Skip to main content

Full text of "Zeitschrift für Mathematik und Physik"

See other formats 


This  is  a  digital  copy  of  a  book  that  was  preserved  for  generations  on  library  shelves  before  it  was  carefully  scanned  by  Google  as  part  of  a  project 
to  make  the  world's  books  discoverable  online. 

It  has  survived  long  enough  for  the  Copyright  to  expire  and  the  book  to  enter  the  public  domain.  A  public  domain  book  is  one  that  was  never  subject 
to  Copyright  or  whose  legal  Copyright  term  has  expired.  Whether  a  book  is  in  the  public  domain  may  vary  country  to  country.  Public  domain  books 
are  our  gateways  to  the  past,  representing  a  wealth  of  history,  culture  and  knowledge  that 's  often  difficult  to  discover. 

Marks,  notations  and  other  marginalia  present  in  the  original  volume  will  appear  in  this  file  -  a  reminder  of  this  book's  long  journey  from  the 
publisher  to  a  library  and  finally  to  you. 

Usage  guidelines 

Google  is  proud  to  partner  with  libraries  to  digitize  public  domain  materials  and  make  them  widely  accessible.  Public  domain  books  belong  to  the 
public  and  we  are  merely  their  custodians.  Nevertheless,  this  work  is  expensive,  so  in  order  to  keep  providing  this  resource,  we  have  taken  Steps  to 
prevent  abuse  by  commercial  parties,  including  placing  technical  restrictions  on  automated  querying. 

We  also  ask  that  you: 

+  Make  non-commercial  use  of  the  file s  We  designed  Google  Book  Search  for  use  by  individuals,  and  we  request  that  you  use  these  files  for 
personal,  non-commercial  purposes. 

+  Refrain  from  automated  querying  Do  not  send  automated  queries  of  any  sort  to  Google's  System:  If  you  are  conducting  research  on  machine 
translation,  optical  character  recognition  or  other  areas  where  access  to  a  large  amount  of  text  is  helpful,  please  contact  us.  We  encourage  the 
use  of  public  domain  materials  for  these  purposes  and  may  be  able  to  help. 

+  Maintain  attribution  The  Google  "watermark"  you  see  on  each  file  is  essential  for  informing  people  about  this  project  and  helping  them  find 
additional  materials  through  Google  Book  Search.  Please  do  not  remove  it. 

+  Keep  it  legal  Whatever  your  use,  remember  that  you  are  responsible  for  ensuring  that  what  you  are  doing  is  legal.  Do  not  assume  that  just 
because  we  believe  a  book  is  in  the  public  domain  for  users  in  the  United  States,  that  the  work  is  also  in  the  public  domain  for  users  in  other 
countries.  Whether  a  book  is  still  in  Copyright  varies  from  country  to  country,  and  we  can't  off  er  guidance  on  whether  any  specific  use  of 
any  specific  book  is  allowed.  Please  do  not  assume  that  a  book's  appearance  in  Google  Book  Search  means  it  can  be  used  in  any  manner 
any  where  in  the  world.  Copyright  infringement  liability  can  be  quite  severe. 

About  Google  Book  Search 

Google's  mission  is  to  organize  the  world's  Information  and  to  make  it  universally  accessible  and  useful.  Google  Book  Search  helps  readers 
discover  the  world's  books  white  helping  authors  and  publishers  reach  new  audiences.  You  can  search  through  the  füll  text  of  this  book  on  the  web 


at|http  :  //books  .  google  .  com/ 


über  dieses  Buch 

Dies  ist  ein  digitales  Exemplar  eines  Buches,  das  seit  Generationen  in  den  Regalen  der  Bibliotheken  aufbewahrt  wurde,  bevor  es  von  Google  im 
Rahmen  eines  Projekts,  mit  dem  die  Bücher  dieser  Welt  online  verfügbar  gemacht  werden  sollen,  sorgfältig  gescannt  wurde. 

Das  Buch  hat  das  Urheberrecht  überdauert  und  kann  nun  öffentlich  zugänglich  gemacht  werden.  Ein  öffentlich  zugängliches  Buch  ist  ein  Buch, 
das  niemals  Urheberrechten  unterlag  oder  bei  dem  die  Schutzfrist  des  Urheberrechts  abgelaufen  ist.  Ob  ein  Buch  öffentlich  zugänglich  ist,  kann 
von  Land  zu  Land  unterschiedlich  sein.  Öffentlich  zugängliche  Bücher  sind  unser  Tor  zur  Vergangenheit  und  stellen  ein  geschichtliches,  kulturelles 
und  wissenschaftliches  Vermögen  dar,  das  häufig  nur  schwierig  zu  entdecken  ist. 

Gebrauchsspuren,  Anmerkungen  und  andere  Randbemerkungen,  die  im  Originalband  enthalten  sind,  finden  sich  auch  in  dieser  Datei  -  eine  Erin- 
nerung an  die  lange  Reise,  die  das  Buch  vom  Verleger  zu  einer  Bibliothek  und  weiter  zu  Ihnen  hinter  sich  gebracht  hat. 

Nutzungsrichtlinien 

Google  ist  stolz,  mit  Bibliotheken  in  partnerschaftlicher  Zusammenarbeit  öffentlich  zugängliches  Material  zu  digitalisieren  und  einer  breiten  Masse 
zugänglich  zu  machen.  Öffentlich  zugängliche  Bücher  gehören  der  Öffentlichkeit,  und  wir  sind  nur  ihre  Hüter.  Nichtsdestotrotz  ist  diese 
Arbeit  kostspielig.  Um  diese  Ressource  weiterhin  zur  Verfügung  stellen  zu  können,  haben  wir  Schritte  unternommen,  um  den  Missbrauch  durch 
kommerzielle  Parteien  zu  verhindern.  Dazu  gehören  technische  Einschränkungen  für  automatisierte  Abfragen. 

Wir  bitten  Sie  um  Einhaltung  folgender  Richtlinien: 

+  Nutzung  der  Dateien  zu  nichtkommerziellen  Zwecken  Wir  haben  Google  Buchsuche  für  Endanwender  konzipiert  und  möchten,  dass  Sie  diese 
Dateien  nur  für  persönliche,  nichtkommerzielle  Zwecke  verwenden. 

+  Keine  automatisierten  Abfragen  Senden  Sie  keine  automatisierten  Abfragen  irgendwelcher  Art  an  das  Google-System.  Wenn  Sie  Recherchen 
über  maschinelle  Übersetzung,  optische  Zeichenerkennung  oder  andere  Bereiche  durchführen,  in  denen  der  Zugang  zu  Text  in  großen  Mengen 
nützlich  ist,  wenden  Sie  sich  bitte  an  uns.  Wir  fördern  die  Nutzung  des  öffentlich  zugänglichen  Materials  für  diese  Zwecke  und  können  Ihnen 
unter  Umständen  helfen. 

+  Beibehaltung  von  Google -Markenelementen  Das  "Wasserzeichen"  von  Google,  das  Sie  in  jeder  Datei  finden,  ist  wichtig  zur  Information  über 
dieses  Projekt  und  hilft  den  Anwendern  weiteres  Material  über  Google  Buchsuche  zu  finden.  Bitte  entfernen  Sie  das  Wasserzeichen  nicht. 

+  Bewegen  Sie  sich  innerhalb  der  Legalität  Unabhängig  von  Ihrem  Verwendungszweck  müssen  Sie  sich  Ihrer  Verantwortung  bewusst  sein, 
sicherzustellen,  dass  Ihre  Nutzung  legal  ist.  Gehen  Sie  nicht  davon  aus,  dass  ein  Buch,  das  nach  unserem  Dafürhalten  für  Nutzer  in  den  USA 
öffentlich  zugänglich  ist,  auch  für  Nutzer  in  anderen  Ländern  öffentlich  zugänglich  ist.  Ob  ein  Buch  noch  dem  Urheberrecht  unterliegt,  ist 
von  Land  zu  Land  verschieden.  Wir  können  keine  Beratung  leisten,  ob  eine  bestimmte  Nutzung  eines  bestimmten  Buches  gesetzlich  zulässig 
ist.  Gehen  Sie  nicht  davon  aus,  dass  das  Erscheinen  eines  Buchs  in  Google  Buchsuche  bedeutet,  dass  es  in  jeder  Form  und  überall  auf  der 
Welt  verwendet  werden  kann.  Eine  Urheberrechtsverletzung  kann  schwerwiegende  Folgen  haben. 

Über  Google  Buchsuche 

Das  Ziel  von  Google  besteht  darin,  die  weltweiten  Informationen  zu  organisieren  und  allgemein  nutzbar  und  zugänglich  zu  machen.  Google 
Buchsuche  hilft  Lesern  dabei,  die  Bücher  dieser  Welt  zu  entdecken,  und  unterstützt  Autoren  und  Verleger  dabei,  neue  Zielgruppen  zu  erreichen. 


Den  gesamten  Buchtext  können  Sie  im  Internet  unter  http  :  //books  .  google  .  com  durchsuchen. 


-  V ' 


rv^-v. 


^1^^^ 


^^!^- 


£    r^ 


J^t^ 


,^-x^- 


r-vv-r 


>>>"^fc-*:       '' 


Zeitschrift 


für 


Mathematik  und  Physik 


herausgegeben 
unter  der  vcruiitwortlichen  Ucdactioii 


Dr.  O.  Schlömilch,  Dr.  E.  KaM 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


Sechster  Jahrgang. 

Mit  (I  litlio^rnpliirteu  Tafeln  und  llolzscluiitten. 


.   LEIPZIG, 

Vorlag  von  B.  G.  Teubnor. 
1861. 


'i92^ri^ 


Inhalt. 

Arithmetik  und  Analysis. 

Seile 

Neue  Aaflösong  der  biquadratischen  Gleichungen.     Von  O.  Sculömilcb  ...  49 
Auwendung  der  OHcillirendcn  Kettenbrüche    zur  gleichzeitigen  Bestimmung 

sweier  Wurzelwerthe  einer  Gleichung.     Von  Dr.  L.  Mattbikssen  ...  51 
lieber  die  Berechnung  des  Integrallogarithmns  und  einiger  damit  zusammen- 
hängenden Functionen.    Von  Prof.  Dr.  Bbbtschnbidbb 127 

Ueber  einige  Integralformeln.     Von  O.  Schlömilch 205 

Ueber  die  durch  Sieben  messbaren  Zahlen.     Von  E.  Böhbinobb 262 

Zur  Integration  partieller  Differentialgleichungen.     Von  Prof.  Spitzeb    •     .     .  262 
Zar  Theorie  der  bestimmten  Integrale.     Von  Dr.  Ehrrpeb  .     .     .     .280 

Ueber  arithmetische  Progressionen  von  Primzahlen.     Von  M.  Camtob      .     .     .  340 

Ueber  einige  bestimmte  Integrale.     Von  Dr.  Ennbfbb 405 

Ueber  die  Lambert^sche  Reihe.     Von  O.  Schlömilch 407 

TheoretiBohe  und  praktische  Oeometrie. 

Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie.        Von  Dr.  W.  Fiedleb  .        1 
Die  geometrischen  Gesetze   der  Ortsveränderung  starrer  Sy- 
steme.   Von  K.  KÜPPEB 12 

Beispiel  einer  Cubatur  uud  Quadratur  nach  geometrischen  Postulaten.     Von 

Dr.  Hoppe 50 

Formeln  zur  geodätischen  Ortsberechnung.     Von  Prof.  Rooo 58 

Ueber   die   Anwendung  der  Affinitätsaxen  zur  graphischen  Bestimmung  der 

Ebene.    Von  Dr.  Fiedleb  76 

Zur  Geome^trie  der  Lage.     Von  M.  Sattblbbboeb 81 

Ueber  den  mittleren  Fehler  der  Kettenmesaungen.    -Von  Prof. 

Dr.  WlKCKLEB J09 

Ueber  Dreiecke  und  Tetraeder ,  welche  in  Bezug  auf  Curven  und  Oberflächen 

zweiter  Ordnung  sich  selbst  conjugirt  sind.  Von  Dr.  Fiedleb  ....  140 
Elegante  Ableitung  der  Formeln  für  den  sphärischen  Excess.  Von  Dr.  Wbbbeb  146 
Ueber  s'phärische  Kegelschnitte.  Von  Dir.  Dr.  Heilbbmann  .  .  .  153 
Ueber  einige  algebraische  Curven,  von  denen  die  Lemniscate  ein  spcciellcr  Fall 

ist.     Von  Prof.  Tobtolihi 209 

Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel,  als  be- 
sonderer Fall  des  allgemeinen  Vierecks.    Von  Prof.  Dr.  Baue    221 

Bemerkung  über  Curvenconstructionen.    Von  O.  Schlömilch 260 

Ueber  die  Anzahl  der  Geraden,  Ebenen  und  Punkte,  welche 
durch   gegebene   Punkte,    Gerade   und  Ebenen  bestimmt 

werden.     Von  Prof.  Bbetschbeideb 311 

Bemerkungen  über  confocale  sphärische  Kegelschnitte.     Von  Dir.  Dr.  Heileb- 

MABN .      326 

Bemerkung  über  die  Rectification  der  Ellipse.     Ton  O.  Schlömilch     ....    330 

Ueber    ein   System   verwandter   Curven   und   Flächen    zweiten 

Grades.     Von  Dir.  Dr.  Heilbbmann 353 

Ueber  die  graphische  Bestimmung  der  Kegelschnitte  nach  den  Sätzen  von  Pas- 
cal und  Brianchon.    Von  Dr.  Fibdlbb 415 

ireber  die  gleichseitig -hyperbolischen  Schnitte  der  Flächen  zweiten  Grades. 

Von  O.  Scblümilcb 418 

Mechanik. 

Nachträge  und  Verbesserungen  zu  der  Schrift :  Neue  Untersuchungen  über  frei 
rotircndo  Flüssigkeiten  im  Zustande  des  Gleichgewichtn,     Von  Dr.  Mat- 

TH1B88BH 67 


X  II11«%1  u 


\ 


Ueber  die  Controverse   swischen  Doppler  und  PetzvaJ  besug^-    ^«i^ 
[■                                    lieh   der  Aenderung^  des   Tones   und  der  Farbe  durch  Be- 
weg^ an  g.     Von  Dr.  Mach 120 

Bedingung  der  Stabilität  eines  auf  dem  Gipfel  einer  Fläche  ruhenden  Körpers. 

j  Von  Dr.  Hoppe 213 

I  Ueber  die  zweckmässigste  Form  der  SpitEgeschosse.    Von  Gene- 

rallieutnant  von  Rouvrot 235 

Ueber  die  Gleichgewichtscurve  einer,  proportional  dem  Wege  ihres  Angriffs- 
punktes sich  verändernden  Kraft.     Von  £.  Noeggeratb 33*1 

Einfache  Näherungsformel  sur  Berechnung  der  einem  gegebenen  Manometer- 
stande entsprechenden  Windmenge  eines  Gebläses.  Von  Bergrath  Prof. 
Wbisbach 421 

Optik. 

Chemische  Analyse  durch  Spectralbeobachtungen.     Nach  Kirchhoff  und  Bun- 

sen;  von  £.  Kahl 79 

Ueber  das  Verhalten  der  Gase  im  glühenden  Zustande.     Nach- Kirchhoff;  von 

E.  Kahl 149 

Ueber  Spectralbeobachtungen.    Nach  A.  Mousson ;  von  E.  Kahl 429 

Wärmelehre  und  Molecularphysik. 

Zur  mechanischen  Wärmelehre.     Von  Prof.  Marr 72 

Wärmeleitnngsfähigkeit  des  Wasserstoffgases.  Nach  Magnus ;  von  E.  Kahl  .  215 
Beiträge  zur  Kenntniss  der  Gesetze  der  Gasabsorption.     Nach  Sims      ....     3-l(t 

Elektricität  und  MagnetismuB. 

Eine  neue  Art  elektrischer  Ströme.     Nach  G.Quincke;  von  £.  Kahl      ...  151 

Ueber  Magnetismus.     Von  Stud.  G.  Roch 182 

Verbesserung  eines  Elektroscops.     Von  Prof.  Dr.  Dkllmann 216 

Elektrische  Untersuchungen.     Von  Prof.  Dr.  Dbllmakh 240 

Die  zweckmässigste  Form  der  Zink  -  Eisensäule.  Von  Prof.  Dr.  Dkllmann  .  .  287 
Beiträge   zur  Geschichte    der  Fortschritte  in  der  elektrischen 

Telegraphie.     III.     Von  Dr.  Zetzschb 373 

Ueber  die   Forttühmng  materieller  Theilchen   durch  strömende  Elektricität. 

Nach  G.  Quincke ;  von  E.  Kahl 429 

Ueber  ein  reproducirbares  Stromwiderstandsmaass.      Nach  Matthicssen;    von 

E.  Kahl 430 

Meteorologie. 

Ueber  den  Zusammenhang  der  Witterungserscheinungen.    Von 

Prof.  Dr.  Dellmann 37 

Ueber  die  Theorie  des  Nordlichts.     Von  Prof.  Dr.  Dellmann 274 

Vermisohtee. 

Ueber  ein  neues ,  dem  Kalium  nahestehendes  Metall.    Nach  Bunsen  und  Kibch- 

hoff 220 

Darstellung  des  Sanerstoffgases ,  von  Dbvillr  und  Dbbbat 3 13 

Neues  Metall.     Nach  Bunsen 344 

Ueber  die  Existenz  eines  vierten  Metalls  der  Calciumgruppe.     Nach  Duprk  und 

Cbookes 344 

Ueber  die  Darstellung  fester  Kohlensäure.     Nach  Loir  und  Drion 345 

»  Das  Cäsium  und  Rubidium.     Nach  Kirchhoff  und  Bunsen ;  von  E.  Kahl   .     .     .  429 


L 

Zwei  Hauptsätze  der  i^eueren  Oeometrie. 

Von  Dr,  Wilh.  Fiedler, 

Lehrer  an  der  Königl.  Qewerbschnle  zu  Chemnitz. 


Die  beiden  allgemeinen  Sätze,  deren  Darlegung  and  Erläuterung  ich 
beabsichtige,  betreffen  die  bomographische  Theilung  und  die  In- 
volution. M.  Chasles  bat  in  seinem  ^^Traiii  de  giamitrie  supetieure^^  da- 
von die  folgenden  Definitionen  gegeben ;  zuerst  in  Betreff  der  bomograpbi- 
sehen  Theilung :  Wenn  zwei  gerade  Linien  durch  Punkte ,  die  sich  einer 
BU  einem  entsprechen^  so  getheilt  sind,  dass  das  anharmonische  Verhält- 
niss  von  vier  beliebigen  Punkten  der  einen  dem  anharmonischen  Verbält- 
niss  der  vier  entsprechenden  Punkte  der  anderen  gleich  ist ,  so  sagen  wir, 
dass  diese  beiden  geraden  Linien  homographisch  getheilt  sind,  oder  auch, 
dass  ihre  Punkte  zwei  bomographische  Theilungen  bilden. 

Und  wenn  in  zwei  Strahlenbüscbeln ,  deren  Strahlen  sich  einer  zu 
einem  entsprechen,  vier  beliebige  Strahlen  des  ersten  ihr  anharmonisches 
Verhältniss  immer  dem  der  vier  entsprechenden  des  zweiten  gleich  haben, 
so  sagen  wir,  dass  die  beiden  Büschel  homographisch  sind.    (No.  09.'^) 

Und  betreffs  der  Involution:  Wenn  drei  Systeme  von  zwei  conjugirten 
Funkten,  die  in  derselben  geraden  Linie  liegen,  so  beschaffen  sind,  dass 
vier  dieser  Punkte ,  in  den  drei  Systemen  genommen ,  ihr  anharmonisches 
Verhältniss  gleich  dem  ihrer  vier  conjugirten  haben ^  so  sagen  wir,  dass 
die  sechs  Punkte  in  Involution  sind.  (No.  182.)  Und  sechs  von  demselben 
Punkte  ausgehende  und  paarweis  conjugirte  gerade  Linien  sind  in  Involution, 
wenn  irgend  vier  derselben,  in  den  drei  Paaren  genommen,  mit  ihren  vier 
conjugirten  das  nämliche  anharmonische  Verhältniss  haben.  (No.  243.) 

Man  weiss,  welche  Entwickelung  und  Anwendung  M.  Chasles  diesen 
Begriffen  gegeben  hat.  In  neuester  Zeit  hat  nun  der  ausgezeichnete 
Geometer  diese  beiden  Sätze  unter  einem  neuen  Gesichtspunkte  gefasst 
und  dieselben  dadurch  zu  wahren  Fundamentalsätzen  der  neuem  Geome- 


♦>  Die  Citste  beziehen  sich  aaf  die  Originalausgabe. 
MUebrift  f,  MMheaoLtik  a,  Pby§ik.  VI    i. 


Zwei  Haujj^fs&tze*  der  Dcaeren  Geometrie. 


■  •        • 


trie  gemacht.  In  .^cipea  'Vorlesungen  an  der  Pariser  Faculte  des  Sciences 
hat  er  zuerst  die/Vortheile  der  neuen  Auffassung  entwickelt,  und  sie  so- 
dann in  einemidj4^a  Compies  rcndus  der  Academie  niedergelegten  Memoire 
allgemeiner  Wgälnglich  gemacht.    (C,  r.  L  41 ,  p.  1097.) 

Ich  Yr{kbe  die  Absicht,  diese  Auffassung  hier  darzulegen,  indem  ich 
die  Bej^^isgründe  hinzufüge,  die  Chasles  an  jener  Stelle  nicht  gegeben 
htft/.thlä  die  Sätze  an  einigen  Beispielen  erläutere. 
'.«••'Ich  gebe  zunächst  die  beiden  Sätze  in  ihrer  neuen  Ausdrucksweise 

•  •••*-  selbst:  sie  hcissen: 

•  •  •  ' 

••.  '  I.Wenn  man  in  einer  Aufgabe,  worin  keinerlei  Trans- 

cendenten  vorkommen  (weder Functionen nochCurvon)  zwei  gerad- 
linige Keihen  von  Punkten  (auf  einer  und  derselben  geraden  Linie 
oder  nicht)  hat,  und  wenn  nach  der  Natur  der  Aufgabe  sich  die 
Punkte  beider  Reihen  in  der  Weise  entsprechen,  dassjedom 
Punkte  der  ersten  Reihe  nur  ein  Punkt  in  der  zweiten  zuge- 
hört, und  umgekehrt  einem  Punkte  der  zweiten  nur  ein  be- 
stimmter Punkt  in  der  ersten,  so  kann  man  dar  aus  schliessen, 
dass  diese  zweiReihen  vonPunkten  homographisch  sind,  oder 
das  8  das  anharmonischeVerhältniss  von  irgend  vi  er  Punkten 
der  ersten  dem  der  entsprechenden  vier  Punkte  der  zweiten 
gleich  sei.Mit  andern  Worten,  das  bezeichnete  Entsprechen  zweier  gerad- 
linigen Punktreihen  ist  stets  ein  anharmonisches  Entsprechen. 

Ganz  dasselbe  Princip  ist  auf  ein  Strahlenbüschel  und  eine  geradlinige 
Punktreihe  anwendbar,  nämlich:  Wenn  man  zeigen  kann,  dass 
je  einem  Strahl  des  Büschels  nur  ein  Punkt  der  Reihe  und 
umgekehrt  einem  Punkte  der  Reihe  nur  ein  Strahl  des  Bü- 
schels entspricht,  so  ist  daraus  zu  schliessen,  dass  das  an- 
harmonische Verhältniss  von  irgend  vier  Strahlen  immer 
gleich  dem  der  entsprechenden  vier  Punkte  sein  wird,  oder 
dass  die  Punkte  der  Reihe  und  die  Strahlen  des  Büschels  sich  anharmo- 
nisch entsprechen. 

Endlich  gilt  dasselbe  von  zwei  Strahlenbüscheln :  Wenn  sich  zwei 
Strahlenbüschel  dergestalt  entsprechen,  dass  jedem  Strahl 
des  einen  nur  ein  Strahl  des  andern  zugehört  und  umgekehrt, 
80  ist  das  Entsprechen  anharmonisch,  oder  das  anharmonische 
Verhältniss  von  irgend  vier  Sti:ahlen  des  einen  Büschels  ist  dem  der  vier 
correspondirenden  des  andern  gleich. 

IL  Wenn  man  in  ein^r  Aufgabe,  in  welcher  keinerlei 
Transcendenten  vorkommen,  zwei  Reihen  von  Punkten  (auf  ei- 
ner und  derselben  geraden  Linie  oder  nicht)  hat,  undwennnachdenBe- 
dingungen  der  Aufgabe  je  demP  unkte  der  ersten  Reihe  nur  ein 
Punkt  der  zweiten  entspricht,  aber  jedem  Punkte  der  zwei- 
ten  Seihen  immer  zwei  Punkte  der  ersten   in  völlig  gleicher 


Von  Dr.  Wilh,  Fiedler.  3 


Weise,  so  hat  man  zu  schliessen,  dass  alle  diese  Paare  von 
Fankten  in  Involution  sind,  und  dass  sie  den  einzelnen  Punk- 
ten der  zweiten  Reihe  anharmonisch  entsprechen.  Und  die- 
ser Satz  erleidet  die  nämliche  Ausdehnung  wie  derersteauf 
eine  Pnnktroihe  und  ein  Strahlenhüschel  und  auf  zwei  Strah- 
lenhüschel. 

Ohne  jetzt  auf  die  Fruchtbarkeit  der  neuen  Ausdrucksweise  einzu- 
gehen ,  erörtere  ich  zunächst  ihre  Richtigkeit. 

Angenommen,  dass  —  was  den  ersten  Satz  über  die  Homographie 
zweier  Punktereihen  betrifft  —  der  bewegliche  Punkt  m  die  erste  Reihe 
und  der  Punkt  ni  die  zweite  Reihe  durchlaufe ,  und  dass  a  in  jener,  V  in 
dieser  je  ein  fester  Anfangspunkt  sei ,  von  dem  aus  man  die  durchlaufenen 
Segmente  zählt,  so  ist  Folgendes  ausser  Zweifel:  Die  zwischen  je  zwei 
entsprechenden  Punkten  beider  Reihen  bestehende  Relation  muss  sich  in 
einer  Gleichung  zwischen  zwei  Veränderlichen  ausdrücken  lassen,  welche 
keine  andern  als  die  zwei  Segmente  am  und  h'm  sein  werden;  gewiss  muss 
diese  Gleichung  rein  algebraisch  sein,  und  gewiss  kann  sie  hinsichtlich 
beider  Veränderlichen  nur  in  gleicher  Weise  vom  ersten  Grade  sein ,  so- 
bald man  die  eine  Veränderliche  als  constant  betrachtet,  weil  jedem 
Punkte  der  einen  Reihe  nur  ein  Punkt  der  andern  entsprechen  soll.  Die 
allgemeine  Form  dieser  Gleichung  ist  daher 

am  .  Vtn  +  A  .  a  w  +  fi .  h'm  -f-  v  =  0 
(wo  1,  m  V  constante  Coefficienten  sind) ;  hier  entspricht  jedem  bestimmten 
Werthe  von  am  ein  bestimmter  Werth  von  h'ni  und  umgekehrt. 

Ganz  dieselbe  allgemeine  Gleichung  drückt  aber  die  Homographie 
zweier  geradlinigen  Punktreihen  aus;  sie  ist  in  No.  131  der  „Geom.  super. ^^ 
gegeben.  Hier  ihre  kurze  Ableitung:  Wenna,&,c  drei  Punkte  der  ersten 
geraden  Linie  und  d^\c  die  drei  entsprechenden  Punkte  der  zweiten  sind, 
und  ein  vierter  Punkt  m  der  ersten  Linie  willkührlich  angenommen  wird, 
so  ist  der  ihm  entsprechende  Punkt  m  der  zweiten  durch  die  Bedingung  der 
Gleichheit  der  anharmonischen  Verhältnisse  beider  Theilungen  bestimmt: 
am  ac ^^dm  de  ,  am  dm*  fac  dc\ 
hm'  bc      b'm' '  b'c  bm      b'm     \bc'  b'cj» 

So  lange  man  nun  die  Punkte  m,  m'  respective  immer  auf  die  drei  ersten 

Punkte  a, 6, c,  a',6',c  bezieht,  ist —: —,  eine  Constante,   und   man  kann 

schreiben 


am ,  am 

bm  bm 

Dies  passt  ohne  Weiteres  auf  den  jetzigen  Fall;  a  und  b'  waren  die  beiden 
feiten  Punkte  der  ersten  und  zweiten  Punktreihe ,  d  und  b  sind  daher  ihre 
entsprechenden  Punkte  der  zweiten  und  ersten  Reihe.  Und  man  hat  zwi- 
schen ihnen  die  Gleichung 

am ,  b'm' — k .  bm  .aW  =  0. 

\* 


Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie. 


Aus  derselben  sind  nun  die  Segmente  btn  und  am  zu  entfernen,  weil  sie 
die  der  gegenwärtigen  Frage  fremden  Punkte  a  und  b  enthalten;  das  ge- 
schieht einfach  durch  die  Substitutionen 

btn  ^=  am  —  abt     a'm'^=^b'm — 6V, 
and  man  erhält 

am  .  b'm  —  k(am  —  a 6)  {b'tn  —  6'a')  =  0 , 
oder 

am  .  b'm'  +   T.^'^'*  ^^  H T.^^  .  6'm'  —  ä  .  ab  .6V'=0, 

welche  man  mit  Rücksicht  auf  die  in  der  Frage  constanten  Grössen  schrei- 
ben darf: 

am  .  b'm'  +  A  .  am  +  ft .  b'm'  -j-  v  =  0 , 
wie  oben.  Wenn  hierdurch  die  neue  Fassung  für  den  ersten  Sats  in  Besug 
auf  zwei  Punktereihen  vollständig  bewiesen  ist,  so  lehren  die  bekannten 
Zusammenhänge  zwischen  Punktereihen  und  Strahlenbüscheln,  die  die 
wesentliche  Grundlage  der  gesammten  neueren  Geometrie  bilden ,  dass  für 
die  Geltung  desselben  Satzes  in  Bezug  aaf  eine  Punktereihe  und  ein  Strah- 
lenbttschel  und  in  Bezug  auf  zwei  Strahlenbüschel  keine  besondem  Beweise 
nöthig  sind,  oder  dass  der  hier  angewendete  Beweis  sich  einfach  auf  sie 
übertragen  lässt. 

Der  Beweis  des  zweiten  Satzes  wird  durch  folgende  Schlüsse  geführt. 
Die  Involution  und  die  homographische  Theilung  hängen  bekanntlich  aufs 
Engste  zusammen.  Wenn  aa'^  6^' zwei  Punktepaare  sind,  so  kann  man 
eine  Unendlichkeit  von  Paaren  cc^  dd',  ee, . .  bestimmen,  deren  jedes  mit 
a a  und  b b'  eine  Involution  bildet.  Die  Punkte  a^b^c^d^e..,  und  die  Punkte 
a\b',Cyd^^e. . .  bilden  alsdann  zwei  homographische  Theilungen;  denn  die 
vier  Punkte  a,b^a\c  müssen  nach  dem  Begriff  der  Involution  ihr  anharmo- 
nisches Verhältniss  dem  der  vier  Punkte  a\b',a,c  gleich  haben.  Betrach- 
tet man  nun,  wie  es  nach  dem  Gesagten  in  Ordnung  ist,  die  drei  Punkte 
a,b^a'  der  ersten  und  die  drei  a'^b'^a  der  zweiten  Tneilung  als  fest  und  lässt 
die  Punkte  c^c  alle  Lagen  durchlaufend  sich  bewegen,  also  cde...^  cde,., 
beschreiben ,  so  müssen  ihre  entsprechenden  Orte  zwei  homographische 
Theilungen  bilden.  Und  wenn  nun  in  diesen  beiden  Theilungen  einen  Punkt 
c  der  zweiten  als  der  ersten  angehörig  betrachtet,  so  wird  dann  c  sein 
entsprechender  in  der  zweiten  sein;  denn  wegen  der  Involution  der  drei 
Segmente  aa',  bb'^  cc  ist  das  anharmonische  Verhältniss  der  vier  Punkte 
a^b^a\c  dem  der  vier  a\b'^a^  c  gleich,  d.  h.  dem  Punkt  c\  als  der  ersten 
Theilung  angehörig  betrachtet,  entspricht  in  der  zweiten  der  Punkt  c.  Und 
sobald  diese  Statthaftigkeit  der  Vertauschung  eines  Punktes  mit  seinem 
Homologen  in  zwei  homographischen  Theilungen  derselben  geraden  Linie 
für  ein  einziges  Paar  entsprechender  Punkte  gilt ,  so  ist  sie  für  alle  wahr 
und  kann  daher  als  ein  Cbarakterzeichen  der  Involution  angesehen  wer- 
den.    Denn  wenn  die  vorher  gebrauchte  allgemeine  Gleichung  durch  die 


Von  Dr.  W.  Fiedler. 


rfWMM^W^^iM 


Voranssetsung,  dass  jetzt  ftir  die  beiden  Tbeilnngen  der  nämlichen 
geraden  Linie  nur  ein  fester  Anfangspunkt  a  statt  der  beiden  a  und  b 
genommen  werde,  in 

am  .  am   +  X  .  am  +  (i  .  am'  +  v  =  0 
fibergeht,  so  muss  diese  Gleichung,  wenn  sie  die  Vertauschung  von  am 
mit  am'  auch  nur  einmal  gestatten  soll,  durch  die  Erfüllung  der  Bedin- 
gung X=f*  au 

am  ,  am'  +  k  {am  +  am')  +  v  =  0 
werden;  nun  enthält  sie  am  und  am'  in  ganz  gleicher  Weise  und  diess 
•chon  seigt  die  allgemeine  Gültigkeit  der  Vertauschung. 

Aber  sie  geht  auch  aus  der  Natur  der  Involution  hervor.  Seien 
a,  bj  c  drei  Punkte  der  ersten ,  a',  b'^  c  die  entsprechenden  der  zweiten  Thei- 
Inng,  und  habe  c,  als  der  zweiten  Theilung  angehörig  betrachtet,  c  zum 
entsprechenden  Punkt  in  der  ersten,  so  muss  auch  a'  der  Punkt  der  er- 
sten Theilung  sein,  der  dem  a,  als  Punkt  der  zweiten  Theilung  betrach- 
tet, entspricht;  denn  die  Punkte  a,b,c^c  der  ersten  Theilung  haben  nach 
der  Versetzung  zu  entsprechenden  in  der  zweiten  die  Punkte  a',b',c'^c\ 
folglieh  sind  die  drei  Paare  von  conjugirten  Punkten  aa'^  bb'^  cc  in  In- 
volution und  also  haben  die  zwei  Reihen  von  Punkten  aa'bc  und  a'ab'c 
gleiches  anharmonisches  Verhältniss,  d.  h.  der  Punkt  a,  als  der  zweiten 
Theilung  angehörig  betrachtet,  hat  zum  homologen  Punkt  in  der  ersten 
den  Punkt  a']  und  in  gleicher  Weise  würde  sich  die  Vertauschbarkeit 
flii  jedes  andere  Paar  entsprechender  Punkte  beweisen  lassen. 

Eben  diese  VertauschungsfähigkiBit  aber  ist  der  Coincidenzpunkt  der 
hier  gegebenen  allgemeinen  Betrachtungen  mit  den  Voraussetzungen  der 
zu  beweisenden  gegenwärtigen  Auffassung  im  zweiten  Satze.  Denn  be- 
zeichnet man  die  zwei  Punkte  der  einen  Punktreihe,  die  dem  einen 
Punkte  in  der  andern  entsprechen,  mit  m'^  m\  so  kann  man  wie  bei  der 
Entwicklung  des  vorigen  Satzes  die  Lage  dieser  Punkte  durch  die  An- 
gabe ihrer  Segmente  von  zwei  Anfangspunkten  aus  bestimmen.  Dann 
müssen  nach  dem  bereits  bewiesenen  ersten  Satze  die  Reihen  der  Punkte 
m',  m"  mit  einander  homographisch  sein,  da  jedem  Punkte  m'  nur  ein 
Punkt  m"  und  umgekehrt  entspricht.  Was  aber  diesen  Fall  von  der 
blossen  einfachen  Homographie  unterscheidet,  ist  eben  diess,  dass  dem 
einen  Punkte  m  ganz  in  gleicher  Weise  die  beiden  Punkte  m\  m"  ent- 
sprechen, dass  also  jedem  dieser  Punkte,  mag  man  ihn  als  der  ersten 
oder  zweiten  Theilung  angehörig  denken,  immer  derselbe  homologe  Punkt 
zugehört.     Daher  ist  diese  Homographie  eine  Involution. 

Hiemach  ist  hier  nur  noch  hinzuzufügen,   was  man  unter  dem  an- 
harmonischen  Entsprechen  einer  Reihe  involutorischer  Segmente  mit  einer 
Reihe  von  Punkten  versteht.    Wenn  man  als   den  Pol  eines  Punktes  be- 
sttglich    eines   Segmentes    den   conjugirt  harmonischeii  P\mk\.  ^^%i%^«^ 
im  VerhäJtoitiv  »u  den  Endpunkten  des  'Segments  vexB\A\a\.)  «^  V^^•  tsas& 


6  Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie. 

diesen  Satz:  Wenn  vier  auf  einer  geradenLinie  angenommene 
Segmente  in  Involution  sind,  so  ist  das  anharmonische  Yer- 
hältniss  der  Pole  eines  Punktes  der  Linie  bezttglich  dieser 
Segmente  constant,  welches  auch  der  Punkt  sei. 

Dieser  Satz  ist  eine  unmittelbare  Consequenz  des  ersten  Hauptsatzes ; 
denn  wenn  man  irgend  zwei  Paukte  der  geraden  Linie  denkt,  und  deren 
zweimal  vier  Pole  in  Bezug  auf  die  gedachten  Segmente  bestimmt,  so 
entsprechen  sich  diese  ganz  in  der  dort  vorausgesetzten  Weise  und  müs- 
sen sich  daher  anharmonisch  entsprechen.  Jenes  anharmonische  Verhllt- 
niss  der  vier  Pole  wird,  da  es  für  dieselben  involutorischen  Segmente 
constant  ist,  das  anharmonische  Verbal tniss  der  vier  Segmente 
genannt.  In  dem  speciellen  Falle,  dass  der  eine  dieser  beiden  Punkte 
im  Unendlichen  liege,  werden  seine  Pole  in  Bezug  auf  die  vier  Seg- 
mente die  Mittelpunkte  derselben  und  man  kann  daher  sagen,  dass  das 
anharmonische  Verhältniss  von  vier  involutorischen  Seg- 
menten dem  ihrer  vier  Mittelpunkte  gleich  ist 

Und  nach  dieser  Erklärung  ist  nach  dem  ersten  Satze  kein  Zweifel, 
dass  das  Entsprechen  jener  Ponktreihe  m  und  dieser  Reihe  involutori- 
scher  Segmente  m\  m    ein  anharmonisches  ist.  * 

Ebenso  wie  der  erste  Satz  überträgt  sich  der  jetzige  auf  eine  Punkt- 
reihe und  ein  Strahlbüschel  und  auf  zwei  Strahlbüschel,  und  ist  somit 
hierdurch  vollständig  bewiesen. 

Einige  Beispiele  werden  nun  die  grosse  Tragweite  dieser  Sätze 
deutlich  machen. 

Zu  Satz  I.  Man  denke  einen  Kegelschnitt  und  zwei  feste  Tangen- 
ten an  denselben;  eine  bewegliche  Tangente  dieses  Kegelschnitts  wird, 
dann  auf  jeder  von  diesen  beiden  eine  Punktroihe  beschreiben ;  in  diesen 
Reihen  entspricht  jedem  Punkt  der  ersten  ein  und  nur  ein  Punkt  der 
zweiten  und  umgekehrt.  Demnach  müssen  beide  Reihen  homographisch 
sein,  oder  das  anharmonische  Verhältmss  von  irgend  vier  Punkten  der 
ersten  ist  dem  der  vier  entsprechenden  Punkte  der  zweiten  gleich. 

Und  dem  entsprechend  denke  man  einen  Kegelschnitt  und  darin 
zwei  feste  Punkte,  lasse  nun  einen  Punkt  sich  auf  dem  Kegelschnitt  be- 
wegen und  verbinde  ihn  in  jeder  seiner  Lagen  mit  jenen  beiden  durch 
eine  gerade  Linie;  man  erhält  zwei  Strahlenbüsehel ,  in  denen  jedem 
Strahl  des  einen  ein  und  nur  ein  Strahl  des  andern  entspricht  und  um- 
gekehrt, und  dieselben  müssen  daher  sich  anharmonisch  entsprechen,  d.  h. 
das  anharmonische  Verhältniss  von  irgend  vier  Strahlen  des  einen  Bü- 
schels muss  gleich  sein  dem  anharmonischen  Verhältniss  der  vier  ent- 
sprechenden Strahlen  des  andern.  —  So  ergeben  sich  also  die  anharmo- 
nischen  Eigenschaften  der  Kegelschnitte  unmittelbar  und  ohne  Beweis 
aus  der  blossen  Darlegung  des  Sachverhaltes  und  dem  Satze  I.  Man 
erkennt  erat  die  gaaze  JBadentung  dieser  Ergebnisse,  wenn  man  bedenkt, 


Von  Dr.  W.  Fifdler. 


dass  alle  die  allgemeinsten  Sätze  über  die  Kegelschnitte  aus  ihnen  ent- 
springen; 80  der  berühmte  Satz  von  Pasc  als  mystischem  Sechseck  imd 
sein  reciproker,  der  Satz  von  Desargues  über  die  Involution  von  sechs 
Punkten,  der  von  Newton  über  die  organische  Beschreibung  der  Kegel- 
schnitte, der  von  Pappus  über  das  Vcrhältniss  der  Perpendikel,  die 
man  von  irgend  einem  Kegelschnittspunkto  auf  die  Gegenseiten  eines  ihm 
eingeschriebenen  Vierecks  föUt,  und  der  Satz  von  Carnot  über  die 
Segmente,  die  ein  Kegelschnitt  auf  den  Seiten  eines  Dreiecks  in  sei- 
ner Ebene  bildet 

Oder  man  denke  sich  eine  Beihe  von  Curven  dritter  Ordnung,  die 
alle  dorch  dieselben  neun  Punkte  a,  fr,  c . . .  gehen  und  ziehe  in  einem  die- 
ser Punkte  a  die  Tangenten  dieser  Curven  T^Ty  ....  Wenn  man  nun 
zwischen  zwei  beliebigen  anderen  der  neun  Punkte  die  Sehne  zieht, 
s.  B.  von  b  nach  c,  so  schneidet  dieselbe  jede  der  Curven  in  einem  drit- 
ten Punkte  und  man  hat  eine  Punktreihe  n,  n,,  itj... .  auf  ihr.  (Die  Gleich- 
heit des  Index  bei  n  und  T  bedeutet,  dass  jener  Punkt  und  diese  Tan- 
gente zur  nämlichen  Cur\'e  der  Reihe  gehören.)  Jedem  der  Punkte  n 
entspricht  nur  eine  bestimmte  Tangente  T  und  umgekehrt  joder  Tangente 
7  nur  ein  bestimmter  Punkt  in  der  Reihe  der  n;  es  muss  folglich  dieses 
Entsprechen  ein  anharmonisches  sein.  M.  Chasles  machte  diess  Ergeb- 
niss  zur  Quelle  interessanter  Eigenschaften  der  Curven  dritter  Ordnung. 

Wenn  man  sich  in  einem  andern  der  neun  Bestimmungspunkte  gleich- 
falls  die  Tangenten  T,  J^,  Jj**-  gezogen  denkt,  so  müssen  diese  denen 
der  ersten  Schaar  anharmoniseh  entsprechen  und  die  Folge  davon  ist, 
dass  die  entsprechenden  Strahlen  beider  Tangentenbüschel  sich  auf  einem 
Kegelschnitt  durchschneiden.  Man  erkennt  leicht,  dass  diese  Eigenschaft 
nicht  dem  System  der  Curven  dritter  Ordnung  allein  eigen ,  sondern  dass 
sie  eine  allgemeine  Eigenschaft  aller  auf  ähnliche  Weise  bestimmten 
Curvensysteme  ist. 

M.  Chasles  hat  in  seinem  ^^  Memoire  sur  Ics  surfaces  du  2.  degree^^ 
mehrere  Sätze  gegeben,  die  sich  als  unmittelbare  Folgen  des  Satzes  I 
herausstellen;  z.  B. :  Vier  an  eine  windschiefe  Oberfläche  durch  die- 
selbe Erzeugende  gelegte  Tangentialebenen  und  ihre  vier  Berülurungs- 
punkte  in  dieser  Erzeugenden  haben  gleiches  anharmouisches  Verhältniss. 
Die  Richtigkeit  des  Satzes  ist  klar,  sobald  man  sich  nur  der  Beziehung 
erinnert,  in  welcher  das  anharmonische  Verhältniss  von  Ebenen,  die  sich 
in  derselben  geraden  Linie  schneiden,  zu  dem  von  geraden  Linien  an 
einem  Punkte  oder  Punkten  auf  einer  geraden  Linie  steht. 

Ebenso :  Vier  Ebenen ,  die  man  willkürlich  durch  dieselbe  Erzeugende 
einer  windschiefen  Oberfläche  legt,  haben  vier  Berührungspunkte  auf 
4ie8er  mit  der  Oberfläche  und  das  anharmonische  Verhältniss  derselben  ist 
dem  der  vier  Punkte  gleich,  wo  dieselben  Ebenen  zur  Oberfläche  normal  sind. 

Ebenso:   Wenn  sich  von   vier  geraden  Linien  jfti^  Mi  ÄiA  '«''Söbäx- 


8  Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie. 

lieh  im  Baume  liegende  feste  gerade  Linien  anlehnt,  so  ist  das  anhar- 
.monische  Verhältniss  der  auf  einer  von  diesen  drei  geraden  Linien  ge- 
bildeten Punktreihe  dem  der  entsprechenden  Panktreihe  auf  jeder  der 
beiden  andern  gleich.  Und  so  ergiebt  sich  diese  Hanpteigenschaft  des 
elliptischen  einmanteligen  Hyperboloids  ohne  alle  Mühe :  Vier  Erzeugende 
derselben  Art  bestimmen  auf  jeder  beliebigen  Erzeugenden  der  an*%[em  Art 
vier  Punkte ,  deren  anharmonisches  Verhältniss  denselben  constanten  Werth 
hat,   welches  auch  die  Lage  dieser  Erzeugenden  der  zweiten  Art  sein  mag. 

Um  für  spätere  Entwickelungen  vorzubereiten,  komtne  ich  noch  ein- 
mal auf  die  Kegelschnitte  zurück  und  zwar  speciell  auf  solche,  die  dem 
nämlichen  Viereck  umschrieben  sind.  Ist  AB  CD  das  Viereck  und  sind 
S^  S^ä\...  dergleichen  umschriebene  Kegelschnitte,  so  ist  klar,  dass  jeder 
unter  ihnen  durch  einen  fünften  Punkt  vollkommen  bestimmt  ist.  Zu 
dieser  Bestimmung  können  die  Punkte  dienen,  in  denen  eine  durch  A 
gezogene  gerade  Linie  A  L  die  aufeinanderfolgenden  Kegelschnitte  schnei- 
det; sei  a  da,.,  diese  Punktreihe.  Wenn  man  eine  zweite  solche  Trans- 
versale AL^  zieht,  so  bestimmt  sie  in  den  respective  entsprechenden  Ke- 
gelschnitten die  Punkte  5, h\ h'\ . . ;  diese  beiden  Beihen  ad,..\^  b b\ . .  ent- 
sprechen einander  in  der  Weise ,  dass  jedem  Punkt  der  einen  ein  und  nur 
ein  Punkt  der  andern   entspricht  und  müssen  daher  homographisch  sein. 

Lam^  hat  femer  bewiesen,  dass  die  Polaren  eines  beliebigen  Punk- 
tes in  ihrer  Ebene  in  Bezug  auf  die  Kegelschnitte  einer  solchen  Schaar 
alle  durch  einen  festen  Punkt  hindurchgehen.  Auch*  diess  ergiebt  sich 
mittelst  des  ersten  Satzes  durch  eine  blosse  Darlegung  der  Verhältnisse. 
Denn  denkt  man  sich  die  sämmtlichen  Polaren  und  dieselben  von  zwei 
beliebigen  Transversalen  in  den  Punktreihen  ccc'..,,  d(f<f\..  geschnitten 
(wobei  der  gleiche  Index  den  Schnittpunkt  mit  derselben  Polare  be- 
zeichnet) so  ist  offenbar,  dass  jedem  der  beiden  Kegebchnitte  nur  ein 
Punkt  0  in  der  ersten  and  nur  ein  Punkt  d  in  der  zweiten  Transversale 
entspricht;  auch  umgekehrt  entspricht  jedem  dieser  Punkte  nur  ein  Ke- 
gelschnitt und  es  folgt  daraus,  dass  die  Beihe  der  Punkte  c  mit  der 
Beihe  der  Punkte  d  homographisch  sein  muss.  Diese  Eigenschaft  kann 
aber  nur  dann  für  jede  beliebige  Transversale  bestehen,  wenn  die 
sämmtlichen  Polaren  ein  Strahlbüs.chel  bilden,  also  durch  einen  festen 
Punkt  gehen.  Wenn  man  nun  mit  dieser  Vorstellung  des  Polarenbttschels 
sich  jener  Punktreihe  add\.,  erinnert,  so  erkennt  man  sofort,  dass 
dieselbe  mit  dem  Büschel  homographisch  sein  muss  und  dass  daher 
die  Polarenbüschel  aller  möglichen  Punkte  in  der  Ebene  der  ^Schaar 
von   Kegelschnitten  anharmonisch     entsprechen*).     (Speciell   z«   B.    die 


*)  Es  bedarf  wohl  nur  der  einfachen  Anmerkung,  dass  hier  überall  reciproke 
Betrachtungen  betreffs  der  einem  Viereck  eingeschriebenen  Schaa%von  Kegelschnit- 
/A0  darcbgutUhren  sind. 


Von  Dr.  W.  Fiedler.  9 

Taogentenbflschel  in  den  vier  Ecken  des  eingeschriebenen  Vier- 
ecks.) —  Von  diesem  Gtosichtspnnkte  aus  kann  man,  wie  es  Chas- 
les  thnt,  von  einem  Büschel  von  Kegelschnitten  reden,  welches  einem 
Bflschel  von  geraden  Linien  oder  einem  zweiten  Büschel  von  Kegel- 
schnitten anharmonisch  entspricht.  Das  anharmonische  Verhältniss  von 
irgend  vier  Kegelschnitten  eines  solchen  Büschels  ist  das  ihrer  vier  Po- 
laren in  Besng  auf  irgend  einen  Pnnkt  in  ihrer  Ebene,  oder  speciell  das 
ihrer  vier  Tangenten  in  einer  der  Ecken  des  eingeschriebenen  Vierecks. 
Ich  habe  die  Absicht,  in  weiteren  Mittheilnngen  die  ungemeine  Entwiche- 
longsflRhigkeit  dieses  Begriffs  vom  anharmonischen  Entsprechen  von  Ke- 
gelschnitten an  der  Hand  seines  Erfinders  darzulegen;  die  gegenwärtige 
Mittheilnng  steht  im  Gänsen,  wie  in  diesem  einzelnen  Beispiele  im  eng- 
sten Zusammenhang  mit  dieser  Absicht. 

Es  bleibt  mir  übrig,  IL  Beispiele  über  den  Satz  von  der  Involution 
IQ  geben. 

Wenn  man  von  jedem  Punkte  einer  geraden  Linie  aus  zwei  Tan- 
genten an  einen  Kegelschnitt  zieht,  so  begegnen  dieselben  einer  festen 
Tangente  immer  in  zwei  Punkten ;  jedem  Punkte  jener  geraden  Linie  ent- 
sprechen auf  diese  Weise  zwei  verschiedene  Punkte  in  jener  festen 
Tangente  und  jedem  Punkte  dieser  festen  Tangente  nur  ein  Punkt  in 
der  gegebenen  geraden  Linie;  demnach  sind  die  Punktpaare  in  der 
festen  Tangente  in  Involution  und  entsprechen  den  Punkten  der  geraden 
Linie  anharmoniscfa. 

Wenn  man  von  einem  festen  Punkte  aus  Transversalen  nach  einem 
gegebenen  .  Kegelschnitt  und  von  einem  beliebigen  Punkte  des  Kegel- 
schnitts aus  nach  den  Endpunkten  jeder  Sehne  gerade  Linien  zieht,  so 
hat  man  Paare  von  geraden  Linien,  die  durch  denselben  Punkt  gehen 
und  den  Transversalen  so  entsprechen,  dass  jedem  Paar  und  jedem 
Strahl  eines  Paares  eine  und  nur  eine  bestimmte  Transversale,  jeder 
Transversale  aber  ganz  gleichmässig  ein  Paar  von  Strahlen  entspricht; 
daher  müssen  jene  Strahlenpaare  ein  involutorisches  Büchel  bilden,  und 
dem  Büschel  der  Transversalen  anharmonisch  entsprechen.  Wenn  man 
fragen  wollte,  warum  jenes  Centrum  der  Strahlenpaare  ein  Punkt  des 
Kegelschnittes  sein  müsse,  so  ist  zu  antworten,  dass  einem  Punkte 
ausserhalb  des  Kegelschnitts  nicht  eine  bestimmte  Transversale,  sondern 
deren  zwei  entsprechen  würden,  und  dass  dann  die  im  Satze  11  geforderte 
Art  des  Entsprechens  eben  nicht  stattfände.  In  ganz  ähnlicher  Weise 
beseitigen  sich  übrigens  analoge  Bedenken  bei  den  früheren  Bei- 
spielen. 

Denke  man  wieder  eine  Reihe  von  Kegelschnitten,  welche  durch 
vier  Punkte  hindurch  gehen*  und  lasse  dieselben  durch  eine  Transversale 
geachnitten  werden,  die  durch  einen  der  vier  Punkte  f^dot^  «X^x  ^«t- 
diess  durch  eine  beliebig  gezogene.      Auf  jener  \)QB\.\mTn«ii  ^\^  Yjk^^'^ 


tO  Zwei  Hauptsätze  der  neueren  Geometrie. 

schnitte  eine  Reihe  von  Punkten  ada  , . .,  anf  dieser  die  Reihe  von  Punkt- 
paaren Bh^  B'h\.,.  Dabei  entsprechen  jedem  Punkte  a  der  ersten  Trans- 
versale ganz  gleichm&ssig  zwei  Punkte  B^  h  der  zweiten ,  aber  jedem 
Punkte  in  dieser  nur  ein  Punkt  der  erstem.  Es  müssen  daher  jene  Punkt» 
paare  in  Inyohition  und  mit  jener  Punktreihe  in  anharmonischem  YerhlÜtniss 
sein.  Bekannt  ist  der  Theil  des  Satzes,  nach  welchem  jene  Segmente  in  In- 
volution sind*),  aber  dass  sie  den  Punkten  a  anharmonisch  entsprechen, 
ist  eine  neue  Vervollständigung  des  Satzes.  Diese  Vervollständigung  ist 
frachtbar,  denn  wenn  man  z.  B.  jeden  Punkt  a  mit  den  entsprechenden 
Punkten  B^b  verbindet,  so  umhüllen  darnach  die  sämmtlichen  so  bestimm- 
ten geraden  Linien  einen  Kegelschnitt.  Und  wenn  man  in  einer  gera- 
den Linie  eine  Reihe  von  involutorischen  Segmenten  hat,  und  durch  die 
drei  festen  Punkte  a^h^c  eine  Reihe  von  Kegelschnitten  legt,  so  dass  jeder 
derselben  überdiess  durch  die  Endpunkte  eines  Segments  jener  Reihe 
geht,  so  gehen  nun  nothwendig  alle  diese  Kegelschnitte  durch  einen  be- 
stimmten vierten  Punkt  und  entsprechen  den  Segmenten  anharmonisch. 
Wenn  jeder  der  Kegelschnitte  durch  die  vier  Punkte  sich  auf  zwei  ge- 
rade Linien  reducirt,  so  liefert  der  Satz,  dass  die  von  denselben  auf 
einer  beliebigen  Transversale  gebildeten  Segmente  involutorisch  sind, 
diesen  bekannten  Satz  vom  Viereck:  Jede  in  der  Ebene  eines  Vierecks 
gelegte  Transversale  begegnet  seinen  vier  Gegenseiten  und  seinen  beiden 
Diagonalen  in  Punkten,  die  in  Involution  sind;  ein  Satz,  den  man  ge- 
wöhnlich zur  Construction  des  sechsten  Punktes  einer  Involution  anwen- 
det und  den  man  schon  in  des  Pappus  mathematischen  Sammlungen 
findet,  wenn  auch  in  anderer  Form. 

Wegen  der  vollkommenen  Zusammengehörigkeit  von  Punktreihen 
und  Strahlenbüscheln,  also  auch  der  von  involutorischen  Ponktreihen 
und  involutorischen  Strahlenbüscheln  gehen  auch  hier  aus  allen  Sätzen 
correlative  Sätze  ohne  Weiteres  hervor;  so  zu  dem  Vorhergehenden  vom 
Viereck,  um  nur  ein  Beispiel  anzuführen,  dieser:  Die  sechs  Geraden, 
welche  von  einem  beliebigen  Punkte  nach  den  vier  Eckpunkten  und  den 
beiden  Durchschnittspunkten  der  Gegenseiten  eines  Vierecks  gezogen 
werden,  bilden  einen  involutorischen  Strahlbüschel.  (Mit  Hilfe  dieses 
Satzes  kann  man  bequem  den  sechsten  Strahl  einer  Involution  finden. 
So  auch  in  den  anderen  vorgelegten  Beispielen**). 

Ein  interessantes  Beispiel  aus  der  Geometrie  des  Raumes  bieten  die 
Oberflächen  3.  Ordnung  dar.  Man  weiss,  dass  eine  solche  allgemein  27  ge- 
rade Linien  enthält;  jede  Ebene,  die  man  durch  eine  dieser  geraden  Linien 

*)  Er  enthält  die  Sätze  von  Desargneg  und  Sturm. 

*)  Weitere  Beispiele  von  der  Anwendbarkeit  dieser  Sätze  kann  man  finden  in 
dem  sehr  schätzbaren  Buche:  Milanges  de  giometrie  pure  comprenant  diverses  Ap- 
pHeaHons  des  Thiories  exposies  dans  le  iraiti  de  giometrie  supSrieure  de  M*  Chasies; 
jfor  Jff.  ä^  Joftguieres.    Paris.  Mattet.  I$56. 


Von  Dr.  W.  Fiedleb.  11 

legt,  sclmeidet  die  Oberfläche  ansser  ihr  in  einem  Kegelschnitt,  und  ist  in 
den  Bwei  Punkten,  welche  dieser  mit  der  geraden  Linie  gemein  hat,  Tan- 
gentialebene der  Oberfläche.  Denkt  man  vier  solche  Ebenen  durch  dieselbe 
gerade  Linie ,  so  bestimmen  dieselben  durch  ihre  Berührungspunkte  in  die- 
ser vier  Segmente,  die  in  Involution  sind  und  den  vier  Ebenen  anharmonisch 
entsprechen.  Man  kann  bemerken ,  dass  die  Doppelpunkte  dieser  Involution 
von  der  Art  der  parabolischen  Punkte  sind,  für  welche  die  Tangentialebenen 
der  Oberfläche  in  zwei  unendlich  nahe  benachbarten  Punkten  —  die  be- 
trachtete gerade  Linie  verbindet  sie  —  zusammenfallen. 

Diess  mag  ausreichen,  um  von  der  Brauchbarkeit  dieser  Sätze  eine 
Anschauung  zu  geben.  Man  versteht  darnach,  mit  welchem  Rechte 
ihr  Erfinder  Chasles  ihnen  den  Titel  Principien  hat  geben  können!*); 
sie  sind  allerdings  durch  ihre  Allgemeinheit  und  den  abstracten  Cha- 
rakter, der  ihnen  eigen  ist,  ausserordentlich  fruchtbare  Wahrheiten; 
sie  liefern  unmittelbar  und  in  einer  Menge  von  Aufgaben  einfache 
Beziehungen,  die  von  dem  anharmonischen  Verhältniss  abhängen  und 
sich  auf  dem  gewöhnlichen  Wege  gar  nicht  so  leicht  darbieten  würden. 
Sie  stellen  sich  in  allen  diesen  Beziehungen  dem  Princip  der  Recipro- 
cität  an  die  Seite,  umfassen  aber  jenes  in  dem  Bereich  ihrer  Anwend- 
barkeit, in  Folge  der  Doppelnatur  des  anharmonischen  Verhältnisses  zu- 
gleich mit  und  zeichnen  sich  dadurch  vor  ihm  aus,  dass  sie  nicht  schon 
bekannte  Wahrheiten  durch  Entwicklung  der  Correlata  vervielfältigen, 
sondern  im  Angriff  neuer  Aufgaben  sich  fruchtbar  erweisen. 

Während  solche  Principien,  deren  Haupteigenschaft  die  ist,  dass 
durch  sie  sehr  verschiedene  Aufgaben  auf  denselben  Ausdruck  zurück- 
geführt werden ,  in  der  Analysis  und  Mechanik  mehrfach  vorhanden  sind, 
fehlen  sie  eigentlich  in  der  Oeometrie,  deren  Untersuchungen  fast  stets 
einen  concreten  Charakter  haben.  Als  ein  Princip  in  diesem  Sinne  hat 
man  meiner  Ansicht  nach  die  Vereinigung  dieser  Sätze  allerdings  zu 
betrachten. 

Hiemach  nur  noch  eine  kurze  Bemerkung«  Von  einem  andern  Ge- 
sichtspunkte aus  erscheint  die  gegebene  Form  dieser  Sätze  als  eine  noth- 
wendige  erst  jetzt  erfüllte  Forderung.  Bekanntlich  ist  die  Gleichheit  der 
anharmonischen  Verhältnisse  die  allgemeine  Eigenschaft  aller  in  der  Ver- 
wandtschaft der  CoUineation  stehenden  geometrischen  Figuren;  erst  in  der 
hier  vorgelegten  einfachen  Form  ist  diese  Charakteristik  auf  denselben 
Ghrad  von  Anwendbarkeit  und  Einfachheit  gebracht,  welcher  gefordert 
zu  werden  scheint  von  der  grundlegenden  Definition  dieser  Verwandt- 
schaft: Zwei  Systeme  sind  einander  coUinearverwandt,  wenn  jedem 
Punkte  des  einen  ein  Punkt  des  andern  so  entspricht,  dass  die  entsprechen- 
den Punkte  des  zweiten  Systems  zu  denen  einer  geraden  Linie  des  er*' 
sten  stets  wieder  eine  gerade  Linie  bilden. 


*)  In  dem  oitirten  M^oire. 


12  Die  geometrisclicn  Gesetze  der  Orts  Veränderung  etc. 


u. 

Die  geometriBchen  Oesetze  der  Ortsverftndenmg  starrer 

Systeme. 

Von  K.  KüppEE, 

Lehrer  a.  ä,  Gewerbsehale  su  Trier. 


Die  EntdeckuDg  der  Oesetze,  welche  bei  der  Ortsveränderang  star- 
rer Systeme,  insofern  man  dieselbe  als  unabhängig  von  physischen  Ur- 
sachen betrachtet,  obwalten,  ist  eine  schöne  Fracht  jener  allgemeinen 
Methoden  mathematischer  Forschung,  deren  Einführung  in  die  Wissen* 
Schaft  den  Geometem  unserer  Zeit  vorbehalten  war;  Obwohl  nun  diese 
Oesetze  eine  ergiebige  Quelle  mathematischer  Wahrheiten  sind,  und  die 
Auffassung  sowie  die  richtige  Anwendung  derselben  keinen  erheblichen 
Schwierigkeiten  unterliegt,  so  wurde  doch  bisher  weder  ihre  Bedeutung 
stark  genug  betont,  noch  ihre  Begründung  und  Entwickelung  so  klar 
und  vollständig  gegeben,  wie  es  bei  einem  in  hohem  Grade  einfachen 
Gegenstande  wünschenswerth  erscheinen  sollte« 

Folgenden  hierher  gehörigen  merkwürdigen  Satz  hat  zuerst  Euler 
mit  Hülfe  einer  geometrischen  Construktion  bewiesen: 

„Wenn  zwei  congruente  feste  Körper*)  einen  Punkt  ge- 
mein haben,  so  gibt  es  immer,  welches  auch  die  Stellung 
der  beiden  Körper  im  Baume  sein  mag,  eine  durch  jenen 
Punkt  gehende  Gerade,  welche  gegen  beide  Körper  einer- 
lei Lage  hat,  so  dass  durch  Drehung  um  diese  Gerade  der 
eine  Körper  mit  dem  andern  zur  Deckung  gebracht  werden 
kann/*  Es  liegt  sehr  nahe,  diesen  Satz  dadurch  zu  generalisiren,  dass 
man  die  beschränkende  Bedingung  eines  gemeinschaftlichen  Punktes  auf- 
hebt, und  höchst  wahrscheinlich  leuchtete  unserem  grossen  Mathematiker 
diese  Oeneralisation  sofort  ein;  indess  hat  sowohl  er,  wie  auch  sein  be- 
rühmter Nachfolger  Lagrange,  es  unterlassen,  das  allgemeine  Prinzip, 
welches  aus  ihren  analytischen  Formeln  leicht  herauszulesen  ist,  in  Bezug 
auf  Folgerungen  für  die  Geometrie  und  Mechanik  auszubeuten. 

Im  Jahre  1830  veröffentlichte  der  um  die  Geometrie  hochverdiente 
französische  Mathematiker  Chasles  in  dem  Bulletin  des  Sciences  von 
F^russac  einen  kleinen  Aufsatz,  in  welchem  er  einige  allgemeine  Eigen- 
schaften des  Systems  zweier  ähnlichen  Körper,   die  irgendwie  im  Räume 


*)  Allgemeiner  ist  der  Ausdruck  starres  System,  weil  er  diskontinnirliche 
VerbindangroD  von  Punkten,  deren  gegenseitige  Abstände  unveränderlich  sind,  mit 
amfmsat. 


Von  K.  KüPPEE.  13 


gelegen  sind,  mittheilt,  und  diese  sodann  fUr  die  Annahme  zweier  con- 
graenten  Systeme  folgendermassen  spezialisirt:  „Wenn  man  im  Kaum 
zwei  congrnente  Körper  in  beliehiger  Lage  hat,  so  gibt  es 
immer  eine  nnendliche  Gerade,  welche,  wenn  man  sie  als 
dem  einen  Körper  angehörig  betrachtet,  selbst  ihre  Homo- 
loge im  andern  Körper  ist  Woraus  man  sogleich  diese 
allgemeine  Eigenschaft  der  Ortsverftnderung  eines  festen 
Körpers  folgert:  Wenn  ein  fester  Körper  irgend  eine  end- 
liche Ortsveränderung  erfährt,  so  gibt  es  in  diesem  Körper 
stets  eine  gewisse  unendliche  Gerade,  welche  nach  der 
Veränderung  sich  wieder  an  derselben  Stelle  befinden  wird, 
wie  vorher.  Wenn  maü  den  zweiten  Körper  (d.  h.  den  Kör- 
per in  seiner  aweiten  Lage  genommen)  um  diese  Gerade 
dreht,  so  gelangt  er  in  ähnliche  Lage  zu  dem  ersten,  und 
wenn  man  ihn  dann  weiter  in  der  Richtung  dieser  Geraden 
fortschiebt,  so  kommt  er  zur  Deckung  mit  dem  ersten  Kör- 
per; dies  beweist,  dass  man  immer  einen  festen  Körper  aus 
einer  Lage  in  eine  beliebige  andere  durch  die  Bewegung 
einer  Schraube,  an  welcher  er  befestigt  ist,  überführen 
kann.'' 

Die  Geschichte  der  Mathematik  und  Naturwissenschaft  bestätigt  fast 
auf  allen  Seiten  die  bemerkenswerthe  Thatsache,  dass  Wahrheiten  von 
allgemeiner  Natur  nur  in  seltenen  Fällen  auf  dem  direkten  Wege  erreicht 
werden,  welchen  man  später  als  den  geeignetsten  zu  ihrer  Deduktion 
einschlägt.  Indem  Chasles  die  Relationen  der  Lage,  welche  zwischen 
zwei  projekti vischen,  oder  wie  er  sie  nennt,  homographischen  Gebilden 
stattfinden,  zunächst  dem  besondern  Fall  zweier  ähnlichen ,  sodann  zweier 
congmenten  Systeme  anpasst,  gelangt  er  zu  einem  Resultat,  welches 
man  unmittelbar  und  ohne  Mühe  erhalten  hätte,  wäre  man  auf  der  von 
Enler  vorgezeichneten  Spur  fortgeschritten.  Natürlicherweise  verbleibt 
damit  der  Herleitung  Chasles'  immerhin  der  eigenthümliche  Vorzug, 
einen  Zusammenhang  mit  weiteren  geometrischen  Gesetzen  zu  ofifenbaren, 
der  umgekehrt  nur  auf  künstliche  Weise  wieder  hergestellt  werden  kann. 
Chasles  selbst  zeigte  in  seinem  bekannten  Werke:  Apercu  historique  etc. 
wie  man  sich  seines  Theorems  zur  Construktion  der  Normalen  bei  einer 
grossen  Anzahl  von  Curven  bedienen  kann;  er  wies  nach,  dass  die 
besondere  Tangentenmethode,  mit  deren  Hülfe  Descartes  und  Pascal 
das  berühmte  Problem  über  die  Cykloide  lösten,  unter  diese  Anwendun- 
gen zu  rechnen  sei.  Seitdem  haben  es  verschiedene  Schriftsteller  bei 
achwierigen  Fragen  aus  der  reinen  Mechanik  mit  grossem  Nutzen  ge- 
braucht. So  benutzte  Poinsot  dasselbe  in  seinem  classischen  Werke 
über  die  Rotation ,  um  der  Vorstellungskraft  ein  deutliches  Bvld  vo^  4«t 
allgemeinen  Bewegung  eines  Körpers  zu  lieteTH-^  OWui.^  ^^\x\^xjl^% 


14  Die  geometrischen  Gesetase  der  Ortsyeränderimg  etc. 

leitete  daraofl  den  analytischen  Ausdruck  der  endlichen,  oder  unendlich 
kleinen  Coordinaten -Variationen  in  einem  beweglichen  starren  System, 
sowie  die  Bedingungen  der  TJnbeweglichkeit  eines  solchen  Systems  ab. 
Auch  die  Maschinenkunde  hat  diesem  Prinzip  einige  schätzbare  Resultate 
SU  verdanken,  zum  Beispiel  die  scharfsinnig  erdachte  Methode  zur  Con- 
struktion  von  Zahnformen  mittels  Kreisbogen,  welche  der  Professor  Wil- 
lis in  den  TramacUom  of  ike  mstiiutum  of  cml  engeneers  bekannt  machte; 
ein  solches  wIKre  femer  die  bedeutende  Vereinfachung,  welche  sich  fOr 
geometrische  Theorie  correspondirender  Zahnflächen  ergeben  wflrde,  wollte 
man  ihr  dies  Prinzip  zu  Grunde  legen.  Und  bei  dem  heutigen  Stand- 
punkt dieses  Zweigs  unserer  Kenntnisse  ist  es  für  den  Ingenieur  und 
Maschinenbauer  geradezu  nnerlässlich  geworden,  sich  mit  dem  in  Bede 
stehenden  Ghrundwahrheiten  möglichst  vertraut  zu  machen. 

Weil  ihm  aber  die  gewöhnlichen  Handbücher  hiezu  keine  Gelegen- 
heit bieten,  so  dürfte  eine  Arbeit  nicht  überflüssig  sein,  die  es  unter- 
nimmt, diese  Wahrheiten  dem  allgemeinen  Verständmss,  insbesondere 
dem  Verständniss  des  Technikers  näher  zu  bringen.  Die  letztere  Bück- 
sicht bestimmte  mich  denn  auch,  eine  Methode  der  Herleitung  zu  wäh- 
len, welche  in  Bezug  auf  mathematische  Vorkenntnisse  nur  geringe  An- 
forderungen an  den  Leser  stellt,  und  solche  üebungen  beizufügen,  welche 
den  eigentlichen  Sinn  der  Sätze  zum  Bewusstsein  bringen  können.  Da- 
bei lag  es  nicht  in  meiner  Absicht,  die  Anwendungen  mit  derselben 
Ausführlichkeit  wie  die  Hauptsache  zu  behandeln;  der  Beschränktheit 
des  Baumes  wegen  musste  es  überdiess  zuweilen  bei  blosen  Andeutungen 
sein  Bewenden  haben. 

Gelänge  es  mir,  meine  Leser  soweit  anzuregen,  dass  sie  sich  aufge- 
fordert fohlten,  einige  Lücken  auszufüllen  und  Unvollständiges  zu  ei^än- 
zen,  so  wäre  das  Ziel,  das  ich  mir  bei  Abfassung  dieser  Arbeit  voi^e- 
setzt  habe,  erreicht. 

§  L  Ortsveranderung  eines  ebenen  Systems  S  in  seiner  Ebene. 

Um  die  Beziehungen  zwischen  zwei  beliebigen  Lagen,  die  ein  ebe- 
nes System  in  seiner  Ebene  einnimmt,  zu  ermitteln,  stelle  ich  mir  einen 
Kreis  (Taf.  I,  Fig.  1.)  vor,  welcher  zu  dem  System  gehört  und  in  dessen 
erster  Lage  mit  dem  um  A  mit  dem  Badins  AP  beschriebenen  Kreise,  in  der 
zweiten  Lage  mit  dem  um  A'  mit  demselben  Badius  beschriebenen  Kreise 
zusammenfällt.  Jede  Bewegung  des  ebenen  Systems  der  Art,  dass  der 
Kreis  {A)  mit  (^A^)  zur  Deckung  kommt  und  dass  ausserdem  irgend  ein 
Punkt  P  des  Kreises  {A)  mit  dem  ihm  entsprechenden  (homologen)  P^ 
zusammenfällt,  kann  dazu  dienen,  S  aus  der  ersten  Lage  in  die  zweite 
überzuführen.  Natürlich  ist  es  nun ,  dass  man  dem  S  einmal  eine  parallele 
Verschiebung  gleich  Aj{  ertheilt  und  dasselbe  hierauf  um  den  Punkt  jf 
so  Junge  dreht,    biß    der   Punkt  P  an  die    ihm   angewiesene   Stelle   P' 


Von  K.  Küpper.  15 


gelangt«  Die  hiezn  erforderliche  Drehung  sei  durch  den  Winkel  2<p  gemes- 
sen. Errichtet  man  nun  auf  Aj^,  ia  Ä  und  j{  die  Normalen  AC,  XÜ^ 
und  macht  \__PACz=.  PÄ(f  ^==^  fp^  so  sind  nothwendig  P^P  awei  homo- 
loge Punkte.  Zieht  man  PA^  PÄ  und  verlängert  diese  Geraden  bis  zu 
ihrem  Durchschnitt  0,  so  wird  OP  =  0P\  L  -^ÖP'  =  2^,  und  es  ist  evi- 
dent, dass  das  System  S  aus  der  ersten  Lage  in  die  aweite 
gebracht  werden  kann,  indem  man  ihm  um  denPunkt  0  eine 
Drehung  ertheilt,  deren  Amplitude  2^  ist.  Oder:  Wenn  auf 
irgend  eine  Weise  die  zweite  Lage  aus  der  ersten  abgelei- 
tet wird,  so  gibt  es  in  S  einen  bestimmten  Punkt  0,  welcher 
an  seinen  ursprünglichen  Ort  zurückkehrt,  d.  h*  eine  ge- 
schlossene Linie  beschreibt. 

Zur  Uebung.  Die  Natur  der  von  0  beschriebenen  Curve  h&ngt 
allein  von  dem  durchaus  willkührlichen  Modus  der  Herleitung  der  einen 
Lage  aus  der  andern  ab.  Behält  man  die  Mittelpunkte  A^Ä  einmal  bei, 
nnd  bestimmt  den  Badius  x  der  zugehörigen  Kreise,  so  dass  {ßA'\'  x)%fp 
=:2TC.Xy  so  kann  man  den  Ejreis  (A)  über  dem  Bogen  PP  fortrollen 
lassen,  bis  er  mit  {A')  zusammenfällt,  dann  werden  auch  die  Punkte  P,  P 
sich  decken.  Alle  Punkte  des  Systems  (A  allein  ausgenommen)  beschrei- 
ben Cykloidenbögen,  0  durchläuft  die  Schleife  einer  Cykloide.  Einiges 
Interesse  bietet  folgende  Modifikation  dar: 

Aus  A.X  beschreibe  man  mit  AO  =  XO  zwei  Kreise  (Taf.  I,  Fig.  2.), 
welche  sich  femer  in  M  schneiden  mögen.  Aus  M  beschreibe  man  mit 
einem  Badius  =  2MA  einen  Kreis,  welcher  jene  ia  Q^R  berührt,  und 
lasse  nun  den  Kreis  A  über  dem  Bogen  QB  rollen.  Ist  dann  A  nach 
X  gekommen,  so  befindet  sich  auch  das  System  S  in  seiner  zweiten 
Lage;  denn  zieht  man  die  Geraden  AOP^  ÄOP^  so  sind  P^P  zwei  ho- 
mologe Punkte,  und  es  ist  bekannt,  dass  beim  Rollen  des  Kreises  {£) 
über  dem  Bogen  QR  der  Punkt  0  das  gerade  Stück  OF  hin  und  her 
durchläuft,  dass  P  auf  der  Geraden  PilfP'  bleibt,  und  demnach,  wenn  A 
nach  Ä  gelangt,  mit  P  zusammenliegt  Bei  dieser  Bewegung  be- 
schreibt also  0  eine  geschlossene  krumme  Linie,  alle  auf  • 
dem  Kreise  (^  liegende  Punkte  beschreiben  geradlinige 
Bahnen,  welche  mit  der  Bahn  von  0  sich  im  Punkte  M  schnei- 
den; die  übrigen  Punkte  von  S  beschreiben  Bögen  von  £1. 
lipsen,  deren  Mittelpunkt  M^  und  für  welche  entweder  die 
Summe  der  Halbaxen  oder  die  Differenz  dem  Durchmesser 
von  (,Ä)  gleich  ist,  je  nachdem  diese  Punkte  innerhalb  oder 
ausserhalb  des  Kreises  (^4)  liegen. 

Die  nämliche  Bewegung  nimmt  S  auch  an,  wenn  man  awei  Punkte 
(Taf.  I,  Fig.  3.),  welche  mit  0  nicht  in  einer  Geraden  liegen,  auf  gera- 
dem Wege  in   ihre  neuen  Lagen  fuhrt.     Denn  man  «i^bt  \%\s.V^^  ^%a.v 
wenn  P,0  die  ersten ,  P^Q'  die  zweiten  Lagen  dct  W\ieni  ^^osiJiXÄ  äsä.> 


16  '        Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsverändemng  etc. 

die  Geraden  PP^  QQ'  sich  schneiden  müssen,  etwa  in  M,  Um  die  Drei- 
ecke MPQ^  MPQ'  beschreibe  man  zwei  Kreise,  so  sind  diese  von  gleicher 
Grösse,  und  wegen  der  Congruenz  von  u^/^jß,  ÄPQ'  %\tA  ihre  Mittelpunkte 
Ä^Ä  homologe  Punkte.  Beschreibt  man  nun  noch  aus  M  mit  dem  Ra- 
dius 2Mä  einen  Ejreis,  und  lässt  {Ä)  über  diesem  rollen,  bis  Ä  und  Ä 
zusammenfallen,  sa  werden  sich  auch  die  Punkte  P^P  decken;  wir  sind 
daher  auf  die  vorige  Art  zurückgeführt 

Die  eben  betrachteten  gleichen  Ejreise  haben  noch  eine  andere  Be- 
deutung: Auf  jeder  Geraden  gibt  es,  wie  man  sofort  erkennt,  zwei 
homologe  Punkte,  und  nicht  mehr.  Fragt  man  nach  dem  Ort  der  homo- 
logen Punkte,  welche  sich  in  einem  Strahlenbüschel  von  gegebenen  Mit- 
telpunkt M  auf  denselben  Strahlen  finden,  so  erhält  man  für  diesen  zwei 
gleiche,  sich  in  M  und  dem  Drehpunkt  0  unter  dem  Winkel  2 9  schnei- 
dende Kreise;  die  Punkte  des  einen  entsprechen  denen  des  andern  und 
ihre  Verbindungslinien  enthalten  den  Punkt  M. 

Wie  aber  auf  jeder  Geraden  zwei  sich  entsprechende  Punkte  liegen, 
so  gehen  durch  jeden  Punkt  zwei  und  nur  zwei  homologe  Gerade.  Der 
Ort  für  die  den  Punkten  M  einer  gegebenen  Geraden  m  zugehörigen 
Geradenpaare  besteht  aus  zwei  congruenten  Parabeln,  welche  die  Gerade  m 
zur  gemeinschaftlichen  Tangente,  den  Drehpunkt  0  zum  gemeinschaft- 
lichen Brennpunkt  haben. 

Wählt  man  als  den  Ort  des  Punktes  M  einen  Ejreis,  so  umhüllen 
die  Paare  homologer  Geraden  zwei  diesen  Kreis  doppelt  berührende 
Kegelschnitte,  welche  0  zum  Brennpunkt  haben  und  durch  eine  Drehung 
von  der  Amplitude  29  um  0  zur  Deckung  gebracht  werden  können. 
Diese  Kegelschnitte  sind  beide  entweder  Ellipsen  oder  Hyperbeln,  je 
nachdem  der  Drehpunkt  0  von  dem  Ortskreise  M  umschlossen  wird 
oder  nicht. 

Verbindet  man  die  Punkte  P^Q  einer  Geraden  mit  ihren  homologen 
P\Q\  und  beachtet,  dass  die  Dreiecke  OPP\  OQQ'  ähnlich  sind,  so  sieht 
man,  dass  die  Geraden  PP\  QQ'  zusammen  mit  PQ^  PQ'  eine  Parabel 
umhüllen,  deren  Brennpunkt  0  ist.  —  Verbindet  man  die  Punkte  eines 
Kreises  mit  ihren  homologen,  so  folgt  in  analoger  Weise,  dass  die  Ver- 
bindungslinien einen  Kegelschnitt  (Ellipse  oder  jEIyperbel)  umhüllen,  wel- 
cher von  den  beiden  zugeordneten  Kreisen  doppelt  berührt  wird. 

Anmerkung.  Wenn  die  beiden  Lagen  von  S  einander  unendlich 
nahe  liegen  (benachbarte  sind),  so  gilt  Alles ,  was  wir  aufgestellt  haben, 
wenn  nur  berücksichtigt  wird,  dass  an  die  Stelle  der  Verbindungslinie 
zweier  homologen  Punkte  das  Wegelement  eines  Punktes,  und  an  die 
Stelle  des  Durchschnittspunktes  zweier  homologen  Geraden  der  Berüh- 
rungspunkt der  in  Bewegung  befindlichen  Geraden  mit  der  von  ihr  um- 
hüllten Ourve  tritt. 


Von  K.  Küpper.  17 


§.  S.  OrtivariiidemBg  ainei  rfininliohen  Syitami  S  mit  einem  absolut 

feiten  Punkt 
Wir  betrachten  zwei  Lagen  (Taf.  I,  Fig.  4.)  von  S^  welche  das  Ge- 
meinsame haben,  dass  ein  zu  S  gehöriger  Punkt  0  in  beiden  Lagen  die- 
selbe Stelle  einnimmt,  nnd  wollen  beweisen,  dass  die  eine  Lage 
ans  der  andern  mittels  einer  einfachen  Drehnpg  von  S  am 
eine  dnreh  0  gehende  Aze  abgeleitet  werden  kann.  Bei  die- 
sem Beweise  verfahre  ich  ebenso  wie  vorher;  ich  suche  einem  mit  S  fest 
verbnndenen  Kreise  eine  solche  Bewegung  zu  ertheilen,  dass  er  aus  seiner 
ersten  Lage  in  die  zweite  gelangt.  Um  den  festen  Punkt  0  als  Mittel- 
punkt denke  ich  eine  Kugel  besehrieben  und  auf  dieser  sei  ein  Kreis, 
dessen  Mittelpunkt  A  und  dessen  Radius  AP  ist,  so  zu  bewegen,  dass 
sein  Mittelpunkt  A  nach  A^  nnd  noch  irgend  einer  seiner  Punkte  P  nach 
P'  kommt.  Offenbar  wird  dies  erreicht,  wenn  man  den  Kreis  zuerst  um 
eine  im  Punkte  0  auf  der  Ebene  OAA'  normale  Aze  dreht  bis  A  mit  A^ 
lusammenfHllt  und  zu  dieser  Drehung  noch  eine  andere  um  0^  als  Aze 
hinzufügt,  durch  welche  P  nach  P'  geführt  wird.  Seien  nun  AC^  Ä(f 
die  Bögen  zweier  grössten  Kreise,  deren  Ebenen  auf  AOÄ  normal  sind, 
29  der  Winkel,  um  welchen  man  das  System  noch  zu  drehen  hat,  wenn 
bereits  OA  mit  OÄ  zusammenliegt,  so  mache  man  die  sphärischen  Win- 
kel PAC^  PÄCf  jeden  gleich  9),  und  verlängere  die  Bögen  PA^  P'Ä  bis 
zu  ihrem  Durchschnitt  Ö,  Dann  ist  O'P  =  €lP\  und  es  ist  klar,  dass 
der  SLreis  {Ä)  durch  eine  Drehung  um  die  Aze  00'  zur  Coincidenz  mit 
(/)  gebracht  werden  kann,  wobei  denn  auch  die  Punkte  P,  P',  also  über- 
haupt irgend  zwei  homologe  Punkte  der  Elreise  sich  decken.  Die  Am- 
plitude der  nöthigen  Drehung  ist  der  sphärische  Winkel  A  0' Ä  =  29. 
Demnach  haben  wir  erreicht,  dass  durch  eine  einzige  Drehung  um  die 
Axe  0(f  alle  Punkte  des  gedachten  Kreises  aus  ihrer  ersten  Lage  in 
die  zweite  Übergeführt  werden,  und  es  geht  aus  der  Unveränderlichkeit 
der  gegenseitigen  Abstände  aller  Punkte  von  S  hervor,  dass  dasselbe  von 
jedem  Punkte  gilt.  Bewegt  sich  ein  starres  System  in  der 
Weise,  dass  einer  seiner  Punkte  endlich  wieder  seine  ur- 
sprüngliche Lage  annimmt,  so  kann  man  eine  durch  diesen 
Punkt  gehende  Oerade  angeben,  welche  in  ihre  frühere 
Lage  zurückkehrt,  d.  h.  welche  eine  geschlossene  Fläche 
beschreibt.  Oder:  Es  lässt  sich  das  System  in  eine  Schaar  ebener 
Systeme  zerlegen  (normal  auf  der  Drehaze),  welche,  wenn  sie  ihre 
ursprünglichen  Ebenen  auch  verlassen,  doch  wieder  in  dieselben  zurück- 
kehren, und  stets  ist  die  eine  Lage  aus  der  andern  so  abzuleiten,  dass 
jene  ebenen  Systeme  in  ihren  Ebenen  verbleiben.  In  jeder  dieser  Ebenen 
gibt  es  einen  zurückkehrenden  Punkt  0\  und  alle  diese  ^wx^V^  \\^^^x^ 
auf  der  Drehaxe.     Weil  die  Verbindungslinien  liomologei  P\mk\.^  Vn  ä\ät 

2ell§ehri/l  f,  tUibwtlk  o.  Physik,    Vh  i,  *l 


18  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

bestimmten  Stellung  (normal  zur  Drehaxe)  sich  befinden,  so  liegen  alle 
solche  Punkte,  deren  Verbindungslinien  durch  einen  beliebigen  Punkt  M 
gehen,  in  einer  Ebene  und  in  dieser  besteht  ihr  Ort  aus  zwei  gleichen 
Kreisen,  welche  durch  ^  und  0'  gehen  und  sich  unter  dem  Winkel  29 
schneiden. 

Verbindet  man  die  Punkte  einer  Geraden  G  mit  ihren  homologen,  so 
erfüllen  diese  Verbindungslinien  ein  hyperbolisches  Paraboloid,  welches 
zu  einer  Ebene  wird,  wenn  G  die  Drehaze  schneidet,  oder  damit  parallel, 
oder  darauf  normal  ist. 

Fassen  wir  zwei  benachbarte  Lagen  in*s  Auge,  so  folgt,  dass  die 
Bahnelemente  aller  Punkte  einer  Geraden,  die  sich  unend- 
lich wenig  um  eine  andere  dreht,  in  einem  hyperbolischen 
Paraboloid  liegen;  oder:  Errichtet  man  auf  den  Ebenen  eines  Ebe- 
nenbüschels in  den  Punkten,  in  welchen  sie  von  irgend  einer  Geraden 
getroffen  werden.  Normalen,  so  erzeugen  diese  ein  hyperbolisches  Para- 
boloid. 

Zur  Construction  der  Drehaxe  bedarf  es  nur  der  Angabe  zweier 
Punkte  P,jß  des  Systems  und  ihre  homologen  P<t'Q'\  nämlich  die  beiden 
Ebenen,  welche  in  den  Mitten  von  PP^  und  QQ'  beziehlich  auf  diesen 
Geraden  normal  sind,  schneiden  sich  in  der  Drehaxe. 

§.  3.    Ortsverandenmg,  bei  welcher  kein  Punkt  des  Systems  S  seine 
anfangliche  Stelle  im  Baume  wieder  einnimmt. 

Vermöge  einer  derartigen  Ortsveränderung  sei  ein  Punkt  Ä  nach  Ä 
gekommen,  so  wird  man  die  zweite  Lage  aus  der  ersten  dadurch  ablei- 
ten, dass  man  dem  S  eine  parallele  Verschiebung  ertheilt,  welche  A 
nach  Ä  bringt  und  dasselbe  weiter  um  eine  gewisse,  durch  Ä  gehende 
Axe  XX  eine  Drehung  von  bestimmter  Amplitude  2fp  ausführen  lässt. 
Stellen  wir  uns  nun  alle  Punkte  von  S  auf  dem  Parallel- Strahlenbttndel 
vor,  dessen  Bichtuug  durch  ÄX  angegeben  ist,  so  begreift  man,  dass 
unter  diesen  Strahlen  einer  sein  muss,  der  durch  die  Drehung  in  die 
nämliche  Gerade  geführt  wird,  in  welcher  er  sich  ursprünglich  befand. 
Denn  eine  auf  AX  normale  Ebene  E  hat  in  der  ersten  Lage  des  Strah- 
lenbündels S  mit  demselben  ein  ebenes  System  Z  gemein,  welches  in 
der  zweiten  Lage  Z'  in  einer  mit  E  parallelen  Ebene  B^  liegt,  so  dass 
der  Parallel -Strahlenbündel  es  jetzt  auf  E  als  ein  mit  £  congruentes 
System  projizirt.  Da  aber  zwei  congruente  ebene  Systeme  immer  einen 
Punkt  gemein  haben,  so  gibt  es  auch  in  der  zweiten  Lage  einen  Strahl  c, 
welcher  durch  denselben  Punkt  von  E  geht,  den  er  in  der  ersten  Lage 
traf,  d.  h.  der  nach  vollzogener  Drehung  wieder  in  die  Lage  kommt, 
welche  er  vor  der  Verschiebung  inne  hatte.  Wenn  daher  keine 
Ableitung  der  beiden  Lagen  denkbar  ist,  bei  welcher  ein 
I^unkt    eine   ^erschlossene   Linie    durchläuft,    so    kann    man 


Von  K.  Küpper.  19 


mnter  allen  Umatänden  eine  Gerade  angeben,  die  eine 
geschlossene  Fläche  beschreibt;  die  Pnnktenreihe  aber, 
welche  ursprünglich  in  jener  Geraden  lag,  befindet  sich  in 
der  zweiten  Lage  darin  um  eine  gewisse  Strecke  verscho- 
ben. Diese  Strecke  ist  nichts  anderes  als  die  rechtwinklige  Projektion 
Ton  ÄÄ  auf  die  Bichtung  von  ÄX  oder  c;  oder  auch,  wenn  Bfi'  zwei 
beliebige  homologe  Punkte  sind,  die  Projektion  von  BB'  auf  jene  Sich- 
tung. Man  kann  also  das  System  aus  einer  Lage  in  jede  an- 
dere überführen,  indem  man  dasselbe  einer  gewissen  Bich- 
tung parallel  verschiebt,  und  es  hierauf  um  eine  Gerade, 
welche  dieser  Bichtung  angehört,  dreht;  diese  Gerade 
heisst  Centralaze  (wir  bezeichnen  sie  mit  c).  Wir  fanden  c  parallel 
der  besondern  zum  Punkte  Ä  gehörigen  Aze  ÄX^  und  es  könnte  schei- 
nen, als  wenn  ihre  Bichtung  von  der  Wahl  des  Punktes  Ä  abhinge.  Dem 
ist  jedoch  nicht  so,  wie  folgendermassen  erhellt.  B  gehöre  zu  dem  auf  AX 
normal  gedachten  ebenen  System  ^  B*  also  zu  2^.  Weil  die  Verschie- 
bung Bll  das  System  normal  gegen  sich  selbst  um  dieselbe  Grösse  ent- 
fernt, wie  die  Verschiebung  ÄÄ^  so  gelangt  Z  durch  jene  in  dieselbe 
Ebene  £^  wie  durch  diese.  Soll  es  mithin  nach  vollzogener  Drehung 
um  eine  durch  B  gerichtete  Axe  BY  noch  in  der  Ebene  H  sich  befin- 
den, w)iB  es  ja  in  der  That  sein  muss,  so  muss  auch  die  Axe  B^Y  auf  ^ 
normal,  d.  i.  der  Centralaxe  parallel  sein.  —  Ferner  seien  C^d  die 
Punkte  von  c,  welche  den  Systemen  ^^^'  angehören,  so  kann  man  die 
Verschiebung  BB'  als  zusammengesetzt  betrachten  aus  einem  mit  CC 
gleichen  und  parallelen  Stück  B^\  und  der  in  £  liegenden  Strecke  B"B[\ 
und  der  Punkt  C  kommt  durch  die  Verschiebung  BB'  in  eine  Lage  d' 
der  Art,  dass  dC  gleich  und  parallel  B"B'  ist  Bewirkt  man  daher  die 
Qrtsveränderung  von  S  durch  die  Verschiebung  CC ^  und  die  nachfolgende 
Drehung  um  c,  so  muss  durch  diese  letztere  Bf'  nach  B'  geführt  werden; 
bewirkt  man  sie  durch  die  Verschiebung  BB\  welcher  eine  Drehung  um 
iY  folgt,  so  muss  vermöge  dieser  Drehung  d'  nach  d  gelangen: 
Woraus  man  schliesst,  dass  für  alle  möglichen  Azen  die  Drehung 
sowohl  der  Grösse  wie  dem  Sinne  nach'  die  nämliche  ist, 
wie  für  die  Centralaxe.  Das  eben  entwickelte  Theorem,  welches 
das  Fundament  der  geometrischen  Theorie  der  Bewegung  bildet,  lautet 
vollständig : 

Die  Hinüberleitung  eines  starren  Systems  aus  einer 
Lage  in  irgend  eine  andere  lässt  sich  auf  unzählige  Arten 
mit  Hülfe  einer  parallelen  Verschiebung  und  einer  darauf 
folgenden  Drehung,  oder  auch  umgekehrt,  erreichen.  Da- 
bei ist  die  Drehaze  durch  die  beiden  Lagen  allein  der 
Bichtung  nach  bestimmt;  die  entsprechende  Verschiebung 
hängt   aber  davon  ab,    durch    welche   PunVl^   dL^%  %^%\.^TSk\^ 


20  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

die  Drebaze  geht.  Sie  ist  der  Orosse  und  Bichtnng  nach 
durch  die  Verbindungslinie  eines  solchen  Punktes  mit  sei- 
nem homologen  gegeben;  die  Drehung  ist,  was  ihren  Sinn 
und  ihre  Amplitude  betrifft,  durchaus  constant.  Unter  den 
unendlich  vielen  möglichen  Drehazen  befindet  sich  eine, 
die  Centralaze,  für  welche  die  zugehörige  Verschiebung 
mit  ihr  selbst  parallel  und  von  allen  denkbaren  die  kleinste 
ist;  sie  stellt  die  Axe  einer  Schraubenbewegung  dar,  mit- 
tels welcher  die  beabsichtigte  Ortsveränderuug  hervorge- 
bracht werden  kann. 

Zur  Construktion  der  Centralaxe  c  dient  eine  Verallgemeinerung  der 
am  Ende  von  §.  2  vorgebrachten  Bemerkung.  Zwei  homologe  Paukte  B^B' 
liegen  auf  einem  Umdrehungscylinder,  dessen  Axe  o  ist;  folglich  ist  die 
Mitte  M  von  BB'  derjenige  Punkt  dieser  Linie,  welcher  am  nächsten  bei  c 
liegt*).  Zieht  man  daher  durch  M  eine  Gerade ,  normal  auf  e,  so  wird 
diese  auch  auf  BB'  normal  sein,  oder  zieht  man  durch  M  einn  Gerade  c 
'parallel  zu  c  (oder  BT)  und  errichtet  in  c  auf  der  Ebene,  welche  c  und 
B^  enthält,  eine  Ebene  rechtwinklig,  so  geht  diese  durch  c.  Somit  ge- 
nügen bei  gegebener  Bichtung  von  c  zwei  Punkte  und  ihre  homologen 
um  c  zu  finden. 

Von  den  Eigenschaften  homologer  Punkte  wollen  wir  unreine  be- 
weisefi,  welche  uns  in  sehr  verschiedenen  Transformationen  wieder  ent- 
gegentreten wird,  nämlich:  Die  Verbindungslinien  der  Punkte 
einer  Geraden  mit  ihren  homologen  bilden  ein  hjperboli 
sches  Paraboloid.  —  Den  Paukten  P^Q  einer  Geraden  mögen /^,P' 
als  homologe  entsprechen;  durch  PP'  denke  man  eine  Ebene  E  paral- 
lel Q  Q\  dann  werden  die  Geraden  PQ^  PQ'  gegen  E  gleich  geneigt  sein, 
denn  PQr=tP'Q\  und  die  Abstände  der  Punkte  Q^Q'  von  der  gedachten 
Ebene  sind  ebenfalls  gleich.  Ist  daher  B  ein  Punkt  der  Linie  PQ^  so 
muss  sein  homologer  B! y  weil  durch  die  Belation  PR  =  PB'  bestimmt, 
eben  so  weit  von  E  entfernt  sein  wie  /{,  mithin  ist  RB!  mit  E  paralleL 

§.  4.  AnwendungexL 

L  Benachbarte  Lagen  und  Bewegung  eines  starren 
Systems.  Jede  unendlich  kleine  Bewegung  eines  ebenen  Systems,  bei 
welcher  dasselbe  seine  Ebene  nicht  verlässt,  fällt  mit  einer  Drehung  um 
einen  bestimmten  Punkt  der  Ebene  zusammen;  die  Normalen  der  Bahn- 
elemente aller  Punkte  schneiden  sich  in  diesem  augenblicklichen 
Drehpunkt.     Wenn  das  System  fortfährt  sich  in  seiner  Ebene  zu  be- 


*)  Um  auf  zwei  windschiefen  Geraden  die  Ptmkte  des  kleinsten  Abstandes  «u 
erhalten,  beschreibe  man  nm  eine  jede  dieser  Geraden  als  Axe  einen  Rotations- 
cj'linder  und  balbire  das  Stück,  welche  diese  Fl&che  auf  der  andern  begn^enct. 


Von  K.  Küpper-  21 


wegen,  und  man  verfolgt  den  Weg  des  jedesmaligen  Drehpunktes,  so 
bemerkt  man  eine,  durch  die  Natur  der  Bewegung  bestimmte  Curve. 
Aber  anstatt  die  absolute  Stelle  in's  Auge  zu  fassen,  welche  der  Dreh- 
punkt einnimmt,  kann  man  auch  die  Reihenfolge  derjenigen  Punkte  des 
bewegten  Systems  betrachten,  welche  successive  zu  Drehpunkten  werden, 
and  als  Ort  für  diese  wird  man  eine  gewisse  Curve  finden,  welche  an 
der  Bewegung  des  Systems  Theil  nimmt  Betrachtet  man  die  absolut 
feste,  und  die  mit  dem  beweglichen  System  verbundene  Curve  als  gege- 
ben, so  erhält  man  die  Bewegung  des  Systems  auch  dadurch,  dass  man 
die  zweite  Curve  in  gewissem  Sinn  auf  der  ersten  rollen  lAsst  und  mit 
jener  das  System  unveränderlich  verbindet. 

Jede  unendlich  kleine  Bewegung  eines  Systems  um  einen  festen 
Punkt  fällt  mit  einer  Drehung  um  eine  bestimmte  durch  diesen  Punkt 
gehende  Axe  zusammen;  die  Normalebenen  ftlr  die  JBahnelemente  aller 
Punkte  schneiden  sich  in  dieser  Axe.  Fährt  das  System  fort,  um  jenen 
festen  Punkt  sich  zu  bewegen,  so  erhält  man  ftlr  den  Ort  der  jedesmali- 
gen Drehaxe  einen  Kegel,  welcher  den  festen  Punkt  zur  Spitze  hat  und 
im  Räume  fest  ist.  Verfolgt  man  aber  die  Geraden  des  Systems,  welche 
der  Reihe  nach  mit  den  Drehaxen  zusammenfallen,  so  bilden  diese  einen 
iweiten,  mit  dem  System  beweglichen  Kegel.  Die  Bewegung  des  Systems 
erhält  man  nun  auch  dadurch,  dass  man  den  beweglichen  Kegel  in 
gewissem  Sinne  auf  dem  festen  rollen  lässt  und  mit  jenem  das  System 
unveränderlich  verbindet 

Endlich,  jede  beliebige  unendlich  kleine  Bewegung  eines  Systems 
kann  betrachtet  werden  als  zusammengesetzt  aus  einer  Drehung  um  eine 
gewisse  Gerade  als  Axe,  und  einer  Verschiebung  parallel  zu  dieser  Axe. 
Die  Bahnelemente  aller  Punkte  gehören  cylindrischen  Spiralen  an,  welche 
gemeinsame  Axe  und  gleiche  Ganghöhe  haben.  Stellt  man  sich  den  Ort 
der  Geraden  vor,  welche  der  Reihe  nach  Axen  werden,  einmal  im  abso- 
luten Räume,  sodann  im  beweglichen  System,  so  erhält  man  zwei  Regel- 
flächen, wovon  die  eine  über  der  andern  rollt  und  zugleich  gleitet.  Denkt 
man  sich  diese  beiden  Flächen,  sowie  die  Bewegung  der  einen  gegeben, 
so  hat  man  ein  einfaches  Mittel,  die  wirkliche  Bewegung  des  Systems 
zu  erzeugen,  und  z.  B.  für  jeden  Punkt  Geschwindigkeit  und  Beschleuni- 
gung, wie  auch  die  lebendige  Kraft  des  Systems  zu  berechnen. 

IL  Zusammenhang  zweier  Bewegungen.  Unterliegt  ein 
System  nacheinander  mehreren  Rotationen  und  Verschiebungen,  so  han- 
delt es  sich  darum,  für  die  definitive  Deplacirung  die  Centralaxe,  die 
zugehörige  Drehung  und  Verschiebung  anzugeben.  Zur  Lösung  dieser 
Aufgabe  richtet  man  sein  Augenmerk  darauf,  die  gerade  Punktenreihe 
zu  ermitteln,  welche,  nachdem  sie  alle  Bewegungen,  denen  sie  unter- 
worfen war,  durchgemacht  hat,  schliesslich  wieder  m  d^i  O^t^ÖL^^  v\0(x 
befindet,  in  welcher  sie  anfangs  war;  und  es  kommt  eVxii\^  uxidi  ^^v^ 


22  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc, 

darauf  an,  das  Verlangte  für  zwei  derartige  Bewegungen  zu  leisten.  Von 
unserer  Betrachtung  schliessen  wir,  als  hinreichend  bekannt,  die  Zusam- 
mensetzung von  blossen  Verschiebungen,  und,  als  minder  wichtig,  den 
Fall  von  endlichen  OrtsverSnderungen  aus,  für  den  die  allgemeine 
Methode  zwar  anwendbar  bleibt,  der  sich  aber  wesentlich  von  dem  unend- 
lich kleiner  Bewegungen  dadurch  unterscheidet,  dass  bei  jenem  die  Ord- 
nung, in  welcher  die  Zusammensetzung  vorgenommen  wird,  nicht,  wie 
bei  diesem,  gleichgültig  ist.  Der  für  die  Philosophie  der  Mathematik 
äusserst  wichtige  Umstand,  dass  bei  der  Zusammensetzung  unendlich 
kleiner  Bewegungen  die  Art  der  Aufeinanderfolge  ohne  Einfluss  auf 
das  Resultat  bleibt,  leitet  uns  aus  dem  Gebiet  der  Geometrie  fiber  in 
das  der  Mechanik,  welche  coexistirende  unendlich  kleine  Bewegun- 
gen (die  von  gewissen  zugleichbestehenden  Ursachen,  wenn  diese  einzeln 
thätig  wären,  hervorgebracht  würden)  zu  einer  Gesammtwirkung  vereinigt; 
aber  es  ist  der  Beachtung  wohl  werth,  dass  die  U  eberein  Stimmung 
zwischen  den  Gesetzen  der  geometrischen  und  mechani- 
schen Zusammensetzung  von  Bewegungen  durch  keinen 
Schluss  a  priori  eingesehen  werden  kann,  dass  sie  hier, 
wie  überall  ein  eigentliches  Naturgesetz,  einen  der  Erfah- 
rung entlehnten  oder  ihr  anticipirten  Satz  constituirt 

III.  Zusammensetzung  einer  Drehung  dg>  um  eine  Axe  a 
mit  einer  Verschiebung  dv,  deren  Richtung  einer  Geraden 
G  parallel  ist,  die  mit  a  den  Winkel  go  bildet.  —  Um  die  Axe  a 
denke  man  einen  Umdrehungs-Cylinder ,  dessen  Normalschnitt  den  Ra- 
dius Q  hat,  beschrieben,  und  an  diesem  zwei  Berührungsebenen  parallel 
zu  G  gelegt.  Bei  der  Drehung  bleiben  die  Berührungsseiten  in  diesen 
Ebenen,  und  auch  noch  bei  der  Verschiebung;  eine  der  gedachten  Seiten 
bewegt  sich  vermöge  der  Drehung  um  gd(p  in  einem  der  Verschiebungs- 
componente  dv  sin  od  gerade  entgegengesetzten  Sinn ;  die  GhrSsse  ihres 
definitiven  Fortrückens  ist  folglich:  Qdq> — dv  sin  od,  und  wird  Null,  wenn 
Q  der  Bedingung  Qdips=i  dv  sin  <d  gemäss  angenommen  wird.  Um  daher 
die  Centralaxe  zu  erhalten,  beschreibe  man  um  die  Axe  a  denjenigen 
Umdrehungs-Cylinder,  dessen  Punkten  die  Rotationsgeschwindigkeit  dvsinm 
zukommt,  und  lege  in  diesem  je  nach  dem  Sinn  der  Drehung  eine  Be- 
rührungsebene der  Geraden  G  parallel;  dann  ist  die  Seite,  in  welcher 
die  Berflhrung  stattfindet;  Centralaxe.  Die  Drehungsamplitude  ist  dq}^ 
die  Verschiebung  in  der  Richtung  von  c  ist  ef  t;  cos  od,  denn  die  mit  a 
zusammenfallende  Punktenreihe  des  Systems  wird  durch  diese  Bewegung 
ebenso  deplacirt,  wie  durch  die  ursprünglich  gegebene. 

Wenn  die  Richtung  von  dv  einen  rechten  Winkel  mit  a  bildet,  so 

findet   man    sofort    durch    Umkehrung    die    vielfach    brauchbare    Regel: 

Einer  gegebenen  Drehung  dtp  um  eine  Axe  c  kann  man  eine 

erJeicbe  Drehung  nin    eine    beliebige  mit  c  ^atsiUele  Axe  ü 


Von  K.  Küpper.  23 

snbstittiireii,  wenn  man  mit  dieser  noch  eine  normal  gegen 
die  Ebene  beider  Axen  gerichtete  Verschiebung  verbindet, 
welche  gerade  hinreicht,  nm  die  dnrch  die  zweite  Drehnng 
ms  ihrer  Lage  gebrachte  Aze  c  wieder  in  dieselbe  znrück- 
xaftthren. 

Znr  Uebung.  Relative  Bewegnng  eines  Systems  S,  welches  mit 
einer  der  Grösse  und  Richtung  nach  unveränderlichen  Geschwindigkeit 
V  fortschreitet,  gegen  den  mit  constanter  Winkelgeschwindigkeit  tp  um 
eine  feste  Axe  a  rotirenden  Raum  R.  Aufgabe  ist,  den  Ort  derjenigen 
Pnnkte  des  Raumes  R  zu  charakterisiren ,  welche  successive  mit  denen 
des  Systems  S  zusammenfallen,  der  Vorstellung  gleichsam  die  Spur  zu 
zeigen,  welche  S  in  R  zurttcklässt.  Hierzu  benutzen  wir  den  bekannten 
Grundsatz,  wonach  die  relative  Bewegung  zweier  Körper  nicht  gestört 
wird,  wenn  man  beiden  eine  gemeinschaftliche  Bewegung  mittheilt. 
Fügen  wir  nun  den  vorhandenen  Bewegungen  eine  Rotation  hinzu,  welche 
der  des  Raumes  R  geradezu  entgegengesetzt  ist  und  mit  derselben  Oe- 
ichwindigkeit  dtp  vor  sich  geht,  so  gelangt  R  ffir  eine  unendlich  kurze 
Dauer  di  zur  Ruhe,  die  relative  Bewegung  von  S  wird  zu  einer  absolu- 
ten und  diese  ist  in  jedem  dt  zusammengesetzt  aus  der  Drehung  —  dg> 
and  der  Verschiebung  dv.  Beide  Bewegungen  lassen  sich  nach  dem 
Vorigen  durch  eine  Drehung  von  gleicher  Grösse  und  gleichem  Sinn  um 
eine  mit  a  parallele  Axe  c  und  eine  Verschiebung  in  der  Richtung  die- 
ser Axe  ersetzen,  und  welchen  Moment  man  auch  zur  Bestimmung  von  c 
wählen  möge,  c  wird  seine  Lage  im  absoluten  Räume  nicht  ändern; 
dahingegen  wird  die  mit  c  zusammenfallende  Punktenreihe  des  Raumes  J?, 
je  nach  dem  gewählten  Moment  jedesmal  eine  andere  sein.  Denkt  man 
sieh  nämlich  im  Räume  R  einen  Umdrehungs-Cylinder  Qj  welcher  c 
zur  Axe  und  a  zur  Seite  hat,  so  wird  nach  jedem  dt  eine  neue  Seite 
dieses  Cylinders  mit  c  zusammenfallen.  Aehnlicherweise  werden  die  Ge- 
raden des  fortschreitenden  Systems  S^  welche  gleichzeitig  mit  jenen  Cy- 
linderseiten  sieh  in  c  befinden,  in  S  eine  Ebene  E  zum  Ort  haben, 
welche  mit  v  parallel  ist  und  den  Cylinder  q  in  der  Seite  c  berührt. 

Stellen  wir  uns  demnach  vor,  der  Cylinder  q  sei  mit  dem  Räume  R 
fest,  die  Ebene  E  wälze  sich  über  seiner  Oberfläche,  indem  sie  zugleich 
in  der  Richtung  von  c  fortgleitet  und  S  sei  mit  E  unveränderlich  ver- 
banden, so  nimmt  das  System  eine  Bewegung  an,  welche  mit  der  zu 
suchenden  relativen  im  Räume  R  identisch  ist.  Jede  Gerade  von  S^ 
welche  a  parallel  ist,  beschreibt  eine  cylindrische  Fläche,  deren  Normal- 
Schnitt  eine  gewöhnliche,  gestreckte  oder  verkürzte  Evolvente  des  Krei- 
ses ist,  welcher  den  Normalschnitt  von  q  darstellt,  zugleich  verschieben 
sich  die  Punkte  einer  solchen  Geraden  in  derselben  nm  dv  cos  to.  Jede 
Gerade  von  S,  welche  in  J?  liegt,  behält  ihren  kürzesten  Abstand  von 
der  Cylinderaza  hei  und  beräbrt  den  Cylinder  {oTtw\AtteudL  m  ^\nikX«<DL 


24  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

einer  leicht  zu  bestimmenden  Schraubenlinie;  diese  Schraubenlinie  wbd 
ein  Kreis  für  alle  Geraden,  welche  die  Richtung  v  haben,  deshalb  be- 
schreiben die  bezüglichen  Geraden  Kotationshjperboloide ;  die  übrigen 
Geraden  von  S  beschreiben  im  Allgemeinen  windschiefe,  bei  einer  be- 
sondem  Lage  jedoch  auch  abwickelbare  SchraubenflSchen.  Die  relative 
Trajektorie  eines  Punktes  ist  eine  Art  Spirale  auf  einem  Ereiseyolven- 
ten-Cylinder  und  kann  auch  als  Durchschnitt  eines  solchen  Cylinders 
mit  einer  abwickelbaren  Schraubenfläche  construirt  werden.  —  Nimmt 
man  die  Richtung  der  Bewegung  von  S  normal  gegen  die 
Aze  a  an,  so  erhält  man  die  Basis  für  die  Theorie  der  Kreis 
evolventen -Verzahnung. 

IV«  Zusammensetzung  zweier  Drehungen  dfc,  dv,  um- 
parallele Axen  m,  n.  Um  die  Azen  m,  n  denke  man  zwei  Um- 
drehungs-Cylinder,  welche  sich  in  der  Weise  berühren,  dass  ihre  zusam- 
menliegenden Seiten,  indem  sie  den  betreffenden  Drehungen  folgen,  in 
entgegengesetztem  Sinn  auseinandertreten.  Wenn  nun  die  Radien  ^,^' 
der  Normalschnitte  beider  Cylinder  so  gewählt  sind,  dass  QdfisszQ'dv^ 
80  wird  die  Berührungslinie,  wenn  sie  nacheinander  beide  Drehungen 
vollzieht,  wieder  in  ihre  anfängliche  Lage  gelangen;  sie  ist  mithin  die 
Centralaxe  c.  Was  die  Amplitude  der  resultirenden  Drehung  betrifft, 
so  sei  diese  d^]  weil  nun  n  durch  Drehung  um  m  ebenso  deplacirt  wer* 
den  muss,  wie  durch  Drehung  um  c,  so  ist  entweder: 

(9  +  Q)  ^l^  ~  9^%  oder  +  {Q  —  af)  dfiz=Qd^f 
je  nachdem  c  zwischen  m  und  n  liegt,  oder  über  m,  oder  über  n  hinaus. 
Der  Kürze  wegen  setzen  wir  im  Folgenden  stets  voraus,  dass  die  resnl- 
tirende  Drehaze  zwischen  die  gegebenen  Axen  falle,  eine  Voraussetzung, 
welche  die  Allgemeinheit  unfieres  Verfahrens  nicht  beeinträchtigt.  Man 
hat  gleicherweise 

(9  +  d)  dv=sqd^;  daher  l)  (fdfi  =  q'dv;  und  2)  d^  =  dfi  +  dv 
Woraus  folgt,  dass  die  Centralaxe  den  Abstand  der  Azen  m^n  im  umge- 
kehrten Verhältniss  der  Drehungs-Amplituden  d^,  dv  theilt;  oder  die 
Centralaxe  hat  die  Richtung  der  Resultante  zweier  in  m^ 
wirkenden  Kräfte,  von  den  Intensitäten  d/iA,  dv\  die  zuge- 
hörige Drehung  hat  eine  Amplitude,  welche  dieser  Resul- 
tanten gleich  ist. 

Zur  üebung.  Die  Bewegung  eines  ebenen  Systems,  von  dem  ein 
bestimmter  Kreis  (Jf,  Radius  q)  auf  einem  absolut  festen  Elreise  (iV,  Ra- 
dius q)  rollt,  fällt  in  jedem  Moment  mit  einer  Drehung  um  den  Be- 
rührungspunkt beider  Kreise  zusammen;  denn  das  gedachte  System  lässt 
sich  immer  aus  einer  Lage  in  die  benachbarte  durch  zwei  successive 
Drehungen    beziehlich   um   die  Punkte    M^N  überführen,   und  wenn   d^ 

die  Amplitude    der  ersten  Drehung   ist,  so  wird  W-   die    der  zweiten 


Von  K.  Küpper.  25 


fein;   der  augenblickliche  Drehpunkt  C  theilt  demnach  die  Linie  MN  in 

dem  VerhKltniM  q  :  (/\  die  resnltirende  Amplitude  ist  (1  +  -^)  dm^    je 

nichdam  der  rollende  Kreis  sich  ausser  oder  innerhalb  des  festen  befindet. 

Das  Bahnelement  fQr  irgend   einen  Punkt  P  wird  PC  (1  +  •^)  e/o,  und 

man  sieht,  dass  die  Rektifikation  der  von  P  beschriebenen  Cnrve  auf  die 

Elrmittelung  des  Integrals  j PCdto  hinausläuft.     Ohne  analytische  Hülfs- 

mittel  in  Anspruch  zu  nehmen,  kann  man  sich  über  die  Natur  dieses 
Integrals  auf  folgende  Weise  Aufklärung  verschaffen.  Liegt  der  rollende 
Kreis  in  dem  festen ,  und  ist  ^  =  ^  q\  so  wird  das  Differenzial  der 
Ton  P  beschriebenen  Curve  ^PCdto^  und  da  diese  Linie  bekanntlich 
entweder  ein  elliptischer  Bogen  (P  ausserhalb  des  rollenden  Kreises), 
oder  eine  gerade  Linie  (P  im  Umfang  dieses  Kreises)  ist,  so  erhellt 
dass  die  Rektifikation  der  gestreckten  und  verkürzten  Cy- 
kloiden  aller  Art  durch  ein  elliptisches  Integral  zweiter 
Oattnng,  die  der  gewöhnlichen  Cykloiden  einfach  durch 
eine  Kreisfunktion  bewerkstelligt  wird.  Auf  diesem  Wege 
kommt  man  am  schnellsten  zu  den  von  Pascal  herrührenden 
Sitzen  über  gleiche  Ellipsen  und  Gykloidenbögen. 

V.  Zusammensetzung  zweier  Drehungen  c^fi,  dv  um  zwei 
Azen  OT,  it,  welche  sich  in  einem  Punkte  0  schneiden.  Um 
diese  Axen  denkt  man  zwei  sich  berührende  ümdrehungskegel  der  Art, 
dass  ihre  beiden  zusammenfallenden  Seiten,  indem  sie  den  betreffenden 
Drehungen  folgen,  in  entgegengesetztem  Sinn  sich  bewegen.  Wenn  nnn 
die  Radien  q^q  zweier  sich  berührenden  Kreissohnitte  dieser  Kegel  so 
angenommen  sind,  dass  qdfA=:iQdv,  so  wird  ihre  Berührungslinie,  wenn 
•ie  nacheinander  beide  Drehungen  vollzogen  hat,  wieder  in  ihrer  anfKng- 
liehen  Lage  sein.  Diese  Linie  ist  also  Centralaxe.  Die  Amplitude  diß 
der  resultirenden  Drehung  kann  danach  bestimmt  werden,  dass  ein  be- 
liebiger Punkt  M  der  Axe  m  durch  diese  Drehung  in  dieselbe  Lage  ge» 
langt,  wie  durch  die  Drehung  dv  um  die  Axe  it,  d.  h. 

OM  sm  00  d'iff  =  GM  sin  adv^  oder  ON  sin  (a — w)  dtfß  =  ON  sm  cidfi. 

Auch  hier  stellt  sich  heraus,  dass  die  Centralaxe  mit  der 
Resultanten  zweier  in  m^  wirkenden  Kräfte  dfi^  dv  zusam- 
menfällt, und  dass  die  Amplitude  der  resultirenden 
Drehung  dieselbe  Grösse  dijß  zum  Maas  hat,  wie  jene  Re- 
sultante. 

In  den  mitgetheilten  Sätzen  tritt  eine  merkwürdige  Analogie  zwi- 
schen der  Zusammensetzung  von  Kräften  und  von  Rotationen  zu  Tage. 
Da  wir  an  einer  andern  Stelle  Gelegenheit  haben  werden^  dexvoi  i.'qs^^- 
zukmnmeiir  mo  genüge  hier  die  Bemerkung,  dass  Poinaol^  Vni^^Tii  «t  \«ql 


26  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

glücklichen  Gedanken  der  Aeqnivalenz  einer  Verschiebung  oder  Trans- 
lation und  eines  sogenannten  Drehnngspaars  «(d.  i.  zweier  snceessiven, 
gleichen,  aber  entgegengesetzten  Drehungen  um  parallele  Axen)  durch- 
führte, eine  vollkommen  gleichartige  Behandlung  der  Statik  und  Dyna- 
mik ermöglichte  und  anbahnte.  Es  verdient  hervorgehoben  zu  werden, 
dass  die  erwähnte  Analogie  keineswegs,  wie  man  auf  den  ersten  Blick 
vermuthen  möchte,  neben  die  Verschiebung  die  einfache  Kraft,  neben  die 
Drehung  das  Kräftepaar  stellt,  dass  sie  im  Gegentheil  die  Kraft  der  Bo- 
tation,  das  Kräftepaar  (die  Axe  desselben)  der  Translation  entiiprechen  lässt. 
Wir  gehen  auf  die  Zerlegung  von  Botationen  in  andere,  als  eine 
durch  das  bisher  Gesagte  eigentlich  schon  erledigte  Aufgabe,  nicht  näher 
ein,  und  wenden  uns  zu  einer  Untersuchung,  welche  die  momentane  Be* 
wegung*  eines  Systems  von  einer  neuen  Seite  zeigt,  und  uns  gestatten 
wird,  der  Lehre  von  der  Zusammensetzung  von  Bewegungen  gegenüber 
einen  hiöhem  Standpunkt  zu  gewinnen. 

VI.    Von  der   Zusammensetzung    zweier    Drehungen   d^ 
dVj  um  windschiefe  Axen  m,  n. 

1)  Man  ziehe  die  auf  m  und  n  normalstehende  Gerade  MH  (Taf.  I, 
Fig.  4.)  (die  Linie  des  kürzesten  Abstandes),  ihre  Länge  sei  e*  Durch 
den  Punkt  N  ziehe  man  tn  |]  m,  so  lässt  sich  statt  der  um  m  erfolgenden 
Drehung  dfi  eine  um  die  die  Axe  m  erfolgende  Drehung  von  gleicher 
Amplitude  und  gleichem  Sinn  substituiren,  wenn  nur  zu  dieser  noch  eine 
Verschiebung  sich  gesellt,  die  normal  gegen  die  Ebene  mm  gerichtet  ist 
und  deren  Maas:  edfi.  Die  beiden  jetzt  bestehenden  Drehungen  um  m' 
und  n  geben  eine  resultirende  Drehung  d^  um  eine  gewisse,  in  der 
Ebene  mm'  liegende  und  durch  den  Punkt  N  gehende  Axe  c.  Bezeich- 
nen wir  die  Winkel  mV,  mn,  d.  h.  welche  von  den  Geraden  m\c  und 
m\n  gebildet  werden,  mit  cd,  a  so  ist: 

.\   ^      .  j      .    r         \     ^N    .  dv  sin  a         du  sin  a 

1)  rffi «n  w  =  rfv  sm  («—«);  2)  d^  =  =        .  . 

stn  C9  stn  {ju—^n) 

Aber  die  Drehung  dijf  um  c,  vereinigt  mit  der  Verschiebung  edfA  ftlhrt  auf 

eine  Drehung   dip  um  eine  mit  c  parallele  Axe  c,  combinirt  mit  einer 

it 
zu  c  parallelen  Verschiebung,  deren  Grösse:  edficos('^ eo)  =  ed/iA  sin  c». 

Daraus,  dass  die  Richtung  von  edfi  einen  rechten  Winkel  mit  MN  bildet, 
folgert  man  leicht,  dass  c  die  Linie  MN  in  einem  Punkte  C  treffen  muss, 
der  je  nach  dem  Sinn  von  dfL  entweder  auf  der  Strecke  MN^  oder  auf 
deren  Verlängerung  liegt,  jedoch  stets  so,  dass 

CNdflf  =::  edfi  cos  m. 
Setzen  wir  CMess  ^,  CN==i  q'j  so  folgt: 

, ,  ,  ,        ,       dii  sin  €9  cos  m  cos  m  sin  (a  — ») 

p  d^=sedii  cos  CD,  also  P  =  :; : =  e : 

^     ^  '^  '  ^        dv        sm  a  sm  a 


Von  K.  KUPPET?.  27 


,  ,  sin  m  cos  (a— w)     ,  ,         ^.0  tang  eo 

und:    Q  =  e^Q  =  e  r-^ -i  daher:  3)  -^  = ; r. 

^  stna  ^  Q       tang{a—io) 

2)  Construktion  der  Centralaxe  c.  Die  horizontale  Projek- 
tionsebene (Fig.  YII)  sei  durch  MN  normal  auf  m  gelegt,  die  Vertikal- 
Ebene  gehe  durch  m  und  sei  mit  n  parallel ;  n\n  seien  die  Projektionen 
Ton  n,  durch  die  Gerade  c'  werde  der  Winkel  -Piüf  0  =  «  in  awei  Theile 
•,  V«— CD  getheilt,  deren  Sinus  in  dem  umgekehrten  VerhSltniss  der  Win- 
kelgeschwindigkeiten dfA^dv  stehen;  dann  ist  c"  die  Vertikal-Projektion 
der  Axe  c.  Ihre  Horizontal-Projektion  zu  bestimmen,  ziehe  ich  auf  c" 
eine  beliebige  Normale  PR''0'\  betrachte  dieselbe  als  Vertikal-Projektion 
einer  Geraden,  welche  sich  an  die  Axen  m,n  in  den  Punkten  P^Q  an- 
lehnt, deren  Horizontal-Projektion  mithin  MQ'  ist.  Ich  behaupte,  dass 
die  Linie  PQ  auch  einen  Punkt  A  mit  der  Axe  c  gemein  hat;  R'\R' 
mflssten  dann  die  Projektionen  von  R  sein  und  das  Behauptete  ist  be- 
wiesen, wenn  ich  zeige,  dass  die  Linie  R'C,  die  ich  mitn  parallel  ziehe, 
die  Horizontal-Projection  von  c  ist,     Nach  Gleichung  3)  bedarf  es  nur 

^^    -       ,  1       CM  lang  m  ,  ,.    «.  .         *         , 

des  Nachweises,  dass  ----=; ^ r;  und  die  Figur  zeigt  sofort  dass 

iyjy      tong  [a — ao) 

diese  Gleichung  durch:  -.,,>»=- ß- r,  welche  in   der  That  erfüllt 

^'  R  Q       tang  (a — w) 

ist,  mitbedingt  wird.  Hiermit  ist  unsere  Aufgabe  erledigt,  zugleich  er- 
rieht man,  dass  die  zu  Hülfe  genommene  Gerade  PQ^  da  ihre  Vertikal- 
Projection  auf  c"  normal,  c'  aber  mit  c  parallel  ist,  die  Centralaxe  in 
dem  Punkte  R  unter  rechtem  Winkel  schneidet:  Die  Geraden  m.n^c 
gehören  folglich  zu  der  einen  Schaar  von  Seiten  eines  hy- 
perbolischen Paraboloid's,  von  welchem  die  Seiten  der  an- 
dern Schaar,  wie  Pjß,  mit  c  einen  rechten  Winkel  bilden. 

3)  Identität  einer  willkürlichen  unendlich  kleinen  Be- 
wegung eines  starren  Systems  mit  zwei  succesiveen  Dre- 
hungen um  windschiefe  Axen  (Fig.  VIII).  Wir  setzen  voraus, 
dass  die  gegebene  Bewegung  zurückgeführt  sei  auf  eine  Drehung  d^ 
um  die  Centralaxe  c,  und  eine  Verschiebung  df^  parallel  dieser  Axe. 
N  sei  ein  beliebiger  Punkt  des  Systems,  die  Linie  NC  sei  normal  auf 
der  Centralaxe.  Durch  den  Punkt  N  ziehen  wir  N^^  zu  c  parallel ,  so 
ist  die  vorliegende  Bewegung  zu  ersetzen  durch  eine  Drehung  d^  um 
fie  Axe  Nif/  vereint  mit  einer  Verschiebung,  welche  aus  der  gegebenen 
df  und  der  vermöge  der  ursprünglichen  Drehung  erfolgenden  Bewegung 
CNd^  des  Punktes  N  geometrisch  zusammengesetzt  ist.  Diese  Resul- 
tante (die  Axe  der  Translation  für  N)  sei  Nif.  Nnn  zerlegen 
wir  N^\  das  Maas  von  d^\  in  zwei  Componenten  NvsssdVy  N(i=zdft^ 
wovon  die  letztere  normal  auf  der  Ebene  CNN^y  die  erst^  beliebig,  na- 
tflrBeherweise  aber  in  der  durch  Nij/  und  N^i  gelegten^  «u£  CIN  "&»«&.%- 
hn  Ebene  entbaHen  ist    Die  Drehung  Nft\  Terbnndvn  m\t  9m  mi  ""ioswK 


28  Die  geometrischen  Gesetze  der  Orts  Veränderung  etc. 


^»*V^V^XWW^'^^V^'W%^S*"l^W^^>^V^i/>^N^»^w< 


Axe  normalen  Verschiebung  NN^  fährt  auf  eine  Drehung  dfi  um  eine 
mit  Nfi  parallele  Axe  ilffi,  so  dass  endlich  die  gegebene  Bewegung  auf 
swei  DreBungen  d^y  dv  um  die  Axen  Mfk  oder  m,  Nv  oder  n  surttck- 
gefiELhrt  ist.  Diese  Axen  nennen  wir  Gegenaxen,  die  Punkte 
ilf,JV^  die  Endpunkte  des  kleinsten  Abstands  zwischen  ihnen, 
Gegenpunkte« 

Man  bemerkt,  dass  eine  solche  Axe  (wie  Mfi)  mit  der  Translations« 
axe  ihres  Gegenpunktes  {N)  einen  rechten  Winkel  bildet,  und  wenn  da- 
her m  der  Winkel  ist,  unter  welchem  Mi^  (oder  Nfk)  gegen  die  Axe 
c  sich  neigt,  so  ist  dies  derselbe,  den  NN*  mit  der  Bichtung  von  CNdip 
einschliesst;  folglich: 

m  hängt  somit  von  der  Lage  des  Punktes  N^  nicht  aber  von  der  Axe  Nv 
ab;  dieser  letsteren  gemäss  bestimmt  sich  aber  die  Lage  des  Punktes  M. 
Wenn  Nv  alle  möglichen  Lagen  (normal  auf  CiV')  annimmt,  so  beschreibt 
gleichzeitig  der  Punkt  M  die  unendlich  verlängerte  Gerade  AC,  die  Axe 
Mn  bleibt  dabei  in  einer  Ebene,  welche  mit  c  den  Winkel  m  bildet 
Um  bei  einer  besondem  Lage  von  Nv^  die  durch  den  Winkel  a  bestimmt 
sei,  welchen  iVv,  if/iA  bilden  sollen,  den  Punkt  M  zu  bestimmen,  hat 


auch: 


MNdn  =  J^iV  =  j/  CN*  d^+df*', 

Also  nach  1)   MNdfi  =  CNd^f  yi+ianga*^^^^. 

d^           sin  of 
Weil  aber,  in  Folge  der  Zerlegung  von  dtffj  -—=——- -,80  ist 

MN 9in  a  lang  oo  +  tang  (a — a) 

CN       €08(0  sin  (a — o»)  iang  (« — o) 

...  CM       iang(a--m)  df  . 

mithm:  -p^r;^  =  — p ^,  und:    CM  =  •—- — '- r  ...  2) 

CN  iangm  d'^iang(a — a)  ' 

Es  genügt  auf  die  bei  der  Constmktion  von  c  vorkommende  Betrach- 
tung hinzuweisen,  um  den  Satz  aufstellen  zu  können,  dass  irgend  zwei 
Gegenaxen  m^n  nebst  der  Centralaxe  c  einem  hyperbolischen  Paraboloid 
als  Seiten  angehören,  in  welchem  die  eine  Schaar  von  Geraden  aufe, 
die  andere  auf  der  Geraden  NM^  in  welcher  die  kürzesten  Abstände  von 
ffi,  c,  n  liegen,  normal  ist. 

4)  Eigenschaften  der  Gegenaxen.  Ehe  wir  diese  Auseinan- 
dersetzung beginnen,  müssen  wir  in  Kürze  des  Falles  Erwähnung  thun, 
bei  dem  es  sich  um  die  Gegenaxe  einer  Geraden  m  handelt,  welche  die 
Centralaxe  schneidet.  Zunächst  ist  klar,  dass,  wenn  der  Winkel  mc  ein 
Rechter  ist,  von  einer  Zerlegung  der  Drei  ur.^  drff  nach  der  Axe  m  nicht 
die  Rede  §ein  kann,  alao  auch  nicht  von  einer  Gegenaxe;.  wenn  femer 


Von  K.  Küpper.  29 


derselbe  Winkel  =  Null  ist,  oder  m  U  c,  so  gehört  zn  der  Drehung  d^ 
um  m  noch  eine  parallele  Verschiebung,  die  auch  als  eine  Drehung  um 
eine  nnendlich  ferne  Axe  angesehen  werden  darf.  Im  Allgemeinen  zer- 
lege man  dfff  iu  zwei  Componenten,  wovon  die  eine  m  zur  Axe,  die 
iweite  eine  auf  c  normale  Axe  hat.  Diese  letztere  liefert  in  Verbindung 
mit  der  Verschiebung  df  eine  Drehung  um  eine  Axe  n ,  welche  einmal 
in  einer  im  Durchscbnittspunkt  von  m,c  auf  c  normalstehenden  Sbene, 
sodann  in  einer  der  Ebene  mc  parallelen  Ebene  liegen  muss.  Hiemach 
kehren  wir  zu  den  Oegenaxen  tn^n  zurück ,  die  wir  in  der  vorigen  Num- 
mer nfther  bestimmt  haben.  Die  Punkte  M^Nfi^  die  Winkel  a,»  nehmen 
wir  in  derselben  Bedeutung,  wie  dort,  und  bezeichnen  der  Kürze  wegen 
die  im  Punkte  N  auf  NC  normale  Ebene  in  der  Folge  stets  mit  9{. 

Wir  fanden,  dass,  wofern  die  Gerade  n  in  der  Ebene  31  bleibt  und 
fortwfthrend  den  Punkt  N  enthält,  ihre  Oegenaxe  m  einen  constanten 
Winkel  »  mit  c  bildet,  sonst  aber  ihre  Lage  dergestalt  ändert,  dass  sie 
eine  durch  NC  gehende  Ebene  beschreibt.  Der  Reihenfolge  von  Lagen, 
in  denen  die  Geraden  m,n  Gegenaxen  sind,  entspricht  eine  Schaar  von 
hTperbolbchen  Paraboloiden ,  welche  dieselbe  (auf  c  normale)  Kichtebene, 
sowie  zwei  Seiten  (c  und  die  Gerade  NC)  gemein  haben.  Diese  Para- 
boloide  können  dazu  dienen,  um  der  Vorstellung  die  Anordnung  der 
möglichen  Gegenaxen  zugängig  zu  machen,  und  wir  werden  zeigen,  dass 
in  einem  solchen  Paraboloid  unendlich  viele  Paare.von  Ge- 
genaxen liegen,  dass  f,ür  ein  solches  Paar  dasRechteck  aus 
den  Entfernungen  der  beiden  Axen  von  c,  ebenso  wie  das 
Produkt  aus  den  Tangenten  der  Winkel,  welche  sie  mit  c 
bilden,  constant  ist. 

In  dem  Paraboloid,  welches  c,m,n  enthält,  seien  f,(  zwei  zur  selben 
Schaar  wie  m^n  gehörige  Seiten,  S,T  seien  die  Punkte,  in  welchen  sie 
die  Gerade  MN  schneiden,  a  heisse  der  Winkel  f /,  m  der  Winkel  fc, 
dann  ist 

CS iangtn 

Cf^iang  (a— »/ 

Wenn  nun  zwei  Drehungen  dtf,  dr  um  8,i  als  Axen  vorliegen,  der- 
art, dass  da  :  dx  =  sin  {a — w)  :  sin  a\  so  wird  die  resultirende  Central- 
axe  mit  c  parallel  werden.  Damit  zugleich  die  resultirende  Drehung 
ae  <f^  werde,  muss  sein 

ds  sina  ,  ,  ^    dt  sin  a        , 

.    f  * Tv  =  dfU.   oder  auch    — : — ?—  =  cfilf . . . .  3) 

und  damit  femer  die  resulthrende  Axe  mit  c  zusammenfalle, 
CTd-^  =  ST  du  coi  «  , . . .  4) 
Endlich  damit  die  rösultirenden  Verschiebungen  identisch  seien,  ist 
erferderHcb : 

STdfftmn  ==  ed^k  tm  tt  ...  b^ 


30  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

Die  Gleichnngen  4),  5)  transformire  ich  durch  Einführung  von 
e  =3  ^  4-  q\  und  durch  Benutzung  der  Proportion :  q  +  q  :  q'  =  lang  m 
+  tang  (a—w)  :  iang  (a— w)  =  ^  a  :  co5  oo  <m  (a— «).     Es  entsteht: 

ST  da  sm  io  z=z  q  d^k  fang  ta  —, — ; -;  daher  nach  4): 

sm  (a — OD) 

QT  lang  «'  rf  ti;  =  q  du,  iang  o»  -: — rt  und  weil: 

d^:d(i=ssmct  :«m(«— o»),  so  folgt:  CT=^q  — ^ 6) 

lang  cd 

Mit  Hülfe    der    Gleichungen    q  \  q  i=  lang  o  :  tang  (a— oo),  CS:CT= 

=  tang  «' :  iang  (a — «  )  ergiebt  sich : 

cs=t,  ^"g/r "?.... 7) 

^  tang  (a  — 09 )  ^ 

Hiemach  kann  der  Punkt  T,  oder  die  Aze  t  willkürlich  angenom- 
men werden,  der  Winkel  »,  den  die  Gegeuaze  s  mit  c  bildet,  ist  dann 
nach  6)  bestimmt;  und  durch  diesen  Winkel  hat  man  sogleich  S^  denn 
in  dem  betrachteten  Paraboloid  ist: 

CS  :  Qt=  iang  m  :  iang  o  ....  8) 
Endlich  folgt  aus  7)   und  8)   die  zur  Bestimmung  von  Gegenaxen 
bequeme  Beziehung: 

CS.CTz=sQq\  die  erste  der  behaupteten  Eigenschaften. 
Sie  enthält  nach  0)  und  7)  die  zweite: 

iang  m  tang  (a— w)  =  iang  w  iang  (a — «»'). 

b)  Die  Gleichungen  3),  4),  5)  beziehen  sich  nicht  blos  auf  Gegen- 
axen in  einem  bestinmiten  Paraboloid,  sondern  sie  enthalten  ganz  allge- 
meine Eigenschaften  dieser  Linien.    Wendet  man  nun  auf  5)  die  Formeln: 

diUsini»     ^  d^  sin  €9 

dz  =  — 2-: — ', — :  dv  =  — -^^ 

sma  sin  a 

an,  so  kommt:  STda  dt  sin  u  =  edfA  dv  sin  a. .  . .  9) 

Denken  wir  uns  auf  den  Axen  5,/  die  Stücke  da^  dx  abgeschnitten, 
und  ein  Tetraeder  gebildet,  welches  zu  gegenüberliegenden  Seiten  eben 
diese  Stücke  hat,  so  drückt  die  linke  Seite  der  Gleichung  9)  den  sechs- 
fachen Inhalt  dieses  Tetraeders  aus;  ähnliches  gilt  für  die  rechte  Seite 
in  Bezug  auf  die  Stücke  dfi,  dv  in  den  Axen  m,n:  Wie  man  auch 
die  gegebenen  Drel^ungen  (/fi,  dv  durch  zwei  andere  ersetzen 
mag,  stets  bleibt  das  Tetraeder,  welches  die  auf  den  Dreh- 
axen  abgetragenen  Maasse  dieser  Drehungen  zu  gegenüber- 
liegenden Seiten  hat,  von  unveränderlichem  Inhalt  Dieser 
Satz  ist  das  Analogen  des  bekannten  Chasl  es 'sehen  Satzes  über  zwei 
einem  Krä^^^y^tem  aequivalente  Kräfte. 

c)  Der  Winkel  a,  den  zwei  in  einem  bestimmten  der  vorhin  er- 
wähnten Paraboloide  liegende  Gegenaxen  einschliessen ,  ändert  sich  im 
Allgemeinen  von  einem  Paar  zum  andern,  denn  sonst  würde  die  Gleichung 


Von  K.  KÜPPEH.  31 


ttmg  a  =  —^ -^-\ ^  wegen  der  Constanz  des  Weithes  von 

1  —  lang  m  tang  (et — o») 

tang  a>  fang  (a — o)  auf  einen  bestimmten  Werth  von  oo  führen,  was  offen- 
bar  nicht   möglich    ist.     Jedoch    bildet    eine    Ausnahme  der    Fall,    wo 

fang  o  iang  (a — lo)  t=  1  oder  a  =  — .  Erinnert  man  sich  daran ,  dass,  wäh- 
rend die  Aze  n  sich  in  der  Ebene  9{  um  den  Punkt  N  drehte,  ihre 
Gegenaxe  m  sich  selbst  parallel  blieb,  dabei  mit  der  Translationsaze  NN* 
einen  rechten  Winkel  bildete,  so  gewahrt  man,  dass,  wenn  n  mit  dieser 
Translationdaxe  zusammenfällt,  und  nur  dann,  ihre  Gegenaxe  m  mit  ihr 
einen  rechten  Winkel  bildet.  Stellen  wir  uns  mithin  das  Paraboloid  her, 
in  welchen  jetzt  m^n^c  Seiten  sind,  so  sind  in  diesem  irgend  zwei  Gegen- 
azen  normal  gegen  einander  gerichtet  und  sie  fallen  zusammen  mit  den 
Translationsazen  ihrer  der  Centralaze  zunächst  liegenden  Punkte.  In 
keinem  der  andern  Paraboloide  gibt  es  zwei  unter  rechtem  Winkel  ge- 
neigte Gegenazen. 

Eigentlich  versteht  es  sich  von  selbst,  dass  zwei  Gegenazen  dadurch 
charakterisirt  sind,  dass  die  Wegelemente  (Trauälationsaxen;  der  Punkte 
der  einen  normal  gegen  die  andere  gerichtet  sind;  weil  aber  der  direkte 
Beweis  dieser  Eigenschaft  sehr  einfach  ist,  so  fügen  wir  ihn  hier 
noch  bei. 

Nv  hat  die  Aze  w,  NN'  die  Translationsaze  von  iV,  N^l  mit  m,  iV^' 
mit  c  parallel;  diese  verschiedenen  Geraden  liegen  in  der  Ebene  9t  und 
Winkel  N* N^k  ist  ein  rechter.  Nun  ist  das  Wegelement  des  Punktes  v 
die  Resultante  von  NN"  und  einer  Drehung  um  die  Aze  N'^\  und  die 
letztgenannte  Componente  ist  normal  gegen  die  Ebene  lif'Nv^  d.  h.  pa- 
rallel der  Geraden  NC\  folglich  ist  die  in  Bede  stehende  Besultante  der 
Ebene  CNN"  parallel,  oder  gehört  einer  auf  N^l  (m)  normalen  Stel- 
lung an. 

5)  Hier  ist  der  Ort,  einige  Sätze  aufzustellen,  welche  mit  gewissen, 
von  Mob  ins  in  seiner  Statik  mitgetheilten  die  grösste  Aehnlichkeit  haben. 
Damit  aber  diese  eigenthümliche  Verwandtschaft  zwischen  dem  Gegen- 
stände nach  wesentlich  verschiedenen  Wahrheiten  recht  sichtbar  hervor- 
trete, bediene  ich  mich  der  von  Möbius  gebrauchten  Namen: 

unter  Nullebene  des  Punktes  N  soll  die  Ebene  verstanden  werden, 
welche  in  N  normal  auf  der  Translationsaze  NN*  von  N  ist.  Dieselbe 
enthält  nach  Früherem  die  Gegenaze  einer  jeden  durch  N  gehenden  auf 
NC  normalen  oder  in  9t  liegenden  Geraden. 

Nullpunkt  einer  Ebene  E  heisst  deijenige  Funkt  von  E^  dessen 
Translationsaze  normal  auf  E  ist.  Diese  Definition  verlangt  eine  beson- 
dere Rechtfertigung.  Wenn  E  die  Centralaze  schneidet  und  zugleich  auf 
ihr  normal  ist,  so  sieht  man,  dass  der  Punkt,  in  welchem  sie  die  Cen- 
tralaxe  trifft |  ihr  Nullpunkt  ist;  denn  dieses  und  kern  eiidftx^t  vQA%«t*^^Ds&. 


32  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

bewegt  sich  normal  gegen  E.  Femer,  schneidet  E  die  Centralaze  c  in 
einem  Punkte  C,  ohne  auf  c  normal  za  sein,  so  denke  man  darch  C  in 
E  eine  Normale  anf  c\  die  Translationsazen  der  Punkte  dieser  Linie 
Bilden  ein  hyperbolisches  Paraboloid  und  neigen  sich  gegen  E  unter 
allen  möglichen  Winkeln,  mithin  ist  eine  und  nur  eine  normal  auf  E; 
diese  sei  NN*.  Dass  für  keinen  zweiten  Punkt  von  E  die  Translations- 
aze  mit  NI^  parallel  ist,  folgt  so:  durch  N  ziehe  man  c\\cy  so  besteht 
die  Bewegung  aus  einer  Drehung  diff  um  c  und  einer  Verschiebung 
gleich  und  parallel  NN\  also  muss  das  Wegelement  eines  jeden  Punktes 
▼on  E,  als  zusammengesetzt  aus  NN*  und  einem  andern  geg^n  c  normal 
gerichteten  Stück,  von  der  Kichtung  Nlt  abweichen.  Wenn  E  der  Cen- 
tralaxe  parallel  ist,  so  gibt  es  in  ihr  keinen  Nullpunkt,  denn  die  eine 
Componente  des  Wegelementes  eines  jeden  ihrer  Punkte  ist  mit  c  pa- 
rallel, fällt  also  in  E. 

Erster  Satz.  Die  Nullebene  eines  beliebigen  Punktes  0 
einer  Ebene  E  geht  durch  den  Nullpunkt  iS^  von  E. 

Beweis.  Das  Wegelement  des  Punktes  0  ist  die  Resultante  von 
JVy  und  dem  Kreiselement,  welches  0  vermöge  der  Drehung  um  die 
durch  N  zn  c  parallel  gedachte  Axe  c  beschreibt.  Da  dieses  letztere 
normal  auf  der  durch  c  und  ON  gehenden  Ebene,  NN'  aber  auf  E  nor- 
mal ist,  so  muss  jene  Resultante  auf  ON  normal  sein,  mithin  muss  die 
Nullebene  von  0  die  Oerade  Oi^  enthalten. 

Zweiter  Satz.  Die  Nullpunkte  aller  Ebenen,  welche 
einen  Punkt  JV  gemein  haben,  fallen  in  die  Nullebene  E  die- 
ses Punktes. 

Denn  E  muss,  als  Nullebene  von  N  durch  den  Nullpunkt  einer  je- 
den Ebene  gehen,  in  welcher  N  liegt. 

Dritter  Satz.  Die  Nullebenon  der  Punkte  einer  Gera- 
den  n  schneiden  sich  in  einer  andern  Geraden  m,  und  diese 
ist  die  Gegenaxe  jener. 

Beweis.  jK',jB''  seien  die  Nullebenen  zweier  Punkte  Q\(/'  der  Gera- 
den it,  sie  mögen  sich  in  einer  Geraden  m  schneiden;  F^yP"  seien  zwei 
beliebige  Punkte  von  m,  ihre  Nullebenen  F\F"  müssen  nach  dem  Vori- 
gen sowohl  Q'  als  Q"  enthalten,  weil  jederjder  Punkte  P\P*  sowohl  in 
i  als  auch  in  ET  liegt.  Betrachtet  man  demnach  n  als  Durchschnitts- 
linie von  F\^'  so  erhellt,  dass  die  Nullebene  eines  jeden  ihrer  Punkte 
durch  P  und  P'^  also  auch  durch  m  gehen  muss. 

Um  zweitens  zu  erweisen,  dass  m\n  Gegenaxen  sind,  stelle  man 
sich  das  hyperbolische  Paraboloid  vor,  welches  die  von  den  Punkten 
Q\^'  etc.  der  Geraden  n  auf  die  Centralaze  gefällten  Normalen  ffV, 
ff  (f  etc.  enthält.  In  diesem  Paraboloid  liegt,  wie  wir  wissen,  die  Ge- 
genaxen von  n.  Weil  aber  die  Ebenen  E\^'  etc.  sich  in  einer  Gera- 
Jen  m  schneiden,  und  beziehlich  durch  die  Geraden  Q'C ^  Q"(f'  etc.  gehen, 


Von  K.  Küpper.  33 


•0  wird  m  auch  von  den  zuletst  genannten  Geraden  getroffen;  m  ist  daher 
eine  Seite  des  gedachten  Paraboloids.  Nun  sei  N  der  der  Centralaxe 
lunlehatliegende  Punkt  von  n,  E  seine  Nullebene ;  E  enthält  bekanntlich 
die  Gegenaze  von  n,  und  da  E  auch  die  Gerade  m  enthält,  so  müsste, 
venn  m  diese  Gegenaxe  nicht  selbst  wäre,  die  Ebene  E  drei  Seiten 
unseres  Paraboloids,  nämlich  NC^  tn^  und  die  Gegenaxe  von  n  aufneh- 
men, was  unmöglich  ist;  somit  fällt  m  mit  der  Gegenaxe  von  n  zusam- 
men.    W.  s.  b.  w. 

Ebenso  beweist  man  das  Reziproke:  die  Nullpunkte  der  Ebenen 
eines  Ebenenbüschels ,  dessen  Axe  n  ist,  liegen  in  der  Gegenaxe  von  n. 

Vierter  Satz.  Die  Gegenaxen  aller  durch  einen  Punkt 
N  gehenden  Geraden  befinden  sich  in  der  Nnllebene  ^  die- 
ses  Punktes.  Denn  jede  durch  N  gehende  Gerade  ist  die  Axe  eines 
Bfischels  von  Ebenen,  deren  Nullpunkte  in  der  Gegenaxe  dieser  Geraden 
und  auch  in  der  Ebene  E  liegen.     (Nach  dem  dritten  und  zweiten  Satz). 

Umgekehrt:  Die  Gegenaxen  aller  Geraden  einer  Ebenol 
schneiden  sich  im  Nullpunkt  N  dieser  Ebene.  Denn  die  Null- 
ebenen der  Punkte  einer  solchen  Geraden  müssen  durch  deren  Gegen- 
axe und  zugleich  durch  N  gehen.     (Nach  dem  dritten  und  ersten  Satz.) 

Die  vorstehenden  Sätze  enthalten  eine  specielle  Art  dualer  oder  re- 
ziproker Beziehung  zweier  Raumsysteme  aufeinander.  Jedem  Gebilde, 
insofern  eis  als  Ort  eines  Punktes  angesehen  wird,  ist  ein  anderes,  von 
einer  durch  diesen  Punkt  gehenden  Ebene  umhülltes  Gebilde  zugeordnet, 
und  umgekehrt  Jeder  von  einer  Geraden  n  beschriebenen  Regelfläche 
entspricht  eine  andere,  die  von  ihrer  Gegenaxe  m  erzeugt  wird;  einem 
Kegel  s.  B.  entspricht  ein  von  einer  Curve  begrenztes  Stück  einer  Ebene- 
Anstatt  aber  zu  einer  vorgegebenen  Regelfläche  die  Reziproke  aufzu 
suchen,  welches  das  gewöhnliche  Verfahren  ist,  kann  man  auch  irgend 
eine  der  Natur  der  Sache  gemässe  Abhängigkeit  zwischen  zwei  rezipro- 
ken Elementen  (Geraden)  feststellen ,  und  nach  der  Anordnung  derselben 
in  awei  sieh  entsprechenden  Grundgebilden  (Ebene  und  Strahlenbündel) 
fragen»  Indem  wir  beispielsweise  nur  solche  Gegenaxen  berücksichtigen, 
welche  einen  rechten  Winkel  miteinander  bilden,  d.  i.,  welche  zugleich 
Translationsaxen  für  ihre  der  Centralaxe  am  nächsten  gelegenen  Punkte 
sind,  werden  wir  zu  Eigenschaften  geführt,  die  wiederum  eine  phorono- 
mische  Deutung  zulassen;  und  so  kommen  wir  zu  dem  Punkt  zurück« 
von  dem  wir  ausgegangen  sind. 

Anordnung    der   Translationsaxen    oder    Tangenten   für 
die  Bahnen  der  Punkte  eines  eine  willkürliche  momentane 
Bewegung  vollziehenden  starren  Systems: 
a)  in  einer  Ebene  E. 

In  einer  auf  der  Centralaxe  c  normalen  Ebene  giebt  öÄtevü^^xvsÄ- 
U&numxe,    es  mttsate  denn  die  Verschiebung  df  ^uW  aeVa.    \tv  ^vcv^x 

Z^ümkrm  f,  9Uthmn»tlk  o.  fhfik.  VI.  1.  % 


34  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

mit  c  parallelen  Ebene  findet  man  alle  darin  enthaltenen  Translations- 
axen  so:  um  c  beschreibe  man  einen  Rotationscylinder ,  welcher  E  in 
einer  Geraden  g  berührt,  dann  fallen  die  Translationsaxen  der  Punkte  Ton  g 
in  E  und  sind,  weil  diese  gleich  weit  von  c  abstehen,  parallel.  Für  keinen  an- 
dern Punkt  von  E  kann  die  Translationsaze  in  E  fallen,  denn  beschreibt  man 
durch  einen  solchen  Punkt  um  c  als  Axe  einen  Botationscylinder,  so  wird  die- 
ser von  der  gedachten  Translationsaxe  berührt,  welche  daher  E  schneidet. 
Die  Ebene  möge  endlich  mit  c  den  Punkt  C  gemein  haben,  N  sei  ihr  Null- 
punkt, NN'  dessen  Translationsaxe,  also  normal  auf  £.  Der  Nullpunkt 
P  einer  jeden  durch  NN'  gehenden  Ebene  liegt  in  E^  und  da  eine  solche 
Ebene  auf  E  normal  ist,  so  liegt  auch  die  Translationsaxe  p  von  P  in 
E.  Ausser  diesen  Axen  p  liegt  keine  in  E^  denn  wäre  q  eine  solche  ftbc 
den  Punkt  Q ,  so  müsste  die  Nullebene  von  Q  einmal  durch  N  gehen, 
dann  auch  normal  auf  q  oder  auf  E  sein,  mithin  müsste  sie  NN'  enthal- 
ten, also  unter  den  vorhin  gedahton  Ebenen  vorkommen.  Die  Null- 
punkte P  liegen  nach  Früherem  auf  der  zu  NN'  rechter inkligen  Gegen- 
axe  MM'  (in  E)]  verbinden  wir  daher  N  mit  den  Punkten  P  und  er- 
richten auf  NPinE  Normalen,  so  sind  diese  die  sftmmtlichen  in  ^vorkom- 
menden Translationsaxen:  Sie  umhüllen,  wie  man  sieht,  eine 
Parabel^  deren  Brennpunkt  iV,  deren  Scheiteltangente 
MM'  ist. 

Das  erlangte  Kesultat  gestattet  noch  eine  andere  Auslegung.  Der 
Ort  für  diejenigen  Punkte  P  eines  starren  Systems,  welche  bei  dessen 
momentaner  Bewegung  in  einer  festen  Ebene  E  verharren,  ist  in  ^  eine 
gewisse  Gerade  MM*]  die  übrigen  Punkte  treten  aus  £  heraus,  ein  ein- 
ziger darunter  (iV)  normal  gegen  E.  Das  ebene  System,  welches  E  ver- 
lässt,  gelangt  in  eine  benachbarte  Lage  und  schneidet  E  in  jener  Gera- 
den  MM'-j  folglich  berührt  das  ebene  System  die  abwickelbare  FUche, 
welche  es  umhüllt,  in  MM'^  oder  MM'  ist  seine  charakteris tische 
Linie.  Es  leuchtet  ein,  dass  jede  Translationsaxe  und  nur  eine  solche 
für  eine  durch  sie  hindurchgehende  Ebene  die  charakteristische  Linie 
darstellt,  weshalb  denn  auch  die  ausschliesslich  für  Translationsaxen 
stattfindenden  Sätze  gültig  bleiben,  wenn  man  an  deren  Stelle  die  cha- 
rakteristischen Linien  der  zugehörigen  Ebenen  setzt.  Bei  dieser  Umfor- 
mung lehren  sie  etwas  wcsentljch  Neues,  wie  z.  B.  die  charakteristi- 
schen Linien,  welche  sich  gleichseitig  in  einer  gegebenen 
Ebene  E  befinden,  umhüllen  darin  eine  Parabel,  deren 
Brennpunkt  der  Nullpunkt  von  E^  deren  Scheiteltangente 
die  charakteristische  Linie  von  J?  ist. 

b)  In  einem  Strahlenbündel,  dessen  Mittelpunkt  N  sei. 

Wir  erinnern  daran,  dass  aus  der  Construktion  des  Wegclementes 
NN'  eines  Punktes  N  unmittelbar  hervorgeht:  erstens,  eine  vorliegende 
Gerade  kaon  Translationsaxe  nur  für  denjenigen  ihrer  Punkte  sein ,  wel- 


Von  K.  Küpper.  35 


eher  der  Centralaze  zanftchst  liegt;  zweitens,  damit  diese  Gerade  Trans- 
lationsaxe  sei,  muss  zwischen  dem  Winkel  oo,  den  sie  mite  bildet,  und 
ihrem  kleinsten  Abstand  CN  von  c  diese  Abhängigkeit  bestehen: 

cot  00  =  ^',     . 

CNdif 

Aach  mnss  nach  dem  Bisherigen  hinlänglich  deutlich  geworden  sein, 
dasfl  die  erforderliehe  und  hinreichende  Bedingung,  dass  eine  Gerade 
Traaslationsaxe  ist,  sich  darin  ausspricht,  dass  ihre  Oegenaxe  mit  ihr 
einen  rechten  Winkel  bildet.  Wenn  demnach  E  die  Nullebene  des  Punktes 
Mst,  so  können  sich  in  N  nur  solche  Translationsaxen  treffen,  deren  Gegcn- 
axen  mit  den  in  E  liegenden  Translationsaxen  zusammenfallen,  und  weil 
diese  letzern  nach  dem  Vorigen  bekannt  sind,  so  können  sie  uns  dazu 
dienen,  jene  zu  bestimmen.  Die  Kegelfläche,  welche  die  durch  iV  gehen- 
den Translationsaxen  enthält,  ist  die  Reciproke  der  eben  in  E  gefunde- 
nen Parabel ;  aber  wir  wollen  sie  ohne  Rücksicht  auf  diesen  Zusammen- 
hang direkt  aufsuchen. 

Durch  N  führen  wir  eine  beliebige  Ebene  F  (Fig.  IX)  der  Central  • 
axe  c  parallel,  so  gibt  es  in  J^  eine  einzige  durch  N  gehende  Transla- 
tionsaxe.  Denn  q  sei  der  Abstand  der  Ebene  J^  von  c ,  a  der  Winkel, 
den    eine    in    F  liegende    Translationsaxe    mit  c    bildet,    so   ist    fang  m 

od  Mf 
=  ^  ,  somit  für  F  constant,  oder  die  Translationsaxen  in  F  sind  pa- 
rallel; folglich  befindet  sich  unter  ihnen  eine  /,  und  nur  diese,  welche 
den  Punkt  iV^  aufnimmt.  Nennen  wir  X  den  Punkt  von  ^,  für  welchen  /  Trans- 
lationsaxe ist,  yX  den  kürzesten  Abstand  zwischen  /,  c,  ferner  g>  den 
Winkel,  den  F  mit  der  durch  N  und  c  gehenden  Ebene  einschlicsst, 
so  ist: 

Q  =  CN  sin  ff ,  daher : 

CNd^   , 
lan   00=  — — —  sin  q>' 

Oder,  wenn  wir  mit  m  den  Winkel  bezeichnen,  den  NN'  mit  coder 
mit  der  sa  c  parallelen  N(f  bildet: 

fang  (o  =  lang  o  sin  q>. 

Diese  Gleichung  charakterisirt  den  Ort,  in  welchem  /  liegt.  Denken 
wir  im  Abstände  1  von  N  eine  Ebene  normal  auf  c,  so  werde  diese  von 
NN*  im  Punkte  i^,  von  NCf  m  (f^  von  /  in  L'  geschnitten. 

Daher:  N(f=l,  =  (fN'~  iang  w',  CfL'  =  lang  w,  \_l'CfN'  =  ^  —  <p. 

Gemäss  unserer  Gleichung  folgt:  CL'  =  C'N'  cos  L'C^N'. 
Hithin  ist  [_N'L'(f  ein  Rechter,   und  Z'   hat  einen  Kreis   zum   Ort, 
dessen  Durchmesser  gleich  (fN"  ist,  oder  die  Geraden  /  liegen  auf  einem 
Kegel,  welcher  diesen  Kreis  aus  dem  Punkte  N  pröjiziit.  Di^aet  ¥L^^^ 
berührt    die   äwch  N  und  c  gelegte   Ebene   in  der  Qttadwi  KCT^  ^«ä 


36  Die  geometrischen  Gesetze  der  Ortsveränderung  etc. 

Hauptschnitt  ist  das  bei  C  rechtwinklige  Dreieck  N(flf\  die  Ebene  sei- 
nes zweiten  Kreisschnitts  ist  auf  NN'  normal,  d.  i.  der  Nullebene  von  N 
parallel : 

Die  in  einem  Strahlenbündel  {N)  befindlichen  Trans- 
lationsazen  erfüllen  einen  Kegel  zweiten  Grades,  dessen 
Hauptschnitt  die  Ebene  darstellt,  welche  die  zum  Punkte  JV^ 
gehörige  Translations-  und  Rotationsaxe  enthält,  und  des- 
sen beide  Kreisschnitte  auf  je  einer  dieser  Axen  normal 
sind. 

