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Full text of "Zeitschrift für Mathematik und Physik"

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SCIENCE  CENTER  LIBRARY 


Zeitschrift 


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Mathematik  und  Physik 


herausgegeben 
unter  der  verantwortlichen  Redaction 


Dr.  O.  Schlömilch,  Dr.  E.  Kahl 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


Sechster  Jahrgang. 

Mit  0  lithographirten  Tafeln  und  HolzHcIinitten. 


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LEIPZIG, 

Verlag  von  B.  G.  Teubner. 
1861. 


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ocüES.MO 


Inhalt. 

Artthmetik  und  AnalyBüi. 

Seile 

Nene  Anfloanng  der  bi quadratischen  Gleichungen.     Von  O.  SchlÖmilch  ...  49 
Anwendung  der  OHcillirenden   KettenbrUche    zur  gleichzeitigen   Bestimmung 

zweier  Wurzelwerthe  einer  Gleichung.     Von  Dr.  L.  Matthiessen  .     .     .  51 
Ueber  die  Berechnung  des  Integrallogarithmus  und  einiger  damit  zusammen- 
hängenden Functionen.    Von  Prof.  Dr.  Bbbtbchjik|dbb 127 

Ueber  einige  Integralformeln.     Von  O.  Scblömilch 205 

Ueber  die  durch  Sieben  messbaren  Zahlen.     Von  E.  Böhbinobb 202 

Zur  Integration  partieller  Differentialgleichungen.     Von  Prof.  6pitzeb    .     .     .  202 

Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale.    Von  Dr.  Enbspbb  .     .     .  289 

Ueber  arithmetische  Progressionen  von  Primzahlen.     Von  M.  Cantob      .     .     .  340 

Ueber  einige  bestimmte  Integrale.     Von  Dr.  Ennbpbb 405 

Ueber  die  Lambert*sche  Reihe.     Von  O.  SchlÖmilch      ...•••...  407 

TheoretlBche  iind  praktisohe  G^eometrle. 

Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie.        Von  Dr.  W.  Fibdleb  .         i 
Die  geometrischen   Gesetze   der  OrtsTeränderung  starrer  Sy- 
steme.    Voa  K.  Küppbb 12 

Beispiel  einer  Cubatur  uud  Quadratur  nach  geometrischen  Postulaten.     Von 

Dr.  Hoppe 5ö 

Formeln  zur  geodätischen  Ortäberechnung.     Von  Prof.  Booo 58 

Ueber    die   Anwendung  der  AffinitÜtsaxen  zur  graphischen  Bestimmung  der 

Ebene.    Von  Dr.  Fiedleb  76 

Zur  Geometrie  der  Lage.     Von  M.  Sattblbbboeb 81 

Ueber   den   mittleren  Fehler   der  Kettenmessungen.     Von   Prof. 

Dr.  WlKCKLEB 100 

Ueber  Dreiecke  und  Tetraeder ,  welche  in  Bezug  auf  Curven  und  Oberflächen 

zweiter  Ordnung  sich  selbst  conjugirt  sind.  Von  Dr.  Fiedler  .  .  .  .  140 
Elegante  Ableitung  der  Formeln  für  den  sphärischen  Excess.  Von  Dr.  Wbbveb  140 
Ueber  sphärische  Kegelschnitte.  Von  Dir.  Dr.  Heilebmanm  .  .  .  153 
Ueber  einige  algebraische  Curven,  von  denen  die  Lemniscate  ein  specieller  Fall 

ist.     Von  Prof.  Tobtoliki 209 

Das   Sehnen  vier  eck   in  der  Ebene   und   auf  der  Kugel,   als  be- 
sonderer Fall  des  allgemeinen  Vierecks.    Von  Prof.  Dr.  Baub    221 

Bemerkung  über  Curvenconstructlonen.    Von  O.  SchlÖmilch 200 

Ueber   die   Anzahl   der  Geraden,   Ebenen  und  Punkte,   welche 
durch    gegebene   Punkte,    Gerade    und  Ebenen  bestimmt 

werden.     Von  Prof.  Bbetschheideb 311 

Bemerkungen  über  confocale  sphärische  Kegebchnitte.     Von  Dir.  Dr.  Hbilbb- 

mabn 3>0 

Bemerkung  über  die  Rectification  der  Ellipse.     Ton  O.  SchlÖmilch     ....    ZdO 
Ueber.  ein   System    verwandter   Curven   und   Flächen    zweiten 

Grades.     Von  Dir.  Dr.  Heilbbmann 353 

Ueber  die  graphische  Bestimmung  der  Kegelschnitte  nach  den  Sätzen  von  Pas- 
cal und  Brianchon.     Von  Dr.  Fibdleb 415 

Ueber  die  gleichseitig -hyperbolischen  Schnitte  der  Flächen  zweiten  Grades. 

Von  O.  SchlÖmilch .    '. 418 

Meohamk« 

Nachträge  und  Verbesserungen  zu  der  Schrift :  Neue  Untersuchungen  über  frei 
rotirende  Flüssigkeiten  im  Zustande  des  Gleichgewichts.     Von  Dr.  Mat- 

TH1E88BR 07 


lY  Inhalt. 

Ueber  die  Controverse    zwischen  Doppler  und  Petzval  bezüg-    Seite 
lieh   der  Aenderung  des    Tones   und   der  Farbe  durch  Be- 
wegung.    Von  Dr.  Mach 120 

Bedingung  der  Stabilität  eines  auf  dem  Gipfel  einer  Fläche  ruhenden  Körpers. 

Von  Dr.  Hoppe 213 

Ueber  die  zweckmässigste  Form  der  Spitzgeschosse.    Von  Gene- 

rallieutnant  von  Rouvrot 235 

Ueber  die  Gleichgewichtscurve  einer,  proportional  dem  Wege  ihres  Angriffs- 
punktes sich  verändernden  Kraft.     Von  £.  Noeggerath 332 

Einfache  Näheningsformel  zur  Berechnung  der  einem  gegebenen  Manometer- 
stande entsprechenden  Windmenge  eines  Gebläses.  Von  Bergrath  Prof. 
Weisbach 421' 

Optik. 

Chemische  Analyse  durch  Spectralbeobachtungen.     Nach  Kirchhoff  und  Bun- 

sen;  von  E.  Kahl    '. 79 

Ueber  das  Verhalten  der  Gase  im  glühenden  Zustande.     Nach  Kirchboff;  von 

E.  Kahl 149 

Ueber  Spectralbeobachtungen.    Nach  A.  Mousson ;  von  £.  Kahl 429 

Wärmelehre  und  Molecularphysik. 

Zur  mechanischen  Wärmelehre.     Von  Prof.  Mann 72 

Wärmeleitnngsfähigkeit  des  Wasserstoffgases.  Nach  Magnus ;  von  E.  Kahl  .  215 
Beiträge  zur  Kenntniss  der  Gesetze  der  Gasabsorption.     Nach  Sims      ....     340 

Elaktricität  und  Magnetismus. 

Eine  neue  Art  elektrischer  Ströme.     Nach  G.Quincke;  von  E.  Kahl      .     .     .  151 

Ueber  Magnetismus.     Von  Stud.  G.  Roch 182 

Verbesserung  eines  Elektroscops.     Von  Prof.  Dr.  Dellmann 216 

Elektrische  Untersuchungen.     Von  Prof.  Dr.  Dellmann 240 

Die  zweckmässigste  Form  der  Zink  -  Eisensäule.  Von  Prof.  Dr.  Dellmann  .  .  287 
Beiträge   zur  Geschichte    der  Fortschritte  in  der  elektrischen 

Telegraphie.     III.     Von  Dr.  Zetzsche 373 

Ueber   die   Fortlührung   materieller  Theilchen   durch  strömende  fllektricität. 

Nach  G.  Quincke ;  von  E.  Kahl 429 

Ueber  ein  reprodncirbares  Stromwiderstandsinaass.      Nach  Matthicssen;    von 

E.  Kahl 430 

Meteorologie. 

Ueber  den  Znsammenhang  der  Witterungserscheinungen.    Von 

Prof.  Dr.  Dellmann 37 

Ueber  die  Theorie  des  Nordlichts.     Von  Prof.  Dr.  Dkllmann       , 274 

Vermischtes. 

Ueber  ein  neues,  dem  Kalium  nahestehendes  Metall.    Nach  Bunsen  und  Kirch- 
hoff    220 

Darstellung  des  Sauerstoffgases ,  von  Deville  und  Debray 343 

Neues  Metall.     Nach  Bunsen 344 

Ueber  die  Existenz  eines  vierten  Metalls  der  Calcinmgruppe.    Nach  Düpre'  und 

Cbookeb .  344 

Ueber  die  Darstellung  fester  Kohlensäure.     Nach  Loir  und  Drion 345 

Das  Cäsium  und  Rubidium.     Nach  Kirchhoff  und  Buusen  ;  von  E.  Kahl   .     .     .  429 


L 
Zwei  Haupts&tie  der  neueren  Geometrie. 

Von  Dr.  Wilh.  Fiedleb, 

Lelirer  an  der  Königl.  Gewerbsdiale  sn  Chemniti. 


Die  beiden  allgemeinen  Stttze,  deren  Darlegung  und  Erläuterung  Ich 
beabsichtige,  betreffen  die  homograpbische  Theilung  und  die  In- 
volntion.  M.  Chasles  hat  in  seinem  „TVatl^  de  giomMrie  supMeure^^  da- 
von die  folgenden  Definitionen  gegeben ;  zuerst  in  Betreff  der  homographi- 
schen Theilung :  Wenn  zwei  gerade  Linien  durch  Punkte ,  die  sieh  einer 
zu  einem  entsprechen ^  so  getheilt  sind,  dass  das  anharmonische  Yerhttlt- 
niss  von  vier  beliebigen  Punkten  der  einen  dem  anharmonischen  Verhält- 
niss  der  vier  entsprechenden  Punkte  der  anderen  gleich  ist',  so  sagen  wir, 
dass  diese  beiden  geraden  Linien  homographisch  getheilt  sind ,  oder  auch, 
dass  ihre  Punkte  zwei  homograpbische  Theilungen  bilden. 

Und  wenn  in  zwei  Strahlenbüscheln,  deren  Strahlen  sich  einer  zu 
einem  entsprechen ,  vier  beliebige  Strahlen  des  ersten  ihr  anharmonisches 
Yerhältniss  immer  dem  der  vier  entsprechenden  des  zweiten  gleich  haben, 
so  sagen  wir,  das»  die  beiden  Büschel  homographisch  sind.    (No.  09.*) 

Und  betreffs  der  Involution:  Wenn  drei  Systeme  von  zwei  conjugirten 
Punkten ,  die  in  derselben  geraden  Linie  liegen ,  so  beschaffen  sind ,  dass 
vier  dieser  Punkte ,  in  den  drei  Systemen  genommen ,  ihr  anharmonisches 
VerhÜtniss  gleich  dem  ihrer  vier  conjugirten  haben,  so  sagen  wir,  dass 
die  sechs  Punkte  in  Involution  sind.  (No.  182.)  Und  sechs  von  demselben 
Punkte  ausgehende  und  paarweis  conjugirte  gerade  Linien  sind  in  Involution, 
wenn  irgend  vier  derselben ,  in  den  drei  Paaren  genommen ,  mit  ihren  vier 
conjugirten  das  nämliche  anharmonische  Verhältniss  haben.  (No.  243.) 

Man  weiss,  welche  Entwickelung  und  Anwendung  M.  Chasles  diesen 
Begriffen  gegeben  hat.  In  neuester  Zeit  hat  nun  der  ausgezeichnete 
Oeometer  diese  beiden  Sätze  unter  einem  neuen  Gesichtspunkte  gefasst 
und  dieselben  dadurch  zu  wahren  Fundamentalsätzen  der  neuem  Oeome- 


*)  Die  Citate  beziehen  sich  auf  die  Orig^nalansgabe. 
ZeiUehrift  f.  M«lheiii«iik  a.  Physik.  VI    1. 


Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie. 


trie  gemacht.  In  seinen  Vorlesungen  an  der  Pariser  Faculte  des  Sciences 
hat  er  zuerst  die  Yortheile  der  neuen  Auffassung  entwickelt,  und  sie  so- 
dann in  einem  in  den  Compies  rendus  der  Academie  niedergelegten  Memoire 
allgemeiner  zugänglich  gemacht.    ((7.  r.  U  41 ,  p.  1097.) 

Ich  habe  die  Absicht,  diese  Auffassung  hier  darzulegen,  indem  ich 
die  Beweisgründe  hinzufüge,  die  Chasles  an  jener  Stelle  nicht  gegeben 
hat,  und  die  Sätze  an  einigen  Beispielen  erläutere. 

Ich  gebe  zunächst  die  beiden  Sätze  in  ihrer  neuen  Ausdrncksweise 
selbst;  sie  heissen: 

I.Wenn  man  in  einer  Aufgabe,  worin  keinerlei  Trans- 
cendenten  vorkommen  (weder Functionen  noch Curven)  zwei  gerad- 
linige Beihen  von  Punkten  (auf  einer  und  derselben  geraden  Linie 
oder  nicht)  hat,  und  wenn  nach  der  Natur  der  Aufgabe  sich  die 
Punkte  beider  Reihen  in  der  Weise  entsprechen,  dassjedem 
Punkte  der  ersten  Reihe  nur  ein  Punkt  in  der  zweiten  zuge- 
hört, und  umgekehrt  einem  Punkte  der  zweiten  nur  ein  be- 
stimmter Punkt  in  der  ersten,  so  kann  man  daraus  schliessea, 
dass  diese  zweiReihen  von  Punkten  homographisch  sind,  oder 
dass  das  anharmonische  Verhältniss  von  irgend  vier  Punkten 
der  ersten  dem  der  entsprechenden  vier  Punkte  der  zweiten 
gleich  sei.Mit  andern  Worten,  das  bezeichnete  Entsprechen  zweier  gerad- 
linigen Punktreihen  ist  stets  ein  anharmonißches  Entsprechen. 

Ganz  dasselbe  Princip  ist  auf  ein  Sti^ahlenbüschel  und  eine  geradlinige 
Punktreihe  anwendbar,  nämlich:  Wenn  man  zeigen  kann,^aBs 
je  einem  Strahl  des  Büschels  nur  ein  Punkt  der  Reihe  und 
umgekehrt  einem  Punkte  der  Reihe  nur  ein  Strahl  des  Bü- 
schels entspricht,  so  ist  daraus  zu  schliessen,  dass  das  an- 
harmonische Verhältniss  von  irgend  vier  Strahlen  immer 
gleich  dem  der  entsprechenden  vier  Punkte  sein  wird,  oder 
dass  die  Punkte  der  Reihe  und  die  Strahlen  des  Büschels  sich  anharmo- 
nisch entsprechen. 

Endlich  gilt  dasselbe  von  zwei  Strahlenbüscheln:  Wenn  sich  zwei 
Strahlenbüschel  dergestalt  entsprechen,  dass  jedem  Strahl 
des  einen  nur  ein  Strahl  des  andern  zugehört  und  umgekehrt, 
so  ist  das  Entsprechen  anharmonisch,  oder  das  anharmonische 
Verhältniss  von  irgend  vier  Strahlen  des  einen  Büschels  ist  dem  der  vier 
correspondirenden  des  andern  gleich. 

n.  Wenn  man  in  einer  Aufgabe,  in  welcher  keinerlei 
T r ans cen deuten  vorkommen,  zwei  Reihen  von  Punkten  (auf  ei- 
ner und  derselben  geraden  Linie  oder  nicht)  hat,  undwennnachdenBe- 
dingungen  der  Aufgabe  jedemPunkte  der  erstenReihe  nur  ein 
Punkt  der  zweiten  entspricht,  aber  jedemPunkte  der  zwei- 
ten Reihen  immer  zwei  Punkte  der  ersten  in  völlig  gleicher 


Von  Dr.  WiLH.  Fiedler.  3 

Weise,  so  hat  man  zu  schliessen,  dass  alle  diese  Paare  von 
Punkten  in  Involution  sind,  und  dass  sie  den  einseinen  Punk- 
ten der  sweiten  Reihe  anharmonisch  entsprechen.  Und  die- 
ser Sats  erleidet  die  nämliche  Ausdehnung  wie  der  erste  auf 
eine  Punktreihe  und  ein  Strahlenhüschel  und  auf  zwei  Stra^,- 
lenhüschel. 

Ohne  jetzt  auf 'die  Fruchtbarkeit  der  neuen  Ausdrucksweise  einzu- 
gehen, erörtere  ich  zunächst  ihre  Richtigkeit. 

Angenommen,  dass  —  was  den  ersten  Satz  über  die  Homographie 
zweier  Pnnktereihen  betrifft  —  der  bewegliche  Punkt  m  die  erste  Reihe 
und  der  Punkt  m  die  zweite  Reihe  durchlaufe ,  und  dass  a  in  jener,  h'  in 
dieser  je  ein  fester  Anfangspunkt  sei ,  von  dem  aus  man  die  durchlaufenen 
Segmente  zählt,  so  ist  Folgendes  ausser  Zweifel:  Die  zwischen  je  zwei 
entsprechenden  Punkten  beider  Reihen  bestehende  Relation  muss  sich  in 
einer  Gleichung  zwischen  zwei  Veränderlichen  ausdrücken  lassen,  welche 
keine  andern  als  die  zwei  Segmente  am  und  h'm  sein  werden ;  gewiss  muss 
diese  Gleichung  rein  algebraisch  sein,  und  gewiss  kann  sie  hinsichtlich 
beider  Veränderlichen  nur  in  gleicher  Weise  vom  ersten  Grade  sein,  so- 
bald man  die  eine  Veränderliche  als  constant  betrachtet,  weil  jedem 
Punkte  der  einen  Reihe  nur  ein  Punkt  der  andern  entsprechen  soll.  Die 
allgemeine  Form  dieser  Gl0ichung  ist  daher 

am  .  Vm'  '^  X.am  +  ^l.  b'm  +  v  =  0 
(wo  A,  f»,  V  constante  Coefficienten  sind) ;  hier  entspricht  jedem  bestimmten 
Werthe  von  am  ein  bestimmter  Werth  von  Vni  und  umgekehrt. 

Ganz  dieselbe  allgemeine  Gleichung  drückt  aber  die  Homographie 
zweier  geradlinigen  Punktreihen  aus;  sie  ist  in  No.  131  der  ^fiSom,  super. ^^ 
gegeben.  Hier  ihre  kurze  Ableitung:  Wenna,&,c  drei  Punkte  der  ersten 
geraden  Linie  und  ajb\c  die  drei  entsprechenden  Punkte  der  zweiten  sind, 
und  ein  vierter  Punkt  m  der  ersten  Linie  willkührlioh  angenommen  wird, 
so  ist  der  ihm  entsprechende  Punkt  m'  der  zweiten  durch  die  Bedingung  der 
Gldchheit  der  anharmonischeu  Verhältnisse  beider  Theilungen  bestimmt: 

am    fl c __^ am' ^  de         .         am a'm*    (a c ^  a'c\ 

hm'  bc      b'm' '  Yc  hm       h'm'    \hc'  h'cj' 

So  lange  man  nun  die  Punkte  m,  m'  respective  immer  auf  die  drei  ersten 

ac    a  c 
Punkte  a, fr, c,  a',y,c' bezieht,  ist -r-'*  TT-?  eine  Constante,   und   man  kann 
*  '   '     '   '  ^        bc    bc  ' 

schreiben 

am a'm' 

hm  bm 

Dies  passt  ohne  Weiteres  auf  den  jetzigen  Fall;  a  und  b'  waren  die  beiden 
festen  Punkte  der  ersten  und  zweiten  Punktreihe ,  d  und  b  sind  daher  ihre 
entsprechenden  Punkte  der  zweiten  und  ersten  Reihe.  Und  man  hat  zwi- 
schen ihnen  die  Gleichung 

am  .  ftW — k  *  bm  .  a'm'=0. 

1» 


Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie. 


Aus  derselben  sind  nun  die  Segmente  btn  und  am  zu  entfernen,  weil  sie 
die  der  gegenwärtigen  Frage  fremden  Punkte  a  und  b  enthalten;  das  ge- 
schieht einfach  durch  die  Substitutionen 

bm=:iam  —  abi     a'iii'=  b'm — b'a\ 
und  man  erhält 

a m  .  b'm  —  Ar  (am  —  ab)  (b'm'  —  b'a)  =  0 , 
oder 

k  k 

a m  ,  b'm'  +  ^ b'a'.  am  -\ r  a b  ,  b'm'  —  k  ,  ab  ,  b'd •=  0 , 

1  —  /r  1  —  k 

welche  man  mit  Räcksicht  auf  die  in  der  Frage  constanten  Grössen  schrei- 
ben darf: 

am  .  b'm  +  X  .  a m  +  f4  .  b'm  -f-  v  =s  0 , 
wie  oben.  Wenn  hierdurch  die  neue  Fassung  fttr  den  ersten  Satz  in  Bezug 
auf  zwei  Punktereihen  vollständig  bewiesen  ist,  so  lehren  die  bekannten 
Zusammenhänge  zwischen  Punktereihen  und  Strahlenbüscheln,  die  die 
wesentliche  Grundlage  der  gesammten  neueren  Geometrie  bilden ,  dass  für 
die  Geltung  desselben  Satzes  in  Bezug  auf  eine  Punktereihe  und  ein  Strah- 
lenbüschel und  in  Bezug  auf  zwei  Strahlenbüschel  keine  besondern  Beweise 
nöthig  sind ,  oder  dass  der  hier  angewendete  Beweis  sich  einfach  auf  sie 
übertragen  lässt. 

Der  Beweis  des  zweiten  Satzes  wird  durch  folgende  Schlüsse  geführt 
Die  Involution  und  die  homographische  Theilung  hängen  bekanntlich  aufs 
Engste  zusammen.  Wenn  ad ^  66' zwei  Pnnktepaare  sind,  so  kann  man' 
eine  Unendlichkeit  von  Paaren  cc',  rfd',  ee, . .  bestimmen,  deren  jedes  mit 
ad  und  66'  eine  Involution  bildet.  Die  Punkte  a^b^Cyd^e...  und  die  Punkte 
dyb'jC'fd^e,  r.  bilden  alsdann  zwei  homographische  Theilaugen;  denn  die 
vier  Punkte  a^b^a'^c  müssen  nach  dem  BegriflF  der  Involution  ihr  anharmo- 
nisches Verhältniss  dem  der  vier  Punkte  d^b'^a^c  gleich  haben.  Betrach- 
tet man  nun,  wie  es  nach  dem  Gesagten  in  Ordnung  ist,  die  drei  Punkte 
aybyd  der  ersten  und  die  drei  a',6',a  der  zweiten  Tneilung  als  fest  und  lässt 
die  Punkte  c,c'  alle  Lagen  durchlaufend  sich  bewegen,  also  cde...,  c'de,.. 
beschreiben,  so  müssen  ihre  entsprechenden  Orte  zwei  homographische 
Theilungen  bilden.  Und  wenn  nun  in  diesen  beiden  Theilungen  einen  Punkt 
c'  der  zweiten  als  der  ersten  angehörig  betrachtet,  so  wird  dann  c  sein 
entsprechender  in  der  zweiten  sein;  denn  wegen  der  Involution  der  drei 
Segmente  aa,  6  6',  cc  ist  das  anharmonische  Verhältniss  der  vier  Punkte 
ajb,d\c'  dem  der  vier  a\b',ajC  gleich,  d.  h.  dem  Punkt  c,  als  der  ersten 
Theilung  angehörig  betrachtet,  entspricht  in  der  zweiten  der  Punkt  c.  Und 
sobald  diese  Statthaftigkeit  der  Yertauschung  eines  Punktes  mit  seinem 
Homologen  in  zwei  homographischen  Theilungen  derselben  geraden  Linie 
für  ein  einziges  Paar  entsprechender  Punkte  gilt,  so  ist  sie  fUr  alle  wahr 
und  kann  daher  als  ein  Charakterzeichen  der  Involution  angesehen  wer- 
den.    Denn  wenn  die  vorher  gebrauchte  allgemeine  Gleichung  durch  die 


Von  Dr.  W.  Fiedlbb^ 


^vw»<»<»/«^>v 


YorftOBsetzting,  dass  jeUt  für  die  beiden  Theilongen  der  nämlichen 
geraden  Linie  nur  ein  feater  Anfangspunkt  a  statt  der  beiden  a  und  h 
genommen  werde,  in 

am  .  am  +  X  .  am  -{'  ^  .  am'  +  1/  =  0 
übergeht,  so  mues  diese  Gleichung,  wenn  sie  die  Vertauschung  von  um 
mit  am  auch  nur  einmal  gestatten  soll,   durch  die  Erfüllung  der  Bedin- 
gung A=fi  zu 

am  .  am'  +  X  (am  +  am)  +  v  =  0 
werden;  nun  enthält  sie  am  und  am  in  ganz  gleicher  Weise  und  diess 
schon  zeigt  die  aligemeine  Gültigkeit  der  Vertauschung. 

Aber  sie  geht  auch  aus  der  Natur  der  Involution  hervor.  Seien 
a,  &,  c  drei  Punkte  der  ersten ,  a\  b\  c  die  entsprechenden  der  zweiten  Thei* 
lung,  und  habe  c,  als  der  zweiten  Theilung  angehörig  betrachtet,  c  zum 
entsprechenden  Punkt  in  der  ersten,  so  muss  auch  a  der  Punkt  der  er- 
sten Theilung  sein,  der  dem  a,  als  Punkt  der  zweiten  Theilung  betrach- 
tet ,  entspricht ;  denn  die  Punkte  a,  6,  c,  c  der  ersten  Theilung  haben  nach 
der  Vorsetzung  zu  entsprechenden  in  der  zweiten  die  Punkte  a\b\c\c; 
folglich  sind  die  drei  Paare  von  conjugixten  Punkten  aa\  bb\  cc  in  In- 
volution und  also  haben  die  zwei  Reiben  von  Punkten  aabc  und  aab'c 
gleiches  anharmonisches  Verhältniss,  d.  h.  der  Punkt  a,  als  der  zweiten 
Theilung  angehörig  betrachtet,  hat  zum  homologen  Punkt  in  der  ersten 
den  Punkt  a']  und  in  gleicher  Weise  würde  sich  die  Vertauschbarkeit 
für  jedes  andere  Paar  entsprechender  Punkte  beweisen  lassen. 

Eben  diese  Vertauschungsfähig&eit  aber  ist  der  Coincidenzpnnkt  der 
hier  gegebenen  allgemeinen  Betrachtungen  mit  den  Voraussetzungen  der 
zu  beweisenden  gegenwärtigen  Auffassung  im  zweiten  Satze.  Denn  be- 
zeichnet man  die  zwei  Punkte  der  einen  Punktreihe,  die  dem  einen 
Punkte  in  der  andern  entsprechen,  mit  m\  m\  so  kann  man  wie  bei  der 
Entwicklung  des  vorigen  Satzes  die  Lage  dieser  Punkte  durch  die  An- 
gabe ihrer  Segmente  von  zwei  Anfangspunkten  aus  bestimmen.  Dann 
müssen  nacb  dem  bereits  bewiesenen  ersten  Satze  die  Keihen  der  Punkte 
m\  m"  mit  einander  homographisch  sein,  da  jedem  Punkte  m'  nur  ein 
Punkt  m'^  und  umgekehrt  entspricht.  Was  aber  diesen  Fall  von  der 
blossen  einfachen  Homographie  unterscheidet,  ist  eben  diess,  dass  dem 
einen  Punkte  m  ganz  in  gleicher  Weise  die  beiden  Punkte  m\  m  ent- 
sprechen, dass  also  jedem  dieser  Punkte,  mag  man  ihn  als  der  ersten 
oder  zweiten  Theilung  angehörig  denken,  immer  derselbe  homologe  Punkt 
zugehört.     Daher  ist  diese  Homographie  eine  Involution. 

Hiernach  ist  hier  nur  noch  hinzuzufügen,  was  man  unter  dem  an- 
barmonischen  Entsprechen  einer  Reihe  involutorischer  Segmente  mit  einer 
Beihe  von  Punkten  versteht.  Wenn  man  als  den  Pol  eines  Punktes  be- 
züglich eines  Segmentes  den  conjugirt  harmonischen  Punkt  desselben 
im  Verhältniss   zu  den  Endpunkten  des  Segments  versteht,  so  hat  man 


6  Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Ge<Mnetrie. 

diesen  Satz:  Wenn  vier  anf  einer  geraden  Linie  angenommene 
Segmente  in  Involntion  sind,  so  ist  das  anharmonische  Yer- 
hftltniss  der  Pole  eines  Punktes  der  Linie  besftglich  dieser 
Segmente  constant,  welches  anch  der  Punkt  seL 

bieser  Sats  ist  eine  unmittelbare  Consequenz  des  ersten  Hauptsatzes; 
denn  wenn  man  irgend  zwei  Punkte  der  geraden  Linie  denkt,  und  deren 
zweimal  vier  Pole  in  Bezug  auf  die  gedachten  Segmente  bestimmt,  so 
entsprechen  sich  diese  ganz  in  der  dort  vorausgesetzten  Weise  und  mfis- 
sen  sich  daher  anharmonisch  entsprechen.  Jenes  anharmonische  YerhSlt- 
niss  der  vier  Pole  wird,  da  es  fllr  dieselben  involntorischen  Segmente 
constant  ist,  das  anharmonische  Yerhaltniss  der  vier  Segmente 
genannt.  In  dem  speciellen  Falle,  dass  der  eine  dieser  beiden  Punkte 
im  unendlichen  liege,  werden  seine  Pole  in  Bezug  auf  die  vier  Seg- 
mente die  Mittelpunkte  derselben  und  man  kann  daher  sagen,  dass  das 
anharmonische  Verhälfniss  von  vier  involutorisehen  Seg- 
menten dem  ihrer  vier  Mittelpunkte  gleich  ist 

Und  nach  dieser  Erklärung  ist  nach  dem  ersten  Satze  kein  Zweifel, 
dass  das  Entsprechen  jener  Punktreihe  m  und  dieser  Reihe  involntori- 
scher  Segmente  m^,  m*  ein  anharmonisches  ist. 

Ebenso  wie  der  erste  Satz  überträgt  sich  der  jetzige  auf  eine  Punkt- 
reihe und  ein  Strablbtischel  und  anf  zwei  Strahlbilschel ,  und  ist  somit 
hierdurch  vollständig  bewiesen. 

Einige  Beispiele  werden  nun  die  grosse  Tragweite  dieser  Sätze 
deutlich  machen. 

Zu  Satz  I.  Man  denke  einen  Kegelschnitt  und  zwei  feste  Tangen- 
ten an  denselben;  eine  bewegliche  Tangente  dieses  Kegelschnitts  wird, 
dann  auf  jeder  von  diesen  beiden  eine  Punktreihe  beschreiben;  in  diesen 
Beihen  entspricht  jedem  Punkt  der  ersten  ein  und  nur  ein  Punkt  der 
zweiten  und  umgekehrt.  Demnach  mtlssen  beide  Beihen  homographisch 
sein,  oder  das  anharmonische  Verhältniss  von  irgend  vier  Punkten  der 
ersten  ist  dem  der  vier  entsprechenden  Punkte  der  zweiten  gleich. 

Und  dem  entsprechend  denke  man  einen  Kegelschnitt  und  darin 
zwei  feste  Punkte ,  lasse  nun  einen  Punkt  sich  auf  dem  Kegelschnitt  be- 
wegen und  verbinde  ihn  in  jeder  seiner  Lagen  mit  jenen  beiden  durch 
eine  gerade  Linie;  man  erhält  zwei  Strahlenbüschel ,  in  denen  jedem 
Strahl  des  einen  ein  und  nur  ein  Strahl  des  andern  entspricht  und  um- 
gekehrt, und  dieselben  müssen  daher  sich  anharmoniscfa  entsprechen,  d.  h. 
das  anharmonische  Verhältniss  von  irgend  vier  Strahlen  des  einen  Bü- 
schels muss  gleich  sein  dem  anharmonischen  Verhältniss  der  vier  ent- 
sprechenden Strahlen  des  andern.  —  So  ergeben  sich  also  die  anharmo- 
nischen  Eigenschaften  der  Kegelschnitte  unmittelbar  und  ohne  Beweis 
aus  der  blossen  Darlegung  des  Sachverhaltes  und  dem  Satze  L  Man 
erkennt  erst  die  ganze  Bedeutung  dieser  Ergebnisse,  wenn  man  bedenkt, 


Von  Dr,  W.  Fipdlbb, 


dasfl  alle  die  allgemeinst«!  Sfttse  über  die  Kegelschnitte  aus  ihnen  ent- 
springen; Bo  der  berühmte  Satz  von  Pasc  als  mystischem  Sechseck  tmd 
sein  reciproker,  der  Satz  Ton  Desargnes  über  die  Invohition  von  sechs 
Punkten,  der  von  Newton  fiber  die  organische  Beschreibung  der  Kegel- 
sduoitte,  der  von  Pappns  tlber  das  Verhältoiss  der  Perpendikel,  die 
man  von  irgend  einem  Kegelschnittspnnkte  auf  die  Gegenseiten  eines  ihm 
eing^chriebenen  Vierecks  fällt,  und  der  Satz  von  Carnot  Aber  die 
Segmente,  die  ein  Kegelschnitt  auf  den  Seiten  eines  Dreiecks  in  sei- 
ner Ebene  bildet  , 

Oder  man  denke  sich  eine  Beibe  von  Cnrven  dritter  Ordnung ,  die 
alle  durch  dieselben  neun  Punkte  a,2},c...  gehen  imd  ziehe  in  einem  die* 

ser  Punkte  a  die  Tangenten  dieser  Curven  T,T^ Wenn  man  nun 

zwischen  zwei  beliebigen  anderen  der  neun  Punkte  die  Sehne  zieht, 
z.  B.  von  b  nach  c,  so  schneidet  dieselbe  jede  der  Curven  in  einem  drit- 
ten Punkte  und  man  hat  eine  Punktreihe  n,  n^,  ^2... .  auf  ihr.  (Die  Gleich- 
heit des  Index  bei  n  und  T  bedeutet,  dass  jener  Punkt  und  diese  Tan- 
gente zur  nämlichen  Curve  der  Reihe  gehören.)  Jedem  der  Punkte  n 
entspricht  nur  eine  bestimmte  Tangente  T  und  umgekehrt  jeder  Tangente 
T  nur  ein  bestimmter  Punkt  in  der  Beihe  der  n;  es  muss  folglich  dieses 
Entsprechen  ein  «aharmonisches  sein.  M.  Ohasles  machte  diess  Ergeb- 
niss  zur  Quelle  interessanter  Eigenschaften  der  Curven  dritter  Ordnung. 

Wenn  man  sich  in  einem  andern  der  neun  Bestimmungspunkte  gleich- 
faUa  die  Tangenten  J,  J^,  Jj**  gezogen  denkt,  so  müssen  diese  denen 
der  ersteig  Schaar  anharmoniseh  entsprechen  und  die  Folge  davon  ist, 
das«  die  entsprechenden  Strahlen  beider  Tangentenbüschel  sich  auf  einem 
Kegelschnitt  durchschneiden.  Man  erkennt  leicht,  dass  diese  Eigenschaft 
nicht  dem  Syjstem  der  Curven  dritter  Ordnung  allein  eigen ,  sondern  dass 
sie  eine  allgemeine  Eigenschaft  aller  auf  ähnliche  Weise  bestimmten 
Curvensyisteme  ist. 

M.  Ghasles  hat  in  seinem  ^^  Memoire  sur  les  surfaces  du  2.  degrSe^*^ 
mehrere  Sätze  gegeben,  die  sich  als  unmittelbare  Folgen  des  Satzes  I 
herausstellen;  z.  B.:  Vier  an  eine  windschiefe  Oberfläche  durch  die- 
selbe Erzeugende  gelegte  Tangentialebenen  und  ihre  vier  Berührungs- 
punkte in  dieser  Erzeugenden  haben  gleiches  anharmonisehes  Verhältniss. 
Die  Richtigkeit  des  Satzes  ist  klar,  sobald  man  sich  nur  der  Beziehung 
erinnert ,  in  welcher  das  anharmonische  Verhältniss  von  Ebenen ,  die  sich 
in  derselben  geraden  Linie  schneiden,  zu  dem  von  geraden  Linien  an 
einem  Punkte  oder  Punkten  auf  einer  geraden  Linie  steht. 

Ebenso:  Vier  Ebenen,  die  man  willkürlich  durch  dieselbe  Erzeugende 
einer  windschiefen  Oberfläche  legt,  haben  vier  Berührungspunkte  auf 
dieser  mit  der  Oberfläche  und  das  anharmonische  Verhältniss  derselben  ist 
dem  der  vier  Punkte  gleich,  wo  dieselben  Ebenen  ziur  Oberfläche  normal  sind. 

Ebenso:    Wenn  sich  von  vier   geraden  Linien  jede  an  drei  wiUkür- 


8  Zwei  Hauptsätze  der  neaeren  Geometrie. 

lieh  im  Baume  liegende  feste  gerade  Linien  anlehnt,  so  ist  das  anhar- 
monische Verhältniss  der  auf  einer  von  diesen  drei  geraden  Linien  ge- 
bildeten Pnnktreihe  dem  der  entsprechenden  Pnnktreihe  auf  jeder  der 
beiden  andern  gleich.  Und  so  ergiebt  sich  diese  Haapteigenschafl  des 
elliptischen  einmanteligen  Hyperboloids  ohne  alle  Mühe :  Vier  Erzengende 
derselben  Art  bestimmen  auf  jeder  beliebigen  Erzengenden  der  andern  Art 
Tier  Punkte,  deren  anharmonisches  Verhältniss  denselben  constanten  Werth 
hat,   welches  auch  die  Lage  dieser  Erzeugenden  der  zweiten  Art  sein  mag. 

um  für  spätere *Entwickelungen  vorzubereiten,  komme  ich  noch  ein- 
mal auf  die  Kegelschnitte  zurück  und  zwar  speciell  auf  solche,  die  dem 
nämlichen  Viereck  umschrieben  sind.  Ist  AB  CD  das  Viereck  und  sind 
5,  S^^\...  dergleichen  umschriebene  Kegelschnitte,  so  ist  klar,  dass  jeder 
unter  ihnen  durch  einen  fünften  Punkt  vollkommen  bestimmt  ist.  Zu 
dieser  Bestimmung  können  die  Punkte  dienen,  in  denen  eine  durch  A 
gezogene  gerade  Linie  ^Z  die  aufeinanderfolgenden  Kegekchnitte  schnei- 
det; sei  a  aa...  diese  Punktreihe.  Wenn  man  eine  zweite  solche  Trans- 
Yersale  AL^  zieht,  so  bestimmt  sie  in  den  respective  entsprechenden  Ke- 
gelschnitten die  Punkte  6, h\ b", . • ;  diese  beiden  Reihen  aa.,.y  bh\..  ent- 
sprechen einander  in  der  Weise ,  dass  jedem  Punkt  der  einen  ein  und  nur 
ein  Punkt  der  andern   entspricht  und  müssen  daher  homographisch  sein. 

Lam^  hat  femer  bewiesen,  dass  die  Polaren  eines  beliebigen  Punk- 
tes in  ihrer  Ebene  in  Bezug  auf  die  Kegelschnitte  einer  solchen  Scbaar 
alle  durch  einen  festen  Punkt  hindurchgehen.  Aach  diess  ergiebt  sich 
mittelst  des  ersten  Satzes  durch  eine  blosse  Darlegung  der  Verhältnisse. 
Denn  denkt  man  sich  die  sämmtlichen  Polaren  und  dieselben  von  zwei 
beliebigen  Transversalen  in  den  Pnnktreihen  ccV...,  du'...  geschnitten 
(wobei  der  gleiche  Index  den  Schnittpunkt  mit  derselben  Polare  be- 
zeichnet) so  ist  offenbar,  dass  jedem  der  beiden  Kegelschnitte  nur  ein 
Punkt  c  in  der  ersten  und  nur  ein  Punkt  d  in  der  zweiten  Transversale 
entspricht;  auch  umgekehrt  entspricht  jedem  dieser  Punkte  nur  ein  Ke- 
gelschnitt und  es  folgt  daraus,  dass  die  Beihe  der  Punkte  c  mit  der 
Reihe  der  Punkte  d  homographisch  sein  mnss.  Diese  Eigenschaft  kann 
aber  nur  dann  ftlr  jede  beliebige  Transversale  bestehen,  wenn  die 
sämmtlichen  Polaren  ein  Strahlbüschel  bilden,  also  durch  einen  festen 
Punkt  gehen.  Wenn  man  nun  mit  dieser  Vorstellung  des  Polarenbttscbels 
sich  jener  Punktreihe  aaa\..  erinnert,  so  erkennt  man  sofort,  dass 
dieselbe  mit  dem  Büschel  homograpbisch  sein  muss  und  dass  daher 
die  Polarenbüschel  aller  möglichen  Punkte  in  der  Ebene  der  ^Schaar 
von   Kegelschnitten  anharmonisch    entsprechen*).     (Speciell   z.   B.    die 


*)  Es  bedarf  wohl  nur  der  einfachen  Anmerkung,  dass  hier  fiberall  reoiproke 
Betrachtungen  betreffs  der  einem  Viereck  eingeschriebenen  Sehaar  von  Kegelschnit- 
ten dorchsufUhren  sind. 


Von  Dr.  W.  Fiedler.  9 

Taagentenbüsch^l  in  den  Tier  Ecken  des  eingeschriebenen  Vier- 
ecks.) —  Von  diesem  Gresichtspnnkte  aus  kann  man,  wie  es  Chas- 
les  thnt,  von  einem  Büschel  von  Kegelschnitten  reden,  welches  einem 
Btischel  von  geraden  Linien  oder  einem  zweiten  Büschel  von  Kegel- 
schnitten anharmonisch  entspricht.  Das  anharmonische  Verh&ltniss  von 
irgend  vier  Kegelschnitten  eines  solchen  Büschels  ist  das  ihrer  vier  Po- 
laren in  Besng  auf  irgend  einen  Punkt  in  ihrer  Ebene,  oder  speciell  das 
ihrer  vier  Tangenten  in  einer  der  Ecken  des  eingeschriebenen  Vierecks. 
Ich  habe  die  Absicht,  in  weiteren  Mittheilungen  die  ungemeine  Entwicke* 
lungsfähigkeit  dieses  Begriffs  vom  anharmonischen  Entsprechen  von  Ke- 
gelschnitten an  der  Hand  seines  Erfinders  darzulegen;  die  gegenwärtige 
Mittheilung  steht  im  Ganzen,  wie  in  diesem  einzelnen  Beispiele  im  eng- 
sten Zusammenhang  mit  diese^;  Absicht. 

Es  bleibt  mir  übrig ,  IL  Beispiele  über  den  Satz  von  der  Involution 
zu  geben. 

Wenn  man  von  jedem  Punkte  einer  geraden  Linie  aus  zwei  Tan- 
genten an  einen  Kegelschnitt  zieht,  so  begegnen  dieselben  einer  festen 
Tangente  immer  in  zwei  Punkten ;  jedem  Punkte  jener  geraden  Linie  ent- 
'  sprechen  auf  diese  Weise  zwei  verschiedene  Punkte  in  jener  festen 
Tangente  und  jedem  Punkte  dieser  festen  Tangente  nur  ein  Punkt  in 
d^T  gegebenen  geraden  Linie;  demnach  sind  die  Punktpaare  in  der 
festen  Tangente  in  Involution  und  entsprechen  den  Punkten  der  geraden 
Linie  anbarmonisch'. 

Wenn  man  von  einem  festen  Punkte  aus  Transversalen  nach  einem 
gegebenen  Kegelschnitt  und  von  einem  beliebigen  Punkte  des  Kegel- 
schnitts «US  nach  den  Endpunkten  jeder  Sehne  gerade  Linien  zieht,  so 
hat  man  Paare  von  geraden  Linien,  die  durch  denselben  Punkt  gehen 
und  den  Transversalen  so  entsprechen,  dass  jedem  Paar  und  jedem 
Strahl  eines  Paares  eine  und  nur  eine  bestimmte  Transversale,  jeder 
Transversale  aber  ganz  gleichmässig  ein  Paar  von  Strahlen  entspricht; 
daher  müssen  jene  Strahlenpaare  ein  involutorisches  Büchel  bilden,  und 
dem  Büschel  der  Transversalen  anharmonisch  entsprechen.  Wenn  man 
fragen  wollte,  warum  jenes  Centrum  der  Strahlenpaare  ein  Punkt  des 
Kegelschnittes  sein  müsse,  so  ist  zu  antworten,  dass  einem  Punkte 
ausserhalb  des  Kegelschnitts  nicht  eine  bestimmte  Transversale,  sondern 
deren  zwei  entsprechen  würden,  und  dass  dann  die  im  Satze  11  geforderte 
Art  des  Entsprechens  eben  nicht  stattflinde.  In  ganz  ähnlicher  Weise 
beseitigen  sieh  übrigens  analoge  Bedenken  bei  den  früheren  Bei- 
Bpielen. 

Denke  man  wieder  eine  Reihe  von  Kegelschnitten,  welche  durch 
vier  Pxmkte  hindurch  gehen  und  lasse  dieselben  durch  eine  Transversale 
geschnitten  werden,  die  durch  einen  der  vier  Punkte  geht,  aber  über- 
diess  durch  eine  beliebig  gezogene.     Auf  jener  bestimmen  die    Kegel« 


10  Zwei  Hauptsfitze  der  neueren  Geometrie. 

schnitte  eine  Reihe  Ton  Punkten  aaa  , . .,  auf  dieser  die  Reihe  von  Punkt- 
paaren Bh^  B'h\ . .  •  Dahei  entsprechen  jedem  Punkte  a  der  ersten  Trans- 
versale ganz  gleichmässig  zwei  Punkte  B^  h  der  zweiten ,  aber  jedem 
Punkte  in  dieser  nur  ein  Punkt  der  erstem.  Es  müssen  daher  jene  Punkt« 
paare  in  Involution  und  mit  jener  Punktreihe  in  anharmonischem  Verhftltniss 
sein.  Bekannt  ist  der  Theil  des  Batzes,  nach  welchem  jene  Segmente  in  In- 
volution sind*),  aber  dass  sie  den  Punkten  a  anharmonlsch  entsprechen, 
ist  eme  neue  Vervollständigung  des  Satzes.  Diese  Vervollständigung  ist 
fruchtbar,  denn  wenn  man  z.  B.  jeden  Punkt  a  mit  den  entsprechenden 
Punkten  B^h  verbindet,  so  umhüllen  darnach  die  sämmtlichen  so  bestimm- 
ten geraden  Linien  einen  Kegelschnitt.  Und  wenn  man  in  einer  gera- 
den Linie  eine  Reihe  von  involutorischen  Segmenten  hat ,  und  durch  die 
drei  festen  Punkte  a,6,c  eine  Reihe  von  Kegelschnitten  legt,  so  dass  jeder 
derselben  überdiess  durch  die  Endpunkte  eines  Segments  jener  Reihe 
geht,  so  gehen  nun  nothwendig  alle  diese  Kegelschnitte  durch  einen  be- 
stimmten vierten  Punkt  und  entsprechen  den  Segmenten  anharmonisch. 
Wenn  jeder  der  Kegelschnitte  durch  die  vier  Punkte  sich  auf  zwei  ge- 
rade Linien  reducirt,  so  liefert  der  Satz,  dass  die  von  denselben  auf 
einer  beliebigen  Transversale  gebildeten  Segmente  involutorisch  sind, 
diesen  bekannten  Satz  vom  Viereck:  Jede  in  der  Ebene  eines  Vierecks 
gelegte  Transve^ale  begegnet  seinen  vier  G-egenseiten  und  seinen  beiden 
Diagonalen  in  Punkten,  die  in  Involution  sind;  ein  Satz,  den  man  ge- 
wöhnlich zur  Construction  des  sechsten  Punktes  einer' Involution  anwen- 
det und  den  man  schon  in  des  Pappus  mathematischen  Sammlungen 
findet,  wenn  auch  in  anderer  Form. 

Wegen  der  vollkommenen  Zusammengehörigkeit  von  Pnnktreihen 
und  Strahlenbtlscheln ,  also  auch  der  von  involutorischen  Punktreihoi 
und  involutorischen  Strahlenbüscheln  gehen  auch  hier  aus  allen  Sätzen 
correlative  Sätze  ohne  Weiteres  hervor;  so  zu  dem  Vorhergehenden  vom 
Viereck,  um  nur  ein  Beispiel  anzuführen,  dieser:  Die  sechs  Geraden, 
welche  von  einem  beliebigen  Punkte  nach  den  vier  Eckpunkten  und  den 
beiden  Durchschnittspunkten  der  Gegenseiten  eines  Vierecks  gezogen 
werden,  bilden  einen  involutorischen  Strahlbüschel«  (Mit  Hilfe  dieses 
Satzes  kann  man  bequem  den  sechsten  Strahl  einer  Involution  finden. 
So  auch  in  den  anderen  vorgelegten  Beispielen^*). 

Ein  interessantes  Bebpiel  aus  der  Geometrie  des  Raumes  bieten  die 
Oberflächen  3.  Ordnung  dar.  Man  weiss ,  dass  eine  solche  allgemein  27  ge- 
rade Linien  enthält;  jede  Ebene,  die  man  durch  eine  dieser  geraden  Linien 


*)  Er  enthält  die  Sätse  von  Desargues  and  Sturm. 

*)  Weitere  Beispiele  von  der  Anwendbarkeit  dieser  Sätze  kann  man  finden  in 
dem  sehr  schätzbaren  Buche:  Melanges  de  giometrie  pure  comprenant  diverses  Ap- 
pttcaiions  des  Tkiories  exposSes  dans  Jetraitd  de  geometrie  supMeure  de  M.  Chasles; 
par  E,  de  JonqttUres,    Paris.  Maüet,  1856. 


Von  Dr.  W.  Fiedlee.  11 

le^,  schneidet  die  Oberfläche  ausser  ihr  in  einem  Kegelschnitt,  und  ist  in 
den  iwei  Funkten ,  welche  dieser  mit  der  geraden  Linie  gemein  hat ,  Tan- 
gentialebene der  Oberfläche.  Denkt  man  vier  solche  Ebenen  durch  dieselbe 
gerade  Linie,  so  bestimmen  dieselben  durch  ihre  Berührungspunkte  in  die- 
ser vier  Segmente,  die  in  Involution  sind  und  den  vier  Ebenen  anharmonisch 
entsprechen.  Man  kann  bemerken ,  dass  die  Doppelpunkte  dieser  Involution 
von  der  Art  der  parabolischen  Punkte  sind,  ftir  welche  die  Tangentialebenen 
der  Oberfläche  in  zwei  unendlich  nahe  benachbarten  Punkten  —  die  be- 
trachtete gerade  Linie  verbindet  sie  —  zusammenfallen. 

Diess  mag  ausreichen,  um  von  der  Brauchbarkeit  dieser  Sätze  eine 
Anschauung  zu  geben.  Man  versteht  darnach,  mit  welchem  Bechte 
ihr  Erfinder  Chasles  ihnen  den  Titel  Principien  hat  geben  können'.*); 
sie  sind  allerdings  durch  ihre  Allgemeinheit  und  den  abstracten  Cha- 
rakter, der  ihnen  eigen  ist,  ausserordentlich  fruchtbare  Wahrheiten; 
sie  liefern  unmittelbar  und  in  einer  Menge  von  Aufgaben  einfache 
Beziehungen,  die  von  dem  anharmonischen  Verhältniss  abhängen  und 
sieh  auf  dem  gewöhnlichen  Wege  gar  nicht  so  leicht  darbieten  würden. 
Sie  stellen  sich  in  allen  diesen  Beziehungen  dem  Princip  der  Becipro- 
cität  an  die  Seite,  umfassen  aber  jenes  in  dem  Bereich  ihrer  Anwend- 
barkeit, in  Folge  der  Doppelnatur  des  anharmonischen  Verhältnisses  zu- 
gleich mit  und  zeichnen  sich  dadurch  vor  ihm  aus,  dass  sie  nicht  schon 
bekannte  Wahrheiten  durch  Entwicklung  der  Correlata  vervielfältigen, 
sondern  im  Angri£F  neuer  Aufgaben  sich  fruchtbar  erweisen. 

Während  solche  Principien,  deren  Haupteigenschaft  die  ist,  dass 
durch  sie  sehr  verschiedene  Aufgaben  auf  denselben  Ausdruck  zurück- 
geführt werden ,  in  der  Analysis  und  Mechanik  mehrfach  vorhanden  sind, 
fehlen  sie  eigentlich  in  der  Geometrie,  deren  Untersuchungen  fast  stets 
einen  conCreten  Charakter  haben.  Als  ein  Princip  in  diesem  Sinne  hat 
man  meiner  Ansicht  nach  die  Vereinigung  dieser  Sätze  allerdings  au 
betrachten. 

Hiemach  nur  noch  eine  kurze  Bemerkung.  Von  einem  andern  Ge- 
sichtspunkte aus  erscheint  die  gegebene  Form  dieser  Sätze  als  eine  noth- 
wendige  erst  jetzt  erfüllte  Forderung.  Bekanntlich  ist  die  Gleichheit  der 
anharmonischen  Verhältnisse  die  allgemeine  Eigenschaft  aller  in  der  Ver- 
wandtschaft der  Collineation  stehenden  geometrischen  Figuren;  erst  in  der 
hier  vorgelegten  einfachen  Form  ist  diese  Charakteristik  auf  denselben 
Grad  von  Anwendbarkeit  und  Einfachheit  gebracht,  welcher  gefordert 
zu  werden  scheint  von  der  grundlegenden  Definition  dieser  Verwandt« 
Schaft:  Zwei  Systeme  sind  einander  collinearv erwandt,  wenn  jedem 
Punkte  des  einen  ein  Punkt  des  andern  so  entspricht,  dass  die  entsprechen- 
den Funkte  des  zweiten  Systems  zu  denen  einer  geraden  Linie  des  er- 
sten stets  wieder  eine  gerade  Linie  bilden. 


*)  In  dem  eitirten  Memoire. 


12  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 


n. 

Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsverftndenmg  starrer 

Systeme. 

Von  K.  Küpper, 

Lehrer  a.  d.  GewerbBchole  su  Trier. 


Die  Entdeckung  der  Gesetze,  welche  bei  der  Ortsveränderang  star- 
rer Systeme,  insofern  man  dieselbe  als  unabhängig  von  physischen  Ur- 
sachen betrachtet,  obwalten,  ist  eine  schöne  Frucht  jener  allgemeinen 
Methoden  mathematisoher  Forschung,  deren  Einführung  in  die  Wissen- 
schaft den  Geometem  unserer  Zeit  vorbehalten  war.  Obwohl  nun  diese 
Gesetze  eine  ergiebige  Quelle  mathematischer  Wahrheiten  sind,  und  die 
Auffassung  sowie  die  richtige  Anwendung  derselben  keinen  erheblichen 
Schwierigkeiten  unterliegt,  so  wurde  doch  bisher  weder  ihre  Bedeutung 
stark  genug  betont,  noch  ihre  Begründung  und  Entwickelung  so  klar 
und  vollständig  gegeben,  wie  es  bei  einem  in  hohem  Grade  einfachen 
Gegenstande  wünschenswerth  erscheinen  sollte« 

Folgenden  hierher  gehörigen  merkwürdigen  Satz  hat  zuerst  Euler 
mit  Hülfe  einer  geometrischen  Construktion  bewiesen: 

„Wenn  zwei  congruente  feste  Körper***)  einen  Punkt  ge- 
mein haben,  so  gibt  es  immer,  welches  auch  die  Stellung 
der  beiden  Körper  im  Räume  sein  mag,  eine  durch  jenen 
Punkt  gehende  Gerade,  welche  gegen  beide  Körper  einer- 
lei Lage  hat,  so  dass  durch  Drehung  um  diese  Gerade  der 
eine  Körper  mit  dem  andern  zur  Deckung  gebracht  werden 
kann.*^  Es  liegt  sehr  nahe,  diesen  Satz  dadurch  zu  generalisiren,  dass 
man  die  beschränkende  Bedingung  eines  gemeinschaftlichen  Punktes  auf- 
hebt, und  höchst  wahrscheinlich  leuchtete  unserem  grossen  Mathematiker 
diese  Generalisation  sofort  ein;  indess  hat  sowohl  er,  wie  auch  sein  be- 
rühmter Nachfolger  Lagrange,  es  unterlassen,  das  allgemeine  Prinzip, 
welches  aus  ihren  analytischen  Formeln  leicht  herauszulesen  ist,  in  Bezug 
auf  Folgerungen  ffir  die  Geometrie  und  Mechanik  auszubeuten. 

Im  Jahre  1830  veröffentlichte  der  um  die  Geometrie  hochverdiente 
französische  Mathematiker  Chasles  in  dem  Bulletin  des  Sciences  von 
F^russac  einen  kleinen  Aufsatz,  in  welchem  er  einige  allgemeine  Eigen- 
schaften des  Systems  zweier  ähnlichen  Körper,   die  irgendwie  im  Baume 


*)  Allgemeiner  ist  der  Auedrack  starres  System,  weil  er  diskontinuirliche 
Verbindungen  von  Punkten,  deren  gegenseitige  Abstände  unveränderlich  sind,  mit 
wnfasst. 


Von  K.  Küpper,  13 


gelegen  Bind,  mittheilt,  und  diese  sodann  für  die  .Annahme  zweier  con*- 
graenten  Systeme  folgendermassen  spezialisirt:  „Wenn  man  im  Baam 
swei  congraente  Körper  in  beliebiger  Lage  hat,  so  gibt  es 
immer  eine  nnendliche  Gerade,  welche,  wenn  man  sie  als 
dem  einen  Körper  angehörig  betrachtet,  selbst  ihre  Homo- 
loge im  andern  Körper  ist.  Woraus  man  sogleich  diese 
allgemeine  Eigenschaft  der  Ortsyerändernng  eines  festen 
Körpers  folgert:  Wenn  ein  fester  Körper  irgend  eine  end- 
liche Ortsveränderung  erfährt,  so  gibt  es  in  diesem  Körper 
stets  eine  gewisse  unendliche  Gerade,  welche  nach  der 
Veränderung  sich  wieder  an  derselben  Stelle  befinden  wird, 
wie  vorher.  Wenn  man  den  zweiten  Körper  (d.  h.  den  Kör- 
per in  seiner  zweiten  Lage  genommen)  um  diese  Gerade 
dreht,  so  gelangt  er  in  ähnliche  Lage  zu  dem  ersten,  und 
wenn  man  ihn  dann  weiter  in  der  Richtung  dieser  Geraden 
fortschiebt,  so  kommt  er  zur  Deckung  mit  dem  ersten  Kör- 
per; dies  beweist,  dass  man  immer  einen  festen  Körper  aus 
einer  Lage  in  eine  beliebige  andere  durch  die  Bewegung 
einer  Schraube,  an  welcher  er  befestigt  ist,  überführen 
kann." 

Die  Geschichte  der  Mathematik  und  Naturwissenschaft  bestätigt  fast 
auf  allen  Seiten*  die  bemerkenswerthe  Thatsache,  dass  Wahrheiten  vcm 
allgemeiner  Natur  nur  in  seltenen  Fällen  auf  dem  direkten  Wege  erreicht 
werden,  welchen  man  später  als  den  geeignetsten  zu  ihrer  Deduktion 
einschlägt.  Indem  Chasles  die  Beiationen  der  Lage,  welche  zwischen 
zwei  projektivischen ,  oder  wie  er  sie  nennt,  homographischen  Gebilden 
stattfinden,  zunächst  dem  besondern  Fall  zweier  ähnlichen ,  sodann  zweier 
congruenten  Systeme  anpasst,  gelangt  er  zu  einem  Resultat,  welches 
man  unmittelbar  und  ohne  Mühe  erhalten  hätte,  wäre  man  auf  der  von 
Euler  vorgezeichneten  Spur  fortgeschritten.  Natürlicherweise  verbleibt 
damit  der  Herleitnng  Ohasl.es'  immerhin  der  eigenthümliche  Vorzug, 
einen  Zusammenhang  mit  weiteren  geometrischen  Gesetzen  zu  offenbaren, 
der  umgekehrt  nur  auf  künstliche  Weise  wieder  hergestellt  werden  kann. 
Chasles  selbst  zeigte  in  seinem  bekannten  Werke:  Aperfu  hisiorique  etc. 
wie  man  sich  seines  Theorems  zur  Construktion  der  Normalen  bei  einer 
grossen  Anzahl  von  Curven  bedienen  kann;  er  wies  nach,  dass  die 
besondere  Tangentenmethode,  mit  deren  Hülfe  Descartes  und  Pascal 
das  berühmte  Problem  über  die  Cykloide  lösten,  unter  diese  Anwendun- 
gen zu  rechnen  sei.  Seitdem  haben  es  verschiedene  Schriftsteller  bei 
schwierigen  Fragen  aus  der  reinen  Mechanik  mit  grossem  Nutzen  ge- 
braucht. So  benutzte  Poinsot  dasselbe  in  seinem  classischen  Werke 
über  die  Rotation,  um  der  Vorstellungskraft  ein  deutliches  Bild  von  der 
allgemeinen  Bewegung  eines  Körpers  zu  liefern;   Ol  in  de  Rodrigues 


14  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderong  etc. 

leitete  daraus  den  analytisohen  Ausdruck  der  endlichen,  oder  unendHefa 
kleinen  Coordinaten -Variationen  in  einem  heweglichen  starren  System, 
sowie  die  Bedingungen  der  ünheweglichkeit  eines  solchen  Systems  ab. 
Auch  die'  Maschinenkunde  hat  diesem  Prinzip  einige  schätzbare  Resultate 
au  verdanken,  zum  Beispiel  die  scharfsinnig  erdachte  Methode  zur  Gon- 
struktion  Ton  Zahnformen  mittels  Kreisbogen,  welche  der  Professor  Wil- 
lis in  den  Transactians  f^  ihe  imüfutwn  of  civü  engeneers  bekannt  m%chte; 
ein  solches  wäre  femer  die  bedeutende  Vereinfachung,  welche  sich  ftir 
geometrische  Theorie  correspondirender  Zahnflächen  ergeben  würde,  wollte 
man  ihr  dies  Prinzip  zu  Omnde  legen.  Und  bei  dem  heutigen  Stand- 
punkt dieses  Zweigs  unserer  Kenntnisse  ist  es  für  den  Ingenieur  und 
Maschinenbauer  geradezu  unerlässlich  geworden,  sich  mit  dem  in  Bede 
stehenden  Qrundwahrheiten  möglichist  vertraut  zu  machen. 

Weil  ihm  aber  die  gewöhnlichen  Handbücher  hiezu  keine  Oelegen- 
heit  bieten,  so  dürfte  eine  Arbeit  nicht  Überflüssig  sein,  die  es  unter- 
nimmt, diese  Wahrheiten  dem  allgemeinen  Verständniss,  insbesondere 
dem  Verständniss  des  Technikers  näher  zu  bringen.  Die  letztere  Bück- 
sieht  bestimmte  mich  denn  auch ,  eine  Methode  der  Herleitung  zu  wäh- 
len, welche  in  Bezug  auf  mathematische  Vorkenntnisse  nur  geringe  An- 
forderungen an  den  Leser  stellt,  und  solche  Uebungen  beizufügen,  welche 
den  eigentlichen  Sinn  der  Sätze  zum  Bewusstsein  bringen  können.  Da- 
bei lag  es  nicht  in  meiner  Absicht,  die  Anwendungen  mit  derselben 
Ausführlichkeit  wie  die  Hauptsache  zu  behandeln;  der  Beschränktheit 
des  Raumes  wegen  musste  es  überdiess  zuweilen  bei  blosen  Andeutungen 
sein  Bewenden  haben. 

Gelänge  es  mir,  meine  Leser  soweit  anzuregen ,  dass  sie  sich  aufge- 
fordet  fühlten,  einige  Lücken  auszufüllen  und  Unvollständiges  zu  ergän- 
zen, so  wäre  das  Ziel,  das  ich  mir  bei  Abfassung  dieser  Arbeit  vorge- 
setzt habe,  erreicht. 

§  1.  Ortsveränderung  eines  ebenen  Systems  S  in  seiner  Ebene. 

Um  die  Beziehungen  zwischen  zwei  beliebigen  Lagen,  die  ein  ebe- 
nes System  in  seiner  Ebene  einnimmt,  zu  ermitteln,  stelle  ich  mir  einen 
Kreis  (Taf.  I,  Fig.  1.)  vor,  welcher  zu  dem  System  gehört  und  in  dessen 
erster  Lage  mit  dem  um  A  mit  dem  Radius  AP  beschriebenen  Kreise,  in  der 
sweiten  Li^e  mit  dem  um  A'  mit  demselben  Radius  beschriebenen  Kreise 
zusammenfällt.  Jede  Bewegung  des  ebenen  Systems  der  Art,  dass  der 
Kreis  {A)  mit  (./)  zur  Deckung  kommt  und  dass  ausserdem  irgend  ein 
Punkt  P  des  Kreises  (A)  mit  dem  ihm  entsprechenden  (homologen)  P^ 
zusammenfällt,  kann  dazu  dienen,  S  aus  der  ersten  Lage  in  die  zweite 
überzuführen.  Natürlich  ist  es  nun,  dass  man  dem  S  einmal  eine  parallele 
Verschiebung  gleich  Aj^  eriheilt  und  dasselbe  hierauf  um  den  Punkt  j{ 
so  lange  dreht,    bis    der   Punkt  P  an  die    ihm  angewiesene  Stelle   P' 


Von  K.  Küpper.  15 


gelangt.  Die  hiezn  erforderliehe  Drehung  sei  duf  ch  den  Winkel  2g>  gemes- 
sen. Errichtet  man  nnn  auf  Aj^,  in  A  und  j{  die  Normalen  AC,  ÄC\ 
und  maeht  LP^C=  P'w4'(/=  y,  so  sind  nothi^endig  P,i^  awei  home- 
loge  Punkte.  Zieht  man  PA^  P'Jl  und  verlängert  diese  Geraden  his  au 
ihrem  Durchschnitt  ö,  so  wird  OP  =  0P\  L  ^^^'  =  2%  ^^^  ^  is^  *▼*" 
dent,  dass  das  System  S  aus  der  ersten  Lage  in  die  zweite 
gebracht  werden  kann,  indem  man  ihm  um  denPunkt  0  eine 
Drehung  ertheilt,  deren  Amplitude  2^  ist.  Odw:  Wenn  auf 
irgend  eine  Weise  die  aweite  Lage  aus  der  ersten  abgelei- 
tet wird,  so  gibt  es  in  iS^  einen  bestimmten  Punkt  0,  welcher 
an  seinen  ursprünglichen  Ort  zurückkehrt,  d.  h.  eine  ge- 
sehlossene  Linie  beschreibt. 

Zur  Uebung.  Die  Natur  der  von  0  beschriebenen  Curve  hängt 
allein  von  dem  durchaus  willkührlichen  Modus  der  Herleitung  der  einen 
Lage  aus  der  andern  ab.  Behält  man  die  Mittelpunkte  A^Al  einmal  bei^ 
und  bestimmt  den  Kadios  x  der  zugehörigen  Kreise,  so  dass  {0 A  »^  x)  2q> 
z=i2n.Xj  so  kann  man  den  Kreis  {A)  über  dem  Bogen  PP^  fortrollen 
lassen,  bis  er  mit  (A')  zusammenfällt,  dann  werden  auch  die  Punkte  P,  P^ 
sich  decken.  Alle  Punkte  des  Systems  (A  allein  ausgenommen)  beschrei- 
ben Cykloidenbögen,  0  durchläuft  die  Schleife  einer  Cykloide.  Einiges 
Interesse  bietet  folgende  Modifikation  dar: 

Aus  AyA^  beschreibe  man  mit  A0=A!0  zwei  Kreise  (Taf.  I,  Fig.  2.), 
welche  sich  femer  in  M  schneiden  mögen.  Aus  M  beschreibe  man  mit 
einem  Badius  =  2  MA  einen  E^reis ,  welcher  jene  in  Q^  R  berührt ,  und 
lasse  nun  den  Kreis  A  über  dem  Bogen  QR  rollen.  Ist  dann  A  nach 
j^  gekommen,  so  befindet  sich  auch  das  System  S  in  seiner  zweiten 
Lage;  denn  zieht  man  die  Geraden  AOP,  ÄOP\  so  sind  P^P  zwei  ho- 
mologe Punkte,  und  es  ist  bekannt,  dass  beim  Rollen  des  Kreises  (itf) 
über  dem  Bogen  QR  der  Punkt  0  das  gerade  Stück  OV  hin  und  her 
durchläuft,  dass  P  auf  der  Geraden  PUP  bleibt,  und  demnach,  wenn  A 
nach  Ä  gelangt,  mit  P  zusammenliegt  Bei  dieser  Bewegung  be- 
sehreibt also  0  eine  geschlossene  krumme  Linie,  alle  auf 
dem  Kreise  [Ä)  liegende  Punkte  beschreiben  geradlinige 
Bahnen,  welche  mit  der  Bahn  von  0  sich  im  Punkte  M  schnei- 
den; die  übrigen  Punkte  ron  5  beschreiben  Bögen  von  El. 
lipsen,  deren  Mittelpunkt  M^  und  für  welche  entweder  die 
Summe  der  Halbaxen  oder  die  Differenz  dem  Durchmesser 
van  i^A)  gleich  ist,  je  nachdem  diese  Punkte  innerhalb  oder 
ausserhalb  des  Kreises  (^)  liegen. 

Die  nämliche  Bewegung  nimmt  S  auch  an,  wenn  man  zwei  Punkte 
(Taf.  I,  Fig.  3.),  welche  mit  0  nicht  in  einer  Geraden  liegen,  auf  gera- 
dem Wege  in  ihre  neuen  Lagen  führt.  Denn  man  sieht  leicht,  dass, 
wenn  P^Q  die  ersten,  P^Q'  die  zweiten  Lagen  der  beiden  Punkte  sind, 


16  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsverändemng  etc. 

die  Geraden  PP',  QQ'  sieh  schneiden  mfissen,  etwa  in  M,  Um  die  Drei- 
ecke MPQ^  MF^Q'  beschreibe  man  zwei  Kreise,  so  sind  diese  Ton  gleicher 
Grösse,  und  wegen  der  Congmenc  von  ÄPQ^  ÄPQ'  sind  ihre  Mittelpunkte 
Ä^Ä  homologe  Punkte.  Beschreibt  man  nnn  noch  ans  üf  mit  dem  Ba- 
ditts  TlMä  einen  Kreis,  und  lässt  {Ä)  fiber  diesem  rollen,  bis  Ä  nnd  Ä 
zusammenfallen,  so  werden  sich  auch  die  Punkte  P^P  decken;  wir  sind 
daher  auf  die  vorige  Art  zurückgeführt. 

Die  eben  betrachteten  gleichen  Kreise  haben  noch  eine  andere  Be- 
deutung: Auf  jeder  Geraden  gibt  es,  wie  man  sofort  erkennt,  zwei 
homologe  Punkte,  und  nicht  mehr.  Fragt  man  nach  dem  Ort  der  homo- 
logen Punkte,  welche  sich  in  einem  Strahlenbüschel  von  gegebenen  Mit- 
telpunkt M  auf  denselben  Strahlen  finden,  so  erhält  man  für  diesen  zwei 
gleiche,  sich  in  M  und  dem  Drehpunkt  0  unter  dem  Winkel  2 9  schnei- 
dende Kreise;  die  Punkte  des  einen  entsprechen  denen  des  andern  und 
ihre  Verbindungslinien  enthalten  den  Punkt  Af. 

Wie  aber  auf  jeder  Geraden  zwei  sich  entsprechende  Punkte  liegen, 
so  gehen  durch  jeden  Punkt  zwei  und  nur  zwei  homologe  Gerade.  Der 
Ort  für  die  den  Punkten  M  einer  gegebenen  Geraden  m  zugehörigen 
Geradenpaare  besteht  aus  zwei  congruenten  Parabeln,  welche  die  Gerade  m 
zur  gemeinschaftlichen  Tangente,  den  Drehpunkt  0  zum  gemeinschaft- 
lichen Brennpunkt  haben. 

Wählt  man  als  den  Ort  des  Punktes  M  einen  Kreis,  so  umhüllen 
die  Paare  homologer  Geraden  zwei  diesen  Ejreis  doppelt  berührende 
Kegelschnitte,  welche  0  zum  Brennpunkt  haben  und  durch  eine  Drehung 
von  der  Amplitude  29)  um  0  zur  Deckung  gebracht  werden  können. 
Diese  Kegelschnitte  sind  beide  entweder  Ellipsen  oder  Hyperbeln,  je 
nachdem  der  Drehpunkt  0  von  dem  Ortskreise  M  umschlossen  wird 
oder  ni6ht. 

Verbindet  man  die  Punkte  P,0  einer  Geraden  mit  ihren  homologen 
P\Q\  und  beachtet,  dass  die  Dreiecke  OPP\  OQtf  ähnlich  sind,  so  sieht 
man,  dass  die  Geraden  PP\  QQ'  zusammen  mit  PQ^  P'Q'  eine  Parabel 
umhüllen,  deren  Brennpunkt  0  ist.  —  Verbindet  man  die  Punkte  eines 
Kreises  mit  ihren  homologen,  so  folgt  in  analoger  Weise,  dass  die  Ver- 
bindungslinien einen  Kegelschnitt  (Ellipse  oder  Hyperbel)  umhüllen,  wel- 
cher von  den  beiden  zugeordneten  Kreisen  doppelt  berührt  wird. 

Anmerkung.  Wenn  die  beiden  Lagen  von  S  einander  unendlich 
nahe  liegen  (benachbarte  sind),  so  gilt  Alles ,  was  wir  aufgestellt  haben, 
wenn  nur  berücksichtigt  wird,  dass  an  die  Stelle  der  Verbindungslinie 
zweier  homologen  Punkte  das  Wegelement  eines  Punktes,  und  an  die 
Stelle  des  Durchschnittspunktes  zweier  homologen  Geraden  der  Berüh- 
rungspunkt der  in  Bewegung  befindlichen  Geraden  mit  der  von  ihr  um- 
hüllten Curve  tritt. 


Von  K.  KüPPEB.  17 


§.  S.  Orttvtriadenmg  euet  riamliohan  System  S  mit  einem  absolut 

festen  Punkt 

Wir  betrachten  zwei  Li^en  (Taf.  I,  Fig.  4.)  von  Sy  welche  das  Ge-- 
meinsame  haben,  dass  ein  zu  S  gehöriger  Pankt  0  in  beiden  Lagen  die- 
selbe Stelle  emnimmt,  und  wollen  beweisen,  dass  die  eine  Lage 
aus  der  andern  mittels  einer  einfachen  Drehung  von  S  um 
eine  durch  0  gehende  Aze  abgeleitet  werden  kann.  Bei  die- 
sem Beweise  verfahre  ich  ebenso  wie  vctrher;  ich  suche  einem  mit  S  fest 
verbundenen  Kreise  eine  solche  Bewegung  zu  ertheilen,  dass  er  aus  seiner 
ersten  Lage  in  die  zweite  gelangt,  um  den  festen  Punkt  0  als  Mittel- 
punkt denke  ich  eine  Kugel  beschrieben  und  auf  dieser  sei  ein  Kreis, 
dessen  Mittelpunkt  A  und  dessen  Radius  JP  ist,  so  zu  bewegen,  dass 
sein  Mittelpunkt  A  nach  A^  und  noch  irgend  einer  seiner  Punkte  P  nach 
P'  kommt.  Offenbar  wird  dies  erreicht,  wenn  man  den  Kreis  zuerst  um 
eine  im  Punkte  0  auf  der  Ebene  OAA^  normale  Aze  dreht  bis  A  mit  A^ 
zusammenfhllt  und  zu  dieser  Drehung  noch  eine  andere  um  OAl  bIb  Aze 
hinzufügt,  durch  welche  P  nach  P'  geführt  wird.  Seien  nun  AC^  A'(f 
die  Bögen  zweier  grössten  Kreise,  deren  Ebenen  auf  AOA^  normal  sind, 
2<p  der  Winkel,  um  welchen  man  das  System  noch  zu  drehen  hat,  wenn 
bereits  OA  mit  Oj{  zusammenliegt,  so  mache  man  die  sphärischen  Win- 
kel PACy  P'ÄC  jeden  gleich  y,  und  verlängere  die  Bögen  PA^  P'Ä  bis 
zu  ihrem  Durchschnitt  0\  Dann  ist  0'P=^  €fP\  und  es  ist  klar,  dass 
der  Kreis  {Ä)  durch  eine  Drehung  um  die  Axe  0(f  zur  Goincidenz  mit 
{Ä)  gebracht  werden  kann,  wobei  denn  auch  die  Punkte  P,jP',  also  über- 
haupt irgend  zwei  homologe  Punkte  der  Kreise  sich  decken.  Die  Am- 
plitude der  nöthigen  Drehung  ist  der  sphärische  Winkel  A  0' Ä  =  29). 
Demnach  haben  wir  erreicht,  dass  durch  eine  einzige  Drehung  um  die 
Aze  00'  alle  Punkte  des  gedachten  Kreises  aus  ihrer  ersten  Lage  in 
die  zweite  Übergeführt  werden,  und  es  geht  aus  der  Unveränderlichkeit 
der  gegenseitigen  Abstände  aller  Punkte  von  S  hervor,  dass  dasselbe  von 
jedem  Punkte  gilt.  Bewegt,  sich  ein  starres  System  in  der 
Weise,  dass  einer  seiner  Punkte  endlich  wieder  seine  ur- 
sprüngliche Lage  annimmt,  so  kann  man  eine  durcb  diesen 
Punkt  gehende  Gerade  angeben,  welche  in  ihre  frühere 
Lage  zurückkehrt,  d.  h.  welche  eine  geschlossene  Fläche 
beschreibt.  Oder:  Es  lässt  sich  das  System  in  eine  Schaar  ebener 
Systeme  zerlegen  (normal  auf  der  Drehaze),  welche,  wenn  sie  ihre 
ursprünglichen  Ebenen  auch  verlassen,  doch  wieder  in  dieselben  zurück- 
kehren, und  stets  ist  die  eine  Lage  aus  der  andern  so  abzuleiten,  dass 
jene  ebenen  Systeme  in  ihren  Ebenen  verbleiben.  In  jeder  dieser  Ebenen 
gibt  es  einen  zurückkehrenden  Punkt  0\  und  alle  diese  Punkte  liegen 
auf  der  Drehaze.     Weil  die  Verbindungslinien  homologer  Punkte  in  einer 

Zeitschrift  f.  MAthtmaUk  n.  Physik.   VI.  1.  2 


18  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 


>^^V^H^^»^»/-»" 


bestimmten  Stellung  (normal  zur  Drefaaxe)  sich  befinden,  so  liegen  alle 
solche  Punkte,  deren  Verbindungslinien  durch  einen  beliebigen  Punkt  M 
gehen,  in  einer  Ebene  und  in  dieser  besteht  ihr  Ort  aus  zwei  gleichen 
Kreisen,  welche  durch  ^  und  0'  gehen  und  sich  unter  dem  Winkel  29 
schneiden. 

Verbindet  man  die  Punkte  einer  Geraden  G  mit  ihren  homologen,  so 
erfüllen  diese  Verbindungslinien  ein  hyperbolisches  Paraboloid,  welches 
zu  einer  Ebene  wird,  wenn  G  die  Drehaze  schneidet,  oder  damit  paralleli 
oder  darauf  normal  ist. 

Fassen  wir  zwei  benachbarte  Lagen  in*s>Auge,  so  folgt,  dass  die 
Bahnelemente  aller  Punkte  einer  Geraden,  die  sich  nnend- 
lieh  wenig  um  eine  andere  dreht,  in  einem  hyperbolischen 
Paraboloid  liegen;  oder:  Errichtet  man  auf  den  Ebenen  eines  Ebe- 
nenbüschels in  den  Punkten,  in  welchen  sie  von  irgend  einer  Geraden 
getroffen  werden,  Normalen,  so  erzeugen  diese  ein  hyperbolisches  Para- 
boloid. 

Zur  Construction  der  Drehaxe  bedarf  es  nur  der  Angabe  zweier 
Punkte  PyQ  des  Systems  und  ihre  homologen  -P,'ö';  nämlich  die  beiden 
Ebenen,  welche  in  den  Mitten  von  PP*  und  QQ'  beziehlich  auf  diesen 
Geraden  normal  sind,  schneiden  sich  in  der  Drehaxe. 

§.  3.    Ortsverandemng,  bei  welcher  kein  Punkt  des  Systems  S  seine 
anfilngliche  Stelle  im  Baume  wieder  einnimmt. 

Vermöge  einer  derartigen  Ortsveränderung  sei  ein  Punkt  A  nach  Ä 
gekommen,  so  wird  man  die  zweite  Lage  aus  der  ersten  dadurch  ablei- 
ten, dass  man  dem  S  eine  parallele  Verschiebung  ertheilt,  welche  A 
nach  j(  bringt  und  dasselbe  weiter  um  eine  gewisse,  durch  j(  gehende 
Axe  j(X  eine  Drehung  von  bestimmter  Amplitude  2  9  ausführen  lässt 
Stellen  wir  uns  nun  alle  Punkte  von  S  auf  dem  Parallel-Strahlenbündel 
vor,  dessen  Bichtung  durch  AX  angegeben  ist,  so  begreift  man,  dass 
unter  diesen  Strahlen  einer  sein  muss,  der  durch  die  Drehung  in  die 
nämliche  Gerade  geführt  wird,  in  welcher  er  sich  ursprünglich  befand. 
Denn  eine  auf  AX  normale  Ebene  E  hat  in  der  ersten  Lage  des  Strah- 
lenbündels S  mit  demselben  ein  ebenes  System  £  gemein,  welches  in 
der  zweiten  Lage  Z'  in  einer  mit  E  parallelen  Ebenß  ^  liegt,  so  dass 
der  Parallel  -  Strahlenbündel  es  jetzt  auf  E  als  ein  mit  Z  congruentes 
System  projizirt.  Da  aber  zwei  congruente  ebene  Systeme  immer  einen 
Punkt  gemein  haben,  so  gibt  es  auch  in  der  zweiten  Lage  einen  Strahl  c, 
welcher  durch  denselben  Punkt  von  E  geht,  den  er  in  der  ersten  Lage 
traf,  d.  h.  der  nach  vollzogener  Drehung  wieder  in  die  Lage  kommt, 
welche  er  vor  der  Verschiebung  inne  hatte.  Wenn  daher  keine 
Ableitung  der  beiden  Lagen  denkbar  ist,  bei  welcher  ein 
Punkt    eine    geschlossene   Linie   durchläuft,    so    kann    man 


Von  E.  EüPPBE.  19 

unter  allen  Umständen  eine  Gerade  angeben^  die  eine 
getchlosaene  Flache  besehreibt;  die  Panktenreihe  aber« 
welche  ursprünglich  in  jener  Geraden  lag,  befindet  sich  in 
der  aweiten  Lage  darin  um  eine  gewisse  Strecke  Terscho- 
ben.  Diese  Strecke  ist  nichts  anderes  als  die  rechtwinklige  Projektion 
von  ÄÄ  auf  die  Richtung  von  ÄX  oder  c;  oder  auch,  wenn  B^B'  swei 
beliebige  homologe  Punkte  sind,  die  Projektion  von  BB'  auf  jene  Bich- 
tong.  Man  kann  also  das  System  aus  einer  Lage  in  jede  an- 
dere äberftthren,  indem  man  dasselbe  einer  gewissen  Bich- 
tang  parallel  verschiebt,  und  es  hierauf  um  eine  Gerade, 
welohe  dieser  Bichtung  angehört,  dreht;  diese  Gerade 
heisst  Centralaze  (wir  beseichnen  sie  mit  c).  Wir  fanden  c  parallel 
der  besondern  aum  Punkte  Ä  gehörigen  Axe  ÄX^  und  es  könnte  schei- 
nen, als  wenn  ihre  Bichtung  von  der  Wahl  des  Punktes  A  abhinge.  Dem 
ist  jedoch  nicht  so,  wie  folgendermassen  erhellt.  B  gehöre  au  dem  auf  AX 
normal  gedachten  ebenen  System  2^  B'  also  lu  £•  Weil  die  Verschie- 
bong  Bll  das  System  normal  gegen  sich  selbst  um  dieselbe  Grösse  ent- 
fernt, wie  die  Verschiebung  AÄ^  so  gelangt  X  durch  jene  in  dieselbe 
£bene  i^,  wie  durch  diese.  Soll  es  mithin  nach  vollzogener  Drehung 
um  eine  durch  B  gerichtete  Axe  BY  noch  in  der  Ebene  l!  sich  befin- 
den, wie  es  ja  in  der  That  sein  muss,  so  moss  auch  die  Axe  B'Y  auf  ^ 
normal,  d.  i.  der  Centralaze  parallel  sein«  —  Ferner  seien  C^d  die 
Punkte  von  c,  welche  den  Systemen  X^X!  angehören,  so  kann  man  die 
Verschiebung  BB'  als  ausammengesetzt  betrachten  aus  einem  mit  CC 
gleichen  und  parallelen  Stück  BI(\  und  der  in  J^  liegenden  Strecke  B"l[\ 
und  der  Punkt  C  kommt  durch  die  Verschiebung  BB'  in  eine  Lage  C 
der  Art,  dass  CC  gleich  und  parallel  ^'If  ist.  Bewirkt  man  daher  die 
Ortsveränderung  von  8  durch  die  Verschiebung  CC ^  und  die  nachfolgende 
Drehung  um  c,  so  qiuss  dorch  diese  letztere  B"  nach  B*  geführt  werden* 
bewirkt  man  sie  durch  die  Verschiebung  BB\  welcher  eine  Drehung  um 
iY  folgt,  so  muss  vermöge  dieser  Drehung  (f'  nach  C  gelangen: 
Woraus  man  schliesst,  dass  für  alle  möglichen  Axen.die  Drehung 
sowohl  der  Grösse  wie  dem  Sinne  nach  die  nämliche  ist, 
wie  für  die  Centralaze.  Das  eben  entwickelte  Theorem,  welches 
das  Fundament  der  geometrischen  Theorie  der  Bewegung  bildet,  lautet 
vollständig : 

Die  Hinüberleitung  eines  starren  Systems  aus  einer 
Lage  in  irgend  eine  andere  lässt  sich  auf  unzählige  Arten 
mit  Hülfe  einer  parallelen  Verschiebung  und  einer  darauf 
folgenden  Drehung,  oder  auch  umgekehrt,  erreichen.  Da- 
bei ist  die  Drehaze  durch  die  beiden  Lagen  allein  der 
Bichtung  nach  bestimmt;  die  entsprechende  Verschiebung 
hängt   aber   davon   ab,    darch   welche    Punkte    des   Systems 

2^ 


20  Die  geometriachen  Gesetze  der  Ortaveiänderung  etc. 

die  Dreliaxe  geht.  Sie  ist  der  Grösse  nnd  Richtung  nach 
durch  die  Verbindungslinie  eines  solchen  Punktes  mit  sei- 
nem homologen  gegeben;  die  Drehung  ist,  was  ihren  Sinn 
und  ihre  Amplitude  betrifft,  durchaus  constant.  Unter  den 
unendlich  vielen  möglichen  Drehaxen  befindet  sich  eine, 
die  Centralaxe,  für  welche  die  augehörige  Verschiebung 
mit  ihr  selbst  parallel  und  von  allen  denkbaren  die  kleinste 
ist;  sie  stellt  die  Axe  einer  Schraubenbewegung  dar,  mit- 
tels welcher  die  beabsichtigte  OrtSYeränderung  hervorge- 
bracht werden  kann. 

Zur  Construktion  der  Centralaxe  e  dient  eine  Verallgemeinerung  der 
am  Ende  von  §.  2  vorgebrachten  Bemerkung.  Zwei  homologe  Punkte  B^B' 
liegen  auf  einem  Umdrehungscylinder,  dessen  Axe  c  ist;  folglich  ist  die 
Mitte  M  von  BB'  derjenige  Punkt  dieser  Linie,  welcher  am  nächsten  bei  c 
liegt^.  Zieht  man  daher  durch  M  eine  Gerade,  normal  auf  c,  so  wird 
diese  auch  auf  BBf  normal  sein,  oder  zieht  man  durch  M  einn  Gerade  c 
parallel  zu  c  (oder  BY)  und  errichtet  in  c  auf  der  Ebene,  welche  c  und 
BB'  enthält,  eine  Ebene  rechtwinklig,  so  geht  diese  durch  c.  Somit  ge- 
nügen bei  gegebener  Richtung  von  c  zwei  Punkte  nnd  ihre  homologen 
um  c  zu  finden. 

Von  den  Eigenschaften  homologer  Punkte  wollen  wir  nur  eine  be- 
weisen, welche  uns  in  sehr  verschiedenen  Transformationen  wieder  ent- 
gegentreten wird,  nämlich:  Die  Verbindungslinien  der  Punkte 
einer  Geraden  mit  ihren  homologen  bilden  ein  hjperboli 
sches  Paraboloid.  —  Den  Punkten  P, Q  einer  Geraden  mögen  P', Q' 
als  homologe  entsprechen;  durch  PP'  denke  man  eine  Ebene  E  paral- 
lel QQ\  dann  werden  die  Geraden  PQ^  P'Q'  gegen  E  gleich  geneigt  sein, 
denn  PQ^=iP'Q\  und  die  Abstände  der  Punkte  ÖjP'  von  der  gedachten 
Ebene  sind  ebenfalls  gleich.  Ist  daher  B  ein  Punkt  der  Linie  PQ^  so 
muss  sein  homologer  R\  weil  durch  die  Relation  PR=sP'r'  bestimmt, 
eben  so  weit  von  E  entfernt  sein  wie  i?,  mithin  ist  R^  mit  E  parallel. 

§.  4.  Anwendimgeii. 

L  Benachbarte  Lagen  und  Bewegung  eines  starren 
Systems.  Jede  unendlich  kleine  Bewegung  eines  ebenen  Systems,  bei 
welcher  dasselbe  seine  Ebene  nicht  verlässt,  fällt  mit  einer  Drehung  um 
einen  bestimmten  Punkt  der  Ebene  zusammen;  die  Normalen  der  Bahn- 
elemente aller  Punkte  schneiden  sich  in  diesem  augenblicklichen 
Drehpunkt.     Wenn  das  System  fortfährt  sich  in  seiner  Ebene  zu  be- 


*)  Um  auf  zwei  windschiefen  Geraden  die  Punkte  des  kleinsten  Abstandes  an 
erhalten  y  beschreibe  man  um  eine  jede  dieser  Geraden  als  Axe  einen  Botations- 
cyllnder  und  halbire  das  Stück,  welche  diese  Fläche  auf  der  andern  begrenzt. 


Von  K.  KüPPBR.  21 


wegen,  nnd  man  verfolgt  den  Weg  des  jedesmaligen  Drehpunktes,  so 
bemerkt  man  eine,  durch  die  Natur  der  Bewegung  bestimmte  Curve. 
Aber  anstatt  die  absolute  Stelle  in's  Auge  bu  fassen,  welche  der  Dreh- 
punkt einnimmt,  kann  man  auch  die  Beihenfolge  derjenigen  Punkte  des 
bewegten  Systems  betrachten,  welche  successive  su  Drehpunkten  werden, 
und  als  Ort  für  diese  wird  man  eine  gewisse  Curve  finden,  welche  an 
der  Bewegung  des  Systems  Theil  ninmit  Betrachtet  man  die  absolut 
feste ,  und  die  mit  dem  beweglichen  System  verbundene  Curve  als  gege- 
ben, so  erhält  man  die  Bewegung  des  Systems  auch  dadurch,  dass  man 
die  Bweite  Curve  in  gewissem  Sinn  auf  der  ersten  rollen  lässt  und  mit 
jener  das  System  unveränderlich  verbindet 

Jede  unendlich  kleine  Bewegung  eines  Systems  um  einen  festen 
Punkt  fällt  mit  einer  Drehung  um  eine  bestimmte  durch  diesen  Punkt 
gehende  Axe  zusammen;  die  Normalebenen  fUr  die  Bahnelemente  aller 
Punkte  schneiden  sich  in  dieser  Axe.  Fährt  das  System  fort,  um  jenen 
festen  Punkt  sich  zu  bewegen,  so  erhält  man  fär  den  Ort  der  jedesmali- 
gen Drehaxe  einen  Kegel,  welcher  den  festen  Punkt  zur  Spitze  hat  und 
im  Räume  fest  ist  Verfolgt  man  aber  die  Geraden  des  Systems,  welche 
der  Beihe  nach  mit  den  Drehaxen  zusammenfallen,  so  bilden  diese  einen 
zweiten,  mit  dem  System  beweglichen  Kegel.  Die  Bewegung  des  Systems 
erhält  man  nun  auch  dadurch,  dass  man  den  beweglichen  Kegel  in 
gewissem  Sinne  auf  dem  festen  rollen  lässt  und  mit  jenem  das  System 
unveränderlich  verbindet. 

Endlich,  jede  beliebige  unendlich  kleine  Bewegung  eines  Systems 
kann  betrachtet  werden  als  zusammengesetzt  aus  einer  Drehung  um  eine 
gewisse  Gerade  als  Axe,  und  einer  Verschiebung  parallel  zu  dieser  Axe. 
Die  Bahnelemente  aller  Punkte  gehören  cylindrischen  Spiralen  an,  welche 
gemeinsame  Axe  und  gleiche  Ganghöhe  haben.  Stellt  man  sich  den  Ort 
der  Geraden  vor,  welche  der  Beihe  nach  Axen  werden,  einmal  im  abso- 
luten Baume,  sodann  im  beweglichen  System,  so  erhält  man  zwei  Begel- 
fiächen,  wovon  die  eine  über  der  andern  rollt  tind  zugleich  gleitet.  Denkt 
man  sich  diese  beiden  Flächen,  sowie  die  Bewegung  der  einen  gegeben, 
90  hat  man  ein  einfaches  Mittel,  die  wirkliche  Bewegung  des  Systems 
zu  erzeugen,  und  z.  B.  flir  jeden  Punkt  Geschwindigkeit  und  Beschleuni- 
gung, wie  auch  die  lebendige  Kraft  des  Systems  zu  berechnen. 

IL  Zusammenhang  zweier  Bewegungen.  Unterliegt  ein 
System  nacheinander  mehreren  Botationen  und  Verschiebungen,  so  han- 
delt es  sich  darum,  für  die  definitive  Deplacirung  die  Centralaxe,  die 
zugehörige  Drehung  und  Verschiebung  anzugeben.  Zur  Lösung  dieser 
Aufgabe  richtet  man  sein  Augenmerk  darauf,  die  gerade  Punktenreihe 
zu  ermitteln,  welche,  nachdem  sie  alle  Bewegungen,  denen  sie  unter- 
worfen war,  durchgemacht  hat,  schliesslich  wieder  in  der  Geraden  sich 
befindet,   in  welcher  sie  anfangs  war;  und  es  kommt  einzig  und  allein 


22  Die  geometrisclien  Gesetze  der  Ortsveränderang  etc. 

darauf  an,  das  Verlangte  für  zwei  derartige  Bewegungen  zu  leisten.  Von 
unserer  Betrachtung  schliessen  wir,  als  hinreichend  bekannt,  die  Znsam* 
mensetznng  von  blossen  Verschiebangen ,  und,  als  minder  wichtig,  den 
Fall  von  endlichen  Ortsverändernngen  ans,  fQr  den  die  allgemeine 
Methode  zwar  anwendbar  bleibt,  der  sich  aber  wesentlioh  von  dem  nnend- 
lieh  kleiner  Bewegungen  dadurch  unterscheidet,  dass  bei  jenem  die  Ord- 
nung, in  welcher  die  Zusammensetzung  vorgenommen  wird,  nicht,  wie 
bei  diesem,  gleichgültig  ist.  Der  für  die  Philosophie  der  Mathematik 
äusserst  wichtige  umstand,  dass  bei  der  Zusammensetzung  unendlich 
kleiner  Bewegungen  die  Art  der  Aufeinanderfolge  ohne  Einfluss  auf 
das  Resultat  bleibt,  leitet  uns  aus  dem  Gebiet  der  Geometrie  über  in 
das  der  Mechanik,  welche  coezistirende  unendlich  kleine  Bewegun- 
gen (die  von  gewissen  zugleichbestßhenden  Ursachen,  wenn  diese  einzeln 
thfttig  wären,  hervorgebracht  wttrden)  zu  einer  Gesammtwirkung  vereinigt; 
aber  es  ist  der  Beachtung  wohl  werth,  dass  die  liebere  in  Stimmung 
zwischen  den  Gesetzen  der  geometrischen  und  mechani-. 
sehen  Zusammensetzung  von  Bewegungen  durch  keinen 
Schluss  ä  priori  eingesehen  werden  kann,  dass  sie  hier, 
wie  überall  ein  eigentliches  Naturgesetz,  einen  der  Erfah- 
rung entlehnten  oder  ihr  anticipirten  Satz  constituirt. 

III.  Zusammensetzung  einer  Drehung  d(p  um  eine  Aze  a 
mit  einer  Verschiebung  dv^  deren  Richtung  einer  Geraden 
Q  parallel  ist,  die  mit  a  den  Winkel  co  bildet.  —  Um  die  Aze  a 
denke  man  einen  Umdrehungs-Cylinder ,  dessen  Kormalschnitt  den  Ra- 
dius q  hat,  beschrieben,  und  an  diesem  zwei  Berührungsebenen  parallel 
zu  G  gelegt.  Bei  der  Drehung  bleiben  die  Berührungsseiten  in  diesen 
Ebenen,  und  auch  noch  bei  der  Verschiebung;  eine  der  gedachten  Seiten 
bewegt  sich  vermöge  der  Drehung  um  i^4q>  in  einem  der  Verschiebungs^ 
componente  dv  sin  m  gerade  entgegengesetzten  Sinn ;  die  Grösse  ihres 
definitiven  Fortrttckens  ist  folglich:  qd<p — dv  sin  oo,  und  wird  Null,  wenn 
^  der  Bedingung  qdg>t=i  dv  sin  »  gemäss  angenommen  whrd«  Um  daher 
die  Centralaze  au  erhalten,  beschreibe  man  um  die  Aze  a  denjenigen 
Umdrehungs-Cylinder,  dessen  Punkten  dieRotationsgeschwindigkeit  dvsinm 
zukommt,  und  lege  in  diesem  je  nach  dem  Sinn  der  Drehung  eine  Be- 
rührungsebeite  der  Geraden  G  parallel;  dann  ist  die  Seite,  in  welcher 
die  Berührung  stattfindet;  Centralaze.  Die  Drehungsamplitude  ist  dtp, 
die  Verschiebung'  in  der  Richtung  von  c  \Bi  dv  cos  o>,  denn  die  mit  a 
zusammenfallende  Punktenreihe  des  Systems  wird  durch  diese  Bewegung 
ebenso  deplacirt,  wie  durch  die  ursprünglich  gegebene. 

Wenn  die  Richtung  von  dv  einen  rechten  Winkel  mit  a  bildet,  so 
findet  man  sofort  durch  Umkehrung  die  vielfach  brauchbare  Regel: 
Einer  gegebenen  Drehung  dq>  um  eine  Aze  c  kann  man  eine 
gleiche  Drehung  um    eine    beliebige  mit  c  parallele  Aze  « 


Von  K.  Küpper.  23 


snbstituiren,  wenn  man  mit  dieser  noeh  eine  normal  gegen 
die  Ebene  beider  Axen  gerichtete  Verschiebung  verbindet, 
velche  gerade  hinreicht,  um  die  durch  die  zweite  Drehung 
aas  ihrer  Lage  gebrachte  Axe  c  wieder  in  dieselbe  zurück- 
zuführen. 

Zur  üebung.  Relative  Bewegung  eines  Systems  Sj  welches  mit 
einer  der  Grösse  und  Richtung  nach  unveränderlichen  Oeschwindigkeit 
V  fortschreitet,  gegen  den  mit  constanter  Winkelgeschwindigkeit  q>  um 
eine  feste  Axe  a  rotirenden  Raum  B,  Aufgabe  ist,  den  Ort  derjenigen 
Punkte  des  Raumes  R  zu  charakterisiren ,  welche  successive  mit  denen 
des  Systems  S  zusammenfallen,  der  Vorstellung  gleichsam  die  Spur  zu 
zeigen,  welche  S  in  B  zurücklässt.  Hierzu  benutzen  wir  den  bekannten 
Grundsatz,  wonach  die  relative  Bewegung  zweier  Körper  nicht  gestört 
wird,  wenn  man  beiden  eine  gemeinschaftliche  Bewegung  mittheilt. 
Fügen  wir  nun  den  vorhandenen  Bewegungen  eine  Rotation  hinzu,  welche 
der  des  Raumes  B  geradezu  entgegengesetzt  ist  und  mit  derselben  Ge- 
schwindigkeit dip  vor  sich  geht,  so  gelangt  B  fiir  eine  unendlich  kurze 
Daner  di  zur  Ruhe,  die  relative  Bewegung  von  S  wird  zu  einer  absolu- 
ten und  diese  ist  in  jedem  dt  zusammengesetzt  aus  der  Drehung  —  d<p 
und  der  Verschiebung  dv.  Beide  Bewegungen  lassen  sich  nach  dem 
Vorigen  durch  eine  Drehung  von  gleicher  Grösse  und  gleichem  Sinn  um 
eine  mit  a  parallele  Axe  c  und  eine  Verschiebung  in  der  Richtung  die- 
ser Axe  ersetzen,  und  welchen  Moment  man  auch  zur  Bestimmung  von  c 
wfthlen  möge,  c  wird  seine  Lage  im  absoluten  Räume  nicht  ändern; 
dahingegen  wird  die  mit  c  zusammenfallende  Punktenreihe  des  Raumes  /?, 
je  nach  dem  gewählten  Moment  jedesmal  eine  andere  sein.  Denkt  man 
sich  nämlich  im  Räume  B  einen  Ümdrehungs-Cylinder  (i,  welcher  c 
zur  Axe  und  a  zur  Seite  hat,  so  wird  nach  jedem  di  eine  neue  Seite 
dieses  Cylinders  mit  c  zusammenfallen.  Aehnlicher weise  werden  die  Ge- 
raden des  fortschreitenden  Systems  Sy  welche  gleichzeitig  mit  jenen  Cj- 
linderseiten  sich  in  c  befinden,  in  S  eine  Ebene  E  zum  Ort  haben, 
welche  mit  v  parallel  ist  und  den  Cylinder  q  in  der  Seite  c  berührt. 

Stellen  wir  uns  demnach  vor,  der  Cylinder  q  sei  mit  dem  Räume  B 
fest,  die  Ebene  E  wälze  sich  über  seiner  Oberfläche,  indem  sie  zugleich 
in  der  Richtung  von  c  fortgleitet  und  S  sei  mit  E  unveränderlich  ver- 
bunden, so  nimmt  das  System  eine  Bewegung  an,  welche  mit  der  zu 
suchenden  relativen  im  Räume  B  identisch  ist.  Jede  Gerade  von  5, 
welche  a  parallel  ist,  besehreibt  eine  cylindrische  Fläche,  deren  Normal- 
selinitt  eine  gewöhnliche,  gestreckte  oder  verkürzte  Evolvente  des  Krei- 
ses ist,  welcher  den  Normalschnitt  von  q  darstellt,  zugleich  verschieben 
sich  die  Punkte  einer  solchen  Geraden  in  derselben  um  dv  cos  cd.  Jede 
Gerade  von  5,  welche  in  j^  liegt,  behält  ihren  kürzesten  Abstand  von 
der  Cylinderaxe  bei  und  berührt  den  Cylinder  fortwährend  in  Punkten 


24  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

einer  leicht  zu  bestimmenden  Schranbenlinie ;  diese  Schranbenlinie  wird 
ein  Kreis  für  alle  Geraden,  welche  die  Bichtnng  t;  haben,  deshalb  be- 
schreiben die  bezüglichen  Geraden  Botationshjperboloide;  die  übrigen 
Geraden  von  S  beschreiben  im  Allgemeinen  windschiefe,  bei  einer  be- 
sondern Lage  jedoch  anch  abwickelbare  Schranbenflächen.  Die  relative 
Trajektorie  eines  Punktes  ist  eine  Art  Spirale  auf  einem  Kreisevolven- 
ten-Cylinder  nnd  kann  auch  als  Durchschnitt  eines  solchen  Cylinders 
mit  einer  abwickelbaren  Schraubenfläche  construirt  werden.  —  Nimmt 
man  die  Richtung  der  Bewegung  von  S  normal  gegen  die 
Axe  a  an,  so  erhält  man  die  Basis  für  die  Theorie  der  Kreis 
evolventen- Verzahnung. 

IV.  Zusammensetzung  zweier  Drehungen  dfi,  dv^  um- 
parallele  Axen  m,  n.  um  die  Axen  m,  n  denke  man  zwei  Um- 
drehungs-Cylinder,  welche  sich  in  der  Weise  berühren,  dass  ihre  zusam- 
menliegenden Seiten,  indem  sie  den  betreffenden  Drehungen  folgen,  in 
entgegengesetztem  Sinn  auseinandertreten.  Wenn  nun  die  Radien  ^,^' 
der  Normalschnitte  beider  Cjlinder  so  gewählt  sind,  dass  ^dfi=r:^'cfv, 
so  wird  die  Berührungslinie,  wenn  sie  nacheinander  beide  Drehungen 
vollzieht,  wieder  in  ihre  anfängliche  Lage  gelangen;  sie  ist  mithin  die 
Centralaxe  c.  Was  die  Amplitude  der  resultirenden  Drehung  betrifft, 
so  sei  diese  (/^;  weil  nun  n  durch  Drehung  um  m  ebensoi  deplacirt  wer- 
den muss,  wie  durch  Drehung  um  c,  so  ist  entweder: 

(q  +  (/)  dfi  =  ^'rf^,  oder  +  (q — g)  d(i=sQdilf 
je  nachdem  c  zwischen  m  und  n  liegt,  oder  über  m,  oder  über  n  hinaas. 
Der  Kürze  wegen  setzen  wir  im  Folgenden  stets  voraus,  dass  die  resul- 
tirende  Drehaxe  zwischen  die  gegebenen  Axen  falle,  eine  Voraussetzung, 
welche  die  Allgemeinheit  unseres  Verfahrens  nicht  beeinträchtigt.  Man 
hat  gleicherweise 

(9  +  9)  dv=s(^d'ilß\  daher  l)  Qdfir=z(fdv;  und  2)  d^  =  dft  +  dv 
Woraus  folgt,  dass  die  Centralaxe  den  Abstand  der  Axen  m,n  im  umge- 
kehrten Verhältniss  der  Drehungs- Amplituden  dfiy  dv  theilt;  oder  die 
Centralaxe  hat  die  Richtung  der  Resultante  zweier  in  m^n 
wirkenden  Kräfte,  von  den  Intensitäten  dfi,  dv;  die  zuge- 
hörige Drehung  hat  eine  Amplitude,  welche  dieser  Resul* 
tauten  gleich  ist. 

Zur  Uebung.  Die  Bewegung  eines  ebenen  Systems,  von  dem  ein 
bestimmter  Kreis  (itf,  Radius  g)  auf  einem  absolut  festen  Kreise  (jY,  Ra- 
dius g)  rollt,  fällt  in  jedem  Moment  mit  einer  Drehung  um  den  Be- 
rührungspunkt beider  Kreise  zusammen;  denn  das  gedachte  System  lässt 
sich  immer  aus  einer  Lage  in  die  benachbarte  durch  zwei  suocessive 
Drehungen    beziehlich   um   die  Punkte   M^N  überführen,   und  wenn  df» 

die  Amplitude    der  ersten  Drehung   ist,  so  wird  ^-r-   die    der  zweiten 


Von  K.  Küpper.  25 


sein;  der  AOgenblickliclie  Drehpunkt  C  theOt  demnach  die  Linie  MN  in 

dem  YerhältniBs  q  :  q\  die  resuitirende  Amplitnde  iflt  (1  +  ^)  (^(o,    je 

nachdem  der  rollende  Kreis  sich  ausser  oder  innerhalb  des  festen  befindet« 

Das  Bahnelement  für  irgend  einen  Punkt  P  wird  PC  (1  +•  •^)  rf»,  und 

man  sieht,  dass  die  Rektifikation  der  von  P  beschriebenen  Cunre  auf  die 

Ermittelung  des  Integrals  iPCdm  hinausläuft     Ohne  analytische  Hülfs- 

mittel  in  Anspruch  su  nehmen,  kann  man  sich  über  die  Natur  dieses 
Inte^als  auf  folgende  Weise  Aufklärung  verschaffen.  Liegt  der  rollende 
Kreis  in  dem  festen ,  und  ist  ^  ==  |  ^'i  so  wird  das  Differenzial  der 
von  P  beschriebenen  Curve  ^PCdcOy  und  da  diese  Linie  bekanntlich 
entweder  ein  elliptischer  Bogen  {P  ausserhalb  des  rollenden  Kreises), 
oder  eine  gerade  Linie  {P  im  Umfang  dieses  Kreises)  ist,  so  erhellt 
dass  die  Rektifikation  der  gestreckten  und  verkürzten  Cj- 
kloiden  aller  Art  durch  ein  elliptisches  Integral  zweiter 
Gattung,  die  der  gewöhnlichen  Cykloiden  einfach  durch 
eine  Kreisfunktion  bewerkstelligt  wird«  Auf  diesem  Wege 
kommt  man  am  schnellsten  zu  den  von  Pascal  herrührenden 
Sätzen  über  gleiche  Ellipsen  und  Cykloidenbögen. 

Y-  Zusammensetzung  zweier  Drehungen  dfij  dv  um  zwei 
Axen  m,  n,  welche  sich  in  einem  Punkte  0  schneiden.  Um 
diese  Axen  denkt  man  zwei  sich  berührende  Umdrehungskegel  der  Art, 
dass  ihre  beiden  zusammtofallenden  Seiten,  indem  sie  den  betreffenden 
Drehungen  folgen,  in  entgegengesetztem  Sinn  sich  bewegen.  Wenn  nun 
die  Radien  ^,^'  zweier  sich  berührenden  Kreisschnitte  dieser  Kegel  so 
angenommen  sind,  dass  ^(ffi  =  ^'(fv,  so  wird  ihre  Berührungslinie,  wenn 
sie  nacheinander  beide  Drehungen  vollzogen  hat,  wieder  in  ihrer  anfäng- 
lichen Lage  sein.  Diese  Linie  ist  also  Centralaxe.  Die  Amplitude  dfp 
der  resultirenden  Drehung  kann  danach  bestimmt  werden,  dass  ein  be- 
liebiger Punkt  M  der  Axe  m  durch  diese  Drehung  in  dieselbe  Lage  ge- 
langt, wie  durch  die  Drehung  dv  um  die  Axe  it,  d.  h. 

OMsm  m  dif=  OM sin  cdv,  oder  ON sin  (ä — c»)  dilß=  ONsin  adfi. 

Auch  hier  stellt  sich  heraus,  dass  die  Centralaxe  mit  der 
Resultanten  zweier  in  f7i,n  wirkenden  Kräfte  dfi,  dv  zusam- 
menfällt, und  dass  die  Amplitude  der  resultirenden 
Drehung  dieselbe  Grösse  d^  zum  Maas  hat,  wie  jene  Re- 
sultante. 

In  den  mitgetheilten  Sätzen  tritt  eine  merkwürdige  Analogie  zwi- 
schen der  Znsammensetzung  von  Kräften  und  von  Rotationen  zu  Tage. 
Da  wir  an  einer  andern  Stelle  Gelegenheit  haben  werden,  darauf  zurück- 
zukommen, so  genüge  hier  die  Bemerkung,  dass  Poinsot,  indem  er  den 


26  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsver&ndemng  etc. 

glllcklieheii  Gedanken  der  Aequivalens  einer  Verseliiebang  oder  Trans- 
lation und  eines  sogenannten  Drebnngspaars  (d.  i.  zweier  saccessiven, 
gleichen,  aber  entgegengesetzten  Drehungen  nm  parallele  Axen)  darcb- 
führte,  eine  ToUkommen  gleichartige  Behandlung  der  Statik  nnd  Dyna- 
mik ermöglichte  und  anbahnte.  Es  verdient  hervorgehoben  zu  werden, 
dass  die  erwähnte  Analogie  keineswegs,  wie  man  auf  den  ersten  Blick 
vermnthen  möchte,  neben  die  Yerschiebung  die  einfache  Kraft,  neben  die 
Drehung  das  Kräftepaar  stellt,  dass  sie  im  Gegentheil  die  Kraft  der  Ro- 
tation, das  Kräftepaar  (die  Axe  desselben)  der  Translation  entsprechen  lässt. 
Wir  gehen  auf  die  Zerlegung  von  Rotationen  in  andere,  als  eine 
durch  das  bisher  Gesagte  eigentlich  schon  erledigte  Aufgabe,  nicht  näher 
ein,  und  wenden  uns  zu  einer  Untersuchung,  welche  die  momentane  Be- 
wegung eines  Systems  von  einer  neuen  Seite  zeigt,  und  uns  gestatten 
wird,  der  Lehre  von  der  Zusammensetzung  von  Bewegungen  gegenüber 
einen  hohem  Standpunkt  zu  gewinnen. 

VI.    Von  der   Zusammensetzung    zweier    Drehungen   dfc 
dv,  nm  windschiefe  Axen  m,  n, 

1)  Man  ziehe  die  auf  m  und  n  normalstehende  Gerade  MN  (Taf.  I, 
Flg.  4.)  (die  Linie  des  kürzesten  Abstandes),  ihre  Länge  sei  e.  Durch 
den  Punkt  N  ziehe  man  tn  ||  m,  so  lässt  sich  statt  der  um  m  erfolgenden 
Drehung  d(i  eine  um  die  die  Axe  m  erfolgende  Drehung  von  gleicher 
Amplitude  und  gleichem  Sinn  substituiren,  wenn  nur  zu  dieser  noch  eine 
Verschiebung  sich  gesellt,  die  normal  gegen  die  Ebene  mm  gerichtet  ist 
und  deren  Maas:  ed^.  Die  beiden  jetzt  bestehenden  Drehungen  um  m' 
und  n  geben  eine  resultirende  Drehung  d^  um  eine  gewisse,  in  der 
Ebene  mm'  liegende  und  durch  den  Punkt  N  gehende  Axe  o.  Bezeich- 
nen wir  die  Winkel  m'c\  m'n^  d.  h.  welche  von  den  Geraden  m\c  und 
m\n  gebildet  werden,  mit  o,  er  so  ist: 

i\  j      •  j      •    /         \     «\  j  .        dv  sin  a         d^  Hn  a 

l)  d(ismm=zdv  stn  (a— w);  2)  d^  =  =  —j——^- 

sm  09  sm  ^a— üi^ 

Aber  die  Drehung  dip  um  c ,  vereinigt  mit  der  Verschiebung  ed^t  fährt  auf 

eine  Drehung   dr^f  um  eine  mit  c  parallele  Axe  c,  combinirt  mit  einer 

zu  c  parallelen  Verschiebung,  deren  Grösse:  edficos('^ <o)  =  edfi  sm  a. 

Daraus,  dass  die  Richtung  von  ed\k  einen  rechten  Winkel  mit  Mü  bildet, 
folgert  man  leicht,  dasff  c  die  Linie  MN  in  einem  Punkte  C  treffen  muss, 
der  je  nach  dem  Sinn  von  dyi.  entweder  auf  der  Strecke  M'N^  oder  auf 
deren  Verlängerung  liegt,  jedoch  stets  so,  dass 

CNd'^  =  ed(i  cos  ». 
Setzen  wir  CM  =9  ^,  CN=s  q,  bo  folgt: 

,  ,  ,  ,        ,       du  sin  ta  cos  m  cos  m  sin  (a  — ») 

Q  dibs=sedu  cos  (o,  also  p  =  -r : =  « : — ^^ 

^  ^        dv        stn  a  sm  cc 


Von  K.  Küpper.  27 


,  ,  9inm  C0$  (a—üo)     ,  _  ,    q  lang  a 

und:    o  =  «  — p  =  e r-^ -:  daher:  3)  — ,== -^ r. 

$mtt  ^  Q       iang(a^») 

2)  Constrnktion  der  Centralaxe  c.  Die  horisonfide  Projek- 
üonaebene  (Fig.  YII)  sei  durch  MN  normal  auf  m  gelegt,  die  Vertikal- 
Ebene  gehe  dnrch  m  und  sei  mit  n  parallel ;  n\n  seien  die  Projektionen 
von  n,  durch  die  Gerade  c'  werde  der  Winkel  PMO  =  a  in  «wei  Theile 
19,  tt--««  getheilt,  deren  Sinns  in  dem  umgekehrten  Verhiltaiss  der  Win- 
kelgeschwindigkeiten cfj»,  dv  stehen;  dann  ist  c"  die  Vertikal-Projektion 
der  Axe  c.  Ihre  Horizontal-Frojektion  an  bestimmen,  ziehe  ich  anf  e' 
eine  beliebige  Normale  Pli'^\  betrachte  dieselbe  als  Vertikal-Projektion 
einer  Geraden,  welche  sich  an  die  Azen  m,»  in  den  Punkten  jP,jß  an- 
lehnt, deren  Horizontal-Frojektion  mithin  MQ'  ist.  Ich  behaupte,  dass 
die  Linie  PQ  auch  einen  Funkt  B,  mit  der  Äxe  c  gemein  hat;  E^^Pk 
müssten  dann  die  Projektiosien  Yon  R  sein  und  das  Behauptete  ist  be- 
wiesen, wenn  ich  zeige,  dass  die  Linie  XC^  die  ich  mit  n  parallel  ziehe, 
die  Horizontal-Frojection  von  c  ist,     Nach  Gleichung  3)  bedarf  es  nur 

des  Nachweises,  dass  -77-^-  = 7 r;  und  die  Figur  zei^  sofort,  dass 

CN      iang  («— a>)'  ^         ^  ' 

diese  Gleichung  durch:      >^^=: r" ^>  welche  in   der  That  erfüllt 

ist,  mitbedingt  wird.  Hiermit  ist  unsere  Aufgabe  erledigt,  zugleich  er- 
sieht man,  dass  die  zü  Hülfe  genommene  G^ade  PQ^  da  ihre  Vertikal- 
Projection  auf  e"  normal,  c'  aber  mit  c  parallel  ist,  die  Centralaxe  in 
dem  Punkte  R  unter  rechtem  Winkel  schneidet:  Die  Geraden  tn^n^c 
gehören  folglich  zu  der  einen  Schaar  von  Seiten  eines  hy- 
perbolischen Paraboloid'Sj  von  welchem  die  Seiten  der  an- 
dern Schaar,  wie  Pjß,  mit  c  einen  rechten  Winkel  bilden. 

3)  Identität  einer  willkürlichen  unendlich  kleinen  Be- 
wegung eines  starren  Systems  mit  zwei  succesiveen  Dre- 
hungen um  windschiefe  Axen  (Fig.  VIII).  Wir  setzen  voraus, 
dass  die  gegebene  Bewegung  zurückgeführt  sei  auf  eine  Drehung  e/if; 
nm  die  Centralaxe  c,  und  eine  Verschiebung  df/*,  parallel  dieser  Axe. 
N  sei  ein  helaebiger  Punkt  des  Systems,  die  Linie  NC  sei  normal  auf 
der  Centralaxe*  Durch  den  Punkt  N  ziehen  wir  N^'  zu  c  parallel,  so 
ist  die  Torliegende  Bewegung  zu  ersetzen  durch  eine  Drehui^  d^  um 
die  Axe  If^'  vereint  mit  einer  Verschiebung ,  welche  aus  der  gegebenen 
df  und  der  vermöge  der  ursprünglichen  Drehung  erfolgenden  Bewegung 
CNd^  des  Punktes  N  geometrisch  zusammengesetzt  ist.  Diese  ilesul- 
taate  (die  Axe  der  Translation  für  N)  sei  NN'.  Nnn  zerlegen 
wir  iV'^',  das  Maas  von  <f^',  in  zwei  Componenten  Nv^=^dv^  Nii^ssdfik, 
wovon  die  letztere  normal  auf  der  Ebene  CNN'^  die  erste  beliebig,  na- 
t&rlioherweiee  aber  in  der  dnrch  Nif/  und  N(i  gelegten,  auf  €N  norma- 
len Bbene  enthalten  ist    Die  Drehung  Nfi\  verbunden  mit  der  anf  ihr^r 


2S  Die  getrmetxificlieii  Getetea  der  OrtoTcriademig  ete. 


■St  JTin'  parallele  Axe  ifi»«  ao  daaa  e&flkk  £e  giegebeae 

»rei  DrelmrfjgeB  ^i»,  dw  vm  iß^  Axea  Jffi  oder  »,  Vv  oder 

ipalttrt  iat«    Dieae  Axes  aesaeA  vir  Ge^eamxeii,  die  Psmkte 

JffJTy  die  Esdpitiikte  dea  kleiaatea  AbatmAdasviaelieA  ikftea, 

Gefespattkte« 

Kaa  beaMvkt,  daaa  eine  aoldw  Axe  (wie  Mfi)  aut  der  Tranglitiniii 
ase  ihtea  Cegegpaakfaa  (3')  eiaen  rechte»  YTt^uk  bQdet,  ud  wen  da- 
her •  der  Wiakel  iat,  vater  welchem  Jff^  (oder  J^fT)  ge^ea  die  Axe 
c  tUk  wAgt^  ao  iat  diea  d^aelbe,  dea  Nif  aut  der  Bichtnng  toa  CSdi^ 
eiaarhlieaat;  fol|;iiefa: 

*^*  =  CM^-  ••*> 
«  hia|;t  aoant  Toa  der  La^e  dea  Pimktea  ilT,  aieht  aber  Ton  der  Axe  Np 
ab;  dieaer  letzteren  genUbM  beatiaunt  aidi  aber  die  La|^  dea  Paaktea  Jf. 
Weaa  ilTi^  alle  mOg^iehm  La^ea  (normal  aaf  CN)  anaiaunft,  ao  beachceibt 
gleiehzettig  der  Punkt  M  die  nnendlich  Terllngerte  Gerade  NC^  die  Axe 
M^  bleibt  dabei  in  einer  Ebene,  welche  mit  e  den  Winkel  m  bfldet 
Um  bei  einer  beaondem  La^e  Ton  Nv^  die  dnrch  den  Winkel  u  beatimmt 
aei,  welchen  iVv,  MfL  bilden  aollen,  den  Punkt  M  za  bestimmen,  hat 


auch: 


Alao  nach  1)   MNdft,  =  CNd^ß  / i  +  umg a^ z=^^^^. 

Weil  aber,  in  Folge  der  Zerlegung  von  d^,  —  =-— -,  ao  ist 

MN  __  $in€c  iang  (o  +  iang  {a — (o) 

CN       COM  m  sin  (« — cd)  iang  (« — a) 

,  - .               CM       iang{u—m)         ,      ^  ^                  df  . 

mithin:  ^rr:  =  — p ^,  und:    C M  =z  - — - — '-- ...  2) 

Es  genügt  auf  die  bei  der  Constmktion  von  c  vorkommende  Betrach- 
tung hinzuweisen,  um  den  Satz  aufstellen  zu  können,  dass  irgend  zwei 
Gegenaxen  m^n  nebst  der  Centralaxe  c  einem  hyperbolischen  Paraboloid 
als  Seiten  angehören,  in  welchem  die  eine  Schaar  von  Geraden  aufe, 
die  andere  auf  der  Geraden  NM^  in  welcher  die  kürzesten  Abstände  von 
m^  Cf  n  liegen,  normal  ist« 

4)  Eigenschaften  der  Gegenaxen.  Ehe  wir  diese  Auseinan- 
dersetzung beginnen,  müssen  wir  in  Kürze  des  Falles  Erwähnung  thnn, 
bei  dem  es  sich  um  die  Gegenaxe  einer  Geraden  m  handelt,  welche  die 
Oentralaxe  schneidet.  Zunächst  ist  klar,  dass,  wenn  der  Winkel  mc  ein 
Beehter  ist,  von  ober  Zerlegung  der  Drehung  dt^  nach  der  Axe  m  nicht 
die  Rede  sein  kann,  also  auch  nicht  von  einer  Gegenaxe;  wenn  femer 


Von  K.  Küpper.  29 

derselbe  Winkel  3=  Null  ist,  oder  m  |]  c,  so  gehört  sn  der  Drehung  d^ 
nm  «1  noeb  eine  parallele  Verschiebung,  die  auch  ab  eine  Drehung  um 
eine  unendlich  ferne  Aze  angesehen  werden  darf.  Im  Allgemeinen  zer- 
lege man  dtp  in  zwei  Componenten,  wovon  die  eine  m  zur  Axe,  die 
zweite  eine  auf  c  normale  Axe  hat.  Diese  letztere  liefert  in  Verbindung 
mit  der  Verschiebung  df  eine  Drehung  um  eine  Axe  n ,  welche  einmal 
in  einer  im  Durchschnittspunkt  von  m^c  auf  c  normalstehenden  Ebene, 
sodann  in  einer  der  Ebene  mc  parallelen  Ebene  liegen  muss.  Hiemach 
kehren  wir  zu  den  Oegenaxen  myti  zurück,  die  wir  in  der  vorigen  Num- 
mer näher  bestimmt  haben.  Die  Punkte  M^NjC^  die  Winkel  a,fD  nehmen 
wir  in  derselben  Bedeutung,  wie  dort,  und  bezeichnen  der  Kürze  wegen 
die  im  Punkte  N  auf  NC  normale  Ebene  in  der  Folge  stets  mit  % 

Wir  fanden,  dass,  wofern  die  Gerade  n  in  der  Ebene  fit  bleibt  und 
fortwährend  den  Punkt  N  enthält,  ihre  Gegenaxe  m  einen  constanten 
Winkel  o  mit  c  bildet,  sonst  aber  ihre  Lage  dergestalt  ändert,  dass  sie 
eine  durch  NC  gehende  Ebene  beschreibt.  Der  Reihenfolge  von  Lagen, 
in  denen  die  Geraden  m,ii  Gegenaxen  sind,  entspricht  eine  Schaar  von 
hyperbolischen  Paraboloiden ,  welche  dieselbe  (auf  c  normale)  Richtebene, 
sowie  zwei  Seiten  {c  und  die  Gerade  NC)  gemein  haben.  Diese  Para- 
boloide  können  dazu  dienen,  um  der  Vorstellung  die  Anordnung  der 
möglichen  Gegenaxen  zugängig  zu  machen,  und  wir  werden  zeigen,  dass 
in  einem  solchen  Paraboloid  unendlich  viele  Paare  von  Ge 
genaxen  liegen,  dass  für  ein  solches  Paar  dasRechteck  aus 
den  Entfernungen  der  beiden  Axen  von  c,  ebenso  wie  das 
Produkt  aus  den  Tangenten  der  Winkel,  welche  sie  mit  c 
bilden,  constant  ist.  ^ 

In  dem  Paraboloid,  welches  c^m^n  enthält,  seien  f,r  zwei  zur  selben 
Schaar  wie  m^n  gehörige  Seiten,  S,T  seien  die  Punkte,  in  welchen  sie 
die  Gerade  MN  schneiden,  «  heisse  der  Winkel  sty  m  der  Winkel  «c, 
dann  ist 

CS fang  w' 

CT '^ fang  (a— »/ 

Wenn  nun  zwei  Drehungen  dc^  dx  um  8,i  als  Axen  vorliegen,  der- 
art, dass  da  X  dx  =  sin  (a — m)  :  sin  »,  so  wird  die  resultirende  Central - 
axe  mit  c  parallel  werden.  Damit  zugleich  die  resultirende  Drehung 
^  dip  werde,  muss  sein 

ds  sind  ,  ,  .    dx  sin  d        ^  . 

^  {»'^^'\  =  ^^'   ^^®'  *^^*^      ^^«/    =d^...,  3) 
stn  ya  — »  )  Sin  cd 

und  damit  ferner  die  resultirende  Axe  mit  c  zusammenfalle, 

CTd'tlf  =  STdif  cos  €9  ....  4) 

Endlieh  damit  die  resuhirenden  Verschiebungen  identisch  seien,  ist 

erforderücfa : 

STda  sin  m  s=  e<f^  sin  a  ,  .  .  b) 


30  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderang  etc. 

Ple  Gleiehnngen  4),  5)  transformire  ich  durch  EinfÜhnuig  von 
esssff  +  q\  and  durch  Benutzung  der  Proportioa:  q  +  q  :  q  gs:^  iang  o 
+  tang  (a — m)  :  tang  (a — al)  =  sin  a  :  cos  »  sin  (a— o).     Es  entsteht: 

ST  da  sm  a/  ^=:  o  da  iang  co  —. — ; r;   daher  nach  4): 

^    ^     ^      sm  (a—my  ^ 

CT  lang  m  d'ü>  =  o  du,  iang  <o  - — ; -\  und  weil: 

^  ^        ^    ^      ^      sm  (a— »)' 

f  tang  co 
d^idii  =  sin  a  :  sin  (a— ©),  so  folgt:  CT=iq  — ^—7  . . .  • .  6) 

Mit  Hülfe    der   Gleichungen    ^  :  ^'  =  iang  n  :  iang  («— o>),  CS:CT= 
=  iang  m  :  lang  (a — m)  ergieht  sich : 

CS=Q  ^    ^.\ r,....7) 

^  1ang{a — co) 

Hiernach  kann  der  Punkt  Ty  oder  die  Aze  i  willkürlich  angenom- 
men werden,  der  Winkel  ci\  den  die  Gegenaze  s  mit  c  hüdet,  ist  dann 
nach  6)  bestimmt;  und  durch  diesen  Winkel  hat  man  sogleich  5;  denn 
in  dem  betrachteten  Paraboloid  ist: 

CS  :  Qc=:  iang  m' :  iang  10 ....  8) 
Endlieh  folgt  aus  7)   und  8)   die  2ur  Bestimmung  von  Gegenaxen 
bequeme  Besiehnng: 

CS,CTzsaqq\  die  erste  der  behaupteten  Eigenschaften. 
Sie  enthält  nach  6)  und  7)  die  zweite: 

iang  m  iang  («--«)  =  iang  fo  iang  (a — m)* 

b)  Die  Gleichungen  3),  4),  5)  beziehen  sich  nicht  blos  aiif  G^en- 
axen  in  einem  bestimmten  Paraboloid,  sondern  sie  enthalten  ganz  allge- 
meine Eigenscl^ften  dieser  Linien.   Wendet  man  nun  auf  5)  die  Formeln: 

d^sinfo      «  d^  sin  uo 

dx  =  —^, — -, — :  dv  ==  — -J-: 

sma  stn  cc 

an,  so  kommt:  STda  dt  sin  a  =rs  edfi  dv  sin  et, .  , .  ti) 

Denken  wir  uns  auf  den  Axen  s^i  die  Stücke  cftf,  dt  abgeschnitten, 
und  ein  Tetraeder  gebildet,  welches  zu  gegenüberliegenden  Seiten  eben 
diese  Stücke  hat ,  so  drückt  die  linke  Seite  der  Gleichung  9)  den  sechs- 
fachen Inhalt  dieses  Tetraeders  aus;  ähnliches  gilt  für  die  rechte  Seite 
in  Bezug  auf  die  Stücke  dfi^  dv  in  den  Axen  m,n:  Wie  man  auch 
die  gegebenen  Drehungen /fjit,  dv  durch  zwei  andere  ersetzen 
mag,  stets  bleibt  das  Tetraeder,  welches  die  auf  den  Dreh- 
axen  abgetragenen  Maasse  dieser  Drehungen  zu  gegenüber- 
liegenden Seiten  hat,  von  unveränderlichem  Inhalt.  Dieser 
Satz  ist  das  Analogen  des  bekannten  Chasles'sehen  Satzes  ttber  zwei 
einem  Krä^tesystem  aequivalente  Ejrttfte. 

c)  Der  Winkel  a,  den  zwei  in  einem' bestiipmten  der  rorhin  er* 
wähnten  Paraboloide  liegende  Gegenaxen  einschliessen,  ändert  sich  im 
Allgemeinen  von  einem  Paar  zum  andern,  denn  sonst  würde  die  Gleichung 


Von  K.  Küpper.  31 


tang  a  =  - — ^ -^-^^ ^  wegen   der  Constanz  des  Wetthea  von 

1  —  iang  c»  iang  (« — ») 

loM^  o>  iang  (a — coi)  anf  einen  bestimmten  Werth  von  m  führen ,  was  offen- 
bar  nicht  möglich    ist.     Jedoch    bildet    eine    Ausnahme  der   Fall,    wo 

7t 

lang  a  lang (a— ©)  i=  1  oder  «=:--.  Erinnert  man  sich  daran,  dass,  wah- 
rend die  Aze  n  sich  in  der  Ebene  9t  nm  den  Punkt  N  drehte,  ihre 
Gegenaxe  m  sich  selbst  parallel  blieb,  dabei  mit  der  Translationsaze  N^ 
einen  rechten  Winkel  bildete,  so  gewahrt  man,  dass,  wenn  n  mit  dieser 
Translationsaze  zusammenfällt,  und  nur  dann,  ihre  Oegenaze  m  mit  ihr 
einen  rechten  Winkel  bildet.  Stellen  wir  uns  mithin  das  Paraboloid  her, 
in  welchen  jetzt  m,n,c  Seiten  sind,  so  sind  in  diesem  irgend  zwei  Gegen- 
azen  normal  gegen  einander  gerichtet  und  sie  fallen  zusammen  mit  den 
Translationsazen  ihrer  der  Centralaze  zunächst  liegenden  Punkte.  In 
keinem  der  andern  Paraboloide  gibt  es  zwei  unter  rechtem  Winkel  ge- 
neigte Gegenazen. 

Eigentlich  versteht  es  sich  von  selbst,  dass  zwei  Gegenazen  dadurch 
charakterisirt  sind,  dass  die  Wegelemente  (Translationsazen)  der  Punkte 
der  einen  normal  gegen  die  andere  gerichtet  sind;  j^eil  aber  der  direkte 
Beweis  dieser  Eigenschaft  sehr  einfach  ist,  so  fügen  wir  ihn  hier 
noch  bei. 

Nv  ist  die  Aze  n,  NN'  die  Translationsaze  von  jY,  N(i  mit  tfi,  Nfj/ 
mit  c  parallel;  diese  verschiedenen  Geraden  liegen  in  der  Ebene  91  und 
Winkel  N'N^i  ist  ein  rechter.  Nun  ist  das  Wegelement  des  Punktes  v 
die  Resultante  von  NN'  und  einer  Drehung  um  die  Aze  iVif;',  und  die 
letztgenannte  Componente  ist  normal  gegen  die  Ebene  ^'Nvy  d.  h.  pa- 
rallel der  Geraden  NC]  folglich  ist  die  in  Rede  stehende  Resultante  der 
Ebene  CNN'  parallel,  oder  gehört  einer  auf  NfA  (m)  normalen  Stel- 
lung an. 

5)  Hier  ist  der  Ort,  einige  Sätze  aufzustellen,  welche  mit  gewissen, 
von  Mob  ins  in  seiner  Statik  mitgetheilten  die  grösste  Aehnlichkeit  haben. 
Damit  aber  diese  eigenthümliche  Verwandtschaft  zwischen  dem  Gegen- 
stande nach  wesentlich  verschiedenen  W&hrheiten  recht  sichtbar  hervor- 
trete, bediene  ich  mich  der  von  Möbius  gebrauchten  Namen: 

Unter  Nullebene  des  Punktes  N  soll  die  Ebene  verstanden  werden, 
welche  in  N  normal  auf  der  Translationsaze  ■NN'  von  N  ist.  Dieselbe 
enthält  nach  Früherem  die  Gegenaze  einer  jeden  durch  N  gehenden  auf 
NC  normalen  oder  in  92  liegenden  Geraden. 

Nullpunkt  einer  Ebene  E  heisst  derjenige  Punkt  von  E^  dessen 
Translationsaze  normal  auf  E  ist.  Diese  Definition  verlangt  eine  beson- 
dere Rechtfertigung.  Wenn  £  die  Centralaze  schneidet  und  zugleich  auf 
ihr  normal  ist,  so  sieht  man,  dass  der  Punkt,  in  welchem  sie  die  Cen- 
tralaze trifGk,  ihr  Nullpunkt  ist;  denn  dieser  und  kein  anderer  ausser  ihm 


32  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsverändening  etc. 

bewegt  sich  normal  gegen  E.  Femer,  schneidet  E  die  Centralaxe  c  in 
einem  Pankte  C,  ohne  auf  c  normal  zu  sein,  so  denke  man  durch  C  in 
E  eine  Normale  auf  c;  die  Translationsazen  der  Punkte  dieser  Linie 
bilden  ein  hyperbolisches  Paraboloid  und  neigen  sich  gegen  E  unter 
allen  möglichen  Winkeln ,  mithin  ist  eine  und  nur  eine  normal  auf  E-y 
diese  sei  NN*.  Dass  für  keinen  zweiten  Punkt  von  E  die  Translations- 
axe  mit  NN'  parallel  ist,  folgt  so:  durch  N  ziehe  man  c\\Cj  so  besteht 
die  Bewegung  aus  einer  Drehung  d^  um  c  und  einer  Verschiebung 
gleich  und  parallel  NN\  also  muss  das  Wegelement  eines  jeden  Punktes 
Ton  Ey  als  zusammengesetzt  aus  NN*  und  einem  andern  gegen  c  normal 
gerichteten  Stück,  von  der  Richtung  NN"  abweichen.  Wenn  E  der  Cen- 
tralaxe  parallel  ist,  so  gibt  es  in  ihr  keinen  Nullpunkt,  denn  die  eine 
Componente  des  Wegelementes  eines  jeden  ihrer  Punkte  ist  mit  c  pa- 
rallel, fällt  also  in  E. 

Erster  Satz.  Die  Nullebene  eines  beliebigen  Punktes  0 
einer  Ebene  E  geht  durch  den  Nullpunkt'  N  von  E, 

Beweis.  Das  Wegelement  des  Punktes  0  ist  die  Resultante  von 
NN'  und  dem  Ereiselement ,  welches  0  vermöge  der  Drehung  um  die 
durch  iV^  zu  c  parallel  gedachte  Axe  c  beschreibt.  Da  dieses  letztere 
normal  auf  der  durch  c  und  ON  gehenden  Ebene,  NN*  aber  auf  E  nor- 
mal ist,  so  muss  jene  Resultante  auf  ON  normal  sein,  mithin  muss  die 
Nullebene  von  0  die  Gerade  ON  enthalten. 

Zweiter'  Satz.  Die  Nullpunkte  aller  Ebenen,  welche 
einen  Punkt  N  gemein  haben,  fallen  in  die  Nullebene  E  die- 
ses Punktes. 

Denn  E  muss,  als  Nullebene  von  JV  durch  den  Nullpunkt  einer  je- 
den Ebene  gehen,  in  welcher  N  liegt. 

Dritter  Satz.  Die  Nullebenen  der  Punkte  einer  Gera- 
den n  schneiden  sich  in  einer  andern  Geraden  m,  und  diese 
ist  die  Gegenaxe  jener. 

Beweis.  ^,ß"  seien  die  Nullebenen  zweier  Punkte  Q\Q"  der  Gera- 
den n,  sie  mögen  sich  in  einer  Geraden  tn  schneiden;  P^^P"  seien  zwei 
beliebige  Punkte  von  m,  ihre  Nullebenen  F\F''  müssen  nach  dem  Vori- 
gen sowohl  O'  als  ö"  enthalten,  weil  je derj der 'Punkte  P\P"  sowohl  in 
E*  als  auch  in  E"'  liegt.  Betrachtet  man  demnach  n  als  Durchschnitts- 
linie von  F\F"  so  erhellt,  dass  die  Nullebene  eines  jeden  ihrer  Punkte 
durch  P^  und  i'^,  also  auch  durch  m  gehen  muss. 

Um  zweitens  zu  erweben,  dass  m^n  Gegenaxen  sind,  stelle  man 
sich  das  hyperbolische  Paraboloid  vor,  welches  die  von  den  Punkten 
0\0''  etc.  der  Geraden  n  auf  die  Centralaxe  gefüllten  Normalen  Q'Cy 
Q''(f  etc.  enthält.  In  diesem  Paraboloid  liegt,  wie  wir  wissen,  die  Ge- 
genaxen von  n.  Weil  aber  die  Ebenen  E\£^'  etc.  sich  in  einer  Gera- 
den m  schneiden,  und  beziehlich  durch  die  Geraden  Q>C\  Q"(!'  etc.  gehen, 


Von  K.  Küpper.  33 

80  wird  m  ancfa  yon  den  zuletzt  genannten  Geraden  getrofiPen;  t»  ist  daher 
«iD«  Seite  des  gedachten  Paraboloids.  Nun  sei  N  der  der  Central axe 
zunichstUegende  Punkt  von  n^  E  seine  Nullebene;  J!?  enthält  bekanntlich 
die  Qegenaze  von  n,  und  da  S  aneh  die  Gerade  m  enthält,  so  miisste, 
wenn  m  diese  Gegenaxe  nicht  selbst  wäre ,  die  Ebene  E  drei  Seiten 
unseres  Paraboloids,  nämlich  JVC,  m,  nnd  die  Gegenaxe  von  n  anfneh- 
men,  was  unmöglich  ist;  somit  fällt  m  mit  der  Gegenaxe  von  n  zusam- 
men.   W.  z.  h.  w. 

Ebenso  beweist  man  das  Reziproke:  die  Nullpunkte  der  Ebenen 
eines  Ebenenbtischels,  dessen  Axe  n  ist,  liegen  in  der  Gegenaxe  von  n. 

Vierter  Satz.  Die  Gegenaxen  aller  durch  einen  Punkt 
i\^  gehenden  Geraden  befinden  sich  in  der  Nullebene  J^die- 
868  Punktes.  Denn  jede  durch  JV  gehende  Gerade  ist  die  Axe  eines 
Büschels  von  Ebenen,  deren  Nullpunkte  in  der  Gegenaxe  dieser  Geraden 
und  auch  in  der  Ebene  E  liegen.     (Nach  dem  dritten  und  zweiten  Satz). 

umgekehrt:  Die  Gegenaxen  aller  Geraden  einer  Ebene  E 
sehneiden  sich  im  Nullpunkt  N  dieser  Ebene.  Denn  die  Null- 
ebenen der  Punkte  einer  solchen  Geraden  müssen  durch  deren  Gegen- 
axe und  zugleich  durch  N  gehen.     (Nach  dem  dritten  und  ersten  Satz.) 

Die  vorstehenden  Sätze  enthalten  eine  specielle  Art  dualer  oder  re- 
liproker  Beziehung  zweier  Raumsysteme  aufeinander.  Jedem  Gebilde, 
insofern  es  als  Ort  eines  Punktes  angesehen  wird,  ist  ein  anderes,  von 
einer  durch  diesen  Punkt  gehenden  Ebene  umhttlltes  Gebilde  zugeordnet, 
trnd  umgekehrt  Jeder  von  einer  Geraden  n  beschriebenen  Regelfläche 
entspricht  eine  andere,  die  von  ihrer  Gegenaxe  m  erzeugt  wird;  einem 
Kegel  z.  B.  entspricht  ein  von  einer  Curve  begrenztes  Stttck  einer  Ebene. 
Anstatt  aber  zu  einer  vorgegebenen  Regelfläche  die  Reziproke  aufzu- 
SBchen,  welches  das  gewöhnliche  Verfahren  ist,  kann  man  auch  irgend 
eine  der  Natur  der  Sache  gemässe  Abhängigkeit  zwisehen  zwei  rezipro- 
ken Elementen  (Geraden)  feststellen ,  und  nach  der  Anordnung  derselben 
in  zwei  sich  entsprechenden  Gruncfgebilden  (Ebene  nnd  Strahlenbtindel) 
fragen.  Indem  wir  beispielsweise  nur  solche  Gegenaxen  berücksichtigen, 
welche  einen  rechten  Winkel  miteinander  bilden,  d.  i.,  welche  «zugleich 
Translationsaxen  für  ihre  der  Centralaxe  am  nächsten  gelegenen  Punkte 
sind,  werden  wir  zu  Eigenschaften  geführt,  die  wiederum  eine  phorono- 
mische  Deutung  zulassen;  und  so  kommen  wir  zu  dem  Punkt  zurficki 
Ton  dem  wir  ausgegangen  sind. 

Anordnung    der    Translationsaxen    oder    Tangenten   für 
die  Bahnen  der  Punkte  eines  eine  willkürliche  momentane 
Bewegung  vollziehenden  starren  Systems: 
a)  in  einer  Ebene  E, 

In  einer  auf  der  Centralaxe  c  normalen  Ebene  giebt  es  keine  Trans- 
lAtionsaxe,    es    müsste  denn   die  Verschiebung  df  Nutt  sein.     In  einer 

ZtilMlirUt  f.  BfatUnaiik  a.  Physik.  VI.  1.  3 


34  Die  geometrischea  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 


mit  c  parallelen  Ebene  findet  man  alle  darin  enthaltenen  TranslatioBS- 
axen  so:  um  c  beschreibe  man  einen  Rotationscjlinder ,  welcher  Em 
einer  Geraden  g  berührt,  dann  fallen  die  Tranelationsaxen  der  Punkte  Ton  g 
in  £und  sind,  weil  diese  gleichweit  von  c  abstehen,  parallel.  Für  keinen  an- 
dern Punkt  von  E  kann  die  Translationsaxe  in  E  fallen,  denn  beschreibt  man 
durch  einen  solchen  Punktum  cals  Axe  einen  Rotation^cylinder,  so  wird  die- 
ser von  der  gedachten  Translationsaxe  berührt,  welche  daher  J?  sehneidet. 
Die  Ebene  möge  endlich  mit  c  den  Punkt  C  gemein  haben,  N  sei  ihr  Null- 
punkt, NN'  dessen  Translationsaxe,  also  notmal  auf  E,  Der  Nullpunkt 
P  einer  jeden  durch  NNi  gehenden  Ebene  liegt  in  Ey  und  da  eine  solche 
Ebene  auf  E  normal  ist,  so  liegt  auch  die  Translationsaxe  p  von  P  in 
E»  Ausjser  diesen  Axen  p  liegt  keine  in  E^  denn  wSre  q  eine  solche  fOr 
den  Punkt  iß,  so  müsste  die  Nullebene  von  Q  einmal  durch  A' gehen, 
dann  auch  normal  auf  q  öder  auf  E  sein,  mithin  müsste  sie  NN'  enthal- 
ten, also  unter  den  vorhin  gedahten  Ebe&en  vorkommen.  Die  Null- 
punkte P  liegen  nach  Früherem  auf  der  zu  NN'  rechtwinkligen  Gegen- 
axe  MM'  (in  jF);  verbinden  wir  daher  N  mit  den  Punkten  P  und  er- 
richten auf  NPinE  Normalen,  so  sind  diese  die  sämmtlichen  in  £  vorkom- 
menden Translationsaxen :  Sie  umhüllen,  wie  man  sieht,  eine 
Parabel,  deren  Brennpunkt  iV,  deren  Scheiteltangente 
MM' ist 

Das  erlangte  Resultat  gestattet  noch  eine  andere  Auslegung.  Der 
Ort  für  diejenigen  Punkte  P  eines  starren  Systems,  welche  bei  dessen 
momentaner  Bewegung  in  einer  festen  Ebene  E  verharren,  ist  in  ^  eine 
gewisse  Gerade  MM'-y  die  übrigen  Punkte  treten  aus  £  heraus,  ein  ein- 
ziger darunter  {N)  normal  gegen  E,  Das  ebene  System,  welches  E  ver- 
lässt,  gelangt  in  eine  benachbarte  Lage  und  schneidet  E  in  jener  Gera- 
den MM'-,  folglich  berührt  das  ebene  System  die  abwickelbare  Fläche, 
welche  es  umhüllt,  in  MM'y  oder  MM'  ist  seine  charakteris tische 
Linie.  Es  leuchtet  ein,  dass  jede  Translationsaxe  und  nur  eine  solche 
für  eine  durch  sie  hindurchgehende  Ebene  die  charakteristische  Linie 
darstellt,  weshalb  denn  auch  die  ausschliesslich  für  Translationsaxen 
stattfindenden  Sätze  gültig  bleiben,  wenn  man  an  deren  Stelle  dia  cha- 
rakteristischen Linien  der  zugehörigen  Ebenen  setzt.  Bei  dieser  Umfor- 
mung lehren  sie  etwas  wesentlich  Neues,  wie  z.  B.  die  charakteristi- 
schen Linien,  welche  sich  gleichzeitig  in  einer  gegebenen 
Ebene  E  befinden,  umhüllen  darin  eine  Parabel,  deren 
Brennpunkt  der  Nullpunkt  von  £,  deren  Scheiteltangente 
die  charakteristische  Linie  vonJ^  ist. 

b)  In  einem  Strahlenbündel,  dessen  Mittelpunkt  N  sei. 

Wir  erinnern  daran,  dass  aus  der  Construktion  des  Wegelementes 
NN'  eines  Punktes  N  unmittelbar  hervorgeht:  erstens,  eine  vorliegende 
Gerade  kann  Translationsaxe  nur  für  denjenigen  ihrer  Punkte  sein ,  wel- 


Von  K.  KüPPBK.  35 


cber  der  Centralaze  zunächst  liegt;  zweitens,  damit  diese  Gerade  Trans- 
lationsaxe  sei,  muss  zwischen  dem  Winkel  »,  den  sie  mite  bildet,  und 
ihrem  kleinsten  Abstand  CiV  von  c  diese  Abhängigkeit  bestehen: 

col  m==  ^'     . 

CNd'p 

Aach  mnss  nach  dem  Bisherigen  hinlänglich  deutlich  geworden  sein, 
dass  die  erforderliche  und  hinreichende  Bedingung,  dass  eine  Gerade 
Translationsaxe  ist,  sieh  darin  ausspricht,  dass  ihre  Oegenaxe  mit  ihr 
einen  rechten  Winkel  bildet.  Wenn  demnach  E  die  Nullebene  des  Punktes 
A  ist,  so  können  sich  in  N  nur  solche  Translationsaxen  trefPen,  deren  Gegen- 
azen  mit  den  in  E  liegenden  Translationsaxen  zusammenfallen ,  und  weil 
diese  letzern  nach  dem  Vorigen  bekannt  sind,  so  können  sie  uns  dazu 
dienen,  jene  zu  bestimmen.  Die  Kegelfläch'e,  welche  die  durch  Abgehen- 
den Translationsaxen  enthält,  ist  die  Reciproke  der  eben  in  E  gefunde- 
nen Parabel;  aber  wir  wolhn  sie  ohne  Rücksicht  auf  diesen  Zusammen- 
hang direkt  aufsuchen. 

Durch  If  führen  wir  eine  beliebige  Ebene  F  (Fig.  IX)  der  Central  - 
aze  c  parallel,  so  gibt  es  in  F  eine  einzige  durch  N  gehende  Transla- 
tionsaxe. Denn  q  sei  der  Abstand  der  Ebene  F  von  c ,  o  der  Winkel, 
den  eine    in    F  liegende    Translationsaxe    mit  c    bildet,    so   ist    iang  m 

od  'ü/ 
=  -^-r-,  somit  für  F  constant,  oder  die  Translationsaxen  in  F  sind  pa- 

«/ 
rallel;  folglich  befindet  sich  unter  ihnen  eine  /,  und  nur  diese,  welche 
den  Punkt  iVailfnimmt  Nennen  wir  X  den  Punkt  von  /,  far  welchen  /  Trans- 
lationsaxe ist,  yl  den  kürzesten  Abstand  zwischen  /,  c,  femer  9  den 
Winkel,  den  F  mit  der  durch  JV  und  c  gehenden  Ebene  einschliesst, 
80  ist: 

^  =  CiV^m  9>,  daher: 

tan   0)=  — -~—  stn  fp- 

Oder,  wenn  wir  mit  m  den  Winkel  bezeichnen,  den  NN'  mit  coder 
mit  der  zu  c  parallelen  N(f  bildet: 

iang  cd  =  iang  ti  sin  <p. 

Diese  Gleichung  charakterisirt  den  Ort,  in  welchem  /  liegt  Denken 
wir  im  Abstände  1  von  N  eine  Ebene  normal  auf  c,  so  werde  diese  von 
NN'  im  Punkte  J^,  von  NCf  in  (fy  Von  /  in  X'  geschnitten. 

Daher:  NC  =h  =  (f  N'  =  iang (o\  (T^  =  iang m,\_r(fN'  =  ^--- ip. 

Gemäss  unserer  Gleichung  folgt:  CfL' ^^CfN"  cosl'CfN'. 
Mithin  ist  \__N'L'C'  ein  Rechter,  und  X'  hat  einen  Kreis  zum  Ort, ' 
dessen  Durchmesser  gleich  CfN'  ist,  oder  die  Geraden  /  liegen  auf  einem 
Kegel,  welcher  diesen  Kreis  aus  dem  Punkte*  iV^  projizirt.   Dieser  Kegel 
berührt   die    darch  N  und   c  gelegte  Ebene   in  der  Gäraden  iVC,  sein 


36  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

Hauptschnitt  ist  das  bei  (f  rechtwinklige  Dreieck  N(!'N\  die  Ebene  sei- 
nes zweiten  Kreisschnitts  ist  auf  mf  normal ,  d.  i.  der  Nullebene  von  If 
parallel : 

Die  in  einem  Strahlenbündel  (i^)  befindlichen  Trans- 
lationsaxen  erfüllen  einen  Kegel  zweiten  Grades,  dessen 
Hauptschnitt  die  Ebene  darstellt,  welche  die  zum  Punkte  A^ 
gehörige  Translations-  und  Botationsaxe  enthält,  und  des- 
sen beide  Kreissehnitte  auf  je  einer  dieser  Azen  normal 
sind. 

Zum  Schlüsse  beantworten  wir  noch  die  sich  hier  von  selbst  aufdrän- 
gnnde  Frage  (Fig.  X)  nach  dem  Orte  der  Punkte  il,  deren  Translations- 
azen  durch  iV  gehen.  Zunächst  gewahrt  man,  dass  diese  Punkte  auf 
einem  Rotationscjlinder  liegen ,  dessen  Schnitt  mit  einer  durch  l^C  recht- 
winklig gegen  c  geführten  Ebene  der  über  JVC  als  Durchmesser  beschrie- 
bene Kreis  ist;  denn  legen  wir  durch  c  eilie,  auf  die  yorhin  gedachte 
Ebene  F  normale  Ebene,  so  muss  X  sich  in  der  Durchschnittslinie  dieser 
beiden  Ebenen  finden;  der  Ort  für  diese  Durchschnittslinie  ist  aber  of- 
fenbar der  beschriebene  Cylmder.  Wenn  wir  weiter  durch  yX  eine 
Ebene  normal  auf  c  legen,  welche  iVJV*  im  Punkte  v,  IfC  im  Punkte/ 

schwindet,  so  ist  das  Dreieck  yXv  dem  dt  ff  ähnlieh,  daher  L/jlv=— . 

Weil  nun  yX  auf  der  Ebene  jP,  also  auch  auf  der  Linie  Xy  normal 
ist,  so  liegen  die  Punkte  y,  i,  v  in  einer  Geraden.  Alle  ebenso  erhal- 
tenen Geraden  erfüllen  das  hyperbolische  Paraboloid,  in  »welchem  iViV*,  r, 
und  die  Gegenaxe  von  Nif  Leitlinien  sind,  und  so  kann  der  Ort  der 
Punkte  X  als  Durchschnittscurve  Ton  je  zweien  der  Fachen: 
Cylinder,  Kegel,  Paraboloid  betrachtet  werden.  Seine  Glei- 
chung ergibt  isich  sehr  einfach  als  eine  Beziehung  zwischen  dem  Abstände 
z  des  Punktes  X  von  der  durch  iV  rechtwinklich  auf  c  gelegten  Ebene 
und  dem  oben  mit  tp  bezeichneten  Winkel« 

Es  ist:     CN cosfp=^yX\  und  /ico/cö  =  z, 

folglich :  z  =  CNcosg>cot&^  und  wegen  iang  m  =  fang  m  sm  g> 

z=CNcosfpcotiü\  aber  (7iV=^^^^^, 

mithin :  z  =  --L  cot  w. 
d^lf       ^ 

Im  Wesentlichen  drückt  folgender  Satz  das  Ergebniss  der  letzten 
Untersuchung  aus:  Bei  einer  willkürlichen  momentanen  Bewe- 
gung eines  »tarren  Systems  bleiben  dessen  Punkte  in  ge- 
wissen Geraden  i  (ihren  Translationsazen),  drehen  sich 
seine  ebenen  Systeme  um  die  nämlichen  Geradei^  t  (ihre 
charakteristischen  Linien).  Diejenigen  Punkte,  welche  für 
eine  unendlich  kleine  Dauer  in  derselben  Ebene  E  bleiben, 


Von  K.  Küpper.  37 


befinden  sieh  in  der  charakteristisohen  Linie  von  JE^;  die 
ihnen  sngehörigen  Geraden  i  berühren  eine  Parabel  in  E. 
Diejenigen  Pnnkte,  welche  gleichaeitig  auf  einen  bestimm- 
ten Punkt  JV^  sich  hinbewegen,  liegen  in  einer  nnendlichen, 
dnrch  N  gehenden  gewundenen  Curve;  die  ihnen  zugehöri- 
gen Geraden  t  sind  die  Seiten  eines  Kegels  vom  zweiten 
Grade,  der  su  jener  Parabel  in  reziproker  Verwandtschaft 
steht     (Vergl.  Chasles:  Aperpt  hisU>rique.) 


m. 

üeber  den  Zasammenhang  der  Witterungserscheinungen. 
Von  Dr.  F.  Dellmaistn  in  ICreuznach. 


Die  Grundlage  einer  allgemeinen  Theorie  der  meteorologischen  Er- 
scheinungen ist  zuerst  von  Dove  in  einem  Aufsatze  gegeben,  welcher 
die  Ueberschrift  führt:  „Heber  den  Zusammenhang  der  Witterungser- 
scheinungen.'* Zuerst  erschien  dieser  Aufsatz  1835  in  den  Königsberger 
Vorträgen,  später  erweitert  in  seinen  meteorologischen  Untersuchungen. 
Dove  hat  in  dieser  Abhandlung  dargethan,  dass  sich  bei  der  Witterung. 
Alles  um  die  Wärme  dreht,  und  zu  diesem  Satze  werden  die  nachfol- 
genden Uebersichten  und  Erörterungen  neue  Belege  liefern,  namentlich 
durch  Hervorhebung  der  beiden  letzten  Jahre  der  Beobachtungsreihe. 

Es  war  dem  Verfasser,  Mitglied  des  königl.  preuss.  meteorologischen 
Instituts,  interessant,  zu  wissen,  inwieweit  der  ausgesprochene  Satz  noch 
hervortrete  bei  einer  kleinem  Keihe  von  Beobachtungen  und  bei  Beob- 
achtungen an  einem  und  demselben  Orte,  da  Dove  ihn  aufgestellt  hat 
besonders  im  Hinblick  auf  die  Witterung  grösserer  Erdstrecken.  Zu  dem 
Zwecke  wurden  vom  Verfasser  seine  eignen  mit  guten  Instrumenten  ge- 
machten Beobachtungen  einer  sorgfKltigen  Berechnung  unterworfen. 

Vorab  sei  bemerkt,  dass  in  den  nachfolgenden  Angaben  des  Baro- 
meters und  des  Dunstdrucks  die  Zahlen  französische  Linien  bezeichnen, 
nnd  dass  bei  den  Zahlen  des  Luftdrucks  stets  330'"'  zu  addiren  sind, 
wenn  sie  nicht  Differenzen  angeben;  in  diesem  Falle  bezeichnen  sie 
wie  auch  beim  Dunstdruck,  Hundertstel  von  Linien.     Die  Wärmegrad, 


38        Ueber  den  Zusammenhang  der  Witterungserpcheinungen. 

sind  Reaumur'sche ,  die  Feuchtigkeit  Procente  des  Maximums.  Wind- 
stärke und  Himmelsbedeckung  werden  bloss  geschätzt  ^  und  erstere  wird 
von  0  bis  4,  letztere  von  0  bis  10  gezählt.  Bei  den  Zahlen  der  Luft- 
Elektricität  ist  die  Einheit  die  Spannung  eines  Elementes  einer  offenen 
Zink-Kupfer- Säule.  A^  B,  €  sollen  der  Beihe  nach  die  Mittel  der  Beob- 
achtungen von  Morgens  6  Uhr,  Nachmittags  2  Uhr  und  Abends  10  Uhr 
bezeichnen.  Die  kleinen  lateinischen  Buchataben  sollen  der  Beihe  nach 
die  Mittel  der  Wärme ,  des  Luftdrucks ,  Dunstdrucks ,  der  Feuchtigkeit, 
Windstärke  und  Himmelsbedeckung  angeben,  und  zwar  die  ungestrichel- 
ten die  der  Periode  von  1851  bis  1858,  die  gestrichelten  der  Periode  von 
1857  -|-  1858*).  Die  beiden  letzten  Jahre  in  eine  Periode  zu  vereinigeni 
zeigte  sich  beim  Gange  der  Berechnung  als  zweckmässig;  denn  obgleich 
ihre  mittlere  Wärme  beinahe  einen  Grad  differirt,  war  doch  der  tägliche 
Gang  ihrer  Erscheinungen,  somit  auch  der  übrigen,  sehr  übereinstimmend. 
So  ist  z.  B.  die  Differenz  ihrer  Wärme  j?  — -4  =  5^,385,  und  zwar  hat  hier 
sogar  das  Jahr  1858  die  grössere  von  5^,44,  wogegen  dieselbe  Differenz 
im  Mittel  der  6  ersten  Jahre  nur  4^,72  beträgt,  und  auch  nur  einmal,  im 
warmen  Jahre  1852,  ein  paar  Hundertstel  über  5^  steigt.  Ebenso  ist 
C — A  der  Wärme  von  1858  am  grössten  von  allen  8  Jahren,  und  B — C 
steigt  in  den  beiden  letzten  Jahren  über  4®,  aber  in  keinem  der  frühem, 
wo  es  im  Mittel  3^,57  ist.  Wir  werden  sehen,  dass  diesen  Anomalien 
im  Gange  der  Wärme  der  beiden  letzten  Jahre  fast  überall  entsprechende 
Abweichungen  im  Verlauf  der  übrigen  Erscheinungen  sich  zeigen,  und 
wenn  ein  Satz,  wie  der  von  Dove  ausgesprochene,  sich  so  in*s  Detail 
hinein  verfolgen  lässt,  so  erhält  er  dadurch  eine  nicht  unwichtige  Be- 
kräftigung. 

Es  wird  am  zweckmässigsten  sein,  zuerst  die  Uebersichten  folgen 
zu  lassen,  welche  den  Zusammenhang  de/  Erscheinungen  am  deutlichsten 
vor  Augen  legen.  Die  Zahlen  von  1 — 12  sollen  die  Monate  Januar  etc., 
die  von  1 — 4  die  Jahreszeiten  Winter  etc.  bezeichnen.  Zum  Winter  sind 
die  Monate  Januar,  Februar  und  Decisrnber  gerechnet  etc-,  wie  es  in 
der  Meteorologie  üblich  ist. 

1.  üebersicht  der  Jahreseeiten  beider  Perioden. 


a 

a 

6 

b' 

c 

C 

d 

d' 

e 

e 

r 

r 

1. 

0,89 

0,51 

3,56 

5,10 

1,88 

1,80 

83,5 

84,0 

0,85 

0,58 

7,31 

6,88 

2. 

6,77 

7,11 

2,75 

2,45 

2,54 

2,53 

68,5 

67,4 

0,78 

0,82 

6,85 

5,68 

3. 

14,58 

15,64 

3,28 

3,46 

4,64 

4,47 

60,1 

61,8 

0,74 

0,76 

6,11 

3,94 

4»      7,53      7,78      3,41      3,77      3,23      3,40      80,3      80,4     0,62    0,44    6,26    6,62. 


*)  Die  Beobachtaugen  von  1859  habe  ich  noch  nicht  berechnen  können. 

Der  Verfasser. 


Von  Dr.  F.  Dbllhann.  39 


2«  Veb«riieht  der  Tagetteiton  beider  Perioden. 

a 
B  —  A 

b 
Ä  —  B 

c 
B^Ä 

d 
A—B 

e 
B-^A 

f 
B—A 

8jähr.  Per. 

4,89 

21 

22 

21,1 

0,55 

0,12 

2jäir.  Per. 

5,39 

28 

20 

22,9 

0,62 

—  0,11. 

a 
B—C 

b 
B—C 

c 
C-^B 

d 
B—C 

e 
C~B 

f 
B-^ 

8jähr.  Per. 

3,71 

24 

10 

16,5 

0,60 

1,40 

2jähr.  'Per, 

4,13 

25 

8 

17,9 

0,75 

1,22. 

b 
A--C 

c 
C—A 

d 

A^C 

e 
C^A 

f 
A—C 

8jähr.  Per. 

1,18 

—  3 

12 

4,6 

0,05 

1,28 

2jäbr.  Per. 

1,26 

3 

12 

5,0 

0,13 

1,33. 

3.  üebersicht  der  Tagesseiten  naeh  den  Jahreueiten  beider  Perioden. 

^-^ 

a        a       b       b'  c        c       d        d'         e  e  f  f 

A—B  A—B  A—B  A—B 

1.  2,53    2,95      9      11,5  18        22      9,9  12,6  0,23  0,42  —0,01  —0,33 

2.  6,05    6,24    27      28  14        12  26,6  28,3  0,73  0,70  0,28  0,41 

3.  6,25    7,11    29      41  15—4  28,0  30,3  0,83  0,83  0,45  0,64 

4.  4,72    5,24    21      30  40        50  19,2  19,8  0,55  0,55  -0,23  -1,19. 

B-C 

a           a          b  b'        c  c  d         cf  e          e          f  f 

a-B  C—B  C^B  C—B 

1.  1,89        2,15        23  21        13  13  6,9  9,0  0,27  0,48  0,93  1,07 

2.  4,37        4,61        22  22          4  3  19,6  21,3  0,73  0,85  1,58  1,61 

3.  4,99        5,79        26  28    -  1  --9  22,9  24,0  0,87  1,05  1,73  1,45 

4.  3,59        3,95        24  26        22  27  15,9  16,9  0,53  0,62  1,35  0,75. 

A--C 

a  a          b  b*  c       c       d       i       e         e         /         f 

C—A  C—A  o^AC—A 

1.     0,64  0,80     -14  -10,5  5       9 

2*     1,68  1,63           5  6  10       9 

3.  1,26  1,32           3  12  16       5 

4,  1,13  1,29—3  4  18      23 
Die  Umkefarnng  der   IHfferenzen  in  den  Uebersichten  2  und  3  bat 

einen  doppellen  Zweck;  einmal,  die  negativen  Grössen  zu  vermeiden 
und  dadurcb  die  Uebersichtliebkeif  zu  befördern;  dann  aber  auch,  die 
Gesetzmässigkeit  dentlidier  bervortreten  zn  lassen.  So  findet  man  diese 
Umkdimng  zwiseben  Wärme  und  Luftdruck,  wodurch  also  ausgesprocben, 
dass  mit   der  Erböbnng  der  Wärme  eine  Erniedrigung   des   Luftdrucks 


3,0 

3,6 

0,04 

0,06 

0,94 

1,40 

7,0 

5,0 

0,00 

0,15 

1,30 

1,20 

5,1 

6,3 

0,1» 

0,22 

1,28 

0,81 

3,3 

2,9 

0,05 

0,07 

1,58 

1,94. 

40        Ueber  d^m  X^nAsamethsuL^  £er  Wh^eron^serui-lieiiiinigtai. 


rtfsir^i^fu  int,  nd  nig;dL«liif,  wie  es  Bsch  physikalisdeB  Gesetzen  sein 
nm«  Indem  i«t  doch  beinahe  die  Hllfte  der  Zahlen  bei  der  Diffn-enz 
^ — Cd4S  Loftdraeks  negadr,  ein  Beveia,  daas  während  der  Nacht  nsch 
nsii  dem  Sinken  des  TfaemK/ii.^ters  ein  Fallen  des  Baronwteis  TcriniBden 
sein  kann;  denn  wenn  während  der  Xacht  die  Abköhlmi^  so  staik  ist, 
da«s  ein  Tbeil  des  in  der  Atmosphäre  enthaltenen  Waawrdampfs  tropf- 
bar wird  und  niederfällt ,  so  kann  dieser  Aasfall  im  Lofidmck  leicht 
grosser  werden,  als  die  Zonahme,  welche  er  durch  die  AUnhlnng  eilUüt. 

Zom  Verständniss  der  Zahlen  wird  es  kaum  nothig  son,  noch  etwas 
hinzuzufügen.  Nor  sei  in  Räcki»icfat  auf  die  Jahreszeitea  bemerkt,  dass 
die  Angaben  Mittel  fifir  die  einzelnen  zu  den  betreffenden  Jahreszeiten 
gehörigen  Monate  sind;  also  die  Summe  der  drei  Monate  ist  durch  3 
diridirt 

Zur  Hervorhebung  der  Gesetzmassigkeit  und  weiteren  Ausführung 
fies  in  den  Uebertnchten  Ausgesprochenen  möge  noch  die  folgende  £r- 
drteruDgen  dienen« 

1.  Wirme. 

Die  Jahresmittel  der  Wärme  unserer  Breite  sind  bekanntlich  noch 
wenig  constant;  je  grosser  die  Breite ,  desto  weniger  constant  sind  sie. 
Das  hiesige  Wärmemittel  ist  nach  den  8  Jahren  7^44;  die  änssersten 
.  Schwankungen  der  Mittel  der  einzelnen  Jahre  um  das  ^ähr.  Mittel  sind 
—  (fi.lH  und  0^,81;  Differenz  der'Extreme  1^59,  also  nach  Doye's  Er- 
mittelungen noch  etwa  1^  zu  klein.  Das  kälteste  Jahr  war  5,  das 
wärmste  7.  Den  Verlauf  der  Wärme  zeigen  die  in  der  2ten  und  3ten 
Uebersicht  unter  a  und  a  stehenden  Zahlen;  durch  Vergleichung  der 
Zahlen  unter  a  und  a  in  der  3ten  Uebersicht  ergibt  sich  der  Unterschied 
beider  Perioden.  Nur  einmal  finden  wir  unter  a  eine  etwas  kleinere 
Zabl  als  unter  a,  nämlich  im  Frühling  bei  der  Differenz  C — A. 

Um  die  Eigenthümlicbkeit  Ejreuznach's  im  Wärmeverlaufe  noch  et- 
was näher  kennen  zu  lernen,  berechnete  ich  nach  den  vom  königl.  preuss. 
meteorolog.  Institut  herausgegebenen  Tabellen  für  die  Jahre  1848 — 1855 
die  Differenz  B — A  von  Crefeld.  Hier  wurde  aber  Morgens  7  Uhr  und 
Nachmittags  1  Uhr  und  3  Uhr  beobachtet.  Die  Nachmittags-Orössen  tou 
1  Uhr  und  3  Uhr  stimmen  dort  fast  überein,  also  sind  sie  auch  wenig 
von  denen  um  2  Uhr  verschieden.  Die  Morgen- Grössen  von  7  Uhr  sind 
im  Winter  von  denen  um  6  Uhr  ebenfalls  wenig  verschieden;  mehr  aber 
jedenfalls  im  Sommer,  wo  nach  Sonnenaufgang  das  Thermomet^  ziemlich 
schnell  steigt;  also  ist  die  erhaltene  Differenz  etwas  zu  klein  für  den 
Sommer,  aber  nicht  so  viel,  als  es  die  nachfolgenden  Zahlen  angeben,  da 
die  Steigung  des  Thermometers  nach  Sonnenaufgang  vorzugsweise  nur 
die  heitern  Tage  trifft  und  dieser  in  Crefeld  nicht  viele  sind. 


Von  Dr.  F.  DellMann.  41 

Zw  Vet^leiehang  mögen  beide  Reihen  hier  stehen: 
B—A  der  Wärme. 

12  8  4 

Ereninach^  2,53         6,05         6,25         4,72 
Crefeld  2,06         4,32         4,52         3,73. 

Es  spricht  sich  darin  eine  nicht  unbedeutende  Verschiedenheit  der 
Elimate  beider  St&dte  ans;  das  Krenznacher  Klima  ist  ein  wärmeres  bei 
Tage  und  ein  mehr  continentales. 

Sehen  wir  in  der  3ten  Uebersicht  auf  die  Differenz  C — A^  so  könnte 
es  auffallen,  dass  im  Frühlinge  während  der  Nacht  eine  stärkere  Ab- 
kühlung sich  zeigt,  als  im  Sommer;  denn  nach  dem  Abkühlnngsgesetze 
kühlt  sich  der  wärmere  Körper  in  derselben  Zeit  stärker  ab.  Hier  darf 
dann  nicht  vergessen  werden,  dass  während  des  Sommers  ein  guter  Theil 
der  Erwärmung  bis  6  Uhr  das  Morgenmittel  erhöht,  es  also  dem  Abend- 
mittel  nähert,  und  dass  auch  in  der  That  die  Abkühlnngszeiten  in  beiden 
nicht  gleich  sind.  Die  übrigen  Differenzen  zeigen  sich  dem  Abkühlungs- 
gesetze gemäss;  ihre  Verschiedenheiten  in  den  verschiedenen  Jahreszei- 
ten erklären  sich  aus  der  Berücksichtigung  aller  obwaltenden  Ursachen. 

Was  die  Beständigkeit  der  Jahres- Wärme -Differenzen  betrifft,  so 
schwankt  B-^C  in  den  acht  einzdnen  Jahren  um  1^,02,  B  —  ^^  um  1^,20, 
C — A  um  0^,40;  a\)er  diese  Schwankungen  verhalten  sich  ungefähr,  wie 
die  Mittel  der  Differenzen  selbst;  denn  das  ßjährige  Mittel  von  B — C 
ist  3V7,  das  von  B—A  4^,89  und  das  von  C—A  1^,18.  Fassen  wir  bloss 
die  Jahreezeiten  in's  Auge,  so  sind  natürlich,  weil  wir  kleinere  Zeit- 
räume haben,  die  Schwankungen  meist  grösser;  denn  in  1  betragen  sie 
you  B—C  zwar  nur  00,91,  in  2  aber  20,06,  in  3  nur  1»,77,  in  4:  10,25; 
die  von  B—A  in  1:  1^32,  in  2:  2^,77;  in  3:  I^ÖO,  in  4:  1^90;  die 
von  C  — ^  in  1:  0^,52,  in  2:  l^fil,  in  3:  00,54,  in  4:  00,88,  und  es  fin- 
den sich  die  Extreme  der  letzten  Herbst  •  Schwankung  in  den  Jahren 
7  und  8,  die  doch  sonst  in  so  mancher  Hinsicht  übereinstimmen.  Ver- 
gleicht man  indess  diese  Schwankungen  mit  ihren  Mitteln,  welche  in  der 
3ten  Uebersicht  unter  a  stehen,  so  sieht  man  auch  hier  beinahe  Propor- 
tionalität hervortreten. 

Die  Jahre  7  und  8  zeigen  ihre  Abnormität,  wie  in  der  Einleitung 
ausgesprochen  wurde,  zuerst  in  den  Jahres-Differenzen  der  Wärme.  Die 
Abnormität  tritt  am  stärksten  beim  Sommer  disser  Jahre  hervor  in  Bezug 
auf  die  beiden  ersten  Differenzen,  und  beim  Jahre  7  nur  etwas  bei  der 
dritten,  wogegen  in  den  andern  Jahreszeiten  keine  Abnormität  bei  dieser 
sich  zeigt.  B — C  kommt  in  beiden  Jahren  im  Sommer  nahe  an  6®,  wo- 
gegen es  in  den  meisten  übrigen  Jahren  im  Sommer  unter  5®  bleibt; 
•^--^  im  Sommer  des  Jahres  7  nahe  an  7|  Gräd^  im  Jahre  8  nahe  an  7^ 
wogegen  es  sonst  meist  unter  0<^  bleibt 


42        Ucber  den  Zusammenhang  der  Witterangserscheinungen. 

Wollte  man  die  Beständigkeit  der  Quotienten  der  bezeichneten 
Wärmegrössen  untersuchen,  so  müsste  man  sie,  da  sie  nur  relative  sind, 
zuerst  in  absolute  verwandeln,  d.  h.  vom  absoluten  Nullpunkte  (274^ 
unter  dem  Reaumür'schen  Nullpunkte)   an   zählen.     Auf  den   Differenz- 

Quotienten  •- — -  kann  diese  Verwandlung  keinen  Einfluss  haben.    Dieser 

Quotient  zeigt  sich  sehr  constant,  da  er  in  den  8  Jahresmitteln  zu  Kreuz- 
nach nur  um  0,06  schwankt.  Auch  für  verschiedene  Oerter  und  Jahres- 
zeiten ist  er  ziemlich  constant;  denn  in  Kreuznach  ist  er  im  Mittel  1,32, 
in  Padua*)  1,32,  in  Leith*)  1,31,  in  Brüssel  nach  den  Beobachtungen 
von  1846  und.  1847:  1,32;  in  Kreuznach  nach  den  8jährigen  Mitteln  in 
1:  1,34,  in  2:  1,38,  in  3:  1,25,  in  4:  1,31. 

Es  versteht  sich,  dass  auch  in  Rücksicht  der  Wärmeschwankungen 
der  Sommer  hier  mehr  das  Klima  von  geringerer,  der  Winter  ein  solches 
von  höherer  Breite  hat.  Die  Differenzen  der  Wärme-Extreme  der  Jah- 
reszeiten in  der  8jährigen  Periode  sind  in  1:  5,58;  in  2:2,18;  in  3:  1,99; 
in  4:  1,99. 

2.  Luftdruck. 

Das  8jährige  Mittel  des  Drucks  der  feucbten  Luft  ist  hier  333%25; 
die  Extreme  des  Jahresmittel  sind  332'",62  (3.  Jahr)  und  333'",7'7  (S.  Jahr); 
Schwankung  also  l'^^S.  Die  Gesetzmässigkeit  im  Jahreslaufe  tritt  nicht 
hervor,  wenn  wir  die  feuchte  Luft  in  Betracht  ziehen;  denn  der  Winter 
hat  nach  der  1.  üebersicht  unter  b  und  b'  zwar  den  höchsten  Druck, 
aber  der  Frühling  den  geringsten.  In  Gegenden  mehr  contlnentalen 
Charakters,  wie  z.  B.  St.  Louis  am  Missisippi,  dessen  Barometer-Curve 
ich  der  Güte  des  Herrn  Dr.  Engelmann  verdanke,  ist  das  freilich 
anders;  hier  zeigt  der  Sommer  den  geringsten  und  der  Winter  den 
höchsten  Druck.  Bei  uns  sind  der  Winter,  Herbst  und  Sommer,  letzte- 
rer freilich  nur  O'",03  über  dem  Mittel,  der  Frühling  aber  0'",50  unter 
demselben.  Die  Gesetzmässigkeit  tritt  indess  auch  hier  im  Jahreslaufe 
bei  der  trockenen  Luft  hervor.  Ihr  Jahresmittel  ist  330"',  18;  1  ist  r'',50, 
2'  nur  O''',03  drüber,  der  Herbst  hat  (fast  wie  bei  der  Wärme)  genau  das 
Mittel  und  der  Sommer  l"',54  weniger.  Ganz  entsprechend  für  alle 
4  Jahreszeiten  zeigen  sich  die  Wärmemittel  (1:  —  6<^,55;  2:  — <^fiT] 
3:  70,14;  4:  0«,09). 

Der  Verlauf  des  Drucks  der  feuchten  Luft  im  Tage  ist  der  Wärme 
entsprechend.  A — B  ist  in  den  Jahren  2-*7  entweder  0"',20  oder  0'",21, 
in  1  nur  O'^',  12;  dagegen  in  7  und  8  im  Mittel  0''',28;  die  beiden  extremen 
Jahre   zeigen  (nch  also  hier  wieder,  wie  bei  der  Wärme,  dem  B  —  A 


*)  Nach  Angabe  in  dem  Lehrbache  der  Meteorologie  von  KämtE. 

Der  VerfaMer* 


Von  Dr.  F.  Dellmann.  43 

entsprechend.  In  den  Jahreszeiten  Ut  Ä — B  der  Reihe  nach,  mit  dem 
Winter  beginnend,  0"',09;  0^^,27 ;  O*'^ ;  0"'21;  C— 5:  0'",23;  0'",22;  0%2Ö; 
0'",245  C—Ä\  a'",14;  — .o'",044;  —  0">3;  0'",03.  Wie  also  das  Wärme- 
mittel  Nachmittags  im  Sommer  am  meisten  ttber  dem  Moi^enmittel  steht 
and  im  Winter  am  wenigsten,  so  auch  der  gesammte  Luftdruck,  und 
ebenso  stehen  die  beiden  andern  Jahresseiten  zwischen  diesen.  Man 
künnte  noch  fragen,  warum  C — ^  im  Luftdruck  so  beständig  ist,  da  in 
den  4  Jahreszeiten  die  grösste  Schwankung  im  Frühjahr  noch  keine 
O''',02  vom  Mittel  abweicht,  dagegen  A — ^  so  bedeutende  Schwankungen 
zeigt,  indem  der  Sommer  (0'",29)  mehr  als  das  Sfache  des  Winters  (o'",09) 
beträgt.  Die  Erklärung  liegt  nicht  fem.  Die  am  Boden  erwärmte  Luft 
steigt  auf,  bringt  also  eine  Bewegung  in  der  Atmosphäre  hervor;  die.  am 
Boden  Abends  erkaltete  aber  bleibt  liegen.  Die  Luftströmung  hat  aum 
Theil  lokale,  sum  Theil  generelle,  d.  h.  mit  der  Erwärmung  der  ganzen 
Erde  zusammenhängende  Ursachen.  Tag-  und  Nachtwinde  gibt  es  nicht 
bloss  an  den  Küsten,  sondern  überall.  Nachmittags  um  2  Uhr  ist  hier 
im  Durchschnitt  die  Luftströmung  beinahe  so  gross,  wie  Morgens  und 
Abends  zusammen.  Diese  täglichen  regelmässigen  Strömungen  treteh 
auch»  wie  es  sein  muss,  im  Sommer  am  meisten  hervor,  besonders  wenn 
der  Polarstrom  herrscht,  weil  dieser  schwächer  ist,  als  der  Aequatorial- 
Strom,  und  den  Himmel  heiter  erhält,  also  der  Sonne  eine  stärkere  Ein-* 
Wirkung  gestattet.  Es  zeigt  sich  die  lokale  Einwirkung  der  Sonne  be- 
sonders auch  in  dem  Faktum,  welches  mein  meteorologischer  College, 
Herr  Astronom  Lichtenberger,  und  ich  durchschnittlich  bei  heiterm 
Himmel  beobachteten,  dass  die  Windfahne  in  24  Stunden  eine  ganze 
Umdrehung  macht  Nach  Sonnenuntergang  geht'  die  Windfahne  Abends 
nach  Osten,  weil  wir  nach  Westen  Luft  abgeben  müssen  wegen  des  dort 
allmählig  eintretenden  aufsteigenden  Luftstromes*  Morgens  vor  Sonnen- 
aufgang findet  diese  Abgabe  nach  Osten  Statt  usd  die  Windfahne  geht 
nach  Westen,  bis  sich  denn  allmählig  nach  Sonnenaufgang  die  normale 
Strömung  aus  NO  wiederherstellt 

Zur  Vergleichung  mit  Kreuznach  habe  ich  B — Ä  des  Luftdrtfcks  in 
Crefeld  berechnet,  wo  derselbe  weniger  regelmäßig  zu  weasa  scheint  als 
hier.  Die  Differenzen  der  8  genannten  Jahre  sind  (naoh  der  Bezeich- 
nung in  den  Uebersichten) :  16,  18,  15,  13,  10,  18,  18,  16;  und  in  den 
4  Jahreszeiten:  in  1:  6,9;  2;  23,9;  3:  18,2;  4:  17,7. 

8.  DuBstdruek. 

Im  Jahre  geht  mit  der  Wärme  auch  der  Dunstdruck,  der  hier  das 
Jahresmittel  3'",67  hat;  Abweichungen  der  Jahreszeiten:  1:  — l'"l9; 
2:  --0"',58;  3:  l'",17;  4:  O'^IÖ;  die  Jahreszeiten,  welche  bei  der  Wärme 
unter  dem  Mittel  bleiben,  zeigen  sich  auch  hier  mit  einer  negativen  Ab- 
weichung, und  umgekehrt.    Der  Verkuf  im  Tage   eatspricht  scheinbar 


44       lieber  den  Zusammenhang  der  Witterungserscheinangen. 


dieser  Harmonie  nicht,  da  B — A  in  den  4  Jahreszeiten  ist:  1:  0'%18; 
2:  0'",14;  3:  O'^'jlö;  4;  0"',40.  Warum,  kann  man  fragen,  sind  hier  diese 
Differenzen  in  den  3  ersten  Jahreszeiten  fast  dieselben,  und  warum  über- 
wiegt der  Herbst  so  bedeutend  die  andern?  Was  die  erste  Frage  betrifft 
so  muss  man  bedenken^  dass  die  Wasserdämpfe  einen  Theil  des  Luft- 
drucks bilden  und  dieser  stets  das  Bestreben  zeigt,  das  Gleichgewicht 
zu  erhalten.  Wenn  nun  die  Summe,  der  Druck  der  feuchten  Luft,  im 
Allgemeinen  dem  Wärmegesetze  entspricht,  so  kann  der  bei  Weitem 
kleinere  Summand,  der  Dunstdruck,  in  der  wärmeren  Jahreszeit  um  so 
weniger  die  Tagesperiode  zeigen,  als  die  Dämpfe  su  der  Zeit,  wo  ihr 
Druck  stärker  sein  müsste,  vermöge  des  dann  herrschenden  aufsteigenden 
Luftstroms  mit  in  die  Höhe  gehen  und  oben  mit  unsem  Instrumenten 
(das  trockene  und  befeuchtete  Thermometer)  nicht  wahrgenommen  wer- 
den können.  Offenbar  ist  aus  diesem  Grunde  der  Dunstdruck  im  Herbste 
auch  um  so  viel  grösser,  weil  dann  der  tägtich  aufsteigende  Luftstrom 
bedeutend  nachgelassen. 

Die  grösste  Beständigkeit  beim  Dunstdrucl^  zeigt  die  Differenz  C — M 
{M  =  Tagesmittel).  Das  Abendmittel  übersteigt  das  Tagesmittel  nur 
um  O'^',0i,  und  unter  den  8  Jahren  haben  diese  Differenz  deren  6.  Aber 
auch  diese  Beständigkeit  geht  nicht  gleichmässig  durch's  Jahr,  da  sie  im 
Winter  —  0'",08,  im  Frühling  0"',02,  im  Sommer  0'",06  und  im  Herbste 
—  Ol  ist. 

4.  Feuchtigkeit 

Der  Gang  der  Feuchtigkeit  ist  im  Allgemeinon,  wi^  bekannt,  dem 
der  Wärme  entgegengesetzt«  Das  Mittel  aus  den  8  Jahren  ist  hier  7&,d; 
Extreme  der  8  Jahresmittel:  72,1  (8.  Jahr)  und  77,7  (3.  und  5.  Jahr), 
also  Schwankungen:  — 3,2  und  2,4.  Die  Schwankungen  der  Jahreszeiten 
um  das  Jahresmittel  betragen  in  1:  8,2;  2:  — 6,7;  3:  —  6,2;  4:  4,9.  Der 
Frühling  hat  der  beiden  letzten  trockenen  Sommer  ungeachtet  noch  im- 
mer die  geringste  unter  den  4  Jahreszeiten;  er  ist  also  hier  die  beste 
Zeit  zum  Bauen  und  besonders  zum  Legen  der  Fussböden.  Der  Winter 
ist  die  feuchteste  Jahreszeit,  und  der  Uebergang  aus  dieser  in  die  trockenste 
ist  denn  auch  vielleicht  der  Gkund  von  gewissen  Krankheitserscheinun- 
gen ;  besonders  mögen  sich  die  Athmungsorgane  dabei  angegriffen  ftihlen, 
wenn  sie  leidend  sind.  Nach  dem  an  die  Spitze  dieser  Nummer  gestell- 
ten Satze  wird  mit  der  Differenz  der  Wärmemittel  auch  die  der  Feuch- 
tigkeit steigen  und  fallen.  A — £  ist  in  1:  9,9;  in  2:  26,6;  in  3:  28,0;  in 
4:  19,2;  8jähriges  Jahresmittel:  20,9,  welches  also  wieder  am  nächsten  mit 
dem  Herbstmittel  stimmt.  C-^B  ist  in  1:  6,0;  in  2:  19,6;  in  3:  22,9;  in 
4:  15,9,  und  dies  letztere  von  der  Jahresdifferenz  16,4  wieder  wenig  ab- 
weichend. Die  Extravaganz  der  beiden  letzten  Jahre  zeigt  sich  bei  die- 
sen Differenzen  wieder,  da  sie  unter  allen  die  grösstenaind;  die  Differens 


Von  Dr.  F.  DEiiLMANN.  45 

Ä — (7  ist  beim  letzten  Jahre  die  grösste  von  allen  8  einzelnen  Jahren. 

Von  den  Quotienten  scheint  —  am  meisten  konstant  zu  sein,  da  er  unter 

(/ 

den  8  Jahren  und  4  Jahreszeiten  um  das  Mittel  1,06  nur  0,02  schwankt. 

Ä  4        ß 

Die  Quotienten  — -  und  — ~  sind  zwar  in  den  einzelnen  Jahren  noch 

B  C — B 

ziemlich  constant,  da  beim  ersten  ein  Schwanken  um  das  Mittel  1,34  von 
höchstens  0,07,  beim  2.  um  sein  Mittel  von  höchstens  0,05  vorkommt; 
aber  die  Jahreszeiten  zeigen  ein  Schwanken  von  0,12  und  0,23  vom  Mit- 
tel. Der  Quotient  —  scheint  sogar  für  verschiedene  Oerter  ziemlich  con- 
stant zu  sein,  da  er  im  Jahre  1846  in  Brüssel  1,05  und  1847  daselbst  1,04 

(hier  1,06)  beträgt.   Auch  —  stimmt  in  Brüssel  nahe  mit  Kreuznach,  da  er 

j ß 

im  Mittel  der  2  Jahre  1,29  (hier  1,34)  ist. ist  in  Brüssel  im  Mittel 

der  2  Jahre  1,25  (hier   1,28).     Dagegen   zeigen    die  Quotienten   -— — ^, 

C — B 

—  und —  ein  eigenthümliches  Verhalten  in  Bezug  auf  die  Jahres- 

Zeiten,  indem  in  Süctoicht  auf  sie  eine  ziemlich  nahe  Uebereinstimmung 
sich  zeigt  zwischen  Winter  und  Frühling  einerseits,  sowie  zwischen  Som- 
mer und  Herbst  andererseits,  wogegen  beide  Gruppen  untereinander  bor 
deutend  differiren. 

6.  Himmelflbedecknng. 

Die  Himmelsbedeckung  ist  hier  im  Mittel  6,13.  In  den  meisten  Jah- 
ren ist  sie  zwischen  6  und  7,  in  keinem  über  7,  nur  die  beiden  letzten 
gehen  tinter  6.  Im  Jahre  ist  ihr  Gang  im  Allgemeinen  der  Wärme  ent* 
gegengesetzt;  die  Mittel  der  Jahreszeiten  sind  in  1:  7,31;  2:  5,85;  3:  5,11; 
4:  6,26,  wo  also  nur  der  Frühling  eine  Ausnahme  macht,  wogegen  der 
Herbst  wieder  nahe  mit  dem  Jahre  stimmt.  Die  beiden  letzten  Jahre 
weichen  hier  am  meisten  im  Sommer  ab;  im  Jahre  7  war  das  Sommer- 
mittel 3,40,  im  8.  Jahre:  4,47.  Im  täglichen  Gange  zeigt  sich  ein  Ge- 
gensatz mit  dem  jährlichen,  denn  die  8jährigen  Mittel  sind  von  A:  6,52, 
Ton  B:  6,64,  von  €:  5,24.  Der  Abend  hat  also  die  geringste  Himmeb- 
bedeckung,  wohl  desswegen,  weil  die  bei  Tage  aufgestiegene  warme  Luft 
oben  aufräumt  und  nicht  so  schnell  erkaltet  nach  Sonnenaufgang  als  die 
untere. 

e.  Winde. 

üeber  die  Windstärke  ist  beim  Luftdrucke  das  Nöthige  gesagt.  Neh- 
men wir  die  0,  NO  und  SO  als  zum  PolarBtrom  gehörig,  die  entgegen- 


46       üeber  Jen  Zasammenhang  der  Witterungserscheinungen. 

gesetzten  ak.  zum  Aeqnatorialstrom ,  so  nehmen  beide  Hanptströmongen 
über  92%  sämmtlicber  Winde  ein ,  nämlich  den  Polarstrom  36,7 ,  der  ent- 
gegengesetzte 55,4.  Die  beiden  letzten  Jahre  zeichneten  sich  aus  durch 
die  meisten  N  nnd  W.  Das  Vorherrschen  des  Folarstroms  zeigte  sich 
besonders  in  der  wärmeren  Jahreszeit,  wo  er  heitern  Himmel  nnd  höhere 
Wärme  verleiht,  im  Winter  dagegen  Kälte. 

7.  Hydrometeore. 

Das  Mittel  der  Regenhöhe  beträgt  hier  nach  den  6  ersten  Jahren 
24r",25,  nach  allen  8  Jahren  215'",16.  Jm  Jahre  7  betrug  sie  nnr  122'",0I , 
nnd  im  Jabre  8:  I5l*',7ö.  Die  Zahl  der  Kegentage  war  in  den  beiden 
letzten  Jahren  nur  117  und  102;   im  Mittel  der  6  verbergenden  aber  145. 

Es  hat  sich  ans  den  Beobachtungen  in  Mannheim,  Frankfurt  a.  M. 
nnd  Kreuznach  herausgestellt,  dass  die  Gegend  zwischen  dem  Hunds- 
rück,  Taunns,  Odenwald  nnd  der  Haardt  in  Deutschland  am  wenigsten 
Begen  hat.  Als  ich  vor  21  Jahren  in  die  Gegend  zog,  fand  ich  fast  in 
jedem  Garten'  einen  Brunnen  zum  Begiessen  vor.  Der  Grund  davon  ist 
mir  erst  durch  meine  Beobachtungen  klar  geworden. 

8.  Wolkenform. 

Der  Cumulus  und  Stratus  bilden  direkte  Gegensätze  nicht  bloss  in 
ihrer  Erscheinungsform,  sondern  auch  in  der  Zeit  ihres  Erscheinens,  da 
ersterer  dem  Sommer  und  dem  Tage,  also  der  Zeit  angehört,  wo  die 
Temperatur  an  der  Erdoberfläche  am  schnellsten  beim  üebergange  von 
einer  Strecke  zur  andern  wechselt*),  letzterer  dem  Winter  und  der 
Nacht.  Zwischen  beiden  steht  der  Cumulo- stratus,  hier  unter  allen  die 
häufigste  Wolkenform.  Diese  3  bilden  beinahe  f  sämmtlicher  Wolken 
nnd  stehen  am  niedrigsten ,  wenn  man  den  Nimbus  ausnimmt ,  der  am  sel- 
tensten ist.  Das  Uebrige  Siebentel  theilt  sich  zwischen  den  9  hohen 
formen  Cirrus,  Cirrosialus  nnd  Cirrocumuhts^  welche  auch  mehr  Abends 
und  Morgens  erseheinen«  Die  beiden  letzten  Jahre  zeichneten  sich  ans 
durch  viele  Formen  dieser  Klasse. 

9.  Lnft-Elektricitat. 
Beobachtungen  dieser  Art  werden  im  Königl.  Prenss.  Beobachtungs« 
System  nur  hier   gemacht   mit  neuen,  sehr  genauen  nnd  vom  Verfasser 
selbst  construirten  Apparaten**).  ^ 


*)  Und  nach  Dove  ist  ja  ein  Cumulus  nur  das  atmosphärische  Bild  einer  kal- 
ten Endstrecke. 

**  Das  Verfahren  ist  beschrieben  in  meiner  Abhandlung  über  Lnft-Elektricität 
in  Poggendorff's  Ann.^  Bd.  89,  und  beurtheilt  von  Hm.  Prof.  Hankel  in  sei- 
ner Schrift  über  Bestimmong  der  Iioft-Elektricität  nach  absolutem  Maasse. 

Der  Verf. 


Von  Dr.  F.  Dkllmann,  47 


Der  Gang  der  Luft  -  Elektricität  ist  dem  Gange  der  Wärme  ent- 
gegen; sie  geht  also  mit  der  Feuchtigkeit.  Ihr  Jahresmittel  axu  6  bis 
7  jährigen  Beocachtungen  ist  146,8.  Von  diesem  Mittel  veiehen  die  der 
beiden  letzten  Jahre,  welche  in  die  gimze  Reihe  mit  aufgenommen  sind, 
bedeutend  ab,  da  ihre  beiden  Mittel  nur  126,4  und  126,2  betragen.  Der 
Monat  Mai  hat  das  niedrigste  Mittel,  von  wo  aus  nach  den  beiden  En- 
den des  Jahres  hin  ein  aiemlich  regelmässiges  Steigen  stattfindet,  nach 
vorn  aber  stärker;  da  der  Januar  das  höchyste  Mittel  bat,  welches' bei- 
nahe das  Doppelte  des  Mai  beträgt.  Am  meisten  bleiben  sich  gleich  die 
Morgenmittel,  am  wenigsten  die  Nachnuttagsmittel,  da  das  kleinste  vom 
Mai  sich  zum  grössten  vom  Januar  beinahe  wie  1  zu  3  verhält,  das 
kleinste  Ä  zum  grössten  A  dagegen  beinahe  wie  2  zu  3.  Näheres  über 
das  Zusammengehen  der  Feuchtigkeit  und  der  Luft-Elektricität  werde 
ich  in  einer  besondern  Arbeit  später  mittheilen. 


Nachschrift. 


Im  vorstehenden  Aufsatze  ist  gezeigt  worden,  dass  das  Do  versehe 
Princip  vom  Zusammenhange  der  Witterungsersclieinungen  nicht  bloss  im 
Grossen  und  Ganzen  gilt,  dass  auch  die  Wärme-Erscheinungen  es  sind, 
welche  die  sämmtlichen  meteorologischen  Phänomene  eines  und  dessel- 
ben Ortes  untereinander  verbinden.  Vor  ein  Paar  Tagen  fand  ich  zu- 
fällig, dass  dies  Princip  noch  viel  weiter  reicht. 

Ich  wollte  wissen,  wenn  mein  Barometer,  welches  eben  vo^  Berlin 
reparirt  Burüekgekommen  war,  angefangen  hatte,  falsch  zu  gehen.  Des- 
halb berechnete  ich  die  monatlichen  Barometer-Differenzen  der  letzten 
5  Jahre  zwischen  Kreuznach  einerseits,  und  Trier,  Boppard,  Neunkirdien 
und  Frankfurt  andererseits.  Die  letzteren  Oerter  sind  die'  Kreuznach, 
nächstgelegenen  4  Stationen  des  Preuss.  Beobachtungssjstems.  Der  Be- 
rechnung wurden  zu  Grunde  gelegt,  die  in  den  monatlichen  Uebersich- 
ten  des  Königl.  meteorologischen  Instituts  enthaltenen  Monatsmittel.  Es 
zeigten  die  Differenzen  zwischen  Kreuznach  und  Boppard  eine  Eigen- 
thümlichkeit ,  welche  mir  schon  beim  Niederschreiben  auffiel;  sie  sind 
im  Sommer  bedeutend  grösser,  als  im  Winter.  Das  Mittel  der  5  Jahre 
ist  vom  Winter  pro  Monat:  0"',90;  das  vom  Sommer:  l'",35.  Ich  suchte 
nnd  fiind  den  Grund  davon  bald  in  den  Wärme-Differenzen  beider  Oer- 
ter; denn  diese  sind  im  Winter:  — 4<>,43;  im  Sommer  0<*,96.  Steigt  also 
im  Sommer  in  Kreuznach  das  Thermometer  bis  beinahe  1^  über  dem 
Stande,  den  es  gleichzeitig  in  Boppard  hat,  so  sinkt  das  Barometer  so 
viel,  dass  es  anderthalb  Mal  so  viel  tiefer  steht,  als  in  Boppard  zur  Zeit 
des  Winters.  Ein  ähnliches  Verhalten  zeigen  Kreuznach  und  Trier,  nur 
nicht  80  auffallend.     In  Trier  steht  nach  denselben  5.  Jahren  das  Ther- 


48       Ueber  den  Zusammenhang  der  Witteningserscheinangen. 

mometer  im  Winter  0^,20  böher,  als  in  Erenznacb;  bier  aber  im  Sommer 
0^,47  böber,  als  in  Trier.  Dagegen  stebt  im  Winter  in  Kreuznach  das 
Barometer  l'",25  höher ,  als  in  Trier;  im  Sommer  aber  nur  l'^.  Der 
höhere  Termometerstand  hier  im  Sommer  erniedrigt  also  ebenfalls  den 
relativen  Barometerstand. 

Doch  die  Consequenz  des  D  o  y  e  'sehen  Princips  geht  noch  weiter ;  sie 
zeigt  sich  auch  in  kleinen  Perioden  noch,  und  im  Gegensatze  verschie- 
denartiger Perioden.  Ich  habe  die  5jährige  Periode  in  zwei  kleinere, 
eine  kühlere  und  eine  wärmere  getheilt;  zur  ersten  sind  die  Jahre  lS5b 
und  1856  gerechnet,  zur  zweiten  die  3  folgenden.  Ich  will  die  Zahlen 
zur  Erleichterung  der  Uebersicht  in  einer  Tabelle  zusammenstellen. 
A  =  Kreuznach ,  B  =  Trier,  €  =  Boppard. 


Barometer-Diffenenzen. 

Thermometer-Differenzen 

1.  Periode. 

2.  Periode. 

1.  Periode. 

2.  Periode. 

A'-B 

A  —  B 

A'-B 

A^B 

Winter:     l";29 

1-22 

—  00,32 

—  00,26 

Sommer:   1%04 

0";98 

00,25 

00,62. 

C—A 

C-A 

A-C 

A-C 

Winter:     0'>7 

0"> 

—  00,40 

—  00,48 

Sommer:   l"',16 

l'",48 

00,62 

10,18. 

Beide  kleinere  Perioden  zeigen  also  Dasselbe,  was  oben  schon  von 
der  ganzen  Periode  erörtert  worden;  und  in  der  Periode  (der  zweiten 
kleinern),  in  welcher  im  Sommer  die  Wärme  höher  steht,  sinkt  an  dem 
betreffenden  Orte  (Kreuznach)  auch  das  Barometer  ^  und  umgekehrt 

Boppard  liegt,  wie  bekannt,  etwa  6  Meilen  von  hier  in  der  Rich- 
tung nach  Coblenz ,  1^  Meilen  oberhalb  Coblenz. 


Kleinere  Mittheilungen« 


L  Heue  Anflöfiing  der  biqnadratisehm  CQaklnmgeii.    Die  Anflösang 
der  reciproken  biquadratischen  Gleichung 

1)  .  r  +  «l't^r  +  «S  +  i-o 

iBt  bekanntlich  sehr  leicht  nnd  reducirt  sich  auf  die  Behandlung  der  bei« 
den  quadratischen  Gleichungen 

2)  V  +  «i|  +  /J-2  =  0,     {+1=1,5 

angesichts   dieser  Thatsache  liegt  gewiss   der  Gedanke  nicht  fem,   die 
allgemeine  biquadratische  Gleichung 

3)  x^  +  aa^  +  ba*  +  cx+d  =  0 

dadurch  aufzulösen,  dass  man  sie   in  eine  reciproke  Gleichung  umwan- 
delt.   Wie  einfach  sich  diess  ausführen  Iftsst,  wird  man  gleich  sehen. 

Zur  Transformation  von  No.  3)  benutze  ich  die  lineare  Substitution 

4)  *  x  =  qi  +  r, 

wo  £  die  neue  Unbekannte ,  q  und  r  noch  zu   bestimmende  Grössen  be- 
deuten; diess  giebt  folgende  Gleichung 

ö)     «+-7—«    +  ^i ^  + ^i  « 

r^  +  ar^  +  br*+  cr+  d  __ 

oder  kurz 

Zur  reciproken  Form  gehören  die  beiden  Bedingungen  d  =  1  und 
y==«,  d.  i.: 

7)  q*  =  r^  +  ar^  +  br*  +  er  +  d, 

ZeiUehrin  T.  MftlbcDiftlik  a.  Phy»ik.    VI.  1.  4 


50  Kleinere  Mittheilungeti. 


mittelst  deren  q  und  r  zu  bestimmen  sind.     Darch  Elimination  von  q  er- 
hält man  für  r  die  Gleichung 

(4r  +  a)'(r*  +  ar^  +  6r»  +  er  +  d)  =  (4r»  +  3ar«  +  'Ihr  +  c)*, 
welche  vom  sechsten  Grade  zu  sein  scheint;  bei  wirklicher  Ausrechnung 
heben  sich  aber  die  mit  r",  r*,  r*  versehenen  Glieder,   und  es  bleibt  nur 
die  cubische  Gleichung 

9)         {€?  —  4aö  +  ScV  +  (a*6  +  lac  —  46«  +  16d)r*  l  _ 
+  (a«c+ 8ad  — 46e)r +  a*d  — c*  /~    " 

Hat  man  daraus  einen  reellen  Werth  für  r  gefunden,  so  bestimmt  man  q 
nach  No.  7)  nämlich 

10)  y  =  j^r*  +  ar»  +  6r»  +  cr  +  d  ; 

fernor  berechnet  man  die  Coefficienten 

,..  4r+fl  Ör'  +  3gr  +  ft 

g  "^  q^ 

und  hat  nun  für  |  die  reeiproke  Gleichung 

i^  +  ai»  +  ^r  +  «I  +  1  =  0, 

nach  deren  Auflösung  x  mittelst  der  Formel  4)  geftinden  wird. 
Als  Beispiel  diene  die  Gleichung 

ar*  —  10a:'  +  33a:*  —  46a:  +  20  =  0. 
Die  cubische  Gleichung  wird  in  diesem  Falle 
12r'  — 46r*+  32r  +  29  =  0 
und  hat  als  einzige  reelle  Wurzel 

Die  Formeln  10)  und  11)  geben  weiter 

^        2    '  ^ '     '^  ~  29  ' 

mithin  lautet  die  entsprechende  reeiproke  Gleichung 
..         24   .,   ,    198^,         24    , 

Ersetzt  man  sie  wie  in  No,  2)  durch  die  beiden  quadratischen  Glei- 
chungen 

•        24        ,140  ^   .    1 

so  erhält  man  der  Reihe  nach 

__12  +  2 

7+2^5  ,„5±2/=T         ^_V^^   .        , 

^""        ^       '       ^~         ^29  '       ^—"-^^  —  4. 

oder  endlich 


a:r=3+^5,      a;  =  2  + ^—  1. 


Kleinere  Mittheilungen.  51 

Weit  einfacher  gestalten  sich  die  allgemeinen  Formeln,  wenn  man 
▼on  der  gewöhnlichen  Annahme  a  =  0  ausgeht.     Man  hat  jetzt  statt  No.  9) 

8cr*  —  4 (6«  — .  4ir) r»  —  4 bcr  —  c*  =  0; 
fär 

c 

'•  =  •17 

wird  diese  Gleichung  znr  folgenden 

^  +  2bs^+  {t^  —  4d)8—  c«  =  0. 
welche  mit  £nler*s  Resolvente  identisch  ist. 

Die  vorstehende  Auflösung  kommt  der  Eulerschen  (x  =iu  +  v  +w) 
an  Eleganz  freilich  nicht  gleich  y  dagegen  beruht  sie  auf  einem  einfachen 
heuristischen  Grundgedanken,  und  die  nöthige  Rechnung  verläuft,  so  zu 
sagen,  von  selber,  ohne  den  geringsten  Kunstgriff.  Vielleicht  empfiehlt 
sich  gerade  dadurch  mein  Verfahren  dem  Unterrichte.  In  wissenschaft- 
licher Beziehung  würden  flbrigens  noch  einige  Ergänzungen  nöthig  sein. 
Da  nämlich  die  cubische  Gleichung  drei  Werthe  fQr  r  liefert  und  jeder 
derselben  schon  zu  den  vier  Wurzeln  der  biquadratischen  Gleichung  führt, 
so  erhält  man  eigentlich  zwölf  Werthe  für  x ;  man  weiss  allerdings  a  priori, 
dass  je  drei  derselben  gleich  sein  müssen,  kann  aber  verlangen,  dass 
diese  Gleichheit  a  posteriori  nachgewiesen  werde,  wobei  vielleicht  auf  die 
vier  Verschiedenen  Werthe  zu  achten  ist,  welche  die  in  No.  10)  vorkom- 
mende vierte  Wurzel  besitzt.  Ferner  lässt  sich  erwarten,  dass  im  Falle 
a  =  0  die  gegebene  Auflösung  in  nahem  Zusammenhange  mit  der  Euler*- 
sehen  steht,  und  es  wäre  daher  zu  untersuchen,  ob  nicht  die  eine  aus 
der  anderen  hergeleitet  werden  könnte.  Vielleicht  darf  ich  mir  erlau- 
ben, die  Leser  der  Zeitschr.  zu  einer  derartigen  Untersuchung  aufzufor- 
dern, da  ich  durch  andere  Arbeiten  an  der  weiteren  Verfolgung  des  Gegen- 
standes behindert  bin.  Sohlömiloh. 


n.  Amrendimg  der  otoillirenden  Kettmbraelie  zur  gleiehieitigen 
Beitfaummg  zweier  Wnrzelwerthe  einer  Oleiohnng,  von  Dr.  Ludwio 
MATTHtEeesH  in  Jever. 

Aus  der  Theorie  der  nnendlichen  Kettenbrttche  ist  bekannt,  dass  die 
Partialwerthe  gerader  und  ungerader  Ordnung  jede  für  sich  irgend  einer 
Gränze  sich  nähern  oder  nicht,  also 

Lim  ^  =  k:      Lim  ^±^  =  k, ;     Lim  ^=  unbestimmt. 

Sind  die  beiden  Gränzwerthe  k  und  ki  identisch  und  zugleich  be- 
stimmt, so  ist  der  Kettenbruch  convergent;  oscillirend  aber  oder  un- 
bestimmt, wenn  das  Gegentheil  stattfindet.  Die  oscillirenden  Ketten- 
brüche mit  zwei  bestimmten  Gränzwerthcn  sind  nicht  zu  verwechseln  mit 

4» 


bi 


Kleinere  ICttheilungeii. 


sokbea,  die  aberliaitpt  gar  keinen  angebbuen  reellen  Wertk  snr  Grftnze 
haben;  Bei^iele  dieser  drei  Arten  mögen  Uer. folgen: 


M_i 

4—1  +  1 


—  3f— 7— 14 


3  +  4 


1+650 


5  +  9 

7+. 


36+1372 


1+135218 
1296+ . 

*.  m  inf. 
Näheningfwertbe :  Näbenmgvwerthe : 

3      19  6  6     204         882    417318 

^'    r»  24 7 


.«PI  inf. 


7»  307'        379'  4i«579' 


1  — 


1-1 

1—1 


1- 


Näbenmgswertbe :  •  in  inf. 

1,  —  1 ,  — oo,  1 ,  —  oo,  .  .  .  • 

Es  kann  sogar  der  Fall  eintreten ,  das«  nur  der  Gränawerth  der  eineu 
oder  der  anderen  Ordnung  onbestinunt  ist.  Die  oscillirenden  Ketten- 
brücke  bieten  oft  eine  sehr  zweckmissige  Methode  zur  Auflösnng  der 
Gleichungen  dar,  namentlich  da  wo  es  darauf  ankonunt,  den  Wurxelwerth 
auf  möglichst  viele  Decimalstellen  genau  zu  berechnen.  Wie  num  sonst 
eine  Wurzel  der  quadratischen  Gleichungen  durch  Verwandlung  in  einen 
Kettenbruch  findet,  ist  bekannt  genug.  Mit  grösserem  Vortkeii  kann  mau 
sich  hier  des  aufsteigenden  Kettenbnichs  bedienen,  indem  man  setzt 


bi  +  at 


b  —  «•       b  —  Hl 


wo  01  und  bi  die  Ooefficienten  der  Glieder  der  transfonairten  Gleichung 
bedeuten,  deren  Wurzeln  die  Quadrate  der  Wurzeln  der  Stammgleichnng 
sind,  Of  und  b^  die  Ooefficienten  der  Glieder  derjenigen  Gleichung,  deren 
Wurzeln  die  Biquadrate  der  Stammgleichung  sind  u.  s.  w.  also 
Stammgleicbung :     x*  -+  ax  —  6  =  0 

U.  8.  W. 

Der  aufsteigende  Kettenbruch  entwickelt  sich  leicht  in  die  unendliche 
Reibe: 

6,  b^ 


a         an. 


afi^a^ 


Kleinere  Mittfaeilungen.  53 

Srstes  Beispiel:  Sei  die  aafsultfseade  Qleiehaog  a:'+  a;  —  1  =0,  so 
suche  man  hieran  die  transformirten  OleichiingeB  wie  folgt: 

Btammgleichnng:  ar*  +  x  — 1=0  ar,,/ —  47a:,,,  +  lt=:0 
X,*  — 3a;,+  1  ==  0  x„*  -^2201  Xjf  +  1  =  0 
X,* — 7x„+  1=0  u.  s.  w. 

so  ist  eine  Wnrzel 

_]_ 1 1 1 1 1 

*""1         1.3        1.3.7        1.3.7.47        1.3.7.47.2207        1.3.7.47.2207.4870847 
s=  0,619033988750748  ...  (14  Stellen  genauer). 

Bricht  man  diese  Beihe  erst  hinter  dem  zwölften  Gliede  ab,  so  lie- 
fert sie  schon  den  Werth  der  Wnrzel  atif  nngeffthr  1000  Decimalen  genaa. 
Mittelst  derselben  Methode  wird  man  nun  aneh  leicht  im  Stande  sein, 
irrationale  Quadratwurzeln  in  eine  stark  convergirende  Reihe  zu  ver- 
wandeln. 

Sei  /29  =  ^25  +  4  =  5  +  ar,  so  ist  die  Stammgteichung  a;*  +  10a:  —  4 = 0 
aufzulösen ;  die  transformirten  sind 

X,*  —108a:, +  16  =  0, 

x,/  —  11632a?,,  +  256  =  0, 

a:,,,*—  135302912  ar,„+ 65536  =  0, 

2  2  2 

und  demgemäss  wird  a:  =  -^  -^-  ,        —  —  . . .  =  0,38516480  .... 

Diese  Methode  liefert  stets  den  kleinsten  Wurzelwerth.  Man  kann 
sich  derselben  nun  auch  zur  Auflfindung  der  Wurzeln  einer  cubischen  Glei- 
chung bedienen.  Man  wählt  hier  den  absteigenden  Kettenbrnch ,  welcher 
zwei  Werthe  der  Unbekannten,  den  kleinsten  und  grössten,  zugleich  liefert. 
Sei  gegeben  " 

ar*  —  aa^  +  bx  —  c  =  0, 

80  hat  diese  Gleichung  bekanntlich  entweder  drei  oder  nur  eine  reelle 
Wurzel.  Jenachdem  haben  auch  die  Partialwerthe  beiderlei  Ordnung  ent- 
weder zwei  bestimmte,  oder  nur  ein^n  bestimmten  und  einen  unbestimmten 
GhrSuzwerth. 

Erstes  Verfahren:    Setze 

a:=:ff-( — :rT5>  äIso  a:' — ir a:*  +  y a:  —  ( j5  +  a y)  =:  0. 

Bedeuten  wiederum  «„  ß^  y,  in  der  transformirten  Gleichung  dasselbe, 
was  ff,  /},  y  in  der  Stammgleichung,  so  ist  offenbar 

'  ^  y,  +  a:* '  "   '  y„  +  a^ 

also    a:  s=  ff  +  /} 

y+^  +  ft 


54  Kleinere   Mittheilangen. 

Betrachtet  man  a,  «;,  «„  ...  als  besondere  Glieder  des  KetteAbniehes, 
so  sind  die  Partialwerthe  gerader  Ordnung  Näherangswerthe  des  kleinsten 
Wurzelwerthes  der  gegebenen  Gleichung,  in  so  fern  man  ansieht  als 

ersten  Partialwerth :   « 

zweiten        „  « +  ß 

dritten  „  fK+  ß 

u.  s.  w. 
Erstes  Beispiel:   ar" — 2100a:  —  24000  =  0. 

Setze  X  =  lOy  und  damit  der  Kettenbruoh  stark  convergirt  y  s=  5  -f  2, 
so  ist 
z»^.  15z«  + 54r  — 4  =  0.  a  =  — 15,    a,c=:       117,        4jf,,=  7dl7 

z*  —  117z*  +  3036z  —  16  =  0,  ß=     814,    ß,=  —856196, 

2«-_  7617  z*  +  9213552  z*  ■—  256  =  0,    y  =       54,    y,  =      3036, 

Alsdann  ist 

814 


z=  —  15  + 


54+117—355196 

3063  +  7617, 


NäheruDgswerthe : 
I  10  2398  0,074074.. 

Die  beiden  letzten  Näherungswerthe  geben 
y  =  5,072602  . .     ar  =  50,72603  . . 
y,=  —4,1868 . .    x,=  —  41,868     (wahrer  Werth:  —38,40727..), 

Zweites  Beispiel:  ar"  —  2a;— 5::^0. 
Setze  ar=  y  +  2,  so  resultirt 

y' +  0y«  +  10y— 1=05  «  =  —6,    a,=  16,  «„=82, 

y*  —  16/+112y«-l=0,         /J  =  61,       /J^=  — 1791,    ft,  =  — 400383, 
y«— 32y«+125lV— 1  =6,     y  ^-  10,        y,=  112,  y„=  12512 

y*'+24000y'«+ 

Die  Gleichung  hat  aldo  nur  einen  reellen  Werth,  nämlich 
61 


y=-,6  + 


10+16—1791 


112  +  32-400383 


12512  +  y»         y  <  1. 
Näherungswerthe : 

-  6  0,1000  . . 

-  3,6539  .  .         0.09455(8)  .  . 

-  1,502 . .  .         0,09455148154(3746959 . . ) 
(w.W.— 3.0473  +   151252^—1). 


Kleinere  Mittheilungen.  55 


«irfV^^WW^— 


Der  leiste  reelle  Partialwerth  ist  bis  auf  12  Decimalstellen  genau,  es 
l&sst  sich  aber  eine  leichte  Correction  anbringen,  indem  man  erwägt,  dass 
der  wahre  Werth  der  Wurzel  ist : 

rf-£ 

r  +  y' 

der  letzte  Partialwerth  nur  die  Grösse  ^  nicht  enthält. 
Mit  Anwendung  des  Maclaurinschen  Satzes 

fix)  =  AO)  +  ^(0)  a:  +  r  (0)  ^  +  . . . 

erhält  man  leicht 

{  fad  —  ae    1  ace,^  aoe{bd — c)y" 

'^  +  f(pd—c)'-bej~{f(bd  —  c)—bey  ^  ^f{pd^c)-^bey '^ '  " 
Substituirt  man  in  der  rechten  Seite  dieser  Gleichung  den  oben  ge- 
fundenen Werth  für  y,    so  wird  der  Werth  des  zweiten  Gliedes  gleich 
0,000000000001420303,  welche  Correction  die  Wurzel  bis  auf  die  18te  De- 
eimale  genau  ergibt,  nämlich 

y  =  0,094551481542326656  ,  .  . 
Zweites  Verfahren:   Man  setze 

also  X*  —  «x*  +  (/J  +  y)  X  —  ay  ==  0. 


1  +  /» 


Sei  nun  die  gegebene  Gleichung  a^  —  ms^  +  nx — p  =zO  und  werde 
dieselbe  transformirt,  so  ist  nach  den  früher  angenommenen  Bezeichnungen 
a  =fn,  a,    =s  m*  —  2n 

ay=p,  ^,r,  —  P* 

€cß=s  mn  — p,         «,ft  =  (m* —  2«)  (n* —  2mp)  — p* 

und  a;  =  « 

i  +  aß 


ay-f-tftti 


1  +  «i/»i 


1  +  ' 


Ist  er  =s  m  =  0 ,  so  ist  diese  Methode  unbrauchbar,  man  kann  aber  dann 
beide  Methoden  mit  einander  verbinden,  am  bequemsten  bleibt  aber  immer 

die  erste ,  also  etwa     a:  =  a  +  ß 

y  +  «1 

1  +(^ißi 


1  + 


56  Kleinere  Mittheilungen. 


Ein  Beispiel  möge  dies  Veifaliren  erläutern.    Ist  die  gegebene  Glei- 
chung a;'  —  2x  —  5  =  0,  und  a:  =y  +  2,  so  hat  man  wiederum 
y'+  Öy*+  lOy  — 1=0,  a  =  —  6,       «,    ==16 

y«-l6y*  +  li2y -1  =  0,  «y=     1,      «,y,=  1 

u.  s.  w.  «^  =  —  Öl,     «Ä  =  ^''^^* 

Näherungswerthe  sind: 
-6  0,10000 

—  1,6764..    0,09455(8).. 

Die  negativen  Werthe  nähern   sich  einer  bestimmten  Chränze  nicht, 
und  es  gibt  demnach  nur  einen  reellen  Wurzelwerth. 


m  Beispiel  einer  Cubatur  und  Quadratur  nach  geometrischen  Potta- 
laten.    Von  Dr.  R.  Hoppe. 

Ist  in  den  Normalkreis  einer  Kugel  ein  beliebiges  Viereck,  in  das' Seg- 
ment über  jeder  Seite  ein  Kreis,  und  über  diesem  Kreise  als  Basis  ein  ge- 
rader Cjlinder  beschrieben,  der  die  Kugelfläcbe  nach  beiden  Seiten  hin 
schneidet,  so  ist  das  Stück,  welches  die  sämmtlichen  Cylinder  von  der  Ku- 
gel übrig  lassen,  sowie  dessen  sphärische  und  cylindrische  Oberfläche,  in 
geradlinigen,  ebenflächigen  Figuren  darstellbar. 

Sei  Ci  der  Inhalt,  J^  die  sphärische,  ^i  die  cylindrische  Oberfläche 
eines  der  genannten ,  von  der  Kugelfläche  begrenzten  Oylinder ,  r  sein  Ra- 
dius ,  a  der  Abstand  seiner  Aze  vom  Kugelcentrum,  a  +  r=r  1  der  Kugel- 
radius, 4p  das  Azimut,  ^  die  Höhe  eines  Punktes  der  Kugelfläche,  ersteres 
anfangend  vom  Berührungspunkt ,  letztere  vom  Normalkreis;  ferner  %  das 
Azimut  von  der  Oylinderaze  aus:  dann  ist,  wie  eine  Betrachtung  der  Figur 
ergiebt , 

n 


z=:zr  jsm^dxj 


von  ;u  =  jr  bis  1^  =  --  isi 
zu    denken ,  je  nachdem   das  Kugelcentrum   ausserhalb  oder  innerhalb 


In  dem  Intervall  von  ;t  =  «  bis  i^  =  —  ist  9  constant  =  0  oder  =  ä 


Kleinere  Mittheilungen.  57 

des  Cylinders   liegt.      Im    ersten  Falle  erhält   man   nach   partieller  In- 
tegration ^ 

iAi=z—Jsin^dg>, 


i^^i=r  Ist 


}sinifdx, 

sSmmtliche  Integrale  von  ;( =  0  bis  ;|(  =  tt  genommen.    Im  zweiten  Falle 
ist  zun  ersten  Integrale  noch  9r,  znm  dritten  noch  ^;r  zn  addiren. 

Die  Relationen  zwischen  g>y  fp^  %  in  der  Dnrchschnittslinie  der  beiden 
FlSchen  sind 

coBfpcos^  z=z  a  +  rcosx^ 

sing>  cos 'iff  =  r  sin  %. 

Setzt  man  gemäss  der  Relation  a  +  r=:^  l 

1ga:s=iigiiLCosix  (*) 

80  wird  man  leicht  folgende  Formeln  ableiten : 

^cos^. 


/  cosu\    _ 


Ans  Gleichung  (1)  ersieht  n\an,  dass  m  tfta  x  =  n  verschwindet,  und 
ftr  )^  =  »  (bei  stetiger  Veränderung  von  lg  aii)  ia  fi  oder  in  f*  —  n  ttber- 

geht,  jenachdem  fi  <  oder  >  --  ist,  d.  h.  jenaehdem  das  Kugelcentrum 

ausserhalb  oder  innerhalb  des  Cjlinders  liegt.  Da  indess  im  letztem 
Falle  n  als  Subtrahend  oder  Addend  zum  Integrale  hinzukommt ,  so  hat 
man  fn  ohne  Unterscheidung  zur  Grenze  der  oo  zu  nehmen ,  und  erhält 


^)d»=^-^^, 


M=/(.- 

=  iJ(siny-eo^l.tg»«i)(l-^)dm, 


5S  Kleinere  Mittbeilungen. 


-./(. 


s=  ^  (fA  —  sin  (i  COS  (i)  —  I  sin^fi. 

Hier  ist  fi  der  halbe  Bogen  über  einer  Vielecksseite.  Nach  Addition 
aller  Ojlinder  wird  die  Summe  der  fi  gleich  n. 

Femer  ist  shifi  eine  halbe  Vielecksseite.  Ist  }u  der  Umfang  de^  Viel- 
ecks, l  eine  Seite,  so  ist  smfi=:^I,  und  die  Summe  der  sing>  =  ^u. 

Endlich  ist  cosfi  der  Abstand  einer  Seite  vom  Mittelpunkte,  sinfi  casfL 
das  Dreieck  über  der  Seite,  dessen  Spitze  der  Mittelpunkt;  daher  die 
Summe  der  sin  ^  cos  fi  der  Inhalt  des  Vielecks  =^v.    Folglich 

2'^,  =  4«— u;    £B,  =  u—2v;     Z^C,  =  f  «  — f  v  —  ^^'/•. 

Ist  nun  C  der  Rest  der  Kugel  nach  Abzug  sämmtlicher  Cylinder,  A  die 
sphärische,  B  die  cylindrische  Oberfläche  des  Körpers  C,  so  ist 
^=u;    B=zu—2v;    (7=  f v  +  |Z/». 

Beschreibt  man  über  dem  Vieleck  als  Basis  ein  Prisma ,  dessen  End- 
flächen die  Kugel  berühren,  so  ist  u  dessen  seitliche  Oberfläche,  v  sein  In- 
halt sowie  die  Summe  seiner  Endflächen.  Das  Resultat  lässt  sich  jetzt 
leicht  in  Worte  fassen. 

Degenerirt  das  Vieleck  in  2  aufeinander  fallende  Sehnen,  so  ver- 
schwindet v,  u  wird  das  doppelte  Rechteck  aus  Sehne  und  Durchmesser. 
C  zerfällt  in  2  symmetrische  Stücke,  die  sich  in  einer  Geraden  und  in 
2  Punkten  berühren.  Jede  dieser  Hälften  ist  der  neunte  Theil  des  Cubus 
der  Sehne,  und  sowohl  ihre  sphärische  als  cylindrische  Oberfläche  gleich 
dem  Rechteck  aus  Sehne  und  Durchmesser.  Aus  der  Gleichheit  beider 
Flächen  folgt  beiläufig,  dass  die  gesammte  Oberfläche  der  beiden  Cylinder- 
stücke  gleich  der  Kugelfläche  ist 


IV.  Formeln  zur  geodatiaohen  Ortsbereohnuiig.  Von  J.  Roao,  Pro- 
fessor am  obern  Gymnasium  au  Ehingen. 

Das  Problem  der  geodätischen  Ortsberechnung  lässt  sich  ganz  elemen- 
tar behandeln,  vorausgesetzt,  dass  die  Dreiecke  nicht  grösser  sind,  als  die 
grössten,  wie  sie  bei  wirklichen  geodätischen  Vermessungen  vorzukommen 
pflegen,  und  dass  bei  ungewöhnlich  grossen  Dreieckseiten,  d.  h.  Distanzen 
von  40  bis  50  Tausend  Toisen,  auf  eine  Unsicherheit  von  wenigen  Hundert- 
theilen  einer  Bogensecunde  nichts  ankommt.  Das  Bestreben,  eine  noch 
grössere  Genauigkeit  zu  erreichen,  scheint  ein  überflüssiges  zu  sein,  wenn 
man  bedenkt,  dass  der  geodätische  Längen-  und  Breitenunterschied  vom 
entsprechenden  astronomischen  Längen  -  und  Breitenunterschied  erheblich, 
zuweilen  sogar  um  einige  Sekunden  abweicht,  und  zwar  bei  Messungen  von 
ausgezeichneter  Güte  und  in  Gegenden   ausgeftihrt,  wo  die  Schuld  sich 


Kleifiere  Mittheilungen.  59 


nicht  auf  Ablenkung  des  Bleiloths  durch  benachbarte  Bergmassen  sehieben 
lässt,  wie  z.  B.  bei  der  Preussischen  Oradmessung  durch  Bessel  und  der 
LieflSndischen  durch  Struve. 


Um  abaukllrsen  beieichne  ich  hn  Folgenden : 

mit  a  und  c  die  beiden  Halbachsen  der  Meridianellipse ;  die  Toise  als 
Einheit  angenommen ; 
e  die  ExeentrieitSt  derselben; 
r  den  Krtlmmungshalbmesser  im  Azimuth  es  00® ; 
Q  den  Krümmungshalbmesser  im  Azimuth  =  0; 

üf und  i\r  den  Quotienten  aus — :-z7?  und  — :--i;,   deren  Wertbe  man 
^  Q  sml  rsml 

ftir  die  Zone  zwischen  den  Parallelen  45*  und  55®  in  den  dieser  Ab- 
handlung angehängten  Tafeln  findet; 

d  die  gegebene  lineare  LSnge  einer  Dreieckseite,  welche  A  zum  An- 
fangs-  und  B  zum  Endpunkt  hat; 

X  undy  die  Abscisse  und  Ordinate  des  Dreieckpunkts  By  auf  ^  als 
Anfangspunkt  bezogen; 

g>  und  g>  die  geographischen  Breiten  der  Positionen  A  und  ^; 

ß  die  Breite  des  Fusspunkteff  der  Ordinate  y ; 

CO  den  Längenunterschied  zwischen  A  und  B] 

a  das  Azimuth  der  Distanz  d  im  Horizont  des  Punktes  A^  von  Nord 
über  Ost  bis  360®  gezählt; 

a'das  Azimuth  der  Distanz  i  im  Horizont  von  B^ 

^  a  =  (a'  —  a)  —  180®  die  Konvergenz  der  Meridiane  durch  A 
und  B. 

Die  Bechnung  wird  geführt  mit  den  von  Bessel  aus  den  Breitengrad- 
mesrangen  (Schumachers  astronomische  Nachrichten  No.  438)  abgeleiteten 
Erddimensionen,  wonach: 

a  =  3272074,14  Toisen  und 
«•=0,0006674,872 

ist  (ein  Werth,  welcher  von  der  Ellipse  des  Herrn  Oberst  James  wenig 
verschieden  ist).  Mit  diesen  Worthen  von  a  und  e  ergibt  sich,  wenn  man 
^0ie*=^,  ^me*=:  B,  ^me®=  C  (unter  m  den  Modulus  der  gemeinen  Loga- 
rithmen verstanden)  und  A  sm*g>  +  B  sm^q)  +  Csm^g)  =  £  setzt: 

Igr  =   i:+  0,6148235337  LgA  =  7,1611647  mg— U. 

2^  p  ==3J?  +  6,51 19157  741  LgB=  4,6845451  —  lo 

lgM=Cp.lgQ  +  5,3144251  332      Lg  C  =  2,23286  — to. 

LgN  =  Cp.Lgr+  5,3144251  332 

Sei  z.  B.  9>  =r  50^  10'  50'',  so  findet  man:  Lg  r  =^  6,5157668.3  und 
LgQ  —  6,5145710.  i'^  Lg  N=  8,7987163. 1  und  X^  Jf  =  8,1908540, 9. 


CO  Kleinere  Mittibeiluagen* 


1. 

S^ien  AN  und  BN  die  Meridiane  durch  A  und  B^  folglich  N  der  rieht-^ 
hare  Pol  des  Aeqnators,  so  ist  Winkel  NAB  =  ay 
ANB  =  «,  «  =360»  "ABN,  g>=Wfi—  AN  und 
g{  =s  Wf  —  BN  Das  Prohlem  der  geodätischen 
Ortsberechnnng  kann  daher  so  ausgesprochen  wer- 
den: 

Man   soll   die   Breite   und  das  Azimnth 
vom  Punkt  A  auf  den  Punkt  J9  übertragen, 
und  die  Längendifferenz  zwischen  A  und  B  berechnen. 


Man  ziehe  Bh  senkrecht  auf  die  Richtung  des  Meridians  durch  A^ 
so  ist  ^  6  =  ^  und  Bb  =  y,  folglich : 

tgx  =  1g8 ,  cos  « 
und 

smy  =  sind  .sinu 

oder,  dskx,  y  und  6  kleine  Bogen  sind: 

i^  —  *y' =  (*—**•)«««. 

Es  ist  aber  sehr  nahe  ^a:*r=^d*  cos^a  und  ^y^  =  J  d^sin^a ;  folglich 

x=sdcosa  +  ^ oleosa  ,  sin^a^ 

y  c=  d  sina  —  ^d^sin a  .  cos^a 
für  den  Halbmesser  =  1.     um  x  und  y  in  den  Sekunden  ausgedrückt 
zu  erhalten ,  muss  man  die  Theilsätze  rechts  mit  arc  i'^zr^  sinl"  dividiren 

nnd  in  den  ersten  dieser  Gleichungen  d  mit—,  in  der  zweiten  hingegen  d 

d  ^ 

mit  -  vertauschen.    Man  erhält  alsdann : 
r 

x^=^Mdcosa  +  Md  cos  et  {Md  sm  «)•.  ^  sm*l'\ 
y  =  Nd  stna  —  Nd  sinac  (Nd  cos  cc)\  ^  sm*l" 
inSekunden  gelesen. 

Nun  ist  offenbar  ß  =  (p  +x^  folglich: 

ßs=g>  +  Md  cosa  +  MdcostL  (Mdsmaf.  |  ^'l", 
wo' Lg M  aus  der  Tafel  des  Anhangs  entlehnt  wird,  und  zwar  mit  dem  Ar- 
gument g>  +  ^Md  cos  a.  Hierbei  kommt  es  auf  ein  paar  Sekunden  mehr 
pder  weniger  nicht  an,  wesswegen  man  vorläuffg  Lg  M  mit  dem  Argument  9 
aushebt,  Md  cosa  mit  fünfzifrigen Logarithmen  berechnet.  —  Für  4=54374'^, 
fp  sx:  51«  48'  2"  nnd  u  =  185»  42'  22"  findet  man  z.  B.  ilf  d  cm  «  =  —  8412",  und 
somit  9>  +  |ilf  d CM  «  =  51«  19'  36". 


Kleinere  Mittheilungea.  Gt 


Derjenige  grösste  Kreis,  ▼ob  welchem  y  ein  B<^en  iat»  dorohsehneidet 
den  Aeqnator  im  Ost-  and  Wes^onkt;  es  liegt  folglich  B  dem  Aeqnator 
näher  als  6,  d.  h.  es  ist  ß  >  ^\  Beseiohnet  man  diesen  kleinen  Unterschied 
mit «,  setzt  also 

so  wird 

9inip=sinß — u.cotß. 
Aber  andererseits 

sing/  =  cosy  ,  sin  ß^ 
folglich 

sinß  —  u  cos  ß  =  cos  y ,  sin  ß. 
Diesen  Ausdruck  mit  cos  ß  dividirt,  so  kommt,  wegen  cosyz=:i  —  ^y*: 

fär  den  Halbmesser  ==1^1;  oder 

u=:MN.y^.tgß.  Jwrt  l" 
in  Sekunden  gelesen. 

Da  aber  u  stets  ein  Bogen  ist,  welcher  selten  eine  Minute  erreicht, 
so  darf  man,  ohne  von  der  Genauigkeit  etwas  merkliohes  anfauapfem,  y  mit 
ösina  y ertauschen ;  also : 

tp=ß  —  MNi^sinhe  .tgß.  ^sin  l".     . 


Der  Lingenuntersehied  os=ANB  ergiebt  sich  aus  der  Gleichung: 
iga=i:igy  .  secß 
oder 

10  +  ^af  :=  y  .  sec ß  -{-  li^ .  sec ß. 
Es  ist  aber  yz=s  N8  sinu  —  Nä  sin «  {Nd  cos «)* .  ^;m  l",   und  sehr  nahe 
|y«==id»Än»a,  folglich: 

M  =  Ndsinasecß —  Nd smcc sec ß (NS cosay .  i««'!" 

—  Ifäsincc  secß  {Nö  sincclg  ß)*,}sinn'\ 
Wegen  «  =  360°  —  P.  «  +  180»  =  ^  +  I80;  und  Aa  =  («'  —  «)  — 180» 
igt  offenbar 

Aa  =  180»—  iA+B)i 
folglich 

^    ,  cosl(BN+AN)     ^   ,  ^ 

oder 

'  cosi{ip  —  ip)    ^* 

welches  die  zuerst  von  Dalbot  (im  Jahre  1792)  aufgestellte  Gleichung  ist. 

Da  aber  Aa  und  co,  folglich  nur  um  so  mehr  ^Aa  und  |0»,  kleine  Bo« 
gen  sind,  so  darf  man  schreiben: 


62 


Kleinere  Mittheilangen. 


