einer moͤglichſt einfachen Ge⸗
ſtalt erſcheine.

| Anmerfung.

gG. 423. Es gibt noch eine andere Gattung von homogenen Glei⸗
dungen, und zwar von derfelben Ausdehnung, ‚wie die vorige; bey
welchen die Abfonderung der Veränderlichen, demnach) auch die Inte-
gration möglich iſt. Hieraus fließt ein ungemeiner Nupen für die
Analyfis, weil P und Q was’ jmmer für Sunctionen von.x bezeichnen
fönnen. Auf diefe Weife fi ieht man demnach ein, daß die Gleichung
Rdx + Pydy = Qdx, wobey R irgend eine Zunction von x be:
zeichnet, eben fo behandelt werden Pönne; denn dividirt man die Glei⸗
chung durch. R, fo erſcheint die transformirte in der getselegten Sorm,

fo bald man ſtatt P und Q die Quotienten g und x fest, und deme

nad) ift das geſuchte Integrale

we S .

nn Se Qdx
j R

yae

ur — 248 —

Um dieſes Problem recht deutlich darzuſtellen, werden wir einige
Beyſpiele beyfügen.
Beyfpielı
$. 424. Die Differenzialgleidhung
dy + ydx = ax’dx
‚zu integriren.
Hier P=ı und Q=ax°, allo /Pdı= xy und die Inte⸗
gralgleihung wird feyn
„= e=* fetxdx;
welche Gleichung für ganze pofitive Werthe von n ſi ich in folgender
Form darſtellt:
y='e- [e (x — nxı-'ı ı.n(n — a)2r=— 2) +0].
oder durch wirflihe Entwidelung : | Ä

ad

y=Ce= + X—ar n(n—ı)e—n(a—1) (as)? tie; '

und hieraus ergeben ſich für die befondern Werthe von m folgende
Ausdrüde:
für = 0 wird y=Cer-ti,

» n=ı. » y=Cem-x—ı, ..

»n=2 » y=Ce-tx—_ 2x2. 1,

ın=3 » ymle”+r?—32+3,2.2—- 3.2.1

u. ſ. w. |
zufaß ı

, $. 425. Sept man demnach die Conſtante C=o, ſo erhalten
wir das befondere Integrale
y=r"—ncı +-n(n— ı1)2—n(n—ı)(n—2)1"3 + re.
welches alſo algebraiſch iſt, fo bald n eine ganze poſitive Zahl bedeutet.

Zuſatz =»

6. 426. Wenn das Integrale fo beftimmt werden müßte, daß
es für x&=o verfchwindet, fo muß die Conftante C gleich dem legten
Gliede, welches beftändig ift, mit veränderten Zeichen gefeßt werden,
und Daher wird das Sutegrale immer tranfcendent feyn,

Benfp ıel 2
$. 427. Die Gleichung G—x)dy + xydx=adı zu
integriren,

row

Dividirt man diefe Gleichung durch 1 x, fo erhält fie die

— ar
Form day + I —— = — —, fo daß alſo | |
x |

P= — und Q = — und daher

1

JPd«x= — Iyta—r) und ee rer

woraus man folgendes Integrale findet: |
2 adı — ) a
yava- u) Kremser: ze (Fe +6 ve x),
und daher ift dad gefuchte Integrale |
yJ=ax+ CVC(i — 2);
welches, wenn es fo beftimmt werden foll, daß e8 für x—o verſchwin⸗
det, übergeht in y/Sax, weil dann C=o iſt.

Beyfpyieli. —

nydx en:
$. 428, Die Sleichung dr + Ya Ey rdx gu im
tegriren.
Hier iM P=_—_ ———. und Q=a, demnad)

va+x»9 FF
— nl at VO+r)) md er = + vVa+m))
2.00 e—/Pdx — (Va + x) —.x);
wir erhalten demnach das gefuchte Integrale
...7=(Va+2) — x) fadx [x+yVca+x)].
uUm dieſes zu entwickeln, fege man x4V + =) au,

fo wird. en
dua+uw)

u — 1
x = dr
u ’ De 3 u?

1 ao j

un—ı "an tı

3(n— ı) Tan s(n+ı) + G N
| — — wir
Weil nun V(14x) — = J un
yaCcım+ * 5 Jaarfıy? Pder

J[wdx=

y=ClVa+ +2) — x] +- 4 — — [Y(ı +2)— x]
ar Vo+)+x],

ande Form bringen läßt:
welcher Ausdruck fih auf | gen laßt:

f — 248 mm

Um diefed Problem recht deuslich darzuftellen, werden wir einige

Beyſpiele beyfügen.
Bepyfpieln —
$. 424. Die Differenzialgleihung
dy + ydx = ax’dx

zu integriren.

Hierit P=ı und Q=ax°, alfo /Pdı= xy und die e Sute
gralgleichung wird feyn

y- e=* fex?dx;
welche Gleichung für ganze pofitive Werthe von n ſich in folgender
Form darftellt:
y=e [e* (x? — nxe⸗i -n(n — ı)2 ? — - 2). +0],
oder durch wirfliche Entwidelung : | |
y=Ce-"+-x°— ar --n(n—ı)r —n(ü—ı1) (0-3) +-ıc;
und hieraus ergeben fich für Die befondern Werthe von n folgende
Ausdrüde; I...
für 6 wird y=Ce#+ı,

» n=ı » ysleı+-ı—ı, FR

» n=2 » y=Cem2?—2x-4 2.15, '

ı n=3 >» y=Ce”+x?— 322-3, 2.x — 3.2.1

u. ſ. w.
Zuſatz ı.

J. 425. Setzt man demnach die Conſtante O 0 ſo erhalten
wir das befondere Integrale
y=xr'— nz -n(n— ) 7 —n(n—ı)(n—2)1"3 + re./
welches alſo algebraiſch iſt, fo bald n eine ganze poſitive Zahl bedeutet.

zufe b 2.
S. 426. Wenn das Integrale fo beftimmt werden müßte, daß
es für x&=o verfchwindet, fo muß die Conftante C gleich dem Tepten
Gliede, welches beftändig ift, mit veränderten Zeichen gefeßt werden,
und daher wird das Sutegrale immer tranfcendent ſeyn.

Beyfpiel m.
$. 427. Die Gleichung G—z)dy+xydı= adz zu
. integriren,

Dividirt man diefe Gleichung durch 1 _x fo erhält fie bie
xydx adı

Sorm dy 4 oa = — fo daß alfo
z x , \
P= = und Q = —— und Daher .

— — 329. Pdx __ I
JPdx = — Iya—x=): und e/Pdx _ vet
voraus man folgendes Integrale findet:
adx
— +) ug
yo V(ı x Ye: _ „27° = (= = + vo x )
und Daher ift das gefuchte Sintegrale
y=ax-t cva—r);
welches, wenn es fo beflimmt werden foll, daß es für x—o verſchwin⸗
det, übergeht in y=ax, weil dann C=o iſt. |
Beyfpiel 3 ”
$. 428, Die Sleichuns dr + nyds

var” adx gu 1w
tegriren.
Hier P=— ——. und 4, demnach

va+® 207
[Pdx = al(s+Va+2)) md er = («+ VGa+R))
| und e-/Pixr — (Va + x?) — x);
wir erhalten demnach das geſuchte Integrale
- JEVOFN) 3)" Jad ct yatzyp.
Um dieſes zu entwickaln, ſetze man Er va J == u,
fo wird au em, Ä

) baßer dx =

u
x =

r alſo

un—ı "antı

Jardx = * 2(n— 1) ram s(n+ı) + c.
Weil nun [VG +2) — x4 u " wird
= nt ern
Y=cVvo +9 4. am Ve +]
+ a5 [lVüı +3 2) +-x],
welcher: Ausdrud fich auf folgende Form bringen liße:

, oder

— 950 a

n?— ı?

Yeelve+n) a + 2 vet

wenn das Integrale fo beftimmt werden fol, daß ed für zo ver:

ſchwindet, fo muß man C = — — ſetzen.
.. Aufgabe 54.
g5 439. In der Differengialgleihbung
| dy + Pydx = Qyri'dz, Ä
in welder P und Q was immer, für Functionen vonx
find, die Veränderlihen abzufondern, und diefelbe Ä

dann zu integriren.
| 4 uf Iöfung.

Seht man — = 'z, fo dieſe Giechung ſogleich in die vor⸗

— * iſt, ſo verwandelt ſich

——
——n

Bin behandelte * denn weit SI

anfere Gleichung, wenn fie durch y dividirt wird, nämlich
| + Pix = ur fogleich in
„

— * 4 pPax — = =, oder
dz — nPzdx = — nQdx, beifen Integrale
z = — er/Pdr fe-n/PdenQdx, und daher
* = — nenfPdr ye-a/PdsQdxif. \
N Man Fann aber diefen Fall wie den vorhergehenden behandeln,
Andem man eine folche Zunction X fucht, daß durch die Subftitution
y==uX eine Sleidhung erhalten werde, bey welcher die Abſonderung
moͤglich iſt; man erhaͤlt naͤmlich
Xdu + udX + PXudx = xXetı uatı()dx,

Man feße demnah AX + PXdx—=o oder X = e-/Pir,
fo erhält man.

d
u — x Qdx — erfrargdr,

urtı

und durch Integration

— — = fe — — |

Weil nun u — < — e/Pdry, fo erhält man wie vorhin
— = — neu/Pir fe-"riQdx,

y”

— 05] um

Anmerfung. ,

$. 430. Es ift alfo diefer Fall von dem vorigen nicht verfchieden,
fo daß hier nichts Neues gefunden wurde. Diefe beyden Arten von

Gleichungen find beynahe die einzigen, welche einigermaßen allgemein

" find, und die Abfonderung der Veränderlichen zulaflen. Die übrigen

- Sälle, welche durch Subftitution zur Abfonderung der Veränderlichen

—

vorbereitet werden koͤnnen, find gewöhnlich zu fpeciell, als daß fich ein
befonderer Nugen davon erwarten ließe. Übrigens werden wir dennoch
einige der merfwürdigften Sälle hier aus einander fegen.

Aufgabe 55.

G. 431. Die Differenzialgleihung
aydx 4 ßxdy 4 x"y? (yydx -ıdy) = o
abfonderungsfähig darzuftellen und fie zu integriren.

‚WAuflöfu n g. |

Dividiren ‚wir Die ganze Gleichung duch xy, fo erhalten wir die
Formel

d d
. + BT + xm yo ("7 x + ö 2)= — Or,
und hieraus ſchließen wir ſogleich ‚ daß; die Subftitutionen x" yP — ı
und x? yS == u vorzüglich gut feyen, denn wir erhalten Dadurch

dx dy _dt ydz , ddy _du
.zrPp zer m ren
und daher geht unfere Sreihung über in
= +x m ya == 0.

Allein aus unferer Subftitution folgt N
zaö—Py — u? und ya-py = aRr?,

und demnad) 0 \
3‘ — —y a
x — 7. u und ya? You,
Subftituirt man diefe Werthe, fo erhält man
Im—yn an—£m
—— ad —8 —
+ wer. u Y— == o, und daher
dm an—pPm | |
weh

dt Pr Au=o,

— 252 —

Das Integrale dieſer Gleichung iſt

‚yn—&m an—pm
a fy „ad—By
— — — 20C.
ya—$dm © an— pm. .

Wir haben .alfo hier nur noch die Werthe tx? und ummx? y°
zu feben. Übrigens ift noch zu bemerfen, daß wenn entweder yn—Sm==o
—* an— mo iſt, ſtatt jener Glieder entweder It oder lu
gefest werden muͤſſe. : Ä
Unmerfung.

F. 432. Auf die vorgelegte Gleichung wird man geleitet, wenn
ed fich um eine ſolche Relation zwifchen den Veraͤnderlichen x und y
Bandelt, daß Sydx = axy + bx"t'y=tı werde, Um diefe Frage
zu beantworten, muß man die Differenzialien nehmen, wodurd man
die Gleichung
ydx =axdy--aydx + bey [(m-Hı)ydx-+-(n--ı)xdy].
Vergleicht man, diefe Gleichung mit unferer Sormel, fo findet
man
a—ma—ı; Ba; y= (m-++ı)b und be (a-tı)b; alfo
a— By=(n—m)ab— (n-+ı)b,
an— ßm=(n—m)a—n und yn—5m=(n—m)b,
woraus dann die Integralgleichung von felbft folgt.

Aufgabe. 56. «
6. 433. In der Differenzgialgleidhung :..
ydy 4 dy(a+-bx-nx?) = ydx(c-{nx)
die Veränderliden abzufondern und dann zu inte
griren.
Auflödöfung.

Da hier 27 = — — ſo verſuche man die Subſti⸗

yrarbıtn |
. y(c+nx) — u(a+-bx-+-nı?2)
tution -Lafbırae — u, oder JS — — — ſo muß
dy___ dx dx(ce+-nx—u)
dy = udx werden, oder Jarı.- — —
Aber mit Hülfe der Logarithmen findet man
dy dx(b-+2nx) ndx +du : _ dx(c Enxu)

7 Te tar

— 285 —

welche Formel ſich redueirt auf un N al
du(e--nx)—nudx dx(e--bBnz— u) 2.03

u(e-+- nx — u) — — — oder

du (e+nx) _ dıma+@—be+(b—2g)urw) \

ale +nr—u) . (ee -nx—u) {atbıtnx) A

Multiplicirt man diefe Gleichung durch Ca — y, ſo laͤßt fe
fi ch offenbar abſondern, und man erhält ° _
dx. du 1” or
(+bx In) C + a9). — Ima Febe + NEITIET n
deren Integration mittelft ogarithmen und Kreisbogen beiverffteiliget
werden Fann, In dieſem Falle, welcheri:fich hier kaum vorausfehen

‚ließ, glückte zwar diefe Subſtitution nach Buafehe,: G ubrigens aber wird

biefes Problem wenig nügen.. -

BG

a ufgabe 5.”
ur 434. Die Differenzialgleichung

ndx 1 Fy2)vGa-+y2) °
umge Turn. .

abfonderungsfähig darzuſtellen und zu integriren. |

W Auflſun 4.
Wegen der doppelten Irrationalitaͤt laͤßt ſich kaum abſehen, was

für eine Subſtitution man zu ‚machen habe. Sicher aber muß fie ſo

gewählt werden, daß nicht beyde Veränderliche zugleich mit demfelben
Wurzelzeichen behaftet werben. Zur Erreihung diefes Zweckes ſcheint

die Subſtitution y = - — — bie bequemfte, benn dadarch wird

ur. r +r= BRESSTENDE

Jo — 75 — —
a dx(ı £wW) — du(ı + |
m (G + xu2

Setzen wir diefe Werthe in unfere Gleichung ſo erhalten wir
— udx (1 Par) + udu ((+ x) = nde(ı u?) YCı +u),
bey welcher Gleichung offenbar die Veränderlichen abgefondert werden

Ffönnen; man erhält nämlich ,

de N udu

—

zum O5, um

welche Sleichung für ı u — t fich viel’ kuͤrzer auf folgende Art

darftellt:
ſt dx dt

ı . x? * tſat + vi? — 1)?
und wenn man t = ſetzt, ſo fan die Irrationalitaͤt wes/ und |
man nerhat die Gleichung u |

— 248 (1 — 8?) ads ands
ı rn ı+2 0 Gafmarıra-)m) fe a+ı$+(n—ı)s®
deren Integratiou weiter keine Schwierigkeit darbiethet.

.. . Knmerbung, Fu
"ge ‚438. Hier. verdient vorzüglich die Subfitution :y ya

— u
r * xu
bemerfe zu werden, durch welche die doppelte Seratioalität befeitigt

wurde; ed wird fich daher. der Mühe lohnen, zu unterfuchen, welche
Dienfte die allgemeinere Subftitution y = — leiſtet. Wir er⸗
halten hiedurch | |

_ l&—Bu)(ı— ad?) u(i — aßx?) und

a — - Sp = o. G + Bxu)2 14 +.Pxu |

' T. — ax =
dx(a— Bu?) + Au (a Zap)

(1 + Pxu)%,
und wir fehen nun leicht ein, bey welchen Gleichungen wir. dieſe Sub⸗
ſtitutionen mit Vortheil Anwenden Fönnen; es wird nämlich durch dies
ſelbe die doppelte Irrationalitaͤt —— auf die einfache —
zurückgeführt ‚ welche ſich dann weiter auf eine Teichte Reife rational
Darftellen läßt. Dieß find beyläufig die Säle, bey welchen die Abſon⸗
derung möglich ift; zieht man diefe gut in Erwägung, fo bahnt man
fich leicht den Weg zu den übrigen Fällen, welche bisher behandelt wor:
den find; übrigens wollen wir noch jene Säle unterfuchen, in wein |
die Gleichung dy + dx =ax"dx die Abfonderung der Veränder:
licheh zuläßt, weil: man häufig auf folche Gleichungen ſtößt, und die
vorgelegte ehemald von den Geometern mit. vielem Eifer behandelt
worden ift. Ä

dy=

Aufgabe 58,

$. 436. Für die Gleichung ay Pyrdx S axmdx die
Werthe des Erponeuten m zu beſtimmen, für welche

—

|

j

— 255 —

in derſelben die Veranderlichen bgeſondert werden
tönnen. it
A ufls 1] un g. Ä
Sit m—0, fo findet in ‚Diefer Gleichung die Abſonderung an und
hir ſich Statt, denn weil dann dy=dxa—y), fo wirb ds= dr!

——

Unſere ganze Unterſuchung muß demnach dahin gerichtet ſeyn, mie
Subfitutich bie übrigen Faule auf dieſe zurückzufuͤhren. Sepen wir

„= a ſe wird — ba⸗ dx = arzdx; damit. ‚nun "biefe

Bocmel ber vorgelegten aͤßnlich werde, ſetze man — —t, damit

. . — m 227 .n
” If‘: FR ” ._ 8* inner | j In ' . s Le BE Zr . A ar

ne ic a en
dx =: und, a =— Fi werde, fo erhält m man

a22dt . bi _.

bdz Ei tetan 00.
Setzt man nun b = =. fo wird dieſer Yusdrud dem geges
benen mehr anlich man —— dann nnd. FE ” ”
SIT EERTO ya H

„m . /

ae. Sn rain
dz #die — atıdt. u
+ (m + ı)? i ILERZ,

Wäre alfo diefe Gleichung abfonderungsfäbig, fo würde e8 auch die

vorgelegte Gleichung durch jene Subſtitution, und umgekehrt. Hier⸗

aus sichen wir nun den Schluß, daß went die gegebene Oletthing für
m=n die Abfonderung zuläßt, diefe auch für m — — Fer Statt
finden werde. Der Fall. fü mo bietet und nicht die. Auflöfung
eines anderen Falles bar.

Segen wir y=- gr damit !' in nad
dx dz ' azdx
dy 7 — = + x3 und
— 22d x

dx
y’dx *— 7 — — + —. werde,

ſo erhalten wir
z .22dx

d
z?dx -
da— =. — arntıdz,

»

m

Wird nun x — geſetzt, alſo de 2edt at-mddt, fo ſehen
wir aus der Ähnlichkeit dieſes Ausdrudes mit dem vorgelegten, daf
wenn, die Abfonderung für mn gelingt, diefe au) fürm=—n — 4
möglich feyn müſſe. Aus dem Falle, wo.m=n, folgern wir dem:

nad) zwey andere, in welchen nämlich n= Far und mS—n—4,

Da nun der Fall, wo mo, befannt it, fo erhalten wit, wenn dieſe
Formeln abwechſelnd angewendet werden folgende Faͤlle:

mh, m=—!:, n=—!, m=, m=— 2,
1F n=— ... v
welche sin ſaͤmmtlich in ber Formel m = — Pr 4 Fi entalten j ind,
| | | Bufep. |
$. 437. Wenn demnach entweder ot
m = — HE oder m _ 4
sifr *A.

if, fo laͤßt ſich die Gleichung dy + Pdım arndx dur einige

wiederholte Subftitutionen’ endlich auf die Sorm’aa + wdy—=cdr
bringen, für welche die Abſonderung lowehl, als die Integration be
kannt iſt. |

8 ufa j 2.

\ ae Wenn nämli) m = —

rn ts fo wird. die Gleichung
dy 4 ne —ax"dx

| durch die Subflitutionen x == Kız und y* zurůckgefthet

‚(m Ay
auf die Form dz + zrdt = any dt, wo ı=— —4i if,
welcher Ball um einen Orad niedriger zu erachten iſt.

Zu fa F 3

= fo wird die Gleichung

$- 439. Iſt aber m = —*
dy — pPpdı= ade
durch die Subftitutionen

. und. _ı_. oder —t 2
t I=z x? yaımtla

x =

— 17 —
auf den Ausdruck Ten
dz 4 z2dt = atdt
veducirt, in welchem : ran
-41—1 26 —1) 4 ı.?
welcher Sal cbenfalls um einen Grad niedriger iſt

3uſas 4

HG. 440, In allen Faͤllen alſo, in welchen, wie wir eben gefun⸗
den haben, die Abfonderung möglich ift, erhält man für den Erponens
ten m negative Zahlen zwifchen den Graͤnzen o und — 4. Iſt i un»
endlich groß, fo erhält man den Ball, in welhem m==— 2 ift, der

ſchon für ' ch bekannt ift, indem die Gleichung dy + y„dı= ei

aan

fr ys - * homogen wird,

Ä Anmerkung ı.

$. Akı, Die Sleihung dy + y?dx = axmdx nennt man
gewöhnfich die Niccatifche, nach dem Grafen Riccati, welcher zuerſt
abfonderungsfähige Bälle vorlegte. Ich babe fie hier in der einfachſten
Form dargeſtellt, denn die Gleichung dy + Ayı!dt= BiAdr'
laͤßt fich fogleich auf diefelbe zurückführen, wenn man Atkdı = dx
und AUT! = (u-+ı)x fept. Obgleich die beyden Subftitutionen,
deren wir und hier bedienten, dußerft einfach find, fo laſſen fich denz.
noch durch die Anwendung zufammengefegterer Subſtitutionen Feine‘.
andere abfonderungsfähige Bälle entdecken. Es feheint deßhalb aller⸗
dings merkwürdig, daß dieſe Gleichung äußerft felten die Abfonderung :
zulajfe, obgleich die Anzahl der Säle, in welchen diefes angeht, wirk:
lich unendlich groß ift. Übrigens fann diefe Unterfuchung vol Erpor |
nenten auf den einfachften Coefficienten geführt werden, denn ſetzt mar |

m

y„- x’2, fo erhält man

mais 2 —
dz+ Lat pdr = axrde, —
m mt m42 | on
wo, wenn sd dt und x’ =- + + geſetzt wird) —
| | dx x adt w
— * vird und da er ii
Euler's Integralrechnung- I. Dr »7

zum 258 —

medt

dz z + —— (m+>)t rn z’dt Ei adt,
welche Gleichung demnach, fo oft — = + ai, ober gleid) einer
pofitiven oder negativen geraden Zafı ". die Abfonderung zulaßt ‚to
daß die Sleichung

dz tr —— inc + —XE = adt
immer integrabel iſt. Set man außerdem zu u — —— —, " \

5

| m(m+yJdı
du + uwdt = adt — Alm + ap’

und für die abfonderungdfähigen Fälle m = — findet man

erhält man

du + wde=adı + EN,

Die weitere Entwidelung diefer äußerft wichtigen Gleichung wer»
den wir in den Folgenden lehren, wo wir von der Integration der
Differenzialgleichungen durch unendliche Reihen handeln werden ,. weil

wir dort die abfonderungsfähigen Fälle leichter auffinden, und zugleich
die Integralien werden angeben Fönnen,

» ‚dnmerfung 2

J. 442. Es ſcheint kaum möglich zu ſeyn, ausführlichere, aud)
nur einigermaßen brauchbare Vorfchriften für die Abfonderung der Ver:
Anderlichen zu geben, woraus denn erhellt, daß diefe Methode nur bey

den wenigften Differeuzialgleichungen ihre Anwendung finde; ich werde
daher zur Erflärung eines anderen Princips übergehen, nach welchem
die Integrationen ausgeführt werden fönnen,. und welches zugleich viel
unfaffender ift, indem es ebenfalls auf Differenzialgleichungen höherer
Grade angewendet werden kann, fo daß diefed Princip ald die wahre
und natürliche Quelle aller SIntegrationen angefehen werden darf.
Es gründet fich dieſes Princip darauf, daß, wenn irgend eine Differen-
zialgleihung zwifchen zwey MWeränderlichen gegeben ift, immer eine
folhe Function gefunden werden koͤnne, mit welcher die vorgelegte
Gleichung multiplicirt, integrabel werde. Man muß nänılich alle
- Glieder der Sleihung auf diefelbe Seite bringen, damit die Gleichung

de Form
| Pdx - Qdy=o

u | — 250 —

*

erhalte, und dann behaupte ich, gibt es immer eine ſolche Function
von x und y, z.B. V, daß nad) verrichteter Muttipticatien die hormel

ren... VPdx -+.VQdy. FREE *
den Charafter der Integrabilitat. annimmt, oder daß dieſe Formel als ’
das wirkliche Differenziale irgend einer Function zweyer veränderlichen
Größen erfcheint. Denn fest man diefe Sunction —=S, fo daß
dS = VPdx + VQdy wird, foerhält man, weil Pdx + Qdy=o
it, auh dS 0, und. daher Const., welche Sleihung dem⸗ |
nad) das. Integrale, und zwar das volftändige Integrale der Differen-,
zialgleihung Pdx + Qdy = o feyn wird. Es fkömmt alfo hier
alles darauf an, jenen Multiplicator V aufzufinden.

.
Iıs

— 900 sm

an. R a 'p i t e L. H. |
Bon der Integration der Gleichungen / mit Hülfe der up
2 catoren.

R
31 % . .e ug: 3 * ⸗ eo: .. 5 37
ul -180. . . "oo. .. N

| Yufgabe 69, Zu
$. 443. 3, unterfuhen, ob eine vorgelente Dif:
ſerenzialgleichuns fuͤr ſich infegrabel fe9r“ ver „io
" ... Au f13(h I me

Hat man alle Theile einer Gleichung auf diefelbe Seite de
Gleichheitszeichens gebracht, damit diefelbe die Form Pdx + Qdy=o
erhalte, fo ift diefe Gleichung für fich integrabel, wenn die Formel
Pdxr-+ Qdy wirflid das Differenziale irgend einer Function zweyer |
Reränderlihen x und y iſt. Dieß ift aber, wie wir in der Differen-
zialrechnung gezeigt haben, der Fall, wenn das Differenziale von P
in Betug auf y (wenn y allein al& veränderlich betrachtet wird) zu dy
dasfelbe Werhältniß Hat, in welchem dad Differenziale von Q in Bezug
auf x zu dx fteht, oder nach der in der Differenzialrechnung angenom⸗

. . d P d .
menen Bezeichnungsart, wenn (Z) = (7) ift; denn es ſey 2
jene Function, deren Differenziale Pdx -- Qdy ift, fo iſt nach der
angeführten Bezeichnungsart P= () nd Q= (G =); bier:

aus folgt alte (T-) = (1 a)" und (& )= (— I) Nun
iſt aber —— —8 (> Fr on) und daher (7) — (2 .

Iſt daher die Differenzialgleihung Pdx + Qdy = 0 vorgegeben,
fo wird man auf folgende Art erfennen, ob diefelbe integrabel fey, oder
nicht. Man ſuche durdy Differenziation (7) und 2); find
diefe Werthe einander gleih, fo ift die Gleichung für fich integrabel;
im entgegengefeßten alle aber nicht.
Zuſatz ı. |

$. 444. Alle Differenzialgleichungen, in welchen die Veraͤnder⸗

lichen abgefondert erfcheinen, find alfo für fich integrabel, denn fie

— 261 —

haben bie Form Xdx + Ydy = 0o, wobey X bloß eine Function
von x, und Y bloß eine Zunction von y ift; und man erhält Demnach

Du und (= — 0.

3 u ſ a b 2.
$. 448, Wenn daher in der vorgelegten Differenzialgleihung

Pdx-+ Qdy=o, der Quotient (7) = 0, und (7) = 0

ift, fo find umgefehrt in derfelben die veränderlichen Größen abgefondert,
denn e8 wird dann P bloß eine Function von x, und Q bloß eine Function
von y ſeyn. Die abgefonderten Gleichungen bilden demnach gleichfam
die erſte Gattung der für fich integrabeln Gleichungen.

| Bufag 3.
$. 446. Übrigens leuchtet die Möglichfeit von felbft ein, daß

(z 2). (7) werde, obgleich Feiner diefer Werthe der Nulle |

gleid iſt. Es gibt demnach auch Sleichungen, die für fi integrabel
find, obgleich Die Veränderlichen in denfelben nicht abgefondert erſcheinen.

Anmerfung.

$. 447. Diefes Kennzeichen für die Beurtheilung der Integrabi- _
lität der Gleichungen ift für die Integrationsmethode, welche wir leh⸗
ten wollen, von größter Wichtigfeit; denn hat man eine für fich intes
grable Gleichung, fo kann das Integrale derfelben nach den bereitö ge:
lehrten Vorſchriften gefunden werden. Iſt aber die gegebene Gleichung
nicht fuͤr ſich integrabel, fo wird es immer eine Größe geben, mit
welcher diefelbe multiplieirt den Charafter der Integrabilität erhält.
Iſt daher irgend eine Gleichung gegeben, die für fich nicht integrabel
“if, fo wird es bloß darauf anfommen, einen fchiclichen Multiplicator
zu finden, welcher diefelbe integrabel macht. Würden wir ftetd einen
ſolchen Factor aufzufinden im Stande feyn, fo wäre bey diefer Inte-
grationsmerhode nichts mehr zu wünfchen übrig; allein diefe Beſtim⸗
mung gelingt höchft felten, und erſtreckt fi) kaum weiter als auf jene
Gleichungen, welche wir mit Hülfe der Abfonderung der Veränders
lichen zu behandeln bereits gelehrt haben. Übrigens trage ich keines⸗
wegs Bedenfen, diefer Methode einen entjchiedenen Vorzug vor der
vorigen einzuräumen, weil fie der Natur der Gleichungen mehr auge:

1

— 002 —

meſſen ſcheint, und ſich auf Differenzialgleichungen hoͤherer Grade er⸗
ſtreckt, bey welchen die Abſonderung keine Anwendung meh finder.

Aufgabe 60.

F. 448. Das Integrale einer Differengialgteb
hung zu beftimmen, von welder befannt iſt, daß ſie
integrabel ſey. | Ä

Aufl 5 f um g.
v * ſey Pdx + 0Qdy = 0 die Differengialgleihung , in wel.
cher 7 (7 ) ſeyn ſoll, fo it Pdx + Qäy das Differen-
ziale 3 einer Function zweyer Veränderlichen x uiid 5, welche
wir durch Z bezeichnen wollen, fo daß alſo dZ = Pdx + Qdy
wird. Weil wir alfo die Sleihung dZ = 0 haben, fo ift dad ge:
fuchte Integrale Z=C. Es fommt alfo hier einzig und allein darauf
an, die Function Z zu beflimmen, was ohne Schwierigkeit geſchehen
fan, indem wir wiffen, dag d2 = Pdx + Qdy fey. Denn
betrachtet man bloß x als veränderlih, y aber ald conitant,. fo ift
dZ — Pdx, und wir haben demnach eine einfache Differenzialfor-
mel mit einer einzigen Veränderlichen x, welche nach den Vorfchriften
des vorhergehenden Abfchnittes integrirt Z—= JPdx + Const. gibt,
wobey jedoch zu bemerfen ift, daß in diefer Eonftanten die ald unver:
änderlich betrachtete Größe y wie immer verbunden vorfommen Pönne.
Man fchreibe alfo dafür Y fo, daß Z=/Pdx- Y werde. Hier⸗
auf betrachte man eben fo x als conſtant, und bloß y als veränderlich,
fo wird, weil dZA—=Qdy ift, auh Z=/Qdy + Const., welde
Conjtante aber die Größe x enthält, fo daß fie als Function von x
esicheint; bezeichnet man diefe durh X, wid 2=/Qdy - X.
Obgleich aber weder bier die Sunction X, noch oben Y beftimmt iſt,
fo wird fi) dennoch der Werth einer jeden derfelben ergeben, weil
/Pdx+Y=/Qdy-+X feyn muß, denn da |
JPdx— SQdy=X—Y

ift, jo wird die Größe /Pdx — /Qdy immer in zwey folche Theile
getrennt werden, deren einer bloß eine Sunction von x, und deren

anderer bloß eine Function von y ift, wodurch dann die Werthe von
X und Nvon ſelbſt bekannt werden. 0:

— 263 mm
Zuſatz ı.

F. 449. Weil Q = (7) ift, fo bat man nicht einmal Die

doppelte Integration nöthig, denn hat man das Integrale /Pdx ge
funden, fo differentiire man Diefes in Bezug auf y, wodurch der Aus⸗
druck Vdy erhalten werden fol, fo muß nothwendig Vdy + dY= Qdy
und Daher dY = Qdy — Vdy = (Q— V) dy werden.

3ufas a.

$. 450. Die Integration der für ſich integrabeln Oleichungen
von der Form Pdx + Qdy=o fann alfo auf folgende Weiſe aus⸗
geführt werden. Man fuche das Integrale SPdx, indem man y ale
unveränderlidh betrachtet, und Ddifferentiire wieder das fo gefundene
Kefultat, indem man bloß y als veränderlich anfieht, wodurd man
den Ausdruck Vdy finden foll; fo wird dann Q— V bloß eine Zune»
tion von y feyn. Man fuche demnah Y=/(Q—YV)dy, fo erhält
man die Sntegralgleihung /Pdx + Y = Const.

Sufag 3.
$. 451. Oder man fuhe SQdy, indem man x ald conftant ber
trachtet, differentiire diefes Integrale wieder, indem man x alö ver:
änderlih, y aber ald conflant annimmt, und bezeichne das Refultat
durch) Udx, fo wird zuverläßig P— U bloß eine Function von x feyn;
man fuche daher X—= /(P— U) dx, fo erhält man die gefudhte Ins
tegralgleihung / Qdy + X = Const.

3ufaß 4
$. 452. Es erhellt aus der Natur der Sache, daß es gleich
gültig fen, welchen von den bezeichneten Wegen man einfchlagen will;
denn man muß nothivendig auf diefelbe Sntegrafgleihung kommen, fo«
bald die vorgelegte Differenzialgleichung für fich integrabel ift; dann
aber wird zuverläßig im erften Falle Q-- V bloß eine Snnction von y,
im andern aber P— U bloß eine Sunction von x werden.

Anmerfung.

$. 453. Man Fönnte diefe Sntegrationgmethode auch verfuchen,
bevor man noch unterfucht hätte, ob der Gleichung der Charakter der
Integrabilität zufomme, denn, wenn es fic nach der Methode ded Zu⸗
fages 2 zeigen würde, daß Q — V bloß eine Zunction von y werde,

—X

— 0.

oder würde man auf dem im Zufaße 3 angegebenen Wege finden, daß
P— Ublog eine Zunction von x wäre, fo würde e8 ſich ſchon hieraus
ſchließen laſſen, daß die Gleichung für ſich integrabel ſey. Übrigend
aber iſt es beſſer, vor allen andern zu unterſuchen, ob die Gleichung
für ſich integrabel ſey oder nicht, oder ob die Bedingungsgleichung

>) = (2) Statt finde, weil man zu diefer Unterfuchnng bloß
zu differentiiren braucht. Wir wollen demnach einige Beyſpiele von
integrabeln Gleichungen anführen, um dadurch nicht allein dieſe In⸗

tegrationsmethode , fondern auch die oben erwähnten vorzuglichen Ei⸗
benſchaften anſchaulicher zu mache.

| Beyfpieln
5454. Die Gleichung |
dxlax + Ey + 4 45 Br ty t9Y9=0,. |
welche, für fich integrabel ift, zu integriren.

Weil hir P=axt By+y und Q=pßıtöyteif,
fo erhält man () —=ß um (2 2) —= ß. Aus der Gleichheit
dieſer Ausdrüde erhellt die Integrabilität von felbft. Ä

Man fuche alſo nad) Zufag 3, indem man y als conſtant vor-
ausſetzt: u
| JPdx = !ax® -ßxy + yx, |
To wird Vdy = ßxdy und Q—-Vdy= dy(öy--e) = 4Y,
und daher Y —= t5y2 + ey, folglich ift das Integrale

sat Hy hy ts ont.
Betrachtet man aber. nad) Zufag 3, x als conftant, fo wird
sQdyzßıy +37? Hey |
\delche Gleihung, wenn y als conftant genommen wird, Udx==PBydx
gibt, und daher (P—-U)dx—= (ax+y)dx und X=!axt-- yx,
folglich) erhält man das Antegrale /Qdy + X=C wie * vorhin.
Man fieht Hier zugleich, daß
JPdx — /Qdy= tax Hyx — ty? — ey

fen, welcher Ausdruck fchon in zwey Sunctionen X— Y nbgefonbert
erſcheint.

— 25 —

Aufgabe 52.

$. 417. Sn ber Differenzialgleihung des orten

rades |
dx +ßx+yy)=dylö-tex+ 27)

e veränderlihen Größen abzufondern, und bie fo -

baltene Gleichung zu integriren.

Auflöſung.

Man ſetze a -Bx YyYyt und 4 x4 27 =u, ſo
; tdx = udy wird; hieraus erhalten wir aber

ctt— yufatct+y "Su—ct-tac— Bd
a

Be dx: dy = 2dt — ydu: Bdu- — u und hier⸗
| erhalten wir folgende Gleichung:
etdt — ytdu = ßudu — eudt, oder

dt (et 4 eu) = du But yt). |
Da diefe Gleichung homogen: ift, und mit dem Beyfpiele $. 4ı2
reinftimmt, fo ift die Integration fchon befannt. . .. ;
Es gibt übrigens einen Fall, in welchem die vorgelegte Gleichung
nicht homogen barftellen Täßt, wenn nämlih B2 — ye= o ill,
I dann dadurch die eingeführten neuen Veraͤnderlichen t und a ver-
vinden. Diefer Fall erfordert alfo eine befondere Auflöfung welche
suf folgende Art: erhalten, weil nt bie evorgelegte Gleichung i
em Falle auf die Zorm

ad + x + Ndssddy+n a(Bx+r7) dy
ıgen laͤßt, fo ſetzen wir —F +yy=z, um. ran dadurch
atrt

—
Nun iſt aber ay — 1fo ——
ſich offenbar die Veränderlichen abfondern laſſen, denn es wird

— ds (4n2)
——— Die Integration dieſes Ausdruckes
t auf Logarithmen, wenn nicht y- nß o' iſt, in welchem

a6z + nz?
— — — C.
Ie das Sntegrale algebraiſch wird, nämlich Kay + N +

—

da — Pd
a—PAdx

.

— 050 —

Wird nun x geſeht, alſo de 2* dt = at-=-sdt, ſo ſehen
wir aus der Ähnlichkeit dieſes Ausdruckes mit dem vorgelegten, daß

wenn. die Abſonderung für mn gelingt, dieſe auch für m — — n —4
möglich feyn müffe. Aus dem Falle, wo.m=n, folgern wir dem:

nad) swen andere, in welchen nämlich m= Fr und me—n— 4.

Da nun der Fall, wo m0, bekannt if, fo erhalten wit wenn dieſe

Formeln abwechſelnd angewendet werden + folgende Bälle:

Yan

=—4 m=—t, n=—!, m=-—!: —X —— 2,
. m——, mn=—ı, Kr ...h
welche zit ſaͤmmtlich in der Formel m — Pr 4 er enthalten fi.
3u ſatz u |
$. 437. Wenn demna⸗ entweder oo
m — —_# oder m —4i
— 1 — 2i — 1. .,:

if, fo läßt fich die Gleichung dy * y:dx = axadx durch einige
wiederholte Subſtitutionen endlich auf die Born d u + aeedv—=ecdr
bringen, für welche die Abſonderung ſowehl/ als die Integration be:
kannt in

3. u fa - 2.

. 4. Wenn naͤmlich m = — — ikt, ſo wird die Gleichung
dy 4 nis hand

| dar die Subflitutioneii x == Kr und y —— qurüdgefäßrt

= are 1)2 5
— A1
welcher Fall um einen Grad niedriger zu u raten iſt.
Zuſa MM 3.

= » fo wird die Gleichung

$. 439. Sit aber m =
dy + ydx = axedx
durch die Subftitutionen Ä

'
\

und ='ı_.: oder —t
t IJ=ıTz —

x =

— 27 —
auf den Ausdrud len
dz + z2?dt = atedt
veducirt, in welchem : nn

welcher Sal ebenfalls um einen Grad niedriger iſt.

Zuſatz 4

$. 440, In allen Faͤllen alſo, in welchen, wie wir ebeit gefun⸗
den haben, die Abfonderung möglich ift, erhält man für den Erponens
ten m negative Zahlen zwifchen den Graͤnzen g und — 4. Iſt i un»

endlich groß, fo erhält man den Fall, in welhem m—=— 2 iſt, der
ſchon für 1“ befanng ift, indem dig Gleichung dy + y:dx 8

fr ys - - homogen wird,

| Unmerfung ı,
$. 441, Die Sleihung dy + ydx = axndx nennt may
gewoͤhnlich die Riccatiſche, nach dem Grafen Ri ecati, welcher zuerſt
abſonderungsfaͤhige Faͤlle vorlegte. Ich habe ſie hier in der einfachſten
Form dargeſtellt, denn die Gleichung dy Ayrthdt Bude
laͤßt fich fogleich auf diefelbe zurädführen, -wenn man At’dı = dx
und Abt! = (u-Hı)x fept. Obgleich die beyden Subftitutionen,
deren wir und hier bedienten, äußerft einfach find, fo laſſen fich den=.
noch durch die Anwendung zufammengefegterer Qubftitutionen Feine
andere abfonderungsfähige Fälle entdecken. Es feheint deßhalb aller⸗
dings merkwürdig, daß diefe Gleichung äußerſt felten die Abfonderung
zulaife, obgleich die Anzahl der Fälle, in welchen diefes angeht, wir:
lich unendlich groß iſt. Übrigens fann diefe Unterfuchung voin Erpo- |
nenten auf den einfachften Coefficienten geführt werden, denn fegt may

m

„= x? 2, fo erhält man

mzdx Z =

— 2224x = ax’
d2 + —,- r*z@drssax’de,
mt?

= Ze FER |

FOR
| x =. — wird, und daher it
Euler's Integralrechnung · I Bd. 17.

90

— O5 u

mzdt
dz T mr + 2?dt = adt, |
welche Gleichung demnach, fo oft — = + ai, ober gleich einer
pofitiven ober negativen geraden Zafı I die Abfonderung zulaßt, ſo
daß die Gleichung
de + 4 dt adı

immer integrabel ift. Sust man außerdem sm u— - * — — , ſo
erhaͤlt man pa
m(m t

du Fade ad - — Sum’ | |

und für die abfonderungsfähigen Fälle m = ran findet man

du—- "dt=adt 4 EU

Die weitere Entwidelung diefer Außerft wichtigen Gleichung wer:
den wir in dem Folgenden lehren, wo wir von der Integration der
Differenzialgleihungen durch unendliche Reihen handeln werden ,. weil
wir dort die abfonderungsfähigen Fälle leichter auffinden, und zugleich
die Integralien werden angeben Fönnen.

» 4dnmerfung 2

$. 442. Es fcheint kaum möglich zu ſeyn, ausführlichere, auch

nur einigermaßen brauchbare Vorfchriften für die Abfonderung der Ver:
Anderlichen zu geben, woraus denn erhellt, daß diefe Methode nur bey
den wenigften Differeuzialgleichungen ihre Anwendung finde; ich werde
daher zur Erflärung eined anderen Princips übergehen, nach. welchem
die Integrationen ausgeführt werden fönnen, und welches zugleich viel
umfaffender ift, indem es ebenfalls auf Differenzialgleichungen höherer
Grade angewendet werden Fann, fo daß diefed Princip ald die wahre
und natürliche Quelle aller Integrationen angefehen werden darf.
Es gründet fich diefes Princip darauf, daß, wenn irgend eine Differen-
zialgleihung zwifchen zwey Weränderlichen gegeben ift, immer eine
folhe Zunction gefunden werden fönne, mit welcher die vorgelegte
Gleichung multiplicirt, integrabel werde. Man muß nänlich alle
Glieder der Gleichung auf diefelbe Seite bringen, damit die Gleichung

die Form
Pdx Qdy=o

. — 250 m

.

alte, und dann behaupte ich, gibt ed immer eine ſolche Function
ıxundy, z.B. V, daß nad) verrichteter Maltiplication die hormet
VPdx + VQdy. 2

Charakter der Antegrabifität. annimmt, oder m Biefe Formel als ’
} wirkliche Differenziale irgend einer Zunction zweyer veränderlichen
ößen erfcheint. Denn fest man diefe Function —=S$, fo daß
= VPdx + VQdy wird, foerhält man, weil Pdx + Qdy=o
auch dS == 0, und. daher Sı==.Cönst, „ welche Bleihung dem:
H das. Integrale, und zwar das vollftändige. Integrale der Differen-,
Igleihung Pdx + Qdy = o ſeyn wird. Es ſkömmt alfo hier
:8 darauf an, jenen Multiplicator V aufzufinden.

- . , A ‘ .nn.
„ang. ... ' 124 -
H Di. :

— 2600 a

R® a 'p i e [ H.
Bon der Integration der Gleichungen, mit Hülfe ber Wat

2 catoren· ne

“€. ’ . oe 4 .. lt’:
a 10. oa J .. ..

I,

| | Kufgabe 69. a
$. 443. 3, unterfuhen, ob eine vorgelegte Dife
ferensialgleigung für fid infegrabel te9r“ oder tRi«t.
AUF ELENE arunn
Hat man alle Theile einer Gleichung auf dieſelbe Seite des
Gleichheitszeichens gebracht, damit dieſelbe die Form Pdx + Qdy=o
erhalte, fo ift diefe Gleichung für fi) integrabel, wenn die Formel
Pdx-+OQdy wirflih dad Differenziale irgend einer Function zweyer |
Veraͤnderlichen x und y iſt. Dieß ift aber, wie wir in der Differen-
zialrechnung gezeigt haben, der Fall, wenn das Differenziale von P
in Bezug auf y (wenn y allein als veränderlich betrachtet wird) zu dy
dasfelbe Verhältniß hat, in welchem dad Differenziale von Q in Bezug
auf x zu dx fieht, oder nach der in der Differenzialrechnung angenom:

. dp d .
menen Bezeichnungsart, wenn () == (Z) ift; denn es ſey Z
jene Sunction, deren Differenziale Pdx + Qdy ift, fo ift nach der
angeführten Bezeichnungsart P = ) und Q= (7); bier:

aus folgt alfo (7 n)= (z * — 2) (— * * )- Nun
ift aber 5) = (> Fr on) und daher n) = (2 .

Iſt daher die Differenzialgleihung Pdx + Qdy — 0 vorgegeben,
fo wird man auf folgende Art erfennen, ob diefelbe integrabel fey, oder

nicht. Man ſuche durch Differenziation (7) und (72); find

diefe Werthe einander gleich, fo ift die Gleichung für ſich integrabel;
im entgegengefeßten Falle aber nicht.

Zuſatz ı. M
$. 444. Alle Differenzialgleichungen, in welchen die Veraͤnder⸗
lichen abgejondert erfcheinen, find alfo für fich integrabel, denn fie

— 261 —

haben die Form XKdx + Yäy = 0, wobey X bloß eine Function
on x, und X bloß eine Zunctiom.von.y ift; und man erhält demnach

Ds und (7) =»-

Da Zu ſ a b 2
$. 448. Wenm daher in der vorgelegten Differenzialgleihung

Pdx + Qdy=o, der Quotient () = 0, und =) = 0

ift, fo find umgekehrt in derfelben die veraͤnderlichen Groͤßen abgeſondert,
denn es wird dann P bloß eine Function von x ‚+ und Q bloß eine Function
von yfeyn. Die abgefonderten Gleichungen bilden demnach gleichfam
die erſte Gattung der für fi) integrabeln Oleichungen. |

Bufag s.
$. 446. Übrigens leuchtet die Möglichfeit von felbft ein, daß

(> ,)® (52) werde, obgleich Feiner diefer Werthe der Nulle |

glei iſt. Es gibt demnach auch Gleichungen, die für fich integrabel
fi ind, obgleich die Veränderlihen in denfelben nicht abgefondert erfcheinen.

Anmerfung.

g 447. Dieſes Kennzeichen für die Beurtheilung der Integrabi-
lität der Gleichungen ift für die Sntegrationsmethode, welche wir Ich- -
ten wollen, von größter Wichtigfeit; denn hat man eine für fich intes
grable Gleichung, fo: kann das Integrale derfelben nad) den bereitö ge⸗
lehrten Vorfchriften gefunden werden. Iſt aber die gegebene Gleichung
nicht für fi) "integrabel, fo wird e8 immer eine Größe geben, mit
welcher Diefelbe multiplicirt den Charafter der Integrabilität erhält._
Iſt daher irgend eine Gleichung gegeben, die für fich nicht integrabel
ift, fo wird es bloß darauf anfommen, einen ſchicklichen Multiplicator
zu finden, welcher diefelbe integrabel macht. Würden wir ftetd einen
folhen Sactor aufzufinden im Stande feyn, fo wäre bey diefer Inte-
grationsmerhode nicht mehr zu wünfchen übrig; allein diefe Beſtim⸗
mung gelingt höchft felten, und erftrecft ſich Faum weiter als auf jene
Gleichungen, welche wir mit Hulfe der Abfonderung der Weränders
lichen zu behandeln bereit gelehrt haben. Übrigens trage ich Feined-
wegd Bedenfen, diefer Methode einen entfchiedenen Vorzug vor der
vorigen einzuräumen, weil fie der Natur der Gleichungen mehr auges

— 002 —

meſſen ſcheint, und ſich auf Differenzialgleichungen hoͤherer Grade er⸗
ſtreckt, bey welchen die Abſonderung keine Anwendung meh ſindet.

Aufgabe 60.

G. 448. Das Integrale einer Differenziafgtet
hung zu beflimmen, vomm velder befannt ift, daß fie
integrabel ſey. | el |

Aufl 5 f un g.
n ⸗ ſey Pdx + 0d, = 0 ‚bie Differengialgleihung , in wel.
cher 9* (7) feyn fol, fo it Pdx + Qa y das Differen⸗
ziale ed einer Function zweger Veränderlihen x nid y, welde
wir durch Z bezeichnen wollen, fo daß alo dZ = Pdx + Qdy
wird. Weil wir alfo die Gleichung dZ == o haben, fo iſt das ge:
ſuchte Integrale Z=C. Es fommt alfo hier einzig und allein darauf
an, die Bunction Z zu beftimmen, was ohne Schwietigfeit geſchehen
kann, indem wir wiſſen, dag dZ—= Pdx + Qdy ſey. Denn
betrachtet man bloß x als veraͤnderlich, aber als conſtant, ,. fo if
dZ — Pdx, und wir haben demnach eine einfache Differenzialfor-
mel mit eirier einzigen Veränderlichen x, welche nad) den Vorfchriften
des vorhergehenden Abfchnittes integrirt Z—= /Pdx —+- Const, gibt,
wobey jedoch zu bemerfen ift, daß in diefer Eonftanten die als unver:
änderlich betrachtete Größe y wie immer verbunden vorfommen Pönne.
Man fchreibe alfo dafür Y fo, daß Z= /Pdx + Y werde. Hier⸗
auf betrachte man eben fo x als conftant, und bloß y als veränderlich,
fo wird, weil dZ—=Qdy iſt, auch Z=/Qdy + Const., welche
Conjtante aber die Größe x euthält, fo daß fie als Zunction von x
esicheint; bezeichnet man diefe durch X, fo wid Z=/Qdy + X.
Obgleich aber weder bier die Function X, noch oben Y beftimmt ift,
fo wird fi) dennoch der Werth einer jeden derfelben ergeben, weil
/Pdx + Y=/Qdy + X feyn muß, denn da |
JPdx — SQdy=X—Y

ift, fo wird die Größe /Pdx — /Qdy immer in zwey foldhe Theile
getrennt werden, deren einer bloß eine Function von x, und deren

anderer bloß eine Zunction von y ift, wodurch dann die e Werthe von
X und Y von felbft bekannt werden. ;

— 02(3 —
Zuſatzz ı.

% 449. WVWeilQ = (7) ift, fo bat man nicht einmal Die

boppelte Integration nöthig, denn hat man das Integrale /Pdx ge
funden, fo differentüire man Diefed in Bezug auf y, wodurch ber Aus⸗
druck Vdy erhalten werden fol, fo muß nothwendig Vdy + dY= Qdy
und daher dY = Qdy — Vdy = (Q— V) dy werden.

3ufas =

F. 450. Die Integration der für fich integrabeln Oleichungen
von der Form Pdx 4I 60 kann alfo auf folgende Weiſe aus⸗
geführt werden. Man ſuche das Integrale / Pdx, indem man y als
ınveränderlich betrachtet, und differentiire wieder das fo gefundene
Kefultat, indem man bloß y ald veränderlich anfieht, wodurdh man
den Ausdruck V dy finden fol; fo wird dann Q— V bloß eine Zunc»
tiou von y feyn. Man ſuche demnach Y=/(Q—YV)dy, fo erhält
man die Integralgleihung /Pdx + Y = Conss.

Zufag 3.
$. 451. Oder man ſuche SQdy, indem man x als conflant ber
trachtet, differentiire diefes Integrale wieder, indem man x als ver:
änderlich, y aber als conflant annimmt, und bezeichne das Refultat
durch Udx, fo wird zuverläßig P— U bloß eine Zunction von x feyn;
man fuche daher XK—= /(P— U) dx, fo erhält man die gefuchte Ins
tegralgleihung „Qdy 4· X = Const.