Zum  Schlüsse  beantworten  wir  noch  die  sich  hier  von  selbst  aufdrän- 
gnude  Frage  (Fig.  X)  nach  dem  Orte  der  Punkte  A,  deren  Translations- 
axen  durch  N  gehen.  Zunächst  gewahrt  man,  dass  diese  Punkte  auf 
einem  Kotationscjlinder  liegen,  dessen  Schnitt  mit  einer  durch  NC  recht- 
winklig gegen  c  geftihrten  Ebene  der  über  JVC  als  Durchmesser  beschrie- 
bene  Kreis  ist;  denn  legen  wir  durch  c  eine,  auf  die  vorhin  gedachte 
Ebene  F  normale  Ebene,  so  muss  X  sich  in  der  DurchschnittsUnie  dieser 
beiden  Ebenen  finden;  der  Ort  für  diese  Durchschnittslinie  ist  aber  of- 
fenbar der  beschriebene  Gylinder.  Wenn  wir  weiter  durch  yl  eine 
Ebene  normal  auf  c  legen,  welche  NN'  im  Puukte  v,  N'Cf  im  Punkte  7' 

schwindet,  so  ist  das  Dreieck  ykv  dem  Ctff  ähnlieh,  daher  Ly'^y=-"- 

Weil  nun  yX  auf  der  Ebene  F^  also  auch  auf  der  Linie  Xy  normal 
ist,  so  liegen  die  Punkte  7,  A,  v  in  einer  Geraden.  Alle  ebenso  erhal- 
tenen Geraden  erfüllen  das  hyperbolische  Parabel oid,  in  welchem  Ntf^  c, 
und  die  Gegenaxe  von  NHf  Leitlinien  sind,  und  so  kann  der  Ort  der 
Punkte  1  als  Durchschnittscurve  von  je  zweien  der  Fachen: 
Gylinder,  Kegel,  Paraboloid  betrachtet  werden.  Seine  Glei- 
chung ergibt  sich  sehr  einfach  als  eine  Beziehung  zwischen  dem  Abstände 
z  des  Punktes  l  von  der  durch  N  rechtwinklich  auf  c  gelegten  Ebene 
und  dem  oben  mit  tp  bezeichneten  Winkel. 

Es  ist :     CN cosg)=: / A;  und  yX  cot  w  =  z, 

folglich :  z  =  CNcos(pcot(o^  und  wegen  tang  m  =  iang  a!  sintp 

z=^CNcosipcolm',  aber  Ciy=?^'""^"' 


mithin :  z  =  — ^  cot  q>, 
dfff       ^ 


dflf 


Im  Wesentlichen  drückt  folgender  Satz  das  Ergebniss  der  letzten 
Untersuchung  aus:  Bei  einer  willkürlichen  momentanen  Bewe- 
gung eines  starren  Systems  bleiben  dessen  Punkte  in  ge- 
wissen Geraden  t  (ihren  Translationsaxen),  drehen  sich 
seine  ebenen  Systeme  um  die  nämlichen  Geraden  /  (ihre 
charakteristischen  Linien).  Diejenigen  Punkte,  welche  für 
eine  unendlich  kleine  Dauer  in  derselben  Ebene  E  bleiben, 


1 

i  Von  K.  KÜPPER.  37 


befinden  sich  in  der  charakteristischen  Linie  von  j^;  die 
ihnen  sngehörigen  Geraden  /  berühren  eine  Parabel  in  E, 
Diejenigen  Punkte,  welche  gleichzeitig  auf  einen  bestimm- 
ten Punkt  N  sich  hinbewegen,  liegen  in  einer  unendlichen, 
durch  N  gehenden  gewundenen  Curve;  die  ihnen  zugehöri- 
^en  Oeraden  /  sind  die  Seiten  eines  Kegels  vom  zweiten 
0rade,  der  zu  jener  Parabel  in  reziproker  Verwandtschaft 
iteht     (Vergl.  Chasles:  Jperfü  histarique,) 


m. 

üeber  den  ZnaammeiLhang  der  Wittenrngserschemimgeii. 
Von  Dr.  F.  Dellmann  in  Kreuznach. 


Die  Grrundlage  einer  allgemeinen  Theorie  der  meteorologischen  Er- 
scheinungen ist  zuerst  von  Dove  in  einem  Aufsatze  gegeben,  welcher 
die  Ueberschrift  fährt:  „Heber  den  Zusammenhang  der  Witterungser- 
scheinungen/' Zuerst  erschien  dieser  Aufsatz  1835  in  den  Königsberger 
Vorträgen  y  später  erweitert  in  seinen  meteorologischen  Untersuchungen. 
Dove  hat  in  dieser  Abhandlung  dargethan,  dass  sich  bei  der  Witterung. 
Alles  um  die  Wärme  dreht,  und  zu  diesem  Satze  werden  die  nachfol- 
genden Uebersichten  und  Erörterungen  neue  Belege  liefern,  namentlich 
durch  Hervorhebung  der  beiden  letzten  Jahre  der  Beobachtungsreihe. 

Es  war  dem  Verfasser,  Mitglied  des  königl.  preuss.  meteorologischen 
Instituts,  interessant,  zu  wissen,  inwieweit  der  ausgesprochene  Satz  noch 
hervortrete  bei  einer  kleinem  Reihe  von  Beobachtungen  und  bei  Beob- 
achtungen an  einem  und  demselben  Orte,  da  Dove  ihn  aufgestellt  hat 
besonders  im  Hinblick  auf  die  Witterung  grösserer  Erdstrecken.  Zu  dem 
Zwecke  wurden  vom  Verfasser  seine  eignen  mit  guten  Instrumenten  ge- 
machten Beobachtungen  einer  sorgfältigen  Berechnung  unterworfen. 

Vorab  sei  bemerkt,  dass  in  den  nachfolgenden  Angaben  des  Baro- 
meters und  des  Dunstdrucks  die  Zahlen  französische  Linien  bezeichnen, 
und  dass  bei  den  Zahlen  des  Luftdrucks  stets  330'"  zu  addiren  sind, 
wenn  sie  nicht  Differenzen  angeben;  in  diesem  Falle  bQ^^\<^\ixv^Ti  ^v^ 
wie  ancb  heim  Danßtdmck,  Hundertstel  von  Linien.    D\^  ^Iktm^^^^ 


38       üeber  den  Zusammenhang  der  Witterangserscheinangen« 

sind  Beanmur'dche ,  die  Feuchtigkeit  Procente  des  Maximums.  Wind- 
stärke und  HimmelsbedeckuDg  werden  bloss  geschätzt,  und  erstere  wird 
von  0  bis  4,  letztere  von  0  bis  10  gezählt.  Bei  den  Zahlen  der  Luft- 
Elektricität  ist  die  Einheit  die  Spannung  eines  Elementes  einer  offenen 
Zink-Kupfer- Säule.  Ä^  B,  C  sollen  der  Beihe  nach  die  Mittel  der  Beob- 
achtungen von  Morgens  6  ühr,  Nachmittags  2  Uhr  und  Abends  10  Uhr 
bezeichnen.  Die  kleinen  lateinischen  Buchstaben  sollen  der  Beihe  nach 
die  Mittel  der  Wärme,  des  Luftdrucks,  Dunstdrucks,  der  Feuchtigkeit, 
Windstärke  und  Himmelsbedeckung  angeben,  und  zwar  die  ungestrichel- 
ten  die  der  Periode  von  1851  bis  1858,  die  gestrichelten  der  Periode  von 
1857  +  1858*).  Die  beiden  letzten  Jahre  in  eine  Periode  zu  vereinigen, 
zeigte  sich  beim  Qange  der  Berechnung  als  zweckmässig;  denn  obgleich 
ihre  mittlere  Wärme  beinahe  einen  Grad  differirt,  war  doch  der  tägliche 
Gang  ihrer  Erscheinungen,  somit  aucb  der  übrigen,  sehr  fibereinstimmend. 
So  ist  z.  B.  die  Differenz  ihrer  Wärme  B-^A^^  5^,385,  und  zwar  hat  hier 
sogar  das  Jahr  1858  die  grössere  von  5^,44,  wogegen  dieselbe  Differenz 
im  Mittel  der  6  ersten  Jahre  nur  4<^,72  beträgt,  und  auch  nur  einmal,  im 
warmen  Jahre  1852,  ein  paar  Hundertstel  über  5<^  steigt.  Ebenso  ist 
C —  A  der  Wärme  von  1858  am  grössten  von  allen  8  Jahren ,  und  B —  C 
steigt  in  den  beiden  letzten  Jahren  über  4^,  aber  in  keinem  der  frühem, 
wo  es  im  Mittel  3^,57  ist.  Wir  werden  sehen,  dass  diesen  Anomalien 
im  Gange  der  Wärme  der  beiden  letzten  Jahre  fast  überall  entsprechende 
Abweichungen  im  Verlauf  der  übrigen  Erscheinungen  sich  zeigen,  und 
wenn  ein  Satz,  wie  der  von  Dove  ausgesprochene,  sich  so  in^s  Detail 
hinein  verfolgen  lässt,  so  erhält  er  dadurch  eine  nicht  unwichtige  Be- 
kräftigung. 

Es  wird  am  zweckmässigsten  sein,  zuerst  die  Uebersichten  folgen 
zu  lassen,  welche  den  Zusammenhang  der  Erscheinungen  am  deutlichsten 
vor  Augen  legen.  Die  Zahlen  von  1 — 12  sollen  die  Monate  Januar  etc., 
die  von  1 — 4  die  Jahreszeiten  Winter  etc.  bezeichnen.  Zum  Winter  sind 
die  Monate  Januar,  Februar  und  December  gerechnet  etc.,  wie  es  in 
der  Meteorologie  üblich  ist 

1.  üebenioht  der  Jahreszeiten  beider  Perioden. 


a 

a 

b 

b' 

c 

c 

d 

(T 

e 

e 

f 

r 

1. 

0,89 

0,51 

3,56 

5,10 

1,88 

1,80 

83,5 

84,0 

0.85 

0,68 

7,31 

6,88 

2. 

6,77 

7,11 

2,75 

2,45 

2,54 

2,53 

68,5 

67,4 

0,78 

0,82 

5,85 

6,68 

3. 

14,58 

15,64 

3,28 

3,46 

4,64 

4,47 

69,1 

61,8 

0,74 

0,76 

6,11 

3,94 

4. 

7,53 

7,78 

3,41 

3,77 

3,23 

3,40 

80,3 

80,4 

0,62 

0,44 

6,26 

5,62. 

*)  Die  Beobachtungen  von  1859  habe  ich  noch  nicht  berechnen  können. 

Der  Verfasser. 


Von  Dr.  F.  Dellmann.  39 


8.  Uebenicht  der  Ti^^esxeiten  beider  Perioden. 

a 

h 

c 

d 

e 

f 

B—Ä 

Ä  — 

B       B^A 

A—B 

B  —  A 

[ 

B—A 

Sjihr.  Per. 

4,89 

21 

22 

21,1 

0,55 

0,12, 

2jlhr.  Per. 

5,30 

28 

20 

22,0 

0,62 

- 

-0,11. 

a 

h 

c 

d 

e 

f 

B—C 

B— 

C        C-^B 

B  —  C 

C—B 

B—C 

Sjkbr.  Per. 

3,71 

24 

10 

16,5 

0,60 

1,40 

2jiÜur.  Per. 

4,13 

25 

8 

17,9 

0,75 

1,22. 

a 

h 

c 

d 

e 

f 

C—A 

A- 

C        C—A 

A—C 

C-A 

A     C 

Sjilir.  Per. 

1,18 

—  3 

12 

4,6 

0,05 

1,28 

SjÄhr.  Per. 

1,26 

3 

12 

5,0 

0,13 

1,33. 

3.  Uebersielit  der  Tageueiten  nach  den  Jahreueiten  beider  Perioden. 

B-^A 

a 

a 

h        b' 

c 

c       d        (T 

e         e 

f 

r 

A 

—BAS 

A^B  A-B 

1.    2,58 

2,95 

9      11,5 

18 

22      9,9      12,6 

0,23      0,42      —0,01 

-0,33 

2.    6,05 

6,24 

27      28 

14 

12    26,6      28,3 

0,73      0,7C 

)          0,28 

0,41 

3.    »,25 

7,11 

29      41 

15 

—  4    28,0      30,3 

0,83      0,85 

\          0,45 

0,64 

4.    4,72 

5,24 

21      30 

40 

50    19,2      19,8 

0,55     o,5r 

\      -0,23 

-1,19. 

B-C 

a 

a 

h 

Ü-B 

e      c        d 
C-B 

i        e 
C-B 

e 

f 

f 

1.    1,89 

2,16 

23 

21 

13      13       6,9 

9,0      0,27 

0,48 

0,93 

1,07 

«.    4,37 

4,61 

22 

22 

4       3      19,6 

21,3      0,73 

0,85 

1,58 

1,61 

3.    4,0D 

5,79 

26 

28    - 

-  1   —9      22,9 

24,0      0,87 

1,05 

1,73 

1,45 

4.    3,59 

3,05 

24 

26 

22      27      15,9 
A-C 

10,0      0,53 

0,62 

1,35 

0,75. 

a 

a 

h 

b' 

c       c       d 

(T        e 

e 

f 

f 

C—A 

C-A 

C-^AC—A 

1.     0,64 

0,80 

-14 

-10,5 

5        9      3,0 

3,6      0,04 

0,06 

0,94 

1,40 

2.     1,68 

1,63 

5 

6 

10        9      7,0 

5,0      0,00 

0,15 

1,30 

1,20 

8.     1,26 

1,32 

3 

12 

16       5      5,1 

0,3      0,12 

0,22 

1,28 

0,81 

4,     1,13 

1,29 

-3 

4 

18      23      3,3 

2,9      0,05 

0,07 

1,58 

1,94. 

Die  UmkehruDg  der  Differenzen  in  den  Uobersichten  2  und  3  hat 
einen  doppelten  Zweck;  einmal,  die  negativen  Grössen  zu  vermeiden 
und  dadurch  die  Uebersichtlichkeit  zu  befördern;  dann  aber  auch,  die 
Qesetsmässigkeit  deutlicher  hervortreten  zu  lassen.  So  findet  man  diese 
Umkehning  zwischen  Wärme  und  Luftdruck,  wodurch  also  ausgesprochen, 
daas   mit   der  Erhöhung  der  WürrnQ  eine  EmiedTigung  de«  \k^^\.^rQL^% 


40       lieber  den  Zusammenhang  der  Witterongserseheinangen. 

verbunden  ist,  und  umgekehrt,  wie  es  nach  physikalischen  Gesetzen  sein 
muss.  Indess  ist  doch  beinahe  die  Hälfte  der  Zahlen  bei  der  Differenz 
Ä — (7  des  Luftdrucks  negativ,  ein  Beweis,  dass  während  der  Nacht  auch 
mit  dem  Sinken  des  Thermometers  ein  Fallen  des  Barometers  verbundeii 
sein  kann;  denn  wenn  während  der  Nacht  die  Abkühlung  so  stark  ist, 
dass  ein  Theil  des  in  der  Atmosphäre  enthaltenen  Wasserdampfs  tropf- 
bar wird  und  niederfällt,  so  kann  dieser  Ausfall  im  Luftdruck  leicht 
grösser  werden,  als  die  Zunahme,  welche  er  durch  die  Abkühlung  erhält 

Zum  Yerständniss  der  Zahlen  wird  es  kaum  nöthig  sein,  noch  etwas 
hinzuzufügen.  Nar  sei  in  Rücksicht  auf  die  Jahreszeiten  bemerkt,  dass 
die  Angaben  Mittel  für  die  einzelnen  za  den  betreffenden  Jahreszeiten 
gehörigen  Monate  sind;  also  die  Summe  der  drei  Monate  ist  durch  S 
dividirt 

Zur  Hervorhebung  der  Gesetzmässigkeit  und  weiteren  Ausführung 
des  in  den  Uebersichten  Ausgesprochenen  möge  noch  die  folgende  Er- 
örteruDgen  dienen. 

1.  Wärme. 

Die  Jahresmittel  der  Wärme  unserer  Breite  sind  bekanntlich  noch 
wenig  constant;  je  grösser  die  Breite,  desto  weniger  constant  sind  sie. 
Das  hiesige  Wärmemittel  ist  nach  den  8  Jahren  7<^,44;  die  äussersten 
Schwankungen  der  Mittel  der  einzelnen  Jahre  um  das  Cjjähr.  Mittel  sind 
—  0®,78  und  0^81;  Differenz  der  Extreme  1^59,  also  nach  Dove's  Er- 
mittelungen noch  etwa  1^  zu  klein.  Das  kälteste  Jahr  war  5,  das 
wärmste  7.  Den  Verlauf  der  Wärme  zeigen  die  in  der  2ten  und  3ten 
üebersicht  unter  a  und  d  stehenden  Zahlen;  durch  Vergleichung  der 
Zahlen  unter  a  und  d  in  der  3ten  üebersicht  ergibt  sich  der  Unterschied 
beider  Perioden.  Nur  einmal  finden  wir  unter  d  eine  etwas  kleinere 
Zahl  als  unter  a,  nämlich  im  Frühling  bei  der  Differenz  C — A, 

Um  die  Eigenthümlichkeit  Kreuznach*s  im  Wärmeverlaufe  noch  et- 
was näher  kennen  zu  lernen,  berechnete  ich  nach  den  vom  königl.  preuss. 
meteorolog.  Institut  herausgegebenen  Tabellen  für  die  Jahre  1848 — 1855 
die  Differenz  B — A  von  Crefeld.  Hier  wurde  aber  Morgens  7  Uhr  und 
Nachmittags  1  Uhr  und  3  Uhr  beobachtet.  Die  Nachmittags-Grössen  von 
1  Uhr  und  3  Uhr  stimmen  dort  fast  überein,  also  sind  sie  auch  wenig 
von  denen  um  2  Uhr  verschieden.  Die  Morgen- Grössen  von  7  Uhr  sind 
im  Winter  von  denen  um  6  Uhr  ebenfalls  wenig  verschieden;  mehr  aber 
jedenfalls  im  Sommer,  wo  nach  Sonnenaufgang  das  Thermometer  ziemlich 
schnell  steigt;  also  ist  die  erhaltene  Differenz  etwas  zu  klein  für  den 
Sommer,  aber  nicht  so  viel,  als  es  die  nachfolgenden  Zahlen  angeben,  da 
die  Steigung  des  Thermometers  nach  Sonnenaufgang  vorzugsweise  nur 
die  heitern  Tage  trifft  und  dieser  in  Crefeld  nicht  viele  sind. 


Von  Dr.  F.  Dellmann.  41 

Zw  Yergleiohang  mögen  beide  Beiben  bier  sieben: 
B—A  der  Wärme. 

12  8  4 

Krenznacb    2,&3        6,05        5,25        4,72 
Crefeld  2,06         4,32         4,52         3,73. 

Es  spricbt  sieb  darin  eine  nicbt  unbedeutende  Yerscbiedenbeit  der 
Klimate  beider  St&dte  aus;  das  Kreuznacber  Klima  ist  ein  wärmeres  bei 
Tage  nnd  ein  mebr  continentales. 

Sehen  wir  in  der  3ten  Uebersicbt  auf  die  Differenz  C — A,  so  könnte 
es  auffallen,  dass  im  Früblinge  wäbrend  der  Nacbt  eine  stärkere  Ab- 
kfiblung  sieb  zeigt,  als  im  Sommer;  denn  nacb  dem  Abkühlungsgesetze 
küblt  sieb  der  wärmere  Körper  in  derselben  Zeit  stärker  ab.  Hier  darf 
dann  nicbt  vergessen  werden,  dass  wäbrend  des  Sommers  ein  guter  Tbeil 
der  Erwärmung  bis  6  übr  das  Morgenmittel  erböbt,  es  also  dem  Abend- 
mittel näbert,  und  dass  aueb  in  der  That  die  Abkttblungszeiten  in  beiden 
nicbt  gleicb  sind.  Die  übrigen  Differenzen  zeigen  sieb  dem  Abküblungs- 
gesetze  gemäss;  iliro  Yerscbiedenbeiten  in  den  verscbiedenen  Jabreszei- 
ten  erklären  sieb  ans  der  Berücksichtigung  aller  obwaltenden  Ursachen. 

Was  die  Beständigkeit  der  Jahres- Wärme -Differenzen  betrifft,  so 
schwankt  B — C  in  den  acht  einzelnen  Jahren  um  1^,02,  B — ^^  um  1^20, 
C — A  um  0^,40;  aber  diese  Schwankungen  verhalten  sich  ungefähr,  wie 
die  Mittel  der  Differenzen  selbst;  denn  das  8jährige  Mittel  von  B — C 
ist  3^,77,  das  von  B—A  4^,89  und  das  von  C—A  1^,18.  Fassen  wir  bloss 
die  Jahreszeiten  in*s  Auge,  so  sind  natürlich,  weil  wir  kleinere  Zeit- 
räume haben,  die  Schwankungen  meist  grösser;  denn  in  1  betragen  sie 
von  B  —  C  zwar  nur  0<>,91,  in  2  aber  2^,06,  in  3  nur  iV^,  in  4:  10,25; 
die  von  B—A  m  1:  1^32,  in  2:  2^,77;  in  3:  1^99,  in  4:  1^90;  die 
von  C  —  ^  in  1;  0<>,52,  in  2:  10,01,  in  3:  0^,54,  in  4:  0^,88,  und  es  fin- 
den sich  die  Extreme  der  letzten  Herbst  -  Schwankung  in  den  Jahren 
7  und  8,  die  doch  sonst  in  so  mancher  Hinsicht  übereinstimmen.  Ver- 
gleicht man  indess  diese  Schwankungen  mit  ihren  Mitteln,  welche  in  der 
3ten  Uebersicbt  unter  a  stehen,  so  sieht  man  auch  hier  beinahe  Propor- 
tionalität hervortreten. 

Die  Jahre  7  und  8  zeigen  ihre  Abnormität,  wie  in  der  Einleitung 
ausgesprochen  wurde,  zuerst  in  den  Jahres-Differenzen  der  Wärme.  Die 
Abnormität  tritt  am  stärksten  beim  Sommer  disser  Jahre  hervor  in  Bezug 
auf  die  beiden  ersten  Differenzen,  und  beim  Jahre  7  nur  etwas  bei  der 
dritten,  wogegen  in  den  andern  Jahreszeiten  keine  Abnormität  bei  dieser 
sich  zeigt.  B — C  kommt  in  beiden  Jahren  im  Sommer  nahe  an  6^,  wo- 
gegen es  in  den  mebten  übrigen  Jahren  im  Sommer  unter  5®  bleibt; 
i^—- ^  im  Sommer  des  Jahres  7  nahe  an  7^  Grad,  im  Jahre  8  nahe  «a  19 
wogegen  es  sonst  meist  unter  6^  bleibt 


42       Ueber  den  Zusammenhang  der  Witterangserscheinungen. 

Wollte  man  die  Beständigkeit  der  Quotienten  der  beieiehneten 
Wärmegrössen  untersuchen,  so  müsste  man  sie,  da  sie  nur  relative  sind, 
zuerst  in  absolute  verwandeln,  d.  h.  vom  absoluten  Nullpunkte  (274^ 
unter  dem  Reaumür^schon  Nullpunkte)   an  zählen.     Auf  den  Dififereni- 

Quotienten  -^ — -  kann  diese  Verwandlung  keinen  Einfiuss  haben.   Dieser 

Quotient  zeigt  sich  sehr  constant,  da  er  in  den  8  Jahresmitteln  zu  Kreuz- 
nach nur  um  0,06  schwankt.  Auch  für  verschiedene  Oerter  und  Jahres- 
zeiten ist  er  ziemlich  constant;  denn  in  Kreuznach  ist  er  im  Mittel  1,32, 
in  Padua*)  1,32,  in  Leith*)  1,31,  in  Brüssel  nach  den  Beobachtungen 
▼on  1846  und  1847:  1,32;  in  ELreuznach  nach  den  8jährigen  Mitteln  in 
1:  1,34,  in  2:  1,38,  in  3:  1,25,  in  4:  1,31. 

Es  versteht  sich,  dass  auch  in  Bttcksicht  der  Wärmeschwankungen 
der  Sommer  hier  mehr  das*Klima  von  geringerer,  der  Winter  ein  solches 
von  höherer  Breite  hat  Die  Differenzen  der  Wärme-Extreme  der  Jah- 
reszeiten in  der  8jährigen  Periode  sind  in  1:  5,58;  in  2:2,18;  in  3:  1,99; 
in  4:  1,99. 

2.  Luftdruck. 

Das  8jährige  Mittel  des  Drucks  der  feuchten  Luft  ist  hier  333^25; 
die  Extreme  des  Jahresmittel  sind  332'",62  (3.  Jahr)  und  333'",77  (8.  Jahr); 
Schwankung  also  1%15.  Die  Oesetzmässigkeit  im  Jahreslaufe  tritt  nicht 
hervor,  wenn  wir  die  feuchte  Luft  in  Betracht  ziehen;  denn  der  Winter 
hat  nach  der  1.  üeborsicht  unter  b  und  b'  zwar  den  höchsten  Druck, 
aber  der  Frühling  den  geringsten.  In  Gegenden  mehr  continentalen 
Charakters,  wie  z.  B.  St.  Louis  am  Missisippi,  dessen  Barometer-Curve 
ich  der  Güte  des  Herrn  Dr.  Engelmann  verdanke,  ist  das  freilich 
anders;  hier  zeigt  der  Sommer  den  geringsten  und  der  Winter  den 
höchsten  Druck.  Bei  uns  sind  der  Winter,  Herbst  und  Sommer,  letzte- 
rer freilich  nur  (^',03  über  dem  Mittel,  der  Frühling  aber  0'",50  unter 
demselben.  Die  Gesetzmässigkeit  tritt  indess  auch  hier  im  Jahreslaufe 
bei  der  trockenen  Luft  hervor.  Ihr  Jahresmittel  ist  330'",18;  1  ist  1^^,50^ 
2  nur  0''',03  drüber,  der  Herbst  hat  (fast  wie  bei  der  Wärme)  genau  das 
Mittel  und  der  Sommer  l''',54  weniger.  Ganz  entsprechend  für  alle 
4  Jahreszeiten  zeigen  sich  die  Wärmemittel  (1:  —  6^55;  2:  —  0«,07; 
3:  70,14;  4:  (/>,09). 

Der  Verlauf  des  Drucks  der  feuchten  Luft  im  Tage  ist  der  Wärme 
entsprechend.  A — B  ist  in  den  Jahren  2-— 7  entweder  0"',20  oder  0'^',21, 
in  1  nur  O''',!^;  dagegen  in  7  und  8  im  Mittel  0'",28;  die  beiden  extremen 
Jahre   zeigen  sich  also  hier  wieder,  wie  bei  der  Wärme,  dem  B  —  A 


*)  Nach  Angabe  in  dem  Lehrbnche  der  Meteorologie  von  Kämtz. 

Der  Verfasser. 


Von  Dr.  F.  Dellmann.  43 

entsprechend.  In  den  Jahreszeiten  i^t  Ä — B  der  Reihe  nach,  mit  dem 
Winter  beginnend,  0"',09;  0'^,27 ;  O'W ;  0'"21;  C—Bi  0'",23;  0";22;  0'",26; 
0'",24;  C—A\  0'",14;  —  0'",044;  — 0'>3;  0'",03.  Wie  also  das  Wärme- 
mittel Nachmittags  im  Sommer  am  meisten  tiber  dem  Morgenmittel  steht 
nnd  im  Winter  am  wenigsten,  so  auch  der  gesammte  Luftdruck,  und 
ebenso  stehen  die  beiden  andern  Jahreszeiten  zwischen  diesen.  Man 
konnte  noch  fragen,  warum  C — ^  im  Luftdruck  so  beständig  ist,  da  in 
den  4  Jahreszeiten  die  grösste  Schwankung  im  Frühjahr  noch  keine 
0^^,02  vom  Mittel  abweicht,  dagegen  A — ^  so  bedeutende  Schwankungen 
zeigt,  indem  der  Sommer  (0''',29)  mehr  als  das  3fache  des  Winters  (o''',00) 
beträgt.  Die  Erklärung  liegt  nicht  fem.  Die  am  Boden  erwärmte  Luft 
steigt  auf,  bringt  also  eine  Bewegung  in  der  Atmosphäre  hervor;  die  am 
Boden  Abends  erkaltete  aber  bleibt  liegen.  Die  Luftströmung  hat  zum 
Theil  lokale,  zum  Theil  generelle,  d.  h.  mit  der  Erwärmung  der  ganzen 
Erde  zusammenhängende  Ursachen.  Tag-  und  Nachtwinde  gibt  es  nicht 
bloss  an  den  Küsten,  sondern  überall.  Nachmittags  um  2  Uhr  ist  hier 
im  Durchschnitt  die  Luftströmung  beinahe  so  gross,  wie  Morgens  und 
Abends  zusammen.  Diese  täglichen  regelmässigen  Strömungen  treten 
auch,  wie  es  sein  muss,  im  Sommer  am  meisten  hervor,  besonders  wenn 
der  Polarstrom  herrscht,  weil  dieser  schwächer  ist,  als  der  Aequatorial- 
strom,  und  den  Himmel  heiter  erhält,  also  der  Sonne  eine  stärkere  Ein- 
wirkung gestattet.  Es  zeigt  sich  die  lokale  Einwirkung  der  Sonne  be- 
sonders auch  in  dem  Faktum,  welches  mein  meteorologischer  College, 
Herr  Astronom  Lichtenberger,  und  ich  durclischnittlich  bei  heiterm 
Himmel  beobachteten,  dass  die  Windfahne  in  24  Stunden  eine  ganze 
Umdrehung  macht  Nach  Sonnenuntergang  geht  die  Windfahne  Abends 
nach  Osten,  weil  wir  nach  Westen  Luft  abgeben  müssen  wegen  des  dort 
allmählig  eintretenden  aufsteigenden  Luftstromes.  Morgens  vor  Sonnen- 
aufgang findet  diese  Abgabe  nach  Osten  Statt  und  die  Windfahne  geht 
nach  Westen,  bis  sich  denn  allmählig  nach  Sonnenaufgang  die  normale 
Strömung  aus  NO  wiederherstellt. 

»Zur  Vergleichung  mit  Kreuznach  habe  ich  B — Ä  des  Luftdrucks  in 
Crefeld  berechnet,  wo  derselbe  weniger  regelmässig  zu  sein  scheint  als 
hier.  Die  Differenzen  der  8  genannten  Jahre  sind  (nach  der  Bezeich- 
nung in  den  Uebersichten) :  16,  18,  15,  13,  19,  18,  18,  10;  und  in  den 
4  Jahreszeiten:  in  1:  6,0;  2:  23,9;  3:  18,2;  4:  17,7. 

3.  Dunatdmck. 

Im  Jahre  geht  mit  der  Wärme  auch  der  Dunstdruck,  der  hier  das 
Jahresmittel  3"',07  hat;  Abweichungen  der  Jahreszeiten;  1:  — r"l9; 
^:  — 0'",53;  3:  r',17;  4:  0"',16;  die  Jahreszeiten,  welche  bei  der  Wärme 
unter  dem  Mittel  bleiben,  zeigen  sich  auch  hier  mit  einer  negativen  Ab- 
weiebnng,  und  umgekehrt.    Der  Verlauf  im  Tage   entspricht  scheinbar 


44       lieber  den  Zusammenhang  der  Wittenmgserscheinangen. 

dieser  Harmonie  niclit,  da  B — A  in  den  4  Jahresieiten  ist:  1:  0%18; 
2:  0'",14;  3:  O^^IS;  4:  0"',40.  Warum,  kann  man  fragen,  sind  hier  diese 
Differenzen  in  den  3  ersten  Jahreszeiten  fast  dieselben,  und  warum  über- 
wiegt der  Herbst  so  bedeutend  die  andern?  Was  die  erste  Frage  betriffl^ 
so  muss  man  bedenken,  dass  die  Wasserdftmpfe  einen  TheQ  des  Luft- 
drucks bilden  und  dieser  stets  das  Bestreben  zeigt,  das  Gleichgewicht 
zu  erhalten.  Wenn  nun  die  Summe,  der  Druck  der  feuchten  Luft,  im 
Allgemeinen  dem  Wärmegesetze  entspricht,  so  kann  der  bei  Weitem 
kleinere  Summand,  der  Dunstdruck,  in  der  wärmeren  Jahreszeit  um  so 
weniger  die  Tagesperiode  zeigen,  als  die  Dämpfe  zu  der  Zeit,  wo  ihr 
Druck  stärker  sein  müsste,  vermöge  des  dann  herrschenden  aufsteigenden 
Luftstroms  mit  in  die  Höhe  gehen  und  oben  mit  unsem  Instrumenten 
(das  trockene  und  befeuchtete  Thermometer)  nicht  wahrgenommen  wer- 
den können.  Offenbar  ist  aus  diesem  Grunde  der  Dunstdruck  im  Herbste 
auch  um  so  viel  grösser,  weil  dann  der  .tägtich  aufsteigende  Luftstrom 
bedeutend  nachgelassen. 

Die  grösste  Beständigkeit  beim  Dunstdruck  zeigt  die  Differenz  C — M 
{M  s=  Tagesmittel).  Das  Abendmittel  übersteigt  das  Tagesmittel  nur 
nm  0''',0i,  und  unter  den  8  Jahren  haben  diese  Differenz  deren  6.  Aber 
auch  diese  Beständigkeit  geht  nicht  gleichmässig  durch^s  Jahr,  da  sie  im 
Winter  —  0%03,  im  Frühling  0'",02,  im  Sommer  0'",06  und  im  Herbste 
—  0";oi  ist. 

4.  Feuchtigkeit 

De^  Gang  der  Feuchtigkeit  ist  im  Allgemeinen,  wie  bekannt,  dem 
der  Wärme  entgegengesetzt.  Das  Mittel  aus  den  8  Jahren  ist  hier  75,3; 
Extreme  der  8  Jahresmittel:  72,1  (8.  Jahr)  und  77,7  (3.  und  5.  Jahr), 
also  Schwankungen:  — 3,2  und  2,4.  Die  Schwankungen  der  Jahreszeiten 
um  das  Jahresmittel  betragen  in  1:  8,2;  2:  — 6,7;  3:  — 6,2;  4:  4,9.  Der 
Frühling  hat  der  beiden  letzten  trockenen  Sommer  ungeachtet  noch  im- 
mer die  geringste  unter  den  4  Jahreszeiten;  er  ist  also  hier  die  beste 
Zeit  zum  Bauen  und  besonders  zum  Legen  der  Fussböden.  Der  Winter 
ist  die  feuchteste  Jahreszeit,  und  der  Uebergang  aus  dieser  in  die  trockenste 
ist  denn  auch  vielleicht  der  Grund  von  gewissen  Ejrankheitserscheinun- 
gen;  besonders  mögen  sich  die  Athmungsorgane  dabei  angegriffen  fühlen, 
wenn  sie  leidend  sind.  Nach  dem  an  die  Spitze  dieser  Nummer  gestell- 
ten Satze  wird  mit  der  Differenz  der  Wärmemittel  auch  die  der  Feuch- 
tigkeit steigen  und  fallen.  A  —  P  ist  in  l:  9,9;  in  2:  26,6;  in  3:  28,0;  in 
4:  19,2;  8jähriges  Jahresmittel:  20,9,  welches  also  wieder  am  nächsten  mit 
dem  Herbstmittel  stimmt  C — ß  ist  in  1:  6,9;  in  2:  19,6;  in  3:  22,9;  in 
4:  15,9,  und  dies  letztere  von  der  Jahresdifferenz  16,4  wieder  wenig  ab- 
weichend. Die  Extravaganz  der  beiden  letzten  Jahre  zeigt  sich  bei  die- 
aen  DifferenMen  wieder,  da  sie  unter  allen  die  grösstensind;  die  Differena 


Von  Pr.  F.  Dellmann.  45 


'^^^^•>^^f^ft^^F^^^0^^0>^^^^S^^^^^t^^*^*i^^^S<^^S^*^>^'*^^^S^» 


>A — C  ist  beim  letzten  Jahre  die  grösste  von  allen  8  einzelnen  Jahren. 

Von  den  Quotienten  scheint  •-  am  meisten  constant  zu  sein,  da  er  unter 

den  8  Jahren  und  4  Jahreszeiten  nm  das  Mittel  1,06  nnr  0,02  schwankt. 

Die   Quotienten  -—  und  -r; =  sind  zwar  in  den  einzelnen  Jahren  noch 

ziemlich  constant,  da  beim  ersten  ein  Schwanken  um  das  Mittel  1,34  von 
höchstens  0,07,  beim  2.  um  sein  Mittel  von  höchstens  0,05  vorkommt; 
aber  die  Jahreszeiten  zeigen  ein  Schwanken  von  0,12  und  0,23  vom  Mit-. 

tel.     Der  Quotient  —  scheint  sogar  für  verschiedene  Oerter  ziemlich  con- 
C 

Stent  zu  sein,  da  er  im  Jahre  1846  in  Brtlssel  1,05  und  1847  daselbst  1,04 

A 

B 


(hier  1,06)  beträgt.   Auch  ~  stimmt  in  Brüssel  nahe  mit  Kreuznach,  da  er 


4         p 

im  Mittel  der  2  Jahre  1,29  (hier  1,34)  ist.   ~ ist  in  Brüssel  im  Mittel 

A B 

der  2  Jahre  1,25  (hier  1)28).     Dagegen   zeigen    die  Quotienten   •- — r, 

C — B 
j »  j p 

1 — TT  ^"^^  7^ i#  ®*"^  eigenthümliches  Verhalten  in  Bezug  auf  die  Jahres- 

Zeiten,  indem  in  Bücksicht  auf  sie  eine  ziemlich  nahe  Uebereinstimmung 
sich  zeigt  zwischen  Winter  und  Frühling  einerseits,  sowie  zwischen  Som- 
mer und  Herbst  andererseits,  wogegen  beide  Gruppen  untereinander  be- 
deutend differiren. 

.  5.  Himmelsbedecknng. 

Die  Himmelsbedeckung  ist  hier  im  Mittel  6,13.  In  den  meisten  Jah- 
ren ist  sie  zwischen  6  und  7,  in  keinem  über  7,  nur  die  beiden  letzten 
gehen  unter  6.  Im  Jahre  ist  ihr  Gang  im  Allgemeinen  der  Wärme  ent- 
gegengesetzt; die  Mittel  der  Jahreszeiten  sind  in  1:  7,31;  2:  5,85;  8:  5,11; 
4:  6,26,  wo  also  nur  der  Frühling  eine  Ausnahme  macht,  wogegen  der 
Herbst  wieder  nahe  mit  dem  Jahre  stimmt.  Die  beiden  letzten  Jahre 
weichen  hier  am  meisten  im  Sommer  ab;  im  Jahre  7  war  das  Sommer- 
mittel 3,40,  im  8.  Jahre:  4,47.  Im  täglichen  Gange  zeigt  sich  ein  Ge- 
gensatz mit  dem  jährlichen,  denn  die  8jährigen  Mittel  sind  von  A:  6,52, 
von  B:  6,64,  von  C:  5,24.  Der  Abend  hat  also  die  geringste  Himmeb- 
bedeckung, wohl  desswegen,  weil  die  bei  Tage  aufgestiegene  warme  Luft 
oben  aufräumt  und  nicht  so  schnell  erkaltet  nach  Sonnenaufgang  als  die 
untere. 

6.  Winde. 

Ueber  die  Windstärke  ist  beim  Luftdrucke  das  N5t\nf^«  S«^^«  '^^- 
men  wir  die  O,  NO  und  SO  als  zum  Polarstrom  gehbtvg,  9l\^  ^Ti\%^%«a- 


46       üeber  den  Zusammenhang  der  Witterangserscheinungen. 

gesetzten  als  zum  Aeqoatorialstrom ,  so  nehmen  beide  Hanptströmnngen 
über  92®/o  sämmtUcher  Winde  ein ,  nämlich  den  Polarstrom  36,7 ,  der  ent- 
gegengesetzte 55,4.  Die  beiden  letzten  Jahre  zeichneten  sich  ans  dnrch 
die  meisten  N  und  W«  Das  Vorherrschen  des  Folarstroms  zeigte  sich 
besonders  in  der  wärmeren  Jahreszeit ,  wo  er  heitern  Himmel  und  höhere 
Wärme  verleiht,  im  Winter  dagegen  Kälte. 

7.  Hydxometeore. 

Das  Mittel  der  Regenhöhe  beträgt  hier  nach  den  6  ersten  Jahren 
24l'",25,  nach  allen  8  Jahren  215'",16.  Jm  Jahre  7  betrug  sie  nur  122"',01, 
nnd  im  Jahre  8:  15l''',76.  Die  Zahl  der  Regentage  war  in  den  beiden 
letzten  Jahren  nur  117  und  102;  im  Mittel  der  6  vorhergenden  aber  145. 

Es  hat  sich  aus  den  Beobachtungen  in  Mannheim,  Frankfurt  a.  M. 
und  Kreuznach  herausgestellt,  dass  die  Gegend  zwischen  dem  Hunds- 
rück,  Taanus,  Odenwald  und  der  Haardt  in  Deutschland  am  wenigsten 
Regen  hat  Als  ich  vor  21  Jahren  in  die  Gegend  zog,  fand  ich  fast  in 
jedem  Garten  einen  Brunnen  zum  Begiessen  vor.  Der  Grund  davon  ist 
mir  erst  durch  meine  Beobachtungen  klar  geworden. 

8.  Wolkenform. 

Der  Cumtdtis  und  Slratus  bilden  direkte  Gegensätze  nicht  bloss  in 
ihrer  Erscheinungsform,  sondern  auch  in  der  Zeit  ihres  Erscheinens,  da 
ersterer  dem  Sommer  und  dem  Tage,  also  der  Zeit  angehört,  wo  die 
Temperatur  an  der  Erdoberfläche  am  schnellsten  beim  Uebergange  von 
einer  Strecke  zur  andern  wechselt '^j,  letzterer  dem  Winter  und  der 
Nacht.  Zwischen  beiden  steht  der  Cumulo-stratus^  hier  unter  allen  die 
häufigste  Wolkenform.  Diese  3  bilden  beinahe  f  sämmtlicher  Wolken 
und  stehen  am  niedrigsten,  wenn  man  den  Nimbus  ausnimmt,  der  am  sel- 
tensten ist.  Das  Uebrige  Siebentel  theilt  sich  zwischen  den  3  hohen 
Formen  CirruSy  Cirrostatus  und  Cirrocumtäus^  welche  auch  mehr  Abends 
und  Morgens  erseheinen.  Die  beiden  letzten  Jahre  zeichneten  sich  aus 
durch  viele  Formen  dieser  Klasse. 

9.  Luft-Elektricitat. 
Beobachtungen  dieser  Art  werden  im  Königl.  Prenss.  Beobachtungs. 
System  nur  hier   gemacht   mit  neuen,  sehr  genauen  und  vom  Verfasser 
selbst  construirten  Apparaten  ^'^j. 

*)  Und  nach  Dove  ist  ja  ein  Cumulus  nur  das  atmosphärische  Bild  einer  kal- 
ten Endstrecke. 

**  Das  Verfahren  ist  beschrieben  in  meiner  Abhandlung  über  Luft-EIektricitüt 
in  PoggendorfTs  Ann.,  Bd.  80,  und  bcurtheilt  von  Hrn.  Prof.  Hanke  1  in  sei- 
ner Schrift  über  Bestimmung  der  Luft-Kloktricität  nach  absolutem  Maasse. 

Der  Verf. 


Von  Dr.  F.  Dellmamn.  47 

Der  Gang  der  Luft-Elektricität  ist  dem  Gange  der  Wärme  ent- 
gegen; sie  geht  also  mit  der  Feuchtigkeit.  Ihr  Jahresmittel  aas  6  bis 
7  jfihrigen  Beocachtungen  ist  146,8.  Von  diesem  Mittel  weichen  die  der 
beiden  letaten  Jahre,  welche  in  die  ganze  Reihe  mit  aufgenommen  sind, 
bedeutend  ab,  da  ihre  beiden  Mittel  nur  126,4  und  126,2  betragen.  Der 
Monat  Mai  hat  das  niedrigste  Mittel,  von  wo  aus  nach  den  beiden  fin- 
den des  Jahres  hin  ein  ziemlich  regelmässiges  Steigen  stattfindet,  nach 
vorn  aber  stärker;  da  der  Januar  das  höchste  Mittel  hat,  welches  bei- 
nahe das  Doppelte  des  Mai  beträgt.  Am  meisten  bleiben  sich  gleich  die 
Morgenmittel,  am  wenigsten  die  Nachmittagsmittel,  da  das  kleinste  vom 
Mai  sich  zum  grössten  vom  Januar  beinahe  wie  1  zu  3  verhält,  das 
kleinste  A  zum  grössten  Ä  dagegen  beinahe  wie  2  zu  3.  Näheres  über 
das  Znsammengehen  der  Feuchtigkeit  und  der  Luft-Elektricität  werde 
ich  in  einer  besondem  Arbeit  später  mittheilen. 


Nachschrift. 


Im  vorstehenden  Aufsatze  ist  gezeigt  worden,  dass  das  Do  versehe 
Princip  vom  Zusammenhange  der  Witterungserscheinungen  nicht  bloss  im 
Grossen  und  Ganzen  gilt,  dass  auch  die  Wärme-Erscheinungen  es  sind, 
welche  die  sämmtlichen  meteorologischen  Phänomene  eines  und  dessel- 
ben Ortes  untereinander  verbinden.  Vor  ein  Paar  Tagen  fand  ich  zu- 
ftUig,  dass  dies  Princip  noch  viel  weiter  reicht. 

Ich  wollte  wissen,  wenn  mein  Barometer,  welches  eben  von  Berlin 
reparirt  zurückgekommen  war,  angefangen  hatte,  falsch  zugehen.  Des- 
halb berechnete  ich  die  monatlichen  Barometer-Differenzen  der  letzten 
5  Jahre  zwischen  Kreuznach  einerseits,  und  Trier,  Boppard,  Neunkirchen 
und  Frankfurt  andererseits.  Die  letzteren  Oerter  sind  die  Kreuznach 
nächstgelegenen  4  Stationen  des  Preuss.  Beobachtnngssystems.  Der  Be- 
rechnung wurden  zu  Grunde  gelegt,  die  in  den  monatlichen  Uebersich- 
ten  des  Königl.  meteorologischen  Instituts  enthaltenen  Monatsmittel.  Es 
zeigten  die  Differenzen  zwischen  Kreuznach  und  Boppard  eine  Eigen- 
thümlichkeit ,  welche  mir  schon  beim  Niederschreiben  auffiel;  sie  sind 
im  Sommer  bedeutend  grötiser,  als  im  Winter.  Das  Mittel  der  5  Jahre 
ist  vom  Winter  pro  Monat:  0'",00;  das  vom  Sommer:  r",35.  Ich  suchte 
und  fand  den  Grund  davon  bald  in  den  Wärme-Differenzen  beider  Oer- 
ter; denn  diese  sind  im  Winter:  — 4^,43;  im  Sommer  0®,96.  Steigt  also 
im  Sommer  in  Kreuznach  das  Thermometer  bis  beinahe  1^  über  dem 
Stande,  den  es  gleichzeitig  in  Boppard  hat,  so  sinkt  das  Barometer  so 
viel,  dass  es  anderthalb  Mal  so  viel  tiefersteht,  als  in  Boppard  zur  Zeit 
des  Winters.  Ein  ähnliches  Verhalten  zeigen  Kreuznach  und  Trier,  nur 
nicht  so  auffallend.     In  Trier  steht  nach  denselben  5  Jahren  das  Ther- 


48       lieber  den  Zusammenhang  der  Witterungserscheinangen« 

mometer  im  Winter  0^,29  höher,  als  in  Kreuznach;  hier  aber  im  Sommer 
0^,47  höher,  als  in  Trier.  Dagegen  steht  im  Winter  in  Krenanach  das 
Barometer  l''',2ö  höher,  als  in  Trier;  im  Sommer  aber  nur  l*^.  Der 
höhere  Termometerstand  hier  im  Sommer  erniedrigt  also  ebenfalls  den 
relativen  Barometerstand. 

Doch  die  Consequens  des  Do  versehen  Princips  geht  noch  weiter;  sie 
zeigt  sich  auch  in  kleinen  Perioden  noch,  nnd  im  G^egensatze  verschie- 
denartiger Perioden.  Ich  habe  die  5jährige  Periode  in  zwei  kleinere, 
eine  kühlere  and  eine  wärmere  getheilt;  zur  ersten  sind  die  Jahre  1855 
nnd  1856  gerechnet ,  znr  zweiten  die  3  folgenden.  Ich  will  die  Zahlen 
znr  Erleichternng  der  Uebersicht  in  einer  Tabelle  zusammenstellen. 
A  =  Kreuznach ,  B  =  Trier,  C  =3  Boppard. 

Barometer-Diffenenzen.  Thermometer-Differenzen. 

1.  Periode.    2.  Periode.  1.  Periode.      2.  Periode. 

A-^B        A  —  B  A  —  B           A'-B 

Winter:     r;29            l"',22  —  00,32         —  00,26 

Sommer:   l'",04           (f'\9S  0ö,25               00,62. 


C—A 

C-A 

A--C 

A'-C 

Winter:     0^^,97 

0*^,86 

—  00,40 

—  00,48 

Sommer:   l'^^lö 

l'^,48 

0«,62 

10,18. 

Beide  kleinere  Perioden  zeigen  also  Dasselbe,  was  oben  schon  von 
der  ganzen  Periode  erörtert  worden;  nnd  in  der  Periode  (der  zweiten 
kleinern),  in  welcher  im  Sommer  die  Wärme  höher  steht,  sinkt  an  dem 
betreffenden  Orte  (Kreuznach)  auch  das  Barometer^  und  umgekehrt 

Boppard  liegt,  wie  bekannt,  etwa  5  Meilen  von  hier  in  der  Rich- 
tung nach  Coblenz,  1^  Meilen  oberhalb  Coblenz. 


Kleinere  Mittheilimgen, 


L  Heae  Anfl&nmg  der  biqnadratisoheii  Caeiohnagen.    Die  Auflösung 
der  reciproken  biquadratischen  Gleichung 

1)  r+«r+iJi'  +  «s  +  i-o 

ist  bekanntlich  sehr  leicht  und  reducirt  sich  auf  die  Behandlung  der  bei« 
den  quadratischen  Gleichungen 

2)  fi^  +  afl+ß^2  =  0,     |+i=iy; 

iogesichts  dieser  Thatsache  liegt  gewiss   der  Gedanke  nicht  fern,   die 
tUgemeine  biquadratische  Gleichung 

3)  x^  +  aa^  +  ba^  +  ex  +  d  =  0 

dadurch  aufsulösen-,  dass  man  sie   in  eine  reciproke  Gleichung  umwan- 
delt.    Wie  einfach  sich  diess  ausführen  lässt,  wird  man  gleich  sehen. 

Zur  Transformation  von  No.  3)  benutze  ich  die  lineare  Substitution 

4)  x  =  qi  +  r, 

wo  {  die  neue  Unbekannte,  q  und  r  noch  au   bestimmende  Grössen  be- 
deuten; diess  giebt  folgende  Gleichung 

9  ^  9^ 


,  r^  +  ar*  +  br*+  cr  +  d  _ 


0 


oder  knrs 

6)  i'  +  aV  +  ße+ri  +  '=o. 

Zur  reciproken  Form  gehören   die  beiden  Bedingungen  d  :^  1  und 
r  =  «,  d.  i.: 

7)  ^  =  r*  +  «H  +  6r»  +  er  +  rf, 

8)  (4r  +  a>«  =  4r*  +  3Är«  +  26r  +  c, 


50  Kleinere  Mittheilungen. 


mittelst  deren  q  nnd  r  za  bestimmen  sind.     Dnrch  Elimination  Vion  q  er- 
hält man  für  r  die  Gleichung 

(4r  +  ayCr^  +  ar""  +  br^+cr  +  d)  =  (4r»  +  Zar*  +  2br  +  c)*, 
welche  vom  sechsten  Grade  zu  sein  scheint;  bei  wirklicher  Ausrechnung 
heben  sich  aber  die  mit  r",  r^,  r*  versehenen  Glieder,  und  es  bleibt  nur 
die  cubische  Gleichung 

9)         (a'  —  4a6  +  8c)r»  +  (a«6  +  2ac^U^  +  l^d)r*  \_^ 
+  (a*c  +  Sad  —  Uc)r  +  (^d  —  c*  }         ' 

Hat  man  daraus  einen  reellen  Werth  ftir  r  gefunden,  so  bestimmt  man  q 
nach  No.  7)  nämlich 

10)  q  =  pf^  +  ai*^hr*  +  cr  +  d; 
ferner  berechnet  man  die  Coefficienten 

4r+a        ^       6r«  +  3gr  +  » 

11)  «  =  -7-'     ^= ? 

und  hat  nun  füi*  |  die  reciproke  Gleichung  • 

r  +  «4' +  /?!•  + «I  + 1  =  0, 

nach  deren  Auflösung  x  mittebt  der  Forknel  4)  gefunden  wird. 
Als  Beispiel  diene  die  Gleichung 

x^  —  10a:»  +  33a:«  —  46a:  +  20  =  0. 
Die  cubische  Gleichung  wird  in  diesem  Falle 
12r'  — 46r*+  32r  +  29  =  0 
und  hat  als  einzige  reelle  Wurzel 

r=:-i. 
Die  Formeln  10)  und  11)  geben  weiter 

^~  2  '    ''~     y^'   ^—'n' 

mithin  lautet  die  entsprechende  reciproke  Gleichung 

Ersetzt  man  sie  wie  in  No.  2)  durch  die  beiden  quadratischen  Glei- 
chungen 

24        .140  ^    .    1 

60  erhält  man  der  Reihe  nach 

12  +  2 

7  +  2^  5  +  2/— I  _j/29v 

^~   Y^   '   ^~    m    '   ''~  2  ^~*' 

oder  endlich 

a?=3+/5",      a:  =  2  +  /—  1. 


Kleinere  Mittheilongen.  51 


Weit  einfacher  gestalten  sich  die  allgemeinen  Formeln,  wenn  man 
▼on  der  gewöhnlichen  Annahme  a  =  0  aasgeht.     Man  hat  jetzt  statt  No.  0) 

8cr»  —  4 (6*  ^  4if)r«  —  Aber  —  c*  =  0; 
ftr 

c 

'•  =  27 

wird  diese  Gleichung  zur  folgenden 

a»  +  2bs^+  (6«  — 4df)*— c*  =  0. 
welche  mit  Enler*s  Resolv^ente  identisch  ist. 

Die  Torstehende  Auflösung  kommt  der  Eulerschen  (x  =  u  +  v  +w) 
an  Eleganz  freilich  nicht  gleich ,  dagegen  beruht  sie  auf  einem  einfachen 
heuristischen  Grundgedanken,  und  die  nöthige  Rechnung  verläuft,  so  zu 
sigen,  Ton  selber,  ohne  den  geringsten  Kunstgriff.'  Vielleicht  empfiehlt 
sieh  gerade  dadurch  mein  Verfahren  dem  Unterrichte.  In  wissenschaft- 
licher Beziehung  würden  übrigens  noch  einige  Ergänzungen  nöthig  sein. 
Da  nämlich  die  cubische  Gleichung  drei  Werthe  für  r  liefert  und  jeder 
derselben  schon  zu  den  vier  Wurzeln  der  biquadratischen  Gleichung  fuhrt, 
80  erhält  man  eigentlich  zwölf  Werthe  für  x ;  man  weiss  allerdings  a  priori, 
dass  je  drei  derselben  gleich  sein  müssen,  kann  aber  verlangen,  dass 
diese  Gleichheit  a  posteriori  nachgewiesen  werde,  wobei  vielleicht  auf  die 
vier  verschiedenen  Werthe  zu  achten  ist,  welche  die  in  No.  10)  vorkom- 
mende vierte  Wurzel  besitzt.  Ferner  lässt  sich  erwarten,  dass  im  Falle 
a  s=  0  die  gegebene  Auflösung  in  nahem  Zusammenhange  mit  der  Euler*- 
sdien  steht,  und  es  wäre  daher  zu  untersuchen,  ob  nicht  die  eine  aus 
der  anderen  hergeleitet  werden  könnte.  Vielleicht  darf  ich  mir  erlau^ 
ben,  die  Leser  der  Zeitschr.  zu  einer  derartigen  Untersuchung  aufzufor- 
dern, da  ich  durch  andere  Arbeiten  an  der  weiteren  Verfolgung  des  Gegen- 
standes behindert  bin.  Sghlömiloh. 


n.  Anwendung  der  osciUirenden  Ketienbrüohe  zur  gleichzeitigen 
zweier  Wnnelwerthe  einer  Gleichung,  von  Dr.  Ludwig 
Matthiessen  in  Jever. 

Ans  der  Theorie  der  unendlichen  Kettenbrüche  ist  bekannt,  dass  die 
Partialwerthe  gerader  und  ungerader  Ordnung  jede  für  sich  irgend  einer 
Oränze  sich  nähern  oder  nicht,  also 

Lim^  =  k',      ldm^^^^  =  ki;     Xtm^=  unbestimmt. 

Sind  die  beiden  Gränzwerthe  Ar  und  Ar,  identisch  und  zugleich  be- 
stimmt, so  ist  der  Kettenbruch  convergent;  oscillirend  aber  oder  un- 
bestimmt, wenn  das  Gegentheil  stattfindet.  Die  oscillirenden  Ketten- 
brllehe  mit  zwei  bestimmten  GrÄnzwerthen  sind  nicht  xn  -^ws^^^^^ii  xsaN. 


52  Kleinere  Mittheilungen. 


solchen,  die  überhaupt  gar  keinen  angebbaren  reellen  Werth  inr  Qränze 
haben;  Beispiele  dieser  drei  Arten  mögen  hier  folgen:    ' 

n  _i  +M  — ? 

4~1  +  1 -3»~7-14 

3  +  4 l+650_ 


5  +  9  36+i372_ 


7+ .  1+135218 

1296+ . 

.  »t  inf. 

NäheniDgswerthe :                          Näherangswerthe:  •  »minf. 

3      19  6^         6^    J»4         882  417318 

^'    4"'  24 7'  .      7'  307'~379'  418579' 


1-?— 
1--1 


1—1 


1-. 


Näherungswerthe:  »ininf. 

1,  —  1,  —  oo,l,  —  CX),  .  .  .  . 

£s  kann  sogar  der  Fall  eintreten,  dass  nur  der  Oränawerth  der  einen 
oder  der  anderen  Ordnung  unbestimmt  ist.  Die  oscillirenden  Ketten- 
brüche bieten  oft  eine  sehr  aweckmässige  Methode  sur  Auflösung  der 
Gleichungen  dar,  namentlich  da  wo  es  darauf  ankommt,  den  Wurselwerth 
auf  möglichst  viele  Decimalstellen  genau  zu  berechnen.  Wie  man  sonst 
eine  Wurzel  der  quadratischen  Gleichungen  durch  Verwandlung  in  einen 
Kettenbruch  findet,  ist  bekannt  genug.  Mit  grösserem  Vortheil  kann  mau 
sich  hier  des  aufsteigenden  Kettenbruchs  bedienen,  indem  man  setzt 

^  +  ■  «  *  * 

bj  +  üt 

h  —  a?       b  —  üf 

x= = 

a  a 

wo  01  und  fr|  die  Ooef&cienten  der  Glieder  der  transformirten  Gleichung 
bedeuten,  deren  Wurzeln  die  Quadrate  der  Wurzeln  der  Stammgleiehnng 
sind,  elf  nnd  6,  die  Coefficienten  der  Glieder  derjenigen  Gleichung,  deren 
Wurzeln  die  Biquadrate  der  Stammgleichung  sind  u.  s.  w.  also 
Stammgleichung:     a^   +  ax  —  6  =  0 

x,'-(a'  +  2b)x,  +  ti':=0,(ai,  =  a*) 
^n'—  («i'+2fri)^/,+  ^^=0,  {a:„=x,') 
u.  s.  w. 

Der  aufsteigende  Kettenbruch  entwickelt  sich  leicht  in  die  unendliche 
Reihe: 

^^fc  __&! b, ^ 


a        aa»        a  ff.  a. 


i«i 


Kleinere  MittheiluDgen.  53 


Erstes  Beispiel:  Sei  die  anfsnlösende  Oleichung  o:' -{-  a;  -~  1  =0,  so 
raehe  man  hiersn  die  transformirten  Gleichungen  wie  folgt: 

Stammgleichong :  a?  +  x  — 1=0  x„,* —  ^'^^m  +  lt=0 
x,'  — 3a:,+  1  =  0  Xj^  — 2207a:jy  +1  =  0 
x„^ — 7a;,,  +  1=0  n.  s.  w. 

10  ist  eine  Wurzel 
__  1         1  1  1  1  1 


1         1.3        1.3.7        1.3.7.47        1.3.7.47.2207        1.3.7.47.2207.4870847 
=  0,610033088750748 ...  (14  Stellen  genauer). 

Bricht  man  diese  Reihe  erst  hinter  dem  zwölften  Oliede  ah,  so  lie- 
fert sie  schon  den  Werth  der  Wurzel  auf  ungefthr  1000  Decimalen  genau. 
Mittelst  derselben  Methode  wird  man  nun  auch  leicht  im  Stande  sein, 
irrationale  Quadratwurzeln  in  eine  stark  convergirende  Reihe  zu  ver- 
wandeln. 

Sei  /29  =  ^25  +  4=5  +  ar,  seist  die  Stammgleichung  a?+  10a:  — 4=0 
tnftulösen;  die  transformirten  sind 

X*  —108a:, +  16  =  0, 

x„*  —  11632a:,,  +  206  =  0, 

a:,,,«—  136302912  a:,„+  65536=0, 

mddemgemäss  wird  a:  =  |  — -^^  —  ^-^^^^  —  . . .  =0,38516480 

Diese  Methode  liefert  stets  den  kleinsten  Wurzelwerih.  Man  kann 
•ich  derselben  nun  auch  zur  Auffindung  der  Wurzeln  einer  cubischen  61ei- 
ehuog  bedienen.  Man  wählt  hier  den  absteigenden  Kettenbruch,  welcher 
zwei  Werthe  der  Unbekannten,  den  kleinsten  und  grössten,  zugleich  liefert. 
Sei  gegeben 

a?-—  aa?  +  bx  —  c  =  0, 

so  bat  diese  Gleichung  bekanntlich  entweder  drei  oder  nur  eine  reelle 
Wursel.  Jenachdem  haben  auch  die  Partialwerthe  beiderlei  Ordnung  ent- 
weder zwei  bestimmte,  oder  nur  einen  bestimmten  und  einen  unbestimmten 
Orlnswerth. 

Erstes  Verfahren:    Setze 
ß 
Äs=aH — x^»  also  a:* — aa^  +  yx  —  (ß  +  ay)  =  0. 

Bedeuten  wiederum  er,,  /9„  ^,  in  der  transformirten  Gleichung  dasselbe, 
was  ff,  /},  y  in  der  Stammgleichung,  so  ist  offenbar 

u.  s.  w. 
'    "   y/  -I- «"  "       y.;  +  ^ 

also 


Y  + 

'',  +  ß, 

+ 

ßn 

y„ 

^■^ 

r„  +  «,„  +• 


54  Kleinere  Mittheilungen. 


Betrachtet  man  «,  a,,  ^„  ••-  ^^^  besondere  Gliedet  des  Kettenbmches, 
so  sind  die  Partialwerthe  gerader  Ordnung  Nähemngswerthe  des  kleinsten 
Worzelwerthes  der  gegebenen  Oleichang,  in  so  fem  man  anneht  als 

ersten  Partialwerth :   « 

zweiten        „  ^  +  ß 

T 
dritten  „  « +  /*  

n.  s.  w. 
Erstes  Beispiel:  af — 2100x  —  24000  =  0. 

Setze  X  =  10|f  und  damit  der  Kettenbmcb  stark  convergirt  y  c=  5  +  2, 
so  ist 
2;»+  15z«  +  54z  — 4  =  0.  a  =  — 15,    c,=       117,        «^,==7617 

«•  —  ii7z*  + 3036a;  — 16  =  0,  ß=     814,    /J,=  — 355196, 

2«—  7617  2^  +  9213552«*  —  256  =  0,    y  =      54,    y,  =      3036, 

Alsdann  ist 

814 


z  =  —  15  + 


54+117—355196 

3063^7617. 


Nähemngswerthe : 
I  10  2398  0,074074.. 

Die  beiden  letzten  Nähemngswerthe  geben 
y=  5,072602  . .     «  =  60,72603  . . 
y,=  —  4,1868 . .    a:,=  —  41,868     (wahrer  Werth :  —  38,40727 . . ). 

Zweites  Beispiel:  a^  —  2x — 5==0. 
Setze  x=y  +  2,  so  resnltirt 

y' +  Öy*  +  JOy— 1=0,  a  =  — 6,    a,=  16,  ff,;=32, 

y«-lV+llV-l=0,         /?  =  61,       ft=— 1791,  ft;=— 400383, 

y*«— 32y»+125lV— 1  =0,     y  -=  10,       y,=  112,  y„=  12512 

y«^+24000y*«+ 

Die  Gleichung  hat  also  nur  einen  reellen  Werth,  nämlich 
61 


y=-6  + 


10+16—1791 


112 -f  32 -400383 


12512  +  y*         y  <l. 
Näherungswerthe : 

-  6  0,1000  . . 

-  3,6539  . .         0,09455(8)  .  . 

-  1,502 . .  .         0,09455148154(3746959 . . ) 
/w,W.—  ^Mn±  1^1252;/— 1). 


ELleinere  Mitthcilungen.  55 


Der  letzte  reelle  Partialwerth  ist  bis  auf  12  Decimalstellen  genau,  es 
Ilsstslch  aber  eine  leichte  Correction  anbringen,  indem  man  erwägt,  dass 
der  wahre  Werth  der  Wurzel  ist : 


b—c  ^  (/•+y«)(ftef  — c)  — 6e 

der  letzte  Partialwerth  nur  die  Grösse  ^  nicht  enthält. 
Mit  Anwendung  des  Maclaurinschen  Satzes 

nx)  =  fm  +  /'(O)  a:  +  r  (0)  ^  + . . . 

erfallt  man  leicht 

{fad  —  ae    1  ace,y^ ace{bd —  c)y^^ 

'^  +  f(pd—c)'-bej      ^f{bd  —  c)—bey  +|/l[M-c)-6e}»~'** 
Substituirt  man  in  der  rechten  Seite  dieser  Gleichung  den  oben  ge- 
fundenen Werth  für  ^,    so  wird  der  Werth  des  zweiten  Gliedes  gleich 
0,000000000001420303  f  welche  Correction  die  Wurzel  bis  auf  die  18te  De- 
eimale  genau  ergibt,  nämlich 

y  =  0,094551481542326656  .  .  . 
Zweites  Verfahren:   Man  setze 

also  a:'  —  aar*  +  (ß  +  y)x  —  ay  =  0. 


1+^ 


Sei  nun  die  gegebene  Gleichung  a^  —  ma:^  +  nx  — p  =  0  und  werde 
dieselbe  transformirt,  so  ist  nach  den  früher  angenommenen  Bezeichnungen 
ff  =  m,  a,    s=sm*  —  2n 

aß:=s  mn  — p,         o,ß,:ss  (m* —  2n)  (nf —  2mp)  — p* 

mid  ^==5[ 

i  +  ȧ 


l  +  «tPt 

1  + 


Ibt  ff  =  m  =  0 ,  so  ist  diese  Methode  unbrauchbar,  man  kann  aber  dann 
beide  Methoden  mit  einander  verbinden,  am  bequemsten  bleibt  aber  immer 

die  erste ,  also  etwa     x  =  a  +  ß 

y  +  oi 

1  +«i?i 


1  + 


56  Kleinere  Mittheilongen. 


"^^^i^^t^i^rfK^^/K^S^^^W 


Ein  Beispiel  möge  dies  Verfaliren  erläutern.    Ist  die  gegebene  Glei- 
chung «•  —  2x  —  5  =  0,  und  « t=y  +  2,  so  hat  man  wiederum 
y*+  Oy*+  lOy  — 1=0,  a  =  —  6,       a,    =16 
y*— 16y*+112y— 1  =  0,  ay=      1,       €i,y,=  i 

u.  s.  w.         "^  «^  = — 61,      aß,  =  1791. 
Nähemngswerthe  sind: 

—  6  0,10000 

—  1,6764..    0,09455(8).. 

—  1,996 . . 

Die  negativen  Werthe  nähern   sich  einer  bestimmten  Gränze  nicht, 
und  es  gibt  demnach  nur  einen  reellen  Wurzelwerth. 


m  Beispiel  einer  Cnbator  und  Quadratur  naeh  geometriaehen  POitu- 
laten.    Von  Dr.  B.  Hoppe. 

Ist  in  den  Normalkreis  einer  Kugel  ein  beliebiges  ^ereck,  in  das'Seg- 
ment  über  jeder  Seite  ein  Kreis,  und  Über  diesem  Kreise  als  Basis  ein  ge- 
rader Cjlinder  beschrieben,  der  die  Kngelfläche  nach  beiden  Seiten  hin 
schneidet,  so  ist  das  Stück,  welches  die  sämmtlichen  Cjlinder  von  der  Ku- 
gel übrig  lassen,  sowie  dessen  sphärische  and  cylindrische  Oberfläche,  in 
geradlinigen,  ebenflächigen  »Figuren  darstellbar. 

Sei  C|  der  Inhalt,  ^,  die  sphärische,  B^  die  cylindrische  Oberfläche 
eines  der  genannten ,  von  der  Kugelfläche  begrenzten  Cylinder ,  r  sein  Ra- 
dius ,  a  der  Abstand  seiner  Aze  vom  Kugelcentrum,  a  +  r=  1  der  Kugel- 
radius, g>  das  Azimut,  ^  die  Höhe  eines  Punktes  der  Kugelfläche,  ersteres 
anfangend  vom  Berührungspunkt ,  letztere  vom  Normalkreis ;  femer  %  das 
Azimut  von  der  Cjlinderaze  aus:  dann  ist,  wie  eine  Betrachtung  der  Figur 
ergiebt. 


n 

In  dem  Intervall  von  %^=^n  bis  i^  =.  —  ist  g»  constant  =  0  oder  =  n 
zu    denken,  je  nachdem    das  Kugelcentrum    ausserhalb  oder  innerhalb 


Kleinere  Mittheilangen.  >  57 

des  Cylinden  liegt.  Im  ersten  Falle  erhält  man  nach  partieller  In- 
tegration 

simmtliche  Integrale  von  %  =  0  bis  ;i;  =  tt  genommen.  Im  zweiten  Falle 
ist  mm  ersten  Integrale  noch  tt,  zum  dritten  noch  ^tt  zu  addiren. 

Die  Relationen  zwischen  g>^  ^1;^  %  in  der  Dorchschnittslinie  der  beiden 
Fliehen  sind 

c<mg>  co8flf  =  a  +  r  cosxt 
9m  g)  cos  ilf  =  r  sin  %. 
Setzt  man  gemäss  der  Relation  a  +  r  =  1 

^=cofif*;    yr=sm^(i 

1gn  =  fgiicos^X  i^) 

so  wfard  man  leicht  folgende  Formeln  ableiten: 

sini,äg>^{l-^d^. 

Ans  Oleichnng  (1)  ersieht  man,  dass  m  ttbc  x=ssn  verschwindet,  nnd 
tür  X=sm  (bei  stetiger  Verändemng  von  lg  n)  ia  ^  oder  in  fi  —  n  über- 

7t 

geht,  jenachdem  (i  <  oder  >  ~  ist,  d.  h.  jenachdem  das  Kngelcentmm 

usserbalb  oder  innerhalb  des  Cylinders  liegt.  Da  indess  im  letztem 
Falle  n  als  Subtrahend  oder  Addend  znm  Integrale  hinzukommt ,  so  hat 
min  fi  ohne  Unterscheidung  zur  Grenze  der  m  zu  nehmen,  und  erhält 

/dm 
— -  =  (1  — CM^)imf*, 

Ö 


58  Kleinere  Mittheilungen. 


-/(- 


^^       cos»«      +^'^'*^'^"' 


=  ^(f* — sin  (i  cos  (i)  —  |<mV 

Hier  ist  fi  der  halbe  Bogen  über  einer  Vieleeksseite.  Nacb  Addition 
aller  Cjlinder  wird  die  Summe  der  fi  gleich  sr. 

Femer  ist  «mfi  eine  balbe  Vielecksseite.  Ist  |ti  der  Umfang  des  Viel- 
ecks, /  eine  Seite,  so  ist  sin (1  =  ^1^  and  die  Snmme  der  sin^z=^u. 

Endlich  ist  cosfi  der  Abstand  einer  Seite  vom  Mittelpunkte,  sin {i  cos ^l 
das  Dreieck  über  der  Seite,  dessen  Spitze  der  IkBttelpunkt;  daher  die 
Summe  der  sin  ^  cos  ^  der  Inhalt  des  Vielecks  =^\v.    Folglich 

ZA^=:\%—u;    2B^  =  u—2v\    2:(7,  =  f«  — fv  — i^/'. 

Ist  nun  C  der  Rest  der  Kugel  nach  Abzug  sämmtlicher  Cylinder,  Ä  die 
sphärische,  B  die  cjlindrische  OberflSche  des  Körpers  C,  so  ist 
A=u;    B  =  u—2v;    C=iv  +  ^£l\ 

Beschreibt  man  über  dem  Vieleck  als  Basis  ein  Prisma ,  dessen  End- 
flächen die  Kugel  berühren,  so  ist  u  dessen  seitliche  Oberfl&che,  v  sein  In- 
halt sowie  die  Summe  seiner  Endflächen.  Das  Resultat  lässt  sich  jetzt 
leicht  in  Worte  fassen. 

Degenerirt  das  Vieleck  in  2  aufeinaüder  fallende  Sehnen,  so  ver- 
schwindet V,  u  wird  das  doppelte  Rechteck  aus  Sehne  und  Durchmesser. 
C  zerfällt  in  2  symmetrische  Stücke,  die  sich  in  einer  Geraden  und  in 
2  Punkten  berühren.  Jede  dieser  Hälften  ist  der  neunte  Theil  des  Cubus 
der  Sehne,  und  sowohl  ihre  sphärische  als  cjlindrische  Oberfläche  gleich 
dem  Rechteck  aus  Sehne  und  Durchmesser.  Aus  der  Gleichheit  beider 
Flächen  folgt  beiläufig,  dass  die  gesammte  Oberfläche  der  beiden  Cjlinder- 
stücke  gleich  der  Kugelfläche  ist. 


IV.  Formeln  zur  geodätisohan  Ortsbereohnung.  Von  J.  Rogg,  Pro- 
fessor am  obem  Gymnasium  zu  Ehingen. 

Das  Problem  der  geodätischen  Ortsbereohnung  lässt  sich  ganz  elemen- 
tar behandeln,  vorausgesetzt,  dass  die  Dreiecke  nicht  grösser  sind,  als  die 
grössten,  wie  sie  bei  wirklichen  geodätischen  Vermessungen  vorzukommen 
pflegen,  und  dass  bei  ungewöhnlich  grossen  Dreieckseiten ,  d.  h.  Distanzen 
von  40  bis  50  Tausend  Toisen,  auf  eine  Unsicherheit  von  wenigen  Hundert- 
theilen  einer  Bogensecunde  nichts  ankommt.  Das  Bestreben,  eine  noch 
grössere  Genauigkeit  zu  erreichen ,  scheint  ein  überflüssiges  zu  sein ,  wenn 
man  bedenkt,  dass  der  geodätische  Längen-  und  Breitenunterschied  vom 
entsprechenden  astronomischen  Längen-  und  Breitenunterschied  erheblich, 
zuweilen  sogar  um  einige  Sekunden  abweicht,  und  zwar  bei  Messungen  von 
aa^eseiehneteT  Güte  und  in  Gegenden  ausgeführt,  wo  die  Schuld  sich 


Kleinere  Mittheilnngcn.  59 

nicht  aaf  Ablenkung  des  Bleiloths  durch  benachbarte  Bergmassen  sehieben 
Ussty  wie  B.  B.  bei  der  Preussischen  Gradmessung  durch  Bessel  und  der 
Lieflindisehen  durch  Struve. 


Um  absukürseü  beseichne  ich  im  Folgenden : 

mit  a  und  c  die  beiden  Halbachsen  der  Meridianellipse ;  die  Toise  als 
Einheit  angenommen; 
e  die  Excentricitit  derselben; 
r  den  KrümmungshalbQiesser  im  Azimuth  e=  90® ; 
Q  den  Erfimmungshalbmesser  im  Azimuth  =  0; 

^und  i^  den  Quotienten  aus — r-r??  nnd  — t-tt?,   deren  Werthe  man 
^  Q  sml  rsml 

für  die  Zone  zwischen  den  Parallelen  45®  und  55®  in  den  dieser  Ab- 
handlung angehängten  Tafeln  findet} 

d  die  gegebene  lineare  Länge  einer  Dreieckseite,  welche  A  zum  An- 
fangs- und  B  zum  Endpunkt  hat; 

X  undy  die  Abscisse  und. Ordinate  des  Dreieckpunkts  B^  auf  ^  als 
Anfangspunkt  bezogen ; 

^  und  g>'  die  geographischen  Breiten  der  Positionen  A  und  B ; 

ß  die  Breite  des  Fusspunktes  der  Ordinate  y ; 

CO  den  Längenunterschied  zwischen  A  und  B] 

a  das  Azimuth  der  Distanz  i  im  Horizont  des  Punktes  A^  von  Nord 
Über  Ost  bis  ZQO^  gezählt; 

«'das  Azimuth  der  Distanz  i  im  Horizont  von  ^; 

^  er  ==  (flf'  —  a)  —  180^  die  Konvergenz  der  Meridiane  durch  A 
nnd  A 

Die  Bechnung  wird  geführt  mit  den  von  Bessel  aus  den  Breitengrad- 
menongen  (Schumachers  astronomische  Nachrichten  No.  438)  abgeleiteten 
Erddimensionen,  wonach: 

a  =  3272074,14  Toisen  und 

«•=0,0006674,872 

ist  (ein  Werth,  welcher  von  der  Ellipse  des  Herrn  Oberst  James  wenig 
verschieden  ist).  Mit  diesen  Werthen  von  a  und  e  ergibt  sich ,  wenn  man 
\mi^=^A,^me^s=:B,^me^=C  (unter  m  den  Modulus  der  gemeinen  Loga- 
rithmen verstanden)  und  A  sin*(p  +  Bsm^tp  +  Csin^tp  =  £  setzt: 

Lgr  =  Z+  6,5148235 337  LgA  =  7,1611647  ms- 10 

Lqq  =3-^  +  6,5119157  741  LgB=:  4,6845451  —  10 

LgM=Cp.LgQ  +  5^144251  332      Lg  C  =  2,23286  ~  10. 
LgN=Cp.Lgr+  5,3144251  332 

Sei  B.  B.  9  =  50»  19'  50",  so  findet  man:  Lg  r  =  6,5157088«i  und 
Lqq  —  6,5145710.^/  I^ JV=  8,7987163.i  nnd  Xjf  JHT  =  8,1^ÖÖMÖ, %. 


CO  Kleinere  Mittheilangeii: 

1. 

Seien  AN  und  BN  die  Meridiane  durch  A  und  B,  folglich  N  der  nchi- 
bare  Pol  des  Aeqnators,  so  ist  Winkel  NAB  s=  o, 
ANB  =  m,  a='mf  —ABN,  tp=^WF  —  AN  xoki. 
^^^„JX^  ^  9  =  90^  —  5iV.  Das  Problem  der  geodätitchen 
Ortsberechnnng  kann  daher  so  ausgesprochen  wer- 
den: 

Man  soll   die   Breite   und   das  Aximuth 
vom  Punkt  A  auf  den  Punkte  übertragen, 
und  die  Längendifferens  zwischen  A  und  B  berechnen. 

2. 

Man  ziehe  Bb  senkrecht  auf  die  Richtung  des  Meridians  durch  A^ 
80  ist^6  =  x  und  Bb  =  y,  folglich: 

tgx  =  Igö .  cos  a 
und 

sinp  =  shid  .tüia 

oder,  da  o;,  y  und  i  kleine  Bogen  sind: 

a:+^ar»c=(«  +  Jd«)co*<r, 

Es  ist  aber  sehr  nahe  ^  o:*  =  ^  d*  co^a  und  ^y^  =  J  d*  sin^a ;  folglich 

x  =  d  casa  +  ^d^cosa .  8m*a, 

y  t=,  dsma  —  ^iPsina ,  cotfa 
für  den  Halbmesser  =  1.     um  x  und  y  in  den  Sekunden  ausgedrückt 
zu  erhalten»  muss  man  die  Theilsätze  rechts  mit  arc  i"  =^  ttnl"  dividiren 

und  in  den  ersten  dieser  Gleichungen  d  mit  — ,  in  der  zweiten  hingegen  t 

mit  —  vertauschen.    Man  erhftlt  alsdann: 

r 

a;c=3  Mdcota  +  Mi  cosa  {Mi 9m  af.\sm*)!\ 
^=.  Nisma  —Ni  sma  (Nicosa)\  Jm*!" 
in  Sekunden  gelesen. 

Nun  ist  offenbar  /7  =  9  +  ^9  folglich: 

ß  =  g>+  Micosa  +  Micasa  (Misinoiy.  {  sm^V', 
wo  Lg  M  aus  der  Tafel  des  Anhangs  entlehnt  wird,  und  zwar  mit  dem  Ar- 
gument <p  +  ^Mi  eos  ct.  ISerbei  kommt  es  auf  ein  paar  Sekunden  mehr 
oder  weniger  nicht  an,  wesswegen  man  vorläuffg  Lg  M  mit  dem  Argument  9 
aushebt,  Mi  cos  a  mit  fünfzifrigen Logarithmen  berechnet.  —  Für  d=: 54374'', 
9  =t=  51*  48^  2"  und  a  =  185»  42^  22"  findet  man  z.  B.  üf  d  CM  a  =  —  3412'',  und 
^omii  ^  +  ^Mi  eosa  =  61«  19'  36". 


Kleinere  Mittheilangen.  Ol 


Deijenige  grösste  Kreis,  von  welchem  y  ein  Bogen  ist,  darchBolineidet 
den  Aeqnmtor  im  Ost-  und  Westpnnkt ;  es  liegt  folglich  B  dem  Aequator 
Biher  als  6,  d.  h.  es  ist  /?  >  fp\  Bezeichnet  man  diesen  kleinen  unterschied 
»t  «1  setat  also 

9>'  =  /*— ti, 
w  wird 

sinip'=^  sin ß — u •  cos ß. 
Aber  andererseits 

tm  g>' s=z  cos  y  ,  sinß] 
folglich 

smß  —  ucosß^=:cosy.smß. 
Diesen  Ansdmck  mit  cos  ß  dividirt,  so  kommt,  wegen  cosy=^l  —  ^y^i 

fir  den  Halbmesser  =s  1;  oder 

u=:MN.y\igß.  iftnl" 
in  Sekunden  gelesen. 

Da  aber  u  stets  ein  Bogen  ist,  welcher  selten  eine  Minute  erreicht, 
so  darf  man,  ohne  von  der  Genauigkeit  etwas  merkliches  aufzuopfern,  y  mit 
ism«  vertauschen;  also: 

tp=ß  —  MN^sm^u  .igß.  ^sin  l". 


Der  Lingenunterschied  ns=ANB  erg^ebt  sich  aus  der  Gleichung: 
igmsssigy  .secß 
oder 

«+  i9Bf  =  y'Secß  +  li/^.secß. 
Es  ist  aber  y=sNisma  —  Ni sina  {Nd cos a)'.  ^ im l'',  und  sehr  nahe 
|^  =  }d> «!»•«,  folglich: 

n=i  Ndsinasecß —  N8 sma  secß  {Ni  cosaf .  ^«h'l" 

—  Nösina  secß  (Ndsina  ig  /?)*.  ^sinH". 
Wegen  a  =  Seo*»  — ^,  a  +  180»=^  +  ISOJ  und  Aa  =3  (a  —  a)  — 180* 

ist  offenbar 

Aa  =  18ö»—  iA  +  B)] 
folg^ch 

cos  {(BN  +  AN) 


oder 


'^^''-cosliBN-AN)^'^^^'' 
^^  cos{{g>  —  (p)    ^* 


welches  die  zuerst  von  Dal  bot  (im  Jahre  1792)  aufgestellte  Gleichung  ist. 

Da  aber  Aa  imd  co,  folglich  nur  um  so  mehr  ^Aa  und  |co,  kleine  Bo* 
gen  sind ,  so  darf  man  schreiben : 

sinl{qf  +  ip) 

Aflf  = 1-11 Z^  .  CK). 

casi(gf  —  ip) 


62  Kleinere  lütiheiliingeD. 

5. 

Die  Endgleichiingen  der  vier  vorhergehenden  Artikel  enthalten  die 
vollständige  AaflÖBiing  der  Aufgabe.    Um  absokürson  will  ich  eetieo : 

ö  easas=m  and  i sma^=n 
und  dann  gehen  die  vier  Formeln  in  folgende  Ausdrücke  Aber : 
ß=g>  +  Mm  +  Mm. HPrf.  \tmH" 
q/=ß--  MN.n^igß.itinl" 

Nn,secß  =  €99 
n  =  »0—  Wo^»»*.  J««»r—  a»oiV*n*  i^ß .  J  smh" 

wo  M  mit  dem  Argument  9  +  ^icos  a,  N  aber  mit  dem  Argoment  ß  ans 
den  Tafeln  zu  entlehnen  ist* 

Um  den  Gebranch  dieser  Formeln  bu  erläntem,  will  ich  ans  der  Han- 
nÖTerschen  Gradmessnng  die  ungewöhnlich  grosse  Diitans:  Brooken- 
Inselberg  ausheben.  Nach  den  Bestimmungen  des  unsterblichen  O a u s s 
ist  die  Breite  des  Brockens  =  51®  48'  T  0294  =  g> ,  Asimuth  Brocken  -  Insel- 
berg  =  185»  42'  21"  70W  =  a  und  d  c=  54347  V 

Nach  Artikel  (2)  ist  das  Argument  fOr  ilf . . .  51«  19'  36^'.  Man  hat  daher 
Bunächst : 

lg.  coia  =  9,9078427.  Lg.  M 8,7998544 

Lg.d =  4,7353929  Lg,  m .  4,7332356, 

Lg.  .sma=  8,9974891,  Lg.  {Mm)  . .  3,5330900, 

Lg.m  . . .  =  4,7332356,  Lg.  n* 7,46576 

Lg.  n  . . .  =  3,7328820,  lg.  M* 7,59971 

Lg.  (^Wi'O  8,89403 -ao 

^.  ( )7,492Ö9, 

fp =  51«  48'  l"»w 

ilfm =  —5652,636 

Mm  .  M^n\  i«>i*l"=        —  0,oo8 
/?==  50*51'  9"»o 

2;,.Af....  =  8.79989| 
Lg.N  ....==  8,79873  i  ^    ^  ^^ 
Lg.n*  . . . .  =  7,46576 
Lg.lgß  ...=^ 0,08935 
Lg.ilsinl")  =  4,38454-10 

Lg.{ )  =  9,53827 

—  JlfiV.fi»/5rjJ.iwil"s=:— 0«   0'0"S46 

ß=     50  51  9,»o 

Oeodätiscbe  Breite  des  Tnselbergs  9  =    50«  5l'  8"945 


Kleinere  Mittheilungen.  63 


Lg.secß  . . .  =  0,1907520 

Lg.N =  8,7987282  Lg.  ta^ =  2,73136, 

Lg.n =  3,7328820,      Lg.  N* =  7,59746 

Lg.a^ =  2,7313622,      Lg.n* =  7.46576 

Lg.m =  7,59746        Lg.ig'ß  .,..  =  0,17870 

Lg.m* =  9,46647        Lg,  {^süiH")  =  8,89403—» 

Lg.  H sm*  1")  =  8,59800—«)      Lg.( )  =  6,86731, 

Lg.i )=8,38829, 

Wo =  —  8'58"719 

—  o>o  N*m\  ^5tnn".  . . .  =  +  0, 024 

—  Wo  N*n\  ig^ß  .  J «nM"  =     +    0,ooo.7 
Geod.  Längenbogen  Inselberg-Brocken  m  =  —  8'58"695 

Für   die   Berechnung    des   zweiten    Azimnths   hat   man    zunächst : 
4  (9  +  9)  =  öl*  19'  35' 437  und  ^  (g>  —  q>)  =  28'  26''4»2';  folglich: 

Ijf.  *m  4  (9  +  9>')  . .  .  =  9,8924951 
Cp.  Lg,  co9:^{(p  —  tp)  =  0,0000149 
Lg,w =  2,7313429, 


,Lg,A€t=i  2,6238529, 
Aa  c=3  —  420"m« 


=  —  0*    /    0"5S4 
180*  +  a  =3        5   42  21,  77o 
Geodätisches  Azim.  Inselb«-Brocken  cl  =        5*  35' 2l''i85  . 


Nach  den  äusserst  scharfen  Berechnungen  von  C.  F.  Gauss  (Unter* 
fuchnngen  über  Gegenstände  der  hohem  Geodäsie,  2.  Abtheilung,  S.  35) 

ist 

9'=50»6l'8"944;    w  =  — 8'68"700;    a'=  5»  35' 21^182 

Hiervon  obige  ResulUt 50  51  8,»*^; —  8  58,<95;    5  85  21,i»< 

Differenzen —  0,0015   +  0, 0065   —  o,ow 

Die  nachstehenden  Tafeln  können  bei  verschiedenen  Rechnungen  der 
geodätischen  Geographie  mit  Vortheil  angewendet  werden.  Folgende  Anf- 
gahen  mögen  diesen  Satz  rechtfertigen. 

1.   Die  Entfernung  zweier  Parallelen  zu  berechnen. 

EinenMeridianbogen,  dessen  Winkelweite  nicht  über  4  bis  5  Grade  hin- 
ausgeht, darf  man  als  Kreisbogen  ansehen,  welcher  den  Krümmungshalb- 
messer am  Halbirungspunkt  zum  Halbmesser  hat.  Bezeichnet  also  fp^  die 
geographische  Breite  des  nördlichen ,  9,  die  des  südlichen  Parallelkreisei, 
imd  wird  tp^ —  q>^  in  Sekunden  gelesen,  so  gicbt  die  Gleichung: 

«  =  ^  (9o  —  9i)  .  ^>»  l". 
Unter  t  die  lineare  Länge  des  gesuchten  Meridianbogens  ^^t«\AXi^«a. 


64 


Kleinere  Mittheilongen. 


Tafel  I:  LogariÜimeti  vcm  M  enthaltend. 


Breite 


45<*  0' 
.10 
20 

m 

40 
50 

460  tf 
10 
20 
30 
40 
50 

47«  OT 
10 
20 
30 

40 
50 

48«  0" 
10 
20 
30 
40 
50 

490  O' 

10 
20 
SO 
40 
50 

50«  or 


Lg.ilf. 


Breite, 


8,8003323 
3196 
3070 
2943 
2816 
^89 

2562 

2182 

1929 

1802 
1675 
1549 
1422 
1290 
1109 

1043 
0017 
0791 
0065 
05S9 
0414 

0287 
0162 

0036 

8,7999911 

9785 

9660 

9ö3e 


500 


öl»  (T 
10 
20 
30 
40 
&0 

52Ö  0" 
10 
20 
30 
40 
50 

53<»  0' 
10 
20 
30 
40 

m 

54»  0' 
10 
20 
30 
40 
50 

55»  0' 


Lg,  Jf. 


8,790^36 
9411 
9286 
9161 
9036 

8787 
8662 
8539 
8415 
8291 
8166 

8045 
7921 
7798 
7676 
7553 
7430 

7308 
7187 
7065 
6944 
6822 
6701 

6580 
6460 


6219 
6099 
5979 

5859 


Diff,  et  p.p. 


127 


m 

M 

7(1 

m 

102 

IN 


126 


1^ 

2S 

3» 

60 

63 

1       7« 

^ 

1(11 

lU 

125 


DO 

75 

lüD 
111 


124 


%k 
37 
M 
62 
71 
S7 
9» 
JI3 


30"     4.     l 

»r  ft,  i 


123 


t2 

37 

02 
74 

m 

«S 


122 


11 
31 

97 
40' 

(»1 
73 

»8 
110 


121 


13 


«1 

n 
«5 

B7 


120 


li 

34 

3a 

4S 

73 

tos 


aa"    »",2 

40       S    3 
^      tO,    4 


Kleinere  Mittheilungen. 


65 


Tafel  n:  Logarithmen  von  N  enthaltend. 


ß 

Lg.JV. 

ß 

Lg.  JV. 

Diff.  et  P.p. 

i*    0' 

8;7Ö8e758 

50^    0' 

8,7987494 

10 

8715 

19 

7453 

^ 

13 

40            1 

« 

8073 

29 

7411 

r 

4 

j 

ä 

ID 

8631     1 

ao 

1              7379     1 

2 

9 

% 

40 

81^88 

40 
50 

7328 
7287 

13       j 
17 

n 

13 
16 

30 
34 

Ö*    Q' 

8504 

Öl*»    0* 

7245 

S 

34 

39 
33 

la 

8461 

10 
20 

7204 

f» 

m 

3« 

» 

S410 

7162 

m 

8377 

39 

7121 

42 

3«      1 

m 

833Ö 

40 

7080 

1' 

4 

* 

4 

so 

8292 

60 

7039 

2 
3 

11 

n 

4 

17 

16 

!•    tf 

S250 

52^    0' 

6998 

11 

39 

30 
33 
37 

1» 

83(]8 

10 

6957 

7 

10 

aiae 

8124 

20 

6916 
6875 

8 

S4 
3S 

9 

3t 

3S 

4tl 

8081 

40 

6834 

i 

n 

•0 

8039 

50 

6793 

JT 

4 

i 

M  or 

'mi 

53t>     0' 

6752 

13 

10" 

%1 

10 

so 

7955 
79ia 

10 
20 

0711 
6671 

1« 

3£ 

20" 
3« 

40 

1,< 
3,1 
33 

10 

7871 

39 

6631 

33 

50 

3.& 

m 

7829 

40 

6590 

»7 

w 

7787 

50 

6550 

»•  <r 

7745 

540    o' 

6519 

10 

7700 

10 

6470 

m 

7Ö01 

20 

6430 

m 

76^ 

30 

6390 

m 

7578 

49 

6349 

eo 

7536 

59 

6300 

e«  0- 

7494 

550    Ü' 

6269 

\ 

A 


/,  Msuumatfk  u,  Phjaik.    VI,  /. 


66  Kleinere  Mittheilungen. 

Nun  ist  M  =  — r-T7?,  d.  i.  P  =  ,^   .     ,, ;  folglich 
qsmi  Mstnl  ^ 

wo  M  mit  dem  Argument  \  (qp©  +  9>i)  =  9>i  +  ^{Vq  —  9>i)  aus  Tafel  I.  sa 
zu  entlehnen  ist.  Sei  z.  B.  g>g  =  55®,  gj,  =  50®,  so  ist  ^  {g>9+  g>i)  =  52®  30 
und  9>o  —  9>i  =  5"=  18000";  folglich: 

Z^.  i  =  1,2002324 

M 

Lg.  (<Po—9>i)  =  4,2552725 

Lg.  8  =  5,4555040;  8  =  285433  Toisen. 

2.  Die  lineafeLftnge  des  Breitengrades  g^  für  eine  ge- 
gebene POylhöhe  =9>  zu  berechnen. 

Im  vorliegenden  Fall  ist  (po — 9>i  =  1*=  3600";  folglich 

^^=i  .3600; oder Z^.p^  =  3,5553025— Z^.JJf. 

Sei  z.  B.  <p  =  51®  19'  50",  so  hat  man: 
Lg.  con8L  =  3,5563025 
Lg.  M      =  8,7098541  —  lo 
Lg.g^...^  4,7664484 ;  g^  =  570757^  * 

3.  Die  lineare  Länge  des  Gradbogens  im  Aaimuth  =  901 
zu  berechnen. 

Die  Aenderung  des  Krümmungshalbmessers  der  Oberfläche  des  Erd^ 
phäroids  nimmt  vom  Azimuth  0®  bis  zum  Azimuth  =  90®  fortwärend  ab* 
Bezeichnen  wir  also  die  Länge  des  gesuchten  Gradbogens  mit  g^^  so  gilt 
(nur  um  so  mehr)  die  Gleichung: 

fir,==  i  .  3600; oder ^•5'r=  3,5563025  —  Lg  N 

Sei  z.  B.  .wiederum  g>  =^  51®  19'  50",  so  findet  man  leicht  g^  =  57225'afci 

4.  Die  lineare  Länge  dos  Längegrados  unter  der  Pol^ 
höhe  =  9  zu  berechnen. 

Diese  Länge  ist  bekanntlich  ein  Produkt,  an  welchem  g^  den  einen, 
und  der  Cosinus  der  Breite  den  andern  Faktor  bildet,  d.  h.  es  ist 

l  ' 

g^=g^C08<p  =  —.  3600  .  C08  gf 

unter  g  die  Grösse  des  gesuchten  Längengrades  verstanden. 

5.  Den  Krümmungshalbmesser  der  geometrischen  Erd- 
oberfläche im  Azimuth  =  a,  unter  der  Polhöhe  =  9,  zu  be- 
re  ebnen. 


Kleinere  Mittheilungen.  Q7 


£8  beseichne  Ä  diesen Krtimmungshalbmeflser,  so  gilt*)  die  Gleichung: 

li       Q  r 

ilio 

1  1  ^       ,  1 

ii  fm  1         Q  sm  1  r  ^n  1 

HieraoB  wegen  jm* «  =  1  —  cm»  a,  durch  Einsetzung  von  JU  und  iV 

Man  vertausche  nun  co^  «  mit  ^  (cos 2  a  +  1),  so  ergiebt  sich  leicht : 
^p  =  J  (üf  +  iV)  -  i  (iJf- JV)co^2a. 


V.  Xaohtrage  und  Verbesserungen  su  der  Schrift:  Vene  Vntersuchungen 
iber  frei  rotirende  Flüssigkeiten  im  Zustande  des  Qleiehgewiohts,  von 
Dr.  Ludwig  Matthiessen,  Docent  an  der  Kieler  Universität.  Kiel,  Akad. 
Bachh.  (1860).  Von  dem  Verfasser. 

Nachdem  im  fünften  Hefte  dieses  Jahrgangs  bereits  eine  kurze  Anzeige 
der  obgenannten  Schrift  abgedruckt  worden  ist ,  ftihlt  Verfasser  sich  ver* 
pffiehtet,  eine  kleine  Anzahl  von  Unrichtigkeiten  nachträglich  zu  verbes- 
sern, weswegen  derselbe  sich  die  Entschuldigung  des  Publikums  höflichst  erbit- 
ten muss.  Diese  Incorrectheiten  haben  aus  mehrfachen  Gründen  leider  nicht 
vermieden  werden  können ,  hauptsächlich  sowol  wegen  eines  aus  officiellen 
Bfteknehten  beschleunigten  Druckes,  da  die  Abhandlung  zu  einer  Einladungs- 
sehrift  bestimmt  war,  als  wegen  einer  unfreiwilligen  Abwesenheit  des  Ver- 
fassen vom  Druckorte.  Zugleich  fühlt  sich  derselbe  zu  Dank  verpflichtet 
Air  die  Willigkeit,  mit  welcher  die  geehrte  Redaction  die  folgenden  Nach- 
trige  und  Verbesserungen  in  die  Zeitschrift  aufzunehmen  bereit  gewesen  ist. 

Der  Standpunkt,  aufweichen  die  Lösung  des  betreffenden  Problemes 
bis  jetst  gelangt  ist,  gewährt  in  der  That  noch  immmer  sehr  wenig  Befrie- 
figong.  Die  Schwierigkeit  desselben  ist  längst  anerkannt  worden;  man 
MUS  diesen  Feind  der  hohem  Analysis  durch  vereinzelte  Angriffe  zu 
schwfteben  suchen :  das  Problem  von  seinen  speciellen  Seiten  zu  betrachten, 
wird  zunächst  die  Hauptaufgabe  sein.  Die  geringe  Befriedigung  der  Theo- 
rie ist  aber  doch  insofern  etwas  erhöht,  als  eine  wichtige  Frage  erledigt 
sein  dürfte,  welche  zuerst  von  Lapla.ce  in  seiner  Mechanik  des  Himmels 
snfgeworfen  zu  sein  scheint  ^  von  ihm  aber  nicht  genügend  beantwortet  wor- 
den ist,  da  ihm  die  schöne  Entdeckung  Jacob! 's  noch  verhüllt  war,  näm- 
lich die  Frage :  ob  mehrere  Zustände  oder  Figuren  des  Gleichgewichts  für 


^  De  compntandis  dimensionibas  trigonometricis  in  superficie  lerca^  %^\im«t^V 
4iea  iastttsfeis  eomneatMtar  J,  Tb.  F.  Bohnenberger,  Tnb.  \SM^  p.%« 


68  Kleinere  Mittheilungen. 


eine  nnd  dieselbe  ursprüngliche  Kraft  oder  Bewegungsquantitlt  einer  frei 
schwebenden  homogenen  FltLssigkeitsmasse  möglich  seien ,  wenn  ihre  Mole- 
küle sich  bloss  nach  dem  allgemeinen  Gesetze  der  Schwere  anziehen.  Das 
Resum^  der  hierauf  bezüglichen  Untersuchungen  (Seite  72)  erweisst  nun, 
dass  es  wenigstens  drei  (nicht  vier)  solcher  Zustände  gäbe ,  bei  denen  sieh 
die  Summe  der  Bewegungsquantität  von  einem  gewissen  endlichen  Werthe 
an  dem  Werthe  oo  immer  mehr  nähert,  nämlich  das  Jacobi'sche,  das  sehr 
abgeplattete  Rotationsellipsoid  und  ausserdem  noch  ein  wenig  abge- 
platteter frei  er  Ring.  Die  in  der  Abhandlung  an  derselben  und  andern 
Stellen  wiederholt  ausgesprochenen  Vermnthung,  dass  ein  zweiter  sehr  ab- 
geplatteter Ring  von  elliptischen  Querschnitt  und  ohne  Centralkörper  auch 
eine  Gleichgewichtsfigur  bilden  könne,  haben  darch  genauere  Untersuchun- 
gen, welche  Verfasser  später  zu  veröffentlichen  gedenkt,  sich  als  falsch  er- 
wiesen ,  wenngleich  bei  der  Annahme  eines  verhältnissmässig  grossen  Cen- 
tralkörpers  die  Analjsis  einen  solchen  ergibt.  Die  Gleichung  der  Bewegung 
eines  unmerklich  abgeplatteten  Ringes  ist  sehr  nahe 

worin  «  =  2,718281 . . .  nnd  welche  als  die  genauere  für  (130)  zu  setzen  ist. 
Für  den  bekannten  Werth  V  =  0,00229971  liefert  sie  die  Wurzel  7^=33,23. 
Die  Gleichung  der  Bewegung  und  des  Gleichgewichts  eines  sehr  abgeplat- 
teten Ringes  mit  beträchtlicher  Oeffnung  müsste  aber  nahezu  sein : 

c*       .   ,  64r« 

V  =^  — ^.  log  nai  — -z- 

Allein  da  nach  (121)  Seite  67  für  sehr  abgeplattete  Ringe  näherungS" 

2    /  2      \  2 

weise  r  =  —  (nicht-;?  )  d.  h.  V=:—p=  gefunden  wird,   so  würde 

man  erhalten 

2  c*    ,  64r» 
—  =  — -  log  nai,  — r- 

3  4/^    ^  (* 

Diese  Gleichung  liefert  aber  einen  Werth  für  das  Verhältniss  von  c  zu  r, 
der  wenig  von  der  Einheit  abweicht,  was  gegen  die  Annahme  ist,  dass  die 
Oeffnung  beträchtlich  sein  soll.  Deshalb  gibt  es  ni  cht  einen  sehr  abgeplat- 
teten Ring  ohne  Centralkörper  als  Glcichgewichtsfigur.  Die  Gleichung  ge- 
winnt aber  doch  wieder  ihre  praktische  Bedeutung,  wenn  man  sie  auf  die 
Satumringe  anwendet     Setzt  man,  was  nahezu  richtig  ist,  für  den  Saturn- 

ring  als  Ganzes  betrachtet  -  =  -,  ^l  +  A*  :r-  200,  so  ist  in  Verbindung  mit 
Gleichung  (120) 

y=  —-V  +  0,00052 

und  wenn  femer,  was  wol  wenig  von  der  Wahrheit  abweicht,  2  7?  =  r  und 
3  p'  =  p  angenommen  wird 

F=  0,02778  +  0,0005^. 


Kleinere  Mittheilungen.  69 

Da  also  die  Anuehung  des  Ringes  auf  sich  ungefähr  0,01  der  Umdre- 
Inmgsgeschwindigkeii  ausmacht,  so  mtisste  die  Umlaufsseit  dadurch  um 
mindestens  6  Minuten  verringert  werden ,  eine  Grösse ,  die  sich  leider 
der  Beobachtung  so  lange  entziehen  wird,  als  überhaupt  die  Revolu- 
tionsdaaer  der  Ringe  noch  nicht  mit  Sicherheit  beobachtet  ist.  Hier  ist  na- 
tfirlich  nur  von  einer  mittleren  Umlaufszeit  aller  fünf  Ringe  die  Rede,  die 
gewiss  ftir  alle  verschieden  ist,  da  sie  sieh  wol  ziemlich  nahe  nach  den 
Kepplerschen  Oesetzen  umdrehen. 

Nachdem  jene  Frage  beantwortet  war,  lag  die  folgende  sehr  nahe:  ob 
es  nicht  auch  eine  ursprüngliche  Kraft  oder  Momentensumme  der  Bewegungs- 
qnantit&t  gäbe ,  durch  welche  eine  homogene  frei  schwebende  Flüssigkeits- 
mssse in  zwei  oder  mehr  verschiedene  Zustände  des  Oleichgewichts  von 
«iner  und  derselben  Rotationsgeschwindigkeit  übergeführt 
werden  könne.  Die  weiteren  Untersuchungen  des  Verf.  haben  zu  folgenden 
s^r  merkwürdigen  Resultaten  geführt.  Die  Coezistenz  der  Gleichungen 
(58)  und  (71)  erfordern  die  beiden  Relationenen 

F=  0,011,     £  =  0,m. 
Zu  diesen  Werthen  von  V  und  E  gehören  die  Axenverhältnisse 
a  :  6  s=  1  :  140  (Rotationsellipsoid) 
a:  b  :  c=  i  :  1,0114  :  20,6   (Jacobi'sches  £11.). 
Der  Ring  ohne  Centralkörper  vormehrt  diesen  Fall  um  einen  zweiten.    Die 
Coexistenz  der  Gleichungen  (a8)  und  (132)  liefert  die  Wurzeln 

F=^  0,0038,     J^  =  0,252 
die  zugehörigen  Axenverhältnisse  sind: 

a  :  r  =  1  :  25,1  (freier  Ring) 
a  :  r  :  c  =  1  :  1,0019  :  38,7  (Jacobi'sches  EH.). 
Die  Gleichungen  (71)  und  (132)  ergaben  nach  einer  genauen  Rechnung 
keine  Werthe  für  V  und  J?,  wiewol  innerhalb  der  Gränzen  V  =  0,02  und 
0,12  die  zugehörigen  Werthe  von  E  nur  um  hundertstel  Theile  von  einander 
abweichen.  Um  die  Vorstellung  des  gegenseitigen  Verhältnisses  von  V  und 
£  in  den  Gleichungen  (58),  (71)  und  (132)  bisher  zu  fixiren,  kann  man  V 
nnd  E  als  Coordinaten ,  jene  Gleichungen  als  die  dreier  ebenen  Curven  be- 
trachten, von  denen  Fig.  11,  Taf.  11  ein  Bild  gibt.  Für  Werthe  der  Ordina- 
len ^  >  0,252  laufen  die  drei  Curven  neben  einander  her ,  ohne  sich  noch- 
mals zu  kreuzen.  Schliesslich  mag  noch  bemerkt  werden,  dass  fUr 
gleiche  E 

and  für  gleiche  V 


LimiVß:  Vr:  Vi)  =0:1 


5* 


Lim  {Eß  :  Er:  Ei)  =^0:1 


{(Sn)l 

wo  die  Indices  /},/*,>,  resp.  dem  Rotationsellipsoide,  dem  Ringe  und  dem 
Jaeobi*8cfaen  EUjpoide  angehören. 


70  Kleinere  Mittheilangen. 


Die  Druckfehler,  die  flehen  am  SchInBse  des  Dmckea  bemerkt  wurden, 
sind  auf  dem  umschlage  der  Abhandlung  berichtigt  worden.  Hier  hat  Verf. 
noch  folgende  Verbesserungen  ansuzeigen  für  nothwendig  erachtet 

S.  34 ,  Z.  4  V.  u. ,  in  Formel  (41)  lies  3  +  A«  st  3  +  i.  Im  Folgenden 
muss  es  weiter  heissen:  „Differenzirt  man  diese  Function  von  F  +  ^  ^^^ 
setzt  den  Differentialquotienten  gleich  Null,  so  erhftlt  man 

Diese  Gleichung  bestimmt  die  Oränze  von  F,  ausserhalb  derer  das  Gleich- 
gewicht mit  einer  elliptischen  Figur  unvereinbar  ist.  Nach  der  sehr  ge- 
nauen Berechnung  von  Eamus  erfordert  die  Coexistenz  der  Gleichungen 
(410  und  (42)  die  Werthe''  u.  s.  w. 

Auf  S.  40  betragen  die  Trägheitsmomente  von  3)  4)  5)  das  Doppelte; 
dasselbe  ist  8.  43,  44,  45  überall  zu  berichtigen. 

8.  40  ergänze  in  den  Gleichungen  (62),  (63),  (64)  rechts  den  Faktor  dt 

8.  55 ,  Z.  7  V.  o.  u.  fg.,  sowie  in  Bezug  auf  8.  56 ,  Z.  3  v.  u.  gilt  das- 
jenige,  was  schon  oben  über  die  Nichtexistenz  eines  sehr  abgeplatteten 
freien  Einges  mit  grosser  Oeffnung  gesagt  ist  Es  genügen  nicht  zwei  Fi- 
guren des  Querschnitts,  sondern  nur  eine  dem  Gleichgewichte. 

8.  60,  Formel  (109)  muss  lauten : 


r        ^2— 3F 

8. 64  ergänze  in  der  zweiten  Zeile  der  Formel  (114)  innerhalb  der  Klam- 
mem vor  F  beidemal  den  Coeffizienten  y  —  1-  Zur  Erläuterung  muss  hier 
die  Bemerkung  hinzugefügt  werden,  dass  wenn  F{x  +  yi^r  +  «t,  /)  eine 
Funktion  beliebig  vieler  reeller  und  complexer  Grössen  darstellt,  die  Summe 
^{^  +  yj,  r  +  8i,  i)  +  F{x-'  yi,  r  —  5i,  i)  stets  reell  und  die  Differenz 
derselben  Ausdrücke  stets  imaginär  sein  muss.  Die  Gleichung  (114)  schliesst 
die  allgemeinste  Methode  in  sich,  eine  Function  complexer  Grössen  in  ihre 
Bestandtheile  zu  zerlegen. 

Erstes  Beispiel:  Gegeben  sei  die  Funktion  / {x  +  yi).  Der  reelle 
Theil  ist  V2  ^  (a?  +  yO  +  V2  '  G^  —  y 0  =  V2  '  (^  +  y*)  5  «^«'  imaginäre 
aber 

=1/  —  1  arc  Um  Vfx' 


Zweites  Beispiel:  Die  Funktion  {x  -fyO'"  in  die  Form  P+  Q  j/^^ 
umzuwandeln.     Der  reelle  Theil  ist  j<{x  +  yi)    +  {x  +  yt)       ^. 


Kleinere  Mittheilungen.  7 1 

Nun  ist  {x  +  yi)      =e 
folglich  mit  Anwendung  des  Resultats  der  vorigen  Aufgabe  der  reelle  Theil 
der  Funktion 

2  «  \^  +  e  j 

l       —  V  arc  tan  »/» 


:-e  cosf^l{x*  +  fj*)\ 

der  imaginäre  Theil  ist 

Man  sieht  leicht  ein ,  dass  nicht  allein  die  Summe  irgend  welcher  zweier 
coojugirter  Funktionen  complexer  Variabeln,  sondern  üuch  ihr  Produkt 
einen  reellen  Werth  hat. 

8.  66,  Z.  16  y.  0.  in  der  ersten  Klammer  der  Gleichung  (10  lies  r*  st.r,. 

8.  67,  Z.  17  V.  u.  lies  —  St.  y^p. 
S.  70,  Formel  (128)  muss  also  lauten: 

r=   +.-./;^{._l±tl.-^..| 

nnd  mit  Yernacblässigung  der  sehr  kleinen  Grösssen  von  der  Ordnung  -^ 

a*  64  r* 

V  =  — ;  log  nai  -i — ^ 

Berechnet  man  den  zu  F  c=  0,00229971  gehörigen  Wurzelwei*th  der 
Gleichung,  so  erhält  man  statt  31,45  den  genaueren  33,23. 

S.  71,  Z.  6  V.  0.  lies  0,13805  st  0,16643.  Die  obige  genaue  Formel  gibt 
den  Werth  0,12732. 

8.  71,  Z.  1  V.  n..    Das  Trägheitsmoment  eines  Ringes  mit  elliptischem 

Querschnitte  st.  nicht  das  hier  gegebene ,  sondern  Mi*  +  M  — (vergl.  Zeit- 
ichrift  pag.  201) ;  hiemach  verwandelt  sich  auch  (132  in 
Edi  =  :?^(4r»  +  Sc*)<// 

o 

Mit  Bezug  auf  Z.  21  u.  3  v.  n.  gilt  dasselbe,  was  schon  oben  über  die 
falsche  Annahme  zweier  Ringe  statt  eines  einzigen  gesagt  ist. 

8.  73,  Z.  12  V.  o.  muss  es  heissen:  6==c=:  1,00433441. 

8.  73,  Z.  13  V.  0.  6=1,0023,  e  =  52,379.  Diese  Abänderung  ist  die 
Verbesserung  eines  Rechenfehlers,  welcher  aus  der  öfters  vom  Verf.  citirten 
Abhandlang  von  Meyer  im  Joum.  von  Grelle  XXIV  (1842)  leider  schon  in 
die  Behriffc  betitelt:   Ueber  die  Oleicbgewichtsfiguren  (K\e\  V^V)  ^«.^.  ^O^  ^ 


72  Kleinere  lüttheilangen. 

ükergegaDgen  ist.  Es  betrifft  diese  Bemerknng  die  von  Meyer  berechne- 
ten Axen Verhältnisse  des  Jacobischen  Ellipsoids  mit  Rücksicht  anf  den 
Werth  rc=3  0,00220071  des  Erdsphäroides.   Meyer  will  gefunden  haben. 

a:b:c  —  ii  1,018:10,57 
wogegen  die  richtige  Proportion  lautet : 

aib:e  =  l:  1,0023  :  52,270 
nnd  jenes  Axenvefhältniss  gar  nicht  möglich  ist ,  wol  aber 
a  :  6  :  c  =  1 : 1,012  :  10,57  ftir  F  =  0,0115 
a:b:c=l:  1,018  :  15,6    fttr  F=  0,0163 
Die  Integration  der  Bewegungsgleichnngen  (40)  ergibt  nämlich  ftir  klei- 
nere Werthe  der  Rotationsgeschwindigkeit  nahezu 

y  _2lognat2X^—^ 
2  -  V 


sodass  1  +  ^  e>i^  Nähernngsworth  von  j/l  +  k^   ist   und   ftir    beträchtlich 
grosse  Werthe  von  A,  die  Gleichung  des  Gleichgewichts  übergeht  in 


V 


2r 

in  wunderbarer  Uebereinstimmung  mit  (130),  wenn  man  —  statt  A|  setst. 

In  der  That  nähern  sich  beide  Figuren ,  das  ungleichaxige  EUipsoid  und 
der  Ring  immer  mehr  dem  Zustande  eines  unendlichen  Cylinders  mit  kreis- 
förmiger Basis.  Bedeutet,  um  dieso  Ideen  zu  fixiren ,  M  die  Masse ,  a  die 
halbe  kleinste  Axe,  so  resultiren  für  die  genannten  Gleicbgewichtskörper 
die  Relationen 

,,        «•je*  .  4ilf«      „        a^n'  ,  16  üf« 

V  =  -rrr  log  nai  -51-3;    V  =  ^r=-  log  nal  — r---j. 

Femer  ist  für  gleiche  Jlf  und  a,  das  Verhältniss  von  c  zur  gleich  2n  und 

Lim  (  -^ j  =  »*,  oder Z»ii  -i  ==  jr. 

Die  angeführten  Formeln  gewähren  zur  Berechnung  der  vorliegenden 
Fälle  hinreichende  Genauigkeit;  die  genaueren  Integrale  von  (40)  geben 
wenig  abweichende  Resultate. 

8.  73  ist  unter  der  Z.  20  einzuschalten :  c  =  1,0092,  r =00 . 

8.  74  in  der  zweiten  Reihe  der  „secundären  Körper**  unter  dem  Artikel : 
Hohlkugel,  ftir  F>  0  zu  lesen  „von  endlichen**  statt  „von  unendlichen**. 

Jever,  Dr.  Matthiessen« 


yi  Zur  meohanischen  Wärmelehre.  (Berechnung  derjenigen 
mechanischen  Arbeit,  welche  zur  Zerlegung  einer  chemi- 
schen Verbindung  erforderlich  ist.) 

1)  Es  seien  Ä  und  B  die  Atome  zweier  Grundstofife.  Das  Gewicht  von 
A  sei  gleich  pi,  das  von  B  gleich  p^i  während  mi  und  m,  die  entsprechenden 


Kleinere  Mittheilungen.  73 

KtiMii  sein  mögen.  Der  W&rmesostand  sei  der  Art,  dass  A  mit  einer  Ge- 
adiwmdigkeit  =  v^  und  B  mit  einer  solchen  =  v^  schwingt.  Soll  nun  die 
Sehwingongsgeschwindigkeit  von  A  anf  r„  die  von  B  anf  v^  gebracht  wer- 
den, so  muss  hiedurch  die  lebendige  Kraft  von  A  anf  m^  r,*  —  m^  V|\  die 
fon  B  nm  m,  9/  —  ^v^  wachsen.  Die  mechanischen  Arbeiten,  die  su 
diesem  Behnfe  verrichtet  werden  müssen,  seien  beziehungsweise  Pi  und 
P,:  dann  ist  nach  dem  Gesetze  der  lebendigen  Krftfte 

Pi  =  Pv 
wenn  fli|P,'  —  ^tV*  =  11494*  —  ^tt;,*  vorausgesetzt  wird. 

Da  nun  die  lebendige  Kraft  des  schwingenden  Atoms  ein  Maass  für  die 
Temperatur  ist  und  die  mechanische  Arbeit,  die  zur  Hervorrufung  einer  be- 
ftimmten  lebendigen  Kraft  erforderlich,  nach  den  Anschauungen  der  ündu- 
ktions-Theorie  „Wärmemenge^'  heisst:  so  haben  wir  den  Satz: 

um  je  ein  Atom    der  verschiedensten  Grundstoffe  in 
der  Temperatur  um    gleichviel  zu  erhöhen,   ist  eine  und 
dieselbe  Wärmemenge  erforderlich. 
Diese  ganze  Entwickelung  beruht  offenbar  auf  der  Voraussetzung,  dass 
bei  Ghrundstoffen  das  einzelne  Atom  das  Schwingende  sei. 

2)  Bezeichnet  to  die  Wärmemenge,  die  nöthig  ist,  um  ^  in  der  Tempe- 
ratur um  einen  Grad  zu  erhöhen,  so  ist  dieses  to  auch  zugleich  die  Quanti- 
tät von  Wärme,  die  bei  B  ftir  den  nämlichen  Zweck  ausreicht.   Ist  pi  =  dem 

—  Theil  der  Gewichtseinheit,  /»i  =  —  derselben,  und  bezeichnen  wir  die 

fpezifischen  Wärmen  derjenigen  Stoffe,  die  beziehungsweise  aus  Atomen 
von  der  Beschaffenheit  von  A  und  B  zusammengesetzt  sind,  durch  ^1  und  #«, 
10  haben  wir: 

f  1  ==  10 .  Ol  und  f ,  =  te? .  a„ 


*i  :  *f  =  «1  :  öf  (1) 

Es  ist  aber  auch : 

Ol  ./?,  =  1  und  a,  ./?,  =  1, 
mithin 

Pt'Pt  =  ^t'Ot  (2) 

Aus  (i)  und  (2)  ergibt  sich  aber : 

9i''h=Pt' Pi  oder:  #, p,  =  «.Pt-     I>-  h- 
Die    Atomgewichte    der    Grundstoffe    verhalten    sich 
aragekehrt  wie   die    spezifischen   Wärmen   derselben;  oder 
Das  Produkt  aus  spezifischer  Wärme  und  Atomgewicht 
hat  für  alle  Grundstoffe  den  nämlichen  Werth. 

8)  Das  Eesultat  obiger  Entwickelung  wird  durch  die  Erfahrung  bestä« 
tigt,  indem  man  bekanntlich  nahezu  40  erhält,  so  oft  man  die  chemische 
Aeqoivalentzahl  eines  Ghrundstoffes  .mit  der  spezifischen  Wärme  des  näm- 
Hehen  Ghnndstoffes  multiplizirt  Auf  empirischen  Wege  ist  bekanntlich  auch 
di^getbaii  worden,  dsua  öm  Gesetz:  y,die  spezifischen  N7tosL%a  "««i^iiiSuisa 


74  EJeinere  Mittheilungen. 


sich  umgekehrt  wie  die  chemiBchen  Aeqnivalentzahlen^'  auch  fttr  alle  ehe- 
mische Verhindungen  von  ühereinstimmender  chemischer  Constitution  ^It 
Die  Zahl,  welche  heraus  kommt,  wenn  man  hei  chemischen  Verbin- 
dungen die  spezifische  Wärme  mit  der  Aeqnivalentxahl  multipliiirt,  ist 
jedoch  durchgehends  grösser  als  40.  (Dieses  Produkt  ist  s.  B.  bei  Me- 
talloxyden, bei  denen  auf  1  Aequivalent  Metall  1  Aequivalent  Sauersto£F 
kommt,  nahezu  79  u.  s.  w.)   So  ist  z.  B. 

Aequivalentzahl  des  Sauerstoffs  mal  spez.  Wärme  des  Sauerstoffs  =  40; 
dagegen 

Aequivalentzahl  des  Zinkoxyds  mal  spez.  Wärme  desselben  =  70. 

Hieraus  ergibt  sich,  dass  einer  chemischen  Verbindung 
eine  grössere  spezifische  Wärme  zukommt,  als  einem  Orund- 
Stoff  zukommen  würde,  dessen  Atome  einzeln  eben  so 
schwer  wären  wie  diejenigen  der  chemischen  Verbindung. 

Worin  hat  dies  seinen  Grund? 

Der  Umstand ,  dass  ein  Zinkoxydatom  schwerer  ist  als  ein  Zinkatom, 
kann  die  verschiedene  Grösse  des  Wärmebedarfs  nicht  herbeiführen.  Denn 
auch  ein  Quecksilberatom  ist  ja  z.  B.  bedeutend  schwerer  als  ein  Zinkatom, 
und  doch  ist  die  Wärmemenge,  die  zur  Erhöhung  der  Temperatur  eines 
Atoms  um  einen  Grad  erforderlich  ist,  für  Zink  genau  dieselbe  wie  fllr 
Quecksilber.  Wäre  jedes  Zinkoxydatom  eine  starre  Verbindung  aus  1  Atom 
Zink  und  1  Atom  Sauerstoff,  schwänge  dieses  Zinkoxyd  als  starres  Ganze 
und  hätte  es  bei  diesem  Schwingen  des  Gesammtatoms  sein  Bewenden ,  so 
müsste  die  gleiche  Wärmemenge  ausreichen ,  um  1  Atom  Zinkoxyd  in  der 
Temperatur  um  1  Grad  zu  erhöhen,  wie  um  1  Atom  irgend  eines  Grundstof- 
fes um  1  Grad  zu  erhöhen. 

Da  dem  nun  aber  der  Erfahrung  gemäss  nicht  so  ist,  sondern  ein 
Zinkoxydatom  mehr  Wärme  braucht  als  ein  Zinkatom,  um  in  der  Tempera- 
tur  am  gleichviel  erhöht  zu  werden,  so  folgt  daraus,  dass  die  einfachen 
Atome  innerhalb  des  Gesammtatoms  gleichfalls  Schwingungen  ausführen, 
dass  mithin  jede  Zufuhr  an  Wärme  nur  theilweise  zur  Erhöhung  der 
Schwingungsonergie  des  Gesammtatoms  verwendet  wird,  während  der  an- 
dere Theil  dazu  dient,  die  Schwingungsgeschwindigkeit  (die  Eigenbewe- 
gung) der  einfachen  Atome  zu  steigern.  Bei  fortgesetzter  Wärmezufuhr 
werden  letztere  (die  Schwingungen  der  einfachen  Atome)  zuletzt  dermassen 
überwuchern,  dass  von  einer  Zusammengehörigkeit  der  einfachen  Atome 
keine  Rede  mehr  sein  kann,  das  dynamische  Band  mithin,  welches  die  ver- 
schiedenen Grundstoffatome  zusammenhielt,  als  zerrissen  betrachtet  werden 
muss.  Dann  ist  es  der  Wärme  gelungen,  die  chemische  Ver- 
bindung in  ihre  Bestandthcile   zu  zerlegen. 

4)  Es  sei  A!"  die  chemische  Aequivalentzahl  einer  unmittelbaren  chemi- 
schen Verbindung  aus  den  Bestandtheilen  A  und  B,  Um  ArGewichtsein- 
heheB  ^i^^er  Verbindung  auf  die  (vom  absoluten  Nullpunkt  an  gezählte)  Tem- 


Kleinero  Mittheilungen.  75 


peittorfsa  erheben,  mnsa  ihr  eine  gewisse  Wärmemenge  ^beigebracht 
Yflrden.  Diese  Wärmemenge  besteht  aber  ans  zwei  Bestandtheilen ,  von 
dioen  der  eine  (t9j)  die  Schwingungsgeschwindigkeit  des  Oesammtatoms, 
in  andere  (tc^t)  diejenige  der  einfachen  Atome  unterhält  und  steigert.  Es 
■k  somit  w,  =  fF —  to,. 

Bemeichnen  wir  die  spezifische  Wärme  der  chemischen  Verbindung 
brch  f ,  so  ist 

8  .k  =  c^ 
wobei  €  ein  von  der  chemischen  Constitution  abhängiger  Coefficient  ist*), 

•lso5  =  -,  folglich   fF  =  ^  .  k  .t=ic  .i^ 

Ferner  ist  u^i  =  40  .  t;  denn  wäre  das  Gesammtatom  ein  starres  Ganze, 
M  das«  nur  seine  Schwingungen,  nicht  aber  die  der  einfachen  Atome  in 
Betracht  kämen,  so  müsste  ja  ^  •  A:  =  40  sein.   Wir  haben  somit: 

w^^t.{c  —  40). 

Geben  wir  nun  dem  i  die  spezielle  Bedeutung  der  Zersetzungstempera- 
tar,  d.  h.  derjenigen  Temperatur,  bei  welcher  in  Folge  der  alleinigen 
Einwirkung  der  Wärme  die  chemische  Verbindung  sich  in  ihre  Bestand- 
theile  auflöst,  so  bedeutet  te>,  diejenige  Wärmemenge,  die  lediglich  auf  die 
Schwingungen  der  einfachen  Atome  verwendet  werden  muss,  um  eine  Tren- 
anng  herbeizuführen.  Und  multipliziren  wir  dann  diese  Wärmemenge  wi 
mit  dem  mechanischen  Aequivalent  der  Wärme  (das  durch  q  bezeichnet  sein 
mag),  so  haben  wir  offenbar  diejenige  mechanische  Arbeit,  die  rein  zum 
Zwecke  der  Zerlegung  verrichtet  werden  muss,  wenn  eine  der  chemischen 
Aeqnivalentzahl  k  gleiche  Anzahl  von  Gewichtseinheiten  der  Verbindung 
Torliegt.  Diese  mechanische  Arbeit,  die  jedenfalls  ein  genaues  Maass  für 
die  Festigkeit  der  .chemischen  Verbindung  ist,  lässt  sich  somit  durch  den 

Ausdruck: 

{c  —  AO).i.q 
darstellen. 

5)  Es  sei  C  eine  chemische  Verbindung  aus  m  Aequivalenten  des  Grund- 
stoffes i4  und  n  Aequivalenten  des  Grundstoffes  B.  Ist  C  verbrennlich 
und  besteht  das  Verbrennuugsprodukt  von  C  aus  dem  Verbrennungsprodukt 
von  A  und  demjenigen  von  B^  so  lassen  sich  im  Verbindungsprozess  von  C 
offenbar  folgende  Vorgänge  unterscheiden : 

a)  Zerlegung  von  C  in  m  Aequiv.  von  A  und  n  Aequiv.  von  B\ 

h)  Verbrennung  der  m  Aequiv.  von  A\ 

e)  Verbrennung  der  n  Aequiv.  von  B, 


*)  Dieser  Coefficient  ist  für  Ycrbindnn^on ,  bei  denen  aaf  1  Aequivalent  des 
■etallischen  Grundstoffes  1  Aequivalent  Sauerstoff  kommt  =  70;  bei  Oxyden, 
bei  denen  auf  2  Aequiv.  des  metallischen  Grundstoffs  3  Aequiv.  Sauerstoff  ^«h^ix 
sa  160  n.  0.  w. 


76  Kleinere  Mittheilungen. 

Bestimmt  man  nnn  die  Wärmemengen  m|  und  fitf,  die  beziehongsweise 
beim  Verbrennen  von  m  Aequiv.  von  A  und  n  Aequiv.  von  B  sich  ent- 
wickeln, and  vergleicht  die  Summe  mi  +  m^  mit  deijenigen  Wärmemenge  m^ 
welche  durch  das  Verbrennen  von  C  entsteht,  so  wird  man  finden,  dass  «4 
kleiner  ist  als  m|  -|1  m,^).  Diese  Thatsache  berechtigt  uns  aber  offenbar 
zu  dem  Schlüsse,  dass  nti  'j'  m^  —  m,  diejenige  Quantität  an  Wärme  sein 
müsse,  welche  zur  Trennung  der  Verbindung  von  C  in  m  Aequiv.  von  A  und 
fi  Aequiv.  von  B  in  Anspruch  genommen  werden  musste. 

Nun  können  wir  für  die  Verbindung  C  die  zu  ihrer  Trennung  erforder- 
liche mechanische  Arbeit  zweimal  ausdrücken  und  gelangen  so  zu  der 
Gleichung : 

(c  —  40)  .  / .  ^  =  (mi  +  m,  —  nij)  .  q, 
woraus  folgt: 

/  -,  ^'  +  m,  —  m, 
~         c  —  40 

Auf  diese  Weise  lässt  sich  für  C  die  Temperatur  berechnen,  bei  wel- 
cher Trennung  in  A  von  B  hätte  erfolgen  müssen,  wenn  die  Affinität  aus 
dem  Spiele  geblieben  und  die  Wärme  die  allein  wirkende  Kraft  gewe- 
sen wäre. 

Bekanntlich  sind  z.  B.  Kohlenwasserstoff,  Schwefelwasserstoff  ete. 
chemische  Verbindungen,  welche  die  an  C  gestellten  Bedingungen  erföllen. 

Prof.  Fbdsdb.  Mann. 

Vn  üeber  die  Anwendung  der  Afinitätsaxen  zur  graphisohen  Be- 
stimmung der  Ebene. 

Wenn  man  eine  Ebene  graphisch  bestimmt  nennt,  sobald  man  im  Stande 
ist,  jeden  Punkt  derselben  zu  projiciren,  so  ist  allgemein  eine  Ebene  be- 
stimmt, durch  zwei  sich  schneidende  (spcciell  parallele)  gerade  Linien  auf 
ihr,  deren  Projectionen  man  kennt.  Wenn  irgend  ein  Punkt  der  Ebene 
darnach  im  Gnindriss  willkürlich  angenommen  wird ,  so  bestimmt  sich  sein 
Aufriss  ganz  oiDfach  mittels  einer  Transversale,  die  man  so  durch  ihn  hin- 
durch legt,  dass  sie  die  gegebenen  geraden  Bestimmungslinien  entweder 
beide  schneidet ,  oder  zu  der  einen  von  beiden  parallel  läuft ;  in  der  ersten 
Art  ist  aus  dem  Grundriss  von  a  in  der  Figur  1,  Tafel  II,  der  Aufriss  und 
in  der  zweiten  Art  aus  dem  Aufriss  von  b  der  Grundriss  gefunden  worden. 
{G  und  X  sind  die  beiden  bestimmenden  geraden  Linien.) 

Wenn  man  die  zulässigen ,  spociellen  Fälle  dieser  Bestimmuugsweise 
aufsucht,  d.  h.  die  beiden  bestimmenden  geraden  Linien  alle  möglichen 
Lagen  annehmen  lässt,  die  nicht  über  die  Lage  der  zu  bestimmenden  Ebene 
selbst  eine  besondere  Voraussetzung  machen ,  so  erhält  man  als  einen  ein- 
fachsten Fall  dieser  Bestimmung  die  Bestimmung  der  Ebene  durch  zwei 
Spuren,  als  durch  zwei  gerade  Linien,  von  deren  jeder  zwei  Projectionen  in 
Projectionsaxen  fallen;  die  Bestimmung  der  Pi;nkte  a"  aus  a  und  6"  aus  b' 
nach  den  beiden  vorher  gedachten  Arten  zeigt  dann  die  folgende  Figur 
(Tafel  n,  Fig.  2). 


*)  Siebe  die  Arbeiten  von  Favre  und  Silb ermann. 


Kleinere  Mittheilungen.  77 

Allein  man  hat  in  Folge  der  principiellen  Benutzung  von  nur  zwei 
IVojeciionsebenen  nicht  vermocht  zu  erkennen,  dass  noch  ein  anderer  gleich 
dafaeher  Fall  sich  aus  dieser  allgemeinen  Bestimmungsweise  ergibt ,  der- 
jenige nämlich,  bei  welchem  die  bestimmenden  geraden  Linien  G  und  L  so 
gewählt  sind,  dass  von  jeder  zwei  Projectionen  sich  decken;  diess  aber  lie- 
tni  die  Bestimmung  durch  Affinitätsaxen,  die  der  Gegenstand  dieser  Mit- 
tkeilongen  sein  soll. 

Auf  jeder  Ebene  gibt  es  zuerst  eine  gerade  Linie,  deren  Grundriss  und 
Aufriss  sich  decken ,  sie  ist  die  Aze  der  Affinität  zwischen  Grund-  und  Auf- 
riss  beliebiger  Systeme  auf  der  Ebene,  oder  sie  ist  auch  die  Durchschnitts- 
finie  dieser  Ebene  mit  der  unter  45<^  gegen  die  Grundrissebene  geneigten 
und  durch  die  erste  Projectionsaze  x  von  vorn  unten  nach  hinten  oben  ge- 
henden Ebene;  auf  jeder  Ebene  gibt  es  ferner  eine  gerade  Linie ,  deren 
Auf-  und  Seitenriss  sich  decken,  sie  ist  die  Axe  der  Affinität  zwischen  Auf- 
ond  Seitenriss  beliebiger  Systeme  auf  der  Ebene  und  die  Durchschnittslinie 
derselben  mit  einer  unter  45^  gegen  die  Aufrissebene  geneigten  und  durch 
die  drei  Projectionsaxen  von  vom  rechts  nach  hinten  links  gehenden  Ebene. 
Man  erkennt  daraus,  dass  der  Seitenriss  jener  ersten  und  der  Grundriss  die- 
ser zweiten  geraden  Linie  in  der  von  rechts  unten  nach  links  oben  gehenden 
Halbirungslinie  des  Axenwinkels  zusammenfallen. 

Man  erkennt  ferner  leicht,  dass  diese  beiden  geraden  Linien  sich  in 
der  Durchschnittslinie  jener  beiden  Winkelhalbirungsebenen  schneiden 
mfissen,  sofern  sie  der  nämlichen  Ebene  angehören  sollen,  und  diese  Durch- 
schnittslinie ist  die  einzige  gerade  Linie,  deren  drei  Projectionen  zusam- 
menfallen eben  in  die  bezeichnete  Halbirungslinie  des  Axenwinkels.  Daher 
lind  in  der  folgenden  Figur  A  und  %  (Taf.  II,  Fig.  3)  die  beiden  besproche- 
nen Affinitätsaxen  einer  Ebene  und  dieselben  sind,  wie  leicht  zu  sehen  ist 
tu  ihrer  Bestimmung  vollkommen  ausreichend  und  bequem.  Zu  einem 
Punkte  a,  hat  man  durch  eine  A  und  ^l  schneidende  Transversale  aß  die 
Pnnkte  a„  und  a,„  bestimmt;  a,ß,  ist  die  Transversale  im  Grundriss  will- 
kflhrlich  durch  a,  gelegt;  cc„ß„  ist  ihr  Aufriss,  a,„  ß,,,  ihr  Seitenriss  und 
darin  respective  a,,  und  a,,,.  Zu  b''  ist  ferner  durch  eine  zu  A  parallele 
Transversale  b'  und  ft'^'  bestimmt  worden;  i»"/'  ist  ihr  Aufriss,  b'y  ihr  Grund- 
riaa nnd^  6'"/"  ihr  Seitenriss,  darin  respective  b'  und  6'";  natürlich  ist 
iTy'^  II  *'/  II  ^/ i^ff)  ^^^  b'"y"  II  Ä"* .  Offenbar  ist  die  Construction  weder 
zusammengesetzter  noch  beschwerlicher  als  die  vermittelst  der  Spuren. 

Wenn  hier  nur  die  Bestimmung  von  Punkten  näher  beleuchtet  ist,  so 
ist  in  dem  Entwickelten  schon  die  Bestimmung  von  Linien  enthalten;  auch 
braucht  von  der  Bestimmung  ebener  Punkte  und  Liniensysteme  nicht  wei- 
ter gesprochen  zu  werden,  da  bei  dieser  keine  neuen  Schwierigkeiten  sich 
seigen ,  wohl  aber  als  willkommner  Vortheil  die  Eigenschaft  der  Affinitäts- 
aze  als  Durchschnittsort  homologer  gerader  Linien  zweier  Projectionen 
eines  solchen  Systems  erscheint.  Es  gentigt  deshalb  das  bisher  Gezeigte, 
die  Anwendbarkeit  der  Affinitätsaxen  zur  Bestimmung  der  Ebene  zu 
seigen. 

Nur  noch  an  zwei  Aufgaben  soll  diese  ihre  der  den  Spuren  analoge 
Bedeutung  dargelegt  werden;  mit  ihrer  Uilfe  soll  die  Durchschnittslinie 
zweier  Ebenen  und  der  Durchschnittspunkt  einer  Ebene  mit  einer  geraden 
Linie  bestimmt  werden: 

I.  Bestimmung  der  Dnrdischnittsllnie  zweier  Ebenen.  BvndL  A  \ktkdL%.^  B 
midSB  dieAfünitätsaxenpaarci  zweier  Ebenen ,  so  stellt  die  £o\geTianiY\^T  ^v^- 


Kleinere  Mittheilungen. 


Bestimmang  ihrer  Dnrchschnittslinie  dar.  Affinitätsaxen  A  und  B  schneiden 
sich  in  einem  Punkte  a,  die  Affilnitätsaxen  %  und  93  in  einem  Punkte  b  und 
die  Verbindungslinie  beider  a 6  ist  die  Durchschnittslinie  der  Ebenen,  die 
Figur  liefert  sie  in  allen  drei  Projectionen.  An  Einfachheit  steht  auch  diese 
Construktion  derjenigen  mit  Hilfe  der  Spuren  durchaus  nicht  nach. 

II.  Bestimmung  des  Durchschnittspunktes  einer  geraden  Linie  mit 
einer  Ebene ;  der  Grundgedanke  der  Auflösung  bleibt  derselbe,  wie  gewöhn- 
lich :  durch  die  gerade  Linie  wird  eine  Ebene  gelegt ,  ihre  Durchschnitts- 
linie mit  der  gegebenen  bestimmt  und  der  Punkt  angemerkt,  wo  diese  die 
gegebene  gerade  Linie  schneidet ,  er  ist  der  gesuchte« 

Wenn  bei  Benutzung  der  Spuren  die  besagte  Hilfsebene  nach  dem 
Satze  bestimmt  wird ,  dass  die  Spuren  einer  Ebene  stets  die  gleichbenannten 
Durchgangspunkte  einer  geraden  Linie  enthalten  müssen ,  durch  die  sie  ge- 
legt wird,  so  lässt  sich  hier  derselbe  Satz  von  den  AfEnitätsaxen  einer 
Ebene  aussprechen ,  sofern  man  nur  unter  Durchgangspunkten  der  geraden 
Linie  nicht  die  Schnittpunkte  derselben  mit  den  Projectionsebenen,  sondern 
mit  jenen  unter  45^  geneigten  Ebenen  der  Affinitätsaxen  versteht;  diese 
Durchgangspunkte  sind  aber  offenbar  der  dem  Aufriss  und  Grundriss  und 
der  dem  Aufriss  und  Seitenriss  der  geraden  Linie  gemeinschaftliche  Punkt, 
ihre  Bestimmung  ist  also  vollkommen  mühelos.  In  der  Figur  sind  es  die 
Punkte  d,  ^i,  da  L^L^^  L,,,  die  drei  Projectionen  der  geraden  Linie  sind. 
A^  ^  sind  die  Af&nitätsaxen  der  gegeben  Ebene,  2?,  ^  die  einer  durch  L 
gelegten  Hilfsebene ;  bei  ihrer  Wahl  ist  nur  dass  maassgebend,  dass  sie  die 
der  gegebenen  Ebene  möglichst  scharf  schneiden.  Dann  ist  ab  die  Durch* 
schnittslinie  beider  Ebenen  und  s  der  Punkt,  wo  sie  Xdurchschneidet  Man 
erhält  ihn  in  allen  drei  Projectionen  selbständig  und  hat  daher  scharfe  Proben. 

Die  Construktion  vereinfacht  sich  noch  mehr  durch  eine  besondere 
Wahl  der  Affinitätsaxen  2?,  S;  wenn  mau  sie  z.  B.  zusammenfallen  lässt, 
sodass  beide  durch  die  Verbindungslinie  des  6  mit  J  dargestellt  werden,  so 
hat  man  folgende  einfache  Construction.  Ay  %  sind  die  Axen  der  Ebene, 
LfLf^L,,,  die  Projectionen  der  Linie,  d,z^  ihre  Durchgangspunkte,  B^  35  da- 
her die  Axen  der  Hilfsebene,  die  sich  mit  L,,  decken;  ab  ist  die  Schnitt- 
linie beider  Ebenen  und  man  erhält  nun  s„  nicht  direkt,  jedoch  mit  voller 
Genauigkeit,  da  s,  und  s,„  direkt  bestimmt  werden  und  s,,  in  L„  fallen  muss. 
Die  Construction  ist  vollkommen  so  einfach  als  die  Benutzung  der  projici- 
renden  Ebene  der  geraden  Linie  in  der  gewöhnlichen  Weise.  Wenn  ich 
nun  nach  der  Behandlung  dieser  beiden  Aufgaben  noch  die  offenbar  wahren 
Sätze  hinzufüge:  parallelle  Ebenen  haben  parallele  Affinitätsaxen;  ist 
eme  gerade  Linie  einer  Ebene  parallel,  so  schneiden  sich  die  durch  ihre 
Durchgangspunkte  mit  den  45^  Ebenen  gezogenen  Parallelen  zu  den  Affi- 
nitätsaxen der  Ebene  in  der  Winkelhalbirungslinie  A,,,  93;,  denen  sich 
leicht  andere  beigesellen  Hessen,  so  sieht  man  wohl,  dass  auch  andere  Auf- 
gaben sich  mit  diesen  Axen  bequem  behandeln  lassen.  Dieselben  erweisen 
sich  als  neue  Bestimmungsstücke  von  vielem  Nutzen. 

Und  wenn  man  fragte,  wozu  eine  neue  Bestimmnugsweise,  da  die 
alte  allen  Anforderungen  entspricht,  so  ist  zu  antworten,  dass  die  Viel- 
heit der  Hilfsmittel  ihre  Brauchbarkeit  stets  erhöht  und  besonders  vom. 
Standpunkte  des  Lehrers,  dass  in  einer  Wissenschaft,  die  so  ganz  auf  die 
Durchbildung  der  geistigen  Anschauung  räumlicher  Verhältnisse  sich  stützen 
muss ,  wie  die  darstellende  Geometrie ,  kein  Mittel  überflüssig  ist ,  durch  das 
von  einer  neuen  Seite  her  dieselbe  befördert  wird.  Fiedler. 


Kleinere  Mittheilungen.  79 

YHL  Cihemifohe  Analyse  dnroh  Speetralbeobaehtnngen  von  G.  Kirch- 
HOFF  nnd  BuM8£N  (Pogg.  Ann.  Bd.  1X0.  101).  Diese  Methode  der  Unter- 
fidiang  gründet  sich  darauf,  dass  gewisse  Körper  in  eine  Flamme  gebracht, 
m  dam  Spectmm  derselben  helle  Linien  hervorbringen ,  durch  deren  Lage 
md  Färbung  die  in  die  Flamme  gebrachten  Körper  völlig  charakterisirt 
md.  Diese  Körper  sind  Kalium,  Natrium,  Lithium,  Strontium,  Calcium, 
Barinm,  so  wie  sehr  viele  Salze  derselben.  Die  Verfasser  des  genannten 
ii&atses  haben  nicht  nur  gezeigt,  dass  von  rein  dargestellten  Chlorverbin- 
dsBgen  obiger  Metalle ,  jede  für  sich ,  ein  charakteristisches  Spectrum  her- 
Yorhingt,  sondern  auch,  dass  dieses  Spectrum  innerhalb  sehr  weiter  Gren- 
len  unabhängig  von  der  Natur  der  Flamme  ist.  Sie  wandten  zu  letste- 
nm  Zwecke  folgende  Flammen  an ,  denen  die  von  den  Verfassern  berech- 
neten Temperaturen  beigesetzt  sind : 

eine  Schwefelflamme  ....  18200  C 
eine  Schwefelkohlenstbffflamme  .  2105^  C 
eine  Leuchlgasflamme  ....  23&0<'  C 
eine  Kohlenoxydgasflamme  .  .  3042^  C 
eine  Wasscrstoifflamme  in  der  Luft  32500  0 
eine  Knallgasflamme     ....    8001<^  C 

Die  Verbindungen  wurden  an  einem  Platindraht  in  die  Flamme  ge- 
bracht; dadurch  und  indem  man  den  elektrischen  Funken  eines  Kuh m - 
kor  fachen  Apparates  zwischen  dem  aus  den  Metallen  gebildeten  Elektro- 
den llberschlagen  liess,  fand  sich,  dass  folgende  Metalle  und  ihre  Verbin- 
dimgen  durch  die  Beschaffenheit  der  Flammenspectren  charakterisirt  sind : 
Natrium  durch  eine  einzige  helle  gelbe  Linie; 
Kalium  durch  zwei  Linien,  eine  im  äussersten  Roth,   die  andere  im 

Violett; 
Lithium  durch  eine  helle  Linie  im  Koth  und  ieine  sehr  schwache  im 

Orange ; 
Strontium  durch  die  Abwesenheit  der  grünen  Streifen,  durch  sechs  rothe 

und  eine  blaue  Linie; 
Calcium  durch  zwei  sehr  intensive  Linien,  die  eine  im  Grün,  die  andere 

im  Orange ; 
Barium  durch  sehr  charakteristische  Linien  itu  Grün. 

Diese  Beschaffenheit  der  Spectren ,  hinsichtlich  deren  Abbildung  wir 
auf  die  Originalabhandlung  verweisen  müssen,  ist  um  so  deutlicher  zu  er- 
kennen, je  höher  die  Temperatur  der  Flamme  und  je  geringer  ihre  eigene 
Leuchtkraft  ist.  Uebrigens  sind  diese  Kcactionou  so  ausserordentlich  em- 
pfindlich, dass  z.  B.  angenähert 

-^T..         1  i_  Milligramm 


von  i^airmmsaiz  noci 

3Ü00U0Ü 

-    Lithiumsalz 

9 
1000000 

-    Kalisalz 

1 

löoöT 

-    Strontiumsalz   - 

0 

1000000 

da.lpinmHs1.l7 

6 

1000000 

-    Bariumsjilz 
mit  Sicherheit  erkannt  werdf^n  kann. 

1 
1000 

so  Kleinere  Mittheilungen. 

Die  Verfasser  des  genannten  Anfsatses  fanden  femer,  dass  auch  in 
einem  Oemische  obiger  Alkali-  und  alkalischer  Erdsalse  das  Charakteristi- 
sche der  einzelnen  Spectra  mithin  der  sie  bildenden  Körper,  erkannt  wer- 
den könne.  Sonach  empfehlen  Kirehhoff  und  B u n s e n  die  Beobachtang 
der  Spectren  von  Flammen,  in  die  man  z.  B.  Mineralien  oder  die  ans  ihnen 
im  Platintiegel  mittels  Flnorwasserstoffs&nre  dargestellten  schwefelsauren 
Salze  bringt,  zur  Untersuchung  derselben  auf  Alkalien  und  alkalische  Er- 
den. Die  Spectra  der  einzelnen  Körper  treten  hierbei  wegen  der  verschie- 
denen Flüchtigkeit  derselben  oft  nach  einander  auf.  Diese  neue  Methode 
empfiehlt  sieh  deswegen  sehr  zum  Gebrauche,  weil  die  Menge  der  zu  un- 
tersuchenden Substanz  sehr  klein  zu  sein  braucht,  weil  die  farbigen  Strei- 
fen unberührt  von  fremden  Einflüssen  erscheinen  und  weil  sie  ein  genaue- 
res Mittel  darbietet,  sehr  kleine  Mengen  von  gewissen  Substanzen  aufzu- 
finden, als  man  bisher  hatte.  So  führten  bis  jetzt  die  Versuche  zu  dem  Re- 
sultate ,  dass  nicht  nur  Kalium  und  Natrium ,  sondern  auch  Lithium  und 
Strontium  zu  den  in  geringer  Menge  vorkommenden,  aber  am  häufigsten  ver- 
breiteten Stoffen  gehören. 

Was  den  schon  früher  in  dieser  Zeitschrift  erwähnten  merkwürdigen 
Satz  anbelangt ,  dass  die  hellen  Streifen  Licht  von  derselben  Farbe  absor- 
biren,  so  ist  derselbe  aufs  Neue  bestätigt  worden,  indem  das  Licht  von 
einem  weissglühenden  Platindraht  durch  eine  mit  Kochsalz  imprägnirte  Al- 
koholflamme geleitet  wurde ;  die  gelbe  Natriumlinie  verwandelte  sich  augen- 
blicklich in  die  dunkle  Frauenhofersche  Linie  2>.  Desgleichen  ist  es  den 
Verfassern  gelungen,  die  hellen  Linien  von  Kalium,  Strontium,  Calcium, 
Barium  durch  Sonnenlicht  in  dunkle  Linien  umzukehren.  Dr.  Kahl. 


IV. 
Zur  Geometrie  der  Lage. 

Von  M,  Sattelberger, 

Lehramtscandidat  zn  Erlangen. 


§.1. 

Bind  ^,  =0,  ^  =  0  die  Gleichungen  zweier  Curven  der  «*•"  Ord- 
DQDg,  und  verbinden  wir  dieselben  nach  dem  Vorgange  Plückers  zur 
Gleichung  Ai  +  (lAj^^^O,  wo  (i  eine  beliebige  Constante  bedeutet ,  so  ist 
ii  +  f»  ^,  =  0  die  Gleichung  wieder  einer  Curve  der  w**"  Ordnung ,  und 
xwar  geht  diese  durch  die  sämmtlichen  (r^)  Schnittpunkte  der  beiden  ersten 
Carveu  der  n****  Ordnung.  Durch  die  «"Schnittpunkte  zweier  Curven  der 
n^  Ordnung  gehen  also  stets  unendlich  viele  Curven  derselben  Ordnung. 

Eine   Curve  der  n}^^  Qrdnung  ist  bestimmt  im  Allgemeinen    durch 

» (« +  3)  ^     ,  .       , 
'  Funkte;  es  ist  aber 

n(n+Z)       fi*    ,   n .  3         , 

— ^^ -= ,  und 

2  2  2' 

2  2' 

/••  «1,  q\ 
somit  ist  --^^ >,  =  oder  <  w*  je  nachdem  ;*  <  ,  =  oder  >  3  ist.    Es 

wird  sich  daher  aus  der  oben  gemachten  Bemerkung,  dass  dien*  Schnittpunkte 
nreier  Curven  der  n*®"  Ordnung  niemals  im  Stande  sind  eine  Curve  dieser 
Ordnung  su  bestimmen,  sondern  stets  unendlich  viele  zulassen,  —  für  die- 
jenigen Curven,  deren  Ordnung  höher  ist  als  die  zweite,  ein  Satz  ableiten 

lassen;  durch  ^  —  1  der  Schnittpunkte  zweier  Curven  der  n**"  Ord- 

nung lassen  sich  stets  unendlich  viele  Curven  dieser  Ordnung  legen ;  obiger 
Bemerkung  zufolge  sind  nun  die  noch  übrigen  der  n' Schnit^)unkte  so  be- 

schaffen,  dass  sie  zu  jenen  — ^ — 1  hinzugezogen,  gegen  die.  "R^^^V 

Zeilt-ehrin  f.  Mathematik  u.   Physik.    M,  2.  1^ 


82  Zar  Geometrie  der  Lage. 

immer  noch  unendlich  viele  Cnnren  der  ft^^°  Ordnung  zulassen ;  man  kommt 
hiedurch  auf  die  Vermuthung,  es  möge  folgender  Satz  gelten: 

Legi;   man    durch    — ^^ —  1    der    n*   Schnittpunkte 

zweier  Curven  der  n**"  Ordnung  eine  neue  Curve  der 
n^®°  Ordnung,  so  geht  diese  stets  durch  alle  jene 
n*  Schnittpunkte. 

Es  ist  z.  B.         für  «  =  3  ««  =  9  und  ^^""^^^  —  1  =  8, 

2 

n  (n  +  3) 
„n  =  4»«=16„       ^  ^    ^—1  =  13, 

u.  s.  f. 
Ueherhaupt  ist 

^.       /n(yi  +  3)        \^n'-3n  +  2^(n  — l)(n— 2) 
\        2  /  2  2  ' 

Der  letzte  Ausdruck  ist  aber  für  n  =  1  und  =2  =  0 ,  für  it  =  oder  >  3 
ist  er  positiv. 

Der  obige  Satz  lässt  sich  nun  wie  folgt  beweisen : 

fi  (n  "4-  ^^ 

Die  Coordinaten  jener  — ^ —  1  ersten  Schnittpunkte  seien  x\  y\ 

x\y\x'\y'\ a:<P>^<P^;  soll  eine  Curve  der  n*^"*  Ordnung  durch  diese 

Punkte  gehen,  und  bezeichnet  man  die  Gleichung  der  Curven  n^^^  Ord- 
nung mit 

f{x,y)  =  o, 

n  (n   I    Q^ 

SO  können  wir  von  den  — ^^ in  dieser  Gleichung  vorkommenden  Coeffi- 

cienten  einen  einzigen  beliebig  annehmen,  und  zur  Bestimmung  der 
— ^ —  1  übrigen  haben  wir  die  — ^ —  1  Gleichungen 

£  i 

f{x'y)  =  0,  f{x"y")==0,  rWy")  =  0,....  Z' (*'p Vp))  =  0. 
Geben  wir  jenem  ersten  beliebig  anzunehmenden  Coefficienten  jeden  mög- 

liehen  Werth ,  so  erhalten  wir  alle  durch  jene  — ^^ —  1  Punkte  leg- 
baren Curven  der  w**°  Ordnung.  Verbinden  wir  aber  die  Gleichungen 
4  =  0,  4  =  0  der  beiden  gegebenen  Curven  n^^  Ordnung  zur  Gleichung 
4  + 1*4  =  0,  so  erfüllen  die  Coefficienten  dieser  Gleichung  ebenfalls  jene 

-A 1  —  1  Bedingungsgleichungen 

/•(:rV)  =  0,  /•(xV)  =  0,  A(a:"V"  =  0, /^(*(P)y(P))  =0, 

nnd  indem  wir  dem  fc  alle  möglichen  Werthe  beilegen,  kann  jenem  einen 
Coefßcienten  ebenfalls  jeder  verlangte  Werth  ertheilt  werden;   die  Gl^i- 


Von  M.  Sattelberger.  83 

ehongen  sind  bezüglich  der  Coefficienten  linear;  wir  kommen  also  anf  beide 
Weisen  ganz  anf  die  nämlichen  Cnrven  der  n*®°  Ordnang ,  d.  h.  die  in  der 
Gleichung 

nthaltcnen  Curven  w***"  Ordnung  sind  alle  möglichen  Curven  dieser  Ord- 

MDg,  welche  überhaupt  durch  jene  — ^ —  1  der  n*  Schnittpunkte  leg- 

hx  sind.    Der  obige  Satz  hat  also  in  der  That  Gültigkeit. 

Auch  ohne  Zuhülfenahme  der  Grösse  ft  kann,  man  auf  diesen  Satz 

ti  (n  ^  *^^ 

kommen.    Nimmt  man  auf  einer  Curve  der  n'®°  Ordnung  — ^^ Pnnkte 

an,  und  setzt  ihre  Coordinatenwertho  in  die  allgemeine  Gleichung  der  Cur- 
Ten  w***"  Ordnung  ein ,  so  werden  die  erhaltenen  — ^^ Bedingungsglei- 

ehuDgen  im  Allgemeinen  zur  Bestimmung  der  — Coefficienten  jener 

Gleichung  hinreichen,  und  zwar  auf  die  der  gegebenen  Curve  entsprechen- 
den Coefficienten  hinführen;  geht  aber  durch  diese  — ^ Punkte  noch 

emc  Curve  der  w*"  Ordnung,  so  müssen,  da  jene  allgemeine  Gleichung  be- 
sfiglieh  der  Coefficienten  linear  ist,  also  zwei  Werthe  eines  Coefficienten 

lieh  nicht  ergeben  können  —  noth wendig  die  — ^^ Gleichungen  unend- 
lich viele  Lösungen  zulassen  bezüglich  der  Coefficienten,  indem  sie  sich 
taf  wenigstens 1  reduciren ,   so  dass  also  eine  Curve  der  w'*" 

Ordnung ,  welche  durch  — -^ —  1  der  r?  Schnittpunkte  zweier  anderer 

Curven  der  «*•"  Ordnung  geht ,  jeden  dieser  n*  Schnittpunkte  enthält. 
Es  werden  nun  verschiedene  Anwendungen  dieses  Satzes  folgen. 


L  Ton  den  den  Curven  höherer  Ordnung  einbeschriebenen  Vielseiten. 

§.2. 

Die  einfachste  Curve  der  «*«"  Ordnung  ist  das  System  von  n  Geraden. 

Zwei  solche  Systeme  von  n  Geraden  wollen  wir  ein  2 n  Seit  nennen, 
vnd  im  Nachfolgenden  unter  2  n  Seit  nichts  weiter  als  das  verstehen.  Die 
Seiten  des  2raSeit8  sind  natürlich  jene  2n  Gerade  selbst;  unter  den  Ecken 
des  2iiSeit8  aber  wollen  wir  jene  «'Punkte  verstehen,  wo  immer  eine  Ge- 
rade des  einen  Systems  eine  Gerade  des  andern  trifft.  Sollten  die  Aus- 
drücke Seite  der  einen  Art,  Seite  der  andern  Art  vorkommen,  so  sind  hiemit 
m  Gerade  des  einen,  Gerade  des  andern  Systems  gemeint.  In  einigen  Fi- 
guren sind  die  Seiten  der  einen  Art  mit  ('),  die  der  andern  m\i  i^'^  \^^^^\OcvTkfiX« 


84  Zar  Oeometrie  der  Lage. 


,^^^^«^^%^^^^«^^^^i^^h'^<^^^^^»A^^« 


Es  wird  nun  gelten  der 

Satz.    Legt  man  durch  — ^ — 1  der  n* Ecken  eines  2nSeits  eine 

2 

Curve  der  n**°  Ordnung,  so  geht  sie  auch  durch  die  übrigen  ^^ -— : 

Ecken  des  2nSeits. 

Es  entsteht  nun  aber  die  umgekehrte  Frage,  ob  man  einer  Curve 
n^^^  Ordnung  ein  solches  2 n  Seit  einbeschreiben  könne  dergestalt,    dass 

fi  (ti  -t-  ^\ 

— —  1  seiner  Ecken  auf  ihr  liegen ;   es  müssten  dann  die  übrigen 

^-^ Ecken  von  selbst  auf  sie  fallen.  (Die  Curven  L  und  11.  Ord- 

.  2 

nung  sind  natürlich  von  dieser  Betrachtung  auszuschliessen.)  . 

§.3. 
Einbeschreibung  des  GSeits  in  die  Curve  IIL  Ordnung. 