Die  Endgleichungen  der  Tier  vorhergehenden  Artikel  enthalten  die 
▼ellständige  Auflösung  der  Aufgabe.     Um  absuktirzon  will  ich  setsen: 

d  <;osa  =  m  und  6  sma:=n 
und  dann  gehen  die  vier  Formeln  in  folgende  Ausdrücke  Aber: 
ß=g>  +  Mm  +  Mm.  M^n\  J««»!" 
ip  =  ß-^  MN.  n*/gß .  Jm  l" 

Nn  .8ecß  =  Wo 
CO  =  Wo—  ©0^»»'.  *«>»V'—  öo^V  ig'ß  .  i  sin^i'' 

wo  ^  mit  dem  Argument  g>  +  ^6  cos  a,  N  aber  mit  dem  Ai^ument  ß  aus 
den  Tafeln  zu  entlehnen  ist 

Um  den  Gebrauch  dieser  Formeln  au  erläutern ,  will  ich  ans  der  Han- 
noverschen Oradmessung  die  ungewöhnlich  grosse  Distanz:  Brocken- 
in selb  erg  ausheben.  Nach  den  Bestimmungen  des  unsterblichen  Q  ausa 
ist  die  Breite  des  Brockens  =  51®  48'  l'  9294  =  9),  Azimuth  Brocken  -  Insel- 
berg  =  185»  42'  2l"  7699  =  a  und  d  =  54347V 

Nach  Artikel  (2)  ist  das  Argument  fttr  ilf . . .  51<^  19'  36''.  Man  hat  daher 
aun&chst : 


J^.  cos  a  =  9,9978427« 
Lg.d....=z  4,7353929 
Lg.  .  smccz=z  8,9974891, 
Lg,  m 


Lg.  n 


. .  =  4,7332356, 
,  .  =  3,7328820, 


Lg.M 8,7998544 

Lg.m .  4,7332356, 

Lg.  {Mm)  . .  3,5330900, 

Lg.n* 7,46576 

Lg.M* 7,59971 

Lg,  (^m*r)  8,89403 -20 
^'{ )7,492öÖn 


<p =  51M8''  l"929 

Mm =  —5652,686 

Mm  .  ilTn».  isin^''  =        —0,(m 
/J  =  50®  51'  9"2W 


Lg.M  ....  =  8,79989) 

=  8.79873  K^'^^-^^ 


Lg.N  ... 
Lg.n*  ... 
Lg-igß  •> 
Lg.{lsml' 

Lg^i 


=  7,46576 
=  0,08935 
=  4,38454—10 


I  =  9,53827 
--MN.n^'igß.lsinl"  ^—(f   0'0"346 

ß=     50  51  9,290 

Geodätische  Breite  des  Tnselbergs  9>'=     50®5l'8"o«. 


Kleinere  Mittheilungen. 


63 


Lg 
1«' 
Lg 
Lg 

Lg 
Lg- 
Lg 


secß  .. 


t  0,1097520 


N =  8,7987282 

n --=  3,7328820^ 

0^  ..,..=  2,7313622^ 

IP =  7,59740 

»I« =  9,46647 

{^  sin*  T)  =s  8,59300—20 

( )=  8,38829, 

»0  • 


Lg.ao ^2,73136„ 

Lg.N^ =  7,59746 

Lg.n^ =  7,46576 

Lg,  ig*ß =  0,17870 

Lg.  (^sin*0  =  8,89403— »o 
Lg.i )=  6,86731, 


=  —  8'58"719 

—  ©0  l^m\  isinH'\  . .  .  =     +0,024 

—  Wo  N*n\  tg^ß  .  i ^M"  =     +    0,ooo.7 
Geod.  Längenbogen  Inselberg-Brocken  <o  =  —  8'58"g95 

Für  die   Berechnung    des  zweiten    Azimnths   hat    man    aunäehst: 
i  (9>  +  9)  =  51**  lö'  35' 437  und  ^  (fp  ■—  9';=  28'-26"492;  folglich: 

Lg.  sin  ^((p  +  <p)  . .  .  =  9,8924951 
Cp.  Lg.  cos^[(p  —  <p)  =  0,0000149 
Lg,m, —  2,7313429, 


Lg.  Aa  =  2,6238529, 
Aa  =J  —  420"58* 


=  —  OP   7'   o"584 
180^  +  a  =        5    42  21,  77» 
Geodätisches  Azim.  Inselb.-Brocken  a  =        5®  35' 2l''is3  . 


Nach  den  äusserst  scharfen  Berechnungen  von  0.  F.  Gauss  (Untei^ 

suchungen  flber  Gegenstände  der  höhern  Geodäsie ,  2.  Abtheilung ,  8.  35) 

ist 

9'=50»5r8"944;    a>  =  — 8'58"7«0;   a=5»36'2rif2 

Hiervon  obige  Resultat 50  51  8,»^^; —  8  58, (»5;    5  85  21,i86 

Differenzen 


—  0,001;     +  0,OOJ; 


0,C 


Die  nachstehenden  Tafeln  können  bei  verschiedenen  Rechnungen  der 
geodätischen  Geographie  mit  Vortheil  angewendet  werden.  Folgende  Auf- 
gaben mögen  diesen  Satz  rechtfertigen. 

1.   Die  Entfernung  zweier  Parallelen  zu  berechnen. 

Einen  Meridianbogen,  dessen  Winkel  weite  nicht  über  4  bis  5  Grade  hin- 
ausgeht, darf  man  als  Kreisbogen  ansehen,  welcher  den  Krfimmungshalb- 
messer  am  Halbirungspunkt  zum  Halbmesser  hat.  Bezeichnet  also  g>o  die 
geographische  Breite  des  nördlichen ,  91  die  des  südlichen  Parallelkreise8> 
und  wird  q>^ —  9i  in  Bekunden  gelesen,  so  giebt  die  Gleichung^: 

s  =  Q((p^~fp,)  .sin\'\ 
unter  s  die  lineare  Lauge  des  gesuchten  Meridianbogens  verstanden. 


64 


Kleinere  Hittheilungen. 


Tafel  I:  Logarifhmen  yon  Jlf  exthaltend. 


Breite 

Lg.üf. 

Breite. 

Lg.ilf. 

Diff.  etP.  p 

. 

450    0' 

8»8003323 

50«    0' 

8,7999536 

127 

123 

10 

3196 

10 

9411 

1 
2 

12 
25 

20 

3070 

20 

9286 

i           ** 
2 

10 
25 

30 
40 

2943 
2816 

30 
40 

9161 
9036 

3 
4 
5 

38 
51 
64 

3 
4 

5 

37 
49 
62 

^ 

2689 

50 

8911 

6 

7 

76 
80 

6 

,7 

74 

86 

8 

102 

8 

98 

46»  or 

2562 

51«    0' 

8787 

9 

114 

9 

111 

10 

2435 

10 

8662 

126 

,^      1 

20 

2309 

20 

8539 

X 

30 

2182 

30 

8415 

i 
2 

13 
25 

1 
2 

12 
24 

40 

2055 

40 

8291 

3 

38 

3 

37 

50 

1920 

50 

8168 

4 

5 

50 
63 

4 

5 

49 
61 

6 

76 

6 

78 

47»    0' 

1802 

52«    0" 

8045 

7 

8 

88 
101 

7 

8 

85 
98 

10 

1675 

10 

'  7921 

9 

118 

9 

110 

20 
30 

1549 
1422 

20 
30 

7798 
7676 

125 

121 

40 

80 

1296 
1169 

40 

50 

7553 
7430 

1 

2 
3 

13 
25 

S8 

i 
2 
3 

12 
24 
36 

4 

50 

4 

48 

480    0' 

1043 

53«    0' 

7308 

6 
5 

63 
75 

5 

6 

61 
72 

10 
20 

0917 
0791 

10 
20 

7187 
7065 

7 
8 
9 

88 
100 
113 

7 
8 
9 

85 
97 
109 

30 

0665 

30 

6944 

40 

0539 

40 

6822 

124 

1 

20 

50 

0414 

50 

6701 

1 

12 

1 

12 

2 

25 

2 

24 

3 

37 

3 

36 

49«    0' 

0287 

54«    0' 

6580 
6460 

4 

SO 

4 

48 

10 

0162 

10 

5 
6 

62 
74 

5 
6 

60 
72 

20 

0036 

20 

6339 

7 

87 

7 

84 

30 

8,7909911 

30 

6219 

8 
9 

99 
112 

l 

96 
108 

40 
50 

9785 
9660 

40 
50 

6099 
5979 

10-;  2",i 

30" 

«".« 

50«    0' 

*        9536 

55«    0' 

5859 

20       4,     1 
so"     6,    2 

40 
50 

8,    3 
10,    4 

Kleinere  Mittheiltmgen. 


65 


Tafel  n:  Logurifhmea  von  N  anfhidtend. 


? 

Lg.i\r. 

ß 

Lg.i\r. 

Diff.  etP.  p 

• 

45»  0' 

8,7968758 

500  0- 

8,7087494 

10 

8715 

10 

7453 

< 

13 

40     1 

20 
30 

8673 
8031 

20 
30 

7411 
7370 

j' 

4 

• 

1' 
2 

4 
8 

40 
50 

8588 
8540 

40 
50 

7328 
7287 

13 
17 
22 

3 

4 
6 

12 
16 
20 

26 

6 

24 

46Ö  0' 

8504 

510  0' 

7245 

SO 
84 

7 

8 

28 
82 

10 

8401 

10 

7204 

39 

9 

86 

20 

8419 

20 

7162 

30 

8377 

30 

7121 

42 

8«     1 

40 

8335 

40 

7080 

f 

4 

4 

50 

8202 

50 

7039 

2 

8 
18 

8 
12 

17 

4 

16 

470  or 

.8250 

520  0' 

6908 

21 

9!k 

6 

20 
23 
27 

10 

8208 

10 

6057 

*9 

29 

20 
30 

8160 
8124 

20 
30 

6916 
6875 

84 
88 

81 
86 

40 

8081 

40 

6834 

i 

11 

50 

8080 

50 

6793 

./ 

4 

48Ö  O' 

7997 

530  or 

6752 

8 
12 

10" 

0,7 

10 
20 

7955 
7913 

10 
.  20 

6711 
6671 

16 
21 
26 

20" 

80 

40 

1,4 
2,1 
2,8 

30 
40 

7871 
7829 

30 
40 

6631 
•6590 

29 
88 
87 

60 

3,5 

50 

7787 

50 

6550 

400  0' 

7745 

540  O' 

6510 

10 

7703 

10 

6470 

20 

7661 

20 

6430 

30 

7620 

30 

6390 

• 

40 

7578 

40 

6349 

50 

7536 

50 

6309 

50»  0' 

7494 

550  0' 

6269 

Zeitschrift  f.  Afathomatik  u.  Phytik.    VI,  I. 


66  Kleinere  Mittheiluogen, 


Nnn  ist  M  =       ^    ., ,  d.  i.  p  ==  ^jt-t-tt;  5  folglich 

WO  M  mit  dem  Argument  \  {q>o  +  9>j)  =  9>i  +  i  (Vo  —  9>i)  »'»s  Tafel  I.  za 
au  entlehnen  ist.  Sei  z.  B.  ip^  =  55^  9,  =  50*»,  so  ist  ^  {<po+  9>,)  =  52»  30' 
und  g)o  —  9i  =  5^  =  18000";  folglich : 

Lg.  l-  =  1,2002324 

^Ö^-  (<Po—9i)  =  4,2552725 

I^.  ^  =  5,4555049;  s  =  285433  Toisen. 

2.  Die  lineare  Länge  des  Breitengrades  ^^  für  eine  ge- 
gebene Polhöhe  =q>  zu  berechnen. 

Im  vorliegenden  Fall  ist  9?o  —  9^1  =  1**=  3600";  folglich 

g^  =  ^'  3600; oder ^9^  —  3,5553025— I^.JIf. 

Sei  z.  B.  g)  =  51"  19'  50",  so  hat  man: 
Lg.  consi.  =  3,5563025 
Lg.  M      =  8,7998541  —  10  . 

Lg.g^...z=z  4,7564484 ;  g^  =  570701^. 

3.  Dife  lineare  Länge  ded  Gradbogens  im  Azimuth  =  OO 
SU  berechnen. 

Die  Aenderung  des  Krümmungshalbmessers  der  Oberfläche  des  £rd- 
phäroYds  nimmt  vom  Azimuth  0"  his  zum  Azimuth  =  90"  fortwärend  ab» 
Bezeichnen  wir  also  die  Länge  des  gesuchten  Gradbogens  mit  ^^i  so  gilt 
(nur  um  so  mehr)  die  Gleichung: 

gr—jr'  3600; oder Lg. g^-v^  3,5563025  —  Lg N 

Sei  z.  B.  wiederum  g)  =  51"  19'  50",  so  findet  man  leicht  g^  =  57225'^i)5. 

4.  Die  lineare  Länge  des  Längegrades  unter  der  Pol- 
höhe ==  q>  zu  berechnen. 

Diese  Länge  ist  bekanntlich  ein  Produkt,  an  welchem  g^  den  einen, 
und  der  Cosinus  der  Breite  den  andern  Faktor  bildet,  d.  h.  es  ist 

«  gr  =  gr^  CO*  9  = -ZI.  3600.  co5g> 

unter  g  die  Grösse  des  gesuchten  Längengrades  verstanden. 

5.  Den  Krümmungshalbmesser  der  geometrischen  Erd- 
oberfläche im  Azimuth  =  of,  unter  der  Polhöhe  =  %  zu  be- 
rechnen. 


Kleinere  Mittheilangen.  ^7 


Es  beseiehne  R  diesen KrttmmiiDgslialbmesaer,  80  gilt*)  die  Gleichung: 

Jti       ^  r  ' 

also 

Hierans  wegen  ^*  a  =  1  —  o»*  tf ,  durch  Emsetznng  von  M  und  JV 

Man  Tertansehe  nun  eo^  a  mit  ^  (cm  2 «  +  1),  so  ergiebt  sich  leieht : 


▼.  Vaohtrige  nnd  Verbeisemngen  n  der  Sehrift :  Hene  üntenmehimgen 
über  frei  rotirende  Xlteigkeiten  im  Zustande  des  Oleiehgewiehts,  von 
Dr.  Lttdwiq  Matthibssbn,  Docent  an  der  Kieler  Universität.  Kiel,  Akad. 
Buchh.  (1860).  Von  dem  Verfasser. 

Nachdem  im  fünften  Hefte  dieses  Jahrgangs  bereits  eine  kurze  Anaeige 
der  obgenannten  Schrift  abgedruckt  worden  ist ,  fühlt  Verfasser  sich  ver« 
pflichtet  y  eine  kleine  Anzahl  von  Unrichtigkeiten  nachträglich  zu  verbes« 
Sern,  weswegen  derselbe  sieh  die  Entschuldigung  des  Publikums  höflichst  erbit- 
ten muss.  Diese  Incorrectheiten  haben  aus  mehrfachen. Gründen  leider  nicht 
vermieden  werden  können ,  hauptsächlich  sowol  wegen  eines  aus  officiellen 
Rüekdehten  beschleunigten  Druckes,  da  die  Abhandlung  zu  einer  Einladungs- 
schrift bestimmt  war,  als  wegen  einer  unfreiwilligen  Abwesenheit  des  Ver- 
fassers vom  Druckorte.  Zugleich  fühlt  sich  derselbe  zu  Dank  verpflichtet 
ftir  die  Willigkeit,  mit  welcher  die  geehrte  Bedaction  die  folgenden  Nach- 
träge und  Verbesserungen  in  die  Zeitschrift  aufzunehmen  bereit  gewesen  ist. 

Der  Standpunkt,  aufweichen  die  Lösung  des  betreffenden  Problemes 
bis  jetzt  gelangt  ist,  gewährt  in  der  That  noch  immmer  sehr  wenig  Befrie- 
digung. Die  Schwierigkeit  desselben  ist  längst  anerkannt  worden;  man 
muss  diesen  Feind  der  hohem  Analjsis  durch  vereinzelte  Angriffe  zu 
schwächen  suchen :  das  Problem  von  seinen  speciellen  Seiten  zu  betrachten, 
wird  zunächst  die  Hauptaufgabe  sein.  Die  geringe  Befriedigung  der  Theo- 
rie ist  aber  doch  insofern  etwas  erhöht,  als  eine  wichtige  Frage  erledigt 
sein  dürfte,  welche  zuerst  von  Laplace  in  seiner  Mechanik  des  Himmels 
aufgeworfen  zu  sein  scheint,  von  ihm  aber  nicht  genügend  beantwortet  wor- 
den ist,  da  ihm  die  schöne  Entdeckung  Jacobi's  noch  verhüllt  war,  näm- 
lieh  die  Frage :  ob  mehrere  Zustände  oder  Figuren  des  Qleichgewichts  für 


*)  De  computandis  dimensionibos  trigonometricis  in  superficie  terrae  sphaeroi 
dica  institntli  eommentator  J.  Th.  F.  Bohnenberger,  Tub.  1836,  p.  8. 

6» 


Kleinere  Mittheilnngen. 

eine  und  dieselbe  ursprüngliehe  Kraft  oder  Bewegnngsquantitilt  einer  frei 
schwebenden  homogenen  Flüssigkeitsmasse  möglich  seien ,  wenn  ihre  Mole- 
küle sich  bloss  nach  dem  allgemeinen  Gesetze  der  Schwere  anziehen.  Das 
Resum^  der  hierauf  bezüglichen  Untersuchungen  (Seite  72)  erweisst  nun, 
dass  es  wenigstens  drei  (nicht  vier)  solcher  Zustände  gäbe ,  bei  denen  sich 
die  Summe  der  Bewegungsquantität  von  einem  gewissen  endlichen  Werthe 
an  dem  Werthe  oo  immer  mehr  nähert,  nämlich  das  Jacobi^sche,  das  sehr 
abgeplattete  Rotationsellipsoid  und  ausserdem  noch  ein  wenig  abge- 
platteter freier  Ring.  Die  in  der  Abhandlung  an  derselben  und  andern 
Stellen  wiederholt  ausgesprochenen  Vermnthnng ,  dass  ein  zweiter  sehr  ab- 
geplatteter Ring  von  elliptischen  Querschnitt  und  ohne  Centralkörper  auch 
eine  Gleichgewichtsfigur  bilden  könne,  haben  durch  genauere  Untersuchun- 
gen ,  welche  Verfasser  später  zu  veröffentlichen  gedenkt,  sich  als  falsch  er- 
wiesen, wenngleich  bei  der  Annahme  eines  verhältnissmässig  grossen  Cen- 
tralkörpers  die  Analysis  einen  solchen  ergibt.  Die  Gleichung  der  Bewegung 
eines  unmerklich  abgeplatteten  Ringes  ist  sehr  nahe 

V  =  —  log  nai  ^ 

worin  «=z  2,718281 . . .  und  welche  als  die  genauere  für  (130)  zu  setzen  ist. 
Für  den  bekannten  Werth  V  =  0,00229971  liefert  sie  die  Wurzel  7^=33,23. 
Die  Gleichung  der  Bewegung  und  des  Gleichgewichts  eines  sehr  abgeplat- 
teten Ringes  mit  beträchtlicher  Oeffnung  müsste  aber  nahezu  sein : 

c«  ,  d4r* 

V  =  — ^,  log  nat  — r- 

Allein  da  nach  (121)  Seite  67  für  sehr  abgeplattete  Ringe  nähenings- 

2    /              2      \                               2 
weise  r  =  --  (nicht— p  )  d.  h.  V=-—p= gefanden  wird,   so  würde 

man  erhalten 

—  =  — r  log  nai.  — r-  ' 

Diese  Gleichung  liefert  aber  einen  Werth  für  das  Verhältniss  von  c  zu  r, 
der  wenig  von  der  Einheit  abweicht,  was  gegen  die  Annahme  ist,  dass  die 
Oeffnung  beträchtlich  sein  soll.  Deshalb  gibt  es  ni  cht  einen  sehr  abgeplat- 
teten Ring  ohne  Centralkörper  als  Gleichgewichtsfigur.  Die  Gleichung  ge- 
winnt aber  doch  wieder  ihre  praktische  Bedeutung,  wenn  man  sie  auf  die 
Satumringe  anwendet.     Setzt  man,  was  nahezu  richtig  ist,  für  den  Saturn- 

ß         I 

ring  als  Ganzes  betrachtet  -  =-,  ^1  +  X*  =^-  200,  so  ist  in  Verbindung  mit 

Gleichung  (120) 

^=17?  +  "'^' 

und  wenn  femer,  was  wol  wenig  von  der  Wahrheit  abweicht,  2  Ä  =:r  und 
3  ^'  £=  ^  angenommen  wird 

V  ==  0,02778  +  0,00052. 


Kleinere  Mittheilungen.  69 

Da  abo  die  Anziehung  des  Binges  auf  sich  nngeftbr  0,01  der  Umdre- 
hangsgeachwindigkeit  ausmacht,  so  mtisste  die  Umlaufsseit  dadurch  um 
mindestens  6  Minuten  verringert  werden ,  eine  Ghrösse ,  die  sich  leider 
der  Beobachtung  so  lange  entziehen  wird,  als  überhaupt  die  Eevolu- 
tionsdaner  der  Binge  noch  nicht  mit  Sicherheit  beobachtet  ist.  Hier  ist  na- 
tflrlich  nur  von  einer  mittleren  Umlaufsseit  aller  fünf  Binge  die  Bede,  die 
gewiss  für  alle  verschieden  ist,  da  sie  sich  wol  ziemlich  nahe  nach  den 
Kepplerschen  Gesetzen  umdrehen. 

Nachdem  jene  Frage  beantwortet  war,  lag  die  .folgende  sehr  nahe:  ob 
es  nicht  auch  eine  ursprüngliche  Kraft  oder  Momentensumme  der  Bewegungs- 
quantit&t  g&be,  durch  welche  eine  homogene  frei  schwebende  Flüssigkeits- 
xnasse  in  zwei  oder  mehr  verschiedene  Zustände  des  Oleichgewichts  von 
einer  und  derselben  Botationsgeschwindigkeit  übergeführt 
werden  könne.  Die  weiteren  Untersuchungen  des  Verf.  haben  zu  folgenden 
sehr  merkwürdigen  Besultaten  geführt.  Die  Coezistenz  der  Gleichungen 
(58)  und  (71)  erfordern  die  beiden  Belationenen 

r=  0,011,     ^  =  0,177. 
Zu  diesen  Werthen  von  V  und  E  gehören  die  Axenverhältnisse 
ü  ;  6  c=  1  :  .140  (Botationsellipsoid) 
a  :  6  :  c  =  1  :  1,0114  :  20,6   (Jacobi'sches  EU.). 
Der  Bing  olme  Centralkörper  vermehrt  diesen  Fall  um  einen  zweiten.   Die 
Coexistens  der  Gleichungen  (58)  und  (132)  liefert  die  Wurzeln 

r=i  0,0038,     J&  =  0,252 
die  zugehörigen  Axenverhältnisse  sind: 

a  :  r  =  1  :  25,1  (freier  Bing) 
a :  r :  e  =  1  :  1,0019  :  38,7  (Jacobi'sches  EU.)- 
Die  Gleichungen  (71)  und  (132)  ergaben  nach  einer  genauen  Bechnung 
keine  Werthe  für  V  und  JF,  wiewol  innerhalb  der  Gränzen  V  =  0,02  und 
0,12  die  zugehörigen  Werthe  von  E  nur  um  hundertstel  Theile  von  einander 
abweichen.  Um  die  Vorstellung  des  gegenseitigen  Verhältnisses  von  V  und 
£  in  den  Gleichungen  (58) ,  (71)  und  (132)  bisher  zu  fixiren,  kann  man  V 
und  E  als  Coordinaten ,  jene  Gleichungen  als  die  dreier  ebenen  Curven  be- 
trachten, von  denen  Fig.  11,  Taf.  11  ein  Bild  gibt.  Für  Werthe  der  Ordina- 
ten  £  >  0,252  laufen  die  drei  Curven  neben  einander  her,  ohne  sich  noch- 
mals zu  kreuzen.  Schliesslich  mag  noch  bemerkt  werden,  dass  für 
gleiche  E 

und  für  gleiche  V 


Lim{Vß:  Vri  Ff)  =0:1:^^ 


Lim {Eß  :  Er  :  Ei)t=i 0: 1  : 


(6jr)l 

wo  die  Indices  ß^r^i^  resp.  dem  Botationsellipsoide ,  dem  Binge  und  dem 
Jacobi'schen  Ellipoide  angehören. 


70  ^  Kleinere  Mittheihtngen. 

Die  Druckfehler ,  die  schon  am  Schlnflae  des  Dräckee  bemerkt  wurden, 
sind  auf  dem  umschlage  der  Abhandlang  berichtigt  worden.  Hier  hat  Terf. 
noch  folgende  Verbesserungen  anauseigen  fKr  nothwendig  erachtet« 

8.  84,  Z.  4  V.  Um  in  Formel  (41)  lies  3  +  X*  st  3  +  X.  Im  Folgenden 
muss  es  weiter  heissen:  „Diiferenzirt  man  diese  Function  von  V  +  ^  und 
setst  den  Differentialquotienten  gleich  Null,  so  erhKlt  man 

Diese  Gleichung  bestimmt  die  Grftnze  von  F,  ausserhalb  derer  das  Oleich- 
gewicht mit  einer  elliptischen  Figur  unvereinbar  ist.  Nach  der  sehr  ge- 
nauen Berechnung  von  Ramus  erfordert  die  Coexistens  der  Gleichungen 
(410  und  (42)  die  Werthe''  u.  s.  w. 

Auf  S.  40  betragen  die  Trägheitsmomente  von  3)  4)  5)  das  Doppelte; 
dasselbe  ist  8.  43,  44,  45  überall  bu  berichtigen« 

8.  40  ergXnse  in  den  Gleichungen  (62),  (63),  (64)  rechts  den  Faktor  dt. 

8.  55,  Z.  7  Y.  o.  u.  fg.,  sowie  in  Bezug  auf  8.  56,  Z.  3  y.  u.  gilt  das- 
jenige, was  schon  oben  über  die  Nichtexistenz.  eines  sehr  abgeplatteten 
freien  Ringes  mit  grosser  Oeffnung  gesagt  ist.  Es  genügen  nicht  zwei  Fi- 
guren des  Querschnitts,  sondern  nur  eine  dem  Gleichgewichte. 

8.  60,  Formel  (109)  muss  lauten : 


«*       _  2f     2  — 


3  V 


"  y^^r-' 


8. 64  ergänze  in  der  zweiten  Zeile  der  Formel  (114)  innerhalb  der  Klam- 
mern vor  F  beidemal  den  Coeffizienten  ]/  —  i.  Zur  Erläuterung  muss  hier 
die  Bemerkung  hinzugefügt  werden,  dass  wenn  F{x  +  yi^  r  +  *•,  i)  eine 
Funktion  beliebig  vieler  reeller  und  complexer  Grössen  darstellt,  die  Summe 
F{x  +  yiy  r  +  «t,  <)  +  ^  (a;  —  yt ,  r  —  «,  i)  stets  reell  und  die  Differenz 
derselben  Ausdrücke  stets  imaginär  sein  muss.  Die  Gleichung  (114)  schliesst 
die  allgemeinste  Methode  in  sich,  eine  Function  complexer  Grössen  in  ihre 
Bestandtheile  zu  zerlegen. 

ErstesBeispiel:  Gegeben  sei  die  Funktion  l  (a?  +  yi).  Der  reelle 
TheU  ist  V2  '  («  +  yO  +  V2  '  G^  —  y 0  =  V2  U^  +  /) ;  ^^^  im»ginäre 
aber 


T,(,+y.)-j/^'(— y0}  =  4/g±^) 


=sy^—  1  arc  tan  Vjx* 
Zweites  Beispiel:  Die  Funktion  {x  +yO**  »0  die  Form  P+  Q  }/^^i 
umzuwandeln.     Der  reelle  Theil  i«*  7  s  (^  +  yO    +  (^  +  yO       r- 


Klemere  Mittheilungen.  7 1 

Nun  ist  (x  +  yt)       =  « 
folglich  mit  Anwendaag  des  Resultats  der  vorigen  Aufgabe  der  reelle  Tbeil 
der  Funktion 

2  «  \ö  +  e  j 

1       —  V  arc  tun  V«  r     •  "k 

=  -e  <?0#|{f  (a?«4.y«)| 

der  imaginäre  Tbeil  ist 

Man  siebt  leicbt  ein,  dass  nicbt  allein  die  Summe  irgend  welcher  zweier 
coDJngirter  Funktionen  complexer  Variabeln,  sondern  auch  ihr  Produkt 
einen  reellen  Werth  hat. 

S.  66,  Z.  16  V.  0.  in  der  ersten  Klammer  der  Gleichung  (19  lies  r*  str,. 

S.  67,  Z.  17  V.  u.  lies  ^  St.  Vjp. 
3  p. 

8.  70,  Formel  (128)  muss  also  lauten: 

und  mit  Vernachlässigung  der  sehr  kleinen  Grösssen  von  der  Ordnung  —^ 

r  :=  — =  /ogf  nat  —y 
4r'  ear 

Berechnet  man  den  zn  F  =  0,0022d971  geb6rigen  Wurzelwertb  der 
Gleichung,  so  erhält  man  statt  31,45  den  genaueren  33,23. 

S.  71,  Z.  6  y.  o.  lies  0,13805  st.  0,16643.  Die  obige  genaue  Formel  gibt 
den  Werth  0,12732. 

S.  71,  Z.  1  y.  n,.   Das  Trägheitsmoment  eines  Ringes  mit  elliptischem 

Querschnitte  st.  nicht  das  hier  gegebene ,  sondern  Mi*  +  M  —(yergl.  Zeit- 
schrift pag.  201) ;  hiernach  yerwandelt  sich  anch  (132  in 

Edi  =  ^(4r»  +  ac*)rf< 
8 

Mit  Bezug  auf  Z.  21  n.  3  y.  u.  gilt  dasselbe,  was  schon  oben  über  die 
falsche  Annahme  zweier  Hinge  statt  eines  einzigen  gesagt  ist. 

8.  73,  Z.  12  y.  0.  muss  es  heissen:  &=3C=2  1,00433441. 

8.  73,  Z.  13  y.  0.  6=1,0023,  c  =  52,379.  Diese  Abänderung  ist  die 
Verbesserung  eines  Rechenfehlers ,  welcher  aus  der  öfters  yom  Verf.  citirten 
Abhandlung  yon  Meyer  im  Joum.  yon  Grelle  XXIV  (1842)  leider  schon  in 
die  Schrift  betitelt:   Ueber  die  Qleichgewichtsfiguren  (Kiel  185)  pag.  62,  65 


72  Kleinere  Mittheilongen. 

übergegangen  ist.  Es  betrifft  diese  Bemerkung  die  von  Meyer  berechne- 
ten Axenverhältnisse  des  Jacobiscben  Ellipsoids  mit  Bücksicbt  auf  den 
Werth  Vs=s  0,00229971  des  Erdspbäroides.   Meyer  will  gefunden  haben. 

a:ft:c  =  l:  1,018:19,67 
wogegen  die  richtige  Proportion  lautet: 

a  :  6  :  c  =  1 :  1,0023  :  52,279 
und  jenes  Azenverhältniss  gar  nicht  möglich  ist ,  wol  aber 
a  :  6  :  c==  1 : 1,012  :  19,57  ftür  F=  0,0115 
a  :  6  :  c  =  1  : 1,018  :  15,6    ftlr  r=  0,0163 
Die  Integration  der  Bewegungsgleichungen  (40)  ergibt  nämlich  für  klei- 
nere Werthe  der  Botationsgeschwindigkeit  nahesu 

X*  _2lognat2Xy  —  Z 

sodass  1  +  r  ein  Nähernngswerth  von  j/l  +  I'  ist  und  für  beträchtlich 
grosse  Werthe  von  A,  die  Gleichung  des  Gleichgewichts  übergeht  in 

""-  V 

2r 
in  wunderbarer  Uebereinstimmung  mit  (130),  wenn  man  —  statt  A^  setzt. 

In  der  That  nähern  sich  beide  Figuren ,  das  ungleichaxige  Ellipsoid  und 
der  Bing  immer  mehr  dem  Zustande  eines  unendlichen  Cylinders  mit  kreis- 
förmiger Basis.  Bedeutet,  um  diese  Ideen  zu  fixiren ,  M  die  Masse ,  a  die 
halbe  kleinste  Axe,  so  resultiren  für  die  genannten  Gleichgewichtskörper 
die  Belationen 

r  =  -^log  nai  ^;    F=  ^  lag  nai  j-^^. 

Ferner  ist  für  gleiche  ilf  und  a,  das  Verhältniss  von  c  zu  r  gleich  39r  und 

Lim  (  -r^  j  =  «*,  oder £im  -^  ==  jt. 

Die  angeführten  Formeln  gewähren  zur  Berechnung  der  vorliegenden 
Fälle  hinreichende  Genauigkeit;  die  genaueren  Integrale  von  (40)  geben 
wenig  abweichende  Besultate. 

S.  73  ist  unter  der  Z.  20  einzuschalten :  c  =  1,0092,  r  ==oo . 

8.  74  in  der  zweiten  Beihe  der  „secundären  Körper*'  unter  dem  Artikel: 
Hohlkugel,  für  r>  0  zu  lesen  „von  endlichen*'  statt  „von  unendlichen**. 

Jever,  Dr.  Matthiessen. 


TL  Zur  meohanitchen  Wännelehre.  (Berechnung  derjenigen 
mechanischen  Arbeit,,  welche  zur  Zerlegung  einer  chemi- 
schen Verbindung  erforderlich  ist.) 

1)  Es  seien  A  und  B  die  Atome  zweier  Grundstoffe.  Das  Gewicht  von 
A  sei  gleich  p^  das  von  B  gleich  p„  während  m|  und  m^  die  entsprechenden 


KJeinere  Mittheilungen.  73 

Massen  sein  mögen.  Der  Wftrmesustand  sei  der  Art,  dass  Ä  mit  einer  Ge- 
schwindigkeit =  9|  nnd  B  mit  einer  solchen  =  9,  schwingt.  Soll  nnn  die 
Sehwingongsgeschwindigkeit  Ton  A  anf  v^j  die  von  B  auf  »4  gebracht  wer- 
den, so  muss  hiedurch  die  lebendige  Kraft  von  A  auf  m^vf  —  ^iV,*,  die 
von  B  um  m^v*  —  ^v^  wachsen.  Die  mechanischen  Arbeiten,  die  an 
diesem  Behnfe  verrichtet  werden  müssen,  seien  beziehnngsweise  P^  nnd 
P^\  dann  ist  nach  dem  Gesetze  der  lebendigen  Ejräfte 

P.  =  A, 
wenn  m^v^  —  ifi|V|*  =s  m,v/  —  ^^t  vorausgesetzt  wird. 

Da  nnn  die  lebendige  Kraft  des  schwingenden  Atoms  ein  Maass  fiir  die 
Temperatur  ist  und  die  mechanische  Arbeit,  die  zur  Hervorrufung  einer  be- 
stimmten lebendigen  Kraft  erforderlich,  nach  den  Anschauungen  der  ündu* 
lations-Theorie  „Wtanemenge**  heisst:  so  haben  wir  den  Satz: 

Um  je  ein  Atom  der  verschiedensten  Grundstoffe  in 
der  Temperatur  um  gleichviel  zu  erhöhen,  ist  eine  und 
dieselbe  Wärmemenge  erforderlich. 

Diese  ganze  Entwickelung  beruht  offenbar  auf  der  Voraussetzung,  dass 
bei  Grundstoffen  das  einzelne  Atom  das  Schwingende  sei. 

2)  Bezeichnet  v  die  Wftrmemenge,  die  nöthig  ist,  um  ^^  in  der  Tempe- 
ratur um  einen  Grad  zu  erhöhen,  so  ist  dieses  w  auch  zugleich  die  Quanti- 
tät von  Wftrme,  die  bei  B  ftlr  den  nämlichen  Zweck  ausreicht.   Ist  pi  =  dem 

—  Theil  der  Gewichtseinheit,  /?t  =  —  derselben,  und  bezeichnen  wir  die 

spezifischen  Wärmen  derjenigen  Stoffe,  die  beziehungsweise  aus  Atomen 
von  der  Beschaffenheit  von  A  und  B  zusammengesetzt  sind,  durch  Sx  ^^^  't^ 
so  haben  wir: 

S|  s=ri9 .  a,  und  9,  =  tc? .  o,, 
also 

s,  :  *,  =  flj  :  fl,  (1) 

Es  ist  aber  auch: 

d  ,pf  =  1  und  dj  .^,  =  1, 
mithin 

Aus  (1)  und  (2)  ergibt  sich  aber : 

8f :  5,  =/>t :  Pi  oder:  *,  p,  =  «tPt«     ^'  h. 
Die    Atomgewichte    der   Grundstoffe   verhalten    sich 
umgekehrt  wie  die    spezifischen   Wärmen  derselben;  oder 
Das  Produkt  aus  spezifischer  Wärme  und  Atomgewicht 
hat  für  alle  Grundstoffe  den  nämlichen  Werth. 

3)  Das  Besultat  obiger  Entwickelung  wird  durch  die  Erfahrung  bestä« 
tigt,  indem  man  bekanntlich  nahezu  40  erhält,  so  oft  man  die  chemische 
Aequivalentzahl  eines  Grundstoffes  mit  der  spezifischen  Wärme  des  näm- 
lichen Grundstoffes  multiplisirt.  Auf  empirischen  Wege  ist  bekanntlich  auch 
dargethan  worden,  dass  das  Gesetz:  „die  spezifischen  Wärmen  verhalten 


74  Kleinere  Mittheilungeo. 


sich  umgekehrt  wie  die  chemischen  Aequivalentzahlen*^  auch  fttr  alle  che- 
mische  Verbindungen  von  tibereinstimmender  chemischer  Constitution  gilt. 
Die  Zahl,  welche  heraus  kommt,  wenn  man  bei  chemischen  Verbin- 
dungen die  spezifische  Wärme  mit  der  Aequivalenteahl  multipllzirt,  ist 
jedoch  dnrchgehends  grösser  als  40.  (Dieses  Produkt  ist  z.  B.  bei  Me- 
talloxyden, bei  denen  auf  1  Aequivalent  Metall  1  Aequivalent  Sauerstoff 
kommt,  nahezu  79  u.  s.  w.)   So  ist  z.  B. 

Aequivalentzahl  des  Sauerstoffs  mal  spez.  Wärme  des  Sauerstoffis  =  40; 
dagegen 

Aequivalentzahl  des  Zinkozyds  mal  spez.  Wärme  desselben         s=  70. 

Hieraus  ergibt  sich,  dass  einer  chemischen  Verbindung 
eme  grossere  spezifische  Wärme  zukommt,  als  einem  Grund- 
stoff zukommen  würde,  dessen  Atome  einzeln  eben  so 
schwer  wären  wie  diejenigen  der  chemischen  Verbindung. 

Worin  hat  dies  seinen  Grund? 

Der  Umstand ,  dass  ein  Zinkoxydatom  schwerer  ist  als  ein  Zinkatom, 
kann  die  verschiedene  Grösse  des  Wärmebedarfs  ni  cht  herbeiführen.  Denn 
auch  ein  Quecksilberatom  ist  ja  z.  B.  bedeutend  schwerer  als  ein  Zinkatom, 
und  doch  ist  die  Wärmemenge,  die  zur  Erhöhung  äet  Temperatur  eines 
Atoms  um  einen  Grad  erforderlich  ist,  ftir  Zink  genau  dieselbe  wie  fiär 
Quecksilber.  Wäre  jedes  Zinkoxydatom  eine  starre  Verbindung  aus  1  Atom 
Zink  und  1  Atom  Sauerstoff,  schwänge  dieses  Zinkoxyd  als  starres  Ganze 
und  hätte  es  bei  diesem  Schwingen  des  Gesammtatoms  sein  Bewenden ,  so 
müsste  die  gleiche  Wärmemenge  ausreichen^  um  1  Atom  Zinkoxyd  in  der 
Temperatur  um  1  Grad  zu  erhöhen,  wie  um  1  Atom  irgend  eines  Grundstof- 
fes um  1  Grad  zu  erhöhen. 

Da  dem  nun  aber  der  Erfahrung  gemäss  nicht  so  ist,  sondern  ein 
Zinkoxydatom  .mehr  Wärme  braucht  als  ein  Zinkatom,  um  in  der  Tempera- 
tur um  gleichviel  erhöht  zu  werden,  so  folgt  daraus,  dass  die  einfachen 
Atome  innerhalb  des  Gesammtatoms  gleichfalls  Schwingungen  ausfähren, 
dass  mithin  jede  Zufuhr  an  Wärme  nur  theilweise  zur  Erhöhung  der 
Schwingungsenergie  des  Gesammtatoms  verwendet  wird,  während  der  an- 
dere Theil  dazu  dient,  die  Schwingungsgeschwindigkeit  (die  Eigenbewe- 
gung) der  einfachen  Atome  zu  steigern.  Bei  fortgesetzter  Wärmezufuhr 
werden  letztere  (die  Schwingungen  der.  einfachen  Atome)  zuletzt  dermassen 
ttberwuehem,  dass  von  einer  Zusammengehörigkeit  der  einfachen  Atome 
keine  Bede  mehr  sein  kann ,  das  dynamische  Band  mithin ,  welches  die  ver- 
schiedenen Grundstoffatome  zusammenhielt,  als  zerrissen  betrachtet  werden 
muss.  Dann  ist  es  der  Wärme  gelungen,  die  chemische  Ver- 
bindung in  ihre  Bestandtheile  zu  zerlegen. 

4)  Es  sei  K  die  chemische  Aequivalentzahl  einer  unmittelbaren  chemi- 
schen Verbindung  aus  den  Bestandtheilen  A  und  B.  Um  Ar  Gewichtsein- 
heiten dieser  Verbindung  auf  die  (vom  absoluten  Nullpunkt  an  gezählte)  Tem- 


Kleinere  Mittheilangen.  75 


perfttor^TO  erheben,  mixss  ihr  eine  gewisse  Wärmemenge  ^beigebracht 
werden.  Diese  Wärmemenge  beBteht  aber  aoB  zwei  Bestandtheilen ,  yon 
denen  der  eine  {w^)  die  Schwingangsgeschwindigkeit  des  Gesammtatoms, 
der  andere  {w^)  diejenige  der  einfachen  Atome  unterhält  nnd  steigert.  Ee 
ist  somit  «7,  =3  fF —  tPj. 

Beseichnen  wir  die  spezifische  Wärme  der  chemischen  Verbindung 
durch  Sy  so  ist 

s .k=:  Cj 

wobei  e  ein  von  der  chemischen  Constitution  abhängiger  Goefficient  ist*), 

c  c 

also  *  =  "7,  folglich   fT  =  --  .  Ar .  <  ==  c  .  r, 

Ferner  ist  tc^i  =  40  .  ^;  denn  wäre  das  Gesammtatom  ein  starres  Ganze, 
so  dass  nur  seine  Schwingungen,  nicht  aber  die  der  einfachen  Atome  in 
Betracht  kämen,  so  müsste  ja  « .  /r  =  40  sein.  Wir  haben  somit: 

W,  =:=  <  .  (c  —  40). 

Geben  wir  nun  dem  i  die  spezielle  Bedeutung  der  Zersetzungstempera- 
tur, d.  h.  derjenigen  Temperatur,  bei  welcher  in  Folge  der  alleinigen 
Einwirkung  der  Wärme  die  chemische  Verbindung  sich  in  ihre  Bestand- 
theile  auflöst,  so  bedeutet  w^  diejenige  Wärmemenge ,  die  lediglich  auf  die 
Sdiwingungen  der  einfachen  Atome  verwendet  werden  muss,  um  eine  Tren- 
nung herbeizuführen.  Und  multipliziren  wir  dann  diese  Wärmemenge  wi 
mit  dem  mechanischen  Aequivalent  der  Wärme  (das  durch  q  bezeichnet  sein 
mag),  so  haben  wir  offenbar  diejenige  mechanische  Arbeit,  die  rein  zum 
Zwecke  der  Zerlegung  verrichtet  werden  muss ,  wenn  eine  der  chemischen 
Aeqnivalentzahl  k  gleiche  Anzahl  von  Gewichtseinheiten  der  Verbindung 
vorliegt.  Diese  mechanische  Arbeit,  die  jedenfalls  ein  genaues  Maass  für 
die  Festigkeit  der  chemischen  Verbindung  ist,  lässt  sich  somit  durch  den 

Ausdruck: 

(c  —  40)  .  (  .  ÖT 
darstellen. 

5)  Es  sei  C  eine  chemische  Verbindung  aus  m  Aequivalenten  des  Grund- 
stoffes A  und  n  Aequivalenten  des  Grundstoffes  B^  Ist  (7  verbrennlich 
und  besteht  das  Verbrennuugsprodukt  von  C  aus  dem  Verbrennungsprodukt 
von  Ä  und  demjenigen  von  P,  so  lassen  sich  im  Verbindungsprozess  von  C 
offenbar  folgende  Vorgänge  unterscheiden : 

a)  Zerlegung  von  C  in  m  Aequiv.  von  Ä  und  n  Aequiv.  von  B\ 

b)  Verbrennung  der  m  Aequiv.  von  ^; 

c)  Vttbrennung  der  n  Aequiv.  von  B. 


*)  Dieser  Goefficient  ist  fSr  Verbindangen ,  bei  denen  auf  1  Aequivalent  des 
metallischen  Gnmdstoffes  1  Aequivalent  Sauerstoff  kommt  =  70;  bei  Oxyden, 
bei  denen  auf  2  Aequiv.  des  metalliscben  Grundstoffs  3  Aequiv.  Sauerstoff  gehen 
=s  169  u.  6.  w. 


76  Kleinere  MittheilungeB. 


Bestimmt  man  nun  die  Wärmemengen  m|  und  mt,  die  beziebangsweiM 
beim  Verbrennen  von  m  Aequiv.  von  A  and  n  Aequiv.  von  B  sieb  ent- 
wickeln, nud  vergleicbt  die  Summe  »ti  +  ^t  mit  derjenigen  Wärmemeoge  m„ 
welcbe  durcb  das  Verbrennen  von  C  entstebt,  so  wird  man  finden,  das»  m^ 
kleiner  ist  als  fiti  -f  m,*).  Diese  Tbatsacbe  bereebtigt  uns  aber  offenbar 
zu  dem  Scblusse,  dass  m^  +  m,  —  m,  diejenige  Quantität  an  Wärme  sein 
müsse,  welcbe  zur  Trennung  der  Verbindung  von  C  in  m  Aequiv.  von  A  und 
n  Aequiv.  von  B  in  Ansprucb  genommen  werden  musste. 

Nun  können  wir  für  die  Verbindung  C  die  zu  ihrer  Trennung  erforder- 
liche mechanische  Arbeit  zweimal  ausdrücken  und  gelangen  so  zu  der 
Gleichung: 

{c  —  ^0).t.q=  (ffii  +  m,  —  ffia).  jT, 


woraus  folgt: 


. *»i    +  »*t  —  »»8 


c  —  40 

Auf  diese  Weise  lässt  sich  für  C  die  Temperatur  berechnen,  bei  wel- 
cher Trennung  in  A  von  B  hätte  erfolgen  müssen,  wenn  die  Affinität  aus 
dem  Spiele  geblieben  und  die  Wärme  die  allein  wirkende  Kraft  gewe- 
sen wäre. 

Bekai^ntlicb  sind  z.  B.  Kohlenwasserstoff,  Schwefelwasserstoff  etc. 
chemische  Verbindungen,  welche  die  an  C  gestellten  Bedingungen  erfüllen. 

Prof.  Friedr.  Mann. 

Vn.  Ueber  die  Anwendung  der  Aflnitatsaxen  zur  graphischen  Be- 
stimmnng  der  Ebene. 

Wenn  man  eine  Ebene  graphisch  bestimmt  nennt,  sobald  man  im  Stande 
ist,  jeden  Punkt  derselben  zu  projiciren,  so  ist  allgemein  eine  Ebene  be- 
stimmt, durch  zwei  sich  schneidende  (speciell  parallele)  gerade  Linien  auf 
ihr,  deren  Projectionen  man  kennt.  Wenn  irgend  ein  Punkt  der  Ebene 
darnach  im  Grundriss  willkürlich  angenommen  wird,  so  bestimmt  sich  sein 
Aufriss  ganz  einfach  mittels  einer  Transversale ,  die  man  so  durch  ihn  hin- 
durch legt,  dass  sie  die  gegebenen  geraden  Bestimmungslinien  entweder 
beide  schneidet,  oder  zu  der  einen  von  beiden  parallel  läuft;  in  der  ersten 
Art  ist  aus  dem  Grundriss  von  a  in  der  Figur  1,  Tafel  11,  der  Aufriss  und 
in  der  zweiten  Art  aus  dem  Aufriss  von  b  der  Grundriss  gefanden  worden. 
{G  und  L  sind  die  beiden  bestimmenden  geraden  Linien.) 

Wenn  man  die  zulässigen  speciellen  Fälle  dieser  Bestimmungsweise 
aufsucht,  d.  h.  die  beiden  bestimmenden  geraden  Linien  alle  möglichen 
Lagen  annehmen  lässt,  die  nicht  über  die  Lage  der  zu  bestimmenden  Ebene 
selbst  eine  besondere  Voraussetzung  machen ,  so  erhält  man  als  einen  ein- 
fachsten Fall  dieser  Bestimmung  die  Bestimmung  der  Ebene  durch  zwei 
Spuren,  als  durch  zwei  gerade  Linien,  von  deren  jeder  zwei  Projectionen  in 
Projectionsaxen  fallen;  die  Bestimmung  der  Punkte  a*^  aus  a  und  b"  aus  b' 
nach  den  beiden  vorher  gedachten  Arten  zeigt  dann  die  folgende  Figur 
(Tafel  n,  Fig.  2). 

*)  Siebe  die  Arbeiten  von  Favre  und  Silbermann. 


Kleinere  Mittheilungen.  il 

-,,-,-,,-,,.,,-  ^       ,-_■_-  -o.'ii-    -iri-LJxn_rx^Tjurxj-u-ur   r.-jinruiJ-..-1-i-riJi  n  jxjTj^ri  ^  i  i  ri  i  i  n    i  n  n  n  n  n  n  n  r,  ■-.■-.  r.  r.  ri  ri  ri  i-.  i-i  r  in  i-i 

Allein  man  hat  in  Folge  der  principiellen  Benutzung  von  nur  zwei 
Projectionsebenen  nicht  vermocht  zu  erkennen,  dass  noch  ein  anderer  gleich 
einfacher  Fall  sich  aus  dieser  allgemeinen  Bestimmungsweise  ergibt ,  der- 
jenige nämlich,  bei  welchem  die  bestimmenden  geraden  Linien  G  und  L  so 
gewählt  sind,  dass  von  jeder  zwei  Projectionen  sieh  decken;  diess  aber  lie- 
fert die  Bestimmung  durch  AflBaiit&tsaxen,  die  der  Gegenstand  dieser  Mit- 
theilungen sein  soll. 

Auf  jeder  Ebene  gibt  es  zuerst  eine  gerade  Linie,  deren  Grundriss  und 
Aufriss  sich  decken ,  sie  ist  die  Aze  der  Affinität  zwischen  Gkund-  und  Auf- 
riss  beliebiger  Systeme  auf  der  Ebene,  oder  sie  ist  auch  die  Durchschnitts- 
Hnie  dfeser  Ebene  mit  der  unter  45®  gegen  die  Grundrissebene  geneigten 
und  durch  die  erste  Projectionsaxe  x  von  vorn  unten  nach  hinten  oben  ge- 
henden Ebene;  auf  jeder  Ebene  gibt  es  ferner  eine  gerade  Linie ,  deren 
Auf-  und  Seitenriss  sich  decken,  sie  ist  die  Axe  der  Affinität  zwischen  Auf- 
und  Seitenriss  beliebiger  Systeme  auf  der  Ebene  und  die  Durchschnittdinie 
derselben  mit  einer  unter  45®  gegen  die  Aufrissebene  geneigten  und  durch 
die  dreiProjectionsaxen  von  vom  rechts  nach  hinten  links  gehenden  Ebene. 
Man  erkennt  daraus,  dass  der  Seitenriss  jener  ersten  und  der  Grundriss  die- 
ser zweiten  geraden  Linie  in  der  von  rechts  unten  nach  links  oben  gehenden 
Halbirungslinie  des  Axenwinkels  zusammenfallen,  v 

Man  erkennt  ferner  leicht,  dass  diese  beiden  geraden  Linien  sich  in 
der  Durchschnittslinie  jener  beiden  Winkelhalbirungsebenen  schneiden 
müssen,  sofern  sie  der  nämlichen  Ebene  angehören  sollen^  und  diese  Durch- 
schnittslinie ist  die  einzige  gerade  Linie,  deren  drei  Projectionen  zusam- 
menfallen eben  in  die  bezeichneter  Halbirungslinie  des  Axenwinkels.  Daher 
sind  in  der  folgenden  Figur  A  und  91  (Taf.  II,  Fig.  3)  die  beiden  besproche- 
nen Affinitätsaxen  einer  Ebene  und  dieselben  sind,  wie  leicht  zu  sehen  ist 
an  ihrer  Bestimmung  vollkommen  ausreichend  und  bequem.  Zu  einem 
Punkte  a,  hat  man  durch  eine  A  und  %  schneidende  Transversale  ccß  die 
Punkte  a„  und  a,,,  bestimmt;  €c,ß,  ist  die  Transversale  im  Grundriss  will- 
kührlich  durch  a,  gelegt;  €c„ß„  ist  ihr  Aufriss,  a,„  ß,„  ihr  Seitenrisß  und 
darin  respective^a,,  und  a,„.  Zu  &''  ist  ferner  durch  eine  zu  A  parallele 
Transversale  b'  und  ft'"  bestimmt  worden ;  &"/'  ist  ihr  Aufriss,  6'/  ihr  Grund- 
riss und  b"'/"  ihr  Seitenriss,  darin  respective  6'  und  6'";  natürlich  ist 
fy"  11  b'y  [|  A,{A„)  und  b'^y"  ||  Ä''.  Offenbar  ist  die  Construction  weder 
zusammengesetzter  noch  beschwerlicher  als  die  vermittelst  der  Spuren. 

Wenn  hier  nur  die  Bestimmung  von  Punkten  näher  beleuchtet  ist,  so 
ist  in  dem  Entwickelten  schon  die  Bestimmung  von  Linien  enthalten;  auch 
braucht  von  der  Bestimmung  ebener  Punkte  und  Liniensysteme  nicht  wei- 
ter gesprochen  zu  werden ,  da  bei  dieser  keine  neuen  Schwierigkeiten  sich 
zeigen,  wohl  aber  als  willkommner  Vortheil  die  Eigenschaft  der  Affinitäts- 
axe  als  Durchschnittsort  homologer  gerader  Linien  zweier  Projectionen 
emes  solchen  Systems  erscheint.  Es  genügt  deshalb  das  bisher  Gezeigte, 
die  Anwendbarkeit  der  Affinitätsaxen  zur  Bestimmung  der  Ebene  zu 
zeigen. 

Nur  noch  an  zwei  Aufgaben  soll  diese  ihre  der  den  Spuren  analoge 
Bedeutung  dargelegt  werden;  mit  ihrer  Hilfe  soll  die  Durchsehnittsünie 
zweier  Ebenen  und  der  Durchschnittspunkt  einer  Ebene  mit  einer  geraden 
Linie  bestimmt  werden : 

L  Bestimmung  der  Durchscünittslinie  zweier  Ebenen.  Sind  A  und  9(,  B 
undSdie  Affinitätsaxenpaare  zweier  Ebenen,  so  stellt  die  folgende  Figur  die 


78  Kleinere  Mittfaeilungen. 

Bestimmtiiig  ihrer  Dturchschnittslinie  dar.  Affinitätsaxen  Ä  und  B  schneiden 
flieh  in  einem  Punkte  a,  die  Affinitätsaxen  91  und  IB  in  einem  Punkte  b  nnd 
die  Verbindungslinie  beider  a6  ist  die  Durchschnittslinie  der  Ebenen ,  die 
Figur  liefert  sie  in  allen  drei  Projectionen.  An  Einfachheit  steht  auch  diese 
Construktion  derjenigen  mit  Hilfe  der  Spuren  durchaus  nicht  nach. 

n.  Bestimmung  des  Durchschnittspunktes .  einer  geraden  Linie  mit 
einer  Ebene;  der  Grundgedanke  der  Auflösung  bleibt  derselbe,  wie  gewöhn* 
lieh :  durch  die  gerade  Linie  wird  eine  Ebene  gelegt ,  ihre  Durchschnitts- 
linie mi^  der  gegebenen  bestimmt  und  der  Punkt  angemerkt,  wo  diese  die 
gegebene  gerade  Linie  schneidet ,  er  ist  der  gesuchte. 

Wenn  bei  Benutzung  der  Spuren  die  besagte  Hilfsebene  naeh  dem 
Satze  bestimmt  wird ,  dass  die  Sparen  einer  Ebene  stets  die  gleichbenannten 
Durchgangspunkte  einer  geraden  Linie  enthalten  müssen ,  durch  die  sie  ge- 
legt wird,  so  lässt  sich  hier  derselbe  Satz  von  den  Affinitätsaxen  einer 
Ebene  aussprechen ,  sofern  man  nur  unter  Durchgangspunkten  der  geraden 
Linie  nicht  die  Schnittpunkte  derselben  mit  den  Projectionsebenen,  sondern 
mit  jenen  unter  45^  geneigten  Ebenen  der  Affinitätsaxen  versteht;  diese 
Durchgangspunkte  sind  aber  offenbar  der  dem  Aufriss  und  Grundriss  und 
der  dem  Aufriss  und  Seitenriss  der  geraden  Linie  gemeinschaftliche  Punkt, 
ihre  Bestimmung  ist  also  vollkonmien  mühelos.  Li  der  Figur  sind  es  die 
Punkte  d,  ^,  da  L,L,,  L,f,  die  drei  Projectionen  der  geraden  jLinie  sind. 
A^  S  sind  die  Affinitätsaxen  der  gegeben  Ebene,  B^  S3  die  einer  durch  L 
gelegten  Hilfsebene ;  bei  ihrer  Wahl  ist  nur  dass  maassgebend ,  dass  sie  die 
der  gegebenen  Ebene  möglichst  scharf  schneiden.  Dann  ist  ah  die  Durch- 
schnittslinie beider  Ebenen  und  s  der  Punkt,  wo  sie  ZIdurchschneidet.  Man 
erhält  ihn  in  allen  drei  Projectionen  selbständig  und  hat  daher  scharfe  Proben. 

Die  Construktion  vereinfacht  sich  noch  mehr  durch  eine  besondere 
Wahl  der  Affinitätsaxen  ^,33;  wenn  man  sie  z.  B.  zusammenfallen  lässt, 
sodass  beide  durch  die  Verbindungslinie  des  d  mit  A  dargestellt  werden,  so 
hat  man  folgende  einfache  Construction.  Ä^  91  sind  die  Axen  der  Ebene, 
L,Lf^L,ff  die  Projectionen  der  Linie,  d,^  ihre  Durchgangspunkte,  B^  35  da- 
her die  Axen  der  Hilfsebene,  die  sich  mit  X,,  decken;  ah  \st  die  Schnitt- 
linie beider  Ebenen  und  man  erhält  nun  s,,  nicht  direkt,  jedoch  mit  voller 
Genauigkeit,  da  s,  und  s,„  direkt  bestimmt  werden  und  s„  in  L,,  fallen  muss. 
Die  Construction  ist  vollkommen  so  einfach  als  die  Benutzung  der  projici- 
renden  Ebene  der  geraden  Linie  in  der  gewöhnlichen  Weise.  Wenn  ich 
nun  nach  der  Behandlung  dieser  beiden  Aufgaben  noch  die  offenbar  wahren 
Satze  hinzufüge:  parallelle  Ebenen  haben  parallele  Affinitätsaxen;  ist 
eine  gerade  Linie  einer  Ebene  parallel,  so  schneiden  sich  die  durch  ihre 
Durchgangspunkte  mit  den  45®  Ebenen  gezogenen  Parallelen  zu  den  Affi- 
nitätsaxen der  Ebene  in  der  Winkelhalbirungslinie  A,„  S,,  denen  sich 
leicht  andere  beigesellen  Hessen,  so  sieht  man  wohl,  dass  auch  andere  Auf- 
gaben sich  mit  diesen  Axen  bequem  behandeln  lassen.  Dieselben  erweisen 
sich  als  neue  Bestimmungsstücke  von  vielem  Nutzen. 

Und  wenn  man  fragte,  wozu  eine  neue  Bestimmungsweise,  da  die 
alte  allen  Anforderungen  entspricht,  so  ist  zu  antworten,  dass  die  Viel- 
heit der  Hilfsmittel  ihre  Brauchbarkeit  stets  erhöht  und  besonders  vom 
Standpunkte  des  Lehrers ,  dass  in  einer  Wissenschaft ,  die  so  ganz  auf  die 
Durchbildung  der  geistigen  Anschauung  räumlicher  Verhältnisse  sich  stützen 
muss,  wie  die  darstellende  Geometrie,  kein  Mittel  überflüssig  ist,  durch  das 
von  einer  neuen  Seite  her  dieselbe  befördert  wird.  Fiedlbr. 


Kleinere  Mfttheilnngen.  79 

Vm.  Chemkohe  Analyge  diur^  8peetraU»eoliaohtii]ig»ji  von  G.  Kirch* 
HOFF  and  BuNBEN  (Pogg.  Ann.  Bd.  110.  161).  Diese  Methode  der  Unter- 
sachimg  gründet  sich  darauf,  daes  gewisse  Ki>rper  in  eine  Flamme  gebracht, 
in  dem  Spectrum  derselben  helle  Linien  hervorbringen ,  durch  deren  Lage 
and  Ffirbung  die  in  die  Flamme  gebrachten  Körper  völlig  charakterisirt 
sind.  Diese  Körper  sind  Kalium,  Natrium,  Lithium,  Strontium,  Calcium, 
Barinm,  so  wie  sehr  viele  Salze  derselben.  Die  Verfasser  des  genannten 
Aufsatzes  haben  nicht  nur  gezeigt,  das«  von  rein  dargestellten  Chlorverbin* 
dangen  obiger  MetaUe,  jede  für  sich,  ein  charakteristisches  Spectrum  her- 
vorbringt, sondern  auch,  dass  dildses  Spectrum  innerhalb  sehr  weiter  Gren- 
zen unabhängig  von  der  Natur  der  Flamme  ist.  Sie  wandten  zu  letzte- 
rem Zwecke  folgende  Flammen  an ,  denen  die  von  den  Verfassern  berech- 
neten Temperaturen  beigesetzt  sind: 

eine  Schwefelflamme  ....  1820<^  C 
eine  Schwefelkohlenstofiflamme  .  2105®  C 
eine  Leuchtgasflamme  ....  2350®  0 
eine  Kohlenoxydgasflamme  .  .  3042®  0 
eine  Wasserstoffflamme  in  der  Luft  3259®  0 
eine  Knallgasflamme     ....    8061®  C 

Die  Verbindungen  wurden  an  einem  Flatindraht  in  die  Flamme  ge- 
bracht; dadurch  und  indem  man  den  elektrischen  Funken  eines  Ruhm - 
korf'schen  Apparates  zwischen  dem  aus  den  Metallen  gebildeten  Elektro- 
den überschlagen  liess,  fand  sich,  dass  folgende  Metalle  und  ihre  Vorhin^ 
dangen  durch  die  Beschaffenheit  der  Flammenspectren  charakterisirt  sind : 
Natrium  durch  eine  einzige  helle  gelbe  Linie; 
Kalium  durch  zwei  Linien,  eine  im  äussersten  Roth,   die  andere  im 

Violett; 
Lithium  durch  eine  helle  Linie  im  Roth  und  leine  sehr  schwache  im 

Orange ; 
Strontium  durch  die  Abwesenheit  der  grünen  Streifen,  durch  sechs  rothe 

und  eine  blaue  Linie; 
Calcium  durch  zwei  sehr  intensive  Linien,  die  eine  im  Grün,  die  andere 

im  Orange; 
Barium  durch  sehr  charakteristische  Linien  im  Grün. 

Diese  Beschaffenheit  der  Spectren ,  hinsichtlich  deren  Abbildung  wir 
auf  die  Originalabhandlung  verweisen  müssen,  ist  um  so  deutlicher  zu  er- 
kennen, je  höh  er  die  Temperatur  der  Flamme  und  je  geringer  ihre  eigene 
Leuchtkraft  ist.  Uebrigens  sind  diese  Reactionen  so  ausserordentlich  em- 
pfindlich, dass  z.  B.  angenähert 

X:- 1 
von  Natriumsalz  noch  qqqqqqq  Milligramm 

-  Lithiumsalz 

-  Kalisalz 

-  Strontiumsalz   - 

-  Calciumsalz 

-  Bariumsalz 
mit  Sicherheit  erkannt  werden  kann. 


9 

1000000 
1 


1000 

6 

1000000 

6 

1000000 

1 

1000 


80  Kleinere  Mfttheilungen. 


Die  Verfasser  des  genannten  Aufsatzes  fanden  femer,  dass  auch  in 
einem  Gemische  obiger  Alkali-  und  alkalischer  Erdsalze  das  Charakteristi- 
sche der  einzelnen  Spectra  mithin  der  sie  bildenden  Körper ,  erkannt  wer- 
den könne.  Sonach  empfehlen  Kirchhoff  und  B u  n s  e n  die  Beobachtung 
der  Spectren  von  Flammen,  in  die  man  z.  B.  Mineralien  oder  die  aus  ihnen 
im  Platintiegel  mittels  Fluorwasserstoffsäure  dargestellten  schwefelsaur^i 
Salze  bringt,  zur  Untersuchung  derselben  auf  Alkalien  und  alkalische  Er- 
den. Die  Spectra  der  einzelnen  Körper  treten  hierbei  wegen  der  verschie- 
denen Flüchtigkeit  derselben  oft  nach  einander  auf.  Diese  neue  Methode 
empfiehlt  sich  deswegen  sehr  zum  Gebrauche,  weil  die  Menge  der  zu  un- 
tersuchenden Substanz  sehr  klein  zu  sein  braucht,  weil  die  farbigen  Strei- 
fen unberührt  von  fremden  Einflüssen  erscheinen  und  weil  sie  ein  genaue- 
res Mittel  darbietet,  sehr  kleine  Mengen  von  gewissen  Substanzen  aufzu- 
finden, als  man  bisher  hatte.  So  führten  bis  jetzt  die  Versuche  zu  dem  Re- 
sultate, dass  nicht  nur  Kalium  und  Natrium,  sondern  auch  Lithium  und 
Strontium  zu  den  in  geringer  Menge  vorkommenden,  aber  am  häufigsten  ver- 
breiteten Stoffen  gehören. 

Was  den  schon  früher  in  dieser  Zeitschrift  erwähnten  merkwürdigen 
Satz  anbelangt ,  dass  die  hellen  Streifen  Licht  von  derselben  Farbe  absor- 
biren,  so  ist  derselbe  aufs  Neue  bestätigt  worden,  indem  das  Licht  von 
einem  weissglühenden  Platindraht  durch  eine  mit  Kochsalz  imprägnirte  Al- 
koholfiamme  geleitet  wurde ;  die  gelbe  Natriumlinie  verwandelte  sich  augen- 
blicklich in  die  dunkle  Frauenhofersche  Linie  1>.  Desgleichen  ist  es  den 
Verfassern  gelungen,  die  hellen  Linien  von  Kalium,  Strontium,  Calcium, 
Barium  durch  Sonnenlicht  in  dunkle  Linien  umzukehren.  Dr.  Kahi«. 


Zeitschrift  für  Matkematik  iL.Physik,1860,Tiif.n 


IV. 
Zur  Geometrie  der  Lage« 

Von  M.  Sattelberger, 

Lehramtscandidat  zu  Erlangen. 


Sind  -^1  =0,  ^g  =  0  die  Gleichungen  zweier  Curven  der  n*«"  Ord- 
nung,'tind  verbinden  wir  dieselben  nach  dem  Vorgange  Plückers  zur 
Gleichung  A^+  iiA^=:zO,  wo  ft  eine  beliebige  Constante  bedeutet,  so  ist 
irfi  -f  f»  -<^  =  0  die  Gleichung  wieder  einer  Curve  der  w*®''  Ordnung ,  und 
zwar  gßht  diese  durch  die  sämmtlichen  (n*)  Schnittpunkte  der  beiden  ersten 
Gurren  der  n**°  Ordnung.  Durch  die  n*  Schnittpunkte  zweier  Curven  der 
n^'^  Ordnung  gehen  also  stets  unendlich  viele  Curven  derselben  Ordnung. 

Eine   Curve  der  n*®"  Ordnung  ist  bestimmt  im  Allgemeinen    durch 

« (« +  3)  ^     ,  .       , 

— ^^ '  Punkte:  es  ist  aber 

2  ' 

n(n+3)      n*       W.3        , 

— ^^ -=■ ,  und 

2  2  2' 

2  «•   ^  «• 

«  —  — — ; 

» 
somit  ist  — >,  =  oder  <  n*  je  nachdem  n  <  ,  =:  oder  >  3  ist.    Es 

wird  sich  daher  aus  der  oben  gemachten  Bemerkung,  dass  dien' Schnittpunkte 
zweier  Curven  der  n*®**  Ordnung  niemals  im  Stande  sind  eine  Curve  dieser 
Ordnung  zu  bestimmen,  sondern  stets  unendlich  viele  zulassen,  —  für  die- 
jenigen Curven ,  deren  Ordqung  höher  ist  als  die  zweite,  ein  Satz  ableiten 

n  (n.  ^m  Q^ 

lassen;  durch  — ^ —  1  der  Schnittpunkte  zweier  Curven  der  n*®"  Ord- 
nung lassen  sich  stets  unendlich  viele  Curven  dieser  Ordnung  legen ;  obiger 
Bemerkung  zufolge  sind  nun  die  noch  übrigen  der  n' Schnittpunkte  so  be- 

vk  ( n     I    Q^ 

. schaffen,  dass  sie  zu  jenen  — ^^ — 1  hinzugezogen,  gegen  die  Regel 

Zeilhciirirt  f.  Mathematik  u.  IMiysik.   VI,  2.  6 


82  Zur  Geometrie  der  Lage. 


immer  nocli  unendlich  viele  Curven  der  n^^"  Ordnung  zulassen;  man  kommt 
hiednrcb  auf  die  Vermuthung' ,  es  möge  folgender  Satz  gelten : 

Legt    man    durch    — ^^-^ —  1    der    n*   Schnittpunkte 

zweier  Curven  der  «**"  Ordnung  eine  neue  Curve  der 
«**"  Ordnung,  so  geht  diese  stets  durch  alle  jene 
n*  Schnittpunkte. 

Es  ist  z.  B.  für  n  =  3  n*  =  9  und  ^  ^^      ^^  —  1=8, 

2 

n(n  +  Z) 
„    «  =  4««=16„       ^  ^   ^  —  1  =  13, 

u.  s.  f. 
Ueberhaupt  ist 

^^«       (n{n  +  Z)        \^n«-~3n  +  2^(fi  — !)(«— 2) 
V        2  /  2  2  * 

Der  letzte  Ausdruck  ist  aber  für  n  =  1  und  =2  =  0 ,  fürn  =  oder  > 3 
ist  er  positiv. 

Der  obige  Satz  lässt  sich  nun  wie  folgt  beweisen: 

Die  Coordinaten  jener  — ^^ —  1  ersten  Schnittpunkte  seien  x\  y\ 

x\y\x'\y"\ a:'P)y<P);  soll  eine  Curve  der  n*®**  Ordnung  durch  diese 

Punkte  gehen,  und  bezeichnet  man  die  Gleichung  der  Curven  n^^^  Ord- 
nung mit 

f{x,y)=0, 

ft  (n  ^L  Q^ 

SO  können  wir  von  den  — ^^ in  dieser  Gleichung  vorkommenden  Coeffi- 

cienten    einen    einzigen    beliebig   annehmen,    und   zur    Bestimmung    der 

— ^^ —  1  übrigen  haben  wir  die  — -^ —  1  Gleichungen 

f{x'y)  =  0,  f{xy')=0,  /•(*'V")  =  0 /•(a'P)y"»)==0. 

Geben  wir  jenem  ersten  beliebig  anzunehmenden  Coefficienten  jeden  mög- 

liehen  Werth,  so  erhalten  wir  alle- durch  jene  -»^ —  1  Punkte  leg- 
baren Curven  der  n**"  Ordnung.  Verbinden  wir  aber  die  Gleichungen 
^,  =  0 ,  ^,  ==  0  der  beiden  gegebenen  Curven  «*®^  Ordnung  zur  Gleichung 
irf,  -f-  fi  ^,  =  0 ,  so  erfüllen  die  Coefficienten  dieser  Gleichung  ebenfalls  jene 

— ^ —  1  Bedingungsgleichungen 

/•(^V)  =  0,  /•(xV')=0,  nxy-  =  0 /^(^PVP>)=0, 

und  indem  wir  dem  fi  alle  mögliehen  Werthe  beilegen ,  kann  jenem  einen 
Coefficienten  ebenfalls  jeder  verlangte  Werth  ertheilt  werden;   die  Glei- 


Von  M.  Sattelberoer,  83 


changen  sind  bezüglich  der  Coefficienten  linear;  wir  kommen  also  auf  beide 
Weisen  ganz  auf  die  nämlichen  Curven  der  n^^^  Ordnung ,  d.  h.  die  in  der 
Gleichung 

enthaltenen  Curven  n^"  Ordnung  sind  alle  möglichen  Curven  dieser  Ord- 
nung, welche  überhaupt  durch  jene  — ^— — ^  —  i  der  «*  Schnittpunkte  leg- 
bar sind.    Der  obige  Satz  hat  also  in  der  That  Gültigkeit. 

Auch  ohne  Zuhülfenahme   der  Grösse  ^   kann   man  auf  diesen  Satz 

kommen.    Nimmt  man  auf  einer  Curve  der  «*"  Ordnung  — ^^ Punkte 

an ,  und  setzt  ihre  Coordinatenwerthe  in  die  allgemeine  Gleichung  der  Cur- 
ven n*®*"  Ordnung  ein,  so  werden  die  erhaltenen  — Bedingungsglei- 

cbnngen  im  Allgemeinen  zur  Bestimmung  der  — -  Coefficienten  jener 
Gleichung  hinreichen,  und  zwar  auf  die  der  gegebenen  Curve  entsprechen- 
den Coefficienten  hinführen;  geht  aber  durch  diese  — ^^ Punkte  noch 

eine  Curve  dern****  Ordnung,  so  müssen,  da  jene  allgemeine  Gleichung  be- 
züglich der  Coefficienten  linear  ist,  also  zwei  Werthe  eines  Coefficienten 

sich  nicht  ergeben  können  —  nothwendig  die  — ^ Gleichungen  uncnd- 

lieh  viele  Lösungen  zulassen  bezüglich  der  Coefficienten,  ind^m  sie  sich 

auf  wenigstens—^ 1  reduciren,   so  dass  also  eine  Curve  dor  w'^" 

Ordnung ,  welche  durch  — ^ —  1  der  n'  Schnittpunkte  zweier  anderer 

Curven  der  n*®°  Ordnung  geht,  jeden  dieser  «•  Schnittpunkte  enthält. 
Es  werden  nun  verschiedene  Anwendungen  dieses  Satzes  folgen. 


L    Von  den  den  Cnrven  höherer  Ordnung  einbesohriebenen  Vielseiten. 

§.2.  .        ^ 

Die  einfachste  Curve  der  n*°°  Ordnung  ist  das  System  von  n  Geraden. 

Zwei  solche  Systeme  von  n  Geraden  wollen  wir  ein  2  n  Seit  nennen, 
und  im  Nachfolgenden  unter  2 »Seit  nichts  weiter  als  das  verstehen.  Die 
Seiten  des  2nSeit8  sind  natürlich  jene  2n  Gerade  selbst;  unter  den  Ecken 
des  2nSeits  aber  wollen  wir  jene  «'Punkte  verstehen,  wo  immer  eine  Ge- 
rade des  einen  Systetos  eine  Gerade  des  andern  trifft.  Sollten  die  Aus- 
drücke Seite  der  einen  Art,  Seite  der  andern  Art  vorkommen,  so  sind  hiemit 
nur  Gerade  des  einen.  Gerade  des  andern  Systems  gemeint.  In  einigen  Fi- 
guren sind  die  Seiten  der  einen  Art  mit  ('),  die  der  andern  mit  (")  bezeichnet. 

6* 


84  Zur  Geometrie  der  Lage. 

E»  wird  nun  gelten  der 

Satz.    Legt  man  dnrch  — ^ —  1  der  »'Ecken  eines  2iiSeit8  eine 

Curve  der  n**"  Ordnung ,  so  geht  sie  auch  durch  die  übrigen ^ 

Ecken  des  2nSeits. 

Es  entsteht  nun  aber  die  umgekehrte  Frage,  ob  man  einer  Curve 
11*^'  Ordnung  ein  solches  2 n  Seit  einbeschreiben  k5nne  dergestalt,    dass 

— '  —  ]  seiner  Ecken  auf  ihr  liegen ;   es  müssten  dann  die  äbrigen 

)l!—LJ.}lLI-J.  Ecken  von  selbst  auf  sie  fallen.  (Die  Curven  L  und  n.  Ord- 
2 

nuDg  sind  natürlich  von  dieser  Betrachtung  auszuschliessen.) 

§.3. 
Einbeschreibung  des  6Seits  in  die  Curve  IIL  Ordnung. 

um  einer  Curve  III  ein  6  Seit  so  einzubeschreiben ,  dass  8  seiner 
9  Ecken  auf  sie  fallen,  verfahre  man  wie  folgt: 

Durch  den  Punkt  A  (Fig.  1,  Taf.  III)  der  Curve  III  ziehe  man  AM  und 
^i^;. diese  mögen  die  Curve  III  noch  in  B  und  C,  und  D  und  E  schneiden; 
F  sei  ein  weiterer  beliebiger  Cnrvenpnnkt,  und  man  ziehe  BF  nnd  DF^ 
welche  die  Curve  noch  in  G  und  H  schneiden;  zieht  man  jetzt  noch  EG  und 
CH^  so  hat  man  ein  6  Seit,  von  welchem  8  Ecken  (^,  B^  C,  />,  E^  F,  6,  B)  auf 
der  Curve  m  liegen;  es  liegt  also  auch  die  9**  Ecke  auf  ihr,  d.  h.  die  Ge- 
raden EG  und  CH  schneiden  sieb  auch  auf  der  Curve  III. 

Es  gilt  also  der 

S  atz.  Ist  eine  Curve  III  gegeben,  so  kann  man  zweimal  3  Gerade  so 
ziehen,  dass  sich  8  von  den  9  Schnittpunkten  je  einer  Geraden  der  einen 
Art  mit  einer  Geraden  der  andern  auf  der  Curve  HI  befinden ,  der  9**  fallt 
dann  von  selbst  auf  sie. 

Von  diesem  Satze  wollen  wir  nun  einige  besondere  Fftlle  betrachten. 

1)  Besteht  die  Curve  III  aus  einer  Curve  II  und  einer  Geraden,  so 
geht  unser  Satz  in  den  bekannten  Satz  von  dem  dem  Kegelschnitte  einbe- 
schriebeneu  gemeinen  Sechsecke  tiber.  (Dass  sich  nämlich  die  Gegenseiten 
des  dem  Kegelschnitte  einbescbriebenen  gemeinen  Sechseckes  auf  Einer 
Geraden  schneiden.) 

2)  Lassen  wir  die  beiden  Punkte  A  und  D  zusammenfallen,  so  erhal- 
ten wir  den 

Satz.  Zieht  man  durch  den  Punkt  P  (Fig.  2,  Taf.  III)  einer  Curve  itl 
zwei  Gerade  PM  und  PS,  welche  dieCurve  noch  in  B  und  C,  und  ^und  H 
treffen,  zieht  man  femer  ^Fund  CH^  welche  die  Curve  noch  in  G  und  in 


Von  M.  Sattelberger.  S5 

/treffen,  zieht-  man  endlich  Gl  und  trifft  diese  die  Curve  noch  in  E^  so  ist 
PE  die  Tangente  der  gegebenen  Cnrve  III  im  Punkte  P. 

Lassen  wir  die  Geraden  ^^C  nnd  DFE  (Fig.  1 ,  Taf.  III)  allniälig  zu- 
sammenfallen, so  erhalten  wir  den 

Satz.  Zieht  man  an  eine  Gurre  III  3  Tangenten,  deren  3  BerUhrungs- 
pankte  in  Einer  Geraden  liegen ,  so  liegen  auch  diejenigen  3  Punkte ,  wo 
jede  der  3  Tangenten  die  Curve  nochmals  schneidet  in  Einer  Geraden. 

Rückt  die  Gerade,  in  der  die  3  Berührungspunkte  liegen,  ins  Unend- 
liche, so  werden  jene  3  Tangenten  die  3  Asymptoten,  und  es  gilt  also  der 

Zusatz.  Die  3  Schnittpunkte  einer  Curve  HI  mit  ihren  3  Asymptoten 
liegen  in  Einer  Geraden. 

Ebenso  gilt  der  umgekehrte 

Satz.  Zieht  man  durch  zwei  von  drei,  in  Einer  Geraden  liegenden, 
Punkten  einer  Curve  III  je  eine  Tangente  an  dieselbe ,  so  geht  die  Gerade, 
welche  die  zwei  Berührungspunkte  verbindet,  durch  den  Berührungspunkt 
einer  durch  den  dritten  Punkt  gehenden  Tangente. 

Lassen  wir  die  3  Punkte  A,  2>,  E  in  einen  einzigen  zusammenfallen ,  so 
erhalten  wir  den 

Satz.  Zieht  man  durch  einen  Inflexionspunkt  einer  Curve  III  3  Ge- 
rade, welche  die  Curve  III  noch  in  B  und  C,  F  und  H  und  G  und  /  schnei- 
den, und  liegen  B^  /'und  G  iü  Einer  Geraden,  so  ist  dies  auch  mit  C,  H 
und  1  der  Fall. 

Femer 

Satz.  Zieht  man  durch  einen  Inflexionspunkt  einer  Curve  III  eine 
Gerade,  welche  die  Curve  noch  in  B  und  C  schneidet,  zieht  man  dann  in 
B  und  C  die  Tangenten  an  die  Curve  und  schneiden  diese  noch  in  G  und 
in  J,  80  geht  die  Gerade  G 1  durch  jenen  Inflexionspunkt. 

Lassen  wir  endlich  die  3  Geraden  ABC^  DVE und  EG  zusammenfallen, 
so  erhalten  wir  den 

Satz.  Die  3  Inflexionspunkte  einer  Curve  III  liegen  in  Einer  Geraden. 

§.4. 
Einbeschreibung  des  8Seits  in  die  Curve  IV.  Ordnung. 

Es  soll  der  Curve  IV  das  8 Seit  so  einbeschrieben  werden,  dass  13  sei- 
ner 16  Ecken  auf  sie  fallen. 

1)  Man  ziehe  (Fig.  3,  Taf.  IQ)  AM  und  AN,  welche  die  Curve  noch  in 
Bj  C  und  einem  dritten  Punkte  und  D  und  E  und  einem  dritten  Punkte 
schneiden  mögen;  1* liege  auf  der  Curve,  man  ziehe  nun  femer  BF,  welche 
noch  in  ^  und  T,  und  BF,  welche  noch  in  G  und  /  schneide;  dann  CG, 
welche  noch  in  Wund  EH,  welche  noch  in  E  schneiden  möge;  zieht  man 
nun  noch  IE  und  V  W,  so  hat  man  ein  SSeit,  allein  auf  der  Curve  IV  lie- 
gen bloB  12  seiner  Eckpunkte. 


86  Zur  Geometrie  der  Lage. 

Oder  man  ziehe  (Fig.  4,  Taf.  III)  MN  und  PQ  als  Seiten  der  einen  Art 
beliebig ,  treflfen  diese  die  Curve  IV  in  A^  B^  C  und  Z,  und  in  i>,  F^  G  und  /, 
so  ziehe  man  AB^  B F^  CG  und  LI\  treffen  die  letztern  Geraden  noch  in  H 
und  V  und  S  und  W^  und  zieht  man  noch  HS  und  F^,  so  hat  man  wieder 
ein  8 Seit,  von  dem  aber  ebenfalls  blos  1*^  Ecken  auf  der  Carve  lY  liegen. 

2)  Wir  nehmen  nun  eine  Curve  IV  an,  welche  aus  einer  Curve  III 
und  einer  Curve  I  besteht,  geben  jedoch  blos  die  Curve  lll;  man  kann 
nun  das  8 Seit  »o  verzeichnen,  dass  II  seiner  Ecken  auf  die  Curve  III  fal- 
len 5  dies  geschieht  wie  folgt: 

.  Man  ziehe  durch  den  Punkt  A  (Fig.  5,  Taf.  III)  der  Curve  III  ^  Jf  and 
AN^  welche  die  Curve  III  noch  in  B  und  C,  und  B  und  E  schneiden  mögen, 
ziehe  B F^  BF^  CG  und  EG^  so  dass  -Fund  G  auf  der  Curve  III  liegen;  diese 
Geraden  mögen' die  Curve  III  noch  in  K^  H,  L  und  /  treffen;  zieht  man  jetzt 
noch  KL  und  HI^  so  hat  man  ein  dSeit,  von  dessen  16  Ecken  II  auf  der 
Curve  III  liegen ;  zieht  man  nun  durch  2  der  noch  übrigen  Ecken ,  z.  B. 
durch  X  und  F,  eine  Gerade ,  so  bildet  diese  mit  der  gegebenen  Curve  III 
eine  Curve  IV,  und  es  liegen  13  Ecken  unseres  8Seits  auf  dieser  Curve  IV; 
es  liegen  also  aucli  die  übrigen  3  auf  ihr,  nämlich  noch  2  Ecken  fallen  auf 
die  Gerade  XY  und  die  letzte  Ecke  fällt  noch  auf  die  gegebene  Curve  HE. 

Wir  haben  also  den 

datz.  Einer  Curve  III  lässt  sich  stets  ein  8 Seit  so  einbeschreiben, 
dass  11  seiner  Eckpunkte  auf  sie  fallen,  ein  12^^''  fällt  dann  von  selbst  auf 
sie ,  und  die  übrigen  4  liegen  in  Einer  Geraden. 

3)  Nehmen  wir  eine  Curve  IV,  welche  aus  2  Curven  11  besteht,  und 
geben  wir  blos  die  eine  Curve  11,  so  können  wir  dieser  offenbar  ein  8  Seit 
so  einbeschreiben,  dass  8  Ecken  desselben  auf  sie  fallen;  durch  5  weitere 
Ecken  geht  eine  andere  Curve  II,  also  liegen  auf  der  von  beiden  Curven  II 
gebildeten  Curve  IV  13  Ecken  des  SSeits. 

Es  gilt  also  der 

Satz.  Beschreibt  man  einer  Curve  II  ein  8 Seit  so  ein,  dass  8  seiner 
Ecken  auf  ihr  liegen,  so  liegen  die  übrigen  8  Ecken  wieder  auf  einer 
Curve  II. 

4)  Nehmen  wir  endlich  eine  Curve  IV,  welche  aus  einer  Geraden  und 
einer  Curve  III  besteht,  und  geben  blos  die  Gerade,  so  können  wir  jeder- 
zeit ein  8  Seit  so  zeichnen ,  dass  4  seiner  Ecken  auf  der  Geraden  liegen ; 
da  durch  9  der  übrigen  eine  Curve  III  gelegt  werden  kann,  so  liegen  auf 
der  von  der  Geraden  und  der  Curve  in  gebildeten  Curve  IV  13  Ecken  des 
8Seits;  wir  haben  also  den 

Satz.  Construirt  man  ein  8 Seit,  so  dass  4  seiner  Ecken  auf  Einer  Gre- 
raden  liegen ,  so  liegen  die  übrigen  12  Ecken  auf  einer  Curve  III.  OrdnuDg. 

5)  Besteht  die  in  2  dieses  S  vorkommende  Curve  III  aus  einer  Curve  II 
und  einer  Geraden ,  so  erhalten  wir  zum  dortigen  Satze  den  folgenden 

Zusatz.    Construirt  man  ein  8 Seit  derart,  dass  8  von  seinen  Ecken 


VoD  M.  Sattklbergkr.  87 

auf  einer  Curve  II  nnd  3  davon  auf  Einer  Geraden  liegen,  so  H&llt  anf  diese 
Gerade  noc^  ein  4^^*^  Eckpunkt  ^  und  die  4  letzten  Eckpunkte  liegen  wieder 
auf  Einer  Garaden. 

Diese  Construction  kann  nun  anf  zweierlei  Weise  gemacht  werden: 
Entweder  man  zeichnet  in  einen  Kegelschnitt  ein  gewöhnliches  Viereck 
und  lässt  3  von  seinen  4  Seiten  um  3  in  Einer  Geraden  liegende  Punkte 
sich  drehen;  dies  führt  auf  den  bekannten  Satz,  dass  sich  dann  auch  die 
4^*  Seite  um  einen  Punkt  dieser  Geraden  drehe;  es  liegen  aber  auch  die- 
jenigen 4  Punkte ,  wo  immer  eine  Seite  des  alten  Viereckes  die  Gegenseite 
der  ihr  im  neuen  Vierecke  entsprechenden  Seite  trifft,  stets  in  gerader 
Linie.  — 

•  Die  andere  Art  der  Construction  des  in  Rede  stehenden  SSeits  ist  fol- 
gende: Man  nehme  auf  einer  Curve  II  die  7  Punkte  A,  B,  C,  2>,  E,  Fnud  G' 
(Fig.  6,  Taf.  III)  an;  AB  und  FGy  sowie  ^Cund  EF  mögen  sich  auf  der  Ge- 
raden m  scheiden;  schneiden  CB  und  B£  die  m  in  F  und  JV^  so  ziehe  man 
A  V  und  G  W^  so  werden  sich  diese  2  Geraden  wieder  anf  der  Curve  II 
schneiden.  Was  die  4  andern  Punkte  betrifft,  welche  in  Einer  Geraden 
liegen  sollen,  so  sind  diese,  wenn  man  den  Schnitt  von  A  V  und  G  fF  mit 
H  bezeichnet,  der  Schnittpunkt  von  AB  und  BE^  der  von  BC  und  GH^  der 
von  CB  und  FGy  und  der  von  AH  und  EF, 

§,5.  , 

Gebrauch  eines  Doppelpunktes  bei  Einbeschreibung  des 
2nSeits  in  die  Curve  w^®^  Ordnung. 

Eber  gegebenen  Curve  IV  kann  man  im  Allgemeinen  nacH  1  des  vo- 
rigen $  da»  8 Seit  nicht  einbeschreiben,  so  dass  13  seiner  Ecken  auf  sie  fal- 
len. Geht  man  aber  hiebei  vpn  einem  Doppelpunkte  (welchen  die  Curve  IV 
freilich  nur  dann  hat,  wenn  sie  aus  Curven  niederer  Ordnungen,  z.  6.  aus 
einer  Curve  III  und  einer  Geraden  besteht)  aus ,  so  gelingt  diese  Einbe- 
schreibung. 

1)  Im  Doppelpunkte  K  fallen  4  Ecken  des  einzubeschreibenden  2nSeits 
zusauimen.  Nachdem  wir  die  Seiten  der  einen  Art  AB  und  CB  (Fig.  7, 
Taf.  III)  gezogen  haben ,  sind  die  2  andern  Seiten  AB  und  BC  im  Allgemein 
Den  bestimmt;  liegen  aber  die  4  Punkte  A^  By  C  undi>  unendlich  nahe  bei* 
stmmen^  so  kann  man  schon  durch  unendlich  kleine  Verschiebung  oder 
Drehung  der  Seite  AB  oder  CB  der  3^®''  Seit^  AB  jede  beliebige  Richtung 
geben;  ist  dieser  letzten  Seite  aber  einmal  eine  bestimmte  Richtung  gege- 
ben, so  kann  man  die  Richtung  der  4***"  Seite  BC  nur  durch  endliche  Dre- 
hungen der  Seiten  ABy  CB  oder  AB  um  Endliches  ändern.  Wir  haben  also  den 

Satz.  Gehen  wir  bei  Einbeschreibung  des  2n  Seite  von  einem  Doppel- 
paukte  der  Curve  aus ,  so  dürfen  wir  durch  ihn  nicht  nur  2  Seiten  der  einen 
Art,  sondern  auch  noch  eine  Seite  der  andern  Art  beliebig  annehmen,  und 


88  Zur  Geometrie  der  Lage. 

dürfen  dennoch  voranssetaen ,  dass  die  beiden  dadurch  (im  Doppelpunkte) 
entstehenden  Eckpunkte  des  2nSeits  auf  der  Curre  liegen. 

2)  Gehen  wir  jetzt  auf  die  zweite  Figur  des  vorigen  S  zurück;  wir 
können  jetzt  auch  den  Punkt,  wo  sich  BF  nud  HS  schneiden,  auf  die  Carve 
fallen  lassen ,  sobald  sie  einen  Doppelpunkt  hat.  Es  sollen  dann  Ay  D ^  ß 
und  Fin  diesem  Doppelpunkte  P (Fig.  8,  Taf.  HE)  zusammenfallen;  wir  w^ er- 
den ziehen  PMymA.  PQ:  diese  mögen  noch  in  Cnnä  L  und  in  G  und  /  schnei- 
den; wir  ziehen  nun  CG  und  Ll\  diese  mögen  die  Ciirve  IV  noch  in  H  und 
V  und  in  S  und  JV  treffen;  jetzt  ziehen  wir  HSy  diese  treffen  noch  in  Tand 
K\  zieht  man  nun  noch  PT  und  PK^  sowie  V  FP,  so  hat  man  ein  8 Seit,  von 
welchem  13  Ecken  auf  der  Gurye  IV  liegen.  Es  liegeü  nämlich  3  Ecken  im 
Doppelpunkte  P  auf  der  Curve  IV ,  indem  wir  annehmen  dürfen ,  dass  die 
2  Ecken  A  und  />,  welche  PM  und  PQ  mit  PT  bilden ,  auf  der  Curve  liegen; 
ferner  können  wir  uns  PK  durch  den  einen  der  beiden  andern  in  /^noeh 
liegenden  Punkte  B  und  F  gehend  denken.  Es  liegen  femer  noch  die 
10  Ecken  C,  X,  C,  i,  H,  S,  F,  JV,  Tund  K  auf  der  Curve  IV.  —  Es  müssen 
sich  jetzt  auch  noch  PT  und  VW,  sowie  PIC  und  VW  auf  der  Curve  IV 
schneiden. 

Im  folgenden  $  sollen  einige  besondere  Anwendungen  des  in  diesem  $ 
Vorgekommenen,  besonders  der  in  2  gemachten  Construction  gegeben 
werden. 

§.6. 

1)  Es  seien  von  einer  Curve  HI  die  Punkte  P,  (7,  X,  C,  J,  ^und  F(Fig.9. 
Taf.  IIJ)  gegeben,  und  zwar  sollen  P,  C  und  £,  femer  P,  G  und  /,  ferner  C,  G 
und  V  und  endlich  X,  /  und  S  immer  in  Einer  Geraden  liegen;  die  durch  P 
gehende  Gerade  PI^  schneide  die  Curve  III  noch  in  T,  so  ist,  wenn  5,  V 
und  T  in  Einer  Geraden  liegen ,  PN  die  Curventangente  in  P.  (S.  $.  S, 
Nr.  2.)  Ist  dies  aber  nicht  der  Fall ,  so  ist  es  leicht  den  dritten  Schnitt* 
punkt  von  PN  mit  der  Curve  III  zu  finden.  Man  ziehe  nämlich  TS,  sie 
möge  die  C  V  noch  in  ff  schneiden;  zieht  man  nun  Pffy  welcHe  die  LI  in  fV 
trifft,  so  schneidet  die  VW  die  PN  im  gesuchten  dritten  Schnittpunkte  von  PN 
mit  der  Curve  III.  (Die  Curve  III  und  die  Gerade  Pff  sind  nämlich-  als 
eine  Curve  I V  zu  betrachten ,  welche  in  P  einen  Doppelpunkt  Hat.)  und 
so  kann  man  von  jeder  durch  P  gehenden  Geraden ,  wenn  man  nur  den 
einen  ihrer  beiden  andern  Schnittpunkte  mit  der  Curve  III  kennt,  sogleich 
durch  blos  lineare  Construction  auch  den  zweiten  derselben  finden.  — 
(Auch  müssen  HS  und  F^die  Curve  III  noch  in  2  Punkten  schneiden» 
welche  mit  P  in  gerader  Linie  liegen.) 

2)  Um  eine  zweite  Anwendung  der  Construction  des  vorigen  S  so 
machen ,  wollen  wir  als  Curve  IV  zwei  sich  schneidende  Kreise  annehmen. 
Ihr  einer  Schnittpunkt  sei  P  (Fig.  10,  Taf.  III);  so  ziehe  man  beliebig  die 
Geraden  PM  und  PQ,  welche  die  Kreise  noch  in  C  und  X  und  G  und  /  treffen 


VoB  M.  Sattelberger.  89 

mögen;  sodann  zieHe  man  CGmi  LI^  diese  sollen  in  J7and  Fand  ^und  W 
treffen;  man  siehe  nun  BS  und  FW,  treffen  diese  die  Kreise  noch  in  Tand 
ir  nnd  T'  and  £\  so  liegen  sowohl  Jnnd  AT'  als  auch  T'  und  IC  mit  P  in 
gerader  Linie. 

3)  Als  drittes  Beispiel  wollen  wir  uns  eine  ans  4  Geraden  bestehende 
Corre  IV  denken;  swei  dieser  Geraden  seien  MN  and  RQ  (Fig  11,  Taf.  III). 
Wir  ziehen  durch  den  beliebigen  Punkt  P  die  Geraden  PV,  PW,  PXnuA 
PY,  welche  die  MN  und  RQ  in  B  und  C,  D  und  E,  Fund  G,  H  und  /  schnei- 
den; zieht  man  noch  BE,  CD^  F J  und  GH^  so  bilden  die  letztgezogenen 
8  Geraden  ein  8 Seit;  schneiden  sich  CD  und  Fl  in  if,  CD  und  GH  in  Z,  so 
siehe  man  PK  und  jPX,  so  bilden  MNy  RQ,  PK  und  PL  eine  Gurre  IV, 
welche  in  P  einen  Doppelpunkt  hat.  Von  den  Ecken  des  erwähnten  8Seits 
liegen  aber  13  auf  dieser  Curve  IV,  nämlich  drei  im  Doppelpunkte,  und 
dann  noch  dieVeitern  lOEctken  B,  Cy  D,  E,  jP,  G,By  J,if  und  X;  es  müssen  also 
alle  16  Ecken  auf  der  Cunre  liegen,  d.  h.  schneiden  sich  GE  und  FI  mit 
BE  in  K'  und  L\  so  muss  K"  auf  PK  und  L'  auf  PL  liegen. ' 

Wir  haben  also  folgenden 

Satz.  Hat  man  2  gewöhnliche  Vierecke,  welche  2  Gegenseiten  JlfiV 
und  QR  und  in  P  den  Schnittpunkt  der  beiden  andern  Gegenseiten  gemein- 
schaflilich  haben,  so  liegen  die  4  Punkte  K,  Ly  K*  und  L\  wo  immer  eine 
Diagonale  des  einen  Vierecks  eine  Diagonale  des  andern  schneidet  —  mit 
jenem  Punkte  P  in  zwei  Geraden. 

§.7. 

Es  sollte  jetzt  der  Curve  V.  Ordnung  das  10  Seit  einbeschrieben  wer- 
den ,  so  dass  10  seiner  25  Ecken  auf  dieselbe  fielen.  Wir  wollen  aber ,  ehe 
wir  an  diese  Aufgabe  gehen,  in  diesem  und  den  zwei  folgenden  $S  noch 
einige  andere  Untersuchungen  machen. 

Es  soll  nämlich  erstens  untersucht  werden,  wie  viel  Ecken  des  2ftSeit8 
man  auf  die  Curve  der  m**"  Ordnung ,  wo  m  =  oder  >  4  und  n  =  oder  >  m 
ist,  verlegen  kann. 

Man  ziehe  die  Geraden  ctß  und  y6  (Fig.  12,  Taf.  III)  als  Seiten  der  einen 
Art  beliebig ;  sie  mögen  die  Curve  w*"^  Ordnung  in  B  und  C,  und  D  und  E 
treffen;  man  ziehe  BD  und  C£;  treffen  diese  in  F  und  Gy  und  H  und  /,  so 
ziehe  man  ^jS'und  Gl\  treffen  diese  die  Curve  in  i^i  und  67|,  und  2>i  und  E^y 
so  ziehe  man  B^  2>,  und  C,  E^ ;  treffen  diese  in  F^  und  G^ ,  und  H^  und  /j ,  so 
ziehe  F^H^  und  Cj/j;  u.  s.  f. 

Auf  diese  Weise  erhält  man  ein  2 n Seit,  wo  n  gerade  ist;  soll  n  un- 
gerade sein,  so  ziehe  man,  wenn  uß  und  y6  die  gegebene  Curve  noch  in 
ilf  und  iV treffen,  MNy  und  wenn  B^D^  und  C^E^  noch  in  Q  und  R  treffen,  QR. 

Man  sieht,  dass  jederzeit  4n  —  4  Ecken  des  2ftSeits  auf  die  Curve  der 
m^^"  Ordnung  verlegt  werden  können. 


90  Zur  Geometrie  der  Lage. 

Fallen  iXf  nnd  ^V  in  einem  Doppelpunkte  zusanunen,  und  ist  n  gerade, 
so  kann  man  die  Seite  MN  so  ziehen,  dass  sie  durch  B^  geht  und  kann 
ausserdem  noch  den  Doppelpunkt  MN  mit  Cf  verbinden.  Auf  der  ersten 
der  beiden  letztgezogenen  Seiten  liegen  dann  3  Ecken. 

Wir  haben  also  jetzt  den 

Satz.  Von  den  n' Ecken  eine»  2nSeit8  kann  man  auf  die  Curve  der 
m*«^"  Ordnung,  wo  iw  =  oder  >  4  und  :^n  ist,  stets  4  («  — 1)  Ecken  fallen 
lassen.  Und  geht  man  bei  der  Einbeschreibung  von  einem  Doppelpunkte 
der  gegebenen  Curve  ans,  so  kann  man  noch  eine  Ecke  mehr,  nämlich 
4«  — 3  auf  sie  verlegen.  Soll  z.  B.  der  Curve  IV  das  8  Seit  einbeschrieben 
werden,  so  können  wir  faienach  4  (4  —  1)  =  12  Ecken  auf  die  Curve  IV  fal- 
len lassen.    Mit  Hülfe  des  Doppelpunktes  4  .  4 — 3  =  13. 

Soll  der  Curve  V  das  10 Seit  einbeschrieben  werden,  so  können  wir 
4  (5 — 1)  =  16  Ecken  auf  diö  Curve  V  fallen  lassen;  es  mässten  aber  10  sein, 
wenn  die  übrigen  von  selbst  auf  sie  fallen  sollten. 

§.  8. 

Es  soll  untersucht  werden,  wie  viele  Ecken  eines  2;iSeits,  wo  «  ==  oder 
>J  3  ist,  man  auf  die  Curve  der  III.  Ordnung  verlegen  kann. 

Satz.  Man  kaän  auf  verschiedene  Weise  von  den  «•Ecken  eines 
2«Seits,  wo  n  =  oder  >  3  ist,  3n  —  1  auf  die  Curve  III  fallen  lassen. 

Beweis.  1)  Man  zeichne  ;i Seiten  beliebig,  jedoch  so,  dass  immer  die 
folgende  mit  der  vorhergehenden  sich  auf  der  Curve  III  schneide ;  zugleich 
bezeichne  man  diese  Seiten  abwechselnd  mitQund  (");  ebenso  fahre  man  fort 
mit  der  n  +  1*«°  Seite  bis  zur  2«^^**,  lasse  aber  von  dieser  2^^"  Folge  von  Sei- 
ten jede  zngleich  durch  einen  zweiten  auf  der  Curve  liegenden  Punkt  einer 
der  Seiten  der  ersten  Folge  gehen,  und  zwar  derart,  dass  hiebei  immer 
zwei  verschiedenartig  bezeichnete  Seiten  sich  treffen. 

Man  kann  z.  B.,  wenn  n  eine  ungerade  Zahl  ist,  da  dann  die  »^  Seite 
dieselbe  Bezeichnung  erhält  wie  die  erste ^  die  n+V^  mit  der  ersten,  die 
71  +  2'®  mit  der  zweiten  u.  s.  f.,  die  2«*®  mit  der  n*®**  sich  wieder  auf  der 
Curve  m  schneiden  lassen! 

Ist  n  gerade ,  so  können  wir  die  w  + 1^®  mit  der  zweiten,  die  n  +  2**  mit 
der  ersten,  die  n  +  2>^^  mit  der  vierten,  die  n-{-4}^  mit  der  dritten,  endlich 
die  2w  —  1**  mit  der  «**",  die  2«^®  mit  der  »  —  1*®"  sich  noch  auf  der  Curve  III 
schneiden  lassen. 

Und  man  sieht,  dass  immer  3n  —  1  Eckpunkte  des  2iiSeits  auf  die 
Curve  m  fallen. 

2)  Eine  zweite  Art  der  Einbeschreibung,  welche  aber  nur  stattfinden 
kann ,  wenn  n  gerade  ist,  besteht  darin,  dass  man  die  Figur  in  1)  wenn  man 
n  Seiten  gezogen  hat ,  sich  schliessen  lässt ;  und  alsdann  noch  ein  zweites 
gemeines,  sich  jedoch  nicht  schlicssendes  n Seit  zeichnet,  dessen  Seiten  sich 


Von  M.  Sattelbekgbr.  91 

ZQ  den  Seiten  des  ersten,  geschlossenen,  ebenso  verhalten,  wie  in  1)  die 
Seiten  der  zweiten  Folge  zu  denen  der  ersten ,  d.  h.  wenn  man  in  beiden 
gemeinen  n  Seiten  die  Seiten  abwechselnd  mit  (')  undf')  bezeichnet,  so  lassen 
wir  jede  Seite  des  zweiten  »Seits  mit  einer  entgegengesetzt  bezeichneten 
des  ersten  auf  der  Carve  III  sich  schneiden.  Auf  diese  Weise  fallen  offen- 
bar wieder  Zn  —  1  Eckpunkte  des  2yiSeits  auf  die  Gnrve  HL 

3)  Eine  dritte  Art  der  Einbeschreibung  endlich  ist  die  folgende:  Man 
ziehe  die  Seiten  MN  und  PQ  (Fig.  13,  Taf.  III) ,  welche  die  Curve  HI  in  A, 

B,  Cnnd  D,  E^  F  schneiden  mögen;  jetzt  ziehe  &an  AD,  BE  und  CF'^  diese 
mögen  noch  in  G^  ^nnd  /  schneiden;  jetzt  ziehe  man  RS,  welche  in  ^|,  B^, 

C,  schneide,  und  ziehe  nun  GA^j  HB^^  IC^ ;  diese  mögen  in  G^^  H^,  /|  schnei* 
den;  man  ziehe  nun  beliebig  TU,  welche  in  A^,  B^,  C^  schneide,  und  jetzt 
G^  A^,  //i  B^,  J,  ^2,  diese  mögen  noch  in  G^,  H^,  /,  schneiden;  man  ziehe 
nun  V  W^  welche  in  A^,  B^,  C,. schneide,  und  dann  ziehe  man  G^A^,  ^t^sj 
ItC^^  Q.  s.  f.  Will  man  mit  G^,  ffp,  Ip  schliessen,  so  ziehe  man  G^ff^  als 
Schlussseite. 

Istp  gerade,  so  denke  man  sich  die  Schiassseite  für  den  AugeMblick 
von  Gp,  ffp  nach  G,  H  versetzt,  und  man  sieht  Kogleich,  dass  man  eben  so 
-viel  mit  Q,  als  mit  (^')  bezeichnete  Gerade  hat,  und  zwar  von  jeder  Art 

3  +  4 .  -    oder    %p  +  3. 

Ist  aber  p  ungerade,  so  ist  die  Zeichnung  symmetrisch  bezüglich  der 
mit  Q  und  der  mit  (")  bezeichneten  Geraden,  und  zwar  hat  man  von  jeder  Art 

1  +  4  .^ oder  wieder  2p  +  3. 

MaD  erhält  also  immer  ein  2  (2p  +  3)  Seit. 

Es  liegen  endlich  sämmtliche  mit  Buchstaben  bezeichnete  Ecke^  we- 
niger der  einzigen  /p  auf  der  Curve  III.  Auf  jeder  mit  (')  oder  auf  jeder 
mit  (")  bezeichneten  Seite  liegen  3  Eckpunkte  auf  der  Curve  III,  mit  Aus- 
nahme der  letzten  Seite,  von  welcher  nur  2  Ecken  auf  die  Curve  fallen. 
Im  Ganzen  liegen  also  wieder  3;i  —  1  Ecken  auf  der  Curve  III. 

Anm.  Die  Punkte  Gt  H^  /,  (r|,  //< «  /|,  6^f ,  /T,, /|,  . . . .  werden  je  in  Einer  Ge- 
raden liegen. 

§.9. 

Ist  endlich  gefragt,  wie  viel  Ecken  des  29iSeit8  man  auf  eine  gegebene 
Carve  IL  Ordnung,  oder  wie  viel  man  auf  eine  Gerade  fallen  lassen  kann, 
so  sieht  man  sogleich,  dass  man  auf  die  Curve  U  stets  In  und  auf  die  Ge- 
rade stets  »Ecken  verlegen  kann. 

Bezüglich  der  Einbeschreibung  des  2n  Seits  in  die  Curve  der  m*»*"  Ord- 
nung ,  wo  n  =  oder  >  m  ist ,  so  dass  möglichst  viele  der  »*  Eckpunkte  auf 
die  Curve  fallen,  gilt  also  Folgendes: 


92  Zar  Geometrie  der  Lage. 

Auf  die  Curve  I  oder  die  Gerade  können  wir  fallen  lassen  n Ecken, 

„      „       „     II  können  wir  verlegen  2  71  Eeken , 

„      „       „   III       „         „  „         3n — 1  Ecken, 

„      ,,       „   IV.  und  höherer  Ordnimg  können  wir  verlegen  4  n— 4  Ecken ; 
mit  Hülfe  des  Doppelpunktes,  bei  geradem  n,  4n  —  3  Ecken. 

§.  10. 

Gehen  wir  nun  dazn  über  der  Curve  V.  Ordnung  das  10  Seit  einsube- 
schreiben ,  so  dass  19  seiner'^d  Ecken  auf  sie  fallen. 

1)  Schon  am  Schlüsse  des  $.  7  sahen  wir,  dass  man  bei  Einbeschrei- 
bnng  des  lOSeits  in  die  Curve  Y  von  den  25  Ecken  desselben  blos  16  auf  die 
Curve  V  fallen  lassen  kann. 

2)  Nimmt  man  eine  Curve  V,  welche  aus  einer  Curve  IV  und  einer 
Geraden  besteht ,  und  ist  blos  die  Curve  IV  gegeben ,  so  können  wir  auf 
die  letztere  16  Ecken  verlegen;  durch  zwei  der  noch  übrigen  Ecken  könn- 
ten wir  die  Gerade  ziehen ,  allein  es  fielen  dann  doch  blos  18  Ecken  auf  die 
CurveiV,  während  wir  10  brauchen. 

Besteht  aber  die  Curve  IV  aus  einer  Geraden  und  einer  Curve  in, 
welche  einen  Doppelpunkt  hat,  so  gelingt  die  Einbeschreibung  derart,  dass 
17  Ecken  des  lOSeita  auf  die  Curve  IV  fallen. 

Man  verfahre  folgendermassen :  Ist  F  (Fig.  14,  Taf.  III)  der  Doppel- 
punkt, so  ziehe  man  F-^  und  VN  als  Seiten  der  einen  Art  beliebig,  sie 
mögen  die  Curve  III  noch  in  J  und'^,  die  noch  gegebene  Gerade  in  R  und 
S  schneiden;  nun  ziehe  man  die  Hülfsliuie  ABy  welche  die  Curve  III  noch 
in  fi  treffe;  ferner  fiS  und  BB^  diese  mögen  die  Curve  III  noch  in  GyH und 
^, /'treffen;  jetzt  ziehe  man  FB  und  EG^  treffen  diese  die  Curve  III  noch 
in  C  und  />,  so  werden  C  und  D  mit  A  in  gerader  Linie  liegen  '^) ;  man  ziehe 
also  ACD,  Schneidet  die  DG  die  Gerade  725 -noch  in  P,  die  Cff  diese  Ge- 
rade noch  in  jß,  so  ziehe  man  VPnud  VQ\  schneiden  diese  die  Curve  III 
noch  in  /und  K^  so  ziehe  man  endlich  noch  IK^  so  hat  man  jetzt  ein  10 Seit, 
von  dessen  25  Ecken  3  im  Doppelpunkte  V  auf  der  Curve  IV  liegen ,  wäh- 
rend die  übrigen  auf  der  Curve  IV  liegenden  sind :  A^  B,  C,  D,  E,  F^  G,  B,  Ä, 
SyP,  0^1  und  IC]  im  Ganzen  liegen  also  17  Ecken  auf  der  Curve  IV;  ziehen 
wir  nun  noch  durch  zwei  andere  Ecken,  z.  B.  durch  die  zwei  andern  Punkte, 
vro  J>G  und  CB  mit  Fi' und  FjP  sich  schneiden,  eine  Gerade,  so  liegen  auf 
der  von  dieser  Geraden  und  der  gegebenen  Curve  IV  gebildeten  Curve  V 
19,  folglich  alle  25  Ecken  unseres  lOSeits. 

3)  In  ^er  vorigen  Nummer  wurde  eigentlich  die  Aufgabe  gelöst : 
Aufgabe.    Einer  gegebenen  Curve  III,  welche  einen  Doppelpunkt 

hat,  ein  10 Seit  so  einzubeschreiben ,  dass  auf  sie  und  eine  gegebene  nicht 


*)  Die  Punkte  A,  B,  (i,  G,  E,  B^  F,  C  und  D  liegen  nämlich  sämmtiich  auf  der  ge- 
gebenen Curve  III. 


Von  M.  Sattelbbbgbb* 

durch  den  Doppelpunkt  gehende  Ctorade  17  Ecken  des  iOSeita  fallen;  wir 
können  anf  die  Gorve  III  selbst  13  Ecken  (3  davon  im  Doppelpunkte)  fal- 
len lassen,  anf  jene  gegebene Jj^erade  aber  4;  es  fallen  dann  anf  die  gege- 
bene Cnrve  HF  noch  zwei  weitere  Ecken  (davon  eine  im  Doppelpunkte), 
anf  jene  Gerade  noch  eine  Ecke,  nnd  die  5  letzten  Ecken  endlich  fallen 
wieder  in  Eine  Gerade. 

Da  aber  eine  Cnrve  III  nur  dann  einen  Doppelpunkt  hat ,  wenn  sie 
ans  einer  Cnrve  11  und  einer  Geraden  besteht,  so  muss  die  vorige  Aufgabe 
eigentlich  so  ausgesprochen  werden: 

Aufgabe«  Einer  Curve  11  ein  10 Seit  so  einzubeschreiben ,  dass  die 
15  nicht  auf  ihr  liegenden  Ecken  desselben  sich  auf  3  Gerade  vertheilen, 
von  welchen  2  gegeben  sind.  Eine  der  gegebenen  Gerade  muss  die  Curve  II 
schneiden,  und  wir  müssen  gestatten,  dass  in  diesem  Schnittpunkte  4  Ecken 
des  einzubeschreibenden  lOSeits  zusammenfallen. 

4)  Nehmen  wir  eine  Curve  V,  welche  aus  einer  Curve  HI  und  einer 
Cnrve  U  besteht  und  ist  blos  die  Curve  III  gegeben,  so  kann  man  nach  $.  0 
auf  die  Curve  III  14  Ecken  des  lOSeits  fallen  lassen,  durch  5  der  übrigen 
Eckpunkte  geht  ein  Kegelschnitt ,  es  liegen  also  dann  10  Ecken  auf  der 
Curve  V,  welche  dieser  Kegelschnitt  mit  der  Curve  III  bildet;  woraus  folgt, 
dass  alle  25  Ecken  auf  der  Curve  m  und  dem  Kegelschnitte  liegen. 

Wir  haben  also  den 

Satz.  Einer  Curve  HE  Iftsat  sich  stets  ein  10 Seit  so  einbeschreiben, 
dass  14  seiner  Ecken  auf  sie  fallen;  es  fällt  dann  noch  ein  Eckpunkt  auf 
sie  und  die  übrigen  10  bilden  einen  Kegelschnitt. 

5)  Hat  man  eine  Curve  V,  welche  aus  einer  Curve  III  und  einem 
Kegelschnitte  besteht,  und  ist  blos  der  Kegelschnitt  gegeben,  so  kann  man 
diesem  stets  ein  10 Seit  so  einbeschreiben,  dass  10  Ecken  desselben  auf  ihn 
fallen;  da  durch  die  0  der  übrigen  Ecken  eine  Curve  III  gelegt  werden 
kann,  so  liegen  alle  übrigen  auf  einer  Curve  III. 

Es  gilt  also  der 

Satz.  Beschreibt  man  einer  Curve  11  ein  10 Seit  derart  ein,  dass  10 
seiner  Ecken  auf  sie  fallen ,  so  liegen  die  15  andern  auf  einer  Curve  III. 

Ebenso  ergiebt  sich  endlich  der 

Satz.  Beschreibt  man  ein  10 Seit  so,  dass  5  seiner  Scken  in  gerader 
Linie  liegen ,  so  bilden  die  übrigen  20  eine  Curve  IV.  prdnung. 

§.  11. 

Eine  dem  Satze  in  Nr.  4  des  vorigen  S  entsprechende  Construction, 
wozu  man  noch  1  des  $.  8  vergleiche,  wäre  z.  B.  die  folgende: 

Construction.  1)  Man  nehme  als  Curve lU  einen  Kegelschnitt  und 
eine  Gerade  MN  (Fig.  15,  Taf.  III).  Auf  dem  Kegelschnitte  nehme  man  die 
0  Punkte  ^,  By  (7,  />,  ß^  F  beliebig  au  und  verbinde  sie  durch  die  5  Geraden 


94  Zur  Oeometrie  der  I^age. 

ÄB,BC^CD,DE,EF]  diese  mögen  die  Gerade  MN'm  den  Punkten  ^|,C„ /)„£:„ 
jPi  schneiden;  man  ziehe  nun  FB^ ,  tri£Bk  diese  den  Kegelschnitt  noch  in  Gy  so 
ziehe  man  -6^  (7, ,  trifft  diese  noch  in  ZT ,  so  ziehe  man  HD^ ,  trifft  diese  noch 
in  J,  so  ziehe  man  lE^ ,  und  trifft  diese  noch  in  K^  so  ziehe  man  KF^ ,  so 
wird  diese  Gerade  den  Kegelschnitt  wieder  in  A  treffen. 

Ferner  bezeichne  man  die  Geraden  AB^  CB,  . . .  FG,  GH^  ...  der 
Reihe  nach,  wie  man  sie  gezogen  hat,  abwechselnd  mit  Q  und  ("^),  so  werden 
die  10  Punkte,  wo  immer  eine  mit  (')  und  eine  mit  (")  bezeichnete  Seite  sich 
noch  (ausser  auf  dem  Kegelschnitte  und  auf  MN)  schneiden  —  auf  Einem 
Kegelschnitte  liegen.  — 

2)  Die  vorhin  angenommene  Curve  III  hat,  wenn  die  Gerade  MN  den 
gegebenen  Kegelschnitt  in  Tund  ^schneidet,  in  Fund  W  einen  Doppel- 
punkt; wir  wollen  beide  benutzen.  In  den  einen  T  wollen  wir  den  Punkt 
C,,  in  den  andern  W  den  Punkt  £,  verlegen;  so  fallen  in  den  ersten  noch 
die  Punkte  B^  G  und  B^^  in  den  andern  noch  E^  JiTund  ^j.  Die  erste  Seite 
AB  und  die  letzte  KA  wollen  wir  anfangs  ganz  aus  der  Construction  hin- 
weglassen.   Die  vorige  Construction  geht  dann  in  die  folgende  über: 

Construction.  2)  Man  ziehe  FC,  C2>,  2>  ^  und  VH,HIyIW{Y\^.l^, 
Taf.  III),  so  dass  sich  CD  und  HI  auf  MN  schneiden;  hierauf  nehme  man  P 
beliebig  an  und  ziehe  VF  und  WF,  (BA  und  KA  sind  jetzt  bestimmt,  vgl. 
1  des  S.  5.)  Es  müssen  jetzt  folgende  6  Punkte  auf  Einem  Kegelschnitte 
liegen: 

VC,  WI      FV,  CD       FV,  WI 
VH,  WD      FW,  HI      F W,  VC. 

Und  nimmt  man  den  Punkt  A  auf  dem  gegebenen  Kegelschnitte  so  an, 
dass  VA  durch  den  Punkt  geht,  wo  HI  oder  WD  den  zweiten  Kegelschnitt 
zum  zweiten  Mal  trifft,  so  liegen  noch  auf  dem  letztern  die* 3  Punkte: 

VA,  WD         WA,  CD 

oder 
VA,  HI  WA,  VH 

§.  12. 

Eine  dem  Satze  in  Nr.  4  des  S.  10  entsprechende  Construction,  wozu 
man  Nr.  3  des  %,  8  vergleiche ,  wäre  ferner  die  folgende : 

Construction.  Man  beschreibe  einer  Curve  II  ein  gemeines  Sechseck 
ein,  so  werden  sich  die  Gegenseiten  desselben  wie  bekannt  auf  Einer  Ge- 
raden schneiden;  alsdann  beschreibe  man  ihr  noch  ein  solches  Sechseck 
ein,  welches  mit  dem  ersten  eine  Seite  gemeinschaftlich  hat,  und  dessen 
Gegenseiten  sich  auf  der  nämlichen  Geraden  wie  die  des  ersten  schneiden ; 
ferner  bezeichne  mau  die  Seiten  beider  Sechsecke  abwechselnd  mit  Q  und  ("), 
und  zwar  derart,  dass  man  der  gemeinschaftlichen  Seite  in  beiden  Sechs- 
ecken entgegengesetzte  Bezeichnung  giebt;   diese  Seite  endlich  betrachte 


Van  M.  SATTELBERaBB,  95 

mau  von  nan  &d  als  gar  nieht  mehr  vorhanden ;  so  mässen  jeUt  die  10  Punkte, 
welche  sich  als  Sehnittpnnkte  je  einer  Seite  des  einen  Sechsecke  mit  einer 
entgegengesetzt  beseiefaneten  des  andern  ergeben,  auf  Einem  Kegelsehnitte 
liegen. 

§.  13. 

Besondere  Art  einer  Curve  III.  Ordnung  das  6Seit  einzu- 

beschreiben. 

Fallen  in  der  ersten  Zeichnung  des  S.  3  die  4  Funkte  J,  B,  D,  F  in 
einem  Doppelpunkte  zusammen,  so  darf  man  nicht  nur  AM  und  DE,  son- 
dern auch  noch  AN  beliebig  ziehen.  Ist  also  V  (Fig.  17,  Taf.  III)  der  Dop- 
pelpunkt, so  ziehe  man  VM,  VP  und  VN\  treffen  diese  die  Curve  III  noch 
in  C,  JJund  E,  so  ziehe  man  CH,  trifft  diese  die  Curve  III  noch  in  /,  so  ziehe 
•man  EI,  und  trifft  diese  die  Curve  III  poch  in  C,  so  ziehe  man  VG,  und 
man  hat  jetzt  wieder  ein  6 Seit,  von  dessen  9  Ecken  8  auf  der  Curve  III 
liegen.  Drei  davon  liegen  im  Doppelpunkte  auf  der  Curve  III,  der  neunte, 
von  selbst  i^uf  die  Curve  III  fallende  Eckpunkt  ist  der  vierte  im  Doppel- 
punkt liegende. 

Haben  wir  z.  B.  einen  Kegelschnitt,  welcher  von  einer  Geraden  MN 
in  V  (Fig.  18,  Taf.  III)  geschnitten  wird,  so  ziehe  man  FC  und  VH,  dann 
CH,  trifft  diese  die  MN  in  /,  so  ziehe  man  durch  1  die  EG  beliebig,  und 
dann  noch  VE  und  F6,  so  hat  man  der  gegebenen  Curve  II  das  gemeine 
Sechseck  VC  HEG  so  einbeschrieben,  dass  die  3  Schnittpunkte  seiner  Ge- 
genseiten auf  MN  liegen.  Im  Punkte  V  fallen  2  Ecken  und  2  Gegenseiten- 
Schnittpunkte  zusammen. 

§.  H. 

Setzen  wir  in  $.  12  statt  des  einen  Sechsecks  ein  solches  besonderes ^  so 
erbalten  wir  folgende 

Construction.  1)  Man  beschreibe  einem  Kegelschnitte  das  ge- 
meine Sechseck  ABCDEF  (Fig.  19*,  Taf.  III)  ein,  dessen  Gegenseiten  sich 
auf  der  Geraden  MN  schneiden  mögen.  Trifft  die  ilf  i\r  den  Kegelschnitt  in 
Fnnd  W,  so  ziehe  man  VB  und  FC  und  die  beliebige  Gerade  VH,  so  müs- 
sen stets  die  Punkte  a  und  j5,  wo  VH  die  D  E  und  ^^  trifft,  mit  den  4  Punk- 
ten y,  6,  f,  x,  wo  VB  die  CD  und  EF,  und  VC  die  AB  und  ^i?*  trifft  —  auf 
Einem  Kegelschnitte  liegen. 

V  und  X 

2)  Lässt  man  den  Punkt  a  oder  ß  mit    \ 

0    „     c 

6  und  B 

auch  die  Construction  in  Nr.  2  des  S-  10;  der  Geraden 

Gerade  RS,  und  dem  Punkte  a  oder  ß  der  Punkt  P  oder  Q,) 

3)  Schneidet  VH  den  Kegelschnitt  noch  in  S  (Fig.  19^,  Taf.  III),  so 


gen ,  so  liegt  auch  ß  resp.  u  mit 


in  Einer  Geraden  He- 
in Einer  Geraden.    (Vgl.  hiemit 
?*    entspricht  die 


%  Zur  Geometrie  der  Lage. 

ziehe  man  SO,  trifft  diese  denselben  noch  in  J,  so  ziehe  man  FT,  und  suche 
nun  noch  folgende  Schnittpunkte:  die  ron  VT  mit  J)E  und  AF  («,  ß>),  und 
die  von  ST  mit  AB  und  CD  (jü,  v),  so  müssen  diese  4  Schnittpunkte  mit  den 
6  vorigen  auf  Einem  Kegelschnitte  liegen ;  und  liegen  die  6  ersten  auf  2  Ge- 
raden,  soHlllt  a'  mit  ß  und  ß>  mit  a  in  dieselbe  jener  beiden  Geraden;  |» 
endlich  fällt  in  die  Gerade,  in  welcher  y  und  x,  v  in  die,  in  welcher  S and  e 
liegen. 

§.  15. 

Setfet  man  statt  der  beiden  gemeinen  Secksecke  des  S.  12  zwm  solche 
besondere  Sechsecke ,  so  erhält  man  folgende 

Construction.    Man  beschreibe  einem  Kegelschnitte  das  gemeine 
Viereck  VB  WC  (Fig.  20,  Taf.  III)  ein,  ziehe  dessen  beide  Diagonalen  VW 
und  BC^  welche  sich  in  0  schneiden  mögen;  durch  0  ziehe  man  die  Geraden 
X  Y  und  UZ  beliebig ;  sie  mögen  den  Kegelschnitt  noch  in  E  und  /*,  nnd 
Sund  r  treffen,  so  ziehe  man  VS,  VT,  FTJF  und  WF.    Man  hat  jetzt  dem 
gegebenen  Kegelschnitte   die  beiden  gemeinen  Sechsecke    VBCST  nnd 
WBCEFy  deren  Gegenseiten  sich  auf  der  nämlichen  Geraden  F^  schnei- 
den, einbeschrieben;  man  suche  daher  folgende  Schnittpunkte: 
VB,  WC        VS,  WE      ST,  WB 
VC,  WB        VS,  WF      ST,  WC 
VT,  WE      EF,  VB 
VT,  WF      EF,  VC-, 
sie  müssen  alle  10  auf  Einem  Kegelschnitte  liegen. 

Wurde  2^ Fund  UZ  so  gezogen,  dass  der  erste,  siebente  und  zehnte 
in  Einer  Geraden  liegen,  so  liegen  auch  der  zweite,  achte  uod  neunte  in 
Einer  Geraden  ;  auf  die  eine  dieser  Geraden  fallen  nocli  der  dritte  und  der 
sechste ,  auf  die  andere  der  vierte  und  fünfte  Schnittpunkt. 

§.  16. 

Lässt  man  in  S- 15  AT  und  ÜZinRK  (Fig.  21,  Taf.  III)  zusammen- 
fallen ,  so  fällt  der  dritte  Schnittpunkt  mit  E  und  S  in  P,  und  der  sechste 
mit  F  und  T  in  iß  zusammen ;  der  siebente ,  achte ,  neunte  und  zehnte  fallen 
ebenfalls  in  die  Gerade  RK\  da  also  von  dem  Kegelschnitte,  auf  welchem 
die  10  Schnittpunkte  liegen,  mehr  als  3  Punkte  in  Einer  Geraden  liegen,  so 
muss  er  in  2  Gerade  zerfallen;  d.  h.  es  müssen  der  erste,  zweite,  vierte  und 
fünfte  Schnittpunkt  in  gerader  Linie  liegen.    Dies  giebt  den 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  zwei  gemeine  Vierecke 
[VB  WCvLVL^  VP  WO]  so  ein,  dass  sie  den  Schnittpunkt  [0]  der  Diagonalen 
und  die  eine  Diagonale  [VW]  gemeinschaftlich  haben,  so  liegen  die  4  Schnitt- 
punkte der  Gegenseiten  [(VB,  WC),  (VC,  WB),  (VP,  WO)  und  (F0,  WP)] 
auf  Einer  Geraden. 

Zeichnet  man  ferner  noch  ein  drittes  gemeines  Viereck  V'BW'C,  wel- 


Voa  M.  Sattblbebgbe«  97 

ches  mit  dem  ersten  die  Diagonale  B  C  gemein  hat ,  und  dessen  andere  Dia- 
gonale V^  W  ebenfalls  darch  den  Punkt  0  geht,  so  müssen  also  dessen  Ge- 
genseiten sich  ebenfalls  auf  jener  Geraden  schneiden,  auf  welcher  die  4 
ersten  Gegenseitenschnittpunkte  liegen;  dieses  dritte  Viereck  hat  aber  mit 
dem  zweiten  VPWQ  nichts  gemein,  als  den  Schnittpunkt  der  Diagonalen. 
Wir  haben  also  den 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  beliebig  viele  gemeine 
Vierecke  ein ,  welche  sttiümtlich  den  Schnittpunkt  der  beiden  Diagonalen 
gemeinsam  haben,  so  haben  sie  auch  die  Verbindungslinie  der  Gegenseiten- 
sehnittpnnkte  gemein. 

Dieser  Satz  ist  bekanntlich  in  der  Theorie  der  Polaren  wichtig, 

§.  17. 

Einbeschreibung  des  2nSeit8  in  die  Curven,  deren  Ordnung 

die  fünfte  übersteigt. 

In  die  Corre  m  konnten  wir  das  6  Seit  stets  einbeschreiben.  ($.  3.) 

In  die  Curve  IV  konnten  wir  das  8  Seit  nur  mit  Hülfe  des  Doppel- 
punktes einbeschreiben.  ($•  6.)  —  Oder  wir  nahmen  solche  Gurren  IV, 
welche  aus  Curven  niederer  Ordnungen  bestanden  und  gaben  von  diesen 
nur  eine  oder  einige.  (S.  4.  2),  3),  4)  und  5).)  ♦ 

In  die  gegebene  Curve  V  konnten  wir  das  10  Seit  nicht  mehr  einbe- 
schreiben ,  sie  musste  ans  einer  Curve  IV  und  einer  Geraden  bestehen ,  und 
es  durfte  nur  die  erstere  gegeben  sein;  diese  musste  ferner  aus  einer  Curve  II 
und  zwei  Geraden  bestehen,  von  welchen  die  eine  die  Curve  II  schneiden 
musste»  (S.  10.  1)  und  2).)  —  Oder  die  Curve  V  musste  aus  einer  Curve  III 
und  einer  Curve  IE  bestehen,  und  es  durfte  blos  die  erste  gegeben  sein, 
tt.  8.  w.  (S.  10.  3)  and  4).) 

Wir  wenden  uns  nun  zu  den  Curven  von  einer  höhern  als  der  fünften 
Ordnung.  Wir  benützen  hiebei  besonders  den  $.  9. 

1)  Vom  2  n  Seite  können  wir  im  Allgemeinen  auf  die  Curve  n'®*^  Ord- 
Bung,  wo  j»  =  oder  04  ist ,  4n — 4  Eckpunkte  verlegen;  es  müssten  aber, 

n  ( n    I     Q\ 

damit  alle  Eckpunkte  auf  sie  fallen,  — —  1  derselben  auf  sie  verlegt 

werden;  nun  ist 

__ i_(4«— 4)  — , 

der  Ausdruck  rechte  ist  positiv  für  «  =  und  >  4;  d.  h.  Einer  Curve,  deren 
Ordnung  die  vierte  oder  eine  höhere  ist,  lässt  sich  das  2 n Seit  im  Allge- 

meinen  nicht  derart  einbeschreiben ,  dass  -^ — 7-^  —  1  seiner  Ecken  (und 

in  Folge  dessen  alle)  auf  sie  fallen. 

2)  Mit  Hülfe  des  Doppelpunktes  können  wir  vom  2 ;i Seit  4n~3  Ecken 
auf  die' Curve  n!-^^  Ordnung  fallen  lassen;  und  es  ist 

Zeitschrift  f.  Mathematik  u.  Physik.  VI,  2.  7 


Zur  Geometrie  der  Lage. 

der  Ausdruck  rechts  ist  f&rn  =  4  Null ,  für  n  >  4  aber  positivr   D.  h. 

Einer  Carve  IV  kö^nnen  wir  mit  Hilfe  des  Doppelpunktes  ein  2n(d.h. 

Acht-)  Seit  so  einbeschreiben ,  dass  -^^-;^ —  1  (d.h.  13)  3einer  Ecken  (und 

in  Folge  dessen  auch  die  übrigen)  auf  sie  fallen;  bei  einer  Cnrve  höherer 
Ordnung  geht  dies  aber  nicht  mehr. 

3.  Wir  wollen  nun  solche  Curven  ti^"  Ordnung  betrachten,  welche  moB 
einer  Cnrve  m^^'  und  einer  n — m^  Ordnung  bestehen,  von  welchen  beiden 
aber  blos  die  Curve  m^^  Ordnung  gegeben  sei. 

a)  Es  sei  m  =  oder  >  4,  "Wir  können  jetat  auf  die  Curve  m*^  Ord- 
nung 4n — 4  Eckpunkte  fallen  lassen,  dann  ist  aber  das  2itSeit  verseichnet; 

durch  ^ ^ der  übrigen  können  wir  die  Curve  der  n — m*" 

Ordnung  legen;  es  fallen  also  dann  auf  die  von  beiden  Curven  gebildete 

Curve  n**"^  Ordnung 

^   ,  (n — fn)(n  —  m  +  8)  ^  , 
4«  — 4+^^ ^"^ ^^-^  Ecken. 

Dieser  Ausdruck  wird  um  so  grösser,  je  kleiner  m  ist;  setzen  wir  also 
m  =  4f  so  wird  er^ 

^4n       I  I   («-4)(n— l)^n«  +  8n-4^n(n  +  8)       ^ 

Man  siebte  dasa  bei  der  Curve  IV  nur  noch  ein  einsiger  Eckpunkt  fehlt. 
Gehen  wir  also  bei  der  Einbeschreibui^  von  einem  Doppelpunkte  der 
Curve  IV  aus,  so  können  wir  4ft  —  3  Ecken  auf  sie  verlegen,  und  die  An- 
sahl  der  auf  die  Curve  IV  und  die  Curve  n — 4^'  Ordnung  fallenden  Eoken 
des  SnSeits  wird 

es  fallen  also  sftmmtliche  n' Ecken  auf  diese  beiden  Curven,  und  wir  ha- 
ben den 

Bat 8.  Beschreibt  man  einer  Curve  IV  ein  2a Seit  ein,  Wo  n=  oder 
>4  ist,  und  geht  man  bei  der  Einbeschreibung  von  einem  Doppelp«mkte 
der  Curve  IV  aus,  so  kann  man  4n  —  3  Ecken  auf  die  Curve  IV  verlegen; 
dies  sind  so  viele,  dass  noch  3  auf  die  Curve  IV  fallen  (wovon  eine  im 
Doppelpunkte  liegt),  und  die  Übrigen  «  (» — 4)  fallen  auf  eine  Curve  a— 4** 
Ordnung. 

Dies  giebt  folgende  Erweiterung  d^r  in  Nummer  2)  des  §.  6  gemachten 
Construction: 

Haben  zwei  Kegelschnitte  den  Punkt  P  gemeinsehaMich,  so  siehe  man 
durch  ihn  zwei  beliebige  Gerade,  von  denen  jede  die  2  KegelBchnitte  in 
noch  2  Punkten  treffen  wird;  zw^mal  verbinde  man   2  dieser  4  Tunkte 


Von  H.  Sattslbeboer.  99 

tift  Nene,  die  beiden  VerbtndiingsliiiLien  mögen  wieder  jede  die  beiden 
Carren  in  noch  2  Punkten  treffen,  nnd  man  verbinde  wiederum  2  mal  2  die- 
ser 4  Schnittpunkte ;  es  werden  sich  wieder  4  Schnittpunkte  ergeben,  diese 
yerbinde  man  nochmals  2  mal;  je  nachdem  man  nun  diesmal  je  2  solche 
Schnittpunkte  verbundMi  hat,  welche  nicht  auf  dem  nämlichen  Kegelr 
eehuitte  liegen,  oder  je  ^wei  solche ,  bei  denen  dies  der  Fall  ist ,  gehen  die 
beiden  Verbindungslinien  wieder  durch  den  Punkt  P  oder  nicht.  Im  leta- 
tern  Falle  kann  man  die  gemachjte  Operation  wiederholen ;  die  beiden  Ver- 
bindungslinien werden  n&mlich  vier  weitere  Schnit^unkte  liefern,  diese 
verbinde  man  nochmals  durch  2  Gerade,  und  nun  verbinde  man  von  den 
4  aufs  Neue  entstehenden  Schnittpunkten  2  mal  entweder  je  2  solche,  wel* 
ehe  nicht  atif  der  n&mlichen  der  gegebenen  Curven  II  liegen,  oder  je  2 
solche ,  bei  denen  dies  der  Fall  ist.  Im  ersten  Falle  werden  die  swei  Ver* 
bindungslinien  wieder  durch  P  gehen ,  im  andern  nicht ,  u,  s.  f.  Man  be- 
seichne  die  Seitenpaare  bei  der  Ziehung  abwechselnd  mit  (')  und  (") ;  hat  man 
»Seitenpaare  gezogen,  so  hat  mao  auf  der  gegebenen  Curve  IV  ein  sich 
im  Doppelpunkte  wieder  schliessendes  2;iSeit  gezeichnet;  jedes  Seitenpaar 
hat  mit  dem  ihm  vorhergehenden  sowohl,  als  mit  ^eai  ihm  folgenden  4 
Punkte  auf  der  gegebenen  Curve  IV  gemein  (das  erste  und  letzte  Seiten- 
paar haben  diese  4  Punkte  im  Doppelpunkte  gemein).  Die  tibrigen  n{n — 4) 
Schnittpunkte  verschiedenartig  bezeichneter  Seitenpaar^  liegen  auf  Einer 
Corvo  n — 4**' Ordnung. 

h.  Es  sei  m  =  3,  so  können  wir  auf  die  Curve  »!*•'  Ordnung  3n  —  1 
Ecken  des  2nSeits  fallen  lassen;  die  nicht  gegebene  Curve  n  —  3**"*  Ord- 
nung können  wir  durch 

(n  —  3)  (fr—  3  +  3)     ,      («  — 3)  « 

i ^-i-i L  oder  -^^ — 

2  2 

der  übrigen  Ecken  gehen  lassen;   es  fallen  dann  von  den  n* Ecken  des 

.  2nSeits  auf  die  von  beiden  Curven  gebildete  Curve  «**^  Ordnung 

o„       .  ^(^~3)n_n«+3n— 2    •  «(n  +  3) 

Ecken ;  dies  ist  aber  die  erforderliche  Anzahl. 

Es  sei  ferner  m=2 ;  auf  die  Curve  11  können  wir  2n  Ecken  verlegen,  die 

nicht  gegebene  Curve  n — 2**''  Ordnung  kann  man  durch  ^ -^ i 

Ecken  gehen  lassen ;  und  es  ist 

gn  +  ^'*~^^^''  +  ^^=='''"^^"~^^''^'''^^^'     1 
"'"2  2  2  ' 

Es  sei  endlich  m  =  l,  so  können  wir  auf  die  Curve  I  n Eckpunkte  faU 
lassen,  und  die  Curve  n  —  1**^'  Ordn 
tibrigen  Ecken  gehen  lassen ,  und  es  ist 


len  lassen,  und  die  Curve  n  —  1**^'  Ordnung  durch  — ^ — ^-^- der 


7» 


100  Zar  Geenelrie  der  Laise. 

»+  ^  —  ^  — — ^  1- 

Ef  gilt  «bo  folgender 

Satz.     Man  kann  bewirken,  dam  ron  den  «'Ecken  emea  2n Seit«  auf 
die  Conre  L,  IL,  IIL  Ordnung  bexäglicfa  a,  2»,  3a — 1  Ecken  fallen ,  und 
dies  nnd  so  Tiele ,  da«  die  fibrigen  Ecken  aianntlich  besilgUcli  anf  Einer 
f^rre  n — !•*',  m  —  2***,  n  —  3^  Ordnung  Hegen« 
Oder  « 

Sats  1.  Zeichnet  man  ein  2a Seit  so,  dass  a Ecken  desselben  in  ge- 
rader Linie  liegen,  so  liegen  die  a(a — 1)  fibrigen  Ecken  anf  Einer  Carre 
»  —  1*^  Ordnung.  • 

Satz  2«  Beschreibt  man  einer  Curre  11  ein  gemeines  2a Eck  ein,  be- 
zeicbnet  dessen  Seiten  abirechselnd  mit  (')  and  ("),  und  sucht  alsdann  die 
nicht  auf  der  gegebenen  Curre  II  liegenden  m{H — 2)  Punkte,  wo  immer 
eine  mit  Q  und  eine  mit  (')  beseichnete  Seite  sieh  schneiden,  so  liegen  die- 
selben sämmtlieh  auf  Einer  Curre  a — t*^  Ordnung. 

Satz  3.  Beschreibt  man  einer  Curve  m  auf  eine  der  in  §.  8  ange- 
gebenen Arten  ein  2a Seit  ein,  so  dass  3a  —  1  tou  dessen  Ecken  auf  ihr 
liegen,  so  Mit  auch  die  3«*^  E^e  auf  sie,  und  die  a(a — 3)  fibrigen  Ecken 
liegen  auf  Einer  Curve  n  —  3^*^  Ordnung. 

Besteht  die  Curre  III  dieses  3.  Satzes  aus  einer  Curre  II  und  einer 
Geraden,  so  erhält  man  als  den  ersten  Theil  dieses  Satzes  Folgendes: 

Satz  ff.  Man  beschreibe  einer  Curve  II  ein  gemeines  2a Eck  ein  und 
zwar  wie  folgt: 

Ist  n  ungerade,  so  zeichne  man  zuerst  n  Seiten,  die  a  +  1**,  a  +  2**,  .  . . 
tn—V*  nehme  man  nach  einander  so  an,  dass  ihre  Schnittpunkte  mit  be- 
züglich der  1**",  2**",  . . .  n  —  !**■  sämmtlich  auf  Einer  Geraden  liegen;  es 
wird  dann  auch  der  Schnittpunkt  der  2n^"  mit  der  n^**  anf  diese  Gerade 
.fallen. 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der.  Satz  von  dem  der  Curve  11 
einbeschriebenen  Sechsecke.) 

Ist  n  gerade ,  so  nehme  man  wieder  die  ersten  n  Seiten  beliebig  an, 
die  n+1^,  a  +  2*%  «  +  3*«,  ..  .  2if— 1'«  aber  der  Art,  dass  ihre  Schnitt- 
punkte mit  bezüglich  der  2*«'»,  1**",  4*«",  3*«",  ....  n»*»  auf  Einer  Geraden 
liegeu;  so  wird  auch  der  Schnittpunkt  der  2n^^  und  der  n  — 1^<^  auf  dieser 
Geraden  liegen. 

Satz  ß.  Man  beschreibe  einer  Curve  II  ein  gemeines  2pEck,ein, 
lasse  Zp — J  Seiten  desselben  sich  um  2p — 1  in  Einer  Geraden  liegende 
Punkte  drehen,  so  wird  auch  die  2p^^  Seite  sich  um  einen  Punkt  dieser 
Geraden  drehen.  • 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der  Satz  von  dem  dem  Kegel- 
schnitte einbeschriebenen  Vierecke,  von  dessen  4  Seiten  3  um  3  in  Einer 
Geraden  liegende  Punkte  sich  drehen.) 


Vcm  M.  Sattelbebg£r.  101 

IL  Xadproke  BAte  n  den  WMhtigften  Ottwn  der  enton  Abthei^^ 

(Sätse  über  die  dpn  CarTen  liöherii  Grades  nmschriebeii'en  Vielecke.) 

«.  18. 
Der  reciproke  Sals  au  dem  in  §•  1  aafgefltellten  Haaptsatse  faeisst; 

Zieht  man  eine  Curve  w**°  Grades,  welche  — ^ — • — -  —  1  der  n*  gemein- 

sdiafüichen  Tangenten  aweier  anderer  Curven  des  n^'  Orades  bertthrt,  so* 
berührt  sie  diese  sämmtlichen  gemeinschaftlichen  Tangenten. 

§.  t9. 
Die  einfachste  Cnrre  des  n^^^  Grades  ist  das  System  von  »Punkten. 
Zwei  sokhe  Systeme  ron  n Punkten  wollen  wir  ein  2 »Eck  nennen  und  im 
Folgenden  nnter  2nEck  nichts  weiter  als  das  verstehen.  Die  Bcken  des 
2nEck8  sind  jene  2 n Punkte;  sie  theilen  sich  in  Ecken  der  einen  (')  und 
Ecken  der  andern  Art  (").  Ein  solches  2»  Eck  hat  it'Seiten,  d.  h.  Verbin- 
dungslinien verschiedenartiger  Ecken. 

«t  (n.    I    ft^ 

Satz.     Zieht  man  eine  Curve  des  «**"  Grades,  welche  — ^ ~  —  1 

'  2 

der  «'Seiten  eines  2 »Ecks  berührt,  so  berührt  sie  auch  die  ^^ -^ 

übrigen  Seiten  desselben. 

Dieser  Sata  enthält  natürlich  nur  dann  eine  Behauptung  In  sich,  wenn 
i«=soder  >3  ist. 

Es  entsteht  nnn  wieder  die  umgekehrte  Frage ,  ob  und  wie  man  einer 

Curve  n**"  Grades  ein  2 »Eck  umbeschreiben  könne,  so  dass  — ^^ —  1 

2 

seiner  Seiten  die  Curve  berühren ;  dann  müssten  die  übrigen  ^  '^ ^ 

Seiten  die  Curve  von  selbst  berühren. 

§.20. 

Sowie  eine  Curve  n*®''  Ordnung  im  Allgemeinen  sich  nicht  selbst  schnei- 
det, so  wird  man  auch  in  keinem  Punkte  einer  Curve  «*•"  Grades,  welche 
nicht  ans  Curven  niedereren  Grades  besteht ,  eine  Tangente  an  die  Curve 
legen  können,  welche  dieselbe  in  noch  einem  Punkte  berührt;  wohl  aber 
wird  dies  der  Fall  sein ,  wenn  die  Curve  aus  zwei  oder  mehreren  Curven 
niedereren  Grades  besteht;  in  diesem  Falle  werden  mehrfache  Tangenten 
verbanden  sein. 

Zieht  man  an  eine  Curve  m^**  Grades  von  2  nicht  auf  ihr  liegenden 
Punkten  A  und  B  (Fig.  22  Ti^.  III)  4  Tangenten,  so  sind,  wenn  man  jene 
2  Punkte  als  Ecken  der  einen  Art  eines  urasuttckreibenden  2  n  Ecks  be- 
trachtet, durch  diese  4  Tangenten  im  Allgemeinen  sogleich  noch- 2  Ecken 
der  andern  Art  C  und  B  jenes  2itEck8  bestimmt;  fallen  aber  jene  4  Tan- 


102  Zar  Geometrie  der  Lage. 

genten  in  Eine  siuammen,  so  kana  man  eehon  durch  anendlicb  kleine  Yer- 
Schiebung  eines  jener  ersten  Eckpunkte  —  normal  snr  Doppeltangente  —  be- 
wirken, dass  die  beiden  Eckpunkte  der  andern  Art  auf  der  Doppeltangente 
um  endliche  Strecken  fortriicken.  Hat  man  aber  einmal  2  Eckpunkte 
der  einen  und  einen  Eckpunkt  der  andern  Art  auf  der  Doppeltangente  an- 
genommen und  verschiebt  man  diese  3  Punkte  normal  zur  Doppeltangente, 
•  so  Terschiebt  sich  auch  der  zweite  Eckpunkt  der  andera*Art  nur  normal 
zur  Doppeltangente.   Es  gilt  also  der 

Satz.  Wenn  wir  bei  Umbeschreibung  des  2 n Ecks  von  einer  Doppel- 
tangente der  Curve  n^^^  Grades  ausgehen ,  indem  wir  4  Seiten  in  derselben 
annehmen ,  so  dürfen  wir  auf  ihr  2  Ecken  der  einen  und  eine  Ecke  der  an- 
dern Art  beliebig  annehmen ;  der  zweite  Eckpunkt  der  andern  Art  ist  nun 
aber  bestimmt  und  muss  sich  im  Verlaufe  der  Gonsirnctbn  von  selbst  er- 
geben« 

§.21. 
(Za  2  un4  3  deä  §.  6.) 

1.  Gonstruction.  Es  seien  2  Curven  II  gegeben,  welche  2  gemein- 
schaftliche Tangenten  haben,  die  eine  sei  p  (Fig.  23  Taf.  III);  man  nehme 
auf  ihr  die  Punkte  M  und  Q  an ,  und  ziehe  von  ihnen  die  4  noch  möglichen 
Tangenten  c,  /,  g  und  t;  alsdann  suche  man  den  Schnitt  von  c  und  g  und 
den  von  /  und  t;  die  beiden  vom  ersten  Schnittpunkte  noch  ziehbaren  Tan- 
genten seien  h  und  v ,  die  vom  andern  noch  möglichen  w  und  s ;  nun  suche 
man  wieder  zweimal  den  Schnittpunkt  je  zweier,  z.  B.  den  von  h  und  s  und 
den  von  v  und  w*^  es  sei  die  Tangente  vom  ersten  Punkte  an  den  ersten 
Kreis  /(,  die  an  den  zweiten  k^ ,  ebenso  seien  die  vom  2^^^  Punkte  t^  und  A:,, 
so  müssen  sich  sowohl  /|  und  Ar, ,  als  auch  ^  und  A:,  auf  p  schneiden. 

2.  Satz.  Hat  man  zwei  gemeine  Yiere<5ke,  welche  zwei  Gegenecken 
und  die  Diagonale  p  zwischen  den  beiden  andern  Gegenecken  gemeinsam 
haben ,  so  schneiden  sich  die  vier  Geraden ,  welche  die  Schnittpunkte  der 
Gegenseiten  des  einen  Vierecks  mit  diesen  2  Punkten  im  andern  Vierecke 
verbinden ,  in  2  Punkten  von  p, 

§.  22. 

(Za  2  des  §.11.) 
Man  ziehe  durch  einen  Punkt  P  (Fig.  24  Taf.  HI)  zwei  Tangenten  v 
und  w  an  einen  Kegekchnitt  und  nehme  auf  jeder  3  Punkte  an^  zwei  da- 
von, welche  nicht  auf  der  nämlichen  dieser  beiden  Tangenten  liegen,  sollen 
auf  einer  beliebigen  dritten  b  liegen;  durch  die  4  noch  übrigen  Punkte 
ziehe  man  immer  die  zweite  noch  mögliche  Tangente ,  dies  gebe  die  Ge- 
raden c,  A,  d  und  t.  Sind  ntn  die  vier  letzten  Punkte  so  angenommen  wor- 
den, dass  sich  c  und  d^  sowie  h  und  i  auf  Emer  durch  P  gehenden  (Geraden 
schneiden,  so  berühren  folgende  6  Grerade  Einen  Kegelschnitt 
G(vc,tvi),         (fv.cd),         {fnf,h(). 


Vop  M.  SattslȣKQEE.  103 

Zieht  mtok  an  den  gegebenMi  Kegelsehaitt  noch  eiae  weitere  Tangente 
a  80,  daM  der  Punkt  av  aof  der  zweiten  doreh  den  Pankt  hi  oder  den 
Puikt  wd  MXk  den  gefundenen  Kegelachnitt  möglichen  Tangente  liegt,  so 
berahrea  den  letateren  Kegelschnitt  noch  folgende  d  Gerade^ 

oder 

G{aVfhi)f  {awyvh). 

§.23. 

(Zu  |.  120 

Man  beschreibe  einer  Gnrve  n  ein  beliebiges  gemeines  Sechseck  um, 
80  werden  die  9  Verbindungslinien  der  Gegenecken  durch  Einen  Punkt 
gehen;  man  beschreibe  ihr  noch  ein  gemeines  Sechseck  um ,  dessen  Ver- 
bindungslinien der  Gegenecken  durch  den  nämlichen  Punkt  gehen,  und 
welches  mit  dem  ersten  eine  Ecke  gemein  hat;  man  beaeichne  die  Ecken 
beider  Sechsecke  abwechselnd  mit  Q  und  ('^,  und  swar  derart,  dass  man  der 
gemeinschaftlichen  Ecke  in  beiden  entgegengeseUte  Beseichnung  giebt; 
diese  Ecke  betrachte  man  von  nun  au  als  gar  nicht  mehr  Torhanden;  so 
missen  jetxt  die  10  Geraden ,  welche  sich  als  Verbindungslinien  je  einer 
Ecke  des  einen  Sechsecks  mit  einer  entgegengesetst  bezeichneten  des  8ui- 
dem  ergeben  —  Einen  Kegelschnitt  berühren. 

§.  24. 

Dem  in  S*  13, 14  und  15  Enthaltenen  entspricht  Folgendes  reciprok: 

Man  siehe  an  eine  Curve  n  die  2  Tangentenpaare  c,  /'und  «,  g  (Fig.  25, 
Tsf.  m),  so  bilden  diese  mit  jeder  fünften  Tangente  v  ein  der  Curve  11  um- 
beschriebenes gemeines  Sechseck  ABCDEF',  die  Verbindungslinien  der 
Gegenecken  sind  als  in  dem  Punkte  Z  sich  schneidend  zu  betrachten ,  wo 
die  Gerade  CF  die  Tangente  v  triffL  2  Seiten  sowohl,  als  2  Gegenecken-' 
Verbindungslinien  fallen  in  v  zusammen. 

Setzen  wir  dieses  besondere  Sechseck  an  die  Stelle  eines  der  beiden 
Sechsecke  des  vorhergehenden  S,  so  erhalten  wir  folgende 

C  o  n  s  tr  u  c  t  i  o  n.  1)  Man  beschreibe  einem  Kegelschnitte*  das  gewöhn- 
liche Sechseck  abcäef  (Fig.  26,  Taf.  HI)  um,  dessen  Gegeneckenverbind- 
uigslinien  sich  in  Einem  Punkte  Z  schneiden  werden;  von  Z  seien  2  Tan- 
genten an  den  Kegelschnitt  möglich ,  die  eine  davon  sei  v ;  man  suche  nun, 
wo  V  die  a  und  die  b  schneidet  und  verbinde  diese  2  Punkte  mit  P  {d^e) 
noA  P  (6,  c) ,  bezüglich  P  {dy  e)  und  P  (a,  /) ;  nimmt  man  alsdann  auf  v  noch 
einen  beliebigen  Punkt  H  an  und  verbindet  ihn  mit  P(c,(l)  und  P{eyf)y 
80  berfihren  diese  beiden  Geraden  mit  den  4  vorigen  Einen  Kegelschnitt. 

2)  Geht  die  fünfte  dieser  Geraden  mit  der  ersten  und  vierten  oder  mit 
der  zweiten  und  dritten  durch  Einen  Punkt,  so-  geht  auch  die  sechste  mit 
der  zweiten  und  dritten,  bezüglich  ersten  und  vierten  durch  Einen  Punkt. 


]  04  Zur  Geometrie  der  Lage. 

3)  Man  ziehe  ferner  von  H  die  andere  Tangente  s  an  den  gegebenen 
Kegelschnitt,  suche  den  Punkt  ü ^  wo  dieselbe  die  Gerade  c  trifit)  siehe 
von  diesem  'Punkte  die  andere  Tangente  i  an  den  KegelschnHt  und  saehe 
den  Punkt  K^  wo  sie  die  Tangente  v  trifft.  Verbindet  man  nnn  den  Pnnkt 
U  mit  den  Punkten  (a,  f)  und  [b^  c),  und  den  Punkt  K  mit  den  Punkten  (c,  d) 
und  (e,  /"),  so  berühren  diese  4  weitern  Geraden  noch  den  in  1)  gefundenen 
Kegelschnitt ,  oder  sie  gehen  zu  je  zweien  durch  die  beiden  in  2)  erwähn- 
ten Punkte.  —  Setzt  man  statt  der  beiden  Sechsecke  des  vorigen  S  solche 
besondere  Sechsecke ,  so  erhält  man  folgende 

Construction.  Auf  einer  Geraden  o  (Fig. 27,  Taf.  III)  nehme  man 
4  Punkte  an  und  ziehe  von  ihnen  die  4  Tangentenpaare  «,«,  6,r,  ^,/and  Syty 
so  sind  V  best  und  w  beef  2  solche  besondere  gemeine  Sechsecke;  man 
suche  nun  folgende  Verbindungslinien: 

G{vbywc)y       {vsywe),        {vi,ive),       {gtjtvb), 
C(pc,wft),        {vs,fvf),        (vt,wf)y       {iiytvc), 

ief,vb), 
ief,vc): 
sie  müssen  alle  10  Einen  Kegelschnitt  berühren. 

Nehmen  wir  ferner  die  Punkte  (e,  f)  und  (s,  i)  so  an ,  dass  die  siebente 
und  die  zehnte  Gerade  mit  der  ersten  durch  Einen  Punkt  gehen,  so  gehen 
auch  die  achte  und  die  neunte  mit  der  zweiten  durcli  Einen  Punkt;  und 
durch  den  einen  dieser  Punkte  gehen  noch  die  dritte  und  die  sechste,  durch 
den  andern  die  vierte  und  die  fünfte. 

§.  25. 

(Zu  §.  16.) 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  2  gewöhnliche  Vierecke 
um,  welche  die  Verbindungslinie  der  Gegenseitenschnittpunkte,  sowie  den 
einen  Gegenseitenschnittpunkt  gemeinschaftlich  haben,  so  gehen  die  4 Dia- 
gonalen der  beiden  Vierecke  durch  Einen  Punkt. 

Und  hieraus  leitet  sich  einfach  ab  der 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  mehrere  gewöhnliche 
Vierecke  um,  welche  sämmtlich  die  Verbindungslinie  der  Gegenseiten- 
schnittpunkte gemeinsam  haben ,  so  haben  dieselben  auch  den  Schnittpunkt 
der  Diagonalen  gemeinschaftlich. 

§.26. 
Reciproke'Sätze  zn  den  Sätzen  o  und  ß  ija  £.  17. 

Satz  «•  Man  beschreibe  einer  Curve  IT  ein  gemeines  2fiEck  um,  und 
zwar  wie  folgt : 

Ist  n  ungerade,  so  zeichne  man  zuerst  «Ecken,  die  ••  +  !*•,  ii  +  2**, 
«+  3*^  .  .  . .  2n  —  1*^  nehme  man  nach  einander  so  an,  dass  ihre  Verbind- 


Von  M.  SATTELBBSeSR.  **  105 

nngslini^n  mit  bec<tglicfa  der  1**»,  «**•»  3**», «— 1*«  sftmmtlich  durch 

Einen  Punkt  gehen;  es  wird  dann  auch  die  Vorbindnngslinie  der  2ii^^* 
und  n^*"  Ecke  durch  diesen  Pankt  gehen.  * 

Ist  n  gerade,  so  nehme  man  wieder  die  ersten  n  Ecken  beliebig  an,  und 
nehme  dann  die  n+1*«,  «  +  2*%  n  +3'«,  n+4^,  .4.2« — 1^  so  an,  dass 

ihre  Verbindungslinien  mit  beBüglioh  der  2^",4<*»,  4***,  3*", n*«»  sich 

in  Einem  Punkte  schneiden;  es  wird  dann  auch  die  Verbindungslinie  der 
2n^''  mit  der  n—  1'*"  Ecke  durch  diesen  Punkt  gehen. 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der  Satz  von  dem  dem  Kegel- 
schnitte umbeschriebenen  Sechsecke.) 

Satz  ß.  Man  beschreibe  einer  Gurve  II  ein  gemeines  2p Eck  um,  und 
lasse  2p — ^1  Ecken  desselben  auf  2p  —  1  festen  Geraden,  die  sich  in  Einedi 
Punkte  schneiden^  fortrücken,  so  rückt  auch  die  2p^*  Ecke  auf  einer  durch 
diesen  Punkt  gehenden  Geraden  fort. 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der  Satz  von  dem  dem  Kegel- 
schnitte umbeschriebenen  Vierecke ,  von  dessen  4  Ecken  3  auf  3  durch  Ei- 
nen Punkt  gehenden  Geraden  fortrücken.) 

nL  AnwendnagexL  dei  in  §.  1  anfgettellten  Satzes  in  der  Lehre  von 

der  Berührung. 

§.  27. 

Die  eine  der  beiden  sich  schneidenden  Curven  n^*'  Ordnung  sei  eine 
Curve  n^^  Ordnung  im  Allgemeinen ,  die  andere  ein  System  von  n  Geraden. 
Lassen  wir  die  letzteren  zusammenfallen ,  so  erbalten  wir  folgenden 

Satz.  Man  ziehe  eine  Gerade,  welche  eine  Curve  n*<^^  Ordnung  in 
nPunkten  scheidet;  ist  n+S  gerade,  so  ziehe  man  nun  eine  Curve  w*"  Ord- 

nang,  welche  die  gegebene  Curve  n^*"  Ordnung  in 1  jener  »Punkte 

nach  der  n*f"  nnd  im **"  nach  der  n  —  1*«"  Ordnung  berührt,  so  beruh- 

2 

Ten  sich  die  beiden  Curven  in  allen  «Punkten  nach  der  «*•*  Ordnung.  (Be- 
rühren nach  der  «*•■  Ordnung  wird  in  diesem  S  so  verstanden ,  dass  das 
Schneiden  als  ein  Berühren  nach  der  ersten  Ordnung  erscheint.) 

Für  die  Curve  der  III.  Ordnung  heisst  dieser  Satz : 

Satz,  berühren  sich  2  Curven  III  in  den  Punkten  P  und  Q  nach  der 
ni.  Ordnubg,  und  findet  auf  der  Geraden  PQ  noch  eine  gewöhnliche  Be- 
rührung awisehen  beiden  statt,  so  wird  diese  auch  zur  Berührung  HL.  Ord- 
nung. 

§.28- 

t)  Lehrsatz.  Zwei  Curven  II  mögen  sich  in  den  Punkten  P„  P„  P, 
und  P«  (Fig.  28,  Taf.  III)  schneiden «,  man  ziehe  P|  M  und  P^N  beliebig  und 
verbinde  P,  und  P^;  schneiden  P,  M  und  P^N  noch  in  E^  H  und  ^und  /,  so 


IM  Zur  Geometrie  der  Lage. 

siehe  man  EF  und  HI\  wir  haben  jetzt  folgende  swei  Carven  IVLi  die  erste 
Oarve  II  and  die  Gerade  J7i,  die  aweite  Cnrve  11  nnd  die  Gerade  EF^  eine 
dritte  Cnrve  m  itt  das  System  der  3  Geraden  P^M^  i^i^Tund  i'sP«;  diese 
%  Cnrven  III  haben  die  6  Sehnittptinkte  jP„  P^  E^  Fy  H^  i,  P,  nnd  P«  gemein- 
Bchaftlieh,  sie  müssen  also  anoh  den  nennten  Schnittpnlikt  gemeinsdialUieh 
haben,  d.  h.  EF^  fflunA P^P^  müssen  sich  in  Einem  Punkte  sehneiden. 
2)  Lassen  wir  Pj  nnd  P|  sasammenfallen ,  so  erhalten  wir  den 
Satz.  Zwei  Kegelsehnitte  sollen  sich  im  Pnnkte  P  (Fig.  20,  Taf.  III) 
berühren  nnd  noch  in  den  Punkten  P,  nnd  P4  schneiden ;  zieht  man  PM 
und  PiV  beliebig,  und  schneidet  die  erste  Gerade  die  Kegelschnitte  noch 
in  E  nnd  ffj  die  andere  in  F  nnd  /,  so  schneiden  sich  die  d  Geraden  EF, 
HI  nnd  P^P^  in  Einem  Punkte. 

.  3)  Lassen  wir  P,  und  P4  zusammenfallen, «so  erhalten  wir  den 
Satz.  Zwei  Cnrven  11  sollen  sich  im  Pnnkte  P  (Fig.  90, Taf.  III)  be- 
rühren und  in  den  Punkten  P|  und  P,  schneiden;  zieht  man  P|  M  und  P^V 
beliebig,  und  schneiden  diese  Geraden  die  Kegelschnitte  noch  in  i?  und  IT, 
bezüglich  F  und  i,  so  schneiden  sich  die  Geraden  EF  und  HI  auf  der  bei- 
den Kegelschnitten  in  P  gemeinschaftlichen  Tangente, 

4)  Lässt  man  P,  mit  P|  und  P4  mit  P,  zusammenfallen,  so  erhftlt 
man  den 

Satz.  Berühren  sich  2  Curven  11  in  P^  und  in  P,,  und  zieht  man  die 
Geraden  P|  M,  Pj  N^  welche  die  erste  Curve  noch  in  E,  ZT,  die  zweite  noch 
in  F  und  /  schneiden ,  so  schneiden  sich  EH  und  FI  auf  der  Tangente  des 
Punktes  P,. 

5)  Lässt  man  P,  mitP|  und  P4  mftP,  zusammenfallen,  so  ergiebt  sich  der 
Satz.    Berühren  sich  2  Kegelschnitte  in  P|  und  in  P^,  nnd  zieht  man 

die  Geraden  P]  ilf,  P,  N,  welche  die  eine  Cnrve  noch  in  E  und  H,  die  andere 
noch  in  F  und  /  treffen,  so  schneiden  sich  EH  und  FI  auf  P|  P«. 

6)  Lassen  wir  Pj ,  P,  nnd  P,  zusammenfallen,  so  erhalten  wir  den 
Satz.  Osculiren  sich  2  Kegelschnitte  in  P  (Flg.  31,  Taf.  III)  und  schnei* 

den  sie  sich  noch  in  P4 ,  so  ziehe  man  PJIf  und  PN  beliebig ;  schneiden  PM 
nnd  PN  die  Kegelschnitte  noch  in  E  und  H,  bezüglich  F  und  /,  so  schnei- 
den sich  EF  und  HI  auf  PP4. 

7)  Lassen  wir  P„  P4  und  P,  zusammenfallen,  so  erhalten  wir  den 
Satz.  Osculiren  sich  2  Kegelschnitte  in  P  (Fig.  32,  Taf.  LH)  und  schnei- 
den sie  sieh  noch  in  Pi ,  so  ziehe  man  Pj  M  und  PN\  schneiden  diese  Ge- 
raden die  Kegelschnitte  noch  in  E  und  iT,  beiqüglich  F  und  J,  so  schneiden 
sich  EFxmA  HI  auf  der  im  Osculattonspnnkte  gemeinschaftlichen  Tangente. 

8)  Fallen  endlich  P« ,  P,,  P«  und  P4  zusammen,  so  ergiebt  sich  der 
Satz.    Berühren  sich  2  Kegebchnitte  in  P  (Fig.  33,  Taf.  III)  nach  der 

gewöhnlich  dritten  Ordnung  genannten  Ordnung,  und  zieht  man  die  be- 
liebigen Geraden  Pilf  und  PN,  welche  die  Kegelschnitte  noch  in  J,  17,  be* 


Von  M«  SATTELBBIteBR«  107 

sägtieh  Fun^  I  sebneiden «  so  schneiden  sich  EF  nnd  Mi^nf  der  im  Panktii 
P  gemeinsehftftHchen  Tangente. 

§.  29. 

Satz.  Durch  zwei  Pnnkte  Pnnd  i^(Fig.34,  Taf.  HI)  lege  man  3 Kegel- 
schnitte«  der  erste  und  zweite^mögen  sich  noch  in  P^  und  £),,  der  erste  nnd 
•  dritte  noch  in  P,  und  £),,  der  zweite  und  dritte  noch  in  P^  nnd  Q^  schneiden; 
zieht  man  die  3  Geraden  P|öi»  PtOt  ^nd  -PjO,,  so  hat  man  3  Curven  HI, 
die  eine  hesteht  aus  dem  ersten  Kegelschnitte  nnd  P^  Qt ,  die  andere  aus 
dem  zweiten  Kegelschnitte  nnd  P^Oty  die  dritte  ans  dem  dritten  Kegel-' 
acbnitte  und  P,öaj  sie  gehen  alle  drei  durch  die  8  Funkte  P,  (?,  /^,,  Q^yP^,  Q^ 
P31O91  es  müssen  also  auch  ihre  3  neunten  Schnittpunkte  zusammen  fallen, 
d.  h.  die  3  Geraden  P^  Oi  1  ^aÖu  -Psö*  gehen  durch  Einen  Punkt. 

§•  30. 

Ebenso  folgt 

Satz.    Schneidet  eine  Curve  II  eine  Cnrve  III  in  den  Punkten  ^,  By 
C,  />,  E  und  F  (Fig.  35,  Taf.  III)  und  man  zieht  die  Geraden  AB,  BE  und' 
CFy  welche  die  Curre  III  noch  in  (7, 17  und  /  schneiden ,  so  liegen  G,  H  nnd 
/  iH  Einer  Geraden. 

Lassen  wir  die  3  Pnnkte  A,  B  und  C  znsammenfAllen,  so  erhalten  wir  den 

Satz.  Oscnlirt  eine  Cnrve  11  eine  Curve  III  in  P  (Fig.  36,  Taf.  HI) 
and  schneidet  sie  dieselbe  noch  in  D,  ^  und  F,  und  man  zieht  die  3  Ge- 
raden P2>,  PEy  PF,  welche  die  Curve  III  noch  in  €?,  ^und  /schneiden,  so 
liegen  G ,  H  und  /  in  Einer  Geraden. 

§.  31. 
Reciproke  S&tze  zn  den  Sfttzen  von  S.  28  und  29. 

S.atz.  Haben  2  Kegelschnitte  die  4  gemeinschaftiichen  Tangenten  p^, 
Pij  Pii  P4^  zieht  man  von  dem  beliebigen  Pnnkte  M  der  ersten  Tangente 
die  beiden  andern  Tangenten  e  nnd  h ,  eben  so  von  einem  beliebigen  Punkte 
iV  der  zweiten  die  beiden  andern  Tangenten  f  nnd  t ,  so  liegen  der  Schnitt- 
punkt von  e  und  /  nnd  der  von  h  nnd  t  mit  dem  von  /?,  nnd  p^  auf  Einer 
Geraden.   - 

Satz.  (Wir  lassen  p^  nnd  p«  zusammenfallen.)  Zwei  Kegelschnitte 
mögen  aieh  im  Pnnkte  P  berühren ,  und  ansserdem  noch  die  Tangenten  P| 
und  p^  gemeinsekaftlich  haben;  man  ziehe  von  einem  beliebigen  Pnnkte 
von  p,  die  beiden  noch  möglichen  Tangenten  €  nnd  A,  und  ebenso  von 
einem  beliebigen  Punkte  vonp,  die  Tangenten  ^und  t ,  so  liegen  der  Schnitt- 
punkt von  e  und  f  nnd  der  von  h  nnd  t  mit  dem  Bertlhmngspnnkte  P  auf 
Einer  Geraden. 

S  atz.  (Wir  lassen  p,  und  p,  zusammenfallen.)  Beruh  reo  sich  2  Kegel- 
schnitte ,  ist  die  im  Berfthrnngapunkte  gemeinschaftliche  Tangente  p ,  nnd 
haben  sie  ausserdem  noch  die  Tangenten  Ps  und  p^  gemeinschaftlich ,  so 


108  Zur  Geon^etrie  der  Lage.    Von  M.  SiTTELBKRaER. 

• 
siehe  man  von  einem  beliebigen  Punkte  von  p  'die  beiden  noch  möglichen 
Tangenten  e  und  A,  von  einem  andern  Punkte  von  p  die  Tai^enten  /'and  i\ 
80  liegt  der  Schnittpunkt  von  /?,  und  p^  'mit  dem  von  e  und  f  und  dem  you 
h  und  t' in  Einer  Geraden. 

Sfttz.  (Wir  lassen  p, ,  p,  und  p^  zusammenfallen.)  Osculiren  sich 
2  Kegelschnitte  y  ist  die  im  Osculationspunkte  gemeinschaftliche  Tangente 
Pj  und  die  andere  noch  gemeinschaftliche  Tangente  p«,  so  ziehe  man  von 
2  beliebigen  Punkten  von  p  die  Tangentenpaare  e,  h  und  f,  t,  so  liegen  der 
Schnittpunkt  von  e  und  /*,  der  von  h  und  i  und  der  von  p  und  p^  in  Einer 
Geraden. 

Satz.  (Wir  lassen  Pf,  p^  und  p«  zusammenfallen.)  Osculiren  aich 
2  Kegelschnitte ,  ist  die  im  Osculationspunkte  gemeinschaftliche  Tangente 
p ,  und  die  andere  noch  gemeinschaftliche  Tangente  p^ ,  so  ziehe  man  von 
einem  beliebigen  Punkte  der  ersten  die  beiden  noch  möglichen  Tangenten 
e  und  hj  von  einem  beliebigen  Punkte  der  andern  die  Tangenten  /'und  i\ 
80  liegen  der  Schnittpunkt  von  e  und  /  und  der  von  h  und  i  mit  dem  Oscu- 
lationspunkte in  Einer  Geraden. 

Satz.  (Wir  lassen  Pi ,  Pi,  p«  undp«  zusammenfallen.)  Es  sollen  aick 
2  Kegelschnitte  nach  der  gewöhnlich  dritten  Ordnung  genannten  Ordnong 
berühren ,  p  sei  die  im  Berührungspunkte  gemeinschaftliche  Tangente ;  man 
ziehe  von  2  beliebigen  Punkten  von  p  die  Tangentenpaare  e,  h  und  /*»  t ,  so 
liegen  der  Schnittpunkt  von  e  und  f  und  der  von  h  und  t  mit  dem  Berflhrw 
ungspunkte  der  beiden  Kegelschnitte  in  Einer  Geraden. 

Der  reciproke  Satz  zu  dem  Satze  des  S«  20  lautet : 

Satz.  Man  beschreibe  dem  Winkel  p  q  (Fig.  37,  Taf.  HI)  drei  Kegel- 
schnitte ein,  der  erste  und  zweite  sollen  noch  die  gemeinschaftlichen  Tan- 
genten p^  und  9, ,  der  erste  und  dritte  p,  und  g, ,  und  der  zweite  und  dritte 
p^  und  Qi  haben^  so  liegen  der  Schnittpunkt  von  P|  und  q^ ,  der  von  p%  und  q^ 
und  der  von  p,  und  q^  in  Einer  Geraden. 

Lassen  wir  in  diesem  Satze  die  beiden  Tangenten  p  und  q^  und  im 
Satze  des  S.  29  die  beiden  Punkte  P  und  Q  zusammenfallen ,  so  erhalten 
wir  den 

Satz.  Berühren  sich  3  Kegelschnitte  in  Einem  Punkte,  und  hat  der 
erste  mit  dem  zweiten  noch  die  Punkte  P„  Q^  und  die  Tangenten  p,  und  ^„ 
der  erste  mit  dem  dritten  noch  die  Punkte  P|,  Q^  und  die  Tangenten  p,,  ^t 
und  der  zweite  mit  dem  dritten  noch  die  Punkte  P^ ,  Qi  und  die  Tangenten 
Pi)  q\  gemein,  so  schneiden  sich  die  3  Geraden  /\0i,  PtQf,  PtQt  in  Einem 
Punkte,  und  die  3  Punkte  p^q^  yPtqt^  Ps?»  liegen  auf  Einer  Geraden. 


V. 

Ueber  den  mittlem  Fehler  der  Eettenmessungen. 

Von  Prof  Dr.  A,  Winckleb  in  Gratz. 


Die  ▼ieIfWchen  Anwendunge]»,  welehe  die  Hesskette »  mancher  unver- 
kennbaren Vortheile  wegen,  täglieh  findet,  obgleich  nicht  wenige  Prak« 
tiker  sich  unbedingt  gegen  dieselben  ausgesprochen  haben,  waren  wohl 
die  Veranlassung,  dass  die  Frage  nach  der  Genauigkeit,  welche  jenes  Hess* 
werkseug  gewährt,  auf  sehr  verschiedenen  und  auch  in  den  BesuUaten  nicht 
mit  einander  übereinstimmenden  Wegen  au  beantworten  gesucht  wurde. 
So  .wurde  aus  den  in  alle  Lehrbücher  der  praktischen  Geometrie  überge* 
gangenen  Formeln ,  welche  meines  Wissens  zuerst  im  ersten  Bande  (S.  104) 
des  Werkes  von  Tob.  Mayer  mitgetheilt  worden 'sind,  der  Säte  abge- 
leitet, dass  der  Fehler  einer  Kettenraessung  der  Länge  der  gemessenen 
Linie  direct,  der  Länge  der  Kette  aber  indirect  proportional  sei;  manche 
Erfahrungen  schienen  diesen  Sata  an  bestätigen ,  manche  aber  widerspra- 
ehen  ihm  offenbar.  Aus  anderen  Betrachtungen  erhielt  man  «war  keinen 
Aufschluss  über  die  Einwirkung  der  Kettenlänge  auf  den  Messungsfehler, 
dagegen  stellte  sich  heraus,  dass  derselbe  proportional  mit  der  Quadrat* 
Wurzel  aus  der  Länge  der  gemessenaa  Linie  wächst;  i|ns  der  Combination 
wirklicher  und  sorgfältig  angestellter  Beobachtungen  schien  dagegen  das 
überraschende  Resultat  zu  folgen ,  dass  der  Fehler  überhaupt  nicht  mit  der 
Länge  der  Linie  wachse,  sondern  in  einer  langem  Linie  geringer  sei,  als 
in  einer  kürzern.    U«  s.  w. 

Gegen  die  bis  jetst  bekannten  theoretischen  Erörterungen  dieser 
Frage,  welche  keineswegs  ohne  Interesse  ist,  läset  sich  mancherlei  ein- 
wenden. Setzt  man  nämlich,  wie  dies  nothwendig  geschehen  muss,  voraus^ 
dass  die  Messung  unter  normalen  Umständen  stattfinde ,  welche  keine  der 
gewöhnlichen  Fehlerquellen  unwirksam  machen  oder  grobe  Fehler  begün- 
stigen,  und  berechnet  man  den  möglichen  Einfluss ,  .welchen  jede  einzelne 
Feklerquelle ,  soweit  sich  dieselbe  überhAPpt  verfolgen  lässt,  auf  einen 
Kettenaug  ausüben  kann,  so.  ist  hierdurch  die  Frage  durchaus  noch  nicht 
^>«a&twortet,  denn  hiezu  ist  erforderlich,  dass  die  Grösse  des  Fehlers  be- 


110  Ueber  den  inittleni  Fehler  der  Kettenmessangen. 

stimmt  werde,  weleher  ans  der  Concarrena  aller  jener  FeUerqaettea  1 
vorgehend,  sowohl  in  dem  einseinen  Kettenuig  als  in  der  gaasen  Linie  a« 
befürchten  ist.  Diese  Bestimmung  aber  macht  die  allgemeine  Fororalimng 
des  Ausdrucks  für  den  mittlem  Fehler  in  fthnlicher  Weise  ndthig,  wie 
ich  dieselbe  in  dem  Aufsatze  „Ueber  die  Genauigkeit  einer  besondern  Art 
▼on  Nivellirinstrumenten"  im  4.  Bande  dieser  Zeitschrift  entwickelt  habe. 
—  Jch  wende  mich  anr  Sache. 


Uiü  in  der  angegebenen  Art  die  mittlere  Gesammtwirknng  der  mög- 
licherweise inflnirenden  Fehlerquellen  bestimmen  au  können,  mflssen  die- 
selben zunächst  einzeln  betrachtet  werden',  wobei,  wie  sich'von  selbst  ver- 
steht, die  Voraussetzung  gemacht  wird,  dass  die  Messung  von  getlbten  Ge- 
hilfen und  nicht  unter  ansserge wohnlichen  Umständen  ausgeführt  werde. 

1.  Wenn  der  hintere  Kettenaieher<  seinen  Kettenstab  nicht  genau  im 
richtigen  Punkte  einsteckt',  oder  es  nickt  verhindert,  dass  derselbe  dnrch' 
den  Zug  der  Kette  aus  seiner  Stelle,  wenn  auch  nur  um  ein  Geringes,  ge- 
rttekt  werde ,  oder  wenn  er  den  Kettenstab ,  um  diese  Verrtickung  abznhal* 
ten,  zu  fest  an  sieh  heranaieht  und  nach  rfickwärts  neigt,  so  entsteht  aus 
diesen  Ursachen  ein  Fehler  in  der  Lage  des  Anfangspunktes  der 
Kette,  weleher  seiner  Natur  nach  ebenso  leicht  eine  Vergrösserung ,  als 
eine  Verkleinerung  des  Messnngsresultats  aur  Folge  haben  kann  und  daher 
unter  die  un regelmässigen  Beobachtungsfehler  gehört.  Da  er  sowohl 
positiv  als  negativ  gedacht  werden  kann,  so  möge  er  durch  Yx  bezeichnet 
werden. 

2.  Die  Justirung  der  Kette  kann  immer  nur  auf  eine  bestimmte  Span- 
nung derselben  bezogen  werden ,  und  zwar  liefert  sie  nur  dann  die  richtige 
Kettenlänge,  wenn  der  Kette  genau  diejenige  Spannung  ertheilt  wurde, 
welche  bei  der  Messung  einer  Linie  ebenso  leicht  ttbersehrit- 
ten  als  nicht  erreieht  wird.  Dl^er  Forderung  wird  wohl  nie  g^ans 
seharf  entsproehen  werden  können  und  daher  der  Werth  von  /,  welcher 
durch  das  Verfahren  der  Justirung  sieh  fttr  die  Kettenlänge  ergiebt^  mit 
einem  constanten  Fehler,  weicher  durch  c  vorgestellt  werden  mag,  be- 
haftet sein ,  so  dass  also  /  +  <?  die  richtige  Länge  der  Kette  ist. 

3.  Bei  der  Messung  einer  Linie  trird  die  Länge  der  Kette  grösser  oder 
kleiner  als  /+<;  sein,  je  nachdem  die  soeben  bezeichnete  normale  Span- 
nung überschritten  oder  nicht  erreicht  wird. 

Um  den  Betrag  dieser  Aenderung  zu  bestimmen ,  muss  man  erwägen, 
dass,  obgleich  die  Kette  nicht  aas  einem  einzigen  Stttcke  besteht,  sondern 
aus  dinaelnen  Stäben  und  den  sie  verbindenden  Ringen  zusammengesetzt 
ist,  dieselbe  dennoch,  wenigstena  näherungsweise,  als  ein  elastischer  Draht 
gedacht  werden  darf,  welcher,  wie  diess  aus  der  Theorie  der  eUstiscbSsn 
Körper  bekannt  ist,  bei  gleicher  ausdehnender  Kraft,  eine  seiner  Läage 


V<m  Dr.  A.  Wimoklbe.  11t 


diMci  proportmiAle  Atudehaimg  «usaunt.  Da  mm  dtase  Ltogealtndefang 
•beosowohl  positiT  ali  negatav  mIa  kum,  b«  werde  ich  iie  durch  /  .^jr  be* 
leichnen»  «odatB  namniehr  die  Länge  i  eioee  Kettessngee  unter  der.Fomt 

erscheint 

4.  Liegen  die  Endpnnkte  der  Kette  nicht  genau  in  der  Richtung  der 
tu  messenden  Linie,  wie  diess  im  Allgemeinen  angenommen  werden  mnss, 
80  kann  die  Abweichung  des  einen  Endpunktes ,  unabhftngig  Ton  jener  des 
andern,  obensowohl  auf  die  rechte  als  auf  die  linke  Seite  der  Linie  ftülen, 
viid'es  mögen  daher  diese  Abweichungen  durch  }(%  und  Yt  beseichnet  wer- 
dop.  In  Folge  derselben  ist  aber  ftr  den  Kettenaug  nicht  t^  sOndem  nur 
deren  Frojection ,  nämlich : 

sa  setsen,  und  ist  daher  der  Messungsfehler  v  eines  Kettenznges  bestimmt 
durch  die  Gleichung: 

t;==^[/  +  c  +  f^  +  /  y;i*  -  [^  +  yiY  -/ 

nm  deren  Aufstellung  es  sich  vor  Allem  gehandelt  hat. 


Man  erhält  sofort  das  mittlere  Quadrat  dieses  Beobachtungsfehlers, 
wenn  man,  nacheem  derselbe  in  die  zweite  Potenz  erhoben  und  die  Ent- 
wickelung  der  einzelnen  Glieder  ausgeführt  worden  ist,  alle  diejenigen 
Glieder  weglässt;  welche  wegen  des  Wurzelzeichens  ebensowohl  positiv 
als  negativ  sein  können.  Bezeichnet  man  dieses  mittlere  Fehlerquadrat  mit 
fi',  80  ergiebt  sich  zunächst: 

-2/./[/+ c +  ;/i  + />^]«  -  [KI  +  K^' 
Man  kann  diesen  Ausdruck,  wenigstens  näherungsweise,  in  rationeller  Form 
darsteilen.   Die  Wurzelgrtfsse  lässt  sich  nämlich  in  eine  Reihe  entwiekela 
und  es  reicht  hin ,  wenn  man  blos  die  drei  ersten  Glieder  derselben  beibe-* 
kalt,  welehe  zusammen  den  Ausdruck: 

bilden,  wovon  man,  weil  c,  x^  y  g^en  /  sehr  klein  sind,  wieder  nur  die 
Glieder  zweiter  Ordnung  beizubehalten  braucht,  so  dass  man  im  Ganzen 
erkält: 

oder,  da  dieser  Ansdraek  einer  Yereinfaehang  fthig  ist: 


1 1 2  Ueber  den  mkdeni'  Felilei^  def  iK^tenmessungen. 

Es  ist  kmn  Graäd  vorhanden,  anzunehmen,  daas  der  imtdera  Fehler,  wel- 
cher beim  Einrichten  des  einen  Kettenbtabes  in  die  Linie  zu  b^ftirchten  ist, 
grösser  oder  kleiner  sei,  als  er  beim  andern  ws;r;^  man  muss  daher  /=z 
setzen,  und  erhält  schliesslich: 

Um  nun  den  mittlem  Fehler  M  einer  unter  gleichen  Umständen  mit 
der  Kette  gemessenen  Linie  L  zu  bestimmen,  muss  man  bemerken,  das« 
die  Messungen  der  nKettenzUge,  aus  welchen  dia  Linie  besteht,  inage^ 
sammt  von.  einander  unabhängig  sind,  dass  aber  gleiehwohl  der  mittlere 
Fehler  für  jeden  derselben  f»  ist,  und  also  *) 


oder«,  da  hinreichend  genan : 


L  =  «/,  oder  also  »  =  - 


gesetzt  werden  kann: 


welches  nun  die  verlangte  Form  für  den  mittlem  Fehler  der  Kettenmes- 
sung mit  Rücksicht  auf  alle  wesentlichen  Fehlerquellen  ist. 


Es  ist  nicht  ohne  Interesse ,  diesen  Ausdruck  etwas  näher  zu  betrach- 
ten ,  weil  sich  dadurch  ergeben  wird ,  von  welchen  Umständen  das  Wach- 
sen oder  Abnehmen  des  mittlem  Fehlers  der  Kettenmessung  vorzugsweise 
abhängt.    Man  findet: 

1.  Der  mittlere  Fehler  der  Kettenm^ssungen  ist  nicht  geradezu  der 
Läng«  L  der  gemessenen  Linie,  sondern  nur  deren  Quadratwurzel  pro- 
portional. 

2.  Der  aus  der  ungleichmässigen  Spannung  d^r  Kette  entspringende 
Theil  des  mittlern  Fehlers  ist  um  so  grösser,  je  länger  dfe  Kette  ist,  und 
zwar  wächst  derselbe,  wenn  man  von  allen  übrigen  Fehlereinflüssen  ab- 
sieht ,  im  Verhältnisse  der  Quadratwurzel  der  Kettenlänge* 

3.  Der  Einfluss  des  Fehlers  in  der  Justirung,  und  in  der  Lage  des 
Anfangspunktes  der  Kette ,  sowie  wegen  der  Abweichung  vom  Aligpaement 
ist  um  so  geringer,  je  länger  die  Kette  ist.  Obgleich  sich  diess  voraussehen 
Hess,  so  mnss  doch  bemerkt  werden,  dass  diese  Abnahme  keineswegs  im 
einfachen  Verhältnisse  der  Kettenlänge,  sondern  in  geringerm  Maasse  statt- 
findet. 


*)  Ganss,  Theoria  combin.  observ.  errorib.  min.  obnoziae.    Art.  18. 


Von  Dr.  A.  Wimcklsb.  113 

4.  Der  mittlere  Fehler  M  erreicht  für  eine  den  ttbrigen  Umständen 

entsprechende  Kettenlänge  ein  Minimum.    Setzt  man  nämlich  —--  =  0, 

dl 

80  ergiebt  sich  zar  Bestimmung  von  l  die  folgende  Gleichung  vierten  Grades : 
I)  /• — ./• ./ =  0, 

y  y  y 

welche  immer  wenigstens  eine  positire  Wurzel  hat,  für  welche  -— ^  einen 

positiven  Werth  erhält* 

Durch  die  nähere  Bestimmung  dieses  Werthes  von  /,  welcher,  wie  man 
sieht,  von  den  durch  die  Umstände  bedingten  Messungsfehlern  abhängt, 
erhält  die  vielfach  aufgeworfene ,  aber  nicht  gelöste  Frage  nach  der  vor- 
theilhaftesten  Länge  der  Kette  vorläufig  wenigstens  ihre  theoretische  Be- 
antwortung. 

Allerdings  sind  in  der  vorstehenden  Erörterung  nicht  alle  beim  Ge- 
brauche der  Kette  vorkommenden  Unregelmässigkeiten  berücksichtigt  wor* 
den.  So  z.  B.  hat  ohne  Zweifel  jeder  Geometer  die  Bemerkung  gemacht, 
dase  sich  unter  sonst  gleich  bleibenden  Umständen,  nach  anhaltendem  Ge- 
brauche der  Kette ,  ja  selbst  beim  Messen  einer  längern  Linie  mit  dersel« 
ben,  sei  es,  weil  sich  nach  und  nach  eine  grössere  Gleichmässigkeit  im 
Spannen  der  Kette  durch  die  Gehilfen  einstellt ,  oder  sei  es ,  dass  sie  nur 
bis  SU  einer  gewissen  Grenze  eine  bleibende  Ausdehnung  annimmt,  —  ein 
geringeres  Schwanken  der  Messnngsresnltate  als  im  Anfange  der  Messung 
oder  bei  kleineren  Linien  zeigt.  Ist  diese  Bemerkung  allgemein  richtig ,  so 
liegt  der  Schluss  nahe,  dass  der  mittlere  Fehler  M  nicht  einmal  im  Ver- 
bältnisse der  Quadratwurzel  aus  der  Länge  der  Linie ,  sondern  noch  lang- 
samer wächst.  £s  braucht  indessen  nicht  bemerkt  zu  werden,  dass  sich 
der  eben  berührte  Umstand  ebensowenig  als  mancher  andere  von  geringe- 
rer Bedeutung  in  die  Kechnung  ziehen  läset. 


Da  die  mittleren  Werthe  Xy  y,  z,  sowie  der  constante  Fehler  c  nicht  ge- 
trennt von  einander ,  sondern  nur  aus  directen  Kettenmessungen ,  —  deren 
es  mindestens  vier  sein  müssen,  —  gefunden  werden  können,  so  muss  man, 
insbesondere  für  den  Fall  einer  überschüssigen  Anzahl  von  Beobachtungen, 
jede  irgend  erlaubte  Abkürzung  der  am  Schlüsse  des  Art.  2  für  M  erhalte- 
nen Formel  eintreten  lassen.    Die  beiden  letzten  Glieder  derselben 

et   .       z* 

sind  aber  gegen  die  ersten  aus  doppeltem  Grunde  sehr  klein ;  einmal ,  weil 
die  Abweichung  z  bei  einiger  Aufmerksamkeit  der  Gehilfen  immer  nur  ge- 
ring ausfällt ,  und  dann,  weil  zwei  Glieder  die  zweite  und  dritte  Potenz 
von  /  im  Nenner  enthalten ,   also  höherer  Ordnung  als  die  ersten  Glieder 

ZeiUchrifl  f.  Mathenialik  u.  Physik.  VI,  2.  8 


114  lieber  den  mittlern  Fehler  der  Kettenmessangen. 

sind.  Dieselben  können  daher  weggelassen  werden,  oder,  was  auf  dasselbe 
hinauskommt,  man  darf  z  =  0  setzen,  und  findet  unter  dieser  Annahme: 

oder ,  wenn  man  diese  Gleichung  nach  den  Unbekannten  x  nnd  y  ordnet : 

Um  dieser  Bedingung  möglichst  entsprechend,  die  x  und  y  au  bestim- 
men, nehme  ich  an,  es  sei  eine  längere  Linie  mit  einer  zuvor  justirten 
Kette  nnd  dann  auch  mit  Stttben  wiederholt  gemessen  worden.  Ist  die  eine 
Messungsart  eben  so  oft  Wiederholt  worden  als  die  andere,  so  kann  das 
arithmetische  Mittel  der  mittelst  der  Stftbe  gefundenen  Resultate  im  Ver- 
gleich zu  jenem  der  Kettenmessung  als  die  wahre  Lftnge  der  Linie  dar- 
stellend  betrachtet  werden.  Diese  Annahme  muss  wohl ,  obgleich  sie  nicht 
in  Yoller  Strenge  stattfindet,  aus  praktischen  Bücksichten  und  am  die  Rech- 
nung nicht  unnöthig  zu  compliciren,  gemacht  werden.  Vermöge  derselben 
ergiebt  sich  der  genäherte  Wertb  des  constanten  Fehlers  c  der  Kette  un- 
mittelbar dadurch,  dass  man  jene  wahre  Länge  von  dem  arithmettscben 
Mittel  der  durch  die  Messung  mit  der  Kette  erhaltenen  Resultate  absieht^) 

und  die  Differenz  mit  -=•  multiplicirt. 

Wenn  man  femer  jene  Länge  von  dem  Ergebnisse  jeder  einzelnen 
Kettenmessung  abzieht  und  die  Differenzen  in  das  Quadrat  erhebt,  so  lie- 
fert uns  die  Quadratwurzel  aus  dem  arithmetischen  Mittel  aller  dieser  Qua- 
drate den  dieser  Beobachttingsreihe  entsprechenden  genäherten  Werth 
von  M.  Was  endlich  /  betrifft,  so  ist  dafür  jedesmal  die  bei  der  Justirang 
der  Kette  geftedene  Länge  zu  setzen. 

Bind  mehrere  Beobachtnngsreihen  gegeben,  welche  sich  unter  sonst 
gleichen  Umständen  auf  andere  Linien  und  Kettenlängen  beziehen,  so  gel- 
ten diese  Bemerkungen  hierfür  in  gleicher  Weise.  — 

Obgleich  in  der  für  M  abgeleiteten  Formel  die  wesentlichsten  Fehler- 
quellen berfickstchtigt  sind ,  so  wird  sie  doch ,  wie  man  auch  x  und  y  wäh- 
len möge ,  schon  darum  nicht  vollkommen  genau  allen  Beobachtnngen  ge- 
nügen können,  weil  die  Werthe  von  ilf  und  e  nur  angenähert  bekannt  nnd 
manche  Unregelmässigkeiten  nicht  in  die  Rechnung  gezogen  worden  sind. 
Indessen  erhält  man  nach  bekicnnt^n  Principien  **)  die  plausibelsten  Werthe 
von  X  und  y,  wenn  man  sie  so  bestimmt,  dass  die  Summe  der  Quadrate  der 
Ausdrücke: 


u~L 


[q:^ +  -.]-«. 


*)  Gauss.   Theoris  combin.  obsery.   Art  5. 
**)  Gauss.   Theoris  combin.  obserr.   Art.  2t. 


Von  Dr.  A.  Winckubr.  115 

ein  Minimum  wird.    Wendet  man  die  Ganss'sche  Bezeichnaog: 
ö|  +  flt  +  ...  +  a,  =  [Ä], 
a,^,  +  a,*,  +  • . .  +  0,6,  =  [ab] 
an  y  so  ergeben  sich  für  s  and  y  die  folgenden  Gleichungen : 

^)  [^]-  +[^*Jy    =[7(*'-y^)} 

vomit  nun  der  theoretische  Theil  der  Frage  erledigt  ist 


Die  Torhergehenden  Betrachtungen  können  erst  Geltung  erlangen, 
wenn  sie  sich  an  wirklich  angestellte  Beobachtungen  enge  genug  an- 
schliessen  lassen.  Es  braucht  nicht  nfther  aufgeführt  au  werden,  dass  hier 
dieJMUgen  BeobachtuBgen  rorauaiehen  sind,  welche  ausschliesslich  zum 
Zwecke  der  Lösung  der  vorliegenden  Frage  angestellt,  von  allen  nicht  un- 
mittelbar zur  Sache  gehörenden  Finflüssen  frei  sind ,  und  so  vorliegen ,  wie 
ne  gemacht  wurden.  Hierzu  sind,  wie  ich  glaube,  die  Messungsresultate, 
welche  Herr  Prof.  Gerling  im  6.  Bande  des  Archivs  von  Grunert  S.  Zlb 
▼erölfentlicht  hat,  die  geeignetsten.  Indem  ich  dieselben  wähle  und  der 
Yollstftndigkeit  wegen  hier  zusammenstelle,  versteht  es  sich  von  selbst, 
dass  deren  Oombination  auf  die  vorapgehenden  ErCrterungen  sieh  gründen 
und  daher  von  jener  des  Herrn  Prof.  Gerling  verschieden  sein  wird ,  sowie 
auch  zu  anderen  Bchhissfolgerungen  ftthrt.  — • 

Jene  Beobachtungen  beziehen  sich  auf  fünf  verschiedene  Linien,  wo- 
von jede  mit  Ketten  von  5,  3,  2  Ruthen  Länge  je  zehn  Mal ,  und  dann  auch 
sehn  Mal  mit  Stäben  gemessen  wurde,  so  dass  im  Ganzen  200  directe  Mes- 
sungen vorliegen,  aas  welchen  sieh  alle  diejenigen  Grössen  ableiten  lassen, 
die  zur Ermittelnag  der,  in  der  Formel  für  M  vorkommenden  Zahlen werthe 
nöthig  sind  und  den  Umständen  entsprechen ,  unter  welchen  jene  Beobach- 
tungen gemacht  worden  sind. 

Wenn  man ,  wie  bereits  bemerkt  wurde ,  die  aus  der  zehnmaligen  Mes- 
sung mit  Stäben  hervorgegangenen  Mittelwertbe  für  die  wahren  Längen, 
der  Lipien  setzt,  so  genügt  hier  die  blose  Angabe  jener  Mittelwerthe. 

Nur  in  Hinsicht  der  Abweichungen ,  welche  sich  durch  die  wiederhol- 
ten Jnstirungen  der  Kette  ergeben  haben ,  wäre  eine  grössere  Vollständig- 
keit der  a.  a.  O.  mitgetheilten  Besultate  zu  wünschen  gewesen.  £s  wären 
dadinreh  nicht  nur  Yergleichungen  mit  den  Werthen  von  e  möglich  gewor- 
den,  sondern  es  hätten  für  die  /  durchgehends  die  gehörigen  Werthe,  statt, 
wie  es  nun  geschehen  muss,  einfach  nur  die  Werthe  6,  3,  2  benutzt  werden 
können. 


116 


Ueber  den  mifüem  Fehler  der  KettenmeBsnngen. 


Oemessene  Idnien. 

I. 

n- 

IIL 

IV. 

V. 

20,824 

49,506 

64,934 

79,910 

100,000 

20,322 

49,517 

64,985 

70,880 

99,901 

20,353 

49,500 

■  64,956 

79,912 

100,030 

20,327 

49,512 

65,000 

79,891 

100,000 

Länge  der  Kette: 

20,330 

49,468 

65,034 

79,895 

100,030 

5  Buthen. 

20,830 

40,460 

65,000 

79,850 

100,050 

20,842 

49,450 

64,970 

79,844 

100,010 

.  20,33i 

49,477 

64,955 

79,850 

100,020 

20,346 

40,450 

64,925 

79,885 

100,030 

20,334 

49,440 

(54,930 

79,851 

100,000 

Mittelwerth  der  Kettenmessnng 

20,3339 

49,4780 

64,9689 

79,8768 

100,0161 

Länge  der  Linie 

Constanter  Fehler  c 

20,3572 

19,5430 

64,9932 

80,0065 

100,16(M 

0,00574 

0,00650 

0,00187 

0,00815 

0^00765 

20,8(50 

40,467 

64,900 

79,860 

100,065 

20,340 

49,490 

64,920 

79,830 

100,11^ 

20,340 

49,480 

64,900 

79,860 

100,050 

20,340 

49,510 

64,910 

70,873 

100,025 

LUnge  der  Kette: 

20,345 

49,490 

64,960 

79,860 

99,965 

3  Ruthen« 

20,315 

49,500 

64,900 

79,850 

100,065 

20,330 

49,530 

64,890 

79,875 

100,^70 

20,320 

49,535 

64,920 

79,860 

100,120 

20,335 

49,550 

64,9(^ 

79»855 

100,037 

20,320 

49,490 

64,960 

79,850 

99,960 

Mittelwerth  der  Kettenmessnng 

20,3845 

49,5042 

64,9220 

79,8508 

100,0472 

Länge  der  Linie 

Constanter  Fehler  e 

20,3572 

49,5430 

64,9932 

80,0065 

100,1694 

0,00187 

0,00235 

0,00321 

0,00552 

0,00366 

20,355 

49,490 

64,880 

79,885 

100,000 

20,330 

49,470 

64,920 

79,885 

109,001 

20,320 

49,440 

64,860 

79,900 

100,004 

20,350 

49,445 

64,875 

79,875 

99,996 

Länge  der  Kette: 

20,320 

49,460 

64,880 

79,915 

100,020 

2  Ruthen. 

20,330 

49,453 

64,870 

70,880 

99,990 

20,340 

49,435 

64,910 

79,862 

100,005 

20,385 

49,443 

64,905 

79,856 

90,905 

20,330 

49,465 

64,890 

79,850 

99,991 

/ 

20,330 

49,485 

64,880 

79,865 

100,000 

Mittelwerth  der  Kettenmessnng 

20,3340 

49,4586 

64,8870 

79,8748 

100,0002 

Länge  der  Linie 

Constanter  Fehler  e 

20,3572 

49,5430 

64,9983 

80,0065 

100,1094 

0,00228 

0,00341 

0,00827 

0^380 

0f00387 

Von  diesen  Messnngen  hat  Herr  Prof.  Oerling  jene  der  Linie  V,  mit 
der  8  Kuthen  langen  Kette  gemessen ,  „nach  dem  Erfolg  aasgeschlosseD, 
weil  ein  eingetretenes  Regenwetter  den  Boden  erweichte  und  die  Genaaig- 
keit  heeinträcfatigte.*'  Für  die  vorliegende  Art  der  Betrachtung  würde 
jedoch,  wie  es  scheint,  der  Ausschluss  jener  Beobachtungsweise  nicht  ge- 
rechtfertigt sein ,  weshalb  ich  sie  unverändert  beibehalte. 


Von  Dr.  A.  Wikcklk»* 


117 


6. 

Die  Wertbe  des  constanten  Fehlers  r,  nach  Art.  4  berechaet,  sind  in 
der  obigen  Zusammenstellung  schon  angegeben.  Jch  ermittle  nun  in  frtiher 
angegebener  Weise  die  WeFthe  von  M*  und  stelle  die  Resultate  der  beque- 
mern Uebersieht  wegen,  wie  folgt,  zusammen: 


Ketteo. 
liDg-e. 


5B.< 


0,00003295 
0,00003318 

0,00049904 


II. 

0,00004303 
0,00496320 

0,00453680 


III. 


0,00000359 
0,00173558 

0,00169013 


IV. 

0,00006642 
9,01743485 

0,01637200 


0,00005852 
0,02381978 

0,92264735 


3B. 


0,00000350 
0,00068254 

0,00065879 


0,00000552 
0,00199720 

0,00190600 


0,00001030 
0,00576644 

0,00554321 


0,00003047 
0,02173895 

0,02092634 


0,00001340 
0,01753440 

0,01708712 


2R.  ^ 


Jlf« 


0,00000520 
0,00065724 

0,00060433 


0,00001163 
0,00744520 

0,00715715 


0,00001669 
0,01153444 

0,01118706 


0,00001089 
0,01705775 

0,01662212 


0,00001136 
0,02869500 

0,02812619 


Um  auch  die  übrigen  zur  Berechnung  von  x  und  y  erforderlichen  Zah- 
len darzulegen,  fü^Q  ich  noch  die  folgende  Tabelle  hinzu: 


Ketten. 

ISnye. 

IL 

III. 

IV. 

V. 

L 

20,3572 
414^16 

49,5430 
2454,509 

64,9932 
4224,116 

80,0065 
6401,044 

100,1694 
10033,912 

X«/> 

10360,15 

61362,72 

105602,90 

160026,10 

250847,80 

7* 

16,58 

98,18 

168,96 

256,04 

401,36 

5R.  - 

ZUM^^jt^ 

0,050795 

1,123833 

0,549235 

6,549384 

11,842867 

4(^'-f^) 

0/)02032 

0,044953 

0,021909 

0,261973 

0,453715 

z«/« 

3729,74 

22090,58 

38017,04 

57609,40 

90305,21 

Zr« 

7t 

46,05 

272,72 

469,35 

711,23 

1114,88 

3R.  ^ 

i^/(i»f"-7^) 

0,040283 

0,283!» 

1,08081» 

5,022724 

5,134821 

t(^-^^ 

0,004470 

0,031476 

0,120090 

0,558080 

0,570536 

z«/« 

1657,66 

9818,04 

16896,47 

25604,18 

40135,65 

z« 

103,60 

613,63 

1056,03 

1600,26 

2508,48 

2R. 

i,(j»ft_|^ 

0,024005 

0,198859 

1,453717 

2,657751 

5,634768 

y(ilf-fc^) 

0,006518 

0,048465 

0,363430 

0,664938 

1,408692 

/^ 


118  Ueber  den  mitUem  Fehler  der  Ketlenmeseiingeo. 

Hieraus  erhSlt  man  sofort  die  Werthe : 
[P]      =   70563,09, 

[L*  /•]  =  804003,68,  [x/  {ItT  — y  c»)j  =a  41,14264, 

Die  GleicLungeo  1)  and  2)  des  Art.  4  können  nnr  bexüglieh  s  und  jf 
aufgelöst  werden ,  und  man  erhXlt : 

X  =  0,00038074 , 
y  =  0,000019196. 
Hiernach  ist  also  der  mittlere  Fehler  Jlf  einer  Linie,  deren 
Länge  L  Ruthen  beträgt, und  welche  mit  einer  Kettevon  der 
Länge  /  Ruthen  (mit  dem  constanten  Fehler  c)  unter  denselben  Um- 
ständen wie  die  zu  Grunde  liegenden  fttnf  Linien  gemessen 
wird,  durch  die  Gleichung: 


M=yL(t±2^^  +  o,oooom«6.z) 

d  argestellt. 

Diese  setzt ,  wie  man  sieht ,  die  Kenntniss  des  constanten  Fehlers  e 
voraus,  welcher  zu  /  addirt  die  richtige  Kettenlänge  giebt.  Ist  eine  lifngere 
Linie,  etwa  durch  Messung  mit  Stäben,  auf  dem  Felde  genau  bestimmt  =  1 
gegeben ,  so  braucht  man  nur ,  nach  Art.  4 ,  um  c  zu  erhmlten ,  jene  Linie 
mit  der  betreffSenden  Kette  mehrere  Male  zu  messen,  tou  dem  arithme- 
tische!) Mittel  dieser  Messnngsresultate  die  gegebene  wahre  Länge  der 

Linie  abzuziehen  und  die  Differenz  mit  —  zu  multipllciren. 

Angenommen  z.  B.,  man  habe  unter  den  oben  vorausgesetzten  Um- 
ständen für  eine  Kette  gefunden: 

c  =  —0,006,  c«  =  0,000036,  wobei  /=  5  Ruthen, 
und  es  sei  hierauf  eine  Linie  von  der  Länge  X  =s  lOO  R.  mit  derselben 
Kette  gemessen  worden.     Man  erhält  alsdann  aus  der  oben  erhaltenen 
Gleichung: 

M*  =  0,0238 ,  M  =  0,15  Ruthen. 

Uebrigens  darf  nicht  unbemerkt  bleiben,  dass  c*  in  allen  zu  Grunde 
Qegenden  Messungen  so  klein  ist,  dass  es  gegen  den  Posten  0,00033974  fast' 
ohne  Fehler  ganz  weggelassen  werden  könnte.  Diess  wird  wohl  immer  der 
Fall  sein^  wenn  die  Kette  mit  gehöriger  Sorgfalt  berichtigt  worden  ist. 

7. 

Ich  habe  in  Art.  S  beaierkt,  dass  diese  Brörternngen  auch  cur  Beant- 
wortung der  Frage  führen,  welcher  Kettenlänge  unter  gegebenen 
Umständen  der  Messung  der  geringste  mittlere  Fehler  ent- 


Von  Dr.  A,  Wingklek.  119 

spreche.   Die  in  jenem  Artikel  für  diese  vortheilhafte  Länge  /  gefundene 
Gleiebnng  l)  geht^  da  z  =  0  gesetzt  worden  ist,  in  die  folgende : 


,.^?!+?  =  0   oder  i=j/^ 

y  r       y 


aber.    —    Wenn,  wie  diess  in  der  Regel  der  Fall  sein  wird,  c*  gegen  x 
ausser  Acht  gelassen  werden  darf,  so  kann  man  genfthert  anch 

setaen,  jedenftiHs  aber  den  hieraiu  herroigefaenden  Wertb  als  erste  An- 
nSbenni^  benntaen. 

Um  anch  hierfür  einen  bestimmten  Fall  an  betrachten,  will  ich  die 
Werthe  von  x  und  y,  welche  den  bisher  betrachteten  Messnngsresaltaten 
entsprechen,  au  Grnnde  legen.    Man  findet  dann : 

Dieser  Lftnge  der  Kette  entspricht  aber,  der  ersten  Tabelle  des  Art.  6 
gemäss,  durchschnittlich  ein  Wertb  von  0*  =  0,00004;  man  erhält  also  jetzt 
genauer: 

Dieses  Ergebniss,  welches  zeigt,  dass  hier  weder  sehr  lange,  noch 
sehr  kurze ,  sondern  etwa  4%  Ruthen  lange  Ketten  am  vortheilhaftesten  ge- 
«wesen  wären,  gehört,  wie  mir  scheint,  zu  den  bemerkenswerthesten  Fol- 
gerungen, welche  sich  aus  den  vorausgeschickten  theoretischen  Betrach- 
tongen  im  Vereine  mit  den  Messungsresultaten  ziehen  lassen ,  deren  Vor- 
bereitung und  Veröffentlichung  Herrn  Prof.  Gerling  zu  verdanken  ist. 


VI. 

üeber  die  Gontroyene  zwiaohen  Doppler  und  PetzYal« 

bezüglich  der  Aendenmg  des  Tones  nnd  der  Farbe 

durch  Bewegung. 

Von  Dr.  Eknst  Mach  in  Wien. 


In  dem  Folgenden  soll  in  Kürze  die  sowohl  ftir  die  Physik,  wie  f&r 
die  Astronomie  interessante  Controverse  zwischen  Doppler  und  Petz- 
▼  al  bezüglich  der  Aendernng  des  Tones  nnd  der  Farbe  dnrch  Bewegung 
dargelegt  werden.  Ich  will  mich  bemühen,  die  ziemlich  unklaren  Streit- 
punkte in  ein  helleres  Licht  zu  setzen  und  werde  zu  diesem  Zwecke  zwar 
die  historische  Ordnung  festhalten,  aber  nur  die  wesentlichsten  Punkte 
herausheben. 

I.  Im  Jahre  1849  erschien  eine  kleine  Abhandlung  von  Doppler: 
„lieber  das  farbige  Licht  der  Doppelsterne",  worin  behauptet  wird,  dass' 
Tonhöhe  und  Farbe  durch  schnelle  Bewegung  der  Wellenquelle  oder  des 
Beobachters  geändert  werden.  Doppler  leitet  dies  durch  eine  ganz  ein- 
fache Betrachtung  ab,  indem  er  abnimmt,  dass  von  der  Wellenquelle  in 
gleichen  Zwischenzeiten  Impulse  ausgehen,  welche,  mit  bestimmter  Ge- 
schwindigkeit fortschreitend ,  Auge  oder  Ohr  treffen.  Je  nachdem  nun  der 
Beobachter  sich  gegen  oder  von  der  Quelle  bewegt,  werden  für  ihn  die  Im- 
pulse schneller  oder  langsamer  auf  einander  folgen,  d.  h.  eben  der  Ton 
wird  höher  oder  tiefer,  die  Farbe  rückt  gegen  das  Violette  oder  Rotlie. 
Aehnliches  findet  statt,  wenn  sich  die  Quelle  allein  bewegt  oder  Quelle 
und  Beobachter  zugleich  in  Bewegung  sind.  Mit  Hinweglassung  der  sehr 
einfachen  Rechnung  will  icK  blos  die  Formel  angeben,  zu  welcher  man  auf 
diese  Art  gelangt. 

Ist  %  die  Geschwindigkeit  der  Wellenquelle ,  c  dieN  des  Beobachters, 
y  die  der  Welle,  ferner  %  die  Schwingungsdauer  der  Quelle  und  %  die 
scheinbare  Schwingungsdauer,  so  hat  man 

y  —  % 

X  =t.   , 

y  — ^ 

wobei  X  und  c  positiv  zu  nehmen  sind  in  der  Richtung  von  der  Quelle  zum 
Beobachter,  negativ  in  der  entgegengesetzten.  • 


Von  Dr-  Ernst  Mach.  121 


Doppler  Terwendet  den  angegebenen  Satz  snr  ErkUrnng  der  Erschei- 
nangen  an  farbigen  Sternen,  indem  er  annimmt,  die  Geschwindigkeit  die- 
ser Sterne  sei  nicht  Terschwindend  gegen  die  LichtgeschirindigkeiL 

Die  Doppler'sche  Behandlangsweise  des  Gegenetandes  genügt  wohl 
D«eh  den  gegebenen  Andentangen  nicht  den  Anforderangen  der  strengen 
Wissenschaft,  sondern  kann  bot  als  erster  Versuch  einer  Theorie  gelten« 
Wir  besprechen  später  die  von  Petzyal  vorgebrachten  Einwürfe  speeiell. 
lat  aber  anch  die  Doppler'sehe  Ableitung  nngenan,  so  scheint  doch  das  ge- 
wonnene*Kesultat  richtig  %n  sein.  Es  wurden  nämlich  sur  Deutung  des  er- 
wähnten Satzes  sahireiche  Experimente  angestellt,  welche  fast  sämmtlich 
zur  Befriedigung  ausfielen.  Dass  der  einzige  Gegenversuoh  von  Angström  *) 
(mit  dem  Spectrum  des  elektrischen  Funkens)  gar  nicht  entscheiden  könne, 
glaube  ich  in  einer  früheren  Abhandlung**)  dargethan  zu  haben,  in  wel- 
cher ich  auch  eigene  Experimente  anführe,  die  mir  noch  mehr  als  die  altem 
für  den  Doppler^schen  Satz  zu  sprechen  scheinen. 

Es  dürfte  demnach ,  wenigstens  für  den  Augenblick  nicht  nöthig  sein, 
auf  die  Experimente  näher  einzugehen ,  wir  können  uns  auf  die  theoreti- 
sche Seite  des  Streites  beschränken. 

II.  Doppler's  Ansicht  wurde  von  Professor  Petzval  angegriffen  in  der 
Schrift:  „Ueber  ein  allgemeines  Princip  der  ündulationslehre ,  Gesetz  der 
Erhaltung  der  Schwingungsdauer  ^S  Sitzungsberichte  der  k.  k.  Akademie 
der  Wissenschaften  VIIL  Bd.  S.  134. 

Ich  will  mit  Uebergehnng  des  für  eine  mathematische  Abhandlung 
allzu  reichen  oratorischen  Schmuckes  den  wesentlichen  Inhalt  dieses  Auf- 
satzes darlegen. 

Es  giebt  drei  Differentialgleichungen  der  Bewegung  eines  Systems 
von  materiellen  Punkten,  das  gleiche  Elastioität  nach  allen  Seiten  besitzt: 


dt*  dar*       dy^       dz*  dx  dy  dxdi 


a 


d 


dt*      da:«^    dy*^rfz»^    dx dy^    dydt' 

di*  dx"^  dy*^  dz^^^dxdz^  dydz 
Diese  Gleichungen  sind  unter  der  Voraussetzung  abgeleitet,  dass  sehr 
nahe  an  einander  liegende  Punkte  auch  nahezu  dieselbe  Bewegung  an* 
nehmen,  was  auch  bei  sehr  heftigen  Bewegungen  stattfindet,  wenn  nur  die 
Continultät  der  Masse  nicht  verletzt  wird.  Die  Gleichungen  gelten  dann 
auch  für  diese  heftigen  Bewegangen. 


*)  Optische  UntersuchiiDgeB.  Pogg.  Ann.  94.  Bd.   8.141. 
**)  Uober  die  Aenderang  des  Tones  and  der  Farbe  durch  Bewegung  von  Dr. 
Ernst  Macb.     Sitzangsberichte  der  k.  k.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Wien 
41.  Bd.   8.543. 


ISS  lieber  die  Aenderung  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Beweg^g. 


Sollten  aach  künftighin  andere  Bewegnngsgleichnngen  aafgeatelh  wer- 
den ,  welche  sich  der  Erfahrung  genauer  anschliessen ,  so  werden  sie  doch 
mit  den  obigen  drei  Eigenschaften  gemein  haben : 

1.  die  lineare  Form; 

2*  £)  1?)  £  gehen  undifierentiirt  in  die  Gleiehnagen  nieht  ein,  weil  nur 
der  Unterschied  der  Verschiebung  benachbarter  Theile  Ifolecularbrifte 
wec^t; 

3.  nur  die  zweiten  Differentialquotienten  rom  |>  if »  f  nach  l  sind  in  den 
Oleichungen  enthalten. 

Aus  diesen  gane  allgemeinen  Eigenschaften  der  Gleichungen  lassen 
sich  nun  schon  Schlüsse  sieben.  Es  ist  a^  B.  eine  unmittelbare  Folge  der 
linearen  Form  der  Gleichungen,  dass,  wenn  die  Functionen  ^i,  ^t«  ^s  •  •  •  - 
für  sich  genügen,  auch  die  Somme  ZC^fin  Genüge  leistet,  wo  C  eine  Con- 
stante  bedeutet. 

Ans  der  linearen  Form  der  Gleichungen  folgt  also  das  sogenannte 
Princip  der  Coezistena  der  elementaren  Bewegungen.  Wird  in  «nem 
elastischen  Medium  zugleich  eine  Strömung  und  eine  Undulation  erregt,  so 
legen  sich  beide  Bewegungen  über  einander,  ohuQ  sich  zu  stljren;  auch 
werden  alle  Elemente,  wedche  die  Undulation  charakterisiren ,  also  auch 
die  Schwingangsdauer  und  im  Zusammenhange  damit  Ton  und  Farbe  durch 
die  Strömung  in  keiner  Weise  afficirt. 

Petzval  begnügt  sich  nicht  mit  dieser  ganz  allgemeinen  Ableitung, 
sondern  stellt  specielle  Differentialgleichungen  auf  für  die  Bewegung  eines 
Mediums,  in  welchem  sich  irgend  eine  permanente  Strömung  mit  einer  Un- 
dulation combinirt.  Er  untersucht,  welche  Schwingungsweise  sich  legen 
lasse  über  eine  mit  der  Zeit  unveränderliche  Strömung,  deren  Geschwin- 
digkeitscomponeaten  u,  v,  w  also  nur  Functionen  der  Coordinaten  und  nicht 
der  Zeit  sind.  Die  der  Undulation  angehörigen  |,  i^,  (  werden  nicht  auf 
ein  bestimmtes  -  Theilchen ,  sondern  auf  einen  bestimmten  Ort  bezogen. 
Petzyal  findet,  dass  man  den  aufgestellten  Gleichungen  genügen  könne, 
indem  man  für  die  Undulation  setzt: 

wobei  s  eine  Constante  ist,  welche  die  Schwingungsdauer  bestimmt;  X,  F,  Z 
werden  nur  als  Functionen  von  xyz  betrachtet.  —  Substituirt  man  diese 
£,  t;,  (  in  die  Ton  Petzyal  aufgestellten  Gleichungen,  so  HÜlt  nftmlieh  mit 
der  Exponentielle  zugleich  das  i  heraus,  es  bleiben  nur  Xj  F,  Z  zurück  und 
lassen  sich  immer  von  einer  solchen  Form  wfthlen,  dass  sie  der  Gleiehnng 
genügen.  Ein  constantes  8  in  den  Ausdruck  für  |,  17^  (  gesetzt,  d.  h.  eine 
constante  Schwingungsdauer  befriedigt  demnach  die  Gleichung«  Es  lissi 
sich  also  über  eine  permanente  Strömung  eine  Schwingungsweise  mit  an 
allen  Orten  constanter  Schwingungsdauer  legen. 

Würde  man  im  Gegentheil  s  als  yariabel  betrachten,  so  Mit  /  nicht 
aus  der  Gleichung  und  man  wird  zu  einem  Widerspruche  geführt,  indem 


Von  Dr.  Ebnrt  Mach.  123 

mas  X^  F^  Z  «I0  naabhftngig  Ton  /  voraosgesetit  bat  nnd  doch  eine  Abhän- 
gigkeit bestehen  mttssie,  weil  sugleich  mit  JT,  y,  Z  «ach  t  in  der  Oleiehnng 
eneheint.  -^  Nun  wird  noch  gexeigt,  dssg  eine  schwingende  Flilche 
9  (xy  y^z)s=sO  in  einem  Ton  permanenten  Strömungen  darchsogenen  Me- 
dinm  nur  eine  Sebwingnngsweise  mit  all  er  Orten  constanter  Schwingnngs- 
daner  erregen  könne.  — *  Betrachten  wir  den  Petsval^schen  Gedankengang, 
90  finden  wir,  dan  er  anf  den  Doppler'sehen  Fall  gar  nicht  passt,  sondern 
diesen  im  Gegen theü  a  priori  ansschliesst.  Petzval  spricht  von  einer  aller 
Orten  constanten  Schwingnngsdaner.  Doppler's  Säte  behaoptet  aber  gar 
nichts  fiber  die  Scfawingangsdaner  an  diesem  oder  jen«m  Orte,  welcher 
eben  als  mit  der  Zeit  raHabel  betrachtet  wird.  Die  Tonhöhe  hitngt  ja  nach 
Doppler  nicht  vom  der  Entfernung  des  Beobachters  von  der  Tonqnelle,  son- 
dern von  seiner  Geschwindigkeit  ab,  von  dem  DifPbrentialquotienten  der 
genannten  Entfernung  nach  der  Zeit  genommen. 

In  einem  schwingenden  Medium  sind  die  £,  t/,  t  i™  Allgemeinen  Func- 
tionen der  Zeit  nnd  der  Coordinaten,  denn  sie  sind  sowohl  su  verschiede- 
nen Zeiten ,  als  auch  an  verschiedenen  Orten  verschieden.  So  lange  or,  y,  z 
dieselben  sind ,  betrachtet  man  offenbar  die  Schwingung  an  einem  nnd  dem- 
selben Orte^  will  man  die  Schwingung  fttr  einen  bewegten  Beobachter  un- 
tersuchen ,  so  sind  alle  irgendwie  in  |,  17,  i  enthaltene  a?,  y,  z  als  Fnnctionen 
der  Zeit  vn  betrachten.    In  Petzval's  Ausdrücken  ■•  B. : 

g  =  e±''''^jretc.  etc. 

wjlren  eben  dio  in  T,  F,  Z  enthaltenen  s,  y,  z  als  mit  t  variabel  bu  betrach- 
ten, auch  beim  Differentiiren  nicht  als  independent  variabel,  sondern 
sftmmtlich  als  Functionen  von  /  su  behandeln.  Da  Petzval  diess  alles  nicht 
rfleksichtigt ,  so  behandelt  er  eben  den  Doppler^schen  Fall  nicht.  —  Die 
ganze  Anlage  von  PetzvaPs  Rechnung  scheint  auf  einem  Missverständnisse 
zu  beruhen.  Betrachtet  man  einen  einzigen  Punkt  in  einem  Medium,  so  ist 
es  offenbar  gleichgültig,  ob  man  den  Punkt  als  bewegt  und  das  M^ium 
als  ruhend  betrachtet ,  oder  umgekehrt.  Hingegen  wird  es  nie  gelingen ,  die 
relative  Bewegung  zweier  Punkte  gegen  einander  durch  eine  Strömiing  des 
Mediums  zu  ersetzen/  Wenn  also  Petzval  glaubt,  er  behandle  den  Dopp* 
ler*schen  Fall,  indem  er  statt  Quelle  und  Beobachter  gegen  einmder  zu 
bewegen,  beide  ruhen  llisst  und  das  Medium  in  Strömung  versetzt,  so 
irrt  er. 

Wollte  man  die  Sache  kurz  in  allgemein  verständliche  Worte  zusam- 
menfassen, so  würde  rnua  sagen : 

1.  Petzval  hat  durch  seine  Deduction  gezeigt  j  dass  windiges  Wetter 
keinen  Einfiuss  übe  anf  die  Tonhöhe. 

2.  Doppler  untersucht,  wie  die  Tonhöhe  durch  die  relative  Bewegung 
▼on  Quelle  und  Beobachter  afficirt  wird. 

Die  Resultate  beider  Untersuchungen  können  sich  nicht  widersprechen. 


124  Ueber  die  Aenderung  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Bewegang. 

Der  durch  Petzvars  Aufsatz  eingeleitete  Streit  führte  nun ,  wie  dies 
wohl  gewöhnlich  ist,  zu  keinem  andern  Resultate,  als  dasg  jede  Partei  auf 
ihrer  Aussage  beharrte.  Doppler  berief  sich  auf  das  Experiment,  "PetzTsi 
auf  die  Dednction.  Keinem  fiel  es  ein ,  die  Orfinde  des  Andern  genauer  zq 
prüfen. 

III.  Hierauf  erschienen  noch  zwei  Abhandlungen*)  von  Petzral,  bei 
deren  Betrachtung  wir  finden ,  dass  die  Streitfrage  in  eine  neue  Phase  ge- 
treten sei,  Petzral  macht  nun  nicht  sowohl  den  Satz  der  Erhaltung  der 
Sehwinguttgsdauer,  als  vielmehr  ganz  andere  und  untergeordnete  Gründe 
gegen  Doppler  geltend.  Petzval  weist  eigentlich  blos  nach ,  inwiefern  der 
Doppler'sche  Satz  mangelhaft  deducirt  sei,  und  leitet  zuletzt  sogar  selbst 
eine  der  Doppler'schen  Formel  entsprechende  aus  den  Oleiehungen  der 
Mechanik  ab,  indem  er  aber  auch  gegen  diese  jene  untergeordneten  Oründe 
geltend  macht.  Betrachten  wir  die  einzelnen  Punkte  etwas  näher,  so  finden 
wir  folgende  Haupteinwttrfe : 

a,    Doppler  betxachtet  die  Welle  als  ein  Individuum ,  statt  die  Elemen- 
tarwellen in  Rechnung  zu  ziehen. 
ß»    Es  wird  stillschweigend  voransgesetzt,    dass  die  progressiva  Be- 
wegung der  Tonquelle  keinen  Einfinss  ttbe  auf  das  Mfdium,  was 
unstatthaft  ist. 
y.    Endlich  kann  man  bei  Auswerthung  der  Doppler'schen  Formel  auch 
negative  und  unendlich  hohe  Töne  erhalten ,  was  absurd  ist. 
Was  sich  gegen  diese  Einwürfe  wieder  vorbringen  lässt,  habe  ich  be- 
reits in  der  oben  citirten  Abhandlung  angeführt;  im  Allgemeinen  sind  sie 
wohl  richtig,  beweisen  aber  nur,  dass  der  Dopplei'sche  Satz  mangelhaft 
deducirt  sei.    Welche  Modificationen  die  Doppler^sche  Formel  erfahren 
würde ,  wenn  man  alle  diese  Nebenumstände  in  Betracht  ziehen  wollte, 
kann  Petzval  ebensowenig  angeben  als  Doppler,  da  keiner  von  beiden  die 
Rechnungen  durchgeführt  hat.  —  Es  hätte  gar  keinen  Sinn ,  wenn  man, 
wie  Petzval  immer  wünscht,  Doppler's  Satz  durch  PetzvaPs  Princip  er- 
setzen  wollte.    Beide  Sätze  bezieben  sich  auf  ganz  verschiedene  Fälle  und 
der  eine  kann  dem  andern  ebensowenig  substituirt  werden  als  eio  Lehn- 
stuhl einem  Droschkenpferde. 

Den  meisten  Nachdruck  legt  Petzval  auf  die  Veränderung  des  Me- 
diums durch  die  progressive  Bewegung  der  Tonquelle;  denn  er  giebt  zu, 
dass  der  Doppler'sche  Satz  eine  gewisse  Giltigkeit  hätte ,  wenn  diese  Ver- 
änderung nicht  wäre,  wenn  man  sich  die  Quelle  als  imaginären  Pankt 
denken  könnte,  der,  indem  er  sich  bewegt,  das  Medium  nicht  afficirt.  Für 
diesen  Fall  leitet  Petzval  selbst  eine  der  Doppler'schen  Formel  nahekom- 
mende ab ,  und  zwar  aus  der  Gleichung  für  die  plane  Welle  in  einem  ela- 


*)  Ueber  die  Unzukömmlichkeiten  gewisser  populärer  Anschauungen  in  der  Un- 
dalationslehre  etc.  Sitsungabsrichte  Vfll  Seite  507  und  IX  Seite  609» 


Von  Dr.  Ernst  Mach.  123 

atischen  Medium.  Hier«iu  ist  schon  klar,  das«  diese  Formel  dem  Principe 
nicht  widerspreche;  nur  PetiTsl  widerspricht  sich  selbst,  denn  er  verfahr 
in  der  altern  Abhandlung  von  Doppler  abweichend,  indem  er  nnr  die 
Schwingnngsdaaer  an  beliebigen,  der  Zeit  nach  nnveränderlichea  Orten  on- 
tersnchte ,  und  yerfährt  in  den  folgenden  Arbeiten  mit  Doppler  überein* 
stimmend ,  indem  er  auf  die  Bewegtiag  Rücksiefal  nimmt. 

Die  Gleichvngf  welcher  eine  auf  der  Achse  der  X  senkrechte  Plan- 
welle genfigt,  ist: 

ihr  Integrales 

wobei  /*,  F  willkürliche  Functionen  sind.  Diese  ^  F  werden  hier  so  ge- 
wählt, dass  f(z)^  F{z)  nur  für  solche  z,  welche  von  0  wenig  abweichen, 
von  der  Null  verschiedene  Werthe  haben.  Die  Constante  9  beaeichnet  die 
Fortpflanaungsgeschwindigkeit.  Setit  man  nun  eine  Reihe  von  sehr  klei- 
nen Erregungen  des  Mediums  voraus,  welche  das  Oeseta  sink^  d^  befol- 
gen, wobei  ^  die  Zeit  ist  und  die  mit  der  Geschwindigkeit  c  fortschreiten, 
so  ist  für  den  Ort  x  und  die  Zeit  /  die  aus  den  ElementarweUen  resultirende 
Etrregpmg: 

t 

t 

+  CfIx  —  c^  +  s  (/— ^)  I  fink&da^ 

0 
Durch  Ausführung  der  Integration  ergiebt  sich: 

g  = sin (xsi)  H ; —  sm—r — (x  +  sl)y 

wobei  Ay  B  constante  Grenzintegrale  bezeichnen.  Dieses  Resultat  stimmt 
bezüglich  der  Wellenlänge  augenscheinlich  mit  dem  Doppler'schen  überein, 
giebt  aber  zugleich  auch  Aufschlnss  über  die  Intensität  der  Welle. 

Offenbär  ist  diese  Ableitung  viel  schöner,  vollständiger  und  strenger, 
als  die  Doppjer'sche ,  doch  erklärt  Petzval  dieselbe  für  unbrauchbar,  weil 
auf  die  durch  die  progressive  Bewegung  der  Tonquelle  erregte  Strömung 
keine  Rücksicht  genommen  wird.  Ich  habe  in  der  früher  citirten  Abhand- 
lung zu  zeigen  versucht,  dass  diese  Strömung,  bei  bewegten  Körpern  von 
kleinem  Querschnitte ,  wo  das  Medium  zur  Seite  ausweichen  kann ,  die  Er- 
gebnisse des  Calcüls  nicht  bedeutend  afficirt.  Die  PetzvaFsche  Formel  wird 
im  Gegentheil  in  den  meisten  Fällen  sich  der  Wahrheit  sehr  nähern  und  in 
manchen  speciellen  streng  richtig  sein. 

Es  scheint  mir,  dass  Petzval  seine  Analyse  blos  deshalb  als  nnbrauch- 


126  Ueber  die  Aendernng  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Bewegung. 


bar  verwirft,  weU  er  aieht  eingestehen  will,  dass  die  Ansdehnnng  des 
Satses  der  Erhaltung  der  Schwingungsdaner  auf  den  Doppler'schen  Fall 
unberechtigt  war. 

IV«  Fassen  wir  die  Hauptpunkte  unserer  Untersuchung  noch  einmal 
snsammea,  so  können  wir  Folgendes  als  constatirt  ansehen : 

1.  Doppler's  Ansieht  wird  durch  die  Experimente  bestätigt. 

2.  Petsyal's  Satz  der  Erhaltung  der  Schwingungsdaner  darf  auf  den 
Doppler'schen  Fall  nicht  ausgedehnt  werden. 

3.  Fetzval  zeigt,  dass  Doppler^s  Formeln  ungenügend  deducirt  seien. 

4.  Petzval  leitet  auf  strengere  Weise  den  Doppler^schen  Formeln  nahe 
kommende  ab,  die  er  zwar  selbst  für  unbrauchbar  erklärt,  die  aber 
nichtsdestoweniger  in  den  meisten  Fällen  anwendbar  sind. 

Die  von  Petzval  vorgebrachten"6rtinde  können  also  Doppler's  Ansicht 
eher  bestätigen  als  widerlegen.  Dagegen  bleibt  für  die  vollständige  mathe- 
matische Erklärung  des  ITactums,  mit  Berücksichtigung  aller  Nebenum- 
stände,  noch  viel  zu  leisten  Übrig,  und  es  ist  der  letzte  Zweck  dieses  Auf- 
satzes ,  diese  Arbeit  von  Neuem  anzuregen. 

Man  würde  das  Problem  beiläufig  auf  folgende  Art  angreifen: 

Denkt  man  sich  eine  begrenzte  Ebene  in  einem  elastischen  Medium 
senkrecht  zu  sich  selbst  mit  constanter  Geschwindigkeit  fortschreitend,  so 
wird  diese,  einen  bestiminten  Anfangszustand  vorausgesetzt,  dem  Medium 
nach  einer  gewissen  Zeit  einen  gewissen  Dichtenzustand  beigebracht  haben, 
üeber  dieses  Medium  von  überall  bekannter  Dichte  kann  man  nun  die  von 
der  Ebene  ausgehenden  Schwingungen  legen. 

Diese  Betrachtang  führt  zu  ziemlich  complicirten  Differentialgleichun- 
gen ,  deren  Integration  mir  aber  hoffentlich  noch  gelingen  wird ,  falls  nicht 
zum  Vortheile  der  Wissenschaft  ein  gewandterer  Mathematiker  die  Lösung 
dieser  Aufgabe  übernehmen  sollte» 


Kleinere  Mittheilungen. 


CL  Veber  die  Bereehnung  des  Ihtdgrallogariihmeii  und  einiger  mit 
ihm  intammenh&ngeiiden  anderen,  Fnnctioiien.  Von  C.  A.  Bretschneideb, 
Professor  am  Realgymnasinm  zu  Gotha. 