Zuſatz 4.

G. 452. Es erhellt aus der Natur der Sache, daß ed gleichs
gültig fen, welchen von den bezeichneten Wegen man einfchlagen will;
denn man muß nothiwendig auf diefelbe Integralgleihung fommen, fo«
bald die vorgelegte Differenzialgleichung für fich integrabel ift; dann
aber wird zuverläßig im erften Galle Q--V bloß eine Function von y,
im andern aber P— U bloß eine Sunction von x werden.

Anmerfung.

$. 453. Man Fönnte diefe Sntegrationsmethode aud) verfuchen,
bevor man noch unterfucht Hätte, ob der Gleichung der Charakter der
Integrabilität zufomme, denn, wenn es fich nach der Methode ded Zu«
fages 2 zeigen würde, dag Q — V bloß eine Zunction von y werde,

N

oder würde man auf den im Zufage 3 angegebenen Wege finden, daß
P— U blog eine Sunction von x wäre, fo würde es ſich ſchon hieraus
ſchließen laſſen, daß die Gleichung für ſich integrabel ſey. übrigens
aber iſt es beſſer, vor allen andern zu unterſuchen, vb die Gleichung
für ſich integrabel ſey oder nicht, oder ob die Bedingungögleihung

2) = (=) Statt finde, weil man zu diefer Unterfuchung bloß
zu differentüiren braucht. Wir wollen demnad) einige Benfpiele von
integrabeln Gleichungen anführen, um dadurch nicht allein diefe In-

tegrationsmethode, fondern auch die oben erwähnten vorzuglichen Ei:
henſchaften anſchaulicher zu machen. J

*
kr.

| Beyfpieln
. 454. Die Gleichung
dx + y + + IB HH HJ,
weldhe, für ſich integrabelift, zu integriren.
Weil hir Pax y und Queßı+öy-teif,
n daP /d . Ir.
To erhält man (7) — ß und (7 — ß. Aus der Gleichheit
dieſer Ausdrüde erhellt die Integrabilität von felbft.
Mair fuche alfo nad) Zuſatz 3, indem man y als conſtant vor⸗
ausſetzt:
JPdx = !ax® - ßxy + yx, |
ſo wird Vdy = ßxdy um (O—V)dy = dy(öy +2) = dY,
und daher Y = :6y? 4 ey, folglich ift das Integrale
sa - 6yx Hy 2? ey
Betrachtet man aber. nach Zufag 3, x als conftant, fo wird
‚Qdymßıy +3? + ey |
Weiche Sleihung, wenn y als conftant genommen wird, Udx==Pydx
gibt, und daher (P—-U)dx— (ax +y)dx und X=:axt-yx,
folglich erhält man das Integrale /Qdy + X=C wie * borhin.
Man fieht Hier zugleich, daß .
JPdx — /Qdy = tax! + yx — !öf — ey
fen, welcher Ausdruck ſchon in zwey SZunctionen X— Y abgeſonderi
erſcheint.

— 005 —

| Beyfp iel 2 |
$. 455. Die am und für fi integrahte Steigung
dy "xdy—ydx dx ' m) _,
J — very 4 y? var+y) +2 1 ver
zu integriten. a

pder

1 one V
Da bier —— — und == — — —, ſo erhal—⸗
hier vV(x2-+y?2) Q y — ſ ei
ten wir ald Kennzeichen der Integrabilität -- _ ..-
ap
— 2. u,
dy @ + Er @2+ 379%

welche ‚beyden Werthe wirflich: einander gleich find. . Zur Beſtimmung

1}

des Integrald wollen wir die im Zufage 2 ‚angeführte Negel aumen- \

den, fo erhalten wir

—] 2.Ly2)) un = — —
Pdx («+vV& Ly )) und Vdy Krverpjvarn’.
oder wenn man Zähler und Nenner mit v (+37) - x multiplicirt
vo Vvetm—r) x
yvaa+y). :y. yva@+y)
alſo O V=omdYT= m yo, und demnad ift das

gefuchte Zutrgrale 1[x + vV(x? -+y2)] = Const, |
Nach der Vorfchrift des Zufages 3 erhält man |

dyaly—ı | T7
NE 7 yva@®+y%’
und wenn man y= - ſetzt:
dy dz 22
a RER 2 ‚ alſo
Ver?
Say = ıy + ER Se Vet];

hieraus folgt Udx = ‚ und daher (P—U)dx=o.

dx
v@+3°)
Beyfpiel 3.
$. 456. Die integrable Gleihung .
e+r—mdy+@ tat no

zu integriren.
SaftpP=a FJaıyy- wQOg=exnr 47 — a,

\ — 200

alfo (7 -)= ax und 7) = 8X,
aus welcher Gleichheit die Integrabilität erfannt wird. Es iſt aber
" s fPdx = ax - xty + 3x: md Vdy = xtdy, daher i
Q—-Ndy=("—a)dy und Ya;y’—atryı
alſo iſt das Integrale:
ax. ty + !x? 4349 2 - Con
Nach der zweyten Methode ift |
dy 2 x — ary, und daher
Udı = axydz, alſo
P—ÜU)dx = (ae - xt)dx md X— x + er,
woraus basfelbe Integrale wie vorhin gefunden wird.

Anmerkungg.

F. 467. Bey dieſen Beyſpielen konnte man das Integrale jPdx }
"wirklich darftellen, daher das Differenziale V dy desfelben entwideln,
indem man bloß y als veränderlich anſah; wenn aber diefes Integrale
JPdx nicht aufgefunden werden kann, fo läßt fih auch das Differen-
ziale Vdy nicht beftimmen, in wiefern die Formel Pdx für fih
‚betrachtet, irgend eine Eonftante, die auch die Größe y in fich fhließt,

“ enthält. Wir wollen nun. fehen, wie man in folchen Fällen vorgehen

müſſe. Setzen wir 2z=/Pdx + Y, fo wird, weil ( ")= 2

geſucht wird, und /Pdx=Z — Y iſt, offenbar V= (Z)- -(7 7)

Nun ift aber (Z)= P, alfo ()= )=(I): indem
(7 T-) =V-+ (7) it. Es iſt demnach V /dx (2): alfo
findet man die Größe V durch Integration der Formel [dx (2):
wobey y als conftant betrachtet wird, nachdem man in dem zu beftim-
menden Werthe (Z) bloß y als veränderlich angenommen bat; weil

aber hier von neuem eine Conflante mit y verbunden erfchgint, fo Täßt

ſich hieraus die geſuchte Function Juicht beſtimmen. Der Grund die⸗

ſes Ubelſtandes liegt offenbar in der Unbeſtimmtheit der Integrale
P\ ., 33 ur

/Pdx ud fdx (5): indem ein jedes derſelben willkuͤrliche Func⸗

S

ie" EEG en _L A en. 2... 2

— 207 mm

tionen von y enthält. Es wird demfelben alſo abgeholfen werden,
men wir beyde Integralien unter gewiſſen Bedingungen beftimmen.
Degen wir demnad ‚ daß das Integrale /Pdx fo genommen werde,
Daß es für x=f verfchwinde, wobey wir der Eonftanten f einen de⸗
liedigen Üerth beylegen koͤnnen; dann beſtimme man das andere In⸗

tegrale Jix (Z) unter derſelben Bedingung. Iſt dieß gefchehen,

fo erſcheint Q— ydx (5) bloß als eine Bımetion von y, und der
Gleichung Pdx + Qdy = o eſpric als Integrale

/Pdx+yiy [Q — füx )] = Const,,
fobald beyde Sintegralien yPdx und /dx (2): bey welchen y als

unveränderlich angefehen wird, fo beſtimmt werden, daß fie für den-

ſelben Werth £ von x verfchwinden. Hieraus abftrahiren wir nım fol: ,
gende Regel für die Integration der Gleihung

| Pdx + Qdy =o, bey welcher () = (2 9 if!

\. 458. Man beftimme die Sintegralien /Pdx und /dx (F):

indem many als conftant betrachtet, fo daß beyde verfhwinden, wenn
man der Größe x irgend einen bejlimmten Werth, z. B. x=f bey

legt, dann erfcheint Q — Ydx (7) bloß als eine Function. von y,

die wir gleich Y fegen wollen, und das gefuchte Integrale iſt
/Pdx + /Ydy = Const,, “
oder was .dasfelbe ift, man beftimme die Integralien /Qdy und

Sdy (7): x als conftant betrachtet, fo daß beyde verfchiwinden,

fo bald man der Weränderlihen y einen beflimmten Werth, z. 8%.
y=g beylegt, dann ergibt ſich P— Sdy (2) bloß als Function
von x, und wird diefe gleich) X geſetzt, fo ift das gefuchte Integrale
SQdy + /Xdx = Const.

' Beweis.

Die Richtigkeit diefer Regel Teuchtet aus dem Vorhergehenden ein,
wenn auch etwa jemand glauben folte, wir hätten aufs Gerathewohl

®

me: 208 mm

ben beftinamten Werch von x, z. B. pe xs=f f verfchwinben. Difä |
Beweis füge ih nur bey, damit niemand die Meinung faflen möggr
daf die zweyte Integration eben fo gut unter einer andern Bedingung
Geftimmt werden Fönnte. Die erfte Integration ſteht zwar ganz in um
ferer Willkür, weßhalb wir auch annehmen, daß fie fo beftimmat IDELdE, bi
daß dad Integrale SPdx für x=f verfchtwindet, dann aber behaupte '

ih, muß dad andere Integrale [dx () notbiwendiger Weiſe unter '

derfelben Bedingung hefimmt werden ; denn ed ſey ‚„Pdxu=Z, fol,
it Z eine Function von x und y, welde für x==f verſchwindet, ſie

enthaͤlt daher den Bäctor £—x oder irgend eine pofitive Potenz (f—x)
desfelben, ſo daß z= ET wird. Weil num jäx () ben
na fdZ ra fdP\ _ ei ad

Werth von ( 1) ausdrüdt, fo it sax( 5) = (f—x) 3
woraus erhellt, daß auch diefes Integrale für x—f verfchwinde, fo

daß alfo die Beftimmung diefes Integrals nicht mehr. unferer Willkuͤr
„überlaffen wird. Dieß vorausgefegt, ift /Pdx 4 /Ydy== Const,

wobey Y=Q—/fdx G ] 5,) ift, das Integrale der für fich integra⸗

bein Gleichung Pdx + Qdy=o. Denn wird /Pdx=Z gefept, |
in wiefern nämlich bey diefer Integration y als conftant behandelt
wird, fo erhält man die Gleihung Z + /Ydy = Const. Daß
diefes das gefuchte Integrale fey, erhellt aud) ſchon aus der Differen⸗ |
ziation, denn da |

a2 = Päx + dy (32) = Päx + dyyax (G5)'
fo ift das Differenziale der gefundenen Gleichung
Pdx + dyydx (5) + Ydy=o. |
Allein et Y= Q — fix (2): und hieraus folgt Ä
Pdx + Qdy = 0, welches die vorgelegte Differenzialgleichung
|

nn Er GE 2

ſelbſt iſt; daß aber Q — Jax (7) bIoß eine Function von y fey,
‚ Jolgt daraus, weil die Differenzialgleihung für ſich integrabel ift.

. — 250 —

-

‚ und dann behaupte ich, gibt ed immer eine foldhe Function
md y, 5%. V, daß nach verrichteter Multiplication die Formel

on VPdx Fr VQdy. mi. a!
arafter der Integrabilität, annimmt, oder daß diefe Formel als
kliche Differenziale irgend einer Function zweyer veränderlichen
merſcheint. Denn ſetzt man dieſe Function — 8, fo daß
VPdx + YQdy wied, ſo erhaͤlt man, weil Pdx + Qdy =o
ch As S o, und. daher Sı=.Cönst. „: welche Gleichung dem⸗
18 Integrale, und zwar das vollfländige. Integrale der Differen⸗
hung Pdx + Qdy = 0 feyu wird. Es jfömmt alfo hier
arauf an, jenen Multiplicator V aufzufinden.

. h. N Er a u
1 PER W ven 7 %

— DJ) —

R a y i t e J H.
Bor der Integration der Gleichungen, mit Säle der Bu

catoren·

Pu

"oo ı

en u ufg. a. 1 e —
4. 443. Bl unterfudhen, ob eine vorgelegte Dife ”

erenzialgteigung für fid integrabel fen“ oder niqt.

J Aufiöfnng .. . nn

Hat man alle Theile einer Gleichung auf diefelbe Seite r 5

Gleichheitszeichens gebracht, damit diefelbe die Korm Pdx 4 Qdy=o'
erhalte, fo ift diefe Gleichung für fich integrabel, wenn die Formel

Pdx-+ Qdy wirflid dad Differenziale irgend einer Function zweyer
Reränderlichen x und y iſt. Dieß iſt aber, wie wir in der Differen-
zialrechnung gezeigt haben, der Sall, wenn das Differenziale von P

in Bezug auf y (wenn y allein ald veränderlich betrachtee wird) zu dy

dasfelbe Werhältniß Hat, in welchem dad Differenziale von Q in Bezug
auf x zu dx ſteht, oder nach der in der Differenzialrechnung angenem-

dp
menen Bezeichnungsart, wenn () = (7) ift; denn es ſey |
jene Function, deren Differenziale Pdx + Qdy ift, fo ift nach der |'
angeführten Bezeichnungsart P = =) nd Q= (2); bier: |

ua (13) = (1) uw (12) = (Ge) a |
ift aber (u 5) = on - -) und daher 1) = (T) N

Iſt daher die Diferengiafgleihunn Pdx + Qdy = 0 vorgegeben, T
fo wird man auf folgende Art erfennen, ob diefelbe integrabel fey, ode T

nicht. Man ſuche durch Differenziation (7) und 2): find —1
dieſe Werthe einander gleich, fo iſt die Gleichung für ſich integrabe; J

im entgegengeſetzten Falle aber nicht.

Zuſatz 1.
F. 444. Alle Differenzialgleichungen, in welchen die Veraͤnder⸗

lichen abgefondert erfcheinen, find alfo für fi) integrabel, denn fie-

— ei — — —— -_-

— 271 em

Aufgabe bı. an

$. 463. Wenn ein Multiplicator. L gegeben if,
welcher die Gleihung. Pdx+ Qidy=o integrabel
madt, unzählige andere Multiplicatoren aufzufin—⸗
den, die denſelben Z3wedck erfüllen. 2

Auflöfung

Weil L(Pdx - Qdy) das wirkliche Differenjiale irgend einer".
Function Z ift, fo fuche man nach den obigen Vorſchriften dieſe gunre
tion Z fo, daß L(Pdx + Qdy) = = dZ werde... "Yun iſt Mar; daß
dieſe Formel dZ auch dann noch die Integration zulaſfer werde; wenu
wir fie durch irgend eine Function Z , die wir durch 5 (2) bezeichnen wolb
len, multiplieiren. Da alfo auch die gormel.(Pdx -FOQdy) Kr ta)
integrabel iſt, ſo wisd auch LY(z).ein folder Factor feyn, durch wel⸗
chen die Gleichung Pdx + Qdy=o integrabel gemacht wird. | "Sf
daher ein Multipficator L ‘gefunden, fo fuche man durch Integration’
Z=/L(Pdx-+-0Qdy), fo gibt'dann der Ausdruck Loy (z) unendlich
viele ‘andere integrivende Fackoren, indem Matt +@ jede beliebige

Bumnction bon. z gelegt werben kann. Mer Eee 3

‘ 12 .. ..: Ss

Anmerkung PR

§. 464. Obgleich ed hinreichend ift, für jede Diferenziafgleichung
einen ‚einzigen Multiplicator zu kennen, fo gibt. es doch Fälle, in wel:
hen es fehr nützlich ift, mehrere, ja felbit unendlich viele Factoren zu
wiffen. Wenn z. B. die vorgelegte Gleichung ſich bequem in zwey
Theile von der Form

J (Pdx+ Qay) + (Rdx+Say)ao..
abfondern läßt, und es find alle Multiplicatoren befannt , durch. welche
jeder der beyden Theile, Pdx + Qdy und Rx-- Sdy, für ſich

integrabel gemacht werden kann, fo läßt ſich dann bisweilen ein ge⸗

meinfchaftlicher Multiplicator erfchließen, welcher beyde Theile zugleich,
integrabel macht. Denn es fey LY(z) der allgemeine Ausdrud für alle, .
Multiplicatoren der Sormel Pdx--Qdy, und. Mp(V) der allgemeine
Ausdrud für alle Multiplicatoren der Sormel Rdx +4 Sdy, fo
wird, weil 9 (Z) und P(V) was immer für Zunctionen von Z und V bes
zeichnen, wenn man dieſelben ſo waͤhlen kann, daß

L (7) = Me (V)

\

— 222 —

wird, ein zweckmaͤßiger Multiplicator für die Gleichung

| Pax + QdäyFRic+ Sdy—=o
gefunden. Es verfteht ſich jedoch’ von felbft, daß dieſes nur, in jenen
Faͤllen möglich ſey, in welchen ‚der Multiplicator für die ganze Glei⸗
chung, auch zugleich die einzelnen Theile derſelben fuͤr ſi ich genommen,
integrabel macht. Man hüte fi alfo, von diefer Methode zu viel zu
erwarten, und im Falle diefelbe nicht zum Ziele führt, die Gleichung
für unaufloöͤslich zu halten; denn es kann ſi ch auch ereignen, daß der

berfelben die gewünſchte Eigenſchaft nicht verleiht. Iſt z. B. die Glei⸗

LE u Ben

chung Pdx-+ 04 y=0 angegeben , fo ift der Malsiplieait wel:

cher den Theil Pdx abgefondert integrabei macht, offenbar & P =T} wobey
x jigend eine Sunction von x bezeichnet, und der den aridern Theil |

ga T integrirende Burn iſt HB Obgleich es aber ſchlechterdings

1X8Xe |
uymöglich ift, daß = = - oder < *3 werde, ausgenommen in

Faͤllen, die fuͤr ſich klar ſind, ſo gibt es dennoch zuverlaͤßig immer

einen Multiplicator, welcher den ganzen Ausdruck Pdx + Qdy in
tegrabel mad. |
Beyſpiel a. |
F. 465, Alle Factoren zu beftimmen, Durch welde
bie Formel aydx + Bxdy integrabel gemadt wird.

Der erfte Multiplicator * biethet ſich von ſelbſt dar, denn er
gibt edr + I, deffen Integrale alx + Bly = 1x“yP iſt. Es

gibt beanoch jede Function 9 (x? y®) hievon, mit * multiplicirt, einen

brauchbaren Multiplicator, deſſen allgemeine Form demnach 2 )

ift; denn eine Function der Größe x ap ift auch eine Bunction des
Logarithmus eben diefer Größe; denn wenn P eine Bunction von'p iſt,
and x eine Bunetion von P, fo ift = eine Zunction von p und

| umgekehrt,
Zuſa tz.

$. 466. Nimmt man. für die Function irgend -eine Potenz
yna y’B, fo wird die Formel aydx + Bxdy integrabel, ivenn man

1 973 u

fie mit ty np—ı mulfiplice‘, in welchem Bate das Jutegrale

ſich von fen Darbietfet es iſt namlich m

| Berfpiet 2. ar Bee Bu.
F. 467. Man ſuche für die Sormel Xydx + dy alte
integrirende Bactoren. | “ .

i & biethet ſich; von ſelbn als erſter Muitiplieator dar, und da

— 4 =) — Kir + 1y oder le/Xdıy iſt, ſo geben alle

Functionen dieſer Groͤße, oder alle Functionen des Ausdruckes e/Xdıy —
durch y dividirt, integrirende Factoren. Es iſt demnach der allgemeine

Ausdruck für alle dieſe Multiplicatoren =? (e/Xdry)

Bufag
$. 468. Fuͤr die Sormel Xydx + dy ift auch efXdr, , welche⸗
bloß eine Function von x ift, ein integrirender Factor. Da alfo durch
jenen Zaetor auch die Formel Zdx, wo X irgend eine Function von
x bezeichnet, integrabel gemacht wird, fo wird jener Multiplicator auch
dem Ausbrude dy--Xydx-+ &dx Genüge leiſten.

Wu fs a be 6a.
$ 469. Es fey die Gleichung dy-+-Xydx Xdy,
in welher X und & wad immer für Sunctionen von x
bezeichnen, gegeben; man fuhe einen ſchicklichen Mul—
tiplicator und integrire. dieſelbe. D |

Aufl ö T Won g.

Da das zweyte Glied dx durch was immer für.. eine Function
von x muitiplicirt, integrabel wird, fo unterſuche man, ob auch für
das erſte Glied dy + Xydx ein foldyer integrirender Factor eriftire.
Da e/Xdz ein folcher Factor ift, fo-erhält man mittelft demfelben die
geſuchte Integralgleichng

e/:dıy = yerfargdr, oder
ya —R —————
wie wir ſchon oben gefunden haben. Br .
Euter’s Integralrechnung. I. Vd⸗ | 18 .

me 2U —

Zuſas
$. 49% Es if far, daß wenn hate y irgend eine e Function von
y vorhanden wäre, wenn man alfo die Gleichung dY + YXdx— Xdı
hätte, dieſe durch den Factor .e/Xd= integrabel gemacht werde, und

v
yıls.

daB das Integrale derſelben e/%dı Y.a Jelt xdz Xdx gefunden |

werde. a ..
aufas 2.: >

$. 472. Da die Gleihung dy + y%dx =: yXdx durch y.

d xd
Diiint, übergeht in z + -

1
— * Kr ſo wi, wenn Fi
dY

gefept wird, wegen — -dy = = ir, oder = = — ‚ offen:

bar — — + ir = _ zn, oder

IY—- ad-)WXı- — an Xdx,
welche Gleichung durch den Multipljcator e-("— 1) /Xdx integrabel
wird ‚ und das Integrale derfelben wird ſeyn: Ä J
e-@—-n/XdıY = — (@a-ı) Se-@— N) SXdı Kdx, ‚oder
1

— = — (n—ı) e@—ı)/Xdx Sera Ki Kdx.

gott

Anmerfung a
9. 472. Da für das Glied dy + yXdx der aligemeine Zactor

„9 (e/%dxy) ift, fo wird, wenn ſtatt der Zunction eine Potenz ge:

Horimen wird, der Ausdruck —R =—ı ein integrirender Bactor,
welcher das Integrale — — em [Kir ya. gibt. Man muß alſo den

Zweck zu erreichen ſuchen ‚daß derfelbe Factor auch dad andere Glied
y» Xdx integrabel mache, und dieß wird der Sal feyn, wenn man
m— ı=—n oder m=ı—n nimmt, wodurd) da8 Integrale die:
ſes Gliedes dx wird, | und dann ift die geſachte Inte⸗
gralgleichung folgenbe:

— eu /Kdeylıa) ss zin,.
v yo
welche mit der fo eben gefundenen ganz übereinftimme,“

Au f 9.a.b e 63.
5 473. Für die gegebene Differenzialgleihung

— ——— — — — — —

— 275 m

aydz + Bxdy = sy (yydxı + sxäy).
einen integrirenden Sactor zu finden, und das Inte

grale ſelbſ anzugeben.

Auflöfung
Man betrachte jedes Glied für fih, fo wiffen wir bereits, daß
fuͤr das erſte Glied aydx + Bxdy, alle integrirende Factoren in
der Form 5? (x° ”) entpalten feyen; für das andere Glied der

Gleichun
ß “r Graxtöxay

durch welche man

i d
ift der erfle Factor = I

hält, wovon das Integrale 1x7 y iſt. Es iſt dehen die allgemeine
Form fuͤr die Multiplicatoren jedes Gliedes ram — Da⸗
mit nun dieſe beyden Multiplicatoren gleich werden, nehme man ſtatt
der Functionen, Potenzen, und ſetze
xba⸗- — — _ Pyanı, v—n—ı
Man muß alfo za = vy — m und rB=v5 —n feen;
hieraus folgt:

__ yn— m __an— m
PET By’ und mn,"
Es ijt alfo der Multiplicator or

zpa—ı ypR—ı — —-1 yra-a-ı,
wodurch unſere Gleichung folgende Form annimmts |
zB RT! (aydx-j-Bxdy) = rt O1 („ydx Haray,
worin jedes Glied für fich integrabel iſt, and denmach iſt das gefuchte
Integrale |
— xP@y M = - - 27 Por Const.,

weiches Refultat mit dem im orgen Kyle gefundenen. übereinfimmt, M

8 u {a 8 1. .. |
$ ink "Da alſo Kürze, Halber en
yn—om n'— Bm
ut er Te re

| 276
gefegt wurde, ſo entipricht der Differenzialgleichung
se erde Hardy = ep lyydeHdrdy)
folgendes vollftändige Integrale:

, 2 zpa yP — - y „ -- Const.
p

Zuſatz =

.. ſ. 476. Kür den Fall, daß a==o oder ‚nem iſt, wird
das Integrale auf kogerithmen zuruͤckgeführt, und wird

IxtyP = 7 yr? + Const.;
wird aber y=o oder an= Bm; ſo wird das Integrale

Pa yrß = 1x7y° + Const.
pP

Anmerfung

9. 476. Hier fchejnen die Fälle ausgenommen werden zu müflen,
in welden ad —= 67 wird, weil Be die beyden Werthe von a und v

unendlich werden. Wenn aber 5 = Pr} 7) fo erhält uniere Gleichung
die Form u

aydz + Pxdy= : zayr (aydx + Bxäy), oder

(«ydx + Bxdy) ( — Ir) = o.

Da dieſe Gleichung zwey Factoren enthaͤlt, ſo laͤßt ſelbe eine dop⸗
pelte Auflöfung zu, die man erhaͤlt, ſobald jeder derſelben für ſich

gleich Null gefegk wird. Die erfte Auflöfung ergibt fi nämlich aus
der Sleihung aydx +Bxdy==o, deren Integrale x‘ 2m Const.
iſt; der andere Factor aber gibt für ſich die endliche Gleichung ..

1 Ip = 0.

Jede diefer beyden Aufloͤſungen Teiftet Genüge ; überhaupt hat man ſich
bey allen Differenzialgleichungen, welche. fid) in Sactoren auflöfen laſ⸗
fen, wo daher eben fo wie bey den endlichen Gleichungen die einzelnen
Factoren Auflöfungen geben, auf diefelbe Art zu benehmen. Gewöhns
lid) aber ſchafft man die endlichen Factoren vor der Integration noch
durch Divifion weg, befonderd wenn diefelben nicht durch die Natur

>
un ren ee A

)

— 077 —

der Sache, ſondern durch die angewandten: Operationen erft- in die
Rechnung verwebt worden find, weil fie eben fo, wie es in der Al-
gebra öftere der Gall ift, auf unnüge Auflöfungen füpren ı würden.

Uufga ve 64.
$. 477- Für eine gegebene homogene Differehzial-
gleihung einen integrirenden Factor zu finden, und.
mittelfi desſelben dad Integrale der Oreihung ſelbſt
zu finden.
Auflſun 9.
Es ſey Pdx + Qdy=o bie gegebene Gleichung, in welchen
P und Q homogene Zunctionen des nt Grades von x und y fen
folen. Wir fuchen alfo den Multiplicator L, welcher ebenfallö eine
homogene Bunction vom Grade ° feyn fol. Wenn: fchon die Formel

L(Pdx-H-Qdy) integrabel ift, fo ift da8 Integrale eine Function zwi⸗

[hen x und y, vom Grade A--n-+ ı, weldye Function wir durch

Z bezeichnen wollen. Wir finden den homogenen Bunctionen gemäß
| LPx + LQy=Q@A4n+ı)Z;

ſetzt man nun A—= —n — ı, ſo wird LPx—+ LQy entweder ver«

ſchwinden oder eine befländige Größe werden, und wir erhalten hier

aus L = F m Pr+9y’ welches demnach der für unſere Gleichung ge⸗

ſuchte Multiplicator iſt. Zu demſelben Reſultate gelangt man auch
durch Abfonderung der Veraͤnderlichen; denn ſetzt mar ux/, ſo
wid P=rU md Q=x"V, wo U und v bloß Functionen von
u ſind, und bady=udı- xdu ift, fo erhält man '
Pdx + Qdy= x Udx + xVudx + xVxdu, odet
Pdx - Qdy=x(U4-Vu)dr xt Vdu.
Diefe Zörmel 'wird dur) x#t3 (U + Vu) dividiet, integrabel, und
daher wird auch unfere Sormel Pdx-+ Qdy integrabel, wenn man
felbe durch x"t:(U-- Vu) = Px Ei Qy dividirg, nachdem man

i= = un V= * und —E Z T ‚gefegt hat, oder der integri⸗
rende * Daeior iſt |

IERTE = o,

— , und daher if die Wragun & Fr + F |

.B x F ẽ
immer für ſich miegrabel

—

um 2785 en
\ Um nun das Sntegrale zu finden, integrire man bie Kormel
f rl indem man y ald conflant betrachtet, und beflimme def»
fen Werth unter ber Voransſehung/ daß er für xverſchwinde.
——5— — 07 = R, ſuche den Werth von
(7 -) und beflimme auf diefelbe Art dad Integrale /dx (3 37) , in
dem man y wieder als a anſieht. Es wird dann | '

Px+0Qy + Qy — fäx (7 )
bloß eine Function von y ſeyn, oder

oO daR
Pr +0y — JS dx (7 u Y,
und hieraus ergibt ſich das geſuchte Integrale

SE HSYdy = Comet, .
| 3ufaß ı.

"Dann fegt man Kürze halber — —

— un ein. nn a. m

— EU PERF,

$. 478. Weil alfo die Formel —— — für ſich integrabel

Pr
iſt, fo wird, wenn 1 Rine wegen +07
“ 09: _
| Fam und Fr, = — 8

⸗ daR Moe:
deieht wird, nothwendig (7) — (2) . Es ift aber -

Iv -r@)rdl:ert er

ud

2) = [r+ (42) - = Ir]: (Px + Qy)%

uud daher erhält man
Son. faP
NG )=rı(2)- Qx 2
3uſatz =
$. 479. Diefe Gleichheit ergibt ſich auch ſchon aus der Natur

der homogenen Functionen; denn da P und b: Sunctionen wiſchen

x und y vom ten Grade find, und

4

— 279 —

dP — dx )+tr (2 und dQ — “tr
ift, fo wird
np = x (5 +Yy 1) und 20=:(7 n)+ (2

Wir haben aber die Gleichung

REHHAII-FEHYEHEH

gefunden, und diefe.geht demnach über in die idemtifhe
ıpQ= Er
Zuſatz 3. W
F. 480. Wenn die homogene Gleichung Pdx 4 08; y=o für
fi) integrabel wäre, und es find P und Q Zunctionen vom Grade

— 1, fo iit Px-+-Qy eine conflante Größe, fo ;. B. iſt — = 0
eine foldye homogene Gleichung, und, fhreibt man x und y an die

Stelle von dx und dy, fo erhält man — =ı

Unmerfung. BE

$. 481. Wir haben in der Differenzialrechnung gezeigt, daß wenn
V eine homogene Zunction von x und y des nten Grades ift, und man
fegt aV = Pdx + Qdy, notbwendig Px- Qy=nV ſey. If
demnach Pdx +.Qdy ein integrabler Ausdruck, :und es: bezeichnen
P und Q homogene Zunctionen von n — ı Dimenfionen, fo wird dad -

Integrale auf der Stelle erhalten, denn es iſt V =-(Px 4 Qy),

wo weiter Feine Integration nöthig ift. Übrigens fehen wir, doch, daß
der Fall, in welhem n==o if, ausgenommen werden muß, wie dieß
bey unferer- Gleichung der Fall ift, wenn fie durch einen Multiplicator

Pdx-Qdy __
wo alfe dx und dy durch Sunctionen vom Grade — ı multiplicirt
werden, wo dad Integrale nicht ohne Integration erhalten werden
ann. Der Grund diefer Ausnahme liegt darin, daß daß Integrale
der integrabeln Sormel Pdx +: Q4y ‚ wo P amd Q homogene Zunc-
tionen des (n — ı)!en Grades find, nur dann eine homogene Function
des nen Grades wird, fo bald'n nicht == 0 wild; denn nur in die:

integrabel gemacht wird; denn dann gebt fie über in =0,

— 280 —

ſem einzigen Falle iſt es moͤglich, daß das Integrale nicht eine Fune

tion vom oten Grade wird, wie dieß der Fall iſt bey der Differenzial⸗

Formel I, deren Integrale ‚1@ + y2) ift. Wir haben

/
d
aus diefem Grunde die Integrabilität der Formel en auf

dieſem beſonderen Wege erwieſen, der ſich aus dem Grunde der Ab⸗
ſonderungsfaͤhigkeit ergibt übrigens iſt dieß doch, ohne Rückſicht auf

u

Die Quelle, woher wir es wiſſen, für unſere gegenwaͤrtigen Unterfuchuns .

gen höchſt merfwirdig ‚daß alle homogenen Differengialgleichungen v von ‘

der Form Pdx + Qdy=o, durch den Multiplieatoeer — pr —* Q 7

tegrabel gemacht werden. Es handelt ſich demnach um eine Methode,
mit Hülfe deren dieſer Multiplicator a priori gefunden werden koͤnnte,
wodurch die Analyfid am Umfange allerdings gewinnen würde. So
lange wir aber nicht fo weit vordringen koͤnnen, fo wird ed doch hoͤchſt
wichtig feyn, ſolche Multiplieatoren, für die übrigen Fälle zu kennen.
Kür zwey Gattungen von Gleichungen haben wir dad Verlangte be:
reitö geleiftet, für die übrigen Gleichungen, welche wir. oben zu inte:
griren lehrten, werden wir Multiplicatoren auffuchen ; die Reduetion
aber auf die Abfonderung wird uns zur Beflimmung diefer Multipli:
eatoren verhelfen, wie wir bey der folgenden Aufgabe zeigen werden.

Yufgabe 65.
g. 482. Wenn eine Differenzialgleihung gegeben
st, weldhe die Abfonderung der Veränderlihen zw
läßt, einen Multiplicator zu finden, durch welchen
dieſelbe integrabel wird,
Aufls fu n g.

Es ſey Pix + Q dy= o, welche Gleichung duch irgend eine
Subſtitution, indem man ſtatt x und y zwey andere Veraͤnderliche,
t und u einführt, dee Abſonderung fähig wird. Nehmen wir demnach
an, ed werden durch diefe Subflitutionen Pdx-+-Qdy=Rdt -} Sdu,
und daß dann diefe Formel Rdt--Sdu, durch V dividirt, abgelon:

Dert werde, fo daß in dem Ausdrude Adt -+-Sdu die Größe 5
bloß eine Bunction von t, und. 5 bloß eine Funetion von “ werde,

Do alfo die hermet —— für ſich integrabel iſt, 2 wirb- auc

4

m. -

— 281 —

der Ausdrud —— integrabel ‚, denn dieſer Ausdruck iſt jenem
gleich, ſobald in V die Veraͤnderlichen x und y wieder geſetzt werden.
Durch die Zurädführung der Gleihung PAx Qdy = o auf die
Abfonderung Ternen wir alfo, daß der Multiplicator, durch welchen
jene Gleichung integrabel gemacht wird, 7 fey, und fo können wir

auch für jene Gleichungen, welche die Abfonderung der Reränderlichen
sulaffen, den integrivenden Factor angeben.

Zufaß ı

9. 483. Die Methode, die Differenzialgleichungen durch Multis

plicatoren zu integriren, ift daher eben fo umfaſſend, ald die erſtere

Methode, nad) welcher man denfelben Zwed durch Abfonderung der
Veränderlichen erreicht‘, und zwar aus dem Grunde, weil die Abſon⸗

derung für jede Gleichung, bey welcher fie Statt findet, den Multi

plicator felbit darbiethet.

Zuſatz 2
S. 484. Dagegen iſt die Methode, durch Multiplicatoren KB
integriven, allgemeiner als die andere, wenn man Multiplicatoren
für folche Gleichungen angeben kann, bey welchen wir feinen Kunſtgriff
kennen, durch welchen in denfelben die Veränderlichen abgefondert were
den Fönnen. . .

%

inmerfung N
$. 485. Obgleich wir aber durch die Abfonderung den zweck⸗
mäßigen Multiplicator finden fönnen, fo biethet und dennoch Die.
Kenntniß des Multiplicators feine Mittel dar, die Abfonderung zu be⸗
werkſtelligen; aus welchem Grunde die Methode, durch Factoren wu >
integriren ; ebenfalls bey weitem den Vorzug vor der erfieen Methode
zu verdienen ſcheint. Denn bat un& bisher gleichwoht die Abfonderung
der Veränderlichen auf die Beftimmung der Maltiplicatoren geleitet,
fo gibt es dennoch ohne Zweifel einen Weg, die Multiplicatoren aus: .
findig zu machen, ohne die Abfonderung zu / berückſi chtigen, obgleich
dieſer Weg uns noch unbekannt iſt. Wir werden aber unſerem Ziele
allmaͤhlich näher rücken, wenn wir für recht viele Gleichungen zweck⸗
mäßige. Multiplicatoren fennen werden. Wir wollen daher in den fol»
genden Beyſpielen jene Faaoren noch) auffuchen, welche mit Hulfe der
Abfondernng gefunden werden fönnen,

zen 282 mm

Raupe Beyfpiel.

466. Die Bitferensiatgteigung des erfien
Grades
. ds(ax+ßy+Y) +dyoater +d)=o
ſey gegeben, man beſtimme für dieſelbe einen taug:
gen Multiplicator. |

Diefe Sleihung wird zur Abfonderung vorbereitet, wenn man
ax+ßytr=r m ss ty +2=e
fest, alfo |
adx +ßdy=dr und ödx zteiy=ds,
Hieraus folgt 2

j ads — Jar
TE u Anker Teer m

unfere Gleichung geht daher, wenn wir den Nenner, als eine conftante
Größe, weglaffen, über in
erdr — ßrds — asds — dedr = o,

welche Oleichung homogen ift, und durch er? — (+ ö$)sr + as:
Dividirt, integrabel wird. Dasfelbe Nefultat erhalten wir auch durch
Abfonderung, denn wird r— su gefegt, fo findet man
estudu-+ esuds— Bsuds + asds — ös?du — Ssudı— = 0,
oder |

s:du (eu — 5) + sds (eu — Bu— 614646) = 03
bividirt man dieſe Gleichung durch ? (eu? — Bu— 5u-La), fo wer
den die Veränderlichen abgefondert. Es iſt daher der Multiplicator
‚unferee vorgelegten Gleichung

% 1 1
— ig m 1 Bre—drstas? rr— Bs) +s (as— ör)

oder wenn man die obigen Werthe wieder ſubſtituirt:

—* * +Y) las - )x— Fr (x -Fey T &) ah) y 7 zn
ud nach verrichteter Maifiien |

\ TEZaNEFCHOTF FE ER OSDRE Th,
KHrfley- E- Ha — yR]lx + [ac — 9) ye— Brtjy.

en 905 Em

Die Gleichung er E
dx (an Hy tN tArldctiy td.
(4. - P8) [Jau⸗ +(P +9) — hätten
wobey . A = aye — (ß—Öd) ad — yöt,
B= ae2 + (B—5) ye — Br2,
C 42 — (BR —5) y2 * 7e,
iſt demnach für ſich integrabel.

3uſas.

5. 487 Sollte etwa ne — B gleih Null werden, fo wird da-
durch diefer Multiplicator nicht geftört, da doch die Abfonderung we⸗
nigftens durch diefe Operation nicht gelingt, denn ed fey «a == ma,
ß=mb, ö6=na, e — ab, damit- man folgende Gleichung
erhält: |

dx[m@x +by) +3] +dyaaz+bIy) 2er,
will -— A=a(na—mb) (me—ny),
N B=b(na— mb) (m2—ny) md
C= (m2—ny) (a2 — by). .

Laͤßt man nun den gemeinfchaftlichen Factor weg, fo iſt der

Multiplicator |

ı
(na — mb)(ax + by) + at — by’ an
fo daß alfo die Gleichung u a
(ax +by) (mdx +ndy) Hydxz +Ldy "
(aa — mb) (ax +by) at — by
für fich integrabel wird.
| Beyſpiel 2.
F. 488. Für die Differenzialgleichung
ydx(e+-nx) -dyy—afbxtor)=o
einen ſchikklichen Multiplicaror zu finden. |
y(ce- nz) u(a-+-bx-Hnı?)
Dan fee Zohan Tr ET oa!
damit unfere Gleichung die einfachere Form erhalte:
ydx(c 4 nx) — ydyl hun) _ 0, oder

u

— 284 mm

denn man muß ſich hier wohl in Acht nehmen, feinen Bacto: auszu⸗
laſſen. Durch dieſe Subſtitution findet man
d adx du, dx(b-+tanı du—ndx dxfe-nx— u)
— a a a 0
_ dAu(e + nx) ‚dima+cd— be+(b—ac)u+u2)
— u(cce+-nx—u) u (e Fax —u)(a+bi+n7) "
—Unſere Gleichung nimmt daher folgende Form an:
y?(c+nx)2 du ds(na + @—bo+(b—ıcd)u+ w)

u(cH-nı—u) u (a + bx -+ nz?) (c nz) —)m o,
welche durch Wlaplieation mit dem Factor
u(c+nx— u).

J?(e-Fax)? (na + — + 6-9. r")
abgefondert wird, denn man erhält dam
du . ’ dx oo
— — @a+bıtonr) (cnx)
Damit wir nun den gefuchten Multiplicator erhalten, darf man
nur in den lebten Ausdrud für u feinen Wert jegen ‚ und man findet
dann für j jenen Factor

= 0.

a-+-bx + nx?
gerdt 3
+(aa+e2—be) (a +bx+nz)?y,
welches fich auf folgende Form reducirt:
1

ny* 4(ana — h c) — Fins-fe:—be)(afbstn)y"
Beyfpiel 3

$. 489. Für die Differengialgleihung

ndx(ı +3y2)V(1+y?2)
ya Hr a„dy=o

einen integrirenden Factor in finden
Wir fegten oben ($. 435) y=-

wird x— y 12

7 —
u +22) (ı+u2)
md ı Fr? = J— daher
nimmt unſere Gleichung folgende Form an: |
u ndx(ı. +x2) (i ++u2)% 4 udx (1+x2) (1 —E— ——
— (1. + xu) (+ zn)

— 285 Emm

Multiplicirt man dieſe Gleichung mit (1x v)⸗ und dividirt fe
dann durch (1x2)2 (1 -+-u2) ſu nV(i T uꝛ)], fo wird —*
abgefondert, der integrirende Factor unſerer Gleichung iſt demnach

| (ii +xu)

a“ Fe%(+uw) (atava 75
3 + xu

wiqer ne ee we
G+y) G +ru% z
em J— iſ

va +39) (1.439
Da nun um Fer Fin, ſo wird vertæ —E — Lay
7 und ı 1x zum nr — und * iſt unſer Multiplicator

143 — ra TG FG +).
fo daß die Gleichung

‚ad (ı +2) Vlı +9) (—Ydyva-hz2)
— V———
für ſich integrabel wird, bey deren Integration wir aber nicht derwel⸗
len wollen, weil wir das Integrale ſchon oben angegeben haben. |
Be y fpi el. a
$. 490. Ein anderes mertwürbiges Beyipiel bier

thet folgende Gleichung dar:

ydx— xdytarydylat p = 0.
Bringt man diefe Gleichung auf die Grm - : - - 1: |
xdy— ydx-+ 35 yitıdy— xstıdy — axydy (= + *

ſo werden beyde Theile der Gleichung f ür ſich integtabel ‚ wem man
die Gleichung mit dem hactor a ren

=0

s
11,4
1

ya—ı ı

'

anis cp abamydın br oo
multiplirirt, um diefen durch Die Abfonderung der Beränderlichen ju
beflimmen, muß man die nicht fo leicht in die Augen fallende Subfli-
b ya ya’

— yayı?

tution =vy machen, denn dann wie x“ =;

+

— 200 - me

akt, bedurch geht die Steldung — tax ya y= o übe

in folgende: u irre, — 4
fAdykmtsytidy pehrpirdy _ = 0; |
1— vay® oo.
multiplicirt man dieſe letztere Gleichung durch — —— ſo erhält
man die abgefonderte Gleichung‘
dv SE:
vabtvV + ride 0%:

woraus deſen⸗ Multiplicator gefunden wird.

he " “

Beyfpie 5 |

F. 491. Für die Differenzialgleichung .1;
dy+ dr —'=o J

einen integrirenden ſactor zu finden, BE

..
on

Nach $. 436: jege m man x—- - , alfo - do ir fo.geht unfere

Sormel ı über in. ‚d Y- _ I Mu art, in welcher lehtern man von Ä

Neun y —i— tz Sept, odarch man — e (ds + dt adı) Ä
erhält, welcher Ausdrud durch Divifion mit te (2? —a) abgefondert |
wird; es wird demnach auch unfere Gleichung, durch Ä
it — a
t?
dividirt, integrabel werden, hieraus ergibt ſich nun der Multiplicator

u (zꝛ — —.) = zum

* = am und die integrable Gleichung |
x — 3 9*
sedy-t wy2dı — adı .

— 0.
xt (1 xy)? — ax2 ,
. Betrachtet man nun x als conſtant, ſo 0 das aus 4, entſtan⸗ |

ntegrale
| bene 3 8 1 yet, a,
| ava va — x (t — xy) + if.

Um den Werth von X zu erhalten, diffenengiire man diefes Integrale, ;

axydx — dı AXm: ds —adx -
fe erhält man — rn * — xy* — an.
| hieraus folgt

73* zy2dr - Adık m —— —

und
= und %=-;r C,

“
\

zumn 287 EEmME

Folglich ift die volftändige Integralgleichung

va+-x(ı —ıy) __ava ,.
‚va —x(— xy) x +6

Anmerfung..: .amen
F. 492. Wir haben alfo mehrere Faͤlle von Differenzialgleichun:
gen, für welche wir die integrirenden Factoren kennen; die Betrach-
tung derfelben wird die folgende fehöne Unterfuchung fehr erleichtern.
Sind wir.gleihwohl von der zuverläßigen Methode, für jeden Hal die
integrirenden Sactoren zu beftimmen, noch weit. entfernt, fo fönn '
wir denn doch auf die Kormen jener Bleichungen fhliegen, welche
durch gegebene Factoren integrabel werden, und dieß ſcheint fchon in
diefer fchwierigen Lehre von großem Nugen zu feyn. In dem folgen
den Kapitel werden wie folche Gleichungen auffuchen, welche gegebenen
Sactoren entfprechen. Die hier entwidelten Beyſpiele biethen "uns
nämlich die zwedmäßigen Formen der Multiplicatoren dar, und wie
werben daher auf diefelben unfere ganze Unterfuchung gründen...

zn 288 mE '
Kapitel IL
Bon der Auffindung der Differenzialgleihungen, welche durch
Fectoren von gegebener Form integrabel gemacht werden.

“ “w
·47

Aufgabe 6b.

9. 493. D:. Sunetionen P und Qvonx fo zu. be: |

fimmen, daß bie Differengialgleihung
Prds+u+ Bd mo

Due den Factor - ——5
nen von x ſind, integrabel werden.

-Auflöfung. |

Es muß alfo das Differenziale des Coefficiehten von dx, naͤm⸗
lich Fr
MH ySTNMyHNy *5

Y-
Differenziale des Eoefficienten von dy, naͤmlich SEMwIoRT
nach x genommen. Die Gleichheit diefer beyden Werthe gibt mit
Vernachlaͤßigung des gemeinſchaftlichen Nenners

aP ———

wo M und N N Bunetio

‚, in Bezug auf y genommen, gleich ſeyn dem

dx
und diefe Gleichung, nach den Potenzen von y geordnet, sine

o=3Py’dx + PMy?:dx

+ y„°4Q + MydQ +NydQ
— y’dM — y?dN

— QydM — QydN.

Sept man die Eoefficienten der einzelnen Potenzen hir ſich gleich
Null, fo erhalten wir erftiend NAQ— QdN=o, oder — Fer

und durch Integration N= aQ. Die bepden anderen Bedingungen

geben
I. Part aq— dM=o un

11. PMdx -MdQ — adQ — QdM == 0,
. und baher gibt die Differenz; LM — II. 2 folgende Sleihung:

|

r — — sn — ——

um 2689 —

— MdQ — MdM + 2adQ + aQdM = 0, oder
0: daM . MaM,, 2: |
+ Henn ” a
Dividirt man Diefe Gleichung durch (aa — M)?-und integrirt, fo
findet man |

70... __ [MaM SE |
(3«& — M)? - (= Ga m) +2 fe

oder

D — a _Moa
(2« — M)2 nn n-utamtße Ge— N). re
Es iſt demnach Q=M— a--ß (2a — M), und daher

aPdx=dM — dQ=.2ßdM(22—M),

und fo fönnen wir für M jede beliebige Zunction von M fegen. Man

nehme alſo M= 2a —X, fo wird Pdx == — BXdX um

V=a—- X-öSX und N ai aßx?. Wir erhalten

demnach für die Gleichung. nn
— ByXdiX + dya— X + EX N)=o,

folgenden integrirenden Bactor: U
1 BE

?+aGa— 2 Fe@— X+W)y
Zuſatz ı.
(. 494. Man gebe der Gleihung die Form
Ay -A+HBV-+-CV) — CyVdY=o,: |
fo win ak, Xm—BV, fo BB = CV, Alf |

'B= gu und daher wird

y+. @Ar+BV PFAFF FON, _

der integrirende Factor ſeyn.

Zufag =
s. 495. Sept man hier V=a4tx, fo erhält man eine Glei⸗

hung, ähnlich jener, welche wir (.488 integrirt haben, und der Muls

tiplicator flimmt audy mit dem am: angeführten Orte gegebenen über-
ein. Diefer Multiplicator laͤßt ſich bequemer unter folgender Form
darſtellen:

0 - SV F ACV?y
Euler's Integralsehnung. 1, Vd. 19

un 200 zn
Zuſatz 3
Sg 496. Setzen wir PA 2, fo verwandelt ſich unfere Glei⸗
chung in
de HBV FEW) aA Vär=o, |

welcher Gleichung der Multiplicator — ; Tr Tv: FaCW
entſpricht, ſo daß die Gleichung
ds(2-+BV +-CV) - C(e — A) VdV
ö— (# FBVz FACVe) 20
für ſich integrabel iſt.
Anmerku ng.
$. 497. So wie wir hier für die Gleichuug
Pydc +4 -+Q)dy=o
om
— 7

wir, allgemein — 7 ſtatt desſelben nehmen können, damit die

Pynd (ya+ Qyı-ı)dy . |
Gleichung — o für ſich integrabel feyn |

muſſe. Vergleicht man diefe Gleichung mit der Form Rdx--Sdy=o, |

fo daß (* 12)* (> F =) wird, fo erhalten wir |

(@—2)Pyrti + ara + PN —

= + +Nrn5 2-40 (% urn)

oder wenn die Gleichung geordnet wird |
(a—2) Pyrtidx + (n— ı) PMyrdx + nPNy--ıdy]

— —

den Multiplicator = angenommen haben, fo hätten

— ytdQ — MyrdQ — NyadQ |
+ y’t!dM +4 y° dN + y-QaN — 0.
+ yQaM |

Setzt man nun die einzelnen Glieder gleih Null, fe wird
I. (n— 2) Pdx =dQ —dM, : | |
IL. (a—ı)MPdx = MdQ — QdaM — dN, |
Il. nNPdx = NIO —QiIN.
Es ſey nun Pdx==dV, fo gibt die erfte Gleihung |

RTAHEHaDT.

— - — —— —

|

1

r \

Sept man diefen Werth in die zweyte Gleichung, fo erhält man
MdV-+-(n—2)YdM+AdIM + dN=o,
und die dritte Gleichung verwandelt fich in | |
aNdV + (a—2) VAN MAN — NAM + AdN=o,
und durch Elimination von d V findet man hieraus
MB) VA — M: IN — mNam —uNaN,
Wollten wir aber hieraus V bejtimmen, fo würden wir auf eine Diffe-
renzioeDifferenzialgleichung ftoßen. Für den Fall, daß na iſt,
iſt die Sache für ſich klar.
Be yf piel.
F. 498. Es fey bey der Entwidelung diefes Salled
n=2, fo daß die Gleihung .
yPydx+(y+ Qdyl _
”+My+N
für ſich integrabel werde.

Zuerft muß Q=A+M feyn, dann aber
aANdM —- AMdN—=M(MdN—NdM) — aNdN;
welche Sleihung wir alfo integriren müffen; und da dieſe Gleihung
in Feiner der bisher behandelten enthaften ift, fo müllen wir ihr eine |

beffere Zorn zu geben fuchen. Man. fege demnach U Nu, damit
MdN. — NdM = — N2du um
aNdM — MdN = 3N?du 4 NudN
werde, fo wird | | *
2ANadu + ANadN 4Nsudu + aNdN = 0, oder
I 4 —— + = 4 udu — 0%

Man febe ferner ee v, oder N =, fo wird

— adv — Audry + aAvdu 4 adu = 0, oder

" sAvdu udu
dv—

3+Au 3FAu‘

‚Hier bat die Veränderliche v nur eine Dimenfion, und daher leuchtee

ein, daß diefe Sleichung integrabel werde, wenu man diefelbe durch

(a + Au)? dividir, Man erhält nämlich
ig *

— 9202 —

v udu C ı-Au à
(+Au> / a +Au? 27 RatAu) und daher
Ca +AWj?— ı — Au

A?
Nimmt man alfo für u eine beliebige Function von x, fo wird
83 A: ‚ Au
N * GC(a ->-Au? — ı — Au und M = Ca +Au? — 1 — Au’
AC(2+Au?2 —A
id ag

Nun erhalten wir aus der dritten Gleichung
aNPdxr= NdQ — QEN oder aPdx—Ndy,
O0 C(a 4 Au)ꝰ — ı

vv

daher ar - — 2Cdu(2-+-Au), und
A?Cdu(a Au

demnah Pdx = = |

. Die für ſich integrable Gleichung ift alfo
A2Cy?2du (2+Au) + ydy [C(a+-Au)2y— (1--Au)y + AC(a-HAuj—A] _

C(2 + Au)2y? — (1 +Au)y? + A2uy + A?
welche für Au + a==t folgende Form annimmt:
— Acyıdt + ydy(C?—t-+ı) + Ady(Cr?— ı)

Rp ec yyHtAt-ayta oo.