Um  einer  Curve  HI  ein  6  Seit  so  einzubeschreiben,  dass  8  seiner 
9  Ecken  auf  sie  fallen,  verfahre  man  wie  folgt: 

Durch  den  Punkt  Ä  (Fig.  1 ,  Taf.  III)  der  Curve  III  ziehe  man  ^Jlf  und 
^i^;  diese  mögen  die  Curve  III  noch  in  B  und  C,  und  B  und  E  schneiden; 
F  sei  ein  weiterer  beliebiger  Curvenpnnkt,  und  man  ziehe  P/*und  BF^ 
welche  die  Curve  noch  in  G  und  H  schneiden ;  zieht  man  jetzt  noch  EQ  und 
C/T,  80  hat  man  ein  6 Seit,  von  welchem  8  Ecken  (^,  B^  C,  />,  £,  F^  (?,  H)  auf 
der  Curve  III  liegen ;  es  liegt  also  auch  die  9**  Ecke  auf  ihr ,  d.  h.  die  Ge- 
raden EO  und  CE  schneiden  sich  auch  auf  der  Curve  III. 

Es  gilt  also  der 

Satz.  Ist  eine  Cnrve  III  gegeben,  so  kann  man  zweimal  3  Gerade  so 
ziehen ,  da||s  sich  8  von  den  9  Schnittpunkten  je  einer  Geraden  der  einen 
Art  mit  einer  Geraden  der  andern  auf  der  Curve  III  befinden,  der  9**  fällt 
dann  von  selbst  auf  sie. 

Von  diesem  Satze  wollen  wir  nun  einige  besondere  FftUe  betrachten. 

1)  Besteht  die  Curve  III  aus  einer  Curve  II  und  einer  Geraden,  so 
geht  unser  Satz  in  den  bekannten  Satz  von  dem  dem  Kegelschnitte  einbe- 
schriebenen gemeinen  Sechsecke  über.  (Dass  sich  nämlich  die  Gegenseiten 
des  dem  Kegelschnitte  einbeschriebenen  gemeinen  Sechseckes  auf  Einer 
Geraden  schneiden.) 

2)  Lassen  wir  die  beiden  Punkte  Ä  und  B  zusammenfallen,  so  erhal- 
ten wir  den 

Satz.  Zieht  man  durch  den  Punkt  P  (Fig.  2,  Taf.  III)  einer  Curve  III 
zwei  Gerade  PM  und  PS,  welche  dieCurve  noch  in  B  und  C,  und  FvaA  H 
treffen,  zieht  man  femer  BFundi  CH^  welche  die  Curve  noch  in  G  und  in 


Von  M.  Sattelbergee,  85 

/treffen,  zieht  man  endlich  Gl  und  trifft  diese  die  Carve  noch  in  E^  so  ist 
PEiie  Tangente  der  gegebenen  Carve  III  im  Pnnkte  A 

Lassen  wir  die  Geraden  ABC  und  DFH  (Fig.  1 ,  Taf.  III)  allmälig  za- 
MUDOBfallen,  so  erhalten  wir  den 

Satz.  Zieht  man  an  eine  Curve  III  3  Tangenten,  deren  3  ßerührungs- 
inkte  in  Einer  Geraden  liegen,  so  liegen  anch  diejenigen  3  Pnnkte,  wo 
jide  der  3  Tangenten  die  Carve  nochmals  schneidet  in  Einer  Geraden. 

Rückt  die  Gerade ,  in  der  die  3  Berührungspunkte  liegen ,  ins  Unend- 
Edie,  so  werden  jene  3  Tangenten  die  3  Asymptoten,  und  es  gilt  also  der 

Zusatz.  Die  3  Schnittpunkte  einer  Curve  III  mit  ihren  3  Asymptoten 
Hegen  in  Einer  Geraden. 

Ebenso  gilt  der  umgekehrte 

Satz.  Zieht  man  durch  zwei  von  drei,  in  Einer  Geraden  liegenden, 
Punkten  einer  Curve  III  je  eine  Tangente  an  dieselbe ,  so  geht  die  Gerade, 
welche  die  zwei  Berührungspunkte  verbindet,  durch  den  Berührungspunkt 
einer  durch  den  dritten  Punkt  gehenden  Tangente. 

Lassen  wir  die  3  Punkte  ^,  />,  E  in  einen  einzigen  zusammenfallen ,  «o 
erhalten  wir  den 

Satz.  Zieht  man  durch  einen  Inflexionspunkt  einer  Curve  III  3  Ge- 
rade,  welche  die  Curve  III  noch  in  B  und  C,  F  und  H  und  G  und  /schnei- 
den, and  liegen  B,  Fund  G  in  Einer  Geraden,  so  ist  dies  auch  mit  C,  H 
ud/der  FalL 

Femer 

Satz.  Zieht  man  durch  einen  Inflexionspunkt  einer  Curve  III  eine 
ßerade,  welche  die  Curve  noch  in  B  und  C  schneidet,  zieht  man  dann  in 
l^nnd  C  die  Tangenten  an  die  Curve  und  jschneiden  diese  noch  in  G  und 
in/,  so  geht  die  Gerade  Gl  durch  jenen  Inflexionspunkt. 

Lassen  wir  endlich  die  3  Geraden  ABC,  DFH  und  EG  zusammenfallen, 
M  erhalten  wir  den 

Satz.  Die  3  Inflexionspunkte  einer  Curve  III  liegen  in  Einer  Geraden. 

§.  4. 
Einbeschreibung  des  SSeits  in  die  Curve  IV.  Ordnung. 

Es  soll  der  Curve  IV  das  8 Seit  so  einbeschrieben  werden,  dass  13  sei- 
Ber  16  Ecken  auf  sie  fallen. 

1)  Man  ziehe  (Fig.  3,  Taf.  III)  AM  und  AN,  welche  die  Curve  noch  in 
B,  C  und  einem  dritten  Punkte  und  D  und  E  and  einem  dritten  Punkte 
•dmeiden  mögen;  fliege  auf  der  Curve,  man  ziehe  nun  femer  BF,  welche 
noch  in  B  und  V,  und  BF,  welche  noch  in  G  und  /  schneide;  dann  CG, 
welche  noch  in  FT  und  EH,  welche  noch  in  K  schneiden  möge;  zieht  man 
nan  noch  JIC  und  V  W,  so  hat  man  ein  8 Seit,  allein  auf  der  Curve  IV  lie- 
gen biet  \%  seiner  Eckpunkte. 


86  Zar  Geometrie  der  Lage. 


Oder  man  ziehe  (Fig.  4,  Taf.  III)  MN  und  PQ  als  Seiten  der  einen  Art 
beliebig ,  treffen  diese  die  Curve  IV  in  A^  B,  C  und  L^  und  in  2>,  /*,  G  and  /, 
so  ziehe  man  AD,  BF,  CG  und  LI;  treffen  die  letztern  Geraden  noch  in  H 
und  V  und  S  und  ?r,  und  zieht  man  noch  HS  und  V  If\  so  hat  man*wieder 
ein  8 Seit,  von  dem  aber  ebenfalls  blos  12  Ecken  auf  der  Carve  IV  liegen. 

2)  Wir  nehmen  nun  eine  Cnrve  IV  an,  welche  aus  einer  Curve  III 
und  einer  Curve  I  besteht,  geben  jedoch  blos  die  Curve  III;  man  kann 
nun  das  8 Seit  so  verzeichnen,  dass  11  seiner  Ecken  auf  die  Curve  III  fal- 
len; dies  geschieht  wie  folgt: 

Man  ziehe  durch  den  Punkt  A  (Fig.  5,  Taf.  III)  der  Curve  III  AMnnd 
A  N,  welche  die  Curve  III  noch  in  B  und  C,  und  B  und  E  schneiden  mögen, 
ziehe  BF,  BF,  CG  und  EG,  so  dass  i^und  G  auf  der  Curve  III  liegen;  diese 
Geraden  mögen  die  Curve  III  noch  in  K,  U,  L  und  /  treffen ;  zieht  man  jetzt 
noch  h'L  und  UJ,  so  hat  man  ein  SSeit,  von  dessen  16  Ecken  11  auf  der 
Curve  III  liegen ;  zieht  mati  nun  durch  2  der  noch  übrigen  Ecken ,  z.  B. 
durch  X  und  Y,  eine  Gerade ,  so  bildet  diese  mit  der  gegebenen  Carve  III 
ei»e  Curve  IV,  und  es  liegen  13  Ecken  unseres  SSeits  auf  dieser  Curve  IV; 
es  liegen  also  auch  die  übrigen  3  auf  ihr,  nämlich  noch  2  Ecken  fallen  auf 
die  Gerade  XY  und  die  letzte  Ecke  fällt  noch  auf  die  gegebene  Curve  III. 

Wir  haben  also  den 

Satz.  Einer  Curve  III  lässt  sich  stets  ein  8 Seit  so  einbeschreiben, 
dass  11  seiner  Eckpunkte  auf  sie  fallen,  ein  12^'^''  fällt  dann  von  selbst  aaf 
sie,  und  die  übrigen  4  liegen  in  Einer  Geraden. 

3)  Nehmen  wir  eine  Curve  IV,  welche  aus  2  Curven  11  besteht,  und 
geben  wir  blos  die  eine  Curve  II,  so  können  wir  dieser  offenbar  ein  8  Seit 
so  einbeschreiben,  dass  8  Ecken  desselben  auf  sie  fallen;  durch  5  weitere 
Ecken  geht  eine  andere  Curve  II,  also  liegen  auf  der  von  beiden  Curven  II 
gebildeten  Curve  IV  13  Ecken  des  8Seits. 

Es  gilt  also  der 

Satz.  Beschreibt  man  einer  Curve  II  ein  8 Seit  so  ein,  dass  8  seiner 
Ecken  auf  ihr  liegen,  so  liegen  die  übrigen  8  Ecken  wieder  auf  einer 
Curve  II. 

4)  Nehmen  wir  endlich  eine  Curve  IV,  welche  aus  einer  Geraden  und 
einer  Curve  III  besteht,  und  geben  blos  die  Gerade,  so  können  wir  jeder- 
zeit ein  8  Seit  so  zeichnen ,  dass  4  seiner  Ecken  auf  der  Geraden  liegen ; 
da  durch  0  der  übrigen  eine  Curve  III  gelegt  werden  kann,  so  liegen  auf 
der  von  der  Geraden  und  der  Curve  III  gebildeten  Curve  IV  13  Ecken  des 
SSeits;  wir  haben  also  den 

Satz.  Construirt  man  ein  8 Seit,  so  dass  4  seiner  Ecken  auf  Einer  Ge- 
raden liegen ,  so  liegen  die  übrigen  12  Ecken  auf  einer  Curve  III.  Ordnung. 

5)  Besteht  die  in  2  dieses  S  vorkommende  Curve  III  aus  einer  Curve  II 
und  einer  Geraden ,  so  erhalten  wir  zum  dortigen  Satze  den  folgenden 

ZusRtz.    Construirt  man  ein  8 Seit  derart,  dass  8  von  seinen  Ecken 


Von  M.  Sattelbebgeb.  87 


auf  einer  Curve  11  und  3  davon  auf  Einer  Geraden  liegen,  so  fällt  auf  diese 
Gerade  noch  ein  4^^*^  Eckpunkt,  und  die  4  letzten  Eckpunkte  liegen  wieder 
taf  Einer  Geraden. 

Diese  Construction  kann  nun*  auf  zweierlei  Weise  gemacht  werden: 
Entweder  man  zeichnet  in  einen  Kiegelschnitt  ein  gewöhnliches  Viereck 
ud  läast  3  Yon  seinen  4  Seiten  um  3  in  Einer  Geraden  liegende  Punkte 
dek  drehen;  dies  ftlhrt  auf  den  bekannten  Satz,  dass  sich  dann  auch  die 
t*  Seite  um  einen  Punkt  dieser  Geraden  drehe ;  es  liegen  aber  auch  die- 
jenigen 4  Punkte,  wo  immer  eine  Seite  des  ajten  Viereckes  die  Gegenseite 
der  ihr  im  neuen  Vierecke  entsprechenden  Seite  trifft,  stets  in  gerader 
Linie.  — 

Die  andere  Art  der  Construction  des  in  Rede  stehenden  8  Seits  ist  fol- 
gende :  Man  nehme  auf  einer  Curve  II  die  7  Punkte  A,  B,  C,  2>,  E,  Fnnd  G 
(Flg.  6,  Trff.  III)  an;  JB  und  FG,  sowie  BC und  EF  mögen  sich  auf  der  Ge- 
raden m  scheiden;  schneiden  CJD  und  J)E  die  m  in  Fund  W,  so  ziehe  man 
A  V  und  G  W^  so  werden  sich  diese  2  Geraden  wieder  auf  der  Curve  II 
schneiden.  Was  die  4  andern  Punkte  betrifft,  welche  in  Einer  Geraden 
liegen  sollen ,  so  sind  diese ,  wenn  man  den  Schnitt  von  A  V  und  G  W  mit 
üf  bezeichnet,  der  Schnittpunkt  von  AB  und  DE^  der  von  ^6^  und  GE^  der 
Ton  CD  und  FG^  und  der  von  AH  und  EF. 

§.  5. 

Gebrauch  eines  Doppelpunktes  bei  Einbeschreibung  des 
2nSeits  in  die  Curve  /i^®*"  Ordnung. 

Einer  gegebenen  Curve  IV  kann  man  im  Allgemeinen  nach  1  des  vo- 
rigen S  das  8 Seit  nicht  einbeschreiben,  so  dass  13  seiner  Ecken  auf  sie  fal- 
len. Geht  man  aber  hiebei  von  einem  Doppelpunkte  (welchen  die  Curve  IV 
freilich  nur  dann  hat,  wenn  sie  aus  Curven  niederer  Ordnungen,  z.  B.  aus 
einer  Curve  lU  und  einer  Geraden  besteht)  aus ,  so  gelingt  diese  Einbe- 
lehreibung. 

1)  Im  Doppelpunkte  IT  fallen  4  Ecken  des  einzubeschreibenden  2  n  Seits 
zisammen.  Nachdem  wir  die  Seiten  der  eiuen  Art  AB  und  CB  (Fig.  7, 
Taf.  III)  gezogen  haben ,  sind  die  2  andern  Seiten  AD  und  BC  im  Allgemei- 
nen bestimmt;  liegen  aber  die  4  Punkte  ^,  B^  C  und  D  unendlich  nahe  bei- 
sammen, so  kann  man  schon  durch  unendlich  kleine  Verschiebung  oder 
Drehong  der  Seite  AB  oder  CD  der  3^®°  Seite  AD  jede  beliebige  Richtung 
geben ;  ist  dieser  letzten  Seite  aber  einmal  eine  bestimmte  Richtung  gege- 
ben, so  kann  man  die  Richtung  der  4^®°  Seite  BC  nur  durch  endliche  Dre- 
bugen  der  Seiten  AB^  CD  oder  AD  um  Endliches  ändern.  Wir  haben  also  den 
Sats.  Gehen  wir  bei  Einbeschreibung  des  In  Seits  von  einem  Doppel- 
ponkte  der  Curve  aus ,  so  dürfen  wir  durch  ihn  nicht  nur  2  Seiten  der  einen 
Art,  sondern  auch  noch  eine  Seite  der  andern  Art  beliebig  atm^ViTn.^^^  xx'oA. 


88  Zur  Geometrie  der  Lage. 


dürfen  dennoch  yoranssetzen ,  dass  die  beiden  dadurch  (im  Doppelpaukte) 
entstehenden  Eckpunkte  des  2n  Seits  auf  der  Curve  liegen. 

2)  Gehen  wir  jetzt  auf  die  zweite  Figur  des  vorigen  $  zurack;  wir 
können  jetzt  auch  den  Punkt,  wo  sich  BF  und  BS  schneiden,  auf  die  Curve 
fallen  lassen,  sobald  sie  einen  Doppelpunkt  hat.  Es  sollen  dann  A,  D^  ß 
und  /^  in  diesem  Doppelpunkte  P  (Fig.  8,  Taf.  III)  zusammenfallen;  wir  wer- 
den ziehen  i^Jlf  und  PQ]  diese  mögen  noch  in  Cund  L  und  in  G  und  1  schnei- 
den; wir  ziehen  nun  CG  und  Z/;  diese  mögen  die  Curve  IV  noch  in  ^und 
r  und  in  S  und  fV  treffen;  jetzt  ziehen  wir  HS^  diese  treffen  noch  in  Tnnä 
A';  zieht  man  nun  noch  PT  und  PAT,  sowie  FfF,  so  hat  man  ein  SSeit,  von 
welchem  13  Ecken  auf  der  Curve  IV  liegen.  Es  liegen  nämlich  3  Ecken  im 
Doppelpunkte  P  auf  der  Curve  IV ,  indem  wir  annehmen  dürfen ,  dass  die 
2  Ecken  A  und  2>,  welche  PM  und  PQ  mit  PT  bilden,  auf  der  Curve  liegen; 
ferner  können  wir  uns  PK  durch  den  einen  der  beiden  andern  in  P  noch 
liegenden  Punkte  B  und  F  gehend  denken.  Es  liegen  femer  noch  die 
lö  Ecken  C^  X,  C,  7,  ff,  5,  F,  JV,  Tund  K  auf  der  Curre  IV.  —  Es  müssen 
sich  jetzt  auch  noch  PT  und  VW,  sowie  PA'  und  VfF  auf  der  Curve  IV 
schneiden. 

Im  folgenden  S  sollen  einige  besondere  Anwendungen  des  in  diesem  S 
Vorgekommenen,  besonders  der  in  2  gemachten  Construction  gegeben 
werden. 

.  §.6. 

1)  Es  seien  von  einer  Curve  HI  die  Punkte  P,  C,  Z,  C,  /,  5  und  r(Fig.fl, 
Taf.  III)  gegeben,  und  zwar  sollen  P,  C  und  X,  ferner  P,  G  und  /,  ferner  C,  G 
und  y  und  endlich  X,  /  und  S  immer  in  Einer  Geraden  liegen;  die  durch  P 
gehende  Gerade  PN  schneide  die  Curve  III  noch  in  T,  so  ist,  wenn  &*,  V 
und  T  in  Einer  Geraden  liegen,  PN  die  Curventangente  in  P.  (S.  S.  3, 
Nr.  2.)  Ist  dies  aber  nicht  der  Fall ,  so  ist  es  leicht  den  dritten  Schnitt- 
punkt von  PN  mit  der  Curve  III  zu  finden.  Man  ziehe  nämlich  TS,  sie 
möge  die  CV  noch  in  ff  schneiden;  zieht  man  nun  Pff,  welche  die  X/ in  W 
trifft,  so;3chneidet  die  VWdiePNim  gesuchten  dritten  Schnittpunkte  von  PN 
mit  der  Curve  III.  (Die  Curve  III  und  die  Gerade  Pff  sind  nämlich  als 
eine  Curve  IV  zu  betrachten,  welche  in  P  einen  Doppelpunkt  hat.)  Und 
so  kann  man  von  jeder  durch  P  gehenden  Geraden,  wenn  man  üur  den 
einen  ihrer  beiden  andern  Schnittpunkte  mit  der  Curve  III  kennt,  sogleich 
durch  blos  lineare  Construction  auch  den  zweiten  derselben  finden.  — 
(Auch  müssen  ffS  und  V1V  die  Curve  UI  noch  in  2  Punkten  schneiden, 
welche  mit  P  in  gerader  Linie  liegen.) 

2)  Um  eine  zweite  Anwendung  der  Construction  des  vorigen  S  zu 
machen ,  wollen  wir  als  Curve  IV  zwei  sich  schneidende  Kreise  annehmen. 
Ihr  einer  Schnittpunkt  sei  P  (Fig.  10,  Taf.  III);  so  ziehe  man  beliebig  die 
(ieraden  PM  und  PQ,  welche  die  Kreise  noch  in  C  und  X  und  G  und  /  treffen 


Von  M.  Sattelbekoer.  89 

mdgen;  «odann  ziehe  man  CG  und  LJ,  diese  solleu  in  //und  Fund  Sund  IF 
treSen;  man  siehe  nun  BS  und  ViV,  treffen  diese  die  Kreise  noch  in  Tund^ 
A'nnd  T'  und  IC\  so  liegen  sowohl  JundA"  als  auch  T'  und  K  mit  P  in 
^ader  Linie. 

3)  Als  drittes  Beispiel  wollen  wir  uns  eine  aus  4  Oeraden  bestehende 
Carve  IV  denken;  awei  dieser  Geraden  seien  AIN und  RQ  (Fig  11,  Taf.  III)- 
Wir  ziehen  durch  den  beliebigen  Punkt  P  die  Geraden  P  F,  P  W^  PX  und 
Pr,  welche  die  MN  und  RQ'm  B  und  C,  D  und  K,  /*und  Gy  //  und  /  schnei- 
den; zieht  man  noch  BE^  CD^  Fl  und  GH^  so  bilden  die  lotztgezogenon 
8  Geraden  ein  8 Seit;  schneiden  sich  CD  und  Fl  in  A',  CD  und  GH  in  Z,  so 
liehe  man  PK  und  PL,  so  bilden  Af TV,  ÄÖi  /'A  und  /^Z  eine  Curve  IV, 
welche  in  P  einen  Doppelpunkt  hat.  Von  den  Ecken  den  erwähnten  BSeits 
liegen  aber  13  auf  dieser  Curve  IV,  nämlich  drei  im  Doppelpunkte,  und 
dann  noch  die  weitern  10 Ecken  B,  C,  />,  Ey  F,  G,Hy  LA'  undZ;  es  müssen  also 
«Ue  16  Ecken  auf  der  Curve  liegen,  d.  h.  schneiden  sich  GII  und  FI  mit 
BE  in  &"  und  L\  so  muss  k"  auf  PK  und  L'  auf  PL  liegen. 

Wir  haben  also  folgenden 

Satz.  Hat  man  2  gewöhnliche  Vierecke,  welche  2  Gegenseiten  31 N 
VD<1  QR  und  in  P  den  Schnittpunkt  der  beiden  andern  Gegenseiten  gemein- 
tthaftlich  haben,  so  liegen  die  4  Punkte  K,  Ly  K'  und  L\  wo  immer  eine 
Diagonale  des  einen  Vierecks  eine  Diagonale  des  andern  schneidet  —  mit 
jeuem  Punkte  P  in  zwei  Geraden. 

§.7. 

Es  sollte  jetzt  der  Curve  V.  Ordnung  das  10 Seit  einbeschrieben  wer- 
den, so  dass  10  seiner  25  Ecken  auf  dieselbo.fielen.  Wir  wollen  aber,  ehe 
wir  an  diese  Aufgabe  gehen,  in  diesem  und  den  zwei  folgenden  %^  noch 
einige  andere  Untersuchungen  machen. 

Es  soll  nämlich  erstens  untersucht  werden,  wie  viel  Ecken  des  2 fi Seite 
man  auf  die  Curve  der  m**°  Ordnung ,  wo  >»  =  oder  >  4  und  n  =  oder  >  m 
ist,  verlegen  kann' 

Man  ziehe  die  Geraden  aß  und  y6  (Fig.  12,  Taf.III)  als  Seiten  der  einen 
Art  beliebig ;  sie  mögen  die  Curve  fw*"*^  Ordnung  in  B  und  6\  und  D  und  E 
treffen;  man  ziehe  BD  und  CE\  treffen  diese  in  F  und  67,  und  H  und  /,  so 
liebe  man  f  iTund  6/;  treffen  diese  die  Curve  in  B^  und  6'i,  und  D^  und  ^j, 
10  ziehe  man  B^  2),  und  6\  A*, ;  treffen  diese  in  F^  und  G^ ,  und  H^^  und  /, ,  so 
liehe  F,  J7,  und  C,  /, ;  u.  s.  f. 

Auf  diese  Weise  erhUlt  man  ein  2 n Seit,  wo  n  gerade  ist;  sollti  un- 
gerade sein,  so  ziehe  man,  wenn  ojJund  y6  die  gegebene  Curve  noch  in 
.¥und  iVtreff(*n,  MNy  und  wenn  B^D^  und  C^E^  noch  in  (>  und  R  treffen,  QR. 

Man  sieht,  dass  jederzeit  \n  —  4  Ecken  des  2/iScits  auf  die  Curve  der 
in'*^  Ordnang  verlegt  werden  können. 


90  Zar  Geometrie  der  Lage. 


Fallen  M  und  /V  in  einem  Doppelpunkte  zusammen ,  und  ist  n  gerade, 
so  kann  man  die  Seite  MN  so  ziehen,  dass  sie  durch  B^  geht  und  kann 
ausserdem  noch  den  Doppelpunkt  MN  mit  6|  verbinden.  Auf  der  ersten 
der  beiden  letztgezogenen  Seiten  liegen  dann  3  Ecken. 

Wir  haben  also  jetzt  den 

Satz.  Von  den  ra' Ecken  eines  2nSeits  kann  man  auf  die  Curve  der 
«1^°  Ordnung,  wo  m  =  oder  >  4  und  ^  n  ist,  stets  4  («  —  1)  Ecken  fallen 
lassen.  Und  gebt  man  bei  der  Einbeschreibung  von  einem  Doppelpunkte 
der  gegebenen  Curve  aus,  so  kann  man  noch  eine  Ecke  mehr,  nämlich 
4n — 3  auf  sie  verlegen.  Soll  z.  B.  der  Curve  IV  das  SSeit  einbeschrieben 
werden,  so  können  wir  hienach  4  (4  —  1)  =  12  Ecken  auf  die  Curve  IV  fal- 
len lassen.    Mit  Hülfe  des  Doppelpunktes  4  .  4 — 3  =  13. 

Soll  der  Curve  V  das  10 Seit  einbeschrieben  werden,  so  können  wir 
4  (5 —  1)  =  16  Ecken  auf  die  Curve  V  fallen  lassen ;  es  müssten  aber  10  sein, 
wenn  die  übrigen  von  selbst  auf  sie  fallen  sollten. 

§.  8. 

Es  soll  untersucht  werden,  wie  viele  Ecken  eines  2nSeits,  wo  n  s=  oder 
>  3  ist,  man  auf  die  Curve  der  IIL  Ordnung  verlegen  kann, 

Satz.  Man  kann  auf  verschiedene  Weise  von  den  it* Ecken  eines 
2/iSeits,  wo  11  =  oder  >  3  ist,  3«  —  1  auf  die  Curve  III  fallen  lassen. 

Beweis.  1)  Man  zeichne  fi Seiten  beliebig,  jedoch  so,  dass  immer  die 
folgende  mit  der  vorhergehenden  sich  auf  der  Curve  III  schneide ;  zugleich 
bezeichne  man  diese  Seiten  abwechselnd  mit  (')  und  (") ;  ebenso  fahre  man  fort 
mit  der  n  +  1*«"  Seite  bis  zur  2;i**",  lasse  aber  von  dieser  2^*"  Folge  von  Sei- 
ten jede  zugleich  durch  einen  zweiten  auf  der  Curve  liegenden  Punkt  einer 
der  Seiten  der  ersten  Folge  gehen,  und  zwar  derart,  dass  hiebei  immer 
zwei  verschiedenartig  bezeichnete  Seiten  sich  treffen. 

Man  kann  z.  B.,  wenn  n  eine  ungerade  Zahl  ist,  da  dann  die  n^^  Seite 
dieselbe  Bezeichnung  erhält  wie  die  erste,  die  n+1*^  mit  der  ersten,  die 
w  +  2**  mit  der  zweiten  u.  s. 'f. ,  die  2w**  mit  der  w**°  sich  wieder  auf  der 
Curve  m  schneiden  lassen. 

Ist  n  gerade ,  so  können  wir  die  n  + 1^**  mit  der  zweiten,  die  n  +  2^®  mit 
der  ersten,  die  ;i  +  ^^*  mit  der  vierten,  die  «4-4*®  mit  der  dritten,  endlich 
die  2w  - 1*«  mit  der  m*«°,  die  2n^«  mit  der  «  -  l"**»  sich  noch  auf  der  Curve  III 
schneiden  lassen. 

Und  man  sieht,  dass  immer  3/i  —  1  Eckpunkte  des  2iiSeits  auf  die 
Curve  lU  fallen. 

2)  Eine  zweite  Art  der  Einbeschreibung,  welche  aber  nur  stattfinden 
kann ,  wenn  n  gerade  ist ,  besteht  darin ,  dass  man  die  Figur  in  1)  wenn  man 
n  Seiten  gezogen  hat,  sich  schliessen  lässt;  und  alsdann  noch  ein  zweites 
gemeines,  sich  jedoch  nicht  schliesscndes  n Seit  zeichnet,  dessen  Seiten  sich 


Von  M.  Sattelbergbb.  91 


SU  den  Seiten  des  ersten ,  geschlossenen ,  ebenso  verhalten ,  wie  in  1)  die 
Seiten  der  zweiten  Folge  sn  denen  der  ersten,  d.  h.  wenn  man  in  beiden 
gemeinen  n  Seiten  die  Seiten  abwechselnd  mit  ()  und  (")  bezeichnet,  so  lassen 
wir  jede  Seite  des  zweiten  itSeits  mit  einer  entgegengesetzt  bezeichneten 
des  ersten  anf  der  Curve  III  sich  schneiden.  Anf  diese  Weise  fallen  offen- 
bar wieder  3n  —  1  Eckpunkte  des  2nSeits  auf  die  Curve  III. 

3)  Eine  dritte  Art  der  Einbeschreibung  endlich  ist  die  folgende:  Man 
liehe  die  Seiten  MN  und  PQ  (Fig.  13,  Taf.  III) ,  welche  die  Curve  III  in  Ay 

B,  Cnnd  i>,  E,  iF schneiden  mögen;  jetzt  ziehe  man  AD^  BE  und  CF;  diese 
mögen  noch  in  G^  i7und  /  schneiden;  jetzt  zielte  man  RS^  welche  in  A^^  B^^ 

C,  schneide,  und  ziehe  nun  GA^^  HB^,  IC^ ;  diese  mögen  in  G^^  Hti  A  schnei- 
den; man  ziehe  nun  beliebig  Tüy  welche  in  A^^  B^,  C^  schneide,  und  jetzt 
G^A^y  HyJB^y  /,  C,,  diese  mögen  noch  in  G^^  H^,  /,  schneiden;  man  ziehe 
nun  V  Wy  welche  in  A^^  ^,,  C,  schneide,  und  dann  ziehe  man  G^A^^  J^t^m 
IfC^j  n.  8.  f.  Will  man  mit  £^p,  ^p,  /p  schliessen,  so  ziehe  man  G^H^  als 
Schlnssseite. 

Ist  p  gerade,  so  denke  man  sich  die  Schlussscite  für  den  Augenblick 
von  6p,  JTj)  nach  G^  H  versetzt,  und  man  sieht  sogleich,  dass  man  eben  so 
viel  mit  Q,  als  mit  ('')  bezeichnete  Gerade  hat,  und  zwar  von  jeder  Art 

3  +  4 .  -    oder    2p  -f  3. 

Ist  aber  p  ungerade ,  so  ist  die  Zeichnung  symmetrisch  bezüglich  der 
mit  Q  und  der  mit  (")  bezeichneten  Geraden,  und  zwar  hat  man  von  jeder  Art 

1  +  4  .  — 7^  oder  wieder  2p  +  3. 

Man  erhält  also  immer  ein  2  (2jt>  +  3)  ISeit. 

Es  liegen  endlich  sämmtliche  mit  Buchstaben  bezeichnete  Ecken  we- 
niger der  einzigen  /p  auf  der  Curve  III.  Auf  jeder  mit  (')  oder  auf  jeder 
mit  (")  bezeichneten  Seite  liegen  3  Eckpunkte  auf  der  Curve  HI,  mit  Aus- 
nahme der  letzten  Seite,  von  welcher  nur  2  Ecken  auf  die  Curve  fallen. 
Im  Ganzen  liegen  also  wieder  3«  -- 1  Ecken  auf  der  Curve  III. 

Anm.  Die  Punkte  G,  H,  /,  G^^  IJ^^l^,  6^^,  /^|, /,,... .  werden  je  in  Einer  Ge- 
raden liegen. 

§.9. 

Ist 'endlich  gefragt,  wie  viel  Ecken  des  2»  Seits  man  anf  eine  gegebene 
Cnrve  II.  Ordnung,  oder  wie  viel  man  auf  eine  Gerade  fallen  lassen  kann, 
80  sieht  man  sogleich,  dass  man  auf  die  Curve  II  stets  2n  und  auf  die  Ge- 
rade stets  it  Ecken  verlegen  kann. 

Bezüglich  der  Einbeschreibung  des  2«  Seits  in  die  Curve  der  m**^"  Ord- 
nung, wo  n  =  oder  >  m  ist,  so  dass  möglichst  viele  der  it* Eckpunkte  anf 
'  die  Cnrve  fallen,  gilt  also  Folgendes: 


92  Zar  Geometrie  der  Lage. 

Aaf  die  Cnrve  I  oder  die  Gerade  könneu  wir  fallen  lassen  »Ecken, 

„      „       „     II  können  wir  verlegen  2 /t  Ecken, 

1»      »j       »>   m       I»         «  n         3^* — lEkiken, 

„      „       „    IV.  und  höherer  Ordnung  können  wir  verlegen  4 n— 4  Ecken ; 
mit  Hülfe  des  Doppelpunktes,  bei  geradem  n,  4n — 3 Ecken. 

§.  10. 

Gehen  wir  nun  dazu  über  der  Cnrve  ¥.  Ordnung  das  10  Seit  einznbe- 
schreiben ,  so  dass  19-  seiner  25  Ecken  auf  sie  fallen. 

1)  Schon  am  Schlüsse  des  $.  7  sahen  wir,  dass  man  bei  Einbescbrei- 
bung  des  10  Seits  in  die  Curve  V  von  den  25  Ecken  desselben  blos  16  auf  die 
Curve  V  fallen  lassen  kann. 

2)  Nimmt  man  eine  Cnrve  V,  welche  aus  einer  Cnrve  IV  und  einer 
Geraden  besteht ,  und  ist  blos  die  Curve  IV  gegeben ,  so  können  wir  auf 
die  letztere  16  Ecken  verlegen ;  durch  zwei  der  noch  Übrigen  Ecken  könn- 
ten wir  die  Gerade  ziehen,  allein  es  fielen  dann  doch  blos  18  Ecken  auf  die 
Curve  V,  während  wir  10  brauchen. 

Besteht  aber  die  Curve  IV  aus  einer  Geraden  und  einer  Curve  III, 
welche  einen  Doppelpunkt  hat,  so  gelingt  die  Einbeschreibung  derart,  dass 
17  Ecken  des  10  Seits  auf  die  Curve  IV  fallen. 

Man  verfahre  folgendermassen :  Ist  F  (Fig.  14 ,  Taf.  III)  der  Doppel- 
punkt, so  ziehe  man  Fif  und  VN  als  Seiten  der  einen  Art  beliebig,  sie 
mögen  die  Curve  III  noch  in  A  und  B^  die  noch  gegebene  Gerade  in  R  und 
S  schneiden;  nun  ziehe  man  die  Hülfslinie  AB^  welche  die  Curve  III  noch 
in  fi  treffe;  ferner  fiS  und  BR^  diese  mögen  die  Curve  III  noch  in  G^B und 
£^F treffen]  jetzt  ziehe  man  Fff  und  EG]  treffen  diese  die  Curve  III  noch 
in  C  und  j9,  so  werden  C  und  D  mit  A  \n  gerader  Linie  liegen  *) ;  man  ziehe 
also  ACD.  Schneidet  die  DG  die  Gerade  BS  noch  in  P,  die  CH  diese  Ge- 
rade noch  in  ^,  so  ziehe  man  VPnnd  VQ]  schneiden  diese  die  Curve  III 
noch  in  iund  K^  so  ziehe  man  endlich  noch  I^,  so  hat  man  jetzt  ein  10  Seit, 
von  dessen  25  Ecken  3  im  Doppelpunkte  V  auf  der  Curve  IV  liegen ,  wäh- 
rend die  übrigen  auf  der  Curve  IV  liegenden  sind :  A^  B^  C\  />,  E^  F,  G,  H,  Ä, 
SjP^O^IundK]  im  Ganzen  liegen  also  17  Ecken  auf  der  Curve  IV;  ziehen 
wir  nun  noch  durch  zwei  andere  Ecken,  z.  B.  durch  die  zwei  andern  Punkte, 
wo  DG  und  CB  mit  VPnnd  VQ  sich  Schneiden,  eine  Gerade,  so  liegen  auf 
der  von  dieser  Geraden  und  der  gegebenen  Curve  IV  gebildeten  Curve  V 
10,  folglich  alle  25  Ecken  unseres  10  Seits. 

3)  In  der  vorigen  Nummer  wurde  eigentlich  die  Aufgabe  gelöst : 
Aufgabe.    Einer  gegebenen  Curve  III,  welche  einen  Doppelpunkt 

hat ,  ein  10  Seit  so  einzubeschreiben ,  dass  auf  sie  und  eine  gegebene  nicht 


*)  Die  Punkte  A,  B,  fi,  Gy  B,  ff,  F,  C  und  D  liegen  nämlich  sämmtlich  auf  der  ge- 
gebenen Curve  III. 


Von  M.  Sattelbebgeb.  93 

dsrch  den  Doppelpunkt  gehende  Oerade  17  Ecken  des  lOSeits  fallen;  wir 
können  anf  die  Curve  III  selbst  13  Ecken  (3  davon  im  Doppelpunkte)  fal- 
len lassen,  auf  jene  gegebene  Gerade  aber  4;  es  fallen  dann  auf  die  gege- 
bene Curve  m  noch  zwei  weitere  Ecken  (davon  eitte  im  Doppelpunkte), 
iof  jene  Gerade  noch  eine  Ecke,  und  die  5  letzten  Ecken  endlich  fallen 
wieder  in  Eine  Gerade. 

Da  aber  eine  Curve  m  nur  dann  einen  Doppelpunkt  hat ,  wenn  sie 
ans  einer  Curve  11  und  einer  Geraden  besteht,  so  nrass  die  vorige  Aufgabe 
eigentlich  so  ausgesprochen  werden: 

Aufgabe.  Einer  Curve  11  ein  10 Seit  so  einzubeschreiben ,  dass  die 
15  nicht  auf  ihr  liegenden  Ecken  desselben  sich  auf  3  Gerade  vertheilen, 
von  welchen  2  gegeben  sind.  Eine  der  gegebenen  Gerade  muss  die  Curve  II 
lehoeiden,  und  wir  müssen  gestatten ,  dass  in  diesem  Schnittpunkte  4  Ecken 
des  einzabeschreibenden  lOSeits  zusammenfallen. 

4)  Nehmen  wir  eine  Curve  V,  welche  aus  einer  Curve  III  und  einer 
Cnrve  11  besteht  und  ist  blos  die  Curve  III  gegeben,  so  kann  man  nach  $,  9 
tnf  die  Curve  III  14  Ecken  des  lOSeits  fallen  lassen,  durch  5  der  übrigen 
Eckpunkte  geht  ein  Kegelschnitt,  es  liegen  also  dann  19  Ecken  auf  der 
Cnrve  Y,  welche  dieser  Kegelschnitt  mit  der  Curve  III  bildet;  woraus  folgt, 
dass  alle  25  Ecken  auf  der  Curve  III  und  dem  Kegelschnitte  liegen. 

Wir  haben  also  den 

Satz.  Einer  Curve  III  lässt  sich  stets  ein  10 Seit  so  cinbeschreiben, 
dass  14  seiner  Ecken  auf  sie  fallen ;  es  fällt  dann  noch  ein  Eckpunkt  auf 
sie  und  die  übrigen  10  bilden  einen  Kegelschnitt. 

5)  Hat  man  eine  Curve  V,  welche  aus  einer  Curve  III  und  einem 
Kegelschnitte  besteht ,  und  ist  blos  der  Kegelschnitt  gegeben ,  so  kann  man 
diesem  stets  ein  10 Seit  so  einbeschreiben,  dass  10  Ecken  desselben  auf  ihn 
fallen;  da  durch  die  9  der  übrigen  Ecken  eine  Curve  m  gelegt  werden 
kann ,  so  liegen  alle  übrigen  auf  einer  Curve  III. 

Es  gilt  also  der 

Satz.  Beschreibt  man  einer  Cnrve  II  ein  10 Seit  derart  ein,  dass  10 
seiner  Ecken  auf  sie  fallen ,  so  liegen  die  15  andern  auf  einer  Curve  III. 

Ebenso  ergiebt  sich  endlich  der 

Satz.  Boschreibt  man  ein  10 Seit  so,  dass  5  seiner  Ecken  in  gerader 
Linie  liegen,  so  bilden  die  übrigen  20  eine  Curve  lY.  Ordnung. 

§.   11. 

Eine  dem  Satze  in  Nr.  4  des  vorigen  S  entsprechende  Construction, 
wozu  man  noch  1  des  S»  8  vergleiche ,  wäre  z.  B.  die  folgende : 

Construction.  1)  Man  nehme  als  Curve  HI  einen  Kegelschnitt  und 
eine  Oerade  AtN  (Fig.  15,  Taf.  III).  Auf  dem  Kegelschnitte  nehme  man  die 
6  Punkte  A,  By  (7,  />,  Ey  F  beliebig  an  und  verbinde  sie  duidii  Äift  ^  Gi^xk^^w 


94  Zar  Geometrie  der  Lage. 

AB,BC,CD,DE,EF'y  diese  mögen  die  Gerade  MN  in  den  Punkten  i5„C„  D^.St, 
F^  schneiden ;  man  ziehe  nun  FB^ ,  trifft  diese  den  Kegelschnitt  noch  in  Gy  so 
ziehe  man  G  C^ ,  trifft  diese  noch  in  iT ,  so  ziehe  man  i7/>, ,  trifft  diese  noch 
in  /,  so  ziehe  man  /j?i,  und  trifft  diese  noch  in  JiT,  so  ziehe  man  AI'jPi,  so 
wird  diese  Gerade  den  Kegelschnitt  wieder  in  A  treffen. 

Ferner  bezeichne  man  die  Geraden  AB^  CD^  . . .  FC,  GH^  ...  der 
Reihe  nach,  wie  man  sie  gezogen  hat,  abwechselnd  mit  Q  und  ("),  so  werden 
die  10  Punkte,  wo  immer  eine  mit  (')  und  eine  mit  (")  bezeichnete  Seite  sich 
noch  (ausser  auf  dem  Kegelschnitte  und  auf  MN)  schneiden  —  auf  Einem 
Kegelschnitte  liegen.  — 

2)  Die  vorhin  angenommene  Curve  lU  hat,  wenn  die  Gerade  MN  den 
gegebenen  Kegelschnitt  in  Fund  FT  schneidet,  in  Fund  W  einen  Doppel- 
punkt; wir  wollen  beide  benützen.  In  den  einen  F  wollen  wir  den  Punkt 
Ci,  in  den  andern  W  den  Punkt  E^  verlegen;  so  fallen  in  den  ersten  noch 
die  Punkte  B^  G  und  ^|,  in  den  andern  noch  £,  ^und  /*j.  Die  erste  Seite 
AB  und  die  letzte  K A  wollen  wir  anfangs  ganz  aus  der  Construction  hin- 
weglassen.   Die  vorige  Construction  geht  dann  in  die  folgende  tiber: 

Construction.  2)  Man  ziehe  VC.CByBW  und  VH,HI,  JW  {Fig.  lü^ 
Taf.  ni),  so  dass  sich  CD  und  HI  auf  MN  schneiden;  hierauf  nehme  man  F 
beliebig  an  und  ziehe  VF  und  WF.  (BAnnd  KA  sind  jetzt  bestimmt,  vgl. 
1  des  S.  5.)  Es  müssen  jetzt  folgende  6  Punkte  auf  Einem  Kegelschnitte 
liegen : 

VC,  WI      FV,CD       FF,  WI 
Vff,  WD      FW,  HI      F W,  VC. 

Und  nimmt  man  den  Punkt  A  auf  dem  gegebenen  Kegelschnitte  so  an, 
dass  VA  durch  den  Punkt  geht,  wo  iT/oder  WD  den  zweiten  Kegelschnitt 
zum  zweiten  Mal  trifft,  so  liegen  noch  auf  dem  letztern  die  3  Punkte: 

Fi,  WD         WA,  CD 

oder 
VA,  HI  WA,  VH. 

§.  12. 

Eine  dem  Satze  in  Nr.  4  des  S.  10  entsprechende  Construction,  wozu 
man  Nr.  3  des  S.  8  vergleiche ,  wäre  ferner  die  folgende : 

Construction.  Man  beschreibe  einer  Curve II  ein  gemeines  Sechseck 
ein,  so  werden  sich  die  Gegenseiten  desselben  wie  bekannt  auf  Einer  Ge- 
raden schneiden;  alsdann  beschreibe  man  ihr  noch  ein  solches  Sechseck 
ein,  welches  mit  dem  ersten  eine  Seite  gemeinschaftlich  hat,  und  dessen 
Gegenseiten  sich  auf  der  nämlichen  Geraden  wie  die  des  ersten  schneiden ; 
ferner  bezeichne  man  die  Seiten  beider  Sechsecke  abwechselnd  mitQund("), 
und  zwar  derart,  dass  man  der  gemeinschaftlichen  Seite  in  beiden  Sechs- 
ecken  eni^egengesetzte  Bezeichnung  giebt;  diese  Seite  endlich  betrachte 


Von  M.  Sattelbeboeb.  95 

■10  TOD  nan  an  eIb  gar  nicht  mehr  yorhanden ;  so  müssen  jetzt  die  10  Punkte, 
welche  sich  als  Schnittpunkte  je  einer  Seite  des  einen  Sechsecks  mit  einer 
entgegengesetat  beseichneten  des  andern  ergeben,  auf  Einem  Kegelschnitte 
liegen« 

.§.  13. 

Besondere  Art  einer  Curve  IIL  Ordnung  das  6Seit  einzu- 

beschreiben. 

Fallen  in  der  ersten  Zeichnung  des  $.  3  die  4  Punkte  j4,  B,  D,  F  in 
einem  Doppelpunkte  zusammen,  so  darf  man  nicht  nur  AM nnä  DE ^  son- 
dern auch  noch  A  N  beliebig  ziehen.  Ist  also  F  (Fig.  17,  Taf.  III)  der  Dop- 
pelpunkt, so  ziehe  man  VM,  VP  und  VN\  treffen  diese  die  Curve  HE  noch 
in  C,  J7  und  i?,  so  ziehe  man  CJ7,  trifft  diese  die  Curve  III  noch  in  /,  so  ziehe 
man  EI^  und  trifft  diese  die  Curve  III  noch  inG^  so  ziehe  man  VG^  und 
man  hat  jetzt  wieder  ein  6 Seit,  von  dessen  0  Ecken  8  auf  der  Curve  III 
liegen.  Drei  davon  liegen  im  Doppelpunkte  auf  der  Curve  III,  der  nennte, 
Yon  selbst  auf  die  Curve  III  fallende  Eckpunkt  ist  der  vierte  im  Doppel- 
punkt liegende. 

Haben  wir  z.  B.  einen  Kegelschnitt,  welcher  von  einer  Geraden  MN 
in  V  (Fig.  18,  Taf.  III)  geschnitten  wird,  so  ziehe  man  TCund  VH^  dann 
CJ7,  trifft  diese  die  MN  in  /,  so  ziehe  man  durch  1  die  EG  beliebig,  und 
dann  noch  VE  und  FG,  so  hat  man  der  gegebenen  Curve  II  das  gemeine 
Sechseck  VCHEG  so  einbeschrieben,  dass  die  3  Schnittpunkte  seiner  Ge- 
genseiten auf  MN  liegen.  Im  Punkte  V  fallen  2  Ecken  und  2  Gcgenseiten- 
lehnittpunkte  zusammen. 

§.  14. 

Setzen  wir  in$.  12  statt  des  einen  Sechsecks  ein  solches  besonderes ^  so 
erhalten  wir  folgende 

Construction.  1)  Man  beschreibe  einem  Kegelschnitte  das  ge- 
meine Sechseck  ABCDEF  {Fig.  19*,  Taf.  III)  ein,  dessen  Gegenseiten  sich 
anf  der  Geraden  MN  schneiden  mögen.  Trifft  die  MN  den  Kegelschnitt  in 
r  und  fF,  so  ziehe  man  VB  und  VC  und  die  beliebige  Gerade  FiJ,  so  müs- 
sen stets  die  Punkte  a  und  jJ,  wo  VH  die  D  E  und  ^jP  trifft,  mit  den  4  Punk- 
ten y,  6,  c,  x,  wo  VB  die  CD  und  EF,  und  VC  die  AB  und  EFtnü^t  —  auf 
Einem  Kegelschnitte  liegen. 

y  und  X 


2)  Lässt  man  den  Punkt  a  oder  ß  mit 

6  und  i  I 


gen ,  so  liegt  auch  ß  resp.  a  mit 


7     1»  *l 


.         .in  Einer  Geraden  He- 
in Einer  Geraden.    (Vgl.  hiemit 


yx 
de 


entspricht  die 


auch  die  Construction  in  Nr.  2  des  S.  10;  der  Geraden 

Gerade  BS,  und  dem  Punkte  o  oder  ß  der  Punkt  P  oder  Q») 

3)  Schneidet  VB  den  Kegelschnitt  noch  in  S  (¥\|^.  \^  ^  T%i.  WS^  ^  %^ 


96  Zur  Geometrie  der  Lage. 

ziehe  man  SO,  trifft  diese  denselben  noch  in  7,  so  ziehe  man  F7,  und  suche 
nun  noch  folgende  Schnittpunkte:  die  von  VT  mit  DE  und  AF  («',  ß^\  und 
die  von  ST  mit  AB  und  CD  (|ü,  v),  so  müssen  diese  4  Schnittpunkte  mit  den 
6  vorigen  auf  Einem  Kegelschnitte  liegen ;  und  liegen  die  ^  ersten  auf  2  Ge- 
raden, so  fällt  o'  mit  ß  und  ß^  mit  a  in  dieselbe  jener  beiden  Geraden;  fi 
endlich  fällt  in  die  Gerade,  in  welcher  y  und  x,  v  in  die,  in  welcher  d  und  s 
liegen. 

§.  15. 

Setzt  man  statt  der  beiden  gemeinen  Secksecke  des  S.  12  zwei  solche 
besondere  Sechsecke ,  so  erhält  man  folgende 

Construction.    Man  beschreibe  einem  Kegelschnitte  das  gemeine 
Viereck  VB  WC  (Fig.  20,  Taf.  III)  ein,  ziehe  dessen  beide  Diagonalen  VW 
und  BCj  welche  sich  in  0  schneiden  mögen ;  durch  0  ziehe  man  die  Geraden 
X  Y  und  VZ  beliebig ;  sie  mögen  den  Kegelschnitt  n(«5h  in  E  und  F,  und 
Sund  T  treffen,  so  ziehe  man  TS,  VT,  ^jF  und  WF.    Man  hat  jetzt  dem 
gegebenen  Kegelschnitte    die   beiden  gemeinen   Sechsecke    VBCST  und 
W  BCEFy  deren  Gegenseiten  sich  auf  der  nämlichen  Geraden  FfF  schnei- 
den ,  einbeschrieben ;  man  suche  daher  folgende  Schnittpunkte : 
VB,  WC        VS,  WE      ST,  WB 
VC,  WB        VS,  WF      ST,  WC 
VT,  WE      EF,  VB 
VT,  WF      EF,  VC; 
sie  müssen  alle  10  auf  Einem  Kegelschnitte  liegen. 

Wurde  XYuuä  UZ  so  gezogen,  dass  der  erste,  siebente  und  zehnte 
in  Einer  Geraden  liegen,  so  liegen  auch  der  zweite,  achte  und  nennte  in 
Einer  Geraden ;  auf  die  eine  dieser  Geraden  fallen  noch  der  dritte  und  der 
sechste ,  auf  die  andere  der  vierte  und  fünfte  Schnittpunkt. 

§.  18. 

Lässt  man  in  S.  15  AT  Fund  UZ  in  RK  (Fig.  21,  Taf.  III)  zusammen- 
fallen ,  60  fällt  der  dritte  Schnittpunkt  mit  E  und  S  in  P,  und  der  sechste 
mit  Fund  T  in  Q  zusammen;  der  siebente,  achte,  neunte  und  zehnte  fallen 
ebenfalls  in  die  Gerade  BK]  da  also  von  dem  Kegelschnitte,  auf  welchem 
die  10  Schnittpunkte  liegen,  mehr  als  3  Punkte  in  Einer  Geraden  liegen,  so 
muss  er  in  2  Gerade  zerfallen;  d.  h.  es  müssen  der  erste,  zweite,  vierte  und 
fünfte  Schnittpunkt  in  gerader  Linie  liegen.    Dies  giebt  den 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  zwei  gemeine  Vierecke 
[VB  WC  und  VPWQ]  so  ein,  dass  sie  den  Schnittpunkt  [0]  der  Diagonalen 
und  die  eine  Diagonale  [VW]  gemeinschaftlich  haben,  so  liegen  die  4  Schnitt- 
punkte der  Gegenseiten  [{VB,  WC),  {VC,  WB),  {VP,  WQ)  und  (VQ,  WP)] 
auf  Einer  Geraden. 

Zeichnet  man  ferner  noch  ein  drittes  gemeines  Viereck  V  BWC,  wel- 


Von  M.  Sattelberger.  97 

ehes  mit  dem  ersten  die  Diagonale  BC  gemein  hat,  und  dessen  andere  Dia- 
^nale  V  W  ebenfalls  durch  den  Punkt  0  geht,  so  müssen  also  dessen  Ge- 
genseiten sieh  ebenfalls  auf  jener  Geraden  schneiden,  auf  welcher  die  4 
ersten  Gegenseitenschnittpunkte  liegen;  dieses  dritte  Viereck  hat  aber  mit 
dem  zweiten  VPWQ  nichts  gemein,  als  den  Schnittpunkt  der  Diagonalen. 
Wir  haben  also  den 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  beliebig  viele  gemeine 
Vierecke  ein ,  welche  sämmtlich  den  Schnittpunkt  der  beiden  Diagonalen 
gemeinsam  haben,  so  haben  sie  auch  die  Verbindungslinie  der  Gegenseiten- 
lehnittpunkte  gemein. 

Dieser  Satz  ist  bekanntlich  in  der  Theorie  der  Polaren  wichtig. 

§.  17. 

Einbeschreibung  des  2nSeits  in  die  Curven,  deren  Ordnung 
die  fünfte  übersteigt. 

In  die  Curve  III  konnten  wir  das  6  Seit  stets  einbeschreiben.  ($.  3.) 

In  die  Curve  IV  konnten  wir  das  8  Seit  nur  mit  Hülfe  des  Doppel- 
punktes einbeschreiben.  ($.  5.)  —  Oder  wir  nahmen  solche  Curven  IV, 
welche  aus  Curven  niederer  Ordnungen  bestanden  und  gaben  von  diesen 
nur  eine  oder  einige.  ($.  4.  2),  3),  4)  und  5).) 

In  die  gegebene  Curve  V  konnten  wir  das  10  Seit  nicht  mehr  einbe- 
schreiben ,  sie  musste  aus  einer  Curve  IV  und  einer  Geraden  bestehen ,  und 
es  durfte  nur  die  erstere  gegeben  sein;  diese  musste  ferner  aus  einer  Curve  II 
und  zwei  Geraden  bestehen,  von  welchen  die  eine  die  Curve  II  schneiden 
mnsste.  ($.  10.  l)  und  2).)  —  Oder  die  Curve  V  musste  aus  einer  Curve  III 
and  einer  Curve  11  bestehen,  und  es  durfte  blos  die  erste  gegeben  sein, 
«.  f.  w.  ($.  10.  3)  und  4).) 

Wir  wenden  uns  nun  zu  den  Curven  von  einer  hohem  als  der  fünften 
Ordnung.  Wir  benutzen  hiebei  besonders  den  $.  0. 

1)  Vom  2  n  Seite  können  wir  im  Allgemeinen  auf  die  Curve  n**'  Ord- 
nung, wo  11  =  oder  >4  ist ,  4ii — 4  Eckpunkte  verlegen;  es  müssten  aber, 

damit  alle  Eckpunkte  auf  sie  fallen,  — ^ —  1  derselben  auf  sie  verlegt 

werden ;  nun  ist 

^ 1  —  (4n— 4)  — , 

der  Ausdruck  rechts  ist  positiv  für  n  -=  und  >4;  d.  b.  Einer  Curve,  deren 
Ordnung  die  vierte  oder  eine  höhere  ist,  lässt  sich  das  2 n Seit  im  Allge- 
meinen nicht  derart  einbeschreiben ,  dass  — ^-- — -  —  1  seiner  Ecken  (und 

in  Folge  dessen  alle)  auf  sie  fallen. 

2)  Mit  Hülfe  des  Doppelpunktes  können  wir  vom  2 n  Seit  4n— 3  EckeuL 
auf  die  Carve  n^*'  OräBuog  fallen  lassen;  und  es  ist 

Z^ittehrilt  f.  mthematik  u.  Phytik,  VI,  2.  1 


98  Zur  Geometrie  der  Lage. 

2  ^  ^  2  ' 

der  Ausdruck  rechts  ist  ftir  «  =  4  Null,  für  n>  4  aber  positiv.    D.  h. 

Einer  Cnnre  IV  können  wir  mit  Hilfe  des  Doppelpunktes  ein  2n  (d.  h. 

Acht-)  Seit  so  einbeschreiben ,  dass  — ^^-^^ 1  (d.h.  13)  seiner  Ecken  (und 

in  Folge  dessen  auch  die  übrigen)  auf  sie  fallen;  bei  einer  Cunre  höherer 
Ordnung  geht  dies  aber  nicht  mehr. 

3.  Wir  wollen  nun  solche  Curven  n^'  Ordnung  betrachten,  welche  ans 
einer  Curve  m^^*"  und  einer  n — m^**"  Ordnung  bestehen,  von  welchen  beiden 
aber  blos  die  Curve  m^®'*  Ordnung  gegeben  sei. 

a)  Es  sei  m  =  oder  >  4.  Wir  können  jetzt  auf  die  Curve  m***"  Ord- 
nung 4n  —  4  Eckpunkte  fallen  lassen,  dann  ist  aber  das  2 n  Seit  verzeichnet; 

durch  ^ — der  übrigen  können  wir  die  Curve  der  n  —  m**" 

Ordnung  legen;  es  fallen  also  dann  auf  die  von  beiden  Curven  gebildete 

Curve  ft*®^  Ordnung  * 

.   I   (^ — m)(«  — m  +  3)  ^  , 

4n  —  4+^^ ^--^ — ^  Ecken. 

2 

Dieser  Ausdruck  wird  um  so  grösser,  je  kleiner  m  ist;  setzen  wir  also 

m  =  4 ,  so  wird  er 

^„        .       (n-4)(n— l)_n'  +  3n-4_n(fi  +  3) 
=  4;,_4  + ^ _ _ _^ 2. 

Man  sieht,  dass  bei  der  Curve  IV  nur  noch  ein  einziger  Eckpunkt  fehlt.* 
Gehen  wir  also  bei  der  Einbeschreibung  von  einem   Doppclpunkte   der 
Curve  IV  aus,  so  können  wir  4n  —  3  Ecken  auf  sie  verlegen,  und  die  An- 
zahl der  auf  die  Curve  IV  und  die  Curve  n — 4*®*"  Ordnung  fallenden  Ecken 
des  2nSeits  wird 

^^^       3,   («-4)(^-i)^n(n  +  3) 

2  2  ' 

es  fallen  also  sämmtliche  it' Ecken  auf  diese  beiden  Curven,  und  wir  ha- 
ben den 

Satz.  Beschreibt  man  einer  Curve  IV  ein  2nSeit  ein,  wo  n  =  oder 
>  4  ist ,  und  geht  man  bei  der  Einbeschreibung  von  einem  Doppelpunkte 
der  Curve  IV  aus,  so  kann  man  4n  —  3  Ecken  auf  die  Curve  IV  verlegen; 
dies  sind  so  viele,  dass  noch  3  auf  die  Curve  IV  fallen  (wovon  eine  im 
Doppelpunkte  liegt),  nnd  die  übrigen  n  (n  —  4)  fallen  auf  eine  Curve  n — 4'*' 
Ordnung. 

Dies  giebt  folgende'Erweiterung  der  in  Nummer  2)  des  §.  6  gemachten 
Construction: 

Haben  zwei  Kegelschnitte  den  Punkt  P  gemeinschaftlich,  so  ziehe  man 

durch  ihn  zwei  beliebige  Gerade,  von  denen  jeJe  die  2  Kegelschnitte  in 

noc/i  2  Punkten   treffen   wird;  zweimal  verbinde  man   2  dieser  4  Punkte 


Von  M.  Sattelbehojeh.  99 

«nfs  Neue,  die  beiden  Verbindungslinien  mögen  wieder  jede  die  beiden 
Cnrven  in  noch  2  Punkten  treffen,  und  man  verbinde  wiederum  2  mal  2  die- 
ser 4  Schnittpunkte;  es  werden  sich  wieder  4  Schnittpunkte  ergeben,  diese 
Terbinde  man  nochmals  2  mal;  je  nachdem  man  nun  diesmal  je  2  solche 
Schnittpunkte  verbunden  hat,  welche  nicht  auf  dem  nämlichen  Krgel- 
gchnitte  liegen,  oder  je  zwei  solche,  bei  denen  dies  der  Fall  ist,  gehen  die 
beiden  Verbindungslinien  wieder  durch  den  Punkt  P  oder  nicht.  Im  letz- 
tern Falle  kann  man  die  gemachte  Operation  wiederholen ;  .die  beiden  Ver- 
bindungslinien werden  nämlich  vier  weitere  Schnittpunkte  liefern,  diese 
Terbinde  man  nochmals  durch  2  Gerade ,  und  nun  verbinde  man  von  den 
4  aufs  Nene  entstehenden  Schnittpunkten  2  mal  entweder  je  2  solche,  wel- 
che nicht  auf  der  nämlichen  der  gegebenen  Curven  II  liegen,  oder  je  2 
solche,  bei  denen  dies  der  Fall  ist.  Im  ersten  Falle  werden  die  zwei  Ver- 
bindungslinien wieder  durch  P  gehen ,  im  andern  nicht ,  u.  s.  f.  Man  bo- 
seichne  die  Seitenpaare  bei  der  Ziehung  abwechselnd  mit(')  und(") ;  hat  man 
nSeitenpaare  gezogen,  so  hat  man  auf  der  gegebenen  Curve  IV  ein  sich 
im  Doppelpunkte  wieder  schliessendcs  2;iSeit  gezeichnet;  jedes  Seitenpaar 
bat  mit  dem  ihm  vorhergehenden  sowohl,  als  mit  dem  ihm  folgenden  4 
Punkte  auf  der  gegebenen  Curve  IV  gemein  (das  erste  und  letzte  Seiten- 
paar haben  diese  4  Punkte  im  Doppelpunkte  gemein).  Die  übrigen  n{n  —  4) 
Schnittpunkte  verschiedenartig  bezeichneter  Seitenpaare  liegen  auf  Einer 
Curve  n  —  4***^  Ordnung. 

b.  Es  sei  m  =  3,  so  können  wir  auf  die  Curve  m}^^  Ordnung  3«  —  1 
Ecken  des  2«Seits  fallen  lassen;  die  nicht  gegebene  Curve  n  —  3''*  Ord- 
nung können  wir  durch 

(^-3)(n-3  +  3)  {n  —  Z)n 

2  2 

der  übrigen  Ecken  gehen  lassen;   es  fallen  dann   von  den  ;<* Ecken  des 
2nSeits  auf  die  von  beiden  Curven  gebildete  Curve  n^^"^  Ordnung 
(n-3);i^/i»  +  3yi  — 2^;i(;»  +  3)  _  ^ 
"^2  2  2 

Ecken ;  dies  ist  aber  die  erforderliche  Anzahl. 

Es  sei  ferner  »1  =  2;  auf  die  Curve  II  können  wir  2n  Ecken  verlegen,  die 

,          ^                   .    ^  1           ,                   :i      ,    ('»  — 2)(;j  —  2-f3) 
nicht  gegebene  Curve  n  —  2*®'^  Ordnung  kann  man  durch  ^ 

Ecken  gehen  lassen;  und  es  ist 

"^2                             2                        2                ' 
Es  sei  endlich  m  =  l,  so  können  wir  auf  die  Curve  I  n  Eckpunkte  fal- 
len lassen,  und  die  Curve  n  —  1*"  Ordnung  durch   ^-~ der 

übrigen  Ecken  gehen  lassen ,  und  es  ist 

1^ 


100  Zar  Geometrie  der  Lage. 

,   (n  — l)(ii  +  2)       «•  +  3n— 2       «(n  +  3)    '   , 
^2  2  2 

Es  gilt  also  folgender 

Satz.     Man  kann  bewirken,  dass  von  den  n' Ecken  eines  2nSeit8  aaf 
die  Curve  L,  IL,  III.  Ordnnng  bezüglich  n,  2»,  3n — 1  Ecken  fallen,  nnd 
dies  sind  so  viele ,  dass  die  übrigen  Ecken  sämmtlich  bezüglich  aaf  Einer 
Curve  n  —  1**%  n  —  2*«*^,  n  —  3^'  Ordnung  liegen. 
Oder 

Satz  I.  Zeichnet  man  ein  2 n Seit  so,  dass  n Ecken  desselben  in  ge- 
rader Linie  liegen,  so  liegen  die  n(n — 1)  übrigen  Ecken  auf  Einer  Curve 
n  —  l***"  Ordnung. 

Satz  2.  Beschreibt  man  einer  Curve  11  ein  gemeines  2nEck  ein,  be- 
zeichnet dessen  Seiten  abwechselnd  mit  Q  nnd  ("),  und  sucht  alsdann  die 
nicht  auf  der  gegebenen  Curve  II  liegenden  n{n  —  2)  Punkte ,  wo  immer 
eine  mit  (')  und  eine  mit  (')  bezeichnete  Seite  sieh  schneiden,  so  liegen  die- 
selben sämmtlich  auf  Einer  Curve  n — 2*®''  Ordnung. 

Satz  3.  Beschreibt  man  einer  Curve  m  auf  eine  der  in  §.8  ange- 
gebenen Arten  ein  2nSeit  ein,  so  dass  3n  —  1  von  dessen  Ecken  auf  ihr 
liegen,  so  fällt  auch  die  Sit^*^  Ecke  auf  sie,  und  die  n{n — 3)  übrigen  Ecken 
liegen  auf  Einer  Curve  n  —  3**'^  Ordnung. 

Besteht  die  Curve  III  dieses  3.  Satzes  aus  einer  Curve  II  und  einer 
Geraden,  so  erhält  man  als  den  ersten  Theil  dieses  Satzes  Folgendes: 

Satz  a.  Man  beschreibe  einer  Curve  U  ein  gemeines  2nEck  ein  und 
zwar  wie  folgt: 

Ist  n  ungerade,  so  zeichne  man  zuerst  n  Seiten,  die  n  +  1*%  n  +  2*®,  . . . 
2n—  V^  nehme  man  nach  einander  so  an,  dass  ihre  Schnittpunkte  mit  be- 
züglich der  1*^",  2**",  . . .  «  — l*««»  sämmtlich  auf  Einer  Geraden  liegen;  es 
wird  dann  auch  der  Schnittpunkt  der  2n^®"  mit  der  n^^'^  auf  diese  Gerade 
fallen. 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der  Satz  von  dem  der  Curve  11 
einbeschriebenen  Sechsecke.) 

Ist  n  gerade ,  so  nehme  man  wieder  die  ersten  n  Seiten  beliebig  an, 
die  n  +  V^y  «  +  2*%  n  +  3*%  ...  2«--l*«  aber  der  Art,  dass  ihre  Schnitt- 
punkte mit  bezüglich  der  2*«°,  1*",  4*«",  3*«", n*"  auf  Einer  Geraden 

liegen;  so  wird  auch  der  Schnittpunkt  der  2n*®°  und  der  n  —  1^*"  auf  dieser 
Geraden  liegen. 

Satz  ß.  Man  beschreibe  einer  Curve  II  ein  gemeines  2p Eck  ein, 
lasse  2p  —  J  Seiten  desselben  sich  um  2p  —  1  in  Einer  Geraden  liegende 
Punkt«  drehen,  so  wird  auch  die  2/>**  Seite  sich  um  einen  Punkt  dieser 
Geraden  drehen. 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der  Satz  von  dem  dem  Kegel- 
schnitte einbeschriebenen  Vierecke ,  von  dessen  4  Seiten  3  um  .3  in  Einer 
Geraden  liegende  Tunkte  sich  drehen.) 


Von  M.  Sattelbishg£K.  101 

.  .  • 

E  Bedproke  Sfttie  la  den  wiohtigiten  S&tMtf  der  enten  Abtheilnng. 

(Sätse  über  die  den  CurTen  höhern  Qrades  am«cJ&il9Öenen  Vielecke.) 

§.18.  ••>"•;  , 

Der  reciproke  Satz  za  dem  in  §.  1  aufgestellten  Hauptaatee  heisst : 

^ieht  man  eine  Carve  n}^^  6rades,  welche  -^— — - —  1 'der  w*  gemein- 

•ehaftlichen  Tangenten  zweier  anderer  Curven  des  n^^^  Grades  berühtt ,  so 
berührt  sie  diese  sämmtlichen  gemeinschaftlichen  Tangenten.  '.*'-.' 

§.19. 
Die  einfachste  Curve  des  n^"  Grades  ist  das  System  von  /t  Punkten. 
Zwei  solche  Systeme  von  n  Punkten  wollen  wir  ein  2n£ck  nennen  und  im 
Folgenden  unter  2nEck  nichts  weiter  als  das  verstehen.  Die  Ecken  des 
2s Ecks  sind  jene  2 fi Punkte;  sie  theilen  sich  in  Ecken  der  einen  (')  und 
Ecken  der  andern  Art  (").  Ein  solches  2nEck  hat  fi'Seiten,  d.  h.  Verbin- 
dimgslinien  verschiedenartiger  Ecken. 


Satz.     Zieht  man  eine  Cnrve  des  n^^**  Grades,  welche 
der  it* Seiten  eines  2 n Ecks  berührt,  so  berührt  sie  auch  die  ^  ^  ^ 


2 

)_ 
2 


übrigen  Seiten  desselben. 

Dieser  Satz  enth&It  natürlich  nur  dann  eine  Behauptuug  in  sich,  wenn 
n=  oder  >  3  ist. 

Es  entsteht  nun  wieder  ^ie  umgekehrte  Frage ,  ob  und  wie  man  einer 

Cnrve  «**"  Grades  ein  2nEck  umbeschreiben  könne,  so  dass  -^^ —  1 

2 

senier  Seiten  die  Curve  berühren ;  dann  müssten  die  übrigen ^--^ ^ 

Seiten  die  Curve  von  selbst  berühren. 

§.  20. 

Sowie  eine  Curve  n*^^  Ordnung  im  Allgemeinen  sich  nicht  selbst  schnei- 
det, so  wird  man  auch  in  keinem  Punkte  einer  Curve  n^^^  Grades,  welche 
nicht  ans  Curven  niedereren  Grades  besteht ,  eine  Tangente  an  die  Curve 
legen  können,  welche  dieselbe  in  noch  einem  Punkte  berührt;  wohl  aber 
wird  dies  der  Fall  sein ,  wenn  die  Curve  aus  zwei  oder  mehreren  Curven 
niedereren  Grades  besteht;  in  diesem  Falle  werden  mehrfache  Tangenten 
verbanden  sein. 

Zieht  man  an  eine  Curve  i«^®°  Grades  von  2  nicht  auf  ihr  liegenden 
Punkten  A  und  B  (Fig.  22  Taf.  III)  4  Tangenten,  so  sind,  wenn  man  jene 
2  Punkte  als  Ecken  der  einen  Art  eines  umzuschreibenden  2 »Ecks  be- 
trachtet, durch  diese  4  Tangenten  im  Allgemeinen  sogleich  noch  2  Ecken 
der  andern  Art  C  und  D  jenes  2;tEck8  bestimmt*,  fallen  abet  )^\i^  ^^^.'Ok- 


102  Zur  Gf^ometrie  der  Lage. 

genteu  in  Eine  znsammeii^*  ««>  ^ann  man  schon  durch  unendlich  kleine  Ver- 
schiebung eines  jener  ^f«fieB  Eckpunkte  —  normal  zur  Doppeltangente  —  be- 
wirken, dass  die  bei(fen*feckpunkte  der  andern  Art  auf  der  Doppeltangente 
um  endliche  ^p^cken  fortrücken.  Hat  man  aber  einmal  2  Eckpunkte 
der  einen  usHe^'cShen  Eckpunkt  der  andern  Art  auf  der  Doppeltangente  an- 
genommen und' verschiebt  man  diese  3  Punkte  normal  zur  Doppeltangente, 
60  TCijBchYebt  sich  auch  der  zweite  Eckpunkt  der  andern  Art  nur  normal 
zur'.lVr^jppeltangente.    Es  gilt  also  der 

'  •/•.Satz.    Wenn  wir  bei  Umbeschreibung  des  2 n Ecks  von  einer  Doppel- 
•.l&ngente  der  Curve  «*®"  Grades  ausgehen,  indem  wir  4  Seiten  in  derselben 
•  'annehmen ,  so  dürfen  wir  auf  ihr  2  Ecken  der  einen  und  eine  Ecke  der  an- 
dern Art  beliebig  annehmen;  der  zweite  Eckpunkt  der  andern  Art  ist  nun 
aber  bestimmt  und  muss  sich  im  Verlaufe  der  Construction  von  selbst  er- 
geben. 

§.21. 
(Zu  2  und  3  des  §.  6.) 

1.  Construction.  Es  seien  2  Curven  II  gegeben,  welche  2  gemein- 
schaftliche Tangenten  haben,  die  eine  sei  p  (Fig.  23  Taf.  III);  man  nehme 
|iuf  ihr  die  Punkte  M  und  Q  an ,  und  ziehe  von  ihnen  die  4  noch  möglichen 
Tangenten  c,  /,  g  und  t ;  alsdann  suche  man  deo  Schnitt  von  c  und  g  und 
den  von  /  und  t;  die  beiden  vom  ersten  Schnittpunkte  noch  ziehbaren  Tan- 
genten seien  h  und  t),  die  vom  andern  noch  möglichen  tv  und  s\  nun  suche 
man  wieder  zweimal  den  Schnittpunkt  je  zweier,  z.  B.  den  von  h  und  s  und 
den  von  v  und  w\  es  sei  die  Tangente  vom  .ersten  Punkte  an  den  ersten 
Kreis  /, ,  die  an  den  zweiten  Ar, ,  ebenso  seien  die  vom  2^®"  Punkte  f,  und  Ä-^, 
so  müssen  sich  sowohl  /,  und  Ar,,  als  auch  i^  und  k^  auf  p  schneiden. 

2.  Satz.  Hat  man  zwei  gemeine  Vierecke,  welche  zwei  Gegenecken 
und  die  Diagonale  p  zwischen  den  beiden  andern  Gegenecken  gemeinsam 
haben,  so  schneiden  sich  die  vier  Geraden,  welche  die  Schnittpunkte  der 
Gegenseiten  des  einen  Vierecks  mit  diesen  2  Punkten  im  andern  Vierecke 
verbinden ,  in  2  Punkton  von  p, 

§.22. 
(Zu  2  des  §.  II.) 
Man  ziehe  durch  einen  Punkt  P  (Fig.  24  Taf.  HI)  zwei  Tangenten  v 
und  9v  an  einen  Kegelschnitt  und  nehme  auf  jeder  3  Punkte  an;  zwei  da- 
von, welche  nicht  auf  der  nämlichen  dieser  beiden  Tangenten  liegen,  sollen 
auf  einer  beliebigen  dritten  b  liegen;   durch  die  4  noch  übrigen  Punkte 
ziehe  man  immer  die  zweite  noch  mögliche  Tangente,  dies  gebe  die  Ge- 
raden c,  Ä,  d  und  f.    Sind  nun  die  vier  letzten  Punkte  so  angenommen  wor- 
den, dass  sich  c  und  d,  sowie  h  und  t  auf  Einer  durch  P  gehenden  Geraden 
schneiden,  so  berühren  folgende  0  Gerade  Einen  Kegelschnitt 
G  (vc,w  0 ,         {fv,  c  d) ,         (/•«»,  h  f ), 
(i  (/'  Ä,  w  d) ,         {fr,  w  i) ,         {fn\  c »). 


Von  M.  Sattelbergeb.  1 03 

Zieht  man  an  den  gegebenen  Kegelschnitt  noch  eine  weitere  Tangente 
aio,  dass  der  Pnnkt  av  auf  der  zweiten  dnrch  den  Punkt  hi  oder  den 
rankt  wd  tLU  den  gefundenen  Kegelschnitt  möglichen  Tangente  liegt,  so 
berühren  den  letsteren  Kegelschnitt  noch  folgende  3  Gerade : 
G{av,fvd),  {aWjCd), 

oder 
G{avyhi)y  {aw,ph). 

§.  23. 
(Zu  §.  12.) 

Man  beschreibe  einer  Curve  U  ein  beliebiges  gemeines  Sechseck  um, 
M  werden  die  3  Verbindungslinien  der  Gegenecken  durch  Einen  Tunkt 
gehen;  man  beschreibe  ihr  noch  ein  gemeines  Sechseck  um,  dessen  Ver- 
bindungslinien der  Gegenecken  durch  den  nämlichen  Punkt  gehen,  und 
welches  mit  dem  ersten  eine  Ecke  gemein  hat;  man  bezeichne  die  Ecken 
beider  Sechsecke  abwechselnd  mit  (')  und  ("),  und  zwar  derart,  dass  man  der 
gemeinschaftlichen  Ecke  in  beiden  entgegengesetzte  Bezeichnung  giebi; 
diese  Ecke  betrachte  mau  von  nun  au  als  gar  nicht  mehr  vorbanden;  so 
müssen  jetzt  die  10  Geraden,  welche  sich  als  Verbindungslinien  je  einer 
Ecke  des  einen  Sechsecks  mit  einer  entgegengesetzt  bezeichneten  des  an- 
dern ergeben  —  Einen  Kegelschnitt  berühren. 

§.  24. 

Dem  in  $.  13,  14  und  15  Enthaltenen  entspricht  Folgendes  rcciprok: 

Man  ziehe  an  eine  Curve  II  die  2  Tangentenpaare  c, /"und  c^g  (Fig.  25, 
Tif.  III),  so  bilden  diese  mit  jeder  fünften  Tangente  »  ein  der  Curve  II  um- 
beschriebenes gemeines  Sechseck  ABCDEF-^  die  Verbindungslinien  der 
Gegenecken  sind  als  in  dem  Punkte  Z  sich  schneidend  zu  betrachten ,  wo 
die  Gerade  CF  die  Tangente  v  trifft.  2  Seiten  sowohl,  als  2  Gegenecken- 
verbindungslinien fallen  in  v  zusammen. 

Setzen  wir  dieses  besondere  Secliseck  an  die  Stelle  eines  der  beiden 
Sechsecke  des  vorhergehenden  i*,  so  erhalten  wir  folgende 

Construction.  1)  Man  beschreibe  einem  Kegelschnitte  das  gewöhn- 
liche Sechseck  abcdef  (Fig.  20,  Taf.  III)  um,  dessen  Gegeneckenverbind- 
QDgslinien  sich  in  Einem  Punkte  Z  schneiden  werden;  von  Z  seien  2  Tan- 
genten an  den  Kegelschnitt  möglich,  die  eine  davon  sei  f ;  man  suche  nun, 
wo  V  die  a  und  die  b  schneidet  und  verbinde  diese  2  Punkte  mit  P  {d^e) 
nnd  P (ft,  c) ,  bezüglich  P  {d,  e)  und  P  {(i,f)\  nimmt  man  alsdann  auf  v  noch 
einen  beliebigen  Punkt  H  an  und  verbindet  ihn  mit  P  (c^d)  und  P(e^f)y 
10  berühren  diese  beiden  Geraden  mit  den  4  vorigen  Einen  Kegelschnitt. 

2)  Geht  die  fünfte  dieser  Geraden  mit  der  ersten  und  vierten  oder  mit 
der  zweiten  und  dritten  durch  Einen  Punkt,  so  geht  auch  die  sechste  mit 
der  zweiten  und  dritten ,  bezüglich  ersten  und  vierten  durch  Einen  Pn.\ikC 


104  Zur  Geometrie  der  Lage. 

3)  Man  ziehe  femex  von  H  die  andere  Tangente  s  an  den  gegebenen 
Kegelschnitt,  suche  den  Punkt  Uy  wo  dieselbe  die  Gerade  e  triffit,  ziehe 
von  diesem  Punkte  die  andere  Tangente  i  an  den  Kegelschnitt  und  suche 
den  Punkt  K^  wo  sie  die  Tangente  v  trifft.  Verbindet  man  nun  den  Punkt 
U  mit  den  Punkten  (a,  f)  und  (6,  c),  und  den  Punkt  A' mit  den  Punkten  (c,  d) 
und  {e,  f)i  so  berühren  diese  4  weitern  Geraden  noch  den  in  l)  gefundenen 
Kegelschnitt,  oder  sie  gehen  zu  je  zweien  durch  die  beiden  in  2)  erwähn- 
ten Punkte.  —  Setzt  man  statt  der  beiden  Sechsecke  des  Yorigen  Ssolche 
besondere  Sechsecke,  so  erhält  man  folgende 

Construction.  Auf  einer  Geraden  o  (Fig.  27,  Taf.  III)  nehme  man 
4  Punkte  an  und  ziehe  von  ihnen  die  4  Tangentenpaare  t>,«>,  6,c,  e,fnni  s^t^ 
so  sind  V  best  und  w  bcef  2  solche  besondere  gemeine  Sechsecke;  man 
suche  nun  folgende  Verbindungslinien: 

G{vb,fvc),       (vs^we),        {viywe),       {si^wb), 

G{VCjfVb)y  (VSyWf),  {viyfVf)y  {S  t  ,    W  C)  y 

{efyVb)y 

{efyVC); 

sie  mtissep  alle  10  Einen  Kegelschnitt  berühren. 

Nehmen  wir  ferner  die  Punkte  (e,  f)  und  (f,  i)  so  an ,  dass  die  siebente 
und  die  zehnte  Gerade  mit  der  ersten  durch  Einen  Punkt  gehen,  so  gehen 
auch  die  achte  und  die  neunte  mit  der  zweiten  durch  Einen  Punkt;  und 
durch  den  einen  dieser  Punkte  gehen  noch  die  dritle  und  die  sechste,  durch 
den  andern  die  vierte  und  die  fünfte. 

§.25. 

(Zu  §.  lö.) 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  2  gewöhnliche  Vierecke 
um ,  welche  die  Verbindungslinie  der  Gegenseitenschnittpunkte ,  sowie  den 
einen  Gegenseitenschnittpunkt  gemeinschaftlich  haben ,  so  gehen  die  4  Dia- 
gonalen der  beiden  Vierecke  durch  Einen  Punkt. 

Und  hieraus  leitet  sich  einfach  ab  der 

Satz.  Beschreibt  man  einem  Kegelschnitte  mehrere  gewöhnliche 
Vierecke  um,  welche  sämmtlich  die  Verbindungslinie  der  Gegenseiten- 
schnittpunkte gemeinsam  haben ,  so  haben  dieselben  auch  den  Schnittpunkt 
der  Diagonalen  gemeinschaftlich. 

§.  26. 
Reciproke  Sätze  zu  den  Sätzen  er  und  ß  in  %,  17. 

Satz  er.  Man  beschreibe  einer  Curve  11  ein  gemeines  2nEck  um,  und 
zwar  wie  folgt: 

Ist  n  ungerade,  so  zeichne  man  zuerst  ii Ecken,  die  n  +  1*«,  n  +  2**, 
w+  3*%  ....  2«  —  1**"  nehme  man  nach  einander  so  an,  dass  ihre  Verbind- 


Von  M.  Sattelberger.  105 

DnffsKiiien  mit  bezllglich  der  1*",  2*««,  3***% n  — 1»«°  sämmtlicb  durch 

Einen  Punkt  gehen;  es  wird  dann  auch  die  Verbindungslinie  der  2n^^'^ 
ond  n^  Ecke  durch  diesem  Punkt  gehen. 

Ist  n  gerade,  so  nehme  man  wieder  die  ersten  n  Ecken  beliebig  an,  und 
nehme  dann  die  n  +  !*•,  n  +  2*«,  n  +  3*",  n  +  4^%  ...  2«  —  1^  so  an ,  dass 

ihre  Verbindungslinien  mit  bezüglich  der  2^«",  1**",  4*«°,  3^", fi^«°  sich 

in  Einem  Punkte  schneiden;  es  wird  dann  auch  die  Verbindungslinie  der 
tn^^  mit  der  n —  1**"  Ecke  durch  diesen  Punkt  gehen. 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der  Satz  von  dem  dem  Kegel- 
schnitte umbeschriebenen  Sechsecke.) 

Satz  ß.  Man  beschreibe  einer  Curve  II  ein  gemeines  2p  Eck  um,  und 
lasse  2p — 1  Ecken  desselben  auf  2p  —  1  festen  Geraden,  die  sich  in  Einem 
Pvnkte  schneiden,  fortrücken,  so  rückt  auch  die  2p^®  Ecke  auf  einer  durch 
diesen  Punkt  gebenden  Geraden  fort. 

(Der  einfachste  Fall  dieses  Satzes  ist  der  Satz  von  dem  dem  Kegel- 
schnitte umbeschriebenen  Vierecke ,  von  dessen  4  Ecken  3  auf  3  durch  Ei- 
nen Punkt  gehenden  Geraden  fortrücken.) 

m.  Anwendungen  dei  in  §.  1  anfgeitellten  Sattei  in  der  Lehre,  von 

der  BeTtlhning. 

§.27. 

Die  eine  der  beiden  sich  schneidenden  Curven  n^^"^  Ordnung  sei  eine 
Corvo  n^^  Ordnung  im  Allgemeinen ,  die  andere  ein  System  von  n  Geraden. 
Lassen  wir  die  letzteren  zusammenfallen ,  so  erhalten  wir  folgenden 

Satz.    Man  ziehe  eine  Gerade,  welche  eine  Curve  n^^**  Ordnung  in 

n Punkten  scheidet;  ist  m+3  gerade,  so  ziehe  man  nun  eine  Curve  «*"  Ord- 

w4-3 
Hang,  welche  die  gegebene  Curve  n|*'  Ordnung  in 1  jener  n  Punkte 

M      I       ^ 

nach  der  «**°  und  im *®"  nach  der  n —  1**"  Ordnung  berührt,  so  beruh- 

rcn  sich  die  beiden  Curven  in  allen  w  Punkten  nach  der  «*•"  Ordnung.  (Be- 
rühren nach  der  ra^®"  Ordnung  wird  in  diesem  S  so  verstanden ,  dass  das 
Schneiden  als  ein  Berühren  nach  der  ersten  Ordnung  erscheint.) 

Für  die  Curve  der  III.  Ordnung  heisst  dieser  Satz : 

Satz.  Berühren  sich  2  Curven  lU  in  den  Punkten  P  und  0  nach  der 
ni.  Ordnung,  und  findet  auf  der  Geraden  PQ  noch  eine  gewöhnliche  Be- 
rührung zwischen  beiden  statt,  so  wird  diese  auch  zur  Berührung  IH.  Ord- 
nung. 

§.  28. 

1)  Lehrsatz.  Zwei  Curven  II  mögen  sich  in  den  Punkten  P|,  P«,*/', 
und  P^  (Fig.  28,  Taf.  III)  schneiden ;  man  ziehe  P,  M  und  P,  N  beliebig  und 
verbindo  P«  und  P^;  schneiden  P^  M  und  P^li  noch  in  E ^  H  uüdi  F  ^octAl^ %^ 


106  Zur  Goometrio  der  Lage. 

ziehe  man  EF  und  HI\  wir  haben  jetzt  folgende  zwei  Cnrven  III :  die  Brate 
Cnrve  II  and  die  Gerade  J7i,  die  zweite  Cnrve  II  and  die  Gerade  EF^  eine 
dritte  Curve  III  ist  das  System  der  3  Geraden  P\M^  P,iVnnd  ^3^4;  diese 
3  Curven  III  haben  die  8  Schnittpunkte  Pj,  P^y  Ey  F^  H^  /,  P,  und  P^  gemein- 
schaftlich ,  sie  müssen  also  auch  den  neunten  Schnittpunkt  gemeinschafUieh 
haben,  d.  h.  EF^  HI  und  P9P4  müssen  sich  in  Einem  Punkte  schneiden. 

2)  Lassen  wir  P,  und  P,  zusammenfallen ,  so  erbalten  wir  den 

Satz.  Zwei  Kegelschnitte  sollen  sich  im  Punkte  P  (Fig.  29,  Taf.  TIl) 
berühren  und  noch  in  den  Punkten  P^  und  P4  schneiden ;  zieht  man  PM 
und  PiV' beliebig,  und  schneidet  die  erste  (Gerade  die  Kegelschnitte  noch 
in  E  und  H,  die  andere  in  jFund  /,  so  schneiden  sich  die  3  Geraden  EF^ 
HI  und  PjPi  in  Einem  Punkte. 

3)  Lassen  wir  P,  und  P4  zusammenfallen ,  so  erhalten  wir  den 
Satz.  Zwei  Curven  11  sollen  sich  im  Punkte  P  (t'ig.  30, Taf.  III)  be- 
rühren und  in  den  Paukten  P,  und  P,  schneiden;  zieht  man  P,  M  und  P^N 
beliebig ,  und  schneiden  diese  Geraden  die  Kegelschnitte  noch  in  E  und  if, 
bezüglich  F  und  /,  so  schneiden  sich  die  Geraden  EFunä  HI  auf  der  bei- 
den Kegelschnitten  in  P  gemeinschaftlichen  Tangente. 

4)  LSsst  man  P,  mit  P|  und  P4  mit  P3'  zusammenfallen,  so  erhftlt 
man  den 

Satz.  Berühren  sich  2  Curven  II  in  P^  und  in  P,,  und  zieht  man  die 
Geraden  P|  M,  P,  N,  welche  die  erste  Curve  noch  in  E,  H^  die  zweite  noch 
in  F  und  /  schneiden ,  so  schneiden  sich  EH  und  FI  auf  der  Tangente  des 
Punktes  Pj. 

5)  Lässt  man  P,  mitP,  und  P4  mitP,  zusammenfallen,  so  ergiebt  sich  der 
Satz.    Berühren  sich  2  Kegelschnitte  in  P,  und  in  P,,  und  zieht  man 

die  Geraden  P,  M,  P,  iV,  welche  die  eine  Curve  noch  in  E  und  H,  die  andere 
noch  in  F  und  /  treffen,  so  schneiden  sich  EH  und  FI  auf  Pj  Pj. 

6)  Lassen  wir  P, ,  P,  und  P,  zusammenfallen ,  so  erhalten  wir  den 
Satz.  Osculiren  sich  2  Kegelschnitte  in  P  (Fig.  31,  Taf.  III)  and  schnei- 
den sie  sich  noch  in  P4,  so  ziehe  man  Pif  und  PJV  beliebig;  schneiden  PM 
und  PiV  die  Kegelschnitte  noch  in  E  und  ZT,  bezüglich  F  und  /,  so  schnei- 
den sich  EF  und  HI  auf  PP4. 

7)  Lassen  wir  P,,  P4  und  P,  zasammenfallen ,  so  erhalten  wir  den         • 
Satz.  Osculiren  sich  2  Kegelschnitte  in  P (Fig. 32,  Taf.  III)  und  schnei- 
den sie  sich  noch  in  P| ,  so  ziehe  man  P^M  und  PiV;  schneiden  diese  Ge- 
raden die  Kegelschnitte  noch  in  E  und  //,  bezüglich  F  und  /,  so  schneiden 
sich  EF  und  HI  auf  der  im  Osculationspuiikte  gemeinschaftlichen  Tangente. 

8)  Fallen  endlich  P, ,  P,,  P,  und  P,  zusammen,  so  ergiebt  sich  der 
Satz.    Berühren  sich  2  Kegelschnitte  inP  (Fig.  33,  Taf.  III)  nach  der 

gewöhnlich  dritten  Ordnung  genannten  Ordnung,  und  zieht  man  die  be- 
hchjgen  Geraden  PM  und  PN,  welche  die  Kegelsclmitte  noch  in  Ä,  //,  be* 


Von  M.  Sattelberger.  107 

iflglich  Fund  /schneiden,  so  schneiden  sich  EF  und  Bf  auf  der  im  l*nnkte 
P  gemeinschaftlichen  Tangente. 

§.  29. 
Satz.  Durch  zwei  Punkte  Pm\d  Q  (Fig. 34,  Taf.  III)  löge  man  3  Kegel- 
schnitte, der  erste  und  zweite  mögen  sich  noch  in  P,  und  Q^,  der  erste  und 
dritte  noch  in  P^  und  Öa»  ^^r  zweite  und  dritte. noch  in  P,  und  0^  schneiden; 
lioht  man  die  3  Geraden  PiQ^  PtO%  und  P^O^i  so  hat  man  3  Curven  III, 
die  eine  besteht  aus  dem  ersten  Kegelschnitte  und  P,  Oi )  die  andere  aus 
dem  zweiten  Kegelschnitte  und  P^Of,  die  dritte  aus  dem  dritten  Kegel- 
schnitte und  P^Os]  sie  gehen  alle  drei  durch  die  8  Punkte  P,  ö,  P,,  (),,  />j,  £>,, 
^it(^i>  CS  müssen  also  auch  ihre  3  neunten  Schnittpunkte  zusauimcnfalleu, 
d.h.  die  3  Geraden  P,  Oi »  ^lOi»  ^aös  gehen  durch  Einen  Punkt. 

§.30. 

Ebenso  folgt 

Satz.  Schneidet  eine  Curve  II  eine  Curve  III  in  den  Punkten  J,  ^, 
(',/>,  E  und  F  (Fig.  35,  Taf.  III)  und  man  zieht  die  Geraden  AD,  BE  und 
CFy  welche  die  Curve  III  noch  in  C,  J7und  /  schneiden,  so  liegen  G,  H  und 
/  in  Einer  Geraden. 

Lassen  wir  die  3  Punkte  A,  B  und  C  zusammenfallen,  so  erhalten  wir  den 

Satz.  Osculirt  eine  Curve  II  eine  Curve  III  in  P  (Fig.  30,  Taf.  III) 
nnd  schneidet  sie  dieselbe  noch  in  2>,  ^  und  P ,  und  man  zieht  die  3  Ge- 
raden PD^  PE,  PF,  welche  die  Curve  III  noch  in  G,  /Tnnd  /  schneiden,  so 
liegen  G^  U  und  /in  Einer  Geraden. 

§.  31. 
Beciproke  Sätze  zu  den  Sätzen  von  .<».  28  nnd  29. 

Satz.  Haben  2  Kegelschnitte  die  4  gemeinschaftlichen  Tangenten  p^, 
PtiPtj  Pii  zieht  man  von  dem  beliebigen  Punkte  M  der  ersten  Tangente 
die  beiden  andern  Tangenten  enndh,  eben  so  von  einem  beliebigen  Punkte 
iVder  zweiten  die  beiden  andern  Tangenten  /und  i,  so  liegen  der  Schnitt- 
punkt von  c  und  f  und  der  von  h  und  i  mit  dem  von  p^  und  p^  auf  Einer 
Geraden. 

Satz.  (Wir  lassen  p,  und  p^  znsammenfallen.)  Zwei  Kegelschnitte 
mögen  sich  im  Punkte  P  berühren ,  nnd  ausserdem  noch  die  Tangenten  /»i 
and  Pf  gemeinschaftlich  haben;  man  ziehe  von  einem  beliebigen  Pnnkta 
von  Pi  die  beiden  noch  möglichen  Tangenten  e  nnd  h,  und  ebenso  von 
einem  beliebigen  Punkte  vonp,  die  Tangenten  /und  i,  so  liegen  der  Schnitt- 
punkt von  e  und  /  und  der  von  h  und  t  mit  dem  Berührungspunkte  P  auf 
Einer  Geraden. 

Satz.  (Wir  lassen ;>,  und/?,  zusammenfallen.)  Berühren  sich  2  Kegel- 
schnitte, ist  die  im  Bcrüiirungspunkte  gemeinschaftliche  Tangente  p,  und 
liabon  sie  ausserdem  noch  die  Tangenton  p^  und  p^  go,mvj\\\ii<:\\Ä.l^X\t\\  ^  v»^ 


108  Zur  Geometrie  der  Lage.    Von  M.  Sattelberqer. 


siebe  man  von  einem  beliebigen  Punkte  von  p  die  beiden  noch  möglichen. 
Tangenten  e  und  A,  von  einem  andern  Punkte  von  p  die  Tangenten  fund  f\ 
80  liegt  der  Schnittpunkt  von  p,  und  p^  mit  dem  von  e  nnd  f  und  dem  von 
h  und  t  in  Einer  Geraden. 

Satz.  (Wir  lassen  Pi,Pt  und  p,  zusammenfallen.)  Oscnliren  sich 
2  Kegelschnitte ,  ist  die  im  Oscnlationspunkte  gemeinschaftliche  Tangente 
p,  und  die  andere  noch  gemeinschaftliche  Tangente  p«,  so  ziehe  man  von 
2  beliebigen  Punkten  von  p  die  Tangentenpaare  e,  h  und  /*,  t,  so  liegen  der 
Schnittpunkt  von  e  und  /*,  der  von  h  und  t  und  der  von  p  und  p«  in  Einer 
Geraden. 

Satz.  (Wir  lassen  p,,  p,  und  p«  zusammenfallen.)  Oscnliren  sich 
2  Kegelschnitte ,  ist  die  im  Oscnlationspunkte  gemeinschaftliche  Tangente 
p ,  und  die  andere  noch  gemeinschaftliche  Tangente  pi ,  so  siehe  man  von 
einem  beliebigen  Punkte  der  ersten  die  beiden  noch  möglichen  Tangenten 
e  und  A,  von  einem  beliebigen  Punkte  der  andern  die  Tangenten  /'und  t, 
80  liegen  der  Schnittpunkt  von  e  und  f  und  der  von  h  und  i  mit  dem  Oscn- 
lationspunkte in  Einer  Geraden. 

Satz.  (Wir  lassen  Pt  >  Pt«  Ps  undpi  zusammenfallen.)  Es  sollen  sich 
2  Kegelschnitte  nach  der  gewöhnlich  dritten  Ordnung  genannten  Ordnung 
berühren ,  p  sei  die  im  Berührungspunkte  gemeinschaftliche  Tangente ;  man 
ziehe  von  2  beliebigen  Punkten  vonp  die  Tangentenpaare  e,  h  und  fy  t ,  so 
liegen  der  Schnittpunkt  von  e  und  f  und  der  von  h  und  t  mit  dem  Berühr- 
ungspunkte der  beiden  Kegelschnitte  in  Einer  Geraden. 

Der  reciproke  Satz  zu  dem  Satze  des  S.  29  lautet : 

Satz.  Man  beschreibe  dem  Winkel  p  q  (Fig.  37,  Taf.  III)  drei  Kegel- 
schnitte ein,  der  erste  und  zweite  sollen  noch  die  gemeinschaftlichen  Tan- 
genten pa  und  ^3,  der  erste  und  dritte  p,  und  g,,  und  der  zweite  und  dritte 
Pi  und  9|  haben,  so  liegen  der  Schnittpunkt  von  pi  und  qi ,  der  von  p,  und  q^ 
und  der  von  p,  und  q^  in  Einer  Geraden. 

Lassen  wir  in  diesem  Satze  die  beiden  Tangenten  p  und  9,  und  im 
Satze  des  $.  20  die  beiden  Punkte  P  und  Q  zusammenfallen ,  so  erhalten 
wir  den 

Satz.  Berühren  sich  3  Kegebchnitte  in  Einem  Punkte,  und  hat  der 
erste  mit  dem  zweiten  noch  die  Punkte  P,,  Q^  und  die  Tangenten  p«  und  9,, 
der  erste  mit  dem  dritten  noch  die  Punkte  P|,  Q^  und  die  Tangenten  P|,  qt 
.und  der  zweite  mit  dem  dritten  noch  die  Punkte  Pi ,  Qi  und  die  Tangenten 
Pu  9i  gemein,  so  schneiden  sich  die  3  Geraden  PtOi^  P^Qt^  P%Ot  in  Einem 
Punkte ,  und  die  3  Punkte  p,  q^  ^  P%qty  Ps^s  liegen  auf  Einer  Geraden. 


V. 

Ueber  den  mittlem  Fehler  der  Eettenmesstmgen. 

Von  Prof  Dr.  A.  Winoklee  in  Gratz. 


Die  vielfachen  Anwendungen ,  welche  die  Messkette ,  mancher  unver- 
kennbaren Vortheile  wegen,  täglich  findet,  obgleich  nicht  wenige  Prak- 
tiker sich  unbedingt  gegen  dieselben  ausgesprochen  haben,   waren  wohl 
die  Veranlassung,  dass  die  Frage  nach  der  Genauigkeit,  welche  jenes  Mess- 
werkseug  gewährt,  auf  sehr  verschiedenen  und  auch  in  den  Resultaten  nicht 
mit  einander  übereinstimmenden  Wegen  zu  beantworten  gesucht  wurde. 
80  wurde  aus  den  in  alle  Lehrbücher  der  praktischen  Geometrie  Überge- 
giogenen  Formeln ,  welche  meines  Wissens  zuerst  im  ersten  Bande  (S.  154) 
des  Werkes  von  Tob.  Mayer  mitgetheilt  worden  sind,  der  Satz  abge- 
leitet, dass  der  Fehler  einer  Kettenmessung  der  Länge  der  gemessenen 
Linie  direct ,  der  Länge  der  Kette  aber  indirect  proportional  sei ;  manche 
Erfahrungen  schienen  diesen  Satz  zu  bestätigen,  manche  aber  widerspra- 
chen ihm  offenbar.   Aus  anderen  Betrachtungen  erhielt  man  zwar  keinen 
Anfschlnss  über  die  Einwirkung  der  Kettenlänge  auf  den  Messungsfehler, 
dtgegen  stellte  sich  heraus,   dass  derselbe  proportional  mit  der  Quadrat- 
wurzel aus  der  Länge  der  gemessenen  Linie  wächst;  aus  der  Combination 
wirklicher  und  sorgfältig  angestellter  Beobachtungen  schien  dagegen  das 
flberraschende  Resultat  zu  folgen ,  dass  der  Fehler  überhaupt  nicht  mit  der 
Länge  der  Linie  wachse,  sondern  in  einer  längern  Linie  geringer  sei,  als 
in  einer  kürzern.    U.  s.  w. 

Gegen  die  bis  jetzt  bekannten  theoretischen  Erörterungen  dieser 
Frage,  welche  keineswegs  ohne  Interesse  ist,  lässt  sich  mancherlei  ein- 
wenden. Setzt  man  nämlich,  wie  dies  nothwendig  geschehen  muss,  voraus, 
dass  die  Messung  unter  normalen  Umständen  stattfinde ,  welche  keine  der 
gewöhnlichen  Fehlerquellen  unwirksam  machen  oder  grobe  Fehler  begün- 
stigen, und  berechnet  man  den  möglichen  Einfluss,  welchen  jede  einzelne 
Fehlerquelle,  soweit  sich  dieselbe  überhaupt  verfolgen  lässt,  auf  einen 
Ketteuzug  ausüben  kann ,  so  ist  hierdurch  die  Frage  durchaus  noch  nicht 
beantwortet,  denn  hiezu  ist  erforderlich,  dass  die  Grösse  äies¥^\s\.^x^\^^- 


ilO  lieber  den  mittlem  Fehler  der  Ketten mcssungcn. 

stimmt  werde,  welcher  aus  der  Concurrenz  aller  jeuer  Fehlerquellen  her- 
vorgehend, sowohl  in  dem  einzelneu  Kettenzug  als  in  der  ganzen  Linie  zu 
befürchten  ist.  Diese  Bestimmung  aber  macht  die  allgemeine  Formulirung 
des  Ausdrucks  für  den  mittlem  Fehler  in  ähnlicher  Weise  nöthig,  wie 
ich  dieselbe  in  dem  Aufsätze  „Ueber  die  Genauigkeit  einer  besondern  Art 
von  Nivellirinstrumenten^^  im  4.  Bande*  dieser  Zeitschrift  entwickelt  habe. 
—  Ich  wende  mich  zur  Sache. 


Um  in  der  angegebenen  Art  die  mittlere  Gesammtwirkung  der  mög- 
licherweise influirenden  Fehlerquellen  bestimmen  zu  können,  müssen  die- 
selben zunächst  einzeln  betrachtet  werden,  wobei,  wie  sich  von  selbst  ver- 
steht ,  die  Voraussetzung  gemacht  wird ,  dass  die  Messung  von  geübten  Ge- 
hilfen und  nicht  unter  aussergewöhnlichen  Umständen  ausgeführt  werde. 

-  1.  Wenn  der  hintere  Kettenzieher  seinen  Kettenstab  nicht  genau  im 
richtigen  Punkte  einsteckt,  oder  es  nicht  verhindert,  dass  derselbe  durch 
den  Zug  der  Kette  aus  seiner  Stelle,  wenn  auch  nur  um  ein  Geringes,  ge- 
rückt werde,  oder  wenn  er  den  Kettenstab,  um  diese  Verrückung  abzuhal- 
ten, zu  fest  an  sich  heranzieht  und  nach  rückwärts  neigt,  so  entsteht  aus 
diesen  Ursachen  ein  Fehler  in  der  Lage  des  Anfangspunktes  der 
Kette,  welcher  seiner  Natur  nach  ebenso  leicht  eine  Vergrösserung ,  als 
eine  Verkleinerung  des  Messungsresultats  zur  Folge  haben  kann  und  daher 
unter  die  unregelmässigen  Beobachtungsfehler  gehört.  Da  er  sowohl 
positiv  als  negativ  gedacht  werden  kann,  so  möge  er  durch  yi  bezeichnet 
werden. 

2.  Die  Justirung  der  Kette  kann  immer  nur  auf  eine  bestimmte  Span- 
nung derselben  bezogen  werden ,  und  zwar  liefert  sie  nur  dann  die  richtige 
Kettenlänge,  wenn  der  Kette  genau  diejenige  Spannung  ertheilt  wurde, 
welche  bei  der  Messung  einer  Linie  ebenso  leicht  überschrit- 
ten als  nicht  erreicht  wird.  Dieser  Forderung  wird  wohl  nie  gani 
scharf  entsprochen  werden  können  und  daher  der  Werth  von  /,  welcher 
durch  das  Verfahren  der  Justirung  sich  für  die  Kettenlänge  ergiebt,  mit 
einem  constanten  Fehler,  welcher  durch  c  vorgestellt  werden  mag,  be- 
haftet sein ,  so  dass  also  /  +  c  die  richtige  Länge  der  Kette  ist. 

3.  Bei  der  Messung  einer  Linie  wird  die  Länge  der  Kette  grösser  oder 
kleiner  als  l+c  sein ,  je  nachdem  die  soeben  bezeichnete  normale  Span- 
nung überschritten  oder  nicht  erreicht  wird. 

Um  den  Betrag  dieser  Aenderung  zu  bestimmen ,  muss  man  erwägen, 
dass,  obgleich  die  Kette  nicht  aus  einem  einzigen  Stücke  besteht,  sondern 
aus  einzelnen  Stäben  und  den  sie  verbindenden  Ringen  zusammengesetzt 
ist,  dieselbe  dennoch,  wenigstens  näherungsweiso,  als  ein  elastischer  Draht 
gedacht  werden  darf,  welcher,  wie  diess  aus  der  Theorie  der  elastischen 
Körper  bekannt  ist,  bei  gleicher  ausdehnender  Kraft,  eine  seiner  Länge 


Von  Dr.  Ä.  Winckler.  111 

direct  proportionale  Ansdehnnng  annimmt.  Da  nan  diese  LängenMndernng 
ebensowohl  positiv  als  negativ  sein  kann ,  so  werde  ich  sie  durch  / .  ^y  be- 
leichnen ,  so  dass  nnnmehr  die  Länge  t  eines  Kettensages  unter  der  Form : 

erscheint. 

4.  Liegen  die  Endpunkte  der  Kette  nicht  genau  in  der  Richtung  der 
ni  messenden  Linie ,  wie  diess  im  Allgemeinen  angenommen  werden  muss, 
so  kann  die  Abweichung  des  einen  Endpunktes ,  unabhängig  von  jener  des 
andern ,  obensowohl  auf  die  rechte  als  auf  die  linke  Seite  der  Linie  fallen, 
and  es  mögen  daher  diese  Abweichungen  durch  j/z  und  y~t  bezeichnet  wer- 
den. In  Folge  derselben  ist  aber  ftlr  den  Kettenzng  nicht  f^  sondern  nur 
deren  Projection ,  nämlich : 

so  setzen ,  und  ist  daher  der  Messungsfehler  v  eines  Kettenzuges  bestimmt 
dnreh  die  Gleichung: 

v=y[i  +  c  +  Vx  +  ly^^  -[n  +  yJY  -i 

Qm  deren  Aufstellung  es  sich  vor  Allem  gehandelt  hat. 

2. 

Man  erhält  sofort  das  mittlere  Quadrat  dieses  Beobachtungsfehlers, 
wenn  man ,  nacheem  ^derselbe  in  die  zweite  Potenz  erhoben  und  die  Ent- 
Wickelung  der  einzelnen  Glieder  ausgeführt  worden  ist,  alle  diejenigen 
Glieder  weglässt^  welche  wegen  des  Wurzelzeichens  ebensowohl  positiv 
tls  negativ  sein  können.  Bezeichnet  man  dieses  mittlere  Fehlerquadrat  mit 
fi*,  so  ergiebt  sich  zunächst: 

v^=[i  +  c  +  yx  +  ly^Y -[Vl+rtV  +  ^  ■ 
^21  .]/[i  +  c  +  yx  +  iryY  -[Vt  +ytY 

Man  kann  diesen  Ausdruck,  wenigstens  nähernngsweise,  in  rationeller  Form 
darstellen.  Die  Wurzelgrösse  lässt  sich  nämlich  in  eine  Reihe  entwickeln 
nnd  es  reicht  hin ,  wenn  man  blos  die  drei  ersten  Glieder  derselben  beibe- 
hält ,  welche  zusammen  den  Ausdruck : 

bilden,  wovon  man,  weil  c^  x,  y  gegen  /  sehr  klein  sind,  wieder  nur  die 
Glieder  Zweiter  Ordnung  beizubehalten  braucht,  so, dass  man  im  Ganzen 
erhält: 

^«  =  (/  +  ^)«  +  a:  +  /«y-(r +  /)  +  /* 

oder,  da  dieser  Ausdruck  einer  Vereinfachung  fähig  ist: 

.      ^.       j./f       .    c{z+t)    ,    z*  +  6zl  +  t* 


112  Ueber  den  mittlem  Fehler  der  Kettenmessungen. 

Es  ist  kein  Grund  vorbanden,  anzunehmen,  dass  der  mittlere  Fehler,  wel- 
cher heim  Einrichten  des  einen  Kettenstabes  in  die  Linie  zu  befürchten  ist, 
grösser  oder  kleiner  sei,  als  er  beim  andern  war;  man  muss  daher  <=z 
setzen ,  und  erhält  schliesslich : 

f*"=c»  +  ar  + /«y  +  —  +  y- 

Um  nun  den  mittlem  Fehler  M  einer  unter  gleichen  Umständen  mit 
der  Kette  gemessenen  Linie  L  zu  bestimmen,  muss  man  bemerken,  dass 
die  Messungen  der  iiKettenzüge,  aus  welchen  die  Linie  besteht,  insge- 
sammt  von  einander  nnabhängig  sind,  dass  aber  gleichwohl  der  mittlere 
Fehler  für  jeden  derselben  fi  ist ,  und  also  *) 

oder ,  da  hinreichend  genau : 


L  ==  nly  oder  also  w  =  - 


gesetzt  werden  kann: 


«=/4^  +  "  +  ^^T^'] 

welches  nun  die  verlangte  Form  für  den  mittlem  Fehler  der  Kettenmes- 
snng  mit  Rücksicht  auf  alle  wesentlichen  Fehlerquellen  ist. 

3. 

Es  ist  nicht  ohne  Interesse ,  diesen  Ausdruck  etwas  näher  zu  betrach- 
ten, weil  sich  dadurch  ergeben  wird*,  von  welchen  Umständen  das  Wach- 
sen oder  Abnehmen  des  mittlem  Fehlers  der  Kettenmessuug  vorzugsweise 
abhängt.    Man  findet: 

1.  Der  mittlere  Fehler  der  Kettenmessungen  ist  nicht  geradezu  der 
Länge  L  der  gemessenen  Linie,  sondern  nur  deren  Quadratwurzel  pro- 
portional. 

2.  Der  aus  der  ungleichmäss.igen  Spannung  der  Kette  entspringende 
Theil  des  mittlem  Fehlers  ist  um  so  grösser,  je  länger  die  Kette  ist,  und 
zwar  wächst  ^derselbe ,  wenn  man  von  allen  übrigen  Fehlereinfiüssen  ab- 
sieht ,  im  Verhältnisse  der  Quadratwurzel  der  Kettenlänge. 

3.  Der  Einfiuss  des  Fehlers  in  der  Justirung,  und  in  der  Lage  des 
Anfangspunktes  der  Kette ,  sowie  wegen  der  Abweichung  vom  Alignement 
ist  um  so  geringer,  je  länger  die  Kette  ist.  Obgleich  sich  diess  voraussehen 
Hess,  so  muss  doch  bemerkt  werden,  dass  diese  Abnahme  keineswegs  im 
einfachen  Verhältnisse  der  Kettenlänge,  sondern  in  geringerm  Maasse  statt- 
findet. 


*)  Gauss y  Theoria  combin.  obserr.  errorib.  min.  obnoxiae.    Art.  18. 


Von  Dr.  A.  Wingkler.  113 

4*.  Der  mittlere  Fehler  M  erreicht  für  eine  den  übrigen  Umständen 

A  m 
entsprechende  Kettenlftnge  ein  Minimum.    Setzt  man  nämlich  ----  =  0, 

dl 

«oergiebt  sich  zur  Bestimmung  von  /  die  folgende  Gleichung  vierten  Gfades : 

y  y  y 

welche  immer  wenigstens  eine  positive  Wurzel  hat,  für  welche  -—- ^  einen 

positiven  Werth  erhält. 

Durch  die  nähere  Bestimmung  dieses  Werthes  von  /,  welcher,  wie  man 
lieht,  von  den  durch  die  Umstände  bedingten  Messungsfehlem  abhängt, 
erhält  die  vielfach  aufgeworfene ,  aber  nicht  gelöste  Frage  nach  der  vor- 
theilhaftesten  Länge  der  Kette  vorläufig  wenigstens  ihre  theoretische  Be- 
intwortuug. 

Allerdings  sind  in  der  vorstehenden  Erörterung  nicht  alle  beim  6e- 
brinche  der  Kette  vorkommenden  Unregelmässigkeiten  berücksichtigt  wor- 
den.   So  z.  B.  hat  ohne  Zweifel  jeder  Geometer  die  Bemerkung  gemacht, 
dus  sich  unter  sonst  gleich  bleibenden  Umständen ,  nach  anhaltendem  Ge- 
brtache  der  Kette,  ja  selbst  beim  Messen  einer  längern  Linie  mit  dersel- 
ben, sei  es,   weil  sich  nach  und  nach  eine  grössere  Gleichmässigkeit  im 
Spannen  der  Kette  durch  die  Gehilfen  einstellt,  oder  sei  es,   dass  sie  nur 
bis  SU  einer  gewissen  Grenze  eine  bleibende  Ausdehnung  annimmt,  —  ein 
geringeres  Schwanken  der  Messungsresultate  als  im  Anfange  der  Messung 
oder  bei  kleineren  Linien  zeigt.   Ist  diese  Bemerkung  allgemein  richtig ,  so 
liegt  der  Schluss  nahe,  dass  der  mittlere  Fehler  M  nicht  einmal  im  Ver- 
bältniitse  der  Quadratwurzel  aus  der  Länge  der  Linie ,  sondern  noch  lang- 
samer wächst.    £s  braucht  indessen  nicht  bemerkt  zu  werden,   dass  sich 
der  eben  berührte  Umstand  ebensowenig  als  mancher  andere  von  geringe- 
rer Bedeutung  in  die  Rechnung  ziehen  lässt. 


Da  die  mittleren  Werthe  jr,  y,  2,  sowie  der  constante  Fehler  c  nicht  ge- 
trennt von  einander ,  sondern  nur  aus  directen  Kettenmessungen ,  —  deren 
es  mindestens  vier  sein  müssen,  —  gefanden  werden  können,  so  muss  man, 
insbesondere  für  den  Fall  einer  überschüssigen  Anzahl  von  Beobachtungen, 
jede  irgend  erlaubte  Abkürzung  der  am  Schlüsse  des  Art.  2  für  M  erhalte- 
nen Formel  eintreten  lassen.    Die  beiden  letzten  Glieder  derselben 

et    .        2* 

2. \-  2  — 

sind  aber  gegen  die  ersten  aus  doppeltem  Grunde  sehr  klein ;  einmal ,  weil 
die  Abweichung  z  bei  einiger  Aufmerksamkeit  der  Gehilfen  immer  nur  ge- 
ring ausfällt ,  und  dann,  weil  zwei  Glieder  die  zweite  und  dritte  Potenz 
von /im  Nenner  enthalten,   also  höherer  Ordnung  a\a  Öa^  ei^V^ü  V3\\^\i^\ 

Z0il»ehrifl  f.  Mathtmalik  u.  Phyäik.   VI,  2.  »  % 


114  Ueber  den  mittlem  Fehler  der  KettenmesBungen. 

sind.  Dieselben  können  daher  weggelassen  werden,  oder,  was  auf  dasselbe 
hinauskommt,  man  darf  z  =  0  setzen,  und  findet  unter  dieser  Annahme: 

M=yL[^  +  l.y] 
oder,  wenn  man  diese  Gleichung  nach  den  Unbekannten  x  und  y  ordnet: 

Um  dieser  Bedingung  möglichst  entsprechend,  die  x  und  y  zu  bestim- 
men, nehme  ich  an,  es  sei  eine  längere  Linie  mit  einer  zuvor  justirten 
Kette  und  dann  auch  mit  Stäben  wiederholt  gemessen  worden.  Ist  die  eine 
Messungsart  eben  so  oft  wiederholt  worden  als  die  andere,  so  kann  das 
arithmetische  Mittel  der  mittelst  der  Stäbe  gefundenen  Resultate  im  Ver- 
gleich zu  jenem  der  Kettenmessung  als  die  wahre  Länge  der  Linie  dar- 
stellend  betrachtet  werden.  Diese  Annahme  muss  wohl,  obgleich  sie  nicht 
in  voller  Strenge  stattfindet,  aus  praktischen  Kücksichten  und  um  die  Rech- 
nung nicht  unnöthig  zu  compliciren ,  gemacht  werden.  Vermöge  derselben 
ergiebt  sich  der  genäherte  Werth  des  constanten  Fehlers  c  der  Kette  un- 
mittelbar dadurch,  dass  man  jene  wahre  Länge  von  dem  arithmetischen 
Mittel  der  durch  die  Messung  mit  der  Kette  erhaltenen  Resultate  absieht*) 

und  die  Differenz  mit  j  multiplicirt. 

Wenn  man  ferner  jene  Länge  von  dem  Ergebnisse  jeder  einzelnen 
Kettenmessung  abzieht  und  die  Differenzen  in  das  Quadrat  erhebt,  so  lie- 
fert uns  die  Quadratwurzel  aus  dem  arithmetischen  Mittel  aller  dieser  Qua- 
drate den  dieser  Beobachtungsreihe  entsprechenden  genäherten  Werth 
von  Af,  Was  endlich  /  betrifft,  so  ist  dafür  jedesmal  die  bei  der  Jnstirung 
der  Kette  gefundene  Länge  zu  setzen. 

Sind  mehrere  Beobachtnngsreihen  gegeben,  welche  sich  unter  sonst 
.gleichen  Umständen  auf  andere  Linien  und  Kettcnlängen  beziehen,  so  gel- 
ten diese  Bemerkungen  hierfür  in  gleicher  Weise.  — 

Obgleich  in  der  für  M  abgeleiteten  Formel  die  wesentlichsten  Fehler- 
quellen berücksichtigt  sind,  so  wird  sie  doch,  wie  man  auch  x  und  y  wäh- 
len möge ,  schon  darum  nicht  vollkommen  genau  allen  Beobachtungen  ge- 
nügen können ,  weil  die  Werthe  von  M  und  c  nur  angenähert  bekannt  und 
manche  Unregelmässigkeiten  nicht  in  die  Rechnung  gezogen  worden  sind. 
Indessen  erhält  man  nach  bekannten  Principien  *♦)  die  plausibelsten  Werthe 
von  X  und  y^  wenn  man  sie  so  bestimmt,  dass  die  Summe  der  Quadrate  der 
Ausdrücke: 


„  =  4q:£  +  „]_ 


M* 


*)  Gauss.   Theorift  combin.  observ.    Art.  5. 
^*J  Gauss,    riieoria  combin.  obiserv.   Art.  21. 


Von  Dr.  A.  Wlnckler.  1J5 

ein  Minima  Dl  wird.    Wendet  man  die  Gauss'sche  BezeicLnung: 
«I  +  flt  +  . .  .  +  a»  =  [ö] , 

ÖJ  ^    +  0,6,  +   .  .  .    +    «o^D  =  [«^] 

iD,  so  ergeben  sieb  für  x  und  y  die  folgenden  Gleicbungen: 

2)  [Z«J  o:      +  [Z«/«]  y  =  [x/  {M'  -  y  c')], 

womit  nun  der  theoretiscbe  Tbeil  der  Frage  erledigt  ist. 


Die  vorbergebenden  Betracbtungen  können  erst  Geltang  erlangen, 
venn  sie  sieb  an  wirklieb  angestellte  Beobachtungen  enge  genug  an- 
lebliessen  lassen.  Es  braucht  nicht  näher  ausgeführt  zu  werden ,  dass  hier 
iiejenigen  Beobachtungen  vorzuziehen  sind,  welche  ausschliesslich  zum 
Zwecke  der  Lösung  der  vorliegenden  Frage  angestellt,  von  allen  nicht  un- 
mittelbar zur  Sache  gehörenden  Einflüssen  frei  sind,  und  so  vorliegen,  wie 
ne  gemacht  wurden.  Hierzu  sind ,  wie  ich  glaube ,  die  Messungsresultate, 
velche  Herr  Prof.  Gerling  im  0.  Bande  des  Arcl^ivs  von  Grunert  S.  375 
Terüffeutlicbt  bat^  die  geeignetsten.  Indem  ich  dieselben  wähle  und  der 
Vollständigkeit  wegen  hier  zusammenstelle,  versteht  es  sich  von  selbst, 
dtss  deren  Combination  auf  die  vorangehenden  Erörterungen  sich  gründen 
and  daher  von  jener  des  Herrn  Prof.  Gerling  verschieden  sein  wird,  uowie 
auch  SU  anderen  Schlussfolgorungen  führt.  — 

Jene  Beobachtungen  beziehen  sich  auf  fünf  verschiedene  Linien,  wo- 
von jede  mit  Ketten  von  5,  3,  2  Ruthen  Länge  je  zehn  Mal,  und  dann  auch 
lebn  Mal  mit  Stäben  gemessen  wurde ,  so  dass  im  Ganzen  200  directe  Mes- 
inngen  vorliegen,  aus  welchen  Hieb  alle  diejenigen  Grössen  ableiten  lassen, 
die  zur  Ermittelung  der,  in  der  Formel  für  M  vorkommenden  Zahlenwerthe 
nöthig  sind  und  den  Umständen  entsprechen ,  unter  welchen  jene  Beobacb- 
tnngen  gemacht  worden  sind. 

Wenn  man,  wie  bereits  bemerkt  wurde,  die  aus  der  zehnmaligen  Mes- 
sung mit  Stäben  hervorgegangenen  Mittelwerthe  für  die  wahren  Längen 
der  Linien  setzt,  so  genügt  hier  die  blose  Angabe  jener  Mittelwerthe. 

Nur  in  Hinsicht  der  Abweichungen,  welche  sich  durch  die  wiederhol- 
ten Jnstirungen  der  Kette  ergeben  haben ,  wäre  eine  grössere  Vollständig- 
keit der  a.  a.  O.  mitgetheilten  Resultate  zu  wünschen  gewesen.  Es  wären 
dadurch  nicht  nur  Vergleicbungen  mit  den  Werthen  von  c  möglich  gewor- 
den ,  sondern  es  hätten  für  die  /  durchgehends  die  gehörigen  Wertlie,  statt, 
wie  es  nun  geschehen  muss,  einfach  nur  die  Wertho  5,  3,  2  benutzt  werden 
können« 


^^ 


116 


Ueber  den  niittlern  Fehler  der  Kettenniesaungen. 


L 

n. 

IIL 

IV, 

\\ 

20,334 

40,500 

04,034 

79,910 

100,000 

20,322 

40,517 

04,985 

79,^0 

99,901 

^,3^ 

4U,500 

04,950 

79,912 

100,030 

20,a27 

40,512 

05,000 

70,801 

100,000 

Länge  der  Rette:             ^ 

20,330 

40,468 

05,034 

79,895 

100,030 

D  Kuthen. 

20,330 

40,450 

05,000 

79,850 

100,050 

20,342 

40,450 

04,070 

79,844 

100,010 

20,331 

49,477 

ft4,055 

70,850 

100,020 

20,34(1 

40,450 

04,925 

79,885 

100,030 

S^,334 

49,440 

64,930 

79,851 

100,000 

M kiel wertli  der  Kette Timesanpg 

20,3330 

40,4780 

64,9680 

70,8768 

100,0161 

LUn^e  der  Lmie    -....., 
Constanler  Fehler  r     ,  ,  -  .  , 

20,3572 

U\5430 

04,9032 

80,0065 

100,1094 

O,00o74 

0,00(5^10 

0,00187 

0,00815 

0,00765 

20,300 

40,467 

04,900 

70,860 

100,065 

20,340 

49,400 

64,020 

70,850 

100,115 

20,340 

40,480 

64,000 

70,800 

100,050 

20,340 

49,510 

64,010 

79,873 

100,025 

LRnj^  der  Kette  > 

20,345 

49,400 

04,tNJÖ 

79,800 

90,0n5 

3  Ruthen. 

20,315 

40,500 

04,900 

70,850 

100,065 

20,330 

40,530 

04,890 

79,8TÖ 

100,070 

20,320 

40,535 

64,020 

79,860 

100,120 

20,335 

40,550 

64,000 

79,855 

100,037 

20,320 

40,490 

64,960 

79,850 

00,060 

Mittelwertbder  KetteDmeBBOtig 

20,3345 

49,5042 

64,9220 

70,8598 

]00;047S 

Littige  der  Linie     *,..,., 
CoaflUüter  Fehler  e    .  -  -  .  . 

20,3572 

49,5430 

64,0932 

80,0065 

100,1094 

1  0,00187 

0,00235 

0,00321 

0,00552 

0,00360 

20,355 

49,490 

54,880 

70,885 

100,000 

20,330 

49,470 

04,920 

70,885 

100,001 

20,320 

49,440 

rv*,8oo 

70,000 

100,004 

20,350 

49,445 

64.875 

70,875 

00,906 

Lüfigc  der  Kette; 

20J20 

49,460 

04,880 

70,015  , 

100,020 

2  Uuthen. 

20,330 

49,453 

04,870 

70,880 

00,900 

20,340 

49,435 

64,910 

70,802 

100,005 

20,335 

49,443 

64,0<fö 

70,856 

09,005 

20,330 

49,405 

0»,89(* 

70,850 

00,901 

20,330 

40,485 

64,880 

70,865 

100,000 

M  it  tel  we  rth  de  r  K  e  tten  me  ««ung 

20,3340 

40,4580 

04,8870 

79,8743 

100,0002 

Länge  ikr  Linie 

€onHtanter  Fehler  e    ■  -  .  -  • 

20,3572 

40,5430 

64,0032 

80,0065 

100,1604 

0,00220 

0,00341 

Oj003'/7 

0,003^ 

0,00337 

Von  diesen  Messungen  bat  Herr  Prof.  Gerling  jene  der  Linie  V,  mit 
der  3  EuÜien  langen  Kette  gemessen,  „nach  dem  P^foig  aufigeachlaiseD, 
weil  ein  eiDgetretenes  Regenwetter  den  Boden  erweichte  und  die  Genanig- 
keit  beeinträchtigte,*  Für  die  vorliegende  Art  der  Betrachtung  wurde 
Jedoch,  wie  es  fcheint,  der  Aasschluss  jener  Beobachtnngsweiae  nicht  ge- 
recht fertigt  sein  y  wesbtAb  ich  sie  anverKndeTt  beib^Vialle. 


Von  Dr.  A.  Winckler. 


117 


Die  Wertbe  des  constanten  Fehlers  r,  nach  Art.  4  berechnet,  sind  in 
der  obigen  Zusammenstellung  schon  angegeben.  Ich  ermittle  nun  in  früher 
angegebener  Weise  die  Werthe  von  M^  und  stelle  die  Resultate  der  beque- 
mem Uebersicht  wegen ,  wie  folgt ,  zusammen : 


Ketten. 

I. 

II. 

1I\. 

IV. 

V. 

&R. 

0,00003295 
0,00063318 

0,00049904 

0,00004303 
0,00496320 

0,00453680 

0,00000350 
0,00173558 

0,00169013 

0,00006642 
0,01743485 

0,01637200 

0,00005852 
0,02381978 

0,02204735 

3R.{   ^' 

0,00000350 
0,00068254 

0,00065879 

0,00000552 
0,00199720 

0,00190600 

0,00001030 
0,00576644 

0,00554321 

0,00003047 
0,02173895 

0,02092634 

0,00001340 
0,01753440 

0,01708712 

2B. 

üf« 

0,00000520 
0,00065724 

0,00060433 

0,00001163 
0,00744520. 

0,00715715 

0,00001069 
0,01153444 

0,01118706 

0,00001089 
0,01705775 

0,01662212 

0,00001136 
0,02869500 

0,02812619 

Um  auch  die  übrigen  zur  Berechnung  von  x  und  y  erforderlichen  Zah- 
len darzulegen,  füge  ich  noch  die  folgende  Tabelle  hinzu: 


Kette«. 
li-Ve. 

I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

L 

20,3572 
414,416 

49,5430 
2454,509 

64,9932 
4224,116 

80,0065 
6401,044 

100,1694 
10033,912 

10360,15 

61362,72 

105602,90 

160026,10 

250847,80 

16,58 

98,18 

168,90 

256,04 

401,30 

ftR. 

Ll{M*-^^ 

0,050795 

1,123833 

0,549235 

6,540334 

11,342867 

4(«*-t<^ 

0,002032 

0,044953 

0,021909 

0,201973 

0,453715 

Z»/» 

3729,74 

22090,58 

38017,04 

57609,40 

90305,21 

46,05 

272,72 

409,35 

711,23 

1114,88 

SR 

LKlf-^,?) 

0,040233 

0,283288 

1,080812 

5,022724 

5,134821 

t(^'-fC) 

0,004470 

0,031470 

0,120090 

0,558080 

0,570536 

/,»/• 

1657,66 

9818,04 

16896,47 

25604,18 

40135,65 

1^ 

7* 

103,60 

613,63 

1056,03 

1600,26 

2508,48 

2R. 

x/(Af«-:fc«) 

0,024605 

0,193859 

1,453717 

2,657751 

5,634768 

^(iif'-fc') 

0,000518 

0,048465 

0,363430 

0,664938 

1,408692 

118  Ueber  den  mittlern  Fehler  der  Kettenmessangen. 

Hieraus  erhält  man  sofort  die  Werthe : 
[L*]      =    70583,90, 

[L*  /»]  =  894063,68 ,  [z/  (Jlf «  —  j  c«)J  =  41,14264 , 

[75]    =     W37,34,  [^£(Af«-:^c«)]   =  4,66111. 

Die  Gleich uugeu  1)  und  2)  des  Art.  4  können  nur  bezüglich  s  und  f 

aufgelöst  werden  ,  und  man  erhttlt : 

X  =  0,00033974 , 

y  =  0,000019196. 

Hiernach  ist  also  der  mittlere  Fehler  ilf  einer  Linie,  deren 

Länge  L  Ruthen  beträgt  und  welche  mit  einer  Kette  von  dei 

Länge /Kuthen  (mit  dem  constanten  Fehler  c)unterdenselbenllm- 

ständen  wie  die  zu  Grunde  liegenden  fünf  Li'iien  gemessen 

i  79.* 
wird,  durch  die  Gleichung: 


^       ^/^/c«  + 0,00033974   ,  \ 

M-^y  L  (  -. +  0,000019196  .  /) 

(1  arg  es  teilt. 

Diese  setzt,  wie  man  sieht,  die  Kenntniss  des  constanten  Fehlers  c 
voraus ,  welcher  zu  /  addirt  die  richtige  Kettenlänge  giebt.  Ist  eine  längere 
Linie,  etwa  durch  Messung  mit  Stäben,  auf  dem  Felde  genau  bestimmt  =sl 
gegeben ,  so  braucht  man  nur ,  nach  Art.  4 ,  um  c  zu  erhalten ,  jene  Linie 
mit  der  botreffenden  Kette  mehrere  Male  zu  messen,  von  dem  arithme- 
tischen Mittel   dieser  Messungsresultate   die  gegebene   wahre  Länge  der 

Linie  abzuziehen  und  die 'Differenz  mit—  zu  multipliciren. 

Angenommen  z.  B.,  man  habe  unter  den  oben  vorausgesetzten  Um- 
ständen  für  eine  Kette  gefunden: 

c  =  —  0,006 ,  c*  =  0,000036 ,  wobei  J  =  5  Ruthen , 
und  es  sei  hierauf  eine  Linie   von  der  Länge  X  =  100  R.   mit  derselbe! 
Kette  gemessen   worden.     Man   erhält  alsdann   aus  der  oben  erhaltenei 
Gleichung : 

M^  =  0,0238 ,  M  =  0,15  Ruthen. 

Uebrigens  darf  nicht  unbemerkt  bleiben ,  dass  c*  in  allen  zu  Grund< 
liegenden  Messungen  so  klein  ist,  dass  es  gegen  den  Posten  0,00033974  fas 
ohne  Fehler  ganz  weggelassen  werden  könnte.  Diess  wird  wohl  immer  de 
Fall  sein,  wenn  die  Kette  mit  gehöriger  Sorgfalt  berichtigt  worden  ist. 


Ich  habe  in  Art.  3  bemerkt,  dass  diese  Erörterungen  auch  zur  Beant 
wortung  der  Frage  führen,  welcher  Kettenlänge  unter  gegebenei 
Umständen   der  3Icssnng  der   getiwgste  mittlere  Fehler  ent 


Von  Dr.  A.  Winckler.  119 


spreche.    Die  in  jenem  Artikel  für  diese  vortbeilhafte  Länge  /  gefundene 
Gleichung  l)  geht,  da  7  =  0  gesetzt  worden  ist,  in  die  folgende: 

fiber.    —    Wenn ,  wie  diess  in  der  Hegel  der  Fall  sein  wird ,  c'  gegen  x 
aniser  Acht  gelassen  werden  darf,  so  kann  man  genähert  auch 


J--?y^  =  0   od.r  1^  ■>/"■  +  ' 


^  =  /f 


y 

leiten,  jedenfalls  aber  den  hieraos  hervorgehenden  Werth  als  erste  An- 
Blherang  benntsen. 

Um  anch  hierfür  einen  bestimmten  Fall  zu  betrachten ,  will  ich  die 
Werthe  von  x  nnd  y,  welche  den  bischer  betrachteten  Messungsresultaten 
entsprechen ,  zu  Grunde  legen.     Man  findet  dann : 

Dieser  Länge  der  Kette  entspricht  aber ,  der  ersten  Tabelle  des  Art.  6 
gemäss,  durchschnittlich  ein  Werth  von  0*  =  0,00004;  man  erhält  also  jetzt 
genauer: 

Dieses  Ergebniss ,  welches  zeigt ,  dass  hier  weder  sehr  Unge ,  noch 
lehr  knrse ,  sondern  etwa  4y,  Ruthen  lange  Ketten  am  vortheilhaftesten  ge- 
wesen wären,  gehört,  wie  mir  scheint,  zu  den  bemerkenswerthesten  Fol- 
([erungen,  welche  sich  aus  den  vorausgeschickten  theoretischen  Betrach- 
tungen im  Vereine  mit  den  Messungsresultaten  ziehen  lassen ,  deren  Vor- 
bereitung nnd  Veröffentlichung  Herrn  Prof.  Oerling  zu  verdanken  ist. 


VL 

üober  die  ControYorao  zwischen  Doppler  und  FetzTal, 

bezüglich  der  Aendenmg  des  Tones  und  der  Farbe 

durch  Bewegung. 

Von  Dr.  Ernst  Mach  in  Wien. 


In  dem  Folgenden  soll  in  Kürze  die  sowohl  ftir  die  Pbjsik,  wie  für 
die  Astronomie  interessante  Controverse  zwischen  Doppler  und  Fets- 
yal  bezüglich  der  Aendemng  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Bewegung 
dargelegt  werden.  Ich  will  mich  bemühen,  die  ziemlich  unklaren  Streit- 
punkte in  ein  helleres  Licht  zu  setzen  und  werde  zu  diesem  Zwecke  zwar 
die  historische  Ordnung  festhalten,  aber  nur  die  wesentlichsten  Funkte 
herausheben. 

L  Im  Jahre  1840  erschien  eine  kleine  Abhandlung  von  Doppler: 
„Ueber  das  farbige  Licht  der  Doppelsterne",  worin  behauptet  wird,  dass 
Tonhöhe  und  Farbe  durch  schnelle  Bewegung  der  Wellenquelle  oder  des 
Beobachters  geändert  werden.  Doppler  leitet  dies  durch  eine  ganz  ein- 
fache Betrachtung  ab,  indem  er  annimmt,  dass  von  der  Wellenquelle  in 
gleichen  Zwischenzeiten  Impulse  ausgehen,  welche,  mit  bestimmter  Ge- 
schwindigkeit fortschreitend ,  Auge  oder  Ohr  treffen.  Je  nachdem  nun  der 
Beobachter  sich  gegen  oder  von  der  Quelle  bewegt,  werden  für  ihn  die  Im- 
pulse schneller  oder  langsamer  auf  einander  folgen,  d.  h.  eben  der  Ton 
wird  höher  oder  tiefer,  die  Farbe  rückt  gegen  das  Violette  oder  Rothe. 
Aehnliches  findet  statt,  wenn  sich  die  Quelle  allein  bewegt  oder  Quelle 
und  Beobachter  zugleich  in  Bewegung  sind.  Mit  Hinweglassung  der  sehr 
einfachen  Rechnung  will  ich  blos  die  Formel  angeben,  zu  welcher  man  auf 
diese  Art  gelangt. 

Ist  X  die  Geschwindigkeit  der  Wellenquelle,  c  die  des  Beobachters, 
y  die  der  Welle,  ferner  t  die  Schwingungsdauer  der  Quelle  und  t  die 
scheinbare  Scbwingungsdauer,  so  hat  man 

y  — « 

T    =  T  .    , 

Y  —  c 
wobei  X  und  c  positiv  zu  nehmen  sind  in  der  Richtung  von  der  Quelle  zum 
Beobachter,  negativ  in  der  entgegengesetzten. 


Von  Dt.  Ernst  Mach.  I2l 


Doppler  verwendet  den  angegebenen  Satz  znr  Erklärung  der  Erschoi- 
nongen  an  farbigen  Sternen,  indem  er  annimmt,  die  Geschwindigkeit  die- 
ser Sterne  sei  nicht  verschwindend  gegen  die  Lichtgeschwindigkeit. 

Die  Doppler'sche  Behandlangsweise  des  Gegenstandes  genügt  wohl 
nieh  den  gegebenen  Andeutungen  nicht  den  Anforderungen  der  strengen 
WiMenscbaft,  sondern  kann  nur  als  erster  Versuch  einer  Theorie  gelten. 
Wir  besprechen  später  die  von  Petzval  vorgebrachten  Einwürfe  speciell. 
Iitaber  auch  die  Doppler*8che  Ableitung  ungenau,  so  scheint  doch  das  ge- 
toDoene  Resultat  richtig  zu  sein.  Es  wurden  nämlich  zur  Deutung  des  er- 
tihnten  Satzes  zahlreiche  Experimente  angestellt,  welche  fast  sämmtlich 
nr  Befriedigung  ausfielen.  Dass  der  einzige  Gegenversuch  von  Angström  *) 
(mit  dem  Spectrum  des  elektrischen  Funkens)  gar  nicht  entscheiden  könne, 
gltnbe  ich  in  einer  früheren  Abhandlung  **)  dargethan  zu  haben ,  in  wel- 
cher ich  auch  eigene  Experimente  anführe,  die  mir  noch  mehr  als  die  altern 
für  den  Doppler'schen  Satz  zu  sprechen  scheinen. 

Es  dürfte  demnach ,  wenigstens  für  den  Augenblick  nicht  nöthig  sein, 
nf  die  Experimente  näher  einzugehen ,  wir  können  uns  auf  die  theoreti- 
sche Seite  des  Streites  beschränken. 

II.  Doppler's  Ansicht  wurde  von  Professor  Petzval  angegriffen  in  der 
Schrift:  „lieber  ein  allgemeines  Princip  der  Undulationslehre ,  Gesetz  der 
Erhaltung  der  Schwingungsdauer '^  Sitzungsberichte  der  k.  k.  Akademie 
der  Wissenschaften  VIIL  Bd.  S.  134. 

Ich  will  mit  Uebergehung  des  flir  eine  mathematische  Abhandlung 
allzu  reichen  oratorischen  Schmuckes  den  wesentlichen  Inhalt  dieses  Auf- 
satzes darlegen. 

Es  giebt  drei  Differentialgleichungen  der  Bewegung  eines  Systems 
von  materiellen  Punkten,  das  gleiche  Elasticität  nach  allen  Seiten  besitzt: 

rf'{_    d«{     dn    d«|         d'„  ,ni 

dt*~     da^^  d^^  dz*  ^     dxdy^     dxdz' 

ä2f,_d^,.d*f,d*ndH_d*t_ 
'^  dt*~dx'^    dy'^  dz*^    dxdy^    dydt' 


d/«  dx^  df^  '  dz*  •  dxdz'  dy  dz 
Diese  Gleichungen  sind  unter  der  Voraussetzung  abgeleitet,  dass  sehr 
nahe  an  einander  liegende  Punkte  auch  nahezu  dieselbe  Bewegung  an- 
nehmen, was  auch  bei  sehr  heftigen  Bewegungen  stattfindet,  wenn  nur  die 
Continuität  der  Masse  nicht  verletzt  wird.  Die  Gleichungen  gelten  dann 
anch  für  diese  heftigen  Bewegungen.  *        ^ 


*)  Optische  Untcrsuchungren.   Pogg.  Ann.  04.  Bd.   8.141. 
**)  Ueber  die  Aenderang  des  Tones  and  der  Farbe  durch  Bewegung  von  I^r. 
Ernst   Mach.     Sitsungsberichte  der  k.  k.  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Wiea 
41.  Bd.   8.543. 


122  Ueber  die  Aenderung  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Bewegung« 

'  Sollten  auch  künftighin  andere  Bewegungsgleichangen  aufgestellt  wer- 
den ,  welche  sich  der  Erfahrung  genauer  anschliessen ,  so  werden  sie  doch 
mit  den  obigen  drei  Eigenschaften  gemein  haben: 

1.  die  lineare  Form; 

2*  ii  V^  t  gehen  undifferentiirt  in  die  Gleichungen  nicht  ein,  weil  nur 
der  Unterschied  der  Verschiebung  benachbarter  Theile  Molecularkräfte 
weckt; 

3.  nur  die  zweiten  Differentialquotienten  von  $,  17,  f  nach  /  sind  in  den 
Gleichungen  enthalten. 

Aus  diesen  ganz  allgemeinen  Eigenschaften  der  Gleichungen  lassen 
sich  nun  schon  Schlüsse  ziehen.  Es  ist  z  B.  eine  unmittelbare  Folge  der 
linearen  Form  der  Gleichungen,  dass,  wenn  die  Functionen  di,  dt,  ^t  •  •  •  • 
für  sich  genügen,  auch  die  Summe  21  ^«0,  Genüge  leistet,  wo  C  eine  Con- 
stante  bedeutet. 

Aus  der  linearen  Form  der  Gleichungen  folgt  also  das  sogenannte 
Ffincip  der  Coexistenz  der  elementaren  Bewegungen.  Wird  in  einem 
elastischen  Medium  zugleich  eine  Strömung  und  eine  Uudulation  erregt,  so 
legen  sich  beide  Bewegungen  über  einander,  ohne  sich  zu  stören;  tiuch 
werden  alle  Elemente,  welche  die  Undulation  charakterisiren ,  also  auch 
die  Schwingungsdauer  und  im  Zusammenhange  damit  Ton  und  Farbe  durch 
die  Strömung  in  keiner  Weise  afficirt. 

Petzval  begnügt  sich  nicht  mit  dieser  ganz  allgemeinen  Ableitung, 
sondern  stellt  specielle  Differentialgleichungen  auf  für  die  Bewegung  eines 
Mediums,  in  welchem  sich  irgend  eine  permanenie  Strömung  mit  einer  Un-. 
dulation  combinirt.  Er  untersucht,  welche  Schwingnngsweise  sich  legen 
lasse  über  eine  mit  der  Zeit  unveränderliche  Strömung,  deren  Geschwin- 
digkeitscomponenten  t/,  r,  w  also  nur  Functionen  der  Coordinaten  und  nicht 
der  Zeit  sind.  Die  der  Undulation  angehörigen  $,  17,  f  werden  nicht  auf 
ein  bestimmtes  Theilchen,  sondern  auf  einen  bestimmten  Ort  bezogen. 
Petzval  ündet,  dass  man  den  aufgestellten  Gleichungen  genügen  könne, 
indem  man  für  die  Undulation  setzt: 

wobei  s  eine  Constante  ist,  welche  die  Schwingungsdauer  bestimmt;  A",  F,  Z 
werden  nur  als  Functionen  von  xyz  betrachtet.  —  Substituirt  man  diese 
$,  f^,  ^  in  die  von  Petzval  aufgestellten  Gleichungen,  so  fällt  nämlich  mit 
der  Exponentielle  zugleich  das  t  heraus,  es  bleiben  nur  T,  7,  Z  zurück  und 
lassen  sich  immer  von  einer  solchen  Form  wählen,  dass  sie  der  Gleichung 
genügen.  Ein  constantes  s  in  den  Ausdruck  für  |,  17,  {;  gesetzt,  d.  h.  eine 
constante  Schwingungsdauer  befriedigt  demnach  die  Gleichung.  Es  lässt 
sich  also  über  eine  permanente  Strömung  eine  Schwingungsweise  mit  an 
allen  Orten  constanter  Schwingungsdauer  legen. 

Würde  man  im  Gegentheil  s  als  variabel  betrachten,  so  fHllt  i  nicht 
aus  der  Gleichung  und  man  wird  zu  einem  Widerspruche  geführt,  indem 


Von  Dr.  Ernrt  Mach.  123 

man  X^  F,  Z  als  unabhängig  von  /  voransgesetzt  hat  nnd  doch  eine  Abliftn- 
gigkeit  bestehen  müsste,  weil  zagleich  mit  JT,  Y,  Z  ancli  /  in  der  Gleichung 
erscheint.  —  Nun  wird  noch  gezeigt,  dass  eine  schwingende  Flftcho 
f  (^1  y»  2)  =  0  in  einem  von  permanenten  Strömungen  durchsogenen  Me- 
dium nur  oine  »Schwingunghweise  mit  all  er  Orten  constanter  Schwingungs- 
daucr  erregen  könne.  —  Betrachten  wir  den  Petxvarschen  Gedankengang, 
so  finden  wir,  dass  er  auf  den  Doppler'schen  Fall  gar  nicht  passt,  sondern 
diesen  im  Gegentheil  a  priori  ausschliesst.  Petzval  spricht  von  einer  aller 
Orten  constanten  Schwingungsdauer.  Doppler*H  Satz  bohauptet  aber  gar 
nichts  über  die  Schwingungsdauer  an  diesem  oder  jenem  Orte,  welcher 
eben  als  mit  der  Zeit  variabel  betrachtet  wird.  Die  Tonhöhe  hängt  ja  nach 
Doppler  nicht  von  der  Entfernung  des  Beobachters  von  der  Tonquelle,  son- 
dern von  seiner  Geschwindigkeit  ab,  von  dem  Diilerentialquotienten  der 
genannten  Entfernung  nach  der  Zeit  genommen. 

In  einem  schwingenden  Medium  sind  die  £,  1},  {[  im  Allgemeinen  Func- 
tionen der  Zeit  und  der  Coordinaten ,  denn  sie  sind  sowohl  zu  verschiede- 
nen Zeiten  ^  als  auch  an  verschiedenen  Orten  verschieden.  60  lange  or,  y,  z 
dieselben  sind ,  betrachtet  man  offenbar  die  Schwingung  an  einem  und  dem- 
«elben  Orte;  will  man  die  Schwingung  für  einen  bewegten  Beobachter  un- 
tersuchen ,  so  sind  alle  irgendwie  in  $,  17,  i  enthaltene  ;r^  y,  z  als  Functionen 
der  Zeit  zu  betrachten.    In  Fetzval's  Ausdrücken  z.  B. : 

J  =  c— *'    ~^  Ä  etc.  etc. 

wären  eben  die  in  Z,  Y,  Z  enthaltenen  or,  y,  z  als  mit  t  variabel  zu  betrach- 
ten, auch  beim  Differentiiren  nicht  als  independent  variabel,  sondern 
lämmtlich  als  Functionen  von  t  zu  behandeln.  Da  Petzval  diess  alles  nicht 
rficksichtigt ,  so  behandelt  er  eben  den  Doppler'schen  Fall  nicht.  —  Die 
ganze  Anlage  von  Petzvars  Rechnung  scheint  auf  einem  Missverständnisse 
zu  beruhen.  Betrachtet  man  einen  einzigen  Punkt  in  einem  Medium,  so  ist 
es  offenbar  gleichgültig,  ob  man  den  Punkt  als  bewegt  und  das  Medium 
als  ruhend  betrachtet,  oder  umgekehrt.  Hingegen  wird  es  nie  gelingen,  die 
relative  Bewegung  zweier  Punkte  gegen  einander  durch  eine  Strömung  des 
Mediums  zu  ersetzen.  Wenn  also  Petzval  glaubt,  er  behandle  den  Dopp- 
ler^schen  Fall ,  indem  er  statt  Quelle  und  Beobachter  gegen  einander  zu 
bewegen,  beide  ruhen  lässt  und  das  Medium  in  Strömung  versetzt,  so 
irrt  er. 

Wollte  man  die  Sache  kurz  in  allgemein  verständliche  Worte  zusam- 
menfassen ,  so  würde  man  sagen : 

1.  Petzval  hat  durch  seine  Deduction  gezeigt,  dass  windiges  Wetter 
keinen  Einfluss  übe  auf  die  Tonhöhe. 

2.  Doppler  untersucht,  wie  die  Tonhöhe  durch  die  relative  Bewegung 
von  Quelle  und  Beobachter  afficirt  wird. 

Die  Resultate  beider  Untersuchungen  können  Bvc\iuv^\v\.Ni\di^x«>^x^^^^^* 


124  lieber  die  Aenderung  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Bewegung. 


Der  durch  Petzvars  Aufsatz  eingeleitete  Streit  führte  nun ,  wie  dies 
wohl  gewöhnlich  ist,  zu  keinem  andern  Resultate,  als  dass  jede  Partei  aaf 
ihrer  Aussage  beharrte.  Doppler  berief  sich  auf  das  Experiment,  Petzval 
auf  die  Deduction.  Keinem  fiel  es  ein ,  die  Gründe  des  Andern  genauer  zu 
prüfen. 

ILL  Hierauf  erschienen  noch  zwei  Abhandlungen*)  von  Petzval,  bei 
deren  Betrachtung  wir  finden ,  dass  die  Streitfrage  in  eine  neue  Phase  ge- 
treten sei.  Petzval  macht  nun  nicht  sowohl  den  Satz  der  Erhaltung  der 
Schwiogungsdauer,  als  vielmehr  ganz  andere  und  untergeordnete  Gründe 
gegen  Doppler  geltend.  Petzval  weist  eigentlich  blos  nach ,  inwiefern  der 
Doppler^sche  Satz  mangelhaft  deducirt  sei ,  und  leitet  zuletzt  sogar  selbst 
eine  der  Doppler'schen  Formel  entsprechende  aus  den  Gleichungen  der 
Mechanik  ab,  indem  er  aber  auch  gegen  diese  jene  untergeordneten  Gründe 
geltend  macht.  Betrachten  wir  die  einzelnen  Punkte  etwas  näher,  so  finden 
wir  folgende  Hanpteinwttrfe : 

o.  Doppler  betiachtet  die  Welle  als  ein  Individuum ,  statt  die  Elemen- 
tarwellen in  Rechnung  zu  ziehen. 

ß.  Es  wird  stillschweigend  vorausgesetzt,  dass  die  progressive  Be- 
wegung der  Tonquelle  keinen  Einflnss  übe  auf  das  Medium,  was 
unstatthaft  ist 

y.  Endlich  kann  man  bei  Auswerthung  der  Doppler'schen  Formel  auch 
negative  und  unendlich  hohe  Töne  erhalten ,  was  absurd  ist. 
Was  sich  gegen  diese  Einwürfe  wieder  vorbringen  Ittsst,  habe  ich  be- 
reits in  der  oben  citirten  Abhandlung  angeführt;  im  Allgemeinen  sind  sie 
wohl  richtig,  beweisen  aber  nur,  dass  der  Doppler*sche  Satz  mangelhaft 
deducirt  sei.  Welche  Modificationen  die  Doppler'sche  Formel  erfahren 
würde ,  wenn  man  alle  diese  Kebenumstttnde  in  Betracht  ziehen  wollte, 
kann  Petzval  ebensowenig  angeben  als  Doppler,  da  keiner  von  beiden  die 
Rechnungen  durchgeführt  hat.  —  Es  liätte  gar  keinen  Sinn,  wenn  man, 
wie  Petzval  immer  wünscht,  Doppler's  Satz  durch  Petzval's  Princip  er- 
setzen wollte.  Beide  Sätze  beziehen  sich  auf  ganz  verschiedene  Fälle  und 
der  eine  kann  dem  andern  ebensowenig  substituirt  werden  als  ein  Lebn- 
stuhl  einem  Droschkenpferde. 

Den  meisten  Nachdruck  legt  Petzval  auf  die  Veränderung  des  Me- 
diums durch  die  progressive  Bewegung  der  Tonquelle;  denn  er  giebt  zn, 
dass  der  Doppler'sche  Satz  eine  gewisse  Giltigkeit  hätte,  wenn  diese  Ver- 
änderung  nicht  wäre,  wenn  man  sich. die  Quelle  als  imaginären  Punkt 
denken  könnte,  der,  indem  er  sich  bewegt,  das  Medium  nicht  afficirt.  Für 
diesen  Fall  leitet  Petzval  selbst  eine  der  Doppler*schen  Formel  nahekom- 
mende ab,  und  zwar  aus  der  Gleichung  für  die  plane  Welle  in  einem  ela- 


*)  Ueber  die  irnzukömmlichkcitcn  gewisser  populärer  Anschauungen  in  der  Un- 
daJaüonslebro  etc.  Siisungsberichte  VIII  Seite  567  und  IX  Seite  609. 


Von  Dr.  Ernst  Mach.  125 

ftiscben  Mediam.  Hieraus  ist  schon  klar ,  dass  diese  Formel  dem  Principe 
nicht  widerspreche;  nur  Petzval  widerspricht  sich  selbst,  denn  er  verfahr 
in  der  altern  Abhandlung  von  Doppler  abweichend,  indem  er  nur  die 
Schwingungsdaner  an  beliebigen,  der  Zeit  nach  unveränderlichen  Orten  un- 
tersuchte ,  und  verführt  in  den  folgenden  Arbeiten  mit  Doppler  überein- 
itimmend ,  indem  er  auf  die  Bewegung  Rücksicht  nimmt. 

Die  Gleichung,  welcher  eine  auf  der  Achse  der  X  senkrechte  Plan* 
welle  genügt,  ist: 

d/«  dar«' 

ihr  Integrale: 

wobei  /*,  F  willkürliche  Functionen  sind.  Diese  /*,  F  werden  hier  so  ge- 
wählt, dass  /'(2),  F(£)  nur  für  solche  z,  welche  von  0  wenig  abweichen, 
von  der  Null  verschiedene  Werthe  haben.  Die  Constante  t  bezeichnet  die 
Fortpflansungsgeschwindigkeit.  Setzt  man  nun  eine  Reihe  von  sehr  klei- 
nen Erregungen  des  Mediums  voraus,  welche  das  Oesetz  sink^  d^  befol- 
^D,  wobei  ^  die  Zeit  ist  und  die  mit  der  Geschwindigkeit  c  fortschreiten, 
M  ist  für  den  Ort  x  und  die  Zeit  /  die  aus  den  Elementarwellen  resultirende 
Erregung: 

/ 

0 

/ 

+  JFix'-c^  +  s  (/— ^)  }  sink^d^^ 

0 

Durch  Ausführung  der  Integration  ergiebt  sich: 

.           A              k      ,            \    .       ß        .       k     .  ^ 

J  = stn ix  —  st)  A —  sm — ■ — (ä-j-*/)» 

S C.         C—S^  *  *  +  C  S'\'C^  ' 

wobei  Ä^  B  constante  Grenzintegrale  bezeichnen.  Dieses  Resultat  stimmt 
bezüglich  der  Wellenlänge  augenscheinlich  mit  dem  Doppler'schen  überein, 
giebt  aber  zugleich  auch  Aufschluss  über  die  Intensität  der  Welle. 

Offenbar  ist  diese  Ableitung  viel  schöner,  vollständiger  und  strenger, 
ils  die  Doppler'sche ,  doch  erklärt  Petzval  dieselbe  für  unbrauchbar,  weil 
auf  die  durch  die  progressive  Bewegung  der  Tonquelle  erregte  Strömung 
keine  Rücksicht  genommen  wird.  Ich  habe  in  der  früher  citirten  Abhand- 
Inng  zu  zeigen  versucht,  dass  diese  Strömung,  bei  bewegten  Körpern  von 
kleinem  Querschnitte,  wo  das  Medium  zur  Seite  ausweichen  kann,  die  Er- 
gebnisse des  Calcüls  nicht  bedeutend  afficirt.  Die  Petzvarsche  Formel  wird 
im  Gegentheil  in  den  meisten  Fällen  sich  der  Wahrheit  sehr  nähern  und  in 
manchen  speciellen  streng  richtig  sein. 

Es  scheint  mir,  dass  Petzval  seine  Aualybe  bloä  dcabeAb  «\^ x^ctAyLVOLOo^r 


1 26  Ueber  die  Aenderung  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Bewegang. 

bar  verwirft,  weil  er  nicht  eingestehen  will,  dass  die  Ansdebniing  des 
Satzes  der  Erhaltung  der  Schwingungsdauer  auf  den  Doppler'schen  Fall 
unberechtigt  war. 

IV.  Fassen  wir  die  Hauptpunkte  unserer  Untersuchung  noch  einmal 
zusammen ,  so  können  wir  Folgendes  als  constatirt  ansehen : 

1.  Doppler^s  Ansicht  wird  durch  die  Experimente  bcätätigt. 

2.  Fetzvars  Satz  der  Erhaltung  der  Schwingungsdauer  darf  auf  den 
Doppler'schen  Fall  nicht  ausgedehnt  werden. 

3.  Petzval  zeigt,  dass  Doppler^s  Formeln  ungenügend  deducirt  seien. 

4.  Petzval  leitet  auf  strengere  Weise  den  Doppier'schen  Formeln  nahe 
kommende  ab,  die  er  zwar  selbst  für  unbrauchbar  erklärt,  die  aber 
nichtsdestoweniger  in  den  meisten  Fällen  anwendbar  sind. 

Die  von  Petzval  vorgebrachten  Gründe  können  also  Doppler's  Ansicht 
eher  bestätigen  als  widerlegen.  Dagegen  bleibt  für  die  vollständige  mathe* 
matische  Erklärung  des  Factums,  mit  Berücksichtigung  aller  Nebenun- 
stände,  noch  viel  zu  leisten  übrig,  und  es  ist  der  letzte  Zweck  dieses  Auf- 
satzes, diese  Arbeit  von  Neuem  anzuregen. 

Man  würde  das  Problem  beiläufig  auf  folgende  Art  angreifen : 

Denkt  man  sich  eine  begrenzte  Ebene  in  einem  elastischen  Medium 
senkrecht  zu  sich  selbst  mit  constanter  Geschwindigkeit  fortschreitend,  so 
wird  diese,  einen  bestimmten  Anfangszustand  vorausgesetzt,  dem  Medium 
nach  einer  gewissen  Zeit  einen  gewissen  Dichtenzustand  beigebracht  haben. 
Ueber  dieses  Medium  von  überall  bekannter  Dichte  kann  man  nun  die  von 
der  Ebene  ausgehenden  Schwingungen  legen. 

Diese  Betrachtung  führt  zu  ziemlich  complicirten  Differentialgleichun- 
gen ,  deren  Integration  mir  aber  hoffentlich  noch  gelingen  wird ,  falls  nicht 
zum  Vortheile  der  Wissenschaft  ein  gewandterer  Mathematiker  die  Lösung 
dieser  Aufgabe  übernehmen  sollte. 


Kleinere  Mittheilungen. 


□L  Üe1)er  die  Bereohnnng  des  Integrallogarithmen  und  einiger  mit 
iliB  lasammenhängenden  anderen  Fnnotionen.  Von  C.  A.  Bretschneider, 
Professor  am  Realgjmnasinm  zu  Gotha. 