Die  unter  dem  Namen  des  Integrallogarithmus  bekannte  transcendente 
Fnncüon 

hat  durch  die  eigenthümlichen  Schwierigkeiten ,  welche  sie  einer  umfassen- 
den Untersuchung  ihrer  Eigenschaften  entgegengesetzt,  eine  gewisse  Be- 
rühmtheit erlangt.  Schon  vor  länger  als  vierzig  Jahren  haben  sigh  Sold- 
ner  und  Mascheroni*)  mit  ihr  beschäftigt  und  gezeigt,  dass  der  Werth 
der  Constante  y ,  wenn  das  Integral  für  2  =  0  selbst  Null  werden  soll ,  auf 
die  Constante  der  natürlichen  harmonischen  Beibe  zurückkommt.  Beide 
Analysten,  sowie  bald  darauf  auch  Bessel  **),  bemühten  sich  Reihenent- 
wickelungen aufzufinden,  die  möglichst  stark  convergirten  und  somit  be* 
qaem  zu  numerischer  Berechnung  der  Function  gebraucht  werden  könnten. 
Die  Resultate  dieser  Untersuchungen ,  die  meistens  das  Ergebniss  besonde- 
rer analytischer  Kunstgriffe  waren  und  deshalb  sehr  wenig  Innern  Zusam- 
menhang zeigten,  habe  ich  in  einer,  vor  länger  als  zwanzig  Jahren  in 
Crelle^s  Journal'^**}  erschienenen  Abhandlung  zusammengestellt  und  aus 
einer  gemeinsamen  Quelle  abgeleitet,  zugleich  aber  auch  nachgewiesen, 
dass  alle  die  Hilfsmittel ,  welche  die  Theorie  der  Potenzreihen  und  der 
Kettenbrttche  zur  Entwickelnng  und  Untersuchung  transcendenter  Integral- 
functionen  darbieten ,  im  vorliegenden  Falle  entweder  geradezu  unbrauch- 
bar sind,  oder  nur  Resultate  geben,  die  nichts  Erhebliches  erkennen  lassen 
und  namentlich  für  numerische  Berechnung  nur  sehr  geringe  Hilfe  gewäh- 
ren«    In  diesem  Stadium  befindet  sich  die  Theorie  des  Integrallogarithmus 


*)  Soldner,  theorie  et  tables  d^ane  nouvelle  fonction  transeendante ;  JiMunic, 
1859.  —  Mafcheroni,  adnotationes  ad  calculam  integralem  Gnleri;  Ticini  1790. 
**)  Bessel,  Königsberger  Archiv  fUr  Mathematik  nnd  Naturwissenschaften. 
***)  Theoriae  logarithmi  integraUs  lineame&ta  nova;  CreUe's  Journal  Bd.  17. 


128  Kleinere  Mittheilungen, 

noch  bis  auf  den  heutigen  Tag.  Da  nun  auch  nicht  eine  einzige  analytische 
Eigenschaft  oder  Belation  zwischen  Functionenwerthen  verschiedener  Ar- 
gumente hat  aufgefunden  werden  können  und  es  fast  scheint,  als  ob  der- 
gleichen fär  diese  Transcendente  gar  nicht  existirten ,  so  ist  die  numeri- 
sche Berechnung  derselben  vor  der  Hand  wohl  das  Wichtigste,  was  für  sie 
zu  leisten  ist. 

Nun  hat  zwar  Söldner  bereits  eine  Tafel  der  Integrallogarithmen  ge- 
geben; allein  abgesehen  vpn  ihreif  geringen  Ausdehnung  ist  sie,  seiner  eig- 
nen Angabe  zu  Folge,  ohne  alle  Controlen  berechnet,  und  so  darf  es  nicht 
Wunder  nehmen,  dass  einzelne  Werthe  aus  ihr,  bei  zufälliger  Prüfung  der- 
selben durch  andere  Bechner,  sehr  erhebliche  Abweichungen  von  den  Re- 
sultaten der  letzteren  zeigten.  Unter  diesen  Umständen  darf  ich  hoffen, 
durch  Mittheilung  des  Nachfolgenden  den  Gegenstand  vor  der  Hand  zu 
einer  Art  von  Abschluss  zu  bringen. 

Die  Theorie  unserer  Transcendente  liefert,  streng  genommen,  nur 
zwei  Reihenentwickelungen,  die  so  convergent  sind,  dass  sie  sich  zu  nume- 
rischer Berechnung  eignen,  nämlich: 

i-r^,^„  — ^  n(n+l)^n{n  +  l){n+2)  ^'' 
Die  erste  Reihe  giebt  die  Functionenwerthe  für  diejenigen  x ,  welche  sich 
nicht  allzuweit  von  der  Einheit  entfernen,  während  die  zweite  dazu  dient, 
um  von  bereits  gefundenen  Functionenwerthen  zu  denen«  nahe  liegender 
Argumente  fortzuschreiten.  Die  Letztere  ist  um  so  bemerkenswerther,  als 
alle  bis  jetzt  geführten  Untersuchungen,  von  wie  verschiedenen  Stand- 
punkten sie  auch  ausgehen  und  wie  verschiedene  Methoden  und  Kunst- 
griffe der  Entwickelung  sie  auch  anwenden  mögen,  schliesslich  immer  die 
Reihe  1t)  als  Endresultat  geben. 

So  erträglich  nun  auch  beide  Reihen  beim  ersten  Blicke  für  die  nume- 
rische Rechnung  gebaut  zu  sein  scheinen,  so  unerhört  lästig  wird  die  wirk- 
liche Ausführung  der  letzteren.  Bei  der  höchst  massigen  Convergenz  jener 
Ausdrücke  muss  man ,  sobald  x  sich  nur  um  ein  Geringes  von  der  Einheit 

entfernt  oder  der  Bruch  -  den  Werth  0,1  übersteigt,   fast  immer  zwischen 

zehn  bis  zwanzig  Glieder  zusammennehmen,  um  das  Resultat  auf  zehn  De- 
cimalstellen  genau  zu  erhalten.  Ist  schon  die  Berechnung  so  vieler  auf 
einander  folgender  Potenzen  eines  natürlichen  Logarithmen  beschwerlich, 
so  wird  die  Mühe,  noch  um  ein  Bedeutendes  durch  die  erforderlichen  Mnlti- 
plicationen  mit  den  Coefficientcn  J  gesteigert,  und  zum  Schlüsse  hat  man 
noch  obendrein  die  Berechnung  des  Logarithmen  eines  Logarithmen  auszu- 


Kleinere  Mittheilax^n*  129 

führen«    £0  lüBBt  fldeb  2 war  die  Reihe  2)  so  iinafoniie&,  dasa  das  Glied 
/  (-7— )  wegf&Uig  wird;  man  findet  dadurch: 


^i==r:;^ 


1.    n    _1  -(«-!)  i?. 


«^1 


la'  ^  la 


> 


aber  dennoch  bleibt  für  jede  einzelne  Wertbbestimmang  immer  noch  so  viel 

Arbeit  übrig,  dass  auch  die  hartnäckigste  Geduld  dadurch  erschöpft  wird. 

Um  diesem  Uebelstande  zu  begegnen ,  habe  ich  statt  des  Integrales 

f  y-  das  verwandte  Integral    / angewendet,  und  damit  die  Berechnung 

Yon  Uz  auf  die  von  /t .  e^  zurückgeführt.  Setzt  man  nämlich  in  die  Glei- 
chung 3)  e"  anstatt  a  und  bezeicbnet  1 1  H )  niit  t^,  so  erhält  man : 

a  a 

oder  wenn  man,  am  die  Multiplication  der  in  der  Klammer  stehenden  Reihe 
mit  e*  zu  ersparen,  diesen  Tactor  gleich  mit  den  einzelnen  Coefficienten 
verbindet  und  jeden  der  letzteren  noch  durch  die  ihm  zugehörige  natür- 
liche Facultät  dividirt : 

4)  H  {e'+x)  =  H  a  =  ?r  .  Dl  +  (fo)«l>,  +  (/e;)»Da  +  W*  A  +  •  •  • 

Diese  Reihe  ist  in  der  That  sehr  brauchbar,  um  die  Integi-allogarithmen 
aller  beliebigen ,  namentlich  sehr  grosser  oder  sehr  kleiner  Zahlen  zu  be- 
rechnen. Nimmt  man  nämlich  eine  Tafel  der  Werthe  ef  zu  Hilfe,  so 
brauoht  man  nur  x  gleich  dem  im  Zahlen verthe  von  e^  vorkommenden  De- 
eimalbruche  (letzteren  natürlich  negativ  genommen),  oder  gleieh  der  deka- 
diachen  Ergänzung  Rieses  Bruches  zu  setzen,  um  den  Werth  von  {e'+x) 
in  eine  ganze  Zahl  zu  vei^andeln.     Dadurch  wird  man  zugleich  in  den 

Stand  gesetzt,  den  Werth  von  1;  =:  1  -f  —  der  Einheit  so  nahe  zu  bringen, 

als  man  will,  und  kann  demnach  Iv  so  klein  machen,  dass  wenige  Glieder 

der  Reihe  4)  hinreichen,  das  Resultat  auf  7  bis  10  Decimalstellen  genau  zu 

geben.     Ein  Paar  Beispiele  werden  genügen,  die  Sache  anschaulich  zu 

machen.    Es  werde  verlangt  /t  10,  li  11,  U 12  etc.  zu  berechnen.    Man  hat: 

^  =  9,97418  also  10  =  e«»  +  0,02582     v  =  1,00258     h=  +  0,0025767 

e*'^  =  11,02318  11  =r  c^  —  0,02318     v  -—  0,99789     /»  =  —  0,0021122  ' 

^^=  11,94126  12  =  e«'*  +  0,05874     v  =  1 ,00492     lv=  +  0,0049179. 

Je  grösser  die  Zahlen  sind,   deren  Integrallogarithmen  gefunden  werden 

ZeiUchrift  fQr  Mathematik  a.  Physik.  VI,  2.  9 


130  Kleinere  Mittheiinngen. 

sollen ,  desto  kleiner  werden  die  Iv,  so  Amb  die  Arbeit  immer  rascher  von 
Statten  geht,  je  weiter  man  in  derselben  vorschreitet.  So  wird  z.  B. 
e»'"  =  9096,600  nnd  e^^  =  22026,47  und  damit  ergiebt  sich  : 

10000  =  e*-»*  +  3^400  V  =  1,00034  /»  ==  +  0,000340 
22026  =  e*<^  —0,47  »  =  0,999978  /i;  =  — 0,0000211. 
Endlich  ist  anch  klar,  dass  man  keineswegs  genöthigt  ist ,  immer  diejeni^ 
Potenz  von  e  zu  wählen,  welche  der  gegebenen  Zahl  am  nächsten  liegt; 
man  kann  vielmehr  zu  einem  und  demselben  Werthe  von  e"  verschiedene 
X  nehmen ,  und  dadurch  die  einmal  gefundenen  Coefficienten  2>  für  die  Be- 
rechnung mehrerer  Integrallogarithmen  benutzen.  So  wird  z.B.  ^=20,08553 
und  man  erhält  damit: 


20  =  ß»  —  0,08553  /y  =  —  0,00426 
19  ==  e»  — 1,08553  Iv  —  —  0,05556 
18  =  ^  —'2,08583     /»  =  —  0,10963 


21  =  ^  +  0,91446     /p  =  +  0,04452 

22  =  «^  +  1,91446     /t;  =  +  0,09104 

n.  «•  w. 


Das  Einzige ,  was  bei  dieser  Art  von  Berechnung  nothwendig  vorausgesetzt 
werden  muss ,  ist  die  Kenntniss  der  Integrallogarithmen  für  alle  diejenigen 
Werthe  von  e^ ,  welche  man  bei  den  eben  besprochenen  Zerlegungen  anzu- 
wenden hat.  Die  Berechnung  derselben  geschieht,  so  lange  a  nicht  grösser 
ist  als  5 ,  am  bequemsten  nach  der  Formel 

'  '^^       — 1.1!  ^2.2!^3.3!       4.4!  — 

die  das  Resultat  mit  verhältnissmässig  grosser  Schnelligkeit  finden  lässt. 
Wächst  hingegen  a  über  5  hinaus,  so  wendet  man  bequemer  die  naehste- 
hende  Reihe  an: 

6)     /iV*«  =  lie'  +  lf^^')  ±uF,  +  u^F^  +  ti»F,  +  «^^4  +  ... 


_  1     /  «•         «_\ 


welche  aus  der  Gleichung  2)  dadurch  entsteht ,  dass  man  in  letzterer  bezie- 
hungsweise e^  und  ei*'  anstatt  a  und  u  einsetzt»  Die  nachfolgende  Tafel 
der  Werthe  von  li  &*  ist  zum  grössten  Theile  auf  diese  Axt  berechnet  wor- 
den. Da  jedoch  die  Glieder  der  Reihe  5),  auf  die  gehörige  Weise  verbun- 
den, zugleich  die  Werthe  der  oyclischen  und  hyperbolischen  Integral- 
Cosinus  und  Sinus  finden  lassen,  so  habe  ich  mich  der  zum  Theil  sehr 
grossen  Mühe  unterzogen,  die  ganze  Tafel  noch  einmal  mittelst  der  For- 
mel 5)  zu  berechnen  und  die  bereits  gefundenen  Werthe  von  li  e^  als  Con- 
trolen  zu  verwenden.  Zu  dem  Ende  suchte  ich  die  Summen  der  vier  Reihen 

IT— ^4.-^J.     "'     X  TV—    «^     J.     "'      I'     <»"       , 

für  die  einzelnen  Werthe  von  a  nnd  erhielt  damit: 


Kleinere  Mittheilnngen»  131 


Ct  a  =  1 .  —  =  I  +  III 

J        2  a 

r  ^«         T         TTr 

cta=  I  cos  a  .  —  =  J  —  III 
J  ö 

/,e«  =  I  +  III  +  II  +  IV, 

Ät«=/^-— ^.  — =  II  +  IV 
J         2  a 


„>ia.^  =  n~IV 


7t>-  =  i  +  m  — n— IV. 

War  die  Bechnnng  nach  5)  richtig,  so  musste  der  damit  gefundene  Werth 
Yon  li  e'  mit  dem  ans  der  Formel  6)  erhaltenen  übereinstimmen.  Da  der 
Werth  a=^l  gewissermassen  als  Fundament  für  die  ganze  Tafel  anzusehen 
ist,  so  wurden  die  obigen  vier  Reihen  für  ihn  auf  40  Decimalstellen  ent- 
wickelt.    Dies  gab,  wenn  die  Constante  y*)  gleich 

y  =  0,57721  56049  01532  86000  65120  00062  40243  10421 
gesetzt  wird ,  folgende  Besultate : 

lie     :^  +  1,89511  78168  55986  75546  65209  34331  63426  90 
/iV-i=_  0,21938  39343  95520  27367  71637  75460  12164  90 
Ct  1  =  +  0,83786  69409  80208  24089  46785  79435  75630  99: 
Sil    s=  +  1,05725  08753  75728  514Ö7  18423  54895  87795  90 
et  l  :=  +  0,33740  39229  00968  13466  26462  03889  15076  99: 
si  1  ^=  +  0,94608  30703  67183  01494  13533  13823  17965  78 
Hier  wie  im  Folgenden  ist  die  letzte  Decimalziffer  stets  ungeftndert  gelas- 
sen; es  ist  ihr  aber,  wenn  die  nächst  folgenden  Ziffern  zwischen  33 . . .  und 
68 . . .  lagen ,  ein  Punkt,  und  wenn  sie  zwischen  66  . . .  und  99  •  • .  lagen,  ein 
Colon  beigefügt  worden.     In  ähnlicher  Weise  habe  ich  die  nachfolgenden 
Functionen werthe  für  a  =  2  u.  s.  w.  bis  a^=zlO  auf  23  Decimalstellen  be» 
rechnet  und  das  Resultat  nach  Gleichung  6)  geprüft. 


*)  Der  hier  gebrauchte  Werth  Ton  y  ist  aus  der  Abhandlung  Fon  Gauss  über 

die  hjpergeoxnetrische  Reihe  1  H-  — r  ^  -f  etc.  entnommen;  die  Berechnung  desseK 

ben  ist  Ton  Nicolai  und  zwar  auf  doppelte  Weise  bewirkt  worden,  so  dass  die  Ueber- 
einstimmung  der  so  erhaltenen  Sesnitate  die  Richtigkeit  der  hier  aufgenommenen 
40 Decimalstellen  verbürgt.  Soldner  hat  y  anf  22  Decimalen berechnet,  die  volU 
ständig  mit  Nicolai's  Werth  Übereinstimmen  ;Ma8cheroni*s  Rechnung  giebt  32  Stel^- 
len,  Ton  denen  jedoch  nur  die  ersten  19  richtig,  die  übrigen  total  falsch  sind.  —  In 
neuerer  Zeit  hat  Lindmann,  der  wahrscheinlich  die  Werthbestimmung  Nicolai'S 
nicht  kannte ,  sich  durch  die  eben  besprochene  Differens  zu  einer  Wiederholung  der 
Rechnung  veranlasst  gefunden ,  und  dabei  gleichfalls  Soldner^s  Rechnungsresultat  be» 
sUtigt  erhalten.     Yergl.  Qrunert's  Archiv,  Bd.  20,  S.  240. 


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132 


Kleinere  Mittheiiangen. 


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Kleinere  Mittheiinngen. 


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Kleinere  Mi tth eilungen. 


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Kleinere  Mittheilungen. 


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Kleinore  Mitthei  langen. 


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138 


Kleinere  Mittheiluogen. 


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Kleinere  Mittiieilaiigeii. 


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140  Kleinere  MitifaeilungoD. 


X  ITeber  Dreiecke  and  Tetraeder,  welche  in  Beng  auf  Carren  nnl 
Oberüftchen  sweiter  Ordnung  sich  telbit  eoqjngirt  sind.  Von  Dr.  Wilh. 
Fiedler. 

Im  letzten  Juni -Heft  der  ,yNoupeUes  Annales  de  Maihematigues^  voa 
Terqaemand  Gerono  wnrde  folgender  Sa ta  vonM.  Fanre  sum  Bewebe 
vorgelegt:  „Die  Tangente,  welche  man  vom  Centram  einer  Fllipse  an  den 
Kreis  ziehen  kann,  welcher  einem  in  Bezug  auf  sie  sich  selbst  conjugirtea 
Dreieck  umschrieben  ist,  ist  der  Sehne  dq/i  elliptischen  Qnadranten  gleich/^ 
Der  Versach ,  ihn  auf  Oberflftchen  zweiter  Ordnung  auszudehnen  und  ana- 
loge Sätze  für  andere  Curven  zweiter  Ordnung  zu  suchen,  lag  nahe.  Eine 
briefliche  Bemerkung  des  Kev»  George  Salmon  bezeichnete  mir  eine 
ebenso  einfache  als  allgemeine  Beweismethode  für  die  angedeutete  Gruppe  tob 
Sätzen.  Indem  ich  sie  verfolgte ,  bin  ich  zu  den  nachstehenden  Keeultatea 
gelangt,  welche  man  rielleicht  der  Mittheilung  nicht  unwerth  findet.  We- 
nige Bemerkungen  werden  genügen,  in  den  Hittelpunkt  der  Sache  zn 
führen* 

Wenn  die  allgemeine  Gleichung  zweiten  Grades  in  der  Form 

«iian*  +  «t2^2'  +  «»8^3*  +  2a,j^,a:j  +  20,30:1  a-,  +  2a^s^t^a  =  0 
geschrieben  und  durch 

5  =  0 
symbolisch  bezeichnet  wird ,  so  repräsentiren  bekanntlich  die  Gleichungen 

—  =  0    —  —  0    — — 
dx^         '  dx^         '  cfx,         ' 

oder 

öit*i  +  «11^2  +  <»iia?t  =  0, 

«11^1   +  «21^2  +  «22^1  =0, 
«12^1  +  <»21^2  +  «13^2  =Ö 

die  in  Bezug  auf  den  durch  sie  ausgedrückten  Kegelschnitt  genommenen 
Polaren  der  Eckpunkte  des  Fundamental- Dreiecks 

a:,  a=r  0 ,  a:,  =  0,  ar,  =  0; 
und  diese  drei  Polaren  gehen  durch  einen  Punkt,  d.  i.  der  durch  die  allge- 
meine  Gleichung  dargestellte  Kegelschnitt  degenerirt  in  ein  Paar  von  ge- 
raden Linien ,  wenn 

«in  «12»  «18 

«21 1  «22 » «28    =0  ist 

«81  f  «8t  »«83 

Wenn  sodann  durch  S,  es  0  die  allgemeine  Gleichung  eines  zweiten  Kegel- 
schnitts 

^11^1*  +  ^2^2*  +  ^8j^8*  +  2^,2a't^,  +  2^,,a:,a:,  +  2-rl„a:,a?3  =  0 
bezeichnet  wird,  so  dÄss 

Är5  +  5j=0  oder 

(^«11  +  ^n)  ^1'  +  (^«22  +  -^22)  ^2*  +  (*«88  +  ^m)  ^2*  +  2  (A:a,,  -f  A,^)  a:,dr, 

+  2(A:a„+.^„)a?,ar,  +  a(*«iH  +  i^i2)«i«2  =»0 


Kleinere  Mittheilufigen«  141 

alle  die  Kegelschnitte  bezeichnet ,  welche  mit  den  beiden  ersten  durch  die 
nämlichen  yier  Pnnkte  geben ,  so  dient  die  Vergleichnng  der  entsprechend 
gebildeten  Determinante  mit  Null  zur  Bestimmung  der  drei  Paare  gerader 
Linien ,  welche  jene  yier  gemeinsamen  Punkte  verbinden ,  oder  der  Durch* 
Bchnittssehnen  der  Kegelschnitte  aus  der  allgemeinen  Gleichung.  Die  Be« 
dingung 

*öii  +  ^i»,  Afa„  +  ^„,  ka^^  +  A^ 
liefert  eine  Gleichung ,  welche  in  Bezug  auf  die  zu  bestimmende  Constante 
k  Yom  dritten  Grade  ist ;  ihre  drei  Wurzeln  Ati  ,  Ar, ,  kg  sind  die  Coefficieiitea, 
durch  deren  Einführung  in  die  allgemeine  Gleichung  dieselbe  die  drei  Sy- 
steme der  Durchschnittssehnen  respective  darstellt.  Die  Gleichung  ist  in 
▼oUstftndiger  Eatwickelung  die  folgende : 

*"  («11  «ti*  +  fftt«tt*  +  «••««•  "'Oit «»«••— 2«ii«ftflts)  +  ^*  [Ai  (««•  — 
«ttfl«)  +  ^ff  («II*  — ö»i«if)  +  ^«(«it*— «iiOft)  +  24,  (a,ia,8— ai2Öit) 
+  2.^„(a„fl„  — flr„a„)  +  24,(a„a„— «„««)]  + *K  {A%^^^^ 
+  oft  (^18*  -•  ^3  Ai)  +  fla.  (4t*  —  ^11  -^ff)  +  2fl,3  (^it  4«  —  ^2  4i) 
+  2«it  (^n^a  —  4t4i)  +  2«it  (4i4t  —  4i4a)J  +  Ai  Az*  +  At  At 

+ A%  ^\t  —  4i  4t  4*  ■"•  2  ^1, 4 « 4t  =  0 , 

und  sie  soll  zur  Abkürzung  durch 

Af'.^+Ä".e  +  A:-e, +  4=0 
beseichnet  werden.     Darin  sind  nach  einer  bekannten  Bezeichnung  4  und 
4  die  Discriminanten  der  beiden  Kegelschnittsgleichungen ,  und  es  ist  nicht 
schwer,  die  geometrische  Bedeutung  der  Coefficienten- Verbindungen  6  und 
8|  zu  erkennen.     Man  findet,*)  dass 

e,  =0 

die  Bedingung  ausdrückt,  unter  welcher  der  zweite  Kegelschnitt  die  Ecken 
eines  in  Bezug  auf  den  ersten  sich  selbst  conjngirten  Dreiecks  enthält;  und 
dass  ebenso  6  =  0 

die  Bedingung  ist,  unter  welcher  der  zweite  Kegelschnitt  die  Seiten  eines 
in  Bezug  auf  den  ersten  sich  selbst  conjugirten  Dreiecks  berührt. 

Die  Functionen  6,  6|,  ebenso  wie  ^,  4  sind  Invarianten  und.  alle 
unveränderlichen  Beziehungen  beider  Kegelschnitte  auf  einander  können 
durch  dieselben  ausgedrückt  werden. 

Wenn  der  eine  Kegelschnitt  ein  Kreis  ist,  so  findet  man  leicht  den 
Satz  von  M.  f"  aur  e  und  eine  Reihe  von  analogen  Sätzen.  Zum  Beweise  des 
ersteren  bildet  man  die  Discriminante  von 

k  j  (x_«)«  +  (j,-/J)«-r«j  +  ^'+^-1=0 


*}  Man  vergleiche  hierzn  meine  deatscbe  Bearbeitung  von  Bev.  Salmon> 
j.Treaiise  on  Cotnc  Sectümi*\  welche  soeben  erscbienen  ist.  Leipal^,  B.  G.Teabner. 
(Siehe  Art.  360,  962,  Zusatz  VI,  p.  662.) 


142    .  Kleinere  Mittheilangen. 

und  findet 

*  •'*  +*  ^^ 

•  ■«,»  +  fc«-(««-ny-r«)         1 

.      ■*"*•  ^^       ■       ^  +  ?6»- 

Man  sieht,  sobald  der  als  zweiter  Kegelschnitt  gedachte  Kreis  einem  in 
Bezng  auf  die  Ellipse  sich  selbst  conjngirten  Dreieck  nmschrieben  ist,  wird 

d.  i.  es  gilt  der  Satz  von  M.  Fanre. 

Setzt  man  an  Stelle  der  Ellipse  auch  einen  Kreis  vom  Halbmesser  Jt, 
so  wird 

*** 7^  ' 

also  für  den  nmschriebenen  Kreis  (r)  des  sich  selbst  conjngirten  Dreiecks 
in  Bezng  auf  einen  Kreis  {R) 

2Ä»=:o»  +  /J»— r*; 
and  ebenso 

0  = Y* ' 

also  für  den  eingeschriebenen  Kreis  (r)  des  sich  selbst  conjngirten  Dreiecks 
in  Bezug  auf  einen  Kreis  (R) 

Ä«  =  (««+/?— r«)-f«. 
Beides  sind  Belationen,  welche  sich  auch  leicht  in  SXtzen  aussprechen 
lassen. 

Man  überträgt  ferner  die  yorigen  Relationen  auf  die  Hyperbel,  indem 
man  das  Vorzeichen  yonb*  verwechselt,  so  dass 

».- ^ifti 

und  für  den  umschriebenen  Kreis 

««-i«==(«»  +  |J«_r»), 
_««ft«_a»(/3»-^r«)  +  W(a*— »*) 

^^- 7^ ' 

sowie  für  den  eingeschriebenen  Kreis 

wird. 

Für  a  t=r  6  erhält  man  die  auf  die  gleichseitige  Hyperbel  besüglichen 
Relationen  0*+^ — r»  =  0 

in  Bezug  auf  den  umschriebenen  Kreis ,  und 

««— /P  =  ö« 

in  Bezug  auf  den  eingeschriebenen  Kreis ,  d.  i.  für  jedes  Dreieck ,  welches 

in  Bezng  auf  eine  gleichseitige  Hyperbel  sich  selbst  conjugirt  ist,  geht  der 

umschriebene  Kreis  durch  den  Mittelpunkt  der  Curve  und  der  Mittelpunkt 

'    des  eingeschriebenen  Kreises  liegt  in  der  Curve. 


Kleinere  Mittbeihtiigeu.  143 


Machen  wir  endlich  dieselbe  Entwickelnng  in  Bezog  auf  die  Parabel 

somit  für  den  nrnsch^iebenen  Kreis 

P 

«  =  --, 

and  für  den  eingeschriebenen 

d.  i.:  der  Mittelpunkt  des  Kreises,  welcher  einem  in  Besog  auf  eine  Para- 
bel sich  selbst  eonjngirten  Dreieck  umschrieben  ist,  liegt  in  der  Directrix 
—  und  fär  den  einem  in  Besag  auf  eine  Parabel  sich  selbst  conjogirten 
Dreieck  eingeschriebenen  Kreis  ist  die  vom  Fnsspnnkt  seiner  Mittelpnnkts- 
Ordinate  an  ihn  an  legende  Tangente  der  entsprechenden  Parabel-Ordinate 
gleich. 

Offenbar  sind  diese  Entwickelnngen  noch  bedeutend  zu  vermehren; 
es  ist  aber  nicht  nöthig ,  dabei  ta  verweilen. 

Aber  wir  bemerken ,  dass  sie  sich  sofort  auf  Oberflächen  zweiter  Ord* 
nong  übertragen  und  dann  analoge  Ergebnisse  für  sich  selbst  conjugirte 
Tetraeder  liefern. 

Wenn  wir  die  allgemeine  Gleichung  zweiten  Grades  in  der  Form 
«iia:,*  -h «M a:,* +  a,3a?3*  + «44 3?/  + 2 a„a?4X,  +  2a^zX^cc^'\' 2a^^x^x^ 
+  2  ata  o^t  ar,  +  20,4  ar^^i  +  2  a,4ar,  ar4  s=  0 
8chreibe&|  so  ist  ihre  Diecriminante  das  Resultat  der  Elimination  der  Ver- 
änderlichen zwischen  den  Gleichungen 

«II  ^1  +  «12^t  +  «1««»  +  «14^4  ==  0, 
«12^1  +  «tt^l  +<'«^«  +  «14^4  =  0  » 
öia^l  +  «28^2  +  fl»3^8  +  «14^4  =  ö  J 
«l4Ä?i  +  «24  *t  +  «14^1  +  «44^4  =  ^  > 

oder 

«III  «121  «18»  «14 
«I2l«2t>««a>«24 
«l8l«t«?«WJ«l4 
«14»  «241  ««4»  «44 

und  die  Bedingung 

drückt  aus,  dass  die  durch  die  allgemeine  Gleichung  reprftsentirte  Ober^ 
fläche  zweiten  Grades  eine  abwickelbare  Regelfläche  sei. 
Die  Verbindung  zweier  Oberflächen  zweiter  Ordnung 
S  =  0,  5,  =0 
(wobei  wir  in  der  Gleichung  der  zweiten  die  Coefficienten  a  durch  ^  ersetzt 
denken)  liefert  in 


^  = 


=  0 


t44  Kleinere  Mittheiltmgen« 

die  Gleichung  aller  der  Oberflächen  zweiter  Ordnung,  wekbe  mit  den  bei- 
den ersten  die  nämliche  Durchschnittscurve  gemein  haben,  und  die  Ver- 
gieichung  der  Discriminante  von 

mit  Null ,  oder  die  Gleichung 

^«It+4t1  ^«»  +  -^211  *«f3  +  ^fli  ^««4  +  ^4 
*Ö!a  +  ^J8»  *ÖM  +  -^«,  *flM  +  ^Mt  *«84+-^M 
^«14  + ^14»    ^«14  +  ^4,    *«t4  +  ^S4»    ^«44  +  ^44 

liefert,  als  Bestimmungsgieicbung  für  k  betrachtet,  diejenigen  Werthe  Toa 
k^  für  welche  diese  Oberfläche  zweiter  Ordnung  eine  abwickelbare  Regel- 
flAche  wicd.  Da  sie  vom  vierten  Grade  ist,  so  können  durch  die  Durch- 
dringungscurve  zweier  Oberflächen  zweiter  Ordnung  vier  Kegelflächra 
zweiter  Ordnung  gelegt  werden. 

Wenn  wir  die  obige  Gleichung  nach  den  Potenzen  von  k  geordnet  in 
der  Form 

Ä:*.^  +  A:».e+Ä«.Ä  +  *.©, +  4=0 
schreiben,  so  drückt 

e  =  o 

die  Bedingung  aus,  unter  welcher  die  zweite  Oberfläche  die  Flächen  eines 
in  Bezug  auf  die  erste  sich  selbst  conjugirten  Tetraeders  berührt,  und 

ö,  =0 
die  Bedingung,  unter  welcher  die  zweite  Oberfläche  die  Ecken  eines  in 
Bezng  auf  die  erste  sich  selbst  conjugirten  Tetraeders  enthält.     Lässt  man 
die  dem  Tetraeder  eingeschriebene  oder  umschriebene  Oberfläche  eine 
Kugel  sein ,  oder 

die  Form 

(or-«)«  +  (y -/J)«  +  (^ -.  y)«  x=  H 
haben ,  so  ergeben  sich  aus  der  näheren  Betrachtung  der  Formen ,  welche 
die  Grössen  ^,  ^f  nun  annehmen,   die  dem  Satz  von  M.  Faure  analogen 
Sätze  für  Oberflächen  zweiter  Ordnung. 

*  Unter  jener  Voraussetzung  hat  man  folgende  Werthe  der  Coefficienten : 
«ji  =  «ft=«8s  =  l»  ön=«ir^=«tÄ=0,  Ä44  =  «*  +  /3*  +  y* — r*,  ö,^=— o, 

024=—/?,  «»4=— y- 

Wenn  man  nun  die  gegebene  Oberfläche  zweiter  Ordnung  zugleich  als 
ein  auf  seine  Hauptachsen  bezogenes  EUipsoid  voraussetzt,  so  dass  die 
Gleichung  ' 

^1=0 
die  Form 


ä:*       V*       2* 


annimmt,  so  hat  man  ferner: 


Kleinere  Mi  tth  ei  Jungen. 


145 


-^Jl  'ii  -^u  '• 


,   ^3, ^,    Aii -^1,  A^^    —    ^1,  =3  ^,4  =  ^j,  : 


=  ^S4  =  0. 

und  die  allgemeine  Discriminante  wird: 


*+?.   «• 


0, 


0, 


0, 


0,      *  +  ^ 


—  *a 
-kß 


.*«,    -Ar/J,    — *y,    *(««  +  ^  +  y«_r»)-l 
nnd  somit  durch  Entwickelang : 

/(a«y  +  AV  +  c« ««)(«*  +  /?«  +  /  —  r«)  —  (a«  +  fr«)  c*y«^ 

^       j  — (6*^-0»)  a»i,«--(c'  +  ««)  fr«/?'— fl«yc« 

^       )  — (a*a'  +  ft'<?'  +  cV) 

.    .    ,f+ß*+r*-f*-{o»  +  ^  +  c*) 1_ 

also  für  die  nmschriebene  Kugel 

tf  +  ß*+f~*'  =  <^  +  t^  +  (^, 
das  Analogon  des  Satzes  von  M.  Faure. 

Für  a  =  b  =  c=:R, 

i.  i.  wenn  das  dreiachsige  Ellipsoid  in  eine  Kugel  übergeht,  wird 

« Yr . 

somit  fUr  die  eingeschriebene  Kugel 

Wenn  man  in  den  allgemeinen  Ausdrücken  das  Vorseichen  von  e*  in 
das  entgegengesetzte  verwandelt,  so  überträgt  man  die  erhaltenen  Resul- 
tate auf  das  einfache  und  durch  die  Yertauschnng  der  Vorzeichen  tou  o* 
und  6'  auf  das  zweifache  Hyperboloid« 

Für  a«  +  6»  =  c« 

wird 

_ft«  +  /?'  +  y'-r«, 


«1 


»6V 


d.  i.  die  umschriebene  Kugel  geht  durch  den  Mittelpunkt ;  etc. 
Für  die  beiden  Paraboloide ,  oder  die  Gleichung 


-  +  T  — 2^  =  0 


Zeitschrifl  f.  Mathematik  a.  Physik.  VI,  2. 


10 


146  Kleinere  Mittheilnngen. 

hat  man 

—      '  ab 

a«  +  P«-r«-2y(a±»)  +  aft^,   2r+a±b        1 

±*^-  ^b  +* i*         ^^b 

nnd  damit  hat  man  für  die  nmschriebene  Kagel 

/     ■  .X       1                   a  +  b 
2y  =  — (fl  +  6),odery  = =^  , 

d.  i.  der  Mittelpunkt  der  umschriebenen  Kugel  eines  in  Bezug  auf  ein  Pi- 
raboloid  sich  selbst  eonjugirten  Tetraeders  liegt  in  einer  festen  Ebene. 

Für  das  hyperbolische  Paraboloid  und  a  =2  6  hat  man 

y  =  0, 
d.  i.  der  Mittelpunkt  der  umschriebenen  Kugel  liegt  in  der  durch  den  Mittel- 
punkt der  OberflAche  senkrecht  zq  ihrer  Hauptachse  gelegenen  Ebene. 

Femer  ist  für  denselben  Fall  nnd  in  Bezug  auf  die  eingeschriebene 
Kugel 

^  — 2y  =  0, 

d.  i.  der  Mittelpunkt  der  eingeschriebenen  Kugel  gehört  der  Oberfläche  an. 
Man  sieht,  wie  die  Sätze  über  die  Oberflächen  zweiter  Ordnung  denen 
über  die  Cnrve  zweiter  Ordnung  völlig  annlog  sind.    Das  Mil^etheilte  mag 
gentigen ,  um.  die  Beihe  derselben  zu  vergi'genwärtigen. 


XL  Elegante  Ableitung  der  Formeln  ftr  den  iphftriselien  Szoott.  Von 

Dr.  Oscar  Werner. 

Die  Seiten  eines  ebenen  Dreiecks  seien  p^  q^  r  und  die  diesen  Seiten 

gegenüberstehenden  Winkel  P,  Q,  R,  die  180 *>  nicht  übersteigenden  Seiten 

eines  sphärischen  Dreiecks  dagegen  a,  6,  c  und  deren  Gegenwinkel  A,  B,  C. 

Diese  beiden  Dreiecke  mögen  in  einem  solchen  Zusammenhange  zu  einin- 

der  stehen,  dass 

p=^cos\a  .  cos  ^b^  q=:ssin^a.  sin  ^  b  und  r^scos  \  c. 

Unter  diesen  Umständen  ist 

r*  assp*  +  y*  —  2pq  .  COS  Ä, 

oder  co^ \c  =  cos^ \ a . co^  \b  +  ^n* 4  ^  * ^^'  4 ^ 

—  2cos\a  ,cos\b  ,siri\a.sin^b  .  cos  Ry 

folglich ,  wenn  wir  die  goniometrischen  Formeln 

...  1  —  cosx        ,  -  l+cos  X 

strr  4  a:  = ,  cor  ix^s 

«  2        '  •  2 

und  sinx:=s2 sin  ^x .cos\x 

benutzen, 

^(\  +  cosc)=^{l+cosa)  {i  +  cosb)  +  ^  (l  —  cosa)  (i  —  cosb) 

—  \  sina  sin  b  cos  Ä, 


Kleinere  Miitheilungen«  147 

oder 

2  +  2  cos  c  =  l  +  cos  a  +  cos  b  +  cos  a  cos  b  »i- 1  —  cosa  —  cosb 
+  cosacosb  —  2  sin  a  sin  b  cos  i?; 
d.i. 

cos  c  SS  cosa  cos  b  —  sina  sin  b  cos  R. 
Nach  einer  beka^ntea  Grundformel  der  sphärischen  Trigonometrie  ist 
aber 

cosc^=^cosacosb'\'Sina  sinb  cosCy 
folglich 

cosR^^si  —  cos  C;  d.  i.  -ß  =:3  180  —  C. 
Ferner  ist  nach  Ptinoiplen  der  ebenen  Trigonometrie 

and  nach  einer  der  Neper' sehen  Analogien 

daher  erhalten  wir  durch  Vergleichung 

Nehmen  wir  hierzu  noch 

P+iP=180  —  Ä  =  C  oder  4  (P '+  ö)  =  4  C, 
so  folgt 

2^2 
oder,  wenn  wir  den  sphärischen  Excess,  d.  i.  den  Ueberschuss  der  Summe 
der  drei  Winkel  des  sphärischen  Dreiecks  ttber  180*  dnroh  £  bezeichnen, 
P=»C—\EnnAO  =  \E. 
Führen  wir  jetzt  die  Werthe  für  die  Bestandtheile  des  ebenen  Drei- 
ecks in  die  bekannten  Formeln  der  ebenen  Trigonometrie 


1 


**^^^^V{P  +  q  +  r)iq  +  r^p){p  +  r—q){p  +  q—r), 
«»  0  =  ^y{P  +  q  +  r)  {q  +  r—p)  U>'i-''-'9)  (P  +  9—r), 

iqr 


2pr 


*qr 

10* 


148  Kleinere  Mittheilungen. 

nnd 


coslQ=.  l/{P±l±!liP±Lz± 

ein,  und  berücksichtigen  dabei,  dass 

P  +  q  +  r=z:cosl{a'—b)  +  co8^c:^2eosl(a+c—b)€Oi^{b  +  C'—a\ 

g  +  r—pz=zcoslc—cos^{a+b)^2sin^{a  +  b  +  c)sml{a  +  b—c), 

P  +  r  —  q  =  cos  \c  +  cos  l{a  +  b)  =  2cos  ^{a  +  b—c)  cos  ^la+  b'-c), 

p  +  q  —  r  =  cos^  {a~b)  —  cos lcz=s2sin^{a  +  c—b) mf  (6  +  c— ö), 

daher 

{P+q  +  r)  {q  +  r—p)  (p  +  r—q)  (p  +  q  —  r) 

sin  l  (a^b+c)  sin  \  (b+c—a)  sin  ^  (a  +  c—b)  sin  \  {a+b—c) 

and 

q'+r^—p*  =  cos'lc  —  {cos'la  cos*^b  -r  sin*^asin*^b) 

=  cos^^c  —  cos{  (ö  +  b)  cosl  (a—b) 

^^Jii^       ^    ti      I       »IL      l+cose — cosa — cosb 

=  cor  \c  —  cor  ^a  -|-  stn^\b^=^  — -^ — — , 

P*  +  r*— ö^  =  co««4c+(co^|aco*«J6— ffm«jAm«4ft) 
=  co^4c  +  co*l(a  +  6)<To»4(ö — b) 

=  cos^\c+cosr\a — s%n*\b^=z , 

so  erhalten  wir 

• t)_^ .  

isin  iC-^lE)  _?^^>"i(«+^+g)^>^|(^  +  g~fl)g>>»4(a+g---ft)«n|(fl+6-c) 
*      '^       «    ^  ^^^^ 2svi^nsin^bcos\c  ' 

^yp__V^^\{(i+b+c)sinl{h+c--a)sin\{a+c--b)sin\{^^ 

2 cos  \ acos^bcos\c  ' 

2) 
i  cos  (C^  i  Ä)=  ^  +  <^o^<^~cosa-^cosb 
'  ^sin^asin^ffcos^c    ' 

j.  „ i  +  cos  a  + cos  6  +  cQg  c 

4cos  ^acos  ^b  cos  ^c  ^ 

3) 


, (^C— iÄ)  — 7 A^^ ^  (g+^+g) ^»V'i  (64>c~fl) gt;t  j. (a+c^^>) cosi{a+b-c) 
r  sin  \  a  sin  ^bcos^c  ' 

r  cos^a  cos  ^bcos^c  * 

4) •    ' 

jcc  j(  AC    1  f')  =1^^^  i  (« + H-g)  go^  ^  (^-hc-a)  C05  i-  (fl-t-c-^6)  sinl  (fl-H>-c) 
r  *m  i  a  m  ^  6  CO*  ^  c  ' 

cos  1  iE  — 7/^^^H«+^'K)^o^i  (6^-c~fl)  cosl  (a+c-Jb)  cos^{(^\^ 
¥  COS  \a  COS  \b  COS  \c     "^ 


Kleinere  Miftheilnng^xi.  149 


Aas  den  letzten  beiden  Formelsjstemen  erhalten  wir  endlich  durch  Divi- 
sion die  eleganten  Ausdrücke : 

5) 

Anmerkang.     Aas  den  Formeln  5)  ergiebt  sich 

^  ^^         *     '  lang  ^  E 

und  durch  Vertauschung  der  Buchstaben 

sowie    • 

^  ^"         *    '  iang  ^  E 

Hieraus  leitet  man  folgendes  Verfahren  ab ,  um  aus  den  drei  Seiten 
eines  sphärischen  Dreiecks  die  Winkel  zu  berechnen : 

Man  bestimmt  zunächst  vermittelst  der  zweiten  Formel  unter  5)  die 
Grösse  ^E  und  vermittelst  der  darauf  folgenden  Formeln  die  Winkel  A^  B 
und  C. 

Als  Controle  für  die  Richtigkeit  der  Rechnung  hat  man  alsdann 
^  +  -P+C— 1800  =  i&. 
(Aus  den  MSlang^s  mathematiques  et  astronomiqties  T.  II.) 


XIL  In  den  Monatsberichten  der  königl.  preussischen  Akademie  der 
Wissenschaften  1859,  S.  783  ist  nachgewiesen,  dass  das  bereits  bekannte 
Verhalten  der  &ase  Im  glühenden  Zustand  in  inniger  Beziehung  mit  der 
Eigenschaft  von  Flammen  steht,  die  an  und  füi^  sich  ein  discontinuirlichefs 
Spectrum  geben,  dünkte  Streifen  an  der  Stelle  der  hellen  Linien  erscheinen 
zu  lassen ,  sobald  man  durch  die  Flammen  Licht  hindurchgehen  lässt ,  wel- 
ches an  sich  ein  Spectrum  ohne  Streifen  liefert.  Um  diesen  Satz  auch  theo* 
retisch  abzuleiten,  wird  erstens  gezeigt,  dass  für  dieselbe  Wellenlänge  des 
Lichtes  oder  der  Wärme  und  für  eine  bestimmte  Temperatur  alle  Körper 
ein  gleiches  Verhältniss  ihres  Ausstrahlungsvermögens  zum  Absorptions- 
vermögen besitzen;  zweitens  wird  angedeutet,  dass  das  Absorptionsver- 
mögen der  Flammen  für  gewisse  Strahlen  sehr  gross  sein  müsse. 

Um  den  unter  1.  angegebenen  Satz  zu  beweisen,  nimmt  Kirchhoff  an, 
dass  ein  Körper  C  in  Gestalt  einer  unbegrenzten  Platte  einem  andern  ebenso 
gestalteten  Körper  c  gegenüber  gestellt  sei.  Die  einander  gegenüber  liegen- 
den Oberflächen  beider  Platten  mögen  sich  gegen  gewisse  Strahlen  wie 
vollkommene  ebene  Spiegel  verhalten.  Der  Körper  C  möge  nur  Strahlen 
von  der  Wellenlänge  A  aussenden  und  absorbiren ,  so  dass  Strahlen  ande- 
rer Wellenlänge  von  seiner  Oberfläche  vollkommen  gespiegelt  werden.  Der 


150  Kleinere  Mittbeilangen. 

Körper  e  soll  von  allen  auf  ihn  fallenden  Strahlen  einen  Theil  absorbiren, 
einen  Theil  wieder  aassenden.  Wenn  sich  in  diesem  Systeme  einmal  Gleich- 
heit der  Temperatnr  eingestellt  hat,  so  muss  jeder  Körper  durch  Absorption 
so  viel  Wärme  aufnehmen ,  als  er  durch  die  Ausstrahlung  verliert.  Aehn- 
liches  muss  natürlich  in  Bezug  auf  Lichtschwingungen  gelten.  Alle  Strah- 
len von  der  Wellenlänge  X^A^  die  c  aussendet,  werden  von  C  ohne  Ab- 
sorption reflectirt ,  erleiden  an  der  Oberfläche  von  c  Absorption  und  Be- 
flection  etc. ,  so  di^ss  der  Körper  schliesslich  alle  Strahlen  wieder  aufnimmt, 
die  er  aussendete  und  die  eine  von  A  verschiedene  Wellenlänge  hatten. 
Eine  Bedingung  für  das  Gleichbleiben  der  Temperatur  kann  demnach  nur 
aus  den  Strahlungsverhältnissen  der  Strahlen  von  der  Länge  A  hervor- 
gehen. Um  diese  Bedingung  aufsustellen ,  sei  E  das  Emissionsvermögen 
der  Plaj;te  C,  d.  h.  die  Strahlenmenge  von  der  Wellenlänge  Ay  welche  die  frei- 
stehende Platte  C  nach  einer  Seite  hin  aussendet.  Ferner  sei  A  das  Ab- 
sorptionsvermögen der  Platte  C,  d.  h.  wenn  die  Strahlenmenge  1  auf  die 
Platte  C  auffällt,  so  wird  von  derselben  die  Strahlenmenge  A  absorbirt. 
Diese  Grössen  mögen  e  und  a  für  die  Platte  c  und  für  Strahlen  von  der 
Wellenlänge  A  sein.  Es  findet  nun  in  Beang  auf  Strahlen  von  der  Länge 
A  folgender  Vorgang  statt : 

Von  C  wird  aosge-       Von  c  wird  absor-       Von  c  wird  aosge-       Von  C  wird  afosor- 
sendet:  birt:  sendet:  birt: 

E  aE  {l  —  a)E  A(l^a)E 

(1_,^)  (1  -.«)  j^      a  (1—^  (1— ö)  E      (1-^)  (l— d)* JP     A  {l—Ä)  (1  -«)« J? 

(1— J)«(l— a)*J&    a(l— ^)«(1— a)«JB     (i_^)«(i_fl)«^    Ali—A)\l—ayE 

etc. 

•  ••  •»•  0  AC 

{JL—Ä)e  a{\  —  Ä)e  {JL—A){y—,a)e     A{\—A){li—a)e 

{l—j£f{l—a)e    a{i—Ay{l—a)e    (i— ^)«  (i— a)*e   ^(l-^)«  (l-HE^e 

etc. 

Der  Ausdruck  für  die  Menge  der  Strahlen,  die  ursprünglich  von  C  aus- 
gingen und  dann  von  c  absorbirt  werden ,  ist  nun ,  wenn  man  der  Kurse 
wegen  die  Bezeichnung  (l  —  A)  (1  — a)  =  /c  einführt : 

aE{l  +  k  +  l^  +  k»  +  ....)  =j^. 

Von  den  Strahlen  jedoch,  die  c  ursprünglich  aussendete  und  nach  uad 
nach  wieder  absorbirte,  beträgt  die  Menge: 

Daher  ist  die  Bedingung ,  dass  die  lebendige  Kraft  der  Aetherschwin- 
gungen  von  c  dieselbe  bleibt : 

oder,  indem  man  den  Werth  von  k  wieder  einseist: 


Kleinere  Mittbeilnngen.  151 

d.  i.  e      E 

d.  h.  das  Verhältnis  des  Emissionsvermögens  sam  Absorptionsyermögen  ist 
bei  beiden  Körpern  gleich.  Ebenso  findet  man  leicht  als  Bedingung  in  Be« 
treff  des  Körpers  C  a{1  —a)E        Ae 

oder  « n  ^  (^  — «)  (1 — ^)  —  ^(1— g)l  _   ^g 

^L 'T^^  J  ~r=^ 

oder  e E 

a~A' 
d.  h.  die  Zustände  beider  Körper  erfordern,  dass  bei  derselben  Temperatur 
und  für  dieselbe  Wellenlänge  das  Verhältniss  des  Emissionsvermögens  anm 
Absorptionsvermögen  bei  beiden  K<irpeni  ein  nnd  dasselbe  sei.  Was  nun 
ad  2.  die  Anwendung  obigen  Gesetzes  auf  die  Oase  anbelangt,  so  bemerkt 
Kirchhoff,  dass  das  Verhältniss' beider  Vermögen  eine  Function  der  Wellen- 
länge und  der  Temperatur  sei  und  dass,  wenn  es  ftir  sichtbare  Strahlen 
anfange,  sich  von  Null  au  unterscheiden,  der  Körper  anfange,  Licht  von 
der  Farbe  dieses  Strahles  ausausenden,  ausgenommen,  wenn  der  Körper 
ein  verschwindend  kleine»  Absorptionsvermögen  habe.  Bei  der  Tempera- 
tur nun ,  bei  welcher  die  festen  Körper  erglühen ,  muss  dieses  Verhältniss 
schon  einen  bemerkbaren  Werth  haben ,  weil  sie  viele  Strahlen  aussenden. 
Die  Gase  erglühen  bei  dieser  Temperatur  noch  nicht,  indem  sie  ein  ver- 
schwindend kleines  Absorptionsvermögen  nnd  Emissionsvermögen  haben. 
Erhitzt  man  die  Gase  Über  diese  Temperatur  hinaus,  so  erglühen  sie  end- 
lich auch ,  das  Verhältniss  beider  Vermögen  ist  bei  ihnen  gewachsen ,  ihr 
Emissionsvermögen  ist  merklich  gross  geworden,  demnach  ist  auch  das  Ab- 
sorptionsvermögen merklich  grösser  geworden.  Dies  ist  die  Erklärung ,  die 
ans  KirchhofTs  Artikel  in  den  Berliner  Berichten  für  die  Erscheinung  hervor- 
zugehen scheint,  dass  bunte  Flammen  Licht  ihrer  eigenen  Farbe  absorbiren. 


XTTT.    &ne  neue  Art   elektrischer  *8tt6me  von  0.  Quincke.     In 

zwei  Aufsätzen  dieses  Titels  Pogg.  Ann.  Bd.  107,  S.  1  und  6d,  110, 
8.  38  hat  der  Herr  Verfasser  durch  mühevolle  experimentelle  Arbeiten  ge- 
zeigt, dass  beim  Durchpressen  destillirten  Wassers  durch  poröse  Körper 
von  zwei  Platinplatten  elektrische  Ströme  angezeigt  werden,  von  denen  die 
eine  (nach,  der  Strömungsrichtung  des  Wassers  gerechnet)  auf  der  Bergseite 
des  porösen  Körpers,  die  andere  auf  dessen  Thalseite  in  das  destillirte 
Wasser  eingesenkt  war,  und  die  durch  Drähte  mit  einem  Multiplicator  in 
Verbindung  gesetzt  waren.  Die  Richtung  dieser  Ströme  war  dieselbe,  wie 
die  des  strömenden  Wassers.  Die  porösen  Körper  waren  entweder  Platten 
von  gebranntem  Thon  oder  von  Bunsen'scher  Kohle,  oder  über  einander 
gelegte  Platten  reiner  Seide,  oder  folgende  gekleinte  Körper,  in  ein  plan- 
parallel an  den  Enden  abgeschliffenes  Glasrohr  gebracht  und  durch  an  den 


152  Kleinere  MittheihiDgen. 

Enden  angebrachte  Seidenplatten  zasammengehalten :  Elfenbeinsägeme 
Glaspulver,  reiner  Quarzsand,  Schwefelpnlyer,  Kienen-,  Linden-,  Eicbi 
holzsägespähne ,  Graphit,  Eisenfeile,  Platinschwamm,  Porzellanptih 
Schellackpulver,  Talkpulver,  oder  es  dienten  durch  Seidenföden  zusi 
mengeschnürte  Bündel  Asbest  als  Diaphragmen.  Alle  diese  Körper  ti 
den  mit  Siegellack  an  den  Endpunkten  zweier  Glasröhren  angekittet,  da 
eine  die  Verlängerung  der  andern  bildete.  Das  Wasser,  welches  i 
später  durch  einen  geeigneten,  mit  Windkessel  versehenen  Dmckappi 
hindurchpresste,  gelangte  von  der  einen  Röhre  durch  das  Diaphragma 
andern  Röhre,  aus  der  es  ausfloss.  Der  Druck,  der  das  Wasser  hindni 
trieb,  betrug  bis  zu  3  Atmosphären.  Die  elektromotorische  Kraft,  we) 
hierbei  von  den  Platinplatten  angezeigt  wurde,  zeigte  sich  unabhän 
vom  Querschnitt  und  der  Dicke  der  Platte,  aber  proportional  dem  Drnc 
Der  Verfasser  oben  genannter  Aufsätze  hat  die  Grösse  dieser  elektroi 
torischen  Kräfte  gemessen  und  fand ,  dass ,  wenn  man  die  elektromotori« 
Kraft  der  DanielFschen  Kette  =:  100  setzt,  bei  folgenden  Substanzen 
Diaphragmata  die  elektromotorischen  Kräfte  bei  einem  Drucke  von  1 . 
mosphäre  durch  die  nebenstehenden  Zahlen  repräsentirt  werden. 

1.  Schwefel 977,07 

2.  Quarzsand  ....  620,49 

3.  Schellackpulver    .  330,01 

4.  Seide 115,45  ^ 

5.  Gebrannter  Thon  .    86,15 

6.  Asbest 22,15 

7.  Porzellanmasse  .  .     19,86 

8.  Elfenbein 3,1 

9.  Thierblase  (ganz)      1,51. 
Aus  diesen  Zahlenwerthen  geht  hervor,  dass  die  elektromotoriscl 

Kräfte  bei  einigen  Substanzen  sehr  bedeutend  sind,  während  sich  diel 
tensität  der  Ströme  wegen  der  geringen  Leitungsfähigkeit  des  destillir 
Wassers  nur  sehr  gering  zeigte.     Diesem  letzteren  Umstände  kann 
nicht  abhelfen,  indem  man  verdünnte  Säuren,  Alkalien  oder  Salzlösnnig 
durch  die  Diaphragmen  presst,  denn  diese  bewirken,  in  geringer  Meo 
dem  destillirten  Wasser  beigemengt,  schon  eine  bedeutende  Verminderd 
der  elektromotorischen  Kräfte.     Dii3sem  Umstände  ist  es  jedenfalls  znz^ 
schreiben,  dass  ein  Versuch  in  grösserem  Massstabe,  wobei  das  Was» 
einer  Wasserleitung  durch  ein  Schwefeldiaphragma  zu  fliessen  genöthi^ 
wurde ,  keine  bedeutende  elektromotorische  Kraft  ergab. 

Bei  dem  Durchpressen  von  destillirtem  Wasser  konnte  auch ,  wie  sich ! 
erwarten  lässt,  mittels  des  Condensators  freie  positive  Elektricität  an  der .; 
Thalelektrode,   freie  negative  Elektricität  an  der  Bergelektrode  nachge- 
wiesen werden. 

Diese  durch  den  Druck  hervorgebrachten  Ströme  sind  Thatsacfae,  ohne 
dass  es  dem  Verfasser  der  genannten  Arbeiten  gelungen  wäre ,  sie  mit  be-  i 
kannten  Erscheinungen  in  Verbindung  zu  setzen;  hingegen  hat  sich  aus 
den  Versuchen  ergeben ,  dass  diese  Ströme  weder  durch  etwa  erregte  Rei-  • 
bungselektricität  zwischen  dem  Wasser  und  dem  Diaphragma  entstehen 
konnten ,  noch  dass  es  Thermoströme  sind.  Vielleicht  ergäbe  sich  irgend 
ein  Gesetz ,  wenn  der  Verlust  an  lebendiger  Kraft  des  Wassers  beim  Durch- 
pressen durch  die  Diaphragmen  mit  der  elektromotorischen  Kraft  der  er- 
regten Ströme  verglichen  werden  könnte.  Dr.  Kahl. 


VII. 
Veber  sph&risohe  Kegelschnitte. 

Von  Dr.  Heilermann, 

Director  der  Provinzial  -  Gewerbeschale  zu  Coblenz. 


Von  Herrn  Steiner  ist  vor  einigen  Jahren  eine  Eeihe  von  wichtigen 
Eigenschaften  der  ebenen  Kegelsclinitte  aafgedeckt  worden.  (Crelle^s  Jonr- 
nal  Bd.  97  und  45.)  Einige  neue  Sätze,  welche  mit  denen  des  Herrn  Stei- 
ner in  innigem  Zusammenhange  stehen,  habe  ich  in  der  letzten  Zeit  hinzu- 
gefügt (Crelle's  Journal  Bd.  56  und  diese  Zeitschrift  Bd.  5.)  Hierdurch 
ist  zu  der  Frage,  wie  sich  die  sphärischen  Kegelschnitte  oder,  was  auf  das- 
selbe hinauskommt ,  die  Kegel  zweiten  Grades  in  dieser  Beziehung  verhal- 
ten ,  hinreichende  Veranlassung  gegeben.  Ich  habe  die  Beantwortung  ver- 
sucht und  erlaube  mir  im  Nachfolgenden  diejenigen  Ergebnisse  meiner 
Untersuchung ,  welche  einigermassen  wichtig  zu  sein  scheinen ,  den  Lesern 
dieser  Zeitschrift  vorzulegen. 

Für  die  Entwickelung  derselben  benutze  ich  das  Verfahren  meines 
nnvergesslichen  Lehrers  Oudermann,  durch  welches  die  analjtischen 
Untersuchungen  der  Sphärik  den  planimetrischen  ganz  ähnlich  werden. 
Die  Sätze  und  Formeln,  welche  zur  Anwendung  kommen,  sind  von  dem- 
selben in  der  „analytischen  Sphärik^'  hergeleitet  worden. 

§.  1. 

Um  die  Lage  eines  Punktes  in  auf  der  Oberfläche  einer  Kugel  zu  be- 
stimmen, wendet  Gudermann  zwei  Quadranten  von  Hauptkreisen  CD  und 
CE  als  Coordinatenachsen  an  (siehe  Fig.  i  Taf.  IV).  In  ihrem  Schnitt- 
punkte (7,  dem  Anfangspunkte  der  Coordinaten ,  bilden  sie  im  Allgemei- 
nen einen  beliebigen  Winkel,  der  jedoch  im  Nachfolgenden  immer  als 
Rechter  angenommen  ist. 

Durch  die  Hauptkreise  2>  tn  und  Em ,  welche  die  Achsen  in  if  und  L 
schneiden ,  wird  nun  der  Punkt  m  auf  die  beiden  Achsen  bezogen ,  und  zwar 
sind  CL  und  CK  die  Coordinaten  des  Punktes  tn.  Da  jedoch  diese  dnrch- 
gehends  nur  mittels  der  trigonometrischen  Tangenten  in  Rechnung  kom- 

Zettschrin  für  Malheniatik  u.  Physik.  VI,  3.  11 


1 54  lieber  sphärische  Kegelschnitte. 

man,  so  werden  auch  für  diese  die  einfachen  Zeichen  gewählt  nnd  der 
Punkt  m  durch  (xy)  bezeichnet,  wenn 

x^=ingCL^  y^==  ing  CK. 
In  dieser  Bezeichnung  ist 

1^  — h  =  1 

^  ing^a      Ing^b 

die  Gleichung  eines  Kegelschnittes,  dessen  Halbachsen  a  und  b  sind,  ond 

zwar  fallen  die  Achsen  des  Kegelschnittes  in  die  Hanptkreise  CD  und  CE, 

Die  Excentricität  e  dieses  Kegelschnittes  ist  bekanntlich  unter  der  Vorans- 

Setzung,  dass  a  >6,  durch  die  Gleichung 

cos  a 

€0$  e  = r 

cos  b 

bestimmt.     Soll  nun  ein  zweiter  Kegelschnitt 

2)  4^  +  ^  =  1 

mit  dem  obigen  die  Brennpunkte  gemeinsam  haben  und  jenen  in  dem 
Punkte  {xy)  schneiden,  so  müssen  die  Halbachsen  desselben  der  Glei- 
chung 2)  und  der  Bedingung 

cos  a, cos  a 

cos  d,       cos  b 
genügen. 

Um  hieraus  die  Halbachsen  a^  und  b^  zu  bestimmen ,  setze  man 

^.  cos  a        cos  b 

3)  = -  =  cosii, 

^  cos  a^      cos  6,  ^ 

mithin 

*b  —  tHg*iM, 
[  +  ing*(i 

und  statt  der  Gleichung  2) 

,  ^  __        ^        , 

ing^a  —  ing*^      ing^b — Uig^^       l+ing^^' 
Aus  diesem  ergiebt  sich  nun  zunächst 

'       ,          ^  •    .     ..     l+x^cot^a  +  y^cot^b 
.tng*^  =  tng*aingn. f+^+fi . 

^  ]m*ft  =  «h*fl«n*Ä  .  (l  +  a:*co/*a  ^y^coi^b)^ 

cos*(iL=cos*acos*b  .(i+aj*+y^. 
Die  Halbachsen  des  Kegelschnittes  2)  sind  danach  in  folgender  Weise  be- 
stimmt: 

.^^t fng*a  —  tng*b       a*    _tng*  e 

g.  l'""^  "*-     l  +  mg^r-'^a-üi^a'''^ 

),„„%h  _fag'6  — fwgf'g      ^  sin^e      , 

Diese  Ausdrücke  zeigen,  dass  a^  real  und  b^  imaginär  ist,  wenn  a>h 
und  der  Schnittpunkt  der  Kegelschnitte  1)  und  2),  nämlich  {xy)^  real  ist 


^/ing*a—tng*li  -,/'«Ö'** 

4) 


Von  Dr.  Heilermann.  155 

Da  diese  Curven  mit  der  ebenen  Ellipse  und  Hyperbel  darin  übereinstim- 
men, dass  innerhalb  der  halben  Kugelflftche,  deren  Mittelpunkt  der  An- 
fangspunkt der  Coordinaten  ist,  die  erstöre  aus  einer  geschlossenen  Linie 
and  die  letztere  ans  zwei  getrennten  Zweigen  besteht,  so  wird  nach  Guder- 
mann  jene  eine  sph&rische  Ellipse  nnd  diese  eine  sphärische  Hyperbel  ge- 
nannt. 

Wenn  der  Schnittpunkt  (xy)  der  Kegelschnitte  1)  und  2)  in  einem 
Scheitel  der  kleinen  Achse  BB^  (Fig.  2  Taf.  lY)  der  Ellipse  l)  liegt,  so  ist 
x=iO,y'=  +tngby 

tnga^^O^  ing 6,  =  +  sin e Y' — 1. 
Wenn  zweitens  der  Punkt  {xy)  ein  Scheitel  der  grossen  Achse  AA^iat^  also 

a?=  +  fn^a,y  =  0, 
80  ist 

Oi^  «,  =  +  rn^  « ,  Otöf  ft,  =  0, 
mithin  reducirt  sich  der  confocale  Kegelschnitt  2)  auf  die  beiden  Brenn- 
punkte des  Kegelschnittes  1).     Nehmen  wir  nun  an,  dass  x  "^  tnga,  so 
wird  der  Schnittpunkt  {xy)  imaginär,  weil  unter  dieser  Voraussetzung  nach 
Gleichung  l) 

negativ  ist;  mithin  sind  jetzt  beide  Halbachsen  des  Kegelschnittes  2)  real. 
Wenn  insbesondere 

ing*a  tng*b    > 

tnge'^       sin  e^      *' 
80  ist 

fl,  =s  a ,  6|  =  6 , 
oder  es  fällt  der  Kegelschnitt  2)  mit  dem  ursprünglichen  zusammen.    Wird 
zuletzt 

rr  =  (x>  und  y*  =  —  <x^ , 
80  folgt  daraus 

01  =  ^  n  und  6|  =  ^  7c , 
d.  h.  der  confocale  Kegelschnitt  2)  geht  iu  den  Hauptkreis  DE  (Fig.  2  Taf.  IV) 
über. 

ing^a 
Zwischen  diesen  spöciellen  Werthen  x  =  0,  x  •=>tng  a^  x  •=•  — — 

und  ar  =  po  liegen  nun  der  Reihe  nach  die  Werthe,  für  welche  der  confo- 
cale Kegelschnitt  2)  eine  Hyperbel ,  oder  eine  von  der  Ellipse  1)  einge- 
schlossene, oder  eine  dieselbe  einschliessende  Ellipse  ist. 

§.2, 

Die  Hauptkreise,  welche  die  confocslen  Kegelschnitte  1)  und  2)  in 
ihrem  Schnittpunkte  {xy^  berühren,  sind 

11* 


156  Ueber  Bphärische  Kegelachnitte. 


X  y 

und  der  Winkel,  welchen  sie  bilden,  ist  nach  $.11  der  „analytischen  Sphä- 
rik*^  ein  Rechter,  denn 

a«  y'  _ 

tng^atng^a^       ing*bing*b^  * 

wie  sich  sogleich  aas  den  Gleichungen  1)  und  4)  durch  Subtraction  ergiebt« 
Da  nun  hiernach  die  confocalen  Kegelschnitte ,  auf  der  Kugel  eben  so ,  wie 
in  der  Ebene ,  sich  unter  rechten  Winkeln  schneiden ,  so  ist  die  Berührende 
7)  eine  Normale  des  Kegelschnittes  2)  und  die  Berührende  7*)  eine  Normale 
des  Kegelschnittes  1).  Setzt  man  in  die  Gleichung  der  letzteren  die  Werthe 
Ton  ing^Oi  und  tng*bi^  so  erhält  man  durch  einige  Umformungen 

sin^a  u  sin*b  v 

'  stn^a  —  sm^b    x       sitrb  —  sin^a    y 

als  Gleichung  des  Hauptkreises ,  welcher  im  I^unkte  (xy)  den  Kegelschnitt 
1)  unter  rechtem  Winkel  schneidet. 

Damit  in  dieser  Normale  der  Punkt  n  =  (X]  y^)  liege ,  muss 
^.  sin^a  —  c  sin^b  —  c 

'  stn^a  ^'  stn^b 

wo  die  Länge  des  Bogens,  welcher  von  dem  Punkte  n  =  {^x^y^)  und  den 
Fusspunkt  der  Normale  m=  {xy)  begrenzt  ist,  durch  die  Grösse  e  be- 
stimmt wird.     Bezeichnet  man  diesen  Bogen  mn  mit  d^  so  ist  nach  $.  6 

der  „analytischen  Sphärik'^ 

1  +  ara:,  +  yy, 

j/i  +  ^'+y'j/i+x.^  +  yy 
nun  erhält  man  aber  durch  Einsetzung  der  Werthe  von  o;«  und  y, 

i  +  XX +  yy,  =  {i—c){i+x' +  !/"), 
folglich 


sind-=  +  cy- 


10)  tngd=±—^y — r+^T? — ' 

und  das  Zeichen  +  ist  jedes  Mal  so  zu  wählen,  wie  es  die  Länge  des  Bo- 
gens d  erfordert.  Setzt  man  c  =  —  rv) ,  so  liegt  nach  den  Gleichungen  0) 
der  Punkt  n  =  (a;]yi)  in  d«m  llanptbogen  D£^  mithin  ist  nach  10) 

wenn  der  Schnittpankt  der  Normale  8)  und  des  Hsnptbogens  J)E  mit  It  be- 
seicbnet  wird. 


Von  Dr.  Heilermann.  1 57 

Hierdurch  ist  nun  zugleich  das  Stück  der  Normale  bestimmt,  welches 
durch  eine  Tom  Anfangspunkte  C  darauf  gefüllte  Senkrechte  begrenzt  wird, 
denn  es  ergänzt  den  Bogen  mit  zu  einem  Qnadranten;  es  ist  also,  wenn  die 
Tangente  desselben  mit  |  bezeichnet  wird, 

m  >     ,/       i+««+y«        . 

nnd  somit  entsteht  aus  Gleichnng  10) 

13)  l*vrf=±j:^. 

Wenn   man   denselben  Werth  in  die  Gleichung  5)  einsetzt,    so  ergiebt 
flieh  noch 

14)  ing^^'Ill^, 

§.3. 

Für  den  Pnnkt  Q,  wo  die  Normale  des  Punktes  m  in  die  grosse  Achse 
einschneidet,  ist  wegen  der  Gleichungen  0) 

folglich  nach  der  Formel  13) 

15)  tngmQ  —  ^^. 

Eben  so  ist  für  den  Einschnitt  P  in  die  kleine  Achse 


c=;«fn'a. 

und 

15*) 

tngmP^ 

tng^a 

Nimmt  man  nun 

noch  hinzu , 

.  dass 

ingmR 

1 

80  erhält  man 


^  ^  ,.       ing^alng^h 

fngtnP ,ingmQ.  tngmR^z         ^^    — • 


Dazu  ist  nach  S.  71  der  analytischen  Sphärik  der  Krümmungshalbmesser  h 
des  Kegelschnittes  1)  ftir  den  Punkt  {xy)  mittels  der  Gleichung 

^  1* 

zu  bestimmen ,  folglich  ist  auch 

16)  tngtnP.ingmQ  .ingmB  =  ingh. 

Da  jede  Seite  des  dreirechtwinkligen  Dreieckes  CD  E  als  Achse  des  Kegel- 
schnittes 1)  angesehen  werden  kann,  so  ist  durch  diese  Gleichung  folgende 
Eigenschaft  der  sphärischen  Kegelschnitte  dargestellt: 

Das  Produkt   aus   den   Tangenten   der  drei  Abschnitte 
welche  auf  einerNormalen  eines  sphärischenKegelschnittes 


158  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

einerseits  durch  ihren  Fnsspunkt  und  andererseits  durch  die 
drei  Achsen  begrenzt  werden,  ist  gleich  der  Tangente  des 
zugehörigen  Krümmungshalbmessers.  ^ 

Berücksichtigt  man  nur  die  Werthe  von  tngtnP  und  ingtnQj  so  ergielit 
sich  durch  ümkehrung  des  Zusammenhanges ,  welchen  die  Gleichungen  15] 
ausdrücken,  folgender  Satz:  Werden  die  Schenkel  eines  rechten 
Winkels  von  einem  Hauptkreise  geschnitten  und  in  demletz* 
tern  ein  Punkt  so  bestimmt,  dass  die  Tangente  jedes  Ab- 
schnittes, multiplicirt  mit  der  Tangente  des  Abschnittes, 
welcher  durch  die  vom  Scheitel  des  rechten  Winkels  gefällte 
Senkrechte  begrenzt  ist,  ein  constantes  Produkt  bildet,  so 
liegt  jener  Punkt  in  einem  Kegelschnitte,  für  welchen  jeue 
Produkte  die  Quadrate  der  Tangenten  der  Halbachsen  sind, 
und  jener  Hauptkreis  ist  eine  Normale  desselben. 

Die  Voraussetzungen,  welche  in  diesem  Satze  gemacht  werden,  sind 
auch  durch  die  beiden  Hauptkreise  7) ,  welche  die  Kegelschnitte  1)  und  2) 
im  Punkte  m  =  (^xy)  berühren  und  von  den  Achsen  derselben  in  den  Punk- 
ten Q  und  Oi ,  P  und  Pi  geschnitten  werden ,  erfüllt :  es  ist  n&mlich  naeh 
den  Gleichungen  7) 

^^       ing^a,  ^^        tng*a 

ingCO  =  -^—\tngCQ^  =  -'^— 

X  X 

und  durch  die  vom  Punkte  m  auf  die  Achse  AA^  gefällte  Senkrechte  ml 
wird  der  Bogen  CL  abgeschnitten ,  von  welchem 

tngCL=rzx^ 
folglich  ist 

tng  CQ  .tng  CL  =  ing^a^ ,  tng  CQ^  .ingCL^=  ing^a. 
Es  liegt  mithin  der  Mittelpunkt  C  in  einem  Kegelschnitt ,  dessen  Achsen 
2a  und  2a^  sind  und  in  den  Berührenden  7)  liegen,  und  die  Axe  AAi  ist 
eine  Normale  desselben.  Bezeichnet  man  mit  {  und  tf  die  Tangenten  der 
Coordinaten  des  Punktes  C  in  Bezug  auf  die  Hauptkreise  7)  als  Coordinaten- 
achsen,  so  ist  dieser  Kegelschnitt 

'ing^a      Ptg^a^ 
Dasselbe  gilt  in  Beaqg  auf  die  Achse  BB^  und  zwar  ist  sie  eine  Normale 
des  Kegelschnittes 

17*)  ^*    4-  _3!_  _  I 

von  welchem  sie  im  Punkte  C  geschnitten  wird. 

Auch  diese  Kegelschnitte  sind  confocal  und  zwar  ist  nach  der  Glei- 
chung 3)  der  Bogen  fi  ihre  gemeinsame  Excentricität. 

Hiemach  haben  die  sphärischen  Kegelschnitte  mit  den  ebenen  auch 
folgende  Eigenschaft  gemeinsam. 

Werden  um  den  Schnittp  unkt  zweier  confocalen  Kegel- 


Von  Dr.  Heilermann.  159 


schnitte  swei  neue  Kegelschnitte  besehrieben,  welche  die 
Berfihrenden  des  Schnittpunktes  als  Achsen  enthalten  nnd 
die  Achsen  derselben  im  Mittelpunkte  berühren,  so  sind  auch 
diese  Kegelschnitte  confocal. 

§.  4. 
Aus  den  Oleichnngen  0)  folgt  sogleich,  dass  auch  der  Punkt  n  =  («|  ^,), 
dessen  Coordinaten 

8iti*a — c  sin^b  —  c 


*i=— ::^rrr--^»yi  = 


8in^h 


sind ,  in  einem  Kegelschnitte 

liegt  und  zwar  sind  die  Halbachsen  desselben 


18^  -flL  +  J^iL  —  i 


r   (1— c)«  +  ( 


«I»  a  C09  a         '^       «n  b  cos  b 
Aus  diesen  Werthen  erhält  man  dann  sur  Bestimmung  der  Bxcentricit&t  e 
dieses  Kegelschnittes 

•  c*  cot*b 
(1— c)«  +  c*co<«a' 
4  AN  1    .  .      ,/(l  — c)«  — c*cof*aco/«fc 

'1  r        (1 — c)*+c*co(*a 

Wird  nun  noch  in  der  Normalen  8)  auf  der  entgegengesetzten  Seite 
des  Fusspunktes  ein  zweiter  Punkt  n^  z=z  {Xi  y,)  durch  die  Ooordinaten 
8in*a+c»  •ehi^b  +  c^ 

bestimmt,  so  liegt  dieser  in  dem  Kegelschnitte 

dessen  Halbachsen  die  Gleichungen 

sm^a  +  c,         •         sin*b  +  Ci 
stnacosa  '^        stn  b  cos  b 

angeben.     Sollen  nun  die  beiden  Punkte  n  und  nj  von  dem  Fusspunkte  m 

der  Normale  gleiche  Entfernungen  haben,  so  muss  nach  Oleichung  10)  der 

Bedingung 

c     c, 

1— C~l+Ci 

Genüge  geschehen.  Wenn  aber  diese  Bedingung  erfüllt  ist,  so  haben  auch, 
wie  die  Ausdrücke  19)  aeigen ,  die  Kegelschnitte  18)  und  20)  dieselbe  Ex- 
centricität. 

Werden  also  auf  einer  Normale  eines  sphärischen  Kegel- 


160  lieber  sphärische  Kegelschnitte. 

Schnittes  vom  Fasspunkte  ans  nach  beiden  Seiten  gleiche 
Stücke  abgeschnitten,  deren  Tangenten  mit  der  Tangente 
des  Abschnittes,  welchen  die  vom  Mittelpunkte  anf  die  Nor- 
male gefällte  Senkrechte  begrenzt,  Produkte  von  constanter 
Grösse  bilden,  so  sind  die  Ortscarven  der  Schnittpunkte  swei 
coqfocale  Kegelschnitte. 

Die  Punkte  m,  n  und  fi|  sind  entsprechende  Punkte  in  den  Kegel- 
schnitten 1),  18)  und  20),  denn  es  verhält  sich: 

sin^a — c         8in*a  +  Ct 
X : r-i •  ^ r-z .x=^ing a  :ing a  :  Ina  a« , 

Wenn  man  diese  Beziehung  umkehrt  und  den  vorhergehenden  Satz  hin- 
zunimmt, so  ergiebt  sich  folgende  Eigenschaft  der  confocalen  Kegel- 
schnitte : 

Der  Hauptbogen,  welcher  zwei  entsprechende  Punkte 
zweier  confocalen  Kegelschnitte  verbindet,  ist  in  allenLa- 
gen  Kormale  desselben  drittten  Kegelschnittes  und  wird 
durch  diesen  halbirt. 

§.5. 

Nach  den  Oleichungen  19)  und  1«3)  liegen  die  gemeinsamen  Brennpunkte 
der  Kegelschnitte  18)  und  20) ,  für  welche 

1  —  C         1  +  ^1 

in  der  grossen  Achse  des  Kegelschnittes  1),  wenn 

^ingd<  lngatngb\ 
sie  liegen  aber  in  der  kleinen  Achse  desselben ,  wenn 

^ingd'^tngaingb 
und  fallen  mit  dem  Mittelpunkte  zusammen ,  wenn 

lingd-^iingaingb* 
In  dem  letzten  Falle  ist 

mithin 

rt^.  finasinb       sin  a  sin b 

^  ""  ""  cos  (a-ft) '  ""'  ~  cos  {a+b) ' 

und  durch  diese  Werthe  nehmen  die  Punkte  n  und  n^  besondere  Lagen  an, 
welche  mit  r  und  Tj  bezeichnet  seien ;  und  zwar  sind  nach  9)  die  Coordina- 
ten  dieser  Punkte 

_tng{a  +  b)  _ing  {b  + a) 

^'~      tnga       -^»y»—      ing  b       '^' 
Die  Punkte  r  und  Tj  liegen  also  in  den  Kreisen 


Von  Dr.  Hbilebmann.  161 

22)  ^.»  +  yi*  =  ^^*(öT6), 

oder :  Werden  nrndeuMittelpankteinerEllipse  mitderSamme 
nnd  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  wird 
von  diesen  jede  Normale  der  Ellipse  in  zwei  Punkten  ge- 
schnitten, welche  dem  Fossp  unkte  entsprechend  und  von  dem- 
selben gleich  weit  entfernt  sind. 

Der  Bogen  mr  =  mrj  selbst,  welcher  durch  diese  Kreise  abgeschnit- 
ten wird ,  ist  nach  13) 

AON  ^*ö  <*  ^^^Q  ^ 

23)  ing  mr  =•  ing  mr^  = 

und  vegen  der  Qleichung  14)  ist 

Da  nun,  wie  oben  erwähnt,  ^  die  Excentricität  der  confocaleu  Kegel- 
schnitte 17)  ist,  so  ergiebt  sich  für  diese  auch  folgende  Eigenschaft; 

Werden  ftlr  irgend  einen  Punkt  einer  sphärischenEllip  so 
die  Xegelschnitte  gezeichnet,  welche  die  Normale  und  Be- 
rührende dieses  Punktes  als  Achsen  enthalten  und  die  Aph- 
sen  der  Ellipse  im  Mittelpunkte  berühren,  so  liegen  die  ge- 
meinsamenBrennpunkte  dieserKegelschnitte  in  denKreisen, 
iprelche  um  den  Mittelpunkt  der  Ellipse  mit  der  Summe  und 
Differenz  ihrer  Halbachsen  beschrieben  worden  sind. 

Da  nach  den  Gleichungen  15)  und  23) 

24)  U^g*mr  =  tng*mr^  =ztngmP  ,tngmQy 

so  liegen  die  Punkte  r  und  r^  harmonisch  gegen  Pund  Q]  oder: 

Jede  Normale  einer  sphärischen  Ellipse  wird  von  den  um 
ihren  Mittelpunkt  mit  der  Summe  und  Differenz  der  Halb- 
achsen beschriebenen  Kreisen  in  zwei  Punkten  geschnitten, 
irelche  dem  Fusspunkte  der  Normale  entsprechen  und  gegen 
die  in  den  Achsen  gelegenen  Punkte  derselben  Normale  har- 
monisch liegen. 

Wenn  man  die  oben  hergeleiteten  Werthe  Yon  tngmP  und  ing  mr  in 
die  Gleichung 

tngmP —  Ingmr 


ingrP=- 
IngrP: 


1  -^ Ing mP.  ingmr 
einsetzt,  so  entsteht 

{ing  a  —  ing  b)^inga 
i*  +  lng*aingb      ' 

und     . 

{tng  a  —  ing  b)iinga 


sinrPz 


y  V«  +  V  Vtn^a  inifb  +  {** 

Eben  so  findet  sich 

(inga  +  ingb)iinga 
sm r,P  =  ^_^__  ^____ , 


102  lieber  sphärische  Kegelschnitte. 

(ifiga  —  ingb)itngb 


sin  rQ  SS 


sinriQ=z 


ytns/'b  +  i*  ymfa  infb  +  £•' 
[fng  a  —  tngb)l1ngb 


25)  {; 


folglich  ist 

I  sin  rP :  sin  r,  i*=  tng  a  —  ing  b  :inga+tngb  =  8in  {a —  b)  :sin{a+b), 

\sinrQ:sinriQ  =  1nga^-'tngb:tnga  +  ingb=:sin  {a — b)  : sin  (a  +  b). 
Ans  diesen  Proportionen  ergiebt  sich  nun  zur  Ergänzung  des  vorhergehen- 
den Satzes  folgende  Eigenschaft  der  sphärischen  Kegelschnitte : 

Werden  nm  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  mitderSumme 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  wird 
das  Stück  jeder  Normale,  welches  durch  die  ihrem  Fuss- 
punkte  entsprechenden  Punkte  dieser  Kreise  begrenst  ist, 
vo  n  den  Achsen  derEllipse  so  getheilt,  das  s  die  Sinus  der  Ab- 
schnitte in  einem  constanten  Verhältnisse  stehen. 

Die  besonderen  Werthe  unter  21)  sind  die  wichtigsten«  welche  die 
Chrössen  c  und  C|  annehmen  können ;  einige  andere  sollen  nur  eben  erwähnt 
werden. 

Setzt  man 

so  geht  die  Ellipse  20)  in  den  Hanptkreis  DEÜbeat  und  die  confoeale  18)  in 


CO**  2  a       cot^2b 
Dieselben  Linien  erhält  man  durch 

c  c 

' -=7-J-r  =  —  1  I  *l«ö  C  =  C^,Ci  =  —  \, 

1  — •  C         1  •f-  C| 

indem  der  Kegelschnitt  18)  in  den  Hauptkreis  und  der  zugeb(>rig<e  20)  in 
die  vorstehende  Ellipse  ttbergeht. 
Wenn 

c  c 

~-  =  ro,  also  c  =  —  c,  =  1 , 


1— C        l  +  Cj 

so  ist  nach  der  Gleichung  10)  der  auf  der  Normale  abgeschnittene  Bogen  d 
ein  Quadrant  und  die  beiden  confocalen  Kegelschnitte  18  und  20)  fallen  in 
den  einen 

-^+J?L_  =  1 
coi^a^  coi^b 

zusammen,  welcher  von  dem  urspränglichen  die  reciproke  Curve  ist,  d.  k 

von  allen  Hauptkreisen ,  welche  die  Ellipse  l).  berühren ,  die  Mittelpunkte 

enthält. 

.§.6. 

Der  Bogen  mQj  welcher  einerseits  durch  den  Fusspunkt  der  Normale 

und  andererseits  dureh  ihren  Einschnitt  in  die  grosse  Achse  begrenzt  wird, 


Von  Dr.  Heilkbmanh.  16) 


i^^««^'N<'«'^^^>^MMM^^^^^^^^^«^rfWWWWM^^^»>'W«^SA^ 


ist  dureh  die  Gleichaog  15)  beBtimmt.  Wird  derselbe  mit  q  bezeichnet  und 
mittels  der  Gleichung  14)  die  Grösse  £  ellminirt,  so  ist 

27)  ^^<^-'^^^i^- 

tnga 

Darch  Einsetzung  dieses  Werthes  kann  man  den  Halbachsen  des  Kegel- 
schnittes 2),  welcher  durch  den  Fusspunkt  der  Normale  geht,  und  den  Co- 
ordinaten  ihres  Fusspunktes  folgende  Form  geben : 

ing^a    /     in^  b  —  ing^  q  ing  b  -, /'wp*  a  in^  q  —  tng*  b 

tng  e r    tn^  b  +  lug*  a  Ing^  q  sin  er    ing* yi  ing* q  +  ing* b' 

Zugleich  ist  wegen  der  Gleichung  7*)  der  Bogen  CQy  welcher  von  dersel- 
ben Normale  auf  der  grossen  Achse  abgeschnitten  wird,  durch  die  Glei- 
chnag 

fngCQ^-^ 

X 

bestimmt.     Wenn  man  noch  den  Werth  von  x  einsetzt,  so  entsteht 

28)  tng  CQ^'!}1^1^^  =  ^^  ,  /    Tf^'f^'^   - 
^  ^     ^  inga  ^    f    tnfb  +  ing*aing*Q 

Man  denk^  sich  nun  um  den  Punkt  mit  dem  Halbmesser  g  einen  Kreis  K 

beschrieben ;  dieser  berührt  den  Kegelschnitt  1)  in  zwei  gegen  die  grosse 

Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m  und  m^ ,  und  der  Hauptbogen  tnm^ 

schneidet  die  grosse  Achse  in  einem  Punkte  X,  so  dass 

tng  e  inge  r    in^  b  +  tn^  a  tn^  q 

Man  sieht  sogleich,  dass 

30)  tng  CQ  .  ing  CL  =  in^  a,, 

folgHeh  ist  d»r Mittelpunkt  eines  Kreises,  welcher  einen  Kegel- 
schnitt in  zwei  gegea  die  erste  Achse  symmetrisch  gelegenen 
Punkten  berührt,  in  Bezug  auf  den  confocalen  Kegelschnitt, 
weleher  durch  dieBerührungspunkte  geht,  derPol  desHaupt- 
kreises,  in  welchem  die  Berührungspunkte  liegen. 

Der  grösste  Werth ,  welchen  der  Halbmesser  q  des  doppelt  berühren- 
den Kreises  K  annehmen  kann ,  ist 

und  zwar  ist  dann  zugleich 

flj  =  0,  ing  fci  =  sin  e  j/—l ,  «  =  0, y  =  l»g  6» 

CQ^O,CL  =  Oi 

mithin  berührt  dieser  Ejreis  die  Ellipse  1)  in  den  Scheiteln  der  kleinen 

Achse.     Der  kleinste  Kreis,  welcher  die  Ellipse  in  zwei  realen,  gegen  die 

grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt,  ist  bestimmt  durch 

,    •         ing*b 

tng  Q  = ; 

"^  ^        inga    , 


164  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

Bugleich  ist 

Inga 
es  fallen  also  die  beiden  Berühningspnnkte  in  einen  Scheitel  der  grossen 
Achse  zusammen  nnd  ffir  diesen  ist  der  zugehörige  Werth  von  q  der  Krüm- 
mungshalbmesser.    Wenn  endlich  der  Halbmesser 

gesetzt  wird ,  so  ist 

.         .  ing'a  .   %'*,/ — r 

tng  e  sm  e 

CQ  =  e,1ngCL  =  ^^^. 

Es  geht  also  in  diesem  Falle  der  doppelt  berührende  Kreis  K  in  einen 
Brennpunkt  und  der  Hauptbogen ,  in  welchem  die  Berührungspunkte  des- 
selben liegen ,  in  die  zugehörige  Directrix  über. 
Jenachdem  nun 


oder 


>ingq>1ng(>. 


inga 

findet  zwischen  dem  Berührungskreise  K  nnd  der  Ellipse  i)  eine  Berührung 
in  zwei  realen  oder  imaginären  Punkten  statt. 

§.7. 

Der  Hauptbogen  r  =  njß,  welcher  einen  beliebigen  Punkt  fi  =  (^jy() 

des  Keglschnittes  1)  mit  dem  Punkte  0  =  (         *>0J  in  der  grossen  Achse 

verbindet,  ist  mittels  der  schon  mehrfach  angewandten  Formel  zn  bestim- 
men, nämlich 

X 

cos  r  SS 


Nun  ist  aber  nach  der  Gleichung  6) 

ing^üi tng*  a  +  a^  itig*  e 

i?  tng/^a         ' 

und 

1  -u  ^i    4nn*^  _in^a  +  xx,infe 
1+-.%«.  = -^^ , 

weil  dazu  der  Punkt  n  =  {XiyCj  in  der  Ellipse  1)  liegt,  so  ist  auch 


Von  Dr.  Ueilebmann.  165 


1  +  ,:,    +y, _____ 

and  durch  Einsetzaog  dieser  Werthe  entsteht 

ng  a  cos  b  {tn^  a  +  xx^  tn^  e) 


cosrt 


Wenn  nun  insbesondere  der  Punkt  ns=(:rjyi)  mit  dem  Fankte>ms=(ary), 
wo  der  Kreis  K  den  Kegelschnitt  1)  berührt,  susammenfKllt,  so  geht  der 
Bogen  fijß  =:=  r  in  den  Halbmesser  q  ttber,  mithin  ist  zunächst 

und  weiter 

cotr tn^a  +  xx^  tn^e* 

CO»  Q      ytng*  a  +  a?j*  ^~e  j/ing^  a  +  x^in^e ' 

Man  beachte  nun  luerst,  dass  nach  den  Gleichungen  6) 

xtnge  tnga 

ttn  «1  =  ,  cos  ö, 


ytn^a  +  a^  tng^  e  ytng^  a  +  a^  tn^  e 

setze  dann  nach  Analogie  dieses  Werthes 

tnge 

*ng  Vi  =  A —  •  ^i » 
^  ^'       tnga 

also 

x*  tilg e  Inga 


und  berücksichtige  femer  noch,  dass  der  Quotient  cos r: cos q  auch  der 
Cosinus  der  vom  Punkte  n  =:  (x^y^)  an  den  Kreis  gezogenen  Berührenden 
1  ist.     Hierdurch  erhält  man  aus  der  Torstehenden  Gleichung 

cos  l  =  cos  a^  cos  q>^  -{-  sin  a^  sin  91 , 
oder 

31)  '=±(fli-9,), 

wo  das  Zeichen  +  so  zu  verstehen  ist,  dass  der  Werth  von  i  immer  post« 
tiv  wird. 

Da  nun  a^  und  tp  in  den  Hyperbeln ,  welche  mit  der  Ellipse  l)  die 
Brennpunkte  gemeinsam  haben  und  durch  die  Punkte*  m  =  {xy)  und 
n  =  (oTj  y^  gehen ,  die  realen  Halbachsen  sind  und  die  eine  von  beiden  ne- 
gativ zu  nehmen  ist,  wenn  diese  Punkte  m  und  n  auf  verschiedenen  Seiten 
der  kleinen  Achse  liegen ,  so  ergiebt  sich  aus  der  vorstehenden  Gleichung 
folgender  Satz : 

Wird  eine  sphärische  Ellipse  vx>n  einem  Kreise  in  zwei 
gegen  die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m 
und  IUI  berührt  und  von  einem  beliebigen  Punkte  n  der  Ellipse 
an  diesenKreis  eine  Berührende  gezogen,  so  ist  diese  Linie 
gleich  der  Summe  oder  Differenz  der  realen  Halbachsen  der 
Hyperbeln,  welche  mit  jener  Ellipse  coufocal  sind  und  die- 
selbe in  den  Punkten  m  und  n  schneiden,  jenachdem  diese 


166  lieber  sphärische  Kegelschnitte. 

Punkte  auf  verschiedenen  oder  derselben  Seite  der  kleinen 
Achse  liegen. 

Von  diesem  Satze  will  ich  hier  nur  zwei  besondere  Fälle  hervorheben. 
Wenn  zuerst  ;r  =  0  also  auch  a^  =  0  ist ,  so  geht  die  Gleichung  31)  über  in 

oder:  Die  Berührende,  welche  von  einem  beliebigen  Punkt« 
einer  Ellipse  an  den  über  der  kleinen  Achse  beschriebenen 
Kreis  gezogen  wird,  ist  gleich  der  realen  Halbachse  der  Hy- 
perbel, welche  durch  diesen  Punkt  geht  und  mit  der  Ellipse 
confocal  ist. 

Wenn  zweitens  der  Bogen  9  =  0  oder  der  Pnnkt  n  =  {s^  y,.)  in  einen 
Scheitel  der  kleinen  Achse  liegt,  so  ist 

d.h.:  Zieht  man  einen  Kreis,  welcher  eine  Ellipse  in  zwei 
gegen  die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  be- 
rührt, von  einem  Scheitel  der  kleinen  Achse  eine  Berührende, 
so  ist  diese  gleich  der  realen  Halbachse  der  Hyperbel,  welche 
durch  jene  symmetrischen  Punkte  geht  und  mit  der  Ellipse 
confocal  ist. 

Ich  nehme  jetzt  an,  dass  die  Ellipse  1)  von  zwei  Kreisen  in  je  zwei 
gegen  die  grosse  Aehse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m,m|  und;),Pi 
berührt  wird,  und  bezeichne  die  realen  Halbachsen  der  Hyperbeln,  welche 
durch  diese  Puziktenpaare  gehen  und  mit  der  Ellipse  1)  confocal  sind,  durch 
üi  und  a^.  Wird  nun  von  einem  beliebigen  Punkte  n  =  (j?]  y^) ,  welcher  in 
der  Ellipse  l)  so  liegt,  dass 

ing  e 

an  jeden  dieser  Kreise  eine  Berührende  gezogen  und  diese  mit  t  und  ff  be- 
zeichnet, 80  ist  nach  der  Gleichung  31) 

'  =  +  («1  —  9i)  ^^^  ^1  =  ±  (öf  —  Vi)  » 
und  daraus  ergiebt  sich  sogleich 

32)  •  <±'i  =  ±(«.+«t). 

Die  Eigenschaft  der  Kegelschnitte,  welche  diese Oleiehung  darstellt,  kann 
man  in  folgender  Weise  ausdrücken: 

Wenn  eine  sphärische  Ellipse  von  zwei  Kreisen  in  je  zwei 
^egen  die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten fli,m( 
iindp,Pi  berührt  und  von  einem  beliebigen  Punkte  n. der  El- 
lipse an  diese  Kreise  Berührende  gezogen  werden,  soistdie 
Summe  oder  Differenz  dieser  Linien  constant,  jenachdemder 
Punkt  fi  zwischen  den  Hauptbogen  mmi  und  pp,  liegt  oder 
nicht« 

Diese  constante  Grösse  ist  die  Summe  oder  Differenz  der  realen  Halb- 
achsen der  Hyperbeln ,  welche  durch  die  Punkte  m  and  p  gehen  und  mit 


YoD  Dr.  Hbilesmann.  167 


der  Ellipse  l)  eonfocal  sind,  jenaehdem  diese  Punkte  auf  Terschtedenett 
oder  derselben  Seite  der  kleinen  Achse  liegen. 

Für  den  speciellen  Fall,  wo  die  beiden  Berühmngskreise  in  die  Brenn- 
punkte übergehen,  ergiebt  sich  ans  dem  vorstehenden  Satze  die  allbekannte 
Eigenschaft  der  Brennstrahlen  eines  Kegelschnittes« 

§.  8. 
Nach  der  Gleichung  31)  ist 

.  .       j.                      /.            .        X        .  cos  Oi  cos  ipi  ing  e ,  . 

«n  /  =  +  CO*  «1  cos  9j  {trg  o,—  <»^  9,)  =  + —^ («—»1). 

Wenn  smii  noch  von  dem  Punkte  »es  (xi^j)  anf  den  Hanptbogen  mi»],  wel* 

eher  dnrch  die  beiden  Berührungspunkte  des  Kreises  IT  geht,  eine  Senk« 

rechte  s  fällt,  so  ist  nach  S.  13  der  analytischen  Sphärik 

X — X,  »cosbcoscpi,  . 

stnsszs  T.    ,  —  — =  T-  —  (x—xX 

/iyMVi  +  ^i'  +  yi*  }/i+^ 

Ans  der  Verbindung  dieser  Gleichungen  ei^iebt  sich 
*  sin  t fngecosa^ 

oder  weil 


sins      ingacosb  ^  ' 


sin  e?         - 

-  =  -:— ^  nnd  cos  ä,  =  ■ 


tngacosb      sina  *       j/infa^x^ingU' 

so  ist 

1  +  j?« 


33)  ^i^^j^y. 

*  stns      cosar    ii 


Diese  Gleichung  zeigt,  dass  das  Verbältniss  sin  i:  sin  s  yon  der  Lage  des 
Panktes  n  £^^  (^i^Ti)  unabhängig  ist,  und  enthält  also  folgende  Eigenschaft 
der  sphärischen  Kegelschnitte : 

Wii'd  eine  Ellipse  von  einem  Kreise  in  zwei  gegen  die 
grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m  und  m|  be- 
rührt, von  einem  beliebigen  Punkte  der  Ellipse  an  diesen 
Kreis  eine  Berührende  gezogen  nnd  auf  den  Hanptbogen, 
welcher  durch  die  Berührungspunkte  in,  i»!  gebt»  eine  Senk- 
rechte gefällt,  so  stehen  die  Sinus  dieser  Linien  in  einem 
Constanten  Verhältnisse. 

Der  Exponent  dieses  constanten  Verhältnisses,  welcher  bei  den  ebenen 
Kegelschnitten  auch  von  der  Lage  oder  Grösse  des  doppelt  berührenden 
Kreises  unabhängig  ist,  nin\mt  auf  der  Kugel  für  verschfeJene  Kreise  ver- 
schiedene Werthe  an.  Um  dies  deutlich  zu  zeigen ,  gebe  ich  der  Gleichung 
33)  dnrch  einige  Umformungen  mittels  der  im  S.  6  entwickelten  Werthe  eine 
Gestalt,  welche  die  Abhängigkeit  des  Verhältnisses  von  dem  Halbmesser 
des  doppelt  berührenden  Kreises  angiebt ;  eine  solche  ist : 
sint       sine     -,/     .    tn^ b  —  ing^ 0        , 


168  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

Hieraus  sieht  msn  sogleich,   dass  dies  Verhftltniss  desto  kleiner  ist,  je 
grösser  der  Halbmesser  ^  des  doppelt  berührenden  Kreises  ist 
Wenn  aaerst 

also  die  Berühmng  in  den  Scheiteln  der  kleinen  Achse  stattfindet,  so  ist 

sin  l sin  e 

sins       sina' 
Wenn  zweitens 

tng'b 
inga' 
und  somit,  wie  oben  erwtfhnt,  die  Berührangspunkte  in  einen  Seheitel  der 
grossen  Achse  zusammenfallen ,  so  ist 

sin  i sine       1 

sin  s      sin  a  *  cos  h ' 
Den  grössten  Werth  erreicht  das  Verhältniss,  wenn  der  doppelt  berührende 
Kreis  in  einen  Brennpunkt  übergeht  und  zwar  ist  dieses  Maximum 


sin  t sin  e    -»/  tng^  a  ing^  b 

sin s       sina    f  Ing^ a  —  in^ b ' 


tn^  a  —  in^  i 

WeAn  nun  eine  sphärische  Ellipse  yon  einem  Kreise  in  zwei  realen,  gegen 
die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt,  so  liegt  das  Ver- 
hältniss sin  t :  sin  s  zwischen  dem  ersten  und  zweiten  dieser  speciellen  Wer- 
the,  d.  h.  es  ist 

sin  e       sin  (  sin  e 


sin  a       sin  s       sin  a  cos  b 
Für  alle  Kreise  aber ,  welche  eine  Ellipse  in  zwei  imaginären  Punkten  be- 
rühren, liegt  dasselbe  Verhältniss  zwischen  dem  aweiten  und  dritten  Wer- 
the,  oder 

sin  e  sin  t       sin  e    -./  tn^  a  tng*  b 


sin  t       sin  e    -y/T^ 
sins       sina'  f^ 


sin  a  cos  b        sins       sina'  f^  tn^  a  —  tn^  b 

Nach  der  Gleichung  33)  kann  auch  leicht  der  doppelt  berührende  Kreis 

bestimmt  werden,  für  welchen,  wie  bei  einer  ebenen  Parabel, 

sin  t 

-: —  =  1  oder  t=^  s: 

sms  , 

setzt  man  nämlich  diesen  Werth  in  jene  Gleichung  ein,  so  erg^ebt  sieh 

34)  Ä  =  +  cot  e. 

Wird  also  eine  sphärische  Ellipse  in  zwei  (realen  oder 
imaginären)  Punkten,  welche  von  einem  Brennpunkte  um 
einen  Quadranten  abstehen,  von  einem  Kreise  berührt  und 
von  einem  beliebigen  Punkte  der  Ellipse  an  diesen  Kreis  eine 
Berührende  gezogen,  so  ist  diese  gleich  der  Entfernung  des- 
selben Punktes  von  dem  Hauptkreise,  dessen  Mittelpunkt 
jener  Brennpunkt  ist 


Von  Dr.  Hbilermann.  ]69 


Die  vorstehende  Bedingung  34)  kann  wegen  der  Gleichung  6)  aach 
durch 

ing  a  .  /»^  at  =:  1  oder  a  +  <it  =  1 » 
ersetzt  nnd  somit  für  die  zuletzt  erwähnte  Eigenschaft  der  Kegelschnitte 
ein  etwas  veränderter  Ausdruck  gegeben  werden« 

Da,  wie  oben  erwähnt,  das  Verhältniss  sin  t:  sin  s  sein  Maximum  er- 
reicht, wenn 

p  =  0,  also  X  =  -^ — , 
Inge' 

80  giebt'ljsinur  dann    einen   doppelt   berührenden  Kreis,    für   welchen 

sintsszsinSf  wenn 

-- —  ^  cot e  oder  a^  in. 
tng  e  —  * 

Wenn  insbesondere  a  ==:  ^  ^r,  so  ist,  wie  auch  bei  der  ebenen  Parabel ,  jeder 

Punkt  des  Kegelschnittes  von  seinem  Brennpunkte  ebenso  weit  entfernt, 

als  von  der  zugehörigen  Directrix. 

§.9. 

Der  Bogen  m  P,  welcher  durch  die  kleine  Achse  der  Ellipse  auf  der 
Normale .  des  Punktes  tn  =  {p^y)  begrenzt  wird ,  sei  dem  Vorhergehenden 
entsprechend  mit  ^,  bezeichnet;  es  ist  mithin  nach  den  Gleichungen  14) 
und  15*) 

35)  tng^,=.——^. 

Die  Halbachsen  a^  und  b^  des  confocalen  Kegelschnittes,  welcher  durch 
den  Punkt  m  =  (^y)  geht,  und  die  Coordinaten  des  Schnittpunktes  selbst 
nehmen  durch  Einführung  dieses  Werthes  folgende  Form  an : 

'''^''^=Vtng*a  +  tng*ötng*,r''''''-''^'yi^g'a  +  ing*ötng*^r 
^ _   ,   inga   /fV a-^ing^b  tn^ p,       _      tn^b    /     tnfq^  —  tnfa 
—  ing  er    tng*  a  +  tng* b  tn^ q^  —  sine  r    in^a  +  tng*b  tni^Q^ ' 

Der  Bogen  CP^  welcher  durch  die  Normale  des  Punktes  m  =  {xy)  auf  der 
kleinen  Achse  begrenzt  wird,  ergiebt  sich  nach  7*)  aus  der  Gleichung 

y 

und  wenn  man  aus  dieser  die  Grösse  y  entfernt,  so  ist 

^  .^      ^^Q  btSin  e  j/ —  1  .      ,  /     tnc^  p,  —  tnc^  a 

ingCP=    ^  \     / =  — Sinei/ ^  ^     V,  ^,,:    .     - 

tngb  r    tng*a  +  tng*b  tng*Qi  * 

Der  Kreis  Ff ,  welcher  um  den  Punkt  P  mit  dem  Halbmesser  pi  be- 
schrieben wird,  berührt  die  Ellipse  in  zwei  gegen  die  kleine  Achse  sym- 
metrisch gelegenen  Punkten  m  nnd  m, ,  deren  Coordinaten  zu  den  oben 
stehenden  Werthen  x  und  y  gehören.     Der  Hanptbogen,   welcher  durch 

ZeiUehrift  f.  Mathematik  n.  Physik.  VI,  3.  12 


170  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

diese  Punkte  geht ,  schneidet  also  auf  der  kleinen  Achse  einen  Bogen  CE 
ab ,  für  welchen 


37)    tngCE^'!!?±^  =  '^y-^^-'^ 
'       '  stney^l       stne    r     tnsra  +  i 


■  ing^b  tn^'^' 
Aus  den  beiden  letzten  Gleichungen  folgt  nun  sogleich 

38)  tng  CP  .ingCJiC  =  ing^  6j , 

'd.h.  der  Mittelpunkt  einesKreises,  weicher  einen  sphärischen 
Kegelschnitt  in  zwei  gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  ge- 
legenen Punkten  berührt,  ist  in  Bezug  auf  den  cMf^ocalen 
Kegelschnitt,  welcher  durch  die  Bertihrnngspun^te  geht, 
derPoldesUauptkreises,  in  welchem  die  Berührungspunkte 
liegen. 

'Der  Halbmesser  ^,  des  doppelt  berührenden  Kreises  j&^i  erreicht  seinen 
kleinsten  Werth ,  nämlich 

wenn 

aj  =  e,  ^1  =  0,  »=  +  %fl,  y  =  0, 

CP=0,  CK  =  0, 

mithin  berührt  der  kleinste  Kreis  die  Ellipse  in  den  Scheiteln  der  grosseo 

Achse.    Der  kleinste  Werth  von  ^,,  für  welchen  die  Berührungspunkte  de« 

Kreises  A^j  real  sind,  genügt  der  Gleichung 

ing^a 

und  zugleich  ist 

a,  =s 0,  /^^ 6|  =  sin e  Y — 1  ^  x-=z{S^  ys=:  ^tngb^ 

es  fallen  also  die  beiden  Berührungspunkte  dieses  Kreises  in  einen  Schei- 
tel der  kleinen  Achse  zusammen  und  der  oben  angegebene  Werth  von  p^ 
ist  der  zugehörige  Krümmungshalbmesser.  Wenn  endlich  der  doppelt  be- 
rührende Kreis  K^  in  einen  Hauptkreis  übergeht,  also 

gesetzt  wird,  so  ist 

Ing  e  —  stn  e 

tngb'     ^  sine 

Dieser  Hauptkreis  ist  die  Grenzform  der  Kreise,  welche  einen  Kegelschnitt 
in  zwei  gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berühren 
and  entspricht  in  dieser  Besiehnng  den  Brennpunkten,  welche  die  Grense 
der  inneren  Berührnngskreise  sind. 


Von  Dr.  Heilermann.  171 

§.  10. 
Der  Hanptbogen  rj  =:  nP,  welcher  einen  beliebigen  Punkt  n  =  {x^y^) 
in  der  Ellipse  1)  mit  dem  Punkte  -P  =  (o,  M  in  der  kleinen  Achae  ver- 

bindet, ergiebt  sich  aas  der  Gleichung 


l+^J.,ing»b, 


cosy-^  = 


Dazu  ist  nach  Gleichung  6) 

'^     y"    ~         in^b 
und 

1  +  -.V6.= ^^^ , 

weil  ferner  der  Punkt  n es  {x^yi)  in  der  Ellipse  1)  liegt,  so  ist  auch 
U^.  .      ,_tnfh—y,UmU 

1  +  ^1 +yi-     ^^f^cos^a    ' 

und  durch  Einsetzung  dieser  Werthe  entsteht  ans  der  obigen  Gleichung 
tngb  cos  a  {tng*  b  —  yyi  sin^  e) 

cos  Ti  • —      .  — ■  :=r  • 

ytn^  b — y^  sin^  e  yin^  b-^-t^  sin^  e 

Denkt  man  sich  nun,  dass  der  Punkt  n  mit  dem  Punkte  m  =  (xy)  zusam- 

menflillt,  also  der  Bogen  r^  in  den  Halbmesser  ^i  übergeht,  so  erhält  man 

als  besondern  Fall  der  yorstehenden  Gleichung 

-,An^b--jßsin^  e 
cos  Di  =^ingb  cosaV  ^    , .    , — -^   .  . 

und  durch  Verbindung  dieser  Werthe 

CO*  r,  tn(j^  b  —  yy^  sin*  e 


<?ö*  ^1       j/^  b  —  y,*  sin^  e  f/lng*  b  —  y^  sin*  e 
Um  die  Umformung  dieses  Ausdruckes  in  ähnlicher  Weise  wie  oben  im 
$.  7  durchführen  zu  können ,  setze  ich  zunächst  die  imaginäre  Halbachse 
der  Hyperbel  2) 

und  weiter  in  der  Bezeichnung  Gudermann's  (vergl.  Potenzial  -  Functionen 
in  Grelle'«  Journal  6.  7.  8  und  9) 

tngbi=-/^^.Tngß^. 
Nun  ist  nach  dieser  und  den  Gleichungen  6)  zuerst 

ytng'  b  —  y*  sin*  e  ytn^  b  —y*  sin*  e 

und  dann  diesen  Werthen  entsprechend  zu  setzen 

y,  sin  e 


^"'^f'-lngV' 


12* 


1 72  Ueber  sphftrische  Kegelschnitte, 

also 


j/in^  b  —  y/  sin*  e  '/tng'  b  —  y,*  «>i*  e 

Wenn  man  endlich  diese  Werthe  in  die  obige  Gleichnng  einsetzt  and  be- 
achtet, dass  ctas  Verhältniss  cos  q^  :  cos  r^  der  Cosinus  der  kleinsten  Halb- 
sehne ist,  welche  durch  den  Punkt  n  =■  (^i^j)  in  dem  um  P  mit  dem  Halb- 
messer ^1  beschriebenen  Kreise  K^  gezogen  werden  kann ,  und  diese  Halb- 
sehne mit  t  bezeichnet,  so  ist 

=  Cos  84  Cos  if.  —  Sin  ß,  Sin  ii/j. 

cosi  '^  ^*  '^*         ^ 

Hieraus  folgt  weiter 

Cos  Li  =  Cos  (ß^  —  ^,) 

oder 

39)  Lt  =  ±(ß,—^,).    _ 

Weil  nun  ßt  und  ifi|  (abgesehen  von  dem  Factor  j/ — 1)  die  imaginären  Halb- 
achsen der  Hjrperbeln  sind,  welche  mit  der  Ellipse  1)  die  Brennpunkte  ge- 
meinsam haben  und  durch  die  Punkte  m  =  {xf/)  und  n  =  (^i^i)  gehen,  nnd 
da  ferner  die  eine  dieser  Halbachsen  negativ  ist,  wenn  die  Punkte  m  und  n 
auf  Yerschiedenen  Seiten  der  grossen  Achse  liegen,  so  hat  auch  jeder 
äussere  Berührungskreis  einer  Ellipse  folgende  Eigenschaft: 

Wird  eine  sphärische  Ellipse  you  einem  Kreise  in  zwei 
gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m 
undmi  berührt  und  durch  einen  beliebigen  Punkt  n  der  Ellipse 
in  diesem  Kreise  eine  kleinste  Halbsehne  gesogen,  so  istdie 
L'ängenzahl  dieser  Linie  gleich  der  Summe  oder  Differenz 
der  imaginären  Halbachsen  der  Hyperbeln,  welche  mit  der 
Ellipse  confocal  sind  und  sie  in  den  Punkten  m  und  n  schnei- 
den, je  nachdem  diese  Punkte  auf  yerschiedenen  oder  der- 
selben Seite  der  grossen  Achse  liegen. 

Setzt  man  insbesondere  ß  =  0^  also  auch  j^  =  0,  so  vereinfacht  sich 
die  obige  Gleichnng  in 

Lt  =  ^j  oder  /  =  /^, 
und  giebt  dann  eine  Eigenschaft  an ,  welche  den  über  der  grossen  Achse 
als  Durchmesser  beschriebenen  Kreis  auszeichnet,  nämlich: 

Die  kleinste  Halbsehne,  welche  durch  einen  beliebigen 
Punkt  einer  Ellipse  in  dem  Über  der  grossen  Achse  beschrie- 
benen Kreise  gezogen  werden  kann,  ist  gleich  der  Longitudi- 
nalzahl  der  imaginären  Halbachse  der  Hyperbel,  welche 
durch  jenen  Punkt  geht  und  mit  der  Ellipse  confocal  ist. 

Lässt  man  zweitens  den  Punkt  n=(a:iy,)  in  einen  Scheitel  der  grossen 
Achse  fallen  \  so  wird  yi  s=s  0  also  auch  ^|  r=  0,  folglich  ist 

Lt  =  ß^  oder  t=slßi, 


Von  Dr.  Heil£Rmann.  173 

d.h.:  Zieht  man  in  einem  Kreise,  welcher  eine  Ellipse  in  zwei 
gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  be- 
rührt, eine  kleinste  Halbsehne  dnrch  einen  Scheitel  der 
grossen  Achse,  so  ist  die  Längensahl  dneser  Linie  gleich  der 
imaginären  Halbachse  der  Hyperbel,  welche  mit  der  Ellipse 
confocal  ist  and  durch  jene  symmetrischen  Pnnkte  geht. 

Ich  aetse  jetzt  voraas,  dass  die  Ellipse  1)  von  zwei  Kreisen  in  je  zwei 
gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Pankten  m,  m^  und  p,  Pt 
berührt  und  die  imaginären  Halbachsen  der  Hyperbeln,  welche  mit  der 
Ellipse  confocal  sind  and  durch  die  Punkte  m  und  p  gehen ,  mit  ß^  ]/ —  1 
und  /?t  y —  1  bezeichnet  werden ,  und  ziehe  dann  durch  einen  beliebigen 
Punkt  ff  der  Ellipse  in  diesen  Kreisen  die  kleinsten  Halbsehnen  i  und  /,. 
Nach  der  Gleichung  39)  ist 

ii'=  ±  (A— *i)  uttd  ^h  =  ±  (Ä-*i), 
folglich 

40)  xr±z/,  =  +  (ft +A). 

Hierdurch  ist  entsprechend  dem  Satze  32)  für  die  sphärischen  Kegel- 
schnitte folgende  Eigenschaft  nachgewiesen : 

Zieht  man  durch  einen  beliebigen  Punkt  n  einer  Ellipse 
in  zwei  Kreisen,  welche  dieselbe  in  je  zwei  gegen  die  kleine 
Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m,  nti  undp,pi  berüh- 
ren, die  kleinsten  Hai bsiehnen,  so  ist  die  Summe  oder  Diffe- 
renz der  Längenzahlen  dieser  Bogen  constant,  je  nachdem 
der  Punkt  n  zwischen  den  Hauptbogen  mm^  nndppi  liegt  oder 
nicht. 

§.  11. 

Nach  dem  vorhergehenden  S  ist 
Sin  Li  =  +  Sin  (/Ji— tt)  =  ±  ^o«  ft  Cot  i^f^  (Tng  ß^  —  Tng  ^,) 
oder 

,   Co9  A  Cos ^i  sine  .  . 

Wenn  dazu  auf  den  Hauptbogen ,  in  welchem  die  beiden  Berührungspunkte 
des  Kreises  A^i,  nämlich  m  =  {x^y)  und  m^  =:  {x^y)  liegen,  von  dem  Punkte 
n  =  (x^  y,)  eine  Senkrechte  s  gefällt  wird,  so  ist  diese  nach  $.  13  der  analy- 
tischen Sphärik  durch  die  Oleichung 

y  —  Vi  .   cosaCos'fpi      ' 

bestimmt.     Durch  die  Verbindung  dieser  Oleichungen  entsteht 

tngt^  _  sine  Cos  ßi  j/j^'^ 

sin  s       ingbcosa'^ 

oder  weil 

sine  inge      j^^  ^^ 

' =  -^  und  Cos  A  s»    .  , 

ing  b  cos  a      stn  b  ytn^  6  —  /  sin*  e 


174  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

^  sins      cosbr    tng^ b  —  y^ sin^e' 

Da  in  dieser  Gleichung  die  rechte  Seite  von  der  Lage  des  Punktes  n=(fiy,) 
unabhängig  ist,  so  ergiebt  sich  daraus  für  die  sphärischen  Ellipsen  folgen- 
der Satz : 

Wird  eine  Ellipse  von  einem  Kreise  in  zwei  gegen  die 
kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m  und  m,  be- 
rührt, durch  einen  beliebigen  Punkt  derselben  in  diesem 
Kreise  eine  kleinste  Halbsehne  gezogen  und  von  demselben 
Punkte  auf  den  Hauptbogen,  in  welchem  die  Berührungs- 
punkte m,  m|  liegen;  eine  Senkrechte  gefällt,  so  steht  die 
Tangente  der  Halbsehne  zu  dem  Sinus  dieser  Senkrechten  in 
einem  constanten  Verhältnisse. 

Auch  dies  Verfaältniss  ist  von  dem  Halbmesser  des  doppelt  berühren- 
den Kreises  abhängig,  und  der  Zusammenhang  tritt  deutlich  hervor,  wenn 
man  die  Grösse  y  mittels  des  im  §.  9  angegebenen  Werthes  aus  der  Glei- 
chung 41)  eliminirt.     Dadurch  erhält  man : 

sms       sinb    ^  ing^  a  —  infb 

und  hiernach  ist  das  Verhältnis»  tngtisins  desto  grösser,  je  grösser  der 
doppelt  berührende  Kreis  ist.  Es  erreicht  sein  Minimuni,  wenn  ^i  am 
kleinsten  oder 

^,  =  a, 
und  zwar  ist  unter  dieser  Voraussetzung 

ing  t       ing  e 

sin  s       sin  b ' 
Desgleichen  ist  für  die  beiden  Kreise,  welche  die  Ellipse  1)  in  einem  Schei- 
tel der  kleinen  Achse  doppelt  berühren,  oder  wenn 

"^^^'^lüib 
gesetzt  wird, 

tngi ing  e       1 

sin  s       sin  b  '  cos  a ' 
.  Wenn  endlich  der  doppelt  berührende  Kreis  in  einen  Hauptkreia  ttbeigeht, 
so  wird  die  kleinste  Halbsehne  iz=^n  und  das  Verhältniss  Ing  l:  sins  nach 
der  vorstehenden  Gleichung  unendlich.     Je  nachdem  nun 

tnc^a 


oder 

in^a 
tngb 

ist  auch 


i~-r-  <tngQi<ro, 


Von-  Dr.  Heilbbkann.  1 75 


inge       ing  l  ing  e 

sin  b        sin  s        sin  b  cos  a ' 


oder 


ing  e  ingi    ^ 


sin  b  cos  a       sin  s 


§.  12. 

In  dem  zuletzt  erwähnten  besonderen  Falle,  wo  der  Halbmesser  pi  des 
doppelt  berührenden  Kreises  ein  Quadrant  ist,  verlieren  sowohl  die  Resul- 
tate des  letzten  S,  als  auch  die  des  vorhergehenden  ihre  Bedeutung,  indem 
mehrere  darin  vorkommenden  Grössen  unendlich  werden.  Dennoch  sind 
die  beiden  Hauptkreise ,  welche  die  Ellipse  l)  in  zwei  imaginären  Punkten 
berühren,  von  besonderem  Interesse.  Bezeichnet  man  die  Mittelpunkte 
derselben  mit  G  und  G^  und  die  gleiche  Entfernung  beider  vom  Mittelpunkte 
C  der  Ellipse  mit  y  >  so  ist  nach  S.  9 

sin  e 

folglich 

.^v  sinb       cos  (in — b) 

42)  cosy  =  - — =—7? (, 

'   '        sma      cos{j^n  —  a) 

Hnd  hiernach  sind  die  Punkte  G  und  G^  die  Brennpunkte  des  Kegel- 
schnittes 26). 

Werden  also  um  die  Brennpunkte  eines  Kegelschnittes 
Hanptkreise  beschrieben,  so  berühren  diese  den  reciproken 
Kegelschnitt  in  je  zwei  imaginären  Punkten. 

Mit  Hilfe  dieses  Satzes  kann  man  nun  jeder  Eigenjschaft ,  welche  sich 
auf  die  Brennpunkte  eines  sphärischen  Kegelschnittes  ,  bezieht;  sogleich 
eine  andere ,  in  welcher  die  denselben  doppelt  berührenden  Hauptkreise 
vorkommen,  gegenüber  stellen.  Ich  glaube  jedoch  ein  näheres  Eingehen 
auf  diese  Eigenschaften  dem  Leser  überlassen  zu  müssen,  um  so  mehr,  da 
die  wichtigsten  schon  vor  längerer  Zeit  (im  zweiten  Bande  des  Crelle'schen 
Journals)  von  Oudermann  ausgesprochen  und  in  seiner  analjtischen  Sphä- 
rik  S.  85  und  86  entwickelt  und  von  Herrn  Ghasles  in  der  Geometrie  superieure 
C.  34  reproducirt  worden  sind.  Dem  letzteren  verdankt  man  den  Nachweis, 
dass  die  Hauptkreise  um  die  Mittelpunkte  G  und  G^  die  Stellung  der  beiden 
Ebenen  -  Scharen  angeben ,  welche  den  Kegel ,  dessen*  Spitze  im  Mittel- 
punkte der  Kugel  liegt  und  dessen  Mantel  die  Kugelfläche  in  der  Ellipse  1) 
durchdringt,  in  Kreisen  schneiden,  oder  dass  die  Punkte  G  und  6^1  für  den 
durch  die  Ellipse  1)  dargestellten  Kegel  die  Kreisschnittspole  sind. 

Aber  die  Grenzformen  der  doppelt  berührenden  Kreise,  d.  h.  die 
Brennpunkte  und  die  doppelt  berührenden  Hauptkreise ,  stehen  nicht  allein 
an  denKeg^chnitten  1)  und  26)  in  dem  Zusammenhange  der  Reeiprocität; 
diese  zeigt  sich  vielmehr  ganz  allgemein.     Wird  die  Ellipse  1)  von  einem 


1 76  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

Kreise  in  zwei  gegen  die  J  |[^'q^  {  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten 
berührt,  so  wird  auch  die  reciproke  Ellipse  26)  von  dem  reciproken  Kreise 
in  zwei  gegen  die  |  _^^^^  {  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt 

Aach  dieser  Zusammenhang  giebt  nnn  wieder  Gelegenheit  dazu ,  die 
in  dem  Vorhergehenden  entwickelten  Eigenschaften  der  doppelt  berflhren- 
den  Kreise  zu  verdoppeln;  doch  auch  diese  Vervollständigung  mag  dem 
Leser  überlassen  bleiben.  Nur  eine  Eigenschaft  der  Kreisschnittspole 
G  und  6^1  will  ich  hier  noch  hinzufügen. 

Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  n=(9fyt)  des  Kegelscbnitteg  1) 
mit  den  Brennpunkten  G  und  G^  des  reciproken  Kegelschnittes  26),  seist 

cosnG  — 


j/T+v+^'/h^ 


tng^b 

und  hieraus  ergiebt  sich  durch  einige  Umformungen 

,  Hne 


Ebenso  ist 


folglich 


cos  n  Gr  = .  i/^    ; 

Ing  a    r    tngh  —  y^sine  ^ 

_        sin  b    -,/ing  6  —  yi  sin  e 
ing  a    f    tng  b  +  piStne 

sin^  b 
cosnG .  cos  nGi^=^  ^    ,    ; 
tn^  a 


oder:  Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  eines  Kegel- 
schnittes mit  den  Brennpunkten  des  reciproken  Kegelschnit- 
tes, so  ist  das  Produkt  aus  den  Cosinus  dieser  Verbindungs- 
linien constant. 

Auch  das  Verhältniss  dieser  Cosinus  nimmt  eine  einfache  Form  an, 
denn  es  ist 

cosnG  tngb  +  ifx  sin  e 

cos  nGi      tngb  —  y,  sin  e 

sin  e  ^ 

cosnG  1  +  Tng ifij Cos if;|  +  Sin ^i 

cosnGi       1  —  Tng  ip       Cos  ^j  —  Sin  ^, 
oder 

cos  n  &-| 
wo  Sy  wie  gewöhnlich,  die  Basis  des  natürlichen  Logarithmensystems  und 
2i|;    die    imagin&re  Achse  der  confocalen  Hyperbel,   welche  durch  den 
Punkt  («t  yi)  geht,  bezeichnet. 


und  da 


so  ist 


Von  Dr.  Heilebmakn.  177 

§.  13. 

Der  Kegelschnitt  1),  welcher  bisher  als  sphärische  Ellipse  den  Gegen- 
stand der  üntersnchung  bildete,  erscheint  als  sphärische  Hyperbel,  wenn 
man  sich  auf  die  Punkte  beschränkt ,  welche  in  einer  Halbkugelfläche  um 
den  Mittelpunkt  D  oder  E  (Fig.  2  Taf.  IV)  liegen.  Bei  dieser  Auffassung 
giebt  es  dann  ausser  den  beiden  Kreisscharen ,  welche  den  Kegelschnitt  1) 
in  zwei  gegen  die  grosse  oder  kleine  reale  Achse  symmetrisch  gelegenen 
Punkten  berühren ,  noch  eine  dritte  Schar  Yon  doppelt  berührenden  Krei- 
sen und  jeder  von  diesen  berührt  denselben  in  zwei  Punkten,  welche  gegen 
die  dritte  Aehse  DE  symmetrisch  liegen.  Beschreibt  man  z.  B.  um  den 
Punkt  R^  wo  die  Normale  des  Punktes  m  =  {xy)  in  die  dritte  Achse  ein- 
schneidet ,  mit  dem  Halbmesser  m  R  einen  Kreis  K^ ,  so  berührt  dieser  den 
Kegelschnitt  1)  in  dem  Punkte  m  =  {xy)  und  in  einem  Punkte  mj ,  welcher 
mit  m  gegen  diese  Achse  symmetrisch  liegt. 

Der  Halbmesser  ^,  dieses  Kreises  ist  nach  S.  2  durch  die  Gleichung 

45)  '  •  tng^  =  ^-!nSJL_ 
'  ^^       inga  tng  b 

zu  bestimmen.  Durch  Anwendung  dieses  Werthes  erhält  man  für  die  Halb- 
achsen des  confocalen  Kegelschnittes  2)  und  für  die  Coordinaten  des  Punk- 
tes, wo  dieser  den  ursprünglichen  Kegelschnitt  schneidet,  folgende  Aus- 
drücke : 

inga,  =  inga.yj-^;^^^^^^^^^^ 

^-fnger    i  +  tng'atng^btn^Q^*  ^      ^siner    \  +  Ing'^ a tng^ b  tng* (f^' 
Um  nun  auch  den  Bogen,  welcher  durch  den  Mittelpunkt  R  des  dop- 
pelt berührenden  Kreises  K^  auf  der  Achse  DE  begrenzt  wird,   auszu- 
drücken, denke  ich  mir  yon  einem  beliebigen  Punkte  {uv)  auf  die  Achse 
CD  eine  Senkrechte  /  gefUlt,  und  setze  nach  $.13  3er  analytischen  Sphärik 

V  V 

Wenn  aber  der  Punkt  {uv)  in  der  Achse  DE  liegt,   so  ist  w  =  rw  und 

V  =  <x),  mithin  geht  tng  l  in  den  Orenzwerth  von  -  über.    Hier  boU  nun  R 

der  Punkt  {uv)  sein,  und  für  diesen  ergiebt  sich  nach  der  Gleichung  8)  in 
S.  2  iliP  der  Grenze ,  wo  v  und  u  unendlich  sind ,  der  Werth 

V  y  sirfa 
u       X  swF  b  * 

mithin  ist 

46)  tngDR  =  cose.y,^—^^-^^^. 

In  derselben  Weise  erhält  man  für  den  Bogen  DJy  welcher  durch  den  Haupt- 
kreis Cifi,  oder 


178  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 


«-1  =  0 
X      y 

auf  der  Achse  DE  abgeschnitten  wird ,  die  Gleichung 

47)  ,„gZ)/=.-^!gl^./fg''';"f/;-\ 

'  '  tn^a  cos  e    r    l  —  tn^  b  tnff  (ft 

Dnrcb  die  Verbindung  dieser  Werthe  entsteht 

Setzt  man  nun  noch 

ing*  öj 
so  ist 

48)  ingDB  .  ing  DJ=  tng*  c, ; 

dazu  ist  nach  S.  76  der  analytischen  Sphärik  C|  die  kleine  reale  Halbachse 
des  Kegelschnittes  2)  bezogen  auf  die  Coordinatenachsen  />Cund  DE.  Mit- 
hin haben  auch  diese  doppelt  berührenden  Kreise,  deren  Mittelpunkte  in 
der  dritten  Achse  liegen,  folgende  Eigenschaft: 

Der  Mittelpunkt  eines  Kreises,  welcher  einen  sphäri- 
schen Kegelschnitt  in  zwei  gegen  die  imaginäre  Achse  sym- 
metrisch gelegenen  Punkten  berührt,  ist  in  Bezug  auf  den 
confocalen  Kegelschnitt,  welcher  durch  die  Berührungs- 
punkte geht,  der  Pol  des  Hauptkreises,  in  welchem  die  Be- 
rührungspunkte liegen. 

Aus  dem  oben  für  ing  DR  entwickelten  Werthe  erkennt  man  ferner, 
dass  Ton  dem  kleinsten  Kreise ,  welcher  den  Kegelschnitt  1)  in  zwei  gegen 
die  imaginäre  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt,  der  Halb- 
messer 

Qf  =  ^n  —  a. 
Zugleich  ist  dann 

a,  ==e,  fti  =  0,  x  =  ±^tnga^  y  =  0 

Z?Ä  — 0,  i>/  =  0; 

der  confocale  Kegelschnitt  2)  besteht  also  aus  den  beiden  Brennpunkten 

des  ursprünglichen ,  der  Mittelpunkt  des  berührenden  Kreises  ist  D  und  der 

eine  Berührungspunkt  desselben  der  Scheitel  J. 

Vor  dem  grössten  doppelt  berührenden  Kreise  dagegen  ist  der  Halb- 
messer ^^  =  ^7C  —  6 , 
mithin 

fl,  =  0,  ing  6,  =■  sin  e  .  }/ — 1  ^  x  =  Oyy=  +  ing  b 
DR  =  l7t,DJ—^n. 
Hiernach   fällt  der  confocale  Kegelschnitt  2)  unter  dieser  Voraussetzang 
mit  den  imaginären  Brennpunkten  des  Kegelschnittes  1)  zusammen,  der 
Mittelpunkt  des  berührenden  Kreises  ist  E  und  der  Scheitel  B  der  eine  Be- 
rührungspunkt. 


Wotk  Dr.  HSILSRMANN.  179 

Wenn  nun 

80  findet  zwischen  dem  berührenden  Kreise  Kf  und  dem  Kegelschnitt  1) 
eine  Berührung  in  zwei  realen  Punkten  statt;  wenn  dagegen 

Qt  '^  \^  —  ^  0^®'  92  >  \^  —  ^» 
80  werden  die  Berührungspunkte  und  auch  der  Mittelpunkt  des  doppelt  be- 
rühnenden  Kreises  imaginär. 

Jeder  Punkt  des  Hauptkreises  DE  kann  als  Mittelpunkt  eines  doppelt 
berührenden  Kreises  angesehen  werden,  während  in  der  grossen  Achse  des 
Kegelschnittes  l)  der  Mittelpunkt  des  doppelt  berührenden  Kreises  sich 
nur  um  die  Excentricität  des  Kegelschnittes  1)  und  in  der  kleinen  Achse 
nur  um  die  Excentricität  des  recipioken  Kegelschnittes  26)  von  dem  Mittel- 
punkte entfernen  kann. 

§.  H. 

Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  n=(a:,^,)  des  Kegelschnittes  1) 

mit  dem  Punkte  ]t^=(uv)  durch  den  Hauptbogen  nü  =  r,,  so  ist 

^^.^ l  +  ux^  +  vt/^ 

cos  r,  =    ■  — . ■== . 

Wenn  aber  der  Punkt, i{  in  der  dritten  Ach^e  J)E  liegt,  so  ist  Ms^rv>  und 
t>  =  r^ ,  mithin 

ar,  +  — .  f/, 
l  +  uxi  +  vyt  u 


^/I+t^+t? 


y^^i 


Ausserdem  ist  aber  R  auch  ein  Punkt  der  Normale  8)  und  daher  zunächst 

V       y  m*  a 
u      X  «in*  b ' 
also 

1  +  uXi  +  »yj xx^  8%r?  ft  +yyi  Bir^a 

/T+mM^        y/a^  sin^  6  +  y*  sin*  a * 
Wenn  man  noch  hinzunimmt,  dass 

1+^1  i-y,  —         gintasin'b 
so  entsteht 

sin  a  sin  b  (xx^  sin*  b+yy^  sin*  a) 

yx^*  sin*  b  +  yj*  sin*  a  ya^  sin*  b  +  y*  sin*  u 
In  dem  speciellen  Falle ,  wo  der  Punkt  n=  {x^  y,)  mit  dem  Punkte  m  =  {xy) 
zusammenfällt,  geht  der  Bogen  r^  in  den  Halbmesser  q^  des  doppelt  berüh- 
renden Kreises  K^^  über  und  für  cos  p«  entsteht  die  Gleichung 

.    .    ^/ä^ s^  *  +  y**J»' « 
cos  0.  =  stn  a  stnb  .1/    ,    .  .  ^   , — ,   .  .    . 
^*  r    x^  sin*  b  +  y*  stn*  a 


180  Ueber  sph&rische  Kegelschnitte. 

Hiernach  ist  nun 

cos  r,      xXi  sm*  b  ^pyt  skiFa 


<^o«  Qt      j/x*sin*b  +i^8in*a  ]f/ar,»  «V  b  +  y/  sir^a 
dazu  ist  aber  nach  dem  vorhergehenden  S  für  die  kleine  reale  Halbachse  (j 
des  Kegelschnittes  2) 

folglich  auch 

ff  sin  a  xsmb 

sm  c,  =  ,  cos  Ci  — 


j/x^  sin^  b  +  y^  sin*a  j/a^  sin*  b  +  f^sit^a 

Nach  Analogie  dieser  Ausdrücke  setze  man 

yi  sin  a 

^^^'^'  —  ITTi^rh' 
x^  stn  0 

v.  sin  a  x»  sin  b 

smxi  =  --         ^  ,  cosxi=— 1. 

yXf*  sin*  b  +  y*  sin*  a  V^i*  «w*  b  +  y,*  wi'  a 

indem  man  die  kleine  reale  Halbachse  des  Kegelschnittes,  welcher  mit  dem 

Kegelschnitte  1)  confocal  ist  nud  durch  den  Punkt  nsBs^x^y^)  geht,  mitxt 

bezeichnet. 

Wenn  man  nun  noch  von  dem  Punkte  n=s(xiy^)  an  den  Kreis  IT,  eioe 

Berührende  i  zieht  und  beachtet ,  dass 

cos  r- 
cosl=i , 

COSQ^ 

und  die  vorstehendeiiWerthe  in  die  obige  Gleichung  einsetzt,  so  erhält  mu 

cos  i  =  COS  C|  cos  ii  +  sin  c^  sin  3^ , 
oder 

49)  /=±(c,-X.). 

Diese  Gleichung  zeigt,  dass  auch  in  Bezug  auf  die  dritte  Schar  von  dop- 
pelt berührenden  Kreisen  die  sphärischen*  Kegelschnitte  dieselben  Eigen- 
schaften haben ,  welche  im  S.  7  für  die  erste  Schar  aus  den  Gleichungen  31) 
und  82)  sich  ergaben,  und  es  mag  deshalb  hier  genügen,  auf  die  dort  ans- 
gesprochenen  Sätze  zu  verweisen. 

§.  15. 
Es  ist  noch  übrig ,  auch  fär  die  doppelt  einen  Kegelschnitt  berühren- 
den Kreise,  deren  Mittelpunkte  in  der  dritten  Achse  liegen,  die  Eigen- 
schaften zu  ermitteln,  welche  den  im  S.  8  und  11  entwickelten  Sätzen  ent- 
sprechen. 

Nach  dem  vorigen  S.  ist 

**» '  =  i  («'» ^f  cos  X,  —  cos  C|  sin  %f) 
,  {x^y  ^  ary,)  sin  a  sin  b 

J^      y  —  ^=- /    '  '   * 

yx^  sin*  b  +  y,*  «w»  a  y^  sin*b  +  ^  sin*a 
Wird  nun  von  dem  Punkte  '<  =  (0:1^1)  auf  den  Hauptbogen  Cm,  dessen 
Gleichung 


Von  Dn  Hbilebmann.  ISl 


X      y 
ist,  eine  Senkrechte  «gefällt,  8o  ist  nach  der  schon  mehrmals  benntstefi 
Formel 


,  (Xj  y  —  gy,)  wi  a  sin  b) 

~  /«/ «»»•  b  +  yf  sin*a  j/s^+^' 
Durch  die  Vergleichnng  dieser  Warthe  von  sin  l  und  sin  s  entsteht  sogleich 

50)  ^=/^     f^/.^  ' 

'  stns      r    jrstn^b  +  y'snras 

Anch  hier  ist  wieder  das  VerhSltniss  sin  i:  sin  s  von  der  Lage  des  Punktes 
n=:(a?iyi)  unabhängig  eben  so,  wie  es  die  Gleichungen  33)  und  41)  für  die 
Kreise  der  beiden  ersten  Scharen  angeben ,  und  abhängig  von  der  Lage 
des  Berührungspunktes  des  doppelt  berührenden  Kreises  oder  seines  Halb- 
messers. 

Um  diesen  Zusammenhang  deutlicher  su  erkennen  >  setze  man  in  die 
Yorstehende  Gleichung  für  9  und  y  die  im  vorigen  S.  angegebenen  Werthe 
ein.    Dadurch  entsteht 


sin  t 


--: —  =  l/l  +  cot*a  +cot*b  —  ^«ö*p,, 
stns      '  ^^  ^' 

und  mithin  ist  das  Verhftltniss  sin  i :  sin  s  desto  grösser ,  je  kleiner  q^  ist. 

Wenn  insbesondere  der  Halbmesser  ^,  seinen  grössten  Werth,  d.  i. 

4»  —  6  annimmt,  so  ist  ^ 

sini 1_^ 

sin  s      sina'* 
und  wenn  dagegen  ^,  am  kleinsten  oder  gleich  \n — a  ist,  so  erreicht 
sini\sins  sein  Maximum  oder 

sint 1^ 

sin  s  sinb' 
Diese  Grenzwerthe  und  eben  so  die  allgemeine  Gleichung  zeigen,  dass  für 
alle  doppelt  berührenden  Kreise ,  welche  zu  der  dritten  Schar  gehören,  die 
von  einem  Punkte  des  Kegelschnittes  an  dieselben  gezogene  Berührende 
grösser  ist,  als  die  Entfernung  desselben  Punktes  von  dem  HauptkreisOi 
welcher  durch  die  beiden  Berührungspunkte  geht. 


vm. 

üebor    MagnotismuB. 

Von  Gustav  Roch, 

Stad.  ikiithem.  in  Leipsig^. 
(Forisetsnng  tob  Nr.  Xm,  Jahrg.  iSöd.) 


22.  Einige  der  in  dem  angeführten  Aufsätze  entwickelten  Gesetze 
gelten,  wie  ancb  schon  angegeben  wnrde,  nicht  unter  allen  UmBtanden. 
Ist  k  das  Verhältniss  des  von  den  magnetischen  Strömen  wirklich  umschlos- 
senen Volumens  zu  dem  ganzen  Volumen,  so  stand  zunächst  der  Fall  Ar=l 
als  Ausnahmefall  da.  Die  Gleichungen  11)  sind  zwar  auch  dann  vermöge 
der  Schlussbemerkung  von  Nr.  21  als  begründet  anzusehen^),  aber  die  f^r 
die  Lösung  der  Bedingungsgleichung  des  Gleichgewichts  so  nöthige  Glei- 
chung 16)  ist  als  unbegründet  anzusehen.  Wohl  aber  bleiben  wieder  die 
Gleichungen  18)  in  Richtigkeit,  wenn  nicht  in  17)  C=0  angenommen  wird. 
Es  müssen  daher  die  Gleichungen  20)  ihre  Richtigkeit  behalten,  es  wird 
also  die  Intensität  der  Ströme  constant  sein  im  Verlaufe  jeder  von  den 
Stromebenen  umhüllten  Fläche.     Dann  hat  u  den  Werth 

35)  tt=  —  4«Ari,  +  C,  k  =  l. 

lieber,  die  Vertheilung  der  Intensität  aber  ist  gar  keine  Regel  vorläufig 
aufzustellen,  wenn  das  magnetische  Gleichgewicht  eintritt,  welches  C=0 
macht  in  17)  oder  35).  Ist  nicht  A:  =3  1 ,  so  ist  dies  ganz  einflusslos  auf  die 
Lösung  der  Aufgaben.  Da  die  Gleichung  16)  nicht  giltig  ist  für  A:  =  1 ,  w 
ist  auch  keine  Reihenentwickelung  von  (p  vermöge  der  Formeln  83)  und  34) 
möglich;  ausserdem  ist  der  Werth  von  9)  dann  zusammengesetzt  aus  einem 
Doppelintegrale  und  einem  dreifachen  Integrale  [s.  8)  und  9)].  Ich  will 
daher  zunächst  eine  andere  Form  für  9)  entwickeln^,  die  unter  allen  Um- 
ständen nur  aus  einem  Doppelintegral  und  zwar  von  äusserst  einfacher 
Form  besteht.     Nach  Nr.  8)  ist 


*)  Anstatt  der  Worte:  „wemi  nicht  eben  k^=V^f  in  p*  431 ,  Zeile  8  ▼.  0.  J«hrg. 
1859 ,  ist  zu  lesen :  „selbst  wenn  k  =z  V*. 


lieber  MagnetismnB.   Von  Gustav  Roch.  183 

Oder 

Sieht  man  nun  die  Coordinaten  x^y^  z  als  Functionen  an  vom  r  und  den 
Folarwinkeln  i\f  and  ^,  so  dass 

X  —  a?!  =  r  cos q>\  y  —  y^  =2  r  sin  ^  cos  O;  z  —  Z|  =  r  Wn  tj;  sin  ^, 
80  sind  die  drei  örössen 

dx     dy     dz 

identisch  mit  den  im  letzten  Ausdrucke  für  q  vorkommenden  Differential- 

qaotienten 

dr     dr'     dr 

dx'    dy'    dz' 
Berücksichtigt  man  nun  Gleichung  II) ,  so  folgt: 

yfQ  dm  das  Volumenelement.  Setzt  man  dm  =  r^sin^fdii;d^dry  so  lässt 
sich  die  eine  Integration  ausführen  und  man  erhält: 

36)  ^  =  Ar  /  j (psinHfdii>d^  —  Aitkq)^^ 

wo  qp,  der  Werth  von  tp  im  Punkte  x^  y^  z^  ist.  Der  erste  Theil  von  q  kann 
möglicherweise  aus  mehreren  Gliedern  hestehen;  wenn  nämlich  der  Ra- 
dios r  die  Oherfläche  in  verschiedenen  Punkten  1,2,3..  schneidet ,  so 
kommt 

!q  =  k[  f  ftp^siniifd^lfdd'  +  f  f  q>^^^sin^f  d'^d^  +  . . . 
—  /  /^^^^'«^''V'^^--  /  f  (f^^sin^f^'^ijd^.  ..j 
—  Ank^t, 
Ist  der  Punkt  x^  y^  z^  ein  äusserer  Punkt,  so  ist  9,  =  0,  und  es  müssen 
eine  gerade  Anzahl  von  Durchschnittspunkten  vorhanden  sein.     Liegt  der 
Punkt  oTj  yi  z^  in  der  Masse  des  Magneten ,  so  sind  eine  ungerade  Anzahl 
von  Durchschnittspunkten  vorhanden. 

*  23.  Wäre  die  Theorie  der  Kugelfunctionen  so  weit ,  als  es  wohl  wün- 
scbenswerth  ist,  erschöpft,  so  mttsste  die  Gleichung  36)  am  allerei nfachsten 
zu  henptzen  sein ,  um  die  Aufgabe  der  Berechnung  der  magnetischen  Ver- 
theilnng  sehr  allgemein  zu  lösen.     Bei  dem  Integrale 

(^,  =  /  l<psiniifdfifd& 

mnss  man  sich  offenbar  q>  direet  als  Function  von  ^  und  d  denken ,  und 
zwar  gehen  nur  die  auf  die  Oberfläche  bezüglichen  Werthe  in  dasselbe  ein. 


184  Ueber  MagnetUmus. 

Diese  Abhängigkeit  aber  wird  je  nach  der  Lage  von  x^  y^  z^  eine  ganz  ver- 
schiedene sein  können«  Nehmen  wir  im  Inneren  der  Fläche ,  auf  welche 
sich  Ol  bezieht,  einen  festen  Pankt  0  als  Coordinatenanfang ,  so  schliesse 
Mi  Pi  mit  den  Achsen  die  Winkel  ^  und  ^  ein,  während  ^'nnd  d^'  die  Rich- 
tungswinkel von  OP^  sein  mögen.  Han  denke  sieh  nun  das  g>  im  Punkte  P^ 
als  Function  von  Tp'  und  d''  oder  allgemeiner ,  das  9  jedes  Punktes  der  Oher- 
fläche  ausgedrückt  durch  seine  Lage  gegen  0^  so  erlangt  <ß|  die  Form 


//' 


(p  (^',  ^')  sin  ffß  diff  d^] 

ist  q>  bekannt,  so  kennt  man  auch  seine  Reihenentwickelung  nach  den 
Laplace'schen  Functionen,  etwa: 

g,  (i^>')  =  ^l«)  +  tf>'(0  +  a>'(«)  +  . . . . 
Offenbar  kennt  man  die  Gestalt  der  Oberfläche,  und  es  ist  daher  stets  mög- 
lich ,  if;',  d"'  auszudrücken  durch  ^ ,  d'  und  r| ,  if;, ,  ^, ,  die  Coordinaten  toh 
Ml ,  und  setzt  man  dies  in  die  Reihen entwickelung  von  q>  (^',  6'')^  so  erhielte 
man  ff>  als  Function  von  if;  und  ^.  In  das  Integral  Qi  aber  geht  nur  das 
Glied  von  der  Ordnung  0  nach  ^  und  O  ein ,  und  es  wäre  daher  die  Auf- 
gabe nun  die ,  dieses  Glied  zu  finden.  Man  hat  aber  für  die  Lösung  dieser 
Aufgabe  noch  keine  Formeln. 

Denkt  man  sich  um  Mf  eine  Kugel  mit  dem  Halbmesser  1  beschrieben, 
so  ist  sinipdri}d9^  das  Element  derselben,  4ir  die  ganze  Oberfläche,  die 
durch  die  Theilung  der  Kugel  in  die  gleich  grossen  Elemente  ds  in  nTheile 
zerfalle.     Offenbar  ist  iß,  identisch  mit 

'  q>  0*=»  An- =  4» , 

4ir  n 

wenn  q>\  9"  . . .  die  Werthe  von  tp  in  den  Oberflächenpunkten  sind,  denen 
die  verschiedenen  ds  entsprechen.  Es  ist  also  (),  gleich  4»  mal  einem  ge- 
wissen mittleren  Werthe  aller  auf  der  Oberfläche  vorhandenen  q>,  — 

24.  Da  es  nicht  möglich  ist,  bis  jetzt  die  Lösung  in  der  in  Nr.  23  an- 
gedeuteten Art  und  Weise  vorzunehmen,  so  muss  der  Ausdruck  36)  anf 
einen  festen  Punkt  als  Coordinatenanfang  transformirt  werden,  und  man 
kann  so  sehr  verschiedene  Formen  für  das  Doppelintegral 

37)  Q^=fc  I  I  (p  Sinti;  d^fd^ 

erhalten :  Ich  will  diesen  Ausdruck  zunächst  in  rechtwinklige  Coordinaten 
umsetzen  und  dabei  ein  Verfahren  gebrauchen ,  was  schon  von  Laplace  m 
seiner  Mecanique  Celeste  angewendet  worden  ist  zur  Transformation  drei- 
facher Integrale.     Setzt  man  —  co«  tf;  =  f*,  so  ist 

0,  =  kJJ(pdi,d^. 

Es  soll  nun  das  Element  dy  dz  hereinkommen,  so  kann  man  setsen: 


/' 


Von  Gustav  Roch.  185 

Durch  Einsetsen  diesos  Werthes  wird  fi  eliminirt  tiad  es  sind  ^  und  y  vor- 
handon»    Man  setzt  nun 

so  ist  auch  ^  eliminirt ,  man  braucht  nur  /^  und  f  zu  kennen.  Man  trennt 
nun  aber  (i  und  ^  als  Functionen  von  y,  z^  indem  x  ans  der  Oleichnng  der 
FUche  durch  y  und  z  ausgedrückt  erbalten  werden  kann ,  so  dass  der  Aus- 
druck für  dd'  schon  die  richtige  Form  hat.     Hingegen  ist 

Hier  ist  ^  nicht  identisch  mit  — ,  da  durch  Einführung  von  -^  in  f(  =? 

f^}|^  ^)  noch  andere  y  hereinkommen  können.  Wohl  aber  ist  tf  ft  so  genom- 
men, dass  <f^  =  0,  denn  eigentlich  müsste  sein 

es  ist  also 

rf{>  =  — dy +  — rfzc=o 
oy  dz 

einzuführen ,  woraus  dz  als  Function  von  dy  folgt 

dz 

und  dies  ist  in  d^  einzuführen: 

^^^-^ry^'^rzu''^ 

dz 
und  die  gesuchte  Transformation  ist: 


o-^/ßi^/i-m^^'- 


In  unserem  Falle  ist: 


dfA  = ;  ^  =  Arclan  - 


r  y—yx 

Nach  Ausführung  der  Rechnung  erhält  man : 


^' = *//?  ^-"'^  -  (*-*''^  I;  -  (^-''^  If] ''''  '^^ 


I  Ebenso  hätte  man  erhalten  kfinnen: 


39) 


'■■='//?[<»-».)-<=-^'>r'-('-")|j]''"" 

ZeiUchrLft  f.  Mathematik  u.  Phyaik.  VI,  S.  13 


186  lieber  Magnetismus. 

Diese  drei  Formea  sind  auch  identisch;  wenn  man  bedenkt^  dwMdxdy^ 
dzdx^  dydz  die  Projectionen  des  Oberflächeneleraentes  auf  die  Coordina- 
tenebenen  sind ,  so  lassen,  sie  sich  zusammenziehen  in 

Oi=^JJ^[{^—^i)  ^y  ^"^  +  (y—yt)  ^«^^  +  (« -  *t)  ^^  ^yj» 

oder  einfacher  in 

40)  Öl  =  A:  jj  ^  cos  {Nr)  .  dw. 

Wäre  der  Körper  massiv ,  und  Mi  läge  ausserhalb ,  so  wtirden  die  par- 
tiellen Differentialquotienten  dieses  Qi  die  Componenten  der  Wirkung  sein, 
die  der  Magnet  auf  ein  in  Mi  befindliches  magnetisches  Theilchen  (ob  nord- 
oder  sUdmagnetisch  kann  nicht  ohne  Weiteres  angegeben  werden)  aosfiben 
würde.  Eine  ganz  ähnliche  Form  existirt  ffir  die  gewöhnliohe  Mastenan- 
ziehung. Das  Potential  ist  dann  -  j  j  cos  {Nr)  dw  und  {Nr)  in  beiden  Fal- 
len der  Winkel  der  nach  Aussen  gerichteten  Normale  mit  r. 

Man  kann  aus  40)  aber  noch  eine  andere  Form  herleiten.  Es  iit 
nämlich : 

;i  * 

1         V ^T  fdr  ()x       drdy       drdz\ 

^cos.  r—       ^^  KdxdN'^  dydN'^  dzdNj' 
oder 

■*■  dxidN^  dyidN'^  dz^dN' 
Nun  ist  sowohl  tp  unabhängig  von  ^i ,  yi ,  Zg  als  die  Richtung  der  Normale, 
und  es  ist  daher  erlaubt  zu  schreiben : 

Es  soll  nun  r  mit  R  vertauscht  werden  und  es  mögen  r  und  r,  die  Radien- 

vectoren  der  Oberflächenpunkte  und  M^  sein.    Dann  ist 

t*  sirf^d^d^ 

dw  = -j—T — , 

cos  {Nr) 

womit  Ol  übergeht  in 

n         ^    L  rr   r*(^os{Nx)l    .       ^     ^^ 
i  oxy    J  J        cos  {Nr)   R 

A\\  J       -L  ^    1    er    f*cos{Ny)i     .        ^     ^^ 

41)  <      +^^k  I  f  tp -^^  -  *i« ^  tf ^ d& 

l  oyi    JJ  ^    cos  {Nr)    R        ^     ^   . 

,    d    ,    /•/•   r*cos{Nz)  1     ..      ^     ^^ 

cz^    JJ^  cos  {Nr)    R     *^     ^ 


Von  Gustav  Roch.  187 


Eine  andere ,  aber  bei  Weitem  nicht  so  symmetrische  Form  für  ß,  kann 
man  noch  auf  folgende  Weise  erhalten.     £s  ist: 

wenn  man  die  Gleichang  der  Fläche,  auf  die  sich  Qi  bezieht,  schreibt 
Diese  letzte  Form  aber  ist  einfacher : 


ji    .        j     j «  /.       neos  Nrt  \ 
\  rcosNr/' 

wodurch  iß,  übergeht  in : 

Hat  in  Figur  3  Taf.  IV  OP  die  darch  ^  and  ^  reprAsentirte  liichtong,  so 
ist  in  aUen  den  jetat  entwickelten  Formen  ffir  q^  der  dem  Ponkte  P  Angehö- 
rige Werth  einanführen. 

35.  Wir  haben  bisjetzt  die  Tranafonnation  ron  Qt  in  38)  in  der  Weise 
ausgeführt,  dass  das  Flement  der  am  Mi  in  Fig.  3  Taf.  IV  eonceniriechen 
Rngel  ausgedrückt  wurde  durch  das  Element  der  um.  0  ponoentrifechen 
(s.  Nr.  23).  Nimmt  man  0  im  Innern  der  Flüche  «i^,  so  sind  0,  n  und  ^,2» 
die  Grenzen  für  ^  und  ^  in  dem  transformirten  Ansdmoke.  Ist  if|  ein  in* 
nerer  Punkt,  so  gelten  dieselben  Grenzen  auch  f\\^  die  Form  38).  Anders 
ist  es,  wenn  Jf|  ein  äosserer  Punkt.  Dann  sind  die  Grenzen  in  38)  gegeben 
durch  die  Gestalt  des  von  M^  an  die  Fläche  legbaren  Tangeattalkegels. 

Man  kann  nun  den  Ausdruck  38)  sich  auch  auf  eine  andere  Art  trans'* 
formirt  denken.  Es  sei.öP  (Fig.  8  Taf.  IV)  purallel  mit  Mi  P, ,  die  durch 
f  und  4^  gegebene  Richtung  0  Pt  habe  die  Ki^tung  i^'  ^',  il6  iet: . 

Qiz=zk  I  jq>  (^',  ^')  sin  if;  ef  ^  d^. 

Für  den  Fall  eines  inneren  Punktes  sind  0,  n  und  0,  2?^  die  Grenzen,  für 
einen  äusseren  sind  sie  wieder  durch  den  Tangentenkegel  gegeben.  Da« 
7  (V>^')  kann  man  sich  ausgedrückt  denken  durch  nß  *x^  wo  x  ein  bestimm- 
ter, von  der  Stellung  von  Jlf|-und  von  t/;,  O  abhängiger  Factor 

13* 


188  lieber  Magnetismus. 

worin  <p  den  Werth  im  Punkte  P  bezeichnet.  Für  einen  inneren  Punkt  M^ 
sind  nun  die  Grenzen  dieses  Integrales  dieselben,  wie  die  der  in  24)  ent- 
wickelten Formen  von  Qi ,.  und  es  wird  daher  für  die  Ausrechnung  des 
Doppelintegrales  gerechtfertigt  sein,  x  zu  identificiren  mit  dem  Factor  ron 
tp  simif  d^  d^  einer  dieser  Formen. 

Hierin  liegt  jedoch  noch  eine  Ungenauigkeit.  sin  ^  dip  d^  ist  nämlich 
das  dem  Oberflächenelement  in  P  entsprechende  Element  ds  der  um  0  con- 
eentrischen  Kugel,  und  es  muss  daher  dies  ds  noch  mit  einem  Factor  mal- 
tiplicirt  werden,  wodurch  dasselbe  in  das  Element  £f<ri  der  am  4f,  concen- 
trischen  Kugel  tibergeht,  welches  dem  in  P^  liegenden  Oberflächenelement 

entspricht.  Ofl'enbar  ist  — '  dieser  Factor,  und  es  ist  derselbe  nur  abhän- 
gig von  der  Gestalt  der  Fläche  und  der  Lage  von  Jlf,.  Man  erhält  daher 
für  innere  Punkte  ein  richtiges  Q^  wenn  man  setzt  t 

denn  dann  ist 

«?«  «2« 

0  0  0   0 

wo  X  der  Factor  von  q>sin'^d^dd^  in  einer  der  für  Q  in  Nr.  24  entwickel- 
ten Formen. 

Obgleich  ich  bisjetzt  noch  keine  Anwendung  dieses  Satzes  habe  fin- 
den können  bezüglich  der  Ausführung  der  Integration,  so  habe  ich  ihn 
doch  angeführt,  weil  er  eben  einen  Unterschied  zeigt  zwischen  dem  ft  ftr 
innere  und  für  äussere  Punkte. 

Einen  ähnlichen  Unterschied  lässt  auch  schon  die  einfache  Form  98) 
erkennen;  denn  nur  für  innere  Punkte  gelten  die  in  23)  gegebenen  Bemer- 
kungen, da  nur  für  die  Grenzen  0,  n  und  0, 2«  die  Formel  gilt 

Ym  .  ZH  =  Oy  m^n. 

26.  Für  *  =  1  reduciren  sich  die  drei  Gleichungen  12**)  des  Gleichge- 
wiehts  auf 

worin  ß,  +4^c  die  Summe  aller  in  37)  vorkommenden  OKeder  von  der  Form 
wie  jPi  bedeuten  soll.  Ich  setze  nur  einen  massiven  Körper  jetzt  voraus, 
so  int  einfacher 

44)  g+Ot+Cx,=0, 

wo  daun: 


// 


^^  dx,-"^'    di,-^'^   ä^-y«- 


Von  Gustav  Roch.  .   J89 

Dem  dnreh  diese  BedingnDgen  gegebenen  Gleichgewicht  kommt  die 
£igeDthümliohkeit  an,  dass  die  Intensität  des  Magnetismas  constant  ist  auf 
jeder  yon  den  Siromebenen  umhüllten  Fläche,  und  awar  muss  man  zu* 
geben,  dass  dies  Resultat  bedeutend  fester  begründet  ist,  als  die  Formeln 
23}  ftir  den  allgemeineren  Fall  Är<l,  welche  für  diesen  Fall  ein  ganz  con- 
stantes  t  ausdrücken. 

Durch  Benutzung  des  Werthes  41)  für  Qi  kann  die  Gleichung  44)  in 
drei  von  einfacherer  Form  zerlegt  werden ,  die  so  symmetrisch  sind ,  dass 
nur  eine  von  ihnen  untersucht  zu  werden  braucht. 

Rührt  die  Induction  des  Magnetismus  her  von  magnetischen  Kräften, 
Bo  kann  dieselbe  stets  ersetzt  werden  durch  eine  von  geschlossenen  elektri- 
schen Strömen  herrührende.  Da  jeder  solcher  Strom  in  geschlossene  Ele- 
mentarströme zerlegt  werden  kann ,  so  wird  q'  aus  einer  Summe  you  Glie- 
dern von  der  Form  q  in  1)  bestehen;  man  kann  dies  auch  verändern  in: 

r      /    ai  a-  d^\ 

wo  v\  i",  «'  • .  für  die  inducirenden  Ströme  dieselbe  Bedeutung  haben ,  wie 
r,t,a..  für  Molecularströme  des  Magneten.  Diese  Form  kann  man  um- 
setzen in 

^*^  ^^ä^  +  a^  +  a^' 

wenn  man 

")  ^.=4¥>  «.=-(^)^ '.=<^) 

macht  Durch  Betrachtung  der  Gleichungen  41)  und  44)  folgt  hieraus ,  dass 
sich  auch  ^i  ii^  einer  ähnlichen  Form  schreiben  lassen  wird : 

48)  ^-lül  +  pL  +  p^ 

dx^      dt/i      dzi 

und  es  erhält  nun  durch  die  Substitution  dieses  Werthes  von  %i  die  Glei- 
chung 44)  die  sehr  symmetrische  Form : 

Eine  Verwechslung  der  beiden  Bedeutungen  von  N  (als  Normale  und  als 
Glied  von  g')  ist  nicht  gut  möglich.  Die  Gleichung  49)  muss  gelten,  welche 
Richtung  der  Achsen  man  auch  voraussetzt.  Denken  wir  uns  diese  Glei- 
chung einmal  ersetzt  durch 


190  Ueber  Magnetismus. 

und  be^eicimen  mit  tiy  fi^v  Ghröasen,  die  sich  auf  drei  rechtwinklige  Ach- 
sen ^9  iii  i  genau  in  der  Weise  beziehen,  wie  /,  m^  n  auf  x^  y,  z.  Man  hst 
nach  den  bekannten  Traasformationsformeln  £iiK  rechtwinklige  Coordinaten: 

,       dm    .    ,   dm    .    '  dm 

^§1  ^t/i  ^fi 


und  es  muss  dies  gleich 


aA     ai»     av^ 


sein.     Dies  ist  offenbar  dann ,  wenn : 

fiz=sbl  +  bim+  b^n 

v=zcl  +  c^m  +  c^Hj 
d.  h.  wenn  die  drei  Grössen  /,  m,  n  so  transformirt  werden  dürfen ,  wie  die 
ar,  y,  «  selbst.  Die  Werthe  i|,  ÜSfi,  iV,  und  die  drei  Integrale  in  49)' genügen 
offenbar  dieser  Bedingung  5  wie  man  sich  leicht  überseugt  Es  nrüssen  da- 
her auch  die  drei  Werthe  m,  ,  », ,  w/ Von  ähnlicher  Form  sein.  Dass  dies 
wirklich  der  Fall  ist ,  folgt  noch  aus  einem  anderen  Grunde :  Es  s^  eine 
Gerade  gegeben,  die  mit  den  Achsen  Winkel  einschliesse ,  deren  Cosinns 
a,  fc,  c  seien.  Dann  ist  der  Winkel,  den  die  durch  die  Winkel  «i,  /Jj,  y,  ge- 
gebene Gerade  mit  dieser  einschliesst : 

oder  wenn  p^  die  Richtung  dieser  Geraden : 

Bezieht  man  jetzt  ^i  s^f  ^ii^  System  | ,  97 ,  ^  von  Achsen  und  setzt  dann 

_du        dv        dfv 

^'~d^,  '^dfird^r 

so  erhält  man  die  Winkel,  die  die  Gerade  ff|  ßt  yx  mit  jeder  dieser  drei 
Achsen  einschliesst,  durch  Differentiation  dieses  Ausdruckes  nadi  diesen 
Achsen;  naich  der  eben  gemachten  Bemerkung  müsste  auch  der  alteWerth 
von  xi  nämlich  dieselben  Werthe  liefern;  es  müsste  also  sein: 

awi^      a»^      aw, du        dv        dw 

dx,'^  dy,'^dT,~dTi       dn.di^' 
woraus  wie  früher  folgt,  dass  M| ,  v^ ,  99;^  dureh  die  gewöhnliohen  Fomeh 
transformirt  werden  dürfen. 

Die  Gleichung  49)  soll  zur  Bestimmung  einer  einzigen  Function  7  ver- 
wandt werden;  man  kann  sie  aber  in  drei  zerlegen,  wenn  man  daftlr  noch 


Von  Gü8TAV  Roch.  191 


iwei  neue  unbekannte  f^unclionen  hereinbringt.     Wir   serlegen  also  die 
Gleichimg 

dl    ,  ^£^ ^ 

in 

wobei  nnr 

^(*,y,  *)  +  ^t  (ar,y, «)  +  ^»  (j?,y>  0  =  0 
sa  sein  berabt.     Man  würde  hieraus  finden : 

dXi  dxy      dx^J  J  ^  cos  {Nr)     R        ^     ^ 

und  ebenso  -^  und  ^-^;  nun  sind  eigentlich  die  Grössen  ti|,  Vi,  iP|  gar  nicht 

ftir  uns  zu  wissen  nöthig ,  sondern  es  wird  nur  verlangt 

dui      dVi       dWi 
dxi      dyi       dzi 
SU  kennen;  dies  wird  sich  aber  nicht  ändern,  welche  Beschaffenheit  man 
such  F^  Fl ,  Ff  giebt,  da  ja  stets  F+F^+F^^^O  ist.     Man  braucht  das- 
selbe diüier  gar  nicht  an  berdcksiohtigen  und  whftlt  so  4ie  drei  Glei- 
chungen : 

dl       ^     dm       ^     dn 
dx^  dt/t  dzx 

Dies  kann  Ton  den  Differentialen  befreit  werden,  nämlich: 

/  +  /'(yu^i)  =  0;  m+/;(«,,a:,)=0;  n  + /;  (a?, ,  y,)  =  0. 
Nun  folgt  aus  den  anfänglichen  Bemerkungen  in  dieser  Nummer ,  dass ,  da* 
mit  diese  Grössen  für  alle  Achsenrichtungen  identisch  gleich  Null  seien, 
dass  die  drei  Grössen  linker  Hand  durch  die  Coordinatentransformations- 
formeln  transformirt  werden  dürfen.     Mioi  mflsste  haben: 

af{yuZi)  +  hfl  (t,,«,)  +  cff  (a:i,y,)  =/^  (i?,  t) 

«f/"(yii  2i)  +  ^A  («it^i) +^i/;  (a^i,yi)  ==/;'  (t,  I) 

und  dies  ist  allgemein  (d.  h.  für  jedes  System  a,  &,  e)  nur  möglich ,  wenn 
/*==/!  =/t  =  0*  Man  darf  daher  die  Gleiebnng  49)  in  die  drei  anderen 
serlegen: 


^^+fß 


cos  {Nr) 

T^cos{Nz)     1     .         ^      ^^  .    ^ 

-^stn\i;diifd^+CWi^^O» 


cos  (Nr)      R 

Ans  diesen  drei  Gleichui^en  kann  man  ti, ,  9i ,  w^  berechnen ,  ausgedrückt 
durch  Lfy  M^y  N^  und  9 ,  und  es  ist  dann  q>  so  einmvichten ,  dass 


192  Ueber  Magnetisimia. 

dxx       dt/i        dzi 
den  Bedingungen  genügt ,  denen  es  vermöge  seines  Zusammenhanges  mit 
fp  genügen  muss. 

Es  müssen  aber  auch  diese  drei  Gleichungen  vollkommen  ausreichen 
zur  Bestimmung  von  q>i,  u^j  Vi,  Wf,  denn  von  Xi  kennt  man  scbon  die  Be- 
dingung, dass  Ol  doi  +  ßidßi  +  yi  dy^  =s  0.  Ist  tp  gegeben,  so  sind  daher, 
obgleich  C  willkürlich  ist  im  Allgemeinen ,  dennoch  Ui ,  t^i ,  n>i  eindeutig  be- 
stimmt. Man  kann  also  aus  den  drei  Gleichungen  50)  q>  und  %  bestimmen; 
diese  müssen  dann  noch  so  beschaffen  sein ,  dass  ihre  partiellen  Differen- 
tial quoüenten  einander  proportional  sind ,  und  q>  muss  ausserdem  noch  der 
Gleichung  20)  genügen. 

Anders  ist  der  Fall  zu  behandeln ,  dass  67  =  0 ;  dann  dürfen  die  will- 
kürlichen Functionen  jP,  F^^  F^  nicht  wegfallen ,  sondern  man  müsste  schrei- 
ben, etwa: 

r._»/'      p^^ft      jr-^f* 
wodurch  die  Gleichungen  übergingen  in: 

51)    }Mi+ff9>'^^^^^^sin^l>d^d»  +  f,{xuy,,z,)^0 


''^•'ff' 


wozu  noch  kommt: 


cos  {Nr)    R 
r^coB  (Nz)  1     .        ,,«,,-,  V 

"^  '7is''{Nr)    R  *^''**^*  ^^  +  ^»  («n  yn  «i)  =0. 


oxi      dyt       dzi 


aus  welchen  vier  Gleichungen  q>y  f,  fn  ft  zu  bestimmen  sind. 

27.  Ich  will  diese  Formeln  nun  einmal  anwenden  auf  die  Berechnung 
der  Vertheilung  in  einer  Kugel  und  dann  andeuten,  wie  dieselbe  ausge- 
geführt  werden  könnte  bei  beliebigen  anderen  Flächen.  Dabei  wird  sich 
ergeben,  dass  die  Formel  20)  nicht  dienen  kann,  um  die  Kichtigkeit  der 
Theorie  zu  prüfen,  sondern  dass  dieselbe  nothwendig  ist,  um  überhaupt 
die  Lösung  vollständig  zu  machen.  Es  wird  sich  zeigen,  dass  man,  um 
diese  Lösung  zu  finden,  gar  nicht  nöthig  hat,  die  Gleichung  für  das  magne- 
tische Gleichgewicht  in  drei  zu  zerlegen. 

Es  sollen  zunächst  die  Gleichungen  angewendet  werden  auf  eine  mss- 
sive  Kugel;  in  ganz  analoger  Weise  wird  man,  wie  gezeigt  werden  sollt 
auch  bei  Kugeln  mit  concentrischdr  Hölnng  verfahren.  Es  sei  a  der  Radios 
der  Kugel,  r^,  i/;,  O  die  Polarcoordinaten  des  Punktes,  für  den. die  Gleich- 
gewichtsbediugungen  aufgestellt  werden,  und  r,  ^,  ^,  also  o,  ^,  ^  die  eines 
beliebigen  Oberflächenpnnktes.     Dann  ist,  da  stets  r,  <a: 


Von  Gustav  Roch.  193 


co5(iYr)  =  l,  co${Nx)=^coS'^y  cos{Ny)  ^^sirf^;  cos^^  cns{Nz)  =:=  sin ij)  sind'. 
Es  mass  darauf  aufmerksam  gemacht  werden,  dass  Fnnctrone&  von 
a^i,  yn  ^1»  di«  der  Gleiofanng 

.  d^F  ^d^F    ,d^F_^ 

""^  ä^  +  a^  +  a^-^ 

genügen,  sicli  in  Reihen  entwickeln  lassen,  deren  Coefficienten  der  Diffe- 
rentialgleichung der  Kugelfanctionen  genügen ,  Q^  und  H^  von  der  Form 


F^SGnr,^  +  £ 


r,»+i' 


Der  Beweis  dafür,  den  Poisson  lieferte  und  der  ganz  einfach  auf  der  Um- 
setzung der  Olejchung  a)  in  Polarcoordinaten  beruht,  befindet  sich  in  Nr.  19 
p.  428  des  vorigen  Jahrganges.  Bei  uns  sind  x^  Und  q  solche  Functionen, 
nnd  zwar  müssen  bei  einer  massiven  Kugel  alle  iT«  verschwinden ,  indem 
aönst  diese  Grössen  und  ihre  Differentialquotienten  erst  recht  im  Kugel- 
mittelpunkte (denselben  als  Anfang  genommen)  unendlieh  werden  müssten. 
28.'F(fr  eine  massive  Kugel  geht  die  Gleichung  49)  über  in: 

^  I A  +  «*  //  <P  <^ö5  ^  £{^j—^  sin  ^d'pdd+  Cuy  \ 
53)  <  +  —  1^,  +  ö*  /  /  <p  sin^,  cos  d  £1-—^^)  sin^dTj;  rfO  +  ^v,  | 

+  —  {^i  +  a*  /   /  q>sin^fSin&£\p-^A  «intprft^  rf^  +  Cw,  | 

Die  drei  Integrale  können  entwickelt  werden,  wenn  man  sich  die  (p  cos  ^l;^ 
fp  sin  ^  cos  ^,  ipsin^f;  sin  d' ,  die  sich  ja  nur  auf  die  Oberfläche  beziehen ,  in 
nach  den  Gesetzen  der  Kugelfuncüonen  fortschreitende  Reihen  verwandelt. 
Aas  demselben  Grunde,  wie  der  Ende  der  vorigen  Nummer  angegebene, 
muss  es  auch  erlaubt  sein ,  Z| ^  M^,  N^  in  Reihen  zu  entwickeln ,  in  denen 
z.  B.  das  allgemeine  Glied  der  ersten  ist: 

wobei  es  jetzt  ganz  gleichgültig  ist,  ob  die  X|<"^ ...  der  Differentialglei- 
chung der  Kugelfunctionen  genügen  oder  nicht.  Ebenso  mögen  t/| ,  t^^  ^  ^| 
in  Reihen  entwickelt  werden ,  deren  allgemeine  Glieder 

rj(")r,«,  V,(^>r^^,  fF4<»)rj» 
sein  mögen. 

Man  kann  so  die  Gleichung  3)  in  unendlich  viele  zerlegen ,  indem  man 
die  mit  verschiedenen  Potenzen  von  r^. behafteten  Glieder  einzeln  gleich 
Null  setzt.  Wir  werden  später  bei  Ausführung  der  Differentiationen  sehen, 
dass  dies  darauf  hinauskommt,  für  /t  =  0,  »  ^=:  1 . . .  bis  vi  =  oo  die  Glei- 
chungen SU  befriedigen: 


194  Ueber  MagnetiBmus. 


^*^    1''"  äl:  !  ^•'"''■•"  +  3^  ^  (9»  *«  V»  cos  *)(")  +  C r.Or.-  j  |=  0. 

Dass  diese  Zerlegung  die  richtige  ist ,  Iftsst  sich  nicht  ohne  Weheres 
erkennen,  da  durch  Differentiation 2. B.  von  Zi^'^rj*  zwei  Glieder  entstehen: 

die  also  mit  verschiedenen  Potenzen  von  Tj  behaftet  sind.  Man  kann  diese 
Gleichung  mit  {2n  +  i)a^  multipliciren »  und  dann  X|<*>a",  {7|<")a*  eU.  als 
die  Werthe  von  X|(")ri"  ansehen,  die  dem  in  der  Bichtung  ^|  Oj  gelegenen 
Oberflächenpunkte  entsprechen*  Die  Differentiation  lässt  sich  nun  etwu 
weiter  ausführen  und  giebt: 

ri^»>  [a^  !  (2«+  l)«*^i^»>  +-4«^  (9  cos  i/;)(«)] 

+  C?7/«)(2n+l)a.j+...l 
65)   \  p.  ^-^  /=0. 


+  C7I7.(«)(2n  +  l)a«j|^  +  .,.] 


£s  ist  nun  nicht  schwer,  sämmtliche  Glieder  mit  Z|,  üf  etc.  so  zu 
schreiben,  dass  die  Summe  derselben  fttr  die  verschiedenen  n  eine  endliche 
Form  erhält.     Es  ist 

(2n  + 1)  «"Z,(»)=«»I.,<")  +  2«^-!^^^^;!-^, 

ftLso  die  Summe 

dL. 

ebenso  für  11^  M^,  F, ,  iVi ,  FT,.  Lässt  man  also  in  der  vorigen  Gleichung 
den  Factor  Tj"  weg,  so  giebt  die  Summe  aller  so  entstehenden  Gleichungen 
in  der  ersten  Reihe,  mit  Ausnahme  der  Glieder  mit  tp: 

doch  haben  hier  Xj ,  itf, ,  i^T, ,  l^^ ,  Fj ,  ^,  nicht  die  frttheren  Werthe ,  sonden 
es  sind  die  analogen  Ausdrücke,   wie  die  früheren,  aber  fttr  den  in  der 


Von  Gustav  Roch.  195 

Biciiivng^i  ^i  gelegenen  Oberfläehenpankt,  und  es  sollen  daher,  um  dies 
ansodeuten,  die  Indices  1  weggelassen  werden.  Die  zweite  Reihe  hat  noeh 
den  Factor  n ,  und  es  kann  derselbe  dnreh  Differentiation  der  Ersten  nach 
a  entstanden  gedacht  werden : 

ebenso  für  üf,  iV,  ü^  T,  W.     Wir  kommen  nun  zur  Betrachtung  der  Glieder 

mit  (p» 

Es  ist  mit  Absicht r  nicht  gehoben  worden ;  während  nämlich  das 

a"  als  der  specielle  Fall  des  variablen  rj"  angesehen  werden  muss  und 
also  nach  diesem  nöthigenfalls  differentiirt  werden  darf,  ista"'^  die  Po- 
tenz n  —  1  vom  constant  gegebenen  Kugelradius,  und  wollte  man  nach  a 
differeBtiiven  und  auch  dieses  als  variabel  ansehen,  so  erhielte  man  die 
Aenderung  des  Integrales  für  einen  Oberfläehenpunkt,  wenn  der  Kugel" 
radius  sich  ändert.  Die  magnetische  Vertlieilung  wird  ausser  von  q'  (der 
inducirenden  Kraft)  auch  von  der  Grösse  von  a  abhängen ,  und  es  ist  daher 
sehr  wahrscheinlich,  dass  auch  Ü,  F,  ff^  (d.  h.  die  Werthe  von  27,,  T, ,  W^) 
für  den  Oberflächenpunkt  a  implicite  enthalten.  Offenbar  aber  ist  es,  dass 
die  Gleichungen  54)  und  55)  für  jedes  beliebige  a  gelten  und  es  mflasta 
daher  jede  der  unendlich  vielen  zu  befriedigenden  Gleichungen  54)  oder  55) 
sich  wieder  in  unendlich  viele  nach  den  Potenzen  von  a  zerlegen  lassen. 
Da  aber  die  Glieder  L^  Mj  N  nur  a"  als  Factor  enthalten  (denn  dietfe  hän- 
gen nur  von  der  inducirenden  Kraft  ab),  so  muss  dies  auch  bei  den  übri* 
gen  der  Fall  sein ;  es  werden  daher  U^  F,  W  nicht  mit  a  behaftet  sein  und 

.  -J--J  {fp  C08  ^)"  =5  a  {fp  cos  T^y^^  etc. 

werden  den  Factor  a"  haben ,  wo  a  als  constanter  Kugelradius  gilt.  Diffe- 
rentiirt man  nun  nach  dieser  Dimension ,  so  ist  dies  in  den  Gliedern  X,  M^  N 
identisch  n^it  den  naeh  r,  genommenen  Differentialquotienten,  wenn  schliesa- 
lieh  a  statt  r^  eingeführt  wird ;  der  Factor  n  der  zweiten  Reihe  in  55)  aber 
kann  demnach  durch  Differentiation  nach  a  entstanden  gedacht*  werden 
und  es  ist  daher  die  Summe  aller  mit  9  behafteten  Glieder  für  n  =  0  bis 
»=00 

- —  {a  tp  cos  iff)  +  -T —  (a  (p  sin  i(;  cos  d)  +  ^ —  {a  qp  sin  t/;  sin  d)  1 

+  a—  r,»-*  4a  j  Y^  (aq)C0Sili)  +  ^  {afpsiml; cos &)  +  'r^{aq> sin ^ sind)  I 

Für  die  Glieder  17,  T,  W  ist  der  früher  entwickelte  Ausdruck  richtig, 
denn  da  t/,  F,  0^,  wie  gezeigt  worden  ist,  den  Kngelradius  nicht  enthalten, 
so  ist  ea  ai^ch  erlaubt ,  sieh  die  Differenti^ion  von  u^  27^") . . «  nach  a  als 
specieller  Fall  der  Differentiation  nach  r ,  oder  als  solche  nach  a  als  Kugel- 
halbmesser zu  denken. 


196  lieber  Magnetismus. 


Die  Gieicbgewichtsbedingung  ist  daher  in  eine  endliehe  Diflferenti&l- 
gleichung  verwandelt,  und  es  ist  nun  noch  nöthig,  die  eigenthümlichea 
Differentialqnotienten  nach  a?| ,  y, ,  Z|  so  weit  als  möglich  zvl  reduciren  und 
auf  solche  nach  x^y^z  (den  Coordinaten  des  defu  oti  ,  yi ,  z^  entsprechenden 
Oberflächenpunktes)  zurückzubringen. 

29.   Man  hat: 

^ y  =  a-  ^'~        • ^ 


cos  ^  =  '  ,  sin  ib  cos^==:  ^^  , 

f. 

sin  %ff  sin  d"  = ' 


^^i"  +  yi*  +  ^i* 

Da  a  und  da  ganz  unabhängig  von  a?|,  yi,  z^  sind,  so  kann  man  die 
Differentiationen  nach  a  und  nach  x^  oder  ^|  oder  Z|  in  der  Reihenfolge 
umkehren  und  hat  daher,  um  die  Glieder  mit  X,  ilf,  iV^  zu  yereinigen,  nur 
nöthig 

dl       dM      dN 
dxi      dyx       dXi 
auszurechnen.     Man  hat  nun  z.  B. : 

dL  _dLdx       dLdy       dl  dz 
dxy      dxdx^      dydxy      dzdx^' 
Man  findet  so  durch  Benutzung  der  oben  stehenden  Werthe  für  ar,  y,  z, 
wenn  man  nach  Ausführung  der  Differentiationen  wieder  x^^y^^  Z|  durch 
Einführung  der  Polarcoordinaten  ri ,  t^i ,  Oi  eliminirt : 

•z h  ^ V  ^ —  +  ^-  (X  CO*  ^  +  M9tn  ^cos^-^  Nsm  ^  stn  d)  .  — 

dx^       dyx       dz^        da^  ^  ''i 

_a/ax    a^    airv_a    , 

und  daher  die  Geeammtheit  der  mit  X,  ilf,  iV^  behafteten  Glieder: 

Ganz  denselben  Ausdruck  muss  man  für  die  ü,  V^  fV  enthaltenden 
Glieder  entwickeln  können,  und  wir  wenden  uns  daher  zur  Ausrech- 
nung von 

x~  (y  <?o*  ^)  +  5 —  (9^  *«»  %l;  cosd)  +  ^—  (q>  sin  'iff  sin  9) 
cxi  cy^  czi 


•cos 


/a>ax     a^aj^    aya.\       /^^ 

^    \dx  dx,  ^  dy  dx,  ^  dz  dxj  ^^\   dx,   J'  . 


Setzt  man  die  früheren  Werthe  für  x^  y^  Zy  cos^  etc.  ein,  so  erhält 
man  hieraus:   — .     Einfacher  lässt  sich  der  Werth  des  zweiten  Theilei 


Von  Gustav  Roch.  197 

der  mit  o  behafteten  Glieder  berechnen.  Da  ^-^  =  cos  %f  etc.  unabhängig 
▼on  a  sind ,  so  erhält  man : 

und  die  Samme  aller  beider  Theile  ist  daher  nach  Aashe))ang  des  Fac-« 
torsTj": 

Zfpa       a*  dq> 

80  dass  die  Gleichgewichtsbedingnng  die  endliche  Form  erlangt  hat: 

and  ich  mache  nochmals  darauf  aufmerksam,  dass  es  erlaubt  ist,  in  den 
Gliedern  mit  q'  und  %  die  Differentialquotienten  nach  a  als  die  Werthe  der 
nach  r|  genommenen  an  betrachten,  wenn  dann  r|  =  a  gesetzt  wird^  dass 

aber  ^  ausdrückt,  wie  sich  9  für*  einen  Oberflächenpunkt  ^1  d  ändert, 
oa 

wenn  der  Radius  der  Kugel  um  ef  a  grösser  wird. 

30.  Aus  dem  Satze,  dass  diese  beiden  Auffassungsweisen  für  %  auf 
dasselbe  hinauskommen,  folgt,  dass  der  analytische  Ausdruck  für  %  der- 
selbe sein  mnss,  welchen  Radius  auch  die  Kugel  hat.  Denn  es  sei  der- 
selbe ff,  so  kann  man  sich  die  Function  %  für  den  ganzen  unendlichen  Raum 

construirt  denken,  und  es  hat  dann  x^  auch  für  positive  da  einen  bestimm- 
ten Werth,  Wird  nun  die  Kugel  um  da  grösser,  so  ändert  sich  die  Ver- 
tbeilang  des*  Magnetismus,  und  zwar  wird  das^  sich  von  einem  Punkte  der 
ersten  Oberfläche  zum  andern  um  (/%  ändern,  welches  nach  dem  Früheren 
mit  der  Aenderung  der  ersten  Function  %  nach  a  identisch  sein  wird,  und 
es  wird  daher  der  für  den  ganzen  unendlichen  Raum  berechnete  Ausdruck 
des  ersten  %  auch  die  Oberflächenwerthe  für  die  zweite  Kugel  ergeben;  von 
dieser  kann  man  zu  einer  dritten  übergehen  u.  s.  f.,  wodurch  die  ausge- 
sprochene Behauptung  bewiesen  ist.  qt  hingegen  braucht  diese  Eigenthüm- 
lichkeit  nicht  zu  haben.  Eine  derartige  Eigenthümlichkoit  muss  auch  be- 
kannt sein,  damit  ans  der  Gleichung  56),  die  sich  ja  nur  auf  die  Oberfläche 
bezieht,  ein  Schlnss  auf  die  magnetischen  Zustände  im  ganzen  Volumen 
der  Kugel  gemacht  werden  kann.  Ich  werde  später  nochmals  darauf  zu- 
rückkommen. 

31.  Wir  wenden  uns  nun  zur  Untersuchung  des  allgemeinen  Falles 
einer  concentrisch  ausgehöhlten  Kugel.  In  diesem  Falle  werden  die  Ent- 
wickelungen  von  Qi ,  q\  Xi  i^uch  negative  Potenzen  von  r^  enthalten  können. 
Die  Rechnung  wird  aber  wieder  eine  ganz  analoge  werden,  wie  die  vorige. 


198  Ueber  Magnetisrnns. 

nar  werden  noch  einmal  so  viel  einzelne  Gleichungen  entstehen.  Ist  die 
Kugel  hohl,  so  können  indncireiide  Kräfte  auch  im  Inneren  ihren  Sitz 
haben ,  nnd  diese  werden  ein  q  liefern ,  welches  in  Seihen  entwickelt  naek 
absteigenden  Potenzen  von  r^  geordnet  sein  mnes,  da  r^  grösser  ist,  als  die 
Entfernung  dieser  inducirenden  Ursachen  vom  Mittelpunkte.  Ea  soll  daher 
geschrieben  werden: 

Ebenso  kann  i^^  gedacht  werden ,  als : 


Ä[-.-."+^.]!- 


An  die  Stelle  des  früheren  Q  tritt  jetzt  die  Differenz  sweier,  die  auch 
das  eine  positive,  das  andeie  negative  Potenzen  von  r,  eathiüi  vermöge 

der  Entwiekelungen  von  -^  ftir  äussere  oder  innere  Oberfläche,    Man  wird 

nun  wieder  die  Glieder  mit  denselben  Potenzen  von  r,  einzeln  Null  setzei 
nnd  es  wird  sich  zeigen ,  dass  wie  vorher  anch  hier  einfach  nach  den  Indi- 
ces  (n)  geschieden  werden  kann ;  jedem  (n)  aber  werden  zwei  GleiohuDgen 
zugeh5ren ,  die  einzeln  zu  behandeln  sind  und  die  sich  in  zwei  endliche 
Differentialgleichungen  werden  vereinigen  lassen. 

Das  Q  der  äusseren  Oberfläche  hat  genau  den  nämlichen  Ausdruck, 

wie  früher,  aber  das  der  inneren  mnss  mit  einem  ^berechnet  werden,  des- 

R 

sen  Entwickelung ,  wenn  b  der  Radius  der  Höhlung,  ist: 

Die  erstere  Bedingungsgleichung  wird  genau  die  frühere  sein ,  die  innere 
aber  ist: 

d 


d  T      1      ^'•+2  er  ^,^»>  1 


"•"ey." 


^  coi  l  auf  die  innere  Oberfläche  bezogen.     Dies  giebt : 


+  eic. 


Von  Gustav  Roch«  199 


Dm  etc.  beiiefat  sich  auf  die  gaas  Khnlioh  gMialtaten  Glieder  ah  den  Dtf* 

2lt  "^  1 

ferentialqaotienten  nach  ^i ,  Z|.     Man  wird  nun  diese  Gleichung  mit         ,  ^^ 

maltipliciren  und  ganz  wie  früher       .  ^als  den  Oberfiächenwerth  Ton     ^  .  . 

ftlr  dassdbe  ifß^  di  anseheB.  Da  nun  Z|<''>  ToUständig  nnabhftngig  ron  b  iü 
and  ferner  diese  Gleicfanngen  für  jedes  beliebige  b  gelten  müssen,  so  wird 
man  genan  wie  früher  schliessen,  dass  die  so  entstehenden  Glieder 

b^^eosiy")  und  — ^ 

wirklieh  nnx  den  Factor 

l 

enthaltea,  weshalb  ganz. wie  früher  das  (n  + 1)  im  zweiten  Theile  der  leis- 
ten Gleichung  durch  Differentiation  nach  b^  und  zwar  nach  b  als  Kugel- 
dimension entstanden  gedacht  werden  kann.  Für  die  Glieder  mit  L^  und 
&i  kommt  dies  auf  dasselbe  hinaus,  als  ob  man  einfach  nach  r,  differentiirt 
und  dann  r|  »=:  fr  setst;  für  X|  versteht  sich  das  von  selbst,  für  17^ ,  Tj ,  W^ 

[7,(«)  1 

aber  sieht  man  es  sofort  ein,  da  ja       ,  ^  kein  &  ausser -r^^xT  ^^^^^'^^'^  ^^^'f 

so  dass  also  ü^^"^  den  eigentlich  constapt  gegebenen  Radius  b  nicht  enthält. 
Der  Factor  (2n  +  i)  nun  kann  auf  ganz  ähnliche  Weise  gedeutet  werden, 
wie  der  frühere  2  n  + 1 ,  nämlich : 

2n  +  l  =  2(n  +  l)  — 1, 
also: 

so  dass  alle  Vorzeichen  Minus  werden.  Ss  geht  also  die  letzte  Gleichung 
Aber  in: 


CO«  0'"' 


i.^" 


200  Ueber  Magnetismas. 

and  die  Stimme  diesec  GHeichuiigen  'glebt  ganz  dasselbe^  wie  dib  Bedingnng 

für  die  äussere  Oberfläche.     Es  ist  nicht  nöthig,  sie  erst  hinzaschreiben, 

man  brancbt  nur  U  an  die  Stelle  von  ,    .  .  zn  setzen  n.  s.  f.  und  es. kann 

dann  die  Differentialgleichung  wieder  transformirt  werden,  indem  man  an- 
statt die  Differentialquotienten  naeb  Xi^  yi,  Z|  die  nach  a:,  ^i  «>  d.  h.  nach 
den  Coordinaten  des  Oberflächenpunktes  in  der  Richtung  von  r,  einfuhrt 
Man  erhält  dann  als  Gleichung  filr  die  innere  Oberfläche: 

57)       3?'  +  26||-  +c{zi  +  2h^^  +4„(3y4.ft||^=0. 

Hieraus  ergiebt  sich  das  ganze  auf  der  inneren  Oberfläche  vorhandene  9 
und  der  Theil  von  i^  der  sich  nach  den  absteigenden  Potenzen  von  r^  ent- 
wickelt. 

32.  Diese  Transformation  der  Oleichgewichtsbedingungen  gründet  sich 
wesentlich  darauf,  dass  angenommen  wurde ,  das  %  enthielte  in  Gleichung 
56)  kein  a  und  in  57)  kein  b  weiter,  als  dass  das  Glied  von  der  ».Ordnung 

bei  der  Reihenentwickelung  nach  den  Kngelfanctioaen  a"  und       . -^  als 

Factor  hätte.     Der  Beweis  dafür  ist  in  der  Schlussnummer  geführt,  und  es 

handelt  sich  nun  nur  noch  um  die  genaue  Darstellung  der  Gleichungen, 

denen  die  Functionen  genügen  müssen.     Die  Functionen  q>  und  %  müasea 

gewissen  Bedingungen  genügen.     Diese  bestehen  wesentlich  darin ,  dass 

dq>dq>  dtp _^di    dx    di 

^  •  dx'dy'dz       dx'dy'dz' 

Diese  lässt  sich  in  andere  Formen  bringen.    Geht  man  von  jedem  Molekül 

nach  allen  Seiten  in  den  Richtungen  fort,  die  in  der  Ebene  des  betreffenden 

Molekularstromes  Hegen,  so  erhält  man  lauter  einzelne  Flächen,  und  ist  s 

dt 
eine  beliebige  in  einer  solchen  liegende  Linie,  so  muss  --^  =  0  sein,  ebenso 

CS 

--^,  und  es  sind  daher  auf  jeder  solchen  Fläche  %  und  tp  constant.  Den 
ds 

beiden  Gleichungen  58)  müssen  die  Functionen  <p  und  %  genügen;  aber  da 
in  den  Gleichungen  57)  und  58)  nur  die  %  und  g>  auftreten,  die  auf  den  Ober- 
flächen stattflndeti,  so  redttcirt  sich  die  Bedingung  58)  auf  eine,  und  die 
zweite  der  aus  diesen  zu  entwickelnden  Forderungen  wird  nöthig  sein,  um 
das  q>  für  die  inneren  Massenpunkte  zu  entwickeln. 

Für  eine  massive  Kugel  sind  die  Verhältnisse  hierdurch  äusserst  ein- 
fach gemacht.  Da  dann  gar  keine  Gleichung  57)  ezistirt,  indem  gar  keine 
innere  Oberfläche  vorhanden  ist,  so  ist  das  in  56)  auftretende  %  der  6e- 
sammtwerth  der  Function.  Denkt  man  sich  nun  auf  der  Oberfläche  die 
Linien  gezogen,  in  denen  q'  constant  ist,  so  muss  in  diesen  auch  ^  und  % 
constant  bleiben.     Da  nun  %  der  Gleichung 


Von  Gustav  Roch.  20  i 

genagt,  so  ist  %  &uoh  fttr  jeden  inneren  Punkt  bekannt  nnd  wegen  58)  auch 
ip\  man  sieht  also  die  Möglichkeit  der  Lösung  ein. 

Wenn  aber  eine  Hohlkagel  gegeben  ist ,  so  werden  die  in  56)  eingehen- 
den <p  nnd  X  b  und  die  in  57)  eingehenden  a  enthalten  können ;  diese  Glei- 
chungen einzeln  würden  also  noch  unbestimmte  Werthe  der  Functionen 
liefern.  Es  müssen  aber  diese  Werthe  in  gewissen  gegenseitigen  Bezie- 
hungen stehen,  welche  die  Lösung  vervollständigen  müssen. 

Wir  haben  vier  unbekannte  Functionen:  das  gf  der  äusseren  Ober- 
fläche und  das  der  inneren ,  welches  ^'  sein  solL  Ferner  der  Theil  von  ^^ 
der  sieh  nach  den  aufsteigenden,  und  der  Theil,  der  sieh  nach  den  abstei* 
genden  Potenzen  von  r,  entwickelt.  Der  erstere  sei  5u(r|),  der  zweite  ^'(^i)« 
Die  beiden  Oleichgewiohtsbedingnngen  sind  dann,  wenn  auch  q  der  nach 
aufsteigenden  Potenzen ,  q'  der  nach  absteigenden  Poteneea  zu  entwickeln- 
den Theil  der  früher  mit  q'  allein  bezeichneten  Function  ist: 

•.  +  "1!+ K'.w+'-HrV'-C"' + -1!)=» 

»8-+«||:+<;(.,'«+"^)  +  4.(a,'  +  »^)=« 

und  dazu  kommen  die  beiden  Bedingungsgleichnngen  ftlr  die  zwei  Ober- 
flächen: 

^''^        )  dq>\d<p' ^d\x{b)  +  x{b)\ ^d\x(b)  +  x{b)\ 

da  die  Differentiak^uotienten  von  ip  und  %  +  t'  ^^<^b  ^^^^^  rechtwinkligen 
Richtungen  einander  proportional  sein  müssen. 

Es  scheint  zunächst,  als  ob  diese  vier  Gleichungen  eine  zu  viel  wären, 
indem  wenn  %^  %\  q>  bekannt  sind,  tp'  schon  aus  der  Bemerkung  folgt,  dass 
9  constant  ist,  durch  die  ganze  Masse,  so  lange  %  +  %'  constaat  ist.  Man 
könnte  aber  sich  (p  aus  den  vier  Gleichungen  eliminirt  denken,  %,  %y  q>  be- 
rechnet nnd  dann  müsste  9'  ans  dieser  Bemerkung  folgern.  Offenbar  müasta 
dies  9>'  der  zweiten  Gleichung  genügen ,  es  muss  sich  also  auch  umgekehrt 
aus  diesen  vier  Gleichungen  x»  z^  ^,  9>'  so  bestimmen  lassen,  dass  dieser 
Bedingung  Genüge  geleistet  wird. 

33.  Wir  kommen  nun  zu  einem  der  wichtigsten  Punkte  dieser  Theorie, 
auf  welchem  die  vorige  Verwandlung  in  endliche  Differentialgleichungen 
beruht ,  dass  nämlich  der  analytische  Ausdruck  von  %  unabhängig  von  a, 
dfer  von  %'  unabhängig  von  b  ist.  Wir  betrachten  %,  da  die  Entwickelungen 
für  X  ganz  ähnlich  Sind.  Gehen  wir  auf  Nr.  26  zurück ,  so  ist  dort  bewie- 
sen, dass  es  erlaubt  ist,  die  ursprüngliche  Gleichung  in  drei  zu  verwan- 
deln.    Die  erstere  derselben  lautet: 

ZeiUchrifl  f.  Mathrmalik  u.  Physik.    VI,  3.  U 


202  lieber  Mftgnetismaift. 

(2n  + 1)  2;<*)a«  +  4«  a  (9  cos  ip)<">  +  C  (2n  + 1)  m^W  =  0. 
Die  Stimme  aller  für  n  =  0  bis  n  =  od  giebt : 

L  +  2a- ^  471  aq>  cos  ^  +  c(M  +  2ör-)  =  0. 

oa  '  \  da/ 

Aehnliche  Oleichungen  bestehen  noch  zwei  nnd  es  folgt  ans  ihnen: 

:  N  +  2a- 1-  clw  +  2a  ^—  )  =  cos^  :  sin  ^  cos&  :  sin  il/  sin  O-. 

oa  \  oa/ 

Nennt  m«n  nun  Z,  M^  N,  u^  r,  w  die  Gomponenten  von  7'  nnd  j,  so  sieht  man 
hieraus,  dass  die  ConiponeHten  nach  den  Richtungen  ^nnd  d  verschwinden. 
Die  nach  der  Riehtnng  von  a  von  der  Summe  g'  +  C%  ist ,  wie  in  26)  be- 
wiesen ist: 

Lcosif>  +  üfsinrifcos  ^+  N sin  ip  sin !►, 
+  C  (w  f  05  ^  +  p  «'«  ^  co#  ^  +  w  sin  ifß  sin  d) 
und  es  ist  daher: 

(^{Zco*t+...  +  C(«ros^  +  ...)}  =  ^(/i  +  Ci«)  +  |^(iif+Cp) 

Darans  folgt  aunJtehst  aaeh ,  dass 

dxV      da      'i'^dyV       da       l^dzl       da        }~ 

wobei  jedoch  bemerkt  werden  muss ,  dass  die  Differentialquotienten  nach 
AT,  y,  z  a.B,  von  I7<")a»,  r<'')a»,  ^(->a»  nicht  auf  die  in  17<"),  F<->,  IF(-)  ent- 
haltenen a  ausgedehnt  werden  dürfen ,  da  sonst  nicht 

gesetzt  werden  dttrfte. 

Die  Gleichung  61)  folgt  sofort  aus  der  Bemerkung ,  dass  £,  Jf,  i^,  ti,  p,  w 

ebenso  transformirt  werden ,  wie 

dL    du 
r— ,  -r-  etc. 
da     da 

Ans  60)  folgt  daher,  wenn  die  Differentialquotienten  in  der  eben  angege- 
benen Weise  genommen  werden : 


61)    l  /*•■      ^^      ^      ^*'' 


dx\    ^      da/  dx\^        da/  ^ 


Dehnt  man  die  Differentialquotienten  aber  auch  auf  die  in  U^*^,  F<»>,  W<'   > 
enthaltenen  a  aus,  so  ist  dieser  Ausdruck: 


Von  Gustav  Boqh.  299 


indem  man  von  X(">,  Jl>f(''>,  iV<")  bestimmt  weisfl,  dass  sie  kein  a  enthalten. 
Nur  wenn  die  Indüction  von  a  abhängig  ist,  wenn  sich  mehrere  Kugeln 
gegenüber  stehen ^  ist  dies  nicht  der  Fall»  und  dann  ist  in  dem  letzten  Aus- 
drucke auch  q'  zu  ersetsen  durch 

az     a^    aiv 

aa?.      ay  '^dz  ' 
welches  dann  yerschieden  von  q'  ist;  denn  die  Oleichongen  60)  und  Ol)  gel- 
ten auch  dann  noch.    Die  Differentialquotienten  nach  a  in  62)  sind  nur  auf 
die  Pactoren  a»  von  Z^«»,  itf (»),  iVW,  ITt»),  FW,  ^f">  auszudehnen,' 

Wir  kommen  nun  zum  eigentlichen  Beweis. 

Es  ist  evident,  dass 

also  die  Smnme : 

oder  vielmehr  genauer : 

/-  Z{2n+  1)  Z,<">r,-  +  l-£{2n  +  l)  ilf,(«)r,«  +  ~  2(2n+l)  i^.Or,« 

"  *arj  Idx,^  dy^  '^  dzj'^^'ldx,^  dy,  '^  dz,  A 
ist,  und  dass  Z(*~^^  eine  Kugelfunction  von  der  Ordnung  n — 1  ist,  wenn 
Xj(«~i)  I^ein  Tj  enthält.  Sobald  dies  aber  wäre,  ist  auch  nicht  mehr  die 
letzte  Gleichung  richtig.  Schreibt  man  x,  y,  z  statt  x« ,  ^i ,  Zi ,  so  kommt  a 
an  die  Stelle  von  rj,  die  Indices  1  fallen  weg.  Umgekehrt,  gilt  die  letzte 
Gleichung,  so  muss  X,<«>,  ilf,<">,  iV|<">  unabhängig  von  r, ,  oder  Z<«>,  üf <«>,  iV<») 
unabhängig  von  a  sein.     Aus  62)  folgt  daher,  dass 

Z<">,  J!f <•>,  Jy<">,  [7("),  F(«),  ^(«) 
80  beschaffen  sein  müssen ,  dass  stets 

Z<">  +  Cl/(»),  üf  (")  +  C  F<»),  iV<«)  +  C  FF(")     . 
unabhängig  von  a  sind.  Für  den  Fall  einer  einzigen  gegebenen  Kugel  sind 
also  [/(•>,  r<«),  ^<«)  unabhängig  von  a,  der  Ausdruck  x  also  auch. 
Es  ist  daher  für  jeden  Fall  erlaubt: 

ZU  setzen;  für  den  Fall  einer  einzigen  Kugel  ist  es  dann  gleich,  wie  die 
Differentiation  nach  a  genommen  wird ;  aber  sind  mehrere  gegeben ,  so  ist 

mit  ^  und  ^  die  Verändprung  von  q  und  %  in  der  Nähe  der  Oberfläche 

einer  Kugel  vom  festen  gegebenen  Radius  a  gemeint ,  denn  diese  Differen- 
tiation schreibt  sich  vom  Factor  n  her. 

14* 


204  Ueber  MagnetiBmas.   Von  OüSTAV  Boch. 


i^>A^^^tA^^^V^%y^^>S«^^^^«^»^^^N/^^^^kAAM^>AAA^^AAAA/N^^^ik«t^^N^MMAM^tAA<^^k^MAMM^^ 


Ana  G9)  folgt  das  %  eines  inneren  Massenpnnktes  noch  mit  einer  wül- 
kürlichen  Function,  die  so  zn  bestimmen  ist,  dass 

(unter  %  hier  die  ganae  Function ,  also  eigentlich  z  +  Z  ▼orstandea)« 
Dies  kann  Alles  nur  als  Andeutung  des  Weges  sur  Lösung  betrachtet 
werden.    Die  Hauptsache  ist  immer  nur  die  Herleitung  dieser  allgemeinen 
Eigenthümlichkeiten  der  Function  %  und  %\ 

Ist  die  Oberfläche  anders  als  kuglich,  so  ist  die  Aufgabe  ungleich  ver- 
wickelter.   Dann  ist  ^  auch   für  innere  Punkte  in  eine  Reihe  von  der 

p 
Form  £    J\^  oder  ZPnri*  zu  entwickeln,  je  nachdem  r^  >  oder  <  r.  Man 

würde  dann  lieber  ^  nach  den  Potenzen  des  Parameters  entwickeln ,  der 

jedem  inneren  Punkte  zukommt,  wenn  man  concentrische  Flächen  zar 
Oberfläche  legt,  wie  dies  von  Neumann  für  Rotationsellipsoide  gezeigt  wor- 
den ist.  * 


Kleinere  Mittheilungen. 


ZIV.   üeter  eiaige  IntognlfoniieliL   Wir  betrachten  im  Folgenden 
das  bestimmte  Integral 
1 

0 
wobei  1»  f»s  n,  p,  9  beliebige  Constanten  beseichnen  mögen.    Um  dasselbe 
ZQ  transformiren,  setzen  wir 

A  +  fiop       ^' 
worans  folgt 

,__iiL_   1    ^-(^+>')(i~y) 

•^         A  +  fi-^^y  A  +  f»— fiy 

and  erbalten 

1 


Af-"«  (i_a;)«f-i  (A+^«)«<far 


lu  dem  speciellen  Falle  m=s  —  (j>-i-q)  füihrt  diese  Formel  zn  dem  bekaan- 
ten  Beraltate 

dagegen  scheinen  andere  Fftlle  unbeachtet  geblieben  an  sein,  obschon  die» 
wlbwt  sehr  branchbare  Relationen  liefern.    So  hat  man  i.  B.  fUr  p  =  i, 

n=m— I  ' 


/' 


206  Kleinere  Mittheilungen. 

1 


/-;=  (1— a:)t-i  (A  + ^a;)--W« 
0 


oder  für  a:  =  f*  und  yÄ=M*: 

1 


2) 


r(i_(«)«-i(i+^<2)«.-4d< 


0 

Sind  nun  q  und  m  positive  oder  negative  ganze  Zahlen,  so  ist  das  links 
stehende  Integral  irrational,  das  rechter  Hiind  befindliche  dagegen  ratio- 
nal, z.E.: 

/*       dt  p        du 

0     '^  0 

1  I 

4)    y'/iT^  äi = i /ü+^'/(,^;i^^,. 

oder  auch: 

1  1  . 


6) 


0 

1 


=^t'('+W  +  "  +  "/rF7^} 


U.  8.  W. 

Diese  Formeln  leisten  bei  der  Reduction  mancher  doppelten  und  drei- 
fachen Integrale  gute  Dienste,  denn  man  hat  in  ihnen  ein  Mittel,  um  ^- 
wisse  irrationale  Integrale  durch  gleichgeltende  rationale  Integrale  «u  er- 
setzen, was  begreiflicherweise  für  die  weitere  Rechnung  ein  Vortheil  ist 
Einige  Beispiele  mögen  dies  zeigen. 

Die  Oberflüche  des  Ellipsoides  mit  den  Halbachsen  a,  6,  c  wird  be- 
kanntlich durch  folgendes  Doppel  integral  ausgedrückt: 


Klainere  Mittbetlangeo.  307 

«___ — ,  ß __, 

welches  nach  EinftihruDg  voq  Polarcoordinaten  (|  ==  r  eo5  m  ,  17  =  r  sin  o) 

übergeht  in        ' 

n 

Ä=8a6  /    /  rdndrj/  ^ j^^~^ ^^ 

0   0. 
Banntet  mtik  die  SdbititotioaeB 


l=sl  —  c?cos^a  —  ß^sin^tßj  fi  =  «* co«* »  +  1?^*^^ « > 
80  erhält  maji 

"^  si=ßßb  j  CyTfiiTumdi, 

0  0 

und  hier  kann  man  eine  der  Formeln  4)  oder  5)  anwenden.     Die  letztere 
giebt 

0  0 

9      1      ' 

0    0 
durch  umgekehrte  Anoifdnnng  der  Integrationen  und  Bestitntion  der  Werthe 
von  i  s^d  fi  wird  bieraoa  . 

0         0 
d.  i.  wenn  die  auf  m  bezügliche  Integratioii  ausgeführt  wird 

Durch  partielle  Integration-  lässt  sich  diese  Formel  in  die  folgende 
tiberführen 

9)  a==g^a>/jJ-^  +  -i:^y  ^    .    '«  \      . 


208  Kleinere  Mitiheilimgeii. 

die  man  gleichfalls  erhftlt ,  wenn  man  in  Nr.  7)  die  Formel  4)  benntst.  — 
Projicirt  man  den  Mittelpunkt  eines  dreiachsigen  EUipfOides  anf  alle  Be- 
rührangsebenen  des  letzteren,  so  bilden  die  Projectionen  eine  bekannte 
Fläche,  deren  Gleichung  ist: 

oder  in  Polarcoordinaten : 

für 

l=^b* cos^m  +  <^ 9in*mj  fi  =  «* — b^coi^m — £^sm^m 
ist  einfacher 

Das  von  der  Fläche  umschlossene  Volumen  bestimmt  sich  ditreh  das  Doppel- 
integral 

\  X  «    f  . 


0    0  0    0 


+  ^cos^V)  sin^dmd^, 


welches  für  eos^^r^t  folgende  Gestalt  annimmt: 

a    1 


^=ifjv(i+i^n'dmdi, 


0    0 
d.  i.  nach  Nr.  6) 

n 

0    0 

Setzt  man  zur  Abkürzung 

10)  p  =  *L__,y^L___,  . 

SO  erhält  man  bei  umgekehrter  Anordnung  der  Integrationen  und  TermOge 

der  Werthe  von  1  und  fi : 

m 

V-\aJ  duj  [(i_^t^.)  ,,,.„  +  (l-/u«)m««r       • 
0  0 

wo  nun  die  Ausführung  der  auf  m  beattglichen  Integration  keine  Schwierig- 
keiten hat.    TJm  das  Resultat  kurs  darstellen  au  können,  setsen  wir 

und  haben  dann 

1 

12)        r=^ff{Züß'  +2üß  üf  +  ai7/)  }/fßUf  du. 


Kleinere  MitAeihmgeo»  309 

Auf  gleicke  Weise  Iftsst  sich  die  Cabatur  aller  Flächen  bewerkfitelli* 
gen,  deren  Gleichungen  Yon  der  Form 

sind*    Durch  SinfÜhntag  ron  Polarcoordinaten  erhält  man  nämlich 

oder 

wobei 

gesetzt  worden  ist.     Für  das  Volnmen 


n  % 
3    • 


■*y/' 


r^sind  dmd^ 


ü    0 
ergiebt  sich  snfolge  des  Werthes  von  r  nnd  durch  Substitution  von  €9$  ^=  t 

a    1 

U    0 
nnd  nach  Anwendung  von  Formel  2)  kano  die  auf  m  beaflgliohe  Integration 
immer  aosgefllhrt  werden^  Sohlökilch. 


ZY.  Veher  eiidgt  algatodaehe  Oarrtn,  ron  denea  die  Lemniaoate  em 
ipedeUer  Fall  ist    Von  Prof.  Babnaba  Tostolini. 

1 .  Nehmen  wir  swei  rechtwinklige  Achsen  der  oß  und  der  jf,  und  wäh- 
len wir  den  Coordinatenanfang  aum  Pol  einer  gewissen  Gurre.  Ist  r  der 
Radiusvector  und  u  der  Winkel,  welchen  r  mit  der  Achse  der  xc  einsohliesst, 
80  haben  wir  für  die  beiden  Coordinaten  x  und  y  die  Werthe 

x^=reo$u 

Wenn  wir  nun  die  Neigung  der  Gurre  im  Punkte  (it^p)  mit  ^  beseiehnen, 

so  ist 

woraus  man  durch  Differentiation  der  vorstehenden  Werthe  von  x  und  y 


sinudr +  reosudu 

tang  w  = : ^  . 

€08  udr  —  rstnudu 

Wenn  man  in  diesem  Ausdrucke  Zähler  und  Nenner  mit  cos  u  und  mit  dr 

^▼idirt,  so  erhält  man  leicht 

rdu       iangw  —  ianau  ,  x 

dr        l'f'Umgfptaugu 


210  Kleinere  Mitllieiiaiigeii. 

oder  auch 

^  rdu 

Wie  bekannt,  ist  9  —  u  der  Winkel,  welchep  die  Tangente  im  Pnnkte  {z^y) 
mit  dem  Badias  r  einschliesst.  Es  sei  nun  tp^  4ie  Neigung  der  Normalen 
gegen  die  Abscissenachse ;  dann  hat  man 


folglich : 


woranB  sich 


^er  auch 


^1  ^=  Y  "*■  ^  • 


cot  (», U)  =  — ; -r^  , 

"^^^         ^  cot  (g>  -  tt) 

dr 

—  =  —  du  Umg  (9i  — u) 


ergiebt.  Die  linke  Seite  dieser  Gleichung^  iässt  sich  integriren  und  aneb 
die  rechte  Seite  wird  sich  anfeine  Quadratur  zurückfilhren  lassen,  so  oft 
^1  als  Function  von  «  gegeben  ist. 

•  2.  Um  eine  recht  einfache  Anwendung  davon  zu  rnttcben ,  nebmen  wir 
an,  dass  der  Winkel  91  ein  ungerades  Vielfaches  des  Polwinkels  u  sei, 
setzen  also 

Vi  =  (2n+1)« 
und  erhalten  dann 

dr  .    ^       „  dcQ8%nfn 

—  =  —  duiang2nu=i  ■ 


r  2Hcas2nu 

imd  daraus  durch  Integration 

an  log  rs=:lgg  (cos  %n  u)  +  C. 
Man  bestimme  die  Constante  in  der  Weise.,  dass  r^=a  wird ,  wenn  ti  =  0 
ist;  dies  liefert  C=^2nlogaj  und  wenn  man  daher  vom  Logarithmus  auf 
den  Numerus  zuriickgebt,  findet  man.sohliesalich 

r2*  =  a^*co*2«tt. 
Die  algebraischen  Curven,  welche  in  dieser  Gleichung  enthalten  sind,  wur- 
den —  nicht  allein  für  eine  gerade  Zahl  2n,  sondern  auch  für  eine  unge- 
rade Zahl-^  von  den. Mathematikern  studlrtuod  besondend  17011  Serret 
behandelt  in  mehreren  Noten ,  welche  im  7.  und  8.  Bande  des  Journals  Ton 
Liouville  stehen;  wenn  man  ihre  Gleichung  unter  der  allgemeinen  Form 

r^=u'^cosmu 
darstellt  y  00  besitzt  sie  die  EigenthUmlichkeit,  dass  das  Produei  aus  des 
m  Entfernungen  irgend  eines  ihrer  Punkte  von  in  fixen  Ponkien  cnnstaBt 
ist.     Wie  Jedermann  sieht,    erhält  man  für  n  p=  1  oder  m  =  2  die  Lern- 
niscate.  .     . 


Kleinere  MsttheifamgeB»  Sit 

Bleiben  wir  bei  dem  Falle  ebnes  gerBdQii  ExponeBten  2n  flfeehen,  so 

bat  ebenfalls  Serret  geseigt,  dass  die  Perimeter  dieser  Curven  alle  ansge-» 
drückt  werden,  können  durcb  die  Bnler'sQben  Integrale  aswelter  Gattung, 
oder  durcb  die  Fnnctioit  rvon  Legen dre. 

3.  Die  bisjetzt  erwähnten  Curven  waren  bereits  Gegenstand  vieler 
analytischen  Untersnchungen  von  Fagnano  in  seinen  Producioni  maiema" 
iiche  Bd.  2,  schediasma  1  und  folgende  Seite  375,  woselbst  er  sieb  vornimmt, 
,Jene  Curven  zu  finden,  bei  denen  der  Winkel,  welchen  eine  der  sämmtlich 
„von  einem  und  demselben  Pnpkte  ausgehenden  Sehnen  mit  der  Achse  ein- 
„scbliesst,  in  dem  gegebenen  Verhältnisse  zweier  Zahlen  zu  dem  Winkel 
„steht,  welchen  die  Normale*)  zu  der  Cnrve  mit  derselben  Achse  ein- 
„schliesst."  So  hat  man  für  ns=l  die  Lemniscate,  bei  welcher  der  von 
den  Normalen  mit  der  Aehse  2a  gebildete  Winkel  das  Dieifacbe  des  Von 
der  Sehne  gebildeten  Winkels  beträgt ,  und  als  algebraische  Gleichung  er- 
hält man 

Fagnano  findet  noch  eine  andere  Cnrve  von  derselben  Eigenschaft ,  welche 
der  a;Axe  ihre  convexe  Seite  zukehrt.  Für  n  =  2  erhält: man  die  C«urve 
von  der  Polarglejichun^ 

f*3=?a^ceJ4ti. 
Am  Coordinatenanfang  sind  die  .Tangenten  gegen  die  Achse  unter,  dena 

Winkel  —  geneigt,  da  für  r  =  0.6ich  4m  =  —  ergiebt**).  Die  algebraische 

Gleichang  ist  vom  8.  Grade  $  durch  die  £inf tthru«g  der  Sinus  and  jCoisitme 
der  anfachen  Winkel  bekommt  man  nämlich 

r*  =  o*  (co«*u  —  6  m*tt  CO**«  +  «it*v)* 
woraus  wegen  der  Werthe  von  r,  sin  u  nnd  cos  u  die  Gleichung 

(««+y/ =  a*  (x*- 6a:«/.+  y*) 
fliesst,  welche  Fagnano  gleichfalls  an  der  angeführten  Stelle  Seite  384  ge- 
funden hat.  Bei  dieser  Curve  ist  der  Winkel,  welchen  die  Normale  mit 
der  Achse  einschliesst ,  das  Fünffache  von  dem  Polwinkel  u.  Wenn  wir. 
von  der  allgemeinen  Form  de:c  Polargleichung  vom  Grade  2n  zu  der  alge- 
braischen Gleichung  für  x  und  y  übergehen  wollen ,  so  steigt  der  Grad  der 
neuen  Gleichung  auf  4n,  und,  wenn  ifir  uns  der  Formeln  mit  anscheinend 
imaginären  Grössen  bedienen,  dann  nimmt  ihie  algebraische  Gleichung 


*)  OfEsnbar  Ist  dia  Normalo  am  Endpunkte  der  Sehne  gensiat,  währ^d  der  AAt 
fangspunkt  der  Sehnen  unter  1)  als  Coordinatenanfang  benntst  war. 

♦♦)  Also  wie  die  Sehnen  selbst;  es  ist  9:=9>|  —  —  =  (2n-f  1)m  —  —,  indem 

n  % 

▼orliegeaden  Falle  «  5=  2 ,  demnach  ^  =  5  m  —  —  und  endlich  für  r =0  wird  «  =  ^ 

2  o 

imd9  =  5  — — *  =  — 


212  Kleinere  Mitkbeibuigen. 


eine  sehr  einfache  Form  an;  wir  habA  nimlich  nach  dem  KMTre'acheii 
Satse 

2  cos  2nu  =  (cos  n  + 1 «»«)'"  +  {cos  u.  —  ism  «)'", 
worin  t  =  ^HT  ist ,  und  setsen  wir  anf  der  rechten  Seite 

X 

cosu=^—. 

r 

y 

r 

•o  findet  sich 

CO*  2n  11  =  4  ^         ^^ — -j^ ^^— 

nnd  demnach  wird  die  algebraische  Oleiehnng  der  Oonre  sein: 

{a^  +  tn^-  =  '^({x  +  iyy-  +  (x  +  i9y-). 

Die  Annahme  n  =  1 ,  n  ^  2  liefert  wieder  die  oben  betrachteten  Corven, 
nnd  wenn  man  weiterns=3  nehmen  will,  erhlllt  man  folgende  Oleichmig 
Tom  12,  Grade: 

(«^ +/)•  =  «•  (a:*— 15  «*i^ + 15  «"y*—y*). 

In  derselben  Weise  wird  man  für  andere  Werthe  von  n  algebraische  Cor- 
Ten  Ton  noch  höherem  Grade  bekommen. 

4.  Die  allgemeine  Rectification  dieser  Familie  von  Cnrven  hingt  ab 
von  einer  particnlaren  Form  der  Enler'schen  Integrale  erster  Gattang, 
welche,  wie  Legendre  nachgewiesen  hat,  in  einigen  besonderen  Fällen  auf 
transcendente  elliptische  erster  Gattung  sich  inrtickfiLhren  lassen.  Seeh- 
nen  wir  den  Werth  von 


ds^j/dr^  +  f^dt^ 
ftlr  die  Bectification  der  Cnryon  aas  flir  den  Fall,  dass 

r**=a'*co*2«ti 
ist,  so  hat  man  ohne  Schwierigkeit 

«**  rfr 


ds  =  - 


oder 


An 


Setzt  man  r^^^at^  drssaadz  nnd  integrirt  zwischen  den  Grenzen  2  =  0 

und  2  :=  1 ,  so  hat  man  ftlr  den  vierten  Theil  des  ganzen  ümfangs: 

1 

/•     dt 

0 
In  den  speciellen  Fällen  n  =  l,  it  =  2  nnd  fi  =  3  werden  die  Integrale, 
wie  Legendre  gezeigt  hat,  transcendente  elliptische  der  ersten  Gattniig; 


EMiMre  lüttfaeUwagsn.  S13 

Bie  lassen  sieb  nach  Serret  auch  durch  die  PIntegrale  ron  Legendre  oder 
durch  das  Euler'sehe  Integral  iweiter  Oattang  ansdrtteken. 

{Jnnali  di  Maiemaiica  pttra  ed  applicaia.  Nr.  8.  S.  178.) 


ZVL  Bedingung  der  Itabltttit  «inee  anf  dem  Gq^l  einer  Fliehe  m« 
L  Zörperi.    Von  Dr.  B.  Hoppe. 

Das  Oleichgewicht  eines  Körpers,  der  bei  horizontaler  Berühmngs» 
ebene  anf  einer  Fliehe  ruht,  erfordert,  dass  sein  Schwerpunkt  auf  der  ge- 
meinsamen Normale  liegt.  Die  Oberfläche  des  Körpers  sei  mit  der  unter- 
liegenden Fläche  in  gleichem  Sinne  genommen,  so  dass  gleiche  Vorzeichen 
der  Krümmung  einer  Berührung  von  innen,  ungleiche  einer  Berührung  der 
convezen  Seiten  Ton  aussen  entsprechen. 

Wird  nun  der  Körper  aus  der  Gleichgewichtslage  um  unendlich  wenig 
zur  Seite  gewälzt,  so  hebt  sich  der  anfängliche  Unterstützungspunkt  P  und 
gelangt  nach  P|,  während  der  Berührungspunkt  als  solcher  um  das  Bogen- 
element  ds  in  beliebiger  Richtung  längs  der  Fläche  nach  P^  rückt.  Sei 
nun  d¥  der  Winkel  zwischen  den  Normalen,  dt  der  Winkel  zwischen  den 

Tangenten  in  P  und  Pg^  so  dass  -r-  die  Krümmung  tou  ds  ausdrückt,  dann 

sind  die  Cosinus  der  Bichtungswinkel  der  Normale  in  P  gegen  die  Normale, 
Tangente  und  ihr  gemeinschaftliches  Loth  in  Pq  folgende : 

cosdv]  dt\  Yd'^  —  dif. 
Beseichnet  femer  a  die  halbe  Summe,  b  die  halbe  Differenz  der  Haupt- 
krümmungen in  P,  und  fp  den  Winkel  zwischen  di  und  der  Tangente  der 
grössten  Krümmung ,  so  ist  nach  bekannten  Formeln 

dx^=:{ü'^h  cos  2g>)  dg ^ 

dv^=d8  ya*  +  b*  +  2abcos2g>^ 
woraus 

yd^—d^  =  b  sin  2(p  d*, 

cosd¥  =  l  —  ^dv^al  --(^LJL-^.  abcos2(p)d8^. 

Demnach  haben  die  Cosinus  der  Bichtungswinkel  der  Normale  In  P  fol- 
gende Werthe: 

1  —  [j-^^  +  «^  cos2ip\  ds^, 

{a  +  bce9  2ip)dSj 
bsin2fpd8. 
Die  Cosinus  der  Bichtungswinkel  der  Normale  in  P,  ergeben  sich  hieraus, 
indem  man  für  a,  6,  9  die  analogen  Grössen  ^i ,  Aj,  gi>|  setzt.     Ans  beiden 
Systemen  erhält  man  auf  bekannte  Weise  den  Cosinus  des  Winkels  zwi- 
schen beiden  Normalen.     Dieser  ist  von  der  Form 

l—Mds',     ' 


214  Kleinere  MittheilQiigeii« 


wo 


^^^^^^^^i^**^^^^^^^*"^^*^*"**^***^****** ^^^^^^ afc-*»yt.^.^*>^«» A^,.».^^,^  »  ^1^,^^^,^^^ ^^»  ^t^ ^M^rf*^"w*w*wwywy^T^jxn_w.A/'fcrfcnj 


—  bbt  cos  2  {ff  —  9|), 
oder,  wenn  man 

C  =  (b  —  bi)  cos  acosd  —  (d  +  ^,)  m  «  5in  ^ 
setzt, 

jy  ^  (g — ^0' +  fe'  +  ^1'  _  ^^^  oa,2«+  <?(«— ö,). 

!(8t  nun  A  der  Abstand  des  Schwerpunktes  von  P| ,  so  erhält  man  die  Höhe 
desselben  in  der  geneigten  Stellung,  indem  man  zur  Projection  dieses  Ab- 
standes  auf  die  Verticale 

h{i--Mds*) 
den  Yerticalabstand  der  Punkte  Pj  und  P  addirt.  Letzterer  lässt  sich  aU 
gleich  dem  vollen  Abstände  rechnen,  weil  die  Bewegung  des  Punktes  P^ 
vertical  beginnt,  und  der  Abstand  selbst  unendlich  klein  von  zweiter  Ord- 
nung ist;  und  ist  somit  die  Differenz  der  Abstände  beider  Punkte  von  der 
Berührungsebene,  d.  i. 

dz — dz*  , 

=  i  {a  +  bcos2q)  —  a^  —  b^  cos2q>i)  ds*^ 
=  Ha  —  a,  +  C)ds^, 
daher  die  Höhe  des  Schwerpunktes  ftber  P 

+  2C{a  —  ai))h^ds\ 

Die  Lage  des  Körpers  ist  stabil,  wenn  der  Coefficient  von  ds^  finr  jeden 
Werth  von  ^  positiv  ist.  Das  Minimum  desselben  entspricht  einem  Maxi- 
mum oder  Minimum  von  C,  welches  stattfindet  für 

b  +  bt 

Nach  Einführung  dieses  Werthes  wird 

C=  +  yb*  +  bi^—2bbiC0s2u. 
daher  ist  die  Bedingung  der  Stabilität 

ö  — a,  +  C— (a  — öi  +  C)*'Ä>0. 
Diese  Grösse  kann  nur  positiv  sein,  wenn  es  der  von  h  freie  Theil  ist,  oder 
wenn-Ä<0;  jedenfalls  wird  die  Bedingung 

d|is  ist  für  ein  positives  h 


—  >  a  —  Qi  +  j/b*+bi^—2bbi  cos2a. 


Eldnere  MHllieihiiigdB*  tIS 

Hieraus  ist  ergiohtBeh ,  dasB  die  StabUiUi  am  grtfttlen  Ist,  wean  die  gleich- 
namigen Hanptnormalsehnitte  aufeinander  fallen,  am  kleiüsten,  wenn  der 
Schnitt  von  grdsster  Krümmung  in  der  einen  t^Uohe  der  von  kleinster  ia 
der  anderen  ist.  Läset  man  also  den  Körper  sich  nm  die  Verticale  drehen, 
so  hört  die  Stabilitllt  nie  anf ,  wenn 

->a  — fli  +  6  +  ft,, 

es  tritt  hei  irgend  einer  Drehung  Stabilitftt  ein,  wenn 

and  die  Orense  der  Stabilität  findet  sUtt  für 


cas2a  = 


2bbi 


ZTL  WimeleitQiigifUiigkflit  des  Wassersteii^es.  Naeh  einer  Ter« 
läufigen  Mittheiiung  von  Magnus  (Ber.  d.  k.  preuss.  Akad.  d.  W.  1860, 
8. 485)  ist  das  Wassetstoffgas  ein  guter  Wärmeleiten  Bisher  hatte  mao 
bei  Oasen  die  Wärmefortpflanzung  ausser  ihrer  Diathermansie  der  leichten 
Beweglichkeit  ihrer  Theilchen  zugeschrieben.  Da  nun  weder  im  Ausdeh- 
nungscoefficienten  noch  in  der  relativen  Wärme  des  Wasserstaffgases  eine 
Ursache  zu  einer  grösseren  Beweglichkeit  der  Wasserstofftheilehen,  an- 
deren Oasen  gegenüber,  an  finden  ist,  so  yermuthete  Magnus  eine  gute 
LeitungsftUiigkeit  bei  diesem  Gase«  Er  fand  diese  Vermutbung  bei  seinm 
Experimenten  mit  einem  Apparate  bestätigt,  bei  welchem  eine  anf  der 
Temperatur  von  100®  C.  erhaltene  Platte  yon  oben  Wärme  auf  die  Kugel 
emes  Thermometers  strahlte ,  welches  in  einem  unter  der  Platte  befind- 
lichen fiaume  befestigt  war.  Die  Temperatur,  welche  von  diesem  Ther« 
mometer  angezeigt  wurde,  war  am  höchsten,  wenn  der  Raum  mit  Wasser* 
stoffgas  angeltillt  war,  höher,  als  wenn  der  Kaum  mit  irgend  einem  anderen 
Oase  gefüllt  oder  luftleer  war,  die  Temperatur  des  Thermometers  war 
übrigens  um  so  höher ,  je  dichter  das  angewendete  Wasserstoffgas  war.  In 
allen  ikbrigen  Gasen  ist  die  Temperatur  niedriger,  als  im  leeren  Räume 
und  um  so  niedriger,  je  dichter  sie  angewendet  werden.  —  Nicht  nur  die 
Wärme,  sondern  auch  die  Elektricität  wird  von  Wasserstoffgas  besser,  als 
von  allen  übrigen  Oasen  geleitet. 

Dieses  Verhalten  des  WasserstoSgases  gegen  die  Wärme  erklärt  nun 
auch  die  Beobachtung  von  Orove,  wonach  ein  Platindraht  durch  den  gal- 
vanischen Strom  schwerer  zum  Glühen  gebracht  wird,  wenn  er  von  Wasser* 
Stoff,  als  wenn  er  von  einer  anderen  Oasart  umgeben  ist. 


2f6  Kleinere  MitthdloDgen. 

ZTIL  Terbeisenuig  eiiiat  Blektreik«pi«  Von  Dr.  F.  Dulmaks.  Dm 

von  Dr.  Kohlrauseh  anter  meinem  Namen  bekannt  gemachte  Elektro- 
meter  wnrde  von  mir  snerst  nur  als  £lektro6kop  gebraucht*  In  meiner 
Hanptabhandlang  darüber  im  Fr<^ramm  des  Kreuan^her  G^mnasinmB 
vom  Jahre  1842  sprach  ich  am  Schiasse  die  Ho&nng  ans,  das  Instniment 
mn  Messungen  braachbar  machen  za  können ,  da  seine  Constroction  zu  die- 
ser Hoffnung  berechtigte.  Andere  naturwissenschaftliche  Studien  aber,  zu 
denen  die  interessante,  mir  damals  noch  neue  Gegend  mich  verleitetei 
Hessen  mich  diese  Hofihung  nicht  .verwirklichen,  und  erst  die  vortrefflichen 
Abhandlungen  von  Kohlrausch  gaben  mich  der  Physik  zurück,  der  ich  acht 
Jahre  untreu  gewesen.  In  der  ersten  neuen  Abhandlang  vom  Jahre  1852 
(Pogg.  Annalen  Bd.  80,  S.  524  ff.),  in  der  ich  die  Reconstruction  des  Mess- 
Instrumentes  beschrieb ,  glaubte  ich  darauf  aufmerksi^m  machen  zu  müssen, 
dass  es  zweckmässig  sei,  fortan  mein  Elektrometer  vom  Elektroskop  lu 
unterscheiden,  weil  das  letztere  eine  wesentlich  einfache  Construction*), 
aber  doch  auch  einen  Theil  hat,  welcher  dem  Elektrometer  fehlt.  leh 
wosiste  damals  keine  Hauptverbesserang  des  Elektroskops  anzsgeben,  und 
jetzt,  nach  jahrelangem  häufigen  Gebrauche  des  Elektrometers  hat  dieses 
mich  zu  einer  bedeutenden  Verbesserung  des  Elektroskops  gebracht,  welche 
ich  im  Nachfolgenden  beschreiben  will.  Die  Yerbesserong  trifft  eben  jenen 
Theil,  welchen  das  Elektrometer  nicht  hat,  den  ich  aber  schon  in  der 
ersten  Abhandlung:  „lieber  das  Oersted'sche  Elektrometer^'  (^^S^*  ^^^ 
nalen  Bd.  &5,  S.  307)  beschrieb,  und  den  Andriessen  damab  aar  Er- 
höhung der  Empfindlichkeit  auch  des  Goldblatt^Elektroskops  b^untate.  Ich 
habe  ihn  den  Querdrath  genannt,  weil  er  qaer  unter  dem  Streifehea  her- 
und  dann  an  der  Seite  in  die  Höhe  und  isolirt  durch  den  Deckel,  oder  aoeh 
unten  von  der  Seite  durch  das  Glas  geht.  Er  soll  öiae  Nachahmung  dei 
Principe  des  Säulen  -  Elektroskops  vermitteln,  nämlich  einen  leichten  Kor- 
per, welcher  von  2  Kräften  bereits  von  entgegengesetzten  Seiten  afficirt 
wird,  durch  Unterstützung  einer  der  beiden  zur  Bewegung  zu  briogen. 
Und  in  der  That  entsprach  der  Erfolg  ganz  der  Erwartung,  da  das  lastro- 
ment  durch  den  Querdrath  bedeutend  an  Empfindlichkeit  gewonnen  hatte. 


*)  In  ein  oylindriaches  Trinki^ ,  dmroh  dessen  hölsemea  Deekel  in  der  Mittt 
ein  Korkstöpsel  geht  mit  einem  ein  paar  Zoll  langen  Dri^thchen  in  der  Richtung  der 
Achse,  an  dessen  unterem  Ende  mit  Schellack  ein  Coconfaden  befestigt  ist,  welcher 
nnten  ein  plattgeklopftes,  ganz  dünnes  Dräthchea  (Messing. Saite  Nr.  12)  trl^mit 
einer  solchen  Biegnng,  dass  es  an  die  beiden  Seiten  eines  isolirt  horisontal  ansgc- 
spannten  Streifchens  (von  etwa  2  Zoll  Länge  und  1  Linie  Breite]  von  Metallpapier 
oder  dünnem  Metallblech  mit  seinen  beiden  Hälften  ansehlagen  kann  --  in  dies  Glai 
führt  Yon  aussen  mit  Schellack  eingeklebt  ein  kurzer  (von  2  bis  4  Zoll  Länge  nach  der 
Einrichtung  des  Ganzen)  etwas  dickerer  Drath,  dessen  inneres  Ende  mit^einer  fetoen 
Sage  eingesehnitten  ist  zur  Aufnahme  des  Streifchens.  Dies  ist  der  ZaleitUDgsdfstli 
und  er  dient  dazu,  dem  Inneren  das  Apparates  die  Elektricität  zuzuführen.  Man  kasa 
ihn  durch  den  Deckel  leiten  und  dann  bleibt  er  gerade,  oder  durch  das  Glas,  welches 
zu  diesem  Zwecke  in  der  Nähe  des  Bodens  durchbohrt  ist ,  und  dann  wird  er  am  ia* 
nerea  Ende  aufwärts  gebogen. 