Setzen wir aber A=a, —— und =, fo finden wir
ayıydx--ydy(a-+-ßxr-+ +yr) — ady(a—yı)
‚erPpztryM)y? — ala +Ppı)y+ a m.

3ufag ı J
$. 499. Die Gleichung
ayxydx + ydy (a +Bx-yx) — ady(a— yr)=o
laͤßt ſich demnach auf dem vorgezeichneten Wege integriren. Wie man
‚aber in diefer Gleichung die Veränderlichen abfondern Fönne, fallt
nicht fogleich in die Augen. Der integritende Multiplicator aber ift

y
— — — EEE
@rPrtYMy— eG HP) ya

3ufag =

$. 500. Diefer Multiplicator laͤßt ſich aber auch fo darftellen,
daB fein Nenner in Factoren aufgelöft erſcheint, naͤmlich:

\

— 205 —

—

—4 | 3
[la +-Px + 19)y — (a+:Pxr) + axvGp? — ay))

[ee + dx + yW)y — ala + zBr) — aıyG®— ay)],
Zuſatzz 3.

$. 501. Segen wir aloe
(a FBx+yr)y— ale +!Pßı)=az,.
fo wird der Multiplieator |
“ a+;ßts j
[+ var — Miſe — xvGR — 49)]
Weil aber y—_ — tet — * , fo iſt unfere Gleichung
yxydx + dy(a +? Br -yt)=o
Nun ift aber
— Ta(ad + 4ayx + PByı?)dx— azdx(B-+ 25) + adz(a-+ Pc + 7),
(a + Px + Ye)?
welcher Werth jedoch fubftituirt, auf eine zu ſehr verwicelte Gleichung
führt.

dy=

-

Aufgabe .
6. 502. Eine Differenzialgleihung von der Form
yPdax+(Qy+R)dy=o
nufzufinden, bey welcher für P, Q, Rfolde Sunctioe
nen von x zu beſtimmen find, daß die morgeteate Glei⸗
— — 8
chung durch den Multiplicator Gr Fa" wobey S

ebenfalls eine Function von x bezeichnet, integrabel
werde.

wurtöfung

Weildx durch und dy dur) Sr mul.

tipliciet wird, fo muß folgende Gleichung Statt haben:
(m + 1) Pyr (1 +Sy) — nPSyprt' =.

— O +SY (ynt:dQ + yrdäR) — nydS (Qymtı 4 Rym)
dx .

!

%

u 204 —
. Entwidtelt man diefe Gleichung, fo findet man
(m+ı)Pyrdx + (m+ı —n)PSy=t:dx — y"t:SdQ
— yrdR — yrtıdQ . A4-nyetQdS
— yatıSdR | |
+ nyrt'RdS.

Hieraus folgt Pdx = a ud, SdQ = nQds, und daher

Q = AS: und dQ =. nASe-:1dS. . Subftituict man dieſe Werthe
in dem mittlern Gliede, fo wird |

nee SdAR — nAS--ıdS — SdR - nRdS— 0, oder
- 57: — ASı-—ıqaS + RiS- = u daher

an — PIE _

— (m-+ 1) ASe—dS.

Dividirt man die letzte Gleichung durch St: und integrirxt, ſo erhäkt
man

R | (m 41) ASaım-ı
——— m B— —,

Smti na—m—ı3
Beben wir demnah A=(m + 2—n) C, damit Q=(m-+- 23 — _n) cs“
und R=BSet: 4 (m--ı) CSe-: werde, fo ift
Pdx =BSrdS + m )CsdS.
Wir erhalten demnach. die Gleichung
yds[BS®-+ (n—ı)C8-] -
+ dy [(m-+a- n)CS"y + BSet: Bi (m-+-ı) CS] = 0;

multipleirt man-diefe Gleichung mit r — ſo wird fie integrabel

und man kann für S jede beliebige. Sunetion Lhen.

Zuſatz
1 503, Die Gleichung |
BysSras + BSntıdy 4 (n—ı) CyS-:dS
-- (m-+1) CSeHdy + (m-+-2—n)CS’ydy =o
laͤßt fich demnad) integriren, auch zerfällt fie von felbft in zwey ‚Theile,

nämlich.
BSnm(ydS-Sdy) |
+08: [(n—ı)ydS--(m+- 1) say (m+2— 2) Stydy] =o,

— — Hier

— 005 m

deren jeder für ſich integeabel Wird, ſobald man ihn mit sy REST Ya
multiplicirt.
3ufaß =
$. 504. Der erfte Theil BS= (yds + 347) wird integrabel
gemacht durch den Multiplicator 98 y), denn ed ift die Sormel
B(ydS--Sdy)p(Sy) für fi) äntegrabel; für dieſen Theil wird dem⸗

nach —R 148 yyr der Multiplicator ſeyn; diefer enthaͤlt zugleich

den angenommenen ET ſobald man J und p=—n
adv
= (ydS —
ſetzt. Es iſt aber 5 BS 6 + san = Grm

wenn sy-v gelegt wird. ' 2;
3ufag 3.
$ 505. Sär den andern Rei anſerer Gleichung welcher für
sein.
= 6-1) rar + a4 vd + wtaza ri
—** erhalten wir u

<

_ E=2cy (ir (mrı)vdy .(aa+-s-n)dy‘ —55*
w=yr n—1
: mta ER ap
m ner Dei a y a: vdy
mtı
m+-2—n =
= oJ dy

— C —
— — (n —— y d. ur hy m .:

Der mente Theil unferer Gleichung ftellt ſich demnach unter fol⸗
gender Form dar:
| mtn S.
— (n—1ı) er d.- + r.

mtı

.)

ya 8 8
Der dieſen Ausdruck integeitende Multiplicator ift daher allgemein

‘ 1 ı + Sy
| =)
i Sa ya-—ı Sya—'

zu 206 —

FEAT Ta BES Bee! 3ufag A a
4. 606. Zür den zweyten Theil erhalten wir alfo den Multipfi:
ß
cator Int durch welchen biefer Theil ſich ver⸗
324. er ee *5 a 0 .
wanden i in W
3. .
en. ... —— Da) c. . —— d, 7 * mtr ,
| FT —— en
| "Das Integrale hievon iſt
nn 6 erh 8
ner, pe wenn wir > SH I Teen.
. . _ . ya—ı 8
En ‚Bufap. 8.

$ 507. Nun wird der Multiplicator für den erſten ac
sm yR (1 + Sy
mit dem fo eben dargeftellten ——— des anderen Theils i in Über
einftimmung gebracht, wenn A—=m und J— geſedt wirda wor⸗

aus ſi p der gemejnſchaftliche Malupiieetor 7 * ergibt, und

demnad) erhalten. wir für Sy = Y und —— 2, ais das In⸗

mtr
us.
tegrale unferer Gleichung

Il + Cz— =D, oe

vadv „ Sem N .
SFR Fer Ga + sy D.
AUnmerfung -

S. 508, Die Gleichung, welche wir in diefem Probleme integri:
ren gelernt haben ,. läßt fi alfo nach den: oben feſtgeſetzten Principien
behandeln, wenn für die beyden Theile derfelben abgefondert die Muls
tiplicatoren gefucht, und dann übereinftimmend gemacht werden; ‚eine
Methode, deren Anwendung wir hier als vorzüglich bereits erFlärt

haben. Wir Fönnten dem Multiplicator auch Die Form A

— 29

SI-2 ya +aa= = u ag gi * -.- + = — 211 wong awabauß ev
9 —_ sh + 1a ,Uu
(LPS—- spDv ara — aerne

: gap 99 ung n-u= wu ar) 10 913383] aꝛq 1, u an) gagvaßayın quiat usBunpta]Q 29)91Q An⸗ ai
ı + u
uUpL®

| gun = LPı-LY — — _opy
- | ups

"29998 —X WIE uaanau uↄqdaq usa u aqꝛaↄg alarq ! * == xpda Bo
—R aaa u any gun LV =D gug ’nar ug] = 1Pdu+ OPL— 9 u379] mag onn
Pr Er 72 TE
| spout
Er LE upıL — k
1pöu + des — '*8 | de — up —
dpr—+. . kridla—-ıtwW). + txpsat—+wW)4 " xpalıta)
ana uaqusf o} "uge na ang Bunmfpagg 2gj2Ja1q aa uaagn) Sarg uagaaaı no goahoiu pi J an)
er t+istn
er ar 40) XPAM ud

“ 0 EPILSV — SPaLY + — Pu

°o = ruf

0 *

Bun ouq Jg 0] uoqob

— 208 —

Der Fall, wo m=— ı iſt, verdient beſonders bemerkt zu wer _
den; wir werden denſelben in dem beygefügten Beyſpiele behandeln.

v .

Beyſpiel ı.
$. 509. Die Sleihung Ä
yPax+Qy+Bdy=o.
fo zu beſtimmen, daß ſie mit
eirt, integrabel werde,

Weil m— ı ift, fo erhalten wir fogleich — und daher

R=C, dann aber ift wie vorher Q=AT* und dQ=nAT-—ı aT,
woraus ſich die beyden übrigen Beſtimmungen ergeben, nämlich:
.— PSdx —_ AT-dT + C4S.=.,.

—2PTdx— AST--dT+AT"dS + CAT. =o
Ehminirt man aus diefen Gleichungen die Größe Pdx, Jo echält man
AUT dT—aATrdAT— AT*-SdS+2CTdS C8dT=o.

Ä Man fege Hier = Tv, fo daß

— — li⸗
ya rsytty multipti

ab | adS 47 TSdv ——
ſo erhaͤlt man J
davvT..

-AT:vdT — aATrdT — 2ATetıdy HOT * = 0,
oder auch

M samnal—trer To

Der erſte Theil dieſes Yusdrudes ie dſutegrabe durch den
Multiplicator
v4
Tats ? (= )
der letztere Theil aber durch den Mulupliücator

daher iſt der gemeinſchaftliche integritende Factor

1

4

Te garten N
mit , Sülfe deilen folgende Sntegralgleichung erhalten wir: J

u Am—i ref dv — D
( „—αα |

x

— 299 —

Hiedurch beſtimmt T dur v, dann ade S=yYTv, R=C,

Q=AT* und pax SI SU, om

Zuſatz ı
$. 510. . Für are man, wei 22° —lz if:
zAl — — — —
7*4*0 G=9V -D, oder
r T a vv+3 . 3
"Al — —. u
‚ Sept man demnach v=4u* und = 2A, fo wird
7 _
l — — * = Conster oder
1 —
=E(—w) ee: + 4).
Hieraus ergibt ſich ferner. N

:S as auyT = au: (+ — VE J und J

R C XA, ferner m

= N ul 3) VE (GW) und
* „AAaT AAdT AdT

‚Pdx 8 ıT — 777 Ber -
aan IT __ auduraldn. 7. En
Es iſt aber mann alfo
Pd = AducHk—ıhm,
v—u

und: demnach erhalten wir für die Gleichung \
Arduo tr —arm) yduG +R— alu) + Ady 4 (ee) vE6 —

folgenden integrirenden Factor:

1

1

— (CH) ]

— 3500 — | |

oo. =. BE Be " Zuſatz 3. Zu . 1
$. 511. Wenn n=—: ift, erhalten wir ‘ |

Av— Ar—4)
SF + 20Vr = — aD ober "In 4 Toy"

a fo erhal

Setzen wir nun v== aut, pieT=- Er 2

ten wir

S=auyT = au —

R=Cc, Q=Y cr und
Cdu CAT "AdT dulC-+Du+Cu?) (Cu’—3Cu—D)
Pdx = —_ — —e*
u — 75
wodurch ſowohl bie Seigung als der Multiplicator beftimmt wird.

Beyfpiet 2.

$. 512. Die Steigung Bu |
yPdx. + (Qy-+R) PR =o
fo zu beftimmen,.- daß fie Durh ben: Deitiplicater
”(G4+5Sy+Ty’)» Ä
Wegen m=—2 „finden wir nad} dem wahagcheiden
|

integrabel werde.

RBS= AT +BoeRey.g + gr
welcher Werth in der andern: Gleichung fubſtituirt, nachſtehende Sei
dung gibt: j
(n+ı)ATadT aATatıdS n —
a en tan as — AST-AT
BdT _sBTdS -

— +7 a Tan
Diefe Gleichung zerlege man in drey Theile, nämlich:

AS YT(en+ı)TadT em nt dS u SAT
ml oT le IT
I aTdaST |
ıntı . T .
ed Kanca.Srnie. Zu 0,

Zur Abfürzung wollen wir

Tantı 8 T |
— =P ‚-ywW.-r |

— 301 m.
en, ſo wird —

. 1* |
S = * T m gr’ und daber ; p — mr 1: 9. Gill

nt

ind unſere Gleichung wird ſi ih daher unter tigender Form darſtellen;

| A Avp —
VE Bavpr Pr geryr * * = or
oder |
Ar gi Pag Bir o,

avp qyr
Diefe drey Theile wollen wir ebaelonbe betrachten; der erite |

a Theil en integrabel durch den Multiplicator X —* 9 (p)) der wehrte aber

durch —— und der dritte durch e(r). Um die beyden erſten in

Übereinfihmung zu | Iepe man

p=q | —
Es wird alſo

x 1 =, und a + ı not) = = ni — "alle
an R an "
„ak: und Im On
- Man multiplicire demnach die Gleichung durch
4n

gqm-—ı ant .
R ee an—ı yatı, p wird

Apdp+Agdg+B a td 0, oder
= p + q n Fr q r re = O0, oder j
. „Ah 4n2 +6n.
antı nt:
Ad 4 | rP$a r dr So0, ober
| in An? +6n- +6n-
u d. an 1 (1 — 4r) 4 Bq aatı . pnttdr: u 0%

_Ayn

‚in

Multiplieirt man durch gutı ( —4r), fo wird
_Ayn_
En gut! (—4r) d. hr (1—4r) +
402?--6n +-4yn
+ By an! rt dr (1 — Ar) = o,

— 202 —

v udu . GC. ı--Au
— _- [—I_ 2 — —I_ vund da
G-rAuy ars, 27 "Bari: n ber
Ca +Au? — ı - Au
va 770 |
Nimmt man alfa für u eine beliebige Zunction von x, fo wird
A: ‚ Au

C(a+-Au®? — ı — Au und "= Tarp

. AC(2e+Au®? —A
endlich N Ca +Au2 —ı— Au

Nun erhalten wir aus der dritten Gleichung
aNPdx = NdQ — QAN oder aPdx = Naf,

und Lo SCHEN paper a® — 2Cdu(a+Au), m

N=

A2Cdu(a + Au)
demnach Pix m up an

. Die für fi integrable Gleichung ift alfo
A2Cy?2du (2+Au) + ydy [C(a+-Au)2y— (1ı-+-Au)y+ Acta Au)? —A] _
C(2 + Au)?y2 — (1 +Au)y? + Atuy + A?
welche für Au +- 2 =t folgende Form annimmt:
ACcytdt + ydy(Cr—t-tı) + Ady(Cr—ı)
Cry? — (t-1)y2? + AUt—2)y + 4?

Sepen wir aber A=a, —— und =, fo finden wie_

— 0

ayıydx + ydy(a+-Pßx + yı?) — ady(a— ya?) _
‚erPs ty) — ala +Pı)y+ a
3ufaß ı

$. 499. Die Gleichung
ayxydx - ydy(a--ßxr ty) — ady(a—yr)=o |
läßt fi) demnach auf dem vorgezeichneten Wege integriren. Wie man
‚aber in diefer Gleichung die Veränderlichen abfondern Fönne, fält
nicht fogleich in die Augen. Der integrirende Multiplicator aber if

y
EEE
++) — aaa HP y+ a

Zufaß a
$. 500. Diefer Multiplicator Täßt fich aber auch fo darftel |
daß fein Nenner in Sactoren aufgelöft erfcheint, naͤmlich: |

N

— 5303

-1: i i EEE. SE is
fo zu beffimmen, daß fie durch J multi
plicirt, integrabel werde. J
| Hier it m=an — ı, Q=AT um Pd — a ‚ ferner
‚folgt aus dem’ Vorhergehenden RHMAT--28 4 BTW, und es
Hleibt und noch die Gleihung
! | RiS— I —AT-dTmo | nt
>3n
Seht man in diefer für R den gefundenen Werth, fo erhält man
(an — ı)AT°-"5dS — (n—ı) AT SAT — 24 Te-2d +
Ä -2oBT:ds — BTT-:SdT = o, oder
(@a—ı)ATSdS — n—ı)A®dT— sATdT :-.
+s3BT:dS — BTSdT =o.
Zur S? == u verwandelt fich das erſte Glied in
(a—:)ATdu — (n—ı)AudT — 2ATAT, oder

(n—:)AT (du — e—nudT _ -—)ı oder

(a — :)T ne

4n—8
F an—ı du a(n—ı)udT 4aT, \ \—
r s(an—.ı) = | A7 a —— —
Ta (.n— ı)Tm-ı (an—ı) Tao-ı

N 4a—3 —
= (20 — ı) ArT—d. (= — — en) ‚ oder
\ j “ Taa—ı

4n—3 ur ea
— ————

| (a) an 1.7 (E- 4) + un. T=%

Sebt nan Jr und

de (7 — — = Tr pi fodap

%

*
a — u alſo
"e—nae-ndr + — = 0, oder

zum 305 m
(m—-ı)Adgq s»Bdp :vp
get: P—- art?
welche integrirt gibt

Zah un fa sc, j
“ => E-+: =

und fegt man 24 = yY oder p= , ſo wird

= 075,

+r - 2 sveye=6

Anmerfung.

$. 516. Weiter wollen wir und in diefe Materie nicht ehrkaffen,
denn ich babe die vorigen Beyſpiele nur deßhalb vorzüglich angeführt,
um die oben gelehrte Methode, Differenzialgleichungen zu behandeln,
einzuüpen. Denn bey diefen Beyfpielen bothen ſich ziemlich fchwierige
Fälle dar, welche man theilweife fo behandeln Fonnte, daß man für
die einzelnen Theile die zu. integrirenden Factoren fuchte, und aus dies

fen- dann den gemeinfchaftlichen Multiplicator beflimmte. Nun wollen

wir uns mit anderen Gattungen von Gleichungen befaſſen, welche
durch Multiplicatoren integrabel gemacht werden fönnen.

Aufgabe 68.
$. 517. Die FSunctionen P, Q,R,S,vonx fo zu be=
ffimmen, daß die Sleihung (Py+Q)dx -ydy=o
durch den Multiplicator („2 + By S)* integrabel
werde.
Auflöfung
Es muß alfo nothwendig
GE (2+Ry+ 5) = (tur ar)
dy .
feyn, und hieraus erhält man, wenn durd (y? + Ry-+ Sy": divi⸗
Dirt wird: in. Las
P+By+S)+aer+Q@a+B) = 77T, or
(@n+ı)Pydx + (n+ı)PRydr-+ PSdx
— nypdR + a
— nydS

:

|
|
|
\

Hieraus folgern wir Pdx = Pe und |
ernet + 20Qdx — dSs= 0,
eo 4 QRdr = = 0, und ferner
Qdx = — =— ale + 48, vaher |
aSdR _(n+ı)Rdk, |

IS FF GnfyR CoD Suse zu
| weiche Bleihung wir Dr Bern. multiplicire und integrirt again:
| STE |
} | Amt S=C-+; Bett, und hieraus

L S=;zR? + CRet:, und aud
Ä —RdR "2 . sndR-
5
|

Qdx = 4@n-+ 1) - m R=ttaR und Pdx = - ar,
woher wir die Gleichung I

—1n—3 —
erhalten, weiche durch den Multiplicator

(„4 +Ry+ie ea)

integrabel gemacht wird.

3u fa b 1. |
$. 518. Für den Sal, wo n=—; ir wird dR=o und
R=A, und die übrigen Gleichungen find: ’
(n+ı)APdx + anQdx — as =o0 und
PSdx - nAQdı = = 0; alfo
AQdx — 20dx — dS

. Pı= = , und daher
J (A » — 48)Qdx = — a5d8 oder
a8dS AdS ,
Qdı= — ng und Pdx = 78’

fo wird auch die Gleichung‘ 0
Euler's Integrafrehnung. 1. 38. 20

mu 200 um

eh 3Zuſag, 4 Zu Ma
5 606. Fuͤr den zweyten Theil erhalten wir alfo ben Multipli
ß
Ga +87 ‚ durch welchen biefer Theil fi ver:

EEE raten). vn
8 tb, "

n — i

d

wandelt i TEN
en 7 @=96. Ber I SER.
ne — En)
Das men hievon iſt
LT 28— 2} eh
pt!

, wenn wir >” Ss I fepen.
| yazıs
a " 8 u fa 6 6.
507. Nun wird der Multiplicator für den erften zer
mp spP
mit dem fo eben dargeftellten kuftigfiade‘ des anderen Theile i in Über«
einftimmung gebracht, wenn A—=m und J— geſebt wirde wor⸗

aus ſi b der gemeinſchaftuiche Mrulkipliater : Fa ergibt, und

8
demnach erhalten wir für 8 ev und ——— 2 als das In⸗

15 nr |
——— 5 —
tegrale unfere Sleihung

vin d x
B Grmt Czi = =D, ‚ober

vadv y„ Set n
SFR „tr +89” D
Anmerfung -
$. 508, Die Gleichung, welche wir in dieſem Probleme integrli
ren gelernt haben ‚. läßt fich alfo nach den oben feftgefegten Principien
behandeln, wenn für die beyden Theile derfelben abgefondert die Muls
tiplicatoren gefucht, und dann übereinflimmend. gemacht werden; weine
Methode, deren Anwendung wir hier als vorzüglich bereits erflärt

| ur: yn
haben. Wir Fönnten dem Multiplicator auch die Form Gröy HT

Si-z Yu + nas * a gun 2 — =. Z + =E — 29 wong owabaue 00;
Kar +: —
(LPS—- spVDv UPL— LPUUu

=

| 2 ag Vom (LPS— SP) N A er 2
: gay 9 ung t(uı=u a) 2399 91393] ↄiq ;——u an) joquabarui qua wBungtaj@ 22]91Q zo ag.

. _ ı - u _
nt = LBıLSV — SPaLY + ıPu
>. tu
| qm o= LPı-=LY ps spu
8 9 "19938 ammlan uaↄqn ꝙ uasppıım uagfag ua ur Fady ↄſoi — = xıpd 80)
N ua ud⸗q onv gun — 2d gug: aat uaganip) e = 1Pdu+ OPL— RO UF) mag ehr
I N —1— ApUu - — |
| spout spuu +
zw . Up.L — ak ups |
ıpöu + des m * | de — r Up —
xpa(ı ra)

Te dpi pie + lepsa@-ıtwW+ ”
u: ak 2 au 0) ‘ unge a ang Bunmlparg 39721319 am uaıgn) Sogn uagaaal PamaBaau 2 an)
0 os thistv) :
* 4 di wi .
“pi + tr rad Bunprayo ↄiq Joa ol uoqab

— 208 —

Der Fall, wo m=— ı iſt, verdient beſonders bemerkt zu wer
den; wir werden denſelben in dem beygefügten Beyſpiele behandeln.

—

Beyfpiel ı.
$. 509. Die Gleichung Ä
Pix+Qy+Mdy=mo. . -
fo zu beſtimmen, daß ſie a meleipt
eirt, integrabel werde.

Welm—=— ı ift, fo erhalten wir fogleich dB=io und daher

R=C, dann aber ift wie vorber Q=AT* und dQ=nAT-—-dT,
woraus fidy die beyden übrigen Beftimmungen ergeben, nämlich:
— PSdx — AT--dT + C4S.=o,.

—aPTdx— AST-dT+ATdS + CAT — —
Ehminiet man aus diefen Gleichungen die Größe Pdx, fo erhält man
AS®T-dT—2aAT-dT— AT-SdS+2CTdS— CSdT=o.

- Man feße hir = Tv, fo daß

oTas — SIT= TS = ar, _ TSdv —————
. 7 v. ‚vr
fo erhält man j =
SATeYdT — aATedT — 2A Tetıdy + CT an =o
oder auch
samnaT—trcrlT=o

Der erite Theil dieſes ndeuaes ih "integeobel durch den
Pultiplicator
v4
Tata ? ( )’

der letztere Theil aber durch den Multiplicator

Tr (v5;
daher ift der gemeinfchaftliche integeirenbe Factor

1
4

TE —rtryT ch
mit Hulfe deſſen folgende Integralgleichung erhalten wied: —

| ATm-: ref dv — D
Ro) 0 Aggatiyı |

— 200 —

Hiedurch beſtimmt T durch v, dann aber S=yYTv, R=C,

A Te und Br
Zuſatz ı
$. 510. Für nt erhält man, weil 22° —=1z ift:
dv
zal - — _—_:
: „re Gzaw :D, ober
vv-+3 1.
> ’ vwv—a *D.

Sept m man —8* v=4u: und C=rA, fo wird

T /
1 —— Cont., oder
1 — u 9

1 — u

| | En
T=E(— uw) 2).

Hieraus ergibt fich ferner N

:8 5 auyT = 2u — VE am) und e

B=C= AA, ferne

T AdT
Pax —

u duraidu alſo

1 — u

Es iſt aber —
Adu (1 ,

1 — u?

Pd =
d demnach erhalten wir für die Gleichung 2

na — u

— (u — —4 nn "
ıT Tu .

ucHP—ai) ı gay + +)’ ee

‚genden integrirenden Sactor:

1

A

zu

FR
=) 1

VL+ ()' VE(ı ION Ey — ( Ä

!

— 300 —

3ufaß a.
Wenn ne —: ift, erhalten wir
24 20Vv —- aD. der To Ce

=
._
- m

$. 5ıı,

. 4D + 4Cvv
Gegen wir nun v=4u®, fo w T= — ce Zar. fo erhal⸗
ten wir u
au = a /Alumı) —
$S= auVT = au —
B= | vrı gj
6: Q * u? — 1 ud
Cdu CAT "AdT dufC Du +Ca?) (Cu’—3Cu—D)
Pd = —
" FTIR TI

u (uꝰ — ı? (D-+-26u) J
wodurch ſowohl die Steigung als der Multiplicator beſtimmt wird.

|
. |
‘8 e 9 fpiet = . |
F. 512. Die Steigung

yPdx+ Art = o
fo zu beſtimmen, daß fie Durch den: Maltiplicater

Fur FI integrabel werde : ‘

Wegen m=—3 „fnden wir nach dem orfergegenben |
RSs= = Te + B oder Rn + "2

welcher Werth in der andern Gleichung ſubſtituirt, nachſtehende Glei⸗
chung gibt:

»

ATnd —8
GntH)ATSdT _ aATeHdS . - as _ ASTAT Ä
ns ) n S?
nl BAT aBTds 0,
oo... +7 S TB = eo

)
Diefe Gleichung zerlege man in drey Theile, nämlich: Ä
er — u

, dS SaT
-_ | rar ’ T a Ä
oder . + BS [F- =] - =_ov
u AS ie T

d.

Be ntı 7
8 +HATtıd.n+BSa.

Zur Yotirzung wollen wir 2 |
Tantı Ss T
— v1 ud — = rF

— 301 —

en, ſo wird r

on
= am daher = IF

un unfere Gleichung wird fi ic) daher unter folgener Form darſtellenj

.s
Nous

Lili.

A Avp — ..
oo Bqvpr OP + gervr + dr % |
oder u

Avr .r Avp Ä —

an Pr, B— 0,

Diefe drey Theile wollen wir abaclenbet betrachten; 5 der erſte
kheil u integrabel durch den Muftiplicator S —* =? (p)) der zwehte aber

urch ⸗ (g), und der dritte durch Hr). Um die beyden \esiten in
Ibereinfrhmung zu bringen, fege man
„pe * ge oder pt! — get? x, daher:
p= qit! Ati = qtmmtı
Es wird a
‚+ı=— —ude+ nat) —
an 1 2n
J ‚uk: und à— T*
Man multiplicire demnach die Gleichung durch
An
— — in
gqza— ı yr — ao ratı, i wird
a wer | Beten ar oder
aröpt g-dq + Bg rtidr=o, oder

R a + 4n? +60 + 6n.
+

+ Bqtı mt dr=o, ober
A in An? +60 +6n-

m d. an ı(—4n) + Bqt': rt dr. 0.

n

Ei . nt
— ⸗ alſo

_Ayn
Multipliciet man durch gza+ı untnt fo wird
An
4 gut! ((—4r) d. * -4r) +
4n2-6n—- 4yn
+ By an! rt: dr (i — ir) eu 0,

Es wird demnah van +6 =o, derv=a—n—
und es laflen ſich beyde Glieder integeiren,, denn man findet
4n@-+ 1)
aa+1 (1— rt" +B fet:dr(i—4r) —=Const\

(aın+ı)A
Mor) 1
Es iſt aber „Lı=—ı—!:=— _—

— — X nn Ar) °® 3 4 BI rar = Const.

(1—4r) ®
Es iſt demnach q durch r gegeben, und dann iſt 8 = | .

| re

To fen Re + 5 , AP⸗ und Pdx = — aR, ]
Zuſatz ı

F. 513, Wennn—=— : iſt, ie wird Aq + ——

C — 2B
oder q —— und daher

3A . gA?

Cr— aBr2yr’ I= Q=
= Q+nB _ B—:Q _ (6 a Brvr) @B—a0Vr +4Br
r$ I gA

3BCr — aC2ryVr — -6B2r2VYr -8BCr’ — 8Barıyr.

ga
3ufaßg a.

$. 514. Seben wir nun für diefen Fall r==u:, fo wird
dA Ta I _ u(C — 2Bu?)
Cu2—aBus’ u2(C — 2a Bus)?’ Na

3BCu? — 2C2u3 — 6B?2u5s + 8BCu5 — 8B2w j
— e — e — ⸗ und daher

Pdx — m — ———— da.

Es wird demnad) die Gleichung yPdx +. Q y+-R)d 0
integrabel, wenn man fie mit dem Multiplicator

va+sy+Ty) _ ( 3432 . gAry2 \
Ä ö— — =V racass u(C—-sBus) u3) + KAT 07,
multipliciet, 3.

— — c
— 3

Cvr—sBrt

S — —— und.

‚oder

R=

S = und |

Ro

Beyfpiel
$. 515. Die Öleihung -
yPdx+ (Qy+B)dy=o

— 53053 u

—*

— — multis
4 85 4 7y2)ä

5Aſo zu beſtimmen, daß fie durch
plieirt, integrabel werde.
Sieifm— 22 — ı, Q=AT um Pd = , ferner
folgt aus dem Vorhergehenden R=nAT--$-- BT", und es
Bleibt und noch die Gleichung
8dR on
RdS— I — AT-dT so.
| 3n
Seht man in diefer für R den gefundenen Werth ,. fo erhält man
(an — ı)AT?ıSdS — a—-ı)AT>S4T — aATı-ıd T+
+2BTrds — BT—SIdT = o, ode
@a—ı)ATSdIS - n—ı)AS®S4T — sATdT -.

+ aBT:dS — BTSIAT so.
Für ou verwandelt fich das erfte Glied in -
BE G-DATS u — (n—ı)AudT — zATAT, oder
- (a—:) AT (du — a—uuat _ -Z)' oder
(n — 57 nn 7
‚An—8

du "aln— d 7 WITT N
s@n—ı)ATı-ı f ——— ls — —* *
Tram (an— Te (an—ı) Tai

» 40—3 — J
*. = (zu — ı) Aa d. (= — — 22 , oder

42*23

Haar a (74 4) + er a. = oben:
(3-1) A d. Mn (7 — *. ai. E = 0.
.. oma =? und “0 |

Fa — (-4)=ı1= De pa ſo daß

Zu,
| a q
Taa—ı — °
. i | P—4 ie
T = und S = or und daher

“ "—nAp—Ndg a BVqen-
V

dp = O, oder

304 m
(m—ı)Adgq sBdp:vp
+: P- Net:
welche integrirt gibt

| ah jan fr sc, i
“ => E-Nutr u

P___ sr
und fegt man — = ”oerp=-

ta — I rm) = c.

IE ge.

—J

— 0,

7 ſo wird

Anmerfung

$. 516. Weiter wollen wir und in diefe Materie nicht einkaffen,
denn ich habe die vorigen Beyſpiele nur deßhalb vorzüglich angeführt,
um die oben gelehrte Methode, Differenzialgleihungen zu behandeln,
einzuüpen. Denn bey diefen Beyfpielen bothen fich ziemlich fchwierige
Bälle dar, welche man theilweife fo behandeln Fonnte, daß man für
die einzelnen Theile die zu. integrirenden Factoren fuchte, und aus dies
fen- dann den gemeinfchaftlichen Multiplicator beflimmte. Nun wollen
wir und mit anderen Öattungen von Gleichungen befaflen‘, welche
durch Multiplicatoren integeabel gemacht werden fönnen.

Aufgabe 68.

$. 517. Die Sunctionen P,Q,R,S,vonxfozube

ffimmen, daß die Sleihung Pyt+ Q)dx - ydy=o

durch den Multiplicator („2 + Ry + S)® integrabel

werde.
Auflöfung
Es muß alfo nothwendig
(= .Py+® —— - rt)
dy
feyn, und hieraus erhält man, wenn durch (y? -— Ay S)r—: divi⸗

Dirt wird:
ny(ydR--dS)

Pr+Ry+HStaPr+QVar+H =-TITER, er

(a+ı) Py?dx + (n+ı)PRydxr-+ PSdx |
| — nypdR+ ee er
— nydS

— 505 m .

ndaR.
an-+ ı

Hieraus folgern wir Pdx = und °

(n->-ı)RdR
SdR
nr, t QRdx = 0, und ferner
SdR — (n+ı)RdR
Qdx — ET nn + Zr daher

aSdR — (HNRIR
IS + nryR BER. 2atı.

| weiche Sleihung wir Dr pen multiplicirt und integrirt lt:

444
am s=o +3 Ratı, und hieraus
| S=4#R + CRet:, und auch
| . .—ın—3
—RdrR — z 2“
— — — antı :ndR -
| gdı= nn” = R idR und Pdx—_

—
woher wie die Gleichung vr

— 20 —3 N.
erhalten, weiche durch den Multiplicator.

(„HR + im + Ro)

integrabel gemacht wird.

Bufag 2.
F. 518. Für den Fall, wen=—: ir Wird’ dR=o und
R=A, und die übrigen Öleichungen find:
(+ ı)APdx + 2nQdx — mas =o um
PSäx + nAQdı=0o do
AOQd | ds —
par AQEE 2ER ES, u Hafer
(A? — 48)Qdx = — 2848 oder

a8dS . 2 AdS
A2— 48 und Pdx a Ar 45’

fo wird auch die Gleichung |
Euler's Integrafrechnung. I. Bd. ' 20

Qdı= —

— 306 um

A 85) d8
um L-ydy=o

- durch den Multiplicator integrabel.

1
Zuſatz 2.
F. 519. Sept mn A= 2a und 8x, fo laͤßt ſich folgende
Gleichung

(ay+x)dx-+ ydy (—- a)

(x — ad)y(y? 229 4 5)
integriren, und daher laͤßt ſich auch das Integrale von der Gleichung
xdx -aydx 4 2xydy — 2a?ydyc=o, |

wenn man fie durch (x-— a”) V(y? + 2ay + x) dividirt, auffinden,

Bufep 3. |
|
|

— 0

$. 520. Um das Integrale zu finden, nehme man zuerſt x als

sydy
eonftant, fo hat der Theil VG A5 zum Jutegrale den
Ausdrud

ayi t2aytn) + 2alle Hy —Vir +2ay tn] + X.
Differenzirt man dieſen Aus druck und betrachtet y als conſtant, fo

findet man u
___ ds: _adsevhaayhn) ax
v?+2ay+3) a+y—vGg?+2ay+e) ’
und wird diefer Ausdrud dem zweyten Theile der Gleichung

(ay+xı)dx
(«— a’) Vv(y? + 2ay-+ 2)

gleich gefegt, fo erhält man dX = als

„ und = — alla’ — x).

2 | a+'y— v2? +say+x).
vrtarta Hal Tag = C.

Zuſas 4
$. 521. Der Fall, wo. n=— ı ift, ift allerdings bemerkens⸗
werth; er gibt, wenn a ſtatt C + 5 geſetzt wird, die Gleichung
fr paB)dR-+-ydy=o,
| welche durch y? + Ry-t aR:? dividirt, integrabel wird; dieſe Glei⸗
chung iſt homogen.

/

Ä
|
Hieraus folgt das vollftändige Integrale. an WB

— 307 —
Anmerfung an
6. 5a3, Man kann für die Differenzialgleihung < ehe
@y+Qdıtydy=o —
auch (y+-R)r (y-+-S)" als Multiplicator, annehmen, und dann muß
(* Eey+Q9(y+Bn(y +r) — (= BA; mr (Y )
dy
werden; hieraus folgt:
pPx 85 HXCy-OGAS)

ndx yVO dFBkꝓAIOM)ds,

oder
| n-+ ı) Py:dx + (a + )Pydx -t PASdr)
— my dR-+ (m-+ ı)PSydx + mQSdx
| — n”?dS-+ (m+n)Qydx +nQRdxt = o;j
7 — mSydA
— nRydS

| hieraus ergibt fich

. mdaR--ndS _ „= PRSdx —RS(mdR-+ndS)
Pdı= era und Qdx= Fa fen rest

alſo | U | |
(mdaR-+ndS)fmn+)R+(m+ı)S) _ (m+n)RS(mdR-+ndS)
' atrn-tı (m+tn-+ı)(mS+nR)
— mSdR — nRdS = o, oder

£m(nfı)Rat —manas rtmis nn u ze

, +#n(m+ı)SdS — mnSdR. |
welche Gleichung auf die Form gebracht werden fan!
* + (a: ı)RdR + (mn —ı) hSdR — nee en ;
+ (n+ı) 82dS + (n—m— 1) RSdS — nR?dS
Weil nun diefe Gleichung homogen iſt, ſo dividire man ſie durch
(+ RB +m—an-)E°S+(a— am—ı)R s rar 1) 5°,
oder durch

mS-+nR

(R— 5 [(n+ı) AR + (m+ı)5],
bamit fie integrabel werde. .
Dividirt man aber diefe Bleihung duch RS, fo erhält man

G45) Bar + man —nRdS — (mtr) 545 67
50 *

— 508. —

— — — —

dividirt man fie endlich durch (R—S) [(n p) RG Pi)s
und loͤſt fie in Partialbrüche auf, fo findet man:
dB m-+n-+ı n-+ ı ]
m+n-3 R—S + (n+ı)R+- (m+1ı)S
N as m+n-+ı m-+ ı
+ ara OS—R + @+9)RH+ GraRrams]®
(m-n-+ı)(dR—dS) , (n+ı)dR + (m--ı)dS$
R—S + (n+ı)R-+- (m+ı)$S or. "
und demnach erhält man durch integration
A—-SPHH [a + )R+m+Y)S] =
Sept man R—S=u, fo wird

oder

GHY)R+Mm+)S= und daher
tag Und s=-— erde, *
Ps 'unts
Dann aber ifl
(m—n)du (m +n)adu
| Pdx = (mhanty —- — ⸗ und
— du —— (m-+ı)u (n-+ı)u.
u=-7 (rt + mrarn) (=r-25)

Zuſatz ı.
$. 523. Man fann daher folgende Gleichung integriren;
m—n (m + n) a
ydy-+ ydu (> — )

HER a? + (m—n)a _ m+ı)(n+ı)u
um +30 +2 (m+-n-+3)um+n w+ata =0.

denn fie wird für fich integrabel, fobald man fie Dura

But ın

X

a (m + ı)u (n+ ) |
(Gartamn) Orr = arm),
multiplieirt. |

3ufaß 2.
$. 525. Für mn geht unfere Sleihung über in
anaydu adu u

ydy — ang Toms — audumo,

welcher Gleichung der Multiplicator [(r +. — u RR

. . a 0
entfpricht. Segen wir demnach J=2— or, ſo kommt die Gleichun

— 5009 ——

adz azdu : —
zdz — — +77” zudu=o

sum Worfcheine, welche durch den Muitiplicator (2? — zu?) integra«
bel gemacht wird. Sept man aber z=:y und =}, fo findet
man die Öleihung Ä

ydy — ndu — bdy bydu

u2n+ 1 + um}ts
und ihr Multiplicator ift (9? — ur)".

- \ | 3ufatz— 3.
. 525. Für m=—n erhält man die Gleichung

yäy —'aydu + + Fa —ı) udn —
welche mit | N
+7 -3e+9Va] (fr +: re ne)

multiplicirt, integrabel wird. Fuͤr y+> — z finden wir

= 0,

nadu = 0,

zdz — nzdu: + !(0®— ı)udu — u + = 0,

welche der , Dultiplicator |
.@— Ha+ y9- (2 — 2a — ya
integrabel macht. | on
zu f ag 4.
$. ab. Sept man hiar s==uv, fo findet man die Gleichung
u'vdr + udu (" — nv: i(n? —ı)) = ad.

Drultpliciet nian dieſe durch (Ey, 6 werden beyde Glie

(a
der integrabel; denn fegt man ieh) s, oder
vo a+ı—- @a-—ıs
such an
fo erhält man
studu ,.n-+ı- amı)s n asnds
(1 — 5)? + 3 (1—s)> uts = _z'

und deifen Integrale F
satıy? — su ds,
2 (1 — 3)2 (ı — s)? iſt.

— 510 m -

Anmerfung,
$. 527. Um unferer Gleichung im Allgemeinen « eine geſchmeidi⸗
dere Form zu geben, fegen wir
n=—r — 1 Zu ww n=—r—ı— pr
(daß mn+a= — 27 wird, fo finden wir die Gleichung -

ydy — ydu © _ 204 ya)
+ udu “ * — aumn + “) =o

aM.
welder der Multiplicator
A ——
(Ha 20 +au A _ Ä E oe)
entfpricht. ee
Bid y+ aut =uz geſetzt, ſo findet man die alu

nzda — aut! dz + du (=: — 2 + FE) = = * und |

—ı- —
u ae Ey. (ey
EI u:
als den integrirenden Factor. Als Integrale aber findet man.

c == a/dz 5)

| He + * a)

und diefes ai and folgender Diflerenitgleihung:

p—l—ı . — —* R
6 — — var. 296

...

+ ( +4 —)(® 2 IE —3*

Yufgabe 69

$. 528. Für P, Q, Rund X folde Sunctionen von
x zu beftimmen, daß die Sleihung J

dy rrix+Xd=o J

durch den Multiplicator DEXEE integrabel

werde.

— 511 —

Aufhöſung.
Es muß alſo die Gleichung Statt finden:
za. IX — 1, | |
YPEHQIHFR arorE
und daher,

ay(Py°+ Qy-+B) -+9UGPF+Q=— y rag n@T,

folglich muß

ws +sRAydı — QXds
y2 d P — aPxydı-+ dR, I. feyn

| en + ydQ j

Man erhält demnach

dP dR dR :.: ..°
Nena und Inn
Wird alſo dx eonftant genommen; ſo wird 4Q = — a
alfo muß up \
.aPdRd 2
aKdx „dad _ 58 0, oder
ln | —
| Rap + PdR= - werden.
Durch Integration. ‚finder man ia
dpz —. 5—
Pi= 7 _+C, entre
dann aber: iſt ©.
c dp: : &p

dP
en ent >

Wir wollen 'nun P=8: fegen, ſo daß v irgend eine Function
von x bezeichnet, fo wird Br
in ın._ .38dS; ))-- — 28

rast ge ee tm = md es
für weiche Werthe die Sieihung ua
ey Fydr + Xde 0°
SPRHOGHR.n .

tür fi) integrabel wird.

Anmerkun g.
$. 529. Dieſe Auflöfung wird bequemer‘ | wenn man dem Mul:

euuNe P lan Ä
tiplicgtor die Form FrIOGHR gibt, damit -

mem 512 weue
Fa. P (y2 X) . 1: P
”+:Qyr+8 d&.'2+>0y+B
werden mug; ; denn.dann wird
aPQy:dx + aPRydx— aPQXdx
— Mar ee — RaP

.— aQydP + BAR, . eo
+ a. yaQ
wo aus den einzelnen ‚Biedern = bequem: beſtimot werben kann, |
nämlich : . - a ae Zu EEE ya
ap " Rdx— Xdx$aQ _dR— 3QXdx
Fr maldı= — eg

hieraus folgt... W |
| 2Q(R+-X)IXL= AR, J
woraus wir den Werth von dx ſelbſt beſtiacen, naͤmlich:
dx IR
3QR+N
Durch Sublicution diefes Werthes erhalten wir
RAR _{B-XydR
IE SET Ir
2Q’dR=RdR — XdR + 2RraR- + J

und hieraus erhalten wir

F WER —IQRAQ —AAR, _ 3(QrcR)AR

und hieraus ' Zu ar gae 1

din 99.— * und. GE — iq an, — dB, *
J —A—

und d daher

00——
Sey nun Q— RS, fofinderman rn
ds Sd j an in
aeg, I= * 01 — s,n=q—8 and PAYS,
Bir werden haben folgende Gleichung erhalten:
y2dS ® +Sy4S .1 1
rg RT iD m
welche durch den Multiplicgtor tn. T—
| vS s vs

Pay tra 570-5"

— — — — — — —

— 515 m
integrabel wird. Um nun das Integrale jener Gleichung zu finden,
betrachte man Q und S conftant, fo wird

°» dyvS. ‚ı7+09
ı7 +2 v8
GrB’— 57: y+rorvstV’

wobey V'eine Function von’ $ oder Qiſt. Nun differenzire man dieſen
Ausdruck und betracht⸗ y als beſtaͤndig, fo wird

davs — Q+yas

jevS „2dS + 40540 —0Q?45S—SdS
— — __ d eis En Sehe SE Seine
+9: — 5 + * 42I0 HR? — 8) vS. ’
und daher Ä nr

gie PAS KoQyast Mas sas _ dS ...,

a Fr —SV8 . _ 4Qvs’._
hieraus finden‘ wir das Integrale unferer Gleichung, naͤmlich:
* . ur” „ 2 3 + Q E vs +i Qvs . .

| Zuſatz «' in TEN
$. 53ol Der Tall, we BR" wird, iſt beſonders bemerkens⸗
werth, denn es wird
dp =, _ 5 Kar til _ ————
woraus wir die beyden oleicungee J
Q:dx + Xdx — dy= ="0 und ist Kar. — 40 *
ableitoͤn. da bieſe ubereinſtimmmen, ſo wid neo ale
Xiıx=d0.— ddr md IP = ayQar ©”

a 2 Bufas a... um J J Kan

ot
ar) Wa PET !

$. 631. Neßmen wir Q ‚negativ an, damit, man. n.babe. me.
d ? d — -d . 2 == 0%,
Era INT REES

Durch den Muleipicatör & do wirt diefe Tegte Gleichung in«
tegrabel, denn man edit zum Integro® | |

rn Wr I

/

Q era + v = Conet.,

wo V bloß eine Function wir x if; um dieſe zu beſtimmen, diffes
renzire man die letzte GT-Hung fo, als ob y conſtant wäre, ſo hat / män

v

— 514 m
_dN —3/Qdr aQdz — 1ı/Qdı av — **
—— Tg ri Bu
dr — Ag V,
| u-9
hieraus wird V = fer" Qdzdx, fo daß das Integrale ift
.” e-u/Qde E
⸗— == C,
RQ
Zufa s 3.
sg 532. Wenn daher die Gleichung
dy—+ „dx + Xdx=o .
vorgelegt iſt, und wenn irgend. ein particulares Integrale derſelben
y=Q iſt, fo daß man Bat
Or Qrdx + RE, al
dy-+ „dx — dQ — Qtdx=o,
fo ift der Multiplientor für diefelbe Tor Tee und das
complette Integrale derfelben ift- I
A EEE: Ceo:/QAx + - ẽ — grfQdr Se —— w

. - 4
oa 115 sr

fe-SQisdx —

Anmerfung.
un 533. Die in der vorigen Anmerfung gefundene Sieg

vas, +87; Fr
rer I ae 9

biethet keine beſondere S Schwierigfeit dar, denn ſetzt man rt = =g,
fo geht fie über in
dz _ 248 | dSw@@— )
25 4Q8$
"Damit nun die beyden erften’ Glieder in eines ſich verbinden laſ⸗
ſen, ſetze man 2vVS, fo findet man B

m , av . dS
v? — Tr aavR

“ 2]! +v dS
, 2 ı1—v * Qys’
“ on y +Q 2 — —
wobep v 75 iſt. EN
W

Die bey der Auflöfung felbft gefundene Gleichung
aytrasn l_ —=o,
d2S. ds

woben S irgend eine Function von x beieichnet, und & = a. F
iſt, ſcheint ſchwieriger zu ſeyn, denn ſie wird Integsabel, wenn man

fie durch

82 yꝛ _ 878 d se

—a48sv ,0
tur = (87-5) +5
dividirt., | Bean man x als conftant, fo findet man |

S2ydı — SdS a
F 5 —— — * V= Const.: LE LNER

"Um nun die Function V zu beftimmen,. differenzire man und be
trache als unveränderlich, fo erhält man

arc. tang.

as a en

aSydS — -7 — 77 Er
— —— av,
S(-R +cC ‚ i

un Ir. a EEE EEE

welcher Außen dem. aianahei- alsich tgoſegt werden muß; npdic;
. Cdr - BS:u7 „ .. Cd .. IA: ya ga
— Sdx r war 52.77 — ' ifo

ds CC.
(s7 - =) Re on — — 7 + C
* —B

an RR Nr OR, } t * pro raien
2 | Sypauisyası+ pi

\ y Aa a —_ da

de s Ken raSs\?;. an me Be .
(3 ’ 43 + RB „kr um iS PEN
es iſt demnach N vollftändige Integrale .
8 —sds
are. iang ——— - D.

vc ' dxvC
Segen wir nun Sz=x 1 fo. entfprieht der. Sleichung LTE EB α
J ay ax p =0r EEE
als e vonſtandizee Integrale , der Ausdrud
. EFT SE I‘ NelreD' RT
* are. tong. — .. 3557 an
Wenn iber 8* ya gefeht wirt, ae „0. 4 Zu ty be
IT ‚3 = nz: ’ d”“ 42 na 1)rmadk, ı Gun

ar
®

— 310 —

fo kann die Gleichung

dy * y’dx + ci — — =. 0
Integpiet werden , denn ihr Integrale wird. fepn ni
1 sn y—nıtamı 3 u
‚ "TE arc. rang. TC — an ıyaanı =D.
Oben aber haben wir gefunden, daß die Gleichung
me \dy Hast oran=o
abgefondert werden Fönne, fo oft m= a rg iſt; in "eben dieſen |

Faͤllen wird ſich daher ‚eine Fungtion s angeben laſſen, fo daß
* Cu E 6x wird: Da jedoch dieſer Ausdruch zu den Dife |) b

| Eensiafgleichungen des zweylen Grades gehört, ſo werden wir ihn auch
hier nicht nen :
!

Yu [ga vie 70. |

$- 534. Die Functionen p und ‚Q der zwey Ver:
Enderlihen x unwy.:fö.gu beffimmen, daß die Diffe
renzialgleihung Pdx Fr Qdy = 0 durch Ft di vi⸗
dixt, integrabel werde.’

rTstung.

Ze Bu
Weil der Ausbrud nr Integrabe feyn en, fo fegen
ni dx + Rdy

wir Q=PR, damit wir den Ausdruck — Ry
ſey dR = Mdx-4 xam E⸗ maß dermmach

erhalten, und ed

2 Pan

. Pa “ e Zr
wa dr, Pen ri 2‘ Ma
werden, woraus wir “Rony = — aber. N == — Mr
+ Ry® FR y)? "y
erhalten. Es wird. -.. BE
dR=Mdx— Mady_ = My. vdroady

*

Weil nun dieſe Formel Amar feyn muß, fo muß My wih-
wendig eine Function von - ſeyn weil, Is ; a. Feiſt,
und wir erhalten demnach cc Integratln. a. $ (-) ‘oder was
©& | N u

N
N
=
N,

— 7]7 sem
dasſelbe ift, es bezeichnet RB eine Function der Aufften Dimerfton;von
xundy. Weil nun x —=R if, fo geſchieht offenbar dieſer Bebin⸗

gung Genüge, wenn und Q homogene Functionen derfelben Ord⸗
nung von x und y find. Wir haben alſo auf dieſe Weiſe dieſelbe In⸗
tegrationsmethode der homogenen Differenzialgleichungen gefunden,
welche wir im vorigen Kapitel gelehrt haben. Ä

Zuſatz ı.