Die  anter  dem  Namen  des  Integrallogarithmus  bekannte  transcendente 
Fonction 

"^  J    ±lz         ^^'^±''^±l.l!  +  2.2l±3.3!^4.4!±-- 

hat  durch  die  eigenthümlichen  Schwierigkeiten ,  welche  sie  einer  umfassen- 
den Untersuchung  ihrer  Eigenschaften  entgegengesetzt,  eine  gewisse  Be- 
rühmtheit erlangt.  Schon  vor  länger  als  vierzig  Jahren  haben  sich  Sold- 
ner  und  Mascheroni*)  mit  ihr  beschäftigt  und  gezeigt,  dass  der  Werth 
der  Constante  y,  wenn  das  Integral  für  2  =  0  selbst  Null  werden  soll,  auf 
die  Constante  der  natürlichen  harmonischen  Reihe  zurückkommt.  Beide 
Analysten,  sowie  bald  darauf  auch  Bessel**),  bemühten  sich  Reihenent- 
wickelangen  aufzufinden,  die  möglichst  stark  convergirten  und  somit  be- 
qaem  zu  numerischer  Berechnung  der  Function  gebraucht  werden  könnten. 
Die  Resultate  dieser  Untersuchungen ,  die  meistens  das  Ergebniss  besonde- 
rer analytischer  Kunstgriffe  waren  und  deshalb  sehr  wenig  Innern  Zusam- 
menhang zeigten,  habe  ich  in  einer,  vor  länger  als  zwanzig  Jahren  in 
Crelle^s  Journal*^**)  erschienenen  Abhandlung  zusammengestellt  und  aus 
einer  gemeinsamen  Quelle  abgeleitet,  zugleich  aber  auch  nachgewiesen, 
dass  alle  die  Hilfsmittel ,  welche  die  Theorie  der  Potenzreihen  und  der 
Kettenbrttche  zur  Entwickelung  und  Untersuchung  transcendenter  Integral- 
fanctionen  darbieten ,  im  vorliegend^n  Falle  entweder  geradezu  unbrauch« 
bir  sind,  oder  nur  Resultate  geben,  die  nichts  Erhebliches  erkennen  lassen 
und  namentlich  für  numerische  Berechnung  nur  sehr  geringe  Hilfe  gewäh- 
ren.    In  diesem  Stadium  befindet  sich  die  Theorie  des  Integrallogarithmus 


•    *)  Soldner,  thüorie  et  tables  d^anc  uouvelle  fonction  transcendante ;  äMunic, 
I83l9.  —  Maschoroni,  adnotationes  ad  calcalum  integralem  Enleri;  Ticini  1700. 
/      **)  Bessel,  Königsberger  Archiv  für  Mathematik  und  NatQrwissennchaften. 
***)  Theoriae  logaritjjinj  inte^raUji  Ihieamenta  nova;  CreW^^a  ^outtv^^^A"« 


128  Kleinere  Mittheilangen. 


.^^^i'^^^^^^^S^k^k^^^^^N^k^k^^^M^k^k^^^ 


noch  bis  auf  den  heutigen  Tag.  Da  nun  auch  nicht  eine  einzige  analytische 
Eigenschaft  oder  Relation  zwischen  Functionenwerthen  verschiedener  Ar- 
gumente  hat  aufgefunden  werden  können  und  es  fast  scheint,  als  ob  der- 
gleichen für  diese  Transcendente  gar  nicht  existirten ,  so  ist  die  nameri- 
sehe  Berechnung  derselben  Yor  der  Hand  wohl  das  Wichtigste,  was  für  sie 
zu  leisten  ist. 

Nun  hat  zwar  Soldner  bereits  eine  Tafel  der  Integrallogaritliuien  ge- 
geben ;  allein  abgesehen  von  ihrer  geringen  Ausdehnung  ist  sie ,  seiner  eig- 
nen Angabe  zu  Folge,  olme  alle  Controlen  berechnet,  und  so  darf  es  nicht 
Wunder  nehmen,  dass  einzelne  Werthe  aus  ihr,  bei  zufälliger  Prüfung  der- 
selben durch  andere  Rechner,  sehr  erhebliche  Abweichungen  von  den  Re- 
sultaten der  letzteren  zeigten.  Unter  diesen  Umständen  darf  ich  hoffen, 
durch  Mittheilung  des  Nachfolgenden  den  Gegenstand  vor  der  Hand  zu 
einer  Art  von  Abschluss  zu  bringen. 

Die  Theorie  unserer  Transcendente  liefert,  streng  genommen,  nnr 
zwei  Reihenentwickelungen,  die  so  convergent  sind,  dass  sie  sich  zu  nume- 
riächer  Berechnung  eignen,  nftmlich: 


a'  ■  n  n{n+l)  "^  n{n  +  l){n+2)  ^'" 
Die  erste  Reihe  giebt  die  Functionenwerthe  für  diejenigen  .r,  welche  sich 
nicht  allzuweit  von  der  Einheit  entfernen,  während  die  zweite  dazu  dient, 
um  von  bereits  gefundenen  Functionenwerthen  zu  denen  nahe  liegender 
Argumente  fortzuschreiten.  Die  Letztere  ist  um  so  bemerkenswerther,  als 
alle  bis  jetzt  geführten  Untersuchungen,  von  wie  verschiedenen  Stand- 
punkten sie  auch  ausgehen  und  wie  verschiedene  Methoden  und  Kunst- 
griffe der  Entwicklung  sie  auch  anwenden  mögen,  schliesslich  immer  die 
Reihe  2)  als  Endresultat  geben. 

So  erträglich  nun  auch  beide  Reihen  beim  ersten  Blicke  für  die  nume- 
rische Rechnung  gebaut  zu  sein  scheinen,  so  unerhört  lästig  wird  die  wirk- 
liche Ausführung  der  letzteren.  Bei  der  höchst  massigen  Convergeuz  jeuer 
Ausdrücke  muss  man ,  sobald  x  sich  nur  um  ein  Geringes  von  der  Einheit 

X 

entfernt  oder  der  Bruch  -  den  Werth  0,1  übersteigt,   fast  immer  zwischen 

zehn  bis  zwanzig  Glieder  zusammennehmen,  um  das  Resultat  auf  zehn  De- 
cimalstellen  genau  zu  erhalten.  Ist  schon  die  Berechnung  so  vieler  auf 
einander  folgender  Potenzen  eines  natürlichen  Logarithmen  beschwerlich, 
so  wird  die  Mühe  noch  um  ein  Bedeutendes  durch  die  erforderlichen  Multi- 
plicationen  mit  den  Coefficientcn  A  gesteigert,  und  zum  Schlüsse  hat  man 
noch  obendrein  die  Berechnung  dos  Logarithmen  eines  Logarithmen  aussu- 


Kleinere  Mittheilangen.  129 

führen.     £fl  lässt  sieb  zwar  die  Reibe  2)  so  umformen,  dass  das  Glied 
/  (-T— )  wegftUig  wird;  man  findet  dadurch: 

B  -1.  ß     _l-(n-l)2?^, 
ß,__,i?._ , 

aber  dennoch  bleibt  für  jede  einzelne  Wertbbestimmung  immer  noch  so  viel 

Arbeit  übrig,   dass  auch  die  hartnäckigste  Geduld  dadurch  erschöpft  wird. 

Um  diesem  Uebelstande  zu  begegnen ,   habe  ich  statt  des  Integrales 

I Y  das  verwandte  Integral   j angewendet,  und  damit  die  Berechnung 

von  Uz  auf  die  von  /i .  e^  zurückgeführt.  Setzt  man  nämlich  in  die  Glei- 
chung 3)  e*  anstatt  a  und  bezeichnet  f  1  H )  i^it  v^  so.  erhftlt  man : 

«(«.+.)=«...  +  ..  {^(7.  +  (^c.  +  (^)!c, +  ...  j 

oder  wenn  man,  um  die  Multiplication  der  in  der  Klammer  stehenden  Reihe 
mit  if  zu  ersparen,  diesen  Factor  gleich  mit  den  einzelnen  Coefficienten 
verbindet  und  jeden  der  letzteren  noch  durch  die  ihm  zugehörige  natür- 
liche Facultät  dividirt : 

4)  ii {C+x)  =  lia=zlv.Di  +  (/i;)»2>,  +  (/t;)»/),  +  (Iv)* D,  +  ...  ' 

Diese  Reihe  ist  in  der  That  sehr  brauchbar,  um  die  Integrallogarithmen 
aller  beliebigen ,  namentlich  sehr  grosser  oder  sehr  kleiner  Zahlen  zu  be- 
rechnen. Nimmt  man  nämlich  eine  Tafel  der  Werthe  e"  zu  Hilfe,  so 
braucht  man  nur  x  gleich  dem  im  Zahlenwerthe  von  e^  vorkommenden  De- 
eimalbmche  (letzteren  natürlich  negativ  genommen),  oder  gleieh  der  deka- 
dischen Ergänzung  dieses  Bruches  zu  setzen,  um  den  Werth  von  {e'+x) 
in  eine  ganze  Zahl  zu  verwandeln.     Dadurch  wird  *  man  zugleich  in  den 

Stand  gesetzt,  den  Werth  von  t;  =  1  +  —  der  Einheit  so  nahe  zu  bringen, 

all  man  will,  und  kann  demnach  Iv  so  klein  machen,  dass  wenige  Glieder 
der  Reihe  4)  hinreichen,  das  Resultat  auf  7  bis  10  Decimalstellen  genau  zu 
geben.     Ein  Paar  Beispiele  werden  genügen,   die  Sache  anschaulich  zu 
machen.    Es  werde  verlangt  /i  10,  li  11,  li  12  etc.  zu  berechnen.    Man  hat: 
«M  =  9,97418  also  10  =  e**  +  0,02582     v  =  1,00258     lv=  +  0,0025767 
e^*  =  11,02318  1 1  =  e«**  —  0,02318     v  =  0,99789     Iv  =  —  0,0021 122 

^=11,94126         12  =  c«'«+ 0,05874     i;  =  1,00492     b= -V  ^.WV^Vl^. 
Je  frfiifAr  die  Zahlen  sind,   deren  IntegrallogaritliineTi  g^ttmÖLeii  ^«tÖLÄXv 

MtkaakHA  iHr  Matbemmtlk  u.  Physik,   Vi,  2.  ^ 


130  Kleinere  Mittheikingen. 

sollen,  desto  kleiner  werden  die  /r,  so  dass  die  Arbeit  immer  rascher  von 
Statten  geht,  je  weiter  man  in  derselben  vorschreitet.  So  wird  b.  B. 
c"«'  =  099(^,000  und  c*"  =  22020,47  und  damit  ergiebt  sich : 

10000  =  p»-**  + 3,400  y=  1,00034  /»=  + 0,000340 
22020  =  e*^  —0,47  r  =  0,999978  /t;  =  — 0,0000211. 
Endlich  ist  auch  klar,  dass  man  keineswegs  genöthigt  ist,  immer  diejenige 
Potenz  von  e  zu  wählen,  welche  der  gegebenen  Zahl  am  nächsten  liegt; 
man  kann  vielmehr  zu  einem  und  demselben  Werthe  von  ^  verschiedene 
X  nehmen ,  und  dadurch  die  einmal  gefundenen  Coefficienten  2>  fftr  die  Be- 
rechnung mehrerer  Integrallogarithmen  benutzen.  So  wird  z.B.  c*= 20,08553 
und  man  erhält  damit: 


20  —  c»  —  0,08553  Iv  =  —  0,00420 
19  =  «7»  —  1 ,08553  U  =  —  0,05556 
IH  —  e^  —  2,08553     Iv  ==  —  0,10903 


21  =  ^  +  0,91446     lv=  +  0,04452 

22  =  f »  +  1,91 440     /p  =  +  0,09104 

U.  8.  w. 


Das  Einzige,  was  bei  dieser  Art  von  Berechnung  nothwendig  vorausgesetzt 
werden  muss ,  ist  die  Kenntniss  der  Integrallogarithmen  ftir  alle  diejenigen 
Werthe  von  c*,  welche  man  bei  den  eben  besprochenen  Zerlegungen  anzu- 
wenden hat.  Die  Berechnung  derselben  geschieht,  so  lange  a  nicht  grösser 
ist  als  5,  am  bequemsten  nach  der  Formel 

a.  ö  ö*  a*  a* 

5)  «.±-=y  +  ,«±__  +  _  +  _-  +  _±... 

die  das  Kesultat  mit  verhältnissmässig  grosser  Schnelligkeit  finden  lässt. 
Wächst  hingegen  a  über  5  hinaus,  so  wendet  man  bequemer  die  nachste- 
hende Beihe  an: 

6)  /iV*«  =  /i  c-  -f  '(-~-)  +  ''^1  +  "*^t  ±  «'•^8  +  w*/;  +  ... 

welche  aus  der  Gleichung  2)  dadurch  entsteht,  dass  man  in  letzterer  bezie- 
hungsweise e^  und  d^  anstatt  a  und  u  einsetzt.  Die  nachfolgende  Tafel 
der  Werthe  von  li  e^  ist  zum  grössten  Theile  auf  diese  Art  berechnet  wor- 
den. Da  jedoch  die  Glieder  der  Beihe  5),  auf  die  gehörige  Weise  verbun- 
den, zugleich  die  Werthe  der  cyclischen  und  hyperbolischen  Integral- 
Cosinus  und  Sinus  finden  lassen,  so  habe  ich  mich  der  zum  Theil  sehr 
grossen  Mühe  unterzogen,  die  ganze  Tafel  noch  einmal  mittelst  der  For- 
mel 5)  zu  berechnen  und  die  bereits  gefundenen  Werthe  von  //  e^  als  Con- 
trolen  zu  verwenden.  Zu  dem  Ende  suchte  ich  die  Summen  der  vier  Reihen 

/iir  die  einzelnen  T\''ertbe  von  a  und  erWelt  damW,-. 


Kleinere  Mittheiluogen.  131 

III 


^.           />+c«-   da 
Clö=  /  — .  —  =  14- 

cta=  I  cos  a  ,  —  =  1  —  III 
J  « 

Z,e-  =  I  +  III  +  II  +  IV, 

8j_A.!zi£:!.£!l  =  n  +  iv 

J         2  a 

si  a=  1  sin  a,  —  =  11  —  IV 
J  a 

7,-^-«  =  i  +  ni  — II  — IV. 

Wtr  die  Rechnung  nach  5)  richtig,  so  musste  der  damit  gefundene  Werth 
Ton  Ue'  mit  dem  aus  der  Formel  6)  erhaltenen  Übereinstimmen.  Da  der 
Werth  a=l  gewissermassen  als  Fundament  für  die  ganze  Tafel  anzusehen 
ist,  80  wurden  die  obigen  vier  Reihen  für  ihn  auf  40  Decimalstellen  ent- 
wickelt.    Dies  gab,  wenn  die  Constante  y*)  gleich 

y  =  0,57721  56649  01532  86060  65120  Ö0082  40243  10421 
gesetzt  wird ,  folgende  Resultate : 

lie     =  +  1,89511  78163  55936  75546  65209  34331  63426  90 
/f^l=  — 0,21938  39343  95520  27367  71637  75460  12164  90 
Ct  1   =  +  0,83786  69409^  80208  24089  46785  79435  75630  99: 
Sil    =  +  1,05725  08753  75728  51457  18423  54895  87705  90 
ci  l   =  +  0,33740  39229  00968  13466  26462  03889  15076  99 : 
«1=4-  0,94608  30703  67183  01494  13533  13823  17965  78 
Hier  wie  im  Folgenden  ist  die  letzte  Decimalziffer  stets  ungefindert  gelas- 
MDf  es  bt  ihr  aber,  wenn  die  nächst  folgenden  Ziffern  zwischen  33 . . .  und 
01 . . .  lagen,  ein  Punkt,  und  wenn  sie  zwischen  66  . . .  und  99  . . .  lagen,  ein 
Colon  beigefügt  worden.     In  ähnlicher  Weise  habe  ich  die  nachfolgenden 
IVuctionenwerthe  für  a=2  u.  s.  w.  bis  a  =  10  auf  23  Decimalstellen  be- 
rechnet und  das  Resultat  nach  Gleichung  6)  geprüft. 


*)  Der  hier  gebrauchte  Werth  von  y  ist  aas  der  Abhandlung  von  Gans 8  über 
die  hjpergeometrische  Keihe  1  H — -r  ^  4-  etc.  entnommen ;  die  Bcrcchnang  dessel- 
ben ist  von  Nicol  ai  nnd  zwar  auf  doppelte  Weise  bewirkt  worden,  so  dass  die  Ueber- 
cinitinunong  der  so  erhaltenen  Resultate  die  Kichtigkeit  der  hier  aufgenommenen 
40 Dedmalf teilen  verbürgt.  Soldner  hat  y  auf  22  Decimalen  berechnet,  die  voll- 
■ttadig  mit  Nicolai*f  W  erth  übereinstimmen  ;Mascheroni's  Rechnung  giebt  32  Stel- 
len, von  denen  jedoch  nur  die  ersten  19  richtig,  die  übrigen  total  falsch  sind.  —  In 
■euerer  Zeit  hat  Lindmann,  der  wahrscheinlich  die  Werthbestimmung  Nicolai'! 
lidit  kannte ,  sieh  durch  die  eben  besprochene  Differenz  zu  einer  Wiederholung  der 
Sachnong  veranlasst  gefunden ,  und  dabei  gleichfalls  Soldncr*s  Rechnungsresultat  be- 
tltigt  erhalten.    Vergl.  Qninert's  Archiv,  Bd.  29,  S.  240. 


<k% 


132 


Kleinere  Mittheilangen. 


S  S  S  S  i  s 

rf   lO    I--   -4   «   « 


CO  o  o  «-•  oa  I- 

O  »  C^   ®    C»l   »ft 

^  o  o  ""^   ^    ^ 

t-  M  o 

CO  C»l  -< 

CO  TP  »^^ 

o  o  o  o  o  ö 


»ftOC»«ÄOC0OC0Xl^ 

•-<»Qi^r^i<5'«'cocö-H'r' 

r«rfci^iOC4C00»O«D 


^9ii?S25coco9ioo 


iiillsisil 

g^Mco^irtgwr-Ä 

ra^Sco*Hr*SSSr* 


«Hl 

?3    fe    ?2   ® 


I-    I-   CO    ^ 

-  «^  I-  1^ 


=>.  -  «SS 

»6coeoa5gpör-i^c!i 
oac:cc»-c:25co»M 

+  "^  "^  2  S 


—    C»»CC-ti««l^00CiO 


Z-J. 


tari<S  B 


Kleinere  Mitthoilnngen. 


133 


O    ^    O  i—   ^    — 


.-p  ift  ö  r^  00 
o  o  o  o  o 
o  cT  o  o"  o 


o  o  o  o  o 


e?  OJ  c^i  TP    _ 

P*  1^    O  ^^    lO 

to  Ä  e^  eo  PS 

,  p*  «st  r-  o  CS 

^^  1^    CM  I"*    ^^ 

S£S  SS 

*?  lO    O  1--    QC 

f-4  ^^      IN-I  ,— 1      ^^ 

o"  ö  o'  o*  o" 


»ß  g  O  PO  « 
Op  OD  &  d  cl 
^   ^   ^  HlS   PO 

feo  ce  o  «4  PO 

Iß  5  -f  PO  d 

gisss 

(— I  w  ^  ^   c* 

o  o"  ö"  ö"  o" 


Q   SS  CO  p9 

^   TO  W    P3 

tCi    PO  C4    ^ 

GS   r*  1--*  o 


S-    Ö^  cO   C33^  S^ 
^  rt  c*  e*r 


*^     ^^     »r»     L'O     o 
lA    O     ^    O    74 

-^  '^  c:    **   'T 


£8SS     n:ss::fS 


—  p5  S  S  cö 
-T  e*^  o  Ci  go 
c^  c^  cw  1-4  ^ 


I 


«  -W  I— i   00  C: 

a5  «  *o  t-  PO 

CS  00  'T    **  Ci 

C-*  CO  •T    O  O 

t-^  O  A^  **  P3 

m^  w^  r^   w^  w^             ^^     w^     T^     ^     ^              iF^OCJÖÖ 


<^  o  »fl  O  r* 

O  Ö  T^*  3-  1-* 

-t  i-  X  «  1^ 

©  C^  t  '30  S 

^  30  l-  ^  O 

^»  if3  »2 

g  S  2 

^<  O  O  T  O 

e^  C4  ^  p-(  o 


*Q 


!§ 

TT 

13 

g 

s 

S 

£^ 

32 

r- 

tO 

1-- 

o 

O 

s;? 

g 

s 

3 

<M  ^   CJO   g   ^ 

o  5_  c>^  5^  9j^ 


I 


38g3S 

(C3    ?(    ^    QC    ^ 


Pi    P^  -fl*  -T*  ^* 

pii  ^  ^^  r^  *T 

r-  i-  -T  ^  so 

O    C  Q  -^  O 

*0     PO  S  n  !N 

in  f>i  o  ^M  o 

S  S  O  o 

—H  PI  rt?  — * 


Ö    CS  iW^  ^  ^ 

5    C  -^  i^  ® 

T*  «  ]0  <-•  o 

-d    1-*  ^  CO  T 


rt  ^  esi  rt  ^ 

00  —  i^  ao  Qü 

1^  QE>    f-(  w  04 

c^  -^  ^  o  ^o 

^  in  ?i  t^  Ol 


00    ^1    h-    SM 

___          -^?*pjcO,,  ,^,   .__,^ 

OOOOO        QS^^2  2^^22 

-i^^^^            ^^^_4*m^  SM?*ff*P^O* 


s 
g 


*-»  o  r-  !0 


O  C    3   o 


o  c  o  o 


gc  ca  rt 

00  C<3  PO 

_      PO  >l  CO 

lO  eo  Ti  ^ 


gcD  ^  to  ^^  .-»r^öTp 

»r^^NiP*        €0ci<»C5r'  aBo'5'i^o  «^o-fTp  wmi^^ 

r-^ö-^        i-^iQQcc^ao  cHii-cioO^  -^äor-db^  w^**C5 

S4|2^3!        *-^PO^-r?F  ?<Ö*5^S  ^^^^!^  SJtr^Ü 


8 
I   l 


C*  1-  Ci 
W   C<i   PS 

i^  o  lo 


Ok    ^   tO   CO   O 


^  (^  ^  ^ 


O   ^    et    OC    OD 

-T  o  Q  o  o* 


I 


Iß  M  O  Q 
O  «  TP  & 
t^    QO    <4    & 

1«  f*-  r-  3 
O  r-  ao  rt 

Sc  -<  ;© 
f-  ^*  PI 

e5  S  o  3 
o  PO  CS  «> 
^  e*f  w  pT 


S  So  S  g  s 

Hill 

'^  S£  SE  ^  IT 
^  ö  *  ^  ob 

?  S  i  1  3 

¥*  *-  Ci  g  -f 

W  CO  ^  Sj  ^ 

^  r-  c3  iß  uo 

<Ö  «  EO  ^  g 

P1C4PI04^  ^41-41-4    -^*4  i.^rt4 


I 


I 


>-•    ?J    O    tK>    30 

*^  o  So  55  t 

TP    Ä    1^    ^    ^^ 


'^^r     pr     HJ    ^-      «k/ 

o*  00  **«  o  1- 
«  ^  -^  ^  o 


»<s  lO  r*  Ä 

S  S  ^  fiS 


^  *^  ^ 

Gß  i^  o 

Fi  *3C  Cii 

-^  'JO  -t   *o 

00  CS  Pa  ^ 

IM  O  ^ 

PJ  ^  ^   .  - 

«D  lO  ^   P^  ^ 


C4   oa    —  ^  ^» 

r*   r-   Q  *f3  t"^ 

^   PO  Ä  O  00 

^     ^     P*  Ä  'f 

Ö     ^*    ^  f^  lES 

00    CO    PO  "^  Ö 

o  r^  Pi  «-^  Ö 

335    4*>  O  5 
-lo3S 


^    00  ^  O  Q 

h-   PO  t  t*  « 

SP4  W  O  ^rO 

"»  esi  ^  I- 

O    -^  if3  OS  50 

^  r-  a&  pü  » 

r^  22  S  S  S 

P«  *o  o  ^  * 

00  r-^  r*^  o  o 

O  O  Ö  O  Ö 


00000 


8  S  S  S  S 

o'  o*"  c  o"  o" 


O   ^    S«   PO   1* 
O'  S'^  Ö  ta"  O 


iO   O    I*-   i»   Ci 

Ö  o"  o''  o"  o" 


00000 


134 


Kleinere  Mittheilungen. 


—  ff»  a«  »- 

8  8  So 


O   S   r*    rf   3  1-4 


ci  -i  o  o  -^ 

O  1*   ^  O  1^ 

r*  r*  r»  o  ;o 

3*  ^  o  r*  go 

CO  CO   CC    CO  CO 

o  o  o  o  o 


S  i  S     S  S  3  2  2 

t-^    CO   Oi  ^i4    O    vH 

»O   r*  rf         CO  S  o 


_  1-»    C^   CO 

CO    "T    ^    •J'    ^ 

ooooo       ooooo 


cb  ©  i^  e  © 

ö  r*  c^»  S  o 

TP  O  Q   lO  -< 

W    00    Ä    »^  OQ 

OD  r^  r»  t-  ö 

©  ©  ©'  o  © 


g  2S  52 

CO    C^    CO  -M    lO 

SCO   O  f*    t^ 

©  s  »  »o 


O    lO   © 


3SS 

©  ©'  ©'  ©"^  © 


25  »f  ^  »i*  •? 
o"  ©'©"©© 


©  ©  ©  ©  © 


|88 

2  &  S 

©  ©  ©"  ©  o 


(9^ 


©  ©  ©  ©  © 


w  ac  »o  ©  © 
S  «  ^ 

sssgs 


©  ©  ©  ©  © 


+ 


©  ©  ©  ©  © 


t«  I-  I-  i^: 

tO  ©  C4  © 

Ci  ^  Tf  C* 

Iß  ©  t-^  ^ 

ei  lA  ©  00 


^    ^  CO  »  »ft 

CO    «^  CO  o  © 

©  »fo  »-I  r»  CO 

r-  r-  t*  ©  © 

©  ©  ©  ©  © 


^   <N   f-^   00   ^ 

o  2»  ^  55  © 


O  ©   *-*  lO  c^ 

00  X    ©  ©  f^ 

,-^  -^   -M  »  O 

3:  ;2  Ä  s  25 

^  ~    CO  CO  CO 

©  ©  ©  ©  © 

I 


iTO  d  «-H  ^  5 

©  ^  1^  r*  2 

r*  »T  1-H  r*  o 

CO  ^  r*  ©  Q 


©  ©  ©  ©  © 


1<  1^    CO 

s  §  ? 

©  r*  ^< 

C^l  00    CO 


©    ©  CO    1<  © 

l-H  o  ©  t-^  © 

§'#  00    ©  12 

r-  ^   -^  »fO 

kO  iß    1-H  kO 

1^   ©  CO   ©  1< 

Si?5  CO  -^  r* 

^  00  ©  t 

©"  ©"  ©"  ©  ©' 


© 

-an 

«^ 

.H 

© 

!>• 

?. 

^ 

mM 

't 

c*» 

© 

.^ 

© 

3: 

^H 

CO 

<N 

Tf 

-r 

lA 

1^ 

o 

© 

r- 

Iß 

CO 

^H 

1^ 

•- 

1^ 

r^ 

r- 

00  CO  iß  Iß  © 

00  -^  ^  1^  r* 

,-4  ^  -t  -1»  ot 

-^  CO  CO  -r  f* 

©  ©    1^    CO    ?< 

QO  i^H   55    -^   CO 


©    ©    ©    ©    © 


I 


-4     CO     C^ 

2SS 

CO  rt  00  rr  " 

e2    '^    Ä  S   ' 

©  ©  Iß  3  tC 

©  ©'  ©  ©  C 


g  a  3  3  § 

?i  00  CO  r|»  Iß 

CO  1-H  ^  CO  i-l 

rf  CO  •f  ©  © 

/M  -H  tM  ^  30 

-1«  ©  -r  ©  Hr 

iß  "T  •^  CO  CO 

o"  ©  ©'  ©'  © 


»M   ©  ^    -<   © 

©    Iß  ©    «M    CO 

CO    t-  ©    ©    © 

Iß  ©  ©  ©  ^ 

00  ©  cv  iß  CO 

§22S§g 

(M    «  f    -N    © 

©  Iß  -4  1^  rt 

W    C5  ?4    -M    i-H 

©'  ©  ©"  ©"  ©" 


©  ©  Iß  -^  © 

8^    I-  00    ^  © 

^  •*  M  © 

©*-*«»*  iß 

-1*    00  ©    ^  «* 

CO    Lß  ©    -^  00 

3!  £♦  tr  S5  -^ 

©  ©  ©  ©  r* 

©   ©  ©   0  © 


©  X  1-1  r-  1^ 

X  ©  CO  ©  "l* 

•^  ©  «iJ  ^  "T 

d  Ä  CO  gp  csi 

Iß  ©  x  ©  l'- 

©  X  r^  ©  X 

r*  i'-  ^1  e*»  r- 

-t  -^  X  -t  © 

©  t  t^  —  1« 

«^  ,-4  ^  c^«  ^ 

©"  ©©'■©© 


?  2J  ^  s  5 

Iß  r*  Iß  00  r* 

»ß  ©  CO  OD   C 

00  2  r*  iH  c 

X  «-4  kß  OD   o 

C*  CO  CO  Ä   ^ 

©  ©  ©  ©  c 


iß  ©  r^  X  © 

CM    ^»    O»    -N    »N 

©"  ©"  ©"  ©'   ©' 


S  =?  S»  25  3; 

CO    CO    CO    CO    Cv 

©'  ©*■  ©'  ©"  © 


CO    CO    CO    CO    CO 

©"  ©"  ©'  ©*"  ©" 


"T*    •f    "1*    ^    ^ 

©©©'©'  ©' 


©"  ^  ©  ^  c 


Kleinere  Mittheilungen. 


135 


sssss 

^    Ä    W     C^    ^Sf 

^  r»  »o  »r  »H 

l*   fc*   »4   00   00 

C   X   1»   O    C«) 

g—  g  ^  I-  rt 
O    -H    *N    CO 
^  Ä   Iß    lÄ    rf3 

Ö  O   O    O   O 


^  cc  cc  ec 

fl^t  i?5  et  S 

go  Ci  1^  ^ 

S  ^  c^^  -t 

C»»    c")  ^  1^  -^ 

=J  l^  £  Äi  S? 

B  I  2  "S 

lO  S  o  o 

o"  c  o  o 


-H  ^  1^  :c  p 

OC  »ft  »  l^ 

S   Iß  -^  »^  X 

CO  cc  -<  1^  5 

C    C»l  iC  I-  o 

n:  «iT  ffc  ^1  ^ 

CO  T  »o  :P  r^ 

«  e  CO  3  o 

o"  d  d  d  d" 


o  3  ^  -M  S 

CO  ^  rt  »r  25 

©>»  — !  O  CO  ^ 

M  ^  CO  o  CO 

o»  -^  X  CO  in 

W  -r  i<5   I*  X 

S  §  g  g  r: 

25  5C  o  «-•  1^ 

d"  d  d^  d"  d" 


iiiii 

i"  c  ^  «^  f^  ^ 

r-  CO  CO  o  O 

X  rf3  »Q  r-  Ä 

»^  3*  «c  o  5 

r*  C  CO  1^  O 

j^  S  -t  «*♦  ^ 

u  d  d  ©  ©"  o 

I 


'i*  X  CO  "f  1^ 

!:•  c^  ^  —  o 

«^  »^  r^  X  1^ 

«  Iß  »c  »r  »o 

o  an  O  <-4  o 

Iß   et  iC  Ö  QO 

gi^  ö  iS  rt 

^  o  o  o  © 

©"  ö  ö  c>  <o 


I-   1^  ©  X  o 

C^l    C  »  Ä    Ol 

c»  X  -r  *^  3 

c*»  ©  ©  -^  Ä 

©  ©  ©  ©  © 

d  d  d  ©"  ©" 


C>    0>    CO    ©  lO 

©.  fr  ©  Iß  © 

^»    CO    iß    ©  "-■ 

X    I-    CO   ©  CO 

O    1^   —    t^  CO 

Tj    Iß   ©    Iß  © 

©    1^    Iß    1-H  5 

?i    «T    ©    X  © 

SÜSS 

d  d  ©"  ©  d 


©  Iß  ^  ©  2« 

©  lO  CO  X  =P 

l^  ©  ©  Ol  "j 

rp  1^  X  CO  © 

•^  —  t-  ©  © 

Iß  CO  X  Ol  Ol 

4^  ^  »  «N  <M 

©  f-  Ol  CO-  **• 

©"  d  d  d"  d 


$  g  .n  s  s 

•r  Iß  »-I  r*  © 

t^   C*  Ol  ©  © 

©  I*  Iß  ©  ■'l' 

c  ff"*  Ir  üf  ^> 

&   rp  X  CO  X 

©  1^  r»  X  ÖD 

c  •-«  Ol  CO  •r 

■ß  iß  Iß  iß  iß 

©"  d  ©"  d  ©' 


§©  iß  CO  © 

iß  Iß  r-  5 

1-H  Ö*  -M  © 

CO    I-  —  ©  I-- 

©  -^  -^  X  co- 
ro Iß  ©  Iß  »r 
—  t*  «  ©  1^ 
Ol  Ol  CO  -r  -r 

*-*  Ol  CO  -r  Iß 

©©©'©© 

©"  ©"  ©"  d  ©" 


©  ©  ©  X  i* 

Ol  Ä    Ol  ^  CO 

Ol  1^    ©  X  © 

1^  Ol   X  ©  Ol 

•^  Ol    Iß  Ol  CO 

Iß  X  CO  ^  "M 

't  —  ©  I-  Iß 

Iß  ©    ©  I*  X 

©©"©"©  © 


X  *-<  iß  ©  CO 

—  1-  n*  1-1  t 

g  ?;  2  £  S 

—  s  ^  Iß  © 
1-«  1^  1*^  l'^  1^ 

©  d  ©  ©  © 

+ 


©  't  ©  iß  Iß 

-f  Ol    Ol    •-  Ol 

X  ^  s  ?  s 

©  Ä    ««f    ©  «-• 

1-  ©  «f 

I*  CO   CO 

e  o  e  e  o 


CO   X   ©    ©    © 
^  £*   Oi  t^  t^ 

4  S.S.  =  2 

<D  ^  ^  ^  G 


sss 


©    ©    ©    ©    Ol 

TP  5  CO  CO  -X 


CO  ©  X 

©  Iß  © 

CO    Ol  ^ 

iß    !"•  ©    «^    "s-t 

Ol    Ol  Ol    ^^   CO 

d  ©  d  d"  ©" 


»ß  5:  —  Ol  -n 

I*  Iß  CO  Iß  © 

^  Ol  -r  CO  ^ 

©  1^  CO  CO  Ol 

©  Ol  n*  Ol  f- 

ȧ  n?  -^  tr  ri 

Iß  CO  -^  X  © 

-r  ©  X  ©  »^ 

CO  CO  CO  CO  •J* 

©"  ©"  d  ©"  ©"* 


1^    Ol    »-*  Iß  © 

1*    X    Ol  ©  © 

©  I-  ©  -1*  Ä 

Iß    t    CO  Ol  -M 

iß  iß  Iß  Iß  »ß 

^  ö  <ö  ^  <o 


CO  t-  Ol   c;^  © 

X  55  CO  CO  H* 

?  g  s  ?.  s 

CO    «  Ol    CO    CO 

i?5  »t*  <?f  ^  ^ 

d"  d  ©"  ©"  d 


i 


CO  -*<  X 

—  ©  I- 

©  CO  Ol 

I-  1-  CO 


?  ©  Iß 

.  2  y  ^  S 

Iß    -r    CO  Ol    i-< 

•r  -T  -r  -p  -r 

©"  d  d  ©'■  ©" 


-^  X  Iß  ©  »ß 

Iß  jß  a^  CO  5 

^  ©  ©  X  35 

•1"  "T*    CO  CO  CO 


©  ©  © 


^     CO     -H 

©    Ol    I- 

S  S  5 

CO  cO  CO 
©  ©"  d  ©'  d 


©  iß 

CO    CO 


I 


:=  I 


Ol   ©  Ö    Iß 

--   CO   CO  CO    -ij 

C*   ©    Iß  I^   o 

«J  f  ©  — ^  Ä 

^  »1*  iß  iß^  55^ 

d  ©  ©  ©  d 


©   l^  -X  Iß  © 

©   t'-   —  Ol   o 

Ol  ©  X  1::  5 

©  ©  ©  1^  1^ 

d  ©"  ©'  d  © 


Ol  n*  X  ©  CO 

S©  •-<  ©  © 

l"«  1"  Ol  r- 

•r    Ol  ©  —  iß 

©    X  ©  ©  © 

t?  !~  s  -  B 

£  2?  S  S  -. 

©   ©  ©  ©  © 

©  d  d  1-^  ^" 


©  -l*  X  CO  Ol 

1*  *-*  ©  ©  X 

£  S?  P  i  s 

r-  1«  't'  ^  X 


S  Iß  »ß  «  ^ 
©  ©"  d  ©  © 


'^    Ä    Iß    iß    iß 

d  ©  ©"  ©" 


iß 

©" 


g  S  S  §  -3 

d  ©'  ©'  ©'  d 


g  g  \B^  S  § 

o*"  d  ©  d  d 


O    -^    Ol    CO    "1* 

«-  I-  I-  t-  1-. 

©  ©  ©  ©  © 


136 


Kleinere  Mittheilungen. 


_   »  i?5  *!»•  CO 

w  Ä  ^  o  o 

I*  r*  t*  f^  r* 

ö  ©  d  o"  o" 


^  O  C5  2?  ><^ 

•^  r»  »ft  o  ^ 

ec  «-4  CS  — 4  o 

*J"  X  ift  ^  « 

M    l>  O  OC   CO 

-4   CO  CC  Q    »O 

o  "T  c*»  Q  r» 

•i*  Ä  -^ 

o  o  ©"  ©  o 


00   00 


i 


<M   ©   O   /N   t- 

CC   -l«   IC   ©   o 
C5    CM    ?»    «^    -N 


©   ©   ©   ©    © 


06  ?)  r«  ^  «N 

t*   CO    t*    -t   »J5 
©  ©   1^   ©    ^^ 

lull 

^»  S  ?i  «4  S 

©■©"©©  cT 


CO   CO   CO 

©■  ©  ©  o*"  o 


•t    O»   CO   1*5 


(H 


Q  ;=?  —  »5  © 

QQ  QQ   OD    QO   © 

Ö?  5   »-    5    1^ 

1^  TO   ©    ©    ^ 

»^  r*  r-^  00  » 

©  ©©"©"© 


CO  et  r*  CO  «N 

CO  -H  <M  ©  00 

©  ©  r-  ©  g 

©  S  S  ©  cb 

©  —<  Iß  CO  so 

©  ^  C^  -f  © 

«  ©  —  J>»  CO 

00  00  00  o6  X 
©©©©"© 


il 


©  X 
©    CO    O»    Iß    © 

5  s  5  ^  S 

X    ©    ©    -^    TO 
00    X   ©   ©    © 

©"  ©'  ©"  ©"  © 


S  ^  !^  Ä  9ß 
"n*  ©  CO  X  CO 
•M  ^  »r  iS  fc* 

©©"©©© 


+ 


Ift     -H     ©     W     © 

©  ©  ©  ©  r* 


©  X 

©  © 


SS 


SS 

•f    CO 


s^ 


2j    CT    ^    CO 

gS2§ 


2ß  3!  52  ^  fe 

cO   ©   «-^   CO  © 

»A  s  X  -i«  © 
-f  «  ©  f^  »* 
r»  ic  t*  r^  X 


X  ©  CO 

-X  i  »^  ^*  w 

CO  ©  r^  -r  -^ 

CO  lO   ©  x  © 

•f  rj»  -i<  »f  Ä 

©"  ©'  ©"  ©  © 


CO  ©    ©    •t"    CO    CO  ^ 

©        ?5  ©  ©  ^  Iß        X 


1-*  ci"  Iß  S  ä 
Iß  Iß  tß  Iß  Iß 

©"  ©"©©"© 


+ 


S2 


©  CO  c»»  r* 

.  .  -H  ö  ©  CO 

-*  1^»  »  _^  Q 

gc  CO  CO  ©  © 

©  Iß  w  1^  r» 

ff  —  CO  X  1^ 

CO  ^  ©  ©  o> 

©  't  X  o»  © 

T  CO  C«  Cl  ^ 

CO  CO  CO  CO  CO 

c  ©"  ©  ©  © 


Slß  ^»  ^  © 
C")  ^^  ©  O) 


©  »t  -^  © 

Iß  ^  " 
CO  Ä 

©**  ©'  ©  ©  ©"^ 


©  X 


S-:  g  g  g  s 

«^  ^  t^  ^4  «if 

S  S  ^  ©  -r 

X  t^  1^  ©  © 

T»  0>  ^J  Ol  C^l 

©"  ©  ©'  ©"  ©" 


CO  CO  ©  ©  © 


©  Iß  ^  r^  c^* 

©  Iß  Iß  -r  ^ 
oj  c^  '^i,  ^  "^l 

©"©©"©© 


g 


CO  ©  »t  r» 


CO  ©  Iß  ©  o 

*^  5?  ©  S  Ä 

Ss  CO  CO  Ä  oi 

^  M  O*  CM  O* 

©©©"©'  ©"^ 


l» 


—  —  ©  O  Iß 

X  CO  ©  X  !-• 

Ol  CO  T  Ol  -H 

CO  Iß  ©  ©  Iß 

I-  O  CO  -^  © 

©  CO  ©  ©  ^ 

oi  Ol  Ol  C^  CO 


Ol  CO  ©  CO  Ol 

X  CO  ©  Iß  X 

•T  X  —  "+  Ir 

Iß  1^  ^  -'  ^ 


if  ri  ©  Ä  Ä 

CO  CO  ^  "^  "f 


Ol  ©  •**  ©  © 

©  -^  -«  CO  Iß 

I-  ©  ©  CO  CO 

^  1^  ©  Iß  © 

rr  Iß  Ol  X  r* 

Iß  CO  ©  g  ^ 

•r  Iß  Iß  Iß  Iß 


S I  i  i  I 

*-*  Ol  -*  »-  -H 

X  -H  -Y  ©  © 

O»  ©  1^  »^  — 

Ol  Iß  r-  ©  CO 

©  ©  ©  I-  •- 


X  rj  ©  Iß  r^ 

2  g  g  ,•:  § 

©  ©  CO  ©  1^ 

»ß  X  ^-  "T  © 


Iß  ©  r^  X  © 
!>.  1^  r-  I'  I- 

©"  ©"  ©"  ©  © 


c  ©  ©  ©  © 


?5  S  &  $  9 

X  X  X  X  X 

©  ©'  ©  ©  ©" 


©*  ©"  ©"  ©"  ©'   ©"©'©©© 


Kleinero  Mittheiinngen. 


137 


»^  OD  C  «M  r^ 

-N    Ä  O  O  CO 

CO   00  00  CC  «-N 

»ft  n*  «N  1^  cc 

c5  o  ^»  o  i-O 

g   QC  «  ^  t^ 

c^*  §  :T  O  1-5 

CO  et  •!}<  ift  i5 


00  C»»  ^  00  1^ 

CS  CC  !-•  —  O 

!^  w  Ti  .r  Q 

-H  q:  CM  o  X 

S  o6  1'-  o»  ?» 

g  3  -s  ?; )? 


o  t  ?»  o  o 


©  ^  ^  o 

CO  <?»  Q  ^^ 

„    O  X  ?l  T» 

1^    C  »^  CO  *»* 

1^  X  X  X  X 


£ 


Uli 


•    ;       -TV*,' 

+ 


X    tfS 

Ol  r* 

X    ^ 


lO    CO 


O  Ö»  X  *-*  © 

»O  CO  «  ^  ^ 

CO  1^  O  X  O 

O  «-•  o  2  -N 

I-  f^  ^  lO  "T 

t  -1*  f  -t  -r 

©  ö"  d"  o  © 


1^  X  ©  »ft  -r 

S  S  '4  S  2 

•^  f^  1^  Ca 

lO  C  -H  o« 

-    ©  i?5  i"«  I- 

o»  ©  i'-  -r  -^ 

-t  ^  CO  CO  CO 

o"  ©  ©  ©  © 


I 


g  S  S  S  ;? 

=  S  4  s  s 

r*  CO  X  X  © 

X  eo  ©  ^  X 

rt    CO   ©  ©  ^» 

X    lO    O»  X  k/i 

M^  o<^  o»  -^  ^ 

©"  ©"  ©"  ©  ©" 


S::::3S3 


Ol    ©    lO    t^    ^ 

s  i  §  •# !? 

©"  ©'©©"© 


rt  X 


©    ©    CO 

©  -r  CO 
iC  o»  «-< 


i^  eo  X  r:  »o 

Ift  -H  O»    CO    Ol 

-M  -t  Ol    -r   CO 

Ift  »-  ©     CO    © 

CM  rr  X   ©   © 


CO   »O    T    r»    ^ 
CO   ©    X    ©    X 

CO    IQ    1-1    Ol    © 


»ft  CO  X  ^        S 

s  rc  ?  ® 

t  ©  i5  -^ 

Ol  -r  ©  t 


X  S  ?i 


öl 


1-^  oc  ©  "t  **? 

i-T  «-T  f-I  oT  Ol 


gO»©-tiO  -fX©«*OI  -t©-H 

©xS©3  ^©3?ii        «^»05 

^  2>  X  ©^  CO  »^  «^  *  ^  '^ 

oT  or  Ol  CO  CO  CO  CO  -f  1*  -1* 


"^  ^  Ä  X 

—  -H  T  X  X 

«^  »'^  Ol  ©  Ä 

3"  CO  X  Ol  -4 

©  1--  l^  ©  CO 

r^  -^  X  X  © 

•!f  »ff  lO  ©"  O 


0 


e  lo  —  -4  r^ 
©  f  t  —  »o 
3  X  Ol  ©  r* 

S  i  q:  S?  2 

X  ©  —  Ol  -r 

©'  ©"  ^  ^  ^ 

+ 


55  ^  :iL 

CO  1^  oc 

CO  ^  1^ 

—  "*  Ol 


s 


S  o»  s 


©  CO  ©  1^ 

©  .M  Ol  r« 

©  X  ©  © 

©  Ü  ©  s 


CO  ©  »^  1^  to 

§-^  ii5  ^  lO  1^ 

©    CO  Ol   X 

»ro  Ol  ©  © 

i>»  &  ©   Ol 

^  ^  *-I  of  or 


©  -N     -4     CO  -H 

©  CO    f^    ©  -M 

Ol  Iß    I-    ©  © 

'■?  3  3  i  ^. 

Ci  Ol    of  CO  CO 


Ol  CO    X  Ol    © 

•f  -H    IS  Ol     © 

-r  1-  ic  -H  »5 

Ol  I-    ^  CO    CO 

»ft  1^  ©  CO    © 

CO  CO   "^  "f    "l* 


IT  ©  Ol  liO   CO 

3«  Ol  Ol  1(0  i<5 

g  g  g  ©  2 

Ol  ^  ^  Z3  S 

S;  2  "=5  ß  S 

CO    -T  lO  ©    © 

©   g  X  ©    Ol 

©  s  ©  ©^  s 

-f  ».'0  *c  ccT  ©* 


l 


CO    ©    CO    »iO    -^ 

©    lA    X    t^   © 
-N  00  »75  CO  -H 

©©©'©© 


X  X  X  -*<  Ol 

I-  -4  —  Ol  © 

*-*  Ol  1^  ©  ^ 

©  Ol  X  Ol  © 

•r  ©  1-*  »ß  ^ 

S  55  *  i2  S? 

?  2  ©  S  2? 


©  ©  ©  ©  © 


ȧ  1^ 

Ol    CO 


©  r^  -t 

»-;  X  Ol 

X  «-<  © 

X   rj»  Ol  Ä  © 

•J  ©  CO  CO   © 

^   ^  2   ©    X 

©^  ©  ©,  ©   8 

©  ©  ©  ©'  o 


I 


§iA   -4    Ol    ^  -4    =    CO 


-^  r*  ©  ©  © 

—4  CO  ©  CO  Ol 

Ȁ  I-    Ol   -^    1^ 

«-I  oT  or  of  CO 


=■■  -  =  ^  I 

1«    -T    C  iO  X 

"f    2-    Ol  >f5  3 

»A  5i  CO  I-  ?5 

.,  I H  s 

Q  ^1  -r  © 

©  ©  Ol  »o 


I ., 

CO    CO    CO    ^    '^  "^ 


©  ©  X  CO  CO 

35  ^  g  3  © 

CO  c«5>  ©  1^  Ol 

-t  »<o  -r  ©  © 

CO  CO  ^  X  r- 

Ol  Ol  ©  rt  © 

«•r  CO  Ol  -f  © 

»Ä  CO  CO  »iO  © 

©  CO  r*^  ^,  ©, 

^  i6  lc  ©'  ©' 


ȧ  l'-  Ol  30  iQ 

^  ©  i?r  Ä  © 

©  ©  -^  Ol  30 

X  r»  -*  !'•  »H 

»?5  f  I*  I-  -i« 


©  ^  Ü  © 

-H  CO  Ol 

©  ©  i: 

i'-  —  I* 

©  »;o  -^  © 

I*  i-^  od  00 


CO 


5  5  s  S  3 
8  1 1  2  S 

ggsss 

Q   ©    1^    ^    Ol 

CO    Ol    ©    ©   —< 

©  ©^  c5  -M  ©^ 
©  ©  f-4"  Ol  CO 


+ 


O  *«  oi^  CO  ^ 


liO    ©   1^   X   © 


©    -H    Ol^  CO    IJ 

Ol  Ol  oT  Ol  o» 


tn  ©  «*  00  ©^ 
Ol  Ol  Ol  Ol  oT 


©  ^  oi^  CO  -r 

CO    70   CO    CO   CO 


138 


Kleinere  MittheiluDgen. 


^      s  lü 


cc  n  QÖ  &  CO 

I-  g  CO  55 
!S  S  ^  «  I- 


r-        1^  r»  r» 


^  lO    f    I- 

O  tO  lO 

i«  «o  o  r- 

*-•  1*  c  o 

"i*  £»  »^  S  ' 

WJ  CO   -H    OD 

CD  CO  o  i25 


cJ  «5  c3  8 


g  2  g  S  eS 


C«  <P   Cd    iQ   00 

•^  S  :^  p»  ^ 


g22§g 

T  0  Q  «5  •j 

»Q  c5  o  t-^  eo 

X  ^  «-•  ao  o 

c^»  t*  o  t-  o 

-H  O  O  1^  ^ 

d  «-  ^  «  eo 

CO  »ft  OD  o  c5 


00  00   I;;   ^   t* 

g  S  S  g  ^ 

f-N  S  CO  o  ö 


M  £  S  e? 

W    ^     ^     -H 


O    -H     C*     Iß     -< 

»S  S  ^  3<  S 

•1*  O  O  iP  o< 
t^  C^l  A  o  c^ 

O   C   C9   lA   tO 


o  c: 


£3 


©   O  O   O  O 


O   O   O  O  O 


o  o  o  o  o 


o  o  o  o  o 


jO  o  o  o  o 


49^ 


»2  S  t:  <2  <5 

fc  ^  3  'S  3 

ö  lO  CO  irt  »r 

o  «^  :t  C^  I-. 

?l  l^  CO  »^  o 

«  ©     CO     i-H     Ä 

S  i?  g  3  2 

O  1^  l-^  00   CJ 


d  -r  ©  r*  00 

«1  -4*  3;  CO  © 

S  ?i  I*  3  3 

o  t*  «sf  ©  t 

l"»   O  ©  «5   iQ 

T?    rf  $T  -^    © 


CO  •-*  ©  30  »O 
©  -i  ©  3  CO 
n*    »O   ^    CO   «T 

©  «-•  1*  -r  © 

Ä    ©    l'»    1-*    1-1 

QO  r*  »r  «'•  © 

^  S  S  g  B 

S.S.  2«! 

CO  ifi  ©"  1^  «r 


§ 


o  i^  »Q  r* 

«j  12  CO  ©  25 

C»   ©  O   iJO   © 

ÖO    •T  1*0    »T    OO 

-<  1<  ©  ©  t* 

Cl   ^  X    £*    © 

CO  X  w   X   ir 

SÄ  *-i    Ol    © 

©  CO     *-H     © 


©    *-*    «M   CO  CO-   »ft   ©    1^   X  ©    -^ 

+ 


Sl>»    X    »^ 

^    fj    CO    Ä 

R  c6  S 


-f  KO  -^  r-  ^ 
i6  lO  c^  CO  CO 
CO  «^  i'»  «  CO 


©    f-i    W    CO 


»Q    CO  tß  ©  £1 

X    kß  ©  ©  © 

■H*    •+  ©  CO  O 

o  —*  ,-1  -r  i?5 

f-4  ©  c«  X  © 

^  ^1  »H  «H  r«. 

OP    ^  ^  C^  »Q 

1 1 2  i  1 

CO  »ß  ©  1^  00* 


^4   00  ©  «M  <N 

©    1-«  g  X  X 

»Q   «-^  ©  X  © 

CO  CO  ©  ©  r* 

Ol    l'-  •-<  t*  © 

&  eo  -i  c^i  © 

©   ©  CO  t-^  © 

©  -^'  CO  Lß  r^ 

C^    «^  «M  C**  O* 


X  ©'  in  ©  © 

i§iii 


2Z    X   L^    X    :9C 

?5  Sl  §^  3ß  g^ 

^  CO  S  S  eo 


g  2  ^  Ä  g 

CO  t-i  o*  -r  "i* 

^  -t  X  c*  «-• 

©  ©  I-  ©  1-» 

•^  ©  -r  o»  © 

©-•-»«  X  Ol 

©  ©  i's  »r  -t 

ilggg 

©"  ©'  ©"  O  © 


1<  ©   ^   ©   © 

^l  ©    Ol    -^    © 

»S  X  ©  ^  ^ 

CO  X   1^  ©  o 

©  X   X    Cl    © 

F:  S  5ß  g  ?? 

CO  CO    Ol    Ol    Ol 

t?.S5§ 

©  ©   ©    ©   © 


r*  00  f  ©  CO 

gJo    ©    CO    CO 
©  f  ©  X 
:!  ©  Ol  ©  HP 

CO   «-•   ift    Ol   -< 

r»  -t  CO  »9  -H 
©   00   ©    -f   Ol 

igggg 

©"©©'©  ©" 


8  i  1  i  1 
©  ©"  ©  ©  © 


"1  «2  ^  »2  2 
S  J5  S  3  S 

©  ©  ©  ©  o 


H  £  ^  3  ä 

C;  --  "T  J       i 

©  ©  ©  Ol    CO 

CO  -r  i^  Ol  -r 

CO  Ol  ©  X    l'» 

i^'  ©  <5  ;r  lO 

©^  S,  ©  5^  5 

CO  -r  >ft  1^  X 


©  CO  «^  ©  © 

©  X  I-  Iß    — « 

I-  ©  t  t'"  «^ 

1«  Iß  ©  I*    Ol 

-t  ©  ©  ©  CO 

i'-  ©  ©  I*  r* 

X  -T  -r  CO  © 

©  X  1-  I-    X 

^  -f  I-  Ol    © 

©  ©  Iß  Ol    © 

©r  -T  -rP  -*  ;o 

^  Ol  Ol  Ol    Ol 


©  -r  ©  1^  i'- 

l'-  ©  Ol  CO   CO 

©  ©  X  I-    © 

CS  ©  >ß  X   1^ 

©  ©  X  X    CO 

CO  -f  CO  I*    Ol 

CO  -^  ©  ©    CO 

©  ©  Ol  ©CO 

i'T  ©  Ol  -f  i'^ 

Ol  CO  CO  CO    CO 


X  •'•  I-  X  © 

•ß  >^  »ß  ^  © 

CO  i3  i''?  CO  X 

Iß  l"«  ©  ©  »ß 

I-  ©  Iß  CO  tr 

Ol  I-  X  I-  »f 

iß  iß  "T  iß  CO 

X  I-  Ol  iß  © 

-^  Ol^  ©  Ol^  -^ 

^  "f  "^  iß  iß 


Ol  ©  Ol  CO  ^ 

•t  Iß  ©  I-  © 

.-  S  S  ?S  2 

1 2  3  i  i 

s  »'s  PS" 

+ 


Iß    ©    I-   X    ©^ 
I     CO'  CO"  CO'  CO*    CO 


©^  -^  OJ^  CO 

•f  -f  -f  -T 


Iß   ©^  1*^  X   © 

-f  »f  1*  ^"  -t 


©^  f-J^  W    CO   •* 
Iß   Iß"  Iß   kO   Iß 


Iß  ©  r^  X  ©. 
Iß  iß  Iß  Iß  ko 


Kleinere  Mittheilaogen. 


139 


ob  C5  o  «-<  cö  « 

^  fi4  ^4  ^^  »4  ^^  eo 

e^  »ft  o  cj  •*'  »ft  «-• 

t*    <^l   €0  00  -^  i-i  CO 

^  «  C:  9ß  00  o  5i» 


8S.8S: 

o  o  o  o  o 


SS 


o  o  o  o  o 


^  S  5  S  S 
SS3S2 

©^  Ä  eo  -t  O 
^  *(i*  u5  to  lO 


S  c& 


•^  w  "N  «e  ? 

ec  Ä  ift  cc  »A 

t:-   »^   C5   »ft  rf 

00    ^1^  GJ^  CO  fiv«^ 

0(5  CO  1^  00  00 


& 


CO 

1< 


o  :r  <N  ©  :i 

r*  g  1^  «-<  CO 

S  S  rt  ^,  S^ 

C*  ;0  C    «f  00* 

^  i<  ift  »A  Ä 


Sl-    -f    iQ    C5 
®    Ö    ■+    »r« 


33»      _ 

t^  et   Jp         ^ 
t*   1*   *!*  CO 


o  o  CO  r-  r- 

i^  Ä  ,-1  -f  c^ 

CO  9i  i«  CO  Ä5 

1^  -H  <N  lO  -t 

00  ff*  O  CO  c^^ 


CO    l^   00 


-H  p  o  -H  :o  o 

CO  ?i  ÖD  Q  r-  •-* 

C»»  -^  «   OD  t»  3» 

wo  CO  "T   liO  •}*  O 

»^  O  36_  »ft  f-^  CO 

Ift  CO  M*"  C^r  CO  -f 

o  o  ^  c^*  CO  *r 


+ 


1-1  cc5  »A  r* 


O  o  o  O  O 


CO  ^  Ci  -^  ca 

p  00  ;o  ^  w 

^  ^  ,-4  1-4    ^4 

o  ©  o  o"  o 


<M  © 


5  S  21  5;  S 

6  S  CJ  3!  22 
oa  §  ift  o  •! 
S  ©  ff»i  -<  CO 
©  ©  ©  ©  © 


-         .  Iß    t*   ©   CO   © 

coöo  »<:—<©  »jooo-^oco 

co©-ri--©  co©©^^?^! 

S-r-tKO©  c2©^*'^^gp 

^cOi^— <  coi'r^c^?» 

1«    P    ©    fH    p 

•;-  »o  oc  «-<  o 
1*  c»»  t-  ©  i<0 

SSSSg 

i-<    -N    «'t    C^*    ^» 


SSSfS 

•^  ©  ©  r- 


do 

© 


©    f-N    C^l^  CO    't 
CO  CO  o  ©  © 


lO  ©  r*  00  © 

CO    ©   CO   CO   CO 


©  -H  c^»  CO  -r 


140  Kleinere  Mittheilangcn. 

X.  lieber  Dreieoke  und  Tetraeder,  welche  in  Besug  anf  Carren  und 
Oberflächen  zweiter  Ordnung  lieh  selbst  coiyngirt  sind.  Von  Dr.  Wilh. 
Fiedler. 

Im  letzten  Juni -Heft  der  „Notivelles  Annales  de  Mathematiques^*^  von 
Ter  quem  und  Gerono  wurde  folgender  Satz  von  M.  Faure  zum  Beweise 
•vorgelegt:  „Die  Tangeute,  welche  mau  vom  Centrum  einer  Ellipse  an  den 
Kreis  ziehen  kann,  welcher  eiuem  in  Bezug  auf  äie  sich  selbst  conjugirtea 
Dreieck  umschrieben  ist,  ist  der  Sehne  des  elliptischen  Quadranten  gleich.** 
Der  Versuch ,  ihn  auf  Oberflächen  zweiter  Ordnung  auszudehnen  und  ana- 
löge  Sätze  für  andere  Curven  zweiter  Ordnung  zu  suchen,  lag  nahe.  Eine 
briefliche  Bemerkung  des  Rev.  George  Salmon  bezeichnete  mir  eine 
ebenso  einfache  als  allgemeine  Beweismethode  für  die  angedeutete  Gruppe  von 
Sätzen.  Indem  ich  sie  verfolgte,  bin  ich  zu  den  nachstehenden  Resultaten 
gelangt,  welche  man  vielleicht  der  Mittheilung  nicht  unwerth  findet  We* 
nige  Bemerkungen  werden  genügen,  in  den  Mittelpunkt  der  Sache  zu 
führen. 

Wenn  die  allgemeine  Gleichung  zweiten  Grades  in  der  Form 

«11^1*  +  <'tt^i*+«8«^«*  +  2a„;r,X2  +  2a„ar,a-,  +2a„a:,Ä-,  =  0 
geschrieben  und  durch 

S  =  0 
symbolisch  bezeichnet  wird ,  so  repräsentiren  bekanntlich  die  Gleichungen 
dS  _       dS  _       dS  _ 
dxi         '  dx^         '  dx^         ' 
oder 

«11^1  +  "it^t  +  «l»^8  =  0, 
«it^i  +  «tt^t  +  0,8X8  =  0, 

«18^1   +  «88^1  +  «88^8  =  0 

die  in  Bezug  auf  den  durch  sie  ausgedrückten  Kegelschnitt  genommenen 
Polaren  der  Eckpunkte  des  Fundamental  -  Dreiecks 

a:i  =  0,.a:,  =  0,  Xi  =  0\ 
und  diese  drei  Polaren  gehen  durch  einen  Punkt,  d.  i.  der  durch  die  allge- 
meine Gleichung  dargestellte  Kegelschnitt  degenerirt  in  ein  Paar  von  ge- 
'  raden  Linien ,  wenn 

^ti  I  ^tt  i^t»    =  ö  ist. 

«811  «881  «88 

Wenn  sodann  durch  S^i  =  0  die  allgemeine  Gleichung  eines  zweiten  Kegel- 
schnitts 

^11 V  +  ^«^8*  +  ^83^8*  +  2^„a:,a:,  +  2^,8^i^8  +  2^,8^t^8  =  0 
bezeichnet  wird,  so  dass 

kS  +  Si  =  0  oder 
(Ard,,  +  -^h)  -r,*  +  (A-«„  +  ^„)  x/  +  (ka,,  +  A,,)  x.«  +  2  (A:a„  -f  A,^)  x,x^ 


Kleinere  Mittheilungen.  141 

lUe  die  Kegelschnitte  bezeichnet,  welche  mit  den  beiden  ersten  durch  die 
nXmliehen  yier  Punkte  gehen,  8o  dient  die  Vergleichung  der  entsprechend 
gebildeten  Determinante  mit  Null  zur  Bestimmung  der  drei  Paare  gerader 
Linien,  welche  jene  vier  gemeinsamen  Punkte  verbinden,  oder  der  Durch- 
Bchnittssehnen  der  Kegelschnitte  aus  der  allgemeinen  Gleichung.  Die  Be- 
dittgang 

^«ji  +  ^iif  ^flit  +  ^iti  ^«if  +  ^i» 

liefert  eine  Qleichnng ,  welche  in  Bezug  auf  die  zu  bestimmende  Constante 
k  Tom  dritten  Orade  ist ;  ihre  drei  Wurzeln  Ar, ,  Ar, ,  Ar,  sind  die  Coefficienten, 
durch  deren  Einführung  in  die  allgemeine  Gleichung  dieselbe  die  drei  S7- 
tteme  der  Durchschnittssehnen  respective  darstellt«  Die  Gleichung  ist  in 
Tolktändiger  Entwickelung  die  folgende: 

Ar'(«iiö«»*  +  «««!«*  +  «88««*-- flii«ftÖM  —  2öitfli«öts)  +  Ar«  KiCöM*  — 

«tlö„)   +   J„  (ö,,*— •a88«ll)  +    ^8(fl|t'  — «llO  +  2^t8  («J|öt8  — «It«l8) 

+  2.^„(ö«ai,  — fl,i«„)  +  2^„(a,8fl„— ai8a„)]  +  A:[ö„.(^„«  — 4i,^„) 

+   «1«  (^18*  —  ^88  At)    +    «88  (^It'  --  ^11  ^t«)  +    2fl,8  (^„   Az  ~  At  Az) 
+  2a,s  (-^«^18  —  ^11-^88)    +  2a,t  (^tt^lt   —  ^18^t8)]  +  ^11  -^88*  +  ^«8  ^J8* 

Qnd  sie  soll  zur  Abkürzung  durch 

^•.^  +  Ä«.e+^.e, +  ^,  =  0 

bezeichnet  werden.  Darin  sind  nach  einer  bekannten  Bezeichnung  ^  und 
dl  die  Discriminanten  der  beiden  Kegelschnittsgleichungen ,  und  es  ist  nicht 
Mhwer ,  die  geometrische  Bedeutung  der  Coefficienten-Verbindungen  6  und 
81  zu  erkennen.     Man  findet,*)  dass 

e,  =0 

die  Bedingung  ausdrückt,  unter  welcher  der  zweite  Kegelschnitt  die  Ecken 
eines  in  Bezug  auf  den  ersten  sich  selbst  conjugirten  Dreiecks  enthält;  und 
dass  ebenso  6  =  0 

die  Bedingung  ist,  unter  welcher  der  zweite  Kegelschnitt  die  Seiten  eines 
in  Bezug  auf  den  ersten  sich  selbst  conjugirten  Dreiecks  berührt. 

Die  Functionen  6,  6t>  ebenso  wie  ^,  z/|  sind  Invarianten  und  alle 
unveränderlichen  Beziehungen  beider  Kegelschnitte  auf  einander  können 
dureb  dieselben  ausgedrückt  werden. 

Wenn  der  eine  Kegelschnitt  ein  Kreis  ist ,  so  findet  man  leicht  den 
Satz  von  M.  Faur  e  and  eine  Keilie  von  analogen  Sätzen.  Zum  Beweise  des 
ersteren  bildet  man  die  Discriminante  von 

A  j  (*_«)»+ (y-/J)«-r«|  +  ^'+ ^-1  =0 


*)  Mnn  yer^Iciche  hierzu  meine  deutscbe  Bearbeitung  von  Rev.  Salmon's 
ntremtUe  oh  Conic  Sections**,  welche  soeben  erschienen  ist.  Leipzig,  B.  G.Teubaec. 
(Siehe  Art.  360,  36J,  Zusatz  Vi,  p.  HO/.) 


142  Kleinere  Mittheilnngen. 

und  findet 


k*.r*  +  k 


^^b*  —  a'(ß*  —  f^)—b^a'—f^) 


««6» 


a«+/>«-(a»+ff«~r«)  1 

Man  sieht,  sobald  der  als  zweiter  Kegelschnitt  gedachte  Kreis  einem  in 
Bezug  auf  die  Ellipse  sich  selbst  conjugirten  Dreieck  umschrieben  ist,  wird 

d.  i.  es  gilt  der  Satz  von  M.  Faure.  ^ 

Setzt  man  an  Stelle  der  Ellipse  auch  einen  Kreis  vom  Halbmesser  R^ 
so  wird 

^_2/?'^(«»+/g«-r«) 
^'—  76^  • 

also  für  den  umschriebenen  Kreis  (r)  des  sich  selbst  conjugirten  Dreiecks 
in  Bezug  auf  einen  Kreis  {R) 

2Ä»  =  o«  +  /5«— r«; 
und  ebenso 

also  für  den  eingeschriebenen  Kreis  (r)  des  sich  selbst  conjugirten  Dreiecks 
in  Bezug  auf  einen  Kreis  (R) 

Ä«  =  (a«+/3^  — r*)-r«. 
Beides  sind  Relationen,   welche  sich  auch  leicht  in  Sützen  aussprechen 
lassen. 

Man  überträgt  ferner  die  vorigen  Relationen  auf  die  Hyperbel ,  indem 
man  das  Vorzeichen  von  b*  verwechselt,  so  dass 

und  für  den  umschriebeuen  Kreis 

®- ' ^* ' 

sowie  für  den  eingeschriebenen  Kreis 

a«6«  =  a«(r«— /3«)  +  fe»(««— r«) 
wird. 

Für  a  =  6  erhält  man  die  auf  die  gleichseitige  Hyperbel  bezüglichen 
Relationen  «*  +  /3* — r«  =  0 

in  Bezug  auf  den  umschriebenen  Kreis ,  und 

a*  — /3'  =  a* 
in  Bezug  auf  den  eingeschriebenen  Kreis ,  d.  i.  für  jedes  Dreieck ,  welches 
in  Bezug  auf  eine  gleichseitige  Hyperbel  sich  selbst  conjugirt  isi,  geht  der 
umschriebene  Kreis  durch  den  Mittelpunkt  der  Gurve  und  der  Mittelpunkt 
^es  eingeschnehenen  Kreises  liegt  in  der  Curve, 


Kleinere  Mittheilnngen.  143 


Machen  wir  endlich  dieselbe  Entwickelang  in  Bezng  auf  die  Parabel 

somit  ftir  den  nmschriebenen  Kreis 

P 

und  f&r  den  eingeschriebenen 

d.L:  der  Mittelpunkt  des  Kreises,  welcher  einem  in  Bezog  auf  eine  Para- 
bel sich  selbst  conjngirten  Dreieck  umschrieben  ist,  liegt  in  der  Directrix 
—  nnd  für  den  einem  in  Bezug  auf  eine  Parabel  sich  selbst  conjngirten 
Dreieck  eingeschriebenen  Kreis  ist  die  vom  Fnsspunkt  seiner  Mittelpunkts- 
Ordmate  an  ihn  au  legende  Tangente  der  entsprechenden  Parabel-Ordinate 
gleich. 

Offenbar  sind  diese  Entwickelungen  noch  bedeutend  au  vermehren; 
eiist  aber  nicht  nöthig,  dabei  zu  verweilen. 

Aber  wir  bemerken ,  dass  sie  sich  sofort  auf  Oberflächen  zweiter  Ord- 
•anng  übertragen  und  dann  analoge  Ergebnisse  für  sich  selbst  conjugirte 
Tetraeder  liefern. 

Wenn  wir  die  allgemeine  Gleichung  zweiten  Qrades  in  der  Form 

+  2a^^x^x^  +  20^X20:4  -|-  2a,4a:,X4=  0 
Mhreiben,  so  ist  ihre  Discriminante  das  Resultat  der  Elimination  der  Ver- 
Inderlichen  zwischen  den  Gleichungen 

«11  a:,  +  «1,0:,  +  «„ä:,  +  0,40:4  =  0, 

«it^i  +  <»if  ^f  +«ta*f  +  öf4^4  =  0, 
öiaar,  +  a„a:,  +  a„a:,  + 0,40:4  =  0, 
0,4X1  +  a»4X,  +  a^Xj  +  «44X4  =  0 , 
oder 

«l8»«ft»«M>«»4 
^14  >  •l4>  ^»4>  ^44 

und  die  Bedingung 

-^  =  0 
drückt  aus ,  dass  die  durch  die  allgemeine  Gleichung  repräsentirte  Ober- 
fliche  zweiten  Grades  eine  abwickelbare  Regelfläche  sei. 
Die  Verbindung  zweier  Oberflächen  zweiter  Ordnung 
5  =  0,5,=0 
(wobei  wir  in  der  Gleichung  der  zweiten  die  Coefficienten  a  durch  A  ersetzt 
denken)  liefert  in 

A:5+S,=0 


^  = 


t44  '     Kleinere  Mittheilungen. 

die  Gleichung  aller  der  Oberflächen  zweiter  Ordnung ,  welche  mit  den  bei- 
den ersten  die  nfimliche  Darchschnittscnrve  gemein  haben,  und  die  Ver- 
gleichung  der  Discriminante  von 

kS  +  St=0 
mit  Null ,  oder  die  Gleichung 

^«it  +  ^f»  ^o„  +  J„,  Aro„-f^„,  ka^^  +  A^^ 

^«18  +  ^18»    *«f8  +  ^f8l    ^«88  +  ^881     ^«84  +  ^84 
^«14  +  ^14»    ^«ff4+-^4,    ^«84  + ^84»     ^«44  +  ^4^ 

liefert,  als  Bestimmungsgleichung  ftir  k  betrachtet,  diejenigen  Werthe  von 
k^  für  welche  diese  Oberfläche  zweiter  Ordnung  eine  abwickelbare  Regel- 
fläche wird.  Da  sie  Yom  vierten  Grade  ist;  so  können  durch  die  Durch- 
dringungiscurve  zweier  Oberflächen  zweiter  Ordnung  vier  Kegelfiächen 
zweiter  Ordnung  gelegt  werden. 

Wenn  wir  die  obige  Gleichung  nach  den  Potenzen  von  k  geordnet  in 
der  Form 

k*.J  +  k\e+k*.^  +  k.St  +  Ji=^0  ' 
schreiben,  so  drückt 

e  =  o 

die  Bedingung  aus,  unter  welcher  die  zweite  Oberfläche  die  Flächen  eines 
in  Bezug  auf  die  erste  sicli  selbst  conjugirten  Tetraeders  berührt,  und 

e,  =  0 

die  Bedingung,  unter  welcher  die  zweite  Oberfläche  die  Ecken  eines  in 
Bezug  auf  die  erste  sich  selbst  conjugirten  Tetraeders  enthält.  Lässt  man 
die  dem  Tetraeder  eingeschriebene  oder  umschriebene  Oberfläche  eine 
Kugel  sein ,  oder  ^ 

S  =  0 
die  Form 

{x-aY  +  (y  -/J)'  +(z-Y)*^f* 
haben ,  so  ergeben  sich  aus  der  näheren  Betrachtung  der  Formen ,  welche 
die  Grössen  8,  6,  nun  annehmen,  die  dem  Satz  von  M.  Faure  analogen 
Sätze  für  Oberflächen  zweiter  Ordnung. 

Unter  jener  Voraussetzung  hat  man  folgende  Werthe  der  Coefficienten : 

au  =  —  ß,  a,4  =  — y. 
W^enn  man  nun  die  gegebene  Oberfläche  zweiter  Ordnung  zugleich  als 
ein  auf  seine  Hauptachsen  bezogenes  Ellipsoid  voraussetzt,  so  dass  die 
Gleichung 

5,  =0 
die  Form 


x*       V*        2* 


annimmt,  so  b&t  man  ferner: 


Kleinere  MittheilungeD. 


145 


^11  —  3»   "^tt  —  1^»   -^«8 ^1    "^44 A;  -^Jt   —    -^1»  -^14  ^ti  =  -^»4 

=  ^84  =  0, 

nnd  die  allgemeine  Discriminante  wird : 
1 


*  +  ^,       0,            0, 

—  A« 

0,       *  +  ^,       0, 

-*/» 

0,          0,      *  +  i, 

-*y 

-A«,    ~kß,    —ky,  A(B«  +  |J»  +  y«_r»)-l 
■od  somit  durch  Entwickelung : 

i(a»&«  +  6«c»  +  i*a>)  (g*  +  ^  -f  y«  — r«)  —  (o»  +  6»)  c«/^ 
—  (6«+c»)oV— (c*  +  a«)6«/?«— a'feV 

!(««  +  y  +  c»)  («^  +  p*  -h  /— r»)  —  (««6«  -h  fc'c«  +  c»a«)  ] 
««6V 
—  (a«a*  +  <>'^'  +  <;«y«) 

.    .    a«  +  ^«+y«-r«-(a»  +  y  +  c^ 1_ 

■^*'  a*6«c»  «»6»c«' 

tlto  fBr  die  omschriebene  Kugel 

cf  +  ß*  +  Y*-t*  =  tf  +  b^  +  c*, 
in  Annlogon  des  Satset  von  M.  Fanre. 

Für  a  =  b  =  c  =  B, 

i.  l  wenn  das  dreiachsige  Ellipsoid  in  eine  Kugel  übergeht,  wird 


B: 


«'  +  i3'+y*— 3r*— jR« 


wuiit  für  die  eingeschriebene  Kugel 

«•+/S'  +  y'— ;••=«*+ 2r». 

Wenn  man  in  den  allgemeinen  Ausdrücken  das  Vorzeichen  von  c*  in 
i»»  entgegengesetzte  verwandelt,  so  übertrügt  man  die  erbaltenen  Kesulr 
Ute  auf  das  einfache  und  durch  die  Vertanschung  der  Vorzeichen  von  a' 
"nd  b'  auf  das  zweifache  Hyperboloid. 

FUr  «»  +  6«  =--=<* 

wird 

^-  >■  die  umschriebene  Kugel  geht  durch  den  Mittelpunkt ;  etc. 
Für  die  beiden  Paraboloide ,  oder  die  Gleichung 

-+^  — 2z  =  0 
a  —  0 


UUeäfUt  t.  Mtlbtmitik  u.  Phyik.   VI,  2. 


va 


146  Kleinere  Mittheiinngen. 

hat  man 

—  *  ab 

—  '  ah  ab  ab 
nnd  damit  hat  man  für  die  nmschriebene  Kagel 

2y  =  — (a±6),odery  =  — ^!^, 

d.  i.  der  MHtelpnnkt  der  umschriebenen  Kngel  eines  in  Bezng  anf  ein  Pa- 
raboloid  sich  selbst  conjngirten  Tetraeders  liegt  in  einer  festen  Ebene. 

Für  das  hTperbolische  Paraboloid  nnd  a  =  5  hat  man 

y  =  0, 
d.  i.  der  Mittelpunkt  der  umschriebenen  Kugel  liegt  in  der  durch  den  Mittel- 
punkt der  Oberflftche  senkrecht  zu  ihrer  Hauptachse  gelegenen  Ebene. 

Femer  ist  für  denselben  Fall  und  in  Bezug  anf  die  eingeschriebene 
Kugel 

^  — 2y  =  0, 

d.  i.  der  Mittelpunkt  der  eingeschriebenen  Kugel  gehört  der  Oberfläche  an. 
Man  sieht,  -wrie  die  SStze  über  die  Oberflächen  zweiter  Ordnung  denen 
über  die  Curve  zweiter  Ordnung  völlig  analog  sind.    Das  Mitgetheilte  mag 
genügen ,  um  die  Reihe  derselben  zu  vergegenwärtigen. 


XL  Elegante  Ableitung  der  Formeln  fftr  den  iphiriachan  Xzeeaa.  Von 

Dr.  Oscar  Werner. 

Die  Seiten  eines  ebenen  Dreiecks  seien  p,  9,  r  und  die  diesen  Seiten 
gegenüberstehenden  Winkel  P,  Qy  R,  die  180®  nicht  übersteigenden  Seiten 
eines  sphärischen  Dreiecks  dagegen  a,  6,  c  und  deren  Gegenwinkel  ^,  Ä,  C. 
Diese  beiden  Dreiecke  mögen  in  einem  solchen  Zusammenhange  zu  einan- 
der stehen ,  dass 

pz=cos  ^a  .  cos  ^  6,  9  =  m  ^  a  .  *f>i  ^  b  und  r^^cos  \  c» 
Unter  diesen  Umständen  ist 

r^sssf^  +  q*-^  2pq  .cos Ry 
oder  co^  4  ^  =  ^0**  ^  a .  cos*  4  ^  +  ««*  i  o  .  sin*  \  b 

—  2cos  ^a  .cos\b  .  sin^a  .sin  ^b  ,  cos  Ry 
folglich ,  wenn  wir  die  goniometrischen  Formeln 

...  1  —  cosx         ,  ,  l+cos  X 

sm*  4  a:  = = — ,  cosr  Ix^^ 

■  2        '         '  2 

und  Wn X  =  2 sin  ^x .Cüs\x 

benutzen, 

^(}  +  cos  c)  =  j.  (1  +  cos  a)   (1  +  cos  6)  +  ^  (1  -^  cos  a)   (l  —  cos  b) 

—  ^  stn  a  sin  b  cos  R  ^ 


Kleinere  MittheiluDgen.  147 


oder 

2+2  cos  c  =  1  +  cos  ö  +  cos  6  +  cos  a  cos  ft  + 1  —  cos  a  —  cosb 
+  cos  acosb  —  2  sin  a  sin  b  cos  R; 
d.L 

cos  c  sa  COS  a  cos  b  —  sin  a  sinb  cos  R. 
Nach  einer  bekannten  Orundformel  der  sphärischen  Trigonometrie  ist 
aber 

cos c  =  cosa cos b  +  sin a  sinb  cos Cj 
folglich 

cosR^=z  —  cosC;  d.LÄ  =  180  — C. 
Ferner  ist  nach  Frincipien  der  ebenen  Trigonometrie 

und  nach  einer  der  Neper' sehen  Analogien 

diher  erhalten  wir  dnrch  Vergleichnng 

Umg^{P-^0)  =  coi^{A  +  B)]  d.i.  ^{P—0)  =  W^  —  l{A+B). 

Nehmen  wir  hiersn  noch 

P+1?  =  180-.Ä  =  C  oder  1  (P  +  Ö)  =  4  C', 

10  folgt 

2  2 

oder,  wenn  wir  den  sphärischen  Excess,  d.  i.  den  Ueberschnss  der  Snmme 
der  drei  Winkel  des  sphärischen  Dreiecks  über  180*  dnrch  £  beaeichnen, 
P=  C—  \E und  0  =  \E. 
Fuhren  wir  jetzt  die  Werthe  für  die  Bestandtheile  des  ebenen  Drei- 
ecb  in  die  bekannten  Formeln  der  ebenen  Trigonometrie 

"'*  ^=i^  V{P  +  9  +  r)iq  +  r^p){p+r—q){p  +  q—r), 
'^  ^  =  ^y^P  +  ^  +  '')  i9  +  r—p)  {p  +  r~q)  (p  +  g-r), 


cosP= 


2pr' 


2qr 

COSQ=^—^ 2-, 

ipr 
_-i/Tp  +  >— g)  (.P  +  9—r) 


.1P=^ 


4qr 


vo* 


148  Kleinere  Mittheilnngen. 


und 


ein,  und  berücksichtigen  dabei,  dass 
p  +  q  +  r=icos^{a*^b)  +  co$^c=:2co$l{a  +  e —  b)  cos  J  {b  +  <?—«), 
g  +  r—p  =  cos^€ — cos^{a  +  b)=2sin^{a  +  b  +  c)sinl{a  +  b — c), 
p  +  r  —  q  =  cos  \c  +  cos ^{a  +  b)  =  2 cos l(a  +  b  —  c)cos^(a+b — c), 
p  +  q  —  r  =  cos^{a — b) — cos\csat2sin^{a  + c — b)sin^(b  +  c — fl), 

daher 

{P+q  +  r)  {q  +  r—p)  (p  +  r  — y)  {p  +  q  —  r) 
sin  I  {a+b+c)  sm  |  {b+c — a)  sin  ^  {a  +  c — b)  sin  ^  («+6 — c) 
and 

g*  +  r* — p*  =  €0^\c  —  {cos^^a  cos'^b  —  sin*\asin^^b) 
=  cos^^c  —  cos ^  {a  +  b)  cos\  {a  —  b) 

*  .,      ,     ..,1.      l  +  cosc — cosa — cosb 

p*  +  r* — ^  =  co^\c  +  {cos^^a  coa^  \b — sin*  ^a  sin*  ^b) 

=  eo^\  c  +  cos\{a  +  b)  cos  \  (a« — b) 

.1     ,      ^i             tii.      l  +  cosa  +  cosb  +  cosc 
^^cor^c+co^^a — snr\b= , 

80  erhalten  wir 

_0 

/  j/sinl{a+b+c)sinl{b  +  C'-a)sinl{a+c-b)sinl{a  +  b—c) 

iStn  (O — *£*)  = — : — ; : — r-r .  i 

«''       *    ^  2stn^asm^bcos^c 

}/sin^(a+b •j'c)sin | {b+c—a) sin ^{a+C'-b)sin  |(a+ft  —  c) 
stn  X  JSr  = ■ ; p-, z • 

■  2cos\acos  ^bcos  \c 

2) 

I       ^       ^    ^         4stn^astn\bcos^c 

.  .  „      l  +  cos  a  + cosb  +  cos c 

cos  4  £= ; i-; : » 

'  ^   4cos  ^acos  ^bcos  ^c 

3) 

isin aC-lE) ^7 A^^ i i^+b+c) sinj  (b+c-a) sin^ja+c^b) cos^ja+b^c) 
^      \^       t   J      f/^  sin^a  sin  ]^bcos\c  * 

sin  l  E  — 7  A'^  k  (g+fr+g)  sin \  {b+c-a)  sin  j  (a+c-6)  sin  l  (a+6 -<) 

4) 

(IC    4  E)  =l/^^  i  (^ + ^+  ^)  ^^  h  (^+g~Q)  go^  i-  (q+g— ^)  sin  ^  (a+6-c) 

1  «  __'j/cos\{a^b+c)cosl  {b+c—a)cos^{a-{'C-'b)  cos^{a-\4h-) 
*         y  cos  ^acos  ^bcos  ^c 


.    » 


icos 


cos 


Kleinere  Mittheilangen.  140 

Au  den  letisien  beiden  Formelsystemen  erhalten  wir  endlich  durch  Dtvt- 
aioa  die  eleganten  Ausdrücke : 

5) 

Lac    ■  e\-r/*9k{i>+'-^)  'gH'»  +  <'-*) 

I         tg ^  E—ytgi{a  +  b  +  c)tgl{b  +  c  —  a)  tg^{a+e-b)  tgl{a+b—c). 
Anmerkung.     Aus  den  Formeln  5)  ergiebt  sich 

icng  (4  C-i  Ä)  =  '-''9h{f>  +  c-a)yiia+c-b) 
'  ^*         *    '  lang  ^  E 

Qod  durch  Vertauschung  der  Buchstaben 

sowie 

iang  (^  -  jÄ)  =  '«"HC^  +  e-fe)  to>^l(«  +  *-^). 

Hieraus  leitet  man  folgendes  Verfahren  ab ,  um  aus  den  drei  Seiten 
emes  sphärischen  Dreiecks  die  Winkel  bu  berechnen : 

Man  bestimmt  Eunächst  yermittelst  der  zweiten  Formel  unter  5)  die 
Gröise  ^E  und  vermittelst  der  darauf  folgenden  Formeln  die  Winkel  A^  B 
mdC. 

Als  Controle  für  die  Richtigkeit  der  Rechnung  hat  man  alsdann 
^+^+C— 180»  =  ^. 
(Aus  den  Milanges  malhemaliquei  et  astronomiquts  T«  II.) 


Xn.  In  den  Monatsberichten  der  königl.  preussischen  Akademie  der 
Wissenschaften  1859,  S.  783  ist  nachgewiesen  >  dass  das  bereits  bekannte 
Verhalten  der  Gase  im  glühenden  Zustand  in  inniger  Beziehung  mit  der 
Eigenschaft  von  Flammen  steht ,  die  an  und  für  sich  ein  discontinuirliches 
Spectrum  geben,  dünkte  Streifen  an  der  Stelle  der  hellen  Linien  erscheinen 
n  lassen,  sobald  man  durch  die  Flammen  Licht  hindurchgehen  lässt,  wel- 
ches an  sich  ein  Spectrum  ohne  Streifen  liefert.  Um  diesen  Satz  auch  theo- 
retisch abzuleiten,  wird  erstens  gezeigt,  dass  für  dieselbe  Wellenlänge  des 
Lichtes  oder  der  Wärme  und  für  eine  bestimmte  Temperatur  alle  Körper 
ein  gleiches  Verhältniss  ihres  Ausstrahlungsvermögens  zum  Absorptions- 
▼ermögen  besitzen;  zweitens  wird  angedeutet,  dass  das  AbsorptiociTver- 
mögen  der  Flammen  für  gewisse  Strahlen  sehr  gross  sein  müsse. 

Um  den  unter  1.  angegebenen  Satz  zu  beweisen ,  nimmt  Kirchhoff  an, 
dass  ein  Körper  C  in  Gestalt  einer  unbegrenzten  Platte  einem  andern  ebenso 
gestalteten  Körper  c  gegenüber  gestellt  sei.  Die  einander  gegenüber  liegen- 
den Oberflächen  beider  Platten  mögen  sich  gegen  gewisse  Strahlen  wie 
▼oUkommcno  ebene  Spiegel  verhalten.  Der  Körper  C  möge  nur  Strahlen 
▼on  der  Wellenlänge  A  aussenden  und  absorbiren,  so  dass  Strahlen  ande- 
rer Wellenlänge  von  seiner  Oberfläche  vollkommen  ge8^\^«\Vii^t^«SL.  \>^x 


150  Kleinere  Mittheilungen, 

Körper  c  soll  von  allen  anf  ihn  fallenden  Strahlen  einen  Theil  absorbiren, 
einen  Theil  wieder  aussenden.  Wenn  sich  in  diesem  Systeme  einmal  Oleich- 
heit  der  Temperatur  eingestellt  hat,  so  mnss  jeder  Körper  durch  Absorption 
so  viel  Wärme  aufnehmen,  als  er  durch  die  Ausstrahlung  verliert.  Aehn- 
liches  muss  natürlich  in  Bezug  auf  Lichtschwingungen  gelten.  Alle  Strah- 
len von  der  Wellenlänge  X^A^  die  c  aussendet,  werden  von  Cohne  Ab- 
sorption reflectirt ,  erleiden  an  der  Oberfläche  von  c  Absorption  und  Be- 
flection  etc. ,  so  dass  der  Körper  schliesslich  alle  Strahlen  wieder  aufnimmt, 
die  er  aussendete  und  die  eine  von  j1  verschiedene  Wellenlänge  hatten* 
Eine  Bedingung  für  das  Qleichbleiben  der  Temperatur  kann  demnach  nur 
aus  den  Strahlungsverhältnissen  der  Strahlen  von  der  Länge  A  hervor- 
gehen. Um  diese  Bedingung  aufzustellen,  sei  E  das  Emissionsvermögen 
^  der  Platte  C,  d.  h.  die  Strahlenmenge  von  der  Wellenlänge  Aj  welche  die  frei- 
stehende Platte  C  nach  einer  Seite  hin  aussendet.  Ferner  sei  A  das  Ab- 
sorptionsvermögen der  Platte  C,  d.  h.  wenn  die  Strahlenmenge  1  auf  die 
Platte  C  auffällt,  so  wird  von  derselben  die  Strahlenmenge  A  absorbirt. 
Diese  Grössen  mögen  e  und  a  für  die  Platte  c  und  für  Strahlen  von  der 
Wellenlänge  A  sein.  Es  findet  nun  in  Bezug  auf  Strahlen  von  der  Länge 
A  folgender  Vorgang  statt: 

Von  C  wird  aosge-       Von  c  wird  absor-       Von  c  wird  ausge-       Von  C  wird  absor* 
sendet:  biri:  sendet:  birt: 

E  aE  {\—a)E  A{l  —  a)E 

{l—A){l'^a)E      a(l— ^(1-r-ö)^      (i— ^  (l_a)«jE  A{l—A){l'-a)*E 

(1— ^)«(1— ö)»J&    a(l— ^)«(l-a)*j&     {i—A)\i—ayE  ^(1— ^«(l— «)*^ 

etc. 

{}—Ä)e  a{l'-Ä)e    '       {JL—A){y—a)e     A{\—A){l—a)e 

{\—Äf{jL—a)e    a{jL—Ay{\—a)e    {X—Äf\\  —  afe    ^(l-^)*  (!—«)•« 

etc. 

Der  Ausdruck  für  die  Menge  der  Strahlen,  die  ursprünglich  von  C  ana- 
gingen und  dann  von  c  absorbirt  werden ,  ist  nun ,  wenn  man  der  Kurse 
wegen  die  Bezeichnung  (l  —  ^)  (l — a)  =  /r  einführt : 

aE{\+k  +  1^  +  J^  +  ...,)=:^^. 

Von  den  Strahlen  jedoch,  die  c  ursprünglich  aussendete  und  nach  und 
nach  wieder  absorbirte ,  beträgt  die  Menge : 

Daher  ist  die  Bedingung,  dass  die  lebendige  Kraft  der  Aetherschwin- 
g^ngen  von  c  dieselbe  bleibt : 

aE     ,  ai\  —  J)e 

oder,  indem  man  den  Werth  von  k  wieder  einsetzt: 


Kleinere  Hittheilangen.  151 


n-(l~a)(l-^)-a(l-^)l aS_ 

'  l  TI*  ^J  ~"  l  -*' 

d.  b.  das  Verhältniss  des  EmiMionsvermögens  zam  Absorptionsyermögen  ist 
bei  beiden  Körpern  gleich.  Ebenso  findet  man  leicht  als  Bedingung  in  Be- 
treff des  Körpers  C  J(\—a)E        Ae 

oder  ri-(l— a)(l  — ^)— ^(l— a)l        Ae 

oder  e E 

d.1i.  die  Zustände  beider  Körper  erfordern,  dass  bei  derselben  Temperatur 
und  für  dieselbe  Wellenlänge  das  Verhältnlss  des  Emissionsvermögens  zum 
Absorptionsyermögen  bei  beiden  Körpern  ein  und  dasselbe  seL  Was  nun 
iid2.  die  Anwendung  obigen  Gesetzes  auf  die  Oase  anbelangt,  so  bemerkt 
KirchhofT,  dass  das  Verhftltniss  beider  Vermögen  eine  Function  der  Wellen- 
Unge  und  der  Temperatur  sei  und  dass,  wenn  es  für  sichtbare  Strahlen 
tofange,  sich  von  Null  zu  unterscheideu ,  der  Körper  anfange,  Licht  von 
der  Farbe  dieses  Strahles  auszusenden,  ausgenommen,  wenn  der  Körper 
ein  yerschwiudend  kleines  Absorptionsyermögen  habe.  Bei  der  Tempera- 
tur nun ,  bei  welcher  die  festen  Körper  erglühen ,  muss  dieses  Verhältniss 
Kbon  einen  bemerkbaren  Werth  haben ,  weil  sie  yiele  Strahlen  aussenden. 
Die  Gase  erglühen  bei  dieser  Temperatur  noch  nicht,  indem  sie  ein  yer- 
Khwindend  kleines  Absorptionsvermögen  und  Emissionsvermögen  haben. 
Erhitzt  man  die  Oase  Über  diese  Temperatur  hinaus ,  so  erglühen  sie  end- 
lich auch ,  das  Verhftltniss  beider  Vermögen  ist  bei  ihnen  gewachsen ,  ihr 
Emissionsyermögen  ist  merklich  gross  geworden,  demnach  ist  auch  das  Ab- 
sorptionsvermögen merklich  grösser  geworden.  Dies  Ist  die  Erklärung ,  die 
aas  Kirchhoff*s  Artikel  in  den  Berliner  Berichten  für  die  Erscheinung  hervor- 
ragehen  scheint,  dass  bunte  Flammen  Licht  ihrer  eigenen  Farbe  absorbiren. 


ZIEL  Eina  neue  Art  elektriicher  Ströme  von  0.  Quincke.  In 
iwei  Aufsätzen  dieses  Titels  Pogg.  Ann.  Bd.  107,  S.  1  und  Bd.  110, 
8.  88  hat  der  Herr  Verfasser  durch  mühevolle  experimentelle  Arbeiten  ge- 
leigt,  dass  beim  Durchpressen  destillirten  Wassers  durch  poröse  Körper 
von  zwei  Platinplatten  elektrische  Ströme  angezeigt  werden,  von  denen  die 
eine  (nach  der  Strömungsrichtung  des  Wassers  gerechnet)  auf  der  Bergseite 
des  porösen  Körpers,  die  andere  auf  dessen  Thalseite  in  das  destillirte 
Wasser  eingesenkt  war  und  die  durch  Drähte  mit  einem  Multiplicator  in 
Verbindung  gesetzt  waren.  Die  Richtung  dieser  Ströme  war  dieselbe,  wie 
die  des  strömenden  Wassers.  Die  porösen  Körper  waren  entweder  Platten 
▼on  gebranntem  Thon  oder  von  Bunsen'scher  Kohle,  oder  über  einander 
gelegte  Platten  reiner  Seide,  oder  folgende  gekleinte  Körper,  in  ein  plan- 
parallel an  den  Enden  abgeschliffenes  Olasrohr  gebxacYil  xxtidi  diXkiÖDi  %xx  ^^\v 


152  Kleinere  Mitthcilnngen. 

Enden  angebrachte  Scidenplatten  zusammengehalten :  Elfenbeinsägemehl, 
Glaspulver,  reiner  Quarzaand,  Schwefelpulver,  Kienen-,  Linden-,  Eichen- 
holzsägespfthnc ,  Graphit,  Eisenfeile,  Platinschwamm,  Porzellanpnlver, 
Schellackpal ver,  Talkpulver,  oder  es  dienten  durch  Seidenföden  zusam- 
mengeschnürte Bündel  Asbest  als  Diaphragmen.  Alle  diese  Körper  wur- 
den mit  Siegellack  an  den  Endpunkten  zweier  Glasröhren  angekittet,  deren 
eine  die  Verlängerung  der  andern  bildete.  Das  Wasser,  welches  man 
später  durch  einen  geeigneten ,  mit  Windkessel  versehenen  Druckapparat 
hindurchpresste ,  gelangte  von  der  einen  Röhre  durch  das  Diaphragma  zur 
andern  Röhre,  aus  der  es  ausfloss.  Der  Druck,  der  das  Wasser  hindurch- 
trieb, betrug  bis  zu  3  Atmosphären.  Die  elektromotorische  Kraft,  welche 
hierbei  von  den  Platinplatten  angezeigt  wurde,  zeigte  sich  unabhängig 
vom  Querschnitt  und  der  Dicke  der  Platte ,  aber  proportional  dem  Drucke« 
Der  Verfasser  oben  genannter  Aufsätze  hat  die  Grösse  dieser  elektromo- 
torischen Kräfte  gemessen  und  fand ,  dass ,  wenn  man  die  elektromotorische 
Kraft  der  Danieirschen  Kette  =:  100  setzt ,  bei  folgenden  Substanzen  als 
Diaphragmata  die  elektromotorischen  Kräfte  bei  einem  Drucke  von  1  At- 
mosphäre durch  die  nebenstehenden  Zahlen  repräsentirt  werden. 

1.  Schwefel 977,07 

2.  Quarzsand   .  •  •  •  620,49 

3.  Schellackpulver    .  330,01 

4.  Seide 115,45 

5.  Gebrannter  Thon  .    36,15 

6.  Asbest 22,15 

7.  Porzellanmasse  .  •    10,86 

8.  Elfenbein 3,1 

9.  Thierblase  (ganz)      1,51. 

Ans  diesen  Zahlenwerthen  geht  hervor,  dass  die  elektromotorischen 
Kräfte  bei  einigen  Substanzen  sehr  bedeutend  sind,  während  sich  die  In- 
tensität der  Ströme  wegen  der  geringen  Leitungsfähigkeit  des  destillirten 
Wassers  nur  sehr  gering  zeigte.  Diesem  letzteren  Umstände  kann  man 
nicht  abhelfen,  indem  man  verdünnte  Säuren,  Alkalien  oder  Saklösungen 
durch  die  Diaphragmen  presst,  denn  diese  bewirken,  in  geringer  Menge 
dem  destillirten  Wasser  beigemengt,  schon  eine  bedeutende  Verminderung 
der  elektromotorischen  Kräfte.  Diesem  Umstände  ist  es  jedenfalls  zuzu- 
schreiben, dass  ein  Versuch  in  grösserem  Massstabe,  wobei  das  Wasser 
einer  Wasserleitung  durch  ein  Schwefeldiaphragma  zu  fliessen  genöthigt 
wurde ,  keine  bedeutende  elektromotorische  Kraft  ergab. 

Bei  dem  Durchpressen  von  destillirtem  Wasser  konnte  auch ,  wie  sich 
erwarten  lässt,  mittels  des  Condensators  freie  positive  Elektricität  an  der 
Thalelektrode,  freie  negative  Elektricität  an  der  Bergelektrodo  nachge- 
wiesen werden. 

Diese  durch  den  Druck  hervorgebrachten  Ströme  sind  Thatsache,  ohne 
dass  es  dem  Verfasser  der  genannten  Arbeiten  gelungen  wäre ,  sie  mit  be- 
kannten Erscheinungen  in  Verbindung  zu  setzen;  hingegen  hat  sich  aus 
den  Vorsuchen  ergeben ,  dass  diese  Ströme  weder  durch  etwa  erregte  Rei- 
bungselektricität  zwischen  dem  Wasser  und  dem  Diaphragma  entstehen 
konnten,  noch  dass  es  Thermoströme  sind.  Vielleicht  ergäbe  sich  irgend 
ein  Gesetz ,  wenn  der  Verlust  an  lebendiger  Kraft  des  Wassers  beim  Durch- 
pressen durch  die  Diaphragmen  mit  der  elektromotorischen  Kraft  der  er- 
rD^'ten  Ströme  verglichen  werden  könnte.  Dr.  Kaul. 


VII. 

Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

Von  Dr.  Heilermann, 

Director  der  Provinzial  -  Gewerbeschule  zu  Coblenz. 


Von  Herrn  Steiner  ist  vor  einigen  Jahren  eine  Reihe  von  wichtigen 
Eigenschaften  der  ebenen  Kegelschnitte  anfgedeckt  worden.  (Crelle's  Jour- 
na)  Bd.  87  nnd  45.)  Einige  nene  Sätze,  welche  mit  denen  des  Herrn  Stei- 
ner in  innigem  Zusammenhange  stehen,  habe  ich  in  der  letzten  Zeit  hinzu- 
geftigt  (Crelie's  Journal  Bd.  66  und  diese  Zeitschrift  Bd.  5.)  Hierdurch 
ist  10  der  Frage,  wie  sich  die  sphärischen  Kegelschnitte  oder,  was  auf  das- 
selbe hinauskommt ,  die  Kegel  zweiten  Grades  in  dieser  Beziehung  verhal- 
ten, hinreichende  Veranlassung  gegeben.  Ich  habe  die  Beantwortung  ver- 
raeht  nnd  erlaube  mir  im  Nachfolgenden  diejenigen  Ergebnisse  meiner 
Untersuchung,  welche  einigermassen  wichtig  zu  sein  scheinen,  den  Lesern 
dieser  Zeitschrift  vorzulegen. 

Für  die  Entwickelung  derselben  benutze  ich  das  Verfahren  meines 
nayergesslichen  Lehrers  Oudermann,  durch  welches  die  analytischen 
Untersuchungen  der  Sphärik  den  planimetrischen  ganz  ähnlich  werden. 
Die  Sätze  und  Formeln,  welche  zur  Anwendung  kommen,  sind  von  dem- 
selben in  der  „analytischen  Sphärik**  hergeleitet  worden. 

§.  1. 

Um  die  Lage  eines  Punktes  m  auf  der  Oberfläche  einer  Kugel  zu  be- 
itimmen,  wendet  Oudermann  zwei  Quadranten  von  Hauptkreisen  CD  und 
CE  als  Coordinaienachson  an  (siehe  Fig.  1  Taf.  IV).  In  ihrem  Schnitt- 
punkte Cj  dem  Anfangspunkte  der  Coordinaten,  bilden  sie  im  Allgemei- 
nen einen  beliebigen  Winkel,  der  jedoch  im  Nachfolgenden  immer  als 
Rechter  angenommen  ist 

Durch  die  Hauptkreise  J)m  und  Enij  welche  die  Achsen  in  /f  und  L 
sehneiden,  wird  nun  der  Punkt  m  auf  die  beiden  Achsen  bezogen ,  und  zwar 
fiad  CL  lud  CK  die  Coordinaten  des  Punktes  m.  Da  jedoch  d\«&ft  ^xct^- 
geh«Mk  Bar  mittels  der  tr/^^onometrischen  Tangenten  m%.^c\itk\xw^Vc)^s^- 

JUlMckrift  für  MathoiMtik  u    Physik.    VI,  3.  W 


1 54  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

men,  so  werden   auch  für  diese  die  einfachen  Zeichen  gewählt  nnd  der 
Punkt  m  durch  {xy)  bezeichnet,  wenn 

x^=ingCL^  y  =  tng  CK. 
In  dieser  Bezeichnung  ist 

1)  z:::r+  ^    -' 


tng^a       lng*b 

die  Gleichung  eines  Kegelschnittes,  dessen  Halbachsen  a  und  b  sind,  und 
zwar  fallen  die  Achsen  des  Kegelschnittes  in  die  Hauptkreise  CD  und  CE, 
Die  Excentricität  e  dieses  Kegelschnittes  ist  bekanntlich  unter  der  Voraus- 
setzung, dass  a  >6,  durch  die  Gleichung 

cosa 

cos  e  == r 

cos  b 

bestimmt«     Soll  nun  ein  zweiter  Kegelschnitt 

mit  dem  obigen  die  Brennpunkte  gemeinsam  haben  und  jenen  in  dem 
Punkte  {xy)  schneiden,  so  müssen  die  Halbachsen  desselben  der  Glei- 
chung 2)  und  der  Bedingung 

cos  tfi       cos  a 
cos  6,       cos  b 
genügen. 

Um  hieraus  die  Halbachsen  a^  und  6|  zu  bestimmen ,  setze  man 
cos  a        cos  b 
^  cos  a^       cos  6,  ^ 

mithin 

^    *       A^       1+öiflrV  f^       l  +  <»flrV 

und  statt  der  Gleichung  2) 

4)  ^ + ?!__  =  __1_ 

^  üig*a  —  tng*fi       ing^b — Uig*fM,       l+tng*fi 

Aus  diesem  ergiebt  sich  nun  zunächst 

.     ,          ^  t    ,     ti.    l+^*col*a  +  y*coi*b 
^tng^f.==tng*atngn. ^^jr^F+fä , 

^  j  stn'f*  =  «h'fl  sin*b  .  (l  +  a:*  coi*a  +y*  cot*b) , 

co*«^=  cos^a  cos*b  .  (1  +iP*+y*). 
Die  Halbachsen  des  Kegelschnittes  2)  sind  danach  in  folgender  Weise  be- 
stimmt: 

,     __tng*a — ing*b       g*    tng*  e      , 

\ngai—     j  +  ^„^2^— •  ^^t^  — ^^t^  •  ^  » 

Diese  Ausdrücke  zeigen,  dass  a^  real  und  6j  imaginär  ist,  wenn  a>b 
und  der  Scboittpunkt  der  Kegelschnitte  V)  \nx4  i)  >  utollch  (arf)^  real  ist 


Von  Dr,  Heilkrmann.  155 

Da  diese  Cnrven  mit  der  ebenen  Ellipse  and  Hyperbel  darin  übereinstiih- 
men,  dass  innerhalb  der  halben  Kngelfl&che,  deren  Mittelpunkt  der  An- 
faogspankt  der  Coordinaten  ist,  die  erstere  aus  einer  geschlossenen  Linie 
nnd  die  letztere  aus  zwei  getrennten  Zweigen  besteht,  so  wird  nach  Ouder- 
mann  jene  eine  sphärische  Ellipse  nnd  diese  eine  sphärische  Hyperbel  ge- 
nannt. 

Wenn  der  Schnittpunkt  {xy)  der  Kegelschnitte  1)  und  2)  in  einem 
Scheitel  der  kleinen  Achse  BB^  (Fig.  2  Taf.  IV)  der  Ellipse  1)  liegt,  so  ist 
«ssO,  y=  +  tngb, 

ingai^=0,ingbi=  +  sine  y — l. 
Wenn  zweitens  der  Punkt  (xy)  ein  Scheitel  der  grossen  Achse  ^^j  ist,  also 
j?=  +  inga,y  =  0, 

lOlBt 

tngai  =  +  tnge,tngbi=:^0, 
mithin  reducirt  sich  der  confocale  Kegelschnitt  2)  auf  die  beiden  Brenn- 
punkte des  Kegelschnittes  1).     Nehmen  wir  nun  an ,   dass  a;  >  (n^  a ,  so  ' 
wird  der  Schnittpunkt  {xy)  imaginär,  weil  unter  dieser  Voraussetzung  nach 
Gleichung  I) 

negativ  ist;  mithin  sind  jetzt  beide  Halbachsen  des  Kegelschnittes  2)  real. 
Wenn  insbesondere 

ing*a      (ng^b    > 

tng  e  '  sin  e'^        ' 

«0  ist 

oder  es  ßtllt  der  Kegelschnitt  2)  mit  dem  ursprünglichen  zusammen.  Wird 
mietet 

x=:(sj  und  ^  =  —  <N^ , 
80  folgt  daraus 

flj  =  ^n  und  6,  =  ^TT, 
d.  h.  der  confocale  Kegelschnitt  2)  geht  in  den  Hauptkreis  DE  (Fig.  2  Taf.  IV) 
tiber. 

Zwischen  diesen  speciellen  Werthen  a:  =  0,  x  =  ing  a,  a:  = 

nnd  x  =  rsj  liegen  nun  der  Reihe  nach  die  Werthe,  für  weiche  der  confo- 
etia  Kegelschnitt  2)  eine  Hyperbel,  oder  eine  von  der  Ellipse  1)  einge- 
lehlossene ,  oder  eine  dieselbe  einschliessende  Ellipse  ist. 

§.2. 

Die  Hanptkreise,  welche  die  confocalen  Kegelschnitte  1)  und  2"^  in. 
ihrem  Sehnittponk^e  (j:^)  berühren,  sind 


156  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 


und  der  Winkel ,  welchen  sie  bilden,  ist  nach  S«  11  der  „analytischen  Sphä- 
rik"  ein  Sechter,  denn  . 

Uig^a  ing*ai  tng^btng^h^  "*"  ~  * 
wie  sich  sogleich  ans  den  Gleichungen  l)  und  4)  durch  Subtraction  ergiebt. 
Da  nun  hiernach  die  confocalen  Kegelschnitte ,  auf  der  Kugel  eben  so ,  wie 
in  der  Ebene,  sich  unter  rechten  Winkeln  schneiden,  so  ist  die  Berührende 
7)  eine  Normale  des  Kegelschnittes  2)  und  die  Berührende  7*)  eine  Normale 
des  Kegelschnittes  1).  Setzt  man  in  die  Gleichung  der  letzteren  die  Werthe 
von  ing^a^  und  tng*bi,  so  erhält  man  durch  einige  Umformungen 


'  sin^a — sin^b*  X      8in*b — sin*a' y  ' 

als  Gleichung  des  liauptkreises,  welcher  im  Punkte  {xy)  den  Kegelschnitt 
l)  unter  rechtem  Winkel  schneidet. 

Damit  in  dieser  Normale  der  Punkt  n=  (^iVi)  l^^S^v  muss 
^.  $in*a  —  c  sin^b  —  c 

8m*a  '^'  stn*b 

wo  die  Länge  des  Bogens,  welcher  von  dem  Punkte  n  =  («,y,)  und  den 
Fusspunkt  der  Normale  m=  (xy)  begrenst  ist,  durch  die  Grösse  c  be- 
stimmt wird.  Bezeichnet  man  diesen  Bogen  mn  mit  d,  so  ist  nach  §.  6 
der  „analytischen  Sphärik*' 

.  1+  xXi+  yyt 

cos  d  =  — ; 

oi)n  erhält  man  aber  dnrch  Einsetzung  der  Werthe  von  x^  and  y, 

l+xx  +  yy,  =  (l—c)  (l  +«•  +  }/>), 
folglich 

10)  tngä=±—j/ j^j_j-j_5 , 

und  das  Zeichen  +  ist  jedes  Mal  so  zu  wählen ,  wie  es  die  Länge  des  Bo« 
gens  d  erfordert     Setzt  man  c  =  —  <x>,  so  liegt  nach  den  Gleichungen  9) 
der  Punkt  n  =  (dTiyi)  in  dem  Uauptbogen  DE^  mithin  ist  nach  10) 
,^  ^/i  +  x*col*a  +  y^cot*b 
~  i+^  +  y" 

wenn  der  Schnittpunkt  der  Normale  8)  und  des  Hauptbogens  DE  mit  Ji  be- 
j^eichnet  wird.        ' 


mR  =  j/- 


Von  Dr.  Heilermann.  157 

Hierdurch  ist  nun  zagleich  daa  Stück  der  Normale  bestimmt,  welches 
doreh  eine  vom  Anfangspunkte  C  darauf  gerillte  Senkrechte  begrenzt  wird, 
denn  es  ergänzt  den  Bogen  rtiRzu  einem  Quadranten;  es  ist  also,  wenn  die 
Tanf^te  desselben  mit  |  bezeichnet  wird, 

ind  wmit  entsteht  sos  Gleichung  iO) 

13)  fi'»^<*=±fz:^-     . 

Wenn  man   denselben  Werth  in  die  Gleichung  5)  einsetzt,   so  ergiebt 
neb  noch 

ij\  s  tnga.ingb 

14)  rn^^  =  -2__2-.. 

§.  3. 

Fflr  den  Pnnkt  0,  wo  die  Normale  des  Punktes  m  in  die  grosse  Achse 
einsehneidet,  ist  wegen  der  Gleichungen  0) 

folglich  nach  der  Formel  13) 

15)  tngmQ^^. 

Eben  so  ist  fttr  den  Einschnitt  P  in  die  kleine  Achse 

und 

15»)  .     mgmP='!^. 

Nimmt  man  nun  noch  hinzu ,  dass 


tngmR^=:  - , 


so  erhftlt  man 


r>    .        ^  T*       ing*atng*b 

tngmP  .tngmQ.ingmR:=i         .^        * 


Daza  ist  nach  $.  71  der  analytischen  Sphärik  der  Krümmungshalbmesser  h 
des  Kegelschnittes  1)  für  den  Punkt  (xy)  mittels  der  Gleichung 

^9^^= Fi 

sa  bestimmen,  folglich  ist  auch 

16)  tngmP.tngmQ  .1ngmR  =  tngh, 

Da  jede  Seite  des  dreirechtwinkligen  Dreieckes  CDB  tXu  Achse  des  Kegel- 
schnittes 1)  angesehen  werden  kann,  so  ist  durch  diese  Gleichung  folgende 
Eigenschaft  der  sphärischen  Kegelschnitte  dargestellt: 

Das  Produkt   aus   den   Tangenten   der  drei  Abschnitte 
welche  auf  einer  Normalen  eines  sphärischeuKeg^l^^^'^xVV.^^ 


1 58  lieber  Bphärische  Kegelschnitte. 

einerseits  durch  ihren  Füsspnnkt  nnd  andererseits  durch  die 
drei  Achsen  begrenzt  werden,  ist  gleich  der  Tangente  des 
zugehörigen  Krümmungshalbmessers. 

Berücksichtigt  man  nur  die  Werthe  von  tngmP  und  ingmQy  so  ergiebt' 
sich  durch  Umkehrung  des  Zusammenhanges ,  welchen  dip  Gleichungen  15) 
ausdrücken,  folgender  Satz:  Werden  die  Schenkel  eines  rechten 
Winkels  von  einem  Hauptkreise  geschnitten  und  in  deim  letz- 
tern ein  Punkt  so  bestimmt,  dass  die  Tangente  jedes  Ab- 
schnittes, multiplicirt  mit  der  Tangente  des  Abschnittes, 
welqhor  durch  die  vom  Scheitel  des  rechten  Winkels  gefällte 
Senkrechte  begrenzt  ist,  ein  constantes  Produkt  bildet,  so 
liegt  jener  Punkt  in  einem  Kegelschnitte,  für  welchen  jene 
Produkte  die  Quadrate  der  Tangenten  der  Halbachsen  sind, 
und  jener  Hauptkreis  ist  eine  Normale  desselben. 

Die  Voraussetzungen,  welche  in  diesem  Satze  gemacht  werden,  sind 
auch  durch  die  beiden  Hauptkreise  7) ,  welche  die  Kegelschnitte  1)  nnd  2) 
im  Punkte  m  =  {xy)  berühren  und  von  den  Achsen  derselben  in  den  Pnnk* 
ten  ^  und  £),,  i'und  P^  geschnitten  werden,  erfüllt:  es  ist  nämlich  nach 
den  Gleichungen  7) 

X  X 

und  durch  die  vom  Punkte  m  auf  die  Achse  AA^  gefällte  Senkrechte  mL 
wird  der  Bogen  CL  abgeschnitten,  von  welchem 

tng  CL=^Xy 
folglich  ist 

tng  CO  .  tng  CL  =  tng^Oi ,  tng  CQ^ .  tng  CL  =  tng^a. 
Es  liegt  mithin  der  Mittelpunkt  C  in  einem  Kegelschnitt,  dessen  Achsen 
2a  und  2a,  sind  und  in  den  Berührenden  7)  liegen,  und  die  Axe  AA^  ist 
eine  Normale  desselben.  Bezeichnet  man  mit  $  und  17  die  Tangenten  der 
Coordinaten  des  Punktes  C  in  Bezug  auf  die  Hauptkreise  7)  als  Coordinaten- 
achsen ,  so  ist  dieser  Kegelschnitt 

17)  _!!_+_?!_  =  ,. 

tng^a      Uig^a^ 
Dasselbe  gilt  in  Bezug  auf  die  Achse  B B^  und  zwar  ist  sie  eine  Normale 
des  Kegelschnittes 

^  tng^h^tngH,  ' 

von  welchem  sie  im  Punkte  C  geschnitten  wird. 

Auch  diese  Kegelschnitte  sind  confocal  uud  zwar  ist  nach  der  Glei- 
chung 3)  der  Bogen  ft  ihre  gemeinsame  Excentricität. 

Hiernach  haben  die  sphärischen  Kegelschnitte  mit  den  ebenen  auch 
folgende  Eigenschaft  geraeinsam. 

Werden  um  den  Schnittpunkt  zweier  confocalen  Kegel- 


Von  Dr.  Heileruann.  169 


<WIM^<W»^W^^Wl 


lelmitte  swei  neue  Kegelschnitte  beschrieben,  welche  die 
Berihrenden  des  Schnittpunktes  als  Achsen  enthalten  und 
die  Achsen  derselben  im  Mittelpunkte  bertthren,  so  sind  auch 
dieae  Kegelschnitte  confocal. 

§.4. 

Aus  den  Oleichungen  0)  folgt  sogleich,  dass  auch  der  Punkt  n  =  {x^  ^j), 
dessen  Coordinaten 

sin*a — c  tm*b  —  c 

*  stn^a  sm^b       ^ 

nnd ,  in  einem  Kegelschnitte 

^*^  ^■•"^=^ 

liegt  und  awar  sind  die  Halbachsen  desselben 

sin*a  —  c  ^       sin*b  —  c 

1nga=i-. ,  tngß:=-r-r -.> 

9       *'         9m  a  cos  a         '^      stnb  cosb 

Ans  diesen  Werthen  erhält  man  dann  zur  Bestimmung  der  Ezcentricität  s 

dieees  Kegelschnittes 

cos  $^=zcose  Yf ^-____ 

/{\  —  cy  —  i^cot^a  coi*b 
T       (l~c)*  +  < 


19) 


5f  n  s  =  sme  i 


»c^coi^a      * 
,/(l  —ey—c^  cot*a  col*b 

■  =  ^^^^r    (il-cr+<-cotn    ' 

Wird  nun  noch  in  der  Normalen  8)  auf  der  entgegengesetzten  Seite 
des  Fusspunktes  ein  zweiter  Punkt  iti  s=  {x^y^)  durch  die  Coordinaten 
sin*a+Cä  sm^b  +  c* 

stn^a  ^'  sm*b 

bestimmt,  so  liegt  dieser  in  dem  Kegelschnitte 

dessen  Halbachsen  die  Gleichungen 

tng  Ol  =  -: ,  ing  ßt  s=i  -r—r - 

stna  cos  a  ^        stn  b  cos  b 

angeben.     Sollen  nun  die  beiden  Punkte  n  und  n^  von  dem  Fusspunkte  m 

der  Normale  gleiche  Entfernungen  haben ,  so  muss  nach  Gleichung  10)  der 

Bedingung 

'  e     c, 

GcDttge  geschehen.  Wenn  aber  diese  Bedingung  erfüllt  ist,  so  haben  auch, 
wie  die  Ausdrücke  10)  zeigen,  die  Kegelschnitte  18)  und  20)  dieselbe  £x- 
eentricitSt. 

Werden  also  auf  einer  Normale  eines  sphärischen  Kegel-/ 


160  (  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

Schnittes  Tom  Fusspnnkte  ans  nach  beiden  Seiten  gleiche 
Stücke  abgeschnitten,  deren  Tangenten  mit  der  Tangente 
des  Abschnittes,  welchen  die  yom  Mittelpunkte  auf  die  Nor- 
male gefällte  Senkrechte  begrenzt,  Produkte  von  constanter 
Grösse  bilden,  so  sind  die  Ortscurven  der  Schnittpunkte  swei 
confocale  Kegelschnitte. 

Die  Punkte  m,  n  und  fi|  sind  entsprechende  Punkte  in  den  Kegel- 
schnitten 1),  18)  und  20),  denn  es  verhält  sich: 

$in*a — c         sin*a  +  Ct 
X :  — r-s —  .  X  •• r-i .x  =  ing  a  :  tng  a  :  tng  Uu 

sin^b  —  c         8in*b  +  c, 

Wenn  man  diese  Beziehung  umkehrt  und  den  vorhergehenden  Satz  hin- 
zunimmt, so  ergiebt  sich  folgende  Eigenschaft  der  confocalen  Kegel« 
schnitte : 

Der  Hauptbogen,    welcher   zwei   entsprechende   Punkte, 
zweier  confocalen  Kegelschnitte  verbindet,  ist  in  allen  La- 
gen  Normale   desselben    drittten   Kegelschnittes   und   wird 
durch  diesen  halbirt. 

§.5. 

Nach  den  Gleichungen  19)  und  13)  liegen  die  gemeinsamen  3rennpunkte 
der  Kegelschnitte  18)  und  20),  ftir  welche 

in  der  grossen  Achse  des  Kegelschnittes  1),  wenn 

itngd<inga^gb'^ 
sie  liegen  aber  in  der  kleinen  Achse  desselben ,  wenn 

^ingd>tnga1ngb 
und  fallen  mit  dem  Mittelpunkte  zusammen ,  wenn 

iingd^=ztnga1ngb. 
In  dem  letzten  Falle  ist 

C  Ci 


mithin 


i_e-i4!7;='^«'"'*' 


ft  - .  sin  a  sin  b        sin  a  sin  b 

^  ""  —  cos  {a-b) '  ""'  ~  cos  (a^b) ' 

und  durch  diese  Werthe  nehmen  die  Punkte  n  und  n,  besondere  Lagen  an, 
welche  mit  r  und  r^  bezeichnet  seien;  und  zwar  sind  nach  0)  die  Coordina- 
ten  dieser  Punkte 

""'—      tnga       -^'y«—      tngh       •"• 
Die  Punkte  r  nnd  r,  liegen  also  in  den  Kreben 


Von  Dr.  Heilebmann.  161 

M)  ^,*  +  y,'  =  %*(«  +  ft), 

oder:  Werden  nmdenMittelpankteinerEllipse  mitderSamme 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  wird 
TOD  diesen  jede  Normale  der  Ellipse  in  zwei  Punkten  ge- 
schnitten, welche  dem  Fnssp  unkte  entsprechend  undvondem- 
selben  gleich  weit  entfernt  sind. 

Der  Bogen  mr=zmri  selbst,  welcher  durch  diese  Kreise  abgeschnit- 
ten wird ,  ist  nach  13) 

ing  aingh 

23)  ing  tnr  =•  ing  mr^  = 

und  wegen  der  Gleichung  14)  ist 

i»r  =  mr  =  fA. 
Danon,  wie  oben  erw&hnt,  ft  die  Excentricitftt  der  confocalen  Kegel« 
seimitte  17)  ist,  so  ergiebt  sich  für  diese  auch  folgende  Eigenschaft: 

Werden  für  irgend  einen  Punkt  einer  sphärischen  Ellipse 
die  Kegelschnitte  gezeichnet,  welche  die  Normale  und  Be- 
rührende dieses  Punktes  als  Achsen  enthalten  und  die  Ach- 
sen der  Ellipse  im  Mittelpunkte  berühren,  so  liegen  die  ge- 
meinsamenBrennpi^nkte  dieserKegelschnitte  in  deuKreisen, 
welche  um  den  Mittelpunkt  der  Ellipse  mit  der  Summe  und 
Differenz  ihrer  Halbachsen  beschrieben  worden  sind. 

Da  nach  den  Gleichungen  15)  und  23) 

24)  ing*  mr  =s  ing*  mri  =  ing  m P ,  tng  m  0 ^ 

so  liegen  die  Punkte  r  und  r^  harmonisch  gegen  Pund  Q',  oder: 

Jede  Normale  einer  sphärischen  Ellipse  wird  von  den  um 
ihren  Mittelpunkt  mit  der  Summe  und  Differenz  der  Halb- 
«ehsen  beschriebenen  Kreisen  in  zwei  Punkten  geschnitten, 
welche  dem  Fnsspunkto  der  Normale  entsprechen  und  gegen 
diein  den  Achsen  gelegenen  Punkte  derselben  Normale  har- 
monisch liegen. 

Wenn  man  die  oben  hergeleiteten  Werthe  von  tngmPnnd  ingmr  in 
die  Gleichung 

^    •   tngmP — ing  tnr 

ing  rP='  — -^ 

l+ingmP. ingmr 

«insetzt,  so  entsteht 

ij^,^p^(ingj,^ingb)iinga 

und 

(ing  a  —  ing  b)^  ing  a 

'^'"'^"^j/ing^a  +  ^^j/ing^aing'b  +  i*' 
Eben  so  findet  sich 

{ing  a  +  ingb)  ^tnga 


162  lieber  sphärische  Kegelschnitte. 

{tnga  —  ingb)iingb 


sin  rQ  = 


sinriO  = 


j/ing^  6  +  6«  j/infa  tnfb  +  {« 
{tng  a  —  tngb)^  tng  b 


'/tng^b  +  ^^j/tns^atng'b+V' 
folglich  ist 

^      i  ^*^  ^^  •  ^^ ''« ^^^  ^  ^  —  ing  b  \  fng  a -{- ing  b  =  sin  [a — 6) :  ^  (n  +  b\ 
'^sinrO:sinriQz=tnga  —  tng b  :  ing a  +  Ing  b  =s sin  (a — b):8in  (a  +  b). 
Aus  diesen  Proportionen  ergiebt  sich  nnn  zur  Ergänzung  des  vorhergehen- 
den Satzes  folgende  Eigenschaft  der  sphärischen  Kegelschnitte : 

Werden  um  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  mit  der  Summe 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  wird 
das  Stück  jeder  Normale,  welches  durch  die  ihrem  Fuss- 
punkte  entsprechenden  Punkte  dieser  Kreise  begrenzt  ist, 
▼on  denAchsen  derEllipse  so  getheilt,  dass  die  Sinusder  Ab- 
schnitte in  einem  constanten  Verhältnisse  stehen. 

Die  besonderen  Werthe  unter  21)  sind  die  wichtigsten,  welche  die 
Grössen  c  und  Ci  annehmen  können ;  einige  andere  sollen  nur  eben  erwähnt 
werden. 

Setzt  man 

— Z  =  7irr  =  1,  also  c  =  J,  Ci  =  no, 
1 — c       l  +  Ci 

so  geht  die  Ellipse  20)  in  den  Hauptkreis  DE  über  und  die  confocale  18)  in 


cot*  2a       cot*  2b 
Dieselben  Linien  erhält  man  durch 

indem  der  Kegelschnitt  18)  in  den  Hauptkreis  und  der  zugehörige  20)  in 
die  vorstehende  Ellipse  übergeht. 
Wenn 

c  c 

-^—  =  ro,  also  c  =  • —  C|  =  1 , 


l—C         l  +  Ci 

so  ist  nach  der  Gleichung  10)  der  auf  der  Normale  abgeschnittene  Bogen  d 
ein  Quadrant  und  die  beiden  confocalen  Kegelschnitte  18  und  20)  fallen  in 
den  einen 

cot*a      cot*b 
zusammen ,  welcher  von  dem  ursprünglichen  die  reciproke  Curve  ist ,  d.  h. 
von  allen  Hauptkreisen ,  welche  die  Ellipse  1)  berühren ,  die  Mittelpunkte 
enthält. 

§.  6. 
Der  Bogen  mQy  welcher  einerseits  durch  den  Fusspunkt  der  Normale 
und  nndcrcrseii»  durch  ihren  Einschnitt  in  die  grosse  Achse  begrenzt  wird, 


Von  Dr.  Heilekmann.  163 

ist  durch  die  Gleichung  15)  bestimmt.  Wird  dorsolbe  mit  q  bezeichnet  und 
mittels  der  Gleichung  14)  die  Grösse  £  eliminirt,  so  ist 

Darch  Einsetzung  dieses  Werthes  kann  man  den  Halbachsen  des  Kegel- 
schnittes 2),  welcher  durch  den  Fnsspunkt  der  Normale  geht,  und  den  Co- 
ordinaten  ihres  Fusspunktes  folgende  Form  geben : 

tng^a     /     tng^  b  —  ing^  g  tng  b  -./Ing*  a  ifig^  g  —  tng*  b 

tng  e  r    (ng^  b  +  Uig*  a  In^  g '  *fw  c  Y  ing^  a  tng^  g  +  tng*  b' 

Zugleich  ist  wegen  der  Gleichung  7*)  der  Bogen  CQ^  welcher  von  dersel- 
ben Normale  auf  der  grdssen  Achse  abgeschnitten  wird,  durch  die  Glei- 
chnng 


ingCQ's=^ 


tn^  a, 


X 

bestimmt.     Wenn  man  noch  den  Werth  von  x  einsetzt,  so  entsteht 

28)       tngCQ^''^''^'^^' Ringel/    jf '~f^^^  . 
^  ^     ^  tnga  ^    f    lnfb  +  ing*aing*g 

Hau  denke  sich  nun  um  den  Punkt  mit  dem  Halbmesser  g  einen  Kreis,  if 
beschrieben;  dieser  berührt  den  Kegelschnitt  I)  in  zwei  gegen  die  grosse 
Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m  und  iRi  ,  und  der  Hauptbogen  m  m^ 
schneidet  die  grosse  Achse  in  einem  Punkte  L ,  so  dass 

^2;  ^ %  «  -  ^^^  g|  _ (V^    /     in^b  —  tn^g 

tng  e  tnge  r    tn^  b  +  tn^  a  tng*  g' 

Man  sieht  sogleich ,  dass 

3«)  tng  C  0  .  tng  CL  —  tng*a^, 

folglich  ist  der  Mittelpunkt  einesKrelses,  welcher  ein  enfCegel- 
ichnitt  in  zwei  gegen  die  erste  Achse  symmetrisch  gelegenen 
Punkten  berührt,  in  Bezug  au f  den  confocalen  Kegelschnitt, 
welcher  durch  dieBerührungspunkte  geht,  derPoldesHaupt- 
kreises,  in  welchem  die  Berührungspunkte  liegen. 

Der  grösste  Werth ,  welchen  der  Halbmesser  g  des  doppelt  berühren- 
den Kreises  E  annehmen  kann ,  ist 

nnd  zwar  ist  dann  zugleich 

fl,  =  0 ,  (wgf  6,  =Ä  jm  ^  ^— 1 ,  dP  =  0 ,  y  =  ^p  6 , 

CÖ  =  0,Ci  =  0, 

mithin  berührt  dieser  Kreis  die  Ellipse  1)  in  den  Scheiteln  der  kleinen 

Achse.     Der  kleinste  Kreis,  welcher  die  Ellipse  in  zwei  realen,  gegen  die 

grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt,  ist  bestimmt  durch 

tng^b 

tng  g  = ; 

tnga 


164  Ueber  sphärische  Kegelschnitte, 

zugleich  ist 

'^^^  =  ^'^^  =  «5 
es  fallen  also  die  beiden  Bertthrnngspunkte  in  einen  Scheitel  der  grossen 
Achse  zasammen  nnd  ftir  diesen  ist  der  zugehörige  Werth  von  ^  der  Krüm- 
mungshalbmesser.    Wenn  endlich  der  Halbmesser 

gesetzt  wird ,  so  ist 

^  *         '  Inge    ^       -^  9ine^ 

CQ  =  e^ingCL  =  ^—. 

Es  geht  also  in  diesem  Falle  der  doppelt  berührende  Kreis  K  in  einen 
Brennpunkt  und  der  Hauptbogen ,  in  welchem  die  Berührungspunkte  des- 
selben liegen ,  in  die  zugehörige  Directrix  über. 
Jenachdem  nun 

in^h  ' 


oder 

in^h 


>ingQ>1ngO, 


tnga 

findet  zwischen  dem  Berührungskreise  IC  und  der  Ellipse  i)  eine  Berührung 
in  zwei  realen  oder  imaginären  Punkten  statt* 

§•7. 

Der  Hauptbogen  r  =  n^,  welcher  einen  beliebigen  Punkt  n  =  (^lyO 

des  Keglschnittes  1)  mit  dem  Punkte  Q  =  (  ;  o)  in  der  grossen  Achse 

verbindet,  ist  mittels  der  schon  mehrfach  angewandten  Formel  zu  bestim- 
men >  nämlich 

l+^.lVat 
€08  ri 


Nun  ist  aber  nach  der  Oleichung  0) 

^"*"     «»    ~  tn^a 

und 

X  tng'a 

weil  dazu  der  Punkt  n  =  {xiy^  in  der  Ellipse  1)  liegt,  so  ist  auch 


Von  Dr.  Ukilebmann.  165 

1  +  s,  +y, ___j^_ 

aod  durch  Einsetzung  dieser  Wertbe  entsteht 

ng  a  cos  b  (Uig^  a  +  xx^  tn^  e) 
cos  r  =  — —  -  • 

ying^  a  +  x^  In^  e  ytng^  a  +  x*  tng*  e 

Wenn  nnn  insbesondere  der  Punkt  n  =  (j?,y,)  mit  dem  Punkte  m  =  (xy)^ 

wo  der  Kreis  IC  den  Kegelschnitt  1)  berührt,  zusammenfällt,  so  geht  der 

Bogen  910  =  r  in  den  Halbmesser  q  über,  mithin  ist  zunächst 

cos  Q  =  tnga  cos  b  1/  -^ — ,     ..  \ 
^  r    ing*a  +  a^  tng*  e 


and  weiter 


cos  r  ing^  a  +  a?  jr,  tng^  e 


cos  Q      ytng^a  +  jr/  tng  e  j/tng'  a  +  x^  tnf  e 

Man  beachte  nun  zuerst ,  dass  nach  den  Gleichungen  6) 

x  tng  e  tng  a 

stn  Ä,  =  ,  cos  Ai  = : 


ytn^  fl  +  a**  tn^  e  ytn^  a  +  ;r*  tng^  e 

setze  dann  nach  Analogie  dieses  Werthes 

tng  e 

also 

x*  tng  e  tnga 

stn  g>,  =  .     ,  cos  <p^  = 


yin§^  a  +  Ä-|*  tng*  e  ytn<f  a  +  x^  inf  e 

Qnd  berücksichtige  ferner  noch ,  dass  der  Quotient  cos  ricosq  auch  der 
Cosinus  der  vom  Punkte  n  =:  {x^y^)  an  den  Kreis  gezogenen  Berührenden 
'  ist    Hierdurch  erhält  man  aus  der  vorstehenden  Gleichung 

cos  t  =  cos  Aj  cos  9>|  +  sin  a^  sin  9, , 
oder 

31)  <=±(fli  — g>i), 

wo  das  Zeichen  +  so  zu  verstehen  ist,  dass  der  Werth  von  t  immer  posi- 
ti?  wird. 

Da  nun  a^  und  (p  in  den  Hyperbeln ,  welche  mit  der  Ellipse  1)  die 
Brennpunkte  gemeinsam  haben  und  durch  die  Punkte  m  =p  {xy)  und 
n  =  (X|  y,)  gehen ,  die  realen  Halbachsen  sind  und  die  eine  von  beiden  ne- 
gativ zu  nehmen  ist,  wenn  diese  Punkte  m  und  n  auf  verschiedenen  Seiten 
der  kleinen  Achse  liegen ,  so  ergiebt  sich  aus  der  vorstehenden  Gleichung 
folgender  Satz: 

Wird  eine  sphärische  Ellipse  von  einem  Kreise  in  zwei 
gegen  die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m 
und  ffij  berührt  und  von  einem  beliebigen  Punkte  n  derEllipse 
an  diesen  Kreis  eine  Berührende  gezogen,  so  ist  diese  Linie 
gleich  der  Summe  oder  Differenz  der  realen  Halbachsen  der 
Hyperbeln,  welche  mit  jener  Ellipse  coufocal  sind  viud  d\^- 
•elbe  in  den  Poaktea  m  und  n  schneiden^  3etittiQ\idi^TGL  ^\^%^ 


166  Ueber  ftphärische  Kegelschnitte. 

Punkte  auf  verschiedenen  oder  derselben  Seite  der  kleinen 
Achse  liegen. 

Von  diesem  Satze  will  ich  hier  nur  zwei  besondere  Fälle  hervorheben. 
Wenn  zuerst  x  =  0  also  auch  0^=0  ist ,  so  geht  die  Gleichung  31)  über  in 

oder:  Die  Berührende,  welche  von  einem  beliebigen  Punkte 
einer  Ellipse  an  den  über  der  kleinen  Achse  beschriebenen 
Kreis  gezogen  wird,  ist  gleich  der  realen  Halbachse  der  Hy- 
perbel, welche  durch  diesen  Punkt  geht  und  mit  der  Ellipse 
confocal  ist. 

Wenn  zweitens  der  Bogen  g>  =  0  oder  der  Punkt  n  =  (j?iyi)  in  einen 
Scheitel  der  kleinen  Achse  liegt ,  so  ist 

'  =  «1, 
d.  h.:  Zieht  man  einen  Kreis,  welcher  eine  Ellipse  in  zwei 
gegen  die  grosse  Achse  sym  metrisch  gelegenen  Punkten  be- 
rührt, von  einem  Scheitel  der  kleinen  Achse  eine  Berührende, 
so  ist  diese  gleich  der  realen  Halbachse  der  Hyperbel,  welche  • 
durch  jeriie  symmetrischen  Punkte  geht  und  mit  der  Ellipse 
confocalist. 

Ich  nehme  jetzt  an ,  dass  die  Ellipse  l)  von  zwei  Kreisen  in  je  zwei 
gegen  die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m ,  m|  und  p ,  Pi 
berührt  wird,  und  bezeichne  die  realen  Halbachsen  der  Hyperbeln,  welche 
durch  diese  Pnnktenpaare  gehen  und  mit  der  Ellipse  1)  confocal  sind,  durch 
«1  und  a^.  Wird  nun  von  einem  beliebigen  Punkte  n  =  (^Tj  y,) ,  welcher  in 
der  Ellipse  l)  so  liegt,  dass 

tnge 

an  jeden  dieser  Kreise  eine  Berührende  gezogen  und  diese  mit  /  und  i^  be- 
zeichnet, so  ist  nach  der  Gleichung  31) 

r  =  »+  (ö,  —  (pi)  und  /,  =  +  (flf  — 9i), 
und  daraus  ergiebt  sich  sogleich 

32)       ^  t  +  t,  =  +{a,  +  a,). 

Die  Eigenschaft  der  Kegelschnitte ,  welche  diese  Gleichung  darstellt ,  kann 
man  in  folgender  Weise  ausdrücken: 

Wenn  eine  sphärische  Ellipse  von  zwei  Kreisen  in  je  zwei 
gegen  die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m,m| 
and/>,j9,  berührt  und  von  einem  beliebigen  Punkte  n  derEl- 
lipse  an  diese  Kreise  Berühr  ende  gezogen  werden,  soistdie 
Summe  oder  Differenz  dieser  Linien  constant,  jenachdem  der 
Punkt  n  zwischen  den  Hauptbogen  mm,  und  pp,  liegt  oder 
nich  t. 

Diese  constante  Grösse  ist  die  Summe  oder  Differenz  der  realen  Halb- 
achsen der  Hyperbeln ,  welche  durch  die  Punkte  m  und  p  gehen  und  mit 


Von  Dr.  Heilermann.  187 

der  Ellipse  1)  confocal  sind  y  jenachdem  diese  Punkte  auf  verschiedenen 
oder  derselben  Seite  der  kleinen  Achse  liegen. 

Für  den  speciellen  Fall,  wo  die  beiden  Berühmngskreise  in  die  Brenn- 
punkte tibergehen,  ergiebt  sich  ans  dem  vorstehenden  Satze  die  allbekannte 
Eigenschaft  der  Brennstrahlen  eines  Kegelschnittes. 

§.  8. 

Nach  der  Gleichnng  31)  ist 

•                        /                        ^         .   cosa*  cos  a»,  tnge , 
im  /  =  +  C05  flj  cos  q>i  [Irg^a^  —  ing  ^,)  =  + ~ [x — a?,). 

Wenn  man  noch  von  dem  Punkte  n  =  {x^  y,)  auf  den  Hanptbogen  mnti,  wel- 
cher durch  die  beiden  Berührungspunkte  des  Kreises  K  geht ,  eine  Senk- 
rechte s  fällt,  so  ist  nach  S.  13  der  analytischen  Sphärik 

•  X  —  m»  ,  cos  h  cos  g>,  ,  . 

Aus  der  Verbindung  dieser  Gleichungen  ergiebt  sich 
sin  t inge  cos  a^ 


oder  weil 


i/l+jj», 
sms     '  tngacosb  ' 

ing  e  sin  e       .  ing  a 

^ r  =  -: —  und  cos  a,  =3  ^  , 

ing  a  cos  b      stn  a  }/tn^  a  +  x^  ingU 


80  ist 

33)  —  =  -^~  7/__L±-^_ 

'  sins      cosar    in^ a  +  x* in^ e' 

Diese  Gleichung  zeigt,  dass  das  Verhältniss  sin  i:  sins  von  der  Lage  des 
Punktes  nt^  (^i^i)  unabhängig  ist,  und  enthält  also  folgende  Eigenschaft 
der  sphärischen  Kegelschnitte : 

Wird  eine  Ellipse  von  einem  Kreise  in  zwei  gegen  die 
grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m  und  m,  be- 
rührt, von  einem  beliebigen  Punkte  der  Ellipse  an  diesen 
Kreis  eine  Berührende  gezogen  und  auf  den  Hauptbogen, 
welcher  durch  die  Berührungspunkte  m,  mj  geht,  eineSenk- 
leehte  gefällt,  so  stehen  die  Sinus  dieser  Linien  in  einem 
eonstanten  Verhältnisse. 

Der  Exponent  dieses  eonstanten  Verhältnisses,  welcher  bei  den  ebenen 
Kegelschnitten  auch  von  der  Lage  oder  Grösse  des  doppelt  berührenden 
Kreises  anabhängig  int,  nimmt  auf  der  Kugel  für  verschiedene  Kreise  ver- 
schiedene Werthe  an.  Um  dies  deutlich  zu  zeigen\  gebe  ich  der  Gleichung 
Z$)  durch  einige  Umformungen  mittels  der  im  S.  6  entwickelten  Werthe  eine 
Gtestaky  welche  die  Abhängigkeit  des  Verhältnisses  von  dem  Halbmesser 
des  doppelt  berührenden  Kreises  angiebt;  eine  solche  ist: 

sin  i sin  e     -,/         ing^  b  —  ing'  q 

^  sin  s      sin  a  '  A  ing^  a  —  tnf  b  * 


168  lieber  sphäriBche  Kegelschnitte. 

Hieraus  sieht  man  sogleich,   dass  dies  Verh&ltniss  desto  kleiner  ist,  je 
grösser  der  Ilalbmesser  q  des  doppelt  berührenden  Kreises  ist. 
Wenn  zuerst 

^  =  6, 
also  die  Berührung  in  den  Scheiteln  derlileinen  Achse  stattfindet,  so  ist 

sin  t      sin  e 
sifi  s       sina' 
Wenn  zweitens 

^^        inga' 
mid  somit,  wie  oben  erwähnt,  die  Berührungspnnkte  in  einen  Seheitel  der 
grossen  Achse  zusammenfallen ,  so  bt 

sin  i sine       1 

sin  s      sina'  cos  b ' 
Den  grössten  Werth  erreicht  das  VerhXltniss,  wenn  der  doppelt  berührende 
Kreis  in  einen  Brennpunkt  übergeht  und  zwar  ist  dieses  Maximum 


sin  t sine    -w/  Ui^ a  tn^ b 

sin  s      sinaf  In^  a  —  tn^  b  * 

Wenn  nun  eine  sphärische  Ellipse  vqn  einem  Kreise  in  zwei  realen ,  gegen 
.die  grosse  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt,  so  liegt  das  Ver- 
hftltniss  sin  tisins  zwischen  dem  ersten  und  zweiten  dieser  speciellen  Wer- 
the,  d.  h.  es  ist 

sin e       sin  t  sine 


sin  a  sin  s  sin  a  cos  b 
Für  alle  Kreise  aber,  welche  eine  Ellipse  in  zwei  imaginären  Punkten  be- 
rühren, liegt  dasselbe  Verhältniss  zwischen  dem  zweiten  und  dritten  Wer- 
the,  oder 

sine  sin  t       sin  e    y/  tn^ a  tng^-b 


sin  a  cos  b       sin  s       stna'f  tng^  a  —  tn^  b 

Nach  der  Gleichung  33)  kann  auch  leicht  der  doppelt  berührende  Kreis 
bestimmt  werden ,  für  welchen ,  wie  bei  einer  ebenen  Parabel , 

5f>l  / 

—: —  =  1  oder  t=s: 
sms 

setzt  man  nämlich  diesen  Werth  in  jene  Gleichung  ein ,  so  ergiebt  sich 

34)  x  =  +  co(  e. 

Wird  also  eine  sphärische  Ellipse  in  zwei  (realen  oder 
imaginären)  Punkten,  welche  von  einem  Brennpunkte  um 
einen  Quadranten  abstehen,  von  einem  Kreise  berührt  und 
von  einem  beliebigen  Punkte  der  Ellipse  an  diesen  Kreis  eine 
Berührende  gezogen,  so  ist  diese  gleich  der  Entfernung  des- 
selben Punktes  von  dem  Hauptkreise,  dessen  Mittelpunkt 
jcnerB  renn  punktist. 


Von  Dr.  PIeilermann.  169 

Die  vorstehende  Bedingung  34)  kann  wegen  der  Gleichung  6)  auch 
durch 

tnga  .inga^^zl  oder  a+a^  =  ^w 
ersetzt  und  somit  für  die  zuletzt  erwähnte  Eigenschaft  der  Kegelschnitte 
ein  etwas  veränderter  Ausdruck  gegehen  werden. 

Da,  wie  oben  erwähnt,  das  Verhältniss  sin  t:  sin  s  sein  Maximum  er- 
reicht, wenn 

A  =  0,  also  a5=  -^ — , 
Inge' 

8o   giebt  es  nur  dann   einen   doppelt  berührenden  Kreis,    für    welchen 

gmt=^sin8j  wenn 

^  cot e  oder  a^  Itv. 

tnge  ^  ~  * 

Wenn  insbesondere  a  =  ^9v,  so  ist,  wie  auch  bei  der  ebenen  Parabel ,  jeder 

Punkt  des  Kegelschnittes  von  seinem  Brennpunkte  ebenso  weit  entfernt, 

als  von  der  zugehörigen  Directrix. 

§.9. 

Der  Bogen  m  P,  welcher  durch  die  kleine  Achse  der  Ellipse  auf  der 
Normale  des  Punktes  m  =r  (or^)  begrenzt  wird,  sei  dem  Vorhergehenden 
entsprechend  mit  ^,  bezeichnet ;  es  ist  mithin  nach  den  Gleichungen  14) 
und  16*) 

35)  tngg,  =  —-^. 

Die  Halbachsen  a^  und  h^  des  confocalen  Kegelschnittes,  welcher  durch 
den  Punkt  m^az(my)  geht,  und  die  Coordinaten  des  Schnittpunktes  selbst 
nehmen  durch  Einführung  dieses  Werthes  folgende  Form  an : 

_   ,    tnga    /in^a  —  tnf  b  tng^ p,    ^  _       in^b    /     infg^  —  in^a 
—  tng  er    ütg^  a  +  tns^  b  tng^  Qi'  ^  ~  —  sin  €  r    infa  +  ing*b  tnffg^ ' 

Der  Bogen  CPy  welcher  durch  die  Normale  des  Punktes  m  =  {xy)  auf  der 
kleinen  Achse  begrenzt  wird,  ergiebt  sich  nach  7*)  aus  der  Gleichung 

ingCP  =  -^, 

und  wenn  man  aus  dieser  die  Grösse  y  entfernt ,  so  ist 

s^^  r>  f>_  ^^^^  sine}/^  _       ^.^,,/     ing^  Qi  —  t^ig^  a 

Ina CP^=^ T- =  —  sine  1/  - — ; — r-— — zrz— — 5 — . 

^  ingb  f    ing^  a  +  ing*  b  tng*  Qt 

Der  Kreis  JT,,  welcher  um  den  Punkt  Pmit  dem  Halbmesser  ^,  be^ 
achrieben« wird,  berührt  die  Ellipse  in  zwei  gegen  die  kleine  Achse  sym- 
metrisch gelegenen  Punkten  m  und  uti ,  deren  Coordinaten  zu  den  obem 
stehenden  Werthen  s  und  y  gehören.     Der  Hauptbogen,   welcher  durch 

Z«itMkrin  r.  BUtheiMtik  u.  Physik.  VI,  3.  VI. 


170  Ueber  sphärische  Kegelschnitte. 

diese  Punkte  geht,  schneidet  also  anf  der  kleinen  Achse  einen  Bogen  CK 
ab ,  für  welchen 

61)     tngCK^  sin  eV^^~  lüT^ '  F  tn^a  +  infbin^Q^ 
Aus  den  beiden  letzten  Gleichungen  folgt  nun  sogleich 

38)  ing  CP  .tngCK  =  in^  b^ , 

d.h.  der  Mittelpunkt  einesKreises,  weicher  einen  sphärischen 
Kegelschnitt  in  zwei  gegen  die  kl  eine  Achse  symmetrisch  ge- 
legenen Punkten  berührt,  ist  in  Bezug  auf  den  confocalen 
Kegelschnitt,  welcher  durch  die  Berührungspunkte  geht, 
der  Pol  des  Hauptkreises,  in  welchem  die  Berührungspunkte 
liegen. 

Der  Halbmesser  q^  ^^^  doppelt  berührenden  Kreises  K^  erreicht  seinen 
kleinsten  Werth ,  nämlich 

wenn 

fl,  =  ^,  6,  =  0,«=  +  ffi^fl,  y  =  0, 

(7/>=0,  CK  =  Q, 

mithin  berührt  der  kleinste  Kreis  die  Ellipse  in  den  Scheiteln  der  grossen 

Achse.    Der  kleinste  Werth  von  (,,  für  welchen  die  Berührungspunkte  des 

Kreises  /f,  real  sind ,  genügt  der  Gleichung 

tn^  a 

und  zugleich  ist 

a,  =  0 ,  ing bi^:^ sine ]/ —  l,jr  =  0,y=  +  6iflf6, 

t„gCPz=-^J^^CK  =  b; 
ingb 

es  fallen  also  die  beiden  Berührungspunkte  dieses  Kreises  in  einen  Schei- 
tel der  kleinen  Achse  susammen  und  der  oben  angegebene  Werth  von  ^| 
ist  der  zugehörige  Krümmungshalbmesser.  Wenn  endlich  der  doppelt  be- 
rührende Kreis  Kx  in  einen  Hanptkreis  übergeht,  also 

gesetzt  wird,  so  ist 

ingb'     ^  sine 

Dieser  Hauptkreis  ist  die  Grenzform  der  Kreise,  welche  einen  Kegelschnitt 
in  zwei  gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berühren 
und  entspricht  in  dieser  Beziehung  den  Brennpunkten,  welche  die  Grense 
der  innereD  ^erfihrangskreise  sind. 


Von  Dr.  Heilekmann.  171 

§.  10. 
Der  Haaptbogen  r,  =  nP,  welcher  einen  beliebigen  Pnnkt  n  =  (ir,y,) 

in  der  Ellipse  1)  mit  dem  Punkte  -P=  (o,  M  in  der  kleinen  Achse  ver- 

bindet, ergiebt  sich  ans  der  Gleichung 

cos  r,  = 


Vi  +  ^,*  +  Pi'  j/l  + 


V^ 


Dm  iBt  nach  Gleichung  6) 

<«^  6, in^  b  +  i^  sin^  e 

ud 

l  +  -..(„p-6.  = ^^j^ ; 

weil  femer  der  Punkt  n  =  (^i^i)  in  der  Ellipse  1)  liegt,  so  ist  auch 

uid  durch  Einsetzung  dieser  Werthe  entsteht  aus  der  obigen  Gleichung 

tng  b  cos  a  {tn^  b  —  yy^  sin*  e) 
cos  Tj  •=  —  . 

ytn^b — yi*sin*eytn^b+f^siH*e 

Denkt  man  sich  nun,  dass  der  Punkt  n  mit  dem  Punkte  m  =  (jcy)  zusam- 

aenfUlty  also  der  Bogen  Tj  in  den  Halbmesser  ^i  übergeht,  so  erhält  man 

ila  basondem  Fall  der  vorstehenden  Gleichung 

cos  Qt  =ing  b  cosaj/     \  ,    , — ,    .  ,       • 

und  durch  Verbindung  dieser  Werthe 

cos  r,  tng^  b  —  yy,  sin*  e 

cos  9,       }/ln{^  b  —  y,*  sin*  e  j/tn^  b  —  t^  sin*  e 

Um  die  Umformung  dieses  Ausdruckes  in  ähnlicher  Weise  wie  oben  im 

5.  7  durchfiihren  zu  können ,  setze  ich  zunächst  die  imaginäre  Halbachse 

der  Hjperbel  2) 

nnd  weiter  in  der  Bezeichnung  Gudermann^s  (vergl.  Potenzial -Functionen 
in  Crelle'a  Journal  6.  7.  8  und  9) 

ingbi=/^.Tngßi. 
Nun  ist  nach  dieser  und  den  Gleichungen  6)  zuerst 
«.   /*  y  sine  ^     ^  ^Qb 


ytn^  b  —  y*  sin*  e  "/ing^  b  —  y*  sin*  e 

and  dann  diesen  Werthen  entsprechend  zu  setzen 

y^  sin  e 


^"^^'-T«^' 


\a* 


1 72  Ueber  sphäriBche  Kegelschnitte. 

abo 

«.  Vi  m  e  ^  ingb 


Wenn  man  endlich  diese  Werthe  in  die  obige  Gleichang  cinsetst  und  be- 
achtet, dass  das  Verhältniss  cos  qi  :  cos  ri  der  Cosiims  der  kleinsten  Halb- 
sehne ist,  welche  durch  den  Punkt  n  =  (^j^i)  in  dem  um  P  mit  dem  Halb- 
messer ^1  beschriebenen  Kreise  ATj  gezogen  werden  kann ,  und  diese  Halb- 
sehne mit  t  bezeichnet,  so  ist 

==  Cos  ft  Cos  Tb.  ^  Sin  ß.  Sin  ^f^. 

cost  '^         ^'  '^'        ^* 

Hieraus  folgt  weiter 

Cos  Li  =  Cos  {ßi  —  ^i) 

oder 

39)  X*=  +  (ft— *0- 

Weil  nun  /},  und  tf;|  (abgesehen  von  dem  Factor  ]/ — 1)  die  imaginXren  Halb- 
achsen derHjperbeln  sind,  welche  mit  der  Ellipse  1)  die  Brennpunkte  ge- 
meinsam haben  und  durch  die  Punkte  m^=s{xy)  und  n  =  {x^y^)  gehen,  und^ 
da  ferner  die  eine  dieser  Halbachsen  negativ  ist,  wenn  die  Punkte  m  und  n 
auf  yerschiedenen  Seiten  der  grossen  Achse  liegen,  so  hat  auch  jeder 
äussere  Beriihrungskreis  einer  Ellipse  folgende  Eigenschaft: 

Wird  eine  sphärische  Ellipse  von  einem  Kreise  in  zwei 
gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m 
und  m|  berührt  und  durch  einen  beliebigen  Punkt  n  der  Ellipse 
in  diesem  Kreise  eine  kleinste  Halbsehne  gezogen,  soistdie 
Längenzahl  dieser  Linie  gleich  der  Summe  oder  Differenz 
der  imaginären  Halbachsen  der  Hyperbeln,  welche  mit  der 
Ellipse  confocal  sind  und  sie  in  den  Punkten  iii  und  n  schnei- 
den, je  nachdem  diese  Punkte  auf  verschiedenen  oder  der- 
selben Seite  der  grossen  Achse  liegen. 

Setzt  man  insbesondere  /3  =  0,  also  auch^=:0,  so  vereinfacht  sich 
die  obige  Gleichung  in 

L(='^i  oder  i  =  Z^, 
und  giebt  dann  eine  Eigenschaft  an ,  welche  den  über  der  grossen  Achse 
als  Durchmesser  beschriebenen  Kreis  auszeichnet,  nämlich: 

Die  kleinste  Halbsehne,  welche  durch  einen  beliebigen 
Punkt  einer  Ellipse  in  dem  über  der  grossen  Achse  beschrie- 
benen Kreise  gezogen  werden  kann,  ist  gleich  derLongitudi- 
nalzahl  der  imaginären  Halbachse  der  Hyperbel,  welche 
durch  jenen  Punkt  geht  und  mit  der  Eljipse  confocal  ist. 

Lässt  man -zweitens  den  Punkt  n=(ar|^|)  in  einen  Scheitel  der  grossen 
Achse  fallen ,  so  wird  ^i  =  0  also  auch  tf/j  =  0 ,  folglich  ist 


Von  Dr.  Heilermann.  173 


d. L:  Zieht  man  in  einem  Kreise,  welcher  eine  Ellipse  in  zwei 
gegen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  he- 
rflhrt,  eine  kleinste  Halbsehne  durch  einen  Scheitel  der 
grossen  Aehse»  so  ist  die  Längenzahl  dieser  Linie  gleich  der 
imtginftren  Halbachse  der  Hyperbel,  welche  mit  der  Ellipse 
eonfocal  ist  und  durch  jene  symmetrischen  Punkte  geht 

Ich  setze  jetzt  voraus,  dass  die  Ellipse  1)  von  zwei  Kreisen  in  je  zwei 
{«gen  die  kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  «t,  m^  und  p,  p^ 
berfihrt  and  die  imaginären  Halbachsen  der  Hyperbeln,  welche  mit  der 
Ellipse  eonfocal  sind  und  durch  die  Punkte  m  und  p  gehen ,  mit  ßi  }/—  1 
md  ß^  y —  1  bezeichnet  werden ,  und  ziehe  dann  cturch  einen  beliebigen 
Punkt  n  der  Ellipse  in  diesen  Kreisen  die  kleinsten  Halbsehnen  /  und  i^, 
Nuh  der  Gleichung  30)  ist 

^'=  ±  0J|— *i)  uad  Lt,  =  +  (A-*|), 
folglich 

40)  X/±X/|=  +  OJ,+Ä). 

Hierdurch  ist  entsprechend  dem  Satze  32)  für  die  sphärischen  Kegel- 
sehnitte  folgende  Eigenschaft  nachgewiesen : 

Zieht  man  durch  einen  beliebigen  Punkt  n  einer  Ellipse 
in  zwei  Kreisen,  welche  dieselbe  in  je  zwei  gegen  die  kleine 
Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m,  m^  undp,  pj  berüh- 
rOB,  die  kleinsten  Halbsehnen,  so  ist  die  Summe  oder  Diffe- 
renz der  Längenzahle'n  dieser  Bogen  constant,  je  nachdem 
der  Punkt  n  zwischen  den  Hauptbogen  mm^  undppi  liegt  oder 
nicht. 

§.  11. 

Nach  dem  vorhergehenden  S  ist 

8inLtz=  +  Sm  (/5|— ^t)  =  +  Cos  /J,  Cos  ^j  {Tng ß^  —  Tng  v,) 

oder 

,   Coi  ft  Cos  ^1  sin  e  ,  . 

Wenn  dazu  auf  den  Hauptbogen ,  in  welchem  die  beiden  Berührungspunkte 
des  Kreises  if| ,  nämlich  m  =  {x^y)  und  m^  =s  (x^y)  liegen,  von  dem  Punkte 
«=:=  (x,y,)  eine  Senkrechte  s  gefällt  wird,  so  ist  diese  nach  S.  13  der  analy- 
tischen Bphftrik  durch  die  Gleichung 

y  — ft  _^cosaCos^t    , 

beitimmt.     Durch  die  Verbindung  dieser  Gleichungen  entsteht 

tngj  _  siheCosß,  j/f -^ 

sins       tng  h  cos  a  ^  ' 

oder  weil 

. =  -f—  und  Cos  ft  ^  "  > 

ingb  cosa      sin  b  '^        ylnf  h  —  i^  sin*  e 


174  Ucber  Bphärische  Kegelschnitte. 

sins      cosbr    in^  b  —  y*  sin*  e' 
Da  in  dieser  Gleichung  die  rechte  Seite  von  der  Lage  des  Punktes  «  =  (dPiyt) 
unabhängig  ist,  so  ergiebt  sich  daraus  für  die  sphärischen  Ellipsen  folgen- 
der Satz : 

Wird  eine  Ellipse  von  einem  Kreise  in  zwei  gegen  die 
kleine  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  m  und  m^  be- 
rührt, durch  einen  beliebigen  Punkt  derselben  in  diesem 
Kreise  eine  kleinste  Halbsehne  gezogen  und  von  demselben 
Punkte  auf  den  Hauptbogen,  in  welchem  die  Berührungs- 
punkte m,  f»!  liegen,  eine  Senkrechte  gefällt,  so  steht  die 
Tangente  der  Halbsehne  zu  dem  Sinus  dieser  Senkrechten  in 
einem  constanten  Verhältnisse. 