Kleinere  MittheiluDgen.  217 


Mit  ehiem  abgeriebeaen  Pfenning  konnte  man  recht  gut  den  Veha'schen 
Fnndamental- Versnch  machen.  Wenn  man  den  Querdrath  elektmirt,-80 
wirkt  dessen  Elektricität  vertheilend  auf  Streifchen  und  Wagebalken,  bin- 
det in  beiden  die  entgegengesetzte  Elektrioit&t ,  während  dem  die  gleich- 
namige durch  Aaflegnng  des  Fingers  auf  den  Zuleitungsdrath  abgeleitet 
wird.  Dureh  die  gebundene  Elektricität  wird  der  Wagebalken  abgestossen, 
der  aber  auch  durch  die  entgegengesetzte  des  Querdraths  angesogen  wird 
und  so  zwischen  beiden  schwebt,  während  die  Torsion  möglichst  klein  da- 
bei gehalten  werden  muss.  Der  Zug  vom  Querdrath  wirkt  aber  gar  zu 
leicht  störend;  denn  ist  er  zu  stark,  so  stellt  sich  der  Wagebalken  parallel 
über  den  Querdrath  und  ist  dann  nur  zurückzuholen  durch  dessen  Ent- 
h^uttg.  Auch  verliert  der  Querdrath  in  feuchter  Luft  zu  schnell  seine 
Elektricität,  und  die  etwas  lästige  Ladung  desselben  muss  dann  ebenfalla 
aufs  Neue  vollzogen  werden. 

Diesen  üebeln  wird  abgeholfen  durch  Umformung  des  Querdraths  in 
eine  Qnerplatte  von  i^k  bis  2  Zoll  Durchmesser.  Unter  dem  Streifchen,  in 
l  bis  /t  Linien  Entfernung  von  demselben,  sitzt  jetzt  eine  kreisförmige 
Metallplatte,  entweder  an  einen  aufwärts  durch  den  Deckel  gehenden  Drath 
gelöthet,  oder  an  einen  seitwärts  durch  das  Qlas  geleiteten.  Die  Platte 
ist  eine  Nachbildung  des  unteren  Theilkreises  meines  Elektrometers.  Wie 
dieser  die  Ursache  ist,  dass  das  Messinstrument  nach  meiner  Construction 
die  Elektricität  so  gut  festhält,  dass  nach  der  Ladung  ein  Zurückgehen  des 
Wagebalkens  gewöhnlich  erst  nach  Stunden  merklieh  wird ,  so  wollte  ich 
durch  die  Platte  beim  Elektroskop  zunächst  auch  dem  öfteren  Laden  dieses 
Hilfsapparates  vorbeugen,  habe  aber  weit  mehr  erreicht;  denn  das  lästige 
Herumschlagens  ist  dadurch  auch  vollständig  beseitigt,  ohne  dass  die  Em« 
pfindlichkeit  gelitten  hätte.  Jetzt  sind  es  also  faauptaächlich  die  2  Kräfte, 
nämlich  die  gebundene  Elektricität  und  die  Torsion ,  welche  den  Wage- 
balken nach  entgegengesetzten  Richtungen  treiben.  In  dieser  Form  liefert 
das  Listrament  beim  Gebrauche  auch  einen  reinen  Beweis  für  die  Biot'sche 
Theorie  der  Yertheilung  auf  einem  isolirten  Leiter.  Die  Ladung  des  Hilfs- 
apparates ist  ebenfalls  durch  die  neue  Einrichtung  erleichtert  worden ,  und 
bei  der  Anwendung  ist  das  ganze  Instrument  bequemer  dadurch ,  dass  man 
jetzt  den  Wagebalken  kann  unbesorgt  gehen  lassen ,  wogegen  man  früher, 
wenn  er  sich  vom  Streif chen  entfernte,  schnell  den  Finger  auf  den  Zu^ 
ieitui^sdrath  legen  mnsste,  damit  er  nicht  zu  weit  ging  bis  zur  Parallel- 
Stellnng  mit  dem  Querdrath.  Der  Versuch  mit  dem  Pfenning  ist  jetzt  jeden 
Augenblick  auch  in  der  feuchtesten  Luft  zu  machen.  Ja  die  dreiaölUge 
Zinkplatte ,  auf  welche  ich  ihn  stelle ,  zeigt  noch  ganz  deutlich  die  +  Elek- 
tricität. In  diesem  Zustande  ist  das  Instrument  ganz  besonders  geeignet 
zur  Darstellung  des  Volta'schen  Fundamentalversuchs ,  und  überhaupt  zu 
allen  Experimenten,  in  denen  sehr  geringe  Elektrieitäten  zur  Anschauung 
gebracht  werden  sollen.     Eine  Kupfer  •  oder  Zinkplatte  nur  eben  auf  die 

Zciikchrirt  f.  Malheniatilc  u.  Physik.  VI,  3.  15 


3i8  Kleinere  Mittheilungen. 

Hand  gedrückt ,  zeigen  Bicb  schon  ziemlich  stark  —  elektrisch,  ven  ebenem 
Holz  nnr  aufgehoben,  ebenfalls;  ebenso  Kork,  welcher  auf  Holz  gelegen. 

Will  man  den  Apparat  noch  weiter  treiben  in  der  Bequemlichkeit  sei- 
nes Gebrauches ,  so  elektrisire  man  die  Querplatte  andauernd  mit  dem  Pol 
einer  Säule.  Zu  elektrischen  Versuchen,  besonders  zu  Messungen,  ist  eine 
kleine  Wasserbatterie  (Zink  und  Kupfer)  von  SO  bis  100  Elementen  so  we- 
sentlich, dass  man  zu  der  Zeit,  wo  man  überhaupt  elektrische  Yersnehe 
macht,  dieselbe  öfter  brauchen  muss,  weshalb  man  wohl  thut,  sie  gleick 
anfangs  einzustellen  und  stehen  zu  lassen.  Bekanntlich  kann  sie  Monate 
lang  stehen ,  ohne  ihre  Dienste  zu  versagen.  So  kann  man  denn  auch  beim 
Gebrauche  des  Elektroskops  dieselbe  zweckmässig  zur  Elektrisimng  der 
Querplatte  verwenden.  Uebrigens  hält  diese,  wenn  die  Isolirung  frisch  ist, 
die  Eiektricität  jetzt  so  gut,  dass  man  in  einer  Stunde  das  Elektrisiren  der- 
selben nicht  zu  wiederholen  braucht;  und  ist  die  Isolation  nicht  mehr  gut, 
so  ist  ja  ein  einmaliges  Erhitzen  des  Drathes,  an  den  die  Querplatte  ge- 
löthet  worden ,  in  der  Spirituslampe  hinreichend ,  das  Uebel  zu  beseitigen. 

Auf  welche  Weise  man  die  Querplatte  auch  elektrisiren  möge,  man 
mmss  nie  unterlassen,  während  der  Zeit  dies  stattfindet,  den  Finger  auf 
dem  Zuleitungsdrathe  zu  halten,  um  so  die  freie  Eiektricität  abzuleiten. 
Ist  die  im  Streifchen  und  Wagebalken  gebundene  Eiektricität  +  Elektriei- 
tat,  hat  man  also  z.  B.  die  Querplatte  mit  Kork,  welcher  auf  Tuch  gerie- 
ben worden,  elektrisirt ,  so  wird  der  Wagebalken  durch  +  Elektricitlit  zum 
weiteren  Abstossen,  durch  — Eiektricität  zum  Annähern  gebracht.  Durek 
Entziehung  der  dem  Zuleitungsdrathe  mitgetheilten  Eiektricität  geht  der 
Wagebalken  wieder  an  seine  ursprüngliche  Stelle  zurück.  Das  Elektro- 
skop  ist  erst  brauchbar  zu  Versuchen ,  wenn  bei  der  Auflegung  des  Fin- 
gers auf  den  Zuleitungsdrath  der  Wagebalken  keine  Bewegung,  aber  bei 
der  Annäherung  oder  Berührung  mit  entgegengesetzt  elektrischen  Körpern 
entgegengesetzte  Bewegungen  macht. 

Es  sind  mir  Abbildungen  des  Apparates  zu  Gesicht  gekommen,  welche 
auf  dem  Deckel  ein  Glasrohr  zeigen  zur  Verlängerung  des  Coconfadens. 
So  wesentlich  dies  Rohr  beim  Elektrometer  zu  dem  angedeuteten  Zwecke 
ist,  so  schädlich  ist  es  beim  Elektroskop.  Ein  Ooconfaden  von  S  bia  4  Zoll 
Länge  ist  vollkommen  ausreichend  und  ein  längerer  schadet  nur ,  insofern 
er  die  Bewegungen  des  Wagebalkens  verlangsamt,  also  weniger  deutlich 
hervortreten  lässt.  Drei  Exemplare  des  Instrumentes,  welche  die  oben 
angegebenen  Erscheinungen  fast  gleich  deutlich  zeigen,  stehen  vor  mir 
und  haben  alle  einen  Faden  von  höchstens  3  Zoll  Länge.  Sie  sind  aber 
alle  drei  verschieden  construirt.  Bei  dem  einen  gehen  beide ,  Zuleitungs- 
drath und  Querplatten -Halter,  durch  den  Deckel  hinunter,  bei  dem  an- 
deren geht  der  Zuleitungsdrath  von  oben,  der  andere  Drath  aber  unten 
von  der  Seite  hinein ,  beim  dritten  ist  es  umgekehrt.  Ich  ziehe  das  zweite 
vor,  weil  seine  Einrichtung  gestattet,  Zuleitungsdrath  und  Querplatten- 


Kleinere  Mittheilangen.  219 


Halter  jeden  beliebige^  Winkel  mit  einander  bilden  sn  laMefn.  Dadurch 
bat  man  es  alsa  in  seiner  Gewalt,  seine  Einwirkung  zn  steigern  und  zn 
Bcbwäcben.  Riebtet  man  ihn  dem  Zuleitungsdrathe  gerade  entgegen ,  so 
schwächt  man  die  Empfindlichkeit  des  Apparetes,  was  natürlich  ist,  da  die 
eine  Qälfte  des  Wagebalkens,  welche  dann  über  dem  Halter  schwebt,  ron 
entgegengesetzten  Kräften  nach  derselben  Seite  gezogen  wird.  Uebrigens 
hat  es  ancb  eine  kleine  Unbequemlichkeit,  das  äussere  Ende  des  Znleitnngs- 
dratbes  oben  zn  haben ,  wo  in  geringer  Entfernung  auch  der  Drath  steckt, 
an  dem  der  Oooonfaden  hängt.  Man  mnss  dann  genauer  zusehen,  dass 
man  beim  Elektrisiren  beide  Dräthe  nicht  verwechselt. 

Mechaniker  und  Herausgeber  physikalischer  Lehrbücher  bitte  ich,  von 
dem  Vorstehenden  Notiz  nehmen  zu  wollen ,  insbesondere  aber  auch  Leh- 
rer der  Physik,  wenn  es  ihnen  darum  zu  thun  ist,  ihren  Schülern  eine 
Menge  elektrischer  Versuche  ohne  Zeitverlust  zu  zeigen  und  mit  möglichst 
geringen  Kosten.  In  der  neuen  Form  ist  das  Instrument  jedenfalls  das  be- 
quemste, empfindlichste,  sicherste  und  billigste  Elektroskop.  Die  vielseitige 
Anwendung  desselben  habe  ich  schon  in  der  erwähnten  Programm -Ab- 
handlung vom  Jahr  1842  gezeigt. 

Ueber  das  Elektrometer  weiss  ich  seit  der  Zeit ,  wo  ich  Wagebalken 
und  Streifchen  ganz  gerade  gelassen  (Pogg.  Annalen  Bd.  89,  S.  269)  von 
keiner  erheblichen  Verbesserung  zu  berichten.  Ich  habe  es  vor  ein  paar 
Jahren  versucht,  dem  Instrumente  eine  Einrichtung  zu  geben,  dass  man 
es  statt  des  Sinus-Elektrometers  gebrauchen  kann.  Vom  Wagebalken  geht 
in  der  Mitte  vertical  ein  feiner  Platin  drath  herunter,  welcher  in  ein  kleines 
Näpfchen  mit  einer  gut  leitenden  Flüssigkeit  taucht.  Zwei  Flügel  des 
Näpfchens,  nach  entgegengesetzten  Seiten  gerichtet,  vertreten  das  Streif- 
chen. Für  schwere  Wagebalken ,  wie  sie  zur  Messung  bedeutender  Quan- 
titäten erforderlich  sind ,  ist  die  Einrichtung  ganz  passend ;  ich  sehe  indess 
aus  den  Berliner  Berichten  (Jahrgang  14,  S.  379),  dass  schon  1858  in  einem 
Briefe  an  Volpicelli  W.  Thomson  denselben  Vorschlag  gemacht  hat.  Auch 
habe  ich  das  Instrument  transportabel  gemacht  in  ähnlicher  Weise,  wie 
Herr  Prof.  Hankel  zu  demselben  Zwecke  sein  Instrument  einrichtete.  Es 
gehen  nämlich  von  entgegengesetzten  Seiten  zwei  dicke  Dräthe  mit  brei- 
ten Köpfen  im  Inneren  in  das  Messinggefäss  hinein;  sie  können  durch  Stell- 
schrauben festgeklemmt  werden.  Die  Köpfe  fassen  den  Wagebalken  und 
halten  ihn  beim  Transport  fest.  Papierschäufelchen  sind  unten  an  den 
Rand  der  Köpfe  geklebt  zur  Aufnahme  des  Wagebalkens.  Den  Glasfaden 
schraubt  man  etwas  herunter  nach  dem  Festklammern  des  Wagebalkens. 
Vor  zwei  Jahren  schon  sind  zwei  Instrumente  mit  dieser  Vorrichtung  nach 
Amerika  abgegangen,  das  eine  an  die  Smiihsonian  Institution,  das  andere  an 
Kerrn  Dr.  Wislicenus  in  St.  Louis. 


220  Kleinere  Mittheilungen. 

XIX.  lieber  ein  nenei,  dem  Xaliunt  nahe  gtehendei  XetalL  (Be- 
richte der  k.  prensa.  Akad.  d.  Wissenschaften  1860,  S.  221.)  Bunsen  und 
Kirchhoff  haben  durch  die  Spectralanaljse  nicht  nur  gezeigt,  dass  das 
Lithium  ein  sehr  verbreitetes  Metall  ist,  sondern  es  hat  sich  auch  ihre  Ver- 
muthnng  bestätigt,  dass  sich  bei  Anwendung  dieser  analytischen  Methode 
vielleicht  neue,  bis  jetzt  noch  nicht  bekannte  Metalle  durch  die  Eigenthüm- 
lichkeit  ihres  Spectrams  zu  erkennen  geben  würden«  Sie  fanden  nämlich 
in  der  Mutterlauge  verschiedener  Soolwässer  noch  ein  viertes  AlkalimetAll, 
dessen  Dasein  sie  zunächst  auf  Grund  ihrer  spectral  •  analytischen  Ver- 
suche vermuthen  konnten.  Das  Chlorid  des  neuen  Metalles ,  weiches  nur 
in  sehr  .geringer  Menge  in  den  Mutterlaugen  gewisser  Soolwässer  vor- 
kommt, giebt  mit  Chlorplatinlösnng  ebenso  wie  Chlorkalium  einen  gelben 
Niederschlag ,  allein  das  Salpetersäure  Salz  des  neuen  Metalles  ist  in  Al- 
kohol löslich ,  während  Salpeter  darin  unlö«lich  ist. 


Zeitsduift  &r  BUÜiniuitik  u.  Phisik.  ISSMlif.  W. 


LithAyiM  r.M  Sfufr  Lf-h-J. 


IX. 

Da8  SehnenTiereok  in  der  Ebene  und  auf  der  Kngel  als 
besonderer  Fall  des  allgemeinen  Vierecks« 

Von  Prof.  C.  W.  Baub, 

an  der  königl.  polytechDischen  Schule  zu  Stattgart. 


Unter  XII  der  kleineren  Mittheilnngen  im  4.  Jahrgange  dieser  Zeit- 
scbrift  habe  ich  eiiie  Gruppe  von  Beziehungen  zwischen  den  Seiten »  Dia- 
gonalen nnd  Winkeln  des  ebenen  Vierecks  veröffentlicht,  welche  die 
Verallgemeinerung  der  Hauptsätze  vom  ebenen  Sehnenvierecke  in  sich 
schliesst. 

In  Folgendem  beabsichtige  ich,  eine  weitere  Verallgemeinerung  dieser 
Art  ans  jenen.  Beziehungen  abzuleiten ,  sodann  abc^r  die  sphärischen  Ana- 
logieen  der  letzteren  aufzustellen. 

Bezeichnet  man ,  wie  dort  geschehen ,  mit  a  und  a\  b  und  V  die  zwei 
Paare  von  Gegenseiten,  mit  c  und  c  die  Diagonalen,  oder  allgemeiner  ge- 
sagt, mit  a  und  a\  b  und  b\  c  und  c  die  drei  Paare  von  Gegenseiten  des 
ebenen  Vierecks  in  solcher  Auswahl,  dass  c  einen  hohlen  Winkel  (a,6) 
zwischen  a  und  b  theilt ,  a\  b\  e  aber  ein  Dreieck  bilden ,  so  lauteq  jene 
Beziehungen ,  wenn  nur  ausspringende  Winkel  angenommen  werden  : 
sin  \[b,c)  -  {b\c)\^sin  \{b\c)  -  {b,c)\ 
ad  ad 

]  _sin  \{a,c)  —  («', c) }  _ «n  } (a , c )  —  (q, c) { 

^^  ^—  bb' b^^ 

_sin\{^a,b)  +  {a\b')\ sin  \{a,b') -{^  {d ,b)\  *     . 

cc  cc 

Ich  erlaube  mir,  den  Satz,  durch  welchen  ich  diese  Gleichungen  in 
Worten  darstellte,  weil  er  am  angeführten  Orte  durch  einen  sinnstörenden 
Druckfehler  entstellt  war,  hier  an  wiederholen: 

Beschreibt  man  die  sechs  Kreise  um  je  drei  Ecken  eines 
Vierecks,  so  sind  die  drei  positiven  Quotienten  aus  dem  Pro- 
duct  zweier  Gegenseiten  und    dem  Sinus  des  Unterschieds 

ZeilschriA  f.  Mathematik  a.  Physik.    VI,  4.  16 


222       Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 

zweierPeripheriewinkel,  welche  auf  einer  von  beiden  in  zwei 
nicht  von  ihr  getrennten  Bögen  stehen,  einander  gleich. 

Wichtiger  aber  erscheint  für  jetzt  folgende  Deutung  der  Gleichheit 
zwischen  den  drei  vorderen  Quotienten : 

Setzen  wir  der  Kürze  halber: 

(b,c)  —  {b\c)  =  Ö,  {a,c)  —  {a\c)  =  c,  (a,6)  +  (a ,6')  =  i?, 
so  giebt  die  aus  der  Figur  leicht  ersichtliche  Beziehung: 

in  Verbindung  mit 

aa         bb'        cc 
sin  ö       sin  s       sin  rj 
die  Winkel  d,  « ,  j;  als  diejenigen  eines  Dreiecks  zu  erkennen,  in  welchem 
die  Gegenseiten  den  Producten  aa^  bb\  cc  proportionirt  sind. 

Von  diesem  Gesichtspunkt  ans  erscheint  die  früher  angegebene  Ver- 
allgemeinerung des  Ptolemäischen  Satzes : 

rc'=  aa  cos  c  +  bb'  cos  8 
lediglich  als  das  Ergebniss  der  Anwendung  der  trigonometrischen  Formel 

c=:sacosß+b  cosa 
auf  das  besagte  Dreieck. 

2.  Die  Anwendung  der  Formel 

a*  =  6*  +  <;•  —  2bccos  €1 
liefert  ferner  die  folgenden  drei  Gleichungen : 

fl«a « =  ^«y«  +c^c*  —  2bb'.cc.cosö 
b*b'* ?=  c*c'*  +  a*«'*  —  2cc  .aa\cos  B 
c*c'«  =  ö«a «  +  b*b'*  —  2aa.bb\  cos  jy. 
Aus  diesen  ergiebt  sich 

2bb\ec  (a«  +  a')  cosö  +  2cc.aa  (ft«  +  6'«)  coss  +  2aa' .bb'  (c*  +  O  cosii 
=  («•  +  O  («'*&'*  +  c*c  •  —  aW)  +  (*•  +  6'«)  (c«c'«+  «•«'•  —  bH'^) 
+  (<?*  +  c'«)  (a«a'*+ft«6'«— c«0- 
Vermöge  der  Beziehung,  welche  zwischen  den  sechs  Seiten  des  Vierecks, 
d.  h.  zwischen  den  Abstitnden  a,  &,  c  eines  Punktes  von  den  Ecken  eines 
Dreiecks  mit  den  Seiten  a\b\c  und  letzteren  besteht*),  geht  die  rechte 
Seite  der  vorigen  Gleichung  über  in : 

Durch  Division  der  ganzen  Gleichung  mit  abe.a'b'c   erhält  man  daher: 

i         d    b'    c        a     b     C    ,    «     b'    c        a     b     c 

\  a     b     c        a     b     c        a     b     c        a     b     c 

Im  Sehnen  Viereck  ist  4  ==  0,  «  =  0,  i^  =  180",  somit: 


♦)  Mention  führt  dieselbe  unter  dem  Namen  relation  tdtragonomeirique 
de  Goidbaeh  KU. 


Von  Prof.  C.  W.  Baur.  223 

\r      abc       r    ab  c       r    a  bc       V    a  h  cj 
oder 

c  a'  6  +  ö  fr' 

.    c        ab  -^  a  b'' 
TäVl  diesem  bekannten  Satze  vom  Sehnenvierecke  bietet  also  unsere  Glei- 
cbang  2)  die  Verallgemeinerung  dar. 

3.  Die  sphärischen  Analogien  der  Gleichungen  l)  müssen  sich  von 
diesen  hauptsächlich  dadurch  unterscheiden,  dass  nicht  mehr  sechs  gleiche 
Quotienten  auftreten  können ,  weil  die  für  das  ebene  Viereck  giltigen  Glei- 
chungen 

(6, c)  —  {b\ c)  =  {b\ c)  —  (6, c) ,   (a, c)  —  {a, c)  =  (a , c)  ~  (a, c), 
(a,6)  +  («',0  =  360°  —  (a,ft')  —  {a\b) 
im  sphärischen  Vierecke  nicht  stattfinden.    £s  liegt  nun  aber  der  Gedanke 
nahe,  dass  anstatt  der  sechs  gleichen  Quotienten  deren  nur  drei  vorkom- 
men werden,  welche  die  Sinus  folgender  Winkel -Ausdrücke  enthalten: 
{b,c')-{b\€)  +  {b\c)-{b,c)      {a.c)^(a\c)  +  {a\e)-{a,c) 
2  '  2  ' 

(fl,  b)  +  {a\  b')  +  360  °  —  (g,  Q  —  {a\  b) 
2 
die  wir  nun  in  der  Folge  mit  ä,  «,  t?  bezeichnen  werden.     Die^e  sind  es  in 
derTtiat,  von  welchen  im  sphärischen  Sehnenvierecke  die  zwei  ersteren 
verschwinjen,  der  dritte  aber  in  180^  übergeht,  weil  z.  B. 

=  |(a,6')-f(«,^)-(fr',c)|-!(«,ft)  +  (a,0-(ft,0l- 
Die  zwei  Glieder  der  letzteren  Differenz  nämlich  sind  vermöge  eines  be- 
kannten Satzes  über  zwei  auf  einerlei  Grundlinie  in  denselben  Kugelkreis 
beschriebene  Dreiecke  einander  gleich. 

Zum  Zweck  der  Entwickelung  der  fraglichen  Analogien  müssen  vor- 
erst zwei  Formeln  der  sphärischen  Trigonometrie  aufgestellt  werden,  unter 
deneu  meines  Wissens  bisjetzt  nur  die  zweite  und  zwar  von  Schmeisser 
als  eine  seiner  Fundamental  formein  bekannt  gemacht  worden  ist.  (Grelle, 
X,  S.  146.) 

4.  Sind  fl,  6,  c  die  Seiten,  a,  ß,  y  die  gegenüberliegenden  Winkel  eines 
sphärischen  Dreiecks ,  so  findet  sich  unter  Anwendung  der  Gauss'schen 
Gleichungen : 

.    a      .   « —  ß  +  y         .    a    .    er        ß  —  y         .    ö         «    .  j3— y 

zxn  —  •  $%n ^—^-J  ==  Bin  —  sm  —  cos —  sm  —  cos  —  sm  - — - 

.2  2  222  222 

o\J  ..«.^  +  ^  •«.    *  —  ^ 

o)  <  z=sifr  —  stn cor  —  sm 

*  2  2  2  2 

b     .    c  .    b  c 

=  cos  —  sm  —  —  stn  —  cos  —  .  cos  a. 

2         2  2  2 

16* 


,  224       Das  SehneoTiereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 

.    a  a  —  ß  +  y         .    a         u        ß — y  ,     .    a    ,    a    ,  ß — j 

im—  ,  cos '"  =  8tn  —  cos  —  cos +  «tn  —  «n  —  «n  *- — '- 

2  2  222222 

-vi  ,    a         a    ,    b  +  c  ,     .     «         «    .  b — e 

4)   <  s=: stn  —  cos  —  sm [-sm—cos  —  sm 

^    '  2  2  2^222 

,    b         c     ,       *• 
=  stn  —  cos  —  stn  «. 
2  2 

Man  bemerkt,  dass  beim  Uebergang  vom  sphärischen  Dreiecke  auf  du 
ebene  darch  Annahme  eines  unendlich  grossen  Kugelhalbmessers  die  zwei 
X  obigen  Gleichnngen  sich  als  Correlate  der  zwei  folgenden  der  ebenen  Tri- 
gopometrie  herausstellen : 

acosß=iC  —  bcosttj  asinß  =  bsina. 
Erinnert  man  sich  ferner,  dass  bei  der  Entwickelang  der  Gleichung  1)  eben 
diese  Formeln  vorzugsweise  in  Anwendung  kamen ,  so  kann  ttber  den  Gang, 
der  bei  der  Auffindung  der  fraglichen  sphärischen  Analogieen  einzuschlagen 
ist,  kein  Zweifel  mehr  obwalten. 

5.  Es  seien  nnn  a  und  a\  b  und  b\  c  und  c'  die  drei  Paare  von  Gegen- 
seiten eines  sphärischen  Vierecks,  in  welchem  keiner  der  Winkel  (a,6), 
(6,  a'),  (ja\b')^  (^9^)  ui^d  eben  deshalb  auch  keine  jener  sechs  Seiten  180* 
überschreitet,  ferner  c  den  Wirikel  (a,6)  theilt,  a',  b\  c  aber  ein  Dreieck 
bilden ,  so  hat  man  vermöge  der  in  3.  mit  i  vorgenommenen  Zerlegung  und 
der  Formeln  3)  und  4) : 

sm  —  sm  —  stno 
2        2 

-sin  ^'sin  ^'j,'n{(^>^^)+(^»^)-^(^^^)       {a.b)+{a,c')-{b,c'^ 
2         2*  2  ,2  ' 

2  2  2  2 

i         «     .    <^  .     «  c  ,       xj       .     ö  ^     '   r     M.\ 

==  { COS  —  sm wt  —  CO*  —  cos  (a,  c)\  •  stn  —  cos  —  sm  (a,  b) 

122  2         2         ^''f  2  2 

—  <t«  —  cos  -—  stn  (a,  c) .  J  co*  —  «tu stn  —  cos  -—  co*  (a,  o)/ 

=  «in  —  CO«  ■—  J  cos  —  «w  —  «t«  («,  6)  —  sin  —  co«  —  «i«  (<i,  cjj 
2         2(         2         2         ^''  2         2  ', 

—  sif^  -rcos-^  cos  -r'lsin  (a,  b)  cos  (a, c)  —  cos  (a,  6)  «t«  («, c)} , 

««  —  «in  — 

— ^ .  «md  =  lang  ^ sin  (ä,6)  ~  ten^f -  «wi  {«,r) 

«I«  —  cos  —  CO«  —  cos  — 

2         2         2         2  a        rr    X 

—  lang  —  «m  (o,  c). 


Von  Prof.  C.  W.  Baue.  225 

In  Folge  der  steta  snlftssigen  VertauschiiDg  von  a  und  a  mit  h  und  b'  än- 
dert sich  die  rechte  Seite  nicht,  dagegen  geht  die  linke  Über  in: 

.    a    .    c 

2         2 

5111  f. 


,    h  a        b        c 

sm  —  cos  —  cos  —-  cos — 

2  2         3         2 


£ndlieh  ist 

2i?  ^  (fl,ft)  +  (a',6')  +  3Ö0«  —  (ö.6')  —  (a',6) 

=  360«+  {(a,c)  +  (y,c)  -  KOI  +  \{a\c)  +  (ft,c)-  (a',^)|, 

also: 

.    a    .    Ä'    . 
sm  —  stn—  sm  ti 
2         2  ' 

2  2  2  2 

CO*  -  wi  ~  —  «n  -  CO*  j  cos  («,  c)|  ..*irt  ~  CCS  j  sm  (6,  c) 

—  «in  —  cos  --  sm  (ö,c)  •  {  co*  --  *in sm  —  co*  —  ««  (o, c) } , 

2  2         ^'^l         2         2  2  2  ^^'^J' 

.    «     .    fr' 

*m  —  *m  — 

2        2  .  c    .    ,    ,^  ft     .    ,      V 

; .  «in  «  =  to/i^  —  *tn  (a.b)  —  tang  —  «n  (ö.c) 

.c  a         6         c  '  *2        ^'^  ^2        ^' 

sm  —  cos  —  cos  —  cos  — 

2  2         2         2  ,        «     .    /j.    \ 

—  iang -^  sm  {b,cy 

Es  seigen  sich  jetzt  also  die  Gleichungmi 

sind  sins       smti 

5)  ,    a    .   a         .    b    ,    b*        .    c    ,    c 

'  sm—stn—      sm  —  sm—       sm  —  sm  — 

2         2  2         2  2         2 

dadurch  gerechtfertigt,  dass  sich  der  Ausdruck 

a        h         c 
cos  —  cos  —  cos-- 

6)    — j. ^, -,  I  tang  j  sin  (a,  b)  —  fang  -  sin  («,  c)^tang^  sin  {b,  c)\ 

sin  —  m  —  sin  — 
2  2  2 

als  der  gemeinschaftliche  Werth  der  drei  obigen  Quotienten  herausge- 
stellt hat. 

6.  In  den  Gleichungen  5)  sind  nun  die  sphärischen  Analogieen  unserer 
für  das  ebene  Viereck  aufgestellten  Beziehungen  l)  gefunden.  Dass  sie 
sich  beim  Uebergang  von  der  Kugel  auf  die  Ebene  in  die  leteteren  ver- 
wandeln, ist  unmittelbar  ersichtlich,  desgleichen  dass  sie  fUr  das  sphä- 
rische Sehnenviereck ,  weil  der  Zähler  jedes  der  drei  Quotienten  und  folg- 
lich auch  der  gemeinschafÜiche  Werth  6)  der  letzteren  Null  wird,  den  Satz 
liefern: 


226        Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 


iang  —  sin  (a,  b)  =  fang  —  sin  (b,  c)  +  fang  —  sin  (a,  c) , 
.2  *  « 

welcher  die  sphärische  Analogie  darbietet  zu  dem  für  das  ebene  Sehnen- 
viereck giltigen : 

c  sin  (a,  ft)  c=  a  sin  (6,  c)  +  b  sin  (a,c). 
Er  dient  zur  Bestimmung  einer  Diagonale  c  aus  zwei  in  einer  Ecke  mit 
ihr  zusaramenstossenden  Seiten  nebst  den  Theilen,  in  welche  sie  den  von 
denselben  eingeschlossenen  Winkel  zerlegt. 

Endlich  geben  unsere  Gleichungen  5)  in  Verbindung  mit  der  ans  der 
Figur  leicht  nachweisbaren  Beziehung 

d-H€  +  i7  — 180» 
diese  drei  Winkel  als  diejenigen  eines  ebenen  Dreiecks  zu  erkennen,  in 
welchem  die  gegenüber  liegenden  Seiten  den  Producten 

,    a    ,    a         ,    b    ,    b         .    c    ,    c 

svi  —  stn^ .    sin  ^  sm  —  .    sin  —  stn  — 

2         2  2         2  '  2         2 

proportignal  sind.    Und  hieraus  folgt  nun  wieder  ein  erweiterter  Ptolemäi- 

scher  Lehrsatz  für  das  allgemeine  sphärische  Viereck : 

i-N  ,    c    ,    c  ,    a    ,    a  ,     .    b    ,    b'  ^ 

/ )         stn  —  stn  —  =  sm  —  stn  —  .  cos  b  +  stn  —  stn  —  .  cos  o , 
'  2         2  2  2  ^22  ' 

welcher  sich  mit  cosö  =  1,  cosb  =  1  in  den  bekannten  Ptolemäischen  Lehr- 
satz für  das  sphärische  Sehnenviereck  verwandelt. 

Bevor  an  die  in  Betreff  der  Winkel  d,  e,  i^  gemachte  Bemerkung  wei- 
tere Folgen  angeschlossen  werden ,  sollen  sich  unsere  Gleichungen  5)  noch 
auf  einem  anderen  Wege  herstellen,  welcher  vermöge  der  nebenbei  auf- 
tretenden Ergebniöse  von  Bedeutung  ist. 

7.  Der  eine  Durchschnittspunkt  der  beiden  Grosskteise,  welchen  die 
Seiten  b  und  b'  angehören ,  liegt  als  Ecke  der  Seite  a  eines  sphärischen 
Dreiecks  gegenüber,  in  welchem  dieser  Seite  die  Winkel  {«, ft)  und  (a^b) 
anliegen,  und  der  dritte  Winkel  in  jener  Ecke  mit  (6,6')  anzugeben  ißt. 
Bezeichnet  man  mit  F  und  y  die  sphärischen  Entfernungen  derselben  von 
den  Endpunkten  der  Seite  6,  mit  Y*  und  y  diejenigen  von  den  Endpunkten 
der  Seite  b'  in  solcher  Auswahl,  dass 

8)  Y—y  =  b,   r—y=b\ 

so  giebt  das  Dreieck  (y,  c\  F')  vermöge  der  Gauss'schen  Gleichungen : 

.    c'    .   {p.c)+{b\c)         ,    c        180»-(6,c')-(6'.O        .  {b,b')   .   r+if 

stn  —  gi;>.     >    ^  '  V    ^    / ;—  j,„  _  cos ^-^— ^ — ^        ^  =  stn  ~ stn  ——— 

2  2  2  2  2  2 

.    c        {b,c)+{b\c)        .    c    .  m^^{b,c)'-(b\c)  (6,6')  .  r-y 

stn  —  cos  ^       ^     l_i_/  ==:  sin  -  sin \-i—i — \-J-J.  =cos- stn  — -— , 

2  2  2  2  2  2 

das  Dreieck  (7,  c\  y) : 

.    c   .   (6',c)+(6,r)         .    c        180»-(6',c)-(6,c)         .  (6,6')    .    F+f 

stn  -  stn  >—LJ^±AJL^  =^  stn  —  cos ^         — ^-^— ^  =  stn sin  — — - 

2  2  2  2  2  2 

.    c         {b\c)+'(b,c)         .    c    .   180«- (6', O- (6,0)  (6,6')    .   F-y   ' 

sin  -  cos  ^~J— ''—-JL-L^  =  stn  —  stn >— i—^ — i-L_i  =  cos  -  — -'  stn  —— , 

2  2  2  2  2  2 


,    VoD  Prof.  C.  W.  Baub.  227 


also: 

.   c    .   c    .   , 
51«  —  *w  —  sm  0 
2        2 

.    c    ,    c    .  {b,c)  +  {b\c)^(b\c)  —  (b,c) 

=  ««  —  «rt  —  «»  /   '    V    ' — i l_J_d i_L^ 

2         2  2 

'       c        c 

[  sin  — sin—  sin  ö 

12         2 

^^  ^  f,.  K's  f    ^  '  y     ^'     »'      .  ^'     y       y     y\ 

=  sm(6,o)  Asm—stn  —  cos — cos  —  —  sm — sm  — .  cos  —  cos  -  |, 
\2222  22  2  2/ 

das  Dreieck  (a,  7,  F')- 

*m  —  sm  ^^-^—^ — -^-L-Z  =-  cos  ^^-^— ^  «n 

2  2  2  2 

.  a     («,6')  — (a,6)      .  {b,b')  ,  r+r 


das  Dreieck  (a',  y,  y) : 


I 


*tii  -—  stn SS  cos  •         sm 

2  2  2  2 

«n --  cos ^-^-^ -^-^-^  =  «n^-^— i  sin^^-^-^  , 

2  2  2  2' 


also: 


««  —  ««  —  «n  « 
2         2^ 


2  2         <  2  I 


.  (6,6')       (6,6')/  .    y— F'    .  y+y        .   Y+Y'   ,  y  —  y\ 

=ssm^-J-ico5^-^— ^  ( sin sin^--^-^  +sin — ^ — sin^ — ^  ) 

2  2\2  2  2  2/ 


a    .    a 
10) 


sin-^svi—srnn 
2         2         ' 


.  /,  ^'N  /  .  ^  .  y      ^     y       .  i''    .  y      i"     y\ 

:=iStn  (6,6) .  I  *tn  —  «m  — -  cos — cos^ stn  —  .sm  — cos  — cos—  ). 

^^\22  2  2  2  22  2/ 

Es  wird  zur  RechtfertignDg  der  zwei  folgenden  Gleichungen,  sowie 
lar  Erklärung  der  darin  gebrauchten  Zeichen  nichts  weiter  gesagt  werden 
müssen,  als  dass  durchgängig  a  und  a  und  6  und  6'  vertauscht  worden  und 
Jf,  o:,  X\  X  an  die  Stelle  von  T,  y,  F',  y'  getreten  sind. 

l  .    c    ,    c'    .  .    b    ,   b'    , 

\  stn—  sm—  stnss=sm  —  sm  —  svi  ti 
)        2         2  2         2' 

M  .  ,      ,^  /  .  ^    .   ar       ä'       X         ,  r    ,  X       X       x\ 

I      =  stn  (a.a)[stn  —  stn—  cos —  cos sm  —  sm  —  cos  —cos—]. 

\  ^  '     ^  \       2         2  2  2  2         2         2         2/ 

Bezeichnet  man  endlich  die  Abschnitte ,  in  welche  die  Seiten  c,  c  einander 
zerlegen ,  mit  Z,  2,  Z',  z  in  solcher  Auswahl ,  dass 


228       Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 

und  b  mit  Znnd  Z  ein  sphärisches  Dreieck  bildet,  in  welchem  ihr  der  Win- 
kel (c,  c)  gegenüber  liegt ,  so  giebt  eben  dieses  Dreieck  (6,  Z,  ^) : 

ttn-stn z=coi-Y-fm— — 

das  Dreieck  {b',  Z,  Z') : 

.    b'     .  (b',e)  —  (b',c')      '      {c,c-)   .  z—z 
2  2  2  2 

Stfl  —  •  €08 =:=  stn stn  •  • 

2  2  2  2 

also : 

\  sm  —  *m  —  «I«  ö 
12)J       ^       ^ 

{  2  2\2  2  22/ 

.   ,      ,,  /      Z    .    z        Z-         z'         .  Z^    .    t        Z        z\ 

SSI  sm(c,c){  sm  —  «m  —  co^  —  co* stn  —  sm-^cos  —  co«—  1. 

^'\2         2  2  2  2         2  2  2/ 

Ebenso  durch  Vertauschung  von  a,  a',  z'  mit  6,  6',  Z* : 
*m  —  «n  —  51  n  s 

.   ,      .  /  .   -^    .    z        Z'        z'        .    Z'    .    z'        Z        z\ 

Die  Gleichungen  10),  11),  12),  13)  lassen  sich  jetet  in  folgender  Gruppe 

zusammenstellen : 

sin  i sin  b  sin  ij 

.    o    ,   a         ,    b    ,    b'         .    c    ,    c 

stn—sm--'      stn --stn—       stn  — stn  — 

2         2  2         2  2         2 


stn(a,a)  (     X    ,   x       X       x         ,   X    ,  x        X       t\ 

s=s r ~ 7 A  Stn  — Stn  —  cos  —cos sm  —stn  — cos  —  cos- 1 

.b,b,c,c\22         2         2  2         2         2        2/ 

— I  —  ^{11  _  stn  — 
2         2         2 

— ;        ;.  l  stn  — stn  — cos — cos- stn — stn  — cos  — cos-} 

c    ,    a     ,    a     \       2        2  2         2  2         2         2        t/ 

«  -  stn  —  sm  — 
2         2         2 

(««(c,0  f  .   Z  ,   z       T       z'        .2!  .  t        Z       i\ 

^^ ^^ — ^^ 77 . l  Stn ^stn  —  cos  —cos sm—stn — cos  —  cos—]. 

&     \       2        2         2  2  2        2         2         2/ 


sm  ■—  sin  —  sin  —  sin  - 
2        2        2        2 

sin  I 

.    c 

stn  —  sin  -  sin  —  sin  — 
2         2         2         2 


.    a     ,    a     .    b     ,    b 

stn  —  stn  —  stn  —  sm  — 

2         2  2         2 


Diese  Gleichungen  geben  den  Zusammenhang  an ,  welcher  im  allge- 
meinen sphärischen  Vierecke  zwischen  solchen  Grössen  stattfindet,  welche 
vermöge  bekannter  Sätze  im  Sehnenvierecke  sämmtlich  verschwinden. 

8.    Um  von  unseren  Gleichungen  5)  dieselbe  Anwendung  su  maeh€n, 


Von  Prof.  C.  W;  Baüb. 


welche  in  2.  von  den  Gleichungen  l)  gemacht  wurde ,  mit  anderen  Worten : 
um  die  f^  das  sphärische  Sehnenviereck  giltige  Beziehung 


2 


,   a    .    b 
2        2 


^         2 


^n- 


2  2         2^22 


für  das  allgemeine  sphärische  Viereck  zu  erweitern ,  muss  erst  die  Bezie- 
hung zwischen  den  sechs  Seiten  des  letzteren ,  oder  zwischen  den  sphäri- 
schen Abständen  a^b^  c  eines  Punktes  von  den  Ecken  eines  Dreiecks  mit 
den  Seiten  a',  b\  c  und  den  letzteren  hergestellt  werden. 

Die  sehon  in  2.  gebranchte  entsprechende  Beziehung  in  der  Ebene 
habe  ich  unter  XXIV  der  Kl.  Mittb.  im  5.  Jahrg.  dieser  Zeitschrift  in  fol- 
gender Form  angegeben : 

2a«,         a«  +  ft«— c«,  a«  +  c«— 6'* 
a«  +  ftt_c'*,         26«,  6«  +  c«— a« 

a«  +  c«— d'«,  b*  +  ^—a\         2c« 
Vermittelet  eines  dort  mehrfach  in  Anwendung  gekommenen  Verfahrens 
lässt  sich  di^elbe  auch  so  schreiben : 

0,     +1,  +1,  +1,  +1 
+  1,      0,       fl«,      b\     c« 
0=    +1,       a«,      0,       c'«,     d'« 
-'«      0,       «'« 


14) 


15) 


+  1,       b\      c%    0,       a" 
+  1,       c«,      b'\     a'\     0 
Durch  Ausführung  der  Determinante  erhält  man : 

*0  =       2  (a«  +  a'«)  (—  «««  «  +  6«/»'«  +  <?«c'«) 
+  2  (6«  +  O  (+  a«a «  — 6«6'«  +  i^c^) 
+  2  (c«  +  c «)  (+  ^a^^  l^b'*~(?e^) 
—  2aH'*c'^  —  2a«  6«  c«  —  2a«  6'«  c«  —  2a«6«c'«. 
Die  Beziehung  zwischen  den  Cosinus  der  sechs  hohlen  Winkel ,  welche 
durch  yier  von^inem  Punkte  im  Baum  ausgehende  Geraden  gebildet  wer- 
den ,  oder  zwischen  den  Cosinus  der  sechs  Seiten  des  sphärischen  Vierecks 
wurde  dort  zwar  nicht  angeschrieben ,  aber  durch  die  Gleichungen  12)  und 
15)  zu  folgender  Form  Torbereitet : 


0  = 


Hieraus  folgt  auch : 
1, 


1,  cosüj  cosby  cos  c 
cos  a ,  l^  cos  c\  cos  b' 
cos  b ,  cos  c\  1 ,  cos  a 
cosCy  cosb\  cosa\     1 


0  = 


1,  1,  1,  1 

1,  0,  1 — cosa,  l  —  cosbj  1 — cosc 
1,1 — cosüy  0,  1  —  co^c',  1 — cosb' 
1,1 — cosby\^cosc\  0,  1 — cosa 
1,1 — co*c,  1 — cosb\  i  —  cosa\         0 


0  = 


230        Das  Sehnenvicreck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 

oder : 

+  2,    +1,     +1,      +1,     +1 

+  1,  0,  «i>i«|,  ««*-,««« |- 
+ 1 ,  m*  ^,  0 ,  m«  -,  sin*- 
+  1 ,  sin*  -,  sin*  -,      0 ,      sin*  |- 

Bei  Vergleichnng  dieser  Determinante  mit  derjenigen  in  14)  findet 
sich,  dass  man,  um  aus  der  Gleichung  15)  die  entsprechende  sph&rische 
abzuleiten,  nicht  nnr  überall  die  Seiten  des  ebenen  durch  die  Sinus  der 
halben  Seiten  des  sphärischen  Vierecks  zu  ersetzen,  sondern  auch  noch 
auf  der  Rechten  folgendes  Glied  doppelt  beizufügen  hat : 

.  ,  a      .  ,  6      .  ,  <? 

0,     51»'  — ,  svr  — ,  suv  -- 

'  2'  2  2 


16) 


sm^—.      0 ,     stn*  — ,  5f/i*  — 
2  2  2 

6*  t 

.  .  c  .  .  ö 

51/1*  — ,  svr  — ,     0 ,      sm^  — 
2  2  2 

5m«~,5llt«y,  5fll«~,       0 


=  I  5fw*  --  5m'  —  +  stn*  —  5m' 

\  4b  i6  i 


stvr  —  .  5m*  ^  f 

2  2  2/ 


.•<»     ••«     .»^     .«^ 
—  4  5m*  —  «/r  —  5m'  —  svr  — . 
2  2  2  2 


Vermöge  5)  und  7)  wird  aber  der  Minuend  dieser  Differenz ; 

)    •  f  ^     •  t  ^'  _i      •  1  ^     •  f  ^        /  .    a     .    fl  .     .    ^^-    ^'        *\«(* 

{ stn*  —  5f«'  "--  +  strr  —  5m' (  5t«  —  5m  —  co5 s  +  »in  — fm  —  C05d)  i 

«2  2     '  2  2         V       2         2  ^22  /   ' 

5m'  —  5m'  —  stn^s  +  5m*  —  5m*  —  sm^o 
2  2  2  2 

,    a    .   a    .   h    ,    b'        .  i* 

—  2  5m  —  5fw  —  sm  ^stn  —  coso  cos s  \ 
2         2        2         2  } 

i.    «     .    «'    .    ft     .    ^'    .    •    .  .«.«'.    ^     .    ^'       •         (* 

2  Stn  —  5m  —  5m  —  svi  —  5m  o  5m  «  —  2  5m  —  5m  —  sm  —  5m  —  cos  ocos  i\ 
2222  2         222  ' 

=  4  51«  '  —  5m'  —  stn*  —  5m*  —  co^  (i  -1-  «),=  4  ««•  —  sm*  —  51«'  —  5m'  -  cor  q 
2  222^^  2222 

und  der  ganze  Ausdruck  16) : 


* —  4  sin*  —  stn*  —  51«'  —  svr  —  stn*  v , 
2     2     2     2     ' 


wofür  auch 


Van  Prof.  C,  W.  Baüb.  231 

—  Asin  —  ««  —  sm  —  sm  —  sttr  —  strr  —  sind  stm 
2         2         2         2  2  2 

gesetzt  werden  könnte.     Wird  jetzt  Gleichung  15)  mit  2  durchdividirt  und 

16)  nur  einfach  beigefügt,  so  stellt  sich  als  gesuchte  Beziehung  zwischen 

den  sechs  Seiten  des  sphärischen  Vierecks  folgende  dar: 

/  ^       /  .  •  «    .     •  9  ^'\    /      .  •  «     •  •  "'  »     .  •  ^     .  •  ^'  .     .  .  ^    .  •  c\ 

0  =  I  sm*  --  +51«"  ~  1    I  — 5t;i"  —  sm*  --  +  jm«  —  stn*  ~  +  «n*  —  shi*  —  I 

\2^2/\  2  2^2  2^2  2/ 

+  1  *''<*  :r  +  '**«'  —  )    (  +sin*  —  sin*  ~  —  5tw'  —  sin*  -  +  «i«'  —  sm*  —  ] 
\2'  2/\^         2  2  2  2^         2  2/ 

(•  2  ^     I      '  t^'\     f  i     •  t  ^      .  «  ^'    I      •  f  ^      .  t  ^'  .  t  ^     s  •  ^\ 

««'  —  +  sur  —  I    I  +  sm*  ^  sm*  — J-  svi*  ~  ^t/r 5i/«'  —  sm*  —  1 
2                2y\'          2            2^          2           2  2  2/ 


17) 


+ 

.  ,  «     .  .  6'    .  2  ^'         .  ,  «'    .  ,  *     .  t  ^  •  »  ^     .  t  ^'    .  •  *^ 

—  sm*  —  sm*  —  sm* sin*  —  sm*  —  sm* sm*  —  sm*  —  sm*  — 

222  22  2  22  2 

a     .  ,  6     .  ^  c         ^    .  ,  a     .  »  «'    .  1  ^     •  »  *     •  1 


—  sin*  —  m'  —  sin* Asin*  —  m*  —  sin*—  sin*  —  ^in* «. 

\  2  2  2  2  2  2  2' 

Sollte  der  Zweck  es  erfordern,  dass  nur  die  Seiten  ohne  ti  yorkttmeU) 
so  hätte  man  auf  die  ursprüngliche  Form  des  Ausdruckes  16)  zurückzu- 
greifen. Dass  beim  Uebergang  von  der  Kugel  auf  die  Ebene  Oleichnng 
17)  wieder  in  Uebereinstimmung  mit  15)  kommt ,  weil  ihr  letztes  Glied  als 
eines  vom  achten  Grade  neben  denen  des  sechsten  verschwindet ,  i«t  leicht 
ersichtlich. 

9.    Schreiben  wir  jetzt  vermöge  der  in  5.  gemachten  Bemerkung  fol« 

gende  der  Gleichungen  an: 

..«.•«'         .  •  ^     .  •  fr'   I     .  •c    .  m  c  .    b    ,    b'   ,   c    ,  c 

sin*  —  *in*  —  =  stn*r'  strr  —  +  svi*  —  sm* 2  sm  —sm—  sm  —  sm  —  cos  6 

2  2    -  2  2  2  c  2         2         2         2 

.  .  fr     .  •  fr'         ,  mC     .  ,  c'         .  ,  a     .  .  a  ,    c    ,    c    ,    a     ,    a 

sm*  —  stn*  —  =  sttr  —  smr  —  +  sm*  —  sm* 2sm~  sm  —  sm  —  sm  —  cos  t 

22  2  222  2222 

.  •  c     .  .  c'  .  a     .  «  «'.     .  ,  fr     .  •  fr'  .    «     .    fi     .    b    ,    b' 

strr  -  stn*  —  =  sm'  —  sm*  —  +  sur  —  strr 2sm—  sm  —  sm  ~  -  stn  —  cos  n, 

2  2  2222  2  222" 

so  geben  diese  vermöge  17) : 

Z'  .  .  ö    .     .  «  «\    .    fr     .    fr'    .    <?     .    c         , 

2 1  stn* 1-  stn*  —  \stn  —  stn  —  stn  —  stn  -  -  cos  o 

\2^  2)2         2         2         2 

.      /  .  .  fr  .  ^h'\    .   e     ,    c    ,   a     .    a 

+  2 1  stn* 1-  strr  —  )  sm  —  stn  —  stn  —  stn  —  cos  c 

\2^  2/2         2  2         2 

.      /  .  .  <^     .      .,  ^'\    .«.«'.    fr     .    fr' 
+  2 1  svr  —  +  stn*  —  ]stn  —  stn  —  stn  —  sm—  cos  v 
\2^  2/2         2         2         2  ' 

.  •  ö'    .  •  fr'    .  •  c'    .      .,«'.,  fr     .  .  c     .      •  9  ^     .  »  fr'    .  t  <^ 

=:  Am*  —  Stn*  —  sm*  -   +  stn*      stn*  —  stn* ^  stn*  —  stn*  -  stn*  — 

9    2  2  2  2  2  2'2  2  2 

•     .  •  «     .  •  fr      .  •  ^'   I    -    .  «  "     .  «  ^'    .  1  fr     •  t  ^'    •  1 
+  51«*    -  strr  —  strr   -  +  4  strr  —  strr  —  strr  —  sin'  -    strr  «. 
2  2  2  2  2  2  2^ 

Die  Division  mit  dem  Product  der  sechs  Sinus  der  halben  Seiten  giebt 
nach  einer  nahe  liegenden  Umwandlung,  welche  vermöge  5)  mit  dem  letz- 
ten Glied  vorgenommen  wird : 


233        Das  Sehnenvicreck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 


/9tn —      stn — \  /sm —      «« — \ 

\8m —      stn — /  \stn —       tm — / 

2  3  2  2 


cosi 


c 
+  2(  fr+ -.  I  cos  ff 


c  c 

/»in  —       sin  — \ 

\stn  —       sm  — / 


18) 


2 

.ö.o.c  .    a  b       ,    c  ,    a  b  c 

sm---  stn —  stn —      stn —   stn —  stn —      stn —   sift —  sin  — 

2  2  22  2  22  2  2 

«  — ir*""" — p"' — i^  • 


.    a      ,    b       ,    c  ,    a       ,   b       ,    c  ,   a  b         c 

stn —  stn —  stn —       stn —  stn —  stn —       stn —   stn —  sin — 

22  2  222  222 

.    «  ,    b  .   e 

stn —  stn —  stn —                             / 

2  2  2                  c            c 

\  + r  • rr  • +  4  Stn  —  ,  sin  —  sin  ö  sin  f. 

^                          .    a  ,    b  ,    c                 2            2 

stn —  stn —  stn  — 

2  2  2 

Wie  diese  OleichuDg  rait<:=0,  e  =  0,  17=3 180^  in  die  oben  flr du 
Sehnenviereck  angegebene  übergeht,  erhellt  ans  dem  in  2.  vorgekommenen 
entsprechenden  Uebergang  fUr  dan  ebene  Viereck. 

10.  Die  Fläche  des  sphärischen  Vierecks. 

Bezeichnet  man  mit  A  und  B  die  Flächen  oder  die  in  Theilen  des  Hslb- 
messers  ausgedrückten  Excesse  der  Dreiecke  (a ,  ö,  c)  und  (a,  ^'»  c) ,  so  ge- 
ben bekannte  Formeln : 

a         A  b         c    ^    .    b     .    c         ...  . 

cos  —  cos  —  =  cos  —  cos h  sm  —  sm —  cos  (b^  r), 

2    2       2    2^2    2    ^''' 

b'         B  a  c    ,     ,    a     ,    c         ,      ^ 

cos  —  cos  —  =s  cos  —  cos  —  +  svi  —  stn —  cos  («,  cu 

2  2  c  2^2         2  ^'^' 

O''    ,    A  .    b     ,    c     .    ,^     . 

cos  —  stn  —  =  ««  —  sm  —  stn  f 0,  c), 
2         2  2         2^'^* 

b'     .    B  .    a     ,    c     .    ,      . 

cos  —  stn —  =  stn  —  stn —  sm  (a,  c), 
2  2  2  2  ^  '    ' 

daher,  wenn  mit  V  die  Fläche  des  sphärischen  Vierecks  bezeichnet  wird: 

a\     b'        >  a'         b'  (        A         B         .    A    ,    B\ 

cos boS —  cos =COS cos 1  cos cos ««-—«MI I 

22  2  2  2\22  22/ 

=  eos  —  cos  —  cos* H  sm  —-««--•««■---  co«  (a,o) 

2  2  2  2  2  2         ^ 

+  Sin  —  CO«  —  I  cos  —  sin—  cos  (6,  c)  +  cos  --  jtn^cof(a,6)| 

oder:  19) 

a       a        b        b'       V  _a       ,6       %  c  ^     ,  ^c     ,       .  ,      /  u\ 

Acos-  cos— cos— 'COS— cos-  ^=Acosr—cor  —  cor—+sm^--.smasmbco$(aiO) 
22222  2222  ^ 

+  co^—  .  sinb  sine  cos  (6,c)  +  co^—  .  sin  a  sine  co«(a,<r). 
2  * 


Von  Prof.  C.  W.  Baür.  183 


Hier  wird  nun : 
maginh  cos  (a,  b)  =  co$ c  —  cos a.cosb 


=  —  2  sin* h  2  eo«* h  2  co^ 4  co^  —  co^  — 

2  2  2  2  2 


sin  bsinc  cos  (fr,  c)  =  cos  a  —  cos  b  cos  c 


•  ö.  «0,  .c  ^  b        ^  c 

=  2  cor  —  +2  cor h  2  cosr  — -  —  4  cor  —  cor 2 

2  2  2  2  2 

sin  a sine  cos  {a,c)  ■=  co*  b'  -^  cosa  cos  c 

s=2co«* —  +  2  CO** h  2coa* 4C05'  —  cos^ 2. 

2  2  2  2  2 

Dadurch  nimmt  Oleichnng  10)  folgende  einfache  Gestalt  an : 

2  COS  -z-cos  —  cos  —  cos  —  cos  —  =  cor  —  cor 1-  cor  —  cos^, — 

22222  2  2'  2*2 

e         c 
—  sin^  —  sin*  — . 
^j       2  2 

Gleichung  7)  gieht  aber: 

51/1*  —  stn*  —  =  stn*  —  sm*. —  +  stn*  —  stn*  — 
2  2  2  2  2  2 

+       .«.«'.*.    fr' 
2  stn  —  stn  —  stn  —  stn  —  cos  ö  cos  t 
2  2  2  2 

/  h  h'  *       • 

—  sin*  —  sin*  —  sin*  s  —  *i>i*  —  sin*  —  sin*  8 , 
2  2  2  2' 

oder,  wenn  die  zwei  letzten  Glieder  vermöge  der  Gleichung  5)  in 

fl     .   o'    ,    b     .fr'     ... 
—  2  stn  —  stn  —  stn  —  stn  —  stn  o  stn  § 
2         2         2         2 

susammengezogeö  werden: 

stn*  —  stn*  — 
2  2 

/  .    a    .   a'        .    fr    .  fr  Y     ^   ,   a    .  a    ,   b    ,   fr'  ^         ^  .   .   .  \ 

=  (  wi  —  sin—  +  stn—  stn—)  —  istn—stn—  stn—  stn —{l  —  cosö  cos  t+stn  o  sm  i) 

\222        2/  .22        2        2^  ^ 

(.«.«'.      .   fr    .   fr'\*  ,   a    ,  a    ,   b    ,   b'       _ « 

»in  —  stn -4-  stn  —  stn—  )  —  4  *m—  stn—  stn^  stn  -  cor  —  . 
22^22/  2        2        222 

Die  Addition  beider  Seiten. der  Gleichung  20)  zu 

giebt  da] 

c 

.   /       «         a    ,  fr         fr'V      /  .    a     .    a'  ,     .    fr     .    fr'V 

+  [cos -^cosj  +  cos  -  cos  -J  —  \^stn  -*««-  +  stn  -  sm -J 


a         a         b         fr' 
2  CO»  —  CO»  —  cos  —  cos  — 
2  2  2  2 


a         a         fr  fr        ,r  .0.0. fr. fr        .« 

4  CO»  —  cos  —  cos  —  cos  —  cos*  —  =  4stn  —  stn  —  stn  —  stn  —  cos*  — 
22224  222         2  2 


oder 


'234    Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  feto.  Von  Prof,  C.  W.  Baur. 


««X  ö         «         f>         b       ,F         .    n     ,    a     ,    b    ,    b       ,ii 

21 )  cos  —  cos  —  cos  —  cos  —  cor  —  =stn  —  $m  —  stn  —  stn  —  cosr  — 
^  22224  2222  2 

a  +  a+b  +  b'         a  +  a — b  —  b'         a — a+b  —  b' 

+  cos ,  cos —  •  cos 

4  4  4 

«—•-«' — b  +  b' 

.  cos . 

4 

Die  Subtraction  statt  der  Addition  liefert: 

ft«x         ö         a         b         b'         V  ,    a     ,   a    ,    b    ,    b'         fi 

22)  cos  —  cos  —  cos  -  cos  —  strr  —  =i  —  sm  —  stn  --  sm  —  stn  -  cor  — 
^22224  22         2         22 

+  5in .  stn .  stn 

4  4  4 

.    a  +  a  -^b  —  b' 

.  stn • 

4 

Beim  Uebergang  auf  das  Sehnenviereck  wird  —  =  go^,  es  stellen  sich 

also  die  Formeln  ein,  welche  nach  einem  Citat  auf  S.  379  in  Lecoinie, 
Lefons,  sur  la  thiorie  des  fonctions  circulaires  {Paris,  Mättel- 
Bachelier  1858)  im  XXL  Band  der  mir  im  Augenblick  nicht  zugänglichen 
Annales.de  Mathematiques  entwickelt  sein  sollen. 

Wie  diese  Formeln  auf  diejenige  des  Simon  Lhuilier  führen,  wenn 
man  eine  Seite  des  Vierecks  verschwinden  lässt,  liegt  am  Tage« 

Hiermit  wird  man  die  im  II.  Band  von  Orunert^s  Archiv  im  Jahre 
1842  von  Herrn  Professor  Dr.  Strehlke  aufgeworfene  und  in  den  neueren 
Jahrgängen  wieder  mannigfaeh  zur  Sprache  gekommene  Fraga  endgiltig 
beantwortet  finden. 


X. 
üeber  die  iweckmässigste  Form  der  SpitzgeBchosse.- 

Von  W.  H,  VON  RoüVROT, 

K.  S.  Generallieutenant. 


Die  Anwendung  von  Spitzgeschossen  bei  den  Feuerwaffen  führte  auf 
die  Frage,  bei  welcher  Gestalt  ihrer  Spitze  dergleichen  Geschosse  den  ge- 
ringsten Widerstand  von  der  Luft  erleiden ,  und  obgleich  man  diese  Frage 
vorzugsweise  auf  dem  Erfahrungswege  zu  lösen  suchte,  so  fehlte  es  doch 
auch  nicht  ganz  an  Bemühungen  zur  Lösung  derselben  durch  die  Theorie. 
Zu  letzteren  gehört  die  Bearbeitung  des  in  der  Ueberschrift  genannten 
Problems,  und  kann  man  diesem  Gegenstande  atlcl^  keine  grosse  Bedeu- 
tung für  die  Praxis  beilegen,  weil: 

1)  die  Newtou^sche  Theorie  über  die  Grösse  und'Richtung  des  Wider- 
standes der  Luft  sich  in  der  Erfahrung  nicht  ausreichend  zeigt,  und 

2)  die  Achsen  der  Spitzgeschosse  nicht  den  allm&ligen  Veränderungen 
der  Richtung  der  Bewegung  folgen ,  sondern  nach  und  nach  immer 
grössere  Winkel  mit  dieser  Richtung  bilden, 

so  führt  doch  die  gedachte  Untersuchung  auf  eigenthümliche  Umstände, 
deren  Mittheilung  vielleicht  nicht  ganz  ohne  Interesse  sein  dürfte. 

In  dem  Nachstehenden  wird  zu  dieser  Untersuchung  ein  rechtwinkliges 
Coordinatensystem  (s.  umstehende  Figur)  benutzt,  dessen  Achse  der  y  die 
geometrische  Achse  des  Geschosses  ist,  und  dessen  Anfangspunkt  S  von 
dem  Geschoss  au.4  nach  der  Richtung  der  Bewegung  hin  liegt.  Der  Halb- 
messer AB  des  mittleren  cylindrischen  Theiles  am  Geschoss  sei  die  Ein- 
heit aller  Längen,  und  in  Beziehung  auf  diese  Maasseinheit  die  Geschwin- 
digkeit des  Geschosses  t;,  die  Beschleunigung  der  Schwere  g  und  das  Ge- 
wicht do»^^umeinheit  Luft  q.  Es  werde  ferner  smuflchst  »nur  im  Allge- 
n^einen  der  Widerstand  W  betrachtet,  welcher  die  durch  Umdrehung  des 
Bogens  BC  um  die  Achse  der  y  erzeugte  Fläche  BCC^Bx  unter  den  im  Ein- 
gang gedachten  Voraussetzungen  von  der  Luft  erleidet. 

Stellen  hierbei  SG  und  SH  A\e  Abscissen  x  und  x  +  dx^  G E  xkXkSi  H F  dAe 
zugehörigen  Ordinaten  zweier  Punkte  E  und  F  der  Erzcugungscurve  vor, 


236  Ueber  die  sweckmässigste  Form  der  SpitzgeschoBee. 


S  ^  D         aiF 


und    bezeichnet   man   den  Winkel  KEF^=^^^0^  —  FEI  mit  ^,   wofäm 
sogleich : 


dy 


t) 


P 

yi+7 

folgt,  80  ist  der  Widerstand,  welchen  das  dnrch  Umdrehung  YonEFtr- 
seugte  ringförmige  Flächenelement  in  der  Riobtnng  der  Bewegung  erleidet: 

X 


COSß' 


=  2a:«  .dx, —  .  q  sin*  FEI  = . — ; — = 

2g    ^  g      !+/>• 


dx. 


Bezeichnet  man  daher  die  Coordinaten  des  Anfangspunktes  C  der  Er- 
zeugenden SD  mit  by  DC  mit  c,  und  die  zweite  Coordinate  des  Endpunktes 
B^  SA  mit  A,  so  ist,  da  ^^  =  l-war: 

l 
itv^q  r    X 


2) 


»^= 


b 


+  P' 


dx. 


Soll  W  ein  Kleinstes  sein,  so  muss  auch  die  Variation €n  ^  Null 
werden,  und  betrachtet  man  by  c  und  h  als  gegebene  unveränderliche  Grö0- 
sen,  so  kann  man,  bei  der  EntWickelang  ron  dJF^  dx  durchgängig,  und^jr 
da,  wo  dieselbe  nach  theilweiser  Integration  ausserhalb  des  Integralsei- 
chens  vorkommt.  Null  gesetzt  werden.  »Berücksiihtigt  man  endlich  noch, 
dass  allgemein: 


Von  W.  H.  VON  RoüVBOY*  237 


öl Xdx=lö{Xdx)  und  8dy=6dy 
ist,  80  ergiebt  sich: 


b  b 

b 
Durch  theOweise  lategration  erhält  man : 

was  sich  bei  der  Besiehang  anf  die  festen  Orensen  b  nnd  1  des  Integrals 
der  obigen  Bemerkung  gemäss  anf 

b 
redncirt.     Da  nnn  dy  willkürlich  ist,  so  kann  dieser  Gleichnng  dar  durch: 

Genüge  geschehen,  woraus,  wenn  A  eine  noch  zu  bestimmende  Constante 
bezeichnet , 

folgt.  Da  X  und  p  der  Natur  der  Aufgabe  nach  positive  yeränderliche 
Grössen  sind ,  so  muss  auch  u4  >  0  sein.  Aus  der  vorstehenden  Gleichung 
folgt  femer 

und  die  Coordinate  x  wird  daher  sowohl  fürp  =  a,  d.  h.  /3  =  dO®  ah  für 
p  =0,  ß  =  0  unendlich  gross.  Um  dagegen  den  kleinsten  Werth  zu  finden, 
welchen  x  annehmen  kann ,  hat  man : 


äp  -3l^  +  ='-^=0 

oder  l?*  +  fp*==l 

und  die  emzige  positive  reelle  Wurzel  dieser  Gleichung  ist 

1     '  t 


welcher 


ZeiUchrift  f.  Mathematik  a.  Physik.  VI,  4.  ^  17 


238  Ueber  die  sweckm&ssigste  Form  der  SpitzgeBchosse. 


entspricht.  Es  wird  daher  bequemer  sein ,  zu  der  weiteren  Untersuchung 
die  Constante 

zn  setzen ,  wodurch  die  Gleichung  3)  in 
^  r  16  p 

=¥(''+^'+^)     • 

übergeht.  Aud  dieser  Gleichung  lassen  sich  nun  in  Bbzug  auf  die  gesuchte 
Curve  nachstehende  wichtige  Folgerungen  ziehen : 

1.  Für  reelle  p  kann  x  nicht  kleiner  als  r  werden,  die  Curve  endigt 
daher  allemal  in  einem  Punkte  M  (s.  Figur),  welcher  um  MN=s  r  von  der 
Achse  der  y  absteht  und  dessen  Tangente  mit  der  Achse  den  x  der  Winkel 
j5=  30  0  bildet. 

2.  Da  von  dem  |3r=30*  entsprechenden  Minimum  aus  die  Grösse 

sowohl  bei. dem  Zunehmen  als  bei  dem  Abnehmen  von  ß  bis  in  das  Un- 
endFiche  wächst,  so  entsprechen  in  der  Gleichung  5)  jedem  ar,  welches 
grösser  als  r  ist,  zwei  verschiedene  Werthe  von  p  und  /?,  nämlich  der  eine 
grösser  als  p  =  J/| ,  ß  =  30^  un^  der  andere  kleiner  als  J»  =  Ki  »P  =  30*. 
Die  Curve  besteht  daher  in  Bezimiung  auf  die  hier  allein  in  Betracht  kom- 
menden positiven  x  und  p  aus  zwei  Aesten  MB  und  MB„^  welche  in  dem 
Punkte  M  eine  Spitze  bilden.  Für  den  einen  Ast  MB  nehmen  die  Winkel 
ß  von  SO''  an  mit  den  Abscissen  x  zu,  für  den  anderen  Ast  hingegen  neh- 
men jene  Winkel  von  derselben  Grenze  30°  an  bei  dem  Wachsen  von  x 
fortwährend  ab.  Die  Richtung  des  ersten  Astes  nähert  sich  daher  mehr 
und  mehr  der  Sichtung  der  y  und  diejenige  des  zweiten  Astes  immer  mehr 
der  Richtung  der  x,  wie  es  obige  Figur  zeigt.  Wird  die  Gleichung  5)  anf 
p  reducirt,  so  müssen  sich  für  jedes  .r  >- r  zwei  reelle  Wurzeln  finden,  von 
denen  die  eine  grösser  als  yj  dem  Ast  MB  und  die  andere  kleiner  als  J^ 
dem  Ast  MB,,  entspricht.  Sind  endlich  a*|  und  und  p^  zwei  positive  Wer- 
the von  X  und  p ,  welche  zusammen  der  Gleichung  5)  genügen ,  so  ist  dies 
auch  mit  —  ^,  und  — pi  der  Fall.  Daher  liegen  auch  auf  der  Seite  der 
negativen  x  zwei  Aeste  der  Curve,  welche  den  Aesten  MB  und  MB,,  con- 
gruent  sind  und  durch  deren  Umdrehung  .um  die  Achse  der  ^'dieselben 
Flächen  erzeugt  würden,  wie  durch  die  Umdrehung  der  genannten  Aeste. 

3.  Denkt  man  sich  unter  p  diejenige  Wurzel  der  Gleichung  5),  welche 
einem  jener  Aeste  MB  oder  MB,,  angehört,  und  bezeichnet  man  das  Inte- 
gral von  pdx  durch  /"(r,  a:),  so  ist  für  den  nurgedachten  Ast  der  Curve 

.      y  =  nr,x)-f(r,b)  +  c, 


Von  W.  H.  VON  RoovROY.  289 

weil  dieser  Ast  durch  den  Punkt  « 3==  ft,  y  =  c  gehen  soll.  Inaofern  aber 
auch  der  Punkt  B^  dessen  Coordinaten  «  =  1  und  y  =  h  waren,  in  der 
Curve  liegt ,  hat  inan  noch : 

6)  Ä  =  /-(r,l)-/*(r,&)+c 

und  also  vermittelst  dieser  Gleichung  den  Werth  von  r  aas  den  gegebenen 
CoDStanten  6,  c  und  h  abzuleiten.  Fallen  die  Punkte  C  und  B  susammen, 
d.  h.  ist  6  s=s  t ,  so  redncirt  sich  die  gedachte  Gleichung  auf 

Ä  =  c. 
Wird  umgekehrt  h"^  c  und  b  nicht  zu  klein  angenommen ,  so  muss  der 
Gleichung  6)  auch  ein  reeller  Werth  von  r  entsprechen.  Unter  den  ver- 
schiedenen zulässigen  Werthen  von  b  ist  auch  derjenige ,  bei  welchem  der 
Punkt  C  in  den  £ndpunkt  M  des  betrachteten  Curvenastes  fällt  und  mithin 
fc  =  r  wird.     Für  diesen  Fall  aber  geht  die  Gleichung  6)  in: 

Ä  =  /'(r,l)-/'(r,r)  +  c 
über  und  diese  Gleichung  ^iebt  stets  ein  reelles  r,  wenn,  wie  oben  bemerkt, 
k>c  ist.     Setzt  man  endlich  fttr  diesen  Fall,  welcher  in  dem  Folgenden 
vorzugsweise  in  das  Auge  zu  fassen  ist, 

7)  c==^. 
mithin : 

yz 

so  geht  die  Tangente  des  Endpunktes  M  der  Curve  durch  den  Coordinaten - 
anfang  S, 

4.  Denkt  man  sich  in  der  Gleichung  5)  r  immer  mehr  und  mehr  gegen 
die  Grenze  0  hin  abnehmend,  so  nähert  sich  die  durch  Umdrehung  des 
Bogena  MB  erzeugte  Fläche  immer  mehr  dem  Mantel  eines  unendlich  lan- 
gen Kegels,  die  durch  Umdrehung  von  MB^,  gebildete  Fläche  hingegen 
immer  mehr  einer  auf  die  Richtung  AS  der  Bewegung  rechtwinkligen 
£bene.  Man  sieht  daher  leicht,  dass  die  Umdrehung  des  Astes  MB  eine 
Fläche  des  kleinsten  Widerstandes,  die  Umdrehung  des  Astes  MB,,  hin- 
gegen eine  Fläche  des  grössten  Widerstandes  erzeugt.  Wir  werden  uns 
deshalb  vorzugsweise  mit  der  näheren  Untersuchung  über  den  Ast  M  B  zu. 
beschäftigen  haben,  bemerken  aber  zugleich,  dass  bei  der  Betrachtung  des 
zweiten  Astes  ganz  auf  dieselbe  Weise  zu  verfahren  ist,  wie  in' dem  Nach- 
stehenden. 

5.  Die  Linie ,  durch  deren  Umdrehung  um  die  Achse  der  y  die  ganze 
Vorderfläehe  des  Geschosses  erzeugt  werden  soll,  muss  natürlich  bis  an 
diese  Achse  selbst  reichen,  und  da  der  Bogen  BM  in  dem  Punkte  M  en- 
digt, so  muss  die  verlangte  Erzeugende  von  M  aus  nach  einem  anderen  als 
dem  durch  die  Gleichung  5)  ausgesprochenen  Gesetz  weiter  geführt  werden. 
Damit  aber  nicht  nur  des  bisher  betrachtete  Widerstand  JV^  welchen  die 
Rotationsfläche  BMM^B^  erleidet,  sondern  auch  der  Widerstand  gegen  die 

17* 


240  Ueber  die  zwecknftssigrte  Form  der  Spitzgeschosse. 

ganze  Vorderfläche  des  Geschosses ,  in  Besag  auf  eine  gegebene  L&nge  der 
Oeschossspitze  ein  Kleinstes  werde ,  darf  der  Winkel  ß 

1)  längs  der  ganzen  Erzeugenden  keine  sprängweise  Aendemng  er- 
fahren, 

2)  böi  dem  Abnehmen  von  x  nie  wieder  zanehmen. 

Zugleich  muss  aber  auch  der  Widerstand  gegen  den  bisher  noch  nicht 
betrachteten  Theil  der  Vorderfläche  des  Körpers,  in  Beziehung  zu  dem  ge- 
gebenen Halbmesser  MN=:r  und  unter  den  in  Betreff  von  ß  so  eben  ge- 
machten Beschränkungen ,  ein  Kleinstes  sein.  Dies  aber  wird  nur  erreicht, 
indem  man  von  M  aus  der  Erzeugenden  die  Richtung  MS  der  Tangente  des  * 
Cnrvenpunktes  giebt ,  wodurch  zugleich  der  Coordinatenanfang  S  die  Spitze 
des  Geschosses  und  SA  =  h  die  Länge  der  ganzen  vorderen  Zuspitzung 
des  Körpers  wird« 

Analoge  Betrachtungen  lassen  sich  auch  in  Betreff  der  Fläche  des 
grössten  Widerstandes  anstellen,  so  dass  fär  diese  Fläche  B„MS  ebenso 
als  Erzeugende  anzunehmen  ist,  wie  BMS  für  die  Fläche  des  kleinsten 
Widerstandes. 

Wendet  man  sich  nach  diesen  allgemeinen  Betrachtungen  nun  zu  der 
specialen  Discussion  der  Gleichung  5)  und  setzt  man  zur  Abkürzung 

9)  4-.f=* 

SO  erhält  man: 


oder,  wenn  man  beide  Theile  zum  Quadrat  erhebt  und  alsdann  ordnet, 

11)  o  =  ;t*  — Ä»2  +  Ä». 

Diese  Gleichung  lässt  sich  nach  der  von  Ampere  angegebenen  Methode 
leicht  auf  eine  Gleichung  vom  dritten  Grade  zurückführen.  Sind  nämlich 
/i ,  /, ,  ti  and  /«  die  Wurzeln  derselben ,  und  nimmt  man 

12)  /Är=(/,  +  0  =  -(^.+0 
an ,  so  ist  auch  noch : 

<.<.'b  +  '.'.'4  +  /i',<4 +  <,'.'«  =  *• 
oder  andnrs  geordnet: 

13)  «•'t  +  V4  =  — [/,+/,]  [',  +  <4]  =  9» 

<l<i['.+ '4]  +  '.'4  ['.+'.]  =  **, 

d.i. 

14)  (^^-v.)  =  -^. 

Erhebt  man  nun  in  13)  nnd  14)  beide  Theile  zum  Qnadrat  nnd  ciebt  man 
die  Ergebnisse  von  einander  ab ,  so  kommt 


Von  W.  H.  VON  RoüVROY.  24  t 


9 


oder,  da  der  erste  Theil  dieser  Gleichung  anch  4 Ar*  ist,  nach  gehörigem 
Ordnen 

Die  einzige  mögliche  Wurzel  dieser  Gleichung  ist  nach  der  Card  aussehen 
Regel: 

256  «c' 
oder  wenn  für  Ar*  sein  Werth — .  -j  und  zur  Abkürzung 

16)  \'  =  \\}^l  +  /^  +  f^-/^] 
gesetzt  wird: 

17)  ^-oW*- 

Um  endlich  die  Wurzeln  der  Gleichung  11)  zu  finden,  erhält  man  durch 
Addition  und  Subtraction  von  13)  und  14) : 


18) 


Ans  No«  12)  folgt  aber  auch: 

('i  +  ',)*  =  V  nnd  (/,  +  g«  =  ^ 
und  nach  dem  Abziehen  der  vorher  mit  2  multiplicirten  Gleichungen  18) 

Verbindet  man  endtich  diese  Gleichungen  nach  vorheriger  Ausziehung  der 
Quadratwurzeln  aus  ihren  beiden  Theilen  mit  der  Gleichung  12),  so  kommt : 


242  üeber  die  zweckmässigste  Fonn  der  Spitzgeschoese. 


Den  Gleichungen  16)  und  17)  zu  Folge  sind  ip  und  9  stets  positiv,  und  mit- 
hin L  und  L  imaginär.  Es  bleiben  daher  für  z  = 5-^  nur  die  zwei  Wer- 

•  "  cos  p 

the  /|  und  /^ ,  von  denen  der  grössere  auch  dem  grösseren  ß ,  mithin  dem 
Curvenast  MB  und  der  kleinere  dem  anderen  Ast  angehört.  Man  hat  daher 
das  obere  Zeichen  auf  die  Fläche  des  kleinsten  Widerstandes  und  das  un- 
tere Zeichen  auf  die  Fläche  des  grössten  Widerstandes  bezogen : 

oder  wenn  für  9  sein  Werth  aus  No.  17)  und  wieder  A*  =  \y  -j  gesetzt  wird: 

Aus  dieser  Gleichung  kann ,  ohne  vorherige  Bestimmung  der  Constante  r, 

mithin  ganz  im  Allgemeinen ,   zu  jedem  beliebigen  —  der  entsprechende 

Neigungswinkel  ß  gegen  die  Richtung  der  x  berechnet  werden.     Um  aber 

anch-^  als  Function  von  —  zu  erhalten,  mttsste  die  Gleichung  19)  aufp 

dx 
reducirt,  mit  —  multiplicirt  und  sodann  integrirt  werden;  allein  diese  In- 


tegration würde  so  schwierig  und  das  Ergebniss  derselben  selbst  im  gfin- 

stigsten  Falle  ein  so  verwickelter  Ausdruck  für  —  sein ,   dasa  es  zweck- 

r 

massiger  erscheint,  von  der  Aufsuchung  einer  solchen  directen  Relation 

zwischen  —  und  —  abzusehen  und  beide  Grössen  als  Functionen  von  ß 

r  r  '^ 

auszudrücken.     Auch  wird  es  zur  Abkürzung  und  Verallgemeinerung  die- 
ser Rechnung  gereichen,  wenn  die  Coordinaten  der  Curvenpunkte  in  einem 

3  T/3 
Maass  ausgedrückt  werden ,  dessen  Einheit  — —  r  ist,  indem  man  die  neuen 

lö 

Coordinaten 

20)  i      "3/3*-r 

einführt.     Dadurch  verwandelt  sich  die  Gleichung  5)  in 

21)  ^-=^1  +  ^  =-.4-5-,,  oder 


und  hieraus  folgt : 


X=f^  +  2p+j 


Von  W.  H.  VON  RoüVBOY,  243 


dX=(zp*  +  2-^y)dp 


Ferner  ist  aber  — -  =  -^  =p  und  mithin 
dJC      ü» 

dY=(dp*  +  2p  —  —^dp. 

T=ip'  +  p*  —  logp  +  B. 
Zar  Bestimmung  der  Const^nte  B  dient  der  Umstand,  daas  die  Qurve  durch 
den  Punkt  M  geht ,  für  welchen 

ist.     Man  hat  daher 

^=^  +  i  +  'o|7/3+^  oder 

5  =  ~ —  %  j/8  =  0,811806 

und  mithin 

22)  F  =  I  p*  +  p«  —  %  p  +  0,811805 

=  I  tan^  ß  +  tang^  ß  —  log  tang  ß  +  0,811805. 
Endlich  folgt  aus  den  Gleichungen  21)  und  22) 

■^  =  ^  =  sinß  cos^ß  [|  ian^ß  +  ian^ß  —  log  tangß  +  0,811805], 

oder,  da  die  Curve  durch  den  Punkt  B  gehen  soll,  dessen  Coördinaten 
XF  =  1  und  y  =  h  waren ,  und  insofern  das  diesem  Punkt  entsprechende  ß 
mit  ßi  bezeichnet  wird , 

23)      h  =  sinß^'co^ß^  [}  tan^ß^  +  ianfß,  —  log  iangß^  +  0,811805]. 
Würde  ans  dieser  Gleichung  ß^  bestimmt,  so  ist  dann  der  Gleichung  5)  ge- 
idSbs  ,  in  Bezug  auf  die  Abscisse  x^=l  des  Punktes  B 


mithin : 


^  — "l6     "^  '  sinß.co^ß,' 


I A 

r  = -  sin  ft  co^  ft  =  3,0792  sin  ß^  cofßi 

zyz 


24)  <  o:  =  ^i^  rX=X  sinß,  cos^ß, 

16 


^  1A 


16  '^ 


Kann  nun  auch  die  Gleichung  23)  nicht  auf  eine  einfache  Function  des 
Winkels  ft  reducirt  und  dadurch  dieser  Winkel  direct  bestimmt  werden,  so 
Ittsst  sich  doch  durch  Berechnung  von  X  und  Y  für  einige  schicklich  ge- 
wählte ß  leicht  ein  solcher  Winkel  /?,  finden ,  für  welchen  das  h  in  Glei- 
chung 23)  der  beabsichtigten  Länge  der  Geschossspitze  so  nahe  kommt, 


244  Ueber  die  zweckmässigste  Fonn  der  SpitzgeschosBe. 

als  man  es  für  nothwendig  erachtet.  Behält  man  dann  dieses  ß^  und  h  fär 
die  Construction  des  Geschosses  vom  Halbmesser  AB  =  i  hei^  so  ist  smßi 
cos^ßi  die  Einheit  der  Maasse,  in  welchen  die  durch  die  Gleichungen  21) 
und  22)  bestimmte  Erzeugende  zur  Construction  der  Geschossspitze  nach 
den  nurgenannten  Gleichungen  aufgetragen  werden  muss.  Uebrigens  geben 
die  Gleichungen  21)  und  22)  sowohl  den  Ast  MB  als  den  Ast  MB,,  der 
Curve,  je  nachdem  man  in  diesen  Gleichungen  die  Winkel  ß  grösser  oder 
kleiner  als  30^  annimmt.  Für  den  Punkt  if ,  in  welchem  beide  Aeste  zu- 
sammentreffen ,  hat  man  zuvörderst 

1  16 

•  ^  =    .    ^^fl — x^rnr  =--^==  3,0792 


und ,  wie  bereits  oben  bemerkt , 


-='f 


Um  aber  ein  mehr  in  die  Augen  fallendes  Bild  der  Curven  zu  geben,  mö- 
gen hier  noch  nachstehende  für  dieselben  berechnete  J[  und  F  folgen : 
l)  In  dem  Aste  MB  ist: 
für  /}  =  4öS  X=    4  F=    2,5618 

„    /}  =  60S  -r=    9  2376  F=  10,0125 

„    /J  =  66«,  X'=  16,2679  7  =  24,1339 

„    ß  =  70^  X  =s  26,5986  F  =  50,0865 

2)  In  dem  Aste  MB,,  ist: 
für  /J  =  20«,  2^  =    3,5236         F  =  1,9681 
„    ß  =  lb\X=    4,2089  F=  2,2044 

,,    ß=    1«,  ^  =  57,3249  F=:  4,8602, 

Es  bleibt  nun  noch  übrig,  den  Widerstand  zu. bestimmen ,  welchen  das 
ganze  Geschoss  durch  die  Luft  erleidet*  Den  Widerstand  gegen  die  Ro« 
tationsfläche  BMM^B^  giebt  die  Gleichung  2),  wenn  r  für  die  Grenze  b  ge- 
schrieben wird ,  nämlich : 

Der  Widerstand,  welchen  der  Kegel  MS  Mi  zu  erleiden  hat,  sei  fF,  und 
wird  durch 

gegeben.    Der  Widerstand  gegen  die  gesammte  Vorderflftche  des  Gesdios- 
ses  d.  i,  fV+  fF,  sei  TT,,. 

Um  nun  zuvörderst  TF  zu  bestimmen ,  hat  man  nach  der  Qleichnng  5) 

16  p 


Von  W.  H.  VON  RouvKOY.  245 


und 


'*-=-il-'-k+^-^]''^- 


Führt  man  dies  in  No.  25)  ein,  so  gehen  zugleich  die  Grenzen  in  ten^30^=^ 
nnd  tang  ß^  üher  und  man  erhält  demnach 

iangß^ 

n 

Bemerkt  man,  dass  nach  den  Gleichungen  24) 

ist,  nnd  setzt  man  zur  Abkürzung: 

26)  '^sirfß.eo^ß.^N, 

so  wird 

und 

iangß^ 

>-„= iv[v +y  [3p'+5p-i + i]  dp] 

=  JV  [l  toV  A  +  I  to«fl^A  +  2la!ifß,  +  ^""^  '"""^  '^^  +  1,68819]  . 

Y 

Wird  z.  B.  ft  =  66®,  mithin  die  Länge  der  Geschossspitze  ä=  ~==  1,4836 

Halbmesser  des  Geschosses  angenommen,  so  beträgt  der  Widerstand,  wel- 
chen es  nach  den  Formeln  26)  und  27)  von  der  Luft  zu  erleiden  hat, 

0,12058 ,  d.  i.  also  0,25910  Mal  so  viel  als  der  Widerstand  gegen  einen 

9 
Cjlinder  und  0,51852  Mal  so  viel  als  der  Widerstand  gegen  eine  Kugel  von 
gleichem  Halbmesser.  Da  nun  überdies  Spitzgeschosse  durchschnittlich 
2  bis  2Ve  Mal  so  schwer  als  kugelförmige  Geschosse  von  gleichem  Durch* 
messer  sind,  so  ist  die  Einwirkung  der' Luft  auf  die  Bewegung  eines  Ge- 
schosses mit  der  hier  betrachteten  Spitzenconstruction  nur  ^ — ^  derselben 
Einwirkung  gegen  ein  kugelförmiges  Geschoss  von  gleichem  Durchmesser« 
Um  sieh  ein  ungefähres  Bild  von  Wichtigkeit  ein^s  solchen  Unterschiedes 
zu  machen,  genügt  es,  wenn  man  die  Bewegung  der  Geschosse  als  einQ 
geradlinige  betrachtet.  Bezeichnet  dann  V  die  anfängliche  Geschwindig- 
keit ,  V  die  Geschwindigkeit  nach  Zurüeklegung  des  Kaumes  s  und  m  eine 
von  dem  Widerstand  der  Luft  abhängige  ConstantCf  so  ist 

V 


246  Elektrische  Untersuchungen. 

und  wenn  alle  Entfernungen  in  Dresdner  Ellen  ausgedruckt  sind ,  m  fär 
eine  6pfünd.  eiserne  Kugel  mindestens  0,000d,  fUr  ein  Spitzgeschoss  von  der 
hetrachteten  Form  und  gleichem  Durchmesser  wie  die  Kugel ,  also  höch- 
stens 0^00015.  Behält  man  diese  Zahlen  hei,  so  beträgt  nach  der  Zurück* 
legung  von  4000  Ellen  die  Geschwindigkeit  v  der  Kugel  nur  0,0007  der  an- 
fänglichen Geschwindigkeit  F,  bei  dem  Spitzgeschoss  hingegen  v  noch 
0,548  V. 


XI. 

Elektrische  Untersuchungen. 

Von  Prof.  Dr,  F.  Dellmann 

zu  Kreuznach  a.  R. 


I.    Ueber  den  Ursprung  der  Luftelektricität. 

Die  früheren  Ansichten  über  diesen  Gegenstand ,  welche  man  am  voll- 
ständigsten dargestellt  findet  in  der  im  Jahre  1843  von  der  Brüsseler  Akade- 
mie gekrönten  Preisschrift  von  Duprez:  y,Memoire  sur  Vilectricüi  de  fair^^j 
verdienen  keine  Beachtung  mehr;  selbst  die  Po uille tische  Hypothese  ist 
von  Riess  und  Reich  widerlegt.  Nur  auf  die  beiden  neuesten  müssen 
wir  hier  eingehen. 

Von  diesen  ist  die  erste  von  Peltier  dem  Vater  in  den  Compt.rettä*XIl^ 
pag,  307  zuerst  ausgesprochen ,  später  durch  einen  Brief  seines  Sohnes  an 
Quetelet  weiter  verbreitet  und  von  Prof.  Lamont  in  München,  auch  in 
der  kosmischen  Physik  von  Prof.  Müller  noch  in  der  neuesten  Auflage 
dieses  Werkes  vertheidigt  worden.  Nach  dieser  Ansicht  giebt  es  keine 
Luft-,  sondern  nur  eine  permanente  Erdelektricitfit,  welche — Elektricitfit 
sein  soll ,  wogegen  dem  Welträume  +  Elektricität  beigelegt  wird.  Wie 
aber  ohne  materiellen  Träger  der  Weltraum  elektrisch  sein  könne  ^  das 
sagt  uns  keiner  der  Vertheidiger  dieser  Ansicht.  Dieser  reinen  Hypothese 
muss  aber  besonders  widersprochen  werden,  weil  sie  ganz  entschiedene 
Facta  leugnet  und  falsche  behauptet.  In  meinem  Aufsätze  über  Luftelek- 
tricität (Pogg.  Annalen,  Bd.  80,  S.  280)  habe  ich  bereits  gesagt,  daas  die 
Zahlen,  aaf  welche  der  jüngere  Peltier  uoh  stützt,  falsch  sind;  das  Ver- 
hältniss  der  Luftelektricität  des  Januar  zu  der  des  Juni  ist  nach  den  spä- 
teren Angaben  Quetelet's  in  Brüssel  nicht  das  von  605 :  47  oder  ungeHihr 
13: 1,  sondern  nahe  3:1,  und  damit  ist  das  Hauptargument. des  jüngeren 


Von  Prof.  Dr.  F.  Dellmann.  247 

PeUier  veniichtet.'  £]q  zweites  falsches  Factnm  ist  das,  dass  die  Luft- 
elektrieität  keinen  Körper  durch  Mittheilnng  lade. 

Es  wird  demnach  Jemand,  welcher  dem  Ursprünge  der  Lnftelektrioi* 
tat  auf  die  Spnr  kommen  will ,  ennäehst  ihr  Dasein  beweisen  müssen.  Das» 
die  Beobacfatungs weise  Peltier^s  dies  nicht  vermochte,  ergiebt  sich  ans  dem 
Erfolge,  den  sie  hervorgernfen ;  sie  hat  sich  aber  dadurch  selbst  gerichtet. 
Gewiss  hat  Riess  Kecht,  wenn  er  in  seinem  berühmten  Werke  über  Rei- 
bangselektricität  im  2.  Bande ,  S.  &15  sagt:  „Besser  ist  es,  das  Elektroskop 
in  einem  geschützten  Ranme  stehen  zu  lassen,  und  den  zam  Auffangen  be*- 
stimmten  Theil  an  einem  besondern  Stiele  zn  isoliren/^  Dass  meine  Ein- 
richtnng  nnd  dieser  Rath  ganz  nnabhftngig  von  einander  sind,  ergiebt  sich 
daraas ,  dass  das  genannte  Werk  von  Riess  and  der  obige  Anfs&tz  von  mir, 
in  welchem  ich  übrigens  bereits  die  Reßultate  meiner  Beobachtungen  von 
1852  mittheile ,  gleichzeitig  erschienen»  Meine  Art  zu  experimentiren  möge 
sich  nun  noch  dnrcfa  foIgMide  Versuche  rechtfertigen,  durch  welche  ich 
Herrn  Prof.  Müller  zur  Untreue  gegen  die  von  ihm  adoptirte  Hypothese  z« 
verleiten  hoffe. 

Wenn  ich  meine  isolirte  Kugel  bis  über  das  Dach  des  Hauses  hebe 
und  sie  oben  eine  Weile  stehen  lasse ,  ohne  sie  vorher  ableitend  berührt  zn 
haben;  dann  wieder,  ebenfalls  ohne  sie  berührt  zu  haben,  herunter  hole; 
so  zeigt  sie  sich  elektrisch,  aber  ihre  Elektricität  ist  die  entgegengesetzte 
TOQ  derjenigen ,  welche  sie  herunter  bringt ,  wenn  sie  üben  ableitend  be- 
rührt worden.  Die  Kugel  muss  ohne  Berührung  im  Durchschnitt  eine 
balbe  Stande  oben  stehen  bleiben,  bis  sie  ihre  volle  Ladung  hat,  welche 
dann  aber  meist  etwas  grösser  ist,  als  diejenige,  welche  sie  bei  gewöhn^ 
lieber  Ladung  mit  der  entgegengesetzten  Elektricität  erhält.  Da  sage  ich 
nan,  sie  iat  elektrisirt  worden  durch  Mittheilung,  nämlich  wenn  sie  ohne 
Berührupg  oben  eine  halbe  Stunde  gestanden  hat.  Herr  Prof.  Müller  wird 
vielleicht  sagen,  die  Erdelektrieität  wirke  vertheilend  auf  die  Kugel,  binde 
die  entgegengesetzte  in  ihr,  die  +  Elektricität,  da  sie  selbst  —  Elektricität 
sein  soll,  und  stosse  die  — Elektricität  der  Kugel  ab,  welche  sich  also  in 
die  Luft  zerstreue.  Nachher  bringe  die  Kugel  die  gebunden-  gewesene 
+  Elektricität  als  freie  +  Elektricität  in  das  Zimmer.  Aber  kann  die 
— Elektricität  der  Erde  aus  so  grosser  Entfernung  eine  grössere  +  Elek" 
tricität  binden,  als  sie  selbst  ist,  noch  dazu,  wenn  sie  durch  das  Hinauf- 
strömen in  die  Kugel  in  dieser  eine  Verdichtnag  erleidet? 

Femer:  Wenn  die  isolirte  Kugel  gehoben  und  oben  nicht  ableitend 
berührt  wird ,  so  bringt  sie  eine  geringere  Menge  aus  kleinerer ,  eine  grös- 
sere aus  grösserer  Höhe  herunter.  Hier  müsste  nun  nach  der  Hypothese 
von  der  Erdelektrieität  gerade  das  Entgegengesetzte  stattfinden. 

Weiter  untQn  anzugebende  Thatsachen  stimmen  mit  der  Hypothese 
von  der  Erdelektrieität,  welche  in  einer  permanenten  Schicht  die  EiMlober- 
fläche  umgeben,  zaweilen  ab^  auch  auf  die  äuaaere  Oberfläche  der  Wolken- 


248  Elektrische  Untersnchangen. 

hülle  steigen  soll ,  ebensowenig  tiberein.  Fände  diese  Strdmnng  der  Erd* 
elektricität  auf  die  äussere  Wolkenoberfläche  statt,  so  müsste  die  Luft  sich 
weit  häufiger  nnelektrisch  zeigen,  als  es  der  Fall  ist.  Dass  aber  die  Erde 
el^trisch  wird  dnrch  Influenz,  sowohl  durch  Influenz  der  Luft-  als  der 
Wolkenelektrieität,  versteht  sich  von  selbst*  Es  ist  von  mir  noch  folgen- 
der Versuch  gemacht  worden: 

Eine  5 zöllige  Kupfer-  und  eine  ebenso  grosse  Zinkplatte  wurden  im 
Freien  fast  unter  der  Stelle,  wo  täglich  meine  Kugel  gehoben  wird,  aaf 
den  Erdboden  gelegt.  Auf  iie  Kupferplatte  wurde  eine  3  zöllige  Kupfer- 
platte  mit  Lackstiel  gestellt,  auf  die  Zinkplatte  eine  ebenfalls  3  zöllige  Ziok- 
platte  mit  isolirender  Handhabe.  Es  wurde  ein  Elektroskop  genonmen 
zur  Untersuchung,  welches  so  empflndlich  war,  dass  es  die  — Elektrieitit 
eines  auf  Zink  gestellten  Pfennings  deutlich  zeigte;  aber  die  von  ilirer 
Unterlage  isolirt  abgehobene  Kupferplatte  zeigte  nichts,  die  ZinkplaUe 
sehr  schwache  —  Elektricität,  weil  diese  Platte  nicht  frisch  abgefeilt  war, 
die  Unterlage  aber  doch.  Dann  wurde  gleich  nach  diesem  Versuefae  znr 
Ladung  der  isolirten  Kugel  ohne  Berührung  geschritten.  Die  Kugel  zeigte^ 
nachdem  sie  etwa  eine  halbe  Stunde  in  geringerer  Höhe  gestanden ,  30* 
Aussehlag  an  meinem  Elektrometer  mit  ziemlich  dickem  Olasfaden,  und 
nachdem  sie  einige  Fuss  höher  gehoben  und  abermals  unberührt  eine  halbe 
Stunde  gestanden,  S4®  Ausschlag.  Sie  hatte  also  in  der  geringeren  HShe 
eine  Ladung  erhalten,  wie  sie  dieselbe  von  einer  Zink -Kupfer -Säule  ton 
100,5,  in  der  grösseren  Höhe  eine  Ladung  derselben  Säule  von  118,8  Ele- 
menten erhalten  haben  würde.  Wie  kann  denn  nun  hier  von  einer  Inflaeni 
von  Seiten  der  Erdelektricität  die  Rede  sein? 

Becquerel  der  Vater  hat  im  Jahre  1856  in  den  CompL  rend,  XLlll 
pag.  1101  ff.  Untersuchungen  über  die  Elektricität  der  Lufb  und  der  Erde  be- 
kannt gemacht,  welche  ich  im  12.  Jahrgange  der  von  der  Berliner  physi- 
kalischen Gesellschaft  herausgegebenen  Fortschritte  der  Physik  besprochen 
habe.  Unter  den  Elektricitätsquelien,  welche  beständig  Elektricität  an  die 
Luft  abgeben ,  sind  nach  Becquerers  Versuchen  besonders  die  folgendeD 
zu  nennen :  . 

a)  Die  Ausströmung  von  Sauerstoff  und  Kohlensäure  aus  Pflanzen- 
blättern (+  Elektricität) ; 

b)  die  Berührung  des  Landes  und  Wassers,  wobei  beide  natürlich  ent- 
gegengesetzt elektrisch  werden ;  beide  Elektricitäteu  gehen  dnrch  Dämpfe 
in  die  Atmosphäre; 

c)  die  Zersetzung  organischer  Stoffe; 

d)  die  Berührung  kalter  und  warmer  Gewässer. 

Die  Kesultante  aller  Elektricitäts-Entwickelnngen  ist  nach  Becquerel 
bei  heiterem  Himmel  ein  Vorherrschen  der  +  Elektricität.  In  den  Polar- 
zonen ist  die  Seltenheit  der  Gewitter  eine  Folge  der  geringen  Verdunstung 
und  der  kleinen  Zahl  natürlicher  Elektricitätsquelien ,  wie  denn  aus  den 


Von  Prof.  Dr,  R  Dbllmann.  249 

entgegengesetzten  Ghrfinden  in  der  Tropenzone  der  Gegensatz  stattfindet« 
Ebenso  geht  nach  seiner  Ansicht  die  Seltenheit  der  Gewitter  auf  offener 
See  und  die  geringere  Zahl  derselben  im  Inneren  der  Continente  aas  den- 
selben Gründen  hervor. 

Diese  Theorie  hat  zwei  Mängel;  sie  erklärt  nur  einen  Theil  der  Er- 
scheinungen und  enthält  eine  anerwiesene  Voraussetzung.  Sie  erklärt  nicht 
die  grösser^  Luftelektricität  im  Winter,  ja  diese  spricht  offenbar  gegen  sie. 
Die  nnerwiesene.  Voraussetzung  ist  die,  dass  man  die  Luftelektricität  als 
Quelle  der  Wolken-  und  Gewitterelektricität  ansehen  müsse,  da  doeh  die 
schnelle  Entwickelang  der  Gewitterelektricität  mehr  für  eine  selbststän- 
dige Erzeugung  derselben  in  den  Gewitterwolken  spricht. 

Der  Ursprung  der  Luftelektricität  ist  nach  unseren  jetzigen  Kennt- 
nissen da  zu  suchen  y  wo  alle  meteorologischen  Erscheinungen  entstehen, 
nHmlieh  in  der  Erwärmung  der  Erdoberfläche  durch  die  Sonne.  Die  Haupt- 
sätze dieser  Ansicht  würden  etwa  so  zu  formuliren  sein : 

1)  Die  Erdoberfläche  sowohl,  als  auch  die  luftförmige  ErdhüUe ,  die 
Atmosphäre ,  sind  fast  überall  und  immer  elektrisch;  die  Atmosphäre  aber» 
als  der  beweglichste  und  deshalb  in  seinem  Zustande  veränderlichste  Theil 
der  Erde,  am  meisten.  Die  Erdoberfläche  wird  es  erst  durch  Lifiuena  der 
Atmosphäre.  Deshalb  ist  auch  der  elektrische  Zustand  der  Erdoberfläche 
bedeutend  schwächer,  als  der  der  Atmosphäre,  meist  so  schwach,  dass  er 
gar  nicht  oder  doch  nur  mit  den  empfindlichsten  Instrumenten  wahrgenom- 
men werden  kann.  An  und  für  sich  muss  also  die  Erdoberfläche  als  un- 
elektrisch betraehtet  werden. 

2)  Die  Summe  der  Luftelektricität  in  der  ganzen  Atmosphäre  ist  Null. 
Diese  Summe  tritt  also  in  Summanden  auf  mit  entgegengesetzten  Vorzei- 
chen. Also  im  Grossen  und  Ganzen  ist  weder  Erdoberfläche  noch  Atmo- 
sphäre elektrisch. 

3)  Die  Ursache ,  welche  ursprünglich  die  Atmosphäre  aus  dem  unelek- 
trkcben  Zustande  herausbringt,  ist  die  Erwärmung  der  Erde  durch  die 
Sonne.  Die  Wirkung  tritt  natürlich  am  kräftigsten  hervor,  wo  die  Ursache 
am  thätigsten  ist,  nämlich  in  der  Tropenzone.  Man  weiss,  wie  die  Wärme 
die  Entwickelnng  der  — Elektricität  begünstigt.  In  der  Tropenzone  ist 
die  erwärmte  aufsteigende  Luft — elektrisch.  Durch  diese  ursprüngliche 
Einwirkung  der  Sonne  ist  aber  nothwendig  eine  sekundäre  gesetzt,  da  ein 
einseitiges  Aufheben  des  ursprünglichen  elektrischen  Gleichgewichts  der 
Atmosphäre  nicht  möglich  ist.  Der  entgegengesetzte  Pol  der  durch  die 
Sonne  polarisch  -  elektrisch  gewordenen  Atmosphäre  tritt  in  den  gemässig- 
ten und  kalten  Zonen  hervor.  Die  ganze  Atmosphäre  spaltet  sich  danach 
in  drei  Regionen,  in  die  mittlere  überwiegend  —-elektrische,  welche  auf 
einer  jeden  Seite  von  einer  kleineren  überwiegend  +  elektrischen  begrenzt 
wird.'  Natürlich  treten  die  Gegensätze  nur  allmälig  hervor.  Also  die 
—  Elektricität  der  heissen  Zone  ist  in  der  Mitte  am  stärksten,  wird  allmälig 


250  Elektrische  Urvtersuchnngen. 

nach  den  Polen  hin  zn  Nnll,  tritt  dann  allmälig  in  den  Gegenaats,  in 
+  Elektricitttt  über,  und  die  +  Elektricität  nimmt  nach  den  Polen  hin  im- 
mer mehr  zn,  so  dass  sie  sich  stellenweise  unter  besondecs  günstigen  Be- 
dingungen in  die  obere  Atmosphäre  als  Nord-  oder  SüdUcht  entladet. 

Diese  Theorie  enthält  1)  keinen  Widerspruch  in  sich  selbst,  2)  keinen 
Widerspruch  gegen  die  Gesetze  der  Wissenschaft,  3)  stimmt  sie  mit  der 
Erfahrung  ttberein. 

Sie  enthält  nicht  nur  keinefi  Widerspruch  in  sich  selbst,  soodem  bil- 
det yielmehr  ein  harmonisches  Ganze.  Wenn  auch  noch  unerwiesene  Sätze 
in  derselben  yorkommen,  so  widerstreiten  diese'  nicht  den  erwiesenen,  sie 
schliessen  sich  diesen  yielmehr  so  an ,  dass  eine  organische  Einheit  daraus 
entsteht.  Ein  unerwiesener  Satz ,  könnte  man  sagen ,  sei  der ,  dass  in  der 
Tropenzone  die  aufsteigende  Luft  — elektrisch  ist.  Es  werden  aber  nach- 
her Thatsachen  angeführt  werden ,  welche  sich  schwerlich  anders  erklären 
lassen,  als  durch  diese  Annahme.  Der  Mangel  an  genügenden  Beobach- 
tungen auf  diesem  Gebiete  hat  in  der  Wissenschaft  Lücken  gelassen,  wei- 
che einstweilen  nur  durch  Combination  auszufüllen  sind. 

Einen  Widerspruch  gegen  die  Gesetze  der  Wissenschaft  könnte  man 
in  der  Behauptung  finden,  dass  Wärme  die  atmosphärische  Luft  in  einen 
statisch  elektrischen  Zustand  yersetze.  Hier  ist  denn  zunächst  an  das  an 
erinnern,  was  Becquerel  durch  Versuche  ermittelte  und  was  oben  unter  d) 
ausgesprochen  ist.  Der  Satz  soll  auch  keineswegs  in  dem  Sinne  gedacht 
werden ,  dass  diese  Elektrisation  unmittelbar  stattfinde.  Nehmen  wir  a.  B. 
das,  was  Becquerel  über  die  gegenseitige  Einwirkung  des  Landes  and 
Wassers  sagt:  „Zahlreiche  Versuche  haben  bewiesen,  dass  das  Land  +elek- 
trisch  ist  in  seiner  Berührung  mit  süssem  oder  mit  Meerwasser,  das  Wasser 
aber  —  elektrisch ,  und  das  Meerwasser  etwa  2,4  Mal  so  stark  als  süsses." 
Wenn  er  dann  oben  unter  b)  sagt,  dass  beide  Elektricitäten  in  die  LuA 
gehen,  so  ist  das  eine  unwahrscheinliche  Hypothese ;  wahrscheinlich  ist 
es  nur  yon  der  — Elektricität  des  Wassers,  besonders  des  Meeres.  Da 
aber  das  Meer  in  der  Tropenzone  am  stärksten  yerdunstet,  so  wird  auch 
dort  der  aufsteigende  Strom  — elektrisch  sein  müssen.  Es  soll  also  blos 
die  Wärme  bei  der  Elektrisirung  der  Atmosphäre  als  primäre  Ursache  ge- 
dacht werden.  Ferner  stimmt  die  Behauptung  yollständig  mit  den  Kennt- 
nissen ,  welche  wir  über  Heryorrufung  der  Elektricität  z.  B.  durch  Reibung 
besitzen,  wo  die  Wärme  unter  allen  Umständen  das  Heryortreten  der 
—  Elektricität  begünstigt. 

Die  Behauptung ,  dass  in  der  Tropenzone  die  Luft  —  elektrisch  sei, 
ist  so  sehr  im  Einklänge  mit  bekannten  Resultaten ,  dass  man  fast  behaup- 
ten kann,  es  müsse  so  sein.  Denn  wenn  bei  uns  im  Sommer  die  Elektrici- 
tät der  Luft  bedeutend  schwächer  ist,  als  im  Winter;  wenn  ferner  in  wär- 
meren Jahren,  wie  ich  das  durch  meine  Beobachtungen  der  Jahre  1857  ond 
1858  gezeigt,  die  Luftelektricität  bedeutend  geringer  ist,  ab  in  kälteren, 


Von  Prof.  Dr.  F.  Dbllmann.  25t 

80  wird  man  behaupten  dürfen ,  dass  das ,  was  sich  an  einem  nnd  demselben 
Orte  in  versehiedenen  Zeiten  darstellt,  sich  anch  im  Ranme  in  entsprechen- 
der Weise  finden  müsse  unter  Bedingungen,  deren  Verschiedenheiten  jenen 
an  einem  und  demselben  Orte  entsprechen.  Sowie  also  bei  uns  nach  dem 
Sommer  hin  die  Lnftelektricität  sich  mindert,  wird  sie  auch  bei  der  An* 
nfiherung  zum  Aequator  hin  sich  mitidern ,  und  da  wir  bei  dieser  Annähe- 
rnng  endlich  die  Grense  unseres  Sommers  überschreiten,  wird  sie  auch 
noch  tiefer  herunter  gehen  und  endlich  in  den  Gegensatz  übersehlagen. 

Dass  die  elektrischen  Gegensätze  in  der  Atmosphäre  nicht  schroff  sich 
abschneiden,  sonder«  allmälig  in  einander  übergehen,  stimmt  ganz  mit  be- 
kannten Sätzen  der  Vertheilungslehre  überein.  Und  wenn  diese  Sätze  nur 
noch  mit  grösserer  Sicherheit  für  isolirte  Leiter  nachgewiesen  sind,  so 
müssen  wir  bedenken ,  dass  von  diesen  zu  den  Isolatoren  ein  allroäliger 
Uebergang  stattfindet;  besonders  aber,  dass  unsere  festen  Isolatoren  in 
dieser  Beziehung  mit  Luftmassen ,  deren  Moleküle  die  grösste  Beweglich- 
keit  haben ,  nicht  verglichen  werden  können. 

Was  für  den  ausgesprochenen  Ursprung  der  Lufteiektricität  besonders 
spricht,  das  ist  die  genaue  Einfügung  der  elektrischen  Erscheinungen  der 
Atmosphäre  in  den  Gesammtorganismus  der  meteoroligischen  Phänomene, 
wie  dieser  in  Arbeiten  von  Dove  und  mir  über  den  Zusammenhang  der 
Witterangserscheinungen  nachgewiesen  wurde.  Wenn  aber  sämmtliche 
Phänomene  der  Atmosphäre ,  soweit  wir  sie  zur  Witterung  rechnen ,  in  der 
WSrmevertheilung  auf  der  Erde  ihren  Ursprung  haben ,  so  muss  es  auch 
von  den  Erscheinungen  gelten,  welche  ihren  gesetzmässigen  Verlauf  mit 
den  übrigen  theilen. 

Wir  kommen  jetzt  zu  den  Erfahrungen,  welche  für  die  aufgestellte 
Theorie  sprechen.  Hierher  gehört  zuerst  das  Factum,  dass  sieh  die  Lnft- 
elektricität mit  der  Höhe  steigert.  Nach  den  Erörterungen  über  die  Peltier'- 
sche  Hypothese  wird  es  wohl  erlaubt  sein ,  namentlich  in  Beziehung  auf 
den  Versuch  von  der  Ladung  einer  isolirten  Kugel  ohne  Berührung,  den 
Satz  auszusprechen ,  dass  die  Luft  an  die  Erde  Elektricität  abgiebt.  Denn 
wenn  sie  hier  offenbar  der  Kugel  Elektricität  mittheilt,  warum  nicht  auch 
der  Erdoberfläche?  Je  mehr  sie  aber  abgiebt,  desto  weniger  behält  sie. 
Dashalb  sind  die  unteren  Luftschichten  schwächer  elektrisch,  weil  sie 
schon  häufiger  mit  der  Erde  in  Berührung,  gekommen  sind.  Wir  werden 
weiter  unten  sehen,  wie  eine  dicke  Schneedecke  auch  vor  dieser  Abgabe 
schützen  kann.  Femer  erkennen  wir  daraus  die  Nothwendtgkeit  der  Be- 
achtung der  practischen  Kegel  für  Beobachter  der  Lnftelektricität,  mit 
ihrem  Apparate  über  die  benachbarten  Häuser  hinaufzugehen.  Ebenfalls 
ersieht  man  daraus,  warum  in  den  Wohnungen  keine  Elektricität  sich  zei« 
gen  kann.  Hier  wird  nun  auch  die  Influenz  mitwirken ,  indem  diese  auf 
der  äusseren  Oberfläche  des  Hauses  eine  sehr  schwache  Schicht  Elektrici- 
tät hervorruft,  welche  der  Luftelektricität  entgegengesetzt  ist. 


252  Elektrische  Untereuchnngen. 

Ueber  die  Zonen  der  ElektricitSt  in  den  Regen-  und  Gewitterwolken 
giebt  es  mehrfache  sichere  Erfahrungen.  Prof.  Müller  führt  solche  an  auf 
S.  433  der  1.  Auflage  seiner  kosmischen  Physik;  Crosse  hat  diese  Beob- 
aehtungen  gemacht.  Ferner  ist  eine  Reihe  von  Beobachtungen  darfiber 
gemacht  auf  dem  Observatorium  des  Vesuvs  vonPalmieri  (s.  Berl.  Ber. 
.X,  S.  644),  ebenso  von  Noath  (s.  Berl.  Berichte  XI,  S.  594),  und  endlich 
von  mir  (s.  Pogg.  Annalen,  Bd.  103,  S.  166  ff.).  Es  blieb  aber  nach  diesen 
Erfahrungen  noch  die  Frage  zu  beantworten  übrig :  Giebt  es  nachweislich 
auch  in  der  Luft  ohne  Wolken  solche  Schichten  mit  entgegengesetzten 
Elektricitäten ?  Die  bisherige  Erfahrung  sagte:  nein.  Und  ich  selbst  hatte 
bei  heiterem  Himmel  die  Luft  stets  +  elektrisch  gefunden.  Im  letxten 
Winter  aber,  am  2.  und  15.  Januar,  habe  ich  Gelegenheit  gehabt.  Stunden 
lang  beim  heitersten  Himmel  — Elektricität  zu  beobachten.  Die  Umstünde 
sind  für  den  Ursprung  der  Lnftelektricität  von  solcher  Wichtigkeit,  dam 
ich  die  Erscheinungen  genau  beschreiben  muss. 

Am  2.  Januar  war  der  Himmel  Morgens  frtth  schon  heiter,  nachdem 
er  mehrere  Wochen  bedeckt  gewesen.  Als  die  Luftelektricitit  gemessen 
wurde,  zeigte  die  Atmosphäre  sich  ziemlich  stark  — elektrisch.  Nach 
einer  Stunde  war  der  Zustand  nach  Quantität  und  Qualität  genau  derselbe. 
Wegen  der  Seltenheit  wurde  die  Erscheinung  genauer  beobachtet,  um 
den  ganzen  Verlauf  überblicken  zu  können ,  müssen  wir  auf  den  vorher- 
gehenden Tag  zurücksehen. 

Am  1.  Januar  Morgens  früh  war  die  Luft  ziemlich  stark  4*  elektrisch ; 
es  fielen  Schlössen,  welche  wohl  den  stärker  elektrischen  Zustand  hervor- 
riefen. Gegen  10  Uhr  gingen  die  Schlössen  in  Schneeflocken  über,  und  es 
schneite  nun  ununterbrochen  so  stark,  dass  bis  Abends  7  Uhr  etwa  120 
Kubikzoll  Wasser  als  Schnee  auf  den  Quadratfuss  gefallen  war;  also  10*^ 
Höhe,  etwa  y,«  der  jährlichen  hiesigen  Regenhöhe.  Um  10  Uhr  Abends 
fielen  nur  noch  wenige  feine  Schlössen ;  es  ist  also  wahrscheinlich ,  dass 
bald  nach  10  Uhr  der  Schneefall  aufhörte ,  wofür  auch  das  anderen  Mor- 
gens gemessene  Quantum  spricht,  welches  nur  noch  18,20  KnbikzoU  Was- 
ser betrug.  Morgens  um  3  Uhr  am  2.  Januar  ist  der  Himmel  schon  heiter 
gesehen  worden. 

Somit  war  die  — Elektricität  am  2.  Morgens  bei  ganz  heiterem  Himmel 
eine  höchst  ungewöhnliche  Erscheinung.  Es  wurde  anfangs  vermnthet, 
sie  könne  daher  kommen ,  dass  die  grosse  Masse  gefallenen  Schnees ,  wel* 
eher  nach  häufig  gemachten  Erfahrungen  öfter  stark  — elektrisch  ist,  seine 
— Elektricität  noch  besitze  und  von  unten  auf  den  Sammelapparat  wirke, 
in  diesem  die  +  Elektricität  während  der  Ladung  binde ,  so  dass  diese  als 
freie  -1-  Elektricität  herunter  gebracht  werde.  Diese  Ansicht  war  leicht  zu 
prüfen.  War  die  Voraussetzung  gegründet,  so  musste  die  +  Elektricität, 
welche  die  Sammelkugel  herunter  brachte,  mit  der  Annäherang  an  den 
Boden  wachsen.  Es  wurde  a)so  die  Kugel  in  verschiedenen  H&hea  geladen. 


Von  Prof.  Dr.  F.  DellmANn,  258 

Sie  Beigte  eich  swar  mmer  4*olektrisch,  a^t,  wie  gewöhnlich,  mit  sn- 
nehmender  Höhe  stärker.     Also  war  die  VoraiissetBQng  fabah« 

Nachdem  die  Luft  einige  Standen  eonstant  das  Qnantum  — -  250,7  ge« 
seigt  hatte ,  fing  es ,  wie  e»  in  dieser  Jahres  -  und  Tfigesaeit  gewöhnlich  ist, 
swisehen  0  und  10  Uhr  za  steigen  an;  um  10  Uhr  betrag  es  — 2^,0;  um 
11  Uhr  —  635,^4  um  12  Uhr  war  ein  Zurückgehen  bemerkbar,  das  Quantum 
betrag  nur  noch  •—403,1;  um  1  Uhr  — 157,7;  um  2  Uhr  wieder  +  238,4;  um 
5  Uhr  +671,5;  um  7  Uhr  sogar  + 1060,7.  Dabei  war  den  ganxen  Tag  kein 
Wölkchen  am  Himmel  zu  sehen  gewesen.  Die  Wärme,  betrug  Morgens 
^  9^5,  NachmitUgs  — 6^4,  Abends  10  Uhr  — 13^4.  Gegen  Abend  ent- 
wickelte sich  etwas  Nebel ,  welcher  aber  die  starke  Steigerung  der  +  Elek- 
trieität  nicht  erklärt,  da  sonst  ein  so  grosses  Quantum,  welches  ohnehin 
sehr  selten  ist,  nur  hei  sehr  starkem  Nebel  vorkommt.  Der  Himmel  blieb 
die  ganae  Nacht  vom  2.  auf  den  3.  heiter.  Am  3.  Nachmittags  2  Uhr  war 
die  +Elektricität  sogar  bis  ^auf  1230,0  gestiegen,  obgleich  der  Nebel  unbe- 
deatend  war.  Ein  solches  Quantum  kommt  sonst  nur  bei  Gewittern  vor. 
Als  ich.  ein.  paar  Tage  später  erfuhr ,  dass  es  am  1.  Januar  an  der  Saar 
nicht  geschneit,  sondern  stark  geregnet  habe,  brachte  ich  die  Erscheinung 
gleich  in  Zusammenhang  mit  awei  entgegengesetzten  Luftströmen,  an  deren 
Grenze  wir  uns  also  in  Kreusnach  befunden  hatten.  Der  Gegensatz  der 
LoftBtröme  sprach  sich  auch  in  der  grossen  Verschiedenheit  der  mittleren 
Wärme  beider  Tage  aus.  Am  1.  war  sie  -*-2^07,  am  2.  aber  --^0<*, 73  R. 
Die  Windrichtung  war  an  beiden  Tagen  NO.  0£fenbar  musste  durch  den 
Oegensata  der  Luftströme  auch  der  starke  Schneefall  entstanden  sein.  Die 
Grenze  der  beiden  Luftströme  hatte  sich  am  1.  Januar  zwischen  Nahe  und 
8aar  hindurchgezc^n ,  und  da  wir  am  2.  heiteres  Wetter  und  viel  bedeu- 
tendere Kälte  hatt^,  so  befanden  wir  uns  an  diesem  Tage  entschieden  im 
Polarstrome,  also  war  die  Grenze  nach  Westen  gerückt. 

Am  15.  Januar  wiederholte  sieh  die  Erscheinung  vom  2.  in  noch  auf- 
falleaderer  Weise.  Die  erste  Messung  ergab  bei  ganz  bedecktem  Himmel, 
schwachem  Nebel,  NO -Wind  und  7^57  Wärme  das  Eiektricit&tsquantum 
— 170,4.  Der  Himmel  wurde  bald  ganz  heiter  und  blieb  es  auch  den  gan« 
zen  Tag.  Nac^imittags  2  Uhr  war  bei  ganz  heiterem  Himmel  das  Quantum 
der  Laftelektricität  —  345,8.  Um  5  Uhr  war  es  wieder  +42,5;  um  0  Uhr 
—  258,7  bei  zweimaliger  Messung  genau  übereinstimmend ;  um  6  Uhr  40  Mi- 
nuten wieder  + 145,1 ,  und  das  positive  Quantum  stieg  jetzt  bei  wiederhol- 
ten Meesungen  der  Art,  dass  es  bei  der  zehnten  Messung  um  7  Uhr  10  Min. 
+  332,1  betrug.  •  Um  10  Uhr  war  es  nur  noch  188,0. 

Am  10*  war  der  Himmel  Morgens  noch  heiter,  der  Wind  wieder  NO, 
die  Kälte  etwas- grösser,  nämlich  10^,73,  der  Nebel  nur  schwach.  Das  erste 
El^tricitätsqua&tum  war  +118,8.  Um  0  Uhr  war  es  schon  auf  025,0,  um 
0  Uhr  10  Min.  sogar  auf  757,0  gestiegen;  um  10  Uhr  war  es  wieder  572,5; 
um  11  Uhr  407,9;  um  12  Uhr  424,1 ;  um  2  Uhr  wieder  500,0.    Abends  10  Uhr 

Zeitschrift  f.  Mathematik  a.  Physik.  VI,  4.  18 


264  Elektrische  üntersucliniigen. 

220,2.  Der  Himmel  bedeckte  sieb  allmilig  an  diesem  Tage;  Nachmittags 
2  Uhr  war  swar  die  Himmelbedecknng  nur  0,2,  aber  Abends  1,  d.  h*  der 
ganae  Himmel  war  bedeckt  Ans  diesen  ErscSrnnungen  konnte  ich  nicht 
mit  Sicherheit  anf  fthnliche  Ursachen,  wie  sie  am  1.  and  2.  obgewaket 
haben  mnssten,  schliessen,  umso  weniger,  da  kein  Niederschlag  erfolgte. 

Nun  lese  ich  aber  im  2.  Hefte  dieses  Jahrganges  von  Petermann's 
lüttheilungen  einen  Anfsata  von  Dr.  Mührjr«  ia  welchem  dieser  Meteore* 
log  nach  telegraphischen  Mittheiltuigen,  welche  tftglich  in  Paris  publicirt 
werden,  doch  constatirt,  dass,  aber  am  16«,  eine  ähnliche  Verschiebiing 
der  Oreose  der  beiden  entgegengesetzten  Lnftströme  stattgefanden  hebe. 
Dadurch  bekommen  meine  Beobachtungen  noch  ein  höheres  Interesse; 
denn  die  aweite  Verschiebung  war  in  entgegengesetzter  Richtnag,  und  die 
fthnliche  elektrische  E^rscheinnog  geht  vorher ,  sie  zeigt  sich  am  15. ,  und 
Bwar  in  noch  grösserer  Mannigfaltigkeit,  da  ein  paar  Mal  die  — Elektrieüflt 
mit  der  +  Elektricitftt  wechselt;  am  2.  folgt  sie  der  Verschiebung.  Auch 
das  zweite  Mal  haben  wir  uns  hier  der  Orense  nahe  befunden ;  denn  am  16. 
trübt  sich  der  Himmel,  ein  Beweis  vom  Heranrttcken  des  Aeqnatorial- 
stromes. 

Ist  es  denn  nun  wohl  zu  verke^nnen,  dass  beide  Mal  die  Luftschichten 
mit  —  Elektricttttt  Massen  beladen  waren,  weiche  vom  Aequatoiiabtzoaie 
herrührten  und  sich  mit  Schichten  des  Polarstromes  gemengt  hatten?  Dass 
aber  der  Aequatorialstrom  bis  hierher,  von  der  südlichen  Halbkugel  ans,  seine 
— Elektricität  behalten,  spricht  dafür,  1)  dass  er  ans  der  Höhe  (wir  hatten 
an  allen  vier  Tagen  NO)  frisch  herunter  kam;  t)  dass  die  dicke  Sehnee- 
schicht,  welche  durch  den  Frost  noch  isolireader  geworden,  überhaupt  an 
diesen  Tagen  so  grosse  Quantitäten  Elektricität  hervortreten  liess.  Aber 
auch  die  polarische  Reaetion  spricht  sich  sehr  deutlich  in  diesen  Erscbei- 
nungen  ans. 

Dieser  elektrische  Gegensatz  verschiedener  Luftschichten  ohne  Wol- 
ken kommt  zwar  selten  zu  unserer  Anschauung,  weil  das  Nebeneinaiider 
der  beiden  Hauptluftströme  selten  unser  Liocal  trifft  und  gar  zu  leicht  dnrch 
Mengung  der  Massen  aus  beiden  Strömen  Wolken  entstehen.  Aber  dass 
der  eine  Luftstrom  über  dem  anderen  herweht,  sehen  wir^  häufig  an  der 
verschiedenen  oder  gar  entgegengesetzten  Richtung  der  Wolken.  Dana 
können  wir  oft  genug  noch  die  — Elektricität  des  Aequatorialstremes  coa- 
statiren«  Der  Aequatorialstrom  ist  nämlich  als  der  leichtere  anch  immer 
der  obere;  ferner  ist  er  der  obere  seiner  Entstehung  nach.  Da,  wo  er  mit 
dem  unteren,  dem  Polarstrome,  in  Berührung  kommt,  bHdefi  sieb  leicht 
Niederschläge,  wie  sich  das  aus  der  Verschiedenheit  ihrer  Natur  mitNoth- 
wendigkeit  ergiebt.  Diese  Niederschläge  bringen  uns  dann  seine  — Elek- 
tricität herunter.  Daher  kommt  es,  dass  Regen  fast  immer  — elektnsck 
sind.  Und  im  Sommer  ist,  wie  bekannt,  diese  — Elektricität  bedeatend 
grösser,  als  im  Winter,  weil  der  obere  Passat  dann  noch  nicht  einen  so 


Von  Prof.  Dr.  F.  DfeLLM Ahn.  255 

feagen  Weg  gemseht,  also  voa  aeiaer  *— Blektrloitüt  noch  nicht  so  viel 
Terloren  bat.  Haben  wir  den  Aeqnatorialstrom  unten ,  so  ist  er  zwar  meist 
4-ekktri8cb,  weil  er  seine  — BlektricitAt  bereits  Toriioren;  aber  er  trägt 
die  +£l«ktricität  immer  in  einem  weit  niedrigeren  Grade,  aam  Zeichen, 
dass  sie  ihm  nicht  ursprüDglich  eigen  ist,  sondern  dass  er  sie  durch  Yer« 
mengung  mit  dem  Polarstrom  erhielt. 

Wir  sehen  also  daraus,  dass  die  beiden  Hauptluftströme  entgegenge- 
setate  Elektricitäten  haben.  Wie  nun  zwei  Wasserströme  tob  verschiede- 
ner Farbe ,  welche  neben  einander  fiiessen  und  sich  nur  langsam  mengen, 
da,  wo  die  Mengung  theüweise  stattgefunden,  ihre  Theile  noch  an  der 
Farbe  erkennen  lassen ;  so  die  Wellen  der  HaupUuftströme  an  ihrer  ent- 
gegengesetaten  Elektricitftt  Denn  was  kann  es  anderes  sein,  wenn  bei 
heiterem  Himmel  mein  Apparat  — Elektricit&t  angiebt,  als  eine  Luftwellö 
des  Aequatorialstromes ,  welche  sich  in  den  Polarstrom  hineingestörzt  hat? 
Die  starke  — Elektricitfit  bei  Sommergewittern  ist  gewiss  zum  Theil  die 
<-£lektrtcitiit  des  Aequatorialstromes. 

Ich  will  mit  folgender  Betrachtung  Bchüessen.  Die  Atmosphäte  giebt 
bei  uns  +  Elektricität  an  die  Erde  ab.  Würde  diese  +  Elektrioität  der 
Erde  nicht  vernichtet  durch  eine  Abgabe  anderwftrts  von  — Elektricitftt 
oder  dnreh  Hinwegnahme  der  +^^oktrieitftty  so  mttsste  die  ganze  Erde 
längst  -h  elektrisch  geworden  sein.  Sie  ist  es  aber  nicht.  Die  Atmosphäre 
mttsste  durch  die  Abgabe  der  +  Elektricitftt  aber  auch  Iftngst  alle  -f  Elek* 
trieitftt  verloren  haben,  wenn  nicht  ein  Ersatz  stattfände.  Daraus  folgt, 
dass  die  Ursache  der  polarischen  Elektrisirung  der  Atmosphftre  noch  fort- 
wirkt. Was  für  eine  sollte  diese  sein ,  wenn  es  nicht  die  Einwirkung  der 
Bonne  w&re? 

n.  üeber  die  Rolle,  welche  bei  der  Elektricitäts-Vertheilung 
das  Zwischen-Dielektricum  spielt.^ 

Bekanntlich  sind  vor  einigen  Jahren  briefliche  Verhandlungen  zwi* 
sehen  den  Herren  Faradaj  und  Biesaüber  den  in  der  Ueberschrift  genann- 
ten  Gegenstand  gepflogen  worden.  Herr  Faradaj  stellt  sich  vor,  dass  ein 
elektrischer  Körper  durdi  einen  Nichtleiter  hindurch,  z.  B.  Luft,  so  wirke, 
dass  die  Zwischentheilchen  polariseh  •  elektrisch  werden ,  dass  die  Wirkung 
von  Theichen  zi%  Theilchen  fortschreite;  Herr  Biess  aber  behauptet  eine 
unmittelbare  Wirkung  in  die  Entfernung  ohne  Theilnahme  der  Zwischen- 
theichen.  Herr  Dr.  Jochmann,  welcher  im  12.  Jahrgange  der  „Fortschritte 
der  Physik**  über  den  Streit  berichtet,  ist  der  Ansicht,  dass  beide  Vorr 
stellungsweisen  zur  Darstellung  der  experSmentellen  Thatsachen  genügen 
dürften.    Wir  wollen  sehen ,  ob  er  darin  Recht  hat. 

Hfttte  man  den  Streit  durch  ein  Experiment  entscheiden  können,  so 
wäre  er  längst  entschieden.  Dies  Experiment  ist  aber  in  gewöhnlichen 
Verbältnissen  gar  nicht  möglich.  Mein  Apparat  zur  Beobachtung  der  Luft- 

18* 


356  Elektrische  Untenachnngen. 


elektriciiftt  hat  mir  dus  Mittel  in  die  Hand  gegeben ,  das  Experiment  tn 
machen. 

In  meinem  Aufsätze  über  den  Ursprung  der  Loftelektricität  habe  ich 
gezeigt,  dass  die  Ladnngskngel ,  wenn  sie  oben  ableitend  bertthrt  wird, 
ihre  Ladung  durch  Vertheilung  erhält;  wenn  sie  aber  etwa  eine  halbe 
Stunde  oben  bleibt  ohne  Berührung,  so  bringt  sie  eine  fast  gleiche  Ladung 
mit  Elektricitftt  herunter,  welche  derjenigen  entgegengesetzt  ist,  die  sie 
durch  die  Ladung  mit  Berührung  erhält.  Diese  Ladung  muss  also  dnrcb 
Mittheilung  stattgefunden  haben. 

Wenn  nun  am  Horizonte  eine  Oewitterwolke  steht,  welche  immer 
—  elektrisch  ist,  d.  h.  welche  der  Kugel  bei  der  Ladung  mit  Berührung 
+  Elektricität  giebt,  so  fragt  sich,  wie  wird  sie  auf  die  Kugel  wirken,  wenn 
diese  eine  Zeitlang  oben  ohne  Berührung  stehen  bleibt.  Hat  Herr  Riess 
Recht,  so  wird  sie  die  +  Eiektricit&t  in  der  Kugel  binden,  die  —  Elektri- 
cität zurflckstossen,  welche  dann  Zeit  hat,  sich  in  der  Luft  zu  zerstreuen. 
Dies  wird  um  so  eher  zu  erwarten  sein,  wenn  der  Himmel,  ausgenommen 
die  Stelle,  wo  die  Wolke  steht,  klar  ist.  Dann  müss  man  also  annehmen, 
dass  die  Luft  noch  +  elektrisch  ist,  und  somit  wird  durch  die  +  Elektrici- 
tät der  Luft  ebenfalls  noch  eine  Ladung  durch  Mittheilung  entstehen,  wel* 
che  die  Ladung  durch  Vertheilung  von  Seiten  der  Wolke  nur  unterstützt 
Macht  aber  die  Wolke  die  Atmosphäre  -  elektrisch  im  Sinne  yon  Faradaj, 
80  ist  der  Erfolg  ein  anderer;  die  Kugel  wird  dann  durch  diese  — Elektri- 
cität der  Luft,  wie  immer  durch  Mittheilung,  — elektrisch  werden.  Man 
sieht  aus  diesen  Andeutungen ,  dass  hier  in  der  That  der  Streit  dorch  ein 
Experiment  entschieden  werden  kann. 

Und  er  ist  entschieden.  Die  eben  gegebenen  Andeutungen  sind  nicht 
erdacht,  sie  pind  erlebt.  Die  Wolke  stand  am  Horizonte,  reichte  etwa 
20*^  —  25*  über  denselben  hinauf;  sonst  war  der  Himmel  klar.  Die  Haupt- 
wolke stand  in  SW,  reichte  etwa  von  S  bis  W,  und  in  8  zog  sich  ein  schma- 
ler Streifen  noch  höher  hinauf,  etw4  bis  45 ^  Eine  Ladung  mit  Berührung 
gab  starke  +  Elektricität*),  so  dass  daraus  geschlossen  werden  konnte, 
dass  die  Wolke  ohne  Zweifel  eine  Oewitterwolke  sei.  Jetzt  wurde  die 
Kugel  wieder  gehoben,  aber  oben  nicht  berührt.  Sie  blieb  etwa  t5  Minuten 
stehen.  Die  Wolke  verkündete  mittlerweile  ihren  Donner,  blieb  aber  am 
Rande  des  Horizontes.  Als  die  Kugel  ohne  Berührung  hevunter  genommen 
wurde,  zeigte  sie  ziemlich  starke  +  Elektricität.  Sie  musste  also  von 
— Elektricität  umgeben  gewesen  sein.  Also  hat  Herr  Faradaj  Recht  und 
Herr  Dr.  Jochmann  Unrecht.  Eine  Wolke  wirkt  also  vertheilend ,  indem 
sie  erst  die  Lufttheilchen  elektrisirt. 


*)  Die  Kugel  brachte  nämlich  H-£Iektricität  mit  herunter,  so  das«  man  also 
Bchliessen  musste ,  der  vertheilende  Gegenstand ,  die  Wolke ,  sei  mit  —  Elektricit&t 
geladen. 


Von  Prof,  Dr.  F,  Dellhahn.  267 


in.  Sosultate  sechsjähriger  Beobachtuageu  über  Luft- 

elektricität 

Als  mich  vor  einigen  Jahren  Herr  W.  Thomson  aus  Glasgow  besuchte 
und  sich  sehr  intereäsirte  ftir  mein  Verfahren  der  Beobachtung  der  atmo- 
sphärischen Elektricit&t ,  nahm  ich  mir  vor,  die  bis  dahin  gewonnenen  Re- 
sultate zu  veröffentlichen^  von  denen  allerdings  schon  zwei  Jahrgänge  in 
Pogg.  Annalen  erschienen  sind.  Eine  kürzlich  erhaltene  Zusendung  von 
Herrn  Thomson  macht  es  mir  zur  Pflicht,  nicht  mehr  damit  zu  säumen  und 
nicht  zu  warten,  bis  sich  Zeit  ündet,  auch  die  beiden  letzten  Jahre  zu  be- 
rechnen. 

Zwar  müssen  die  Resultate  für  sich  selbst  sprechen ;  indess  will  ich 
zu  ihrem  Schutze  doch  noch  auf  das  Urtheil  zweier  Männer  hinweisen, 
welche  mit  mir  auf  demselben  Felde  gearbeitet  haben.  Der  eine  ist  Herr 
Prof.  Hanke  1,  auf  dessen  Urtheil  ich  in  dem  Aufsatze  über  den  Zusam- 
menhang der  Witternngs  -  Erscheinungen  mich  bezog.  Der  andere  ist  Herr 
W.  Thomson  selbst,  der  auch  in  Deutschland  bei  Physikern  bekannt  genug 
ist.*)  Es  ist  in  der  That  merkwürdig  für  diesen  speculativen  Kopf,  dass  er 
durch  das ,  was  er  vor  einigen  Jahren  mit  mir  hier  verhandelt,  sich  bewogen 
gefunden ,  diesen  Gegenstand  mit  allem  Ernste  weiter  zu  verfolgen.  Was 
er  mir  zusandte ,  ist  ein  Vortrag ,  gehalten  in  der  Boyal  Institution  of  Great 
Briiain ,  on  atmospheric  electricity.  Er  beschreibt  darin  drei  neue  Instrumente 
zur  Beobachtung  atmosphärischer  Elektricität ,  welche  er  vorgezeigt,  deren 
Gebrauch  er  erörtert  nnd  von  deren  Anwendung  er  eine  Menge  sehr  inter- 
essanter Resultate  mitgetheilt  hat.  Er  sagt  darin  über  mein  Verfahren: 
,,The  much  tnore  accurate  electrometer  (als  Peltiers's  nämlich,  von  dem  er 
eben  vorher  spricht  und  welches  in  Brüssel  und  München  angewandt  wird), 
anä  ihe  greaüy  improved  mode  of  Observation  invenled  by  Dellmann ,  have  given 
for  ihe  electric  'intensity,  ai  any  instant,  still  more  precise  results,^^  Und  an  . 
einer  anderen  Stelle:  „O/i  ihe  oiher  hand,  ihe  meViod  by  a  carrier  ball,  insiead 
of  a  proof  planCy  is  precisely  ihe  mcthod  by  which,  on  a  smdll  scale,  Faraday  in- 
vestigated  the  distribution  of  eleciridty  induced  on  ihe  earth's  surface,  by  a  piece 
ofrubbed  sheüac;  and  ihe  same  method,  applied  on  a  suiiable  Scale  for  iesting 
ihe  natural  electrification  of  the  earth  in  the  open  air,  has  given  in  ihe  hands  of 
Dellmann ,  of  Creuznach ,  the  most  accurate  results  hitherto  püblished  in  the  way 


*}  Es  ist  derselbe,  von  welchem  Herr  Prof.  Helmboltsin  seiner  Schrift  ühor 
die  Wet^selwirkaog  der  Natorkr&fte  sagt:  „Jedenfalls  müssen  wir  Thomson^s  Scharf- 
sinn bewundern,  der  awischen  den  Buchstaben  einer  schon  länger  bekannten  kleinen 
mathematischen  Gleichung,  welche  nur  von  Wärme,  Volumen  und  Druck  der  Körper 
spricht,  Folg^emngen  zu  lesen  verstand,  die  dem  Weltall,  aber  freilich  erat  nach  un- 
endlich langer  Zeit,  mit  ewigem  Tode  drohen/* 


258 


Elektrische  ünterBuohangen. 


of  eleciro-meieorological  Observation.*^  Da  glaube  ich  denn  nicht  länger  war- 
ten ZQ  dürfen  nnd  geben  zu  müssen ,  was  ich  YOrlftnfig  geben  kann«  Ein 
Nachtrag  wird  also  später  folgen.  Die  Beseichnnng  ist  wie  in  dem  Anf- 
satze  über  den  Zusammenhang  der  Witterungs  -  Erscheinungen. 


Das 

Jahr 

1852. 

Das 

Jahr 

1858. 

A. 

Ä 

C. 

M. 

A. 

B. 

C. 

M. 

l- 

109,3 

242,4 

156,9 

169,5 

1.  189,5 

197,6 

187,3 

191,5 

2. 

113,5  • 

151,0 

156,7 

140,4 

2.  154,3 

219,6 

188,9 

187,6 

3. 

127,2 

162,2 

162.3 

150,6 

3.  145,2 

154,7 

152,7 

150,9 

4. 

137,2 

140,3 

107.7 

128,4 

4.  149,6 

129,2 

122,3 

133,7 

5. 

100,7 

79,7 

101,8 

114,1 

5.  147,4 

86,7 

108,6 

114,2 

6. 

140,2 

94,2 

122,9 

119,1 

6.  141,2 

99,9 

127,6 

122,9 

7. 

135,9 

105,0 

115,3 

118,7 

7.  135,4 

96,2 

142,4 

124,7 

8. 

161,6 

127,6 

158,6 

149,3 

8.  153.6 

100,7 

138,2 

130,8 

9. 

173,2 

142,7 

146,4 

154,1 

9.  156,7 

121,0 

149,5 

142,4 

10. 

150,4 

169,0 

169,8 

163,1 

.10.  193,0 

172,9 

209,6 

192,5 

11. 

229,8 

217,8 

230,9 

226,2 

11.  162,6 

187,5 

167,6 

172,6 

12. 

188,6 

278,1 

220,8 

229,2 

12.  194,0 

283,5 

222,1 

233,2 

Mittel: 

152,3 

150,2 

154,2 

155,2 

U.:  160,4 

154,1 

159,7 

158,1 

Dai 

i  Jahr 

1854. 

Das 

Jahr 

1855. 

1. 

278,0 

538,7 

336,6 

384,4 

1.  165,2 

265,5 

218,5 

213,1 

2. 

2.  199,6 

393,9 

312,0 

301,8 

3. 

3.  144,5 

158,7 

143,0 

148,7 

4. 

4.  124,1 

124,7 

108,2 

119,0 

5. 

5.  117,6 

87,8 

86,5 

97,3 

a. 

6.  143,1 

87,7 

105,0 

111,9 

7. 

7.  147,1 

102,3 

120,6 

126,8 

8. 

8.  143,9 

118,7 

131,1 

131,2 

9. 

105,7 

133,4 

121,8 

120,3 

9.  126,2 

105,8 

139,7 

123,9 

10. 

144,1 

131,1 

158,9 

144,7 

10.  135,4 

130,9 

148,7 

138,3 

11. 

106,5 

198,3 

188,4 

164,4 

11.  150,2 

173.5 

120,3 

148,0 

12, 

121,2 

193,7 

166,1 

160,3 

12.  187,9 
M.:  147,9 

323,9 
172,8 

188,1 
162,6 

233,8 
157,7 

Das 

Jahr 

1856. 

Das 

Jahr 

1857. 

1. 

236,4 

253,0 

227,1 

238,8 

1.  148,5 

197,3 

159,7 

168,5 

2. 

131,1 

136,5 

121,7 

129,8 

2.  192,8 

251,2 

237,8 

227,3 

3, 

110,0 

123,7 

87,5 

107,1 

8.  188,2 

134,6 

129,2 

134,0 

4. 

105,1 

108,1 

103,7 

105,6 

4.  103,7 

87,2 

104,6 

98,5 

5. 

155,7 

117,6 

126,7 

133,3 

5.  114,0 

80,2 

75,7 

90,0 

6. 

183,0 

128,3 

161,4 

157,6 

6.  111,0 

71,7 

94,5 

92.4 

7. 

164,4 

105,2 

124,5 

131,4 

7.     84,4 

80,8 

96,2 

87.1 

8. 

130,7 

103,0 

106,5 

113,4 

8.     90,4 

74,5 

93,7 

86,2 

9. 

145,3 

111,9 

136,5 

131,2 

9.  128,8 

100,8 

108,3 

112,6 

10. 

156,4 

147,8 

157,0 

153,7 

10.  138,0 

92,7 

105,1 

111,9 

11. 

152,9 

228,2 

202,1 

194,4 

11.  139,3 

156,3 

155,9 

150,5 

12. 

148,1 

208,7 

185,1 

180,6 

12.  150,9 

179,0 

145,2 

158,4 

M.: 

151,6 

147,7 

145,0 

148,1 

M.:  128,3 

125,5 

125,5 

126,4 

Voa  Prof,  Dr.  F.  Dellmann. 

259 

Sechsjährige 

Mittd; 

Jaaaar, 

Septem- 

Das  Jahr 

1858. 

her,  October 

,  November  und  Decem- 

bei 

r  siebe^jllhrig. 

A. 

B. 

C. 

m. 

A. 

B. 

C. 

M. 

1. 

122,7 

171,6 

138,4 

144,2 

1.  177,1 

266,6 

203^4 

215,7 

t. 

1384 

183,8- 

140,8 

157,3 

2.  155,0 

222,7 

104,5 

100,7 

3. 

123,0 

142,0 

120,0 

128,3 

3.  131,3 

146,0 

132,4 

136,6 

4. 

108,7 

108,7 

03,8 

103,6 

4.  121,4 

116,4 

106,7 

114,8 

5. 

116,8 

80,4 

00,2 

101,8 

5.  135,4 

00,2 

00,8 

108,5 

6. 

108,3 

03,2 

02,5 

08,0 

6.  137,8 

05,8 

117,3 

117,0    . 

7. 

108,6 

81,0 

87,7 

02,7 

7.  120,3 

05,2 

115,0 

113.5 

8. 

100,3 

80,0 

114,5 

104,6 

8.   131,6 

102,4 

123,8 

110,3 

0. 

127,6 

105,0 

106,1 

112,0 

0.   137,6 

117,2 

120,8 

128,2 

10. 

135,3 

137,6 

128,2 

133,7 

10.  150.7 

140,3 

153,0 

148,3 

11. 

145,0 

223,0 

205,5 

101,5 

11.  155,2 

107,0 

181,5 

178,2 

12. 

141,6 

162,3 

134,3 

146,1 

12.  161,8 

232,7 

180,2 

101,6 

M.: 

123,8 

132.4 

122,5 

126,2 

M.:  141,7 

151,0 

144,0 

146,8 

Wenn  man  diese  Beihen  Übersieht,  so  erscheint  wenigstens  noch 
einige  Gesetzmässigkeit.  Hat  man  aber  eine  Monatstabelle  vor  ^ich,  so 
sind  die  Grössen,  welche  zu  derselben  Tagesstande  an  rerschiedenen 
Tagen  beobachtet  wurden,  so  verschieden ,  dass  man  sich  darüber  wundem 
mass,  dass  sich  am  Ende  des  Jahres  Alles  so  gut  ausgleicht  und  dass  die 
verschiedenen  Jahre  eine  solche  Uebereinstimmung  zeigen,  um  von  die- 
ser Verschiedenheit  eine  Anschauung  zu  geben,  habe  ich  meinen  Pack 
Monatstabellen  herbeigeholt.  Ich  greife  die  erste ,  es  ist  der  Januar  1857. 
Wir  finden  Morgens  6  Uhr  nach  einander  folgende  Zahlen:  242,4;  52,0;  05,0; 
83,3;  156,3;  226,6  etc.  Nachmittags  2  Uhr  stehen  verzeichnet:  104,8;  135,0; 
52,3;  126,4;  200,4;  246^5;  351,8  etc.  Abends  10  Uhr  finden  wir:  250,7;  86,3; 
08,2;  56,4;  230,6  etc.  Diesem  Wirrwarr  gegenüber  kann  man  also  mit  den 
obigen  Reihen  wohl  zufrieden  sein.  Aber  ich  kann  mir  doch  auch  nicht 
versagen,  auf  eine,  wie  mir  scheint,  merkwürdige  Eigenschaft  obiger^ah- 
len  noch  aufmerksam  zu  machen.  Sie  steckt  in  den  Summen  der  Quotien- 
ten derselben.  Die  Anschauung  wird  es  lehren.  Diese  Quotienten  der 
sechs-  bis  siebenjährigen  Mittel  mögen  zum  Theil  hier  stehen.  Es  ist 
nämlich : 

]L     JL     ^     —     —     ^ 

TT         C         A         B         C 

1,505     1,311  0,871     1,218     0,800     1,060 

1,437     1,145  0,707     1,230     0,856     0,080 

1,103  0,002 

1,001  1,188 

0,004  1,357 

0,817  1,175 

0,821  1,116 

0,827  1,063 

n),0OB  1,060 

0,012  0,070 


1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 


1,112 
0,050 
0,666 
0,605 

7.  0,736 

8.  0,778 
0.  0,852 

10.  0,031 


1,040 

0,036 

1,082 

0,046 

0,086 

1,076 

0,801 

1,203 

1,087 

0,850 

1,221 

0,007 

0,878 

1,102 

0,070 

0,007 

1,165 

0,064 

0,032 

1,004 

0,088 

0,085 

1,057 

0,064 

200 


Kleinere  Mittheiliingen. 


B 

B 

A 

M 

M 

M 

A 

C 

C 

A 

B 

C 

11. 

1,275 

1,090 

0,855 

1,148 

0,900 

0,982 

12. 

1,438 

1,291 

0,898 

1,180 

0,823 

1,063 

S.: 

12,384 

12,215 

12,301 

12,115 

12,242 

12,172 

M.: 

1,03 

1,02 

1,03 

1,01 

1,02 

1,01 

Die  Mittel  dieser  sechs  Quotienten -Summen,  oder  auch  die  Qaotien- 
ten- Summen  selbst,  sind  so  zu  sagen  gleich. 


Kleinere  Mittheilungen. 


XX.    Bemerkung  über  Carvexieonstnietionen.  «Bei  graphischen  Ar- 
beiten kommt  es  häufig  vor,  dass  man  durch  drei  Punkte  A^  Ky  B  (Fig.  l) 
eine  Curve  zu  ziehen  hat,  deren  Natur  bekannt  ist  und  von  welcher  man 
Fi?-  1*  auch  weiss,  dass  sie  innerhalb  der  ver- 

langten Ausdehnung  keinen  Krümmungs- 
wechsel erleidet.  Liegen  die  gegebenen 
Punkte  einander  sehr  nahe,  so  lässt  sich 
die  Curve  durch  einen  Kreis  ersetzen,  im 
Gegenfalle  aber,  oder  wenn  grosse  Ge- 
nauigkeit verlangt  wird,  muss  man  auf 
die  verschiedenen  Krümmungshalbmesser 
der  Curve  Rücksicht  nehmen ;  dies  kann 
auf  folgende  Weise  geschehen« 

Unter  der  Voraussetzung,  dass  die 
Krümmungshalbmesser  von  A  bis  B  ent- 
weder nur  wachsen  oder  nur  abnehmen, 
bestimme  man  zunächst  den  kleinsten 
und  grössten  Krümmungshalbmesser  AM  und  BQ  und  constrnire  die  znm 
Punkte  K  gehörende  Normale  KL.  Mit  Hilfe  der  in  Theil  IV,  S.  244  be- 
handelten Aufgabe  lässt  sich  nun  jeder  der  Bögen  ^  IT  und  KB  aus  zwei 
Kreisbögen  zusammensetzen.  Man  schneidet  nämlich  auf  KL  die  Strecke 
KM'  =:zAM  ab  und  halb'irt  MM'  durch  eine  senkrecht  zu  MM'  liegende 
Oerade,  welche  auf  ^Z  den  zweiten  Kreismittelpunkt  iV  bestimmt;  ebenso 
nimmt  man  KQ'  =  BQ  und  erhält  den  dritten  Kreismittelpunkt  P  als  Durch* 
schnitt  von  KL  mit  der  Geraden ,  welche  Q  Q*  «enkrecht  halbirt^  (Fallen 
zwei  Punkte,  wie  a.  B.  Q  und  Q\  nahe  an  einander,  so  kann  man  die  6e- 


Klei&ere  Hittheilungen. 


261 


radeOO'  durch  Ansetzen  zweieif  gleichen  Stücke  OExtaäQ'If  rergr^n^ern.) 
Die  CarYe  AEJB  bildet  nun  die  EyoWente  der  gebrochenen  Linie  AMN^Q 
und  hat  mit  der  geeuchten  Chrve  die  gegebenen  drei  Punkte ,  die  Krtim- 
mnogshalbmeKser  der  Endpunkte  und  die  Normale  KL  gemein |  es  ist  daher 
eine  sehr  gute  lieber einstimmung  beider  Gurken  2u  erwarten« 

Dieses  Vorfahren  lässt  sich  unter  Anderem  zur  Construetion  der  Ellipse 
benntaeen,  venu  deren  Halbjachsen  AC  und  BC  (Fig.  2)  gegeben  sind.  Legt 
man  ^£  senkrecht 
sQij&,soistC(£der 
Halbparameter  und 
zugleich  der  Krüm- 
mungshalbmesser 
für  den  Scheitel  A^ 
mithin  AM  ^=i  CE. 
Zieht  man  femer 
durch  den  Brenn- 
punkt 1*  die  Gerade 
FQ  senkrecht  zu 
BFy  so  ist  Q  der 
Krttmmnngsmittel- 
punktfardenSebei* 
tel^.  Endlieh  be- 
stimmt  man  noch 
irgend  einen  EUip- 
•enpunkt   K  nebst 

Beiner  Normale  und  wendet  dann  die  vorige  Construetion  an.  Da  sieh 
die  Krümmungshalbmesser  in  der  Nähe  von  A  rascher  ändern^,  als  bei 
B,  80  muss  man  AT  so  wählen,  dass  der  Bogen  ^ AT  kleiner,  als  der  Bogen 
BK ist',  bei  Ellipsen  von  grosser  Exceutricität  kann  man  für  E  den  End- 
punkt der  in  F  errichteten  Ordinate  nehmen,  bei  kleinen  Excentricitäten 
dagegen  würde  dann  arcAK^  arcBK  werden.  In  allen  Fällen  scheint 
sich  für  K  derjenige  Punkt  am  besten  zn  eignen,  dessen  Norüiale  die  mitt- 
lere Lage  hat,  d.  h.  die  Achsen  unter  45®  schneidet.  Dieser  Punkt  empfiehlt 
sich  auch  durch  die  Leichtigkeit  seiner  Construetion;  legt  man  nämlich 
CD  senkrecht  zn  AB^  so  ist  ^2>=  Cl  die  Abscisse,  BB=^IK^=^  IL  die 
Ordinate  und  KL  die  Normale  des  erwähnten  Punktes.  —  Im  Vergleich  zu 
den  gewöhnlichen  Constmctionen  sogenannter  Korbbögen  zeichnet  sieh 
das  angegebene  Verfahren  durch  sehr  grosse  Genauigkeit  aus ;  man  könnte 
diese  durch  Einschaltung  mehrerer  Ellipsenpnnkte  noch  erhöhen,  doch 
scheint  dies,  den  gemachten  Proben  zu  Folge,  nur  bei  ganz  exorbitanten 
Verhältnissen  nöthig  zu  sein.  Sghlömilch. 


262  Kleinere  Mittheilangen. 


^i^'^^*^>^S^^,^,^^*^>^ii^,^i,^s,^S^i-,^>^i^'^^^l^^^^^'^f\^>i^^^S^^^^'^^'i>^>^%^S^^»>^*,^S,^^ 


XXL  Veber  Am  dnroh  Sieben  meftbaren  Zahlen.  Will  man  sehen, 
ob  eine  Zahl  durch  Sieben  ohne  Rest  theilbar  sei ,  so  snmmire  man  yod 
rechts  nach  links  den  einfachen  Best  der  Einer  nnd  Zehner,  den  doppelten 
Rest  der  Hunderter  nnd  Tausender ,  den  vierfachen  der  Zehn  •  nnd  Hnn- 
derttansender,  dann  wieder  den  einfachen,  doppelten ,  vierfachen  Rest  von 
Je  zwei  als  Busammengehörig  betrachteten  Ziffern  u.  s.  w.  Lftsst  die  Samme 
durch  Siebmi  getheilt  keinen  Best,  so  ist  auch  die  ganze  Zahl  durch  Sieben 
messbar.  Z.  B.  2470884865  ist  gleich  7  .  354/09265,  weil  die  Reste  von  ^,  48, 
88,  79,  24,  d.  i.  6,  6,  4,  2,  3  nach  der  Reihe  1,2,4....  Mal  genommen  6  +  12 
+ 16  +  2  4-  6  =  42  =  6  .  7.  Dass  man  statt  12  und  16,  5  und  t  setzen  konnte, 
ist  klar,  wo  dann  6  +  5  +  2  +  2  +  6  =  21  =3.7. 

Ebenso  ist  14041504391723  =  7  .  2134500627389 ,  weil  2+6+2+4  +  2  +  5 
=  21  =  3  .  7. 

Betrachten  wir  nämlich  die  Zahl  l|0l|0l|0l|0l|0l|0,  so  sehen  wir,  dass 
durch  Sieben  gemessen  die  Eins  an  der  Einerstelle  selbst  Rest  bjeibt;  die 
Eins  an  der  Stelle  der  Hunderter  lässt  den  doppelten  Rest,  da  100=  (7 .  14)+2, 
dieEins  an  der  Stelle  der  Zehntausender  lässt  4  im  Rest,  da  10000 £=(7 .1428)+4. 
Wir  sehen  also,  dass  jede  Zahl,  die  hundert  Mal  so  gross  ist,  den  doppelten 
Rest  lässt.  Eine  Million  lässt  demnach  einen  doppelt  so  grossen  Rest ,  als 
Zehntausend,  nämlich  8,  oder  da  8=s7  +  1,  Eins.  Wenn  also  45[=r(6.7)+3] 
drei  als  Rest  lässt,  so  lässt  4500  s  e  c  h  s ,  450000  zwölf,  45000000  vi  er  and- 
zwanzig  oder,  da  24=  (3.  7) +  3,  wieder  drei,  4500000000  wieder  sechs 
n.  s.  w.  als  Rest.  —  Da  man  einer  zweiziffrigen  Zahl  den  Rest,  den  sie 
durch  7  getheilt  lässt,  leicht  ansieht  (der  andere  Factor  ist  nie  grösser  als 
14,  der  Rest  nicht  grösser  als  6),  so  lässt  sich  obige  Probe  leicht  und  rasch 
bewerkstelligen. 

Neckargemünd.  £.  J.  BoHniHonn. 


XXIL  Znr  Integration  partieller  PUTerentialcleielinngen.  Von  Prof. 
Simon  Spitzbr. 

1.    Integration  der  Gleichung: 

Ich  ftthre  in  diese  Oleichung,  in  welcher  ^i,  ^^ . . .  ^«  constante  Zalilen 
bedeuten,  eine  neue  unabhängig  Variable  r  ein,  welche  mit  den  alten  an- 
abhängig  Variablen  in  folgendem  Zusammenhange  steht: 

At      At  An 

alsdann  ist:  d^ 2g|  rfy 

a«,       A^  dr 
und  somit:  ^  d'y ^dq)  .   4a:|*<f*y 


Gabi  ebenso  hat  man : 


Kleinere  Hitthcalaogen.  293 


nnd  werden  diese  Werthe  in  die  CNeichnn^  1)  sabstitnirt,  so  erhSlt  man 
unter  Berüeksichtignng  der  Gleichang  2)  folgende  Oleicbnng : 

welche  ebenfalls  zu  den  linearen  partiellen  Di£Perentialg^leichnngen  gehört, 
and  deren  Integration  mir  yoUständig  gelang. 

Ich  aetze  nämlich  in  selbe 

4)  >  =  e«'F(r), 

woselbst  «  eine  Constsnte  bedeutet,  nnd  komme  dadurch  zu 

t?F(r)=  2«  r  (r)  +  4r  F"  (r), 
welche  sich  geordnet  folgendermaassen  stellt: 

Ich  habe  doreh  dies  die  Integration  der  partiellen  Differentialglei- 
chnng  3)  abhängig  gemacht  von  der  Integration  der  linearen  Differential- 
gleichnng  5),  welche  von  der  zweiten  Ordnung  ist,  nnd  werde  nun  zeigen, 
auf  welche  Weise  sich  diese  Gleichung  integriren  lässt. 

leh  düerentüre  selbe  fiMal  bezttglieh  r,  unter  fi  eine  coastante  Zahji 
▼erstehend y  nnd  habe  dann: 

6)        r/'tf^+J)  (r)  +  L  +  -^  F(M-l-i)  (r)  -  ^  F(m)  (r)  =  0. 

Setzt  man  hierein 

^W  (r)  =  z 
und  führt  alsdann  in  6}  eine  neue  unabhängig  Variable  q  ein,  mittelst  der 
Substitution  *' 

so  hat  man ,  da 

^  '       dr       2q  dg 

'^^  dt*  AQ*dQ^^Q^dQ* 

ist,  nach  einer  leichten  Bednction  statt  der  Gleichung  6)  folgende  Glei- 
chung : 

die  sich  vereinfacht  für 


»—1 

(t. 

2     ' 

-,^2  =  0, 

264  Kleinere  Mittheilungen. 


man  hat  nämlich  alsdann 


woraus 

folgt,  unter  C,  und  C,  willkürliche  Constante  verstanden.  Setst  man  hierein 
für  (  seinen  Werth ,  so  erhält  man 

und  folglich,  da 

F(A)  (r)  =  z 

ist, 

3 

8)  ^('•)  =  -^lC,c«'^+<7.c-«'''^l. 

Die  in  diesem  Ausdrucke  angezeigte  — —  malige  Differentiation  be- 

züglich  r  lässt  sich  in  dem  Falle  leicht  durchführen ,  wo eine  ganse 

Zahl  ist   Ich  werde  mir  erlauben ,  die  Richtigkeit  dieses  Integrales  in  die- 
sem speciellen  Falle  direct  nachzuweisen ,  und  finde  dies  umsomehr  ange- 

n  — .  t 

feeigt,  da  die  Gleichung  5)  durch  ^  =s —  malige  Differentiation  eigent- 

lieh  zu  folgender  Gleichung  führt: 

rF<M+2)(^)  +  ^^  +  |.^^tf^+l)(r)_^FW(r)^ 

woselbst  j9, ,  Bg^  B^, .  B^^  willkürliche  Constante  bedeuten ,  ich  aber  aaf 
die  specielle  Gleichung  6)  meine  weheren  Schlüsse  baute. 
Ich  bilde  mir  nun  F'  (r)  und  rF"  (r)  und  habe  vorerst: 

ar  2 


Da  nun  bekanntlich 

dr»  drf'     '^  ^    dr»"^ 

ist,  somit  » 

^^y(r)^d^[r(p(r)]  (|ft-*y(r) 

dr»  drß  ^    drf^-^    ' 

so  hat  man, 


Kleinere  Miilheilnngen*  S65 

letiend, 

•±2 

rr'{r)=r  -1__[C.  ««»''>  Q«  —  »^] 

dr  dr 

und  wenn  man 

8wei  Mal,  femer 

einmal  differentiirt,  nnd  redncirt: 
»-1 


10)  /-i^'-    ^F'- 


<fr 


+  j(c.  *•"-'■+ c.«-«"^)]. 


Diese  iu  8),  9)  und  10)  anfgestellten  Werthe  von  F{r)y  F''(r)  nnd 
rF"  {r)  machen  nnn  wirklich  die  Gleichung  5)  identisch ,  folglich  ist  das 
in  8)  hmgestellte  Integrale  richtig.     Es  ist  demnach 

2 

dr' 
oder  anders  geschrieben : 

«-» 

9  =       ,_,  [(7,  ««('+'^)  +  €',««('->'«•>] 

rfr~ 
eine  Anflösnng  der  vorgelegten  Gleichung,  nnd  da  eine  Summe  beliebig 
▼ieler  solcher  Ausdrücke,  bei  willkürlicher  Wahl  von  or,  C|  und  (7,,  auch  ge- 
nügt, so  hat  man  für  das  vollständige  Integral  der  Gleichung  3) 

d  "^ 

dr' 
unter  tpi  nnd  190,  willkürliche  Functionen  verstanden. 


266  Kleinere  Mittheihmgen» 

Ich  bemerke  hierbei,  dass  selbst  in  dem  Falle,  wo  n  keine  ungerade, 
sondern  eine  gerade  Zahl  ist,  das  Integral  der  Gleichung  3)  in  der  Glei- 
chung 11)  enthalten  ist,  aber  ich  will,  weil  alsdann  Differentialquotientes 
mit  gebrochenem  Differentiationsindex  auftreten  und  solche  Formen ,  trotz 
den  äusserst  genialen  Arbeiten  Liouville^s ,  noch  nicht  gehörig  studirt  suid, 
einen  anderen  Weg  betreten,  um  das  Integral  der  Gleichung  3)  zu  erhalten. 

Ich  gehe,  bis  zur  Gleichung  7)  Schritt  für  Schritt  den  früheren  Weg 
befolgend,  von  der  Gleichung  7)  aus,  diese  ist: 

und  setze  in  selbe,  da  n  in  dem  jetzigen  Falle  eine  gerade  Zahl  ist, 

alsdann  erhält  man  durch  Fortschaffen  der  Brttohe  die  Gleichung: 
lAv  d*z  ^  dz        . 

welche  nach  der  von  mir  im  2.  Bande  Seite  168  dieses  Joumala  entwickel- 
ten Methode  folgendes  Integral  giebt: 

13)        z  =  C,Je^^^'^  dl  +  C^fe^9  cosX  j^  (^  ^^t^^  ^x, 
0  0 

unter  C,  und  C^  willkürliche  Constante  verstanden.     Setzt  man  hierein: 

^  =  ^^,  l^M)(r)  =  z, 
so  erhält  man : 

14)     F(r)  =  — ^—  [c,y  ß«^^'^  dk  +  C^Je""^^'^  log  (j/r  #wU)di] 

als  Integral  der  Gleichung  2).  Aber  auch  hier  ist  nothwendig,  sich  direct 
von  der  Richtigkeit  dieses  Integrales  zu  überzeugen.  Ich  bilde  daher, 
analog  der  früheren  Vorgangsweise,  F*  (r)  und  rP"  (r)  und  erhalte: 

T-  • 

4-t  uyrJ 

dr  " 

X  n 

'^'^0  0 


Kleinere  liitthoifaiiigen.  267 

ferner: 


rF"{r)=ar 

d 


T+'  « 


;.*"*"*  0  0 


-?+! 


=-^-T-,  [c^rje»^'""*'  dl  +  C^rje  «*^-'»  log  {fr  ti^  l)  dk\ 


dr 

n 

T  * 


s»    *        0  0 


dr 
durch  zweimalige  Differentiation  von 


0  0 

bezüglich  r  nnd  einmalige  Differentiation  von 

0  0 

bezaglich  r  erhält  man  r  ^'  (r)  in  der  Form  eines 1**"  Differential- 
quotienten y  nnd  zwar  ist : 


0  '^'^  0 


268  Kleinere  Mittheilangen. 

und: 

Vr  k  A"^'"^  ^^  +  C^Je""^-^'^  log  (/r  *m«  A)  di] 
'^       0  0 

^.  .^fL  fe»yrco,X  cosi log(y7sin*l,)  dl, 


folglieh  ist: 

idi 


r  F"  (r)  =  -^--—  [-4=  (C,  +  2C,-nC,)  A«^-"««»  co«l . 
dr 

*  * 

+  ^jlLj'e'^yrccX  co^i  dl  _  ^»ye«^*«l  di 

+  ^*"-(l— «)  le''^'*'^cosXlog(y'Fsm*l)dl 

+  ^  re^y^<^»^cas'l log {/? Sinn)  dlj. 
0 
Werden  nun  die  gefundenen  Werthe  von  F{r),  F'  (r)  und  r  r'  (r)  in 

subsütuirt,  so  erhält  man: 

_^  A«^r^X«n«idX+  A^  fe''^-^'^co8llog{y7zbin)dl 
4   J  4/r  «/ 

0  '^0 


Klcpinere  Mittheilnngen.  269 


vaa  bei  Berücksichti^ng  yon 

4/r  *J 


0 


nnd 


^—J e«^^'^'  ^sinn  log  {j/r  sin*  i)  dl 

0 

ff 

=  -'%  l^llog{yrsinny-l— dX 

^yr  t/  «* 

'^      0 


'y^^  4/;  ^ 


sich  auf 


rr'(r)  +  |.F'(r)-^F(r)=0 


znrflckzieht.     Ans  14)  folgt  nun  weiter 


,-' 


8r" 


und  da  aach  eine  Smnine  beliebig  vieler  solcher  Ausdrücke  bei  willkür- 
licher Wahl  von  a,  C, ,  C,  genügt,  so  hat  man  für  das  vollständige  Integral 
der  Gleichung  3)  folgenden  Werth : 


2       •  »  ^ 

15)  y = i-j —  [yV,  {t+y7eot  X)dl+jfpt  (l + y^eosl)  log  (j/7tm*l)  a]  , 


3r'    '   ' 

unter  9?,  und  9,  solche  willkürliche  Functionen  verstanden,  welche  die 
Integrale,  unter  denen  sie  vorkommen,  weder  unbestimmt  noch  unendlich 
machen. 

Ich  habe  also  für  die  partielle  Differentialgleichung 

folgende  zwei  Werthc  erhalten : 

Zeittchrifl  fär  Mathsinalik  o«  Physik.  VI,  4.  19 


270  Kleinere  Mittheilongen. 

»— t 
11)  «P  =  — rrr  [9».  ('  +  Vr)  +  9.  ('- Kr)] 

"2 — *  «  « 

15)  9=  ^ "[  j(pi  (l+}/rcosX)dX  +J (ftii+j/rcosl)  log{}/7sin^k)dk\ , 

von  denen  der  erste  zweckmässig  ist  für  ungerade  n  und  der  zweite  Tür 
gerade  VVerthe  von  w. 

In  den  spcciell^n  Fällen,  wo  n  =  1  und  n  =  2  ist,  hat  man  daher 

9  =  f<pt{t  +  }/7co8  l)dk+  I  <p2{t+  j/r^cosk)  log  {j/rsin*  A)  dl 
0  0 

Formeln,  von  denen  die  erste  die  Gesetze  der  Schwingungen  gespannter 
Saiten  giebt  und  schon  lange  bekannt  ist,  die  zweite  aber  von  Poisson 
im  Journal  de  Ce'cole  polyiechnique  cah.  14,  pag.  227  gegeben  wurde. 
# 
2.    Integration  der  Gleichung: 

Verfolgt  man  genau  den  frühefen  Gang,  so  kommt  man  zu  der  Gleichung: 

und  setzt  mau  in  selbe 

a 

q,  =  le'   F{r), 

ontcr  a  wieder  eine  Constante  verstanden ,  so  hat  man : 


|s=.^(-^).«. 


ferner : 

daher  ist: 

a*F{r)  —  2«  F'  (r)  +  4r  i^"  (r), 
welche  Gleichung  vollkommen  die  Gestalt  5)  hat.     Man  hat  somit  für  ü-as 
complete  Integral  der  Gleichung  16)  folgende  Werthe: 

w  —  l 

n)      9  =  /-^[9.(j  +  /r)]  +  ^(-f-rO] 

dr    * 


Kleinere  Mittheilangen.  271 


18)  ip  =  t'^'-^J^ ip^(^+yrcosX^dk+J 


2       0  .     ä 


dr 
ersterer  passt  für  ungerade ,  letzterer  für  gerade  n. 

3.    Integration  der  Gleicliüng: 

Führt  man  in  diese  Gleichung  eine  neue  unabhängig  Variable  r  ein ,  welche 
mit   den  alten  unabhängig  Variablen  in  folgendem  Zusammenhange  steht : 

alsdann  ist: 


und  femer: 


Ganz  ebenso  hat  man : 


d(p  2     dg> 

und  werden  diese  Werthe  in  die  Gleichung  19)  substituirt,  so  erhält  man 
unter  Berücksichtigung  der  Gleichung  20)  folgende  Gleichung : 

-firelche  sich  von  der  Gleichung  3)  nur  darch  ein  dreifach  so  grosses  »  unter- 
scheidet. Man  hat  daher  fttr  das  Integral  der  Gleichnng  21)  die  beiden 
Formen : 

3»-l 

V  =  ^;;irT  [vi  (' +/r)  +  v,  (<-/r)]      . 


ar    ' 


T-' 


9>  =  — 3^p-  I    / g>,  (<+/r cos l)  dl  +  I (pt(t+-/r  cos l)  log  {-/r  sin* A)  rf A  j 
und  zwar  erstere  für  ungerade ,  letztere  für  gerade  n. 


19» 


272  Kleinere  Hittheilangen. 

4.     Integration  der  Qleichnng: 

Verfolgt  man  genaa  den  bei  der  Gleichung  19)  betretenen  Weg,  so  kommt 
man  zu  der  Gleichung: 

welcher  genügt  wird  durch : 


Br' 


T- 


9  =  t     »,_    [Jvt  \^+J^co$iyi+Jq,t(^j-+y?cosljlg(yr$itfl)dij' 


ar* 


5.    Integration  der  Oleichnng: 

22)  ä7  =  ^'äv'*'^*äi^  +  -"  +  ^"äi-«' 

Ich  setze  hier  wieder: 


.      ..  -       ,^. 


Af       A^  An 


'  und  erhalte  die  Gleichung : 
welche  für 


-— =  2«~-  +  4r-— -f , 

a/        ar  ^     ar« ' 


übergeht  in : 

5)  ««F(r)  =  2«  F'  (r)  +  4r  1?"'  (r). 

Man  hat  daher  für  ein  ungerades  n : 

hingegen  für  ein  gerades  w: 

Nun  ist  aber  bekanntlich 

+  00 


^*^ 


Kleinere  Mittheilungen.  273 

somit  erhält  man,  wenn  man  in  die  gefundenen  Werthe  v^on  q>  diesen 
Werth  einführt ,  für  ein  ungerades  n : 

^y-        4-00 

dr 
and  für  ein  gerades  n : 

-j-  - 1  +«  K 

—000 
and  wenn  man  von  den  willkürlichen  Constanten  su  den  willkürlichen 

Functionen  übergeht,  so  hat  man,  falls  n  angerade  ist: 
«—1 

— j-  +00 

ö)  ,=?-^ /'^••[,,(j»)/r+]K7)+^(j»^->^)]j. 

und  für  ein^gerades  n: 

"2 —  *  +00  « 

24)  ^=L^—JJy^(2n>yr+y7cosk) 

dr'    '-^^ 

+  9t  (2 w/r+  /r  CO*  i)  to^  (/r  $in*  k)\  dk  dw , 

unter  ^i  und  9,  solche  willkürliche  Fnnctionen  Terstanden ,  welche  die  In- 
tegrale, anter  denen  sie  vorkommen ,  weder  aubestimmt  noch  anendlich 
machen*  Das  Integral  23)  besteht  ans  zwei  Theilen ,  die  «her ,  wie  man 
sieht ,  nicht  von  einander  verschieden  sind ;  denn  setzt  man  in  dem  Theile, 
welches  mit  der  willkürlichen  Function  9,  versehen  ist,  statt  m  eine  neue 
Variable  — M^,  so  erhält  man  genaa  dasselbe,  was  durch  die  erste  willkür- 
liche Function  ausgedrückt  ist;  man  hat  daher  für  ein  ungerades  n  folgen- 
des Integral: 

-j"      +« 


9=  ^^^1  y*^-**  n^^y^+Vr)  dw, 

dr'    -• 
woselbst  /das  Zeichen  einer  willkürlichen  Function  bedeuiet. 

Auch  hier  lässt  sich  bemerken ,  dass  in  den  beiden  speciellen  Fällen 
»  =  1  und  n  z=  2  die  Integrale  der  Gleichung : 


274  Kleinere  Mittheilungen. 


sich  so  stellen : 


dt  er  er* 


■4-x 
9=  j (T^^  f{2w]/T+}/r)  dw 


und 


—000 

nnd  auf  diese  Weisen  von  Laplace  nnd  Poisson  gegeben  warden  {Journal 
de  rScole  polyt.  cah.  14,  pag.  245  nnd  cah.  15,  pag.  241.) 

Ick  will  Bum  Schlüsse  bemerken ,  dass  die  Qleicbnngen : 

eine  Integration  auf  ganz  ähnliche  Weise  gestatten. 


XXTTT.    üeber  die  Theorie  dei  HordliehtOB.    Von  Dr.  F.  Deli^makk 

in  Kreuznach  a.  R. 

Eine  Theorie  des  Nordlichtes  ist  bisjetzt  vergebens  gesncht,  es  sind 
nur  Wege  vorgeschlagen  worden,  welche  dahin  führen  können.  Zuerst  hat 
Halley  vor  etwa  150  Jahren  den  Gedanken  ausgesprochen,  dass  es  eine 
Wirkung  des  Erdmagnetisaras  sei.  Diese  Ansicht  kät  noch  jetst  die  mei- 
sten Anbänger  und  wurde  von  Dal  ton  weiter  ausgebildet.  Etwas  später 
trat  derselben  eine  andere  entgegen,  hauptsächlich  von  Franklin,  Can- 
ton  u)id  Hamilton  im  vorigen,  von  Schttbler  in  diesem  Jabrhandert 
Tertheidigt«  Nennen  wir  jene  die  magnetische ,  so  können  wir  diese  die 
elektrische  nennen,  da  die  letztgenannten  Männer  der  Ansicht  waren,  dass 
das  Nordlicht  seinen  Ursprang  in  der  Elektrieität  der  Atmesphäre  babe. 
Die  neueren  Fortschritte  der  Physik  und  Meteorologie  gestatten  es,  die 
Gründe  für  beide  Hypothesen  genauer  abzuwägen ,  und  nach  des  Verfas- 
sers Ansicht  hat  die  zweite  jetzt  das  Uebergewicht  für  sich. 

Unter  den  neueren  Naturforschern  hat  sich  vielleicht  A.v.  Humboldt 
am  vollständigsten  über  die  Theorie  des  Nordlichtes  ausgesprochen.  Wir 
wollen  drei  Havptstellen  aus  dem  ersten  Bande  seines  Kosmos  erörtern. 
S.  198  sagt  er :  „Der  tellurische  Magnetismus,  die  elektrodynamischen,  von 
dem    geistreichen    Ampere   gemessenen  Kräfte   stehen    gleichseitig    in 


Kleinere  Mittheilungen.  275 


innigem  Yerkekr  mit  dem  £rd-  oder  Polarlichte,  wie  mit  der  inneren  und 
ausaeren  Wurme  des' Planeten  ^  deasea  Magnet -Pole  als  Kälte*  Pole  be- 
trachtet werden.  Wenn  Halle j  ror  128  Jahren  nur  «Is  eine  gewagte  Ver- 
mathnng  aassprach ,  dass  das  Nordlicht  eine  magnetische  Erscheinung  sei, 
80  hat  Faraday's  glänzende  Entdeckung  (Lichtentwickeiung  durch  mag* 
netiacko  Kräfte)  jene  Yermuthung  zu  einer  empirischen  Gewissheit  eiv 
hoben/'  Freilich ,  wenn  ein  mit  der  Physik  nicht  Vertrauter  so  etwas  liest, 
so  wird  er  die  oben  ausgesprochene  Ansicht ,  dass  wir  noch  keine  Theorie 
des  Nordlichtes  besitzen,  für  absurd  halten.  Da  möchte  ich  denn  zunächst 
im  Seherze  mich  auf  die  bekannte  Anekdote  berufen ,  in  welcher  erzählt 
wird ,  dafis  ein  berühmter  Berliner  Naturforscher  einen  Examinanden  nach 
der  Theorie  des  Nordlichtes  fragt.  Als  dieser  sich  dadurch  entschuldigt, 
dass  er  dies  ^ewusst ,  aber  wieder  vergessen,  habe ,  erwidert  der  Examina* 
tor :  „Das  ist  acbade,  dass  Sie  vergessen  haben,  was  noch  nie  Einer  wusste«" 
Der  erste  Satz  in  der  obigen  v«  Humboldt'achen  Stelle  aceeptirt  die  Amp^re'^ 
sehe  Theorie  vom  Erdmagnetismus,  von  welcher  Hoser  in  Königsberg 
sagt*):  „Diese  neue  Erfindung  habe  ich  nicht  erwähnt.  Wie  sollte  ich 
auch,  wenn  diese  Theorie  sich  nicht  entfaltet  hat  und  es  mit  der  ganz  ^nn* 
bestimmten  Vorstellung  der  elektrischen  Ströme  bewenden  lässt?  Wie  soll 
man  dem  Ckgner  eine  Sehlacht  abgewinnen,  wenn  er  nieht  im  Felde  «r- 
seheint?^^  Moser  wird  als  Physiker  im  Kosmos  sehr  gerühmt,  wie  er  es 
auch  verdient.  Aber  etwas  merkwürdig  ist  der  Scbiuss  der  obigen  Stelle, 
welcher  wegen  -des  Funkens,  den  Faraday  zuerst  dem  Magneten  entlockt 
hat,  das  Nordlicht  für  eine  empirisch  gewisse  magnetische.  Erscheinung 
hält  Und  doch  hat  das  Nordlieht  nichts  von  der  Natur  eines  Funkens,  als 
etwa  das  Licht,  und  auch  dies  nicht  immer.  < —  Die  zweite  Stelle  lautet 
6.201:  Dieser  Zusammenhang  des  Polarlichtes  mit  den  feinsten  Cirrns* 
Wölkchen  Verdient  eine  besondere  Aufmerksamkeit,  weil  er  uns  die  elektro- 
magnetische Lichtentwickelung  als  Theil  eines  meteorologischen  Processes 
zeigt.  Der  tellurische  Magnetismus  offenbart  sich  hier  in  seiner  Wirkung 
auf  den  Dunstkreis,  auf  die  Condensatio«  der  Wasserdämpfe.*^  Den  zwei* 
ten  Satz  kann  ein  Physiker  nicht  unterschroiben,  weil  er  nichts  von  der 
Einwirkung  des  Magnetismus  anf  Wasserdämpfe  weiss;  wohl  aber  den  er* 
steu,  wenn  er  das  Nordlicht  für  eine  Erscheinung  der  Lufteldctricität  hält; 
wenigstens  tritt  ihm  durch  diese  Annahme  der  Zusammenhang  der  Erschei* 
nungen  nähet.  —  Die  dritte  Stelle  steht  S.  ^5  und  heisst:  „Der  Glaube 
an  ein  knisterndes  Geräusch  (beim  Nordlicht)  ist  nicht  in  dem  Volke,  son- 
dern bei  gelehrten  Reisenden  wohl  deshalb  entstände»,  weil  man  schon  in 
früher  Zeit,  wegen  Aeä  Leuchtens  der  Elektrieität  in  luftverdüadten  Räu- 
lüen,  das  Nordlicht  für  eine  Wirkung  atmosphärischer  Elektrieität  erklärte, 
und  hörte«  was  man  zu  hdren  wünschte.     Neue,  mit  ^ehr  empfindlichen 


*)  Vorträge  aus  dem  Gebiete  der  Naturwissenschaften  etc.,  1.  Bd.,  8;  220. 


276  Kleinere  Mittheiliuigon. 

Elektrometern  angestellte   Versuche  baben  gegen  alle  Erwartung  biAer 
nur  negative  Resultate  gegeben.     Der  Zustand  der  Luflelektrieiftit  ward 
während  der  stärksten  Nordlichter  nicht  verändert  gefunden/^     Es  miua 
uns  wahrhaft  leid  tiiun ,  einen  so  hochstehenden  Mann  einmal  sich  zu  Gun- 
sten einer  Ansieht  aussprechen  zu  hören ,  die  er  in  seinem  gansen  langen 
Leben  verleugnet  hat.  A.  v.  Humboldt  will  von  Volksurtheilen  über  wissen- 
schaftliche Dinge  sonst  nichts  wissen,  und  hier  sollen  sie  höher  stehen,  als 
die  der  gelehrten  Forscher.     Wir  werden  weiter  unten  abermals  in  einem 
eclatanteu  Beispiele  sehen,  was  von  solchen  Volksurtheilen  zu  halten  iat. 
Der  V.  Humboidt'schen  Stelle  steht  eine  andere  von  Biot*)  übrigens  ge- 
rade gegenüber.  Sie  heisst :  „Diese  Beobachtungen  geben,  wie  mich  dttnki, 
einer  in  allen  Gegenden  des  hohen  Nordens  allgemein  verbreiteten  Mei- 
nung viel  Wahrscheinlichkeit,  dass  man  nämlich  bei  sehr  lebhaften  Noid- 
Kchtem  ein  Brausen  höre ,  welches  manchmal  sehr  stark  werde.   Ich  wein 
hinlänglich,  wie  wenig  Vertrauen  Aussagen  des  Volkes  dienen,  welche 
durch  Furcht  eingegeben,  oder  durch  den  täuschenden  Schein  schneller 
Bewegungen  veranlasst  sein  können.     Ich  für  meinen  Theil  nehme  kei- 
nen Anstand  zu  erklären ,  dass  man ,  wenn  man  die  Sache  ohne  Vorartheil 
untersucht,  bei  der  so  auffallenden  Uebereinstimmung  der  Zeugnisse  nieht 
umhin  könne ;  an  das  Brausen  des  Nordlichtes  als  Thatsacbe  zu  glauben.^ 
Und  Biet  gehört  zu  denen,  welche  viel  Nordlichter  gesehen  haben;    er 
lebte  zur  Bestimmung  der  Länge  des  Sekundenpendels  eine  Zeitlang^  auf 
den  Shetlands- Inseln.    Was  nun  den  Kern  der  obigen  Stelle  von  v.  Hum- 
boldt betrifft,  so  ist  e&  meiner  Ansicht  nach  sehr  zu  beklagen,  dass  die 
Elektrometer,   welche  bei  den  stärksten  Nordlichtern  keine  Verändemng 
im  Zustande   der  Luftelektricität  wahrnehmen  Hessen,  sidlier  sehr  wenig 
empfindlich  waren.     Meine  Beobachtungen  vom  1.  October  1858**)  b&brn 
das  Gegentheil  dargethan.     Die  mir  bekannte  Einwirkung  der  Nordlicliter 
auf  Telegraphendräthe  Hess  mich  den  Erfolg  vorhersehen.  Auch  Sehfibler 
beobachtete  schon  1817,  dass  in  den  Tagen  nach  dem  Erscheinen  eines  Nord- 
lichtes die  -f- Elektricität  schnell  stieg  und  eine  Stärke  zeigte,  wie  sie  die- 
selbe sonst  nur  bei  strenger  Winterkälte  hat.  Die  Beobachtung  Schfibler's 
fand  ferner  Buzorini  nach  den  Nordlichtern  am  25.  und  26.  Januar  und 
18.  Februar  1837  vollkommen  bestätigt ,  und  im  November  jenes  Jahres ,  su 
welcher  Zeit  fast  kein  Tag  verging,  wo  nicht  diese  Erscheinung  stattfand, 
in  solchem  Grade,  dass  die  4- Elektrizität  das  Ooldblatt  des  Elektrometers 
häufig  entzwei  riss  und  die  Wetterstange  mehrere  Mal   kleine  Fnnkea 
gab***).     Stark  fand  (nach  dem  meteorologischen  Jahrbuch  vom  Jahr 
1831)  während  des  Nordlichtes  am  30.  August  die  Luftelektricität^ so  atark, 


?)  Annalen  der  Physik  von  Gilbert.   Jahrgang  1821,  1.  StOek,  8.  31. 

*♦)  PogfJT.  Annalen,  Bd.  HO,  S".  332  ff. 

***)  Luftelektricität,  Erdmagnetisiuus  und  Krankheits-Cousitutiou.   Von  L.  Bu- 
zuiiui.    Uellovue  1841,  S.  12. 


Kleinere  Hiilheiliingeii«  277 


daas  sein  Elektrometer  swei-  bis  dreisdllige  Fnnken  mit  +  Elektricität 
gab.  Alles  dies  stimmt  mit  meinen  genauen  Mossongen  so  weit  ttberein, 
als  icb  constatiren  konnte,  dass  ein  schwaches  Nordlicht  den  +elek* 
irischen  Znstand  der  LuftelektriciUit  bedeutend  erhöht.  Unter  den  Ge- 
nannten verdienen  Schübier  nnd  Bnzorini  alles  Vertrauen. 

Der  weitläufige  Aufs&ts  von  Biot  über  das  Nordlicht  enthält  der 
Oröttde  für  die  magnetisehe  Theorie  (meist  sind  sie  von  Dalton  entlehnt) 
so  viele,  welche  sich  selbst  widerlegen,  dass  darüber  nur  wenig  gesagt  zu 
wrrden  braucht;  so  der  von  der  Lage  der  Corona,  von  dem  Biot  8.  12  der 
erwähnten  Abhandlung  sagt:  „Doch  darf  man  dieses  nicht  für  ein  voll- 
kommenes und  unabänderliches  Zusammenfallen  nehmen,  denn  es  zeigen 
sich  davon  häufige  Abweichungen  in  den  Beobachtungen.' '  Und  das  ist 
natürlich,  da  ja  manche  Nordlichter  eine  Verschiebung  am  Horizonte  wäh« 
rend  ihres  Verlaufes  wahrnehmen  lassen.  Zur  Erklärung  des  Vorhanden- 
seins metallischer  Theile  in  der  Atmosphäre  nimmt  er  in  den  Nordlicht- 
gegenden eine  Menge  thätiger  Vulkane  an,  die»  wie  wir  jetzt  genau  wis- 
sen ,  gar  nicht  vorhanden  sind«  Und  endlich  muss  auch  er  zur  Erklärung 
der  Strahlen  die  Elektricität  zu  Hilfe  nehmen. 

Die  magnetische  Theorie  soll  zwei  Hauptgründe  für  sich  haben ,  auf 
die  wir  daher  genauer  eingehen  müssen :  1)  dass  das  Nordlicht  auf  die 
Magnetnadel  wirkt,  und  2)  dass  es  am  häufigsten  sich  zeigt,  wo  der  Erd- 
magnetismus am  stärksten  ist. 

Den  ersten  Grund  in  Verbindung  mit  der  Thatsache,  dass  nicht  mag- 
netische Nadeln, ^z.  B.  kupferne,  völlig  in  Ruhe  bleiben,  hält  Biot  für  ge- 
eignet, die  wirklich  magnetische  Natur  des  Phänomens  ausser  allen  Streit 
zn  setzen*  Aber  darauf  ist  zuerst  zu  erwidern ,  dass  die  magnetische  An- 
sicht diesen  Grund  angenommen  hat,  ohne  die  Wahrheit  desselben  jemab 
anders  bewiesen  zu  haben,  als  durch  gleichzeitiges  Eintreffen  des  Nord- 
lichtes und  der  Abweichung  der  Nadel.  Dabei  denke  man  an  den  Eingang 
der  Heberschen  Erzählung  vom  Maulwurf  und  hüte  sich  wohl,  ohne  Wei- 
teres aus  dem  gleichzeitigen  Eintreten  zweier  Erscheinungen  auf  ihren 
Causalnexus  zu  schliessen.  Denu  man  kann  sich  sehr  wohl  denken,  dass 
beide  Erscheinungen  eine  gemeinschaftliche  Ursache  haben ;  dass  sie  beide 
Wirkungen  des  Erdmagnetismus  sind.  Die  Modification ,  welche  der  Erd- 
magnetismus annehmen  muss,  um  das  Nordlicht  zu  erzeugen,  kann  ja  auch" 
die  andere  mit  herbeiführen.  Jene  Modification  ist  nach  der  Voraussetzung 
eine  Steigerung  der  erd magnetischen  Kraft,  und  dafür  soll  auch  die  Er- 
fahrung sprechen,  z.  B.  von  Hansteen  gemacht,  dass  in  jenen  Gegenden, 
wo  Nordlichter  sich  zeigen,  kurz  vor  ihrem  Erscheinen  der  Erdmagnetis- 
mus an  Intensität  sich  steigert.  Das  Nordlicht  soll  ja  ein  Ausströmen  des 
Erdmagnetismus  sein.  Die  Modificatjon  des  Erdmagnetismus  aber ,  welche 
im  Stande  sein  soll ,  der  Nadel  eine  andere  Richtung  zu  geben ,  kann  keine 
andere  sein,  ah»  eine  Abänderung  in  der  Vortheilung  der  erdmagnetischen 


278  Kleinere  MitUicilungoii. 

Krafti  Wenn  nun  jene  Gegenden  der  Nordlichter  an  Kraft  gewinnen ,  so 
müssen  andere  Gegenden  verHeren;  also  ist  mit  der  loealen  Steigerung  der 
erdmagnetischen  Kraft  eine  Aenderang  in  der  Yertheilnng  verbunden  nod 
dadurch  oline  Nordlicht  die  Abweichung  der  Nadel  erklärt. 

Aber  dagegen  kann  man  sagen ,  dass  die  locale  Steigerung  des  Erd- 
magnetismus zur  Zeit  der  Nordlichter  doch  einen  Grund  haben  müsse  und 
dieser  kein  anderer  sein  könne ,  als  eine  Aendernng  der  Wftrmevertheilnng 
anf  der  Erdoberfläche.  Und  in  der  That  spricht  auch  dafSr  das  Factum, 
dass  die  Nordlichter  am  häufigsten  sich  zeigen  zur  Zeit  der  Tag-  und 
Nachtgleichen.  Die  Aenderang  der  Wärmevertheilung  findet  aber  gani 
alimälig  statt,  also  gewiss  auch  die  Zu*  und  Abnahme  des  Erdmagnetis- 
mus in  jenen  Gegenden ,  wenn  sie  stattfindet.  Auch  soll  die  Zunahme  der 
magnetischen  Intensität  den  Nordlichtern  vorausgehen.  Danach  mttsste 
sich  auch  die  Aenderung  in  der  Richtung  der  Nadel  langsam  einstellen  und 
den  Polarlichtern  vorangehen.  Die  Aenderung  in  der  Richtung  der  Nadel 
wäre  ein  Vorbote  der  Nordlichter,  welche  erst  dann  eintreten  könnten, 
wenn  die  Nadel  das  Ma^cimum  der  Abweichung  erreichte.  Das  ist  aber 
nicht  der  Fall,  vielmehr  tritt  diese  Abweichung  ebenso  plötzlich  ein,  wie 
das  Nordlicht  und  mit  dieaem  gleichzeitig ,  und  dadurch  iet  in  der  That  die 
Ansicht  gerechtfertigt,  dass  das  Nordlicht  die  Ursache  der  Bewegung  dtf 
Nadel  sei ,  aber  noch  nicht  die  Ansicht  von  der  magnetischen  Natur  des 
Nordlichtes.  Wie  aber  der  Causalnezus  zwischen  Nordlicht  und  der  Be* 
wegung  der  Nadel  zu  denken  sei,  das  hat  die  magnetische  Ansicht  nie 
sagen  können.  Die  Fortschritte  der  Physik  haben  uns  bisjetzt  nichts  davon 
gesagt ,  dass  blosses  Licht  einen  Körper  in  Bewegung*  setzen  könne,  und 
am  wenigsten  einen  Körper ,  der  vom  Lichte  gar  nicht  getroffen  wird.  Die 
elektrische  Ansicht  vom  Nordlicht  giebt  ab,er  an^  wie  das  Nordlicht  die 
Bewegung  der  Nadel  erzeugt ,  und  zwar  gestützt  auf  die  Resultate  neuerer 
Forschungen.  Ferner  ist  die  magnetische  Ansicht  ganz  ungenügend,  inso- 
fern sie  gar  nicht  nachweisen  kann,  wie  das  Nordlicht  durch  den  Erdmag- 
netismus erzeugt  wird.  Der  Funke,  welchen  wir  jetzt  dem  Magneten  ent- 
locken ,  entwickelt  sich  unter  solchen  Umständen ,  dass  uns  jene  Handhabe 
fehlt,  dieselben  auf  die  Ableitung  des  Nordlichtes  aus  dem  Erdmagnetis- 
mus anwenden  zu  können.  Die  elektrische  Theorie  vermeidet  dieae  Schwie- 
rigkeit, indem  sie  das  Nordlicht  für  eine  Erscheinung  ganz  anderen  Ur- 
sprungs hält. 

Was  den  zweiten  Grund  für  die  magnetische  Theorie  betrifft,  so  wird 
das  Zusainmenvorkommen  im  Räume  wohl  für  den  Causalnexns  der  Er- 
scheinungen ebensowenig  beweisen ,  wie  das  Zusammentoeffien  in  der  Zeit. 
Uebrigens  weist  die  elektrische  Theorie  den  Grund  nach  für  das  HauptYor- 
kommen  der  Nordlichter  in  kalten  Gegenden. 

Gehen  wir  nun  den  Weg  der  Erfahrung,  so  werden  wir  auf  dem  Stand- 
punkte der  elektrischen  Hypothese  eine  genügendere  Ansieht  über  die  ISzt- 


Kleinere  Mittheilungcn.  279 

Biehoog  der  Polarlichter  gewinnen.  Haken  wir  einstweilen  die  neuent- 
deckte Thatsache  fest,  dass  das  Nordlicht  in  Telegraphendräthen  einen 
elektrischen  Strom  erzeugt»  so  ist  uns  eine  Brücke  gebaut  durch  die  andere 
Entdeckung  neuerer  Zeit,  dass  elektrische  Ströme  auf  die  Magnetnadel 
wirken,  dass  alaO  die  Bewegung  der  Nadel  bei  einem  Nordlicht  waLr^ 
scheinlicb  mittelst  der  voji  diesem  hervorgerufenen  Ströme  bewirkt  werden. 
Kommt  dasu  noch  die  andere  Erfahrung,  dass  Gewitter,  welche  entschie- 
den elektrischen  Ursprungs  sind ,  ebenfalls  in  solchen  Drftthen  Ströme  er- 
zeugen, so  werden  wir  geneigt  8ein>  das  Nordlicht  auch  für  eine  elektrische 
Erscheinung  su  halten. 

In  der  neueren  Zeit  sind  Phänomene  beobachtet  worden,  welche  mehr 
oder  weniger  Aehnlichkeit  mit  dem  Nordlichte  und  nachweislich  ihren  Ur- 
sprung in  der  atmosphärischen  Elektricität  hatten.  Wir  müssen  einige  der* 
selben  beschreiben. 

Dr.  Schneider  beschreibt  in  Pogg.  Annalen,  Bd.  98,  S.  324—333 
swei  derselben*  Wir  theilen  die  Beschreibung  des  zweiten  im  Auszug^ 
mit.     Er  sagt: 

„Am  sehr  heissen  5.  Juli  1845  wurde  gegen  0  Uhr  Abends  nach  einem 
«ehr  heftigen  Gewitter,  welches  von  einer  starken  Hagelschauer  bereitet 
war,  nachdem  sich  das  Wetter  abgekühlt  hatte  und  die  Luft  wieder  klar 
geworden,  nach  S  hinter  dem  Hügekuge,  auf  welchem  die  Stadt  Nimwegen 
liegt,  noch  eine  Gewitterwolke  beobachtet,  die  von  SO  nach  SW  zog,  und 
hinter  welcher  ein  ferner  Donner  sich  hören  Hess.  Von  dieser  Wolke  als 
Mittelpunkt  am  Horizonte  breitete  sich  eine  fächerförmige  Figur  fast  Clber 
die  Hftlfte  des  ganzen  Firmamenta  aus;  der  Himmel  war  mit  einem  feinen 
Nebelschleier  ganz  überzogen.  Dieser  feine  Dunstschleier  zeigte  sich  bei- 
nahe in  einem  Halbkreise  um  die  oben  genannte  Wolke  völlig  verschwun- 
den, so  dass  an  diesem  Theile  das  blaue  Firmament  sichtbar  war.  Von 
dieser  Stelle  als  Mittelpunkt  gingen  nach  verschiedenen  Richtungen  zahl- 
reiche Strahlen  aus,  die  dadurch  entstanden,  dass  auch  hier  der  Nebel- 
donst  verschwunden  war  und  das  dahinter  befindliche  Blau  des  Himmels 
xam  Vorschein  kam ,  so  dass  also  die  strahlige  Figur  duroh  das  in  der  bo" 
zeichneten  Weise  hervortretende  blaue  Firmamnnt  gebildet  wurde  ^  wäh- 
rend der  ganze  übrige  Theil  von  jenem  Nebelschleier,  in  welchem  die  be- 
aagte  Figur  sich  gleichsam  ausprägte  ^  bedeckt  blieb.  Die  Streifen  reichten 
aas  der  Nähe  des  Horizonts  noch  einige  Grade  über  das  Zenith  hinaus; 
«ie  waren  an  den  Seiten  geradlinig  begrenzt  untl  an  den  Bändei-n  zeigte 
äch  eine  stärkere  Anhäufung  des  Nebeldunstes.  Das  ganze  Phänomen 
wurde  etwa  10  Minuten  beobachtet;  eine  Lufterscheinung  war  damit  n»hi 
verbunden.  Obgleich  die  Convergenz  der  Strahlen  nach  dem  Mittelpunkte 
der  Wolke  nur  als  Folge  der  Perspective  zu  betrachten  ist,  so  spricht  sich 
doch  der  innige  Znsammenhang  beider  dadurch  aus,  dass  mit  dem  all- 
mäligen  Fortrücken  der  Wolke  auch  die  Strahlen  ihren  Ort  entsprechend 


280  EJeinere  Mittheilungen. 

veränderten ,  indem  sie  ans  der  Stellang  von  N  naeh  S  nach  nnd  naeli  i& 
die  von  SW  nach  NO  übergingen/^ 

Oallenkamp*)  beobachtete  am  4.  September  1855  in  einem  Hanse, 
dem  Rheinfalle  bei  Sehaffhaasen  gegenüber  liegend,  Folgendes.  Als  er 
Abends  9  Uhr  auf  die  Terrasse  trat,  sah  er  ungefähr  nach  S  aaf  dem  Bodea 
xnhend  am  Horizonte  ein  lichtes  Kreissegment,  dessen  Höhe  etwa  eine 
Vollmondsbreite  und  dessen  Sehne  4  bis  5  Vollmondsbreiten  betrug.  Yoa 
diesem  Segmente  strahlten  fächerförmig  11  bis  13  lichte  Streifen  ans,  yon 
denen  die  beiden  äussersten  anweilen  verschwanden ,  am  dann  wieder  aof- 
zuleuchten  und  die  Zahl  13  zu  bilden.  Die  mittlren  Streifen  gingen  bii 
über  das  Zenith  hinweg.  Im  ersten  Augenblicke  machte  die  Erscheinnng 
den  Eindruck ,  als  wären  die  lichten  Streifen  leuchtende  Nebelstreifen,  die 
dunkeln  dagegen  Theile  des  blauen  Himmelsgrnndes;  aber  dies  erwies  sieh 
bald  ald  Täuschung ,  denn  in  den  lichten  Streifen  zeigten  sich  bald  belle 
Sterne ,  in  den  dunkeln  kein  einziger  Stern.  Das  ganze  Phänomen  zeigte 
längere  Zeit  keine  Bewegung.  Die  einzelnen  Sterne  verschoben  sich  Ter- 
möge  der  Himmelsdrehung  gegen  die  Streifen.  Sobald  ein  Stern  an  die 
Grenze  zwischen  einem  dunkeln  und  hellen  Streifen  trat,  zeigte  er  ein 
auffallendes  Schwanken  und  plötzliche  Veränderungen  der  Lichtstärke,  die 
sich  bis  zu  abwechselnd  hellem  Aufleuchten  und  gänzlichem  Unsichtbar- 
werden  steigerten,  bis  der  Stern  im  dunkeln  Streifen  verschwand.  Die- 
selben Erscheinungen  in  umgekehrter  Reihenfolge  traten  ein,  wenn  eia 
Stern  aus  einem  dunkeln  Streifen  in  einen  hellen  Überging.  Nach  einer 
halben  Stunde  hatte  sich  das  lichte  Kreissegment,  welches  die  Basis  der 
ganzen  Erscheinung  bildete ,  und  mit  ihr  die  ganze  Figur  merklich  nach 
Osten  verschoben,  ohne  dass  Form  oder  Lichtstärke  sich  merkbar  ver- 
ändert hatten.  Nach  anderthalb  Stunde  war  das  ganze  Phänomen  über 
die  Breite  des  Rheines  auf  das  rechte  Ufer  vorgeschritten.  Mit  dem  wei- 
teren Fortrücken  trat  allmälig  eine  derartige  Formänderung  ein,  dass  die 
einzelnen  Streifen,  welche  anfangs  ungefähr  Bogen  grösster  Ejreise  waren, 
in  30*^  bis  35*^  Abstand  vom  Segmente  eine  nach  Osten  gewandte  Biegnng 
annahmen,  welche  sich  so  vergrösserte ,  dass  endlich  Sicheln  entstanden. 
Nach  10  Uhr  fingen  die  Streifen  an,  wieder  scharf  begrenzt  zu  erscheinen, 
gleichsam  zu  zerbröckeln,  zu  zerfahren.  Gegen  10^^  Uhr  redncirte  sich 
die  Erscheinung  mehr  und  mehr  auf  die  Basis  und  auf  zerstreute,  schwach 
leuchtende  Wölkchen,  bis  auch  diese  verschwanden.  Von  9  bis  10  Uhr  war 
das  Licht  in  den  mittleren  Streifen  mindestens  so  hell ,  als  beim  heitersten 
Himmel  die  Milchstrasse ;  in  den  äusseren  war  es  geringer.  Plötzliche  Aen- 
derungen  der  Lichtstärke  kamen  nur  einige  Male  vor.  Von  9  bis  9%  Uhr 
nahm  die  Intensität  wenig  zu ,  blieb  bis  10  Uhr  constant  und  nahm  dann 
ab.     Die  Farbe  des  Lichtes  war  gelblich,  zuweilen  mit  einem  leichten  An- 


*)  Pogg.  Annalen,  Bd.  CHI,  8.  173  ff. 


Kleinere  Hittbeilungen.  281 

flöge  TOD  roth.  Die  Lnft  war  dabei  sehr  mild  und  angenehm.  Seit  dem 
Mittag  des  4,  September  war  der  Himmel  mit  einem  Dunstschleier  bedeckt 
gewesen ,  während  der  Vormittag  sehr  schön  klar  gewesen  war.  Der  Mor- 
gen des  5.  September  war  klar,  wenn  auch  der  Himmel  nicht  rein  blan, 
sondern  weisslich.    Gegen  Mittag  desselben  fiel  heftiger  Gewitterregen. 

Nach  der  Beschreibung  einer  verwandten  Erscheinung  im  110.  Bande, 
S.  335  und  336  von  Pogg.  Annalen  von  Schneider  fügt  der  Verfasser  die 
Anmerkung  hinzu :  „Ich  enthalte  mich  vorläufig  jedes  Erklärungsversuche» 
und  bemerke  nur,  dass  die  Erscheinung  mit  den  von  mir  und  Gallenkamp, 
sowie  mit  den  von  Arago  in  der  Abhandlung  ttber  Donner  und  Blitz,  und 
von  Mnncke  in  Gehlen's  physikalischem  Wörterbuche  unter  „Nordlicht*^ 
beschriebenen ,  sowie  in  Kastne'r^s  Meteorologie  II ,  S.  524, 588  angezogenen 
Phänomenen  in  ein  und  dieselbe  Klasse  gehört.  Man  hat  diesen  der  Luft* 
elektricität  angehörigen  Lichtmeteoren  nicht  die  ihnen  zukommende  Auf- 
merksamkeit gewidmet,  vielmehr  dieselben  ga»  häufig  mit  dem  eigentlichen 
Nordlicht  verwechselt,  obgleich  nicht  zu  bezwetfeln  ist,  dass  wir  eine  eigene 
Klasse  tob  Elektrometeoren  vor  uns  haben,  deren  genaueres  Stadium  mit 
einer  künftigen  Theorie  des  Gewitters  (und  des  Nordlichtes,  füge  ich  hinzu) 
in  naher  Beziehung  steht. 

Wir  müssen  den  voranstehenden  Beschreibungen  noch  eine  beifügen, 
welche  sich  im  37.  Bande  der  Wiener  Akademie  -  Berichte ,  S.  575 — 500  fin- 
det. Herr  Tschudi  giebt  hier  Beobachtungen  und  Erörterungen  über 
eine  elektrische  Lichterscheinung,  welche  vor  ihm  schon  Moesta,  der 
Director  der  Sternwarte  zu  Santiago,  Mejen,  v.  Bibra  und  Philipp! 
beschrieben.  Zwar  nennt  er  Moesta  nicht,  aber  die  von  diesem  gelieferte 
Beschreibung  gilt  wohl  demselben  Phänomen.  Nach  Tschudi  berichten 
Mejen  and  v.  Bibra  irrthfimlich  in  mancher  Beziehung.  Beide  behaupten, 
gestützt  auf  Volksglauben*),  die  Lichterscheinung,  welche  sie  in  den  Cor- 
dilleren  Südamerikas  beobachteten,  komme  vom  Aufblitzen  glühender 
Lava  in  den  dortigen  Vulkanen.  Nach  Beseitigung  der  falschen  Ansicht 
geht  der  Verfasser  zur  Beschreibung  der  Erscheinung  und  zur  Darstellung 
ihrer  Theorie  über.  Das  Licht  ist  dem  Wetterleuchten  sehr  ähnlich.  Es 
zeigt  sich  besonders  in  den  Berggegenden.  In  seltner  Schönheit  sah  er  es 
vom  Plateau  von  Guraguara  im  boHvischen  Hochlande  über  der  Kette  des 
IlHmani.  Nach  den  genauesten,  jahrelangen  Beobachtungen  beginnt  es 
bald  nach  Sonnenuntergang  und  dauert  nur  selten  bis  über  Mitternacht 
hinaus.  Von  Santiago  und  Valparaiso  ans  wird  es  nur  in  den  Monaten  vom 
November  bis  April,  am  stärksten  vom  Januar  bis  März  beobachtet;  höchst 
selten  in  den  übrigen  Monaten.  In  der  grössten  Ausdehnung  der  Cor- 
dilleraa  von  Chile,  Bolivia  und  Peru  wird  es  während  der  Sommernächte 


*)  Und  darans  Binä  eine  Menge  YerfäUchungen  der  Geographie  der  Cordilleren 
heryorgegan^en.  Pa  Mcy  e  n  einmal  die  Ansicht  hatte ,  wo  das  Leuchten  sich  zeige, 
masse  ein  Vulkan  sein,  so  hat  er  eine  Menge  Vulkane  angegeben ,  wo  keine  sind. 


282  Kleinere  MitthoUnngen. 


gesehen.  Eb  wiederholt  sich  jedoch  nicht  üherall  jede  Nacht«  sjondem  setzt 
oft  eine  oder  ein  paar  Nächte  ans ,  nm  dann  wieder  mit  ernenter  Heftigkeit 
au  beginnen;  ebensowenig  dauert  es  jede  Nacht, gleich  lange.  ▼.  Bibra 
nahm  in  der  Algodon  •  Bai  alle  10  bis  12  Minuten  dasselbe  wahr  mit  einem 
Wechsel  der  Lichtstärke  ebne  alle  Regelmässigkeit«  Hier  schien  es  direct 
hinter  dem  Küstengebirge  auftsutauchen ;  in  Valparaiso,  wo  er  es  vom 
Hafen  aus  sehr  häufig  beobachtete ,  betrug  seine  Höhe  über  dem  Horizonte 
scheinbar  einige  Grade.  Mejen  will  auf  der  Gordillera  bei  dem  Leuchten 
ein  Geräusch  gehört  haben,  wie  entfernte  Kanonensalven ;  v.  Bibra  hat 
nie  ein  Geräusch  yernommen.  Moesta  und  Tschudi  sprechen  von  keinem 
Geräusch,  also  haben  sie  wohl  keins  wahrgenommen;  und  Mejen  ist 
Tschudi  ein  sehr  ungenauer  Beobachter.  'Dass  das  Leuchten  nicht  von 
Vulkanen  herkommen  kann,  zeigt  sich  darin,  dass  es  in  Peru  und  Bolivia 
auch  in  den  Gegenden ,  welche  gänzlich  von  Feuerbergen  entblöast  sind, 
genau  so  gesehen  wird,  wie, in  Chile.  Indem  Tschudi  die  Erscheinung  fnr 
Wetterleuchten  erklärt,  will  er  doch  nicht  unbedingt  der  Ansicht  beipflich- 
ten, dass  jedes  Wetterleuchten  seine  JBntstehung  einem  fernen  Gewitter 
verdanke,  wiewohl  auch  solches  gewöhnliches  Wetterleuchten  oft  dort  vor* 
kommt.  Befindet  sich  der  Beobachter  auf  der  Westseite  der  Gordilleras, 
so  hat  er  nadi  Ost  einen  hohen  Gebirgshorizont ,  über  dem  sich  der  Him- 
mel schon  vollständig  geklärt  bat,  während  die  Gewitterwolken  sich  öst- 
lich vom  Gebirge  und  tiefer  als  der  hohe  Horizont  entladen  und  nur  der 
Reflex  des  Blitzes,  aber  keine  Wolke  mehr  gesehen  werden  kann.  £r  führt 
nun  zwei  Beispiele  an  vom  Wetterleuchten,  die  vom  Blitze  sehr  verschie- 
den waren,  das  eine  von  ihm  in  Brasilien,  das  andere  von  Wittweria 
Baiern  beobachtet;  beide  waren  Gewitter,  in  denen  ein  elektrisehes  Leuch- 
ten nicht  in  Zickzackform,  sondern  als  difi^uses  Licht  auftrat,  in  Brasilien 
aber  mit  Zickzackblitzen  abwechselnd.  Li  einigen  Gegenden  des  west- 
lichen Südamerika  kommen  beim  höchsten  Grade  elektrischer  Spannung 
der  Atmosphäre  doch  nie  Gewitter  vor,  besonders  in  der  Wüste  von 
Atacama.  Beinahe  während  der  sechs  Monate »  vom  Mai  bis  Novemb^,  also 
im  dqrtigen  Winter ,  vermehrt  die  starke  Luftelektricität  die  Beschwerden 
der  Wüstenreise»  Die  geringste  Beibung  der  wollenen  Kleider  verursacht 
das  listigste  Knistern  und  kann  den  Heasenden  in  einen  Zustand  der  höch- 
sten nervösen  Reizung  versetzen.  Zur  Nachtzeit  sind  die  elektriachen 
Lichterscheinuugen  sehr  stark.  An  allen  Fingerspitzen,  an  den  Ohren 
der  Maulthiere  erscheinen  leuchtende  Büschel.  Beim  Absatteln  sprüht 
jedes  Haar  der  Thiere  Feuer.  Die  Trockenheit  der  Luft  ist  dabei  eine 
ausserordentliche.  Die  Fingernägel  werden  so  spröde,  dass  sie  wie  Glas 
abspringen ,  und  init  Gänsefedern  kann  man  nicht  schreiben^  weil  der  Spalt 
gleich  nach  dem  Schneiden  aus  einander  klafft.  Die  Schleimhaut  der  Nase 
und  Lippen  wird  trocken  und  rissig.  Ungefähr  12  Leguas  von  der  Küste 
hören  die  elektrischen  Erscheinungen  wegen  Zunahme  der  Feuchtigkeit 


Kleiner^  MittheHiingen.  289 

aaf.  Thlitsaölie  ist  es,  w&hrend  des  Sommers  eeigt  sich  geringe  elektri- 
fiche  SpaDnuQg  der  Atmosphäre  in  der  Wüs^,  aber  tägliche  heftige  6e- 
wittjBr  in  den  sie  begrenzenden  hohen  Cordilleras.  Im  Winter  ausser-» 
ordentliehe  Lhftelektricität  und  nur  selten  Gewitter  in  den  Cordilleras.  Es 
liegt  also  die  Ansicht  nahe,  dass  die  Elektrieität,  die  sich  durch  die  Winter- 
monate in  der  Wüste  sammelt  und  die  sich  durch  eigenthümliche  atmo- 
sphärische oder  tellurische  Verhältnisse  in  der  Wüste  selbst  nicht  dureb 
Gewitter  entladen  kann,  sich  während  der  Bommermonate  durch  tägliche 
Entladungen  in  den  CordiUeifen  ausgleicht. 

Wenn  nun,  wie  nicht  au  leugnen  jst)  obige  Erscheinungen  so  viele 
Aehnliehkeit  mit  Nordlichtern  haben,  dass  sie  öfter  mit  denselben  ver- 
wechselt wurden,  und  dazu  entschieden  elektrischen  Ursprungs  sind,  sfl^ 
spricht  dies.xuglieich  für  den  elektrischen  Ursprung  des  Nordlichtes»  Zwar 
zeigen  die  beschriebenen  Phänomene  noch  eine  nicht  unbedeutende  Man-» 
nigPaltigkeit  in  ihrem  Auftreten;  allein  diese  ist  auch  bei  Nordliehtexa 
wahrzunehmen«  Das  Strahlige  vermisst  Moesta  auch  bei  der  zuletzt  be- 
schriebenen nicht,  obgleich  die  anderen  Beobachter  nicht  davon  reden« 
Dass  diese  Erscheinung  als  ein  gewöhnliches  Gewitter  zu  betrachten  sei, 
wie  Tschudi  meint,  ist  unsere  Ansicht  nicht,  die  wir  indess  weiter  unten 
erst  andeuten  können. 

Es  ist  noch  ein  Punkt  zu  besprechen,  welcher  für  unsere  Theorie  von 
grosser  Bedeutung  ist.  Man  versäumt  bei  Besprechung  atmosphärisch- 
elektrischer  Erscheinungen  gar  zu  häufig,  hier  einen  Unterschied  im  Auge 
zu  behalten ,  durch  dessen  Vernachlässigung  die  grösste  Verwirrung  ent« 
steht.  Das  ist  der  Untei^schied  zwischen  Luft-  und  Wolkenelektricität« 
Man  sollte  den  Ausdruck  „Mmosphärische  Elektrieität"  nur  dann  gebrau- 
chen, wenn  von  keiner  der  beiden  Arten  bestimmt  die  Bede  ist.  Verwech- 
selt man  aber  das  Genus  mit  der  Specios ,  so  kann  selbstverständlich  dar* 
aus  nur  Missverstäindniss  hervorgehen.  Luftelektricität  ist  aber  bekannt- 
lieh die  Elektrieität  der  Luftth eilchen,  die  also  immer  oder  fast  immer 
wahrnehmbar  ist  und  zwar  als  +  Elektrieität.  Am  deutlichsten  tritt  sie 
uns  entgegen  bei  heiterem  Himmel;  denn  Wolkenelektricität  kann  danii 
'  von  uns  nur  noch  für  Luftelektricität  gehalten  werden,  w*enn  der  HoriiQoni. 
beschränkt  ist  und  er  uns  die  Wolken  verdeckt,  welche  etwa  noch  stärker 
elektrisch  auf  unsere  Apparate  einwirken  als  diö  Luft.  Ist  der  Simmel 
uar  theil weise  bewölkt,  so  ist  es  allerdings  zuweilen,  aber  nur  selten  der 
Fall,  dass  wir  zweifelhaft  sein  kennten,  ob  das  von  uns  Beobachtete  der 
einen  oder  anderen  Art  angehört.  Wie  wesentlich  es  aber  ist,  den  Unter- 
schied festzuhalten,  will  ich  an  einer  wichtigen,  allgemeinen  Beziehung 
nachweisen. 

Es  wird  öfter  ansgesprochen ,  und  zuletzt  hat  esBecquerel  gethan *)y 

*)  Recherches  sw  l'^leclricü4  de  Vair  et  de  la  terre  etc,    CoinpU  rend  XLIII,  pag, 
ilOl— 1108. 


284  Kleinere  Hittheihingen« 


dass  die  atmosphärisehe  ElektricitlCt  von  den  Tropen  nach  den  Polen  ab- 
nehme. So  allgemein  ansgesproeben ,  ist  der  Sata  gana  nnbegründet.  Aber 
wohl  kann  man  diesen  Satz  von  der  Wolkenelektricität  aossagen;  dagegen 
gilt  von  der  Luftelektricitftt  gerade  das  Entgegengesetste.  Zwar  existiren 
darüber  in  Rücksicht  der  Luftelektricitftt  noch  keine  Beobaehtongen;  aber 
vir  wissen,  dass  bei  uns  die  Lnftelektricitftt  im  Winter  bedeutend  grosser 
ist,  als  im  Sommer,  nnd  dass  sie  in  ausnahmsweise  warmen  Jahren  ge- 
ringer ist  als  in  gewöhnlichen.  Da  nun  bei  uns  der  Winter  ia  allen  Be- 
ziehungen den  Charakter  mehr  nach  den  Polen  gelegenen  Gegenden  ver- 
tritt, der  Sommer  umgekehrt,  so  gut  gewiss  fär  die  LuftelektrieiUU  das- 
selbe, was  für  die  übrigen  Witterungs -Erscheinungen  naefagewiesen  ist, 
umsomehr ,  da  wir  den  Zusammenhang  dieser  Erscheinungen  und  ihre  ge- 
meinsame Abhängigkeit  von  der  Wärmevertheilung  kennen.  Dass  die 
Wolkenelektricität  abnimmt  nach  den  Polen  hin,  sieht  man  daraus,  dass 
die  Zahl  der  Gewitter  in  dieser  Richtung  immer  mehr  sich  vermindert. 

Es  sollen  jetzt  noch  einige  Andeutungen  darüber  gegeben  werden,  wie 
ich  mir  den  Vorgang  bei  der  Entstehung  des  Nordlichtes  denke. 

Es  giebt  zweierlei  Gewitter,  Gewitter  der  Wolkenelektricität  und  Ge- 
witter der  Lufteiektricität;  erstere  sind  die  gewöhnlichen,  letztere  nenneo 
wir  Polarlichter ,  wenn  sie  in  den  Polargegenden  sich  zeigen ,  wo  die  Be- 
dingungen ihrer  Entstehung  am  günstigsten  sind.  Erstere  nehmen  also  in 
der  Zahl  ab,  wie  man  sich  vom  Aeqaator  entfernt,  letztere,  wie  man  ihm 
sich  nähert.  Die  Wolken- Gewitter  entladen  sich  mebt  nach  unten,  der 
Erde ;  die  Gewitter  der  Lufteiektricität  nach  oben  in  den  luftverdfinnten 
Raum  der  Atmosphäre.  Die  Entstehung  beider  Arten  von  atmosphäriseher 
Elektricität  kennen  wir  noch  nicht,  ja  wir  kennen  die  Entstehung  der 
Elektricität  überhaupt  noch  nicht.  Aber  das  wissen  wir,  dass  beide  Arten 
von  atmosphärischer  Elektricität  sich  öfter  unter  Bedingungen,  die  vm 
zum  Theil  bekannt  sind,  anhäufen  irgendwo.  Auch  finden  wir  erfahmngs- 
gemäss  neben  den  Stellen  der  Anhäufung  die  Stellen ,  wo  die  Anhäufasg 
nachlässt  und  dann  allmälig  in  den  Gegensatz  umschlägt.  Wenn  dann  die 
Anhäufung  an  irgend  einem  Orte  nnd  deren  Gegensatz  gross  genug  wird, 
so  findet  eine  Entladung  statt,  welche  wir  Gewitter  nennen  oder  Nordliebt 
Zwar  kennen  wir  die  Stellen ,  nach  denen  die  Entladung  beim  Nordliebt 
stattfindet,  die  höheren  Gebiete  der  Atmosphäre  nämlich,  in  der  angegebe- 
nen Beziehung  aus  Ei*fahrung  noch  sehr  wenig.  Aber  das  wissen  wir  doch, 
dass  die  über  einander  liegenden  Luftschichten  öfter  entgegengesetzt  elek- 
trisch sind.  Auch  können  wir  uns  davon  tiberzeugt  halten,  dass  die  heberen 
Luftschichten  schwächer  elektrisch  sind ,  als  die  unteren.  Denn  da  naeb 
allen  Erscheinungen  die  Lnftmoleküle  die  Träger  der  Lufteiektricität  sind, 
so  muss  mit  der  Dichtigkeit  der  Atmosphäre  selbst  auch  die  der  LoA- 
elektricität  nach  oben  abnehmen.  Man  wird  mir  schwerlich  entgegenhalten, 
dass  die  Beobachtungen  das  Gegcntheil  zeigten.  Das  weiss  ich  gar  zu  guij 


Kleinere  Mittheilangen.  285 


aber  ich  bin  fest  ttbersengt,  dass  diese  Zunahme  nieht  weit  hinauf  reicht. 
Aach  hahen  mir  meine  Erfahrungen  die  Aaaieht  aufgedrängt,  dass  die 
Abnahme  in  der  Nähe  des  Bodens  daher  rührt,  dass  die  Luftmoleküle  hier 
mit  dem  Boden  öfter  in  Berührung  kommen  und  diesem  Elektricität  ab- 
geben. 

Warum  entladet  sich  nun  die  Luftelektrieität  nach  oben?  Dafür  giebt 
68  drei  Gründe  noch  ausser  dem  bereits  genannten  der  Abnahme  der  Dich- 
tigkeit, und  diese  sind  besonders  in  Polargegenden  wirksam.  Erstens,  weil 
hier  die  Luftelektricität  aus  klimatischen  Bedingungen  sich  besonders  stark 
anhäuft;  aweitens,  weil  hier  der  Boden  mit.  einer  dicken  Schicht  eines 
guten  Isolators,  des  trockenen  Eises,  bedeckt  ist,  weil  sich  also  im  Boden 
keine  der  Anhäufung  der  Luftelektricität  entsprechende  Vertheilung  bilden 
kann,  oder  weil  es  der  angehäuften  Luftelektricität  nicht  möglich  ist,  das 
cur  Entladung  nach  unten  gehörige  Quantum  entgegengesetater  Elektrici- 
tät heranauaiehen ,  weil  der  Isolator  der  entgegengesetsten  die  Bewegung 
nicht  gestattet ,  um  so  die  Anziehung  au  vergrössem ,  die  sie  endlich  bis 
zum  plötzlichen  Ueberspringen  eines  Funkens  nach  unten  bringen  würde; 
drittens,  weil  ihr  nach  oben  keine  Hindemisse  entgegenstehen,  keine  Wol- 
ken ,  so  dass  sie  zu  ihrer  Entladung  die  Form  des  Ausströmens  wählen 
muss.  Alle  diese  Gründe  sind  thatsächlich  vorhanden.  Thatsachen  sind, 
dass  es  dort  an  scharf  begrenzten  Wolken  mangelt,  dass  trockene  Nebel 
dort  häufig  sind ,  welche  bekanntlich  die  Luftelektricität  bedeutend  stei* 
gern,  dass  die  Nordlichter  fast  immer  in  der  ersten  Hälfte  der  Nacht  sich 
einstellen,  also  au  der  Zeit,  wo  auch  bei  uns  eine  bedeutende  Steigerung 
der  Luftelektricität  vorkommt,  besonders  bei  heiterem  Wetter;  Thatsache 
ist  femer,  dass  die  Nordlichter  am  häufigsten  sind  bei  heiterem  Wetter, 
wo  auch  bei  uns  im  Winter  die  Luftelektricität  am  stärksten  ist. 

Ein  emperschiessender  Strahl  eines  Polarlichtes  wirkt  gerade  so  ver- 
theilend,  wie  eine  elektrisch  geladene  Wolke  auch,  welche  ja,  wie  be- 
kannt, uns  oft  die  Haare  sträuben  macht,  oder  Licht  aus  Hut  und  Fingern 
lockt,  oder  den  Telegraphen  in  Unordnung  bringt,  indem  sie  die  entgegen- 
gesetzte heranzieht  und  die  gleichnamige  zurückstössi  Dass  der  Strahl 
des  Polarlichtes  mit  seiner  Wirkung  weiter  reicht,  ist  natürlich,  da  er  eine 
viel  grössere  Ausdehnung  hat  Denn  wenn  auch  die  Messungen  der  Höhen 
der  Nordlichter  sehr  unsicher  sind,  so  geht  doch  daraus  hervor,  dass  einige 
eine  Höhe  von  mehreren  Meilen  erreichen.  Die  von  Nord  nach  Süd  ge- 
richteten Strahlen  binden  im  Boden  in  der  Nähe  die  entgegengesetzte 
Elektricität  und  treiben  die  gleichnamige  nach  beiden  Seiten,  also  nach 
Ost  und  West,  und  diese  Vertheilungs -  oder  Inductionsströme  erster  Ord- 
nung sind  es,  welche  auf  die  Magnetnadel  wirken;  sie  haben  also,  wie 
man  sieht,  zur  Einwirkung  auf  dieselbe  die  vortheilhafteste  Richtung. 
Wollte  man  entgegensteUen ,  dass  die  Wirksamkeit  der  Strahlen  unmöglich 
so  weit  reichen  könne ,  so  erinnere  ich  an  das  Factum ,  dass  vor  ein  paar 

Zeitschrirt  f. Mathematik  u.  Physik.  VI.  «.  20 


286  Kleinere  Mittlieiinngen. 

Jahren  die  Einwirkvng  eine«  Nordlichtes  aäf  Telegraphettdräthe  im  Wfir- 
tembergischen  wahrgenommen  wurde* 

Nnn  6oli  aber  nicht  gesagt  sein,  dasa  Luftelektrieitftts •  Gewitter  nur 
in  Polargegenden  entstehen  können.  Warnm  sollten  sie  nicht  auch  ander- 
wärts sich  zeigen,  wo  die  Bedingungen  ihrer  Entstehung  alle  oder  theil- 
weise  vorkommen,  nämlich  Isolation  des  Bodens,  Mangel  an  Hindernissen 
der  Ausströmung  nach  oben  und  starke  Entwickelnng  der  Lultelektrtcität? 
Und  in  der  That  scheint  es  mir  keinem  Zweifel  zu  unterliegen,  dass  Er- 
scheinungen, wie  die  beschriebenen,  derselben  Natur  sind.  Denn  anch 
das  von  Tschudi,  Moesta  etc.  beschriebene  Phänomen  wird  immer  über 
den  Bergen  gesehen ,  welche  auch  im  Sommer  zum  Theil  mit  Schnee  be- 
deckt sind.  Hier  ist  also  die  isolirende  Decke  vorhanden  und  die  dflnnea 
Luftschichten  sind  näher.  Ausdrücklich  bemerkt  y.  Bibra,  dass  in  der 
Algodon-^Bai  nie  und  anf  der  Cordillera  bei  Santiago  selten  Gewitter  vor- 
kommen; hier  kann  das  Leuchten  also  unmöglich  von  Gewittern  herrühren. 
Auch  bemerkt  v.  Bibra,  dass  das  Auftreten  beider  Erscheinungen,  nämlich 
des  Gewitters  und  des  strahligen  Leuchtens  über  den  Bergen,  ein  gans 
verschiedenes  sei.  In  der  Wüste  von  Atacama  kommt  nach  Tschudi  nie 
ein  Gewitter  vor,  aber  eine  sehr  starke  Luftelektricität.  Das  Leuchten 
derselben  ist  Nachts  am  grössten,  wie  er  behauptet.  Auch  sah  er  einmal 
Abends  das  Leuchten  über  der  Kette  des  Illimani ,  und  anderen  Morgens 
bemerkte  er,  dass  dort  Alles  mit  Schnee  bedeckt  war.  Das  Alles  spricht 
dafür,  dass  diese  Erscheinung  kein  Gewitterleuchten  ist,  wie  Tschndi 
meint.  Ist  die  Ursache  der  Lnftelektricität  in  ziemlich  bedeutender  Höhe 
wirksam,  so  ist  die  Isolation  des  Bodens  überflüssig,  da  die  nntere  Lnft- 
schiebt  dann  deren  Stelle  vertritt.  Ueberhanpt  lässt  eine  Verschiedenheit 
in  der  Combination  der  Ursachen  auch  eine  Variation  in  den  Erscheinun- 
gen hervortreten.  Auch  lässt  sich  eine  Möglichkeit  des  Znsammenvor- 
kommens beider  Arten  von  Gewittern  nicht  von  vornherein  bestreiten ,  und 
noch  weniger  ein  baldiges  Nacheinander  derselben. 

Die  Geschichte  von  der  Halley-Dalton 'sehen  Theorie  des  Nordliehtei 
lehrt  uns,  dass.  man  auf  diesem  Wege  den  Zweck  nicht  erreicht,  ja  da» 
man  kaum  weiter  kommt.  Die  entgegengesetzte  Theorie  hat  sicher  be- 
deutendere Fortschritte  gemacht.  Wenn  uns  auch  die  Entstehung  des  Erd- 
magnetismus, des  Nordlichtes,  der  Lnftelektricität  noch  dunkel  ist,  so  wer- 
den wir  doch  wohl  thun,  zur.  Erklärung  derselben  den  gemeinsamen  Ur- 
sprung fast  aller  atmosphärischer  Erscheinungen  nicht  aus  dem  Auge  sn 
verlieren,  und  das  ist  die  Wärmevertheilnng  snf  der  Erde.  Je  mehr  die 
Meteorologie  auf  dem  sicheren  Wege  sorgßiltiger  Beobachtung  fortschrei- 
tet, desto  mehr  Licht  wird  auch  in  diese  noch  dunkeln  Partien  fallen. 

Nachtrag.  Es  wird  zweckmässig  sein,  von  Zeit  zu  Zeit  ErgäBsua- 
gen  zum  Aufsatze  Über  die  Theorie  des  Nordlichtes  zu  liefsm,  um  anf 


Kleinere  Mittheilungen«  2S7 

diese  Weise  die  Frage,  ob  die  eine  oder  die  andeire  der  beiden  Hanpt- 
theorien,  oder  vielleicht  eine  dritte  die  richtige  sei,  zum  Absch^nsd  zu 
bringen.  Deshalb  sollen  nnter  dem  obigen  Titel  Lesefrüchte,  neue  An- 
sichten etc.,  mitgetheilt  werden. 

•  .Castren,  der  schwedisehe  Reisende,  sagt:  „Haben  wir  im  bergigen 
Lappland  hohe  Feleengipfel  vor  uns,  so  sind  diese  von  einem  flackernden 
Schefne  umhüllt  Fast  erscheint  es  dem  Auge,  als  erhebe  sich  dieser 
Schein  aus  dem  Felsen  selbst,  wie  die  Flamme  aus  dem  Krater  eines  Vul- 
kans. £r  verbreitet  sich  über  den  ganzen  Himmel,  flackert  einige  Zeit 
and  versehwindet,  um  sich  bald  darauf  wieder  au  erheben  und  zu  ent- 
schweben.*^ 

lieber  Gletscher  wird  von  einem  Unbekannten  berichtet:  „Die  Luft 
über  dem  Gletscher-  und  Firneise  ist  sehr  trocken,  weil  es  wahrscheinlich 
die  Feuchtigkeit  derselben  einsaugt.  Ein  Stück  Fleisch  wird  auf  dem 
Gletscher  in  wenigen  Tagen  so  trocken,  dass  es  nur  noch  ans  Fasern  be- 
steht.    Noch  trockener  ist  es  im  Inneren.'^ 

Lyell,  zweite  Beise  nach  Nordamerika,  sagt  im  2.  Bande,  8.  356: 
„Wir  lernen  aus  der  Geschichte  der  letzten  antarktischen  Expedition  untei: 
Sir  James  Boss  die  höchst  interessante  Thatsache,  dass,  wenn  das  Süd- 
licht über  der  grojsaen  Mauer  des  Kttsteneises  an  den  Ufern  des  antarkti- 
schen Landes  spielte ,  es  gana  deutlich  an  der  unregelmässigen  und  zer- 
rissenen Gestalt  der  Efsklippen,  über  denen  es  schwebte,  Theil  nahtn.** 
Lyell  sah  dasselbe. 