J 535. Da alſo — mategrabe iſt, ſetan at

——

integrabel werden, welcher Ausdruck ſich auf folgende Art darſtellen
laͤßt: ot

feel,
—— |

wo der Buchflabe 9 irgend. eine Function ber eingefchloffenen Größe
bedeutet.

ober R= - 29 > ) ir ſon wird auch die Zormel U

Zuſatz 2.
$. 536. Sp man = um TS), ſo wird auch

ie Gore x
* -+2 Z+F(/&-[% Binuiäkii),
— )

für ſich integrabel ſeyn. Wird daher A= 7 rl /3 art _ F d ©)

Rd
gefegt, fo wird auch der Ausdrud mi für ſich integrabel, welche
Zunetion aud) X von x und Y von y feyn mag. |
‚3 u fa ß 3.
$. 537. Wenn daher für P und Q folche Sunctionen gefucht wer«

den, daß die Gleichung Pdx + Qdy= o integrabel werde, wenn
.

en ⏑ — — —— — —

um 318 — \

fie durch PX £QX bividirt wird, :wobeg X wad immer für eine
Zunetion von x, und Y von y bezeichnet, fo muß

= (/F-/Y) m

Zuſatz 4
$. 538. Bezeichnen daher die. Symbole 9 und p was immer für
Sunctionen, und ed ill

(EST) m er [Ef

fo wird die Gleihung Pdx + Qdy = o integrabel werden, wenn
man biefelbe durch Px + Qy dividirt.

}

Anmerfung

$. 539. Es Fönnen alfo unzählig viele Gleihungen angegeben
werden, die fich integricen laſſen, obgleich fich auf einem andern Wege
fehr fchwer einfehen Laßt, wie fich diefelben durd) Abfonderung der Ver:
änderlichen behandeln laſſen. Übrigens gehört :diefe Unterſuchung
eigentlich in dad zweyte Buch der Infegralrechnung,, deffen vortrefflice |
Materie wir fchon jept Fennen ; denn wir.baben eine Function R zweyer
Veraͤnderlichen x und y aus einer gegebenen Relation zwiſchen M und
N, naͤmlich aus der Sleihung Ux + Ny=o, oder

dR \
x (7 +,(Z = 0,

das ift aus einer beftimmten Relation der Differenzialien, abgeleitet:

— 3710 m

Kapitel W.

Von der parficulären Integration der Differenzialgleichungen.

Erflärung.

(. 540. ©, particuläred Integrale einer Differenzialgleichung
ift jene Relation zwifchen der Veränderlichen, weldye der Gleichung
Genüge leiftet, und feine neue conflante Größe »nthält. Es wird alfo
dasſelbe dem vollfiändigen Integrale entgegengefegt, weldyes eine in
der Differenzialgleichung nicht enthaltene Eonftante mit ſich führt, und
demnach das particuläre Integrale in fich einfchließt.

Zuſatz ı
6. 541. Iſt alfo das vollftändige Integrale befannt, fo Taffen
ſich aus demfelben unendlich viele particuläre Integrale ableiten, wenn
man jenen willfürlichen Conftanten immer andere und andere Werthe
beglegt, Ä
Zuſa b 2.
$ 542. Iſt alfo zwifchen der Veränderlihen x und y eine Dif:
ferenzialgleihung gegeben, fo geben alle Bunctionen von x, welche ftatt

y fubftituirt der Gleichung Genüge leiſten, particuläre SIntegralien,

wenn fie nicht zufällig vollftändig find.

3Zufaß 3.
$. 543. Da jene Differenzialgleihung ſich auf die Form Z=V
bringen läßt, wobey V was immer für eine Sunction von x und )y iſt,

ſo kann man dieſelbe für ein beſonderes Integrale anſehen, wenn zwi⸗
Yen x und y eine folche Relation angegeben ift, daß aus derjelben für

= und V gleiche Werthe folgen.

Unmerfung ı
$. 544. Biöweilen ift ed leicht, ein befonderes Integrale gleich»
fam in errathen; wäre z. B. die Gleichung gegeben:
2dy + Pdx= a2dx - xydz, .

fo fießt man fogleih, daß für y=x diefer Gleichung Genüge geleiftet

werde. Da nun diefe Relation nicht allein Feine neue Conftante ent-
hält, fondern nicht .einmal die in der Differenzialgleihung vorfom:
mende Conitante a, fo it dieſelbe auch ein befonderes Integrale, wor:
aus ſich aber für das vollſtaͤndige Integrale nicht folgern läßt. Oft
bierhet zwar die Kenntniß eines befonderen Integrald den Weg -zur
Auffindung des vollftändigen, wie fich dieſes in dem obigen Beyſpiele
wirflich ereignet, denn fegen wir in demfelben y=x-+ z, fowird |
edıtede td +2xzdıt 2dı=etdctHntditızde -
oder ‚ edz+- xzdx + 22dır=o,..

welche Gleichung für z = * in folgende übergeht:

ıvdx

dv — = dx,

Diefe Sleihung wird integrabel, wenn man fie durch

xdx x2
V ame multiplieirt, und gibt
e v — fe "dx oder ve" fe dx,
welches Integrale alfo tranfcendent ift, obgleich es jenes höchſt eins
fache particuläre in ſich ſchließt. Nimmt man nämlid, die durch In«

tegration von fe »*" dx eingeführte Conſtante unendlich groß, ſo
wird v=oo und z=o, alſo y=x. Bisweilen trägt aber das
particuläre Integrale wenig zur Auffindung des vollftändigen Integrale
bey, denn wäre z. B. folgende Gleichung gegeben:
addy+ ydx aadx 4 x’dx,

welcher offenbar y=x Genüge leiftet, fo erhält man, wenn y=x--z-

gefegt wird:
| adz + 3x?zdx + 3xz2dx + zdx = o,
Die Auflöfung diefer Gleichung ift nicht leichter als die der vorigen.

Ainmerfung 2

| $. 545. Bey diefen Bepfpielen fällt das particuläre Integrale
fogleich in die Augen; es gibt aber Fälle, bey welchen man dieß nicht
fo leicht fieht, tund obgleich man ſich dadurch felten den Weg zum voll:
fländigen Sntegrale bahnt, fo ift ed dennoch fehr oft von großer Wich-
tigfeit, dad particuläre Integrale zu fennen, da man durch dasſelbe

\

en 572] —— n

zweilen feinen Zwed erreichen fann. Denn wir fehen ſchon bey allen
ıfgaben, deren. Auflöfung auf eine Differengialgleihung führt, dag
: durch Integration eingeführte willfürlihe Conſtante durch die in
r Aufgabe liegenden Bedingungen felbft beftinimt werde, fo daß man
mer.nur ein particuläres Integrale nöthig hat. (Ereignet es fich das
e, daß diefes befondere Integrale ſich erfenuen läßt, fo kann ohne
ilfe des vollfiändigen Integrald das Problem aufgelöft werden, ob»
ih die Integration der Differenzialgleihung nicht in unferer Ges
le iſt. In diefen Fällen kann alfo die wahre Auflöfung ohne Inter
tion gefunden werden, während, eigentlich zu fptechen, feine Dif>
enzialgleichung für integrirt gehalten wird, wenn nicht dad vollftändige
tegrale derfelben angegeben ill. Es wird daher nüglich ſeyn, jene
le in. Erwägung zu ziehen, in welchen das particuläre Integrale
rgeftellt werden kann.
Anmerftung 3.

$. 546. Hier ift: Die Bemerkung von größter Wichtigfeit, daß
ht alle, irgend einer Differenzialgleichung Genfige leitenden Werthe,
ein partieuläees Integrale derfelben gehalten werden fönnen. Wäre
8. die Sleihung dy = — oder = v.—n geges
', fo wird für x=a fowohl Vea—x) = 0, ald auch? ==Y%

aß alfo für x=a jener Differenzialgleihung Senüge geleiit wird,
Teich diefer Werth fein particuläres Integrale derfelben bezeichnet,
n das vollfiändige Integrale ift y= C -— aVla — x), oder
-x=;(C—y). Man mag demnach der Sonftanten. C was ims
: für einen Werth beylegen, fo folgt Daraus doch niemald a — x—o,
dieſelbe Art wird der Differenzialgleichung Ä
xdı + d.y .
IS men

ch die endlihe Gleichung x? 2 =.a” Genüge geleiftet, fann
e nicht unter die particulären Integralien gerechnet werden, weil
in dem vollfiändigen Integrale y=C--V(x? + y?—a2) feineds
8 enthalten iſt. Es ift alfo nicht hinreichend für ein particuläres
egrale, daß durch. dasfelbe der Differenzialgleihung Genüge ges
bt, fondern es muß noch überdieß die Bedingung Hinzugefügt wers
„, daß es in der vollftändigen Integrale enthalten if. Man muß
bey der Beılimmung der particulären Integrale ſehr behutſam
uler's Inte⸗calrechnung · 1. DR ar

t

|

aber diefes befannt, fo wäre e8 überflüflig, durch eine befondere Mes
thode die particulären Integralien aufzufuchen. Denn es ift nur dann |.
vorzüglich vom Vortheile, zur Auffuchung der particulären Integrälien

“feine Zuflucht zu nehmen, wenn ſich das vollftändige Integrale nicht
auffinden läßt. Um alfo hieraus einigen Nupen fchöpfen zu fönnen,
müffen wir Kennzeichen aufftellen, welche uns lehren, ob die irgend |
einer Differenzialgleichung entfprechenden Werthe als particuläre Ins

tegralien angefehen werden Ffönnen oder nicht. Denn find gleichwohl |"
alle Sntegralien folche Werte, welche der Differenzialgleihung Ge
nüge thun, fo find doch nicht ungefehrt alle Werthe, welche der Dif: |:
ferenzialgleichung entfprechen, Sntegralien derfelden. Da man bisher

auf diefen Punct noch wenig Rüdficht genommen hat, fo werde id |

322
ſeyn, wenn nicht zugleich das vollſtaͤndige Integrale befannt ift. Iſt

mich bemühen, denfelben fo viel als möglich zu beleuchten, |
Aufgabe 7. ‚

$. 347. Wenn in der Differenzialgleihung 4-7
für x—=a die Function Q verfhwindet, fo foll mon |
die Sälle beſtimmen, in welden die Gleihungx—=al
ein particuläres Integrale der vorgelegten Differen
jialgleihung ifl. u

ı ‚Auflöfung. |
VBeilQ = 15. fo wird für x=a ſowohl Q=o, als auch

d . one
iz = o, und daher leiftet der Werth x—= a aud der gegebenen

nn aächuien-

Differenzialgleihung dy = jr Genuͤge; jedoch folgt hieraus nicht,
daß derſelbe ein particulaͤres Integrale ſey; denn es if noch nicht bins
reichend, fondern ed muß überdieß noch die Gleihung x=a in dem
vollftändigen Integrale enthalten ſeyn, wenn man nämlich der durd)
Integration eingeführten Conftanten irgend einen beftimmten Werth
beylegt. Segen wir demnach, es ſey P das Integrale der Formel

7 ‚ damit das vollftändige Integrale y=P-+C werde. Sept man

a, ſo fann dadurch diefer Integralgleigung nicht Genüge geleifiet
werden, wenn für x=a nicht P=00o wird, denn nimmt man dann.
die Conftante C ebenfalld als unendlich groß, fo vleibt yfür x—=a
unbeitimmt. : Wird alfo für x a die Größe P.=o8, ſo kann man

— 327 —

dann erſt die Gleichung x a für ein particuläres Integrale halten.
Wir haben alfo ein Kriterium für die Beurtheilung ‚ob ber der Diffe⸗

renzialgleichung dy — — Genüge leiſtende Werth x=a zugleich ein

particulaͤres Integrale derſelben fey oder nicht. Es iſt nänilich dann erft
jener Werth ein Integrale, wenn für x=a nicht allein CSo/ ſondern

auch P — Ye * — 00 wird. Um nun die Sache noch deutlicher

zu machen, wollen wir,- weil Q==o für x— a wird, Q=(a— MR
feßen, ‚wobey n eine beliebige pofitive Zahl bezeichnet. Da num. „die
Gleichung dy = 7 = m folgende Form . “
__ _adı« Bdx: ; a, . ydx Sdx
y- (a — x)® r (a yazı u (ap iron + R
annehmen fann, fo hängt dad Unendlichwerden der Größe, p von dem
Gliede SEE5 ab; wird diefes für x=a unendhich, ſo wirn auch
das Integrale P — unendlich wie fi. ‚die ubrigen. Sliedee
aud) gegenfeitig verfalten mögen.’ Es ift aber 5 zu 1t

adx :. . a . . 2
Sa — 2) * ‚a-1)@a— az"
welcher Ausdrud für x—a unendlich wird, ſo bald — 1 eine 1e hoflive
Zahl, oder auch ni iſt. Wenn alſo n. nicht kleiner als die Einheit
iſt, und ed wird Q=(@— x R geſetzt, ſo kann die Gleichung x ı=a
für ein partiouläreo Sntegrale genommen werden.

a m Tv

Ä 3 u f a 6 1.
9. a46. So oft alſo für Q — (a _ x)? R die Zahl n Hleiner ift
als die Einheit, fo iſt die Vleichans x— 3. fein: partieulaäres Integrale
der. Pilerenjulgleihung dr, * T ebguich dieſelbe der letztern Ge⸗
nüge reiten
Zuſatz 8. |
$. 540. Wenn der Exponent n kleiner als die Einheit iſt, ſo

wird die Formel - 8 unendlich fär- xma, und hieraus erhalten wir

ein neues Kenngeidin. Iſt nämlich die Differenzialgleihung d =

a1 *

%

um 7372, mm

dä
gegeben, und es wird für z=a war Q=o, aber = = 00, f
if der Werth x=a fein particuläred Integrale jener Gleichung.

Zu fa$ 3.
$. 550. Mit Ausnahme diefer Säle entfpricht alfo die Gleichung

dy e T' wo Q=o für x=a wird, ald particuläred Integrale

oe d un.
immer dem Werth xu= a, wenn nicht für za aud) oo wird;

dieß ift immer der Sal, fo oft der Werth der Formel 2 entweder
ein endlicher ift oder verfchwindet.

Unmerfung ı.

$. 551. Diefe auf die Umfehrung der hypothetiſchen Säge. ge
fügte Folgerung fcheint zwar verdächtig, und den logifchen Regeln zu
wider zu feyn, allein der ganze Schluß ſtimmt mit diefen Regeln voll:
fommen überein, indem aus der Aufhebung des Eonfequenten die Auf:
hebung des Antecendenten gefolgert wird. Denn wird. Q—= (a — x)" R
geſetzt, und es iſt der Erponent n fleiner als die Einheit, ſo. wird fuͤr
ne

x—a jedesmal 17,78: Würde nun ſür x a der Quotient =. |

nicht unendlich, ndre daher fein Werth ein endlicher oder —* er
verſchwinden, dann iſt beſtimmt der Erponent n nicht fleiner als eins,
er wird daher entweder größer oder gleich der Einheit; in behden Faͤllen

wird aber dann für x 2 das Integrale. pP 2 dr. = 00, und

daher iſt die Gleichung x=a ein particuläres Integrale. ou dem»

nad) Q: =0, wenn in der Differengialgleichung dy Er die Vers

änderliche x = a geſetzt wird, fo wird der Werth des Ausdtudes IQ 8

für x = a unterſucht, wird nun diefer, endlich bᷣder ſctwibet er,
fo ift die Gleichung x—=a ein parriculäred Integrale; wird aber jener
Werth unendlich, fo gehört er nicht zu den particulären Integralien,
obgleich er der Differenzialgleichung Genuͤge leiſtet. Dieſelbe Regel
findet noch Statt, wenn die Differenzialgleichung die vorm

oder — 5

hätte, und Q—= o würde für x=a, was auch P immer für eine

dy=

ww 19 ı Li

{

— 5325 mE

Sunction von x und y bezeichnen mag; ja es iſt nicht einmal nothwen⸗
dig ,- daß Q bloß eine Bunction von x fey, fondern ed kann auch y. im
derfelben wie immer verbunden erfcheinen.

inmerfung. 3.

$. 552. Die Demonftration gründet fi demnach darauf, daß
die Größe Q, welche für x—a verfhwindet, irgend eine Potenz von
(a—x) ald Factor enthält, was bey algebraiſchen Bunctionen für fich
klar ift. Aber bey tranfcendenten Zunctionen findet auch Diefelbe Res
gel Statt, da ſich diefelben hier wie Potenzen verhalten. Wäre z. B.

dy = — wo gekk—la=i! if, fo wird. Q=0,

wenn x=—=a geſetzt wird, man fuche daher De = F + und da dieſe
Formel für x=a nicht unendlich wird, fo " ı=a ein particuläred

Integrale. Dasfelbe gilt auch für die Gleidung dy = nz

ix —1a’
fo lange P nicht gleich Null wird für x—a, denn es ſey P = 7 fd
erhält man durch Integration y=-C-+l.(l x—In) und = er,
Sept man nun die Conftante C= co, fo. wird L- = 0 und, Daher
ma welched demnach ein particuläres Integrale ift. ‚Eben fo. wenn

dy= Pd

- ‚ wobey 0 e —e gegeben ift; wird Q = 0 für
e —e
| . d A F
x=a, weil nz = - e" und daher x = = für x = a wird, fo
iſt auch x Sa ein particulaͤres Integrale. Um nun die Integration
ausführen zu Fönnen, febe man P=e*, ſe wird, weil |
* y-C

aorel. (e — e), e— e+et,

und für C = oo wird, er ==6, alfo xoa, weiches demnach offen»
bar ein partieulaͤres Integrale ift. .

Beyfpiel ı
$. 553. Wenn die Differenzialgleihung y= *F— —,

\

mim 520 mim

{in welcher S für x = a verfhwinden folf, worgetegt |
ef, fo foll man die Fälle beſtimmen, in welchen bie I.

Gleichung x=a rin particuläres Integrale ift.
Weil hier VS Qu;fe wird Nm, a damit nun x a

d48
ein ‚particuläred Jotegrale werde, muß ver Auotient 3 =; adıys

für zern.a: nothwendig eine endlihe Sröße werden, Es muß alfo aud
in er „Heft Faue die PART ; endlich werden, und daher muß

. == 2.
auch SS, ftgtich auch * =. zugleich mit 8 verfhminden dann ‚aber

erhalt jener Bruch | fir—a den. ‚Werth, asus _ * — 2 f welcher
demnad), entiweder endlich werden oder ‚verfowinden muß. Damit dem
nach die Öleihung x—=a ein particulaͤres Integrale der vorgelegten
Gleichung werde, find Folgende Bedingungen‘ arforderlich: erſtens muß

ds
So, für Ka, Per oweytens Tr und dritten& muß der

Werth des Ausdruckes = ‚entweder endlich werden ober ‚verfchwinden,

er darf alfo nicht unendlic) groß werden. Wenn S eine ‚rationale Zune
tiön iR, fo befchränfen’ ſich diefe Bedingungen darauf, da Ss die swepke
vder eine höheres Poteng vun (a—x) als Factor enthaͤlt * - --
ER Bu :Unmerfung. Bu

§. 554. Diefe Auflöfung findet Anwendung bey-der Beurthei-
lung, ob die Bewegung eines zum Centrum. der Kräfte ‚getriebenen
Körpers eine Freisförmige fey. Denn fey der Abftand ded Körpers
vom Mittelpuncte der Kräfte gleih x, und. die diefem Abfiande ent:
fprechende Gentripetalfraft gleich x jo findet man für die Zeit t die
- Differenzialgleichung -

dt— ıdı

‚VIEZ2— 0—2a12/X dx)’
wo E die durch die vorhergehende Integration eingeführte Conſtante
bezeichnet, deren Werth fo zu beſtimmen iſt, daß der Gleichung für
x==a Genüge gefchieht, in welchem Balle fi der Körper in einem
Kreife bewegen wird. - iſt alſo bir S=Ex? — ct — 2 ax’ /Xdz;,

oder es kann 8* *E- — — 2a/Xdx geſetzt werden. Es muß alſo

— — — — en a heiten — — Ft

nicht allein diefe Größe, fondern auch ihr. Differensiäle 8 —— 24 X

für *718 verſchwinden, wobey jedoch das zweyte Differenziale
2 = = _. zei nicht unendlich werden darf. Es bezeichnet
alfo die Conflante a den aut der Gleichung ax? X = c* fich ergeben⸗
den Werth von x, welder der Halbmeſſer des: Kreifes ift, in welchem

der Körper fich bewegen Fann, fo lange nur die, die Sefchwindigfeit
befümmende Conſtante E fo gebildet ift, daß E=.Z 4 aa/Xdx
für x=a werde, wenn nicht zufälliger Weiſe in dieſem Falle der Aus⸗

4X
druck — 4 * ‘oder wenigſtens der Auotient = unendlich wer⸗

den ſome; denn ſollte ſich dieſes ereignen ; ſo wiirde die Bewegung
im Kreife aufgehoben. Um diefes zu zeigen, feßen wir X=b-+ Yla—x),
bemit == — 7, für x a unendlich werde, fo wird aa’ brss
ans ber Gleichung ai ct gefunden: Beil aber dann

Xdx = bx— a ( iſt, ſo wird.
E=aab + aaab — 3aab,
und unſere Gleichung ‚verwandelt fich in-

d= xdx

at!
V[3aabır — aasb — aabıs + tax? (a—s)"]

von welcher Gleichung offenbar x=a fein Integrale ift, denn es wird

rel) eb ehrt an a beVame)

und weil.nicht a—x, fondern nur (ax) als Factor hier erſcheint,
ſo kann auch das particuläre Integrale x=a nicht Statt haben.

i Beyfpiele.
s. 555. Die Differengielgleigung dy= Bir, im
vSm
welcher 8 für x=a verſchwinden ſoll, ſey gegeben.
Man beſtimme die Fälle, in welhenx=a ein partis
euläresd Integrale if. |
Beil S=o für x=a wird, fo fann main S= (a— x)!
in m

fegen, dann wird der Nenner VS" — == (—s)" Re, und es iſt nun

\

— 325 —
klar, daß die Gleichung xa ein particulaͤres Integrale der vorgeleg
ten feyn werde, fobald * eine poſitive Zahl, die groͤßer als die |
heit, oder wenigftend gleich der Einheit ift, bezeichnet ; d. i. wenn
entweder A = — oder 2 > — ift, welches fich fehr Leicht beurtheilen

läßt, wenn S eine algebraifche Zunction if. Iſt dagegen 8 eine trans
fcendente Zunction, fo daß ſich A nicht in Zahlen ausdrüden Täßt, |

muß man fich folgender Regel seinen. Wenn v= = 2 geleht

- * 45 ‚ und ber Werth dieſes Ausdruckes
muß für x—a Gatwebier endlich ſeyn oder verfhwinden, wenn. x=a
ein Integrale feyn fol. Es muß demnach auch in diefem Halle die

Größe — * endlich ſeyn. Man ſuche alſo den Werth dieſer For⸗

mel für 554, wird dieſer unendlich groß, fo iſt Die Gleichung za
fein partieulaͤres Imegrale; wird dagegen jener Werth endlich oder
verfchwindet er, fo it xa zuverläßig ein pattichläree Integrale ‚der
. vorgelegten Gleichung.

Es müffen hier zwey Fälle aufgeftellt werden, je nachdem enb
weder m>n oder m<n ill.

I. Wenn m>n ift, fo wird, weil SS = o für : xoa wird,

wird, fo wird ' = —=_-

wenn nicht etwa in dieſem Balle 7 * == 00 wird, zuverlaͤßig x == a

|

ein particulares Integrale. Wird aber = 00, fo kann za.

ein partieuläres Integrale ſeyn oder nicht. Um nun dieſes zu erkennen,

ſetze man * = T, damit unſere Formel in 8 — übergehe, bey
welchem Ausdrucke ſowohl Zaͤhler als Nenner Kies xm=a verſchwinden.
Dadurch findet man den Werth desſelben
(m —n)Sm-a—ıdS _ — (m—n) Sn-a-ı dSnts,
amd — en
wird Diefer Werth endlich oder verfchwindet er, fo wird x == a ein In⸗
tegrale, Auf ähnliche Weife kann man weiter gehen, wenn man die

Zälle, in welhen m>n-+ı und m<n--ı iſt, unterfcheidet.

MH Iſt af fo wird unfere Formel a Soll diefer

—n 520 sm: '

Ausdruck endlich werden, fo muß I o, und’ Weil Zähler Tb

Nenner für x==a verſchwinden, * fen fi ich der Werth unferer 50.
mel in folgender Form dar: -
ndSn—ı d2S | ndSs—»d2S

(n—m)Sa-mıdSdın (n— m)Se—m-ıdzı’

welcher Ausdruc endlich ſeyn muß.

Am ’leichteften fommt man aber zum Ziele, wenn man gleich

xs=a-t-uo ſetzt; denn da S für x—a verſchwindet, fo laͤßt ſich durch
diefe Subftitution die Größe S immer auf folgende Form zurüdführen:

Po® + Qu? + Ro? + 1097

ns

wobep nur das einzige Glied P«w* die. niedrigfte Pam von w enthals

ten fol. Wenn. nun entweder «a = — oder = >= m ſo ii noth⸗
= 7 nie

.: 24

wendig x==a ein particuläres Integrale. 1 ‚

Anmertung

g. 556. Dieſe letztere Methode iſt die ſi icherfie, und wird auch

bey tranſcendenten Functionen immer mit dem beiten Erfolge angewen·
det; denn wäre die Differenzialgleichung dy. = pe gegeben, in

welcher für X a zwar Q, aber nicht der Zähler P verſchwinden fell,
fo ſetze man fogleih x=a + «w und betrachte w als unendlich Hein,
damit alle höheren Potenzen gegen die niedrigfte verfchwinden, fo wish
die Größe N. die Form Bw erhalten, woraus erhellt, daß zuverläßig
x a ein particuläred Integrale der vorgelegten Bleichung ſeyn werde,

wenn, 2 nicht Fleiner als die Einheit iſt. Hätten wir z. B. die Differen⸗

sofgleichung dy= — — in welcher der Nenner füs

V( + cos =) —

x a verſchwindet ‚weil cos. — — 1 iſt, ſ ſetze manx—=a — oo,
ſo erhaͤlt man

xx KUN PER
cos. — cos — — — — 1
(— -ı+

2.a2 ’
weil o unendlich Flein ift. In unferer Gleichung wird daher der Nen-

ner = woraus wir fchließen, daß x==a wirflid ein parti⸗

euläres Integrale ſey, Dieß wird aber nicht der Gall ſeyn bey fol:

—

gender Oleihung:. J J oe)
u dx
dye =

X rn SF

Aufgabe 7m.
$. 557. Es ſey eine Differen zialgleichung gege
bes, in:weldher die Veraͤnderlichen ſchon abgefondert
ertheinen, man foll. die particularen In tegtalien
derſelben auffſuchen.

———
Die gegedene Differenzialgleihung ſey — dx _ =, tm welche

X:bloß eine Sunctiom“ von x, und X bloß eine Benetien 'von:y feyn fol,
Man fege zuerfi X=o, und ‚June, hieraus die Werthe von x, deren
jeder x—a ſeyn fol, fo daß für x=a, a — werde; hierauf unter⸗

ſuche man den Werth, der Bormel’ = — — für =; ‚wird dieſer nicht

rn

-
.
—

wendlid,. fe- imma. zuverläßig in yarticnläres Autegrale der vor⸗

gelegten Gleichung. Oder man ſetze za + w und betrachte & als
unendlich klein, und wird das Refultat X_Ppal , fo wird die Sfeis
dig x—a ald-ein particuläred Integrale angeſehen werden fönnen,
wenn der Erponent A'nicdyt Peiner als‘ die Einpeit iſt. SR aber A<ı,
M iſt x=ia fein particulaͤres Integrale.

Auf diefelbe Art unterſucht man auch den Nenner Xdes andern
Sheile, der Fe verfchwindet. diefer für y=b, und wird in dies

fein Fallen = — hit unendlich, fo it y==b ein particuläreö Integrale,

Sieg: ergibt 1 demnach auch, wenn Y=Q —* für y„=b + o wir,
woben der Erponent A nicht Fleiner ald die Einheit feyn darf.

Zuſatz ı.
$. 558. Sind demnach) die Glieder einer abgefenderten Gleichung
nicht Brüche, deren Nenner in gewillen Sällen verſchwinden, ſo laͤßt
jene. Sleichung feine folchen particulären SIntegralien zu, wenn nicht
etwa zufällig in einer folchen Gleichung von der Zorm Pdx— Qdy
die Sactoren P und Q in gewillen Fällen unendlich "werden, welcher
Zall aber leicht auf den vorigen zurüdgeführt wird.

.. - nn —— ent inte ne Eee u —⏑—
üöçÿj· — —— — ——— —— — — — n *

mm 5531 ame

Bufap.n | n
$ 559.. Haäͤtte man z. B. die Gleichung dx tang. > *8
ſor iſt. pygt y=b ein particulaͤres Integrale, allein man "muß, wei

für x=a die Größe tang. - — = o' rwird, daß erfte Glied der Gleichung

auf die Form ringen ‚wo dann der Nenner für xz=a-—w
Ta ,. cotans. —* “
nern im m. u
#0) To
Cotang. & m. =*) = tang. — 3 * 73* F

’ "Da:mun hier der Exponent von nicht kleiner als die Einheit
if ,.fo.ift auch die Gleichung x=a ein. particnläres Integrale.
min, a aufag 8. . *
fr 560. Es Körner Demnach bisweilen für eine und iefelbe © lei
sung sen oder mehrere parzienlare Integralien rer © werden)

fo —
den particulären Sntegralien a—ı=o md —— 0% welche ud

aus dem. vallffändigen Integrale (a — x)n = C (b— y)" fi ergeben,
und zwar das erftere fir C=o, das legtere aber für C=oo.

12 Is

.n Ä "Bil, bay.m
.. gg ab. Eben fo hat bie Sleihung * meix _ = bie. ‚vier
particularen Integralien atı=o ,„ a—xım0, b--y=o und
b— Jz0 das vollſtaͤndige Integrale aber iſt

43. =]. I =:Cc+21. (>), oder

(— +2)" = (2), oder
@+.»6-„= C(a— x)” (b+-Y),

woraus jene partieuläre Integralien von ſelbſt folgen.

oo. 3ufag 5.
.. " nm Pdx

i $ ‚562. Wäre alfo dy = — — —
| a+9"b+n.ce+9?
fegt fo folgt aus. dem Geſagten, daß a px o, O,

e10, particuläre Integralien ſeyen, wenn die Exponenten 8

vorge⸗

’

— 3572 mn
B, y, ꝛc. nicht Fleiner als .die Einheit find. Bezeichnet demnach O

. ne: . Pd
eine rationale Function von x; und iſt die Gleihung dy = u ge:
geben, fo geben alle Bactoren von Q, wenn fie gleich Null geſetzt wer⸗
den, particulaͤre Integralien.

Anmerfung ı \

9. 563. Diefe Bemerfung gilt auch von den imagindren Facto⸗
‚ren, obgleidy foldhe wenig Vortheil gewähren; denn wäre die Gleichung
dy= * gegeben, fo entſpringen aus dem Nemer (a* -—- x)
die particulären Integralin may —ı, = —ıy —.ı,. welde
fi) aus dem vollftändigen Integrale y== C 4- arc. tang. = nicht fo
leicht zu ergeben foheinen. Für == ay — ı aber ift zu bemerken,
daß arc.tang. V - 1 =ooY—ı. Gibt man demnad her Conſtan⸗
“ten C eine ähnliche Form mir entgegengefegtem Zeichen, fo bleibt die
andere Größe y unbeftimmt, wenn auch x—=ay—ı gefeht wird.

Demungeadhtet ift diefe Annahme für ein particulaͤres Integrale zu dt
ten, denn es ift im Allgemeinen

arc.tang.uy— 1 [7 _ YZ! ‚ta;

1 — u? 2 r— u

und hieraus erhält man fowohl für um ı, ald au) u=—ı zum
Nefultate oo V— ı, weil das Unendliche veranlaßt, daß bie ange:

zeigten Integralien Statt finden:' "Es laͤßt ſich daher allgemein behaup⸗

ten, daßa-+-x=o immer ein paeticuläred Integrale fey für die Glei⸗
dung dy= —— „wenn der Nenner Q den Factor (a+x)} enthält,

und A nicht Fleiner ald die Einheit ift, Wenn aber R auch pofitiv, jedoch,

Feiner als die Einheit ift, fo ift a--x=o fein particuläres Integrale,
obgleih x—= —.a der Differenzialgleihung Genuͤge leiſtet.

Anmerkun g 2.
$. 564. Merkwürdig iſt allerdings dieſes Paradoxon, welches
meines Wiſſens noch von Niemanden bemerkt wurde, daß einer Diffe⸗
renzialgleichung ein Werth Genuͤger leiſten kann, ohne ein Integrale
derſelben zu ſeyn, und es laͤßt ſich kaum abſehen, wie dieſes ſich mit der
gewoͤhnlichen Idee der Integralien vereinbaren laͤßt. Denn ſo oft man
für eine vorgelegte Differenzialgleichung eine ſolche Relation zwiſchen

4

üö ——— —— —————— ·. —— ⏑

— 5359 a

der Veränberlichen aufftellen Fann, durch deren Subftitution in jene
Gleichung Genüge geleiftet, oder eine identiſche Gleichung hervorge⸗
bracht wird, fo wird es kaum jemanden einfallen zu zweifeln, daß jene
Relation wenigitens für ein particuläred Integrale genommen werden
könne, und dennoch geräth man hiebey leicht in Irrthümer. Obgleich
z. B. der Differenzialgleichung |
\ | dyV(a? — x — y)='xdr 4 ydy

durch bie endliche Gleichung x? + y= = 'a® Genüge geleiftet wird, fo
würden wir dennoc, einen ungeheuren Fehler begehen, wenn wir die
felbe für ein particuläred Integrale nehmen wollten, weil fie in dem
completten Integrale y=C— V (a? — x? —y?) keineswegs enthalten
it. Obgleich daher jedes Integrale der Differenzialgleichung Genüge
leiften muß, fo koͤnnen wir dennoch nicht umgekehrt fchließen, daß
jede endliche, Genüge leiftende Gleichung ein Integrale derfelben ſey.
Denn es wird noch überdieß erfordert, daß jener endlichen Gleichung
irgend eine Eigenſchaft zukomme, die wir hier aus einander geſetzt ha⸗
ben, und durch deren Erfüllung fie erſt im vollſtaͤndigen Integrale ent⸗
halten ift. Übrigens fleht diefer Umftand der wahren hier gegebenen
Lehre von den Integralien Feineewegs entgegen, und ein folder Zwei⸗
fel kann bey den durch ſichere Regeln aufgefundenen Integralien nie⸗
mals Statt finden, fondern nur bey jenen Integralien, welche wir
gleichfam durch ein glüdliches Errathen gefunden haben. Wenn die
Integration übrigens nicht gelingt, fo kommt aber gerade auf ein glück⸗
liches Errathen das Meiſte an, und dann müſſen wir beſonders auf
unſerer Huth ſeyn, daß wir nicht irgend eine Relation, die Genüge
leiſtet, irrig für ein particuläres Integrale halten. Nachdem wir nun
über diefen Punct bey den abgefonderten Gleichungen ins Keine ge:
fommen find, fo wollen wir nun forgfälttg unterfuchen,, wie bey- ‚allen
Differenzialgleichungen. derley Fehler vermieden werden Fönnen.

Ä Aufgabe 73.
$. 565. Wenn irgend eine Relation zwifdhen zwey
veränderlihen Größen einer Differenzialgleihung
Genüge leiftet, fo foll man unterſuchen, ob diefelbe
ein particulaͤres Integrale ſey oder nicht.
Aufléſung.
Es ſey PdxQd) die vorgelegte Differenzialgleichung, we—

— 737%, m

bey P und Q wad immer für Zunctionen von x und .y bezeichnen.
Diefer Gleichung fol jede Relation zwifchen x.und y Genüge leiften,
durch welche y—= X, nämlid irgend eine Function von x wird, fo
daß wenn durchgehends X ſtatt y gefept wird, die Öleihung Pdx—Rdy

oder — * wirklich erhalten wird. Es fragt ſich demnach Hier,

ob der Werth y=X für ein particuläred Integrale der vorgelegten
Gleichung gehalten werden. rönne ver u RUm dieß zu beurtheilen,

p'
fege man te fo wird "+2 1: ‚= Ti woraus die. Slei:

hung = = - für =0 aan wird, Durd dieſe Subſiitutien

reducirt ſich — der Ausdruck 7 anf, nebſt einer. mit. o ber

hafteten Größe, welde für »—=.o verfchwindet. Bey diefer Rechnüng
iſt es hinreichend, co als einen unendlich kleinen Theil su betrachten,
deſſen Höhere Potenzen’alfo gegen die niedrigfte ald verfchwindend be:
trachtet werden fönnen. Wir wollen daher annehmen, ed werde
5 = = + SA, fo erhält man sul oder = = .Sdı.
@
Aus dem Vorhergehenden aber ift bereits klar, daß y* X nur dann
ein particulaͤres Integrale ſey, oder daß == 6 werde, wenn der Er:
ponent A gleidy oder größer ald die Einheit ift; denn es iſt hier ber-
felbe Grund wie oben für die Erforderniß vorhanden, daß das Inte⸗

do
grale /Sdx -/% x im vorgelegten Falle unendlich werde; ; in je⸗
@

nem alle nämlich, wo @==o ift; dieß aber ereignet fi nur banıt, wenn
A1 ver a>ıift; Teiftet alfoy=—=X der Sleihung Pdx= Q d j oder
d

Er = 5 Senüge, fo fege man y —X+ w, wobey @ als unendlich

klein angeſchen wird, und unterſuche die dadurch entſtandene Sormel

5=i = — + Sl r aus welcher ih, wenn nicht A<ı ift, fehließen

läßt, * der Werth y X ein particuläres Integrale der 7 vorgeleg:
ten Gleichung ſey.
Anmerkunng. rn
S. 566. Da wald eine unendlich kleine Sroße behandeit wird,

fo ſcheiut es, als könne man den Werth von für y=X-+ooam

—

— 555 u
bequemften vurch Differenziation beſtliumen. Denn weit‘ 5 eine Fune⸗
tion von x und y iſt, fo ſetzen wir ” nn “ BEE
d.g=Mdx + Ndy, .
und weil für y—=X der Brudh 5 der Vorausſetzung gemaͤß in 3
übergeht, wenn i-+o flatt — * wird, ſo wird ſich dieſelbe yer⸗
wandeln in * + Nw, und ‚hieraus würde, weil. ‚der Exponent für

o die Linhei „folgen, daß die Gleihungy—X:; immer ein. parti⸗
culäres Integrale fey, was jedody der Fall nicht feyncfann. , Hierand

ergibt ſich demnach, daß may die Differenziation nicht flatt der Sub— |
flitution anwenden Fönne. Um dieß 2 Toutlicher zu zeigen nehmen

wir an, es ur 5 = vo X) +7 —, fo. falten wir hieraus
offenbar : _ 4 Fe + Vo. für y. - X + wo. Segen | wir aber |

| d. = Mix Näy, =
fo oralen wir durch Differemhiatien N — and daher
—E * = + No, welder Ausdrug von dem vorigen abweicht. ge⸗
ner Ausbau fchließt nämlich die Gleichung y=X aus der Reihe der
Integralien aus, dad Gegentheil aber ſindet bey dem letztern Aus⸗
drucke ſcheinbar Statt. Übrigens muß man auch hier bemerken, daß
die Größe N ſelbſt eine Potenz von c negativ einſchließe, daher muß
Die Potenz; w weggelaſſen werden. Um jedoch hierauf nicht reflectiren
zu müffen, it es immer beſſer, der Subjiitution ſich wirklich zu bedie⸗
nen und die Differenziation zu bejeitigen. Nach Diefen Bemerfungen :
wird es nicht mehr fchwierig feyn, zu beurtheilen, ob die irgend einer
Differenzialgleichung Genüge leiſtenden Werthe wirtliche Integralien
ſeyen oder nicht.

Bey fpiel ı.
$. 567. Weil der Sleihung ....

dx (1 — yrp = dy (1 — ae),
y=x offenbar Genüge leiftet, fo unterfuhe mon, ob
biefer Werth ein particuläres Integrale der vorge
legten Sleihung fey oder nicht. vun

dm 950 nme

. Mau ſehe y==x-+o und betrachte » ald eine ſehr kleine Groͤße,
fty=ı-r tmımo, md
(1 - yP)r=(ı mo mar w)®
== (1 — x") — mnx<" 0 a — x),

und hieraus findet man flatt der Gleichung — — 2 —

(1 — ım)»

ur 4 de =ı- Mmnım—ı9 oder de __ masar
dx

3 — ;ı= @ ı — ım

Weil nun hier @ einen ganjen Erponenten hat, fo ift die Glei⸗

folgende:

-

chung y=ax zuverläßig ein partieuläres Integrale der vorgelegten Dif:

ferenzialgleichung
Bey {p iel =
g. 568. Da der Werth y=xder Öleihung
ady — adx =.dx Y(y? — x?)
®enüge leiftet, fo unterfuhe man, ob derſelbe ein
particulaäres Integrale ſey oder nicht.
Man ſetze y=ı+tw, wobey « als unendlich ai genommen

werden fol, fo wird adw = dıyaxo oder

weil Y(y? — 22) = Yaxo ifl.
| Da num hier dw durch eine Potenz von’ co, deren Erponent

kleiner als die Einheit iſt, dividire wird, fo folgt, daß der Werth
yazx fein particuläres Integrale der vorgelegten Sleihung fen, ob»
gleich er derfelben Genüge leitet. Denn wenn maun das vollſtaͤndige
Sintegrale darftellen fönnte, ſo wärde man fehen, daß. wie man aud
die willfürliche, ‚durch Integration eingeführte Conflante beſtimmen
würde, die Gleihung y=x in derfelben nicht enthalten fey.

*

Anmerkung.
. 569. Man erhält demnach einen neuen Grund, warum bie
Beurteilung des Integrald vom Erponenten der Größe » abhänge.

Denn da indem vorgelegten Beyſpiele 7 dxvaeæx wird, ſobald man

yx- ſetzt, fo erhält man durch Integration za Va—=C+:txrYyYar.
Der Vorausfepung gemäß aber ift w eine unendliche kleine Größe;
man mag demnach die Eonftante C-wie immer beftimmen, fo erhält
Die Größe w einer endlichen Werth, welcher fogar. fo groß werden
kann, ald man nur immer will; weil dieß aber unferer Worausfegung

— _

— 337 —

widerſpricht, fo folgt nothwendig, daß die Gleichung y=x fein Ins
tegrale feyn fönne, und daß dieß immer der Fall feyn müffe, fo oft

d«s durch eine Potenz von wo, deren Erponent Fleiner als die Einheit

iſt, dividirt erfcheint. übrigens iſt dagegen auch klar, daß wenn durch

die angeführte Subſtitution * = Rdx wird ‚damitlo=1C-+-15S

oder @==C5S werde, wenn /Rdx = 18 gefegt wird, daß die Größe
“ verfchwinde, wenn die Conftante C verfchwindet. Eben dieß ift auch

d .
der Fall, wenn man nn = Rdx findet, und A>ı ift; denn dann

0)

wird — —* C — 8 oder A—ı)adlm! == ern “und für

Q—ı)o
C=o0 verfchwindet in ber That w, wis, bie Vorausſehung es
verlangt.

übrigens wird die Gleichung in dieſem Beyſpiele für xp: — 2?
und y==p?: + q? von der Serationalität befreyt, und man erhält
aagdqg = 4pq (pdp-— qdg), pder adq = ptdp — pgdgq,
welche Gleichung nicht integrierbar zu feyn ſcheint; man kann demnach
auch ihr vollftändiges Integrale nicht angeben. Da nun diefer Glei⸗
chung der Werth x=y oder q=o nicht mehr Genüge leiſtet, fo laͤßt
ſich auch hieraus ſchließen, daß y=x fein partieulaͤres Integrale ſey,

| Beyfpiel 3
$, 570. Zu unterfuchen, ob der Werth y=x, wel:
her dsr Sleihung |
ady — adı = dx ya)
.Benüge feiftet, ein partieuläres Integrale fey, oder _
nicht. -
Man fege y=x-+ w und betrachte o als unendlich klein, ſo er⸗
alt wegen "}P—ı!zmaxro unfere Gleichung folgende Form ;
do == sxadx pder en = axrdyı,
ı. Da nun hier dw durch dig erſte Potenz von w bividirt wird ‚fe
ift auch der Werth y=x ein particuläred Integrale der vorgelegten
Gleichuns, und iſt ſogar auch in dem vollſtaͤndigen Sntegrale enthal⸗
ten; denn dieſes wird gefunden, wenn man 18 =-ri— — fest 2 denn

Euiers Integralrecnung · 1. BD

— 5538 im
hiedurch erhält man | u
ardu = dx = _ 3a? —) oder du j aurde surde en 8 *

Multiplicirt man durch o, fo erhält man de das Iaieheale |

e”um=C-+ ferdz,
und hieraus -

yxı— are“ : (C + fe*' dx).
Nimmt man demnach die Conflante C unendlich groß, fo wird
y m X,
Anmerfung. - re:
$. 571. Sept man in diefer Gleichung wie oben x = = _ gt
und y=p* + q?, fo wird
adq = 2p’g(pdp — ad
und diefer Gleichung leiſtet g=o Genuͤge woraus ſich dann der par⸗
ticulaͤre Fall y=x ergibt. Hat man dieſe Transformation gemacht,
ſo laͤßt ſich ſehr ſchwer erkennen, wie man das Reſultat integriren
muͤſſe. Ziehen wir die obige Reduction in Erwägung, ſo werden wit
einfehen, daß dieſe Gleichung integrabel werde, wenn man Diefelbe
(pP? — ar
durch — multiplisirt. Da diefes nicht fo. leicht in. die Augen

fat, fo wird es gut feyn, die Subftitution p — q?==r? zu machen,
denn dadurch wird PP=gq?+r? und pdp—qdgq=rdr; demnad
geht unfere Gleichung über in ®dq= 2grdr (?+r), oder

"=ardrtaTZ AT, Sept man endlich = s, fo laͤßt ſich

dann das Integrale Teich beflimmen. So oft man alfo eirie folde
Kelation zwifchen den Veränderlichen auffinden fann, welche der Dif
ferenzialgleihung Genüge leiſtet, fo läßt jich auf diefe Art beurtheifen,
ob man jene Beziehung für ein particuläred Integrale halten Fönne
oder nicht. Es laſſen fich aber kaum für die Auffindung ſolcher parti⸗
eulärer Sntegralien Regeln angeben, denn die Regeln, die man hat,
führen eben fo gut auch zur Beftimmung der voliftändigen Integration.
Wie wir alfo ſchon oben: rücfihtlich der abgefonderten Gleichungen
bemerkt haben, bahnen wir durch die Abfonderung der Gleichungen

| — 339 Wei

- felbft zugleich den Weg zur Beflimmung ihres vollftändigen Integrals.
Gelingt aber die zweyte Integrationsmethode; nämlich die durch Mul⸗
tiplicatoren, fo kann man auf ähnliche Weife, meiftens aus den Facz
toren felbft, durch welche die Integrabilität der Gleichung hergeftellt
wird, auf die particulären Integralien (ließen, f wie wir in folgenden
Saͤtzen zeigen werden.

Lehrſa dtz.
g. 572. Benn die Differengialgleihung
u Pdx + Qdy=o
dar ch die Function M multipliecirt integrabel wird, fo
if M= o ein particuläres Integrale derfelben, weh
nicht Pund 2 in dieſem Falle unendlich werden.

— tt.
Far a er!

Zn FE
Beweis.

Nehmen wir an, es fey u ein Factor von M, fo iſt zu jeigen,
daß die Gleichung u=o ein particuläred Integrale der vorgelegten
Sleihung fey. Da nun u einer gewilfen Zunction von x und y gleich
feyn wird, fo beftimme man Hieraus die zweyte Variable y,-fo daß
eine Gleichung zwiſchen der Veraͤnderlichen x und u erhalten werde,
Diefe Gleichung fey RAx + Sdu= 0, wird demnad) der Duteift-
cator M= Nu gefeßt, fo erhält man die integrable Gleichung

NRudx + NSudu = o. ‘

Iſt hun weder R noch S durch u getheilt ‚ in welchem alle fur
uo weder P noch Q unendlich wird, To ift auch das Integrale durch
u theilbar. Man fuche diefes nämlich entweder. aus dem Gliede NRudx,
indem man u ald unveränderlich betrachtet, oder aus dem Gliede
NSudu, indem man x als conftant anfieht, fo wird das Integrale
den Zactor u enthalten, wenn man bey der Integration die Conſtante
außer Acht läßt. Hieraus fehließen wir, daß das vollftändige Inte⸗
grale die Form V=uC hat. Wird demnach die Conſtante gleich
Null geſetzt, ſo wird u=o ein particuläres Integrale, ausgenommen
in jenen Faͤllen, in welchen die Functionen Rund s ſchon ſelbſt durch

u dividirt “erfcheinen würden, in welchem Falle dann unſer Schluß
Feine Gültigkeit haben würde. Mit Ausnahme diefer Faͤlle alfo wird,
fo oft die Gleichung Pdx + Qdy== o durch Multiplication mit der

Funetion M integrabel wird, und eben diefe Sunction M den Sastor
ar

N

zum 534,0 m

„ enthält, die Gleichung u=o ein particuläred Integrale ſeyn. Das
felbe gilt von jedem andern Factor der Bunctton M.

Anmerfung.

$. 573. Die beygefügte Befchränfung ift abſolut nothwendig, |

weil ohne Rückficht auf diefelbe der ganze Schluß unrichtig wäre. Um
dieß noch deutlicher zu zeigen, betrachten wir die Sleichung

d
7—: +dy—dı=o,
welche durch y—x multiplicirt, offenbar integrabel wird; feßen wir
demnach den Drultiplicator 1x =u oder y=x-Lu, fo geht un

fere Gleichung über in — = + du = o, und diefe verwandelt ſich

durch Multiplication mit u uinadx--udu=o. Da nun der hei Ä

adx nicht durch u multiplicirt ift, fo Fann man keineoͤwegs fchließen,
daß das Integrale ax + _ durd) u theilbar feyn werde. Man ſieht

demnach, daß, wenn nur der Theil dx durch u multiplicirt wäre,
wenn auch der andere Theil du einen Factor u nicht bey fi führte,
würde dennoch dad Integrale durch u theilbar feyn, wie dieß der Fall

ift bey dem Ausdrude udx + xdu, deffen Integrale xu auch den

Faktor u enthält. Es ergibt ſich hieraus, daß wenn 'die Kormel
Pudx 4 Qdu für ſich integrabel wäre, fo lange nur Q nicht durch
u oder eine höhere Potenz ald die erfte dividirt ift, auch das Integrale
durch u theilbar feyn werde, fobald man die Eonftante vernachläßiget.

Lehrſatz.
$ 574. Wenn die Differenzialgleichung
Pdx + Qdy=o |,
durch die Sunction M dividirt integrabel wird, fo if
M=o ein particuläres Integrale, wenn entweder
pP oder Q für M=o nidt verfhwindet.
Beweis.

Es fey u ein Factor des Diviſors M, fo daß U— No wird, fe
muß gezeigt werden, daB u==o ein parficuläres Integrale fey, was
dann von allen einzelnen Sactoren des Divifors M, wenn er Deren
"mehrere haben follıe, gilt. Da alfo u eine Function von x und. y. ifl,
fo drücke man y durch x und u aus, fo daß man eine Gleichung vos

— 341 eu

der Form Rdx + Sdu— o erhält, welche aiſo burch Nu diibirt,

für ſich integrabel wird. Man muß demnach das Integrale der For⸗

mel — —— —* = beitimmen, wobey wir annehmen, daß. weder R

noch 5 den Gactor u enthalte, und daß auf dieſe Art der Bactor u aus
dem Nenner zu wegfalle. Wenn wir nun bloß dad Integrale.von

dem @liede -

— nehmen, und dabey u als Lonſtant betrachten, ſo

erhalten wir 78 Bdz, + (5 nehmon wir aber das Integrale

von dem andern Gliede nr. indem wir x als beſtondig anſehen, ſo

wird, weil S den Factor u nicht enthält, dieſes Integrale fo beſchaffen
feyn, daß es für 10 ühendlic) wird. Es ift ſonach daB Integkaͤle,
welches wir durch V bezeichnen wollen, fo gebildet, daß es gleich un«
endlich wird für u 0; teil'nün’das voliftändige Integrale V=C
feyn wird, fo wird diefer Gleichnng, wenn die Couſtante C unendlic)
groß genommen wird „ durch u=o Genüge geleiftet. Hieraus fchlies
fen wir demnach, daß, wenn der Divifor M—=Nu der Differenzial
gleichg Pdx-- Qdy emio den Charakter des. Integrabilitaͤt verleißt,
ans, ‚jedem Bactor u des Diviford M da8 particuläre Integrale u = o
erhalten werde, wenn nicht etwa die Größe r und % oder R und: 8
für u 0 verſchwinden.

De I Bufahn * '

. $. 575. Wenn die Gleichung Pdx + Qdy= 0 homogen iſt,
fo wird diefe, wie wir oben gefehen haben, integrabel gemacht, wenn
wir fie duch Px +. Qy Dividiren; mithin it Px — Qy= 0 ein par:
ticuläres Integrale derfelben. Da auch diefe Gleichung homogen ill,
fo enthält fie Zactoren von der Form ax + By, und jede derfelben
gleih Null gefegt gibt ein particuläres Integrale.