Auch  dies  Verhältniss  ist  von  dem  Halbmesser  des  doppelt  berühren- 
den Kreises  abhängig,  und  .der  Zusammenhang  tritt  deutlich  hervor,  wenn 
man  die  Grösse  y  mittels  des  im  $.  0  angegebenen  Werthes  aus  der  Glei- 
chung 41)  eliminirt.     Dadurch  erhält  man : 

ifigi  _tnge    j/^   l  ^''^  <' ~  ^''^  "^ .  fan«  6 
sin  s       sin  h'  f  tng'  a  —  in^  b 

und  hiemach  ist  das  Verhältniss  tng  l :  sin  s  desto  grösser ,  je  grösser  der 
doppelt  berührende  Kreis  ist.  Es  erreicht  sein  Minimum,  wenn  ^i  am 
kleinsten  oder 

und  zwar  ist  unter  dieser  Voraussetzung 

tng  i Ing  e 

sin  s       sin  b ' 
Desgleichen  ist  für  die  beiden  Kreise ,  welche  die  Ellipse  1)  in  einem  Sehei- 
tel der  kleinen  Achse  doppelt  berühren ,  oder  wenn 

gesetzt  wird, 

ing  t tnge       1 

sin  s       sin  b  '  cos  a  * 
Wenn  endlich  der  doppelt  berührende  Kreis  in  einen  Hauptkreis  übergeht, 
so  wird  die  kleinste  Halbsehne  i=^^7t  und  das  Verhältniss  tng  i:  sins  nach 
der  vorstehenden  Gleichung  unendlich.     Je  nachdem  nun 

ing^  a 

oder 

tn^  a 

Ist  auch 


Von  Dr.  Heilermann.  175 


inge       ingj^  ing  e 

sin  b       sin  s        sin  b  cos a^ 


oder 


sin  b  cos  a       sins 


§.  12. 

In  dem  Buletzt  erwähnten  besonderen  Falle,  wo  der  Halbmesser  ^|  des 
doppelt  berührenden  Kreises  ein  Quadrant  ist,  verlieren  sowohl  die  Resnl- 
Ute  des  letzten  S,  als  auch  die  des  vorhergehenden  ihre  Bedentang,  indem 
■ehrere  darin  vorkommenden  Grössen  unendlich  werden.  Dennoch  sind 
die  beiden  Hauptkreise ,  welche  die  Ellipse  1)  in  zwei  imaginären  Punkten 
berühren,  von  besonderem  Interesse.  Bezeichnet  man  die  Mittelpunkte 
derselben  mit  G  und  G^  und  die  gleiche  Entfernung  beider  vom  Mittelpunkte 
C  der  Ellipse  mit  y ,  so  ist  nach  S.  9 

sin  e 

folglich 

jox  ^inb       cos  (In — 6) 

42)  cos  y  =  -: —  =  —  ->? { , 

'  '        stna      cos{\n  —  a) 

ond  hiemach  sind   die  Punkte   G  und  G^   die  Brennpunkte  des  Kegel < 

lehnitteB  26). 

Werden  also  um  die  Brennpunkte  eines  Kegelschnittes 
Hanptkreise  beschrieben,  so  berühren  diese  den  reciproken 
Kegelschnitt  in  je  zwei  imaginären  Punkten. 

Mit  Hilfe  dieses  Satzes  kann  n\ian  nun  jeder  Eigenschaft,  welche  sich 
auf  die  Brennpunkte  eines  sphärischen  Kegelschnittes  bezieht,  sogleich 
eine  andere,  in  welcher  die  denselben  doppelt  berührenden  Hauptkreise 
Torkommen ,  gegenüber  stellen.  Ich  glaube  jedoch  ein  näheres  Eingehen 
•if  diese  Eigenschaften  dem  Leser  überlassen  zu  müssen,  um  so  mehr,  da 
die  wichtigsten  schon  vor  längerer  Zeit  (im  zweiten  Bande  des  Crelle*schen 
Journals)  von  Gudermann  ausgesprochen  nnd  in  seiner  analytischen  Sphä- 
rik  S.  85  nnd  86  entwickelt  und  von  Herrn  Chasles  in  der  Geometrie  superieure 
C.  M  reproducirt  worden  sind.  Dem  letzteren  verdankt  man  den  Nachweis, 
dass  die  Hauptkreise  um  die  Mittelpunkte  G  und  Gi  die  Stellung  der  beiden 
Ebenen  -  Scharen  angeben,  welche  den  Kegel,  dessen  Spitze  im  Mittel- 
punkte der  Kugel  liegt  und  dessen  Mantel  die  Kugelfläche  in  der  Ellipse  1) 
durchdringt,  in  Kreisen  schneiden,  oder  dass  die  Punkte  G  und  G^  für  den 
durch  die  Ellipse  1)  dargestellten  Kegel  die  Kreisschnittspolo  sind. 

Aber  die  Grenzformen  der  doppelt  berührenden  Kreise,  d.  h.  die 
Brennpunkte  und  die  doppelt  berührenden  Hauptkreise ,  stehen  nicht  allein 
in  den  Kegelschnitten  1)  und  26)  in  dem  Zusammenhange  der  Reciprocität; 
diese  zeigt  sich  vielmehr  ganz  allgemein.     Wird  die  EWVf«^  V^  nv^u  ^^«\sl 


1 76  Uebor  sphärische  Kegelschnitte. 

Kreise  in  zwei  gegen  die  |  |[g"® }  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten 
berührt,  so  wird  auch  die  reciproke  Ellipse  26)  von  dem  reciproken  Kreise 
in  zwei  gegen  die  |     "J^^  |  Achse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt. 

Auch  dieser  Zusammenhang  giebt  nun  wieder  Gelegenheit  dazu ,  die 
in  dem  Vorhergehenden  entwickelten  Eigenschaften  der  doppelt  berühren- 
den Kreise  zu  verdoppeln;  doch  auch  diese  Vervollständigung  mag  dem 
Leser  überlassen  bleiben.  Nur  eine  Eigenschaft  der  Kreisschnittspole 
G  und  ^1  will  ich  hier  noch  hinzufügen. 

Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  n  =  (2?,^,)  des  Kegelschnittea  i) 
mit  den  Brennpunkten  G  und  Gi  des  reciproken  Kegelschnittes  26)  j  so  ist 

.  sin  e 

cosnG  zss 


und  hieraus  ergiebt  sich  durch  einige  Umformungen  * 
^^.^r      ^^^    ,/<;iflf  b+yt  sin  e 

cos  n  6r  = .  ^ ; 

inga    ¥    tngb  —  y, , 


>  sm  e 


Ebenso  ist 


folglich 


^        sm  b    ^/tng  b  —  y^stne 

cosnG,  = .  y  — ^  ^    .         . — , 

inga    r    tngb  +  yiStne 

sin*  b 

cosnG , coinGi  =      ,    ; 
tng^  a 

oder:  Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  eines  Kegel- 
schnittes mit  den  Brennpunkten  des  reciproken  Kegelschnit- 
tes, so  ist  das  Produkt  aus  den  Cosinus  dieser  Verbindungs- 
linien constant. 

Auch  das  Verhältniss  dieser  Cosinus  nimmt  eine  einfache  Form  an, 
denn  es  ist 

cosnG  tng  b  +  y,  sin  e 

cos nGi       tngb  —  y,  sin  e 


und  da 


so  ist 


oder 


stn  e  ^ 

cosnG  l  +  Tng  t^, Cos  t^,  +  Sin  ^, 

cos  nGi       1  —  Tng  ^        Cos  tf/j  —  Sin  ^, 


...  cosnG  2^ 

44)  —=e^, 

^  cos  n  Gl 

wo  6,  wie  gewöhnlich,  die  Basis  des  natürlichen  Logarithmensystems  und 

27\f    die    imaginäre  Achse   der  coufocalen  Hyperbel,   welche  durch  den 

Punkt  (^1  yi)  geht,  bezeichnet. 


Von  Dr.  Heilermann.  177 


^M^M^^l^^^^^^^^H^^^^i^^^^^^b^^S^fc^ 


§.  13. 

Der  Kegelschnitt  1),  welcher  bisher  als  sphärische  Ellipse  den  Gegen- 
itand  der  Untersuchung  bildete,  erscheint  als  sphärische  Hyperbel,  wenn 
man  sich  auf  die  Punkte  beschränkt ,  welche  in  einer  Halbkugelfläche  um 
den  Mittelpunkt  D  oder  E  (Fig.  2  Taf.  IV)  liegen.  Bei  dieser  Auffassung 
giebt  es  dann  ausser  den  beiden  Ki-eisscharen ,  welche  den  Kegelschnitt  1) 
in  iwei  gegen  die  grosse  oder  kleine  reale  Achse  symmetrbch  gelegenen 
Punkten  berühren,  noch  eine  dritte  Schar  von  doppelt  berührenden  Krei- 
MQ  und  jeder  von  diesen  berührt  denselben  in  zwei  Punkten,  welche  gegen 
die  dritte  Achse  DE  symmetrisch  liegen.  Beschreibt  man  z.  B.  um  den 
Punkt  R^  wo  die  Normale  des  Punktos  m^={xy)  in  die  dritte  Achse  ein- 
«clineidet,  mit  dem  Halbmesser  mR  einen  Kreis  A',,  so  berührt  dieser  den 
Kegelschnitt  1)  in  dem  Punkte  m  =  {xy)  und  in  einem  Punkte  tn^ ,  welcher 
mit  m  gegen  diese  Achse  symmetrisch  liegt. 

Der  Halbmesser  ^t  dieses  Kreises  ist  nach  S.  2  durch  die  Gleichung 

45)  tngf^. '^'^ 


ing  a  tng  b 

in  bestimmen.  Durch  Anwendung  dieses  Werthes  erhält  man  für  die  Halb- 
achsen des  confocalen  Kegelschnittes  2)  und  für  die  Coordinaten  des  Punk- 
tes, wo  dieser  den  ursprünglichen  Kegelschnitt  schneidet,  folgende  Aus- 
drflcke : 

^^'^^'^''-Vi  +  tng'atng'ötng'^,^  "^'"='^'-V l+tng'aingH  ,n^,,> 


^  tng  er    i-^tna^atnc^btru^o^^  ^      ^  sin  er    1  +  tng^atng^b 


—  1 


tng  er    i+tng^atn^btn^Q^  ^  sin  er    l-^-tn^atn^bin^q^ 

Um  nun  auch  den  Bogen ,  welcher  durch  den  Mittelpunkt  Ä  des  dop- 
pelt berührenden  Kreises  K^  auf  der  Achse  DE  begrenzt  wird,  auszu- 
drücken, denke  ich  mir  von  einem  beliebigen  Punkte  {uv)  auf  die  Achse 
CD  eine  Senkrechte  /  gefällt,  und  setze  nach  S.13  der  analytischen  Sphärik 

V  V 

Wenn  aber  der  Punkt  [uv)  in  der  Achse  DE  liegt,   so  ist  ti  =  rw  und 

f  =  <x>,  mithin  geht  ing  l  in  den  Grenzwerth  von  -  über.    Hier  soll  nun  R 

der  Punkt  (uv)  sein,  und  für  diesen  ergiebt  sich  nach  der  Gleichung  8)  in 
f.  2  an  der  Ghrenze,  wo  v  und  u  unendlich  sind,  der  Werth 

V  ysin^a 
u       xsnfb^ 

mithin  ist 

/in^atnfg^—\ 


46)  tngDR  =  co$e.yY 


•tn^blti^g^ 

In  danelben  Weise  erhält  man  für  den  Bogen  />/,  welcher  durch  den  Haupt- 
kreis  Cm,  oder 


178  Ueber  spb&riscbe  Kegelschnitte. 

«-1  =  0 

X      y 

auf  der  Achse  DE  abgeschnitten  wird ,  die  Gleichung 

47)  tnaDJ—     '"^^      ^tnfatn^Qt  —  l 
'  ^  in^acose'r    1  —  tn^htn^^^' 

Durch  die  Yerbindang  dieser  Werthe  entsteht 

Setzt  man  nun  noch 

80  ist 

48)  tngDB  .ing  DJ=^  tng^  c, ; 

dazu  ist  nach  S.  76  der  analytischen  Sphärik  C|  die  kleine  reale  Halbachse 
des  Kegelschnittes  2)  bezogen  anf  die  Coordinatenachsen  D C und  DE,  Mit- 
hin haben  anch  diese  doppelt  berührenden  Kreise ,  deren  Mittelpunkte  in 
der  dritten  Achse  liegen,  folgende  Eigenschaft: 

Der  Mittelpunkt  eines  Kreises,  welcher  einen  sphäri- 
schen Kegelschnitt  in  zwei  gegen  die  imaginäre  Achse  sym- 
metrisch gelegenen  Punkten  berührt,  ist  in  Bezug  auf  den 
confocalen  Kegelschnitt,  welcher  durch  die  Berührungs- 
punkte geht,  der  Pol  des  Hauptkreises,  in  welchem  die  Be- 
rührungspunkte liegen. 

Aus  dem  oben  für  tngDR  entwickelten  Werthe  erkennt  man  ferner, 
dass  von  dem  kleinsten  Ejreise ,  welcher  den  Kegelschnitt  1)  in  zwei  gegen 
die  imaginäre  A^bse  symmetrisch  gelegenen  Punkten  berührt ,  der  Halb- 
messer 

Zugleich  ist  dann 

a,  =  e,  *,  =  0,  a;=  +  /«^a,  y  =  0 

Z>Ä  =  0,  2>/=0; 

der  confocale  Kegelschnitt  2)  besteht  also  aus  den  beiden  Brennpunkten 

des  ursprünglichen,  der  Mittelpunkt  des  berührenden  Kreises  ist  D  un^der 

eine  Berührungspunkt  desselben  der  Scheitel  A. 

Vor  dem  grösäten  doppelt  berührenden  Krebe  dagegen  ist  der  Halb- 
messer q^=z^n  —  6, 
mithin 

flj  ==  0,  tng  6j  z=^sme.  }/^^\  ,  x  =  0,y=  +  tngb 

Hiernach  fallt  der  confocale  Kegelschnitt  2)  unter  dieser  Voraussetzung 
mit  den  imaginären  Brennpunkten  des  Kegelschnittes  1)  zusammen,  der 
Mittelpunkt  des  berührenden  Kreises  ist  E  und  der  Scheitel  B  der  eine  Be- 
rähraDgspünkt 


Von  Dr.  Heilbkmann.  179 


Wenn  nun 

|ä  — ö<^l<J«  — ft, 
80  findet  zwischen  dem  berührenden  Kreise  Ar,  nnd  dem  Kegelschnitt  1) 
eine  Berührung  in  zwei  realen  Punkten  statt;  wenn  dagegen 

^1  •<  4»  —  <*  öd^r  ^3  >  i^s  —  6, 
80  werden  die  Berührungspunkte  und  auch  der  Mittelpunkt  des  doppelt  be- 
rührenden Kreises  imaginär. 

Jeder  Punkt  des  Hauptkreises  DE  kann  als  Mittelpunkt  eines  doppelt 
berührenden  Kreises  angesehen  werden,  während  in  der  grossen  Achse  des 
Kegelschnittes  1)  der  Mittelpunkt  des  doppelt  berührenden  Kreises  sich 
Dor  um  die  Excentricität  des  Kegelschnittes  1)  und  in  der  kleinen  Achse 
nur  um  die  Excentricität  des  reciproken  Kegelschnittes  26)  von  dem  Mittel- 
punkte entfernen  kann. 

§.14. 

Verbindet  man  einen  beliebigen  Punkt  n==(a:,^,)  des  Kegelschnittes  1) 
mit  dem  Punkte  Rzzu^uv)  durch  den  Hauptbogen  nR  =  r^^  so  ist 

^.o^  1  +  ^^i  +  ^yi 

cos  r,  =     .  —  r  . 

Wenn  aber  der  Punkt  R  in  der  dritten  Achse  J)£  liegt,  so  ist  ii  =  rw  und 
»  =  rw,  mithin 

.  t^ 


yi+t^+t^ 


/•4 


Ausserdem  ist  aber  R  auch  ein  Punkt  der  Normale  8)  und  daher  zunächst 

V y  «Ml*  a 

u       X  sin*  b ' 
also 

1  +  uXi  +  0^1 xx^  sin*  b  +yyt  *»'**« 

yi  +  u*+v^        yx'sin^b  +  ^  sin*  a' 
Wenn  man  noch  hinzunimmt,  dass 

1   IxM  y'       ^i'sfnH  +  y*sin*a 
1+^1  +yi—        sin* a  sin* b 
so  entsteht 

sin  a  sin  b  (arx,  sin*  fc  +  y  yj  sin*  d) 


cos  r, : 


yx^  sin*  b  +  y^  sin*  a  y^  «ri*6  +  y*  sin^a 
In  dem  speciellen  Falle ,  wo  der  Punkt  ii= (or,  ^i)  mit  dem  Punkte  m:=z{xy) 
lusammenflillt ,  geht  der  Bogen  r,  in  den  Halbmesser  ^,  des  doppelt  berüh- 
renden Kreises  £f  über  und  für  cos  q^  entsteht  die  Qleichung 

.    1.    ^/a^sin*b  + i^sin*a 
cos 0,  =  sm a  stnb.y  -,--4  u  t  \     r- • 


180  Ueber  Bphärische  Kegelschnitte. 


M^^VW^^>^W^^^^>^»*^^^^^^^^'<^^>^»^^»>^^>^i^»^W^»^i<^'N^^>»S^*^»S^^^i^^^i^^i^^^^<^^^l^^^^^» 


Hiernach  ist  nun 

cos  r,      xXi  Bm^h-^yy^sh^a 


dazu  ist  aber  nach  dem  vorhergehenden  S  für  die  kleine  reale  Halbaehse  r, 
des  Kegelschnittes  2) 

^^^  _y9ma 
9  stno 
folglich  auch 

ysina  xsinb 

SUl  Cf  =  - ,   €08  Cj  = 


COSt: — , 


Nach  Analogie  dieser  Ausdrücke  setse  man 

^^'^^^iluTb^ 

tf  1  sin  a                                           x^sinb 
smi^^=.  *'  -,  C05X|=— ^ 

^a:/  5iii"  6  +  yi*  *m*a  ^a:/  m*  b  +  jf  ,*  *m"  a 

indem  man  die  kleine  reale  Halbachse  des  Kegelschnittes,  welcher  mit  dem 
Kegelschnitte  i)  confocal  ist  und  durch  den  Punkt  n  ^  (^i^i)  geht,  mit  Xi 
beseichnet. 

Wenn  man  nun  noch  von  dem  Punkte  it =(0:1^1)  an  den  Kreis  K^  eine 
Berührende  i  sieht  und  beachtet,  dass 

cos  r, 

cos  Qf  ' 

und  die  vorstehenden  Werthe  in  die  obige  Gleichung  einsetzt,  so  erhält  man 

cos  t  =  cos  C|  cos  %x  +  sin  Ci  sin%if 
oder 

49)  <  =  ±(c.-Z.). 

Diese  Gleichung  zeigt ,  dass  auch  in  Bezug  auf  die  dritte  Schar  von  dop- 
pelt berührenden  Elreisen  die  sphärischen  Kegelschnitte  dieselben  Eigen- 
schaflten  haben,  welche  im  S.  7  für  die  erste  Schar  aus  den  Gleichungen  31) 
und  32)  sich  ergaben,  und  es  mag  deshalb  hier  genügen,  auf  die  dort  aus- 
gesprochenen Sätze  zu  verweisen. 

§.  15. 
Es  ist  noch  übrig,  auch  für  die  doppelt  einen  Kegelschnitt  berühren- 
den Kreise,  deren  Mittelpunkte  in  der  dritten  Achse  liegen,  die  Eigen- 
schaften zu  ermitteln ,  welche  den  im  S.  8  und  II  entwickelten  Sätzen  ent- 
sprechen. 

Nach  dem  vorigen  S.  ist 

sint=  J^  (5in  C|  cos  Xi  —  cos  C|  sin  %i) 
, (gjy  —  :ry,)  «in  a  sin  b 


'  /a:,*  sin*  b  +  y,«  sin*  a  y sF  sin*  b  +  t^  sin*  a 
Wird  nun  von  dem  Punkte  n  =  (a:iyi)  auf  den  Hauptbogen  Cm,  dessen 
OIcichuDg 


Von  Dr.  Hbilermann.  181 


ist,  eine  Senkrechte  s  gefüllt,  so  ist  nach  der  schon  mehrmals  benatsten 
Fonnel  ^ 


sm  f  =  +  -- _ 


«ly  — ary, 


,  (xi  y  —  xy^)  sin  a  sin  b) 

~  /a?j*  sin*  h  +  yf  sin*'ä  >^i*+p' 
Durch  die  Vergleichnng  dieser  Werthe  von  sin  t  and  sin  s  entsteht  sogleich 

50^  ^^^7/         ^  +  ^ 

'  sins      r    J^ sin^b  +  i^sifi^a* 

Auch  hier  ist  wieder  das  Verhftitniss  sin i:  sins  von  der  Lage  des  Punktes 
ii=(x,y,)  unabhängig  eben  so,  wie  es  die  Gleichungen  33)  und  41)  für  die 
Kreise  der  beiden  ersten  Scharen  angeben  y  und  abhängig  von  der  Lage 
dei  Berührungspunktes  des  doppelt  berührenden  Kreises  oder  seines  Halb- 
messers. 

Um  diesen  Zusammenhang  deutlicher  su  erkennen ,  setze  man  in  die 
Torstahende  Gleichung  für  x  und  y  die  im  vorigen  S.  angegebenen  Werthe 
eia.    Dadurch  entsteht 


-:— :=i/l  +cot*a  +  cot*b  —  tn£^Q^y 
stns      '  9  ^^1 

tod  mithin  ist  das  Verhältniss  sin  i: sins  desto  grösser,  je  kleiner  ^t  i^t. 

Wenn  insbesondere  der  Halbmesser  9,  seinen  grössten  Werth,  d.  i. 
^K-^b  annimmt,  so  ist 

sini 1 

sins      sina^ 
uid  wenn  dagegen  q^  am  kleinsten  oder  gleich  \n — a  ist,  so  erreiclit 
Ml  i :  ftfi  s  sein  Maximum  oder 

sini 1 

sin  s  sin  b' 
Diese  Orenawerthe  und  eben  so  die  allgemeine  Gleichung  aeigen,  dass  für 
alle  doppelt  berührenden  Kreise ,  welche  zu  der  dritten  Schar  gehören ,  die 
Ton  einem  Punkte  des  Kegelschnittes  an  dieselben  gezogene  Berührende 
grösser  ist,  als  die  Entfernung  desselben  Punktes  von  dem  Hauptkreise, 
welcher  durch  die  beiden  Berührungspunkte  geht 


vin. 

IFeber    Magnetismas. 

Von  Gustav  Roch, 

Stad.  inathem.  in  Leipzig. 
(Fortseteimg  tob  Nr.  XIII,  Jahrg.  1850.) 


22.  Einige  der  in  dem  angefahrten  Anfsatze  entwickelten  Gesetse 
gelten ,  wie  auch  schon  angegeben  wurde ,  nicht  anter  allen  Umständen. 
Ist  k  das  Verhftltniss  des  von  den  magnetischen  Strömen  wirklich  nmschles- 
senen  Volamens  zu  dem  ganzen  Volamen,  so  stand  znnfichst  der  Fall  A:=l 
als  Aasnahmefall  da.  Die  Gleichangen  11)  sind  zwar  auch  dann  vermöge 
der  Schlassbemerkang  von  Nr.  21  als  begründet  anzasehen^),'aber  die  fBr 
die  Lösung  der  Bedingnngsgleichang  des  Gleichgewichts  so  nöthige  Glei- 
chung 16)  ist  als  unbegründet  anzusehen.  Wohl  aber  bleiben  wieder  die 
Gleichungen  18)  in  Richtigkeit,  wenn  nicht  in  17)  C=0  angenommen  wird. 
Es  müssen  daher  die  Gleichungen  20)  ihre  Richtigkeit  behalten ,  es  wird 
also  die  Intensität  der  Ströme  constant  sein  im  Verlaufe  jeder  von  den 
Stromebenen  umhüllten  Fläche.     Dann  hat  u  den  Werth 

35)  M=--4wAri,  +  C,  ^  =  1. 

lieber  die  Vertheilung  der  Intensität  aber  ist  gar  keine  Regel  vorläufig 
aufzustellen,  wenn  das  magnetische  Gleichgewicht  eintritt,  welches  C=sO 
macht  in  17)  oder  35).  Ist  nicht  A:  =  1 ,  so  ist  dies  ganz  einflusslos  auf  die 
Lösung  der  Aufgaben.  Da  die  Gleichung  10)  nicht  giltig  ist  für  Ar  =:  i ,  so 
ist  auch  keine  Reihenentwickelung  von  (p  vermöge  der  Formeln  33)  und  34) 
möglich ;  ausserdem  ist  der  Werth  von  0)  dann  zusammengesetzt  aus  einem 
Doppelintegralo  und  einem  dreifachen  Integrale  [s.  8)  und  9)].  Ich  will 
daher  zunächst  eine  andere  Form  für  0)  entwickeln ,  die  unter  allen  Um- 
ständen nur  aus  einem  Doppelintegral  und  zwar  von  äusserst  einfacher 
Form  besteht.     Nach  Nr.  8)  ist 


♦)   Anstatt  der  Worte:  „wenn  nicht  eben  *r=l*«,  in  p.  431,  Zeile  8  v.  o.  Jahrg. 
)859,  23t  zu  lesen :  ,;8elbst  wenn  k  =  V*. 


Ueber  Magnetismus.   Von  Gustav  Roch.  183 

/     gl  dl  dl\ 

Oder 

Sieht  man  nun  die  Coordinaten  x^y^z  als  Functionen  an  von  r  and  den 
Polarwinkeln  ip  und  ^,  so  dass 

X  —  Xi=zrcosq>\  y  —  yi  =  r  «n  ^  C05  ^5  z  —  «i  =  r  m  ^  «m  6^, 
10  lind  die  drei  Grössen 

dx     dy     dz 
dr'    dr'    dr 
identisch  mit  den  im  letzten  Ausdrucke  für  q  vorkommenden  Differential- 
qaotienten 

dr     dr     dr 

di'    dy'   Tz 
Beräcksichtigt  man  nun  Gleichung  11),  so  folgt: 

wo  lfm  das  Volumenelement.  Setzt  man  dm^=r^ sini^ drit d^dr^  so  lässt 
lieh  die  eine  Integration  ausführen  und  man  erhält: 

36)  q^=zk  I  I tpsiniffd^fd^  —  Ankg>i^ 

wo  4P,  der  Werth  von  g>  im  Punkte  x^  y^  z^  ist.  Der  erste  Theil  von  q  kann 
mdglicher weise  ans  mehreren  Gliedern  bestehen;  wenn  nämlich  der  Ra- 
dios r  die  Oberfläche  in  verschiedenen  Punkten  1,2,3..  schneidet,  so 
kommt 

—  I  I  gf^^sinfffd^d^—  j  j  ip^^  sin^  d'i^  d(^ . ,  A 

Ist  der  Punkt  X|  y^  Z|  ein  äusserer  Punkt,  so  ist  ^|  =  0,  und  es  müssen 
eine  gerade  Anzahl  von  Durchschnittspunkten  vorhanden  seiu.  Liegt  der 
Punkt  X|  yi  Z|  in  der  Masse  des  Magneten ,  so  sind  eine  ungerade  Anzahl 
von  Durchschnittspunkten  vorhanden. 

23.  Wäre  die  Theorie  der  Kugelfunctionen  so  weit,  als  es  wohl  wün- 
schenswerth  ist,  erschöpft,  so  müsste  die  Gleichung  36)  am  allereinfachsten 
10  benutzen  sein ,  um  die  Aufgabe  der  Berechnung  der  magnetisehen  Ver- 
theilung  sehr  allgemein  zu  lösen.     Bei  dem  Integrale 

öi=  /  Ifpsin^dil/de 

muss  man  sich  offenbar  9  direct  als  Function  von  ^  und  ^  denken ,  und 
swar  gehen  nur  die  auf  die  Oberfläche  bezüglichen  Yfetl\i^  Vn  di«A%ä>^^  «>:&« 


184  lieber  Magnetismus. 

Diese  Abhängigkeit  aber  wird  je  nach  der  Lage  von  or,  ^,  Z|  eine  gani  ver- 
schiedene  sein  können.  Nehmen  wir  im  Inneren  der  Fläche ,  auf  welche 
sich  Ol  bezieht,  einen  festen  Punkt  0  als  Coordinatenanfang ,  so  schliesse 
Ifi  Pi  mit  den  Achsen  die  Winkel  ^  nnd  d  ein ,  während  ij/  und  d^'  die  Rich- 
tungswinkel von  OP^  sein  mögen.  Man  denke  sich  nun  das  tp  im  Punkte  P| 
als  Function  von  tf;'  nnd  ^'  oder  allgemeiner,  das  9  jedes  Punktes  der  Oher- 
fläche  ausgedrückt  durch  seine  Lage  gegen  0,  so  erlangt  Q^  die  Form 


//' 


9  (*'»  ^')iinflf  d'^d^i 

ist  (p  bekannt,  so  kennt  man  auch  seine  Reihenentwickelung  nach  den 
Laplace^schen  Functionen,  etwa: 

Offenbar  kennt  man  die  Gestalt  der  Oberfläche,  und  es  ist  daher  stets  mög- 
lich ,  ^',  ^'  auszudrücken  durch  t^ ,  ^  und  r| ,  t^, ,  ^, ,  die  Coordinaten  von 
Afj ,  und  setzt  man  dies  in  die  Reihenentwickelung  von  9  (tf;',  ^^,  so  erhielte 
man  q>  als  Function  von  tjß  und  O.  In  das  Integral  Q^  aber  geht  nur  das 
Glied  von  der  Ordnung  0  nach  ^  und  d  ein,  und  es  wäre  daher  die  Auf- 
gabe nun  die ,  dieses  Glied  zu  finden.  Man  hat  aber  für  die  Lösung  dieser 
Aufgabe  noch  keine  Formeln. 

Denkt  man  sich  um  M^  eine  Kugel  mit  dem  Halbmesser  1  beschrieben, 
so  ist  sin  '^  d^ d^  das  Element  derselben.  An  die  ganze  Oberfläche,  die 
durch  die  Theilung  der  Kugel  in  die  gleich  grossen  Elemente  ds  innTheile 
zerfalle.     Offenbar  ist  Q^  identisch  mit 


/' 


^    ffpds       ^     v'  +  q>"  +  <p''' +--+JP^ 
=  4ä^-- =  4« , 


q>ds        _.- 

4» 

wenn  q>\  <p"  . . .  die  Werthe  von  q>  in  den  Oberflächenpunkten  sind ,  denen 
die  verschiedenen  ds  entsprechen.  Es  ist  also  0,  gleich  4»  mal  einem  ge- 
wissen mittleren  Werthe  aller  auf  der  Oberfläche  vorhandenen  g».  — 

24.  Da  es  nicht  möglich  ist,  bis  jetzt  die  Lösung  in  der  in  Nr.  23  an- 
gedeuteten Art  und  Weise  vorzunehmen,  so  muss  der  Ausdruck  36)  auf 
einen  festen  Punkt  als  Coordinatenanfang  transformirt  werden,  und  man 
kann  so  sehr  verschiedene  Formen  für  das  Doppelintegral 

37)  öi=^  /  fq>sin^dipd^ 

erhalten :  Ich  will  diesen  Ausdruck  zunächst  in  rechtwinklige  Coordinaten 
umsetzen  und  dabei  ein  Verfahren  gebrauchen,  was  schon  von  Laplace  in 
seiner  Mecanique  Celeste  angewendet  worden  ist  zur  Transformation  drei- 
facher Integrale.     Setzt  man  —  co«  tf;  =  ^ ,  so  ist 

Ot  =  k  I  jtpdfi d^. 

Es  soll  nun  das  Element  dy  dz  hereinkommen ,  so  kann  man  setaen : 


Von  Gustav  Roch.  185 

Dveh  Einietien  dieses  Werthes  wird  (i  eliininirt  und  es  sind  ^  nnd  y  vor- 
hsnden«    Man  seist  nun 

10  ist  anch  ^  eliminirt ,  man  braucht  nur  f'  und  f  zu  kennen.  Man  trennt 
nnn  aber  (i  und  ^  als  Functionen  von  ^,  z,  indem  x  aus  der  Gleichung  der 
Fliehe  durch  y  und  z  ausgedrückt  erhalten  werden  kann ,  so  dass  der  Aus- 
druck ftir  dd'  schon  die  richtige  Form  hat.     Hingegen  ist 

Hier  ist  -^  nicht  identisch  mit  — ,  da  durch  Einführung  von  ^  in  fi  = 

f{9^^)  noch  andere  y  hereinkommen  können.  Wohl  aber  ist  e/ji«  so  genom- 
men, dass  d^s=sOj  denn  eigentlich  müsste  sein 

''^-Vy^^  +  U'^' 
esislalso 

^^       ^^_.     .  ^^. 

d»  =  —  dy+—  dz  =  0 

oy  dz 

eininfahren ,  woraus  £/z  als  {"unction  von  dy  folgt 

dz 
«od  die«  int  in  d^  einaufUhren: 

da^^dy^^J^^^dy, 

dz 

und  die  gesuchte  Transformation  ist : 


0'=^sfm-m'''- 


In  unserem  Falle  ist: 

z  —  z. 


du  = = :  &  =  Arctan  - 

r  y—yt 

Nach  Ausführung  der  Rechnung  erhält  man : 


I  Ebenso  IiHtte  man  erhslten  können : 


39) 


laitäcäfin  r  MsthemMtik  a.  Phygik,  VI,  3.  Y^ 


186  lieber  Magnetisrnns. 

Diese  drei  Formen  sind  anch  identisch;  wenn  man  bedenkt,  das«  äxdy, 
dzdXy  dydz  die  Projectionen  des  Oberfiächenelementes  auf  die  Coordina* 
tenebenen  sind ,  so  lassen  sie  sich  zusammenziehen  in 

Qi  =  ^JJ^  [(^  -JC»)  dy  rfz  +  (y  -yi)  dzdx  +  {z^  z.ydx  rfy] , 

oder  einfacher  in 


40)  Ol  =  ^ffft  ^^^  (^0  •  ^^' 


Wäre  der  Körper  massiv ,  nnd  3f|  läge  ausserhalb ,  so  würden  die  par- 
tiellen Differentialqnotienten  dieses  £),  die  Componenten  der  Wirkung  sein, 
die  der  Magnet  auf  ein  in  Mi  befindliches  magnetisches  Theilchen  (ob  nord- 
oder  sttdmagnetisch  kann  nicht  ohne  Weiteres  angegeben  werden)  ausflben 
würde.     Eine  ganz  ähnliche  Form  existirt  für  die  gewühnliehe  Masienaa- 

Ziehung.     Das  Potential  ist  dann  -  1  1  cos  {Nr)  dw  und  {Nr)  in  beiden  Fäl- 
len der  Winkel  der  nach  Aussen  gerichteten  Normale  mit  r. 

Man  kann  ans  40)  aber  noch  eine  andere  Form  herleiten*  Bt  ist 
nämlich : 

ai 


oder 


J^ r  (dr^d^      djr^dy^      drdz\ 


+^^+f_i^+lz?± 


dx^dN  '    dy^dN  '    dz^dN' 
Nun  ist  sowohl  q>  unabhängig  von  or, ,  y, ,  z^  als  die  Richtung  der  Normale, 
und  es  ist  daher  erlaubt  zu  schreiben : 

Es  soll  nan  r  mit  R  vertauscht  werden  und  es  mögen  r  und  r,  die  Badien- 
vectoren  der  Oberflftohenpunkte  nnd  Mi  sein.     Dann  ist 

""'"       cos  {Nr)      • 
womit  Qi  übergeht  in 

'  ^    ,    er    t>co${Nx)  l     .       ^     j^ 

Ai\  J       j.  ^    ,    CC   ''cos{Ny)l     .       _.     _,^ 

,     d    ,    /•/•    r^cos{Nt)  1     .        .      .^ 
dzt    JJ       co«(^Nr^    R        ^     ^ 


Von  Gustav  Koch.  187 

Eine  andere ,  aber  bei  Weitem  nicht  so  symmetrische  Form  für  Q^  kann 
man  noch  auf  folgende  Weise  erhalten.     Es  ist : 

[.-»,-(.-x,)|i-(,_,,)|i]i,j, 

d? 

veon  m«n  die  Gleichnng  der  Fläche,  auf  die  sich  P,  bezieht,  schreibt 
Diese  leiste  Form  aber  ist  einfacher : 

r*  stn  Jbd^d^l  1 ■;— r-^ I 

.    .        j     j  ^  /-       r.cos  Nr,  \ 
\  rcosNr/' 

wodurch  Qt  übergeht  in : 

Hat  in  Fignr  3  Taf.  IV  OP  die  durch  i/;  und  d  reprftsentirte  Richtang,  so 
ist  m  allen  den  jetzt  entwickelten  Formen  für  <p  der  dem  Punkte  P  zugehö- 
lige  Werth  einzuführen. 

25.  Wir  haben  bisjetzt  die  Transformation  von  Q^  in  38)  in  der  Weise 
ansgeführt ,  dass  das  Element  der  um  Mi  in  Fig.  3  Taf.  IV  concentrischen 
Kngel  ausgedrückt  wurde  durch  das  Element  der  um  0  concentrischen 
(i.  Nr.  23).  Nimmt  man  0  im  Innern  der  Fläche  an,  so  sind  0,  n  und  0,  2;s 
die  Grenzen  für  ^  und  ^  in  dem  transformirten  Ausdrucke.  Ist  Af,  ein  in- 
nerer Punkt,  so  gelten  dieselben  Grenzen  auch  für  die  Form  38).  Anders 
iit  es,  wenn  Mf  ein  äusserer  Punkt.  Dann  sind  die  Grenzen  in  38)  gegeben 
durch  die  Gestalt  des  von  M^  an  die  Fläche  legbaren  Tangentialkegels. 

Man  kann  nun  den  Ausdruck  38)  sich  auch  auf  eine  andere  Art  trans- 
fonnirt  denken.  Es  sei  OP  (Fig.  3  Taf.  IV)  parallel  mit  M^  P^ ,  die  durch 
t  nnd  ^  gegebene  Bichtung  OPx  habe  die  Richtung  ^'^',  so  ist: 

Qi  =  k  I  I  (p  (^',  ^')  sin  ijf  d^  d^. 

Ffir  den  Fall  eines  inneren  Punktes  sind  0,  n  und  0,  29r  die  Grenzen,  für 
einen  äusseren  sind  sie  wieder  durch  den  Tangentenkegel  gegeben.  Das 
9  (V»0  l^^nn  man  sich  ausgedrückt  denken  durch  9  .  x,  wo  x  ein  bestimm- 
ter, Ton  der  Stellung  Von  M^  und  von  1/;,  ^  abhängiger  Factor 


188  Ueber  Magnetismns. 


.^  i^.^«^>^%^^^N^«^^^^^W 


ft=*//. 


worin  q>  den  Werth  im  Punkte  P  bezeichnet.  Für  einen  inneren  Punkt  M^ 
sind  nun  die  Grenzen  dieses  Integrales  dieselben,. wie  die  der  in  24)  ent- 
wickelten Formen  von  Q^ ,  und  es  wird  daher  für  die  Ausrechnung  des 
Doppelintpgrales  gerechtfertigt  sein,  x  zu  identificiren  mit  dem  Factor  von 
^  sin^  d^d&  einer  dieser  Formen. 

Hierin  liegt  jedoch  noch  eine  Ungenauigkeit.  sin  rff  dilß  d^  ist  nämlich 
das  dem  Oberfiftchenelement  in  P  entsprechende  Element  ds  der  um  0  con- 
centrischen  Kugel,  und  es  muss  daher  dies  ds  noch  mit  einem  Factor  mal- 
tiplicirt  werden,  wodurch  dasselbe  in  das  Element  do^  der  um  M^  concen- 
trischen  Kugel  übergeht,  welches  dem  in  P^  liegenden  Oberflächenelement 

entspricht.    Offenbar  ist  -—*  dieser  Factor,  und  es  ist  derselbe  nur  abhän- 
ds 

gig  von  der  Gestalt  der  Fläche  und  der  Lage  von  ^f,.     Man  erhält  daher 

für  innere  Punkte  ein  richtiges  (),  wenn  man  setzt: 

denn  dann  ist 

9r?x  9c2x 

0  ü  0   0 

wo  X  der  Factor  von  (p  sin  'p  d yjß  d d^  in  einer  der  für  Q  in  Nr.  24  entwickel- 
ten Formen. 

Obgleich  ich  bisjetzt  noch  keine  Anwendung  dieses  Satzes  habe  fin- 
den können  bezüglich  der  Ausführung  der  Integration,  so  habe  ich  ihn 
doch  angeführt,  weil  er  eben  einen  Unterschied  zeigt  zwischen  dem  ft  ^^ 
innere  und  für  äussere  Punkte. 

Einen  ähnlichen  Unterschied  lässt  auch  schon  die  einfache  Form  3B) 
erkennen ;  denn  nur  für  innere  Punkte  gelten  die  in  23)  gegebenen  Bemer- 
kungen ,  da  nur  für  die  Grenzen  0,  n  und  0y2n  die  Formel  gilt 

Vm  .  Zn==Oj  m^  n. 


ff 


26.  Für  Ä:  •=:  I  reduciren  sich  die  drei  Gleichungen  12^)  des  Gleichge* 
wichts  auf 

43)  q+Qi  +  etc. +  Cxi  =  0, 

worin  ö,  +if'c  die  Summe  aller  in  87)  vorkommenden  Glieder  von  der  Form 
wie  0,  bedeuten  soll.  Ich  setze  nur  einen  massiven  Körper  jetzt  voraus, 
so  int  einfacher 

44)  q+Q,  +6'x,=0, 
wo  datin : 

ox^  ^yi  ^-1 


Von  Gustav  Koch.  189 

Dem  durch  diese  Bedingangen  gegebenen  Gleichgewicht  kommt  die 
£%eBthflmliehkeit  an,  dass  die  Intensität  des  Magnetismus  constant  ist  auf 
jeder  T<m  den  Stromebenen  umhüllten  Fläche,  und  zwar  muss  man  su- 
(eben,  dass  dies  Besultat  bedeutend  fester  begründet  ist,  als  die  Formeln 
23)  Ar  den  allgemeineren  Fall  A:  <  1 ,  welche  füif  diesen  Fall  ein  ganz  con- 
ittntes  f  ausdrücken. 

Durch  Benutzung  des  Werthes  41)  für  Qi  kann  die  Gleichung  44)  in 
drei  von  einfacherer  Form  zerlegt  werden,  die  so  symmetrisch  sind,  dass 
nx  eine  von  ilinen  untersucht  zu  werden  braucht. 

Rührt  die  Induction  des  Magnetismus  her  von  magnetischen  Kräften, 
w  kann  dieselbe  stets  ersetzt  werden  durch  eine  von  geschlossenen  elektri- 
lehen  Strömen  herrührende.  Da  jeder  solcher  Strom  in  geschlossene  Ele- 
meatarstrtf me  zerlegt  werden  kann ,  so  wird  ^'  aus  einer  Summe  von  Glie* 
dem  von  der  Form  ^  in  1)  bestehen;  man  kann  dies  auch  verändern  in: 


g=£ 


ai         ai         4n 


wo  »',  1%  a  . .  für  die  inducirenden  Ströme  dieselbe  Bedeutung  haben ,  wie 
r,t,a..  für  Molecnlarströme  des  Magneten.     Diese  Form  kann  man  um- 


wenn  man 


Dacht  Durch  Betrachtung  der  Gleichungen  41)  und  44)  folgt  hieraus ,  dass 
neh  auch  ji  in  einer  ähnlichen  Form  schreiben  lassen  wird : 

ud  es  erhklt  nun  durch  die  Substitution  dieses  Werthes  von  Xi  die  Glei- 
dug  44)  die  sehr  symmetrische  Form : 

Eine  Verwechslung  der  beiden  Bedeutungen  von  N  (als  Normale  und  als 
Glied  Ton  q')  ist  nicht  gut  möglich.  Die  Gleichung  49)  muss  gelten,  welche 
Kiehtang  der  Aohsen  man  auch  voraussetzt.  Denken  wir  uns  diese  Glei- 
chung einmal  ersetzt  durch 


190  Ueber  Magnetismus. 

und  bezeichnen  mit  A,  fA,  v  Grössen,  die  sich  auf  drei  rechtwinklige  Ach- 
sen £ ,  17 ,  2;  genau  in  der  Weise  beziehen ,  ivie  /,  m,  n  auf  r ,  y,  t.  Man  h«t 
nach  den  bekannten  Transformationsformeln  für  rechtwinklige  Coordinaten: 

^m    ,    ,   dm    ,       dm 

Hl        ^Vi        ^ti 


und  es  muss  dies  gleich 


,     ^w  ,  .  a»  ,      dn 

aji  aiy,           afi 

ax         dfA  ^v 

ai,     dfii  at, 


sein.     Dies  ist  offenbar  dann  l  wenn : 

i;  =  c/  +  c^m  +  c^riy 
d.  h.  wenn  die  drei  Orössen  /,  m,  n  so  transformirt  werden  dürfen ,  wie  die 
Xy  y,  z  selbst.  Die  Werthe  Li^  M^,  Ni  und  die  drei  Integrale  in  49)  genügen 
offenbar  dieser  Bedingung,  wie  man  sich  leicht  überzeugt.  Es  müssen  da- 
her auch  die  drei  Werthe  t/| ,  t^i ,  ^1  von  ähnlicher  Form  sein.  Dass  dies 
wirklich  der  Fall  ist,  folgt  noch  aus  einem  anderen  Grunde:  Es  sei  eine 
Gerade  gegeben,  die  mit  den  Achsen  Winkel  einschliesse ,  deren  Cosinus 
üy  hy  c  seien.  Dann  ist  der  Winkel,  den  die  durch  die  Winkel  «i,  /}|,  /,  ge- 
gebene Gerade  mit  dieser  einschliesst : 

oder  wenn  Pi  die  Richtung  dieser  Geraden : 

co$e  =  7r^. 
dp, 

Bezieht  man  jetzt  %,  auf  ein  System  £ ,  17 ,  (  von  Achsen  und  setzt  dann 

du     idv        dw 

so  erhält  man  die  Winkel,  die  die  Gerade  »i  ßi  yt  mit  jeder  dieser  drei 
Achsen  einschliesst,  durch  Differentiation  dieses  Ausdruckes  naoh  diesen 
Achsen;  nach  der  eben  gemachten  Bemerkung  müsste  auch  der  alte  Werth 
von  Xi  nämlich  dieselben  Werthe  liefern ;  es  müsste  also  sein : 
du,       dvt       dw,_du        dv        dw 
dx,'^  dy,  "^  dz,  ~di,  "^aiyi"^ä&"' 
woraus  wie  früher  folgt,  dass  Mj,  »,,  tv,  durch  die  gewöhnlichen  Formeln 
transformirt  werden  dürfen. 

Die  Gleichung  49)  soll  zur  Bestimmung  einer  einzigen  Function  tp  ver- 
wandt  werden]  man  kann  sie  aber  in  drei  zerlegen^  wenn  man  dafür  noch 


Von  Gustav  Roch.  191 


iwei  neue  unbekannte  Functionen  hereinbringt     Wir   zerlegen  also  die 
Gleichung 

dl       dm  dn  _ 

in 

— +  JP(x,y,z)==0;— +  /;(x,y,z)  =  0;— +  F,(ar,y,«)  =  0, 

wobei  nur 

F(s,y,  z)  +  F^  {x,y,z)+Ft  (x,y,  «)  =0 
SB  sein  beruht.     Man  würde  hieraus  finden : 

dx^  aar,       dx^J  J  ^   cos  (Nr)      R        ^     ^ 

und  ebenso  ^  und  ^;  nun  sind  eigentlich  die  Grössen  ti|,  V|,  w^  gar  nicht 
ftlr  uns  lu  wissen  nöthig ,  sondern  es  wird  nur  verlangt 

ati|  ,  a»,     a», 
ä^     äyT     ^ 

sn  kennen ;  dies  wird  sich  aber  nicht  ändern ,  welche  Beschaffenheit  man 
auch  /*,  F|,  /*,  giebt,  da  ja  stets  jP  +  ^t  +  ^i  =  0  ist.  Man  braucht  das- 
Mibe  daher  gar  nicht  sn  berücksichtigen  und  erhftlt  so  die  drei  Glei- 
chungen: 

ä^=''  a];:=^>  äi:='- 

Dias  kann  von  den  Differentialen  befreit  werden,  nämlich: 

/  +  /*(yiiO  =  0;  m+A(z,,arO  =  0;  «  +  A  (*i,  y.)  =  0. 
Nun  folgt  aus  den  anfänglichen  Bemerkungen  in  dieser  Nummer,  dass,  da- 
mit diese  Grössen  für  alle  Achsenrichtungen  identisch  gleich  Null  seien, 
dass  die  drei  Grössen  linker  Hand  durch  die  Coordinatentransformations- 
formein  transformirt  werden  dürfen.     Man  müsste  haben : 

«/(yf.*i)  +  «'/i(«n«i)  +  c/;(a:,,yO  =5^(1?, t) 
«i/^C^M  ^i)  +  *iA  {zt.^i)+cj,  {x,,y,)=f;  (f,  ö 

■nd  dies  ist  allgemein  (d.  h.  für  jedes  System  a^bj  e)  nur  möglich ,  wenn 
fs=zf^s=f^s=:0.  Man  darf  daher  die  Gleichung  40)  in  die  drei  anderen 
lerlegeii: 

50)       U+fß'^Jl^.^sin^ä^ä^  +  Cv.=^0 


^*+fß-c 


COS  {Nr) 
cos  (Nz)    1    .        ,     j«  ,   /, 


cos  {Nr)    ••« 

Aus  diesen  drei  Gleichungen  kann  man  M|,  9i,  iV|  berechnen,  ausgedrückt 
dareh  L^^  ifj ,  iV,  und  9 ,  und  es  ist  dann  9  so  einauvichten  ^  datta 


t92  Ueber  Magnetismus. 

dXi      di/i        d^i 
den  Bedingungen  genügt,  denen  es  vermöge  seines  Zusammenhanges  mit 
q)  genügen  muss. 

Es  müssen  aber  auch  diese  drei  Gleichungen  vollkommen  ausreichen 
zur  Bestimmung  von  cpi  >  t'i  i  Vf «  m^i  ,  denn  von  Xi  kennt  man  schon  die  Be- 
dingung, dass  «1  doi  +  ßi  dßi  +  /,  dyt  =  0.  Ist  tp  gegeben,  so  sind  daher, 
obgleich  C  willkürlich  ist  im  Allgemeinen ,  dennoch  tii ,  Tj  ,  tVi  eindeutig  be- 
stimmt. Man  kann  also  aus  den  drei  Gleichungen  50)  tp  und  %  bestimmen; 
diese  müssen  dann  noch  so  beschaffen  sein,  dass  ihre  partiellen  Differenz 
tialquotienten  einander  proportional  sind ,  und  q>  muss  ausserdem  noch  der 
Gleichung  20)  genügen. 

Anders  ist  der  Fall  zu  behandeln ,  dass  C  =  0 ;  dann  dttrfen  die  will* 
kürlichen  Functionen  F^  /*j,  F,  nicht  wegfallen,  sondern  man  mfisste  schrei- 
ben, etwa: 

p-^f    p_»A    p_»A 

^-d^r  ^-'d^'  *~drr 

vrodnrcli  die  Gleidrangen  ttbergingen  in : 

«r  _L   rr    r»  cos  (iVz)l     .       ^      .^  ,  ,  ,  .       ^ 

*  "^  J  J  ''' ~7oViNr)   R  **"'"    "^       ^  ^'  ^'^' » y« '*')'=  **' 
wocQ  noch  kommt: 

lL  +  ^jL  +  ^Ji.^0 
dxi      dyi       dzg  ' 


aus  welchen  vier  Gleichungen  9> )  A  /i  i  A  ^^  bestimmen  sind. 

27.  Ich  will  diese  Formeln  nun  einmal  anwenden  auf  die  Berechnung 
der  Vertheilung  in  einer  Kugel  und  dann  andeuten,  wie  dieselbe  ausge- 
geführt  werden  könnte  bei  beliebigen  anderen  Flächen.  Dabei  wird  sich 
ergeben,  dass  die  Formel  20)  nicht  dienen  kann,  um  die  Bichtigkeit  der 
Theorie  zu  prüfen,  sondern  dass  dieselbe  nothwendig  ist,  um  überhaupt 
die  Lösung  vollständig  zu  machen.  Es  wird  sich  zeigen,  dass  man,  um 
diese, Lösung  zu  finden,  gar  nicht  nöthig  hat,  die  Gleichung  für  das  magne- 
tische Gleichgewicht  in  drei  zu  zerlegen. 

Es  sollen  zunächst  die  Gleichungen  angewendet  werden  auf  eine  mas- 
sive Kugel ;  in  ganz  analoger  Weise  wird  man ,  wie  gezeigt  werden  soll, 
auch  bei  Kugeln  mit  concentrischar  Hölung  verfahren.  Es  sei  o  der  Radius 
der  Kugel,  r|,  t/;,  ^  die  Polarcoordmaten  des  Punktes,  für  den  die  Gleich- 
gewichtsbedingungen aufgestellt  werden,  und  r,  ^,  ^,  also  a,  ip,  d  die  eines 
beliebigen  Oberflächenpunktes.     Dann  ist,  da  stets  r|  <a: 


Von  OusTAV  Roch.  193 


c»i{!(r)  =  1,  eo$  (^Nx)  =  cos  ip,  cos  {Ny)  =  sin  ^  cos^y  cns  (iVt)  =  sin  ^  sin  ^. 
Es  mass  darauf  aufmerksam  gemacht  werden,  dass  Functionen  Von 
'(1^1)  2|,  die  der  Gleichung 

^nfigen,  sicli  in  Reihen  entwickeln  lassen,  deren  Coefficienten  der  Diffe- 
rentialgleichung der  Kugelfanctionen  genügen ,  G^  und  H^^  von  der  Form 

D«r  Beweis  dafür,  den  Poisson  lieferte  und  der  ganz  einfach  auf  der  Um- 
MliiiDg  der  Gleichung  d)  in  Polarcoordinaten  heruht,  befindet  sich  in  Nr.  10 
p.  428  des  rorigen  Jahrganges.  Bei  uns  sind  Xt  nnd  q  solche  P^nnctionen, 
und  zwar  müssen  bei  einer  massiven  Kugel  alle  Hn  verschwinden ,  indem 
tonst  diese  Grössen  und  ihre  Differentialquotienten  erst  recht  im  Kugel- 
mittelpunkte  (denselben  als  Anfang  genommen)  unendlich  werden  müssten. 
29.  Für  eine  massive  Kugel  geht  die  Gleichung  40)  über  in : 

^  I  X,  +  fl*  /Y  q>  cos  ^  2"^^^^  sin  'ti;d^d&  +  Cu,  \ 
- —  \Mi  +  a*  I  I  <p  simif  cos  ^  £y-^-~]  sirnj;  rft^  dd  +  C»,  | 
+  ^  j-AT,  +  ö'  /  /  g>  sin  ^  sin  ^  £  [pl^i)  «^'^  ^^  d^  +  Cw,  | 


53) 


Die  drei  Integrale  können  entwickelt  werden ,  wenn  man  sich  die  q)  cos  ^, 
9M^cos^y  (f  sin  ^  sin  ^,  die  sich  ja  nur  auf  die  Oberfläche  beziehen ,  in 
Dich  den  Gesetzen  der  Kugelfunctionen  fortschreitende  Reihen  verwandelt. 
Ans  demselben  Grunde,  wie  der  Ende  der  vorigen  Nummer  angegebene, 
mofs  68  auch  erlaubt  sein ,  Z| ,  ilfj ,  iV,  in  Reihen  zu  entwickeln ,  in  denen 
!•  B.  das  allgemeine  Glied  der  ersten  ist : 

wobei  ea  jetzt  gani  gleichgültig  ist,  ob  die  Z/") . . .  der  Differentialglei- 
ehnng  der  Kugelfunctionen  genügen  oder  nicht.  Ebenso  mögen  t'i ,  t^i ,  Wg 
in  Reihen  entwickelt  werden,  deren  allgemeine  Glieder 

^/"^n",  ^/">r,",  ffV"^r," 
•ein  mögen. 

Man  kann  so  die  Gleichung  3)  in  unendlich  viele  zerlegen,  indem  man 
die  mit  verschiedenen  Potenzea  von  r^  behafteten  Glieder  einzeln  gleich 
Null  seist.  Wir  werden  später  bei  Ausführung  der  Differentiationen  sehen, 
dsM  diet  darauf  hinauskommt,  für  /t  zs  0,  ;k  :^  1 . . .  bis  n  =  00  die  Qlei- 
ehvngen  la  befriedigen: 


194  Ueber  Magnetismus. 


Dass  diese  Zerlegang  die  richtige  ist ,  lässt  sich  nicht  ohne  Weiteres 
erkennen ,  da  durch  Differentiation  z.B.  von  Z|<")r|"  zwei  Olieder  entstehen: 

die  also  mit  verschiedenen  Potenzen  von  T]  hehaftet  sind.  Man  kann  diese 
Gleichung  mit  (2ii  +  l)a"  multipliciren ,  und  dann  i^<">a*^,  (7|<")a"  etc.  als 
die  Werthe  von  L^^^^r^^  ansehen,  die  dem  in  der  Richtung  ^|  Oj  gelegenen 
Oberflächenpunkte  entsprechen.  Die  Differentiation  lässt  sich  nun  etwas 
weiter  ausführen  und  giebt: 


"-\j^M 


211+ 1)«" /;,<">  4-4»  -^  (9»  cos  ^)(") 


+  (?F,<«)(2n+l)a,    +...1 
55)   \  p  -*  ^=0. 

+  »r,«-»     I  (2«  +  1)  a*L^^*)-\-An-^;^^{<i>cos  t)<"> 

+  Cl^.<-)(2«  +  l)«-j|^  +  ...] 

Es  ist  nun  nicht  schwer,  sämmtliche  Olieder  mit  Z|,  Vi  etc.  so  zu 
schreiben,  dass  die  Summe  derselben  für  die  verschiedenen  n  eine  endliche 
Form  erhält.     Es  ist 

(2n  + 1)  a^L,^^)  =  a«  V>  +  ^a  ^J^?^^^ 

da 

also  die  Summe 

ebenso  für  {Zj,  ilf, ,  F|,  iV],  ]^,.  Lässt  man  also  in  der  vorigen  OleichuDg 
den  Factor  Tj"  weg,  so  giebt  die  Summe  aller  so  entstehenden  Gleichungen 
in  der  ersten  Beihe ,  mit  Ausnahme  der  Glieder  mit  q> : 

doch  haben  hier  L^^M^^  N^^U^^V^^  W^  nicht  die  früheren  Werthe,  •sondern 
63  sind  dio  analogen  Ausdrücke ,    wie  die  früheren,   aber  für  den  in  der 


Von  Gustav  Roch.  195 

Richtung  tf;«  d,  gelegenen  Oberfiftchenpunkt,  nnd  es  sollen  daher,  nm  dies 
ansndeaten,  die  Indices  1  weggelassen  werden.  Die  zweite  Reihe  hat  noch 
den  Factor  n,  und  es  kann  derselbe  durch  Differentiation  der  ersten  nach 
a  entstanden  gedacht  werden : 

ebenso  für  iüf,  JV,  [7,  F,  W.  Wir  kommen  nun  zur  Betrachtung  der  Glieder 
mit  fp. 

Es  ist  mit  Absicht  -- — r  nicht  gehoben  worden ;  während  nämlich  das 

a"  als  der  specielle  Fall  des  variablen  Tj"  angesehen  werden  mnss  und 
also  nach  diesem  nöthigenfalls  differentiirt  werden  darf,  ista"'^  die  Po- 
tenz n  —  1  vom  constant  gegebenen  Kugelradius,  und  wollte  man  nach  a 
differentüren  und  auch  dieses  als  variabel  ansehen,  so  erhielte  man  die 
Aenderung  des  Integrales  für  einen  Oberflächenpunkt,  wenn  der  Kngel- 
radius  sich  ändert.  Die  magnetische  Vertheilung  wird  ausser  von  q'  (der 
inducirenden  Kraft)  auch  von  der  Grösse  von  a  abhängen ,  und  es  ist  daher 
sehr  wahrscheinlich,  dass  auch  Uj  F,  W  (d.  h.  die  Werthe  von  f^,,  Fj,  W^) 
fUr  den  Oberflächenpunkt  a  implicite  enthalten.  Offenbar  aber  ist  es ,  dass 
die  Gleichungen  54)  und  55)  für  jedes  beliebige  a  gelten  und  es  müsste 
daher  jede  der  unendlich  vielen  zu  befriedigenden  Gleichungen  54)  oder  55) 
sich  wieder  in  unendlich  viele  nach  den  Potenzen  von  a  zerlegen  lassen. 
Da  aber  die  Glieder  L^  M^  N  nur  a^  als  Factor  enthalten  (denn  diese  hän- 
gen nur  von  der  inducirenden  Kraft  ab),  so  muss  dies  auch  bei  den  übri- 
gen der  Fall  sein ;  es  werden  daher  ü^  F,  W  nicht  mit  a  behaftet  sein  und 


^_^  {fp  cos  ^)"  =  a  (qp  cos  ^)^'»>  etc. 

werden  den  Factor  a"  haben,  wo  a  als  constanter  Kugelradius  gilt.  Diffe- 
rentiirt man  nun  nach  dieser  Dimension ,  so  ist  dies  in  den  Gliedern  X,  M,  N 
identisch  mit  den  nach  r,  genommenen  Differentialquotienten,  wenn  schliess« 
lieh  a  statt  Tj  eingeführt  wird ;  der  Factor  n  der  zweiten  Reihe  in  55)  aber 
kann  demnach  durch  Differentiation  nach  a  entstanden  gedacht  werden 
und  es  ist  daher  die  Summe  aller  mit  <p  behafteten  Glieder  fürn  =  0  bis 
»==00 

- —  {a  <p  cos  ^)  +  7 —  (ö  9>  **'»  ^  cos  d)  +  ^ —  (fl  (p  sin  i/;  sin  d)  1 

+  a—r^''-'^^nY^{afpcos^)  +  -^{flq>sin^cos^)  +  ^^ 

Für  die  Glieder  U,  F,  ^F  ist  der  früher  entwickelte  Ausdruck  richtig, 
denn  da  U^  F,  fF,  wie  gezeigt  worden  ist,  den  Kugelradius  nicht  enthalten, 
so  ist  es  auch  erlaubt,  sich  die  Differentiation  von  a**  (7<"). . .  nach  a  ala 
•pecieller  Fall  der  Differentiation  nach  r ,  oder  als  solche  nach  a  als  Kugel- 
Halbmesser  zu  denken. 


196  lieber  MagnetiBmas. 


Die  GleicligewichtsbedingaDg  ist  daher  in  eine  endliche  Differential- 
gleichang  verwandelt,  und  es  ist  nun  noch  nöthig,  die  eigenthflmlichen 
Differentialqnotienten  nach  «i ,  ^i ,  z^  so  weit  als  möglich  an  rednoiren  nnd 
auf  solche  nach  oc^y^z  (den  Coordinaten  des  dem  0^1,^1,  Z|  entsprechenden 
O  her flächenpnnktes)  zurückzubringen. 

29.   Man  hat: 

x  =  a  ——  -j  y  =  g  ' 


F'^T+y.'+M*  yW+yJ+h*  /^/+».*+«.» 

Xt  9t         . 

C08  ^  =  ,  sin  flfCOS^  = 


sin  ibsin^  =    ,  '■ 

Da  a  und  da  ganz  unabhängig  von  ^1,  ^i,  ^1  sind,  so  kann  man  die 
Differentiationen  nach  a  und  nach  Xi  oder  ^|  oder  Zt  in  der  Reihenfolge 
umkehren  und  hat  daher,  um  die  Glieder  mit  L,  M^  N mvl  vereinigen,  nur 
nöthig 

dL       dM      dN 
dxi      dt/i       dzi 
auszurechnen.     Man  hat  nun  z.  B. : 

dL  _dLdx       dLd9    ,  dLdz 
dxi  ~ dxdx^  "*"  dy  dx^  "*"  dz  dx^  * 
Man  findet  so  durch  Benutzung  der  oben  stehenden  Werthe  für  x^  y^  z, 
wenn  man  nach  Ausführung  der  Differentiationen  wieder  a:| ,  yi ,  z^  durch 
Einführung  der  Polar  coordinaten  rj ,  ^t ,  ^1  eliminirt : 

^ f-  :r y-  -z 1-  ^-  (Z  CO*  t(;  +  ilf  «w  ^  CO*  ^  +  Nstn  tt;  *w  ^)  .  — 

dx^       dyi       oz^       da^  ^  ^  ^  '    r, 

~r,  \dx'^  dy  '^dz)~r,  •^' 
uod  daher  die  Gesammtheit  der  mit  Z,  Jlf,  JV  behafteten  Glieder: 

-q  +2a-^  =  —  q  H 5^. 

Ganz  denselben  Ausdruck  muss  man  für  die  27,  F,  fF  enthaltenden 
Glieder  entwickeln  können,  und  wir  wenden  uns  daher  zur  Ausrech- 
nung von 

-z —  {ff  cos  ^)  +  T —  (9  *m  if;  co*^)  +  z —  {v  ^^  ^sind) 

cx^  öyi  dZi 

(dtpdx    ,  dq>  dy    ,  dtp  dz\   ,       {dcos^\,     ^ 

Setzt  man  die  früheren  Werthe  für  x,  y,  z,  co5^  etc.  ein,  so  erhält 
man  hieraus:   — .     Einfacher  lässt  sich  der  Werth  des  zweiten  Theiles 


Von  Gustav  Roch.  197 

der  mit  ip  behafteten  Glieder  berechnen.    Da  ^  =  cos  fp  etc.  unabhängig 
▼OB  ü  sind,  80  erhält  man : 

da Idx'  (^  9>  <?<«  *)  +  fT"  (^  9>  *«n^  co«d)  +  —  (a  9  «m  ^  wi  d)J 

und  die  Summe  aller  beider  Theile  ist  daher  nach  Aushebung  des  Fac- 
tors r,": 

Z<pa       c^  dtp 

10  dass  die  Gleichgewichtsbedingung  die  endliche  Form  erlangt  hat : 

und  ich  mache  nochmals  darauf  aufmerksam,  dass  es  erlaubt  ist,  in  den 
Gliedern  mit  q'  und  %  die  Differentialquotienten  nach  a  als  die  Werthe  der 
atch  Ti  genommenen  au  betrachten ,  wenn  dann  ri=^a  gesetzt  wird ,  dass 

aber  —-  ausdrückt,  wie  sich  9  für  einen  Oberflächenpunkt  ^,  ^  ändert, 
da 

wenn  der  Radius  der  Kugel  um  da  grösser  wird. 

30.  Aus  dem  Satae ,  dass  diese  beiden  Auffassungsweisen  für  %  *of 
dasselbe  hinauskommen,  folgt,  dass  der  analytische  Ausdxuck  für  %  der* 
selbe  sein  muss ,  welchen  Radius  auch  die  Kugel  hat.  Denn  es  sei  der- 
selbe a,  so  kann  man  sich  die  Function  %  für  den  gansen  unendlichen  Raum 

coostruirt  denken ,  und  es  hat  dann  ^  auch  für  positive  da  einen  bestimm- 

da 

ten  Werth.  Wird  nun  die  Kugel  um  da  grösser,  so  ändert  sich  die  Ver- 
theilung  des  Magnetismus ,  und  zwar  wird  das  %  sich  von  einem  Punkte  der 
ersten  Oberfläche  zum  andern  um  di  ändern,  welches  nach  dem  Früheren 
mit  der  Aenderung  der  ersten  Function  %  nach  a  identisch  sein  wird,  und 
es  wird  daher  der  für  den  ganzen  unendlichen  Raum  berechnete  Ausdruck 
des  ersten  %  auch  die  Oberflächen  werthe  für  die  zweite  Kugel  ergeben;  von 
dieser  kann  man  zu  einer  dritten  übergehen  u.  s.  f.,  wodurch  die  ausge- 
sprochene Behauptung  bewiesen  ibt.  q>  hingegen  braucht  diese  Eigenthüm- 
liehkeit  nicht  zu  haben.  Eine  derartige  Eigenthümlichkoit  muss  -auch  be- 
kannt sein,  damit  ans  der  Gleichung  50),  die  sich  ja  nur  auf  die  Oberfläche 
bezieht,  ein  Schluss  auf  die  magnetischen  Zustände  im  ganzen  Yolumen 
der  Kugel  gemacht  werden  kann.  Ich  werde  später  nochmals  darauf  zu- 
rückkommen. 

'  .31.  Wir  wenden  uns  nun  zur  Untersuchung  des  allgemeinen  Falles 
einer  concentrbch  aungehöhlten  Kugel.  In  diesem  Falle  werden  die  Ent- 
wickelungen  von  0, ,  q\  ji  auch  negative  Potenzen  von  r,  enthalten  können. 
Die  Rechnung  wird  aber  wieder  eine  ganz  analoge  weTd^ii^N9\^  ¥\^  n^\%^^ 


198  lieber  Magnetismua. 


nur  werden  noch  einmal  so  viel  einzelne  Gleichungen  entstehen.  Ist  die 
Kngel  hohl,  so  können  indncirende  Kräfte  auch  im  Inneren  ihren  Sitz 
haben,  und  diese  werden  ein  q  liefern,  welches  in  Reihen  entwickelt  naoh 
absteigenden  Potenzen  von  r^  geordnet  sein  muss,  da  r^  grösser  ist,  als  die 
Entfernung  dieser  inducirenden  Ursachen  vom  Hittelpunkte.  Ea  soll  daher 
geschrieben  werden: 

Ebenso  kann  }^i  gedacht  werden,  als: 

An  die  Stelle  des /ruberen  Q  tritt  jetzt  die  Differens  zweier,  die  aueh 
das  eine  positive,  das  andere  negative  Potenzen  von  r^  enthält  vermöge 

der  Entwickelungen  von  ---  für  äussere  oder  innere  Oberfläche.     Man  wird 

nun  wieder  die  Glieder  mit  denselben  Potenzen  von  r^  einzeln  Null  setzen 
und  es  wird  sich  zeigen,  dass  wie  vorher  auch  hier  einfach  nach  den  Indi- 
ces  (n)  geschieden  werden  kann ;  jedem  (n)  aber  werden  zwei  Gleichongen 
zugehören,  die  einzeln  zu  behandeln  sind  und  die  sich  in  zwei  endliche 
Differentialgleichungen  werden  vereinigen  lassen. 

Das  Q  der  äusseren  Oberfläche  hat  genau  den  nämlichen  Ausdruck, 

wie  früher,  aber  das  der  inneren  muss  mit  einem  ^  berechnet  werden,  des- 

sen  Entwickeluug ,  wenn  h  der  Radius  der  Höhlung,  ist: 

Die  erstere  Bedingungsgleichang  wird  genau  die  frttbere  sein ,  die  innere 
aber  ist: 


■*'8y. 


=  0, 


tf-cot  l  auf  die  innere  Oberfläche  bezogen.     Dies  giebt : 

r,"+M  ax,      2«+i  dxt      "^    a«,  J 


=  0 


-feto. 


Von  Gustav  Roch.  199 

Du  ifc.  besieht  sich  anf  die  ganz  ähnlich  gestalteten  Glieder  mit  den  Dif- 
ferentialqnotienten  nach  y^ ,  Z|.     Man  wird  nnn  diese  Qleichang  mit         .  ^ 

maldpliciren  und  ganz  wie  früher       .  ^-  als  den  Oberflächenwerth  von     ^  .  ^ 

Ar  dasselbe  ^,  di  ansehen.  Da  nun  Zi^")  vollständig  unabhängig  von  b  ist 
nd  femer  diese  Gleichungen  für  jedes  beliebige  b  gelten  müssen,  so  wird 
mtn  genau  wie  früher  schliessen ,  dass  die  so  entstehenden  Glieder 

b  {q>  cos  />«)  und  T—jn" 

virklieh  nur  den  Factor 

1 

enthalten,  weshalb  ganz  wie  früher  das  (n  +  l)  im  zweiten  Theile  der  letz- 
ten Gleichung  durch  Differentiation  nach  b ,  und  zwar  nach  b  als  Kngel- 
dimension  entstanden  gedacht  werden  kann.  Für  die  Glieder  mit  Z|  und 
l/j  kommt  dies  auf  dasselbe  hinaus ,  als  ob  man  einfach  nach  r,  differentiirt 
tmd  dann  ri  =  fr  setzt;  für  Xj  versteht  sich  das  von  selbst,  für  17| ,  Fi ,  W\ 

ibsr  sieht  man  es  sofort  ein,  da  ja      '.  ^  kein  b  ausser -T^j^rj- ^'^^^^^^^^  ^^^h 

•0  dass  also  27|^")  den  eigentlich  constant  gegebenen  Radius  b  nicht  enthält. 
Der  Factor  (2  n  + 1)  nun  kann  anf  ganz  ähnliche  Weise  gedeutet  werden, 
wie  der  frühere  2n  + 1 1  nämlich : 

2n  +  l  =  2(ii  +  l)  — 1, 

also: 

10  dass  alle  Vorzeichen  Minus  werden.  Es  geht  also  die  letzte  Gleichung 
Aber  in : 


/  a-£i!Ü.\ 

+  ^ä^\6-+»  +  "   db  ) 


200  lieber  MagnetiBmus. 


und  die  Summe  dieser  Gleichungen  giebt  g&nz  dasBelbe,  wie  die  Bedingung 
für  die  äassere  Oberfläche.     Es  ist  nicht  nöthig,  sie  erst  hinzaschreiben, 

man  braucht  nur  ü  an  die  Stelle  von  ,,  ,  ^  zu  setzen  u.  s.  f.  und  es  kann 

dann  die  Differentialgleichung  wieder  transformirt  werden,  indem  man  an- 
statt die  Differentialquotienten  nach  0:1,^1,  z,  die  nach  x^y^z^  d.  h.  nach 
den  Coordinaten  des  OberflAchenpanktes  in  der  Bichtung  von  r^  einführt 
Man  erhält  dann  als  Gleichung  für  die  innere  Oberfläche : 

57)       3^'  +  26||-  +c(3x  +  26||)  +4«(3g)  +  6||)=0. 

Hieraus  ergiebt  sich  das  ganze  auf  der  inneren  Oberfläche  vorhandene  9 
und  der  Theil  von  %^  der  sich  nach  den  absteigenden  Potenzen  von  Tj  ent- 
wickelt. 

32.  Diese  Transformation  der  Gleichgewichtsbedingungen  gründet  sich 
wesentlich  darauf,  dass  angenommen  wurde ,  das  %  enthielte  in  Gleichung 
56)  kein  a  und  in  57)  kein  b  weiter ,  als  dass  das  Glied  von  der  n,  Ordnung 

bei  der  Beihenentwickelung  nach  den  Kugelfnnctionen  a*  und  ■    .  ^-  als 

Factor  hätte.  Der  Beweis  dafür  ist  in  der  Schlussnummer  geführt,  und  es 
handelt  sich  nun  nur  noch  um  die  genaue  Darstellung  der  Gleichungen, 
denen  die  Functionen  genügen  müssen.  Die  Functionen  q>  und  i  müssen 
gewissen  Bedingungen  genügen.     Diese  bestehen  wesentlich  darin,  dass 

^^  dx'cy'dz  ~dx'dy'dz' 

Diese  lässt  sich  in  andere  Formen  bringen.  Geht  man  von  jedem  Molekül 
nach  allen  Seiten  in  den  Richtungen  fort,  die  in  der  Ebene  des  betreffenden 
Molekularstromes  liegen ,  so  erhält  man  lauter  einzelne  Flächen ,  und  ist  s 

eine  beliebige  in  einer  solchen  liegende  Linie,  so  muss  ^  =  0  sein,  ebenso 

CS 

--^,  und  es  sind  daher  nuf  jeder  solchen  Fläche  7  und  q>  constant.     Den 

ds 

beiden  Gleichungen  58)  müssen  die  Functionen  q>  und  %  genügen ;  aber  da 
in  den  Gleichungen  57)  und  58)  nur  die  %  imd  q>  auftreten,  die  auf  den  Ober- 
flächen stattfinden,  so  reducirt  sich  die  Bedingung  58)  auf  eine,  und  die 
zweite  der  aus  diesen  zu  entwickelnden  Forderungen  wird  nöthig  sein,  um 
das  q>  für  die  inneren  Massenpunkte  zu  entwickeln. 

Für  eine  massive  Kugel  sind  die  Verhältnisse  hierdurch  äusserst  ein- 
fach gemacht.  Da  dann  gar  keine  Gleichung  57)  existirt,  indem  gar  keine 
innere  Oberfläche  vorhanden  ist,  so  ist  das  in  56)  auftretende  %  der  Ge- 
sammtwerth  der  Function.  Denkt  man  sich  nun  auf  der  Oberfläche  die 
Linien  gezogen,  in  denen  f/  constant  ist,  so  muss  in  diesen  auch  9  und  % 
constnnt  bleiben.     Da  nun  i  der  Gleichung 


Von  Gustav  Roch.  201 


genügt ,  80  iiit  %  auch  für  jeden  inneren  Punkt  bekannt  und  wegen  58)  auch 
9;  man  siebt  also  die  Möglicbkeit  der  Lösung  ein. 

Wenn  aber  eine  Hohlkngel  gegeben  ist,  so  werden  die  in  50)  eingehen- 
den g>  und  %  b  und  die  in  57)  eingehenden  a  enthalten  können ;  diese  Glei- 
chungen einzeln  würden  also  noch  unbestimmte  Werthe  der  Functionen 
liefern.  Es  müssen  aber  diese  Werthe  in  gewissen  gegenseitigen  Bezie- 
hungen stehen,  welche  die  Lösung  vervollständigen  müssen. 

Wir  haben  vier  unbekannte  Functionen:  das  q>  der  äusseren  Ober- 
fläche und  das  der  inneren ,  welches  gi  sein  soll.  Ferner  der  Theil  von  x^ 
der  sieh  naoh  den  aufsteigenden,  und  der  Theil,  der  sich  nach  den  abstei- 
genden Potenzen  von  r,  entwickelt.  Der  erstere  seix(ri),  der  zweite  %'(r|). 
Die  beiden  Gleichgewichtsbedingungen  sind  dann,  wenn  auch  ^  der  nach 
aufsteigenden  Potenzen ,  q'  der  nach  absteigenden  Potenzen  zu  entwickeln- 
den Theil  der  früher  mit  q'  allein  bezeichneten  Function  ist: 

'«'+  »If  +  <»«»+"^)  +«»(»»•+  '^)=« 

und  dazu  kommen  die  beiden  Bedingungsgleichungen  für  die  zwei  Ober- 
flächen: 

dfp\dq>' ^d\x{b)  +  X  {b)\  ^d\x{h)  +  x{b)\ 

da  die  Differentialquotienten  von  fp  und  x  +  z'  nach  zwei  rechtwinkligen 
Eichtungen  einander  proportional  sein  müssen. 

Es  scheint  zunächst,  als  ob  diese  vier  Gleichungen  eine  zuviel  wären, 
indem  wenn  %,  %',  q>  bekannt  sind,  q>  schon  aus  der  Bemerkung  folgt,  dass 
9Constant  ist,  durch  die  ganze  Masse,  so  lange  %  +  %'  constant  ist.  Man 
konnte  aber  sich  qt  aus  den  vier  Gleichungen  eliminirt  denken,  %,  %',  tp  be- 
rechnet und  dann  müsste  q>  aus  dieser  Bemerkung  folgern.  Offenbar  müsste 
dies  qi  der  zweiten  Gleichung  genügen ,  es  muss  sich  also  auch  umgekehrt 
ins  .diesen  vier  Gleichungen  Xtt'iVt  ^  ^^  bestimmen  lassen,  dass  dieser 
Bedingung  Genüge  geleistet  wird. 

33.  Wir  kommen  nun  zu  einem  der  wichtigsten  Punkte  dieser  Theorie, 
auf  welchem  die  vorige  Verwandlung  in  endliche  Differentialgleichungen 
beruht,  dass  nämlich  der  analytische  Ausdruck  von  x  unabhängig  von  ei, 
der  von  x  unabhängig  von  b  ist.  Wir  betrachten  x»  da  die  Entwickelungen 
für  X  ganz  ähnlich  sind.  Gehen  wir  auf  Nr.  26  zurück ,  so  ist  dort  bewie- 
sen, dafs  es  erlaubt  ist,  die  ursprüngliche  Gleichung  in  di^v  *4U  n^t"««.!!- 
dein.     Die  orstere  derselben  laatet: 

Zeii»rMnn  f.  Malhemalik  u,  Physik.     VI,    3.  \\ 


202  Ueber  MagnetismuB. 

(211  + 1)  Z<«)a«  +  4ä  a  (9  cos  ^)(«>  +  C  (2«  +  l)  ^«)a«  =  0. 

Die  Summe  aller  für  n  =:  0  bis  n  =  00  giebt: 

dL  (  dn\ 

Z  +  2a- Y  \nafpCQ$^  '\'  ClM  +  2fl^-j  =  0. 

Od  \  da/ 

Aehnlicbe  Oleicbungen  besteben  noch  zwei  und  es  folgt  aas  ihnen : 

dL        (  du\  dM        (  dv\ 

:  N+2a- 1-  C[w  +  2a^-~  \  =  C08iU  :  stn  ^  cos  ^  :  stn 'ü;  stn  ^. 

da         \  da/ 

Nennt  man  nun  Z,  ilf,  iV, «,  0,  w  die  Componenten  von  q  nnd  j,  so  sieht  man 
hieraas,  dass  die  Componenten  nach  den  Richtungen  ^  und  ^  ▼ersehwindea. 
Die  nach  der  Sichtung  von  a  von  der  Summe  4  "^  ^t'^^^  ^^^  ^^  ^)  be- 
wiesen ist: 

Lcosi^-^-  Msin  ^  cos  O.  +  N  siniifsin^y 
+  C{ucos  ^  +  V  sin  ^f  cos  ^  +  w  sin  ^  sin  &) 
und  es  ist  daher: 

(  l.\Lcos^+...  +  C{ucosfl,  +  ...)\  =  ^{L  +  Cu)  +  -^{M+Cv) 

M  d 

DaraaB  folgt  snnächst  anch,  dass 

'  )  d  rd{L+cu)    d{M+cv)    d{M+c*)-\_d  ,.  ,  „, 

wobei  jedoch  bemerkt  werden  muss ,  dass  die  Differentialquotienten  nach 
X,  y,  z  %.B.  von  l7<-)a-,  F^«)««,  ]r<«)a»  nicht  auf  die  in  17<">,  F<*>,  ^(«)  ent- 
haltenen  a  ausgedehnt  werden  dürfen ,  da  sonst  nicht 

dx'^dy'^dz  ~^ 

gesetzt  werden  dürfte. 

Die  Gleichung  61)  folgt  sofort  aus  der  Bemerkung,  dass  Z,  If,  J^,  u^  r,  w 

ebenso  transformirt  werden,  wie 

dL    dM 
5—,  ^—  etc. 
da     da 

Aus  60)  folgt  daher,  wenn  die  Differentialquotienten  in  der  eben  angege- 
benen Weise  genommen  werden : 

Dehnt  man  die  Differentialquotienten  aber  auch  auf  die  in  l^<">,  F<»>,  FP^" 
^nttaltenen  a  aus,  so  ist  dieser  Ausdruck: 


Von  Gustav  Roüu.  203 

62)   8,+2«^+CJ3|^  +  ^  +  ^J+2«-[-  +  -  +  -Jj, 

indem  man  von  Z^"),  Jf <">,  iV^^'*)  bestimmt  weiss ,  dass  sie  kein  a  enthalte^. 
Nor  wenn  die  Indnction  von  a  abhängig  ist,  wenn  sich  mehrere  Kugeln 
^enüber  stehen,  ist  dies  nicht  der  Fall,  und  dann  btin  dem  letzten  Ans- 
dracke  anch  q  zn  ersetzen  durch 

az    a^    a^ 

dx  '^  dy  '^dz' 
welches  dann  verschieden  von  q'  ist;  denn  die  Gleichungen  60)  nnd  61)  gel- 
ten auch  dann  noch.    Die  Differentialqnotienten  nach  a  in  62)  sind  nar  aof 
die  Factoren  o"  von  L<'*\  JJf  <»),  i\r(«),  ü^''\  r(«),  JF^")  auszudehnen.  < 

Wir  kommen  nun  zum  eigentlichen  Beweis. 

Es  ist  evident,  dass 


^-^=^-- .-=öir'' •  • 


^.       ,^       ,  «-^ 

«Im  die  Summe 


oder  vielmehr  genauer : 

^2:(2«+l)Z/")r,»  +  ^^(2«  +  l)^,<->r,-  +  ~^(2«  +  l) 

"  '  dr,  Idx,  "^  dy.'^dzj^  Idx^  "^  dy^  "^  dz,  J 
iit,  und  dass  X<*~^>  eine  Kugelfunction  von  der  Ordnung  n^-1  ist,  wenn 
A*"*^^  kein  Tj  enthält.  Sobald  dies  aber  wäre,  ist  auch  nicht  mehr  die 
letste  Gleichung  richtig.  Schreibt  man  x,  y^  z  statt  oTi  ,  y, ,  2| ,  so  kommt  a 
tn  die  Stelle  von  r|,  die  Indices  1  fallen  weg.  Umgekehrt,  gilt  die  letzte 
Gleichung,  so  muss  Z/»),  ^,<»),  iV,<">  unabhängig  von  r, ,  oder  Z<">,  jlf (»),  JV(») 
unabhängig  von  a  sein.     Aus  62)  folgt  daher ,  dass 

Z<"),  Jf  <»),  i\r<"),  Z7<"),  F<"),  ^(") 
*o beschaffen  sein  müssen,  dass  stets 

nntbhängig  von  a  sind.  Für  den  Fall  einer  einzigen  gegebenen  Kugel  sind 
tlio  [/("),  r<"),  Fr<")  unabhängig  von  a,  der  Ausdruck  %  also  auch. 
Es  ist  daher  für  jeden  Fall  erlaubt: 

n  setzen;  für  den  Fall  einer  einzigen  Kugel  ist  es  dann  gleich,  wie  die 
Differentiation  nach  a  genommen  wird ;  aber  sind  mehrere  gegeben ,  so  ist 

tut  ri  und  —  die  Veränderung  von  q  und  %  in  der  Nähe  der  Oberfläche 

einer  Kngel  vom  festen  gegebenen  Radius  a  gemeint,  denn  diese  DiffecetL- 
^lAtion  schreibt  sich  vom  Factor  n  her. 


204  Ueber  Magnetisiiias.   Von  Oüstav  Roch. 

AuB  59)  folgt  das  %  eines  inneren  Massenpnnktes  noch  mit  einer  will- 
kürliehen Function,  die  so  zu  bestimmen  ist,  dass 

(nnter  %  hier  die  ganse  Function ,  also  eigentlich  %  +  %  Terstanden). 

Dies  kann  Alles  nur  als  Andeutung  des  Weges  sur  Lösung  betrachtet 
werden.  Die  Hauptsache  ist  immer  nur  die  Herleitung  dieser  allgemeinen 
Eigenthümlichkeiten  der  Function  %  und  %. 

Ist  die  OberflIUshe  anders  als  kuglich,  so  ist  die  Angabe  ungleich  Ter-» 

wickelt^.    Dann  ist  ^  auch   für  innere  Punkte  in  eine  Beihe  von  der 

'  p 

Form  2    J\^  oder  27 Pari"  zu  entwickeln,  je  nachdem  r|  >  oder  ^  r.  Man 

würde  dann  lieber  ^  nach  den  Potenzen  des  Parameters  entwickeln,  der 

jedem  inneren  Punkte  zukommt,  wenn  man  concentrische  Flächen  zur 
Oberfläche  legt,  wie  dies  von  Neumann  für  Rotationsellipsoide  gezeigt  wor- 
den ist. 


Kleinere  Mittheilnngen. 


UV.   ITebar  einige  Bitegralformeln.   Wir  betraehien  im  Folgenden 
du  bestimmte  Integral 
1 

0 
wobei  A,  fi/if ,  p,  jT  beliebige  Conetanten  bezeichnen  mögen.    Um  dasselbe 
n.  transformiren,  setsen  wir 

X  +  iix       '' 
Tonu  folgt 


vnd  erhalten 

1 


1)       j      « 


/arl"-»  (!—«)«-»  (i+fi»)^«?« 


la  dem  speeiellen  Falle  n  =  —  (p+ s)  ^1"^  diene  Formel  sn  dem  bekann- 
tnBeanltste 

*ar>-t(l-a;)V-i  l  r{p)r(s) 


/' 


dagegen  seheinen  andere  Fälle  unbeachtet  geblieben  au  sein,  obsehon  die- 
•ilben  sehr  braachbare  Relationen  liefern.    So  hat  man  m»  B.  f&r  p  =  i, 


206  ELleinere  Mittheilangen. 

1 

r^{l—x)9''^  (A  +  fio;)-- *  dx 

0 

oder  für  x  =  t*  und  y  s=  u* : 

1 


J'(i;_<t)«-l(X  +  ^/«)--* 


dt 


2) 


Sind  nun  q  und  m  positive  od)9r  negative  ganze  Zahlen,  so  ist  das 
stehende  Integral  irrational,  das  rechter  Hand  befindliche  dagegen 
nal ,  z.  E. : 

1  1 

1  1 

4)         fyx  +  ^'  äi^.lViPH^^^^^^l'i^^^, 


oder  auch: 

i 


ü  ^  0 


6) 


u.  s.  w. 

Diese  Formeln  leiste'n'  bei  der  Kednction  mancher  doppelten  und 
fachen  Integrale  gute  Dienste,  denn  man  hatin  ihnen  ein  Mittel,  v 
wisse  irrationale  Integrale  durch  gleichgeltende  rationale  Integrale 
setzen,  was  begreiflicherweise  für  die  weitere  Rechnung  ein  Vorth* 
Einige  Beispiele  mögen  dies  zeigen. 

Die  Oberfläche  des  Ellipsoides  mit  den  Halbachsen  a,  &,  c  wi 
kanntlich  durch  folgendes  Doppclintegral  ausgedrückt: 


Kleinere  Mitiheilungen.  207 


^0^0^t^^t^^^^^*^i^^^^ 


welches  nach  Einftlhning  von  Polarcoordinaten  (g  =  r  C05  » ,  i}  =  r  m  «) 

übergeht  in 

n 
i    1 


Ä=8a6  /  Crdndry   - 
Benntzt  man  die  Subatitationen 


M  erhftlt  man 

0  0 
mid  hier  kann  man  eine  der  Formeln  4)  oder  5)  anwenden.     Die  letztere 

giebt 

n 

*        (  ^         d  ) 


¥    1 


0    0 
durch  umgekehrte  Anordnung  der  Integrationen  und  Bestitntion  der  Werthe 
fon  l  vnd  |i  wird  hieraus 

E 

0         0 
d.  i.  wenn  die  auf  »  bezügliche  Integration  ausgeführt  wird 

L    ^  |>^(i-«'«')(i-/j»«»))«'J' 

Durch  partielle  Integration  ISsst  sich  diese  Formel  in  die  folgende 
tberfbhren 


208  Kleinere  Hittheilnngen. 

die  man  gleichfalls  erhält,  wenn  man  in  Nr.  7)  die  Formel  4)  benatst.  — 
Projicirt  man  den  Mittelpunkt  eines  dreiachsigen  EUipsoides  anf  alle  Be- 
rührnngsebenen  des  letzteren,  so  bilden  die  Projectionen  eine  bekannte 
Fläche,  deren  Gleichung  ist: 

(x«+y*  +  27  =  «*^  +  *'^  +  ^^, 
oder  in  Polarcoordinaten : 

r^  =  (f  cos  ^  + 1^  sin^^  cos*a  +  c*Än'dm*o); 
für 

l=zb*cos*ai  +  c* «»•(»,  fi  =  a* — b*cos*m — €^sm*m 
ist  einfacher 

Das  von  der  Fläche  umschlossene  Volumen  bestimmt  sich  dnroh  das  Doppel- 
integral 

r=|  /  I  r^sin^dade  =  i  1  r{X  +  (iC08*e)  sin^dmd^, 

0    0  0    0 

welches  für  C05  d  =  /  folgende  Gestalt  annimmt: 

n 
i    1 


^==^ifjni+(itydü^dt, 


0    0 

d.  i.  nach  Nr.  6) 

M 
ü      « 

Setzt  man  znr  Abkttrzang 

10)  ß^'L__^^^r____^ 


SO  erhält  man  bei  umgekehrter  Anordnung  der  Integrationen  und  TermQge 
der  Werthe  von  X  und  fi : 


-         *     [(!  —  /»•)  eo$*m  +  {l—f)  sin^m]* 


V^^a^  Cdu  r    [a-<»')^^>'«  +  (l-y')^'n«cD]« 

0  0 

wo  nun  die  Ausführung  der  auf  cd  bezüglichen  Integration  keine  Schwierig- 
keiten hat.     Um  das  Resultat  kurz  darstellen  su  können ,  setsen  wir 

und  haben  dann 

1 

12)  V=^fJ^{Züß*+2üpUy+^üy^}/üßFrdu. 


Kleinere  MittheiluDgea.  209 

Auf  gleiche  Weise  Ittsst  sich  die  Cubatnr  aller  Flächen  bewerkstelli- 
^,  deren  Gleichungen  von  der  Form 

(a:«  +  yt  ^  ^f)  ^••+2  =  (^a:«  +  ^y*  +  CV)  2-- 1 

imd.    Durch  Einftthrung  von  Polarcoordinaten  erhält  man  nämlich 
r*  ==  (J  eo8*d'  +  B  sin*e  eos*m  -h  Csin*e  */ii*a))*-* 

oder 

wobei 

X  =sBcos*<o  +  Csin^atj  fi  =  A —  B  co8*m  —  Csin^ta 
gesetzt  worden  ist.     Für  das  Volumen 


2     2 


■-^SS' 


r^ sind  dcidd 


u    0 

ergiebt  sich  zufolge  des  Werthes  von  r  und  durch  Substitution  von  €osds=:i 

n 
2    1 

0    0 
nod  nach  Anwendung  von  Formel  2)  kann  die  auf  »  bezügliche  Integration 
immer  aoBgefUhrt  werden.  Sohlömix^ch. 


X7.  ITeber  einige  algebraische  Cnnrent  von  denen  die  Lemniseate  ein 
ipeeieller  Fall  ist    Yon  Prof.  Barnaba  Tobtolini. 

1 .  Nehmen  wir  zwei  rechtwinklige  Achsen  der  x  und  der  y,  und  wäh- 
len wir  den  Coordinatenanfang  zum  Pol  einer  gewissen  Cnrve.  Ist  r  der 
Badiosvector  und  u  der  Winkel ,  welchen  r  mit  der  Achse  der  x  einschliesst^ 
10  haben  wir  fttr  die  beiden  Coordinaten  x  und  y  die  Werthe 

op  s=:  r  cos  u 

y  =  r  sin  u. 
Wenn  wir  nun  die  Neigung  der  Ourve  im  Punkte  (^»  y)  mit  9  bezeichnen, 
•oist 

tangq>^-, 

woraus  man  durch  Differentiation  der  vorstehenden  Werthe  von  x  und  y 

iadet 

sinudr  +  rcosudu 

lang  q>  sss : —  . 

cosudr  —  rsmudu 

Wenn  man  in  diesem  Ausdrucke  Zähler  und  Nenner  mit  cos  u  und  mit  dr 

dtridirt,  so  erhält  man  leicht 

rdu_  tangip  —  tangu  _^ ,_        . 

^=^l  +  tang^iaugu  =  '^^'^^'*^ 


210  Kleinere  Mittheiliuigen. 

oder  auch 

rdu 
Wie  bekannt,  bt  9»  —  u  der  Winkel,  welchen  die  Tangente  im  Punkte  («,jf) 
mit  dem  Radios  r  einschliesst«     Es  sei  nnn  91  die  Neigung  der  Normalen 
gegen  die  Abscissenachse ;  dann  hat  man 


Vi  =  -r  +  9>» 


folglich : 


woraus  sich 


cot(ipi — u)  =' 


cot  (9  —  tt)  * 


oder  auch 


dr 

—  =  —  dutang{(p^—u) 

ergiebt.  Die  linke  Seite  dieser  Gleichung  lässt  sich  integriren  und  auch 
die  rechte  Seite  wird  sich  auf  eine  Quadratur  zurückführen  lassen ,  so  oft 
9i  ,als  Function  von  «  gegeben  ist 

2.  Um  eine  recht  einfache  Anwendung  davon  su  machen ,  nehmen  wir 
an,  dass  der  Winkel  q>i  ein  ungerades  Vielfaches  des  Polwinkels  u  sei, 
setzen  also 

9i  =  (2«+0  « 
und  erhalten  dann 

dr  ,    .       ^  d€os2nu 

—  =  —  du  tang  2nu  =  ^ 


r  2ncas2nu 

und  daraus  durch  Integration 

2n  log  r^=:log  {cos  2n  u)  +  C. 
Man  bestimme  die  Constante  in  der  Weise ,  dass  r  =  a  wird ,  wenn  m  =  0 
ist;  dies  liefert  C^=^2nloga^  und  wenn  man  daher  vom  Logarithmus  auf 
den  Numerus  zurückgeht,  findet  man  schliesslich 

r^*^  =z  a^**  cos  2n  u. 
Die  algebraischen  Curven ,  welche  in  dieser  Gleichung  enthalten  sind,  wur- 
den —  nicht  allein  für  eine  gerade  Zahl  2n,  sondern  auch  für  eine  unge- 
rade Zahl  —  von  den  Mathematikern  studirt  und  besonders  von  Serret 
behandelt  in  mehreren  Noten ,  welche  im  7.  und  8.  Bande  des  Journals  von 
Lionville  stehen ;  wenn  man  ihre  Gleichung  unter  der  allgemeinen  Form 

r**  =  «"•  costnu 
darstellt,  so  besitzt  sie  die  Eigenthümlichkeit,  dass  das  Product  aus  den 
m  Entfernungen  irgend  eines  ihrer  Punkte  von  m  fixen  Punkten  constant 
ist.     Wie  Jedermann  sieht,    erhält  man  für  n  z=  1  oder  fn==2  die  Lem- 
ni^cate. 


Kleinere  Mittheilnngen.  211 

Bleiben  wir  bei  dem  Falle  eines  geraden  Exponenten  2it  stehen,  so 
hat  ebenfalls  Serret  gezeigt,  dass  die  Perimeter  dieser  Curven  alle  ausge- 
drückt werden  können  durch  die  Euler'schen  Integrale  aweiter  Gattung, 
oder  durch  die  Function  Pvon  Legendr e. 

3.  Die  bisjetzt  erwähnten  Curven  waren  bereits  Oegenstand  vieler 
toalytischen  Untersuchungen  von  Fagnano  in  seinen  Producioni  tnaietna- 
üche  Bd.  2,  schediasma  1  und  folgende  Seite  375,  woselbst  er  sich  vornimmt, 
,Jene  Curven  zu  finden,  bei  denen  der  Winkel,  welchen  eine  der  sämmtlich 
„von  einem  und  demselben  Punkte  ausgehenden  Sehnen  mit  der  Achse  ein- 
„schliesst,  in  dem  gegebenen  Verhältnisse  zweier  Zahlen  zu  dem  Winkel 
„steht,  welchen  die  Normale*)  zu  der  Curve  mit  derselben  Achse  ein- 
„schliesst."  So  hat  man  für  ti  =  1  die  Lemniscate ,  bei  welcher  der  von 
den  Normalen  mit  der  Achse  2a  gebildete  Winkel  das  Dreifache  des  von 
der  Sehne  gebildeten  Winkels  beträgt,  und  als  algebraische  Gleichung  er- 
hftlt  man 

(*»  +  »»)«  =  «»(^_y«). 
Fagnano  findet  noch  eine  andere  Curve  von  derselben  Eigenschaft ,  welche 
der  a;Axe  ihre  convexe  Seite  zukehrt.     Für  n=2  erhält  man  die  Curve 
Ton  der  Polargleichung 

1^=5  0^  cot  4  t/. 
Am  Coordinatenanfang  sind  die  Tangenten  gegen  die  Achse  unter  dem 

Winkel  --  geneigt,  da  für  r  =  0  sich  4m  =  ---  ergiebt**).  Die  algebraische 
o  2 

Gleichung  ist  vom  8.  Grade;  durch  die  Einführung  der  Sinus  und  Cosinus 

der  einfachen  Winkel  bekommt  man  nämlich 

r*  =  0*  (co5*ti  —  6  5m*w  C05'm  + Jriii*«), 

woraus  wegen  der  Werthe  von  r,  sin  u  und  cos  u  die  Gleichung 

fliesst,  welche  Fagnano  gleichfalls  an  der  angeführten  Stelle  Seite  384  ge- 
funden hat  Bei  dieser  Curve  ist  der  Winkel,  welchen  die  Normale  mit 
der  Achse  einschliesst ,  das  Fünffache  von  dem  Polwinkel  u.  Wenn  wir 
von  der  allgemeinen  Form  der  Polargleichung  vom  Grade  2n  zu  der  alge- 
braischen Gleichung  für  t  und  y  übergehen  wollen ,  so  steigt  der  Grad  der 
neuen  Gleichung  auf  4n,  und,  wenn  wir  uns  der  Formeln  mit  anscheinend 
imaginären  Grössen  bedienen,  dann  nimmt  ihre  algebraische  Gleichung 


*)  Offenbar  ist  die  Normale  am  Endpankte  der  Sehne  gemeint,  während  der  An- 
fangspnnkt  der  Sehnen  unter  1)  als  Coordinatenanfang  benutzt  war. 

ff  % 

♦♦)   AUjo  wie  die  Sehnen  selbst;  es  ist  9^=9i  —  —  =  (2ii  +  l)ii  —  •;r-, indem 

%  # 

Torliegenden  Falle  n  =  2 ,  demnach  qp  =  5  ii  —  ~  und  endlich  für  r =0  wird  «  =  «• 

2  o 


212  Kleinere  Mittheilungeiu 


eine  sehr  einfache  Form  an;  wir  haben  nämlich  nach  dem  ICoiyre'schen 
Satze 

2cos2nus=  (cot  M  + 1  sin  ti)*"  +  (cos  u  —  im  uy% 
worin  i  =  y^  ist ,  and  setzen  wir  auf  der  rechten  Seite 


CO*tt  =  — , 


y 

r 


80  findet  sich 


C05  2n  ti  =  ^  ^ — —^ j^ ^^— 


und  demnach  wird  die  algebraische  Gleichung  der  Corvo  sein : 

(a:»  +  y«)J-  =  ?^((a:  +  iy)2«  +  (a;  +  ,-y)2"). 

Die  Annahme  n  =  l ,  n  =  2  liefert  wieder  die  oben  betrachteten  Carven, 
und  wenn  man  weiter  ns=3  nehmen  will,  erhält  man  folgende  Gleichong 
Tom  12.  Grade : 

(a:«  +  y*)' =  «•  (x«— 15a:^y«  +  15a:«/— y«). 
In  derselben  Weise  wird  man  ftir  andere  Werthe  von  n  algebraische  Cnr- 
Ten  von  noch  höherem  Grade  bekommen. 

4.  Die  allgemeine  Rectification  dieser  Familie  von  Cnrven  hängt  ab 
von  einer  particularen  Form  der  Enler^schen  Integrale  erster  Gattung, 
welche,  wie  Legendre  nachgewiesen  hat,  in  einigen  besonderen  Fällen  auf 
transcendente  elliptische  erster  Gattung  sich  zurückführen  lassen.  Bech- 
nen  wir  den  Werth  von 


für  die  Rectification  der  Curven  aus  für  den  Fall,  dass 

r^"  =  a*"co*2«M 
ist,  so  hat  man  ohne  Schwierigkeit 

ds  =  ' 


oder 


5-  r      ^r 


Setzt  man  r^=az^  dr  =  adz  und  integrirt  zwischen  den  Grenzen  z  =  0 
und  z  =  1 ,  so  hat  man  für  den  vierten  Theil  des  ganzen  Umfangs : 

1 


/>     dz 
/l— z** 


0  '^ 

In  den  speciellen  Fällen  n  =  l,  n  =  2  und  n  =  3  werden  die  Integrale, 
wJe  Legendre  gezeigt  hat ,  transcendente  elliptische  der  ersten  Gattung ; 


Eüeinere  llüttheiliuigen.  213 

sie  lassen  sieb  nach  Serret  anch  dnrch  die  Tlntegrale  von  Legendre  oder 
durch  das  Eoler'sche  Integral  zweiter  Gattung  ausdrücken. 

{Jnnali  dt  Maiemaiica  pura  ed  appUcaia.  Nr.  3.  S.  178.) 


ZVL  Bedingung  der  Stabilität  eines  auf  dem  Gipfel  einer  Fläohe  ru- 
ksaden  KörpersI    Von  Dr.  R.  Hoppe. 

Das  Gleichgewicht  eines  Körpers,  der  bei  horizontaler  Berübrnngs- 
ebene  auf  einer  Fläche  ruht,  erfordert,  dass  sein  Schwerpunkt  auf  der  ge- 
meinsamen Normale  liegt.  Die  Oberfläche  des  Körpers  sei  mit  der  unter- 
liegenden Fläche  in  gleichem  Sinne  genommen ,  so  dass  gleiche  Vorzeichen 
der  Krümmung  einer  Berührung  ron  innen,  ungleiche  einer  Berührung  der 
eonyexen  Seiten  von  aussen  entsprechen. 

Wird  nun  der  Körper  aus  der  Gleichgewichtslage  um  unendlich  wenig 
rar  Seite  gewälzt,  so  hebt  sich  der  anfängliche  Unterstütznngspnnkt  P  und 
gelangt  nach  Pi ,  während  der  Berührungspunkt  als  solcher  um  das  Bogen- 
element  ds  in  beliebiger  Richtung  längs  der  Fläche  nach  P^  rückt.  Sei 
Bon  dv  der  Winkel  zwischen  den  Normalen,  dx  der  Winkel  zwischen  den 

Tangenten  in  P  und  P^^  so  dass  ~-  die  Krümmung  von  ds  ausdrückt,  dann 

nnd  die  Cosinus  der  Richtungswinkel  der  Normale  in  P  gegen  die  Normale, 
Tangente  und  ihr  gemeinschaftliches  Loth  in  Pq  folgende: 

cosdv]  dx;  yd^'-'dx\ 
Bezeichnet  femer  a  die  halbe  Summe,  b  die  halbe  Differenz  der  Haupt- 
krümmungen in  P,  und  q>  den  Winkel  zwischen  ds  und  der  Tangente  der 
grössten  Krümmung ,  so  ist  nach  bekannten  Formeln 
dT=  (a'i'bcos2(p)  rf«, 

dv=zds  j/a*  +  b*  +  2abcos2(p^ 

woraus  

}/di^  —  di^  =  bsin2q>dSy 

cosdv  =  l  —  ^rfv"  =  l  — ( — J-  ab  cos2q>)  ds^. 

Demnach  haben  die  Cosinus  der  Richtungswinkel  der  Normale  in  P  fol- 
gende Werthe: 

/a*+b*  \ 

1  —  I — H  ^b  cos2qfj  d^^ 

(a'\'bcos2qi)dSy 
bsin2ipds. 
Die  Cosinus  der  Richtungswinkel  der  Nohnale  in  Pj  ergeben  sich  hieraus, 
indem  man  fttr  a,  &,  9  die  analogen  Grössen  a, ,  ^i,  <Pi  setzt.     Aus  beiden 
Systeiaen  erhält  man  auf  bekannte  Weise  den  Cosinus  des  Winkels  zwi- 
schen beideö  Normalen.     Dieser  ist  von  der  Form 

i-^Mds^ 


-i*,«.^<^-^ 


(— %7  +  i^+V 


— M^«Mrt«+e(#— «J. 


iK  #^^p  mB  frfcifr  ttUL  die  Höhe 
m  dmt  fg/nmmgiam  Si^ma^^  Mcb  mmm  vkt  PtnjcctiQa  diesǤ  Ab- 

den  Ycttü^alMUiid  iler  Fvokte  P^  umÄ  P  Mddixt,  Leorteicr  tisst  mcb  als 
glesek  imm  voUcb  Ab«iavde  reebaen«  w«a  üt  B«««fii«f  les  Pkmktes  i^^ 
det  Akataad  «Hbf  witü^iflifh  Um  yqu  xw«iier  Ord- 
utj  ■»<  ut  laaat  ob  Dirniaas  d«  ntalMmm  baiHr  Paute  Ton  der 
>,d.L 


=  *(«— .+0'". 

dafaer  die  HSlie  des  Schwnpuiktea  tber  P 

+  SC(-— «.))»[  rf**- 

T>i<*.  Lftgö  4ei  K5rpeFs  ist  stabil »  vßmi  der  CoefliGietit  von  ils*  für  jeden 
W«rlli  ¥on  9  poaitiT  bl.  Da«  Minimtim  deseelbeii  enUpriciit  eioem  jlaxi* 
Brau  ^ef  MmEtnum  ron  C,  welches  aiattfindet  für 

Naeli  HififUlirung  diesem  Werthes  wixd 


1 


claWr  iit  dw  Bedingung  der  Stabil lUlt 

ö  —  Äj  +  C—  (a  —  Ä,  +  Cf)*  h  >  0. 
Diftgd  (himtfü  kann  nur  poilüv  aelo,  wenn  es  der  tob  h  freie  Theil  ist    oder 
wtitin  /r<(i;  Jt^di^nralti  wird  dfi^Htoluig 


dai  im 


Büh 


Kleinere  MittheilongeD.  2t 5 


Hieraos  ist  ersichtlich,  dass  die  Stabilität  am  grössten  ist,  wenn  die gleich- 
Dtmigen  Haaptnormalscbnitte  aufeinander  fallen,  am  kleinsten,  wenn  der 
Sehnitt  von  grösster  Krümmung  in  der  einen  Fläche  der  von  kleinster  in 
der  anderen  ist.  Lässt  man  also  den  Körper  sich  nm  die  Verticale  drehen, 
10  hört  die  Stabilität  nie  auf,  wenn 

->a— ai  +  6  +  6,, 

»tritt  bei  irgend  einer  Drehung  Stabilität  ein,  wenn 

nd  die  Grense  der  SUbilität  findet  statt  ftlr 

«"*«= ^, • 


ZTL  WixmeleituigifUiigkeit  d^s  Wasieritoilipuies«  Nach  einer  vor- 
Unfi^^n  Mittheilnng  von  Magnus  (Ber.  d.  k.  preuss»  Akad;  d.  W.  1860, 
S.485)  ist  das  Wasserstoffgas  ein  guter  Wärmeleiter.  Bisher  hatte  man 
bei  Oasen  die  Wärmefortpflanzung  ausser  ihrer  Diathermansie  der  leichten 
Beweglichkeit  ihrer  Theilchen  zugeschrieben.  Da  nun  weder  im  Ausdeh- 
Bongseoefficienten  noch  in  der  relativen  Wärme  des  Wasserstoffgases  eine 
Ursache  zu  einer  grösseren  Beweglichkeit  der  Wasserstofftheilchen,  an- 
deren Gasen  gegenüber,  zu  finden  ist,  so  vermuthete  Magnus  eine  gute 
Leitaugsfähigkeit  bei  diesem  Gase.  Er  fand  diese  Vermuthung  bei  seinen 
Experimenten  mit  einem  Apparate  bestätigt,  bei  welchem  eine  auf  der 
Tenperatur  von  100^  C.  erhaltene  Platte  von  oben  Wärme  auf  die  Kugel 
eines  Thermometers  strahlte ,  welches  in  einem  unter  der  Platte  befind- 
Gehen  Räume  befestigt  war.  Die  Temperatur,  welche  von  diesem  Ther- 
Bometer  angezeigt  wurde ,  war  am  höchsten ,  wenn  der  Raum  mit  Wasser- 
itol^as  angefüllt  war,  höher,  als  wenn  der  Raum  mit  irgend  einem  anderen 
Otie  gefallt  oder  luftleer  war,  die  Temperatur  des  Thermometers  war 
übrigens  um  so  höher ,  je  dichter  das  angewendete  Wasserstoffgas  war.  In 
tUen  übrigen  Gasen  ist  die  Temperatur  niedriger,  als  im  leeren  Räume 
und  nm  so  niedriger ,  je  dichter  sie  angewendet  werden.  —  Nicht  nur  die 
Wärme,  sondern  auch  die  Elektricität  wird  von  Wasserstoffgas  besser,  als 
▼OD  allen  übrigen  Gasen  geleitet. 

Dieses  Verhalten  des  Wasserstoffgases  gegen,  die  Wärme  erklärt  nun 
iQeh  die  Beobachtung  von  Grove,  wonach  ein  Platindraht  durch  den  gal- 
▼tuitchen  Strom  schwerer  zum  Glühen  gebracht  wird,  wenn  er  von  Wasser- 
*M,  als  wenn  er  von  einer  anderen  Gasart  umgeben  bt. 


216  Kleinere  Mittheilungen. 

XVn.  Yerbeuaning  ainas  Elektroikops.  Von  Dr.  F.  Dellmanh.  Das 
Yon  Dr.  Kohlraascli  unter  meinem  Namen  bekannt  gemachte  Elektro* 
meter  wurde  von  mir  zuerst  nur  als  Elektroskop  gebraucht.  In  meiner 
Hauptabhandlung  darüber  im  Programm  des  Kreuznacher  Oymnasiums 
Tom  Jahre  1842  sprach  ich  am  Schlüsse  die  Hoffnung  aus ,  das  Instrument 
zu  Messungen  brauchbar  machen  zu  können,  da  seine  Construction  zu  die- 
ser Hoffnung  berechtigte.  Andere  naturwissenschaftliche  Studien  aber,  zu 
denen  die  interessante,  mir  damals  noch  neue  Gegend  mich  yerleitete, 
Hessen  mich  diese  Hoffnung  nicht  verwirklichen,  und  erst  die  vortrefflichen 
Abhandlungen  von  Kohlrausch  gaben  mich  der  Physik  zurück,  der  ich  acht 
Jahre  untreu  gewesen.  In  der  ersten  neuen  Abhandlung  vom  Jahre  1852 
(Pogg.  Annalen  Bd.  86,  8.  524  ff.),  in  der  ich  die  Reconstruction  des  Mess- 
instrumentes beschrieb ,  glaubte  ich  darauf  aufmerksam  machen  zu  müssen, 
dass  es  zweckmässig  sei,  fortan  mein  Elektrometer  vom  Elektroskop  zu 
unterscheiden,  weil  das  letztere  eine  wesentlich  einfache  Construction*), 
aber  doch  auch  einen  Theil  hat,  welcher  dem  Elektrometer  fehlt.  Ich 
wusste  damals  keine  Hauptverbesserang  des  Elektroskops  ansageben ,  und 
jetzt,  nach  jahrelangem  häufigen  Gebrauche  des  Elektrometers  hat  dieses 
mich  zu  einer  bedeutenden  Verbesserung  des  Elektroskops  gebracht,  welche 
ich  im  Nachfolgenden  beschreiben  will.  Die  Verbesserung  trifft  eben  jenen 
Theil,  welchen  das  Elektrometer  nicht  hat,  den  ich  aber  schon  in  der 
ersten  Abhandlung:  „lieber  das  Oersted'sche  Elektrometer^'  i^^^S*  ^^' 
nalen  Bd.  55,  S.  307)  beschrieb,  und  den  Andriessen  damals  zur  Er- 
höhung der  Empfindlichkeit  auch  des  Goldblatt-Elektroskops  benutzte.  Ich 
habe  ihn  den  Qnerdrath  genannt,  weil  er  quer  unter  dem  Streifchen  her- 
und  dann  an  der  Seite  in  die  Höhe  und  isolirt  durch  den  Deckel,  oder  auch 
unten  von  der  Seite  durch  das  Glas  geht.  Er  soll  eine  Nachahmung  des 
Princips  des  Säulen  -  Elektroskops  vermitteln ,  nämlich  einen  leichten  Kör- 
per, welcher  von  2  Kräften  bereits  von  entgegengesetzten  Seiten  afficirt 
wird,  durch  Unterstützung  einer  der  beiden  zur  Bewegung  zu  bringen. 
Und  in  der  That  entsprach  der  Erfolg  ganz  der  Erwartung,  da  das  Instru- 
ment durch  den  Querdrath  bedeutend  an  Empfindlichkeit  gewonnen  hatte. 


*)  In  ein  cylindriaches  Trinkglas,  durch  dessen  hölzernen  Deckel  in  der  Mit!« 
ein  Korkstöpscl  geht  mit  einem  ein  paar  Zoll  langen  Dräthchen  in  der  Richtung  der 
Achse,  an  dessen  unterem  Ende  mit  Schellack  ein  Coconfaden  hefestigt  ist,  welchei 
unten  ein  plattgeklopftes,  ganz  dünnes  Dräthchen  (Messing -Saite  Nr.  12)  trägt  mil 
einer  solchen  Biegung,  dass  es  an  die  beiden  Seiten  eines  isolirt  horisonlal  ausge- 
spannten Streifchens  (von  etwa  2  Zoll  Länge  und  1  Linie  Breite)  von  Metallpapiei 
oder  dünnem  Metallblech  mit  seinen  beiden  Hälften  anschlagen  kann  —  in  dies  Glac 
führt  von  aussen  mit  Schellack  eingeklebt  ein  kurzer  (von  2  bis  4  Zoll  Länge  nach  dei 
Einrichtung  des  Ganzen)  etwas  dickerer  Drath,  dessen  inneres  Ende  mit  einer  feinen 
Säge  eingesclinitten  ist  zur  Aufnahme  des  Stnifchens.  Dies  ist  der  Zuleitungsdratl 
und  er  dient  dazu,  dem  Inneren  des  Apparates  die  Elektricität  zuzuführen.  Man  kanr 
ihn  durch  den  Deckel  leiten  und  dann  bleibt  er  gerade,  oder  durch  das  Glas,  welche« 
zu  diesem  Zwecke  in  der  Nähe  des  Bodens  durchbohrt  ist,  und  dann  wird  er  am  in- 
neren Ende  aufwärts  gebogen. 


Kleinere  Mittheilungen.  217 


Mit  einem  abgeriebenen  Pfenning  konnte  man  recht  gut  den  Volta'schen 
Fandamental  -  Versuch  machen.  Wenn  man  den  Querdrath  elektrisirt,  so 
wirkt  dessen  Elektricität  vertheilcnd  auf  Streifchen  und  Wagebalken ,  bin- 
det in  beiden  die  entgegengesetzte  Elektricität ,  während  dem  die  gleich- 
aamige  durch  Auflegung  des  Fingers  auf  den  Zuleitungsdrath  abgeleitet 
wird.  Durch  die  gebundene  Elektricität  wird  der  Wagebalken  abgestossen, 
der  aber  auch  durch  die  entgegengesetzte  des  Querdraths  angezogen  wird 
and  so  zwischen  beiden  schwebt,  während  die  Torsion  möglichst  klein  da- 
bei gehalten  werden  muss.  Der  Zug  vom  Quordrath  wirkt  aber  gar  zu 
leicht  störend;  denn  ist  er  zu  stark,  so  stellt  sich  der  Wagebalken  parallel 
tber  den  Querdrath  und  ist  dann  nur  zurückzuholen  durch  dessen  Ent- 
kdung.  Auch  verliert  der  Querdrath  in  feuchter  Luft  zu  schnell  seine 
Elektricität,  und  die  etwas  lästige  Ladung  desselben  muss  dann  ebenfalls 
aaf  s  Neue  vollzogen  werden. 

Diesen  Uebeln  wird  abgeholfen  durch  Umformung  des  Querdraths  in 
eine  Qnerplatte  von  1%  bis  2  Zoll  Durchmesser.  Unter  dem  Streifchen,  in 
1  bis  2  Linien  Entfernung  von  demselben,  sitzt  jetzt  eine  kreisförmige 
Hetallplatte,  entweder  an  einen  aufwärts  durch  den  Deckel  gehenden  Drath 
gelöthet,  oder  an  einen  seitwärts  durch  das  Glas  geleiteten.  Die  Platte 
ist  eine  Nachbildung  des  unteren  Theilkreises  meines  Elektrometers.  Wie 
dieser  die  Ursache  ist,  dass  das  Messinstrument  nach  meiner  Constraction 
die  Elektricität  so  gut  festhält,  dass  nach  der  Ladung  ein  Zurückgehen  des 
Wagebalkens  gewöhnlich  erst  nach  Stunden  merklich  wird ,  so  wollte  ich 
durch  die  Platte  beim  Elektroskop  zunächst  auch  dem  öfteren  Laden  dieses 
Hilfsapparates  vorbeugen,  habe  aber  weit  mehr  erreicht;  denn  das  lästige 
Ueruroschlagens  ist  dadurch  auch  vollständig  beseitigt,  ohne  dass  die  Em- 
pfindlichkeit gelitten  hätte.  Jetzt  sind  es. also  hauptsächlich  die  2  Kräfte, 
nämlich  die  gebundene  Elektricität  und  die  Torsion ,  welche  den  Wage- 
balken nach  entgegengesetzten  Richtungen  treiben.  In  dieser  Form  liefert 
du  Instrument  beim  Gebrauche  auch  einen  reinen  Beweis  für  die  Biot'sche 
Theorie  der  Vertheilnng  auf  einem  isolirten  Leiter.  Die  Ladung  des  Hilfs- 
apparates lat  ebenfalls  durch  die  neue  Einrichtung  erleichtert  worden ,  und 
bei  der  Anwendung  ist  das  ganze  Instrument  bequemer  dadurch,  dass  man 
jetzt  den  Wagebalken  kann  unbesorgt  gehen  lassen ,  wogegen  man  früher, 
wenn  er  sich  vom  Sireifchen  entfernte,  schnell  den  Finger  auf  den  Zu- 
leitnngsdrath  legen  musste,  damit  er  nicht  zu  weit  ging  bis  zur  Parallel- 
Stellnng  mit  dem  Querdrath.  Der  Versuch  mit  dem  Pfenning  ist  jetzt  jeden 
Aogenblick  auch  in  der  fouchtesten  Luft  zu  machen.  Ja  die  dreizöllige 
Zinkplatte ,  auf  welche  ich  ihn  stelle ,  zeigt  noch  ganz  deutlich  die  +  Elek- 
tricität. In  diesem  Zustande  ist  das  Instrument  ganz  besODders  geeignet 
nr  Darstellung  des  Volta'schen  Fundamentalversuchs ,  und  Überhaupt  zu 
allen  Experimenten ,  in  denen  sehr  geringe  Elektricitäton  zur  Anschauung 
gebracht  werden  sollen.    Eine  Kupfer  -  oder  ZinkpXaltQ  tükk  «V^^^dl  v^H.  ^\% 

ZriiPchrin  f, Malbtriaalik  u.  Vhynik,  Vi,  .1.  Vb 


218  Kleinere  Mittheihingen. 

Hand  gedrilckt ,  zeigen  sich  schon  ziemlich  stark  —  elektrisch,  von  ehenem 
Holz  nur  aufgehoben,  ebenfalls;  ebenso  Kork,  welcher  auf  Holz  gelegen. 

Will  man  den  Apparat  noch  weiter  treiben  in  der  Bequemlichkeit  sei- 
nes Gebrauches ,  so  elektrisire  man  die  Qnerplatte  andauernd  mit  dem  Pol 
einer  Säule.  Zu  elektrischen  Versuchen,  besonders  zu  Messungen,  ist  eine 
kleine  Wasserbatterie  (Zink  und  Kupfer)  von  50  bis  100  Elementen  so  we- 
sentlich, dass  man  zu  der  Zeit,  wo  man  überhaupt  elektrische  Versuche 
macht,  dieselbe  öfter  brauchen  muss,  weshalb  man  wohl  thut,  sie  gleich 
anfangs  einzustellen  und  stehen  zu  lassen.  Bekanntlich  kann  sie  Monate 
lang  stehen ,  ohne  ihre  Dienste  zu  versagen.  So  kann  man  denn  auch  beim 
Gebrauche  des  Elektroskops  dieselbe  zweckmässig  zur  Elektrisimng  der 
Querplatte  verwenden.  Uebrigens  hält  diese,  wenn  die  Isoliruug  frisch  ist, 
die  Elektricität  jetzt  so  gut,  dass  man  in  einer  Stunde  das  Elektrisiren  der- 
selben nicht  zu  wiederholen  braucht;  und  ist  die  Isolation  nicht  mehr  gut, 
so  ist  ja  ein  einmaliges  Erhitzen  des  Drathes,  an  den  die  Querplatte  ge- 
löthet  worden ,  in  der  Spirituslampo  hinreichend ,  das  Debel  zu  beseitigen* 

Auf  welche  Weise  man  die  Quorplatte  auch  elektrisiren  möge,  man 
muss  nie  unterlassen,  während  der  Zeit  dies  stattfindet,  den  Finger  auf 
dem  Zuleitnngsdrathe  zu  halten,  um  so  die  freie  Elektricität  abzuleiten. 
Ist  die  im  Streifchen  und  Wagebalken  gebundene  Elektricität  +  Elektrici- 
tät, hat  man  also  z.  B.  die  Querplatte  mit  Kork,  welcher  auf  Tuch  gerie- 
hen worden,  elektrisirt ,  so  wird  der  Wagebalken  durch  +  Elektricität  zam 
weiteren  Abstossen,  durch  — Elektricität  zum  Annähern  gebracht.  Durch 
Entziehung  der  dem  Zuleitnngsdrathe  mitgetheilten  Elektricität  geht  der 
Wagebalken  wieder  an  seine  ursprüngliche  Stelle  zurück.  Das  Elektro- 
skop  ist  erst  brauchbar  zu  Versuchen ,  wenn  bei  der  Auflegung  des  Fin- 
gers auf  den  Zuleitungsdrath  der  Wagebalken  keine  Bewegung,  aber  bei 
der  Annäherung  oder  Berührung  mit  entgegengesetzt  elektrischen  Körpern 
entgegengetietzte  Bewegungen  macht. 

Es  sind  mir  Abbildungen  des  Apparates  zu  Gesicht  gekommen,  welche 
auf  dem  Deckel  ein  Glasrohr  zeigen  zur  Verlängerung  des  Coconfadens. 
So  wesentlich  dies  Rohr  beim  Elektrometer  zu  dem  angedeuteten  Zwecke 
ist,  so  schädlich  ist  es  beim  Elektroskop.  Ein  Ooconfaden  von  3  bis  4  Zoll 
Länge  ist  vollkommen  ausreichend  und  ein  längerer  schadet  nur,  insofern 
er  die  Bewegungen  des  Wagebalkens  verlangsamt, /also  weniger  deutlich 
hervortreten  lässt.  Drei  Exemplare  des  Instrumentes,  welche  die  oben 
angegebenen  Erscheinungen  fast  gleich  deutlicli  zeigen,  stehen  vor  mir 
und  haben  alle  einen  Faden  von  höchstens  3  Zoll  Länge.  Sie  sind  aber 
alle  drei  verschieden  construirt.  Bei  dem  einen  gehen  beide,  Zuleitungs- 
drath und  Qnerplatten- Halter,  durch  den  Deckel  hinunter,  bei  dem  an- 
deren geht  der  Zuleitungsdrath  von  oben ,  der  andere  Drath  aber  unten 
von  der  Seite  hinein ,  beim  dritten  ist  es  umgekehrt.  Ich  ziehe  das  zweite 
vor,  weil  seine  Einrichtung  gestattet,   Zuleitungsdrath   und  Querplatten- 


Kleinere  Mittheilungen.  2 1 9 

Halter  jeden  beliebigen  Winkel  mit  einander  bilden  xu  lassen.  Dadurch 
hat  man  ea  also  in  seiner  Gewalt,  seine  Einwirkung  zu  steigern  und  zu 
fehwftehen.  Richtet  man  ihn  dem  Zuleitungsdrathe  gerade  entgegen,  so 
schwächt  man  die  Empfindlichkeit  des  Apparetes ,  was  natarlich  ist,  da  die 
eine  Hälfte  des  Wagebalkens,  welche  dann  über  dem  Halter  schwebt,  von 
entgegengesetzten  Kräften  nach  derselben  Seite  gezogen  wird.  Uebrigens 
hat  es  auch  eine  kleine  Unbequemlichkeit,  das  äussere  Ende  des  Zuleitnngs- 
drathes  oben  zu  haben,  wo  in  geringer  Entfernung  auch  der  Drath  steckt, 
aa  dem  der  Coconfaden  hängt.  Man  muss  dann  genauer  zusehen,  dass 
man  beim*  Elektrisiren  beide  Dräthe  nicht  verwechselt. 

Mechaniker  und  Heransgeber  physikalischer  Lehrbücher  bitte  leb,  yon 
dem  Vorstehenden  Notiz  nehmen  zu  wollen ,  insbesondere  aber  auch  Leh- 
rer der  Physik,  wenn  es  ihnen  darum  zu  thun  ist,  ihren  Schülern  eine 
Menge  elektrischer  Versuche  ohne  Zeitverlust  zu  zeigen  und  mit  möglichst 
geringen  Kosten.  In  der  neuen  Form  ist  das  Instrument  jedenfalls  das  be- 
quemste, empfindlichste,  sicherste  und  billigste  P^lektroskop.  Die  vielseitige 
Anwendung  desselben  habe  ich  schon  in  der  erwähnten  Programm  -  Ab- 
handlung vom  Jahr  1842  gezeigt. 

lieber  das  Elektrometer  weiss  ich.  seit  der  Zeit,  wo  ich  Wagebalken 
nnd  Streifchen  ganz  gerade  gelassen  (Pogg.  Annalen  Bd.  89 ,  S.  209)  von 
keiner  erheblichen  Verbesserung  zu  berichten.  Ich  habe  es  vor  ein  paar 
Jahren  versucht,  dem  Instrumente  eine  Einrichtung  zu  geben,  dass  man 
es  statt  des  Sinus-Elektrometers  gebrauchen  kann.  Vom  Wagebalken  geht 
in  der  Mitte  vertical  ein  feiner  Platindrath  herunter,  welcher  in  ein  kleines 
Näpfchen  mit  einer  gut  leitenden  Flüssigkeit  taucht.  Zwei  Flügel  des 
Näpfchens,  nach  entgegengesetzten  Seiten  gerichtet,  vertreten  das  Streif- 
ehen. Für  schwere  Wagebalken,  wie  sie  zur  Messung  bedeutender  Quan- 
titäten erforderlich  sind ,  ist  die  Einrichtung  ganz  passend ;  ich  sehe  indess 
aus  den  Berliner  Berichten  (Jahrgang  14,  S.  379),  dass  schon  1858  in  einem 
Briefe  an  Volpicelli  W.  Thomson  denselben  Vorschlag  gemacht  hat.  'Auch 
habe  ich  das  Instrument  transportabel  gemacht  in  ähnlicher  Weise,  wie 
Herr  Prof.  Hankel  zu  demselben  Zwecke  sein  Instrument  einrichtete.  Es 
gehen  nämlich  von  entgegengesetzten  Seiten  zwei  dicke  Dräthe  mit  brei- 
ten Köpfen  im  Inneren  in  das  Messinggefäss  hinein;  sie  können  durch  Stell- 
ichranben  festgeklemmt  werden.  Die  Köpfe  fassen  den  Wagebalken  und 
kalten  ihn  beim  Transport  fest.  Papierschäufelchen  sind  unten  an  den 
Rand  der  Köpfe  geklebt  zur  Aufnalime  des  Wagebalkens.  Den  Glasfaden 
ichranbt  man  etwas  herunter  nach  dem  Festklammern  des  Wagebalkens. 
Vor  zwei  Jahren  schon  sind  zwei  Instrumoute  mit  dieser  Vorrichtung  nach 
Amerika  abgegangen,  das  eine  an  die  SiniUisonian  InsliliUion,  das  andere  an 
Herrn  Dr.  Wisliccnus  in  St.  Louis. 


220  Kleinere  Mittheilungen. 

ZDL  Veber  ein  nenei ,  dem  Kalium  nahe  itebendee  XetalL  (Be- 
richte der  k.  preuss.  Akad.  d.  Wissenschaften  1800,  S.  221.)  Bansen  und 
Kirchhoff  haben  dnrch  die  Spectralanalyse  nicht  nur  gezeigt,  dass  das 
Lithium  ein  sehr  verbreitetes  Metall  ist,  sondern  es  hat  sieh  aneh  ihre  Ver- 
mnthnng  bestätigt,  dass  sich  bef  Anwendung  dieser  analytisclien  Methode 
vielleicht  neue,  bis  jetzt  noch  nicht  bekannte  Metalle  durch  die  Eigenthüm- 
lichkeit  ihres  Spectmms  zu  erkennen  geben  würden.  Sie  fanden  n&mlich 
in  der  Mutterlauge  verschiedener  Soolwässer  noch  ein  viertes  Alkalimetall, 
dessen  Dasein  sie  zun&chst  auf  Grund  ihrer  spectral  -  analytischen  Ver- 
suche vermuthen  konnten.  Das  Chlorid  des  neuen  Metalles,  welches  nnr 
in  sekr  geringer  Menge  in  den  Mutterlaugen  gewisser  Soolwftsset  vor- 
kommt, giebt  mit  Chlorplatinlösung  ebenso  wie  Chlorkalinm  einen  gelben 
Niederschlag ,  allein  das  Salpetersäure  Salz  des  neuen  Metaltes  ist  in  Al- 
kohol löslich ,  während  Salpeter  darin  unlöslich  ist« 


IX. 

Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  nnd  auf  der  Kugel  als 
besonderer  Fall  des  allgemeinen  Vierecks. 

Von  Prof.  C.  W.  Baue, 

an  der  königl.  polytechnischen  Schale  zu  Stattgart. 


unter  XII  der  kleineren  Mittheilungen  im  4.  Jahrgange  dieser  Zeit- 
scbrifit  habe  ich  eine  Gruppe  von  Beziehungen  zwischen  den  Seiten ,  Dia- 
gonalen und  Winkeln  des  ebenen  Vierecks  veröffentlicht,  welche  die 
Verallgemeinerung  der  Hauptsätze  vom  ebenen  Sehnenvierecke  in  sich 
tcbliesst. 

In  Folgendem  beabsichtige  ich,  eine  weitere  Verallgemeinerung  dieser 
Art  aas  jenen  Beziehungen  abzuleiten ,  sodann  aber  die  sphärischen  Ana- 
logieen  der  letzteren  aufzustellen.- 

Bezeichnet  man,  wie  dort  geschehen,  mit  a  und  a\  b  und  b'  die  zwei ' 
Paare  von  Gegenseiten ,  mit  c  und  c  die  Diagonalen ,  oder  allgemeiner  ge- 
Mgt,  mit  a  nnd  a\  b  und  b\  c  und  c   die  drei  Paare  von  Gegenseiten  des 
ebenen  Vierecks  in  solcher  Auswahl,  dass  c  einen  hohlen  Winkel  (a,6) 
ivischen  a  nnd  b  theilt,  a\  b\  c    aber  ein  Dreieck  bilden,  so  lauten  jene 
Beziehungen ,  wenn  nur  ausspringende  Winkel  angenommen  werden : 
m  { (6,  c)  —  {b\  c)  i  ^  sin  j  {b\  c)  -  (fe,  c)  \ 
ad  ad 

^  _  sin  \  (g,  c)  —  {d,  c)  \  _  sin  { (g  ,  c)  —  (<i,  c) } 
^J  ^—  bb'  ~  bb' 

sin\{a,b)  +  {d,b')\  sin\ia,b')  +  {a\b)\ 

SS ; = 7 • 

CC  cc 

Ich  erlaube  mir,  den  Satz,  durch  welchen  ich  diese  Gleichungen  in 
Worten  darstellte ,  weil  er  am  angeführten  Orte  durch  einen  sinnstöronden 
I^nickfehler  entstellt  war,  hier  su  wiederholen: 

Beschreibt  man  die  sechs  Kreise  um  je  drei  Ecken  eines 
Vierecks,  so  sind  die  drei  positiven  Quotienten  aus  dem  Pro- 
^Qet  zweier  Gegenseiten   und    dem  Sinuii  de«  \^ii\.^x^OcL\^^% 

IriUekriA  f.  MMlhematik  a.  PhyBik,    VI,  4.  \^ 


222       Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  und  »uf  der  Kugel  etc. 


zweierPeripheriewinkel,  welche  auf  einer  von  beiden  in  zwei 
nicht  von  ihr  getrennten  Bögen  stehen,  einander  gleich. 

Wichtiger  aber  erscheint  für  jetzt  folgende  Deutung  der  Qleichheit 
zwischen  den  drei  vorderen  Quotienten : 

Setzen  wir  der  Kürze  halber: 

(6,  c)  —  {b\  c)  =  6 ,  (a,  c)  —  (ö',  c)  =  e ,  (a,  b)  +  (a  , ^')  = »? , 
so  giebt  die  aus  der  Figur  leicht  ersichtliche  Beziehung : 

in  Verbindung  mit 

aa   bb         cc 

sin  6      sin  e       sin  i; 
die  Winkel  j,  f ,  17  als  diejenigen  eines  Dreiecks  zu  erkennen,  in  welchem 
die  Gegenseiten  den  Producten  aa\  bb\  cc  proportionirt  sind. 

Von  diesem  Gesichtspunkt  aus  erscheint  die  früher  angegebene  Ver- 
allgemeinerung des  Ptolemäischen  Satzes : 

cc^::=  aa  cos  e  +  bb'  cos  d 
lediglich  als  das  Ergebniss  der  Anwendung  der  trigonometrischen  Formel 

c  =  a  cos  ß  +  bcosa 
auf  das  besagte  Dreieck. 

2.  Die  Anwendung  der  Formel 

a«  =  6«  +  c«  —  2bccosa 
liefert  ferner  die  folgenden  drei  Gleichungen: 

a*a*  =  bn'*  +  c^c*  —  2bb' .  cc  .  cos  d 
b^b'*  =  c^c*  +  a^a*  —  2cc  ,aa'  .cos  t 
i^c'^  =  a«a  «  +  6« 6'«  —  2aa.bb\  cos  ly. 
Aus  diesen  ergiebt  sich 

2bb\cc  (a*  +  ö'»)  cosÖ  +  T,  cc  .aa  (6»  +  *'*)  co5e  +  2  ad .  bV  (c"+  c»)  cos^ 
=  (fl*  +  «'•)  (^6'«  +  c«c'«  —  a^d^)  +  (ft«  +  6'»)  {(?c'^  +  a««'«  —  6«6'«) 
+  (^  +  c'«)  («*a'«+6«i>'«— c»c'*). 
Vermöge  der  Beziehung,  welche  zwischen  den  sechs  Seiten  des  Vierecks, 
d.  h.  zwischen  den  Abständen  a,  6,  c  eines  Punktes  von  den  Ecken  eines 
Dreiecks  mit  den  Seiten  a\b\c  und  letzteren  besteht*),  geht  die  rechte 
Seite  der  vorigen  Gleichung  über  in : 

a't  ^'t  c't  +  a'«  ftt  c«  +  flt  ^'t  c  +  a»  6«  c'». 

Durch  Division  der  ganzen  Gleichung  mit  abc.db'c   erhält  man  daher: 

*        i  Ö       0       ^     X     ^       ^       ^1^^       ^_L^  ^ 

\  a     b     c        a     b     c        a     b     c        a     b     c 

Im  Sehnenviereck  istd  =  0,  «  =  0,iy  =  180°,  somit: 


*)  Mention  fiihrt  dieselbe  unter  dem  Namen  relation  t^iragonom^trique 
de  Goldbach  au. 


Von  Prof.  C.  W.  Baüb.  223 

\r      abc        r    ab  c       r    a  bc       f    a  b  cj 
oder  , 

c! d  b'\-ab' 

c       ab-\-  a  b'' 
Zo  diesem .  bekannten  Satze  vom  Sehnenvierecke  bietet  also  unsere  Glei- 
cboDg  i)  die  Verallgemeinerung  dar. 

3.  Die  sphärischen  Analogien  der  Gleichungen  l)  müssen  sich  von 
diesen  hanptsftchlich  dadurch  unterscheiden ,  dass  nicht  mehr  sechs  gleiche 
Quotienten  auftreten  können,  weil  die  für  das  ebene  Viereck  giltigen  Glei- 
ehnngen 

(fc,c')  -  {p\c)  =  {b\c)  -  {b,c),   {a,c)  -  {a,c)  =  {a\c')  -  (a,c), 
(a,b)  +  {a\b')  ==  360°  —  (a,6')  --  (a\b) 
im  sphärischen  Vierecke  nicht  stattfinden.    £s  liegt  nun  aber  der  Gedanke 
nahe,  dass  anstatt  der  sechs  gleichen  Quotienten  deren  nur  drei  vorkom- 
men werden,  welche  die  Sinus  folgender  Winkel -Ausdrücke  enthalten: 
(b,c)^{b\c)  +  (b\c)-{p,c)      {a.c)-{a\c)  +  {a\cy-{a,c) 
2  '  2  ' 

(fl,fe)  +  {a\b')  +  360  <>  —  (11,0  —  {a\b) 
2 
die  wir  nun  in  der  Folge  mit  d,  c,  17  bezeichnen  werden.     Diese  sind  es  in 
der  That ,  von  welchen  im  sphärischen  Sehnenvierecke  die  zwei  erstereu 
verschwinden,  der  dritte  aber  in  180°  übergeht,  weil  z.  B. 

Die  zwei  Glieder  der  letzteren  Differenz  nämlich  sind  vermöge  eines  be- 
kannten Satzes  über  zwei  auf  einerlei  Grundlinie  in  denselben  Kugelkreis 
Wchriebene  Dreiecke  einander  gleich. 

Zum  Zweck  der  Entwickelung  der  fraglichen  Analogien  müssen  vor- 
erst zwei  Formeln  der  sphärischen  Trigonometrie  aufgestellt  werden,  unter 
denen  meines  Wissens  bisjetzt  nur  die  zweite  und  zwar  von  Schmeisser 
als  eine  seiner  Fundamental  formein  bekannt  gemacht  worden  ist.  (Grelle, 
X,  8.  140.) 

4.  Sind  a,  ^,  c^die  Seiten,  a,  /5,  y  die  gegenüberliegenden  Winkel  eines 
sphärischen  Dreiecks,  so  findet  sich  unter  Anwendung  der  Gauss'schen 
Gleichungen : 

.    a      .   a — iJ  +  y         ,    a    ,    a        ß — y         .    a         a    ,  /3— y 

8tn  —  .  sm ^—^'-  =  sm  —  sm  —  cos —  sjn  —  cos  —  stn  ^-— -- 

2  2  222  222 

3)  <  =$m«  — 5in— cor--sm 

'   »  2  2  2  2 

6    .    c  ,    b         c 

=  cos  —  5m stn  —  cos  —  .  cos  «• 

2         2  2         ^ 


224       Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 

,    a  a  —  tf  +  y         .    a         a        ß — y  .     ,    a    ,    a    ,  ß — y 

sm—  .cos -^^stn^cos  —  cos- — -  +  stn  ^stn^stn- ^ 

2  2  222222 

...  .    a         «    .    b  +  c  .     .     a         a    .  b  —  c 

4)   <  =  8in  —  cos  —  stn 1-  stn  —  cos  —  stn  — — — 

^    »  2  2  2^222 

.    b  c     , 

=  sin  —  C05  —  stn  «. 

2  2 

Man  bemerkt,  dass  beim  Uebergang  yom  sphärischen  Dreiecke  auf  das 
ebene  durch  Annahme  eines  unendlich  grossen  Kngelhalbmessers  die  zwei 
obigen  Gleichungen  sich  als  Correlate  der  awei  folgenden  der  ebenen  Tri- 
gonometrie herausstellen : 

a  cosß  =  c  —  b  cos  o ,  asinß^=b  sin  a. 
Erinnert  man  sich  femer,  dass  bei  der  Entwickelung  der  Gleichung  1)  eben 
diese  Formeln  vorzugsweise  in  Anwendung  kamen,  so  kann  über  den  Gang, 
der  bei  der  Auffindung  der  fraglichen  sphärischen  Analogieen  einzuschlagen 
ist,  kein  Zweifel  mehr  obwalten. 

5.  Es  seien  nun  a  und  a\  b  und  b\  c  und  c  die  drei  Paare  von  Gegen- 
seiten eines  sphärischen  Vierecks,  in  welchem  keiner  der  Winkel  (a,^), 
(^9^0i  (^tO)  (^1^)  ^°^  eben  deshalb  auch  keine  jener  sechs  Seiten  180* 
überschreitet,  femer  c  den  Winkel  (a,&)  theilt,  a',  b\  c  aber  ein  Dreieck 
bilden ,  so  hat  man  vermöge  der  in  3.  mit  8  vorgenommenen  Zerlegung  und 
der  Formeln  3)  und  4) : 

stn  —  stn  —  stna 
2        2 

-sin^.cos^^^^^^^^^ 

2  2  2  2 


=  J C05  —  stn stn  —  cos  —  cos  (a,  c)\  .  stn  —  cos  —  stn  (a, b) 

«22  2  2         ^''F  2  2 

.    fl         ^     .   /      \    J        0    .    b  ,    a         b         f    tA 

—  stn  —  cos  —  stn  ia. c) ,  {cos  —  sin stn  —  cos  —  cos  (a, bu 

2  2         ^  ^   ^     (        2         2  2  2  ^  '     > 

=  stn  —  cos-—{  cos  —  stn  —  sin  (a,  b)  —  stn  —  cos  —  stn  {a,  c)J 

—  sin*  —  cos  "T  <^öS  —  j  sf'n  (a,  6)  cos  (a,  c)  —  cos  («,  6)  si«  («,  c)| , 

I '         » 
sin  —  sin  — 

2        2  .    •       ,        ^     .    /     ,N  -  b    .    ,      . 

,  8tnd  =  lang  —  sin  (a,  b)  —  lang  —  stn  (rt,  r) 


.«aftc  ^2^^  ^2 

stn  —  cos  —  cos  —  cos  — 

2         2         2         2  «     .    „     N 

—  /an<7  —  sin  (^^c). 


Von  Prof.  C.  W.  Baüb.  225 

In  Folge  der  stets  zulässigen  Vertansehnng  von  a  und  a*  mit  b  und  6'  än^ 

dert  sich  die  rechte  Seite  nicht,  dagegen  geht  die  linke  tiber  in : 

.    «    .    c' 

sm^  sm  — 

2         2 

stnt. 


,    b  a        b         c 

gm—  cos  —  cos -- cos  " 

2  2         2         2 


Endlich  ist 

2fi  =  (a,6)  +  {a\b')  +  360*  ^  (a.6')  —  (a',6) 
=  360*+  {(a,e)  +  {b\c)  -  {a,b')\  +  \{a\c)  +  (6,c)  -  (a',6)|, 
also: 

.  fl    .    ^'    . 
iw  —  f I«  —  sm  « 
2        2         ' 

.    b'   .  (fl,e)  +  (*',c)~  (a,0      .    ^'       (a\c)  +  (6;c)  — (a',^) 

=  —  «m  —  wi  ^-^-^ — ^— ^-^^ ^ .  51«  —  cos         ^ ^-^—^ ^ 

2  2  2  2 

.    b'       {a,c)  +  {b\c)^ia,b')      ,  a'   ,  {a\c)  +  {b,c)  —  {a\b) 

2  2  2  2 


=  —  l cos  —  stn stn  —  cos  —  cos  (a, c)\ .  stn  —  ccs—  stn  (6, c) 

—  «n  —  cos  —  stn  (a,c) .  J  co*  •—  stn stn  —  cos  —  stn  ib.  c)  \ , 

2  2         ^'1         2         2  2  2         ^»'1' 


a' 

b' 

«m 

—^ 

stn 

• 

2 

2 

c 

a 

6 

c 

tm 

— 

ro« 

cos 

'  —. 

CO« 

2 

2 

2 

2 

,  5m  fi  =  ton^  —  51«  (a,  6)  —  to«^  —  51«  (a,  c) 
—  lang —■  sin  {b^c). 

Tb 

El  seigen  sich  jetzt  also  die  Oleichnngen 

sini  sin  9       sinfi 

5)  .    a    .    a         ,    b    ,    b'         .    c    ,    c 

'  stn— stn—      stn  — stn—      stn  — stn  — 

2         2  2         2  2         2 

dtdurch  gerechtfertigt,  dass  sich  der  Aasdruck 

a         b         c 

coS  —  cos  —  cos  — 

6)  7 t; ,  { tang  ^  sin  (0,  b)  —  (mg  —  sin  («,  c)  —  tang  —  sin  (6,  c)\ 

Stn—  stn  —  stn  — 
2  2  2 

ils  der  gemeinschaftliche  Werth  der  drei  obigen  Quotienten  herausge- 
stellt hat. 

6.  In  den  Gleichungen  5)  sind  nun  die  sphärischen  Analogieen  unserer 
ftr  das  ebene  Viereck  aufgestelltenp  Beziehungen  i)  gefunden.  Dass  sie 
neh  beim  Uebergang  von  der  Kugel  auf  die  Ebene  in  die  letzteren  ver- 
wandeln, ist  unmittelbar  ersichtlich,  desgleichen  dass  sie  für  das  sphä- 
rische Sehnenviereck ,  weil  der  Zähler  jedes  der  drei  Quotienten  und  folg- 
lieh aneb  der  gemeinschaftliche  Werth  6)  der  letzteren  Null  wird,  den  Satz 
Kefem: 


226        Das  8ehnenviereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kugel  etc. 

^  iang  —  sin  (a,  b)  =  lang  —  sin  (6,  c)  +  iang  —  sin  (a,  c) , 

2  2« 

w  elcher  die  sphärische  Analogie  darbietet  zu  dem  für  das  ebene  Sehnen- 
viereck giltigen : 

c  sin  (a,  6)  =  a  sin  (6,  c)  +  b  sin  (a,  c). 
Er  dient  zur  Bestimmung  einer  Diagonale  c  aus  zwei  in  einer  Ecke  mit 
ihr  zusammenstossenden  Seiten  nebst  den  Theilen,  in  welche  sie  den  von 
denselben  eingeschlossenen  Winkel  zerlegt. 

Endlich  geben  unsere  Gleichungen  5)  in  Yerbindnng  mit  der  ans  der 
Fignr  leicht  nachweisbaren  Beziehung 

d  +  «  + 1^  =  180« 
diese  drei  Winkel  als  diejenigen  eines  ebenen  Dreiecks  zu  erkennen,  in 
welchem  die  gegenüber  liegenden  Seiten  den  Producten 

a    ,    a         ,    b    ,    b         ,    c    ,    c 

stn  —  sm  — ,    sm  —  *m  — ,    stn  —  sm  — 

2         2  *  2         2'  22 

proportional  sind.    Und  hieraus  folgt  nun  wieder  ein  erweiterter  Ptolemäi- 

scher  Lehrsatz. für  das  allgemeine  sphärische  Viereck: 

^N  .    c    ,    c  ,    a    ,    a  .     ,    b    ,    b*  . 

/ )         sm  —  sm  —  =r=  5m  —  sm  —  .  cos  i  +  sm  —  sm  —  .  cos  ö , 
2         2  .22  22 

welcher  sich  mit  cosö  =  1^  coss  =  l  in  den  bekannten  Ptolemäischen  Lehr- 
satz für  das  sphärische  Sehnenviereck  verwandelt. 

Bevor  an  die  in  Betreff  der  Winkel  6y  gy  ri  gemachte  Bemerkung  wei- 
tere Folgen  angeschlossen  werden ,  sollen  sich  unsere  Gleichungen  5)  noch 
auf  einem  anderen  Wege  herstellen,  welcher  vermöge  der  nebenbei  auf- 
tretenden Ergebnisse  von  Bedeutung  ist. 

7.  Der  eine  Durchschnittspunkt  der  beiden  Grosskreise,  welchen  die 
Seiten  b  und  b'  angehören,  liegt  als  Ecke  der  Seite  a  eines  sphärischen 
Dreiecks  gegenüber,  in  welchem  dieser  Seite  die  Winkel  (a, 6)  und  («,0 
anliegen,  und  der  dritte  Winkel  in  jener  Ecke  mit  {byb')  anzugeben  ist. 
Bezeichnet  man  mit  Y  und  y  die  sphärischen  Entfernungen  derselben  von 
den  Endpunkten  der  Seite  A,  mit  Y'  und  y  diejenigen  von  den  Endpunkten 
der  Seite  b*  in  solcher  Auswahl,  dass 

8)  Y—y  =  b,   r-y=b\ 

so  giebt  das  Dreieck  (y,  c\  Y')  vermöge  der  Gauss'schen  Gleichungen : 

stn  —  sm  ^       '  '-1-!— -^  r=  sm  —  cos ^^-^— ^ — ^— 1_^  =^  sm stn  — —-^ 

2  2  2  2  2  2 

.    c        {b,c)  +  {b\c)         .    c     .   \m^-{b,c)-(b\c)  {b,b')    .    r-y 

sm  —  cos  ^       '   -—^ — -  =  stn  -  stn ^-^— ^ — 1_!— i  =icoS' stn , 

2  2  2^2  22' 

das  Dreieck  ( F,  c\  y) : 

stn  -  stn  ~ -— — -  ==  stn  —  cos ^^ — ^-^—^  =  sm stn ^ 

2  2  2  2  2  2 

.    c         {b\c)  +  {b,c)         .    c    .   i80<>-(//,O-(i»,c)  (b,b')    .    Y-y 

stu  —  cos  ^—^^-'  --L-L-i  z=z  sm  —  stn ^         — ^-^— ^  =  cos sm — , 

2  2  2  2  2  2 


Von  Prof.  C.  W.  Baub.  227 

ibo: 

.  c    .   c    .   . 
tm—nn^  sino 
2        2 

.    c    .    c'   .  {h,c)  +  {b\c)  —  {b\c)  —  (b,c) 

=  stn—  stn—stn ^      /  »   v   ' — i i_L.^i v_l>^ 

2         2  2 


:«>,('l^eo,M/'.„ZjH.-il=»_...i:jr».„I'+»'^ 


Isin — —-^nn sm -nn — -^) 

\  2  2  2  2     / 


c        c 
1  ^1«  —  51«  —  sin  d 
\       2         2 

'^^^         .  /l.,.'^  /"•  ^  •  y     ^'     y      •  y'     y       y     y\ 

=:sm(b^b) .  [stn-- stn  — cos —  cos^  —  stn  —  stn  — , cos  —  cos  -  ), 
^'\22  2  2  22  2  2/ 

dM  Dreieck  (a,  7,  7'): 

.    fl    .  (a,6')  — (a,6)  {b,b')    .    F— r 

*in  —  stn  ^-L^ ^-L-L  =  cos  ^-^— ^  W/i 

2  2  2  2 

.    a       {a^b')  —  {a,b)        .    (6,6')   .    7+ F 

«n  --  cos^--=—^ ^-^-^  =  ««  ^-^— ^  5m  — = , 

2  2  2  2' 

dag  Dreieck  {a\  y,  y) : 

2  2  2  2 


stn---cos^      ^  ^  =  wt^-^— ^wt^^-^-^, 

2  2  2  2' 


aUo: 


«n  —  »in  —  5in  « 
2         2  ' 


2         2«  2  > 

'/"  .  i^— y^  .  y+y'     .  7+7'  .  y— A 

[stn sm- \-stn stn- — ^1 

\  2  2^2  2     / 


=  ,,>/Ml eo5^^'^  ^-  ^-^'  -^+*''  -  -  ^"^  ^'  -^-^''1 


2  2 


li/i -51/1-- 5m  iy 

2  d 

=  51«  (6,6')  .  [sin-^sin^cos — cos^  —  51«  —  .stn^cos  —  cos--]. 
^^\22  2  2  2  22         2/ 

Es  wird  zur  Bechtfertignng  der  zwei  folgenden  Gleichangen ,  sowie 
tar  ErklärQDg  der  darin  gebrauchten  Zeichen  nichts  weiter  gesagt  werden 
müssen,  als  dass  durchgängig  a  und  d  und  6  und  b'  vertauscht  worden  und 
JT,  X,  X\  X  an  die  Stelle  von  7,  y^  Y\  y  getreten  sind. 

l  ,    e    ,    c'    .  ,    b    ,   b'   , 

i  51«—  5m—  5m  s  =  Stn  —  stn  —  sinn 

j    2    2  22' 

M  ,  (     X       X       X'       X  X*      X        X       x\ 

I      =  sin (a, a)  (  51«  —  51«  —  cos —  cos sin"—  sin  —  cos—  cos— )> 

[  ^'^\2222  222         2/ 

Bezeichnet  man  endlich  die  Abschnitte ,  in  welche  die  Seiten  c,  c  einander 
Mlegea,  mit  2,  z,  Zy  z  in  solcher  Auawahl,  dass 


228       Das  Sehnenviereck  in  der  Ebene  und  auf  der  Kagel  ete. 


und  h  mit  Zand  Z  ein  sphärisches  Dreieck  bildet,  in  welchem  ihr  der  Win- 
kel (c, c)  gegenüber  liegt ,  so  giebt  eben  dieses  Dreieck  (6,  Z,  Z) : 

«•„ *  «„ ip^<n-i>,c)      (c, c)   z-z 

sin  —  stn =:  cos stn 

2  2  2  2 

sin  —  cos =  stn stn  • , 

2  2  2  2' 

das  Dreieck  {p\  Z,  Z) : 

.    b'      .   {b\c)  —  {p\c)  {c,c')    .  z—z 

stn  —  .  stn  i-L-i— -i_2_^  s=  cos  ^-^-^  stn 

2  2  2  2 

stn  —  ,  cos =  stn •  stn         •  , 

2  2  2  2' 

also: 

51«  —  Stn  —  «m  d 

12W       ^        ^ 

^  ^  .  (^,0       (c,c)/  .  Z—Z   ,  z+z        .  Z+Z   .  «'— A 

=  ««  ^ cos  —^ — i  l  stn stn stn stn 1 

2  2\2  2  2  2/ 


^  '    '  V      2        2 


Z*        z         ,  Z    .    z        Z        z' 

—  cos stn— stn  —  cos  —  cos  — 

2  2  2         2         2         2. 


Ebenso  darch  Vertanschnng  von  a,  a\  z  mit  6,  6',  Z* :  ^ 

sin  ~  sm  —  siit  c 
2        2 

=  stn{c,c)\sxn-stn-cos-cos-  —  stn-stn-cos-cos-y 

Die  Gleichungen  10),  11),  12),  13)  lassen  sich  jetzt  in  folgender  Gruppe 

zusammenstellen : 

sin  d  sin  s  sin  ij 

.    a    ,    a  ,    h    .    b'         .    c    ,    c 

stn  —  sm  —  stn  —  stn  —       stn  —  stn  — 

2         2  2         2  2         2 


sinia.a)  (  ,  X    .    x        X       x         .   X    ,  x        X        x\ 

= ri y  Astn  —  stn  —  cos—  cos stn  —  stn  —  cos  —  cos  —  ) 

,    b    ,    b     ,    c    .    c     \       2        2  2         2  2         2         2         2/ 

«tn  —  stn  —  «m  —  «»  — 
2         2         2         2 

sin{b,b')  [  .    Y   .   y        r       y'        .    F'  .    y         Y       y\ 

= 7 ;.  l  stn—stn  —  cos — cos^ stn — stn —  cos  — cos—  I 

.    c     .    c    ,    a     .    a     \2        222  222         2/ 

stn  —  stn  —  stn  —  stn  — 
2         2         2         2 

(sinicyc)  f  ,    Z  .    z        Z        z         .Z,z         Z         z\ 

— ^^ — -.1  stn— stn  — cos  —  cos stn— sin- cos—  cos—  i. 

\2        2  2  2  22         2  2/ 


.    a     ,   a  b         b 

stn  —  stn  —  stn  —  stn  — 

2         2  2         2 


'Diese  Gleichungen  geben  den  Zusammenhang  an,  welcher  im  allge- 
meinen sphärischen  Vierecke  zwischen  solchen  Grössen  stattfindet,  welche 
vermöge  bekannter  Sätze  im  Sehnenvierecke  sämmtlich  verschwinden. 
8.    Um  von  unseren  Gleichungen  5)  dieselbe  Anwendung  zu  machen. 


Von  Prof.  C.  W.  Baur. 


229 


welche  in  2.  von  den  Oleichnngen  l)  gemacht  wurde,  mit  anderen  Worten: 

am  die  für  das  sphärische  Sehnenviereck  giltige  Beziehung 

c  ah  ab 

sin—      sin --sin 1-  5f>i  —  sin  — 

2  2        2^22 


,    c  .    ö    .    ft    .     ,   a    ,   b 

fin  —      stn  —  stn  — i-  sm  —  stn  — 

i2  2         2  2        2 


för  das  allgemeine  sphärische  Viereck  zn  erweitern ,  muss  erst  die  Bezie- 
hung zwischen  den  sechs  Seiten  des  letzteren,  oder  zwischen  den  sphäri- 
schen Abständen  a^  b^  c  eines  Punktes  von  den  Ecken  eines  Dreiecks  mit 
den  Seiten  a\  b\  c'  und  den  letzteren  hergestellt  werden. 