Herr  T.  R.  Robinson  sagt  in  einem  Aufsatze:  y^On  fluorescence  pro- 
duced  by  ihe  aurora''  (Phil.  Mag.  XV,  336 — 327):  „Wenn  man  einen  Tropfen 
von  schwefelsaurem  Chinin  auf  einfer  Porzellanplatte  bei  dem  Lichte  eines 
Nordlichtes  betrachtet,  so  erscheint  dieser  Tropfen  leuchtend  auf  einem 
wenig  leuchtenden  Grunde."  Nach  seiner  Ansicht  soll  also  das  Nordlicht, 
wie  das  elektrische  Licht,  besonders  viel  sehr  breclibare  Strahlen  aus- 
senden, also  stark  fluorescirend  sein.  £r  meint,  es  liege  in  diesem  Gehalt 
an  sehr  brechbaren  Strahlen  ein  neuer  Beweis  für  den  elektrischen  Ur- 
sprung des  Nordlichtes. 

Diese  Stellen  sprechen  also  sSmmtlich  für  die  elektrische  Theorie  des 
Nordlichtes. 


XXIV.  Sie  zweckmäBsigste  Form  der  Zinkeisen  -  8&ule.  Von  Dr. 
F.  Dellmann. 

Seit  einigen  Jahren  brauche  ich  bei  galvanischen  Versuchen  eine 
Form  der  Zinkeisen -Säule,  welche  meines  Wissens  noch  nicht  beschrieben 
ist.  Da  ich  diese  Form  fßr  die  zweckmässigste  halten  muss  für  Versuche, 
welche  nur  einige  Stunden  oder  noch  kürzere  Zeit  danern,  und  zweck- 
mässiger, als  jede  andere  Säule  ist,  so  will  ich  mir  erlauben,  hier  eine 
kurze  Beschreibung  derselben  zu  geben. 

Das  Eisen  ist  Gusseisen  und  wird  angewendet  in  Form  von  cylinder- 


288  Kleinere  Mittheiliingen. 

förmigen  Bechern,  dn»  Zink  ebenfalls  in  Form  ron  Cylindem,  aber  ohne 
Boden.  Der  Zinkcjlinder  hat  einen  etwas  kleineren  Durchmesser,  als  der 
Eisencylinder,  so  dass  ersterer  leicht  in  letzteren  hineingesetzt  werden 
kann.  Auf  deu  oberen  Kand  des  Zinkcylinders  ist  ein  kleiner  Messing- 
cjlinder  gelöthet  mit  dem  unteren  Ende.  In  der  Mitte  etwa  (der  LiDge 
nach)  ist  dieser  durchbohrt  zur  Aufnahme  des  Foldrathes ,  welcher  fest- 
geklemmt wird  durch  eine  Schraube,  die  vom  oberen  Ende  ans  in  der  Rieh- 
tung  seiner  Acbse  auf  die  Queröffnung  führt«  Der  Zinkcjlinder  ist  natür- 
lich blos  cjlinderformig  gebogen,  nicht  gelöthet,  weil  dies  nicht  nöthig 
ist;  auch  ist  er  etwas  niedriger,  als  der  Eisencylinder.  An  diesen  wird  der 
Poldrath,  welcher  zu  diesem  Zwecke  etwas  platt  geklopft  ist  an  einem 
Ende,  mit  einer  Klemmschraube  oben  am  Rande  der  Aussenseite  befestigt 
Die  Stelle,  wo  der  Drath  angelegt  werden  soll,  muss  mit  der  Feile  vor 
jedem  Versuch  grreinigt  werden« 

Beim  Gebrauche  nun  wird  der  Zinkcjlinder  frisch  amalgamirt,  daon 
mit  einem  Stück  Papier  umwickelt,  welches  so  gross  genommen,  dass  es 
oben  und  unten  etwas  einwärts  umgeschlagen  werden  kann ,  in  den  Eisen- 
becher gestellt  und  verdünnte  Schwefelsäure  (etwa  6  Gewichtstheile  Wasser 
und  1  Theil  concentrirte  Säure)  hineingegossen.  Di«  Wasserstoff- Ent- 
wickelung  ist  nach  einer  Stunde  immer  noch  gering  und  durchaus  nicht  be- 
lästigend, Die  Hauptsache  aber  ist,  dass  eine  solche  Säule  einen  starken 
Strom  giebt,  sehr  billig  und  äusserst  leicht  in  der  Handhabung  ist.  Beim 
letzten  Gebrauche  habe  ich  mir  die  Mühe  genommen,  sie  mit  einem  GroTc'- 
schen  Elemente  zu  vergleichen.     Hier  ist  das  Resultat. 

Grove'sche  Säule:  Platin  90"»"  breit,  178™  lang;  Zink 88~  breit, 
nS^^  lang;  Ausschlag  an  einer  Weber^schen  Tangentenboussole  anfsn^ 
e3^  nach  einer  guten  Stunde  62 \  —  Zinkeisen-Säule:  Eisencylinder 
120"~  hoch,  innerer  Durchmesser  80""»;  Zinkplatte  |01"»"  breit  (Höhe  des 
Cylinders),  194"»»»»  lang;  Ausschlag  an  derselben  Boussole  anfangs  58*,  nach 
einer  guten  Stunde  61*. 

Hier  verhielten  die  Zinkplatten  beider  Elemente ,  welche  fast  gleich 
starke  Ströme  gaben ,  sich  also  ungefähr  wie  5  zu  6*  Nun  war  das  Zink 
der  zweiten  Säule  nach  fast  gleich  langem  Gebrauche  allerdings  etwas 
stärker  angegriffen.  Dagegen  roch  man  nach  der  zweiten  Stunde  noch 
ganz  gut  die  salpetrige  Säure,  welche  die  Grove^sche  Säule  entwickelt 
hatte;  vom  Wasserstoff  spürte  man  gar  nichts.  Die  Eisenbecher  braucht 
man  sich  nicht  sehr  stark  giessen  zu  lassen,  sie  halten  doch  lange.  Die 
Wände  der  meinigen  sind  nur  wenige  Millimeter  dick.  Am  Eisen  braucht 
man  ausser  je^ner  Stelle  zum  Anlegen  des  Poldrathes  nichts  zu  reinigen. 

Der  Strom  dieser  Säule  ist  offenbar  so  stark,  weil  der  Thoncylinder 
fehlt.  Das  Eingiessen  der  Flüssigkeit  ist  äusserst  bequem.  Man  vermeidet 
das  Zerbrechen,  M^eil  weder  Glas,  noch  Kohle,  noch  Thon  gebraucht  wird. 
Und  billiger  lässt  sich  gewiss  keine  Säule  herstellen.  Das  oben  beschrie- 
bene Element  kostet  mir  noch  keine  10  Silbergroscheu,  das  Grove'sche  da- 
gegen 5  Thaler. 


xn. 

Zur  Theorie  der  bestinmiten  Integrale. 
Von  Dr.  A.  Ennepeb, 

Docent  an  der  Universität  Göttingen. 


I. 

Die  Oleichnng 


i\  /       cos  zu 

^^  ^=J(i  +  u«)>»+t^^ 

0 
nach  z  differentiirt  giebt : 

SP  CO         ' 

oz         J  .    (!  +  !/•)*+*  2n./  du{l  + 

0  0 

Dnrch  partielle  Integration  folgt  hieraas : 

dy z     r^ cos  zu 

Tz        W  (T-M*)"     ' 


du. 


0 
oder,  da 


3*y  ■  i  cos  zu    ^ 


0 
80  erhält  man  für  y  die  Differentialgleichung : 

^*y        ^y 

Es  wird  natürlich  vorausgesetzt,  dass  n  eine  positive  Zahl  sei. 

Für  y=:p.  «211+1 

geht  die  Oleichnng  2)  in  folgende  über : 

Znr  Integration  dieser  Gleichung  nehme  man : 

P=  f  e-'^Fdu, 
a 

ZoiUchrift  f.  Mathematik  u.  Physik.  VI,  5.  21 


290  Zur  Theorie  der  beBtimmten  Integrale. 


wo  V  eine  Function  von  u  bedeutet.    Die  Gleichung  3)  geht  dann  fiber  in: 

/ 

4)  /«— »rj«(M*.  -  l)—2{n  +  i)u\du  =  0. 

a 
Durch  partielle  Integration  folgt: 

/e-«'Fz(w«— l)aii  =  —  ^(««-OrAe— «a« 

a  a 

==— j  («*—!)  ^«-"1^  +Je-'"\itJ'—i)^  +  2ru\du. 

a 
Hierdurch  wird  die  Gleicfaang  4) 

„.,.-,»-i:./-i.-,«-....i.., 

a 
d.  h.: 

d  V 

du 

oder 

F=(fi«— 1)» 

j(„t_l)«+ig-«z['^^0. 
Der  Ausdruck 

verschwindet  für  u  =  1  und  «  ==  oo.     Nimmt  man  also  «  =  1  und  /5  =  Qc, 
so  ist: 

1 
ein  Integral  der  Gleichung  3).     Da  y  =j»  .  2^''+^  so  wird: 


1 

_  ^aw+i  e-'je""  ii"  (2+«)»  a« 
0 

00 


Von  Dr.  A.  Ennepbr.  291 


Nimmt  man  ferner 

p=  le''''  Vdu, 


,=/;. 


so  geht  die  Oleichang  3)  über  in : 

/«••*r}(tt*— i)z+2(n+i)iijati  =  o. 

Wendet  man  wieder  das  obige  Verfahren  an,  so  folgt: 

jc-*r(i— M«)j^=o 

^(1— ti«)  +  2nfiF  =  0, 
d.  h. : 

r=(i— ««)« 

|e«'«-(i— tt«)»+j|    =0. 

Der  Ansdmck 

e««(i_u«)«+i 

▼erschwindet  fftr  u  =  —  1  und  m  =  1.     Nimmt  man  also  a  =  —  1 ,  j3  =  i, 
so  ist 

1 

p= /e**(l  — w«)«au 

Qnd 

1 

y  ===  «211+1  j^nz  (1  __,^)ii  ^„ 

ein  zweites  Integral  der  Gleichung  2).     Bezeichnet  man  die  beiden  parti- 
cnlären  Integrale  der  Differentialgleichung: 

oz^  dz 

durch  pi  und  y^^  so  hat  man: 

00 


y,  =  «2«+i /e-«i«(u«—i)«att  =  «-*/«-•  tt»(u+2z)« an 

1  0 

1  I 


-1  0 

Von  diesen  beiden  Integralen  verschwindet  y^  mit  z ,  während  pi  für  z  =  0 
einen  constanten  Werth  annimmt.     Da  nun  auch 

21  » 


292  Zar  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 


OD 

0+^ 


^^« 


0 

der  obigen  Differentialgleichung  genügt  nnd  nicht  mit  z  verschwindet,  so 
mnss  dieses  Integral  y^  proportional  sein,  d.  h.: 

OD  OD 


0  0 

wo  A  eine  Constante  bedeutet.     Setst  man  z  =  0,  so  folgt: 

OD  00 


0  0 


oder 


Da  nun 


80  folgt: 


endlich : 


niji)  il(n  — 4)  =  K»  .  2-^»  /2(2w) 


A  = 


22«+iJI(n)«' 


au  'JD 

0  0 

Die  von  Gauss  durch  n(z)  bezeichnete  Function  wird  bekanntlich  durch 
die  Gleichung  definirt: 

OD 

Setzt  man: 

r    cos  zu 

0 

1 

a?  =r  «2»+* /(6««  +  e-*»)  (1  — «•)"  ÖM, 

0 
80  ist,  nach  dem  Vorhergehenden, 


dy z    f  cos  XU 


Von  Dr.  A.  Enneper.  293 


Durch  Differentiation  nach  z  folgt  ferner : 

l 


Nun  ist 
1 


ÖZ  e/ 

0 

I 
+  z^'+W  (««*  —6-"«)  u  (1  — M*)"  du. 
0 

1 

0  0 

l  1 

=  —/(««*  + e-«'*)(l—tt«)«aii+2n/(e«*  +  e-**)tt«(l—ti«)*-*3u 

0  0 

1  1 

0  0 

Die  Gleichnng  ftir  -^  nimmt  hierdurch  die  einfache  Form  an : 

1 
—  =  2«  .  z«»  /  (e«»+  «-«*)  (1— ti*)"-^ »  w. 
0 
Die  beiden  Integrale  y  and  x  genügen  der  Differentialgleich ang  2),  d.  h.: 
a"w  dy 

a*a?  dx 

oz^  dz 

Multiplicirt  man  die  erste  dieser  Gleichungen  mit  x ,  die  zweite  mit  y ,  bil- 
det die  Differenz  der  Producte,  so  folgt: 

d  (  dx         dy\  (  dx         dy\ 

Durch  Integration  nach  z  erhält  man : 

^dz      ""dz       ^''     ' 
wo  C  eine  Constante  bedeutet.   Wegen  der  Werthe  von  y  und  x  wird  diese 
Gleichung : 

OD  1 

0  Ö 

OD  1 

0  0 


294  Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 

Für  2=0  folgt: 

00  1 


also : 


0  0 


00  1 

/        C08  ZU  i 


(1+««)- 

0  0 

oe  1 

0  0 

Die  Differentialgleichung  2)  ist  zuerst  von  Serret  (Liouville^s  Joor- 
na),  T.  IX,  p.  193)  aufgestellt  worden.  Für  ein 'ganzzahliges  n  hat  Catalan 
die  Gleichung  5)  bewiesen  (Liouville's  Journal,  T.  V,  p.  110). 

n. 

In  den  ,,Memoires  couronndes  par  Vacademie  de  BruxelleSy  T.XIV,  Deux, 
Partie  1841*'  hat  Catalan  eine  Determinante  bestimmter  Integrale  aofgc- 
stellt,  die  eine  Verallgeneineruug  der  bekannten  Legendre'schen  Glei- 
chung ist: 

T  2 

/  iTa !f  .  ,^,  .  fy{i—sin*usin*^)d» 

0  0 

n  % 

"2  "? 

+  (=rTi ^f    ■  ,^^  '  fvtl  —  cos'a  sin'&)  d» 

J  Vil  -  sin^  a  sin^  ^)   J  ^  ^  ^ 

0  0 

n  n 

T  2" 


J  ^(1—  cos^a  sin^  &)    J  f  (l — m* a  sin* 9) ' 


n 

1 

0    '  ^  0 

Die  von  Catalan  gegebene  Determinante  lässt  sich  noch  sehr  verein- 
fachen, wie  im  Folgenden  gezeigt  werden  soll.  Des  besseren  Verständ- 
nisses wegen  möge  eine  kurze  Ableitung  der  betreffenden  Determinante 
vorausgehen. 

In  dem  n  fachen  Integrale : 

F,  =  /.... /aa:, dxn 

soll  die  Summation  auf  alle  positiven  Werthe  von  x^^  •  •  •  ^n  ausgedehnt 
werden,  welche  der  Bedingung  genügen: 


Von  Dr.  A.  Enneper. 


295 


Setzt  man ,  nach  dem  Vorgang  Jacobi's : 
X|  =  sin  g>i  y 
Xf  z=:  cos  g>i  sin  9, , 
•Tg  =  cös  (pi  cos  q>f  sin  g>^ , 


80  ist: 


Xn  =  C0S(pi  cosq>^  ....  cos  g>n-^i  sin  g>„ y 

Xn^l  =  COS(pi  COStp^  ....  cos  (fn—i  COS  ^n , 


Legt  man  q>i  •  >  .fpn  ^We  Wcrthe  von  0  bis  —  bei ,  so  bleiben  ^^i  . . .  ar„  be- 
ständig positiv,  und  1 — ^»+1*  Hegt  immer  innerhalb  der  Grenzen  0  and 
(1).     Pührt  man  also  in  Vi  statt  x^ ,.  .x^  die  Variabein  (pt . .  .q>n  ein ,  so 

i^ehmen  dieselben  alle  Werthe  von  0  bis  —  an. 


£s  ist  nun 

dx. 

:r-^    0 

0 

9x, 

dx. 

^9t 

d(pt 

d(pn 

dx.dx^  ^ 

0 

d  XidXf        d  Xn 

dXn 

dXn 

dq>i  a^t 

d  «Pi  d  9>f        d  (pn 

dif, 

dq>n 

dXn 
d(pi 

dXn 

«i. . 

^{costp.Yicostp;)''-^. 

..{cos(p»^iycosq>n, 

icn: 

n 

% 

F,  = /.. . .  l{cosg>i)^{cosq>2Y''^'  •  •  '{cosfpn^tycosg)n^9t  ....9g>ji 


_    1    /y^v 


,"(^V'-*)i 

(   na)g(-4)>  I  n(o)i7(-i)» 

«*       J2(l)        rl*       27(4)        ' 


•i"C-f^)°(-«i 


Ist  die  Snmmation  in  dem  n fachen  Integrale: 

1)  F=  /  . . . .  I  dxi ....  dxn 

anf  alle  ppsitlven  *  Werthe  von  x^. .  .Xn  auszudehnen ,   welche  der  Be- 
dingnng  genügen : 


2) 


296  Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 

so  ist:  F=  F,  ^(a«  —  «,»)  {(^  —  <h*) (a?— a,«), 

d.h.: 

Die  Gonstanten  a,  aj . . .  Oi,  mögen  so  gewählt  sein,  dass 

a>a,  >a,  .  .  •>  ««-i>  ö«. 
In  V  führe  man  statt  o^i .  • .  ar„  neue  Integrationsvariabelen  U|  . . .  u«  mit- 
telst der  folgenden  Gleichungen  ein : 

«,•—«,»  ^  «,'  —  «,*  ^•^u.'—o,«         ' 

4)  (  „.«_«,»  +  «.«-fl.«  +  •••■*■  «.«-o.« -    • 

oder ,  iv;enn  m  eine  der  Zahlen  1 ,  2  . . .  n  bezeichnet , 

5) 
_^.  . (0,'-»,«)  (g»»-«,«) . . .  K«— a.') 

Die  Gleiphung: 

("'  — «1*)  («*  — «O  •  •  •  («•  — «n*)  ^  iKf^  _        "%"y  (<»«*)  1 

(a'-«,»)  (a«- V)  . . .  (a«-  «„•)       ,,  (o«)  "^«f ,  ^'(0,*)  «*-«.' 

läsät  sich  wegen  5)  auch  schreiben : 

(««-»,«)  (g« -«.«)...  («'-«„')_         /     ^.'  a:,«  ,       ^.'   \ 

(o«-«,«)  (o»  -  «,')  . . .  (a*- a„')  ~         \a»—  a.«  "^  a»  -  «,«  a»-a.V' 

Nach  der  Gleichung  2)  kann  man  nun  setzen : 

wo  €  eine  Zahl  bedeutet,  die  zwischen  0  und  1  variirt.  Die  Qrössen  v,', 
u^^ . .  .Un*  lassen  sich,  mit  Rücksicht  auf  die  Gleichungen  4),  als  die  nWor- 
zeln  der  folgenden  Gleichung  ansehen: 

oder  von 

0  =  f{u')  =  K— a,«)  . . .  (ti*-a„«)  -  o:,«  (w'-O  . . .  {u^^-a^') 
...—xn'  (u'-a,')  . . .  (««-a.^i«).  . 
Setzt  man  hierin  successive  oo,  a,*,  a,*  . . .  o«*  statt  «*,  so  folgt  leicht,  dass 
die  «Wurzeln  von  f{u*)  =  0  zwischen  folgenden  Grenzen  liegen: 


00 


«»-1*  ö«*. 


Von  Dr.  A.  Ennbper, 


297 


Da  nan  nach  6) : 


(a«-«,')  . . ;  (g«-«.') 


(a«-a,«)(a*-a,«)...(a«~a„«) 
zwischen  den  Grenzen  0  nnd  1  hleiben  muss ,  so  kann  innerhalb  der  Inte- 
grationsgrenzen t/|  nicht  grösser  wie  n  werden.  Hierans  schliesst  man,  dass 

a|    a 

ö,    dl 


die  respectiven  Integrationsgrenzen  von  Uj . . .  t/n  sind.   Aus  der  Oleichung 


6)  folgt: 
oder 


dx^ 


'dUr 


Ur 


•^m 


dXn, 


X^Ur 


dUr 


Ur'-aJ' 


wo  r  eine  der  Zahlen  1 ,  2  . . .  n  bedeutet.     Setzt  man  zur  Abkürzung : 
11  l 


2ii~2 


so  erhält  man  für  die  Determinante : 

dx^ 


R: 


folgenden  Ausdruck : 


=  P(tl/,ll,«...M««), 


dXi 

dUn 

dXn 
dUn 


R  =  ^1  .  •  •  :P||  .  ti|  .  .  •  Uji 


i>(u.«...t/„»)P«...«,») 


«(«  — 1) 


(-1)     »      9  («,')...  v{«»*) 
Nach  der  Gleichung  5)  ist 

^    t  —  (       .x«~l  (V  —  gm*)  (^t*  — gm')  .  .  .  («»'"- Arn*) 

(.r,^....;r„)-(     1)  ^^'(«,.)^'(,..)...^'(a..)' 

a^i  ar,  .  .  .  a:n  _  -,/  <P  M  .  .  .  qp  («„') 

Der  obige  Werth  von  i?  geht  hierdurch  über  in : 
oder  wegen: 


>,,(«.')...  <p  (..»«)  ^'(a.«)...y'(a.') 


«(M-l) 


y'  (a,')  ...g>'  («.«)  =  (-  1)  ^      (i»  («,• . . .  a„')]' 


208 


Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale.     ""  ' 


erhält  man  einfach : 


«t  «t . . .  «„  jP  («1»,  u^*...  M,«) 


Durch  die  Transformation  4)  nimmt  nun  die  Gleiclinng  l)  folgende  Form  ao: 


Kl) 


«1     «t  ««n-i)   *     9»(V).-.g>(««*) 

Der  Factor  »,««...«.  anter  dem  Integralzeichen  füllt  weg  fQr  o.  =0.  In 
diesem  Falle  hat  man : 

oder 

(-1)— »  9(M.»)=««»(«,»-M«.»)...(a„_i*-««')  («,«-«««)  ...(«,«-«^,'). 

Setzt  man :        ^,  =  ^'(mi*— «,*)  («,»—  «»*)•••  («i* — «»-i*) , 
^,  =  ^'(«,*-  V)  («.»-«.') . . .  («.*-a»_i») 

d.  =  yW—»n*)  («,*-«»•)  .  .  .  («,-l»-«„»), 

80  ist :  (—!)"->  (««')  =  (u«  //«)» , 

foljglich:  "<"-<> 

(— n)     *      9{««')---v(«»')  =  (Mi-.-««.^,  ..•^■)*. 
Die  Gleichung  7)  geht  hierdurch  über  in : 


««-1 


8) 


Of        dl  0 


Oif-l 


«n-l 


flfi— 1 


ö>i-2 


««-2 


Von  Dr.  A.  Ennepeb. 


299 


Diese  Determinante  n^^  Grades  Iftsst  sich  leicht  auf  eine  Determinante 
vom  (n  —  1)*®"  Grade  rednciren.     Sei 

dann  ist : 

du  A 

oder  anch:  duA n«^**-"^  +  c,t<^*^  +  c^t^""-^  +  . . .  +  c, 

.       "äw  Z  ' 

wo  c, ...  Ca  symmetrische  Functionen  von  aj' . . .  a««— 1'  sind ,  deren  genauere 
Kenntniss   nicht   weiter  erforderlich  ist.     Fflr  11  =  11^  geht  A  über  in 


(—1)  *    Am^  man  hat  dann: 


Integrirt  man  diese  Gleichung  zwischen  den  Grenzen  a«.  und  a«,.! ,  so  ver- 
schwindet offenbar  die  linke  Seite,  es  bleibt: 

Diese  Gleichung  gilt  für  m  =  2,  3  . . .  n.      Für  den  Fall  m  =  l  sind  die* 
Grenzen  a^  und  a ,  statt  der  Gleichung  9)  hat  man  dann  die  folgende : 

a  a 


10) 


Ersetzt  man  die  Glieder  der  letzten  Horizontalreihe  der  Determinante  in 
der  Gleichung  8)  mittelst  der  Gleichungen  0}  und  lO)  durch  die  Elemente 
der  vorhergehenden  Horizontalreihen,  so  reducirt  sich  die  Determinante 
auf  das  Prodnct  von 


in  die  Determinante 


^«J^(ö«-«,«)...K— a^i«) 


«»-2 


«n-l 


On-l  rt«_2  «1 

J  Jn  J  ^«-1  J  A  i 


'^l!^ 


ö—l 


300 


Zar  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 


Dieses  Prodact  ist  also  gleich : 

1 


ikVf^r 


"(f) 


ö^(öt_a,*)  . ; .  (a*— a^i*). 


Setzt  man  also 

dn  =  K(«l'-«*)  .  .  .  (öi-l'-t/*), 

wo 

«1  >  Of  •  •  •  >  ö«-i » 
so  erhält  man  die  elegante  Gleichung : 


J   dn 

0 

J      Jn 


ö«_2 


öii-l 


/w«aM 

«»—2 


rvTdu 
J  ^t 


yu^^-^du       Cu^'^'^Ju  ru^'^du 


=-(\vnr 


KD 


«1—1 

Für  n  =  3  erhält  man  unmittelbar  das  bekannte  Theorem  von  Legendre 
für  die  ganzen  elliptischen  Integrale  erster  und  zweiter  Gattung. 

HL 

Im  T.  XVn  des  Journal  de  malhSmatiques  hat  Tissot  eine  Determi- 
nante bestimmter  Integrale  entwickelt,  von  welcher  Roberts  zuerst  einen 
besonderen  Fall  betrachtet  hat  {Joum.  de  maih.  T.  XVt).  Das  angewandte 
Verfahren  ist  ziemlich  complicirt  und  nicht  ohne  Weitläufigkeit;  man  kann 
mittelst  einer  sehr  einfachen  Transformation  der  Integrationsvariabein  die 
Determinante  auf  ein  Froduct  von  Euler'schen  Integralen  reduciren. 

Seien  a ,  Oi . . .  a«  n  + 1  Constanten ,  so  dass 

und 
V«  (««)  =  (««-«)'''(«.-o,)'''  . . .  (^«-a«)^"  (a-+i-««)^'^'  ... 

WO  PtPi  *  •  'Pn  entweder  positive ,  echte  Brüche ,  oder  beliebige  negative, 
reelle  Zahlen  sind. 

Die  zu  entwickelnde  Determinante  ist  dann : 


Von  Dn  Ä.  Emnepisb. 


SOI 


«t  «t 

a  ttj 

—T^dx         I -1—^dx, 


OD 

9^11  (^« 


Oft 


a«. 


OD 

,      .dXn 


00 
Xn 


^n  (a:«) 


-aa?. 


Bezeichnet  man  diese  Determinante  dnrch  ^^  so  ist  anch: 


1) 


wo 


^       A     A          A            i>(a;.x....a;,) 
^<=  13«/  ox...  I  ga»     /  X       / — X ^ 


(*.) 


e-(«+*iH-'..+«») 


1      1  1 

X        X^  •   •  •     «Irli 


P{x,X^...Xn)  = 

«t  M^l  •   •  •     «irjl 

In  J  führe  man  statt  or ,  j:|  . . .  oTi,  die  n  +  l  nenen  Integrationsvariabeln 
u,  Ui  . . .  Utt  mittelst  folgender  Gleichungen  ein : 


+ 


X — a      X  —  a. 


+  ...+ 


Un 


..+ 


X Ol 


=  1, 


=  1, 


+  ...+ 


=  1. 


Xi — a      Xn — ö,  ■  a:„  —  a« 

Setzt  man  tf;  («)  =  (z  —  a)  {z  —  Oj)  . . .  (z  —  a^) , 

80  erhält  map  aas  den  obigen  Gleichungen : 

(ar—x)  (gr  — a:,)  .  .  .  (gr— Jg«) 

also  ÖMr    Ur 

dXg  Xf flr 

Mit  Hilfe  dieser  Gleichung  findet  man  leicht: 


Ur  = 


du  du^ 

dx  dXn 

dVn  dUn 

dx  dx^ 


=  WMi 


.w« 


X — a 

1 

X — a- 


Xn—a 

UUi...Un  PjOy  fli  .  .  .  an)P(^,  O^i  -  "  a?n) 

(-1)     2     ^(j:)^(a:0...*(Ä:») 


302 


Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 


Nun  ist: 
3)        I 


(«r g)  >  >  .  K— ^r~l)  (a?r ür)  «  «  ■  (a^n ^r) 


(««—  ö)  . . .  (<ym—  a».-i)  (««+1  — 0«)  .  . .  K  — Ol»)" 
Hieraus  folgt :  *<''-^^> 

U  U] 


80  folgt: 


M.  : 

_(-' 

0 

2      i,{x).. 

*(^«) 

dlich 

dass 

du 

du 
dx. 

dx  dxn 
du         du 

=  i, 

du. 

du, 

dx. 

dx          dXn 

ßu'^      du^ 

du 
dx 

du. 

dx, 
du 

dx, 
du. 

'P{x,x,...x^y 

Ist  also  ein  (n  +  1)  faches  Integral  mittelst  der  Sabstitation  2)  zu  trans- 
formiren ,  so  tritt  dudu^  . ,  .du^  P{a^ai  •  •  •  ^n)  an  die  Stelle  von  dxdx^.,, 

dXn  P(x,X^...Xn). 

Setzt  man: 

Fm  (2)  =  (2  — ö)  («  —  «1)  •  •  •  («  —  fl«.)  («m+l  —  2)  •  •  •  (ö«-      «), 

80  folgt,  mit  Rücksicht  auf  3): 

In  dem  («  + 1)  fachen  Integrale  /i  wird 
i>  (x,  ar,  . . .  x^ 


ersetzt  durch 


tp(x)  q>^{x^  .  .  .  q>n(Xn) 


dx  dxi , , ,  dxn 


dudui . . .  dun 


P{a,at  ...an) 


Wegen  der  Gleichungen  2)  kann  man  x,  Xi  . . .  x^  als  die  n-f-l  Wurzeln 
der  Gleichung 

U        .        U4  u» 

4)  -^+  -i^  +  ...  +  .-!^-  =  i 

'  z  —  a       z  —  ai  z — «n 

ansehen.     Diese  Wurzeln  liegen  zwischen  den  Grenzen 


«1«  «t 


«m  00, 


welche  mit  den  Integrationsgrenzen  in  J  übereinstimmen.  Die  Variabein 
u,  tij . . .  Un  nehmen  also  alle  positiven ,  reellen  Werthe  an.  Die  Gleichung 
4)  entwickelt  giebt : 


Von  Dr.  A.  Ennepbb.  803 


.  xn  — 2»-l  (w  +  tij  +  .  ,  .  +  tt^  +  Ä  +  Ä,  +  .  .  .  +  C,)  +  .  .  .  =  0. 

Hieraus  folgt  unmittelbar: 

«  +  «1  +  . . .  +  a?»  =  ti  +  Ui  +  • . .  +  w„  +  ö  +  Ä,  + . . .  a„. 
Mit  Hilfe  dieser  Gleichung  gebt  die  Gleicbaug  1)  durch  die  Substitution 
2)  über  in : 

oder 

j _  Tl{r-P) nj—Pt) . . .  JI(— p,) P(a,a,... a,) e^l'+'t+-'+0 

•      .  r(a)Pj".(a.)'''...n(a»r 

Wegen 

r{a)  r,  (fl,)  . .  •  r,(a«)  =  \P{a,a^ . . .  «.)]« 
lässt  sich  ^  auch  schreiben : 

Für  den  Fall ,  dass  p  =  p]  =  . . .  =:pa  =:  ^ ,  hat  ^  den  einfachen  Werth 

IV. 

Bedeutet  c  eine  Quantität ,  welche  kleiner  wie  die  Einheit  ist ,  so  hat 
man  bekanntlich : 

Setzt  man  in  der  von  E  u  1  e  r  gegebenen  Gleichung : 


1              /*a:«"^ 
-; =  /  dx     0<a<l 


so  geht  dieselbe  über  in : 

2waÄy«Äl-«      J  h  +  gz^    ^' 
0 

Für  Ä  =  1  —  Ar*  ««*  9?,  ^  =  1  —  /•  m*  g>  und  z  =  tongf  0  erhält  man 

n 

T 
n  _1 1 1  _  r  {tang^y^^-^dd' 

2  «n  aar  (1— /•*£«•  9)**  (1— /f*««*^)^-«""",/  1- (A:*co5*^+;*5in«^)5in*9* 

0 

In  der  vorstehenden  Gleichung  sind  k  und  /  relle  Grössen  und  kleiner 

wie  die  Einheit.  Dann  ist  k^  co^*d  +  /'  md  <  1 ,  man  kann  also  den  Nenner 


304  Zar  Theorie  der  bestimmteo  Integrale. 


anter  dem  Integralzeichen  mit  Hilfe  der  Gleichang  1)  nach  den  Cosinus 
der  Vielfachen  des  Bogens  2g>  entwickeln. 
Setzt  man : 

^)     (i-/«Ln'y)«  (i  -;^«i«^i^  =  -^'n??-^)'-^'^'"^"^' 

80  ist  allgemein : 


3) 


2  «htt»   "    JyvL  — 


d» 


0 


Man  setze: 

Ä«  +  Ä'«  =  l     /»  +  r'  =  l 

nnd  transformire  das  Integral  anf  der  rechten  Seite  der  Gleichang  3)  mit- 
telst der  Substitution: 

y(l  —  f^cos^&  —  l*  sin*  ^)  =  — -i- — :r — ,        .  ,    . 

l+p  cosr  u  +  q  strr  u 

Hieraus  erhält  man: 

1  +  r     (1  +p  co5*tt  +  q  svr  «)' 
^  ^  l+k'    {l+pcos'u  +  qsir^uy 

d& 

y{i—l^  cos^e  —  /*  sin*d) 

4  du . 

~ (1  +  k')  (1  +  0 y\^—P  {P  co^u+q sin*u)\  \l  —  q{p  cos*u  +  q sin*u)\ " 

Die  Gleichang  3)  nimmt  mittelst  der  vorstehenden  Sabstitation  folgende 
Form  an: 

n.     l      (l+A:-)(l+OA  +  rY«-i ^j^ 

2  sin  an  4  \1  +  ^7  2Sin  an(l  +p)2(i-«)  (l  +  qf^ 

7t 

T 


=/ 


(p  co^u  +  g  sin^u)^  {lang  uf^"^ 


\ ^  — P  {P  co^u  +  q  m*«)}^— «  { 1  —  q(jp  cos^u  +  q  s%n*u) }« 
Setzt  man  in  2) 


(l+p)"  ""(!  +  ?)" 


Von  Dr.  A.  Ennepkr.  305 


80  ist 

4) 
1  l  "=* 

(l  +  2pco*29+p»)»-«  (l+2yco*2v+ «r  =*»+\fi(-^)" ßnCot2n,p, 

wo 

5) 

T 

-5  ^sinan  f (p  co^«  +  g5in«K)«(toity  t<)»«-^  du ; 

Multiplicirt  man  die  Gleichung  4)  anf  beiden  Seiten  mit  cos  2n(p  .d<p^ 
integrirt  zwischen  den  Grenzen  0  nnd  —  nach  ^,  so  folgt: 


(-*)•?  ^•=/ä 


9 

2 

cos  2ng>d<p 


+  2p  cos2ip  +  p*)^-«  (1  +  2qcos2tp  +  j^)« 
0 


Vergleicht  man  diesen  Werth  von  B^  mit  dem  in  5)  gefundenen ,  setzt 
—p  nnd  — q  statt  p  nnd  q^  so  erhält  man  die  merkwürdige  Gleichung: 


/ 


% 
% 

cos2nq>d^ 


(1  —2p ces2(p  +p*)^'«  (1  —2qcos2ip  +  ^r«)« 
0 


9 

2" 


.  /■  {pcos^u-^-q  sin^uy 

"    J  {1 — p{pcosi^u  +  qsin*u)\^'-'* 


'  {lang  uY^^  du 

{1  —  g{p  cos^u  +  q  sin*  m)  j« 


0 

Differentiirt  man  diese  Gleichung  nach  a,  so  lassen  sich  manche  be- 
kannte und  neue  Integrale  ableiten.  Dieses  Verfahren  ist  indessen  nicht 
so  einfach,  wie  folgendes,  einige  bekannte  Resultate  etwas  zu  verallge- 
meinern. 

Seien  die  Winkel  tp  und  ^  durch  die  Gleichung  verbunden: 
cos  acosß  .  tangq>  iangd'  =  1. 

Ans  dieser  Relation  leitet  man  leicht  die  folgenden  Gleichungen  ab : 

cos  ^ cosa  cosß  sin^ 

*"'''~F{l-(l^c'o««a  co^ß)  sü^l'  ^^''^~y\l'-{l-cos'a  cos'ß)  si^\  * 

7//1         -t      .  «    N  y{l—sm*ßsin*^) 

y(l  —  sin* a stn* ff)  =  cos a -r- — r^ ^j-?- — ^^/  .  ,^, , 

7//.         -2^      1    \              o      •     y(l  —  sin*asin*a) 
y(l  — stn*ß  stn*q^)  •=  cos  ß ^-^ — • 


^{1  —  (1—  co»'a  cos^ß)  sin*^\ ' 

Zeitschrift  für  Mathematik  u.  Physik.  VI,  6,  22 


306  Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 

aCcosacosßY 
— cor« corß) stn*q>  = j-^ — -z ,^,    .  ,^, 
'^^        ^       1  —  (1 — cor  a  cos^  ß)  sm*  ^ 

dq> 


(l  —  sin*asin*(p)f*  {l  —  sin* ß  sin* g>y-'^ 


^cos  ß  y  M-i ao_ 

xcosaj 


'J         (l  —  sin*asin*&y-f^  {l—sin  *ßsin*9)^  ' 

wo  |ii  eine  beliebige  reelle  Grösse  ist.     Transformirt  man  mittelst  der  Sab- 
stitution  cos  OL  cosß  iangq>  iang^=  1  die  Integrale: 


/'   log\i'-(l'—co^aco^ß)sin*q>\dfp 
( l  —  sin*  a  sin*(py^  (1  —^in*'ß~sin*  fp^-f^  ' 

"2 

/l ^ogcoig> 
(1  — «/i*«Ww«9)'*  (l-«>i«/3si>i*9i)»-^  ^' 


0 


2  ,     /l— 5iVa«n«ip\ 

/'  ^'Al^sin*ßsin*J^'' 

^  (l  —  51/J«  a  sin*  q>Y  (l—sin*ß  sin*(py-ß  ' 

nimmt  immer  den  Bnchstaben  fp  als  Integration svariabele ,  so  ergeben  sich, 
mit  Hilfe  der  obigen  Gleichungen,  folgende  Relationen  zwischen  bestimm- 
ten Integralen : 


T 


log\l-il-^cos*acos*ß)stnq>\  .{^^ ^^  ^^_^    +\,lj,^^   )dfp 


0 

T 

=  Vog{cos.cosß)J  (V^i-M   +^^/rj^y> 


Von  Dr.  A.  Ehnepeb,  307 


2" 


/;     /l  —  s(n*€t  sif^  ip\    ({tos  aff^--  ^    ,    {cos  ßff^^  \  ^ 
0 

T 

0 
In  den  vorstehenden  Gleichungen  ist  zur  Abkürzung  gesetzt : 
.^  =  1  —  m*«  «n"g) ,     j5  =  1  — sin^ß  sinFqf, 
För  den  Fall  fi  =  4  nehmen  die  obigen  Gleichungen  folgende,  sehr  ein- 
fache Formen  an :    f 

9 
% 

/log\l — (l  —  eoÄ* a  cos^ß)sinip\ 
^(1  —  «n«  a  sin^q>)  ^  (1  —  sin*  ß  siv^  tp)    ^ 
0 

% 
2 

/o 


2 


jk'(l  — ««•«  Äin»  y{l  —  sin*ß  sin^qi)    ^ 


0 

J  Y{\^  sin*  a  sin*  (p)y(l  —  sin*  ß  sin*  (p) 
0 

n 

T 

^  C05  /?e/  f^  (1  —  sin*  a  sin*  g>)  ^  (l  —  ««*  ß  sin*  (p) ' 
0 

Mittelst  der  Substitution : 

1 iangilf 

«wflf  9>  —  ^^g^^^^  ß^  ^^^  ^  {a  —  ß)y\l—tang*\{a+^lang*\i{a-ß)sin*rl;\ 

lassen  sich  die  vorstehenden  Gleichungen  noch  etwas  vereinfachen,  was 
hier  übergangen  werden  möge. 

22» 


308  Zur  Theorie  der  bestimmten  Int^rale. 


Sind   P  und  Q  ganze,    rationale,   algebraische  Fonctionen   von  x, 
setzt  man: 

CO 


7t  ,    rp 

2  J    Q 


dx 
U 
0 

so  lässt  sieb  z  als  Wnrzel  einer  algebraischen  Oleicfanng  darstellen ,  wenn 
P  und  Q  nnr  gerade  Potenzen  von  x  enthalten ,  und  Q  für  keinen  reellen 
Werth  von  x  verschwindet.  Die  Ausführung  der  Rechnung  für  den  allge- 
meinen Fall  scheint  ziemlich  complicirt  zu  sein ;  zur  Erläuterung  der  Me- 
thode soll  ein  einfaches  Beispiel  genommen  werden. 
Sei:  •  * 

00 


K  _  r du 

2  ^      J  t^  +  at^  +  bu^+ct^  +  i 


0 

und  ««  +  ««•  + 6fi*  +  r««+e«  =  («•  +  «*)  (tt*+jj«)  (M«  +  y«)  (!/•+«!),  wo  a,  ft 
y,  8  wesentlich  reelle  Grössen  sind.  Durch  Zerlegung  in  Partialbräche 
findet  man  leicht: 

_    _]_  1 1  1 


«   («'_,S')(«'-y')  («»-a»)  '    /J  (1?-«^  (^-y»)  {?-ir) 
,\_  1  .1  1 


Da 


r  (y«-«*)  (y'-^)  (r*-^     «  (^'-«*)  C«*-^)  (a*-)'')' 
1 1 


C«*-/)  (/-i?)  (y*-**)  "  («*-«•)  (Ä*-^)  (««-y*)' 

80  ISast  sich  die  Gleichung  fUr  z  auch  schreiben: 

__ l . 1 

oder  wegen: 

^^  ^^^       y(«+y)OJ+y)(y'-i*)  ^ «(«+<)(/»+*) (4'-y^' 

d.  h.: 

j  _  («'+/?-<-y+J)(«/?+«»y+«a+/?y+/?a+y<)--(a/?y->-«<3J+«ty<+M 

«/Jy<J  («+ /J)  («  +  y)  («  +  «)  (^  +  y)  (|S  +  d)  (y  +  d) 


Von  Dr.  A.  Ennepeb.  309 

Ans  der  Gleichung: 
folgt: 

{  a*  +  ^'  +  /+a»  =  « 

^        I  iaßYy+{aßiy+{aYSy+ißy8)*  =  c 
[  aßYd  =  e. 

Setzt  man: 
•      3)  {  a  +  ß  +  y  +  S  =  y 

'  aßy-i-aßd+ctYd  +  ßyd^zpy 
so  findet  man  mittelst  der  Gleichungen  2) 

4)  ^^^^aß  +  ay  +  i^i  +  ßy  +  ßi+yS. 
Diese  Gleichung  quadrirt  giebt: 

5)  .     (f^y=b  +  2e+iyp. 
Es  ist  ferner 

Durch  Elimination  von  p  zwischen  dieser  Gleichnng  und  Ji)  folgt: 

Aus  den  Gleichungen  3)  findet  man : 

p  —  aßy  =  {y8  —  aß){a  +  ß), 

p  —  ayy  =  {ßi  —  ay)  (a  +  y), 

p  —  aiy=(ßy  —  aö){a  +  d), 

p  —  ßyy^  —  {ßy—ad){ß+y), 

p  —  ßSy  =  —ißö-ay){ß+d), 

p—y6y=  —  {yd  —  aß){y  +  d). 
Wegen 

(yi—aß)  (ßi—tty)  {ßy—aS)  =  c—ae 
giebt  das  Product  der  obigen  sechs  Gleichungen : 
-{a  +  ß){a  +  y){a  +  8){ß+y){ß+6)(y  +  d){ae-cy 

=  {p-'aßy){p—ayy){p—ady){p  —  ßyy)ip—ß8y){p—yiy), 

=  P''—^y^^-^+P^u'{jpy  —  e)—p^y'{c  +  e^)+p''i/'e{jpy—e) 

=  (p'+^y*)  {p'-ey'y-py  ^~  (^  +  ej^)  +pV  {p'-c), 

=  {p'-ey^y\p'+ey'-py^^\+p»y^\p^^c^e{y'-a)\. 
Da  nun  nach  4) 


310      Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale.   Von  Dr,  A.  Enneper. 
so  erhält  man  einfach : 

{«  +  ß)  («+y)  («  +  «)  (ß+7)(ß  +  i)  (.y+i)=py^^-p'-e!f'. 

Die  Gleichung  1)  geht  hierdurch  über  in: 

y* — a 

y—^ P 


ez- 


Da  nun  nach  5)  und  6) 

p*  =  c  +  e(j/*— a), 
so  lässt  sich  die  Gleichang  für  z  auch  schreiben : 

»■•'^-<i(^)"+"-'i 


ezy- 


Eliminirt  man  y  zwischen  dieser  Oleichung  und 

so  erhält  man  eine  algebraische  Gleichung  für  z ,  welcher  das  Integral 

£  r du_ 

0 
genügt 


xm.    . 

Ueber  die  Anzahl  der  G-eraden,  Ebenen  und  Funkte,  welche 

durch  gegebene  Punkte,  G-erade  und  Eben^  in  der  Ebene 

und  im  Baume  bestimmt  werden. 

Von  Professor  Dr.  C.  A.  Bketschneideb 

in    Gotha. 


Eine  der  ersten  nnd  vornehmsten  Aufgaben,  welche  die  Geometrie 
der  Lage  stellt,  betrifft  die  Bestimmung  der  Anzahl  von  Geraden  nnd  Ebe- 
nen, welche  man  dnrch  gegebene  Punkte  legen  kann,  sowie  umgekehrt  die 
Bestimmung  der  Menge  der  Schnittpunkte  und  Schnittlinien,  welche  durch 
gegebene  Gerade  oder  Ebenen  erzeugt  werden.  Da  eine  erschöpfende  Lö- 
sung dieser  Aufgabe  bis  jetzt,  so  viel  mir  bekannt,  noch  nicht  versucht 
worden  ist,  so  soll  es  im  Folgenden  unternommen  werden,  die  fragliche 
Lücke  in  der  Wissenschaft  des  Kaumes  wenigstens  der  Hauptsache  nach 
auszufällen. 

§.1. 

Als  Fundamentalsätze,  von  denen  die  Untersuchung  auszugehen  hat, 
sind  nachfolgende  aufzuführen. 

d)  Zwei  Punkte  im  Kaume  liegen  stets  in  einer  Geraden;  und  umge- 
kehrt: zwei  Ebenen  im  Räume  schneiden  sich  stets  in  einer  Ge- 
raden. 

Im  zweiten  Falle  kann  die  Schnittlinie^  entweder  in  unendlicher 
oder  in  endlicher  Entfernung  liegen,  je  nachdem  die  gegebenen 
Ebenen  parallel  sind  oder  nicht. 
b)  Durch  drei  Punkte  im  Kaume,  die  nicht  in  einer  und  derselben  Ge- 
raden liegen,  ist  stets  eine  Ebene  bestimmt;  und  umgekehrt:  durch 
drei  Ebenen  im  Baume ,  die  nicht  durch  eine  und  dieselbe  Gerade 
hindurchgehen,  wird  stets  ein  Punkt  bestimmt. 

Dieser  Schnittpunkt  kann  nicht  nur  in  endlicher ,  sondern  auch  in 
unendlicher  Entfernung  liegen,  und  es  sind  in  letzterem  Falle  die 
drei  Schnittlinien  je  zweier  der  gegebenen  Ebenen  einander  parallel. 


312        Ueber  die  Anzahl  der  Geraden,  Ebenen  und  Pankte. 

c)  Durch  einen  Punkt  und  eine  Gerade  ausserhalb  desselben  ist  stets 
eine  Ebene  bestimmt;  und  umgekehrt:  durch  eine  Ebene  und  eine 
Gerade  ausserhalb  derselben  ist  stets  ein  Punkt  bestimmt. 

Dieser  Sehiiiltpunkt  liegt  entweder  in  unendlicher  oder  in  end- 
licher Entfernung,  je  nachdem  die  Gerade  der  Ebene  parallel  ist 
oder  nicht. 

d)  Zwei  Gerade,  die  durch  einen  und  denselben  Punkt  gehen,  liegen 
stets  in  einer  Ebene;  und  umgekehrt:  zwei  Gerade,  die  in  einer 
und  derselben  Ebene  liegen,  schneiden  sich  stets  in  einem  Punkte. 

In  beiden  Fällen  kann  der  Schnittpunkt  in  unendlicher  oder  in 
endlicher  £intfernung  liegen ,  je  nachdem  die  Geraden  parallel  sind 
oder  nicht« 

§.  2. 

Um  die  zu  entwickelnden  Sätze  so  kurz  und  bündig  wie  möglich  aus- 
zusprechen ,  mögen  folgende  Benennungen  eingeführt  werden. 

e)  Wenn  von  x  in  einer  Ebene  oder  im  Räume  gegebenen  Punkten 
entweder  alle  oder  nur  eine  bestimmte  Anzahl  y  derselben  eine 
solche  Lage  haben,  dass  weder  die  durch  je  zwei  der  letzteren  be- 
stimmten Geraden  durch  einen  der  übrigen  {x  —  2)  Punkte,  noch 
die  durch  je  drei  jener  Punkte  bestimmten  Ebenen  durch  einen  der 
übrigen  {x  —  3)  Punkte  hindurchgehen ;  —  so  sollen  diese  a:  oder 
y  Punkte  in  der  Ebene,  beziehungsweise  im  Räume,  vollständig 
frei  heissen. 

Und  umgekehrt: 
Wenn  von  x  im  Räume  gegebenen  Ebenen  entweder  alle  oder  nur 
eine  bestimmte  Anzahl  y  derselben  eine  solche  Lage  haben,  dass 
weder  die  durch  je  zwei  der  letzteren  erzeugten  Geraden  mit  irgend 
einer  der  übrigen  {x  —  2)  Ebenen  zusammenfallen,  noeh  die  durch 
je  drei  dieser  Ebenen  bestimmten  Schnittpunkte  in  irgend  eine  der 
übrigen  (^—3)  Ebenen  zu  liegen  kommen;  —  so  fallen  diese  x  oder 
y  Ebenen  vollständig  frei  heissen. 

f)  Wenn  von  x  Geraden,  die  sämmtlich  durch  einen  und  denselben 
Punkt  hindurchgehen,  entweder  alle  oder  eine  bestimmte  Anzahl  jr 
derselben  eine  solche  Lage  haben ,  dass  die  durch  je  zwei  der  letz- 
teren gelegten  Ebenen  durch  keine  der  übrigen  (^-^2)  Geraden 
hindurchgehen;  —  so  mögen  diese  x  oder  y  Geraden  im  Baume 
vollständig  frei  genannt  werden. 

Und  umgekehrt: 
Wenn  von  x  Geraden,  die  sämmtlich  in  einer  und  derselben  Ebene 
liegen ,   entweder  alle  oder  eine  bestimmte  Anzahl  y  derselben  eine 
solche  Lage  haben ,  dass  die  durch  je  zwei  der  letzteren  entstehen- 
den Schnittpunkte  auf  keiner  der  übrigen  (x  —  2)  Geraden  liegen; 


Von  Prof.  Dr.  U.  A.  Bketschnsiüeb.  *         313 


-«  SO  mö^n  diese  x  oder  y  Geraden  in  der  Ebene  vollständig 
frei  geaaunt  werden. 
g)  Sind  in  einer  Ebene  oder  im  Räume  x  Punkte  gegeben ,  von  denen 
ein  Theil  y  auf  mehrere  Oerade  oder  Ebenen  vertheilt  ist,  und  es 
haben  diese  y  Punkte  eine  solche  Lage,  dass  keine  Gerade,  welche 
durch  zwei  auf  verschiedenen  Gebilden  gelegene  Punkte  bestimmt 
wird,  durch  einen  der  übrigen  {» — 2)  Punkte  hindurchgeht,  —  und 
dass  keine  Ebene,  die  durch  je  drei,  auf  drei  verschiedenen  Ge- 
bilden liegende  Punkte  bestimmt  wird,  durch  einen  der  übrigen 
{x — 3)  Punkte  hindurchgeht;  —  so  sollen  jene  y  Punkte  in  der 
Ebene ,  beziehungsweise  im  Baume ,  beschränkt  frei  heissen. 

Die  gleiche  Benennung  mag  unter  analogen  Voraussetzungen  von 
Ebenen  und  von  Geraden  gebraucht  werden. 
Mit  Hilfe  des  Vorstehenden  ergiebt  sich  unmittelbar  die  Auflösung  der 
nachfolgenden  sechs  Hauptaufgaben. 

§.3. 

I.  Es  seien  in  einer  Ebene  n  Punkte  gegeben;  man  ver- 
langt die  Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden. 

Lehrsatz.  1.  Die  Anzahl  aller  Geraden,  welche  durch  n 
in  der  Ebene  vollständig  freie  Punkte  bestimmt  werden,  be- 
trägt 4n  («  —  !)• 

Denn  jeder  der  n  Punkte  giebt  mit  jedem  der  noch  übrigen  {n — l) 
Punkte  ebenso  viele  Gerade,  so  dass  die  Gesammtzahi  der  letzteren  n(n--i) 
betragen  würde.  Da  aber  hierbei  jede  Gerade  doppelt  gezählt  wird,  näm* 
lieh  das  eine  Mal  von  dem  einen  der  sie  bestimmenden  Punkte  aus ,  dag 
andere  Mal  von  dem  zweiten  dieser  Punkte ,  so  ist  die  Zahl  der  wirklich 
von  einander  verschiedenen  Groraden  nur  ^n  (» — l). 
Oder: 

Der  erste  dern  Punkte  giebt  mit  jedem  der  noch  übrigen  (n — l)  Punkte 
(» — 1)  Gerade.  Ebenso  erzeugt  der  zweite  der  n  Punkte  mit  jedem  der 
(n — 2)  Punkte,  welche  mit  Ausschluss  des  bereits  verwendeten  ersten 
Punktes  noch  übrig  sind,  neue  (n — 2)  Gerade;  auf  gleiche  Weise  der  dritte 
Punkt  neue  (n  —  3)  Gerade  u.  s.  f. ,  bis  endlich  der  {n  —  2)*®  Punkt  mit  den 
beiden  letzten  noch  2  Gerade,  und  der  {n  —  ly^^  mit  dem  letzten fi^^**  Punkte 
noch  1  Gerade  liefert.     Die  Anzahl  aller  möglichen  Geraden  ist  demnach 

l+2+...  +  («-2)  +  («-l)  =  ^^i^^. 

Lehrsatz  2.  Die  Zahl  aller  Geraden,  welche  durch 
nsia^ -f-p  Funkte  einer  Ebene  bestimmt  werden,  von  denen  q 
vollständig  frei  sind,  die  übrigen  p  hingegen  in  einer  Gera- 
den liegen,  ist  gleich  l  +  \q{(i — l)+i?5'- 

Denn  die  j/ Punkte  geben  für  sich  allein  1  Gerade,  während  die  ^  Punkte 


314        Ueber  die  Anzahl  der  Geraden^  Ebenen  und  Punkte. 


^^^v«^^^^^n^^\«««^^M^>A«s«\«^>v^^< 


deren  ^q  {q — 1)  bestimmen.  Endlich  liefert  jeder  Punkt  der  Gruppe  p 
mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  q  eine  Gerade,  wodurch  noch  p^  Gerade 
erzeugt  werden. 

Zusatz.     Es  ist  die  verlangte  Zahl  auch  gleich 
in{n^\)-^p{p  —  l)  +  U 

Denn  wären  alle  n  Punkte  vollständig  frei,  so  würden  sie  \n{n^i)  Ge- 
rade geben.  Es  liegen  aber  p  Punkte  auf  einer  und  derselben  Greraden, 
also  fallen  alle  durch  diese  p  Punkte  erzengten  Geraden,  an  der  Zahl 
iP  (P  — 1)>  in  01^0  einzige  zusammen,  und  die  obige  2iahl  muss  also  um 
iP  (P  —  l)  —  1  verkleinert  werden. 

Lehrsatz  3.  Die  Anzahl  aller  Geraden,  welche  in  einer 
Ebene  durch  n=spi+Pt  beschränkt  freie  Punkte  bestimmt 
werden,  von  denen  pj  auf  einer  Geraden,  p^  auf  einer  zwei- 
ten Geraden  liegen,  ist  gleich  2+PiPf 

Denn  es  giebt  jeder  Punkt  der  Geraden  P|  mit  jedem  Punkte  auf  p, 
eine  Gerade;  mithin  ist  die  Zahl  aller  so  entstehenden  Geraden  gleich 
Pi  p,.  Und  zu  ihnen  kommen  noch  die  beiden  Geraden ,  welche  die  ein- 
zelnen Punktmassen  p^  und  Pf  enthalten. 

§.4. 

Die  im  vorangehenden  Paragraphen  entwickelten  Sätze  enthalten 
alles,  was  nöthig  ist,  um  in  jedem  Falle  die  Anzahl  der  Geraden  zu  finden, 
welche  in  der  Ebene  durch  Punkte  bestimmt  werden,  die  man  in  Bezug 
auf  ihre  Lage  irgend  welchen  beliebigen  Bedingungen  unterworfen  hat 
Alle  hier  möglichen  Fälle  aufzustellen  und  für  jeden  derselben  die  ent- 
sprechende Formel  zu  entwickeln,  würde  zu  maassloser  Weitläufigkeit 
führen,  ist  aber  auch  ohne  erheblichen  Werth.  Wie  man  sich  in  jedem 
einzelnen  Falle  zu  verhalten  hat,  wird  zur  Genüge  aus  den  nachfolgenden 
Beispielen  erhellen. 

Aufgabe  1.  Die  Anzahl  aller  Geraden  zu  finden,  welche 
in  einer  Ebene  durchii=^  Ö'+Pi  +Pt +  •  ••  +  Pt  Pnnkte  bestimmt 
werden,  von  denen  q  vollständig,  die  übrigen  nur  beschränkt 
frei  sind,  und  zujep|,p2*«-PA  auf  Arverschiedenen  Geraden 
liegen. 

Auflösung.  Zuerst  liefern  die  q  vollständig  freien  Punkte  unter 
sich  allein  \q  {q — 1)  Gerade.  —  Die  beschränkt  freien  Punkte  dagegen 
geben  nicht  nur  die  k  Geraden ,  auf  denen  die  einzelnen  Punktmassen 
Pii  Pf  'Pk  vertheilt  liegen ,  sondern  auch  die  ganze  Schaar  der  Geraden, 
welche  aus  der  Verbindung  eines  Punktes  der  Gruppe  pj^  mit  einem  Pnnkte 
einer  anderen  Gruppe  pi  hervorgehen.  Da  nun  die  Anzahl  der  Geraden, 
welche  aus  zwei  solchen  Gruppen  hervorgehen,  nach  Lehrsatz  3  gleich 
PA  Pi  sein  muss ,  so  wird  die  Gesammtzahl  der  Geraden  aus  allen  k  Grnp- 
pen  offenbar  gleich : 


Von  Prof.  Dr.  C.  A.  Bbetschmsider.  915 


PtPt+PtP»  +  PlP4  +  ***+Pk^tPk+Pk^iPk 

werden,  d.  h.  gleich  der  Summe  der  Binionen  ohne  Wiederholung  ans  den 
k  Zahlen  pi  p,  ^*  b.  w.  Bezeichnet  man  daher  diese  Snmme  inr  Ahkürznng 
mit  2^{pi  •'Pk)^  80  erhält  man  für  die  Zahl  der  Geraden,  welche  die  be* 
schränkt  fveien  Funkte  unter  sich  erzeugen,  den  Werth  Ar  +  «^z  (Pi  •  •  »Pk)» 
Zu  dieser  Qeaammtsunune  kommen  nun  noch  diejenigen  (Geraden  hinzu, 
welche  durch  Verbindung,  eine^  Punkt#8  aus  der  Gruppe  q  mit  einem  Punkte 
der  Gruppen  p  hervorgehen ,  deren  Zahl  nach  Lehrsatz  2  gleich 

ist. 

Als  Endresultat  ergiebt  sich  daher  die  Summe : 

4p (ö^l)  +  ^  +  (PiPt +Pi P«  +  •  •  •  +P*~iP*)  +  Ö'  (Pi  +Pi  + .  • .  +P*) 

==iS' (?  — 1) +^+ -2^  (S'^Pi )  Pi  •  • -P*)- 

Z  u  8  a  t  z  1.    Liegen  in  einer  Ebene  n  =  pi  +  Pt  +  •  •  •  +Pk  beschränkt 

freie  Punkte ,  welche  zu  je  Pi ,  p,  u.  s.  w.  auf  k  gerade  Linien  yertheilt  sind, 

80  ist  die  Zahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden  gleich  der  Summe  der 

Binionen  aus  den  Zahlen  P],Pt  Q*  s.  w.,  vermehrt  um  die  Zahl  A:,  d.  h.  gleich: 

^+PlPl+PlP8  +  «  •  •  +Plfc-lP*« 

Zusatz  2.  Sind  in  einer  Ebene  »  =  1  +Pi  +ps+  •  •  •  +P*  beschtönKt 
freie  Punkte  auf  k  Strahlen  eines  Strahlbüschels  so  vertheilt,  dass  einer 
von  ihnen  im  Strahlencentrnm ,  die  übrigen  zu  je  Pi ,  Pt  • .  •  pjb  Aaf  den 
k  Strahlen  liegen ,  so  ist  die  Zahl  der  hierdurch  bestimmten  Geraden  eben- 
falls gleich : 

Ä  +Pi  Pt  +Pi  P«  +  •  •  •  +Pk-\  Pk* 

Aufgabe  2.  Es  seien  in  einer  Ebene  »Punkte  gegeben, 
von  denen  q  vollständig,  die  übrigen  (n  —  g)  aber  nur  be- 
schränkt frei  sind,  und  auf  Ar  Strahlenbüscheln  so  vertheilt 
liegen,  dass  jedes  der  k  Strahlencentra  einen  Punkt  enthält, 
während  auf 

i»!  Strahlen  des  ersten  Büschels  je  Px\px\  pC *  •  «Pi*"* 

.    .  9  ff  fif  —^ 

m^ zweiten PtjPtyPt    •  •  •  Pt^ 

u.  s»  w.  u.  s»  w» 

mk Arten Pk,Pk\pk""'Pk"*^ 

der  gegebenen  Punkte  zu  liegen  kommen.     Man  soll  die  An- 
zahl aller  durch  diese  »Punkte  bestimmten  Geraden  angebe u. 
Auflösung.     Man  setze  zuvörderst  zur  Abkürzung: 
III  =3  m|  +  m,  +  .  - .  +  »1* 

p,=Pt'+pt"+-'-+Pi'" 
p,=Pt'+pt"+'-'+Pt'"* 


so  beträgt  die  Zahl  der  gegebenen  Punkte  «  =  jf  +  ä  +  p,  -J-  P»  +  •  •  •  +  P*> 


816        Ueber  die  Anzahl  der  Geraden ,  Ebenen  und  Punkte. 

und  die  Zahl  der  Strahlen,  velche  die  ArBüsehel  zuBammen  enthalten,  irt 
gleich  m. 

Zieht  man  zuerst  alle  Punkte,  mit  Ausnahme  der  k  Strahlenmittel- 
punkte, in  Betracht,  so  ist  die  Zahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden 
nach  Aufgabe  1  gleich  der  Summe  der  Binionen  aus  g  und  den  m  verschie- 
denen Zahlen  der  Form  />«*,  vermehrt  um  die  Grösse  ^^(s^— l)  +  "*i 
d.  h.  gleich:  •  ^ 

Hierzu  kommen  unn  zweitens  die  durch  die  A:Centra  noch  entstehenden 
Geraden,  welche  in  zwei  Gruppen  zerfallen.  Die  erste  derselben  wird 
durch  die  Geraden  gebildet,  welche  die  Strahlencentra  unter  sich  bestim- 
men. Da  es  der  Willkür  überlassen  ist ,  ob  diese  Centra  unter  einander 
vollständig  oder  nur  beschränkt'frei  sein  sollen ,  so  bezeichne  man  die  An- 
zahl der  durch  sie  allein  entstehenden  Geraden  mit  k'j  ein  Werth»  der  nach 
den  bereits  ermittelten  Gesetzen  in  jedem  Falle  gefunden  werden  kann. 
Die  zweite  Gruppe  von  Geraden  enthält  dagegen  alle  diejenigen,  welche 
durch  Verbindung  eines  Centrums  mit  allen  übrigen ,  nicht  zu  seinem  Bü- 
schel gehörigen  Punktmassen  />,• ,  sowie  mit  den  Punkten  q  hervorgehen. 
Da  hiernach  jede  Zahl  pi  mit  (k — i)  Strahlenmittelpunkten  verbunden 
wird,  so  ist  die  Zahl  der  zweiten  Gruppe  gleich 

fcq+  {k-1)  2,  {p1)  =  k£,  {q,  p^)  ^  27,  {p% 
wenn  man  durch  Ei  {pi)  die  Summe  der  Unionen  aus  den  m  Grössen  der 
Form  p  i  bezeichnet.  —  Als  Endresultat  folgt  daher  für  die  gesuchte  Zahl : 
.        iq{q'-i)  +  m  +  k'  +  i:,{q,  p?)  +  k£,  {q.pf)  -  Z,  {pf) 
=  \g{q-l)  +  fn  +  k'  +  £,{k,q,pf)-^{n-q—k). 
Zusatz  1.    Sind  die  k  Strahlencentra  unter  einander  vollständig  frei, 
so  wird  k'^=z^k  (k — 1)  und  es  kann  der  gefundene  Endwerth  in  nach- 
stehende Form  zusammengezogen  werden: 

Zusatz  2.  Fallen  die  q  vollständig  freien  Punkte  gänzlich  hinweg, 
so  bleiben  nur  noch  die  auf  den  Strahleubüscheln  liegenden  Punktmassen 
übrig,  und  es  reducirt  sich  die  Zahl  der  alsdanu  noch  möglichen  Ge- 
raden  auf: 

ik{k  +  l)  +  m  —  n  +  2:,(k,pf). 

Aufgabe  3.  Es  seien  in  einer  Ebene  n=:g  +  i^+Pi +/>t+ •- - 
+  Pk  Punkte  gegeben,  von  denen  q  vollständig,  .die  übrigen 
(n — q)  nur  beschränkt  frei  sind.  Von  den  letzteren  sollen 
k  die  Spitzen  eines  einfachen  k  Eckes  bilden,  während  auf 
den  einzelnen  Seiten  desselben  noch  ausserdem  je  pi,^,  ..  ./i^ 
Punkte  vertheilt  liegen.  Man  verlangt  die  Anzahl  aller  Ge- 
raden, welche  durch  diese  nPunkte  bestimmt  sind. 


Von  Prof.  Dr.  C.  A.  Bbetschnbidkb.  3t7 

Anflöflung.  Zuerst  geben  die  ü:  Spitsea  der  Figur ,  da  sie  unter 
einander  gftnzlicb  frei  sind,  ^^(^--1)  Gerade,  in  welcher  Zahl  natärltch 
die  Seiten  der  Figar,  auf  denen  die  />,,  Pf  •  »Pk  Punktmassen  liegen,  mit 
einbegriffen  si^nd.  Ebenso  geben  diese  p, ,  p^  etc«  Punkte  unter  sich 
Zf  (Pif  Pt '  •  •  Pk)  Gerade.  Hierzu  kommt  aber  zweitens  die  Zahl  der  Oe* 
raden,  welche  jede  der  iir  Spitzen  mit  den  Gruppen  p,,  Pt*  ^Pk  erzeugt, 
und  zwar  mit  allen  denjenigen ,  die  nicht  mit  ihr  zugleich  auf  einerlei  Seite 
liegen.  Da  hiemach  jede  dieser  Gruppen  zwei  Mal  wegfüliig  wird,  so 
beträgt  die  Gesammtzahl  der  so  entstehenden  Geraden : 

(A  — 2)  (Pi+Pt  +  ...  +Pk)  =  k  (pi  +pt  +  . . .  +Pk)  —  2(n—q—k). 
£$  liefern  mithin  die  beschränkt  freien  Punkte  unter  sich 

\k(k—\)  +  2^(p^...pk)  +  k{p,+p^+...+Pk)  —  2(n^q^k) 

=  ik(k--l)  —  2(n-q-k)  +  i:,(k,p,...pk) 

Gerade.  —  Da  nun  die  q  vollständig  freien  Pnnkte  unter  sich  \q(q — 1) 

und  mit  den  übrigen  (n — q)  Punkten  noch  q  (n — g) Gerade  erzengen,  so 

beträgt  das  Endresultat  die  Summe: 

\q(q-l)  +  hHk-^)—^(n-q~k)  +  i:,(k,p,...pk)+q(k,+p,+p^+... 
+  Pk)  =  kq(q  +  V  +  hk{k  +  Z)  —  tn  +  i:,(q,k,p,...pk). 
Zusatz.     Fallen  die  q  vollständig  freien  Punkte  gänzlich  weg,   so 
bleiben  nur  noch  die  auf  die  Spitzen  und  Seiten  des  k  Eckes  vertheilten 
Pankte  übrig,  uud  diese  erzeugen  noch  die  Zahl  von 

kk(k  +  Z)-2n  +  i;,(k,p,...p,) 
geraden  Linien ,  mit  Einschluss  der  Seiten  der  Figur. 

§.5. 

II.  Es  aeien  im  Räume  nPunkte  gegeben;  man  suche  die 
Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden. 

Sind  die  gegebenen  Punkte  im  Räume  vollständig  frei  oder  liegen  sie 
entweder  sämmtlich  oder  doch  theilweise  auf  geraden  Linien  vertheilt,  so- 
wie dies  in  dem  Falle  I  angenommen  worden ,  so  gelten  alle  die  unter  I 
entwickelten  Formeln,  bei  denen  die  gegebenen  Punkte  in  einer  Ebene 
lagen,  auch  jetzt  noch,  wo  sie  als  im  Räume  liegend  angenommen  werden. 
Denn  da  durch  zwei  Punkte  stets  eine  Gerade  bestimmt  wird,  mögen  nun 
jene  in  einer  Ebene  oder  im  Räume  liegen ,  so  ändert  sich  in  den  Schlfissen 
des  Falles  I  nicht  das  Mindeste ,  wenn  sie  auf  den  vorliegenden  Fall  II  an- 
gewendet werden.  Neue  Bestimmungen  können  hier  erst  dann  eintreten, 
wenn  die  beschränkt  freien  Punkte  auch  auf  Ebenen  vertheilt  sind. 

Lehrsatz  4.  Sind  im  Räume  naj'  +  r,  +  r,+ ... +r„  Punkte 
gegeben,  von  denen  ^  vollständig,  die  übrigen  nur  beschränkt 
frei  und  zu  je  r,,  r, ...  r,.  A^f  f^»  verschiedene  Ebenen  vertheilt 
sind,  in  denen  sie  beziehungsweise  g^,  ^s  •  •  .  ^m'Gerade  be- 
stimmen, —  so  ist  die  Zahl  der  durch  sie  erzeugten  Goraden 
gleich  i?  («'  —  1)  +  (<7,  +  0^«+  •  •  •  +  fl'm)  +  -2i  (q,  r,  .  . .  r«). 


318         Ueber  die  Anzahl  der  Geraden^  Bbenen  und  Punkte. 

Denn  es  geben  die  q  Punkte  unter  sich  ^q  {q  —  1)  Gerade,  die  Punkte 
hingegen,  welche  in  denselben  Ebenen  liegen,  beziehungsweise ^i,  ^t-.gi 
Gerade ,  wodurch  die  beiden  ersten  Glieder  der  Formel  erhalten  werden. 
Sodann  aber  giebt  jeder  Punkt  aus  einer  der  Gruppen  g,  Tj  ,  r,  .  • .  fa  mit 
jedem  Punkte  aller  übrigen  Gruppen  noch  eine  Anzahl  von  Geraden,  deren 
Summe  der  Summe  der  Binionen  aus  sämmtlichen  Zahlen  9,  r, . . .  ra  gldch 
sein  muss. 

Zusatz.  Sind  die  Punkte  einer  und  derselben  Gruppe  r/  in  ihrei 
zugehörigen  Ebene  vollständig  frei,  so  wird  ^,-  =  ^r^  (r;  —  1)  und  der  oben 
gefundene  Ausdruck  verwandelt  sieh  in : 

4^(^  — l)  +  in(r,— l)+.4r,(r,  — l)  +  ...  +  4r«(r«— l)+2;te,n...r,V 
ein  Werth ,  der  sich  offenbar  auf  ^n  (n  —  l)  reducirt. 

In  der  That  sind  dann  sämmtlichen  Punkte  vollständig  frei,  da  die 
Gerade,  welche  zwei  derselben  verbindet,  falle  dieselbe  nun  in  eine  der 
gegebenen  Ebenen  oder  in  den  Baum,  doch  durch  keinen  der  übrigen 
(n  —  2)  Punkte  hindurchgehen  kann. 

Lehrsatz  6.  SindimRanme  »  =  5'+Pi  +  ...+p*  +  '*i+''t  +  -* 
+  rn  Punkte  gegeben,  von  denen  g  vollständig,  die  übrigen 
(n  —  q)  aber  nur  beschränkt  frei  sin^,  und  zwar  zu  jepi, p, ...pi 
aufArGeradenund  zujer,  ,r,  ...r^  aufmEbenen  liegen,  in  de- 
nen sie  beziehungsweise  ^1,  g^  •  •gm  Gerade  bilden;  —  so  ist 
die  Gesammtzahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden  gleich: 
iö'Cä'— l)  +  ^+ (ö'i+^t  +  .  •  •  +  ö'«)  +  -2;(ö',p,  ...p*,  rj  . . .  r,). 
Zuvörderst  geben  die  (fi'  +  ^1  +  r,  + . . ,  +  r^  Punkte  unter  sich  nach 
dem  vorigen  Lehrsatze  die  Zahl  von 

iö' (?  —  !)  + (ö'i +fl'«  + ..  .  +  0^») +  2;  (^,r,,  r,  ..  .r^) 
Geraden.  Die  auf  k  Geraden  vertheilten  Punktmassen  unter  sich  liefern 
dagegen  nach  Aufgabe  1,  Zusatz  i  die  Zahl  von  ^+2^  (pj  •--  Pk)  Geraden. 
Rechnet  man  hierzu  noch  die  Geraden,  welche  jeder  Punkt  der  Gruppe 
(Pi  •  •  *Pk)  mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  (^,  pi  .  .  .pjt)  erzeugt,  deren  An- 
zahl gleich 

(Pi  +Pt  +  .  "+Pk)  (g+r,  +r,  +  . .  .  +  r„) 

ist,  so  erhält  man  für  die  Gesammtsumme  den  Werth: 

4«  (g— l)  +  A:  +  (0^1  +  ^i  +.  •  '+gm)  +  £t(qy  r,  . .  .r„)  +  2;  (p, .  ..pt) 

+  (Pt+P2  +  '"+Pm)  (q-^u  +^t  +  •  •  •  +  r«) 

=  \q(9—'^)  +  ^  +  (gi  +  gt  +  '>'  +  gm)  +  £f(q,  p^...pk,r^^..  r,). 

Zusatz.  Sind  die  r,-  Punkte  in  jeder  ihrer  Ebenen  unter  sich  toII- 
ständig  frei,  so  bezeichne  man  ö^  +  ''i  +  '*f  +  • .  •  +  ^m  =  »;  dann  ist  die 
Zahl  der  vorhandenen  Geraden  gleich: 

i»(r— !)  +  («  — r)r  +  Ar+-2;(p,  ...pit). 

Lehrsatz  6.  Sind  im  Räume  n  =  ö' +  Ä  +  r,  +  r,  +  . .. +r» 
Punkte  gegeben,  von  denen  9  vollständig,  die  übrigen  (n—f) 
nur    beschränkt    frei    sind,    und    zwar    auf   m  Bbenen    eines 


Voa  Prof.  Dr.  C.  A.  Bretschnbideb,  319 


EbeneabOschels  so  Tertheilt  liegen,  daas  h  derselben  in  die 
Achse  des  Büschels,  die  ttbrigen  zujeri,  r^^^^r^  au  fdiee  in  ^ 
z einen  Ebenen  fallen  und  in  ihnen  beziehungsweise  ffitg^Qm 
Gerade  erzeugen;  —  so  beträgt  die  Zahl  der  durch  diese 
nPnnkte  bestimmten  Geraden 

1  +  4^  (7— 1)+  (S'i  +  Ö^tH-  .  • .  +^».)  +  2;  (y,  A,  r, . . .  r„). 
Denn  es  liefern  zuerst  die  fi'  +  rj  +  r,+  «*  • +»•■•  Punkte  unter  sich 
nach  Lehrsatz  4  die  Zahl  von 

\9  (0^  —  1)+  (^1  +yt  +  . . .  +  flfm)  +  ^(g,  n  •  • .  rm) 
Gerade,  während  die  h  Punkte  unter  sich  nur  eine  einzige  Gerade  be- 
stimmen ,  nAmltch  die  Achse  des  Büschels.  Zweitens  aber  liefert  jeder  der 
Ponkte  h  mit  jedem  der  übrigen  (n — h)  Punkte  eine  Gerade,  also  h{q-\-r^ 
-f-  r,  +  •  •  •  +  ^hb)  in  Summe ,  woraus  sich  denn  die  oben  gefundene  Formel 
sofort  zusammensetzt. 

Zusatz.  Nimmt  man  auch  hier  jede  der  r^  Gruppen  in  ihrer  Ebene 
als  Yollst&ndig  frei  an,  so  verwandelt  sich  die  Formel  des  Lehrsatzes  in: 

j(„_Ä)(n— Ä— l)  +  l  +  Ä(ii-Ä)  =  l+i(«_Ä)(«  +  Ä-l), 
ein  Ausdruck,  der  ungeändert  bleibt,   wenn  g  s=  0  gesetzt  und  damit  die 
ganze  Masse  der  n  gegebenen  Punkte  als  beschränkt  frei  angesehen  wird. 

Mittelst  der  vorstehenden  Lehrsätze  können  nun  alle  Aufgaben  Über 
die  Anzahl  von  Geraden,  welche  durch  Punkte  im  Räume  bestimmt  sind, 
gelöst  werden,  mögen  nun  diese  Punkte  auf  ganz  beliebige  Weise  unter 
Strahlenbüschel  und  Ebenenbüschel  vertheilt  oder  theilweise  vollständig 
frei  sein.  Namentlich  gehört  hierher  der  Fall ,  wenn  die  Punkte  auf  den 
Ecken,  Kanten  und  Grenzflächen  eines  Polyeders  liegen.  Indessen  dürfte 
es  überflüssig  sein ,  länger  hierbei  zu  verweilen ,  da  die  unter  I  gelösten 
analogen  Aufgaben  sattsam  zeigen ,  wie  man  hierbei  zu  verfahren  hat. 

§.6. 

IIL  Es  seien  im  Kaume  nPunkte-  gegeben;  man  suche 
die  Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Ebenen. 

Lehrsatz  7.  Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  durch  n  im 
Räume  vollständig  freie  Punkte  bestimmt  wird,  beträgt: 

n(ii->l)(n— 2) 
1.2.3 

Jeder  einzelne  der  n  Punkte  bestimmt  mit  den  übrigea  (n — 1)  Punk^ 
ten  so  viele  Ebenen,  als  diese  (n — 1)  Punkte  unter  sich  verschiedene  Ge- 
rade erzeugen,  nämlich  \{n—\)  (n — 2).  Die  Gesammtzahl  aller  Ebenen 
würde  demnach  «i«  (n— 1)  (« — 2)  sein,  wenn  dabei  nicht  jede  Ebene  drei 
Mal  gezählt  wäre,  indem  sie  nämlich  von  jedem  ihrer  drei  bestimmenden 
Punkte  aus  einmal  in  Rechnung  genommen  worden  ist.  Die  wahre  Anzahl 
aller  Ebenen  beträgt  daher  nur  den  dritten  Theil  der  vorhin  gefundenen 
Summe. 


320        lieber  die  AnzAbt  der  Geraden  ^  Ebenen  nnd  Pankte. 

LebrsatK  S.  Die  Anxahl  der  Ebenen,  welebe  im  Räume 
durch  n=^q  +  p  Punkte  beBtimmt  werden,  von  denen  q  voll- 
ständig frei  sind,  die  übrigen  p  hingegen  in  einer  Geraden 
liegen,  —  beträgt: 

q+\g{q—i)p  +  Hi9—^){9-^)' 

Denn  die  Gerade  />'giebt  zuvorderst  mit  jedem  der  q  freien  Punkte 
eine  Ebene ,  also  zusammen  q  Ebenen,  Sodann  bestimmt  jeder  einzelne 
Punkt  der  p  mit  jeder  der  ^q  {q  —  1)  Geraden,  welche  die  Gruppe  q  unter 
sich  erzengt,  eine  neue  Ebene,  wodurch  ^q  {q — l)  p  Ebenen  entstehen- 
Endlich  geben  die  g  Punkte  unter  sich  noch  ^q  {q — 1)  {q — 2)  Ebenen, 
womit  die  im  Lehrsatze  angegebene  Gesammtzahl  erfüllt  ist. 

Lehrsatz  0.  Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  durch  n=q+r 
Punkte  im  Räume  erzeugt  werden,  von  denen  q  vollständig 
frei  sind,  während  die  übrigen  r  in  einer  Ebene  liegen  nnd 
in  derselben  ^Gerade  bilden,  —  beträgt: 

l  +  qg+iq{q  —  l)r  +  ^q[q-l){q--2). 

Denn  zuerst  geben  die  r  Punkte  unter  sich  r  Ebenen  und  die  q  Punkte 
unter  sich  deren  ^q  {q — i){q  —  2).  Sodann  liefert  jede  der  ^  Geraden  in 
der  Ebene  r  mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  q  eine  Ebene,  also  in  Summe 
qg  Ebenen;  und  umgekehrt  bestimmt  jede  der  ^q{q — i)  Geraden  aus  der 
Gruppe  q  mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  r  gleichfalls  eine  Ebene ,  also  zu- 
sammen ^q  {q — 1)  r ,  womit  die  im  Lehrsatz  angegebene  Gesammtsahl  er- 
'  füllt  ist. 

Znsatz.  Sind  die  r  Pankte  in  ihrer  Ebene  vollständig  frei,  so  wird 
^  s=  ^r  (r — 1)  und  damit  erhält  man  als  die  höchste  Zahl  von  Ebenen,  die 
durch  die  n  =  g  +  '*  Punkte  bestimmt  werden ^  die  Summe: 

l  +  kr{r—l)q  +  r.\q{q—l)  +  ^q(q-^l)(q-2) 
=  l  +  in(n-l)(«-.2)  — .Jr(r-l)(r— 2), 
ein  Resultat,  welches  dem  in  Lehrsatz  2,  Zusatz  1  erhaltenen  analog  ist, 
und  sich  ganz  auf  dieselbe  Art,  wie  dieses,  auf  den  Lehrsatz  7  zurück- 
führen lässt. 

Lehrsatz  10.  Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  dureii 
nz=zp  +  r  Punkte  im  Räume  bestimmt  werden,  von  denen/»  in 
einer  Geraden,  die  übrigen  r  hingegen  in  einer  ausserhalb 
dieser  Geraden  liegenden  Ebene  enthalten  sind,  in  welcher 
sie  g  Gerade  erzeugen,  —  beträgt: 

i+pg+r* 

Es  geben  nämlich  die  r  Punkte  unter  sich  1  Ebene ;  sodann  liefern  die 
durch  diese  r  Punkte  bestimmten  Geraden  g  mit  den  p  Punkten  der  gege- 
benen Geraden  p  g  Ebenen ;  und  endlich  entstehen  durch  die  Yerbindnng 
dieser  letzten  Geraden  mit  jedem  der  r  Punkte  noch  r  verschiedene 
Ebenen. 

Zusatz.     Sind  die  r  Punkte  in  der  Ebene  volbtändig  frei,  so  erbllt 


Von  Prof.  Dr.  C.  A«  BRBTSOHifBiDBB.  321 


man  als  die  höchste  Zahl  von  Ebenen ,  die  duroh  die  p  -|-  r  Punkte  ersengt 
werden  kann,,  die  Sttrome: 

l  +  \r(r—i)p+r. 

Lehrsatz  11.  Die  Anaahl  der  Ebenen,  welche  dnrch 
11=:^ +  />  +  '' Paukte  im  Baum  bestimmt  werden,  von  denen  q 
▼  ollstftndig,  diä  Übrigen  beschränkt  frei  sind,  und  awar  so, 
dass  p  derselben  anf  einer  Geraden,  die  übrigen  r  anfeiner 
Ebene  liegen,  in  der  sie  p  Gerade  er  sengen,  —  beträgt: 
l+lq(q~l)(g—^)  +  g(p  +  g)^(r  +  p)+\q(q-l)(r+p)  +  qpr. 

Die  ans  den  n  Punkten  hervorgehenden  Ebenen  sind  erstens  solche, 
welche  ans  den  Punkten  der  einzelnen  Gmppen  ?,  p,  r  unter  sich  bestinfuit 
werden,  nämlieh  aus  r  nur  eine,  anu  p  gar  keine  und  aus  ^  deren  lq(q — 1) 
(q — 2).  Damit  sind  die  beiden  ersten  Glieder  des  obigen  Resultates  ge« 
Wonnen. 

Sodann  folgen  die  Ebenen,  welche  aas  je  swei  Punkten  ^r  einen 
Gruppe  und  je  einem  der  übrigen  beiden  Gruppen  entstehen,  oder  mit  an- 
deren Worten,  die  Ebenen,  welche  durch  eine  Gerade  der  einen  und  einen 
Punkt  einer  anderen  Gruppe  erhalten  werden.  Es  liefern  aber  die  g  Ge- 
raden der  Gruppe  r  noch  giq-j^p)  Ebenen,  die  eine  Grerade  der  Ghruppe 
p  noch  p  (q  +  r)  Ebenen  und  endlich  die  ^q(q^-l)  Geraden  der  Gruppe  q 
noch  lq(q  —l)  (p  +  r)  Ebenen,  womit  die  drei  nächsten  Glieder  der  obi- 
gen Gesammt^umme  gefunden  sind. 

Endlich  sind  noch  die  Ebenen  hinsniuzählen ,  welche  durch  je  drei 
Punkte  der  drei  verschiedenen  Gruppen  gebildet  werden,  und  deren  Zahl 
nach  combinatorischen  Gesetzen  qpr  beträgt. 

Lehrsatz  12.  Sind  im  Räume  it=f +Pi+Pt+*'«'4-P«+''i+^t+ 
•  ••  +  ra>  Punkte  gegeben,  von  denen  q  vollständig,  die  ttbri* 
gen(n  —  9)  nur  beschränkt  frei  sind,  und  zwarinGruppenvon 
j®  Pi)  Pf'Pk  *uf  k  verschiedenen  Geraden  und  in  Gruppen 
von  je  Ti,  r,...riB  aufm  verschiedenen  Ebenen  liegen,  in  denen 
sie  beziehungsweise  p,,  gf'ffm  Gerade  bestimmen;  —  so  ist 
die  Zahl  aller  durch  diese  n  Punkte  erzeugten  Ebenen  gleich: 
m  +  n\k  +  g^+g^+...  +  g^+^q(q~l)\  +  2t(q,Pi..,pk,  ^...r^) 
—  (P1+Ä  +  .-+P*)  — (ö'i'',+p,r,+...-Hp,„r„)— i(^  +  l)g(5'— 1). 

Werden  die  einzelnen  Bestandtheile  der  Gesammtsumme  ganz  in  der- 
selben Weise  entwickelt,  wie  dies  im  vorangehenden  Lehrsatze  geschah, 
80  erhalten  wir  zunächst  für  die  Zahl  der  Ebenen,  die  durch  die  Punkte 
der  Gruppen  q^Pi^  rj^  unter  sich  erzeugt  werden ,  die  Werl^e  m,  0,  ^q{q — 1) 

Nimmt  man  zweitens  die  Ebeneo,  welche  dnrch  die  Greraden  ans 
einer  Grappe  und  alle  Punkte  der  übrigen  Gruppen  erzeugt  werden,  so  er- 
hält man  für  die  Gruppen  r  die  Summe : 

Zeiuehrifl  f.  Malheinalik  a.  Physik.  VI,  5.  23 


322         lieber  die  Anzahl  der  Geraden^  Ebenen  und  Pankte. 

während  dagegen  die  Gruppen/»  den  Werth: 

(n—Pt)  +  (n—Pt)  +  . . .  +  (n—Pk)  =  ^«  — (Pi  +Pf  +  •  •  -  +P»)t 
und  die  Gruppe  y  den  Werth  \q(q — i)(n  —  f)  giebt.     Die  Gesammtzahl 
dieser  zweiten  Reihe  von  Ebenen  beträgt  daher: 

Endlich  hat  man  noeh  die  £benen  zu  zählen ,  welche  durch  je  3  Punkte 
dreier  verschiedener  Grnppen  entstehen.  Ihre  Anzahl  ist  aber  gleich  der 
Summe  der  Ternionen  ohne  Wiederholung  aas  sämmtllchen  (m+  k  +  1) 
Gruppenzahlen ,  d.  h*  gleich  2^  (q^»  pi  •  •  pit  •  r, .  •  rm).  Die  Vereinignng 
dieser  drei  Partialsummen  in  eine  GesamnUsomme  liefert  nnnittelhar  die 
im*  Lehrsatze  angegebene  Formel. 

Zusatz  1.  Sind  die  n  Punkte,  welche  in  «iner  einzelnen  Ebene  lie* 
gen,  nnter  sich  vollstündig  frei,  so  wird  allgemein  gi^=\n(ri  —  1)  nnd 
man  erhält  dann  für  die  höchste  Zahl  Ton  Ebenen,  welche  unter  den  Vor- 
aussetzungen des  Lehrsatzes  noch  möglich  zind,  den  Werth: 

+  £9(9yPt  "Pk^r^'.r^) 

-"i(^  +  l)^(g-l)t 
der  sich  auch  leicht  nnter  folgende  Form  bringen. lässt: 

•  .  +  r„). 
Zusatz  t.     Sind  im  Räume  m  >:=:  g  -f-  r|  +  ^t  +  •  •  rm  Punkte  gegeben, 
welche  den  im  Lehrsatze  angegebenen  Bedingungen  entsprechen,   so  J^t 
die  Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Ebenen  noch : 

»»  +  «  \9i+9t  +  *'  +  9m  +  4^  ^^— i)}  +  ^(9n  r^ .  •  O 
—  t^i  »•»  +  ö'f  '•t  +  .  -  +  ^m  r«}  —  I  (5'  +  1)  ^  (g  -r.l), 
also  im  günstigsten  Falle,  wenn  jede  der  r  Punktgruppen  in  ihrer  Ebene 
volUtändig  frei  ist: 

Zusatz  d«  Sind  im  Räume  n^^q+  Pt  +  Pf  +  .  •+  Pk  Punkte  ge- 
geben ,  welche'  den  im  Lehrsatze  angegebenen  Bedingungen  eatspreehen, 
so  iHt  die  Anzahl  aller  durch  sie  bestimmten  Ebenen  gleich : 

n\{k^l)  +  y(q  —  l)\^:^q(q+2)(q—2)  +  £,{q,p,..pk). 

Zusatz  4.  Liegen  im  Räume  «=jPi +Pt  +  •  •  +  Pfc+ '"i +-''1 +•  • 
+  Tm  beschränkt  freie  Punkte,  voi^  denen  je  jt»i ,  p,  •  .pk  znf  k  Gerade  und 
je  r| ,  r, . .  Vm  »uf  m  Ebenen  vertbeilt  sind ,  in  denen  sie  beziehuiigeweise 
P11  ^t  •  •  (/m  Gerade  erzeugen ;  —  so  beträgt  die  Gesan^mtzahl  der  dnzeh  sie 
bestimiuten  Ebenen: 


Von  Prof.  Dr,  C*  A,  Bbbtschneider.  323 

m  +  n{k+g^+g^  +  ..  +  g^)  +  S^(Pi..  pk,  r,  . .  r») 
—  {Px  +Pt  +  .  *+Pk)  —  (ßt  r,  +g^  r^+*.  +  9mrm)j 
also  im  gfinstigstaii  Falle,  weno  alle  r,- Punkte  in  ihren  Ebenen  vollständig 
frei  sind: 

m  +  n(Ar-l)  +  2;,(A..p»r,..r.)— l(V+..  +  r^») 

ZnsatB  5.  Die  Anzahl  der  dnrch  i}£=:pi +j9,  +  *  •+P*  beschränkt 
freie  Punkte  bestimmten  Ebenen  beträgt,  wenn  je  PiyPfPk  Punkte  in 
k  Geraden  liegen : 

«(^— l)  +  2r,(p,.  .pife). 

Znsatz  6.  Liegen  im  Räume  » "=  r^  +  ^t  +  •  •  +  ''m  beschränkt  freie 
Punkte,  Von  denen  je >|,  r^*.*r^  in  m  verschiedenen  Ebenen  enthalten 
sind  und  in  diesen  beaiehungsweise  gt^  gt*  •gm  Gerade  bilden ,  lo  ist  die 
Gesammtzahl  der  durch  sie  bestimmten  Ebenen  gleich : 

«+  «  (fl'i  +  fl'a  + . .  +  ^».)  —  <^i^  +  ^ir,  + . .  +^„  r„)  +  X,  (r,  r, .  .  r«,), 
also,  wenn  jede  r,- Punkte  in  ihrer  Ebene  vollständig  frei  sind: 
«-1«'  — 4(V+.-  +  r«,»)  +  4{n+l)(V  +  V  +  ..+r««)+2;.(r,..r«). 

§.7. 

IV.  Es  seien  in  einer  Ebenen  Ger  ade  gegeben;  man  Suche 
die  Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Schnittpunkte. 

Lehrsatz  13.  Die  Anzahl  der  Schnittpunkte,  welche  in 
einer  Ebene  durch  n  vollständig  freie  Gerade  erzeugt  wer- 
den, beträgt: 

\n{n-\). 

Lehrsatz  14,  Die  Anzahl  der  Schnittpunkte,  welche 
ii=9^<f /i +/t  +  *-+^ib  in  einer  Ebene  liegende  Gerade  erzen- 
gen, von  denen  q  vollständig,  die  übrigen  hingegen  be- 
schränkt frei  sind  und  zu  je  /|,  /;i .  */jt  durch  k  in  endlicher  oder 
unendlicher  Entfernung  gelegene  Punkte  hindurchgehen;  — 
beträgt: 

k  +  \qlq—l)  +  S^{qyh..tk). 

Zusatz.     Fallen  die  vollständig  freien  Geraden  hinweg,  so  dass  nur 
noch  die  Strahlen  der  Ar  Strahlenbttschel  oder  Strahlenbüni^el  übrig  bleiben,  ' 
so  reducirt  sich  die  Anzahl  aller  noch  mdglichen  Schnittpunkte  auf: 

A:  + 2;  (<,/,•-(*). 

Die  Beweise  dieser  Sätze  sind  denen  der  Aufgabe  I  vollständig  ana- 
log und  können  aus  letzteren  unmittelbar  erhalten  werden ,  wenn  man  in 
ihnen  Überali  statt  Punkt  und  Gerade  beziehungsweise  Qerade  und  Punkt 
snbstituirt.  Es  kann  daher  die  weitere  Untersuchung  der  im  vorliegenden 
Falle  möglichen  Aufgaben  umsomebr  erspart  werden ,  als  die  Endformeln 
mit  doneu  der  No.  I  (mutaÜB  muiandis)  völlig  übereinstimmen  müssen« 

23* 


324        lieber  die  Anzahl  der  Gei^adeti,  Ebenen  und  Punkte. 

§.8. 

V.  Es  seien  im  Räume  n  Gerade  gegeben;  mansucbedie 
Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Schnittpunkte  und  Ebenen. 

Da  zwei  Gerade  im  Räume  nur  dann  einen  Schnittpunkt  besitzen, 
wenn  sie  in  einer  Ebene  liegen,  und  nur  dann  eine  Ebene  bestimmen, 
wenn  sie  durch  einen  Punkt  hindurchgehen,  so  folgt,  dass  die  Aufgabe 
nur  unter  den  beiden  bestimmten  Voraussetzungen  lösbar  ist ,  dass  alle  Ge- 
rade entweder  durch  einen  Punkt  oder  durch  eine  Gerade  hindurch- 
gehen. 

A.    Sämmtliche  Gerade  gehen  durch  einen  und  denselben 

Punkt. 

Lehrsatz^  15.  Liegen  von  »Geraden,  die  durch  einen  und 
denselben  Punkt  gehen,  nie  mehr  als  zwei  in  einerlei  Ebene, 
so  bestimmen  dieselben 

1  Schnittpunkt  Y 
\n  {n  —  1)  Ebenen. 
Lehrsatz  16.  Gehen  im  Räume  n  =  5^ +  /,  + /i+ ••  +  '*  Ge- 
rade durch  einen  und  denselben  Punkt,  und  sind  von  ihnen 
q  unter  sich  vollständig,  die  übrigen  aber  nur  beschränkt 
frei,  so  dassje^j,^,  ../jtderselbeninArverschiedenen  Ebenen 
liegen,  so  werden  durch  diese  n  Geraden  bestimmt: 

1  Schnittpunkt, 
^  +  y  {q  —  i)  +  2:,(q,  h  >'tk)  Ebenen. 
Den  Beweis  diesei^  Sätze  erhält  man  unmittelbar  aus  No.  I,  wenn 
man  durch  das  System  der  n  gegebenen  Geraden ,  jedoch  ausserhalb  ihre« 
gemeinschaftlichen  Schnittpunktes,  eine  Ebene  legt.  Jede  der  n  Geraden 
wird  in  dieser  Ebene  dnrch  ihren  Schnittpunkt  mit  letzterer  vertreten,  und 
ebenso  findet  sich  jede  der  durch  zwei  der  n  Geraden  bestimmten  Ebenen 
durch  die  Schnittlinie  repräsentirt,  welche  sie  mit  der  Hilfsebene  bildet 
Die  Aufgabe  kommt  daher  gänzlich  auf  die  der  No.  I  zuriick. 

B.     Sämmtliche  Gerade  geben  durch  eine  und  dieselbe 

Gerade. 

Lehrsatz  17.  Durch  n  =  k+l  Gerade  im  Räume,  von  denen 
k  durch  eine  und  dieselbe  (i+l)**  geschnitten  werden,  übri- 
gens aber  unter  einander  vollständig  frei  sind,  werden  be- 
stimmt: k  Schnittpunkte  und 

Ar  Ebenen. 

Denn  jede  der  ArGerftden  bildet  mit  der  letzten  (Ar+l)**"  einen  Schnitt- 
punkt und  giebt  mit  ihr  zugleich  eine  Ebene. 

Lehrsatz  18.  Es  seien  im  Raume«=l+A  +  'i  +  "-  +  4  6** 
rade  gegeben,  von  denen  je  /|,  /,  . .  fj^  Ar  räumliche  Strahlen- 


Von  Prof.  Dr.  C.  A.  Brethchneider.  325 

büschel  bilden  und  in  jedem  derselben  beziehungsweise  je 
<'i,/rt..€;jt£benenbe8timmen,  sonst  aberrollständigfrei  sind. 
Wenn  nun  dieCeotra  aller  ArBtischel  anf  einer  und  derselben 
li^"*"  Geraden  liegen»  so  werden  durch  die  nLinien  überhaupt 
bestimmt: 

k  Schnittpunkte  und 
(«— 1)  +  («j  +  ^,  +  . .  +  ek)  Ebenen. 

Denn  ausser  den  ei  Ebenen ,  welche  die  Strahlen  jedes  Büschels  unter 
einander  erzeugen,  liefert  auch  die  Verbindungslinie  der /^  Büsehelcentra 
mit  jeder  der  übrigen  (n  —  l)  Geraden  nooh  eine  Ebene. 

Zusatz.  Sind  die  Strahlen  jedes  Büschels  unter  sich  vollständig  frei, 
80  ist  ei=s  |/<(/i-~l),  und  man  erhält  für  die  Gesammtzahl  der  möglichen 
^Ebenen  die  Summe : 

il'itt-1) +  '«(^-1)  +  . .+'*('*— 0!  +  («-i)  =  l{'i*  +  ^.'+..+^**j 

+  l(«-i).  ^ 

Das  Vorstehende  reicht  vollkommen  hin ,  um  in  jedem  zusammenge- 
setzteren Falle,  der  hier  etwa  vorkommen  möchte,  die  verlangten  Zahlen 
zu  finden,  weshalb  ein  Emgehen  in  grösseres  Detail  füglich  unterlassen 
werden  kann. 

§.9. 

VI.  Eis  seien  im  Räume  n  Ebenen  gegeben;  man  suche  die 
Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Schnittlinien  und  Schnitt* 
pnukte. 

Lehrsatz  19.  Durch  n  im  Räume  vollständig  freie  Ebenen 
werden  stets  bestimmt: 

^n  (« — 1)  Schnittlinien, 
\n  (n  —  1)  («  —  2)  Schnittpunkte. 

Die  Beweise  sind  genau  denen  ähnlich,  welche  in  Lehrsatz  1  und  7 
für  die  analogen  Sätze  geführt  worden  sind,  und  werden  aus  letzteren  un- 
mittelbar erhalten,  wain  man  in  ihnen  die  Benennungen  Punkt  und  Ebene 
unter  einander  vertauscht. 

Zusatz.  Gehen  alle  n  Ebenen  durch  einen  und  denselben  Punkt, 
bleiben  aber  im  übrigen  vollständig  frei ,  so  geben  sie  nur  noch  1  Schnitt* 
pnnkt  und  \n  (n — l)  Schnittlinien.  Gehen  dagegen  die  n  Ebenen  alle 
durch  eine  Gerade,  so  giebt  es  nur  noch  diese  eine  Schnittlinie  und  gar 
keinen  Schnittpunkt. 

Lehrsatz  :i0.  Sind  im  Räume  «  =  5'  +  /j +^t  +  ..  +^*+*i  +  *t+  .. 
+  Sin  Ebenen  gegeben,  von  denen  ^vollständig,  die  übrigen 
(/i  ~  q)  hingegen  nur  beschränkt  frei  sind,  und  zwar  in  .Grup- 
pen von  je  /,  ,f|../jt  durch  ArGerade  und  in  Gruppen  zu  je  «i, 
Sf  . .  Sm  durch  m  Punkte  hindurchgehen,  wobei  jede  der  Grup. 
pen  s  unter  sich  bez  iehungsweise^i,  ^2..  ^m  Schnittlinien  ge- 
ben; —  so  werden  durch  alle  diese  »Ebenen  bestimmt: 


326  Kleinere  Mittbeilungeiu 

—  {*t+''  +  tjt)'^{g,s^+g,s^  +  ..+g^s^)  —  }{q+l)q{q^iy  ^ 

Der  Beweis  der  Formel  für  die  Schnitdinien  ist  analeg  dem  des  Lehr- 
satzes 5,  hingegen  der  für  die  Schnittpunkte  dem  des  Lehrsataes  12,  nhd 
es  lassen  sich  daher  für  besonc|ere  Annahmen  auch  hier  alle  die  Special- 
formeln entwickeln,  welche  in  den  Zusätzen  zu  jenen  Paragraphen  aufge- 
stellt worden  sind.  —  Bei  der  vollkommenen  Analogie,  die  zwischen  No.  VI 
und  No.  n  und  No.  III  herrscht,  erscheint  daher  eine  weitere  Verfolgung 
dieses  Gegenstandes  als  völlig  überfittssig. 


Kleinere'  Mittheilimgen. 


XZV.  Bemerkungen  Aber  oonfi>cale  ipbAriiohe  Eegeliohiiitte.  Von 
Dr.  Heilcjuiann,  Director  der  Provinzial  •  Gewerbeschule  zu  Coblens. 

§.  1 .  Es  seien  CJ)  und  CE,  wie  in  den  früheren  Mittheilungen  Band  S, 
zwei  sich  rechtwinklig  schneidende  Coordinatenachsen  und  in  Bezag  aaf 

dieselben 

^  V  tmfa^iang'b         ' 

!♦)  — — -1-      ^      =1 

^  tnng^  «i       iang^  b^ 

die  Gleichungen  zweier  confocalen  Kegelschnitte.     Wird,  wie  früher, 

cos  a    .  cos  b 

1 --  =  CO#f» 

cos  a,       cos  6j  ^ 

gesetzt,  so  ergiebt  sich  leicht  aus  den  vorstehenden  Gleichungen 

2)        (a^/.,=.^^V^-y^  tan^b,^''^^-'^^.    • 
^  ^     *  1  +  toV^  l-f/on^fi      • 

In  den  Kegelschnitten  l)  wähle  man  zwei  beliebige  entapreeheade- 

Punkte  (I17)  und  {xy)  und  ziehe  nach  dem  Mittelpunkte  C  die  Halbmesser 

^  und  r,  es  sei  abo 

£ lang  a        r^ Umg  b 

X       iang  a^^     y       iangb^ 

und 


Kleimre  MitibeilttUgeD;  'i27 

WeDn  man  diese  Gleichungen  verbindet ,  so  entsteht  xunächst 

^  lan^a  lang*  b       ' 

und  durch  Anwendung  der  Gleichndgen  2) 

'^"^'^"V — lüü^a — •*  + — i^b      -ViT/i^r^v 

4*  +  <?* — tan^ik ian^  q  —  tang*^ 

1  +  tan^^  1  +  iang*^ 

Dieser  Zutammenhang  Usst  sich  aucli  einfacher  durch  die  Gleichung 

3)  cos  Q  tss  C€S  r  cos  [Ik 

darstellen,  und  hiernach  sind  in  Ewei  ounfocalen  sphärischen 
Kegelschnitten  je  swei  Halbmesser,  welche  nach  entspre- 
chenden Punkten  gezogen  werden,  Hjpothenuse  und  Kathete 
einesreehtwinkligen  Dreiecks,  Ton  welchem  die  andere  Ka- 
thete constant  ist. 

§.  2.  Ans  dem  vorstehenden  Satze,  welcher  der  bekannten  Eigen- 
schaft der  ebenen  Kegelschnitte  und  Flächen  zweiten  Grades  genau  ent- 
spricht, lässt  sich  wieder  ein  anderer  Satz  entwickeln.  £s  seien  in  den 
confocalen  Kegelschnitten  1)  ausser  den  entsprechenden  Punkten  (Iy;)  und 
(xy)  noefa  die  entspreehenden  Punkte  (§fi7f)  nnd  (oTty,)  gegeben  und  die 
Hauptbogen,  welche  (fiy)  mit  (x,y,)  nnd  ($,17,)  mit  (xy)  verbinden,  durch 
d  nnd  di  bezeichnet.     In  diesen  Zeichen  ist  (vergK  Godermann^sanalyt. 

Sphärik  $.  6)  .  l+ta^i+iyyt 

*^  cos  a  =    .  —   ,         .         - , 

^«.^  _  .      i  +  ii^  +  viy 

cos  a,  =  *         ■     ^_  — . 

Dazu  ist  nach  dem  vorhergehenden  $• 

cos  Q  =  cos  r  cos  fi , 
oder 

1  cos  fit 

und 

1 cos  fl 

folglich 


Da  ferner  (I17)  und  (xy),  sowie  (||i}i)  und  (a;,yi)  entsprechende 
Pnnktenpaare  sind,  sUbo 

{  Umga       ^ kmgb 

X  ""  lang  «| '    y       t€utg  6, ' 
|i ianga       ly, kmgb 


328  Kleinere  Mittbeilaiigen. 

BO  iRt  auch 
und 

1  +  la^i  +  i?yi  =  1  +  Sf  ^ +i?iy. 

Die  oben  angegebenen  Ausdrücke  für  cos  d  und  cos  d^  stimmen  also 
im  Zähler  und  Nenner  überein  und  es  ist 

4)  d^d,. 

Hiernach  haben  die  sphftriBchen  Kegelschnitte  mit  den  ebenen  und 
den  Flächen  zweiten  Grades  aueh  folgende  Eigenschaft  gemeinaaia : 

Werden  zwei  beliebige,  in  zwei  confocalen  sphärischen 
Kegelschnitten  gelegene  Punkte  durch  «inen  Hauptbogen 
verbunden,  so  ist  dieser  Bogen  gleich  demjenigen»  welcher 
die  eatspreehenden  Punkte  verbindet* 

§.  3.  Wenn  die  rechtwinklig  sich  schneidenden  Coordiaatenachseo 
CJ)  und  CE  von  dem  Hauptkreise 


tang  a       fang  ß 
in  den  Punkten  A  und  B  geschnitten  werden,  so  ist 

€i~CA,  ß^CB. 
Wird  noch  vom  Anfangspunkte  C  auf  den  Hauptkreis  &)  die  Senk- 
rechte Ol  gefällt  und  der  Winkel  JCL  mit  9-  bezeichnet,  so  ist  in  den 
rechtwinkligen  Dreiecken  ACL  und  BCL 

tang  CL  =  ianga  cos  9  ^=  tangßsintp. 
Soll  nun  auf  dem  Hauptbogen  CL  ausserdem  auch  der  Hauptkreis 


langui       iangßx 
im  Funkte  L^  senkrecht  stehen ,  so  ist  auch 

tang  CL^^^^^  tang  a^  cos  (p  =  tang  ßiSinq>j 
folglich 

.  tangCL  tanga iangß 

'  tang  CL^"^  tätig  tt|       tang  j5,  * 

Da  diese  Proportionen  von  dem  Winkel  9,  welchen  die  Senkrechte 
CL  mit  der  ersten  Achse  bildet,  unabhängig  ist,  so  wird  durch  dieselben 
folgende  Eigenschaft  ausgedrückt: 

Wenn    auf  einem   Hauptkreise    zwei    andere    senkrecht 
stehen,   so  schneiden  diese  auf  allen  Hauptkreisen,  welche 
durch  denselben  Punkt  des  etsteren  gehen,    Stücke  ab,    de-- 
ren  trigonometrische  Tangenten  proportional  sind. 

Wegen  dieser  Eigenschaft,  welche  an  die  Parallelen  erinoeirt,  mogaa 
hier  die  Hauptbogen ,  welche  auf  einem  durch  den  Mittelpunkt  C  gehendea 
Hanptkreise  senkrecht  stehen,  gleichgerichtet  genannt  werden.  Der 
Punkt,  wo  gleichgerichtete  Hauptkreise  sich  schneiden,  liegt  in  der  Co- 
Ordinate  DK^  d.  i.  iuMem  Hauptkreise,  dessen  Mittelpunkt  C  ist 


Kleinere  Mitthdünugeti.  329 

§.  4.  Die  HftUptkraiae ,  welebe  dio  oonfoealen  Keg^lacbaitte  1)  äi  den 
Funkten  ({if)  and  (sy)  berüliren,  «ind 

6*)  r4-  •«  +  r-V'*'=^> 

'  tan^a^  iang'bf 

nnd  die  Senkrechten  p  nnd  ^,  welche  vom  Mittelpunkte  C  auf  diese  gef&llt 
werden ,  sind  bestimmt  durch  • 

7)  _i_  =  _£^  +  -3L_ 

'  ian^p       tan^a      tan^b^ 

^  iang^q      tan^Oi       iang*bi 

Sollen  nun  die  Berührenden  t)  gleicbgerichtet  sein^  so  ist 

tang^Ot   tang^a      iang^bt  ianc^b 

Aus  diesen  Proportionen  ergiebt  sich  sogleich 
ian^q       a^         ^tang^Of 
ian^ p' fang* a^         tan^a    ' 

tang^q       y*     fl*ieuig*b^ 

tan^p' ian^b^  tang^b    ' 
Qod  weiter  durch  Summirung  dieser  Werthe  unter  Anwendung  der  Glei- 
chung !♦)                       ian^q £•  lang^  ö,       y^  Innfb^ 

tan^p         ian^a  lang*  b 

Werden  nun  noch  für  tan^a^  und  tan(^b^  die  Werthe  2)  eingesetzt,  so  entsteht 
ian^  q  __  X^  {lang*  a  —  (ang*  (t)   .ff  [tang^  b  —  iang^  ft)  1  1  . 

tanfp       L  towfif* «  '«'»ö'*  ^  J  *  1  +  tang^^i 


=r-c +x 


■*^'^'^{i^a-^T^^\  rfL 


l,tan^a       ian^b  ^  \ian^a      iang*b/j '  1  +  (an^fi^ 

und  durch  Einsetzung  der  Werthe  1)  und  7) 

ian^p       \        tan^p) '  1  +  lan^}k' 


Hieraus  folgt  die  Gleichung 
ittng^q  = 


iong^p  —  lang^{k 


l  +  iang^^i 
nnd  mit  dieser  ist  die  einfachere 

8)  eos  p=szco9q  cos  ^ 

gleichbedeutend,  welche  folgenden  Satc  enthält: 

Werden  zwei  confooale  sphärische  Kegelschnitte  ron 
gleichgerichteten  Hauptbogen  berührt  nnd  auf  diese  vom 
Mittelpunkte  Senkrechten  geffillt,  so  sind  diese  immer  Hj- 
pothenuse  undKathete  eines  rechtwinkligen  Dreiecks,  des- 
sen andere  Kathete  constant  ist. 


SSO  Kieinere  Mittheilüngen. 

ZXVL  Bfmerkang  über  4i0  Kectiflcatiön  der  SUipM.  —  Unter  den 
yerBchiedenen  Formeln  zur  Riectification  eines  ans  den  Halbachsen  m  nnd 
b  constrairten  Ellipsenqnadranten  empfiehlt  sich  für  die  gewöhnlichen  FSlle 
am  besten  die  Legendre'sche  Formel*) 

^=j.c.+»)1.+»(:-=^)+a(^:)*+...i. 

— r-r )     durch  den  Aosdiuck 
a  +  b/ 

/l.8.5,7,..(2n--8)Y 

\    2.4.6,8...  (2n)     / 

dargestellt  wird;   bei  se)ir  excentrischen  Ellipsen  dagegen  differirt  der 

^  a  — fr 

Quotient         ■  so  wenig  von  der  Einheit ,  dass  die  Beihe  zu  langsam  für 

die  numerische  Bechnttng  convergirt. ;  Nun  hat  zwar  Legendre  noch  eine 
zweite,  auf  ^en  letzten  Fall  passende  Formel  gegeben,  aber  die  Ableitung 
Legendre's  genügt  den  heuligen  Forderungen  nach  Strenge  nicht,  und 
wenn  man  diesen  Mangel  beseitigen  will ,  so  wird  man  zu  einem  Gedanken- 
gange genöthigt,  der  wenigstens  für  den  ersten  Unterricht  in  der  höheren 
Analysis  nicht  verwendbar  ist.     Vielleicht  wird  man  folgende  Entwicke- 

lung  brauchbarer  finden. 

i  * 

Bezeichnet  ß  das  Verhftltniss  — ,  so  ist 
'^  a 

>'  /.-     

E:=sa  I  ycos*q>  +  ß*  sin*  g>  dq>^^a  1  co8q>yi  + ß*  lang^qf  dg>] 
0  0 

innerhalb  des  Integrationsintervalles  ip=:0  bis  tp^s^^n  bleibt  ßtangip 
nicht  immer  <  1 ,  daher  lässt  sich  yi  +  ß^ang*  ^  mittelst  des  binomischen 
Satzes  nicht  entwickeln  und  folglich  giebt  es  auch  fttr  E  keine  Reihe, 
welche  schlechthin  nach  Potenzen  von  ß  fortschreitet.  Um  diesem  Uebel- 
stande  auszuweichen ,  muss  man  das  Integrationsintervall  verkleinem ,  und 
hierzu  dient  der  Fagnano^sche  Satz ,  dessen  Beweis  mittelst  der  Substitu- 
tion tang  9^  =  -r  ^^^9  »  leicht  zu  führen  ist.  Nennen  wir  ipi  die  Amplitude, 
welche  durch  die  Gleichung 


~VT-vr 


bestimmt  wird,  «,  den  zugehörigen,  vom  Endpunkte  der  kleinen  Halbachse 
an  gerechneten  EUipsenbogen ,  und  $^  den  Ergftnzungsbogen,  so  haben  wir 
naeh  dem  Fagnano^schen  Satze 

*i-*'t  ==«  —  *. 


*)  Yergfl.  Jahrgf.  II  (1857)  d.  Zeitschr.  S.  49  und  414. 


KkiiMr»  MitÜieikiiigeiu  88t 

ferner 

*i  +  *f  =  ^, 
mitbin 

JP=  2*1  —  (a— 6)  s=  2«j  —  fl  (1  — /J) 
und  Bngleicli  ist 


f  j  =  a  f  CO 


'  CO«  9  )^1  +^'  ton^'  tp  dq). 

0 
Mit  Hilfe  der  Sabstitntion 

*«* 

wird  daraas 


•="//^- 


Ö 

nnd  dnroli  theilwebe  Integration 

1 

Hier  kann  (1 +i^«*)^*  nach  dem  binomischen  Satze  entwickelt  w^erden, 
und  man  kommt  dann  anf  einzelne  Integrale  von  der  Form 

1 

0   ^^^^' 

Die  Berechnung  derselben  geschieht  am  bequemsten  durch  eine  Be- 
cursionsformel,  nämlich 

.,=»[^,-„e-±^)], 

vni  ea  kt  dman 

s,=a\i-Aß  +  \A,ß^-\^^Aß'  +  ...\, 

E=^2s,—m{l  —  ß). 
Als  Beispiel  mag  die  Annahme  as=l,  |3=30,1  dienen,  ftlr  welche 
mein  Oollege,  Herr  Professor  Fort,  die  Beahnung  ausxnfllhren  die  Güte 
hatte.     £a  findet  steh 

A^  =  0,4900766680,  J^  =  0,2890780460, 
^3  «  0,l&&644809e,  ^4  s=t  0,1174821770, 
4^  7:^0,0048074868,  ^«2:^0^87656642, 
^Y  =5  0,0676018713,     ^=»0,06021 


ISS  Kleinere  Mitttieilinigen^ 

1    =   1 

jj^ß  =0,0480976868  (— ) 
0,95(50023132 
I  ^,/?«=;  0,0011403047  (+) 
0,9580517079 
li|  ^^/3>  =  0,0000583668  (— ) 
0^0579933411 
lii~^^^j3<  =  0,0000036713  (+) 

'  0,9579970124 
|~~  ^,  /?»  =  0,0000002579  (— ) 
0,9579967545 
ii-igj,p«=:  0,0000000194  (+) 

0,9579967739 
^;^^p^  =  0,0000000015  (— ) 
*  0,9579967724 

|i^^^/3»  =  0,0000000001  (+) 
*,  =0,9579967725 
E=  1,015993545 
ttbereinstimmend  mit  den  Tafeln  von  Kulik.     Da  die  obige  Reihe  mit 
wechselnden  Zeichen  convergirt,    so  liefern  je  zwei  aafeinander  folgende 
Zahlen werthe  zwei  Grenzen,  zwischen  denen  Si  liegt,  und  ist  also  eine 
Restnntersuchung  überflassig.  Scülomilch. 


XXVn.  Veber  die  Oleiehgewiehticorve  einer  proportional  dem  Wege 
ihres  Angriffspunktes  sich  veränderten  Kraft.  Von  £d.  Jac.  Noegoerath, 
Lehrer  an  der  königl.  Provinzial- Gewerbeschule  in  Saarbrücken. 

1.  Wenn  eine  veränderliche  Kraft  Pg  in  der  Richtung  ihres  gerad- 
linig fortschreitenden  Angriffspunktes  proportional  dem  znrttckgelegtea 
Wege  abnimmt,  so  kann  dieselbe  in  jeder  Lage  durch  eine  constante  Kraft 
Q  im  Gleichgewicht  erhalten  werden.  Die  Richtung  der  constanten  Kraft 
werde  bei  diesem  Vorgange  als  unveränderlich  angenommen  und  ausserdem 
vorausgesetzt,  dass  deren  Angriffspunkt  in  einer  Curve  fortschreitet  and 
mit  dem  AngrifiBspunkt  der  veränderlichen  Kraft  P,  durch  einen  gewicht- 
losen und  nndehnbaren  Faden  derartig  verbunden  ist,  dass  derselbe,  von 
beiden  Kräften  angezogen ,  mit  dem  einen  Endpunkt  in  der  Richtong  der 
Kraft  Pg  sich  bewegt ,  während  von  dem  anderen ,  sich  auf  der  Corve  be- 
wegenden Endpunkt  ans  sich  ein  Fadc^pstück  über  einen  festen  Pnnkt  die- 
ser Curve  als  Sehne  einspannt.  Sei  (Fig.  1)  P^  die  proportional  dem  Wege 
2  abnehmende  Kraft,  a  deren  Angriffspunkt,  BN  die  Fühmngscnrve  der 
Constanten  Kraft  Q^  d.  h.  die  Gleichgewichtsourve  der  veränder- 
lichen Kraft  Ps,  nnd  seien  A  und  B  feste. Psnkte,  tber  welche  der  die 
Angriffspunkte  a  und  b  verbindende  Faden  hingleitet.  ,Beseichnet  alsdann 


Kleinere  Mittheilungen. 


333 


noch  JJi=r  den  Weg^  wiArend  dem  die  Kraft  Pg  von  Ph\8  0  abnimmt^ 
und  ist  die  FadenlSnge  so  abgemessen,  dag«,  wenn  der  ABgriffspnnkt  a 
sicli  in  ^1  befindet,  der  AngriflPspankt  6  in  ^  lief  and  in  dieser  Ansgange- 
stellang  P=0  ist,  so  folgt  für  den  Werth  Pg  der  veränderlichen  Kraft 
nach  einem  Wege  z  die  Bedingnngsgleichnng : 

P,       r — z 


nnd  hieraas 

1) 


p.=(.-i), 


Wahrend  der  Angriffspunkt  von  a  am  dz  vorrückt ,  wird  daher  die 
mechanische  Elementararbeit 


Pg.dz 


von  der  veränderlichen  Kraft  verrichtet. 
Gegenkraft  Q  mit  ihrem  Angriffspunkt 
durch  ein  Element  der  Curve,  dessen 
Projection  auf  der  Richtung  von  Q 
gleich  d^ist,  und  verrichtet  mechani- 
sche Arbeit: 

Q.dy. 
Das  Gleichgewicht  der  Kräfte  be- 
dingt aber  die  Differentialgleichung : 

woraus  sich 


Dabei  bewegt  sieh  die  constante 


2r  —  z 
2r 


•«+C, 


und  indem  man  das  Integral  von  0  bis  z  erstreckt : 

2r — z 

ergiebt.    Aus  dieser  Gleichung  folgt ,  dass  ^  für  z  =  r  ein  Maximum  wird, 
und  alsdann 

r 

d.  h.  die  Ordinate  des  tiefsten  Punktes  der  Curve  gleich  der  halben  Sehne 
ist,  welche  sich  von  diesem  nach  dem  Anfangspunkt  erstreckt. 

Nimmt  man  die  durch  j^  gehende  attd  auf  der  Richtung  von  Q  normal 
stehende  gerade  Linie  behufs  Bestimmung  der  Gleichgewichtsc urve  BN 


334 


Kleinere  Mittheilungea. 


mittebt  Polatcoor€litiAte&  als  Achae  nnd  B  «U  Pol  aa,  ao  ist  die  Sehae  2 
BadiuB-Vector  und  der  von  z  mit  der  Achse  gebildete  Winkel  9  die 
Anomalie  der  Curve.    Da  nun 


y 


also 


8tnfp=S' 


2r — z 


so  folgt  anmittelbar  für  die  Cnrve  die  Polargleichnng : 
3)  2  =  2r(l  —  «n^p). 

Die  Linie  dieser  Gleicbung  ist  aber  die  Epi cyclo i de,  bei  welcher 
Grund-  und  Erzeugungskreis  gleich  sind  und  den  Radius  r  haben,  und  die, 
ihrer  herzförmigen  Gestalt  halber,  den  Namen  Cardioide  erhalten  hat 
Der  als  Pol  angenommene  Punkt*^  (ß^S*  ^)  ^^^  dabei  der  beschreibende 

Punkt  des  Erzeugungskreises  in  seiner 
Ausgangslage  auf  dem  Grundkreise ,  nnd 
die  Achse  ist  die  Tangente  in  diesem 
Punkt  an  den  Grundkreis.  Eine  einfache 
Constructioiv  für  Punkte  dieser  Cnrre 
folgt  aus  3).  Schlägt  man  nämlich  über 
AB:=^2r  einen  Elalbkreis,  macht  ^6=:, 
Bb'  =  Bbund  zieht  j4b\  so  ist  der  Winkel 
BAb'  gleich  q>  und,  wenn  man  Ac=^Ab  macht,  c  ein  Punkt  der  Gurre. 

Zur  näheren  Bestimmung  der  für  den  vorKegenden  Fall  bemerkens- 
werthen  Eigenschaften  der  Cardioide  bilden  wir  zunächst  aus 

«  =  2  r  (1  —  sin  (p) , 

dz 

-— s=s  —  2rcosq>j 

a(p 

und  finden  alsdann  durch  Substitution  dieser  Werthe  in  der  allgemeinen 
Gleichung  des  Krümmungsradius: 

['•+(^)T 

9 


für  die  Cardioide: 


9  = 


[4r*  (1  —  sin  yy  -t-  4r*  eotfq>]\ 


4) 


4r'  (l  —  sin  q>)^  +  8r*  co^q>  —  4r*  (1  —  $in<p)  sin  ^' 


1  +sin^fp 

lrj/2(iZ 


4r  j/2  (1  —  sin  tp)* 


—  2  sin  9>  +  2  cos^  9  — '  «in  9  +  nn'^* 
-srntp). 


Kleinore  MittbeilungeD« 


33& 


DDcl,  wenn  m»Q  betttckaichiigti  dais  au« 

zt=z2r{i — finip)^ 

folgt,  tind  diesen  Wertb  in  4)  einsetzt: 
Aus  2)  ergab  sich  flir  z  =  r 


r 


"H^-. 


and  aus  3)  ergiebt  sich  für  diasen  Werth  von  z 

während  5)  für  den  dadurch  bestimmten  Punkt 

6)  •  ^  =  fr 

feststellt.  Hieraus  folgt  denn  aber,  dass  die  nach  dem  tiefsten 
Punkt  von  dem  Pol  ausgehende  Sehne  der  Cardioide  mitder 
Achse  einen  Winkel  von  30^  bildet  und  der  Krümmungsradius 
dieses  Punktes  derCurvegleich^rist. 

2.  Beschreibt  man  über  der  von  dem  Pol  B  nach  dem  tiefsten  Punkt  N 
des  als  Gleichgewichtscurve  die- 
nenden Cardioidenbogens  B  N 
(Fig.  3)  ein  gleichseitiges  Drei- 
eck ^  iV  0 ,  so  hat  der  Kreisbogen, 
welcher  von  der  Ecke  0  dieses 
Dreiecks  aus  mit  der  Seite  durch 
die  beiden  anderen  Ecken  B  und 
iV  beschrieben  wird,  den  höchsten 
und  tiefsten  Punkt  mit  dem  Car- 
dioidenbogen ,  diesen  im  letz- 
teren Punkt  berührend,  gemein. 
Des  letzteren  Umstandes  und  der 
Eigenschaften  des  gleichseitigen 
Dreiecks  halber  folgt  für  beide 
Carven  als  gemeinsame  Eigen- 
schaft, dass  die  Sehne  BN 
=^t.NH^  d.  h.  doppelt  so  gross^ 
als  die  Entfernung  des  tiefsten  Punktes  N  von  der  durch  den  höchsten 
Punkt  B  gehenden  Achse  ist.  • 

Betrachtet  man  daher  0  als  AufhMngepunkt  eines  Kreispendels,  dessen 
L^nge  OB  =  ON=^r  ht^  so  wird  dasselbe,  während  der  Angriffspunkt 
der  Kraft  Pf  um  r  fortschreitet ,  einen  Anssehlag  von  der  höchsten  bis  zur 
tiefsten  Stellung  maehen,  wentit  ^'i^^  ^bi  vorigen  Fiill«,  zwischen  den  An- 
griffspunkten a  und  b  der  veränderlichen  Kraft  Pz   und  ihres  -  constanten 


336  Kleinere  Mittheilnngen. 


Gegengewichts  Q  ein  gewichtloter  und  undehnbarer  Fadea  cingespaimt 
ist.  Die  Oomponente  0<p  der  Kraft  Q ,  welche  bei  der  durch  den  Winkel  tp 
gegebenen  Stellung  des  angespannten  Fadens  der  veränderlichen  Kraft  Pg 
entgegen  wirkt,  findet  sich,  wenn  wir  den  Winkel,  den  in  dieser  Lage 
.  das  Pendel  mit  seiner  Ausgangsstellung  bildet ,  4^  nennen ,  mittelst  der 
Proportion : 

P^  :  Ö  =  sin  (60 «  — 1(;)  :  m  (90  •  —  |-j , 

^0  cos'tij.  }/F—  sin  ij, 

^  ^^2  t/;  ' 

cos  — 
z 

Berücksichtigt  man,  dass,  wenn  wir  auch  hier  Bb  ssz  nennen, 

.  tp        z  . 

*m  --  =  -- , 
2        2r 


^       1/4  r* — z* 

cos  —  =  ^ , 

2  2r         ' 

also 

2r«  — 2« 
cogtp=      ^^ 

ist,  so  folgt  aus  jener  Gleichung: 

fix  .0    (2r'  — 2«)yr— z^4r«->2« 

2  rj/4r«  — z* 

während  sich  bei  der  Cardioide  die  der  Stellung  z  entsprechende,  in  der 
Richtung  der  angespannten  Sehne  wirksame  Oomponente  des  Gegenge- 
wichts 0  mittelst 

r 
ergab.    Das  Verhältniss  beider  Kräfte,  in  durch  gleiche  Sehnen  beceichne- 
ten  Stellungen,  ist  demnach 

9)  -'  =         2{r—z)j/4r*  —  z^ 

Q^       (2r«  — 2«)  yä— z^4r«  — z** 

oder,  wenn  «  =  —  r,  unter  m  und  n  ganze  positive  Zahlen  verstanden,  ge- 
setzt wird, 

10)  '  ^^  _         ^  («  — w)  ^4/<«— «« 

Wird  it  =  10  angenommen  und  werden  für  m  die  anfeinaoder  folgendes 
gansen  Zahlen  von  0  bis  10  gesetat,  so  erhält  man  für  jenes  VerbäkaiM 
folgende  Werthe: 


Kleinere  Itfittheilangen. 


337 


0  1,1547 

1  1,1073 

2  1,0626 

3  1,0106 

4  1,9786 

5  0,9388 

6  0,9000 

7  0,8621 

8  0,8246 

9  0,7846 
10  § 

Diese  Tabelle  zeigt  aber,  dass  zwischen  0,3  nnd  0,4  der' Länge  der 
Sehne  vom  höchsten  bis  zum  tiefsten  Pnnkt,*-  d.  h.  zwischen  0,3  nnd  0,4  des 
Weges  der  veränderlichen  Kraft,  beim  Kreispendel  die  th&tige  Compo- 
nente  des  Gegengewichts  gleich,  unterhalb  dieses  Wegtheils  kleiner  and 
oberhalb  desselben  aber  grösser  ist,  als  znr  Herstellung  des  Gleichgewichts 
bedingt  wird,  dass  diese  Differenzen  innerhalb  verbal tniss massig  en- 
ger Grenzen  schwanken  nnd  ein  Kreispendel  der  vorbeschriebenen  Art 
daher  als  eine  näherungsweise  functionirdende  Vorrichtung  zur  Herstellung 
des  Gleichgewichts  bei  einer  proportional  ihrem  Wege  abnehmenden  Kraft, 
z.  B.  znr  Compensation  des  Gewichts  einer  sich  auf  einem  Bade  aufwickeln- 
den Kette,  benutzt  werden  kann«  Um  zu,  ermitteln,  bei  welcher  Stellung 
ein  derartiges  Pendel  der  gestellten  Anforderung  genügt,  bei  welcher  Stel- 
lung desselben  also 

Pz  =  Qip 
ist,  setzen  wir 

2  {n  —  m)  /4n«— m*=  (2«*  — m*)  yi—m  y^i^  —  m\ 
und  bilden  hieraus 

(4n*+f««  — 4«m)  (4n*  — m«)  =:(2n«— m*)«.  3, 

(«•  +  »i*)  {n  +  m)  —  3n'm  =  n«  (n  +  iw) , 

m* — 3«*»i  +  n*=:0. 

Dies  gewährt  für  m  eine  reducirte  cubische  Oleichnng  und  in  deren  Wurzel 

m  =  0,3472  .  n 
die  Bestimmung  der  gesuchten  Stellung.     Dieser  Werth  zeigt  nun,  dass 
diese  Stellung  nahe  an  \  des  Weges  liegt,  welcher  vom  Angriffspunkt  der 
veränderlichen  Kraft  beschrieben  wird. 

Beschreibt  man  zu  dem  als  Gleichgewichtscurve  bedingten  Cardioiden- 
bogen  B  N  (Fig.  4)  die  Evolute ,  benutzt  den  dem  tiefsten  Punkt  N  entspre- 
chenden Punkt  Ff  derselben  als  Aufhängepunkt  eines  Pendels  von  der 
Länge  iViV'  =  ^r,  dessen  Faden  sich  an  den  Evolutenbogen  N' B  anlegt, 
während  der  Angriffspunkt  N  auf  dem  Cardioidenbogen  JBN  sich  von  JV 

ZeiUchrin  f.  Mathenialik  u.  Physik.    VI,  5.  24 


338 


Kleinere  Mittheilungen. 


nach  B  bewegt,   und  mit  dem  Gewicht  0  c=  i>  belastet  ist ,   so  erhält  man 
in  einem  derartigen  Cardioidenpendel  eine  absolut  genaue  Compen- 

N'  sationsTorrichtnng  für  eine  von  P 
bis  0  proportional  ihrem  Wege 
ßN=r  abnehmende  Kraft. 

3.  Wenn  die  Kraft  P,  nicht 
proportional  dem,  von  ihrem  An- 
griffspunkt bei  seinem  Fortschrei- 
ten zurückgelegten  Wege  abnimmt, 
sondern  proportional  diesem  Wege 
zunimmt,  und  zwar  dabei  von  dem 
Werthe  0  bis  P  wächst,  während 
der  Weg  2r  von  ihrem  Angriffs- 
!iV  punkt  zurückgelegt  wird ,  so  ist  der 
Werth  Pg,  den  die  Kraft  nach  dem 
Wege  z  annimmt,  bestimmt  dnrch: 

P.  =  ±.P 

und  wenn,  auch  hier  unter  Q  das 
Gegengewicht  verstanden,  P^=nQ 
gesetzt  wird , 

Hieraus  folgt  dann  aber,   als  Bedingung  des  Gleichgewichts,   mit  Bezog 
auf  Fig.  5, 


\x 


^ 


P, 


nz  ^ 
—  Q 


dz  —  (>.  da:  =0, 


da:  =  —  z  .  dz. 
2r 


ß-fr. 


z .  dzy 


af=  —  z*  +  C. 
4r 

Da  aber,  wie  unmittelbar  aus  der  Figur  5  erhellt, 

so  ergiebt  sich ,  indem  man  das  Integral  von  0  bis  z  erstreckt  und  diesen 
Werth  für  z*  substituirt. 


y.  =  a:(2^-^). 


2r 


Dies  ist  aber  Gleichung  des  Kreises  vom 'Radius  — ,  dessen  Peripherie 
durch  den  Anfangspunkt  (Führnngspunkt)  B  geht  und  dessen  Mitte  auf  der 


Kleinere  MittheiJungen. 


339 


Fiff    5. 


Geraden  liegt,  welche  dnrch  diesen  Punkt  parallel  mit  der  Richtung  der 
veränderlichen  Kraft  Pg  gezogen  wird. 

Wenn  der  Angriffspunkt  von  Q  auf 
der  Peripherie  dieses  Kreises  die  tiefste 
Stellung  eingenommen  hat,  so  ist  die  Sehne 
z  gleich  dem  Gesammtwege  2r  der  ver- 
änderlichen Kraft  Pf.  Bezeichnet  2  a  den 
zur  Sehne  z  gehörigen  Mittelpunktswinkel, 
so  ist  allgemein :  ^ 

«2r    . 

2  =  2  —  sina. 

n 

also  für  den  tiefsten  Punkt: 

«    2r    .    w 
2r  =  2  .  —  «n  — , 

n  =  2m|,  i 

«  =  2,  - 

woraus  hervorgeht,   dass  n  zwischen  den  Grenzen  0  his  2  gewählt  werden 
kann. 

Aas  dem  Umstände,  dass  die  Cardioide,  deren  Bestimmungskreise  den 
Badius  r  hahen ,  Gleichgewichtscurve  für  eine  Kraft  ist ,  welche  proportio- 
nal ihrem  Wege  von  P  bis  0  abnimmt,  und  dass  der  Kreis  vom  Badius  r 
Gleichgewichtscurve  für  eine  Kraft  ist,  welche  proportional  ihrem  Wege 
von  0  bis  P  zunimmt,  folgt ,  dass  beide  Curven  Gleichgewichtscurven  für 
einander  sind,  wie  schon  J.  Bernoulli  in  anderer  Weise  dargethan  hat. 

Nimmt  ma^  den  Ansgangswerth  der  von  P  bis  0  proportional  ihrem 
zurückgelegten  Wege  abnehmende  Kraft  nicht  gleich  der  constanten  Ge- 
genkraft, sondern  gleich  einem  Vielfachen  derselben,  setzt  also  auch  hier 

und  daher 

so  folgt  als  Bediagung  des  Gleichgewichts ,  mit  Bezug  auf  Fig.  1 
f  1  —  ^jn.dz  —  dy  =  0, 


2r—z 


y  =  n 

y 


— .2, 


und  hieraus  die  Polai^leichung  der  Cnrve 

z  =  2r(l 9in^\, 

Das  Maximum  von  y  liefert  den  tiefsten  Punkt  der  Curve.    Dies  bedingt: 


24' 


340  Kleinere  Mittheilangen. 

dz  r 

Für  den  tiefsten  Pankt  ergiebt  sich  daher  die  Anomalie  aus  der- Gleichung 


durch 


—  2ryi--sm<pJ 


stn  V  =  j , 


und  hieraus  der  Maximalwerth  von  n  auch  in  diesem  Falle 

n  =  2. 


XXVnL    XTeber  arithmetische  Progpressionen  von  Primxahlen.  —  h 

den  Meditationes  algehraicae  von  Waring  (Cantnbr.  1770).  werden  ohne  Be- 
weis einige  Sätze  über  Primzahlen  ausgesprochen.  Sie  heissen  folgender 
massen :  Stehen  drei  Primzahlen  in  arithmetischer  Progression ,  so  ist  ihr 
Unterschied  durch  6  theilbar,  wenn  nicht  eine  derselben  die  Zahl  3  ist; 
stehen  5  Primzahlen  in  arithmetischer  Progession ,  so  ist  ihr  Unterschied 
durch  30  theibar,  wenn  nicht  eine  derselben  die  Zahl  5  ist.  Lagrange 
bewies  beide  Sätze  in  seiner  Abhandlung  über  das  gleichfalls  ohne  Be- 
gründung bei  Waring  zuerst  veröffentlichte  Wilson 'sehe  Theorem  (ü^ov- 
veaux  'Mätnoires  de  Vacademie  de  Berlin,  anne  1771 ,  pag.  134  ff.)>  dehnte  dei 
Beweis,  jedoch  ohne  ihn  auszuführen,  auf  einen  entsprechenden  Satz  über 
7  Primzahlen  aus  und  knüpfte  sogar  noch  ein  „und  so  weiter"  daran. 
Trotzdem  ist  der  allgemeine  Satz  meines  Wissens  noch  nirgends  ausge- 
sprochen. Ich  will  ihn  deshalb  hier  mittheilen  und*  zugleich  eineü  Beweis 
liefern,  der  sich  von  dem  Lagrange^schen  in  vielen  Beziehungen  nnier- 
scheidet,  wie  er  auch  unabhängig  von  demselben  entstanden  ist.  Der  Satx 
selbst  heisst: 

Ist  p  eine  Primzahl  und  2,  3,  5,  7  . . .  p  das  Prodnct  sämmtlicher 
Primzahlen  bis  zu  p,   so  lässt  sich  keine  arithmetische  Progressios 
von  p Primzahlen,  unter  welchen  die  p  selbst  sich  nicht  befindet, 
aufstellen,  ohne   dass  die  Differenz   der  Progression   durch  jenes 
Prodnct  theilbar  wäre. 
Setzt  man  in  diesen  Satz  p  =  2,   so  nimmt  er  die  ohne  Weiteres  ein- 
leuchtende Gestalt  an:   die  Differenz  zweier  Primzahlen,  unter  welchen 
die  2  nicht  ist,  welche  also  beide  ungerade  sind,  ist  durch  2  theilbar,  d.h. 
gerade. 

Wird  p  =  3  und  p  =  5  gesetzt,  so  entstehen  die  von  Waring,  bei 
p  =.7  der  von  Lagrange  bemerkte  Specialfall. 

Zum  näheren  Beweise  des  Satzes  mögen  einige  Bezeichnungen  und 
Benennungen  hier  eingeführt  werden.     So  oft  von  einer  Progressk»  die 


Kleinere  Mittheilungen.  M\ 

Kede  ist,  soll  immer  eine  arithmetische  Progression  gemeint  sein,  deren 
sämmtliche  Glieder  Primzahlen  sind.  Die  unmittelbar  nach  p  in  der 
Zahlenreihe  folgende  grössere  Primzahl  heisse  q.  Das  Prodact  der  Prim- 
sahlen 2 ,  3,  5  . . .  j9  soll  dnrch  H^p),  also  acTch  das  Product  2,  3,  5  . .  .p  .  ^ 
z=zq,n(p)  durch  i7(g)  bezeichnet  werden.  Die  Differenz  einer  jogliedrigen 
Progression ,  in  welcher  p  selbst  nicht  vorkommt ,  soll  Dp  heissen.  Kommt 
hingegen  p  in  der  j^glledrigen  Progression  vor,  so  soll  die  Differenz  dp 
heissen. 

Der  zu  beweisende  Lehrsatz  hat  nun  zwei  Seiten ,  eine  positive  und 
eine  negative.  Letztere  ist  an  sich  einleuchtend.  Denn  da  sowohl 
p  +  n*  n^p)  als  p  —  n  .  IIip)  durch  p  theilbar  und  somit  keine  Primzahlen 
smd ,  so  kann  unmöglich  cfp  =  n  .  Z7(p)  sein. 

Die  positive  Seite  des  Satzes  zerföllt  wieder  in  zwei  Theile,  in  die 
Untersuchung  von  Dp  und  von  dp,  £s  ergab  sich ,  dass  bei  p  z=  2  in  der 
That  D^  durch  JJ^t)  theilbar  ist.  Der  Satz  sei  nun  richtig  bis  zur  Prim- 
zahl />,  und  es  soll  daraus  bewiesen  werden ,  dass  auch 

Dq^O  (mod  /7(j))/ 
Die  erste  Primzahl  in  der  jetzt  ggliedrigen  Progression  ist  jedenfalls 
durch  q  untheilbar,  also  ^  a  (mod  q)^  wo  a  eine  der  Zahlen  1, 2,  3  . . .  (q — 1) 
bedeutet.  D^  dagegen  ist,  wenn  auch  vielleicht  nicht  durch  77(g),  doch 
jedenfalls  davch  i7(p)  theilbar,  wie  im  Zusammenhange  mit  der  Erforschung 
dp  nachher  gezeigt  werden  soll.     Man  kann  somit  behaupten 

2>,  =  /S.iJ(^,  (wodiT(„), 
wo  ß  eine  der  Zahlen  0 ,  1 ,  2 ,  3  . . .  (g  —  1)  bedeutet. 

Nun  würde  /?  =  o  die  Wahrheit  unseres  Satzes  anerkennen.  Alle 
anderen  Werthe  von  ß  enthalten  aber  einen  Widerspruch  in  sich.  Diese 
anderen  Werthe  lassen  nttmllch ,  da  sowohl  ß  .  (/7(p)  als  1,  2,  3  ...  (^  —  1) 
gegen  q  relative  Primzahlen  sind,  nach  einem  der  ersten  Sfttze  aus  der 
Lehre  von  den  Congruenzen 

/J.i7,p,,  2^.17(p,,  Zß.n^p^...{q~\)ß.nip^ 
sämmtlich  für  den  Modulns  q  incongruent  sein.     D.  h.  die  Vielfachen  der 
Differenz  Dq^  nämlich 

1  .  Dg,  2  .  Dg,  3  .  Dg  . . .  {q — X)  Dg, 
entsprechen  für  den  Modulus  q^  wenn  auch  nicht  in  derselben  Keihenfolge 
den  Zahlen 

1,  2,  3  . .  .  (gr  — 1). 
Welcher  Zahl 

(S'  — 1),  (0^-2),  (5r— 3)...l 
also  auch  der  Rest  a  des  ersten  Oliedes  der  Progression  gleichkommt,  ir- 
gend ein  folgendes  Glied  muss  durch  q  theilbar  sein ,  ist  also  keine  Prim- 
zahl mehr.    Demnach  kann  nur  /9s=0,  d.  h.  Dg  durch  J7(g)  theilbar  sein. 

Es  bleibt  noch  der  Nachweis  der  dabei  gemachten  Voraussetzung 
Dg  =  0  {mod  II(p))  übrig. 


342  ^Kleinere  Mittheilnngea. 


Gehen  wir  wieder  von  der  Primzahl  2  ans,  so  ist  offenbar 
/>,  ?=  0  (mod  2) ,    d,  ^  1  {mod  2). 

In  den  Progressionen  von  zwei  Gliedern  y  in  welchen  die  2  Torkoroint, 
kann  sie  entweder  die  zweite  Stelle  einnehmen  (1  —  2),  oder  die  erste 
(z.  B.  2  —  13). 

In  Bezug  auf  die  Primzahl  3  wird  die  Progression  1-^2  —  3  (die  ein- 
'zige  mehr  als  zweigliedrige,  in  welcher  auch  die  2  vorkommt)  einen  eigen- 
thümlichen  Ausnahmefall  in  mehr  als  einer  Beziehung  bilden.     In  allen 
tibrigen  Fällen  muss 

i>,  =  0(modi7(,)), 
also  auch 

/>,=0  (modi7(,)) 
sein ,  und  gleichfalls  mit  Ausnahme  jener  einen  Progression  ist 

d,  ^  0  (mod  i7(,)). 

Unter  den  dreigliedrigen  die  3  enthaltenden  Progressionen  giebt  es 
eine,  in  welcher  die  3  an  letzter  Stelle  steht:  1  —  2 — 3,  eine,  in  welcher 
sie  an  zweiter  Stelle  steht  «und  welche  auch  noch  auf  vier  Stelleu  ausge- 
dehnt werden  kann:  1  —  3 — 5  —  7,  in  allen  Übrigen  nimmt  die  3  noth wen- 
dig die  erste  Stelle  ein.  Da  nun  D^  von  d,  wesentlich  verschieden  i^t,  so 
kann  3  keine  viergliedrige  Progression  beginnen,  also  sicher  in  keiner  ffinf- 
gliedrigen  vorkommen,  ebensowenig  wie  in  einer  solchen  die  2  enthalten 
sein  kann. 

So  ergiebt  sich  auch  für  die  Primzahl  5 ,  dass ,  mit  Ausnahme  jener 
zweiten  exceptionellen  Progression  i — 3  —  5  —  7,  immer  J>g  durch  11^;^^^  aUo 
auch  durch  i7(j)  und  d^  durch  i7(t)  theilbar  ist,  sowie  dasa  jede  fünfgliedrige 
die  5  enthaltende  Progression  mit  dieser  Primzahl  beginnen  muas,  dass 
also  endlich  keine  mehr  als  fünfgliedrige  Progression  die  Primzahlen  2, 3, 5 
enthalten  kann. 

Denken  wir  uns  auch  diese  Sätze  weiter  fortgeführt  bis  zur  Primzahl 
j9,  so  dass  Dp  durch  Il^p)  theilbar  und  p  in  keiner  mehr  als  pgliedrigen  Pro- 
gression vorkommen  kann,  so  wenig  wie  die  vorhergehenden  Primzahlen 
2 ,  3 ,  5  . . .  Daraus  folgt  zunächst  Dq  ^^  0  (mod  Il^p)) ,  also  auch  7)^  =  0 
(mod  77(f ))  und  d^  ^  0  (mod  ü^p)).  In  Bezug  auf  die  q  enthaltenden  Pro- 
gressionen von  .g Gliedern  waltet  noch  der  Zweifel,  ob  diese  Primzahl  aa 
erster  oder  zweiter  Stelle  stehen  wird,  da  ja  nicht  bewiesen  worden  i»i, 
dass  die  1  in  dieser  Progression  nicht  vorkommen  könne.  Die  Frage,  an- 
ter welcher  Bedingung  die  q  an  zweiter  Stelle  sich  befinden  kann,  litf<t 
sich  sogar  beantworten.  , 

Nämlich  unter  dieser  Voraussetzung,  dass  1  das  erste,  q  das  zweite 
Glied  der  Progression  wäre,  ist 

d,=^-l, 
folglich  ^  —  l  durch  il(j,)  theilbar ,  folglich  sicherlich 


Kleinere  Mittheilungen.  343 

Pemer  hat  schon  Euclid  bewiesen,  dass  ^^p)  +  i  gegen  jede,  das 
Prodnct  II^p)  bildende  Primzahl  theilerfremd,  also  selbst  Primzahl  oder  we- 
nigstens nur  dnrch  höhere  Primsahlen  als  p  theilbar  ist.  Da  aber  q  die 
nächst  höhexe  Primzahl ,  so  muss 

sein.     Diese  beiden  Bedingungen  sind  gleichzeitig  nur  durch 

g  =  2,  3,  5  .  .  .  p  + 1 
zu  erzielen.  Wenn  es  also  möglich  sein  sollte,  dass  eine  ggliedrige  Pro- 
gression statt  mit  g  mit  1  und  dann  erst  q  anfinge,  so  kann  es  nur  dann 
eintreten,  wenn  die  auf  p  in  der  Zahlenreihe  folgende  nächst  höhere  Prim- 
zahl q^=  i7(|,)  +  l  wäre,  ein  Fall,  der  sehr  unwahrscheinlich  klingt,  wie- 
wohl der  Beweis  seiner  Unmöglichkeit  mir  nicht  gelungen  ist. 

Keinesfalls  würde  diese  Möglichkeit  an  der  Richtigkeit  unseres  Haupt- 
satzes etwas  ändern.  Denn  wenn  q  das  zweite  Glied  einer  Q^gliedrigen 
Progression  ist,  so  kann  es  wegen  der  Verschiedenheit  von  D^  und  dq  doch 
höchstens  in  einer  (g^  + 1)  gliedrigen  Progression  vorkommen,  in  einer 
(g  +  2)  gliedrigen  schon  nicht  mehr,  während  die  auf  q  folgende  nächst 
höhere  Primzahl  r'^q  +  2  sein  muss,  und  es  ja  bei  dem  Gange  des  Be- 
weii^es  nur  darauf  ankommt,  dass  weiter  in  der  rgliedrigen  Progression 
die  2,  3,  5 ...  p,  ^  nicht  vorkommen  können. 

Ein  hier  sich  anschliessender  Satz,  dessen  strenger  Beweis  mir  bis- 
her noch  nicht' gelungen  ist,  heisst:  Drei  auf  einander  folgende  Primzahlen 
Py  9,  r,  unter  welchen  die  3  sich  nicht  befindet,  können  nicht  in  arithmeti- 
scher Progression  stehen.  Die  Ausnahme  wurde  natürlich  der  auch  hier 
wieder  auftretenden  Keihen  1 — 2—3  und  3  —-5 — 7  wegen  ausgesprochen. 

Cantor. 

JUU2L  Dantellung  des  Sanerstofl^puea  von  H.  Sainte- Ciaire  De- 
▼ille  und  H.  Bebray. 

Die  genannten  Gelehrten  empfehlen  zur  öconomischen  Darstellung 
des  Sauerstofi'gases  das  schwefelsaure  Zinko^cjd ,  welches  man  ja  bei  gal- 
vanischen Apparaten  in  so  grossen  Quantitäten  als  Nebenproduct  erhält 
und  an  dessen  zweckmässige  Verwendung  sich  bekanntlich  die  Frage  über 
die  Anwendung  der  galvanischen  Apparate  als  Motoren  anknüpft.  Das 
schwefelsaure  Zinkozjd  zersetzt  sich  nämUch  bei  einer  Temperatar ,  die 
die  Zersetzuugäteuiperatur  des  Braunsteins  nur  um  weniges  Übersteigt, 
vollständig  in  weisses  leichtes  Zinkoxyd ,  in  schweflige  Säure  und  freien 
Sauerstoff.  Leitet  man  das  in  einem  geschlossenen  Baume  erzeugte  Gas- 
gemisch durch  einen  Waschapparat  voll  Natronlauge ,  so  erhält  man  dop- 
pelt schwefelsaures  Natron,  was  man  zur  Herstellung  von  unterschweflig- 
saurem  Natron  benutzen  kann,  man  kann  das  durch  Waschen  mit  Natron- 
lauge rein  erhaltene  Sauerstoffgas  zu  irgend  einem  industriellen  Zwecke 
benutzen,  während  das  beim  Erhitzen  zurückbleibende  Zinkoxyd  möglicher 


344  Kleinere  Mittheilungen« 

Weise  eine  Verwendung  als  Zinkweiss  finden  kann.  So  scheint  denn  nun 
die  billige  Anwendung  galvanischer  Ströme  ffir  diejenigen  Etablissementi 
möglich  zu  sein,  die  eine  nützliche  Anwendung  Ton  Sauerstofigas  lo 
machen  wissen.  (Zeitschr.  f.  Chemie  n.  Pharmacie,  IV.) 


XXX.  Seues  Metall.  —  Auf  spectralanaljtischem  Wege  hat  Bunsen 
ein  neues  Metall  entdeckt,  welches  sich  in  den  Kreutznacher  und  Därk- 
heimer  Soolquellen  und  in  der  Thermalquelle  Ungemach  zu  Baden -Baden 
vorfindet.  Bunsen  hat  demselben  den  Namen  Caesium  von  caesius  (blau- 
grau) gegeben,  weil  es  zwei  blaue  Spectrallinien  erzeugt.  Der  Entdecker 
hat  bereits  30^  Caesiumchlorid  dargestellt ,  so  dass  man  bald  auf  weitere 
Mittheilungen  hoffen  kann.  (Zeitschr.  f  Chemie  u.  Pharmacie,  lY.)  Am 
einem  späteren  Briefe  Bunsen's  tlieilt  Roscoe  (Chem.  News  1861, 155)  fol- 
gende Stelle  mit :  „Die  Substanz ,  welche  ich  Ihnen  als  unreines  Caesium- 
tartrat  geschickt  habe,  enthält  ein  zweites  neues  Alkalimetall.  Ich  bin 
eben  damit  beschäftigt,  seine  Verbindungen  darzustellen  und  werde  Ihnen 
bald  eine  ausführliche  Mittheilung  darüber  machen.  Das  Spectmm  des 
neuen  Metalls  besteht  aus  zwei  violetten  Linien,  welche  zwischen  der 
Strontium  6-  und  Kalium  /?- Linie  liegen.** 


XXXL  Veber  die  Existenz  eine«  vierten  Metalls  der  Calolnmgnippe.— 
F.  W.  und  A.  Dupr^  (Chem.  Nervs  1861,  116)  geben  an,  dass  sie  indem 
Quell wasser  aus  grösserer  Tiefe  ein  solches  Metall  mit  Hilfe  des  Spectral- 
apparats  aufgefunden  haben.  Dasselbe  bringe  zwischen  der  Strontium  6- 
und  der  Kalium  /?- Linie  eine  mit  der  Strontium  d- Linie  in  Bezug  aaf 
Glanz  und  Schärfe  rivaüsirende  blaue  Linie  hervor.  (Die  Lage  dieser 
einen  blauen  Linie  wäre  demnach  eine  ähnliche,  wie  die  der  zwei  vio- 
letten Linien,  welche  das  neueste,  von  Bunsen  entdeckte  AlkalimetsD 
hervorbringt.)  Es  ist  den  Verfassern  nicht  gelungen,  die  Verbindungen 
des  neuen  Metalls  von  Calciumverbindungen  vollkommen  rein  darzustellen. 

W.  Crookes  (Chem.  News  1661,  129)  macht  hierzu  die  Bemerkung,  er 
habe  bei  seinen  Spectralbeobachtnngen  während  der  letzten  acht  Jahre  ge- 
legentlich bemerkt ,  dass  das  Calciumspectmm  eine  blaue  Linie  enthalte. 
Er  habe  jetzt,  veranlasst  durch  die  Publication  der  Herren  Dupr^,  mit 
einem  vollkommenen  Spectralapparat  Kalksalze  von  dem  verschiedensten 
Vorkommen  untersucht  und  gefunden ,  dass  alle  eine  blaue  Linie  zwischen 
Strontium  i  und  Kalium  ß  erzeugen ,  die  ungefähr  zwei  Mal  so  weit  ent- 
fernt von  der  ersten,  als  von  der  letzten  erscheint.  Diese  Linie  sei,  wio 
die  Herren  Dupr^  angeben ,  in  Glanz  und  Schärfe  mit  Strontium  d  aber- 
einstimmend. Er  glaubt  aus  seinen  Versuchen  schliessen  zu  dürfen,  dui 
diese  blaue  Linie  einen  integrirenden  Bestandtheil  des  Calciumspectmms 
ausmache. 


Kleinere  Mittheilnngen.  345 

Sebliesalich  warnt  der  VerfasBer  die  Experimentatoren  davor,  dass  sie 
lieh  sn  riel  auf  die  chromolithographischen  Abbildangen  der  Spectren, 
welche  in  dem  Phüosophical  Magazine  abgedruckt  sind,  verlassen.  Abge- 
sehen Ton  den  Unterschieden  in  der  Erscheinung  eines  Metallspectrnms, 
welche  durch  die  Verschiedenheit  in  der  Intensität  des  Lichts  and  in  dem 
Durchmesser  des  Spalts  verursacht  werden,  mttsse  Jeder,  der  einmal  die 
gllnzenden  Linien  durch  ein  gutes  Instrument  gesehen  habe,  vollkommen 
die  Hoffnung  aufgeben,  dieselben  —  besonders  lithographisch  -—  abbilden 
zu  können.  Bunsen*s  und  Kirchhoff's  Beschreibung  un4  Illustrationen 
seien,  sp  weit  sie  gingen,  ausgezeichnet,  sie  hätten  aber  bei  weitem  nicht 
den  Gegenstand  erschöpft.  Ein  aufmerksamer  Beobachter  würde  leicht 
noch  Linien  und  andere  Erscheinungen  bemerken ,  deren  sie  nicht  erwähnt 
hatten ,  welche  aber  jedenfalls  in  solche  Abbildungen  aufgenommen  wer- 
den mässten,' wenn  dieselben  die  Spectra  mit  einiger  Genauigkeit  wieder- 
gebet sollten.  Er  sei  im  Augenblick  mit  der  Darstellung  solcher  Abbil- 
dungen beschäftigt  und  werde  sie  mittheilen ,  sobald  sie  vollendet  seien. 

(Zeitschr.  f.  Chemie  u.  Pharmacie,  IV.) 


XKXSL  Veber  die  Darstellnng  fester  Kohlensäure.  —  A.  Loir 
und  Ch.  Drion  (Comp,  rend.  LH,  748),  welche  früher  (2.  Juni  1860)  schon 
mittheilten,  dass  man  unter  gewöhnlichem  Atmosphärendruck  Kohlensäure 
bei  der  Temperatur,  welche  flüssiges  Ammoniak  beim  Verdunsten  im  luft- 
leeren Baume  erzeugt ,  flüssig  erhalten  könne ,  haben  gezeigt ,  dass  man 
mit  Hilfe  des  Ammoniaks  auch  feste  Kohlensäure  darstellen  kann ,  wenn 
man  bei  einem  Druck  von  3  bis  4  Atmosphären  arbeitet.  Sie  bedienen  sich 
folgender  Manipulation.  Man  bringt  in  eine  nach  oben  offene  Glasglocke 
150  CC.  flüssiges  Ammoniak,  der  Rand  der  Glasglocke  wird  in  einen 
Metallring  eingekittet,  auf  welchen  eine  mit  zwei  Oeffnungen  versehene 
Platte  genau  aufgepasst  ist.  In  die  mittlere  Oeffnung  wird  eine  unten  ge- 
schlossene Glasröhre  befestigt,  welche  bis  auf  den  Boden  der  Glocke  reicht. 
Die  andere  Oeffnung  wird  mit  einer  Luftpumpe  in  Verbindung  gesetat. 
Die  Kohlensäure ,  welche  man  in  einem  Kolben ,  dessen  Hals  mit  Chlor- 
calciumstücken  angefüllt  ist,  durch  Erhitzen  von  doppeltkohlensaurem 
Natrium  erzeugt  wird ,  durch  ein  Bleirobr  in  die  in  das  flüssige  Ammoniak 
tauchende  Glasröhre  eingeleitet.  Mit  dem  Kolben  steht  ein  Manometer 
mit  comprimirter  Luft  in  Verbindung.  Aus  dem  Apparat  wird  vorher  die 
Luft  entfernt,  und  wenn  die  Temperatur  bis  in  die  Nähe  des  Erstarrungs- 
punktes der  Kohlensäure  gesunken  ist,  so  beginnt  man  mit  der  Kohlen- 
säureentwickelung,  indem  man  dafür  sorgt,  dass  beständig  ein  Druck  von 
3  bis  4  Atmosphären  erhalten  bleibt.  Nach  einer  halben  Stunde  ist  der 
Theil  des  Glasrohrs,  welcher  in  das  Ammoniak  untertaucht,  mit  einer 
dicken  Krystallkruste  erfüllt  (ungefähr  50  Gramme  wiegend). 

Die  so  erhaltene  feste  Kohlensäure  ist  farblos  und  durchsichtig  wie 


346  Kleinere  Mittheilungen« 

EiB«  Sie  kann  leicht  mit  einem  Glasstab  von  den  Wänden  des  Yerdich- 
tungsrohrs  abgesto^sen  werden.  Man  erhält  dabei  3  bis  4  MtlHmeter  grosse 
cubische  KrystaUe ,  welche  an  der  Luft  langsam  gasförmig  werden ,  ohne 
einen  Bückstand  zn  hinterlassen.  Auf  der  Hand  bringen  sie  weder  ein 
Gefühl  von  Kälte,  noch  von  Wärme  hervor.  Sie  lassen  sich  schwierig 
mit  den  Fingern  festhalten.  Bei  geringem  Drücken  entschlüpfen  sie ,  als 
wären  sie  mit  einer  fetten  Materie  überzogen.  Wenn  es  gelingt,  zwisehen 
Daumen  nnd  Zeigefinger  einen  Krjstall  festzuhalten,  so  empfindet  raao 
ein  unerträgliches  Brennen. 

Die  Kr  jstalle  in  einem  kleinen  Porzellantiegel  mit  Aether  gemischt, 
erzeugen  eine  KJilte  von  -^  81  ^ 

Das  bei  den  Versuchen  angewendete  flüssige  Ammoniak  wurde  nacb 
der  Methode  von  Bussj  in  einem  Kolben,  welcher  mit  flüssiger  schwef- 
liger Säure  umgeben  war,  die  mit  der  Luftpumpe  verflüchtigt  wurde,  dar- 
gestellt. Man  kann  nach  dieser  Methode  leicht  in  weniger  als  zwei  IStnn- 
den  nahezu  zwei  Deciliter  flüssiges  Ammoniak  erhalten. 

Die  Temperaturen  wurden  mit  einem  Alkoholthermometer  mit  zwei 
bestimmten  Punkten  (0®  bei  schmelzendem  Eis  und  —  40®  bei  schmelzen- 
dem Quecksilber)  gemessen.        (Zeitschr.  f.  Chemie  u.  Pharmacie,  IV.) 


XXXnr.  Beiträge  zur  Kenntniss  der  Oesetse  der  flasabterption  Ton 
T.  BL  Sims.     (Q.  J.  of  Ch.  Soc.  XIV,  1.) 

Sims  hat  im  Laboratorium  von  Boscoe  eine  ausführliche  Unter- 
suchung über  die  Absorption  der  schwefligen  Säure  und  des  Ammoniaks 
durch  Wasser  angestellt;  wir  theilen  im  Folgenden  die  Besultate  der- 
selben mit. 

Die  Methoden  waren  im  Wesentlichen  die  von  Roscoe  und  Ditt- 
m  a  r  *)  bei  ihrer  Untersuchung  über  die  Absorption  des  Chlorwasserstoffi 
und  des  Ammoniaks  in  Wasser  angewandten:  Einige  Gramme  Wasser 
wurden  in  einem  Kugelapparat  von  bekanntem  Gewicht  und  Rauminhalt 
bei  der  verlangten  Temperatur  mit  Gas  von  der  gewünschten  Spannkraft 
gesättigt,  der  Apparat  wurde  zugeschmolzen  und  unter  Beobachtang  von 
Thermometer-  und  Barometerstand  gewogen,*  Die  Gesammtmenge  des 
eingeschlossenen  Gases  wurde  auf  chemischem  Wege  ermittelt  und  der 
Tbeil  desselben,  welcher  am  Ende  der  Sättigung  den  leeren  Theil  des  Ap- 
parates ausfüllte,  wurde  aus  der  Capacität  des  letzteren,  dem  speciellen 
Gewicht  des  Gases  und  aus  dem  annähernd  bekannten  Volumen  der  ge- 
sättigten Flüssigkeit  berechnet. 

1)  Schweflige  Säure.  Schönfeld  hat  bereits  vor  mehreren  Jah- 
ren die  Löslichkeit  dieses  Gases  in  Wasser  bei  gewöhnlichem  Druck  für 


*)  Ann.  Chem.  Phm'ni,  CXII,  327. 


Kleinere  Mittheiluogen. 


U7 


eine  Eeihe  von  Temperaturen  bestimmt*).  Derselbe  Chemiker  bat  auch 
die  Absorption  von  Gemischen  aus  schwefliger  Säure  und  weniger  lös- 
lichen Gasen  durch  Wasser  untersucht  und  aua  seinen  Versuchen  den 
Schluss  gezogen,  dass  schweflige  Säure  oberhalb  +10°  C.  dem  Absorptions- 
gesetze gehorche.  Die  von  Schönfeld  beigebrachten  experimentellen  Be- 
lege können  indessen  nicht  als  entscheidend  angesehen  werden,  da  sie  nur 
wenig  zahlreich  sind  und  bei  allen  hierher  gehörigen  Bestimmungen  der 
Druck  der  schwefligen  Sänre  immer  nur  indirect,  d.  h.  durch  Verdünnen 
mit  einem  zweiten  Gase  geändert  wiirde.  Der  Verfasser  hat  deshalb,  um 
die  Frage  zur  Entscheidung  zu  bringen ,  ob  das  Absorptioosgegetz  auf  die 
schweflige  Säure  anwendbar  sei ,  die  Löslichkeit  dieses  Gases  in  Wasser 
bei  vier  verschiedenen  Temperaturen  und  jedes  Mal  für  eine  Reihe  von 
direct  hervorgebrachten  Tensionen  bestimmt.  Ein  Strom  luftfräer  schwef- 
liger Säure  von  beliebiger  Spannung  wurde  sehr  zweckmässig  vermittelst 
eines  Vorraths  flttssiger  schwefliger  Säure  hergestellt.  Die  Analysen  wur- 
den ,  unter  Beobachtung  der  von  Bunsen  angegebenen  Vorsiehtsmassregeln, 
mittelst  Jodlösung  ausgeführt.  Die  Stärke  der  letzteren  wurde  mittelst 
abgewogener  Mengen  verflüssigter  SO,  festgestellt. 

Die  Sesultate  sind  im  Folgenden  tabellarisch  zusammengestellt.  P  be- 
deutet den  partiellen  Druck  des  Gases  in  Millimetern  Quecksilberhöhe, 
G  die  zur  Sättigung  der  Gewichtseinheit  Wasser  bei  der  Temperatur  t^ 
Cent,  nöthige  Gewichtsmenge  schwefliger  Säure.  Aus  den  unmittelbaren 
Yersuchsresultaten  worden  durch  graphische  Interpolation  voUstäridige  Ta- 
bellen abgeleitet.  G'  bedeutet  den  durch  Abmessen  an  der  Curve  gefun- 
denen Werth  von  G. 

1.    Temperatur  =  7*^0  Geis. 


1 

1 

p 

G 

r   760 
^■'  P 

C 

P 

G' 

P 

«• 

P 

G' 

27,0 

0,010  0,273 

0,010 

30 

0,010  220 

0,055 

7Ö0 

0,174 

49,8 

0,015 

0,015 

40 

0,013  240 

0,059 

760 

0,176 

89,6 

0,025 

0,025 

50 

0,015  260 

0,064 

800 

0,185 

133,7 

0,035 

0,035 

00 

0,017   280 

0,069 

850 

0,196 

239,0 

Q,059 

0,059 

70 

0,020 

300 

0.073 

900 

0,207 

741,8- 

0,173 

0^77 

0,172 

80 

0,022 

350 

0,089 

950 

0,218 

757,1 

0,174 

0,176 

90 

0,025 

400 

0,096 

1000 

0,229 

770,8 

0,178 

0,179 

100 

0,027 

450 

0,107 

986,3 

0,228 

0,220 

r2Ü 

0,032 

500 

0,118 

1100 

0,251 

1291,0 

0,293 

0,172 

0,293 

140 

0,036 

550 

0,130 

1200 

0,273 

160 

0,041 

600  ;  0,141 

1300 

0,295 

180 

0,046 

650  ;  0,152 

200 

0,050 

700 

1  0,163 

♦)  Aiu».  C^em.  Pkutni.  XC^,  1. 


348 


Kleinere  Mittheilungen. 


2.   Temperatur  =  20^  Celg. 


a. 

1 

P 

G 

r  760 

& 

P 

G' 

P 

e 

32,4 

0,006 

0,148 

0,006 

40 

0,007 

300 

0,044 

50,1 

0,009 

0,009 

50 

0,009 

350 

0,050 

65,0 

0,011 

0,011 

60 

0,011 

400 

0,050 

77,3 

0,013 

0,013 

70 

0,012 

450 

0,064 

78,4 

0,013 

0,013 

80 

0,013 

500 

0,071 

82,2 

0,014 

0,014 

90 

0,015 

550 

0,077 

121,8 

0,020 

0,019 

100 

0,016 

600 

0,083 

291,0 

0,043 

0,043 

120 

0,019 

650 

0,090 

446,6 

0,064 

0,064 

140 

0,022 

700 

0,096 

658,2 

0,094 

0,108 

0,091 

160 

0,025 

750 

0,103 

728,9 

0,100 

0,100 

180 

0,028 

760 

0,104 

729,5 

0,100 

0,100 

200 

0,030 

800 

o,no 

730,8 

0,100 

0,100 

220 

0,033 

1000 

0,137 

1570,0 

0,218 

0,214 

240 

0,036 

1300 

0,178 

1911,0 

0,260 

0,104 

0,260 

260 

0,038 

1600 

0,218 

280 

0,041 

1900 

0,259 

3. 

Temperatur 

:=  39°8  Gels. 

a. 

1 

P 

G 

r    760 
^'  P 

G' 

P 

G' 

P 

G' 

205,9 

0,017  - 

0,062 

0,017 

200 

0,016 

760 

0,059 

293.1 

0,023 

0,023 

300 

0,024 

800 

.0,062 

696,0 

0,054 

0,054 

400 

0,031 

1000 

0,077 

697,6 

0,054 

0,054 

500 

0,039 

1500 

0,113 

701,6 

0,053 

0,055 

0,053 

600 

0,047 

2000 

0,149 

1565,0 

0,116 

0,118 

2021,0 

0,150 

0,056 

0,150 

4   Temperatur  =  50®0  Gels, 


a. 

b. 

P 

G 

«.? 

G' 

P 

G' 

P 

& 

191,5 

664,0 

1961,0 

0,011 
0,039 
0,115 

0,045 
0,045 
0,044 

0,011 
0,039 
0,120 

200 
400 
600 
760 

0,012 
0,024 
0,035 
0,045 

800 
1000 
1500 
2000 

0,047 
0,059 
0,088 
0,112 

Kleinere  MittheilnngeD. 


349 


Aus  dieser  Zusammenstellung  ist  ersichtlich ,  dass  die  von  einer  be- 
stimmten Menge  Wasser  bei  constanterTemperatnr  absorbirte  Menge 
SO^  dem  partiellen  Druck  dieses  Oases  im  Allgemeinen  nicht  proportional 
ist.     Die  Abweichungen  vom  Absorptionsgesetze  sind  indessen  um  so  ge- 

760 
ringer,  je  höher  die  Temperatur;  der  Werth  G .  —  ist  bei  7^  und  bei  20* 

sehr  veränderlich,  bei  39^  wieder  nahezu,   bei  50^  so  gut  wie  Töllig  con- 
staut.  — 

Aus  den  Tabellen  l,b  2,b  3,b  und  4,b  wurde  mit  Hilfe  einer  weiteren 
graphischen  Interpolation  noch  die  folgende  Tabelle  abgeleitet,  welche  die 
bei  dem  constanten  partiellen  Oasdruck  von  760™™  von  der  Gewichts- 
einheit Wasser  absorbirte  Gewichtsmenge  Gas  {G')  giebt.  V  bedeutet  das 
Volumen,  welches  G^  Gewichtstheile  Gas  bei  0*^  und  760<"°^  Druck  ein- 
nehmen, das  Volumen  der  Gewichtseinheit  Wasser  bei  +4^  als  Yolumen- 
einheit  genommen  *)• 

P  ==  760«««. 


i 

G' 

V 

t 

& 

V 

8« 

0,168 

58,7 

do^ 

0,078 

27,8 

10 

0,154 

63.9 

32 

0,073 

25,7 

12 

0,142 

49,6 

34 

0,069 

24^ 

14 

0,130 

45,6 

36 

0,065 

22,8 

16 

0,121 

42,2 

38 

0,062 

21,6 

18 

0,112 

39.3 

40 

0,058 

20,4 

20 

0,104 

36,4 

42 

0,055 

19,3 

22 

0,008 

34,2 

44 

0,053 

18,4 

24 

0,092 

32,3 

46 

0,050 

17,4 

26 

0.087 

30,5 

48 

0,047 

16,4 

23 

0,083 

28,9 

50 

0,045 

15,6 

Die  in  dieser  Tabelle  enthaltenen  Zahlen  stimmen  nicht  genau  mit 
den  von  Schönfeld  gegebenen  überein;  es  ist  jedoch  zu  berücksichtigen, 
dass  Schönfeld  seine  direct  gefundenen  Zahlen ,  unter  Voraussetzung  der 
Giltigkeit  des  Absorptionsgesetzes ,  auf  760"^"  Druck  reducirt  und  dass  er 
dabei  versäumte,  die  Tension  des  Wasserdampfes  von  den  beobachteten 
Barometerständen  in  Abzug  zu  bringen. 

Der  Inhalt  der  obigen  Tabelle  wird  annähernd  durch  die  folgende, 
von  Glifton  berechnete  Formel  wiedergegeben: 

760_2M0       9250       100/10338       62760\ 

wie  dies  aus  der  folgenden  Zusammenstellung  einiger  nach  dieser  Formel 


•)  1  Liter  50,  =  2,861  Gr. 


350 


Kleinere  Mittheilnngen. 


760 
berechneten  Werthe  von  G  ,  — -  mit  den  durch  graphische  Interpolation  er- 
haltenen hervorgeht. 


p 

70  c. 

20  *>  C. 

40*0. 

50«  C.       1 

Ben 

Gef. 

Ber. 

Gef. 

Ben 

Gef. 

Ber. 

Gef. 

.40,0 

0,245 

0,242 

0,149 

0,143 

50,0 

0,231 

0,223 

0,140 

0,138 

100,0 

0,203 

0,205 

0,122 

0,124 

200,0 

0,189 

0,191 

0,113 

0,116 

0,061 

0,062 

0,049 

0,045 

500,0 

0,181 

0,180 

0,108 

0,107 

0,059 

0,059 

0,049 

0,045 

800,0 

0,175 

0,176 

0,108 

0,104 

0,058 

0,059 

0,048 

0,045 

1000,0 

0,178 

0,174 

0,106 

0,104 

0,058 

0,058 

0,048 

0,045 

1200,0 

0,177 

0,173 

0,105 

0,104 

0,058 

0,057 

0,048 

0,045 

1800,0 

0,105 

0,104 

0,058 

0,057 

0,048 

0,044 

2000,0 

0,105 

0,104 

0,058 

0,057 

0,048 

0,044 

2)  Ammoniak.  Roscoe  und  l5itt mar  haben  in  ihrer  oben  citir- 
ten  Arbeit  nachgewiesen,  dass  die  bei  0«  von  einer  bestimmten  Menge 
Wasser  absorbirte  Gewichtsmenge  Ammoniak  dem  partiellen  Drucke  des 
Gases  nicht  einmal  annähernd  proportional  ist.  Die  Beziehungen ,  welche 
bei  höheren  Temperaturen  bestehen,  lassen  sich  aus  der  Arbeit  dieser 
Chemiker  nicht  entnehmen,  da  dieselben  zwar  Bestimmungen  bei  Tempe- 
raturen über  0«,  aber  diese  immer  nur  bei  gewöhnlichem  Drucke  ausgeführt 
haben.  Herr  Schönfeld  hat  nun  auch  für  die  Temperaturen  20,  40  und 
100«  die  Löslichkeit  des  Ammoniaks  in  Wasser  jedes  Mal  für  eine  Reihe 
von  Drucken  ermittelt,  und  er  ist  dabei. zu  folgenden  Resultaten  gelangt: 

a.   Directe  Versuchsresultate. 


1.   I==20^. 

2.    (  =  40^. 

3,    <=100»0.        1 

P 

G 

r  760 

P 

G 

^   760 
G.  p 

P 

G 

fr    760 

45,5 

0,100 

1,666 

75,8 

0,050 

0,497 

688,4 

0,067 

0,074 

206,1 

0,236 

184,3 

0,112 

1078,0 

0,104 

0,073 

735,4 

0,508 

701,1 

0,322 

1419,0 

0,135 

0,073 

1525,0 

0,811 

1599,0 

0,522 

2076,0 

1,018 

0,373 

2129,0 

0,599 

0,214 

Kleinere  MitÜheiiüiigeti. 


351 


b.   Ans  graphischen  Interpolationen  abgeleitete  Tabellen. 


p 

20«  C.        1       40»  C. 

100«  C.      1 

C 

c'.r 

e 

C'.I«? 

G' 

^,760 

P 

P 

P 

60 

0»]19 

1,513 

80 

0,141 

0,052 

0,479 

100 

0,158 

0,064 

120 

0,173 

0,076 

140 

0,187 

0,088 

160 

0,202 

0,099 

180 

0,217 

0,109 

200 

0,232 

0,120 

250 

0,266 

0,145 

•  \ 

300 

0,296 

0,168 

350 

0,325 

0,191 

400 

0^353 

0,211 

450 

0,378 

0,232 

500 

0,403 

0,251 

550 

0,425 

0,269 

600 

0,447 

0,287 

650 

0,470 

0,304 

700 

0,402 

0,320 

0,068 

0,074 

750 

0,514 

0,335 

0,073 

0,074 

760 

0,518 

1,518 

0,338 

0,338 

0,074 

0,074 

800 

0,535 

0,349 

0,078 

0,074 

850 

0,556 

0,363 

0,083 

0,074 

900 

0,574 

0,378 

0,088 

0,074 

950 

0,594 

0,391 

0,092 

0,073 

JOOO 

0,613 

0,404 

0,096 

0,073 

1050 

0,632 

0,414 

OJOl 

0,073 

1100 

0,651 

0,425 

0,106 

0,073 

1150 

0,669 

0,434 

0,110 

0,073 

1200 

0,665 

0,445 
0,454 

0,115 

0,073 

1250 

0,704 

0,120 

0,073 

1300 

0,722 

0,463 

0,125 

0,073 

1350 

0,741 

0,472 

0,130 

0,073 

1400 

0,761 

0,479 

0,135 

0,073 

1450 

0,780 

0,486 

1500 

0,801 

0,493 

1600 

0,842 

0,511 

1700 

0,881 

0,530 

1800 

0,919 

0,547 

1900 

0,955 

0,565 

2000 

0,992 

0,377 

0,579 

2100 

0,594 

0,215 

352 


Kleinere  Mittheilnngen. 


i>  = 

=  760. 

t 

e 

t 

e 

0*C. 

0,899 

52« 

C. 

0,274 

2  „ 

0,853 

54 

»> 

0,265 

4  „ 

0,809 

56 

>» 

0,256 

ö  „ 

0,765 

58 

» 

0.247 

8  » 

0,724 

60 

i> 

0,238 

10  „ 

0,684 

62 

» 

0,229 

12  n 

0,646 

64 

>» 

0,220 

14  „ 

0,611 

66 

II 

0,211 

16  „ 

0,578 

68 

II 

0,202 

18  „ 

0,546 

70 

II 

.0,194 

20  „ 

Q,518 

72 

II 

0,186 

22  „ 

0,490 

74 

0,178 

24  „ 

0,467 

76 

0,170 

26  „ 

0,446 

78 

0,162 

28  „ 

0,426 

80 

0,154 

30  „ 

0,408 

82 

0,146 

32  „ 

0,393 

84 

0,138 

34  „ 

0,378 

86 

0.130 

36  „ 

0,363 

88 

0,122 

38  „ 

0,350 

90 

0,114 

40  „ 

0,338 

42 

0,106 

42  „ 

0,326 

94 

0,098 

44  „ 

0,315 

96 

0,090 

46  „ 

0,304 

98 

0,082 

48  „ 

0,294 

100 

0,074 

50  „ 

0,284 

Ein  Blick  auf  diese  Tabellen  zeigt,  dass  der  Werth  & .  —  bei  20«  und 

40«  sehr  ver&nderlich ,  bei  100«  aber  nahezu  constant  ist.  Bei  dieser  lets- 
teren  Temperatur  ist  also  das  Abaorptionsgesetz  auch  auf  Ammoniak  in 
Wasser  anwendbar.  (Zeitschr.  f.  Chemie  u.  Pharmacie,  IV.) 


XIV. 

Veber  ein  System  verwandter  Cnnren  nnd  Flftchen 
zweiten  Grades. 

Von  Dr.  Heilebmann, 

Director  der  Provinzial- Gewerbeschule  bu  Coblens. 


„Die  Theorie  der  Flächen  zweiten  Grades  ist  am  meisten  dadurch 
gefördert  worden ,  dass  man ,  von  den  Curven  zweiten  Grades  aasgehend, 
Tom  Besonderen  zum  Allgemeineren  aufsteigend,  diejenigen  Eigenschaf- 
ten, welche  die  bekannten  Sätze  von  den  KegQl§chnitten  als  besondere 
Fälle  enthalten,  an  den  vollkommneren  Gebilden  des  Baumes  aufsuchte." 
Auch  in  den  hier  folgenden  Mittheilungen  werde  ich  denselben  Weg  ver- 
folgen, indem  ich  zuerst  einige  Eigenschaften  der  Kegelschnitte  zusammen- 
stelle und  dann  die  analogen  Gesetze  über  die  Flächen  zweiten  Grades  zu 
ermitteln  suche. 

§.1. 

Es  werde  in  dem  Kegelschnitte 
1) 


—  4.^  =  1 

«t  ~  Ät 


ein  Punkt  n^=z(ayb)  so  bestimmt,  dass  seine  Coordinaten  a  und  b  Halb- 
achsen eines  anderen  Kegelschnittes  sind ,  welcher  mit  jenem  confocal  ist. 
ist.     Zur  Bestimmung  dieses  Kegelschnittes 

welcher  immer  eine  Ellipse  ist,  dienen  also  die  Gleichungen 

3)  {     «»^/S«      *• 

Wird  der  gleiche  Werth  der  vorstehenden  Differenzen  mit  ft  bezeichnet, 
so  ist 

ZcitMhrift  f.  Malhemtlik  n.  Phyilk.  VI,  8.  25 


354  Ueber  ein  System  verwandter  Curven  und  Flächen  zweiten  Grades. 

folglich 

4)  1  =  1  +  1. 

und  hiemach  ist  +  j/jiTdie  Ordinate  der  Punkte,  worin  der  Kegelschnitt l) 
von  den  Halbirungslinien  der  Achsenwinkel  geschnitten  wird,  und  wenn 
dieser  eine  Ellipse,  so  ist  j/^  auch  die  Senkrechte,  welche  vom  Mittel- 
punkte auf  eine,  zwei  Scheitel  verbindende  Sehne  gefallt  wird. 
Für  die  Coordinaten  des  Punktes  n  =  (a,  b)  erhält  man 

5)  0=  +   -=:.^,    &=    +-— L=. 

-ya'  +  ß'         -y^  +  ß* 

Hiernach  giebt  es  in  dem  Kegelschnitte  l)  vier  Punkte,  welche  den  Be- 
dingungen 3)  genügen,  wenn 

«*-+|8*>0, 
d.  h.  wenn  dieser  Kegelschnitt  eine  Ellipse  ist  oder  eine  Hyperbel,  deren 
Asymptoten  mit  der  realen  Achse  kleinere  Winkel  bilden,  als  mit  der  ima- 
ginären.    Diese  Punkte  liegen  im  Unendlichen,  wenn 

o«  +  ^*  =  0, 
d.  h.  wenn  der  Kegelschnitt  1)  eine  gleichseitige  Hyperbel  ist,  und  drit- 
tens sind  die  Coordinaten  a  und  b  imaginär,  wenn 

a»  +  /5«<0, 
d.  h.  wenn  der  Kegelschnitt  1)  eine  Hyperbel  ist,  deren  Asymptoten  mit 
der  realen  Achse  grössere  Winkel  bilden ,  als  mit  der  imaginären. 

Werden  die  vier  Punkte  (  +  a,  +  6)  verbunden,  so  entsteht  ein  Recht- 
eck ,  welches  der  Ellipse  2)  umgeschrieben  und  dem  Kegelschnitte  1)  ein- 
geschrieben ist. 

Soll  umgekehrt  durch  den  Punkt  w  =  (a,  b)  ein  Kegelschnitt  gelegt 
werden,  welcher  mit  der  Ellipse  2)  confocal  ist,  so  erhält  man  aus  den 
Gleichungen  3)  zar  Bestimmung  der  Differenz  fi  die  Gleichung 

a"  b* 

mithin 

7)  ^=  +  «6. 

Es  giebt  also  auch  zwei  Paar  Werthe  von  a*  nnd  ß\  welche  den  Bedingun- 
gen 3)  genügen,  nämlich 

gx  |a«  =  fl(a  +  6),  ß^=.b{b  +  a), 

^  \a,'=a{a—b),ß,'=b(b—a), 

und  daher  giebt  es  auch  zwei  Kegelschnitte,  Welche  durch  die  vier  Punkte 
( Hh  a,  +  b)  gehen  und  mit  der  Ellipse  2)  confocal  sind ,  nämlich 

4.  y n=  1 


und  zwar  ist  der  erstere  eine  Ellipse ,  die  zweite  eine  Hyperbel. 


Von  Dr.  Heilebmann.  355 

Für  deB  Zasammenhang  dieser  Carven  und  der  Ellipse  2)  sind  fol- 
gende Gleichungen  beachtenswerth 

«•  +  «,«  =  2fl«,  /S«  +  ft«  =  2&«, 

a«  «,«  ==  a«  (««  —  6»),        ß*  ft*  =  b*  (6«  — a«), 
10)  {       a*/5«  =  a6(a  +  6)«,       «,« jS,«=:  — a*  (ö  — ft)«, 

V+^«  =  (a  +  *)«,       V  +  A«  =  (fl-6)*, 
«• :  P*  =  «  :  6,  «/  :  ft«  =  —  a  :  6. 

Die  Geraden,  welche  die  Kegelschnitte  0)  in  dem  Punkte  (a,6)  be- 
rühren, sind 

a     '         b 

a  6 

«I        Pi 

oder,  wenn  die  Werthe  von  a,  ^,  «t  und  ß^  eingesetzt  werden, 

a  —  b^b  —  a^' 
and  schneiden,  wie  die  Form  ihrer  Gleichnngen  zeigt,  auf  den  Achsen  der 
Ellipse  2)  gleiche  Stücke  ab,  welche  der  Summe  oder  Differenz  der  Halb- 
achsen dieses  Kegelschnittes  gleich  sind.  Werden  die  Berührenden  der 
Kegelschnitte  9)  für  die  vier  Funkte  ( +  a,  +  b)  gezogen ,  so  scbliessen  sie 
zwei  Qnadrate  ein,  deren  Diagonalen  in  den  Achsen  der  Kegelschnitte  ge- 
legen und  der  Summe  oder  Differenz  derselben  gleich  sind. 

§2. 
Die  Kreise 

.«^  *  iJ*+7«=(«  +  6)«, 

welche  den  zuletzt  erwähnten  Quadraten  umgeschrieben  sind ,.  stehen  mit 
dem  Kegelschnitte  2)  in  einem  innigen  Zusammenhange.   Es  sei  der  Punkt 
üf  =rs  (X,  F)  des  grösseren  Kreises  dem  Punkte  m  =  (ar,y)  der  Ellipse  2) 
entsprechend,  d.  h*  ihre  Ooordinaten  genügen  den  Proportionen 
.^.  X_a+b      r_a+b 

hieraus  folgt  sogleich 

.4)      .  1  +  ^  =  ., 

d.  h.  jeder  Punkt  m  der  Ellipse  liegt  in  der  Geraden,  welche  die  Fuss- 
punkte  der  Ooordinaten  des  entsprechenden  Punktes  M  des  grösseren  Krei- 
ses 12)  verbindet. 

Bezeichnet  man  diese  Fusspunkte  mit  P  und  Oj  so  dass  MP=  X  und 
MQ=z  F,  80  \%i  PQzjua-^-b  und  wird  durch  den  Punkt  m,  wie  die  vor- 

25* 


356  Ueber  ein  System  vefwandter  Curveti  und  Flächen  zweiten  Grades. 

stehenden  Gleichungen  aeigen,  in  die  Abschnitte  mP^^^a  nnd  mO=:b 
getheilt. 

Ebenso  werden  durch  die  Proportionen 

15)  —  = ,      —  =  — ; 

'  X  a  y  b 

in  dem  kleineren  Kreise  12)  und  der  Ellipse  2)  die  entsprechenden  Punkte 
J|fj  =  (^, ,  Fl)  und  m  =  (x,  y)  bestimmt,  und  auch  diese  befriedigen  die 
Gleichung 

16)  X+Y,^^' 

welche  wieder  zeigt,  dass  der  Punkt  m  auch  in  der  Geraden  liegt,  welclie 
durch  die  Fusspunkte  der  Coordinaten  dos  entsprechenden  Punktes  ^t  i° 
dem  kleineren  Kreise  geht. 

Bezeichnet  man  diese  Fusspunkte  mit  P]  und  (>i,  so  d'ass  M^Pf  =l't 
und  illiöi=-^n  80  ißt  />, |pj=+  {a  —  b)  und  wird  durch  den  Punkt» 
äusserlich  so  getheilt,  dass  mP^z=zn  und  wjp,  =6. 

Hieraus  ergiebt  sich  nun  in  Verbindung  mit  dem  Vorhergehenden  der 
folgende  bekannte  Satz : 

Werden  um  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  mit  der  Summe 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreide  beschrieben,  so  liegt 
jeder  Punkt  der  Ellipse  in  den  Geraden,  welche  durch  die 
Fusspunkte  der  Coordinaten  der  entsprechenden,  in  diesen 
Kreisen  liegenden  Punkte  gehen  und  th eilt  die  Verbindungs- 
linien der  Fusspunkte,  die  eine  innerlich  und  die  andere 
äusserlich,  in  zwei  Abschnitte,  welche  gleich  den  Halb- 
achsen der  Ellipse  sind. 

Aus  den  vorstehenden  Gleichungen  13)  und  15)  folgt  femer 

17)  A'+X,  =  2j?,   F+F,  =  2y 

und  diese  .Gleichungen  haben  für  die  Lage  der  entsprechenden  Pankte 
ilf,  Mx  und  m  folgende  Bedeutung : 

Werden  um  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  mit  der  Summe 
und  Differenz  ,der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  hal- 
birt  jeder  Punkt  der  Ellipse  die  Verbindungslinie  der  zuge- 
hörigen entsprechenden  Punkte  dieser  Kreise. 

Die  Gerade,  welche  durch  die  Punkte  iJf=(Z,  F)  und  »t  =  (jc,y) 
geht ,  ist  bekanntlich 

wenn  x^^yx  die  laufenden  Coordinaten  derselben  bezeichnen.  Durch  Ein- 
setzung der  in  13)  angegebenen  Werthe  von  X  und  F  geht  diese  Gleichang 
über  in 


t^—b*'x    '  6*— Ä« 


Von  Dr.  Ueil£RMAnn.  357 

und  diese  zeigt,  dass  die  dem  Punkte  m  entsprechenden  Punkte  M  und  Mi 
der  Kreise  12)  in  der  Normale  des  Punktea  m  liegen. 

Die  Länge  der  Linie  Mm  oder  M^  m ,  welche  mit  /  bezeichnet  sei ,  ist 
durch  die  Gleichung 

bestimmt,  oder  durch 

/«  =  ««6»  (^  +  ^)  =  «•  +  6'-a:«-y». 

Nun  ist  aber ,  wenn  vom  Mittelpunkte  auf  die  Berührende  des  Punktes  m 
die  Senkrechte  §  gefällt  wird , 


folglich 


19)  '  =  j, 

und  da  bekanntlich  2.—  der  zur  Berührenden  des  Punktes  m  parallele 

Durchmsser  die  Ellipse  2)  ist,  so  ergiebt  sich  hieraus  folgender  Satz : 

Werden  um  den  Mittelpunkt  ein  er  Ellipse  mit  der  Summe 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  be- 
grenzen diese  auf  jeder  Normale  der  Ellipse  eine  Strecke, 
welche  dem  auf  derselben  Normale  senkrechten  Durch- 
messer der  Ellipse  gleich  ist. 

§.3. 

Bezeichnet  man  die  Punkte ,  wo  die  Normale  18)  die  Achsen  trifft,  mit 
P^  und  jßo,  so  ist 

.p,=^+(,-?i^,)'=.(i+^), 

oder 

20)  mPo^j,mQ,=^j  und  i>,0o=  ±  — |— • 

Diese  Gleichungen  zeigen,  dass 

auf  jeder  Normale  einer  Ellipse  durch  die  Achsen 
Strecken  abgeschnitten  werden,  welche  mit  der  Entfernung 
der  zugehörigen  Berührenden  vom  Mittelpunkte  Eechtecke 
von  constanter  Grösse  bilden. 

Auch  die  Hyperbel  besitzt  dieselbe  Eigenschaft  und  der  Unterschied 
besteht  nur  darin ,  dass  der  Fusspankt  der  Normalen  dieses  Kegelschnittes 
zwischen  den  Punkten  liegt ,  wo  sie  die  Achsen  schneidet. 


358  üeber  ein  System  verwandter  Coryen  und  Flächen  zweiten  Grades. 

Durch  ümkehrung  dieses  Satzes  erhält  man  folgende  Erzengnngs- 
weise  dieser  Kegelschnitte: 

Bewegt  sich  ein  rechter  Winkel  so,  dass  anf  dem  einen 
Schenkel  durch  zwei  auf  einander  senkrecht  stehende  Ge- 
raden Strecken  abgeschnitten  werden,  welche  mit  der  Ent- 
fernung des  anderen  Schenkels  vom  Schnittpunkt  dieser  Ge- 
raden Rechtecke  von  constanter  Grösse  bilden,  so  sind  die 
Schenkel  des  beweglichen  Winkels  in  allen  Lagen  Normale 
undTangente  eines  Kegelschnittes,  dessen  Halbachsenqua- 
drate jenen  Kechtecken  gleich  sind. 

Wenn  man  ferner  die  Gleichungen  20)  mit  denen  unter  19)  verbindet, 
so  ergiebt  sich 

21)  mM*  =  mM,^  =  mP^  .  mßo, 

oder  jede  Normale  einer  Ellipse  wird  von  den  Achsen  und  den 
um  den  Mittelpunkt  mit  der  Summe  und  Differenz  der  Halb- 
achsen beschriebenen  Kreisen  in  vier  harmonischen  Punk- 
ten geschnitten. 

Von  den  harmonischen  Strahlen,  welche  den  Mittelpunkt  O  mit  den 
vier  Punkten  M^  M^^  P^^  Q^  verbinden,  stehen  die  beiden  letzten  aufein- 
ander senkrecht,  mithin  halbiren  sie  die  Winkel 'der  beiden  anderen.  Da 
ausserdem 

0M+0M^  =  2a  und  0M—0M^  =  2b, 
wenn  « >^> 

und  0M+0M^=:2b  mA  0M  —  0M^  =  2a, 

wenn  *><»i 

so  sind  die  Punkte  itf  und  M^  die  Brennpunkte  zweier  confoca- 
len  Kegelschnitte,  welche  dieAchsen  der  Ellipse  2)  imMittel- 
punkte 0  berühren  und  die  Achsen  der  letzteren  als  grosse 
(reale)  Achse  enthalten. 

§.4. 

Wenn  man  die  auf  den  Achsen  durch  die  Normale  des  Punktes 
m  =  (x^  y)  abgeschnittenen  Stücke 

als  Coordinaten  des  Punktes  mo=  {x^iy^  ansieht,  so  ist  die  Ortscurve  die- 
ses Punktes  die  Ellipse 

oder 

wo  zur  Abkürzung 


Von  Dr.  Heilebmann.  359 


0«=- 


a  0 

gesetzt  worden  ist. 

Man  sieht  sogleich,  dass  auch  der  Punkt  m^  =  (x^yf/^  in  dieser  Ellipse 
den  Punkten  m  =  (.r,  y),  ilf  sss  (^,  T)  und  M^  =  (-T, ,  7,)  entspricht,  denn 
es  ist  offenbar 

^  }  y  :  y :  r,  :  y 0  =  i» :  *  +  fl  :  ^ — «  :  *o . 

Dazu  ist 

X  .Xfi  =  Ä  .X^  und  y  .  yo  =  ^ .  ^1 
und  insbesondere 

24)  a  .  ao  =  «*— 6*  und  bbo=  ft*— a». 

Mithin  sind  die  Brennpunkte  der  Ellipse  2)  harmonisch  gelegen  so- 
wohl gegen  die  Scheitel  der  Ellipsen  Z)  und  22) ,  als  auch  g^en  die  Punkte, 
wo  die  grosse  Achse  der  Ellipse  2)  von  den  Kreisen  12)  geschnitten  wird« 

In  der  Linie  P^  Qo,  welche  nach  21)  durch  die  Punkte  M  und  ^,  har- 
monisch und  zwar  nach  dem  Verhältnisse 

P,M:  QoM=  PoM,  :  Q,M^  =  a:b  =  b,:a^ 
getheilt  wird,  liegt  der  Punkt  m  so,  dass 

25)  Potn  :  jpom  =  a«  :  &•  =  V  :  «o*, 

oder :  theilt  man  die  Linie ,  welche  die  Fusspunkte  der  Coordinaten  eines ' 
Ellipsenpunktes   verbindet,   üosserlidb  nach   dem  VerbMtnisse  der  Halb- 
achsenquadrate,  so  ist  die  Verbindungslinie   eine  Normale  der  Ellipse, 
welche  der  Theilpunkt  beschreibt  und  dieser  ihr  Fusspunkt. 

§.5. 
In  der  Fläche  zweiten  Grades 

■      26)  ?  +  r^  +  /  =  ^ 

werde  ein  Punkt  n=  (a,  6,  e)  so  bestimmt,  dass  seine  Coordinaten  a,  b  und 
c  Halbachsen  einer  anderen  Fläche  zweiten  Grades  sind ,  welche  mit  jener 
confocal  ist.    Zur  Bestimmung  dieser  Fläche 

Ä*         t/*        2* 

27)  ? +5  +  0-^  =  1; 

welche  immer  ein  Ellipsoid  ist ,  dienen  also  die  Gleichungen 

28)  j         <•     /3*      7*  • 

(  ««_ 0''=  ^'  —  6'  =  y«  -  c». 
Wird  der  gleiche  Werth  dieser  Differenz  mit  fi  bezeichnet ,  so  ist 
«•  =  a»  — n,  6«  =  /S«  — I»,  c«  =  y«  — ^, 
folglich 


360  Ueber  ein  System  verwandter  Carven  und  Flächen  zweiten  Grades. 

und  durch  Einsetzung  dieses  Werthes  erhält  man 

1    .    1 


30) 


7/     g'  +  P'  +  y^ 


Um  zu  beurtheilen,  wann  diese  Werthe  real,  oder  null,  oder  imaginär 
sind ,  nehme  ich  im  Allgemeinen  an ,  dass 

Wenn  nun  zuerst  die  Fläche  34)  ein  Ellipsoid ,  also 

a«>/5«>y*>0, 
so  ist 

7  +  ß^  +  f>-^'^f^  +  f>:i^—ß^  +  f>^^ 

folglich  sind  die  Werthe  von  a^b^c  real,  wenn  auch 

Wenn  zweitens  die  Fläche  26)  ein  einschaliges  Hyperboloid ,  also 
«•>/5«>0>y«, 
so  ist 

soll  nun  anch  der  Werth  von  c  real  werden ,  so  muss 

sein,  und  hierdurch  ist  wieder  bedingt,  dass 

i?-^.  +  ^<-^  +  ^.  +  ^<o. 

mithin  auch  a  und  b  real  sind. 

Wenn  drittens  '    a*  >  0  >  /5'  >  )?^ 

also  die  Fläche  26)  ein  zweischaliges  Hyperboloid  ist,  so  ist  auch 

folglich  kann  der  Werth  von  a  nur  real  sein ,  wenn  zugleich 


Voa  Dr.  Hkilebmann.  361 

und  weiter  mnss  y  damit  avcb  b  und  c  real  bleiben ,  der  Bedingung 
1        1,1^1,1        1 ^  ^ 

Genüge  gescbehen. 

Die  acbt  Punkte  ( +  a,  +  6,  +  c)  sind  die  Ecken  eines  reckteckigen 
Parallelepipedes ,  welcbes  dem  EUipsoide  27)  umgeschrieben  und  zugleich 
der  confocalen  Fläche  20)  eingeschrieben  ist.  Soll  umgekehrt  durch  den 
Punkt  n  =  (a,  6,  c) ,  dessen  Coordinaten  die  Halbachsen  des  Ellipsoides  27) 
sind,  eine  mit  demselben  confocale  Fläche  gelegt  werden,  so  führen  die 
Bedingungen  28)  auf  folgende  cubische  Gleichung 
«*.**,      c* 

Wenn  nun 

a«>6«>c«>0 
angenommen  und  die  drei  Wurzeln  dieser  Gleichung  mit 

^  >  fii  >  f*t 
bezeichnet  werden,  so  ist 

2a«>^>2c*;-c*>^,  >  — 6«;  -M>fi,>  — «•. 
Die  Entwickelung  der  vorstehenden  Gleichung  oder 

zeigt  femer,  dass 

!ft  +  f*i  +  Ml  =  0 
ft^,  +  ^if4,  +  ^,fi=  — (a«6«  +  6«c«+c«a«) 

und  dass  im  Allgemeinen 

33)  ^  =  yaH^d'  +  }/D  +y<^b^c*—/F, 

wenn  zur  Abkürzung  gesetzt  wird 

2>  =  a*&*c*  — ,V  («•*•+ «^•c'  +  c«««)». 
Den  drei  Werthen  von  ft  entsprechen  drei  Werthe  yon  o,  /Sund  y, 
welche  durch  die  Gleichungen 

34)  ]«,t_a«  =  ft«-fe»=y.«-c«  =  ^„ 

bestimmt  sind,   und  mithin  giebt  es  auch  drei  Flächen  zweiten  Grades, 
nämlich 

as*       V*        «• 

welche  den  Bedingungen  28)  genügen. 


362  Ueber  ein  System  vei-wandter  Cnrven  and  Flächen  zweiten  Grades. 

Der  Zusammenhang  unter  den  Halbachsen  dieser  Fliehen  ist  aas  fol- 
genden Gleichungen  ersichtlich : 

«*  +  <  +  «t*  =  »«•,  ««•«1*  +  «iV  +  «tV  ==  3  a«  —  a»6»— *»c»— <««», 

«»  o.»  «,«  =  a»  (a»-*»)  (o*— c*), 
)  ^*  +  /»i*+|J.*  =  3ft».  ß*ßx*+ß,*ß,*  +  ßt*ß*  =  3fc*  -  «»Ä'-i'c^-c»«', 
36)  {  ^»  ft»  A»  =  6«  (6»-c»)  (6»  -«^. 

1  /•  +  yi*+yt*=3c»,  /y*  +  r*r*  +  rt*y. =3«*  -  «»ft»-6»c»— c»«», 

Die  drei  Ebenen 

a         .     b         ,     e 

«I  Pl  Yi 

«t         pt         yi 

welche  die  drei  confocalen  Flächen  im  Punkte  n  =  (a,  ö,  e)  herfihren,  be- 
stimmen auf  den  Achsen  die  Stücke  -,  ?L    5!l     ?!    A     ft*    L,  ?L   ?L 

von  welchen  die  gleichliegende  Achse  des  Ellipsoides  27)  das  arithmetische 
Mittel  ist ,  da  nach  36) 

aaa  o         ö         o  c        c         c 

§.  6. 

Werden  in  einer  Ebene,  welche  auf  den  Coordinatenachsen  die  Stficke 

1, 1},  i  abschneidet,  den  Schnittpunkten  die  Gewichte  A^  B^  C  beigelegt,  so 

sind  die  Goordinaten  des  Schwerpunktes 

A  B  C 

A  +  B  +  C'^'    A  +  B  +  C'^'    A-i-B  +  C'^' 

Legt  man  also  den  Punkten ,  wo  die  erste  Ebene  37)  von  d^n  Achsen  ge- 

a*    b*    (^ 
troffen  wird,  die  Gewichte  -•  i  JS'  "t  ^®^»  ®®  ^**  ^®'  Schwerpunkt,  weil 

er    p     y 

hier 

die  Coordinaten 

0*    «•_        b*    jS«_        ^    /_ 

folglich  ist  der  Punkt  n  ==  (a,  6,  c)  der  Schwerpunkt  dieser  Schnittpunkte. 
Da  dasselbe  auch  von  den  beiden  anderen  Ebenen  gilt,  so  ist  n  der  ge- 
meinsame Schwerpunkt  der  Punkte,  worin  die  Ebenen  37)  die  Achsen 
schneiden. 


Von  Dr.  HEiLfiBM4NN.  363 


Die  Stücke,  welche  durch  eine  der  Ebenen  37)  abgeschnitten  werden, 
sehe  ich  als  Halbachsen  eines  Ellipsoides  an ,  erhalte  also  die  drei  Flächen 

In  diesen  Flächen  sind  nun  die  Punkte  M=  (JT,  7,  Z),  M^  =  (X, ,  F, ,  Z,) 
und  ilf,  =  (Z,,  r,,  Z^) ,  welche  einem  beliebigen  Punkte  m  =  (o?,  y ,  z)  des 
Ellipsoides  27)  entsprechen,  durch  folgende  Proportionen  bestimmt: 


^«  •'»  —  "•  6  •  b'  b' 


39) 

Hieraus  folgt  sogleich ,  dass 

oder  der  Satz:  Werden  durch  die  Endpunkte  der  Coordinaten 
von  drei  entsprechenden  Punkten  der  Flächen  38)  Ebenen  ge- 
lagt, so  schneiden  sich  diese  in  dem  entsprechenden  Punkte 
des  Ellipsoides  27).  Zugleich  ergiebt  sich  aus  diesen  Proportionen, 
dass  jeder  Punkt  des  Ellipsoides  27)  der  Schwerpunkt  von  den  Punkten, 
welche  anf  den  Aohsen  die  Coordinaten  eines  entsprechenden  Punktes  der 

0^   6*   c*  o*    ^    ^ 

Flächen  38)  begrenzen,  wenn  diesen  die  Gewichte  -j ,  ^i,  -r  oder  — •, 3-=!  — • 

^   ß    r  «1    Pi    yi 

o*     6*     c* 
oder  — ^,  ^^,  —;  angehängt  werden. 
«1'    ß%    Yt 

Ferner  folgt  aus  denselben  Gleichungen  39) ,  dass 
41)     X+Zj  +  Z,  =  3a;,   F+Fi+F,  =  3y,  Z+Zj+Z,  =  3z, 
oder  der  Satz:   Jeder  Punkt  des  Ellipsoides  27)  ist  der  Schwer- 
punkt  der  drei   demselben    entsprechenden   Punkte   in   den 
Flächen  38),  wenn  diese  gleiches  Gewicht  haben. 

Die  Gerade ,  welche  durch  die  entsprechenden  Punkte  m  =  (o:,  y,  z) 
und  ilf  =  (Z,  F,  Z)  geht,  ist  durch  die  Gleichungen 
^t — ^      t/i—y      Zi  —  z 


dargestellt,  oder  weil 
durch  di^  Doppelgleichung 


364  Ueber  ein  System  verwandter  Canren  und  Fl&chen  zweiten  Grades. 

a*  b^  c* 

42)  -  (x,  —x)  =  ~  {yt  —  y)  =  --  («i  —  «). 

X  y  % 

Dies  ist  aber  bekanntlich  die  Gerade,  welche  im  Punkte  m  =  (^y  y,  2)  anf 

der  Fläche  27}  senkrecht  steht,   and  da  in  derselben  Geraden  auch  die 

Pnnkte  M^  =  (ATj,  Fj,  Zj)  und  JV,  =  (X,,  7,,  Z,)  liegen,  so  folgt  hieraiu 

der  Satz:  Jede  Normale  der  Fläche  27)  trifft  die  Flächen  38)  in 

drei  ihrem  Fusspunkte  entspreehenden  Punkten. 

Die  Länge  der  Strecke  Mm^  welche  mit  /  bezeichnet  sei,  ist  durch  die 

Gleichung 

Z«  =  (Z-«)»  +  (  F-,)»  +  (2-*)» 

bestimmt,  oder  durch 

Nun  ist  aber,  wenn  vom  Mittelpunkte  auf  die  Berührungsebene  des  Punk- 
tes m  =  (o?,  y,  z)  die  Senkrechte  £  gefällt  wird , 

1        a:*.y    ,   «" 


|"~a*'*'Ä*"^c*' 


folglich 


43^  z— ü  /  — —Ci  7  — _e! 

*0;  I y,    #1 —  y,   Is y, 

wo  ?  =  Mm ,  /|  =  üfj-m  und  l^rzuM^m  gesetzt  ist. 

Wird  also  ein  beliebiger  Punkt  des  Ellipsoides  27)  mit 
den  entsprechenden  Punkten  der  Flächen  38)  verbunden,  so 
sind  die  Rechtecke  aus  diesen  Verbindungslinien  und  der 
Senkrechten,  welche  vom  Mittelpunkte  auf  die  Berührungs- 
ebene des  ersten  Punktes  gefällt  ist,  constant  und  gleich  den 
Wurzeln  der  Gleichung  31). 

§•  7. 
Bezeichnet  man  die  Punkte,  wo  die  Normale  des  Punktes  M=s(x,y,:) 

die  Goordinatenebenen  trifft,  mit  Pq,  Q^^  B^,  so  sind  nach  der  Gleichung  42) 

5t ßt  ^ ^ 

0,  — rr — .  y ,    — ^ — .  z  die  Coordinaten  von  Po» 

er    ,  Cr 

a»— 6«  c«  — d« 

i '^7  ö,  -x  .Z      „  „  „       Vo> 

•— ^|i — '^1  — ^i — -y»        ">       n  «  »»   -"•• 

Daraus  ergeben  sich  für  die  Stücke,   welche  von  diesen  Punkten  einer- 
seits und  dem  Punkte  m  andererseits  begrenzt  werden ,  die  Werthe 

a*  b*  c* 

44)  mPo=  j,   «»öo  =  T»  ^^o  =  T' 

welche  zeigen,  dass 

auf  jeder  Normale  eines  Ellipsoides  durch  die  Achsen- 


Von  Dr.  Heilermann.  365 

ebenen  Strecken  abgeschnitten  werden,  welche  mit  der  Ent- 
fernung der  zagehörigenBerührnngsebene  vom  Mittelpunkte 
Rechtecke  von  constanter  Grösse  bilden. 

Auch  die  beiden  Hjperboloide  besitzen  dieselbe  Eigenschaft  nnd  der 
Unterschied  besteht  blos  darin,  dass  die  Punkte,  wo  die  Achsenebenen 
eines  Hyperboloides  von  einer  Normale  getrofiFen  werden,  nicht  alle  mit 
dem  Mittelpunkte  auf  derselben  Seite  der  zur  Normale  geh()rigen  Beruh« 
rangsebene  liegen. 

Durch  Umkehrung  des  verstehenden  Satzes  erhält  man  folgende  Er- 
zeugungsweise  der  Flächen: 

Steht  eine  Gerade  auf  einer  mit  ihr  fest  verbundenen 
Ebene  senkrecht  und  bewegt  sie  sich  so,  dass  die  Strecken, 
welche  durch  drei  auf  einander  senkrecht  stehende,  festlie- 
gende Ebenen  auf  der  Geraden  abgeschnitten  werden,  mit 
der  Entfernung  der  ersteren  Ebene  vom  Schnittpunkte  der 
letzteren  Rechtecke  von  constanter  Grösse  bilden,  so  sind 
die  bewegliche  Gerade  und  Ebene  in  allen  Lagen  eine  Nor- 
male nnd  Berührungsebene  einer  Fläche  zweiten  Grades, 
deren  Halbachsenquadrate  jenen  Rechtecken  gleich  sind. 

Setzt  man  die  aus  43)  und  44)  entnommenen  Werthe  von  a*,  &*,  ^  und 
fi ,  fii ,  tt(  in  die  oben  für  diese  Wurzeln  angegebenen  Grenzbestammimgen 
ein ,  so  entsteht 

2m/',,>mAf>2mÄo;  ^Ro^^^i<^Qoj  ^Qo^^^t^^^o* 
and  nimmt  man  noch  hinzu ,  dass 

so  erkennt  man,  dass  der  Punkt  Jtf,  in  der  Strecke  RoQn,  M^  in  Q^P^  und 
M  in  der  Verlängerung  der  Strecke  P^E^  über  R^  hinaus  liegt.  Durch  Ver- 
bindung der  Gleichungen  43)  und  44)  erhält  man  nun 

«»  ß*  t* 

and  wenn  man  diese  Werthe ,  sowie 

Mm  =  t 

in  die  Gleichung  29)  einsetzt,  so  entsteht 

45)  J_»J^  +  ^+J:-. 

^  Mm      MP^^  MQ^^  MR^ 

Hiernach  ist  also  \Mm  das  harmonische  Mittel  von  MP^^  MQq  und  MR^. 

Dasselbe  gilt  offenbar  von  ^M^m  und  ^M^m,     Dieser  Zusammenhang  ist 

auch  ausgedrückt  durch  die  Gleichung 

mPo        mOp      OTÄo  _ 

MPo      MQo^  MRo 
welche    entsteht,    wenn   man   in  die  Gleichung  31)   die   obigen  Werthe 
einsetzt. 


366  lieber  ein  System  verwandter  Ciirven  ond  Flächen  zweiten  Oradet. 


Ferner  erhält  man  in  derselben  Weise  aus  den  Relationen  32)  die  fol- 
genden : 

im  M  —  wi  Af  1  —  tu  Mf  =  0 , 
tnM «  mM^  +  mM^ .  mM^  +  mM^ .  mM^=zmP^,  mjßo-fmjßo  ««n^o  +  ^^^^t  •  ^^9^ 
tnM •  tn Ml  .  m Mf  =  2  »ihPq  ,  mQ^ ,  m  Ao , 
nnd  dnrch  Mnltiplication  der  anf  die  Normale  dnrch  die  Achsenebenen  ab- 
geschnittenen Stücke 

n         n         T>        «'^'^ 
m  Pq  ,  ihQq  ,  tn  Rq  ==  — r-j — . 

Nun  ist  aber  bekanntlich  das  Prodnct  ans  den  Halbachsen  des  snr  Beruh- 
ningsebene  des  Punktes  m  parallelen  Centralschnittes  und  der  anf  jene 
•Ebene  gefüllten  Senkrechten  £  gleich  dem  Product  der  drei  Halbachsen 
der  Fläche,  oder 

did^l  =  ah€, 
wenn  die  Halbachsen  jenes  Centralschnittes  mit  d^  und  d^  bezeichnet  wer- 
den, folglich 

d^dt=-y ab c ,  m Pq  .  m Q^  .  mR^. 
Hieraus  erhält  man  nun  durch  Anwendung  der  letzten  Gleichung  unter  40; 

47)  rfj  d,  =  j/^abc.  mM.  mM^ .  mM^. 

Ebenso  ist  nach  44) 

und  da  ausserdem 

abc 


mPQ  .  mO^  +  wöo  •  ^^0  +  f^^o  •  ^Po' 


'd,d,' 
so  folgt  zunächst 


l    .1.1  } 


ä.ä,=y 


o»  ■'■  6»  ■*"  c» 


und  yennittelst  der  Qleichnng  46) 


•  Q.  ytnM»in  üf|  —^  m  M^  •  »t  M^  «J-  m  M^  »tnM 

48)     d.d.  =  ,/ ITiTI ' 

0«  "•'  6»  ■•"  c» 


Diese  Relationen  ersetzen  für  das  EUipsoid  die  oben  nnter  19)  nnd  21)  von 
der  Ellipse  angeführten  Sätze. 

§.8. 

t  <| 

Sowie  oben  unter  Gleichung  0)  nicht  blos  die  Quotienten  -j ,  —=  und 

<r    «, 

ft«      6* 

^,  -^  der  Bedingung  gentigten,  dass  ihre  Summe  gleich  eins,  so  ist  es 

P     Pi 


Von  Dr.  Heilermamk.  367 

auch  hier  mit  den  Quotienten  -r,  —:,  — i  und  si,  ^-s,  ^ri  und  -t>— 7i— i» 
Es  ist  zunächflt 

a«    a*     a«  o*  6*    6«    5«  fr* 


nnd  dnrcb  die  Verbindung  dieser  Wertbe  ergiebt  sich  weiter 
a*  &•  c* 

Ferner  sind  dann  für  die  Ellipsen  2)  und  22)  die  entsprechenden  Producte. 
zugleich  das  Verhftltniss  der  gleichliegenden  Achsen  und  der  Coordinaten 
von  entsprechenden  Punkten ;  mithin  ist  hier  das  Ellipsoid 

worin  zur  Abkürzung 

^_^w^  ._IKK  .^tiLjl 

gesetzt  ist,  die  Fläche,  welche  der  Ellipse  22)  analog  ist. 

Wenn  nun  m  =  (a:,  y,  z)  und  m^  =  {x^^  y^y  Zq)  entsprechende  Punkte  in 
den  Flächen  27)  und  50)  sind,  so  ist 


« 

a  . 

a* 

fl« 

«0 

b 
_  c  _ 

6« 

"(«*- 

-6«)  K- 
b* 

-c«)' 

z 

-(6'- 

-«)' 

y«y,'y,»-(c'-««)(c»— 6')' 
und  folglich 

a?o     yo     «ö 

d.h.  jeder  Punkt  des  EUipsoides  27)  liegt  in  einer  Ebene, 
welche  auf  den  Achsen  die  Coordinaten  des  entsprechenden 
Punktes  des  EUipsoides  50)  abschneidet  und  zwar  ist  der 
erste  Punkt  der  Schwerpunkt  der  drei  Punkte,  in  welchen 
die  Achsen   geschnitten   werden,   wenn   diese  die  Gewichte 

"       *       ^    1.     V 

—  j7-i  —  naben* 

«0      *0       ^0 

Auch  die  entsprechenden  Punkte  M,  M^  und  ilf,  der  Flächen  S8)  liegen 
in  der  Ebene  50) ,  welche  die  Coordinaten  deB  entsprechenden  Punktes  m^ 
libschneidet.  Es  ist  nämlich  zunächst  in  Bezug  auf  den  Puakt  ilf  s=(^,  7,Z) 


368  Ueber  ein  System  verwandter  Cnrven  und  Flächen  zweiten  Qndes. 

X_  a*.tf  _  <^  .  <^¥^ 

a:,       (o»— 6«)  («•— c»)~(a»— 6«)  (j:^—(*)  ''"  {t?—V)  {<f-d^' 

T_        b'ß*       _         b*.  yft 

Vo  ~  (6»— c»)  (6»— 0»)  ~  (fr*— c»)  (*'— a»)  ■*"  (6*— c»)  (**—«») ' 


«,~(c»— «»)  (c*— ft^"  (c*  — o«)  (c»  — 6»)  "^  (c»— <0  (c*— 6»)' 


dszn  ist 


f/Ii — jwö i\  +  7j — 3w^ — 5i\  =  0. 


(«»—6»)  (o»— c«)  '  (ö»— c»)  (M— a»)  ^  (c*  — o»)  (c»— 60 
folglich  aach 

^  +  1+^=1, 

^0       Vo       h 

d«  h.  es  liegt  anch  der  Funkt  M=  (X^  F,  Z)  in  der  Ebene,  welche  anf  des 
Achsen  die  Coordinaten  des  entsprechenden  Punktes  m«  abschneidet  Dt 
nun  die  Punkte  m  und  M  beide  der  Normale  42}  angehören,  so  geht  aach 
die  Ebene  selbst ,  welche  auf  den  Achsen  die  Coordinaten  eines  Punktes 
des  Ellipsoides  50)  abschneidet,  durch  die  Normale  des  entsprechenden 
Punktes  der  Fläbhe  27). 

Bezeichnet  man  die  Punkte ,  wo  die  Achsen  von  der  Ebene  51)  ge- 
schnitten werden,  mit  Po*  ?oi  ''o«  ^^  ^^^ 

so  liegt  die  Normale  42)  in  der  Ebene  des  Dreiecks  Po  9« '*o  ^^^  schneidet 
die  Seiten  in  den  Punkten  /'q,  j^q,  Rq.  Um  die  Lage  derselben  in  dem  Drei- 
ecke Po  go  Tg  zu  bestimmen ,  beachte  man ,  dass 

und  hieraus  erhält  man 

Wendet  man  nun  auch  auf  die  Stücke  der  anderen  Seiten  des  Dreiecb 
Po  %  ^0  dasselbe  Verfahren  an ,  so  entsteht 

52)   Po^:S'oÄo=^-p.  Ö'o^o:'-oJ^o  =  y,:^,  ^oöo-Pift=^:^- 

Mithin  ist  die  Normale  jedes  Punktes  des  Ellipsoides  27) 
in  der  Ebene,  welche  die  Coordinaten  des  entsprechenden 
Punktes  des  Ellipsoides  50)  auf  den  Achsen  abschneidet,  so 
gelegen,  dass  ihre  Entfernungen  von  den  Schnittpunkten  der 
Achsen  sich  verhalten,  wie  die  reciproken  Werthe  derQaa- 
drate  dieser  Achsen. 

Die  Vergleichung  der  Coordinaten  der  Punkte  Po»  5^o»  ^v*  ^o»  Qt  fli  ^^ 
ferner ,  dass  unter  den  vier  möglichen  Geraden ,  deren  Entfernungen  von 


Von  Dr.  Heileruann.  369 


den  £ekenpo,  ^,,  r^  ra  dem  angegebenen  VerhXltnisse  stehen,  die  Nor- 
male 42)  diejenige  ist,  welche  alle  Seiten  des  Dreiecks  Po ^o ^t  äusserlich 
theilt 

§.9. 
Die  Ebenen 

welche  das  Ellipsoid  27)  im  Punkte  (oc^y^z)  berührt,  begrenzt  auf 'den 
Achsen  die  Stücke 

X  y  z 

Nun  sind  aber  die  Froducte 

(a«^fe«)(a«_e«)      ^^     ^,  _  (6» - c«)  (&« -,  ««) 

6« 


Qpo.QPi^^"        '^T'"     ^    Oq,.Oq,  =  ' ,, , 


(c«-a«)(c«-fe») 
Or,  .  Or^  = ^5 

constant ,   und  wenn  noch  auf  den  Achsen  vom  Mittelpunkte  aus  pach  bei- 
den Seiten  die  Strecken 


of^on=y^En^E^, 


54)  o,=o,.=?fci£!H^!zi^, 

b 

c 

abgeschnitten  werden,  so  ist 
55)  Opo  .  Op,  =zOf*  =  Oft*,  Oq^  .  Oq^  =  Og*  =  Og^\  Or^  .  Or^  =  Oä»  =  Oä,». 

Diese  Gleichungen  zeigen,  dass  es  in  jeder  Achse  des  Ellipsoides  zwei 
(reale  oder  imaginäre)  Punkte  giebt,/  welche  gegen  die  Berühningsebene 
53)  und  die  Normalebene  51)  harmonisch  liegen ,  nämlich  die  realen  Punkte 
f^f^  und  A,  A,  und  die  imaginären  g^  g^.  Diese  Punkte  habe  ich  Focal- 
punkte  des  Ellipsoides  genannt.  (Ber.  der  Akad.  der  Wissenschaften  zu 
Berlin.)  Hiernach  lässt  sich  der  in  den  vorstehenden  Gleichungen  ent- 
haltene Satz  in  folgender  Weise  ausdrücken: 

Jede  Berührungsebene  des  Ellipsoides  27)  und  diejenige 
Normalebene,  welche  auf  den  Achsen  die  Coordinaten  des 
dem  Berührungspunkte  entsprechenden  Punktes  des  Ellip- 
soides 50)  abschneidet,  sind  gegen  die  Fooalpunkte  des 
ersteren  Ellipsoides  harmonisch  gelegen. 

Da  ausserdem 

_(a'^6')(a«-c')                   (^._c«)  (fe«-a«) 
«•<'o  = -% >  b.b.=x , 

.    ,  _(^-«')(^'-ft*) 

ZeilM'hrin  r.  Mathematik  a.  Physik.  VI,  6.  26 


370  Ueber  ein  System  verwandter  Curven  and  Flächen  zweiten  Grades. 

so  sieht  man ,  dass  anch  die  Scheitel  der  Ellipsoide  27)  und  30)  gegen  die 
Focalpankte  des  Ellipsoides  27)  harmonisch  liegen. 

Um  nnn  die  Lage  der  Normalebene  51)  gegen  die  beiden  Haupt- 
normalebenen  festzastellen,  denke  man  sich  durch  den  Punkt  m  =  (x,  y,  z) 
noch  die  beiden  Hyperboloide 

a^       t^        ^ 

a/       0,"       c/ 

welche  mit  dem  Ellipsoide  27)  confocal  sind ,  gelegt.     Die  Differenzen  der 
gleichliegenden  Halbachsenqnadrate 

a« — fl/  =  6*  —  ^«  z=:c'  —  Ci^  =  d,\ 

c^—a^  —  b*—b^*  =  c,  —  c/  =  </,« 
sind  die  Wurzeln  der  Gleichung 

and  aus  dieser  geht  hervor,  dasi 

a»>rf,»>6»>d,«>c». 
Die  Ebenen^  welche  das  Ellipsoid  27)  und  die  beiden  confocalen  Hyper- 
boloide 66)  berühren ,  sind 

«1  *'l  C| 

58»»)  ^,.^,  +  J,.y,+i_. ,,==,, 

und  stehen  aufeinander  senkrecht,  weil  - 
ar*  V*  «• 

-^  +  -l^  +  -^  =  0 
aV      ft'V      «^'Cf" 
g«  y»  t»    _ 

wie  sich  sogleich  engiebt,  wenn  man  die  Gleichungen  der  FlXchen  Ton 
einander  abzieht. 

Der  Durchmesser  2D  des  Ellipsoides  27),  welcher  auf  der  Berührungs- 
ebene  58*)  senkrecht  steht,  ist  der  Lage  nach  dargestellt  dnrch  die  Doppel- 
gleichung 

a*  b,*  e.« 

X  y  z 

und  wenn  die  Grösse  dieser  Producte  mit  l  bezeichnet  wird,  so  ist  die 
Länge  desselben  Durchmessers  bestimmt  durch 


Von  Dn  Heilebmakn.  37  t 


Znr  Ermittelung  der  Grösse  1,  welcher  der  Durchmesser  2/>  propor- 
tional ist,  beachte  man,  dass  die  Endpunkte  desselben  in  dem  EUipsoid« 
27)  liegen ,  und  setze  in  die  Gleichung  desselben 

X  y  z 

tti  Oj  C| 

dadurch  entsteht 
folglich  ist 

Diese  Division  ergiebt 

59)  •         2>»  =  rf/, 

und  mithin  sind  die  Wurzeln  der  Gleichung  57)  zugleich  auch  die  Qua- 
drate der  Halbdurchmesser  des  Ellipsoides,  welche  auf  den  Ebenen  58*) 
und  58^*)  senkrecht  stehen.  Da  ausserdem  diese  Wurzeln  nach  der  Glei- 
chung 57)  auch  den  Bedingungen 

rfj«  +  rf,"  =  a«  +  &•  +  c»  +  a:*  +  y*  +  ««, 

d..d.«=«wg  +  ^  +  j') 

genügen,  so  bilden  auch  2d|  und  2(^,  mit  dem  Durchmesser  des  Punktes 
m  =  (x,y,z)  ein  System  von  conjugirten  Durchmessern,  und  weil  endlich 
die  Durchmesser  2(1^  und  2d^  auf  einander  senkrecht  stehen,  so  sind  sie 
die  Achsen  des  zur  Berührungsebene  des  Punktes  m  parallelen  Central- 
schnittes 


a' 


h^  '^'^  ^ 


Werden  ni^n  vom  Mittelpunkte  auf  die  Berührungsebene  58)  die  Senk- 
rechten g,  jy,  t  gefällt,  so  sind  die  Winkel,  welche  diese  mit  den  Achsen 
bilden,  durch  die  Gleichungen 

C0Ä(|«)=y,  cos ({6)  =  ^,  cos{^c)  =  -^, 
C08  (ria)  =  fi,cos  (i^6)  =  — „  cos  (ijc)  =  — „ 

«1  l?l  C| 

CO,  ita)  =%cos  {tb)  =  K  cos  (ic)  =  ^^ 
a^  Ot  ^t 

bestimmt ,  und  wird  ebenso  vom  Mittelpunkt  auf  die  Nörmalebene  51)  die 
Senkrechte  i  gefällt,  so  ist 

cos  ita)  =  r-i — TiT-T-i r  •  —  I   cöj  ito)  =  ;-= — -rrm — ~t^  • ""  > 

^    '       {cf — 6*)  (a*  —  c')    J?  ^    '       (6"  — c*)(6*  —  a*)    y 

c*  t 

cos  {tc)  =  T-j rm — Zt\  • "~  • 

^  .    (er — ar)  (c* — o*)    z 

26* 


372  Ueber  ein  System  verwandter  Curven  und  Flächen  zweiten  GradeB. 

Da  nun  bekanntlicli 

cos  {ifi)  =  cos  (ia)  cos  {tja)  -|-  cos  {ib)  cos  (i;6)  +  cos  (/c)  cos  (ijc), 
cos  [ti)  =  cos  {ta)  cos  (fa)  +  cos  {tb)  cos  {^b)  +  cos  {ic)  cos  (Je), 

80  erhXlt  man  dnroh  Einsetsung  der  obigen  Werthe 

cos  iiri)==.- ^^,_^,^  ^^,^^^  ^^^^^^  .  [a^ .  -^^,    +6.-^-,-   +-.—.-), 

und  durch  einige  Reductionen 

Nun  ist  aber  nach  dem  bekannten  SatzQ  von  dem  constanten  Producte  der 
conjugirten  Durchmesser  einer  Fläche*  zweiten  Grades 

«,« V.«  =  i?'rf/  {ä*-d,*),  a*b*c*  =  rrf.*  W-rf.O 
folglich 

Wenn  man  noch  beachtet,  dass  die  Senkrechten  rj  und  J  auch  auf  einander 
senkrecht  stehen,  dass  </|' <C  ^i'  und  dass  die  drei  Senkrechten  i},  J  uud  / 
in  der  Centralebene  60)  liegen ,  so  ergiebt  sich 

6t)     -  fang  il^)  =  -^,  fang  in)  =  ^^- 

Die  Gleichung  dieses  Centralschnittes  ist 

da,  wie  oben  bewiesen,  dt  und  (f,  die  Halbachsen  desselben  sind;  die 
Senkrechte  /,  welche  vom  Mittelpunkte  auf  die  Ebene  51)  gefallt  wurde, 
ist  durch  die  <7leichang 

z=^iang{tfi)  .y 
dargestellt,  und  dieae  geht  durch  Einsetzung  des  Werthes  61)  über  in 

Ferner  sind  in  der  Centralebene  60)  in  Bezug  auf  die  Durchmesser  2 dt  und 
2d2  als  Coordinatenachsen  17  und  J  die  Coordinaten  des.Punkte8,  wo  die 
Normale  des  Punktes  m  die  Ebene  trifft,  folglich  ist   ' 

63)  1-1  =  0 

die  Gleichung  des  Durchmessers ,  welcher  durch  diesen  Punkt  geht. 

Diese  Geraden  62)  und  63)  sind  aber  offenbar  conjngirte  Durchmesser 
des  Centralschnittes  60) ,  bilden  also  auch  mit  der  vom  Mittelpunkte  nach 
dem  Punkte  m  des  Ellipsoides  gezogenen  Geraden  ein  System  von  con- 
jugirten Durchmessern  dieser  Fläche.  Die  Ebene,  welche  durch  den 
Punkt  m  und  die  Gerade  63)  geht,  ist  die  normale  Centralebene  und  mitbin 


Von  Dr.  HErtERHANN.  373 

ist  die  Gerade  62)  oder  die  Senkrechte  i  der  zu  dieser  Ebene  coDJugirte 
Durchmesser  des  Ellipsoides. 

Hieraus  ergiebt  sich  folgender  Satz : 

Die  Achsen  eines  Ellipsoides  werden  von  der  Normal- 
ebene, welche  auf  dem  zur  normalen  Centralebene  desselben 
Punktes  conjugirten  Durchmesser  senkrecht  steht,  und  von 
der  Berührungsebene  desselben  Punktes  so  geschnitten,  dass 
die  Schnittpunkte  mit  den  Focalpuukten  ein  System  von  har- 
monischen Punkten  bilden. 


XV. 

Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektrischen 

Telegraphie. 

Von  Dn  Ed.  Zetzsche. 


III.   Wechsel,  Relais,  Translation  und  Zweigsprechen, 
Schleifen,  Blitzableiter. 

1.     Die  Batterie-  und  Linienwechsel. 

Wechsel  oder/ Umschalter  nennt  man  diejenigen  Telographen- 
apparate,  welche  dazu  dienen,  dem  elektrischen  Strome  den  nach  dem 
jedesmaligen  Zwecke  allein  zulässigen  Weg  durch  die  anderen  Apparate 
anzuweisen.  Kaum  dürfte  es  irgend  eine  Telegraphenstation  geben,  in 
welcher  gar  keine  Vorrichtung  zum  Umschalten  vorhanden  wäre.  Die 
Wechsel  sind  daher  trotz  ihrer  grossen  Einfachheit  sehr  wichtige  und  nütz- 
liche Apparate;  auch  finden  sie  sich  sehr  frühzeitig  im  Gebrauch,  da  sich 
bei  steigender  Benutzung  der  Telegraphen  sehr  bald  das  Bedürfniss  her- 
ausstellte, den  Weg  des  Stromes  in  dem  einen  oder  dem  anderen  Falle  zu 
verlegen ,  also  zwischen  zwei  oder  mehreren  Punkten  bald  eine  leitende 
Verbindung  herzustellen,  bald  wieder  dieselbe  zu  unterbrechen.  Die  dazu 
in  Anwendung  gebrachten  Mittel  waren  zu  verschiedenen  Zeiten  und  für 
verschiedene  Zwecke  verschieden. 

Da  es  überhaupt  nur  dann  möglich  ist ,  zu  telegraphiren ,  wenn  man 
einen  elektrischen  Strom  abwechselnd  eine  Zeitlang  circuliren  lässt  und 
dann  wieder  unterbricht,  so  ist  bei  jedem  Telegraphen  eine  Vorrichtung. 


374  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

nöthig,  welche  ein  ahwechselndes  Schliessen  and  Unterhrechen  des  Stro- 
mes gestattet,  den  dazu  hestimmten  Apparat  nennt  man  aber,  obgleich 
seine  Bestimmung  mit  der  des  Wechsels  ganz  nahe  xusammennillt,  Taster, 
Schlüssel,  Zeichengeber,  auch  wohl  Commutator,  wenn  er  Strome 
von  wechselnder  Bichtnng  in  die  Telegraphenleitung  sendet.  Zuerst  wen- 
•  dete  man  für  den  vorliegenden  Zweck  bewegliche  Dräthe  an,  welche  bald 
in  je  zwei  Quecksilbernäpfchen  eintauchten,  bald  aus  ihnen  herausgehoben 
wurden  und  so  in  dem  einen  Falle  gewisse  Verbindungen  e wischen  den 
mit  Quecksilber  gefüllten  Näpfchen  lind  den  mit  diesen  verbundenen ,  zu 
den  anderen  Apparaten  oder  zur  Luftleitung  führenden  Dräthen  herstell- 
ten, in  dem  anderen  Falle  aber  diese  Verbindung  wieder  unterbrachen. 
•Derartige  Einrichtungen  enthielt  nicht  nur  der  zweite  mechanische  Tele- 
graph von  William  Fothergill  Cooke  (im  Februar  1837) ,  sondern  auch  die 
Telegraphen  von  Morse ,  Steinheil  und  der  1838  patentirte  electrochemische 
Telegraph  von  Edward  Davy  (vergl.  Shaffnor,  telegraph  manual,  New-Tork, 
1859,  S.  190  u.  196,  437,  165,  255).  Später  oder  wohl  selbst  gleichzeitig  wur- 
den die  in  Quecksilbernäpfchen  eintauchenden  Dräthe  ersetzt  durch  fe- 
dernde Metallstreifen,  welche  bald  auf  einem  leitenden,  bald  auf  einem 
isolirenden  anderen  Theil  des  Apparates  aufschleiften;  ein  solcher,  von 
Charles  Wheatstone  und  W.  F.  Cooke  für  ihren  „Einfachen  Nadeltele^aph*' 
benutzter  Schlüssel  ist  auf  S.  91  des  ersten  Jahrganges  dieser  Zeitschrift 
beschrieben  und  dort  auf  Tafel  V  Fig.  23  abgebildet.  Bei  den  jetxt  vor- 
wiegend gebrauchten  Morse'schen  Drucktelegraphen  aber  hat  der  Taster 
im  Wesentlichen  die  im  ersten  Jahrgange  S.  95  erklärte  und  daselbst  auf 
Tafel  V  Fig.  25  abgebildete  Einrichtung.  Bei  anderen. Telegraphen  ist  die 
Einrichtung  des  Zeichengebers  durch  die  Einrichtung  der  übrigen  Apparate 
bedingt  und  deshalb  soll  hier  nicht  weiter  darauf  eingegangen  werden; 
dass  aber  an  ihnen  bis  in  die  neueste  Zeit  Federn  zur  Unterbrechung  des 
Stromes  wiederholt  vorgeschlagen  und  verwendet  worden  sind,  xeigen 
schon  die  vorausgegangenen  Artikel  I  und  II  über  Copirtelegraphen  und 
über  Typendrucktelegraphen.    (Jahrg.  5,  S.  39  und  S.  395.) 