Zuſatz 2.
6. 576. Fuͤr die Gleichung
ydx(c+a) — dyYta+bıtnp)=o
‚haben wir den integrirenden Sactor oben $.488 gefunden, und daraus
wird y=o ald particuläres Integrale gefolgert; mithin
ny?-- (ana—be)y-+n(b—2c)xy
‚tea+@®—be) a+bxtır)=0o

\

— 542 æ
und bie Wurzeln dieſer Gleichung find
27. =:bo pa n(c—!b)x + c+ viren

: LEE 8 u f a 3. Bu '
9 5794. Fuͤr die Diffevenziafgleijung. une,
De ment reger nn

.. va tr»)
Haben wir den integrirenden Factor §. 489 angegeben, and hieraus er:
Bir ſich als partieuladres Integrale die Bleihung- — ni...
— I HaVG EN) a+r)md,.0de

u} * „ur De x: — 9— * — 4 iat ye + —* er 2, -
7—.. rn AL yYlı " oe a.
wprand Y = BE wi, nn
wert e . LA er FU De
” 8 u | a, % 1 ur ler m

s 578. „Bir ie Differemgiolgfeihung-:, ua en
* Lada ae Kr RE TEE
i dy Fu y.4x - — Pr 0

2 ..2 2.4.77 ur g: aaEeE Zen Ze ir,
" ®%

‚fanden wir . 491.:ben Breltiplicater ET rn ** Ag werons wi

et x m — a =4 als partloulares —* Toter, woraus

“endlich x G — a) = + Va oder y — = gefunden wird,

fo daß wir alfo zwey particyläre Integralien haben, Weide aber imagi-
‚Bär werden, ſobald a eine negative Groͤße bezeichnet.

Anmerkung.

$. 579. Das iſt beyläufig alles, was bisher über die Behand:
"fung der Differenzialgleihungen gefchehen ift; übrigens wird ung die
folgende Entwidelung der Differenzialgleichungen des zweyten Grades
noch einige Hülfsmittel darbiethen. Wir fönnen aber hier noch bequem
die Unterfuchungen anfuhren, welche rüdfichtli der Vergleichungen
gewiſſer tranfcendenten Formeln Fürzlich angeftellt worden find. Denn
fo wie die Logarithmen und Kreisbogen, obgleich fie tranfcendente Groͤ⸗
ßen ſind, mit einander verglichen und eben ſo wie algebraiſche Größen
"in der Rechnung behandelt werden fönnen, eben fo laſſen ſich auch ge:
wiſſe tranfcendente Größen einer höhern Art mit einander vergleichen,
jene nämlich, welche in der Sormel / HD
(

m 343 — .

woben auch der rationale Zähler A + Bx + Ex? P re. erfcheinen
fann, enthalten find. Da diefer Satz aͤußerſt ſchwer iſt, und fogar
bie Kräfte der Analyfi 8 zu überfteigen fcheint, wenn nicht ein befonderer
Kunſtgriff zum Ziele führt, fo ergibg ſich hieraus ein nicht unbedeutens
der Zufag zur Analyfis, vorzüglich aber ſcheint Dadurch die Auflöfung
der Differenzialgleihungen ſehr vervolllommnet zu werden. Denn
wäre 3. B. die Gleichung gegeben:

dx dy
VAaAfFbBı+C2 +DeFEN) varby+lp+Dy+Epm/
fo ſieht man zwar: ſogleich, daß x ==y «ein partituläred Integrale fen,
allein dad vollftändige Integrale ftellt fich vorzüglich als teanfcondente
Größe dar „indem jede Formol für fi weder auf Logarithmen noch
auf Kreißbogen ‚zurüdgeführt werden fann. Es .wird unfere Bewuns
derung. — um fo. mehr eiregt, weil das vojtändige Integrale
ſich fogar durch eine algebraifche Gleichung zwiſchen x und y darſtellen
läßt. Um aber die Methode, welche uns zu einer ſolchen Höhe führt,
um fo mehr ins Licht zu fegen, fo wollen wir diefelbe zuerft auf be⸗
Fanntetraüfeendente Größen, welche fich unter Die Form froheres
fubfumiren Taflen, anwenden, und dann den Gebrauch derſelben bey

zufarımengefehteren Formeln nachweiſen.

⸗
| —

it ii ....

— 344

Kapitel v.

Von der Bergleihung der tranſcendenten Groͤßen, nie in der

Pdx

| Form VE abe — enthalten fi ind. ©

| Aufgabe u |

6. 580. W.n zwiſchen z und y die elgehraifa.
Sleichuns
4—2668 54 y@+r +2 mo
Statt findet, fo fuhe man Integralformeln von ber

vorgeſchriebenen Form, welche mit einander. versii
hen werden können.

Auflöfung Ä . .
| Man differenzire die vorgelegte Gleichung und beftinme: ann. ei
rem Differenziale |
aßdx--aßdy-t zyxdr + ayydy + aöxdy + —
folgende Gleichung:
dx 3 429) - 4y 64(0;
nun ſetze man
34 7x y — p, mb Bt-yytöix=g

fo erhält man aus der erſten

pP =ß? + 2Pßyx + 2ßöy+ yxt + ayöxy + d°y%,
und wird von diefer die vorgelegte Sleihung, nachdem fie mit y mul
tiplicirt worden ift, nämlich

o=ay+taßyx + 2er fy tr + Yy° + ayöxy
abgezogen, fo erhält man \
pꝛ — 6 — a4y 266 — ) —-7).
Auf aͤhnliche Weiſe findet man auch |
= —ay + Bot)
und daher wird

D ..
. 42 I,

pdx+ qdy = 0.

”

|

j . zum 545 Emm
- Da nun.p eine Kunetion von y iſt, und q eine aͤhnliche Fuuietidu
von x, fo ſetze man
F BR — 4 8 A, 80 — — B md vrw6
fo findet man
=}, und 3ty=-

! . 5
u Bs + B2C pc — B! ee EU
—— und ya”
Die ie erſte Gleichuns aber gibt
_ß A BP (Br — 4; MET 179777) Bar ae
— m RG—B

: \ Biden num ne Werthe für dr vr S’angenemmen, fo geht die

Gleichung — — +7 —I = o übe in ſelgende:
* + Ay
vV(Ah3Bx + 0x2). Tara Fon”
welcher Differemialgleigung denmach der Werth |
BB(B— A) c—B e-
er * xy=0
Genüge leiftet; da aber diefe letztero Gleichung bie: name Geafakinß
enthältz: fo. wird. fie fogar das vollftändige Satearale. ber ‚gefundenen
Differenzialgleihjung feyn. nid Zu
Es ift jedoch nicht nöthig, daß jene Formeln den Bucfläben

A, B}:C gleich, gefegt werden ‚.denn es ift fhon hinrtichend, wenn
fie denfelben pur propottional find ,. und hieraus un:

PP—uy A. 6+ 2—

| Boy” eu und 3 =: ;

folglich iſt on.

—X . ey, und a er, __. BA we — Über

.. er Yı .

Br oöoBAC or \

— — OB —7⸗ De Be

Es Hat daher die Differenzialgleichung _

dz + dy | u '0 Ä
Er GET ——— — — —— ss.
vat3Bz+C2) " var+3By+Cy “

zum vollfländigen Integrale den Ausdruck

a ==

— 340 um

MBE RC) HaßyAB + SBrBsa ty) rtBt er)
+ 2yB 7 2y = 4%
wo dae Beepätig E die willfürliche Conſtante bebentet, :.

..«. Ar, '
uu @®.

baum un = Bufap .
—74 581. Wenn man aus det vorgelegten Gleichung 7 ſucht, fo

Bat man
—B8—!ı + viBı + aßdx + Bremen,
r. a a u

oder wenn flatt a und 5 die Werthe gefept werden:

gen u len 0]

a 8 w fe: $: g. BEE . — 6 Kunde j

$. 583. Für x=o wird demnad)
Gmail. ve Kt) rn
33 Es —* 137 Ha suite Nee Te Lad .
Deſen Werth ſehe man gleich ‚2, ſo wird mais
O2VvV7---' .. 7 X BE Bu

——— —— äßjABb),

—E quihrist erhält man: 5 2 : ban.
M16 pi ee Se? 22 25 4 BtBt 5 PrBC — ——
und hieraus ergibt ns a

—XR

y=

„’ 14

6. Hua 4 un + Ca

my Gut F = m we
ph Ye Va Lob
RER =: ee
XAnmerfung 1. | DE FEIN

2339. 583. Domit die. angenommene Gleichung
+ BC tet) Has =o
der Differenziolgleihung
dx + dy
vA+ aBx + 02%) var +07
Genüge thue, muß man ‚haben | Ä
PP — ay= mÄ, B&—Y = mB, ». —_y mmC,
und hieraus folgt:

— 0

| - Et „ 347 um

B en yyt+ör=ıVm(A+2Bx--Cxt) und
+ Ldy—= Vm(A-LaBy+ cp) X
Aber aus ten ‚gegebenen Größen A, Bir. C-Iafletr ſich von den
‚Srößen a, ß, y, 5 und m nur drey beftimmen; da num zwey dieſer
$en unbeſtimmt bieiben‘, fo wird die’ angeiömmene Gleiäudg, wenn
= de auch durch jeden der Coefficienten dividirt wirb, dennoch eine nei
Eofftante'enthalten, und Pantı Baher füt das vollſtaͤndige Integrale
- gehalten werden. :Sbgleich vaher Fein Theil der Differengialgleihung
für fi eine algebraiiche Integration : zuläßt, -fo fann demsch das
vollihpdige Incegrale : in. einge algebraiſchen Ferm dargeſtellt werden.
Statt, den. willfürlichen Eonftanten kann ıyan, ‚jenen Werth von y eins
führen , welchen y ner. x—=o annimmt; EN ed fich aber ereignen
fann, da bleſer erchuin altär wird; fo Muß nid’ Jene Chirählk
fo beftimmen 1,"daß yB für (lea weiber —* ſie dann in allen
Fällen Arhpendung: findet. 1 eb wied vennlach (7 nemdiliech
2 "eminZy — 1— a A Een
MEER folgt: ,
er > ——— ee. Wr aan ch
a LT TR ZOBTT HE.
So Yy)(brra)vV r aBa Ca
Vom (A + Battle) — BEER NEE
— (d — V G — anti ni ann
je PT Ya Hab Gb) VA aBa rc)
Sept mamıber Kürze wegen... - I
vA+s2Ba-tCa2)= 3 und Y(A + aBb + Cb!) =%,

fo witd —E Sb k u
yn=! ee ind 3 —— 26 en

ober

27 BU; —
und die Gleichung ß e@ — 9 = mB nimmt folgende orm an:
" . :'B —X b=- %ı . N
Ara+ sb) — write = —

anb hieraus wird
AB — yA — yB(a-+b) — 0 (2 — ab b)q
848 — 5A — BGH b) — 8Cab.. =o
Man ſetze alfo
nAs — naA — n GB)- nCab,
ö A B G h) C (a ab bi) — nA,

x

— 348 mm

Vn — bb),
6 aB(b—e), alſo 5 — y:=; re"
‚Da ‚nun ö5+-y=nC (b— a), fo wird ” — — er

— * muß man haben y=ß- mA, db. ns ul
an..ay aa @Bt (ba) — mA (b— a) (Bm Mir —*
ya nt (b — a)? [B (6b - a)? — A(B.- Ge
Zu Da aber für zo, wird yazıby, fo-wird- auch td

Te aBla-ib) — y (ar +5) — 204b, elf
ur a=n(a—b) [A—B (@+b): — Cab — - ae], |
zub daher verwandelt ſich unſere angenommene Steigung i in : *
CI + b) m Rab AB]...
+ Prrla+BeHb) HC — AB] CH)
+sA+Ba+b) +c@—eb+b), — AR]ıy=o

Anmerfung 3.

"5.584. Sept man B=o, damit die Bleihuing, » von_ bar Bor
+ rat) tes =o wird, „fo.hat man -
rote,

*

y "ze
Sept man nun :
— aym mA uud Ma y* = mC, Wen wird“
rt’ = vater und
u rege dx _
vA+C2%) + v(A * c„
deren vollſtaͤndiges Jautegtale die vorgelegte Gleichung ſelbſt ik, für
_i-® —
welche man bat F dr b V(r- 72).
Soll aber für zo, y-b werden, fo wird wegen = 2 Val,
y ‚= Ym 2, alſo a=— bymA md ö= V (= tet)
Wir Haben demnach die Gleichung =

2 WREFEN) — Ym(A+Ca), welche sit

ERBEN) ER] ENETy 2 EL u

und diefes ift das volftändige Integrale jeher Differenziälgteichung.

N

‘ Ü hu * ” [u |

. "AM BZ |
= 0, °'“ 237

—

— 349 |

Nimmt man aber das x negativ, ſo iſt von dieſer Diffezential.

eichung
„dx. — dy

vaA+cC9) vA+cp |
6 vollftändige Integrale | | Eu

ya sv I 4 by IE. rar

Wenn man auf ähnliche Weiſe die Rechnung im Allgemeinen be:
mdelt, fo entfpricht der Differenzialgleichung
- dx dy

Va Habe ro + yaFeE FO ©

enn man Kürze halber V(A-+- 2BBb + Ch?) = B fest, als voll:

indiged Integrale . min

(Vern- DEI CFHRLE 5, *

=. 5 —t bv(A-+-aBx 4-Gx?), I en
oraus der’ vorige Fall fogleich hervorgeht, wenn man B=o fegt.
Nein mit Hülfe einer leichten Subſtitution Taffen ſich dieſe Sormeln,
welchen B vorfömme, auf jenen Fall zurüdführen, wo B= 0° ‚ie!

Aufgabe 75
6.585. Begeichnet-IT (z) jene Junction von 2, weile

dz
urch Integration der Borme α

ird, wobey das Integrale fo genommen wurde, daß
8 für zo verfhwindet, fo ſoll man die entflande
en Functionen mit einander vergleichen.
Auflöfung.
Man betrachte die Differenzialgleichung
dx — dy-
. vYA+CH) v(A+Cy)
Da nun vermöge der Vorausfegung

dx dy FE
F: varıı 6) und JS: vareg-ıoı
venn beyde Integralien fo genommen werden,. daß jenes für x 0,

nd diefes für yo verfehwindet, fo ift das vollſtaͤndige Sungrale
a) +

. = 0; .-

gefunden

fey, wo y=b für x=o wird; ‚da nun n(0)=o, fo behaͤlt man

— 5350 —
Wir haben aber fruͤher geſehen, daß dieſes Integrale
y-ıy-t Hy
16)= 1 (*) +20),

welcher teanfcendenten Gleichung folgende algebraifche entfpricht:
" ya yir ce yarer;, '

Eben. ni wird, ſo bald man b negativ nimmt, die Sleichung
nOSMG)XING) ken
äbereinfliimen mit folgender: Haken

av 4er _ ‚Are,

und fo läßt fih fowohl die Summe, als auch die Differenz zweyer
folcher Functionen durch eine ähnliche Function ausdrũcken. Unter⸗
ſcheidet man nicht zwiſchen veraͤnderlichen und conflanten. Größen, fo
lange II (2) eine beftimmte Function von z bezeichnet, wenn nämlich
da
ft, welche unferer Annahme gemäß für z=o verfchwinden foll, fo
daß nach unferer Bezeichnungsweife

| OEE IE E00?

gear. +4 VE

werden. Damit aber

\

I (2) =

fo muß

Ä NG)=u(p) — I(g)
werde, muß

Arc AL Cn2
VE her)
feyn. Befreyt man diefe Öleichungen von der Irrationalität, fo erhält
man zwifhen p, q, r folgende Gleichung:
++ 2rg open age SEEN,
deren Form die befondere Eigenfchaft Tehrt, daß, wenn p, q, r die

Seiten irgend eines Dreyecks find, und diefem ein Kreis umfchrichen
wird, deffen Durchmeifer wir =T fegen wollen, immer A+-C’T?==o

— nn - a — —— 0 ⏑—

—n 351 u

werde. "gene Gleichung aber entſpricht weil : fie mehrere Worzeln
enthaͤlt, folgender Relation: NG jezzu

Ä LE 3 ao“.
i —— 3ufeag Nm.

| $. 586. Hieraus ergibt ſich fogfeich die befannte Vergleihung
zwiſchen den Kreißbogen, wenn man A=ı und Cen— ı feßt, deim
dann wird I

.. .dz
0 a) Vom

_ arc.sin.r = arc. sin. p + arc. sin, .q werde, u
r=pVa-d)+ vis)
feyn ; damit aber ae FE
arc. sin. r'=="afc. sin.p — arc. sin. q
werde, muß befanntlich ' u
er = pVla —q) — qvCı Je

Zuſazz ae. | un
$. 587. Wenn — und C=ı if, fo wird

I (2) = — 1(z + VG + a.
Damit demnach
(er + Vva+r))=1P+VGa+P)) + arvarm

werde, wird
| E=PVE+HN+aVEtm
Damit aber Er
Kr+va+r))=1p+VU+P)) — Kat ve +2))
werde, muß man, wie aus der Natur. der kogarithmen ſich ſelbſt
ergibt —J
— +9) — qva +) ſeben.
Zufasg 3.
$. 588. Gegen wir in der erſten allgemeinen Formel g= Pr,
fo daß

R
— arc. sin) 27 und Sam x
'

. Al;

I

N (r) = an (p) werde, fo it

rl).

— 5/2 wem

und die Wurzeln diefer Gleichung find | Mn >.
ny =:bo —pna-tn(ce—!b)x F (-H+ns)yib— anf
TE teen 8 u f a 6 3. J Er =
9. >: ‚Bir die Diffesenzialgleihung er >&

IE d 2) y
haben wir den integrirenden Factor $. 489 angegeben, and hieraus « Mr
gibt -fich als particulaͤres Integrale die. Gleichung
x— XBVGI +.) +. oder

„es an ze tt

r u A +Wop ti

pn Rry vl — en
worang „= mn aloe wird, un
er Fee EEE GAR Ba er Pan

8suſſa SE Se
$ 578. Für die: Differenzialgleichung ..-:

ade.’ .-
‚IH, ydx — re

. *14 e oo Pi
er 2 1.

zu er
x
au * > woran 72

u — x y — a 9 als partieuläres Integrale ſelclen, wor |
“eudtich xı— = = tva oder y — 48 — — gefunden wird,

fo daß wir alfo zwey particyläre Sntegralien baben, welche aber imagi⸗
när werden, ſobald a eine negative Größe bezeichnet, |

2257
*

‚fanden wir $ 491. den. m Dultiplicator. 2

Unmerfung.

$. 579. Das ift beyläufig alles, was bisher über die Behand:
lung der Differenziafgleichungen gefchehen ift; übrigens wird und die |
folgende Entwidelung der Differenzialgleichungen des zweyten Grades
noch einige Hülfsmittel darbiethen. Wir können aber hier noch bequem
die Unterfuchungen anführen, welche rüdfichtlic) der Wergleichungen
gewiſſer tranfcendenten Formeln Fürzlich angeftellt worden find. Denn
fo wie die Logarithmen und Kreisbogen, obgleich fie tranfcendente Orö-
Ben find, mit einander verglichen und eben fo wie algebraifche Größen
in der Rechnung behandelt werden Fönnen, eben fo laſſen ſich auch ge
wiſſe tranfcendente Größen einer höhern Art mit einander vergleichen,
jene nämlich, welche in der Sormel (ae DI TE

{

— 7355 u

bern auch

"G +3r)=zra+rV (i ie) ( 224).

Man fehe Kürze halber V ı — Zee) = P und nehme
= PD, damit
N(r) = 27 (p)
rde, fo erhält man -

r—=2Pp ud VA + Sr _ ec 7 pe + pt,
lcher Werth von r für q genommen, die Gleichung

U(r)=3H(p)
t, wobey

r= np: + 3P:p, und | —8
V(ı+Sr — 32 pp: Ps

A UA R + ’ .
Nimmt man diefen Werth von r abermals für q, fo erhält man

N = 4N(p), wobey
ro 4 pp’ + 4P’:p, uw

C: 66;

V (+ır)=sär tiert m
Sept man flatt q > diefen Werth von r, fo erhält man...

N (r) = 51 (p), und hiebey ift

r= op + pp + 5Prp, und
VA: 43) -P pP? + OO papı + Pac

Hieraus koͤnnen wir nun allgemein ſchließen, daß wenn
N (r) = nI(p) werden ſoll, nothivendig |

= (+ V3) - (eV);
ri (re)
u 76 (? +HrVYa) - 7 6 vn

Sufer’s Integrafrechnung. I. BD. 23

ee r=

— 544 ein

Ä Kapitel v.
Von der Vergleichung der tranſcendenten Größen, ‚ weiße in

Pdx
- Form — — enthalten ſinb.

Aufgabe 7.

$. 580. nn swifhen x. und y die eigebreife
Gleichung |
J —— ——————— on
Statt findet, fo fuhe man Integralformeln von in

| vorgeſchriebenen Form, welche wit einander vergl
hen werden fönnen

Ä Auflöfung ei
Man differenzire die vorgelegte Gleichung und beitime: au· 7
rem ‚Differenziale
aßdx + adydame
folgende Gleichung: | |
dx@+yx+2y) +dy(+yy+ 52) = 0;
nun feße man
Btyıtöiymp mb B-yytöx=g
fo erhält man aus der erſten
P=P +2Bßyx 286 tt + syiıy+ sy,
und wird von diefer die vorgelegte Gleichung, nachdem fie mit y mul
tiplicirt worden ift, nämlid) oo
o=ay+taßyst 2rßy ty + yy° + 2yOxy
abgezogen, fo erhält man \
P=R— arte Nrt+@—y)y%
Auf ähnliche Weife findet man auch
= —ay + 2686—) x - (— xy.
und daher wird
pdx+ gqdy= 0.

— —

— —

mm 355 mu |
hieraus ergibt fi
Ab — B Bb — A
V md du a Vm
Die algebraifche Integralgleichung ift demnach
Ab — Ba)x + (Bb— A)y= (bt — a) Y(A + Cyy,
oder
(Ab — Ba) y + (db — Ya)x = (b — a2) V(A +
hieraus findet man y durch x fo beſtimmt, daß
— (Aa — Bb)x + (b?2 — a2) v(A + 022)
y- Ab Ba 0
Multiplicirt man Zähler und Nenner diefed Bruches mit Abt er
fo erhält man, weil
A: bt — Sta? = A (b?— a2) und
Aa— Sb) Ab+Bı) = Ar — Br) ab — AB (be)
— — (b — a) (Cab+ AB),
folgende Gleichung:
(Cab + AB)x (Ab + 3a) VA+C®)
1 — —— + m I
Hieraus ergibt fich ferner: |
Sb — Aa)!
We) vater) = (Ab — Bay — ae
(Bb — Aa) (b? — a2 ,
| + 5: > Yar+cz),“ ober
._. Cb—a) Sb — Aa
va+lın)=- na — = var cr)
Multiplicirt man auch hier wieder Zähler und Nenner durch
Ab + Ba, fo erhält man

VA ER, 1 VIA+Cz),

Man muß aber den Werth des Ausdrudes V(A + Cy?) lieber
auf diefe Weife beſtimmen, ald durch Ausziehen der Wurzel, wodurch
eine Zwepdeutigfeit entitehen würde. Die tranfeendente Gleichung”

NG) —IGGOXMGO) + MCg
gibt demnach folgende algebraifche Beftimmung, wenn wir Kürze halbe
Va+lp)=Pr va+cg=qQumvarln)=

fegen:
2(6)= N) +Ald) — on
2 *

(Cab 4 AB)
‚A

— 350 —

u _fIr- Spar +PRq+ ar und
_ Par CQpr FOR PTE FOR |
a —— oder

vA+-c9Y)=
v(iA+Cs) = FOR+ORPL Far Up)
Zufag z. | .
$. 591. Weil der Vorausſetzung gemäß AI (f) == 0 iſt, f |
- den wir, wenn Kürze halbe VOA-C)=Fwdr=f, alf
R=F gefegt wird, aus der Gleichung
u a us
folgende Beflimmungen :

Ä — Efat gm = POt- efpe und
TA SS TTT

VA-+Ce)= FRQ+Erpg — Of@a top, un

Zuſa tz | 2. =

$. 592. Wenn wirg=f und Q=F fegen, damit I (gq)=o
werde, fo erhalten wir aus der Gleihung | |

X)=ap— ana).

folgende Relationen:

u ERp— Pr) HPR — Cfpr

A
V(A +.Ce) — ORpr + Ormp en,

und

Zuſatz 3.
J. 593. Wenn C=o und A= ı if, fo wird |
| ' .D@G)=fSd2z=z—f,- - ern.
weil das Integrale fo genommen werden muß, daß es fir zit ver⸗
ſchwindet, dann würde alfo P= ı, Q=ı und R= 1; "Damit

demnach
n() = N(p) + ON (g), — m (c), voder
s=p-q-— r.wede, muß
s=—rtqg+p w veronmi
„fen, wie für fi ch klar iſt.

Tegprgpgppreu —— —

rer

zum 7557

Zuſatz 4
„H. 594. Setzt man a23 md C=— ı, alſo umareons
damit f=ı werde, fo erhält man

arc. cos.s — arc.cos.p —+ are.cos.q — arc. cos. Tr, wenn
s- par — PQr +PRqg —+ QRp md
VG —s)=PQR-+ Pqar + 0Qpr — RBpg
genommen wird. Segen wir daher r=ı, damit R= o und
ade.cos. ro werde, fo finden wir

s=pq— PO m Yı-s)=Pqgq+Qp
| Anmertung nn

$. 595. Hieraus ergeben ſich die befannten Regeln für die Cos
ſinuſſe, welche wir nicht weiter verfolgen wollen. Allein: ber teichtefte

Gall, wenn nämlich A=o und ci, alſo I (z) -/2 = = Is,

wobey f= ı ift, feine befondere Schwierigfeiten darzubiethen, weil
die Ausdrücde für s s und V (A + Cz2) = z ind Unendlide übergeben.
Um nur dieſem Übelftande gu begegnen, betrachte man zuerft A alt

unendlich Hein, ‚ fowid P=V(p + A)=p+ Z =q + —,
=r + —.
Damit nu nun Is —1p +lqg— Ir werde, muß . |

k=—r (? + 5) (6445 —) Pear

| a We Au . \
A A
+4(P+—) (+) +2 (a+2 =) (+5
oder wenu:bie einzelnen: Glieder entwickelt werden,
A A A A Apr |, A
A=— I _ 1 * + el * Apr , Ara

“rn 0 8p 29 2q ar ’

oder e—:1 TI genommen werben, wie auch die Natur der Logarithmen .

erforbert, Übrigens ergibt fich aus den gefundenen Formeln die
——— ſolcher tranſcendenten Zunctionen ohne Schwierigkeit.
Wäre z. B. I(y) — n II (x), fo läßt fid die zwifchen x und y Statt
findende Relation algebraifch darftelien,

zum ‚348: um

— B— 9,

62286- alſo 5
"Bas

. Da nun + y=nc(b—e) fo wid 8. ae np
Pe muß man haben ay Sße mA, dh
Nan...ay = n®B! (bh — a) — n> A bb.) (B Me. ne:
in ay aa nt (b — a)? [B (b — a)” — A.(B Ale a

Da aber für x=o, wird yo br: ſo wird auch re
—* — u PR: 28 (a4 b) y (at +8) — ——
— d=nR(@-—b) [Ä—B @+4)- Cab — a0]; MR
uud daher, verwanbelt. fich unſere angenommene Steidung ü Man
lee. (ben a)2. [—B (@+b) m Gab — %%]...;

+ sB6— Gt prla+BeHb) HC — AR] Eh)
+2 [A+B(ae+ b) + Ca —eb HP). — - 218] xy=o

u HM

Anmerfun g 3.
. 584. Sept man B=o, damit die Steidhung v von’ be Sri
— re@+ 59 »aöxy = o wird, „lo.hat man --
I 7 A.
—R 7
Setzt man nun
— 4y — wma ud vor = mC, ſo wird” |

a Be Ser
‘ ” .

Yy + öox= ve und .

regen dı 4 = o0,::2-9
VA+C»®) JaHeH |
deren volſtändiges Sutegrale die vorgelegte Gleichung felbft if, für
— 2
welche man hat 722 — oder >= vr — 2x2),
Sol aber für zo, y=b werden, fo wird wegen yb = YmA,
VmA
= m, alſo = — byma md 32 ( +20)

Wir haben demnach die Gleichung

zvmt | mare) —_ Ym(a+Ce), weiche gibt

et,

und dieſes iſt das volftändige Integrale jener Differenziälgteichung.

⁊

—

— 349 —

Nimmt man aber das x negativ, ſo iſt von dieſer Differenzial⸗

chun
3 dx _ dy

200.0, YA+C) vA+CyY
voUſtaͤndige Integrale

yy try te. a

MWenn man auf ähnliche Weife die Rechnung im Allgemeinen be:
wdelt, fo entfpricht der Differenzialgleichung
— dx dy Ze
'zın man Kürze halber a + sBb + Ch?) = 8 fest, als voll:
imdiged Integrale

Warn 3)+t(® + Ya— ee)
= +bV(A+aBıtCr), .
raus der’ vorige Fall fogleich hervorgeht, wenn man B==o ſeßt.
Dein mit Hülfe einer leichten Subſtitution laſſen ſich dieſe Formeln/
welchen B vorkoͤumt, auf jenen Fall zurüdführen, wo B— 0 iſt

Aufgabe 75
- 5585. Bezeichnet Ti(z) jene Function von 2, welde

dz
uch Integration der Bormel (ae gefunden

ird, wobey dad Integrale fo genommen wurde, daß
8 für zo verfhwindet, fo foll man die entflande:
en Sunctionen mit einander vergleichen.
| Auflöfung.

Dan betraihte die Differenzialgleichung

dx — dy-
. NA+CK viA+Cy)
Da nun vermöge der Vorausſetz ung

Sa s5 ® I (x) und zer == 11(y),

enn beyde Integralien fo genommen werden,. daß jenes für x—=e,

nd dieſes für I0 verſchwindet, fo iſt das vollſtaͤndige Sutegrale
a)=06@) + C.

um 7350 ie
ie haben aber früher: geſehen, daß dieſes Integrale #-
A+ Ch A+Cı
y—=x v +b v —
ſey, wo y=b für x=o wird; ‚da num I (0) =0,f behält,
7Xg)=N() + n0(b),
welcher tranſcendenten Gleichung folgende algebraiſche entſpricht:
| BE EDEN ZEIG j Bu

Eben. Ri wird, ſo bald man b negativ nimmt, die Gleichung
‚260) = 2 (8). , n(b)
ibeeinfiumen m mit *gman: _

und fo laͤßt fih fowohl die Summe, als auch die Differenz zweyer

ſalcher Zunetionen durch eine ähnliche Function ausdrüden. Unter

Ä ſcheidet man nicht zwiſchen veraͤnderlichen und conflanten. Größen, fo

lange IT (2) eine beftimmte Function von z ‚bezeichnet, wenn naͤmlich
dz

ft, welche unferer Annahme gemäß: fir z=o verfchwinden foll, fo

daß nach unferer Bezeichnungsweife .

AW=H() + ug,

_ Arte, ı/AtcH
| r=Pp VA + 41V ——
werden. Damit aber Ä

I (2) =

fo muß

Ä ne)=4u(p) — I(g)
werde, muß

Are A Cp2
eV Eye)
feyn. Befreyt man diefe Öleichungen von der Irrationalität, fo erhält
man zwifchen p, q, r folgende Sleichung:
* 08 4 212 an 4Cp?q?r?
Pt tetr 2 —2pr — 2a I,
deren Form die beſondere Eigenfchaft Iehrt, daß, wenn p, q, r die

Seiten irgend eines Dreyecks find, und diefem ein Kreis umfchrichen
wird, deflen Durchmeffer wir = T fegen wollen, immer A+-CT?=o

= [I
UT

— 5351 m
verde. " gene Sleihung aber entſpricht weil fer: micßeee Wurzeln
mthälc, folgender Relation : Neu

aQtı@tnd=e |

3 uf arß 1. 5*
$. 586. Hieraus ergibt ſich fogleich die befannte Vergleihung

wiſchen den Kreiöbogen, wenn man A=ı und Cs —ı ſebt, denn
dann wid NE

—

.dz — V
TI (z) —— ——— =: arc. sin, 2, und bamit

arc.sin,r = arc.in.p + . are. sin. q werde, u
r=pVa—g)+gvarp) :0m
ſeyn; damit aber SUSTTIE ES Ne
ı arc. sin. r'=="afc. sin. p — arc. sin. q
werde, muß befanntlich -
= pVl 2) — qVa—P) fon: a
gu ſ a 2 ' it
$. 587. Wenn — ı und C=ı if, fo wird
ne) = = N@H+ Vet).
Damit demnach
Ir +Va+n))= 1(p + vo + p°)) + i(q ran |
werde, wird
r=pVle+qQ)+ 1va +). |
Damit aber nm
Ke+Va+m))=1(e+Va+P)) — Kat ve +99)
werde, muß man, wie aus der Natur. der Logarithmen ſich ſelbſt
ergibt I
—PVGA)— ava TP) ſehen. nu

Zufasg 3; |
$. 588. Segen wir in der erſten allgemeinen Formel g=p

fo daß

.
X

N(r) = al (p) werde, fo iſt

r = ap VE)

u 352 —

eEnt man hir fee
any (I + ee), (win:

n () =H(p) + 31 (p) = 30 (p), indem
. DOSE
gefent wird. Es ift aber -
V=vl +: (: +=)]=:
mithin muß, demit — I © == 31T (p) werde,
ra p(i + a) + ar (i un +7

gefept werden.
- Anmerfung

$ 589. Um nun diefe Vervielfältigung Leichter fortfegen zn Fon
nen, bemerke man fich , außer der der Gleichung
N()=I(p) M (0)
entſprechenden Relation, welche durch die Gleichung

—E eV + ) 44 ver + Cp
‚gegeben ift, noch folgende Gleichung |

| ‚, ApQ)@=Ha(0) — n(g),
welcher die Relation |

Ver) re)
arſpricht Es wird demnach
V I) = yeteR), -:
=? (tee) Lyriker) (a4E®) op
ve +) = Sr + vVCH= 4 =) (Fr + Ca
| Damit alſo

nNGg)=H(p) + (
ſey, haben wir nicht allein

Hierin)

um 5355 mp

dern auch

m)
( +5r)=5rı+ V (' +) (4 +7 24).
Man fege Kürze halber VL ı +5 oe) = P und nehme
= p, damit
NA(r) = 27T (p)
rde, fo erhält man - |
G - CC
_ 2Pp und V( + 7") =."+rP
her Werth von r für q genommen, die Gleihung

2(1) =30(p)
t, wobey

r = zp + 3P: p, und

C Ö
V( + 7") = 37 Pp* 4P.
Nimmt man dieſen Werth von r abermals für q, fo erhält man
N(r = 41 (p), wobey
r= zer + a und
V (ı +7” = ae + 6 pr pr Ps
Sept man flatt q wieder * Werth von r, fo erhält man“.
N (r) = 51 (p), und hiebey ift

= ps + prps + 5Psp, und

V(: +37°)=5 pp + + pp Ps

Hieraus fönnen wir nun allgemein fchließen, daß wenn
IT (r) —= nII(p) werden foll, nothwendig

— ——
+5 Hr V) +:(F-2 5)
in =, (? teV3) - * V

zuler's Integralrechnung. I. Bd. 23

— ul —

⸗
| Kapitel V.
Bon der Vergleichung der tranſeendenten Groͤßen, weiße in | |

Fir nthalten find
Form eerrhalten find.

| Aufgabe u
$. 580. W.n zwiſchen x und y die eigebraifh
Gleichung
at aß ky)+ — Feösymo
Statt ‚findet, fo fuhe man Integralformeln yon 0),

vorgeſchriebenen Form, welche wie einander vergl
ben werden tönnen | Ä

Xufiösfung Zu
| Man differenzire die v vorgelegte Gleichung und beine aus
rem Differenziale
oßdx +3aßdy-+ zyxdxe + ayydy 4 aöxdy + vordim
folgende Gleichung:

dx +Yx +3 + dßtyyHi)eo;
nun fee man
B+tyxtöy=p md B--yytixm=g
fo erhält man aus der eriten
P=P + 2Byxr 2685 ty + aydıy + es,
und wird von diefer die vorgelegte Gleichung, nachdem fie mit y mul
tiplicirt worden ift, nämlich
o=ay+2rxs+ HB + RR HP + ara
abgezogen, fo erhält man
P=PR —ay+2B6ö—Y)r+ (&—yr%)y%
Auf ähnliche Weife findet man auch
= BR — ay + 2B (— ) x tr (—yY)xt,
und daher wird
pdx + gqdy= 0.

Te pn

— 555 —

Hieraus ergibt id
Ab — Ba Bb — Aa
nV ↄ

Die algebraifche Integralgleihung ift demnach
Ab — Ba)x + (®b— YA)y=(b’ — at) Y(A + Cy®),
oder
(Ab — Ba)y + (Bb — YAa)x = (b? — a2) V(A + Cxt),
van findet man y durch x fo beſtimmt, daß
Aa — Bb)x + (bt — ad v(A + CH)
y- Ab -- Ba " |
Multiplieirt man Zähler und Nenner diefes Bruches mit Ab4 Ve,
fo erhält man, weil
A: bt — Ba? = A (b?— a?) und
(Aa — Bb) (Ab Ba) = (M — B)ab — AB (b? — ar)
— — (b— a) (Cab+XA%B),

Vm.

folgende Gleichung:
_ (Cab + AB)x (Ab + Ba) VA+C»)
— Ti.
Hieraus ergibt fich ferner : BE
Ä b — Aa)?
Ba) Va+ly) = Ab — Ba) - GE x
Bb — A b2 — a2 u
ee TT varen), oe
C (b? — a?) Bb — A
vA+lr)=—- 5: + Im, VA + cm).
Multiplicirt man auch hier wieder Zähler und Nenner durch
Ab + Ba, fo erhält man

Va+ly=— Er ESN, 4 VA+CR).

Man muß aber den Werth des Ausdruckes V(A 4 Cy?) lieber
auf diefe Weife beftimmen, ald durch Audziehen der Wurzel, wodurd
eine Zweydeutigkeit entjtehen würde. Die tranfcendente Sleihung”

Ne) + na) G) Fed
gibt demnach folgende algebraifche Beſtimmung, wenn wir Kürze ar
Va+lp)=P, vartc=q m vatln)=

ſetzen:
AG) — IG) A(q) — 1
. 23 *

(Cab + AB)
‚A

— 350 —

— PQr— Spar +PRqg + gar md

s. =
vA-+Cr) BER RER SER ERTT EN der je

VA+c9)= FOR +ORpa— Par Gen),

Zufag
$. 591. Weil der Voransfepung gemäß II (f) == 0 it, % is Ä
- den wir, wenn Kürze halber VOAA+-C)=F ud r=f, al
R=F gefegt wird, aus der Gleichung

I a en u Ä
folgende Beflimmungen : Ze

_ FPq+Np) — PQf— Cfpg und
=. ⸗— *

—E—— —

Zuſa tz 2.
J. 592. Wenn wirqg=f und Q=F fegen, damit I (q) = 0
werde, fo erhalten wir aus der Gleihung |
nNX)=np)— a).

folgende Relationen:
Ä F(Rp— | —
—— (Rp Ir Cfpr und |

FPR— CFpr +-Cf(Rp— Pr _
varte) = ——

| Zuſatz 3.
$. 593. Wenn C=o und A= a iſt, fo wird
Ä ' U@)=fd=z—f,
weil das Integrale fo genommen werden muß, daß es fir sfr ver⸗
ſchwindet, dann würde do P=ı, Q=ı und R=ı:; Damit

demnach
| 7) = n@) + A () nr. dder .,
. s=p+qg—r.wede, muß
| s=— rtga+py w Yıtos)=
ſeyn, wie für fi) klar iſt.

⸗
⸗ *4*
our

zum 7557 GE

Zuſatz 4
. 9,394. Sept man Ası und C=— ı, alſo H (m=areeon x,
damit f=ı werde, fo erhält man

arc. cos. s = arc.cos.p - are.cos.q — arc. cos, r, wenn
s=pqar -—PQr +PRg + QRp und
Vh—s)=PQR-+ Pgr + Qpr — Rpq
genommen wird. Gegen wir daher r=ı1, damit = o und
ade.cos. r— 0 Werde, fo finden wr

‚=rinrl und VE-m=rate

AUnmerfung

$. 595. Hieraus ergeben fih die befannten Kegeln für die Co:
finuffe, welche wir nicht weiter verfolgen wollen. Allein’ der keichtefte

Fall, wenn nämlich A=0 und czı, alſo I (z) =/ = Is,

wobey f= ı ift, ſheint beſondere Schwierigkeiten darzubiethen, weil
die Ausdrüde für s s und Y(A + Cz?) — z ind Unendliche übergehen.
Um nun dieſem Übelftande zu begegnen, betrachte man zuerjt A ale

unendlich Fein, fo wird P=Y (p* +M)=pr+ z r= at
Rer+-. |

a. | de > 2 na — 1.7 ll nn a Ad Band era

— Tg

Damit nun Is —1p +lqg— Ir werde, muß .

As = —r (? + 5) 644 A + pqgr

Halt) C++ (a+2 -) (7 +5

oder wenmbie einzelnen: Glieder entwickelt werden,

Aqr Apr , Agqr Apq Apr Apgq
Mair —— —

oder —— 1 genommen werben, wie auch die Natur der Logarithmen .

erfordert. Übrigens ergibt ſich aus den gefundenen Formeln die
——— ſolcher tranfcendenten Functionen ohne Schwierigfeit.
Wäre z. B. N(y)=nI (x), fo läßt fi) die zwifchen x und y Statt
findende Relation algebraifch darftelien,

— ‚345: —

Vm + + = — >
6* aB (bo); alſo 8— yo: Mer, on

Ä "Da nun 5+y= nC ba) fo "ich ” — * = =.

—* muß man haben ay =ß: — mA, b h. u era unln
an. ya nBt (bs) — mA (b—a): (8 0%.

..ay an: (b — a)? [B{b —.a)? — A.(® —

Da aber für x=o, wird y b, ſowird auch. zii
Te Bla b) — y (at +®) — asab,; af
u d=n(a—bi [A—B @+b): — Cab — 08]; |
and daber verwandelt ſich unſere angenommene Steigung i in Ps a
wi ba [AB lat b) m Gab — AM].
HBo— Et latBaHb) HC Anh
+2 A+Ba+b) + C@—ebrb), — ABlar=n

Anmerkung's.

S. 584. Sept man Bo, damit die Gleichung, von ke
— re +79 + a3xy 0 wird, .fohatman 18
ie - HE ME]

7

2029 =nb-2)®-2

y-
Sept man num -
— ynA WR — — C, fo win!

yyt+ödx=vVm(&-4+Cr), und.
dı dy
VA+CH + v(A + 6,%)
deren vollſtaͤndiges Integrale die vorgelegte Gleichung ſelbſt it, fi

— CN
welche man hat < = ri "oder s- V(r- _

= 0,

Ay
Soll aber für zo, y=b werden, fo wird wegen yb —ym!

= Ye, alſo a=— bymA und sy (Art mC
Wir haben demnach die Gleichung

2

—— 4 —— — Vm (A-+Cx2), welde g

= —- ıyı rtv,

und diefed it das voDftändige Integrale ‚jeher Differenzialgleichn

| — 550 ——
ua ſich das Integrale leicht beſtimmen laͤßt; es wird nämlich
i Vvm = Mm _ Mmx "TE VA+ER)

Beil aber r
$ Vm —
Ir if, ſo Di jene Gleichung über in

_,$Mx? — yMıy — Mr? | " Mıy
= — HT Va =
Ya * demnach
U (x) + N (y) = Const. — — Vo, woben
| yy-+öx=V[m(A+CH)] und yx-+öy= Vim(A+cn))
ferner — ay=An ww — "= Cm. |

Zur Beſtimmung der Sonftanten feßen wir y=b für x=0, .

| damit
Mıxy
7) +20)= 16) —”/Vm
i werde; ; dann aber ift |
yb=vVmA ud öb= yY(mA Lmche), alfo
V(mA + mCb)
! b
s

„-{ und 5 =

Hieraus ſchließen wir alfo, wenn
JVA+xYA+Ch)=bV(A+tCcr),
oder was dasfelbe ift:
| zyA + yv(At+Ch) = bVA+lr)
auf die Erifteng folgender Gleichung:
IQ+NQ=NW)-
woben II eine folhe Function der nachftehenden nderüchen be

_[Gd+M2,
zeichnet, daß II (z) = f — Om)
aber fo genommen werden muß, daß es für z= o verfhwindet.
Nachdem wir nun die Natur dierer Functionen feitgefeht haben, wollen
wir yon dem Unterfchiede zwiſchen der Conſtanten und Veraͤnderlichen
abſtrahiren, ſo daß
II() TI(Pp) +1 ()-+ er wird, went

qVvA+pVA+Cr)=ry(a+Cp) ud
PVA+gVA+lH)=rVia + cn), alle

Zn
’

wird, welches Integrale '

pyrAarthrwvia ren
yi
Vatcen „rs tr +en Atem;
3ufep ı.
$. 597. Nimmt man z negatie, jo wird
I(—z) = — II(e);
werden daher die Größen p and q negativ gensumen, fo erhält ma
Ip+N@+NO=- Emm
pva tgqVia+Cr) + rV(ia+Cg)=o, oda!
qvAa + pvV(A-+Cr) + rV(& +Cp) = o, odt
sva + pV(&-+CqQ) +aViA+Cp) = 0, ode ,
Ca VaAA+CH] +Va + Aa Cæ) =ü
woraus fih folgende Relation ergibt:
Cpgr+pv(Aa+Cg)(d+Cr) + qVia+Cp) (A+CH)
+rVa+cp) A+Cg)=u

Zuſag =.

J. 598. Nach diefer Methode laſſen fi demnach drey Functie |

nen von der Zorm Il (z) darfiellen, deren Summe eines algebraifhe
Ansdrudes fähig if. Was wir oben von dieſer Summe gezeigt haben,
gilt auch von der Summe jweger, weniger der dritten Junction,

3ufag 3. 1

$. 59. Bid L=A und M=C geegt, fo bezeichnet di

vorgelegte Zunction II (z) = /dzyı(& +4 Cz’) den Flächenin

einer Eurve, zu deren Abſciſſe z die Größe V(A -H Cz?) als Ordim
gehört, und die Summe dreger folder Slihenräume flellt fich in

gebraifcher Form auf folgende Art dar:

Ip+NQ+nO= EL,

wenn zwiſchen p, q, r die obige Relation feitgefegt iſt.

Anmerfung.

$. 600. Diefe Eigenfhaft verdanfen wir dem Umftande, I
das Differenziale d V die Integration zuließ. Da nämlich

zum 50) —

ni _. Mdıs (2 — — 9 0.00: BE
aVVm er — und J
VIm(A+ Cx?)] = yy + dx war, ſo wird

Mdx (a? — y)

av * 1 * 532
von das 3 Integrale mit Hulfe der FR Gleichung
a+yr@®+y)+2öxy= BR 1222
ht heßimnit, werden_fann. Denn man feße nur |
eye und BE 0.
«rrtradmer O0: 2:0: vie. tl

d durch Differenziation Ä
xdx« +- ydy = = tät,-

au
xdy -ydx= du um "
ytdı Hoda= of M u an
Aus den beyden erſten Gleichungen ergibt ſich 1.1
a — PAR Fu xtdtid- ydan, und weil
tdt= — Eu fo wird ren
pyar= ex+N |
Daß demnach 3 Be II LIESS EEE ze Zee J u
. denp,
mer emp. A und daher
u ıy+ 5x Y 2 ahe
25 Hay=-7 FR a EB
. 7 ‚ J
rd: Hieraus folgt nun offenbr a
V Bu =, mel, *
Y

⸗ wir in der Alflöfung: auf einem weit muͤhſameren Wege gefunden

ben. Diefe Opgration.finder jedoch eine bequeme Anwendung in der

[genden Aufgabe ‚ Wo wir zufammengefegtere Bormeln betrachten

ollen.
Aufgabe 78. a

$. do. Es ſey 0
dis (L M z? N z+ O r5 ic.
Ng)= J ERTESPETTERN
elhes Integrale fo beftimmt werden foll, daß es für
= o verfhwindet Man foll die hieraus ſich erge—

— 302 m

-benden tranfcendenten Zunctionenm mit einander
vergleichen. |
| Auflöfung.
Es finde wie früher zwifchen den Größen x und y die Relation
a+tya&+y)+asyeo
Statt, und es fey
— aymAm und dt — Yu Ci, fo wid
yytöxe= Y[m(A+Cı) und yx+3y = Vlea+ cy)]
duch Differenziation erhält man
dx dy URS 5
v(A + GC) + vA+ 9 o⸗
und man ſetze on
ds(L+Mr2-Nx--O:) AyCtMp+HNN tom,
ara Fan av
damit |
| Il (x) + Il (y) = Const. + Vom
. werde. Es ie aber

y |
va+cp” arm.
und daher geht jene Gleichung über in folgende: FE
ds [MR — y)-NM—y)+OC— 9) —_ iVVm,
| v(A + Cr)
oder weil Y[m(A + Cx?)] = yy + dx ift, in folgende:
A -IMLNE+DLORFEFHM ay
yy+ dx
Nun ſey x’ 45* te und y= u, fo daß |
at yt + 2ö5u=o und ytdi+ ddu == o, oder
wird, und weil

tdi = —
xdx + ydy=tdt und xdy ydx=du, |

fo folgern wir hieraus
(— y)dx—=xtd — yda= — — = Gy +39)
dx (x? — 3?)
| yy+ 3x |
aY=— * M+N@+Y)+ Oater +rö) |

und daher =— —* rau folgt

3

— 5357 mm

ern au

"G+ir)=zra+ Vi (4 +7 24).

Man fege Kürze halber VL ı + Zee) = P und nehme
= pP, damit
N() = 20 (p)
de, fo erhält man -

r=2Pp ud VA + =") —— np: + Pt,
cher Werth von r für q genommen, die Gleichung

D() = 310 (p)
t, wodey

r= Le⸗ 4 3P:p, und

Vi + 1") = 32 pp: + Ps.
Nimmt man diefen Werth von r abermals für q, fo erhält man
(9 = 4n(p), wobey
r= wer + 4P?’p, und
V( + ze) = + pp Ps, |

Seht man flatt q wieder —* Werth von r, fo erhaͤlt man
N (r) = 51 (p), und hiebey ift

Ö prps + 5Psp, und
Ce. 502 100
V(: + ;®) = —; Pp* + —.P’p ++ P⸗.

‚Hieraus fönnen wir nun allgemein fchließen, daß denn
I (r) = nN (p) werden fol, nothivendig

es) re); m
HIER HE D
=; (P +? va a7 0 eV)

müſſe.
fuler's Integralrechnung. I. Bd. 8 |

r=—p

—

zum 304 mm
fo daß alfo unfere @leichung ſich in folgender Form darftellt:
I) +II)=Ig) — + TU vVaa4 ch)
Obs Obsx2y? Öbx3 ‚ei
-— — + TE va + ob) — 77 GA +4Ch);
an 0 3ufag ı |
$. 603. Segen wir her s=—p, J=-% ſo wird
unſere Gleichung

No+Nd+an- van +00 —
wobey + — ——* u

und "Daher wird

vA+Cr) ro p—q didesa |

u 0 KA .. — apfl-. J je

BE nn Zu Zu |

$. 603.: Subſtitnirt man 'diefen für Maren. ‚gefundenen |

Werth, ſo erhaͤlt man folgende Gleichung, in weihe⸗ die drop Grip
Pr g, z-gleigmäßig verbunden erben:

N
au u Pe Der + ar @+r+tn|
nom ©
+ Briten treten

SyA
welcher Gleichüng bie oben 9. 602) gegebenen Formeln Benüge; leiſten,

oder auch, nachftehende rationale Gleichung

—— —rer parpre — 27 ap — erg.

Bufag 3 "
::$. 664. Hätten wir dem Zähler der Sntegralfornzel noch das
Glied Pæs beygefügt, damit
Tl (2) - ft + ue: un don + en
märe, fo würde zu der eben gefundenen Gleichung nod) folgendes Glied
hinzugefommen ſeyn:

J

». j .
Br0 + g tete 4er tPgter

——
+er gt tip)

— 505 ——

Anmerkun 9.
$. 605. DiefeNelationen Hätten wir auch aus den obigen Res

tctionen ableiten können, denn ba I (2) == E 5 Tresor 4

iner algebraifchen Größe, ſo wird, wenn hier für z nad
nd nach die Größen p, q, r gefeßt werden, welche ſo von einan⸗
er abhaͤngen, wie wir oben arlatt haben,
dr

Ir# +CPp) * v(A r Cq) +) vAa+Cn)
nd hieraus fchließen wir auf die Gleichung |

IQ + HIQ+NO=fOd +FW) 4 6),
bey f irgend eine algebraifche Zunetion der nachfolgenden Größe
zeichnet. Die Summe diefer drey Functionen reducirt fich -auf:dem
Isrhin gefundenen Ausdrud, fo bald: auf die zwifchen p, qy 7 Statt
ndende Relation Nüdficht genommen wird; man müßte naͤmlich bie
jröße C eliminiren. Diefe Reduction würde jedoch eine ungeheure
rbeit erfordern. Hier verdient die eben gebrauchte Methode eine vor
igliche Würdigung, welche zu einer weit fehwierigeren Unterſuchung
e Bahn zu brechen fcheint, indem fie ganz einfach iſt. Eine Ver»
leichung zwifchen den tranfcendenten-Zunctionen, welche wir in dem.
ächften Kapitel betrachten wollen, feheint auf einem anderen Wege
zum möglich zu ſeyn, und daher wird der Nugen diefer Methode in
em nächiten Kapitel vorzüglich in die Augen fpringen.