Die  schon  in  2.  gebranchte  entsprechende  Beziehung  in  der  Ebene 
htbe  ich  anter  XXIV  der  Kl.  Mitth.  im  5.  Jahrg.  dieser  Zeitschrift  in  fol- 
geader  Form  angegeben : 

2a«,         a«  +  (^-^cS  a»  +  c«— 6'» 
a«  +  6«  — c'«,         2b\         6«  +  c«— a'« 
a«  +  c«  — 6'«,  b*  +  (?—a\         2c« 
Termittelst  eines  dort  mehrfach  in  Anwendung  gekommenen  Verfahrens 
Uiit  sich  dieselbe  auch  so  schreiben : 

0,     +1,  +1,  +1,  +1 
+  1,      0,       a\     b\     c« 


14) 


0  = 


0, 


5'« 


0, 


15) 


+  1.       a\ 

+  1,       h\ 

+  1,       c\      d'«,     a\     0 
Durch  Aosfühmng  der  Determinante  erhält  man : 

'  0  =       2  (a«  +  «'•)  (—  a«a  «  +  b^b'^  +  t^c*) 
+  2  (6«  +  6'»)  (+  a*  a  «  —  6«  6'«  +  c«  c'*) 
+  2(<?  +  c«)  (+  a«a'*+6*6'«— c»c'*) 
_2a«6'»c'»  — 2a'»6V— 2a»6'V  — 2a«6*c«. 
Die  Beziehung  zwischen  den  Cosinus  der  sechs  hohlen  Winkel,  welche 
durch  vier  von  einem  Punkte  im  Raum  ausgehende  Geraden  gebildet  wer- 
den, oder  zwischen  den  Cosinus  der  sechs  Seiten  des  sphärischen  Vierecks 
vorde  dort  zwar  nicht  angeschrieben,  aber  durch  die  Gleichungen  12)  und 
15)  SU  folgender  Form  vorbereitet : 

1 ,  cos  a ,  cos  b ,  cos  c 
cos  a ,  1 ,  cos  c\  cos  b' 
cos  b ,  cos  c\  1 ,  cos  d 
cos  c,  cosb'\  cos  «',     1 


0  = 


Hieraus  folgt  auch : 


0  = 


1,         1,  l,  1,  l 

1,  0,  1  —  cosa^  l — cosb^  1 — cosc 
1,1 — cosa^  0,  1  —  co5c',  1 — cosb' 
1,1 — cosby\  —  cosc\  0,  1 — cosa 
1,  1 — coscy  l-r-co*6',  1  —  cosa\        (i 


23Q       Das  Sebnenvf  ereck  in  der  Ebene  und  anf  der  Engel  ete. 

oder:  .  • 

+  t,  +1,     +1,     +1,    +1 

+  1,     0,     $in*^,ii^t,,üfj 


0  = 


0  ./ 

Bei  VergleiehuDg  dieser  Determiamiite  mit  deijenigen  in  14)  findet 
siehi  dass  man,  nm  aiiM  der  Oleio&Qng  IS)  die  entspreebeode  spiülnelie 
abzuleiten ,  nicht  nnr  überall  die  Seiten  des  ebenen  dttreh  die  Sinos  dar 
halben  Seiten  des  sphärischen  Vierecks  su  eiisetaen,  sondern  anch  noch 
auf  der  Rechten  folgendes  Glied  doppelt  beisnfügen  hat; 

0,    «m«-,  ««•-,««« - 


16) 


2  2  2  2  2 

—  4  *m'  --  «ir  --  «»•  —  ««•--. 
2  2  2  2 


,  stn*  —  I 
2/ 


Vermöge  5)  und  7)  wird  aber  der  Minuend  dieser  Differenz : 

{««■--'"•*T  +**^7"  ^'^T  —  ^««  —  «m—  coff  +  fte  — SM— ro^dVi 
'2  2  22\22  22/' 

=•  { sinF  —  sin*  —  5m*  i  +  «/«*  —  *i/i*  —  sin*  ö 
«2222 

.    a     ,    a    ,    b     ,    b'        ,  i* 

—  2  5IW  —  stn  —  sw  —  fi/i  —  coso  cos e \ 
2         2         2         2  f 


Ä' 


fa.fl.o.o...  .0.    «.«.'>        •  1 

2  «m  —  «1/*  —  sm  —  ««  —  sm  ö  stm  —  2  «in  —  stn  —  5m  —  5m  -  cos  ö  cos  f\ 
2         2         2         2  2         2         2         2  ' 

.  ^  a     .-fl     .,&     .,ft       j/.  ,    \        ..»^     -••'.t^       »^'     ^ 
=  4  5m*  —  5m"  —  strr  —  sm*  —  cor  (ö  +  f)  =  45m'  —  sm*  —  sm*  —  sm*  —  co5"« 
2  222^^  2222' 

und  der  ganze  Ausdruck  16) : 


—  4  sin*  —  sin*  —  sin*  —  sin*  —  sin* 


n^ 


wofür  auch 


■'• 


I 


Von  Prof.  C.  W.  Baub.  231 

—  4  «n  —  wn  —  ««  —  stn  —  strr  —  stnr  —  stn  o  sm  t 
2         2         2         2  2  2 

gesetzt  werden  könnte.     Wird  jetzt  Gleichung  15)  mit  2  durchdividirt  und 

16)  nur  einfach  beigefügt,  so  stellt  sich  als  gesuchte  Beziehung  zwischen 
dcD  sechs  Seiten  des  sphärischen  Vierecks  folgende  dar: 

/0=  I  nit*  — V-sm*  —  )    I  — ÄtM*—  strr  — i-sin*—  stn*  —  +stn*  —  sin*  —  i 
\2^2/\  2  2^2  2^2  2/ 

I    /^  .  t  ^    •     .  •  ^  \    /  I     •  1  ^     •  «  ^'        •  1  ^     .  •  *'   .     .  t  ^     .  »  ^'\ 
+  (  wi* — h«ii'—  1    l  +*i«'—  stn* stn*—  stn*  -  +sm*—  stti*  —  ] 

^  \        2  ^         2/\^         2  2  2  2^         2  2/ 

im  .     /    .  •  <^      .       .   •  <^'\      /  .      .  •  «       .•<*'.       .   t  ^       .   •  *'  .   .  <?       .  •  <^'\ 

IT)  \   +1  *«w* |-5i/r  —  I    1  +stn\—  stn*  — 1-  5i/r  —  sm* stn*  —  sm*  —  i 

M    ^  \        2  ^         2  y    \^       '2  2  ^         2  2  2  2  / 

—  sm*  —  5m'  —  5i/r stn^  —  stn*  —  «i/r sin^  —  stn*  —  stn*  — 

222  2»22  222 

.,«     .,6     .  ,  c'        ^    ..ö     .  »  «'       1^     •  •  ^     •  1 

— n«'  —  stn*  —  «n' 4*m'  —  ««'  —  ^iir  —  sm'  ~  stn*  w. 

2  2  2  2  2  2  2' 

Sollte  der  Zweck  es  erfordern,  dass  nur  die  Seiten  ohne  17  vorkämen, 
so  hätte  man  auf  die  ursprüngliche  Form  des  Ausdruckes  16)  zurückzu- 
greifen.    Dasa  beim  Uebergang  von  der  Kugel  auf  die  Ebene  Gleichung 

17)  wieder  in  Uebereinstimmung  mit  15)  kommt,  weil  ihr  letztes  Glied  als 
eines  vom  achten  Grade  neben  denen  des  sechsten  verschwindet,  ist  leicht 
emcbtlich. 

9.  Schreiben  wir  jetzt  vermöge  der  in  5.  gemachten  Bemerkung  fol- 
gende der  Gleichungen  an: 

.#«.•«'         .«^     .•^'   •     .  •  ^    .  •  <?'  .    b    .    b'   .   c    ,  c 

«n'—  svi*  —  =  stn*—  Stn* h  stn*  —  stn* %stn  —  stn ^  stn—  stn  —  cos  0 

22  22  2c  22         2         2 

.  t  ^    .  •  b'         ,  ,  c     .  •  c'         .  ,  a     .  ,  a'  .    c     ,    c    ,    a     .    a 

W^stn*-  -  =zsin*'-strr h stn*  —  stn* 2*m  —stn  — stn-- stn  —  cos  t 

22  22^2  2  22         2  2 

.Vi c    .  ,  c'         .  ,  a     .  ,  a'         .  9  b     .  ,  6'  ,    a     ,    a     ,    b    ,    b' 

*wr  -  stn*  ~  =  stn*  —  stn* J-  stn*  —  stn* 2  5m  —  stn   -  sm  —  stn  —  cos  ri, 

2  2  2  2  2  2  2222" 

•0  geben  diese  vermöge  17) : 

« /  .  1  ^    .     .  *  A    •   ^     •    ^    •    ^     .    ^'        s 

2 1  stn* h  stn*  —  1  stn  —  stn  —  stn  —  *f;i  -  -  cos  0 

\2^  2/2         22         2 

•  -.  /  .  t  *    .     •  9  b'\    .   c     ,    c     .    a     ,    a 

+  2 1  stn* h  sttv  —  )  stn—  stn  —  stn  -  -  stn  —  cos  a 

\        2  ^  2/2         2         2         2 

.      /  .  •  c    .     .  •  c\    ,    a    ^   a    ,    b    .    b* 

+  2 1  stn* \-  stn*  —  J  stn  —  stn  —  sm-  stn  —  cos  ri 

\2^  2/2         2         2         2 

.  ,  a     .  ,  6'    .  ,  c,      .  •  ^''    .  ^  fr     .  t  ^     .       .1  ^     •  1  ^     •  «  ^ 

SS  sm*  —  stnr  —  stn*  -    +  stn*      sttf  ~  svr  —  +  sttr  -    5i/r  --  sm*  — 

2  2  2^222^  2  22 

.        ..«  .fr        ,   .  C      »  .   m  ^       ••«'      ..fr        .«fr  1 

+  Stn*  —  stn*  —  stn*      +  4  5m'  —  stti*  -  «tw*  -  «m'  -  stn*  tf, 
'222  2222' 

Die  Division  mit  dem  Troduct  der  sechs  Sinus  der  halben  Seiten  giebt 

i^^h  einer  nahe  liegenden  Umwandlung,  welche  vermöge  5)  mit  dem  letz- 

^  Glied  vorgekommen  wird : 


232        Das  Sehnenvicreck  in  der  Ebene  nnd  auf  der  Kagcl  etc. 


.    a         .    d  .    b         .    b' 

\stn —      stn — /        *:  ^stn —      stn — / 


cost 


18) 


.  h'      .   e' 
stn —  sm  — 
2            2 

.    c    ' 

stn- 

.    a 

-1 

r       ^  1  •-"'  'y 

51«  — / 
2 

.    b       .    c         .    a      .6' 
«w —  sm —      stn —  stn  — 
2           2               2           2 

.   b       ,    c          .   a       .    b 
stn —  stn —      stn —  sm  — 
2           2               2            2 

.    c       .    c      .    .    . 

.  c 
smj 

"-- 

.    b-    .    c    ^ 

.    «       .    6 
«in —  stn  — 
2           2 

+    .   «'  •    .   6' 
«;i-—  «in-— 
2            2 

.  c 
sm- 

• 

.    c 
stn- 

Wie  diese  Gleichung  mit  6  =  0,  €  =  0,  17=3  180®  in  die  oben  fttr  du 
Sehnenviereck  angegebene  übergeht ,  erhellt  aus  dem  in  3.  vorgekommeneD 
entsprechenden  Uebergang  für  das  ebene  Viereck. 

10.  Die  Fläche  des  sphärischen  Vierecks. 

Bezeichnet  man  mit  A  und  B  die  Flächen  oder  die  in  Theilen  des  Halb- 
messers ausgedrückten  Excesse  der  Dreiecke  (a ,  6,  c)  und  (a,  b\  c) ,  so  ge- 
ben bekannte  Formeln: 

ö'         A  b  c    ,     .    b     ,    c         ,,     . 

cos  —  cos  —  =  cos  —  cos hstn  —  stn —  cos  (0,  r), 

2    2       2     2^2    2    ^       ' 

b'         B  a  c    ,     ,    a     .    c         ,      . 

cos  —  cos  —  =  cos  —  cos h  stn  —  sm —  cos  (a,  cu 

2  2  c  2^2  2  ^''' 

a     .    A  .    b     .    c  y^ 

cos  —  stn  —  =  «w  —  stn  —  stn  ib.  c), 

2         2  2         2^'    ^* 

b'     ,    B  .    a     ,    c     .    ,       . 

cos  —  stn —  =  sin  —  stn —  stn  (a,  c), 
2  2  2  2^'^ 

daher,  wenn  mit  V  die  Fläche  des  sphärischen  Vierecks  bezeichnet  wird: 

a\      b'  V  a  b'  (        A 

—  bos  —  cos  —  =  cos  —  cos  —  l  c 
2  2  2  2  2   \ 


cos 


cos  —  cos 
2 


B         ,    A    ,    B\ 

stn  —  stn —  I 

2  2         2/ 


a  b         ,  r 

:  cos cos COS^  — 

2  2 


+  Sin  Y  sm  —  sin*  —  cos  (a,  b) 


oder: 


2     ■  2  2  2 

.     .    <*         c   (        ^    .    b        /.     X  ,         b     ,    a        .       k 
+  stn  — cos— { cos  -  ~  stn  —  cos  (6,  c)  +  cos  —  sm — cosia.b)} 

19) 
b'       V  .a^b^c 


a        a         b        b         V  ,a       ,ö        •^..•^.        ..^        /,n 

4  cos-  COS"  cos— cos—cos  -  =  4 cos*  —  cos^  -  cor  — h  sm^-Z'  stnastn b cosiaJb) 

22222  222  2  "^'^ 

+  C05*-  .  sin  b  sin  c  cos  (b^  c)  +  co^  ■■   .  sin  a  4in  c  cos  (a,  c). 
2  • 


Von  Prof.  C.  W.  Baüb.  233 


Hier  wird  nnn : 
tmatinb  cos  (a,  b)  =  cos  c  —  cos  a.cosb 


.,c,^      •«.  •  ^  •«       ^b 

=  —  2  Sirr  —  +  2  cosr f-  2  cor 4  cor  —  cos^  — 

2  2  2  2  2 


iwft  «n  c  cos  (6,  c)  =  ro5  a  —  cos  b  cosc 


•    ö.  m    b       ,  -C  .6  .c 

=  2  CO«»  -—  +  2  cor  -r  +  2  cos* 4  cos^  —  cos* 2 

2  2  2  2  2 

IM a m c  cof  {a^c)  •=  co*  6'  —  co*  a  cos  c 

.«,  .ft.  «c  .  a       .c 

=r  2  cor h  2  C05» 1-  2cor  —  -^4  cor  —  cos* 2. 

2  2  2     •  2  2 

Didnrch  nimmt  Gleichnng  10)  folgende  einfache  Oestalt  an : 

i«        «         ab         b'         V  .  ö        .ö'    ,       .  *        >' 

i  2  cos  —  cos  —  cos  —  cos  —  cos  —  =  cos*  —  cos* h  cor  —  cos*, — 

20x1  22222  2  2^2*2 

—  sin*  —  sin*—. 
,       1  2 

Gleichung  7)  giebt  aber: 

'  %^'     .  •  ^'         .  t  ''^     .  t  ^     I     .  •  ^     .  •  *' 
5tw'  —  strr  -^  =  sxrr  —  sirr h  »in»  —  «m»  — 

2  2  2  2  2  2 

+       .    a     .    «'    .    ^     .    6'         . 
2  *m  —  «w  —  stn  —  s%n  —  cos  o  cos  t 
2  2  2  2 

—  stfT  —  stn*  —  stn*  i  —  stn*  —  stn*  —  »in»  o , 
2  2  2  2' 

odsr,  wenn  die  swei  letzten  Glieder  vermöge  der  Gleichung  ß)  in 

a     ,   a     .    b     ,    b'     ... 
—  2  »tn  —  stn  —  »in  —  »in  —  »in  o  »in  « 
2  2  2  2 


xBMmmengezogen  werden: 


•m»  —  »in»  — 
2  2 


(,   a    ,  a  .     .    b    ,  b^         ,   a    .  a    ,   b    ,  b .  ,  ..».x 

fwi  —  »in — h  «w— »in—  J  —  2  »IM — stn—  stn—  »in— (1  —  co»  o  co»  f+»in  d  »in  i) 
2        2  2        2/  2        2        2        2"^  *  ' 

=  l«m— »in~  +  »in— »in—  1  —  4»fn— »in— »m— »in-  cos*—  , 
\2222/  22        2        2  2 


^ie  Addition  beider  Seiten  der  Gleichung  20)  zu 

a         n         b         b 

2  cos  —  cos  —  cos  —  cos  — 

2  2  2  2 

r>«bt  daher 

a         a         b         b'      ,  F  ,    a     ,    a    .    b     .    b'      . « 

4  CO»  —  cos  —  CO»  —  cos  —  CO»»  —  =  4»in  —  »in  —  »in  —  »in  —  cos*  — 

22224  22222 

+  ^co»  j  ^0»  -  +  cos  -  cos  -j  —  [stn  -s^n-  +  stn  -  stn  -j 

oder 


184    Da«  Sehnenviereck  in  der  Ebene  etc.  Von  Prof.  C.  W.  Baür. 

QiN  «         ö         *         ^'     ^^        .   a    ,   a    .   b    ,    b'     ^^ 

21)  cos  •- cos -r  cos  T  cot  ^  cor  —  =s ««  — .««  —  ««  —  tm  —  cor  — 
^  222  2  42         2         22  2 

+  cos .cos — ' 7^ .cos 

4  4  4 

a—a-r-b  +  b'   • 

.  cos . 

4 

Die  Sabtraction  statt  der  Addition  liefert: 

22)  cos-cos-^cos-cosjsm*j::ü—siH'^sdijsinjsm^co^^ 

_a  +  a'+6+d'     .  «— fl'  +  *  +  6'      .  a  +  a—b  +  b' 

■^  Mft  "  •  Sin  '      —  •  wi  ■   ' 

4  ,4  4 

.                                               .   a  +  a-j-b  —  b' 
.sm • 

4  *  / 

Beim  Uebergang  auf  das  Sehnenviereek  wird  -^  =  00^  et  st^en  sich 

also  die  Formeln  ein,  welche  nach  einem  Citat  auf  S.  370  in  Leeoinie, 
LefonSy    sur   la   ihSorie   des  fonciions  eircutairek  [PoH»^  täOtl' 
BacheUer  1858)  im  XEL  Band  der  mir  im  Augenblick  nicht  inglUigliehen« 
Annales  de  MalhimaHques  entwickelt  sein  sollen. 

Wie  diese  Formeln  anf  diejenige  des  Simon  L hall i er  führen,  wenn 
tnan  eine  Seite  des  Vierecks  verschwinden  Iftsst,  liegt  am  Tage. 

Hiermit  wird  mian  die  im  IL  Band  von  Ornnerl*f  Archiv  im  Jahre 
1842  von  Herrn  Professor  Dr.  Strehlke  aufgeworfene  und  in  den  neueren 
Jahrgängen  wieder  mannigfach  lur  Sprache  gekommene  Frage  endgiltig 
beantwortet  finden. 


X. 

üeber  die  zweckmftssig^te  Fonn  der  SpitzgeschoBse. 

Von  W.  H.  VON  RoüVRoy, 

K.  S.  Generallieateaant. 


Die  Anwendung  von  Spitzgeschossen  bei  den  Feuerwaffen  führte  auf 
die  Frage,  bei  welcher  Gestalt  ihrer  Spitze  dergleichen  Geschosse  den  ge- 
ringsten Widerstand  von  der  Luft  erleiden ,  und  obgleich  man  diese  Frage 
Torzngsweise  auf  dem  Erfahrungswege  zu  lösen  suchte,  so  fehlte  es  doch 
raeh  nicht  ganz  an  Bemühungen  zur  Lösung  derselben  durch  die  Theorie. 
Za  letzteren  gehört  die  Bearbeitung  des  in  der  Ueberschrift  genannten 
Problems,  und  kann  man  diesem  Gegenstande  auch  keine  grosse  Bedeu- 
tong  für  die  Praxis  beilegen ,  weil : 

1)  die  Newton^sche  Theorie  über  die  Grösse  und  Richtung  des  Wider- 
standes der  Luft  sich  in  der  Erfahrung  nicht  ausreichend  zeigt,  und 

2)  die  Achsen  der  Spitzgeschosse  nicht  den  allmäligen  Veränderungen 
^     der  Richtung  der  Bewegung  folgen ,  sondern  nach  und  nach  immer 

grössere  Winkel  mit  dieser  Richtung  bilden, 
•0  fllhrt  doch  die  gedachte  Untersuchung  auf  eigenthümliche  Umstände, 
deren  Mittheilung  vielleicht  nicht  ganz  ohne  Interesse  sein  dürfte. 

In  dem  Nachstehenden  wird  zu  dieser  Untersuchung  ein  rechtwinkliges 
Coordinatensystem  (s.  umstehende  Figur)  benutzt ,  dessen  Achse  der  y  die 
geometrische  Achse  des  Geschosses  ist,  und  dessen  Anfangspunkt  S  von 
dein  Geschoss  aus  nach  der  Richtung  der  Bewegung  hin  liegt.  Der  Halb- 
messer AB  des  mittleren  cylindrischen  Theiles  am  Geschoss  sei  die  Ein- 
l>«it  aller  Längen,* und  in  Beziehung  auf  diese  MaaHseinheit  die  Geschwin- 
digkeit des  Geschosses  v,  die  Beschleunigung  der  Schwere  g  und  das  Ge- 
viert der  Ranmeinheit  Luft  q.  Es  werde  ferner  zunächst  nur  im  Allge- 
Qeinen  der  Widerstand  TV  betrachtet,  welc.her  die  durch  Umdrehung  des 
Bogens  ^C  um  die  Achse  der  y  erzeugte  Fläche  BCCfBt  unter  den  im  Ein- 
S^  gedachten  Voraussetzungen  von  der  Luft  erleidet* 

Stellen  hierbei  SG  und  iS^iTdie  Abscissen  x  und  x  +  dx^  GEundHFdiG 
'tgefadrigen  Ordinaten  zweier  Punkte  E  und  F  der  Eiix^u^uü^'^^^r«^  ^w^ 


236  Ueber  die  zweckmftssigste  Form  der  Spitsgeschosse. 


und    bezeicbnet   man   den  Winkel  KEF  ^=:>  00  <^  ^  FEI  mit  /},   i 

sogleich : 


1) 


sin  ß  = 


/i+? 


cos  ß- 


-=L^  =  sin  FEI 


folgt,  so  ist  der  Widerstand,  welchen  das  durch  Umdrehung  Yon  E 
zeugte  ringförmige  Flächenelement  in  der  Richtung  der  Bewegung  erl 


=  2xn  .  dx  , 


q  sin*  FEI  ^=1 


:  dX, 


Bezeichnet  man  daher  die  Coordinaten  des  Anfangspunktes  C  di 
zeugenden  SD  mit  b^  DC  mit  o,  und  die  zweite  Coordinate  des  Endpi 
B^  SA  mit  A,  so  ist,  da  AB=zi  war: 

1 

X 


2) 


-=T*/rT^ 


idx. 


Soll  W  ein  Kleinstes  sein,  so  muss  auch  die  Variation  von  Jf 
werden,  und  betrachtet  man  6,  c  und  h  als  gegebene  unver^Cnderliche 
sen,  so  kann  man,  bei  der  Entwickelang  von  6fF,  dx  durchgängig,  u 
da,  wo  dieselbe  nach  theilweiser  Integration  ausserhalb  des  Integi 
chens  vorkommt.  Null  gesetzt  werden.  Berücksichtigt  man  endlich 
dass  allgemein : 


Von  W.  H.  VON  RoDVBOY.  237 


iJxdx=Ji{Xdx)  nnd  idy=iidy 
ist,  80  ergiebt  sich: 

'-=/'[rt^"]=/-(i^"-'- 


tni^q 


1 

=/- 


0 


Durah  theilweise  Integration  erhält  man : 

VIS  sich  bei  der  Beziehung  anf  die  festen  Ghrenzen  b  nnd  1  des  Integrals 
der  obigen  Bemerkung  gemäss  anf 

b 
ndncirt.     Da  nun  6y  willkürlich  ist,  so  kann  dieser  Gleichung  nur  durch: 


r  ^^  1=0 


g;e  gescheben,  woraus,  wenn  A  eine  noch  zu  bestimmende  Constante 
bettiehnet, 

Mgt  Da  X  und  p  der  Natur  der  Aufgabe  nach  positive  veränderliche 
(irSssen  sind,  so  muss  auch  ^>0  sein.  Aus  der  vorstehenden  Gleichung 
folgt  femer 

vnd  die  Coordinate  x  wird  daher  sowohl  für  pr=a,  d.  h.  /3  =  00*  als  für 
ps=o,  ß=sO  unendlich  gross.  Um  dagegen  den  kleinsten  Werth  zu  finden, 
welchen  x  annehmen  kann ,  hat  man : 

dp  ^  ^  f 

oder  /»*  +  ?P*  =  4 

«>d  die  einrige  positive  reelle  Wursel  dieser  Gleiehung  ist 

wdeber 

ß  —  W  undi>»+2p+-=4^ 

Ulttekrm  r,  AUthemMtik  a.  Phy»tk,  VI  4.  VI 


238  lieber  die  sweckmftwiigste  Form  der  SpitsgeschoBse. 

entspricht.     Es  wird  daher  bequemer  sein,  zu  der  weiteren  Untersnchnim^ 
die  Constante 

zu  setzen,  wodurch  die  Gleichung  3)  in 
^  r  10  p 

=¥('•+''+ ^) 

übergeht.  Aus  dieser  Gleichung  lassen  sich  nun  in  Besng  auf  die  gesuchte 
Curve  nachstehende  wichtige  Folgerungen  sieben : 

1.  Für  reelle  p  kann  x  nicht  kleiner  als  r  werden,  die  Curve  endigt 
daher  allemal  in  einem  Punkte  M  (s.  Figur),  welcher  um  MN=a  r  von  der 
Achse  der  y  absteht  und  dessen  Tangente  mit  der  Achse  den  s  der  Winkel 
/J=  30«  bildet. 

2.  Da  von  dem  ß  =  dO^  entsprechenden  Minimum  aus  die  Grösse 

sowohl  bei  dem  Zunehmen  als  bei  dem  Abnehmen  von  ß  bis  in  das  Un- 
endliche wächst,  so  entsprechen  in  der  Gleichung  5)  jedem  x^  welches 
grösser  als  r  ist,  zwei  verschiedene  Werthe  von  p  und  /3,  nftmlicb  der  eine 
grösser  als  p  =  ^,  /J  =  30*^  und  der  andere  kleiner  B\ap  =  y^  ,ß  =t  30'. 
Die  Curve  besteht  daher  in  Beziehung  auf  die  hier  allein  in  Betracht  kom- 
menden positiven  x  und  p  ans  zwei  Aesten  MB  und  MB,, ,  welche  in  dem 
Funkte  M  eine  Spitze  bilden.  Für  den  einen  Ast  MB  nehmen  die  Winkel 
ß  von  30*^  an  mit  den  Abscissen  x  zu,  für  den  anderen  Ast  hingegen  neh- 
men jene  Winkel  von  derselben  Grenze  30°  an  bei  dem  Wachsen  von  x 
fortwährend  ab.  Die  Richtung  des  ersten  Astes  nähert  sich  daher  mehr 
und  mehr  der  Richtung  der  y  und  diejenige  des  zweiten  Astf  s  immer  mehr 
der  Richtung  der  o:,  wie  es  obige  Figur  zeigt.  Wird  die  Gleichung  5)  auf 
p  reducirt,  so  müssen  sich  für  jedes  x  >r  zwei  reelle  Wurzeln  finden,  von 
denen  die  eine  grösser  als  yj  dem  Ast  MB  und  die  andere  kleiner  als  J^ 
dem  Ast  MB,,  entspricht.  Sind  endlich  a:,  und  und  p^  zwei  positive  Wer- 
the von  X  und  p,  welche  zusammen  der  Gleichung  5)  genügen,  so  ist  dies 
auch  mit  — t,  und  — p,  der  Fall.  Daher  liegen  auch  auf  der  Seite  der 
negativen  x  zwei  Aeste  der  Curve,  welche  den  Aesten  MB  und  MB,,  con- 
gruent  sind  und  durch  deren  Umdrehung  um  die  Achse  der  y  dieselben 
Flächen  erzeugt  würden,  wie  durch  die  Umdrehung  der  genannten  Aeste. 

3.  Denkt  man  sich  unter  p  diejenige  Wurzel  der  Gleichung  5),  welche 
einem  jener  Aeste  MB  oder  MB,,  angehört,  und  bezeichnet  man  das  Inte- 
gral von  pdx  durch  /"(r,  o:),  so  ist  für  den  nurgedachten  Ast  der  Curve 

y  =  f{r,x)-nr,b)  +  c, 


Von  W.  H,  VON  RoiJVRÖY.  239 

weil  dieser  Aet  durch  den  Pnnkt  xs=z  ^  y=sc  gehen  soll.  Insofern  aber 
toeh  der  Punkt  B,  dessen  Coordinaten  x  =  i  und  y^=h  waren ,  in  der 
Cmre  liegt ,  hat  man  noch : 

6)  h  =  f{r,l)~f{r,b)+c 

und  also  vermittelst  dieser  Gleichung  den  Werth  von  r  aus  den  gegebenen 
CoDstanten  6,  c  und  h  abzuleiten.  Fallen  die  Punkte  C  und  B  zusammen, 
d.  h.  ist  6  =5  1 ,  so  reducirt  sich  die  gedachte  Gleichung  auf 

Ä  =  C. 

Wird  umgekehrt  h>  c  und  b  nicht  zu  klein  angenommen ,  so  muss  der 
Olefehung  0)  auch  ein  reeller  Werth  von  r  entsprechen.  Unter  den  ver- 
lehiedenen  zulässigen  Werthen  yon  b  ist  auch  derjenige »  bei  welchem  der 
Ponkt  C  in  den  Endpunkt  M  des  betrachteten  Curvenastes  fällt  und  mithin 
6=r  wird.     Für  diesen  Fall  aber  geht  die  Gleichung  6)  in: 

h  =  f{r,l)-r{r.r)  +  c 
über  und  diese  Gleichung  giebt  stets  ein  reelles  r,  wenn,  wie  oben  bemerkt, 
A  >  c  ist     Setzt  man  endlich  für  diesen  Fall ,  welcher  in  dem  Folgenden 
Torzngsweise  in  das  Auge  zu  fassen  ist, 

7)  c  =  -^, 
mithm : 

8)  Ä.=  /(r,l)-/-(r,r)+--^, 

/3        . 

10  geht  die  Tangente  des  Endpunktes  M  der  Curve  durch  den  Coordinaten- 
tafiAg  S. 

4.  Denkt  man  sich  in  der  Gleichung  5)  r  immer  mehr  und  mehr  gegen 
die  Grenze  0  hin  abnehmend,  so  nähert  sich  die  durch  Umdrehung  des 
Bogens  MB  erzeugte  Fläche  immer  mehr  dem  Mantel  eines  unendlich  lan- 
gen Kegels,  die  durch  Umdrehung  von  MB,,  gebildete  Fläche  hingegen 
ianer  mehr  einer  auf  die  Kichtung  AS  der  Bewegung  rechtwinkligen 
£bene.  Man  siebt  daher  leicht,  dass  die  Umdrehung  des  Astes  MB  eine 
Hiche  des  kleinsten  Widerstandes,  die  Umdrehung  des  Astes  MB,,  hin- 
gegen eine  Fläche  des  grössten  Widerstandes  erzeugt.  Wir  werden  uns 
delhalb  vorzugsweise  mit  der  näheren  Untersuchung  über  den  Ast  MB  zu 
beschäftigen  haben,  bemerken  aber  zugleich,  dass  bei  der  Betrachtung  des 
tweiten  Astes  ganz  auf  dieselbe  Weise  zu  verfahren  ist,  wie  in  dem  Nach- 
itehenden. 

5.  Die  Linie ,  durch  deren  Umdrehung  um  die  Achse  der  y  die  ganze 
Vorderfläche  des  Geschosses  erzeugt  werden  soll,  muss  nattlrlich  bis  an 
diese  Achse  selbst  reichen,  und  da  der  Bogen  j^^  in  dem  Punkte  M  en- 
digt, so  muss  die  vorlangte  Erzeugende  von  M  aus  nach  einem  anderen  als 
dem  durch  die  Gleichung  5)  ausgesprochenen  Gesetz  weiter  geführt  werden. 
Damit  aber  nicht*  nur  der  bisher  betrachtete  Widerstand  W^  welchen  die 
Rotationsfläche  BMM^Bj  erleidet,  sondern  auch  der  >NiOL^tbV«kti&.  ^^^^\)^  ^v^ 


S40  Ueber  ^e  iweekmlsrigBte  Fonn  der  BpitiigMoluMMa. 

ganie  Vorderflftehe  du  GtosehoMet,  in  Besag  euf  eine  gegebcneUUige  der 
G^sehositpitae  ein  Kleinetes  werde,  darf  der  Winkel  ß 

1)  längs  der  ganien  Erseogenden  keine 
*      fahren, 

t)  bei  dem  Abnehmen  Ton  s  nie  wieder  j 

Zngleieh  mnss  aber  anoh  der  Widerstand  gegen  den  bisher  noeh  niehl 
betrachteten  Theil  der  Vorderfliehe  des  Körpers,  in  Beiiehnng  lo.  dem  ge- 
gebenen Halbmesser  Mli^=^r  und  unter  den  in  Betreff  von  ß  so  eben  ge- 
machten Beschrinknngen,  ein  Kleinste!  sein.  Dies  aber  wird  iinr  erreieht, 
indem  man  von  M  ans  der  Ersengenden  die  Riehtang  MS  deir  Tangente  des 
Onr^enpunktea  giebt,  wednreh  angleieh  der  Cktordiaatenanfang  fifdie  Spitse 
des  Oesohosses  nnd  8Jss:h  lUie  Lftnge  der  gansen  vorderen  Znqpitsang 
des  Körpers  wird.  ... 

Analoge  Betrachtungen  lassen  sieh  aneh  in  Betreff  der  Fliehe  des 
grössten  Widerstandes  anstellen,  so  dass  fltar  die^e  Fliehe  B^MS  ebenes 
als  Erseugende  ansunehmen  ist,  wie  BM8  fltar  die  Fliehe  des  kleinste« 
Widerstandes. 

Wendet  man  sieh  nach  diesen  allgemeinen  Betrachtungen  nun  «n  der 
specialen  Discussion  der  Gleichung  5)  und  setst  man  rar  Abkflraung 

Av  le     «       , 

•o  erhllt  man: 

*  =  - 


oder,  wenn  man  beide  Theile  sum  Quadrat  erhebt  nnd  alsdann  ord|iet, 

11)  0  =  «*  — ifc««  +  ifc«. 

Diese  Gleichung  lisst  sieh  nach  der  von  Atnpire  angegebenen  Ketbode 
leicht  auf  eine  Gleichung  vom  dritten  Grade  turiokfllhren.  Sind  nimlieh 
^1 1  ^9  ^  und  I4  die  Wurseln  derselben,  und  nimmt  man 

12)  ^ir=(r,  +  0  =  -(r,+0 
an ,  so  ist  aach  noeh : 

'l<i'.  +  ',','4  +  'l'.<«  +  't'W4=** 

oder  anders  geordnet: 

13)  «,  /.  +  UU  =  —  [/,+  /.]  [/,  +  U]  =  tp 

<i<.['.+<4] +  '.«,[', +<,]  =  *•, 
d.i. 

Erliebt  man  nnn  in  13)  and  14)  beide  Theile  zum  Quadrat  nnd  aiebt  man 
die  Ergebnisse  von  einander  ab,  so  kommt 


Von  W.  H.  VON  RouvROY.  241 


oder,  da  der  erste  Theil  dieser  Gleichung  auch  4A:*  ist,  nach  gehörigem 
Ordnen 

15)                                  0  =  ^  — 4Ä*9  — ifc*. 
Dit  einzige  mögliehe  Wurzel  dieser  Gleichung  ist  nach  der  Cardan'schen 
Regel:  

250  o(^ 
oder  wenn  fQr  A*  sein  Werth  — .  -j  und  zur  Abkürzung 

geaetitwird: 

")  -?(7)V 

Um  endlich  die  Wurzeln  der  Gleichung  11)  zu  finden ,  erhält  man  durch 
Addition  umd  Subtraction  ron  13)  und  14) : 

18)  \  'J 

Au  No.  12)  folgt  aber  Buch : 

('i  +  U)*  =  V  nnd  ('.  +  ^)*  =  V 
ud  oaeb  dem  Absieben  der  vorber  mit  2  mnitiplicirten  Gleicbungen  18) 

Verbindet  man  endlich  diese  Gleichungen  nach  yorheriger  Ausziehung  der 
Qntdratwurzeln  aus  ihren  beiden  Theilen  mit  der  Gleichung  12),  so  kommt : 


'•=t[^-/-'+i] 
■.=i[-^+^-»-^ 


34S   !       lieber  die  iweokitiftssigile  Form  der  SpitsgeKchoise. 


Den  Gleichungen  16)  und  17}  la  Folge  sind  ^  und  9  stets  positiT,  und  mit- 
hin f,  und  /4  imaginär.  Es  bleiben  daher  fttr  «  ==       ,      nur  die  iwei  Wer- 

the  /(  und  <^,  von  denen  der  grössere  auch  dem  grösseren  ß^  mithim  dem 
Cnrvenast  ^^  und  der  kleinere  dem  anderen  A-st  angehört  Man  hat  daher 
das  obere  Zeichen  auf  die  Fliehe  des  kleinsten  Widerstandes  und  das  m« 
tere  Zeichen  auf  die  Flüche  des  grössten  Widerstandes  besogen : 

oder  wenn  für  9  sein  Werth  aas  ^o.  17)  oiid  wieder  ^  :=*  W  JT  S^«^^  wird: 

Ans  dieser  Gleichnng  kann ,  ohne  vorherige  Bestimmung  der  Constante  r, ' 

mithin  gani  im  Allgemeinen,  nn  jedem  beliebigeii—  der  entsprechende 

Neigungswinkel  ß  gegen  die  Bichtnng  der  x  berechnet  werden.    Um  at>er 

anch-^  als  Function  von  — >  lu  erhalten,  mttsste  die  Gleichnng  10)  auf  p 

dx 
reducirt,  mit  —  multiplicirt  and  sodaiu  intepift  werden  |  alleia  dieaa-in^ 

tegration  würde  so  schwierig  und  das  Ergel^iss  derselben  selbst  im  gttn- 

stigsten  Falle  ein  so  verwickelter  Ausdruck  für  —  sein ,  dass  es  iweek- 

mässiger  erscheint,  von  der  Aufsuchung  einer  solchen  directen  Relation 

X  y 

zwischen  —  und  —  absusehen  und  beide  Grössen  als  Functionen  von  ß 

Russudrficken.    Auch  wird  es  sur  Abkflrsung  und  Verallgemeinerung  die- 
ser Rechnung  gereichen,  wenn  die  Coordinaten  der  Curvenpunkte  in  einem 

Maass  ausgedrückt  werden ,  dessen  Einheit  ~ —  r  ist,  indem  man  die  neuen 

lö 

Coordinaten 

!_y^     16       x^ 

einführt.     Dadurch  verwandelt  sich  die  Gleichung  5)  in 
2,)  ^==(i±^'=_,_^     „der 

und  hieraus  folgt: 


Von  W.  R.  VON  KouvROT.  243 


djr  =  (3p«  +  2-^)rfp. 


Ferner  ist  «ber  tt.=  t~  =P  ^^^  mithin 

dY=  (3/)^  +  2p  —  — ^  dp. 

Y=ip'  +  p^  —  logp  +  B. 
Zur  Beatimmung  der  Constante  B  dient  der  Umstand,  dass  die  Carve  durch 
dcD  Punkt  M  geht,  für  welchen 

y^     10      y  _     16      J__i«Q^^     _    1 

ist.    Man  hat  daher 

^^=^  +  ^  +  log]/3+B  oder 

^  =  ~  — /o^  >/8  s=  0,811805 

and  mithin 

22)  F=|p«+/)»  —  /osrp  + 0,811805 

=  f  te  V  ß  +  '«V  /*  —  ^*>9  ^o»9  ß  +  0,811805. 
Endlich  folgt  aus  den  Gleichungen  21)  und  22) 

Y  =  -  =  sinß  co^ß  [|  teitflr*/»  +  ian^ß  —  logiangß  +  0,811805], 

oder,  da  die  Curve  durch  den  Punkt  B  gehen  soll,  dessen  Coordinaten 
«=:1  und  y=^h  waren,  und  insofern  das  diesem  Punkt  entsprechende  ß 
mit  ^1  bezeichnet  wird , 

23)      Ä  =  mft  co5»/3,  W  ian^ß^  +  fow^^/J,  —  log  iangß^  +  0,811805]. 
Wfirde  aus  dieser  Gleichung  ßx  bestimmt,  so  ist  dann  der  Gleichung  5)  ge- 
I,  in  Beaug  auf  die  Abscisse  ^=1  des  Punktes  B 


1  =  -^^ 


1 


aitbin: 


16        '  sinß^cot^ßi' 


r  =    --^  sin  ft  co^ßg  =  3,0702  sin  ft  cot^ßi 


24)  <  o:  =  -^-  rAr=  AT  «nft  co«>ft 

i  16  ^  ^ 

16  '^ 

Kann  nun  auch  die  Gleichung  23)  nicht  auf  eine  einfache  Function  des 
Winkels  ft  reducirt  und  dadurch  dieser  Winkel  direct  bestimmt  werden,  so 
Ussi  neh  doch  durch  Berechnung  von  X  und  Y  für  einige  schicklich  ge- 
wählte ß  leicht  ein  solcher  Winkel  /?,  finden,  fttr  welchen  das  h  in  Glei- 
ehiug  23)  der  beabsichtigten  Länge  der  Geschossspitse  so  nahe  kommt, 


244  Ueber  die  zweckmässigste  Form  der  Spitzgesebosse. 

als  man  es  für  notbwendig  eracbtet.  Behält  man  dann  dieses  ßi  and  h  für 
die  Constrnction  des  Geschosses  yom  Halbmesser  AB^=  i  hei  ^  so  ist  #m/}| 
cof^ßi  die  Einheit  der  Maasse»  in  welchen  die  durch  die  Gleichnngen  21) 
und  22)  bestimmte  Erzengende  znr  Constrnction  der  Geschossspitze  nach 
den  nurgenannten  Gleichungen  aufgetragen  werden  muss«  üebrigens  geben 
die  Gleichungen  21)  und  22)  sowohl  den  Ast  MB  als  den  Ast  MB,,  der 
Curve,  je  nachdem  man  in  diesen  Gleichungen. die  Winkel  ß  grösser  oder 
kleiner  als  SO®  annimmt.  Für  den  Punkt  M^  in  welchem  beide  Aeste  zu- 
sammentreffen ,  hat  man  zuvörderst 

1  10 

«>i  30*  CO»*  80*        9j/z 


und,  wie  bereits  oben  bemerkt. 


^        9' 


Um  aber  ein  mehr  in  die  Augen  fallendes  Bild  der  Curven  zu  geben ,  mö- 
gen hier  noch  nachstehende  für  dieselben  berechnete  JT  und  Y  folgen : 
1)  In  dem  Aste  MB  ist: 
für  /J  =  45%  Z=    4  r=    2,5618 

„    /J  =  60S  X  =    9  2376  r=  10,0125 

„    /J  =  66",  2:  =  16,2679  T  =  24,1339 

{•.   „    /J  =  70®,  X  =»  26,5086  r=  50,0865 

^  2)  In  dem  Aste  MB,,  ist: 

für  /J  =  20",  JC=    3,5236         F  =  1,9681 
„    ß  =  lb\X=    4,2089  7=2,2044 

„    /J  ==    1 0,  2:  =  57,3249  F=  4,8602 

Es  bleibt  nun  noch  übrig,  den  Widerstand  zu  bestimmen,  welchen  das 
ganze  Geschoss  durch  di,e  Luft  erleidet«  Den  Widerstand  gegen  die  Ro-> 
tationsfläche  BMM^B^  giebt  die  Gleichung  2),  wenn  r  für  die  Grenze  b  ge- 
schrieben wird ,  nämlich : 

1 

X 

r 
Der  Widerstand,  welchen  der  Kegel  MSM^  zu  erleiden  hat,  sei  W^  und 
wird  durch 

gegeben.   Der  Widerstand  gegen  die  gesammte  Vorderfläche  des  Geschos- 
ses d.  i.  ^+  W,  sei  W,,. 

Um  nun  zuvörderst  W  zu  bestimmen ,  hat  man  nach  der  Gleichung  5) 


25)  -=--?/..*.- 


Von  W;  H.  von  Rouvrot.  245 

nad 


'''=-«-'•  ^•+^-f]'^' 


Ffihrtman  dies  in  No,  25)  ein,  so  geben  zagleich  die  Grenzen  in  ton^3(y*=^ 
imd  Imig  ß^  über  und  man  erhält  demnach 

tangßt 

n 

Bemerkt  man,  dass  nach  den  Gleichungen  24) 

iit,  und  setzt  man  snr  Abkürzung: 

26)  ^*^Aco5»ft  =  ^, 

»wird 

und 

iangß^ 

»;,  =  a[v+/[3i,«+6/,-^  +  1]  äp] 
i 
FT 

=  iV  [l  ten^ft  +  I  tang'ß,  +  ^^-^  +  'og  fang  ft  +  1,6881» j  . 

Wird  z.  B.  |}j  =  66®,  mithin  die  Länge  der  Geschossspitze  A  =  p  =  1,4836 

Halbmesser  des  Geschosses  angenommen,  so  beträgt  der  Widerstand,  wel- 
cksii  ea  nach  den  Formeln  20)  und  27)  von  der  Luft  zu  erleiden  hat, 

0,13056 ,  d.  i.  also  0,25010  Mal  so  viel  als  der  Widerstand  gegen  einen 

C^Bnder  und  0,51632  Mal  so  viel  als  der  Widerstand  gegen  eine  Kugel  von 
glsickem  Halbmesser.  Da  nun  überdies  Spitzgeschosse  durchschnittlich 
)  bis  2%  Mal  so  schwer  als  kugelförmige  Geschosse  von  gleichem  Durch- 
messer sind,  fo  ist  die  Einwirkung  der  Luft  auf  die  Bewegung  eines  Ge- 
iehosses  mit  der  hier  betrachteten  Spitzenconstruction  nur  | — ^  derselben 
fittwirkung  gegen  ein  kugelförmiges  Geschoss  von  gleichem  Durchmesser. 
Um  sieh  ein  ungefähres  Bild  von  Wichtigkeit  eines  solchen  Unterschiedes 
u  maehen,  genügt  es,  wenn  man  die  Bewegung  der  Geschosse  als  eine 
geradlinige  betrachtet.  Bezeichnet  dann  V  die  anfängliche  Geschwindig- 
keit, V  die  Geschwindigkeit  nach  Zurflcklegung  des  Kaumes  s  und  m  eine 
▼OB  dem  Widerstand  der  Luft  abhängige  Constante ,  so  ist 

V 


246  Elektrische  Untersuchungen. 

• 
und  wenn  alle  Entfernungen  in  Dresdner  Ellen  ausgedrückt  sind,  m  für 
eine  Gpfünd.  eiserne  Kugel  mindestens  0,0006,  für  ein  Spitzgeschoss  von  der 
betrachteten  Form  und  gleichem  Durchmesser  wie  die  Kugel ,  also  höch- 
stens 0,00015.  Behält  man  diese  Zahlen  bei,  so  beträgt  nach  der  Zurück- 
legung  von  4000  Ellen  die  Gresch windigkeit  v  der  Kugel  nur  0,0007  der  an- 
fänglichen Geschwindigkeit  F,  bei  dem  Spitzgeschoss  hingegen  v  noch 
0,548  V. 


XI. 

Elektrische  TTiitersachungen. 

Von  Prof.  Dr.  F.  Dellmann 
zu  Kreuznach  a.  R. 


L    lieber  den  Ursprung  der  Luftelektricität. 

Die  früheren  Ansichten  über  diesen  Gegenstand ,  welche  man  am  voll- 
ständigsten dargestellt  findet  in  der  im  Jahre  1843  von  der  Brüsseler  Akade- 
mie gekrönten  Preisschrift  von  Duprez:  „MSmoire  sur  Vileclricild  de  Tair^\ 
verdienen  keine  Beachtung  mehr;  selbst  die  Po uille tische  Hypothese  ist 
von  Riess  und  Reich  widerlegt.  Nur  auf  die  beiden  neuesten  müssen 
wir  hier  eingehen. 

Von  diesen  ist  die  erste  von  P eitler  dem  Vater  in  den  CompUrend.XU^ 
pag.  307  zuerst  ausgesprochen ,  später  durch  einen  Brief  seines  Lohnes  an 
Quetelet  weiter  verbreitet  und  von  Prof.  Lamont  in  München,  auch  in 
der  kosmischen  Physik  von  Prüf.  Müller' noch  in  der  neuesten  Auflage 
dieses  Werkes  vertheidigt  worden.  Nach  dieser  Ansicht  giebt  es  keine 
Luft-,  sondern  nur  eine  permanente  Erdelektricität,  welche — Elektricität 
sein  soll ,  wogegen  dem  Welträume  +  Elektricität  beigelegt  wird.  Wie 
aber  ohne  materiellen  Träger  der  Weltraum  elektrisch  sein  könne,  das 
sagt  uns  keiner  der  Vertheidiger  dieser  Ansicht.  Dieser  reinen  Hypothese 
muss  aber  besonders  widersprochen  werden,  weil  sie  ganz  entschiedene 
Facta  leugnet  und  falsche  behauptet.  In  meinem  Aufsatze  über  Luftelek- 
tricität (Pogg.  Annalen,  Bd.  89,  S.  280)  habe  ich  bereits  gesagt,  dass  die 
Zahlen,  auf  welche  der  jüngere  Peltier  sich  stützt,  falsch  sind;  das  Ver- 
hältniss  der  Luftelektricität  des  Januar  zu  der  des  Juni  ist  nach  den  spä- 
teren Angaben  Quetelet's  in  Brüssel  nicht  das  von  605 :  47  oder  ungefähr 
13 :  1 ,  sondern  nahe  3:1,  und  damit  ist  das  Hauptargument  des  jüngeren 


Von  Prof.  Dr.  F.  Dellmann.  247 


Peltier  yemiohtet.     Ein  zweites  falsches  Factum  ist  das,  dass  die  Loft- 
dektricitftt  keinen  Körper  durch  Mittheilung  lade. 

Es  wird  demnach  Jemand,  welcher  dem  Ursprünge  der  Luftelektrici' 
tiU  auf  die  Spur  kommen  will ,  zunächst  ihr  Dasein  beweisen  müssen.  Dass 
die  Beobachtungsweise  Peltier^s  dies  nicht  vermochte,  ergiebt  sich  aus  dem 
Erfolge ,  den  sie  hervorgerufen ;  sie  hat  sich  aber  dadurch  selbst  gerichtet. 
Gewiss  hat  Riess  Kecht,  wenn  er  in  seinem  berühmten  Werke  über  Rei- 
bongselektricität  im  2.  Bande ,  S.  515  sagt:  „Besser  ist  es,  das  Elektroskop 
in  einem  geschützten  Räume  stehen  zu  lassen ,  und  den  zum  Auffangen  be- 
stimmten Tbeil  an  einem  besondern  Stiele  zu  isoliren.^'  Dass  meine  Ein- 
richtung und  dieser  Rath  ganz  nnabhfingig  von  einander  sind ,  ergiebt  sich 
diratis ,  dass  das  genannte  Werk  von  Riess  und  der  obige  Aufsatz  von  mir, 
in  welchem  ich  übrigens  bereits  die  Resultate  meiner  Beobachtungen  von 
1852  mittheile ,  gleichzeitig  erschienen.  Meine  Art  zu  exporimentiren  möge 
lieh  nun  noch  durch  folgende  Versuche  rechtfertigen,  durch  welche  ich 
Herrn  Prof.  Müller  zur  Untreue  gegen  die  von  ihm  adoptirte  Hypothese  zu 
verleiten  hoffe. 

Wenn  ich  meine  isolirte  Kugel  bis  über  das  Dach  des  Hauses  hebe 
und  sie  oben  eine  Weile  stehen  lasse,  ohne  sie  vorher  ableitend  berührt  zu 
btben;  dann  wieder,  ebenfalls  ohne  sie  berührt  zu  haben,  herunter  hole; 
10  zeigt  sie  sich  ^elektrisch ,  aber  ihre  Elektricität  ist  die  entgegengesetzte 
▼on  derjenigen,  welche  sie  herunter  bringt,  wenn  sie  oben  ableitend  be- 
rfthrt  worden.  Die  Kugel  muss  ohne  Berührung  im  Durchschnitt  eine 
halbe  Stunde  oben  stehen  bleiben,  bis  sie  ihre  volle  Ladung  hat,  welche 
dann  aber  meist  etwas  grösser  ist,  als  diejenige,  welche  sie  bei  gewöhn- 
licfaer  Ladung  mit  der  entgegengesetzten  ElektricitAt  erhält.  Da  sage  ich 
nun,  sie  ist  elektrisirt  worden  durch  Mittheilung,  nämlich  wenn  sie  ohne 
Berührung  oben  eine  halbe  Stunde  gestanden  hat.  Herr  Prof.  Müller  wird 
Tielleicht  sagen,  die  Erdelektricität  wirke  vertheilend  auf  die  Kugel,  binde 
die  entgegengesetzte  in  ihr,  die  +  Elektricität,  da  sie  selbst  —  Elektricität 
•ein  soll,  und  stosse  die  — Elektricität  der  Kugel  ab,  welche  sich  also  in 
die  Luft  zerstreue.  Nachher  bringe  die  Kugel  die  gebunden  gewesene 
4- Elektricität  als  freie  +  Elektricität  in  das  Zimmer.  Aber  kann  die 
— Elektricität  der  Erde  aus  so  grosser  Entfernung  eine  grössere  +  Elek- 
trieitüt  binden,  als  sie  selbst  ist,  noch  dazu,  wenn  sie  durch  das  Hinauf- 
strömen in  die  Kugel  in  dieser  eine  Verdichtung  erleidet? 

Ferner:  Wenn  die  isolirte  Kugel  gehoben  und  oben  nicht  ableitend 
berührt  wird,  so  bringt  sie  eine  geringere  Menge  aus  kleinerer,  eine  grös- 
sere aus  grösserer  Höhe  herunter.  Hier  müsste  nun  nach  der  Hypothese 
von  der  Erdelektricität  gerade  das  Entgegengesetzte  stattfinden. 

Weiter  unten  anzugebende  Thatsachen  stimmen  mit  der  Hypothese 
von  der  Erdelektricität,  welche  in  einer  permanenten  Schicht  die  Erdober- 
flicke  angeben,  zuweilen  aber  auch  auf  die  äuBsere  ObQtMt\\^  4i«t^^!<^LK^- 


248  Elektrische  UnterBuchangen. 

hülle  steigen  soll,  ebensowenig  tiberein.  Fände  diese  Strömung  der  Erd« 
elektricität  auf  die  äussere  Wolkenoberfläche  statt,  so  müsste  die  Luft  sieb 
weit  häufiger  unelektrisch  zeigen ,  als  es  der  Fall  ist.  Dass  aber  die  Erde 
elektrisch  wird  durch  Influenz,  sowohl  durch  Influenz  der  Luft-  als  der 
Wolkenelektricität,  versteht  sich  von  selbst.  Es  ist  von  mir  noch  folgen- 
der Versuch  gemacht  worden : 

Eine  5 zöllige  Kupfer-  und  eine  ebenso  grosse  Zinkplatte  wurden  ün 
Freien  fast  unter  der  Stelle,  wo  täglich  meine  Kugel  gehoben  wird,  aaf 
den  Erdboden  gelegt.  Auf  die  Kupferplatte  wurde  eine  3  zöllige  Kupfer- 
platte  mit  Lackstiel  gestellt,  auf  die  Zinkplatte  eine  ebenfalls  3  zöllige  Zink- 
platte mit  isolirender  Handhabe.  Es  wurde  ein  Elektroskop  genommen 
zur  Untersuchung,  welches  so  empfindlich  war,  dass  es  die  — Elektricität 
eines  auf  Zink  gestellten  Pfennings  deutlich  zeigte;  aber  die  von  ihrer 
Unterlage  isolirt  abgehobene  Kupferplatte  zeigte  nichts,  die  Zinkplatte 
sehr  schwache  — Elektricität,  weil  diese  Platte  nicht  frisch  abgefeilt  war, 
die  Unterlage  aber  doch.  Dann  wurde  gleich  nach  diesem  Versuche  zur 
Ladung  der  isolirten  Kugel  ohne  Berührung  geschritten.  Die  Kugel  zeigte, 
nachdem  sie  etwa  eine  halbe  Stunde  in  geringerer  Höhe  gestanden ,  30* 
Ausschlag  an  meinem  Elektrometer  mit  ziemlich  dickem  Olasfaden,  und 
nachdem  sie  einige  Fuss  höher  gehoben  und  abermals  unberührt  eine  halbe 
Stunde  gestanden,  34*  Ausschlag.  Sie  hatte  also  in  der  geringeren  Höbe 
eine  Ladung  erhalten,  wie  sie  dieselbe  von  einer  Zink -Kupfer -Säule  von 
100,5,  in  der  grösseren  Höhe  eine  Ladung  derselben  Säule  von  118,8  Ele- 
menten erhalten  haben  würde.  Wie  kann  denn  nun  hier  von  einer  Influenz 
von  Seiten  der  Erd elektricität  die  Rede  sein? 

Becquerel  der  Vater  hat  im  Jahre  18ö0  in  den  CompU  rend.  X Lilly 
pag.  1101  £f.  Untersuchungen  über  flie  Elektricität  der  Luft  und  der  Erde  be- 
kannt gemacht,  welche  ich  im  12.  Jahrgange  der  von  der  Berliner  physi- 
kalischen Gesellschaft  herausgegebenen  Fortschritte  der  Physik  besprochen 
habe.  Unter  den  Elektricitätsquellen,  welche  beständig  Elektricität  an  die 
Luft  abgeben,  sind  nach  BocquereFs  Versuchen  besonders  die  folgenden 
zu  nennen : 

d)  Die  Ausströmung  von  Sauerstoff  und  Kohlensäure  aus  Pflanzen- 
blättern {+  Elektricität) ; 

h)  die  Berührung  des  Landes  und  Wassers,  wobei  beide  natürlich  ent- 
gegengesetzt elektrisch,  werden ;  beide  Elektricitäten  gehen  durch  Dämpfe 
in  die  Atmosphäre; 

c)  die  Zersetzung  organischer  Stoffe ; 

d)  die  Berührung  kalter  und  warmer  Oewässer. 

Die  Resultante  aller  Elektricitäts-Entwickelungen  ist  nach  Becquerel 
bei  heiterem  Himmel  ein  Vorherrschen  der  +  Elektricität.  In  den  Polar- 
zonen ist  die  Seltenheit  der  Oewitter  eine  Folge  der  geringen  Verdunstung 
und  der  kleinen  Zahl  natürlicher  Elektricitätsquellen,  wie  denn  aus  den 


Von  Prof.  Dr.  F.  Dellkank.  249 

aotgegengeseUten  OrUnden  in  der  Tropenzone  der  Gegensatz  stattfindet. 
Ebenso  geht  nach  seiner  Ansicht  die  Seltenheit  der  Gewitter  anf  offener 
See  und  die  geringere  Zahl  derselben  im  Inneren  der  Continente  ans  den- 
selben GrQnden  hervor. 

Diese  Theorie  hat  zwei  Mängel;  sie  erklärt  nur  einen  Theil  der  Er- 
Mheinangen  und  enthält  eine  nnerwiesene  Voranssetzung.  Sie  erklärt  nicht 
die  grössere  Lnftelektricität  im  Winter,  ja  diese  spricht  offenbar  gegen  sie. 
Die  nnerwiesene  Voraussetzung  ist  die,  dass  man  die  Lnftelektricität  als 
Qaelle  der  Wolken-  und  Gewitterelektricität  ansehen. müsse ,  da  doch  die 
Khnelle  Entwickelnng  der  Gewitterelektricität  mehr  für  eine  selbststän- 
dip  Erzeugung  derselben  in  den  Gewitterwolken  spricht. 

Der  Ursprung  der  Lnftelektricität  ist  nach  unseren  jetzigen  Kennt- 
nissen da  zu  suchen,  wo  alle  meteorologischen  Erscheinungen  entstehen, 
Bloilieh  in  der  Erwärmung  der  Erdoberfläche  durch  die  Sonne.  Die  Haupt- 
sitse  dieser  Ansicht  würden  etwa  so  zu  formuliren  sein : 

1)  Die  Erdoberfläche  sowohl,  als  auch  die  luftförmige  Erdhülle,  die 
Atmosphäre,  sind  fast  überall  und  immer  elektrisch;  die  Atmosphäre  aber, 
tls  der  beweglichste  und  deshalb  in  seinem  Zustande  veränderlichste  Theil 
der  Erde,  am  meisten.  Die  Erdoberfläche  wird  es  erst  durch  Influenz  der 
Atmosphäre.  Deshalb  ist  auch  der  elektrische  Zustand  der  Erdoberfläche 
bedeutend  schwächer ,  als  'der  der  Atmosphäre ,  meist  so  schwach ,  dass  er 
pat  nicht  oder  doch  nur  mit  den  empfindlichsten  Instrumenten  wahrgenom- 
nen  werden  kann.  An  und  für  sich  muss  also  die  Erdoberfläche  als  un- 
elektrisch betrachtet  werden. 

2)  Die  Snmme  der  Lnftelektricität  in  der  ganzen  Atmosphäre  ist  Null. 
Diese  Summe  tritt  also  in  Summanden  auf  mit  entgegengesetzten  Vorzei- 
chen. Also  im  Grossen  und  Ganzen  ist  weder  Erdoberfläche  noch  Atmo- 
sphäre elektrisch. 

S)  Die  Ursache ,  welche  ursprünglich  die  Atmosphäre  aus  dem  unelek- 
trisehen  Zustande  herausbringt,  ist  die  Erwärmung  der  Erde  durch'  die 
Sonne.  Die  Wirkung  tritt  natürlich  am  kräftigsten  hervor,  wo  die  Ursache 
tn  thätigsten  ist,  nämlich  in  der  Tropenzone.  Man  weiss ,  wie  die  Wärme 
die  Entwickelnng  der  — Elektricität  begünstigt.  In  der  Tropenzone  ist 
die  erwärmte  aufsteigende  Luft  — elektrisch.  Durch  diese  ursprüngliche 
Einwirkung  der  Sonne  ist  aber  noth wendig  eine  sekundäre  gesetzt,  da  ein 
einseitiges  Aufheben  des  ursprünglichen  elektrischen  Gleichgewichts  der 
Atmosphäre  nicht  möglich  ist.  Der  entgegengesetzte  Pol  der  durch  die 
Sonne  polarisch  •  elektrisch  gewordenen  Atmosphäre  tritt  in  den  gemässig- 
ten und  kalten  Zonen  hervor.  Die  ganze  Atmosphäre  spaltet  sich  danach 
m  drei  Regionen,  in  die  mittlere  überwiegend  —elektrische,  welche  auf 
einer  jeden  Seite  von  einer  kleineren  überwiegend  +  elektrischen  begrenzt 
wird.  Natürlich  treten  die  Gegensätze  nur  allmälig  hervor.  Also  die 
«— Elektrieität  der  heissen  Zone  ist  in  der  Mitte  amBt&tkiVAXk^  V\t^iii\TBai&|, 


250  Elektrische  Unterftnehnngen. 

nnoh  den  Polen  bin  zn  Nnll,  tritt  dann  allmälig  in  den  Gegensatz  y  in 
+  Elektricitftt  über,  and  die  +  ElektricitAt  nimmt  nach  den  Polen  hin  im- 
mer mehr  zu ,  so  dass  sie  sich  stellenweise  nnter  besonders  günstigen  Be* 
dingnngen  in  die  obere  Atmosphäre  als  Nord-  oder  Südltcbt  entladet. 

Diese  Theorie  enthält  1)  keinen  Widerspruch  in  sich  selbst,  2)  keinen 
Widerspruch  gegen  die  Gesetze  der  Wissenschaft,  3)  stimmt  sie  mit  dei 
Erfahrung  überein. 

Sie  enthält  nicht  nur  keinen  Widerspruch  in  sich  selbst,  sondern  bil- 
det vielmehr  ein  harmonisches  Ganze.  Wenn  auch  noch  unerwiesen e  Sätze 
in  derselben  vorkommen,  so  widerstreiten  diese  nicht  den  erwiesenen,  sie 
schliessen  sich  diesen  vielmehr  so  an ,  dass  eine  organische  Einheit  daraoi 
entsteht.  Ein  unerwiesener  Satz ,  könnte  man  sagen ,  sei  der ,  dass  in  dei 
Tropenzone  die  aufsteigende  Luft  — elektrisch  ist.  Es  werden  aber  nach' 
her  Thatsachen  angeführt  werden ,  welche  sich  schwerlich  anders  erklärei 
lassen,  als  durch  diese  Annahme.  Der  Mangel  an  genügenden  Beobach- 
tungen auf  diesem  Gebiete  hat  in  der  Wissenschaft  Lücken  gelassen,  wel- 
che einstweilen  nur  durch  Combination  auszufallen  sind. 

Einen  Widerspruch  gegen  die  Gesetze  der  Wissenschaft  könnte  man 
in  der  Behauptung  finden ,  dass  Wärme  die  atmosphärische  Luft  in  einen 
statisch  elektrischen  Zustand  versetze.  Hier  ist  denn  zunächst  an  das  in 
erinnern ,  was  Becquerel  durch  Versuche  erniitfelte  und  was  oben  unter  d] 
ausgesprochen  ist.  Der  Satz  soll  auch  keineswegs  in  dem  Sinne  gedacht 
werden ,  dass  diese  Elektrisation  unmittelbar  stattfinde.  Nehmen  wir  z.  B. 
das,  was  Becquerel  über  die  gegenseitige  Einwirkung  des  Landes  und 
Wassers  sagt:  „Zahlreiche  Versuche  haben  bewiesen, ^ass  das  Land  +  elek- 
trisch ist  in  seiner  Berührung  mit  süssem  oder  mit  Meerwasser,  das  Wassei 
aber  — elektrisch,  und  das  Meerwasser  etwa  2,4  Mal  so  stark  als  süsses.*' 
Wenn  er  dann  oben  unter  b)  sagt,  dass  beide  Elektricitäten  in  die  Lufl 
gehen,  so  ist  das  eine  unwahrscheinliche  Hypothese;  wahrscheinlich  ist 
es  nur  von  der  — Elektricität  des  Wassers,  besonders  des  Meeres.  Da 
aber  das  Meer  in  ..der  Tropenzone  am  stärksten  verdunstet,  so  wird  aucb 
dort  der  aufsteigende  Strom  — elektrisch  sein  müssen.  Es  soll  also  bloi 
die  Wärme  bei  der  Elektrisirung  der  Atmosphäre  als  primäre  Ursache  ge- 
dacht werden.  Ferner  stimmt  die  Behauptung  vollständig  mit  den  Kennt- 
nissen ,  welche  wir  über  Hervorrufung  der  Elektricität  z.  B.  durch  Reibung 
besitzen,  wo  die  Wärme  unter  allen  Umständen  das  Hervoitreten  dei 
—  Elektricität  begünstigt. 

Die  Behauptung,  dass  in  der  Tropenzone  die  Luft  — elektrisch  sei, 
ist  so  sehr  im  Einklänge  mit  bekannten  Resultaten,  dass  man  fast  behanp- 
ten  kann,  es  müsse  so  sein.  Denn  wenn  bei  uns  im  Sommer  die  Elektrici- 
tät der  Luft  bedeutend  schwächer  ist,  als  im  Winter;  wenn  ferner  in  wär- 
meren Jahren ,  wie  ich  das  durch  meine  Beobachtungen  der  Jahre  1857  und 
J858  gezeigt f  die  Luftelektricität  bedeutend  geringer  ist,  als  in  kälteren, 


Von  Prof.  Dr.  P.  Dellmank.  251 

M  wird  man  beliaapten  dürfen,  dass  das,  was  sich  an  einem nnd  demselben 
Orte  in  verschiedenen  Zeiten  darstellt,  sich  anch  im  Räume  in  entsprechen- 
der Weise  finden  mttsse  unter  Bedingungen,  deren  Verschiedenheiten  jenen 
an  einem  nnd  demselben  Orte  entsprechen.  Sowie  also  bei  nns  nach  dem 
Sommer  hin  die  Lnftelektricität  sich  mindert,  wird  sie  auch  bei  der  An- 
niliening  sum  Aequator  hin  sich  mindern ,  und  da  wir  bei  dieser  Annähe- 
roDg  endlich  die  Grenze  unseres  Sommers  überschreiten,  wird  sie  auch 
noch  tiefer  herunter  gehen  und  endlich  in  den  Gegensatz  tiberschlagen. 

Dass  die  elektrischen  Gegensätze  in  der  Atmosphäre  nicht  schroff  sich 
tbsehneiden,  sondern  allmälig  in  einander  übergehen,  stimmt  ganz  mit  be- 
kaoDten  Sätzen  der  Vertheilungslehre  überein.  Und  wenn  diese  Sätze  nur 
Boeh  mit  grösserer  Sicherheit  für  isolirte  Leiter  nachgewiesen  sind,  so 
mQisen  wir  bedenken ,  dass  von  diesen  zu  den  Isolatoren  ein  allmäliger 
Uebergang  stattfindet;  besonders  aber,  dass  unsere  festen  Isolatoren  in 
dieser  Beziehung  mit  Luftmassen ,  deren  Moleküle  die  grösste  Beweglich- 
keit haben,  nicht  verglichen  werden  können. 

Was  für  den  ausgesprocheneu  Ursprung  der  Lnftelektricität  besonders 
ipricht,  das  ist  die  genaue  Einfügung  der  elektrischen  Erscheinungen  der 
Atmosphäre  in  den  Gesammtorganismus  der  meteoroligischen  Phänomene, 
wie  dieser  in  Arbeiten  von  Dove  und  mir  über  den  Zusammenhang  der 
Witterungserscheinungen  nachgewiesen  wurde.  Wenn  aber  sämmtliche 
Phänomene  der  Atmosphäre,  soweit  wir  sie  zur  Witterung  rechnen,  in  der 
Wlrmevertheilung  auf  der  Erde  ihren  Ursprung  haben,  so  muss  es  auch 
▼OD  den  Erscheinungen  gelten ,  welche  ihren  gesetzmässigen  Verlauf  mit 
den  übrigen  theilen. 

Wir  kommen  jetzt  zu  den  Erfahrungen ,  welche  für  die  aufgestellte 
Tbeorie  sprechen.  Hierher  gehört  zuerst  das  Factum ,  dass  sich  die  Lnft- 
elektricität mit  der  Höhe  steigert.  Nach  den  Erörterungen  über  die  Peltier*- 
leiie  Hypothese  wird  es  wohl  erlaubt  sein ,  namentlich  in  Beziehung  auf 
den  Versuch  von  der  Ladung  einer  isolirten  Kugel  ohne  Berührung,  den 
Stti  auszusprechen,  dass  die  Luft  an  die  Erde  Elektricität  abgiebt.  Denn 
wenn  sie  hier  offenbar  der  Kugel  Elektricität  mittheilt,  warum  nicht  auch 
der  Erdoberfläche?  Je  mehr  sie  aber  abgiebt,  desto  weniger  behält  sie. 
Duhalb  sind  die  unteren  Luftschichten  schwächer  elektrisch,  weil  sie 
•ehon  häufiger  mit  der  Erde  in  Berührung  gekommen  sind.  Wir  werden 
weiter  unten  sehen ,  wie  eine  .dicke  Schneedecke  auch  vor  dieser  Abgabe 
•ehtttzen  kann.  Ferner  erkennen  wir  daraus  die  Nothwendigkeit  der  Be- 
achtung der  practischen  Regel  für  Beobachter  der  Lnftelektricität,  mit 
ihrem  Apparate  über  die  benachbarten  Häuser  hinaufzugehen.  Ebenfalls 
«rsiebt  man  daraus,  warum  in  den  Wohnungen  keine  Elektricität  sich  aei- 
gm  kann.  Hier  wird  nun  auch  die  Influenz  mitwirken ,'  indem  diese  auf 
der  Kosseren  Oberfläche  des  Hauses  eine  sehr  schwache  Schicht  Elektriei- 
tlt  herrorraft,  welche  der  Lnftelektricität  entgegenfje&eVLt  Kftt« 


252  Elektrische  Untersucbungen. 

lieber  die  Zonen  der  Elektricität  in  den  Regen-  und  Gewitterwolken 
giebt  es  mehrfache  sichere  Erfahrungen.  Prof.  Müller  führt  solche  an  anf 
S.  433  der  1.  Auflage  seiner  kosmischen  Physik;  Crosse  hat  diese  Beob- 
achtungen gemacht.  Ferner  ist  eine  Reihe  von  Beobachtungen  darüber 
gemacht  anf  dem  Observatorium  des  Vesuvs  vonPalmieri  (s.  BerU  Ber. 
X,  S.  644),  ebenso  von  Noath  (s.  Berl.  Berichte  XI,  S.  504),  und  endlich 
von  mir  (s.  Pogg.  Annalen,  Bd.  103,  S.  106  ff«).  Es  blieb  aber  nach  diesen 
Erfahrungen  noch  die  Frage  zu  beantworten  übrig :  Giebt  es  nachweislich 
auch  in  der  Luft  ohne  Wolken  solche  Schichten  mit  entgegengesetzten 
Elektricitäten ?  Die  bisherige  Erfahrung  sagte:  nein.  Und  ich  selbst  hatte 
bei  heiterem  Himmel  die  Luft  stets  +  elektrisch  gefunden.  Im  letaten 
Winter  aber,  am  2.  und  15.  Januar,  habe  ich  Gelegenheit  gehabt,  Stunden 
lang  beim  heitersten  Himmel  — Elektricität  zu  beobachten.  Die  UmBtftnda 
sind  für  den  Ursprung  der  Luftelektricitüt  von  solcher  Wichtigkeit,  dass 
ich  die  Erscheinungen  genau  beschreiben  muss. 

Am  2.  Januar  war  der  Himmel  Morgens  früh  schon  heiter,  nachdem 
er  mehrere  Wochen  bedeckt  gewesen.  Als  die  Luftelektricitüt  gemessen 
wurde,  zeigte  die  Atmosphäre  sich  ziemlich  stark  — elektrisch.  Nach 
einer  Stunde  war  der  Zustand  nach  Quantität  und  Qualität  genau  derselbe. 
Wegen  der  Seltenheit  wurde  die  Erscheinung  genauer  beobachtet.  Um 
den  ganzen  Verlauf  überblicken  zu  können ,  müssen  wir  auf  den  vorher- 
gehenden Tag  zurücksehen. 

Am  1.  Januar  Morgens  früh  war  die  Luft  ziemlich  stark  +  elektrisch; 
es  fielen  Schlössen ,  welche  wohl  den  stärker  elektrischen  Zustand  hervor* 
riefen.  Gegen  10  Uhr  gingen  die  Schlössen  in  Schneeflocken  über,  und  es 
schneite  nun  ununterbrochen  so  stark,  dass  bis  Abends  7  Uhr  etwa  120 
Kubikzoll  Wasser  als  Sclinee  auf  den  Quadratfuss  gefallen  war;  also  10'^ 
Höhe,  etwa  y,4  der  jährlichen  hiesigen  Regenhöhe.  Um  10  Uhr  Abends 
fielen  nur  noch  wenige  feine  Schlössen;  es  ist  also  wahrscheinlich,  dass 
bald  nach  10  Uhr  der  Schneefall  aufhörte,  wofür  auch  das  anderen  Mor- 
gens gemessene  Quantum  spricht,^  welches  nur  noch  18,20  Kubikioll  Was- 
ser betrug.  Morgens  um  3  Uhr  am  2.  Januar  ist  der  Himmel  schon  heiter 
gesehen  worden. 

Somit  war  die  — Elektricität  am  2.  Morgens  bei  ganz  heiterem  Himmel 
eine  höchst  ungewöhnliche  Erscheinung.  Es  wurde  anfangs  vermuthet, 
sie  könne  daher  kommen,  dass  die  grosse  Masse  gefallenen  Schnees,  wel- 
cher nach  häufig  gemachten  Erfahrungen  öfter  stark  — elektrisch  ist,  seine 
—  Elektricität  noch  besitze  und  von  unten  auf  den  Sammelapparat  wirke, 
in  diesem  die  +  Elektricität  während  der  Ladung  binde ,  so  dass  diese  als 
freie  +  Elektricität  herunter  gebracht  werde.  Diese  Ansicht  war  leicht  zu 
prüfen.  War  die  Voraussetzung  gegründet,  so  musste  die  -{-Elektricität, 
welche  die  Samraelkugel  herunter  brachte,  mit  der  Annäherung  an  den 
Boden  wachsen.  Es  wurde  also  die  Kugel  in  verschiedenen  Höhen  geladen. 


Von  Prof.  Dr.  F.  Dblluann.  253 

Sie  Beigte  sieh  xwar  immer  +olektri8ch,  aber,  wie  gewöhnlich,  mit  bq- 
nehmender  Höhe  stärker.     Also  war  die  Voraui^etzang  falsch. 

Nachdem  die  Luft  einige  Stunden  constant  das  Qnantnm  —  250,7  ge- 
leigt  hatte ,  fing  es ,  wie  es  in  dieser  Jahres  -  und  Tageszeit  gewöhnlich  ist, 
iwischen  0  und  10  Uhr  zu  steigen  an;  um  10  Uhr  betrug  es  — 286,0;  um 
It  Uhr  — 625,0;  um  12  Uhr  war  ein  Zurückgehen  bemerkbar,  das  Quantum 
betrog  nur  noch  — 403,1;  um  1  Uhr  — 157,7;  um  2  Uhr  wieder  +  238,4;  um 
5  Uhr  +^1|5;  um  7  Uhr  sogar  +1050,7.  Dabei  war  den  ganzen  Tag  kein 
Wölkchen  am  Himmel  zu  sehen  gewesen.  Die  Wärme  betrag  Morgens 
—  0^5,  Nachmittags  — 6*,4,  Abends  10  Uhr  — 13^4.  Gegen  Abend  ent- 
wickelte  sich'  etwas  Nebel ,  welcher  aber  die  starke  Steigerung  der  +  Elek- 
trieitlt  nicht  erklärt,  da  sonst  ein  so  grosses  Quantum,  welches  ohnehin 
lehr  selten  ist ,  nur  bei  sehr  starkem  Nebel  vorkommt.  Der  Himmel  blieb 
die  ganze  Nacht  vom  2.  auf  den  3.  heiter.  Am  3.  Nachmittags  2  Uhr  war 
die  +£lektricität  sogar  bis  auf  1280,6  gestiegen,  obgleich  der  Nebel  unbe- 
deutend war.  Ein  solches  Quantum  kommt  sonst  nur  bei  Gewittern  vor. 
All  ich  ein  paar  Tage  später  erfuhr,  dass  es  am  1.  Januar  an  der  Saar 
nicht  geschneit,  sondern  stark  geregnet  habe,  brachte  ich  die  Erscheinung 
gleich  in  Zosammenhang  mit  zwei  entgegengesetzten  Luftströmen,  an  deren 
Grenze  wir  uns  also  in  Kreuznach  befanden  hatten.  Der  Gegensatz  der 
LsfUtröme  sprach  sich  auch  in  der  grossen  Verschiedenheit  der  mittleren 
Wirme  beider  Tage  aus.  Am  1.  war  sie  — 2^97,  am  2.  aber  — 9®,  73  R. 
Die  Windrichtung  war  an  beiden  Tagen  NO.  Offenbar  musste  durch  den 
Gegensatz  der  Luftströme  auch  der  starke  Schneefall  entstanden  sein.  Die 
Grenze  der  beiden  Luftströme  hatte  sich  am  1.  Januar  zwischen  Nahe  und 
Saar  hindurchgezogen ,  und  da  wir  am  2.  heiteres  Wetter  und  viel  bedeu- 
tendere Kälte  hatten,  so  befanden  wir  uns  an  diesem  Tage  entschieden  im 
Polarstrome,  also  war  die  Grenze  nach  Westen  gerückt. 

Am  15.  Januar  wiederholte  sich  die  Erscheinung  vom  2.  in  noch  auf- 
fallenderer Weise.  Die  erste  Messung  ergab  bei  ganz  bedecktefm  Himmel, 
lehwachem  Nebel,  NO -Wind  und  7*,  57  Wärme  das  Elektricitätsquantum 
"- 170,4.  Der  Himmel  wurde  bald  ganz  heiter  und  blieb  es  auch  den  gan- 
len  Tag.  Nachmittags  2  Uhr  war  bei  ganz  heiterem  Himmel  das  Quantum 
der  Lnftelektricität  —  345,8.  Um  5  Uhr  war  es  wieder  +42,5j  um  6  Uhr 
--  256,7  bei  zweimaliger  Messung  genau  übereinstimmend ;  um  0  Uhr  40  Mi- 
mten wieder  +  145,1 ,  und  das  positive  Quantum  stieg  jetzt  bei  wiederhol- 
tes Messungen  der  Art ,  dass  es  bei  der  zehnten  Messung  um  7  Uhr  10  Min. 
+  832,1  betrug.     Um  10  Uhr  war  es  nur  noch  188,0. 

Am  16.  war  der  Himmel  Morgens  noch  heiter,  der  Wind  wieder  NO, 
die  Kälte  etwas  grösser,  nämlich  10*, 73,  der  Nebel  nur  schwach.  Das  erste 
Elektricitätsquantum  war  +11^«^-     ^^  ^  Uhr  war  es  schon  auf  025,0,  um 
9 Uhr  10  Min.  sogar  auf  757,0  gestiegen;  um  10  Uhr  war  es  wieder  ^11L^\ 
ttm  il  Uhr  467,9;  um  J2  Uhr  424,1  ,•  um  2  Uhr  wieder  Wi,Q.    kXi^wÖL*  \^\:^ä 

Uit0ekrin  f,  Mathematik  a.  Phyaik,  VI,  4.  V^ 


254  Eloktrische  Untersachtmgetu 

220,2.  Der  Himmel  bedeckte  sich  allmXlig  an  diesem  Tage;  Naehmittags 
2  Uhr  war  zwar  die  Him^elbedecknng  nur  0,2,  aber  Abends  1,  d.  h.  der 
ganze  Himmel  war  bedeckt  Ans  diesen  Erscheinungen  konnte  ich  nicht 
mit  Sicherheit  anf  ähnliche  Ursachen,  wie  sie  am  1.  und  2.  obgewaltet 
haben  mnssten,  schliessen,  nmsoweniger,  da  kein  Niederschlag  erfolgte. 

Nnn  lese  ich  aber  im  2.  Hefte  dieses  Jahrganges  von  Petermanii*s 
Mittheilungen  einen  Aufsatz  von  Dr.  Mührj,  in  welchem  dieser  Meteoro- 
log  nach  telegraphischen  Mittheilnngen,  welche  täglich  in  Baris  pnblicirt 
werden,  doch  constatirt,  dass,  aber  am  16. ,  eine  ähnliche  Verschiebung  . 
der  Grenze  der  beiden  entgegengesetzten  Lnftströme  stattgefunden  habe. 
Dadurch  bekommen  meine  Beobachtungen  noch  ein  höheres  Interesse; 
denn  die  zweite  Verschiebung  war  in  entgegengesetzter  Richtung,  und  die 
ähnliche  elektrische  Erscheinung  geht  vorher,  sie  zeigt  sich  am  15.,  und 
zwar  in  noch  grösserer  Mannigfaltigkeit,  da  ein  paar  Mal  die  — ElektricitXt 
mit  der  +  Elektricität  wechselt;  am  2.  folgt  sie  der  Verschiebung.  Auch 
das  zweite  Mal  haben  wir  uns  hier  der  Grenze  nahe  befunden;  denn  am  16. 
trübt  sich  der  Himmel,  ein  Beweis  vom  Heranrücken  des  Aequatorial- 
Stromes. 

Ist  es  denn  nun  wohl  zu  verkennen ,  dass  beide  Mal  die  Luftschichten 
mit  —  Elektricität  Massen  beladen  waren,  welche  vom  Aeqnatorialstrome 
herrührten  und  sich  mit  Schichten  des  Polarstromes  gemengt  hatten?  Dass 
aber  der  Aequatorialstrom  bis  hierher,  von  der  südlichen  Halbkugel  aus,  seine 
—  Elektricität  behalten,  spricht  dafür,  1)  dass  er  aus  der  Höhe  (wir  hatten 
an  allen  vier  Tagen  NO)  frisch  herunter  kam;  2)  dass  die  dicke  Schnee- 
schicht, welche  durch  den  Frost  noch  isolirender  geworden,  überhaupt  an 
diesen  Tagen  so  grosse  Quantitäten  Elektricität  hervortreten  Hess.  Aber 
auch  die  polarische  Reaction  spricht  sich  sehr  deutlich  in  diesen  Erschei- 
nungen aus. 

Dieser  elektrische  Gegensatz  verschiedener  Luftschichten  ohne  Wol- 
ken kommt  zwar  selten  zu  unserer  Anschauung,  weil  das  Nebeneinander 
der  beiden  Hauptluftströme  selten  unser  Local  trifft  und  gar  zu  leicht  durch 
Mengung  der  Massen  aus  beiden  Strömen  Wolken  entstehen.  Aber  dnsa 
der  eine  Luftstrom  über  dem  anderen  herweht,  sehen  wir  häufig  an  der 
verschiedenen  oder  gar  entgegengesetzten  Richtung  der  Wolken.  Dann 
können  wir  oft  genug  noch  die  — Elektricität  des  Aequatorialstromes  con- 
statiren.  Der  Aequatorialstrom  ist  nämlich  als  der  leichtere  auch  immer 
der  obere;  ferner  ist  er  der  obere  seiner  Entstehung  nach.  Da,  wo  er  mit 
dem  unteren,  dem  Polarstrome,  in  Berührung  kommt,  bilden  sich  leicht 
Niederschläge,  wie  sich  das  aus  der  Verschiedenheit  ihrer  Natur  mitNoth- 
wendigkeit  ergiebt.  Diese  Niederschläge  bringen  uns  dann  seine  — Elek- 
tricität herunter.  Daher  kommt  es ,  dass  Regen  fast  immer  —  elektrisch 
sind.  Und  im  Sommer  ist,  wie  bekannt,  diese  — Elektricität  bedeutend 
grösser,  als  im  Winter,  weil  der  obere  Passat  dann  noch  nichteinen  so 


Von  Prof.  Dr.  F.  Dellmann.  255 


lugen  Weg  gemacht,  also  von  seiner  — ElektriciUtt  noch  nicht  so  viel 
Terioren  hat  Haben  wir  den  Aequatorialstrom  unten ,  so  ist  er  zwar  meist 
-(-elektrisch 9  weil  er  seine  — ElektriciUt  bereits  verloren;  aber  er  trägt 
die  +  Elektricitttt  immer  in  einem  weit  niedrigeren  Grade,  znm  Zeichen, 
dus  sie  ihm  nicht  ursprünglich  eigen  ist,  sondern  dass  er  sie  dnrch  Ver- 
meDgang  mit  dem  Polarstrom  erhielt. 

Wir  sehen  also  daraus,  dass  die  beiden  Hauptluftströme  entgegenge- 
letite  Elektricitäten  haben.  Wie  nun  zwei  Wasserströme  von  verschiede- 
ner Farbe ,  welche  neben  einander  fliessen  und  sich  nur  langsam  mengen, 
da,  wo  die  Mengnng  theil weise  stattgefunden,  ihre  Theile  noch  an  der 
Farbe  erkennen  lassen ;  so  die  Wellen  der  Hauptluftströme  an  ihrer  ent- 
gegengesetzten Eloktricität.  Denn  was  kann  es  anderes  sein,  wenn  bei 
keiterem  Himmel  mein  Apparat  — Elektricitttt  angiebt,  als  eine  Luftwelle 
des  Aequatorialstromes ,  welche  sich  in  den  Polarstrom  hineingestürzt  hat  ? 
Die  starke  — Elektricitflt  bei  Sommergewittern  ist  gewiss  zum  Theil  die 
— Elektricität  des  Aequatorialstromes. 

Ich  will  mit  folgender  Betrachtung  schliessen.  Die  Atmosphäre  giebt 
bei  nns  +  Elektricität  an  die  Erde  ab.  Würde  diese  +  Elektricität  der 
Erde  nicht  vernichtet  durch  eine  Abgabe  anderwärts  von  — Elektricität 
oder  darch  Hin  wegnähme  der  +  Elektricität ,  so  müsste  die  ganze  Erde 
lingst  -f- elektrisch  geworden  sein.  Sie  ist  es  aber  nicht  Die  Atmosphäre 
afisste  durch  die  Abgabe  der  +  Elektricität  aber  auch  längst  alle  -f  Elek- 
trieität  verloren  haben,  wenn  nicht  ein  Ersatz  stattfände.  Daraus  folgt, 
diss  die  Ursache  der  polarischen  Elektrisirung  der  Atmosphäre  noch  fort- 
wirkt. Was  für  eine  sollte  diese  sein,  wenn  es  nicht  die  Einwirkung  der 
Sonne  wäre? 

IL  üeber  die  Rolle,  welche  bei  der  Elektricitäts-Vertheilung 
das  Zwischen-Dielektricum  spielt 

Bekanntlich  sind  vor  einigen  Jahren  briefliche  Verhandlungen  Zwi- 
lchen den  Herren  Faraday  und  Kiess  über  den  in  der  Ueberschrift  genann- 
ten Gegenstand  gepflogen  worden.  Herr  Faraday  stellt  sich  vor,  dass  ein 
elektrischer  Körper  dnrch  einen  Nichtleiter  hindurch,  z.  B.  Luft,  so  wirke, 
dass  die  Zwischentheilchen  polarisch  -  elektrisch  werden,  dass  die  Wirkung 
von  Theiehen  zu  Theilchen  fortschreite;  Herr  Riess  aber  behauptet  eine 
Uimittelbare  Wirkung  in  die  Entfernung  ohne  Theilnahme  der  Zwischen- 
theichen.  Herr  Dr.  Jochmann,  welcher  im  12.  Jahrgange  der  „Fortschritte 
der  Physik*'  über  den  Streit  berichtet,  ist  der  Ansicht,  dass  beide  Vor- 
itellungsweisen  zur  Darstellung  der  experimentellen  Thatsachen  genügen 
dürften.    Wir  wollen  sehen ,  ob  er  darin  Recht  hat. 

Hätte  man  den  Streit  durch  ein  Experiment  entscheiden  können ,  so 
wäre  er  längst  entschieden.  Dies  Experiment  ist  aber  in  gewöhnlichen 
Verhältnissen  gar  nicht  möglich.  Mein  Apparat  zur  Boo\>8Lc\v\.\x\i^  ^^x\i<QiV 


256  Elektrische  Untersachangen. 

» 
elektricität  hat  mir  das  Mittel  in  die  Hand  gegeben ,  das  Experiment  su 
machen. 

In  meinem  Aufsätze  über  den  Ursprung  der  LnftelektricitXt  habe  icl 
gezeigt,  dass  die  Ladangskngel ,  wenn  sie  oben  ableitend  berührt  wird, 
ihre  Ladung  dnrch  Vertheilnng  erhält;  wenn  sie  aber  etwa  eine  halb« 
Stunde  oben  bleibt  ohne  Berührung,  so  bringt  sie  eine  fast  gleiche  Laditn| 
mit  ElektricitSt  herunter,  welche  derjenigen  entgegengesetzt  ist,  die  si( 
durch  die  Ladung  mit  Berührung  erhält.  Diese  Ladung  muss  also  durcl 
Mittheilung  stattgefunden  haben. 

Wenn  nun  am  Horizonte  eine  Gewitterwolke  steht,  welche  immei 

—  elektrisch  ist,  d.h.  welche  der  Kugel  bei  der  Ladung  mit  Berührung 
-{-Elektricität  giebt,  so  fragt  sich,  wie  wird  sie  auf  die  Kugel  wirken,  wenn 
diese  eine  Zeitlang  oben  ohne  Berührung  stehen  bleibt.  Hat  Herr  Rieif 
Recht,  so  wird  sie  die  +  Elektricität  in  der  Kugel  binden,  die  — Elektri- 
cität zurückstossen ,  welche  dann  Zeit  hat,  sich  in  der  Luft  zu  lerstreneiu 
Dies  wird  um  so  eher  zu  erwarten  sein,  wenn  der  Himmel,  ausgenommen 
die  Stelle,  wo  die  Wolke  steht,  klar  ist.  Dann  muss  man  also  annehmen, 
dass  die  Luft  noch  -{-elektrisch  ist,  und  somit  wird  durch  die  +  Elektrici- 
tät der  Luft  ebenfalls  noch  eine  Ladung  durch  Mittheilung  entstehen,  wel- 
che die  Ladung  durch  Vertheilnng  von  Seiten  der  Wolke  nur  unterstützt 
Macht  aber  die  Wolke  die  Atmosphäre  -  elektrisch  im  Sinne  von  Faradaj, 
so  ist  der  Erfolg  ein  anderer;  die  Kugel  wird  dann  durch  diese  — Elektri- 
cität der  Luft,  wie  immer  durch  Mittheilung,  — elektrisch  werden.  Man 
sieht  ans  diesen  Andeutungen,  dass  hier  in  der  That  der  Streit  dnrch  ein 
Experiment  entschieden  werden  kann. 

Und  er  ist  entschieden.  Die  eben  gegebenen  Andeutungen  sind  nicht 
erdacht,  sie  sind  erlebt.  Die  Wolke  stand  am  Horizonte,  reichte  etws 
20*  —  25*  über  denselben  hinauf;  sonst  war  der  Himmel  klar.  Die  Haupt- 
wölke  stand  in  SW,  reichte  etwa  von  S  bis  W,  und  in  S  zog  sich  ein  schma- 
ler Streifen  noch  höher  hinauf,  etwa  bis  45*.  Eine  Ladung  mit  Berührung 
gab  starke  -^Elektricität*),  so  dass  daraus  geschlossen  werden  konnte, 
dass  die  Wolke  ohne  Zweifel  eine  Gewitterwolke  sei.  Jetzt  wurde  di€ 
Kugel  wieder  gehoben,  aber  oben  nicht  berührt.  Sie  blieb  etwa  15  Minuten 
stehen.  Die  Wolke  verkündete  mittlerweile  ihren  Donner ,  blieb  aber  an 
Rande  des  Horizontes.  Als  die  Kugel  ohne  Berührung  herunter  genommen 
wurde ,  zeigte  sie  ziemlich  starke  +  Elektricität     Sie  musste  also  von 

—  Elektricität  umgeben  gewesen  sein.  Also  hat  Herr  Faraday  Recht  und 
Herr  Dr.  Jochmann  Unrecht.  Eine  Wolke  wirkt  also  vertheilend ,  inden 
sie  erst  die  Lufttheilchen  elektrisirt. 


*)   Die  Kngol  brachte  nämlich  +  Elektricität  mit  herunter,  so  dass  man  also 
schliessen  muMte,  der  vertheilende  Gegenstnnd ,  die  Wolke,  sei  mit  —  Elektricität 


Von  Prof.  Dr.  F.  Deijlhann.  257 


III,  Besultate  sechsjähriger  Beobachtungen  über  Luft- 

elektricität. 

Als  mich  vor  einigen  Jahren  Herr  W.  Thomson  aus  Glasgow  besuchte 
uod  sich  sehr  interessirte  für  mein  Verfahren  der  Beobachtung  der  atmo- 
sphärischen Elektricitftt,  nahm  ich  mir  vor,  die  bis  dahin  gewonnenen  He- 
sulute  zu  veröffentlichen ;  von  denen  allerdings  schon  zwei  Jahrgänge  in 
Pogg.  Annalen  erschienen  sind.  Eine  kürzlich  erhaltene  Zusendung  von 
Herrn  Thomson  macht  es  mir  zur  Pflicht,  nicht  mehr  damit  zu  säumen  und 
nicht  lu  warten,  bis  sich  Zeit  findet,  auch  die  beiden  letzten  Jahre  zu  be- 
rechnen. 

Zwar  müssen  die  Resultate  für  sich  selbst  sprechen ;  indess  will  ich 
10  ihrem  Schutze  doch  noch  auf  das  Urtheil  zweier  Männer  hinweisen, 
welche  mit  mir  auf  demselben  Felde  gearbeitet  haben.  Der  eine  ist  Herr 
Prof.  Hankel,  auf  dessen  Urtheil  ich  in  dem  Aufsatze  über  den  Zusam- 
menhang der  Witterungs  -  Erscheinungen  mich  bezog.  Der  andere  ist  Herr 
W.Thomson  selbst,  der  auch  in  Deutschland  bei  Physikern  bekannt  genug 
iit*)  Es  ist  in  der  That  merkwürdig  für  diesen  speculativen  Kopf,  dass  er 
durch  das ,  was  er  vor  einigen  Jahren  mit  mir  hier  verhandelt,  sich  bewogen 
gefunden ,  diesen  Gegenstand  mit  allem  Ernste  weiter  zu  verfolgen.  Was 
er  mir  zusandte ,  ist  ein  Vortrag ,  gehalten  in  der  Eoyal  Institution  of  Great 
Britttinj  on  atmospheric  electricily.  Er  beschreibt  darin  drei  neue  Instrumente 
lar  Beobachtung  atmosphärischer  Elektricität ,  welche  er  vorgezeigt,  deren 
Gebrauch  er  erörtert  und  von  deren  Anwendung  er  eine  Menge  sehr  inter- 
essanter Resultate  mitgetheilt  hat.  Er  sagt  darin  über  mein  Verfahren: 
rJhe  much  more  accurate  electrometer  (als  Peltiers's  nämlich ,  von  dem  er 
eben  vorher  spricht  und  welches  in  Brüssel  und  München  angewandt  wird), 
and  the  greatly  improved  mode  of  Observation  invented  by  Dellmann ,  have  given 
for  the  electric  intensity,  at  any  instant,  still  more  precise  results,*^  Und  an 
einer  anderen  Stelle :  „On  the  other  hand,  the  meüiod  by  a  carrier  ball,  instead 
of  a proof  planet  w  precisely  the  mcthod  by  which,  on  a  small  Scale,  Faraday  in- 
teHigaied  the  distribulion  of  electricity  induced  on  the  earth's  surface ,  by  ä  piece 
ofrubbed  shellac:  and  the  same  method,  applied  on  a  suitable  Scale  for  testing 
^  natural  eleetrification  of  the  earth  in  the  open  air,  has  given  in  the  hands  of 
l^eümann ,  of  Creuznach ,  the  most  accurate  results  hitherto  published  in  the  way 


*)  Es  ist  derselbe,  ron  welchem  Herr  Prof.  Helmholisin  seiner  Schrift  ühor 
^  Wechselwirkaog  der  Natarkräfte  sagt:  „Jedenfalls  münsen  wir  Thomson^s  Scharf- 
sinn bewundern,  dvr  Bwischen  den  Buchstaben  einer  schon  länger  bekannten  kleinen 
^^^^matischen  Gleichung ,  welche  nur  von  Wärme ,  Volumen  und  Pmck  der  Körper 
"prieht,  Folgerungen  su  lesen  verstand,  die  dem  Weltall,  aber  freilich  erst  nach  un- 
endlich  langer  Zeit,  mit  ewigem  Tode  drohen." 


258 


Elektrische  Untersuchangen. 


of  elecirO'tneteorological  observaiion."'  Da  glaube  ich  denn  nicht  länger  w 
ten  sn  dürfen  nnd  geben  in  mttssen ,  was  ich  yorläufig  geben  kann.  ] 
Nachtrag  wird  also  später  folgen.  Die  Bezeichnung  ist  wie  in  dem  A 
Satze  über  den  Zusammenhang  der  Witterungs  -  Erscheinungen. 


Das 
A. 

1.  100,3 

2.  113,5 

3.  127,2 

4.  137,2 

5.  100,7 
0.  140,2 

7.  135,9 

8.  101,6 

9.  173,2 

10.  150,4 

11.  229,8 

12.  188,0 
Mittel:  152,3 


Jahr 

1852. 

B. 

C. 

242,4 

156,9 

151,0 

150,7 

162,2 

162,3 

140,3 

107,7 

79,7 

101,8 

94,2 

122,9 

105,0 

115,3 

127,6 

158,0 

142,7 

146,4 

169,0 

169,8 

217,8 

230,9 

278,1 

220,8 

159,2 

154,2 

1. 

2. 

3. 
4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9, 
10. 
11. 
12. 


Das  Jahr  1854. 
278,0     538,7     836,6 


105,7 
144,1 
106,5 
121,2 


13.3,4 
131,1 
198,3 
193,7 


Das 
.     1.  236,4 

2.  131,1 

3.  110,0 

4.  105,1 

5.  155,7 

6.  183,0 

7.  104,4 

8.  130,7 

9.  145.3 

10.  156,4 

11.  152,9 

12.  148,1 
M.:   151,0 


Jahr 
253,0 
130,5 
123,7 
108,1 
117,6 
128,3 
105,2 
103,0 
111,9 
147,8 
228,2 
208,7 
147,7 


121,8 
158,9 
188,4 
166,1 

1856. 
227,1 
121,7 
87,5 
103,7 
120,7 
161,4 
124,5 
106,5 
136,5 
157,0 
202,1 
185,1 
145,0 


M. 
109,5 
140,4 
150,6 
128,4 
114,1 
119,1 
118,7 
149,3 
154,1 
163,1 
226,2 
229,2 
155,2 


384,4 


120,3 
144,7 
104,4 
160,3 


238,8 
129,8 
107,1 
105,6 
133,3 
157,6 
131,4 
113,4 
131,2 
153,7 
104,4 
180,0 
148,1 


Das 
A. 

1.  189,5 

2.  154,3 

3.  145,2 

4.  149,6 

5.  147,4 

6.  141,2 

7.  135,4 

8.  153,6 

9.  156,7 

10.  195,0 

11.  162,6 

12.  194,0 
M.:  100,4 

Das 

1.  155,2 

2.  199,6 

3.  144,5 

4.  124,1 

5.  117,6 

6.  143,1 

7.  147,1 

8.  143,9 

9.  120,2 

10.  135,4 

11.  150,2 

12.  187,9 
M.:  147,9 


1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

0. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

M.: 


Das 
148,5 
192,8 
138,2 
103,7 
114,0 
111,0 
84,4 
90,4 
128,8 
138,0 
139,3 
150,9 
128,3 


Jahr 

B. 

197,6 

219,6 

154,7 

129,2 

86,7 

99,9 

96,2 

100,7 

121,0 

172,9 

187,5 

283,5 

154,1 

Jahr 
265,5 
393,9 
158,7 
124,7 
87,8 
87,7 
102,3 
118,7 
105,8 
130,9 
173.5 
323,9 
172,8 

Jahr 

197,3 

251,2 

134,6 

87,2 

80,2 

71,7 

80,8 

74,5 

100,8 

92,7 

156,3 

179,0 

125,5 


1853. 

C. 
187,3 
188,9 
152,7 
122,3 
108,6 
127,6 
142,4 
138,2 
149,5 
209,6 
167,6 
222,1 
159,7 

1855. 
218,5 

,  312,0 
143,0 
108,2 
86,5 
105,0 
129,6 
131,1 
139,7 
148,7 
120,3 
188,1 
152,6 

1857. 

159,7 

237,8 

129,2 

104,6 

75,7 

94,5 

96,2 

93,7 

108,3 

105,1 

155,9 

145,2 

125,5 


M. 
191,5 
187,6 
150,9 
133,7 
114,2 
122,9 
124,7 
130,8 
142,4 
192,5 
172,6 


158,1 

213,1 
301,8 
148,7 
119,0 
97,3 
111.9 
126,S 
131,2 
123,9 
138,3 
148,0 
233,3 
157,7 


168,5 

227,3 

134,0 

98,5 

90,0 

92,4 

87,1 

86,2 

112,6 

111.9 

150,5 

158,4 

126,4 


Von  Prof.  Dr.  F.  Dellhank. 


259 


Das  Jahr  1858. 


1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

0. 

10. 

11. 

12. 

M.: 


122,7 
138  4 
123,0 
108,7 
110,8 
108,3 
108,0 
109,3 
127,0 
135,3 
145,0 
141,0 
123,8 


B. 

171,0. 

183,8 

142,0 

108,7 

89,4 

93,2 

81,9 

89,9 

105,0 

137,0 

223,9 

102,3 

132,4 


C. 

138,4 

140,8 

120,0 

93,8 

99,2 

92,5 

87,7 

114,5 

100,1 

128,2 

205,5 

134,3 

122,5 


144,2 
157,3 
128,3 
103,0 
101,8 
98,0 
92,7 
104,0 
112,9 
133,7 
191,5 
140,1 
120,2 


Sechsjährige  Mittel ;  Jannar,  Septem- 
ber, October,  November  und  Decem- 
ber  siebenjährig. 


1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
0. 
7. 
8. 
9. 
10. 

n. 

12. 
M.: 


A. 

177,1 
155,0 
131,3 
121,4 
185,4 
137,8 
129,3 
131,0 
137.0 
150,7 
155,2 
101,8 
148,7 


B. 

200,0 

222,7 

140,0 

110,4 

90,2 

95,8 

95,2 

102,4 

117,2 

140,3 

197,9 

232,7 

151,9 


C. 

203,4 
194,5 
132,4 
100,7 

99,8 
117,3 
115,9 
123,8 
129,8 
153,9 
181,5 
180,2 
144,9 


M. 

215,7 
190,7 
130,0 
114,8 
108,5 
117,0 
113  5 
119,3 
128,2 
148,3 
178,2 
191,0 
140,8 


Wenn  man  diese  Reihen  übersieht,  so  erscheint  wenigstens  noch 
einige  Gesetzmässigkeit.  Hat  man  aber  eine  Monatstabelle  vor  sich ,  so 
sind  die  Grössen,  welche  zu  derselben  Tagesstunde  an  verschiedenen 
Tagen  beobachtet  wurden,  so  verschieden ,  dass  man  sich  darüber  wandern 
mnss ,  dass  sich  am  Ende  des  Jahres  Alles  so  gut  ausgleicht  und  dass  die 
verschiedenen  Jahre  eine  solche  Uebereinstimmung  zeigen.  Um  von  die- 
ser Verschiedenheit  eine  Anschauung  zu  geben,  habe  ich  meinen  Pack 
Monatatabellen  herbeigeholt.  Ich  greife  die  erste ,  es  ist  der  Januar  1857. 
Wir  finden  Morgens  0  Uhr  nach  einander  folgende  Zahlen:  242,4;  52,0;  95,0 
88,3;  156,3;  220,0  etc.  Nachmittags  2  Uhr  stehen  verzeichnet:  104,8;  135,0 
52,3;  126,4;  209,4;  240^5;  351,8  etc.  Abends  10  Uhr  finden  wir:  250,7;  80,3 
96,2;  56,4;  239,0  etc.  Diesem  Wirrwarr  gegenüber  kann  man  also  mit  den 
obigen  Reihen  wohl  zufrieden  sein.  Aber  ich  kann  mir  doch  auch  nicht 
versagen,  auf  eine,  wie  mir  scheint,  merkwürdige  Eigenschaft  obiger  Zah- 
len noch  aufmerksam  zu  machen.  Sie  steckt  in  den  Summen  der  Quotien- 
ten derselben.  Die  Anschauung  wird  es  lehren.  Diese  Quotienten  der 
•echs-  bis  siebenjährigen  Mittel  mögen  zum  Theil  hier  stehen.  Es  ist 
nftmlich : 

L        —        —        —        —       K 
A  C  C  A         B         C 

1.  1,505  1,311  0,871     1,218     0,809     1,000 

2.  1,437  1,145  0,797 

3.  1,112  1,103  0,992 

4.  0,959  1,091  1,188 

5.  0,006  0,904  1,357 
0.  0,695  0317  1,175 

7.  0,7;W  0,821  1,110 

8.  0,778  0,827  1,008 

9.  0,852  0,903  1,060 
10.  0,031  0,912  0,970 


1,230 

0,856 

0,980 

1,040 

0,930 

lfiS2 

0,9'10 

0,986 

1,076 

0,801 

1,203 

1,087 

0,850 

1,221 

0,997 

0,878 

1,192 

0,979 

0,907 

1,105 

0,964 

0,932 

1,094 

0,988 

0,985 

1,057 

0,964 

260 


Kleinere  Mittheilungen. 


B 

B 

A 

M 

M 

M 

A 

C 

C 

A 

B 

C 

11. 

1,275 

1,090 

0,855 

1,148 

0,900 

0,982 

12. 

1,438 

1,291 

0,898 

1,180 

0,823 

1,063 

S.: 

12,384 

12,215 

12,301 

12,115 

12,24e 

12,172 

M.: 

1,03 

1,02 

1,03 

1,01 

1,02 

1,01 

Die  Mittel  dieser  sechs  Quotienten  -  Summen ,  oder  auch  die  Quotien- 
ten -  Summen  selbst ,  sind  so  zu  sagen  gleich. 


Kleinere  Mittheilungen. 


XX.    Bemerkung  ftber  Corveneonitniotioiieii.    Bei  graphischen  Ar- 
beiten kommt  es  häufig  vor,  dass  man  durch  drei  Funkte  A,  K^  B  (Fig.  l) 
eine  Curve  zu  ziehen  hat,  deren  Natur  bekannt  ist  und  von  welcher  man 
Fig.  1.  auch  weiss,  dass  sie  innerhalb  der  ver- 

langten Ausdehnung  keinen  Krfimmangs- 
wechsel  erleidet.  Liegen  die  gegebenen 
Punkte  einander  sehr  nahe,  so  lässt  sich 
die  Curve  durch  einen  Kreis  ersetzen,  im 
Gegeufalle  aber,  oder  wenn  grosse  Ge- 
nauigkeit verlangt  wird,  muss  man  auf 
die  verschiedenen  Krümmungshalbmesser 
der  Curve  Rücksicht  nehmen ;  dies  kann 
auf  folgende  Weise  geschehen. 

Unter  der  Voraussetzung,  dass  die 
Krümmungshalbmesser  von  A  bis  B  ent- 
weder nur  wachsen  oder  nur  abnehmen, 
bestimme  man  zunächst  den  kleinsten 
und  grössten  Krümmungshalbmesser  AM  und  BQ  und  construire  die  zum 
Punkte  K  gehörende  Normale  KL.  Mit  Hilfe  der  in  Theil  IV,  S.  244  be- 
handelten Aufgab^  lässt  sich  nun  jeder  der  Bögen  AK  und  KB  aus  zwei 
Kreisbögen  zusammensetzen.  Man  schneidet  nämlich  auf  KL  die  Strecke 
KM'  :=:  AM  ab  und  halbirt  MM'  durch  eine  senkrecht  zu  MM'  liegende 
Gerade,  welche  auf /f Z  den  zweiten  Kreismittelpunkt  N  bestimmt;  ebenso 
nimmt  man  KQ'  =  BQ  und  erhält  den  dritten  Kreismittelpunkt  P als  Durch- 
schnitt von  KL  mit  der  Geraden,  welche  QQ'  senkrecht  halbirt.  (Fallen 
zwei  Punkte,  wie  z.  B.  Q  und  Q\  nahe  an  einander,  so  kann  man  die  Ge- 


Kleinere  Mittheilangen. 


261 


W»»WMW«^^^^i^^^^^ 


nieQQ'  durch  Ansetzen  zweier  gleichen  Stttcke  QRuni  Q'K  rergrössem.) 
Die  Corre  AKB  bildet  nun  die  Evolvente  der  gebrochenen  Linie  AMfiPQ 
und  bat  mit  der  gesuchten  Cnrve  die  gegebenen  drei  Punkte,  die  Krüm- 
mangshalbmesser  der  Endpunkte  und  die  Normale  KL  gemein;  es  ist  daher 
eine  sehr  gute  Uebereinstimmung  beider  Curven  zu  erwarten. 

Dieses  Verfahren  lässt  sich  unter  Anderem  zur  Construction  der  Ellipse 
benntien,  wenn  deren  Halbachsen  AC  und  BC  (Fig.  2)  gegeben  sind.  Legt 
min  ^£  senkrecht 
iai^,8oi8t(7£der 
Hilbparameter  und 
iQgleichderKrüm- 
mongshalbmesser 
ftr  den  Scheitel  A^ 
mitiiin  AM  =  CE. 
Zieht  man  femer 
durch  den  Brenn- 
punkt J*  die  Gerade 
i^  sankrecht  zu 
^/,  so  ist  0  der 
Krftmmvngsmittel- 
pinktfllrdenScbei- 
tel^.  Endlich  be- 
lUfflmt  man  noch 
iigend  einen  Ellip- 
lenpunkt  K  nebst 

•einer  Normale  und  wendet  dann  die  vorige  Construction  an.     Da  sich 
die  Krümmungshalbmesser  in  der  Nähe  von  A  rascher  ändern,  als  bei 
^,  so  muss  man  K  so  wählen,  dass  der  Bogen  ^A"  kleiner,  als  der  Bogen 
•^ IT  ist;  bei  Ellipsen  von  grosser  Excentricität  kann  man  für  K  den  End- 
punkt der  in  F  errichteten  Ordinate  nehmen,  bei  kleinen  Excentricitäten 
dagegen  würde  dann  arcAK<  arcBK  werden.    In  allen  Fällen  scheint 
*ich  fttr  K  derjenige  Punkt  am  besten  zu  eignen ,  dessen  Normale  die  mitt- 
lere Lage  hat,  d.  h.  die  Achsen  unter  45^  schneidet.  Dieser  Punkt  empfiehlt 
•ich  auch  durch  die  Leichtigkeit  seiner  Construction;  legt  man  nämlich 
Ob  senkrecht  zu  AB,  so  ist  AD  =  Cl  die  Abscissc,    BD  =  /Ä'=  IL  die 
Ordinate  und  KL  die  Normale  des  erwähnten  Punktes.  —  Im  Vergleich  zu 
d«n  gewöhnlichen  Constmctionen  sogenannter  Korbbögen   zeichnet  sich 
das  angegebene  Verfahren  durch  sehr  grosse  Genauigkeit  aus;  man  könnte 
diese  durch  Einschaltung  mehrerer  Ellipsenpunkte  noch  erhöhen,   doch 
^heint  dies,  den  gemachten  Proben  zu  Folge,  nur  bei  ganz  exorbitanten 
Verhältnissen  nöthig  zu  seiu.  Sculömilch. 


S6S  Kleinere  Mittheilangeii. 

XZL  Veber  Ale  dvxok  Sieben  mmtbrnnm  SehUn.  VnSi  mm  sehen, 
ob  eine  Zabl  dnrefa  Sieben  ohne  Reat  theilber  aeii  io  sttnimire  mm  Ton 
reehts  nach  Unks  den  einfiMhen  Bett  der  Biner  nnd  Zehner,  den  do|ppelten 
Beit  der  Hunderter  nndTeneender,  den  Tierfnehen  der  Zehn-  ond  Hnn- 
derttansender,  denn  wieder  dm  einfeehen,  doppelten,  Tierfhehen  Beet  Ton 
je  swei  eli  saeaminengehdrig  betrachteten  Ziffsm  n.  s.  w.  Liest  die  Snmme 
dnrch  Sieben  getbeilt  keinen  Best,  so  ist  anch  die  ganse  Zahl  durch  Sieben 
messbar.  Z.  B.  2479684865  ist  gleich  7 .  354280205,  weil  die  Beete  Ton  56,  4B^ 
88, 70,  24,  d.  i.  e,  e,  4,  2, 8  nach  der  Beihe  1,  2,  4  •  •  • .  Mal  genommen  t^  It 
+  16  +  2  +  6  =  42=s6.7.  Dass  man  sUtt  12 nnd  16,  5  nnd 8 setien  kennte, 
ist  klar,  wo  dann  6  +  6  +  2  +  2+6  =  21  =8.7. 

Ebenso  ist  1^1504301728  =  7  .  2134500627880,  weil  2+e+Y+4  + 1+  5 
=  21  =  8.7.  • 

Betrachten  wir  nXmlich  die  Zahl  l|0l|0l|0l|0l|0l|0,  so  sehen  wir,  iam 
dnrch  Sieben  gemessen  die  Eins  an  der  Einerstelle  selbst  Rest  bleibt;  die. 
Eins  an  der  Stelle  der  Hunderter  läset  den  doppelten  Best,  da  100fc=(7^  149*H* 
dieEins  an  der  Stelle  der  Zehntausender  iXsst  4  im  Best,  da  lOeOD«  (7  aett>H. 
Wir  sehen  also,  dass  jede  Zahl,  die  hundert  Mal  so  gross-  ist,  lien  doppelten 
Best  iXsst  Eine  Million  lässt  demnach  einen  doppelt  sa grossen  Best,  als 
Zehntausend ,  nXmllch  8,  oder  da  8s7  + 1,  Eins.  Wenn  also  45feai(8^7)+«] 
drei  als  Best  Usst,  so  lässt  4500  sechs,  450000  s w9lf,  45080000  viernnd- 
swansig  oder,  da  24  =  (3.7)  +  3,  wieder  drei,  4500000000 wieder  seeh» 
u.  s.  w.  als  Best.  —  Da  man  einer  sweisiffrigen  Zahl  den  Best,  den  eis 
'  durch  7  getheilt  lässt,  leicht  ansieht  (der  andere  Factor  ist  nie  gresser  nfas 
14,  der  Best  nicht  grösser  als  6) ,  so  lässt  sich  obige  Probe  lelchl  und  mseh 
bewerkstelligen. 

Neckargemttnd.  E.  J.  BÖHnnrnuu 


ZXn.  Snr  Integntton  partieller  DJÜMcentinlgleiehnngen.  Von  Prof. 
SncoH  Spitbbr. 

1.    Integration  der  Gleichung: 

Ich  führe  in  diese  Gleichung,  in  welcher  ^,,  ^, ...^a  constante  Zahlen 
bedeuten ,  eine  neue  unabhängig  Variable  r  ein ,  welche  mit  den  alten  nn* 
abhängig  Variablen  in  folgendem  Znsammenhange  steht: 


2) 

Ai       At                  An 

alsdann  ist: 

,  dqf  2Xidip 

dXi       Ai  dr 

und  somit: 

d*q>       ^dq>      AXt*d*q> 
"^'dx*         dr    ^    A,    df^' 

Kleinere  Mittheilangen.  263 

Gut  ebenso  hat  man : 


'dx*~    dr  ■*■  An*  dt* 


and  werden  diese  Werthe  in  die  Gleichnng  1)  snbstitnirt,  so  elrhält  man 
anter  Berttdcsichtignng  der  Gleichnng  2)  folgende  Gleichung : 

velche  ebenfalls  sa  den  linearen  partiellen  Differentialgleichungen  gehört, 
tmd  deren  Integration  mir  vollständig  gelang. 
Ich  setze  nämlich  in  selbe 

woselbst  «  eine  Constante  bedeutet,  und  komme  dadnrch  zu 

tfF{r)=  2n  F'  (r)  +  \r  F"  (r), 
welche  sich  geordnet  folgendermaassen  stellt: 

6)  rr'(r)  +  ^r(r)-^f(r)=0. 

Ich  habe  durch  dies  die  Integration  der  partiellen  Differcntialglei- 
ebang  3)  abhängig  gemacht  von  der  Integration  der  linearen  Differential- 
gleichung 5),  welche  von  der  zweiten  Ordnung  ist,  und  werde  nun  zeigen, 
tuf  welche  Weise  sich  diese  Gleichung  integriren  lässt. 

loh  differentiire  selbe  ^Mal  bezüglich  r,  unter  ^  eine  constante  Zahl 
verstehend ,  und  habe  dann : 

6)        r^(A*+2)  (r)  +  ^^  +  ^)  F(^+i)  (r)  .-  -'ITCm)  (r)  =r  0. 

Setzt  man  hierein 

F^^)  (r)  =  z 
nnd  fährt  alsdann  in  6)  eine  neue  unabhängig  Variable  q  ein ,  mittelst  der 
Substitution 

•0  hat  man ,  da 

^  '       dr       2q  dg 

^  ^       dr'  4i(' dQ^  4(t*  äd* 

iit,  nach  einer  leichten  Bedaction  statt  der  Gleichung  0)  folgende  Glei- 
ehuDg: 

die  sich  vereinfacht  für 


264  Kleinere  Miftheilungen. 

w  — 1 
2 
man  hat  nämlich  alsdann 

woraus 

folgt,  anter  C^  und  C^  willkürliche  Constante  verstanden.  Setst  mai^  hierein 
fUr  ^  seinen  Werth ,  so  erhält  man 

nnd  folglich,  da 

^(M)  (r)  =  z 

ist, 

Die  in  diesem  Ausdrucke  angezeigte  — —  malige  Differentiation  be- 
züglich r  lässt  sieh  in  dem  Falle  leicht  dorehführen ,  wo eine  ganze 

Zahl  ist.  Ich  werde  mir  erlauben ,  die  Richtigkeit  dieses  Integrales  in  die- 
sem speciellen  Falle  direct  nachzuweisen ,  und  finde  dies  umsomehr  ange- 
zeigt, da  die  Gleichung  5)  durch  ft  =s malige  Differentiation  eigent- 
lich zu  folgend,er  Gleichung  führt: 

rF(M+2)  (,)  +  (,*  +  ^)  F(M+I)(r)  -  ^  F  W  (r) 

woselbst  Biy  B^y  B^, .  B^fi  willkürliche  Constante  bedeuten,  ich  aber  auf 
die  specielle  Gleichung  6)  meine  weiteren  Schlüsse  baute. 
Ich  bilde  mir  nun  F"  (r)  und  r/*"  (r)  und  habe  vorerst: 

9)         r  (0  =  -^  p^^^^^ \ . 

dr  2 
Da  nun  bekanntlich 

dr»  drf^     '^  ^    drf*"^ 

ist,  somit 


r 


df^(p(r)_df^[r(p{r)]  rf^-'y(r) 

drf^  drß  ^    drt^"^     ' 

so  hat  man, 


Kleinere  Mittheilnngen.  265 


setsend , 


^'-     2 


3 


«4-3  •    «4-1 


3 


dr  dr 

and  wenn  man 

zwei  Mal,  ferner 

einmal  differentiirt,  und  reducirt: 

r^(r)=-~Cr[— ^ W '«'^- C.'-*^) 


^«>      . 


+  ^(C.e«'''  +  (7.«-«'^)]. 


Diese  in  8) ,  9)  und  10)  anfgestellten  Werthe  von  F  (r) ,  F'  (r)  und 
rF"  (r)  machen  nnn  wirklich  die  Gleichung  5)  identisch,  folglich  ist  das 
in  8)  hingestellte  Integrale  richtig.     Es  ist  demnach 

oder  anders  geschrieben : 

n-l 

eine  Auflösung  der  vorgelegten  Gleichung,  und  da  eine  Summe  heliebig 
vieler  solcher  Ausdrücke,  bei  willkürlicher  Wahl  von  a,  C|  und  C„  auch  ge- 
nügt, so  hat  man  für  das  vollständige  Integral  der  Gleichung  3) 

«~i 

d  '^ 

dr' 
unter  ipi  und  9,  willkürliche  Functionen  verstanden« 


S66  Kleinere  Mittheilangen. 

Ich  bemerke  hierbei ,  dass  selbst  in  dem  Falle ,  wo  n  keine  unger 
sondern  eine  gerade  Zahl  ist,  das  Integral  der  Qleichung  3)  in  der  ( 
chung  11)  enthalten  ist,  aber  ich  will,  weil  alsdann  DifFerentialquotie 
mit  gebrochenem  DifFerentiationsindex  anftreten  und  solche  Formen ,  i 
den  äasserst  genialen  Arbeiten  Liouville's ,  noch  nicht  gehörig  studirt  i 
einen  anderen  Weg  betreten,  um  das  Integral  der  Gleichung  3)  zu  erha 

Ich  gehe,  bis  zur  Gleichung  7)  Schritt  für  Schritt  den  früheren  ' 
befolgend ,  von  der  Gleichung  7)  aus ,  diese  ist : 

und  setze  in  selbe,  da  n  in  dem  jetzigen  Falle  eine  gerade  Zahl  ist, 

».  =  -7  +  1, 

alsdann  erhält  man  durch  Fortschaffen  der  Brüche  die  Gleichung : 
.  ^ftx  d*z   ,  dz         ^ 

welche  nach  der  von  mir  im  2.  Bande  Seite  168  dieses  Joumala  entwic 
ten  Methode  folgendes  Integral  giebt: 

13)        z  =  C,  Je^9^'^dl  +  C^re''9^'^log{f8inn)dl, 
0  0 

unter  C|  und  C,  willkürliche  Constante  verstanden.     Setzt  man'  hierein 

Q  =  j/7,  F(M)(r)  =  z,  . 
so  erhält  man : 

14)     F(r)  =  -^-^^—  ^cJe''^^^'^dX  +  C,re''^-^'^log{yr9in'l) 

als  Integral  der  Gleichung  2).  Aber  auch  hier  ist  nothwendig ,  sich  di 
von  der  Richtigkeit  dieses  Integrales  zn  überzeugen.  Ich  bilde  da 
analog  der  früheren  Vorgangs  weise ,  F'  (r)  und  rF"  (r)  und  erhalte: 


F-  (r)  =  -^^ r AfL  fe^yfci  cos  X  dl 

*  * 

"*■  '^J  ""'^'"^  coslhg  (^r  ««'i)  dl  +  ^  A«*^««*  dl], 


ra* 

ferner: 

Gä 

j^ 

^+V   /f 

ÜUL 

^? 

.•!+•        -, 

is 


Kleinere  Mittiioibngen.  267 


r.<> 


dit( 


» 


0 


=  -^-  [c, rje"*^^*"^  dl  +  C^ rje  «»^«"l  /o^  ( j/;  Wn»  A)  dil 

■ 

T  ■  * 

~ (t  +  0  ^  [c.y*««»^«"*  di  +  cj'e''^*"^  log  (^r««»i)  di] , 
darch  sweimalige  Differentiation  von 

0  0 

besüglich  r  and  einmalige  Differentiation  von 

0  0 

besflglick  r  erhält  man  r  F"  (r)  in  der  Form  eines 1**"  Differential- 

qnotienten,  und  zwar  ist: 

Ä  L^*  r  A«^«»'*  dX  +  C^rje"^^'^^  log  (j/rsinH)  dx'\ 


^^\  =(|K7,  +  C^)  -^  fe^^^^co8XdX  +  ^  fe''^-'^'^  cosUdX 

'^      0  0 

0  '0 


S8S  Kleinere  Mittheihingeii. 

nnd: 


0    , 


2^'   0 


folglich  ist: 


+  -%U  fe"'^^*"^ cosllog(j/7sm*l)  dl. 


T-» 


r  f"  (r)  =  -?-—  f— ^  (C,  +  2Ci— aC.)  A«^"»»  co*i  di 
-B.-lL4Vr  «/ 

+  ^J±  j'e«yr  CO.X  cofi  dl  -  "t^lje^y^"'^  dl 
0  0 

+  -%=  (1— n)  /e«>^«~i co»A logiy7sin*l) dl 

+  ^l^je'^^'^'^co^X logi/rsinn)  dx\. 
0 
Werden  nun  die  gefundenen  Werthe  von  F(r),  F'  (r)  und  r  F*'  (r)  in 

substitairt ,  so  erhält  man : 


«  ff 

0  ''^^  0 

ff 


«^^<m^^«^»A^^*»^l»»»J\^»^< 


Kleinere  Mittheilangen.  269 

vas  bei  Beriicksichtigang  von 


•^% 


K 

4Vr  «/ 


und 


. ^Jeacosl.  y?sinn  log  {j/T'sin^  k)  dl 


0 

K 


=  -'%      sinXlog{}/r^nn)?^^ dX 

\yr  t/  öA 


»/»•o 


IT  V 


'^      0  '^      0 


lieh  anf 


rr{f)  +  \F\r)-±F{T)^^ 


SQi^ckxieht.     Ans  14)  folgt  nun  weiter 


»=  ~ —  [c,  P«('+*"*  >^)  dl  +  C,y««('+«'»  *^)  /o^  (^w««  i)  di] 


ar* 


^d  da  auch  eine  Summe  beliebig  vieler  solcher  Ansdrficke  bei  willkttr> 
'■eher  Wahl  von  «,  C, ,  C,  genagt,  so  hat  man  für  das  vollständige  Integral 
'*r  Oleichnng  3)  folgenden  Werth : 


-5-1       » 


5)  9=-^-; —  [y?», (<+/rco»l)<tt+J  y,(/+  j/7co$l)log(yr  Wn»i)<a] , 

ar"^"'    ö  « 

'^ter  ^1  and  ^,  solche  willkürliche  Functionen  verstanden,  welche  die 
^tegrale,  nnter  denen  sie  vorkommen,  weder  nnbestimmt  noch  unendlich 
'%cheB. 

leb  habe  also  für  die  partielle  Differentialgleichung 

^Igende  zwei  Werthe  erhalten : 

UHaehrin  fär  MältfuiäUk  u.  rhyiiJC.  VI,  4«  V^ 


270  Kleinere  Mittheilangen. 

«—1 
")  V  =  —^  [Vi  {l  +  j/r)  +  q>,  {l-y7)\ 

15)  fp= _ \J9i  {f+}/rcosX)dX  +J q>t{t+'/rcosX)  log {y^sinH) d ii 

von  denen  der  erste  zweckmässig  ist  für  nngerade  n  und  der  zweite  i 
gerade  Wertho  von  n. 

In  den  speciellen  Fällen,  wo  n  =  1  und  m  =  2  ist,  hat  man  daher 

n  n 

q,=  l(p^{t  +  j/rco8 l)dk  +  l <p,  (i  +  j/r'cosl)  log  (j/T^sin^ k)  dl 
0  0 

Formeln,  von  denen  die  erste  die  Gesetze  der  Schwingungen  gespannt 
Saiten  giebt  und  schon  lange  bekannt  ist,  die  zweite  aber  von  Poissi 
im  Journal  de  Tecole  polyiechnique  cah.  14,  pag,  227  gegeben  wurde. 

2.    Integration  der  Gleichung: 

Verfolgt  man  genau  den  früheren  Gang,  so  kommt  man  zu  der  Gleichun 

16)  M|;f  =  2«^  +  4r|l? 

'  dt*  er  er* 

und  setzt  man  in  selbe 

fp=le'   F(r), 
unter  a  wieder  eine  Constante  verstanden ,  so  hat  man : 


ferner : 


i?='^(-f)no. 


dt*        <•  ^  ^* 


daher  ist: 

«•F(r)  =  2nr(r)  +  4rF"{r), 
welche  Gleichung  vollkommen  die  Gestalt  5)  hat.     Man  hat  somit  für  d 
complete  Integral  der  Gleichung  10)  folgende  Wertho : 


w  — 1 
2 


'■)  <P^'^[v,{j  +  Vr)]+^,(±-/?)] 


Sr' 


Kleinere  Mittheilangen.  271 


T-» 


18)  9=t—j~j^ ip,(j+j/?cosl^dl+Jq,t(j+y'?cotlj lg(y?sin*l)di^, 

enterer  passt  für  ungerade ,  letzterer  für  gerade  n. 
3.    Integration  der  Gleichnng: 

Fttbrt  man  in  diese  Gleichnng  eine  nene  unabhängig  Variable  r  ein ,  welche 
mit  den  alten  nnabhäogig  Variablen  in  folgendem  Znaammenhange  steht: 

alsdann  ist: 

dq>  2     dtp 

i: 

nnd  werden  diese  Werthe  in  die  Gleichung  10)  snbstituirt,  so  erhält  man 
unter  Berücksichtigung  der  Gleichung  20)  folgende  Gleichung : 

velche  sich  von  der  Gleichung  3)  nnr  durch  ein  dreifach  so  grosses  n  unter- 
scheidet. Man  hat  daher  für  das  Integral  der  Gleichung  21)  die  beiden 
formen : 


and  femer : 


Ganz  ebenso  hat  man : 


ar  ' 


T-' 


9  =  ^-3^—  [  /9>,(/+J^co«l)dA  + /9',('+K^Co»A)/osf(f^»t»»i)dA] 
«ad  ivar  erstere  fttr  ungerade ,  letztere  für  gecad«  n. 


Vi* 


273  Kleinere  Ifitftheibiiigen. 


4.     Integration  der  Gleichung: 

Verfolgt  man  genau  den  bei  der  Gleiebang  10)  betretenen  Weg,  so  komm 
man  zu  der  Gleiebang: 


welcber  genagt  wird  darcb 

»w— i 
2 


9=^^Ky + >^) + 9.(-;— >^r)] 


9r' 


T- 


5.    Integration  der  Gleiebang: 
22)  _  =  ^._+^._  +  ...  +  ^._. 

leb  setze  bier  wieder: 

r  =  ^'  +  ^*  +  ...+  — 
und  erhalte  die  Gleiebang: 

welcbe  für 

y  =  (?«*'/' (r) 
übergebt  in : 

5)  tfF{r)  =  2nF'{r)  +  ArF"[r). 

Man  bat  daber  für  ein  angerades  n : 

bingegen  für  ein  gerades  n: 

"2""  *  • 

Nun  ist  aber  bekanntlicb 


Kleinere  Mittheilnngen.  273 

somit  erhält  man,  wenn  man  in  die  gefundenen  Werthe  von  tp  diesen 
Werth  einführt,  für  ein  ungerades  n:  • 

*-* 

"T"       +« 

and  für  ein  gerades  n : 

tp  =  i-_  \c,j'  Je-^^-^^'^-^^^+^ccl)  ai  dw 

+00« 

— «0 

ond  wenn  man  von  den  willkürlichen  Constanten  zu  den  willkürlichen 
Functionen  übergeht,  so  hat  man,  falls  n  ungerade  ist: 

.      23)    9  =  L—^fer^  [^^  {2wyT+  }/?)  +  9,  (iit^/T-  j/^)]  dw 
und  fär  ein  gerades  n: 

24)    g,^^.^—    rf^^^(2mj/r+j/7cosX) 

+  9t  (2»/H- /r  CO*  1)  hg  (j/r  sin*  X)|  dl  d» , 

Bnter  ^j  und  <p^  solche  willkürliche  Functionen  verstanden ,  welche  die  In- 
tegrale ,  unter  denen  sie  vorkommen ,  weder  unbestimmt  noch  unendlich 
machen.  Das  Integral  23)  besteht  aus  swei  Theiletn,  die  aber,  wie  man 
lieht,  nicht  von  einander  verschieden  sind;  denn  setzt  man  in  dem  Theile, 
welches  mit  der  willkürlichen  Function  9,  versehen  ist,  statt  w  eine  neue 
Variable  — n^,  so  erhält  man  genau  dasselbe,  was  durch  die  erste  willkür- 
liche Function  ausgedrückt  ist;  man  hat  daher  für  ein  ungerades  n  folgen- 
des Integral : 

«—1 

V  =  -^  fe-^'  fC^n>yT+y?)  dw, 

'  a     ^    -« 
er 

woselbst  /*das  Zeichen  einer  willkürlichen  Function  bedeutet. 

Auch  hier  lässt  sich  bemerken ,  dass  in  den  beiden  speciellen  Fällen 

*  =  1  und  n  :=  2  die  Integrale  der  Gleichung : 


274  Kleinere  Mittheilongen. 


sich  80  stellen : 


dt  dr  ^^  ar« 


f  00 

9  —j^'^  f{^n>Yr+  y7)  dw 


und 


/*/' 
/«-'{^.i 


9=  /    j e-''^ \<pi(2wyT+}^co8k)+fp^{2w}/l+^ 

—  ODO 

nnd  anf  diese  Weisen  von  Laplace  und  Poisson  gegeben  wurden  {Journal 
de  Vicole  polyU  cah.  14  ^pag.  245  und  cah.  15,  pag.  241.) 

Ich  will  zum  Schlnsse  bemerken ,  dass  die  Gleichungen : 

ä7— "**''*  aar,' ^^•'^•ax.«  +  -- •  +  ^*^*  ax.« 

eine  Integration  auf  ganz  ähnliche  Weise  gestatten. 


JUUJLi.  lieber  die  Theorie  des  Hordlichtefi.  Von  Dr.  F.  Dellmann 
in  Kreuznach  a.  R. 

Eine  Theorie  des  Nordlichtes  ist  bisjctzt  vergebens  gesucht,  es  sind 
nur  Wege  vorgeschlagen  worden,  welche  dahin  führen  können.  Zuerst  hat 
Halley  vor  etwa  150  Jahren  den  Gedanken  ausgesprochen,  dass  es  eine 
Wirkung  des  Erdmagnetismus  sei.  Diese  Ansicht  hat  noch  jetzt  die  mei- 
sten Anhänger  und  wurde  von  D alten  weiter  ausgebildet.  Etwas  später 
trat  derselben  eine  andere  entgegen,  hauptsächlich  von  Franklin,  Can- 
ton  und  Hamilton  im  vorigen,  von  Schübler  in  diesem  Jahrhundert 
vertheidigt.  Nennen  wir  jene  die  magnetische,  so  können  wir  diese  die 
elektrische  nennen,  da  die  letztgenannten  Männer  der  Ansicht  waren,  dass 
das  Nordlicht  seinen  Ursprung  in  der  Elektricität  der  Atmosphäre  habe. 
Die  neueren  Fortschritte  der  Physik  und  Meteorologie  gestatten  es,  die 
Gründe  für  beide  Hypothesen  genauer  abzuwägen ,  und  nach  des  Verfas- 
sers Ansicht  hat  die  zweite  jetzt  das  Uebergewicht  für  sich. 

Unter  den  neueren  Naturforschern  hat  sich  vielleicht  A.  v.  Humboldt 
am  vollständigsten  über  die  Theorie  des  Nordlichtes  ausgesprochen.  Wir 
wollen  drei  Ilauptstcllen  aus  dem  ersten  Bande  seines  Kosmos  erörtern. 
S.  198  sagt  er :  „Der  tellurische  Magnetismus,  die  elektrodynamischen,  von 
flow   gcjbtrcichcu    Ampere    gemctiscuou   Kräfte    stehen    gleichseitig    in 


Kleinere  Mittheitungcn.  275 

iuigem  Verkehr  mit  dem  Erd  -  oder  Polarlichte ,  wie  mit  der  inneren  und 
lasieren  Wärme  des  Planeten,  dessen  Magnet -Pole  als  Kälte -Pole  be- 
trtcfatet  werden.     Wenn  Halley  vor  128  Jahren  nur  als  eine  gewagte  Ver- 
mothong  aussprach,  dass  das  Nordlicht  eine  magnetische  Erscheinung  sei, 
sohat  Farad ay 's  glänzende  Entdeckung  (Lichtentwickelung  durch  mag- 
netische Kräfte)  jene  Vermuthung  zu  einer  empirischen  Gewissheit  er- 
hoben.**   Freilich ,  wenn  ein  mit  der  Physik  nicht  Vertrauter  so  etwas  liest, 
so  wird  er  die  oben  ausgesprochene  Ansicht ,  dass  wir  noch  keine  Theorie 
des  Nordlichtes  besitzen ,  für  absurd  haiton.    Da  niüchto  ich  denn  zunächst 
im  Seherze  mich  auf  die  bekannte  Anekdote  berufen ,  in  welcher  erzählt 
wird,  dass  ein  berühmter  Berliner  Naturforscher  einen  Examinanden  nach 
der  Theorie  des  Nordlichtes  fragt.     Als  dieser  sich  dadurch  entschuldigt, 
dass  er  dies  gewusst,  aber  wieder  vergessen  habe,  erwidei-t  der  Examina- 
tor: „Das  ist  schade,  dass  Sie  vergessen  haben,  was  noch  nie  Einer  wusste.*' 
Der  erste  Satz  in  der  obigen  v.  Humboldt'schen  Stelle  acceptirt  die  Ampbre"- 
sche  Theorie  vom  Erdmagnetismus,   von   welcher  Moser  in  Königsberg 
sagt»):  „Diese  neue  Erfindung  habe  ich  nicht  erwähnt.     Wie  sollte  ich 
auch ,  wenn  diese  Theorie  sich  nicht  entfaltet  hat  und  es  mit  der  ganz  un- 
bestimmten Vorstellung  der  elektrischen  Ströme  bewenden  lässt?   Wie  soll 
mau  dem  Gegner  eine  Schlacht  abgewinnen,  wenn  er  nicht  im  Felde  er- 
scheint?*^    Moser  wird  als  Physiker  im  Kosmos  sehr  gerühmt,  wie  er  es 
aoeh  verdient.     Aber  etwas  merkwürdig  ist  der  Schluss  der  obigen  Stelle, 
welcher  wegen  des  Funkens,  den  Farad ay  zuerst  dem  Magneten  entlockt 
hat,   das  Nordlicht  für  eine  empirisch  gewisse  magnetische  Erscheinung 
hftlt    Und  doch  hat  das  Nordlicht  nichts  von  der  Natur  eines  Funkens ,  als 
etwa  das  Licht,  und  auch  dies  nicht  immer.  —  Die  zweite  Stelle  lautet 
S.  201 :    Dieser  Zusammenhang  des  Polarlichtes  mit  den  feinsten  Cirrns- 
wölkchen  verdient  eine  besondere  Aufmerksamkeit,  weil  er  uns  die  elektro- 
magnetische Lichtentwickelung  als  Theil  eines  meteorologischen  Processes 
leigt.     Der  tellurische  Magnetismus  offenbart  sich  hier  in  seiner  Wirkung 
auf  den  Dunstkreis ,  auf  die  Condeusation  der  Wasserdämpfc.'*  Den  zwei- 
ten Satz  kann  ein  Physiker  nicht  unterschreiben ,  weil  er  nichts  von  der 
Einwirkung  des  Magnetismus  auf  Wasserdärapfe  weiss ;  wohl  aber  den  er- 
sten, wenn  er  das  Nordlicht  für  eine  Erscheinung  der  Luftelektricität  hält; 
wenigstens  tritt  ihm  durch  diese  Annahme  der  Zusammenhang  der  Erschei- 
nongen  näher.  —  Die  dritte  Stelle  steht  S.  205  und  lieisst:   „Der  Glaube 
.an  ein  knisterndes  Geräusch  (beim  Nordlicht)  ist  nicht  in  dem  Volke,  son- 
dern bei  gelehrten  Reisenden  wohl  deshalb  entstanden,  weil  man  schon  in 
früher  Zeit,  wegen  des  Leuchtens  der  Elektricität  in  luftverdünnten  Räu- 
men, das  Nordlicht  für  eine  Wirkung  atraosphärischer  Elektricität  erklärte, 
uad  hörte,  was  man  zu  hören  wünschte.     Neue,  mit  sehr  empfindlichen 


•)  Vorträge  an»  dem  Gebiutv  der  Natur wibscuscbaftcti  etc.,  I.  Bd. ^  8.  220» 


276  Kleinere  UlttheUiuigeii. 


>V^^i^^MM^W^M»»WM^^^^^^^W^^»M»»»^^i^<*^»^^^<^i»N<^i^^>^^^^^^^^rf»^^^^i^'^^^^^^iWW^^^#»> 


Elektrometeni  angeBtelke  Versnobe  baben  gegen  alle  Enrtttmig  Uaber 
nnr  negative  Setnltate  gegeben.    Der  ZiuUnd  der-Lnftelektrieitftt  ward 
wAbrend  der  etftrksten  Nordliebter  niebt  rerftndert  geAinden.**  -  Bs  miua 
nns  wabrbaft  leid  tbnn»  einen  so  boebstebenden  Mann. einmal  sieb  snOon.- 
sien  einer  Anaiebt  änsspreohen  an  boren,  die  er  in  seinem  gansen  langen 
Leben  verleugnet  bat.  A.  ▼.  Humboldt  will  Ton  Volkanrtbeilen  Aber  wissen- 
scbaftlicbe  Dinge  sonst  nicbts  wissen,  nad  bier  sollen  sie  böber  stebeoti  ab 
die  der  gelebrten  Forseber.    Wir  werden  weiter  nnten  abermals  in  einem 
eelataaten  Beispiele  seben,  was  tob  soleben  Volksnrtbeilen  snbalten  ist. 
Der  ▼.  Hnmboldt'scben  Stelle  stebt  «ine  andere  von  Qiot^)  flbrigena  ge* 
rade  gegenttber.  Sie  beisst :  „Diese  Beobaebtangen  geben,  wie  mieb  dllakt, 
einer  in  allen  Gegenden  des  beben  Nordens  allgemeia  Terbreiteten  Mei- 
nung viel  WabrscbeinHcbkeit,  dass  man  nämlicb  bei  sebr  lebbaften  Neid- 
liebtem  ein  Bransen  bore,  welcbes  manehmal  sebr  stark  werde.  leb  weiss 
binlKnglicb,  wie  wenig  Vertrauen  Aussagen  des  Volkes  dienen,  welehe 
dureb  Furebt  eingegeben,  oder  durch  den  tiuacbenden  Scbeia  schneller 
Bewegungen  Tcranlasst  sein  können.    Ich  für  meinen  Tbeil  nehme  kei- 
nen Anstand  sn  erklAren,  dass  man,  wenn  man  die  Sacha  ohne  Vomrdieii 
untersucht,  bei  der  so  auffallenden  Uebereinstimmung  der  Zeugnisse  niebt 
umbin  könne ,  an  das  Brausen  des  Nordlichtes  als  Thatsacbe  an  glauben." 
und  Biot  gehört  su  denen,  welche  viel  Nordlichter  gesehen  haben;  er 
lebte  sur  Bestimmung  der  Länge  des  Sekandenpendela  eine  Zeitlang  auf 
den  Sbetlands- Inseln.    Was  nun  den  Kern  der  obigen  Stelle  Ton  ▼•  Hum- 
boldt betrifft,  so  ist  es  meiner  Ansicht  nach  sebr  su  beklagen,  dass  die 
Elektrometer,  welche  bei  den  st&rksten  Nordlichtem  keine  VerKnderung 
im  Znstande   der  Luftelektricität  wahrnehmen  Hessen,  sicher  sehr  wenig 
empfindlich  waren.     Meine  Beobachtungen  Tom  1.  October  1808*^)  haben 
das  Gegentheil  dargethan«     Die  mir  bekannte  Einwirkung  der  Nordliebter 
auf  Telegrapbendrftthe  Hess  mich  den  Erfolg  Torberseben.  Auch  Sebfibler 
beobachtete  schon  1817,  dass  in  den  Tagen  nach  dem  Erscheinen  eines  Nord- 
lichtes die  +  ^lektricitAt  schnell  stieg  und  eine  St&rke  seigta,  wie  sie  die- 
selbe sonst  nnr  bei  strenger  Winterkälte  hat  Die  Beobachtung  Schttbler*s 
fand  ferner  Busorini  nach  den  Nordlichtern  am  25.  nnd  26.  Januar  und 
18.  Februar  1837  ToUkommen  bestätigt ,  nnd  im  November  jenes  Jahres ,  su 
welcher  Zeit  fast  kein  Tag  verging ,  wo  nicht  diese  Erscheinung  stattfand, 
in  solchem  Grade,  dass  die  4 EIcktricität  das  Goldblatt  des  Elektrometers 
häufig  entzwei  riss  nnd  die  Wetterstange  mehrere  Mal   kleine  Funken 
gab*'**).     Stark  fand  (nach  dem  meteorologischen  Jahrbnch  vom  Jahr 
1831)  während  des  Nordlichtes  am  30.  Angnst  die  Luftelektricität  so  stark, 


*)  Annalen  der  Physik  von  Gilbert.    Jahrgang  1821,  1.  Stück,  8.  31. 
*♦)  Pogp.  Annalen,  Bd.  HO,  8.  H32  ff. 
*'^*)  LuttelektriclUit,  Erdmagnetismus  und  Krankheits - Consitutiou.   Vou  L.  Bu- 
zorini.    Bcllcvue  1841,  S.  12. 


Kleinere  Mittheilnngen.  277 


■iifinf ■»itfMii'M'M'v'irf^i^'V^  ^^1  r*  fir^ir-  -"i  ri  f"  f*  r-^  r-ir^  i-*  r- 


ditt  sein  Elektrometer  zwei  -  bis  dreizöllige  Fanken  mit  +  Elektricität 
gab.  Alles  dies  stimmt  mit  meinen  genauen  Mossangen  so  weit  übcroin, 
ab  ich  constatiren  konnte,  dass  ein  schwaches  Nordlicht  den  +  elek- 
trischen Zustand  der  Luftelektricitfit  bedeutend  erhöht.  Unter  den  Ge- 
nannten verdienen  Schübler  und  Buzorini  alles  Vertrauen. 

Der  weitläufige  Aufsatz  von  Biet  über  das  Nordlicht  enthält  der 
Orfinde  Air  die  magnetisehe  Theorie  (meist  sind  sie  von  Dalton  entlehnt) 
80  viele,  welche  sich  selbst  widerlegen,  dass  darüber  nur  wenig  gesagt  zu 
werden  braucht;  so  der  von  der  Lage  der  Corona,  von  dem  Biet  S.  12  der 
erwihnten  Abhandlung  sagt:  „Doch  darf  man  dieses  nicht  für  ein  voll- 
kommenes und  unabänderliches  Zusammenfallen  nehmen,  denn  es  zeigen 
lieh  davon  häufige  Abweichungen  in  den  Beobachtungen/*  Und  das  ist 
natürlich,  da  ja  manche  Nordlichter  eine  Verschiebung  am  Horizonte  wäh- 
rend ihres  Verlaufes  wahrnehmen  lassen.  Zur  Erklärung  des  Vorhanden- 
leina  metallischer  Theile  in  der  Atmosphäre  nimmt  er  in  den  Nordlicht- 
gegenden  eine  Menge  thätiger  Vulkane  an,  die,  wie  wir  jetzt  genau  wis- 
len,  gar  nicht  vorhanden  sind.  Und  endlich  muss  auch  er  zur  Erklärung 
der  Stralilen  die  Elektricität  zu  Hilfe  nehmen. 

Die  magnetische  Theorie  soll  zwei  Hauptgründe  für  sich  haben ,  auf 
die  wir  daher  genauer  eingehen  müssen:  i)  dass  das  Nordlicht  auf  die 
Magnetnadel  wirkt,  und  2)  dass  es  am  häufigsten  sich  zeigt,  wo  der  Erd- 
magnetismus am  stärksten  ist. 

Den  ersten  Grund  in  Verbindung  mit  der  Thatsachc,  dass  nicht  mag- 
netische Nadeln,  z.  B.  kupferne,  völlig  in  Ruhe  bleiben,  hält  Biet  fitr  ge- 
eignet, die  wirklich  magnetische  Natur  des  Phänomens  ausser  allen  Streit 
la  setzen.  Aber  darauf  ist  zuerst  zu  erwidern ,  dass  die  magnetische  An- 
seht diesen  Grund  angenommen  hat,  ohne  die  Wahrheit  desselben  jemals 
anders  bewiesen  zu  haben,  als  durch  gleichzeitiges  Eintreffen  des  Nord- 
lichtes und  der  Abweichung  der  Nadel.  Dabei  denke  man  an  den  Eingang 
der  Heberschen  Erzählung  vom  Maulwurf  und  hüte  sich  wohl,  ohne  Wei- 
^8  aus  dem  gleichzeitigen  Eintreten  zweier  Erscheinungen  auf  ihren 
Cansalnezus  zu  schliessen.  Denn  man  kann  sich  sehr  wohl  denken,  dass 
beide  Erscheinungen  eine  gemeinschaftliche  Ursache  haben,  dass  sie  beide 
Wirkungen  des  Erdmagnetismus  sind.  Die  Modification,  welche  der  Erd- 
ntagnetismns  annehmen  muss,  um  das  Nordlicht  zu  erzeugen,  kann  ja  auch 
^ie  andere  mit  herbeiführen.  Jene  Modification  ist  nach  der  Voraussetzung 
eine  Steigerung  der  erd magnetischen  Kraft,  und  dafür  soll  auch  die  Er- 
^«hrnng  sprechen,  z.  B.  von  Hauste en  gemacht,  dass  in  jenen  Gegenden, 
^0  Nordlichter  sich  zeigen,  kurz  vor  ihrem  Erscheinen  der  Erdmagnetis- 
i»Qa  an  Intensität  sich  steigert.  Das  Nordlicht  soll  ja  ein  Ausströmen  dos 
Erdmagnetismus  sein.  Die  Modification  dos  Erdmagnetismus  aber ,  welche 
im  Stande  sein  soll,  der  Nadel  eine  andere  Richtung  zu  geben,  kann  keine 
AiMlere  sein,  als  eine  Abänderung  in  der  VcrtUeWuug  iW  ^x(\\wv^\^\x^'C\&^^\^' 


278  Kleinere  Mittheilangcn. 

Kraft.  Wenn  nun  jene  Gegenden  der  Nordlichter  «n  Kraft  gewinnen ,  so 
müssen  andere  Gegenden  verlieren;  also  ist  mit  der  localen  Steigerung  der 
erdmagnetischen  Kraft  eine  Aenderung  in  der  Vertheilung  verbunden  und 
dadurch  ohne  Nordlicht  die  Abweichung  der  Nadel  erklärt. 

Aber  dagegen  kann  man  sagen,  dass  die  locale  Steigerung  des  Erd- 
magnetismus zur  Zeit  der  Nordlichter  doch  einen  Grund  haben  müsse  und 
dieser  kein  anderer  sein  könne ,  als  eine  Aenderung  der  Wftrmevertheilung 
auf  der  Erdoberfläche.  Und  in  der  That  spricht  auch  dafür  das  Factum, 
dass  die  Nordlichter  am  häufigsten  sich  zeigen  zur  Zeit  der  Tag-  und 
Nachtgleichen.  Die  Aenderung  der  Wärme  vertheilung  findet  aber  gaus 
allmälig  statt,  also  gewiss  auch  die  Zu-  und  Abnahme  des  Erdmagnetis- 
mus in  jenen  Gegenden,  wenn  sie  stattfindet.  Auch  soll  die  Zunahme  der 
magnetischen  Intensität  den  Nordlichtern  vorausgehen.  Danach  müsste 
sich  auch  die  Aenderung  in  der  Richtung  der  Nadel  langsam  einstellen  und 
den  Polarlichtern  vorangehen.  Die  Aenderung  in  der  Richtung  der  Nadel 
wäre  ein  Vorbote  der  Nordlichter,  welche  erst  dann  eintreten  könnten, 
wenn  die  Nadel  das  Maximum  der  Abweichung  erreichte.  Das  ist  aber 
nicht  der  Fall,  vielmehr  tritt  diese  Abweichung  ebenso  plötzlich  ein,  wie 
das  Nordlicht  und  mit  diesem  gleichzeitig ,  und  dadurch  ist  in  der  That  die 
Ansicht  gerechtfertigt,  dass  das  Nordlicht  die  Ursache  der  Bewegung  der 
Nadel  sei,  aber  noch  nicht  die  Ansicht  von  der  magnetischen  Natur  des 
Nordlichtes.  Wie  aber  der  Causaluexus  zwischen  Nordlicht  und  der  Be- 
wegung der  Nadel  zu  denken  sei,  das  hat  die  magnetische  Ansicht  nie 
sagen  können.  Die  Fortschritte  der  Physik  haben  uns  bis  jetzt  nichts  davon 
gesagt,  dass  blosses  Licht  einen  Körper  in  Bewegung  setzen  könne,  und 
am  wenigsten  einen  Körper,  der  vom  Lichte  gar  nicht  getroffen  wird.  Die 
elektrische  Ansicht  vom  Nordlicht  giobt  aber  an,  wie  das  Nordlicht  die 
Bewegung  der  Nadel  erzeugt,  und  zwar  gestützt  auf  die  Resultate  neuerer 
Forschungen.  Ferner  ist  die  magnetische  Ansicht  ganz  ungenügend ,  inso- 
fern sie  gar  nicht  nachweisen  kann,  wie  das  Nordlicht  durch  den  Erdmag- 
netismus erzeugt  wird.  Der  Funke,  welchen  wir  jetzt  dem  Magneten  ent- 
locken, entwickelt  sich  unter  solchen  Umständen,  dass  uns  jene  Handhabe 
fehlt,  dieselben  auf  die  Ableitung  des  Nordlichtes  aus  dem  Erdmagnetis- 
mus anwenden  zu  können.  Die  elektrische  Theorie  vermeidet  diese  Schwie- 
rigkeit, indem  sie  das  Nordlicht  für  eine  Erscheinung  ganz  anderen  Ur- 
sprungs hält. 

Was  den  zweiten  Grund  für  die  magnetische  Theorie  betrifft,  so  wird 
das  Zusamnicnvorkommcn  im  Räume  wohl  für  den  Causaluexus  der  Er- 
scheinungen ebensowenig  beweisen ,  wie  das  Zusammentreffen  in  der  Zeit. 
Uebrigcns  weist  die  elektrische  Theorie  den  Grund  nach  für  das  Hauptvor- 
kommen der  Nordlichter  in  kalten  Gegenden. 

Gehen  wir  nun  den  Wog  der  Erfahrung,  so  werden  wir  auf  dem  Stand- 
piinkto  der  eiekfri.schen  Ilypothcsc  eine  genügendere  Ansicht  über  die  Ent- 


Kleinoro  Mitthoilungcn.  279 

itdiQDg  der  Polarlichter  gewinnen.  Halten  wir  einstweilen  die  neuent- 
deckte Thatsache  fest,  dass  das  Nordlicht  in  TclegraphendrXthen  einen 
elektrischen  Strom  erzeugt,  so  ist  uns  eine  Brücke  gebaut  durch  die  andere 
Entdeckung  neuerer  Zeit,  dass  elektrische  Ströme  auf  die  Magnetnadel 
wirken,  daas  also  die  Bewegung  der  Nadel  bei  einem  Nordlicht  wahr- 
Mheinlich  mittelst  der  von  diesem  hervorgerufenen  Ströme  bewirkt  werden. 
Kommt  daiu  noch  die  andere  Erfahrung,  dass  Gewitter,  welche  entschie- 
dea  elektrischen  Ursprungs  sind,  ebenfalls  in  solchen  Drftthen  Ströme  er- 
lengen ,  ao  werden  wir  geneigt  sein,  das  Nordlicht  auch  für  eine  elektrische 
Dneheinung  au  halten. 

In  der  neueren  Zeit  sind  Phänomene  beobachtet  worden ,  welche  mehr 
oder  weniger  Aehnlichkeit  mit  dem  Nordlichte  und  nachweislich  ihren  Ur- 
ipnmg  in  der  atmosphärischen  Elektricität  hatten.  Wir  müssen  einige  der- 
lelben  beschreiben. 

Dr.  Schneider  beschreibt  in  Pogg.  Annaion,  Bd.  98,  S.  324—333 
iwei  derselben.  Wir  theilon  die  Beschreibung  des  aweiten  im  Auszuge 
mit.    Er  sagt: 

„Am  sehr  heissen  5.  Juli  1845  wurde  gegen  6  Uhr  Abends  nach  einem 
Nbr  heftigen  Gewitter,  welches  von  einer  starken  Hagelschauer  begleitet 
war,  nachdem  sich  das  Wetter  abgekühlt  hatte  und  die  Luft  wieder  klar 
geworden,  nach  S  hinter  dem  Hfigelzuge,  auf  welchem  die  Stadt  Nim  wegen 
liegt,  noch  eine  Gewitterwolke  beobachtet,  die  von  SO  nach  SW  zog,  und 
hioter  welcher  ein  ferner  Donner  sich  hören  Hess.  Von  dieser  Wolke  als 
Uittelpunkt  am  Horizonte  breitete  sich  eine  fächerförmige  Figur  fast  über 
die  Hälfte  des  ganzen  Firmaments  aus;  der  Himmel  war  mit  einem  feinen 
Nebelschleier  ganz  überzogen.  Dieser  feine  Dunstschleier  zeigte  sich  bei- 
nthe  in  einem  Halbkreise  um  die  oben  genannte  Wolke  völlig  verschwun- 
den, so  dass  an  diesem  Theile  das  blaue  Firmament  sichtbar  war.  Von 
dieser  Stelle  als  Hittelpunkt  gingen  nach  verschiedenen  Kichtungen  zahl- 
reiche Strahlen  aus ,  die  dadurch  entstanden ,  dass  auch  hier  der  Nebel- 
dnnst  verschwunden  war  und  das  dahinter  befindliche  Blau  dos  Himmels 
nun  Vorschein  kam ,  so  daas  also  die  strahlige  Figur  durch  das  in  der  be- 
teiehneten  Weise  hervortretende  blaue  Firmament  gebildet  wurde,  wäh- 
rend der  ganze  übrige  Theil  von  jenem  Nobelschleier ,  in  welchem  dio  be- 
ugte Figur  sich  gleichsam  ausprägte,  bedeckt  blieb.  Dio  Streifen  reichten 
>ns  der  Nähe  des  Horizonts  noch  einige  Grade  über  das  Zenith  hinaus; 
lio  waren  an  den  Seiten  geradlinig  begrenzt  und  an  den  liändem  zeigte 
neh  eine  stärkere  Anhäufung  des  Nebeldunstes.  Das  ganze  Phänomen 
wurde  etwa  10  Minuten  beobachtet;  eine  Luftorscheinung  war  damit  nicht 
Terbunden.  Obgleich  dio  Convorgenz  der  Strahlen  nach  dem  Mittelpunkte 
der  Wolke  nur  als  Folge  der  Perspective  zu  betrachten  ist,  so  spricht  sich 
doch  der  innige  Zuhiiniiiionliang  beider  dadurch  aus,  dass  mit  dem  all- 
miligen  Fortrücken  der  Wolke  auch  dio  Stralilcn  lYücu  OtV.  Q\iV&Yt^viS2L^\iL\ 


280  Kleinere  Mittheilungen. 

\ 

verftnderten ,  indem  sie  ans  der  Stcllang  von  N  nach  S  nach  and  nach  in 
die  von  SW  nach  NO  übergingen/* 

Gallenkamp*)  beobachtete  am  4.  September  1855  in  einem  Hanse, 
dem  Kheinfalle  bei  Schaffhaasen  gegenüber  liegend,  Folgendes»  Als  er 
Abends  9  Uhr  auf  die  Terrasse  trat,  sah  er  nngeßihr  nach  8  auf  dem  Boden 
ruhend  am  Horizonte  ein  lichtes  Kreissegment,  dessen  Höhe  etwa  eine 
Vollraondsbreite  und  dessen  Sehne  4  bis  5  Vollmondsbreiten  betrug.  Von 
diesem  Segmente  strahlten  fächerförmig  11  bis  13  lichte  Streifen  ans,  tob 
denen  die  beiden  ftussersten  zuweilen  verschwanden,  um  dann  wieder  auf- 
zuleuchten und  die  Zahl  13  zu  bilden.  Die  mittleren  Streifen  gingen  bis 
über  das  Zenith  hinweg.  Im  ersten  Augenblicke  machte  die  Erscheinung 
den  Eindruck ,  als  wären  die  lichten  Streifen  leuchtende  Nebelstreifen,  die 
dunkeln  dagegen  Theile  des  blauen  Himmelsgmndes ;  aber  dies  erwies  sich 
bald  als  Täuschung,  denn  in  den  lichten  Streifen  zeigten  sich  bald  helle 
Sterne ,  in  den  dunkeln  kein  einziger  Stern.  Das  ganze  Phänomen  zeigte 
längere  Zeit  keine  Bewegung.  Die  einzelnen  Sterne  verschoben  sich  ver- 
möge der  Himmelsdrehung  gegen  die  Streifen.  Sobald  ein  Stern  an  die 
Grenze  zwischen  einem  dunkeln  und  hellen  Streifen  trat,  zeigte  er  ein 
auffallendes  Schwanken  und  plötzliche  Veränderungen  der  Lichtstärke,  die 
sich  bis  zu  abwechselnd  hellem  Aufleuchten  und  gänzlichem  Unsichtbar- 
werden  steigerten,  bis  der  Stern  im  dunkeln  Streifen  verschwand«  Die- 
selbon Erscheinungen  in  umgekehrter  Reihenfolge  traten  ein,  wenn  ein 
Stern  aus  einem  dunkeln  Streifen  in  einen  hellen  überging.  Nach  einer 
halben  Stunde  hatte  sich  das  lichte  Kreissegment,  welches  die  Basis  der 
ganzen  Erscheinung  bildete,  und  mit  ihr  die  ganze  Figur  merklich  nach 
Osten  vcrsclioben ,  ohne  dass  Form  oder  Lichtstärke  sich  merkbar  ver- 
ändert hatten.  Nach  anderthalb  Stunde  war  das  ganze  Phänomen  über 
die  Breite  des  Rheines  auf  das  rechte  Ufer  vorgeschritten.  Mit  dem  wei- 
teren Fortrücken  trat  allmälig  eine  derartige  Formänderung  ein,  dass  die 
einzelnen  Streifen,  welche  anfangs  ungefähr  Bogen  grösster  Kreise  waren, 
in  30®  bis  35®  Abstand  vom  Segmente  eine  nfich  Osten  gewandte  Biegung 
annahmen ,  welche  sich  so  vergrösserte ,  dass  endlich  Sicheln  entstanden. 
Nach  10  Uhr  fingen  die  Streifen  an ,  wieder  scharf  begrenzt  zu  erscheinen, 
gleichsam  zu  zerbröckeln,  zu  zerfahren.  Gegen  10^^  Uhr  reducirte  sich 
die  Erscheinung  mehr  und  mehr  auf  die  Basis  und  auf  zerstreute ,  schwach 
leuchtende  Wölkchen,  bis  auch  diese  verschwanden.  Von  0  bis  10  Uhr  war 
das  Licht  in  den  mittleren  Streifen  mindestens  so  hell,  als  beim  heitersten 
Himmel  die  Milchstrasse ;  in  den  äusseren  war  es  geringer.  Plötzliche  Aen- 
derungcn  der  Lichtstärke  kamen  nur  einige  Male  vor.  Von  0  bis  0%  Uhr 
nahm  die  Intensität  wenig  zu ,  blieb  bis  10  Uhr  constant  und  nahm  dann 
ab.     Die  Farbe  des  Lichtes  war  gelblich ,  zuweilen  mit  einem  leichten  An- 


*;  Pogg.  Aiiuakii,  Bd.  cm,  8.  173  ff. 