Auch  von  den  eigentlichen  Wechseln  giebt  es  swei  verschiedene 
Arten ;  früher  bediente  man  sich  der  Klemmenwechsel,  jetzt  fast  all- 
gemein der  Lamellenwechsel,  weil  die  letsteren  mit  besonderer  Ein- 
fachheit und  Leichtigkeit  eine  sehr  grosse  Mannigfaltigkeit  in  der  Ab- 
änderung des  Stromlaufes  darbieten.  Ausserdem  unterscheidet  man  die 
Batteriewechsel,  d.  h.  diejenigen,  welche  nur  zu  dem  Zwecke  vor- 
handen sind ,  dass  man  nach  Maassgabe  der  Länge  oder  der  Beschaffenheit 
der  Luftleitungen  mit  einem  grösseren  oder  kleineren  Theile  der  Telegra- 
phir-  oder  Linienbatterie  telegraphiren  kann,  von  den  Linien  wechseln, 
durch  welche  der  Stromlauf  durch  die  Apparate  abgeändert  wird. 

Die  Klemmenwechsel  bestehen  iaus  zweierlei  durch  den  Apparmt- 
tisch  hindurchgehenden  Klemmschrauben ,   in  welche  unter  dem  Apparat- 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsghe.  375 

tische  je  ein  Leitangsdratfa  eingeschraubt*  ist.  Die  einen  enden  über  dem 
Tische  in  eine  kleine  Metallplatte  nnd  heissen  Wechselweibchen; 
Fig.  1  Taf.  V  zeigt  ein  solches  im  Durchschnitt  :^  d  ist  der  Leitungsdrath, 
a  die  Metallplatte ,  T  der  Tisch.  Die  anderen ,  die  Wechselmänncben, 
tragen  über  dem  Tische  noch  einen  kleinen  metallenen  Arm ,  welcher  um 
die  Achse  der  Klemmschraube  drehbar  ist,  aber  stets  mit  ihr  in  leitender 
Verbindung  bleibt«  Jedem  Männchen  stehen  zwei  oder  mehrere  Weibchen 
gegenüber,  wie  es  Fig.  2  Taf.  V  deutlich  macht,  so  dass  der  etwas  federnde 
Arm  des  Männchens  auf  die  Platte  des  einen  oder  des  anderen  Weibchens 
aufgelegt  werden  kann,  wodurch  der  im  Männchen  eingeschraubte  Draht 
mit  dem  Drahte  desjenigen  Weibchens,  auf  dem  der  Arm  aufliegt,  in  lei- 
tende Verbindung  gesetzt  wird.  Solche  Wechsel*)  waren  noch  unlängst 
in  den  Telegraphenstationen  der  österreichischen  Staatseisenbahnen  in  aus- 
gedehntem Gebrauche,  so  lange  man  sich  dort  .noch  der  Bain  -  Ekling*schen 
GlQckenapparate  bediente.  So  hatte  z.  B.  ein  Linien  wechsel  auf  Mittel- 
stationen folgende  Einrichtung:  die  beiden  in  die  Station  einmündenden 
Luftleitungen  Xj  und  Z,  (Fig.  3  Taf.  V)  führen  nach  1  und  2;  vom  Weib- 
chen 1  fuhrt  ein  Draht  durch  die  Apparate  A  und  von  da  nach  2;  das 
Weibchen  3  und  das  Männchen  4  sind  unter  sich  und  mit  der  Erde  E  lei- 
tend yerbunden.  In  der  gezeichneten  Stellung  liegt  kein  Männchen  auf 
einem  Weibchen ,  folglich  geht  jeder  Strom  aus  einer  der  Luftleitungen  L^ 
oder  L^  durch  die  Apparate  A  der  Mittelstation  und  dann  in  die  andere 
Luftleitung  L^  oder  L^  weiter;  legt  man  dagegen  den  Arm  des  Männchens  2 
auf  das  Weibchen  1 ,  so  geht  der  Strom  aus  einer  der  Leitungen  direct  in 
die  andere  Leitung ,  und  nur  ein  ganz  schwacher  Theilätrom  geht  durch  die 
Apparate  A^  so  dass  auf  diesen  die  Zeichen  nicht  mit  erscheinen;  liegt  der 
Arm  des  Mänlnchens  2  auf  dem  Weibchen  3,  oder  ^der  Arm  des  Männchens 
4  auf  dem  Weibchen  1,  so  geht  im  ersten  Falle  der  Strom  aus  L^  direct  zur 
Erde,  der  Strom  aus  X,  durch  die  Apparate  A^  aber  nicht  nach  Z,  weiter, 
sondern  in  die  Erde,  im  zweiten  Falle  dagegen  der  Strom  aus  Z|  direct  zur 
Erde ,  der  Strom  aus  Z,  durch  die  Apparate  A  und  zur  Erde ,  nicht  aber 
nach  Z| ;  liegt  endlich  der  Arm  des  Männchens  4  auf  1  und  zugleich  der 
Arm  des  Männchens  2  auf  3,  so  sind  beide  Leitungen  Z,  und  Z«  direct  mit 
der  Erde  yerbunden ,  was  unter  Anderem  bei  Gewittern  zur  Schonung  der 
Apparate  nöthig  ist.  Genau  dieselben  Dienste  leistet  der  im  Wesentlichen 
mit  diesem  Wechsel  genau  übereinstimmende,  anscheinend  minder  ein- 
fache Umschalter,  welcher  im  Katechismus  der  elektrischen  Telegraphie 
von  Galle  S.  153  beschrieben  ist  und  auf  sächsischen  Mittelstationen  noch 
mehrfach  gebraucht  wird;   bei  diesem   Umschalter  legt  sich  ein  starrer  , 


*)  Eine  frühere  Form  derselben  und  ihre  Anwendung  findet  sich  ausführlich  be- 
schrieben int  Galle,  Katechismus  der  elektrischen  Telegraphie.  2.  Auflage.  Leipzig 
1859.  8. 150  bis  153. 


376  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Teiegraphie. 

drehbarer  Arm  der  einen  Klemmls  an  federnde  Tfaeile  der  anderen  Klemme 
an ,  in  einer  Weise »  welche  zuerst  Siemens  und  Halske  an  ihrem  Zeiger- 
telegraph (yergl.  Sohellen,  der  elektromagnetische  Telegraph,  2.  Aaflsge, 
Brannschweig  1854,  S.  128)  benatzt  zu  haben  scheinen.  Wo  eine  grössere 
Mannigfaltigkeit  in  den  Umschaltungen  nöthig  ist,  dürfte  der  Klemmen- 
wechsel von  E.  Matzenaner  (vergl.  Zeitschrift  des  deatsch-dsterreichischea 
Telegraphenvereins,  1855,  B.  29)  gute  Dienste  thnn,  bei  welchem  die  Manu- 
ellen im  Kreise  stehen ,  und  die  Weibchen  anstatt  der  Platten  über  dem 
Apparattische  in  ringförmige  Streifen  enden,  welche  ak  Yollkreise  cod> 
centrisch  innerhalb  und  ausserhalb  jenes  Kreises  liegen ,  auf  welchem  die 
Männchen  stehen. 

Als  Batterie  Wechsel  erhält  ein  Klemmen  Wechsel  die  Anordnung 
in  Fig.  4  Taf.  Y:  um  das  mittelbai:  mit  der  Luftleitung  L  verbundene 
Wechselmännchen  a  stehen  im  Kreise  herum  eine  Anzahl  Weibchen  1,2 
bis  G ,  welche  mit  den  positiven  Polen  der  Linienbatterien  I,  TL  bis  YI  vec- 
bnnden  sind ,  während  der  negative  Pol  der  ersten  Batterie  I  mit  der  Erde, 
der  negative  Pol  jeder  folgenden  Batterie  aber  immer  mit  dem  posidven 
Pole  der  vorhergehenden  Batterie  verbünden  ist.  Je  nachdem  nun  der 
Arm  des  Männchens  a  auf  1,2...  oder  6  gestellt  wird,  wird  beim  Schliessen 
der  Kette  der  Strom  von  einer,  zwei  •  .  •  oder  sechs  Batterien  in  die  Lei- 
tung gesendet. 

Die  Lamellenwechsel  sind  in  der  Form,  in  welcher  sie  zuerst  von 
Steinheil  angegeben  wurden,  noch  jetzt  in  den  Stationen  der  österreichi- 
schen Staatstelegraphen  gebräuchlich.  Fig.  5  Taf.  Y  zeigt  einen  solchen 
Wechsel  im  Grundriss  und  im  Durchschnitt.  Zwei  über  einander  liegende, 
sich  kreuzende  Keihen  von  schmalen  Messinglamellen  sind  durch  eine  iso- 
lircnde  Schiebt,  z.  B.  durch  eine  trockene  Holzplatte,  von  'einander  ge- 
trennt; die  Streifen  einer  jeden  Keihe  aber  sind  ebenfalls  durch  zwischen- 
gelegte isolirende  Holzstreifen  von  einander  getrennt;  an  den  Kreuznngs- 
stellen  sind  sämnitliche  Messingstreifen  durchbohrt  und  in  die  eingebohr- 
ten Löcher  können  messingene  Stifte  oder  Stöpsel  (Fig.  6  Taf.  Y)  ein- 
gesteckt werden ,  welche  von  oben  und  von  unten  an  den  Stellen,  wo  sie  in 
'den  Lamellen  stecken,  federnd  aufgeschlitzt  sindy  damit  sie  sich  gut  an 
die  Lamellen  anlegen ;  der  Kopf  der  Stifte  ist  von  Elfenbein ;  wird  ein  Stift 
in  irgend  ein  Loch  eingesteckt ,  so  verbindet  er  die  beiden  an  dieser  Stelle 
sich  kreuzenden  Lamellen.  An  dem  einen  Ende  einer  jeden  Lamelle  ist 
noch  ein  kleineres  Loch,  in  welches  ein  Leitungsdrath  eingesteckt  nnd 
mittelst  einer  Klemmschraube  befestigt  wird.  Li  Fig.  5  wurde  der  Einfach- 
heit halber  nur  ein  Wechsel  mit  drei  Yerticallamellen  a^b^c  und  zwei 
Horizontallamellen  d  und  e  gezeichnet;  ein  solcher  reicht  vollkommen  hin, 
um  den  Klemmen  Wechsel  Fig.  3  zu  ersetzen  und  übertrifft  ihn  mindesten:! 
in  der  Beziehung,  dass  er  die  Möglichkeit  bietet,  die  beiden  Leitungen  A 
und  L^  hol  völligem  Ausschluss  der  Apparate  A  entweder  nuter  sich 


Von  Dr.  Ed.  Zbt28CHE.  377 

direci,  oder  beide  mit  der  Erde  zu  verbinden.  Denkt  man  sich  die  ei^e 
Luftleitung  X,  mit  a ,  die  andere  Z«  mit  b  and  die  Erdleitung  mit  c  leitend 
yerbnnden ,  von  den  unter  sich  gehörig  yerbundenen  Apparaten  aber  einen 
Drath  nach  e  und  einen  anderen  nach  d  geführt,  so  wird,  wenn  man  einen 
Stöpsel  in  das  Loch  1  und  einen  in  das  Loch  4  steckt,  der  Strom  aus  L^ 
nach  a,  durch  den  Stöpsel  in  1  nach  d,  durch  die  Apparate  nach  e  und 
durch  den  Stöpsel  in  4  nach  b  und  Z,  gehen ;  stöpselt  man  in  2  und  in  3,  so 
geht  der  Strom  aus  Zi  zwar  auch  durch  die  Apparate  und  nach  Z, ,  aber  er 
durchläuft  die  Apparate  in  der  entgegengesetzten  Kichtung ;  durch  diesen 
Rieh tungs Wechsel  wird  zugleich  eine  etwa  im  Anker  der  Elektromagnete 
zurückgebliebene  Polarität  beseitigt.  Stöpselt  man  in  1,  4  und  6,  oder  in 
2,  3  und  5,  so  geht  der  Strom  aus  Zf  durch  die  Apparate  und  c  zur  Erde, 
der  Strom  aus  Z«  aber  direct  nach  c  und  zur  Erde ;-  stöpselt  man  in  1 ,  4  und 
5,  oder  in  2,  3  und  6,  so  geht  der  Strom  aus  Z|  direct,  der  Strom  aus  Z| 
aber  durch  die  Apparate  zur  Erde.  Stöpselt  man  endlich  in  1  und  3 ,  oder 
in  2  und  4 ,  so  geht  der  Strom  aus  Z|  sofort  nach  Zg ,  ohne  die  Apparate  zu 
durchlaufen;  stöpselt  man  in  1,  3  und  5,  oder  in  2,  4  und  6,  so  geht  jeder 
Strom  aus  Z,  und  Z,  direct  zur  Erde;  zugleich  bleibt  in  den  beiden  letzten 
Fällen  dem  Strome,  weil  zwischen  d  und  e  keine  leitende  Verbindung  vor- 
handen ist,  durchaus  kein  Weg  durch  die  Apparate  offen,  es  kann  daher 
auch  nicht  einmal  ein  Zweigstrom  durch  die  Apparate  gehen ,  die  Apparate 
sind  völlig  ausgeschlossen,  also  auch  gegen  atmosphärische  Einflüsse,  na- 
mentlich gegen  Blitzschläge  geschützt. 

Die  Lamellen  Wechsel,  welche  in  Sachsen,  Preussen,  den  Niederlanden 
u.  8.  V.  im  Gebrauch  sind  (vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen 
Telegraphenvereins,  1854,  S.  78;  1855,  S.  59,  177  und  217),  unterscheiden 
sich  von  dem  vorstehend  beschriebenen  nicht  wesentlich ;  sie  enthalten  nur 
weit  breitere  und  stärkere  Messinglamellen  und  erhalten  dadurch  unnöthi- 
ger  Weise  ein  sehr  massiges  Aussehen ;  die  Stöpsel  sind  oft  nicht  geschlitzt, 
sondern  eonisch;  die  Lamellen  der  unteren  Reihe  sind  an  den  Kreuzungs- 
stellen verdickt,  so  dass  sie  bis  zu  den  oberen  heraufreichen,  ohne  sie  zu 
berühren,  und  die  conischen  Löcher. sind  nun  halb  in  der  einen,  halb  in 
der  anderen  Lamelle ,  in  ähnlicher  Weise ,  wie  dies  Fig.  7  Taf.  V  zeigt) 
wo  ein  kleinerer  derartiger  Batterie  Wechsel  abgebildet  ist;  der  Drath  E 
führt  zur  Erde ,  der  prath  T  zu  dem  hinteren  Contaote  des  Tasters ,  von 
wo  der  Strom  in  die  Linie  gesendet  wird;  in  1  ist  zu  stöpseln,  wenn  mit 
einer  Batterie,  in  2,  wenn,  mit  zweien,  und  in  3,  wenn  mit. drei  Batterien 
gesprochen  werden  soll. 

Der  wichtigste  Dienst  der  Linienwechsel  besteht  darin,  dass  sie  ge- 
statten, die  oft  zahlreichen,  in  eine  und  dieselbe  Station  (Wechsel- 
station) einmündenden  Telegraphenleitungen  theits  direct,  theils  auch 
behufi9  der  Translation  (in  Translationsstationen)  nach  Bedarf  ganz 
beliebig  unter  einander  zu  verbinden ,  während  zu  anderen  Zeiten  wieder. 


378  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

jede  Ton  der  anderen  getrennt,  allein  in  Betrieb  genommen  werden  kami. 
Das  Schema  der  Einschaltang  einer  solchen  Translationsstation  folgt  einige 
Seiten  weiter  unten. 

2.    Das  Relais. 

Wollte  man  durch  die  elektrischen  Ströme ,  welche  die  Telegraphen- 
leitttDg  dnrchlanfen  und  als  Linienströme  bezeichnet  werden  mögen, 
den  Morse^schen  Schreibapparat  unmittelbar  in  Gang  setzen,  so  mfisste 
man  sehr  kräftige  Batterien  anwenden ,  wenn  in  grösserer  Entfernung  von 
einander  .gelegene  Stationen  mit  einander  yerkehren  sollten;  denn  zum 
Eindrücken  des  Schreibstiftes  in  das  Papier,  ja  schon  zur  Bewegung  des 
Schreibhebels  selbst  ist  eine  nicht  geringe  elektromagnetische  Kraft  erfor- 
derlich. Aber  auch  bei  den  kräftigsten  Batterien  kann  man  bei  sehr  langen 
Leitungen  nicht  mehr  auf  völlige  Sicherheit  des  Telegraphirens  rechnen 
und  gleichwohl  war  es  für  eine  gedeihliche  Entwickelung  der  Telegraphie, 
ffir  ein  vielseitiges  und  wirksames  Eingreifen  derselben  in  die  verschiede- 
nen Verhältnisse  des  Lebens  unbedingt  nothwendig,  dass  man  weitgehende 
Depeschen,  mit  thunlichster  Vermeidung  des  Umtelegraphirens  oder 
Weitertelegraphirens  derselben  durch  Menschenhand ,  auf  möglichst  grosse 
Entfernungen  unmittelbar  fortgeben  könne.  Am  vollkommensten  erreicht 
man  dies  nur  durch  die  Anwendung  zweier  vermittelnder  Telegraphen- 
apparate :  durch  Relais  und  Translatoren.  Zunächst  wird  man  näm- 
lich mit  derselben  Linienbatterie  um  so  weiter  telegraphiren  können,  je 
geringer  die  Stromstärke  ist,  bei  welcher  die  telegrapbischen  Zeichen  auf 
der  Empfangsstation  noch  deutlich  und  zuverlässig  erscheinen ,  eine  je  ge- 
ringere Kraft  also  der  auf  der  Empfangsstation  in  die  Leitung  eingeschal- 
tete Elektromagnet  auszutiben  hat.  Anstatt  daher  durch  den  Linienstrom 
die  Anziehung  des  Schreibhebels  zu  bewirken,  lässt  man  viel  zweck- 
mässiger den  Linienstrom  durch  die  Rollen  eines  Eiektromagnets  K  in 
Fig.  8  Taf.  V  gehen,  dessen  Anker  A  an  einem  möglichst  leichten  und 
leicht  beweglichen  metallenen  Hebel  ab  sitzt;  dieser  Hebel  ist  an  irgend 
einer  Stelle ,  z.  B.  an  seiner  Drehachse  c  mit  dem  einen  Pole  der  Batterie 
B  (der  Localbatterie),  welche  den  Schreibhebel  des  in  den  Kreis  der 
Localbatterie  eingeschalteten  Schreibapparats  S  in  Gang  setzen  soll,  ver- 
bunden, während  das  vordere  Ende  b  des  Hebels^  zwischen  zwei  Stell- 
schrauben s  und  fj  spielt,  von  denen  die  eine  $  isolirt,  die  andere  s,  aber 
mit  dem  anderen  Pole  der  Localbatterie  B  leitend  verbunden  ist;  so  oft 
nun  der  Anker  A  des  Elektromagnetes  E  angezogen  wird  und  sich  in  Folge 
dessen  der  Hebel  ab  mit  seinem  vorderen  Ende  b  auf  die  Stellschraube  ^, 
auflegt,  ist  der  Kreis  der  Localbatterie  B  geschlossen ,  der  Schreibhebel 
wird  angezogen  und  drückt  ein  Zeichen  in  den  Papierstreifen  ein.  Die 
Länge  des  eingedrückten  Zeichens  hängt  von  der  Dauer  des  Linienstroms 
ab;   denn  die  Localbatterie  bleibt  genau  so  lange  geschlossen,   ab  der 


Von  Dr.  Ei>.  Zetzschb.  »79 

Linienstrom  in  der  LnftleitUDg  ndunterbrochen  erhalten  wird ,  und  so  lange 
bleibt  auch  der  Schreibstift  in  den  PapierstreiPen  eingedrückt;  hört  da- 
gegen der  Linienstrom  anf,  so  zieht  eine  Spannfeder  f  den  Kelaishebel  ah 
in  Beine  Ruhelage  zurück;  so  dass  sich  sein  vorderes  Ende  h  wieder  an 
die  isolirte  Stellsehraube  s  anlegt,  wodurch  der  Localstrom  unterbrochen 
und  der  Schreibhebel  ebenfalls  durch  eine  Spannfeder  in  die  Ruhelage  zu« 
rückgefUhrt  wird.  —  Da  der  Schliessungskreis  der  Localbatterie  verhält- 
nissmässig  kurz ,  ihr  Widerstand  im  Schliessungskreis  also  gering  ist ,  muss 
aach  der  Widerstand  in  der  Batterie  möglichst  verringert  werden;  man 
verwendet  daher  zur  Localbatterie  nicht,  wie  zur  Linienbatterie,  viele' 
kleine  Elemente ,  sondern  wenige  grosse ;  die  Rollen  des  Elektromagnetes 
am  Schreibapparate  aber  bildet  man  aus  wenigen  Lagen  stärkeren  Drathes» 
Die  Erfindung  des  Relais  fällt  bereits  in  das  Jahr  1837.  Nach  ameri- 
kanischen Schriftstellern  soll  zwar  Joseph  Henry ,  Professor  am  Princeion 
College,  schon  in  der  letzten  Hälfte  des  Jahres  1836  eine  ähnliche  Vorrich- 
tung erdacht  und  bei  seinen  Vorlesungen  gebraucht  haben;  doch  ist  kein 
weiterer  Beleg  für  diese  Behauptung  bekannt  (vergl.  Zeitschrift  des 
deutsch-österreichischen  Telegraphen  Vereins,  1854,  S.  2C6).  Dagegen  fass- 
ten  William  Fothergill  Cooke  und  Charles  Wheatstone  im  April  1837,  also 
bereits  zwei  Monate  nach  ihrer  Vereinigung,  den  fruchtbaren  Gedanken, 
einen  Localstrom  anzuwenden,  und  erhielten  auf  den  neu  erfundenen  Ap- 
parat ein  Patent  am  12.  Juni  1837  (nach  Shaffner  und  Highton  und  nach 
dem  Polytechnischen  Central  blatte,  1839,  S.  456  [nach  Reperiory  of  Patent 
Intentions  XI,  S.  1  —  33  und  65  —  76];  in  der  Zeitschrift  des  deutsch -öster- 
reichischen Telegraphen  Vereins ,  1855,  S.  265,  ist  der  12.  Mai  1837  auge- 
geben); Cooke  und  Wheatstone  wendeten  das  Relais  zuerst  für  den  ihrem 
Nadeltelegraph  beigegebenen  Wecker  an  und  zwar  so ,  dass  eine  durch  den 
Linienstrom  abgelenkte  Magnetnadel  bei  ihrer  Ablenkung  einen  Drath  in 
zwei  Qnecksilbemäpfchen  eintauchte  und  dadurch  den  Kreis  der  Local- 
batterie schloss,  deren  Strom  nun  die  Anziehung  des  Ankers  eines  Elektro- 
magnetes veranlasste ,  wodurch  die  Hemmung  eines  Uhrwerkes  am  Wecker 
ausgerückt  wurde  (Shaffner,  ielegraph  manual,  S.  194  flf.),  oder  auch  der 
Klöppel  durch  die  elektromagnetische  Anziehung  unmittelbar  an  die 
Weckerglocke  anschlag  (Schellen,  elektromagnetischer  Telegraph,  Braun- 
schweig 1854,  S.  63  bis  87).  Die  Anwendung  eines  Relais  bei  den  Morse'-* 
sehen  Druckapparaten  nimmt  Morse  selbst  in  seinem  Patente  vom  11.  April 
1846  in  Anspruch,  insofern  er  es  zuerst  im  Mai  1844  auf  der  Linie  Wa- 
shington—  Baltimore  in  Anwendung  gebracht  habe.  Der  zur  Einrichtung 
und  Einführung  Mor^e^scher  Telegraphen  nach  Preussen  berufene  Ameri- 
kaner Robinson  brachte  1848  das  Relais  mit  nach  Deutschland.  Auch  für 
Zeiger apparate  kann  ein  Relais  benutzt  werden ;  so  wird  z.  B.  beim  Zeiger- 
apparate von  Kramer  der  Zeiger  nicht  durch  den  Linienstrom,  sondern 
durch  einen  Localstrom  auf  der  Buchstabenscheibe  fortgerückt. 


380  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

Die  in  Fig.  8  Taf.  V  skizzirte  Einrichtung  des  sogenannten  Schwa- 
nenhalsrelais  ist  von  Morse  selbst  angegeben  worden;  der  Hebel  liegt 
horizontal,  der  Elektromagnet  steht  verticai;  dieses  Relais  ist  in  Oester- 
reich  fast  ausschliesslich  in  Gebrauch  und  es  arbeitet  sich  mit  ihm  sehr 
gut,  da  dasselbe  ganz  einfach  und  dennoch  sehr  empfindlich  ist  und  sich 
bequem  handhaben  lässt.  Minder  bequem  wird  das  Eelais,  wenn  der  Elek- 
tromagnet horizontal ,  der  Relaishebel  also  verticai  wie  ein  Pendel  gestellt 
wird ;  eine  solche  Einrichtung  hat  das  Relais  von  Nottebohm  (vergl.  Zeit- 
schrift des  deutsch- österreichischen  Telegraphenvereins,  1855,  S.  97).  Hipp 
""versah  das  Relais,  um  dessen  Empfindlichkeit  zu  erhöhen,. mit  einer  zwei- 
ten Spannfeder,  welche  ebenfalls  am  hinteren  Ende  ä  des  Relaishebels  ab, 
aber  nach  der  anderen  Seite  hin  liegt  als  f.  Eine  Abbildung  dieses  Relais 
befindet  sich  im  Polytechnischen  Centralblatt,  1853,  S.  193,  nach  dem  Po- 
lytechnischen Journal,  1852,  November,  S.  103  (vergl.  auch  Fig.  10  Taf.  V). 
Siemens  und  Halske  versahen  beide  Kerne  des  Elektromagnetes  mit  flögel- 
förmigen  Ansätzen,  wie  Fig.  9  zeigt,'  nnd  benutzten  eine  Verlängerung  des 
einen  Ansatzes  als  Relaishebel ;  der  Kern  in  der  Rolle  a  steht  fest ,  der  in 
der  Rolle  2»  ist  beweglich;  beide  Kerne  bekommen,  wenn  der  Strom  sie 
umkreist,  entgegengesetzte  magnetische  Polarit&t  und  ihre  Ansätze  ziehen 
sich  in  Folge  dessen  an ,  wodurch  sich  c  an  ^ |  anlegt  und  die  Localbatterie 
schliesst  Ein  anderes  Relais  von  Siemens  nnd  Halske  wurde  auf  S»  97 
des  ersten  Jahrganges  dieser  Zeitschrift  beschrieben;  es  ist  in  Nord- 
deutschland ziemlich  verbreitet,  wird  aber  häufig  etwas  abweichend  con- 
struirt.  Es  wird  nämlich  der  Hebel  ab  (Fig.  10  Taf.  V),  welcher  den  Anker 
des  ißlektromagnetes  bildet,  mit  einem  rechtwinklig  gegen  ab  stehenden 
Arme  c  fest  verbunden ,  welcher ,  so  oft  der  Anker  einmal  angezogen  wird 
und  darauf  in  seine  Ruhelage  zurückgeht,  eine  Schwingung  zwischen  den 
Stellschrauben  s  nnd  s^  macht;  liegt  aber  c  an  5|,  so  ist  die  Localbatterie 
geschlossen;  der  Relaishebel  ist  mit  einer  doppelten  Spannfeder /* und /|  ver- 
sehen ,  deren  Spannung  durch  die  Stangen  d  und  e  von  der  Schraube  g  aus 
regulirt  wird.  Das  Ganze  ist  in  ein  dosenförmiges  Gehäuse  eingeschlossen 
(daher  Dosenrelais)  und  wird  in  der  in  Fig.  10  im  Grundriss  skizzirten 
Form  besonders  von  Robert  Thummel  in  Leipzig  gearbeitet. 

Alle  diese  Relais  leiden  an  einem  Uebelstande,  welcher  sie  zwar  nicht 
unbrauchbar,  aber  doch  unbequem  macht;  es  muss  nämlich  bei  ihnen  die 
Spannfeder  stets  nach  der  Stärke  des  Linienstromes  regulirt  werden,  wenn 
die  Zeichen  auf  dem  Relais  sicher  und  deutlich  erscheinen  sollen.  Wäre 
die  Feder  zu  stark  gespannt,  so  würden  die  Zeichen  gar  nicht  erscheinen, 
weil  der  in  den  Kernen  des  Elektromagnetes  entstehende  Elektromagnetis- 
mus nicht  stark  genug  wäre,  um  den  von  der  Feder  zurückgehaltenoi 
Relaishebel  anzuziehen.  Wäre  dagegen  die  Feder  zu  schwach  gespannt, 
so  würde  der  Relaishebel  auch  nach  dem  Aufhören  des  Linienstromes  noch 
angezogen  bleiben,   weil  der  Elektromagnetismus  in  den  Kernen  nicht 


Von  Dr.  Ed.  Zbtzsche.  381 

aageftblieklicli  wieder  yersehwindet,  also  der  Anker  noch  eine  Zeitlang 
am  Elektromagnet  haften  bleibt;  dadurch  würden  die  telegraphischen  Zei- 
chen unter  einander  verschwimmen  nnd  &nsammenfliessen.  Zur  Beseitigung 
des  genannten  Uebelstandes  ,   welcher  leicht  zu  einer  Fehlerquelle  werden 
kann,  sind   verschiedene  Vorschläge  gemacht  worden.     Man  könnte  die 
Spannfeder  durch  einen  permanenten  Richtroagnet  ersetzen ,  welchen  man 
dem  Anker  gegenüber  stellt;  dann  muss  aber  der  Anker  selbst  einen  Theil 
des  Kernes  des  Elektro magnetes  bilden.     In  Fig.  11  ist  eine  solche  Con- 
struetion  skizzirt ,  welche  von  De  Lafol! je  angegeben  wurde ;  eine  ausführ- 
lichere Beschreibung  derselben  nnd  einiger  anderer  habe  ich  im  poljtech- 
nischen  Centralblatte  von  1858  >  S.  1521  nach  dem  Bulletin  de  la  societi  tCen- 
couragemenij  Parte,  avrü  1858  gegeben.     A  nnd  B  sind  die  beiden  Multipli- 
cationsrollen  des  Relais,  der  eiserne  Relaishebel  ab  ist  bei  a  drehbar  mit 
dem  Kern  in  der  Rolle  B  verbunden,  bildet  also  eine  Fortsetzung  dieses 
Kernes  und  theilt  dessen  Magnetismus ;  M  ist  der  Richtmagnet.    Geht  kein 
Strom  durch  die  Linie ,  so  zieht  der  Richtmagnet  M  den  eisernen  ELebel  an 
die  isolirte  Stellschraube  «;  geht  ein  Strom  durch  die  Linie,   welcher  dem 
Pole  m  des  Richtmagnetes  M  gegenüber  bei  c  einen  mit  m  gleichnamigen 
Pol  erzeugt,   so  wird  der  Hebel  ab  entgegengesetzt  magnetisch  und  bleibt 
an  s  liegen,  weil  er  von  dem  näheren  Magnete  M  stärker  angezogen  wird, 
als  von  dem  entfernteren  elektromagnetischen  Kerne  c  in  der  Rolle  A'^  geht 
endlich  ein  Strom  durch  die  Linie ,  welcher  m  gegenüber  bei  c  einen  m  ent- 
gegengesetzten Pol  entwickelt,  so  wird  der  Hebel  ab  mit  m  gleichnamig 
magnetisch ,  daher  von  dem  Richtmagnete  M  abgestossen  und  gleichzeitig 
von  dem  Elektromagnete  c  angezogen ,  legt  sich  an  die  Stellschraube  9,  an 
nnd   schliesst  die  Localbatterie ;  nach   Aufhören  des  Stromes  zieht  der 
Richtmagnet  ^  den  entmagnetisirten  Hebel  ab  wieder  in  die  Ruhelage  an  s 
zurück.     Dieses  Relais  spricht  also  nur  für  Ströme  von  einer  bestimmten 
Richtung  an.     In  gewisser  Beziehung  gerade  entgegengesetzt  ist  die  von 
dem  preussischen  Obertelegraphist  Fr.  Schaack  vorgeschlagene  Anordnung 
(vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegraphenvereins ,  1858, 
Heft  9  und  10);   der  Anker  dieses  Relais  ist  ein  doppelt  T-formiger  perma- 
nenter Magnet  (Fig.  12  Taf.  V)  mit  zwei  Nordpolen  iV^und  JV|  und  zwei 
Sadpolen  Sund  S^  und  dreht  sich  um  die  Achse  cc^;   die  beiden  Kerne  in 
den  Rollen  des  Elektromagnetes  sind  nicht  zu  einem  Hufeisen  verbunden, 
sondern  es  stehen  die  Enden  auf  beiden  Seiten  frei  aus  den  Rollen  heraus 
und  es  tritt  das  eine  Paar  der  vorstehenden  Pole  P,  und  P^  mit  N  und  i^,, 
das  andere  Paar  P,  und  P4,  niit  S  und  S,  in  Wechselwirkung.     Wird  mit 
Strömen  von  stets  gleicher  Richtung  t'elegraphirt,    so  ist  die  Anordnung 
nach  Fig.  13  Taf.  V  zu  wählen  nnd  der  Elektromagnet  so  einzuschalten, 
dass  P^  nnd  P^  durch  den  Linienstrom  zugleich  Nordpole,   P^  und  P^  zu- 
gleich  Südpole  werden;    so  lange  dann  kein  Strom  in  der  Linie  circulirt, 
werden  die  vier  Pole  des  Ank^s  von  den  Eisenkernen  angezogen,  der 


382  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortachritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

Anker  dreht  sich  nm  c  und  legt  sich  itn  den  Ruhecontact  s  an;  sobald  ein 
Strom  durch  die  Linie  gesandt  wird,  werden  N  und  iV,  von  den  mit  ihnen 
gleichnamig  magnetisch  gewordenen  Polen  P^  und  P, ,  ebenso  S  und  5,  von 
den  mit  diesen  gleichnamig  magnetisch  gewordenen  Polen  P,  und  P^  ahge- 
stossen,  und  der  Anker  schliesst  die  Localbatterie ,  indem  er  sich  an  den 
Arbeitscontact  Si  anlegt.  Beim  Telegraphiren  mit  Strömen  von  wechseln- 
der Richtung  (z.  B.  mit  Indnctionsströmen)  müssen  P|  und  P^  auf  einerlei 
,  Seite  des  Ankerschenkels  NNi  liegen,  wie  Fig.  14  Taf.  V  zeigt,  und  aosaer* 
dem  muss  der  Elektromagnet  so  eingeschaltet  sein ,  dass  beim  Schlieasen 
des  inducirenden  Stromes  P|  durch  den  inducirten  Strom  (den  Schliessungs- 
strom) zum  Nordpol ,  P^  zum  Südpol  wird ;  denn  dann  wird  N  von  P^  abge- 
stossen ,  Nt  von  P^  angezogen  und  der  Anker  schliesst  die  Localbatterie, 
indem  er  sich  an  s^  anlegt  und  daran  liegen  bleibt,  bis  beim  Aufhören  des 
inducirenden  Stromes  ein  Inductionsstrom  von  entgegengesetzter  Richtung 
(der  Oeffnungsstrom)  durch  die  Linie  geht,  P,  zum  Südpole  und  P^  zum 
Nordpole  macht  und  somit  den  Anker  wieder  in  die  Ruhelage  an  die  Stell- 
schraube 8  zurückführt,  da  dann  N  von  P^  angezogen,  Ni  aber  von  P^  ab- 
gestossen  wird.  Bei  der  letzteren  Einschaltung  müssen  also  stets  zwei 
Ströme  von  entgegengesetzter  Richtung  durch  die  Linie  gehen,  um  ein 
telegraphisches  Zeichen  hervorzubringen;  allein  man  kann  dabei  Zeichen 
von  verschiedener  Zeitdauer  geben,  z.  B.  Striche  und  Punkte,  wie  es  bei 
dem  Telegraphiren  mit  dem  Morse  Üblich  ist.  Ganz  neuerdings  dagegen 
hat  Thomas  Allan  (wie  früher  Edward  Brailsford  Bright  in  Liverpool,  in 
einem  Patente  vom  13.  Januar  1858)  vorgeschlagen,  anstatt  des  Morse^schen 
Alphabetes  aus  Strichen  und  Punkten  ein  Alphabet  aus  Punkten 
allein  zu  benutzen  und  für  dieses  hat  Allan  ein  Relais  constmirt,  welches 
nicht  allein  keiner  Spannfeder  bedarf,  sondern  auch  noch  einige  andere 
Vortheile  bietet.  Für  jedes  telegraphisches  Zeichen  ist  nur  ein  einziger 
Strom  erforderlich,  aber  je  zwei  aufeinander  folgende  Ströme  haben  stets 
entgegengesetzte  Richtung;  dadurch  werden  in  Folge  der  besonderen  Ein- 
richtung des  Schreibapparats  die  Punkte  in  zwei  Reihen  in  regelmässiger 
Abwechselung  im  Zickzack  in  den  Papierstreifen  eingedrückL  Allan  bildet 
nun  die  Yocale  e^  i,  a^  Oy  u^  y  aus  Gruppen  von  1  bis  G  Punkten,  alle  Con- 
sonanten  und  sonstige  Zeichen  aber  aus  Combination  von  je  zwei  dieser 
Gruppen  mit  einem  Zwischenräume  von  der  Länge  eines  Punktes,  während 
zwischen  je  zwei  Buchstaben  ein  Zwischenraum  von  der  Länge  sweier 
Punkte  bleibt.  Die  Einriclitung  des  Relais  wird  aus  dem  Grundrisse  in 
Fig.  15  Taf.  V  deutlich  :  Die  Luftleitungen  L  und  i,  sind  in  die  Klemmen 
/und  /,  geführt,  welche  mit  den  Rollen  zweier  Elektromagnete  in  Verbin- 
dung stehen ;  auf  die  vier  Pole  N  und  S  der  beiden  Elektromagnete  sind 
durch  Schräubchen  je  ein  excentrisches  Plättchen  a  aufgeschraubt,  durch 
welche  man  die  Pole  ihrem  Anker  bc  nach  Bedarf  nähern ,  also  die  Em- 
pfindlichkeit  des  Relais  reguliren  kann ;  ^Is  Anker  und  Relaishebel  dient 


Von  Dr.  Ed.  Zbtzsche.  883 

ein  pennament  magnetischer  Stahhtab  öc,  welcher  hohl  ist^  damit  er  im 
Verhältniss  zu  seinem  Gewichte  die  grösste  Menge  permanenten  Magnetie- 
mu0  aufnehmen  könne;  da,  wo  der  Hebel  bc  zwischen  den  beiden  Contact- 
schranben  s  nnd  Si  oscillirt,  ist  er  mit  einem  Platin-  oder  Goldring  cf  um- 
gürtet, nnd  bei  e  dreht  er  sich  zwischen  zwei  vertical  stehenden,   in  die 
Elfenbeinträger  f  eingelassenen  Metallschranben  am  eine  verticale  Achse; 
von  der  nntersten  dieser  Metallschranben  reicht  ein  Drath  bis  hinab  in  das 
Qnecksilbemäpfchen  g  nnd  taucht  in  das  Quecksilber  ein,   aus  welchem 
ein  anderer  Drath  nach  der  Klemmschraube  h  und  yon  da  nach  dem  einen 
Pole  der  Localbatterie  B  ftthrt;*  von  dem  anderen  Pole  der  Localbatterie 
führt  ein  Drath  durch  die  Bollen  des  Elektromagnetes  E  des  in  Fig.  16  an- 
gedeuteten Schreibapparates  zu  der  metallenen  Feder  F,  welche  auf  der 
metallenen  Achse  i  einer  metallenen  Scheibe  G  schleift;  in  den  Umfang 
dieser  Scheibe  G  sind  isolirende  (in  Fig.  16  Taf.  Y  schwarz  gezeichnete) 
Bogenstücke  eingesetzt  und  es  schleifen  auf  dem  Umfang  der  Scheibe  zwei 
metallene  Federn  D  und  i>|  derart,  dass  die  eine  stets  auf  einem  leitenden 
Bogenstücke  liegt,  wenn  die  andere  auf  einem  isolirenden  aufliegt;  diese 
Federn  I>  und  D^  sind  durch  zwei  Dräthe  mit  den  Klemmschrauben  k  und 
Atj  nnd  diese  endlich  mit  den  Contactschrauben  s  und  «j  leitend  verbunden^ 
Dem  Elektromagnet  des  Schreibapparates  steht  der  Anker  A  gegenüber, 
welcher  an  dem  Hebel  CS  befestigt  ist  und  sich  mit  diesem  um  C  dreht;  so 
oft  nftmlich  der  Elektromagnet  E  seinen  Anker  anzieht,  geht  das  vordere 
Ende  des  Hebels  nieder  nnd  übt  dabei  durch  die  Stange  p  und  durch  den 
Sperrkegel  JR  zwei  verschiedene  Wirkungen  ans;  die  Schubstange  p  greift 
in  ein  Sperrrad  auf  der  Rückseite  der  Scheibe  G  ein  und  dreht  dieses  bei 
jedem  Niedergehen  des  Hebels  CB  um  einen  Zahn  fort,  wodurch  die  Fe- 
dern D  nnd  i>|  auf  die  benachbarten  Bogenstücke  zu  liegen  kommen ,  die 
eine  von  einem  isolirenden  Bogenstücke  auf  ein  leitendes ,  die  andere  von 
einem  leitenden  auf  ein  isolirendes ,  zugleich  aber  wirken  bei  dem  Um- 
drehen des  Sperrrades  aus  diesem  hervorstehende  Stifte  abwechselnd  auf 
den  einen  oder  den  anderen  von  zwei  Schreibhebeln ,  so  dass  die  beiden 
an  den  Hebeln  befindlichen  Schreibstifte  abwechselnd  in  den  an  ihnen  vor- 
beigefübrten  Papierstreifen   eingetrieben  werden;  der   Sperrkegel  R  da- 
gegen greift  in  das  Sperrrad  P  ein ,  schiebt  es  bei  jedem  Niedergange  um 
einen  Zahn  weiter  und  bewirkt  dadurch  das  schrittweise  Fortrücken  des 
Papierstreifens,  in  welchen  die  Punkte  eingegraben  werden.     Wenn  nun 
ein  Strom  durch  die  Linie  geht,  welcher  die  Pole  der  Elektroroagnete  so 
entwickelt,   wie  sie  in  Fig.  J5  Taf.  V  als  Südpole  mit  ST  and  S^  und  als 
Nordp<yle  mit  iV  und  iV,  bezeichnet  sind,  und  wenn  b  der  Nordpol,   c  der 
Südpol   des  permanent  magnetischen  Ankers,  so  wird  b  von  iS  angezogen, 
von   N  abgestossei]f  und  zugleich  c  von  N^  angezogen  und  von  Si  abge- 
stossen;    es  legt  sich  daher  der  Anker  bc  mit  (^  an  5  an  und  schlicsst  die 
Localbatterie ,  deren  Strom  von  B  über  A,  g,  e,  d,  s,  k,  />,  t,  F  und  durch  die 


384  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

Rollen  des  Elektromagnetes  E  nach  B  zurückgeht;  der  Elektromagnet  E 
zieht  seinen  Anker  A  an  und  der  Hebel  CH  schiebt  dnreh  R  und  P  den 
Papier  streifen  ein  Stück  foit,  dreht  durch  die  Schubstange  p  die  Scheibe 
G  so ,  dass  Dl  auf  ein  leitendes ,  J)  auf  ein  isolirendes  Bogenstüek  zu  liegen 
kommt,  wodurch  der  Localstrom  unterbrochen  vird,  obschon  der  Hebel  be 
ganz  ruhig  an  s  liegen  geblieben  ist;  ausserdem  wird  mit  dem  Fortrftcken 
Yon  G  auch  ein  Schreibhebel' in  Bewegung  gesetzt  und  ein  Punkt  in  den 
Papierstreifen  gedrfickt;  zuletzt  zieht  eine  Spannfeder  den  Hebel  Cff  in 
seine  Ruhelage  zurück.  Der  nächste  Strom ,  welcher  die  Leitung  durch- 
strömt ,  hat  die  entgegengesetzte  Richtung ,  macht  also  S  und  S|  zu  Nord- 
polen ,  N  und  iV^i  zu  Sttdpolen ,  S  und  iVj  stossen  b  und  c  ab ,  5,  und  N  zie- 
hen b  und  c  an,  der  Hebel  bc  legt  sich  mit  </  an  5|  an  und  schlieest  aber- 
mals die  Localbatterie,  deren  Strom  jetzt  yon  B  nach  fi,  g,  e,  d^  ^„  k^,  />„  i 
F  und  E  nach  B  geht;  dadurch  wird  der  Anker  A  angezogen  und  der  Hebel 
CH  besorgt  wieder  die  Unterbrechung  des  Localstroms  und  das  Eindrücken 
eines  Punktes  in  den  Papierstreifen.  Die  Stellung  der  Apparattheile  ist 
jetzt  wieder  genau  so ,  wie  im  Anfang ,  und  es  wiederholt  sich  fortan  stets 
dasselbe  Spiel.  Dieses  Relais  hat  also  keine  Spannfeder ,  es  bleibt  viel- 
mehr der  Anker  b  c  jedes  Mal  an  der  Contactschraube  liegen ;  die  Unter- 
brechung des  Localstromes  findet  femer  auch  nicht  am  Relais  statt,  sondern 
an  der  Scheibe  G,  es  springen  also  auch  hier  die  Trennungsfanken  über 
und  es  wird  das  Relais  gegen  die  oxjdirende  Wirkung  derselben  geschützt 
Endlich  können  bei  diesem,  allerdings  minder  einfachen  Telegraphen- 
apparate die  auf  einander  folgenden  Punkte  auf  dem  Papierstreifen  nicht 
in  einander  fliessen ,  da  sie  in  verschiedenen  Zeilen  stehen  und  durch  ver^ 
schiedene  Schreibstifte  hervorgebracht  werden.*) 

Eine  ausgedehntere  Anwendung  hat  noch  keins  dieser  Relais  ohne 
Spannfeder  gefunden,  obgleich  die  Versuche  z.  B.  mit  dem  Schaack'schea 
'  sehr  günstig  ausgefallen  sein  sollen.  Es  ist  aber  auch  nicht  zu  übersehen, 
dass  die  Anwendung  eines  Richtmagnetes  zum  Losreissen  des  Relaisankers 
vom  Arbeitscontact  in  ähnlicher  Weise,  wie  auch  die  Anwendung  eines 
Gegengewichts,  der  Anwendung  einer  Spannfeder  nachsteht.  Es  mnss 
nämlich  offenbar  dahin  gestrebt  werden,  dass  die  losreissende  Kraft  im 
ersten  Momente  des  Losreissens  am  grössten  ist,  damit  sie  trotz  dem  im 
Elektromagnet  noch  zurückbleibenden  Elektromagnetismus  den  Anker 
ohne  Zeitverlust  in  die  Ruhelage  zurückführe.  Der  Anker  ist  aber  ui 
ersten  Momente  des  Losreissens  am  weitesten  vom  Richtmagnete  entfernt, 
daher  ist  die  von  letzterem  auf  den  Anker  ausgeübte  Anziehung  im  Anfange 
am  schwächsten  und  wird  um  so  kräftiger,  je  näher  der  Anker  dem  Richt- 
magnet kommt.  Auch  bedarf  die  Stärke  und  Polarität  und  Stärke  des 
Richtmagnetes  einer  Ueberwachung ,  man  ist  also  bei  deV  Anwendung  eines 

*)  lieber  die  Vorschläge  von  Du  Moncel,  Regnault,  Ailbaud ,  Qadval  und  Cache 
Tergl  Annales  Wegrapkiques  1860  und  J8&9. 


Von  Dr.  Ed.  Zetzschb.  385 

BicbtoMgnetes  im  Chrnnde  nicht  eben  sehr  viel  verbessert,  besonders  da 
eine  weitere  Anfmerksamkeit  auf  die  Einschaltnng  der  Apparate  an  rieh- 
ten  ist,  weil  der  Liaienstrom  eine  gans  bestimmte  Bichtnng  haben  mnss, 
wenn  das  Beiais  ansprechen  soll.  Das  in  jüngster  Zeit  in  Oesterreieh 
patentirte  Beiais  ist  aooh  anf  mehreren  sächsischen  Stationen  einer  Prtifong 
untersogen  worden ,  soll  aber  dabei  nicht  allen  an  dasselbe  sn  stellenden 
Anfordentngen  vollkommen  entsprochen  haben. 

3.     Die  Translation  und  das  Zweigsprechen. 

Da  bekanntlich  die  Stärke  des  elektrischen  Stromes  nm  so  kleiner  ist, 
je  länger  der  Leiter  ist ,  den  der  Strom  zn  dnrcUanfen  hat ,  so  kann  man 
mit  Batterien  von   gegebener  elektromotorischer  Kraft  selbst  unter  An- 
wendung eines  Relais  nur  auf  eine  gewisse  Entfernung  verständliche  tele-  • 
graphische  Zeichen  geben.     Ist  eine  Depesche  weiter  zu  befördern,   so 
Bloss  sie  entweder  durch  einen  Beamten  weiter  telegraphirt  werden ,  oder 
man  bedient  sich   zweckmässiger  der  Translation  oder  des  Ueber- 
tragens,  wobei  die  Apparate  der  letzten  von  der  telegraphirenden  Sta- 
tion unmittelbar  noch  zn  erreichenden  Station  so  eingerichtet  werden ;  dass 
sie  von  selbst,  ohne  Beihilfe  eines  Beamten,  jedes  ankommende  Zeichen 
weiter  geben.     Alle  wichtigeren  Knotenpunkte  des  europäischen  Telegra- 
phennetzes  sind  jetzt  darauf  eingerichtet,  dass  sie  gelegentlich  und  nach 
Bedarf  Übertragen  können ;  dadurch  können  zwei  ganz  belieibige ,  noch  so 
weit  von  einander  entfernte  Stationen  unmittelbar  mit  einander  correspon- 
diren ,  sofern  es  erforderlich  und  sonst  vortfaeilhaft  ist.  Nur  muss  bei  einem 
solchen  Sprechen  durch  mehrere  zwiscbenliegende  Translationen  hindurch 
etwas  langsamer  und  gut  markirt  telegraphirt  werden,  damit  nicht  etwa 
einzelne  Funkte  ausbleiben;  dies  ist  nämlich  bei  zu  schnellem  Telegraphi- 
ren au  befürchten,  weil  doch  die  Erregung  des  Elektromagnetismus  in  den 
auf   einander    folgenden    Translatoren    und    die   dadurch    herbeigeführte 
Schliessung  neuer  Batterien  nicht  vollkommen  gleichzeitig  und  nicht  ohne 
jeden  Zeitverlust  erfolgt. 

Die  Lösung  der  Aufgabe,  die  Apparate  so  einzurichten,  dass  sie  die 
ankommenden  Zeichen  selbstthätig  weiter  befördern ,  ist  ganz  einfach  und 
die  Einrichtung  des  Translators  sehliesst  sich  eng  an  jene  des  Relais  an : 
man  läset  den  Strom  am  Ende  des  ersten  Theiles^der  Leitung  durch  die 
Bollen  eines  Elektromagnetes  gehen,  welcher  dadurch,  dass  er  seinen 
Anker  anzieht,  diejenige  Batterie  sehliesst,  welche  ihren  Strom  in  den 
zweiten  Theil  der  Linie  senden  soll;  die  Translatoren  werden  daher  einer- 
seits Aehnlichkeit  mit  den  Tastern  haben,  durch  welche  mit  der  Hand 
Ströme  in  die  Leitung  gesendet  werden ;  andererseits  aber  unterscheiden 
sie  sich  Ton  dem  Beiais  nur  insofern  wesentlich,  als  das  Beiais  den  Strom 
einer  Loealbatterie  durch  den  Schreibapparat«  der  Translator  aber  den 
Strom  einer  Liaienbatterie  in  die  Leitung  nach  einer  anderen  Station  sendet. 

ZeiUchrin  f.  Malhcmatik  q.  Physik.    VI,  «.  27 


386  Beiträge  zur  Geschtclite  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

Die  Erfindniig  der  Tradslatoren  wird  von  Mehreren  als  ein  ihnen  ge^ 
btthrendes  Verdienst  in  Ansprach  genomnieQ  nnd  dürfte  in  der  Th«t  Ton 
Mehreren  selbststftndig  gemacht  worden  sein.  So  wurde  die  TranslAÜoii 
in  Deutschland  von  Fardelj  schon  1S44  bei  seinen  Tjpendrucktelegrapben 
auf  der  Tannusbahn  angewendet,  oder  doch  mindestens  die  Idee  daxo  an- 
geregt (veigl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  Österreichischen  Telegraphenvereini, 
1854,  S.  208  bis  300).  Die  Amerikaner  schreiben  die  Erfindung  der  Trang* 
latoren  Ezra  Cotnell  aus  New-York  zu,  der  1846  auf  der  Linie  New- York— 
Buffalo  einen  Trahslator  angewendet  und  connector  genannt  haben  soll 
(▼ergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegraphenvereins,  1854, 
S.  106),  w(^egen  Shaffher  {ielegrapk  manual^  S.  495)  den  angewendeten  Ap- 
parat als  Cornell  swUch,  CornelFs  Kuthe,  bezeichnet»  Bald  nach  Cornell 
gab  Oberst  John  J.  Speed  einen  Translator  an  und  zwar  fitr  ein  Telegra- 
phiren mit  Ruhestrom ,  wobei  die  Zeichen  durch  Unterbrechung  der  Linien- 
ströme gegeben  werden.  Darauf  wurde  ein  Vorschlag  zur  Translation 
durch  den  nach  Preussen  berufenen  Amerikaner  Robinson  gemacht  and  im 
Juli  1840  auf  der  Station  Minden  am  Morse  wirklieh  ausgeAthrt.  Ffir  die 
damals  in  Oesterreich  benutzten  Bain'schen  Apparate  erdachte  der  jetzige 
k.  k.  Telegrapheninspector  Engelbert  Matzenaner  im  Jahre  1847  Trans- 
latoren, welche  auch  1850  auf  der  Linie  Neubänsel  —  Pre-ssburg  anfgesleik 
wurden  (vergl.  Zeitschrift  des  österreichischen  Ingenieurvereins,  1851, 
No.  4,  S.  28  jund  daraus  im  Polytechnischen  Centralblatte ,  1851,  S.  717). 
Nach  Shaffner  {ielegrapk  manual^  S.  411)  bittte  Morse  den  Gedanken,  sich 
der  Translation  zu  bedienen ,  schon  1836  und  1837  gefasst. 

Bereits  im  ersten  Jahrgange  dieser  Zeitschrift  S.  97  ff.  wurde  die 
Translation  ausführlich  besprochen  und  gezeigt,  wie  schon  in  der  von 
Halske  angegebenen  Weise  mit  einem  einzigen  gewöhnlichen  Relais  eine 
Translation  möglich  wftte,  dass  jedoch  besser  zwei  sogenannte  Trans- 
lations-  oder  Doppelcontact-Relais  als  Translatoren  benutzt  wor- 
den ,  und  dass  es  noch  vorzüglicher  und  deshalb  wohl  durchweg  flblich  s», 
nach  SteinheiPs  Vorschlage  die  Schreibapparate  zur  Translation  za  ver- 
wenden ,  wbil  bei  diesen  der  Schreibhebel  einen  sichereren  und  besseren 
Schluss  der  neuen  Linienbatterie  bewirkt,  da  er  sich  fester  auf  den  A^ 
beitscontact  auflegt.  Der  Hebel  des  Schreibapparates  erhält  dann  die  in 
Fig.  17  Taf.  V  skizzirte  Gestalt:  bei  a  ist  der  Schreibstift  angebracht,  • 
ist  die  Drehachse  des  Schreibhebels;  für  gewöhnlich  liegt  der  Schreibhebel 
mit  dem  Ansatz  mn  an  der  mit  0  verbundenen  Steilschraube  8  an,  dteie 
bildet  also  den  Rnhecontact;  wird  der  Anker  des  Schreibhebels  von  seiaen 
Elektromagnete  angezogen,  so  legt  sich  der  Hebel  mit  dem  Ende  b  aofdie 
Stellschraube  «,  (den  Arbeitscontact)  auf;  #,  ist  durch  r  mit  dem  eben  Pole 
der  Batterie  verbunden ,  welche  die  ankommenden  Zeichen  weitergeben 
soll,  die  Drehachse  aber  beständig  durch  /  mit  der  Linie,  in  welche  diese 
Zeichen  weiter  gegeben  werden  sollen;  erscheint  also  aus  dem  ersten  Theik 


Von  Dr.  Ed.  Zetzschb.  987 

der  Linie  ein  Zeichen  anf  dem  Relais  der  TrAiitUtionsstatian ,  so  schliesst 
der  Relaishebel  die  Localbatterie ,   der  Anker  des  Sehreibhebels  wird  an- 
gesogen ,  b  legt  sich  anf  «,  and  die  Linienbatterie  giebt  über  «i ,  b  und  m 
das  Zeichen  ■  in  den  aweiten  Theil  der  Linie  weiter.     In  der  Regel  sind 
nun  die  Translationsstationen  zngleich  Wechselstationen  und  deshalb  soll 
in  dem  Nachfolgenden  das  Schema  einer  solchen  Translatioas  -  nnd  Wech- 
selstation erliUitert  werden.     Bei  drei  einmündenden  Linien  ist  zwar  die 
Einschaltnng  nnd  der  Wechsel  am  etnfachaten ,  wenn  znr  Translation  stets 
dieselben  zwei  Schreibapparate  benutzt  werden  und  stets  derlBelbe  dritte 
für  die  einzelne ^  getrennte  Linie;  damit  aber  die  gegebene  Skizze  anch 
auf  eine  Station  mit  beliebig  vielen  Linien  aasgedehnt  werden  kann,  möge 
Toransgesetzt  werden,  dass  alle  Schreibapparate  znr  Translation  geeignet 
seien,  and  es  soll  die  Einschaltung  so  gewählt  werden,  dass  derselbe 
Schreibapparat  nnd  derselbe  Taster  stets  für  dieselbe  Linie  in  Oebranch. 
kommt,   mag  diese  Linie  in  Translation  oder  in  getrennter  Stationslage 
sein.     In  Fig.  18  Taf.  V  sind  £, ,  L^  und  X«  die  drei  einmündenden  Linien, 
welche  znnäohst  an  die  Klemmen  aj ,  a,  und  a,  der  drei  Taster  7, ,  7,  und 
r,  geführt  sind;  die  mit  dem  einen  Pole  der  Linienbatterie  B  ▼erbundenen 
Klemmen  «f,  Sf  und  r«  führen  zu  den  Arbeitscontacten  der  Taster,  die 
Klemmen  cfi ,  o,  und  a,  zu  den  Achsen  der  Taster,  deren  Hebel  gewöhnlich 
anf  dem  vorderen  Contact  anfliegen  nnd  so  Ai,  Of  und  a,  mit  den  Klemmen 
bij  b^  und  6,  leitend  verbinden;  beim  Niederdrücken  des  Tasterhebels  wird 
die  leitende  Verbindung  zwischen  a  und  6  dieses  Tasters  unterbrochen, 
dagegen  s  mit  a  leitend  verbunden.     Von  &(,  b^  und  b^  führen  Dräthe  nach 
den  Lamellen  A|,  h^  und  h^  des  Linien wechseb  FT;  die  Lamellen  ^(,  x,  und 
Xg  sind  znn&chst  mit  den  Klemmen  e^ ,  e,  und  e,  der  Relais  R^ ,  B^  und  B^ 
und  durch  die  Rollen  der  Elektromagnete  mit  den  Klemmen  fi ,  f^  und  ^ 
und  endlich  über  g  mit  der  Erdplatte  £  verbunden.     Von  den  Lamellen  2,, 
Zf  nnd  Zf  des  Wechsels  führen  Dräthe  nach  den  Klemmen  /, ,  /,  und  /,  der 
Schreibapparate  S, ,  S^  und  5,  und  von  da  nach  den  Achsen  mj ,  m^  und  m, 
der  Sehreibhebel;   diese  Achsen   stehen  entweder  in  der  Ruhelage  der 
Schreibhebel  durch  »j ,  n^  und  n,  über  0( ,  Og  und  o,  mit  den  Lamellen  p/,  Pf 
p,  in  Verbindung,  oder  sie  stehen,  wenn  der  Schreibhebel  angezogen  ist 
(in  Fig.  17  also  b  anf  9,  liegt) ,  über  r, ,  r,  und  r,  und  q  mit  dem  Pole  der 
Linienbatterie  B  in  Verbindung ,  welcher  mit  s^ ,  Sf  und  s^  verbunden  ist^ 
während  der  andere  Pol  mit  der  Erde  in  Verbindung  gesetzt  ist.     Ausser- 
dem ist  die  gemeinschaftliche  Localbatterie  B^  so  eingeschaltet ,  dass,  wenn 
ein  Anker  der  Relais  B^ ,  B^  oder  B^  angezogen  wird ,  der  Localstrom  über 
Uf ,  «2  oder  u,  nach  Vf ,  v,  oder  v^  durch  die  Rollen  der  Schreibapparate  iS|, 
S^  oder  S^  und  über  »^, ,  w^  und  w^  nach  der  Batterie  B^  zurück  geht,   dass 
also    der  Schreibhebel    des   entsprechenden   Schreibapparates  angezogen 
wird.      £ndiich  ist  die  Lamelle  /  des  Wechsels  noch  mit  der  Erdleitung  S 
verbunden.     Der  Weg  nun,  welchen  ein  in  die  so  eingeschaltete  Station 

27* 


^88  Beilräge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

aas  irgend  einer  Linie  eintretender  Strom  nehmen  mnss,  hSagt  ledigKch 
van  der  Art  der  Stöpselang  im  Wechsel  W  ab;  werden  diejenigen  Kren- 
sungsstellen  der  Lamellen  des  Wechsels ,  an  welchen  ein  Stöpsel  einge- 
steckt ist,  in  der  Fignr  durch  einen  schwarzen  Punkt  bezeichnet,  so  treten 
annächst  bei  einer  Stöpselang  nach  Fig.  18  bis  22  folgende  StröndSafe  saf: 

Werden  nach  Angabe  der  Fig.  18  die  drei  Lamellen  A, ,  A,  ^^  ^t  ^^^ 
eingesteckte  Stöpsel  mit  den  Lamellen  a:,,  a*,  und  x^  verbunden,  so  ist  jede 
Linie  von  der  anderen  vollständig  getrennt.  Der  Strom  aus  irgend  einer 
Linie ,  z.  B.  Zj ,  geht  zunächst  durch  den  zugehörigen  Taster  T,  von  a, 
nach  bi,  dann  über  A,  und  ^,  nach  Cj ,  (f,,  ^„  durch  das  zugehörige  Relais i?, 
und  über  g  auf  dem  nächsten  Wege  zur  Erde  E,  ohne  Zweigströoie  übei 
ft^  ^11  ^2t  Cf,  X,  hff  b^  und  a,  in  die  Linie  X^ ,  oder  über  f^,  e,,  d^y  r,.  j„ 
Ag,  ^3  und  a,  in  die  Linie  Z,  zu  senden,  weil  die  Zweigströme  in  dies« 
Linien  einen  fast  unendlich  grossen  Widerstand  zu  überwinden  hätten  im 
Vergleich  mit  dem  kürzesten  Wege  von  g  nach  E  zur  Erde;  während  der 
Linienstrom  das  Kelais  7?,  dnrchläaft,  scliliesst  der  Hebel  dieses  Relais  die 
gemeinschaftliche  Localbntterie  B^ ,  deren  Strom  durch  die  Rollen  des 
Schreibapparates  5,  geht  and  durch  den  Schreibtiebel  einen  Punkt  oder 
Strich  in  den  Papicrstreifeu  gräbt,  je  nachdem  der  Linienstrom  kürzere 
oder  längere  Zeit  dauert.  Würde  aber  der  Taster  J,  niedergedrückt,  so 
wäre  die  gepeinschaftliclie  Linienbatterie  B  "geschlossen  und  deren  Strom 
geht  über^,  und  a,  in  die  Linie  Z|  nach  der  Station  am  Ende  der  Linie  £, 
durch  die  dortigen  Apparate  zur  Erde  und  Über  E  zum  anderen  Batterie* 
pol  zurück.  Ebenso  verhält  es  sich  mit  den  Linien  Lf  und  L^ ,  auch  diese 
sind  jede  von  den  beiden  anderen  völlig  getrennt. 

Werden  dagegen  die  Stöpsel  nach  Anleitung  der  Fig.  19  gesteckt  und 
dadurch  die  Lamelle  ^i  mit  j?|  ,  A,  mit  jt,,  A,  mit  r,,  sowie  p^  mit  :r,  and^i 
mit  ^,  verbunden ,  so  ist  zwar  an  der  Einschaltung  der  Linie  Z,  nichts  ge- 
ändert und  es  bleibt  daher  diese  Station  von  den  anderen  beiden  getrennt 
und  der  Stromlauf  ist  bei  ihr  noch  genau  .so,  wie  er  eben  beschrieben 
wurde;  l^und  Z,  dagegen  sind  zur  Translation  mit  einander  verbunden. 
Jeder  Strom  aus  Z«  gebt  durch  den  Taster  T^  von  a^  nach  6,  und  A, ,  von 
da  aber  nach  p,  über  /r,  und  /,  zur  Achse  m^  des  Schreib apparates  S^^  nnd 
da  dessen  Schreibhebel  nicht  angezogen  ist ,  über  n« ,  o,  nach  p^  and  f „ 
darauf  nach  c, ,  d^,  e^  durch  das  Relais  /?,  und  von  /*,  über  g  zur  Erde  £; 
der  Anker  des  Relais  R^  wird  dabei  natürlich  angezogen,  di^  Locaibatteiie 
^1  geschlossen  und  diese  sendet  ihren  Strom  durch  u«,  v^^  n>^  durch  die 
Rollen  des  Schreibapparates  S^ ,  so  dass  dessen  Anker  ebenfalls  angesogen 
nnd  je  nach  der  Dauer  des  Lioienstromes  aus  Z,  ein  längeres  oder  kor* 
seres  Zeichen  in  den  Papierstreifen  eingegraben  wird ;  während  aber  der 
Anker  des  Schreibapparates  angezogen  ist,  ist  noch  ein  anderer  Strom- 
kreis geschlossen ,  denn  es  geht  von  dem  einen  Pole  der  Linienbatterie  B 
ein  Strom  über  q^  r,  (da  m^  durch  den  angezogenen  Anker  mit  r,  oder  in 


Von  Dp.  Eix  Zbtzschs.  389 

Fig.  17  /  und  nt  darch  b  mit  $^  and  r  verbunden  iBt)  zur  Achse  m,,  über  /^ 
nnd  kf  naeh  ?,,  A,,  fr,  und  a,  in  die  Linie  Z,,  am  Ende  dieser  Linie,  zur 
Erde  und  über  JB.  zum  anderen  Pole  der  Linienbatterie  B  zurück.    Es  wird 
also  jedes  aas  L^  kommende  Zeichen  unmittelbar  nach  Z,  weiter  gegeben, 
und  umgekehrt  jedes  aus  L^  kommende  Zeichen  unmittelbar  nach  £,.    Der 
Strom  aas  X,  geht  n&mlich  über  a,  und  b^  nach  A,,  von  da  über  Ar,,  Z^,  m,, 
'  Mi,  Of,  p,,  ^8,  c,,  (fg,  e,  durch  das  Relais  E^  und  über  /*,  und  ^  zur  Erde  £; 
der  Anker  des>  BeUis  B^  wird  angezogen ,   der  Kreis  der  Localbatterie  B^ 
dadurch  gescblossea  und  es  gebt  deren  Strom  über  t/^ ,  t',  und  w^  durch  den 
Schreibapparat  S^ ,  auf  welchem  der  Schreibstift  das  Zeichen  in  den  Papier- 
streifen  eindrückt;    zugleich    wird    auch  die  Linienbatterie   B  geschlos- 
sen und  deren  Strom  .gehl  über  g  nach  r, ,  m, ,  /, ,  Ar, ,  Ä, ,  b^  und  o,  in  die 
Linie  L^ ,  schliesslich  in  die  Erde  und  kommt  über  E  zum  anderen  Pole 
der  Batterie  B  zurück.     Auf  der  in  Fig.  18  skizzirien  Translationsstation 
erscheinen  also  jetzt  die  Zeichen  auS'Z,  auf  dem  Schreib apparate  S^^  die 
Zeichen  aus  X,  nnd  S^;  es  ist  aber  nicht  unbedingt  aöthig,   dass  die  Zei* 
eben  auf  S^  und  5,  wirklich  mit  aufgenommen  werden,   man  wird  vielmehr 
die  Fapierstreifen  der  Schreibapparate  S^  und  S,  nur  laufen  lassen ,   wenn 
man  die  bei  Translaüon  durchgehenden  Depeschen  in  der  Translations- 
ütation  mit  aufnehmen  wilL     Die  Translationsstatioy  kann  jederzeit  selbst 
sprechend    in   die    Correspondenz   eintreten,   denn  sie  kann  mittelst  des 
Tasters  T,  oder  des  Sebreibhebels  des  Schreibapparates  5,  naeh  X,  und  mit 
dem  Taster  J,  oder  dem  Hebel  des  Schreibapparates  S^  nach  X,  sprechen. 
Die  Stöpselüng  nach  Fig.  20  l&sst  X,  von  X^  und  X,  getrennt,  verbindet 
aber  X,  und  X,  durch  Translation;   eine  Stöpselüng  nach  Fig.  21  dagegen 
lässt  X,  getrennt  und  verbindet  X|  und  X,  zur  Translation.   Die  Stromläufe 
iu  diesen  beiden  Fällen  sind  ganz  ähnlich  wie  bei  der  Translation  zwischen 
Lf  und  X,  und  lassen  sich  nach  der  obigen  Beschreibung  dieser  Translation 
leicht  auffinden. 

Die  Stöpselüng  nach  Fig.  22  endlich  schaltet  alle  Apparate  auf  sämmt-. 
liehen  drei  Linien  aus:  denn  zu  welcher  Linie  auch  der  Strom  herein* 
kommt ,  er  gelangt  immer  durch  h^ ,  h^  oder  /r,  nach  z,  und  geht  von  da  über 
t  sofort  zur  Erde  £^  qhne  irgend  welchen  Apparat  der  Translationsstation 
zu  durchlaufen.  Eine  solche  Einschaltung  würde  also  unter  Anderem  die 
Apparate  der  Translationsstation  gegen  die  zerstörenden  Einflüsse  von 
BlitzBchlägen  sicher  stellen;  natürlich  ist  während  dieser  Stöpselüng  kei« 
nerlei  telegraphische  Correspondenz  möglich.  Zöge  man  in  Fig.  22  den 
Stöpsel  heraus,  welcher  die  Lamelle  ?,  mit  t  verbindet,  so  wären  zwar 
auch  alle  Apparate  der  Translationsstation  ausgeschaltet,  aber  es  könnten 
die  Stationen  auf  den  Linien  X| ,  X,  und  X,  noch  gegenseitig  mit  einander 
correspondiren,  da  jeder  Strom  aus  irgend  einer  Linie  sofort  unmittelbar 
in  die  beiden  anderen  weiter  gehen  würde. 

Die  in  Fig.  IB  gezeiclmete  Einschaltung  gestattet  endlich  auch  noch 


390  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

ein  sehr  einfaches  Zweigsprechen;  beim  Zweigsprechen  wird  der 
Strom,  welcher  anf  einer  Linie  in  eine  Telegraphenstation  eintritt,  Ton 
dieser  Station  ans  zu  gleicher  Zeit  in  zwei  oder  mehrere  Linien  weiter  ge- 
sendet, entweder  mit  oder  ohne  Translation.  Stöpselt  man  z.  B.  in  der 
Fig.  23  angegebenen  Weise  und  denkt  sich  dabei  die  Verbindung  swiachen 
/*,  und  y  unterbrochen ,  dafür  aber  /",  unmittelbar  mit  ;r,  verbunden ,  so  er- 
scheint jedes  Zeichen  aus  der  Linie  X|  auf  dem  Relais  R^  und  dem  Schreib-  < 
apparate  S^^  denn  der  Strom  aus  X,  geht  über  a^ ,  b^  und  /^  nach  x, ,  C| ,  d,, 
0i  und  /*,,  von  da  aber  nach  x,  und  über  A,,  b^  und  o,  nach  £,,  sowie  über 
A,,  &,  und  a,  nach  L^  weiter.  Ebenso  geht  jeder  Strom  ans  X,  zugleich  in 
die  Linien  X|  und  X,  und  jeder  Strom  aus  X|  zugleich  in  die  Linien  X|  und 
Xt  weiter;  die  Zeichen  erscheinen  dabei  für  die  Durchgangsstation  stets 
anfiel  und  S^.  Die  Stromstärke  der  in  den  einzelnen  Linien  weiter  gehen- 
den Zweigströme  ist  nach  dem  Ohm^schen  Gesetze  zu  beurtheilen. 

'  Fig.  24  zeigt  eine  Stöpselnng  zum  Zweigspreehen  ans  X,  nach  X,  und 
X«  mit  Translation ;  die  Einschaltung  und  Verbindung  der  Apparate  unter 
einander  ist  dabei  genau  so,  wie  in  Fig.  18.  Jeder  Strom  aus  X|  geht  über 
«,,  6,,  A,,  Ar,,  /,,  »4,  «,,  o,,p2,a:|,  c,,  d^^e^.f^  und  ^  nach  der  Erde  £; 
dabei  schliesst  das  Relais  R^  den  Strom  der  Localbatterie  B^  durch  den 
Schreibapparat  5,  un4  letzterer  sendet  einen  Strom  der  Liaienbatterie  B 
über  9,  Tj ,  m| ,  /| ,  Xf] ,  Z|  und  von  da  getheilt  über  A, ,  b^  und  a,  nach  X,  und 
über  Ag ,  6,  und  a«  nach  X|.  Diese  Einschaltung  leidet  indessen  an  einem 
kleinen  Uebelstande;  es  kann  nHmlich  nach  der  entgegengesetzten  Seite 
hin  zwar  X,  mit  X]  und  X|  mit  X|  unter  Translation  sprechen ,  dabei  hört 
aber  X,  nicht  mit,  was  X,  nlich  X|  spricht,  und  X,  hört  wiederum  nicht, 
was  X|  nach  X|  spricht.  Es  kann  in  Folge  dessen  möglicher  Weise  eine 
Störung  der  Correspondenz  durch  unzeitiges  Zwischensprechen  eintreten; 
indessen  kann  bei  gutem  Stande  der  Linien  dieses  Zweigsprechen  ohne  Be- 
denken angewendet  werden,  wenn  z.  B.  eine  oder  mehrere  lange  De- 
peschen von  X|  nach  X,  und  X,  zugleich  zu  befördern  sind.  Wollte  man 
eine  Störung  durch  Zwisehensprechen  unmöglich  machen,  so  mftsate,  so 
lange  X,  spricht,  der  Stöpsel,  welcher  A^  mit  r,  verbindet,  heraa^esc^a 
und  so  eingesteckt  werden,  dass  er  A,  mit  2,  verbindet,  und  so  lange  It 
spricht,  müsste  A,  nicht  mit  ^j,  sondern  mit  z,  durch  Stöpselnng  verbanden 
werden ;  sollte  aber  dieses  Umstöpseln  mit  der  Hand  erfolgen ,  so  wAre  es 
ziemlich  unpraktisch,  sollte  es  dagegen  unter  Vermittelung  besonderer 
Apparate,  etwa  bei  Einhaltung  einer  bestimmten  Stromrichtung,  von  den 
elektrischen  Strömen  selbst  besorgt  werden,  so  ginge  die  kaum  entbehr- 
liche Einfachheit  der  Einschaltung  verloren.  Es  ist  zwar  auch  noch  eine 
andere  Einschaltung  möglich,  durch  welche  man  die  Linien  zum  Zweig- 
sprechen unter  Translation  so  verbinden  kann ,  dass  jedes  Zeichen  aas 
irgend  einer  Linie  in  allen  anderen  sichtbar  wird  (vergl.  Zeitschrift  des 
deutsch- österreichischen  Telegraphenvereins,  1857,  S.  1);  allein  diese  Ein- 


Von  Dr.  Ed.  Zetzbche.  391 

schaltung^  ist  ebenfalls  sehr  verwickelt  und  erfordert  so  viele  Apparate, 
dass  sie  schwerlich  sich  mit  wesentlichem  Vortheil  wird  anwenden  lassen» 
besonders  weil  ja  das  Zweigsprechen  der  Natur  der  Sache  nach  überhaupt 
verhärltnissmässig  wenig  Anwendung  finden  kann« 

4.     Schleifen, 

Nicht  selten  kommt  es  vor,  dass  in  eine  bereits  bestehende  Telegra- 
phenleitung ein  seitwärts  liegender  Ort  noch  als  Station  mit  aufgenommen, 
werden  soll;   es  bleibt  dann  nichts  übrig,   als  an  irgend  einer  Stelle  die, 
Hauptleitung  zu  zerschneiden ,  von  jedem  ihrer  Enden  eine  Leitung  nach 
der  Seitwärts  gelegenen  Station  (wir  wollen  sie  kurz  Sehleifenstation. 
nennen)  zu  führen  und  diese  letzteren,  eine  Schleifenlinie  bildenden 
Leitungen  durch  die  Apparate  der  Schleifenstation  hindurch  au  verbinden. 
So  wurde  z.  £•  in  die  bereits  bestehende ,  der  Eisenbahn  entlang  laufende 
Linie  Dresden -r- Leipzig  Grossenhain  ab  Station  aufgenommen,  durch  eine 
von  Prieatewitz  nach  Grossenhain  geführte  Schleife.    Auch  bei  Neubauten, 
sind  nickt  selten  Schleifen  anzulegen.  Wäre  an  der  Stelle,  wo  die  Schleife 
von  der  Hauptleitung  abgezweigt  wird,  eine  Telegraphenstation,  so  würde 
diese  mit  einem  Wechsel  versehen  und  man  wird  meist  gar  nicht  eine 
Schleife ,  sondern  nur  eine,  einfache  Leitung  von  der  Wechselstation  nach 
dem  seitw&rts  gelegenen  Orte  führen.     Die  Anlegung  einer  Schleife  lässt 
also  annehmen,  dass  an  der  Stelle  des  Abzweigens  keine  Station  liegt ;  will 
man  daher,  dass  die  Correspondenz  in  der  Hauptleitung  nicht  den  Umweg 
durch   die  Sehleifenstation  machen  soll,  uud  will  man  sie  zugleich  von 
allen  auf  der  Schleife  etwa  vorkommenden  Störungen  und  Unterbrechun- 
gen unabhängig  machen,  so  muss  man  an  der  Stelle  des  Abzweigens  der 
Schleife  Apparate  aufstellen,  welche  selbstthätig  entweder  die  Schleife 
in   die    Haupdinie   einschalten,   oder    sie    ausschalten,  je  nachdem   die 
SeUeilenBtation  an  der  Correspondenz  Theil  nehmen  soll  oder  nicht.   Eine 
Apparatverbindung  für  diesen  Zweck  hat  zuerst  A.  Bernstein  in  der  Zeit« 
Schrift  des  deutsch- österreichischen  Telegraphen  Vereins ,  1857,  S.25ff.  vor- 
geschlagen; das  Wesentliche  derselben  wird  durch  eine  kurz0  Erklärung 
der  Skizze  in  Fig.  25  deutlich  werden. 

Auf  der  Stelle,  an  welcher  die  Schleife  abgezweigt  ist,  siud  drei 
Relais  JR^  R^^  JR^  aufgestellt,  von  denen  das  mittlere  ^i  ein  ganz  gewöhn? 
lichea  ist,  während  die  Hebel  der  beiden  anderen  E  und  /{,  permanente 
Magnete  sind  und  zur  Erhaltung  ihrer  Polarität  noch  je  einen  anderen 
Magnet  E  und  E^  neben  sich  stehen  haben;  die  Pole  liegen  in  den  He- 
beln nun  so  und  die  Einschaltung  der  Beiais  selbst  ist  so  gewählt,  dass, 
wenn  ein  positiver  Strom  aus  dem  Ende  L  der  Hauptleitung  oder  ein  nega- 
tiver »a&  dem  Ende  Z|  der  Hauptleitung  kommt ,  der  um  a  drehbare  Hebel 
dea  Kelais  R  sich  an  die  Stellschraube  5,  der  um  a^  drehbare  Hebel  des 
Relais  Jim  di^egen  an  «4  anlegt;  kommt  dagegen  ein  negativer  Strom  aus 


392  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte,  in  der  elektr.  Telegrmphie. 

der  Leitung  L  oder  ein  positiver  aus  der  Leitung  L^ ,  so  legt  sich  der  Hebel 
▼on  R  an  die  Stellschraube  ^, ,  der  Hebel  des  ^Relais  R^  aber  an  die  Stell- 
schraube s,;  für  gewöhnlich  ziehen  die  Federn  f  und  /*,  den  Hebel  Ton  R 
an  5|  und  den  Hebel  von  R^  an  8^\  mau  könnte  demnach  auch  sagen:  dss 
Beiais  R  spricht  nur  auf  positive ,  das  Beiais  R^  nur  auf  negative  Ströme 
an ,  welche  aus  der  Leitung  L  kommen.  Das  Relais  JR|  endlich  hat  einen 
um  0|  drehbaren,  nicht  magnetisehen  Anker,  welcher  für  gewöhnlich  durch 
die  Wirkung  der  Feder  ^  an  der  Stellschraube  8^  anliegt,  sich  aber  an  die 
Schrauben,  anlegt,  so  lange  der  Strom  der  Batterie  B  durch  die  Roller, 
des  Relais  R^  geht.  Die  Schleifenlinien  /  und  /|  sind  durch  die  Rollen  r, 
eines  Relais  R^  der  Schleifenstation  S  verbunden ,  und  ausserdem  muss  auf 
der  Station  S  noch  ein  anderes,  fttr  die  eigentliche  Correspondens  bestimm- 
tes Relais  vorhanden  sein,  da  R^  fttr  die  Aufnahme  von  Depeschen  anf  der 
Schleifenstation  nicht  zu  gebrandien  ist.  Der  um  a,  drehbare  Hebel  des 
Relais  R^  ist  ebenfalls  permanent  magnetisch  und  da&  Relais  R^  so  ein^- 
schaltet ,  dass  der  Hebel  in  Folge  seiner  vom  Magnet  E^  erhaltenen  Polari- 
tät nur  von  negativen,  aus  der  Leitung  L  kommenden  und  durch  die  Rollen 
r,  hindurchgehenden  Strömen  an  die  Stellschraube  s^  herangesogen  wird, 
während  er  für  gewöhnlich  durch  die  Spannfeder  fi  an  die  StelUchraube  ^| 
gezogen  wird  und  daran  um  so  fester  liegen  bleibt,  wenn  positive  3tr5me 
ans  L  kommend  die  Leitung  durchlaufen.  Die  Stationen  in  der  Haupt- 
leitung endlich  müssen  ausser  den  sonst  nöthigen  Apparaten  noch  mit 
einem  Stromwender  versehen  sein,  durch  welchen  sie  in  Stand  ge^tat 
werden,  den  Strom  in  einer  bestimmten  Richtung  in  die  Leitung  zu  senden; 
denn  es  ist  nöthig,  dass  der  positive  Strom  in  der  Hauptleitung  in  der 
Richtung  von  L  nach  Zi  gehe ,  wenn  die  Schleife  in  die  Hauptleitung  eiD- 
geschaltet  sein ,  also  die  Schleifenstation  an  der  Correspondens  Theil  neh- 
men soll;  dagegen  muss  der  positive  Strom  in  der  Hauptleitung  in  der 
Richtung  von  Z,  nachZ,  also  der  negative  in  der  Richtung  von  L  nach  £, 
gehen ,  wenn  die  Schleife  ausgeschaltet  sein  soll.  Kommt  nämlich  ein  po> 
sitiver  Strom  aus  L  nach  der  Stelle ,  wo  die  Schleife  von  der  Hanptleitvn; 
abgezweigt  ist,  so  durchläuft  er  zunächst  die  Rollen  r  des  Relais  i{,  gelang;! 
über  b  nach  /", ,  vom  Hebel  des  Relais  Rx  nach  der  Stellsehraube  «,,  flberr 
durch  die  Rollen  r,  des  Relais  /?,  nach  /,  nach  der  Schleifenatation  Sand 
daselbst  durch  die  Rollen  r,  des  Relais  und  endlich  durch  /(  nach  L^  weiter; 
an  der  Abzweigungsstelle  spricht  zwar  das  Relais  R  an,  das  Relais  R^  da- 
gegen nicht  und  deshalb  bleibt  der  Stromkreis  der  Batterie  B  offen,  «o 
dass  also  auch  das  Relais /?,  nicht  anspricht;  ebenso  spricht  auch  in  der 
Schleifenstation  S  das  Relais  R^  nicht  an.  Jede  Correspondenz  mit  potd- 
tivem  Strome  in  der  Richtung  von  L  nach  L^  durchläuft  also  auch  die 
Schleife  und  kann  auf  der  Schleifenstation  S' aufgenommen  werden.  Kommt 
dagegen  ein  negativer  Strom  aus  Z,  so  durchläuft  er  wieder  die  Bollei  r 
des  jetzt  nicht  ansprechenden  Relais,  dessen  Hebel   also   an  der  Stell- 


Von  Dr.  £0.  Zst^scshb.  393 

scbraube  «,  liegen  bleibt,  über  by  f^^  a^^  s^e  geht  dann  der  negative  Strom 
darcb  die  Rollen  r,  des  Relais  A,  und  durch  l  nach  S^  daselbst  durch  die 
Boilen  r,  und  darauf  durch  l^  "nach  Zj;  dabei  sprechen  die*beiden  Relais  J^ 
und  R^  an  und  in  Folge  dessen  treten  jetzt  noch  einige  Nebenwirkungen 
anf;  sunächst  schliesst  der  Hebel  des  Relais  B^ ,  indem  er  sich  an  die  Stell- 
schraube ^5  anlegt^  den  Kreis  der  Batterie  J9,  deren  Strom  nun  über  ^  a,  x,, 
d^  c  durch  die  Rollen  r,  des  Relais  i?,  über  e  nach  a,,  «5,  g  durch  die  Rollen 
r,  des  Relais  i?j  nach  der  Batterie  B  zurückgeht  $   dadurch  legt  sich  der 
Hebel  des  Relais  B^  an  die  Stellsohraube  5, ,  so  dass  der  negative  Strom 
aus  L  nun  durch  r  über  b,  fi^  a^,  s^  und  h  direct  nach  Li  geht ,  ohne  die 
Schleife  zq^  durchlaufen;  die  Batterie  muss  nun  so  eingeschaltet  sein,  daas 
ihr  negativer  Strom  r,  in  der  Richtung  von  c  nach  e  durchlilnft,   also  den 
Hebel  des -Relais  B^  auf  der  Stellschraube  s^  festhält,  auch  wenn  der  nega- 
tive Strom  aus  L  nach  X|   nicht  mehr  durch  die  Rollen  r,  hindurchgeht; 
eine  andere  Nebenwirkung  tritt  gleichzeitig  in  der  Schleifenstation  S  ein, 
wo  der  Hebel  gles  Relais  iR,  sich  an  die  Stellschraube  s^  angelegt  und  so 
die  Batterie  B^  geschlossen  hat,  deren  Strom  nun  über  k,  fg^a^  nach  ^ 
durch  die  aus  wenigen  Windungen  bestehenden  Rollen  r«*)  des  Relais  A, 
und  über  tn  zur  Batterie  zurückgeht  und  den  Hebel  des  Relais  in  seiner 
Lage  an  s^  erhält.     So  lange  demnach  jetzt  in  der  Hauptleitung  mit  nega- 
tiven Strönien  in  Richtung  von  L  nach  £,  oder  mit  positiven  in  Richtnug 
vpn  £|  nach  L  telegraphirt  wird,  bleibt  die  Schleife  vollständig   ausge- 
.  schaltet ,   und  auf  der  Schleifenstation  giebt  der  an  $j  liegende  Hebel  des 
Relais  B^  das  Zeichen,  dass  auf  der  Linie  LL^  mit  Ausschaltung  der  Schleife 
correspondirt  wird.    Soll  endlich  die  Schleife  wieder  eingeschaltet  werden, 
80  geschieht  es  einfach  dadurch ,   dass  man  einen  positiven  Strom  in  der 
Richtung  LLi  durch  die  Leitung  sendet;  dieser  legt  nämlich  den  Hebel  de9 
Relais  B  an  die  Stellschraube  s ,  unterbricht  dadurch  den  Strom  der  Bat- 
terie By   worauf  die  Feder  ^  den  Hebel  des  i^elais  Bf  wieder  an  die  Stella 
sehraube  #t  heranzieht  und  auch  der  Hebel  des  Relais  entweder  durch  die 
Feder  f^  oder  die  Wirkung  des  noch  andauernden  positiven  Stromes  sich 
an  #4  anlegt;   so  ist  also  dem  positiven  Strome  der  Weg  durch  die  Schleife 
geöffnet  und  auf  der  Schleifenstation  muss  der  Strom  durch  die  Rollen  r,, 
wodurch  der  Hebel  bei  r,  an  s^  herangezogen  wird. 

Gegen  diese  an  sieh  sehr  sinnreiche  Apparatzusammenstellnng  wurde 
der  begründete  Eifli^and  erhoben ,  dass  zu  viele  Apparate  zur  blosen  Aus- 
oder Einschaltung  nöthig  seien ,  dass  eine  besondere  Batterie  erforderlicli 
sei  und  dass  überhaupt  die  Zuverlässigkeit  von  mehreren  Regulirungen 
abhinge,  ja  durch  einen  schmutzigen  Contact  die  Leitung  gänzlich  unter- 
brochen werden  könne.     Wenn  es  blos  darauf  ankäme ,  die  Zahl  der  Ap- 


*)    Die  Rollen  r^  und  rg  können  über  einen  gemeinschaftlichen  Kern  gewickelt 
sein ;  in  Fig.  25  worden  sie  nur  der  Deutlichkeit  wegen  getrennt  gezeiehnet. 


SM  Beiträge  zur  GeBchichte  der  Foitsehritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

parftte  und  den  dnrek  sie  in  die  Leitung  gebrachtan  Widerstand  sa  ver- 
mindern ,  80  dürfte  man  nur  das  Relais  Jt^  wegluaen  ond  nach  Anleitang 
der  Skimze  Fig.  26  einscliaUen,  d.  h.  s^  unmittelbar  mit  /  verbinden  and  dea 
•US  den  Sollen  r|  austretenden  Dratli  nach  der  Stellschraube  s  fäirea; 
dann  spricht  das  Seiais  R  anf  positive  Ströme  nicht  an,  diese  gebea  daher 
aUB  L  durch  r  über  o,  und  «,  nach  /,  l^  und  £|,  auf  einen  negativen  Strom 
aber  spricht  das  Relais  R  an,  schliesst  durch  r^ ,  s  und  a  den  Eoreis  der  Bat- 
terie Bf  deren  Strom  der  Hebel  des  Relais  Rf  an  «,  anlegt  und  so  die 
Sohleifenlinie  ausschaltet,  bis  wieder  ein  positiver  Strom  in  Richtung  von 
L  nach  L^  die  Linie  durchläuft,  wobei  sich  der  Hebel  des  Relais  i^  an  i, 
anlegt,  die  Batterie  R  öffnet  und  die  Schleife  wieder  einschaltet.  Noch 
mehr :  man  kann  sogar  die  Batterie  B  und  das  Relais  R^  entbehren  aad 
eine  Unterbrechung  der  Linie  durch  einen  unreinen  Contact  unmöglich 
machen,  wenn  man  die  in  Fig.  27  angedeutete,  von  dem  Telegraphen- 
inspector  Frischen  in  Hannover  in  der  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichi- 
schen Telegraphenvereins,  1858,  S.  10  angegebene  Ein0chalt|i&g  w&hlt,  wo- 
bei das  Relais  R  wieder  nur  auf  negative  Ströme  Misprechen  darf;  die  po 
sitiven  Ströme  gehen  dann  aus  L  durch  die  Rollen  r  des  Relais  R  fibera 
nach  /  und  schliesslich  aus  /f  nach  Z| ;  die  negativen  Ströme  dagegen  schal- 
ten die  Schleife  aus,  indem  sie  den  Hebel  des  Relais  R  an  die  Stellsehraabe 
Sf  anlegen,  und  nehmen  dann  ihren  Weg  aus  L  durch  r  über  »,  a  nndf] 
nach  X|.  Der  nächstfolgende  positive  Strom  legt  den  Relaishebel  wieder 
an  8  und  schaltet  die  Schleife  wieder  einr.  Auch  wenn  der  Relaishebel  anS| 
liegt,  bleibt  indessen  die  Schleife  eingeschaltet,  und  es  geht  ein  Zweig- 
Strom  von  n  durch  /  und  /i  nach  Z, ;.  dass  jedoch  'dieser  Zweigstrom  auf  der 
Sshleifenstation  Zeichen  hervorbringen  könnte  ^  wie  Frischen  meint,  ist 
gewiss  nur  bei  sehr  empfindlichen  Oalvanometem  und  kurzen  Schleifen 
möglieh ;  wohl  aber  kann  die  ausgeschaltete  Sohleifenstaüon  die  CorreiBpon- 
dena  in  der  Hauptleitung  stören,  denn  selbst  ohne  Anwendung  einer  Erd- 
leitung  ist  der  Kreis  der  Linienbatterie  der  Schleifenstation  geschlosseo, 
n&mlich  über  /,  n,  a,  «i  und  /, ;  es  kann  daher  die  Schleifenstation  selbst  die 
Schleife  ein  -  oder  ausschalten ,  was  ebensowohl  ein  Vorzug ,  als  ein  Nach- 
theil der  von  Frischen  angegebenen  Einschaltung  gegenüber  den  beidea 
vorher  beschriebenen  Einschaltungen  genannt  werden  kann.  Alle  drei 
Einschaltungen  leiden  aber  an  dem  Uebelstande ,  dass  sie  nicht  unbedingt 
die  Hauptleitung  gegen  die  Nachtheile  der  Störungen  aif  der  SebleifeDliaie 
schützen ,  sondern  nur  in  dem  Falle ,  dass  bei  einer  auf  der  Schleifenlinie 
eintretenden  Unterbrechung  die  Schleife  bereits  ausgeschaltet  war,  oder 
dass  bei  der  Unterbrechung  das  gegen  L  liegende  Ende  der  xerrissenea 
Scbleifenlinie  zufällig  mit  der  Erde  in  Verbindung  kommt;  denn  soaat 
kann  von  der  Hauptlinie  aus  eine  Ausschaltung  der  Schleife  nicht  mehr  he- 
werkstelligt  werden.  Will  man  auch  diesen  Uebelstand  beseitigen,  so 
wähle  man  die  Einschaltung  nach  Fig.  28:    Das  Relais  R  mit  permaaeat 


Von  Dr.  Ed.  ZsTfescSB.  305 


MM^^k<%^^«M^k^^^«^>MAM^>^^^k^%^\^l/NM^«/N^V%«VN^^tfW^>M^^»M^N«V^ 


mAgnetischem  Hebel  spricht  ebenfalls  anf  pesitire  und  n^atiTe  Btröme 
an ,  aber  die  Achse  a  seines  Hebels  ist  einerseits  mit  dem  einen  Ende  dev 
Maltiplieationsrollen  r,  andererseits,  mit  der  Contactschranbe  Sf  yerbanden^ 
swischen  der  Achse  und  der  Contactschranbe  ist  durch  einen  Rheostaten 
W  ein  entsprechender  Widerstand  eingeschaltet;  aosaerdem  steht  die  Con» 
tactschranbe  s^  mit  den  beiden  Leitungen  Zj  und  /| ,  die  Contactschranbe  s 
mit  der  Leitung  l  in  Verbindung.  Jeder  ans  L  kommende  positire  Stsom 
geht  durch  die  Rollen  r  nnd  legt  den  Relaishebel  an  «  an,  daher  hat  der 
Strom  einen  Weg  von  a  über  s  und  /  nach  der  Schleifenetation  und  dann 
durch  /t  ttber  b  nach  Z|  und  sugleich  einen  anderen  Weg  von  a  dnrch  den 
Bheostat  W  ttber  -»i  und  b  nach  X, ;  der  Widerstand  des  Rheostates  ist  dem* 
nach  so  au  wfthlen ,  dasa  der  durch  die  Schleife  //,  gehende  Theilstrom  in 
der  Schleifenstation  deutliche  Zeichen  giebt.  Der  erste  negative  Strom 
legt  den  Relaishebel  an  s^  und  schaltet  so  die  Schleife  yollstftndig  ans,  wo* 
gegen  L  und  Xj  tfber  a,  «i  und  b  kurz  verbunden  sind;  der  nftehstfolgende 
positive  Strom  fährt  den  Hebel  wieder  nach  $  und  schaltet  dadurch  die 
Schleife  ein.  Weder  bei  ausgeschalteter,  noch  bei  eingeschalteter  Schleife 
ttbt  der  Rheostat  einen  nachtheiligen  Einfluss  anf  den  Strom  in  der  Haupt* 
linie  ans;  wenn  dagegen  eine  Unterbrechung  in  der  Schleife  bei  irgead 
einer  Stellung  des  Relaishebels  eintritt,  so  bleibt  sicher  dem  Strome  in  der 
Hauptlinie  noch  der  Weg  von  L  durch  r  nach  a ,  durch  JV  naeh  ^i ,  b  nnd 
Li  ttbrig  und  jedenfalls  kann  so  noch  der  Relaishebel  an  die  Gontaet** 
sehraube  S|  herangezogen  werden,  behufs  der  Herstellung  einer  kurzen 
Verbindung  von  L  mit  X|.  Obwohl  die  Sehleifenstation  bei  ausgeschalteter 
Schleife  die  Correspondenz  in  der  Hauptlinie  ohne  Anwendung  einer  Erd* 
leituog  nicht  zu  stören,  ikoch  etwas  an  der  Einschaltung  der  Schleife  zu 
findern  vermag,  bleibt  ihr  doch  durch  Anlegung  einer  Erdleitung  die  Mög- 
lichkeit, fttr  den  Fall  des  Bedarft  eine  Notiz  naeh  X  nnd  X,  zn  geben; 
denn  dann  würde  ihr  Strom  aua  /|  sich  in  b  nach  X|  und  über  s^  und  a  auch 
nach  X  verzweigen. 

5.    Die  Blitzableiter. 

Da  die  Telegraphenleitungen  sich  viele  Meilen  weit  als  ununter* 
brochene  Leiter  über  die  Oberfläche  der  Erde  hin  erstrecken  und  im  freien 
Felde  ihre  Umgebung  hoch  überragen,  so  sind  sie  verschiedenen  Ein* 
wirknngen  von  Seite  der  atmosphürischen  Elektrioität  ausgesetzt.  Es 
können  leicht  die  Dr&the  nnd  Leitungsstangen  geradezu  vom  Blitze  getro£Fen 
werden  und  Theile  von  diesen  Blitzschlägen  auf  grosse  Entfernungen  hin 
an  den  Dräthen  fortlaufen ,  bis  sie  endlich  einen  günstigen  Uebergang  zur 
Erde  finden;  es  köjinen  ferner  durch  die  über  die  Leitung  dahinziehenden 
elektrischen  Wolken  und  bei  jedem  in  der  Nähe  der  Leitung  niederfahren- 
den Blitze,  selbst  wenn  er  die  Leitung  nicht  unmittelbar  trifft,  gewaltige 
Indnctionsströme  in  der  Leitung  erregt  werden ,  ja  es  können  sich  sogar  in 


396  Beiträge  zur  Geschiciite  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

der  Atmosphäre  Torfaaadene,  Tielleichi  durch  Witteningsverh&ltnisse  er- 
sengte  elektrische  OegeBsätse,  auch  wenn  sie  örtlich  weit  von  einander 
eBtfemt  sind,  durch  die  Leitnngsdräthe  ausgleichen.  Die  Folgen  dieaer 
Einwirkungen  sind  theils  Störungen  im  Betrieb  des  Telegraphen ,  theils  ge- 
waltsame Zerstörungen  der  Leitungen  und  Apparate.  Sofern  nXmlteh  blos 
schwache  Ströme  atmosphärischer  Blektricitftt  in  det  Leitung  fortgehen 
und  durch  Telegraphenapparate  ihren  Wegnehmen,  werden  dieselben  ib 
den  Apparaten  genau  dieselben  Wirkungen  herrorbringen ,  wie  die  gsWa- 
nischen  Telegraphirströme :  die  Anker  der  Elektromagnete  werden  ange- 
sogen, Galyanometernadeln  werden  abgelenkt  und  dergleichen  mehr,  je 
nach  der  Beschaffenheit  der  Apparate;  auch  kann  man  diese  Ströme  sellwt 
fühlen,  wenn  man  ihnen  durch  entsprechendes  Berühren  der  Leitung  einen 
Weg  durch  den  Körper  öffnet«  Sind  dagegen  die  durch  die  atmosphiriscbe 
Elektrieität  in  der  Leitung  erregten  Ströme  kräftiger,  so  richten  sie  nickt 
selten  bedeutende  Zerstörungen  an:  sie  schmelzen  Dräthe  in  den  Statio- 
nen, verbrennen  und  sertrfinnnern  die  isolirende  Urahöllnng  und  Be- 
deckung der  Dräthe,  vernichten  den  Ma|;neti9mus  constanter  Magnete, 
kehren  auch  wohl  deren  Polarität  ganz  um,  serschmettern  die  Isolatoren, 
auf  welchen^  der  Drath  an  den  Tragsäulen  liegt,  zersplittern  die  Sänlen 
auch  selbst  und  werfen  sie  um ,  wobei-  nach  Befinden  der  Leitungsdrath 
zerreisst,  —  ja  wiederholt  wurden  sogar  die  am  Apparate  arbeitenden  Be- 
amten oder  die  mit  der  Linie  beschäftigten  Arbeiter  und  Aufseher  verletzt 
und  gelähmt»  Ein  langes  Register  solcher  Verheerungen  findet  sich  im 
elektromagnetischen  Telegraph  von  Schellen,  2.  Auflage,  8.  210  bis  218, 
andere  Belege  sind  in  den  verschiedeneu  Jahrgängen  der  Zeitschrift  des 
deutseh  -  österreichischen  Telegraphenvereins  zerstreut;  mitunter  wurden 
bis  tO  Tragsäulen  hinter  einander  ganz  oder  theilweise  zersplittert*},  ja 
in  einzelnen  Fällen  zeigten  selbst  60  bis  70  Säulen  Sparen  davon,  dsss 
Antheile  des  Blitzes  an  ihnen  zur  Erde  niedergegangen  waren ,  in  der  Lei- 
tung  aber  lief  der  Blitz  nicht  selten  10,  ja  30  bis  40  Meilen  weit  fort. 

Natürlich  ist  es  eine  nicht  unwichtige  Aufgabe  der  Telegraphie,  der- 
artigen Beschädigungen  möglichst  vorzubeugen,  und  zu  diesem  Zwecke 
stellt  man  an  einzelnen  Punkten  Blitzableiter  auf.  Durch  Blitzableiter 
kann  man  aber  bis  jetzt  nur  die  zerstörenden  Wirkungen  verhüten,  die 
störenden  dagegen  bleiben  unbeseitigt;  die  Apparate  und  die  an  ihnen  ar- 
bmtenden  Beamten  werden  zwar  durch  die  Blitzableiter  der  Gefahr  der 
Verletzung  entrückt,  dass  aber  bei  Gewittern  die  atmosphärische  EUektri- 
eität  in  das  Telegraphiren  mit  dreinspricht ,  dass  sie  auf  den  Dmek- 
apparaten  unbeabsichtigte  Punkte   und  Striche  druckt,    die   Zeiger  der 


*)  Die  ausgesplittcrton  Stellen  laufen  gewöhnlich  in  einer  Spirallinie  um  die 
Stangen  herum;  ist  dies  eine  Folge  der  Structur Verhältnisse  der  Stangen,  oder  wählt 
der  Blitz  sich^  selbst  diesen  Weg  und  wamin  ? 


Von  Dr.  Ed.  Zbt28C»b.  S97 

Zeigerai^rate  fortrfieken  iXMt  qbcI  bei  Nadeltftlegrftphen  die  Naddn  ab- 
lenkt, ohne  BfiokBichft  auf  den  Willen  des  Telegraphisten ,  die«  lient  neb 
Dicht  verhüten. 

Wie  verschiedenartig  aiieh  die  Blitsableiter  fttr  Telegraphen  in  ihren 
einselnen  Theilen  gestaltet  sind ,  in  Ansehung  des  Grandes  ihrer  Wirk* 
samkett  serfallen  sie  nnr  in  zwei  grosse  Gruppen.     Bei  der  einen  Classe 
von  Blitsableitem  ist  nämlieh  Vorkehrung  getroffen ,  dass  jeder  krUfdgere 
Strom ,  durch  welchen  die  Apparate  aerstört  werden  könnten ,  sich  selbst 
den  Weg  nach  den  Apparaten  abbrieht;  es  steht  indessen  bei  diesen  BUtz- 
ableitem  su  befiBrchten,  dass  gelegendich  doch  etwa  bereits  vor  dem  Ab- 
brechen des  Weges  nach  den  Apparaten  ^n  so  krftftiger  Strom  in  die  Ap« 
parate  gelangt,  dass   die  Apparate  dadurch  Schaden  leiden.     Sohon  im 
Jjihre  1840  wurden  iwei  von  einander  verschiedene  Blitzableiter  dieser 
Art  vorgeschlagen :  in  Frankreich  von  Bregnet  und  in  Amerika  von  James 
D.  Beid  in  Philadelphia.     Die  Wirksamkeit  der  Blitzableiter  der  anderen 
Classe  sitltzt  sich  anf  den  bekannten  Erfahrnngssatz  über  das  Verhalten 
der  Elektricitäten  verschiedenen  Ursprungs,  nämlich  anf  die  Thatsaehe, 
dass  die  Reibungselektricitttt,  die  IndnetionselektricitXt  und  die  atmosphä- 
rische Elektricität  verh&ltnistmftssig  grosse  isolirende  Zwischenräume  nwt* 
sehen  zwei  Leitern  überspringen  kann ,  während  die  galvanische  Elektriei* 
tat  seibat  sehr  kleine  Zwischenräume  nicht  üoerspringt.     Diese  Verschie- 
denbeit  der  erwähnten  Eiektrieitäten  macht  es  möglich ,  dass  man  die  Luft« 
elektricitHt  von  den  telegraphischen  Apparaten  abhalten  kann ,  indem  man 
ihr  einen  kürzeren  und  besseren  Weg  zur  Erde  öffnet ,  während  die  galva- 
nische Elektrieität,   ohne  Sprünge,   ruhig  und  ungestört  ihren  Weg  durch 
die  Apparate  nehmen  mnss.     Man  braucht  dazu  blos  der  Luftleitung,  be« 
vor  sie  zu  den  Apparaten  gefühi't  wird ,  eine  andere  möglichst  kurze  Lei-» 
tnng  von  entsprechend  grossem  Querschnitte  gegenüberzustellen, 
welche   einerseits  ohne  Unterbrechung   bis  zur  Erde  reicht  (daher  Erd- 
leitung genannt),   andererseits  aber  die  Luftleitung  nicht-unmittelbar  be- 
rührt, sondern  in  einer  möglichst  geringen  Entfernung  von  derselben  endet; 
diese  geringe  Entfernung   kann   die  galvanische  Elektricität  nicht  über- 
springen ,  sondern  sie  muss  durch  die  Apparate  gehen ;  die  Lnftelektricität 
dagegen  wird  zum  grössten  Theil  den  kleinen  Zwischenraum  überspringen 
und  anf  dem  kürzesten  Wege  zur  Erde  abfliessen.  Auch  der  Gedanke,  auf 
diese  Weise  die  Telegraphen apparate  gegen  die  zerstörenden  Einwirkun- 
gen der  atmosphärisshen  Elektricität  zu  schützen,  wurde  bereits  im  Jahre 
1846  in  zwei  Ländern  gefasst  und  zur  Ausführung  gebracht:  in  Deutschland 
zuerst  von  Steinheil  und  in  England  in  etwas  anderer  Weise  von  Hightoti 
in  London.     Steinbeil,   Highton,   Bregnet  und  Reid  haben  also  in  dem- 
selben Jahre,   scheinbar  ganz  unabhängig  von  einander,  die  ersten  Blitz- 
ableiter für  Telegraphen  angegeben;  •  jeder  von  einem  anderen  Gesichts* 
punkte   ausgehend.     Gegenwärtig  sind  in  Europa  allgemein  Blitzableiter 


966  Beiträge  zur  G-escIiiclite  der  Fortscbrittc  in  der  elektr.  Telegraphie. 

d«r  BWeiieti  01*886  in  Gebrauch;  an  eintgen  sehr  Terbreiteteii  dagegen  ist 
ungleich  dafür  Sorge  getragen,  dass  ein  naeh  den  Apparaten  gehender 
Blitzstrahl  sich  selbst  den  Weg  unterbreche. 

Breguet  sehlag  vor,  die  eigentliche  Telegraphenleitnng  nur  bis  auf 
eine  Entfernung  toh  15  bis  18  Fnss  an  die  Station  heranzuführen,  Ton  da 
ab  aber  einen  ganz  feinen  Drath  aar  Verbindong  der  Leitung  mit  den 
Stationsapparaten  zu  benutzen,  in  der  Voraussetaung,  dass  jeder  atroosphS- 
rische  Strom,  welcher  seinen  Weg  durch  diesen  dtinnen  Drath  naeh  den 
Apparaten  nehmen  wolle,  den  dünnen  Drath  bis  zum  Abschmelzen  er- 
hitzen und  sieh  so  den  Weg  zu  den  Apparaten  selbst  unterbrechen  werde 
(vergl*  Schellen,  der  elektromagnetische  Telegraph,  S.  223).  Auf  diese 
Weise  allein  würden  aber  die  Apparate  wohl  kaum  sieber  genug  gegen  die 
^zerstörenden  Einwirkungen  der  atmosphärischen  Elektrieitlit  geschützt 
werden,  und  «überdies  würde  ein  häufiges  Ersetzen  des  langen  dünncD 
Drathes  unbequem  und  nicht  zu  billig  sein;  wohl  aber  wird  eine  fthnliche 
Einrichtung,  welchem  einem  Blitzableiter  der  aweiten  Classe  als  Zugabe 
beigefügt  ist,  dessen  Wirksamkeit  erhüben^ 

Keid  benutzte  nicht  die  Wärmeentwiekelung,  sondern  die  elektroraag- 
netische  Wirkung  des  Stromes  zur  Unterbrechung  des  Weges  nach  den 
Apparaten  und  wählte  dazu  folgende  Anordnung :  Die  in  die  Station  ein- 
tretende Luftleitung  L  (Fig.  20  Taf.  V)  wird  zunächst  zu  dem  einen  Ende 
der  Multiplicationsrollen  eines  Elektromagnetes  M  geführt;  diese  Rollen 
enthalten  aber  nur  16  Windungen  eines  starken  mit  Seide  übersponnenen 
Drathes;  das  andere  Ende  der  Rollen  steht  mit  der  Achse  n  eines  messin- 
genen Hebels  6c  in  leitender  Verbindung,  dessen  vorderes  Ende  b  mit  der 
Stellschraube  s  durch  die  Spannfeder  f  auf  einen  Metallsländer  e  aufge- 
drückt wird,  welcher  durch  den  Drath  A  mit  den  telegraphischen  Appa- 
raten in  leitender  Verbindung  steht;  am  anderen  Ende  c  des  Hebeln  fr ü  be- 
findet sich  eine  zweite  Stellaohraube ,  welche  sich  auf  den  durch  den  Drath 
E  mit  der  Erde  verbundenen  Metallständer  g  auflegt,  so  oft  und  so  lange 
der  Elektromagnet  E  seinen  Anker  d  anzieht.  Die  Spannfeder  f  ist  nun 
so  stark  gespannt,  dass  in  Folge  des  durch  einen  galvanischen  Telegraphir- 
strom  erregten  Elektromagnetismus  der  Elektromsgnet  M  seinen  Anker 
nicht  anziehen  kann;  daher  nehmen  die  Telegraphirströrae  ans  L  ihren 
Weg  durch  M  über  a^b^  s^  e  und  A  nach  den  telegraphischen  Apparaten. 
Geht  dagegen  ein  starker  Strom  atmosphärischer  Elektricitftt  durch  den 
Elektomagnet  ilf,  so  zieht  derselbe  seinen  Anker  an,  die  StelUchraabe « 
verlässt  dabei  ihren  Ständer  e  und  der  Weg  nach  den  Apparaten  ist  da- 
durch unterbrochen ,  dafür  aber  der  Luftelektricität  von  o  aus  über  e  und 
die  jetzt  anf  ihrem  Ständer  g  aufliegende  Stellschraube  »,  ein  kuner  Weg 
dureh  den  entsprechend  dicken  Drath  E  nach  der  Erde  eröffnet.  Sobald 
die  Luftelektricität  nach  der  Erde  abgeflossen  ist,  zieht  die  Feder /*  den 
Hjdbel  bc  mit  der  Stellschraube  s  wieder  auf  ihren  Ständer  e  auf  und  stellt 


Von  Dr.  Ed.  Zbtzschb.  WO 


80  den  Weg  nach  den  App«rAten  für  die  Telefprapbintrdne  wieder  ber» 
Dieser  sinnreiebe  Blitsableiter,  fbr  dessen  Erfindung  Beid  von  dem  FraiMin 
Institute  in  Pbiladelpbia  mit  der  silbernen  Medaille  belabnt  wurde ,  soll  sieh 
(naob  Sbaffner,  teiegreph  manual,  8«  567  und  MB)  bei  vielen  Oelegenbeiten 
unter  hefbigen  Gewittern  gat  bewShrt  haben,  obwohl  man  fttrcbten  könnte, 
dass*  bei  der  grossen  Geschwindigkeit  des  elektrisohen  Stromes  die  Lnlt* 
elektrieitlit  an  den  Apparaten  gelangen-  könnte,  boTor  neeh  der  Hebel  bc 
ans  der  einen  Lage  in  die  andere  ttbergegangen  wKre;  indessen  darf  wohl 
aach  nicht  übersehen  werden ,  dass  die  Loftelektricität  selbst  dann,  wenn 
die  Stellsebranbe  $  aaf  ihrem  Ständer  e  anfliegt,  den  kurzen  Weg  durch  M 
snr  Erde  wfthien  kann ,  weil  sie  dazu  nur  den  kleinen  Zwischenraum  swi- 
sehen  der  SteHsehraube  s^  und  dem  gegenttberliegenden  Ständer  g  eu  über- 
springen braucht. 

High  ton 's  Blitaableiter  ist  höchst  einfach:  der  Leitungsdratk  wird 
auf  eüne  Länge  von  6- bis  8  Zoll  mit  Seide  oder  lockerem  Papier  umwickelt 
und  diese  HtiUe  mit  einer  Anzahl  von  Metalldräthen  umgeben,  welche  mit 
der  Erde  in  Verbindung  stehen;  ein  jeder  Apparat  einer  .Station  soll  auf 
jeder  Seite  mit  einer  solelien  schützenden  Vorrichtung  versehen  werden; 
am  einfachsten  und  biUigsten  wird  die  mit  Löschpapier  umwickelte  Stelle 
des  Leitangsdrathes  durch  eine  kleine,  mit  einer  Zinnplatte  ausgelegte 
hölzerne  Büchse  hindurch  geführt,  in  dieser  mit  feinem  Eisendrath  um« 
geben  und  die  Zinnplatte  mit  der  Erde  verbunden.  Die  gute  Wirkung  sol- 
cher Blitzableiter  (Shaffner ,  tdegraph  manuat,  S.  SÖO)  dürfte  auf  die  groese 
Anzahl  kleiner  Uebergangspnnkte  vom  Leitnngsdrathe  au  den  umgebenden 
AbleitUttgsdr&then  zu  schreiben  sein.  Eine  diesem  Blitzableiter  nahe  ver- 
wandter Blitzableiter  zum  Herableiten  des  Blitzes  an  den  Telegraphen* 
sänlen  wurde  1855  von  Matzenauer  vorgeschlagen. 

Steinheirs  Btitzableiter  bestand  aus  zwei  Kupferplatten  von  sechs  Zoll 
Durchmesser;  diese  Platten  standen  auf  dem  Dache  des  Hauses,  gegen  die 
Feuchtigkeit  der  Luft  geschützt,  mit  den  breiten  Flächen  ganz  nahe  an 
einander,  waren  aber  durch  ein  dünnes  Blatt  Seidenneng  von  einander  iso- 
lirt;  von  jeder  Platte  führte  ein  Drath  nach  den  Apparaten  der  Station 
und  in  der  Mitte  war  jede  Platte  mit  dem  einen  Ende  des  über  dem  Hause 
durchschnittenen  Leitungsdrathes  verbunden.  Der  die  Leitung  durch« 
laufende  galvanische  Strom  musste  also  die  Apparate  durchlaufen ,  da  das 
Seidenzeug  ihm  den  Uebertritt  von  einer  Platte  zur  anderen  verwehrte; 
die  Lnftelektricität  dagegen  lief  mit  Ueberspringung  des  kleinen  Zwischen- 
raumes  zwischen  den  Platten  in  der  Leitung  weiter,  ohne-  in  die  Apparate 
einzutreten ;  ein  Weg  zur  Erde  war  freilich  der  Lnftelektricität  auch  nicht 
geboten.  William  Fardely  vereinfachte  1847  diesen  Blitzableiter  dadurch, 
dass  «r  mit  Weglassung  der  Platten  die  beiden  Enden  des  Leitungsdrathes 
unter  einem  kleinen  Dächekhen  auf  der  Tragsäule  einfach  einander  gegen- 
über   Btehen  liess,  so  nahe  an  einander,,  dass  die  Lnftelektricität  leicht 


400  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Tei^raphie. 

flberspringen  konnte;  von  den  Drathendcn  aber  führten  swei  weni^ten$ 
Bvausig  Fusa  lange  feine  Dräthe  nach  den  Stationsapparaten,  damit  so 
die  Apparate  umsomebr  gesohütst  seien.  Auch  eröfihete  Fardelj  dem 
Blitz  einen  kurzen  Weg  zur  £rde  (yergl.  Polytechniaehes  Centoilblatt, 
1840,  S.  1166),  indem  er  dem  LeitangBdrathe  eine  Erdleitung  so  nahe  gegen- 
über stellte,  dass  der  Blitz  auf  die  Erdleitung  überspringen  konnte^  die 
Erdleitung  wurde  zum  Theil  ähnlich  wie  ein  gewöhnlicher  Blitsableker 
mit  einer  Anffangestange  versehen.  Endlich  fügte  Fardelj  noch  eine  Vor- 
richtung hinzu,  durch  welche  die  Apparate  bei  Gewittern  ganz  ans  der 
Leitung  ausgeschaltet  werden  konnten.  Im  Jahre  18^  erst  wurde  vom 
Professor  Meissner  in  Braunschweig  der  Blitzableiter  von  Steinbeil  in 
Blitzplatten  umgewandelt;  die  Blitzplatten  kännen  ün  Stationazimmer 
selbst  aufgestellt  werden  und  bestehen  für  Endstationen  aus  zwei  Platten, 
von  denen  aber  nur  die  eine  mit  der  LufUeitoag,  die  andere  der  ersteren 
nahe  gegenüber  stehende  mit  der  Erde  verbunden  ist.  Realschnldirector 
Krüger  in  Fraustadt  sehlug  die  Benutzung  von  Lejdener  Flaschen -anatatt 
der  Platten  vor. 

Nach  dem  Steinheirsch^n  Princip  sind  eine  sehr  grosse  Anzahl  vor* 
schiedener  Blitzableiter  für  Telegraphenapparate  constrqirt  worden,  nnd 
eine  bunte  Mannigfaltigkeit  herrscht  in  dieser  grossen  Gruppe,  in  welcher 
charakteristische  Verschiedenheiten  theils  in  der  Form  der  Theile,  sn'i* 
sehen  welchen  der  Funke  überspringt,  theils  in  dem  Stoffe,  durch  welchen 
derselbe  überspringt,  theils  endlich  bezüglich  des  Ortes,  an  welchem  der 
Blitzableiter  aufgestellt  wird,  hervortreten. 

Rticksiehttich  der  Form  der  Theile,  a wischen  welchen  der  Blitz 
überspringt,  lassen  sich  unterscheiden: 

1.  Die  Blitzplatten.  Eine  in  Sachsen  vielfach  verwendete  zweck- 
massige  Constmetion  der  Blitzplatten  für  einfache  MittelstationeÄ  besteht 
aus  drei  über  einander  liegenden,  durch  zwischenliegende  dünne  Kant- 
schukstreifen  von  einander  isolirten  gusseiseraen  Platten;  die  mittelste  cä 
(Fig.  30  Taf.  V)  ist  durch  den  Drath  E  mit  der  Erde,  die  unterste  a6  mit 
der  einen  Luftleitung  L ,  die  oberste  ef  mit  der  anderen  Luftleitung  X,  ver- 
bunden; durch  die  Drttthe  g  und  h  stehen  die  Apparate  A  mit  den  Plattea 
ef  und  a6  in  Verbindung;  der  galvanische  Strom  geht  von  L  durch  ab  and 
h  nach  A  und  dann  durch  g  nnd  ef  nach  Z,  weiter;  die  Luftelektricitat 
springt  von  ab  oder  ef  auf  die  Platte  od  über  und  fliesst  durch  E  cur  Erde 
ab,  und  damit  dies  recht  leicbt  geschehen  könne,  sind  die  Platten  an  den 
einander  zugewandten  Flächen  kreisförmig  gerieft  und  greifen  aaeh  dorch 
einander  hindurch.  Für  Stationen  mit  mehreren  Linien  sind  in  den  Nieder- 
landen die  Blitzplatten  so  construirt,  dass  die  Leitungen  mit  at«rken 
Messingstreifen  verbunden  sind ,  über  welche  ein  Blatt  glattes  Ps^pier  und 
darauf  eine  schwere,  mit  der  Erde  verbundene  Ztakplatte  gelegt  wird 
(vergl.  2^ilschrift  des  deutsch-^österreich«  Telegraphenvereins,  l€58y  S.  187). 


Von  Dr.  Ed.  Zbtzsche.  401 

2.    Spitsenblitsableitei*.    Sebon  Professor  Meissner  wendete  an- 
statt der  Platten  swei  eich  nahe  gegenüberstehende  Spitsen  an,  welche  er 
übrigens  genau  so  einschaltete  wie  die  Platten ;  trotzdem  dass  die  Elektrir 
citSt  von  Spitsen  leichter  ttberfiiesst,  zißigten  sieh  im  Sommer  1840  die 
Spitsen  nicht  so  wirksam,  als  die  Platten  (vergl.  Sehellen,  elektromagne- 
tischer Telegraph ,  S.  227).     Später  construirte  Nottebohm  fHr  die  prenssi- 
schen  Leitungen  einen  Spitzenableiter,  bei  welchem  ein  Doppelkegel  in 
der  Mitte  zwischen  zwei  Spitzen  stand ,   welche  einerseits  mit  den  beiden 
Leitungen ,  andererseits  mit  den  Apparaten  verbunden  waren ,  während  der 
Doppelkegel  mit  der  Erde  in  Verbindung  stand.     Breguet  wählte  als  mitt- 
leren ,  mit  der  Erde  verbundenen  Theil  eine  breitere ,  sägenartig  gezackte 
Platte  und  stellte  Herselben  zwei  ebenfalls  sägenartig  gezahnte  Platten 
gegenüber,  welche  einerseits  mit  den  Luftleitungen,   andererseits  mit  den 
Apparaten  verbunden  wurden.     Ein  ähnlicher  Blitzableiter  wurde  bei  den 
französischen  Eisenbahntelegraphen  angewendet,  aber  zagleich  dafür  Sorge 
getragen,  dass  der  iiach  den  Apparaten  gehende  Strom  atmosphärischer 
Elektrici^ät  beim  Durchgange  durch  einen  feinen  Drath  diesen  schmelze 
und  sich  so  den  Weg  nach  den  Apparaten  selbst  abbreche;  Shaffner  be^ 
schreibt  in  seinem  TeUgraph  manualj  S.  579  bis  583  drei  verschiedene  Arten 
dieser  Blitzableiter,  von  denen  zwei  so  eingerichtet  sind,  dass  man  die 
Luftleitung  entweder  unmittelbar  unter  Ausschaltung  des  Blitzableiters, 
oder  mittelbar  durch  den  Blitzableiter  mit  den  Apparaten  verbinden,  dass 
man  sie  aber  auch  unmittelbar  mit  der  Erdleitung  verbinden  kann;  auf 
Stationen,  welche  mit  einem  Linien  Wechsel  versehen  sind, '  ist  die  letztere 
Einrichtung  überflüssig,  da  durch  den  Wechsel  selbst  schon,  wie  früher  ge- 
zeigt wurde,  jede  Linie  mit  der  Erdleitung  unmittelbar  verbunden  werden 
kann.     Die  in  neuester  Zeit  in  Frankreich  angewendeten  Spitzenableiter 
bestehen  aus  zwei  Metallplatten ,  von  denen  die  eine  mit  der  Erde ,  die  an- 
dere einerseits  mit  der  Luftleitung,  andererseits  mit  den  Apparaten  in  lei- 
tender  Verbindung  steht;  aus  jeder  dieser  beiden  Platten  stehen  zwei 
Spitzen  heraus,  deren  äusserste  Punkte  nur  ganz  wenig  von  der  anderen 
Platte  abstehen ,  wie  es  Fig.  81  anschaulich  macht.  In  England  construirte 
Charles  V.  Walker  schon  vor  1849  einen  Spitzenableiter  so,    dass  er  die 
Erdleitung  (vergl.  Shaffher,  telegraph  manual,  S.  583)  mit  einer  kupfernen 
Bohre  verbindet,  welcher  an  jedem  Ende  eine  Scheibe  gegenübersteht, 
aus  welcher  gegen  die  Röhre  gerichtete  Spitzen  hervorstehen;  die  eine 
Scheibe  war  mit  der  Luftleitung,  die  andere  mit  den  Apparaten  verbunden, 
von  der  einen  endlieh  ging  ein  in  der  Achse  der  Bohre  liegender  Metall- 
stab ans ,  an  welchen  sich  ein  feiner  Metalldrath ,  in  einigen  Windungen 
auf  einer  hölzernen  Spule  nahe  an  der  inneren  Böhrenfläche  gelegen,  an- 
schloss  und  bis  zur  zweiten  Scheibe  führte;  auf  dem  Metallstabe  endlich 
standen  ebenfalls  mehrere  Spitzen  heraus  und  endeten  knapp  vor  der  inne* 
ren   Fläche  der  Knpferröhre.      Obwohl  dieser  Blitzableiter  durch  seine 

Zettschrift  f.  Malhemalik  a.  Physik.  VI,  6.  28 


402  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


vielen  Bpitsen  ein  leiebtes  Ueberspringen  an  vielen  SteHen  engleicb  er- 
möglicht and  im  Notbfalle  noch  durch  Schmelsung  des  feinen  Metalldraidiet 
die  Apparate  sn  schätsen  rerspricht,  leidet  er  doch  an  dem  gössen  Uebel- 
Stande ,  von  welchem  auch  die  Blitzableiter  nicht  gans  frei  sind ,  nfimlieb 
dass  er  sich  nicht  bequem  ttberwachen  läset,  weil  man  bei  den  eingeschla- 
genen Theilen  nicht  erkennen  kann ,  ob  die  Spitzen  in  gehöriger  Nähe  aa 
der  Röhre  stehen.  Prof.  Dr.  Luigi  Magrini  änderte  daher  diesen  Abieiter 
so  am ,  dass  ans  einer  mit  der  Laftleitang  nnd  den  Apparaten  verbnndenen 
hohlen  Röhre  zwei  Reihen  von  Spitzen  vorstehen,  denen  zwei  mit  der  £rde 
verbundene  Metallplatten  mit  ihrer  inneren  vergoldeten  Fläche  gegenüber- 
gestellt sind ;  diese  Platten  bilden  die  obere  und  untere  Wand  des  Gehäu- 
ses fUr  den  Blitzableiter,  während  die  beiden  SeitenilUnde  von  Glas  aind, 
so  dass  man  jederzeit  den  Abstand  der  Spitzen  von  den  Platten  beobaehten 
kann  (vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegraphenvereins, 
1854,  S.  248  ff.).  Diese  Blitzableiter  dürften  aber  zu  zusammengesetzt  «nd 
kostspielig  sein,  da  schon  ein  weit  einfacherer,  in  Oeeterreich  allgemein 
in  Gebrauch  befindlicher  Spitzenableiter,  her  Anwendung  der  ^öthigen 
Sorgfalt  und  Aufmerksamkeit  von  Seite  der  Beamten ,  ganz  vortreffliche 
Dienste  leistet.  Es  enthält  dieser,  anch  in  der  Zeitschrift  des  dentaeh» 
österreichischen  Telegraphenvereins,  1854,  S.  252  beschriebene  nnd  in  der 
halben  natürlichen  Grösse  abgebildete  Blitzableiter  auf  einem  Bretehen 
nnter  einem  ganz  einfachen  Glaskästchen  fttr  jede  in  die  Station  einmün- 
dende Leitung  drei  Messingständer  n,  b  nnd  c  (Fig.  32) ;  die  Leitung  L  wird 
nach  dem  mittleren  Ständer  b  geführt ,  welcher  mit  dem  hinteren  Ständer  a 
durch  einen  sehr  dünnen,  gewundenen  Messingdrath  und  von  da  durch 
den  dickeren  Kupferdrath  A  mit  den  Telegraphenapparaten  verbanden  ist, 
während  von  dem  vorderen  Ständer  c  ein  dicker  Drath  E  nach  der  Erde 
ftthrt ;  in  die  beiden  Ständer  %  und  c  sind  stellbar  zwei  einander  angewandte 
metallene  Kegel  eingelegt,  deren  vorderste  Spitzen  von  Platin  sind.  Je 
näher  die  Spitzen  einander  gestellt  werden,  desto  leichter  kann  die  Laft- 
elektricität  vom  Ständer  b  auf  den  Ständer  c  übergehen  nnd  durch  den 
Drath  E  zur  Erde  abfliessen ,  während  die  galvanischen  Telegraphenströrae 
ihren  Weg  durch  den  feinen  und  schlechter  leitenden  Messingdrath  nach 
den  Apparaten  nehmen  müssen;  will  ein  stärkerer  Strom  der  Luftelekttict- 
tat  nach  den  Apparaten  gehen ,  so  wird  sich  der  dünne  Drath  bis  zum 
Schmelzen  erhitzen.  Oft  habe  ich  es  erlebt,  dass  bei  diesen  wiiksamen 
Blitzableitern  die  Flatinspitzen  durch  einen  Blitzschlag  bis  sar  Grösse 
einer  grossen  Stecknadelkuppe  zusammengeschmolzen  wurden ,  ohne  dass 
die  Apparate  verletzt  wurden ;  eine  gute  Erdleitung  von  entsprechendem 
Querschnitte  ist  natürlich  anch  hier  nnerlässlich.  Diese  Blitzableiter  waren 
eine  Zeitlang  auch  in  Preussen  gebräuchlich,  es  wurden  aber  dort  später 
anstatt  der  Spitzen  kreisförmige  Schneiden  (vergL  Zeitschrift  des 
deutsch  -  Österreich.  Telegraphenvereins,  1854,  S.  40)  eingesetzt,  welche 


Von  Dr.  Ed^  Zbt2S0HB.  488 

nielit  so  oft  aa  erneuern  sind  als  die  dsfitr  billigeren  Bpitsen.  Auch  in 
Sehweden  bedient  man  sich  der  Spitxenableiter. 

3.  In  Amerika  sind  zwar  die  von  Charles  T.  Smith  angegebenen 
kapfemen  Blitzplatten  mit  ewei  awiscben  gelegten  Papierstreifen  im  allge- 
meinsten Grebranehe,  doeh  wurden  auch  Bttrstenblitsableiter  ange- 
wendet, bei  denen  einer  mit  der  Erdleitung  rerbundenen  Eupferplatte  eine 
Dratkbflrste  gegenüberstand,  welche  ans  dünnen,  aus  einem  4  Zoll  langen 
and  2  Zoll  breiten  Lederstreifen  hervorstehenden  und  durch  eine  zweite 
Knpferplatte  mit  der  Luftleitung  in  Verbindung  stehenden  Dräthen  bestand. 

Als  Stoff,  in  welchem  der  Funke  überspringt,  wurde  ge- 
wählt: 

L  Der  luftleere  oder  doch  luftverdttnute  Baum  nach  einem 
Vorschlage  von  Barthelemj  Bianchi ;  der  Leitungsdrath  ist  mit  einer  Metall- 
kugel  yerbunden ,  welche  in  einer  grösseren ,  aus  zwei  Halbkugeln  be- 
stehenden gläsernen  Hohlkngel  eingeschlossen  ist;  di^  Halbkugeln  sind 
durch  einen  mit  der  Erde  rerbundenen  kupfernen  King  rerbunden,  aus 
welchem  Spitzen  nach  der  Metallkogei  herausragen;  aus  der  glftsernen 
Hohlkngel  wird  die  Luft  ausgepumpt.  Femer  hat  Siemens  in  Berlin  auch 
Biitaplatten  constmirt,  bei  denen  der  Funke  im  luftverdünnten  Baume 
überspringt« 

2.  Die  atmosphftrische  Luft  bei  den  meisten  der  bereits  erwähn- 
ten Blitzableiter;  vergL  Comptes  rendus  XXX VHI,  No.  20,  S.  877. 

3.  Papierstreifen  bei  den  Blitzableitern  von  Highton,  Wmikebach 
und  den  amerikanischen  Biitaplatten. 

4.  Seidenzeug  bei  dem  Blitzableiter  von  Steinheil,  von  Highton 
in  d<$r  früher  besebriebenen  Weise ,  oder  auch  so ,  dass  der  mit  Seide  um- 
wickelte Leitungsdrath  durch  einen  mit  der  Erde  verbundenen ,  mit  Feil- 
Spänen  gefüllten  hohlen  Gjlinder  geführt  wurde  (nach  einem  Patente  vom 
7.  Februar  lasO;  yer^l.  Repertory  of  Patent  InvenHons,  1850,  S.  143);  femer 
bei  dem  noch  näher  zu  beschreibenden  Stangenableiter  von  Matzenauer. 

^.  Kohle,  von  C.  Turner  in  Cheraw  auf  den  Linien  in  Louth- Caro- 
lina angewendet;  die  Kohle  befindet  sich  in  kleinen,  mit  der  Erde  leitend 
verbundenen  Metallcjlindem.  und  in  der  Achse  des  Cjlinders  ist  der  Lei- 
tungsdrath durch  die  Kohle  hindurehgeführt. 

6.  Alkohol.  Pouget  -  Maisonneuve  schlug  einen  Alkohol  von  40  Vo- 
lumenprocent vor  (vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegra- 
phenvereins, 1856,  S.  232,  aus  Becquerel,  traiie  dt  electrica^  eic).  Massen 
wählte  OOprocentigen  Alkohol,  in  welchen  die  Spitzen  zweier  Scheiben 
eintauchen ,  von  denen  eine  mit  der  Erde ,  die  andere  mit  der  Leitung  ver- 
bunden ist;  zwar  isolirt  der  Alkohol  fUr  galvanische  Ströme  und  wird  von 
der  Luftelektricität  durchspmngen ,  doch  dürfte  er  zu  stark  verdunsten  und 
zu  gefährlich  sein ,  weil  er  durch  den  Blitz  leicht  entzündet  werden  kann. 

Der  Ort,  an  welchem  der  Blitzableiter  aufgestellt  wird,  ist: 

28* 


404  Beiträge  zur  Oeschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  TelegrapUe. 

1.  gevröhnliefa  das  Apparaizinimer  der  Telegraphenstation,  ireQ 
vorzugsweise  die  in  diesem  befiodliehen  Beamten  and  Apparate  geschittit 
werden  sollen ;  so  waren  fast  alle  bislier  genannten  Blitzableiter  daza  be- 
stimmt^ in  der  Station  selbst  aufgestellt  zu  werden. 

2.  Wo  man,  jedoch  aneh  den  Leitnngsdrath  und  die  ihn  tragenden 
Säulen  gegen  die  Zerstörung  oder  Beschädigung  durch  die  atmosphärische 
Elektricität  schützen  will  und  wo  man  yerhüten  will,  dass  Blitzstrdme  auf 
lange  Strecken  in  der  Leitung  fortlaufen ,  niuss  man  Blitzableiter  auf  des 
Tragsäulen  selbst  anbringen.  Im  Jahre  1854  waren  die  auf  der  preussi- 
sehen  Ostbahn  zum  Schutz  der  in  den  Wärterhäusern  aufgestellten  tclegra* 
phischen  Glockenwerke  angewandten  Blitzableiter  auf  den  Säulen  be- 
festigt; diese  Blitzableiter  bestanden  aus  Messingplatten,  welche  am  Um- 
fange mit  Platinschneiden  versehen  waren»  haben  sich  aber  als  unzarei- 
chend  erwiesen.  Der  k.  k.  österreichische  Telegrapheninspector  Matcenane^ 
schlug  1848  vor,  über  die  Leitungen  vor  dem  Eintritt  in  die  Station,  also 
auf  den  Tragstangen,  querüber  im  Zickzack  ein^t  mit  der  Erde  verbände- 
neu  Drath  zu  legen  und  ihn  auf  den  Leitungsdräthen  durch  seidene  Schlei- 
fen so  zu  befestigen ,  dass  er  durch  die  Seide  zugleich  gegen  die  Leitoogs- 
dräthe  zwar  isolirt  wäre,  die  Luftelektricität  aber  doch  durch  die  Seide 
hindurch  schlagen  und  zur  Erde  gelangen  könnte.  1849  wurden  auf  der 
Linie  Wien-Lundenburg  zuerst  Blitzableiter  angewendet,  welche  jetzt  auf 
sehr  vielen  Linien  in  Gebrauch  sind  und  gute  Dienste  leisten :  Ein  Drath- 
seil  oder  Blechstreifen  läuft  an  der  Säule  herab  bis  zur  Erde ,  oben  aber 
endet  er  gabelförmig  in  zwei  eiserne  Spitzen,  und  diesen  stehen  zwei  an- 
dere Spitzen  einer  mit  der  Leitung  verbundenen  eisernen  Oabel  gegenüber; 
die  Luftelektricität  springt  leicht  an  den  Spitzen  über  und  fliesat  zur  Erde 
ab,  die  galvanische  dagegen  vermag  es  nicht.  1850  machte  Matsenaner 
wieder  einen  anderen  Vorschlag  >  nämlich  die  Leitung  auf  eine  gusseiseme 
Glocke  an  der  Säule  aufzulegen ,  einen  in  die  Glocke  eingesteckten  eiser- 
nen Kern  aber  leitend  mit  der  Erde  zu  verbinden,  gegen  die  Glocke  aber 
ihn  durch  zwei  auf  ihn  gesteckte  Elfenbeinseheibchen ,  aufweichen  die 
Glocke  ruhen  sollte ,  zu  isoliren.  —  Wenn  man  nun  Blitzableiter  auf  den 
Tragstangen  anbringt,  so  ist  es  doch  keineswegs  nöthig,  alle  Stangen  da* 
mit  zu  versehen ,  sondern  man  wird  zwischen  je  zwei  Stangen  mit  Blitz- 
ableitern stets  eine  Anzahl  ohne  Blitzableiter  stehen  lassen,  wie  viel?  das 
lässt  sich  nicht  allgemein  bestimmen,  sondern  hängt  von  der  meteorologi- 
schen Beschaffenheit  des  Ortes  und  der  Güte  der  Blitzableiter  ab. 

Zum  Schlttss  noch  die  Beschreibung  des  ganz  eigenthümlichen  Blitz- 
ableiters ,  welchen  sich  George  Edward  Dering  am  27.  Juni  1851  in  Englind 
patentiren  Hess.  Zwei  mit  gleichnamiger  Elektricität  geladene  Körper 
stossen  sich  bekanntlich  ab ,  während  zwei  mit  entgegengesetzter  Elektrici- 
tät geladene  Körper  sich  anziehen.  Dering  lässt  nun  von  einem  mit  der 
Luftleitung  leitend  verbundenen  Metallstüeke  an  Dräthen  mögliehst  leicht 


Von  Dr.  Ed.  Zutzsohe.  405 

beweglicli  zwei  Metallkngeln  herabhftngen  und  stellt  znr  Seite  sehr  nahe 
neben  die  Kugeln  zwei  mit  der  Erde  verbundene  Metallplatten,  an  welche 
die  Kugeln  anschlagen ,  sobald  sie  pendelnd  auseinander  gehen.  Das  Ganze 
ist  zum  Schutz  geigen  Beschädigung  von  aussen  mit  einem  Glascjlinder 
umschlossen.  Während  galvanische  Ströme  in  der  Leitung  circuliren,  blei- 
ben die  Kugeln  aneinander  liegen  und  die  Ströme  können  nur  nach  den 
Apparaten  gelangen;  erhalten  die  Kugeln  dagegen  eine  starke  Ladung 
Luftelektricität ,  so  stossen  sie  sich  ab,  werden  zugleich  von  entgegenge- 
setzt elektrisch  gewordenen  seitlichen  Platten  angezogen,  legen  sich  an 
diese  Platten  an  und  eröffnen  so  der  Luftelektricität  einen  kurzen  Weg 
nach  der  Erde;  nach  dem  Abfliessen  der  Luftelektricität  aber  fallen  die 
Kugeln  wieder  zusammen  und  dann  ist  die  Leitung  wieder  gegen  die  Erde 
isolirt. 


Kleinere  Mittheilungen« 


XXnV.    Veber  einige  beitimiiite  Integrale.  —  Setzt  man 

0 
80  ist 

00    OD 

0   0 
und  hieraus  wird  durch  Einfühmng  zweier  neuen  Yariabelen  r  und  co, 
welche  mit  den  vorigen  durah  die  Olekhnngen  tis=ra»,  9£=sr(l  —  id) 
verbunden  sind, 

00  1 


Eine  ganz  Shnliche  Behaadlong  gestattet  das  Integral 
-        C^e-"  ^  dP 


00 


406  Kleinere  Mittheilimgen. 

man  erhält  nämlieh 

0  0 

Die  Addition  von  P*  und  ß*  liefert  weiter 

OD  1 


0  0 


0  0 

oder  nach  Ausführung  der  auf  i»  bezüglichen  Integration 


p^  +  Q^^Je-r^^^a, 


ir. 

r 
Ö 

Dieses  Besultat  Iftsst  sich  noch  anders  darstellen ,  wenn  man  die  bekannte 
Formel 

OD 


0 


00    00 


1  2    Ccosxu  , 

r  nj  r*  +  w' 

anwendet;  es  wird  nämlich 

0    0 
und  durch  Integration  in  Beziehung  auf  r 

00 

P«  +  ß«  =  2  r^??^  /  (1  + 1*)  du. 
0 

Die  Weithe  der  mit  P  und  Q  bezeichneten  Integrale  laaaen  sich  be- 
kanntlich durch  den  Integralsinus  und  lategralcosinus  auadrüokmiY  nändicb 

00  00  00 

P=  1  —p — du  =  cosz  I dv  —  stnz  /  a», 

0  z  % 

00  00  00 

-.        /co*  zu  ^  Csin  V  ^     ,  Ccos  v  . 

Q=^  I ' dus=smz  I dv+  easz  /  dv , 

J  l  +  u  J     V  J      V 

0  z  z 

und  wenn  man  diese  in  die  vorigen  Gleichungen  substituirt,   so  gelangt 
man  zu  der  Formel 


Kleinere  Mittbeilungen.  407 


0  .0 

welche  das  Seitenstück  zu  der  Formel  cot^  z  +  sin*  z  =  1  darstellt. 

(Aus  einem  Briefe  von  Dr.  Enneper.) 


XXXT.    TJeber  die  Lamberfsohe  Seihe.  —.Wie  man  weiss,  ist  es 
noch  nicht  gelungen,  die  ron  Lambert  aufgestellte  Reihe 


1— a?      1  —  «»      1— a;*  ^  1  —  a?*  ^ 
=  a:  +  2  ar»  +  2  «:■  +  3  o:*  +  2  a:*  +  4  o:*  +  . . . 
zu  summiren  und  mittelst  der  Differentialquotienten  von  S  die  Anzahl  der 
Theiler  einer  gegebenen  Zahl  analytisch  zu  bestimmen ;  man  kennt  nur  die 
von  Clausen  herrührende  Transformation  ( Cr  eile  *s  Journal,  Bd.  III, 
Seite  95) 

1— a:  ^1-a:«  ^1— a:»  ^  •  •' 
welche  zwar  bei  kleinen  x  sehr  vortheilhaft  ist,  aber  bei  solchen  x^  die 
wenig  TOn  der  Einheit  differiren,  keinen  Nutzen  gewährt.  Unter  diesen 
Umstünden  wird  es  vielleicht  von  Interesse  sein,  wenn  ich  zeige,  dass  sich 
die  Lambert^sche  Reihe  durch  ein  bestimmtes  Integral  summiren  und  in  die 
folgende  Reihe  umsetzen  lässt 


0,5772157 
S=  — 


-"(i) 


"iÜ  '  W~8640ÖL  Wj  "70^480  U  W/J  ""  *  '  ' ' 
wonach  gerade  in  dem  vorhin  erwähnten  ungünstigen  Falle  die  numerische 
Bex'echnung  von  S  sehr  rasch  geschehen  kann. 

Bezeichnet  man  die  Bernoulli'schen  Zahlen  ^y^j  ^^  etc.  der  Reihe 
nach  mit  ^4,  ^3,  B^  etc.  und  macht  bei  positiven  m  Gebrauch  von  der 
Reihenentwickelung 


.  =  «-2«« 


^e-4«c»  +  e-«««»  + , 


e««"  — 1 
so  gelangt  man  leicht  zu  folgenden  drei  Integralformeln 


408  Kleinere  Mittheiluiigen« 

0 
0 

.00 

.^N  /*! — cos  am  dm       ,.,*,/  «x        .    i 

0 
deren  letzte  auch  durch  Differentiation  in  Beziehung  auf  a  leicht  zu  Teri- 
ficiren  ist.     Aus  No.  2)  ergiebt  sich 


VJV 

1  1  1    ,  n   /*  sinaw     , 


0 

Hierin  nehmen  wir  der  Beihe  nach  a==|,  2|,3$...2n£,  addirto  alle  ent- 
stehenden Gleichungen  und  erhalten  unter  Anwendung  einer  bekannten 
Summenformel 


ei—i       e'^l—\       e^i—\  ^^»fi— 1 

OD 

s=  — n  +  /   ^^^ {m2n|o>  +  (1  —  co5  2«ia))co<J|a}  rf». 

0 
Ferner  ist  nach  Formel  3)  für  a.=  2ng 

OD 

^(^^)  _      .   ?(1  — g-^"^)  — /|  _  2^  fl—  co$2nl<ü  dm 
I      — «+  g  iJ"^*«»  — 1        o 

0 

mithin  durch  Addition  beider  Gleichungen 


56  —  1      «2«— 1      e»{-i  ■      «»»«— 1 

-{*  +  *  +  *  +  . •.+^~'(2»)4 

00 
/(l  — «-W)  — /J  ,     rsimnlm^ 

= i +J  .^••-1^"' 

0 

00 


Kleinere  MittheiluBgen.  449 


,^^/S/»^^»^W^^^'»»^*^^»*»^^^^^^«^>^^>^^^«^^^^^^^*'»^'**^*'*^^*»^^>^*'«*>^^''^^^^*^*^^^^^*'V>*^<**^^*^^<^^* 


Setzt  man  sar  AbkUrsang 

und  bestimmt  den  Werth  des  ersten  Integrales  mittelst  der  Formel  2),  so 
hat  man  folgende  Gleichung 


(!2n-n+ni-e-*»i) 


00 


0 
Bei  unendlich  wachsenden  n  wird  Z/m  Cj«  gleich  der  Constante  des  Inte- 
grallogarithmns ,  die  wir  C  nennen  wollen,  dakev 

6)  -T^  +  '^r— +  -Tr— +  ••• 

ei  —  X      e^J— 1      c^4— 1 

6 
Der  angedeutete  Orenzenübergang  lässt  sich  auf  verschiedene  Wei- 
sen ausführen,  unter  Anderem  dadurch,  dass  man  das  Integral 

00 

7)  /2.  =  2j  \^-^\coi\l^)     ^,^^_^     dco 

0 
in  eine  halbconvergente  Reihe  verwandelt.    Hierzu  dienen  folgende  Be- 
trachtungen. 

Wenn  die  Function  F{x)  nebst   ihren  Differentialquotienten  F' (x)^ 
F"  (a?)...  !*(*"+*>  (o:)  endlich  und  stetig  bleibt,  während  x  bis  aufa?  +  Ä 
anwächst,  so  gilt  bekanntlich* die  Gleichung 
hr(x)  =  JF{x)  —  i  kJF'{x) 

worin  Jx=ih  und  O  ein  nicht  näher  bestimmter  positiver  echter  Bruch  ist; 
der  letzte  Summand  bildet  den  Rest  der  Reihe  und  ist  hier  in  der  allge- 
meinen, von  Malmst^n  angegebenen  Form  dargestellt  (Zeitschr.  f.  Math, 
u.  Phys.  Jahrg.  I,  S.  205).  Für  x  =4),  Ä  =  tt,«=Af+l  wird  die  vorige 
Gleichung  zur  folgenden 


410  Kkinere  Mitdieiliingeii. 


,,»vw%/%^^»»/^'ws^\»^^<%^^^>^>^*»^>»^^><y^^^^^^»^^^^>^^^»**^^^^^^^ 


„r(o)=F(«)-  F(o)  -4[r(«)-r(o)i 

und  daraus  erhält  man  mittelBt  der  SpecialiBimng  F  (tf)  =  m  « 


Für  tt  =  1»  Iftsst  Bieh  diese  Gleichung  zur  Transformation  von  No.  7)  an- 
wenden, und  man  kommt  dabei  auf  einaelne  Integrale  von  der  Form 

OD 

/,,gi»-i(l_co^gnS(o)^ 

0 
deren  Werthe  sich  aus  den  Gleichungen  2)  und  3)  finden.   Setzt  man  nim- 
lich  zur  Abkürzung 

so  führt  die  (2  m  —  1)  malige  Differentiation  der  Gleichung 


0 
zu  der  Formel 


00 


0 
mithin 


0 
Nach  diesen  Erörterungen  erhält  man 


«    ''•=S[f-A"«)]+r:l^,[!'+r(a.i)]+... 
••+few'[%'.+<-"*^"-"<""]+''"- 

und  zwar  ist  der  mit  Rtk^x  bezeichnete  Best 

OD 

ö^      Ä^i.    4=— ii+il .2  1-2 = 2— cosd{«d«. 

0 


Kleinere  Mittheilangen«  411 


^^^'n^'t^^^^^^^^^^^n^^^^^^^^t^i^S^^^'i^^^*^^^^^^^^^^ 


Um  diesen  in  Grensen  einznscUieflsen ,  bemerken  wir  sanäehst,  dMS  die 
Function 

,  V       1  —  co9  2nu 

9>  W  == : 

smu 

folgende  Eigenschaften  besitst 

9  (0)  =  9>  (»)  =  V  (2  « )  s=  9  (8  «)  . . .  =  0 , 
V  W  =  V  (» — •*)  =  —  g)(»  +  «)sÄ  —  9  (2» — t*)  =Ä  +  ijp  (2»+  ii)  . . . 
also  die  nämliche  Periodicität  wie  9inu  darbietet     Man  braucht  deshalb 
nnr  innerhalb  des  ersten  Quadranten  den  Verlauf  ron  <p  (ti)  zu  betrachten 
und  dann  ist  leicht  su  sehen,  dass  die  Differenz  ^ntinu — u  immer  positir 
bleibt,  folglich 

l     ^n        ,     /N^»l — cos2nu 
-1 — <--  und  9(«)<-r- 

ist;  daher  gilt  für  alle  positire  u  die  Ungleichung 

n\  —  cos2nu    ^     ,v    ^   .   «1  —  coslnu 


2      '      tt  rr  \  j  2  u 

Wendet  man  dies  auf  die  Gleichung  0)  an  und  beachtet,  dass  eos^^a  die 
Grenzen  —  1  und  4*  ^  nicht  überschreitet,  so  erhellt. augenblicklich,  dass 
Rtk  einen  positiven  oder  negativen  Bruchtheil  von 


2  1*2...(2ft  +  2)      J  c»«»_i  **« 


0 

T 

ausmacht.    In  Folge  aller  dieser  Bemerkungen  lässt  sich  die  Gleichung  5) 
durch  die  nachstehende  ersetzen 


1«,    •  +  '■•■  •  ' 


«4—1      e'S  — 1      «»*— 1  e*"{— 1 


i-k  + 


*|«*-«-i" 


wobei  ^  einen  nicht  näher  bestimmten  positiven  oder  negativen  echten 
Bruch  bedeutet« 

Die  hier  vorkommenden  Differentialquotienten  von  f  (z)  können  mit- 
telst einer  von  Malmst 4n  (Grunert's  Archiv,  Bd.  VI,  S.  45)  gegebenen 
Formel  entwickelt  werden ,  welche  lautet 


4 IS  S^leinere  MiHheilnngen« 


(-o-^(^,) 


a^=(ii-l)op--(ii-l)i  (P-1)"  +  Cp-1),  (i^-2)--(p-l),(p-S)-+..; 
zugleich  ersieht  man,  dass  /^M  (z)  bei  nnendlieh  wachsenden  z  gegen  die 
Nnll  convergirt.    Demnach  ergiebt  sich  aiu  No.  10)  f&r  »  =s  oo 

11)  T^  +  ^r— +  -Tr— +  ••• 

e«— 1      e*ß— 1      tf»«— 1 

"{"■"*       1.2.2       1.2.3.4.4       *" 

• "       1 .  2  . . .  (2Ar)  .  2A:       *  ^  1 .  2  . . .  (2ifc  +  2)  (2*  +  2)' 
oder,  wenn  e^  =  x  gesetzt  wird, 

aK  ST  sr 

~    /£\   ^*    1.2.2'va?/    1...4.4L  wJ    ••' 

••~1...(2Ä).2äL  U/J  *^l...(2^+2)(2^+2)L\*/J       • 

wohei  die  vorkommenden  Constanten  folgende  Werthe  hahen 

C=  0,5772150649..., 

1.2.2        144' 

I...4.4       86400' 
W L 


1...6.6       7620480' 
(gr)'  ^  1 


1.2. ..8. 8       290304000' 

_Ä_  =  _JL_ 
1...10.iO        6322821120' 

n.  s.  w. 
Obschon  die  nach  Potenzen  von  M  ~)  fortschreitende  Keihe  nur  halb- 
convergent  ist,  so  bietet  sie  doch  ein  vorzttgliches  Mittel  znr  Summimng 
der  Lamberfschen  Reihe,  falls  M^j  weniger  als  die  Einheit,  mithin  x 

mehr  als  --  =  0,36788  beträgt.     Für  die  noch  nicht  sehr  vortheilhafte  An- 


Kleinere  Mittheüangen.  413 


nähme  a;ss0,4  möge  die  yollstftndig^  Rechnung ,  welche  mein  College, 
Herr  Professor  Fort,  auszuführen  und  durch  die  Clansen^sche  Formel  zu 
controliren  die  QUte  hatte ,  hier  Platz  finden.  Sehreibt  man  statt  No«  12) 
einfach 

S  =  -^O  +  J ^1  ^t ^t  •  •  •  1 

so  ist  für  X  3==  0,4 


/i-=       0,9162007310 
0,4 

X^  SS  0,0063631301 
Z,  =  0,0000089040 

//  —  =5  —  0,0874215717 
0,4 

^,  =  0,0000000848 
A'4  =  0,0000000019 

Äo  =        0,7253562709 

— 

^5  =  0,0000000001 

i=       0,25 

0,0063721209 

JTo  -1-  j-  =        0,9753562799 

0,0063721209 

S  ~       0,9689841590 

Dagegen  giebt  die  Clausen'sche  Formel,  welche  durch 

S=Y,+  Y,+  ¥,+  ¥,+  ... 

dargestellt  werden  möge. 

1^«- 

=3  0,9333333333 

F.= 

=  0,0353523810 

r,^ 

=  0,0002979928 

^4  = 

=  0,0000004521 

n= 

=  0,0000000001 

S  =  0,9689841593. 
Ist  o:  >  0,9,  so  bat  man  bereits  auf  sieben  Decimalen  genau 


5  = 


'(i) 


+i->i.'(i). 


während  man  in  demselben  Falle  wenigstens  13  Glieder  der  Clausen^schen 
Ke.ihe  berechnen  müsste ,  um  die  nftmliche  Genauigkeit  zu  erreichen. 

Angesichts  der  Formel  11)  liegt  der  Gedanke  nahe,   dass  es  kürzer 
sein  würde,  in  der  bekannten  Summcnformel 

m  +  /•(!)  +  /-(ZI)  + . . .  H-zg^  I) 

0 

+  ^|[r(*i)-r(o)i-j-;|^|^[r(?i)-r(o)]i+... 

die  Substitution 


414  Kleinere  MittheikingeiL 

▼orsanehmen  und  nachher  q  ins  XJnendlithe  wachsen  sn  lassen.  Man  ^- 
langt  allerdings  zn  derselben  Reihe ,  aber  man  stösst  anch  bei  der  Unter- 
suchung des  Restes  auf  eine  Schwierigkeit.  Man  kennt  nftmlich  nur  Ewei 
Hauptformen  des  Restes  jR;  diiB  erste  ist  allgemein  und  lantet 

^       '       1.2...(2Ar  +  2)^     * 
worin  M  den  absolut  grössten  Werth  bezeichnet,  welchen /*<^*+^  (*)  «wi- 
schen a*=sO  und  xi=^q%  erreicht.     Begreiflicher  Weise  Iftsst  sich  hiervon 
bei  unendlich  wachsenden  q  kein  Oebrauch  machen.     Die  andere  Eorm 
des  Restes  ist 

Ä= (-1)*+»  ^^^'^;'J''~l^  [/<»*-»(yö  -r<»'-»>(o)] 

und  gilt  unter  der  Bedingung,  dass  /*<**>  (a:)  innerhalb  des  Intervalles  «=0 
bis  x  =  qi  sein  Vorzeichen  nicht  ändert.  Auch  diese  Form  des  Restes 
gewährt  keinen  Nutzen ,  weil  die  Function 

2a?  ,  2a:  .  2a: 

+  •  •  • 


der  obigen  Bedingung  nicht  genügt.     Man  findet  nämlich 

/»«w=(->)<*..a.,...(u)|'^^^M+;^!Jpil4+...|. 

2nn 
und  hieraus  ist  leicht  zu  ersehen ,  dass  der  Zeichenwechsel  von.  f^^  {r) 
ungefähr  ebenso  vor  sich  geht,  wie  bei  sin  {2k +  1)  ^|.  Nach  der  Malmst^n'- 
schen  Formel  hat  man  z.  B. 

und  bei  numerischer  Berechnung  für  a:  = /7  =r=  1,9459  und  ftir  jr  =  /5709 
=  8,6498 

f^'"  (1,9459)  =  +  0,00400;  f^^  (8,6498)  =  —  0,00032. 
Unter  diesen  Umständen  musste  zu  einem  anderen  Verfahren  gegriffen 
werden,  und  zwar  dürfte  sich  dieses  in  ^allen  den  Fällen  empfehlen,  vo 
f{x)  als  Werth  eines  bestimmten  Integrales  von  der  Form 

ß 

f{jc)  =  I  flf  (w)  sin  XC9  dm 
a 
dargestellt  werden  kann ,  vorausgesetzt ,  dass  die  Gleichungen 


Kkiaffre  Ifittheihiiigen.  4tft 


ß 


y /'(o:)  da:  =  J^  («)       ^^"^^  d« 


0 

richtig  sind  und  dam  ^  (o>)  Ewischen  m=^a  und  w=^  sein  Yorseichen 
nicht  weehseH,  Sohlöhilch. 


XZXVL    V«b«r  die  grapUsehe  Befttmmung  der  KegelMürnttte  naeli 
tttien  yoft  Paieal  und  Brianehon.    Von  Dr.  Wilh.  Fisdlkb. 

Die  Conatruction  eines  beliebigen  sechsten  Peripfaeriepunktes  eines  t 
Kegelsehnittes  aus  fUnf  gegebenen  Punkten  nadi  dem  Satse  von  Pascal 
und  die  Construction  einer  beliebigen  sechsten  Tangente  eines  Kegel* 
Schnittes  aus  fünf  gegebenen  Tangenten  nach  dem  Satse  von  Briandion 
8ind  beide  so  leicht  ersichtlich  und  von  dem  in  graphischen  Operationen 
Geübten  so  leicht  bequem  su  gestalten ,  dass  an  diesem  Orte  nicht  wohl 
TOD  ihnen  selbst  die  Bede  sein  kann;  denn  es  ist  doch  wohl  eine  Ausnahme 
von  der  Regel,  wenn  in  einem  ganz  kürzlich  erschienenen,  für  eine  höhere 
Unterriohtsanstait  bestimmten  Lehrbuche  der  analytischen  Geometrie  die 
Meinung  ausgesprochen  wird,  diese  Bestimmung  sei  analytisch  wie  con- 
structiv  schwierig  und  complicirt.  J^s  wäre  schlimm  für  den  darstellenden 
Geometer,  wenn  dem  so  wärel 

Aber  es  ist  für  die  graphische  Darstellung  von  besonderem  Werth,  an 
den  Punkten  der  Curve  die  Tangenten  oder  zu  den  Tangenten  die  Be- 
rührungspunkte bestimmen  su  können.  Allerdings  erlaubt  der  Sats  von 
Pascal ,  aus  fünf  Peripheriepunkten  die  Tangente  eines  derselben  und  der 
Satz  von  Brianchon ,  aus  fünf  Tangenten  den  Berührungspunkt  einer  der* 
selben  su  constrniren,  indem  man  die  Tangente  als  die  gerade  Yerbindungs* 
linie  zweier  zusammenfallender  Punkte  und  den  Berührungspunkt  als  den 
Durchschnitt  zweier  zusammenfallender  Tangenten  der  Curve  betrachtet. 
Aber  es  giebt  eine  bisher  unbeachtete  Form  beider  Sätze ,  welche  gestattet, 
zu  einer  Gruppe  von  sechs  Punkten  eines  Kegelschnittes  die 
sechs  Tangenten  und  zu  einer  Gruppe  von  sechs  Tangenten 
eines  solchen  die  sechs  Berührungspunkte  in  einer  einzigen 
Construction  zu  bestimmen.  Dieser  Form  und  Construction  ist  die 
gegenwärtige  kurze  Mittheilung  gewidmet. 

Man  darf  die  drei  Paare  gegenüber  liegender  Seiten  des  umschriebe- 
nen Sechsecks  als  drei  dem  K^elschnitt  umschriebene  Linien  zweiter  Ord- 
nung und  ebenso  die  drei  Paare  gegenüber  liegender  Ecken  des  einge- 
schriebenen Sechsecks  als  drei  dem  Kegelschnitt  eingeschriebene  Oerter 


416  Kleinere  Mitthetlmigen. 

zweiter  Classe  betrachten ;  bekanntlich  gelten  iie  Sätze  von  Brianchon  nnd 
Pascal  auch  in  der  so  gewonnenen  allgemeinen  Gestalt.  Diese  Sätze  selbst 
lassen  sich  alsdann  aussprechen,  wie  folgt,  und  gewinnen  Zusätze,  deren 
Giltigkeit  aus  demselben  Beweisverfahren  erhellt  und  die  auch ,  wie  die 
voranstehende  Abhandlung  zeigt,  für  Oberflächen  zweiten  Gradea  ihre 
Richtigkeit  behalten. 

1.  Der  Satz  von  Brianchon«  Wenn  drei  Paare  von  geraden  Li- 
nien einem  und  demselben  Kegelschnitt  umschrieben  Bind, 
so  schneiden  sich  die  Diagonalen  der  aus  je  zweien  dieser 
Paare  entstehenden  Vierseite  vier  Mal  zu  dreien  in  einem 
Punkte  und  die  Berührungssehnen  der  drei  umschriebenen 
Linienpaare  durchschneiden  sich  in  den  Durchachnittspnnk- 
ten  der  Diagonalen  und  der  Gegenseitenpaare  des  so  ent- 
standenen Vierecks. 

In  Fig.  33  Tafel  V  erscheint  der  Satz  in  seiner  Bedeutung  nnd  An- 
wendung. ABCDEF  ist  das  umschriebene  Sechseck,  die  Verbindungs- 
linien seiner  Gegeneeken  schneiden  sich  in  .einem  und  demselben  Punkte  A 
Die  drei  ans  den  Paaren  seiner  Gegenseiten  entstehenden  Vierecke  sind 
respective  Aa  Dd,  Bb Ee^  Cc  Ff.  In  P,Q^  R,  H}mX  man  die  vier  Punkte, 
in  denen  sich  die  Diagonalen  dieser  Vierecke  zu  je  drei  begegnen.  End- 
lich sind  X,  ilf,  N  die  Durchschnittspunkte  der  Gegenseiten  und  Diagonalen 
des  Vierecks  PQRS  und  die  Durehschnittspunkte  der  geraden  Linien  LM^ 
MN^  NL  mit  den  entsprechenden  Seiten  des  Sechsecks,  nämlich  l,tj  nr,  m', 
n,  n\  die  Berührungspunkte  dieser  letzteren  mit  dem  Kegelschnitt.  Ist 
also  ein  Kegelschnitt  durch  seine  Tangenten  bestimmt,  so  kann  man  dnreh 
eine  und  dieselbe  in  dem  ausgesprochenen  Satze  enthaltene  Construction 
für  jede  Gruppe  von  sechs  derselben  die  Berührungspunkte  finden. 

2.  Der  Satz  von  Pascal.  Wenn  drei  Paare  von  Punkten  einem 
und  demselben  Kegelschnitt  eingeschrieben  sind,  so  liegen 
die  Durchschnittspunkte  der  Gegenseiten  der  aus  je  zweien 
dieser  Punktenpaare  entstehenden  Vierecke  vier  Mal  zu  je 
dreien  in  einer  geraden  Linie  und  die  Tangentenpaare,  wel- 
che den  drei  eingeschriebenen  Punktenpaaren  entsprechen, 
durchschneiden  sich  in  den  Durehschnittspunkten  der  Ge- 
genseitenpaare und  Diagonalen  des  so  entstandenen  Vier- 
seits. 

Diesem  Satze  entspricht  Fig.  34  Tafel  V.  In  derselben  bezeichnen 
alle  Buchstaben  gerade  Linien ,  wie  in  der  vorigen  Punkte ;  es  sind  Aj  B, 
Cy  D,  E,  F  die  Seiten  des  dem  Kegelschnitt  eingeschriebenen  Seefasecks 
die  Durehschnittspunkte  seiner  Gegenseiten  liegen  in  derselben  geraden 
Linie  P.  Die  drei  aus  den  Paaren  seiner  Gegenseiten  entstehenden  Vier- 
selten  sind  Aa  Dd,  BbEe,  Cc  Ff;  in.P,  Q,  i?,  S  hat  man  die  vier  geraden 
Linien ,  in  denen  die  Gegenseiten  dieser  Vierseite  sich  schneiden.  Endlich 


Kleinere  Mittheihingen.  417 


sind  X,  Mj  N  die  Diagonalen  des  von  ihnen  gebildeten  Vaerseits  und  daher 
/,  r,  m,m\  n^n\  die  geraden  Yerbindangslinien  der  Ecken  des  Dreiseits 
LMN  mit  den  eingeschriebenen  Pnnktenpaaren  die  Tangenten  des  Kegel- 
schnitts in  diesen  letateren.  Anf  diese  Weise  bestimmen  sich*  zu  jeder 
Gruppe  von  sechs  Peripheriepunkten  eines  Kegelschnitts  die  entsprechen- 
den Tangenten  desselben  durch  eine  einzige  Construction. 

Von  Mr.  Burnside  in  Dublin  ist  kürzlich  folgender  Satz  gefunden 
und  von  Rev.  O.  Salmon  mir  mitgetheilt  worden :  Der  Durchmesser 
des  Kreises,  welcher  dem  aus  zwei  Tangenten  einer  Ellipse 
und  ihrer  Bertihrungsiiehne  gebildeten  Dreieck  umschrieben 
ifltf  ist  die  vierte  Proportionale  sn  den  den  beiden  Tangenten 
parallelen  Halbdurchmessern  und  zu  dem  senkrechten  Ab- 
stand der  Bertthrangssehne  vom  Centrum. 

Man  kann  zu  dem  Beweis  dieses  Satzes  auf  mehrere  einfache,  mehr 
oder  minder  directe  Arten  gelangen.  Er  wird  im  Folgenden  an  den  für 
alle  Curven  ebenso,  wie  für  Kegelschnitte  giltigen  Satz  geknüpft:  Wenn 
in  die  Gleiehung  eines  Kegelschnitts  die  Coordinaten  eines  Punktes  sub- 
stituirt  werden ,  so  ist  das  Resultat  der  Substitution  dem  Rechteck  propor- 
tional, welches  die  Segmente  einer  durch  den  Punkt  in  gegebener  Rich- 
tung gezogenen  Sehne  bestimmen.  (Siehe  „Analytische  Geometrie  der 
Kegelschnitte",  Art.  286.) 

Bezeichne  man  durch  b\  h"  jene  den  gegebenen  Tangenten  parallelen 
Halbdurchmesser,  durch  p  den  senkrechten  Abstand  der  Bertthrungssehne 
vom  Centrnm  des  Kegelschnittes  und  durch  d  den  fraglichen  Kreisdnrch- 
messer,  so  wird  behauptet,  dass 

d  :  6'  =  6'' :  p 
ist. 

Durch  S  werde  das  Resultat  der  Substitution  der  Coordinaten  des 
Durohschntttspttaktes.  der  Tangenten  in  die  Gleichung  des  Kegelschnitts 
bezeichnet,  das  Resoltat  der  Substitution  der.  Mittelpunktscoordinaten  in 
dieselbe  Gleiehung  sei  =  1 ,  wie  es  bei  der  auf  die  Achsen  bezogenen  Olei- 
chnng  der  Fall  ist;  sind  dann  i^i'  die  Längen  der  Tangenten  von  ihrem 
Dnrchschnittspnnkt  bis  zum  Berührungspunkt ,  so  hat  man 

("«:&"•=  S:l, 
somit  <' .  r  =  ä'  .  b"  .  5. 

Aber  auch  die  vom  Durchschnittspnnkt  der  Tangenten  auf  die  Berüh- 
rungssehne gefällte  Senkrechte  steht  zu  dem  senkrechten  Abstände  p  der 
Berührungssehne  vom  Conirum  in  dem  Verhältniss 

=  5:1 
und  man  findet  daher  den  Durchmesser  jenes  Kreises 

pS         p 

Zeit^chri^l  f.  Malhemalik  li.  Physik.  VI,  6.  20 


418  Kleinere  Mittheilm^en. 

Für  den  Kreis  hat  man  stets 

P 
Bezeichnfit  man  die  senkrechten  Abstände  der  beiden  Tangenten  vom 
Centrnm  durch p\ p\  so  findet  man 

~PPP" 


XXX Vn.  lieber  die  gleichmtig-hyperbolitolien  Sdmitte  dar  Plir 
ohen  xweiten  Grades. 

Bei  den  elliptischen  Schnitten  der  Flächen  zweiten  Orades  pflegt  man 
den  speciellen  Fall  der  Kreisschnitte  genauer  zu  betrachten;  dem  analog 
sollte  man  auch  die  gleichseitig- hyperbolischen  Schnitte  nicht  mit  völligem 
Stillschweigen  tibergehen ,  wie  es  in  allen  bekannteren  Lehrböchem  ge- 
schieht. Dass  eine  solche  Untersuchung  manches  Bemerkenswerthe  dar- 
bietet, mag  das  Folgende  zeigen. 

I.  Das  einfache  Hyperboloid ,  der  elliptische  Kegel  und  das  getheilte 
Hyperboloid  können  durch  die  gemeinschaftliche  Gleichung 

'  ««  ^  6»       c«       * 

ansgedrtickt  werden,  wobei  den  ^nannten  drei  Fällen  die  Werthe  ca=+ 1, 
c  =  0,  e  SS  —  1  entsprechen ;  setzt  man  znr  Abkttrsnng 

c*  <* 

SO  wird  bequemer 

2)  m««  +  «y«  — «•=«««. 

Diese  Fläche  werde  von  einer  Ebene  geschnitten ,  deren  Horizontal- 
spur durch  einen  beliebigen  Punkt  gh  der  ^y- Ebene  geben  und  mit  der 
or- Achse  den  Winkel  ^  einschliessen  möge.  Den  Funkt  ^A  nehmen  wir 
zum  Anfangspunkte,  die  genannte  Horizontalspur  zur  Abscissenachse  eines 
neuen,  in  der  Schnittebene  liegenden  rechtwinkligen  Coordinatensystems 
X  y\  und  bezeichnen  mit  O  den  Neigungswinkel  der  Ebene  x  y  gegen  die 
Ebene  xy.  Aus  der  Gleichung  2)  erhalten  wir  sofort  die  Gleichung  des 
Schnittes  durch  Substitution  der  folgenden  Werthe  (s.  d.  Verf.  Anal.  Geom. 
des  Baumes,  S.  100,  No.  8) 

IiT  =  a?'  cos  %t  —  y  sin^  cos&  +  g, 
y  =  a>'  mi^  +  y  eosiif  cos^  +  Ä, 
2  ==  y  sin  ^ ; 
die  entstehende  Gleichung  ist  von  der  Form 

4)  Ax^  +  By^+2Cx'y'  +  2Dx'  +  2Ey+F=0, 

und  zwar  haben  Ä^B^C  etc.  die  Werthe 


Kleinere  Hittheilimges«  419 

^  =  m  CO«*  tf;  +  n  «h*  ^ , 

n.  8.  w. 

Damit  die  Gleiehang  4)   eine  gleichseitige  Hyperbel  bedeute,  muss 
A  +  Bs:^0  sein ;  dies  giebt  zu  Folge  der  Werthe  von  A  und  B 

oder,  wenn  zur  Abkürzung 

gesetzt  wird, 

5)  tang'^= ; — i^ --. 

Um  dies  noch  anders  ansaudrücken ,  bezeichnen  wir  die  Gleichung  der 
Schnittebene  mit 

6)  ix  +  fiy  +  z  =  Q, 
wonach 

7)  tan^»  =  i*  +  ^;    co*«i^=_^^,    ,0,.^  =  __^^ 

ist ;  durch  Substitution  dieser  Werthe  erhalten  wir  aus  No.  5) 

8)  pi,*  +  ql^  =  l 

als  Bedingung  dafür,  dass  die  Ebene  6)  mit  der  Fläche  2)  einen  gleich- 
seitig -  hyperbolischen  Schnitt  bildet.  In  der  Gleichung  8)  fehlt  q  ,  mithin 
wird  der  Charakter  des  Schnittes  durch  parallele  Verschiebung  der  schnei- 
denden Ebene  nicht  geändert;  eben  deshalb  kann  man  sich  auf  die  Be- 
trachtung solcher  Schnitte  beschränken,  welche  dnrch  den  Coordinaten- 
anfang  gehen. 

Die  yerschiedenen  möglichen  Lagen  der  Ebene 

9)  lx  +  fiy+2^0 

werden  anschaulich,  w^enn  man  X  als  veränderlichen  Parameter  ansieht, 
die  zugehörigen  fi  nach  No.  8)  bestimmt  und  die  Einhüllende  aller  der 
Ebenen  aufsucht,  welche  durch  die  stetigen  Aenderungen  von  l  und  f»  ent- 
stehen.    MaQ  erhält  zunächst  als  DifPerentialquotienten  von  No.  9)  nnd  8) 

^  +  Piy  =  ^^  Jt>f*^  +  7A  =  0, 
nnd  dnrch  Elimination  von  r-- 

0  A 

10)  yAy— />^a:  =  0; 

elimiuirt  man  noch  l  und  >  aus  9),  10)  und  8),  so  gelangt  man  zu  der  Glei- 
chnng 

px^  +  qy*  =  pqz* 

29» 


420  Kleinere  Hittheihnigeii« 

oder 

.r«  y*  ^  _ 

^^)  «t  (fct  _  c«)  "•"  ^«  («•  —  O  ~  <^*  («"  +  ^)  ~ ^' 

Im  Allgemeinen  entspricht  dieser  Gleiclmng  eine  KegelflSche,  deren 
Lage  von  der  Rangordnung  der  Grussen  a,  fr,  c  abhängt.  Ist  nämlich  c  die 
kleinste  Halbachse,  so  fällt  die  Kegelachse  mit  der  z- Achse  zusammen, 
and  die  Formel  5)  oder 

(a«  +  fr*)c' 

'"""^  6*(a«— c')co*«^ +a*(6«  — c»)5in> 

liefert  für  alle  i/;  reelle  ^,  d.  h.  die  Schnittebenen  umhüllen  den  Kegd 
vollständig.  Wenn  zweitens  c  zwischen  a  und  h  liegt  und  zwar  so,  dass 
a>c>fr  ist,  so  fällt  die  Kegelachse  in  die  y- Achse,  und  der  Winkel  ^ 
bleibt  nur  so  lange  reell ,  als 

genommen  wird;  die  Umhüllung  ist  dann  eine  theilweise.  Für  h^c^ü 
fällt  die  Kegelachse  in  die  x  -  Achse ,  zur  Realität  von  %  gehört  die  Be- 
dingung 

80  dass  auch  hier  nur  eine  theilweiae  Umhüllung  stattfindet.  Ist  endlich  c 
die  grösste  Halbachse,  so  werden  gleichseitig  -  hyperbolische  Schnitte  un- 
möglich. 

IL  Aehnlich  gestaltet  sich  die  Sache  für  das  hyperbolische  Parabo- 
loid ,  dessen  Gleichung 

12)  t-_?L  =  22 

'  ab 

sein  möge.  Durch  Substitution  der  unter  No.  3)  angegebenen  Werthe  er- 
hält man  eine  Gleichung  von  derselben  Form,  wie  No.  4),  und  zwar  ist 
darin 

-a 6-'     ^-\—a i-J'ose-, 

die  Bedingung  A  +  B^ssO  führt  hier  zu 

cor  ^  == 1— — r—  . 

a  —  biang'yl; 

Bezeichnet  a  den  Winkel,  welchen  die  geradlinige  Horizontalspnr  des 
Paraboloides  mit  der  a:- Achse  einschliesst ,  so  ist  bekanntlich 

mithin  lässt  sieh  die  vorige  Gleichung  ersetzen  durch 


A  = 


Kleinere  Mittheilongen.  421 

Die  Gleichung  der  Schnittebene  sei  dieselbe,   ^ie  in  No.  6);  man 
hat  dann 


sabstiinirt  man  diese  Werthe  in  No.  13)  und  benutst  die  Abktiraangen 

1 a 

tang^a  b 


^~V—1an^a~a^^b'  ~ 
so  erbftlt  man  die  Bedingnngsgleichung 

14)  ^f»«— />il«  =  l. 

Das  Fehlen  von  ^  beweist  wieder,  dass  die  Schnittebene  parallel  zu 
sich  selbst  verschoben  werden  darf;  wir  lassen  sie  deshalb  durch  den  Co- 
ordinatenanfang  gehen.  Die  £inhtillende  aller  der  Schnittebenen ,  welche 
den  stetigen  Aenderungen  von  iL  und  /t  entsprechen ,  bestimmt  sich  ^anz 
wie  früher ,  und  zwar  findet  man  als  Gleichung  der  umhüllten  Fläche 

oder 

J5)  ^-^  +  ^^0. 

a        b        a  —  b 

Biese  Gleichung  eharakterisirt  wiederum  einen  elliptischen  Kegel, 
dessen  Lage  von  der  Rangordnung  der  Parameter  a  und  b  abhKngt;  die 
Kegelachse  fällt  nämlich  mit  der  y- Achse  oder  mit  der  a:- Achse  zusam- 
men, je  nachdem  a^b  oder  u<^b  ist.  Ferner  zeigt  die  Formel  13) ,  dass 
o  +  if'  und'a — %f  immer  in  demselben  Quadranten  enthalten  sein  müssen^ 
dass  also  die  Umhüllung  nur  eine  theilweise  ist. 

III.  Die  Zusammenfassung  dieser  Ergebnisse  führt  zu  folgendem 
Satze:  Alle  Ebenen,  welche  durch  einen  festen  Punkt  gehen 
und  eine  Fläche  zweiten  Grades  in  gleichseitigen  Hyperbeln 
sehneiden,  berühren  ingleicfa  einen  elliptischen  Kegel,  des- 
sen Scheitel  jener  feste  Punkt  ist  und  dessen  Achse  parallel 
zur  kleinsten  Halbachse  oder  zum  kleineren  Parameter  der 
Fläche  liegt. 

Lft  dieser  Fassung  kann  der  Satz  auch  leicht  direet  bewiesen  werden, 
wenn  man  ihm  bei  elementaren  Vorträgen  über  die  Flächen  zweiten  Gra- 
des einen  Platz  gewähren  will.  Schlömilch. 


XXXmL    Eialaolie  Vftheningtfoniiel  zur  Berechnung   der  einem 
gegebenen  lUnonielerstande  entapreehendan  Windmenge  eines  GtebläBea. 

Vom  Bergrath  Prof.  Dr.  Julius  Wbisbach. 

Die  neue  Formel  zur  Berechnung  der  Ansflussmenge  der  Luft  unter 
einer  gegebenen  Pressung ,  welche  ich  im  ersten  Bande  meiner  Ingenieur- 


422  Kleinere  Mittheilangea. 

und  Maschinenmechanik  S.  431  (dritte  Auflage)  entwickelt  and  bei  der  Be- 
rechnung meiner  Versuche  über  die  Ausströmungsgesckwindigkeit  der  com- 
primirten  Luft  (s.  den  Civilingenieur,  Bd.  5)  zum  Grunde  gelegt  habe ,  und 
nach  welcher  auch  die  Windtabellen  von  Herrn  Neuschild  (s.  Berg-  und 
hüttenmännische  Zeitung,  1850,  No.  4)  und  die  von  Herrn  v.  Hauer 
(s.  Rittinger's  Erfahrungen  im  berg-  und  hüttenmännischen  Maschinen-, 
Bau  -  und  Aufbereitungwesen ,  1858)  berechnet  worden  sind,  lässt  sich  durch 
eine  ganz  einfache  Näherungsformel  ersetzen,  welche  bei  den  massigen 
Windpressungen  der  gewöhnlichen  Gebläse  vollkommen  genügende  Ge- 
nauigkeit gewährt.  Im  neuesten  Hefte  des  dritten  Bandes  meiner  Inge- 
nieur- und  Maschinenmechanik  (S.  425)  habe  ich  nachgewiesen,  daas  sich 
die  auf  den  äusseren  Luftdruck  redueirte  Wind»  oder  AuBflussmenge  an- 

-»»'«°<»  0  =  (,-0.028A)^^,/i^ 

setzen  lässt,  wenn  man 

unter  b  den  Barometerstand  der  äusseren  Luft , 
„     h  den  Manometerstand, 
„     $  das  Verhältniss  der  Dichtigkeit  der  Manometerflüssigkeit  za  der 

der  ungepressten  äusseren  Luft, 
„     g  das  Beschleunigungsmaass  der  Schwere, 
„    i^den  Inhalt  der  Düsen-  oder  Ausflussmündung,  und 
„     fi  den  Ausflusscoefficienten,  oder  das  Verhältnis  der  effectiveo 
Ausflussmenge  zum  theoretischen  Windquantum  versteht.    Nun  ist  aber 
sogar  bei  den  Gebläsen  für  Eisenhohöfen  mit  Goaksfeuemng  meistens  k 
noch  nicht  ^&,  folglich  lässt  sich,  ohne  einen  Fehler  von  noch  nicht  1  Pro- 
cent befürchten  zu  müssen ,  also  für  die  Anwendung  in  der  Praxis  TöUig 
ausreichend , 

Q  =  liF}/2gth 
setzen. 

Dieser  Ausdruck  stimmt  zwar  der  Form  nach  ganz  mit  der  alten  For- 
mel überein,  welche  schon  Schmidt  den  Berechnungen  seiner  Yersnche 
zum  Grunde  gelegt  hat,  und  welche  auch  Gerstner,  D'Aubuisson  und 
andere  ältere  Schriftsteller,  sowie  auch  später  Poncelet  als  richtig  oder 
genügend  angenommen  haben  (s.  die  allgemeine  Maschineneneyclopädie, 
Bd.  1,  Artikel  „Ausfluss'S  und  Poncelet's  Ifole  $wr  le$  experiences  de  M,  Pee- 
qtteur  etc,)^  weicht  aber  in  der  Bedeutung  insofern  von  jener  ab,  als  der- 
selbe hier  in  Q  die  unter  dem  äusseren,  in  der  alten  Bedeutung  aber  das 
unter  dem  inneren  Luftdruck  gemessene  Wind-  oder  Ausströmungs- 
quantum angiebt,  und  daher  auch  unter  c  das  Verhältniss  der  Dichtigkeit 
der  Manometerflüssigkeit  zu  der  gepressten  inneren  Lufl  bedeutet. 

Ein  Cabikmeter  atmosphärische  Luft  wiegt  bei  Null  Grad  Wärme  und 
unter  dem  Drucke  einer  Atmosphäre:  1,3  Kilogramm;  bei  einer  Tempera- 
tur von  rGrad  C.  aber  nur 


Kleinere  Mittfaeilnngen.  423 


1,3  1,3         „., 

—  Kilogramm , 


1  +  6%  .    i +0,00367  r 
und  bei  einer  Pressung  von  6  Meter  Quecksilbersäule  : 

1,3      _6_ 1,716 

i+är'  Ö/76  ~  1  -FO,003Ö7  »' 

Die  Dichtigkeit  ^^^  Qnecksilbers  ist  13,6  Mal  so  gross,  als  die  des 
Wassers,  und  da  nun  1  Cubikmeter  Wasser  1000  Kilogramm  wiegt,  so  folgt 
in  der  ersten  Bedeutung 

1+OT  0 

und  dagegen  in  der  zweiten,  nach  der  älteren  Formel 

£s  ist  daher  nach  der  neuen  Bestimmung  das  unter  dem  Ueberdrucke 
h  in  die  freie  Luft  strömende  Windquantum: 

ß  =  jÄ  Fy  lg  .  7050  (1+0,00367  i)  ~ 

=  80,2  ^Fj/^g  {\  +  0,00367  x)  y , 

oder,  wenn  man  2^  =  2. 0,81  =  10,62  Meier  einsetzt, 

0  =  305  f*Fl/(l  +0,00367»)  —  Cubikmeter, 

and  dagegen  nach  der  alten  Bestimmung,  das  anter  demselben  Ueber- 
drucke ausströmende  Luftquantum 

I 

0.  =  396  fiFj/i}  +0,008«7t)  ^-^, 
oder  dasselbe  Yom  inneren  Drucke  h+h  auf  den  äusseren  Druck  h  redncirt; 

d.  i.  1/  oder  annähernd  (l  +  rr)  Mal  so  gross,  als  nach  der  neue- 

ren Bestimmung. 

Giebt  man  F  in  Quadratfuss ,  so  hat  man  nach  der  neuen  Ermittelung 


ß  =  1258  (kFl/ii  +  0,00367  %)  y 


und  nach  der  alten  Annahme: 


ft  =  1258  VFy{\  +  0,00367  f)  ^, 


daher 


424  Kleinere  Mittlieilongen. 


0  =  1258  iiFj/{l  +  0,00367 1)  ^^ .  -  Cubikfass.   . 

Nach  EinführuDg  des  mittleren  Werthes  fi  =:=  0,02  geht  die  neue  For- 
mel in  folgende  über: 

ß  =  363  -P  7/  (1  +  0,00367  t)  ~  Cubikmeter 

=  1157  Fj/(i  +  0,00367  t)  -r-  Cnbikfnss, 
oder,  wenn  man  eine  mittlere  Temperatur  r=  10  Grad  yorandsetzt: 
Q^=d6QFl/  j  Cubikmeter 

*=  1179  Pj/  -ff  Cubikf U88.  • 

Bei  Anwendung  auf  die  erhitzte  Gebläseluft  von  der  Temperatur  T| 
hat  man  natürlich 


jp  =  363  F  X/  (1  +  0,00367 1, )  —  Cubikmeter 

zu  setzen  und  daher  die  durch  die  letzte  Formel  gefundenen  Werthe  noch 
durch 

j/i^^jl  '^  0,98  ^r+ö;öo36Ti; 

f^    1 +0,00367  T  '    T     ^    '  * 

zu  multipliciren,  z.  B.  für  t,  =  200  Grad,  durch  0,98  . 1,317  =  1,29. 

Um  dieses  Quantum  der  erhitzten  Luft  auf  die  mittlere  Temperatur  t 
zu  reduciren ,  muss  man  den  obigen  Ausdruck  für  Q  überdies  noch  durch 
1  +  0,00367  t  _        1,0367 
1  +  0,00367  ti  ~  1  +0,00367 T|' 
also  im  Ganzen  durch 


7A  +  Q,Q0367t  ^  j/Zm 
r     1  + 0,00367  ir,        f     l+0,< 


,0367  1,018 


f,00367Ti       /l+ 0,00367  Ti' 
z.  B.  für  Tj  =  200  Grad,  durch 

i£iL  =  l^=0,773 
^1,734       1,317         ' 

multipliciren. 

Drückt  man  den  Querschnitt  F  der  Ausflussmündung  in  QuadratsoU 

aus,  so  giebt  folgende  Formel 

die  Ausflussmenge  pro  Secunde  in  preussischen  Cubikfuss,  als  fUr  einen 
Mündungsquerschnitt  von  1  Quadratzoll : 


1)  0  =  8,2  t/j  Cubikfuss. 


Kleinere  MitdieilTiDgeii. 


Hieroaeh  ist  z.  B.  für 


^  =  0,01 

0,02 

0,05 

0,10 

0,15 

0,20 

0;25 

0  ==  0,82 

1,16 

1,83 

2,50 

3,18 

8,67 

4,10 

A=o.30 

0,35 

0,40 

0,45 

0,50 

0,55 

0,60 

0  =  4,40 

4,85 

5,19 

5,50 

5,80 

6,08 

6,35 

Cubikfliss. 

Die  ttltere  Annahme  giebt  die  AoBfiossmenge  pro  Secnnde  für  eine 
Dttsenmündung  von  1  QnadratsoU  Inhalt: 


2) 


n/b  +  k    h 


femer  die  auf  das  Mariottesche  Gesetz  gegründete  Formel  für  dieses  Wind- 
qnantam  ist 

3)  ß^»,2j/Lognal(t±!ay 

and  endlich  der  auf  die,  nach  dem  Po isson^ sehen  Gesetze  erfolgende 
Abkühlung  der  Laft  beim  Ausströmen  Rücksicht  nehmende  Ausdruck  hat 
die  Form: 

Um  die  nach  diesen  rier  Formeln  berechneten  Windmengen  übersicht- 
lich mit  einander  zn  Tergleichen,   kann  man   das  Pressnngsrerhftitniss 

— - — z=ax  setzen  nnd  x  als  Abscisse,  sowie  die  Wnrzelgrösse ,  deren  8,2- 

faches  die  Windmenge  giebt,  als  die  zugehörige  Ordinate  einer  Corvo  an- 
sehen, ftlr  welche  man  hiernach  folgende  vier  Gleichungen  erhUt: 
l)  y=x/^3x, 

2) 

3)  

4)  y  =  j/^a^{x^^  —  l). 

Nach  diesen  vier  Formeln  sind  die  Werthe  in  der  folgenden  Tabelle, 
welche  eine  Reihe  von  Abscissenwerthen  innerhalb  der  Grenzen  x=  1,00 
and  1,60  enthält,  bereehnet  worden. 

Man  ersieht  ans  dieser  Tabelle ,  dass  alle  vier  Formeln  bei  sehr  klei- 
nen Pressungen  nahe  dieselbe  Windmenge  geben ,  dass  aber  mit  den  Pres- 
sungen auch  die  Abweichungen  zwischen  den  nach  diesen  verschiedenen 
Formeln  berechneten  Werthen  der  Windmenge  wachsen,  dass  ferner  die 
alte  hydraulische  Formel  2)  die  grössten ,  die  logaritbmische  Formel  3)  die 
kleinsten  und  die  beiden  neueren  Formeln  1)  und  4)  mittlere  Werthe  für 


y  =  yx{s-i), 
y=zyLognaiß:y 


426 


Kleinere  HittbeiiiingeD. 


das  Windquantum  liefern.  Ancli  füllt  in  die  Aagen,  dass  bei  höheren 
PressuDgea  die  dnreh  die  alte  hydraulische  Formel  t)  erhaltenen  Werthe 
▼on  den  übrigen  am  meisten  abweichen,  und  dass  dagegen  die  einfache 
neue  Formel  1)  nur  wenig  grössere  Werthe  angiebt,  ab  die  neue,  auf  das 
Poisson^sche  Wärmegesetz  gegründete  Formel,  z.  B.  bei  dem  Pressungs- 

verhältniss   —7 —  =1,50  oder  dem  Ueberdruck  =  —  =  0,5  =  1  des  Süsse- 
o  0 

ren  Druckes ,  giebt  bei  einem  gewissen  Mündungsquerschnitt 

die  alte  hydraulische  Formel  2)  die  Windmenge  .     ,  Q=z 0,8600, 

die  logarithmische  Formel  3) Q  =  0,6366, 

die  einfache  neue  Formel  1) ^  =  0,7071, 

und  die  neue,  aus  der  Theorie  der  Wärme  gefolgerte 

Formel  4) ß  =  0,6978, 

wogegen  bei  dem  Pressungs Verhältnisse  -7 — =  1,05  oder  dem  Ueberdrucke 

0,05  =  ^  des  äusseren  Luftdruckes, 

nach  Formel  2)  Q  =  0,2291, 

„        3)ö  =  0,i209,     . 
„         „        1)0  =  0,2236,  und 
„  „        4)0  =  0,2231 

folgt,  also  die  Verschiedenheit  zwischen  diesen  Formelwerthen  noch  eine 
sehr  kleine  ist. 

Tabelle  zur  Vergleichung  der  nach  vier  verschiedenen 
Formeln  berechneten  Windmengen. 


Formel- 
nummer. 

j?  = 

1,00 

1,01 

1,02 

1,05 

1,10 

1,15 

1,20 

1,25  1 

1- 
2. 
3. 
4. 

y  = 

y— 

0 

0 
0 
0 

0,1000 

0,1005 
0,0998 
0,1000 

0,1414 
0,1428 
0,1407 
0,1413 

p  p  <:>  c> 

0,3162 
0,3317 
0,3087 
0,3154 

0,3873 
0,4153 
0,3738 
0,3858 

0,4472 

0,4899 
0,4270 
0,4449 

^  p  <:>  p 

Die  Werthe  von  x  drücken  das  Verhältniss  der  inneren  sur  äusseren 
Pressung  aus ,  und-  die  Werthe  von  y  geben ,  mit  8,2  multiplicirt ,  die  ent- 
sprechende Windmenge  pro  Secunde,  bei  dem  Mündungsquerschnitt  von 
1  Quadratzoll  an. 


XXXDL  Heber  die  Fortffthnmg  materieller  Theilohea  dnrek  iM- 
meade  mektricitftt,  von  0.  Oniaeke.    (Pogg.  Ann.,  Bd.  113,  S.  513.) 

Reu  SS  in  Moskau  hat  zuerst  im  Jahre  1807  die  Fortführung  von  Flüs- 
sigkeiten durch  den  galvanischen  Strom  in  dem  Falle  nachgewiesen ,  wo 
derselbe  durch  eine  Flüssigkeit  ging,  die  an  einer  Stelle  durch  eine  poröse 
Scheidewand  unterbrochen  war.  Die  Erscheinungen  dieser  sogenannten 
„elektrischen  £«ndosmose*^  sind  ^äter  ausser  von  einigen  franaönseheB 


Kleinere  Mitiheiluftgeti.  427 

und  eng^Iisehen  Phyaikeni  besonders  von  Wiedemann  stndirt  worden, 
welcher  nach  einer  längeren  Arbeit  Aber  den  Oegenetand  sn  dem  Schlnsse 
kam,  das8  dem  galvanischen  Strome  als  solchem  seine  fortführende  Wir**  . 
kottg  znkHme,  Dieser  Sohloss  ist  jedoch  von  mehreren  Seiten,  von  Graham^ 
T,  Qnintns-Icilias,  Breda  und  Logemann  angegriffen  worden,  wobei 
sic^h  die  letateren  darauf  stützen,  dass  es  ihnen  nicht  gelungen  ist,  ohne 
Diaphragma  eine  Ueberführung  zu  erhalten.  In  der  neuesten  Zeit  endlich 
hat  Matteucci  die  Erscheinung  für  gar  keine  el^trische,  sondern  für 
eine  secnndäre  Erscheinung  erklärt. 

Quincke  beschreibt  nun  in  der  Anfangs  citirten  Abhandlung  Versuche, 
die  sich  mit  diesem  Gegenstand  beschäftigen,  sowie  eine  Beihe  von  Ver- 
suchen, die  das  Studium  der  Ueberführung  materieller,  in  Flüssigkeiten 
suspendirter  Theilchei^  zum  Zweck  haben,  welche  ebenfalls  Reuss  im 
Jahre  1807  zuerst  beobachtet  hat  und  über  welche  später  Faraday,  Hei- 
denhain, Jürgensen  Mittheilnngen  gemacht  haben. 

Die  elektrischen  Ströme,  die  Quincke  anwendete,  waren  bei  besser 
leitenden  Flüssigkeiten  starke  hydroelektrische  Ströme,  oder  Indnctions* 
ströme ,  bei  welchen  wegen  Einschaltung  einer  Luftschicht  nur  der  Oeff- 
nungsstrom  circulirte  oder  bei  den  mindest  leitenden  Flüssigkeiten  Ent« 
ladungsströme  Lejdner  Flaschen. 

Die  Apparate,  deren  sich  Quincke  bediente,  waren  der  Hauptsache 
nach  U  förmige  Röhren ,  in  welchen  an  zwei  von  einander  entfernten  Stel- 
len Platindräthe  eingeschmolzen  waren ,  die  bei  den  mit  Flüssigkeiten  ge- 
füllten Röhren  als  Elektroden  dienten.  Es  gelang  Quincke,  an  diesen 
Apparaten ,  die  nur  ausnahmsweise  zu  speciellen  Zwecken  mit  Diaphrag- 
men versehen  waren,  zu  zeigen,  dass  auch  ohne  Diaphragmen  eine  Fort- 
führung materieller  Theilchen  durch  den  Strom  erfolgt.  Der  Sinn,  in 
welchem  die  materiellen  Theilchen  fortgefilhrt  werden,  hängt  nicht  nur 
Ton  der  Natur  der  Flüssigkeit,  simdem  auch  von  der  Substanz  der  Wand 
der  Röhre  ab,  in  welcher  sich  die  Flüssigkeit  bewegt;  in  gleicher  Weise 
influiren  diese  auf  die  Grösse  der  Fortfahrung.  Destillirtes  Wasser  wurde 
in  Quincke's  Glasröhren  im  Sinne  des  positiveren  Stromes  übergeführt^ 
waren  die  Glasröhren  inwendig  mit  einer  dünnen  Schellacksehicht  über- 
zogen, so  war  die  Fortführung  grösser;  waren  sie  mit  einer  dünnen  Silber- 
schicht überkleidet,  so  war  dieselbe  kleiner. 

Bei  Anwendung  starker  Elektricitätsquellen  beträgt  das  Steigen  der 
Flüssigkeit  im  U  förmigen  Rohre  immer  nur  einige  Millimeter.  Messende 
Beobachtungen  sind  bei  diesen  Erscheinungen  immer  nur  schwer  aussu- 
führen,  weil  es  schwer  ist,  den  Röhren  immer  die  gleiche  Oberflächenbe- 
schaffenheit zu  geben  und  weil  das  Glas  namentlich  durch  das  destillirte 
Wasser  angegriffen  wurde ;  die  Grösse  der  Fortführung  nimmt  aber  sofort 
ab,  sobald  die  Leitungsfkhigkeit  .des  Wassers  durch  Aufnahme  von  Sal- 
zen steigt.     Demokngeachtet  aber  sprechen  sich  in  den  Beobachtungen 


428  Ekinere  Mittiieilaiigen. 

Qmacke*8,  bei  denen  der  Einfloss  der  Fehlerquellen  auf  ein  Minirnnm  re- 
dacirt  ist  ^  einige  Zahlengesetze  ans.  So  fand  er  z.  B.  bei  der  Anvrendnng 
dea  EntladungSBtromes  der  Lejdener  Flasefae  die  Steighöhe  des  destillir- 
ten  Wassers  der  Elektxicitätsmenge  in  der  Flasehe  proportional,  etc.  etc. 
*  Der  Sinn,  in  welchem  in  Flüssigkeiten  suspeadirte  Theilcben  Tom 
Strome  fortgefllhrt  werden,  ist  nur  bei  sehr  starken  Strömen  ein  bestimm 
ter»  er  h&ngt  anoh  mit  von  der  Natur  der  Flüssigkeit  und  Höhrenwand  ab. 
Im  Wasser  vertheilt  werden  folgende  Körper  im  Sinne  des  negativen  Stro- 
mes fortgeführt:  Platin,  Gold,  Kupfer,  Eisen,  Graphit,  Quarz,  Feldspath, 
Braunstein 9  Asbest,  Schmirgel,  gebrannter  Thon,  Porzellanerde,  Sauer- 
stoff, Wasserstoff,  Schwefel,  Schellack,  Seide,  Baumwolle,  Stttrke,  Ljco- 
podinm,  Carmin,  Papier,  Federkiel,  Elfenbein,  Terpentinöl,  Schwefel- 
kohlenstoff, Kohlensäure,  Elayl,  atmosphärische  I^uft;  in  Terpentinöl  be- 
wegen sich  jedoch  im  Sinne  des  positiven  Stromes:  Platin,  Gold,  Kupfer, 
Eisen ^  Quarz,  Feldspath,  Braunstein,  gebrannter  Thon,  Alkohol,  Sauer- 
stoff» Wasserstoff,  Schellack,  Seide,  Baumwolle ,  Stärke,  Lycopodium, 
Carmin,  Wasser,  Kohlensäure,  atmosphärische  Luft 

Am  Schlüsse  seiner  Abhandlung  giebt  Quincke  eine  sehr  sinnige  Er- 
klärung der  erwähnten  Erscheinnngen ,  auf  die  wir  hier  nicht  näher  ein- 
gehen. Das  Häuptmoment  seiner  Erklärung  besteht  in  der  Berücksich- 
tigung des  Einflusses ,  den  die  bei  dem  Gontact  von  Röhrenwand ,  Flüssig- 
keit und  sttspendirten  Körpern  entwickelte  Contaetelektricität  in  Gegenwart 
des  Stromes  haben  kann. 


XL.  lieber  Speotralbeobaohtangen.  Von  Alb.  Mousbon.  (Pogg.  Ann^ 
Bd.  112,S.428).  — In  der  gedachten  Abhandlung  findet  man  die  mathematische 
Theorie,  sowie  die  Beschreibung  eines  eingehen  Instrumentes,  bestimmt, 
Spectralversuche  anzustellen.  Das  Spectroskop  von  Mousson  besteht  in 
der  Hauptsache  aus  einer  geschwärzten  Röhre,  einer  genau  gearbeiteten 
verstellbaren  Ritze  und  aus  einem  kleinen  sorgfältig  gearbeiteten  Glas- 
prisma.  Die  Beobachtung  der  Spectren  geschieht  direct  durch  das  Auge, 
wobei  der  Lichtverlust  vermieden  wird ,  den  die  Anwendung  von  Gläsern 
unvermeidlich  nach  sich  zieht.  Das  eine  Resultat  der  spectralanalytischen 
Untersuchungen  von  ELirchhoff  und  Bunsen,  nämlich  die  Opacität  der  gel- 
ben Natronflamme  für  Licht  ihrer  eigenen  Farbe,  lässt  sich  auf  eine  sehr 
einfache  Weise,  ohne  alle  optische  Instrumente,  beobachten.  Die  Vor- 
schrift zu  dem  Verfahren  rührt  von  William  Crookes  und  wird  in  Pogg. 
Ann.,  Bd.  112,  S.  344  nach  Phü.  Mag.  Ser,  IF,  Vol.  XXI y  p.  55  mitgetheilt 
Man  benutzt  die  Gasflamme  eines  gewöhnlichen  Drathgitterhiftbrenners, 
welcher  ganz  aufgedreht  und  dann  eine  Flamme  von  l'  Höhe  und  3"  Breite 
giebt.  Davor  stellt  man  eine  angezündete  Talgkerze.  Beide  Flammen 
werden  dadurch  gelb  gefärbt,  dass  man  in  ihrer  Nähe  ein  Stüok  Natrium 
auf  feuchtem  Fliesspapier  verbrennen  lässt.  Betrachtet  man  nun  die  Flamme 


Kleinere  Mittheiliingem  429 

der  Talgker^e  00,  dass  die  Gasflamme  den  Hintergrund  bildet,  so  sieht 
man ,  dass  der  fttisserste  Saum  der  Talgflamme  letztere  wie  ein  sehwarier 
Rahmen  einfasst.  Crookes  erklttrt  dies  dadnrch ,  dass  der  ftassere ,  ftlr  ge- 
wöhnlich durchsichtige  Sanm  der  Talgflamme  die  Natriamyerbindting  im 
dampfTörmigen  Zustande  enthalt  und  dass  dieser  Theil  die  Strahlen  der 
eigenen  Farbe  viel  stärker  absorbirt,  als  der  mittlere  Theil,  der  die 
Natrittmverbindong  im  starren  Zustande  enthftlt. 


ZLL  Das  OisinBL  —  Die  Mittheilung  unter  der  Ueberschrift:  „Neues 
Metall**  (S.  344)  möge  durch  folgenden  Bericht  eine  nShero  Erläuterung 
erhalten  (chemische  Analyse  durch  Spectralbeobacbtungen  von  G.  Kirch- 
hofFund  R.  Bunsen,  Pogg.  Ann.,  Bd.  113,  S.  337).  Entfernt  man  in  der 
Mutterlauge  des  Dürkheimer  Mineralwassers  nach  bekannten  Methoden 
Kalk,  Strontian,  Magnesia  und  Lithion  durch  kohlensaures  Ammoniak,  so 
erhält  man  eine  Mutterlauge,  welche  in  einen  Spectralapparat  (s.  8.  79  d.  J.) 
gebracht,  ausser  den  bekannten  Linien  des  Kaliums,  Natriums,  Lithiums 
noch  zwei  einander  sehr  naheliegende  blaue  Linien  zeigt,  von  denen  die* 
eine  fast  mit  der  mit  Sr^^  bezeichneten  Strontianlinie  zusammenfällt.  Die 
Ursache  dieser  Erscheinung  Ist  das  Vorhandensein  des  bereits  S.  220  d.  J. 
erwähnten  Metalls,  dem  die  Entdecker  den  Namen  Cäsium  gegeben  haben 
{caesius,  hei  den  Alten  vom  Blau  des  heiteren  Himmels  gebraucht,  auch 
von  den  Augen :  graublau).  Die  Cäsinmverbindungen  kommen  immer  nur 
in  geringer  Menge  in  der  Natur  vor,  am  reichlichsten  sind  sie  noch  im 
Dürkheimer  Soolwässer  enthalten,  wovon  jedoch  44,200  Kilogramm  nur 
7,272  Gramm  Chlorcäsium  lieferten. 

Behandelt  man  sächsischen  Lepidolith  nach  einer  der  bekannten  Me- 
thoden, durch  welche  die  Alkalien  von  den  fibrigen  Bestand th eilen  ge- 
trennt, für  sich  in  Lösung  erhalten  werden,  und  fällt  man  eine  solche  L9« 
snng  dnrch  Plätinchlorid,  so  erhält  man  einen  Niederschlag,  der  aus 
Doppelverbindungen  von  Chlorplatin  und  Chloralkalien  besteht.  Kocht 
man  diesen  Niederschlag  wiederholt  mit  Wasser  ans,  so  bleibt  ein  schwer 
löslicherer  Theil  zurück,  der,  spectralanal  jtisch  geprüft,  neue  Linien  zeigt, 
von  denen  sich  zwei  rothe  auszeichnen,  welche  noch  jenseits  der  Frauen- 
hofer'schen  Linie  Ay  also  im  äussersten  Koth  des  Sonnenspectrums  liegen. 
Diese  Erscheinung  wird  dadurch  veranlasst,  dass  in  dem  Niederschlag  die 
Chlorverbindung  eines  neuen  Alkalimetalls  enthalten  ist,  für  welches  die 
Verfasser  den  Namen  Rubidium  vorschlagen  {rubidus,  dnnkelroth).  Der 
Lepidolith  von  Bozena  bei  Hradisko  in  Mähren  enthält  nach  der  Angabe 
der  Verfasser  nur  0,24  Procent  Eubidiumoxyd. 

Die  Darstellung  der  Präparate  von  Cäsium  und  Rubidium  aus  dem 
Dürkheimer  Soolwasser  und  aus  dem  Lepidolith  ist  ungemein  umständlich, 
man  benutzt  dabei  die  verschiedene  Löslichkeit  der  Doppelverbindungen 
von  Chlorplatin  mit  Chlorkalium,  Chlorrubidinm  und  Chlorcäsium,   von 


430  Kleinere  Mittheilangen. 

denen  da«  erste  Doppelsalz  das  löslichste,  das  zweite  minder  löslich  nnd 
das  dritte  schwer  löslich  im  Wasser  ist,  sowie  auch  das  Verhalten  des 
kohlensauren  Cäsiumoxydes  and  des  kohlensauren  Rubidiurnoxydes  su  Al- 
kohol, worin  ersteres  Salz  löslich,  letzteres  unlöslich  ist« 

Geschmolzenes  Chlorcäsinm  sowohl,  als  Chlormbidium  nnd  auch  Chlor- 
kalium  werden  durch  den  elektrischen  Strom  so  zersetzt,  dass  am  negati- 
ven Pole  das  Metall  erscheint,  aber  sofort  verbrennt  oder  sich  anter  Bil- 
dung eines  Subchlorides  in  der  Flüssigkeit  auflöst. 

Bei  Anwendung  der  Lösungen  der  Chloride  können  die  Amalgame 
leicht  erhalten  werden,  sobald  der  negative  Pol  mit  Quecksilber  umgeben 
wird.  Mit  Chlorkalium  als  Erregerflüssigkeit  zusammengestellt,  verhlllt 
sich  Cäsiumamalgam  positiv  gegen  Rubidium-  und  Kaliumamalgam,  wel- 
ches letztere  von  den  drei  Amalgamen  die  elektromagnetivste  ist.  Die 
Aequivalente  der  besprochenen  Metalle  sind:  Cfs*  123,35,  i?6  =  85,36. 

Die  schwefelsauren  Salze  beider  Metalle  liefern,  mit  BarTtwasser  er- 
hitzt, in  Lösung  Cäsiumoxydhjdrat  und  Bnbidiumoxydhydrat  {CtO^  HO 
und  726 0,  HO)^  welche  sich  ebenso  fttzend  zeigen,  als  Kalihjdrat,  nnd 
wie  dieses  das  Wasser  beim  Glühen  festhalten« 

Die  kohlensauren  Salze  beider  Metalle  reagiren  sehr  stark  alkalisch 
und  sind  im  wasserfreien  Zustande  ungemein  zerfliesslich«  In  einer  At- 
mosphäre von  Kohlensäure  gehen  die  einfach  kohlensauren  Salze  leicht  m 
die  dem  Kalisalz  {KO^  BOy  2 CO,)  analog  zusammengesetzten  doppelt 
kohlensauren  Salze  über. 

Die  Salpetersäuren  Salze  krystallisiren,  wie  der  Kalisalpeter,  ohne 
Krjstall Wasser ,  sie  enthalten  wie  dieser  Decrepitationswasser,  schmelzen 
leicht  und  geben  in  höherer  Temperatur  Sauerstoff  ans« 

Die  Chloride  beider  Metalle  krystallisiren,  wie  Chlomatrium  in 
wasserfreien  Würfeln. 

Die  Verbindungen  von  Cäsium  und  Rubidium  verhalten  sich ,  wie  man 
sieht,  ähnlich  wie  die  Kaliumverbindungen,  denen  sie  auch  isomorph  sind. 
Die  Reactionen  der  drei  Alkalien  sind  übrigens  so  ähnlich,  dass  sie  nur 
durch  Speotralbeobachtnngen  von  einander  unterschieden  werden  können. 

XLU    TTeber  ein  reproduoirbares  Stromwiderstandsmaass    —  Das 

Weber^sche  absolute  Stromwiderstandsmaass  eignet  sich  bekanntlich  nicht 
zur  allgemeinen  Einführung,  weil  bei  seiner  Anwendung  sehr  vollkommene 
Instrumente,  besonders  geeignete  Locale  und  grosse  experimentelle  Ge- 
schicklichkeit erforder,t  wird  und  well  es  so  klein  ist,  dass  die  Widerstände 
gewöhnlicher  Art  nur  durch  enorme  Zahlen  ausgedrückt  werden  können. 
Da  nun  die  Copien  des  Jacobi'schen  Widerstandsetaions  keine  üeberein- 
stimmung  zeigten,  wahrscheinlich  indem  eine  kleine  Abweichung  in  der 
Zusammensetzung  eine  grosse  Abweichung  im  Widerstand  hervorbringt'), 

*)  Siehe  auch :  Ueber  die  elektrische  Leitungsfähigkeit  des  reinen  Kupfers  und 
deren  Vermindernng  durch  Metalloide  und  Metalle ,  von  A.  Matthiesiien  nnd  U. 
Holzmann  (Pogg.  Ann.,  Bd.  110,  S.  222.) 


Kleinere  M ittheilttngen,  431 

80  machte  Siemens  (Pogg.  Ann.,  Bd.  110,  S.  1)  den  Vorsehlag,  Wider- 
standsmaasse  dnrch  Füllung  im  Handel  vorkommender  Glasröhren  mit  ge- 
reinigtem Quecksilber  herzustellen.  Man  sollte  sich  ein  Stück  Bohre  aus- 
suchen, bei  welchem  der  Querschnitt  regelmässig  kegelförmig  ist,  die  Di- 
mensionen der  Röhre  bestimmen  und  hieraus  den  Widerstand  berechnen, 
wobei  als  Einheit  des  Widerstandes  der  Widerstand  eines  Quecksilber- 
prismas von  1"  Länge  und  lD°*"*  Querschnitt  beiO**  C.  angenommen  wer- 
den sollte.  Der  Grund  eu  diesem  Vorschlage  war,  dass  nach  den  Ver- 
suchen von  Siemens  und  Esselbach  der  Widerstand  des  reinen  Queck- 
silbers weniger,  als  derjenige  von  anderen  Metallen,  von  der  Temperatur 
abhängig  ist.     Denn  es  ist  z.  B.  die  Leitungsfähigkeit: 

des  Quecksilbers  ^^^^^—  (nach  Siemens), 

5  1554 
des  Bleies  ^      '  ^^^^^  (nach  Arendtsen), 

des  Eisens  — ,  ^   ^  .^^  ,  ^^.^^>^».t  (nach  Arendtsen), 
1  +  0,0041 3  i  +  0,00000527  /*  ^  ^' 

14  249  < 

des  geglühten  Messings  t  +  o.OOI6e  f  -  8,00000203  <«  (°*"^  Arendtsen). 

Es  lässt  sich  nicht  verkennen,  dass  der  Vorschlag  von  Siemens  Man- 
ches für  sich  hat,  z.  B.  dass  jeder  Physiker  sich  mit  leichter  Mühe  sein 
Quecksilber  selbst  reinigen  und  sich  aus  den  Glasröhren  des  Handels  sein 
Widerstandsmaass  herstellen  kann.'  Gegen  den  Vorschlag  von  Siemens 
hat  sich  nun  Matthiessen  (Pogg.  Ann.,  Bd.  112,  S.  353)  ausgesprochen, 
während  Schröder  van  der  Kolk  in  Maestricht,  der  sich  ehenfnlls  mit 
W]derstandsl)estimmungen  beschäftigte,  der  Anwendung  des  Quecksilbers 
zu  Widerstandsmessungen  nicht  abgeneigt  ist  (Pogg.  Ann.,  Bd.  110,  S.  452). 
Matthiessen  macht  gegen  Siemens*  Vorschlag  den  Einwand,  dass  das  Queck- 
silber, in  welches  bei  den  Versuchen  Kupferdräthe  oder  -Platten  eintau- 
cheu,  von  diesen  verunreinigt  werden  möchte,  so  dass  der  Widerstand  des 
Quecksilbers  eine  merkliche  Aendernng  erleiden  könnte.  Die  grosse  Aen- 
dernng  des  Widerstandes  anerkennend ,  welche  bei  den  bekannten  Metallen 
und  Legirungen  mit  geringer  Aenderung  der  Zusammensetzung  eintritt, 
stellt  sich  Matthiessen  die  Aufgabe ,  eine  Legirung  aufzufinden : 

1)  deren  Leitungsfähigkeit  sich  mit  einer  geringen  Aenderung  des 
Mischungsverhältnisses  oder  mit  einer  geringen  Verunreinigung  nur 
wenig  ändert,  so  dass  man  sie  auch  aus  käuflichen  Metallen  her- 
stellen kann,  ohne  dass  ihre  Leitungsfähigkeit  anders  ausfällt,  als 
bei  der  Herstellung  aus  reinen  Metallen; 

2)  deren  Leitungsfahigkeit  durch  das  Weichmachen  (starkes  Erhitzen 
und  allmäliges  Abkühlen)  nicht  verändert  wird; 

3)  deren  Leitungsfähigkeit  sich  bei  geringen  Temperatnränderungen 
nur  wenig  ändert; 

4)  die  sich  durch  Aussetzen  an  die  Luft  nicht  ändert. 

Die  Legirung,  die  diesen  Anforderungen  noch  am  besten  entspricht, 
ist,  wie  Matthiessen  vorläufig  aus  den  PhiL  Trans,  f.  1800  ersehen  hat,  eine 
Legirung  von  2  Gewichtstheilen  Gold  und  1  Gewichtstheil  Silber.  Mat- 
thiessen prüfte  nun  8  Dräthe  von  der  genannten  Legirung,  die  von  ver- 
schiedenen Chemikern  hergestellt  worden  waren,  und  fand,  dass  der 
grösste  Unterschied  in  den  Leitungsfähigkeiten  nur  um  1,6  Procent  vom 


432  Kleinere  Mittheikngen« 

Mittelverthe  abwich.  In  BeEUg^  auf  die  Aenderang  der  Leitnngafkhigkeit 
mit  der  Temperatur  fand  er,  dass  die  LeitungsfUhig^eiten  der  meisten 
Metalle  durch  die  Formel  h  =  x  +yt  +  zt*  ausgedrückt  werde,  wobeie: 
die  Leitungsfähigkeit  bei  0®  C.  und  y  und  z  Constante  sind,  während  Arndt- 
sen  und  Siemens  ein  anderes  Gesetz  aufstellten.  Nach  den  Versuchen  you 
Matthiessen  sind  die  Leitungsfähigkeiten  von  drei  seiner  Dräthe  von  Ter- 
schiedenen  Herstellungen : 

h  =  15,059  —  0,01077  t  +  0,00000722  i\ 

h  =  15,052  —  0,01074 1  +  0,00000714  i\ 

h  =  15,152  —  0,01008 1  +  0,00000774  i\ 
wobei  die  Leitungsfähigkeit  eines  hart  gezogenen  Silberdrathes  bei  0*  C. 
gleich  100  gesetzt  ist.     Ein  Urtheil  über  die  Anwendbarkeit  von  Metallen 
EU  Widerstandsmessungen  gewinnt  man  noch  aus  einer  von  Matthiessen  zu- 
sammengestellten Tabelle,    worin  die  Differenzen   der  Leitungsfahigkeit 
zwischen  0®  und  100®  C.  in  Procenten  der  Leitungsfähigkeit  von  0*  C.  an- 
gegeben sind  und  die  hier  mitgetheilt  wird : 
Silber  28,5  Proc.  (weich),     . 
Kupfer  29,0  Proc.  (weich), 
Gold  28,0  Proc.  (weich), 
Quecksilber  8,7  Proc.  (nach  Siemens), 

die  Gold-  und  Quecksüberlegirung  {«'^  llH'  [l'^^^^ 

Matthiessen  macht  nun ,  gestützt  auf  seine  Versuche  und  Betrachtun- 
gen ,  den  Vorschlag ,  die  Leitungsfähigkeit  eines  Drathes  seiner  Gold  -  und 
Silberlegirung  von  1"*  Länge  und  1™"*  Dicke  bei  0*^  C.  100  au  setzen  und 
dieses  Widerstandsmaass  zur  Vergleichung  der  Widerstände  von  Schlies- 
sungsbögen  zu  benutzen;   hat  dann  ein  Physiker  einmal  dieses  Widef- 
standsmaass  mit  dem  Weber^schen  absoluten  Maasse  verglichen,  so  kann 
man  alle  nach  Matthiessen^s  Maass  gemessenen  Widerstände  in  absolutem 
Maasse  ausdrücken.    Da  man  sich,  nun  bei  der  Annahme  von  Matthiessen's 
Maass  wahrscheinlich  der  weichen  Legirung  bedienen  würde,  indem  die 
harte  Legirung  erst  nach  mehrmaligem  Erwärmen  bis  100®  C.  einen  sich 
gleichbleibenden  Widerstand   zeigt,    so  würde  die    Gold  -  Silberlegirung 
nach  obiger  Tabelle  in  Bezug  auf  die  Aenderung  der  Leitungsfähigkeit 
mit  der  Temperatur  mit  Quecksilber  ganz  gleichwerthig  sein.     Die  Legi- 
rung von  Matthiessen  erfüllt  nun  die  Anforderung  2  gar  nicht,  so  dass  das 
Quecksilber  seines  gleichmässigen  Verhaltens  wegen  wohl  den  Vorzug  ver- 
dient.  Der  Verunreinigung  des  Quecksilbers  bei  den  Versuchen  kann  man 
durch  Anwendung  von  Platindrath  statt  Kupferdrath  vorbeugen.     Uebri- 
gens  macht  Siemens  in  einem  neueren  Aufsatze  (Pogg.  Ann.,  Bd.  113,  S.  91) 
aufmerksam,  dass  die  Differenz  von  1,0  Procent  in  den  Leitungsfähigkeiten 
der  Gold  -  Silberlegirung  viel  zu  gross  für  gute  Widerstandsmessapparate 
ist,  deren  Resultate  bis  auf  0,0001  übereinstimmen,   während  seine  Wider- 
standsröhren, mit  besonders  sorgfältig  von  Dr.  Quincke  gereinigtem  Queck- 
silber gefüllt,  genau  dieselbe  Leitungsfahigkeit  zeigten,  als  die  mit  dem 
seinigen  gefüllten,   welches  von   ihm  selbst  nur  mit  Schwefelsäure  und 
etwas  Salpetersäure  gereinigt  worden  war.  Dr.  Kahl. 


Druck  von  B.  G.  Teubncr  io  Dresdon. 


Fig.t 


s       Fig.t3. 

'^     ^. 

,rl^, 

/>y. 

/X 

Zeitschrift  für  MatUenialilc  R.P)^ik,l8l 


Literaturzeitung 


der 


Zeitschrift  flir  Mathematik  und  Physik 


herausgegeben 
unter  der  verantwortlichen  Redaction 


Dr.  O.  Schlömiloh,  Dr.  E.  Kahl 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


m 


Seohtter  Jahrgang. 


LEIPZIG, 

Verlag  von  B.  6.  Tenbner. 
1861. 


Inhalt. 


Philosophie  und  Gfresohiohte  der  Mathematik.  «,^.^^ 

CHA8LB8 ,  M. ,  Le$  trois  Wäret  de  Porisme»  d'Euclide 3 

Baktholomabi,  Dr. ,  Zehn  Vorlesungen  über  Philosophie  der  Mathematik    .     .  7 

Oftbbdihqbb,  Prof.  Dr. ,  Beiträge  sor  Geschichte  der  griechischen  Mathematik  41 

Bblbobuf  ,  J. ,  Proligomhies  phUoeophiques  de  la  giomitrie  et  eolution  des  poHutats  42 

Arithmetik  «nii  Axialysia. 

FüBSTBHAu,  Dr. ,  Darstellung  der  reellen  Wurzeln  algebraischer  Gleichungen 

durch  Determinanten  der  Coefficienten 9 

FiscHBB ,  Dr. ,  Grundzüge  des  auf  menschliche  Sterblichkeit  gegründeten  Ver- 
sicherungswesens        36 

Stbbh  ,  Prof.  Dr. ,  Lehrbuch  der  algebraischen  Analysis 64 

Dbckeb,  A.,  Lehrbuch  der  Algebra 69 

Gallbneamp  ,  Dir. ,  Die  Elemente  der  Mathematik 60 

Bo7MAN,Dr. ,  Lehrbuch  der  Mathematik.     3.  Thl 70 

Giffhobh  ,  D. ,  Leitfaden  der  allgemeinen  Arithmetik  und  Algebra 71 

Aschbhbobb  ,  Prof.  Dr. ,  Lehrbuch  der  Arithmetik  mit  £inschlus8  der  Algebra 

und  niederen  Analysis 71 

•  ZEHFU88,Dr.,  Lehrbuch  der  Arithmetik 71 

—      ^  —    Grundzüge  der  Algebra 72 

W1TT8TBIH ,  Prof.  Dr. ,  Lehrbuch  der  Elementarmathematik 72 

Notiz  yon  Dr.  Bibbehs  db  Haan 77 

Hbinb  ,  Prof.  Dr. ,  Handbuch  der  Kngelfunctionen 114 

Qeometrie  und  üMgonometrie. 

Zkbodobüs  ,  Abhandlung  über  die  isoperimetrischen  Figuren.    Deutsch  bear- 
beitet von  Prof.  NoKK 1 

Lamb,  G.,  Lepcns  sut  les  coordonnis  curviiignes  et  teurs  diverees  appiications     .     .  17 
Salmob  ,  G. ,  AnJHjtische  Geometrie  der  Kegelschnitte ,  deutsch  bearbeitet  von 

Dr.  FiBDLBB 44 

Spitz,  Dr. ,  Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrie  ,    ,     '. 61 

Gallbnkamp^,  Dir. ,  Die  Elemente  der  Mathematik 60 

^WiTTSTBiH ,  Prof.  Dr. ,  Lehrbuch  der  Elementarmathematik 72 

K0BI8TKA ,  Prof. ,  Studien  über  die  Methoden  und  über  die  Benutzung  hypso- 
metrischer Arbeiten 81 

Zbtzschb  ,  Dr. ,  Die  Elemente  der  ebenen  Trigonometrie 00 

Nachträgliche  Bemerkung  hierzu 111 

WiTTSTBiv,  Prof.  Dr.,  Das  Prismatoid Ol 

Nachträgliche  Bemerkung  hierzu «   .    .  111 

Fabbbhdbb,  Prof.  Dr. ,  Anfangsg^nde  der  beschreibenden  Geometrie,  der  ana- 
lytischen Geometrie  etc 07 


IV  Inhalt. 


Seile 

ScHBLLBAOH ,  Prof . ,  Neue  Elemente  der  Meehanik 72 

BoBTius,  Civilingen.,  Die  Ericflon'sche  calorische  Maschine 78 

FhyBUc 
Qavabbbt,   Prof.,    Lehrbuch  der  Elektricitäft.     Deutsch  bearbeitet  Yon   Dr. 

Abbhdt 12 

PiSKo ,  Prof. ,  Die  Fluoresconz  des  Lichtes \ -     .  77 

MÜLLBB,  Prof.  Dr.,  Mathematischer  Sapplementband  som  Qmndriss  der  Phy- 
sik nnd  Meteorologie 91 

Spillbb,  Prof.,  Nene  Theorie  der  ElektricitSt  nnd  des  MagneÜsmQs   .     .     •     •  100 

BuBic,  Prof.,  Lehrbuch  der  Physik 112 


Bibliographie 8.13,38,49,-79,04,117 

Mathematisches  Abhandlang^reglster :  Janoar  bis  Jnnl  1860 51 

JnU  bis  December  1800 119 


Literatnrzeitnng. 


Recenaionen. 

Zenodoms,  Abhandlung  über  die  uoperimetrischen  Figuren,  deutsch  bear- 
beitet von  Dr.  Nokk.  Beilage  zu  dem  Freibarget  Lycenmspro- 
gramme  von  1860. 

Es  ist  nicht  das  erste  Mal,  dass  der  gelehrte  Herr  Verfasser  sich  in 
Gegenständen  versucht ,  welche  für  die  Mathematiker  noch  mehr  Interesse 
haben  als  für  seine  philologischen  Fachgenosseft.  Schon  1854  gab  er  als 
Beilage  des  Freiburger  Lyceumsprogrammes  eine  üebersetzung  der  Schrift 
des  Aristarch  von  Samos  über  die  Grössen  und  Entferaungen  der  Sonne 
und  des  Mondes ,  und  kündigte  in  derselben  eine  neue  kritische  Ausgabe 
jener  bedeutenden  Abhandlung  an,  welche  indessen  unseres  Wissens  bisher 
nicht  erschienen  ist  Diesmal  bereicherte  er  die  mathematische  Literatur 
durch  die  erste  deutsche  Bearbeitung  einer  Schrift,  welche  freilich  nicht 
▼ollstSndig  als  solche  erhalten  ist,  sondern  nur  in  Auszügen  theils  bei  Th  e  on 
▼on  Alexandrien ,  dem  Erklftrer  des  PtolemKus  aus  dem  vierten  Jahrhun- 
dert, theils  bei  Pappus  gefunden  wird.  Herr  Nokk  ging  indessen  von 
dem  gewiss  richtigen  Principe  aus,  dass  Auszüge,  welche  bei  fast  gleich- 
zeitigen Autoren,  die  also  wohl  Nichts  von  einander  entnahmen,  in  fast 
gleichen  Ausdrücken  sich  finden,  dem  Originale  sehr  nahe  kommen  müssen, 
und  dass  daher  aus  den  gegebenen  Quellen  eine  Bestitution  wohl  thunlich 
sei.  Das  Resultat  hat  auch  diese  Voraussetzung  vollständig  gerechtfertigt, 
indem  ein  Studium  der  kleinen  Schrift  uns  hinreichend  überzeugt,  so  etwa 
müsse  in  der  That  die  Abhandlung  des  Zenodorus  gelautet  haben. 

Eine  durch  den  geistreichen  Inhalt  der  übertragenen  Abhandlung  nicht 
anwichtige  historische  Frage  ist  die  nach  dem  Zeitalter  des  Zenodorus, 
welche  der  Herr  Verfasser  gleichfalls  einer  Untersuchung  unterwirft.  Wir 
können  ihm  nur  beistimmen,  wenn  er  aus  der  wörtlich  identischen  Erwäh- 
nung des  Archimedes  sowie  des  Euklides  in  einigen  Lehrsätzen,  welche 
bei  Theon  und  Pappus  zugleich  vorkommen,  den  Schluss  zieht,  dass 
diese  Worte  auch  im  Originale  sich  fanden,  und  dass  somit  Zenodorus 
jedenfalls  später  als  Archimedes,  also  später  als  250  v.  Chr.,  gelebt  haben 

LUeralnneiton^  d.  Zeilschr.  f.  Malh.  u,  Pbys.  VI.  I.  ^  l 


Literaturzeitung. 


müsse.  Damit  falle  die  Behauptung  Heilbronner's,  welche  MontncU) 
Klügel,  Bossut  und  Andere  nachschrieben,  als  sei  Zenodorus  ein  un- 
mittelbarer Schüler  des  Oenopides  gewesen,  der  um  550  v.Chr.  lebte. 
Nur  glauben  wir  nicht  nöthig  zu  haben,  bei  diesem  negativen  Resalttte 
stehen  zu  bleiben,  sondern  möchten  den  Zenodorus  präciser  als  einen 
Zeitgenossen  des  Ptolemäus  in  den  Anfang  des  zweiten  Jahr- 
hunderts u.  Chr.  versetzen.  (Vgl.  Comptesrendus^L.IjeiSO^  22.  Oct.  1S60. 

Wir  stützen  diese  Vermuthung  auf  dieselben  Worte  des  Proehi 
Diadochus  in  seinem  Commentare  zum  ersten  Buche  des  Euklid,  welche 
auch  von  früheren  Historikern  zur  Bestimmung  des  Zeitalters  benutzt  wor- 
den, und  welche  nach  dem  Citate  des  Herrn  Nokk  im  Originale  so  heissen: 
0/  di  nsQl  Sbvoöoxov  tov  nQOgi^xovTa  (ilv  ry  Olvonliov  Stadoxj  Toivfui^ 
TCöv  dl  "AvdQODVog  dMQliovtai  ro  ^em^ripM  vov  n^ßlijfuixog  «.  t.  ä,  {Procbu 
Comment»  in  Eucüd.  p.  23).  Der  griechische  Text  stand  uns  nur  in  diesea 
Citate  zu  Gebote,  die  lateinische  Uebersetzung  des  Fr  an  eis  cus  Baro',ciii6 
Palavn  1560,  p.  47)  Iftsst  indessen  auf  eine  andere  Lesart  scbliessen,  welche  uns 
den  Vorzug  zu  verdienen  scheint.  Dort  heisst  es  nfimlich:  Sectaiores  Zeno- 
doiiy  qui  Oenopidis  quidem  doctrinae  fuU  famüiarU,  Andronis  vero  disdptba, 
iheorema  a  problemaie  distinguebani  e.  c.  L,  während  die  kurze  Inhaltsanzeige 
welche  am  Rande  abgedruckt  ist,  angibt:  Quo  differai  iheorema  a  proMemak 
juxia  Zenodori  opinionem. 

Das  Erste ,  was  in  die  Augea  fällt,  ist  die  dreifache  Schreibart  des  Na- 
mens. Auch  Herr  Nokk  bemerkt,  dass  Fabricius  {BM  Gr.  iom.  IV,  p.  84) 
den  Mathematiker,  dessen  hier  gedacht  wird,  nicht  S^vodovogy  sonden 
Zrivoöozog  nenne,  fügt  aber  hinzu,  dass  keinenfalls  von  einem  ZifMm^ 
die  Rede  sei.  Bei  den  dem  Sinne  nach  identischen  Namen  Z^vodoiog  vnd 
ZfiPoöfOQog  scheint  aber  ein  solches  strenges  Auseinanderhalten  kaum  thoB- 
lieh,  vielmehr  dürften  wir  es  nur  mit  verschiedeneu  Orthographien  desselbea 
Namens  zu  thun  haben,  ähnlich  wie  auch  JUda^iog  und  Atodaxog  wechseht 
ähnlich  wie  der  berühmteste  deutsche  Mathematiker  des  sechzehnten  Jahr- 
hunderts bald  Stifel,tbald  Stiefel,  bald  Stieffei  geschrieben  ward.  Fit 
diese  Vermuthung  ist  auch  gerade  das  Nebeneinanderstehen  beider  Na- 
men bei  Barocius  wohl  massgebend. 