= 07,

— 350 —

a ZFRr Spar HIFI FRER mp

Via + ca) = ZH Beer Sr rOR,

Vatcly)- POQR-+-C Erd Par — pr),

3ufag 3. |
$. 591. Weil der Voransfegung gemäß II (f) == 0 if, 4
- den wir, wenn Kürze halber VA-+-Cf)=Fudr=f, ı
R=F gefegt wird, aus der Gleichung
NO =nH(p) +2 (g)
folgende Beflimmungen :
_ FPq+2p) Rt = Oro: und.

. -

VAACA) — 7 Cf(Pgq NP,
Bufap a
$. 592. Wenn wirg=f und Q=F fegen, damit I (g)=
werde, fo erhalten wir aus der Gleichung
=) — aM

folgende Relationen:
0 EP ESS I Sfpr und

(A-.Ce) = FPR— CFpr Au —— * 2.

Zuſatz 3.
9. 593. Wenn C=o und A= ı iſt, fo wird
‚DO@)=fSdz=z—f,.
weil das Integrale fo genommen werden muß, daß es . af
fhwindet, dann würde alfo P= ı, 0"=ımdR=ı Da

demnad)
| (0) —N(p) Al — Hr), oder.
s=p-tqg—r were, mus

s=—rtgtp und VY(ı-+o.») =
‚fen ; wie für fich klar iſt.

zum 307 me

Wäre alfo umgefehrt diefe Differenzialgleichung gegeben, fo
vürde ihr Genuͤge geleiftet durch die endliche Gleichung

— Am-+ 3? (x? +72) + 223 V(y*+Cmy? + AEm?)— Emxty?=o,
Yder wenn man La = k fest, durch folgende:

— A-+k(x +y)+-2xyV(k®? -kC--AE) — Exy?=o,
und da diefe die Conftante k enthält, welche in der Differenziafgleis
hung nicht erfcheint, fo iſt fie zugleich das vollſtaͤndige Integrale.
Man erhält hieraus aber
ky-—-xy(k?-+kC-+-AE) — Exzy=yk(A+Cx? Ext) und
ix + yV(k®+kC-+-AE) — Exyt = Yhl(A--CyHEY°).
Zuſatz ı.

. 607. Die Conſtante k Täßt ſich fo beſtimmen, daß y=b für
== o wird, und daher erhält man
VAK und bV(® LkC+AE)= Yk (A-+-Cht--Eb*),
ınd ve

=: > und Veh: +Ic+AD=; = VA(A- Ch +Ebt),

and — erhalten wir

Ay--xyA(AL-Cb? -Eb)— EbtxtyabyA(A-+Cr FXx)
und Ä |
Ar--yVA(A--Cht-HEb‘)-- Ebtxy?=abyA(A+-Cy:-FEI*).

Zufag 2
$. 608. Diefe zwifchen x und y beftehende endliche Relation if
demnach dad vollitändige Integrale der Differenzialgleichung
— ,_ U —
va +C2 + Ex) vA+Cy%+ Ey)
oder wenn man diefe Gleichung in Bezug auf x und y rational darftellt:
A(x?-+-y? — b) > axyVYA(A-+Cb: +Ebt)— Ebtxtyt=o,

* Zuſatz 3.
$. 609. Drüdt man alfo y durch x aus, fo findet man
_ bvA(A + Cx2? + Ext) — syvA(A + Ch? + Eb)
A— Eb?x?

0,

— 5358 m
Aufgabe m.
dzs(L+ N») a:
$. 596. Wenn I (z) rer A + Ce) fo beftimmt
wird, daß es für zo verfhwindet, fo ergeben fid
tranfcendente Zunctionen, welde mit einander ver
glihen werden follen.

Yu f Iöfung.
Man fege, daß zwifchen der Veränderlichen x und y folgende
Melation +
a x? 2 26x y 0
beſtehe, ſo wird ‚en *
| _. _ir tv y + Mr
17 7
Mun ſetze man — 4y Am und ö#* — ze Cm, fo wird
yyt’5x=V[n(A+CrH)]) um
| yx+öy=V[m(A+Cy)]
Differenzirt man aber jene Gleichung, fo findet man
dz(yx-+öy) + dy(yy+ dx) = 0, oder

dx | dy
Yarcn Tyayıyr®
Serner febe man

de (L.+Me) |, dy(b+ My)
va +52) via +Cy)

fo erhält man durch Integration
D(x) + I2(y) = Const. + VVm.
Da alfo |

u dVYm,

dy dx | BR
var 05 =" yaramı bw
dVVm = Md« (® — 7%)

TaArcıı und demnach, weit

Vlm (A + C32)] — &x
— — —, it
7
a yo _ * Ir —mA— mCx® — ö’x? 26x Vſm (A+&2)] |.
Es * aber y — 2e—mC, alſo

Mdx p&xvm(A+-Cs2) — mA — amcı),
ıYva= va + 63)

‚=

| — 550 —
wovon ſich das Integrale leicht beſtimmen laͤßt; es wird nämlich

| YVm= an — Mmx viA+ or)
Weil aber
VIm (A+ 029] = =yy+ 5
iR, fo gebt jene Gleichung über in |
WBir erhalten demnad)

A) +2) = Const. — —_. vn, wobey
yt+öz=V[m(A+Cr)] und „e+dy= V[m(A+CH)]
ferner —ayr=An ww 2 — yY=Cm

Zur Beſtimmung der Sonftanten feßen wir y=b für x=o, .
damit

INC) +ayW)= un) — — IV
werde; dann aber ift

yb = mA und b ⸗ mA + mChe), alfo
Vv(mA + m Ch?)

- und ö5=

Hieraus fchließen wir alfo, wenn
yvA-+ xYya+ Ch) =bv(A+Cx),.
oder was dadfelbe iſt:
xsyA-+-yv(a+cCb)= bva-t+cy)
auf die Eriftenz folgender Gleichung:
n0O4n0-0 - L,
wobey II eine ſolche Function der nachſtehenden Veraͤnderlichen be⸗

zeichnet, daß Il(z) = 2 wid, welches Integrale |
aber fo genommen werden muß, daß es für z= o verfchwindet.
Nachdem wir nun die Natur dierer Functionen feitgefeßt Haben, wollen
wir yon dem Unterfchiede zwifchen der Conftanten und Veränderlichen
abftrabiren, fo daß |
| nO)=NHp)+TNKg + al wird, wenn

VAPVC CHR) FVM. Cp) ud
PVA+qgV(ia+Cr)=rvV(a-+EQ), alſo

— 5300 —
— py& +Cgq!) + qv(A + CP)
VA
C v(A + Cp2) (A + Ca?) ..
vV(A-+Cr) _ Sp tra + ne ren iſt.

und

- —3Zuſast ı.
$ 597- Nimmt man z negativ, fo wird
I—-9)=—- He);
werden daher die Größen p und q negativ .-_ , fo erhält man

NSo+Ng+NG= — =, wenn I
pvA-+qVA+Cr) HrVA+CgQ) = 0, ober |
qVA + pV(A-+Cr) -rV(A+Cp)=o, ode
ryA + pvV(A+CgQ) + qgV(A+CpP) = 0, oder

Cpq — V[A (A + Cr?)] + V(A + Cp?) (A + cqg2) = ‘6;
woraus fich folgende Relation ergibt:

Gpar * pV(A-+Cq?) (A+Cr) + qV(A+Cp?) (A +or)
| +rVAa+cp)(A+CH)=o |
Zuſatz a | |
$..598. Nach diefer Methode Iaffen ſich demnach drey Functio-
nen von der Form El (z) darftellen, deren Summe eines algebraifchen

Ausdrudes fähig if. Was wir oben von diefer Summe gezeigt. habe,
gilt auch von der Summe zweyer, weniger der dritten Function.

Zufatz &
$. 59. Wird L=A ud M=C gefebt , fo bezeichnet d die
vorgelegte Zunction II (z) = —= /dzy(A + Cz?) den Flächeninhalt
einer Curve, zu deren Abfeife z Die Größe V(A + Ce?) ald Ordinate
gehört, und die Summe dreyer folcher Flächenräume ftellt fi in als.
gebraifcher Form auf folgende Art dar:

qr
ar r

wenn zwifchen p, q, r die obige Relation feftgefegt iſt.

Anmerfung.

$. 600. Diefe Eigenfchaft verdanfen wir dem Umftande, daf
dad Differenziale AV die Integration zuließ. Da nämlich

ı zum 50) —

|
.
,

Saw oMdsmoy) 02: end.
av Vm = arm und F
V[m(A-+Cx)] = yy + 5x war, fo wird

dv Mdx (2 — ys)

ae 2 Yytsx |
wovon das Integrale mit Hülfe der angenommenen Bleichung
a y(® + y) +2öxy=e ur n.N
leicht beaimui werden kann. Denn man ſetze nur | |
ee 2 und en 57
ru 4 ade 0o0o341

und durch Differenziation |
xdx + ydy=tdt,: in an

| xdyy-yd«x=du und 9
mut: yrdı Fada = o.] on N
Aus den beyden erſten Gleichungen ergibt ſich and

a PAR Ferdi yanı And weil
tdtt = — 7 fo wird: Beh

ey td

fo daß demnach 2* ot yafı.a..H Be

ie ‘ dx nr — y2). da. Be
mia u — ‚und daher
. FR . — “ \ av — — Mdu j 3 gm E er din
. . 7 , u .
wird. Hieraus Folgt nun offenbar nl
. . V m , — au el, * fe
7 Y

wie wir in der Alflöfung auf einem weit müßfaneren Wege gefunden
haben. Diefe Operation finder jedoch eine bequeme Anwendung in der
folgenden Aufgabe , ‚wo wir zufammengefegtere Bormeln betrachten
wollen.
Aufgabe 78. | I ah
601. Es ſey
dz (L M z? N z4 O r5 ıc.
D@)= J arme ann tortm,
welhes Integrale fo beftimmt werden foll, daß es für
z=overfhwinder. Man foll die Hieraus fich erge

zum 302 m

.benden tranfcendenten Functionen mit einander
dergleichen.
| Auflöfun'g.
Es finde wie früher zwifchen den Größen x und y die Relation

a+y@+y)+eösy=o

Statt, und es fey
— ayzmzAm und dt — y! u Ci, fo wird
yyt+öxe= Y[m(A+Cx) und yx +3y =V[m@+ cz’)
duch Differenziation erhält man
dx dy —

var cn t var er o⸗

und man ſetze 2

ds(L+M22 -N 20%) dyC-+MyHNN+OM_
OO yAar+cn JJ *avv⸗
damit J
Il (x) + Il(y) = Const. - Vyı

. werde. Es iſt aber

dy
vA+ op) ya * —Ax

und daher geht jene Gleichung über in folgende: For

dx [M (x? — y2) + N (x —y4) + O (x — y°)] = dVYVm,
v(A + Cx?)

oder weil Y[m(A + Cx?)] = yy + dx ift, in folgende:
dı Ey) MN HFORFLENPHM) av.
yy+ dx
Any mt md ıy=u, fo daß
at yt: L-sösu=o und ytdt +4 dödu = o, oder

tdi = — * wird, und weil

xdx + ydy=tdt und dy ydr=du, |
fo folgern wir hieraus er |
@— y2) dx — xtdt — yua=— > Yy + 5x),

dx (z? — 3?)
| | | 7 +3: |
N--TWHN@+N)+ORHrrHN.

und daher = — —* hieraus folgt

*

— 305 un
Es iſt 2 LP 2 — und
x L 2 Lotto
du tdt . . 5
m aber T =— — fo fchließen wir, daß
Mdu Ntedt Ordt Ou?du
+>-+77r —
9, und fo erhalten wir durch Integration . |
N t# O to ow
vVe-Z+ tet Tr ' ’
Nehmen wir nun an, daß yb für x=o "werte, fo erhal⸗
wir |
va ,_ vm(A + Ch)

va, 5

b

Bann aber ifl

yvA- vd + Cbt) = by(A-+ Cx),

. zVA + yV(A+Cb) = bv(A +Cy’),

byA = zv(A+ly) +yYViatcr).
Da nun | n

Mbx Nb (x? 2 Ob (x? )s Obx’y3
Var ICE + he SER,
#0 wird unfere, zwifchen den tranfcendenten Bunctionen Statt findende
Belstion, welcher die vorhergehenden Beſtimmungen entfprechen,
Yard, folgende Gleichung ausgedrüdt:

dVv— —

und 4 — — bYmA; |

ni Nbe®+y%
NG) 40 IGG) — + ren
„Ob + 9% , Obeyp En
6yv(A + Ch3) +7 vA dvA+cCh az Chr)’

Wehen zu bemerken ift, daß
m byYA ID ar va HC) — 5, oder

b
?-y= b — axyv(A + Cb)

un : | ö— 0

Hieraus erhaͤlt man nun I

(x? + ’) — bt — 4b?xy nr -+Cb?) + rot Sr und
6b+xyv(A-+-Ch: b?x2y2 (A + Ch?)
(+ bo ment + Zn

s __ 8xWy° (A + ab* .

Ay

zn 304 um
fo daß alfo unfere @leichung fich in folgender Som berpellt;
—* + ‚ser y ron — Ka yy3 —

8 AVA

|

“ 0 | Ä 3 u J a 1.
F. 602. Segen wir her s=—p, y=-9 ſo wird n
unfere Gleichung

Io+d+ HG - * FE (+ Ne 400m) —
u BESAHON rc a0m) —— —R

Eobey pr VVο ),
und dahe wird

VA O) _r _pog a BF er |
WERE Nr 7 VHHEr ET 7 VE

za ia 2
$. 603. Suvſtituirt man 'diefen : für- ya + Or); ‚gefundenen

Werth, ſo erhaͤlt man folgende Gleichung, in wei⸗— die drey Sripn
9 r zgleirhnägig verbunden erden:

BV —E Er
er. N)

aa Pete Iefr 2 + + ge)

welcher Gleichüng bie oben 9. 602) gegebenen Formeln Genüͤge leiſten,
oder auch, nachſtehende rationdle Gleichaug | 0

AERET wi =p+q rt 2p r — Per J— J

Bu “
2:6. 684. Hätten wir dem Zähler der Iniegralforwel noch das

Glied Pz3 beygefügt, damit ,

— — ———
n -f vAHCR):

märe, fo würde zu der eben gefundenen, Gleichung nod) folgendes Glied
Finjagefommen fen:

. ». j
zur are Het + per +Pe ter
rer termin)

—

— 505 —⸗—

Anmerfun 9.
$. 605. Diefe-Relationen hätten wir auch aus den obigen Res

juctionen ableiten fönnen, denn ba I) = E S — 4

iner algebraiſchen Groͤße, ſo wird, wenn hier für z nad
nd nach die Größen p, q, r gefest werden, welche ſo von einan⸗
er abhängen, wie wir oben errlart haben,

dp dr _
Set Sara + Sa = 9"
nd hieraus fchließen wir auf die Gleichung |

NO +IQ+ NG = + +,

oben f irgend eine algebraifche Function der nachfolgenden Größe
zeichnet. Die Summe diefer drey Functionen reducirt ſich auf den
srhin gefundenen Ausdruck, fo bald: auf die zwifchen p, qy .r Statt
ndende Relation. Nicficht genommen wird; man müßte naͤmlich die
röße C eliminiren. Diefe Reduction würde jedoch eine ungeheure
ebeit erfordern. Hier verdient die eben gebrauchte Methode eine vor
igliche Würdigung, welche zu einer weit fehwierigeren Unserfuchung
e Bahn zu brechen fcheint, indem fie ganz einfach iſt. Eine Ver⸗
eichung zwifchen den tranfcendenten-Zunctionen, welche wie in dem
ichften Kapitel betrachten wollen, fcheint auf einem anderen Wege
um möglich, zu feyn, und daher wird der Nugen diefer Methode in
‚m nächiten Kapitel vorzüglich in die Augen fpringen,

— 300 —

Kapitel VL

Von der Vergleichung der tranfcendenten Größen, welde
halten find unter der Form:

Pdz .
ST +2Bz--Cz? 4 2Dz°’ r Ey"

Aufgabe 7.
.$ 606 KDenn zwifhen x und y die Relation |
a+7@+MmM+asy+zup=o.
gegeben ift, fo follen hieraus tranfcendente Sunctie
nen von der vorgefchriebenen Form gefudht werden
swifhen welden eine Vergleihung angeftellt wen
den fann.
Auflöfung.
Man beftimme aus ber vorgelegten Gleichung jede der Verändern
lichen, nämlich

y-a-dıtvoay HR y—ad— y6x] ,
y+%

vo dr tvVleyt @oyTad)y? yo),
ırsyY

und bringe diefe Nadicalen auf die vorgefchriebene Form, indem man
— ay=Am, ® — y? —a2=Cm und — yö=En
fest, fo erhält man |

A E 2
am I, 2=- I m $eln+ +

Es wird demnad
yrtöx+2rysVo(A+Ce+Er),
yx+öy+ xy = Von(A+Cy Ey).
Differenzirt man aber die vorgelegte Gleichung felbft, fo erhält man
dx(yx+öy+2xy) HdypyHöx+eRy)=o,
und durch Subftitution jener Werthe
‚dx + dy
vA+Cı? + Es, v(A + c’ + Ey) —

— 507 um

Wäre alfo umgefehrt diefe Differenzialgleihung gegeben, fo
würde ihr Genüge geleiftet durch die endliche Gleichung
—Am-+7? ET V(r*+Cmy' +AEm’)— Emz'yto,

oder wenn man — T = k ſetzt, durd) folgende:

— A+k(x 1 +2xyV(k®? -+kC-+-AE) — Exy?=o,
und da diefe die Conftante k enthält, welche in der Differenziafgleis
dung nicht erfcheint, fo iſt fie zugleich das vollſtaͤndige Integrale.
Man erhaͤlt hieraus aber

ky—-xV(k--ICH-AE) - Exzy—=yk(A Cx-LEx‘) und
ix + yV(k®-IC-+AE) — Exy: = Yk(A--Cy?-EY°).

3ufaß ı
. 607. Die Conſtante k Iäßt ſich ſo beſtimmen, daß y=b für
e==0 wird, und daher erhält man
3k—= YAk und bV(ke $+kC+-AE)—= Vk(A+Cb:-LEb*),
ind aber

= > und VG +kC +AB=; = VA(A+- Ch? --Eb*),

and — erhalten wir
Ay XVA(A Cha -Ebt)— Eh2xVA (A Cx Ex⸗)
und

Ax-—-yyA (A+Cb?--Eb*) --EbtıymbyA(A KCy:-HEp).

3ufaß 32.
$. 608. Diefe zwifchen x und y beftehende endliche Relation if
demnach dad vollitändige Integrale der Differenzialgleihung
— — — ——
vA+C2+ Ex) viA+tCy%2+ Ey)
der wenn man diefe Gleichung in Bezug auf x und y rational darftellt:
A(z2+-y? — b?) > axyYA(A-+-Chbt--Eb)—Ebtxtyt o.

> Zuſatz 3.
F. 609. Drüdt man alfo y durch x aus, fo findet man

_ bvA(A + Cx? + Ext) — syvA(A + Ch? + Ebe)
A— Eb?x?

0,

— 508 mm

and hierens argat fich
vA+ or +Ey9).__
& .
a + Eb2x2) v(A + Ch? + Ebt) (A+ Cxı? + Ext)
— — 2 AFEBP rI(b 12) — Cbr (A + E hrx)
(A — Eb:x?)2
3ufap 4
G. 610. Da man hier die Conftante b nach Belieben beitimmen
fann, fo Iaffen ſich unendlich viele befondere Integralien angeben,
deren vorzüglichite folgende find:
1) für bo wird y — x,

A
3) für b==oo wird 125

3) für A0h >Eb=o, alſo b — — san

sE
On: bvAtA-L-Cı u).
wird —
Anmerkurng.

$. 611. Der Gebrauch jener Methode, nach welcher wir von
der endlichen Gleichung auf die Differenzialgleihung zurüdgefommen
find, wird hier fehon deutlich eingefehen. Denn da fi die Integra⸗
tion der Formel f: ETC TE weder durch Logarithmen nod)
durch Kreisbogen auf Feine Art durchführen Täßt, fo ift es allerdings
wunderbar, daß das Integrale einer folchen Differenzialgleidyung fo-
gar algebraifch dargeftellt werden fann. Was wir im vorhergehenden
Kapitel nach derfelben Methode gelehrt haben, läßt ſich auch auf dem
gewöhnlichen Wege darftellen, wenn die einzelnen Differenzialformeln
entweder durch Logarithmen oder Kreisbogen audgedrüdt werden,
deren Bergleihung dann auf eine algebraifche Gleichung führt. Weil
aber hier eine folche Integration durchaus nicht Statt findet, fo gibt
es zuverläßig feinen andern Weg, auf. welchem fich das bier gefundene
Sintegrale beftimmen ließe. Wir wollen demnad) diefen Gegenftand
mit mehr Zleiß behandeln. |

Aufgabe 8o.
$. 612. Es bezeichne II (2) eine ſolche Sunction

von z, daß Il(e) = de

vA+Cr - Em) fir z=o ver:

— 369 —

chwindet; man vergleiche die hieraus ſich ergeben—
‚en Functionen.
Auflöſung.

Setzen wir zwiſchen den zwey Veränderlichen x und y die oben .

»eſtimmte Relation feft, fo wird, wie wir geſehen haben,
dx dy
—
Da nun y=b für x=o wird, fo finder man durch Integration
IQ +NIG)=IH().

Weil ferner zwifchen der Veränderlichen x und y und der Cons
#anten b fein Unterfchied mehr Start findet, fo feßen wir xp,
y=qmdb=—r, fo daß IITb) = — Ir), fo wird die zwi⸗
chen den tranfcendenten Zunctionen Statt findende Relation

Ip +UIgQ+NAgd-=o

ſich durch folgende algebraiſche Formeln ausdrücken laſſen:
Eprr) q PVACM PCr FE) -rVA(A4+Cp? Epyo
oder
—E—oo—o—⏑ ———————
„der 2
-(A—-Egtr?)p--rVA(A+Cg?-HEg?) HqVA(A+ Cr? -Ert)=o,
welche ſich ergeben aus folgender Gleichung;

Alp + gr) —Epgir+3pgVA(lA+CH HEr)=o;
ser wenn fie rational gerhacht wird, aus folgender: .

A: (p* - q* 4 rt — 2p?q? — 2p:r? — 2gq?r?)

— 2APp qꝗ* r (p HP +r)—4ACPgr -Epg—o,
Welche aber wegen der Vieldeutigkeit der Wurzeln allen Veraͤnderun⸗
Ben der Zeichen in der obigen tranfcendenten Gleichung Genüge leiftet.

3ufaß ı.
F. 613, Nehmen wir x negativ, damit
| IG) à IG M (9)
verde, ſo erhalten wir
pvA(A Ca? + Eqt) + qvAlA +Cp tem,
A m Ep? q?
Euter’s Integralrechnung. L DD. ah

vr =

— 770) ses

und demnach
vA+Cr+Er) _
==

(AFEPgQ)VA+CPH+Ep) A+CY?+Eg) +
—* 24EPACPCAäLEB

(A — Ep?q?)*
Zuſatz a. an
$. 614. Segen wir alfo p=q, damit
II(e) = all (p)
werde, fo erhalten wir
_ „pvA(A + Cp? + Ep)
vtt- A? + aACp? + 6AEpt +3CEp + Ep
A TA — Ep 0 —

Auf diefe Weife laͤßt ſich alfo eine Function angeben, welche dem [7
Doppelten einer ähnlichen Function gleich iſt.

Zuſatz 3.
__ spvA(A + Cp? + Ep)
$. 615. Wird g = — En |
| A(A2-4 3 ACp2 4 6 AEp4-+ aCEp$ --Eipt
VAGAA Cq Eq9 ra ren
gefegt, damit II (g) = 2II (p) werde, fo erhält man, dem erften
Zufage zu Folge:

Dann ift alfo
_ p(3A? & 4ACp? + 6AEp* — E?p®)
— A2 — 6AEpt — 4CEp° — 3Erps ° , |

und

Ice) = 3 Il (p).

Anmerkung ı.

$. 616. Es ift zu mühfam, die Multiplication der Functionen
weiter zu treiben, und ed läßt fich noch weniger das Gefeß erfennen, -
nach welcher diefelbe fortfchreitet. Setzen wir der Kürze wegen
&

vAa+cr Ep) = AP md A—EpP =AP,
damit |

Ce =AP — A — Ep md Epf=Alı P), 1
fo verhalten fi die Multiplientionen bid zum Vierfachen wie folgt.

— 371

Segen wir nämlih II(r) = all(p); II(ls) = 3II(p) und

II(t) = 4T1 (p), fo findet man '

ıPp _ _ _P4P— mM) pPPRPa—P)—M)

y ppm 'T"p-ipa—m
Seht man auf ähnliche Weife |

VZJ(A+ Cr" +Er)=AR und A— Ertt=AN,

fo erhält man, - "
Re TEIP-E m RIED,

und demnach ift für dad Vierfache i

‚Ar To aR? a — R) — RN?
= — — _

a

u MR
N? 8——
Setzen wir daher fuͤr das Achtfache

II (z) =8Il (P),

aTt 4rRRX ſ2Re(2 — NR) — N
ö — Re— 16Ra (1 — R)
Man erkennt hieraus, wie man ſich bey der fortgeſetzten Ver⸗
doppelung zu benehmen habe; das Geſetz des Fortganges aber kann
man nicht entdecken. Die Kenntniß dieſes Geſetzes waͤre für die Er⸗
weiterung der Analyſis ſehr wünfchenswerth, um daraus allgemein die
- Beziehung zwifchen z und p für die Gleihung II (z) = nII(p) abs
leiten zu fönnen, wie wir Diefed im vorhergehenden Kapitel mit glück⸗
lichem Erfolge gethban haben; denn hieraus ließen fi dann vortreffs
liche Eigenſchaften ruͤckſichtlich der Integration von den Formen
ds
v(A + Cr + Es‘)
winnen würde.

=

fo bat man

“

u“

erfennen, wodurch die Analyſis fehr viel ges

%

Anmerfung a. |

$. 617. Der zweckmaͤßigſte Weg, das Geſetz der Fortfchreitung
jener Producte , ſcheint durch die Betrachtung von drey unmittelbar
auf einander folgenden Gliedern zu beſtehen. Es fey alfo
Il(x) = (a ı)II(p), I) =all (p), I) = er ı)II(p).

Da nun hier
II() 2 TIG) - I) ww TIe=IH6) FI),
ſo wird | |

34 *

— 952 =
JVA(A +Cp? HEPY) — pvAlAr Sy HE
A — Ep!y%2
_ WAA+FCPH+ Ep) + pvA(A+Cy +EyN).
A — Ep?y?
bier folgen wir
(A—Epy’) (@+2) = 2yVA(A-+Cp HEpt).
Sepen wir alfo wie früher |
VAA+Cp+Ep)=AP md A — Fpe— Ap,
ud x=pX, y=pY md z=pZ,
weil die Größen x, y, z den einfachen Factor p enthalten, fo wird
ı — (1 — P) 2) X+2 = 2PX, oe

'aPY
2= pn %

und mit Hülfe diefer Formel Täßt fi) dann aus je zweyen Nachbar |,
gliedern X und Y das nachfolgende Glied Z one Schwierigfeit be-
ſtimmen. Damit man dies leichter erfenne, fege man 2P=Q und
1 — PO, fo wird

— ._QY
Z = — X.

Die gefuchten Ausdrücke gehen demnad) auf folgende Weife fort:
ı) 3,

2) = ‚

Q? — Hr
3) #—q:g’
4) EPG +0) — ap j
P — 0

5) Po⸗ — 3 0? P⸗ 4 — (1 4 20 — 0592.
P-3YPargtmactm— vo
ꝛc. re. ic.
Es tömmt alſo nur noch darauf an, eine Progreſſion zu beſtim⸗
men, und zwar mit Hüuͤlfe der, zwiſchen drey auf einander folgenden
Gliedern X, X, Z gegebenen Relation, welche durch die Gleichung

gegeben feyn fol, bey welcher Progreffion das erſte Sid = ı, und
dad zweyte = —_ iſt.

— 3575 m

Aufgabe Si.

$. 618 €8 fol II (2) eine folde Function von z
bezeihnen, daß

dz(L.+ Mz2 + Na)
1@ en vA+C2+ Ezt) ’

welhes Integrale für z=o verfhwinden foll; man
vergleiche Die fich Hieraus ergebenden tranfcendenten
Bunctionen, |
Auflöfung.
Segen wir, zwifchen den zwey Veränderlihen x und y beftehe
die Relation
‚ Ay+ 8x — Ebxry=bvyA(A+Cx?-+- Ext), oder
Ax + By — Ebıf = byA(A+Cy-+Eyt),
oder wenn man die Bleichung von der Srrationalität befreyt:
A(+-y”?—b) + 2Bxy — Ebixtyt = 0,
wobey der Kürze wegen
8 = yA(A-+-Cb +-Eb*)
it, fo erhält man, wie wir oben gefehen haben,
— — — —
vA+C?+-Ex) v(A + Cy? + Ey°)
Setzen wir alfo \
dx(L-Mı + Ny°) + dy (L + My? + Ny°)
v(A+Cr? +Er) ° v(A+Cy%2+ Ey)
damit nach unferer Bezeichnungsart
IU(x) + TI) = Const. + bVyA
verde, wobey die Conftante fo beftimmt werden muß, daß y==b für
e==0 werde. Die Frage ift alfo zurüdgeführt auf die Beflimmung
yer Function V. Subſtituiren wir zu dieſem Zwede für. dy den aus
der erften Gleichung gefundenen Werth, fo erhalten wr
dx x? — y2 N (x? — ya
bdvyA— — —— sr —* y ))- ,
Weil aber
bvA(A-+ Cx + Ex) = Ay + 8x — Eb?ity,
fo erhalten wir
av — dı —— MAEAMV.
Ay-+ Bx — Ebizy

= 0. |

= bdVvyA,

1

— 37 —
| Stellen wir die Gleichung in der rationalen Form
A®+y%—b) + 2&ıy — Eberp®=o
dar, und feßen
- 2 —=t md ıy=u,

fo wird
A(®—b:) + 3®8u — Eb?u? = oo,
und Daher

Atdt = — Bdu + Eb?udu.
Da ferner

xdx+ ydy—=tdt und xdy + ydx = du, fo wird
( — y„2)dı = xtdt — ydu, oder
A(— y!)dx = — du(Ay+ dx — Eb?:x?y), fo daß

dx (x? — y?) —. du raus
Ay + 8x — Ebzwy ar worau

du
dV=— ZM-+NV)
gefunden wird, und weil

2 — b * BB u2

+
dv=— 7 (AM Hasv—aenc4 ENbtur),

‚ fo wird

und daher durch Integration

Mu Nb?u BNu ENb2u>
‚=- Tr Tre

Wird diefer Werth fubftituirt, fo erhalten wir wegen umıy
die Öleihung
N) --IG)=Id)—-
Da aber
Bxy = „Abt — -A (x? +y?) + Eb2x?y2, fo wird
h Nbxy
N)-Hly=Ib) ——T— 4 F[Ab-+r+7)—EbrY°]

welcher Gleichung alfo * geſchieht durch die algebraiſche Formeln,

* b — BNbx2y? ENbS1y3

——*
Ti Ava ZAyA'

|

welche wir oben dargeftellt haben, und durch welche die Relation zwi⸗

{hen x, y und b audgedrüdt wird. Wenn wir demnad) die Gleichung
M N
NP+NGHIQ=- TE FA +4) —Epger]

annehmen, fo wird ihr Senige geleiftet durch folgende zwifchen p,
q und r beſtehende Relationen:

m 375 m

(A—Ep:q’)r+-pVA(A4+Cg+Eqg)+qVA(A+Cp’+Ep)=o,
oder
(A—Ep’r?) q+pVA(A-+Cr--Er?) +-rVA(A-+-Cp’-+Ept)==0,
oder
(A—Eqg’r?)p+qVA(A+Cr Er) +rVA(A+CgQ?+Eg?) 0,
oder wenn wir das eine Wurzelzeichen wegſchaffen:
Ap+g—r) +2pqVAlA+Cr +Er) — Epgr=o,
oder
Alf +r— gq’) +2prVAlA+C Egg) — Ep yr=0
oder
Al +—p) +2gqrVA(A+Cp Ep) — Epgr=o,
und wenn die Srerationalität ganz befeitiget wird:
Erptgtr? — 3AEP (PP Hg — 4ACpqirt
+2: +!+r— pp? — sp — 2fr)=o .
Zuſatz ı |

$. 619. Für ¶ — 7 erhalten wir die Gleichung .
II(p) + 11 (s) = — [A (p+ 28?) — +Ep? st],
welcher Genüge geleifter id durch die Relation |

(A—Es’!)p-+- ssYA(A-+- Cs +- Es’) u 0.
Zufaß =

F. 620. Nehmen wir s negativ und fubftituiren dann für p die⸗
fen Werth, fo erhalten wir die Gleichung
all SH@+NO+NE +34 [Aotan) Rp]

—_ M r N 1
PL Ua — Ee er], wobey

= mer, und demnach wird
VA(A-Cp Ep) — Autom Hey Hagae en,
welche Werthe in den obigen Formeln zu fubitituiren find.
Zuſatz 3.

N 621. Auf diefe Art kann man bezwecken „daß die algebraiſchen
Theile verſchwinden, und dann bloß zwiſchen den tranſcendenten Grö⸗

— 376 —

| Sen eine Vergleihung Stätt findet: Wäre z. B. N=o, fo müßte

man 322* qr fegen, um die Gleichung _
eII(s) +TI(g) + Ir) = o
zu erhalten. Wird aber 2 —=qr gefegt, fo findet man
__ avAgqr (A+Cqgr-+ Bern)

, A — Egiı?
Es ift aber auch \
— qvA(A+Cr+Er)Y — rvA(A+Cg?+Egqt),
P= gen ⸗

und fegt man diefe beyden Werthe einander gleich, fo erhält man die
Gleichung

(A + Eger) ( —dgr +) — lg (A+ Eger‘)
— 2aAEgq’r(Q--ıogr{r)=o

Anmerfung.

$. 622. Bezeichnet II (z) den Bogen irgend einer Frunmen
Linie, welcher zur Abjeilfe oder Sehne z gehört, fo kann man demnad)
mehrere Bogen derfelben Curve mit einander vergleichen, fo daß ent:
weder der Unterſchied zwifchen je zweyen algebraifch wird, oder daß
die Bögen ein gegebenes Verhältniß zu einander erhalten. Auf diefe
Weiſe laſſen fich vortreffliche Eigenfchaften der Eurven entwickeln, zu
deren Kenntniß man kaum Auf einem andern Wege gelangen dürfte. —
Zwar laſſen fi) die aus den Elementen befannten, zwifchen den Kreis—
bogen beftehenden Relationen, wie wir gefehen haben, leicht nach dem

t

vorhergehenden Kapitel vergleichen, woraus fi dann auch die Vers

gleihung zwifchen dem parabolifchen Bogen ergibt; allein die Werglei-
hung zwifchen den elliptifchen und Hyperbolifchen Bogen fann auf ähn-
liche Weife nach dem gegenwärtigen Kapitel angeftellt werden. Denn da
fih im Allgemeinen der Bogen einer Kegelfchnittslinie unter der Form

Jdx vs darſtellt, fo läßt fich diefe, wenn fie auf die Geftalt
dx (a-- bx?)
Vac + (ae + bc)x? + bext

gebracht wird, nad) den bereits gelehrten Vorfchriften behandeln, in:

dem man A=ac, C=ae+be und EsSbe, L=a, M=b

und No ſetzt. Diefe Unterfuchung Fann aber auf die Formeln,
deren Nenner

V[A+2Bz+C2+2Dz +-Ez]

u: 577 nme

fi, ausgedehnt werden, und ift der vorhergehenden ähnlich, welche
vir deßhalb hier auseinander feßen wollen, wobey fich zugleich zeigen
vird, daß wir über diefes Ziel hinaus nicht weiter vordringen Fönnen,
yenn die verwicelteren Integralformeln, bey welchen unter dem Wur⸗
;elzeichen höhere Potenzen von z erfcheinen ‚. oder bey welchen der Wur⸗
jelerponent felbft größer ijt, fcheinen mit Ausnahme von fehr wenigen
Sällen, welche ſich durch irgend eine Subftitution auf die angezeigte
Sorm bringen laffen, Feiner folchen Vergleichung fähig zu feyn.

Aufgabe 8.

$. 623. Die Functionen mit einander zu verglei-
hen, welche fih aus der Form
dz
NQ= Jar ⏑
ergeben, wobey alfo II (z) eine Sunetion von z be
seichner.
Auflöfung.

Die zwifchen den beyden Beränderlihen x und y beftehende Re:
lation fol gegeben ſeyn durch die Gleichung
— +7) + 2527 +H2exyahn)Fary=
fo wird |

2 — = + + am ap gr
yt 26x +50
oder wenn man die Wurzel wirflich ausgieht: |
—B— — dx — 22 + V[8 + dx + 022)? — (a + 38x + y2) (y+2s2+522)]°
ytz3eı+t "
Man reducire nun das Nadicale auf die vorgelegte Form, ins
dem ‘man

=

ß? — ay = Am, 88 — 4e — ßy=Bu,
nee e— Ra—ye=Dm
— y2= Em
* fo laſſen ſich von den ſechs Coeffieienten a, ß, y, d, e, 2 fünf
beftimmen, und bey dem fechsten erfcheint überdieß die Größe m, fo
daß alfo die angenommene Gleichung noch eine willfürliche Conftante
involvirt, Geben wir demnach) Kürze halber

VIA + 2Bx -4 Cx? +2Dxr’ >FEr] = v und |
via + aBy + Cyr +aDy% EP =

— 7375 ——

ſo erhalten wir

,Btyytöxrt ex + sexy + 2rym=XvVm, und 4

B-+rx+öy + ey? + 2exy + 2x7? = YVm.

Die Differenziation der angenommenen Gleichung gibt aber

+ dx (+ yx +öy+2exy+ ey? + 2xy)

+dyß+yytöx+zesyter+exry)

Diefe mit den obigen übereinftimmenden Ausdrüden geben
YdxYm + XdyYm = 0, oder

und daher finden wir durch Integration
| II (x) + II(y) = Const.,
welche Conflante, wenn y — b für x— 0 werden fol, offenbar
-—=II (0) + II (b) ift; oder fie wird allgemein = II (a) +-II X), |
wenn y=b für za werden fol. Werden alfo die Größen a, Pr
y, 5, ©, 2 dur die obigen Bedingungen beftinnmt, fo ift die zwi
ſchen x und y angenommene algebraifche Gleichung das vollftändige |
‚Sntegrale der Differenzialgleichung
dx dy

Zuſatz ı.
9. 624. Zur Beſtimmung der Größen a, B, y, d, e, 2 nehme ||
man zuerft die beyden obigen rechtöftehenden Gleichungen, namlich ||
(—)B—ae=Bm m (—y)e—2ß= Dm,
und fuche hieraus die Größen B’und e, fo findet man

_@&@—yB-+ aD _&-YD+eB
und Ser, For Te zu

Zuſatz 3.
' 5 625. Es ſey Kürze wegen 6 y—=r oder S42,
o wir

Nun folgt aus der eriten und letzten Bedingung die Gleichung
822 — ae = (A2— Ea)m,

— 570 —

d wenn bier jene Werthe geſetzt werden, fo ergibt ſich

ct — D?« — A?— et) (Ac—Ea).
zer A@—Ea, und daher m | pe Da"

Aus der erſten und letzten Gleichung folgt aber
D:ß: — B?e + „(B?2 — D?a) = (AD? — BE) m,
d Bieraus findet man

__ [A&--Ea) (AD2—BeE) Ar + aBD(Ak— Ea) A -FABRE —DeEar]
= I m U .

3ufag 3 ..
$. 626. Es bleibt und noch die dritte Gleichung |
37 N — 2ße — aa=lm .
rig, und diefe gibt, weil durch Subftitution ded Werthes von m

__ (Ag — Ea) (Da+ BA) und · AL-Eo) Bi + DA)
— B?t — Dia Bet — Dia -

rd, dur Einführung diefer Werthe den Ausdrud
__ C(Ag—Ea) (B25 — Dia) — 3BD(At— Ea)? — re,
— 3(At — Ea) (AD —BeE) —

Anmerkung.
$. 627. Weil diefe Werthe für AD? — B:E— 0 unbraud):
ir werden, fo werde ich zur Vermeidung diefed Übelftandes noch eine
ıdere Auflöfung lehren. Man fpes—=y-t und 3 2=aa--p
mit die eriten Fermeln ſich verwandeln in

B=- — (Da + Br) und —=— - @2+D2)
‚ findet man * Verbindung der erſten and legten Gleichung
ASëæ — Eaı= — Ge- D: a),

odurch das Verhältniß zwifchen a und 2 beitimmt wird, und da dieß
inreichend ift, fo wird
a=sA— Bm md 2=uE— D’m, un daher
22? = u + (kA — Bam) (kE — D®m), woraus
a Bꝛ D?m> m
Tr
jefolgert wird. Sept man in der Formel des Zufaged 3 ſtatt a und

ya = [.BDr + (Am —BE}] —

— 3830 —
2 ihre Werthe, fo erhalt man |
. A —+ BDm — ECy, ”

und wird das Quadrat diefes Ausdrudes dem Werte «2 —+- glei
gefebt, fo wird man auf die Gleichung

#(»—Cm)? + 4(BD—AE)m?a + 4(AD®—BCD -+- BCE) m’=

geleitet. Um dieſe Sleichung aufzulöfen, feße man a—=Mm, fo wi

M(M — C”? - 4M(BD — 56 + 4 AD? — BCD+EB

wo M die “für das vollitändige Jůutegrale erforderliche Conſta

bezeichnet.

Auf dieſe Art erſcheinen alle Größen a, ß, , 5, &, 2
einerley Nenner behaftet, und wenn wir. Diefen vernachläßigen,
finden wir

a=4fAM HB); 2 Bm) + sad;

y=4AE— (M—C); > —=4(EM — D?);
e = 2aD(M—C)+4BE; 5 = }—C + 4(A E-LBD)

Sind diefe Werthe-gefunden, und wird unfere Hauptgleichung

— Bra tr) H2ösytaexyetn ter
aufgelöft, fo findet man, wenn Kürze halber
M(M— C)2+4M(BD—AE)-- 4(AD— BCD-++HB:E)=4
gefebt wird, die Gleichung
B + dx —- ex? —— yo taex-t an) *
ayA(A-+2Bx+ Cx + aDx’-+Er

B+ 7 + + okay hm =.

— +2yA(A+ aBy+Cyz%LaDyp+Ep)
und diefe bezeichnet demnach das vollitändige Integrale der Differ
jialgleichung

m =

L ‚dx od
9 = FVTaFabe Free] FT EVAFaBy FO FaD FEN

Anmerfung.
| S. 628. Da bier alles von einer geſchickten Beftimmung de
Goefficienten abhängt, ſo wird es ſich wohl der Mühe lohnen, die
ſelbe ausführlicher aus einander zu fegen, : Segt man alfo gleich
S=y-t-r md A— a2 Mm,

— 55]

o hat man folgende fünf Bedingungen zu erfüllen:
I. ß? — ay — Am;
12 — yae=Enm;
III. BR — ae =Bm;
IV. ea — ß2 = Dm;
V.Mm-+2y?% — 2ße = Cm, |
Durch Combination der dritten und vierten Gleichung findet man
n(Br2 + Da) = ß(A? — a2) = BßMm, al B = ,
DA +:
—
Eliminirt man ferner aus der erſten und zweyten Gleichung die
Sröße y, fo wird
m(A2— Ea) = Bt2 — 8a =

n(D? --B2) == e(ft—a2) = eMm, alſo e =

B2t — D2a
M
. <(AM—B?) =a(EM—D:),
und deßhalb feße man |
a=n(AM—B) md 2=n(EM —D:)
Dann ift aber eben fo |
Eß? — Eay = Ae& — Ay2, oder
y(A2—Ea) = Ad — EP:
Durch Subftitution der Werthe für a und 2 findet man

.«M, daher

>= nAD-+2 (@—nBD) und e=nBE-+ 2 (a—nBD),

und wenn Kürze halber &?— nBD=nMN gefegt wird, fo Bat
man
ß=n(AD+BN) md e=n(BE-+-DN);
weil aber
A2— Ea =n(B®E— AD:) und
A® - E®=wm(ABE+ ADN— A:DE — B:EN:),
oder
@ — Eß® = nm (BE— AD:)(AE— N?); fo wird
y=n(AE—M).
Da aber
?—=n(BD-+ MN) md
2? = n(AM— B))(EM—D:) + Mm,
fo findet man

mm 502 — |
Mn—n BDMN+MNM —-AEMM(AD: + Bl
ode m—=n:(@BDN+MN:— AEM--AD? + B:E).
Endlich gibt die Entwidelung der fünften Bedingungsgleich
Be yı= * (M — C) folgende Gleichung:
ße—yA=n2[(AD-+ BN)(BE-+DN)— (AE—N:)(BD-+MI
—nN(sBDN+-MN —- AEM--AD?:+-B:E)=N
daher wird? N = :(M— C), und überdieß
m=n:[BD(M—C) +3M(M—C?—AEM-AD:-LB:
Sept man hier n=4, fo ergeben ſich die obigen Werthe.

Beyfpiel ı.
$, 629. Man beſtimme das vollfländige Integer:
der Differenzialgleihung
dp + dq
+Va+bp +Va+bg
Seitx=p,y=qg,A=a,B=:b, C=o,D=
E=o, daher werden die Coefficienten
a=4ıM —b, ß=bM, y=—NM:,
a = 0, em 0, ö == M?,
und A==M?; daher ift das vollftändige Integrale
RM + Mp— Mg = t2MVM(a-+ bp), ode
b +M(p—g) = t2VM(a+bp), oder
b +M(g—p) =+2VM(a+tbg),
wo die doppelten Zeichen der Wurzelgrößen mit den Zeichen in
Differenzialgleichung übereinftimmen ‚müjfen.

= 0

Benufpiel =
$. 630. Man fuhe das vollfiändige Integrale
Differenzialgleihung
de + dq —
t+Va+pb® ‚tya+bg
| K gür'x=p und y=q wird A=a, Bo, C=b, D:
alſo
a=4aM, B=0, y=— (M — b),
e = 9, e== 0, ö5 = M’ —b2, un
A=M(M— b); |

— 585 —
daher iſt das vollſtaͤndige Integrale in folgenden Gleichungen enthalten :
ER — bp — (M—b}g= +32 (Mb) VMla Fbp),
soder u - |
(M+b)p— (M—b)q= +2VM(a-+ bp:), und
(M+b)g— (M—b)p= t2VMa-+bq).

Beyfpiel 3.
$. 631. Man fuhe das vollfiändige Integrale der
Differenzialgleihung

dp — 44
— II m = 0 .
+Va + bp? +Va-+ bg \
gürx=p,ymqwd A=ma,B=0,C=0,D=:b,
E=o, «lo |
a=4aM, ßB=2ab, y=— M:,
e — — b, e=bM 5—=-M uw
A=M?’ - ab};

und daher ift das vollfländige Integrale
aab 4 Mp + bMp + q(— M:->-2abMp — b:p?) =

= tv +ab) + bp), oder
aab >Mp(M+bp) — q(M— bp" —

— aV(M° + ab?) (a+ bp’) und
aab + Mqg(M--bg) — E (M— bg? =

= + aVR Hab) arg)

Beyfpiel 4
$. 632. Man beftimme das vollftändige Integrale
der Differenzialgleihung .
dp dq —
+Va + Bpa Va + bgt — |
Sekt man x=p und ygq, fo wird Ama, B=o, =0,
D=o,E=b, alio
a=4aM, B=0, y=4b— MM,
.@=4bM, e=o, d=M + 4ab m
A= M:’ — 4abM;
es ift demnach dad gefuchte volftändige Integrale

(M?--4ab)p + q(aab— WM -4bMp) =
= +2 vM(M: — 4ab) (a-+ bps),

(W+4ab)g + pGab— M +4bMg) —
= ta vH ah) are

Beyfpiel 5.
$. 633. Man beftimme das vollftändige Integrale |
der Differenzialgleihung
dp dq
+Va+bp xVarbg
‚Man fee x=p? und y 97, fo erhält fir A=o unfere alı
gemeine Sleihung die Form
dp dq
— 1 — —— — —
+V>sB+Cp+32Dp +EpP +V3B+C2+:Dgy+Egq
Man muß aloB= ta, C=0,D=owE=b fen,
fo ergeben fich dann für die Goefficienten folgende Werthe:
a= — a, ß=aM, y-—M,
2 =4bM, e=2aab, Öd=M und
A=M?’ + ab;
folglich iſt das vollftändige Integrale
aM + M?p® + 2abp? — (— M?-+ 4abp - 4bMp) =
— + apvVins Feb) (a Bp9), ode
aM + Mg + 2ab + p(—M 4b +4bMg)=|

= t2qVm + ab) (a + bqi)

3ufas.

$. 634. Seht man die Conftane M= — Va? b, damit

M3 - ab o werde, .fo erhält man ein particuläred Integrale |
welches aucgedrüch wird Dura die Gleichung

_ y +va Ve oder ge — — MS

—ERE Va apvhmva
und welches der vorgelegten Differenzialgleichung ebenfalls Genig |
leiftet. u |

—

— 505 —
| Aufgabe 83. . BE
$. 635. Das vollfiändige Integrale, der Differem,

jialgleihung.

d c oh
tVa+bp+eptep +Va+rbQ®+cg+eq
durch einen algebraifhen Auddrud anzugeben.

Auflöfung:

Die vorhergehende Differenzialgleichung laͤßt fich nach der alge:
braifchen Darftellung ihres Integrals auf diefe Form zurüdführen,
wenn manx=p?, y=q? md A=o feßt; denn man erhält

dp 494
+ VaB-+Cp-pıDp' +Ep° AVaBrGghaDg HB

Man hat demnach) nur A=o, B=-, C=b, D=-, E=e

zu feßen, fo erhält man für die Coefficienten a, ß, y, 9, e, e fol:
gende Werthe:
a=—a, ß=a(M—b), ya=—(M-b),
2 =heM—c, e=c(M—b) + 2ae, 5=M?—b?Lae,
A= M(M—b) -acM — abe + ae
— (M—b)? + b(M—b)? -ac(M—b) + 120;
und da die Gonflante M ganz willfürlich ift, fo ift das vollſtaͤndige
Integrale |
B+dp rer rd? + +2) =

— # spyYA(a + bp? + cp + ep),
ß + te Fehr tee Fra

= tsqVA@+brteg Fey),
welche beyde Gleichungen zwat mit einander uͤbereinſtimmen, aber
wegen der in der Differenzialgleichung herrſchenden Zweydeutigkeit der
Zeichen, nach Beſeitigung derſelben beyde bemerkt werden müſſen.
Aus beyden Faͤllen entſpringt uͤbrigens folgende rationale Gleichung ı
mathe +) tree HN +aR

+ 32 pf? (pe +?) + *
8 ü f a tz io
g. 636. Wenn die Conftante M fo bejtimmt ı wird, daß Ado
Euler's Integralrechnung 1. 8% : 45 .

.. — 7390 —

wird, fo erhaͤlt man ein particuläre& Integrale von der Form
gs —— was ſich auch praktiſch nachweiſen laͤzt. Damit
naͤmlich dieſer Werth Genüge leiſte, muß man
aG? +bEG? - cEG-eE’=o
feben, und hieraus beflimmt fih dad Verhältniß E:G, dann aber
findet man F=—G, und eudlid)
—cEG— ıcE 326? + abEG + cE
aG — aE “
3ufagß 2.
$. 637. Man ändere den Werth der Conſtanten M dergeftalt,
daß M—b= = werde, fo erhält man

H =

He SE RE.
Bude e=——-+2ae, tree und
76 + bf? + cf? +ef‘),
und die ntegrafgteidung ift “

af? La(a-+2bf? Left)p ->af (ce + 32ef?) p*
-q ſa —2af(ce+2ef)®e +P(f— -bef?— 4ae)p']=
— + 2afpVea+bf +cf ef) (a + bp? +ep + ep);
und hieraus erhellt, daß =f: für p=o werde.

Zuſatz 3
F. 688, Diefe Gleichung laßt ſich Leicht auf folgende Form
bringen:
af (a - bp +cp ep‘) +ap(a+bf? + cf? + ef‘)
— ?(a— cp) — aefp (F — pp +
+ 4efpg (a Jap +bfp) =
= +afpVac+be to + ef) a@+bp top Fer );
wo man fogleich fieht, daß diefe Gleichung für e==o durch Auszie:
hung der Wurzel ſich verwandle in
fVa(a+bp+cpt) + pyaak +br Ic) = q(a— cf? p?),
welche Gleichung das vollitändige Integrale der Differenzialgleichung

— ‚387 —

d p : oo: + . dq j . —
+Vatbe ten +Va+tboteg
bezeichnet, wie wir fchon oben gefunden haben,

3ufaß 4

H. 639. Auf ähnliche Art leuchtet ein, daß, wenn e nicht ver⸗
ſchwindet, das vollftändige Integrale ſich im Allgemeinen bequemes
unter folgender Form darſtellen laſſe:
[EVa (a+bp? +op*tep‘) + pVa(a tb Left ter —
=q° (a—cfpr)? 4 aetepe (P— pP)? — 4efipigt (af? + apꝛ + bẽꝛpꝛi.

Da hier g=f für p==o wird, fo entfpricht die legte Sleichung
folgender Relation zwifchen den tranfcendenten Functionen:

XMG)XMG - BMGOXNMNO.