Kleinere  Mittheilnngen.  281 


W<W<W^^^t^^^>^^>^.^^'>^.^»^*^^' 


inge  Ton  roth.  Die  Luft  war  dabei  sehr  mild  und  angenehm.  Seit  dem 
Mittag  des  4.  September  war  der  Himmel  mit  einem  Dunstitcbleier  bedeckt 
gewesen,  während  der  Vormittag  sehr  schön  klar  gewesen  war.  DA  Mor- 
gen des  5.  September  war  klar,  wenn  aucli  der  Himmel  nicht  rein  blau, 
londem  weisslich.    Gegen  Mittag  desselben  fiel  heftiger  Gewitterregen. 

Nach  der  Beschreibnng  einer  verwandten  Erscheinung  im  110.  Bande, 
8. 95  and  336  von  Pogg.  Annalen  von  Schneider  fügt  der  Verfasser  die 
Anmerkang  hinan:  „Ich  enthalte  mich  vorlftnfig  jedes  Erklftrungsversnches 
nd  bemerke  nur,  dass  die  Erscheinung  mit  den  ron  mir  und  Gallenkamp, 
»wie  mit  den  von  Arago  in  der  Abhandlung  über  Donner  und  Blitz ,  und 
▼en  Mnncke  in  Gehlen's  physikalischem  Wörterbuche  unter  „Nordlicht'' 
beschriebenen ,  sowie  in  Kastner's  Meteorologie  II ,  S.  524, 583  angCEogenen 
Phinomenen  in  ein  und  dieselbe  Klasse  gehört.  Man  hat  diesen  der  Luft- 
elektricitftt  angehörigen  Lichtmeteoren  nicht  die  ihnen  zukommende  Auf- 
■erksamkeit  gewidmet^  vielmehr  dieselben  gar  häufig  mit  dem  eigentlichen 
Nordlicht  Terwechselt,  obgleich  nicht  zu  bezweifeln  ist,  dass  wir  eine  eigene 
Klüse  von  Elektrometeoren  vor  uns  haben ,  deren  genaueres  Studium  mit 
eiier  kttnftigen  Theorie  des  Gewitters  (und  des  Nordlichtes,  füge  ich  hinzu) 
in  aaher  Beziehung  steht. 

Wir  müssen  den  voransteh enden  Beschreibungen  noch  eine  beifügen, 
welche  sich  im  87.  Bande  der  Wiener  Akademie  -  Berichte ,  S.  575—590  fin- 
det Herr  Tschudi  giebt  hier  Beobachtungen  und  Erörterungen  über 
eine  elektrische  Lichterscheinung,  welche  vor  ihm  schon  Moesta,  der 
Director  der  Sternwarte  zu  Santiago,  Meyen,  ▼.  Bibra  und  Philippi 
keiebrieben.  Zwar  nennt  er  Moesta  nicht,  aber  die  von  diesem  gelieferte 
Beschreibung  gilt  wohl  demselben  Phänomen.  Nach  Tschudi  berichten 
Meyen  und  v.  Bibra  irrthttmlich  in  mancher  Beziehung.  Beide  behaupten, 
gestützt  auf  Volksglauben*),  die  Lichterscheinung,  welche  sie  in  den  Cor- 
dOleren  Südamerikas  beobachteten,  komme  Yom  Aufblitzen  glühender 
Lara  in  den  dortigen  Vulkanen.  Nach  Beseitigung  der  falschen  Ansicht 
geht  der  Verfasser  zur  Beschreibung  der  Erscheinung  und  zur  Darstellung 
ihrer  Theorie  über.  Das  Licht  ist  dem  Wetterleuchten  sehr  ähnlich.  Es 
leigt  sich  besonders  in  den  Berggegenden.  In  seltner  Schönheit  sah  er  es 
▼om  Plateau  von  Curaguara  im  bolivischen  Hochlande  über  der  Kette  des 
DlJDani.  Nach  den  genauesten,  jahrelangen  Beobachtungen  beginnt  es 
Wd  nach  Sonnenuntergang  und  dauert  nur  selten  bis  über  Mitternacht 
^iiaos.  Von  Santiago  und  Valparaiso  aus  wird  es  nur  in  den  Monaton  vom 
Wember  bis  April,  am  stärksten  vom  Januar  bis  März  beoba(^htet;  höchst 
Hten  in  den  übrigen  Monaten.  In  der  grössten  Ausdehnung  der  Cor- 
'illeras  von  Chile ,  Bolivia  und  Peru  wird  es  während  der  Sommernächte 


*)  Und  daraus  sind  eine  Menge  Verfülscbangen  der  Qeographle  der  Cordllleren 
"^^^fgegangen.    Da  M  cy  c  n  einmal  die  Ansicht  hatte ,  wo  das  Leuchten  «\&Vi  'l^\^<&^ 
*^  ein  Vulkan  sein,  bo  hat  er  eine  Menge  Vulkane  angegeben ,  i90  VeiTi^  «\Ti\« 


281  KleioM«  HitthoUnagab. 


»^^^in^^0*^^^^^^*^^i^im^0'>ts^*0^*^t0^^0^t^^^^^^^^^^^tm^m**0»0»mt»m0*0tm0^^ 


gesehen*  Es  wiederholt  sieh  jedodi  nidit  fiberell  jede  NAeht«  eeBdera  eefeil 
oft  eine  oder  ein  paar  Nftehte  aus «  am  dann^  wieder  mit  erneuter  Hefti|^eft 
an  be^nnen;  ebensowenig  dauert  es  jede>  Naeht  gleleh  lange.  ▼.  Bihfa 
nahm  in  der  Algodon*Bai  alle  10  bis  12  Minnten  dasselbe  wahr  mit  einem 
Wechsel  der  LichtoUrke  ohne  aUe  Begelmissigkeit.  Hier  sehieft  es  ^Iseel 
hinter  dem  Kilstengebirge  aa&atanohen;  in  Valparaiso »  wo  .er  es.  vom 
Hafen  aus  sehr  häufig  beobachtete ,  betrag  seine  Höhe  ttber  dem  Bsriaenle 
scheinbar  einige  GFrade»  Meyen  will  auf  der  CordiUera  bei  d6m  Lenditen 
ein  Oerftusch  gehört  haben,  wie  entfernte  KanoaensalTen;  ¥.  Bibn  kU 
nie  ein  Geräusch  yemommen«  Moesta  und  Tsehndi  Sprechen  Yoa  deinem 
Oeränseh,  also  haben  sie  wohl  keine  wähigenommeni  und  Mejmi -ist 
Tsehndi  ein  sehr  ungenauer  Beobachter.  Dass  das  Lenehtea  niehifc  iMa 
Vulkanen  herkommen  kann,  seigt  sieh  darin ,  dass  es  in  Peru  »nd  Bdivia 
auch  in  den  Gegenden,  welche  gänslich  Ten  FeuerborgeneatbUsst  sMf 
genau  so  gesehen  wird,  wie  in  Chile*  Indem  Tsehudi  die  Erseheianag  iHi 
Wetterleuchten  erklärt,  will  er  doch  niaht  unbedingt  der  Ansiebt  biipfliah- 
ten,  dass  jedes  Wetterleuchten  seine  Entstehung  einem  fernen  Oewittar 
rerdanke,  wiewohl  auch  solches  gewöhnlichea  Wetterleuehien  pftAort^vet^ 
kommt.  Befindet  sich  der  Beobachter  auf  der  Wtetseite  derOordillesas, 
so  hat  er  nach  Ost  einen  hohen  Geburgshorisont,  ttber  dem  sich  der  Him- 
mel schon  ToUständig  geklärt  hat,  während  die  Gewitterwolken  eieh  öst- 
lich vom  Gebirge  und  tiefer  als  der  hohe  Horiaont  entladen  uad  nur  der 
Beflex  des  Blitzes,  aber  keine  Wolke  mehr  gesehen  werden  kann.  Er  fährt 
nun  swei  Beispiele  an  vom  Wetterleuchten,'  die  vom  Blitae  sehr  versehie* 
den  waren,  das  eine  von  ihm  in  Brasilien,  das  andere  von  Wittwer  in 
Baiern  beobachtet;  beide  waren  Gewitter,  in  denen  ein  elektrisches  Leueb- 
ten  nicht  in  Zicksackform,  sondern  als  diffuses  Licht  auftrat,  inBrasiliea 
aber  mit  Zicksackblitsen  abwechselnd.  In  einigen  G^enden  des  west- 
lichen Sttdamerika  kommen  beim  höchsten  Grade  elektrischer  Spannusg 
der  Atmosphäre  doch  nie  Gewitter  vor,  besonders  in  der  Wüste  von 
Atacama.  Beinahe  während  der  sechs  Monate,  vom  Mai  bis  November,  also 
im  dortigen  Winter ,  vermehrt  die  starke  Luftelektricität  die  Besehwerden 
der  Wüstenreise.  Die  geringste  Beibnng  der  wollenen  Kleider  vernrsacbt 
das  lästigste  Knistern  und  kann  den  Seisenden  in  einen  Zustand  der  höch- 
sten nervösen  Reizung  versetsen.  Zur  Nachtseit  sind  die  elektrischen 
Lichterscheinungon  sehr  stark.  An  allen  Fingerspitaen ,  an  den  Ohren 
der  Maulthiere  erscheinen  leachtende  Büschel.  Beim  Absatteln  sprüht 
jedes  Haar  der  Thiere  Feuer.  Die  Trockenheit  der  Luft  ist  dabei  eine 
ausserordentliche.  Die  Fingernägel  werden  so  spröde,  dass  sie  wie  Glas 
abspringen,  und  mit  Gänsefedern  kann  man  nicht  schreiben,  weil  der  Spalt 
gleich  nach  dem  Schneiden  aus  einander  klafft.  Die  Schleimhaut  der  Nase 
und  Lippen  wird  trocken  und  rissig.  Ungefähr  12  Leguas  von  der  Küste 
hören  die  elektrischen  Erscheinungen  wegen  Zunahme  der  Feuchtigkeit 


Kleinere  Mittheilunp^en.  283 


laf.  Thatsaolie  Ist  es,  wAhreod  des  Sommers  zeigt  sich  geringe  eloktri- 
sehe  Spannung  der  Atmosphäre  in  der  Wüste,  aber  tägliche  heftige  Ge- 
witter in  den  sie  begrenzenden  hohen  Cordilleras.  Im  Winter  ausser- 
ordentliche Luftelektricität  und  nur  selten  Gewitter  in  den  Cordilleras.  Es 
liegt  also  die  Ansicht  nahe,  dass  die  Elektricität,  die  sich  durch  die  Winter- 
mooate  in  der  Wüste  sammelt  und  die  sich  durch  eigonthümliche  atmo- 
ipliXrische  oder  tellurische  Verhältnisse  in  der  Wüste  selbst  nicht  durch 
Gewitter  entladen  kann ,  sich  während  der  Sommermonate  durch  tägliche 
Entladungen  in  den  Cordilleren  ausgleicht. 

Wenn  nun,  wie  nicht  za  leugnen  ist,  obige  Erscheinungen  so  viele 
Aehnlichkeit  mit  Nordlichtem  haben,  dass  sie  öfter  mit  denselben  ver- 
wechaelt  wurden,  und  dazu  entschieden  elektrischen  Ursprungs  sind,  so 
ipricht  dies  zugleich  für  den  elektrischen  Ursprung  des  Nordlichtes.  Zwar 
leigen  die  beschriebenen  Phänomene  noch  eine  nicht  unbedeutende  Man- 
nigfaltigkeit in  ihrem  Auftreten;  allein  diese  ist  auch  bei  Nordlichtem 
wahrzunehmen.  Das  Strahlige  vermisst  Moesta  auch  bei  der  zuletzt  be- 
sehriebenen  nicht,  obgleich  die  anderen  Beobachter  nicht  davon  reden. 
Dtss  diese  Erscheinung  als  ein  gewöhnliches  Gewitter  zu  betrachten  sei, 
wie  Tschndi  meint,  ist  unsere  Ansicht  nicht,  die  wir  indess  weiter  unten 
erst  andeuten  können. 

Es  ist  noch  ein  Punkt  zu  besprechen ,  welcher  für  unsere  Theorie  von 
grosser  Bedeutung  ist.  Man  versäumt  bei  Besprechung  atmosphärisch- 
elektrischer  Erscheinungen  gar  zu  häufig,  hier  einen  Unterschied  im  Auge 
n  behalten ,  durch  dessen  Vernachlässigung  die  grösste  Verwirrung  ent- 
stehL  Das  ist  der  Unterschied  zwischen  Luft-  und  Wolkenelektricität« 
Man  sollte  den  Ausdruck  „atmosphärische  Elektricität"  nur  dann  gebrau- 
chen ,  wenn  von  keiner  der  beiden  Arten  bestimmt  die  Rede  ist.  Verwech- 
selt man  aber  das  Genus  mit  der  Species ,  so  kann  selbstverständlich  dar- 
•ut  nur  Missverständniss  hervorgehen.  Luftelektricität  ist  aber  bekannt- 
lich die  Elektricität  der  Lufttheilchen,  die  also  immer  oder  fast  immer 
wahrnehmbar  ist  und  zwar  als  +  Elektricität.  Am  deutlichsten  tritt  sie 
nns  entgegen  bei  heiterem  Himmel;  denn  Wolkenelektricität  kann  dann 
▼on  nns  nur  noch  für  Luftelektricität  gehalten  werden ,  wenn  der  Horizont 
beschränkt  ist  und  er  uns  die  Wolken  verdeckt,  welche  etwa  noch  stärker 
elektrisch  auf  unsere  Apparate  einwirken  als  die  Luft.  Ist  der  Himmel 
nur  theilweise  bewölkt,  so  ist  es  allerdings  zuweilen,  aber  nur  selten  der 
Fall,  dass  wir  zweifelhaft  sein  könnten,  ob  das  von  uns  Beobachtete  der 
einen  oder  anderen  Art  angehört.  Wie  wesentlich  es  aber  ist,  den  Unter- 
schied festzuhalten,  will  ich  an  einer  wichtigen,  allgemeinen  Beziehung 
nachweisen. 

Es  wird  öfter  ausgesprochen,  und  zuletzt  hat  esBecquerel  gethan*), 

•)  Reeherches  sur  nicctriciU  de  Fair  et  de  la  terre  etc.    CompL  rend   XL£If,  i^q« 
1101—1108. 


284  Kleinere  Mitthcilnngcn. 

dass  die  atmosphSriscbe  Elektricttät  von  den  Tropen  nach  den  Polon  a1 
nehme.  So  allgemein  ausgesprochen,  ist  der  Satz  ganz  unbegründet.  Ab< 
wohl  kann  man  diesen  Satz  von  der  Wolkenelektricitttt  aussagen;  dageg( 
gilt  von  der  Luftelektricitftt  gerade  das  Entgegengesetzte.  Zwar  existin 
darüber  in  Bücksicht  der  Luftelektricitftt  noch  keine  Beobachtungen;  ab« 
wir  wissen,  dass  bei  uns  die  Luftelektricität  im  Winter  bedeutend  gross« 
ist,  als  im  Sommer,  und  dass  sie  in  ausnahmsweise  warmen  Jahren  gi 
ringer  ist  als  in  gewühnlicben.  Da  nun  bei  uns  der  Winter  in  allen  B> 
Ziehungen  den  Charakter  mehr  nach  den  Polen  gelegenen  Gegenden  tc 
tritt,  der  Sommer  umgekehrt,  so  gilt  gewiss  für  die  Luftelektricitftt  da 
selbe,  was  für  die  übrigen  Witterungs- Erscheinungen  nachgewiesen  ii 
umsomehr ,  da  wir  den  Zusammenhang'  dieser  Erscheinungen  und  ihre  g 
meinsame  Abhängigkeit  von  der  Wftrmevertheilung  kennen.  Dass  d 
Wolkenelektricitftt  abnimmt  nach  den  Polen  hin,  sieht  man  daraus,  da 
die  Zahl  der  Gewitter  in  dieser  Richtung  immer  mehr  sich  vermindert 

Es  sollen  jetzt  noch  einige  Andeutungen  darüber  gegeben  werden,  w 
ich  mir  den  Vorgang  bei  der  Entstehung  des  Nordlichtes  denke. 

Es  giebt  zweierlei  Gewitter,  Gewitter  der  Wolkenelektricitftt  und  G 
witter  der  Luftelektricitftt ;  erstere  sind  die  gewöhnlichen ,  letztere  nenn< 
wir  Polarlichter,  wenn  sie  in  den  Polargegenden  sich  zeigen,  wo  die  B 
dingungen  ihrer  Entstehung  am  günstigsten  sind.  Erstere  nehmen  also 
der  Zahl  ab,  wie  man  sich  vom  Aequator  entfernt,  letztere,  wie  man  ih 
eich  nähert.  Die  Wolken  Gewitter  entladen  sich  meist  nach  unten ,  d 
Erde;  die  Gewitter  der  Luftelektricität  nach  oben  in  den  luftverdünnt« 
Raum  der  Atmosphäre.  Die  Entstehung  beider  Arten  von  atmosphärisch 
Elektricität  kennen  wir  noch  nicht,  ja  wir  kennen  die  Entstehung  di 
Elektricität  überhaupt  noch  nicht.  Aber  das  wissen  wir,  dass  beide  Art< 
von  atmosphärischer  Elektricität  sich  öfter  unter  Bedingungen,  die  ui 
zum  Theil  bekannt  sind,  anhäufen  irgendwo.  Auch  finden  wir  erfahrung 
gemäss  neben  den  Stellen  der  Anhäufung  die  Stellen,  wo  die  Anhänfux 
nachlässt  und  dann  allmälig  in  den  Gegensatz  umschlägt.  Wenn  dann  d 
Anhäufung  an  irgend  einem  Orte  und  deren  Gegensatz  gross  genug  wir 
so  findet  eine  Entladung  statt,  welche  wir  Gewitter  nennen  oder  Nordlicl 
Zwar  kennen  wir  die  Stellen ,  nach  denen  die  Entladung  beim  Nordlic 
stattfindet,  die  höheren  Gebiete  der  Atmosphäre  nämlich,  in  der  angegeb 
nen  Beziehung  aus  Erfahrung  noch  sehr  wenig.  Aber  das  wissen  wir  doc 
dass  die  über  einander  liegenden  Luftschichten  öfter  entgegengesetzt  ele! 
trisch  sind.  Auch  können  wir  uns  davon  überzeugt  halten,  dass  die  höher< 
Luftschichten  schwächer  elektrisch  sind,  als  die  unteren.  Denn  da  na< 
allen  Erscheinungen  die  Luftmoleküle  die  Träger  der  Luftelektricität  sin 
so  muss  mit  der  Dichtigkeit  der  Atmosphäre  selbst  auch  die  der  Lul 
elektricität  nach  oben  abnehmen.  Man  wird  mir  schwerlich  entgegenhalte 
dasö  die  /Beobachtungen  das  GegcntUell  zeigten«  Das  weiss  ich  gar  zu  gn 


Kleinere  Mitthciliingen.  285 

aber  ich  bin  fest  überzeugt ,  dass  diese  Zanahme  nicht  weit  hinauf  reicht. 
Aoch  haben  mir  meine  Erfahrungen  die  Ansicht  aufgedrängt,  dass  die 
Abnahme  in  der  Nähe  des  Bodens  daher  rührt,  dass  die  Luftmoleküle  hier 
mit  dem  Boden  öfter  in  Berührung  kommen  und  diesem  Elektricitftt  ab- 
geben. 

Warum  entladet  sich  nun  die  LuftelektricitKt  nach  oben?  Dafür  giebt 
ei  4rei  Orttnde  noch  ausser  dem  bereits  genannten  der  Abnahme  der  Dich- 
tigkeit, und  diese  sind  besonders  in  Polargegenden  wirksam.  Erstens,  weil 
hier  die  Luftelektricität  aus  klimatischen  Bedingungen  sich  besonders  stark 
anhäuft;  sweiteus,  weil  hier  der  Boden  mit  einer  dicken  8chicht  eines 
guten  Isolators,  des  trockenen  Eises,  bedeckt  ist,  weil  sich  also  im  Boden 
keine  der  Anhäufung  der  Luftelektricität  entsprechende  Vertheilung  bilden 
kann ,  oder  weil  es  der  angehäuften  Luftelektricität  nicht  möglich  ist ,  das 
rar  Entladung  nach  unten  gehörige  Quantum  entgegengesetzter  Elektrici- 
tät  heranzuziehen ,  weil  der  Isolator  der  entgegengesetzten  die  Bewegung 
nicht  gestattet,  um  so  die  Anziehung  zu  vergrössern,  die  sie  endlich  bis 
mm  plötzlichen  Ueberspringen  eines  Funkens  nach  unten  bringen  würde; 
drittens,  weil  ihr  nach  o.ben  keine  Hindernisse  entgegenstehen,  keine  Wol- 
ken, 00  dass  sie  zu  ihrer  Entladung  die  Form  des  Ausströmens  wählen 
ausa.  Alle  diese  Gründe  sind  thatsächlich  vorhanden.  Thatsachen  sind, 
dass  ea  dort  an  scharf  begrenzten  Wolken  mangelt ,  dass  trockene  Nebel 
dort  häufig  sind,  welche  bekanntlich  die  Luftelektricität  bedeutend  stei- 
gern ,  dass  die  Nordlichter  fast  immer  in  der  ersten  Hälfte  der  Nacht  sich 
einstellen,  also  zu  der  Zeit,  wo  auch  bei  uns  eine  bedeutende  Steigerung 
der  Luftelektricität  vorkommt,  besonders  bei  heiterem  Wetter;  Thatsache 
ist  ferner,  dass  die  Nordlichter  am  häufigsten  sind  bei  heiterem  Wetter, 
wo  auch  bei  uns  im  Winter  die  Luftelektricität  am  stärksten  ist. 

Ein  emporschiessender  Strahl  .eines  Polarlichtes  wirkt  gerade  so  ver- 
theilend,  wie  eine  elektrisch  geladene  Wolke  auch,  welche  ja,  wie  be- 
kannt, uns  oft  die  Haare  sträuben  macht,  oder  Licht  aus  Hut  und  Fingern 
lockt,  oder  den  Telegraphen  in  Unordnung  bringt,  indem  sie  die  entgegen- 
gesetzte heranzieht  und  die  gleichnamige  zurückstösst  Dass  der  Strahl 
des  Polarlichtes  mit  seiner  Wirkung  weiter  reicht,  ist  natürlich,  da  er  eine 
viel  grössere  Ausdehnung  hat.  Denn  wenn  auch  die  Messungen  der  Höhen 
der  Nordlichter  sehr  unsicher  sind,  so  geht  doch  daraus  hervor,  dass  einige 
eine  Höhe  von  mehreren  Meilen  erreichen.  Die  von  Nord  nach  Süd  ge- 
riehteten  Strahlen  binden  im  Boden  in  der  Nähe  die  entgegengesetzte 
Elektrieität  und  treiben  die  gleichnamige  nach  beiden  Seiten,  also  nach 
Ott  und  West,  und  diese  Vertheilungs-  oder  Inductionsströme  erster  Ord- 
nung sind  es,  welche  auf  die  Magnetnadel  wirken;  sie  haben  also,  wie 
man  sieht,  zur  Einwirkung  auf  dieselbe  die  vortheilluifteste  Kichtung. 
Wollte  man  entgegenstellen,  dass  die  Wirksamkeit  der  Strahlen  unmöglich 
M  weit  reichen  könne,  so  erinnere  ich  an  das  Faclmn^  &^aa  nqt  €v^  "^^»x 

ZellMckrifl  f.A/ulbetu»lik  u.  rhy^ik.   VI,  A,  ISS 


286  Kleinere  Mitthoilnngen. 

Jahren  die  Einwirkung  eines  Nordlichtes  auf  Telegraphendräthe  im  Wfir- 
tembergischen  wahrgenommen  wnrde. 

Nun  soll  aber  nicht  gesagt  sein,  dass  Lnftelektricitäts  -  Gewitter  nur 
in  Polargegenden  entstehen  können.  Wamm  sollten  sie  nicht  anch  ander- 
wärts sich  seigen,  wo  die  Bedingungen  ihrer  Entstehung  alle  oder  theil- 
weise  vorkommen ,  nämlich  Isolation  des  Bodens ,  Mangel  an  Hindernissen 
der  Ausströmung  nach  oben  und  starke  Entwickelnng  der  Luftelektricität? 
Und  in  der  That  scheint  es  mir  keinem  Zweifel  au  unterliegen ,  dass  Er- 
scheinungen, wie  die  beschriebenen,  derselben  Natur  sind.  Denn  aueh 
das  Yon  Tschndi,  Moesta  etc.  beschriebene  Phänomen  wird  immer  über 
den  Bergen  gesehen ,  welche  auch  im  Sommer  zum  Theil  mit  Schnee  be- 
deckt sind.  Hier  ist  also  die  isolirende  Decke  Yorhanden  und  die  dünnen 
Luftschichten  sind  näher.  Ausdrücklich  bemerkt  ▼•  Bibra,  dass  in  der 
Algodon-Bai  nie  und  auf  der  Cordillera  bei  Santiago  selten  Gewitter  Yor- 
kommen;  hier  kann  das  Leuchten  also  unmöglich  von  Gewittern  herrühren* 
Auch  bemerkt  v.  Bibra ,  dass  das  Auftreten  beider  Erscheinungen ,  nämlich 
des  Gewitters  und  des  strahligen  Leuchtens  über  den  Bergen,  ein  gani 
verschiedenes  sei.  In  der  Wüste  von  Atacama  kommt  nach  Tschndi  nie 
ein  Gewitter  vor,  aber  eine  sehr  starke  Luftelektricität.  Das  Leuchten 
derselben  ist  Nachts  am  grössten,  wie  er  behauptet.  Auch  sah  er  einmal 
Abends  das  Leuchten  über  der  Kette  des  Illimani ,  und  anderen  Morgens 
bemerkte  er,  dass  dort  Alles  mit  Schnee  bedeckt  war.  Das  Alles  spricht 
dafür,  dass  diese  Erscheinung  kein  Gewitterleuchten  ist,  wie  Tschndi 
meint.  Ist  die  Ursache  der  Luftelektricität  in  siemlich  bedeutender  Höhe 
wirksam,  so  ist  die  Isolation  des  Bodens  tiberflüssig,  da  die  untere  Luft- 
schicht dann  deren  Stelle  vertritt  Uebcrhaupt  lässt  eine  Verschiedenheit 
in  der  Combination  der  Ursachen  auch  eine  Variation  in  den  Erscheinun- 
gen hervortreten.  Auch  lässt  sich  eine  Möglichkeit  des  Znsammenvor- 
kommens beider  Arten  von  Gewittern  nicht  von  vornherein  bestreiten ,  und 
noch  weniger  ein  baldiges  Nacheinander  derselben. 

Die  Geschichte  von  der  Halley  -  Dalton'schen  Theorie  des  Nordlichtea 
lehrt  uns,  dass  man  auf  diesem  Wege  den  Zweck  nicht  erreicht,  ja  dasi 
man  kaum  weiter  kommt.  Die  entgegengesetzte  Theorie  hat  sicher  be- 
deutendere Fortschritte  gemacht.  Wenn  uns  auch  die  Entstehung  des  Erd- 
magnetismus, des  Nordlichtes,  der  Luftelektricität  noch  dunkel  ist,  so  wer- 
den wir  doch  wohl  thun,  zur  Erklärung  derselben  den  gemeinsamen  Ur- 
sprung fast  aller  atmosphärischer  Erscheinungen  nicht  aus  dem  Auge  in 
verlieren ,  und  das  ist  die  WSrmevertheilung  auf  der  Erde.  Je  mehr  die 
Meteorologie  auf  dem  sicheren  Wege  sorgfältiger  Beobachtung  fortschrei- 
tet, desto  mehr  Licht  wird  auch  in  diese  noch  dunkeln  Partien  fallen. 

Nachtrag.    Es  wird  zweckmässig  sein,  von  Zeit  zu  Zeit  Ergänzun- 
pen  zum  ÄufnaUc  über  die  Theorie  des  Nordlichtes  zu  liefern,  am  auf 


Kleinere  Mittheilungen.  287 

diese  Weise  die  Frage,  ob  die  eine  oder  die  andere  der  beiden  Haupt- 
tbeorien,  oder  vielleicht  eine  dritte  die  richtige  sei,  znm  Abschluss  zu 
bring^D.  Deshalb  sollen  unter  dem  obigen  Titel  LesefrUchte ,  neue  An- 
sichten etc.,  mitgetheilt  werden. 

Castren,  der  schwedische  Reisende,  sagt:  „Haben  wir  im  bergigen 
Lftppland  hohe  Felsengipfel  vor  uns ,  so  sind  diese  von  einem  flackernden 
Seheine  umhüllt.  Fast  erscheint  es  dem  Auge,  als  erhebe  sich  dieser 
Schein  aus  dem  Felsen  selbst,  wie  die  Flamme  aus  dem  Krater  eines  Yul- 
kani.  Er  verbreitet  sich  über  den  ganzen  Himmel,  flackert  einige  Zeit 
vod  verschwindet,  um  sich  bald  darauf  wieder  zu  erheben  und  zu  ent- 
ichweben.'* 

lieber  Gletscher  wird  von  einem  Unbekannten  berichtet:  „Die  Luft 
über  dem  Oletscher  -  und  Firneise  ist  sehr  trocken ,  weil  es  wahrscheinlich 
die  Feuchtigkeit  derselben  einsaugt.  Ein  Stück  Fleisch  wird  auf  dem 
Gletscher  in  wenigen  Tagen  so  trocken ,  dass  es  nur  noch  aus  Fasern  be- 
steht    Noch  trockener  ist  es  im  Inneren.'' 

Lyell,  zweite  Reise  nach  Nordamerika,  sagt  im  2.  Bande,  8.  356: 
„Wir  lernen  aus  der  Geschichte  der  letzten  antarktischen  Expedition  unter 
8ir  James  Boss  die  höchst  interessante  Thatsache,  dass,  wenn  das  Süd- 
licht über  der  grossen  Mauer  des  Kfisteneises  an  den  Ufern  des  antarkti- 
schen Landes  spielte,  es  ganz  deutlich  an  der  unregelmässigen  und  zer- 
rissenen Gestalt  der  Eisklippen,  über  denen  es  schwebte,  Theil  nahm/' 
Lyell  sah  dasselbe. 

Herr  T.  R.  Robinson  sagt  in  einem  Aufsatze:  „On  fluoresceiice  pro- 
duced  by  ihe  aurora''  (Phil.  Mag.  XV,  336 — 327):  „Wenn  man  einen  Tropfen 
von  schwefelsaurem  Chinin  auf  einer  Porzellanplatte  bei  dem  Lichte  eines 
Mordlichtes  betrachtet,  so  erscheint  dies^  Tropfen  leuchtend  auf  einem 
wenig  leuchtenden  Grunde."  Nach  seiner  Ansicht  soll  also  das  Nordlicht, 
wie  das  elektrische  Licht,  besonders  viel  sehr  brechbare  Strahlen  aus- 
senden, also  stark  fluorescirend  sein.  Er  meint,  es  liege  in  diesem  Gebalt 
an  sehr  brechbaren  Strahlen  ein  neuer  Beweis  für  den  elektrischen  Ur- 
sprung des  Nordlichtes. 

Diese  Stellen  sprechen  also  siimmtlich  für  die  elektrische  Theorie  des 
Nordlichtes. 


ZZIV.    Die  xweckmässigite  Form  der  Zinkeisen  -  S&ule.    Von  Dr. 

F.  DSLLMAMN. 

Seit  einigen  Jahren  brauche  ich  bei  galvanischen  Versuchen  eine 
Form  der  Zinkeisen -Säule,  welche  meines  Wissens  noch  nicht  beschrieben 
ist.  Da  ich  diese  Form  für  die  zweckmäs8igste  halten  muss  für  Versuche, 
welche  nur  einige  Stauden  oder  noch  kürzere  Zeit  dauern,  und  zweck- 
müssiger,  als  jede  andere  Säule  ist,  so  will  ich  mir  erlauben,  hier  eine 
kurze  Beschreibung  derHolben  zu  geben. 

Dm  Eisen  ist  Gusseisen  und  wird  angewendet  iu  Fotm  nv^tv  ^^^WcA^x-, 


288  Kleinere  Mittheilungen. 


förmigen  Bechern,  das  Ziuk  ebenfalls  in  Form  von  Cylindern,  aber  ohni 
Boden.  Der  Zinkcyhnder  hat  einen  etwas  kleineren  Durchmesser,  als  dej 
Eiseucylioder,  so  dass  ersterer  leicht  in  letzteren  hineingesetzt  werdei 
kann.  Auf  den  oberen  Rand  des  Zinkcylinders  ist  ein  kleiner  Messing* 
cyliuder  gelöthet  mit  dem  unteren  Ende.  In  der  Mitte  etwa  (der  Länge 
nach)  ist  dieser  durchbohrt  zur  Aufnahme  des  Poldrathes,  welcher  fest- 
geklemmt wird  durch  eine  Schraube,  die  vom  oberen  £nde  aus  in  der  Rich- 
tung seiner  Achse  auf  die  Queröffnung  führt.  Der  Zinkcylinder  ist  natür- 
lich blos  cylinderformig  gebogen,  nicht  gelöthet,  weil  dies  nicht  nüthij^ 
ist;  auch  ist  er  etwas  niedriger,  als  der  Eisencylinder.  An  diesen  wird  der 
Poldrath,  welcher  zu  diesem  Zwecke  etwas  platt  geklopft  ist  an  einem 
Ende ,  mit  einer  Kleiiniischraube  oben  am  Rande  der  Aussenseite  befestigt. 
Die  Stelle,  wo  der  Drath  angelegt  werden  soll,  muss  mit  der  Feile  vor 
jedem  Versuch  gereinigt  werden. 

Beim  Gebrauche  nun  wird  der  Zinkcylinder  frisch  amalgamirt,  dann 
mit  einem  Stück  Pnpier  umwickelt,  welches  so  gross  genommen,  dass  es 
oben  und  uuten  etwas  einwärts  umgeschlagen  werden  kann ,  in  den  Eiseu- 
bechcr  «gestellt  und  verdünnte  Schwefelsäure  (etwa  6  Oewichtstheilo  Wasser 
und  1  Theil  concentrirte  Söure)  hineingegossen.  Die  Wasserstoff- Eut- 
wickelung  ist  nach  einer  Stunde  immer  noch  gering  und  durchaus  nicht  be- 
lästigend. Die  Hauptsache  aber  ist,  dass  eine  solche  Säule  einen  starken 
Strom  giebt,  sehr  billig  und  äusserst  leicht  in  der  Handhabung  ist.  Beim 
letzten  Gebrauche  habe  ich  mir  die  Mühe  genommen,  sie  mit  einem  Grove^- 
sehen  Elemente  zu  vergleichen.     Hier  ist  das  Resultat. 

Grove'sche  Säule:  Platin  90"»"*  breit,  178«»™  lang;  Zink  88™  breit, 
178"*"'  lang;  Ausschlag  an  einer  Weber'schen  Tang^ntenbonssole  anfangs 
03^  nach  einer  guten  Stunde  62^  —  Zinkeisen-Säule:  Eisencylinder 
12ü"'"*l>och,  innerer  Durchmesser  80"*"*;  Zinkplatte  101"*"*  breit  (Höhe  des 
Cylinders),  104"'"*  lang;  Ausschlag  an  derselben  Boussole  anfangs  58 ^  nach 
einer  guten  Stunde  61  •. 

Hier  verhielten  die  Zinkplatten  beider  Elemente ,  welche  fast  gleich 
starke  Ströme  gaben ,  sich  als«  ungefähr  wie  5  zu  6.  Nun  war  das  Zink 
der  zweiten  Säule  nach  fast  gleich  langem  Gebrauche  allerdings  etwas 
stärker  angegriffen.  Dagegen  roch  man  nach  der  zweiten  Stunde  noch 
ganz  gut  die  salpetrige  Säure,  welche  die  Grove'sche  Säule  entwickelt 
hatte;  vom  Wa.sserstoff  spürte  man  gar  nichts.  Die  Eisenbecher  braucht 
man  sich  nicht  sehr  stark  giessen  zu  lassen,  sie  halten  doch  lange.  Die 
Wän  le  der  nieinigen  sind  nur  wenige  Millimeter  dick.  Am  Eisen  braucht 
man  ausser  jeuer  Stelle  zum  Anlegen  des  Poldrathes  nichts  zu  reinigen. 

Der  Strom  dieser  Säule  ist  offenbar  so  stark,  weil  der  Thoncyliuder 
fehlt.  Das  Eingiessen  der  Flüssigkeit  ist  äusserst  bequem.  Man  vermeidet 
das  Zerbrechen,  weil  weder  Glas,  noch  Kohle,  noch  Thon  gebraucht  wird. 
Und  billiger  lähst  sich  gewiss  keine  Säule  herstellen.  Das  oben  beschrie- 
bene Element  kostet  mir  noch  keine  10  Silbergroschen,  das  Grovc'scho  da- 
gegen 5  Thal  er. 


xn. 

Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 
Von  Dr.  A.  Ennepeb, 

Docent  an  der  Univeraität  Göttingen. 


I. 

Die  Oleichnng 


0 
ntch  z  differentiirt  giebt: 

dy  /^.  u  V    r  ,         d        u        ^ 

^ «  •/  (14-  M*)"+ *  2  w,/  e)  1/  (1  +  w*)" 


0  '  ö 

Darch  partielle  Integration  folgt  hieraas : 


?y— fc       ^    I    cos  zu 
Vz         W  (iHhw»)* 


0  <■ 

oder,  da 

^•y  ,  r  cos  zu 

0 
•oerhXlt  man  für  y  die  Diiferentialgleichnng: 

Ax  a*y         ^y 

E«wird  natürlich  vorausgesetzt,  dass  n  eine  positive  Zahl  sei. 

Für  y  =  p.22«+i 

geht  die  Gleichnng  2)  in  folgende  über : 

Zur  Integration  dieser  Gleichung  nehme  man: 

/ 

P=  I  e-'^'Vdu, 
a 

2€iuebhn  f.  AUlhewatik  u,  Phyik.  VI.  5.  I\ 


290  Zur  Theorie  der  beBtimmien  Integrale. 


wo  V  eine  Function  von  u  bedeutet.    Die  Gleich*ung  3)  gebt  dann  über 

4)  /ß-«»r{z(ti«.-  l)—2(n  +  i)u\du  =  0. 

a 
Durch  partielle  Integration  folgt: 

je-"*  rz{t^—i)du  =  —J(u^^i)V-^e-''*du 

ß      • 

a 
Hierdarch  wird  die  Gleichnog  4) 

0=  -  j  («»-  1)  ye-"\^  +J^~''' !  ^*^~^^l^~  '^"^  ^'h"' 

a 
d.  h.: 

a  F 

("•— 1)^ 2nuV=0 

du 

oder 

F=:=(fi«— 1)» 

Der  Ausdruck 

verschwindet  für  u  =  1  und  m  =  oo.     Nimmt  man  also  o  =  1  und  ß  = 
so  ist: 


=  /^-•'*(w«'— l)"ai/ 


l 
ein  Integral  der  Gleichung  3).     Da  y=zp,  z^^+i^  so  wird : 


y=  221.4-1   /e-«*(„t_^)„^^„ 
_  ^21.4-1  g-Wß-«*  M«  (2  4-,i)»aM 


0 


=  e-- /e-*'M«  (M  +  22)»aM. 


Von  Dr.  A.  Ennbpbb.  291 


Nimmt  man  ferner 

P 


a 

so  geht  die  Gleichung  3)  über  in : 

/^•"r|(M*— i).2+2(ii+i)ttjaw  =  o. 

a 
Wendet  man  wieder  das  obige  Verfahren  an ,  so  folgt : 

|e«*r(l— M*)|    =0 

?-^(l  — w«)  +  2nwr  =  0, 
du 

d.h.: 

r=(l  — w«)" 

|e-<(l  — ti*)«+»|     =0. 

Der  Ansdmck 

«•"(!  — w*)*+* 
▼erschwindet  für  w  =  —  1  und  w  =  l.     Nimmt  man  also  a  =  —  1 ,  j5  =  1, 
80  ist 

1 

p=/e«'«(l— w«)*aii 

Qnd 

l 

^in  zweites  Integral  der  Gleichung  2).     Bezeichnet  man  die  beiden  parti- 
kulären Integrale  der  Differentialgleichung: 

^^rch  y,  und  y^ ,  so  hat  man : 

00  « 

1  0 

1  I 

y,  ===  «21.4.1  Te-*  (1 --M«)"^!!  =  z2»+^ /(«•'*+«-••'•)  (!--««)•  aw. 
-1  0 

^on  diesen  beiden  Integi*alen  verschwindet  y,  mit  z ,  während  y,  für  «  =  0 
^inea  constanten  Werth  annimmt.     Da  nun  auch 


292  Zur  Theorie  der  bestiminteii  Integrale. 


00 

/cos  zu 

0 
der  obigen  Differentialgleichung  genügt  und  nicht  mit  z  verschwindet ,  so 
muss  dieses  Integral  t/i  proportional  sein,  d.  h.: 

00  00 


0  0 

wo  A  eine  Constante  bedeutet.     Setzt  man  2:=0,  so  folgt: 

00  00 


oder 


Da  nun 


so  folgt: 


endlich : 


0  0 

n  («)  n{n  ^^)  =  yn.  2-^"  n  (2  n) 


A  = 


22»+ii7(H)«' 


0  0 

Die  von  Gauss  (Jurch  n{z)  bezeichnete  Functiou  wird  bekanntlich  durch 
die  Gleichung  definirt: 

00 


0 
Setzt  man: 


00 

r    cos  zu       - 


r=:t2«+l/(e«*+e— '*)(!— M*)"aM, 


0 
so  ist,  nach  dem  Vorhergehenden, 

00 


dy  z    f  cos  zu    - 

dz  2nJ  (1  +  ?/*)" 


Von  Dr.  A,  Enneper.  293 


Durch  Differentiation  nach  z  folgt  ferner : 

l 

d 

0 

I 


Nun  ist 

1 


|f  =(2«+ 1)221.   /(«»»  + ^  —  »)(1_M«)»  an 

0 
I 

0 

1 

/  («"*  — e-"*)  w  (1  — M*)»  a«  =  /  —  (e«**  +  e-' '*) .  w  (1  —  tt*)»a w 

0  0 

1  1 

=— /(e-^H- €-•'*)  (l—w*)«aw  + 2« /(e'**  +  e-"*)u»(l—M*)*-^aw 

0  0 

1  1 

0  0 

Die  Gleichung  fttr    -   nimmt  hierdurch  die  einfache  Form  an : 

1 

dx  r 

—  =  2/1 .  22»  /  (e''»+  e-«')  (1— M«)»-^  a  ti. 
0 
Die  beiden  Integrale  y  und  x  genügen  der  Differentialgleichung  2) ,  d.  h. : 
d^y  dy 

d^x  dx 

dz*  dz 

Uultiplicirt  man  die  erste  dieser  Gleichungen  mit  x ,  die  zweite  mit  y ,  bil- 
<let  die  Differenz  der  Producte,  so  folgt: 

d  {  dx  dy\       ^    (  dx  dy\ 

Durch  Integration  nach  z  erhält  man : 

^dl-Tz^^'     ^ 
^0  C  eine  Constante  bedeutet.    Wegen  der  Werthe  von  y  und  x  wird  diese 

Gleichung : 

1 


r  cos  zu    ^   c      .  ,       .V    .  ^ 

0  0 

OD  1 


+ 

0 


294  Zar  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 

Für  z  =  0  folgt: 

00  1 


also: 


(1 +  «!•)" 
0  0 


00  I 


(!  +  ««)- 
0  0 

00  1 

0  0 

Die  Differentialgleichung  2)  ist  zuerst  von  Serrot  (Liouville's  Jour- 
nal, T.  IX,  p.  193)  aufgestellt  worden.  Für  ein  ganzzahliges  n  hat  Catalan 
die  Gleichung  5)  bewiesen  (Liouville's  Journal,  T.  V,  p.  110). 

n. 

In  den  „Memöires  courormdes  par  Vacademie  de  Bruxeiles,  T.XIV,  Dettx, 
Partie  1841**  hat  Catalan  eine  Determinante  bestimmter  Integrale  aufgo- 
stellt,  die  eine  Verallgemeinerung  der  bekannten  Legendre'schen  Glei- 
chung ist: 

T  ^ 

y-77 ^f  .  >    s  .  fy(\  — «■"*  ö  ««*^)  ^  ^ 

0  0 

n  n 

"2  1 

+  r  "^^  .  /]/(!  _  cos'a  sin'&)  d9 

0  0 

1  T 

y{l  —  cos^a  sifi^  if)    J  y  {l—sin'^asin^^)  ~  2  ' 
0  0 

Die  von  Catalan  gegebene  Determinante  lässt  sich  noch  sehr  verein- 
fachen, wie  im  Folgenden  gezeigt  werden  soll.  Des  besseren  Verständ- 
nisses wegen  möge  eine  kurze  Ableitung  der  betreffenden  Determinante 
vorausgehen. 

In  dem  n fachen  Integrale: 

v,^J....Jdx, dx^ 

soll  die  Summation  auf  alle  positiven  Werthc  von  ^r, ,  . .  .  a:„  ausgedehnt 
werden,  welche  der  Bedingung  genügen: 


Von  Dr.  A,  Ennbpbh. 


Seist  man ,  nach  dem  Vorgang  Jacob^s : 
Xi  =  sin  <p, , 
Xf  =  cos  q>i  sin  ip^ , 
o:,  =  cos  9i  cos  g)|  sin  9, , 


295 


80  ist : 


Xfi  =:  cos(pi  cosq>f  ....  cos  (pm-~\  sin  (pn , 

Xn^l  =  COSifi  COSfp^  ....  cos  q>m—i  COS  fpnj 
Xf   +  ÄTf  +  .  .  .  ,  -f-  O^n   =  1  —  ^n4-t  • 


Legt  man  q>f.»q>n  ^ll^  Werthe  von  0  bis  —  bei ,  so  bleiben  Xi  , ,,  x^  be* 

ständig  positiv,  nnd  1  —  ^n^-i'  liegt  immer  innerhalb  der  Grenzen  0  und 
(1).    Führt  man  also  in   F,  statt  jr, . . .  Xn  die  Variabein  91  ...  9«  ein ,  so 

nehmen  dieselben  alle  Werthe  von  0  bis  —  an. 

2 

Es  ist  nnn : 


'0 

0 

dx^ 

dxi 

^<pi 

dq>t 

dq>n 

dx.dx,  ^ 

0 

dx^dx^        d  Xn 

dxn 

dXn 

d(p,  d<pt 

dfpidfpf          d  (pn 

dtp, 

dq>n 

dxn 
^9i 

=  (C05yi)"(^Ö59),)— 1.. 

..{c0S<Pn-tyC0S(pn, 

% 

n 

2 

Z 

folglich : 

F,  =  /....  /  {cosq>i)*  (coÄ^a)*"" 

"("-fi)«C-J) 


,  (jcos q> n—i)*  cos ipud<Pt  •  • » •  dq>n 


=  1 


"(i)- 


i,n{\)n{-\)i  i  n{o)n{-i)i 
I*     fl(i)      M*     71(4)      ' 

^^  die  Summation  in  dem  n  fachen  Integrale : 

1)  V=l jdx,....dxn 

^^  alle  positiven  Werthe  von  j?|  . . .  o:«  auszudehnen,   welche  der  Be- 
"•^ gang  genügen: 


2) 


-+    -^ 4. 


^%  Sitr  Tlt«!on«  tier  bestimmten  Integrale. 

Uw  Cv.>uäaau(«u  (i,  äi  • . .  Hl,  mögen  so  gewählt  sein,  dass 

fl>ai>öf  •  .>a«-i>«ii« 
lu  <    t  ühr«  mau  t»tatt  a:i  .  • .  x,^  neue  Integrationsvariabel'en  U|  . .  .  ti«  mit- 
tclM  acr  tV>l^euden  Gleichungen  ein: 

JT^:^  ■•"  «T«"^!^«  +  •  •  •  +  ü/^^' -  ^ ' 

wJoi-,  weun  m  eine  der  Zahlen  1,2...»  bezeichnet, 

5) 

, (««*  — O  (««*—».*) . .  •  (««*—«.') 

■'"  ~  ("-*-«,')  («»'-«.')..•(««*  —  ««- 1*)  (««•-«-+i')...  (««»-««•)  ■ 
l>iii  Gleichung: 

(a«— «,»)"(«'— «,»)  • .  •  («*-««')       «P  («*)  «=t  v'(«-')  «*  —  «-• 

lüsst  sich  wegen  5)  auch  schreiben : 

(«'-«,')(«'-■/.')...  («'-«„')_         /     a-.'  a-.'  ^    ^.*    \ 

(«•  -<,,«)(«'-  «,•) . . .  («« _  «„«)  ~         V«' — «,'  "^  o»  -  fl,'  ■**  •  •  •  "•"  «'  -  a,V  • 
Nach  der  Gleichung  2)  icaun  man  nun  setzen : 
(a«-V)...(a«-t/„«)  _ 

wo  f  eine  Zahl  bedeutet,  die  zwischen  0  und  1  variirt.  Die  Grössen  w,*, 
w,' . .  •  !/„*•  lassen  sich,  mit  Rücksicht  auf  die  Gleichungen  4),  als  die  wWur- 
zehi  der  folgenden  Gleichung  ansehen: 

oder  von 

0  =  nu')  ==  ("•  — a,')  . .  .  (u*-ö„*)  -  ^.«  ("•-«.•)  .  .  .  («•-««') 
...— a:„«(«»-a,«)...Oi«-a,^i«). 
Setzt  man  hierin  successive  QO,  «,*,  er,* .  . .  r/„*  statt  w*,  so  folgt  leicht,  dass 
die  /i  Wurzeln  von  f{u*)  =  0  zwischen  folgenden  Grenzen  liegen: 

00  ö,' 


r 


Von  Dr.  A.  Ennbpbb. 


297 


D«  000  nach  6) : 


(«'-K.«) . . .  (g»-«.') 


iwischen  den  Grenzen  0  und  1  bleiben  muss,  so  kann  innerhalb  der  Inte- 
gratiooBgrensen  ti|  nicht  grösser  wie  a  werden.  Hieraus  schliesst  man,  dass 

«1    a 


««    ö«— 1 


die  respectivon  Integrationsgrenzen  von  U|  • . .  tin  sind.   Aus  der  Gleichung 

6)  folgt: 

oder 


Xm 


dx^ 


Ä«" 


dUr 


Q^—Ur 


dUr 


WO  r  eine  der  Zahlen  1 ,  2  . . .  n  bedeutet.     Setzt  man  zur  Abkürzung : 
1  1  1 


Un 


2n-7 


= />(!!,«,  «.«...««•), 


iM>  erhält  man  für  die  Determinante.: 


Ä  = 


folgenden  Ausdruck : 


du, 


dxn 


dUn 


dXn 


Jw,  dUn 


R  =  «Ti  .  .  •  d?f|  ,  U,  .  .  .  t/n  . 


i>  (».'...  ti.»)P  («.«...«.') 


ii(ii->l) 


(-1)    '    <p(V)...<pK') 

Nach  der  Gleichung  5)  ist 

J^i  J^t'  •  'j^n  _  -y/  y  («!*) "  '  y  (^n*) 
Der  obige  Wertli  von  R  geht  hierdurch  über  in : 


Ä  =  W,  W,  .  .  .  Hn  . 


oder 


wegen: 


K<p  (w,*) .  . .  v  (O  9)'  (a,*)  ...q>  («„•) 


«(«-D 


9  {«,')  .  .  .  9>'  (O  =  (-  1)     '       [P  W  .  . .  ^n^^\^ 


296  Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 

80  ist:  V=  r,  y{a*  - «,»)  {a*—at*)  ....  («»— a,') , 

d.  h. : 

3)     f'= (4^»)-— ^  n«*-«.*)  («•-«.*) ....(«»-  «-•). 

Die  Constanten  a,  a| , . .  a„  mögen  so  gewählt  sein,  dass 

In  V  führe  man  statt  x^ .  . .  x^  neue  Integrationsvariabel'en  u^  . , .  Un  mit- 
telst  der  folgenden  Gleichungen  ein : 


^  t 


oder ,  wenn  m  eine  der  Zahlen  1 ,  2  . . .  n  bezeichnet , 

5) 

_^. (a,*-u.«)  («,'-«,')  . . .  («,«-«.») 

"  ~  ("-'-«,')(a».'-«,')...(««'  — ««-i')(a,»-«.+,»)...(««»-a««)- 
Die  Gleichung: 

lässt  sich  wegen  5)  auch  schreiben : 

(«'-«.')(«'-,/.'). ..(«'-«„')_       /    x'  a-.'  ■     g-.'    \ 

(a«-«,«)  (a«  -  «,»)  . . .  (a' -  «„')  "~         V«»— a.«  "^  a«  -  a,«  "»"•••  "^"  «t  _  a^i^  • 
Nach  der  Gleichung  2)  kann  man  nun  setzen: 

K-<).  ■■(««- »„')__ 

WO  f  eine  Zahl  bedeutet,  die  zwischen  0  und^l  variirt.  Die  Grössen  w,*, 
w,' . .  .  w„**la8sen  sich,  mit  Rücksicht  auf  die  Gleichungen  4),  als  die  wWur- 
zeln  der  folgenden  Gleichung  ansehen: 


ir  —  rt, 
oder  von 

0  =/'M    =   ("*  — V)    .   .    .    ("'-«!.')    -  ^,'  O^'-O    .   .    .    K-«»') 

Setzt  man  hierin  successive  QO,  «,*,  a^  .  , .  a„*  statt  «*,  so  folgt  leicht,  dass 
die  /<  Wurzeln  vun  fiit^)  =0  zwischen  folgenden  Grenzen  liegen: 

QO        a,* 


r  ■ 

Von  Dr.  A.  Enneper.  299 

Diese  Determinante  n^®"  Grades  lAsst  sich  leicht  auf  eine  Determinante 
vom  (« — 1)**°  Grade  reduciren.     Sei 

^=^(u«-ö,«)...(««— a^^i«), 
dann  ist :  ^ 

du  A 

oder  auch:  duA nw^*^^  +  c,m'»-*  +  rjW^*-^  +  . . .  +  c„ 

wo  c, . . .  Cn  symmetrische  Functionen  von  aj'  . . .  a»-i'  sind ,  deren  genauere 

Kenntniss   nicht    weiter   erforderlich  ist.     Fttr  u  ^=.u^  geht  A  über  in 

1-1 
(—1)  ^    iffai»  mAu  hat  dann: 

lotegrirt  man  diese  Gleichung  zwischen  den  Grenzen  a^  ^nd  ^mr-\ »  ^^  ^^^' 
ichwindet  offenbar  die  linke  Seite,  es  bleibt: 

Diese  Gleichung  gilt  für  m  =  2,  3  . . .  n.  Für  den  Fall  m  =  1  sind  die 
Grenzen  a^  und  a ,  statt  der  Gleichung  0)  hat  man  dann  die  folgende : 

a  a 

10)   I 

V  ^.  • 

Ersetzt  man  die  Glieder  der  letzten  Horizontalreihe  der  Determinante  in 
der  Gleichung  8)  mittelst  der  Gleichungen  0)  und  10)  durch  die  Elemente 
der  Torhergehenden  Horizontalreihen,  so  reducirt  sich  die  Determinante 
wf  das  Product  von  ^     ^ 

in  die  Determinante 

J     An  .         €/      An-\  J     ^\ 

0  fl»_i  ff, 

I 
I  • 

flu-l  «ji-2  ö,  ! 

ph^JUn      A>-l^"-^a  1/1,-1  ru^^'^'^  d  Uj    \ 

J  An  J  An-\  J  ^\  \ 

0  rtf._|  a^ 


300 


Zar  Theorie  der  beBtimmten  Integrale. 


Dieses  Prodnct  ist  also  gleich 
1 


(4?^^)- 


"(I) 


a^(fl?— a,*)  • . .  {(f—a^i*). 


Setzt  man  also 

wo    . 

so  erhält  man  die  elegante  Gleichung: 


J  ^n 
0 

J      ^n 


«*-2 


«11^2 
««-1 


^1 


"1 

/ii«aii 
4 


=  (4^«)" 


"(t) 


Für  it  =  3  erhält  man  unmittelbar  das  bekannte  Theorem  von  Legendre 
für  die  ganzen  elliptischen  Integrale  erster  und  zweiter  Gattung. 

UL 

Im  T.  XVII  des  Journal  de  mathimatiques  hat  Tissot  eine  Determi- 
nante bestimmter  Integrale  entwickelt,  von  welcher  Roberts  snerst  einen 
besonderen  Fall  betrachtet  hat  {Joum.  de  math.  T.  XVt).  Das  angewandte 
Verfahren  ist  ziemlich  complicirt  und  nicht  ohne  Weitläufigkeit;  man  kann 
mittelst  oinoi*  sehr  einfachen  Transformation  der  Integrationsvariabein  die 
Determinanto  auf  ein  Product  von  Euler'schen  Integralen  reduciren. 

Seien  a ,  aj  .  . .  a»  'i  +  ^  Constanten ,  so  dass 
«<«i  <ff2«  .•<aii 
und 

"WO  p  y  Px  ' '  '  Pn  entweder  positive ,  echte  Brüche ,  oder  beliebige  negative, 
reelle  Zahlen  sind. 

Die  zu  imtwickeludc  Determinante  ist  dann: 


f 


Von  Dr.  A.  Ennepbr. 


30t 


«1  «t  « 

J  (p{x)  J  <p,  (a:,)      *  J  9«  (a:,) 


«1  «t  00 

J   q>{x)  J   ViC«,)       *  «/     9»(a:M) 

a  a|  flu 

Bezeichnet  man  diese  Determinante  durch  z/,  so  ist  auch: 


(*+*!  +  ...+*.) 


wo 


i>(af,a:,  ...X,): 


1     1  1 

m7     •&!      •  •  •  uTii 


or*  a:,* .,.  a:» 

In  J  führe  man  statt  a* ,  ar,  . . .  rrn  die  n  +  1  neuen   Integrationsvariabein 
^y  t'i . . .  tin  mittelst  folgender  Gleichungen  ein : 


u  u, 

+    ' 


2) 


X — fl       a? '—  Ol 


+  ...+ 


x  —  a^ 

Um 


=  1, 


+ 


Wl 


...+ 


ar-— «. 


=  1. 


^1—«      ar„— a, 
Seist  man  -^  (2)  =  (r  —  ö)  (z  —  a^)  .  . .  (z  —  a^), 

*o erhält  man  ans  den  obigen  Gleichungen: 

(ar—x)  (ar  —  Xj)  .  . .  (ar—x^) 

»1»0  dttr    _        Ur 

dXg  Xg — «r 

^it  Hilfe  dieser  Glehshung  findet  man  leicht: 


Ur  = 


du  du 

dx  du\ 

dtin  dUn 

dx  dXf. 


Un 


X  —  a 


Xn  —  a 


1 


l 


uUj  ...Un  P{a,  Cj  . .  .  an)  P{Xy  x^  .  .  .  a:„) 
(-1)     2     ^i,x)j^{x,)...^{s^>^ 


302 


Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 


3)  Ur 


Nun  ist: 

_        '  (flr— ar)  .  .  .  (tfr— a'r-.l)  {^r «r)  ■  .  ■  (^n «r) 

Hieraus  folgt :  n(n±i) 

""-••"--  li>(a,  «,...«,)]• • 

Berücksichtigt  man  endlich,  dass 

du         du 


so  folgt: 


dx         dxn 


ÖUn 

dx 

dx 
dii 

dx 
du^ 


dUn 

dx^ 

dXn 

du 

dXn 
dUn 


d_x 

du 

•dx 
dUn 


dx 

dV 

dxj, 

dUn 


=  !• 


' P{x,Xi  ...x^y 


Ist  also  ein  (n  + 1)  faches  Integral  mittelst  der  Substitution  2)  zu  tr 
formiren,  so  tritt  dudu^. .  .du^  P(a,  /ii . . .  a„)  an  die  Stelle  von  dxdx 

dXn  Pi^i^i  .  •  .^ii)v 

Setzt  man: 
Fm  (0  =  (2  — ö)  (2— «i)  .  . .  (2  — ö«)  (a«+i  -  2)  .  .  .  (a«-     t), 
so  folgt,  mit  Rücksicht  auf  3): 

^    Pi       u^"  =      y(^) yi(^i) ■  -  »yw  (^w) 

In  dem  («  +  1)  fachen  Integrale  z/  wird 

P{x,Xi...  Xn) 


ersetzt  durch 


(p{x)g>^{j:^)...q>n{x^) 


dx  dXf^ . . ,  dXft 


dudui  . . .  dUn 


Pjoya^  ...an) 


tfu,^^ .  . .  «/"  F\afF\  {a,f^ . .  .  F\  {a^f 
Wegen  der  Gleichungen  2)  kann  man  Xj  x^  . . .  x^  als  die  n+1  Wui 
der  Gleichung 

U  Ui  Um 

4)  — -+  -^^  +  ...+  -''     =1 

^  z  —  a       z  —  aj  z — an 

ansehen.     Diese  Wurzeln  liegen  zwischen  den  Grenzen 

«1    ö| 


welche  mit  den  Integrationsgrenzen  in  J  übereinstimmen.  Die  Varii 
t/,  Ui  . . .  t/n  nehmen  also  alle  positiven ,  reellen  Wcrthe  an.  Die  Gleic 
4)  entwickelt  giehi: 


Von  Dr.  Ä.  Ennepes. 


j» — 2«— 1  (ii -f. iij -|. ^ .  .  +  ti«  + «  +  «!  +  . .  .  +  a«)  +  ..  ,=  0. 
Hieraas  folgt  unmittelbar : 

o:  +  ar,  +  . . .  +  0?!.  =  tt  +  Wi  +  •  • .  +  w«  +  «  +  ö|  + .  •  .  fl«. 
Mit  Hilfe  dieser  Gleichung  geht  die  Gleichung  1)  durch  die  Substitution 
2)  über  in : 

oder 

^ ^  n(— p)  g(-j>.) . . .  n{—pn)  P{a, «, . . .  0.)  e-(«+..-t-.+..) 


'H 


r  (a)  r,  (a.)  . . .  r„  («„)  =  [P(a,  a, . . .  ««)]• 
lisst  sich  J  auch  schreiben : 

^= i7(-p)i7(-i>.)...n(-p.) ^_,.+.,+...... 

För  den  Fall ,  dass  p  =  ]»,  =  ...=/?„  =  4 ,  hat  z/  den  einfachen  Werth 

IV. 

Bedeutet  c  eine  Quantität ,  welche  kleiner  wie  die  Einheit  ist ,  so  hat 
man  bekanntlich : 

Setzt  man  in  der  von  E  u  1  e  r  gegebenen  Gleichung : 

=  /  dx     0<a<l 

sman      J  i'\-x 
0 

^  geht  dieselbe  über  in : 

2  sin  an  gf*  h^"-^      J  h  +  gz* 
0 

FtirÄ=  1  —  Ar*  sin*  9,  g'  =^  1  —  /*  sin*  q>  und  z  =  tang  ^  erhält  man 

% 

2 
IJ. 1^ 1 r  {lang^f^-^dd' 

2  iw  «ff(i_/«#i>i«<p)«  (1— ^«««»9)»-«  ~  /  l-(^co5«0+/**iw« d) sin*(p ' 

0 

In  der  vorstehenden  Gleichung  sind  k  und  /  relle  Grössen  und  kleiner 

^>e  die  Einheit.  Dann  ist  Ar*  cos^  ^  +  /•  5md  <  l ,  man  kann  «\\io  ^^n'^^TkXkföt 


304  Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 

unter  dem  Integralzeichen  mit  Hilfe  der  Gleichung  i)  nach  den  Cosm 
der  Vielfachen  des  Bogens  2q>  entwickeln. 
Setzt  man : 

2)       7 „^.  ,    ,^  7 ,,  ^.  ,    .,  „  =  ^0  +  2  2?  (—1)"  An  cos  2n(p, 

so  ist  allgemein : 

9 

2 


1       n       1  ^    r dd' 

3)  l       2sinan    '''^Jy{l—k'co8^e—nsin' 

0 


Man  setze: 

und  transformire  das  Integral  auf  der  rechten  Seite  der  Oleichung  3)  nr 
telst  der  Substitution: 

1  +p  cor  M  +  j'  Mn*  u 
Hieraus  erhält  man: 

y{^cos'^  +  lUin*^)  ^^,         t    _t_         tN 

1  +  ^(1 — f^cos^if  —  nsin^e)       '^  ^^  ^  ^' 

^  ^  l  +  k'     {l+pcos'u  +  qsin^uy 

de 


y{l—k^cos^e'-rsin*&) 

du 


(1  + Ar')  (l+0?^il — P  {pcos^u  +  q  sin*u)\  \l  —  q{pcos^u  +  qsin*u)\ 
Die  Gleichung  3)  nimmt  mittelst  der  vorstehenden  Substitution  folget 
Form  an: 

n  j_ (i+^-)(i+0 /i  +  ry«-i 7t ^„ 

2  5m «Ä  4  Vi  +)t7  2«n  «"tt  (1  +p)2a-«)(i  +  g)2« 

n 

T 

y{p  cos^u  +  q  sin^u)^  {tang  m)^^""^ 
{I  — p{p  co^u  +  ^r  5m* w)  j*— «  j  1  —  5'  (p  cos^ u  +  q  sin* m) }<* 
0 

Setzt  man  in  2) 


Von  Dr.  A.  Enmepkr.  305 


80  ist 

'4) 


WO 

5) 

* 

T 
jf      .  /* (p  co^  M + ^r  gm*  ti)*  (toiigf  «)^  ^'"^  d  u 

2    *  e/  jl — p{pcos^u  +  qsin*u)\^-''  .  {1  — g {pcos* u  +  q sin*u)\'^  ' 

0 

Maltiplicirt  man  die  Gleichung  4)  aaf  beiden  Seiten  mit  cos  2nq>  .dq>j 
integrirt  zwischen  den  Grenzen  0  und  —  nach  9>,  so  folgt: 


(-i)-f^-=/; 


COS  2nqfd(p 


{l+2p  cos2(p  +  p*)*-«  (1  +  2g  cos2(p  +  ^)»  ' 
0 

Vergleicht  man  diesen  Werth  von  Bn  mit  dem  in  5)  gefundenen ,  setzt 
— p.Qod  — q  statt  p  und  ^,  so  erhält  man  die  merkwürdige  Gleichung: 


Sx 


cos2n(pdq> 


(1  —2p  C0S2<p  +p*)*-«  (1  '-2q  C0S2tp  +  f)» 
0 


(p  cos^  M  +  gt  *tw*  w)"  (ten^  w)*«""*  ^  M 


{1 — p^pcos^u  +  gsitt^  u)\^''^  |1 — ^(pcoÄ'u  +  5'm*t/)j** 
0 

Differentiirt  man  diese  Gleichung  nach  a,  so  lassen  sich  manche  be- 
«tnnte  und  neue  Integrale  ableiten.  Dieses  Verfahren  ist  indessen  nicht 
^  einfach,  wie  folgendes,  einige  bekannte  Resultate  etwas  zu  verallge- 
»»eineni. 

Seien  die  Winkel  q>  und  d  durch  die  Gleichung  verbunden: 
cos'a  cosß  .  tangq>  iang^  =  1. 

Aus  dieser  Relation  leitet  man  leicht  die  folgenden  Gleichungen  ab : 

,^  _  cos  ^  cos  a  cos  ß  sin  O 

y\i^{i-co^aco^ß)sm^'&\'       ^      ^j l-(l -co*««  coä«/5)  ««•^j  * 

^(1  —  5m' er  «m» qp)  =  ro5 a  -77; 7^ .        ^o\    -  t^s  > 

UUtekHn  für  Malhematik  a.  Physik.  VI,  5.  Tt 


306  Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale. 

/•  •         ./,N    .  •  (cosacosßY 

1  —  (l  — cos* a  cor ß)  ««•«== 7-—^^ ^j rrsr— rr^, 

^  r/        -f       I  —  ^1  —  co^aco^ß)sm*^^ 

dtp 


(\  —  9in*a8in*q>f  (i  swF ß  sin* q))^"» 

~       \cosa)        {l  —  sin^asm^^y-f*  (l— m»/5Äm«^")>  ' 

wo  fi  eine  beliebige  reelle  Grösse  ist.     Transformirt  man  mittelst  dei 
stitution  cosa cosß tangq) Umg^^=  1  die  Integrale: 

2 

/log\l  —  (1  —  co^aco^ß)  Sin*qf\dfp 
(l— -«ii*a5iVg»y*  (1 — sm*ßsm*ipy-ß  ' 

/l Jpg  cot  q> 
(1  — «Vi»a«V9))'*(l-ttii»/J«i««<py-M  ^"^^ 

n 

,     /l — sm*usin*q\^ 


s^ 


(l—sin^a  sin*q>Y  (l — sin* ß  sin* q>y'-ß  ' 

nimmt  immer  den  Buchstaben  q>  als  Integration svariabele ,  so  ergeben 
mit  Hilfe  der  obigen  Gleichungen ,  folgende  Relationen  zwischen  bes 
ten  Integralen : 

7t 

T 

y.m     .        »      /^IcOStt)^»^^      ,     (c05ß)2AI-l\ 
log\i-^(l-^cos^acos*ß)sintp\  .{^ ^^  ^^^^    +\,1^  ^^   )dq 

0 

% 
2 
f     /  o^      rficosay/^-^  ^{cosßyf^^\^ 

=  log  {cost^cosß)  J  ['^^,^    +  \,^^,   )dtp^ 

0 

2" 

/•         ^       ({cosaYt^"^    ,   (co*/3)2/*-i\. 


2" 


r 

\  Von  Dr.  A.  Envepbr.  307 


^^^^^^^>^'^*^>^^^*^**^^*^^t^^^s^^^^^t^\^i^>^%^^^^^^^^K^t^^^^^^f<^t^t^»v<^>^i^0*^^im^^^^^ß^'<^^i>ak^^^f^i^^^,^i,^t^ 


T 


n 
2 
eosa 


0 
In  den  vorstehenden  Gleichungen  ist  znr  Abkürsnng  gesetzt: 
^  =  1  —  sw^a  tt'n'g) ,     -^  =  1  — sin^ß  sin^tp. 
F8r  den  Fall  f»  =  4  nahmen  die  obigen  Gleichnngen  folgende,  sehr  ein- 
fache Formen  an : 


9 

/log\l — (l — co^aeosFß)sin^\ 
y(l^sin*asiri^(p)y(l  —  8in^ßsm*<p) 
0 

2 


9 

2 

/' logcoijpd^ 
yil—sn^aiin^fpSyil—sin^ßsin^fp)    ^ 


20 

=  \  log  (cos  a  cos  ß)  I  -rj- r-= — .  ,    .... — 

«    »\  ^^jy{l  —  siT^asuvq^jy^l  — 


sifi?  ß  sin*  q>y 


J  ]K(1  — «w'a««'^)  >^(1  -sin*ßsin*q>) 


K 

2 


~    ^cösßj  y{l^sin*asin^(p)y(i  —  sin*ßsin^q>)' 
0 

Mittelst  der  Substitution : 

Sg)= ^- ^^^^ 

^       C05  1  («  +  i?)  COS  \  {a—ß) y\l~tang'^(a+  ß)  ian^ \{a  - ß) sin* '^\ 

'*Uen  sich  die  vorstehenden  Gleichungen  noch  etwas  vereinfachen,  was 
Uer  fibergangen  werden  möge. 


308  Zur  Theorie  der  bettimmten  Integrale« 


00 

n       rp 


V. 

Sind   P  und   Q  ganze,    rationale,    algcbraisclie  Fanctionen   von    ^, 
setzt  man: 

dx 
0 

80  lässt  sich  z  als  Wnrzel  einer  algebraischen  Oleichnng  darstellen,  wccx  ^ 
P  und  0  nur  gerade  Potenzen  von  x  enthalten ,  und  Q  für  keinen  reelle  ^ 
Werth  von  x  verschwindet.  Die  Ausführung  der  Rechnung  für  den  allgc^  * 
meinen  Fall  scheint  ziemlich  complicirt  zu  sein ;  zur  Erläuterung  der  M^  * 
thode  soll  ein  einfaches  Beispiel  genommen  werden. 
Sei: 

00 

K 


■  2 


0 

und  f/^  +  flt/«  +  bt^  +  cu*+e'  =  {t^  +  a*)  {u*+p)  (w«  +  y*) K  +  **)»  ^^  «^  ß^ 
y,  d  wesentlich  reelle  Grössen  sind.  Durch  Zerlegung  in  Partialbrüch0 
findet  man  leicht: 

_     _J[ 1 l^       _  1 

^  ^     (Jt »\   (Jt ..2\    (JL A«S  "^    Ä     ?"ä« 


«   («•_,?•)(«•_/)  («t-a«)   '    /J  (/?•-«')  (/P-y«)  (^-a«) 


y  ()^-«')  (y'-/»*)  (r*-^)     «  (**-«*)  («*-^)  (a*-y')' 

Da 

1  1 


+ 


(«'-^)  («'-y')  (o»-a«)        («»-^)  Q?—f)  {ß'-i*) 
1  .  1 


(„t_y.)(y._^)(y._4.)      '      (^  _  ^t)    (J..^)    (^  _  y.)  , 

so  lässt  sich  die  Gleichung  für  z  auch  schreiben: 

+ 


oder  wegen : 

l  1,1 


d.  h. : 

1) 

«/?yrf  («+  |3)  («  +  v)  C«+«^  (§  +  t^  C^"+«)  (y+<5) 


Von  Dr.  A.  Ennepbr.  309 


-^ 


Ans  der  Gleichung: 

folgt: 

«•  +  /3^  +  y*+6'=a 


aßyd  =  e. 
Seist  man: 


'>       I  -h* 


derlL'^l        ^  findet  man  mittelst  der  Gleichungen  2) 

4)  ^^==-aß  +  ay  +  iiö  +  ßy  +  ßi  +  YÖ. 
Diese  Gleichung  quadrirt  giebt : 

5)  (f^y=b  +  ie  +  2i,p. 

Es  ist  femer 

'••■;  ^  =  c  +  «(y«— a). 

ibrüd-  Dnrch  Elimination  von  p  zwischen  dieser  Gleichung  nnd  5)  folgt : 

Aus  den  Gleichungen  3)  findet  man : 

p  —  aßy={yS—aß){a  +  ß), 

f  p  — «yy  =  (i5*— öy)(«+y). 

p  —  aiy^=^{ßy  —  €ii)  (a  +  d), 
p  —  ßyy  =  —  {ßy—ü6){ß+y\ 
p-ßdy  =  -{ß6--ay){ß+d), 
p—yd'y=  —  {y8  —  aß)(y  +  ö). 
en 

(yö  —  aß)  ißd  —  ay)  {ßy  —  ad)  ss  c  —  ae 
§iebt  das  Product  der  obigen  sechs  Gleichungen : 

~  (•+/»)(«+ r)  («+ »)  (ß+  Y)iß+i)iy+ *)  {"e-cy 

=  ip—cißy){p—«Yy)ip—tt8y){p—ßyy)ip—ßiy){p~ydy), 
ff a 


-p/e*^ +  »•«•, 


=*  Cp'+^j^  (p'-cyT-py  ^ (p*+  «y*)  +pV  (p'-c), 
=*Cp'-«y*)*jp*  +  «y*-py^|+pV{p*-c-«(y*-«)|- 


Da  nun  nach  4) 

p»— c  — e(y*  — a)  =  0,  /i*— 6y*  =  c — ae. 


310      Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale.  Von  Dr.  A.  Ehmepeb.« 

80  erhält  man  einfach : 

(a  +  fi)(a  +  Y)  (.a  +  i){ß  +  Y){ß  +  i)  {y+i)=P»^^-P*-ei^. 
Die  Gleichung  1)  geht  hierdurch  über  in: 


ez- 


Ptf— r—'ir 


Da  nun  nach  5)  und  6) 
so  lässt  sich  die  Gleichung  tat  z  auch  schreiben : 


ezy  = 


Eliminirt  man  y  zwischen  dieser  Gleichung  und 

80  erhält  miyi  eine  algebraische  Gleichung  für  z ,  welcher  das  Integral 

0 
genügt. 


xm. 

Ueber  die  Aniahl  der  GFeraden,  Ebenen  und  Punkte ,  welche 

durch  gegebene  Punkte,  Gerade  nnd  Ebenen  in  der  Ebene 

und  im  Baume  bestimmt  werden. 

Von  Professor  Dr.  C.  A.  Beetschneideb 
in   Gotha. 


Eine  der  ersten  und  vornehmsten  Aufgaben,  welche  die  Geometrie 
der  Lage  stellt,  betrifft  die  Bestimmung  der  Anzahl  von  Geraden  und  Ebe- 
nen, welche  man  durch  gegebene  Punkte  legen  kann,  sowie  umgekehrt  die 
Bestimmung  der  Menge  der  Schnittpunkte  und  Schnittlinien ,  welche  durch 
gegebene  Gerade  oder  Ebenen  erzeugt  werden.  Da  eine  erschöpfende  Lö- 
sung dieser  Aufgabe  bis  jetzt,  so  viel  mir  bekannt,  noch  nicht  versucht 
worden  ist,  so  soll  es  im  Folgenden  unternommen  werden,  die  fragliche 
Lficke  in  der  Wissenschaft  des  Kaumes  wenigstens  der  Hauptsache  nach 
ausxnf&llen. 

§.1. 

Als  Fundamentalsfttze ,  von  denen  die  Untersuchung  auszugehen  hat, 
sind  nachfolgende  aufzuführen. 

a)  Zwei  Punkte  im  Räume  liegen  stets  in  einer  Geraden;  und  umge- 
kehrt: zwei  Ebenen  im  Räume  schneiden  sich  stets  in  einer  Ge- 
raden. 

Im  zweiten  Falle  kann  die  Schnittlinie  entweder  in  unendlicher 
oder  in  endlicher  Entfernung  liegen,  je  nachdem  die  gegebenen 
Ebenen  parallel  sind  oder  nicht. 

b)  Durch  drei  Punkte  im  Räume ,  die  nicht  in  einer  und  derselben  Ge- 
raden liegen,  ist  stets  eine  Ebene  bestimmt;  und  umgekehrt:  durch 
drei  Ebenen  im  Räume,  die  nicht  durch  eine  nnd  dieselbe  Gerade 
hindurchgehen,  wird  stets  ein  Punkt  bestimmt. 

Dieser  Schnittpunkt  kann  nicht  nur  in  endlicher,  sondern  auch  in 
unendlicher  Entfernung  liegen,  und  es  sind  in  letzterem  Falle  die 
drei  Schnittlinien  je  zweier  der  gegebenen  Ebenen  einander  ^atall^U 


3tO      Zur  Theorie  der  bestimmten  Integrale.  Von  Dr.  A. 
80  erhält  man  einfach : 

(«+«(«+ r)  («+«)</»+ r)  0» + «)  (r+«) =py^'-i^-«/. 

Die  Gleichung  1)  geht  hierdnrch  fiber  in» 


ex-' 


1^ — <*      ^       ± 


Da  nnn  nach  5)  nnd  6) 
80  IXsst  sich  die  Gleichung  für  t  auch  schreiben : 


ezy=' 


Eliminirt  man  ff  iwischen  dieser  Oleichnng  nnd 

so  erhält  mn^k  eine  algebraische  Oleichnng  ftlr  2,  welcher  dae  Integral 

OD 

2  r du 

nj  t^  +  at^  +  i 


o 

genügt. 


Von  Prof.  Dr.  C.  Ä.  Bketschneideb.  313 

-*  ao  mögen  diese  x  oder  y  Geraden  in  der  Ebene  vollständig 
frei  genannt  werden. 
g)  Sind  in  einer  Ebene  od^r  im  Baume  x  Punkte  gegeben ,  von  denen 
ein  Theil  y  auf  mehrere  Gerade  oder  Ebenen  verthcilt  ist,  und  es 
liaben  diese  y  Punkte  eine  solche  Lage,  dass  keine  Gerade,  welche 
durch  zwei  auf  verschiedenen  Gebilden  gelegene  Punkte  bestimmt 
wird,  durch  einen  der  übrigen  {x  —  2)  Punkte  hindurchgeht,  — und 
dass  keine  Ebene,  die  durch  je  drei,  auf  drei  verschiedenen  Ge- 
-  bilden  liegende  Punkte  bestimmt  wird,  durch  einen  der  übrigen 
{x — 3)  Punkte  hindurchgeht;  —  so  sollen  jene  y  Punkte  in  der 
Ebene,  beziehungsweise  im  Baume,  beschränkt  frei  heissen. 

Die  gleiche  Benennung  mag  unter  analogen  Voraussetzungen  von 
Ebenen  und  von  Geraden  gebraucht  werden. 
Hit  Hilfe  des  Vorstehenden  ergiebt  sich  unmittelbar  die  Auflösung  der 
nachfolgenden  sechs  Uauptaufi^aben. 

§.3. 

I.  Es  seien  in  einer  Ebene  n  Punkte  gegeben;  man  ver- 
langt die^^nzahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden. 

Lehrsatz.  ].  Die  Anzahl  aller  Geraden,  welche  durch  n 
in  der  Ebene  .vollständig  freie  Punkte  bestimmt  werden,  be- 
trägt 4«(ii  — 1). 

Denn  jeder  der  n  Punkte  giebt  mit  jedem  der  noch  übrigen  (n  —  1) 
Punkte  ebenso  viele  Gerade,  so  dass  die  Gesammtzahl  der  letzteren  ii(/i^l) 
betragen  würde.  Da  aber  hierbei  jede  Gerade  doppelt  gezählt  wird,  näm- 
lich das  eine  Mal  von  dem  einen  der  sie  bestimmenden  Punkte  aus,  das 
andere  Ual  von  dem  zweiten  dieser  Punkte,  so  ist  die  Zahl  der  wirklich 
vou  einander  verschiedenen  Geraden  nur  ),n{ii  —  l), 
Oder: 

Der  erste  der  n  Punkte  giebt  mit  jedem  der  noch  übrigen  (n  —  l)  Punkte 
("^i)  Gerade.  Ebenso  erzeugt  der  zweite  der  n  Funkte  mit  jedem  der 
(*-— 2)  Punkte,  welche  mit  Ausschluss  des  bereits  verwendeten  ersten 
Pnnktes  noch  übrig  sind,  neue  (n — 2)  Gerade;  auf  gleiche  Weise  der  dritte 
Punkt  neue  («  —  3)  Gerade  u.  s.  f.,  bis  endlich  der  (n  —  2)**  Punkt  mit  den 
beiden  loteten  noch  2  Gerade,  und  der  {n  —  !)•*•  mit  dem  letztens*'*" Punkte 
'^h  1  Gerade  liefert.     Die  Anzahl  aller  möglichen  Geraden  ist  demnach 

.  1  +  2-t- ...  + (n-2) +  («-!)  =  ?^^^^. 

Lehrsatz  2.  Die  Zahl  aller  Geraden,  welche  durch 
'*==5  5'+pJP unkte  einer  Ebene  bestimmt  werden,  von  denen  q 
vollständig  frei  sind,  die  übrigen  p  hingegen  in  einer  Gera- 
den Uogen,  ist  gleich  l  +  ^qiü  —  1)+P5'. 

Denn  die /> Punkte  geben  für  sich  allein  1  Qcvade^  Nv'^\xivä\i^  ^\^  f|^^\^^i&\& 


314        üeber  die  Anzahl  der  Geraden ,  Ebenen  und  Punkte. 

deren  ^q  {q — 1)  bestimmen.  Endlich  liefert  jeder  Pankt  der  Gmppe  p 
mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  q  eine  Gerade,  wodurch  noch  p 9  Gerade 
erzeugt  werden. 

Zusatz.     Es  ist  die  verlangte  Zahl  auch  gleich 
4n(n~l)-4/,(p  — 0  +  1. 

Denn  wären  alle  n  Punkte  vollständig  frei ,  so  würden  sie  |  n  (»-» 1)  Ge- 
rade geben.  Es  liegen  aber  p  Punkte  auf  einer  und  derselben  Geraden, 
also  fallen  alle  durch  diese  p  Punkte  erzeugten  Geraden ,  an  der  ^ahl 
\P  {P  — 1)9  ^^  ^^^^  einzige  zusammen,  und  die  obige  Zahl  muss  also  vm 
iP  (P  —  1)  —  1  verkleinert  werden. 

Lehrsatz  3.  Die  Anzahl  aller  Geraden,  welcjie  in  einer 
Ebene  durch  n=j9|+p,  beschränkt  freie  Punkte  bestimmt 
worden,  von  denen  pj  auf  einer  Geraden,  Pf  auf  einer  zwei- 
ten Geraden  liegen,  ist  gleich  2+pip^. 

Denn  es  giebt  jeder  Punkt  der  Geraden  p^  mit  jedem  Punkte  auf  pt 
eine  Gerade;  mithin  ist  die  Zahl  aller  so  entstehenden  Geraden  gleich 
PiPf  Und  zu  ihnen  kommen  noch  die  beiden  Geiiaden,  welche  die  ein- 
zelnen Punktmassen  Pi  und  p^  enthalten. 

§.4. 

Die  im  vorangehenden  Paragraphen  entwickelten  Sätze  enthalten 
alles,  was  nöthig  ist,  um  in  jedem  Falle  die  Anzahl  der  Geraden  zu  finden, 
welche  in  der  Ebene  durch  Punkte  bestimmt  werden,  die  man  in  Bezug 
auf  ihre  Lage  irgend  welchen  beliebigen  Bedingungen  unterworfen  hat. 
Alle  hier  möglichen  Fälle  aufzustellen  und  für  jeden  derselben  die  ent- 
sprechende Formel  zu  entwickeln,  würde  zu  maassloser  Weitläufigkeit 
führen,  ist  aber  auch  ohne  erheblichen  Werth.  Wie  man  sich  in  jedem 
einzelnen  Falle  zu  verhalten  hat,  wird  zur  Genüge  aus  den  nachfolgenden 
Beispielen  erbellen. 

Aufgabe  1.  Die  Anzahl  aller  Geraden  zu  finden,  welche 
in  einer  Ebene  durch  n  =  q+Pi  +Pf  + .  ..  +  Pt  Punkte  bestimmt 
werden,  von  denen  g  vollständig,  die  übrigen  nur  beschränkt 
frei  sind,  und  zn  je  Pty  Pf. ,  .pk  auf/r  verschiedenen  Geraden 
liegen. 

Auflösung.  Zuerst  liefern  die  q  vollständig  freien  Punkte  unter 
sich  allein  \q  {q — 1)  Gerade.  —  Die  beschränkt  freien  Punkte  dagegen 
geben  nicht  nur  die  k  Geraden,  auf  denen  die  einzelnen  Punktmassen 
Pij  Pt  •  •  •  Pk  vertheilt  liegen ,  sondern  auch  die  ganze  Schaar  der  Geraden, 
welche  aus  der  Verbindung  eines  Punktes  der  Gruppe  />a  niit  einem  Punkte 
einer  anderen  Gruppe  p«  hervorgehen.  Da  nun  die  Anzahl  der  Geraden, 
welche  aus  zwei  solchen  Gruppen  hervorgehen,  nach  Lehrsatz  3  gleich 
PA  Pi  s<^^Q  muss ,  so  wird  die  Gcsammtzahl  der  Geraden  aus  allen  k  Grup- 
pen  oßeubAr  gleich : 


Von  Prof.  Dr.  C.  A.  Bbetschnbider.  315 

PiPt+Pf  Pf  +  PlP4  +  -  •  •+P*-2P*  +Pk^iPk 

werden,  d.  b.  gleich  der  Snmme  der  Binionen  ohne  Wiederholung  aus  den 
i  Zahlen  pj  p,  n.  s.  w.  Bezeichnet  man  daher  diese  Snmme  sur  Abkürznng 
°^t2^(Pi .  .'pa)>  so  erhält  man  für  die  Zahl  der  Geraden,  welche  die  be- 
tdiränkt  freien  Punkte  unter  sich  erzengen,  den  Werth  k  +  £^{p^..  .p^^). 
Zu  dieser  Gesammtsumme  kommen  nun  noch  diejenigen  Geraden  hinzu, 
welche  durch  Verbindung  eines  Punktes  aus  der  Gruppe  q  mit  einem  Punkte 
der  Gruppen  p  hervorgehen ,  deren  Zahl  nach  Lehrsatz  2  gleich 

«(Pi+Pi+---+Pt) 
ist 

Als  Endresultat  ergiebt  sich  daher  die  Summe : 

{P {9—^)  +  ^+  (PiPt +Pi Pa  +  •  • .  +Pit-lP*)  +  Ö'  (Pi  +Pi  + . . .  +Pk) 
=  k9  {q  —  l)+fc  +  £j,  (y,  pi ,  p, . .  .pk). 

Zusatz  1.  Liegen  in  einer  Ebene  ^  ^^Pi  +Pt  +  •  •  •+Pk  beschränkt 
freie  Punkte ,  welche  zu  je  P| ,  p,  u.  s.  w.  auf  k  gerade  Linien  vertheilt  sind, 
w  ist  die  Zahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden  gleich  der  Summe  der 
Binionen  ans  den  Zahlen  P|,Pt  u.  s.  w.,  vermehrt  um  die  Zahl  Ar,  d.  h.  gleich: 
*+Pi  Pt  +Pi  Ps  +  •  •  •  +P*-iP*. 
Zusatz  2.  Sind  in  einer  Ebene  n  =  1  +Pi  +Pi  +  •  •  •  +  PJb  beschränkt 
freie  Punkte  auf  k  Strahlen  eines  Strahlbüschels  so  vertheilt,  dass  einer 
▼OD  ihnen  im  Strahlencentrum ,  die  übrigen  zu  je  P\y  Pf  >  ^Pk  &nf  den 
^Strahlen  liegen,  so  ist  die  Zahl  der  hierdurch  bestimmten  Geraden  eben- 
fills  gleich : 

*  +Pj Pf  +Pi  Pf  +  •  •  •  +Pt-i  Pk- 
Aufgabe  2.  Es  seien  in  einer  Ebene  n  Punkte  gegeben, 
Ton  denen  q  vollständig,  die  übrigen  (n — g)  aber  nur  be- 
lehrlnkt  frei  sind,  und  auf  k  Strahlenbüscbeln  so  vertheilt 
Hegen,  dass  jedes  der  k  Strahlencentra  einen  Punkt  enthält, 
während  auf 

«1  Strahlen  des  ersten  Büschels  je  Pi',Pi",  p/"  . .  .pi*"* 

•4 zweiten Pi',  Pi",  Pi'"  •  • .  Pi"* 

n.  s.  w.  u.  s.  w. 

«t Arten Pk\Pk\Pk"  ---Pk'^ 

der  gegebenen  Punkte  zu  liegen  kommen.     Man  soll  die  An- 
>*hl  aller  durch  diese  »Punkte  bestimmten  Geraden  angeben. 
Auflösung.     Man  setze  zuvörderst  zur  Abkürzung: 
m  =  Uli  +  0S|  +  •  •  •  +  >^ib 
Pi=Pi'  +  Pr+.--+Pi"'* 
Pi=p/  +  Pi"+---+Pt"* 


Pk=Pk+Pk'+  . . .  +  Pt""*^ 
•0  beträgt  die  Zahl  der  gegebenen  Punkte  n  =  q  +  k  +  p^-V  Pn  -V  •  •  -  "V  Vk> 


316        Ueber  die  Anzahl  der  Geraden ,  Ebenen  und  Punkte. 

und  die  Zahl  der  Strahlen,  welche  die  A:  Büschel  znsammen  enthalten,  isl 
gleich  m. 

Zieht  man  znerst  alle  Punkte,  mit  Ausnahme  der  k  Strahlenmittel* 
punkte,  in  Betracht,  so  ist  die  Zahl  der  durch  sie  bestimmten  Geradei 
nach  Aufgabe  1  gleich  der  Summe  der  Binionen  aus  q  und  den  m  verschie- 
denen Zahlen  der  Form  pi^  vermehrt  um  die  Grösse  \q{q — 1)+*" 
d.  h.  gleich: 

Hierzu  kommen  nun  zweitens  die  durch  die  k  Centra  noch  entstehenden 
Geraden,  welche  in  zwei  Gruppen  zerfallen.  Die  erste  derselben  wird 
durch  die  Geraden  gebildet,  welche  die  Strahleucentra  unter  sich  bestim- 
men. Da  es  der  Willkür  überlassen  ist,  ob  diese  Centra  unter  einandei 
vollständig  oder  nur  beschrankt  frei  sein  sollen,  so  bezeichne  man  die  An- 
zahl der  durch  sie  allein  entstehenden  Geradon  mit  Ar',  ein  Werth,  der  nacli 
den  bereits  ermittelten  Gesetzen  in  jedem  Falle  gefunden  werden  kann. 
Die  zweite  Gruppe  von  Geraden  enthält  dagegen  alle  diejenigen,  welche 
durch  Verbindung  eines  Centrums  mit  allen  übrigen ,  nicht  zu  seinem  Bfl- 
schel  gehörigen  Punktmassen  pi ,  sowie  mit  den  Punkten  q  hervorgehen. 
Da  hiernach  jede  Zahl  Pi  mit  {k — 1)  Strahlenmittelpunkten  verbunden 
wird,  so  ist  die  Zahl  der  zweiten  Gruppe  gleich 

fcq  +  (Ar-1)  2?,  (p^)  =  kS,  (^,  p?)  -  U,  {p% 
wenn  man  durch  2^  (p,)  die  Summe  der  Unionen  aus  den  m  Grössen  der 
Form  p^i  bezeichnet.  —  Als  Endresultat  folgt  daher  für  die  gesuchte  Zahl : 
yiq-i)  +  m  +  k'  +  i:,{q,pi)+k£,  {q,p^)  —  2,  (;>?) 
=  4fi^(y-l)  +  m+Ar'  +  2i(Är,y,i>?)-(«-^— Ar). 
Zusatz  l.    Sind  die  k  Strahlencentra  unter  einander  vollständig  frei, 
so  wird  k'^=\k  {k — l)  und  es  kann  der  gefundene  Endwerth  in  nach- 
stehende Form  zusammengezogen  werden: 

i?  (?+l)  +  4^  (^+1)  +  w  —  n  +  2;  (A:,  q,p^). 
Zusatz  2.     Fallen  die  q  vollständig  freien  Punkte  gänzlich  hinweg, 
so  bleiben  nur  noch  die  auf  den  Strablenbüscheln  liegenden  Punktmassen 
übrig,  und   es  reducirt  sich  die  Zahl  der  alsdauu  noch  möglichen  Ge- 
raden auf: 

\k{k  +  l)  +  m  —  n  +  E^{k,p^). 

Aufgabe  3.  Es  seien  in  einer  Ebene  n  =  g  +  Ar +/>, +Pt +  ••  • 
+  Pk  Punkte  gegeben,  von  denen  q  vollständig,  die  übrigen 
(w  —  q)  nur  beschränkt  frei  sind.  Von  den  letzteren  sollen 
k  die  Spitzen  eines  einfachen^  Eckes  bilden,  während  auf 
den  einzelnen  Seiten  desselben  noch  ausserdem  je /^i,/),  ..  ./»^ 
Punkte  vertheilt  liegen.  Man  verlangt  die  Anzahl  aller  Go- 
radon,  woJcho  durch  diese  nPunkto  bestimmt  sind. 


Von  Prof.  Dr.  C.  A.  Bretscrneideb.  317 


^i^^^^^^i^^^^i^'i^ti^l^^^^^^^^^^^^^^^'ll^S^S^ii^^^^t^^^'^X^»^ 


AnflösuDg.  Zuerst  geben  die  Ar  Spitzen  der  Fignr,  da  sie  unter 
einander  gXnzlicb  frei  sind,  \fc  (k  —  1)  Oerade,  in  welcher  Zahl  natürlich 
die  Seiten  der  Figur,  auf  denen  die  P|,  Pt-  >  •Pk  Punktmassen  liegen,  mit 
einbegriffen  sind.  Ebenso  geben  diese  p, ,  p,  etc.  Punkte  unter  sich 
£i(PuPt'*'Ph)  Oerade.  Hierzu  kommt  aber  zweitens  die  Zahl  der  Ge- 
raden, welche  jede  der  Ar  Spitzen  mit  den  Gruppen  Pi ,  p,  ...  pjt  erzeugt, 
and  zwar  mit  allen  denjenigen,  die  nicht  mit  ihr  zugleich  auf  einerlei  Seite 
liegen.  Da  hiernach  jede  dieser  Gruppen  zwei  Mal  wegfällig  wird,  so 
beträgt  die  Gesammtzahl  der  so  entstehenden  Geraden : 

{k^2){p,+Pt  +  ...+Pk)  =  k{p,+p^^...+Pk)  —  %{n—q—k). 
£<  liefern  mithin  die  beschränkt  freien  Punkte  unter  sich 

iA:(Ar— l)  +  2;(p,...p*)  +  Ar(p,+p,  +  ...+p*)_2(n— ^-.^) 
=  iArrAr- 1)  —  2  (/i  — jr- Ar)  + li(Ar,  p, . .  .pä) 
Gerade.  —  Da  nun  die  q  vollständig  freien  Punkte  unter  sich  \q{q — 1) 
«nd  mit'den  übrigen  (« — q)  Punkten  noch  q{n — ^)  Gerade  erzeugen,  so 
beträgt  das  Endresultat  die  Summe : 
4«(?-l)  +  4*(*-l)— 2(«-^— Ar)  +  li(Ar,p,...p*)+j(A:j+p,+p,+... 

+  P*)  =  4^(^  +  3) +  4Ar(Ar  +  3)—2n +  2^(5^,  Ar,  p,...pO. 
Zusatz.     Fallen  die  q  vollständig  freien  Punkte  gänzlich  weg,    so 
bleiben  nur  noch  die  auf  die  Spitzen  und  Seiten  des  Ar  Eckes  vorth eilten 
Punkte  übrig,  und  diese  erzeugen  noch  die  Zahl  von 

iA:(Ar+3)  — 2;i+2i(Ar,p,  ...pO 
geraden  Linien ,  mit  Einschluss  der  Seiten  der  Figur. 

§.5. 

IL  Es  seien  im  Räume  nPunkte  gegeben;  man  suche  die 
Ansahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden. 

Sind  die  gegebenen  Punkte  im  Räume  vollständig  frei  oder  liegen  sie 
entweder  sämmtlich  oder  doch  theilweise  auf  geraden  Linien  vertheilt,  so- 
vie  dies  in  dem  Falle  I  angenommen  worden,  so  gelten  alle  die  unter  I 
entwickelten  Formeln,  bei  denen  die  gegebenen  Punkte  in  einer  Ebene 
ugen,  auch  jetzt  noch,  wo  sie  als  im  Räume  liegend  angenommen  werden. 
I^enn  da  durch  zwei  Punkte  stets  eine  Gerade  bestimmt  wird,  mögen  nun 
jene  in  einer  Ebene  oder  im  Räume  liegen ,  so  ändert  sich  in  den  Schlüssen 
<les  Falles  I  nicht  das  Mindeste ,  wenn  sie  auf  den  vorliegenden  Fall  II  an- 
gewendet werden.  Neue  Bestimmungen  können  hier  erst  dann  eintreten, 
^enn  die  beschränkt  freien  Punkte  auch  auf  Ebenen  vertheilt  sind. 

Lehrsatz  4.  Sind  im  Räume  n  =  j'  +  ^'i  +''i+  •  •  • +  ''m  Punkte 
Segeben,  von  denen  g  vollständig,  die  übrigen  nur  beschränkt 
^fei  and  zu  jeri,  r,  ...rmaufmverschiedene  Ebenen  vertheilt 
•ind,  in  denen  sie  beziehungsweise  g^j  9%  •  •  >  9m  Gorade  be- 
•timmen,  —  so  ist  die  Zahl  der  durch  sie  erzeugten  Geraden 
gleich  iy(^-l)+(i7i-H^,  +  ...  +  ^«)  + 2; (fi,r,...r^V 


318        Ueber  die  Anzahl  der  Geraden ,  Ebenen  and  Punkte. 


Denn  es  geben  die  q  Pnnkte  unter  sich  \q  {q  —  1)  Gerade,  die  Punkte 
hingegen ,  welche  in  denselben  Ebenen  liegen ,  beziehungsweise  ^i »  gf9k 
Gerade ,  wodurch  die  beiden  ersten  Glieder  der  Formel  erhalten  werden. 
Sodann  aber  giebt  jeder  Pnnkt'aus  einer  der  Gruppen  9,  r| ,  r,  •  •  •  Tm  mit 
jedem  Pnnkte  aller  übrigen  Gruppen  noch  eine  Anzahl  tou  Geraden,  deren 
Summe  der  Summe  der  Binionen  aus  sämmtlichen  Zahlen  9,  r,  . . .  r^  gleich 
sein  muss* 

Zusatz.  Sind  die  Punkte  einer  und  derselben  Gruppe  r^  in  ihrer 
zugehörigen  Ebene  vollständig  frei ,  so  wird  gi  =  4^*'  C'**  —  ^)  ^^  ^'^^  oben 
gefundene  Ausdruck  verwandelt  sich  in : 

lö'fe— l)  +  4r,(r,  — l)  +  4r,(r,  — l)  +  ...  +  4r^(r«— l)+2;(^,r,...r«), 
ein  Werth,  der  sich  offenbar  auf  ^n(n  —  l)  reducirt. 

In  der  That  sind  dann  sämmtlichen  Punkte  vollständig  frei,  da  di» 
Gerade,  welche  zwei  derselben  verbindet,  falle  dieselbe  nun  in  eine  der- 
gegebenen  Ebenen  oder  in  den  Baum,  doch  durch  keinen  der  Übrigen^ 
{n  —  2)  Punkte  hindurchgehen  kann. 

Lehrsatz  5.  Sind  im  Räume  «  =  S'+Pi  +  ...+p* +r|  +  r,  + ..^ 
4-rM.Punkte  gegeben,  von  denen  9  vollständig,  die  übrigen 
(n  —  q)  aber  nur  beschränkt  frei  sind,  und  zwar  zu  je  P|,  p,..  .pi — 
auf  Ar  Geraden  und  zu  je  Ti,  r,. .  «Tm  auf  m  Ebenen  liegen,  in  de- 
nen sie  beziehungsweise  ^i,  ^t  ••  .^m  Gerade  bilden;  —  so  ist 
die  Gesammtzahl  der  durch  sie  bestimmten  Geraden  gleich: 
i?(s^  — 1)  + Ar+  {ßx+gt  -f  .  •  •  +  ^m)  +  -2;(y,Pi...Pt,  Ti  . . .  r„). 

Zuvörderst  geben  die  (^  +  ''1  +  r,  + . . .  +  r»)  Punkte  unter  sich  nach 
dem  vorigen  Lehrsatze  die  Zahl  von 

4^  (ö'  — l)  +  (ö'i +0^2  + .  •  .  +  fl'm) +2;  (jr,  r,,  r,  . . .  r„) 
Geraden.  Die  auf  k  Geraden  vertheilten  Punktmassen  unter  sich  liefern 
dagegen  nach  Aufgabe  1,  Zusatz  1  die  Zahl  von  k-^Z^^p^  '•'Pk)  Geraden. 
Rechnet  man  hierzu  noch  die  Geraden,  welche  jeder  Punkt  der  Gruppe 
(Pi  '  *  'Pk)  mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  (gr,  p,  .  .  .pt)  erzeugt,  deren  An- 
zahl gleich 

(Pi  +Pt  +  .  •  •  +Pk)  (q+n  +  r,  +  . . .  +  r„) 

ist,  so  erhält  man  für  die  Gesammtsumme  den  Werth: 

4 S'  ((/—  l)  +  ^  +  (ö't  +  ö^t  + .  •  .  +  ö'm)  +  2i  (s',  r,  . .  .r„.)  -f-  2;  (p,  . .  .  p^) 

+  (Pi+Pi  +  '"  +Pm)  (ö'  +  r,  +r,  + . . .  +  r„) 

=  h"^  (^/  —  '^)  +  ^+  (9i+  9t  +  "  '  +  gm)  +  £i(qy  Pi  .  .  .p*,  r,  .  .  .r«). 

Zusatz.  Sind  die  r,-  Punkte  in  jeder  ihrer  Ebenen  unter  sich  voll- 
ständig frei,  so  bezeichne  man  5^  +  ^1  +  ^"2  +  •  •  •  +  ''m  =  ^5  dann  ist  die 
Zahl  der  vorhandenen  Geraden  gleich : 

lv(v  —  l)  +  (n  —  v)v  +  k  +  £,(p,...p,), 

Lehrsatz  0.  Sind  im  Räume  w  =  ^r  +  ä  +  r,  +  r^-f- ,  . .  +  r,» 
Punkte  gegeben,  von  denen  q  vollständig,  die  übrigen  (n — q) 
nur    beschränkt    frei    sind,    und    zwar    auf   m  Ebenen    eines 


Von  Prof.  Dr.  C.  A.  Bretschneideb.  319 


Ebeneabfischeis  so  vertbeilt  liegen,  dass  h  derselben  in  die 
Achse  des  Büschels,  die  übrigen  zu  je  r|,  r,  . . .  rm  auf  die  ein* 
lelsen  Ebenen  fallen  und  in  ihnen  beziehungsweise^!,^,  ..^0, 
Gerade  erzeugen;  —  so  beträgt  die  Zahl  der  durch  diese 
flPankte  bestimmten  Geraden 

l  +  lÖ'  (ö'— 1)  +  (9i  +  9t  +  '''+9m)  +  £f(gjh,r^...  r^). 

Denn  es  liefern  zuerst  die  ö'  +  r,  +  r,  + . . .  +  r»,  Punkte  unter  sich 
Dsch  Lehrsatz  4  die  Zahl  von 

h9  (9  —  ^)  +  (^1  +9t  +  •  •  •  +  9m)+^(9j  n  . . .  rm) 
Gerade,  während  die  h  Punkte  unter  sich  nur  eine  einzige  Oerade  be* 
stimmen ,  nämlich  die  Achse  des  Büschels.  Zweitens  aber  liefert  jeder  der 
Pinkte  A  mit  jedem  der  übrigen  (n — h)  Punkte  eine  Oerade,  also  h{q  +  ri 
+r^+.  •  .  +  '*«)  in  Summe,  woraus  sich  denn  die  oben  geftindene  Formel 
lofort  zusammensetzt. 

Zusatz.     Nimmt  man  auch  hier  jede  der  r^  Gruppen  in  ihrer  Ebene 
«Is  vollständig  frei  an ,  so  verwandelt  sich  die  Formel  des  Lehrsatzes  in : 

J(ii— Ä)(n— Ä— l)  +  l  +  Ä(«-Ä)  =  l  +  i(n— Ä)(«  +  Ä-l), 
MB  Ausdruck,  der  ungeändert  bleibt,  wenn  ^s=  0  gesetzt  und  damit  die 
ganse  Masse  der  n  gegebenen  Punkte  als  beschränkt  frei  angesehen  wird. 

Mittelst  der  vorstehenden  Lehrsätze  können  nun  alle  Aufgaben  über 
die  Anzahl  von  Geraden ,  welche  durch  Punkte  im  Räume  bestimmt  sind, 
gelöst  werden,  mögen  nun  diese  Punkte  auf  ganz  beliebige  Weise  unter 
Strahlenbüschel  und  Ebenenbüschel  vertheilt  oder  theilweise  vollständig 
frei  sein.  Namentlich  gehört  hierher  der  Fall ,  wenn  die  Punkte  auf  den 
Ecken,  Kanten  und  Grenzflächen  eines  Polyeders  liegen.  Indessen  dürfte 
^8  überflüssig  sein,  länger  hierbei  zu  verweilen,  da  die  unter  I  gelösten 
toalogen  Aufgaben  sattsam  zeigen ,  wie  man  hierbei  zu  verfahren  hat. 

§.6. 

IIL     Es   «eien   im  Räume  nPunkte  gegeben;    man  suche 
die  Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Ebenen. 

Lehrsatz  7.     Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  durch  n  im 
Baume  vollständig  freie  Punkte  bestimmt  wird,  beträgt: 

n(n^l){n^2) 
1.2.8 

Jeder  einzelne  der  n  Punkte  bestimmt  mit  den  übrigen  (n — 1)  Funk- 
en so  viele  Ebenen,  als  diese  {n  —  1)  Punkte  unter  sich  verschiedene  Ge- 
^t  erzeugen,  nämlich  ^  (»  —  1)  {n — 2)i  Die  Gesammtzahl  aller  Ebenen 
^flrde  demnach  \n  {n — 1)  (n — 2)  sein,  wenn  dabei  nicht  jede  Ebene  drei 
Ktl  gezählt  wäre,  indem  sie  nämlich  von  jedem  ihrer  drei  bestimmenden 
^okie  aus  einmal  in  Rechnung  genommen  worden  ist.  Die  wahre  Anzahl 
aller  Ebenen  beträgt  daher  nur  den  dritten  Theil  der  vorhin  gefundenen 
Saaune. 


320        Ueber  dio  Ansah!  der  Goraden,  Ebenen  und  Punkte. 

Lehrsats  8.  Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  im  Ranme 
durch  ft  =  9  +  P  Punkte  bestimmt  werden,  von  denen  q  voll- 
ständig frei  sind,  die  übrigen  p  hingegen  in  einer  Geraden 
liegen,  —  beträgt: 

Denn  die  Gerade  p  giebt  zuvörderst  mit  jedem  der  q  freien  Punkte 
eine  Ebene,  also  zusammen  q  Ebenen.  Sodann  bestimmt  jeder  einzelne 
Punkt  der  p  mit  jeder  der  \q{q  —  1)  Geraden,  welche  die  Gruppe  q  unter 
sich  erzeugt,  eine  neue  Ebene,  wodurch  ^q  (q  —  1) />  Ebenen  entstehen. 
Endlich  geben  die  g  Punkte  unter  sich  noch  ^q  {q — 1)  {q — 2)  Ebenen, 
womit  die  im  Lehrsatze  angegebene  Gesammtzahl  erfüllt  ist. 

Lehrsatz  0.  Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  durch  nsg+r 
Punkte  im  Räume  erzeugt  werden,  von  denen  q  vollstftndig 
frei  sind,  während  die  übrigen  r  in  einer  Ebene  liegen  und 
in  derselben  ^/Gerade  bilden, —  beträgt: 

l  +  ^i^+lö'(^-l)r  +  *g(ö'-l)(^— 2). 

Denn  zuerst  geben  die  r  Punkte  unter  sich  r  Ebenen  und  die  q  Punkte 
unter  sich  deren  ^q{q — i){q  —  2).  Sodann  liefert  jede  der  ^  Geraden  in 
der  Ebene  r  mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  q  eine  Ebene,  also  in  Summe 
qg  Ebenen;  und  umgekehrt  bestimmt  jede  der  ^q  (q — 1)  Geraden  ans  der 
Gruppe  q  mit  jedem  Punkte  der  Gruppe  r  gleichfalls  eine  Ebene,  also  zu- 
sammen \q  {q  —  1)  r,  womit  die  im  Lehrsatz  angegebene  Gesammtzahl  er- 
füllt ist. 

Zusatz.  Sind  die  r  Punkte  in  ihrer  Ebene  vollständig  frei,  so  wird 
g  z=^r  {r  —  l)  und  damit  erhält  man  als  die  höchste  Zahl  von  Ebenen,  die 
durch  die  n  =  g'  +  r  Punkte  bestimmt  werden,  die  Summe: 

l  +  ir{r~l)q  +  r.\q{q^l)  +  ^q(q^i)(q~2) 
=  l  +  i«(«-l)(w-2)  — |r(r-l)(r  — 2), 
ein  Resultat,  welches  dem  in  Lehrsatz  2,  Zusatz  l  erhaltenen  analog  ist, 
und  sich  ganz  auf  dieselbe  Art,   wie  dieses,   auf  den  Lehrsatz  7  zurück- 
führen lässt. 

Lehrsatz  10.  Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  durch 
n=zp'j'r  Punkte  im  Räume  bestimmt  werden,  von  denenp  in 
einer  Geraden,  die  übrigen  r  hingegen  in  einer  ausserhalb 
dieser  Geraden  liegenden  Ebene  enthalten  sind,  in  welcher 
sie  gr  Gerade  erzeugen,  —  beträgt: 

Es  geben  nämlich  dio  r  Punkte  unter  sich  1  Ebene ;  sodann  liefern  die 
durch  diese  r  Punkte  bestimmten  Goraden  g  mit  den  p  Punkten  der  gege- 
benen Geraden  jE>^  Ebenen;  und  endlich  entstehen  durch  die  Verbindung 
dieser  letzten  Geraden  mit  jedem  der  r  Punkte  noch  r  verschiedene 
Ebenen. 

Zusatz,     Sind  die  r  Punkten  \u  der  Ebene  vollständig  frei,  so  erhall 


Von  Prof.  Dr.  C.  A.  Bketschneideb.  321 


min  als  die  höchste  Zahl  von  Ebenen,  die  durch  die  p  +  r Punkte  erzeugt 
werden  kann,  die  Summe: 

l+h^(r—l)p+r. 

Lehrsatz  11.  Die  Anzahl  der  Ebenen,  welche  durch 
ii=:^+p  +  '' Pni^kte  im  Raum  bestimmt  werden,  von  denen  g 
▼ollstXndig,  die  übrigen  beschränkt  frei  sind,  und  zwar  so, 
di88  p  derselben  auf  einer  Geraden,  die  übrigen  r  auf  einer 
Ebene  liegen,  in  der  sie  ^Gerade  erzeugen,  —  beträgt: 
i+h(q—l)(q  —  2)  +  g(p  +  g)  +  (r+p)  +  \q(g^l)(r+p)  +  qpr. 

Die  aus  den  n  Punkten  hervorgehenden  Ebenen  sind  erstens  solche, 
welche  aus  den  Punkten  der  einzelnen  Gruppen  q^p^r  unter  sich  bestimmt 
werden,  nämlich  aus  r  nur  eine,  ausp  gar  keine  und  aus  q  deren  ^q(q — 1) 
(9— 2).  Damit  sind  die  beiden  ersten  Glieder  des  obigen  Resultates  ge- 
wonnen. 

Sodann  folgen  die  Ebenen ,  welche  aus  je  zwei  Punkten  der  einen 
Gruppe  und  je  einem  der  übrigen  beiden  Gruppen  entstehen ,  oder  mit  an- 
deren Worten,  die  Ebenen,  welche  durch  eine  Gerade  der  einen  und  einen 
Punkt  einer  anderen  Gruppe  erhalten  werden.  Es  liefern  aber  die  g  Ge- 
raden der  Gruppe  r  noch  g(q'¥p)  Ebenen,  die  eine  Gerade  der  Gruppe 
pnoch  p  (9  +  r)  Ebenen  und  endlich  die  \q{q  —  1)  Geraden  der  Gruppe  q 
noch  \q  {q  —^)  {p  +  r)  Ebenen,  womit  die  drei  nächsten  Glieder  der  obi- 
gen Ge^ammtsumme  gefunden  sind. 

Endlich  sind  noch  die  Ebenen  hinzuzuzählen,  welche  durch  je  drei 
Punkte  der  drei  verschiedenen  Gruppen  gebildet  werden ,  und  deren  Zahl 
nach  combinatorischen  Gesetzen  qpr  beträgt. 

Lehrsatz  12.  Sind  im  Räume  «==^+Pi+Pt+«%-+P* +^i+^f+ 
•••  +  ''iR  Pnnkte  gegeben,  von  denen  q  vollständig,  die  übri- 
gen (n  —  9)  nur  beschränkt  frei  sind,  und  zwar  in  Gruppen  von 
j^  Pi>  Pt  •  ••Pk  Auf  k  verschiedenen  Geraden  und  in  Gruppen 
Tonjer|,r,...rM  aufm  verschiedenen  Ebenen  liegen,  in  denen 
sie  beziehungsweise  ^|,  gf^gm  Gerade  bestimmen;  —  so  ist 
die  Zahl  aller  durch  diese  ;t  Punkte  erzeugten  Ebenen  gleich: 
«  +  «  {* +  5^, +flr,+ . . . +  ^m +i^  (^^1)}  +  2:,(9,  p, . . .  p*,  r,  . .  .  r„) 

—  {P^+Pt  +  '•*+Pk)  —  {gxr^+gtr^+...+gmrm)—\{q+^)q{q  —  \)' 
Werden  die  einzelnen  Bestandtheile  der  Gesammtsurame  ganz  in  der- 
selben Weise  entwickelt,   wie  dies  im  vorangehenden  Lehrsatze  geschah, 
so  erhalten  wir  zunächst  für  die  Zahl  der  Ebenen,   die  durch  die  Punkte 
der  Gruppen  q^Pi^  r^  unter  sich  erzeugt  werden,  die  Werthe  i/i,  0,  ^q{q — i) 

Nimmt  man  zweitens  die  Ebenen,  welche  durch  die  Geraden  aus 
einer  Gruppe  und  alle  Punkte  der  übrigen  Gruppen  erzeugt  werden,  so  er- 
hält man  für  die  Gruppen  r  die  Summe: 

ZeUmchhfl  f.  Mathvmaük  u.  Phviik.   VI,  5.  T^ 


322         Üeber  die  Anzahl  der  Geraden,  Ebenen  und  Punkte: 

während  dagegen  die  Gruppen  p  den  Werth : 

{n—p,y+  {n—p^)  +  .  . .  +  {n—Pk)  =  Arw  — (p,  +p,+  . . .  +pjt), 
und  die  Gruppe  q  den  Werth  \q(q — 1)  (« —  q)  giebt.     Die  Gesammlzahl 
dieser  zweiten  Reihe  von  Ebenen  beträgt  daher: 
n\g^+g^+.^+gm+k+hq{q-i)\-(g^r,  +  ..+9mrm)-<Pi+>.'\'Pk)-W(9^^^^ 

Endlich  hat  man  noch  die  Ebenen  zu  zählen ,  welche  durch  je  3  Punkte 
dreier  verschiedener  Gruppen  entstehen.  Ihre  Anzahl  ist  aber  gleich  der 
Summe  der  Ternionen  .ohne  Wiederholung  ans  sämmtlichen  (m  +  ^  +  O 
Gruppenzahlen,  d.  h.  gleich  2^8  (^ ,  Pi  • .  Pit 9  H  •  • '*m)-  I^ie  Vereinigung 
dieser  drei  Partialsummen  in  eine  Gesammtsnmme  liefert  unmittelbar  die 
im  Lehrsatze  angegebene  Formel. 

Zusatz  1.  Sind  die  r;  Punkte,  welche  in  einer  einzelnen  Ebene  lie- 
gen, unter  sich  vollständig  frei,  so  wird  allgemein  ^^  =  ^r/(r,-  —  1)  und 
man  erliält  dann  für  die  höchste  Zahl  von  Ebenen ,  welche  unter  den  Vor« 
aussetzungen  des  Lehrsatzes  noch  möglich  sind ,  den  Werth : 

m+ J|2Ä  +  rj(r,  — l)  +  r,(r,  — 1)  +  ..  +  r„  (r«.|) -f^r  (g-1)} 
—  (P.  +  P»  +  .  .  +Pk)  —  k\ri'(rt  -1)  +  V(r,— 1)  +..  +  r„«(r«-,)} 

-i(g  +  ^)g(g-ih 

der  sich  auch  leicht  unter  folgende  Form  bringen  lässt: 

m  +  n(k  —  l)+^q(q-l)(q-2)  +  £^(q,  p,  .  .p*,  r,  . .  r^) 

Zusatz  2.  Sind  im  Räume  «=-■=  5^  +  r,  +  r,  +  ..''m  Punkte  gegeben, 
welche  den  im  Lehrsatze  angegebenen  Bedingungen  entsprechen,  so  ist 
die  Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Ebenen  noch: 

m'\-n\g^+g^  +  .,+g^+\q(q  —  i)\  +  £^(q,  r,  .  .  r„) 
—  \9t  n+gtr^  +  ..  +  g„,  r^\  —i(q  +  l)q(q-'  1), 
also  im  günstigsten  Falle,   wenn  jede  der  r  Punktgruppen  in  ihrer  Ebene 
vollständig  frei  ist: 

m-  in'^^q(q-^i)(q^2)  +  i:,(q,r,..  r„) 

-  4  !y'  +  r,»  + V  +  .  .  +  r«»l.+  i(^+  1)  k»  +  r,»  +  r,»  +  .  .  +  r^'\, 
Zusatz   3.     Sind  im  Räume  «  =  y  +  Pi  +  Pt  + •  •  +  Pa-   Punkte  ge- 
geben,   welche  den  im  Lehrsatze  angegebenen  Bedingungen  entsprechen, 
so  ist  die  Anzahl  aller  durch  sie  bestimmten  Ebenen  gleich  : 

/' U^  -  1 )  +  47  (^  — 1)!  -  iv  (y  "f  2)  (y~2)  H- 2:3  (y, />, . .  p*). 

Zusatz  4.  Liegen  im  Räume  w  ^=Pi +/>«+..  + Pt  + '"i  ^-^'t -h»  • 
+  r„,  beschränkt  freie  Punkte,  von  denen  je  Pi ,  p,  .  .p*  auf  k  Gerade  und 
je  r, ,  r,  .  .  Km  «uf  m  Ebenen  vertheilt  sind ,  in  denen  sie  beziehungsweise 
Oxy  ih  •  'Um  (»pra<le  erzeugen;  —  so  beträgt  die  Gesammtzahl  der  durch  sie 
bestinnnten  Ebenen: 


Von  Prof.  Dr,  C.  A.  Bretschmbider.  323 


—  {Pt  +Pt  +  .  .  +Pk)  —  {9t  rt+gtr^+..  +  gm  r«), 
also  im  günstigsten  Falle,  wenn  alle  r,- Punkte  in  ibrcn  Ebenen  vollständig 
frei  sind: 

m  +  n{k~l)  +  £,  (p, .  .pt  r,  .  .  r«.)  —  1(V+. .  +  r„») 

Z osats  5.  Die  Ansahl  der  durcb  n :=/>i  +P<  +  •  •  +Pa  beschränkt 
freie  Punkte  bestimmten  Ebenen  beträgt,  wenn  je  Pt^PfPk  Punkte  in 
Ar  Geraden  liegen : 

n{k--l)  +  Z,{p^..p,,). 

Zusatz  6.  Liegen  im  Räume  n  =  r,  +  r,  +  . .  +  r„  beschränkt  freie 
Pankte ,  von  denen  je  r, ,  r,  . .  r^  in  m  verschiedenen  Ebenen  enthalten 
sind  und  in  diesen  beziehungsweise  gi^  9%*  »gm  Gerade  bilden ,  so  ist  die 
Gesammtfcahl  der  durch  sie  bestimmten  Ebenen  gleich : 

»•  +  »  (fl'i  +fl^a  +  .  .  +fl'«)  —  (yiT,  +^,r,  +  .  .  +^^  r„,)  +  Z^  (r,  r,  .  .  r„), 
also,  wenn  jede  r,- Punkte  in  ihrer  Ebene  vollständig  frei  sind: 
m  — In«  — 4(r.»  +  ..  +  r„')  +  i(«+l)(r.'  +  r.»  +  ..+r«»)+2;,(r,..r,). 

§.  7. 

IV.  Es  seien  in  einer  Ebenen  Gerade  gegeben;  man  suche 
die  Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Schnittpunkte. 

Lehrsatz  13.  Die  Anzahl  der  Schnittpunkte,  welche  in 
einer  Ebene  durch  n  vollständig  freie  Gerade  erzeugt  wor- 
den, beträgt: 

\n{n  —  \). 

Lehrsatz  14.  Die  Anzahl  der  Schnittpunkte,  welche 
»=  g4-f, +^  +  -*+'ib  in  einer  Ebene  liegende  Gerade  erzen- 
gen,  von  denen  q  vollständig,  die  übrigen  hingegen  be- 
schränkt freisind  undzuje/, ,^../jtdurch/r  inendlicheroder 
unendlicher  Entfernung  gelegene  Punkte  hindurchgehen;  — 
beträgt: 

Zusatz.  Fallen  die  vollständig  freien  Geraden  hinweg,  so  dass  nur 
Boch  die  Strahlen  der  k  Strahlenbüschel  oder  Strahlenbündel  übrig  bleiben, 
so  reducirt  sich  die  Anzahl  aller  noch  möglichen  Schnittpunkte  auf: 

A:  + 2;  (/,/,../*). 

Die  Beweise  dieser  Sätze  sind  denen  der  Aufgabe  I  vollständig  ana- 
log and  können  aus  letzteren  unmittelbar  erhalten  werden,  wenn  man  in 
ihnen  überall  statt  Punkt  und  Gerade  beziehungswebe  Gerade  und  Punkt 
snbstituirt.  Es  kann  daher  die  weitere  Untersuchung  der  im  vorliegenden 
Falle  möglichen  Aufgaben  umsomehr  ei:spart  werden ,  als  die  Endformeln 
mit  denen  der  No.  I  (mutatii  mutandis)  völlig  übereinstimmen  müssen. 


324        Ueber  die  Anzahl  der  Geraden,  Ebenön  und  Punkte. 

§.8. 

V.  Es  seien  im  Kaume  n  Gerade  gegeben;  mansvchecl 
Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Schnittpnnkte  und  Eben< 

Da  zwei  Gerade  im  Räume  nur  dann  einen  Schnittpunkt  besitz 
wenn  sie  in  einer  Ebene  liegen,  und  nur  dann  eine  Ebene  bestimm 
wenn  sie  durch  einen  Punkt  hindurchgehen,  so  folgt,  dass  die  Aufgf 
nur  unter  den  beiden  bestimmten  Voraussetzungen  lösbar  ist,  dass  alle  ( 
rade  entweder  durch  einen  Punkt  oder  durch  eine  Gerade  hindur 
gehen. 

A.    Sftmmtliche  Gerade  gehen  durch  einen  und  denselbe; 

Punkt 

Lehrsatz  15.  Liegen  von  n  Geraden,  die  durch  einen  u: 
denselben  Punkt  gehen,  nie  mehr  als  zwei  in  einerlei  Eben 
so  bestimmen  dieselben  * 

1  Schnittpunkt, 
\n{n — 1)  Ebenen. 
Lehrsatz  16.  Gehen  im  Raumeii=s^  +  ^,  +  f,+  ..  +  /itG 
rade  durch  einen  und  denselben  Punkt,  und  sind  yon  ihn 
q  unter  sich  yollständig,  die  übrigen  aber  nur  beschrän 
frei,  so  dass  je  f,, /,.. /jt  derselben  in  Ar  verschiedenen  Eben 
liegen,  so  werden  durch  diese  n  Geraden  bestimmt: 

1  Schnittpunkt, 
^  +  l7  (q  —  l)  +  2f{q.  U  .  .'*)  Ebenen. 
Den  Bowcis  dieser  Satze  crht&lt  man  unmittelbar  aus  No.  I,  w« 
man  durch  das  System  der  n  gegebenen  Geraden,  jedoch  ausserhalb  ih 
gemeinschaftlichen  Schnittpunktes,  eine  Ebene  legt.  Jede  der  n  Gerac 
wird  in  dieser  Ebene  durch  ihren  Schnittpunkt  mit  letzterer  vertreten,  b 
ebenso  findet  sich  jede  der  durch  zwei  der  n  Geraden  bestimmten  Ebei 
durch  die  Schnittlinie  repräsentirt,  welche  sie  mit  der  Hilfsebene  bild 
Die  Aufgabe  kommt  daher  gfinzlich  auf  die  der  No.  I  zurück. 

B.     Slimmtliche  Gerade  gehen  durch  eine  und  dieselbe 

Gerade. 

Lehrsatz  17.  Durch  n  =  Ar+l  Gerade  im  Räume,  von  den 
Ä"  durch  eine  und  dieselbe  (Ar  +  l)***  geschnitten  werden,  tibi 
gens  aber  unter  einander  vollständig  frei  sind,  werden  b 
stimmt:  k  Schnittpunkte  und 

k  Ebenen. 
Denn  jede  der  Ar  Geraden  bildet  mit  der  letzten  (A:+l)*^"  einen  Schni 
punkt  und  giebt  mit  ihr  zugleich  eine  Ebene. 

Lehrsatz  18.     E8seienimRaumert  =  l.+  /, +/, +  ..  +  ^6 
rade  gegeben,   von  denen  Je  ti,t^..t|tfc  TfLumliche  Strahl« 


Von  Prof.  Dr.  C,  A.  Bretsghneider.  325 


*x^'»<M^^»^M^<^w»^^^^»^^»^>»^^>^wy>»^xs»^^^^^^^^ 


bttiehel  bilden  und  in  jedem  derselben  beziehungsweise  je 
^,,^..^it  Ebenen  bestimmen,  sonst  aber  vollständig  frei  sind. 
Wenn  nun  dieCentra  aller  ArBüschel  auf  einer  und  derselben 
M*<^"Geraden  liegen,  so  werden  durch  die  nLinien  überhaupt 
bestimmt: 

k  Schnittpunkte  und 
{n — 1)  +  («1  +  e,  +  . .  +  eie)  Ebenen. 

Denn  ausser  den  €{  Ebenen,  welche  die  Strahlen  jedes  Büschels  unter 
einander  erzeugen ,  liefert  auch  die  Verbindungslinie  der  k  Büscheicentra 
mit  jeder  der  übrigen  {n  —  l)  Geraden  noch  eine  Ebene. 

Znsatz.  Sind  die  Strahle/i  jedes  Büschels  unter  sich  vollständig  frei, 
so  ist  ^,==  \U(ti  —  1),  und  man  erhält  für  die  Gesammtzahl  der  möglichen 
Ebenen  die  Summe : 

4l'.(<.-i) +  ',(<i-i)  +  . .+'*('*— 1)1 +  («-i)=4{<,*-|:V+..+<t*l 

+  4  («-!). 
Das  Vorstehende  reicht  vollkommen  hin ,  um  in  jedem  zusammenge- 
setzteren Falle,  der  hier  etwa  vorkommen  möchte,   die  verlangten  Zahlen 
2u  finden ,   weshalb  ein  Eingehen  in  grösseres  Detail  füglich  unterlassen 
forden  kann. 

§.9. 

VI.  Es  seien  im  Räume  nEbenen  gegeben;  man  suche  die 
Anzahl  der  durch  sie  bestimmten  Schnittlinien  und  Schnitt- 
ptiukte. 

Lehrsatz  10.  Durch  n  im  Räume  vollständig  freie  Ebenen 
Werden  stets  bestimmt: 

\n{ii  —  1)  Schnittlinien, 
^n{n  —  1)  (n  —  2)  Schnittpunkte. 

Die  Beweise  sind  genau  denen  ähnlich,  welche  in  Lehrsatz  1  und  7 
für  die  analogen  Sätze  geführt  worden  sind,  und  werden  aus  letzteren  un- 
mittelbar erhalten,  wenn  man  in  ihnen  die  Benennungen  Punkt  und  Ebene 
^nter  einander  vertauscht. 

Zusatz.  Gehen  alle  n  Ebenen  durch  einen  und  denselben  Punkt, 
bleiben  aber  im  übrigen  vollständig  frei ,  so  geben  sie  nur  noch  1  Schnitt- 
P'iökt  und  \n  (n  —  1)  Schnittlinien.  Gehen  dagegen  die  ;i  Ebenen  alle 
^urch  eine  Gerade,  so  giebt  es  nur  noch  diese  eine  Schnittlinie  und  gar 
keinen  Schnittpunkt. 

Lehrsatz  20.  Sind  imRaume;i  =  ^  +  f, +/,  +  •• +'*+*i  + *i  +  .. 
4*^1,  Ebenen  gegeben,  von  denen  q  vollständig,  die  übrigen 
''^  ^q)  hingegen  nur  beschränkt  frei  sind,  und  zwar  in  Grup- 
pen von  je  ixt  tt*  >tk  durch  A' Gerade  und  in  Gruppen  zuje  .v,, 
'i**«M  durch  m  Punkte  hindurchgehen,  wobei  jede  der  Grup. 
P^a«  unter  sich  beziehungsweise^,  ,^,  ..^m  Schnittlinien  ge- 
oen*  —  g^  werden  durch  alle  diese  n  Ebenen  bestiuimt*. 


326  Kleinere  Mittheilungen. 

ig  (g  —  ^)  +  ^  +  {9i  +92  +  "+gm)  +  £t  (^,  /, ..^t,  *i  ..*«.)  SchnitÜinien, 

Der  Beweis  der  Formel  für  die  Schnittlinien  ist  analog  dem  des  Leh^^^. 
Satzes  5,  hingegen  der  für  die  Schnittpunkte  dem  des  Lehrsatzes  12,  ni^^  et 
es  lassen  sich  daher  für  besondere  Annahmen  auch  hier  alle  die  Specia^^. 
forraeln  entwickeln,  welche  in  den  Zusätzen  zu  jenen  Paragraphen  anfg^^. 
stellt  worden  sind.  —  Bei  der  yollkommenen  Analogie,  die  zwischen  No.  ^^^J 
und  No.  II  und  No.  III  herrscht,  erscheint  daher  eine  weitere  VerfolgUK=m^ 
dieses  Gegenstandes  als  völlig  ttberfltlssig. 


Kleinere  Mittheilungen. 


XXV.    Bemerkungen  ttber  eonfoeale  tpliftriBebe  Xegelsohnittei    V^r^n 

Dr.  Heilermann,  Director  der  Provinxial - Gewerheschnle  su  Coblenz. 

§.1.  Es  seien  CD  und  CE^  wie  in  den  früheren  Mittheilungen  Ban<l  ^« 
zwei  sich  rechtwinklig  schneidende  Coordinatenachsen  und  in  Bezug  o^^^ 
dieselben 

fang*  a       taiu/  b         ' 

1*)  •'*  -  +  ^^=1 

iang^  a^       lang*  6, 

die  Gleichungen  zweier  confocalen  Kegelschnitte.     Wird,  wie  früher, 

cos  a    .   cos  b 

H p  =  cos  fi 

cos  «,       cos  6j 

gesetzt,  so  ergiebt  sich  leicht  aus  den  vorstehenden  Gleichungen 

ox         .      •  ^«Wflf'  a  —  tätigt  u     ^      ,  ,         lang*  b  t-  tang*  u, 

In  den  Kegelschnitten  l)  wähle  man  zwei  beliebige  entsprecherm  ^  ^ 
Punkte  {^ff)  und  (xy)  und  ziehe  nach  dem  Mittelpunkte  C  die  HalbmesÄ»  ^'' 
Q  und  r,  es  sei  also 

S  Ififtg  <i        ri tang  b 

X        tang  ö,  '     y        tangb^ 
und 

lung^  p  =  I*  +  ijS  Utng*  r  =  a^  +  f/. 


Kleinere  Mittbeilungen.  327 

Wenn  man  diese  Gleichungen  verbindet,  so  entsteht  zunächst 

und  durch  Anwendung  der  Gleichungen  2) 

^  \         to/J5f»a  "^  iangH  '  / 1  +  towflfV 

1*  +  ^'  —  tafig^fi tang^Q  —  tang^f», 

i  +  iang*(i  1  +  tang^fi 

Dieser  Zusammenhang  lässt  sich  auch  einfacher  durch  die  Gleichung 

3)  cos  Q  s=z  cos  r  cos  [i 

darstellen,  und  hiernach  sind  in  zwei  cunfocalen  sphärischen 
Kegelschnitten  je  zwei  Halbmesser,  welche  nach  entspre- 
chenden Punkten  gezogen  werden,  Hjpothenuse  und  Kathete 
einesrechtwinkligen  Dreiecks,  yon  welchem  die  andereKa- 
thete  constant  ist. 

§.  2.  Aus  dem  vorstehenden  Satze,  welcher  der  bekannten  Eigen* 
Schaft  der  ebenen  Kegelt^chnitte  und  Flächen  zweiten  Grades  genau  ent- 
spricht, lässt  sich  wieder  ein  anderer  Satz  entwickeln.  Es  seien  in  den 
confocalen  Kegelschnitten  1)  ausser  den  entsprechenden  Punkten  {^yj)  und 
(xy)  noch  die  entsprechenden  Punkte  (lii/i)  und  (2*,^,)  gegeben  und  die 
Hanptbogen,  welche  (£17)  mit  (d:,y,)  und  (||i/f)  mit  (ory)  verbinden,  durch 
ä  und  cf,  bezeichnet«  In  diesen  Zeichen  ist  (vergl.  Gudermann's  anal^. 
Sphärik  S.  6)  ^^^  ^  ^  l+^^i+fiyt 


cos  dl  = 


Dazu  ist  nach  dem  vorhergehenden  S. 

cos  Q  =  cos  r  cos  fi , 
od«r 

1  cos  (l 

^ud 

1  cos  fl 


/i  +  ti'  +  T/i«  yi  +  x,'  +  yt' 
folglich 

Da  ferner  (Sij)  und  (a:jf),  sowie  (||i?i)  und  {xi  yi)   entsprechende 
^Unktenpaare  sind,  also 

{        iang  a  ti iang  b 

X       iang  a^ '  y       iang  6, ' 

£1 ianga  ly, Uingb 

*,       iang  ä/  y,       iangb^^ ' 


328  Kleinere  Hittheilangeii. 

I i_  u  j  -I  -ru-u-i.ri_ri  i-i.r  r  \-\_r  r  r  r  n  n  r  n  ~i  ^inn<*ii~i~ii~ii 1-.^^^^^^^^,^  ^,»  ^^^^^^^^^^  ^^^^^^  ^^^— .■.^^^^^^^^^^^^^^.■^^^^■■^^^-^^-^-■^^-^^-^^-^j^j.^j^^^^ 

80  ist  nach 
und 

1  +  6^1  +  t?yt  =  i  +  &  ^  +  i?iy- 

Die  oben  angegebenen  Ausdrücke  für  cos  d  and  cof  if,  stimmen  also 
im  Zähler  und  Nenner  überein  and  es  ist 

4)  .  d  —  dt. 

Hiernach   haben   die  sphärischen  Kegelschnitte  mit  den  ebenen  and 
den  Flächen  zweiten  Grades  auch  folgende  Eigenschaft  gemeinsam : 

Werden  zwei  beliebige,   in  zwei  confocalen  sphärischen 
Kegelschnitten   gelegene   Punkte    durch    einen  Hauptbogen. 
verbunden,  so  ist  dieser  Bogen  gleich  demjenigen«  welcher^ 
die  entsprechenden  Punkte  yerbindet. 

§.  3.     Wenn   die  rechtwinklig  sich  schneidenden  Coordinatenachson. 
CD  und  CE  von  dem  Ilauptkreise 

-. 1 —  =  1 

fang  a       fang  ß 

in  den  Punkten  A  und  B  geschnitten  werden ,  so  ist 

a^=^CA,  ß  =  CB. 
Wird  noch  vom  Anfangspunkte  C  auf  den  Uauptkreis  5)  die  Senk- 
rechte CL  gefällt  und  der  Winkel  ACL  mit  g>  bezeichnet,   so  ist  in  den 
rechtwinkligen  Dreiecken  A  CL  und  B  CL 

iang  CL  =  fang  acosq>=^  tang  ß  sin  q>. 
»Soli  nun  auf  dem  Hauptbogen  CL  ausserdem  auch  der  Hanptkreis 


tatig  Oi       tiingßi 
im  Punkte  Zj  senkrecht  stehen, 'so  ist  auch 

tätig  CL^^^~=  tatig  a^  cos  q>  ==  tang  ßi  sin  tp , 
folglich 

tatig  CL  tätig a     _  tatig ß 

tangCL^       tanga^       tangß^' 
Da  diese  Proportionen  von  dem  Winkel  tp,   welchen  die  Senkrechte 
C L  mit  der  ersten  Achse  bildet,   unabhängig  ist,  so  wird  durch  dieselben 
folgende  Eigenschaft  ausgedrückt: 

AVenn  auf  einem  Hauptkreise  zwei  andere  senkrecht 
stehen,  so  schneiden  diese  auf  allen  Hauptkreisen,  welche 
durch  denselben  Punkt  des  erste ren  gehen,  Stücke  ab,,  de- 
ren  trigonometrische  Tangenten  proportional  sind. 

Wegen  dieser  Eigenschaft,  welche  an  die  Parallelen  erinnert,  mögen 
hier  die  llauptbogen,  welche  auf  einem  durch  den  Mittelpunkt  C  gehenden 
Ilauptkreise  senkrecht  stehen,  gleichgerichtet  genannt  werden.  Der 
Punkt,  wo  gloichgerichtete  Hauptkreise  sich  schneiden,  liegt  in  der  Co- 
onlinntc  ÜK^  d.  i.  in  dem  Hauptkreise,  dessen  Mittelpunkt  C  ist. 


Kleinere  Mittheilan^n.  329 

§•  4.  Die  Haaptkreiae,  welche  die  confocalen  Kegelschnitte  1)  in  den 
Paukten  (|i})  and  {xy)  berühren,  sind 

nnd  die  Senkrechten/?  and  q^  welche  vom  Mittelpunkte  C  anf  diese  gefüllt 
werden,  sind  bestimmt  durch 

7)  _J_  =  _ll_+_3!_ 

ian^p       tan^a      tan^'b'* 

7»)  _i_=^!_+    ** 


iang*  q      iang^  0,       iang^  6, ' 

Sollen  nun  die  Berührenden  6)  gleichgerichtet  sein,  so  ist 

tan^üf   ian^a       tätig*  b^   iang^b 
lang  q'.iangp=s  — - —  :  -— —  =5  — - — :  . 

Ans  diesen  Proportionen  ergiebt  sich  sogleich 

ian^  q       a^     1*  ian^  a^ 

ian^ p '  ian^  a^         tang*  a    ' 

lang*  q       y*     if  tang*  ö, 

tan^p'  tan^b^  tan^b    ' 
nnd  weiter  durch  Summirnug  dieser  Werthe  unter  Anwendung  der  Glei- 
chung 1*)                        tang*q |*  lang*  a,       if  tang*b^ 

(ang^p         (ang*a  tang^b 

'Werden  nun  noch  für  tang*a^  und  ian^b^  die  Werthe  2)  eingesetzt,  so  entsteht 

ian^q fg*  (tang*a —  (ang*(t)       tj*  {tang*b  —  (awgr'ft)"!  1 

ian^p       L  tf^ng^ «  ian^  b  J  *  1  +  tang*^i 

Vi'      ,      1?' ..J    I'      .      1?^    \1  1 

Uang* a  "*"  ian^b  ^^\ian^a  "*"  tan^b) \  '  1  +  (ang^f^ ' 

^nd  durch  Einsetzung  der  Werthe  1)  und  7) 

lang^q  _  A  _  ^a^g^ftX  1 

tang*p       \        lang*p/  '  1  +  tan^  fi ' 
Hieraus  folgt  die  Gleichung 

iang*p  —  lang*u 

iang*  q  =  — - 

l  +  laftg^fi 

and  mit  dieser  ist  die  einfachere 

8)  cos  p  =  co8  q  cos  lA 

gleichbedeutend,  welche  folgenden  Satz  enthält: 

Werden  zwei  confocale  sphärische  Kegelschnitte  von 
gleichgerichteten  Hauptbogen  berührt  und  auf  diese  vom 
Mittelpunkte  Senkrechten  gefällt,  so  sind  diese  immer  Hj- 
pothenusc  nnd  Kathete  eines  rechtwinkligen  Dreiecks,  des- 
sen andere  Kathete  constant  ist. 


worin  der  Coef&cient  von  (  — --- )     durch  den  Ausdruck 


330  Kleinere  Mittheilangen. 

ZXVL  BemerkuBg  Uber  die  Bactiflcation  der  Ellipee.  —  Unter  c 
verschiedenen  Formeln  zur  Rectification  eines  aus  den  Halbachsen  «  a 
b  construirten  Ellipsenqnadranten  empfiehlt  sich  für  die  gewöhnlichen  Fl 
am  besten  die  Legendre*sche  Formel*) 

^=i»(«+.)ii+j(:-=i)'+A(^:)*+...i. 

\a  +  bj 

/l.8.5.7...(2n—3)Y 

\    2.4.6.8...  (2«)     / 

dargestellt  wird;   bei  sehr  excentrischen  Ellipsen  dagegen   differirt  < 

a  —  b 
Qnotient  — -—;  so  wenig  von  der  Einheit,  dass  die  Reihe  zu  langsam  : 

die  numerische  Rechnung  convergirt.  Nun  hat  zwar  Legendre  noch  ei 
zweite,  auf  den  letzten  Fall  passende  Formel  gegeben,  aber  die  Ableitü 
Legendre*s  gentigt  den  heutigen  Forderungen  nach  Strenge  nicht,  q 
wenn  man  diesen  Mangel  beseitigen  will,  so  wird  man  zu  einem  Gedanke 
gange  genöthigt,  der  wenigstens  für  den  ersten  Unterricht  in  der  höhei 
Analysis  nicht  verwendbar  ist.  Vielleicht  wird  man  folgende  Entwic) 
lung  brauchbarer  finden. 

Bezeichnet  ß  das  Verhältniss  ^ ,  so  ist 
■^  a 

0  0 

innerhalb  des  Integrationsintervalles  q>  =  0  bis  9>  =  ^tc  bleibt  ß  (an(^ 
nicht  immer  <  1 ,  daher  lässt  sich  j/l  +  /5*  lang^  q>  mittelst  des  binomisch 
Satzes  nicht  entwickeln  und  folglich  gicbt  es  auch  für  E  keine  Reil 
welche  schlechthin  nach  Potenzen  von  ß  fortschreitet.  Um  diesem  Ueb 
Stande  auszuweichen ,  muss  man  das  Integrationsintervall  verkleinern ,  u 
hierzu  dient  der  Fagnano^sche  Satz ,  dessen  Beweis  mittelst  der  Substii 

tion  tangtp  ^s^iangm  leicht  zu  führen  ist.     Nennen  wir  <pi  die  Amplituc 

welche  durch  die  Gleichung 


"'=/t=^ 


bestimmt  wird,  «,  den  zugehörigen,  vom  Endpunkte  der  kleinen  Halbacli 
an  gerechneten  Ellipsenbogen ,  und  s^  den  Ergänzungsbogen ,  so  haben  ? 
nach  dem  Fagnano*schen  Satze 


*;  Vergl  Jahrg.  II  (18Ö7)  d.  Zeitschr.  8.  49  und  414. 


Kleinere  Mittheilungen.  831 

ferner 

mithin 

E^=2Si  —  {a—b)=z2Si  —  a{l  —  ß) 

und  xngleicb  ist 

;:'       _. 

5,  =  ö  I  cosfp  yi  +  ß*  tang^  q>  dq>. 

0 
Mit  Hilfe  der  Substitution 


wird  daraus 


u 
tangq:  =  —=: 

Vß. 


0 
uid  durch  theilweise  Integration 

1 

Hier  kann  (1 +/?«•)""*  nach  dem  binomischi^n  Satze  entwickelt  werden, 
und  man  kämmt  dann  auf  einzelne  Integrale  von  der  Form 

1 


Die  Berechnung  derselben  geschieht  am  bequemsten  durch  eine  Ke- 
^^rsionsformel,  nämlich 


^.=*[^^-K^^^)]- 


Vß 

**<ad  e»  üt  dann 


jB=2«,  -^«(1  — (3). 
Als  Beispiel  mag  die  Annahme  a=l,  (3  =  0,1  dienen,    für  welche 
^ein  College,  Herr  Professor  Fort,  die  Rechnung  auseufiihren  die  Güte 
^«tte.     Es  findet  sich 

J^  =  0,4300768080,     ^,  =  0,2208789460,  - 
Jt  =  0,1&56448958,     A4  =  0,1174821776, 
J^  ==  0,09430748aS,     A^  —  0,0787558842, 
Aj  =  0,0676018713,     A^  =  0,05Ü21 


332  Kleinere  Mittheilungen. 


1  =  1 
A^ß  =0,0480976868  (— 


0,9569023132 
I  ^,/?«  =  0,0011493947  (+ 


0,9580517079 
li|  ^3  /?>  =  0,0000583668  {—] 


0,9579933411 
ii|i?  j4^  ß*  =  0,0000036713  (+ 


0,9579970124 
l~i|  ^3/?»  =  0,0000002579  (- 


0,9579967545 
l~il^,/?«  =  0,0000000194  (+ 


0,9579967739 

|~ij^^/?^= 0,0000000015  (— ; 


0,9579967724 
t^^^/3«  =  0,0000000001  (+ 


^,=0,9579967725 

E=  1,015993545 
übereinstimmend  mit  den  Tafeln  von  Kulik.     Da  die  obige  Reihe  mit 
wechselnden  Zeichen  convergirt,   so  liefern  je  zwei  aufeinander  folgende 
ZaUenwerthe  zwei  Grenzen,  awLschen  denen  «j. liegt,  und  ist  also  ein« 
Restuntcrsuchung  überflüssig.  Sculömilch. 


XXVn.  Heber  die  OleiohgewichtsoarYe  einer  proportional  dem  Wege 
ihres  Angrifftpnnlctet  sich  veränderten  Straft.  Von  Ed.  Jag.  Noeggeratu, 
Lehrer  an  der  königl.  Provinzial- Gewerbeschule  in  Saarbrücken. 

1.  Wenn  eine  veränderliche  Kraft  Pg  in  der  Richtung  ihres  gerad- 
linig fortschreitenden  Angriffspunktes  proportional  dem  zurückgelegten 
Wege  abnimmt,  so  kann  dieselbe  in  jeder  Lage  durch  eine  constante  Kraft 
0  im  Gleichgewicht  erhalten  werden.  Die  Richtung  der  constanten  Kraft 
werde  bei  diesem  Vorgänge  als  unveränderlich  angenommen  und  ausserdem 
vorausgesetzt,  dass  deren  Angriffspunkt  in  einer  Curve  fortschreitet  und 
mit  dem  Angriffspunkt  der  veränderlichen  Kraft  Px  durch  einen  gewicht- 
losen und  undehnbaron  Faden  derartig  verbunden  ist,  dass  derselbe,  von 
beiden  Kräften  angezogen,  mit  dem  einen  Endpunkt  in  der  Richtung  der 
Kraft  Pj  sich  bew.egt,  während  von  dem  anderen,  sich  auf  der  Curve  be- 
wegenden Endpunkt  aus  sich  ein  Fadenstück  über  einen  festen  Punkt  die- 
ser Curve  als  Sehne  einspannt.  Sei  (Fig.  1)  P.  die  proportional  dem  Wege 
z  abnehmende  Kraft,  a  deren  Angriffspunkt,  BN  die  Führungscurve  der 
constanten  Kraft  Q^  d.  h.  die  Gleichgewichtscurve  der  veränder- 
lichen Kraft  Pg,  und  seien  A  und  B  feste  Punkte,  über  welche  der  die 
Angriffapuukic  a  und  b  verbindende  Faden  hingleitet.    Bezeichnet  alsdann 


Kleinere  Mittheilnngen. 


333 


noch  AA^  =  r  den  Weg,  während  dem  die  Kraft  /V  von  P  bis  0  abnimmt, , 
ond  ist  die  Fadenlänge  so  abgemessen ,  dass ,  wenn  der  Angriffspunkt  a 
sich  in  A^  befindet ,  der  Angriffspunkt  b  \n  B  lief  und  in  dieser  Ausgangs- 
stellung P=0  ist,  so  folgt  für  den  Werth  P^  der  veränderlichen  Kraft 
nach  einem  Wege  z  die  Bedingungsgleichung : 

Pz       r—z 


und  hieraus 

1) 


..=(.-1), 


Während  der  Angriffspunkt  von  a  um  dz  vorrückt,  wird  daher  die 
mechanische  Elementararbeit 


P,.dz  =  (i  —  j\o.dz 


▼on  der  veränderlichen  Kraft  verrichtet.     Dabei  bewegt  sich  die  constante 


Gegenkraft  Q  mit  ihrem  Angriffspunkt 
darch  ein  Element  der  Curve,  dessen 
Projection  auf  der  Kichtung  von  Q 
gleich  dy  ist,  und  verrichtet  mechani- 
sche Arbeit: 

Q.dy. 
Das  Gleichgewicht  der  Kräfte  be- 
dingt aber  die  Differentialgleichung : 

woraus  sich 

fäy=.f(l-±).<lz, 


Fig.  1. 


2r  —  z 


z+C, 


vad  ind^m  man  das  Integral  von  0  bis  z  erstreckt: 

•rgiebt.     Aus  dieser  Gleichung  folgt ,  dass  y  für  z  =  r  ein  Maximum  wird, 
vnd  alsdann 


»=?' 


d.h.  die  Ordinate  des  tiefsten  Punktes  der  Curve  gleich  der  halben  Sehne 
itt,  welche  sich  von  diesem  nach  dem  Anfangspunkt  erstreckt. 

Nimmt  man  die  durch  B  gehende  und  auf  der  Richtung  von  Q  normal 
Stehende  gerade  Linie  behufs  Bestimmung  der  GV«\^Vi\^^V\^\i\&^\kr«^  B^ 


334  Kleinere  Mi tthei  langen. 

mittelBt  Polarcoordinaten  als  Achse  und  B  als  Pol  an,  ao  ist  die  Se 
Badins-Vector  und  der  von  z  mit  der  Achse  gebildete  Winkel  i 
Anomalie  der  Curve.     Da  nun 

sin  ^  =  — , 
z 

also 

2r — z 


sm  q> : 


2r     ' 

so  folgt  unmittelbar  für  die  Curve  die  Polargleichung : 
3)  «=:2r(l  —  5i/iy). 

Die  Linie  dieser  Gleichung  ist  aber  die  Epicycloide,  bei  wc 
Grund-  und  Erzeugungskreis  gleich  sind  und  den  Radius  r  haben ,  an« 
ihrer  herzförmigen  Gestalt  halber,  den  Namen  Gardioide  erhalten 
Der  als  Pol  angenommene  Punkt  B  (Fig.  2)   ist  dabei  der  beschreit 
P£^  2  Punkt  des  Erzeugungskreises   in  f 

Ausgangslage  auf  dem  Grundkreise 
die  Achse   ist  die  Tangente    in   dl 
Punkt  an  den  Grundkreis.   Eine  ein 
Construction    für   Punkte    dieser    ( 
folgt  aus  3).     Schlägt  man  nämlich 
ABz=s2r  einen  Ealbkreis,  macht  Ai 
Bb'  =  Bb  und  zieht  A b\  so  ist  der  TV 
BAb'  gleich  gp  und ,  wenn  man  Ac  =  Ab  macht,  c  ein  Punkt  der  Cur^ 
Zur  näheren  Bestimmung  der  für  den  vorliegenden  Fall  bemerl 
wcrthen  Eigenschaften  der  Gardioide  bilden  wir  zunächst  aus 

2  =  2  r  (1  —  sin  <p) , 

-— =  —  2r  coswy 
dtp 

--  =  2rsi/ig), 

und  finden  alsdann  durch  Substitution  dieser  Werthe  in  der  allgemi 
Gleichung  des  Krümmungsradius: 

[■•+(S)T  • 


für  die  Gardioide : 


/dz\*         d^z 
[4r*  (l  —  sin  qp)*  +  4r*  cos*q>]i 


4  r*  (l  —  sin  ip/  +  8r*  cos*  tp  —  4  r*  (1  —  sin  (p)  siü  tp ' 
4)     j       _  4r^27l  —  5f;iy)'  ^ 

1  +  sin^tp  —  2  sin  gp  +  2  cos*  q>  —  sin  g>  +  sin*q>^ 


Kleinere  Hittheilungen. 


335 


lud,  wenn  man  berücksiehtigt,  dass  aus 

2  =  2r  (1  — ^'t  9), 

z 

—  =  2  (1  ^ —  sin  tp) 

folgt,  and  diesen  Werth  in  4)  einsetzt: 

Aus  2)  ergab  sich  für  2  =  r 

r 

Qnd  aus  3)  ergiebt  sich  für  diesen  Werth  von  z 

««9  =  4. 
wjlhrend  5)  für  den  dadurch  bestimmten  Punkt 

6)  i^-^%r 

feststellt  Hieraus  folgt  denn  aber,  dass  die  nach  dem  tiefsten 
Ponkt  von  dem  Pol  ausgehende  Sehne  der  Cardioide  mitder 
Achse  einen  Winkel  von  30"  bildet  und. der  Krümmungsradius 
dieses  Punktes  der  Curve  gleich  \r  ist. 

2.   Beschreibt  man  über  der  von  dem  Pol  B  nach  dem  tiefsten  Punkt  iV^ 
desalsOleicligewichtscurve  die- 

nenden    Cardioidenbogens    Bl^  **    • 

(Fig.  3)  ein  gleichseitiges  Drei- 
eck BfiO^  so  hat  der  Kreisbogen, 
welcher  von  der  Ecke  0  dieses 
Dreiecks  ans  mit  der  Seite  durch 
die  beiden  anderen  Ecken  B  und 
^besehriebenwird,  den  höchsten 
ond  tiefsten  Punkt  mit  dem  Car- 
dioidenbogen ,  diesen  im  letz- 
teren Punkt  berührend,  gemein, 
i^  Ifttsteren  Umstandes  und  der 
Eigenschaften  ^q.^  gleichseitigen 
I>reieck8  halber  folgt  für  beide 
innren  als  gemeinsame  Eigen- 
schaft, dass  die  Sehne  ^  ^V 
^  2 .  NB^  d.  h.  doppelt  so  gross, 
^1*  die  Entfernung  des  tiefsten  Punktes  iV  von  der  durch  den  höchsten 
^Qnkt  B  gehenden  Achse  ist. 

Betrachtet  man  daher  0  als  AufhMngepunkt  eines  Kreispendels,  dessen 
L^Dge  OB  -=^0^  =  r  ist,  so  wird  dasselbe,  während  der  Angriffspunkt 
^^  Kraft  Pf  um  r  fortschreitet,  einen  Aussehlag  von  der  höchsten  bis  zur 
tiefsten  Stellung  machen,  wenn,  wie  im  vorigen  Falle,  zwischen  den  An- 
SHbpnokten  a  und  b   der  veränderlichen  Kraft  P«  undi  \\ii^%  CQWft\.%xv\A'& 


336  Kleinere  MittheiluiiKen. 

Gegengewichts  Q  ein  gewichtloser  and  undehnbarer  Faden  ein 
ist.  Die  Componente  Qq,  der  Kraft  Q ,  welche  bei  der  durch  den  ^ 
gegebenen  Stellang  des  angespannten  Fadens  der  veränderlichen 
entgegen  wirkt,  findet  sich,  wenn  wir  den  Winkel,  den  in  die 
das  Pendel  mit  seiner  Aasgangsstellung  bildet,  ^  nennen,  mil 
Proportion : 

ß^  :  0  =  ««  (60  •  —  1^)  :  sin  (go  •  —  |.  j , 

Qcos^.j/^—sinii} 

cos-^ 
2 

Berücksichtigt  man,  dass,  wenn  wir  auch  hier  Bh  s=sz  nennen, 

.  -^        « 
2        2r' 


^ ^4r» — 

also 


z* 

^^*  t:  =  - — :; > 

2  2r 


z 


sin^  =  ^yAT^—z\ 
2r*  —  z* 


ro5  t^  = 


2r« 


ist,  so  folgt  ans  jener  Gleichung: 

o)  vv  =  -r- /    ,       , 1 

2  r/4r*— z« 

während  sich  bei  der  Cardioide  die  der  Stellung  z  entsprechend« 

Bichtung  der   angespannten  Sehne  wirksame  Componente  des   ( 

wichts  Q  mittelst 

r 
ergab.    Das  Verhältniss  beider  Kräfte ,  in  durch  gleiche  Sehnen  bi 
ten  Stellungen,  ist  demnach 

9)  fi^  2(r-t)/i7^^:i^ 

Qtp       (2r»  — z»)^3  — t/iTTZp' 

oder,  wenn  z  =  —  r,  unter  m  und  n  ganze  positive  Zahlen  verstai 
setzt  wird, 

Oip       (2  /!»—  m*)  ^3  —  m  j/4f^—  m« ' 
Wird  /!  =  10  angenommen  und  werden  für  m  die  aufeinander  f 
ganzen  Zahlen  von  0  bis  10  gesetzt,  so  erhält  man  für  jenes  Vi 
folgende  FVerthe: 


Kleinere  Hittheilungen. 