Eine  wichtigere  Aenderung  ist  noch,  dass  Barocius  offenbar  %w  ^ 
^rov  übersetzt,  welche  Lesart  auch  dem  Gegensatze  (ikv —  6h  eher  ent- 
spricht. Darnach  hätte  Zenodorus  zwar  der  Schule  des  Oenopidei 
angehört  (wie  heute  noch  ein  Maler  z.  B.  Nachfolger  der  veoetianisdi« 
Schule  genannt  werden  könnte,  wenn  er  diese  Meister  VOTZÜglich  stadiit 
hätte),  wäre  aber  zunächst  ein  Zögling  des*  Andren  gewesen,  auf  deisn 
Zeitbestimmung  es  somit  allein  ankäme.  So  merkwürdig  es  ist,  dass  bisher 
Niemand  diesen  Gesichtspunkt  hervorhob ,  können  wir  doch  nicht  untarlifi- 
sen,  auf  ihn  aufmerksam  zu  machen,  wenn  auch  nur  in  der  Erwartung,  eiiie 
DiscuBsion  desselben  zu  veranlassen.  Was  nun  jenen  Mathematiker  An dr oft 


Litoratarseitnng.  • 


betrifil,  80  lebte  ein  aoleher  y  von  Catanea  auf  Sioilien  gebürtig,  sm  Anfang 
des  stweiten  Jahrbnnderte  und  war  nnter  Anderem  auch  eine  Zeit  lang  Leh- 
rer des  nachmaligen  Kaisers  M.  Jnionmus  PhiJosophus  (vergl.  Zedier,  Uni- 
vexsallexikon  Bd.  II,  S.  206).  Von  einem  andern  Mathematiker  dieses  Na- 
mens konnten  wir  nirgends  Erw&hnung  finden.  Wäre  dieser  also  der  bei 
Proeins  genannte,  so  mtisste  in  der  That  Zeuodorus  jener  Zeit  angehört 
haben,  welche  wir  im  Obigen  als  wahrscheinlich  anführten.  Cantoju 


Los  troia  Imea  ie  PoriiBMe  d'Euelide  retablis  pour  la  premi^re  fois  d'apris 
la  notice  et  les  lemmes  de  Fappus  et  conform^ment  au  sentiment 
de  B.  Simsen  sur  la  forme  des  ^nonc&  de  ces  propositions  pax 
M.  CHAai.£6.  Mallet-Baehelier.  1860. 
Es  ist  den  Lesern  dieser  Zeitschrift  bekannt,  dass  die  sogenannte  Frage 
der  Porismen  eine  solche  war,  welche  die  mathematischen  Historiker  im 
höchsten  Grade  beschäftigte  und,  kann  man  wohl  hinzusetsen ,  entzweite. 
Sehen  Bd.  II,  8.  17  flgg.  hat  Referent  versnoht,  eine  gedrängte  Darstellung 
der  versdiiedenefi ,  weit  auseinandergehenden  Ansichten  zu  geben ,  und  al» 
Vermittlung  einen  Gesichtspunkt  hervorgehoben,  welcher  —  allgemeiner 
als  die  früheren  —  nicht  bloss  die  euclidischen  Porismen,  sondern  alle  Sätze 
umlMsen  sollte,  welche  diesen  Namen  verdienen.  Referent  verliess  zu  die* 
sem*  Zwecke  die  geometrische  Betrachtungsweise  und  sprach  sich  dahin 
ans,  es  aei  das  Wesentliche  des  Theorems,  Eigenschaften  einer  gegebenen 
Function  darzulegen ;  das  Problem  hingegen  leite  Werthe  der  Function  bei 
gegebenem  Argumente  ab ;  endlich  das  Porisma,  zwischeh  beiden  stehend, 
lehre»  ans  den  Eigenschaften  einer  Function  auf  die  Art  derselben  schliessen. 
In  einem  Vortrage  über  diesen  Gegenstand  im  Heidelberger  naturhistorisch- 
^medifdnischen  Vereine  vom  21.  November  1856  suchten  wir  dieses  nament- 
lich den  ärztliehen  Mitgliedern  durch  den  Vergleich  zu  erläutern,  das  Theo- 
rem gebe  den  pathologischen  Verlauf  eines  Krankheitsprozesses  an,  als 
Problem  müsse  die  Therapie  eines  bestimmten  Falles  angesehen  werden, 
ein  Prisma  sei  die  Diagnose,  welche  mit  beiden  früheren  Betrachtungswei- 
sen in  mancher  Beziehung  übereinstimmend  zwischen  beiden  in  der  Mitte 
stehe» 

Unter  einigen  fraozösischen  Mathematikern,  Herrn  B  r  e  t  o  n  (de  Champ) 
und  Vincent  dauerte  inzwischen  die  Diseussion  noch  fort  und  wurde  mit 
LeidenschaftUehkeit  in  dem  Journal  de  McUMmatiques  und  in  der  Science  ge- 
führt, während  sie  sieh,  man  weiss  kaum  um  was?,  drehte.  Endlich  ist  die 
Streitfrage  durch  das  Erscheinen  des  uns  vorliegenden  Werkes  abgeschlos- 
sen, indem  die  nachträglichen  Bemerkungen  des  Herrn  Breton  in  den 
Camptei  rendue  wohl  nur  die  letzten  unbedeutenden  Wellen  darstellen, 
welche  nach  jedem  Sturme  zurückbleiben.    Herr  Chasles  hat  die  drei. 

1» 


Literatarzeitnug. 


Bücher  P(MrL9m6n  des  Eaclid  wieder  hergeitellt,  wie  er  es  sehen  seit  1815 
yersprochen  hatte,  und  ist  somit  ohne  allen  Zweifel  ab  erster  ▼olbtiadiger 
Löser  der  schwierigen  Aufgabe  anzuerkennen. 

Wir  wollen  einen  möglieh  kurz  gefasste  Uebersicht  seiner  Entsiffe- 
rung  geben  und  dazu  von  jener  Definition  der  Porismen  ausgehen,  welche 
Papp  US  als  die  der  Neueren  bezeichnet.  In  unserer  oben  erwähnten  Ab- 
handlung (welche  wir  als  dem  Leser  zur  Vergleichung  einzelner  Stslka 
vorliegend  yoraussetzen)  wurde  sie  folgendennassen  übersetzt :  Em  Porumt 
ist  das,  was  zur  Hypothese  eines  Ortstheorems  fehlt  Es  wird  somit  nSthig 
sein,  zunächst  das  Ortstheorem  Selbst  zu  erklären,  worüber  freilich  kein 
Zweifel  möglich  ist.  Das  Ortsäieorem  ist  nämlich  ein  Satz,  welcher  tm 
Eigenschaft  ausspricht,  die  allen  Punkten  einer  vollständig  bestimmten  ge- 
raden oder  krummen  Linie  zukommt;  wie  z.  B*  der  Satz:  „Werden uf 
dem  Durchmesser  AB  eines  Kreises  zwei  Punkte  C,2>  so  genommen,  dun 

—^  =  -=--=: ,  so  verhalten  sich  die  Entfernungen  irgend  eines  Paukte«  s 

\f  IS  IS  JJ 

der  Kreisperipherie  von  jenen  Punkten  bestand^  wie  CA  :  DA.^^ 

'  Die  Hypothese  besteht  hier  erstens  darin^  ^ss  beide  Punkte  C^D  tif 

einem  Kreisdarchmesser  liegen,  und  zweitens  dainn,  dass  77^  =  -7-7:.  Aas 

Cjj         BD 

dem  Ortstheoreme  wird  nun  ein  Porisma,  wenn  die  Hypotheie 
weniger  genau  wird,  wenn  z.  B.  die  Lage  des  einen  Punktes 2) nidrt 
als  bekannt  vorausgesetzt  wird.  Es  ist  einleuchtend,  dass  auch  die  Folge- 
rung alsdann  nicht  unverändert  bleiben  kann,  dass  also  z.  B.  hier  die  OroM 

CA 

des  Constanten  Verhältnisses  — -  nicht  angegeben  werden  kann ,  so  limge 

wir  D  nicht  kennen,  und  so  wird  das  jenem  Ortstheorem  entspieckesde 
Porisma  folgendermassen  lauten:  „Ist  ein  Punkt  (7 und  ein  Kreis  gegebei, 
so  lässt  sich  immer  ein  zweiter  Punkt  D  und  eine  VerhältnissziJü  il  findei,« 
so  dass  die  Entfernungen  irgend  eines  Punktes  m  der  Kreisperipherie  ?ob 
C  und  J)  sich  wie  1  :  X  verhalten/' 

Es  ist  dabei  Etwas  zu  finden,  was  gleichzeitig  alsFoIge 
der  Hypothese  angekündigt  wird,  nämlich  hier  die  Lage  ^ 
Punktes  D  und  die  Grösse  der  Yerhältnisszahl  L  Das  ist  aber  nach  ins 
Definition,  welche  Pappus  ab  die  ältere  nennt,  gerade  das  Weseo  d« 
Porismas.  Etpa^itiß  TCOffuSfia  elvai  to  TCQOveivofUvov  sig  TCOQtaf^ov  ovrov  iw 
m^Hvoiävw  wo  wir  no^taikov  früher  allzugewissenhaft  nur  durch  „Ponsni' 
rung'*  umschrieben,  statt  es  durch  „Auffindung^'  zu  übersetzen. 

Mit  dieser  Auffassung'  stimmen  auch  jene  Porismen  überein,  wekke 
allein  in  vollständigem  Wortlaute  bei  Pappus  aufbewahrt  sind,  und  welche 
Robert  Simsen  zuerst  der  modernen  Wissenschaft  zugänglich  machto 
und  so  der  Vorgänger  von  Chasles,  freilich  in  viel  geringerem  Maotake 
wurde,  als  dieser  Gelehrte  in  seiner  ihn  so  rühmlich  kennzeiehnwdeB 


Literaturzeitung. 


Bescheidenheit  %vl  Tersteben  gibt.  Eines  davon  ist  das  folgende  Porisma: 
,,6chn«iden  die  4  Linien  eines  vollständigen  Vierseits  sich  in  0  Punkten, 
Yon  denen  3  in  einer  Geraden  liegenden  gegeben  sind,  und  sind  von  den  3 
übrigen  Punkten  2  der  Bedingung  unterworfen,  je  auf  einer  gegebenen 
Geraden  su  bleiben,  so  wird  auch  der  letzte  Punkt  eine  Gerade  zum  geome* 
trbchen  Orte  haben,  welche  aus  den  gegebenen  Dingen  näher  bestimmt 
werden  kann/^ 

Man  sieht  augenblicklich  1)  dass  es  sich  hier  um  einen  geometrischen 
Ort  handelt;  2)  dass  in  der  Hypothese  die  Lage  der  von  2  Punkten  beschrie, 
benen  Geraden  nicht  näher  ausgedrückt  ist,  dass  also  an  der  Hypothese 
Etwas  fehlt;  3)  dass  demgemäss  auch  in  der  Folgerung  keine  vollständige 
Bestimmtheit  existirt;  4)  dass  aber  die  Folgerung  zu  einer  bestimmten  er- 
gftiist  werden  kann,  indem  man  die  Lage  der  dritten  Geraden  von  den 
gegebenen  Dingen  abhängig  macht,  sie  als  eine  darzustellende  Function 
derselben  betrachtet 

So  ist  es  auch  zu  verstehen,  wenn  von  dem  Porisma  behauptet  wird, 
es  sei  eine  Gattung  von  Sätzen,  welche  sich  zwischen  Lehrsätzen  und  Auf- 
gaben etwa  in  der  Mitte  halte,  so  dass  der  Ausdruck  derselben  in  die  Form 
von  Lehrsätzen  und  von  Aufgaben  gebracht  werden  könne.  Einen  Lehr- 
satz haben  wir  allerdings  vor  uns,  aber  einen  solchen,  der 
in  seinem  Ausspruche  selbst  wieder  eine  Aufgabe  ein- 
sehliesst. 

Wenn  darnach  bisher  sämmüiche  bei  Papp us  erhaltenen  Erklärungen 
und  Bemerkungen  gleichmässig  Anwendung  fanden ,  wenn  femer  die  soge- 
nannten Neueren  des  Pappus  nichts  Weiteres  hinzübr achten ,  sondern  mit 
den  euclidischen  Porismen  sich  begütigend  deren  Definition  nach  einem 
Nebenumstande  verändert  haben  sollen,  so  kann  darin  nur  der  Sinn  liegen, 
dass  ursprünglich  das  Porisma  noch  allgemeinere  Bedeutung  hatte  als  in 
.den  angeführten  Beispielen,  dass  es  nur  nothwendig  ist,  jdie  Art  des  Neben - 
umstandes  zu  kennen,  um  die  Verallgemeinerung  selbst  wieder  herzustellen.  - 
Diese  Schlüsse,  so  einfach  wie  die  Aufstellung  des  Eies  des  Columbus,  hat 
Chasles  zuerst  gezogen»   Er  hat  den  Nebenumstand  darin  erkannt,  dass 
man  nicht  gerade  ein  Ortstheorem  besitzen  müsse ,  welches  durch  Verände- 
rung der  Hypothese  den  neuen  Satz  liefert,  bei  welchem  noch  etwas  gelin- 
den werden  soll,  sondern  dass  ganz  allgemein 
ein  Porisma  jeder  unvollständige  Satz    ist,    welcher  Zu- 
sammenhänge zwischen   nach   bestimmten    Gesetzen   ver- 
änderlichen Dingen  so  ausspricht,  dass  eine  nähere  Erör- 
terung und  Auffindung  sich  noch  daran  knüpfen  lässt 
Ein  Beispiel  eines  solchen  Porismas,  welches  nicht  von  einem  Orts- 
thedreme  ausgeht,  wäre  es,  wenn  wir  sagen:  „Der  Winkel,  unter  welchem 
ans  dem  Mittelpunkte  eines  Kreises  das  zwischen  zwei  gegebenen  Berüh- 
rungslinien  liegende  Stück  einer  dritten  Berührungslinie  gesehen  wird,  ist 


6  Literatarzeitang. 


constant/^  Dabei  bleibt  nämlicli  noch  als  Aufgabe,  die  OrOgse  dieBet  con- 
stauten  Winkels  zu  bestimmen. 

Oder  um  ein  Beispiel  ans  einem  anderen  Theile  der  Mathematik  ni 
wählen,  wenn  wir  sagen :  „Jede  reelle  ganze  algebraische  Fnnktion  iigend 
eines  nten  Grades  läset  sich  in  einfachste  reelle  Faktoren  niedrigeren  Grades 
aerfällen",  so  ist  das  ein  Porisma,  da  wir  daran  noch  die  weitere  Betrach- 
tung zu  knüpfen  haben ,  von  welchem  Grade  jene  Faktoren  sein  werden. 

Endlich  ist  auch ,  wir  müssen  heute ,  wie  bereits  vor  4  Jahren,  wieder- 
holen ,  die  ärztliche  Diagnose  ein*  Porisma ,  indem  sie  den  gegenwirtigeD 
Zustand  des  Kranken  erhärtend  mit  Berücksichtigung  der  von  Individnim 
zu  Individuum  veränderlichen  Natur  zugleich  das  Problem  der  weiteres 
Entwickelung  des  Processes  in  sich  schliesst. 

Die  Frage ,  wie  es  wohl  gekommen  sein  mag ,  dass  statt  der  allgemei- 
nen Definition  später  die  zweite  speciellere  substituiri  wurde ,  1i^  au  nahe, 
als  dass  C  h  a  s  1  e  s  sich  dieselbe  nicht  gestellt  h^tte.  Und  er  beantwortet  sie 
vollkommen  genügend  dahin ,  dass  wahrscheinlich  ein  oder  der  andere  Ma- 
thematiker eine  Auswahl  von  Porismen ,  sei  es  als  Lehrmaterial ,  sei  es  m 
ein  Buch ,  vereinigt  habe ,  dass  dazu  die  Porismen  gewählt  wurden ,  welche 
die  damalige  höhere  Mathematik  bildeten ,  also  für  die  Lehre  -von  den  geo- 
metrischen Oertem  nützlich  waren ,  und  dass  man  in  dieser  Weise  mit  einer 
specielleren  Definition  auskam,  welche  bald  die  allgemeinere,  eigentlidi 
richtige,  ganz  verdrängte. 

Von  Porismen  aus  nicht  geometrischen  Kapiteln  konnte  ohnedies  bei 
der  durchweg  geometrischen  Behandlungsweise  der  griechischen  Matliematik, 
welche  kaum  bei  der  Zahlentheorie  sich  verleugnete,  wie  Referent  sehe« 
mehrfach  zu  zeigen  Gelegenheit  nahm,  nur  wenig  die  Rede  sein.  Die  ein- 
zigen Ausnahmen  gehören  in  der  That  der  zuletzt  erwähnten  DiscipUn  an 
und  finden  sich  bei  Diophant  Die  Betrachtung  derselben  lässt  nnnaittdhar 
das  erkennen,  was  als  Kriterium  eines  Porismas  angegeben  wurde:  £i 
wird  Etwas  beweisen ,  was  selbst  als  Ausgangspunkt  einer  von  selbst  sich 
daran  knüpfenden  Frage  dient. 

Darm  liegt  es  auch,  dass  Proclus  mit  vollem  Rechte  sagen  konnte: 
„Man  nennt  es  ein  Porisma,  wenn  Etwas  zwar  gesucht  wird,  aber  um  tsb 
der  Erfindung  Gebrauch  zu  machen  und  nicht  von  der  Entstehung  oder  eis- 
fachen  Anschauung*^ 

Darin  ferner  liegt  die  Aehnlichkeit  zwischen  den  bisher  als  Ponsmcs 
bezeichneten  Sätzen  und  den  sogenannten  Zusätzen ,  CoroUarien.  Aach  sie 
knüpfen  sich  ohne  Weiteres  an  das  gerade  Bewiesene  an,  ohne  eine  bloss 
verschiedene  Ausspruchsweise  desselben  zu  sein.  Sie  wurden  desdialb  anch 
unter  dem  gleichen  Namen  als  Porismen  bezeichnet. 

Es  erübrigt  nur  noch  Weniges  um  die  Ansiehtoi  von  Chasles  b 
Kürze  mitgetheilt  zu  haben.  Dahin  gehört  das  Verhältniss  der  Fcnamm 
zu  den  Sätzen,  welche  als  Data,  besonders  als  die  Data  des  Euelid  be- 


Literatarseitung. 


kannt  And ,  ein  Yerhftltnissi  welches  der  Verfasser  scbon  in  der  Geschichte 
der  Qeometrie  also  seit  1834  angedeutet  hatte ,  aber  doch  wohl  in  etwas  zu 
abgekürzter  Weise,  so  dass  es  dem  Beferenten  bisher  unverständlich  blieb, 
und  darum  in  der  Abhandlung  Bd.  II  dieser  Zeitschrift  auch  nur  mit  einem 
Fragezeichen  angeführt  werden  konnte.  Dieser  Zusammenhang  besteht 
nun  nach  Ghasles  in  einer  Identität  der  Form,  wfihrend  der  Inhalt 
sich  nur  dadurch  unterscheidet,  dass  bei  den  Porismen  die  Bedingung 
einer  reränderlichen  Grösse  hinzutritt,  welche  bei  den  Daten  fehlt.. 
So  gehört  z.  B.  zu  den  Letzteren  der  Satz :  „Wenn  zwei  Grössen  a,  6  in 
gegebenem  Verhältniss  k  stehen,  so  steht  die  Summe  der  beiden  zu  jeder 
einzelnen  gleichfalls  im  gegebenem  Verhältnisse/' 

So  weit  die  hauptsächlichen  Ansichten,  welche  Ghasles  über  Poris'- 
men  und  Verwandtes  in  der  Einleitung  seines  Werkes  auseinandersetzt. 
Die  Bestimmtheit  der  Auffassung,  die  Klarheit,  mit  welcher  jede  der  frü- 
her 60  dunkeln  Stellen  jetzt  hervortritt,  würden  wohl  an  sich  genügen,  sei- 
nen Definitionen  zur  Stütze  zu  dienen,  so  dass  es  ein  zu  diesem  Zwecke 
vollständig  überflüssiger  Beweis  ist,  den  er  durch  wirkliche  Bestitution  der 
drei  Bücher  Porismen  von  seinem  Standpunkte  aus  noch  hinzufügte. 

Das  Verdienst  dieses  zweiten  und  e^entlicheu  Haupttheiles  des  Wer- 
kes ist  ein  in  sich  selbst  hinlänglich  begründetes.  Es  wäre  eine  eben  so 
schwierige  als  undankbare  Aufgabe,  auch  nur  den  hauptsächlichen  Inhalt, 
der  in  der  Ghasles 'sehen  Bestitution  enthaltenen  Sätze  in  kurzer  Skizze 
wiedergeben  zu  wollen.  Dieser  Beichthum  an  geometrischer  Eleganz  will 
vollständig  und  wiederholt  genossen  sein,  wenn  man  alles  Vergnügen  und 
allen  Nntzeu  aus  dem  Werke  schöpfen  will ,  die  es  gewähren  kann.  Wir 
dürfen  daher  füglich  unsere  Anzeige  hier  abbrechen  und  deren  Schluss 
noch  in  die  Worte  zusammenfassen,  dass  wir  es  hier  mit  einem  Meister- 
werke zu  thun  haben ,  würdig  des  Verfassers  des  Aperfu  historique ,  würdig 
zugleich  des  Verfassers  der  Geometrie  supSrieure,  Gantor. 


Br.  Fr.  Barfiiolomaei,  Zehn  Vorlomugeu  über  Philosophie  der  Hathe. 
•  matik«  Jena.   Verlag  von  Friedrich  Luden,  1860. 

Was  der  Verfasser  unter  diesem  Titel  dem  grösseren  Publikum  darbie- 
tet, sind  wesentlich  Gelegenheitsreden,  welche  er  in  der  mathematischen 
Gesellschaft  in  Jena  beim  jedesmaligen  Abschlüsse  eines  Veiceinssemesters, 
oder  sonst  bei  Festlichkeiten  zu  halten  hatte.  Es  ist  gewiss  nur  zu  loben, 
dass  er  als  Stoff  dieser  der  Zeit  nach  ziemlich  weit  ^  auseinanderliegenden 
Vorträge  solche  Gegenstände  wählte,  welche  ebensowohl  als  ein  Ganzes  be- 
trachtet werden  können,  als  sie  jeder  für  sich  der  getrennten  Behandlung 
fthig  und  auch  fUr  solche  Zuhörer,  die  nicht  strenge  Fachmathematiker 
waren,  zugänglich  und  sogar  interessant  waren.  Das  Gelegenheitliche  lässt 
sich  darum  auch  in  der  Anordnung  des  Stoffes  kaum  bemerken,  welche  in 


8  LiteratorzeitttDg. 


eonseqnenter  Reihenfolge  saent  die  Qaellen  der  mathematifleheii  Begriffe 
▼oa  Herb art 'schein  Standpunkte  ans  nntereueht,  nnd  dieselben  in  der 
Natnrbetrachtiing,  in  der  Selbstbeobachtoi^,  in  der  Metaphysik,  in  der 
Logik  findet. 

So  trennen  sich  von  selbst  vier  Hanpttheile  ab:  die  philosophische 
Begründung  der  Mathematik  ans  der  Natnrbetraehtnng,  aus  der  Selbstbeob- 
achtung, die  Mathematik  des  Seins  nnd  die  Mathematik  der  Denkform.  Nor 
der  erste  Thefl  wird  weitttufiger  behandelt,  indem  der  Verfasser  die  Durch- 
führung der  späteren  Kapitel  sich  noch  vorsubehalten  scheint  Beferent  iit 
mit  der  Herleitung  mathematischer  Begri£fe  aus  der  Erfahrung,  also  aus  der 
Naturbetrachtung y  zu  sehr  einverstanden,  als  dass  er  den  Entwickelongeii 
des  Verfassers  nicht  mit  Interesse  gefolgt  wSre.  Trotsdem  gestattet  uns 
der  Zweck  dieser  Zeitschrift  nicht,  uns  hier  auf  eine  ausf&hrlichere  Darstel- 
lung einanlassen.  Es  ist  keine  Frage,  dass  der  Gegenstand  fOr  den  Philo- 
sophen tiberaus  wichtig  ist.  Wir  möchten  ihm  namentlich  die  vielfache  Po- 
lemik gegen  Hegel  sur  prüfenden  Würdigung  empfehlen.  Es  ist  nicht 
minder  sicher,  dass  der  Mathematiker  das  vorliegende  Werkchen  mit  einer 
gewissen  Spannung  verfolgen  wird.  Aber  auf  die  mathematischen  Lehrme- 
thoden dürften  dessen  Besultate  doch  nur  von  geringerem  EHnflusse  sein. 
Das  ist  gerade  das  Eigenthümliche  an  unserer  Wissenschaft,  dass  von  den 
verschiedensten  Principien  aus  dasselbe  Ziel  erreicht  werden  kann,  wenn 
man  nur  consequent  zu  Werke  geht. 

Manches  auch  mathematisch  Neue  und  Ansprechende  wird  übrigem 
der  Leser  doch  an  den  verschiedensten  Stellen  des  Büchleins  finden.  Befe- 
rent will  dabei  besonders  auf  die  vier  letzten  Vorlesungen  aufmerksam  ms- 
chen,  welche  mit  einigen  der  ersten  Zahlen,  besonders  mit  der  Eins,  Zwei, 
Drei,  Vier,  Sieben  and  Zwölf  sich  beschäftigen  und  historisch  interesstntp, 
uns  fast  durchgehend  neue  Zusammenstellungen  und  Hypothesen  bringen. 
Unter  den  „Anmerkungen"  folgt  alsdann  noch  eine  ausftihrliche  Dentoo; 
der  apocalyptischen  Zahl  666 ,  welche  dem  Scharfsinne  des  Verfassers  alle 
Ehre  macht. 

Es  bleibt  noch  übrig  der  Form  zu  gedenken,  in  welcher  die  Vorlesungen 
vor  uns  hintreten.  In  dieser  dringt  nicht  sehr  zum  Vortheile  des  Werkchens 
das  Gelegenheitliche  zu  stark  durch.  Wir  glauben,  dem  Verfasser  den  Bstk 
geben  zu  müssen,  bei  Veröffentlichung  der  Fortsetzung  seiner  Forschungen 
jene  Schlusssätze ,  welche  den  Gang  der  Betrachtungen  nur  jedesmal  unter- 
brechen ,  lieber  wegzulassen.  Gesprochen  mögen  jene  Abschweiflmgen  tm 
Ende  des  eigentlichen  Vortrags  von  erheiternder  Wirkung  und  vielleickk 
auch  am  Orte  sein.  Gedruckt  machen  sie  sicherlich  keinen  aDgendmen 
Eindruck  auf  Jeden ,  den  nicht  persönliche  Erinnerung  zum  dankbaren  Le- 
ser macht.  Sie  stören  vielmehr  nur  die  Gesammtwirkung,  welche  der  ernste 
Theil  der  Vorträge  hervorzubringen  entschieden  geeignet  ist      Oahtoi. 


Literaturaeitiing. 


Dantellnnc  d«r  reellen  Wuneln  idgebraisoher  (Heiehiuigeii  durch  Se- 
terminaiiteii  der  Coefiloienten.    Von  Ed.  Fuebstbnau,  Gymnasial- 
lehrer zu  Marburg.     Marburg ,  Elwert'scbe  Universitfttsbuchhand- 
lung.    1860. 
In  der  vorliegenden  Abhandlung  (35  S.)  giebt  der  Verfagser  eine  neue 
Methode  der  Auflösung  von  solchen  algebraischen  Oleichnngen,  deren  Wur- 
zeln sämmtlich  reell  sind.  Diese  Methode  ist  in  mehrem  Beziehungen  merk- 
würdig und  verdient  die  Aufmerksamkeit  der  Algebristen,  weshalb  eine  kurze 
Beschreibung  derselben  den  Lesern  dieser  Zeitschrift  nicht  unwillkommen 
sein  dürfte. 

1 .  Es  sei  f{x)  =ao+ö|«+af«*+..  eine  ganze  algebraische  Func- 
tion von  X  vom  nten  Grade.     Das  System  der  Gleichungen 

A^)  =  0,  xfix)=0,  a*f{x)  =  (S,  . .,  'a^'f[x)  =  0 
ist  in  Bezug  auf  die  Grössen  x,  x*,  ar*. .,  af+»^*  linear.     M^n  kann  also 
p  —  1  dieser  Grössen,  welche  auf  einander  folgen,  z,  B. 

aus  dem  System 

0  =  a^+  aix  +  a^  +  . .  +  ö»^. 

0  =  a<^  +  a,a:«  +  •  •  +  c^\^  +  «•«**'*• 

0  ==  a^  +  . .  +  a,^.^+  «,»-i«***+«i»«*^ 

eliminiren«     Zu  diesem  Zwecke  wird  die  Determinante  jvten  Grades  des 
Systems  «i,       a^^.!,  a^^   .     . 

gebildet,  natürlich  unter  der  Voraussetzung,  dass  das  Element  a^  verschwin- 
det, wenn  r  ausserhalb  der  Grenzen  0  und  n  fällt.  Dann  multiplicirt  man 
die  obigen  Gleichungen  der  Beihe  nach  mit  den  Coefficienten ,  welche  in 
der  Determinante  zu  den  Elementen  der  ersten  Colonne  gehören ,  und  die 
durch  ff,  I ,  a,,i,  .  . ,  a^^x  bezeichnet  werden,  und  findet  durcb  Addition 
.      I)  0  =  ^^{x)  +  \;^^  +  ft.a**^*  +  . .  +  h^üir'^K 

Hierin  ist  tp^  (o:)  eine  ganze  rationale  Function  von  x  vom  Arten  Grade, 
nämlich 

9h{^)  —  («0  +  ö|«  +  flt«*  +..+«» ic*)  «1,1 
+  {a^  +  a,a:*  +  .  .  +  «»-taJ*)at.i 
+  {a^  +  .  .  +  «*-t^)at.i 
+ 

+   flo  ^    «4^1,1. 

Die  Function  fp^^ix)  entsteht  aus  der  obigen  Determinante  pten  Grades, 
indem  an  die  Stelle  der  Elemente  a^^  aj^i ,  . .  in  der  ersten  Colonne  die  Ele- 
mente 

Oo  +  .  .  +  öfcir»»    Od^  +  •  •  +  «»-t«*>   «d«?'  +  •  •  +  «»-i«^*>  •  • 
geeetst  werden.     Also  hat  man 


10 


Literatarzeitang. 


II)         q>,{x)  = 


«0  5  ^M-l  >  ^»-W  •  • 

+ 

«M  «M-« »  "fc+f  • 

0>    Äj,      «w-i*  • 

«»»<»»»       «M-1-  • 

0,   fl».|,fl»     . . 

•           •           •          •    • 

0,  a^^,  0»    . . 

a:+..+ 


2.     Versteht  man  unter  o^i^^i,  «jh4>  •  •>  ^«-i  Wurzeln  der  Gleichnng 
f{x)  =0,  so  hat  man  nach  (I)  das  System 

0  =  9»  W    +  ^i^i^  +  fttaJ«*"*^^+  •  •  +  ^•^«•**^' 
von  n  —  k-\'l  Gleichungen,  welche  in  Bezug  auf  die  Grössen  6|,  b^  ..  h^^ 
linear  sind.     Die  Besultante  dieses  linearen  Systems  ist 


0  = 


•'M-i 


oder  nach  Division  der  Zeilen 
0  = 


^. 


1.     «, 


*M-li 


a?j 


a?« 


M-l 


.  «-»-1 


oder  nach  Mnltiplieation  der  ersten  Colonne 


in)     0  = 


9»(«), 


a?, 


a^jk+T 


^CuiPuix)    +  C^4.,^^j        9k(«M.l)  +      •   +  ^•(^)       9»W. 

worin  die  partiellen  Determinanten  C|,  (7]^],  .  .  .  c^  von  p  nnabhftngig  sind. 

.  3.  Diese  Gleichung  redudrt  sich  auf  tpu  {x)  =  0,  wenn  p  ins  Unend- 
liche wächst,  unter  der  Voraussetzung,  dass  die  Gleichung  /'(a:)=0  lauter 
reelle  Wurzeln  hat,  und  dass  unter  diesen  Wurzeln  x«^t, . .,  a:;i  die  ahsolut 


Literatarzeitung. 


11 


grössten  sind.   Die  übrigen  Wnrseln  Xi,  x^,  .  .^x^  der  Oleiehnng  f(x)c=3V 
sind  die  Wnrseln  der  Gleichung  (pk{x)  =  0« 

Insbesondere  giebi  g>i  {x)  s=3  0  die  absolut  kleinste  Warsei  Xf  der  Glei- 
chung f(x)  =  0,  q>t(x)  =  0  die  2  absolut  kleinsten  Wurzeln  Xf,  x^  derselben 
Gleichung,  fp^  (x)  e==*0  die  S  absolut  kleinsten  Wurzeln  x^^  Xf,  x^  dwselben 
Gleichung,  u.  s.  f.    Also  hat  man 

IV)        —  a:,=    «o,«!.«»-/    '     «i.öt,«»' 


x^ )  ^% ' 


■«I,  Xx^  Xi 


«0»  ^«»  <*4  • 

0,   a„  ö,  . 

0,    flt,«4. 


überhaupt 


•     •     •    • 


=..*.(%^). 

=-*'(^). 
=^»"(^) 


^1    «fc>      «H-l 


^-''-C^') 


zur  Berechnung  der  Wurzeln  ari ,  o:« ,  ... 

Diess  sind  die  bedeutsamen  Resultate ,  zu  welchen  Herr  Fürstenau, 
wenn  anch  nicht  auf  dem  hier  angezeigten  etwas  directeren  Wege ,  gelangt 
ist  Herr  Fttrstenau  hat  die  Fälle  absolut  gleicher  Wurzeln  ni<^t  uabe* 
achtet  gelassen,  er  hat  die  suocessive  Berechnung  von  R^<^,  Rk,t^  ^k.i^  - ' 
angegeben,  und  nach  seiner  Methode  die  Wurzeln  einer  numerischen  Glei* 
chung  4ten  Grades  wirklich  ausgerechnet.  Die  mitgetheilten  Zahlen  g^ben 
zu  erkennen ,  was  Herrn  Fürstenau  entgangen  zu  sein  scheint,  dass  je  zwei 
aufeinMider  folgende  unter  den  Werthen 


•^>. »— t 


^».P 


^h.p 


n,ii^M 


den  gesuchten  Orenzwerth  einschliessen.  Durch  den  Beweis  dieser 
wichtigen  Eigenschaft  wird  Herr  Fürstenau  seine  Methode  auch  in  prac- 
tiseher  Hinsieht  gegen  etwaige  Unterschfttzung  sicherstellen.  Die  bedeu- 
tendste Eigänzung  des  durch  die  neue  Methode  Geleisteten  würde  aber  in 
einer  glücklichen  Discussion  der  Gleichung  (IH)  für  den  Fzll  complexer 
Wurzeln  bestehn. 

Zum  Schluss  kann  ich  nicht  unerw&hnt  lassen,  dass  in  Herrn  Fürste- 
nau's  Arbeit  zum  erstenmale ,  wenn  ich  nicht  irre ,  Determinanten  von  un- 
endlichem Grade  in  Anwendung  gekommen  sind.  Dr.  R.  Baltzeb. 


12  Literaturz^tang. 


Lehrbnob  der  Slektricit&t  Von  I.  Oavasket,  Professor  an  der  medidiii- 
fichen  Facnltät  sa  Paris,  dentseh  bearbeitet  von  Dr.  Budolv 
Aeekdt,  Leipzig,  F.  A.  Brockhaas  1859  3  1  heile  =  4  Liefenm- 
gen  k  1  Thaler. 
Das  genannte  Werk  ist  eine  üebersetznng,  die  der  Herr  üebenetser 
mit  eigenen  den  Text  unmittelbar  einverleibten  Anmerkungen  versehen  hat, 
sodass  das  im  Ganzen  086  Seiten  zählende  Werk  ohne  die  Anmerkungen 
nngeßlhr  65  Seiten  weniger  einnehmen  wilrde;  desgleichen  hat  der  Herr 
üebersetzer  es  mit  fOr  deutsche  Verhältnisse  passenden  Citaten  versehen. 
Der  behandelte  Stoff  umfasst  das  Oebiet  der  Beibungselektricität,  de»  Mag- 
netismus und  der  elektrischen  Ströme  und  ist  von  den  Herrn  Verfasser  in 
die  4  AbtheUungen  gebracht  werden ,  die  auch  der  Üebersetzer  beibehalten 
hat:  l)  statische  Elektricität,  2)  Magnetismus,  3)  dynamische  Elektridtät, 
4)  atmosphärische  Elektricität.  Hinsichtlich  der  weiteren  Eintheilung  mes- 
sen wir,  um  nicht  zu  lang  zu  werden,  auf  das  Werk  selbst  verweisen,  kön- 
nen aber  versichern,  dass  es  eine  gute  didactische  Eintheilung  ist;  was  die 
Beichhaltigkeit  des  behandelten  Materiales  anbelangt,  so  lässt  das  Werk 
nichts  zu  wünschen  übrig,  indem  überall  das  Historische  genügend  berück- 
sichtigt ist  und  z.  B.  der  Herr  Üebersetzer  auch  den  neuesten  Fofsehun- 
gen  gedacht  hat.  Was  die  Behandlung  des  reichlich  dargebotenen  Stof- 
fes anbetrifft,  so  ist  durchgängig  der  Weg  der  Herleitung  des  Gesetzes  ans 
dem  Experiment  gewählt,  die  Versuche  sind  durch  nette  in  den  Text  ein- 
gedruckte Holzschnitte  (im  ganzen  Werke  456)  erläutert,  von  Mathematik 
ist  daher  wenig  Gebrauch  gemacht,  so  dass  man  beim  Lesen  des  Werkes 
mit  den  Elementen  dieser  Wissenschaft  auskommt.  Die  Ausstattung  de« 
Buches  ist  vorzüglich,  Druck  Papier  und  Holzschnitte  lassen  nichts  wün- 
schen übrig.  Sollen  wir  einen  Tadel  aussprechen,  so  betrifft  er  die  Ein- 
theilung der  Elektrisirmaschinen  in  solche,  die  nur  eine  Art  von  Elektrici- 
tät liefern  können  (Scheibenmaschinen)  und  in  solche,  die  gleichzeitig  beide 
Arten  der  Elektricität  liefern  können  (Cjlindermaschinen).  Wir  zweifeln 
nicht,  dass  diese  Eintheilung  nur  davon  herrührt,  dass  man  in  Frankreich 
das  Reibzeng  der  Scheibenmaschinen  nicht  zu  isoliren  pflegt,  endlich  hätte 
wohl  mehr  auf  die  Theorie  der  Elektrisirmaschinen  und  des  Elektrophors  ein- 
gegangen werden  können ,  von  erstem  die  Minderentwickelung  der  negati- 
ven Elektricität,  von  letztem  die  Ursache  der  Tenacität  erklärt  werden 
können,  ungeachtet  dieser  Ausstellungen,  die  nur  Einzelnes  betreffen,  ist 
das  Buch  im  Ganzen  ein  sehr  gutes  Buch  und  wir  können  dasselbe  allen 
denen  empfehlen,  die  sich  ohne  Aufwand  bedeutender  mathematucher 
Kenntnisse  gründlich  mit  den  Erscheinungen  der  Elektricität  und  des  Ms^- 
tismus  bekannt  machen  wollen.  Dr.  Kahl. 


Literatnrseitang.  13 

BibUographie. 

Vom  1.  October  bis  1.  December  1860. 


Feriodiiohe  Sehriften. 

Berichte  über  die  Verhandlungen  der  K.  S.  Gesellschaft  der 

Wissenschaften  an  Leipzig.  Jahrg.  1860, 1  u.  11.  Leipaijf,  Hirsel. 

%  Thlr. 
Abhandlungen  derE.  Akademie  der  Wissenschaften  auBerlin. 

Aus  dem  Jahre  1859.  Mathemat  Abhandlungen  2  Thlr. 

Physikal.  Abhandlungen  3  Thlr« 
Sitzungsberichte  der  K.  Bayr.  Akademie  der  Wissenschaften 

SU  München.   1860;  l-~ 3  Heft.    München,  Franz.  ä  Iß  Ngr. 

Abhandlungen  der  K.  Bayr.  Akademie  der  Wissenschaften  zu 

München.  8.  Bd.  3.  Abth.  Ebendas.  2  Thhr. 

Fortschritte  der  Physik  im  J.  1858.   Dargestellt  v.  d.  physikalischen 

Gtosellscb«  zu  Berlin.   14.  Jahrg.  redig.  ▼.  O.  Hagsn.    2.  Abth.   Berlin, 

Beimer.  '  2  Thlr. 

EupFFEB,  A.  T.  Annale$  de  tohservatoire physigne  centrale  de  Rue* 

sie.    Jnnäe  1857.  Leipzig,  Voss.  7  Thb. 

KuPFFSB,  A.  T.  Correspondance  tnetSorolagique,  AnnSe  1858.  Leipzig, 

Voss-  5  Thlr. 

Beine  Mathematik. 

BAXtTHOLOiiAEi,  F.  Philosophie  der  Mathematik.  U  Abth.  enth« 
sehn  Vorlesungen.   Jena,  Luden.  1  Thlr. 

MsniAN,  P.  Die  Mathematiker  Bernoulli  Basel,  Schweighftuser  in 
Gomm.  18  Ngr. 

Stebn,  M»  A.  Lehrbuch  der  algebraischen  Analysis.  Leipzig, 
0.  F.  Winter.  2  Thlr. 

SosBiBSEB,  W.  lieber  unendliche  Reihen  und  deren  Conver^ 
genz.    Grattdationsschrift   Leipzig,  HirzeL  24 Ngr. 

Zbhvuss,  O.  Die  Grundzüge  der  Algebra.   Oppenheim  a. Rh.,  Kern. 

22  Ngr. 

DoBBK,H.6.  Lehrbuch  der  Mathematik.  LBd.,  1.  Thl.  Arithme- 
tik u.  Algebra.  2.  Aufl.   Berlin,  Weidmännische  Buchh.  18  Ngr. 

Gbossmank,  H.  Lehrbuch  der  Mathematik.  1.  Theil,  Arithmetik. 
Berlin,  Enslin.  Vs  Thlr. 

Mayer,  G.  Leitfaden  zum  Unterrichte  in  der  Elementarma- 
ti k.    4  Aufl.   München,  Lindauer.  27  Ngr. 

ScRuiiENBURO,  A.  V.  Die  Auflösung  der  Gleichungen  fünften 
Grades.   Halle,  Schmidt.  12  Ngr. 


f4  Literatarzeitang. 


BoRCHABDTy  C.  W.  lieber  eine  Interpolationsformel  für  eine 
Art  symmetrischer  Ftmctionen.  (Akad.)  Berlin,  Dttmmler  in 
Comm.  8  Ngr. 

Franke,  T.  Die  Elemente  der  ebenen  Geometrie.  3.  Aufl.  Han- 
nover ,  Helwing.  V4  TUr. 

W1TT8TEIN ,  Th.  Das  Prismatoid.  Eine  Erweiterung  der  elementaren 
Stereometrie.    Hannover,  Hahn.  V9  'I^Ur* 

GaijLBNKAmp,  W.  Die  Elemente  der  Mathematik.  2.  Anfl.  3.  Theil. 
Iserlohn,  Bädeker.  Vs™^ 

Staubt,  K.  t.  Beiträge  anr  Geometrie  der  Lage.  3.  Heft  Nfim- 
berg,  Bauer  &  Raspe.  ^  27  Ngr. 

Salicon,  G.  Analytische  Geometrie  der  Kegelschnitte  mit 
besonderer  Berttcksichtignng  neuerer  Methoden.  Untet 
Mitwirkung  des  Verf.  deutsch  bearb.  von  W.  Fiedler.  Leipsig,  Tealh 
ner.  4Thli. 

JouBSET.  Sur  ta  thSorie  des  fonclions  ellipiiques  ei  $on  applicM- 
Hon  äla  ih4arie  des  ncmbres.   Paris.  20Ngn 

AAgewaadte  Mathematik. 

Leroy,  C.  f.  A.  Die  Stereometrie,  enth.  die  Anwendungen 
der  darstellenden  Geometrie  auf  Schattenlehre,  Linear- 
perspective  etc.  Aus  dem  FanzOs.  von E.  Kauffmank«  2.  Ansg. 
1.  Lief.     Stuttgart,  Becher.  ^/^  TUr. 

SüHLMANN,  M.  Grundzttge  der  Mechanik  im  Allgemeinen  und 
der  Geostatik  im  Besonderen.  3.  Aufl.  Leipsig,  Amoldisehe 
Buehh.  2  TUr. 

Prediger,  C.  üeber  die  Genauigkeit  barametrischer  Hdben- 
messungen.     Clansthal,  Grosse.  12  Ngr. 

Schenk,  J.  Anleitung  zur  Berechnung  der  Sonnen-  andMond- 
finsterniss€|  sowie  aller  von  der  Parallaxe  abhftngigen 
Rechnungen.     Olmütz ,   Neugebauer.  I  TUr. 

de  Saint-Kobert.  'Etudes  sur  la  irajeeioire  que  dierivent  lesprs- 
Jeciiles  oblongs.    Puris.  iVsTUr. 

DuBOis,    E.    B.     Cours   de    navigation    et  d^ Hydrographie,     Paria. 

3V3  TUr. 

Bülard,  NoUce  suv  Veclipse  totale  du  soleil  du  18.  juillet  1800. 
Paris,  12V,  Ngr. 

Physik. 

MoüSSON,  A.  Die  Physik  auf  Grundlage  der  Erfahrung.  2.  Ab« 
theilung:  Physik  des  Aethers.     Zürich,  Schulthess.  28  Ngr. 

Hou,Th.  Elemente  der  physikalischen  Mechanik  für  Gymns- 
nasien.     Leipzig,  0.  Wigand.  #  24  Ngr. 


Literatarseitung.  1 5 


BoTHB,  F.  Physikalisches  Bepertoriam,  oder  die  wichtigsten 
Sfttze  der  elementaren  Physik.    Braunschweig, Vieweg.   ^/^Thb, 

Koppja,  K.    Anfangsgründe  der  Physik.    7.  Aufl.    Essen,  Bftdeker. 

lV«Thlr. 

Brettner,  H.  A.  Leitfaden  für  den  Unterricht  in  der  Physik. 
15.  Aufl.    Breslau,  Max  &  Comp.  Ve '^^' 

Mann,  F.  Naturlehre  in  einer  Reihe  physikalischer  Indivi- 
duen.    S.  Heft.     Frauenfeld,  Huber.  8  Ngr. 

QüiNTUs  loiLius,  G.  y.  Ezperimental-Physik.  Ein  Leitfaden  bei 
Vorträgen.     2.  Aufl.     Hannover,  Schmorl  &  v.  Seefeld.  3  Thbr. 

SuBic,  S.  Lehrbuch  der  Physik  ftir  Obergymnasion  und  Oberreal- 
schulen.    Festh,  Heckenast  2  Thbr. 

Bezold,  W.  V.  Zur  Theorie  des  Condensato'rs.  Inaug.-Dissert. 
Göttingen,  Vandenhoeck  &  Buprecht  in  Comm,  Vs  Thlr. 

Natani,  L.  Materie,  Aether  und  lebendige  Kraft.  Physikalische 
Betrachtungen.  Berlin ,  Bosselmann.  Vs  Thlr. 

KuPFFEE,  A.  T.  Eecherches  experimeniales  sur  Vilasiicili  des 
mSiauäT  faiies  ä  Vobservatoire  physique  central  de  Russie. 
Leipsig,  Voss.  5  Thlr. 

Du  MoNCBL.  'Etudes  des  lots  des  couranis  ilectriques  au  poini  de 
vue  des  applicaiions  ilectriques.    Paris ,  ffachette.  4  Frcs. 


BeriühtigUAg. 

Zufolge  eines  VersehenB  habe  ieh  in  meiner  Besprechung  der  Elemente 
der  Mathematik  von  Dr.  Baltub  (Jahrg.  1860,  4.  Heft)  die  Beiheuentwicke- 
longen  ffir  ly  und  Aretanx  als  fehlend  bezeichnet;  dies  ist  dahin  eu  berichtigen, 
das«  nicht  die  Reihen  für  ly  und  Arctan  «,  sondern  yielmehr  die  Reihen  für  tan  x, 
teooe,  secxy  esc  x  und  Arennx  fehlen.  Die  Folgerung)  dass  des  Verf.  Werk  für 
eine  algebraische  Anaijsis  zu  wenig  und  für  „Elemente  der  Mathematik**  su  viel 
enthalt,  bleibt  dabei  ungestört.  Scrlomiloh. 


Literaturzeitung , 


Recensionen. 

LofOBt  mr  las  ooordoimte  eaniligAM  et  lern  diY«riet  applimtioiui.    Far 
G.  LAMi.    (Paris,  Mallet-Bachelier,  1850.) 

Das  vorstehend  g^enannte  Werk  scheint  zwar  schon  durch  den  Namen 
seines  Verfassers  die  Gewähr  in  sich  zu  tragen ,  dass  es  allgemein  beachtet 
wird;  dennoch  hat  diese  Anseige  wesentlich  den  Zweck ,  auf  die  Bedeut- 
samkeit seines  Inhalts  in  weiteren  Kreisen  aufmerksam  zu  machen ;  viel- 
leicht, dass  diess  bei  den  Hindernissen,  die  der  Verbreitung  fremdländi- 
scher gelehrter  Werke  noch  immer  ^entgegenstehen,  doch  nicht  ganz  tiber- 
flfissig  ist 

Man  weiss  es ,  dass  der  gelehrte  Autor  mehr  als  Andere  zur  Bearbei- 
tui^  des  bezeichneten  Gegenstandes  berufen  war,  und  man  wird  es  ihm 
Dank  wissen,  dass  er  sich  der  Mühe  derselben  unterzogen  hat.  Knüpft  sich 
doch  der  Begri£F  der  krummlinigen  Goordinaten  durch  das  ausgezeichnetste 
Beispiel  von  der  Anwendung  derselben,  durch  die  elliptischen  Coordinaten, 
vor  Allem  an  seinen  Namen. 

Das  System  der  elliptischen  Coordinaten  in  der  Ebene  bezieht  be- 
kanntlich jeden  Punkt  der  Ebene  auf  zwei  feste  Punkte  derselben ,  indem 
es  ihn  als  den  Durchschnittspnnkt  einer  Ellipse  und  einer  Hyperbel  be- 
trachtet, welche  beide  jene  Punkte  zu  ihren  Brennpunkten  haben.  Die 
Halbaxen  beider  Curven  dienen  als  Coordinaten  des  Punktes.  Je  zwei 
zusammengehörige  Cnrven  des  Systems  sind  in  ihrem  Schnittpunkte  recht- 
winklich  auf  einander.  Herr  Kummer  hat  im  XXXV.  Bande  von  Cr  eile's 
Journal  bewiesen ,  dass  confocale  algebraische  Curven  sich  ganz  allgemein 
orthogonal  durchschneiden,  wenn  man  die  Plücker*sche  Brennpunktsdefi- 
nitioD  voraassetct.  Man  hat  damit  ein  System  rechtwinkliger  Coordinaten, 
in  weichem  die  zu  den  Axen  parallelen  Coordinaten  des  Cartesischen 
Systems  durch  Cnrven  2.  Grades  und  die  in  den  Axen  gebildeten  Ab- 
schnitte durch  die  Halbaxen  derselben  als  durch  ihre  Parameter  ersetzt 
werden. 

ZcUtcbrin  t.  Malhtmalik  u.  Physik.  VI.  2.  2 


1 8  Literaturzeitung. 


Man  weiss  auch ,  dass  das  System  der  eÜiptiBchen  Coordinateo  seine 
allgemeine  Gestalt  und  seine  grössere  Bedeutsamkeit  erst  im  Räume  em- 
pfangt. Drei  confocale  Familien  von  Oberflächen  zweiten  Grades  existiren, 
durch  jeden  Punkt  des  Baumes  geht  eine  Fläche  von  jeder  Familie  und 
diese  drei  Flächen  sind  in  ihm  zu  einander  orthogonal,  d.  h.  die  Tangenti«!- 
ebene  einer  jeden  enthält  die  Normalen  der  beiden  andern.  Die  drei  Ober 
flächenfamilien  sind  dreiazige  Ellipsoide,  einfache  und  doppelte  Hyper- 
boloide. 

Ein  einfacher  specieller  Fall  dieses  Systems  ist  das  der  geographischen 
Ortsbestimmung  analoge  System  auf  der  Kugeloberfläche ;  die  Eugelflicbe 
vertritt  das  dreiaxige  EUipsoid,  die  Meridianebene  das  einfache  und  d« 
Breitenkegel  das  doppelte  Hyperboloid;  auch  hier  sind  in  jedem  Funkte 
des  Saumes  die  drei  Coordinaten-Flächen  orthogonal. 

Die  nähere  geometrische  Definition  des  allgemeinen  ellipsoidisciies 
Systems  ist  im  Folgenden  enthalten :  Auf  drei  rechtwinkligen  Axen  Ox,  Oy^  Or 
werden  die  Längen  OF  =  0F'=  /,  Of=Ofz=:  Ar/,  0/=  0/'  =  *'/ respec- 
tive  aufgetragen  und  die  sechs  Punkte  F^  F\  /,  f\  S^  S'  Als  die  Brennpunkte 
des  Systems  bezeichnet.  Dabei  gilt  die  doppelte  Relation  iSr*s=3i — U^<\ 
In  Folge  dessen  können  F^  F'  als  die  Scheitel  und  /*,  f'  als  die  BreoBpiinkte 
einer  Ellipse  dienen,  deren  kleine  Axe  alsdann  durch  ^^  beseichnet  triid. 
M.  L  a  m  e  nennt  sie  die  F  o  c  a  1  -  E 1 1  i  p  d  e.  Desgleichen  sind  /*,  f  die  Sek«- 
tel  und  F^  F'  die  Brennpunkte  einer  Hyperbel,  welche  der  £c  z  Ebene  ange- 
hört und  deren  imaginäre  Halbaxe  gleichfalls  durch  0^  =  0^'  ausgedrüekt 
wird«  M.  Lam^  nennt  sie  die  Hyperbole  ombilieale,  die  Hyperbel  der  Ka- 
bel- 'oder  Kreispunkte;  denn  sie  bezeichnet  allerdings  auf  simntli- 
eben  EUipsoideu  die  vier  Kreispunkte,  welche  jedes  derselben  besitzt 

Von  jeder  der  drei  Oberflächen-Familien  ist  die  erste  Fläche  ebenso  wie 
die  letzte  eben.  Die  Familie  der  zweifachen  Hyperboloide  beginnt 
mit  der  Ebene  der  yz,  und  diese  gehört  in  ihrer  ganzen  Ausdehnung  xaik 
Sie  durchläuft  mit  immer  wachsendem  Parameter  alle  dieser  Flächenfamilie 
möglichen  Formeu,  um  in  der  Ebene  der  zo;  zu  endigen;  jene  Ebene  jf: 
verdoppelt  sich  im  Bewegungssinne  der  xAxe  und  beide  Mäntel  krämmeB 
sich  in  entgegengesetztem  Sinne ,  beide  schneller  in  der  Richtung  der  ji, 
als  in  der  der  z ;  beide  durchlaufen  den  ganzen  Baum  und  endigen  mit  der 
zweifachen  hyperbolischen  Platte  in  der  Ebene  der  zx,  deren  Grenze  die 
Hyperbel  der  Kreispunkte  bildet 

Mit  der  einfachen  hyperbolischen  Platte,  welche  den  Best  der£x£ben« 
bildet,  beginnt  die  Familie  der  einfachen  Hyperboloide*  DiePlatte 
trennt  sich  im  Sinne  der  ^,  um  ein  Hyperboloid  mit  einem  Mantel  zu  bildeoi 
welches  sich  mehr  und  mehr  öflnet  und  krümmt  Die  Sdieitel  seiner  KeU- 
ellipse  rücken  von  fyf'  gegen  -F,  F"  und  von  0  gegen  /,  ^';  in  dem  Augen- 
blicke, wo  sie  die  Grenzlage  erreicht  haben,  so  dass  die  Kehlellipse  sirfa 
mit  der  Focal-EIlipse  deckt,  ist  der  bewegliche  Mantel^  nachdem  er  den 


Literaturzeitung.  ^  19 


gansen  Ratim  durchlaufen  hat,  am  Ende  seiner  Formenwaudelung  ang^ehom- 
men.  Der  Aftymptotenkegel ,  nachdem  er  aus  der  Ebene  der  yz  hervorge- 
gangen sich  immer  weiter  geöffnet  hat,  verwandelt  sich  nun  durch  Deckung 
seiner  beiden  entgegengesetzten  Mäntel  zur  Ebene  der  xy,  und  das  einfache 
Hyperboloid  bedeckt,  ebenfalls  durch  Zusammenfallen  seiner  entsprechend 
entgegengesetzten,  durch  die  Kehl -Ellipse  getrennten  Mantelhälften,  den 
ausserhalb  der  Focal-EUipse  gelegenen  unbegrenzten  Theil  der  Ebene  xy. 

DieFocal-Ellipse  dagegen  umschliesst  die  elliptische  Platte,  welche  das 
erste  derdreiaxigen  Ellipsoide  darstellt,  die  die  dritte  Flächen-Fami- 
lie bilden.  Um  den  Punkt  0  herum  trennt  sich  dieselbe  im  Sinne  der  z  Axe 
in  zwei  Mäntel,  welche  zusammen  ein  sehr  abgeplattetes  Ellipsoid  um- 
schliessen;  indem  sich  diess  stets  vergrössert  und  aufbläht,  durchläuft  es  den 
ganzen  Raum  und  endigt  mit  der  Kugel  von  unendlichem  Radius  als  dem 
letsten  Oliede  seiner  Familie. 

Indem  man  sich  vergegenwärtigt,  dass  die  Hauptschnitte  der  Ober- 
flächen von  allen  drei  Familien,  während  der  ganzen  Formenwandelung 
stets  die  nämlichen  Brennpunkte  haben,  vervollständigt  man  das  Bild  des 
ganzen  Systems. 

Wenn  ^,  y ,  z  die  rechtwinkligen  Coordinaten  eines  beliebigen  Punktes 
sind,  so  stellen  die  Gleichungen 


1) 


in  Verbindang  mit  den  Belationen ' 

2)  j  ^,«  —  1?,»=:*», ^,»  +  C?=l ,  B,*  +  C,«  =  *'» 
(  J,*  —  B*  =  k',  A^  -  c:=\,B*  -C^.=  *'» 
die  drei  Oberfläcben-FamiUeu  dar.     Jene  bestimmen  ihre  Gattung,  diese 
sagen ,  dass  sie  confocal  nnd  in  Folge  dessen  orthogonal  sind.    Die  Focal- 
Ellipse  wird  durch  die  Gleichungen 

und  die  Hyperbel  der  Ereispunkte  durch  die  anderen 

repräsentirt. 

Man  sieht  daraus  auch,  däss  das  ellipsoidale  System  nicht  ein  durch 
die  Grösse  /  einfach  bestimmtes  ist,  sondern  dass  es  für  dieselbe  Länge  l 
ebenso  viel  verschiedene  ellipsoidische  Systeme  geben  muss,  als  gebrochene 
WertUe  zwischen  Null  und  Eins  enthalten  sind ;  denn  alle  solche  können 

2* 


20  Ldteraturzeituiig. 

dem  Verliältni83  der  Brennpunkt« -  Distanzen  Of  und  OJ'oder  der  Grösse* 
beigelegt  werden. 

Wenn  k  den  Orenzwerth  Null  hat,  sodass  die  Focaldistanz  Of  ver- 
schwindet, so  redacirt  sich  die  Hyperbel  der  ELreispunkte  auf  die  Axe  der 
z  und  die  Focal-Ellipse  aaf  einen  Kreis ;  die  Familie  der  dreiaxigen  Ellip- 
sode ist  eine  Familie  von  Umdrehnngs-fillipsoiden  geworden,  für  welche  die 
Hauptaxe  mit  der  kleinen  Axe  der  Meridian-Ellipse  zosamraenMt;  die 
Familie  der  einfachen  Hyperboloide  zn  einer  Familie  der  einfachen  üm- 
drehnngs-Hyperboloide  und  die  der  Eweifachen  Hyperboloide  zu  der  der 
Meridian-Ebenen  durch  die  Axe  der  z.  M.  L  a  m  ä  nennt  diess  besondere 
Systeqi  nach  der  für  dasselbe  charakteristischen  Familie  der  abgeplatteten 
Kotations-EUipsoide  das  System  der  planet  arischen  EUipsoide. 
Wenn  man  andererseits  dem  k  den  Orenzwerth  Eins  belegt,  sodass  dieFoctl- 
distanzen  Ofund  Obgleich  gross  werden,  so  erhältman  ein  besonderes  eliipsoi- 
disches  System,  in  welchem  Ümdrehungs-Ellipsoide,  deren  Hauptaxe  die  grosse 
Axe  der  Meridian-Ellipse  ist ,  zweifache  Umdrehongs -Hyperboloide  and 
Meridian-Ebenen  die  drei  Flächen- Familien  repräsentiren ;  und  welehes 
zur  Focal-EUipse  die  zwischen  den  Punkten  F^  F"  gelegene  Strecke  der 
X  Axe  hat,  während  die  Hyperbel  der  Kreispunkte  sich  auf  die  zwei  jen- 
seits dieser  Strecke  über  F  und  F*  hinaus  gelegenen  Theile  der  x  Axe  re- 
ducirt.  Man  kann  dieses  System  als  das  der  eiförmigen  EUipsoide 
bezeichnen. 

Lässt  man  dagegen  den  Werth  k  unverändert  und  denkt  dafördie 
Länge  /  veränderlich ,  so  entspringt  auch  daraus  eine  Vielheit  ellipsoidischer 
Systeme,  bei  der  einen  Augenblick  zu  verweilen  nützlich  ist  Für  solche 
Systeme  bilden  die  Asymptoten -Kegel  d^r  confocalen  einfachen  und  zwei- 
fachen Hyperboloide  zwei  orthogonale  Familien  von  Kegelflächen  zweiten 
Grades ,  welche  für  alle  Werthe  von  /  dieselben  bleiben )  diese  berühren  so- 
mit alle  demselben  Werthe  von  k  entsprechenden  Hyperboloide  der  mög- 
lichen ellipsoidischen  Systeme  im  Unendlichen;  für  /  =  0  treten  diese  Ke- 
gel selbst  an  Stelle  der  beiden  Familien  von  Hyperboloiden  nnd  die  Fami- 
lie der  EUipsoide  wird  durch  eine  Familie  concentrischer  Kugeln  ersetzt 
Sonach  werden  nun  alle  demselben  Werth  von  k  entsprechenden  ellipsoidi- 
schen Systeme  von  diesem,  welches  dem  Grenzwerth  Z=0  entspricht,  im  Un- 
endlichen berührt. 

Lässt  man  aber  endlich  zu  dem  Werthe  Z  c=  0  die  Grenzwerthe  Ar='\ 
oder  Ar=:  1  treten,  so  erhält  man  als  den  Systemen  der  planetarischen mid 
eiförmigen  EUipsoide  für  den  Werth  /  =  0  entsprechend  das  gewöhnh'che 
System  der  sphärischen  Coordinaten ,  welches  aus  den  Meridianebenen,  den 
concentrischen  Kugeln  und  den  Breitenkegeln  besteht  und  in  welchem  diese 
Letzteren  den  einfachen  oder  doppelten  Hyperboloiden  entsprechen t  j^ 
nachdem  man  sie  der  Klasse  der  plauetarischen  oder  der  der  eif5rmigen  el- 
lipsoidischen Systeme  beizählen  wüL 


Literaturzeitung. 


Weil  bei  der  Formenwandlung  inneriialb  jeder  Flächenfamilie  von  den 
Gliedern  derselben  der  ganze  unbegrenzte  Ranm  dnrcblaufen  wird ,  so  ent- 
spricht jedem  Punkte  desselben  je  eine  FlSche  aus  jeder  Familie  von  einem 
durch  seine  Constanten  h  und  l  bestimmten  System.  Die  Parameter  dieser 
drei  Flächen  sind  die  Coordinaten  des  Punktes,  in  welchem  jene  sich  ortho- 
gonal schneiden. 

Das  System  der  ellipsoidischen  Coordinaten  bezeichnet  offenbar  eine 
neue  Stufe  in  dem  Entwickelungsgange  der  Coordinaten-Systeme.  Man 
hat  nacheinander  die  Allgemeinheit  der  Coordinaten-Bestimmung  yer- 
grössert,  indem  man  das  Feld,  auf  welchem  sie  vollzogen  wird,  das  Ele- 
ment, auf  welches  sie  sich  bezieht  und  durch  dessen  stetige  Reihung  die 
jenem  Felde  angehörige  geometrische  Form  erzeugt  wird,  und  die  Bestim- 
mung dieses  Elements  in  verschiedener  Weise  variirte.  Von  dem  ebenen 
Felde  ging  man  einerseits  auf  das  lineare,  andrerseits  auf  das  sphärische 
und  räumliche  über;  als  Element  hat  man  nacheinander  den  Punkt,  die  ge- 
rade Linie,  den  Kreis  betrachtet,  und  in  der  Bestimmungsweise  des  Elements 
ist  man  von  den  Coordinaten  des  Cartesius  zu  mancherlei  anderen  Methoden 
insbesondere  von  linearen  Coordinaten  zu  Yerhältniss- Coordinaten  fortge- 
schritten; Abschnitte  von  geraden  Linien  oder  Verhältnisse  solcher  Ab- 
schnitte haben  immer  die  letzten  Bestimmungsmittel  gebildet  Doch  müs- 
sen wir  wohl  hinzufügen ,  dass  wir  auch  die  Benutzung  der  Winkel  un- 
ter dieser  Bezeichnung  mit  verstehen ,  weil  wir  sie  lediglich  als  den  Aus- 
druck geradliniger  im  eigentlichsten  Sinne  des  Wortes  unzugänglicher 
Strecken  betrachten ,  nämlich  der  in  der  unendlich  entfernten  geraden  Linie 
gelegenen. 

Das  ellipsoidische  Syst^n  ist  nicht  neu  seinem  Elemente  nach,  es  ist 
ein  System  der  Punkt- Coordinaten,  auch  nicht  dem  Felde  nach,  denn  es 
passt  sich  dem  ebenen  und  sphärischen  Felde  sehr  woU  an  ,  und  ist  eigent- 
lich in  seiner  vollen  Ausbildung  ein  System  des  räumlichen  Feldes;  seine 
Eigenthümlichkeit  liegt  ganz  innerhalb  der  Coordinatenbestimmung.  Diese 
lässt  sich  als  eine  Coordinatenbestimmung  des  zweiten  Grades  von  den  übri- 
gen, als  solchen  des  ersten  Grades  unterscheiden,  ja  sie  repräsentirt  ge- 
radezu die  allgemeine  Coordinaten-Bestimmung  des  zweiten  Grades  selbst. 
Nicht  wie  bei  der  Cartesischen  Methode  bestimmt  sich  der  Punkt  als  der 
Durchschnitt  dreier  Ebenen,  sondern  als  der  dreier  Oberflächen  zweiter 
Ordnung;  nicht  wie  dort  also  sind  es  unveränderliche  Flächen,  sondern 
veränderliche,  die  beim  stetigen  Uebergang  von  einem  Punkt  zum  andern 
selbst  in  einem  stetigen  FIuss  der  Formen  begriffen  sind ,  in  einem  Fluss  je* 
doch ,  den  ein  einfaches  <7esetz  beherrscht  Dieses  Gesetz  ist  das  der  Con- 
focalität  und  in  Folge  davon  das  der  Orthogonalität;  das  letztere  erscheint 
somit  aus  dem  CartesischenSystem  der  räumlichen  Coordinaten  herüberbe- 
halten  und  übertragen  auf  Coordinatenflächen  zweiten  Grades. 

Aber  das  ellipsoidische  System  ist  doch  nur  ein  Beispiel,  eine  Erläute- 


22  Literaturzeitung. 


rang,  zu  der  allgemeinen  Theorie  der  krummlinigen  Coordina- 
ten.  Das  allgemeine  Problem,  welches  dieselbe  in  sich  schliesst^  ist  das  Fol- 
gende: Die  durch  die  Gleichungen 

gegebenen  Oberflächen  schneiden  sich  unter  rechten  Winkeln ,  wenn  die 
Funktionen  fi  bestimmten  Gesetzen  unterworfen  sind;  es  handelt  rieh 
darum ,  dieselben  aufzustellen  und  geometrisch  zu  interpretiren. 

Die  allgemeine  Auflösung  dieses  Problems  ist  der  Gegenstand  der  er- 
sten Vorlesungen  des  Werks  von  M.  Lama;  in  der  sechsten  und  siebenten 
beginnt  und  in  der  achten  endet  södann  die  besondere  Untersuchung  dei 
ellipsoidischen  Systems ,  ein  vollständig  ausgeführtes  Beispiel  zur  allgemei- 
nen Methode. 

Die  allgemeine  Theorie  beginnt  mit  der  Ableitung  der  BelatioDen, 
welche  sich  aus  der  Voraussetzung  der  Orthogonalität  ergeben. 

Die  Tangential-Ebene  der  Obeirfläche  ^<  hat  die  Gleichung 

1)  S^iU-u)=0,...9, 

and  die  Normale  detselben  macht,  unter  der  VoranssetsuDg 

.)  »(S)  =  v,.... 

mit  den  Azen  der  x^  y,  z  Winkel,  deren  catmus  durch  die  Ausdrücke 

^  Ä,   du  '  •  •  •  ^ 

bestimmt  sind.  Weil  nun  die  Normalen  der  drei  in  dem  gedachten  Punkte 
zusammenstossenden  Orthogonal-Flachen  ein  Sjstem  von  drei  auf  einander 
rechtwinkligen  Geraden  bilden,  so  müssen  die  cosinus  ihrer  Winkel  gegen 
das  Originalsystem  die  Relation 

4)  s^^  =  0....3 

du  du 

erfüllen  I  so  wie  femer  die  daraus  abgeleiteten  Belationen 

')  4(S)"=  •■■•'. 


i*  \du)  '\du)       ^ 


Diese  Formeln  geben  uns  zugleich  Anlass,  die  Bezeichnungsweise  des  Ver- 
fassers zu  erwähnen,  in.  welcher  unseres  Dafürhaltens  nicht  der  kleisite 
Werthanspruch  des  Buches  beruht. 

Es  bezeichnet  nämlich  u  oder  v  eine  bestimmte  der  drei  Coerdina^ 
^^  t/i  ^\  27  dagegen  eine  der  laufenden  Coordinaten  X^  YjZ'^  ^i  oder  ^/be- 
zeichnet eine  der  drei  Functionen  ^,  ^i,  ^s  ^^^^  swar  beide  TerseUedene 


Literatarzeitung.  23 


Foaetioiien,  wenn  eie  neben  einander  yorkommen.  Die  Zeichen  Sxind  Z 
bedeuten  eine  Summe  gleichartiger  Grössen  und  zwar  vor  einem  Ausdrucke 
mit  u  die  Summe  der  drei  gleichgebildeten  Ausdrücke  mit  x^  y,  z  an  Stelle 
▼on  ti,  vor  einem  Ausdrucke  mit  den  Indices  <  und  i  die  Summe  der  durch 
suceessive  Vertauschnng  der  Indices  0,  i,  2  hervorgehenden  gleichen  Aus- 
drücke u.  s.  w.  Alle  diese  Festsetsungen  .dienen  dem  Zwecke  der  Abkür- 
zung und  zugleich  dem  höheren  Gesetze ,  welches  alle  Algebra  beherrscht, 
Gleichartiges  unter  demselben  Zeichen  zusammenzufassen. 

Darnach  ist  die  Formel  1)  entwickelt: 

und  die  neun  Cosinus  der  Winkel,  welche  in  3)  reprftsentirt  sind,  sind  des 

Näheren 
l   dQ    l   dQ     1  dQl    dQx     1    dQx     1    ^^1.    1    dg^     1    dg^     1    dg^ 
hlx'  'h'dy'  h'dz''  T^   dx'T^  1y'  J^  "dJ'  'h^l^'J^  ly'  Ä^  ~dz' 
Desgleichen  wird  die  Bedeutung  der  h  durch  die  Formel  2)  in  ent* 

wickeltet  Gestalt 

gegeben. 

M.  Lam*  nennt  diese  drei  Grössen  Ä,  Äj,  ä,  die  Differential- 
Parameter  der  ersten  Ordnung  der  Function  g^i  w  leitet  für 
dieselben  sofort  die  Beiation 

h  =^ 
*        ds^ 

ab,  in  welcher  d5,  das  Element  der  Normale  der  Oberfläche  ^,  bezeichnet, 
und  womach  sie  die  Grenze  des  Verhältnisses  vom  Wachsthum 
des  Parameters  ^<  beim  Uebergange  zur  unendlich  nahe  be- 
nachbarten Oberfläche  zu  dem  entsprechenden  Wachsthum 
der  Normale  oder  zur  Dicke  der  durchlaufenen  Schicht 
ausdrücken« 

Aus  der  auf  die  Projectionen  des  Elementes  der  Normale  bezüglichen 

Beiation 

du         1    dg^  . 


ergibt  sich  dadurch  die  Grappe 

du 

1    dg. 

■     dQ, 

Vdu' 

24  Literaturzeitung. 


welche  von  mancherlei  Gehrauch  ist.    Sie  liefert  s.  B.  ohne  Weiteres  auf 

Grund  der  hekannten  Identität 

,du  ,du 

a w  — • 

d^_       dQ^ 

dQj  dQ^ 

dg. 
die  in  der  Theorie  der  Functionen  —  fundamentale  Relation 

du 


h?  du  _     h*  du 

dQj        ~         dQi       ' 

und  weiterhin  die  ebenso  wichtige  andere 


Ö, 


rf^  Z^' 


dg,  ^     dg^ 

Diesen  Differential -Parametern  der  ersten  Ordnung  treten  sofort  die 
Differential-Parameter  der  zweiten  Ordnung  surSeite,  die  Sum- 
men der  zweiten  Differential  -  Quotienten  der  Function  g^  nach  x,  y^  Zj 
welche  durch 

^i   ,    ^9i    ,    ^ 
da^  "^  dy«  "^  dz^ 

repräsentirt  sind;  beide  besitzen  die  auszeichnende  Eigenschaft,  ffir 
jeden  Wechsel  rechtwinkliger  und  geradliniger  Coordina- 
ten  dieselben  Formen  zu  behalten  und  für  jeden  Punkt  die- 
selben numerischen  Werthe  zu  reproduciren.  M.  Lam^  fllhrt 
für  beide  unter  Anwendung  des  Buchstaben  i^  ftir  die  Function  die  Beseich- 
nungen  ^jjP,  -^,^'ein. 

£r  zeigt  zunächst  in  der  zweiten  Vorlesung,  dass  sie,  auf  krummlinige 
Coordinaten  bezogen ,  denselben  Charakter ,  die  nämliche  Unabhängigkeit 
besitzen.  Er  knüpft  die  Definition  der  J^q^  an  die  de(  h^  durch  die 
Formeln 

j  ^  d—  d  — 

J^g  z=z  ÄÄA  -^,  ^,^i=ÄÄA  ~,  ^,^1=  ÄÄ|*i  -J^' 
die  mittelst  der  Substitution 
in  eine  zusammengefasst  werden : 


^tQi  ^^^  ^< 


CO 


und  die  andere  JtF=  a2] — 

ägi 

Wenn  die  Familien  der  Orthogonalflächen  die  Systeme  dreier  Ebenen  wie 

in  der  Methode  des  Cartesius  darstellen,  so  sind  die  Differential-Parameter 


Literatarzeiiang.  25 


der  ersten  Ordnung  alle  der  Embeit  gleich  und  diese  Definitionen  führen 
ZQ  der  oben  erwähnten  zurück,  indem  sie  ihr  die  Form 

geben. 

Die  dritte  Vorlesung  fahrt  in  das  Studium  der  Ejrttmmungen  der  Ortho- 
gonal-Fl&chen  ein;  sie  stellt  in  den  Vordergrund  das  Theorem  von  Dupin, 
naeh  welchem  in  jedem  Orthogonal-System  die  Oberflftchen 
zweier  Familien  auf  einer  Oberfläche  der  dritten  Familie 
slleKrttmmungslinien  verzeichnen.  Die  Bestimmung  der  eaftspre« 
chenden  Krümmungshalbmesser  folgt  und  liefert  einen  merkwürdigen  Aus» 
druck  fiir  die  Summe  beider  Hauptkrümmungen  derselben  Oberfläche  oder 
für  die  GrössOi  welche  Gauss  ab  die  sphärische-Krümmung  bezeich* 
net  hat. 

Der  allgemeine  Ausdruck  der  sechs  Ejrümmungen  der  drei  durch  den 
betrachteten  Punkt  gehenden  conjugirten  Oberflächen  wird  in  der  Form 

1     _Ä,£Ä, 
^—hjdQ, 

gegeben ,  so  dass  die  einzelnen  Werthe  sind 

Dazu  stellen  wir  die  Belation    --—  =  — ^ 

dSi        dQt 
aus  dem  Frtlheren. 

In  den  gewählten  Bezeichnungen  ist  der  Index  t  der  der  Oberfläche,  der 

Accenty  der  des  Bogens,  und«,  #|,  s^  bezeichnen  die  Bögen,  welche  aus 

dem  Durchschnitt  der  Flächen  fi,  ^i;  Qt*  Q\  9^  9i  respective  hervorgehen. 

Die  Unterscheidungen  von  Krümmungen,  die  nach  dem  Bogen  und 

von  Krümmungen,   die  nach  der  Oberfläche   conjugirt  sind, 

erklärt  sich  darnach  von  selbst;  die  Paare  von  Krümmungen,  für  die  keines 

▼on  beiden  gilt,  wie  z.  B.  — ,  -r/werdenalsreciproke  bezeichnet.  M.Jjam^ 

fügt  dem  noch  drei  aus  derselben  allgemeinen  Formel  entspringende  Aus- 
drücke bei ,  die  auch  .Krümmungen  bezeichnen  und  aus  der  Voraussetzung 
gleicher  Indices  und  Accente  hervorgehen ;  nämlich 

1  _dh    1  _rfÄi,l   _dh^ 

r       rf^'  n        dfi  r,        rf^. 
Weil  sie  bei  einer  Aenderung  des  Parameters  ihrenAusdruck  ändern, werden  sie 
alsparametrische  Krümmungen  von  den  übrigen  unterschieden.  Dieser 
Reichthum  vonBenennungen  und  die  scharf eünterscheidung  der  Vorzeichen  der 
Krümmungen  geben  die  Füglichkeit  zum  präcisen  Ausdruck  allgemeiner  hi  den 


26  Literaturzeitang« 


analytischen  Ergebniss^i  enthaltenen  Oesetse,  s.  B.  für  den  oben  erw£hniea 
Ansdrack  der  sphärischen  Ertünmnng:  Das  Verhältnis»  der  beideaDif- 
ferentialparameter  der  Function  ist  gleich  demüebersehnss 
der  parametrischen  über  die  sphärische  Krümmung  in  jedem 
Punkte  der  durch  sie  repräsentirtenOberflächen.  Dieparame- 
trische  und  sphärische  Krümmung  sind  gleich,  wenn  dar  Dif- 
ferential-Parameter der  zweiten  Oxdnung  gleichNull  i6ta.8.w. 
In  der  yierten  Vorlesung  bilden  femer  die  Krümmungen  der  Durch- 
schnitts-Gurren  der  conjugirten  Oberflächen  den  GegMistand  der  Untersu- 
chung; mit  der  Erörterung  ihrer  geometrischen  Darstellbarkeit  und  der  Be- 
gründung von  Ausdrücken,  wie  Oomposante,  Projection  einer  Krümmung 
oder  Resultante  mehrerer  Krümmungen  beginnend,  giebt  H.  Lamö  sodann 
durch  eine  schöne  geometrische  Erörterung  den  Beweis ,  da ss  die  neun 
.Krümmungen  der  Oberflächen,  welche  den  Oegenstand  der 
vorigen  Vorlesung  bilden,  als  die  Projectionen  von  drei 
durch  denAusdruck  Jjhj 

hi 
gegebenen  resultirenden  Krümmungen  auf  die  Normalen  der 
Oberflächen  angesehen  werden  dürfen,  und  dass  die  Cosinus  der 
von  ihren  Bichtungen  mit  den  u  eingeschlossenen  Winkel  durch  die  Aus- 
drücke 

hj       du 

bestimmt  sind. 

Von  der  eigenthümlichen  Krümmung  p  des  Bogens  8  wird  alsdann  be- 
wiesen, dass  ihr  Quadrat  mit  der  Summe  der  Quadrate  der  bei* 
den  in  diesem  Bogen  conjugirten  Krümmungen  der  Ortho- 
gonal-Flachen äquivalent  ist  und  darnach  geometrisch  die  Berechti- 
gung des  Ausdrucks  dargethan,  nach  welchem  die  eigenthümliche  Krüm- 
mung des  Bogens  s  die  Resultante  der  in  diesem  Bogen  congugirten  Krüm- 
mungen der  Orthogonal-Flachen  ist.  Die  Bestimmung  der  Centra  der  resul- 
tirenden Krümmung,  die  Ableitung  der  gegenseitigen  Beziehungen  zwischen 
denselben  und  die  Bestimmung  der  Krünunungen  der  Oberflächen  aua  ihnen 
bilden  die  ferneren  Zielpunkte  der  Vorlesung. 

Der  Besehluss  der  allgemeinen  Theorie  der  Orthogonal-Sjsteme  wird 
in  der  fünften  Vorlesung  gemacht  Die  Functionen  A«  müssen  nämlich  aecbi 
partielle DifPerentiaJgleichungen  bewähren,  zu  denen  man  gelangt,  indos 

man  die  Bedingungen  der  Integrabrlität  der  Cosinus  ( —  -t-^j    der  Winkel 

ausdrückt,  welche  die  feste  Achse  der  u  mit  den  Normalen  der  conju^rten 

Orthogonalflächen  bildet;  mit  der  Bezeichnung  —  =  H^  sind  dieselben  in 

der  ersten  Qruppe 


Literatnrzeitung.  27 

dQid(f„  ~  Bj  dQj    difu         iT»  dg^  d^/ 
und  in  der  zweiten 

B,  dj^,     ■      HjdQj  1    dBj  dH,^^ 

dQi  dQj     ,       Bi,^dQ^    dQ,, 

enthalten,  in  denen  t,  j\  k  stets  die  Gruppe  der  drei  Indices  0  (wird  nicht 
gesehriehen),  1,  2  yoUständig  vertreten. 

Mit  WMe  der  frtther  eingeführten  Begriffe  lassen  sich  nnn  diese  Diffe- 
rentialgleichungen,  nachdem  man  sie  durch  die  Bogen-Elemente  dSiVakä 
die  sechs  Krümmungshalbmesser  r^^^  ausgedrückt  hat,  geometrisch  interpre- 
tiren  und  werden  als  einfache  Gesetze  erkannt,  welche  die  Krümmungen 
der  Orihogonal*Flächen  und  ihre  Veränderungen  regieren.  So  liefert  die 
zweite  Gruppe  derselben  die  neue  Reihe 


7?^  +  W  +  W)  = 


dSj^  dSj 


und  damit  das  Gesetz:  Das  Product  beider  Krümmungen  dersel- 
ben Oberfläche  vermehrt  um  die  Summe  der  Quadrate  der 
ihnen  im  Bogen  conjugirten  Krümmungen  ist  der  Summe  der 
Variationen  dieser  letztern  Krümmungen  nach  ihren  reci- 
proken  Bogen  gleich. 

Die  erste  Ghruppe  liefert  ebenso  das  Gesetz:  Die  Variation  einer 
Krümmung  nach  dem  zu  ihrer  Ebene  normalen  !^ogen  ist 
gleich  dem  Product  der  ihr  imBogen  conjugirten  Krümmung 
in  ihren  üeberschuss  über  die  ihr  der  Fläche  nach  con- 
jugirte  Krümmung,  d.  i. 

1 


^7ß 


r—  1/1         i\ 


Eine  Gruppe  abgeleiteter  Gesetze  schliesst  sich  daran  an  und  den 
Sohluss  der  Vorlesung  macht  die  Begründung  derjenigen  partiellen  Diffe- 
rential-Gleichungen, welche  die  geradlinigen  Coordinaten  tiy  als  Functionen 
der  krummlinigen  q^  betrachtet,  erfüllen  müssen. 

Die  folgenden  drei  Vorlesungen  enthalten  sodann ,  wie  wir  schon  ge- 
sagt haben,  als  ein  vollständig  durchgeführtes  Beispiel  von  der  Anwendung 
der  allgemeinen  Theorie  die  Untersuchung  des  ellipsoidischen  Sy- 
stems. Sie  besteht  natürlich  wesentlich  in  der  Integration  der  vorher  er- 
wähnten partiellen  Differential-Gleichungen  und  hat  die  Aufgabe,  zu  zeigen, 
wie  bestiminten  Zwecken  gegenüber  die  Entwicklung  des  geeignetsten  Or- 
thogonalsjstems  aus  den  allgemeinen  Gesetzen,  welchen  alle  solche  Systeme 
unterworfen  sind,  geschehen  kann,  nachdem  in  den  vorigen  Entwickelungen 
immer  nur  an  den  bekannten  Beispielen  orthogonaler  Systeme,  dem  sphäri- 


28  Literaturzeitung. 

sehen  Systeme  und  gewissen  cylindrischen  und  conisclien  Systemen,  die  Be- 
währung der  gefundenen  allgemeinen  Gesetze  a  posteriori  hatte  nachgewie- 
sen werden  können.  Sie  bildet  durch  Klarheit  und  Präcision  der  Entwicke- 
lung  die  glänzendste  Parthie  des  Werks  und  ist  auch  dadurch  von  beson- 
derem Werthe,  dass  sie  die  Methode  darlegt,  durch  welche  M.  L  am  4  selbst 
SU  den  elliptischen  Coordinaten  geführt  worden  ist,  dass  man  also  darin  den 
schöpferishen  Gedankengang  eines  ausgezeichneten  mathematischen  Den- 
kers im  Einzelnen  verfolgen  kann.  Es  ist  jedoch  unmöglich ,  auszugsweise 
davon  eine  Anschauung  zu  geben;  wir  wünschen,  dass  recht  Viele  durch 
die  vorhergehenden  Andeutungen  zu  dem  Studium  des  Werkes  selbst  sich 
mögen  anregen  lassen« 

Wir  können  dabei  eine  Anmerkung  nicht  unterdrücken,  die  nur  schein- 
bar von  dem  Gegenstande  dieser  Anzeige  abfährt.  H.  Lamd  hat  in  seinen 
.jLefons  sur  les  fonctions  mverses  des  iranscendenies  ei  les  surfaces  isoihermet^^ 
(Paris  1857)  das  System  der  elliptischen  Coordinaten  synthetisch  einge- 
geführt.  {Lefons  VIII,  IX.)  Die  Orthogonal-Flachen  des  elliptischen  Sy- 
stems erscheinen  dort  als  Isotherm-Flkchen  und  die  Grössen  A^  B^  (7,  ^i,  Bf, 
u.  s.  w.  als  die  inversen  Functionen ,  welche  die  vorhergehenden  Vorlesun- 
gen einfährten.  Die  Variabehi  dieser  letzteren  bilden  ein  neues  Coordisa- 
ten-System,  welches  dem  weitem  Fortschritt  der  dort  geführten  Untersuchung 
sehr  förderlich  ist.  Die  Vergleichung  jenes  Werkes  mit  dem  gegenwärtigen 
ist  im  höchsten  Grade  lehrreich. 

Die  Theorie  der  Wärme  bildet  dort  den  Ausgangspunkt  der  Unter- 
suchung.    Die  Gleichung  z/,  jP  =  o , 

in  welcher  die  Grösse  JfF  der  in  dem  Früheren  betrachtete  Differential- 
Parameter  der  zweiten  Ordnung  von  F  ist,  erscheint  hier  als  die  Bedingung 
des  Gleichgewichtes  der  Temperatur ;  wenn  alsdann  s  ein  bestimmter  Werth 
der  Function  J^  ist,  F  -=  f  (x,  y,  z)  =  e, 

so  repräsentirt  diese  Gleichung  eine  Isotherm-Fläche,  d.  i.  den  Ort 
aller  der  Punkte  des  betrachteten  Baumes,  die  dieselbe  Temperatur  c  haben. 
Der  Parameter  e  bestimmt  eine  besondere  Oberfläche  der  durch  die  obige 
allgemeine  Gleichung  dargestellten  Familie  von  Isotherm -Flächen  und 
M.  Lam^  nennt  ihn  den  thermometrischen  Parameter  derselben.  Da  für 
die  analytische  Theorie  der  Wärme  die  Betrachtung  von  Isotherm-FIächat 
von  fundamentaler  Wichtigkeit  ist,  so  hat  die  Aufsuchung  des  Kennzeichens 
der  Isothermie  —  denn  nicht  alle  Flächen  sind  im  Allgemeinen  Isotherm- 
Flachen  ,  sondern  sie  werden  es  nur  unter  besonderen,  von  ihren  geometri- 
schen Parametern  erfüllten  Bedingungen  —  besondere  Bedeutung.  Di« 
Aufsuchung  dieser  Bedingungen  liefert  das  merkwürdige  Ergebniss,  dass 
den  speciellen  Fällen  der  Oberfläche  zweiten  Grades  die 
sämmt liehen  elementaren  Tr ans cen deuten  des  Integral-  Cal- 
culs  als  solche  Bedingungen  entspringen;  nämlich  beispielsweise 
wie  folgt*.  Kreis  -  Cylinder  a^  +  f^  tz=  X^  oder  Umdrehungs-Paraboloida 


Literatorzeitung.  29 


y*  +  z*  =  2Aa:  +  k' 
aind  isoüierm,  wenn  l  =3  ae^^ 

(logarithmische  Transcendente) ;  elliptische  and  hyperbolische  Cjrlinder 

wenn  A  =  c  . 


—  e 


und  somit  yX* — c*  =  c  , 

ist  (nViu^  und  Cosinus,  sowie  hyperbolische  ^us  und  cosinus).  In  solcher 
Weise  entsprechen  den  hyperbolischen  Cjlindern  und  den  planetarischen 
SUipsoiden  die  trigonometrischen  und  den  Ümdrehungs-Hyperboloiden  und 
den  eiförmigen  Elipsoiden  die  Exponential-Functionen  als  Bedingungen 
der  Isothermie. 

Wenn  man  aber  dieselben  Bedingungen  für  die  allgemeinen  Oberflächen 
des  zweiten  Grades 

aafsuchty  so  erhält  man  die  elliptischen  Functionen  und  erkennt,  dass 
dieselben  angesehen  werden  können  als  die  geometrischen 
Parameter  der  allgemeinen  Oberflächen  zweiten  Grades,  in- 
0!ofern  dieselben  Isothermflächen  sind.  Das  Studium  dieser  Func- 
tionen, ihre  Theorie  von  diesem  mathematisch-physikalischen  Gesichtspunkte 
aus,  bildet  den  Inhalt  jenes  Werkes;  die  Entdeckungen  von  Euler,  Abel  und 
J  a  c  0  b  i  ergeben  sich  im  lichtvollsten  und  überraschendsten  Zusammenhange. 

Und  diese  mathematisch-physikalischen  Gesichtspunkte  sind  auch  dem 
gegenwärtigen  und  bis  jetzt  neuesten  Werke  des  Verfassers  —  hoffentlich 
vervollständigt  er  seine  Fublicationen  recht  bald  durch  die  „analytische 
Theorie  der  Wärme'^  —  nicht  fremd;  im  Gegentheil  sie  beherrschen  es  und 
wir  würden  unsere  Pflicht  als  Beferent  nur  halb  erfüllen,  wenn  wir  nicht 
die  umfassenden  Gesichtspunkte  und  die  Einzelausführungen  desselben, 
so  weit  es  in  aller  Kürze  möglich  ist,  darlegen  wollten. 

Denn  die  Theorie  der  krummlinigen  Coordinaten  ist  nicht  nur  aus  der 
majkhematbchen  Physik  hervorgegangen ,  sondern  sie  hat  auch  in  derselben 
ihr  eigentliches  Gebiet,  findet  dort  ihre  bedeutendsten  Anwendungen. 

Und  das  gegenwärtige  Werk  muss  gewiss,  so  bedeutend  es  auch  in 
rein  mathematischer  Beziehung  ist,  noch  höher  gestellt  werden ,  als  eine 
Studie  zur  mathematischen  Physik  betrachtet;  als  solche  ist  es  von 
seltenem  Werthe  und  dem  Studium  aller'  derer  dringend  zu  empfehlen ,  die 
sich  für  den  Fortschritt  derselben  gründlich  interessiren. 

M.  L  a  m  ^  beginnt  ^ein  Werk  mit  dem  Begriffe  der  Punkt-Function, 
den  er  auf  jede  Grösse  anwendet,  die  in  jedem^ Punkte  des  begrenzten  oder 


:S0  Literatnrzeitang. 


unbegrenzten  Raumes  einen  besonderen  und  bestimmten  Wertb  hat;  eine 
solche  variirt  stetig  von  einem  Punkte  snm  andern  und  ist  in  jedem  Coordi- 
naten-System  ausdrückbar. 

Wenn  man  alle  diejenigen  Punkte  des  Baumes  denkt,  in 
welchem  dieselbe  den  nämlichen  numerischen  Werth  be- 
sitzt, so  erhält  man  eineFläche,  und  die  allgemeine  Voraus- 
setzung der  Constanz  liefert  eine  Familie  solcher  Flächen, 
die  den  Wirkungsraum  derPunkt- Function  erfüllt. 

In  einer  im  Oleichgewichte  befindlichen  Flüssigkeit  entspricht  jedem 
Punkte  ein  Druck  normal  zu  allen  den  Flächen-Elementen,  denen  angehö- 
rig dieser  Punkt  angesehen  werden  kann  und  für  alle  von  derselben  Inten- 
sität ;  dieser  Druck  ist  die  Punkt-Fuuction  der  Hydrostatik,  ein  bestimmter 
Werth  kommt  ihr  für  alle  Punkte  einer  bestimmten  Oberfläche  zu,  in  wel- 
cher jeder  Punkt  die  Eigenschaft  besitzt ,  dass  die  Bichtung  der  Resultante 
aller  äusseren  Kräfte  mit  seiner  Normale  zusammenfällt,  und  ihre  Constanz 
im  Allgemeinen  liefert  eine  Familie  solcher  Oberflächen ,  welche  den  gan- 
zen von  der  Flüssigkeit  eingenommenen  Baum  erfüllen.  Es  ist  die  Fami- 
lie der  Niveau- Flächen. 

Wenn  man  nach  dem  Gesetz  der  allgemeinen  Schwere  fbr  einen 
Punkt  des  Baumes  die  Summe  bildet,  deren  Glieder  die  Quotienten  sind 
aus  den  Massen  aller  übrigen  Punkte  des  Baumes  durch  ihre  respecti- 
ven  Entfernungen  von  ihm ,  so  erhält  man  diejenige  Punkt  -  Fonetion, 
welche  als  die  Potential -Function  in  der  Gravitations-Theorie  bezeichnet 
wird,  und  deren  partielle  Differentiale  die  Oomposanten  der  Attraction  lie- 
fern. Sie  hat  für  alle  Punkte  einer  gewissen  Oberfläche,  die  zugleich  überafi 
zur  Besultante  der  Attraction  normal  ist,  denselben  Werth  und  ihre  Con- 
stanz im  Allgemeinen  bezeichnet  die  Familie  dieser  Oberflächen,  gleichfidls 
Niveau-Flächen  genannt,  die  den  Baum  erfüllen. 

In  dem  Gleichgewichtszustand  der  Wärme  ist  die  Temperatur  diePunkt- 
Fttnctlon  und  ihre  Constanz  definirt  die  Familie  der  Isotherm -Flächen. 
Wenn  man  endlich  zu  den  drei  Veränderlichen,  welche  die  Coordinaten 
repräsentiren,  die  Zeit  als  eine  vierte  hinzufügt,  so  entspricht  jedem  andern 
Zeitpunkt  eine  neue  Familie  jener  Flächen  und  die  Gleichung  zwischen  ihnen 
ist  der  Ausdruck  des  Bewe>gungszustandes,  durch  welchen  die  Fa- 
milien des  nächsten  Augenblicks  aus  denen  des  gegenwärtigen  hervorgehen. 
Man  %ieht,  jenem  Gebiete  der  Punkt-Function  mit  drei  Ver- 
änderlichen fällt  die  Statik  in  allen  Gebieten  der  mathemati- 
schen Physik  anheim;  dasHinzutreten  derZeitals  einer  vier- 
ten Veränderlichen  beherrscht  die  Dynamik  der  nämlichen 
Erscheinungs  -  Gebiete;  sie  wird  die  Auflösungen  der  Probleme  der 
himmlischen  Mechanik  vervollständigen,  sie  umfasst  die  Hydrodynamik,  die 
Theorie  der  tönenden  und  leuchtenden  Wellen,  die  der  Erwämiung  und  Ab- 
kühlung der  Körper. 


Literatarzeitung.  31 

Wenn  nun  —  um  den  analytischen  Vorgang  kurz  zu  zeichnen  —  in 
einem  dieser  verschiedenenZweige  der  mathematigchenPhy- 
sik  eine  Untersuchung  zu  führen  ist,  sofoestehen  die  Data  des 
Problems  einerseits  in  einer  Gruppe  von  partiellen  Differen- 
tial -  Gleiehnngen  der  zweiten  Ordnung,  welche  die  beherr- 
schenden physikalischen  Gesetze  repräsentiren,  anderer- 
seits in  gewissen  Differential  -  Gleichungen  der  ersten  Ord- 
nung, welche  dieselben  Functionen  fttr  die  an  der  Oberflftche 
des  betrachteten  Körpers  gelegenen  Punkte  zu  erfüllen  ha- 
ben« Man  macht  die  dadurch  geforderte  Integration  mög^ 
lieh,  indem  man  ein  Goordinaten System  wählt,  in  welchem  die 
Punkte  der  Oberfläche  durch  die  Constanz  einer  der  Goordi- 
naten repräsentirt  werden;  so  beim  rectangulären  Prisma  mit  Hilfe 
der  rechtwinkligen  Cartesischen,  beim  geraden  Cylinder  mit  Hilfe  der  Polar- 
Coordinaten;  so  entsprang  der  Behandlung  von  Fragen  über  die  Kugel  das 
System  der  sphärischen  und  derjenigen  von  solchen  über  das  BUipsoid  das 
der  ellipsoidischen  Goordinaten. 

So  hat  insbesondere  die  Untersuchung  des  Wärmezustandes  im  drei- 
azigen  Ellipsoid  M.  Lam^  auf  die  ellipsoidischen  Goordinaten  geführt. 
Die  drei  Flächenfamilien  desselben  sind  nicht  nur  confocal  und  orthogonal, 
sondern  auch  isotherm,  so  dass  sich  auf  sie  der  Begriff  der  thermometrischen 
Parameter  überträgt. 

Aber  am  Tollständigsten  wird  doch  gerade  der  allgemeine 
Begriff  des  krummflächigen  Orthogonal-Systems  gefordert 
durch  die  mathematische  Theorie  der  £lasticität,^weil  die 
Gesetze,  die  das  innere  Gleichgewicht  eines  festen  Körpers 
regieren,  selbst  auf  die  Betrachtung  dreier  Familien  von  Or- 
thogonalflächen hinführen.  Im  Zustande  des  elastischen  Gleichgewich- 
tes entspreehen  nämlich  jedem  Punkte  des  festen  Körpers  drei  und  nur  drei 
zu  einander  rechtwinkliche,  ebene  Elemente,  aufweiche  die  elastischen  Kräfte 
normal  wirken;  sie  verändern  ihre  Lage  von  einem  zum  andern  Punkte  ste- 
tig und  bilden  so  die  drelFamilien  von  Orthogonalflächen,  welche 
M.  Lam^  unter  dem  Namen  eines  isostatischen  Systems  zusammen- 
gefasst  hat.  In  der  «nahe  liegenden  Bemerkung,  dass  die  Parameter  der 
drei  ^em  nämlichen  Punkte  entsprechenden  Orthogonal  -  Flächen  des 
Systems  eben  diesem  Punkte  charakteristisch  angehören  und  deshalb  als 
seine  Goordinaten  angesehen  werden  können,  liegt  der  Ursprung  zur  Idee 
der  allgemeinen  krummlinigen  Goordinaten.  Eben  weil  hier  —  wir  be- 
merken es  beiläufig  —  die  Anwendung  der  krummlinigen  Goordinaten  der 
Orthogonal-Systeme  so  ganz  die  eigentliche  Natur  der  Sache  ausdrückt,  be* 
gegnet  die  Auflösung  des  aligemeinen  Problems  über  das  elastische  Gleich« 
gewicht  des  rectangulären  Prisma's  so  unüberwindlichen  Schwierigkeiten« 

So  ist  denn  das  ganze  Werk  von  mathematisch-physika- 


32  Literaturzeitang. 


lischen  Gesichtspunkten  beherrscht.  Und  so  ist  es  natfirlieh,  dass 
man  für  jene  in  der  allgemeinen  Theorie  der  krommlinigen  Orthogcmal- 
Systeme  so  bedeutsam  hervortretenden  Functionen,  die  als  Differential-Pa« 
rameter  der  ersten  und  zweiten  Ordnung  erschienen  und  welche  die  constan- 
ten  vom  Coordinatensystem  unabhängigen  Relationen  der  Krümmungen  des 
Orthogonalsystems  beherrschen,  auch  nach  ihrer  physikalischen  oder  ao  zu 
sagtti  natürlichen  Definition  sucht    Wir  stellen  sie  zusammen. 

Der  erste  Differential-Parameter  der  Potential-Function  in  der  Theorie 
der  Gravitation  ist  die  Resultante  der  anf  die  Einheit  der  Masse  au^efib- 
ten  Attractionen,  und  in  der  Hydrostatik  ist  der  erste  Differential-Parame- 
ter des  Drucks  dem  Producte  der  Resultante  der  äusseren  Kräfte  in  die 
Dichtigkeit  gleich.  Man  kann  daher  den  Differential-Parameter 
der  ersten  Ordnung  einer  solchen  Punkt-Function  wohl  als 
die  Kraft  bezeichnen. 

Der  Begriff  des  Differential- Parameter«  der  zweiten  Ordnung  entspringt 
am  directesten  aus  der  analytischen  Theorie  der  Wärme;  wenn  man  die 
Wärmebewegung,  d.  i.  die  Wärmezunahme  und  den  Wärme verlust,  innerlialb 
eines  rechtwinkligen  Elementar-Parallelepipedes  von  den  Seiten 

während  der  Zeit  di  und  bei  der  Temperatur  F  ausdrückt,  so  findet  man 

di  dQi       ' 

wo  k  die  von  der  Dichtigkeit,  der  specifischen  Wärme  und  dem  Leitnngs- 
vermögen  des  Körpers  abhängende  Constante  ist,  für  die  allgemeine  Glei- 
chung. Dieselbe  zeigt,  dass  das  Wachsthnm  der  Temperatur  in  jeden 
Punkt  mit  dem  zweiten  Differential -Parameter  derselben  ttbereinsdmnit. 
In  der  Unabhängigkeit  dieses  Wachsthums  vom  Coordinaten-System  erblioken 
wir  den  physikalischen  Ausdruck  von  der  gleichen  Unabhängi^eit  des 
Differential-Parameters  der  zweiten  Ordnung.  Man  kann  dem- 
gemäss  diesen  letzteren  etwa  als  das  Wachsthum  oder  als  die  calo- 
rische  Acceleration  bezeichnen.  Man  sieht,  wie  direct  sich  als  die 
Definitionder  Isotherm  -  Flächen  die  Bedingung 

J^F=0 
ergiebt. 

Die  nämliche  Gleichung 

J^F=0 

ist  die  allgemeine  Gleichung  in  der  Theorie  des  Potentials.  In  der 
allgemeinen  Theorie  der  Elasticität  fester  homogener  Köi^ 
per  bewähren  die  Projectionen  der  molekularen  Lagen  Veränderung  und  die 
Composantea  der  elastischen  Kräfte  im  Gleichgewichtszustande  die  allge- 
meine Gleichung  J^  •  ^8^  =  0, 


Literaturseitung.  S3 


die  enbische  Ausdehnuog  0  wird  durch  das  Gesets 
im  Zustande  des  Gleichgewichts  nnd  darch  das  andere 

im  Schwingungssastande  regiert. 

In  80  aasgezeichneter  Weise  zeigen  sich  die  physikalischen  Phänomene 
von  dem  zweiten  Differentialparameter  der  Punktfunctionen  abhängig,  die  in 
ihnen  auftreten,  wie  um  diesen  als  eine  natürliche  Derivirte  vor  aUen 
andern  zu  bezeichnen. 

Und  diesen  überall  schon  in  den  Grundgedanken  ruhenden  mathema- 
tisch-physikalischen Gehalt  ergänzen  noch  die  Anwendungen  der  allge- 
meinen Theorie ,  welche  drei  Fünftel  des  Buches  umfassen.  (Lebens  IX — 
XX.)  Sie  sind  der  Dynamik  und  Theorie  des  Potentials  (Le9.  IX,  X)  der 
Theorie  der  Isotherm- Systeme  (Le9.  XI — XIII)  und  der  allgemeinen  Theo* 
rie  der  Elasticität  (Le9.  XV — XX)  gewidmet.  Die  XIV. Vorlesung  ist  Über- 
diess  der  Transformation  der  Ortbogonal-Systeme  durch  reciproke  Badien- 
vectoren  gewidmet 

Von  der  grössten  Bedeutung  sind  hier  die  Anwendungen  auf  die  Elasti- 
citäts-Theorie  fester  homogener  Mittel.  Man  kennt,  wie  wir  hoffen,  in 
Deutschland  ziemlich  allgemein  das  schöne  Werk  unseres  Autors  j^Lepons 
sur  la  thSorie  tnaihematique  de  Celasücite  des  carp$  solides,  Paris  1852."  Am 
Schlüsse  der  allgemeinen  Theorie,  vor  dem  üebergang  zu  der  ausführlichen 
Anwendung  der  Elasticitäts-Theorie  auf  die  Ei^klärung  der  Erscheinungen 
der  doppelten  Brechung,  verweist  dort  der  Verfasser  aufsein  M^moireüber 
die  iso  st  atiseben  Oberflächen  in  L  iouvi  11  e's  Journal,  als  in  wel- 
chem er  die  Gleichungen  der  Elasticität  in  krummlinige  Coordinaten  trans- 
formirt  habe.  Hier  findet  man  diese  Untersuchung  wieder  aufgenommen  und 
weitergeführt.  Man  findet  aber  insbesondere  die  vollständige  Integration  der 
allgemeinen  Gleichungen  der  Elasticität  für  den  Fall  einer  homogenen  sphä- 
rischen Enveloppe  von  constanter  Elasticität ,  deren  Mäntel  bekannten  von 
einem  Punkt  zum  andern  veränderlichen  Druck  -  oder  Zugkräften  unterwor- 
fen sind.  Diese  schöne  Untersuchung  ist  auch  in  Form  einer  eigenen  Schrift 
erschienen. 

Eine  besondere  Erwähnung  gönnen  wir  endlich  noch  einigen  Bestand- 
theilen  des  Inhalts  der  Vorlesungen  IX  und  X,  die  der  Dynamik  gewidmet 
sind.  Die  allgemeinen  Gleichungen  der  Bewegung  eines  materiellen  Punk- 
tes sind  hier  in  die  krummlinigen  Coordinaten  übertragen  und  manche 
schöne  Anwendung  ist  davon  gemacht;  insbesondere  führt  die  Betrachtung 
der  Bewegung  unter  dem  Einflüsse  von  Attractionskräften ,  wo  der  Parame- 
ter ein  Potential  ist,  zu  ausgezeichnet  einfachen  Formeln.  Die  Interpre- 
tation dieser  Fntwickelung  lehrt,  dass  das  Wachsthum  der  1  ebendi- 
genKraft   gleich   der   durch    das  Wachsthum   des  Potentials 

ZeitAchrJfl  f.  Malhemaük  u.  Physik.     VI.  2.  3 


34  Literaturzeitung. 


multiplicirteu  angezogenen  Masse  ist;  f ttr  die Hasseaemkeit  giebt 
demnach   der  Parameter  der  Niveauflächen  oder  das  Potential  durch  sein 
Wachsthum  die  Arbeit  der  Attcaction  und  rechtfertigt  so  seinen  Namen. 
Und  wenn  man  die  Geschwindigkeit  in  Funktion  der  Coordinaten  aus- 

drückt,   so  gilt  für   die  lebendige  Kraft  ^-—  die  Gleichung 

die  nämliche  Gleichung,  welche  für  einen  festen  homogenen 
Körper  das  Gesetz  der  Temperatur  im  Zustande  des  thermi- 
schen Gleichgewichts  giebt;  gewiss  eine  schöne  Erinnernng  an  die 
Grundgedanken  der  mechanischen  Wärmetheorie  I 

Indem  sodann  M.  Lamö  den  Gedanken  verfolgt,  dass  die  Parameter 
der  den  Niveau-Flächen  conjugirten  Systeme  von  Orthogonal-Flachen  ihrer- 
seits andere  Eigenschaften  der  Bewegung  ausdrücken  mögen,  und  denselben 
speciell  auf  den  Fall  einer  anziehenden  geraden  Linie  oder  des  cjlindri- 
schenPotentiars  anwendet,  gelangt  er  zu  weiteren  interessanten  Ergebnissen. 

Sie  sind  in  den  Gleichungen 

2  Jl 

enthalten,  in  welcher  letzteren  dO  den  Contingenzwinkel  derTrajectorie  des 
Punktes  bedeutet,  während  H  der  Ejrümmungshalbmesser  und  da  das  Bogen- 
Element  derselben  ist.  Die  erstere  zeigt,  wie  das  Wachsthum  des  cy- 
lindrischen  Potentials  q  die  Arbeit  der  Aftraction  oder  ge- 
nauer gesprochen  der  tangentialen  Composante  derselben 
liefert.  Man  muss  die  zweite  als  Definition  einer  andern  Arbeit  betrachten, 
die  bisher  noch  unbeachtet  geblieben  ist;  der  Parameter 


,.=/^,,=yp.,e 


des  conjugirten  Systems  der  orthogonalen  Cylinder  liefert 
durch  sein  Wachsthum  den  Ausdruck  der  von  der  Normal- 
Composante  der  Attraction  geleisteten  Arbeit. 

Wenn  eine  ELraft  einen  materiellen  Punkt  eine  krummlinige  Bahn 
durchlaufen  lässt;  so  besteht  ihre  Arbeit  in  der  Besiegung  des  Widerstandes, 
welchen  derselbe  den  Veränderungen  seiner  Bewegung  entgegensetst,  oder 
wie  man  kurz   sagt,  in    der  Ueberwindung  der  Trägheit      Ihre   taugen* 

d  V 
tiale  Composante  fi  —  überwindet  den  Widerstand  gegen  die  Yeränderong 

der  Geschwindigkeit,  die  normale  Composante  dagegen  den  Widerstand 
gegen  die  Veränderung  der  Sichtung;  jene  Composante  der  Trägheit  wirkt 
in  dem  der  Richtung  der  Geschwindigkeit  entgegengesetzten  Sinn,  diese  in 
der  Richtung  des  Krümmungs-Radius  in  dem  vom  Centrum  hinwegführen- 
den  Sinne.  So  ist  es  zu  verstehen,  wenn  M.  Duhamel  sagt,  dass  die 
Centrifugalkraft  die  Normal- Composante  der  Trägheit  ist. 


Literatnrzeitnng.  36 


Fttr  die  veränderliche  geradlinige  Bewegung  führen  diese  Betrachtun- 
gen anf  die  Definition  der  Masse ,  nach  welcher  dieselhe  der  Widerstands- 
eoeMcient  des  materiellen  Punktes  ist.  Für  die  krummlinige  Bewegung 
fordert  die  Weiterführung  derselben  Betrachtungen  eben  die  Einführung 
jener  neuen  Arbeit  der  Normal-Composante  der  Trägheit,  welche  wir  defi- 
nirten« 

Wir  hielten  diese  Erweiterung  des  Begriffs  der  Arbeit  für  wichtig  ge* 
nug,  um  ihr  eine  besondere  Erwähnung  zu  widmen. 

Aber  wir  durften  auch  nur  für  etwas  wirklich  Wichtiges  die  Länge  die- 
ser Anseige  noch  vermehren ;  doch  mag  sie  sich  selbst  entschuldigen ;  wo 
so  viel  Neues  und  Eigenthümliches  ist,  kann  die  einfache  Aufzählung  des 
Inhalts  nicht  genügen,  der  Beferent  wird  immer  den  Versuch  machen  müs* 
sen,  von  dem  Eigenthümlichen  eine  Idee  zu  geben  und  den  herrschenden 
Oedankenkreis  zu  erläutern. 

Man  wird  es  billigen ,  wenn  überall  in  dem  Vorhergehenden  die  Auf- 
gabe des  Referenten  allein  berücksichtigt  worden  ist;  gegenüber  einem 
Forscher  von  der  Bedeutung  GeorgeLam^'s  halten  wir  das  Kef eriren  für 
passender  als  das  Becensiren.  Wenn  wir  einen  Wunsch  aussprechen  möch- 
ten, dem  das  Werk  innerhalb  seiner  Sphäre  nicht  genügt,  so  ist  es  der  um 
häufigere  Anf&hrung  der  Arbeiten  Anderer,  die  auf  demselben  weiten  Ge- 
biete Bedeutendes  geleistet  haben ;  der  Kundige  wird  solcher  an  nicht  we- 
nigen Stellen  gedenken.  Doch  wollen  wir  auch  darüber  mit  dem  Autor 
nicht  rechten.  Wir  wollen  hier  nur  noch  hinzufügen,  dass  die  Schrift: 
,,Die  Potentialfunction  und  das  Potential.  Ein  Beitrag  zur  mathematischen 
Physik  von  Dr.  K.  Clausius.  Leipzig  1859.**  eine  vortreffliche  Einfüh- 
rung in  das  Studram  des  Lam^^schen  Werkes  ist. 

Mit  zwei  literarischen  Bemerkungen ,  deren  eine  sich  den  Anwendun- 
gen auf  die  Mechanik  anschliesst,  während  die  andere  zu  der  rein  geo- 
metrischen Bedeutsamkeit  des  ellipsoidischen  Coordinatensystems  zurjick- 
führt,  schliessen  wir  endlich  diese  Anzeige. 

Im  XXI.  Bande  des  „Journal  de  Väcole  imperiale  polyiechnique"  (Paris 
1858)  hat  M.  J.  N.  Haton  de  la  Goupilli^re  in  zwei  Abhandlungen: 
^ySur  une  theorie  nauveUe  de  la  pSomSirie  des  masse^^  (p.  35 — 96)  sehr  schöne  An- 
wendungen der  Grundgedanken  des  ellipsoidischen  Systems  auf  die  Unter- 
suchung der  in  der  Theorie  der  Trägheitsaxen  sich  darbietenden  Integrale 
JE  mxy  gemacht;  wir  empfehlen  sie  zur  Beachtung. 

In  einer  der  ,,FacuUS  des  Sciences*^  von  Paris  am  7.  Aug.  1854  vorgeleg- 
ten Th^se  hat  M.  C.  A.  Valson  die  ellipsoidischen  Coordinaten  auf  die 
Theorie  des  Ellipsoids  und  der  auf  demselben  verzeichneten  Figuren  an- 
gewendet und  mittelst  dieser  Methode  reiche  Entdeckungen  Über  die  Focal- 
Eigenschaften  der  Oberflächen  zweiter  Ordnung  gemacht,  welche  besonderes 
Interesse  durch  die  Vergleichung  mit  der  im  56.  Bande  von  Crelle's  Jour* 
nal  veröffentlichten,  der  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Berlin  im  April 
1858  vorgelegten,  Abhandlung:  „üeber  die  Focalpunkte  der  Oberflächen 
zweiten  Grades ^^  von  Heilermann  gewinnen. 

Endlich  hat  derselbe  französische  Autor  in  dem  eben  vollendeten 
XIX.  Bande  der  .yNotwelles  Annales  de  MalhemaUgues  par  Terquem  et  Gerono^' 
(p.  298)  die  Anwendung  seiner  Methode  auf  die  Oberflächen  zweiten  (Jra- 
des,  welche  keinen  Mittelpunkt  haben,  mitgetheilt *).  Fiedler. 

*)  8o  eben  würde  von  Mallet-Bachelier  das  Erscheinen  von:  „Lepans  sur  la 
theorie  anatyüque  de  la  chaleur ,  par  G»  Lami,^''  angekündigt. 


36  Literaturzeitung. 


Onmdifigo  dei  auf  viensoUiehe  Sterbliehkeit  gegründeten  Teniehenege- 
Wesens  9  von  Dr.  Ph.  FischbBi  Lehrer  der  höheren  Mathematik 
an  der  höheren  Gewerbschnle  su  Dannstadt  —  Erste  Abtheilmig : 
Bestimmung  der  Sterblichkeitsverhftltnisse.  —  Oppen- 
heim ^  Ernst  Kern.  1860. 
Wiewohl  die  Ermittelung  der  Gesetze  der  menschlien  Sterblichkeit, 
namentiieh  wegen  des  hohen  Aufschwunges ,  welchen  in  der  neuem  Zeit 
das  hierauf  gestützte  Versicherungswesen  genommen  hat,  von  der  grössten 
Bedeutung  geworden  ist,  mnss  man  doch  zugeben,  dass  die  Kenntniss 
dieser  Gesetze  noch  ziemlich  im  Argen  liegt,  wenn  auch  ein  Ueberfluzs 
von  sogenannten  Sterblichkeitstabellen  vorhanden  ist  Die  grosste  Zahl 
dieser  Tabellen  ist  nämlich  völlig  unbrauchbar^  einestheils  in  Folge  des 
ümstandes ,  dass  sie  aus  einem  höchst  unvollkommenen  Beobachtungsmaie* 
rial  abgeleitet  sind ,  mehr  aber  noch  dadurch,  dass  von  Vielen  dieses  Mar 
terial  auf  eine  ganz  ungerechtfertigte  Weise  benutzt  worden  ist,  und  dass 
nur  Wenige  verstanden  haben ,  auch  hier  diejenigen  Methoden  zur  Anwen- 
dung zu  bringen,  welche  in  den  verschiedenen  Zweigen  der  angewandten 
Mathematik  benutzt  werden,  um  aus  mangelhaften  Beobachtungen  wenig- 
stens die  wahrscheinlicherweise  wichtigsten  Resultate  abzuleiten.  Dem  vox^ 
liegenden  Buche  gebührt  das  Verdienst,  dasjenige,  was  in  der  neuem  Zeit, 
namentlich  seit  Moser*)  zur  Beleuchtung  der  Mängel  älterer  und  neuerer 
Sterblic  hkeitstafeln  und  zur  Aufstellung  richtiger  Grundprincipien  gesche- 
hen ist,  und  was  bis  jetzt  an  verschiedenen  Stellen  zerstreut  lag ,  gesam- 
melt xmd  durch  die  Besultate  eigener  werthvoller  Untersuchungen  des  Ver- 
fassers vermehrt,  zu  enthalten. 

Das  Buch ,  welches  die  erste  Abtheilung  eines  grösseren  Werkes  über 
das  auf  die  menschliche  Sterblichkeit  gegründeten  Versicherungswesens 
bilden  soll,  zerfällt  in  f)inf  Kapitel,  deren  erstes  sich  mit  den  Sterblich- 
keitsverhältnissen im  Allgemeinen  beschäftigt  und  die  Begriffe  der  Wahr- 
scheinlichkeit a  posteriori  überhaupt,  sowie  der  Sterbens-  und  Lebenswahr- 
scheinlichkeit insbesondere  erläutert  Aus  diesen  Begriffen  wird  die  zweek- 
mässigste  Einrichtung  der  Sterblichkeitstabellen  abgeleitet.  —  Von  beson- 
derer Wichtigkeit  isft  das  zweite  Kapitel,  mit  der  Ueberschrift:  ,tDie 
Entstehung  der  ersten  Sterblichkeitstabellen  und  deren  Folgen"^  welches 
die  Mängel  der  grösseren  Anzahl  früherer  Sterblichkeitsbestimmnngen  Mos- 
legt.  Nach  einer  kurzen  historischen  Einleitung  über  die  hierher  gehörigen 
Bestimmungen  des  römischen  Rechtes  und  einige  spätere  Versuche ,  wendet 
sich  dasselbe  zu  der  ersten  eigentlichen  Berechnung  von  Sterbliehkeits- 
verhältnissen,  welche  im  Jahre  1692  veröffentlicht  wurde  und  dem  berfilm- 
ten  englischen  Astronomen  Hallej  ihre  Entstehung  verdankt,  sowie  so 
der  hiervon  abgeleiteten  sogenannten  „Haliej'schen  Methode"  der  Berech- 
nung von  Mortalitätstafeln.  Der  Verfasser  ermittelt  hierbei  sowohl  aaf 
theoretischem  als  practischem  Wege  die  Grösse  der  Fehler,  welche  bei  die- 
ser Methode  daraus  entspringen ,  dass  sie  unter  Voraussetzung  einer  constast 
bleibenden  Bevölkerung  aus  blossen  Todtenlisten  ohne  Rücksicht  auf  die 
Anzahl  der  Lebenden,  aus  denen  die  Todten  hervorgegangen  sind,  Sterb- 
lichkeitstabellen construirt  Von  Interesse  ist  der  Nachweiss ,  dass,  wo  ge- 
nügendes Material  vorliegt,  um  die  aus  der  Halley'schen  Metiiode  abgelei- 
teten falschen  Zahlen  durch  gleichzeitige  Rücksichtnahme  auf  die  Bevol- 
kerungslisten  zu  corrigiren ,  die  bedeutenden  Differenzen  zum  grossen  Th^ 

*)  In  seinem  1839  erschienen  Werke:  ,|Die  Gesetze  der  Lebenidauer.** 


Literaturzeitang.  37 


Terscbwinden,  welche  sich  swiselien  diesen  Zahlen  und  den  Wahmehmangen 
geschlossener  Oesellschaften  ergeben^  bei  denen  nicht  allein  die  Gestorbe- 
neu,  sondern  anoh  die  Lebenden  gesählt  wnrden.  Der  von  Sttssmilcher- 
fdndene  Begriff  der  „ansgesnchten*'  und  „ansgesnchtesten^*  Gesellschaften, 
-welche  nach  andern  Gesetaen  als  das  übrige  gemeine  Volk  absterben  sol- 
len, erhält  hierdurch  seine  verdiente  Abfertigung.  —  Pas  dritte  Kapitel 
handelt  von  der  Weiteren  Entwickelnng  der  Theorie  der  Sterblicbkeitsver- 
b&ltnisse  und  unterwirft  aunächst  die  Zulässigkeit  einiger  angeblichen  Yer- 
bessemngsversnche  der  Hallej'schen  Methode  einer  gründlichen  mathema" 
tischen  Untersuchung.  Hieran  schliesst  sich  die  Betrachtung  der  wirklichen 
Fortschritte,  welche  in  der  neueren  Zeit  durch  die  Bemühungen  von  Teil  - 
kämpf,  Heym  tlA*  in  der  Theorie  hei  Ermittelung  der  eigentlichen  Ster- 
benswahrscheinlichkeiten gemacht  worden  sind.  —  Das  vierte  Kapitel  ent- 
h&lt  eine  strenge  ELritik  einer  grossen  Ansahl  der  vorhandenen  Sterblich- 
keitstabellen, sowohl  mit  Bücksicht  auf  die  Art  ihrer  Entstehung,  als  den 
daraus  abzuleitenden  Grad  ihrer  Zuverlässigkeit.  Wie  wenig  Vertrauen  die 
grössere  Zahl  dieser  Tafeln  verdient ,  kann  unter  Anderem  aus  dem  über- 
raschenden Resultate  abgeleitet  werden,  dass  in  den  hier  besprochenen  Ta- 
bellen die  wahrscheinliche  Lebensdauer  der  Neugeborenen  zwischen  den 
Grenzen  von  1  Jahr  und  63  Jahren  schwankt  —  Im  letzten  Kapitel  handelt 
der  Verfasser  von  der  Construction  richtiger  Sterblichkeitstabellen  und  giebt 
hierbei  diejenigen  Methoden  an,  welche  von  ihm  selbst  bei  Berechnung 
solcher  Tafeln  benutzt  worden  sind.  Neu  sind  die  auf  das  Gewicht  der 
einaehien  Beobachtungszahlen  bezüglichen  Resultate ,  sowie  die  dem  Ver- 
fasser eigenthümliche  Ausgleichungsmethode  für  Werthe  der  Sterbenswaht- 
scheinlicfaikeiten ,  welche  aus  verschiedenen  Altersjahren  stammen,  und  die 
Untersuchung  über  die  Correctionen,  welche  bei  geschlossenen  Gesellschaf- 
ten an  den  Sterbenswahrscheinlichkeiten  wegen  der  aus  anderen  Ursachen 
als  Tod  innerhalb  eines  Jahres  Ausscheidenden ,  sowie  wegen  der  Eintre- 
tenden anzubringen  sind,  wenn  die  Zeit  dieses  Aus-  und  Eintrittes  nicht 
näher  angegeben  ist  Kann  man  auch,  namentlich  was  die  vom  Verfasser 
benutze  Ausgleichungsmethode  betrifft,  rücksichtlich  der  Grundlage  der- 
selben ,  vielleicht  anderer  Ansicht  sein ,  so  verdient  doch  die  Klarheit  und 
die  mathematische  Strenge  volle  Anerkennung,  mit  welcher  derselbe  die 
Consequenzen  der  von  ihm  aufgestellten  Principien  verfolgt,  und  von  wel- 
cher er  bereits  in  mehreren  früheren  Werken  aus  dem  Gebiete  der  reinen 
und  angewandten  Mathematik  vollgültige  Prx>ben  abgelegt  hat*). 

Den  Schluss  des  Buches  bilden  zwei  vollständig  durchgeführte  Rech- 
nungsbeispiele ,  nämlich  die  Berechnung  zweier  Sterblichkeitstabellen,  der 
einen  für  das  männliche  Geschlecht,  vom  25sten  bis  zum  85sten  Lebens- 
jahre reichend ,  der  andere  für  das  weibliche  Geschlecht ,  vom  18ten  bis 
anm  86sten  Lebensjahre.  Dieselben  stützen  sich  auf  die  Erfahrungen, 
welche  in  der  königlich  preussischen  allgemeinen  Wittwenverpflegnngs- 
anstalt  zu  Berlin  während  der  Jahre  1776  bis  1852  gemacht  worden  sind. 


*)  Wir  erimiem  an  des  Verfusert  „Lehrbuch  der  höheren  Geodäsie' S  soine  an 
seine  Bearbeitung  mehrerer  Theile  des  Francoenr^schen  Lehrcorses  der  reinen  Ma- 
thematik ,  von  denen  namentlich  die  beiden  zuletzt  erschienenen : 
Lehrbuch  der  algebraischen  Geometrie  n.  s.  w.,  und 
Lehrbuch  der  analytischen  Geometrie  in  der  Ebene 
sich  dureh  selbststandige  Behandlung  und  Anordnung  des  Stoffes  und  vielfaebe  Auf- 
nahme neuerer  Methoden  dem  Original  gegenüber  auszeichnen. 


38  Literatnrzeitang. 


Referent  kann  hierbei  die  Bemerkung  nicht  verhehlen,  dass  er  für  iweck- 
massiger  gehalten  hätte ,  den  Anfang  der  Tabelle  für  das  mftnnliehe  Ge- 
schlecht um  ein  Jahr  zu  verschieben.  In  Folge  des  ümstandes  nSmlieh, 
dass  für  das  256te  Lebensjahr  nur  die  geringe  Zahl  von  5  beobachteten 
Todtea  vorliegt,  hat  die  Sterbenswahrscheinlichkoit  für  dieser  Alter  hanpt- 
sftchlich  darch  Ansgleichnng  mit  Benutzung  der  Nachbarjahre  abgeleitet 
werden  müssen.  Dass  dadurch  die  unmittelbar  beobachtete  Wahrschein- 
lichkeit von  0,0033  durch  Ausgleichung  bis  auf  0,0062  erhöht  worden  ist, 
könnte  gegen  die  Zulässigkeit  der  verwendeten  Methode  leicht  beträcht- 
liche Zweifel  hervorrufen. 

Man  wird  aus  der  vorstehenden  Inhaltsangabe  ersehen,  dass  das  be- 
sprochene Buch  nicht  allein  die  Aufmerksamkeit  derjenigen  verdient, 
welche  zu  der  Theorie  und  Praxis  des  auf  die  menschliche  Sterblichkeit 
gegründeten  Versicherungswesens  in  näherer  Beziehung  stehen,  sondern 
dass  es  auch  mancherlei  vom  mathematischen  Standpunkte  aus  Interessan- 
tes enthält.  Bedauerlich  ist  nur,  dass  an  mehreren  Stellen,  namentlich  des 
letzten  Kapitels ,  die  Resultate  -der  mathematischen  Entwickelungen  durch 
Druckfehler  nicht  unbeträchtlich  entstellt  worden  sind. 

Zum  Schlüsse  stimmt  der  Referent  mit  dem  Verfasser  in  dem  Wunsche 
ttberein ,  dass  die  Directionen  und  Vorstände  der  Versicherungsgesellschaf- 
ten, in  deren  Interesse  hauptsächlich  die  Fortbildung  der  Theorie  der 
Sterblichkeitsverhältnisse  liegt,  durch  geeignete  Veröffentlichung  des  in 
ihren  Archiven  enthaltenen  Beobachtungsmateriales  mehr ,  als  es  bis  jetzt 
von  vielen  derselben  gesehen  ist,  beweisen  mögen,  dass  ihnen  darange- 
legen ist ,  ihre  Institute  auf  tüchtige  Grundlagen  zu  basiren.  Der  VerfSasser 
stellt  eine  zweite  Abtheilung  seines  Buches  in  Aussicht,  welche  sieb  mit 
der  Theorie  und  Praxis  des  Versicherungswesens  beschäftigen  soll.  In  der- 
selben verspricht  er,  diejenigen  Versicherungsinstitute,  welche  bis  dahin 
den  Verpflichtungen  nicht  nachgekommen  sind,  welche  ihnen  im  allgemei- 
nen Interesse  obliegen,  einer  ebenso  strengen  Kritik  zu  unterwerfen,  als  es 
in  der  vorliegenden  Abtheilung  mit  den  mangelhaften  Methoden  der  Sterb- 
lichkeitsberechnung und  den  unbrauchbaren  Tabellen  selbst  geschehen  ist 

O.  FOET. 


Bibliographie 

vom  1.  Decbr.  1860  bis  15.  Februar  1861. 


Periodische  Schriften. 

fiegister  für  die  Monatsberichte  der  K.  Pr.  Akademie  der 
Wissensch.  zu  Berlin  von  1836  —  1858.  Berlin,  Dftmmler  in 
Comm.  2  Thlr. 

Annalen  der  Physik  und  Chemie,  herausgeg.  v.  J.  C.  Poooev- 
noRFF.    Jahrg.  1861.  No.  1.   Leipzig,  Barth.  pr.  cplt.  97»  Th'^- 

Astronomisches  Jahrbuch  f.  1863.  Herausgeg.  v.J.F.  Encke  unter 
Mitwirkung  von  Wolfers.    Berlin,  Dümmler.   •  5  Thlr. 

Annalen  der  k.  k.  Sternwarte  in  Wien.  Herausgeg.  von  K.  ▼. 
LiTTROW,  3.  Folge,  9.  Jahrg.  1859.  Wien,  Wallishauser  in  Comm.  sV^TUr. 


Literatarseitong.  30 

Lamont,   J.,   Annalen  der  E.  Sternwarte  bei  Müncheo.    12.  Bd. 

München,  Franz  in  Gomm.  1%  Thlr. 

Puhlicaiions  de  Vobservatoire   V Aihenes.     Tom.   L     (Beiträge  zur 

phjsikal.  Geogr.  Griechenlands  v.  J.  F.  J.  Schmidt.  3  Hefte.)  Athen, 

Willberg.  4  Thlr. 

Tbiiqubh.     Bulletin  de  bibliographie^  d^hislaire  et  de  hiographie 

maihemaiiques.     Tome  V.    Pari$.  30  Ngr. 

Attino  XaiheiniatilL 

OiFFHOBN,  F.  Leitfaden  der  elementaren  Mathematik.  1.  Abth. 
Allgem.  Arithm.  n.  Algebra.    Braonschweig ,  Schnlbnchhandl.  24  Ngr. 

Thomas,  K.  Das  System  der  absoluten  Primzahlen.  Nebst 
nothgedrungener  Abwehr.   Leipzig,  Wagner.  Vs  Thlr. 

Stampfer,  S.  Logarithmisch-trigonometrische  Tafeln.  6.  Aufl. 
Wien,  Gerold's  Sohn.  Va  Thlr. 

Lukas,  F.  Logarithmen  der  Zahlen  und  der  trigonometri- 
schen Functionen  und  Antilogarithmen.  Wien,  Helf.  1  Thlr. 

MüLLfiR,  J.  H.  T.,  Vierstellige  Logarithmen  der  natürlichen 
Zahlen  und  Winkelfunctionen  nebst  den  Additions-  und 
Subtractionslogarithmen.    2.  Aufl.     H^Ue,  Waisenhausbuchh. 

Vs  TUr. 

Spitzes,  S.  Studien  über  die  Integration  linearer  Differen- 
tialgleichungen.   I.Fortsetzung.    Wien,  Gerold's  Sohn.   ^/^1.Wt. 

Mayb,  A.  Grundlegung  der  Theorie  des  Yariationscalcüls. 
Würzburg,  Kellner.  24  Ngr. 

DoEBX,  G.  Lehrbuch  der  Mathematik.  2.  Bd.  1.  Tbl.  Planimetrie 
n.  ebene  Trigonometrie.  2.  Aufl.  Berlin,  Weidmann'sche  Buchh.  21  Ngr. 

SoHBÖDEB,  F.  H.  Elemente  der  Planimetrie  und  Stereometrie. 
Hannover,  Hahn'sche  Hofbuchh.  72  Thb. 

Esoheb,  H.  Die  mathematischen  Verhältnisse  der  Kreislinie. 
Zürich,  Meyer  &  Zeller.  4  Ngr. 

Kapff,  f.  G.  Kreis  und  Ellipse  nacli  der  Theorie  der  Schiefe, 
geometrisch,  algebraisch  und  trigonometrisch  dargestellt.  Leipzig, 
C.  F.  Winter'sche  Verlagshandl.  18  Ngr. 

Apollonins  von  Perga,  Sieben  Bücher  Kegelschnitte  nebst 
dem  durch  Halley  wiederhergestellten  achten  Buche. 
Deutsch  von  H.  Balsam.   Berlin,  G.  Beimer.  sVs  Thlr. 

Cabnot.  R6flexion$  $ur  la  melapkysique  du  calcul  infinile$imaL 
4.  ed.     Paris,  1%  Thlr. 

Dfi  Fbetciket.  J>e  Vänalyse  infinitesimale;  etude  sur  la  mita- 
physique  du  haut  calcul,     Paris.  2  Thlr. 

Angewandte  Mathematik. 

2ii<LMeB,  A.  Die  mathematischen  Rechnungen  bei  Lebens^  u. 
Bentenversicherungen.     Berlin,  Nicolai'sche  Verlh.         2  Thlr. 

SuBio,  S.  Abhandlung  über  die  Zusammensetzung  fortschrei- 
tender und  drehender  Bewegungen  und  ihre  Anwendung 
zur  Erklärung  der  Aberration  des  Lichtes,  desFoncault- 
Pendelversuchs  etc.     Pest,  Heckenast  in  Comm.  V2  '^hlr. 

DsoHEB,  Handbuch  der  rationellen  Mechanik.  4.  Bd.  Mechanik 
flüssiger  Systeme.    Augsburg,  Rieger.  2  Thlr. 


40  Literaturzeitung. 


LsBOT,  C.  F.  A.  DieStereotomie  enth.  Anwendungen  der  darsteUen- 
den  Geometrie  etc.    Ans  dem  Frazös.  v.  F.  Kaüffmann.     %  Ausg. 

2.  —  6.  Lief.    Stuttgart,  Becher's  Verl.  k  V4  Thlr. 
Posch,  L.     Geschichte  und  System    der  Breitengradmessun- 
gen.    Inaug.-Dissert.     Freising,  Datterer.       ^  Vi  Thlr. 

Atlas  des  nördlichen  gestirnten  Himmels  f.  d.  Anfang  d.  J.  1855 
entworfen  auf  d.  K.  Sternwarte  au  Bonn.  6.  Lief.  Bonn,  Marcus.    3  Thlr. 

RüMKBR,  O.  Die  totale  Sonnenfinsterniss  am  18.  Jnli  1860; 
beobachtet  au  Castellon  de  la  Plana.  Hamburg,  Berthes  -  Besser  k 
Mauke.  Vs  Thlr. 

Babh.  Calcul  des  eclipses  de  soleil  par  la  methode  des  pro 
jeciions,     Paris.  30  Ngr. 

Physik. 

PiSKO,  F.  J.  Lehrbuch  der  Physik  für  Obergymnasien.  Bröns, 
Winiker.  2  Thlr.  8  Ngr. 

Encyclopädie  der  Physik,  bearb.  von  Brix,  Decher»  v.  Feiutzscr 
etc.  herausgeg.  v.  Karsten.  8.  Lief.   Leipsig,  Voss.  &V3  Thfar. 

Müller  -  Pouillet's    Lehrbuch    der  Physik    und  Meteorologie. 

3.  Bd.   Kosmische  Physik  von  J.  Möller.    2.  Aufl.    Braunschweig, 
Vieweg.  4  Thlr. 

ScHMiD,  E.  £.  Lehrbuch  der  Meteorologie.  Mit  Atlas  in  Qner 
folio.    Leipzig,  Voss.  13  Thlr. 

WiEDBicANN,  G.  Die  Lehre  vom  Oalvanismus  und  Elektro- 
magnetismus nebst  ihren  Anwendungen.  I.  Bd.  Galvanismot. 
Braunschweig,  Vieweg.  3  Thlr.  96  Ngr. 

SoHELLER,  H.  Der  elektromagnetische  Telegraph.  3.  Aufl. 
Ebendas.  2  Thlr.  8  Ngr. 

SoBiDA,  S.  Grundzüge  einer  naturgemässen  Atomistik  mit 
den  daraus  abgeleiteten  Schwingungsgleichungen.  1.  Heft.  Klagen- 
furt, Leon.  6  Ngr. 

Kirchhoff,  G.  und  R.  Bunsem.  Chemische  Analyse  dnrcb 
Spectralbetrach  tun  gen.  Mit  Wandtafel  in  Farbendruck.  Leipzig, 
Schrag's  Verl.  iVs  Thlr. 

PiSKo,  F.  J.   Die  Fluorescens  des  Lichtes.    Wien,  Gkrold's  Sohn. 

U  Ngr. 

Parkinson,  S.    ä  Treaiise  on  Opiics.     London.  4Vs  Thk. 

Potter,  B.  Physical  Opiics.  2  VoL  {The  carpuscular  Theory  of  Ltgfd^ 
discuUed  maihemaUcaüy.)  London,  k  3  ThJr. 

WiLKES,  C,  Theory  of  ihe  Winds.    2.  edü.   London.       2  Thlr.  WNgt 

Julien,  F.  Couranis  ei  revoluiions  de  Vatmosphere  ei  de  la  mer, 
conienani  une  iheorie  nouvelle  sur  les  deluges  periodiques. 
Paris,  iVj  Thlr. 

NiCKLBS,  J.  Les  eleciro  -  aimanis  ei  Vadherence  magnetique. 
Paris.  1%  Thlr. 


Literaturzeitung. 


Recensionen. 

B«itrig0  lur  OeioMohte  der  griedüfchtii  Mathematik  von  Professor  Dr. 
L.  P,  Ofteedikgee.  Ulm  1860. 
Der  Verfasser  dieser  kleinen  Broschüre  bat  schon  1844  im  5.  Bande 
des  Grunert^schen  Archivs  eine  Abhandlung  veröffentlicht,  welche  er  selbst 
als  Vorarbeit  des  gegenwärtig  Erschienenen  bezeichnet.  In  der  That  bil- 
det der  fast  wortgetreue  Abdruck  dieser  Abhandlung :  „lieber  die  Auffindung 
mathematischer  Wahrheiten  bei  den  Griechen*'«  die  erste  Hälfte  der  vor- 
liegenden Schrift.  In  derselben  wird  behauptet,  was  den  meisten  Mathe- 
nftAtikern  längst  unzweifelhaft  war,  dasa  die  Griechen  gewisse  Methoden 
zur  Auffindung  von  Sätzen  besessen  haben  müssen,  welche  verschieden 
waren  von  den  Methoden  der  Beweisführung.  Als  solche  Hilfsmittel  der 
SiTfindung  werden  genannt : 

1.  die  Anwendung  der  Arithmetik  auf  die  Geometrie, 

2.  die  Anwendung  der  Geometrie  auf  die  Arithmetik, 

3.  die  mechanischen  Hilfsmittel  (insbesondere  das  Zeichnen), 

4.  die  angewandte  Mathematik  (z.  B.  Statik), 
5«  die  Analogie, 

6.  die  Induotion. 
Von  diesen  Erfindungsmethoden  sind  dann  einige  Beispiele  aus  grie* 
cbischen  und  späteren  Autoren  angefilhrt.  Die  zweite  Hälfte  d%r  Broschüre, 
welche  neu  erscheint,  behandelt  in  4  Paragraphen :  die  problematische  Ana- 
lysis,  die  Auffindung  der  Analysis,  Djgita  und  Orte ,.  endlich  die  geometri- 
schen Aufgaben  des  Apollonius.  Wesentlich  Neues  wird  der  Leser  wohl 
nicht  darin  entdecken.  Ganz  angenehm  ist  in  den  beiden  letzten  Paragra- 
phen die  Zusammenstellang  der  verschiedenen  Ausgaben  der  darin  bespro- 
chenen Werke.  Verwirrend  hingegen  muss  es  auf  den  historischen  Laien 
wirken,  wenn  das  Wort  Datum  bald  in  der  euclidischen,  bald  in  der  nicht- 
eaclidischen  Bedeutung  gebraucht  wird  (z.  B.  S.  12  und  8) ,  ohne  dass  auf 
diesen  Doppelsinn  aufmerksam  gemacht  wird.  Endlich  scheint  Herr  Öfter; 
dinger  das  Werk  von  Chasles  über  die  Porismen  als  eine  neue  Atisgabe 
des  griechischen  Textes  desPappus  zu  betrachten,  und  verspricht  uns  des- 

Literalurxtg.  d.  Zeittchr.  f.  Math.  u.  Pliys.  VI,  3.  4 


4  2  Literaturzeitung. 


halb  eine  ganz  neue  Untersuchung  über  dieses  Werk,  welche  bei  einer  «b- 
deren  Gelegenheit  gegeben  werden  soll.  Der  Herr  Verfasser  wird  sich 
inzwischen  wohl  überzeugt  haben ,  dass  er  sich  damit  wohl  überflüssige  Ar- 
beit machen  würde.  -Camtob. 


Prolegomenes  philosophiques  de   la  geomSirie,  ei   Solution   des 
postulats  par  J.  Delbqsuf.    Uege  18(K). 

Es  ist  keiner  Frage  unterworfen ,  dass  das  uns  zur  Beurtheilung  vor- 
liegende  Werk  ein  in  vielfacher  Beziehung  interessantes  genannt  werden 
muss.  Sowohl  was  den  eigentlichen  Inhalt  betrifft ,  als  auch  durch  die  fes- 
selnde Sprache  hält  es  den  Leser  in  fortwährender  eifrigster  Spannung  und 
reizt  zu  wiederholtem  Uebcrdenken  der  wichtigsten  Capitel  aus  der  Philo- 
sophie der  Mathematik.  Wenn  wir  damit  gleich  ron  Tomherein  unsere 
ganz  besondere  Anerkennung  des  Geleisteten  aussprechen,  so  müssen  wir 
freilich  hinzusetzen,  dass  bei  alledem  der  Verfasser  uns  die  Aufgabe,  die 
er  sich  stellte,  nicht  vollständig  zur  Lösung  gebracht  zu  haben  scheint, 
wozu  die  Grösse  jener  Aufgabe  am  meisten  beigetragen  haben  mag.  Der 
Verfasser  wollte  einen  doppelten  Zweck  damit  erreichen.  Er  wollte  die 
philosophische  Verwandtschaft  der  Mathematik  mit  den  übrigen  Wissen- 
schaften nachweisen ,  er  wollte  ferner  noch  eine  strenge ,  wahrhaft  evidente 
Grundlage  für  die  Geometrie  finden,  welche  die  gewöhnlichen  Postnlate 
nicht  voraussetzte.  Also  wieder  einer  von  den  neuen,  neuesten,  alier- 
neuesten  Beiträgen,  Versuchen,  Grundzügen  u.  s.  w.  der  wahren  Theorie 
der  Farallellinien?  Eigentlich  ja!  Aber  ein  solcher  Beitrag ,  der  jedenfalls 
unter  den  übrigen  eine  weit  hervorragende  Stellung  einnimmt,  rnid  beson- 
ders in  der  allgemeinen  Einleitung ,  sowie  in  dem  kritischen ,  mehr  nega- 
tiven Theile  des  Vortrefflichen  viel  enthält. 

Wir  wollen  aus  d^  Einleitung  nur  jene  Stelle  hervorheben,  an  wel- 
cher der  Verfasser  einerseits  gegen  den  Apriorismus  der  Idealisten,  ande- 
rerseits gegen  den  Empirismus  der  Sensualisten  ankämpft,  wo  er  zeigt,  wie 
die  eine  dieser  Lehren  zum  Mjsticismns,  die  andere  zum  Skepticismus 
führt.  Mit  Schärfe  zeigt  er  in  beiden  Richtungen  Widersprüche;  allein 
was  setzt  er  an  die  Stelle?  Eine*Theorie ,  welche  dem  Empirismns  des 
Mill  zu  nahe  steht,  um  nicht  der  Verronthung  Raum  zu  geben,  dass  am 
Ende  doch  die  Erfahrung  das  Wesentliche,  und  die  Ableitung  der  Wahr- 
heit aus  der  Erfahrung  nur  ein  Nebensächliches  sei ,  über  welches  «nein 
noch  ein  philosophischer  Streit  möglich  ist.  Wir  können  daher  auch  nach 
Durchlesung  dieses  Buches  noch  Verehrer  des  Miirschen  Hauptwerkes 
bleiben  und  uns  darüber  freuen,  dass,  wie  wir  vernehmen,  eine  neue  und 
zwar  vollständige  Ausgabe  der  deutschen  üebersetzung  in  Bälde  zu  erwar- 
ten steht.  Der  Haupteinwurf,  welchen  Herr  Delboeuf  gegen  MIU  vorbringt, 
zeigt  selbst  das  Richtige   unserer  Behauptung   Über   den  geometrischen 


'  Literaturaeitttng.  43 

W«nb  der  Erfahrung.  Wenn  Hill  angiebt ,  die  OeometHe  liefere  adäquate 
Definitionen  und  sei  evident,  so  fragt  Herr  Delboeuf  nach  der  Begründung 
dieser  Angabe,  Und  ob  es  noch  andei-e  Wissenaobaften  gebe ,  in  welchen 
adäquate  Definitionen  möglich  sind.  Die  philosophische  Berechtigung  die- 
ser Frage  ist  unleugbar,  zumal  wenn  das  Verh&ltniss  der  Mathematik  an- 
deren Wissenschaften  gegenüber  untersucht  werden  soll ,  aber  für  die  Geo- 
metrie selbst  genügt  die  empirisch  feststehende  Thatsache  der  Evidens, 
wel^e  Yon  Herrn  Delboef  so  wenig  wie  von  einem  Anderen  angeeweifelt 
wkd.- 

Wir  haben  schon  oben  bemeil^t,  dass  der  Geomet^  aus  dem  kritischen 
Tbeile  des  vorliegenden  Buches  viel  lem^i  könne.  Wir  erinnern  an  die 
vortreffliche  Untersuchung  der  Begriffe:  Anaijsis  und  Synthesis ,  an  die 
Ableitung  der  Vorschriften  in  Bezug  auf  die  innere  Gestaltung  eines  Jjehr- 
ganges  der  Geometrie,  Vorschriften,  welche  awar  überaus  einfach  sind, 
aber  nichtadestoweniger  nur  zu  häufig  ausser  Acht  gelassen  werden,  wi6. 
2«  B.  dass  eine  gute  Definition  in  der  Geometrie  genetiisch  sein  müsse,  dass 
die  Beweise  möglich  kurz  sein  soUen ,  und  insbesondere  keiner  Hilfslinien 
sich  bedienen  sollen,  welche  die  Natur  des  Satzes  nicht  schon  mit  sich 
bringt  u.  s.  w.  Wir  erinnern  namentlich  an  die  mathematische  Prüfung. 
der  verschiedenen  Beweisverfahren  für  den  Satz  von  der  Winkelsumme 
des  Dreiecks.  Jeder  Mathematiker  wird  in  diesem  CapStel  ein  schätzbarem 
Material  gesammelt  finden ,  wie  es  sonst  nur  selten  existtrt. 

Unsere  Pflicht  als  Becensent  nötbigt  uns  jetzt  aneh  einige  Bemer- 
kungen über  den  positiven  Theil  des  Werkes  ab.  Der  Verfasser  erinnert 
selbst  daran,  dass  eine  wesentliche  Grundlage  für  ihn  eine  Schrift  des 
Dr.  lieber  weg  gewesen  sei,  welche  zuerst  1851  im  pädagogischen  Archive 
Bd.  XVII  erschien,  jötzt  in ' franzöHischex ,  vom  Autor  gebilligter  Ueber<« 
eetsung  dem  vorliegenden  Werke  angefügt  ist.  Indem  wir  unsere  Freude 
über  diese  Offmheit,  aussprechen,  welche  für  den  wahren  Freund  der 
Wissenschaft  oharakteHstisch  ist,  können  wir  Herrn  Delboeuf  gern  zugeben, 
dass  er  über  die  Schrift,  welche  ihm  zur  Anregung  diente,  weit  hinausge- 
gangen ist.  Allein  auch  er  hat  uns  von  der  vollständigen  [Richtigkeit  sei- 
ner Deduetionen, nicht  überzeugen  können.  Es  liegt  gewiss  viel  Wahre» 
hl'  dem  Begriffe  der  Homogeneität  des  Baumes,  der  bei  beiden  Schriftstel- 
lern  den  eigentlichen  Ausgangspunkt  bildet,  allein  durchaus  klar  ist  er 
ans  in  dem  Sinne,  wie  er  benutzt  wird,  auch  nach  wiederholtem  Lesen 
noch  nicht  geworden.  Möglich,  dass  die  Schuld  an  uns  liegt,  indessen 
scheintHerr  Delboeuf  lielbst von  der  Furcht  nipht  frei  geblieben  zusein,  es 
möge  Manchem  so  geben.  Sagt  er  doch  (S.  229  in  der  Anmerkung) ;  Tous 
ees  modes  de  demoMtration  soni  fort  simpk9;  mais  il  faui  s'ilre  bien  pdnetre  du 
principe  de  fhomogeneiie  pour  en  coneevoir  la  puissance  et  Vapplication.  Diese 
Diurcbdrnngenbeit  zu  erreichen ,  waren  wir  aber  bisher  nicht  im  Stande. 
:    Im  Einzelnen  möchten  wir  uns  noch  einige  wenige  Auss>tellungen  er- 

4* 


44  LiteratUTzeitang. 

lanben.  Der  Winkel  wird  (S.  233)  definirt:  La  flgure  formee  par  denx  drettes, 
qui  partent  d'un  mime  poini,  se  nomme  angle»  Aber  kann  man  einen  Winkel 
eine  Figur  nennen?  Wir  glauben  nicht.  Herr  Delboeuf  erinnert  ^ieder- 
bolentlich  daran,  dass  man  nnerwiesenermaaaBen  annehme,  zwei  Linien,  die 
sieh  begegnen ,  schneiden  einander.  Er  versncht  (S.  235)  einen  Beweis  da- 
von zu  geben.  Dazu  nimmt  er  an,  ^^nnd  CD  seien  gerade  Linien,  welche 
den  Punkt  ^gemein  haben,  so  dass  L  AEB^^^CED  s^lSOfi^  dann  müssen 
auch  die  L  AEC=  BED  sein  und  einander  gegenüberliegen.  Das  Ersiere 
geben  wir  vollständig  zu,  woher  aber  weiss  man  das  Letztere,  wenn  es 
nicht  erfahrungsmässig  bekannt  sein  soll?  Und  dergleichen  Falle  kommen 
noch  mehr  vor,  wo  Herr  Delboeuf  von  eiüer  Evidenz  spricht,  der  wir  kei- 
nen anderen  Grund,  als  den  der  Erfahrung  unterlegen  können.  So  auf 
derselben  8.  235,  wo  es  heisst:  Quelle  que  soit  la  direclion  prise  pour  narme^ 
la  valeur  de  V angle  resle  la  mime.  Celle  proposition  est  evidente  par  eile  mimt. 
Zur  Begründung  unseres  Einwurfes  bemerken  wir,  dass  der  ang^efnhrte 
Satz  in  gewöhnlicher  Ausdrncksweise  heissen  würde:  L  ABC — ABD 
=  DBCt  wie  auch  die  A  B  gelegen  sein  mag.  Am  klarsten  wird  in  diesem 
positiven  Theile  Herr  Delboeuf,  wo  er  selbst  empirisch  zu  Wege  geht.  So 
S.  235,  wo  er  die  symmetrischen  Figuren  durch  Umdrehung,  wie  bei  einem 
Handschuh  erzeugt.  Und  so  müssen  wir  zum  Schlüsse  wiederholen:  das 
Buch  des  Herrn  Delboeuf  verdient  von  jedem  Geometer  gelesen  zu  werden, 
vom  Empirismus  werden  aber  nur  Wenige  dadurch  bekehrt  werden ,  eher 
dürften  Idealisten  dadurch  zu  der  entgegengesetzten  Schule  hinüberge- 
zogen werden.  Caütok. 


Analytische  Oeometrie  der  Kegelschnitte,  mit  'besonderer  Berücksichtigung 

der  neueren  Methoden,  von  George  Salmok.    Unter  Mitwirkung 

des  Verfassers  deutsch  bearbeitet  von  Dr.  Wii<hklm  Fiedi.£r. 

Leipzig,  Druck  und  Verlag  von  B.  G.  Teubner.    1660.   40  Bogen. 

gr.  8. 

Das  englische  Original,  von  dessen  dritter,  im  Jahre  1855  Teröffent- 

lichten  Auflage  das  vorliegende  Werk  eine  sehr  freie  Beasbeitung  liefert  — 

die  erste  Auflage  erschien  1848  —  führt  den  vollständigen  Titel :  A  Treaiite 

on  Co  nie  Sections:    containing  an  account  of  some  of  the  mos/  imporimd 

modern  algebraic  and  geomelric  melhods,  By  the  Rev.  George  Salmon,  A.  Jf., 

Fellow  and  Tutor,  Trinity  College,  Dublin. 

Dasselbe  enthält  mehr,  als  sein  Titel  verspricht;  es  nmsehliesst  in 
seinem  Haupttheile  eine  fast  vollständige  Darlegung  des  gegenwärtigen 
Standes  der  auf  die  Kegelschnitte  bezüglichen  geometrischen  Lebren ,  mit 
Zugrundelegung  der  wichtigsten  algebraischen  und  geometrischen  Metho- 
den, durch  welche  namentlich  in  der  neueren  Zeit  diese  Theorie  eine  we- 
sentliche Förderung  erlangt  hat.     Ein  einleitender  Abschnitt  giebt  die 


LiicraturzeituDg.  45 


Grnndlehren  4er  Cartesischen  Coordlnaten  -  Geometrie ,  leitet  aber  in  Kur- 
sem darcL  Aufnahme .  d^s  erweiterten  Coordinaten  •  Begriffes  uq4  nament- 
lich durch  Einführung  der  Trlllut^r  -  Coordinaten  und  der  dadurch  beding- 
ten homogenen  Gieichungsformen  zu  den  umfassenderen  Gesichtspunkten 
hin,  durch  welche  die  neuere  analytische  Geometrie  weit  über  die  Lehren 
des  CartQsiua  hinausgeführt  worden  ist.  Die  ausgezeichnete  Methodik ,  mit 
welcher  der  Verfasser  hierbei  von  den  einfacheren  Grundlagen  zu  höheren 
Anschauungen  fortschreitet ,  macht  das  Buch ,  abgesehen  von  seinem  ur* 
sprtinglichen  Zwecke,  besonders  auch  geeignet,  zur  Einführung  in  die 
gegenwärtige  wissenschaftliche  Stellung  der  analytischen  Geometrie  zu 
dienen. 

Der  deutsche  Bearbeiter  hat  den  letzteren  Gesichtspunkt  in  den  Vor- 
dergrund treten  lassen  und  hiervon  eine  Erweiterung  des  Salmon^schen 
Werkes  abgeleitet,  rücksichtlich  deren  er  sich,  wie  die  Vorrede  besagt, 
mit  dem  Verfasser  selbst  in  Einvernehmen  setzte.  Durch  Einschaltung 
einer  grossen  Menge  einzelner  Zusätze ,  sowie  einiger  grösseren  Abschnitte 
ist  das  Werk  um  nahe  die  Hfilfte  des  ursprünglichen  Volumens  angewach- 
Ben,  und  es  ist  in  seiner  neuen  Form  wohl  geeignet,  dem  Zwecke  zu  ent* 
sprechen ,  welchen  der  Bearbeiter  dabei  im  Auge  gehabt  hat.  Das  Mate- 
rial zu  den  Erweiterungen  bt  zum  Theil  anderen  Schriften  desselben  Ver- 
fassers entlehnt,  namentlich  dem  vorzüglichen  Werke:  A  Treatise  on  ihe 
higher  plane  Curves,  zum  Theil  sind  andere  englische  Quellen  benutzt.  Die 
Arbeiten  deutscher  Mathematiker,  namentlich  unserer  Möbius,  Plücker, 
Steiner  und  Anderer  sind  übrigens  durchaus  nicht  unbeachtet  geblieben; 
einzelne  Partien  verrathen  eine  selbstständige  Auffassung  von  Seiten  des 
Bearbeiteirs. 

Der  Stoff  de«  vorliegenden  Werkes  ist  in  der  deutschen  Ausgabe  in 
die  folgenden  Abschnitte  vertheilt :    Gap.  I.  Der  Punkt.     Cap.  tl.  Die  ge- 
rade Linie.     Cap.  JIL  Aufgaben  über  die  gerade  Linie.     Cap.  IV.   An- 
wendung einer  abgekürzten  Bezeichnung  für  die  Gleichung  der  geraden 
liinie*    Cap.  V.  Gleichungen  von  höheren,  Graden,  welche,  gerade  Linien 
darstellen*   Cap.  VL  Ableitung  dar  Haupteigenschaften  aller  Curven  zwei- 
ten Grades  aus  der  allgemeinen  Gleichung.     Cap.  VIL  Der  Kreis.     Cap. 
VIII.  Lehrsätze  und  Aufgaben  Über  den  Kreis;  Anwendung  einer  abge- 
kürzten Bezeichnung  auf  seine  Gleichung.     Cap.  IX.  Eigenschaften  eines 
Systems  von  zwei  oder  mehreren  Kreisen.     Cap.  X.  Die  allgemeine  Glei- 
chung des  zweiten  Grades  als  Central  -  Gleichung.     Ellipse  und  Hyperbel. 
Cap.  XI.  Die  Parabel.     Cap.  XII.   Vermischte  Aufgaben  und  Lehrsätze 
über  die  Kegelschnitte.     Cap.  XIII.  Die  Methode  des  Unendlich -Kleinen, 
die  Quadratur  und  Eectification  der  Kegelschnitte.     Cap.  XIV.  Die  Me- 
thoden   der    abgekürzten   Bezeichnung,    die   trimetrischen   Coordinaten- 
Systerae  und  das  Pxincip  der  Dualität  in  ihrer  Anwendung  auf  die  Kegel* 
schnitte.     Cap.  XV.  Die  «dlgemeine  homogene  Gleichung  zweiten  Grades 


46  LiteraturzeituDg; 

und  die  Algebra  der  linearen  Transformatiooeii.  Cap.  XVI.  Oeometriseb^ 
Methoden.  1)  Die  Methode  der  reciproken  Polaren.  2)  Die  1>«rinc«ii8chen 
and  anharmonischen  Eigenschaften  <lor  Kegelschnitte.  3)  Die  Methode  der 
Projectionen  and  die  geometrischen  Verwandtschaften  des  ersten  Grades.  — 
ZasÜtze.  —  Quellen  -  Nachweis. 

Das  L,  IL  and  V.  Capitel  enthalten  die  Hauptsätze  ans  der  Theorie 
des  Punktes  und  der  geraden  Linien  im  Systeme  der  Cartesischen  Parallel- 
Coordinaten  und  dem  der  Polar- Coordinaten;  in  gleichem  Umfange  giebt 
das  VL,  VIL,  X.  und  XL  Capitel  die  Theorie  der  Kegelschnitte.  Die 
Capitel  lil,  Vin  und  XII  gewähren  reichhaltige  Aufgaben  -  Sammlangea 
zur  Erläuterung  dieser  Theorien  und  zur  Unterstützung  des  weiteren  Sta- 
diums derselben.  Mit  Ausnahme  einer  nicht  unbeträchtlichen  Menge  klei- 
nerer Zusätze  und  Abänderungen  beschränken  diese  mehr  elementaren 
Theile  des  deutschen  Werkes  sich  grossentheils  auf  eine  freie  Ueber- 
setzang  der  entsprechenden  Partien  des  Originals.  Die  einzige  wesentliebe 
Abänderung  besteht  in  der  geänderten  8tellnng  des  vom' Kreise  handeln- 
den Capitels  VII,  welches  im  Originale  als  letzter  Tbeil  der  der  Betrach- 
tnng  der  Kegelschnitte  vorausgehenden  Einleitung  seinen  Platz  vor  der 
Dcscnssion  der  allgemeinen  Gleichung  zweiten  Grades  findet,  während  nach 
dem  Standpunkte  der  deutschen  Bearbeitung  die  Theorie  des  Kreises  dra 
ersten  speciellen  Fall  der  Untersuchung  einer  Linie  zweiten  Grades  bildet 
und  deshalb  der  Ableitung  der  Haupteigenschaften  aller  solcher  I^inien 
nachfolgen  musste.  Der  Kreis  ist  hierbei  als  diejenige  Gurve  zweiten  Gra- 
des aufgefasst,  deren  conjugirte  Durchmesser -Paare  sieh  rechtwinklig 
durchschneiden. 

Der  übrige  Inhalt  des  Buches,  welcher  in^der  vorliegenden  Form  mehr 
als  die  Hälfte  des  Ganzen  ausmacht,  ist  besonders  der  Einftthrang  in  die- 
jenigen algebraischen  und  geometrischen  Methoden  gewidmet,  durch  welehe 
die  neueren  wesentlichen  Fortschritte  der  analytischen  Geometrie  bedingt 
worden  sind.  Diese  Theile,  welche  nach  dem  Plane  der  deutschen  Be- 
arbeitung die  wichtigeren  sind,  haben  deshalb  auch  die  grössere  Meng« 
von  Zasätzen  in  sich  anfgenommen.  Bei  der  reichen  Menge  des  darin  ent- 
haltenen Stoffes  muss  sich  Beferent  auf  wenige,  die  Hauptsachen  ber&h- 
rende  Andeutungen  beschränken. 

In  dem  zur  Theorie  der  geraden  Linie  gehörenden  Capitel  IV  ent- 
wickelt das  Original  insbesondere  den  Gedanken ,  dass  die  Gleichung  der 
geraden  Linie  in  Cartesischen  Coordinaten  in  eine  homogene  Gleichoag 
ersten  Grades  zwischen  drei  linearen  Functionen  der  beiden  Veränderlichen 
umgeformt  werden  kann ,  woraus  sich  in  einfacher  Weise  der  Begriff  der 
trilinearen  Punkt- Coordinaten,  d.  i.  der  Bestimmung  eines  Punktes  dnrcli 
das  Verhältniss  seiner  Abstände  von  den  drei  Seiten  eines  Fundamental- 
Dreieckes,  ableitet.  Die  deutsche  Bearbeitung  schliesst  hieran  den  Begriff 
der  dreipunktigen  Linien  -  Coordinaten ,  in  denen  die  gerade. Linie  als  das 


Liieraturzeitang»  47 

Siament  geometrisoher  {"ormen  auftritt  und  durch  das  Verhältniss  ihrer 
Abstände  von  den  drei  Eckpunkten  des  Fundamental-Dreieckes  fixirt  wird* 
Das  für  die  neuere  Geometrie  so  wichtige  Princip  der  reciproken  Dualität, 
welches  im  englischen  Originale  nur  im  Capitel  der  geometrischen  Metho- 
den bei  den  reciproken  Polaren  Verwendung  findet,  erlangt  hierdurch  seine 
elementare  Begründung.  Zugleich  ergeben  sich  hieraus  wesentliche  Gr- 
Weiterungen  des  Capitels  XIV,  in  welchem  die  beiden  trimetrischen 
Coordinaten  -  Systeme  zur  Untersuchung  der  Kegelschnitte  verwendet 
werden. 

Das  von  der  Methode  des  Unendlich  -  Kleinen  handelnde  Capitel  KIII 
tat  zur  Hälfte  im  Original  in  dem  von  den  geometrischen  Methoden  han- 
delnden Schlussabschnitte  enthalten.  Die  Bestimmung  der  Tangentenj 
die  Quadratur  der  Parabel  und  Ellipse  und  die  Theorie  der  Krümmunga- 
balbmesser  wird  hier  aus  einfachen  geometrischen  Betrachtungen  abge* 
leUet.  Die  in  der  deutschen  Bearbeitung  sich  hieran  lehnende  Verwendung 
der  Differential  -  und  Integralrechnung  zu  denselben  und  verwandten  Auf- 
gaben steht  zwar  in  loserem  Zusammenhange  mit  dem  übrigen  Inhalte  des 
Buches,  findet  aber  in  dem  Bestreben  des  Bearbeiters,  die  Theorie  der 
Kegelschnitte  zu  einem  möglichst  umfassenden  Ganzen  abzurunden,  ge- 
lifigende  Bechtfertigung;  umsomehr,  als  auch  das  Original  an  anderer  Stelle 
von  den  Methoden  der  höheren  Analysis  Gebrauch  macht. 

Die  wesentlichsten  Umformungen  haben  die  beiden  Schlusscapitel  er- 
langt. In  Capitel  XV  sind  einige  Abschnitte  der  neueren  Algebra  aufge- 
nommen, deren  vollständige  Kenntniss  bei  den  Studirenden  der  Mathema- 
tik, für  welche  das  Buch  hauptsächlich  bestimmt  ist,  nicht  allgemein  vor* 
ausgesetzt  werden  konnte ,  nämlich  die  Grundzüge  der  Theorie  der  linea- 
ren Substitutionen  und  die  zu  ihrer  Begründung  nothwendige  Theorie  der 
Determinanten.  Der  an  mehreren  Stellen  des  Originals  betonte  Grundge- 
danke ,  dass  alle  wesentlichen  Eigenschaften  einer  geometrischen  Form  aus 
solchen  Verbindungen  der  in  der  Gleichung  dieser  Form  vorhandenen 
Coefficieaten  abgeleitet  werden  müssen ,  welche  unabhängig  von  der  Ver- 
änderung des  zu  Grunde  gelegten  Coordinaten-Systems  bleiben,  ist  mit  die- 
een  Hilfsmitteln  in  der  Bearbeitung  weiter  verfolgt,  als  es  im  Originale 
möglich  war.  Auch  treten  hiermit  solche  gegenseitige  Beziehungen  zwi- 
schen Curven  in  den  Vordergrund,  welche  durch  die  Wahl  der  Coordinaten- 
Achsen  nicht  gestört  werden.  Endlich  erhält  durch  die  Aufnahme  dieser 
algebraischen  Theile  das  von  den  geometrischen  Methoden  handelnde  Ca- 
pitel ,  welches  im  Originale  nur  in  loser  Verbindung  zu  dem  übrigen  Inhalte 
des  Buches  steht,  einen  organischen  Zusammenhang  mit  dem  analytisch- 
geometrischen  Theile  des  Werkes.  Grössere  Zusätze  in  Capitel  XVI,  wel- 
che sich  an  das  Vorhergehende  naturgemäss  anschliessen ,  begründen  die- 
sen Zusammenhang.  Wichtig  ist  namentlich  für  die  projectivischen  Eigen- 
schaften der  Kegelschnitte  die  an  ein  Capitel  des  oben  erwähnten  y,Trea(ise 


48  I^iteraturzeitung. 

on  Ihe  higher  plane  Curves^*'  sich  anlehnende  Theorie  der  geometrischen  Ver- 
wandtschaften des  ersten  Grades. 

Den^Schluss  des  Werkes  bilden  einige  Zusätze,  welche  mehrere  spe- 
cielle ,  dnrch  den  Inhalt  des  Bnches  angeregte  Fragen  ansfahrlieher  behan- 
deln, unter  folgenden  Titeln:  1)  Die  trimetriscfaen  Coordinaten -  Systeme 
und  der  barycentrische  Calcul.  2)  Ucber  das  Pascarsche  Sechseck.  3)  Ueber 
die  allgemeine  Aufgabe ,  einen  Kegelschnitt  nach  gegebenen  Bedingungen 
zu  beschreiben.  4)  Ueber  das  System  der  demselben  Viereck  eingeschrie- 
benen Kegelschnitte,  ß)  Ueber  die  Bestimmung  der  Asymptoten  eines  Kegel- 
schnittes ans  seiner  allgemeinen  Gleichung.  6)  Zur  geometrischen  Bedeu- 
tung der  Discriminante.  —  Von  hohem  Interesse  ist  in  dem  ersten  dieser 
Zusätze  die  Aufnahme  einer  brieflichen  Mittheilung  des  Herrn  Professor 
Möbius,  welche  die  im  barycentrischen  Calcul  gegebene  statische  Begrün- 
dung der  dreipunktigen  Linien  -  Coordinaten  durch  eine  gleiche  Grundlage 
für  die  trilinearen  Punkt- Coordinaten  ergänzt. 

Der  dem  Buche  angehängte  Quellen  -  Nachweis  kann  zwar  auf  Voll- 
ständigkeit nicht  Anspruch  machen ,  ist  aber  jedenfalls  dadurch  Ton  Wich- 
tigkeit, dass  er  mehrfach  auf  englische,  dem  deutschen  Publikum  in  der 
Regel  weniger  zugängliche  Quellen  hinweist. 

Die  vorstehende  kurze  Inhaltsangabe,  wenn  sie  auch  nicht  hinreichend 
ist,  ein  vollständiges  Bild  von  der  reichen  Menge  des  Stoffes  zu  gewähren, 
welchen  das  Salmon-Fiedler'sche  Werk  in  sich  aufgenommen  hat,  möge  ge- 
nügen, um  darauf  das  Urtheil  zu  gründen,  dass  der  bereits  vielseitig  an- 
erkannte Werth  des  Originals  in  der  deutschen  Bearbeitung  nur  noch  er- 
höht worden  ist.  Jedenfalls  verdient  der  Bearbeiter  den  Dank  des  deutschen 
Publikums  für  die  Gründlichkeit  und  Umsicht,  mit  welcher  er  sich  der  Auf- 
gabe unterzogen  hat,  das  Buch  zu  einer  möglichst  vollständigen  und  gründ- 
lichen Einführung  in  die  gegenwärtige  wissenschaftliche  Situation  der  ana- 
lytischen Geometrie  zu  gestalten.  Es  kann  das  Werk  in  der  vorliegenden 
Form  der  aufmerksamen  Beachtung  aller  Studirenden  der  Mathematik  em- 
pfohlen werden ,  welche  auf  möglichst  einfachem  Wege  Zugang  zu  den  Be- 
Bultaten  der  neueren  Forschungen  auf  dem  Gebiete  der  analytischen  Geo- 
metrie erlangen  wollen;  dem  Lehrer  der  Wissenschaft  empfiehlt  es  sich, 
abgesehen  von  der  vorzüglichen  Methodik  des  Verfassers,  welche  in  der 
deutschen  Bearbeitung  durchaus  nicht  beeinträchtigt  ist ,  namentlich  noch 
durch  die  grosse  Menge  von  mehr  als  vierhundert  grossentheils  vollständig 
durchgeführten  Aufgaben. 

Die  Atisstattung  des  Buches  ist  eine  vorzügliche;  die  zahlreichen  (190) 
in  den  Text  eingedruckten  Holzschnitte  haben  den  Vergleich  mit  den  eng- 
lischen nicht  zu  scheuen.  O.  Fobt. 


Bibliographie 

vom  15.  Februar  bis  15.  April  1861. 


Periodische  ScIirifteiL 
Archiv  der  Mathematik  und  Plijsik,  von  A.  Orunert.    36.  ThL 

Greifswald ,  Koch.  pro  compl.  3  Thlr. 

Mittheilungen  der  naturforschenden  Gesellschaft  in  Bern.     Aus  dem 

Jahre  1860.     Bern,  Huber  &  Comp,  in  Comm.  1  Thlr. 

Annuario  maritiimo  per   Vanno  1861,    compilato   dal  Lloyd  austriaca. 

11  Annata.     Triest,  Direction  des  Österreich.  Lloyd.        1  Thlr.  2  Ngn 
Annales  de  Vobservaioire  imperiale  de  Paris,  publiees  par  U.  le 

Vbrri£B.     Tome  13.     Paris,  Mattet- Bachelier, 

Beine  Xafhematik. 

DoERK,  H.  G.  Lehrbuch  der  Mathematik  für  Gymnasien  und 
Realschulen.  2.  Aufl.  1.  Bd. :  Arithmetik ,  2.  Bd. :  Algebra.  Berlin, 
Weidmann'sche  Buchhandlung.  18  Ngr. 

Botmann,  J.  R.  Lehrbuch  der  Mathematik  für  Gymnasien  etc. 
3.  ThL:  Arithmetik.  Cöln  und  Neuss,  Schwann^sche  Verlagshand- 
lung. ^  Thlr. 

SAdLiMa,  J.  T.  Geometrische  Constructionsaufgaben.  Kiel, 
Schröder  &  Comp,  in  Comm.  l^iJB  Thlr. 

Fliedmer,  C.  Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie  nebst  Aufgaben- 
sammlung.    Marburg,  Elwert'sche  Univers. -Buchhandl.      %  Thlr. 

Becker,  F.W.  Lehrbuch  der  Elementargeometrie.  2.Thl.  2.Abth.: 
Darstellende  Geometrie.     Oppenheim  a.  R. ,  Kern.  %  Thlr. 

Bbrkhan,  W.  Die  Anwendung  der  Geometrie  auf  Arithmetik 
und  Algebra.     Halle,  Schmidt.  24  Ngr. 

Zetz8Che,K.£.  Die  Elemente  der  ebenen  Trigonometrie.  Alten- 
burg, Pierer.  16  Ngr. 

Angewandte  Xafhematik. 

Heussi,  J.  Lehrbuch  der  Geodäsie.  1.  Hälfte.  Leipzig,  Brock- 
haus. 1%  Thlr. 

»Schmidt,  G.  Die  Gesetze  und  Kräfte  der  relativen  Bewegung 
inderEbeue.     Wien ,  Braumüller.     16  Ngr. 


50  Literatarzeitung. 

LoNGRiDGB,  J.  A.  lieber  die  Constmction  der  Oeschfitsrohre 
und  anderer  Hohlkörper,  die  einem  grossen  inneren 
Drucke  widerstehen  sollen.  Deutsch  von  J.  Hartmank.  Han- 
nover, Helwing.  .         IJThlr.  6  Ngr. 

MoNDO,  C.  Ueber  die  Deviation  der  Langgeschosse  aus  gezo- 
genen Bohren.  In's  Deutsche  tibertragen  von  J.  Schmoelzl. 
München,  literarisch  -  artistische  Anstalt  8  Ngr. 

Physik. 

Encyclopädie  der  Physik,  bearbeitet  von  W.  Brix,  6.  Dsgher  etc. 
Herausgegeben  von  Karsten,     9.  Lief.    Leipzig,  Voss.        2%  Thlr. 

FiAuz,  B.  Vorschule  der  Physik  für  Gymnasien.  Paderborn, 
Schöningh.  l  Thlr.  12  Ngr. 

Matthi£S8EN,  C.  Ueber  die  Anordnung  der  Elektricität  auf  iso- 
lirten  Leitern  von  gegebener  Form  und  die  Methoden  der 
Messung  von  Bindungscoefficienten.  Jever,  Mettker  & S6hne. 

%Thlr. 

MÖBius,  K.  Das  Meer  leuchten;  nach  einem  im  Hamburger  Athenäum 
gehaltenen  Vortrage.     Hamburg ,  Perthes ,  Besser  &  Mauke.      9  Ngr. 

Wolf,  R.  Die  Sonne  und  ihre  Flecken.  Ein  Vortrag.  Zurieh, 
Orell,  Füssli  &  Comp.  %  Thlr. 

Neumann,  C.  Ueber  die  möglichen  Ursachen  der  Corona  und 
der  Pro  tuberanzen  während  einer  totalen  Sonnen  finste  r- 
niss.     Dresden,  Adler  &  Dietze.  %  Thlr. 

Davt,  M.  Resume  des  recherches  sur  Veleciricite.  PariSj  Masstm 
et  fils.     . 

Bauhhauer,  E.  H.  V.  Mämoire  sur  la  densiie,  la  dilaialiony  le  point  d^ebul- 
lition  et  la  force  elastigue  de  la  vapeur  de  Valcool  et  des  milanges  d^aleaol 
et  deau.     Amsterdam.     Leipzig ,  C.  F.  Fleischer.  1  Thlr.  4  Ngr. 

Atlas  du  CosmoSf  contenant  des  cartes  aslronomiques ,  physiques y  thermiques^ 
magnetiques,  geologiqueSy  relatives  aux  oeuvres  de  A.  de  Humboldt  et 
F.  Araqo,  publie  sous  la  direction  de  J.  A.  Barral.  Livr.  1.  Paris^ 
Gide.  chaque  Uvraison  3  frcs. 


Mathematisches  Abhandlungsregister. 

iseo. 

Erste  Hälfte:  1.  Januar  bis  30.  Juni. 


▲flvodjBaJBik. 

1.  Zar  Theorie  der  Gase.    Joehmann.    Zeitscbr.  Math.  Fhya,  V,  *24,  90. 

2.  lUvstratiotis  ofthe  dynamical  theary  of  gases,     Max  ff  eil.     Phil.  Mag,  XIX,  19.  — 

aiavsius  ilnd,  434. 
Yer^^l.  Functionen  73. 

Analytitdhe  Oeometrie  der  Eheae. 

3.  Tnaufbrmaiion  des  propriitis  de»  figvres.   Faure.   N.  tarn,  matk,  XIX,  189.  fVergl. 

Bd.  V,  No.  25Ö.J 

4.  Mimoire  sitr  les  polairea  inclinöes.  Dewulf.  N.  arm»  matk.  XIX,  175.  [Vergl.  Bd.  V, 

No.  252.] 

5.  On  a  subjeci  cormecled  to  tangential  coordinates,  Tait,  Quart.  Joum.  Matk.  III,  365. 

6.  Zar  Theorie  paralleler  Gurren.     Cantor.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  219. 

7.  Ueber  Fusspunktlinien.  Wetzig.  Zeitschr.  Math.  Phya.  V,  1,81.  [Vergl.  Bd.  IV, 

319.] 

8.  Le  Heu  des  pieds  des  perpendictüaires  abaissies  du  eentre  dune  drconfirence  snr  les 

tangenles  ä  Ut  diveloppante  de  cette  drconfirence  est  une  spiraie  d'Archimide, 
Laquiere.     N,  ann.  nuith,  XIX,  186. 

9.  Star  les  courbes  d plusieurs points  d'arrit,     Luurent.     N,  ann,  math,  XIX,  210. 

10.  Cow'be  logocyclique.     ßooth.     N,  axn.  math.  XIX,  28. 

11.  Oa  a  geametrical  theorem  of  Mr,  Steiner.    Ferrers,     Quart.  Joum.  Math.  IF,  92. 

12.  Sur  une  courbe  du  troisieme  ordre,     Mention.     Bull.  Acad.  Petersb.  I,  233.        '    ' 

13.  lAeu giometrique,     Lenglier.     N.  ann.  math,  XIX,  123. 

VergL  Brennlinien  32,  Doppeltangenten ,  Ellipse,  Epicycloiden,  Hyperbel,  Ke- 
gelschnitte ,  Mechanik  163. 

AnalytUehe  0eometrie  des  Baumes, 
i  -1.  Ueber  krununlinige  Coordinaten.    B  Ö  k  1  e  n.     Grün.  Archiv  XXXIV,  26 ,  308^  ^ 
15.  Memoire  sur  Vemploi  d'un  nouoeau  Systeme  de  variables  dans  Vitude  des  propriitis  des 

sur fuces  courbes.     Ossian  Bonnet.     Jqurn.  MathSm.  XXF,  IbZ, 
16«  Ueber  die  Wendungsberührebenen  der  Raumcurven.  Biachoff.  Grelle  LVIIl,  179. 

17.  Einige  neue  Sätze  über  Fasspunktflächen.     Bacaloglo.     Zeitschr.  Math.  Phys. 

V,  67. 

18.  Elementarer  Beweis   des  Yöller'Bchen  Satzes  und  Uebertragung  desselben  auf 

räumliche   Verhältnisse.     Matthiessen.     Zeitschr.   Math.   Phys.  Y,  146. 
[Yergl.  Bd.  lY^  366.] 

19.  Note  sur  quelques  courbes  d  double  eourbwe.     Aelt.     N.  ann.  math.  XIX,  100.     - 

Yergl.  Geodätische  Linien,  Isotherme  Linien,  Krystallographie  148. 

Astroneoiie. 

20.  Sur  le  dSoeloppement  en  sMes  des  coordonnies  d'wse  pUmeie  et  de  la  fimction  perturba- 

trite.  Puiseux,  Compi,  rend.  L,  111,  151,  365,  490.  -^  Joum,  Math^m,  XXV, 
65,  rD5. 


52  Literaturzeitung. 


21.  Note  ititr  Itt  d4oeloppetnent  en  sortis  des  coordonnSes  d*wie  pianiie.   Bourgei.  Comfi. 

rend,  Z,  319. 

22.  Sur  la  deterndnatUm  theotique  du  coefßcient  de  V6quation  ticulaire  de  ta  iwte.     De 

Ponticoulant.     Compt.  rend.  L,  734. 

23.  lieber  die  Gestalt  des  Mondes.     Gusse  w.     Buil.  Acad,  Petersb.  l,  276. 

24.  Audeutuogen  über  astronomische  Beobachtangen  bei  totalen  Sonnenfinsterni^seii. 

Littrow.     Gran.  Archiv^XXXIV,  475. 
25-  lieber  Berichtigung  des  Aequatorials.     Steinheil.     Astr.  Nachr.  LH,  129. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  80,  90,  98,  99,  107. 

AttraotioiL. 

26.  Oh  (he  analytieäl  tkeory  of  the  aitraction  of  soHds  boimded  by  a«rfate»  of  a  clnts  m- 

dud'mg  the  eliipsoid.     Donkin,     Phil.  Mag.  XIX,  397. 

27.  lieber  ein  Attractionsproblem.     Joachimsthal.     Grelle  LYIII,  135. 


B^ftlinmt«  Intagnl«. 

28.  De  integralibm  qidbusdam  definHis,     Lind  man.     Gmn.  Archiv  XXXIV,  17.  . 

29.  lieber  einige  von  ihren  Bearbeitern  für  neu  gehaltene  bestimmte  Integrale.  Li  nd- 

ma  n.     Grnn.  Archiv  XXXIV,  1 18. 

30.  lieber  eine  Zurtickfuhrung  bestimmter  Integrale  zwischen  den  Grenzen  0  nnd  oe 

auf    andere    zwischen    denselben    Grenzen.      Zehfnss.      Gran.    Archir 
XXXIV,  486. 

31.  Sur  ttne  faute  dans  les  Exercises  de  Maihimatiques  par  Cauckg.     Secande  tarnte  1837 

p   141  8qq.  .  Claussen.     B\dl.  Acad.  Petersb.  /,  145. 
Vergl.  Discontinuiriiche  Functionen ,  Elliptische  Functionen ,  Functionen  67. 
Gammafunctionen ,  Productenfolge. 

BinoittialooefflleientttL 
Vergl.  Reihen  189. 

BrenalinieiL. 

32.  On  a  geometricfd  method  of  const7'ucting  caustic  by  reßection.     Pull  er.    Quart  Jourm. 

Math.  III,  312. 

33.  On  the  conical  refraction  of  a  straight  Wie.     Clifton.     Quart.  Journ.  Math.  III,  360. 

^« 
Oombiaatorik. 

84.  Coefficienten  und  independente  Formeln  zur  Berechnung  der  combinatorisehen 

Producte.     Wasmund.     Grnn.  Archiv  XXXiV,  440. 
35.  lieber  die  Entwickelung  von  cm  (ö  +  O,  + . .  +  O  «  .  i) ,  *m  (O  +  O,  + . .  +  ^  »  -  0 

und  über  einen  damit  verwandten  Satz  aus  der  Theorie  der  Zahlen.   Un  f  e  r- 

d i n ge r.     Grün.  Archiv  XXXIV,  72. 
Vergl.  Ftinctionen  68. 

Oubatnr. 
86.  Sur  un  certain  vohmie  de  rotation.     Franpoise.     N.  ann.  nuUh.  XIX,  11.  —  De  Im 
Briere.  ibid.  52.  —  De  Charodon.  ibid.  52,  188.  —  Drouard.  ibid.  54.  — 
Hazan.  ibid.  158.  ^  Puech.  ibid  160. 
37.  Cubatur  des  Fusspunktenkbrpers  eines  Eilipsoides.     Magen  er.    Gmn.  Archiv 
XXXIV,  450. 
Vergl.  Figurirte  Zahlen. 

Beterminaaften. 
88.  Sw  vn  th^hne  de  M.  Sylvester  relatifä  la  troHsformatüm  duproduU  de  dHermmmts 
du  mime  ordre.     De  Sperling;    Journ.  Mathim.  XXF,  121. 

39.  Väleur  d'un  ditermuiant.    Brioschi  et  Cremona.    N.  ann.  math.  XIX,  151* 

40.  Faleur  d'un  diterminant.     Baehr.     N.  ann.  math.  X/X,  170. 

41.  Valeur  symbolique  d'tm  diterndnant.     N,  ann,  math,  XIX,  181. 

Vergl.  Functionen  71 ,  Geschichte  der  Mathematik  97 ,  Homogene  Functionea, 
Trägheitsmoment  203. 


Literaturzeitung.  53 

D«t0niiiBMitea  In  ffeoswtrlteher  Aaweadimg. 

42.  Application  de  la  noitveiie  analyse  mtx  surfaeea  du  second  ordre,     Painvitu    N,  ann, 

math,  XIX,  144.  [Vergl.  Bd,  V,  No.  289.] 

43.  Determination  du  degr4  de  Cöquation  de  certaines  »wface8  enoeloppes,     Moutardn 

N,  ann.  math.  XIX,  58. 
Vergl.  DoppeltangenteH  48,  KegeUchnitte  140,  Oberüächen  i64. 

Düforentialf laiekimg, 

44.  lotegratioB  der  partiellen  Differentialgleichang 

Fuchs.     Grelle  L VIII,  80. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  6 ,  Hydrodynamik. 

BifferenÜalqnottont. 

45.  Formulae  of  succesitive  differentiation,     Scott,     Quart,  Joum.  Math.  IV,  77. 

46.  On  fructümal  di/ferentiaiion,     Greer,     Quart.  Journ,  Math.  III,  327,  870. 

Dil contfimirliehe  7imctilo]Le&. 

47 .  Bemerkung  über  discontinnirliche  Functionen.     Sohlömllch.    Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  55. 

Dopptltaagwitwi. 

48.  On  the  determination  of  the  poinis  of  contact  of  double  tangents  to  an  algebraic  curoe. 

Salmon.    Quart  Joum.  Math,  III,  317. 

49.  On  double  ttmgenta,     Holditch,     Quart,  Joum.  Math.  III,  289,  IV,  28. 

B. 

ZUsÜeität. 

50.  SvT  les  divers  genreg  d^homoginMti  mSctmique  de»  Corps  solides  elastiques.    Bdrri  de 

Saint'Venant.     Compt.  rend.  4,,  9^0, 
Vergl.  Oberflächen  166. 

Elektrodynamik. 

51.  Sopra  alcune  proprietd  deUa  p9*opagazione  delUt  corrente  elettrica  nei  fili  telegrafici. 

Keller.     Annali  mat.  II,  357. 

52.  Allgemeine  Berechnung  der  Stromstärken  in  Galvanometern.     Matzka.     Grün. 

Archiv  XXXIV,  3;^. 

53.  Quattmion  inoestigations  connected  wiih  electrodynamcs,  and  magnetism.    Tait.   Quart» 

Journ.  Math.  III,  Zn. 

54.  Beiträge  zur  Theorie  der  Vertheilung  der  statischen  und  der  dynamischen  £lek^ 

tricltät  in  leitenden  Körpern.    Lipschitz.     Grelle  LVIII ,  1 . 

55.  Ueber  die  Vertheilung  der  statischen  Elektrieität  in  einem  kreisförmig  begrenz- 

ten Segment  einer  Kugelfläche.    Lipschitz.    Grelle  LVIII ,  152. 

Ellipse. 

56.  Thioremes  sur  feUipse.     Prot.     N.  tmn.  math.  XIX,  285. 

57.  Construction  des  axes  d*une  eUipse  au  mögen  d*un  Systeme  de  diametres  ronjuguis  sans 

tracer  la  courbe,    Somoff.     N,  mm.  math,  XIX,  122. 

58.  Par  un  foyer  d^une  eUipse  on  mene  une  corde  AB;  par  le  point  de  rencontre  des  deux 

nomuiles  en  A  et  B  on  mene  une  parallele  au  grand  axe;  cette  parallele  passe  par 
le  milieu  de  AB.  Larosse.  N,  ann.  math.  XIX,  85.  —  Maillot.  ibid,  88.  — 
Vollantibid.  93. 

59.  Die  Ellipse  und  Hyperbel  als  einhüllende  Gurven  eines  Systems  von  Kreissehnen. 

Unferdinger.    Grün.  Archiv  XXXIV,  406. 
Vergl.  Functionen  70,  Hyperbel. 

EUiptisohe  Tnnetionen. 

60.  Sur  la  t/ieorie  des  fonctions  elliptiques  et  son  upplication  d  lathiorie  des  nombres.  Jöu- 

bert.     Compt,  rend.  L,  774,  832,  907,  940,  1040,  1095,  1 145. 

61 .  Note  sur  les  fonctions  elliptiques.     Strebor.     N.  ann.  math.  XIX,  ISb. 

Vergl.  Zahlentheorie  218. 

Bpi^ytfleldsn. 

62.  Note  snr  les  epicyclöiäes.     Dieu.     N,  am.  fkath,  X/X,  125. 


54  Literftturzekung. 

F. 
Kgorirte  ZaUen. 

63.  Sur  la  limUe  vers  laquelle  tend  le  rapport  du  oide  au  plein  dans  une  püe  de  binden^ 

lorsqtie  le  nomhre  des  boulets  augmerUe  indißnimenU     Fleury,     N.  wm.  maik. 
XIX,  9. 

Toiieaiiltfteher  FendeWemoH. 

64.  Ueber  die  Bichtangsänderang  der  Verticale    Bacaloglo.  Zeitacfar. Math.  Phrs. 

V,  59. 

FniLotio&algleiehimg . 

65.  An  optical  theorem,     Tait.    Quart,  Joum.  Maik,  III,  364, 

TunctioiiLeiL. 

66.  Fondamenli  di  tma  teorica generale  delle  funzioni  di una  variabUe.    Riemann.    Amm^ 

mat  II,  3:n. 

67.  Sur  If  diüMoppement  des  fwwlions  ä  une  seule  variable^    Tckebychef,    BwUL  Acad. 

Petersb,  /,  193. 

68.  Sur  le  nombre  de  valeurs  que  peui  acquörir  une  fonciion.    Mathieu,    Joum.  MatkeoL 

XXy,  9.  [Vergl.  Bd.  V,  No.  63.] 
60.  Wraderholang,  Interpolation  nnd  Inversion  einer  Function  unter  gemeinsdiaft- 
lieber  Form.     Hoppe.     Zeitschr.  Matb.  Phys.  Y,  136. 

70.  Ueber  ein  gewisses  matbematisehes  Princip.     Zebfuss.     Zeitscbr.  Math.  Pb/s. 

•  V,  210. 

71.  On  some  Symmetrie  functions  of  the  roots  of  algebraic  equatkms.  M.  Roberts.   Quart- 

Joum,  Math,  IV,  Ö7. 

72.  I  .  2  .  3  .  . .«  >  0^)».     Scblömilcb.     Zeitscbr.  Matb.  Phys.  V,  228. 

73.  Neuer  VorBchlag  zur  AnfsQcbung  des  liUftwiderstandsgesetzes.  Brenner.  Grün. 

Arcbiv  XXXIV,  274. 
Vergl.  Sturmes  Fanctionen. 

Oammafunetioa. 

74.  Surla  fortnule  de  Stirling,     össian  Bonnet,     Compt.  rend.  L,  862. 

Geodäsie. 

75.  Sur  rinflucnce  des  alirftciions  locales  dans  les  opfy'atums  göodäsiques  et  partieuHiremaU 

dans  Cure  Scandinaoo- Russe,     De  Schubert,     As tr.  Nacbr.  L II ,  32 1 . 

76.  Ber  Distanzmesser  des  Genie  -  Oberlieutenanta  Biagio  de  Benedictis  im  Neapel 

Zetzsche.     Zeitscbr.  Matb.  Phys.  V,  225. 

77.  Allgemeine  Bestimmung  der  Länge  von  Nonien  an  Maassstilben.  M  a  tzk«.  GrsB« 

Arcbir  XXXIV,  334. 

Oeoditlscbo  linie. 

78.  Sur  une  forme  de  V^quathn  de  la  ligne  giodisique  elfipsötdale  et  de  ses  usagts  pom- 

trouver  les  propriet4s  conanunes  aux  lignes  ellipsoidales  et  d  des  courbes  piama 
correspondantes,     Aoust.     Compt.  renk,  L,  4S4, 

Oeoaetria  (desoriptiT*). 

79.  Eine  Ebene  zu  legen ,  welcbe  die  in  einem  gegebenen  Kegel  zweiten  Gndes  einfr 

gegebenen  Geraden  parallel  gezogene  Gerade  halbirt.     Bacaloglo.     Zeit- 
scbr. Math.  Phys.  V,  59. 

80.  Suc  une  question  de  gSometrie  descriptwe.     Gros,     N,  antt.  matk.  XIX,  29, 

eaometris  (iLÖhera;. 

8 1 .  Ueber  die  Erzeugung  geometrischer  Cnrven.  Haertenberger.  Grelle  LYIIL  M. 
82«  Sur  quelques  proprieles  des  lignes  gtmches  .de  troisieme  ordre  ei  Hasse,     Crem^ns, 

Grelle  LVni,  J88 

83.  TMoremes  de  gäometrie  segmentmre     Hermes.     N.  ann.  math,  XIX,  26. 

84.  Homographie.     Poudra.     N.  tmn.  math.  XIX,  108. 

85.  Application  de  la  transformation  par  rayons  vecteurs  riciproques  ä  Titude  de  la  swrfset 

enveloppe  (Pune  sphh-e  tangente  d  trois  spheres  donnies,     Mannheim.     Ä'.  «n- 
nuith.  XIX,  67. 
86    Propositions  segmenttäres  sur  la  pm*abole  Vkuperbole  equilett^e  et  propriiU  du  cereie 
prificipal  de  fellipse,     Leseaze,     l!l.  ann.  nuoh,  XIX,  2:^5. 


LiieraturseUung.  55 

87.  Eiimi  domU  t»e  tomqite  ei  tme  eowrbe  K,  de  toui  tee  poinis  de  Ken  mine  deux  langen^ 

tee  ä  la  conique  et  par  les  points  de  contacl  les  deux  normalem;  tromer  le  lieu  B 
des  intersectiane  de  cee  normales.    Des  Ion  es,    N.  ami.  math.  XIX,  47.  fVergl« 
Bd.  V,  No.  332.] 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  102,  Kegelschnitte  136. 

0esehicht6  der  Xathomattk. 

88.  Question  des  Porfsmes.  Breton  (de  Champ).  Compt.rend.  L^  038»  995.  —  Chasles. 

ibid.  WO,  997,  1007. 

89.  Ueber  die  Auf-  und  Untergänge  der  Sterne  und  der  Sonne  bei  den  Alten.  £  n  cke. 

Berl.  Akad.  Ben  18Ö0,  122. 

90.  Berechnung  der  Mondfinsternisse  des  Almagest  mittelst  der  Hansen'schen  Sonnen- 

und  Mondtafeln.    Hartwig.     Astr.  Nachr.  LII ,  257. 

91.  Procidis  de  multiplicalion  ttsilis  mi  mayen  age  enltatie»     Ter  quem.     N,  ann.  math. 

XIX.     ßuUetitt  de  tibi.  13. 

92.  Sur  la  meihode  de  Fermat  pour  la  ditermination  des  maxima  et  mhdma  et  son  applica^ 

tiißn  an  pivbUme  des  tangaites  et  des  centres  degraviiä.  Duhamel.  Campt,  rend. 
Ly  741.  —  Breton  (de  Champ).  ibid.  806. 

93.  Sur  vnpassage  des  Oeuvres  inidites  de  Descartes.     Prouhet.     Compt,  rend.  L,  779. 

94.  £in  kritischer  Nachtrag  zur  Geschichte  der  Erfindung  der  Logarithmen.  M  a  t  z  k  a. 

Grün.  Archiv  XXXIV,  341. 

95.  Mögen  hgdrodynamique  de  Maurolycus  pour  ttvuoer  taire  d'wi  eercle.     Ter  quem. 

N.  ann.  math.  XIX.     Bulletin  de  bibl.  47. 
96..  Note  sur  tm  ouorage  de  Jean  Ceütu  Genoechi.  N.  atm.  math,  XIX.  Bidletindebibl.4b» 
97.  Originepremieredesdeierminmits.   Ter  quem.  N.  arm.  math.  XIX.  Bulletin  de  bibl.  27 . 
99.  lieber  die  Hypothesen  zur  Erklftrung  der  Kometenschweife.  Pap  e.  Astr.  Nachr. 

LII,  145.    Faye  ibid.  241. 

99.  5ur  la  figure  des  cotnkles  et  tacciliration  de  leurs  mouvements.     Fay  e.     Compt.  rend. 

L,  352. 

100.  Le  cenlre  spontan^  de  rotation  signali  par  Jean  Bemoulä,    Ter  quem.   19.  ann.  mutJi. 

XIX.     Bulletin  de  bibl.  46. 

101.  La  slMotömie  des  abeilles.     Ter  quem,     N.  ann.  math.  XIX.     Bulletin  de  bibl.  1. 

102.  Zur  Geschichte  des  Dualismus  in  der  Geometile.  J.  H.  F.  Müller.  Grün.  Archiv 

XXXIV,  I. 

103.  Biographie  de  Sophie  Germtdn.    Ter  quem.    N.  ann.  math.  XIX.   Bulletifi  de  bibl.  9. 

104.  Extrait  d'wte  lettre  de  Fourier.  Fournerat.  N.  ann.  math,  XIX.  Bulletin  de  bibl.  14. 

105.  Zur  Biographie  BessePs.    Wichmanu.     Gmn.  Archiv  XXXIV,  368. 

106.  Ueber  Alexander  v.  Humboldt^s  wissenschaftliche  Thätigkeit  und  Verdienste  um 

die  Geographie  Amerikas.     Encke.     Astr.  Nachr.  LII,  113.    [Vergl.  Bd.  V, 
No.  317.] 

107.  Privatleistungen  auf  astronomischem  Gebiete.  Littrow.  Grün.  Archiv  XXXIV, 

249. 

108.  Zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektrischen  Telegrapbie«    Zetzsche. 

Zeitechr.  Math.  Phys.  V,  39. 

Gleiobimgen. 

109.  On  the  possibility  of  finding  a  root  retdor  imaginary  of  every  equation,     Challis, 

Phil.  Mag.  XIX,  46, 

1 10.  Ueber  den  Cartcsischen  Satz  bezüglich  der  Anzahl  der  positiven  und  negativen 

Wurzeln  einer  Gleichung.     Z  ßhf  uss.     Grün.  Archiv  XXXIV,  400. 
Hl.  Notes  on  the  higher  atgebra.     Co  ekle.     Quart.  Joum.  Math,  IV,  49. 

112.  Sur  quelques  questions  d'algebra.     Michael  Roberts.    N,  ann.  math,  XIX,  23. 

113.  Zur  Theorie  der  Gleichungen.     Becker.  .  Grün.  Archiv  XXXIV,  288. 

1 14.  Trouoer  le  nombre  de  racines  rieltes  qu'admet  l'iquation  x  =  A  .  m  x  -V  B.     Bour^ 

geois.     N.  ann.  math.  XIX,  130. 

115.  Note  sur  l' equation  de  diffirenees  pour  tme  iquation  donnie  de  digri  queleonque.  Cay- 

leg.     Annan  mat.  II,  365. 

1 16.  Note  on  the  equation  for  the  squared  differences  ofthe  roots  ofa cubic  equatio7i.  Cay- 

ley.     Quart.  Joum.  Math.  III,  307. 

117.  Equation  du  quatri^me  degri.    Macario.   N.  ann  math,  XIX,  14.    [Vergl.  Bd.  IV, 

No.  358.] 

118.  Discussion  der  Gleichungen  vom  vierten  Grade  in  Bezug  auf  den  Stürmischen 

Satz.    König.    Grün.  Archiv  XXXIV,  Wl. 


56  Literatarzeitung. 

119.  Sttr  TSquation  aux  carrit  des  dilfirence»  de»  racines  de  Viquation  du  qttatrieme  äegre. 
i.9        Dewulfet  Martellu     N.  am.  math.  XIX,  195. 

120.  ObservaOoM  <m  ihe  theoty  of  eqtiaüons  ofthe  ßftkdegree,  Co  ekle,  PHL  Mag.  XIX, 

197,  ZZi.  —Jerrard.  ihid,  272.  [Vergl.  Bd.  V,  No.  301.] 

121.  On  the  theory  ofquhuics.     Harley.     Quart,  Jown.  MaiK  III ^  343. 
122    On  the  resoiution  ofquintics,     Cockle.     Quart»  Joiam.  Math,  IF,  5. 

123.  lieber  einige Buchstabengleichungen.  ünferdinger.  Gran.  Archlr  XXXIV, 3(i}. 

124.  Sur  les  fonetkms  gymitriques  des  racines  eomtmmes  d  deux  iquations,    Demulf. 

N.  arm.  math,  XIX,  18.    • 
Vergl.  Functionen  70,  71 ,  Sturmes  Fnnetionen. 


HoBiogwio  Fii]iotio]i6iL 
125.  lieber  eine  Transformation  der  homogenen  Functionen  dritter  Ordnung  mit  vier 

Veränderlichen.     C I  e  b  s  c  h.     Grelle  LVIII ,  109. 
120.  Sur  la  dScomposition  en  facteurs  Imiaires  des  foftctians  homogenes  d^un  nombre  qud- 

conque  de  variables.     Painvln.     Compt.  rend.  L";  84. 

Hydrodyiuunik. 

127.  Sur  Vejcp&rience  de  M.  Perrot.     B raschmann.     Bull.  Acad,  Petersb.  /,  571. 

Vergl.  Fnnetionen  73, 

HyparbeL 

128.  PropriH^s  de  thyperbole  et  de  tellipse.    Rabeau  et  Kessler.     N.  am.  math. 

XIX,  154. 
Vergl.  Ellipse  59,  Trisection  des  Winkels  206. 

Hjpergeometrisclie  Beihe. 
Vergl.  Kettenbrüche. 

I. 

ImaginAres. 

129.  Nouoelle  Ihiorie  des  fönetions  de  variables  imaginaires,     Marie.     Jowm  Matim. 

XXV,  43.  [Vergl.  Bd.  V,  No.  368.] 
Vergl.  Zahlentheorie, 

Irn.tienalgr5ss8n. 

130.  lieber  das  Bationalmachen  des  Nenners  in  Brüchen.     Zehfass.     Gran.  ArchiT 

XXXIV,  120.  —  Unf  erdinger  ibid.  365.  [Vergl.  Bd.  V,  No.  369.] 

.  ItofhmmA  LiaiML 

131.  Memoire  sur  les  systemes  isothermes  algibriques.     Ilaton  de  la  Goupi liiere. 

Compt.  rend.  L,  307. 


Xatoptrik. 

132.  Einige  Bemerkungen  über  die  Bedeutung  der  Fusspunktcurven  nnd  Fasspnnkt- 

fllchen  in  der  Katoptrik.     Melde.     Zeitachr.  Math.  Phys.  V,  223. 

133.  On  the  obliquity  of  a  ray  in  a  biaxal  crystal.    Wulton.    Quart.  Joum.  Math.  IF,  l 

134.  Interessante  Abänderung  des  Anssprachs  des  GesetEes  der  gewöhnlichen  Licht- 

brechung.   M  a  t  z  k  a.     Grün.  Archiv  XXXIV,  3 16. 

Kegelsehnitte. 

135.  Beitrag  zur  Theorie  der  Tangenten  an  die  krummen  Linien  der  zweiten  Ordnnng 

Steczkowski.     Grün.  Archiv  XXXIV ,  302. 

136.  Sur  le  Heu  du  poirit  dintersection  des  diagonales  d'un  quadrUaihre  variable.     Kett- 

le r.     N.  ann.  math.  XIX,  80.    . 
1 .37.   Thioremes  sur  les  coniques.     N.  mm.  math.  XIX,  206. 

138.  Quelle  est  l'enoeloppe  de  la  droüe  dont  la  somme  des  earris  des  distances  4  deux  pwMü 

fixes  est  donnie.     Brault.     N.  ann.  math.  XIX,  141. 

139.  Solution  d'une  question  posie  par  Abel  Transnn.     De  Jolivette.     N.  ann.  molk. 

XIX,b.  —  Kessler.   ibid.»S.  —  Siacci.   ibid.  216. 


Literaturzeitung.  57 

140.  Ueber  eine  neue  Eigenschaft  der  Stainer*8chen  Gegenpunkte  des  Pascal*schen 

Sechsecks.     Grossmann.     Grelle  L VIII,  174. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  12,  Ellipse,  Geometrie  (höhere)  86, 
Hyperbel,  Kreis,  Oberflächen  zweiten  Grades  171,  172,  Sphilrik  104,  195, 
Verwandtschaft  209. 

Xette&brftoha. 

141.  Ueber  Zähler  und  Kenner  der  Näherangs  wer  the  von  Kettenbrüchen.  Christof- 

fei.     Grelle  LVIU,  90.  [Vergl.  Bd.  V,  No.  373.] 
VergL  Functionen  67. 

Xr«is. 

142.  Sur  terweloppe  du  eercle  ctrcanscrit  d  un  triongle  varialkle,     Bellaviti9    N,  arm, 

maih.  XIX,  115. 

143.  I*rapriili8  d'un  pomt  de  la  circonfirence  d*ttn  cercle  et  d'un pomt  du diamitre,  K ^st- 

ier.    ^.  am.  matk.  XIX,  162. 

144.  Die  gemeiasehaftliche  Tangente  zweier  Kreise  zu  snchen.    Stamm  er.     Gnm. 

Archir  XXXIV,  4S4. 

KrflmmTmgskreis. 

145.  Theoreme  *«/•  les  courburet  des  tignes.     Bo  eklen.     N.  ann.  math.  XIX,  136. 

146.  Sur  la  courbure  des  surfaces.     Ostrogradski.    BtdL  Acad.  Petersb.  I,  345. 

147.  On  the  curvature  ofa  plane  curve  at  a  double  point,  and  on  the  citrvatwre  ofsurface^. 

Cayley.     Quart.  Joitrn.  Math.  III,  322. 
Vergl.  Obejcfiächen  zweiten  Grades  171. 

Krystallographie. 

148.  Die  atigemeinsten  Gesetze  der  Krystallographie ,  gegründet  auf  eine  von  neuen 

Gesichtspunkten  ausgehende  Theorie  der  geraden  Linie  im  Baume  und  der 
.    Ebene  für  beliebige  schief-  oder  rechtwinklige  Coordinatensjsteme.     Grü- 
ne r  t.     Grün.  Archiv  XXXIV  ,121. 

149.  Crystallographic  notices.     W.  H.  Miller.    PHl.  Mag^  XIX,  325. 

lu 

LogarithmaiL 

150.  Logarithmes  des  40  prenders  nombres  de  BemouUU  Thoman.  Campt,  rend.  L,  905. 

151.  Fehler  in  Schrön^s  siebenstelligen  Logarithmentafeln.  Grün.  Archiv  XXXIV,  368. 

Vergl,  Analytische  Geometrie  der  Ebene  10,  Geschichte  der  Mathematik  94. 

1 52.  Aufgaben  über  Maxima  und  Minima.     S  t  r  e  h  l k  e.     Gran.  Archiv  XXXIV,  1 1 5. 

153.  Sur  UR  maximum  aritkmologique.     Derbys.    H.  awi.  math.  XIX,  117. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Baumes  19,  Geschichte  der  Mathematik  92. 

Xeduoik. 

1 54.  Sur  la  proposition  relathe  au  transpart  des  eouplea.  Tessan.  Contpt  rend.  L,7\7.  -^ 

Duhamel,  ibid.  740. 

155.  Sur  la  rotation  des  corps  pesants,     Tournaire.     Compt.  rend.  L,  476. 

156.  Obserüothns  sur  les  formuhts  de  Lagrange  relatives  au  motmement  du  boidet  dans  TM- 

tetneur  du  canon.     Pio  bert.     Campt,  rend.  L,  255*  335. 

157.  Ueber  die  Festigkeit  einer  am  Bande  aufgelötheten  kreisförmigen  Platte.  Zeh- 

f US s.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  14.  , 

158.  Svr  la  loi  des  petües  osdllations  du  penduie  simple  dans  im  müieu  resistant.     ResaU 

N,  ann.  math.  XIX,  165. 
159-  A  theory  ofmolecuUtr  fvrces.     Challis.    Phil.  Mag.  XIX,  88. 
160.  Sur  la  loi  de  düatation  de  corps.     Tessan,     Compt.  rend.  L,  20. 
IUI.  J^otes  on  rigid  i^fnamics.    Slesser.     Quart.  Journ.  Math.  IF,  65. 

162.  Note  sur  la  double  refraction.     D' Estocquois.     Compt.  rend.  L,  Wl. 

1 63.  Die  logarithmische  Linie  als  Curve  der  rückwirkenden  Festigkeit  nachgewiesen 

im  Anlauf  des  Pfeilers,  der  Säule  und  des  Pyramidalkörpers  mit  quadra- 
tischem Querschnitt.     8 1  o  k  a  r.     Grün.  Archiv  XXXIV ,  431 . 
Vergl.  Aerodynamik,  Attraction,  Elastieität,  Elektrodynamik,  FoucaulVscher 
Pendelversuch^  Geschichte  der  Mathematik  100,  Hydrodynamik,  Oberflächen 
165,  166,  Trägheitsmoment. 
Literatnrztf.  d.  Zoitschr.  f.  Math.  u.  Phys.  VI,  3.  5 


tfS  L(tei*atiir«eittmg. 


OlMTJlicliai. 
154.  Zxu  Theorie  der  «Igebrauschen  Flächen.     0 1  e  b  s  c  h.     Grelle  LVIII ,  99. 

165.  Tke  equüibHum  of  a  ßexible  but  inextensibie  and  inelastic  svrface.    Besamt»    Qmart. 

Joum.  Math.  IV,  18. 

166.  The  equUibriym  ofa  bent  lammcu     Besant,     Quart,  Joum.  Math.  IV,  1?. 

Yergl.  Attraction  26,  Differentialgleichungen,  Krümmungskreis  146. 

Obarfllehen  iw«it«r  Ordmiag. 

167.  Ri8um6  d*une  thiorte  des swfaces  du  »eeond  ordre  hämo focaies.     Chatte».     Comft* 

rend.  L,  lOöb,  iliO. 

168.  Sur  ia  thi^e  des  pfans  diamitraux  dans  les  surface$  du  second ordre.  Abel  Tram- 

son.     N.  am,  nmth,  XIX,  182. 

169.  Sur  face»  de  riwlution  du  »econd  degri.     HouseU    Jown.  MathAn,  XXV,  129. 
170.'  Ueber  einige  merkwürdige  Bessiehungen ,  in  denen  die  Flächen  sweiter  Ordavag 

zu  einander  stehen.     Schönherr.     Zeitschr.  Jlath.  Phys.  Y,  1&3. 

171.  Cei'cles  osculaleurs  et  surfaces  oaeiüatrices  dans  les  tignes  et  surfaces  du  deuxihme 

ordre.     Ducoroy.     N.  ann.  maüi.  XIX,  118. 

172.  Bemerkungen  über  Cnrven  und  Flächen  zweiten  Grades.   Heilermann.    Zeit- 

schr. Math.  Phys.  V,  69. 
IT^,  De  la  stirface  du  second  ordre  Hrconscrite  a  un  titraedre.    Cremona.   N.  ann  muUk. 
XIX,  149. 
Yergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  14,  Cubatur  37,  Parabaloid. 

OperationscalefiL 
M4.  Onthe  laws  of  Operation  and  thesystematizationofmnihematics.  Ellis.  Ph.Mag.  X/X,22l. 

175.  On  a  development  in  the  ailculus  of  Operations.  S.Roberts.  Quart.  Joum.  Math.  IV,  44. 

1 76.  Note  on  a  theorem  in  the  caicultts  of  Operations.  S.Roberts,  Quart.  Joum.  Math,  III^  3 10. 

177.  On  a  theorem  in  the  caiculus  of  opertdions,    Watton     Quart.  Joum.  Math.  III,  314, 

Yergl.  DiflTerentialquotient  46. 

fP. 

Pirabolold. 

178.  Des  coordonnies  parabotiques  et  de  leur  appHeation  d  la  geomitrie  des  parabofosdes. 

Valson.     Compt.  rend.  L,  680. 

Pertpeetiv». 

179.  Deux  figtires  itant  en  perspective,  si  lettrs  pfans  toument  autour  de  leur  comnume  mttr- 

sectUm,  ü  faut ,  pour  que  ees  ßgures  restent  en  perspective  que  toeil  chtmge  de  Po- 
sition; les  perpendicutaires  abaissees  chaque  fuis  du  point  ie  «i«  sur  ces  jfiam 
restent  dans  vn rapport constant.  Car^nouet  Laquikre.  N. asm, math,  XIX,  07. 

Planfanetife. 

180.  Problkme  de  giom^trie  du  compas.     Deliste      N.  ann.  math.  XIX,  ^b. 

18 1 .  Ueber  einige  interessante  Punkte  des  Dreieeks.  Nagel.  Grün«  Arehiv^  XXXIY,  3MlL 
162.   Thiorkme  sur  trois  droites  passant  par  un  meme point*    Kessler  et  Lemoine,    N. 

ann.  math.  XIX.  91. 

183.  Ueber  Gousy's  Methode  sur  Bestimmung  der  mittleren  ProportioaaUiaie.    Oiwk 

Archiv  XXXIV,  364. 

184.  Geometrische  Aufgaben  durch  Berechnung  gelöst.  Heller.  Grün.  Archiv  XXXTY,  0. 

Yergl,  Trisectlon  des  Winkels  206. 

Pottntlia. 

Yergl.  Attraction,  Elektrodynamik  54,  55. 

Prodnklonfolge. 

185.  Sur  i'^valuatioft  approch^e  du  produit  1 . 2 . 8 . . .  x  forsque  t.  estun  trcs  gramd  uomAre 

et  sur  la  formule  de  Stirling.     J.  A.  Serret.     Compt.  rend,  L,  662. 
Yergl.  Zahlentheorie  221,  222. 

^ttdratir. 
Yergl.  Geschichte  der  Mathematik  95,  Sphärik  193,  Stereometrie,  Verwandt- 
schaft 210. 


LiteratQrseitiing.  59 


Yergl.  Zahlentheorie  210. 


186.  Ueber  unendliche  Reihen  mit  verschwincl enden  Gliedern  aber  nicht  verschwin- 

dender Beihensnmme.     Schlömilch.     Zeitschr.  Math.  Pfays.  Y,  IftS. 

187.  Summation  Bweier  unendlicher  Reihen  auf  elementarem  Wege.    Bode.     Gran« 

Archiv  XXXIV,  397. 

188.  Sur  la  s^ie  duprobleme  de  Fuss.    Menlion.   BuU.  Acad,  Fetersb.  I,  507.  [VergU 

Bd.  V,  No  4ttl.] 

189.  TMorewte  9w  le  bmome  de  Newton  pour  texposänt  enüer  et  poeiUf,     Qatctt.    N. 

am.  math.  XIX,  32. 

190.  On  some  numerical  expansions.    Cayley,    Quart,  Joum.  Mmth,  III,  SOG. 


1.2.3...n"^2.3...(n+l)'^3.4...(n-f2)^  (n  — 1)1.2. .  .(n  —  1)' 

IC  e  est  er  et  Lemoine.    N.  mn.  math.  XIX,  34.  [Vergl.  Bd.  Y,  No.  445.] 
Yergl.  Astronomie  20,  21,  Functionen  07,  Prodactenfolge,  Zahlentheorie  213. 

SpblrilL 

192.  Forniutes  de  trigonomitrie  epherique,     Bretschneider,     N.  arm.  maih.  XIX,  22. 

193.  Die  Fläche  des  sphärischen  Vierecks.     König.     Grün.  Archiv  XXXIY,  12,  355. 

1 94 .  Risumä  d'une  throne  des  coniques  spheriquee  homofocales.  Chas  les.  Conipt.  rend.  Ly  623. 

195.  Fi^priitis  des  cotiiques  sphdriques  homofocales.  Vannson.  N.  umu  math»  XIX,  107. 

Yergl.  Astronomie  23. 

Stereomatrie. 

196.  Ne«eSätse  über  das  rechtwinkligeParallelepiped.  Mann.  Gran.  Archiv  XXXIY,116. 

197.  Lehrsatz  über  den  Flächeninhalt  eines  geraden  Cylindermantels,  welcher  von  einem 

anderen  senkrecht  geschnitten  wird.   L  o  m  m  e  1.    Gran.  Archiv  XXXIV,  286. 
Yergl.  Cubatur  36,  Figurirte  Zahlen,  Geschichte  der  Mathematik  03,  Tetrae- 
drom«trle. 

Sturm*!  TiuetioiieiL 

198.  DisctMnon  ofthe  StwrmoH  constanis  for  tMc  and  quertic  equatkme,  Cayley,  Quart* 

Jomm.  Matih.  IV,  7« 

T. 

TabelleB. 

199.  Tablee  pour  facätter  le  caleul  des  kauteurs  eorrespondantes,    Radan,    Astr.  Nachr. 

LH,  161. 
Yergl.  Logarithmen. 

Tetraedrometrie. 

200.  Beiträge  sur  Tetraedrometrie.    Junghan.     Grün.  Archiv  XXXIV,  369. 

201.  DifTerentialformeln  der  Tetraedrometrie.    J.  H.  T.  Müller.     Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  49. 

202.  ThSoreme  de  M.  de  Staudt  sur  le  titraedre.     Gentil.     N,  mm,  math.  XIX,  218. 

[Yergl.  Bd.  Y,  No.  450.] 

Trägheitsmome&t 

203.  On  the  demonstration  of  a  theorem  relaling  to  the  mooients  ofinertia  ofa  solid  body. 

Cayley,     Quart   Jowm.  Math.  IV,  25. 

204.  Bestimmung  der  Trägheitsmomente,  namentlich  für  schiefe  Prismem  und  Pyra- 

miden.    Zetzsche.     Zeitschr.  Math.  Phys.  Y,  164. 

Trigonometrie. 

205.  Ueber  einige  bei  trigonometrischen  Messungen  vorkommende  Aufgaben.  Win  ek- 

ler.   Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  139. 
Yergl.  Reihen  188,  Tetraedrometrie. 

Triseotion  d«s  '^RHnkels. 

206.  Einiges  über  Trisection  des  Winkels.     Walter.     Grnn.  Archiv  XXXIY,  295. 

207.  On  a  new  Instrument  for  the  mechimical  Irisection  of  an  angle  and  on  the  mnlHsection 

of  an  angle,     Ta  t  e,     Phil.  Mag.  XIX,  2öl. 


60-  Litwaturzeitung. 

YaristionareeluLiiag. 
208.  Nouoelle  dimonstration  (Tun  thiorhne  fondamenial  du  calcul  des  variatian».    Linde- 
toef.     Compt.  rmd,  L,  85. 

Yerwandttchaft. 
200.  Einige  Eigenschaften  der  Kegelschnitte.  Wetz  ig.  Zoitschr.  Math.  Phys.  V,  63. 

210.  Constructiou  fläche ogleicher  Figuren.    Fiedler«    Zeitschr.  Math.  Pbys.  Y,  5d. 

%. 

Zahleatheorie. 

211.  Svr  le  nombre  des  soltttkms  entieres  d*uHe  dquation  ind^iermMe  du  premier  degri. 

Sylvester,     Compt.  rend.  L,  867. 

212.  Sur  la  fanction  E  (x).     Syloester,     Compt,  rend.  L,  732. 

213.  Sur  certaines  siries  qui  se  presentent  duns  la  ihiorie  des  nombres,     Sylvester. 

Compt.  rend-  L^  650. 

214.  SvBT  quelques  formules  ginirales  qui  peuoent  etre  utiles  dans  la  tliSorie  des  nombres, 

Liouville.     Journ.  Mathäm.  XXV,  1. 

215.  Note  ä  l'occasion  d^un  thtorime  de  M.  Kronecker,     Liouville*    Joum.  Matkiau 

XXV,  127.    , 

216.  Sur  le  nombre  de  nombres  pr emiers  d'une  classe  diterminie  compris  entre  deusc  Ifmites 

fijiies  donn^ts.     Polignac     Compt.  rend.  L,  575. 

217.  Noteon  complex  integers.     Lanavicensis.     Quart.  Joum.  Math.  IV,  94. 

218.  Ueber  das  arithmclisch- geometrische  Mittel.    Borchardt.    CrcUe  LVIU,  127. 
210.  Sur  la  thiorie  des  residus  quadratiques.     Sylvester.     Compt.  rend.  L,  489. 

220.  Tafeln  der  Zerfällung  aller  Primzahlen  innerhalb  des  ersten  Tausend  in  ihre  ans 

eilften  und  aus  dreizehnten  Wurzeln  der  Einheit  gebildeten  prim&ren  com- 
plexen  Primfactoren.     Reuschle.     Ber.  Berl.  Acad.  1H60,  190. 

221 .  Leproduet  de  cinq  ou  de  six  nombres  entiers  eons4cutift  ne  peut  Stre  nn  carri.     Gi- 

rono.     N.  ann.  math.  38.  —  Lebesgue.   ibid.  112,  135. 

222.  Sur  quelques  prodwits  dont  le  facteurs  sont  en progressüm  arithmitique,     Guibert. 

N.  ann.  math.  XIX,  218. 

223.  lieber  Zahlen,  die  sich  in  die  Summe  zweier  Quadrate  zerlegen  lassen.  Unf  er- 

din g  e  r.     Grün.  Archiv  XXXIV ,  'inS. 

224.  Thior^.me  concenumt  la  fbnction  num^ique  relative  au  nombre  des  reprisemialkms  tTun 

entier  sous  la  forme  d'une  somme  de  trois  carris,     Lijouvilte.     Jowrm.  Matkem. 
XXV,  141. 

225.  Nombre  des  reprisentations  du  double  d'nn  entier  impnir  sous  la  forme  d'une  somme  de 

douze carres.     Liouville.     Joum.  MatMm.  XXV,  143. 

226.  Sur  la  forme  x*4-y*+3  f'z'+t*).     Liouville.     Joum.  MatMm.  XXV,  147. 

227.  Theoreme  concernant  tes  notnbres  pr  emiers  de  la  foime  2  4  k  -f  1 1.  Liouville    Jomnu 

MiUhhn.  XXV,  139. 

228 .  Sur  le  double  d'un  nombre  premier  4m-^1-  Liouville.   Joum.  Malhenu  XX  F»  119. 

229.  Thioreme  concernant  le  double  d'un  fwmbi^e  premier  contenu  dans  Cune  ou  lautre  des 

deuxformes  Unfaires  HSk 4-7,  HSk-hil.  Liouville.  Joum.  Math.  XXV^  l(n. 
Vergl.  Combinatorik  35,  Elliptische  Functionen  60,  Maxima  and  Minima  153. 

Zt?HT^<*'fcB"^g  ■ 

230.  Beurtheilung  der  bisjetzt  üblichen  Auflösungen  der  Aufgaben  über  Verlegung 

der  Zahlungstermine ,  mittleren  Zahlungstermine  und  Geschaftsrechnnngen. 
Schlechter.     ZeitschY.  Math.  Phys.  V,  215. 

231.  Ueber  mittlere  Zahlangstermine  mit  einfachen  Zinsen.     Schlechter.    Gran. 

Archiv  XXXIV,  291. 


Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Lehrbueh  der  ebenen  Trigonometrie  zam  Gebrauche  an  höheren  Lehr- 
anstalten und  beim  Selbststudium,  Von  Dr.  Carl  Spitz,  Lehrer 
am  PolTtechnicnm  in  Karlsruhe.  Leipzig  und  Heidelberg,  C.  F. 
Winter'sche  Verlagshandlnng.  1850.  8.  S.  83. 
Das  vorliegende  Lehrbuch  schliesst  sich  den  Lehrbüchern  der  ebenen 
Geometrie  und  Stereometrie  desselben  Verfassers  an  und  ist  wie  diese  zum 
Schulgebranche ,  insbesondere  auch  deswegen  zu  empfehlen,  weil  es  eine 
grössere  Anzahl  recht  gut  gewählter  Uebungsaufgaben  enthält.  Die  Resul- 
tate und  Andeutungen  zur  Auflösung  dieser  Aufgaben  sind  in  einem  An- 
hange zum  Lehrbuche  besonders  abgedruckt.  Was  nun  das  Buch  selbst 
betrifiElt,  so  unterscheidet  es  sich  nicht  wesentlich  von  schon  vorhandenen 
Schulbüchern  über  denselben  Gegenstand ,  und  hat  z.  B.  mit  dem  bekann- 
ten Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrie  von  W  i  e  g  a  n  d  eine  nicht  zu  ver- 
kennende Familienähnlichkeit.  Wir  würden  aus  diesem  Grunde  uns  mit 
Besprechung  des  vorliegenden  Buches  kurz  fassen  können,  wenn  sich  uns 
beim  Durchlesen  desselben  nicht  eine  Bemerkung  aufdrängte ,  ^welche  die 
Behandlung  betrifft,  die  der  Goniometrie  noch  sehr  häufig  zu  Theil  wird. 
Die  Goniometrie  ftingt  meistens  mit  der  Bemerkung  an,  dass  in  einem  recht- 
winkligen Dreiecke  die  Winkel  schon  durch  die  Quotienten  zweier  Seiten 
bestimmt  sind.  Dieser  Gedanke,  so  nahe  er  liegt,  eignet  sich  aber  in  die- 
ser Fassung  weniger  zu  einem  Frincip ,  als  er  zunächst  nur  auf  Functionen 
spitzer  Winkel  führt.  Zu  einem  weit  fruchtbareren  Gedanken ,  durch  wel- 
chen die  Lehre  von  den  Winkelfunktionen  nicht  nur  an  Kürze  und  Klar- 
heit gewinnt,  sondern  durch  welchen  gleich  vom  Anfang  an  die  grösste 
Allgemeinheit  in  die  Betrachtung  eingeführt  ist,  gelangt  mau  aber  auf  fol- 
gende Weise.  Die  Einsicht,  dass  die  Beziehungen  zwischen  den  Seiten 
und  Winkeln  eines  Dreiecks  nicht  einfacher  Natur  sind,  sobald  man  die 
Winkel  durch  Kreisbögen  bestimmt,  führt  zu  der  Frage,  ob  Winkel  nicht 
noch  eine  andere  Bestimmung  zulassen.  Nun  ist  aber  die  Richtung  von 
einem  Punkte  0  zu  einem  anderen  Punkte  P  nicht  blos  durch  den  Winkel 

Lileralurztg.  <I.  Zcilschr.  f.  Malh.  u.  Phy:».  VI,  4.  0 


62  LiteraturzeituDg. 


oder  die  Drehungsgrösse  (p  bestimmt,  welchen  OP  mit  einer  anderen  festen 
Richtung  OX  macht,  sondern  offenbar  anch  durch  die  Angabe  der  recht- 
winkligen Coordinaten  x  und  y  des  Punktes  Pin  Bezug  auf  ein  Coordinateu- 
system ,  dessen  Abscissenachse  0  X  ist.  Da  aber  die  Richtung  von  0  nach 
P  von  der  Länge  OP=r  unabhängig  ist,  so  genügt  zur  Bestimmung  der 
Richtung  von  OP  schon  die  Kenntniss  je  zweier  der  drei  Verhältnisse 

r  *      r  X 

Verbindet  man  hiermit  —  die  Lagenbestimmung  eines  Punktes  P  durch 
seine  Coordinaten  x  und  y  als  bekannt  vorausgesetzt ,  —  die  Betrachtung, 
dass  der  Winkel  als  Drehungsgrösse  vieldeutig  ist  und  die  Drehung  in 
zweifachem  Sinne  genommen  werden  kann ,  so  gewinnt  dadurch  die  Theo- 
rie der  Verhältnisse 

^     v_     y 

nnd  ihrer  umgekehrten  Werthe 

r        r        X 

^'  T'    y 

eine  Grundlage  von  der  grössten  Allgemeinheit.  Stellt  man  ausserdem 
die  genannten  Functionen  durch  die  ihnen  proportionalen  goniometrischen 
Linien  dar,  was  für  alle  Fälle  in  einer  einzigen  Figur  geschehen  kann,  so 
bleibt  für  die  Anschaulichkeit  der  Werth  -  und  Zeichenändernng  der  gonio- 
metrischen Functionen  beliebiger  Winkel  nichts  zu  wünschen  übrig. 

Die  reciproken  Werthe  des  Cosinus  und  Sinus,  d.  h.  die  Secante  und 
Cosecante  bei  Seite  zu  lassen,  wie  es  der  Herr  Verfasser  des  vorliegenden 
Buches  gethan  hat,  halten  wir  nicht  für  gerathen,  da  sie  bei  Transforma- 
tionen oft  grossen  Nutzen  gewähren  und  die  Gruppe  von  Gleichungen 
cos  (p  sec  (f>^=^\^         sin  (p*  +  co*  9)*  =  1, 
sin q>  cosec <p  =  1,       sec q?  —  fang qf=i\^ 
iang  <p  coiang  y  ==  1,  eosec  g>*  —  cotangfp*  =  1, 
sich  dem  Gedächtnisse  leicht  einprägen. 

Was  die  weitere  Entwickelung  der  Lehre  von  den  Winkelftinctionen 
betrifft ,  so  ist  es  zunächst  gleichgiltig ,  welche  Formel  man  zu  Grunde  legt, 
sobald  nur  die  allgemeine  Giltigkeit  derselben  sich  leicht  darthun  lässt 
Verwerflich ,  weil  unelegant  und  ermüdend ,  bleibt  immer  die  Nachweisui^ 
der  allgemeinen  Giltigkeit  einer  Formel  durch  Einzelbeweise.  Zudem  giebt 
es  Beweise  der  allgemeinen  Giltigkeit  der  goniometrischen  Grundformeln, 
denen  man  wahrhaftig  den  elementaren  Charakter  nicht  absprechen  kann. 
Sind  z.  B.  OPi  und  OP,  zwei  Richtungen  nnd  die  Winkel  derselben,  in 
ihrer  Allgemeinheit  aufgefasst,  mit  der  festen  Richtung  OZ,  fp^  und  tp^^  so 
ist  9, — 9,  immer  einer  der  Winkel,  den  OP,  mit  OP,  einschliesst  oder  um 
den  sich  0P|  drehen  mnss,  um  mit  OP,  zusammenzufallen.  Bezeichnet 
man  nun  die  Längen  von  OPiy  OP^  und  P^P^  mit  r,,  r,  und  cf,  die  recht- 


Jjiterattirzeitung.  63 

winkligen  Coordinaten  von  P,  nnd  /\  in  Besug  »nf  OX  als  Abscissenaehse 
mit  d:, ,  y,  und  ^c,  ^tt  so  hat  man  für  d*  dio  zwei  Attsdr ticke 

und 

rf«  =1=  r/  +  2r,  r,  coä  (ip,  —9),) , 
die  weiter  nicbts  sind,  als  bekannte  Sätze  der  Planimetrie,  nnr  unter  an- 
derer Form.     Setzt  man  diese  Ausdrücke  einander  gleich  und  verbindet 
damit  die  Beziehungen 

SO  findet  man        • 

r,  r,  cos  (<p,  —  g?,)  =  or,  ar,  +  y,  y, 
und  hieraus 

welche  Oleichnng  unmittelbar  zu  der  Formel 

cos  (^1  —  ip^)  £=  cos  fpi  cos  <p,  +  sin  (pf  sin  (p^ 
führt.  Drückt  man  den  Inhalt  des  Dreiecks  OP,P,  einmal  durch  die  recht- 
winkligen, das  andere  Mal  durch  die  Polarcoordinaten  der  Punkte  P^  und 
P,  aus,  so  gelangt  man  mit  gleicher  Leichtigkeit  zu  der  Formel 

sin  (9),  —  9>,)  =  sin  <pi  cos  9?^  —  cos  9,  sin  tp^. 
Noch  mehr  als  die  beiden  genannten  Formeln  dürfte  sich  die  Formel  für 
cos  <pi  +  cos  ipf  als  Orundformel  empfehlen ,  da  sie  ausser  der  Definition  des 
Cosinus  nur  die  Kenntniss  einiger  einfachen  Sätze  über  die  Lage  von  Punk- 
ten in  einer  Geraden  oder  im  Umfange  eines  Kreises  veraussetzt,  Sätze, 
deren  Erwähnung  nicht  umgangen  werden  kann,  wenn  die  geometrische 
Bedeutung  der  positiven  und  negativen  Grössen  in  helles  Licht  gesetzt 
werden  soll.  Die  Goniometrie  ist  schliesslich  nichts  weiter,  als  die  Theorie 
des  algebraischen  Ausdrucks  einer  oder  mehrerer  Richtungen,  und  man 
sollte  sich  daran  gewöhnen ,  sie  unter  diesem  Gesichtspunkte  aufzufassen. 
In  dem  S.  von  der  Umformung  unlogarithmischer  Ausdrücke  in  loga- 
rithmische wSre  folgende  Bemerkung,  die  auch  sonst  ihren  Nutzen  hat,  am 
Platze  gewesen.  Bei  den  genannten  Umformungen  kommt  es  in  letzter^ 
Instanz  darauf  hinaus,  ein  zweigliedriges  Aggregat  x+y  in  ein  Product 
zu  verwandeln.  Von  zwei  beliebigen  Grössen  x  und  y  lässt  sich  aber  die 
eine  proportional  einem  Cosinus,  die  andere  proportional  einem  Sinns 
setzen,  oder  man  hat  immer  die  beiden  Gleichungen 

ar  :-=  r  cos  <p ,    y  =  r  «»  qp , 
welche  r  und  9  unzweideutig  bestimmen.     Hierdurch  ist  ein  allgemeines 
Verfahren  angedeutet,  Hilfswinkel  in  die  Rechnung  ein^führen. 

Was  den  zweiten  Abschnitt  des  vorliegenden  Buches,  der  die  ebene 
Trigonometrie  behandelt,  betritt,  so  finden  wir  hier  an  der  Stelle  eines 
einfachen  Gedankenganges  eine  Zersplitterung  in  eine  Menge  einzelner 
Sätze.     Fasst  man   die  Aufgabe  der  Trigonometrie   erst  allgemeiner  und 

0* 


64  Litcratarzeitung, 


sucht  zunächst  nur  Beziehungen  zwischen  Winkeln  und  Seit«n  eines  Drei- 
ecks auf,  so  findet  m,an  diese  offenbar  am  leichtesten ,  wenn  man  von  der 

Relation 

a  b  c 


ausgeht  und  unt 
a 

sin  A 
er  Anwendung  d 
a        a 

a        a 

sin  B       sin  C 
er  arithmetischen  Sätze : 
«  +  «'  +  «"  +  ••• 

b 
a 
J 
a 

b  +  b'  +  b"  +  ...' 

flff  +  fl  u  +«   a    +... 

6a  +  fc' «'  +  ft'  a"  +  •  . .  * 

_    .    -,/«»  +  «'•  +  «"•  +  ... 

b     b'    b -^r  frt^ft'i^^"«^... 

andere  Relationen  daraus  ableitet.  Geht  man  dann  zur  speciellen  'Aufgabe 
der  Trigonometrie  über,  »o  erscheint  hier  als  erste  Forderung  die  Zusam- 
menstellung von  Gleichungen  zwischen  je  vier  Stücken.  Auf  diese  Zn- 
samme nstellung  können  dann  die  einzelnen  Aufgaben  folgen  und  die  zweck- 
mftssigsten  Formeln  zur  Berechnung  der  gesuchten  Stücke  gegeben  wer- 
den.   Unter  den  trigonometrischen  Formeln  hätten  die  beiden 

c  sin  4  (.4—  Ä)  =  (ö  — 6)  CO*  4  C 

c  crs  \  (^—  B)  =  {a  +  b)sin\C 
wohl  nicht  fehlen  sollen,  auf  welche  Mollweide  zuerst  mit  Recht  auf- 
merksam gemacht  hat.  Auch  bei  der  Berechnung  der  drei  Winkel  aas  den 
drei  Seiten  hätten  sonst  schon  bekannte  Formeln  gegeben  werden  können. 
Bezeichnet  man  nämlich  den  halben  Umfang  des  Dreiecks  mit  s  und  setzt 

so  erhält  man 

to«<74^-=-^^,  tang\B^^^-^,  iang\C  =  j-^^ 
und  für  den  Inhalt 

^  Wir  schliessen  die  Besprechung  des  vorliegenden  Lehrbaehes  der 
ebenen  Trigonometrie  mit  der  Bemerkung,  dass  wir  es  zur  ersten  Ein- 
ftihrung  in  die  Wissenschaft  im  Ganzen  für  zweckmässig  und  ntttslich  hal- 
ten. Die  Ausstattung  des  Buches  ist  recht  nett;  nur  sind  uns  leider  in  den 
Resultaten  eine  nicht  geringe  Anzahl  Druckfehler  anfgestossen ,  was  bei 
der  Benutzung  derselben  zur  Vorsicht  mahnen  mag. 

Dresden.  Dr.  Rubou?*  Hoppmark. 