Anmerfung ı.
F. 640. Die Gattungen der tranfcendenten Bunetionen, welche
‚Mir auf dem betretenen Wege gerade wie Kreisbogen mit einander ver:
gleichen konnten, find demnach in den zwey Integralformeln

Na und re
enthalten, und diefe Methode fcheint der Ausdehnung auf andere noch
zufammengefegtere Formeln nicht fähig zu feyn. Die legtere Integral:
formel läßt im Nenner Feine ungeraden Potenzen von z zu, wenn
nicht zufällig eine einfache Subftitution die Reduction auf jene Form
möglich macht. Es ift aber Leicht einzufehen, daß ſich Ausdrüde von
der Sorm

. de
v[A+3Bz+C22+:D2’ +2 +- Fz’+Gz°)
durchaus nicht nach dieſer Methode behandeln laffen; denn wären auch
Die Eoefficienten fo befchaffen, daß man die angezeigte Wurzel aus⸗
ziehen Fönnte, fp erhielte man einen Ausdrud von der Form

| dz
at+bz + cz + ez’ -
und da das Integrale desfelben fowohl Logarithimen ald auc Kreis:
bogen enthalten würde, fo ift ed allerdings unmöglich, daß mehrere
folche Functionen einer algebraifhen Vergleihung fähig find. Übrigens

‘ft Die erftere Formel viel umfaſſender als die letztere, weil dieſe gus
35 *

\

— 3008 EEE

jener hervorgeht, fo bald A=o und z: flatt x gefchrieben wird. Ruͤck⸗
ſichtlich der erſten Formel verdient bemerkt zu werden, daß ſie ihre

— — y seſetzt wird, denn man

Form nicht ändert, wenn auh z = Sry

findet durch diefe Subftitution

G ad) dy
Sr + 2Bla + (y HN’ + Cla+P? + my
+2Dae +3?’ )) +El@+PByYH

wo, wie man fieht, die Größen a, 8, y, 5 fo genommen werden
fönnen, daß die ungeraden Potenzen verfchwinden. Diefe Größen
tönnen aber auch fo beſtimmt werden, daß das erfte und legte Glied
verfchwindet, denn dann fallen fir y=u? in jenem Ausdrude die
ungeraben Potenzen weg.

Anmerfung 2

$. 641. Am bequemften werden die ungeraden Potenzen auf fol:
gende Art weggefchafft:

Da die Formel
A .2aBz 4 Ce? + 2aDa’ — Ez*
zuverläßig immer zwey reelle Factoren hat, fo bringe man die Inter
gralformel auf die Form

dz
Sr + sbz-+-cz2) (+ 282.4 hat)’

welche fich fü z= —r P sy verwandelt in

f (dy — ad)dy
ga +3? +3b@+EP AHLEN +ea+gpN,
ver Hip? +H3gs@+Py)(r+d3yy+hle+ By]
Werden hier die Factoren des Nenners entwicelt, fo findet man
(ey +abay+ca) + 2 (ayd+bas + bBy + caß)y
+ (aö? + 2bß5 + eß?)y?,
di +2gay +ber) +2 (fyrö +gaö+gßy+ haß)y
+ (le + 2gß5+ ha) y,
und läßt man in beyden Ausdrüden das mittlere Glied verfchwinden,
fo wird

— rn an — —

— 500 m

bfy® +lbg-+chay+cga =agy?+ (ah+be)ay+bhat,

ehzehay rohe up daher wird

m oder 7% = Drag
7 _ ah — cf + v[iah— cf? +4 (bf— ag) bh — co)],
a a(bf — ag) "'

Bir fönnten und demnad) damit begnügen, bloß jene Sormeln,
in welchen die ungeraden Potenzen fehlen, behandelt zu haben, was
wir auch im Anfange diefes Kapiteld gethan haben; allein wenn auch
noch ein Zähler hinzufömmt, findet diefe Reduction nicht mehr Statt.

Aufgabe 84
$. 642. Das vollftändige Integrale der Differen:

zialgleichung | |
dy Bu ‘ ndx 7

— vAtaBıt+Ck+3De Em)

aufzufinden und in einer algebraifhen Form darja:

fiellen, wenu n eine beliebige ganze Sant. bezeichnet.
Yu flöfun 8.

Das volftändige Integrale, durch tranfcendente Sunctionen aus⸗

gedruct, iſt |

II (y) = nIl(x) 4 Const.’
Um nun dieſes Integrale in einer algebraifhen Form zu erhal⸗
ten, fege man M— C=L, und nad) den oben (6.627) gefundenen

Kormeln | oo
a=4(AC—B?--AL), B=4AD-+-2BL, V4AE—LA,
e=4 (CE—D’-HEL) ‚e=4BE+2DL, &=4AE-+4BD-t32CL+L:,

und R
A=L’+CL’+4(BD—ABE)L HA(ADI+BE: — ACE).

Wenn nun durch Subſtitution diefer Werihe
B+:p ter +att2et?P)=
= 2yA[A +2Bp+ Cp: + sDp®’--Ep*],
B+tögtet+ pr+t2igt2g)=
= — aVA[AtaBgt+cP+2Dg+Eg)
erhalten wird, fo ift -
I(y=T(p)-+ Const.

Da num aber dieſe beyden Sleichungen mit einander übereinftinr
men, und in der tationalen Gleichung

— 300 se

a+2B(p tg +7 Fi) +2öpgt2epaptgrepfgdme
enthalten find, fo muß, wenn g=b für p=a werden fol, jene
CEonftante L fo beflimmt werden, daB |
ataß(atb)ty@ tb) tadab-tzeab(a-tb) + Zar hta=o
wird, und .dann.erhält man
gear tamd—na, |
wo zwifchen dem Gonftanten und Deränderlichen nicht . mehr unter⸗
ſchieden wird.
Setzen wir alſo p=b, damit

‚, .„.I(gQ).= 2N(p) — I (a) Ä
werde, fo ſtimmen mit dieſer Gleichung die obigen algebraiſchen Glei⸗
chungen überein, wenn nur die Conſtante L fo beſtimmt wird, daß

"Tara tr) r3depFeeap@tPI Tea p ’=o
wird, und hieraus. folgt: dantı. die-Gleichung

tLa=-p=AHt BAhp) + Cap Dopatp4+Eup +
+ V[A-HaBa+Ca:+2Da°+Ear][A4+-2Bp-+Cp’+2Dp° + Ep’).

, ‚Wird ‚alle dieſer Woerth für. L ‚genommen, und werden Hieraus
die Größen a, ß, y, d, e, 2 durch die obigen Formeln, richtig, bes
ftimmt, fo erhalten ıwia, ‚wenn. nun prund q ale veränderid, a aber
als conflagt betrachtef, wirdy die Gleichuug

.21. 1 ni:
++ rede hrer ge tHD ter 4=
als das vollftändige Integrale der Differengialgleihung und.
dq 2. :adp:;. ::
VIA+ Be + EHt Fang: HER] - RZEEEITE TERN TER I
Nachdem man q dur p auf diefe Art audgebrict bat, we
ſtimme man r mittelft: der Gleichung |
—D +) Herren

fo wird

OS) ae,
weil für gq=a und r=p die Größe L, welche in den für a, ß, yı :
6 e, 2 erhaltenen Werthen erfcheint, eben fo wie oben beſtimmt wird.
Da nun
N(g=2H(p) — N (a), fo wirb
| . AI ()) = 3n(p) — 2I (a).
Wird nun a als conftant betrachtet, fo ift jene zwifchen q und r

— 501 —

aufgeſtellte algebraiſche Gleichung, wenn nach der vorhergehenden
Gleichung q aus p beſtimmt wird, das vollftändige Integrale der Diffe⸗
tenzialgleihung
dr 3dp
V[A+aBr+Cr®+aDrs+Er) VERFaBp For Fady Fe]
Nachdem nun r aus p gefunden iſt, fuche man s aus der Gleichung
a+2ß(r+) ty +) +aörstzers(et)$ere=0oy
während L immer den anfangs angegebenen Werth bepbehält, fo wird
2() — AG) = ap) — le), oder
2() = 40(p) — 30 @),
und daher’ bezeichnet jene algebraifche Gleichung: das vollftändige PR
grale der Differenzialgleihung
ds
— 0 a +3Dpr +Ep]‘
Da man auf diefe Art fo weit fortgehen fann als man will, fe
ift einfeuchtend, daß man zur Beflimmung des vollſtaͤndigen Imegra⸗

les, welches der Differenzialgleichung
dz ndp

ViaFaBi ten) VIA+3Bp+Cp?
entfprid + folgende Operationen durchzuführen habe;

ı) Dean beftimme eine Größe L vpn der Befchaffenheit , daß
— =A+BA@tp)+Cap+Dap@tp)+Eaipi +
+ VIA 2Ba-+ Ca? + 2Da’+Ea*] [a taBp Hör —
werde,

2 Hieraus beftiinme, man bie Größen a, By y, d, 2, 2, mit
Hülfe der Formeln at
«=4[AC—B:-FAL]),B=4AD-FaBL, VesaR—ıa,
2=4[CE—D'+EL], e=4BE-+eDL, —

3) Man bilde eine Reihe, yon Größen, Pr. qr.Er su tr»
deren erfie p, zweyte q, dritte r u.f. w., deren legte aber, näntig
die nfe, Die,Öröße.z äfty, und welche nach und mad) —— werden
mit life, ‚ber, Sormeln u En
+26) + Kor har)-Haöpg-+ song Hot
— N +rl+r)+2dgr+ 2er +) tee
a+2ß(r+s)+y @4n)taörtsenihntere=e,

u. ſ. w. 7:
bis man endlich auf die letzte Größe z ſelbſt kommt.

m 502

..4) Die hieraus gefolgerte Relation jwilchen p und = wird. dann ia
das 'vollftändige Integrale der vorgelegten Differenzialgleichung ſein, F
und die Größe a vertritt die Stelle der willfürlichen, durch Die Jute⸗
gration eingeführten Conftante.

t . 3ufag.

g. 648. Es läßt fich alfo auch das vollftändige Iulegral⸗ der 1,
Diffevenzialgleichung. |
.mdy ndx

v[A+2BytCy2+2Dy> $EyJ v[A+sBx+Cz?+aDıs Er]

angsben, wenn m und n ganze Zahlen bezeichnen, Denn man fege

. . du
nur jeded Glied — AFaBu FC HD rEwj‘ und fuche fo:

wohl die zwiſchen x und u, als auch die zwiſchen y und u feſtſtehende
Relation, fo erhält man durch Elimination von u eine algebraifce
Gleichung zwiſchen x und y.

Anmerkung.

$. 644. Damit die bey den einzelnen Gleichungen zu wieder:
holende Ausziehung der Wurzel keine Zweydeutigkeit veranlaſſe, ſo
wird es zweckmaͤßig ſeyn, ſtatt jeder einzelnen Gleichung zwey anzu⸗
geben, in welchen die Wurzel ſchon entwidelt if. Um nänlich aus
der erflen Gleichung den Werth von q durch p richtig ausgedruͤdt zu
‚ erhalten, haben wir zuerſt.
—B—3p— ep? +3VälA+2Bp-+Cpi+aD + Ep)
ytaep+cp ’

: g *
dann aber müſſen wir
avyä(A-aBg+ C2+2Dq +EgS) =
m B—-dsg—et— plyt2egtr2f)

fegen, und auf biefe Art haben wir bey der Aufſuchung der zwifchen
je jiven der folgenden Gleichungen 'beftehenden Relation zu verfahren.
Übrigens ift noch zu bemerken, daß die durch m und n bezeichneten
ganzen Zahlen pofitiv feyn müſſen, und daß diefe Unterfichung wicht
auf. negative Zahlen auszudehnen fey, und zwar um fo weniger, weil

. zZ
| bie Differenzialformel Th Habe rtcetoDe Em ihre Natur

ändert, fobald z negativ genommen wird. Da wir jedoch die Gleichung
N (x) + I (y) = Const,

— 505 —

oben in einer algebraiſchen Form dargeſtellt haben, fo laſſen ſich:mit
Hülfe derſelben auch jene Faͤlle aufloͤſen, in welchen aundn negative
Zahlen bezeichnen; denn wäre
I (x) = n,N(p) + Const.,
fo ſuche man y, damit
N(y) +I(2) = Const.

werde, fo erhält man

I(y) = —.n.I(p) + Const.

Aufgabe 85
$- 645. Es fey I (2) eine ſolche Zunction von z,
daß
j de d+Be+En Daten]
1= VA + aBe +
man vergleihe dieſe ſich bieraus ergebenden Func⸗
tionen.

x u f [ öfung
Aus den Coefficienten A, B, C, D, E beftimme! man zugleich
mit der willkürlichen Conſtante L folgende Werthe:
a=4[AC—B:-LAL], B= 4AD-+2BL, y=4AE—L*, "
2=4[CE—D:-HEL], e=4BE+2DL, 5=4AE+4BD--aCL-+L*,
und zwifchen den beyden Veranderlichen x und y ſete man folgende
Relation fe:
—
ſo wird
dx .dy
v{[A+2aBx-+ Cı:-+- 2Dx’ + Ext] +4 via 7 aBy +Cy?-+-2Dy? Ey]
und fir diefe Sleihung hat man obne Zwendeutigfeit .
B+öx ter +ygtestene 5
— aVA(&A+2Bx+Cx +2Dx Ex),
ß-tHöytey + x(y+2r -29) -
= aYüA (A + aBy.:- Cy? + 3Dy! + Eyt), wobey
A=L’:+ CL +4(BD—AE)L+4(AD + D:E—ACE).
Segen wir demnach
dx(A+ Br +61? + Dı’ + Er?) +
vlA + 2Bx t cxa ꝓ. 2D x - Ex]
dyA+By + D3 E3) _..,
αY. yo,

— 504
damit:

na (&) + I(y) = Const, av. v⸗
werde, ſo erhalten wir

— — |
ö— —* yavıya

oder
d.y_- EBe-n+s@-p+De@e team,
P+sx Hex? + y(y+ 2X + 59)

Man fege nun x-y=t und xy=u, alodx >-dy=dt
und xdy-—-ydx=du, fo wird

xıdt — du
z N

ds = oder ten dx = xdt — du,

dann aber ift x ?t + Y.- 7 u. Durch dieſe Subſtitution aber

nimmt bit die angenommene Steigung folgende, Form an:

a + 26t F yı + 2(5— yJu + 2etu-t2u —.o, |
und daher durch Differengiation - ! ; =

dt(E + Yrtiten) FIu (do — yet +20) = o, alſo

da Au G t - Ccu)
u IB. ytrfeu.

Gi J——— Br Fun schetxttan].
on PER DE Ar ybh,a
sdt_ un du + ds tem + yrtsechgm]

t = eu 0,
rd=fo. erhalten tale - °i- F 2 “ J

dx @—y — du
— du 18 + GErD (eu + 6t ea)
av 1 + yet ten
av- Ein, au FE + DW) +Ere an)
: do yter+tu .,
Durd, Yuflöfung! jener Gleihung finden wir aber -
hear Hhi rd +e-rde]

N) und

oder

alſo

„ober

*

oder _ —B— cu+tava(A+bu+ Eu)
— — 6 eerere e — r —
| y |
und hieraus ergibt fich dann | |

— du [(B+6: +98 (ey) Et am

Ne ava (A+Lu+rEuw)

ze 505 mm

‚und daher — é ae
'ı tꝛ — —
—ν Const. — DS
Weil aber |
ws EIN zer Vlep tale Ne HEN

5
gefunden wird, und dieſer Ausdruck übergeht in

el 29 — ct + ——— fo wird,
h,

“AV: dei +6:+ Deu) +6 B—au] **
on vlt Fade FE Dt V

und fe heluen wit ih we hen. :
— ————

22) = Comer VG FaDe FR

welcher Ausdrick, wenn, ‚ge nicht algebraifch feyn ſollte, ſich Bord gen
wiß durch Logariinmen. oder ‚Kreisbogen darftellen laͤßt. Dann aber
bat man nach der Iutegration bloß für t wieder den Werth x + Y. zu

fubftituiren. nn 7 9—
Zuſatz ı.

$. 646. Sol y=b für x=a werden, fo muß die Conſtante
L fo beflimmt werden, daß
2L(b—s?=A+B(a+b) + Cab+Dab(a+b)-+Esb? +
+ V[A-+aBa-+ Ca? --aDa® + Eat] [Ä-FaBb-4-Ch?-+2Db°-HEb*]
wird; dann ift alfo unfere Conftante = (a) + I7(b), das Tegtere
Sntegrale fo genommen, daß es für t= a-+ b verfehwindet.

Zufaß 2

$. 647. Auf diefelbe Art laͤßt fih auch die Differenz der Func⸗

tionen II (x) — II (y) darftellen, wenn das Zeichen der Wurzelgröße

in der einen Formel geändert wird, wodurch fich zugleich dad Zeichen
Der anderen Differenzialformel in das entgegengefegte verwandelt.

| Zuſatz 3. |
F. 648, Die zur Vergleihung diefer Functionen dienende Größe
V wird algebraifch feyn, wenn die Differengialformel
dt [B + Et + DE Yy+Her+tEN) +ER(L—Y + art + J
Sylt. +C+sDı FEr]

— 300 ——

‘
die Integration zuläßt, weil der andere Theil —* (D 4 38€:

für ſich integrabel iſt.
Anmerkung.

. 649. Wir haben alſo dieſe allerdings neue Theorie der Ver⸗
gleichung ſolcher tranfcendenten Functionen fo umſtaͤndlich erörtert, als
es gegenwaͤrtig nur immer erforderlich zu ſeyn ſchien. Sobald wir
aber dieſelbe auf die Vergleichung der Bogen krummer Linien, deren
Länge durch ſolche Functionen ausgedrückt wird, anwenden wollen,
müſſen wir uns auf eine ausführlichere Unterſuchung einlaſſen, weil die
Betrachtung der auf dieſe Art gefundenen beſonderen Eigenſchaften
von vorzüglichem Nugen feyn fann. Diefe Theorie kann aber zwec⸗
mäßig in. die Lehre von der Aufloͤſung der Gleichungen verwleſpn wer
den, weil fie und die Integrale folder Gleichungen vollftändig ,. und
zwar in algebraiſcher Form darſtellen lehrt, was nach anderen Weihe; |
den vergeblich verfuchf wird. Die allgemeine Methode, die Shre kalt
aller Differenzialgleihungen näherungsweife zu beſtimmen / wir aiſ⸗
dieſen Abſchnitt beſchließen.

zn 397 u,

Kapitel VL.
on der Integration der Differenzialgleihungen durch Annäherung.

A nf 9 a b € 86, . .
$. 650. Das vollftändige Integrale von was
ımer für einer gegebenen Differenzialgleihung
iherungsweife zu beftimmen.
Auflöfung.
Seyen x, y die beyden Veraͤnderlichen, zwifchen ven eine

ifferenzialgleichung vorgelegt wird, und zwar von der Sorm ® = =YV,:

obey V irgend eine Function von x und y bezeichnet. Da nun das
Uftändige Integrale gefucht wird, fo it dieß fo zu verftehen, daß
e eine Veränderliche y irgend einen gegebenen Werth y== b erhalte,
enn der. anderen Veränderlichen irgend ein beflimmter Werth x=a
pgelegt wird. Den erften Schritt zur Auflöfung unferes Problemes
ollen wir alfo dadurch machen, daß wir den Werth für y fuchen,
enn der Veränderlihen x ein von a nur wenig verfchiedener Werth
pgelegt wird, daß-wir naͤmlich y für x=a-+ w ſuchen. Da nun «
ne ſehr kleine Größe bezeichnet, fo wird auch y von b nur fehr wenig
rfchieden fenn ; während alfo x von a in a w übergeht, fann man
e Größe V als conftant betradhten. Es fey demnach V=A für

—a und y==b, fo erhalten wir für diefe Fleine Änderung Ta,

nd Daher durch Integration y=b-+-A (x a), wo eine ſolche Cons
ante beygefegt wurde, daß y=b für x=a werde. Bepen wir alfo
=a+o, fo wird y=b+Au. Wie wir demnach hier aus den
fprünglich gegebenen Werthen x—a und y=b die naͤchſt gelegenen
Bertbex—=a to und y=b-+Ao gefunden haben, fo fönnen wir
uch auf diefelbe Art durch fehr Fleine Intervalle fortfchreiten, bis man
idlicht auf Werthe flößt, die von den urfprünglichen noch fo weit ent:
ent feyn mögen. Damit diefe Operationen beſſer überfehen werden,
ihre man fie nady und nach auf folgende Art durch, Man jeße

— 508 —

für nach und nach die Werthe
x a, a, al, a, alv,.... x x,
y b, b, bu, bu, bHV, .....1 9%
V A, Ar, Au, Aw, AW, .....1V, V.
Man erhält nämlich aus dem erften Paare der gegebenen Grös
Ben x—=a und y=b den Werth V=A, für dab zweyte Paar wird
dann feyn b’—=b + A(a/— a), wo die Differenz a — a nach Belie⸗
ben klein genommen werden fann. Setzen wir alfo x==a’ und y=b’,
fo wird V=A’, und daher erhält man für das dritte Paar
br bi’ + Ar (at — a),
wo V=A' gefunden wird, wenn man x—a und y=b feßt.
Mir haben fo für das vierte Paar bu = br 4 AU (at — au), und
demnah V=A/" für x=a und y=b‘, und fo fann man fort: ı
fhreiten, bis man zu den Werthen fommt, die von den urfprünglichen |
fo weit entferne find, ald man nur immer will. Die erſte Reihe, F
welche die auf einander folgenden Werthe von x darftellt, fann nad
Belieben angenommen werden, wenn nur jene Werthe in fehr Heinen -
Sinterwallen wachfen oder abnehmen.

| Sufaß 1.

F. 651. Für die einzelnen noch fo Meinen Intervalle wird alfo
die Rechnung auf diefelbe Art durchgeführt, und fo werden die Werthe,
von welchen die folgenden abhängen, erhalten. Auf dieſe Art Fönnen
demnad die Werthe von y felbft beftimmt werden, welche den einzel-
nen für x angenommenen Werthen entiprechen,

Zuſatz >».
$. 652. Je Heiner die Intervalle angenommen werden, durch
welche man die Werthe von x fortfchreiten läßt, deſto genauer werden |
die einzelnen Größen beftimmt. Inzwiſchen werden die bey den einzel-
nen Schritten begangenen Fehler, wenn fie auch noch fo Flein find,
wegen ihrer großen Anzahl dennoch bedeutend.

Zuſatz 3.
$. 653. Die Sehler fommen bey diefer Rechnung daher, daß
wir bey den einzelnen Intervallen die beyden Größen x und y als cons
ſtant betrachten, und fo die Zunction V als eine unveränderliche Größe |
erhalten. Ze weniger fich alfo der Werth von V von einem Intervalle
gum andern ändert, defto größere Fehler find zu befürchten.

E
F — 300 —
Anmerkunga.
$. 654. Diefer nachtheilige Umftand ereignet fich befonbers i dann,
wenn der Werth von V entweder verfchwinder, oder in das Unendliche
Abergeht, obgleich die den Größen x und y zugehörigen Werthe hin⸗
: zeichend- Flein genommen werden. In diefen Fällen wird man die ges
willermaßen ungeheuren Fehler auf folgende Art vermeiden: Es ſey
für den Anfang eines folchen Intervalles x—= a und y=b; daun aber _
fege man in der vorgelegten Gleihung =a-tw und y„=b-+Y,

.d un
damit = = V werde, bey der Subftitution der Werthe 5 a wo

und y=b-+-% in dem Werthe von V aber betrachte man die Größen
o und » als fehr Flein, indem man nämlich die höhern Potenzen ders
felben. gegen die niedrigeren wegfallen läßt, denn auf diefe Art wird
man meiltend die Integration für diefe Intervalle wirklich ausführen
fönnen. Diefe Verbeiferung wird jedoch kaum nöthig ſeyn, wenn ſich
nicht die auß den Werthen a und b entitandenen Glieder gegenfeitig

= und es

aufheben. Hätte man ;. B. die Gleihung —— 2 ern

folte gleich anfangs x==a und y=a werden, fo fege man für dad

bier beginnende Intervalx=a-tw und y—=n+#%, fo erhält man
d 2
m = a’ oder 20dY — 2»dy == adw, oder
2006 — 2ydy
do — — = — — ⸗
_.»
Multiplieirt man diefe Gleichung duch e = = ı —

a
und integrirt fie, fo erhält man

3% 3 3
a a a
‘

weil )= 0 für oo werden muß. Man erhält alfo
— %2 — 2
a

oder ala —a) = — (b!'— b):,

wobey b= a; und hieraus ergibt fich für dad folgende Intervall
b’ = b-- YV—a(a'— a), in welhem Falle der Werth von x
offenbar die Größe a nicht überfchreiten kann, weil fonft y imaginär
werden wiirde.

Unmwerfung 2.

G. 655. ‚Die Regeln, welche die Iutegralien der Differenzial⸗

Ed

== |00 m

‘

gleichungen mittels unendlicher Reihen .darftellen lehren, tragen ges
wöhnlich dad Gebrechen an ſich, daß fie nur auf particuläre Integrale
führen, und weil überdieß jene Reiben nur in einem beftimmten Sale
‚convergiren, und demnach in allen andern Fällen unbrauchbar find.
Wäre z. B. die Gleichung dy-+ ydx = ax"dx gegeben, fo müßten
wir im Allgemeinen eine Reihe von folgender Seftalt annehmen;

yAx® 4 Bxet! I Ct? 1 Deetd3 2 Ext3
durch deren Subftitution man erhält:

«Ar! 4 (at1)Bx® 4 (a2) Cx2t' (043) Fa :
— ar A + B +: C +...

Man ſetze alfoa—ı=noderra=n- ı, fo wird 42—5
und wenn die übrigen Coefficienten S o gefept werben: oo

—ı —B
B=,,7 = .,35 ?= 22

und fo erhalten wir die Reihe

axstı axınta axnt3
J=ı4ı Grat Tamara

— *«
1— 1) (n+2) n+3) (n+4)

Allein diefes Integrale ijt zur ein particuläres, weil, wenn x
verfchwinder, auch zugleich y verfchwinder, wenn nicht n—-ıi eine
negative Zahl bezeichnet; dann aber convergirt diefe Reihe nicht, außer
für einen fehr Fleinen Werth von x. Es laſſen fich demnach auch hier:
aus keineswegs die Werthe von y beftimmen, welche beliebigen Wer:
then von x entjprechen. Bon dieſen Mängeln aber ift die Methode,
welche wir hier in Kürze angegeben haben, frey, weil fie erfilich dad
Sntegrale volljtändig gibt, fo Tange fie nämlich für einen gegebinen
Werth von x auch den der Größe y bengelegten Werth gibt, und weil
fie ferner durch fehr Fleine Intervalle fortfchteitend, der Wahrheit fi
immer mehr annähert, und fo weit fortgefegt werden Fann, als man
nur immer will. Diefe Methode wird aber auf folgende Weife nod
mebr vervollfommnet werden fönnen.

Aufgabe 8%.
$. 656. Die vorhergehende Methode, Differenzial:
gleichungen näherungsweife zu integriren, mehr zu

— 401

vervollkommnen, damit die Reſultate weniger von
der Wahrheit abweichen.

— | uretung
Wenn man die Steigung 5 —_ = V zu integriren hat, fo be«

geht man, nach der oben auseinander gefesten Methode verfahrend,
einen Fehler, der daher entfteht, daß man durch die einzelnen Inters
vallen die Function V als conſtant betrachtet, da fie doch in der That
einer Änderung unterliegt, befonderd wenn die Intervalle nicht fehr
klein genommen werden. Allein die Veränderlichkeit der Function V
kann bey jedem Intervalle auf ähnliche Art in Rechnung gebracht wer⸗
den, wie wir es im vorhergehenden Abfchnitte, $. 321, gethan haben,
Denn wenn dem x ein beftimmtes y zufommt, fo entfpricht auch den
Ausdrufde x — ndx, der Natur der Differenzialien gemäß, bekannt»
lich der Werth
yondy + OtD a, _TEHDetN a +..

welcher Anebrnd, wenn n unendlich groß genommen wird, über:

geht in Ä
n?

y—ndy-+ 7 d’y —

day

dy—.
‚4 y

Nun fee man na a, und
ay+ andy... =b,

und Getrachte bey jedem — ie Wen die urfprüngliähen;
während man durch x und y die andern Örenzwerthe bezeichnet. Weil

y-ndy+ —ay—,

alfo n =--- “, fo wird
— (x — dy (x— a)? d’y («— a)’ d’y
I= b+ —— — 7T— ı.a 75** .3° dz

on d!y

1.2.8.4" dx at 7
welche Reihe, wenn x nur wenig die ‚Größe a überſchreitet, fehr fchnell
convergirt, und daher auch zur näherungsweifen Daritellung des Wers
thes y ganz geeignet iſt. Es muß jedoch bey der Entwidelung, der

dy
einelnen ee Ba Reihe bemerft werden, daß = = V, un

baher — sa - I ſey. Weil aber V eine Function von x und y be;
8* —— 1. X» 26

— 402 —
zeichnet, ſo wird, wenn mu dV=Mdx-+ Ndy fegt, wegen
SI: = V, offenbar 5 —I—_-M * NV, oder nach der ſchon früher

12
Nnbeſhie Vezeichnungsart ZI = (7 -) H V. (7) ‚ und fo
wie diefer Ausdrud aus dem —S— 4 —=YV entftanden iſt,

een fo wird auch aus fi der 4 entfichen:
nz 69 * — (7) + Ya)
+ GH)

Da jedoch der Werth von y noch Pn befannt ift, fo wird auf
diefe Art eine algebraifche Gleichung gefunden, welche die zwifchen :
x und y beitehende Relation ausdrüdt, wenn ed nicht zufällig ſchon
hinreichend ift, in den einzelnen Gliedern y=b zu fegen.

Diie andere, G. 322 auseinander gefepte Operation aber wird den
Werth von y, welcher dem x am Ende eines jeden Sntervalles ent:
fpricht , in einer entwidelten Sorm darftellen, wenn ins Anfange eben
' jenes Intervalled x=a und y=b war. Denn fegen wirx—=a--nde,
und betrachten a und b al8 veränderliche Größen, fo wird

=b+tnd 4 TI an „ODE ap +...

und weiln—- * 2, alſo eine unendliche Zahl iſt, ſo wird

——— —a) d’b
yab+a-).2 + —— ‚+ > et

2 1.2.3

Es ift aber * = V, wenn man in der Function V ſetzt xe=a -

und y=b, und —F iſt, wenn eben dieſe Werthe für x und y gefeht
werden:

Br) m
= (a) HT) + 1
+9 +]

und hierans muß man auf ähnliche Art die folgenden Quotienten ab
leiten. Es fey alfo, wenn x==a und y=-b gefeßt wird, |

— /()7 —

= ſo wird dem Wertbex—=a+t w der Werth
yz=zb+Ao-+:! Be -5Co! + Dot +.

z entfprechen, welche beyden Werthe für das nächftfolgende Intervall

fhon die anfänglichen Srängen bezeichnen, aus welchen dann auf aͤhu⸗

liche Art die andern Graͤnzwerthe entwickelt werden müſſen. —

"| ER

nr

*

Zuſatz ı

F. 657. Weil wir Bier die Veränderlichfeit der Sunction V ber

rückſichtiget haben, fo fönnen wir jegt die Intervalle ſchon größer neh—

men, und wenn wir jene Ausdrüfe A, B, C, D... ohne Ende fort«

ſetzen wollten, fo fönnten die Intervalle, fo groß man nur immer will,

genommen werden, nur würden wir dann für y eine unendliche Reihe
erhalten.

Zuſatz =.

$. 658. Wenn wir nur die beyden erften Glieder der gefundenen

Meihe nehmen, fo daß y=b--Aw wird, fo erhalten wir die vor-

bergehende Beflimmung, woraus zugleich erhellt, daß der dort ber

gangene Behler Allen nachfolgenden Bliedern zufammengenomnien
gleich fey.

| Zufas 3.

75.659. Wenn wir aber auch mehrere der Anfangsglieder der

obigen Neihe beybehalten, fo wird es dennoch nicht gut feyn, die In⸗

tervalle allzu groß zu nehmen, damit w» einen Fleinen Werth erhalte,

befonderd wenn die Größen B, C, D... fehr groß ausfallen follten.

Anmerfung.

660. Wenn einige der Coefficienten A, B,C,D... un
endlich groß werden follten, fo würden diefe Operationen auf eine Höchft
aachtheilige Art geftört, allein dieß ereignet fich nur bey gewiffen Sns
tervallen, wo die Function V felbft entweder verfchwindet oder unendlich -
wird, und wir haben bereitd angedeutet, wie man diefem Übelftande
begegnen könne, bald aber werden wir diefen Punct genauer erörtern,
Übrigens wird für die einzelnen Sntervalle Die Rechnung immer auf
dieſelbe Art geführt, fo daß, wenn für das erfle Intervall, welches
von den willfürlidy angenommenen Werthen x = a und y=b beginnt,
die Relation gefunden ift, diefelbe auch für die folgenden Intervalle

gilt. Denn da für das Ende des erften Intervalles
| 26*

. sem 404 —

x=atom=a, um
yzb+Ao-+:Bo2 - 5Co + zDet+...=b
wird, fo- werden eben diefe Gränzwerthe die Anfangswerthe für dad
zweyte Intervall, aus welchen auf ähnliche Art die Endwerthe geſucht
werden müffen ; hier wird nämlidy die Rechnung mit den Größen «
und b’ eben fo geführt, wie bey der erften Rechnung mit a und b,
was aus den nachfolgenden Benfpielen noch deutlicher erhellen wird.

Beyfpiel ı

$. 661. Dad vollftändige Integrale der Differew
sialgleihung dy = dx (x 4 cy) näherungeweile zu
beftimmen.

Da hier V — = = x" .tcy, fo erhält man durch Difine

d?y
ziation — —_ — a: + cx® + c?y, und fo ferner

any tar ten ten

= n (n—ı) (n—2)x3 n (n—ı)ex"—? +. nc?x"1Lc3z’-cHy, .

u. ſ. w.
Nehmen wir alfo an, daß dem Werthe x—a der Werth y=b
entfpreche , fo gehört zu jedem andern Werthe x—a-+w der Wert)
y=b+e(b+e) + tab can + na)
ri ie [eb +- dar —-nca -n(a—ı)am])
w* [ob-Fetar+-notan-An(a—ı)car—.En(n—1)(a—a)ar]

welche Reihe fehr ſchnell convergirt, fo bald » Flein genug genommen
wird. Setzen wir nun a+ o==a’ und den zugehörigen Werth von
y=b, fo werden wir auf diefelbe Art zu den folgenden Ausdrüden
kommen, welche Operation wir nach Belieben fortfegen fönnen.

Beyfpi e I 2.

F. 663. Das volltändige Integrale der Differen
zialgleihung dy = dx @ -- y?) näherungsweife ja
beftiimmen.

DA hier 5 ovyex + 7? it, fo findet man durch fort:
geſetztes Differengiren

| — 405 mm

Pr
k

= 2x + 2xy--oy,
= 2 + 4xy + 2x + dxty} - 67%,
=4y- ı22° + 2oxy? + ı6x?y + Jor?y? + 247°,

= 40x? + 243? + ı04x?y — ı20xy° 4 16x° 4 136 x? y?
+ s4ox?y* 4 120°,
Wird daher anfang x==a und y==b gefegt, fo ergibt ſich
A=a-b:,
B= 2a-+ 2ab +4 sb,
C=s:2+ hab + 2. + Barb: + obt,
D=4b- ı2a° + aoab? + ı6ab +4 aA40 a2 he + 24b’,
E = 400 + 24b? + 104a°b + ı20ab? + ı6a° 4 136 a* b?
+ 240 ab? + ı20b°;
daher wird zu jedem andern Werthe x—=a+t uw der Werth
y=b + Ao + 2Bo® + 500? + Dos + —Ew’-+..
gehören, und aus zwey ſolchen zufammengehörigen Werthen za’
"md y= b‘ tönnen wieder die nächftfolgenden abgeleitet werden.

ß

d
dx
d>y
: Is
: dty
"Sn
- &y
ds

Anmerfung.. |
$. 663. Weil hier alles auf die Beſtimmung der Coefficienten
A, B,C,D... anfommt, fo bemerfe ich, daß man diefelben ohne
Differenziation finden fönne, was bey unferem legten Benfpiele
2 = x? + y? auf folgende’ Art geſchieht. Day=b für x —a |
werben foll, fo fegen wir allgemein at und y=b-+y, wos
durch unfere Gleichung folgende Form annimmt:
d | Ä
Z=e+btmotetabrtH,
und weil p zugleich mit wo verfchwindet, fo fege man
y= aut Bat + ya + dur Hewi +.
und durch Qubftitution diefes Werthes ergibt fich
a+-2ßoa+3y& 450 +5ew +... =a-+-bt--2aw uw
+ 2abo + 2ßbo? + 3ybo! + aöbot —...
+ a0? + 2aßw? + 2ayot —...
+ Bot,

— 400 —

Werden alſo die einzelnen Coefficienten = o geſetzt, fo erhält
man
a=a+b’, 26 - 24 + 3a, 3y - 28 Fa Fi;
45 = ayb + 2aß, 5e = 25b +2ay-+ Pt, |
b2 = 2eb + 3ad + 2By, ꝛc, %.,
alfo diefelben Werthe, welche oben durch Differenziation gefunden I
werden.
Diefe Methode zeichnet fich von der vorigen nicht allein Durch groͤ⸗
Bere Einfachheit aus, fondern fie hat auch noch den Vorzug, daß fie
immer Anwendung findet, während die obige Methode bisweilen ohne
Erfolg gebraucht wird, wie dieß bey den angeführten Beyſpielen der
Hall ift, wenn die anfänglichen Werthe a und b verfchwinden follten, .
wo dann auch die meiften Coefficienten verſchwinden würden; ja es
kann fi, wie wir ſchon oben bemerft haben, der mißliche Umſtand ers
eignen, daß alle Eoefficienten entweder verfehwinden, oder unendlid
werden. Dieß ift jedoch nur der Zall bey gewiſſen Intervallen, für
welche demnach die Rechnung auf eine befondere Weife durchgeführt
werden muß; für die übrigen Intervalle aber fcheint die hier gelehrte
Methode durch fortgefegtes Differenziiren bequemer zu ſeyn, weil die
Differenziation fich oft Teichter ausführen läßt, ald die Subflitution,
und auf ficheren Regeln beruht, die auch bey tranfcendenten Sleichun:
gen ih:e Anwendung finden. Zür jene befondern SIutervalle müſſen
demnach eigene Vorfchriften gelehrt werden.

Aufgabe 88.
F. 664. Wenn bey der ISutegration-der Sleihung

= Voes fih für irgend ein Intervall ereignet,

q
Daß die Größe V entweder verfhwindet, oder unen».
lich wird, für diefes Intervall die Integration aus—
zuführen.

Auflöfung.
Für den Anfang des Intervalles, welches wir betrachten, fey
x—=a und y=b. Da in diefem Sale V entweder verfhwindet odır

unendlich wird, fo fegen wir = = 5, fo dag fürx=a und y=b
entweder P oder Q, oder beyde Größen zugleich verfehwinden. Um

nun von diefen Graͤnzen weiter zu gehen, fegen wir x=a-t » um

— 407 ———
45 dy ,
y=b-+3, fo wird I, Oz und fowohl P als Q ericheint als
gunction von @ und p, von welchen wenigftens die eine verfchwinder,
, wenn @ = o und p==o gefegt wird. Um nun das Verhältuiß zwi⸗
ſchen und % wenigſtens naͤherungsweiſe aufzufinden, -fege man

y mcr, fo wird * = mnw"-: und daher mnQu-: = P, |

wo P und Q wegen y = mon Potenzen von w enthalten werden,
und es ift hinreichend, von denfelben nur die niedrigften Potenzen bey»
“ qgubehalten, da die höhern gegen diefelben als verfchwindend betrachtet
L werden innen. Die niedrigften Potenzen von « find alfo einander
. gleich zu ftellen, und gleih Null zu fegen, woraus fid) fowohl der
Erponent n, ald auch der Eoefficient m beftimmen wird. Wollen wir
dann die zwifchen o und # beftehende Relation genauer fennen lernen,
fo geben wir nach der Beftimmung von m und n zu den höhern Po⸗
tenzen über, indem wir
| »= mo + Mottt 2 No"? +...
fegen, fo werden dadurch auf ähnliche Art die folgenden Theile be⸗
ſtimmt werden, und zwar in fo weit, als es rückſichtlich der Größe
des Intervalled oder der Fleinen Größe w nöthig erfcheint.
| Zufap ı j
F. 665. Wenn für x=a und y=b weder P noch Q verfchwins
det, fo findet man nad) Subflitution diefer Werthe st = . = —,
. und daher näherungsweife ad$ = Ad und + -_ . 0, weldes

dad erfle Glied der vorhergehenden Näherungsformel ift, und iſt dies
ſes gefunden, fo ergeben fi die übrigen Glieder wie vorher.

Zuſatz 2
$. 666. Verſchwindet bloß «, fo erhält man näherungsiweife
ME HNP+.)=A,
und wird 3m w" gefeßt, fo findet mıan
A = mnur: (Mol 4 Nm’a");
welcher Ausdruc aber feine Gültigkeit ver wenn nicht v (1 —p)>y

oder v > — wird. Sollte aber » <- ſeyn, ſo muß man

— 08 —

n—ı nv» =o wer n= — ſetzen, indem man das andere Glied

alo die niedrigſte Posenz betrachtet. Iſt aber „=

.- ‚fo find beyde
Glieder für einerleg Potenzen zu betrachten, und man erhält

u — — und A=mn (M-H-N m’), woraus der Werth von m zu
beflimmen ift.

Anmerfung.
$. 667. Schwerlid kann man bier eine allgemeine Vorfchrift

geben, allein ed wird in einem gegebenen Falle nicht fehwer feyn, alle

zur Auflöfung führenden Mittel zu erfennen. Wenn alle Erponenten
ganze Zahlen wären, fo fönnte man hier Newton's Regel, nad
welcher mit Hülfe des Parallelogrammes die Auflöfung der Gleichun—
gen gelehrt wird, zu Hülfe nehmen, dann aber ift die Reduction der
gebrochenen Erponenten auf ganze Zahlen eine hinlänglid) befannte

‚Sadıe. Allein derley Fälle ereignen fich fo felten, daß ed unnüg wäre,

"bey den Vorfchriften lange zu verweilen, welche der Geübte in jedem
Galle ſich leicht felbft entwerfen wird. Kaͤme man z. B aufdie Gleichung

d 1 .
= („Vo +ßy) = y, fo erhellt aus dem Obigen, daß die erfte
Dperation auf den Ausdruck J= mYo führe, und daher wird

sm(a-+ßm)=y, und hieraus ergibt fich der Werth von m und:

zwar auf doppelt: Weife. Diefe Gleichung läßt fich aber auch Homo-
gen machen, wenn Vo = p gefegt wird, und fann demnach wirflid
integrirt werden. Weil man aber hievon faum jemahld Gebrauch
machen wird, fo wollen wir nicht länger bey dieſem Gegenftande ver⸗
weilen, fondern lieber jene Materien auseinander fegen, welde in
diefem Theile noch behandelt werden müffen, nämlich die Aufloͤſungs⸗
methode ſolcher Differenzialgleichungen, bey welchen das Verhältniß

og: gg A 3414
der Differenzialien, naͤmlich Im = p entweder in höhern Potenzen

oder felbft in tranfcendenten Zunctionen verwebt erfcheint, und
nad Beendigung diefes Gegenftandes wollen wir zu dem zweyten
Zheile übergehen, in welchem die Differenzialien höherer Grade
vorfonmen.

3 Erſtes Buch

der

Integralrechnung

Erſter Theil. Dritter Abſchnitt.

Dritter Abſchnitt. |
on ber Auflöfung der Differenzialgleihungen,
y welchen die Differenzialien in höhern Poten-
n erfheinen, oder felbft in tranfcendenter Form

| vorfommen.

öRXXXxRX

Aufgabe 89.

G. 668. an zwifhen den Differenzialien bie
:Tation Z=p befteht, und es wird irgehdb eine
eihung zwifchen den beyden Größen x und p gege:
n, fo foll man die zwifhen den Veränderliden
und y beftehbende Relation felbft auffinden.

Auflöfung.

Wenn irgend eine Gleichung zwifchen p und x gegeben wird,
man gibt die Auflöfung der Gleichung zu, fo drüde man mit Hülfe
felben p dur) x aus, und man wird eine Function von x finden,
che der Größe p gleich feyn wird. Man wird alfo auf eine Glei⸗
ng von der Form p=X fonımen, wo X irgend eine Bunction der

jigen Veränderlichen x bezeichnet. Danınp= 2 ift, fo erhal»

wir dy=Xdx, und fo ift die vorgelegte Frage auf den erften
chnitt zurücdigeführt, nady welchem man das Integrale der Formel
\x beſtimmen muß, und dann ift das gefuchte Integrale y=/Xdx.
Iſt die zwifchen x und p gegebene Sleihung fo geftaltet, daß
aus ihr leichter x durch p ausdrüden Täßt, fo fuche man x, und
n fol x=P erhalten, wobey P irgend eine Function von p bes
hnet. Wird alfo diefe Steichung differenzirt, fo erhält man dx==dP,
» daher dyy=pdx==pdP, woraus dann dur Integration
= /pdP oder y=pP — /Pdp gefunden wird. Es werden

— i 412 —

alſo die beyden Veraͤnderlichen x und y durch die dritte p fo beſtimmt,

daß

— P md y=pP — /Pdp
wird, und hieraus ergibt fi dann die zwifchen x und y ſtatt findende
Relation von felbft.

Wenn fi) weder p dur) x, noch x durch p bequem ausdrüden
läßt, fo fann man oft bende leicht durch eine neue Veränderliche u
beſtimmen. -Sepen wir. alfo, man fände x=U und p==V, fe da
U und V Functionen derfelben Veränderlihen u bezeichnen , fo wird

dy=pdx—= VdU md yrm/VdU,
und fo werden dann x'und y durch diefelbe neue Variable u dargeftellt.

Zuſatz ı. | '

9. 669. Auf aͤhnliche Art wird man verfahren, wenn irgend
eine Sleihung zivifehen p und der anderen Veränderlichen y gegeben
wird, weil man die Variablen x und y mit einander vertaufchen Fann.
Dann aber drüde man entweder p durch y oder y durch p’, oder end⸗
lid p und. y durch eine neue Veränderliche u aus, wobey. jedoch be>

merft werden muß, daß dx = = ſey.

Zuſa 2.

6. 670. Da Vdx? + dy? das Bogenelement einer Frummen
Linierbezeichnet, deſſen rechtwinklige Coordinaten x und y find, fo kann
man, wenn der Quotient

Vie dp vi:i —— Vırr
— — * Yı ı t+Pp oder >

eine Function von x oder von y Wird, Kies die zwifchen x und y
beftehbende Relation auffinden.

Zufas 3.
$. 671. Weil auf diefe Art die zwifchen x und y beftehende Re:
Tation durch Integration gefunden wird, fo wird zugleich eine neue
| conftante Größe eingeführt, weßhalb jene Relation für das volftändige
Integrale angefehen werden Fann.

Anmerfung a.
. 692. Bisher haben wir bloß ſolche Diferenhlalgeichuen be⸗

|

ng
‘

j

3

— /]5 ———

" trachtet, bey welchen für * — p eine ſolche Relation zwiſchen den
| drey DVeränderlihen x, y und p gegeben ift, daß fich daraus der

Werth von p bequem durd) x und y beftimmen läßt, fo dag p = *

_ irgend einer Function von x und y gleich wird. Wir müſſen nun auch

Pr

folche Relationen zwiſchen x, y und p betrachten, aus welchen fich der
Werth von p entweder weniger bequem, oder gar nicht durch x und y

- beftimmen läßt. Der einfachfte Gall iſt ohne Zweifel der, wem in deu

vorgelegten Gleichung die eine Weränderliche x oder y gar. nicht ots

*

ſcheint, fo daß nur zwiſchen p und x, oder zwiſchen p und y eine Ro⸗

lation gegeben iſt. Dieſen Fall haben wir im vorſtehenden Prodlöne

ſchon erörtert. Der bey der Auflöfung gebrauchte Kunſtgriff beſteht

darin , Daß man aus der zwifchen p und x gegebenen Gleichung nicht
die: Größe p durch x ausdrüdt, wenn dieſe Beſtimmung nich et h
ohne Schwierigkeit ausgeführt werden kann, ſondern lieber x. durch 14
oder: bepde Srößen Durch eine ‚neue Beränberliche u: ausgedraci ur

ſtellt. Wäre z. B. die Gleichung

Kin Haar = VEEFE och E
sen, welche, für 9 = == p übergeht in | jet

x * a p bYıtlp, — . J Hin

Br.

— fo würde man nicht fo bequem P durch x ausdrücken Fönnen. Da
"nun aber

x bVYı--p’ — Br fo wird, wegen y=/pds=pxr— /zdp,
y=bpVı+ ap — bydpyı Ep +4aP;

- und fömif if die —* x und y beſtehende Relation befannt. Binde
man aber auf eine Gleichung von der Form dl

xsödx® 4 dy’ = axdx?dy oder 2 - pi ⸗ apa

. gekommen feyn, fo koͤnnte man weder x durch p, noch p dutch x bei

. quem ausdrüden. Wir fegen daher p=ux, fo wird x<--ux—an,

au au?
und daher x = -——; nd P= 5 Fr
0 d — ®. J
Weil nun dx — mn ift, fo findet man. -; du

_ wdu (1—au)
8 rw /

en 14 —

oder wenn man diefen Ausdrud auf eine einfachere Form bringt:

ya It. JR oder
= Fr Fur

s— ı 1
72342 ren or +:.. ‘Iw —- Const.

Anmerfung. 2%
$. 673. Da wir alfo den Ball, in welchem die Gleichung ent I,
weder zwilchen x und p, oder zwifchen y und p gegeben ift, allge.
mein auflöfen fonnten , fo müffen wir unterfuchen, in welchen Faͤllen
bie Entwidelung wirklich gelingt, wenn alle drey Größen x, yandp
in der vorgelegten Gleichung erfcheinen. Wir bemerken zuerft, daß,
fobald die beyden WVeränderlichen x und y durchaus Diefelbe Anzahl
won Dimenfionen haben, wie auch übrigens die Größe p erfcheinen mag,
die Auflöfung auf die bereitd behandelten Fälle immer zurüdgeführt
werden fönne; es Laffen fi nämlich ſolche Gleichungen eben fo behan⸗
dein, wie die homogenen Sleichungen, unter welche diefelben mit Net |
ſubſummirt werden, weil die von den Differenzialien entflandenen Die
menfionen durchaus gleich feyn müſſen, und die ganze Beurtheilung
bloß auf die endlichen Größen x und y gegründet werden muß. Wenn
diefe daher durchaus diefelbe Anzahl von Dimenfionen enthalten, fe
kann die vorgelegte Gleichung ald homogen betrachtet werden, wis :
5. 8. die Gleichung
x2dy — y:Vdx? + dy? = o, oder
p2 — 0
Es laſſen demnach auch -jene Gleichungen die Entwidelung zu,

bey welchen die eine Veränderliche x oder y bloß in der erften Potenz

erfheint, wie auch übrigens der Differenzialquotient p = 2 in die

Gleichung verwebt feyn mag. Diefe Fälle werden wir alfe hier € einer |
genauern Betrachtung würdigen. |

rede 90.

9. 674. Es fyp= =, und in der zwifhen x, y

und p gegebenen Steihung follen die beyden Ver:
änderlihen x und y durchaus diefelbe Anzahl von
Dimenfionen enthalten; man beſtimme zwifden x

— 415 m

» y-jene Relation, welde das vollfändige Inte
le der vorgelegten Gleichung darſtellt.

Auflöfung. | Dr
Da in der zwifchen x, y und p vorgelegten Gleichung die bey:
Veränderlihen x und y in allen Theilen dieſelbe Anzahl von Di⸗
fionen darbiethen, fo wird, wem yezux gefept wird, die. Größe
irch Divifion wegfallen,. und eine Gleichung bloß zwifchen den. Bere
erlichen u und p erfcheinen, wodurch die zwifchen ihnen beftehende
ation fo beflimmt werden wird, daß ſich entweder u durch p, oder
arch u wird ausdrüden laffen. Aus der Aunahme y==ux folge
dy=uds-+-xdu, und weil dy— pAx ifl, fo wird ...:
du
p—- u
_ Da min p durch u gegeben ift, fo Täßt ſich die Differenziälformel
—; welche nur eine einzige Veraͤnderliche enthaͤlt, nach den Re⸗

a des erſten Abichnittes integriren, und man erhält Ix = year

Daß alfo x durch u ausgedrückt wird. Weil aber y=ux if, fo
y bie beyden Veränderlichen x und y durch diefelbe dritte Variabie
veftimmt, und da jene Integration eine willfürliche Conſtante ü in die
eichung bringt, fo iſt dieſe zwiſchen x und y beftehende Relation das
Hländige Sutegrale. |

"pdx — udx == xdu, und demnad = —

Zufaß ı
$. 675. Wei = if, fo wird 8

| k=1e-y+ *

m, welcher Ausdruck bequemer iſt, wenn ſich etiva aus der zwiſchen
und u vorgelegten Gleichung die Groͤße u leichter durch p beſtim⸗
en läßt. |
3 2 F —3uſatz PR .