Lehrbncli  der  alg^sbraisoheA  ABalysis.    Von  M.  A.  Stebn.    Leipzig  nnd 
Heidelberg,  Winter'sche  Verlagshandlung.   1860. 
Der  Charakter  des  vorliegenden  Werkes  lässt  sich  mit  den  swei  Wor- 


Literaturzeitung.  65 

ten  bezeichnen :  Thibaul  redivitnts.  In  der  That  fängt  die  Uebereinstimmung 
des  Verfassers  mit  seinem  Vorgänger  bereits  auf  Seite  5  an ,  wo  die  Rech- 
nung mit  Ausdrücken  von  der  Form 

a  +  6a;  +  ca;*+da:"+ •  •  • 
als  das  Geschäft  der  algebraischen  Analysis  bezeichnet  wird.  Bei  Thibaut 
Hess  sich  das  allenfalls  hören  und  es  findet  sieh  auch  in  dessen  Allgemeiner 
Arithmetik  nichts  weiter;  wie  aber  der  Verfasser  periodische  Reihen,  un- 
endliche Producte  und  Kettenbrttche  (Cap.  10, 11  und  12)  mit  seiner  Defini- 
tion rereinigen  will,  ist  nicht  wohl  einEUsehen«  Referent  zweifelt  über- 
haupt an  der  ganzen  wissenschaftlichen  Berechtigung  der  sogenannten  alge- 
braischen Analjrsis*)  und  glaubt  darin  auch  den  Grund  zu  sehen,  warum 
eine  stichhaltige  Definition  dieses  Theiles  der  Mathematik  ihre  Schwierig- 
keiten hat;  findet  man  es  aber  hier  wie  in  anderen  Gebieten  des  Wissens 
nicht  unpassend,  eine  Parzelle  auszusondern  und  diese  mit  besonderem 
Fleisse  zu  cultiyiren,  so  darf  man  wohl  sagen,  „die  algebraische  Analjsis 
ist  die  elementare  Theorie  der  sogenannten  einfachen  Functionen"  (a:*, 
a'f  logXf  cosx^sinxj  etc.,  areeinxj  arcUmgx^  etc.)«  Diese  Definition  hat 
auch  noch  den  Vortheil,  dass  sie  nicht  die  zufälligen  Mittel  der  Bearbei- 
tung oder  die  Form,  in  welcher  das  Resultat  erscheint  (wie  z.  B.  a-^hx 
+  ex* 4* etc.),  sondern  ein  ganz  bestimmtes  Qbject  als  EintheiliXngsgrund 
benutzt. 

Bei  dem  Rechnen  mit  der  Form  a  +  &a;  +  ca:*4-  etc.  ist  dem  Verfasser 
die  Schwierigkeit  nicht  entgangen ,  welche  aus  der  etwaigen  Divergenz  der 
jßeihe  entspringt;  über  diesen  Knoten  kommt  der  Verfasser  auf  eine  selt- 
same Weise  hinweg,  wozu  vielleicht  Referent  die  unschuldige  Veranlassung 
gegeben  hat.  Vor  längerer  Zeit,  als  es  noch  Leute  gab,  welche  die  ana- 
lytische Summe  (erzengende  Function)  einer  Reihe  von  deren  arithmeti- 
scher Summe  unterscheiden  wollten ,  machte  Referent  (in  Grunert's  Archiv) 
den  gewiss  plausiblen  Vorschlag ,  jene  esoterische  und  exoterische  Bedeu- 
tung der  Reihen  durch  verschiedene  Zeichen  aus  einander  zu  halten;  der 
Verfasser  scheint  sich  dies  gemerkt  zu  haben,  denn  er  sagt  auf  Seite  20: 
Wenn  aus  den  Reihen 


•)  Der  Verf.  erklärt  es  (Vorrede  VI)  für  praktiHch  bedenklich,  unmittelbAr 
auf  die  Arithmetik  die  Differentialrechnung  folgen  xu  lassen;  dagegen  ist  Referent 
durch  vieljährige  Erfahrung  zu  dem  Ergebnisse  gekommen,  dass  jene  Aufeinander- 
folge gar  keine  Schwierigkelten  hat,  wenn  die  Schüler  etwas  analytische  Geometrie 
▼erstehen.     Hält  man  die  Beweise  der  Formeln 

dx  dx 

frei  von  den  gewöhnlichen  aber  überflüssigen  R?ihenentwickelungen  (vergl.  des  Re- 
ferenten „Compendinm  der  höheren  Analysis**,  zweite,  völlig  umgearbeitete  Auf- 
lage, wovon  die  1.  Lieferung  erschienen  ist),  so  gewinnen  die  Anfangsgründe  der 
Differentialrechnung  sogar  noch  den  Vorzug,  viel  einfacher  und  verständlicher  zu  sein, 
als  die  immer  etwas  peniblen  Betrachtangea  der  algebraischen  Analysis. 


66  •  Literaturzeitang. 


^0  "f"  ^1  ^  +  ^t^  +  . .  . 
die  neue  Reibe 

(öo  +  M  +  (fl|+*i)^  +  {0«+^)«*  +  •  •  • 
gebildet  wird,    so   soll  letztere    die    der  Addition   entsprechende 
Summe  sein,  oder  symbolisch  ausgedrückt: 

„das  Zeichen  4^  soll  das  Zeichen  des  Eutsprechens  heissen/'  la 
diesen  wenigen  Worten  steckt  eine  doppelte  Unklarheit.  Zwischen  drei 
unendlichen  Operationen  irgend  eine  Beziehung  —  mag  sie  nmi  durch 
=3  oder  <  oder  >  ete.  bezeichnet  sein  —  aufstellen ,  hat  so  lange  gar  kei- 
nen vernünftigen  Sinn,  als  nicht  nachgewiesen  ist,  dass  bei  jenen  Operar 
tiouen  eine  augebbare  und  darum  mit  anderen  Tergleichbare  Grösse  her- 
auskommt; wer  z.  B.  hinschreibt:  sin  00  + cos  co=^iang  od,  wird  schwer- 
lich um  diese  Weisheit  beneidet  werden ,  mnss  sich  aber  auch  gefallen  las- 
sen, dass  ein  Anderer  das  Zeichen  =  durch  •<  ersetzt  und  gleichfalls  Reckt 
zu  haben  behauptet.  Bben  deswegen  lässt  sich  schon  einer  Gleichung 
von  der  Form 

Uür  ar+  £brxr—£{ar+  br)  x"- 
gar  keine  fassbare  Bedeutung  unterlegen,  wenn  nicht  beide  Reihen  con- 
vergiren:  noch  viel  unklarer  abpr  wird  die  Sache,  wenn  der  Verfasser  statt 
des  Gleichheitszeichens  ein  neues  Zeichen  einführt,  ohne  eine  Defini- 
tion desselben  zugeben.  Oder  meint  der  Verfasser  wirklich ,  in  dem 
blossen  „Entsprechen*^  liege  etwas  bestimmtes?  Man  braucht  doch  nur  aa 
die  geometrischen  Verwandtschaften  zu  denken,  um  sich  zu  erinnern,  dass 
z.  B.  einer  Geraden  sowohl  ein  Punkt,  als  eine  GelVade  und  überhaupt 
alles  Mögliche,  ja  sogar  Unmögliches  (Imaginäres)  entsprechen  kann.  — 
S(iäter  freilich  hört  diese  Unbestimmtheit  wieder  auf,  denn  der  Verfasser 
ist  da,  wo  es  auf  sichere  Resultate  ankommt,  klug  genug,  nur  convergi- 
rende  Reihen  zu  benutzen  und  :|:  in  =  zu  verwandeln.  Nahe  liegt  da  die 
Frage:  cui  bono?  wozu  überhaupt  die  curiose  Theorie  des  Entsprechens, 
wenn  sie  nicht  wieder  gebraucht  wird  und  wenn  sich  der  Verfasser  nicht 
getraut,  mit  ihr  allein  etwas  Ordentliches  anfangen  zu  können? 
Nachdem  in  Cap.  V  das  Resultat 

gewonnen  worden  ist,  wobei  der  Verfasser  ganz  wie  Thibaut  rechnet  und 
bezeichnet,  folgt  die  Lehre  von  der  Convergenz  der  Reihen  (Cap.  VI)  jedes- 
falls  nur,  um=:  statt  ^  setzen  zu  dürfen,  und  daran  schliessen  sich  in 
Cap.  VII  die  Reihen  für  Exponentialgrössen  und  Logarithmen.  Zu  einiger 
Ueberraschung  unbefangener  Leser  kommt  jetzt  die  Bemerkung ,  dass  aoch 
Reihen  von  der  Form 

Ö0+  «1  {fi  +  v]/^)  +  a,  («  +  vj/^^y  +  ... 


Literaturzeitupg,  Hl 

betraditet  werden  mOBsen,  ond,  nachdem  das  Nöthige  hierüber  gesagt'  wot< 
den  ist,  definirt  der  Verfasser  c*'+*'''-^  als  Summe  der  Reihe 

^^         1  ^         1.2         ■*"••• 

and  bleibt  seinem  Vorbilde  Thibant  anch  darin  getreu ,  dass  er  cos  x  und 
$in  X  nur  im  analytischen  Sinne  y  nämlich  als  Summen  der  bekannten  Sei- 
hen nimmt.  Dieser  «bekannte  Gedankengang  enthält  zwar  keine  Unrichtig- 
keit, leidet  aber  an  einigen  auffallenden  methodischen  Fehlern  und  Un- 
bequemlichkeiten ,  die  vielleicht  genauer  aus  einander  gesetzt  zu  werden 
verdienen. 

Wenn  erstens  der  Gedanke ,  compl^xe  Variabele  in  die  vorher  dage- 
wesenen Reihen  einzuführen ,  mehr  als  ein  scurriler  Einfall ,  wenn  er  ein 
Princip  sein  soll,  warum  fängt  man  denn  nicht  gleich  bei  der  Binomialreihe 
an  und  nennt  den  rellen  Tb  eil  von 

1  +  ^  (u+iv)  +  ^—^  {v^+i^r  +  .  •  • 

etwa  den  binomischen  Cosinus  und  den  Factor  von  i  den  binomischen  Sinus  ? 
Gleichwol  hütet  sich  Jeder  vor  solcher  Consequenz  und  zwar  aus  dem  ein- 
fachen Grunde,  weil  sie  auf  complicirte  Functionen  zweier  Variabelen 
führt.  Damit  wird  das  Princip  von  Hause  aus  verletzt ,  man  folgt  ihm  nur, 
soweit  es  bequem  ist.  —  Der  zweite  methodische  Fehler  besteht  darin, 
dass  man  ganz  unnützer  Weise  die  Theorie  des  Imaginären  von  der  Theorie 
der  unendlichen  Reihen  abhängig  macht.  Die  Quelle  des  Imaginären  liegt 
in  der  Algebra,  ebendaher  kommt  auch  die  Potenz,  und  so  ist  es  doch  nicht 
mehr  als  naturgemass,  ^ie  Frage  nach  der  Bedeutung  von  (w  -|-  iv)^  mittelst 
der  niederen  Mathematik  zu  beantworten,  wenn  dies  irgend  geschehen 
kann.  Zu  welchen  Monstrositäten  jener  Thibaut*sche  Weg  führt,  sieht 
man  am  deutlichsten  bei  dem  einfachen  Theoreme,  dass  immer 

1)  a:  +  ly  =  r  {cos  4>  -f  i  sin  ^) 

gesetzt  werden  darf.  Hier  ist  geoihetrisch  die  Sache  unmittelbar  einleuch- 
tend, der  Analytiker  aber  braucht  hierzu  l)  die  Lehre  von  der  Convergeuz 
der  Reihen,  2)  den  binomischen  Satz,  3)  die  Exponentialreihe ,  4)  die  Zer- 
lallung  derselben  bei  complexen  Exponenten ,  5)  den  Nachweis ,  dass  der 
analytische  Cosinus  und  Sinus  identisch  sind  mit  dem  trigonometrischen 
Cosinus  und  Sinus.  Wenn  dies  keine  Umwege  sind ,  so  giebt  tbs  keine. 
Viel  einfacher  wird  die  ganze  Theorie,  wenn  man  von  der  Gleichung  1) 
ausgeht  und  cos  und  sin  im  goniometrischen  Sinne  nloHnf.  Man  erhält  zu- 
nächst 

r  {cose^  + 1  Sin9).  r  {cos»'+  i  sin^')  =  rr  [cos{^+d'')  +  i  sin (*+^')] 
und   durch  mehrmalige  Anwendung  dieser  Formel   gelangt  man  zu  dem 
Moivre'schen  Satz  und  überhaupt  zur  Bedeutung  der  Potenz 

.P_  ^ 

(a-  +  iy)  1  ==[r  {cos  d  +  f  sin  d)\  «  . 


68  Literatnrzeitang. 

Die  Definitioii  der  Exponentialgrösse  mit  complexen  Exponenten  bietet  für 
den  ersten  Anblick  eine  kleine  Schwierigkeit,  welche  Referent  seit  langer 
Zeit  überwanden  hat,  indem  er  zeigte,  wie  die  identische  Gleichung 


a  —  b 

vollkommen  ausreicht,  um  zu  beweisen,  dass  M  H J     gleichzeitig  mit 

m  wächst,  aber  kleiner  als  4  bleibt  und  sich  daher  einer  bestimmten  end- 
lichen Grenze  nähert,  welche  e  genannt  wird.  Daran  knüpft  sich  leicht 
die  allgemeinere  Gleichung 

der  zu  Folge  die  Exponentialgrösse  als  Grenzwerth  einer  gewissen  Potenz 
angesehen  werden  kann.  Da  nach  dem  Vorigen  die  Bedeutung  der  Potenz 
für  jede  complexe  Basis  gesichert  ist  und  m  als  ganze  und  positire  Zahl 
genommen  werden  kann,  so  lässt  sich  auch  e"*^'*  genau  definiren,  indem 
man  sagt,  es  sei 

..+..=.*  i(.+«-±i")-i. 

Die  Ausfuhrung  des  angedeuteten  Grenzenüberganges  liefert  die. Gleiclmng 

6*+'*'  =  c*  (cos  V  +  i sin  v) , 
und  von  hier  an  bleibt  der  Gedankengang  der  gewöhnliche.  •  Durch  diese 
Darätellang  gewinnt  die  Theorie  des  Imaginären  eine  solche  Unabhfiagig- 
keit,  dass  sie  an  jeder  beliebigen  Stelle  der  algebraischen  Analyais  einge- 
schaltet, ja  sogar  gleich  zu  Anfang  vorgenommen  werden  kann.  Ferner 
erspart  man  sich  die  langweilige  Untersuchung  über  die  Periodicität  des 
analytischen  Cosinus  und  Sinus,  den  umständlichen  Beweis,  dass  es  eine 
Zahl  (|is)  giebt,  deren  analytischer  Sinus  =1  ist;  endlich  fällt  der  Nach- 
weis der  Identität  des  analytischen  und  des  goniometrischen  Sinus  ganz 
von  selber  weg. 

Der  Verfasser  beschliesst  sein  Werk  mit  zwölf  Noten,  welche  gerade 
ein  Drittheil  des  Ganzen  ausmachen  und  manche  hübsche  Entwickelnng 
enthalten  namentlich  in  Beziehung  auf  Reihen ,  Kettenbrüche  und  Zahlen- 
theorie ;  diese  Anhänge  sind  überhaupt  das  Beste  am  Buche. 

Damit  man  übr^;ens  dem  Referenten  nicht  nachsage,  dass  Tadeln 
leichter  sei ,  als  Bessermachen ,  so  erlaubt  sich  derselbe  hiermit  auf  seia 
Handbuch  der  algebraischen  Analysis  zu  verweisen,  dessen  dritte 
verbesserte  und  vermehrte  Auflage  in  wenigen  Wochen  die  Presse  ver- 
lassen wird.  Schlouuäm, 


LiteratuxiBeitniig.  69 

Lehrbücher  der  Arithmetik  und  Algebra, 

Lehrlmdi  cter  Algebra  fttr  Ober -Gymnasien  nnd  Ober -.Realschulen.   Von 
Av&VBT  Decker,  Lehrer  der  Mathematik  und  Physik  am  k.  k. 
Ober-Gymnasinm  in  Troppan.     Treppau  1859,   Otto  Schüler's 
Bnehhandläng.   8.    218  S. 
Das  vorliegende  Lehrbneh,  dessen  Inhalt  die  allgemeine  Arithmetik 
und  die  Gmndlehren  d^  Algebra  bilden ,  ist  den  Bedürfnissen  des  mathe- 
matischen Unterrichts  in  den  höheren  Klassen  der  Gymnasien  nnd  Real- 
schulen angepasst.  In  acht  Abschnitten  handelt  es  von  den  arithmetischen 
Operationen,  von  den  Brüchen  (incl. Kettenbrüchen),  von  den  Potenz-  nnd 
Wnrzelgrössen,  von  den  Verhältnissen  nnd  Proportionen,  von  den  Loga- 
rithfmen ,  von  den  Gleichnngen  (Gleichmigen  des  ersten  nnd  zweiten  Gra- 
des, unbestimmte  Gleichnngen  des  ersten  Grades),  von  den  Progressionen, 
Ton  der  Combinationslehre  oder  Syntaktik.  Die  einzelnen  Lehren  sind  mit 
ziemlicher  Ausführlichkeit   vorgetragen    nnd   durch   Betspiele   erläutert. 
Das  Buch  ist  mit  anerkennnngswerthem  Fleisse  geschrieben  und  bekundet 
überall  ein  Streben  nach  wissenschaftlicher  Strenge,  so  dass  es  in  den  Krei- 
sen, für  welche  es  bestimmt  ist,  gewiss  mit  Nutzen  von  Lehrern  nnd  Schü- 
lern gebraucht  werden  kann.    Die  äussere  Ausstattung  verdient  ganz  be- 
sonders auch  gelebt  zu  werden. 

Sie  BteBMBte  der  Matkamattk.    Ein  Leitfaden  für  den  mathematischen 
Unterrieht  an  höheren  Lehranstalten.    Von  Wilh.  Gallbnkamp, 
Director  der  Realschule  in  Müfalheim  an  der  Ruhr.     Zweite  ver- 
besserte nnd  vermehrte  Auflage.    1.  Theil.    Der  Arithmetik  und 
Algebra  erste  Abtheilung  and  die  Planimetrie.  Mit  einer  Figuren- 
tafeL    Iserlohn,  Verlag  von  Julius  Bädecker.    1860.    8.    148  S.    ^ 
Ein  durch  gedrängte  Kürze  nnd  klare  nnd  übersichtliche  Darstellung 
sehr  empfehlenswerthes  Buch.    Es  enthält  auf  72  Seiten  die  erste  Abthei- 
Inng  der  Arithmetik  nnd  Algebra,  nämlich  die  Grundrechnungsarten  in 
ganzen  Zahlen,  die  Grundrechnungsarten  in  Brüchen,  die  Grundrechnungs- 
arten in  algebraischen'  Zahlen ,  die  Lehre  von  den  Potenzen  (mit  ganzen 
nnd  gebrochenen ,  positiven  und  negativen  Exponenten) ,  Anwendung  der 
Potenzlehre  anf  Zahlensysteme  mit  beliebiger  «Grundzahl ,  die  Gleichungen 
des  ersten  Grades  mit  einer  Unbekannten,     Der  zweite  Theil  des  Buches 
enthält  auf  76  Seiten  die  Planimetrie,  nnd  es  handeln  die  sechs  Capitel 
von  der  geraden  Linie  nnd  der  Lage  gerader  Linien  gegen  einander ,  vom 
Dreieck ,  vom  Viereck  und  dem  Vieleck ,  von  der  Grössenvergleichnng  der 
geradlinigen  geschlossenen  Figuren,  von  der  Formvergleichung  gerad- 
liniger Figuren,  vom  Kreise  (Aehnliohkeit,  Polarität  und  Potenzialität  der 
Kreise,  Kreisberührnngen).     In  einem  Punkte  können  wir  uns  mit  dem 
Verfasser  nicht  ganz  einverstanden  erklären  und  dieser  betrifft  die  Auf- 


70  LiteratorKeitang. 


Stellung  zu  allgemeiuen  Definitionen  am  Anfange  der  einaEeloen  Lehren  der 
Arithmetik.  Jedenfalls  wird  dadurch  die  Einsieht  in  die  Bedeutung  der 
einzelnen  Rechnungsoperationen  nicht  gefördert.  Wenn  der  Yerfaner 
z.  B.  KU  Anfang  der  Potenslehre  die  Erklärung  aufstellt ,  eine  Potens  ist 
eine  Zahl ,  welche  so  durch  Maltiplication  aus  einer  gegebenen  Zahl ,  der 
Grundgrösse,  entsteht,  wie  eine  andere  gegebene  Zahl,  der  Exponent, 
durch  Addition  aus  1  entstanden  ist,  so  wird  durch  eine  solche  oder  ähn- 
liche Erklärungen  nicht  nur  die  Grundbedeutung  der  Potenz  als  eines  Pro- 
ductes  gleicher  Factoren  verdunkelt ,  sondern  es  wird  auch  die  symbolische 
Bedeutung  der  Potenzen  mit  negativen  und  gebrochenen  Exponenten  da- 
durch nicht  mdas  rechte  Licht  gestellt  und  die  Erklärung  bekommt  einen 
Anschein  von  Willkür,  den  sie  doch  nicht  haben  soll.  Ebenso  will  es  uns 
in  der  Geometrie  nicht  recht  gefallen ,  den  Winkel  zweier  Geraden  gleich 
anfättglicfi  als  Drehungsgrösse  aufzufassen;  wissensckaftlicher  ist  es  jeden- 
falls, den  Winkel  zu  definiren  als  das  Stück  der  unbegrenzten  Ebene, 
welches  zwischen  zwei  von  einem  Punkt  ausgehenden  Geraden  liegt.  Die 
Yergleichung  der  Winkel  rucksichtlich  ihrer  Grösse  wird  dadurch  gewiss 
nicht  erschwert,  sobald  man  einmal  erklärt  hat,  was  man  unter  zwei  glei- 
chen Winkeln  versteht.  Sehen  wir  von  diesen  Einwürfen  ab,  so  bleibt 
dem  Verfasser  das  Verdienst  einer  gewandten  Darstellung,  die  ein  nicbt 
geringer  Vorzug  des  sehr  hübsch  ausgestatteten  Buches  ist« 

Lekrbueh  der  Katbematik  für  Gymnasien  und  höhere  Lefaranstaltea.   Voa 
Dr.   Johann  Robbrt  Boyman,  Oberlehrer  am  Gymnasium  zu 
Goblenz.      Dritter    Theil:     Arithmetik.      Coln    und    Neuss, 
L.  Schwann'sche  Verlagshandlung.    L^i.    8.    224  S. 
Das  vorliegende  Buch  nimmt  besonders  Bücksioht  auf  Heis'  Samm- 
lang von  Beispielen  und  Aufgaben  ans  der  allgemeinen  Arithmetik  und 
Algebra  und  kann  derselben  als  Commentar  dienen.   Nur  die  Gleiehni^en, 
welche  den  dritten  Grad  überschreiten,  sowie  die  transeendenten  Qlei* 
ohungen  sind  unberücksichtigt  geblieben.  In  dem. Streben,  von  vornherein 
alle  Sätze  und  Formeln  durch  Beweise  zu  stützen  und  folgerichtig  sn  be* 
gründen ,  ist  der  Verfasser  jedenfalls  über  das  Ertaubte  hinausgegangen, 
indem  er  von  Formeln  Beweise  giebt,  in  denen  eine  Erklärung  enthalten 
ist.     Es  nimmt  sich  in  der  That  komisch  aus ,  für  die  Formeln ,  wie 

a  1 

(a  —  6)  +  6  =  fl,a  —  a==0,  — .6  =  a,  a"=-l,  a"~P  =  --- etc. 

O  €r 

Beweise  zu  finden.  Dass  man  in  den  Lehrbüchern,  die  auf  Erweekung 
und  Belebung  eines  wissenschaftlichen  Sinnes  gerichtet  sind,  immer  noch 
den  Begriff  der  Null  und  den  des  IJnendlichkletnea  zusammenwirft  und 
dadurch  unvermeidliche  Widersprüche  hervorruft,  ist  gewiss  im  Interesse 
der  Wissenschaft  zu  beklagen.  Sonst  enthält  das  Bneh  bei  einer  saaberen 
Ausstattung  (Druckfehler  abgerechnet)  manches  Gute  und  wird  denen. 


Literataraeitnng.  7  t 

welche  bei  ihrem  Unterrichte  die  Bammlung  ron  Heis  zu  Grande  logeo, 
immerhia  von  Nafczeii  sein  können. 

Leitfaden  der  allgemeinen  Aritiimetik  md  Algebra  für  Gymnasien,  höhere 
Bürger-  und  Gewerbeschulen,  besonders  aneh  als  Commentar  zu 
der  Sammlung  von  Beispielen  aus  der  allgemeinen  Arithmetik 
und  Algebra,  herausgegeben  von  E.  Heis,  zu  gebrauchen,  einfach 
und  Leicht  fasslich  dargestellt  von  David  Giffhorn  ,  Lehrer  der 
Mathematik  am  Obergymnasium  zu  Braunschweig.  Braunschweig,  * 
Verlag  der  Schulbuchhandlung.    1861.    8.   220  S. 
Dieser  Leitfaden,  dessen  Titel  seine  Bestimmung  hinlänglich  bekun- 
det, behandelt  die  Lehren  der  allgemeinen  Arithmetik  und  Algebra  in  der 
herkömmlichen  Weise.     Ketteubrüche,   die  Combinationslehre ,  die  Glei* 
chungen  des  dritten  und  höherer  Grade  sind  nicht  berücksichtigt.    Dem 
Buche  sind  Tabellen  zur  Vergleichung  verschiedener  Maass-  und  Gewichts- 
einheiten beigeftigL    Die  Ausstattung  des  Buches  ist  recht  gut 

Iiehrbaeli  der  Arithmetik  mit  BinichlusB  der  Algebra  uad  der  niederem 
Analysük     Zum  Gebrauch  bei  den  Vortrügen  an  der  vereinigten 
Artillerie-  und  Ingenieurschule  und  zum  Selbstunterrichte  be* 
arbeitet  von  Dr.  K.  H.  M.  Aschbnbobk,  Professor  am  Berliner 
Cadettenhause ,  Lehrer  und  Mitglied  der  Studiencommission  der 
vereinigten  Artillerie-  und  Ingenieurschule.     Berlin  1859,  Verlag 
der  königl.  geheimen  Ober-Hof  buchdruckerei  (R.  Decker).  8.  458  S. 
Ist  das  vorliegende  Lehrbuch  zunächst  zum  Gebrauch  bei  den  Vor- 
trägen an  der  königlichen  vereinigten  Artillerie  -  und  Ingenieurschule  be- 
stimmt und  dieser  Zweck  für  Umfang,   Inhalt  und  Methode  massgebend 
gewesen,  so  wird  dieses  Buch  doch  auch  für  andere  Fachschulen,  in  dei^n 
der  mathematische  Unterricht  ein  wesentliches  Moment  bildet,  mit  grossem 
Nutzen  gebraucht  werden  können.    Klarheit  der  Darstellung ,  Strenge  der 
Beweisführung,  hinreichend  viele  und  passend  gewählte  Uebungsbeispiele, 
Reichhaltigkeit  des  Inhalts  und  glückliche  Auswahl  aus  dem  retchen  Ma- 
teriale  der  allgemeinen  Arithmetik  und  der  niederen  Analysis  machen  das 
Buch  zu  einer  erfreulichen  Erscheinung  auf  dem  so  überreich  angebauten 
Gebiete  der' mathematischen  Schulliteratur.  Obgleich  dieses  Buch  zunächst 
für, eine  Fachschule  geschrieben  und  daher  die  Anwendung  der  Mathematik 
vorzugsweise  mit  berücksichtigt  worden  ist,  so  enthält  dasselbe  doch  auch 
manche  Hinweisungen  auf  Theile  der  höheren  Analysis ,  so  dass  es  auch 
eolchen  Lesern  empfohlen  werden  kann,  die  sich  dem  Studium  der  Mathe« 
matik  speciell  widmen  wollen. 

Lehrbueh  dar  Arithmetik.   Verfasst  von  D/.  Gborq  Zehfubs.   Oppenheim 
am  Rhein,  Verlag  und  Eigenthum  von  Ernst  Korn,  1857.  8.  144  S. 


72  Literaturzeitang. 

Die  Oniiidsüge  dor  Algebra.  Zum  Gebrauche  bei  Vorlesungen ,  f&r  höhere 
Lehranstalten  und  zum  Selbststudium  dargestellt  tod  Dr.  Geoso 
Zehfuss.  Oppenheim  a.  Rh.  und  Darmstadt,  Verlag  und  Eigen- 
thum  von  Ernst  Korn.  1860.  8.  200  8. 
Beide  Bücher  zeichnen  sich  durch  theilweise  neue  Behandlung  des 
Stoffes,  durch  grösste  wissenschaftliche  Strenge;  durch  Kürze  und  Reich- 
haltigkeit vor  anderen  Schriften  über  denselben  Gegenstand  vortheilhaft 
aus.  Wir  machen  nur  aufmerksam  auf  die  Untersuchung  der  Multiplication 
und  Division  der  gebrochenen  Zahlen,  auf  die  Lehre  von  den  positiven 
und  negativen  Grössen  und  die  Lehre  von  den  Potenzen  mit  negativen  und 
gebrochenen  Exponenten ,  auf  die  Rechnung  mit  imaginären  Grössen ,  auf 
die  Behandlung  der  Gleichungen  des  ersten  Grades.  Wie  in  dem  Lehrbuch 
der  Arithmetik  die  für  das  Studium  der  Zahlentheorie  so  wichtige  Lehre 
yon  der  Congruenz ,  so  weit  sie  in  das  Gebiet  der  Elemente  gehört ,  so  ist 
in  der  Algebra  die  für  die  gesammte  höhere  Analysis  so  wichtige  Determi- 
nantenlehre,  das  Nöthigste  über  die  höheren  Gleichungen  und  die  unbe- 
stimmte Analysis  (höhere  Congruenzen,  unbestimmte  Gleichungen  des  zwei- 
ten Grades)  aufgenommen.  Das  Lehrbuch  der  Arithmetik  enthält  übrigens 
auch  die  praktischen  Rechnungsarten  (Reductionsrechnungen,  Zinsrechnun- 
gen ,  kaufmännische  Rechnungen).  Beide  Bücher  des  Verfassers  sind  so 
anregend  geschrieben,  dass  wir  nur  wünschen  können,  es  mögen  dieselben 
in  recht  viele  Hände  gelangen ;  der  Nutzen  für  den  Leser  wird  nicht  aus- 
bleiben. 

Lehrbuch  der  Elementar -Kath^matik  von  Dr.  Theodor  Wittsteih,  Pro- 
fessor und  Lehrer  an  der  königl.  Cadettenanstalt,  der  königl.  Mi- 
litärakademie und  der  städtischen  Handelsschule  zu  Hannover. 
«  I.Band:  Arithmetik  und  Planimetrie.  Hannover,  Hahn'sche  Hof- 

buchhandlung. 1856.  8.  398  S. 
Ein  Buch,  was  nur  die  wichtigsten  Lehren  der  Arithmetik  und  Plani- 
metrie enthält,  diese  aber  bis  in  die  kleinsten  Einzelnheiten  ausgearbeitet 
dem  Schüler  vorlegt.  Der  Verfasser  hat  Schulen  im  Auge  gehabt,  bei 
denen  die  Mathematik  hauptsächlich  nur  als  Bildungsmittel  des  Verstandes 
betrachtet  wird  und  für  solche  wird  es  gewiss  in  Bezug  auf  die  Auswahl 
und  Behandlung  des  Stoffes  als  zweckmässig  befunden  werden.* 

Dr.  Rudolf  Hoffmakh. 


Vene  Elemente  der  Meehanik.  Von  K.  H.  Schellbach,  Professor  am 
Friedrich  -  Wilhelms  -  Gymnasium  und  an  der  Kriegsakademie  zu 
Berlin.  Dargestellt  und  bearbeitet  von  G.  Arendt  ,  ordentlicher 
Lehrer  am  Französischen  Gymnasium  zu  Berlin.    Berlin,  Reimer. 

1860. 


Literatnrzeitang.  73 


Ueber  die  Entstehung  des  vorliegenden  Buches  theilt  Herr  Professor 
Schellbacb  in  der  Vorrede,  durch  welche  er  dasselbe  einleitet,  mit,  das« 
es  aus  den  Lehrstunden  hervorgegangen  sei ,  welche  er  seit  einer  Ungeren 
Reihe  von  Jahren  unter  Theilnahme  einiger  jüngeren  Lehrer  der  Mathe- 
matik und  Pbjsik  in  der  ersten  Classe  des  Friedrich- Wilhelms- Gymnasiums 
SU  Berlin  gehalten  hat.  Der  Zweck  dieses  Unterrichts  war  hauptsächlich, 
die  Vorstellungen ,  welche  sich  die  Schüler  bereits  über  mechanische  Vor- 
gänge gebildet  hatten,  eu  grösserer  Klarheit  zu  entwickeln,  die  Auffassung 
dieser  Processe  auf  möglichst  einfache  Orundbegriffe  zurückzuführen  und. 
letztere  durch  vielfache  Uebung  gehörig  zu  befestigen.  Das  aus  diesen 
Lehrstunden  hervorgegangene  Lehrbuch  hat  daher  weniger  den  ersten  An- 
fanger, als  vielmehr  solche  Leser  im  Auge,  welche  ihre  mechanischen 
Kenntnisse  durch  zweckdienliche  mathematische  Uebungen  fester  begrün- 
den wollen.  In  der  Art  seiner  Entstehung,  sowie  in  der  mathematischen 
Behandlung  des  Stoffes  zeigt  das  Buch  mehrfache  Verwandtschaft  mit  den 
im  fünften  Jahrgange  der  Literaturzeitung  S.  06  besprochenen  „mathema- 
tischen Lehrstnnden''  desselben  Verfassers,  denen  es  auch  in  Beziehung 
auf  die  reiche  Fülle  des  behandelten  l^aterials  würdig  zur  Seite  tritt.  Für 
die  Leser  dieser  Blätter,  denen  das  neue  Werk  noch  nicht  zu  Gesicht  ge- 
kommen sein  sollte ,  wird  es  daher  jedenfalls  von  Interesse  sein ,  mit  sei- 
nem Inhalte  näher  bekannt  gemacht  zu  werden. 

Nach  Feststellung  der  Begriffe:  Atom,  Trägheit,  gleichförmige  Be- 
wegung und  gegenseitige  Anziehung  der  Atome  und  Atomgruppen  (Mole* 
cüle)  wendet  sich  das  erste,  von  der  geradlinigen  Bewegung  handelnde 
Capitel  zunächst  zu  der  gleichförmig  beschleunigten  Bewegung,  welche 
hier  als  eine  Bewegung  des  Atoms  auftritt,  das  von  einem  anderen  an- 
gezogen wird ,  während  die  gegenseitige  Entfernung  beider  Atome  unver- 
ändert bleibt.  Die  entwickelten  Gesetze  werden  auf  den  freien  Fall  und 
den  verticalen  Wurf  der  Körper  angewendet,  woran  sich  ein  Excurs  über 
das  Newton^sche  Oravitationsgesetz  und  die  Einwirkung  der  Himufsls- 
körper  auf  die  Fallerseheinungen  an  der  Erdoberfläche  schliesst.  Die  Be- 
wegung von  Atemsystemen,  welche  über  eine  gerade  Linie  vertheilt  in  un- 
veränderlichen Entfernungen  gehalten  werden,  während  sie  einer  in  der 
Richtung  dieser  Geraden  wirkenden  Anziehung  ausgesetzt  sind ,  führt  zu 
dem  Begriffe  der  Spannung  zwischen  den  einzelnen  Atomgruppen;  an  die 
Bewegung  freier  Atomgruppen  auf  derselben  Geraden  reihen  sich  zum 
Schlüsse  des  Capitels  die  Gesetze  des  Stosses* 

Das  zweite  Capitel  führt  die  Ueberschrift:  Das  Parallelogramm  der 
Kräfte,  die  schiefe  Ebene,  parabolische  Bewegung.  Von  dem  Bewegungs- 
parallelogramm ausgehend  behandelt  hier  der  Verfasser  die  Bewegung  auf 
der  schiefen  Ebene ,  sowohl  unter  alleiniger  Wirkung  der.  Schwerkraft ,  als 
mit  Rücksichtnahme  auf  die  Reibung,  sowie  die  Bewegung  fest  verbunde- 
ner Atomgruppen  auf  zwei  zusammengestellten  schiefen  Ebenen.   An  die 


74  LiteräturaeituQg« 


Untersnchung  der  Wurflioie  sind  mehrfache  interessante  matheraatiscbe 
Aufgaben  geknüpft  ^  z.  B.  über  die  Umhüllende  der  bei  gegebenem  Aiu* 
gaagspunkte  und  gegebener  Anfangsgeschwindigkeit  iu  derselben  Yerticd- 
ebene  möglicher  Wnrflinien. 

Die  im  dritten  Capitel  enthaltene  Theorie  der  Schwungkraft  wird 
durch  die  Untersuchung  derjenigen  discontinuirlich  wirkenden  Kraft  eia- 
geleitet ,  durch  welche  ein  materieller  Punkt  genöthigt  wird ,  den  Umfang 
eines  einem  Kreise  eingeschriebenen  regelmässigen  Polygons  zu  dnrcb- 
laufen.  Das  hieraus  gewonnene  Gesetz  der  Schwungkraft  findet  seine  Er- 
läuterung in  vielfachen  Uebungsbeispielen  aus  dem  Gebiete  der  AstroDomie 
und  Physik,  z.  B.  in  der  Berechnung  der  Massen  und  der  Dichtigkeit  der 
Himmelskörper,  in  der  Begründung  des  dritten  Kepler'schen  Gesetzes  bei 
Voraussetzung  einer  kreisförmigen  Planetenbahn ,  in  der  Untersucbang  der 
Zusammensetzung  von  Schwerkraft  und  Centrifugalkraft  an  der  Erdober- 
fläche j  in  der  Theorie  des  conischen  Kreispendels  u.  s.  f. 

Das  vierte  Capitel  enthält  die  Theorie  der  Attractton  von  festen  Atom- 
Systemen  in  einer  Vollständigkeit ,  wie  der  Attractionscalcül  unter  Yoran»- 
setzung  elementarer  matheroatische'r  Hilfsmittel  nur  in  wenigen  Lehr« 
büchern  durchgeführt  sein  dürfte«  Vorausgeschickt  sind  einige  Betrach- 
tungen über  die  Construction  der  Körper ,  in  denen  sich  der  Verfasser  za 
der  bekannten  atomistischen  Naturansicht  bekennt,  ohne  jedoch  in  seisen 
Rechnungen ,  welche  streng  genommen  einen  continuirlich  mit  Materie  er 
füllten  Raum  voraussetzen ,  von  dieser  Ansicht  weiteren  Gebrauch  zu  ma- 
chen. Untersucht  werden  die  Anziehung  einer  homogenen  Kreisfläefae  anf 
ein  in  ihrer  Achse  gelegenes  Atom ,  sowie  einer  Kugelsdbicht  und  einer 
homogenen  Kugel,  sowohl  auf  einen  äusseren,  als  einen  inneren  Packt, 
nicht  allein  unter  Voraussetzung  des  Newton'schen  AttractiOnsgesetzes, 
sondern  auch  eines  solchen,  wo  die  Anziehung  irgend  einer  Potenx  der 
Entfernung  proportional  ist.  Mit  Beschränkung  auf  das  Newton'selie  Ge- 
setz behandelt  der  Verfasser  die  Attraction  einer  homogenen  materielleA 
Geraden ,  die  Wirkung  eines  linearen  Magneten  auf  ein  in  ausserordeot- 
lieber  Entfernung  befindliches  einfach  magnetisches  Element. und  einige 
leichteren  Fälle  der  Attraction  zwischen  zwei  Atomsystemen. 

Im  fünften  Capitel  wird  die  Bewegung  eines  Atoms  unter  der  Wir- 
kung einer  der  Entfernung  proportionalen  Centralkraft  aus  der  Parallel- 
projection  einer  gleichförmigen  Bewegung  im  Kreise  abgeleitet  und  darch 
die  folgenden  Beispiele  erläutert:  Bewegungen  der  in  ihrem  Gleichgewichte 
gestörten  Atome  elastischer  Flüssigkeiten  (Fundamente  der  Undolatioos* 
theorie) ,  Bewegungen  eines  Körpers  in  einem  diametral  durch  die  gaste 
Erde  gegrabenen  Schachte  (nnter  Voraussetzung  eines  homogenen  Erd- 
körpers) ,  Longitudinalschwingungen  einer  Spiralfeder. 

Für  die  Bewegung  eines  Atoms  unter  dem  Einflüsse  einer  Centralkraft 
im  Verein  mit  anderen  Kräften ,  welche  den  Gegenstand  des  sechstes  Ca* 


Literatorzeitaiig.  75 

pitelB  bildet,  Btellt  der  Verfasser  nur  die  eriten  Grnndlagen  ftfst,  ohne 
•  jedoch,  da  dieselben  streng  genommen  anf  eine  Differentialgleichung  zwei- 
ter Ordnung  hinauslaufen ,  die  Aufgabe  in  ihrer  allgemeinen  Form  weiter- 
suftthren.  Die  gewonnenen  KesuUate  werden  daher  nur  in  swei  Beispielen 
weiter  verfolgt,  in  der  Theorie  des  Pendels  und  der  Lehre  von  der  Be- 
wegung eines  Atoms  auf  einer  rotirenden  Geraden.  An  die  Theorie  des 
Pendels  reihen  sich  die  Anwendung  desselben  aur  Bestimmung  der  Erd- 
schwere, zu  Höhenmessungen,  zur  Bestimmung  der  mittleren  Dichtigkeit 
d^  Erde ,  sowie  eine  elementare  Erläuterung  des  Foucault^sehen  Pendel- 
▼ersuchs. 

Der  Inhalt  des  siebenten  Capitels  ist  den  Kepler'schen  Gesetzen  ge- 
widmet, wobei  unter  Anderem  die  im  dritten  Capitel  dem  dritten  Kepler** 
sehen  Gesetze  auferlegte  Beschränkung  auf  eine  kreisförmige  Bahn  wieder 
aufgehoben  wird.  Eine  Anwendung  des  ersten  Kepler'schen  Gesetzes  bil« 
det  die  Untersuchung  der  Abweichung  frei  fallender  Körper  von  der  Ver- 
ticalen. 

Das  Schlusscapitel  handelt  von  der  Bewegung  eines  Systems ,  das  aus 
zwei  mit  einander  fest  verbundenen  Atomgruppen  besteht.  Das  Gesetz 
der  ans  fortschreitender  Bewegung  des  Schwerpunktes  und  Botation  um 
eine  durch  den  Schwerpunkt  gehende  Achse  zusammengesetzten  Bewegung 
wird  hier  für  den  einfachen  Fall  entwickelt,  wo  sie  von  zwei  Impulsen 
herrtthrt,  welche  im  Anfange  der  Bewegung  den  beiden  Atomgruppen  in 
beliebiger  Richtung  ertheilt  wurden. 

Was  die  mathematische  Behandlung  des  Stoffes  betrifft,  so  ist  die- 
selbe ,  wie  es  bei  einem  Werke ,  welches  den  Namen  des  Herrn  Professor 
Behellbach  an  der  Spitze  trägt,  nicht  anders  erwartet  werden  konnte,  eine 
durchgängig  strenge  und  correcte.  Der  Umfang  des  mathematischen  Wis« 
sens,  welchen  der  Gebrauch  des  Buches  voraussetzt,  beschränkt  sich  auf 
die  Elementarmathematik  mit  Einschluss  der  Anfangsgrfinde  der  analyti- 
schen Geometrie  der  Ebene ,  sowie  des  allgemeinen  Binomialtheorems  und 
der  hieraus  abgeleiteten  Reihenentwickelnng  für  die  Exponentialgrösse. 
Welche  seltene  Virtuosität  Herr  Prof.  Sehellbach  besitzt,  mit  so  wenigen 
Hilfsmitteln  Aufgaben  zu  behandeln,  welche  ausserhalb  des  Gebietes  der 
Elementarmathematik  zu  liegen  scheinen,  ist  bereits  bei  Besprechung  der 
mathematischen  Lehrstunden  rühmend  erwähnt  worden;  das  vorKegende 
Bach  liefert  hierfür  fast  auf  allen  Seiten  sprechende  Beweise.  Es  kann 
daher  dasselbe  nicht  allein  den  Studirenden  der  Mathematik  bestens  em- 
pfohlen werden ,  für  welche  es  gleichzeitig  durch  die  Eigenthümlichkeit 
seiner  Methoden  eine  gute  Einleitung  in  das  Studium  der  höheren  Mathe- 
matik bildet;  auch  der  Lehrer  wird  es  im  Interesse  des  Unterrichts  nicht 
unbefriedigt  aus  der  Hand  legen.  0.  Fobt. 


76  Literatarseitmig. 


Dm  SriMiOB*feh«  ealorifAA  Mamhiiw.    Von  H.  Bosrius,  CiTÜn^eniear. 
2.  Auflage,     Hftinbiurgy  O.  Meissner. 

Die  ao  rasche  Folge  einer  sweiten  Auflage  der  genanntes  SchriA 
dentet  auf  ein  Interesse  für  dieselbe  hin,  welches  eine  knrxe  Beudieilvn^ 
den  Lesern  der  Zeitschrift  gegenfiber  rechtfertigen  dfirfle. 

Die  theoretischen  Untersuchungen  des  Verfassers  sollen  klarere  Hin- 
sicht in  die  Wirkungsweise  der  motorischen  Wftrme  in  üurer  Vereinigung 
mit  atmosphärischer  Luft  und  hierdurch  Handhaben  liefern,  welche  das 
Streben  nach  Ausbildung  und  Verrollkommnung  der  calorischen  Maaehinen 
verwenden  können.  Sie  sollen  femer  nähere  Aufschlfisse  fiber  die  Wir- 
kungsweise der  Ericsson'schen  Maschine  und  dadurch  Bechnungsvnter- 
lagen  geben ,  mit  denen  der  Nachweis  fiber  den  industriellen  Weiih  dieser 
Maschine  geführt  werden  könne.  Die  ersten  dieser  Untersuchungen  sind 
bereits  von  Redte nbacher  in  dessen  „Die  calorische  Maschine,  Mann- 
heim 1853",  an  welche  Schrift  der  Verfasser  sich  anlehnt,  ungleich  umfas- 
sender und  einsichtsvoller  durchgeführt,  die  zweiten  nur  höchst  Ifickenhaft 
und  unzureichend  angestellt  worden. 

Eine  industrielle  Werthbestimnmng  pflegt  durch  Vergleich  mit  der 
Dampfmaschine  in  Bezug  auf  Leistung,  Betriebsaufwand  und  Anlage- 
kosten vorgenommen  zu  werden.  Die  beiden  ersten  Punkte  fertigt  mau 
in  der  Kegel  mit  Berechnung  des  pro  Zeiteinheit  und  Leistungseinheit  ver- 
brauchten Brennmaterialquantums  ab.  Dieses  Brennmaterialquantum  ist 
von  dem  Wärmeerzeuguugs  - ,  Wärmeübertragungs  -  und  Wärmenutzungs- 
apparate der  Maschine  abhängig.  Bei  Betrachtung  der  Ericsson'schen 
Maschine  findet  sich,  dass  gerade  die  beiden  ersten  sehr  stiefmütterlich 
bedacht  sind,  akp  den  Brennmaterialverbrauch  vorwiegend  beeinflusseo 
werden.  Der  Verfasser  betrachtet  trotzdem  nur  den  dritten  und  setzt  for 
die  ersten  ohne  Weiteres  willkürlich  abgeschätzte  Wirkungsgrade  in  seine 
Rechnung;  ja  er  behandelt  sogar  auch  den  letzten  nur  höchst  unvollstän- 
dig; er  bestimmt  blos  die  sogenannte  theoretische  Leistung  desselben, 
während  an  der  beredeten  Maschine  gerade  die  Reibungswiderstände  in  dem 
allerdings  höchst  ingenieusen,  aber  gleichwohl  sehr  complicirten  Hebel- 
mechanismus, die  Wärmeverluste  an  der  bedeutenden  Abkühlongsfiäcfae 
des  Cylinders  und  die  Luftverluste  an  dem  in  dieser  Beziehung  unzweck- 
mässig construirten  Steuerkolben  den  Totaleffect  auffällig  deprimiren.  In- 
dem er  für  diese  Effectverluste ,  wie  für  die  Wirkungsgrade  des  Feuer- 
raumes und  der  Heizfläche  Werthe  einsetzt,  die  mit  sanguinischer  Vorliebe 
für  die  calorische  Maschine  gewählt  sind,  gelangt  er  zu  Besultaten ,  die 
die  ökonomische  Vortrefflichkeit  dieser  Maschine  ausser  Zweifel  zu  setzen 
scheinen.  Er  findet,  dass  eine  einpferdige  Ericsson  -  Maschine  mit  einem 
Coaksquantnm  von  4  bis  5  Pfund  pro  Stunde  ausreicht,  während  eine 
Dampfmaschine  deren  10  erfahrungsmässig  nüthig  hat. 

In  der  That  hat  sich  durch  Messung  mit  Dynamometer  und  Waage 


Literatnrzeitung.  77 


ergeben  (DiDgler's  polytecbn.  Journal  CLIX ,  Heft  6) ,  dasr  die  Ericsson* 
Maschine  für  oben  gedachte  Leistung  und  Zeit  90  Pfund  Holz-  oder 
15  Pfund  Steinkohle  oder  Coaks  beansprucht,  ausserdem  aber  noch  Untere 
faaltuugskosten  erfordert,  welche  eine  Dampfmaschine  selbst  unter  den 
ungünstigsten  Umständen  nicht  nöthig  macht. 

Nach  diesen  Erörterungen  kann  die  theoretische  Untersuchung  des 
Verfassers  nur  als  ein  Rechenexempel  erscheinen,  welches  eine  massige 
Illustration  für  ein  paar  Theoreme  der  Thermodjnamik  vorführt. 

Dresden«  Dr.  Wteisß. 


Die  FlnoTesoenz  im  Liebtet.  Vorgetragen  von  F.  J.  Pisko.  Wien,  Verlag 
von  Carl  Oerold's  Sohn.  1861. 
Dieses  kleine  Sohriftchen  enthält  eine  recht  vollständige  Zusammen- 
stellung alles  dessen,  was  über  die  Fluorescenz  bekannt  ist,  und  empfiehlt 
sich  ganz  besonders  zum  Studium  aller  hierher  gehörigen  Erscheinungen. 
Die  ersten  63  Seiten  füllen  die  Omndversuche  mit  Sonnenlicht,  künst- 
lichem Licht,  sowie  mit  einfachem  Licht,  und  die  Untersnchujig  mittels  far- 
biger Zwischenmittel ,  desgleichen  eine  geschichtliche  Eückschan  über  den 
Gegenstand  aus.  Seite  63 — 93  beschreibt  der  Verfasser  die  wissenschaft- 
lichen Untersuchungsmethoden  und  ihre  Ergebnisse,  Seite  93 — 100  die  ver- 
schiedenen Erklärungsmethoden  der  Fluorescenz  und  Seite  101 — 107  die 
Anwendung  der  Fluorescenz  auf  Prüfung  der  Durchlässigkeit  der  Körper 
für  ultraviolette  Strahlen ,  auf  Photographie  und  Mikroskopie  etc.  Der 
klare  und  deutliche  Vortrag,  der  durch  in  den  Text  aufgenommene  Holz- 
schnitte unterstützt  wird,  die  Vollständigkeit  des  Berichtes  über  die  ex- 
perimentellen Untersuchungsmethoden,  sowie  der  am  Schlüsse  angefügte 
literarische  Nachweis  empfehlen  das  Schriftchen  sehr  für  das  Studium  der 
Flnorescenzerscheinungen.  Dr.  Kahl. 


Notiz. 


Als  ich  ehedem  mit  der  Bearbeitung  meiner  Tafeln  bestimmter  Inte- 
grale beschäftigt  war,  habe  ich  an  das  mathematische  Publicum  die  Bitte 
gerichtet,  mir  zur  Erreichung  möglichst  grosser  Vollständigkeit  die  hier 
Und  da  erschienenen  Monographieen  Über  diese  Functionen  zusenden  jsn 
wollen;  einige  Journale  haben  diese  Aufforderung  damals  aufgenommen. 
Vor  der  Herausgabe  der  Tafeln  ist  mir  nichts  zugekommen.  Denjenigen 
aber,  die  mir  später  ihre  werthvoUen  Abhandlungen  zusendeten,  statte 
ich  hier  nochmals  meinen  verbindlichsten  Dank  ab,  sowie  auch  denen,  die 

Literatorzt^.  d.  Zeitschr.  f.  Math.  u.  Phys.  VI,  4.  7 


78  Literatarseitang. 

mir  die  Becensionen  der  genannten  Arbeit  zukommen  za  lassen  die  Güte 
batten.  Da  ich  nun  durch  den  meine  Erwartungen  übertreffenden  Absats 
der  „  Tüblet  {f  integrales  definiet  {ptdfiie  par  TAcadimie  Royal  des  scifnces. 
Amsterdam)  ^*y  wodurch  die  Auflage  fast  erschöpft  worden  ist,  za  einer 
nenen,  gänzlich  umgearbeiteten  Ausgabe  schreiten  muss,  wozu  Ton  der 
ersten  Auflage  noch  einiges  Material  vorhanden  ist,  so  rufe  ich  noeh  ein- 
mal die  freundliche  Hilfe  der  Sachverständigen  zu  doppeltem  Zwecke  sa 
und  bitte  dieselben 

1)  um  die  betreffenden  Abhandlongen,  insoweit  sie  in  den  j^Tables  elc,^' 
S.  21  und  22  nicht  citirt  und  also  nicht  benutzt  worden  sind; 

2)  um  die  erschienenen  Recensionen,  insofern  die  Herren  Referenten 
sie  mir  zu  übersenden  noch  nicht  die  Güte  hatten. 

Das  grosse  Interesse ,  welches  meinem  Unternehmen  zu  Theil  gewor- 
den, und  die  —  ich  darf  wohl  sagen  —  überaus  günstige  Aufnahme  von 
Seiten  der  Akademien  und  der  wissenschaftlichen  Journale  ermutfaigen 
mich  sowohl  zu  diesem  Schritte,  als  auch  zu  der  nicht  geringen  Habe 
einer  Umarbeitung  des  genannten  Werke». 

Deventer  (Niederlande). 

Dr.  BiERENS  DE  Haan. 


is/^  *  y  ^  y    Sr"0       C^JrxXyr^^uZ*^  0 


Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Btüdion  ttber  die  Methoioa  und  die  Benutiamg  hypiometrisolier  Arbeüra, 
nachgewiesen  an  den  Nireauverhältnissen  der  Umgebung  von 
Frag.  Ein  neuer  Beitrag  zur  Geodäsie  und  zur  Orographie  von 
Cari.  Eo&istka,  Professor  der  Geodäsie  am  polytechnischen 
Institute  2U  Prag  etc.  Mit  zwei  Niveaukarten  und  mehreren 
Holzschnitten.     Gotha«  Justus  Perthes,  1858. 

Der  Nutzen ,  den  hypsometrische  BestimmuDgen  im  Allgemeinen  ge* 
währen,  ist  so  vielseitig,  dass  nicht  allein  eine  Vermehrung  und  Verein- 
fachung der  Hilfsmittel  zur  AusfÜhruDg  solcher  Messungen  höchst  wttn- 
schenswerth  erscheint,  sondern  auch  alle  Diejenigen,  welche  derartige 
Messungen  unternehmen,  sich  den  Dank  des  wissenschaftlichen  Publicums 
in  hohem  Grade  erwerben. 

Durch  die  Erfindung  des  Barometers  wurde  ein  sehr  einfaches  Mittel 
entdeckt,  Höhen  ohne  grossen  Zeit-  und  Kostenaufwand  zu  bestimmen, 
und  die  meisten  Höhenmessungen  datiren  .Ton  dem  Zeitpunkte  an ,  in  wel- 
chem die  Vervollkommnung  des  Barometers  so  weit  vorgeschritten  war, 
dass  dasselbe  mit  mehr  Zuverlässigkeit,  als  ursprünglich,  zu  derartigen 
Bestimmungen  verwendet  werden  konnte. 

Das  im  Jahre  1820  in  Gehleres  physikalischem .  Wörterbuche  (5.  Bd., 
S.  330  u.  f.)  aufgestellte  Verzeichniss  der  Meereshöhen  von  verschiedenen 
Punkten  der  alten  und  neuen  Welt  weist  4550  solcher  Bestimmungen  nach, 
von  denen  nur  verhältnissmässtg  sehr  wenige  auf  trigonometrischem  Wege, 
die  meisten  mittelst  des  Barometers  ausgeführt  sind. 

Insbesondere  ist  es  A.  v.  Humboldt,  welcher  zu  Anfang  des  gegen- 
wärtigen Jahrhunderts  dureh  seine  ausnehmend  zahlreichen  barometri- 
schen Beobachtungen  in  Amerika  die  regste  Thätigkeit  auf  diesem  Gebiete 
hervorrief. 

Hinsichtlich  der  Genauigkeit  bleibt  aber  die  barometrische  Methode 
wesentlich  hinter  der  trigonometrischen  zurück,  weshalb  man  auch  in 
neuerer  Zeit  die  erstere  nur  da  anwendet ,  wo  man  >ohne  bedeutenden  Zeit- 

Liurataritf .  d.  Zeiischr.  f.  Math.  «.  Phyt.  VI,  6.  8 


82  Literaturzeitiing. 

and  Kostenaafwand  die  letetere  nicht  benntsen  kann  und  wo  es  Zwecken 
gilt,  welche  durch  die  Ungenanigk^it  der  Methode  nicht  beeiatrftehtigt 
werden. 

Die  barometrischen  Bestimmungen  sind  aber  auch  in  den  letsten  De< 
cennien  hauptsächlich  in  solchen  Ländern  in  den  Hintergrund  gedrängt 
worden ,  in  welchen  bei  Gelegenheit  der  trigonometrischen  Landesvermes- 
sungen trigonometrische  Höhenbestimmungen  mit  ausge£fihrt  werden  konn- 
ten ,  an  welche  sich  nun  weitere  hypsometrische  Arbeiten  entweder  eben- 
fall» auf  trigonometrischem  Wege  oder  durch  NiviDlliren  im  engeren  Sinne 
leicht  anschliessen  lassen. 

Der  Verfasser  des  oben  annoncirten,  schätaenswerthen,  sehr  reichlich 
mit  literarischen  Citaten  versehenen  Werkes,  welcher  sich  bereits  seit 
dem  Jahre  1850  alljährlich  mit  Höhenmessungen  in  den  österreichischen 
Alpen,  auf  dem  böhmisch  -  mährischen  Hochplmtean,  in  den  Sudeten  und 
dem  westlichen  Aasläufer  der  Karpathen  beschäftigte ,  hat  im  Auftrage  der 
naturwissenschaftlichen  Section  des  böhmischen  Landesmuseums  in  der 
Umgegend  von  Prag  104!^  Höhenbestimmnngen  «um  Theil  durch  das  Baro- 
meter ,  «um  Theil  durch  Ni velliren ,  hauptsächlich  aber  anf  trigonometri- 
schem Wege  in  der  Terhältnissmässig  knra;en  Zeit  von  80  Tagen,  mit  wenig 
Kostenaufwand  und  mit  einer  für  ihren  Zweck  vollkommen  ansretckenden 
Oenauigkeit  ausgeführt,  deren  Resultate  er  in  obigem  Werke  dem 
schaftlichen  Publicum  ttbergiebt. 

Hierbei  bat  derselbe  sugleich  Oelegenheit  genommen,  seine  g€ 
melten  reichen,  praktischen  Erfahrungen  über  Höhenbestimmang^n  au- 
sammenzustellen,  „um  dadurch  —  wie  derselbe  in  der  Einleitung  8ag;t  — 
jenen  Geodäten  und  Naturforschern ,  welche  derartige  Messungen  in  einem 
grösseren  Gebiete  in  möglichst  grosser  Zahl  ohne  viele  Kosteil  und  doch 
mit  hinlänglicher  Genauigkeit  ausführen  wollen,  manche  unnölhige,  seit- 
raubende und  kostspielige  Arbeit  au  ersparen.^* 

Sodann  bat  aber  auch  derselbe  an  einem  bestimmten  Beispiele  die  Be- 
ziehungen nachzuweisen  gesucht,  in  welchen  derartige  Hessungen  mit 
wichtigen  Fragen  der  Orographie,  Geologie,  Pflansengeographie  and  der 
gesammten  Landescultur  stehen. 

Referent  glaubt  seinem  Beifalle,  welchen  er  diesem  ansgeseieliaetea 
Werke  zu  Theil  werden  lässt,  am  besten  dadurch  Aufdruck  an  geben,  in- 
dem er  in  Folgendem  auf  den  Inhalt  desselben  etwas  näher  eingeht« 

Das  ganae  Material  ist  in  zwei  Hauptabschnitte  gesondert.  -Li  dem 
ersten  werden  die  geodätischen  Operationen  und  die  Berechnnngsmethoden 
beschrieben  und  die  Messungsresultate  zusammengestellt,  im  aweiten  ist 
alsdann  gezeigt,  wie  sich  solche  Messungsresultate  zur  Construction  von 
Niveaukarlen  benutzen  lassen  und  wie  diese  Karten  zur  Beantwortung  von 
Fragen  der  Orographie,  Hydrographie,  Geologie  u«  s.  w.  au  verwende 
sind.  — 


Literaturzeitnng.  83 

Nachdem  der  Verfasser  im  S.  1  eine  kurze  Geschichte  der  früheren 
Messungen,  insbesondere  in  der  Gegend  von  Prag,  und  der  Bemühungen, 
die  Seehöhe  der  Prager  Sternwarte  zu  bestimmen,  gegeben,  berührt  er  im 
S.  2  die  von  ihm  hauptsächlich  angewendeten  und  oben  schon  berührten 
drei  Methoden  der  Höhenbestimmun^  und  geht  in  den  folgenden  Paragra« 
phen  zunächst  auf  die  trigonometrische  Höbenmessung  näher  ein.  Im  S.  3 
behandelt  er  die  Messung  der  Höhenwinkel,  zeigt  die  Benutzung  der 
Schraube  nach  Hogreve  und  Stampfer  f^r  kleine  Winkel,  beschreibt  das 
hierbei  nicht  ohne  grossen  Yortheil  angewendete,  bis  dabin  aber  noch  nir- 
gends erwähnte,  von  Starke  in  Wien  mit  Höhenkreis  und  Mikrometer- 
schraube  construirte  Nivellirinstruraent  und  untersucht  den  nicht  unbe« 
deutenden  Genauigkeitsgrad  desselben. 

Der  $.  4  zeigt  die  Bestimmung  der  zur  trigonometrischen  Höhen* 
nesaung  nöthigen  Distanz  nach  irgend  einer  vorhandenen  guten  topogra- 
phischen Specialkarte,  handelt  von  den  bei  diesen  Bestimmungen  auf- 
tretenden Fehlerquellen  und  dem  Einflüsse  derselben  auf  die  Höhenbe- 
atimmungen ,  geht  dann  auf  die  Unterlagen  näher  ein ,  welche  der  Verfasser 
fttr  aeine  Distanzbestimmungen  in  der  Umgegend  von  Prag  benutzt  bat, 
wodurch  derselbe  zu  dem  Schlüsse  geführt  wird ,  dass  die  durch  die  Un- 
aieherheit  der  Diatanzen  entstandenen  Fehler  in  seinen  HOhenbestimmun- 
gen  wohl  nie  mehr  als  0,4  Klaftern  betragen  und  dass  mit  Hinzurechnung 
dea  Fehlers  in  dem  Höhenwinkel  die  Fehlergrenze  in  den  Höhenbestim- 
mungen 0,5  Klaftern  oder  3  Wiener  Fusa  wohl  überschreiten  dürfte. 

Mit  Bedauern  hat  aber  Referent  eine  Mittheilung  der  Erfahrungen  dea 
Herrn  Verfasaera  in  Bezug  auf  die  von  ihm  im  S.  3  angezogene  Methode 
dea  trigonometrischen  Nivellirena  des  Prof.  Stampfer  in  Wien  vermisst,  da 
dieselbe  doch  in  neuerer  Zeit  sehr  häufig  und  zwar  im  gebirgigen  Terrain 
mit  grossem  Vortheil  in  Anwendung  gebracht  wird. 

Der  S.  5  enthält  die  Berechnungsmethoden  und  zwar  aus  correspon- 
direnden  und  aus  einfachen  Höhenwinkeln,  selbstverständlich  unter  Be- 
rtteksiehttgung  des  Einflusses  der  Refraetion  und  der  Krümmung  der  Erde. 
Insbesondere  geht  derselbe  auf  den  Einfluss  der  terrestrischen  RefractioB 
B&ker  ein,  erwähnt  die  hauptsächlichsten  Resultate,  weiche  Sab  1er  durch 
seine  höchst  seharfainnigen  Unterauchungen  bei  Gelegenheit  des  Nivelle- 
ments zwischen  dem  Schwarzen  und  dem  Caspiachen  Meere  festgestellt 
hat,  führt  die  eigenen  Erfahrungen  des  Verfassers  in  dieser  Beziehung  an, 
daraua  den  zweckmäsaigsten  Zeitpunkt  für  das  Vorherrschen  der  norma- 
len Refraetion  im  mittlem  Böhmen  und  Mähren  ableitend. 

Hierauf  entwickelt  der  Verfasser  die  Formel  zur  Berechnung  dea 
Hdhenunteraehiedea  aus  dem  einfachen  Höhenwinkel  rv  und  gelangt  zu  der 
für  aeine  Beatimmiingen  angewendeten  abgekürzten  Formel 


H=J)  tang  w  +  —-72  jD^  für  Metermaasa 
"^  10 


8* 


84  Literaturzeitung. 

oder 

H^=  D  iang  w  +  —tt  2>*  für  Wiener  Klaftern, 

welche  133  Klaftern  nicht  überschreitende  Höhenunterschiede  ff  für  hori- 
zontale Entfernungen  2),  die  kleiner  als  24050  Klaftern  sind,  bis  auf  zwei 
Decimalen  sicher  geben.  Am  Schlüsse  dieses  Paragraphen  werden  noch 
die  Formeln  aufgeführt,  welche  die  berühmtesten  Geometer  für  die  trigo- 
nometrischen Höhenbestimmungen  gegeben  haben. 

Nachdem  der  Verfasser  im  S.  6  die  Wahl  der  Stand  -  und  Fixpunkte 
für  seine  trigonometrischen  Messnngen  im  Allgemeinen  besprochen  und  die 
Ortsbeschreibung  der  letzteren  gegeben ,  macht  er  im  S.  7  sunftchst  einige 
Mittheilangen  über  die  Genauigkeit  der  Seehöhen  der  Triang^limngs- 
punkte  der  Österreichischen  Landesvermessung,  sucht  dann  Gewichtszahlen 
für  die  Genauigkeit  seiner  Messungen  auf,  wobei  er  insbesondere  nach 
Sabler  den  Grad  der  Unruhe  des  Bildes  im  Femrohre  während  der  Be- 
obachtung  des  Höhenwinkels  mit  berücksichtigt  und  stellt  endlich  unter 
Benutzung  dieser  Gewichtszahlen  die  Formeln  auf,  nach  welchen  seine 
Berechnung  der  wahrscheinlichsten  Werthe  für  die  definitiven  Seehöbea 
der  Standpunkte  etc.  erfolgte,  deren  Hesultate  nicht  nur,  sondern  anch  die 
Beobachtungsgröflsen ,  aus  denen  sie  hervorgegangen  sind,  in  übersicht- 
licher Weise  in  den  SS»  8  und  9  tabellarisch  zusammengestellt  sind. 

S.  10  handelt  von  der  nivellirenden  Methode  und  ihrer  Genauigkeit  mit 
besonderer  Rücksicht  auf  das  in  der  Stadt  Prag  ausgeführte  Detailnivelle- 
ment und  bespricht  die  Genauigkeit  der  gewöhnlichen  Eisenbahnnivelle- 
ments etc.,  sowie  die  Vorsicht,  mit  welcher  solche  zur  Bestimmung  von 
Seehöhen  verschiedener  Landestheile  anzuwenden  sind ,  in  sehr  treffender 
Weise. 

S.  il  zeigt  die  Art  und  Weise  des  Anschlusses  des  Nivellements  der 
Stadt  Prag  an  trigonometrisch  bestimmte  Höhenpnnkte  zum  Behuf  der  Be- 
stimmung der  Seehöhen  der  nivellirten  Punkte ,  sowie  der  Berechnung  des 
durchschnittlichen  Fehlers  der  angegebenen  Seehöhen  der  Triangulimngs- 
punkte ,  worauf  dann  im  $.  12  die  Resultate  dieses  Nivellements  und  im  $.  13 
die  einiger  in  der  nächsten  Umgebung  von  Prag  ausgeführten  Nivellements 
folgen,  welche  letztere  wiederum  zur  Prüfung  der  Genauigkeit  der  ausge- 
führten trigonometrischen  Höhen  bestimmungen  benutzt  werden. 

In  dem  die  barometrische  Methode  und  ihre  Genanigkeit 
behandelnden  S.  14  bespi^icht  der  Herr  Verfasser  die  Fülle,  in  welchen 
barometrische  Messungen  überhaupt  „brauchbare",  d.h.  solehe Höhen- 
unterschiede liefern ,  „deren  Unsiicherheiten  sich  innerhalb  solcher  Grenzen 
bewegen,  dass  der  Werth  der  letzteren  noch  keinen  £influss  auf  die 
Schlüsse  übt,  zu  deren  Zweck  man  die  Messung  unternommen  hat,"  nod 
geht  nach  einigen  Bemerkungen  über  die  Veränderung  der  Barometer  nach 
Kreirs  Erfahrungen  zu  der  Art  und  Weise  seiner  Messung  und  Berechnnn^ 


Literaturzeitung.  .  85 

über,  welche  letsere  er  noch  nach  den  von  Oaiiss  im  Jahre  1818  bekannt 
gemachten  Tafeln  ausführt.  Da  die  gewichtigen  Bedenken ,  welche  Ohm, 
Zech  und  Peters  gegen  die  Correction  wegen  der  Veränderung  der  Schwer- 
kraft mit  Veränderung  der  Meereshöhe  erhoben  haben ,  nach  einer  grösse- 
ren' Arbeit  Frisiani's  noch  nicht  als  abgethan  zu  betrachten  sind ,  ttberdiess 
aber  auch  die  Correction  einen  nur  sehr  geringen  Ein^uss  auf  den  berech- 
neten Höhenunterschied  ausübt.  Aus  dem  letzteren  Grunde  berücksichtigt 
der  Verfasser  auch  die  yon  Bessel  eingeführte  Correction  der  Höhenformel 
wegen  der  Luftfeuchtigkeit  nicht ,  was  umsomehr  gerechtfertigt  erscheint, 
als  ohnediess  durch  die  neueren  Untersuchungen  Lamont^s  diese  Correction 
einer  wesentlichen  Veränderung  unterworfen  werden  dürfte.  Gewiss  nicht 
mit  Unrecht  legt  der  Verfasser  auf  eine  möglichst  schnelle  und  möglichst 
einfache  Berechnnngsmethode  einen  grossen  Accent  und  zieht  dieselben 
selbstverständlich  mit  Rücksicht  auf  den  zu  erzielenden  Zweck  den  weit- 
läufigen Berechnungen  problematischer  Correctionen  so  lange  vor,  als  die 
überwiegende  Hauptursache  der  Unsicherheit  der  Barometermessungen, 
nämlich  die  nicht  horizontale  Lage  der  Luftschichten  von  gleicher  Dichtig- 
keit und  —  wie  noch  hinzuzufügen  sein  dürfte  —  das  Gesetz  der  Ab- 
nahme der  Lufttemperatur  mit  der  zunehmenden  Höhe  nicht  zu  erkennen 
und  zu  berechnen  ist. 

Nachdem  er  in  diesem  Paragraph  noch  die  Bestimmung  der  Seehöhe 
des  Prager  Sternwarte  -  Barometers  über  dem  Adriatischen  Meere  be- 
sprochen, führt  er  im  S.  15  seine  in  den  Jahren  1855  und  1856,  sowie  die 
früfaier  von  einigen  anderen  Herren  ausgeführten  Barometermcssungeu  der 
Umgebung  von  Prag  auf  und  schliesst  den  ersten  Abschnitt  mit  der  Ver- 
gleichung  einiger  Seehöben ,  welche  sowohl  trigonometrisch ,  als  barome- 
trisch bestimmt  worden  sind ,  und  mit  daraus  folgenden  beachtenswerthen 
Bemerkungen  über  den  Zusammenhang  des  Fehlers  der  barometrischen 
Messung  und  der  horizontalen  Entfernung. 

Mit  der  Ueberschrift :  „die  orographischen  Resultate"  beginnt  der 
zweite  Abschnitt,  welcher,  wie  schon  bemerkt  würde,  die  Verarbeitung 
der  Im  ersten  Abschnitte  aufgestellten  Messungsresultate  zeigt. 

Derselbe  wird  im  S.  16  durch  Aufstellung  der  Art  und  Weise  einge- 
leHet,  nach  der  die  hypsometrischen  Messungen  dem  Hauptzwecke  der- 
selben, der  möglichsten  Erkenntniss  der  Unebenheiten  des  Terrains,  dienst- 
bar zu  machen  sind,  herorhebend;  dass  dies  am  übersichtlichsten  durch 
graphische  Darstellung  der  Resultate  in  einer  Niveau-  oder  hypsome- 
trischen Karte  erfolgen  kann. 

Nach  einer  kurzen  Erwähnung  der  verschiedenen  Versuche,  die 
Terraindarstellnng  durch  künstliche  Reliefe  zu  bewirken,  giebt  der  Herr 
Verfasser  im  S.  17  einige  geschic]itliche  Notizen  der  einzelnen  Darstellun'gs- 
methoden  der  Höhenverhältnisse,  welche  sich  hauptsächlich  nach  zwei 
Methoden  sondern  lassen :  der  alt  •  französischen  oder  italienischen  —  auch 


86  Lii^*ataraieitimg« 

hier  uod  da  die  Triersche  Methode  genannt  —  und  der  deatecben  oder 
Lehmann'schen. 

Nach  diesen  beiden  Methoden «  haoptsftchlich  aber  nach  der  letsteren, 
welche  später  auch  von  den  Franzosen  theilweise  angenommen  wnide, 
sind  sämmtliche  in  den  letzten  50  bis  60  Jahren  namentlich  in  Enropa  yor- 
genommenen  officiellen  und  privaten  Terrainaufnahmen  ansgefahrt  and 
doch  sind  alle  die  auf  diese  Weise  entstandenen  Blätter,  so  werthvollf&r 
die  Bodenplastik  sie  auch  sind,  zu  einer  deutlichen  und  zugleich  anch  Ilb6^ 
sichtlichen  £rkenntniss  der  Höhenverhältnisse  wenig  oder  gar  nicht  ge- 
eignet ,  weil  in  denselben  die  sogenannten  äquidistanten  Horizontalen,  auch 
Niveau-  oder  Schichtenlinien  genannt,  wie  dieselben  von  der  Trierschen 
Jüethode  eigentlich  gefordert  werden,  nicht  mit  eingezeichnet,  aondern 
meist  bei  den  Originalaufnahmen  nur  in  idealer  Weise  zur  Heratellnng  der 
Bergschrafifur  benutzt  wurden. 

Erst  in  den  letzten  Decennien  hat  das  praktische  Bedttrfnisa  des  Tech- 
nikers bei  Projectirung  von  Eisenbahn«,  Strassen-  und  Canalanlagen  Ver- 
anlassung zQr  weiteren  Ausbildung  der  Terraindarstellung  nach  der  Trier- 
schen  Idee  geführt,  nämlich  zu  der  Herstellung  der  sogenannten  Niveaa- 
karten.  Werden  nämlich  die  Niveaulinien,  d.  b.  die  Curven,  ia 
welchen  die  Oberfläche  des  natürlichen  Boden |  von  Horizontalflächen,  die 
in  gleich  weiten  (äquidistanten)  Abständen  als  durch  die  feste  Masse  der 
Erdoberfläche  gelegt  gedacht  sind,  geschnitten  werden,  auf  geometrischem 
Wege  «mit  möglichster  Genauigkeit  ermittelt  und  ihre  Honzontalprojectio- 
nen  in  die  betreffende  Karte  eingetragen,  so  gewähren  dieselben  nicht 
allein  ein  vollständiges  Bild  des  Terrains,  sondern  auch  einen  vollkommez 
bestimmten  Begriff  von  der  Gestalt  desselben,  ein  graphisches  Belief,  wel- 
ches in  der  vollständigsten  Weise  alle  Höhen  Verhältnisse  repräsentirt 

Der  Nutzen ,  den  solche  Niveaukarten ,  insbesondere  für  Tracirongea 
von  Eisenbahn-,  Strassen-  und  Canalanlagen  gewähren,  ist  in  mehrfacher 
Beziehung  ausserordentlich ;  denn  nicht  nur  werden  die  nöthigen  Vorunter- 
suchungen in  viel  kürzerer  Zeit  bewirkt,  sondern  es  lässt  sich  auch  mit 
Hilfe  derselben  dem  Terrain  ein  Project  abgewinnen ,  welches  als  das  tech- 
nisch vollkommenste ,  mithin  als  das  allein  richtige  sich  darstellt. 

Leider  sind  wir  aber  noch  keineswegs  im  Besitz  vieler  derartiger  Kar- 
ten von  entsprechender  Genauigkeit.  Die  genauere  Darstellung  datirt 
erst  seit  der  Zeit,  wo  dieselben  zu  den  erwähnten  technischen  Zwecken 
gebraucht  wurden ,  so  dass  man  genöthigt  war ,  da ,  wo  sich  das  Bedfirfniss 
herausstellte ,  derartige  Aufnahmen  zu  bewirken ,  was  namentlich  sonächst 
in  Baiem  erfolgte. 

Immer  werden  aber  solche  genaue  Darstellungen  nur  localer  Natur 
sein  können  und  da,  wie  der  Verfasser  sagt,  es  nicht  wahrscheinlich  ist, 
dass  die  Europäischen  Staaten  eine  halbhundertjährige,  bereits  sehr  weit 
vorgerückte  Arbeit  wieder  von  vorn  beginnen  lassen  werden  und  da,  selbst 


Literaturzeitung.  87 

wenn  dies  der  Fall  wäre ,  die  nngehenem  Kosten  eines  Detailnivellements 
in  keinem  Verhilltniss  stehen  würden  eq  den  kleinen  Landestheilen ,  bei 
denen  voranssicbtlich  oder  möglieher  Weise  dasselbe  künftighin  zu  tech- 
niacben  oder  anderen  Zwecken-  benutzt  werden  könnte ,  so  liegt  die  Frage 
nahe,  ob  man  niobt,  bei  dem  grossen  Bedürfnisse  einer  übersichtlichen 
graphisehen  Darstellung  der  allgemeinen  Niveanyerh&ltnisse,  die  bereits 
Torhandenen  guten  Terrainaufnahmen  in  Verbindung  mit  einer  zweek- 
mlüwig  Tertheilten  grösseren  Anzahl  von  Höhenmessungen  für  eine  solche 
Darstellung  nutzbar  machen  und  daraus  jene  NiTeaukarten  construiren 
konnte,  welche  Torhin  als  besonders  geeignet  bezeichnet  wurden,  die 
Höhenrerhältnisse  eines  Gebiets  besonders  zu  veransehauHchen.'* 

indem  der  Verfasser  diese  Frage  bejaht,  zeigt  er  im  $.  18  seine  an> 
gewendete  Metbede  der  Construetion  von  Niveaulinien  auf  einer  als  Grund- 
lage dienenden,  nach  der  Lehmann'schen  Manier  ausgeführten  Karte,  Be- 
äug nehmend  auf  die  in  den  Text  gedruckten  Figuren  sowohl ,  als  auf  die 
dem  Werke  beigegebenen  beiden  in  Farbendruck  ausgeführten  Niveau- 
karten von  Prag  und  Umgegend,  deren  correcte  Ausführung  dem  Verfasser 
aowobl,  als  dem  Verleger  zom  grössten  Ruhme  gereicht. 

Am  Schlüsse  des  genannten  Paragraphen  berührt  er  noch  das  zur 
grösseren  Ueberaichtlichkeit  der  Höhenverbftltnisse  nothwendige  Golorit 
der  verschiedenen  Schichtungen  und  bezeichnet  es  als  wttnschenswerth, 
gerade  jetzt,  wo  man  den  Schichtenkarten  eine  grössere  Aufmerksamkeit 
schenkt ,  eine  Binigung  hierüber  und  insbesondere  über  die  verschiedenen 
Töne  für  tiefer  und  höher  gelegene  Schichten  zu  erzielen. 

Mit  den  entwickelten  Gründen ,  der  tiefsten  Schicht  das  grösste  Licht 
ond  den  höheren  Regionen  dunklere  Farbenschattirnngen  zu  geben,  kann 
man  sich  nur  ganz  einverstanden  erklären  und  es  hat  dieses  Princip  be- 
reits anderweit  praktische  Anwendung  gefunden,  indem  dasselbe  nicht 
allein  Director  Dr.  Vogel  in  der  Farbenwahl  seiner  Wachstuchwandkarten 
und  in  seinem  Schulatlas ,  sondern  auch  in  neuerer  Zeit  Dr.  Henry  Lange 
b>«  seiner  Höhenschichtenkarte  von  Sachsen*)  in  Anwendung  brachte. 

Der  S.  19  zeigt  die  Art  und  Weise  der  Benutzung  derartiger  Niveau- 
karten zur  Beantwortung  von  Fragen,  die  sich  auf  die  verticale  Gliederung 
des  Bodens  beziehen,  welche  sich  entweder  unmittelbar  aus  der  Karte  er- 
giebt  oder  mittelbar  unter  Zuhilfenahme  bekannter  Gesetze  der  Meteorolo- 
.gie,  Geologie,  Pöanzengeographie  etc.  ermöglicht  wird.  Namentlich  macht 
der  Verfasser  in  Bezug  auf  die  beigegebenen  Niveaukarten  und  zwar  hin- 
siebtlich  der  Ausdehnung  und  Begrenzung  der  einzelnen  Schichten  über 
den  Flficbeninhalt  derselben,  über  die  grössten  Höhen  und  Tiefen,  üUj&r 
das  Volumen  des  über  die  tiefste  im  Gebiete  vorkommende  Schichte  er- 


*)  Henry  Laoge^s  Atlas  tob  Sachsen.  Ein  geof^raphisch*  physikalisch -statiAii- 
scbes  Gemälde  des  Königreichs  Sachsen.  In  12  Karten,  mit  erläuterndem  Texte. 
Leipzig,  F.  A.  Brockhaas,  1800. 


88  Literator^eitiiDg. 

hobenen  Bodens ,  über  die  mittlere  Erheboag  des  Bodeos,  Aber  die  mittlere 
Teroperatar  eines  Orts ,  sowie  ttber  die  Bonität  des  Bodens  and  die  Vege- 
tation desselben  höchst  interessante  nnd  beachtenswerthe  Bemerkangea, 
wodurch  er  darthat,  dass  er  der  Verarbeitung  des  90  reiflich  gebotenea 
Stoffes  nach  allen  Richtungen  hin  vollständig  Geister  ist. 

Nicht  minder  beachtenswerth  sind  die  Bemerknngen  des  $.  20  über  die 
allgemeinen  Neignngsverhältnisse  des  Bodens ,  namentlich  über  die  mitt- 
lere Neigung  einzelner  Terrainabschnitte ,  über  diejenige  der  Thäler  ond 
über  die  Tiefenlinien  derselben.  Nur  kann  Referent  sich  mit  dem  Seite  96 
aufgeführten  Verfahren  der  Bestimmung  der  mittleren  Neigung  jeder  ein- 
zelnen Schicht  nicht  ganz  einverstanden  erklären. 

Da  nämlich  der  mittlere  Neigungswinkel  einer  Schicht  als  das  arith- 
metische Mittel  aus  den  sämmtlichen  in  derselben  vorkommenden  unend- 
lich vielen  Neigungswinkeln  zu  betrachten  ist,  so  kommt  man  dieser  De- 
finition jedenfalls  sehr  nahe,  wenn  man  sich  die  Horizontalprojectien  dieser 
Schicht  im  Allgemeinen  durch  den  Ausschnitt  eines  Kreisringes  ersetst 
denkt,  welcher  mit  der  Schicht  sowohl  hinsichtlich  des  horizontalen  Flä- 
cheninhalts, als  hinsichtlich  der  mittleren  horizontalen  Länge  tiberein- 
stimmt. Die  als  Quotient  aus  Flächeninhalt  und  mittlerer  Länge  hervor- 
gehende Breite  des  Ringstücks  ist  als  Projection  der  zwischen  den  beiden 
kreisförmigen  Schichtenlinien  gezogenen  Neignngslinie  zu  betrachten  ond 
es  kann  mit  Hilfe  derselben  und  der  Schichthöhe  der  dazu  gehörende  Nei- 
gungswinkel, d.  i.  die  gesuchte  mittlere  Neigui]ig  berechnet  werden.  Der 
Herr  Verfasser  weicht  von  dieser  Bestimmusgsweise  insofern  ab,  als  er 
sich  die  Horizontalprojection  der  Schicht  nicht  durch  den  Ausschnitt  eines 
Kreisringes,  sondern  durch  einen  vollen  Kreisring  ersetzt  denkt  nnd  — 
worin  der  wesentliche  Unterschied  besteht  —  zur  Bestimmung  von  dessen 
Breite  ausser  seinem  Flächeninhalte  nicht  die  mittlere  Länge  desselben, 
sondern  den  Flächeninhalt  des  inneren  Kreises  wählt,  welchen  er  mit  dem 
Inhalte  der  von  der  die  betreffende  Schicht  begrenzenden  inneren  Horizon- 
talen einschliessenden  Fläche  annimmt.  Hierdurch  wird  aber  die  Grosse 
des  mittleren  Neigungswinkels  von  der  Zufälligkeit  des  letztgenannten 
Flächeninhalts  abhängig  gemacht ,  dessen  Unzulässigkeit  hierbei  umsomehr 
in  die  Augen  springt,  wenn  man  es  mit  Schichten  zu  thun  hat,  die  auf  der 
betreffenden  Karte  nicht  in  sich  zurückkehren ,  sondern  nur  theilweise  tnf 
dem  dargestellten  Terrain  sich  befinden.  Der  Inhalt  der  von  der  inneren 
Horizontalen  begrenzten  Fläche  kann  dann  nur  bis  zur  Sectionslinie  ge- 
nommen werden  und  ist  grösser  oder  kleiner ,  je  nachdem  diese  Seetions- 
linje  entfernter  oder  näher  der  inneren  Schichtenlinie  liegt.  Durch  diese 
Zufälligkeiten  kann  es  nothwendig  kommen,  dass  für  zwei  Schichten,  deren 
mittlere* Neigungswinkel  gleich  sind ,  ganz  verschieden^  Werthe  derselben 
gefunden  werden ,  was  nicht  der  Fall  ist ,  wenn  ausser  den  Flächeninhalten 
derselben  die  mittleren  Längen  mit  in  Betracht  gezogen  werden. 


Literatiir^Gitmig« 


ji.»j^^^^v^<^»VWW>r»^-»i~j-Wn~'«*  r~^i)-ii-M*a'VV>«'^i<"i»~«~i<-|i- 


Endlieh  debtet  der  Herr  Verfasser  im  S*  21  seine  AiMicht«&  über.  Anf? 
stellflog  einer  nenen  nnd  zwar  einer  nach  geometrischen  Grundsätzen  be- 
handelten Terminologie  des  Terrains  an ,  welche  verdienen ,  dass  sie  wei- 
ter BerHeksiclitignng  finden.  Hiernach  kommen  zunächst  die  Terrain- 
elemente in  Betracht,  welches  Fläohenelemente  sind,  deren  Natnr  durch 
die  ELrümmung  zweier  unmittelbar  über  einander  befindlicher  Schichten- 
linien bestimmt  wird.  Jede  dieser  Schichteulinien  kann  entweder  gerade, 
convex  oder  concav  sein  und  es  würden  hiemach,  je  nachdem  entweder 
zwei  gerade,  oder  zwei  conv^xe,  oder  zwei  concave,  oder  eine  convexe 
und  eine  concave  Schichtenlinie  das  Element  begrenzen ,  ebene  und  wind- 
schiefe, convexe,  coneave  oder  endlich  convex -concave  Terrainelemente 
geben. 

Die  Vereinigung  mehrerer  Flächen-  oder  Terrainelemente  zu  einer 
Figur ,  welche  sich  als  solche  unterscheidbar  von  dem  Angrenzenden  ab* 
hebt,  nennt  der  Verfasser  ein  Terrainglied  und  hängen  mehrere  solcher 
Glieder  so  mit  einander  zusammen,  dass  sie  alle  von  einem  gemeinschaft- 
lichen Punkte  oder  von  einer  gemeinschaftlichen  Linie  auszugehen  sdiei- 
neu,  so  entsteht  ein  weit  höherer  Grad  der  Zusammensetzung,  welcher  mit 
dem  Namen  Terraingebiet  zu  bezeichnen  sein  möchte. 

„Eine  Terminologie  —  fährt  der  Verfasser  fort  —  nach  ähnlichen 
Grundsätzen  entworfen,  würde  keiner  praktischen  Anwendung  oder  Be- 
nutzung im  Wege  sein ,  wenn  sie  auch  nicht  für  einen  besonderen  Zweck 
geschaffen  wurde.  Sie  würde  weder  Geologen  bei  der  Aufsuchung  der 
Uebereinstimmung  des  inneren  Schichtenbaues  mit  der  äusseren  Oberfläche, 
noch  dem  Militär  bei  der  Auffindung  von  Angriffspunkten  und  Vertheidi- 
gungslinien,  noch  dem  Givilingenieur  bei  Entwerfung  seiner  Projecte  für 
Communication  und  Bodenmelioration  hinderlich  sein,  sondern  im  Gegen- 
theile  die  Arbeiten  derselben  mächtig  unterstützen.  Hinderlich  sein  würde 
sie  Mos  hohlen  Speculationen  und  Hypothesen,  denen  die  nackte  Wahr" 
heit  der  natürlichen  Beschaffenheit  der  Oberfläche  des  Bodens  einen 
fortwährenden  stillen,  aber  entschiedenen  Widerspruch  entgegenstellen 
würde.«* 

Der  Leser  wird  aus  dem  Mitgetheilten  ersehen ,  dass  sich  auf  diesem 
Felde  wohl  selten  noch  die  Wissenschaft  so  eng  mit  der  Praxis  verbunden 
hat,  das«  sich  gewiss  beide  Theile  völlig  befriedigt  fühlen  dürfen.  Refe- 
rent steht  nicht  im  geringsten  an ,  dem  Verfasser  für  die  glückliche  Durch- 
führung seiner  so  manches  Neue  enthaltenden  Arbeit  in  dieser  nur  noch 
wenig  verfolgten  üicbtung ,  sowie  dem  Herrn  Verleger  für  die  vorzügliche 
Ausstattung  des  Werkes  und  insbesondere  auch  der  beiden  beigegebenen 
Karten ,  seinen  Dank  und  seine  wahrhafte  Hochachtung  darzubringen. 

A.  Nagel. 


90  LiteratiirseitaDg, 

Dl«  .Bl«Bi0Bt6  der  ebenm  TrigonoaMtrie.  Bearbeitet  ven  Dr.  Eduard 
ZEfzsoBB,  Lehrer  sq  der  königl.  Gewerbeselmle  tu  ChemniU. 
Altenbnrg,  Yerlagsbachhandlnng  H.  A.  Pierer.  1861.  8.  lt)6  S. 
Wenn  die  Elemente  der  Goniotnetrie  nnd  Trigonometrie  der  Eiofaeli' 
heit  nnd  scharfen  Umgrensnng  des  Gegenstandes  wegen  vorzugsweise  eine 
knappe  nnd  elegante  Darstellung  gestatten  nnd  eine  solche  oft  schon  ge- 
ftinden  haben,  so  mnss  es  amsomefar  befremden ,  wenn  man  an  einem  neieii 
Bnche  ttber  Trigonometrie  .gerade  diese  Eigenschaften  nicht  entdeekeo 
kann.  Der  Verfasser  des  Torliegenden  Werkes  hat,  was  Weitschweifigkeit 
und  Schwerfälligkeit  anlangt,  das  Möglichste  geleistet.  Er  beginnt  die 
Goniometrie  mit  dem  Sinnsversns.  Demselben  sind  fünf  Seiten  gewidmet 
Es  folgen  dann  auf  drei  Seiten  die  Erklärung  des  Cosinns ,  Betrachtnngei 
ttber  seine  6r(tose  nnd  sein  Vorzeichen ,  sowie  ttber  die  Wiederkehr  der- 
selben absolaten  Werthe  desselben/  Anf  gleiche  Weise  ist  auf  den  vier 
folgenden  Seiten  der  Sinus  behandelt.  Um  zu  erklKren,  was  ein  Sinniist, 
braucht  der  Verfasser  allein  zwei  Seiten ,  und  damit  der  Leser  ja  niebt  lo 
schnell  zu  den  übrigen  Functionen  gelange ,  ist  die  Darstellung  durch  eines 
Paragraphen  unterbrochen,  in  welchem  Satze,  wie  die  folgenden,  demon- 
strirt  werden :  „Der  Sinus  eines  Peripheriewinkels  ist  die  Hälfte  der  n 
ihm  gehörigen  Sehne  in  einem  Kreise  vom  Halbmesser  1 ;  jede  Sehne  ir- 
gend eines  Kreises  ist  das  Product  aus  dem  Durchmesser  des  Kreises  ud 
dem  Sinus  des  ttber  ihr  stehenden  Peripheriewinkels  j  der  Sinus  and  der 
Cosinus  wachsen  nnd  nehmen  durchaus  nicht  etwa  proportional  mit  den 
Winkel  ab,  u.  s.  w.  Nach  dieser  Abschweifung  erftihrt  man  auf  den  fol- 
genden zehn  Seiten ,  was  der  Gosinusversus ,  die  Secante ,  die  Cosecsnte, 
die  Tangente  und  die  Cotangente  sind.  In  dem  Bisherigen  sind  zwar  die 
Functionen  gelegentlich  an  einem  Kreise  vom  Halbmesser  1  geometriNh 
dargestellt  worden,  aber  nicht  genug  damit  werden  anf  S.  35  die  trigonO' 
metrischen  Linien  ab  etwas  Neues  aufgeführt;  bei  ihrer  Darstellung  näm- 
lich muss  der  Halbmesser  des  Kreises  gleich  r  sein  I  Anf  S.  37  erfährt  der 
Schüler  endlich,  dass  die  trigonometrischen  Functionen  Verhältnisse  swi> 
sehen  den  Seiten  des  rechtwinkligen  Dreiecks  sind ,  und  damit  er  sogleicb 
eine  Frucht  dieser  neuen  Erkenntniss  brechen  kann,  ist  an  dieser  Stelle 
die  Berechnung  der  Seiten  des  rechtwinkligen  Dreiecks  eingeschaltet.  Wie 
hier  die  Goniometrie  durch  ein  Stück  Trigonometrie  unterbrochen  ist,  eo 
befindet  sich  auch  in  dem  Anhange  der  Goniometrie  eine  Herleitnng  der 
Fundamentalsätze  für  die  Dreiecksberechnung,  wohin  sie  doch  offenbar 
nicht  gehört.  Den  zweiten  Abschnitt  des  Buches  bildet  die  eigentficiie 
Trigonometrie.  Wir  vermissen  hier  unter  Anderem  die  MollweideVliea 
Gleichungen 

c  sin  l  (A  —  B)  z=^(a  —  b)  cos  ^  C 

cco8^{A'-'B)  =  la  +  b)8in^C, 
die  bei  der  so  häufig  vorkommenden  Aufgabe ,  wo  aus  zwei  Seiten  a,  b  ood 


LitemUirieitong»  91 


dem  eiiigeschloMeneii  Winkel  C  die  tthrigea  Stiieke  A^  B^c%xl  berechnen 
sindy  fttglich  nicht  entbehrt  werden  können.  Dem  Bnobe-sind  drei  Tafeln 
beigegeben ,  die  <^t  mit  Nntsen  zn  gebraachen  aind ,  n&mlich  eine  Tafel 
fiir  die  Lftnge  eines  Bogens  vom  Halbmesser  1 ,  eine  Tafel  der  trigoneme- 
triechen  Functionen  Ton  10  an  10  Minaten  nnd  eine  Tafel  der  Quadrate  der 
Zahlen  TOn  1  bis  900.  Der  Druck  der  Formeln,  namentlich  die  Anordnnng 
derselben,  iXsst,  was  Uebersichtlichkeit  anlangt ,  manches  an  wünschen 
ttbrig;  sonst  ist  die  Aosatattnag  des  Buches  recht  leidlich. 

Dr.  RcmoLF  Hoffmann. 


Bat  PxiemilDid.  Eine  Erweiterung  der  elementaren  Stereometrie  von 
Theodor  Wittstein,  Dr.  phil.  und  Professor.  Hannover,  Hahn'- 
sche  Hofbuchhandlung.  1800.  4.  24  S. 
Wie  das  Prisma  und  die  Pyramide  der  Stereometrie  dem  Paral- 
lelogramm und  dem  Dreieck  der  Planimetrie  entspricht,  so  ist  das 
PrismAtoid  das  Analogen  des  Trapeaes.  Das  Prisraateid  nun  ist 
ein  Polyeder,  welches  von  zwei  parallelen  Polygonen,  die  ausserdem  voll- 
kommen unabhängig  von  einander  sind,  als  Grundflächen,  und  im  All- 
gemeinen von  Dreiecken  als  Seitenflächen  begrenat  wird,  welche  mit 
je  einer  Omodfläche  eine  Seite  und  mit  der  anderen  einen  Eckpunkt  ge- 
mein haben.  Der  Koppe 'sehe  Obelisk  ist  hiernach  ein  besonderer  Fall 
des  Prismatoids.  Versteht  man  unter  der  mittleren  Durchsehnitts- 
fläche  des  Prismatoids  die  Fläche  der  Figur,  welche  ein  in  halber  H&he 
parallel  den  beiden  Grundflächen  gelegter  ebener  Schnitt  hervorbringt,  so 
wird  in  vorliegender  Abhandlung  folgender  Lehrsats  bewiesen:  „Jedes 
Prismatoid  ist  der  Summe  dreier  Pyramiden  gleich ,  von  denen  eine  das 
arithntetisehe  Mittel  der  beiden  Grundflächen  und  jede  der  beiden  anderen 
die  mittlere  Durehschnittsfläche  des  Prismatoids  zur  Grundfläche  hat  und 
deren  Höhe  gleich  der  Höhe  des  Prismatoids  ist.^*  Oder:  Wenn  man  mit 
Gy  g  die  beiden  Grundflächen,  mit  2>  die  mittlere  Durchschnittsfläche  und 
mit  h  die  Höhe  des  Prismatoids  bezeichnet,  so  findet  man  aUgomein  den 
Inhalt  /  desselben  durch  die  Formel 

f*  »  " 
oder  wenn  man  das  arithmetische  Mittel  der  beiden  Grundflächen ,  , 

mit  M  bezeichnet 

J=|(Jlf+22)). 

Was  die  Folgerungen  betrifft,  die  der  Verfasser  aus  diesem  Satze 
zieht,  so  miisaen  wir  auf  die  Abhandlung  selbst  verweisen.     Sie  beziehen 


93  Lüeratnrratimg. 

sich  niebt  nur  auf  die  Inhtltsbestimmangen  f  pecieller  Formen  des  Prisna* 
toidg,  sondern  auch  auf  die  Inhalte  von  Körpern,  die  von  Regelfllclen 
begrenst  sind ,  anf  die  Inhalte  von  beliebigen  Polyedern  aadsnfdie 
angenäherte  Inhaltsbeatimmnng  von  körperlichen  Ränmeo,  welche  toi 
einer  beliebigen  krummen  OberflXohe  begrenxt  werden.  Man  findet 
bei  dieser  Gelegenheit  die  Giltigkeit  der  für  planimetrische  Inhiltobe- 
Stimmungen  unter  dem  Namen  der  Simpson 'sehen  Formel  bekannte! 
Regel  auch  für  räumliche  Figuren  nachgewiesen.  £s  ist  wohl  kanm  notUg, 
au  bemerken ,  dass  die  Abhandlung  des  bekannten  Herrn  Verfassen  tod 
Seiten  der  Geometer  alle  Beachtung  verdient  und  diese  neue  Erweiterung 
der  elementaren  Stereometrie  nur  mit  Freuden  begrüsst  werden  kann.  Die 
äussere  Ausstattung  der  Schrift  ist  vortrefflich. 

Dr.  Rudolf  Hopfmakx. 


(Verspätet) 
MaAematiicher  Snpplemenfband  nim  Ornndrisi  der  Pkysik  und  Isteo- 
rologie.    Von  Dr.  Jon.  Müllqb,  Professor  der  Physik  und  Tedi- 
nologie  an  der  Universität  zu  Freiburg  im  Breisgau.    Mit  179  in 
den  Text  eingedruckten  Holaschnitten.  Nebst  besonders  gedruck- 
ten Auflösungen.     Braunschweig ,  Druck  und  Verlag  von  Frie- 
drich Vieweg  und  Sohn » 1860. 
Dem  Studirenden   der   technischen  Wissenschaften,  der  sich  nack 
einem  vorbereitenden  Cursus  in  der  Experimentalphysik  die  Aufgabe  stellt. 
tiefer  in  das  Gebiet  der  Physik  einaudringen ,  ist  jedenfalls,  wennerandi 
in  den  mathematischen  Wissenschaften  gehörig  vorbereitet  ist,  eine  Sans- 
lung  von  Aufgaben  erwünscht,  die  überhaupt  zu  den  lösbaren  and  faSifi^r 
vorkonunenden  gehören  und  bei  denen  er  augleich  die  experimentsllei 
Grundlagen  mitgetheilt  erhält,  auf  welchen  die  Auflösung  basirt   Dtf 
vorliegende  Werkchen  ist  als  eine  mathematische  Ergänzung  des  heim-  ' 
ten  „Grundrisses  der  Physik  und  Meteorologie"  von  demselben  Yerftfsef  > 
au  betrachten,   es  giebt,  ohne  sich  tief  in  die  Herleitung  einzulassen,  ^ 
bekannteren  mathematisch  -  physikalischen  Gesetze  an,  wobei  jedem  6^ 
setze  einige  Bechnungsaufgaben  beigefügt  sind ,  deren  Auflösungen  in  ^^ 
besonders  abgedruckten  Auflösungen,  die  den  zweiten  Theil  des  Werke 
bilden,  zu  finden  sind.     Es  sind  nicht  nur  alle  Capitel  der  Physik,  Tsntft 
Anderem  auch  die  Achromasie  und  die  mechanische  Wärmetlieorie  gebön| 
berücksichtigt  worden,  sondern  auch,   was  besonders  lobend  anerkaist 
werden  muss,   die  Ausgleichung  der  Beobachtungsfehler  am  Schlüsse  kor> 
und  deutlich,  von  vielen  Beispielen  begleitet,  aufgenommen  worden.  Dt< 
Zahl  der  Aufgaben,  deren  Auflösungen  besonders  abgedruckt  sind,  betritt 
gegen  400,  so  dass  Demjenigen,  der  das  Buch  benntat,  hinreicheode G^ 


Literatnrseitang,  93 

legenbeit  gegeben  ist,  sieh  durch  Beispiele  Kenntnias  der  physikalischen 
Gesetze  zu  erwerben.  Seiner  Einrichtung  nach  empfiehlt  sich  das  vor- 
liegende Werkchen ,  aus  der  geschäftigen  Feder  eines  rühmlichst  bekann- 
ten Verfassers  hervorgegangen,  ganz  besonders  zum  Selbststudium  der 
Physik,  nachdem  vorher  eine  tüchtige  Grundlage  in  der  Experimental- 
physik gelegt  worden  ist.  Die  äussere  Ausstattung  ist,  wie  ähnliche  im 
Verlage  von  Friedrich  Vieweg  nnd  Sohn  ei^chienene  Werke ,  elegant  und 
lässt  nichts  zu  wünschen  übrig. 

Dr.  Kahl. 


Bibliographie 

vom  15.  Juni  bis  IS.^Augast  1861. 


Periodiflchd  Bchriften. 

Abhandlungen  der  matheniatisch-phjsikalischen  Classe  der 
königl.  gächs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften.  5.  Band. 
Leipzig,  Hirzel  in  Comm.  8  Thlr. 

Berichte  über  die  Verhandlungen  der  kdnigK  sdehs«  Gesell- 
schaft'der  Wissenschaften  ^u  Leipzig.  Mathem.-phjs.  Glaste. 
Jahrg.  1860,  Heft  3.     Leipzig,  Hirzel  in  Comm.  %  Thlr. 

Sitzungsberichte  d^r  kaiserl.  Akademie  der  Wisse  na  chaftea 
in  Wien.  Mathem.-naturw.  Classe.  Jahrg.  1861*,  No.  1 — 3.  6erold*8 
Sohn  in  Comm.  pro  compl.  16  Thlr. 

Abhandinngen  der  königl.  Gesellschaft  der  Wiasenaehaftea 
zu  Gott  in  gen.  9.  Band.  Von  dem  Jahre  1860.  DieterieVsche 
Bnchh.  9%  Thlr. 

Verhandlungen  der  kaiserl.  Leopoldinisch  -  GaroliniacheB 
deutschen  Akademie  der  Naturforscher.  28.  Band.  Jena, 
Frommann.  12  Thlr. 

Schriften,  neueste,  der  natur forschenden  Gesellschaft  in  Danaig.  6.  Bd., 
Heft  2  und  8.     Anhuth  in  Comm.  1%  Thb. 

Milanges  pkysiques  ei  chimiques  tirees  dubulletin  physieo-mü- 
tkem,  de  Vacademie  de  Petershourg.  Tome  /F,  /ivr. 5e(6.  Leipsig, 
Voss  in  Comm.  28  Ngr. 

Beine  Xaihematik. 

.Hoffmann,  L.,  Mathematisches  Wörterbuch«  16.  Lieferung.  Berlia, 
Bosselipann.  %  Thb. 

LüBBEN,  H.  B.,  Ausführliches  Lehrbuch  der  ArithmetijL  und 
Algebra.   5.  Auflage.  Hamburg,  Meissner.  1%  Thlr. 

Rauch,  C,  Planimetrie  und  Constrnctionslehre.  HannoTer, 
Rümpler.  ]%  Thlr. 

Kerz,  f.,  Die  allgemeine  Umkehrung  der  Beihen,  nebst  An- 
wendung derselben  auf  die  vollständige  Lösung  numerischer  Glekhui- 
gen.    2.  Abth.   Darmstadt ,  Jonghaus.  1  Thlr. 


literafimeitniig.  95 


*^^^^^^^ ^-^i-^nj " I "■* * ■  "■*  "M'LTLTU'^i'V^-rLrxrxrLj'if 


FisoHfiRt  H.t  V«  Pttisenx's  Untersachnng«!!  Aber  die  algebrai* 
sehen  Fanctionen  dargestellt  Halle,  Sehmidt's  Yerlagsbachh« 

1  Thlr- 

Angewandte  Xathematik. 

STEiirn,  C.  F.  C,  Geometrische  Conatrnctionslehre  and  Li- 
near -  Perspective  für  Kfinstler  nnd  Oewerke.  2.  Auflage.  Be- 
arbeitet Yon  W.  Hertbl«   2  Tbeile.  Leipzig,  Deckmann.      2%  Tblr. 

WsTZBL,  E.,  Wandkarte  für  den  Unterricht  in  der  mathemati- 
schen Geographie.   9  Blatt.  Berlin,  Reimer.  9%  Thlr. 

Baxtkb,  J.  J«,  Ueber  die  Grbsse  nnd  Figur  der  Erde.  Eine  Denk- 
schrift 8ur  Begründung  einer  mittel  -  europäischen  Gradmessung  nebst 
einer  üebersiehtskarte.    Berlin,  Kdmer.  %  Tblr. 

FiLS,  A.  W.,  Barometer-H5hen-Messungen  von  dem  Heraogthutn 
Sachsen -Meiningen,  ausgef.  in  den  Jahren  18!^ — 50.  Meiningen, 
Brückner  &  Renner.  24  Ngr« 

PsTBBB,  C.  A.  F.,  Ueber  die  Bestimmung  des  Längenunter- 
schiedes  zwischen  Altona  und  Schwerin,  ausgef.  im  Jahre 
1858  durch  galvanische  Signale.   Hamburg,  Perthes -Besser  &  Mauke. 

2%  Thlr. 

Dbkcbsleb,  Dr.  Ad.,  Astronomische  Vorträge  über  Stellung,  Be- 
schaffenheit und  Bewegung  der  Gestirne,  gehalten  au  Dresden.  2.  Auf« 
läge.   Dresden,  Kunze.  %  Thlr. 

MäDLEB,  J.  H.  V.,  Ueber  totale  Sonnenfinsternisse,  mit  besonderer 
Berücksichtigung  der  Finsternbs  vom  18.  Juli  1860.  Jena,  Frommann. 

4%  Thlr. 

GuiCBABO,  W.  F.,  Die  Grundgesetze  der  Djnamik.  Leipzig, Holze. 

%  Thlr. 

SouMiDT,  G.,  Theorie  der  Dampfmaschinen.  Freiberg,  Engelhardt* 

1%  Thlr. 

Saxbt,  S.  M.,  The  projeclion  and  calculation  of  the  sphere^  for 
Ifoutig  sea  officers ;  being  a  complete  inüiaiion  inio  nautical  asironomy,  Lon- 
doHy  Longma».  5  sh. 

#  Physik. 

GbIf,  C,  Physikalische  Generalkarte.  L  Vertheilung  der  Luft- 
strömungen, der  Hydrometeore.  Hydrographie  der  Erde.  II.  Iso- 
thermen der  Erde.  Verbreitung  der  Vulcane ,  der  wichtigsten  Bäume 
und  Strauchgewächse,  der  wichtigsten  Culturgewächse.  Weimar,  Lan- 
des-Industrie-Comptoir.  %  Thlr. 

Reimank,  E.  J.,  Das  Luftmeer.     Eine  physikalische  Darstellung  fttr ' 
gebildete  Laien.  Mit  einem  Vorworte  von  E.  A.  BossmIssleb.  2.  Auf- 
lage.  Breslau,  Leuckart.  1  Thlr. 


96  LiteratnrEeitang« 


Valevtin,  G*,  Die  Untersochiing  der  Pflanien-  and  derThier- 
gewebe  in  polarisirtem  Lichte.  Leipiig,  Engelaann.  2%Thli. 

KB88ELMEYEB,  P.  A.,  lieber  den  Ursprung  der  Meteorsteine.  Yer- 
Boch  eines  QaellenTerzeichnisses  zur  Literatur  über  Meteoriten  toq 
0.  Büchner.     Frankfurt  a.  M.,  Brönner.  3%  TUr. 

Abbe,  E.,  Erfahrnngsm&ssige  Begründung  des  Satxes  yonder 
Aequiralens  swischen  Wärme  und  mechaniseber  Arbeit 
Inaugural-Dissertatiön.  Göttingen,  Vanderhoek  &  Buppreekt^s  Verlag. 

8NgT. 

DovE,  H.  W.,  Das  Gesetz  der  Stttrme  in  seiner  Beziehuiig  zu 
den  allgemeinen  Bewegungen  der  Atmosphäre«  2.  Auflage. 
Berlin,  Beimer.  1  Tbli. 

PABSTEii,  M.  A.  F.,  Die  thermische  Windrose  f&r  Nord-West- 
*     Deutsehland.     Jena,  Frommann.  1%  Thir. 

MATTHiBSSENy  L.,.  Beiträge  zur  Kenntniss  der  Anordnung  und 
Bindung  der  Elektricität  auf  isolirten  Leitern.  Eineex- 
perimentelle Untersuchung.  Jever,  Druck  und  Verlag  vonL.  Mett- 
cker  &  Söhne. 

Haitkel,  W.  G«,  Elektrische  Untersuchungen.  5.  Abhandl. :  Misis- 
bestimmnngen  der  elektromotorbohen  Kräfte.  1»  Theil.  Leipzig, 
Hirzel.  16  Ngr. 

Zuocebmann,  W.  f.  A.,  Magnetismus  und  Mesmerismus,  oderphj- 
sische  und  geistige  Kräfte  der  Natur.  4.  und  5.  Lieferung.  Berlin, 
Thiele.  %  TUr. 

Dbion,  Ch.,  et  E.  Fbbnbt,  Tratte  de  physique  älämeniaire,  suivi 
de  problemes.    Parify  Masson  4r  ßis.  1  Thlr.  26 Ngr. 

P^CLBT,  E.,  Traiii  de  la  chaleur  conMiree  dans  ses  appHcaUons.  3.gi&i- 
lich  umgearbeitete  Auflage.  3.  Bd.  (Sphlussband.)  Ebend.  3TUr.6Ngr. 

Lbtmebie,  A.y  Elements  de  miniralegie  et  de  gäoiogie.  Ebendai. 

1  Thb.24Ngr. 


Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Awflingtgrtede  der  besohrtibeiidan  Geometrie,  der  analytUohen  Geometrie, 
der  Kegelschnitte  und  der  einfachen  Beihen.  Von  Dr.  £d.  Fas- 
BENPERf  Professor  am  königL  preussischen  Gymnasium  zu  Thorn. 
Essen,  Bädeker.    1860.  ' 

Die  vorliegende  Schrift  soll  dem  Unterrichte  auf  Realschulen  zur 
Grundlage  dienen  und  eine  Ergänzung  zu  Prof.  Koppc*s  mathematischen 
Lehrbüchern  bilden,  da  letztere  seit  dem  Erscheinen  der  preussischen 
Unterrichtsordnung  filr  Kealschulen  (d.  d.  6.  October  1859) -nicht  mehr  aus- 
reichen. Diesem  Zwecke  gemäss  wird  man  begreiflicher  Weise  an  die 
kleine  Schrift  von  209  Seiten  nicht  den  Anspruch  der  Vollständigkeit 
machen,  wohl  aber  kann  man  verlangen ,  dass  das  Gegebene  mit  richtigem 
pädagogischen  Takte  ausgewählt  und  begrenzt,  und  dass  die  Darstellung 
wissenschaftlich  genau  sei.  Wie  wenig  der  Verfasser  selbst  diesen  be- 
scheidenen Forderungen  genügt  hat,  wird  das  Folgende  zeigen. 

In  der  descriptiven  Geometrie  beschränkt  sich  der  Verfasser  auf  die 
geradlinigen  Gebilde;  er  hört  gerade  da  auf,  wo  die  Sache  interessant  und 
für  die  Praxis  wichtig  zu  werden  anfangt.  So  wenig  man  den  Realschulen 
zumuthen  wird,  die  descriptivo  Darstellung  von  complicirten  krummen 
Flächen  und  deren  Durchschnitten  vorzunehmen,  so  gewiss  ist  dagegen  die 
Forderung  berechtigt,  dass  die  Schüler  wenigstens  die  in  der  Stereometrie 
abgehandelten  drei  krummen  Flächen  und  deren  Durchschnitte  mit  Ebenen 
zu  construiren  verstehen  müssen.  Nur  unter  dieser  Minimalbedingung  er- 
scheint die  descriptive  Geometrie  als  das,  was  sie  sein  soll,  nämlich  als 
Schwester  der  Stereometrie;  im  vorliegenden  Buche  spielt  sie'  nur  die 
untergeordnete  Kolle  einer  Halbschwester  oder  eines  Aschenbrödels.  Es 
scheint  dem  Verfasser  ganz  entgangen  zu  sein,  welchen  sonderbaren  Ein- 
druck es  machen  muss,  wenn  einer  seiner  SchiHer  beim  Eintritt  in  eine 
polytechnische  Schule  sagt :  „ich  habe  bei  Herrn  Professor  Fasbender  de- 
scriptive Geometrie  und  Kegelschnitte  gehabt,  aber  die  Fundamentalauf- 
gabe der  Kegelschnittslehre  (nämlich  aus  dem  charakteristischen  Dreieck 
des  Kegels  und  der  gegebenen  Lage  der  schneidenden  Ebene  den  Schnitt 

Lileialurzlg.  d.  Zcitsclir.  f.  Math.  u.  Phys.  VI,  6.  9 


98  Literataraeitnng. 

zu  coDStroiren)  kann  ich  nicht  lösen/*  —  Freilich  wird  dieser  Fall  selten 
vorkommen,  weil  der  Verfasser  nicht  Reallehrer,  sondern  Gymnasiallehrer 
ist,  aber  ebendeswegen  hätte  er  es  unterlassen  sollen,  för  Realschalen 
überhaupt  nnd  speciell  über  descriptive  Oeometrie  tu  schreiben.  Sowie 
sich  selbst  der  gelehrte  Patholog  httten  wird ,  ein  Lehrbuch  der  operatiren 
Chirurgie  herauszugeben ,  so  sollte  auch  der  Mathematiker  nur  dann  ein 
Schulbuch  über  descriptive  Geometrie  schreiben,  wenn  er  als  guter  Zeich- 
ner Töllig  mit  ihr  vertraut  ist  und  darin  Unterricht  ertheilt  hat.  Ganz  he- 
sonders  aber  in  Beziehung  auf  die  Realschulen  begeht  man,  den  Erfshmn- 
gen  des  Verfassers  zu  Folge,  einen  grossen  Fehler,  wenn  man  meint,  es 
liesse  sich  da  die  descriptive  Geometrie  im  Sinne  von  Monge,  Ha- 
chette,  Gugler  etc.  so  ohne  Weiteres  tractiren.  Dieser  pädagogische 
Missgriff  ist  ein  so  verbreiteter,  dass  er  einer  genaueren  Au8einande^ 
Setzung  bedarf.  Jedermann  wird  zugeben,  dass  die  Vorstellungen  von 
begrenzten  Geraden,  begrenzten.  Ebenen  etc.  anschaulicher  und  fSr  einen 
jugendlichen  Verstand  fasslicher  sind,  als  die  Vorstellungen  von  nnhe- 
grenzten  Geraden,  unbegrenzten  Ebenen  etc.;  in  der  That  müssen  die  letz- 
teren Vorstellungen  erst  durch  Abstraction,  nämlich  durch  Negation  der 
Grenzen  erworben  werden.  Was  für  die  Vorstellung  dieser  verschiedenen 
Gebilde  gilt,  bleibt  auch  richtig  für  deren  graphische  Darstellung  (die 
ohne  jene  doch  nichts  werth  wäre) ,  und  wer  demnach  die  alte  gute  Regel, 
vom  Leichten  zum  Schweren  fortzuschreiten ,  festhalten  will ,  der  muss 
seinen  Unterricht  in  der  darstellenden  Geometrie  mit  der  Zeichnung  be- 
grenzter Gebilde  anfangen.  Hierdurch  entstehen  zwei  Cnrae  des  geome- 
trischen Zeichnens;  der  erste,  den  man  kurzweg  Projectionslehre 
nennen  kann,  hat  die  Aufgabe,  „jeden  begrenzten  Korper  in  jeder  belie- 
bigen Lage  graphisch  darzustellen;"  der  zweite  Cursus  beschäftigt  sich 
mit  der  Darstellung  unbegrenzter  Gebilde  und  ist  die  descriptive  Geome- 
trie in  dem  oben  angeführten  Sinne.  Ob  sich  diese  Eintheilung  wissen- 
schaftlich rechtfertigen  lässt,  ist  vielleicht  fraglich;  ohne  Zweifel  aber  ist 
sie  pädagogisch  zweckmässig,  endlich  ist  sie  auch  praktisch,  denn  im 
Leben  handelt  es  sich  immer  um  begrenzte  Körper,  und  in  der  That  wfisste 
Referent  weder  in  der  Baukunst,  noch  in  der  Maschinenlehre  einen  Fall, 
bei  welchem  man  nicht  mit  einer  guten  Projectionslehre  auskäme.  Ge- 
legentlich sei  hier  bemerkt,  dass  der  verdienstvolle  C.  T.  Anger  dorch  sein 
kleines  Schriftchen:  „Elemente  der  Projectionslehre,  Danzig  I858"bereiü 
eine  sehr  nette ,  wenn  auch  fttr  Realschulen  nicht  hinreichende  Darstellung 
der  Projectionslehre  gegeben  hat;  eine  weitere  Ausarbeitung  der  vi« 
ersten  Abschnitte  dieses  Werkchens  (mit  Hinzufügung  der  Schnitte  von 
Körpern  und  etwa  der  einfacheren  Schattenconstructionen)  würde  fördic 
Zwecke  der  Realschule  recht  gut  passen,  während  des  Verfassers  dürftiger 
Auszug  aus  der  descriptiven  Geometrie  zu  gar  nichts  zu  gebrauchen  ist 
Der  zweite  Abschnitt  führt  den  Titel:  „Analytische  Geometrie",  der 


Literattirseitung.  99 

dritte  ist  überschrieben :,  „  Die  Kegelschnitte  ** ;  hiemach  sollte  man  denken, 
dass  der  dritte  Abschnitt  ebenso  wesentlich  vom  zweiten  verschieden  sei, 
wie  dieser  vom  ersten  („beschreibende  Geometrie*'),  dies  ist  aber  keines- 
wegs der  Fall ,  denn-  die  Kegelschnitte  werden  fast  durchgängig  rein  ana- 
lytisch behandelt.  Warum  der  Kreis  zu  Abschnitt  II,  die  Ellipse  dagegen 
zu  Abschnitt  III  gehört,  hat  Referent  nicht  ergründen  können;  es  kommt 
allerdings  auf  solche  Kleinigkeiten  nicht  viel  an,  bei  Schulbüchern  aber 
fioll  man  selbst  in  den  Eintheiiungen  genau  sein,  um  die  Logik  nicht  zu 
verderben.  Von  den  Abschnitten  II  und  III  Iftsst  sieh  im  Ganzen  sagen, 
dass  zwar  viel  und  richtig  gerechnet  wird ,  jedoch  mit  wenig  Geschick  und 
Eleganz.  Die  Gleichungen  der  Geraden  im  Baume  z.  B.  schreibt  der 
Verfasser 

und  denkt  sich  dabei  die  Ebene  xy  horizontal  liegend.  Hiergegen  ist 
zweierlei  zu  erinnern.  Die  Coefficienten  a  und  c  bestimmen  die  Richtung 
der  Geraden  und  sind  absolute  Zahlen ;  dagegen  bedeuten  b  und  d  Längen- 
zahlen, nämlich  die  Coordinaten  der  Horizontalspur  der  Geraden.  So  ver- 
schiedenartige Grössen  pflegt  Jeder,  der  auf  zweckmässige  Bezeichnung 
hält,  verschiedenartig  zu  bezeichnen,  und  daher  hätte  der  Verfasser  besser 
gethan ,  der  französischen  Schreibweise 

a?.=  -4z+a,  y^=^Bz  +  b  . 
zu  folgen,  wodurch  auch  die  Formeln  für  den  Durchschnitt  von  Gerade 
und  Ebene,  Neigungswinkel  etc.  eine  symmetrische,  leicht  zu  merkende 
Gestalt  bekommen  haben  würden.  Die  zweite  Erinnerung  ist  wieder  pä- 
dagogischer Natur.  Wenn  ein  guter  Lehrer  erst  descriptive  und  nachher 
analytische  Geometrie  vorzutragen  brat,  so  wird  er  gewiss  nicht  versäumen, 
die  oft  vorhandene  Concordane  beider  Betrachtungsweisen  hervorzuheben ; 
dass  die  analytische  Geometrie  bei  vielen  Aufgaben  dieselben  Grössen  be- 
rechnet, welche  die  beschreibende  Geometrie  construirt,  und  dass  sich 
beide  Wissenschaften  gegenseitig  wesentliche  Dienste  leisten  können ,  das 
ist  gerade  für  den  Unterricht  eine  sehr  fruchtbare  Wahrheit.  Um  sie  zu 
erkennen,  muss  man  natürlicher  Weise  eine  gleichförmige  Anschauung  be- 
nutzen, und  eben  deswegen  ist  es  ein  didactiseher  MissgrifT,  wenn  der 
Verfasser  in  der  descriptiven  Geometrie  die  Gerade  durch  Horizontal  -  und 
Verticalprojection  bestimmt,  während  er  sie  in  der  analytischen  Geometrie 
auf  die  beiden  Verticalebenen  projicirt. 

Der  letzte  Abschnitt,  welcher  „die  einfachen  Reihen**  behandelt,  ent- 
hält so  viele  Fehler,  dass  Referent  nur  einige  der  gröbsten  rügen  kann. 
Auf  S.  193  wird  die  Allgemeingültigkeit  der  Relation 

{m)i+  (m)A_i  {n\  +  {m)k^2  («)j  +  ...  =  (««  +  »)* 
ans  dem  Umstände  geschlossen,  dass  diese  Gleichung  für  alle  ganzen  po- 
sitiven m  und  n  richtig  bleibt;    wenn  dagegen  Jemand   behauptete,  die 
Summe  jener  Reihe  sei  nicht  {m  +  n)kj  sondern 

9* 


100  Literaiorzeiking. 

(m  +  n)k  (l  —  sin  mn  it) 
oder  eine  ähnliche  Function,  die  bei  ganzen  positiven  mund  n  mit  (01  + n)^ 
zusammenfallt,  so  möchte  es  dem  Verfasser  schwer  werden,  sein  Rasonne- 
ment  aufrecht  zu  erhalten.  Allerdings  lässt  sich  dieses  Räsonnement  durch 
eine  strenge  Schlussweise  ersetzen,  aber  dann  muss  vorher  bewiesen  sein, 
dasB  zwei  ganze  rationale  Functionen  gleichhohen  Grades  identisch  sind, 
wenn  die  Anzahl  der  Werthe,  worin  sie  übereinstimmen,  mehr  beträgt 
als  der  Grad  der  Functionen.  —  In  $.  198  wird  ar'  mittelst  der  Methode  der 
unbestimmten  Coefficienten  in  eine  Reihe  verwandelt;  küreer  und  strenger 
wäre  die  Anwendung  des  Satzes 

gewesen.  Derselbe  Tadel  trifft  die  Entwickelungen  der  logarithmischen 
Reihe  in  S.  109  und  der  Reihen  für  cos  x  und  sin  x  in  S.  201.  Der  nächste 
Paragraph  enthält  wieder  «wei  Unrichtigkeiten.  Erst  wird  die  Exponen- 
tialreihe,  deren  Giltigkeit  nur  für  reelle  a?  nachgewiesen  war,  auf  imagi- 
näre .r  ausgedehnt,  ohne  dass  von  e^'  irgend  eine  Definition  gegeben 
würde,  und  dann  benutzt  der  Verfasser  auch  die  Formel  ä«  .  e"  =  «"+'  für 
imaginäre  u  und  v ,  obschon  deren  algebraischer  Beweis  sich  immer  nu 
auf  reelle  u  und  v  bezieht.  Ebenso  geht  es  in  $.  203,  wo  plötzlich  die  loga- 
rithmischen Reihen  mit  imaginären  Variabelen  genommen  werden.  —  Der 
Verfasser  gesteht  zwar  auf  Seite  1  der  Vorrede,  dass  man  vielleicht  eine 
streng  wissenschaftliche  Darstellung  im  letzten  Abschnitte  vermissen  werde, 
aber  dies  ist  keine  Entschuldigung,  da  es  nicht  an  Methoden  fehlt,  um  die 
wenigen  Reihen,  welche  der  Verfasser  entwickeln  wollte,  vollkommen  ge- 
nau zu  erhalten.  Dagegen  macht  der  ganze  letzte  Abachnitt  den  Eindruck, 
als  sei  er  aus  einem  alten  Hefte  mühselig  genug  zusammengestöppelt 
Nach  diesen  Erörterungen  würde  es  Referent  nur  bedauern  >  wenn  irgend 
eine  Realschule  ^das  vorliegende  Werk  einführen  wollte. 

SoaLomLCH. 


Hone  Theori«  der  Elektrieit&t  und  des  Kagnetitmut  in  ihran  BeiieiLim* 
gen  auf  Sohall,  Lioht  «nd  Wärme.  Von  Ph.  Spillsr.  Berlin  1861. 
Das  vorstehend  genannte  |  der  Redaction  dieser  Zeitschrift  zur  Be- 
sprechung übersendete  Werkchen  ist  von  seinem  Verfasser  selbst  als  eine 
dritte,  erweiterte  Auflage  des  1855  unter  dem  Titel:  „Gemeinschaftliche 
Principien  für  die  Erscheinungen  des  Schalles,  des  Lichtes,  der  Wärme, 
des  Magnetismus  und  der  Elektricität"  und  1858  unter  dem  Titel:  „Das 
Phantom  der  Imponderabilien  in  der  Physik"  erschienenen  Schriftchens 
bezeichnet  worden.  Das  letztere  wurde  bereits  im'  vierten  Jahi^ange  die- 
ser Zeitschrift  (1850)  und  zwar  Seite  89  ff.  der  zugehörigen  Literaturxeitnng 
ausführlich  besprochen.     Mit  dem  geänderten  Titel  ändert  sich  natUriieh 


J  iitevaturzoitung.  1 0 1 

auch  der  Standpunkt,  von  welchem  das  Schrif^chen  zu  betrachten  ist;  ffir 
die  Beleachtung  der  dritten  Auflage  drängt  sich  daher  gewiss  vor  Allem 
die  Frage  in  den  Vordergrund:  Ist  die  Erweiterung  eine  solche,  dass  das 
Ganze*  jetzt  f ttglich  mit  dem  Namen  einer  Theorie  derElektricität 
und  des  Magnetismus  belegt  werden  kann?  Um  die  Antwort  auf  diese 
Frage  zu  finden,  habe  ich  den  Inhalt  der  neuen  Auflage  mit  dem  Inhalte 
dea  „Phantoms*^  gewissenhaft  verglichen  und  gebe  im  Folgenden  zunächst 
einen  kurzen,  theilweise  in  der  früheren  Besprechung  des  „Phantoms**  ge- 
wissermaassen  seine  Ergänzung  findenden  Ueberblick  über  den  Inhalt ,  um 
dabei  alle  wesentlichen  Erweiterungen  hervorzuheben  und  besonders  zu 
beleuchten.  , 

Seite  1—6  zeigen  sich  in  unverändertem  Wortlaute;  Zweck  des  Schrift- 
chens ist:  das  Wesen  des  Magnetismus  und  der  Elektricität  zu 
ergründen;  der  Weg  dazu  aber  ist  die  Forschung  nach  gemein - 
scliaft lieben  Prtncipien,  damit  dadurch  der  Zusammenhang  der  unter 
sieb  verbundenen  Thatsachen  klar  hervortrete. 

Auf  Seite  6 — 11  folgen  die  Zweifel  an  der  Materialität  der 
Wärme,  des  Magnetismus  und  der  Elektricität.  Zu  den  in  der 
früheren  Auflage  schon  enthaltenen  wurden  noeh  zwei  hinzugefügt:  es 
wird  hingewiesen  auf  das  Auftreten  von  Wärme ,  wenn  Eis  an  Eis  gerieben 
wird,  und  auf  die  gewaltige  Kraft,  mit  welcher  sich  die  Körper  bekanntlich 
beim  Erkalten  zusammenziehen,  wovon  die  Ursache  „absolut  unmöglich" 
in  einem  imponderabeln  Stoffe  liegen  könne ,  „und  gewiss  am  allerwenig- 
sten, wenn  seine  Menge  abnimmt.*'  Wenn  man  auch  die  Jetzte  Behaup- 
tung nicht  ohne  Weiteres  gelten  zu  lassen  geneigt  ist,  so  muss  man  doch 
jedenfalls  zugeben,  dass  die  Zweifel  an  der  Materialität  der  Imponderabi- 
lien ganz  gerechtfertigt  sind  (vergl.  auch  Jahrgang  III  dieser  Zeitschrift 
S.  366  —  368).  Auf  Licht  und  Wärme  ist  die  Undulationstheorie  bis  jetzt 
im  weitesten  Umfange  angewendet  worden,  und  die  dadurch  erzielten  Er- 
folge sind  so  überraschend,  dass  man  unbedenklich  die  stofiliche  Auffas- 
sung verlassen  und  Licht  und  Warme  als  blose  Bewegungszustände  be- 
zeichnen kann  ja  muss,  nachdem  beim  Licht  und  bei  der  gestrahlten 
Wärme  selbst  Aufschlüsse  über  die  Art  der  schwingenden  Be- 
wegung erlangt  worden  sind  und  sich  Selbst  bei  der  geleiteten  Wärme 
die  Folgerungen  der  „mechanischen  Theorie"  im  schönsten  Einklänge  mit 
der  Wirklichkeit  gezeigt  haben.  Es  bleiben  daher  eigentlich  nur  zwei 
Imponderabilien  übrig,  nämlich  Magnetismus  und  Elektricität  Von  den 
Zweifeln  aber,  welche  Herr  Spiller  in  Bezug  auf  diese  beiden  aufführt, 
lassen  sich  mehrere  ganz  leicht  selbst  dann  beseitigen,  wenn  man  die 
positive  und  negative  Elektricität  als  zwei  imponderabele  Materien  be- 
trachtet, dabei  aber  festhält,  dass  diese  Materien  durch  Beiben  etc.  nicht 
erzeugt,  sondern  blos  von  einander  geschieden  werden;  die  That- 
sachen, auf  welche  sich  diese  Zweifel  stützen,  sprechen  also  keineswegs 


102  LiteraturzeituDg. 

gegen  die  dualistische  Theorie  nod  wären  daher  in  der  neuen  Auflage 
besser  ganz  unberücksichtigt  geblieben.  Ganz  zweckmässig  hätte  der  da- 
durch gewonnene  Raum  zu  einer  scharfen  und  klaren  Fassung  und  Be- 
gründung des  Satzes  auf  Seite  9  verwendet  werden  können :  „Wenn  Bim 
Bewegung  am  Euhenden  den  Znstand  ändert,  ohne  eine  fortschreitende 
Bewegung  am  Ganzen*)  au  erzeugen,  so  kann  er  nur  ein  Bewegaogs- 
zustand  der  Molekel  sein,  den  wir  freilich  wegen  der  geringen  Elonga- 
tion  und  der  kurzen  Dauer  jeder  Phase  sinnlich  nicht  wahrnehmen  kSnoen; 
es  ist  keine  Vernichtung,  sondern  eine  Umwandlung  der  Bewegungsart" 
So  viel  Wahres  von  Gewicht  nämlich  in  diesem  Satze  zu  liegen  scheint, 
so  unbestimmt  ist  gleichwohl,  was  eigentlich  darin  liegt  oder  liegen aoU, 
was  damit  gesagt  sein  soll.  Das  Wort  „Zutftand*^  im  Vordersatze  hat  doch 
offenbar  eine  weit  allgemeinere,  umfassendere  Bedeutung,  als  das  Wort 
„BewegungHzustand*^  im  Nachsätze;  eine  Aenderung  des  Zustande«  kann 
auch  eine  Aenderung  des  Glanzes,  der  Durchsichtigkeit,  der  Farbe,  der 
Strnetur,  namentlich  der  Dichte,  Härte,  Elasticität  und  Festigkeit  sein; 
letztere  ändern  sich  oft  durch  Bewegung  einzelner  Theilchen  .(? Molekel) 
des  Körpers,  z.  B.  Glanz  und  Dichte  beim  Poliren,  oder  beim  Ritsen  der 
Oberfläche  u.  s.  w.;  demnach  wären  Glanz,  Dichte  etc.  ebenfalls  Be- 
wegungfizustände  der  Molekel?  denn  das  Ganze  hat  ja  keine  fortschrei- 
tende Bewegung  erhalten?  Wie  aber,  wenn  das  Ganze  eine  drehende  Be- 
wegung erhält?  Trotzdem  kann  es  im  Vordersatze  nicht  gut  „Bewegnngs- 
zustand^^  heissen;  denn  dadurch  verlöre  der  ganze  (überdies  nur  eioseitige) 
Satz  jeden  Gehalt  und  alle  Beweiskraft  dafür,  dass  die  Ursache  der  elek- 
trischen und  magnetischen  Erscheinungen  in  Molekularbewegungen  an  Sa- 
chen ist,  weil  der  Nachweis  fehlt,  dass  der  elektrische  und  magnetische 
„Zustand"  ein  „Bewegungszustand*^  ist. 

Eine  längere  Erweiterung  enthalten  Seite  11  — 16,  nämlich:  einige 
Elementarbegriffe  über  Bewegungsarten  und  die  sie  bewir- 
kenden Kräfte.  An  den  Inhtilt  dieser  Seiten  ist  ein  strenger  Maius- 
stab  zu  legen,  sofern  es  hier  nicht  galt,  etwas  Neues  zu  schaffen,  sondern 
Bekanntes  klar  und  bestimmt  wiederzugeben.  Von  diesem  Gesichtspunkte 
erscheint  aber  die  betreffende  neu  hinzugekommene  Stelle  zum  Theil  ziem- 
lich unvollkommen.  Vor  Allem  sollten  und  dürfen  in  einer  Schrift,  in 
welcher  „für  die  ganze  Physik  mit  allen  ihren  Erscheinungen  eine  rein  dy- 
namische Grundlage"  gesucht  wird,  die  Erklärungen  und  Eintheilungen 
nicht  so  ungenügend  sein,  wie  hier  z.  B.  auf  Seite  11  die  Eintheilnng  der 
I  Bewegung  der  Art  nach  in : 

„  l)  fortschreitende,  bei  welcher  alle  Punkte  ihren  Ort  ver IsMen 
„und  entweder  in  offenen  oder  geschlossenen  Bahnen  sieh  be- 


*)  Di«  Worte  „am  Qansen"  fehlen  in  der  zweiten  Auflage. 


Litcraturzeitung.  103 

„wegen,  ohne  anf  demselben  Wege  znrtickzukehren  (geradlinige, 
„  krummlinige ,  circulirende  Bewegung) ; 
„2)  rotirende  um   eine  durch  den  Körper  gehende  gerade  Linie, 
„von  welcher  alle  seine  Punkte  in  derselben  Entfernung  bleiben; 
„3)  oscillirende,   wobei  er  in  abwechselndem  Hin-  und  Eück- 
99gADg®  innerhalb  gewisser  Grenzen  stets  dieselbe  Bahn  zurück- 
liegt." 
Ein  Zusammenwerfen  ferner  der  gleichförmigen  und  der  periodischen 
Bewegung,  eine  Verwechselung  von  „Geschwindigkeit*^  mit  „Bewegung**, 
von  „reflectiren"  mit   „brechen**  (S.  34),  von  „Beharrungszustand**   mit 
, Beharrungsvermögen**  (S.43)  und  dergleichen  zeugt  nicht  eben  von  starkem 
Vertrautsein  mit  der  Dynamik.     An  ähnlichen   Schwächen  leiden   noch 
mehrere  Stellen  dieses  Abschnittes,  namentlich  auf  Seite  15;  ebenso  auf 
Seite  37  und  39. 

Hierauf  folgen  auf  Seite  16—39  die  Beweise  für  die  innige  Ver- 
wandtschaft zwischen  Schall,  Wärme,  Licht,  Elektricität  und  Magne- 
tismus. Für  diese  Verwandtschaft  werden  einige  Belege  mehr  aufgeführt, 
als  in  der  zweiten  Auflage.  I^e  Verwandtschaft  lässt  sich  nicht  hinweg- 
leuguen,  sie  ist  in  vielen  Stücken  augenscheinlich  vorhanden*);  eine  deut- 
lich ausgeprägte  Aehnlichkeit  in  allen  Stücken  dagegen,  oder  eine  voll- 
kommene Uebereinstimmung  lässt  sich  bis  jetzt  weder  nachweisen, 
noch  auch  erwarten.  Aus  der  vorhandenen  Verwandtschaft  zwischen 
Schall,  Wärme,  Licht,  Elektricität  und  Magnetismus  lässt  sich  vermuthen, 
„dass  in  ihnen  allen  etwas  Gemeinsames  existirt;**  für  diese  Ver- 
innthung  spricht  ferner  der  Umstand,  dass  sie  alle  gleiche  oder  doch  ähn- 
liche Entstehungsursachen  haben ,  dass  sie  sich  formlich  in  einander  ver- 
wandeln lassen;  daher  müssen  denn  auch  Elektricität  und  Magnetismus, 
wie  Schall,  Licht  und  Wärme,  Molecularbewegungs  -  Erscheinungen  sein, 
und  zwar  sind  sie  einfache  oder  zusammengesetzte  oscillatori- 
sche  Erscheinungen;   ihre  äusseren  Unterschiede  aber  sind  nur  [?]* 


*)  Vcrfeblt  jedoch  scheinf  es  mir,  wenn  man  die  durchsichtigen  Körper  mit 
den  Leitern  der  Elektricität  zusammenstellt;  ich  möchte  vielmehr  jetzt  noch  wie 
früher  (vergl.  8.  H72  Jahrg.  III  and  8.  132  Jahrg.  IV  dieser  Zeitschr.)  und  besonders, 
nachdem  ich  gesehen,  dass  auch  von  Anderen  die  Influenzerscheinungen  ebenfalls  als 
Strahlung  bezeichnet  wurden  (vergl.  n.  A.  PoggendorPs  Annalen  Bd.  84,  8.  273; 
auch  Fonscliritte  der  Physik  im  Jahre  1840,  Berlin  1853,  8.  14),  auch  für  die  Elektri- 
cität den  Unterschied  zwischen  Leitung  und  Strahlung  festhalten,  welchen  Herr  Spiller 
(S.  34)  für  diese  Erscheinungen  bei  der  Wärme  aufstellt,  nämlich:  Strahlung  =  Fort- 
pfianzung  der  Wellenbewegung  im  Aether,  Leitung  ^=  Fortpflanzung  derselben  in  der 
Materie.  Dann  sind  aber  die  elektrischen  Leiter  mit  den  undurchsichtigen  Körpern 
zusammenzuhalten;  bekanntlich  sind  nun  aber  auch  in  der  That  die  undurchsichtigen, 
die  Elektricität  dagegen  gut  leitenden  Metalle  zwar  gute  Wärmeleiter,  dagegen  nicht 
.geschickt,  die  gestrahlte  Wärme  in  sich  fortzupflanzen.  Dann  braucht  man  auch  nicht 
in  den  schlechten  Leitern  „stehende**,  in  den  guten  „fortschreitende"  Bewegungen 
vorauszusetzen.  Ebenso  ist  die  Phosphoresconz  wohl  besser  mit  der  elektrostatischen 
Ladung  auf  gleiche  Stufe  aa  stellen. 


1 04  Literatorzeitang. 


durch  die  Nätar  der  Körper 'bedingt ,  welche  die  Uebertragnng  yermitteln 
(8.  37) ,  nnd  zwar  sind  (nach  Seite  26  und  34) : 

die  Töne  Schwingungen  der  kleinsten  Massentheilchen  eines  Kör- 
pers; 

Licht  ohne  Wärme  Aetherschwingungen; 

Licht   mit  Wärme   vereinte  Schwingungen  des  Aethers  und  der 
von  ihm  durchdrungenen  Körper  (?  Körpertheilchen) ; 

Wärme  ohne  Licht  Schwingungen  der  Molekel  irdischer  Körper 
mit  einer  für  Licht  noch  unzureichenden  Schwingungszahi  des 
durchdringenden  Aethers/' 
„Wird  also  Licht  durch  dunkle  Körper  absorbirt  und  in  Wärme  ver- 
wandelt, so  will  dies  nichts  weiter  sagen,  als  dass  ohne  Aendernng 
des  Bewegungsmomentes  die  äusserst  raschen  Schwingungen  des 
Aethers  verwandelt  werden  in  langsamere  der  irdischen  massenreichen 
Körper/*  „Da  es  keinen  Körper  giebt,  welcher  fähig  wäre,  die  Wärme 
abznschliessen ,  so  muss  alles  Materielle  als  solches  entweder  unmittelbar 
zu  Wärmeschwingungen  angeregt  werden  können,  oder  alles  Materielie 
wird,  weil  es  von  dem  raumerfüllende%  Aether  durchdrungen  ist,  in 
seine  Bewegungen  hineingezogen.  Die  Lichtschwingungen  sprechen  für 
die  zweite  Alternative  [wie  so?],  woraus  sich  auch,  weil  die  Aetherschwin* 
gungen  in  den  Körpern  einen  Widerstand  finden,  der  sein  [wessen?]  an 
sich  geringes  Bewegungsmoment  fort  und  fort  summirt  [weshalb  ?] ,  der  be- 
deutende mechanische  Erfolg  der  Wärmeschwingungen  in  den  irdischen 
Körpern  erklären  lässt.  Die  blosen  Aetherschwingungen  an  sich  können 
ein  solches  nvechanisches  Moment  nicht  haben/^  Aber  doch  war  das  Be- 
wegungsmoment nicht  geändert  worden,  und  doch  dehnen  sich  die  von 
Wärme  strahlen  getroffenen  Körper  ebenso  gut  und  ebenso  kräftig  aas, 
als  die  durch  Leitung  erwärmten ;  da  nun  bei  der  Strahlung  die  Bewegung 
eben  nur  im  Aether  fortgepflanzt  wird,  so  muss  doch  das  Bewegnnga- 
moment  schon  vollständig  in  den  Aetherschwingungen  enthalten  gewesen 
sein.  Besonders  hervorzuheben  wäre  an  dieser  Stelle  noch  gewesen ,  däss 
sich  auch  umgekehrt  Wärme  in  Licht  umsetzen  kann ,  denn  glühende  Kör- 
per, z.  B.  auch  glühender  Kohlenstoff  in  den  Flammen,  leuchten,  und  zwar 
wird  das  Eisen  früher  roth-  als  w eissglühend,  auch  folgen  die  Anlauf- 
farben beim  Stahl  mit  zunehmender  Hitze  nahezu  auf  einander,  wie  die 
farbigen  Lichtstrahlen  bezüglich  ihrer  Schwingungszahlen.  Dass  überhaupt 
Aetherschwingungen  die  materiellen  Körpertheilchen  beeinflussen,  zur  Be- 
wegung hinreissen  können,  zeigt  ausser  der  chemischen  Wirkung  der 
Lichtstrahlen  auch  die  Phosphorescenz  gewisser  Stoffe  nach  dem  Aufhören 
der  von  aussei^  kommenden  Beleuchtung;  dass  umgekehrt  die  Körpertheil- 
chen auch  von  Einfluss  auf  die  Schwingungen  des  Aethers  sind ,  beweist 
unter  Anderem  die  Eluorescenz  oder  das  unsichtbare  Licht  von  Stokes. 
So  kann   auch  g'estrahlte  Wärme,   in   einem  guten  Leiter  angelangt,  in 


Literatarseitnng.  105 

diesem  weiter  geleitet  werden,  aber  es  ist  zu  betanen,  dass  die  Wärme 
zwar  im  Aether  und  auch  in  materiellen  Körpern  fortgepflanzt  werden 
kann,  dass  aber  die  irdische  Materie  nicht  jedes  Mal  bei  der  Fortpflan* 
zung  betheiligt  sein  muss.  , 

Vergebens  sncht  man  neben  den  obigen  Unterschieden  zwischen  Schall, 
Licht  nnd  Wärme  eine  Andentnng  über  Elektricität  nnd  Magnetismus ;  es 
sind  weder  an  den  angezogenen  Stellen,  noch  sonst  wo  die  Erklärungen 
aller  fünf  hierher  gehörigen  Bewegnngsformen  scbarf  nnd  bündig  zusam- 
men gestellt  nnd  daraus  die  Unterschiede  zwischen  Schall ,  Wärme ,  Licht 
und  Elektricität  bestimmt  und  klar  hervorgehoben,  ja  es  flndet  sich  sogar 
nirgends  eine  erschöpfende  und  ausführliche  Erklärung  der  Wärmeschwin- 
gungen oder  der  elektrischen  nnd  magnetischen  Schwingungen.  Bei  die« 
sem  schon  früher  (S.  03  der  Literaturzeitung  des  Jahrg.  IV  dieser  Zeitschr.) 
gerügten  Uebetstande  bleibt  wiederum  nichts  übrig,  als  den  Versuch  sin 
machen,  aus  den  an  verschiedenen  Stellen  zerstreuten  Andeutungen  die 
nöthigen  Erklärungen  zusammenzustellen  oder  die  früher  gegebenen  unter 
Benutzung  der  in  der  neuen  Auflage  angebrachten  Verbesserungen  umzu- 
gestalten. 

1.     Die  Wärme  (S.  89  -  51). 

Herr  Spiller  erklärt  sich  (mit  Gründen ,  die  ich  nicht  stichhaltig  nen- 
nen kann)  zunächst  wiederum  gegen  die  bekannte,  namentlich  auch  von 
Clausins  und  Kedtenbacher  festgehaltene  Ansicht,  dass  die  Atome  der 
Körper  von  Aethertheilchen  eingehüllt  sein,  welche  allein  oder  mit  den 
Körpertheilchen  zugleich  in  rotirenden  oder  radialen  Schwingungen  be- 
griffen sind  und  nimmt  an^  „dass  die  Wärme  aus  Schwingungen 
der  irdischen  Körper  beateht,  wobei  die  Oleichgewichts- 
punkte  der  Molekel  selbst  nach  jenseits  und  diesseits  der 
'  Gleichgewichtslage  in  allen  beliebigen  Ebenen  schwingen. 
Dass  sich  die  Atome  nicht  um,  sondern  mit  ihren  Gleichgewichtspunkten 
fortschreitend  [?]  bewegen  müssen ,  ist  schon  aus  dem  bedeutenden  mecha- 
nischen Aequivalente  klar  [wie  so?].  Da  bei  der  geleiteteü  Wärme  nicht 
Wärme-Interferenz  Erscheinungen  entstehen,  so  ist  dies  ebenfalls  ein  Zei- 
chen, dass  die  Leitung  der  Wärme  durch  die  Bewegung  der  Körpertheile 
selbst  in  der  Art  stattfindet,  dass  nicht  Verdichtungs  -  und  Verdünnnngs- 
w eilen  entstehen ,  sondern  dass  nur  nach  der  Wärmequelle  hin  die  Ge- 
schwindigkeit und  Amplitude  der  schwingenden  Theile  nach  und  nach  bis 
zu  einer  gewissen  Grenze  wächst.^* 

Abermals  werden  unter  Anderem  die  Erscheinungen  am  Termophon 
als  directer  Beweis  dafür  geltend  gemacht;  zwei  neue  Beweise  sind  in  der 
neuen  Auflage  hinzugefügt :  „ein  recht  reiner  Wassertropfen  auf  einem 
erwärmten  Platinbleche  gestaltet  sich  bei  der  allmäligen  Abkühlung  stern- 


106  LttersUirseilaog. 

formig,  bildet  eine  Wärme fi gar*'  und  »»ein  Tropfen  aaf  einer  Metafl- 
«cbiene  siebt  sich  von  einer  erwärmten  Stelle  nach  einer  weniger  wir« 
men**;  auch  diese  Beweise  sind,  wie  die  anderen,  wenigstens  dnrehiiu 
ni<;ht  entscheidend,  denn  ebenso  leicht  lassen  sich  die  angefahrten  Er- 
scheinungen ans  der  stossenden  Bäckwirknng  der  an  den  heissesten  Stellen 
reichlicher  verdampfenden  und  kräftig  expandirenden  Flnssigkeitstheile 
erklären.  Die  somit  in  ihrer  Begründung  misslnngene  Erklärung  der 
Wärmeschwingangen  ist  femer  wenigstens  insofern  unbestimmt  und  nnge- 
ntigend,  als  ttber  die  Art  der  offenbar  einfachen  Schwingungen  [Qaer- 
oder  Längsschwingungen?]  und  über  die  Gestalt  der  Schwingungsbahnea 
nichts  gesagt  ist  Dass  unter  den  Gleicbgewichtspnnkten  der  Molekel  die 
Schwerpunkte  derselben  zu  verstehen  sind,  «eigen  mehrere,  in  der 
neuen  Auflage  veränderte  Stellen,  z.  B.  S.  41,  57,  72,  83.  Dadurch  ist  aber 
doch  auch  der  Unterschied  zwischen  Wärmeschwingnngen  und  tönenden 
Schwingungen  aufgehoben,  beide  sind  anscheinend  gleichbedeutend.  Wenn 
nun  endlich  die  Wärmeschwiagungen  blos  Schwingungen  der  materiellen 
Molekel  sind,  wie  kann  dann  (S.  43)  der  „kosmbche  Aether  bei  der  Wärme- 
strahlung das  Fortpflanzungsmittel  *'  für  die  Wärmeschwingangen  sein? 

In  dem  nun  folgenden  Versuche,  die  vorstehenden  Annahmen  sm Er- 
klärung der  Wärmeerscheinungen  zu  verwenden,  herrscht  snm  Theil  die 
alte  Unklarheit,  fehlt  es  selbst  nicht  an  Widersprüchen.  Mit  der  Tem- 
peratur soll  die  Amplitude  der  Wärmeschwingungen  wachsen,  d.  h.  „den 
Körper  ausdehnen ^^  und  doch  fehlt  der  Nachweis,  dass  die  Grösse  der 
Amplitude  der  Schwingungen  der  Theilcken  mit  dem  Volumen  des  gan- 
zen Körpers  etwas  zu  schaffen  hat.  Und  daneben  soll,  wenn  zugeführt« 
Wärme  nicht  im  Stande  ist,  die  Schwingungsweise ,  also  die  Ausdeh- 
nung zu  ändern,  ihr  Einfluss  die  Schwingungszahl  oder  Temp  er  stör, 
d.  i.  die  lebendige  Kraft  der  Molekel  betreffen ,  und  bei  plötzlicher  Zu- 
sammendrttckung  soll  mit  der  Raumvermin derung  die  Amplitude  sich  ver- 
mindern, das  Bewegungsmoment  jedes  Molekels  durch  das  der  näher  ge-' 
rückten  Nachbarn  unterstützt,  daher  die  Schwingungszahl  vermehrt  nndso 
Wärme  frei  werden.  Die  Wirkungen  der  zugeführten  Wärme  sind  be- 
kanntlich Temperaturerhöhung  und  Veränderungen  in  der  inneren  Anord- 
nung derTheilchen  (Glausius:  innere  Arbeit)  und  Ausdehnung  (Claasins: 
äussere  Arbeit);  das  zugeführte  Schwingungsmoment  vertheilt  sich  also 
in  zwei  Posten ,  und  Herr  Spiller  hätte  hier  in  Zahlen  zeigen  sollen ,  wie 
viel  von  dem  zugeführten  Schwingungsmomente  in  dem  oder  jenem  Falle 
zu  der  einen  und  zu  der  anderen  Wirkung  verwendet  wird.  Die  Erklärung 
der  gebundenen  Warnte  und  der  Wärmecapacität  fällt  zusammen; 
„dass  die  Wärmecapacität  verschiedener  Körper  verschieden  ist,  aber  die 
Atome  der  verschiedenen  [?  aller]  einfachen  Stoffe  dieselbe  Capacitit  be- 
sitzen", hätte  nicht  als  Thatsache  hingestellt,  sondern  als  Folgerung  abge- 
leitet werden  sollen.  —  Was  anderentheils  die  neu  hinzugekommenen  Er- 


Lheratnrseitiifig.  107 

klämngen  für  Verdampfung,  Deatill&tion  ond  Sublimation  anlangt,  so  sind 
dieaelben  aiemllch  gezwungen  *) ,  ja  kaum  begreiflich. 

2.     Der  elektrische  Strom  (S.  51 — 57). 

«  Auch  in  diesem  Abschnitte  ist  keine  wesentliche  Yerbessernng  zn  er- 
kennen, doch  lassen  einige  kleine  Abänderungen  die  Ansicht  Herrn  Spil- 
ler's  deutlicher  heryortreten.  Die  ,, zusammengesetzten"  Schwingun- 
gen des  elektrischen  Stromes  unterscheiden  sich  yon  den  einfachen 
Würmeschwingungen  lediglich  dadurch,  dass  bei  letzteren  die  „Atom- 
gruppeo  der  Molekel"  nur  mit  ihren  Schwer-  oder  Oleiehgewiohts* 
punkten,  im  letzteren  Falle  aber  nur  um  diese  Punkte  schwingen ,  und 
zwar  liegen  diese  Punkte  in  diesem  Falle  ausserhalb,  d.  h.  theils  dies- 
seits, theils  jenseits  der  natürlichen  Gleichgewichtslage.  Wenn 
nun  aber  die  Gleichgewichtspunkte  in  dieser  einmal  angenommenen  Lage 
verharren  (was  man  annehmen  möchte,  da  unter  Anderem  auf  Seite 62  eine 
eiazelna  Schwingung  ausserhalb  der  Gleichgewichtslage  als  ein  momen- 
taner Strom  bezeichnet  wird),  so  sind  offenbar  keine  zusammengesetzten, 
sondern  nur  einfache  Schwingungen,  nämlich  diealsNeben^ehwingun* 
gen  bezeichneten  Schwingungen  um  die  Gleichgewichtspunkte  vorhanden. 
Will  man  dagegen  (nach  S.  64,  aber  gegen  S.  72,  57  und  88)  noch  die  Zu* 
rüeklegung  einer  „einseitigen  (|-)  Oscillation  der  Hauptschwin- 
gung", d.  b«  die  Bewegung  des  Gleichgewichtspunktes  aus  der  natürlichen 
*  Oleichgewichtslage  in  eine  andere  (Spannung s-)  Lage  als  zum  Wesen 
des  elektrischen  Stromes  gehörig  und  noth wendig  ansehen,  so  hat  man 
zwar  zusammengesetzte  Schwingungen,  allein  die  Annahme  von  Molekülen, 
welche  wiederum  aus  Gruppen  in  der  angegebenen  Weise  um  die  Schwer- 
punkte der  Gruppe  schwingender  Atome  bestehen ,  bleibt  immerhin  gekün- 
stelt und  deshalb  die  Sache  selbst  verdächtig ,  wenn  auch  nicht  geradezu 
unmöglich.  Was  bedeuten  denn  ferner  die  Nebenschwingungen  um  den 
Oleichgewiehtspunkt,  nachdem  dieser  in  der  Spaunungslage  fixirt  ist? 
Wie  ist  jene  Fixirung  der  Hauptschwingung  überhaupt  möglieh ,  da  doch 
jeder  Körper  stets  eine  gewisse  Temperatur  hat ,  stets  bis  zu  irgend  einem 
Grade  erwärmt  ist.  Wenn  endlich  (S.  73  und  70)  der  dauernde  elek- 
trische Strom  als  eine  ununterbrochene  Ladung  und  Entladung  bezeich- 
net wird,  „indem  alle  Molekel  gleichzeitig  dieselbe  Elongation  in  der 
Hauptschwingung  und  dieselbe  Amplitude  in  der  Nebenschwingung  haben", 
80  geht  aus  der  auf  Seite  52  gegebenen  Erklärung  von  Ladung  und  Ent- 
ladung hervor,  dass  im  elektrischen  Strome  nur  die  Nebenschwingungen, 
also  nur  einfache  Schwingungen  vorhanden  sind. 

Bemerkt  sei  hier  noch ,   dass  das  telegraphische  Gegensprechen  nicht 


*)  Natürlicher  nimmt  sich  die  von  Clausius  gegebene  ,  verwandte  Erklärung  der 
Verdampfung  aus.    Vergl.  Poggendorfifs  Amialen,  Bd.  100,  S.  3Ö1. 


108  Literatanseitmig. 


als  Beweis  für  die  Bichtigkeit  der  VibratioDstheorie  hStte  aafgeflllirt  wer- 
den  sollen;  wer  die  Einrichtung  der  dabei  rerwendeten  Apparate  kennt, 
weiss,  dass  sieb  das  Gegensprecben  auch  nach  der  dualistischen  Theorie 
ohne  Schwierigkeit  erklären  lässt,  selbst  wenn  man  in  dem  Leitungsdrathe 
gar  keinen  Strom  voraussetzt.  Ferner  kann  ich,  so  lange  ich  nicht  dnrcii 
einen  entscheidenden  Versuch  daiu  genöthigt  werde ,  nicht  glauben ,  dass 
,,ein  submarines  Telegraphentau  in  einer  bedeutenden  Tiefe  in  Folge  der 
Compression  durch  den  Wasserdruck  seine  Dienste  versagen 
muss*^ ;  auch  widerspricht  diese  Behauptung  der  Erfahrung ,  dass  die  Tem- 
peraturabnahme bei  festen  Leitern  den  Leitungswiderstand  Termindert 
„Die  Elektricität  im  Grossen  zum  Betriebe  von  Maschinen  anzuwenden^', 
ist  aber  nicht  unmöglich,  sondern  unpraktisch. 

3.     Der  Magnetismus  (S.  57 — 66) 

ist  wieder  als  vorübergehend  (Elektro-  oder  Thermo  -  Magnetismus) 
oder  dauernd  (gewöhnlicher  Magnetismus)  fixirte  Schwingung  er- 
klärt, wobei  nach  Seite  78  das  „Diesseits  und  das  Jenseits  der  Gleichge- 
wichtslage ei^tgegengesetzte  Magnetismen'^  giebt.  „Die  Intensität  des 
Magnetismus  beruht  auf  der  Weite  der  Eiongation'* ;  natürlich  ist  hier  die 
Bede  von  der  Elongation  der  nach  Vollendung  der  zum  Magnetismus  no- 
thigen  Vierteloscillation"  «fixirten  Hauptschwingung;  denn  Nebenscfawin- 
gungen  können  nach  Seite  83  nicht  vorhanden  sein,  und  es  würde  sich  ja 
sonst  auch  der  Magnetismus  als  „einseitiger  Ausschlag  oder  Spannungs- 
lage**, als  „einseitig  fixirte  Schwingung"  nicht  von  der  Elektricität  unter- 
scheiden, n.  s.  f.  u.  s.  f.,  wie  früher.  Ebenso  wenig  befriedigt  der  längere 
Znsatz  auf  S.  05;  es  wird  hier  das  Gesetz,  dass  sich  parallele  Ströme  an- 
ziehen, entgegengesetzte  abstossen,  zwar  erwähnt,  aber  nicht  aus  den  auf- 
gestellten Erklärungen  hergeleitet  und  entwickelt,  und  nun  wird 
weiter  daraus  geschlossen,  dass  „darin  das  Bestreben  der  Materie  li^e, 
unter  allen  Umständen  Einheit  zu  bewahren  oder  zu  erlangen;  denn  bei 
gleicligerichteten  Strömen  (Anziehung)  haben  die  Molekel  der  beiden  ein- 
ander anziehenden  Körper  bereits  eine  gleiche  Lagerung,  und  bei  ent- 
gegengesetzten Strömen  (Abstossung)  wollen  sie  eine  gleiche  erlangen^'. 
Warum  stossen  sich  denn  da  gleichnamige  Elektricitäten  oder  gleichnamige 
Magnetpole  ab? 

4.     Spannungselektricität  (S.  66  —  71). 

Bei  der  Spannungselektricität  ist  der  Zustand  „vollkommen  der- 
selbe,  wie  beim  Magnetismus*'.  Die  mancherlei  kleinen  Unterschiede 
zwischen  Magnetismus  und  Spannungselektricität,  z.B.  die  auf  Seite  08 
und  77  erwähnten ,  sind  ja  nicht  wesentlich,  sind  ganz  untergeordnet.  „Der 
Nordpol,  d.  h.  der  nach  Norden  gerichtete  Pol  eines  Magnetes  verhält  sich 
wie  positive ,  der  Südpol  wie  negative  Elektricität.**     Daher  „geben  auch 


Literfttarseiiiuig.  109 

elektrisohe  Spannongserseheiiiangen  leichter  ia  der  Wärme  vor,  weil  da 
die  Massen th eilchen  wegen  ihrer  doppelseitigen  Schwingun- 
gen  mit  zunehmender  [?]£longati an  schon  gelockert  sind  und 
nun  durch  einseitige  [?]  Reibung  leicht  die  einseitig  fixirte 
Lage  annehmen.  Und  bereits  elektrisches  Glas  oder  Siegellack  wird 
bei  der  Erwärmung  unelektrisch,  weil  die  [erst  jetzt?]  eintretenden 
WärmeschwingUBgen  die  fixirte  Spannnngslage  nicht  dul- 
den, indem  sie  vollständige  Oscillationen  erzwingen«  Da  Wärme  vor* 
handenen  Magnetismus  auch  schwächt,  so  ist  dies  ein  neuer  Beweis  dafür, 
dass  Spannungselektricität  und  Magnetismus  wesentlich  dasselbe  sind". 
Bei  einer  solchen  BeweisfähruDg  lassen  sich  mit  Leichtigkeit  noch  g^pa 
andere  Dinge  beweisen ! 

5.     Erklärung  aller  übrigen  Thatsachen   aus  den  entwickel- 
ten Ansichten  (S.  72 — 90). 

Diese  Partie  ist  am  reichhaltigsten  erweitert  worden ,  freilich  sind  die 
Zusätze  meist  keine  Verbesserungen.  Als  Beleg  dafür  nur  zwei  Beispiele ; 
Seite  72:  „Bei  dem  Schalle,  dem  Lichte  und  der  strahlenden  Wärme  sind 
die  Schwingungen  fortschreitende,  daher  ist  in  dem  fortpflanzenden 
Medium  ein  Widerstand  vorhanden ,  es  entstehen  Maxima  und  Minima  der 
Verdichtung  und  die  Fortpflanzung  ist  eine  allmälige;  bei  dem  Mag- 
netismus und  der  Elektrieität  sind  stehende  Schwingungen  der  Molekel 
um  ihre  Schwerpunkte  ohne  fortschreitende  Verdichti^ng  und 
Verdünnung,  daher  ist  der  Widerstand  unendlich  klein  und  dis  Schwin- 
gungen müssen  sich  in  einem  Körper,  welcher  ein  ununterbrochenes  Ganze 
bildet,  fast  momentan  fortpflanzen^^  Seite  76:  „An  dem  positiven  Pole, 
an  welchem  sich  der  negative  Sauerstoff  bildet  (mit  viel  Leuchtkraft  und 
wenig  Wärme),  erscheint  zuerst  dunkl«^  Wärme  mit  ihren  weiten  Oscilla- 
tionen; an  dem  negativen  Pole,  an  welchem  sich  der  positive  Wasserstoff 
erzeugt  (mit  wenig  Leuchtkraft  und  viel  Wärme),  erscheint  zuerst  Licht, 
unabhängig  von  Verbrennung  *S  Aehnlich  steht  es  um  die  anderen  Zu- 
sätze ,  namentlich  um  den  „kühnen  Schluss  auf  die  Rotation  der  Himmels- 
körper*^ (S.  81)  und  um  die  Erklärung  der  chemischen  Vorgänge ,  für 
welche  der  „im  gewöhnlichen  Zustande  indifferente  [!]  Sauerstoff**  als 
Beispiel  gewählt  wird.  Aber  auch  das  Alte  enthält  noch  manche  unbe- 
gründete und  willkürliche  Behauptung,  z.  B«  Seite  88:  „Während  die 
Wärraeschwingungen  die  ganze  Masse  emes  Körpers  bis  in  sein  Inneres 
ergreifen ,  da  die  Molekel  m  i,t  ihren  Gleichgewichtspunkten  schwingen  und 
dadurch  die  Ausdehnung  des  Körpers  bewirken ,  können  die  elektrischen 
und  magnetischen  Erscheinungen  nur  an  der  Oberfläche  des  Körpers  zur 
Wahrnehmung  und  Wirkung  gelangen,  weil  die  Schwingungen  nur  um  die 
Gleicbgewichtsp'unkte  geschehen,  also  eine  Ausdehnung  des  Körpers  nicht 
bewirken  können.** 


110  Literatarzeitnng. 

Der  gegebene  üeberblick  zeigt ,  dass  die  in  Rede  stehende  Schrift  in 
zwei  Theile  zerfKllt:  im  ersten  Theile  (S.  8 — 39)  wird  auf  die  Noth wendig* 
keit  hingewiesen,  die  dnalistiscbe  Ansicht  von  der  Materialität  der  Wurme, 
des  Magnetismus  und  der  Eiektricität  zu  verlassen  und  dieselben  ebenso 
wie  Licht  und  Schall  als  Molekularbewegungen  zu  betrachten ;  im  zweiten 
Theile  (S.  39 — 91)  werden  Voraussetzungen  über  die  Form  und  Art  dieser 
Molekularbewegungengemacht,  wird  eine  Theorie  der  Elektricitit 
und  des  Magnetismus  gegeben  und  rersueht,  aus  dieser  die  elektri- 
schen und  magnetischen  Erscheinungen  zu  erklären.  Wenn  auch  im  In- 
halte des  ersten  Theiles  in  formeller  und  materieller  Hinsicht  Manches  ans- 
zusetzen  war,  so  ist  doch  nicht  nur  die  stellenweise  Mangelhaftigkeit  der 
dualistischen  Theorie  kaum  hinwegzuleugnen ,  sondern  es  ist  auch  höchst 
wahrscheinlich,  dass  auch  Wärme,  Eiektricität  und  Magnetismus  nur  Be^ 
wegungszustände  sind,  dass  dieselbe  Theorie ,  welche  sich  beim  Lichte 
und  bei  der  Wärme  so  brauchbar  erwiesen  hat,  sich  mit  gleichem  Erfolge 
auch  auf  die  Eiektricität  und  den  Magnetismus  wird  anwenden  lassen.  I  m 
zweiten  Theile  dagegen: 

a.  fehlen  klare  und  bestimmte  Erklärungen  der  als  Wärme ,  Eiektri- 
cität und  Magnetismus  zu  betrachtenden  Schwingungen; 

h.  sind  mehrere  von  den  als  Beweis  für  die  Richtigkeit  der  gegebenen 
Hypothesen  über  die  Art  jener  Schwingungen  aufgeführten  Erscheinungen 
nicht  richtig  aufgefasst,  oder  ganz  willkürlich  gedeutet,  oder  doch  wenig- 
stens nicht  entscheidend; 

C.  sind  mehrfach  Widersprüche  vorhanden ,  welche  die  an  sich  schon 
verwickelte  Hypothese  noch  verdächtiger  machen.  So  wird  namentlich 
auch  dem  Aether  eine  sonderbare  Rolle  angetheilt;  man  hat  zwar  „nicht 
noth wendig,  seine  Zuflucht  zu  ätherischen  Wärmesphären  zu  nehmen" 
(S.  39),  vielmehr  sollen  Wärme, JBlektricität  und  Magnetismus  nur  Schwin- 
gungen der  Körpertheilchen  sein ;  dennoch  wird  ,«der  univeraelie  und  des- 
halb eigenschaftslose,  unverkennbare-,  Alles  durchdringende  und  daher  un- 
wägbare oder  schwerelose  Aether ,  von  dessen  Dasein  vorzüglich  die  Ko- 
meten und  die  Erscheinungen  des  Lichtes  ein  absolut  sicheres  Zeugniss 
geben"  (S.  2),  dessen  „unendlich  zarte,  im  indifferenten  Gleichgewichte 
befindliche  und  kugelförmige  Atome  absolut  elastisch  sind  und  einander 
abstossen"  (S.  18),  als  Fortpflanzungsmittel  für  jene  Schwingungen  zuge- 
lassen (S.  34) ,  ja  er  ist  als  solches  gar  nicht  zu  entbehren,  und  zwar  nicht 
blos  beim  Lichte ,  sondern  wegen  der  Drehung  der  Polarisationsebene  auch 
bei  Eiektricität  und  Magnetismus  (S,  65) ,  bei  denen  er  „  die  Wirkung  auf 
die  Ferne  vermittelt" ; 

d,  ist  die  Erklärung  der  Erscheinungen  aus  den  aufgestellten  Ansich- 
ten in  vielen  Fällen  gezwungen  und  gesucht,  zum  Theil ' sogar  ganz  und 
gar  unzulässig,    weil   völlig  willkürlich,    unbegründet  oder  unnatüriich; 


LiterattinBeitang.  111 

übordies  fehlt  Boeh  so  manche  Erklärung  gSnsHcb ,  z.  B.  die  der  elektri- 
schen nnd  magnetischen  Influenz. 

Daher  kann  der  in  der  vorliegenden  dritten  Auflage  erweiterte  Ver- 
such nach  meinem  Erachten  noch  nicht  als  gelungen  bezeichnet  werden, 
er  kann  noch  ebenso  wenig  wie  in  der  zweiten  Auflage  auf  allgemeine  An- 
nahme Ansprach  machen,  er  ist  noch  keine  vollkommene,  abgeschlossene 
oder  fertige  Theorie.  Das  scheint  Herr  Spiller  auch  selbst  gefühlt  zu 
haben,  da  er  in  den  Schlusszeilen  äussert,  dass  diese  Betrachtungen  einer 
schärferen ,  mathematisch  -  analytischen  Untersuchung  fähig  seien ,  dass 
ihm  aber  zu  dem  weiteren  Ausbau  die  nöthige  Zeit  gefehlt  habe.  Ich  kann 
nur  meine  bereits  früher  ausgesprochene  Ansicht  wiederholen:  wir  sind 
eben  kaum  mit  der  Vorfrage  fertig,  die  eigentliche  Arbeit,  die  Hauptunter- 
suchung über  die  Natur  der  Schwingungen  beginnt  erst.^  Aus  diesem 
Grunde  und  uicbt  wegen  der  vermeintlichen  „Stützung  auf  unleugbare 
Thatsachen'*  ist  aueh  eine  directe  „Widerlegung**  nicht  gut  möglich.  Wenn 
aber  im  Vorstehenden  so  viele  Einwände  gegen  die  von  Herrn  Spiller  vor- 
getragene Hypothese  erhoben  wurden,  so  möge  daraus  nicht  gefolgert  wer- 
den, dass  ich  dadurch  zugleich  die  dualistische  Theorie  gegen  diesen  neuen 
Angriff  habe  in  Schutz  nehmen  und  vertheidigen  wollen;  vielmehr  hoffe 
ich  durch  den  Hinweis  auf  die  noch  vorhandenen  Mängel  und  Schwierig- 
keiten einen  Anlass  zur  Beseitigung  derselben  gegeben  zu  haben,  und  auch 
ich  würde  mich  herzlich  freuen,  wenn  es  Herrn  Spiller  gelänge,  in  einer 
vierten  Auflage,  bei  einer  noch  zweckmässigeren  Anordnuivg  des  Stoffes, 
eine  Theorie  des  Magnetismus  und  der  Elektricität  aufzustellen,  gegen 
welche  gar  nichts  einzuwenden,  an  der  gar  nichts  auszusetzen  wäre. 

Chemnitz,  im  Juli  1861.  Dr.  Zbtzsche. 


Sie  ELsmente  der  Trigonometrie.   Von  Dr.  Zetzsche.   Altenburg  1861. 

Zur  Vermeidung  etwaiger  Missdeutungen  sehe  ich  mich  zu  der  Er- 
klärung genöthigt,  dass  die  von  Herrn  Dr.  Ho  ff  mann  verfasste  und  auf 
Seite  00  der  vorigen  Literaturzeitung  abgedruckte  Recension  der  obigen 
Schrifl  während  meiner  Abwesenlieit  ohne  mein  Vorwissen  aufgenommen 
worden  ist  und  dass  ich  mit  deren  Inhalte  nicht  einverstanden  bin. 

SCHLÖMILCH. 

Das  ?ri«matoid.   Von  Professor  Dr.  Wittstein.   Hannover  1860. 

Es  scheint  nicht  allgemein  bekannt  zu  sein ,  dass  Alles ,  was  in  der 
vorliegenden  Abhandlung  steht,  längst  mehrfach  pnblicirt  und  in  elemen- 
taren Compendien  zu  finden  ist;  ein  Hinweis  auf  die  früheren  Autoren 
möchte  daher  wohl  angemessen  sein. 

Die  in  Rede  stehenden  Eigenschaften  sind  vor  langer  Zeit  von  Herrn 
Director  August  in  einer  Programm abhandlung,  wenn  ich  nicht  irre,  ele- 


112  Literaturaeitang. 

meotar  bewiesen  und  in  dessen  Lehrbuch  der  Mathematik  für  den 
höheren  Schnlnnterricht,  dritter  Oursus,  Stereometrie,  in  einem  be- 
sonderen Abschnitte  „von  den  Trapezoidalkörpern  oder  Körperstämpfen'^ 
aasftthrlich  entwickelt  worden.  Die  Formel  für  den  Inhalt  des  Trapesoidal- 
körpers  findet  man  dort  auch  zur  Inhaltsbestimmung  der  Kngel  und  des 
Paraboloides  angewendet.  Von  einer  Bereicherang  der  Elementargeorae- 
trie  durch  die  Abhandlung  des  Herrn  Prof.  Wittstein  kann  daher  nicht 
füglich  die  Bede  sein.  Ausserdem  möge  man  noch  vergleichen  die  Ab- 
handlungen von  Steiner  in  Crelle's  Journal,  Bd.  XXIU,  S.  275  and  Yon 
Brix,  ibidem  Bd.  XXV,  S.  129. 

(Briefliche  Mittheiluog  von  Dr.  Jochmann  in  Berlin.) 


L^hrbuoh  der  Physik  für  die  unteren  Klassen  der  Gymnasien  and  Real- 
schulen.    Von  S.  SuBic,  Doctor  der  Philosophie,  Magister  der 
freien  Künste  und  Professor    der  Phjsik.     Mit  Vorbehalt  des 
Uebersetzungsrechtes.    Pest  1861 ,  Verlag  von  Gustav  Heckenast 
Die  Vorrede  beginnt  mit  folgenden ,  die  Erwartung  spannenden  Wor- 
ten: „Entsprechend  dem  Bedürfniss  der  studirenden  Jugend,  welches  im 
Beginne  des  Studiums  der  Physik  die  möglichste  Einfachheit,  Klarheit 
und  verstandesgemässe  Darlegung  der  S&tze  der  Experimentalphysik  for- 
dert, übergebe  ich  hiermit  eine  auf  Experiment  und  Erfahrung  gegründete 
Lehre  der  wichtigsten  SHtze  der  Physik  den  Schülern  der  Untergymnasien 
und  Unterrealschulen ,  sowie  sie  sich  seit  mehreren  Jahren  selbst  dort  er- 
probt, wo  die  Schüler  mit  den  grössten  Sprachschwierigkeiten  zu  kämpfen 
hatten."     Der  Verfasser  spricht  ferner  in  der  Vorrede  die  sehr  richtige 
Ansicht  aus,   dass  ihm  diejenige  Methode  am  zweckmAssigsten  erscheine, 
welche  der  Jugend  zuerst  die  Gegenstände  und  Ereignisse  vorfuhrt  und 
sie  im  Angesichte  derselben  leitet,  darüber  nachzudenken.     Ingleicben 
empfiehlt  er,  die  Jugend  frühzeitig  zum  eignen  Experimentiren  anzuregen. 
Nach  der  Durchlesung  der  Vorrede,  welche  noch  viele  andere  nützliche 
Gedanken  enthält,  ging  ich  an  diejenige  des  Werkes  selbst  und  berichte 
hier  über  den  Eindruck ,  den  diese  auf  mich  gemacht  hat.    Die  Menge  des 
Stoffes  wird  zunächst  durch  den  Zweck  des  Buches  bestimmt  und  kann 
man  nach  diesem  ein  Eingehen  in  die  Polarisation ,  Interferenz ,  Beugung, 
Doppelbrechung  des  Lichtes  nicht  erwarten ,  dass  aber  unter  den  behandel- 
ten Thatsachen  die  Geschwindigkeit  des  Lichtes  mit  keiner  Silbe  erwAknt 
worden  ist,  muss  als  ein  Mangel  des  Buches  erscheinen  und  in  lebhaftes 
Erstaunen  setzen,  umsomehr,  als  über  die  Beobachtungen  der  Verfinste- 
rung der  Jupiterstrabanten  so  leicht  zu  referiren  ist  und  hieran  leicht  ge- 
zeigt werden  kann,  dass  das  Licht  zu  seiner  Bewegung  Zeit  braucht   Der 
Herr  Verfasser  setzt,  wie  man  z.  B.  an  der  Abhandlung  über  die  Schraube 
bemerkt,  die  Kenntniss  der  Stereometrie  voraus,  man  muss  sich  aber  nur 


Literaturzeitung.  1 1 3 

wundern ,  dass  er  diese  Wissenschaft  so  schlecht  bei  seinen  Demonstratio- 
nen benutzt;  so  z.  B.  ist  bei  den  Spiegeln  und  Linsen  der  Weg  der  Licht- 
strahlen  an  einem  Durchschnitte   des  Apparates  erläutert,   ohne  nur  zu 
sagen,   dass  es  ein  Durchschnitt  ist,  mit  dem  man  es  zu  thun  hat;   der 
Durchschnitt  wird  ohne  Weiteres  Spiegel  oder  Linse  genannt.     Der  Herr 
Verfasser  hätte  dem  Schüler  nicht  zumuthen  sollen ,  dergleichen  Lücken 
in  der  Deduction  zu  ergänzen ;  wo  bei  der  Beschreibung ,  wie  man  sieht, 
eine  gewisse  mathematische  Vorbildung  yorausgesetzt  wird,  sollte  sich  der 
Lehrer  vor  seinen  Schülern  keine  dergleichen  Blossen  geben;  setzt  er  aber 
die  stereometrischen  Begriffe  nicht  voraus ,  so  sollte-  ei  dieselben  im  Texte 
nachholen  oder  ganz  auf  ein  solches  Werk  verzichten ,   denn  mit  den  un- 
klaren Vorstellungen  und  Begriffen   des  gewöhnlichen  Lebens  lässt  sich 
doch  einmal  in  der  Wissenschaft  nicht  arbeiten. '   Was  nun  den  Ausdruck 
der  physikalischen  Gesetzmässigkeiten  durch  die  Sprache  anbelangt,  so 
hat  der  Verfasser  gerade  hier  sehr  häufig  den  groben  Fehler  begangen, 
nicht  deutlich  zu  sein,  ja  den  Sinn  des  Gesetzes  sogar  gänzlich  durch  seine 
Ausdrucks  weise  %zu   entstellen.     Als   Beleg  hierzu  diene    folgender  Aus- 
spruch (S.  139):    „Bleibt  die  Temperatur  der  Luft  ungeändert,   so  ist  ihre 
Expansivkraft  desto  grösser ^  je  mehr  sie  zusammengedrückt  wird.    Dieser 
unter  dem  Namen  des  Mariotte'schen  Gesetzes  bekannte  Satz"  etc.     Na- 
mentlich der  mechanische  Theil  leidet  an  Undeutlichkeiten ,  indem  daselbst 
bei  allen  Sätzen,   die  sich  auf  die  Einwirkung  auf  einen  Punkt  beziehen, 
ohne  Weiteres  von  der  Einwirkung  auf  einen  Körper  gesprochen  wird, 
während  doch  ein  Punkt  gemeint  ist.  Ebenso  macht  es  auf  den  Leser  einen 
widerwärtigen  Eindruck  und  gewährt  dem  Schüler  keine  wissenschaftliche 
Anregung,  dass  sie  überall  schlechte  und  undeutliche  Definitionen  finden, 
mil^  denen  sich  nicht  arbeiten  lässt ;  z.  B.  S.  184 :   ,rDie  Senkung  oder  Nei- 
gung unter   den  Horizont  heisst  Inclination ",  wobei   man  nicht  erfährt, 
welche  Linie  sich  zum  Horizont  neigt  und  dass  die  magnetische  Achse  der 
Nadel  sich  im  magnetischen  Meridian  befinden  muss;  ferner  S.  236:  „Be- 
findet sich  die  Sonne  hinter  einer  dunkeln  Wolke,  welche  einen  Riss  hat, 
so  sehen  wir  das  Licht  'der  Sonne  strahlenartig  hervortretei).     Eine  solche 
Lichtlinie  wollen  wir  Lichtstrahl  nennen";   desgleichen  S.  176:  „Die  zwei 
Punkte  der  stärksten  Kraft  eines  Magnetes  nennt  man  Magnetpole  oder 
kurz  Polel'^  Auch  die  wenigen  Beispiele  sind,  wie  die  Definitionen,  nicht 
frei  von  Undeutlichkeit  und  Unrichtigkeit;   so  findet  sich  Seite  96  folgende 
Stelle:  „Bewegt  eine  Kraft  einen  Körper,  so  arbeitet  sie.     Die  auf  eine 
Seeunde  entfallende  Arbeit  einer  Kraft  nennt  man  Arbeitskraft  1.   das 
Maass  momentaner  Kräfte.  Ein  Stoss ,  welcher  einem  Körper  von  40  Pfund 
die  Geschwindigkeit  von  5  Fuss  giebt,   hat  eine  Arbeitskraft  von  40X5 
Fusspfund.    Man  bekommt  also  die  Arbeitskraft  eines  gleichförmig  beweg- 
ten Körpers,  wenn  man  sein  Gewicht  mit  seiner  Geschwindigkeit  multipli- 
cirt".    Ich  konnte  mich  bei  Durchlesung  des  Buches  des  Gedankens  nicht 

Lileratarztgr.  d.  Zeitschr.  f.  Math.  u.  Phys.  VI,  6.  10 


114  Literaturzeitang. 

erwehren,  dass  der  Yerfasser  über  viele  wissenschaftliche  Gegenstiiide 
selbst  gftnzlich  im  Unklaren  sei,  wofür  schon  die  oben  angeführte  Stelle 
ttber  das  Mariotte'sche  Oesetz  iSeugniss  ablegt.  Hierher  gehört  auch  noch 
die  Stelle  (S.  129) :  „Stabiles  Schwimmen.  Damit  ein  schwimmender  Kör- 
per vor  dem  Umschnappen  sicher  sei,  mass  sein  Schwerpunkt  tiefer  lie- 
gen, als  der  Schwerpunkt  der  verdrängten  Flüssigkeit/*  Es  ist  allerdings 
richtig,  dass  der  Körper  dann  allemal  stabil  schwimmt,  allein  er  kann  auch 
stabil  schwimmen,  wenn  sein  Schwerpunkt  über  dem  der  verdrängten 
Flüssigkeit  liegt ,  freilich  lässt  sich  aber  die  Bedingung ,  unter  welcher  dies 
geschieht,  nicht  elementar  ausdrücken.  Wie  nun  die  Auswahl  der  phjsi- 
kalischen  Gesetze  eine  mangelhafte  ist  und  wie  diese  selbst  oft  unrichtig, 
oft  undeutlich  ausgesprochen  sind,  so  ist  auch  die  Lehrmethode,  wodurch 
doch  der  Zusammenhang  unter  den  Erscheinungen  und  Gesetzen  gezeigt 
werden  soll ,  fast  überall  mangelhaft.  Ein  komisches  Beispiel  der  Demon- 
stration des  Herrn  Verfassers  liefert  unter  Anderem  Seite  20:  „Aus  der 
Figur  13  wird  ersichtlich ,  dass  horizontal  liegende ,  am  Ende ,  in  der  Mitte 
oder  in  ihrer  ganzen  Länge  belastete  Korper  mit  ihrer  relativen  Festigkeit 
wirken.**  Bisweilen  ist  die  Herleitung  ganz  weggelassen  und  der  Herr 
Verfasser  hilft  sich  mit  einem  „die  Erfahrung  zeigt,  dass**  etc.,  oder  wie 
Seite  238 ,  wo  ohne  vorhergegangene  Definition  von  Beleuchtnngskraft  ge- 
sagt wird:  „Das  Gesetz  für  die  Abnahme  der  Beleuchtungskraft  in  die 
Ferne  heisst:  die  Beleuchtupgskraft  nimmt  mit  der  Entfernung  im  qua- 
dratischen Verhältnisse  ab.**  —  Das  Vorhergehende  zeigt,  dass  der  Herr 
Verfasser  den  Zweck  seines  Buches  durch  seine  mangelhafte  Darstellung 
gänzlich  verfehlt  hat ;  am  ganzen  Buche  ist  nichts ,  als  Papier  und  Drnck 
gut;  auch  Wahl  und  Entwurf  der  zahlreichen  Holzschnitte,  sowie  deren 
Ausführung  ist  misslungen  zu  nennen.  Wir  sprechen  noch  am  SchloBM 
unser  Bedauern  gegen  die  Verlagshandlung  aus,  dass  dieselbe  eine  litera- 
rische Arbeit  unterstützt  hat,  die  so  wenig  „Klarheit  und  verstandesge- 
mässe  Darlegung  der  Sätze  der  Experimentalphysik**  zeigt,  dass  sie  nickt 
zum  physikalischen  Unterrichte  empfohlen  werden  kann. 

Dr.  Kahu 


Haadbucli  der  Kngelfanctionen.  Von  Dr.  £.  Heine  ,  ordentlicher  Professor 

an    der*  Universitjit   Halle.      Berlin,   Druck    und    Verlag    von 

G.  Reimer. 

Die  wichtige  Rolle ,  welche  die  Kugelfun ctionen  in  der  Theorie  der 

Anziehung  und  in  der  Wärmelehre  spielen,    hat   bekanntlich   eine  sehr 

grosse  Anzahl  von  Arbeiten   über  jene  Functionen  hervorgerufen,   wie 

schon  die  Namen  Legendre,  Laplace,  Ivory,   Gauss,  Dirichlet,  Jacobi, 

Bonnet,   Borchardt,  Neumann,   Christoffel,  Bertram,  Lionville,  Hansen, 

Scheibner  etc.  hinreichend  beweisen.     Je  schwieriger  hierdurch  ein  nur 

einigermaassen  vollständiger  Ueberblick  geworden  ist,   nui  so  freudiger 


Literaturzeitung,  115 

wird  man  das  Erscheinen  einer  Arbeit  begrfissen ,  über  deren  ,^weck  sich 
das  Vorwort  in  folgenden  Worten  aasspricht :  „Sie  soll  den  Anfänger  in 
die  Theorie  der  Kngelfunctionen ,  welche  gegenwärtig  durch  wichtige 
Werke  über  Physik  nnd  Astronomie  ein  Interesse  auch  für  weitere  Kreise 
erhalten  hat ,  einführen  und  ihm  als  Lehrbuch  dienen.  Andererseits  soll 
sie  Demjenigen,  welcher  die  Elemente  bereits  kennt,  eine  systematische 
Darstellung  der  hierher  gehörigen  Untersuchungen  bis  auf  die  neueste  Zeit 
liefern ,  ihm  eine  Sammlung  der  Formeln  geben  >  welche  bei  dem  jetzigen 
Stande  der  Lehre  als  die  wesentlichsten  angesehen  werden  mttsseh,  und 
ihm  die  Quellen  bezeichnen ,  aus  denen  geschöpft  wurde/*  Nach  genauer 
Ansicht  des  Werkes  kann  Referent  bezeugen,  dass  dieser  Doppelzweck 
Tollständig  erreicht  worden  ist,  und  dass  die  Klarheit  der  Darstellung  so* 
wie  die  Reichhaltigkeit  des  Gegebenen  eine  gleich  rühmliche  Anerkennung 
verdienen.  Der  Verfasser  liefert  übrigens  noch  mehr,  als  die  Vorrede  sagt, 
und  zwar  in  doppelter  Beziehung.  Man  findet  nämlich  ausser  den  Arbeiten 
Anderer  nicht  wenige  dem  Verfasser  eigenthümliche  Untersuchungen ,  fer* 
ner  heschränkt  sich  das  Werk  keineswegs  auf  die  Theorie  der  Kugel- 
functionen,  sondern  enthält  auch  Anwendungen  derselben  namentlich 
auf  die  mechanischen  Quadraturen  (u.  A.  nach  der  Oauss'schen  Methode) 
und  auf  die  Berechnung  der  Potentiale  von  Kugeln  oder  Ellipsoiden. 

SCBLÖMILCH. 


10» 


Bibliographie 

vom  15.  Augttst  bis  15.  October  t861. 


Feriodisclie  Sobriften. 

Mathematische  Abhandlungen  der  königl.  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  Berlin.    Aas  dem  Jahre  1860.    Berlin ,  Dämmler  io  Comm. 

8Ngr. 
Physikalische  Abhandlungen  der   königl.  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  Berlin.   Ans  dem  Jahre  1800.    Ebend.  2  Thlr.  22  Ngr. 
Sitzungsberichte  der  königl.  bayerischen  Akademie  der  Wissenschaf- 
ten. 1861.  4.  Heft.  München,  Franz  in  Comm.  16  Ngr. 
Argelandeb,  f.  W.  A.,   Astronomische  Beobachtungen  auf  der 
königl.  Uniyersitäts -  Sternwarte  zu  Bonn.    4.  Bd.:   Bonner  Sternver- 
zeichniss.   2.  Section.   Bonn,  Marcus.                                           5  Thlr. 
« 

Beine  Mathematik. 

SiSBENUS  V.  Antissä,  Ueb er  den  S chui  tt  d CS  Kegel 8.  Ans  dem  Grie- 
chischen von  £.  Nizze.   Stralsund ,  Hingst.  %  Thlr. 

Friedlein,  O.,  Gerbert,  die  Geometrie  des  Boethius  und  die 
indischen  Ziffern.  Ein  Vers,  in  der  Geschichte  der  Arithmetik. 
Erlangen ,  Bläsing,  12  Ngr. 

Fischer,  H.,  Briot  und  Bouquet's  Theorie  der  doppelt-perio- 
dischen, insbesondere  elliptischen  Functionen,  mit  Be- 
nutzung dahin  einschlagender  Arbeiten  deutscher  Mathematiker.  1.  und 
2.  Lief.   Halle,  Schmidts  Verlagsbuchh.  k  %  Thlr. 

Grelle,  F.,  Analytische  Geometrie  der  Ebene.  Hannover,  Brecke. 

2  Thlr. 

Grunert,  J.  A.,  Directe  Bestimmung  der  Durchschnittspunkte 
der  Bahnen  zweier,  in  Kegelschnitten  sich  um  die  Sonne 
bewegenden  Weltkörper.  Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  18 Ngr- 

Angewandte  Mathematik. 

Adrian 7,  J.,  Die  Markscheidekunde  nebst  den  für  den  Markscheider 
wichtigsten  Lehren  der  Feldmesskunde.  2.  Aufl.  Wien ,  Braumfiller's 
VerL-Conto.  1  Thlr. 


I  ji  toraturzeitung.  1 1 7 

Pohl,  J.  und  J.  Schabus,  Tafeln  zur  baroraetrisehen  Hdhen- 
m essung.    Wien,  Helf.  %  Thlr. 

Onderka,  y.,  Mathematische  Geographie.  Wien,  Braumüller's 
Verl. -Conto.  1%  Thlr. 

Struvb,  0-,  Tabulae  quantitatum  Besselianarum^  quibus  apparentes 
siellarum  positiones  in  medias  converiuniur ,  adhihitis  numeris  constahtibus 
Ptdcovensibus  pro  a,  1840  ad  1864  compulatae.    Petropolu   Leipzig,  Voss. 

28  Ngr. 

Atlas  des  gestirnten  Himmels,  f.  d.  Auf.  des  Jahres  1855  entworfen 
auf  der  königl.  Sternwarte  zu  Bonn.    7.  Lief.    Bonn,  Marcus.   3  Thlr. 

Hartwig,  E.  W.,  Ueber  die  Berechnung  der  Auf-  und  Unter- 
gänge der  Sterne.  Nebst  einigen  Hilfstafeln.  Schwerin,  Hilde- 
brand. 12%  Ngr. 

Neumann,  C,  Lösung  des  allgemeinen  Problems  über  den  sta- 
tionären Temperaturzustand  einer  homogenen  Kugel 
ohne  Hilfe  von  Keiheuentwickelungen,  nebst  einigen  Sätzen 
zur  Theorie  der  Anziehung.    Halle ,  Schmidt's  Verlagshandl.    6  Ngr. 

Hanckel,  H. ,  Zur  allgemeinen  Theorie  der  Bewegung  der 
Flüssigkeiten.    Gekrönte  Preisschrift.    Göttingen.    Leipzig,  Abel. 

%Thlr. 

Schmidt,  G.,  Theorie  der  Dampfmaschinen.   Freiberg,  Engelhardt. 

1%  Thlr. 

Taschenbuch  des  Ingenieurs.  Herausgegeben  von  dem  Verein  „die 
Hütte".  4.  Aufl.  1.  Hälfte.  Berlin,  Ernst  &  Korn,  pro  compl.  l%Thlr. 

Karsten,  H.,  Lehrbuch  der  Kristallographie.     Leipzig,  Voss. 

2  Thlr. 
Physik. 

Encyclopädie  der  Physik,  bearb.  von  Brix,  D£Cher  etc.  Herausgeg, 
von  Karsten.   10.  Lief.    Leipzig ,  Voss.  2%  Thlr. 

MoLT,  Th.,  Wandkarten  zur  physikalischen  Erdbeschreibung. 
2»  Aufl.    Stuttgart,  Nitzschke's  Verlag.  1  Thlr.  6  Ngr. 

Hsussi,  J.,  Die  Experimentalphysik.  1.  Curs. :  Kenntniss  der  Phä- 
nomene.   8.  Aufl.    Berlin ,  Duncker  &  Humblot.  %  Thlr. 

EoBiDA,  C,  Erklärung, der  Lufterscheinungen  aus  den  Grund- 
zügen einer  naturgemässenAtomistik.  2.  Heft.  Klagenfurt, 
Leon  in  Comm.  9  Ngr. 

Meyerstein,  M. ,  Das  Spectrometer.  Ein  neues  Instrument  zur  Be- 
stimmung der  Brechungs  und  Zerstreuungsverhältnisse  verschiedener 
Medien,  sowie  zum  Gebrauche  bei  allen  goniometrischen  Messungen. 
Göttingen,  Deuerlich'sche  Buchh.  8  Ngr. 

Redtenbacher ,  F.,  Die  anfänglichen  und  gegenwärtigen  Er- 
wärmungszustände  der  Weltkörper.    Mannheim,  Basserfnann. 

4  Ngr. 


118  LiteraturzeituDg. 

SAALSCfHÜTZ,  L«,  De  non  periodica  muiatione  caloris  terrae,  IHtserL 
inaug.    Königsberg,  Schabert  &  Seidel.  3  ^gv- 

Bezold,  W.  y.,  lieber  die  physikalische  Bedentang  der  Polen- 
tialfnnction  in  der  Elektricitätslehre.  MüncbeD,  liter.-artist. 
Anstalt  in  Com m.  8  Ngr. 

WiBDSMANN,  G.,  Die  Lehre  vom  Galvanismns  and  Elektromag- 
netismns.  2.  Bd.  And.  n.  dr.  Th.:  Die  Wirkangen  des  galvanischen 
Stromes  in  die  Ferne.    1.  Abth.    Braunscbweig,  Vieweg.         2%  Thlr. 

M^Leod,   W.,    Physical  atlas  of  Great  B ritain,     London^   Longman, 

7  Sh.  6d- 

Capblli,  G. ,  Osservazioni  meteorologiche  esegtiite  nella  R,  specoU 
astronomica  dt  Müano  negli  anni  1858  —1859.    Müano,  20  /rcf. 


Mathematisches  Abhandlungsregister. 


1860. 
Zweite  Hälfte:'  1.  Juli  bis  31.  December. 

A. 

AbePaelie  Fnnotioii. 

232.  Sur  VinUgration  de  diffirentielles  irratitmelles.  Tchebichef.    Compt.  rend,  LI,  46, 

AbMratioiL 

233.  lieber  die  Aberration  dea  Lichtes.    Hoek.     Astr.  Kachr.  LIV,  145. 

Aerodynamik, 

234.  Ein  Beitragp  aur  Mechanik  der  Gase.   Schmidt.  Wien.  Akad.  Ber.  XXXIX,  41. 

235.  Illuairaiiüns  of  the  dynamcal  theory  of  gases,     Maxwell.     Phil,  Mag.  XX,  21. 

[Vergl.  No.  2.] 

236.  On  the  velocüy  ofsoimd.     Earnshan.     Phil.  Mag.  XX,  37,  186. 

237.  lieber  die  Aenderung  des  Tones  and  der  Farbe  durch  Bewegung.  Mach.  Wien. 

Akad.  Ber.  XXXXI,543. 

AaalyÜsolie  Oeometrie  der  Xbene, 

238.  Das  nmgekebrie  Problem  der  Brennlinien.     Strauch.     Wien.  Akad.   Ber. 

XXXVIII,  861. 

239.  Das  Problem  des  Pappns  nnd  die  Gesetze  der  DoppelschnittsyerhäUnisse  bei 

Cnrven  höherer  Ordnung  und  Classen.     Fiedler.     Zeitschr.  Math.  Phjs. 
V,  377. 
Vergl.  Ellipse,  Gleichungen  325,  Kegelschnitte,  Kreis,  Krümmungshalbmesser. 

Aaalytisehe  Geometrie  des  Baumes. 

240.  Merkwürdige  Erweiterung  der  Formeln  der  ebenen  Trigonometrie  auf  ein  Sy- 

stem Ton'drei  sich  nicht  schneidenden  Geraden  im  Baume.     Grunert. 
Grün.  Archiv  XXXV,  1. 

241.  Theorie  gdn^rale  des  Systemen  de  rayans  rectilignes.     Kummer.     N.  ann.  maih. 

XIX,  362.     [Vergl.  Bd.  V,  No.  260.] 

242.  Des  coordonnäs  eurvilignes  se  coupanl  sous  tm  tfn  angle  quelctmgue.     Aoust.    Grelle 

LVIII,  352.    ' 

243.  Des  eoordimnis  paraboHques  et  de  lettr  appHcation  ä  la  giomitrie  des  parabo(pides. 

Valson.     N.  amt.  math   XIX,  2««. 

244.  Ueber  die  Ümhüllungslinien  der  Pollinien  einer  Curve  und  deren  inverse  Linie . 

Hoppe.     Grelle  LVIII ,  374. 

245.  Sur  les  surfaces  polaires  d^un  point  d'tme  sxtrfaces  älgibrique  pi'ises  par  rapport  ä 

cette  sur  face.    Dewulf.     N  ann.  math.  XIX,  431. 

246.  On  the  cubic  centres  of  a  line  with  respect  to  tftree  lines  and  a  tine.     Gay  leg.    Phil. 

Mag.  XX,  418. 

247.  Eine  Notiz  über  Wendelinien.     Bacaloglo.     Grün.  Archiv  XXXV,  40. 

248.  Ueber  Fusspunktcurven  und  Fusspunktflächen.    Bacaloglo.     Grün.  Archiv 

XXXV,  41. 

249.  Sw  vne  ciibique  gauche.     Cremona.     N.  ann.  maih.  XIX,  356.     , 


1 20  Literaturzeitung. 


250.  Sur  quelques  relations  giomitriques  entre  VkiHce  et  la  vycloide.    Dunesme.    Compi. 

rend.  LI,  890. 
Vergl.  Loxodrome,  Oberflächen,   Oberflächen  zweiter  Ordnung,  Paraboloid, 
Sphärik,  Wellenfläche. 

Arithmetlsdhe  Beihe. 
Vergl.  Progression. 

iUtronomie. 

251 .  Memoire  sur  le  jnouoement  des  noeuds  de  la  lune.  LespiauU.  Compl.  rend.  LI,  IT!. 

252.  Calcul  des  deux  inegalitis  lunaires  ä  longues  pModes  decouoertes  par  M,  Hansen  et 

dues  d  Vaction  perturbaMce  de  Venus.  Delaunay.  Compt  rend,  LI,  09ö,  735^ 
783.  —  Le  Verrier,   iöid,  703,  740,  788.  t- Ponlicoulant.    Und.  feS. 

253.  Note  sur  les  inigalites  lunaires  ä  longues  pModes  dues  ä  Caction  perturhatrice  de 

yenus,^   Delaunay.     Astr. Nachr.  LIV,  273.  , 

254.  Sur  la  determination  du  coefficieni  de  Veqmilion  siculavre  de  In  lune.  Pontecoulant. 

Compt  rend.  LI,  134.  —Delaunay.    ibid.  154.     [Vergl.  No.  22.] 

255.  Ueber  die  Genanigkeit  der  Beobachtungen  der  Rectascenaionen  bei  Anwendang 

chronocrraphischer  Apparate.     Pape.     4str.  Nachr.  LIV,  177. 

256.  Neue  Methode,    die  Biegung  eines  Kreisfernrohres  zu  ermitteln.      Kayser. 

Astr.  Nachr.  LIV,  227. 

257.  Quelques  mots  sia*  les  queues  des  cotnetes.    Br  edichin.   Astr.  Nachr.  LIV,  280. 

Vergl.  Aberration,  Büfraction. 

AttTMtiOlL 

258.  Bemerkung  zu  einer  Stelle  der  Mecaniqve  eileste.    Mar  mann.    Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  438. 

259.  Ueber  die  Anziehung  einer  mit  Masse  belegten  abwickelbaren  Fache  aaf  einen 

materiellen  Punkt.     M  e  h  1  e  r.     Orelle  L VIII ,  240. 

260.  On  a  theorem  relating  to  the  attraction  of  Ute  etlipse.     D ahlander.     Pkä.  Mag. 

XX,  125. 
Vergl.  Potential. 

0« 

Benioiilli*sclie  Zahlen. 

261.  Einige  Beiträge  zur  Theorie  der  Bernonlli^schen  Zahlen' und  der  Secanten-Coef- 

ticienten.     G.  F.  Meyer.     Grün.  Archir  XXXV,  449. 

262.  Von  einigen  Summen  und  Differenzenformeln  und  den  Bernoalli*schen  Zahlen. 

Bauer.     Grelle  LVIII ,  292. 

Bestimmte  Integrale. 

263.  5«?'  le  calcul  inverse  des  iniigrales  difinies.     Rouchi.     Compt.  rend.  LI,  126. 

264.  Ueber  den  Integralsinus  und  Integralcosinus.     Schlömilch.     Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  294. 

265.  Ueber  das  bestimmte  Integral   / dx.    Schlömilch.    Zeitschr.  Mathem. 

Phys.  V,  286.  ^ 

iO-       f 

266.  Ueber  das  bestimmte  Integral    /      {a>—hx^y  a?«»— 1  dx.    Bacaloglo.    Gran. 

Archiv  XXXV,  70.  ^ 

2ü7.  Inteyralia  quaedmn  deflnita.    Lindman.    Grün.  Archiv  XXXV,  475. 

Vergl.  Abersche  Function,  Elliptische  Functionen,  Näherungswerth ,  Zahlen- 
theqrie  409. 

Brennlinien. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  238. 

^« 

Cartographie. 

268.  Sur  les  cnrtes  g^ographiques.     Tissot.     Compt  rend.  LI,  ^M. 

269.  Definition  des  modes  de  repr^sentalion  de  cartes  gäographiques.     Tissot,     N-  amn, 

math.  XIX,  457. 


Literaturzeitang.  121 

270.  Trac^  des  cartes  gSographiqites.     Tchebichef.     N.  ann.  math,  XIX.   BuUetin  de 

bibi  4i^. 

Combuiatorik. 

271.  Sur  une  sirie  wdormie  d^npf-^s  de»  nombre  de  combinaüons  aoee  et  sans  rip^HHon. 

De  Virieu.     N.  ann.  math,  XIX,  397. 

272.  Swr  ime  sirie  eotnbinatoire.    De  Verieu.   JV.  ann,  math,  XIX ,  398. 

CiibifclL«  TormML 

273.  ÖJi  a  relation  between  two  temary  cubic  forms.  Cayley.   Fhil,  Mag.  XX,  512. 


274.  MuUipiication  des  diterminants.   Souillart,   N.  ann,  math.  XIX ,  ^20, 

Vergl.  Näherungswerth  361. 

Determinantan  in  i^ometritoher  Anwendung. 

275.  Equatian  des  rapports  anharmomques  correspondant  aux  racines  d'une  iquation  du 

qtutlrieme  degri,    Pai nvain.    N.  ann,  math.  XIX,  407. 
270.  Ueber  die  Wendetaogentea  der  Curven  dritter  Ordnung.     Clebseh.    Grelle 
L VIII,  229. 

277.  Ueber  eine  Claese  von  Eliminationsproblemen  nnd  über  einige  Punkte  der  Theo- 

rie der  Polaren.     Clebseh.     Grelle  LV XU ,  273. 

278.  Die  Beziehung  zwischen  den  Halbmessern  von  vier  sich  gegenseitig  berühren- 

den Kreisen,  sowie  Yon  fünf  derartigen  Kugeln.     G.  W.  Baur.    Zeitschr. 
Math.  Phy».  V,  365.     N.  ann.  math.  XIX,  440. 
Vergl.  Oberflächen  zweiter  Ordnung  366. 

Dlfferentialgleiohnngen. 

279.  Zur  Integration  der  linearen  DiflFerentialgleichungen.   Weiler.    Grün.  Archiv 

XXXV,  440. 

280.  Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung.    Schlö- 

milch      Zeiischr.  Math.  Phys.  V,  323. 

281.  Ueber  totale  und  partielle  Differentialgleichungen.  Natani.   Grelle  LVIII,  301. 

282.  Integration  einiger  partiellen  Differentialgleichungen.    Steen.    Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  427.     [Vergl.  No.  6.] 

283.  Ueber  die  partielle  Differentialgleichung 

dl 

Hoppe.     Grelle  LVIII,  369.    [Vergl.  No.  44.] 
2S4.  Iliustrations  o/ symmetricalintegration,     Carmichael.     Phil,  Mag,  XA,  348. 
*  Differensenrechnung. 

Vergl.  BernouIli*8che  Zahlen  262,  Gombinatorik  271. 

Elastidtät. 
285.  Mimoit-e  sur  la  thiorie  de  Citasticiti  des  cotT)s  homogenes  d  ^lasticitä  constante, 
Lorenz.    Grelle  LVIII,  329. 

Elektrodynamik. 
'  286.  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik.  Kahl.  Zeitschr  Math.  Phys.  V,  253,  305. 

SlinünafclQa. 
Vergl.  Determinanten  in  geometrischer  Anwendung  277,  homogene  Functionen. 

ElUpie. 

287.  Ueber  die  grö.ssten  Dreiecke,  die  sich  über  eine  gegebene  Gerade  einer  Ellipse 

oder  Hyperbel  einschreiben  lassen.     S.  Spitzer.    Zeitschr.  Math.  Phya. 
V,  364. 

288.  TMorcmes  relatifs  aux  normales  d'une  ellipse.   Prot.    N.  ann,  math.  XIX,  235. 

Vergl.  Attraction  260. 


ub^m-ub^m 


122  Literaturzeitang. 

BUiptiMhe  Vim«tl<mia. 

289.  Entwurf  einer  neaen  Theorie  der  elliptischen  Integrale.  Weiler.  Onm.  ArchiT 
XXXV,  408. 

200.  Ueber  Modulargleichungen  der  elliptisehen  Functionen.    Schröter.      CreDe 

LVm,378. 

F. 
Toaeaidtf  teher  PandelTertneh. 

201.  Nomel  examen  de  la  queHion  relative  atix  oscillationg  loumantes  dupendwte  6  AVf 

Suspension  en  ayant  igard  ä  l'influeuce  de  la  rotation  de  la  ierre.     Poncet  et. 
Campt,  rend,  LI,  407,  51 1. 

Fonettonali^clelning. 

Vergl.  Kräfteparallelogramm. 

Tnaettonen. 

202.  Beiträge  zur  Theorie  derjenigen  Fanctionen,  welche  die  Verallgemeinenmg  der 

hyperbolischen  und  cjclischen  Cosinus  und  Sinus  darstellen.     Hellwig. 
Grün.  Archiv  XXXV,  186. 

203.  Entwicklung  einer  Function  der  vierten  Rechnungsstufe  in  eine  Reihe.    Paug- 

ger.     Grün.  Archiv  XXXV,  21. 

204.  Solution  de  questions  de  talgehre  Bertrand,     Mathieu.    N.  ann.  math,  XIX,  371. 

Vergl.  Abel^sche  Functionen,  Elliptische  Functionen,  Potential. 

Tusspunktlinien. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  248. 

Geodäsie. 

205.  Untersuchungen  über  die  Pothenot^sche  Aufgabe,  falls  solche  auf  den  Raum  aus- 

gedehnt wird.     P la th.     Grün.  Archiv  XXXV,  241. 
200.  lieber  einige  geodätische  Formeln,     v.  Andrä.     Astr.  Nachr.  LIII,  369. 
207.  Die  Zahlenformel  für  den  mittleren  Krümmungshalbmesser  des  Erdspkäroids. 

.       Andres.     Grün.  Archiv  XXXV,  72. 
298.  Mithode  des  azinaäs  correspondants.     Radau.     Astr.  Kachr.  LIII,  145.    ' 
200.  Ster  wi  moyen  de  trouver  la  Umgitude  satts  chronometre.     Radau.     Astr.  Nachr. 
LIV,  345. 

Ctoometrie  (deserlptlye). 

300.  Sur  les  seconds  points  d'interseclions  des  normales  d^une  edne  de  riwlution  passamt 

par  wte  premiere  section  conique.*  Kessler.     N.  ann.  math.  XIX,  436. 
Vergl.  Krystallographie  349. 

Geometrie  (höhere). 

301.  PropriMs  relatives  au  diplacement  fini  quelconque  dans  tespace  d'une  figure  de  /arme 

invariable,     Chasles.     Compt.  rend.  LI,  855,  005. 
Vergl.  Kegelschnitte  342. 

Geometrische  Belhe. 

Vergl.  Progression. 

Geschichte  der  Kathomatik. 

302.  Question   des  porismes.     Breton   {de   Champ).     Compt.  rend.  LI,   1034.  — 

Chasles.   ibid.  1043. 

303.  Sio'  Vage  de  Zenodore.     Cantor.     Compt.  rend.  LI,  630. 

304.  Epitaphe  de  Diophatite.     N.  ann.  math,  XIX.   Bulletin  de  hibl.  71. 

305.  Les  mathimaticiens  des  Romains.     W eidler.     N.  ann,  math,  XIX,    Sulleiin  de 

hibl.  85. 

306.  Johsl  Burgi  et  les  togarithmes.    Mattka.    N.  ann.  math.  XIX.   BuUetin  de  bibL  62. 

[Vergl.  No.  04.] 

307.  NoHoelles  remarques  str  Vinterpr6tation  cTun  passage  de  Deseartes.    Valat.    Camft. 

rend.  LI,  1031.     [Vergl.  No.  03.] 

308.  G^ealogie  de  Fiete.     Filleau  de  la  Touche,    N.  ann.  maOr.  XIX.   Bmttetmde 

hibl.  73. 


Literatnrzeitaiig.  123 

300.  Ueber  die  Definitionen  des  Leibnitz.    Trendelenbar g.    Berl.  Akad.  Ber. 

1800,  374.  —  N,  ann.  mtäh.  XIX.   Bulletin  de  bibl.  87. 
BIO.  Jacqttes  Charles  le  yöomktre.    Bienuymä,  N,  ann.  math,  XIX.  Bulletin  de  bibL  90. 

311.  Ueüer  den  Nansen  Theodolit.     Hanaens.     Grün.  Archiv.  XXXV,  240. 

312.  Sur  une  ancienne  deterinination  du  nombre  abaolu  des  vibralion»  du  diapason,    Govi, 

Compt.  rend  LI,  450. 
813.  Star  le  pr emier  exemplaire  de  V Edition  st6r4otype  des  tables  de  logaritkmes  deLalande. 
Fo um  erat.     N,  tum.  math.  XIX.   BuUetin  de  bibl.  83. 

314.  üsage  du  Souvan-patt  des  Chinois.    D^Escayrac  de  Lauiure.    Compt.  rend.  LI, 

83.  --Poneelet.   ibid.  109. 

315.  Ueber  Sonnenfinsternisse.     Encke.     Berl.  Akad.  Ber.  1860,  605. 

^1(1.  Ueber  die  Sonnenfinsterniss  vom  18.  Juli  1860.   Bremiker.    Berl.  Akad.  Ber. 
1860,  693. 

317.  Beiträge  zur  Geschichte   der  Fortschritte  in   der  elektrischen   Telegraphie. 

Zetzsche.     Zeitschr.  Math.  Phjs.  V,  395.    [Vefgl.  No.  108.] 

Oleiohimgen. 

318.  Sketch  ofa  theory  of  transcendental  roois,     Cookie.    Phil.  Mag.  XX.  145,  369. 

319.  Exercises  sur  les  equations  numäriques.     B ellavitis      N.  arm.  niaih,  XIX,  343. 

320.  Notes  sur  la  trans/ormation  de  Tschimhausen.     Cayley.     Orelle  LVIII,  259,  263. 

321.  On  a  Problem  of  double  partitions.     Cayley.     Phil.  Mag.  XX,  337. 

322.  Sur  une  Squation  dedegr4  quelconque mais  d'unecerlaine  forme.  De  Virien.  N,  ann. 

math.  XIX,  389. 

323.  L'iquationxe     2\      x/=:=b  a  deux  radnes  Egales  si  ^  <  90%  a  =  8in^  et 

b  =  tang  Y  .  eeo«'^  ou  h  =  cotang  ^  .  e—cost^.     Ore ssier.    N.  ann,  math, 

XIX,  230. 

324.  On  a  System  ofalgebraic  equations.     Cayley.     Phil,  Mag.  XX,  341. 

325.  Svr  la  resolutian  nwntrique  de  deux  iquations  du  seeond  degri.    Abel  Transon, 

N.  ann.  mtith.  X/X,  414. 
3?6.  Ueber  die  merkwürdigen  Eigenschaften  von  drei  simultanen  Gleichungen.   Un- 
ferdinger.     Grün.  Archiv  XXXV,  32. 
Vergl.  Determinanten  in  geometrischer  Anwendung  275,  277. 


Homogene  IPnnetiondn. 

327.  Ueber  eine  symbolische  Darstellungsweise  algebraischer  Formen  und  über  die 

davon  zu  machende  Anwendung  auf  Probleme  der  Elimination.     Clebsch. 
Berl.  Akad.  Ber.  18(50,  536. 

Hydrodynamik. 

328.  Untersuchungen  über  ein  Problem  der  Hydrodynamik.    Lejeune-Dirichlet. 

Grelle  LVIll,  181.  —  Dedekind.  ibid.  217. 

329.  Ueber  ein  neues  Gesetz  der   lebendigen  Kräfte  in  bewegten  Flüssigkeiten. 

Stefan.     Wien.  Akad.  Ber.  XXlLYll,  420. 

330.  Ueber  Reibung  tropfbarer  Flüssigkeiten.     Helmholtz  und  v.  Piotrowski. 

Wien.  Akad.  Ber.  XXXX,  60?. 

331.  On  a  new  species  of /igures  of  equHibriitm  for  revolving  flrn'ds ,  the  particles  of  toMch 

attract  one  anolher  according  to  Newtons  theory.     D ahlander,     Phil.   Mag. 
XX.  119. 

332.  On  the  form  asswned  by  a  fluid  shell  revolving  freely  mithin  a  hotlow  spheroid.     Dah- 

l ander.     Phil.  Mag.  XX,  42(3- 

333.  On  the  form  ofsatellites  remlving  at  stnail  distances  from  theh'  primaries.    Vaughan, 

Phil.  Mitg.  XX,  409. 

Hyperbel. 
VergJ.  Ellipse  287,  Sphärik. 

I. 

Imaginaret. 
331.  NoHoelle  thiorie  des  fonciiom  de  vttritibles  itnagintiires.     Marie,     Jo7tm.  Math^m. 
XXV,  393,  457.     [Vergl.  No.  129.] 


124  LiteratQrzeitnng. 

335.  Ueber  die  geometriaehe  Darstellung'  der  Werthe  einer  Potenz  mit  complexer 

Basis  und  eomplexem  Exponenten.  Dur  ige.  Zeitachr.  Math.  Pfajs.  V,  345. 

Interpolati<m. 

336.  Sur  les  formules  dinterpolation  de  Lagrange  et  de  Newton,     Abel  Trans on, 

N.  ann,  math.  XIX,  248.     [Vergl.  Bd.  V,  No.  112.J 
Yergl.  Methode  der  kleinsten  Quadrate. 

IrrationalgrÖssen. 

337.  Uebcr  das  Bationalmachen  der  Nenner  der  Brüche.     Zehfuss.    6nin.  Archir 

XXXV,  117.     [Vergl.  No.  130.] 
838.  Die  Lösung  der  Fermarschen  Aufgabe :  Wegschaffung  der  Wuraelgrösten  aus 

alg.-braischen  Ausdrücken,  in  welchen  solche  als  Summanden  rorkommen. 

Lehmann:   Auszug  aus  einer  Abhandlung  von  A.  v.  d.  8chulenburg. 

Grün.  Archiv  XXXV,  207.  _ 

339.  Eiatit  donni  a|  4-]Ka2+  VT^^ . . .  +  ^a.  =  P,  changeant  dans  ce  polynome  n'  signes 

et  disignant  le  nottveau  polynome  par  Q,  combien  PQ  renferme  -t-  ü  de  guan- 

tit4s  irrationeües.     Kessler,     N.  ann,  math.  XIX,  430. 
Vergl.  Näherungswerth. 


Xegelsöhnitte. 

340.  Sur  le  triattgle  cot^JuguS  ä  une  conique,     Salmon.     N,  ann.  math.  XIX,  345. 

341.  LieH  des  poles  des  cordes,  qiä  dans  les  courbes  du  second  degri  joignent  les  pieds  des 

normales  d  ces  courbes  menies  d'un poiat  de  la  divetoppie.  Desboves.   A.  amn. 
math.  XIX,  253. 

342.  Lieu  d'un  point  lel  que  les  quatre  tangentes  men^es  de  ce  pohä  d  deux  coniques  for 

ment  un  faisceau  harmonique .     De  Jonquiires. 
Vergl.  Ellipse,  Geometrie  (descriptive) ,   Gleichungen  325,   Kreis,   Parabel^ 
gphärik  392. 

Xettanbrftehe.    . 
3 13.  Zusammenhang  unter  den  Coefficientcn  zweier  gleichen  Kettenbrüche  von  rer. 
schiedener  Form.     Heilermann.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  362. 
Vergl.  AbePsche  Function. 

XrflfteparaUolograinm. 

344.  Ueber  den  Satz  vom  Parallelogramm   der  Kräfte.     Schlomilch.     Zeitschr. 

Math.  Phys.  V,  435. 

Kreis. 

345.  Ueber  die  Aufgabe ,  einen  Kreis  zu  beschreiben ,  welcher  drei  gegebene  Kreise 

berührt.     K  er  z.     Grün.  Archiv  XXXV,  i2L 

KreisthoUung.     . 

346.  Sur  les  diinseurs  de  certaines  formes  de  nombres  qui  risultent  de  la  theorie  de  la  din- 

sion  du  cercle,     Kummer.     Joum.  Mathan.  XXf^,  Z6Q. 

Krümmungshalbmesser. 

347.  Trouvei'  Viquation  de  la  courbe  teile ,  que  ses  rayons  de  courbure  soient  vus  d'tn  point 

donne  sous  im  angle  donni.     Lecocq      N  ann.  math,  XIX,  285. 

Kristallographie. 

348.  Ueber  das  Gesetz  der  rationalen  Verhältnisse  der  Tangenten  tautoionaler  Kry- 

stallkanten.     y.  Lang.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXXI,  525. 

349.  Ueber  die   direete  Construction   der  schiefachsigen  Krystallgestalten  aus  den 

Kantenwinkeln.     Niemtschik.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXXI ,  535. 

Loxodroma. 

350.  Ueber  Loxodromen  auf  Umdrehnngsflächen.     Junge.     Zeitschr.  Math.  Phy$. 

V,  296. 


Literaturzeitung.  1 25 


if^^iyw^  ||]|{[  Mininift. 
35L.  Beiträge  zur- Lehre  von  Maximum  und  Minimum.     Brenner.     Grün.  Archiv 

XXXV,  157. 
Zhl,  Soluüo  prohlematis  geometrici.     L in  dm  an,     Grnn.  Archiv  XXXV,  481. 

353.  Sur  ie point  d'une  tangenU  d  la  courbe  y»  =  F(x)  gui  satufmi  d  la  condilion  de  ren- 

dre  V,  ,^c  vn  maximwn  oü  un  miHimvm.     Kessler.     N.  (tnn.  math,  'XIX,  433. 
J?  [X) 

Vergl.  Ellipse  287,  Parahel. 

Xeohaoik. 

354.  Bemerkungen   über  Lagrange*s  analytische  Mechumk.     Bley.     Grün.  Archiv 

XXXV,  275. 

355.  Memoire  sur  la  roiation  d'un  corps  solide  autour  de  son  eentre  de  gravttä.     Lafon. 

Campt  rend.  LI,  724. 

356.  Mouoement  du  pendule.     Fink.     N.  ann.  math.  X7X,  449. 

357.  Mechanische  Aufgabe.     Kahl.     Z eits ehr.  Math.  Phys.  V,  298. 

358.  (hl  the  pressure  of  earih  on  revetmenl  walls.     Sylvester.     Phil.  Mag.  XX,  489. 
259.  Memoire  sur  le  spwal  rigltmt  des  chronometres^et  des  montres,    Phillips,     iovm. 

Malhcm.  XXr,  313. 
Vergl.  Aerodynamik,  Astronomie,  Attraction,  Elasticität,  Elektrodynamik, 
Foncault'scher  Pendelversuch,  Hydrodynamik,  Kräfteparallelogramm,  Plani- 
metrie 373,  Wärmetheorie. 

Kethode  der  klainttaa  Quadrate. 
360.  lieber  Interpolation  nach  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate.    Borchardt. 
Grelle  LVni,  270. 

Kahenmgswerth. 
36U  On  Poncelet's  approximate  linear  valuation  ofsurd  forms.    Sylvester,     Phil.  Mag. 

XX,  203, 307,  525. 
362.  On  approximation  to  the  integral^  of  irrational  functions  by  means  of  rational  substitu- 
tions.     Merrifield.     Phit.  Mag.  XX,  446. 


Oberflächen. 

363.  Ueber  Prof.  A.  Müller^s  DiscuHsionsmethode  der  algebraischen  Flächen  höherer 

Ordnungen.     P  e  t  z  v  a  1.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXXI ,  735. 

364.  Untersuchungen  über  einige  Arten  von  Flächen.    Bo eklen.     Grün.  Archiv 

XXXV,  93. 
VergL  Attraction  259,  Hydrodynamik  331,  332,  333,  Loxodrome,  WeUenfläche. 

Oberflächen  iweitor  Ordnung. 

365.  Sur  les  lignes  de courbwre  des  surfaces  du  second ordre    Aoust.  Compt.  rend.  LI,  640. 

366.  Propra tes  des  tetraedres  conjugu^s  dans  le^  surfaces  du  second  degri.     Painvin. 

N.  ann.  math.  XIX,  290. 

367.  Ueber  die  geodätischen  Linien  auf  dem  ElHpsoid.     Boeklen.    Grün.  Archiv 

XXXV,  101. 

368.  Etant  dmnis  deux  eWpsoides  A  «/  B ,  trouver  le  Heu  des  sommets  des  tri^dres  dant 

les  faces  sont  tangenies  d  A  et  paralleles  d  trois  plans  diamitraux  conjugu^s  de  B. 
Lemoine.     N.  ann.  math.  XIX,  349. 

369.  Risumi  d'une  ih^orie  des  coniques  sphMques  homofocales  et  des  sitrfaces  du  second 

ordre  ho9nofocale9.     Chasles.     Jouni,  Math6m.  XXF,  425.     [Vergl.  No.  167 
und  No    194.] 
Vergl.  Parabaloid. 

P. 

Parabel. 

370.  Ueber  die  g^össten  Polygone,  die  sich  über  eine  gegebene  Gerade  einer  Parabel 

einschreiben  lassen.     S.  Spitzer.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  363. 


120  Läteratarzeitung. 

Tvabtloid. 

371.  lieber  homofocsle  Paraboloide.    Boeklen.     Onm.  Archiv  XXXV,  81. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Baumes  243. 

Planimetrie. 

372.  Verwandlung  eines  Dreiecks  in  ein  gleichseitiges  Dreieck  ron  gleichem  FUcben* 

Inhalt  durch  Rechnung.  Nagel.  Grnn.  Archiv  XXXV,  118.  [Vergl.  No.  184.] 

373.  Thäoremfi  siar  le  Mangle  drconscrit  ä  un  ce^cle,     Harcourt.     N.  ann,  wuUk,  XIX^ 

437.  —  Lebesgue.   ibid.  438. 

374.  Sur  deux  polygones  circonscriptibles   ä  des  cercUs,    Siacchi  et  Poitraseo». 

N,  am.  math.  XIX,  420. 

375.  Thiorhnes  sur  les  cercles  qid  touchent  les  cot4s  d^wi  triangle.    NageL   N,  anu  wutk, 

XIX,  354.  —  Housel,   ibid,  438. 

Polare. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Baumes  244,  245,  Determinanten  in  geome- 
trischer Anwendung  277. 

Potential. 
370.  Das  Potential  eines  homogenen  rechtwinkligen  Parallelepipednms.     Bothig. 
Grelle  LVm,  249. 

Prodnktanfolge. 

377.  TMcirhne  d*hi4galU4  sur  tat  prodmt  corUiim,  Schlömilch.   N,  ann.  math,  XIX,  7S0. 

—  Prouhet.   ibid.  281. 

Progression. 

378.  Bedeutung  und  Gültigkeit  der  allgemeinen  Formeln  für  t  und  s  der  arithmeti- 

schen und  der  geometrischen  Progression  für  den  Fall,  dass  diis  »  dieser 
Formeln  eine  gebrochene  Zahl  ist.     Helmes.     Grün.  Archiv  XXXV,  13'». 

379.  Note  sur  la  di/firettce  de  deux  puissances  consecutives.     Tronsens.     N,  axn.  matk. 

XIX,  310. 

Ooadratisdhe  Pormen. 

380.  Die   trinären   Zahlformen    und   Zahlwerthe.     Simerka.    Wien.  Akad.   Her. 

XXXVIII,  390. 

381.  Sw*  le  nombre  des  classes  diff Gentes  de  f armes  quadratiques  ä  ditermntnds  nigatifs. 

Kronecker.     Joum.  Mathim.  XXV,  289.     (Vergl.  Bd.  V,  No.  434.] 

382.  Sur  la  forme  x» 4- y»  +  2  (z*  + 1«).     Liouvill e.     Journ.  Mathim.  XX F.  2ö9. 

383.  Sur  la  forme  x«4-y*+4  (B*-f  t«j.     LiouvUle.    J&um.  Matkhn.  XXV,  305. 

BefihfflinftTi^imf 

384.  AritMnographe polychrome.  Dubais.   Campt,  rend.  LI,  293. 

Befraotioa. 

385.  Ueber  atmosphärische  Strahlenbrechung.  Kummer.  Berl.  Akad.  Ber.  1860, 405. 

*    Beihea. 

386.  Einige  allgemeine  Sätze  zur  Theorie  der  Beihen.     Win  ekler.     Wien  Akad. 

Ber.  XXXXI,  675. 

387.  Ueber  die  Differentiation  unendlicher  Potenzreihen.     Schlömilch.    Zeitschr. 

Math.  Phys.  V,  292. 

388.  Somme  de  la  serie  S  ^  '  V  oV  ^^"""  ^^  •  7r-rr n     ^^^S  «•     ^ouim.  Mathim. 

1  .2.  3  . .  .n         2tt(2n4'l) 
XXV,  367. 

11=00  xp 

389.  Summirung  der  unendlichen  Beihe  Ä*  =  27  — r— z — r~. ; •  a m  E  n  d  e. 

p_lfl^p»  +  öiP*-^ +  ...+«• 

Grün.  Archiv  XXXV,  220. 

390.  Egalitis  entre  des  sommes  qui  dipendent  de  la  fonetion  numhique  £  (x).    L iou9ille. 

Journ.  MalkAm.  XXV,  287,  455. 
Vergl.  Combinatorik,  Progression,  Taylor's  Beihe,  Zahlentheorie  409. 


Literatarzeitnng.  127 


0. 

SphArik. 

391.  Einiges  über  sphärische  Curven.    B  a  c  a  1  o  g  1  o.    Qrnn.  Archiv  XXXV,  57, 

392.  Sw  tes  coniques  sphbriqueg,  Cremona.  iV.  amu  math,  XIX,  269.  [Yergl.  No.  194.] 

393.  Sur  Thyperbole  sphh'ique.     Dupain,     N.  arm,  math,  XIX,  315. 

394.  Ueber  die  Fläche  des  sphärischen  Vierecks.    Strehlke.    Gran.  Archiv  XXXV, 

104,  447.     [Vergl.  No.  193.] 

395.  Sur  les  poli/goneg  reguliers  spheriqueB,     Faure,     N.  am,  math.  XIX y  421. 

Stereometrie. 

396.  Sitr  la  Classification  des potyedres,    PK  Breton,    Compt.  rend.  LI,  722. 

T. 

Tabellen. 

397.  Tafeln  der  ans  I7ten,  19ten,  23sten  und  29sten  Einheitswarsein  gebildeten  com- 

plexen  Primfactoren  aller  Primzahlen  im  ersten  Tausend.    Benschle. 
Berl.  Akad.  Ber.  1H60,  714.  —  Kummer,   ibid.  734. 

398.  Fehler  in  Schrön*s  siebenstelligen  Logarithmentafeln,   Ausgabe  1860.     Grün. 

Archiv  XXXV,  120. 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  313. 

Taylor'sohe  Beihe. 

399.  IdetUüi  de  deux  expressions  du  reste  de  la  sirie  de  Taylor,    Jurgensen,    N,  ann, 

math,  XIX,  308.  —Roche,   ibid.  311. 

Trigonometrie. 

400.  Recueil  de  formules  relatives  aux  fonctions  circuUnres  et  logarithmiques,   N,  an»,  math, 

X/X.  401. 

401.  Formule  pour  Vaire  d'un  triangle,     Wiart.     N,  ann,  math.  XIX,  283. 

402.  Transformation  ti^gonomitrique.     Forestier,     N.  anti.  math,  XIX,  AiS» 

VergL  Analytische  Geometrie  des  Raumes  240. 

V. 

*    Tariationsrechnnng. 

403.  Ueber  die  Methode ,  die  grössten  und  kleinsten  Werthe  unbestimmter  Integral- 

formeln zu  finden.     Löffler.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXIV,  227. 

404.  Beitrag  zum  Probleme   der  Brachystochrone.    Löffler.     Wien.  Akad.  Ber. 

XXXXI,  53. 
Vergl.  Näherungswerth  361. 

■w  # 
warmetheorie. 

405.  On  the  relaiion  betmeen  the  radinting  and  absorbing  powers  of  different  bodies  ffnr  light 

andheat,   Kirchhof/',    Phil,  Mag.  XX,  1.    ' 

Wahrscheinliobkeitsreohnuiig.    • 

406.  Note  sttr  le  prob/eme  de  taiguille  et  lejeu  du  Joint  couvert,    E,  Barbier,     Joum, 

Mathim.  XXV,  273. 

Wellenfläohe. 

407.  Ueber  eine  optische  Eigenschaft  von  unendlich  dünnen  gradlinigen  Strahlen- 

bündeln.   Kummer.    Berl.  Akad.  Ber.  löÖO,  469.    [Vergl.  Bd.  V,  No.  260.] 

*  Wendelinie. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  247. 


Zahlenreehnen. 
408.  Directe  wissenschaftliche  Begründung  des  üblichen  Verfahrens  bei  der  Division 
und  Wurzelausziehung  in  dekadischen  Zahlen.  Niegemann.  Grün.  Archiv 
XXXV,  201. 


1 28  Literatarzeitnng. 


ZBlileiia«orie. 

409.  Ueber  die  Anzahl  der  Primzahlen  unter  einer  beliebigen  Grenze.     Scheibner. 

Zeitechr.  Math.  Phys.  V,  233.     [Vtrgl.  Bd.  V,  No.  481.] 

410.  Note  mar  let  congruences. '   LeBengue.'  Compt.  raid.  LI,  9. 

411.  Note  au  sujei  d*une  tkeoveme  de  M.  Kronecker.    LiouviUe.  Joum,  Mathim.  XXF, 

207.     [Vergl.  Xo.  215]  ^9 

412.  Einfache  Methode,  die  Reste  der  Zahl  9       bei  der  Division  dnrch  dii'  Prim- 

zahlen zu  finden.     Niegemann.     Gran.  Archiv  XXXV,  1 19. 

413.  Sur  la  d^comjfositimi  de  4z'  en  diffvrence  de  deux  citrres  entiera.    Kettler.  -V.  «n. 

math.  XIX,  434. 

414.  Sur  le  prodmt  de  deux  nomhreg  premier»  tun  de  la  forme  8k-|-3  et  Fauire  de  la  form 

8h +  5.     LiouviUe.     Journ,  Math^.  XXF,  303. 

415.  Thioreme  eoncemaut  fe  triple  d'un  nombrt  premier  de  la  forme  8^  +  3.     LiouviUe. 

Journ.  Maihcm.  XXF,  475. 

416.  Thiorhne  concemant  /es  nombr es pr emiers  de  la  forme  Sfi'^b.    LiouviUe.    Jottnt. 

Mathem.  XXF,  :^00. 

417.  Sur  les  nombres  prenders  de  la  forme  16k  +  7.  Lio  uv  i  lle.  Journ.  Maihcm*  XXF,  301. 

418.  Nouveau  theoreme  concemant  les  nombres  pr  emiers  de  la  forme  24  k  -♦•  II.  LiouviUe. 

Journ.  Mathem.  XXF,  309. 

419.  Theoreme  concemant  les  nombres premers  de Iti  forme IW^  19.  LiouviUe.  Journ. 

MatJUm.  XXF,  311- 

420.  Thioreme  concemant  les  nombre»  prenders  de  la  forme  40  ft  -f.  7.    LiouviUe.    Journ. 

Mathim.  XXF,  389. 

421.  Theoreme  concemant  les  nombres  premiers  de  Vune  ou  de  tautre  des  deux  formr* 

40itt+ll,  40it*+l9.     LiouviUe.     Journ.  Mathem.  XXF,  387. 

422.  Thioreme  concemant  les  nombres  Premiers  de  la  forme  M^^-^-^Z.  LiouviUe.  Journ. 

Mathhn.  XXF,  391. 
Yergl.  Cubische  Formen,  Quadratische  Formen,  Reihen  3W. 

Zinfreehnung. 

423.  Ueber  Verlegung  der  Zahlungstermine.     O  et  tinger.     Zeitschr.  Math.  Phys. 

V,  433.     [Vergl.  No.  230.] 

424.  Ammitis.     Cuenoud.     N.  ann.  math.  XIX,  336. 


Druck  von  B.  G.  T(^ub'ne^  in  Dresden. 


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