. 676. Laßt ſich bas Integrale — - oder J; E mit
® Sogarithmen angeben, ſo daß /*8 Per = U wird, ſo erhan
an Ir 2 10 4 10, und demnach s=CU md y=CUn; es

— /)10 ini
wird fich alfo bie Relation wife x und y in einer algebraifehen Form
darſtellen, und da ua = Ye, fo wird auch die deitte Veraͤnderliche
u leicht gefunden.

x Anmerkung. ar

. 6997. Diefelbe Aiflöfungsmethode Haben wir —* oben bey
Pe gewöhnlichen homogenen Gleichungen gelehrt, bie daher durch die
Dimenfionen ber Differenzialien feine Störang erleidet, v ja ſte gelingt
fogar dann, wenn der Differengiolquotient =, =p in einer tranferue
denten Form erſcheinen ſollte. Auf diefen Wege wird namlich Die Auf⸗
löſung auf die Integration der abgeſonderten Differenzialgleichung
dx = — — surüdgeführk,. wie wir auch ſchon oben nady der: erflern

x

wehen unfern Zweck erreicht haben... Die zweyte Methode: aber,
deren wir und früher bedient haben, indem wir für die vorgelegte Dife
fetenjialgfeihung einen integrirenden Factor fuchten , findet bier offen⸗
har feine Anwendung, ::weik Durch das Differenziiren: einer endlichen
gleichüng niemals Differenzialien einer hoͤhern Ordnung erhalten wer⸗
den.‘ Es wird demnach ‚auf diefem Wege. feine endlighe Gieichuag
jwifchen : x und y erhalten, durch deren ‚Differenziation die vorgelegte
Ä Bleihung erfcheine, fondern nur eine. ‚Sleihung, welche mit derfelben
übereinitimmt, ohne daß jene willfürliche Conitante im.. Wege ſteht,
die, durch die Integration in die Gleichung verwebt, dieſe zum voll⸗
ſtaͤndigen Integrale erhebt.

Beyſpi e Un
$. 678. Das v⸗ Iftändige Integrale einer vorge
legten Gleichung a gngeben, wenn feine der Ver.
änderlihen. x. und y. fonderu bloß, der Differenzial

j N 21.

| quotient — I => p- in:derfelben erſcheint.

Wird alfo der Quotient = = p gefebt, fo wird die vorgelegt |

Gleichung bloß die —* p mit conflauten Groͤßen verbunden
enthalten, und man wird durch die Auftoͤſung derfelben p=a, p=Bß |.
By. ſ. w. finden, wenn ſie mehrere Wurzeln enthalten ſollte.

Nun wird man wegen p = = aus..den einzelnen Wurzeln die vol |

— 17 —

indigen Integralien

| y=axıta, y=ßx+-b, ymyx-+ ec, x.
deſtimmen, welche einzeln genommen der vorgelegten Gleichung gleich
Genüge leiſten.

Wollen wir diefe Integralien ſaͤmmtlich in einer einzigen endli⸗

chen Gleichung zuſammenfaſſen, ſo finden wir als vollſtändiges Inte⸗
grale die Gleichung

G—ax— a) (y—Bx—b) (y—yx—e)...=o,
Ihe nicht eine, fondern mehrere conftante Größen a, b, ce...

gu enthalten fcheint, fo viele nämlich, als die vorgelegte Differenzial«
gleichung von höherer Ordnung Wurzeln hat.

* zuf atz 1.

5 $ 679. So erhalten wir für die Differenzialgleichung
S di’? — dt =o oder —ı=o,
H wegen p= + ı und p=— ı die beyden Integralien

y=ıtraı ww y=—xı-+b,
und durch Verbindung dieſer beyden Gleichungen finden wir
—x—-a )+xs—b)=o, oder
y — x— (a+tb)y— (a —b)e + ab =

Zufaß 2
9. 680. Iſt die Gleichung dy? +-dx’=o oder p? + 10
"gegeben, deren Wurzeln —
— — 1 +vV-3 d — 1 — V— 3
| p=—ı p= tl un P= 77
"find, fo findet man entweder |
ye-ıta oder yaltyı VZ°®,x+b, oder
— — . x +'c,

„and durch Bereinigung biefer Bleihungen in eine einzige:
v8, _ —
—[—

+ [+12 pH VI, Je+esticttor
+ (pe Vo _1#V72 .)

Euler’s Integralrehhnung. 1. BD. 27

x — abe = o,

— 118 —
welche. Gleichung fi aber auch unter der Form |
+2 — fr — gıy— hi +Ay+ Bit C=o
darftellen läßt, wobey die Conſtanten A, B, C fo beſtimmt w
müffen, daß diefe Gleichung in drey einfache aufgelöft werden Fan.

I

BSeyfpiela. N

. 681. Das vollftändige Integrale der Diffen
zialgleichung
ydx — xVux - dy =

zu beſtimmen.

x

Wenn I = p geſetzt wird, fo a man
y—xVı+tp
Man feße alfo y= ux, fo wird
um Vı-tp + p® und En,
und daher nad) der a Sormel : |

— 1-4 Fe) /ape+
Es ift aber
SIpVıtp=:pVı+ Hp ART
und demnach wird
x=C— 1[Vı+p®—p] —ipVı +p —:p, ie
x=C+ 31V te +pl—ipVvı pP — ip m
yz=uı = xVp + 1.
Beyfpiel 3.
9. 682. Das vollftändige Integrale der Gleichung
ydx — xdy — var har

zu vefimmen

Eu |

Weil © ri ift, fo verwandelt ſich unfere Gleichung in

y—pxs=nxyı-+tp,

oder wenn y=ux gefegt wird, in

SFR
= — Iep—u) +

Da nun

——

— 27,10 ib
> fo wird
M Ix—= — Iınyıp — ap

J | Br aVı tp
Bd Daher . | | |
ix=C-—.1.nyı Fr !ıptvViFe

Man findet demnach

x om ga
Der Fit, und

. alptnVirp]
4, IT virp VERF.

. Weil nun aber w® — au;p ++ p? = n? pꝛ ift, fo wird,
a aVae Fı Zn ‚VıFpel nu + Vatı na

8

1— 1 — n?
Md

| — _ —
VTFp — p He, |
* wird
‚af nu + VEN _ He Pr

nn ö— — — ]

J — iſt.

FZſt aber J ſo wird EEE

| = I V , um

————— oder y? Hm san.

Wenn n—=— ı if, fo iſt zwar, wie vordin,

p — J und Yı + Fran, daher
nt vi+ — — 27 en,
———— | Fine nase,

eu
. .x=06 und hy th aan o, | N

Ä Anmerfundg.
$. 683. Wenn man Bi Gleichung aufs Quadrat erhebt, und

un den Werth von p == 8 ſucht, ſo wird ſie auf eine gewoͤhnlich⸗
| *

um 120 ——

homogene Gleichung reducirt, denn erftlich wird
y — apxy + pi — n? x? + ntp?xt, dann

sdyy_ ytnYa»+@R—nr

ıı “zn

welche Gleichung durd; die Subftitution y= ux abfonderungdfi

gemacht wird. Hier verdient vorzüglich der Fall bemerkt zu w

in welhem n?= ı ift, denn dann wird

pı —

dj y?2 — x?
y — 2pxy = x oder p=% nn!

und daher
axydy + dr — yPdı=o;

| diefe Gleichung kann auch theilweife ‚integrirt werden, da der
axydy — y”dx.durdh den Sactor F f (Z) integrabel wird.
mit nun durch diefen Factor auch der andere Theil x? dx integ
gemacht werde, feße man jenen Ausdruck == */ ſo erhalten wir

axydy — y?dıx
— — 4 dx — 0,

welcher Gleichung dad Sutegrale ! _ + x = 2a ;zufömmt, ie

hin; nur daß hier die zivente Kuflöfung x=o nicht gefunden *
Denn da die obige quadrirte Gleichung für n= ı ſogleich in eine d
fache übergeht, fo geht die zweyte Wurzel verloren, welche aber mi
der gefunden wird, wenn man n—=ı—a feßt, denn dann wird
yoapıymr — 2a — 2apr -ar(ı Hp)N,
und daher px unendlich. Laͤßt man alfo die Glieder, welde a4
die übrigen verfchwinden, hinweg, fo findet man

— pxy=x’ — 2ap?x?,
und da diefe Öleichung den Factor x enthält, fo gibt fie die a
‚Auflöfung x=o. Eine folde Auflöfung gelingt zwar dann, we
man den Werth von p durch das Ausziehen der Wurzel beftinmen fan
allein wenn die Öleihung von einem höhern Grade, oder gar.tt
fees went ift, fo Fönnen wir Die hier erklärte Methode nicht umgehen.

Beyfpiel a
ı $..684. Man beftiimme das vollfiändige Integral
der Gleichung

xdy’ + ydx® = dydxyay (dv? + dy?).

— 421 ——

Setzt man “I p und‘ ys=ux, fo erhält wnfere Gleichung

- dx
e Korm
P+tı= pvVa +
rd demnach ift
= 4 d
= oder iıx= Frl

Es ergibt ſich aber hieran
Ve=:pViırp +ipVı—4ptP%

Ber wenn man quadrirt:
y=ir Pe +imr+ievVü +P) G—-4#P,
P daher
@— ua =4+Pp (14) (2—p) — ip vo+®) Gate
lich iſt
—
pm. 2Pa-Pp+P) aa-p+m)Vitp
. Sept man in dem legten Theile diefer Gleichung

V: —4P + pt _ Ä
—r»a 7 g fo wird, weil

vE=U=EN, — ve]
2 + vl a VER] 7, pe + ,
ı—q a —- MVL- ad
_ EM L+VY—-(ı—
u + er Pre itſ,
Map _,( dra—p, adq

pP-u Jpu—-p+P) nr? + DVI-a-
> der letzte Theil weder durch Cogarithmen, noch durch Kreisbogen
tegrirt w werden kann.

Beyſpiel S.
$. 685. Eine ſolche Relation zwiſchen x und y zu
eſtimmen, daß #® — axy werde, wenn s=/Vdax-+dy®
nfegt wird. |
Beil s = Vaxy if, [6 wird

ds = vier dy? _ 1dy ryde
‚Vary

um /2) —

und wenn I == p. und y==ux gefegt wird, findet man

Vı-tp ri, or u= = yanlı +9) — pP;
und wenn die Wurzel wirklich augezogen wird:
vu=-VıtE+ a lern

a=ı-p+p ——— und
p—u=— (ı(—pfı —-p+Vi + pr}; oil

dp Wer
— _ vr + =:1p—:
pw 56 Ir rer) P pt}

Wird nun p = —“ geſetzt, ſo erhaͤlt man

es —ag0+

pt—p JS au Hl+29—n

© "dq
u =7T 77 fe
. ' r , — ET —

va — 1—
und hieraus | ) 1-4
—— ı ıy7ıtq4 _ 3,9 VY2a+ı 79
Ja= a, —
i)7 ve+tı7+3q
va —ı—q
Nun ift p tan tat

2q 2q
und fo erhält man ' |

Weenietotie Ib Term
+14) — ııfvetır

va -ı-ı

v 1
=u-1ß-0491- 7! ihn)

wobey u =! =!(h+ ie und ı Hg = F iſt; vo

__ zax VVX - Vy * — Vz — yy *
x— — vs+ vs oder xy vs + vy
pder

(Vx+ vn'W = Lalye vn”

— /25 m

Die Gleichung zwiſchen x und y ift alfo, wie man fich auszubrü.

en pflegt, interfcendent.
Anmerfung.

$. 686. Diefe Auflöfung wird leichter bewerfitelligt, wenn man
gleich aus der Gleichung
+P=Va2u( + pP), oder w + aup+p=2uraup,
en Werth von p fucht; man findet nämlich

En, + v(u? — 4u? 20u 4 >u? — u) ‚ oder

W 2uu — 1
u G—u)Vau
pettien, md
a 9 (au +Vau) _ a—wVau
P — a2u—ı vVaurı,
Aber iſt _

du wau—ı) _ du
le „fen (1 —u) Vau 5 ) (1—u) Vau

Sey nun u vr, fo wird

du a adv
Sara] „(= #2),

id daher

lx = la It) - (32).

Da nun u — 2 ift, fo findet man

S. ax vx — Vy
137 — EN / wie vorhin.

- Wird demnach eine Curve, auf die rechtwinfligen Coordinaten

und y bezogen, verlangt, welche die Eigenfchaft haben fol, daß ihr

zogen s — Va xy wird; fo wird die Gleichung

(Ve+ Valve vyV*
ie Natur diefer Curve charafterifiren. Übrigens ift für fih Far, daß
ie Aufgabe auf ähnliche Art aufgelöft werden fönne, wenn der Bogen
irgend einer homogenen Function von. x. und y des erften Grades
leich ſeyn fol, oder wenn irgend eine homogene Gleichung zwifchen

— 424 XXX
x, y und s gegeben würde. Es wird ſich der Mühe lohnen, dieß
der folgenden Aufgabe zu zeigen.

Aufgabe 9r.

$. 687. Eine endliche Gleichung milden. x um
hufzufinden, wenn
s == /Vdx: + Jdy?
feyn foll, und irgend eine homogene Sleichung zn
fhen x, y und s gegeben ift, in welder nämlid d
drey Veränderlihenx, yund s durchaus diefelbe X
zahl von Dimenfionen haben.

Auflöfung

Man fee y=ux und s=vx, damit durd) diefe Subftitut
die Weränderliche x aus der vorgelegten homogenen Gleichung in
falle, und eine Gleichung zwifchen den beyden WVeränderlichen u u
v erhalten werde, aus welcher fich v durch u beftimmen laßt. Vi
aber dy= pdx gefegt, fo wird

ds = dxyı + p},

und demnach findet man

pdx = udx + xdu un ayıyr= vdx + xir,

alfo — —
7 =
Weilnun v durch u gegeben ift, fo fey dv = qdu, damit

erhalte
| Vvtper+pg-gqu

und wenn man die Quadrate nimmt:

Pr (— gi? Fepgr -qu)+tPd
fo findet man
1a) + VW Ta HEN, und

p= ge
p— um NE KEN +,
Hieraus ergibt ſich demnach
du ( — qQ)
v
— Au lgr -u- Vorzeit

a a —

de _
x

em 125 —

umd da v und q durch) u gegeben find, fo kann man auch x durch u
auddrüden; weil aber qgdu —= dr ift, fo erhält man

duYwr—qu?—ı rg
Ix= la — IYyıt w— y - um

amd da y= ux iſt, fo findet wan, wenn I ftatt u gefeßt wird, die
geluchte Gleichung zwifchen x und y.

3ufaß ı
$. 688. Da s den Bogen einer auf die rechtwinfligen Coordina⸗
ten x und y fich beziehenden Curve bezeichnet, fo wird diefe Curve fo
beftimmt, daß ihr Bogen irgend einer Function von x und y des eriten
Grades gleich wird, und diefe ift alfo algebraifch, wenn das Integrale
JE -q®—-ı+@
1 Pu? — v2

Durch Logarithmen dargeftellt werden kann.

3ufap a2.
$. 689. Auf ähnliche Art kann man die Aufgabe löfen, wenn s
eine folche Integralfermel bezeichnet, daß de=Qdx, wobey Q eine
beliebige Function von den Größen p, u und v bezeichnet. Hier muß
man aber aus der Gleichung
dx du du

x p—u 7 0—v
den Werth von p beflimmen, und da v durch u gegeben ift, fo wird
du

lıx = .
p—u

Beyſpiel 1.

$. 690. Wenn s=ax+ By feyn müßte, fo wird

v=erPu undg= N = ß, dDaber v— qu=a, alfo

Keiivite ct] en

und der legte Theil gibt
_ duVa: +9 — ı
ee |

= (@ HR -) EEE eTTTe —

uni 416 ih

| wird ſich alfo bie Relation zwiſchen x und y: in einer algebraiſchen
darſtellen, und da as 9* if, fo wird aud) die deitte Veraͤnd
u leicht sen

er rl Anmerfung. | =
9 677. Dieftibe Adflöfungsmethode "haben wir ſchon oe
Bir ‚gewöhntichen homogenen Steichungen gelehrt/ die daher dır
Dimerfionen der‘ Differenzibfien feine Stgraug erleidet, ja fie g
fngar dan, wenn der Differengiolquotignt 2 =p in eine tra
denten Form erfcheinen ſollte. Auf diefen Wege wird: naͤmlich di
löfung Er die Integtation der abzeſonderten Differenyiatglei
dr — zuridgefüßrtz. wie wir auch fchen oben nach der e

x

| chellan unfern Zweck erreicht haben. Die. zweyte Methode

deren ‚wir uns früher bedient haben, indem ‚wir für die vorgelegt:

—— einen integrirenden Factor fuchten , findet hier

bar’ feige ‚Anwendung, :;meik durch Das. Differenzitreinn einer end

te niemals Differenzialien einer hoͤhern Ordnung erhalten
Es wird demnach auf dieſem Wege keine endliche Si

r

. — erſcheint, ſondern nur eine. Gleichung , welche mit der
3 ohne daß jene willkürliche Conſtante im- Wege
die, durch die Integration in die Gleichung verwebt, diefe zum
ftändigen Integrale erhebt.

— Beyſpiel i.
$. 678. Das. veilftändige Integrale einer vi
legten Gleihung algngeben, wenn feine der
änderlihen x. und y, fondern bloß, der Differer

. d .
quotient Fe = p in:derfelben erfheint.

Wird alfo der Quotient = — p gefebt, fo wird die vor.

Gleihung bloß die Beränderlice p mit conflanten Größen _verb
enthalten, und man wird durch die Aufköfung derfelben pa, |
By u f. w. finden, wenn fie mehrere Wurzeln enthalten

- Dun wicd man wegen p = * aus den einzelnen Wurzeln di

— AT

indigen Integralien

y=axı+teı, y=ßı + b, ymyxı-t ec, ı.
Flimmen, welche einzeln genommen der vorgelegten Gleihung gleich
enuͤge leiffen.

Wollen wir diefe Integralien ſaͤmmtlich in einer einzigen endli⸗
nen Gleichung zufammenfaflen, fo finden wir ale vollſtändiges Inte⸗
ie die Gleichung

G -4Ax — a) — Bx —b) y—yx—c)...=0,
elche nicht eine, fondern mehrere conſtante Größen a, b, e...
‚enthalten fcheint, fo viele nämlich, als die vorgelegte Differenzial⸗
ichung von höherer Ordnung Wurzeln hat.

Zuſat 1.
$ 679. &o erhalten wir für die Differenzialgleichung
di? — d®=o oder —ı=o0,

gap 4 ı und p=— ı die beyden Integralien
y=ıtı wy=—xH+tb,
b durch Verbindung diefer beyden Gleichungen finden wir
| 4 —-x-)y+r—b)=o, ode
y — 2 —- a+b)y— @a—b)e abo.

3ufap 2»
4: 680. Iſt die Gleichung dy® + dx’ =o oder pe +: 10
geben, deren Wurzeln -
p=-—ı, pt VI und v8

BD, fo findet man entweder |
ya-ırtı oder ya-lıı VZ°® 2b, oder

—E — .x Pe, |
d durd) Vereinigung dieſer Gleichungen in eine einzige:
+r-a+bt0r +[e— ——-— —— — —. c]xy
[+ ph VI, Je+@btukter
— — 0%

Euler's Antegrateechmung. 1. Bd. a7

(e⸗ —

— 18

welche Gleichung fi) aber auch unter der Form

y’+x? — fy⸗ — gıy— hi! -Ay+-Bı++C=o
darftellen läßt, wobey die Conſtanten A, B, C fo beflimmt werde
müffen, daß diefe Gleichung in drey einfache aufgelöft werden Fann.

.

' Beyfpiela. \
6. 681. Das vollftändige Integrale der Differcn.
zialgleichung

ydx — xıyd -d 2 =o

zu beftimmen.

x

Wenn 2 = p gefebt wird, fo erhält man

y— xyı + p* =

Man fege alſo y=ux, fp wird,
evt m Fe,

und daher nad) der a Formel : - I

— ——— — —=— (pa) —Sdp(p4Vr+p')
Es ift aber
SIpVı+p=:pVı+ ++ VIF 77T;
und demnach wird
x=C— z1[Vı Hp®—p] — #pVı + p! — pr, oder
k=C+:1Vı+P+Pl—:pVı te —:p%, mb
yzuxr= xymt.
Beyfpiel 3.
$. 682. Das vollfiändige Integrale der Gleichung

ydx — xdy — nıydı + dy?

zu vekimmen

Weil Bel = p ift, fo verwandelt ſich unfere Gleichung in

y— px =nxyı + p?,
oder wenn y=ux gefeßt wird, in

| Be

= —-1p—-u)+

Da nun

——

m. 419 mei
nv fe
ixv—= — I.n u; SE
Bd Daher . | | |
ix=C-—l.nyı +#®--1fe+vVı+r ].

Man findet demnach

3 fo wird

._ Vırtp = p? VIER + p* — er, und
alp+nVi tm] ER
— „= .Vı + p [Vi PR.

Weil nun aber u — au;p ++ p? = n? 4: n? p? ift, ſo wird,
rn vrr=S nu+ Vrtı ns

ı— n? 1 — 112

——

er wird

Bio —

x[onu VTT 1— n2

a (i —n?

- se]
ö— ZI
|

Zſt aber n fo wird - BE
pet, V+4r=Z +1

‚und

a ı aax
u ——— oder y? ern
Senn n=— 1 ift, fü ift zwar, wie vorhin,

ur — 1 * — 2— 1

p =. und Fe = I, Bafer

‘= — Ze

2 + ,?

d iſt auch
a und x eye han o, J

Anmerkung.
683. Wenn man bie Gleichung. aufs Quadrat erhebt, und

an den Werth von p == = fucht, fo wird fie auf eine gewoͤhnlich⸗
| er

— 20 —

homogene Gleichung reducirt, denn erſtlich wird
y? — 2pxy + px? = n᷑x 4 n?p!xt, dann

xıdy _y +nVy2%2 +2 —n2x ,
— — — ⸗ —

dı 1—n°

pı =

welche Gleichung durch die Subflitution y= ux abfonderungdfähig
gemacht wird. Hier verdient vorzüglich der Kal bemerkt zu werd
in welchem n= ı ift, denn dann wird

2 dy y: — 2?

y — apıy= x oder p= ir =,"
und daher . |
sxydy+ xdx ydı=o;,
| diefe Gleichung kann auch theilweife ‚integrirt werden, da der
axydy — y?dx.durd) den Factor ern f (Z) integrabel wird. De
mit nun durch diefen Zactor aud der andere Theil x” dx integrahl
gemacht werde, febe man jenen Ausdruck = */ ſo erhalten wir

axydy — y?dx

welcher Gleichung das Sütegrale 7 * +x= 2a zukoͤmmt, wie vor

bin; nur daß hier die zweyte Auflöfung xo nicht gefunden wir.
Denn da die obige quadrirte Gleichung für n = ı ſogleich in eine ein
fache übergeht, fo geht die zweyte Wurzel verloren, welche aber wieh:
der gefunden wird, wenn man n==ı —a feßt, denn dann wird
pPo—apıy=xr — 2a — 2apf a (ı + pi)xt,
und daher px unendlich. Läßt man alfo Die Glieder, welche gegen
die übrigen verfchwinden, hinweg, fo findet man

— pxy =x’ — 2ap?x?,
und da diefe Gleichung den Factor x enthält, fo gibt fie die andere |
‚Auflöfung x=o. Eine foldhe Auflöfung gelingt zwar dann, wenn
man den Werth von p durch das Ausziehen der Wurgel beftimmen kann;
allein wenn die Gleichung von einem höhern Grade, oder gar .tram
fees went ift, fo Fönnen wir die hier erklärte Methode nicht umgehen.

Beyfpiel 4.
N $.. 684. Man beflimme Das vollfiändige Integrale
der Gleichung

xdy’ + ydı? = dydxyVxy (dx? + dy?).

— 421 —

Sebt man —* — p und 7* ux, fo erhält unſere Gleichung
e Form
_pP+ı= eva Fedr Fer
ad demnach ift

- du ' oder 1x =

| _ _ ip
— = I Na + /

Es ergibt fich aber hieraus |

Ve=:pVitpP +ipVi—4p+P
er wenn man quadrirt:
u=;ie—p+:!p-+ip va Fr) G—4P#P),-
ıd daher
— a =;p(14+p) (@—p) — !p —
glich iſt
_dr____dra—p | NVEITETS
pa aPpG—-p+P) ° 3G-p+pIVirp
Sept man in dem legten Theile diefer Gleichung

V:!:-4tr _ . nn
+ g, fo wird, - weil

, ap = 4dg b + VII],

—
— —

Fr

ı — q? (a — q9j° VR— ( — 2)? ’
ao E+ML+VIZO-
und ı — p-+ pf = ö— — — iſt,
dp 1 dp (@—'p), g?d ;
=: Forrmt° ernvVi-

0 der legte Theil weder durch Cogarithmen, noch durch Kreisbogen
negrirt w werden kann. |

Beyfpiel 5 Ä
$. 685. Eine folde Relation swifhen x und y zu
eſtimmen, daß s— axy werde, wenn s=/Vdxr-+dy:

efegt wird.
Wels —Yaxy if, [6 wird

da = Var ap Mr hyäs,
. Vary

mn /22 CE

und wenn == p. und y==ux gefegt wird, findet man

Vı+p tt, oder u = VYau(ı--p) — Pi
und wenn die Wurzel wirflich audgezogen wird:

B=ı-p+P+t-pVire u
p—u=— (ı—p)[ı -p+ViıF+p]; alſo it

dp __ vr Fe]=t1p—: pVi+4p-
I = Sent PoVverelssip Seen

T gefept ‚ fo erhält man

— data _
p(i1—-p) a

Wird nun p =

und hieraus _ |
dp _, Pi 9 t9 _ ,Y2+ı+gq
Je = — ;1q r ll 7 1

1—q vi—ı—q
—ı vetıtraq\ |
va—ı—gq

Nun iſt nn en,
und fo erhält man |
=6-104+9+1g-1-049]

+19) 1 =)
un 1B-0491-, 1) |

wobey u =! =t(1 + D und ı -qg= F iſt; he iſt

OL _L Fax VE vr — vs vy vi.
= 2-y\vFvs ve 2 y= va+vyJ
pder

(Ve + nF = talys vn”

— /25 zum

Die Gleichung zwiſchen x und y ift alfo, wie man fich aus zudru⸗
en pflegt, interſcendent.

Anmerfung.

F. 686. Diefe Auflöfung wird leichter bewerkſtelligt wenn man
zleich aus der Gleichung

+p=Vau(i+p), oder w®42up 202ur,
n Werth von p ſucht; man findet naͤmlich

u + v(u —4wW-- au 2u? — u?)

„II 0 1 70000020, ode

2u — 1

p=

at a-wvVau
au:-ı

(ı — u) (au + Vau) — G—wVau

—
au — 2 Vau— ı

ber ift _
| du Wau—.ı) » du
=. = C— lI(ı -—u)— 1) —.
I —— (1—u) Vau u ( (1—u) Vau
Sey nun u= vr, fo wird j
du .ı adv 1 ı + v -
Ser man! iv)’;

ıd daher
k=l—-10-)—- 1).

p= und

p — u =

Da nun u — iſt, ſo findet man

—. ax vzı— vy V⸗

x mon _y —— wie vorhin.
Wird demnach eine Curve, auf die rechtwinkligen Coordinaten
und y bezogen, verlangt, welche die Eigenſchaft haben ſoll, daß ihr

ogen s— Vaxy wird; fo wird die Gleichung

(Vet vMV = alvs— vw
e Natur diefer Curve charafterifiren. Übrigens ift für fich Flar, daß
e Aufgabe auf ähnliche Art aufgelöft werden fönne, wenn der Bogen
irgend einer homogenen Function von x. und y des erſten Grades
eich feyn foll, oder wenn irgend eine homogene Gleichung zwifchen

— /24 —
x, y und ⸗ gegeben würde. Es wird ſich der Muͤhe lohnen, dieß i
der folgenden Aufgabe zu zeigen. |

Aufgabe gı.
$. 687. Eine endlide Gleihung milden x und

hufzufinden, wenn

‚= /Viw + Ip
feyn foll, und irgend eine homogene Sleichung jm
fhen x, y und s gegeben if, in welder nämlid di
drey Veränderlihenx, yund s durchaus biefelbe
zahl von Dimenfionen haben,

Auflöfung
Man fepe y=ux und s=vx, damit durd) diefe Subftituti

die Veränderliche x aus der vorgelegten homogenen Gleichung 4
falle, und eine Gleichung zwifchen den beyden Veränderlichen u m
verhalten werde, aus welcher fich v durch u beftimmen läßt. Bi
aber dy= pdx gefegt, fo vn

ds == dxYı +pr + p%
und demnach findet man

pdx =udx + xdu um dıyı + p = vdx + xdr,

dx du
x p-u Bee

Weil nun v durch u gegeben if, fo ſey dv = qdu, damitm
erhalte
VFrR=er+r gu
und wenn man die Quadrate nimmt:
HRS Fer peg,
fo findet man
_ I6-W+ VW -W-ı+@
Pp= — pr — —
p— um — A.
Hieraus ergibt ſich demnach

d — g?
Er —_ du (ı q?)

: gw-u+VOo-wW’-ırg]
— Aulgv—- u Ver —qW-ı +@],
De —

und

| — 4125 —
und da v und q durdy u gegeben find, fo kann man auch x durch u
ausdrüden; weil aber qgdu = dv ift, fo erhält man

1x ⸗ la — Mey ,

ı + w — v?
-und da y=urx iſt, fo findet wan, wenn 2 ftatt u geſetzt wird, die
gefuchte Gleichung zwifchen x und y.

3ufaß ı.
$. 688. Da s den Bogen einer auf die rechtwinfligen Coordina⸗
ten x und y fich beziehenden Curve bezeichnet, fo wird diefe Curve fo
beftimmt, daß ihr Bogen irgend einer Function von x und y ded erften
Grades gleich wird, und diefe ift alfo algebraifch, wenn dad Integrale
SE —
ı + u2 — v2

durch Logarithmen dargeftellt werden Fann.

Zufap 2
$. 689. Auf ähnliche Art fann man die Aufgabe Iöfen, wenn s
eine ſolche Integralfermel bezeichnet, daß de=Qdx, wobey Q eine
beliebige Function von den Größen p, u und v bezeichnet. Hier muß
man aber aus der Gleichung
dx du du

—
— == —

x p—n 0 — v
den Werth von p beſtimmen, und da v durch u gegeben iſt, fo wird

p—u
| Beyſpiel ı. .
$. 690. Wenn s=ax-+ By feyn müßte, fo wird

=a+ßu und g= — 6, daher v—qu=a, alfo

u

‚ duVa? 2—21 |
Ix=1la—1vV[ı +u — («+ ßu)?] er
und der lebte Theil gibt

— duVe+®_—ı —
ı — a? — 3adu- (1 — 82) u? —

= w+rntf- x

@-ı Freut @onw‘

— 720 —
welche Gleichung ſich auf folgende Form bringen läßt:
| (B? — ı)duVae: + ß® — ı
NN Bentep+VerR—)
ED Fe Ve+rR—ı
(BP? Yet ePHVerRn 1
Wird demnach u= > gefeßt, fo erhält man, nachdem man die
Quadrate genommen bat, die gefuchte Sntegralgleichung
ty lach _Rodytafı— sVerR—ı
ı a B-ı)ytaßc+ıVetp—i
Wird aber B—ı)yFaßs— ıy2+ß®—ı =Pp
(#—ı)y+ aßı txyeR —ı —-ı=0.
gefest, fo wird
PQ=@—ıyYy +2aB@—ı)ay + @—ı)@—ı)x
@-1)[a+BP -e—yr).
und nach Änderung der Eonftanten wird daher I — 5, alfo ift
entweder P=o oder Q=b; folglich iſt im Allgemeinen die Auflöfung

(B? — 1) y+ aßx tr xVa2 4 8— c,
welches die Gleichung für die gerade Linie ift.

Beyfpiel >

2
$. 691. Wenn =— werden foll, fo wird vonu
und g= 2nu feyn; daher

ı Fr P=ırao nu um Tumoad
folglich,

Ix=la — 1 ı Lu. — n?u — [ee ehe ı + mu
ıtruWonuw

welcher Ausdrack aber nicht mittels Logarithmen in
tegrirt werden fann.

| Beyfpiel 3.

$. 692. Wenn ® —=x? + y? ſeyn foll, fo wird

u
vo 1 u?’ und VI

BE 427 —

und daher iſt
ı Ft — ?=o. '

Wir müffen demnach die Aufiöfung mit Huͤlfe der erften Formeln

ausführen, und finden daher | N
‚Zqu= vr.
t—-ı=- — und qv —u = 0; alſo
p—u=o ode 26,

fo daß man y=nx erhält. |
Beyſpiel 4:
S. 09% Soll®=y:—+nx?, oder v=Vwe+n raund

g= ſeyn, fo wird Itw_rsı-n

Va

n — n
u N ara ren
Man wird demnach) erhalten
ıx—=la — | — — —
——

+ Vo: nn], und daher
| az
pn —

x
5

Wenn alfo - eine Quadratzahl ift, fo erhält man zwiſchen

x und y eine gekrafge Gleichung. Eu Y — =m findet
man n = — und s= yp +- nz welcher Bedingung

Genüge geleiftet wird durch. die algebraifge Gleichung.

anti bh +Vr +. + 1”,

m? — ı
welche fich auch unter folgender Korm darſtellen laͤßt:
2 1 —m 8
— _ 2
x — ab" x nn = BR oder.
_ (m2 — ı)x® _ m2bm |

a(m?— ı)brx m

— 428 mm
Zuſatß.
F. 694. Setzen wir m — =, und iſt

— bea 4 (n? — 1) x’a .
I= a(n?— ı)bass—ı ’ fo wird

2 V

Iſt demnach nn

b2 . 32%
6b?x

so Vr — =.
Aufgabe 92.
F. 698. Die zwifchen den beyden Veränderlichen
x und y beftehende Relation aufzufinden, wenn I=p

Hefest wird, und zwifhen x, yund peine ſolche Glei—
Hung gegeben ift, daß in derfelben die eine Verän
Derlihe y nur eine. Dimenfion hat.

Auflöfung.

Hier wird alfo y irgend einer Function von. x und p gleich fen,
und man wird durch Differenziation erhalten dy = Pdx + Qdp.
Weil nın dy=pdx ift, fo erhält man die Differenzialgleichung
(P—p)dx +Qdp= 0, deren Integrale beflimmt werden muf.
Da diefe Gleichung nur die zwey Veränderlichen x und p enthält, und
in ihr bloß die einfachen Differenzialien erfcheinen, fo muß man ihre
Auflöfung nach den oben erflärten Methoden verfuchen.

Die Auflöfung wird alfo erftlich gelingen, wenn P=p ijt, und
demnach dyy=pdx + Qdp. Dieß ift der all, wenn y dur x
und p fo beflimmt wird, daß y=px-+ I, wobey IT was immer
für eine Zunction von p bezeichnet. Dann wird alfo 0=x-+ 2
und weil die Auflöfung von der Sleihung Qdp == o abhängt, fo
wird entweder dp — o, und daher pa, oder y=axr—+ ß, wo

die eine von den Conftanten « und B durch die vorgelegte Gleichung
ſelbſt beftimmt wird, wenn B=N für p=a wird ; oder man erhält

J —

‚ fo wird

dn dn
O=0, und daber i_=-m und y — — Er + I, mo alfo

beyde Auflöfungen algebraifche Nefultate geben, wenn nur IZ eine alge⸗
braifche Bunction von p bezeichnet.

Zweytens wird die Sleihung (P—p)dx + Qdp=o die
Auflöfung zulaffen, wenn die eine Veränderliche x mit ihrem. Differen-
ziale dx den erſten Grad nicht überfteigt. Dieß ereignet fih, wenn
y=Px-+2 if, fo lange P und IT. bloß Bunetionen von p bezeich«
nen, denn dann wird P=P und = = — „+ J, und man hat
dann folgende Gleichung zu integriren:

(P—p)dx +-xdP+-dn=o, oder

xdPp dn

dp
Multiplieirt man diefe Gleichung mit W2 PP, fo erhält. man
S * = dan
mn P—p_ et

oder man fege ——=5 m — n fo findet man die Jutegralgleichung,

Rdu ffandR
fan —
und daher wird

CP p fandR
\ gtn-af dp:

Drittend wird die Auflöfung Feine Schwierigkeit- darbiethen,
wenn y=X--YVp feyn follte, wobey X und V was immer ‚für
Functionen von x bezeichnen ; denn dann erhält man

dy=pdx = dX + Vdp + pdV, und daher
V-d d X
ti

dR
Sey nun — = on damit auch R eine ſunction von x werde,

ſo erhaͤlt man

V c dx der R R AX d
nP= m⸗ ode p = — F zen

welche Gleichung die zwiſchen x und y beftehende Relation ausdrückt.

zum 430 —

Viertens läßt die Gleiching (P — p) dx + Qdp =o die
Auflöfung zu, wenn fie homogen it. Da alfo das Glied pdx zwey
‚Dimenfionen hat, fo wird die Sleichung homogen feyn, wenn aud
alle übrigen Glieder zwey Dimenfioneyg enthalten, woraus hervorgeht,
dag P und Q homogene Zunctionen des erften Grades von‘ x und p
feyn müflen. Wenn ſich daher y durch x und p fo beftimmen Täßt,
daß y gleich wird einer homogenen Sunction zweyer Dimenfionen von
x und p, fo wird die Auflöfung gelingen. Denn wenn

dy=Pdx + Qd p
ift, fo wird die, die Auflöfung enthaltende Gleichung
P—p)dx + Qdp=o
homogen feyn, und fär fi integrabel werben, wenn man fie durch

(P — ) 5 + Op dividirt.

3u ſatz 4.
$. 696. Wenn man in dem vierten: Sale yeonz? fegt, fo muß
die- zwifchen den drey Veräuderlicheh 3, z.und’p vorgelegte Gleichung
homogen ſeyn. Wenn daher irgend eine homogene Gleichung ziwifchen
x, z und p gegeben" wird, in weldher- die drey Größen x, z und p
durchaus diefelbe Anzahl von Dimenfienen. bilden, fo fann die Auf:
gabe immer gelöft werden.

Bufap a
ıs 697. Werden. die Veranderlichen vertauſcht, und man ſeht
x v2 und m = X ſo daß p = - Fwird, fo laͤßt ſich, wenn

irgend eine homogene Gleichung zmifcen Jı v.und q ‚gegeben wird,
die ‚Aufgabe ebenfalls auf dieſelbe Art, löſen.

X

Anmertung, vV
$. 698. Für den vierten Fall koͤnnen die Bedingungen erweitert
werden, damit die Gleichung. (P ——p) dx + QUp z=.0. homogen
werde. Denn man feßex—=v" und p=gq’, und es wird ducch dieſe
Subſtitution die Gleichung .

p (P— Q) vP!dv + —XRE dg=ö:.,
gwifchen den Größen v und q homogen, fo wird P eine homogene
Sunction von a Drmenfion onen, und Q eine homogene Function von »
Dimenfionen. Da nun. * an

— 5]

dy=Pdxr + 0Q0dp = „Pv’”—'dvr + »‚0q dg,
fo wird y eine homogene Sunction von a —-» Dimenfionen ſeyn, wird
daher y= zer? gefegt, fo läßt die Aufgabe die Auflöfung zu, wenn
zwifhen x, y und p eine folche Relation gegeben wird, daß für
y=z!,x=v® und p=q? zwiſchen den drey Größen z, v und
q eine homogene Gleichung erhalten werde, fo daß jene Größen durch⸗
aus diefelbe Anzahl von Dimenfionen darbiethen ; und wenn eine folche
homogene "Gleichung zwifchen den Größen z, v und q gegeben wird,
fo fann das Problem auf folgende Art aufgelöjt werden. Weil
dy=pdx ilt, fo wird
+) re tar; |
‚nun fege man z=rg und v=sq, fo wird die vorgelegte Gleichung
nur die zwey Örößen r und s enthalten, aus welcher ſich die eine durdy
die andere beftimmen laßt, dann aber erhalt man durch dieſe Subſti⸗
tutionen die Gleichung rn
GEHN EPIledg + gi) =
= „sh! get?! @dg-+gds),
und aud diefer erhält man
dq __ we ds — (u +») Prr—t gr

N /

q tr _ —8
welche Differenzialgleichung abgeſondert iſt, weil s durch r gegeben
wird... Selbſt die beyden angeführten Faͤlle ſind offenbar enthalten in
den Formeln et

ya, x vr, pP=g; | | |
der erfiere nämlich, wenn a==ı und v=ı, der letere abery,. went
p=2 und » — 1 gefegt wird. Es wird demnach zweckmäßig. ſeyn⸗
dieſe Fälle eben fo wie die vorhergehenden durch Beyſpiele ju erläutern,
deren erſterer befonderd merkwürdig ift, weil Durch -Differenziation der vor⸗
gelegten Gleichung y=px--77 fogleich die gefuchte Integralgleichung
erhalten wird, und gar. feine Integration nöthig ift, ſo bald wir die
zweyte Auflöfung, welche die Gleihung dp = 0 darbiethet/ außer
Acht laſſen.

Beyſpie L 1.

$. 699. Man beſtimme das Integrale folgender
Differenzialgleihung:

ydx — xdy = ayar 4 dy?,

— 152 —

Wird =7 == p gefebt, fo erhält man y— px = ayı + p,
und duch Differenziation diefer Gleichung findet man, weil
apdp
Da nun diefe Gleichung durch dp theilbar it, fo erhält man
zuerſt p=a, und daher y=ax-+ ayı { a? Der andere Zactor

dy = pdx it, — xdip =

aber gibt x = 7* * , und daher wird
1 F
’Tyi — _ VırPp

allo wird x? +-y? RN nein auch die Integralgleichung iſt; allein
weil fie Feine neue Conſtaute mit ſich führt, fo Fann fie nicht als dad
volftändige Integrale angefehen werden, denn dieſes lebtere umfaßt
zwey Sleichungen, nämlid) :

y=axrtayıta und. + y° = a, |
welche fich in eine Gleichung sufammenziehen laſſen, und zwar in
folgende:

[( - ar)? - a Fa) a +? — =
Anmerfung.

5. 700. Wenn man die Rechnung nicht auf diefe Art anſtellt,
fo wird die Auflöfung diefer Frage ziemlich fehwierig, denn wenn wir
die Differenzialgleihung ydx — xdy = aydx: 4 dy: durd
Quadriren von der Irrationalität befreyen, und dann den Quotienten
2 7 dutd) das Wurzelausziehen beſtimmen würden, ſo erhalten m wir

(—a)dy — xydıı= rt adıya y® — ar, |
welche Gleichung nad) den befannten Methoden nur mit großer Mühe
behandelt werden kann. Es laͤßt fi) zwar ein Multiplicator finden
durch welchen beyde Theile der Gleichung integrabel gemacht werden;
denn der erfle Theil (x? — a”) dy — xydx wird dur y (x?—a?)
dividirt, für fich integrabel, es entfpriche naͤmlich als Integrale der

Ausdrud 1. —— im Allgemeinen iſt daher der integrirende
u— aA

Faetor

„==

—ſ +99 —

ra ® ( — =)"

welche Function fo beftimmt werden muß, daß durch denfelben Factor
much das andere Glied adx Vx: 4-2 — a? integrabel werde; ein
Folcher Multiplicator aber iſt |
1 y ı

. — — — — —— —⏑ —— — — ——

62 - a?) Ve hy —a (— a2) Vi + y2—ar
und durch diefen erhält man

_ — a)dy—xydı + ade

— a?) Ve: ty? — a° 12 — ar °
Alm nun das Integrale des. eriten Gliedes zu beftimmen ‚, betrachte win
x als conjtant, fo wird das Integrale 4

= Iy +VE+r at
wobey X irgend eine Function von x bezeichnet, und fo gebildet ift,
daß wenn nun yald conſtant betrachtet wird, .
xdx — xdx

wo...

——— —+dX=
y+Vı+y7—a:) Ver pa (1? —a?) Vetjz%—a
werde, oder ,
— ıdı b-Ve+rr Zi, ge — ıydı
2 <a) Var + ya
und daher wird .
— ıdı C
aX = und X 1 7

Es iſt demnach das geſuchte Integrale
Ibrverroel +1

alfo wird

— + tt,
— 7 9
— — a — x

y+t VI al(x + a), und daher
x — aa (x ta)? — 2alxta)y, wer.
xtem=g(zta) — 2ayy | |
diefe Gleichung iſt aber nur die eine der beyden Sntegralgleichungen,
die andere Integralgleihung x? 4 y? = a? iſt gleichfam durch) Div
fion aus der Rechnung als verfchwunden zu betrachten. Lbrigens
wird diefelbe Auflöfung der Gleichung

—— — ———————
@— x2) dy - xıyda=r adxyx: + 3,2 — 4*
Euter’3 Integralrechnung. 1. BD. 28

— 434 cm

leichter bewerkſtelliget, wenn man y = uya? — x! feßt, dem dann
erhält man

(a? — x’)s du= + adxy(e — x) (u — 2), oder

du + adx,
Vu2 * a? — 12’
u — 1

diefer Gleichung gefchieht zwar Genüge, wenn man u=ı feßt, dem-
ungeachtet ift diefer Fall in der Integralgleichung nicht enthalten, wie
‚wir oben bereitö gezeigt haben. Man Ffönnte demnach vermuthen, daß
die zweyte Auflöfung x® + y? = a? auszufchließen fey, daß fich aber
dieß nicht fo verhalte, fieht man, wenn man die Hauptgleichung
ydx — xdy
Var + dy: _
winflichen Coordinaten einer Eurve find, fo bezeichnet der Ausdrud
— das Perpendikel, welches aus dem Anfangspuncte der
Coordinaten auf die Tangente gefällt wird, und demnach conſtant ſeyn
muß. Es iſt für ſich klar, daß dieß beym Kreiſe der Fall ſey, wenn
man den Ueſprung der Coordinaten ins Centrum verlegt, denn dann iſt
x? 4 y? = a? di Gleichung des Kreifes. Es beftätigt fich demnach
die Möglichfeit diefer Auflofungen,, welche nicht ganz übereinzuftimmen
fcheinen konnten, obgleich ihre Beziehung nicht Flar genug in die Aus
gen fällt.

= a in Erwägung zieht; denn wenn x und y die recht⸗

, Beyfpiela.
$. 701. Man beftiimme das Integrale der Diffe
renzialgleihung dr tam
| ydx — xdy = kn,
Wird. dy— pdx gefept, fo erhält man y—px=alı4p)
und durch Differenziation — xdp.= 2apdp, und daher fchließen
wir, daß entweder dp=o und p=a, all y=ax-+t a(ı-ra’)

m 1

oder x= — aap md y=alı — p?) fey, und weilp — Fr)

fo erhält man auf diefe Art 4ay = 4a? — x?, weldhe Gleichung auf

die Geometrie übertragen, jene Bedingung allerdings erfüllt.
Zieht nian aber aus der vorgelegten Gleichung die Wurzel aus,
fo findet man zady + xdıı = dxyx: + 4ay— Aa?, oder wenn
y=u(4a? — x?) gefegt wird:

rm

.—

eg || N I

zum 755 ya

due — x?) -xdxı(Jan—ı)=edxfY(42—x2)(4Jau—ı),

d wenn Jau— ı —=t? geſetzt wird:
tdt (4 — x) — YırdxetdıyYyya — x”.
Weil nun diefe Gleichuug durch t theilbar iſt, ſo kann man ſchile—

n, daß t — o und daher u.= 7 und demnah Jay=4a— x"
).

Benfp i el 3.
$. za2. Man befimme das Integrale der Diffe
nzialgleihung |
ydx — xdy = aVdx! + dy®.

— Gleichung würde ſich, wenn wir aus derſelben den Quo-
nten © —. = beflimmen wollten, ſchwerlich nach der gewoͤhnlichen Me⸗
„de behandeln laffen: Setzen wir aber dy = pdx, fo wird
— pr=aVı-p?, und dur Differenziation

— ap’dp
— r7AA
va+ p’)? ‘
'o find wir zu dem Schluffe berechtigt, daß entweder

dp=o und pP=# alſo yore ayı + a’,
er daß

xdp =

—
und ya
vr — Va pi + pi
), daher wird pt — — - und weil y (1 + py = as ift, fo

— 2
rd p = ava__ 1, aljp Ara — Ivy —

yVv \ u
x? + (aya — 'yVy)® =. ”
‚Bey fpiel 45
$. 708. Man insegrire die Differenzialgleihung
ydx— nxdy = avdı: + dyr '

Für dy==pdx erhält man y — npx= ayı-- p*”, und
ber durch Differenziation

x

x3
u —, oder
y°

apdp

(\—n)pdx — nxdp= =, oder
7 vr

dx—nxıdp _ adp

dti—n)p _ TnYırr —

‚28 *

— 730 —

multiplicirt man dieſe Gleichung mit p" — und integrirt fie, ſo findet

man
— 8 pr! dp
ee

Hieraus leiten wir folgende Säle ab, welche die Integration
zulaſſen:

————

+ pP

2 n=!» » 2 —76—. =iet
+ or 34 ‘7 42) VıF FR
if, fo wird yapita ayı-t pP +37 und i

* — — BE ah 4
pt (?I+ „( Gr —1)p
21 (21 —2).
Hagen VRR
Nimmt man alfo A=00, damit n=ı ee , ſo erhält man
= ayı 2 umd — —— — ——
yepstoVite ” ner —
wird demnach die Conſtante C==o geſetzt, fo ergibt ſich fogleich bie
obige Auflöfung x? 4 y? = a?. Sollte aber die Conftante C nicht
verfehwinden, fo verurfacht auch die Fleinfte Abweichung in der Größe
p eine unendliche Verfchiedenheit in dem Wertbe für x. Wie fich alfo
auch x ändern mag, fo. fann die Gröfie p dennoch als conftant be:
trachtet werden, und daher ergibt fich für p=a die andere Auflöfung

y=axrtayı- a. Hier Härt ſich alfo der oben bey dem erſten
Beyſpiele entſtandene Zweifel nicht wenig auf.

Beyſpiels.
F. 704. Man befiimme das Integrale der Diffe
venzialgleichung |

|
|
A

nam 437 sm
Air = (Br’+ cr” dm,
z ſeyn ſoll. |

in welder n=

gür ZI =p ni A u Bx“ Cyb. Setzen wir nun
pagqgPr, x — vhn und 72 a",
damit wir die homogene Gleichung |
u Age n = By«Pn + CrePn _
erhalten, fo verwandelt fi ic diefe, wenn zurg und vensq vefſert
| wird, iu
— Ba@pn + Cr°Pn,
Da nun Aber
dy=anz?!dz—=anr"—!g"R—I(rdg-pgdr) und
pdx=ßnyPn—! ar getPn—ı(sdg-+-gds),
fo wird
ar" '(rdg + qgdr)= Bsfn—ı ghtPpr—anggag-tgde)
Der Voraudfegung gemäß aber iſt aß An — an 20 und
daher wird |
arndg tar tgdrßefddg + Red? qds, alfa

ag en —
q gsP® _ gr?” ®
Es ift aber
’ : 2
— apn . 209 h
az Gl _ ); , und daher .
m: *
n
rn — — ug F
und demnach wird
ı—a
q nn ı 7 .

r — me

— 58

Leichter wird ſich die Rechnung auf fplgende Art durchführen
laſſen. Man fege A=ı, fo wird

‘

SEO LEEn . P= va FR Br +‘ ’

und für „= En erhält: man
« Hr ..
Bart er an hate,

jtın 2‘ Bun

welche Gleichung —* — e in fofgene verwandelt:
Bxdu > audx = ßdx(B He *
und. dahermid :' ° ..: men user
‚a du
een H PFENPREEN TOREE

| Bar — au

F Auf diefe Art wird x'durch u beſtinimt, und weil u= x J
iR, ſo erhält man zwiſchen x und y eine GSleichung.

Anmerkung.
. 706. Es wird alſo zweckmaͤßig ſeyn, nach dieſer Methode zu
rechnen, wenn zwiſchen den Veraͤnderlichen, x und y und den Diffe⸗

'renzialguotien Te p, eine folche Gleichung gegeben wird, aus wel:

her fich der Werth von p nicht bequem beftimnen läßt. Man muß
dann alſo die Rechnung fo führen, daß man durch Differenziation end-
lich auf ’eine einfache Differenzialglekhung, die bloß zwey Weränder-

d
liche enehäft, gerührt werde, indem man dy = pdx oder dı= —

febt. Um diefen Zweck hu erreichen, muß man auch oft zweckmaͤßige
Subftitutionen gebrauchen.

Bis hieher beyläufig find die Geometer in der Auflöfung der
Differeuzialgleihungen des erften Grades bis jegt vorgedrungen, Denn
wir haben kaum irgend eine Methode, welche bereits zur Beflimmung
der Integralien verfucht wurde, übergangen. Ob fi) wohl noch weitere
Hortfchritte in der Integralrechnung hoffen laſſen? Ich moͤchte dieß
kaum behaupten, indem die meiſten Entdeckungen nun gemacht find,

% a

—

— 450 —

elche früher die Kräfte des menſchlichen Geiftes zu überfchreiten
yienen. |
Weil ich die Integralrechnung in zwey Bücher abgetheilt habe,
ren erftes die Öleichungen zweyer Veränderlichen, deren legtere®
ver die Gleichungen dreyer oder mehrerer Variabeln behandelt, und
y nun den erften Theil des erften Buches, welcher ſich mit den Diffes
nzialien des erſten Grades befchäftigt, nach Kräften auseinander ges
tzt babe, fo gehe ich nun zu dem anderen Theile deöfelben über , in
elhem aus einer gegebenen Gleichung zwiſchen den Differenzialien
r zweyten oder einer höhern Ordnung, die zwifchen den beyden Ver⸗
ıderlichen beftehende Relation gefucht wird.

| ke