337 


m 

0^ 

0 

1,1547 

1 

1,1073 

2 

1,0626 

3 

1,0106 

4 

1,9786 

5 

0,9388 

6 

0,9000 

7 

0,8621 

8 

0,8246 

0 

0,7846 

10 

o 

V      1 

Diese  Tabelle  zeigt  aber ,  dass  zwischen  0,3  und  0,4  der  Länge  der 
Sehne  vom  höchsten  biä  znm  tiefsten  Pnnkt,  d.  h.  zwischen  0,3  nnd  0,4  des 
Weges  der  veränderlichen  Kraft,  beim  Kreispendel  die  thätige  Compo- 
Hente  des  Gegengewichts  gleich,  unterhalb  dieses  Wegtheils  kleiner  und 
oberhalb  desselben  aber  grösser  ist,  als  zur  Herstellung  des  Oleichgewichts 
bedingt  wird,  dass  diese  Differenzen  innerhalb  verbal tnissmässig  en- 
ger Grenzen  schwanken  und  ein  Kreispendel  der  vorbeschriebenen  Art 
daher  als  eine  näherungsweise  functionirdende  Vorrichtung  zur  Herstellung 
des  Oleichgewichts  bei  einer  proportional  ihrem  Wege  abnehmenden  Kraft, 
s.  B.  zur  Gompensation  des  Gewichts  einer  sich  auf  einem  Rade  aufwickeln- 
den Kette,  benutzt  werden  kann.  Um  zu  ermitteln,  bei  welcher  Stellung 
•in  derartiges  Pendel  der  gestellten  Anforderung  genttgt,  bei  welcher  Stel- 
lung desselben  also 

Pz==Ofp 

ist,  setzen  wir 

2  (n  —  m)  /4n«— m*  =  (2 n*  —  m*)  }/l—  m  j/in^^ m*, 
nnd  bilden  hieraus 

(4n»+»ii*  — 4nm)  (4n*  — m«)  ==  (2«*— m«)«.  3, 

(«•  +  m*)  (n  +  m)  —  3«'m  =  nm  (n  +  m) , 

m* — 3n'm  +  n'  =  0. 

Dies  gewährt  für  m  eine  reducirte  cubische  Gleichung  und  in  deren  Wurzel 

m  =  0,3472  .  n 
die  Bestimmung  der  gesuchten  Stellung.     Dieser  Werth  zeigt  nun,  dass 
diese  Stellung  nahe  an  ^  des  Weges  liegt,  welcher  vom  Angriffspunkt  der 
veränderlichen  Kraft  beschrieben  wird. 

Beschreibt  man  zu  dem  als  Gleichgewichtscurve  bedingten  Cardioiden- 
bogen  ^iV(Fig.  4)  die  Evolute,  benutzt  den  dem  tiefsten  Punkt  iV entspre- 
chenden Punkt  iV  derselben  als  Aufhängepunkt  eines  Pendels  von  der 
Länge  NN'  =  ^  r,  dessen  Faden  sich  an  den  Evolutenbogen  N' B  anlegt, 
während  der  Angriffspunkt  N  auf  dem  Cardioidenbof^^u  B  li  ^v^  ^^^q^  ^ 

ZeiUcbHA  f.  AUihciualik  o.  i'hysik.    VI,  5.  *3A 


338 


Kleinere  Hittbeilungen. 


^^N^<<'W«>^>i/WV^'V>^WN^W%^^'^'<^^»>^^»^^^^»Vi^W<^^^^l»^M^^^»^^''^*»^Vt<WX       »" 


nach  B  bewegt,  und  mit  dem  Gewicht  0  c=  i' belastet  ist,   so  erhält  m: 
in  einem  derartigen  Cardioidenpendel  eine  absolut  genaue  Compe 

N'    sationsvorrichtung  ftir  eine  von 


k 


bis   0    proportional     ihrem    We   .^e 
BN=r  abnehmende  Kraft 

3.    Wenn  die  Kraft  P^   nicz=bt 

proportional  dem,  von  ihrem    ^     n 

I       griffspunkt  bei  seinem  Forts  ehr «^i- 

1       te n  zurückgelegten  Wege  abnim^c— nt, 

I       sondern  proportional  diesem  Wr       g^ 

zunimmt,  und  zwar  dabei  von  d    ^m 

Werthe  0   bis  P  wächst,    währ^snd 

der  Weg   2r   von   ihrem  Angri    -^s- 

—  'AT    punkt  zurückgelegt  wird,  so  ist  -^cder 

Werth  Pg^  den  die  Kraft  nach  X>  em 

Wege  z  annimmt ,  bestimmt  dnr  ^b  : 

P=—    P 

und  wenn,  auch  hier  unter  iß  ^as 
Gegengewicht  verstanden ,  P  =  ^Q 
gesetzt  wird, 


Hieraus  folgt  dann  aber,   als  Bedingung  des  Gleichgewichts,   mit  Bcäu^ 
auf  Fig.  5, 

—  0.dz—Q.dx  =  0, 
2r 


dx  =  —  z  ,  dz. 
2r  ' 


a:  =  —  2«  +  C. 
4r 

Da  aber,  wie  unmittelbar  aus  der  Figur  5  erhellt, 

so  ergiebt  sich ,   indem  man  das  Integral  von  0  bis  z  erstreckt  und  diesen 
Werth  für  t*  substituirt, 


y.  =  ^(2^_^). 


2r 


Dies  ist  aber  Gleichung  des  Kreises  vom  Radius  — ,  dessen  Peripherie 
dnrcb  den  -An/aiigspunkt  (Fübrungav^^^^)  ^  S®^*  ^^^  dessen  Mitte  auf  der 


Kleinere  Mittheilungen. 


339 


'K 


I 

i 


liegt ,   welche  durch  diesen  Punkt  parallel  mit  der  Richtung  der 

ichen  Kraft  Pz  gezogen  wird. 

Q  der   Angriffspunkt  von  Q  auf 

herie  dieses  Kreises  die  tiefste 

ingenommen  hat,  so  ist  die  Sehne 

dem  Gesammtwcge  2r  der  ver- 

m  Kraft  i^,.   Bezeichnet  2a  den 

I  z  gehörigen  Mittelpunktswinkel, 

emein ;  *^  ( 

z  =  2  —  51/1  a , 
n 

en  tiefsten  Punkt: 

2r    .    n 
2r  =  2  .  —  «m  — , 
n  2 

n  =  2  5t/i  — , 
2  ' 

n  =  2, 

snrorgeht,   dass  n  zwischen  den  Grenzen  0  bis  2  gewählt  werden 

lern  Umstände,  dass  die  Cardioide,  deren  Bestimmungskreise  den 
laben ,  Gleichgewichtscurve  für  eine  Kraft  ist ,  welche  proportio- 
Wege  von  P  bis  0  abnimmt,  und  dass  der  Kreis  vom  Badius  r 
richtscurve  für  eine  Kraft  ist,  welche  proportional  ihrem  Wege 
/^annimmt,  folgt,  dass  beide  Curven  Gleichgewichtscurven  für 
lind ,  wie  schon  J.  Bernoulli  in  anderer  Weise  dargethan  hat. 
it  man  den  Ausgangswerth  der  von  P  bis  0  proportional  ihrem 
egten  Wege  abnehmende  Kraft  nicht  gleich  der  constanten  Ge- 
sondern gleich  einem  Vielfachen  derselben ,  setzt  also  auch  fiier 

B  Bedingung  des  Gleichgewichts,  mit  Bezug  auf  Fig.  1 

( 1  —  —  j  n  .  e/2  —  dy  =  0, 

2r—z 
2r 

y 

IS  die  Polargleichung  der  Cnrve 

2  =  2r  ( 1 $inq>]. 

mum  von  y  liefert  den  tiefsten  Punkt  det  Cwxn^.    \>\^%  >ö^\«L>fr\ 


340  Kleinere  Mittheilungen. 


^*\,^\.^»i.y^.^^^^/%^S^>^^^^^^t^^^^^»^>^^^^^^^^^^^^^^^%^^^l^^^l^^^^^^»MW<#*^ 


"^  =  w  — w-  =  0, 

dz  r 

Z=rzr. 

Für  den  tiefsten  Punkt  ergiebt  sich  daher  die  Anomalie  ans  der  Gleichiuig 


••=2rf  1 sinq>\ 


durch 


n 

stn  w  z=  — 
■  2  ' 


und  hieraus  der  Maximalwerth  von  n  auch  in  diesem  Falle 

«  =  2. 


XXVm    lieber  arithmetische  Progressionen  von  Prinuahlen.  —  In 

den  Meditationes  algehraicae  von  Waring  (Cantubr.  1770)  werden  ohne  Be- 
weis einige  Sätze  über  Primzahlen  ausgesprochen;  Sie  heissen  folgender- 
massen :  Stehen  drei  Primzahlen  in  arithmetischer  Progression ,  so  ist  iblT 
Unterschied  durch  6  theilbar,  wenn  nicht  eine  derselben  die  Zahl  9  ist^ 
stehen  5  Primzahlen  in  arithmetischer  Progession ,  so  ist  ihr  Unterschied 
durch  30  theibar,  wenn  nicht  eine  derselben  die  Zahl  5  ist.  Lagrange 
bewies  beide  Sätze  in  seiner  Abhandlung  über  das  gleichfalls  ohne  Be- 
gründung bei  Waring  zuerst  veröffentlichte  Wilson 'sehe  Theorem  (Nou- 
veaux  Memoires  de  Vacademie  de  Berlin,  anne  1771,  pag,  134  ff.) 9  dehnte  den 
Beweis,  jedoch  ohne  ihn  auszuführen,  auf  einen  entsprechenden  Satz  über 
7  Primzahlen  aus  und  knüpfte  sogar  noch  ein  „und  so  weiter*'  daran. 
Trotzdem  ist  der  allgemeine  Satz  meines  Wissens  noch  nirgends  ausge- 
sprochen. Ich  will  ihn  deshalb  hier  mittheilen  und  zugleich  einen  Beweis 
liefern,  der  sich  von  dem  Lagrange'schen  in  vielen  Beziehungen  unter- 
scheidet, wie  er  auch  unabhängig  von  demselben  entstanden  ist.  Der  Satz 
selbst  heisst: 

Ist  p  eine  Primzahl  und  2,  3,  5,  7  . .  ./>  das  Product  sämmtlicher 
Primzahlen  bis  zu  /?,   so  lässt  sich  keine  arithmetische  Progression 
von  /> Primzahlen,   unter  welchen  die  p  selbst  sich  nicht  befindet, 
aufstellen,   ohne*  aass   die  Differenz   der  Progression   durch  jenes 
Prodnct  theilbar  wäre. 
Setzt  man  in  diesen  Satz  p  =  2,   so  nimmt  er  die  ohne  Weiteres  ein- 
leuchtende Gestalt  an:   die  Differenz  zweier  Primzahlen,   unter  welchen 
die  2  nicht  ist,  welche  also  beide  ungerade  sind,  ist  durch  2  theilbar,  d.  h. 
gerade. 

Wird  p  =  3  und  7?  =  5  gesetzt,   so  entstehen  die  von  Waring,   bei 
/>  =  7  der  von  Lagrange  bemerkte  Specialfall. 

Zum  näheren  Beweise  des  Satzes  mögen  einige  Bezeichnungen  und 
Benennungen  hier  eingeführt  werden.     Bo  oft  von  einer  Progression  die 


Kleinere  Mittheilungen.  341 

Rede  ist,  soll  immer  eine  arithmetische  Progression  gemeint  sein,  deren 
sämmtliche  Glieder  Primzahlen  sind.  Die  unmittelbar  nach  p  in  der 
Zahlenreihe  folgende  grössere  Primzahl  heisse  q.  Das  Prodoct  der  Prim- 
zahlen 2 ,  3 ,  5  . .  •  p  soll  durch  Tl^p) ,  also  auch  das  Product  2 ,  3 ,  5  . . .  p  .  ^ 
=zq,  i7(^)  durch  Il^q)  bezeichnet  werden.  Die  Difforeuz  einer  J9gliedrigen 
Progression ,  in  welcher  p  selbst  nicht  vorkommt ,  soll  Dp  heissen.  Kommt 
hingegen  p  in  der  ji^gliedrigen  Progression  vor,  so  soll  die  Differenz  dp 
heissen. 

Der  zu  beweisende  Lehrsatz  hat  nun  zwei  Seiten,  eine  positive  und 
eine   negative.      Letztere    ist   an    sich   einleuchtend.      Denn    da   sowohl 
j[>  +  n.  i7(p)  als  /?  —  n  .  II^p)  durch  p.  theilbar  und  somit  keine  Primzahlen 
sind ,  so  kann  nnmöglich  dp  =  n.  TI^p)  sein. 

Die  positive  Seite  des  Satzes  aerfiällt  wieder  in  zwei  Theile,  in  die 
TJntersnchung  von  Dp  und  von  dp.  Es  ergab  sicl\,  dass  bei  /?  =  2  in  der 
That  />t  durch  Il^t)  theilbar  ist.  Der  Satz  sei  nun  richtig  bis  zur  Prim- 
zahl /i,  und  es  soll  daraus  bewiesen  werden ,  dass  auch 

/>j  ^  0  {mod  /7(j)). 

Die  erste  Primzahl  in  der  jetzt  ^gliedrigen  Progression  ist  jedenfalls 

durch  q  untheilbar,  also  ^  a  {mod  q)^  wo  a  eine  der  Zahlen  1, 2,  3  .  • .  {q — 1) 

bedeutet.     D^  dagegen  ist,   wenn  auch  vielleicht  nicht  durch  i7(,),  doch 

Jedenfalls  durch  I^p)  theilbar,  wie  im  Zusammenhange  mit  der  Erforschung 

dp  nachher  gezeigt  werden  soll.     Man  kann  somit  behaupten 

i>,  =  i8./7(p,  (modiJ,,,), 
^o  ß  eine  der  Zahlen  0 ,  1 ,  2 ,  3 . . .  (g  ^  1)  bedeutet. 

Nun  würde  ß  =  0  die  Wahrheit  unseres  Satzes  anerkennen.  Alle 
anderen  Werthe  von  ß  enthalten  aber  einen  Widerspruch  in  sich.  Diese 
anderen  Werthe  lassen  nämlich,  da  sowohl  ß  •  (i7(|,)  als  1,  2,  3  ...  (^  —  1) 
gegen  q  relative  Primzahlen  sind,  nach  einem'  der  ersten  Sätze  aus  der 
Lehre  von  den  Congruenzen 

ß.Htp),  2j5.J7(p),  3i5./7jp,...(y-l)i5.i7rp) 
sämmtlich  für  den  Modulus  q  incongruent  sein.     D.  h.   die  Vielfachen  der 
Differenz  Dq^  nämlich 

l.Dq,  2.Dq,  Z.Dq...{q  —  l)Dq, 
entsprechen  für  den  Modulus  q ,  wenn  auch  nicht  in  derselben  Reihenfolge 
den  Zahlen 

1,  2,  3...  (5^-1). 
Welcher  Zahl 

(^  —  1),   (5^-2),  (q  —  ^).  ..1 
also  auch  der  Rest  a  des  ersten  Gliedes  der  Progression  gleichkommt,   ir- 
gend ein  folgendes  Glied  muss  durch  q  theilbar  sein ,  ist  also  keine  Prim- 
zahl mehr.    Demnach  kann  nur  j3  =  0,  d.'h.  Dq  durch  U^q)  theilbar  sein. 

Es  bleibt  noch  der  Nachweis  der  dabei  gemachten  Voraussetzuijg 
Dq^O  (mod  II(p))  übrig. 


342  Kleinere  Mittheilungen. 

Gehen  wir  wieder  von  der  Primzahl  2  aus ,  so  ist  offenbar 
Df^O  (mod  2) ,    d,  ^  1  (mod  2). 

In  den  Progressionen  von  zwei  Gliedern,  in  welchen  die  2  yorkommt, 
kann  sie  entweder  die  zweite  Stelle  einnehmen  (l  —  2),  oder  die  erste 
(z.  B.  2  —  13). 

In  Bezug  auf  die  Primzahl  3  wird  die  Progression  1  —  2  —  3  (die  ein- 
zige mehr  als  zweigliedrige,  in  welcher  auch  die  2  vorkommt)  einen  eigen— 
thümlichcn  Ausnahmefall  in  mehr  als  einer  Beziehung  bilden.  In  allen 
übrigen  Fällen  muss 

i>,  =  0(morfi7(,)), 
also  auch 

i>,=0  (wodi7(,)) 
sein,  und  gleichfalls  mit  Ausnahme  jener  einen  Progression  iat 

d^^O  (mod i7(,)). 

Unter  den  dreigliedrigen  die  3  enthaltenden  Progressionen  giebt  es 
eine,  in  welcher  die  3  an  letzter  Stelle  steht:  I-72 — 3,  eine,  in  welcher 
sie  an  zweiter  Stelle  steht  nnd  welche  auch  noch  auf  vier  Stelleu  ausge- 
dehnt werden  kann:  1  —  3 — 5 — 7,  in  allen  übrigen  nimmt  die  3  nothwen- 
dig  die  erste  Stelle  ein.  Da  nun  J)^  von  d^  wesentlich  verschieden  ist,  so 
kann  3  keine  viergliedrige  Progression  beginnen,  also  sicher  in  keiner  fünf- 
gliedrigen  vorkommen ,  ebensowenig  wie  in  einer  solchen  die  2  enthalteim 
sein  kann. 

So  ergiebt  sich  auch  für  die  Primzahl  5,  dass,  mit  Ausnahme  jener 
zweiten  exceptionellen  Progression  1 — 3—5  —  7,  immer  J)^  durch  JJjjj,  also 
auch  durch  iJ^;^)  und  d^  durch  FJ^^^  theilbar  ist,  sowie  dass  jede  fünfgliedrig9 
die  5  cuthaltende  Progression  mit  dieser  Primzahl  beginnen  muss,  das:» 
also  endlich  keine  mehr  als  fünfgliedrige  Progression  die  Primzahlen  2,  3,  ^ 
enthalten  kann.  ' 

Denken  wir  uns  auch  diese  Sätze  weiter  fortgeführt  bis  zur  Primzahl 
^,  so  dass  Dp  durch  iJ^^)  theilbar  und  p  in  keiner  mehr  als  /> gliedrigen  Pro- 
gression vorkommen  kann,  so  wenig  wie  die  vorhergehenden  Primzahleim 
2,  3,  5  .  ..  Daraus  folgt  zunächst  l>q  ^  0  (mod  Tl^p))^  also  auch  Dq  ^O 
(mod  n(q^)  und  dg  ^  0  (mod  /7(p)).  In  Bezug  auf  die  q  enthaltenden  Pro- 
gressionen von  y Gliedern  waltet  noch  der  Zweifel,  ob  diese  Primzahl  an. 
erster  oder  zweiter  Stelle  stehen  wird,  da  ja  nicht  bewiesen  worden  ibt-, 
dass  die  1  in  dieser  Progression  nicht  vorkommen  könne.  Die  Frage,  un- 
ter welcher  Bedingung  die  y  an  zweiter  Stelle  sich  befinden  kann,  lassC 
sich  sogar  heuntworten. 

Nämlich  unter  dieser  Voraussetzung,  dass  1  das  erste,  7  das  zweite? 
Glied  der  Progression  wäre,  ist 

l"nl;^lich  (/  —  1  durch  ll^p)  theilbar,  folglich  sicherlich 


Kleinere  Mitthciluiigon.  '   343 

Ferner  hat  schon  £aclid  bewiesen,  dass  /7(p)+l  g^g^n  jede,  das 
Prodact  ^^p)  bildende  Primzahl  thcilerfremd,  also  selbst  Primzahl  oder  we- 
nigstens nur  darch  höhere  Primzahlen  als  p  theilbar  ist.  Da  aber  q  die 
nächst  höhere  Primzahl,  so  muss 

sein.    Diese  beiden  Bedingungen  sind  gleichzeitig  nur  durch 

<jr  =  2,  3,  5  .  .  .  ^  + 1 
SU  erzielen.  Wenn  es  also  möglich  sein  sollte,  dass  eine  ^gliedrige  Pro- 
gression statt  mit  q  mit  1  und  dann  erst  q  anfinge,  so  kann  es  nur  dann 
eintreten,  wenn  die  auf  jd  in  der  Zahlenreihe  folgende  nächst  höhere  Prim- 
zahl g=:  17(1») +  1  wäre,  ein  Fall,  der  sehr  unwahrscheinlich  klingt,  wie- 
wohl der  Beweis  seiner  Unmöglichkeit  mir  nicht  gelungen  ist. 

Keinesfalls  würde  diese  Möglichkeit  an  der  Richtigkeit  unseres  Haupt- 
satzes etwas  ändern.  Denn  wenn  q  das  zweite  Glied  einer  ^gliedrigeu 
Progression  ist,  so  kann  es  wegen  der  Verschiedenheit  von  Dg  und  dq  doch 
höchstens  in  einer  (7  + 1)  glicdrigcn  Progression  vorkommen,  in  einer 
(^  +  2) gliedrigen  schon  nicht  mehr,  wäbrend  die  auf  y  folgende  nächst 
höhere  Primzahl  r>^  +  2  sein  muss,  und  es  ja  bei  dem  Gange  des  Be- 
weises nur  darauf  ankommt,  dass  weiter  in  der  rgliedrigen  Progression 
die, 2,  3,  5  ...;?,  ^  nicht  vorkommen  könneq. 

Ein  hier  sich  anschliessender  Satz,  dessen  strenger  Beweis  mir  bis- 
her noch  nicht  gelungen  ist,  heisst:  Drei  auf  einander  folgende  Primzahlen 
Pi  9>  ^^  unter  welchen  die  3  sich  nicht  befindet,  können  nicht  in  arithmeti- 
scher Progrcsision  stehen.  Die  Ausnahme  wurde  natürlich  der  auch  hier 
Wieder  auftretenden  Reihen  1  —  2—3  und  3—5 — 7  wegen  ausgesprochen. 

Cantob. 

XZDL    Dantellnng  des  Sauerstoffe!  von  E.  Sainte- Ciaire  De- 
WiUe  und  E.  Debray. 

Die  genannten  Gelehrten  empfehlen   zur  öconomischen  Darstellung 
des  Sauerstoffgases  das  schwefelsaure  Zinkoxyd,  welches  man  ja  bei  gal- 
vanischen Apparaten   in  so  grossen  Quantitäten  als  Nebenproduct  erhält 
Und  an  dessen  zweckmässige  Verwendung  sich  bekanntlich  die  Frage  über 
die  Anwendung  der  galvanischen  Apparate   als  Motoren  anknüpft.     Das 
schwefelsaure  Zinkoxyd  zersetzt  sich  nämlich  bei  einer  Temperatur,   die 
die   Zersetzuugstemperatur   des  Braunsteins  nur  um   weniges  übersteigt, 
vollständig  in  weisses  leiclites  Zinkoxyd,   in  schweflige  Säure  und  freien 
Sauerstoff.     Leitet  man  das  in  einem  geschlossenen  Räume  erzeugte  Gas- 
gemisch durch  einen  Waschapparat  voll  Natronlauge ,  so  erhält  man  dop- 
pelt schwefelsaures  Natron,  was  man  zur  Herstellung  von  untcrschweflig- 
saurem  Natron  benutzen  kann,  mau  kann  das  durch  Wnschou  mit  Natruu- 
lango  rein  erhaltene  Sauerstoffgas  zu  irgend  einem  industrioUeu  Zwecke 
benutaeu,  während  das  beim  Erhitzen  zurückblcibeude  Zuvkv^^^«i\!^v^\^\KN\v:;c. 


344   '  Kleinere  Mittheilungen. 

Weise  eine  Verwendung  als  Zinkweiss  finden  kann.  So  scheint  denn  ^acmViVi 
die  billige  Anwendung  galvanischer  Ströme  für  diejenigen  Etablissements 
möglich  zu  sein,  die  eine  nützliche  Anwendung  von  Sauerstoffgas  xa 
machen  wissen.  (Zeitschr.  f.  Chemie  u.  Pharmacie,  IV.  ^ 


XXX.   Keues  Metall.  —  Auf  spcctralanaljtischem  Wege  hat  Bunas   en 
ein  neues  Metall  entdeckt,   welches  sich  in  den  Kreutznacher  und  Difi  vk- 
heinier  Soolquellen  und  in  der  Thermalquelle  Ungemach  zu  Baden-  Ba^rien 
vorfindet.     Bunsen  hat  demselben  den  Namen  Caesinm  von  caesius  (bl  «o- 
grau)  gegeben,  weil  es  zwei  blaue  Spectrallinien  erzeugt.     Der  Entdecicer 
hat  bereits  30^*  Caesiumchlorid  dargestellt,   so  dass  man  bald  auf  weitere 
Mittheilungen  hoffen  kann.    (Zeitschr.  f   Chemie  u.  Pharmacie,  IV.)     -Ans 
einem  spUtereu  Briefe  Bunsen's  theilt  Roscoe  (CAem.  News  1861,  155)  fol' 
gende  Stelle  mit:    ,,r)ie  Substanz,  welche  ich  Hinen  als  unreines  Caesium^ 
tartrat  geschickt  habe,   enthält  ein    zweites  neues  Alkalimetall.     Ich  hixß- 
eben  damit  beschäftigt,  seine  Verbindungen  darzustellen  und  werde  Ihnea 
bald   eine  ausfülirliche  Mittheilung  darüber  machen.     Das  Spectrum  des 
neuen  Metalls   besteht  aus   zwei   violetten  Linien,   welche  zwischen  der 
Strontium  d-  und  Kalium  ß-hinie  liegen/* 


XXXI.  lieber  die  Existenz*  einet  Yierten  Metalls  der  Caloinmgrnppe.— 

F.  W.  und  A.  Du  pro  (Chetn.  Nervs  18(51,  116)  geben  an,  dass  sie  in  dem 
C^ucllwasser  aus  grösserer  Tiefe  ein  solches  Metall  mit  Hilfe  des  Spectral- 
npparats  aufgefunden  haben.  Dasselbe  bringe  zwischen  der  Strontium  d- 
und  der  Kalium  /S- Linie  eine  mit  der  Strontium  d- Linie  in  Bezug  auf 
Glanz  und  Scharfe  rivalisironde  blaue  Linie  hervor.  (Die  Lage  dieser 
einen  blauen  Linie  w.äre  demnach  eine  ähnliche,  wie  die  der  zwei  vio- 
letten Linien,  welche  das  neueste,  von  Bunsen  entdeckte  Alkalimetall 
hervorbringt.)  Es  ist -den  Verfassern  nicht  gelungen,  die  Verbindungen 
des  neuen  Metalls  von  Calciumverbindungen  vollkommen  rein  darzustellen. 
W.  Crookes  (Chcm,  News  18G1,  120)  macht  hierzu  die  Bemerkung,  er 
habe  bei  seinen  Spectralbeobachtungen  während  der  letzten  acht  Jahre  ge- 
legentlich bemerkt,  dass  das  Calciumspectrum  eine  blaue  Linie  enthalte. 
Er  habe  jetzt,  veranlasst  durch  die  Publication  der  Herren  Duprd,  mit 
einem  vollkommenen  Spectralapparat  Kalksalze  von  dem  verschiedensten 
Vorkommen  untersucht  und  gefunden ,  dass  alle  eine  blaue  Linie  zwischen 
Strontium  d  und  Kalium  j3  erzeugen ,  die  ungefähr  zwei  Mal  so  weit  ent- 
fernt von  der  ersten,  als  von  der  letzten  erscheint.  Diese  Linie  sei,  wie 
die  Herren  Dupre  angeben,  in  Glanz  und  Schärfe  mit  Strontium  6  äber- 
einstimmend.  Er  glaubt  aus  seinen  Versuchen  schliessen  zu  dürfen ,  dass 
diese  blaue  Linie  einen  integrirenden  Bestanrftheil  des  Calciumspectrums 
ausmache. 


Kleinere  Mittheiinngen.  345 

Sefaliesslich  warnt  der  Verfasser  die  Experimentatoren  davor,  dass  sie 
sich  n  Tiel  auf  die  chromolithographischen  Abbildungen  der  Spectren, 
welche  In  dem  Philosophical  Magazine  abgedruckt  sind,  verlassen.  Abge- 
sehen von  den  Unterschieden  in  der  Erscheinung  eines  Metallspectrums, 
irelehe  durch  die  Verschiedenheit  in  der  Intensität  des  Lichts  und  in  dem 
I^archmesser  des  Spalts  verursacht  werden,  müsse  Jeder,  der  einmal  die 
plinsenden  Linien  durch  ein  gutes  Instrument  gesehen  habe,  vollkommen 
die  Hoffnung  aufgeben,  dieselben  —  besonders  lithographisch  —  abbilden 
zu  können.  Bunsen's  und  KirchhofTs  Beschreibung  und  Illustrationen 
Beien,  so  weit  sie  gingen,  ausgezeiclinet,  sie  hätten  aber  bei  weitem  nicht 
den  Gegenstand  erschöpft.  Ein  aufmerksamer  Beobachter  würde  leicht 
noch  Linien  und  andere  Erscheinungen  bemerken,  deren  sie  nicht  erwähnt 
batten,  welche  aber  jedenfalls  in  solche  Abbildungen  aufgenommen  wer- 
den müssten ,  wenn  dieselben  die  Spectra»  mit  einiger  Genauigkeit  wieder- 
sahen sollten.  Er  sei  im  Augenblick  mit  der  Darstellung  solcher  Abbil- 
dungen beschäftigt  und  werde  sie  roittheilen ,  sobald  sie  vollendet  seien. 
•  (Zeitschr.  f.  Chemie  u.  Pharmacie,  IV.) 


ZXZn.  lieber  die  Darstellung  fester  KoUensäure.  —  A.  Loir 
und  Ch.  Drion  (Comp.  rend.  LH,  748),  welche  früher  (2.  Juni  1860)  schon 
niittheilten ,  dass  man  unter  gewöhnlichem  Atmosphärendruck  Kohlensäure 
bei  der  Temperatur,  welche  flüssiges  Ammoniak  beim  Verdunsten  im  luft- 
leeren Räume  erzeugt,  flüssig  erhalten  könne,  haben  gezeigt,  dass  man 
mit  Hilfe  des  Ammoniaks  auch  feste  Kohlensäure  darstellen  kann,  wenn 
man  bei  einem  Druck  von  3  bis  4  Atmosphären  arbeitet.  Sie  bedienen  sich 
folgender  Manipulation.  Mau  bringt  in  eine  nach  oben  offene  Glasglocke 
150  CG.  flüssiges  Ammoniak,  der  Rand  der  Glasglocke  wird  in  einen 
Hetallring  eingekittet,  auf  welchen  eine  mit  zwei  Oeffnnngen  versehene 
Platte  genau  aufgepasst  ist.  In  die  mittlere  Oeffnung  wird  eine  unten  ge- 
*^lo8sene  Glasröhre  befestigt,  welche  bis  auf  den  Boden  der  Glocke  reicht, 
öie  andere  Oeffnung  wird  mit  einer  Luftpumpe  in  Verbindung  gesetzt. 
l^ie  Kohlensäure ,  welche  man  in  einem  Kolben ,  dessen  Hals  mit  Chlor- 
ctlciamstttcken  angefüllt  ist,  durch  Erhitzen  von  doppeltkohlensaurem 
Yttrium  erzeugt  wird,  durch  ein  Bleirohr  in  die  in  das  flüssige  Ammoniak 
^suchende  Glasröhre  eingeleitet.  Mit  dem  Kolben  steht  ein  Manometer 
^ii  eomprimirter  Luft  in  Verbindung.  Aus  dem  Apparat  wird  vorher  die 
Luft  entfernt,  und  wenn  die  Temperatur  bis  in  die  Nähe  des  Erstarrungs- 
punktes der  Kohlensäure  gesunken  ist,  so  beginnt  man  mit  der  Kohlen- 
sänreentwickelung ,  indem  man  dafür  sorgt,  dass  beständig  ein  Druck  von 
^  bis  4  Atmosphären  erhalten  bleibt.  Nach  einer  halben  Stunde  ist  der 
'I^heil-  des  Glasrohrs,  welcher  in  das  Ammoniak  untertaucht,  mit  einer 
dicken  Krystallkruste  erfüllt  (ungefähr  50  Gramme  wiegend). 

Die  so  erhaltene  feste  Kohlensäure  i»t  favbVoB  \xud  (\.\it<i\m05iNA^  >«\^ 


346  Kleinere  Mittheilungen. 

Eis.  Sie  kann  leicht  mit  einem  Glasstab  von  den  WXnden  des  Verdicli- 
tangsrohrs  abgestossen  werden.  Man  erhält  dabei  3  bis  4  Millimeter  grosse 
cubische  Krystalle ,  welche  an  der  Luft  langsam  gasförmig  werden ,  ohne 
einen  Bäckstand  zu  hinterlassen.  Auf  der  Hand  bringen  sie  weder  ein. 
Gefühl  von  Kälte ,  noch  von  Wärme  hervor.  Sie  lassen  sich  schwierig 
mit  den  Fingern  festhalten.  Bei  geringem  Drücken  entschlüpfen  sie ,  als 
wären  sie  mit  einer  fetten  Materie  überzogen.  Wenn  es  gelingt,  swisclieti 
Daumen  und  Zeigefinger  einen  Krystall  festzuhalten,  so  empfindet  man. 
ein  unerträgliches  Brennen. 

Die  Krjstalle  in  einem  kleinen  Porzellantiegel  mit  Aether  gemisoht, 
erzeugen  eine  Kälte  von  —  81  ^ 

Das  bei  den  Versuchen  angewendete  flüssige  Ammoniak  wurde  nach 
der  Methode  von  Bussy  in  einem  Kolben,  welcher  mit  flüssiger  schwef- 
liger Säure  umgeben  war,  die  n^it  der  Luftpumpe  verflüchtigt  wurde,  dar- 
gestellt. Man  kann  nach  dieser  Methode  leicht  in  weniger  als  zwei  Stan- 
den nahezu  zwei  Deciliter  flüssiges  Ammoniak  erhalten. 

Die  Temperaturen  wurden  mit  einem  Alkoholthermometer  mit  zwei 
bestimmten  Punkten  (0®  bei  schmelzendem  Eis  und  —  40*  bei  schmelzen- 
dem Quecksilber)  gemessen.        (Zeitschr.  f.  Chemie  n.  Pharmaeie,  IV.) 


Xxxüt,  Beitrftge  zur  Kenntnis»  der  Oesetie  der  Gkuutbtorptioii  tosb. 
T.  H.  Sims.     (0.  /.  of  Ch,  Soc.  XIV,  1.) 

Sims   hat  im  Laboratorium  von  Roscoe  eine  ausführliche  Unter- 
suchung über  die  Absorption  der  schwefligen  Säure  und  des  Ammoniak^ 
durch  Wasser   angestellt;   wir   theilen   im  Folgenden  die  Resultate   der — 
selben  mit. 

Die  Methoden  waren  im  Wesentlichen  die  von  Roscoe  undDitt  ^ 
mar*)  bei  ihrer  Untersuchung  über  die  Absorption  des  Chlorwasserstofin^ 
und    des  Ammoniaks  in   Wasser   angewandten:   Einige  Gramme  Wasse:^ 
wurden  in  einem  Kugelapparat  von  bekanntem  Gewicht  und  Rauminhal  "^ 
bei  der  verlangten  Temperatur  mit  Gas  von  der  gewünschten  Spannkraf*^ 
gesättigt,   der  Apparat  wurde  zugeschmolzon  und  unter  Beobachtung  vo«r»- 
Therraonietcr-    und   B«irometerstand   gewogen.      Die    Gesammtmeuge    de  ä^ 
eingeschlossenen   Gases  wurde   auf  chemischem  Wege  ermittelt    und  de  '^^ 
Theil  desselben,  welcher  am  Ende  der  Sättigung  den  leeren  Theil  des  Aj»  -^ 
parates  ausfüllte,   wurde  «aus  der  Capacität  des  fctzteren,   dem  speciellem"»^ 
Gewicht  dos  Gases  und  aus  dem  annähernd  bekannten  Volumen  der  g»  " 
sättigten  Flüssigkeit  berechnet. 

1)  Schweflige  Säure.     Schönfeld  hat  bereits  vor  mehreren  Jal»- 
reu  die  Löslichkeit  dieses  Gases  in  Wasser  bei  gewöhnlichem  Druck  für 

*l  Ann.  rhcm.  Pharm.  CXll,  327. 


Kleinere  Mittheilungen. 


347 


eine  Beihe  von  Temperaturen  bestimmt*).  Derselbe  Chemiker  hat  auch 
die  Absorption  von  Gemischen  aus  schwefliger  Säure  und  weniger  lös- 
liehen Oasen  durch  Wasser  untersucht,  und  aus  seinen  Versuchen  den 
Scblass  gezogen,  dass  schweflige  Säure  oberhalb  +10®  C.  dem  Absorptions- 
gesetze gehorche.  Die  von  Schönfeld  beigebrachten  experimentellen  Be- 
lege können  indessen  nicht  als  entscheidend  angesehen  werden,  da  sie  nur 
wenig  zahlreich  sind  und  bei  allen  hierher  gehörigen  Bestimmungen  der 
Drack  der  schwefligen  Säure  immer  nur  indirect,  d.  h.  durch  Verdünnen 
mit  einem  zweiten  Gase  geändert  wurde.  Der  Verfasse):  hat  deshalb ,  um 
die  Frage  zur  Entscheidung  zu  bringen ,  ob  das  Absorptionsgesetz  auf  die 
schweflige  Säure  anwendbar  sei ,  die  Löslichkeit  dieses  Gases  in  Wasser 
bei  vier  yerschiedenen  Temperaturen  und  jedes  Mal  für  eine  Beihe  von 
direct  hervorgebrachten  Tensionen  bestimmt.  Ein  Strom  luftfreier  schwef- 
liger Säure  von  beliebiger  Spannung  wurde  sehr  zweckmässig  vermittelst 
eines  Vorraths  flüssiger  schwefliger  Säure  hergestellt.  Die  Analysen  wur- 
den, unter  Beobachtung  der  von  Bunsen  angegebenen  Vorsichtsmassregeln, 
mittelst  Jodlösung  ausgeführt.  Die  Stärke  der  letzteren  wurde  mittelst 
tbgewogener  Mengen  verflüssigter  SO,  festgestellt 

Die  Sesultate  sind  im  Folgenden  tabellarisch  zusammengestellt.  P  be- 
deutet den  partiellen  Druck  des  Gases  in  Millimetern  Quecksilberhöhe, 
C  die  zur  Sättigung  der  Gewichtseinheit  Wasser  bei  der  Temperatur  l^ 
Cent  nöthige  Gewichtsmenge  schwefliger  Säure.  Aus  den  unmittelbaren 
Versachsresultaten  wurden  durch  graphische  Interpolation  vollständige  Ta- 
bellen abgeleitet.  G'  bedeutet  den  durch  Abmes.sen  an  der  Cnrve  gefun- 
denen Werth  von  G, 

1.    Temperatur  =  7^  Gels. 


1 

1 

p 

G 

r.    760 

^'  p 

G' 

P 

^1 

P 

e 

p 

G' 

27,0 

0,010 

0,273 

0,010 

30 

0,010 

220 

0,055 
0,059 
0,0(>1 

750 

0,174 

40,8 

0,015 

0,015 

40 

0,013 

240 

760 

0,176 

80,6 

0,025 

0,025 

50 

0,015 

260 

800 

0,185 

133,7 

0,035 

0,035 

60 

0,017 

280 

0,069 

850 

0,196 

239,0 

0,050 

0,059 

70 

.0,020 

300 

0.073 

000 

0,207 

741,8 

0,173 

0,177 

.0,172 

80 

0,022 

350 

0,085 

050 

0,218 

757,1 

0,174 

0,176 

90 

0,025 

400 

0,096 

1000 

0,220 

770,8 

0,178 

0,179 

100 

0,027 

450 

0,107 

086,3 

0,228 

0,226 

120 

0,032 

500  '  0,118 

1100 

0,251 

1201,0 

0,203 

0,172 

0,293 

Vio 

0,036 

550 

0,130 

1200 

0,273 

160 

o,au 

600 

0,141 

1300 

0,295 

180 

0,046  1 

650 

0J52 

200 

0,050  1 

700 

0,163 

•)  Ann.  Chem.  Phaiiu.  XCI^,  \. 


348 


Kleinere  Mittheilungeiu 
2.   Temperatur  =  20^  Celg. 


j-jV^i^^^-i^VV^-^^MTl^i^* 


a> 

1 

P 

G 

rr     760 

C 

P 

(T 

P 

C     ' 

Z2A 

0,006 

0,148 

0,006 

40 

0,007 

300 

0,044 

504 

0,009 

0,000 

50 

0.00« 

350 

0,050 

65,0 

0,011 

0,011 

60 

0,011 

400 

0,05VI 

77,3 

0,013 

0,01  a 

70 

0,012 

450 

0,064 

78,4 

0,013 

0,013 

80 

0,013 

500 

0,071 

82,2 

0,014 

0,014 

90 

0,015 

550 

0,077 

121,8 

0,020 

0,019 

im 

0,016 

600 

0,083 

201,0 

0,043 

0,043 

j  120 

0,019 

650 

0,090 

440,0 

0,064 

0,004 

140 

0,022 

700 

0,f»00 

658,2 

0,004 

0408 

0,091 

160 

0,025 

760 

0,103 

728,0 

0,100 

0,100 

180 

0,028 

760 

0.104; 

729,5 

0,100 

0,100 

200 

0,030 

8U0 

0,110 

7^,8 

0,100 

0,100 

220 

0,033 

1000 

0,137 

1570,0 

0,218 

0,214 

240 

0,036 

1300 

0,178 

1911,0 

0,260 

0,104 

0,260 

2Ö0 

0,038 

1600 

0,218 

* 

280 

0,041 

1900 

0,250 

3.    Temperatur  =  30°8  Geis. 


a. 

1 

P 

G 

^   7(K) 
^'  P 

G' 

P 

c 

P 

G' 

205,0 

0,017 

0,002 

0,017 

200 

0,016 

700 

0,050  ' 

293,1 

0,023 

0,023 

300 

0.024 

800 

0,062 

6^,0 

0,054 

0,a">4 

^:h) 

0,031 

1000 

0,077 

mJ7,6 

0,054 

0,054 

5C« 

0,030 

1500 

0,113 

701,6 

0,053 

0,055 

0,053 

600 

0,047 

2000 

0,149 

1565,0 

0,110 

04I8 

2021,0 

0,150 

0,056 

0,150 

4.    Temperatur  =  50^0  Gels. 


eu 

- 1 

P 

G 

760 
^'  P 

G' 

P 

G'          P 

c 

101,5 

1001'.0 

0,011 

0,039 
0,115 

0,045 

0,015 
0,044 

0,011 
0,*l39 
04:^0 

200 
100 

000 

Itoo 

0,012  1    800 
0,024     lono 

0,035  ',1  1500 
0,(J45  j  2000 

0,047 
0,OMi 
0,0S8 
0,U2 

Kleinere  MittheilungeD, 


349 


Ans  dieser  Znsammenstellaiig  ist  ersichtlich,  dass  die  von  einer  be- 

^mmten  Menge  Wasser  bei  constanterTemperatnr  absorbirte  Menge 

^1  dem  partiellen  Druck  dieses  Gases  im  Allgemeinen  nicht  proportional 

it    Die  Abweichungen  vom  Absorptionsgesetzc  sind  indessen  um  so  ge- 

760 
Lnger,-je  höher  die  Temperatur;  der  Werth  G .—  ist  bei  7*^  und  bei  20^ 

3hr  veränderlich,  bei  39^  wieder  nahezu,  bei  50^  so  gut  wie  völlig  con- 
:ant.  — 

Aus  den  Tabellen  l,b  2,b  3,b  und  4,b  wurde  mit  Hilfe  einer  weiteren 
raphischen  Interpolation  noch  die  folgende  Tabelle  abgeleitet,  welche  die 
ei  dem  constanten  partiellen  Gasdruck  von  760°^  von  der  Gewichts- 
inheit  Wasser  absorbirte  Gewichtsmenge  Gas  {G')  giebt.  V  bedeutet  das 
Tolnmen,  welches  G'  Gewichtstheile  Gas  bei  0^  und  760*"'"  Druck  ein- 
lehmen,  das  Volumen  der  Gewichtseinheit  Wasser  bei  +4®  als  Volumen- 
inheit  genommen  *)• 

P  =  760™. 


i 

G' 

V 

t 

G' 

V 

8<» 

0,168 

58,7 

30» 

Q,078. 

27,8 

10 

0,154 

53.9 

32 

0,073 

25,7 

12 

0,142 

49,6 

34 

0,069 

24,3 

14 

0,130 

45,6 

36 

0,065 

22,8 

16 

0,121 

42,2 

38 

0,062 

21,6 

18 

0,112 

39,3 

40 

0,058 

20,4 

20 

0,104 

36,4 

42 

0,055 

19,3 

22 

0,008 

34,2 

44 

0,053 

18,4 

24 

0,092 

32,3 

46 

0,050 

17,4 

26 

0.087 

30,5 

48 

0,047 

16,4 

28 

0,083 

28,9 

50 

0,045 

15,6 

Die  in  dieser  Tabelle  enthaltenen  Zahlen  stimmen  nicht  genau  mit 
tu  von  Schönfeld  gegebenen  überein;  es  ist  jedoch  zu  berücksichtigen, 
^s  Schönfeld  seine  direct  gefundenen  Zahlen,  unter  Voraussetzung  der 
iltigkeit  des  Absorptionsgesetzes ,  auf  760"*"*  Druck  reducirt  und  dass  er 
tbei  versäumte ,  die  Tension  des  Wasserdampfes  von  den  beobachteten 
ftrometerständen  in  Abzug  zu  bringen. 

Der  Inhalt  der  obigen  Tabelle  wird  annähernd  durch  die  folgende, 
m  Clifton  berechnete  Formel  wiedergegeben: 

760_2540       9250       100 /10338       62760\ 

ie  dies  aus  der  folgenden  Zusammenstellung  einiger  nach  dieser  Formel 


•)  1  Liter  SO^  =  2,861  Qr. 


350 


Kleinere  Hittheilangen. 


760 
berechneten  Werthe  von  G  .  —  mit  den  durch  graphische  Interpolation 

haltenen  hervorgeht. 


p 

70  c. 

20°  C. 

40«  C. 

500C.       1 

Ber. 

Gef. 

Bcr. 

Gef. 

Ber. 

Gof. 

Ber. 

Gef. 

40,0 

50,0 

100,0 

200,0 

500,0 

800,0 

1000,0 

1200,0 

1800,0 

2000,0 

0,245 
0,231 
0,203 
0,189 
0,181 
0,175 
0,178 
0,177 

0,242 
0,223 
0,205 
0,191 
0,180 
0,176 
0,174 
0,173 

0,149 
0,140 
0,122 
0,113 
0,108 
0,108 
0,106 
0,105 
0,105 
0,105 

0,143 
0,138 
0,1*24 
0,116 
0,107 
0,104 
0,104 
0,104 
0,104 
0,104 

0,061 
0,059 
0,058 
0,058 
0,058 
0,058 
0,058 

0,062 
0,050 
0,059 
0,058 
0,057 
0,057 
0,057 

0,049 
0,049 
0,048 
0,048 
0,048 
0,048 
0,048 

0,045 
0,045 
0,045 
0,045 
0,045 
0,044 
0,044 

2)  Ammoniak.  Koscoe  und  Dittmar  haben  in  ihrer  oben  ci 
ten  Arbeit  nachgewiesen,  dass  die  bei  0^  von  einer  bestimmten  Mo 
Wasser  absorbirte  Gewichtsmenge  Ammoniak  dem  partiellen  Drucke 
Gases  nicht  einmal  annähernd  proportional  ist.  Die  Beziehungen ,  wel 
bei  höheren  Temperaturen  bestehen,  lassen  sich  aus  der  Arbeit  äh 
Chemiker  nicht  entnehmen ,  da  dieselben  zwar  Bestimmungen  bei  Ten 
raturcn  über  0°,  aber  diese  immer  nur  bei  gewöhnlichem  Drucke  ausgefi 
haben.  Herr  Schönfeld  hat  nun  auch  für  die  Temperaturen  20,  40 
100®  die  Löslichkeit  des  Ammoniaks  in  Wasser  jedes  Mal  für  eine  R< 
von  Drucken  ermittelt,   und  er  ist  dabei  zu  folgenden  Resultaten  gelai 

a,   Directo  Versuchsresultate. 


1.    <  =  20"0. 

2.    i  =  40<^. 

3.    t  =  100^.        1 

P 

G 

r   760 

P 

G 

^'  p 

P 

G 

r  760 

45,5 

0,100 

1,660 

75,8 

0,050 

0,497 

088,4 

0,007 

0,074 

200,1 

0,236 

184,3 

0,112 

1078,0 

0,104 

0,073 

735,4 

0,508 

701,1 

0,322 

1419,0 

0,135 

0,073 

1525,0 

0,811 

1599,0 

0,522 

2070,0 

1,018 

0,373 

2129,0 

0,599 

0,214 

Kleinere  Mittheilungen« 


351 


b.  Ans  graphischen  Interpolationen  abgeleitete  Tabellen. 

1. 


p 

20»  C.        1       40^0. 

100^  c.      1 

C 

c? 

G' 

G'.'-f 

C 

C'.? 

P 

P 

P 

60 

0,119 

1,513 

80 

0,141 

0,052 

0,479 

100 

0,158 

0,064 

120 

0,173 

0,076 

140 

0,187 

0,088 

160 

0,202 

0,099 

180 

0,217 

0,109 

200 

0,232 

0,120 

250 

0,266 

0,145  i 

,300 

0,296. 

0,168 

350 

0,325 

0,191 

400 

0,353 

0,211 

450 

0,378 

0,232 

500 

0,403 

0,251 

550 

0,425 

0,269 

600 

0,447 

0,287 

650 

0,470 

0,304 

700 

0,492 

0,320 

0,068 

0,074 

750 

0,514 

0,335 

0,073 

0,074 

760 

0,518 

1,518 

0,338 

0,338 

0,074 

0,074 

800 

0,535 

0,349 

0,078 

0,074 

850 

0,556 

0,363 

o,ow 

0,074 

900 

0,574 

0,378 

0,088 

0,074 

950 

0,594 

0,391 

0,092 

0,073 

1000 

0,613 

0,404 

0,096 

0,073 

1050 

0,632 

0,414 

0,101 

0,073 

1100 

0,651 

0,425 

0,106 

0,073 

1150 

0,669 

0,434 

0,110 

0,073 

1200 

0,685 

0,445 

0,115 

0,073 

1250 

0,704 

0,454 

0,120 

0*073 

1300 

0,722 

0,463 

0,125 

0,073 

1350 

0,741 

0,472 

0,130 

0,073 

1400 

0,761 

0,479 

0,135 

0,073 

1450 

0,780 

0,486 

1500 

0,801 

0,493 

1600 

0,842 

0,511 

1700 

0,881 

0,530 

1800 

0,919 

0,547 

1900 

0,955 

0,566 

2000 

0,992 

0,377 

0,579 

2100 

0,594 

0,215 

352 


Kleinere  Mitthcilangen. 


2. 


P  = 

=  760. 

/ 

G' 

t 

G' 

o«C. 

0,809 

520 

C, 

0,274 

2  n 

0,853 

54 

0,265 

4  ti 

0,800 

56 

0,256 

Ö  n 

0,765 

58 

0,247 

8  ,t 

0,724 

60 

0,238 

10  fi 

0,684 

62 

0,229 

12  ,t 

0,646 

64 

0,220 

14  ,, 

0,611 

Ö6 

0,211 

le  n 

0,578 

08 

0,202 

18  ,1 

0,546 

70 

0,194 

20  ,1 

0,51S 

n 

0,186 

22  t, 

0,490 

74 

0,178 

24  ,1 

0,467 

76 

0,170 

26  11 

0,446 

78 

0,162 

28  T, 

0,426 

80 

0,154 

30  „ 

0,408 

82 

0,146 

32  u 

0,303 

84 

0,138 

34  „ 

0,378 

86 

0.130 

3«  „ 

0,303 

88 

0,122 

38  ,1 

0,350 

90 

0,114 

40  „ 

1  0,338 

42 

0,106  1 

42  „ 

0,326 

94 

0,008 

44  „ 

0,315 

96 

0,090 

46  ,, 

0,304 

98 

0,082 

48  „ 

0,204 

100 

0,074 

50  „ 

0,284 

760 
Ein  Blick  auf  diese  Tabellen  zeigt,  dass  der  Werth  C  .  —  bei  20°  ui 

40^  sehr  veränderlich,  bei  100°  aber  nahezu  constant  ist.     Bei  dieser  lel 
teren  Temperatur  ist  also  das  Absorptionsgesetz  auch  auf  Ammoniak 
Wasser  anwendbar.  (Zeitschr.  f.  Chemie  u.  Pharmacie,  IV.) 


XIV. 

lieber  ein  System  verwandter  Curven  und  Flächen 
zweiten  Ghrades. 

Von  Dr.  Heilermann, 

Director  der  Provinsial- Gewerbeschule  zu  Coblenc. 


„Die  Theorie  der  Flächen  zweiten  Grades  ist  am  meisten  dadurch 
gefördert  worden,  dass  man,  von  den  Curven  zweiten  Grades  ausgehend, 
vom  Besonderen  zum  Allgemeineren  aufsteigend,  diejenigen  Eigenschaf- 
ten, welche  die  bekannten  Sätze  von  den  Kegelschnitten  als  besondere 
Fälle  enthalten ,  an  den  vollkommneren  Gebilden  des  Kaumes  aufsuchte.*' 
Auch  in  den  hier  folgenden  Mittheilungen  werde  ich  denselben  Weg  ver- 
folgen, indem  ich  zuerst  einige  Eigenschaften  der  Kegelschnitte  zusammen- 
stelle und  dann  die  analogen  Gesetze  über  die  Flächen  zweiten  Grades  zu 
ermitteln  suche. 

§1. 

Es  werde  in  dem  Kegelschnitte 

ein  Punkt  n  =  (a,6)  so  bestimmt,  dass  seine  Coordinaten  a  und  b  Halb- 
achsen eines  anderen  Kegelschnittes  sind,  welcher  mit  jenem  confocal  ist. 
ist.     Zur  Bestimmung  dieses  Kegelschnittes 

2)  ?+§  =  »' 

welcher  immer  eine  Ellipse  ist,  dienen  also  die  Gleichungen 

3).  J     ^^ß*        ' 

Wird  doi  gleiche  Werth  der  vorstehenden  Differenzen  mit  fi  bezeichnet, 
so  ist 

ZcilMhrift  t.  Malbrmttik  a.  rhjrsik.  VI,  6.  *& 


354  Ueber  eis  System  verwandter  Oonren  und  Fliehen  aweiten  Chmdes. 
folglich 

und  biernftch  ist  +  j/^die  Ordinate  der  Punkte ,  worin  der  Kegelichnitt  l) 
Yon  den  Halbirungslinien  der  Achsenwinkel  geschnitten  wird,  nnd  wenn 
dieser  eine  Ellipse,  90  ist  ]/ji  auch  die  Senkrechte,  welche  vom  Mittel- 
punkte anf  eine,  zwei  Scheitel  verbindende  Sehne  gefällt  wird. 
Für  die  Coordinaten  des  Punktes  n  =  (a,  b)  erhftlt  man 

Hiemach  giebt  es  in  dem  Eegebtfhnitte  l)  vier  Punkte,  welche  den  Be- 
dingungen 3)  genügen ,  wenn 

«»+|»*>0, 
d.  h.  wenn  dieser  Kegelschnitt  eine  Ellipse  ist  oder  eine  Hyperbel ,  deren 
Asymptoten  mit  der  realen  Achse  kleiner^  Winkel  bilden ,  als  mit  der  ima- 
ginären.   Diese  Punkte  liegen  im^'Unendlichen,  wenn 

a«  +  /5«  =  0, 
d.  h.  wenn  der  Kegelschnitt  1)  eine  gleichseitige  Hyperbel  ist,  und  drit- 
tens sind  die  Coordinaten  a  und  b  imaginär ,  wenn 

d.  h.  wenn  der  Kegelschnitt  1)  eine  Hyperbel  ist,  deren  Asymptoten  mit 
der  realen  Achse  grössere  Winkel  bilden ,  als  mit  der  imaginären. 

Werden  die  vier  Punkte  (  +  «,+&)  verbunden,  so  entsteht  ein  Recht-* 
eck,  welches  der  Ellipse  2)  umgeschrieben  und  dem  Kegelschnitte  1)  ein- 
geschrieben ist. 

Soll  umgekehrt  durch  den  Punkt  n  =  {a^b)  ein  Kegelschnitt  gelegt 
werden,  welcher  mit  der  Ellipse  2)  confocal  ist,  so  erhält  man  aus  den 
Gleichungen  3)  zur  Bestimmung  der  Differenz  ^  die  Gleichung 

a«  b* 

«>  aM^^  +  jq:^^'' 

mithin 

7)  fi=  +  ab. 

Es  giebt  also  auch  zwei  Paar  Werthe  von  o*  und  ß\  welche  den  Bedingun- 
gen 3)  genügen,  nämlich 

^  la,*=a{a—b),ß,*^b(b—a), 

und  daher  giebt  es  auch  zwei  Kegelschnitte,  welche  durch  die  vier  Punkte 
(+ö,  +6)  gehen  und  mit  der  Ellipse  2)  confocal  sind,  nämlich 

^        .        y* 


+ 


)a{a  +  b)  '   b{b+a) 

[a{a  —  b)'^b(b—a)~^' 
und  zwAt  ist  der  erstere  eine  Ellipse,  die  zweite  eine  Hyperbel. 


Von  Dr.  Heilesmavn.  356 


Fflr  den  Zasammenhang  dieser  Caryen  und  der  Ellipse  2)  sind  fol- 
gende Gleichungen  beachtenswerth 

a»+«,«  =  2a»,  /S»  +  A«  =  26«, 

«•  flf/  =  ö«  (a«  — d«),        ß*  ß*  =  6»  (6»  — fl»), 
10)  {       €fß^  =  ab{a  +  b)\       a,*ft«  =  — a6(a  — 6)», 

««  +  ^  •  =  (a  +  6)«,       «.•  +  A«  =  (a  -6)', 
o« :  /S«  =  a  :  6,  a/  :  /?j«  =  —  a  :  6. 

Die  Geraden ,   welche  die  Kegelschnitte  9)  in  dem  Punkte  (a ,  b)  be- 
X" Uhren,  sind 

oder,  wenn  die  Werthe  von  a^ßj  ui  nnd  ßi  eingesetzt  werden, 


a—b  •  6^^~^' 
und  schneiden,  wie  die  Form  ihrer  Gleichungen  seigt,  auf  den  Achsen  der 
Ellipse  2)  gleiche  Stücke  ab ,  welche  der  Summe  oder  Differenz  der  Halb- 
achsen dieses  Kegelschnittes  gleich  sind.  Werden  die  Berührenden  der 
Kegelschnitte  0)  für  die  vier  Punkte  ( +  a,  +  b)  gezogen ,  so  schliessen  sie 
zwei  Quadrate  ein,  deren  Diagonalen  in  den  Achsen  der  Kegelschnitte  ge- 
legen nnd  der  Summe  oder  Differenz  derselben  gleich  sind. 

§.2. 
Die  Kreise 

^  ijr,»+F,«=(a-6)», 

welche  den  zuletzt  erwähnten  Quadraten  umgeschrieben  sind ,  stehen  mit 
dem  Kegelschnitte  2)  in  einem  innigen  Zusammenhange.  Es  sei  der  Punkt 
if=:(jr,  Y)  des  grösseren  Kreises  dem  Punkte  fn  =  {Xjy)  der  Ellipse  2) 
entsprechend ,  d.  h.  ihre  Coordinaten  genügen  den  Proportionen 

hieraus  folgt  sogleich 

**)  ,       5  +  7  =  »' 

d.  h.  jeder  Punkt  m  der  Ellipse  liegt  in  der  Geraden,  welche  die  Fuss- 
punkte  der  Coordinaten  des  entsprechenden  Punktes  M  des  grösseren  Krei- 
ses 12)  yerbindet. 

Bezeichnet  man  diese  Fusspunkte  mit  P  und  Q,  so  dass  MP=^X  und 
MQ=z  F,   80  ist  PQz^a  +  b  und  wird  durch  dönP\x»k\.m^  tr\ä  Kv^^^x- 


356  Ueber  ein  System  verwandter  Cnrven  and  Flächen  zweiten  OrmBlem. 

Btehenden  Gleichungen  zeigen,  in  die  Abschnitte  mP=ia  und  m0=s  ^ 
getheilt. 

Ebenso  werden  durch  die  Proportionen 

15)  Il:=,^-Zl      Y,^b-^a 

X  a     ^     y  b 

in  dem  kleineren  Kreise  12)  und  der  Ellipse  2)  die  entsprechenden  PnnktC^^ 
jlf,  =  (^, ,  y,)  und  m  =  (jr,  y)  bestimmt ,  und  auch  diese  befriedigen  dic^^ 
Gleichung 

''\  li  +  ^=»'      • 

welche  wieder  zeigt,  dass  der  Punkt  m  auch  in  der  Geraden  liegt,  welche       - 
durch  die  Fusspunkte  der  Coordinaten  des  entsprechenden  Punktes  M^  in 
dem  kleineren  Kreise  geht. 

Bezeichnet  man  diese  Fusspunkte  mit  P|  und  Q^ ,  so  dass  M^  Pt  =  ^^i 
und  yV,  Q^=X^^  so  ist  P^Q^z=  +  (« —  b)  und  wird  durch  den  Punkt  m 
änsserlich  so  getheilt,  dass  m  P^  =  a  und  m()|  =6. 

Hieraus  ergiebt  sich  nun  in  Verbindung  mit  dem  Vorhergehenden  der      ^ 
folgende  bekannte  Satz : 

Werden  um  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  mitder  Summe      ^ 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  liegt     -= 
jeder  Punkt  der   Ellipse  in  den  Geraden,  welche  durch  die      ^ 
Fusspunkte  der  Coordinaten  der  entsprechenden,  in  diesen 
Kreisen  liegenden  Punkte  gehen  und  theiltdie  Verbindungs- 
linien   der    Fusspunkte,    die   eine    innerlich  und  die   andere 
änsserlich,    in    zwei   Abschnitte,    welche    gleich    den    Halb- 
achsen der  Ellipse  sind. 

Aus  den  vorstehenden  Gleichungen  13)  und  15)  folgt  femer 

17)  Ä+Ä,  =  2x,   Y+Y,=2y 

und  diese  Gleichungen  haben  für  die  Lage  der  entsprechenden  Punkte 
M^  Mi  und  m  folgende  Bedeutung : 

Werden  um  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  mit  der  Summe 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  hal- 
birt  jeder  Punkt  der  Ellipse  die  Verbindungslinie  der  zuge- 
hörigen entsprechenden  Punkte  dieser  Kreise. 

Die  Gerade,  welche  durch  die  Punkte  M={Xy  Y)  und  m  =  (x,y) 
geht,  ist  bekanntlich 

wenn  a:, ,  y,  die  laufenden  Coordinaten  derselben  bezeichnen.  Durch  Ein- 
setzung der  in  13)  angegebenen  Werthe  von  Ä  und  Y  geht  diese  Gleichung 
über  in 

18^  "'        ^'   I        ^'        ^1  —  1 


Von  Dr.  Heilebmamm.  357 


und  diese  seigt,  dass  die  dem  Punkte  m  entsprechenden  Punkte  ilf  und  ilf| 
der  Kreise  12)  in  der  Normale  des  Punktes  m  liegen. 

Die  Länge  der  Linie  Mm  oder  ATi  m ,  welche  mit  /  bezeichnet  sei ,  ist 
durch  die  Gleichung 

bestimmt,  oder  durch 

I^un  ist  aber,  wenn  vom  Mittelpunkte  auf  die  Berührende  des  Punktes  m 
die  Senkrechte  |  gefällt  wird , 

|»~««  ■*"  6«' 
folglich 

und  da  bekanntlich  2.—  der  zur  Bertihrenden  des  Punktes  tn  parallele 

Durchmsser  die  Ellipse  2)  ist,  so  ergiebt  sich  hieraus  folgender  Satz: 

Werden  um  den  Mittelpunkt  einer  Ellipse  mit  der  Summe 
und  Differenz  der  Halbachsen  Kreise  beschrieben,  so  be- 
grenzen diese  auf  jeder  Normale  der  Ellipse  eine  Strecke, 
welche  dem  auf  derselben  Normale  senkrechten  Durch- 
messer der  Ellipse  gleich  ist. 

Bezeichnet  man  die  Punkte ,  wo  die  Normale  18)  die  Achsen  trifft,  mit 
P«  und  Qqj  so  ist 

""••  =  •■  +  (>'- ^!')'=«'(S  +  p). 

"<'.-=v  +  (.-"-^.)'=Kf.+S). 

oder 

20)  m/>o  =  y,mO.  =  y   und  i>,0o=  ±  — |— • 

Diese  Gleichungen  zeigen ,  dass 

auf  jeder  Normale  einer  Ellipse  durch  die  Achsen 
Strecken  abgeschnitten  werden,  welche  mit  der  Entfernung 
der  zugehörigen  Berührenden  vom  Mittelpunkte  Rechtecke 
▼on  constanter  Grösse  bilden. 

Auch  die  Hyperbel  besitzt  dieselbe  Eigenschaft  und  der  Unterschied 
besteht  nur  darin,  dass  der  Fusspunkt  der  Normalen  dieses  Kegelschnittes 
sw^hen  den  Punkten  liegt ,  wo  sie  die  Achsen  schneidet. 


358  üeber  ein  System  yerwaadter  Cuiren  und  Fliehen 

Durch  ümkebnmg  dieses  Sstses  erhilt  mmn  folgende 
/weise  dieser  Kegebchnitte: 

Bewegt  sich  ein  rechter  Winkel  so,  dass  anf  dem  einen 
Schenkel  durch  zwei  anf  einander  senkrecht  stehende  Ge- 
raden Strecken  abgeschnitten  werden,  welche  mit  derEnt* 
fernnng  des  anderen  Schenkels  Tom  Schnittpunkt  dieser  Ge- 
raden Rechtecke  yon  constanter  OrOsse  bilden,  so  sind  die 
Schenkel  des  beweglichen  Winkels  in  allen  Lagen  Normale 
nnd  Tangente  eines  Kegelschnittes,  dessen  Halbaehsenqna* 
drate  jenen  Rechtecken  gleich  sind. 

Wenn  man  ferner  die  Gleichungen  20)  mit  denen  unter  10)  Torbindeti 
so  ergiebt  sich 

21)  milf»s=5  milf/  =mP^, .  mßo» 

oder  jede  Normale  einer  Ellipse  wird  Ton  den  Achsen  und  den 
um  den  Mittelpunkt  mit  der  Summe  und  Differens  der  Halb- 
achsen beschriebenen  Kreisen  in  vier  harmonischen  Punk- 
ten geschnitten. 

Von  den  harmonischen  Strahlen,  welche  den  Mittelpunkt  0.  mit  den 
Tier  Punkten  Jlf,  M^^  Pqj  Q^  yerbinden,  stehen  die  beiden  lotsten  anfein- 
ander  senkrecht,  mithin  halhiren  sie  die  Winkel  der  beiden  anderen«  9a 
ausserdem 

0M+0M^  =  2a  und  0M—0M^  =  2b^ 
wenn  fl>*f 

und  0M+  OM^  =  2b  und  OM—  OM^  =  2a, 

wenn  ^  >  « > 

so  sind  die  Punkte  ^und  AT,  die  Brennpunkte  zweier  confoca- 
len  Kegelschnitte,  welche  dieAchsen  der  Ellipse  2)  im  Mittel- 
punkte 0  berühren  und  die  Achsen  der  letzteren  als  grosse 
(reale)  Achse  enthalten. 

§.4. 

Wenn  man  die  auf  den  Achsen  durch  die  Normale  des  Punktes 
m  =  (j?,  y)  abgeschnittenen  Stücke 

__.^„nd-^.y 

als  Coordinaten  dos  Punktes  m^^  (a*o,  y^  ansieht,  so  ist  die  Ortscurve  die- 
ses Punktes  die  Ellipse 

n'x,^  +  b^y,^={a^  —  by, 
oder 

22)  ri +!-;=!. 


«0*       *o 


wo  zur  Abkürzung 


Von  Dr.  Heilebmann.  359 


: — :: — ,  bo  =  - 


b 
gesetzt  worden  ist. 

Man  sieht  sogleich,  dass  auch  der  Punkt  m^  =  (0:9,^0)  in  dieser  Ellipse 
den  Punkten  m  =  (.r,  y)^  M=  (Z,  Y)  und  AT,  =r  (A", ,  7,)  entspricht,  denn 
es  ist  offenbar 


23) 
Dazn  ist 

y:  YiYt  :yo  =b:b  +  a:b—a:bo. 

und  insbesondere 

a: .  ÄTo  =  i' .  X|  und  y  »yo^  Y.  F^ 

24) 

a.öj,==ß*  —  6*  und  bbo=:=b* — aK 

Mithin  sind  die  Brennpunkte  der  Ellipse  2)  harmonisch  gelegen  so- 
wohl gegen  die  Scheitel  der  Ellipsen  2)  and  22),  als  auch  gegen. die  Punkte, 
wo  die  grosse  Achse  der  Ellipse  2)  von  den  Kreisen  12)  geschnitten  wird. 

In  der  Linie  Pofio^  welche  nach  21)  durch  die  Punkte  M  und  M^  har- 
monisch und  zwar  nach  dem  Verhältnisse 

P^M:  OoM=  i>oilf,  :  Q^M^  =  a:b  =  b^:a^ 
getheilt  wird,  liegt  der  Punkt  m  so,  dass 

25)  Pom:Qom  =  a^:b*  =  bo^:  V, 

oder:  theilt  man  die  Linie,  welche  die  Fusspnnkte  der  Coordinaten  eines 
Ellipsenpunktes  verbindet,  äusserlich  nach  dem  Verhältnisse  der  Halb- 
acbsenquadrate ,  so  ist  die  Verbindungslinie  eine  Normale  der  Ellipse, 
welche  der  Theilpunkt  beschreibt  und  dieser  ihr  Fusspunkt. 

§.5. 

In  der  Fläche  zweiten  Grades 

werde  ein  Punkt  n  =  (a,  b^  c)  so  bestimmt,  dass  seine  Coordinaten  o,  b  und 
c  Halbachsen  einer  anderen  Fläche  zweiten  Grades  sind ,  welche  mit  jener 
confocal  ist.    Zur  Bestimmung  dieser  Fläche 


iT*        V*        «' 

27)  ?+^  +  ?  =  »' 


welche  immer  ein  Ellipsoid  ist ,  dienen  also  die  Gleichungen 

28)  J         cf^ß^^f       .' 

( a* — o«  =  ^»  —  6»  =  y»  —  c«. 
Wird  der  gleiche  Werth  dieser  Differenz  mit  ft  bezeichnet ,  so  ist 
«»  =  «»  — ^,  6»  =  P»  —  p,  c»  =  y'  —  ^, 
folglich 


360  Ueber  ein  System  verwandter  Cnrven  und  Flächen  zwaten  Gndes. 
und  dureh  Einsetzung  dieses  Werthes  erhslt  man 


30) 


,     I  a/  «^    p'   y* 

I  ^  «»  "^  jS»  "^  y» 

/  i+i-i 


Um  en  beartheilen,  wann  diese  Werthe  real,  oder  nnll,  oder  imaginXr* 
sind,  nehme  ich  im  Allgemeinen  an,  dass 

Wenn  nun  zuerst  die  Fläche  34)  ein  EUipsoid ,  also 

«»>i8'>y»>0, 
so  ist 

;?  +  ^.+  -i>-?  +  ^.  +  ^>?-^.  +  ^>o. 

folglich  ßind  die  Werthe  von  a^h  ^c  real,  wenn  aach 

a«       /J«      / 

Wenn  zweitens  die  Fläche  26)  ein  cinschaliges  Hyperboloid,  also 
a«>j3*>0>y«, 
so  ist 

soll  nun  anch  der  Werth  von  c  real  werden ,  so  muss 

sein,  und  hierdurch  ist  wieder  bedingt,  dass 

i-^.  +  ^<-i  +  ^.  +  ^<o. 

mithin  auch  a  und  b  real  sind. 

Wenn  drittens  a*  >  0  >(S*  >  y», 

also  die  Fläche  2G)  ein  zweischaliges  Hyperboloid  ist,  so  ist  auch 

1.1.1 

folglich  kann  der  Werth  von  a  nur  real  sein,  wenn  zugleich 

1.1.1 

?  +  ?-«+/<«' 


Von  Dr.  Hbilericann.  361 

nd  weiter  miiss,  damit  auch  b  und  c  real  bleiben,  der  Bedingung 
1        1,1^1,1        1^^ 

^fige  geschehen. 

Die  acht  Punkte  (+  a,  +by  +  c)  sind  die  Ecken  eines  rechteckigen 
ariUelepipedes ,  welches  dem  Ellipsoide  27)  umgeschrieben  und  zugleich 
er  eonfocalen  Fläche  26)  eingeschrieben  ist.  Soll  umgekehrt  durch  den 
nnkt  n  =  (n,  b,  c) ,  dessen  Ooordinaten  die  Halbachsen  des  Ellipsoides  27) 
od,  eine  mit  demselben  confocale  Fläche  gelegt  werden,  so  fuhren  die 
edingungen  28)  auf  folgende  cubische  Gleichung 
«'      .      ^      .      c» 

Wenn  nun 

a«>l>»>c«>0 
Dgenommen  und  die  drei  Wurzeln  dieser  Gleichung  mit 

zeichnet  werden,  so  ist 

2a«>f4>2c«;-c«>^,  >  — 6«;  ~ft«>^>  — a\ 
^  Entwickelung  der  vorstehenden  Gleichung  oder 

fi*  —  {^b*  +  b^€'  +  c^a*)li  —  2i^b*i^  =  0 
3igt femer,  dass 

i^  +  f*i  +  f»t  =  0 
f*f*i  +  f*i^.  +  f«,fi=  — («•^•  +  **c»+c«a«) 
ft/4,f4,  =  2a«6»c*, 
kd  dass  im  Allgemeinen 


33) 


i  =  yaH*€^  +  yD  +1/ a«6V— /i>. 


dun  zur  Abkürzung  gesetzt  wird 

2>  ==  tf*  6*  c*  — ,V  («•*•  + ^c»  +  c»a7. 
Den  drei  Werthen  yon  fi  entsprechen  drei  Werthe  von  o,  /Sund  y^ 
idche  durch  die  Gleichungen 

34)  ]  «,«-  a«  =  ft«-  6«  =  y,«  ~  c«  =  ^„ 

^stimmt  sind,   und  mithin  giebt  es  auch  drei  Flächen  zweiten  Grades, 
Imlich 

^dche  den  Bedingungen  28)  genügen. 


362  Ueber  ein  System  verwandter  Cnrven  und  Flächen  sweiten  Grades. 

Der  Zusammenhang  unter  den  Halbachsen  dieser  FlSehen  ist  au  fol- 
genden Gleichungen  ersichtlich : 

/  «^+«,«  +  «,»  =  30»,  a'a,»  +  a,»o,*  +  «tV==8a«  — a»6*— ft»c»— c'a', 

t?  a,»  a.»  =  <f  («»-6«)  («»— c*), 
i?' +  /».'+/».*  =  8M, /J»ft»+ft«  A«  +  ft»^«  =  36« - «»M-ft»c»-c'«', 
36)  {  ß'ß,*  ft»  =  6»  (6»— c»)  (6«  -««), 

r'  +  r*+ y' = »«*.  //t'  +  nVt*  +  y/yt = sc«  -  <fi^—»(?-<*^, 

y»y.»y,*=c*(c»-«»)(c»-6»), 

«*+A*  +  yt»=a/+A»+/  =  a,»  +  /J»  +  y.»  =  a»+6»  +  <j». 
Die  drei  Ebenen 

a        ,     b         ,    c 

welcho  die  drei  confocalen  Flächen  im  Punkte  n  =(a,  6,  c)  berühren,  be- 
stimmen auf  den  Achsen  die  Stücke  -,  5l,  ?!L     L ^  J^    t.    yj.  1l 

von  welchen  die  gleichliegende  Achse  des  Ellipsoides  27)  das  arithmetische 
Mittel  ist ,  da  nach  36) 

a        a         a  o         o         b  c        c         c 

§.6. 

Werden  in  einer  Ebene ,  welche  auf  den  Coordinatenachsen  die  Stücke 
I,  17,  t  abschneidet,  den  Schnittpunkten  die  Gewichte  A^  B^  C  beigelegt,. so 
sind  die  Coordinaten  des  Schwerpunktes 

A  _B_ C 


A  +  B  +  C   *'    A  +  B  +  C    "    A  +  B  +  C' 

Legt  man  also  den  Punkten ,  wo  die  erste  Ebene  37)  von  den  Achsen  ge- 

a*     b*    c^ 
troffen  wird,  die  Gewichte  -^ ,  ^,  -j  bei,  so  hat  der  Schwerpunkt,  weil 

hier 


die  Coordinaten 


^l  +  'l  +  ^-^l 


folglich  ist  der  Punkt  n  =  (a,  5,  c)  der  Schwerpunkt  dieser  Schnittpunkte. 
Da  dasselbe  auch  von  den  beiden  anderen  Ebenen  gilt,  so  ist  ;i  der  ge- 
meinsame Schwerpunkt  der  Punkte,  worin  die  Ebenen  37)  die  Achsen 
sclweiden. 


Von  Dr.  Heilebmann.  363 


Die  Stücke,  welche  dnrch  eine  der  Ebenen  37)  abgeschnitten  werden, 
sehe  ich  als  Halbachsen  eines  Ellipsoides  an ,  erhalte  also  die  drei  Flächen 


la  diesen  Flftchen  sind  nun  die  Punkte  ilf  =  (-IT,  F,  Z) ,  ilf ,  =  (A^j,  F, ,  Z,) 
tmdlf,  =  (Z,,  r,,  Z,),  welche  einem  beliebigen  Punkte  m=.(ir,  y,  z)  des 
ÜUipsoides  27)  entsprechen,  durch  folgende  Proportionen  bestimmt: 

a     a     a 

I  ß*  öi'  il* 

*  c     c     c 

HierauB  folgt  sogleich ,  dass 

40)  -  +  ^  +  -  =  i,_  +  _  +  __i,_  +  _  +  _=i, 

o<3er  der  Satz:  Werden  durch  die  Endpunkte  der  Coordinaten 
"^^  on  drei  entsprechenden  Punkten  der  Flächen  38)  Ebenen  ge* 
1  ^gt,  so  schneiden  sich  diese  in  dem  entsprechenden  Punkte 
d«8  Ellipsoides  27).  Zugleich  ergiebt  sich  aus  diesen  Proportionen, 
dcMS  jeder  Punkt  des  Ellipsoides  27)  der  Schwerpunkt  von  den  Punkten, 
w-^lehe  auf  den  Achsen  die  Coordinaten  eines  entsprechenden  Punktes  der 

*^lächen  38)  begrenzen,  wenn  diesen  die  Gewichte  -7 ,  ^ ,  -r  oder  — x ,  :i-; ,  — ^ 

«    /5«  y«  a,*  j3i«  y,* 

o*     6*     c* 
o^er  —  >  öIj  —  angehängt  werden. 
«1     Pf    yt 
Ferner  folgt  aus  denselben  Gleichungen  39) ,  dass 

41)  X+Zj  +  ^,  =  3a:,   7+ F,  +  7,  =  3y,  Z+2:j+Z,  =  3r, 
^der  der  Satz:   Jeder  Punkt^des  Ellipsoides  27)  ist  der  Schwer- 
st linkt    der   drei    demselben    entsprechenden   Punkte    in    den 
^^  lachen  38),  wenn  diese  gleiches  Gewicht  haben. 

Die  Gerade ,  welche  durch  die  entsprechenden  Punkte  m  =  {Xy  y,  z) 
^»XÄd  M=  {X%  7,  Z)  geht,  ist  durch  die  Gleichungen 

x^—x_y^—y_z^  —  z 
X—x       Y—y      Z  —  z 
^ ^gestellt,  oder  weil 


'\ 


^^irch  die  Doppelgleichung 


X-x  =  ^.x,    F-y=^.y,    Z-z  =  ^ 


364  Ueber  ein  System  verwandter  Carren  und  Flachen  «weiten  Qndei. 

42)  5(a:.-a^)  =  ^(y.-y)  =  7(t.-0. 

Dies  ist  aber  bekanntlich  die  Gerade,  welche  im  Punkte  m  =  (^^y,  z)  auf 
der  Fläche  27)  senkrecht  steht,  and  da  in  derselben  Geraden  auch  die 
Punkte  Jlf|  =  (-Tj,  F, ,  Zi)  und  M^  =  (Z,,  7,,  Z^)  liegen,  so  folgt  hieram 
der  Satz:  Jede  Normale  der  Fläche  27)  trifft  die  Flächen  38)  in 
drei  ihrem  Fusspunkte  entsprechenden  Punkten. 

Die  Länge  der  Strecke  Mm^  welche  mit  /  bezeichnet  sei,  ist  durch  die 
Gleichung 

bestimmt,  oder  durch 


Nun  ist  aber,  wenn  vom  Mittelpunkte  auf  die  Bertthrnngsebene  des  Punk- 
tes m  =  («,  y,  z)  die  Senkrechte  |  gefSUt  wird , 

folglich 

43)  ■  ,=  |.,.=:_l|.,  =  -|\ 

wo  /  =  MtHj  li  =  Mim  und  l^  =  M^m  gesetzt  ist. 

Wird  also  ein  beliebiger  Punkt  des  Ellipsoldes  27)  mit 
den  entsprechenden  Punkten  der  Flächen  38)  verbunden,  so 
sind  die  Rechtecke  aus  diesen  Verbindungslinien  nnd  der 
Senkrechten,  welche  vom  Mittelpunkte  auf  die  BerühruDgs- 
ebene  des  ersten  Punktes  gefällt  ist,  constant  und  gleich  den 
Wurzeln  der  Gleichung  31). 

§.7. 
Bezeichnet  man  die  Punkte,  wo  die  Normale  des  Punktes  m  =  (a:,y,*) 

die  Coordinatenebenen  trifft,  mit  JPo)  0o>  -^oi  ^^  ^^^^  ^^^  ^^^  Gleichung  42) 

51 a*  fJt ^ 

0,  — j^ —  .  y ,    — -5 —  .  z  die  Coordinaten  von  Pqj 


5 — .3?,    — — — -y,  U,  „  „  ,,      If^ 


0* 


Daraus  ergeben  sich  für  die  Stücke,   welche  von  diesen  Punkten  einer- 
seits und  dem  Punkte  m  andererseits  begrenzt  werden ,  die  Werthe 

a*  ^*  c* 

44)  mP„  =  j,   möo  =  7i  ^^0  =  7, 

welche  zeigen,  dass 

auf  jeder  Normale  oiucb  Ellipsoides  durch  die  Achsen- 


Von  Dr.  Heilbrmann.  365 

^  l>en6n  Strecken  abgeschnitten  werden,  welcbe  mit  der  Ent- 
£*^rnang  der  zugehörigen  Berührungs ebene  vom  Mittelpunkte 
X^  echtecke  von  constanter  Grösse  bilden. 

Auch  die  beiden  Hyperboloide  besitzen  dieselbe  Eigenschaft  und  der 
XJnterschied  besteht  blos  darin,  dass  die  Funkte,  wo  die  Achsenebenen 
^ines  Hyperboloides  von  einer  Normale  getroffen  werden,  nicht  alle  mit 
dem  Mittelpunkte  auf  derselben  Seite  der  zur  Normale  gehörigen  Berüh- 
rangsebene  liegen. 

Durch  Umkehrung  des  verstehenden  Satzes  erhält  man  folgende  Er- 
seugnngsweise  der  Flächen: 

Steht   eine  Gerade   auf  einer   mit  ihr  fest  verbundene-n 
Ebene  senkrecht  und  bewegt  sie  sich  so,  dass  die  Strecken, 
iprelche  durch  drei  auf  einander  senkrecht  stehende,  festlie- 
gende Ebenen  auf  der   Geraden  abgeschnitten  werden,  mit 
der  Entfernung  der  ersteren  Ebene  vom  Schnittpunkte  der 
letzteren  Kechtecke  von  constanter  Grösse  bilden,  so  sind 
die  bewegliche  Gerade  und  Ebene  in  allen  Lagen  eine  Nor- 
male   und  Bertihrungsebene    einer  Fläche    zweiten  Grades, 
deren  Halbachsenquadrate  jenen  Rechtecken  gleich  sind. 

Setzt  man  die  aus  43)  und  44)  entnommenen  Werthe  von  a\  6',  c*  und 
fi,  fii,  u^  in  die  oben  für  diese  Wurzeln  angegebenen  Grenzbestimmungen 
ein,  80  entsteht 

2w»Po>mJlf>2mÄo;  wÄo<'»^i  <»«öoj  »» öo < »*  Jlf ,  < w P© > 
nnd  nimmt  man  noch  hinzu,  dass 

80  erkennt  man,  dass  der  Punkt  Jlf,  in  der. Strecke  Äoöo»  ^t  ^«  OqPq^^^ 
M  in  der  Verlängerung  der  Strecke  P^R^  über  Ä©  hinaus  liegt.  Durch  Ver- 
bindung  der  Gleichungen  43)  und  44)  erhält  mau  nun 

o*  ß*  V* 

MP,=  j,  AfQ.  =  ^j,  MR,  =  ti 
^nd  wenn  man  diese  Werthe ,  sowie 

IQ  die  Gleichung  29)  einsetzt ,  so  entsteht 

45^  J L4._JL+J_ 

^  Mm~  MP^^  MQ^^  MR^' 

hiernach  ist  also  \Mm  das  harmonische  Mittel  von  MP^^  MQq  und  MR^^. 

dasselbe  gilt  offenbar  von  ^Mttn  und  ^M^m.     Dieser  Zusammenhang  ist 

^Uch  ausgedrückt  durch  die  Gleichung 

m  'Po    1^  m  ßp  ,   m  Äq  ^^^ 

Reiche   entsteht,    wenn   man   in  die  Gleichung  31)   die    obigen  We; 
Qinsetxt. 


S66  Ueber  ein  System  verwandter«  Oarren  nnd  Flächen  swdten  GndM.    ^ 

Femer  erhftlt  man  in  derselben  Weise  ans  den  Sektionen  82)  die  fol 

genden  2 

imM  —  mJHi  — siJlft  =  0, 
fft  M  •  Sl  iB  I  •  flS  in  f  SS  2  •  m  P^  •  0t  Q^  •  M  Aq  f 

nnd  dnrch  Mnltiplication  der  anf  die  Normale  dnrch  die  Aehsenebenen  ab 

geschnittenen  Stüoke 

D        n        !>        «*^^ 

m  X(J  •  tn  y p   •  fit  i«0  =S    ^rr , 

Nun  ist  aber  bekanntlich  das  Prodnct  aus  den  Halbachsen  des  mr  Bertth 

mngsebene  des  Punktes  m  parallelen  Centralschnittes  nnd  der  anf  jen^ss 
Ebene  geftUten  Senkrechten  |  gleich  dem  Prodnct  der  drei  Halbaehsenez 
der  Fläche,  oder  ' 

wenn  die  Halbachsen  jenes  Centrsilschnittes  mit  d^  nnd  d^  beseidmet  wer 
den,  folglich 

Hier  ans  erhält  man  nnn  durch  Anwendung  der  letzten  Gleichung  unter  4^^j 

47)  didfSsiy^abe.mM.mM^.mM^, 

Ebenso  ist  nach  44) 

tnPQ.tnOQ  +  mQQ.mRo  +  mRo»fnPQ^=^—^ j^ , 

und  da  ausserdem 

. abc 

80  folgt  zunächst 


/ 


und  vermittelst  der  Gleichung  46) 

y  fn  Ja  •  tn  Jlf I  —  tn Mi  •  nt M^  ^  tu M^  ,  mM 

y 


48)       rf.d.  =  ,/  111 


a»  ■''  6»  ■•"  c» 

Diese  liolationen  ersetzen  für  das  Ellipsoid  die  oben  anter  19)  and  21)  von 
der  Ellipse  angeführten  Sätze. 

§.8. 
Sowie  oben  unter  Gleichung  6)  nicht  blos  die  Quotienten  — ,  —und 

->,  -^-1  der  Bedingung  genügten,  dass  ihre  Summe  gleich  eins,  so  ist  es 
ß     Pi 


33 


Von  Dr.  Heilebmann.  367 

ueh  hier  mit  den  Quotienten  3,  — ,  — j  on«  5i»  Fi»  «1  "»^  T»^»-i« 
El  üt  BunXchst 

tF    tf    €?  a*  ft»    6»    6»  6« 


«»•a,»'«,»~"(a»— 6»)  (a*— c»)'    /J« 'ft« •/?,•"" (6» _ c«)  (ft'—a»)' 

/>,•>.•"(«*-«»)  (c»-6') 
niid  darch  die  Verbindung  dieser  Weribe  ergiebt  sieb  weiter 
«•  6*  c* 

Ferner  sind  dann  für  die  Ellipsen  2)  und  22)  die  entsprecbenden  Prodncte 
lügleicb  das  Verbttltniss  der  gleichliegenden  Acbsen  nnd  der  Coordinaten 
Ton  entsprecbenden  Punkten ;  mitbin  ist  bier  das  Ellipsoid 


.tllrl 


50) 

+  ?!L  +  ^*  = 

1, 

worin  aur 

Abkürzung 

«0  = 

«•«,' 
^ 

Co 

gesetzt  ist,  die  Fläcbe,  welcbe  der  Ellipse  22)  analog  ist. 

Wenn  nun  m  =  (jf,  y,  z)  und  m^  =  (o:©,  yo>  *o)  entsprechende  Punkte  in 
den  Flächen  27)  und  50)  sind ,  so  ist 

X        a  a^  ö* 

y  _  6  _      6»       _  y 

« c c* c* 

ond  folglich 

d*  h.  jeder  Punkt  des  Ellipsoides  27)  liegt  in  einer  Ebene, 
Welche  auf  den  Achsen  die  Coordinaten  dos  entsprecbenden 
Punktes  des  Ellipsoides  50)  abschneidet  und  zwar  ist  der 
erste  Punkt  der  Schwerpunkt  der  drei  Punkte,  in  welchen 
ile  Achsen  geschnitten  werden,  wenn  diese  die  Gewichte 
a     *     c 

Auch  die  entsprechenden  Punkte  ilf,  M^  und  M^  der  Flächen  88)  liegen 
a  der  Ebene  50) ,  welcbe  die  Coordinaten  des  entsprechenden  Punktes  m^ 
techneidet.  Es  ist  nämlich  zunächst  in  Bezug  auf  den  Punkt  M='(^£^^^I^\ 


368  Ueber  ein  System  verwandter  Carren  und  Fliehen  «weiten  Gndei. 


y,       (6*— c»)  (6'—«*)       (y—  c»)  (6'—^)  "*■  (y— c»)  (6»—«*) ' 
z~{<*—(f)  (c»— 6»)~(c»  — o»)  (c*— 6«)  "*■  (c»— «»)  (c»— 6«)' 


daza  ist 


+  7:5— :5w3— 5n  =  0. 


(«»—6«)  (o»— c»). '  (6»— c«)  (6*— a«)  ^  (c*— «»)  (c»— 6*)' 
folglich  anch 

^  +  1+^=1, 

^0     yo     «0 

d.  h.  es  liegt  auch  der  Pnnkt  Jlf  =  (A^,  F,  Z)  in  der  Ebene ,  welche  auf  den 
Achsen  die  Goordinaten  des  entsprechenden  Punktes  m^  abschneidet  Da 
nun  die  Punkte  m  und  M  beide  der  Normale  42)  angehören,  so  geht  anch 
die  Ebene  selbst,  welche  auf  den  Achsen  die  Goordinaten  eines  Punktes 
des  Ellipsoides  50)  abschneidet,  durch  die  Normale  des  entsprechenden 
Punktes  der  Fläche  27). 

Bezeichnet  man  die  Punkte ,  wo  die  Achsen  von  der  Ebene  51)  ge- 
schnitten werden,  mitp^,  q^,  r^,  so  daas 

so  liegt  die  Normale  42)  in  der  Ebene  des  Dreiecks  Po  9o '*o  ^"^^  ^^^^^^^^^ 
die  Seiten  in  den  Punkten  -Pq»  (?oi  '^o*  Um  die  Lage  derselben  in  dem  Drei- 
ecke Pq  qQ  Tq  zu  bestimmen ,  beachte  man ,  dass 

,«,=(,_-f!,)v(^,)=..[e-i=^.)v(^,)i. 

und  hieraus  erhält  man 

Wendet  man  nun  auch  auf  die  Stücke  der  anderen  Seiten  des  Dreiecks 
Po  9o  ^0  dasselbe  Verfahren  an ,  so  entsteht 

52)   PoR'9o^o=^'^ty  9oPo'^o^o  —  Jt'-i^  roQo'PoOo=Jt'-t' 

Mithin  ist  die  Normale  jedes  Punktes  des  Ellipsoides  27) 
in  der  Ebene,  welche  die  Goordinaten  des  entsprechenden 
Punktes  des  Ellipsoides  50)  auf  den  Achsen  abschneidet,  so 
gelegen,  dass  ihre  Entfernungen  von  den  Schnittpunkten  der 
Achsen  sich  verhalten,  wie  die  reciproken  Wertho  der  Qua- 
drate dieser  Achsen. 

Die  Vergleicliung  der  Goordinaten  der  Punkte  /?o,  ^o>  ^o^  ^o»  Oo»  -^o  ^^^ 
ferner,  dass  unter  den  vier  möglichen  Geraden ,  deren  Entfernungen  von 


Von  Dr.  Heilermann.  369 

den  Ecken  Pe 9  ^oi  ^a  ^^  ^^^  angegebenen  Verhältnisse  stehen,  die  Nor- 
male 42)  diejenige  ist,  welche  alle  Seiten  des  Dreiecks  Po ^o '*o  änsserlich 
theilt. 

§.9. 
Die  £benen 

welche  das  Ellipsoid  27)  im  Punkte  (a:,y,z)  berührt,  begrenzt  auf  den 
Achsen  die  Stücke 

X  y  z  * 

Nun  sind  aber  die  Froducte 

Op,.Op,  =  ^ y ^,    Oq..Oq,^^ ^-^ ^, 

Oto  .  Or,  = -^ 

constant,  und  weun  noch  auf  den  Achsen  vom  Mittelpunkte  ans  nach  bei- 
den Seiten  die  Strecken 


54)  ]q,  =  0,,  =  ^(^'-^)(^— *). 

0 


C 

abgeschnitten  werden,  so  ist 

55)   Opo  .  Op,  =  0/^  =  0/,«,  Ogo  .Oq^  =  0^  =  Og,\  Qr^  .  Or,  =  OÄ«  =  Oh*. 

Diese  Oleichnngen  zeigen,  dass  es  in  jeder  Achse  des  Ellipsoides  zwei 
(reale  oder  imaginäre)  Punkte  giebt ,  welche  gegen  die  Berührungsebene 
53)  und  die  Normalebene  51)  harmonisch  liegen*,  nämlich  die  realen  Punkte 
/*,/*,  und  hy  A,  und  die  imaginären  g^  ^,.  Diese  Punkte  habe  ich  Focal- 
pnnkte  des  Ellipsoides  genannt.  (Ber.  der  Akad.  der  Wissenschaften  zu 
Berlin.)  Hiernach  lässt  sich  der  in  den  vorstehenden  Gleichungen  ent- 
haltene Satz  in  folgender  Weise  ausdrücken : 

Jede  Berührungsebene  des  Ellipsoides  27)  und  diejenige 
Normalebene,  welche  auf  den  Achsen  die  Coordinaten  des 
dem  Berührungspunkte  entsprechenden  Punktes  des  Ellip- 
soides 50)  abschneidet,  sind  gegen  die  Focalpunkte  des 
ersteren  Ellipsoides  harmonisch  gelegeji. 

Da  ausserdem 

K-ft')  (^*-<^)  .  .    (y-o  (y-«*) 

a.a^  = -^ ,  o.ö,= p , 


(c»  — a*)(c*  — 6») 

ZeiUchrin  f.  Malhemalik  a.  Physik.  VI,  6.  *]t& 


er, 


370  Ueber  ein  System  verwandter  Carven  und  Flächen  zweiten  Gnide&« 


so  sieht  man,  dass  aach  die  Scheitel  der  EUipsoide  27)  nnd  30)  gegen  di^ 
Focalpnnkte  des  Ellipsoides  27)  harmonisch  liegen. 

Um  nun  die  Lage  der  Normalebene  51)  gegen  die  beiden  Haapt* 
normalebenen  festznstellen,  denke  man  sich  durch  den  Punkt  m  =  (^,  y,  z) 
noch  die  beiden  Hyperboloide 

j:*        t/*        z* 

welche  mit  dem  EUipsoide  27)  confocal  sind,  gelegt.     Die  Differenzen  der 
gleichliegendeu  Halbachsenqaadrate 

«•— aj«  =  6»~  V  =  c«— c,«  =  rf,«, 

sind  die  Wurzeln  der  Gleichung 

und  aus  dieser  geht  hervor ,  dass 

Die  Ebenen ,   welche  das  Ellipsoid  27)  und  die  beiden  confocalen  Hyper- 
boloide 56)  berühren ,  sind 


X  y  z  

jl  •  ^1  +  Tii  •  yi  +  71  •  ?i  —  1 1 
"1  ''i  *^i 


s8*)  '^  „  .  y  ..  .  * 


"f  «'«  <^t 

und  stehen  auf  einander  senkrecht,  weil 

ar*  t/*  2« 

-z L_£ L    *     =:^o 

«««,•      ^*V       c*r,«         ' 

wie  sich  sogleich  engiebt,  wenn  man  die  Gleichungen  der  Flächen  von 
einander  abzieht. 

Der  Durchmesser  2  0  des  Ellipsoides  27),  welcher  auf  der  Berühirungs- 
ebene  58*)  senkrecht  steht,  ist  der  Lage  nach  dargestellt  durch  die  Doppd" 
gleichung 

«I*  ^"  Cx* 

und   wenn  die  Grösse  dieser  Producte  mit  X  bezeichnet  wird,  so  ist  die 
Lange  desselben  Durchmessers  bestimmt  duxcVi 


Von  Dr.  Heilebmank.  971 


^^t  »<w^»>»<»»^■^^^^^^^^^'SWi*^^^«^^^»^^s^^i»^^^*^^»^*»*^^^^^<^»ws^<i^i^^<^«^^w^<^^^i»^^^^^>»^^^^^^«l^^^^^^ 


''='-(i7+#+D- 


Zur  Ermittelang  der  Grösse  X,  welcher  der  Durchmesser  2/>  propor- 
tional ist,  beachte  man,  dass  die  Endpunkte  desselben  in  dem  Ellipsoide 
27)  liegen ,  nnd  setze  in  die  Gleichung  desselben 

Ol  0,  C| 

dadurch  entsteht 
folglich  ist 

Diese  Division  ergiebt 

59)  ß*  =  d,; 

und  mithin  sind  die  Wurzeln  der  Gleichung  57)  zugleich  auch  die  Qua- 
lrate der  Halbdurchmesser  des  EUipsoides ,  welche  auf  den  Ebenen  58*) 
und  58**)  senkrecht  stehen.  Da  ausserdem  diese  Wurzeln  nach  der  Glei- 
shnng  57)  auch  den  Bedingungen 

d,»  +  d;«  =  a»  +  6»  +  c»  + «»  +  y»  +  *», 

d.«d..=.wg  +  g  +  J) 

genügen,  so  bilden  auch  2(i|  und  2(f,  mit  dem  Durchmesser  des  Punktes 
m  =  (o:,  y ,  z)  ein  System  von  conjugirten  Durchmessern,  und  weil  endlich 
iie  Durchmesser  2(fi  und  2d^  auf  einander  senkrecht  stehen,  so  sind  sie 
Aie  Achsen  des  zur  Berührungsebene  des  Punktes  m  parallelen  Central- 
ichnittes 

Werden  nun  vom  Mittelpunkte  auf  die  Berührungsebene  58)  die  Senk- 
rechten S,  17,  i; gefällt,  so  sind  die  Winkel,  welche  diese  mit  den  Achsen 
bilden,  durch  die  Gleichungen 


a 


6^' 


cos  (170)  =  ^^,  cos  {fib)  =  ^1,  cos  (fic)  =  -^^^ 

Oj  Hl  C| 

cos  iia)  =  ^,  cos  (tft)  =  p^-,  cos  (fc)  =  fi    . 

ö,  O^  c, 

bestimmt,  und  wird  ebenso  vom  Mittelpunkt  auf  die  Normalebene  51)  die 
Senkrechte  t  gefällt ,  so  ist 

cos  {tc)  =  j-z t^-n — TtN- "~  • 

^    ^       (er — a*)  (er  —  b*)    x 


372  lieber  ein  System  verwandter  Curven  und  Flftchon  sweiten  Gnde».  ^ 

Da  nun  bekanntlich 

cos  {tri)  =  cos  (/«)  cos  (i|a)  +  cos  (ib)  cos  (i|fc)  +  cos  {(c)  cos  (i|c), 
cos  (({;)  =  cos  {ta)  cos  (fa)  +  cos  {tb)  cos  (ib)  +  cos  {ic)  cos  (tc), 

so  erhält  man  dnrch  Einsetzung  der  obigen  Werthe 

nnd  durch  einige  Reductionen 

Nun  ist  aber  nach  dem  bekannten  Satze  von  dem  constanten  Prodncte  d  ^r 
conjngirten  Durchmesser  einer  Fläche  zweiten  Grades 

folglich 

Wenn  man  noch  beachtet,  dass  die  Senkrechten  i^  und  {;  auch  auf  einand  ^r 
senkrecht  stehen,  dass  ^i' <  cf,*  und  dass  die  drei  Senkrechten  ij,  {;  uu A  < 
in  der  Centralebene  60)  liegen,  so  ergiebt  sich 

6t)  Umg  (<,)  =  -  ^,  tang  Ct)  =  ^  • 

Die  Gleichung  dieses  Centralschnittes  ist 

da,  wie  oben  bewiesen,  (fj  und  d^  die  Halbachsen  desselben  sind;  d  Ä® 
Senkrechte  /,  welche  vom  Mittelpunkte  auf  die  Ebene  51)  gefällt  wurd  ^» 
ist  durch  die  Gleichung 

z=:tang{tti)  ,y 
dargestellt,  nnd  diese  geht  durch  Einsetzung  des  Wcrthes  61)  über  in 

Ferner  sind  in  der  Centralebene  00)  in  Bezug  auf  die  Durchmesser  2rf,  un^' 
2d^  als  Coordinatenachsen  ly  und  f  die  Coordinaten  des  Punktes,  wo  di^ 
Nonnale  des  Punktes  m  die  Ebene  trifft.,  folglich  ist 

63)  .      i^-l  =  0 

die  Gleichung  des  Durchmessers,  welcher  durch  diesen  Punkt  geht. 

Diese  Geraden  62)  und  63)  sind  aber  offenbar  conjugirte  Durchmesser 

des  Centralschnittes  60) ,   bilden  also  auch  mit  der  vom  Mittelpunkte  nach 

dem  Punkte  m  des  Ellipsoides  gezogenen  Geraden  ein  System  von  con- 

jugirtcn  Durchmessern    dieser  Fläche.     Die  Ebene,   welche    durch    den 

Paukt  m  nnd  die  Gerade  63)  gebt,  \sl  d\Q  notixiale  Centralebene  und  mithin 


Von  Dr.  Heilermamn.  373 

imt  die  Gerade  62)  oder  die  Senkrechte  l  der  zu  dieser  Ebene  conjugirte 
I^nrchmesser  des  fillipsoides. 

Hieraus  ergiebt  sich  folgender  Sats : 

Die  Achsen  eines  Ellipsoides  werden  von  der  Normal- 
ebene, welche  auf  dem  zur  normalen  Gentralebene  desselben 
Fanktes  conjugirten  Durchmesser  senkrecht  steht,  und  von 
der  Berührungsebene  desselben  Punktes  so  geschnitten,  dass. 
die  Schnittpunkte  mit  den  Focalpuukten  ein  System  von  har- 
monischen Punkten  bilden. 


XV. 

Beiträge  zur  Oeschiohte  der  Fortechritte  in  der  elektrischen 

Telegraphie. 

Von  Dr,  Ed.  Zetzsche. 


III.   Wechsel,  Relais,  Translation  und  Zweigaprechen, 
Schleifen,  Blitzableiter. 

1.     Die  Batterie-  und  Linienwechsel. 

Wechsel  oder  Umschalter  nennt  man  diejenigen  Telegraphen- 
apparate, welche  dazu  dienen,  dem  elektrischen  Strome  den  nach  dem 
jedesmaligen  Zwecke  allein  zulässigen  Weg  durch  die  anderen  Apparate 
anzuweisen.  Kaum  dürfte  es  irgend  eine  Telegraphenstation  g^ben,  in 
welcher  gar  keine  Vorrichtung  zum  Umschalten  vorhanden  wäre.  Die 
Wechsel  sind  daher  trotz  ihrer  grossen  Eitafachheit  sehr  wichtige  und  nütz- 
liehe Apparate ;  auch  finden  sie  sich  sehr  frühzeitig  im  Gebrauch ,  da  sich 
bei  steigender  Benutzung  der  Telegraphen  sehr  bald  das  Bedürfniss  her- 
ausstellte, den  Wog  des  Stromes  in  dem  einen  oder  dem  anderen  Falle  zu 
verlegen ,  also  zwischen  zwei  oder  mehreren  Punkten  bald  eine  leitende 
Verbindung  herzustellen ,  bald  wieder  dieselbe  zu  unterbrechen.  Die  dazu 
in  Anwendung  gebrachten  Mittel  waren  zu  verschiedenen  Zeiten  und  für 
versehiedene  Zwecke  verschieden. 

Da  es  überhaupt  nur  dann  möglich  ist,  zu  telegraphiren ,  wenn  man 
einen  elektrischen  Strom  abwechselnd  eine  Zeitlang  circuliren  lässt  und 
dann  wieder  unterbricht,  so  ist  bei  jedem  Telegta^hoia  ^Vda  N^Tt\0<c^s^^^(^ 


374  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


— »»N»'N»>^%^>^^»<»N^^»^^*<^i^^^^^»<rW» 


nötbig,  welche  ein  abwechselndes  Schliesscn  nnd  Unterbrechen  des  Stro- 
mes gestattet,  den  dazu  bestimmten  Apparat  nennt  man  aber,  obgleich 
seine  Bestimmnng  mit  der  des  Wechsels  ganz  nahe  zusammenfallt,  Taster, 
Schlüssel,  Zeichengeber,  auch  wohlCommutator,  wenn  er  Ströme 
von  wechselnder  Bichtung  in  die  Telegraphcnleitung  sendet.  Zuerst  wen- 
dete man  für  den  vorliegenden  Zweck  bewegliche  Dräthe  an,  welche  bald 
in  je  zwei  Quecksilbernäpfchen  eintauchten,  bald  aus  ihnen  herausgehoben 
wurden  und  so  in  dem  einen  Falle  gewisse  Verbindungen  zwischen  den 
mit  Quecksilber  gefüllten  Näpfchen  und  den  mit  diesen  verbundenen,  so 
den  anderen  Apparaten  oder  zur  Luftleitung  führenden  Dräthen  herstell- 
ten, in  dem  anderen  Falle  aber  diese  Verbindung  wieder  unterbrachen. 
Derartige  Einrichtungen  enthielt  nicht  nur  der  zweite  mechanische  Tele- 
graph von  William  Fothergill  Cooke  (im  Februar  1837) ,  sondern  auch  die 
Telegraphen  von  Morse,  Steinheil  und  der  1838  patentirte  electrochemische 
Telegraph  von  Edward  Davy  (vergl.  Shaffnor,  telegraph  manual,  New- York, 
1859,  S.  100  u.  100,  437,  105,  255).  Später  oder  wohl  selbst  gleichzeitig  wur- 
den die  in  Quecksilbernäpfchen  eintaachenden  Dräthe  ersetzt  durch  fe- 
dernde Metallstreifen,  welche  bald  auf  einem  leitenden,  bald  auf  einem 
i>olirendcn  anderen  Theil  des  Apparates  aufschleiften;  ein  solcher,  von 
Charles  Wheatstone  und  W.  F.  Cooke  für  ihren  „Einfachen  Nadel  telegraph" 
benutzter  Schlüssel  ist  auf  S.  Ol  des  ersten  Jahrganges  dieser  Zeitschrift 
beschrieben  und  dort  auf  Tafel  V  Fig.  23  abgebildet.  Bei  den  jetzt  vor- 
wiegend gebrauchten  Morse'schen  Drucktclographen  aber  hat  der  Taster 
im  Wesentlichen  die  im  ersten  Jahrgange  S.  05  erklärte  und  daselbst  auf 
Tafel  V  Fig.  25  abgebildete  Einrichtung. ,  Bei  anderen  Telegraphen  ist  die 
Einrichtung  des  Zeichengebers  durch  die  Einrichtung  der  übrigen  Apparate 
bedingt  und  deshalb  soll  hier  nicht  weiter  darauf  eingegangen  werden: 
dass  aber  an  ihnen  bis  in  die  neueste  Zeit  Federn  zur  Unterbrechung  dec 
Stromes  wiederholt  vorgeschlagen  und  verwendet  worden  sind,  zeigen 
schon  die  vorausgegangenen  Artikel  I  und  II  über  Copirtelegraphen  und 
über  Typendrucktelegraphen.    (Jahrg.  5,  S.  30  und  S.  305.) 

Auch  von  den  eigentlichen  Wechseln  giebt  es  zwei  verschiedene 
Arten ;  früher  bediente  man  sich  der  Klemmenwechsel,  jetzt  fast  all- 
gemein der  Lamellenwechsel,  weil  die  letzteren  mit  besonderer  Ein- 
fachheit und  Leichtigkeit  eine  sehr  grosse  Mannigfaltigkeit  in  der  Ab- 
änderung des  Stromlaufes  darbieten.  Ausserdem  unterscheidet  man  di< 
Batteriewechsel,  d.  h.  diejenigen,  welche  nur  zu  dem  Zwecke  vor- 
handen sind,  dass  man  nach  Maassgabe  der  Länge  oder  der  BeschafTenheii 
der  Luftleitungen  mit  einem  grösseren  oder  kleineren  Theile  der  Telegra- 
phir-  oder  Linienbatterie  tclegraphiren  kann,  von  den  Linienwechseln 
durch  welche  der  Stromlauf  durch  die  Apparate  abgeändert  wird. 

Die  Klemmenwechsel  bestehen  aus  zweierlei  durch  den  Apparat 
thch  hindurchgehcnion  Klemmschrauben  y   in  welche  unter  dem  Apparat 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  375 

tische  je  ein  Leitangsdrath  einge&chranbt  ist.  Die  einen  enden  über  dem 
Tische  in  eine  kleine  Metallplatte  und  heissen  Wechsel  weih  eben; 
Pig.  1  Taf.  y  zeigt  ein  solches  im  Durchschnitt :  d  ist  der  Leitangsdrath, 
«  die  Metallplatte ,  T  der  Tisch.  Die  anderen ,  die  Wechselmännchen, 
tragen  über  dem  Tische  noch  einen  kleinen  metallenen  Arm,  welcher  nm 
die  Achse  der  Klemmschraube  drehbar  ist,  aber  stets  mit  ihr  in  leitender 
Verbindung  bleibt.  Jedem  Männchen  stehen  zwei  oder  mehrere  Weibchen 
gegenüber,  wie  es  Fig.  2  Taf.  V  deutlich  macht,  so  dass  der  etwas  federnde 
Arm  des  Männchens  auf  die  Platte  des  einen  oder  des  anderen  Weibchens 
aufgelegt  werden  kann ,  wodurch  der  im  Männchen  eingeschraubte  Draht 
mit  dem  Drabte  desjenigen  Weibchens,  auf  dem  der  Arm  aufliegt,  in  lei- 
tende Verbindung  gesetzt  wird.  Solche  Wechsel*)  waren  noch  unlängst 
in  den  Telegraphenstationen  der  österreichischen  Staatseisenbahnen  in  aus- 
gedehntem Gebrauche,  so  lange  man  sich  dort  noch  der  Bain  -  Ekling'schen 
Glockenapparate  bediente.  So  hatte  z.B.  ein  Linien  Wechsel  auf  Mittel- 
stationen folgende  Einrichtung:  die  beiden  in  die  Station  einmündenden 
Luftleitungen  Z,  und  Z,  (Fig.  3  Taf.  V)  führen  nach  1  und  2f  vom  Weib- 
chen 1  führt  ein  Draht  durch  die  Apparate  A  und  von  da  nach  2;  das 
Weibehen  3  und  das  Männchen  4  sind  unter  sich  und  mit  der  Erde  E  lei- 
tend verbunden.  In  der  gezeichneten  Stellung  liegt  kein  Männchen  auf 
einem  Weibchen ,  folglich  geht  jeder  Strom  aus  einer  der  Luftleitungen  Z, 
oder  Lf  durch  die  Apparate  A  der  Mittelstation  und  dann  in  die  andere 
Luftleitung  Z,  ^^^^  ^i  weiter;  legt  man  dagegen  den  Arm  des  Männchens  2 
auf  das  Weibchen  1 ,  so  geht  «der  Strom  aus  einer  der  Leitungen  direct  in 
die  andere  Leitung ,  und  nur  ein  ganz  schwacher  Theilstrom  geht  durch  die 
Apparate  A,  so  dass  auf  diesen  die  Zeichen  nicht  mit  erscheinen;  liegt  der 
Arm  des  Männchens  2  auf  dem  Weibchen  3,  oder  der  Arm  des  Männchens 
4  auf  dem  Weibchen  1,  so  geht  im  ersten  Falle  der  Strom  aus  Z,  direct  zur 
Erde,  der  Strom  aus  Z,  durch  die  Apparate  A,  aber  nicht  nach  Z,  weiter, 
londem  in  die  Erde,  im  zweiten  Falle  dagegen  der  Strom  aus  Z,  direct  zur 
Erde ,  der  Strom  aus  Z,  durch  die  Apparate  A  und  zur  Erde ,  nicht  aber 
aach  Z| ;  liegt  endlich  der  Arm  des  Männchens  4  auf  1  und  zugleich  der 
Arm  des  Männchens  2  auf  3 ,  so  sind  beide  Leitungen  Z|  und  Z,  direct  mit 
der  Erde  verbunden ,  was  unter  Anderem  bei  Gewittern  zur  Schonung  der 
Apparate  nöthig  ist.  Genau  dieselben  Dienste  leistet  der  im  Wesentlichen 
mit  diesem  Wechsel  genau  übereinstimmende,  anscheinend  minder  ein- 
fache Umschalter,  welciier  im  Katechismus  der  elektrischen  Telegraphie 
von  Galle  S.  153  beschrieben  ist  und  auf  sächsischen  Mittelstationen  noch 
mehrfach  gebraucht  wird;  bei  diesem   Umschalter  legt  sich  ein  starrer 


*)  Eine  frühere  Form  derselben  imd  ihre  Anwendung  findet  sich  ausführlich  be- 
schrieben in:  Galle,  Katechismus  der  elektrischen  Telegraphie.  2.  Auflage.  Leipzig 
18M.  8.  150  bis  153. 


376  Beitrage  nr  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  dektr.  Te 

drehbarer  Arm  der  einen  Klemme  an  fedtmde  Theile  der  anderen  Kl< 
an,  in  einer  Weise,  welche  snerst  Siemens  nnd  Hidske  an  ihres 
telegraph  (yergl.  Schellen,  der  elektromagnetische  Telegraph,  3.  Auflage, 
Braunsehweig  1854,  S.  128)  benntst  an  haben  scheinen.  Wo  eine  grüsoere 
Mannigfaltigkeit  in  den  Umschaltnngen  nSthig  ist,  dOrfte  der  KlernsM«« 
Wechsel  von  E«  Hatsenauer  (yergl.  Zeitschrift  des  dentsch-fSsterreichiaeheB 
Telegraphenvereins,  1855,  S.  29)  gnte  Dienste  thiin,  bei  welchem. die Mlan* 
chen  im  Kreise  stehen,  nnd  die  Weibchen  anstatt  der  Platten  über  dem 
Apparattische  in  ringförmige  Streifen  enden,  welche  als  VoUkreiae  een- 
centrisch  innerhalb  nnd  ansserhalb  jenes  Kreises  liegen,  auf  welchen , die 
Männehen  stehen« 

Als  Batteriewechsel  erhält  ein  Klemmenwechsel  die  Anordmuf 
in  Fig.  4  Taf.  V:  nm  das  mittelbar  mit  der  LnfUeitnng  L  verbnudene 
Wechselmännchen  a  stehen  im  Kreise  hemm  eine  Ansabl  Weibchen  1,  % 
bis  6,  welche  mit  den  positiven  Polen  der  Linienbatterien  I,  II  bis  VI  rmit' 
bnnden  sind ,  während  der  negative  Pol  der  ersten  Batterie  I  mit  der  Eide, 
der  negative  «Pol  jeder  folgenden  Batterie  aber  immer  mit  4^m  pöaitiTeB 
.  Pole  der  vorhergehenden  Batterie  verbunden  ist  Je  nachdem  nun  der 
Arm  des  Männchens  a  auf  1, 2...  gder  6  gestellt  wird,  wird  beim  ScUiessen 
der  Kette  der  Strom  von  einer,  awei  • .  •  oder  sechs  Batterien  in  die  Lei- 
tong  gesendet 

Die  Lamellenwechsel  sind  in  der  Form,  in  welcher  sie  anerst  von 
Steinheil  angegeben  wurden ,  noch  jetzt  in  den  Stationen  der  österreichi- 
schen Staatstelegraphen  gebräuchlich.  Fig#  5  Taf.  V  leigt  einen  solchen 
Wechsel  im  Grundriss  and  im  Durchschnitt  Zwei  über  einander  liegende, 
sich  kreuzende  Reihen  von  schmalen  Messinglamellen  sind  durch  eine  iso- 
lircnde  Schicht,  z.  B.  durch  eine  trockene  Holzplatte,  von  einander  ge- 
trennt; die  Streifen  einer  jeden  Keihe  aber  sind  ebenfalls  durch  zwischen« 
gelegte  isolirende  Holzstreifen  von  einander  getrennt; .  an  den  Kreuznngs- 
stellen  sind  sämmtliche  Messingstreifen  durchbohrt  und  in  die  eingebohr- 
ten Löcher  können  messingene  Stifte  oder  Stöpsel  (Fig.  6  Taf.  V)  ein- 
gesteckt werden ,  welche  von  oben  und  von  unten  an  den  Stellen,  wo  sie  in 
den  Lamellen  stecken,  federnd  aufgeschlitzt  sind,  damit  sie  sich  gut  an 
die  Lamellen  anlegen ;  der  Kopf  der  Stifte  ist  von  Elfenbein ;  wird  ein  Stift 
in  irgend  ein  Loch  eingesteckt,  so  verbindet  er  die  beiden  an  dieser  Stelle 
sich  kreuzenden  Lamellen.  An  dem  einen  Ende  einer  jeden  Lamelle  ist 
noch  ein  kleineres  Loch,  in  welches  ein  Leitungsdrath  eingesteckt  und 
mittelst  einer  Klemmschraube  befestigt  wird.  In  Fig.  5  wurde  der  Einfach- 
heit halber  nur  ein  Wechsel  mit  drei  Verticallamellen  a,  6,  c  und  zwei 
Ilorizontallamellen  d  und  e  gezeichnet;  ein  solcher  reicht  vollkommen  hin, 
um  den  Klemmenwcchsel  Fig.  3  zu  ersetzen  und  übertrifft  ihn  mindestens' 
in  der  Beziehung,  dass  er  die  Möglichkeit  bietet,  die  beiden  Leitungen  L^ 
und  Z,  bei  völligem  Ausschluss  der  Apparate  A  entweder  unter  sich 


Von  Dr.  Ed,  Zetzschb.   .  377 

^^«'«eti  oder  beide  mit  der  Erde  sa  verbinden.     Denkt  man  sich  die  eine 

^^fUeitong  X,  mit  a,  die  andere  Z,  mit  b  und  die  Erdleitang  mit  c  leitend 

j        verbunden,  von  den  nnter  sich  gehörig  verbundenen  Apparaten  aber  einen 

I         ^rath  nach  e  and  einen  anderen  nach  d  geführt,  so  wird,  wenn  man  einen 

!  Stöpsel  in  das  Loch  1  und  einen  in  das  Loch  4  steckt,   der  Strom  aus  Z| 

stach  «,  durch  den  Stöpsel  in  1  nach  dj  durch  die  Apparate  nach  e  und 

durch  den  Stöpsel  in  4  nach  b  und  Z,  gehen ;  stöpselt  man  in  2  and  in  3,  so 

^eht  der  Strom  ans  Z|  zwar  auch  durch  die  Apparate  und  nach  /),  i  ^ber  er 

durchläuft  die  Apparate  in  der  entgegengesetzten  Richtung;   durch  diesen 

IRichtungswechsel   wird  zugleich  eine  etwa  im  Anker  der  Elektromag^ete 

anrückgebliebene  Polarität  beseitigt.     Stöpselt  man  in  1,  4  und  6,  oder  in 

2,  3  and  5,  so  geht  der  Strom  aus  Z,  durch  die  Apparate  und  c  zur  Erde, 

^er  Strom  aus  Z,  aber  direct  nach  c  und  zur  Erde;  stöpselt  man  in  1,  4  und 

2^,  oder  in  2,  3  and  6,  so  geht  der  Strom  aus  Zj  direct,   der  Strom  aus  Z, 

mhet  durch  die  Apparate  zur  Erde.     Stöpselt  man  endlich  in  1  und  3 ,  oder 

Sn  2  und  4,  so  geht  der  Strom  aus  Zj  sofort  nach  Z,,  ohne  die  Apparate  zu 

durchlaufen;  stöpselt  man  in  1,  3  und  5,  oder  in  2,  4  und  6,  so  geht  jeder 

Strom  ans  Zi  and  Z,  direct  zur  Erde;  zugleich  bleibt  in  den  beiden  letzten 

fällen  dem  Strome,  weil  zwischen  d  und  e  keine  leitende  Verbindung  vor- 

Ivanden  ist,  durchaus  kein  Weg  durch  die  Apparate  o£fen,  es  kann  daher 

^uch'nicht  einmal  ein  Zweigstrom  durch  die  Apparate  gehen,  die  Apparate 

sind  völlig  ausgeschlossen,  also  auch  gegen  atmosphärische  Einflüsse,  na- 

mentlieh  gegen  Blitzschläge  geschützt. 

Die  Lamellenwechsel,  welche  in  Sachsen,  Preussen,  den  Niederlanden 
'Q  .  I.  w.  im  Gebrauch  sind  (vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen 
'X*elegraphenvereins,  1854,  S.  78;  1855,  S.  50,  177  und  217),  unterscheiden 
*ich  von  dem  vorstehend  beschriebenen  nicht  wesentlich;  sie  enthalten  nnr 
^^^eit  breitere  und  stärkere  Messinglamellen  und  erhalten  dadurch  unnöthi- 
^«r  Weise  ein  sehr  massiges  Aussehen ;  die  Stöpsel  sind  oft  nicht  geschlitzt, 
Sondern  conisch;  die  Lamellen  der  unteren  Reihe  sind  an  den  Kreuznngs- 
^teilen  verdickt,  so  dass  sie  bis  zu  den  oberen  heraufreichen,  ohne  sie  zu 
^«rühren ,  und  die  conischen  Löcher  sind  nun  halb  in  der  einen ,  halb  in 
^  «r  anderen  Lamelle ,  in  ähnlicher  Weise ,  wie  dies  Fig.  7  Taf.  Y  zeigt, 
^^^0  ein  kleinerer  derartiger  Batterie  Wechsel  abgebildet  ist;  der  Drath  E 
^^hrt  zur  Erde,  der  Drath  T  zu  dem  hinteren  Contacte  des  Tasters,  von 
^^0  der  Strom  in  die  Linie  «gesendet  wird;  in  1  ist  zu  stöpseln,  wenn  mit 
^iner  Batterie,  in  2,  wenn  mit  zweien,  und  in  3,  wenn  mit  drei  Batterien 
I        gesprochen  werden  soll. 

K  Der  wichtigste  Dienst  der  Linienwechsel  besteht  darin,  dass  sie  ge- 

\        statten,  die  oft   zahlreichen,    in   eine  und  dieselbe  Station  (Wechsel- 
>       Station)    einmündenden  Telegraphenleitungen   theits  direct,  theils  auch 

I       behufs  der  Translation  (in  Translationsstationen)  nach  Bedarf  ganz 
beliebig  unter  einander  zu  verbinden,  während  za  anderen  Zeiten  wieder^ 


378  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr«  Telegrsphie. 

jede  von  der  anderen  getrennt,  allein  in  Betrieb  genommen  werden  ksim. 
Das  Schema  der  Einschaltung  einer  solchen  Translationsstation  folgt  einige 
Seiten  weiter  unten. 

2.    Das  Relais. 

Wollte  man  durch  die  elektrischen  Ströme ,  welche  die  Telegraphen- 
leitnng  durchlaufen  und  als  Linienströme  bezeichnet  werden  mögen, 
den  Morse^schen  Schreibapparat  unmittelbar  in  Gang  setzen,  so  mOnte 
man  sehr  kräftige  Batterien  anwenden ,  wenn  in  grösserer  Entfernung  m 
einander  gelegene  Stationen  mit  einander  verkehren  sollten;  denn  snm 
Eindrücken  des  Schreibstiftes  in  das  Papier,  ja  schon  zur  Bewegung  dei 
Schreibhebels  selbst  ist  eine  nicht  geringe  elektromagnetische  Kraft  erfor- 
derlich. Aber  auch  bei  den  kräftigsten  Batterien  kann  man  bei  sehr  langen 
Leitungen  nicht  mehr  auf  völlige  Sicherheit  des  Telegraphirens  rechnen 
und  gleichwohl  war  es  für  eine  gedeihliche  Entwickelung  der  Telegrapbie, 
für  ein  vielseitiges  und  wirksames  Eingreifen  derselben  in  die  verschiede- 
nen Verhältnisse  des  Lebens  unbedingt  nothwendig,  dass  man  weitgehende 
Depeschen,  mit  thunlichster  Vermeidung  des  Umtelegraphirens  oder 
Weitertelegraphirens  derselben  durch  Menschenhand ,  auf  möglichst  grMse 
Entfernungen  unmittelbar  fortgeben  könne.  Am  vollkommensten  erreicht 
man  dies  nur  durch  die  Anwendung  zweier  vermittelnder  Telegraphen- 
apparate: durch  Relais  und  Translatoren.  Zunächst  wird  man  nim- 
lieh  mit  derselben  Linienbatterie  um  so  weiter  telegraphiren  können,  je 
geringer  die  Stromstärke  ist,  bei  welcher  die  telcgraphischen  Zeichen  auf 
der  Empfangsstation  noch  deutlich  und  zuverlässig  erscheinen ,  eine  je  ge- 
ringere Kraft  also  der  auf  der  Empfangsstation  in  die  Leitung  eingeschal- 
tete Elektromagnet  auszuüben  hat.  Anstatt  daher  durch  den  Linienstrom 
die  Anziehung  des  Schreibhebels  zu  bewirken,  lässt  man  viel  zweck- 
mässiger den  Linienstrom  durch  die  Rollen  eines  Elektromagnets  E  in 
Fig.  8  Taf.  V  gehen,  dessen  Anker  A  an  einem  möglichst  leichten  und 
leicht  beweglichen  metallenen  Hebel  ab  sitzt;  dieser  Hebel  ist  an  irgend 
einer  Stelle,  z.  B.  an  seiner  Drehachse  c  mit  dem  einen  Pole  der  Batterie 
B  (der  Localbatterie),  welche  den  Schreibhebel  des  in  den  Kreis  der 
Localbattcrie  eingeschalteten  Schreibapparats  S  in  Gang  setzen  soll,  ver- 
bunden, während  das  vordere  Ende  b  des  Hebels  zwischen  zwei  Stell- 
schrauben s  und  ^,  spielt,  von  denen  die  eine  s  isolirt,  die  andere  «|  aber 
mit  dem  anderen  Pole  der  Localbatterie  B  leitend  verbunden  ist;  so  oft 
nun  der  Anker  A  des  Elektromngnctes  K  angezogen  wird  und  sich  in  Folge 
dessen  der  Hebel  ab  mit  seinem  vorderen  Endo  b  auf  die  Stellschraube  5, 
auflegt,  ist  der  Kreis  der  Localbatterie  ^geschlossen,  der  Schreibhebel 
wird  angezogen  und  drückt  ein  Zeichen  in  den  Papierstreifen  ein.  Die 
Länge  des  eingedrückten  Zeichens  hängt  von  der  Dauer  des  Linienstroins 
ab;   denn  die  Localbatterie  bleibt  genau  so  lange  geschlossen,   als  der 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  379 

LinieDStrom  in  der  Luftleitung  ununterbrochen  erhalten  wird ,  und  so  lange 
bleibt  auch  der  Schreibstift  in  den  Papiorstreifen  eingedrückt;   hört  da- 
gegen der  Linieustrom  auf,  so  zieht  eine  Spannfeder  f  den  Relaishebel  ah 
in  seine  Ruhelage  zurück,  so  dass  sich  sein  vorderes  Ende  h  wieder  an 
die  isolirte  Stellschraube  s  anlegt,  wodurch  der  Localstrom  unterbrochen . 
und  der  Schreibhebel  ebenfalls  durch  eine  Spannfeder  in  die  Ruhelage  zu- 
rückgeführt wird.  —  Da  der  Schliessungskreis  der  Localbatterie  Yerhält- 
nissmäasig  kurz,  ihr  Widerstand  im  Schliessungskreis  also  gering  ist,  muss 
auch  der  Widerstand  in  der  Batterie  möglichst  verringert  werden;  man 
verwendet  daher  zur  Localbatterie  nicht,  wie  zur  Linienbattorie ,  viele 
kleine  Elemente,  sondern  wenige  grosse;  die  Rollen  des  Elektromagnetes 
am  Schreibapparate  aber  bildet  man  aus  wenigen  Lagen  stärkeren  Drathes. 
Die  Erfindung  des  Relais  fällt  bereits  in  das  Jahr  1837.    Nach  ameri- 
kanischen Schriftstellern  soll  zwar  Joseph  Henry,  Professor  am  Princeion 
Colkge^  schon  in  der  letzten  Hälfte  des  Jahres  1836  eine  ähnliche  Vorrich- 
tnng  erdacht  und  bei  seinen  Vorlesungen  gebraucht  haben ;  doch  ist  kein 
weiterer  Beleg   für   diese    Behauptung   bekannt    (vergl.  Zeitschrift   des 
deatsch-österreichischen  Telegraphenvereins,  1854,  S.  206).    Dagegen  fass- 
ten  William  Fothergill  Cooke  und  Charles  Wheatstone  im  April  1837,   also 
bereits  zwei  Monate  nach  ihrer  Vereinigung,  den  fruchtbaren  Gedanken, 
einen  Localstrom  anzuwenden ,  und  erhielten  auf  den  neu  erfundenen  Ap- 
parat ein  Patent  am  12.  Juni  1837  (nach  Shaffner  und  Highton  und  nach 
dem  Polytechnischen  Central  blatte,  1830,  S.  456  [nach  Repertory  of  Patent 
Inoktionn  XI,  S.  1  —  33  und  05  —  70];  in  der  Zeitschrift  des  deutsch  -  öster- 
reichischen Telegraphen  Vereins,  1855,  S.  265,  ist  der  12.  Mai  1837  ange- 
geben);  Cooke  und  Wheatstone  wendeten  das  Relais  zuerst  für  den  ihrem 
Nsdeltelegraph  beigegebenen  Wecker  an  und  zwar  so ,  dass  eine  durch  den 
Lmienstrom  abgelenkte  Magnetnadel  bei  ihrer  Ablenkung  einen  Drath  in 
iwet  Qnecksilbemäpfchen  eintauchte  und  dadurch  den  Kreis  der  Local- 
batterie schloss ,  deren  Strom  nun  die  Anziehung  des  Ankers  eines  Elektro- 
magnetes veranlasste ,  wodurch  die  Hemmung  eines  Uhrwerkes  am  Wecker 
ansgerttckt  wurde    (Shaüher,  telegraph  tnamial,  S.  104  ff.),   oder  auch  der 
Klöppel   durch    die    elektromagnetische    Anziehung    unmittelbar    an    die 
Weckerglocke  anschlug  (Schellen,  elektromagnetischer  Telegraph,  Brann- 
lehweig  1854,  S.  83  bis  87).     Die  Anwendung  eines  Relais  bei  den  Morse'- 
uhen  Druckajtparaten  nimmt  Morse  selbst  in  seinem  Patente  vom  11.  April 
1816  in  AuHpruch ,   insofern   er  es  zuerst  im  Mai  1844  auf  der  Linie  Wa- 
shington—  Baltimore  in  Anwendung  gebracht  habe.     Der  zur  Einrichtung 
and  Einführung  Morse'schcr  Telegraphen  nach  Preussen  berufene  Ameri- 
kaner Robinson  brachte  1848  das  Relais  mit  nach  Deutschland.     Auch  für 
Zeigerappsrate  kann  ein  Relais  benutzt  werden ;  so  wird  z.  B.  beim  Zeiger- 
ipparate  von  Kramer  der  Zeiger  nicht  durch  den  Linienstrom,   sondern 
durch  einen  Localstrom  auf  der  BuchstabenscUfiibe  CotV^f^v^viVLX.. 


380  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


Die  in  Fig.  8  Taf.  V  skizsirte  Einrichtung  des  sogenannten  Schwt- 
nenhalsrelais  ist  yon  Morse  selbst  angegeben  worden ;  der  Hebel  liegt 
horizontal,  der  Elektromagnet  steht  vertical;  dieses  Relais  ist  in  Oeitsr* 
reich  fast  ansschliesslich  in  Gebrauch  und  es  arbeitet  sich  mit  ihm  sekr 
gut,  da  dasselbe  ganz  einfach  und  dennoch  sehr  empfindlieh  ist  und  sieh 
bequem  handhaben  lässt.  Minder  bequem  wird  das  Relais,  wenn  der  Elek* 
tromagnet  horizontal ,  der  Relaishebel  also  vertical  wie  ein  Pendel  gestellt 
wird ;  eine  solche  Einrichtung  hat  das  Relais  von  Nottebohm  (vergl.  Zeit- 
schrift des  deutsch- österreichischen  Telegraphenyereins,  18&5,  S.  97).  Hi[ip  1 
versah  das  Relais,  um  dessen  Empfindlichkeit  zu  erhöhen,  mit  einer  zwei-  ! 
ten  Spannfeder,  welche  ebenfalls  am  hinteren  Ende  a  des  Relaishebeli  «I, 
aber  nach  der  anderen  Seite  hin  liegt  als  f.  Eine  Abbildung  dieses  Reltii 
befindet  ^ich  im  Polytechnischen  Centralblatt,  1853,  S.  103,  nach  dem  Po- 
lytechnischen Journal,  1852,  November,  S.  193  (vergl.  auch  Fig.  10  Taf.Y). 
Siemens  und  Halske  versahen  beide  Kerne  des  Elektromagnetes  mit  flfigel- 
förmigen  Ansätzen,  wie  Fig.  0  zeigt,  und  benutzten  eine  Verlängerung  dei 
einen  Ansatzes  als  Relaishebel;  der  Kern  in  der  Rolle  a  steht  fest,  deria 
der  Rolle  6  ist  beweglich;  beide  Kerne  bekommen,  wenn  der  Strom  rie 
umkreist,  entgegengesetzte  magnetische  Polarität  und  ihre  Ansätze  ziehen 
sich  in  Folge  dessen  an ,  wodurch  sich  c  an  8^  anlegt  und  die  Localbatterie 
schliesst  Ein  anderes  Relais  von  Siemens  und  Halske  wurde  auf  S.  97 
des  ersten  Jahrganges  dieser  Zeitschrift  beschrieben;  es  ist  in  Nord- 
deutschland ziemlich  verbreitet,  wird  aber  häufig  etwas  abweichend  con- 
struirt.  Es  wird  nämlich  der  Ilebel  ab  (Fig.  10  Taf.  V),  welcher  den  Anker 
des  Elektromagnetes  bildet,  mit  einem  rechtwinklig  gegen  ah  stehenden 
Arme  c  fest  verbunden ,  welcher ,  so  oft  der  Anker  einmal  angezogen  wird 
und  darauf  in  seine  Ruhelage  zurückgeht,  eine  Schwingung  zwischen  den 
Stellschrauben  s  und  5,  macht;  liegt  aber  c  an  «, ,  so  ist  die  Localbatterie 
geschlossen;  der  Relaishebel  ist  mit  einer  doppelten  Spannfeder  ^und/*,  ver- 
sehen, deren  Spannung  durch  die  Stangen  d  und  e  von  der  Schraube  g  aus 
regulirt  wird.  Das  Ganze  ist  in  ein  dosenförmiges  Gehäuse  eingeschlossen 
(daher  Dosenrelais)  und  wird  in  der  in  Fig.  10  im  Grundriss  skizzirten 
Form  besonders  von  Robert  Thümmel  in  Leipzig  gearbeitet. 

Alle  diese  Relais  leiden  an  einem  Uebelstande,  welcher  sie  zwar  nicht 
unbrauchbar,  aber  doch  unbequem  macht;  es  muss  nämlich  bei  ihnen  die 
Spannfeder  stets  nach  der  Stärke  dos  Linienstromes  regulirt  werden,  wenn 
die  Zeichen  auf  dem  Relais  sicher  und  deutlich  erscheinen  sollen.  Wäre 
die  Feder  zu  stark  gespannt,  so  würden  die  Zeichen  gar  nicht  erscheinen, 
weil  der  in  den  Kernen  des  Elektromagnetes  entstehende  Elektromagnetis- 
mus nicht  stark  genug  wäre,  um  den  von  der  Feder  zurückgehaltenen 
Relaishebel  anzuziehen.  Wäre  dagegen  die  Feder  zu  schwach  gespannt, 
so  würde  der  Rclaishebel  auch  nach  dem  Aufhören  des  Linienstromes  noch 
angezogen  bleiben,   weil  der  Elektioma^uctlsmus  in  den  Kernen  nicht 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  381 

Mgenblieklich  wieder  yerscb windet,  also  der  Anker  noch  eine  Zeitlang 
im  Elektromagnet  haften  bleibt;  dadurch  würden  die  telegraphischen  Zei- 
chen Qttter  einander  yerschwimmen  und  znsammenfliessen.  Zar  Beseitigung 
let  genannten  Uebelstandes ,  welcher  leicht  zu  einer  Fehlerquelle  werden 
kann,  sind  yerschiedene  Vorschläge  gemacht  worden.  Man  könnte  die 
Spannfeder  durch  einen  permanenten  Richtmagnet  ersetzen ,  welchen  man 
lern  Anker  gegenüber  stellt;  dann  mnsa  aber  der  Anker  selbst  einen  Theil 
les  Kernes  des  Elektromagnetes  bilden.  In  Fig.  11  ist  eine  solche  Con« 
itmction  skizzirt,  welche  yon  De  Lafollye  angegeben  wurde;  eine  ausführ- 
iehere  Beschreibung  derselben  und  einiger  anderer  babe  ich  im  polytech- 
nischen Centralblatte  yon  1858,  8.  1521  nach  dem  Bulletin  de  la  societd  d^en- 
ü99iragemeni,  PariSy  avril  1858  gegeben.  A  und  B  sind  die  beiden  Multipli- 
cationsrollen  des  Relais,  der  eiserne  Relaishebel  ab  ist  bei  a  drehbar  mit 
dem  Kern  in  der  Rolle  B  yerbunden,  bildet  also  eine  Fortsetzung  dieses 
Kernes  und  theilt  dessen  Magnetismus;  M  ist  der  Richtmagnet.  Geht  kein 
Strom  durch  die  Linie ,  so  zieht  der  Richtmagnet  M  den  eisernen  Hebel  an 
die  isolirte  Stellschraube  S]  geht  ein  Strom  durch  die  Linie,  welcher  dem 
Pole  m  des  Richtmagnetes  M  gegenüber  bei  c  einen  mit  m  gleichnamigen 
P#l  erzeugt,  so  wird  der  Hebel  ab  entgegengesetzt  magnetisch  und  bleibt 
•a  t  liegen ,  weil  er  yon  dem  näheren  Magnete  M  stärker  angezogen  wird, 
tb  yon  dem  entfernteren  elektromagnetischen  Kerne  c  in  der  Rolle  A'^  geht 
eidlich  ein  Strom  durch  die  Linie ,  welcher  m  gegenüber  bei  c  einen  m  ent- 
gsgengesetzten  Pol  entwickelt,  so  wird  der  Hebel  ab  mit  m  gleichnamig 
Mgnetisch,  daher  yon  dem  Richtmagnete  M  abgestossen  und  gleichzeitig 
Ton  dem  Elektromagnete  c  angezogen ,  legt  sich  an  die  Stellschraube  ^|  an 
ud  sehliesst  die  Localbatterie;  nach  Aufhören  des  Stromes  zieht  der 
Bichtmagnet  M  den  entmagnetisirten  Hebel  ab  wieder  in  die  Ruhelage  an  # 
nrttek.  Dieses  Relais  spricht  also  nur  fUr  Ströme  yon  einer  bestimmten 
Uehtnng  an.  In  gewisser  Beziehung  gerade  entgegengesetzt  ist  die  yon 
len  preussischen  Obertelegraphist  Fr.  Schaack  yorgeschiagene  Anordnung 
vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegraphenyereins ,  1858, 
ieft  0  und  10);  der  Anker  dieses  Relais  ist  ein  doppelt  T-fÖrmiger  perma- 
lonter  Magnet  (Fig.  12  Taf.  V)  mit  zwei  Nordpolen  iV  und  iV,  und  zwei 
Iftdpolen  S  und  Si  und  dreht  sich  um  die  Achse  cc, ;  die  beiden  Kerne  in 
MüL  Rollen  des  Elektromagnetes  sind  nicht  zu  einem  Hufeisen  yerbunden, 
nidem  es  stehen  die  Enden  auf  beiden  Seiten  frei  aus  den  Rollen  heraus 
ad  es  tritt  das  eine  Paar  der  yorstehenden  Pole  P,  und  P^  mit  N  und  i^,, 
ai  andere  Paar  P,  und  i\  mit  S  und  Si  in  Wechselwirkung.  Wird  mit 
itrömen  yon  stets  gleicher  Richtung  telegraphirt,  so  ist  die  Anordnung 
laeh  Fig.  13  Taf.  V  zu  wählen  und  der  Elektron^agnet  so  einzuschalten, 
aas  Pf  und  P^  durch  den  Linienstrom  zugleich  Nordpole,  P,  und  P4  zu- 
laich  Südpole  werden;  so  lange  dann  kein  Strom  in  der  Linie  circulirt, 
rarden  die  yier  Pole  des  Ankers  yon  den  Eizenketu^ii  axL^^i»^%«<QL^  ^vt 


382  Beiträge  znr  Geschichte  der  Fortechritte  in  der  clektr.  Telegrapliie. 

Anker  dreht  sich  um  c  und  legt  sich  an  den  Rnhecontact  #  an ;  sobald  ein 
Strom  durch  die  Linie  gesandt  wird,   werden  iV  und  N^  von  den  mit  ihnen 
gleichnamig  magnetisch  gewordenen  Polen  P,  und  P, ,  ebenso  S  nnd  £>,  von 
den  mit  diesen  gleichnamig  magnetisch  gewordenen  Polen  P,  nnd  P«  abge- 
stossen,   nnd  der  Anker  schliesst  die  Localbatterie,  indem  er  sich  an  den 
Arbeitscontact  8^  anlegt.     Beim  Telegraphiren  mit  Strömen  yon  veehseln- 
der  Richtung  (z.  B.  mit  Inductionsströmen)  müssen  P^  und  P^  auf  einerlei 
Seite  des  Aukerschenkcls  NN^  liegen,  wie  Fig.  14  Taf.  V  zeigt,  nnd  ansser- 
dem  muss  der  Elektromagnet  so  eingeschaltet  sein ,  dass  beim  Schliessen 
des  inducirenden  Stromes  P,  durch  den  inducirten  Strom  (den  Schliessvngs- 
strom)  zum  Nordpol ,  P^  zum  Südpol  wird ;  denn  dann  wird  N  von  P,  abge- 
stossen ,   N^  von  P,  angezogen  und  der  Anker  schliesst  die  Localbatterie, 
indem  er  sich  an  8^  anlegt  und  daran  liegen  bleibt ,  bis  beim  Aufhören  des 
inducirenden  Stromes  ein  Inductionsstrom  von  entgegengesetzter  Richtung 
(der  Oeffnungsstrom)  durch  die  Linie  geht,  P,  zum  Stidpole  nnd  P,  nm 
Nordpole  macht  und  somit  den  Anker  wieder  in  die  Ruhelage  an  die  Stell- 
schraube 8  zurttckfUhrt,  da  dann  i\r  von  P|  angezogen,  N^  aber  von  P|  ib- 
gestossen  wird.     Bei  der  letzteren  Einschaltung  müssen  also  stets  iwei 
Ströme  von  entgegengesetzter  Richtung  durch  die  Linie  gehen ,  um  ein 
telegraphisches  Zeichen  hervorzubringen;   allein  man  kann  dabei  Zeichen 
von  verschiedener  Zeitdauer  geben,   z.  B.  Striche  und  Punkte,  wie  es  bei 
dem  Telegraphiren  mit  dem  Morse  üblich  ist.     Ganz  neuerdings  dagegen 
hat  Thomas  Allan  (wie  früher  Edward  Brailsford  Bright  in  Liverpool,  in 
einem  Pateute  vom  13.  Januar  1858)  vorgeschlagen,  anstatt  des  Morse^schen 
Alphabetes    aus  Strichen   und  Punkten   ein  Alphabet  aus   Punkten 
allein  zu  benutzen  nnd  für  dieses  hat  Allan  ein  Relais  construirt,  welches 
nicht  allein  keiner  Spannfeder  bedarf,  sondern  auch  noch  einige  andere 
Vortheile  bietet.     Für  jedes  telegraphischcs  Zeichen  ist  nur  ein  einsiger 
Strom  erforderlich,  aber  je  zwei  aufeinander  folgende  Ströme  haben  ßtet« 
entgegengesetzte  Richtung;  dadurch  werden  in  Folge  der  besonderen  Ein- 
richtung des  Schreibapparats  die  Punkte  in  zwei  Reihen  in  regelmässiger 
Abwechselung  im  Zickzack  in  den  Papierstreifen  eingedrückt.  Allan  bildet 
nun  die  Vocale  e^i^a^o^u^y  aus  Gruppen  von  1  bis  6  Punkten,  alle  Con- 
sonanten  und  sonstige  Zeichen  aber  aus  Combination  von  je  zwei  dieser 
Gruppen  mit  einem  Zwischenräume  von  der  Länge  eines  Punktes,  während 
zwischen  je   zwei   Buchstaben   ein   Zwischenraum  von  der  Länge  zweier 
Punkte  bleibt.     Die  Einrichtung  des  Relais  wird  ans  dem  Grundrisse  in 
Fig.  15  Taf,  V  deutlich  :  Die  Luftleitungen  L  und  Z,  sind  in  die  Klemmen 
/und  /j  geführt,  welche  mit  den  Rollen  zweier  Elektromagnete  in  Verbin- 
dung stehen ;   auf  die  vier  Pole  N  und  S  der  beiden  Elektromagnete  sind 
durch  Schräubchen  je  ein  excentrisches  Plättchen  a  aufgeschraubt,  durch 
welche  man  die  Pole  ihrem  Anker  hc  nach  Bedarf  nähern,    also  die  Em- 
pßadlicbkeit  des  Relais  regulircn  kann-^  als  Anker  und  Relaishebel  dient 


Von  Dr.  Ed.  Zetzschb.  383 


ein  permament  magnetischer  Stalilstab  6c,  welcher  hohl  ist,  damit  er  im 
Verhältnifls  zu  seinem  Gewichte  die  grösste  Menge  permanenten  Magnetis- 
moB  aufnehmen  könne;  da,  wo  der  Hebel  bc  zwischen  den  beiden  Contact- 
sehranben  »  nnd  «|  oscillirt,  ist  er  mit  einem  Platin-  oder  Goldring  cf  um- 
gürtet ,  und  bei  e  dreht  er  sich  zwischen  zwei  vortical  stehenden ,  in  die 
Elfenbeinträger  f  eingelassenen  Metallschrauben  um  eine  verticale  Achse; 
von  der  untersten  dieser  Metallschrauben  reicht  ein  Drath  bis  hinab  in  das 
Quecksilbemftpfchen  g  und  taucht  in  das  Quecksilber  ein,  aus  welchem 
ein  anderer  Drath  nach  der  Klemmschraube  h  und  yon  da  nach  dem  einen 
Pole  der  Localbatterie  B  führt;  von  dem  anderen  Pole  der  Localbatterie 
führt  ein  Drath  durch  die  Kollen  des  Elektromagnetes  E  des  in  Fig.  16  an» 
gedeuteten  Schreibapparates  zu  der  metallenen  Feder  Fy  welche  auf  der 
metallenen  Achse  t  einer  metallenen  Scheibe  G  schleift;  in  den  Umfang 
dieser  Scheibe  G  sind  isolirende  (in  Fig.  16  Taf.  V  schwarz  gezeichnete) 
Bogenstttcke  eingesetzt  und  es  schleifen  auf  dem  Umfang  der  Scheibe  zwei 
metallene  Federn  D  und  i),  derart,  dass  die  eine  stets  auf  einem  leitenden 
Bogenstttcke  liegt,  wenn  die  andere  auf  einem  isolirenden  aufliegt;  diese 
Federn  D  und  i),  sind  durch  zwei  DrHthe  mit  den  Klemmschrauben  k  und 
ÄTi  nnd  diese  endlich  mit  den  Contactschrauben  8  und  ^j  leitend  verbunden. 
Dem  Elektromagnet  des  Schreibapparates  steht  der  Anker  A  gegenüber, 
welcher  an  dem  Hebel  CH  befestigt  ist  und  sich  mit  diesem  um  C  dreht;  so 
oft  nämlich  der  Elektromagnet  E  seinen  Anker  anzieht,  geht  das  yordere 
Ende  des  Hebels  nieder  und  übt  dabei  durch  die  Stange  p  und  durch  den 
Sperrkegel  R  zwei  verschiedene  Wirkungen  aus;  die  Schubstange  p  greift 
in  ein  Sperrrad  auf  der  Rückseite  der  Scheibe  G  ein  und  dreht  dieses  bei 
jedem  Niedergehen  des  Hebeb  CB  um  einen  Zahn  fort,  wodurch  die  Fe- 
dern D  und  i>t  auf  die  benachbarten  Bogenstttcke  zu  liegen  kommen ,  die 
eine  von  einem  isolirenden  Bogenstttcke  auf  ein  leitendes ,  die  andere  von 
einem  leitenden  auf  ein  isolirendes,  zugleich  aber  wirken  bei  dem  Um- 
drehen des  Sperrrades  aus  diesem  hervorstehende  Stifte  abwechselnd  auf 
den  einen  oder  den  anderen  von  zwei  Schreibhebeln ,  so  dass  die  beiden 
an  den  Hebeln  befindlichen  Schreibstifte  abwechselnd  in  den  an  ihnen  vor- 
beigeführten Papierstreifen  eingetrieben  werden;  der  Sperrkegel  R  da- 
gegen greift  in  das  Sperrrad  P  ein,  schiebt  es  bei  jedem  Niedergänge  um 
einen  Zahn  weiter  und  bewirkt  dadurch  das  schrittweise  Fortrücken  des 
Papierstreifens,  in  welchen  die  Punkte  eingegraben  werden.  Wenn  nun 
ein  Strom  durch  die  Linie  geht,  welcher  die  Pole  der  Elektromagnete  so 
entwickelt,  wie  sie  in  Fig.  J5  Taf.  V  als  Südpole  mit  5  und  5,  und  als 
Nordpole  mit  iV  und  N^  bezeichnet  sind,  und  wenn  b  der  Nordpol,  c  der 
Südpol  des  permanent  magnetischen  Ankers ,  so  wird  b  von  S  angezogen, 
von  N  abgestossen  und  zugleich  c  von  Ni  angezogen  und  von  S^  abge- 
Btoflsen;  es  legt  sich  daher  der  Anker  bc  mit  d  nn  s  &n  und  schliesst  die 
Localbatterie ,  deren  Strom  von  B  über  A,  g,  e,  d,  s,  k,  B^  iy  F  und  durch  die 


384  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


Rollen  des  Elektromagnetes  E  nach  B  zurückgeht;  der  Elektromagnet  £ 
zieht  seinen  Anker  A  an  nnd  der  Hehel  CH  schiebt  durch  R  und  P  den 
Papier  streifen  ein  Stück  fort,  dreht  darch  die  Schubstange  p  die  Seheibe 
G  so ,  dass  Dl  auf  ein  leitendes ,  B  anf  ein  isolirendes  Bogenstück  zu  liegen 
kommt,  wodurch  der  Localstrom  unterbrochen  wird,  obschon  der  Hebel  be 
ganz  ruhig  an  8  liegen  geblieben  ist;  ausserdem  wird  mit  dem  Fortrücken 
yon  G  auch  ein  Schreibhebel  in  Bewegung  gesetzt  und  ein  Punkt  in  den 
Papierstreifen  gedrückt;  zuletzt  zieht  eine  Spannfeder  den  Hebel  CE  in 
seine  Kuhelage  zurück.  Der  nächste  Strom ,  welcher  die  Leitung  durch- 
strömt ,  hat  die  entgegengesetzte  Richtung ,  macht  also  S  und  Si  zu  Nord« 
polen ,  N  und  N^  zu  Südpolen ,  S  und  iV,  stossen  b  und  c  ab ,  5|  nnd  N  lie- 
hen b  und  c  an,  der  Hebel  bc  legt  sich  mit  d  an  ^|  an  und  schliesst  abe^ 
mals  die  Localbatterie ,  deren  Strom  jetzt  yon  B  nach  h,  g,  Cy  d,  ff,  Ar,,  /)„  t, 
F  und  E  nach  B  geht ;  dadurch  wird  der  Anker  A  angezogen  und  der  Hebel 
CB  besorgt  wieder. die  Unterbrechung  des  Localstroms  und  das  Eindrücken 
eines  Punktes  in  den  Papierstreifen.  Die  Stellung  der  Apparattheile  iik 
jetzt  wieder  genau  so,  wie  im  Anfang,  und  es  wiederholt  sich  fortan  stets 
dasselbe  Spiel.  Dieses  Relais  hat  also  keine  Spannfeder ,  es  bleibt  yiel- 
mehr  der  Anker  b  c  jedes  Mal  an  der  Contactschraube  liegen ;  die  Unter- 
brechung des  Localstromes  findet  femer  auch  nicht  am  Relais  statt,  sondern 
an  der  Scheibe  G ,  es  springen  also  auch  hier  die  Trennungsfunken  über 
und  es  wird  das  Relais  gegen  die  oxydirende  Wirkung  derselben  geschfitst 
Endlich  können  bei  diesem ,  allerdings  minder  einfachen  Telegraphen- 
apparate  die  auf  einander  folgenden  Punkte  auf  dem  Papierstreifen  nicht 
in  einander  fliessen ,  da  sie  in  verschiedenen  Zeilen  stehen  und  durch  ver- 
schiedene Schreibstifte  hervorgebracht  werden.*) 

Eine  ausgedehntere  Anwendung  hat  noch  keins  dieser  Relais  ohne 
Spannfeder  gefunden,  obgleich  die  Versuche  z.  B.  mit  dem  Schaack'schen 
sehr  gunstig  ausgefallen  sein  sollen.  Es  ist  aber  auch  nicht  zu  übersehen, 
dass  die  Anwendung  eines  Richtmagnetes  zum  Losreissen  des  Relaisankers 
vom  Arbeitscontact  in  ähnlicher  Weise,  wie  auch  die  Anwendung  eines 
Gegengewichts,  der  Anwendung  einer  Spannfeder  nachsteht  Es  muss 
nämlich  offenbar  dahin  gestrebt  werden,  dass  die  losreissende  Kraft  im 
ersten  Momente  des  Losreissens  am  grössten  ist,  damit  sie  trotz  dem  im 
Elektromagnet  noch  zurückbleibenden  Elektromagnetismus  den  Anker 
ohne  Zeitverlust  in  die  Ruhelage  zurückführe.  Der  Anker  ist  aber  im 
ersten  Momente  des  Losreissens  am  weitesten  vom  Richtmagneto  entfernt, 
daher  ist  die  von  letzterem  auf  den  Anker  ausgeübte  Anziehung  im  Anfange 
am  schwächsten  und  wird  um  so  kräftiger,  je  näher  der  Anker  dem  Richt- 
magnet kommt.  Auch  bedarf  die  Stärke  und  Polarität  und  Stärke  des 
Richtmagnetes  einer  Ueberwachung,  man  ist  also  bei  der  Anwendung  eines 

*)  Ueber  die  Vorschljin;e  von  Du  MonccI,  Regnaalt,  Ailhaud,  Qu^val  und  Cache 
rerg-l  Annales  t^legi^aphlques  1800  und  1S50. 


Von  Dr.  En.  Zetzsche.  385 

Rielitmagnetes  nn  Grunde  nicht  eben  sehr  viel  vorbessert,  besonders  da 
eine  weitere  Aufmerksamkeit  auf  die  Einschaltung  der  Apparate  zu  rich- 
ten iat,  weil  der  Linienstrom  eine  ganz  bestimmte  Richtung  haben  muss, 
wenn  das  Relais  ansprechen  soll.  Das  in  jüngster  Zeit  in  Oesterreicli 
patentirte  Relais  ist  auch  auf  mehreren  sächsischen  Stationen  einer  Prüfung 
unterzogen  worden ,  soll  aber  dabei  nicht  allen  an  dasselbe  zu  stellenden 
Anforderungen  vollkommen  entsprochen  haben. 

3.     Die  Translation  und  das  Zweigsprechen. 

Da  bekanntlich  die  Stärke  des  elektrischen  Stromes  um  so  kleiner  ist, 
je  IXnger  der  Leiter  ist,  den  der  Strom  zu  durchlaufen  hat,  so  kann  man 
mit  Batterien  von  gegebener  elektromotorischer  Kraft  selbst  unter  An- 
wendung eines  Relais  nur  auf  eine  gewisse  Entfernung  verständliche  tele- 
graphische  Zeichen  geben.  Ist  eine  Depesche  weiter  zu  befördern ,  so 
muss  sie  entweder  durch  einen  Beamten  weiter  telegraphirt  werden,  oder 
man  bedient  sich  zweckmässiger  der  Translation  oder  des  Uel)or- 
tragen s,  wobei  die  Apparate  der  letzten  von  der  telegraphirenden  Sta- 
tion nnmittelbar  noch  zu  erreichenden  Station  so  eingerichtet  werden,  dass 
sie  von  selbst,  ohne  Beihilfe  eines  Beamten,  jedes  ankommende  Zeichen 
weiter  geben.  Alle  wichtigeren  Knotenpunkte  des  europäischen  Telegra- 
phennetzes sind  jetzt  darauf  eingerichtet,  dass  sie  gelegentlich  und  nach 
Bedarf  übertragen  können ;  dadurch  können  zwei  ganz  beliebige ,  noch  so 
weit  von  einander  entfernte  Stationen  nnmittelbar  mit  einander  correspon- 
diren,  sofern  es  erforderlich  und  sonst  vortheilhaft  ist.  Nur  muss  bei  einem 
solchen  Sprechen  durch  mehrere  zwischenliegende  Translationen  hindurch 
etwas  langsamer  und  gut  markirt  telegraphirt  werden,  damit  nicht  etwa 
einzelne  Punkte  ausbleiben;  dies  ist  nämlich  bei  zu  schnellem  Telegraphi- 
ron  zu  befürchten,  weil  doch  die  Erregung  des  Elektromagnetismus  in  den 
auf  einander  folgenden  Translatoren  und  die  dadurch  herbeigeführte 
Schliessung  neuer  Batterien  nicht  vollkommen  gleichzeitig  und  nicht  ohne 
jeden  Zeitverlust  erfolgt. 

Die  Lösung  der  Aufgabe,  die  Apparate  so  einzurichten,  dass  sie  die 
ankommenden  Zeichen  selbstthätig  weiter  befördern ,  ist  ganz  einfach  und 
die  Einrichtung  des  Translators  schliesst  sich  eng  an  jene  des  Relais  an : 
man  lässt  den  Strom  am  Ende  des  ersten  Theiles  der  Leitung  durch  die 
Rollen  eines  Elektromagnetes  gehen,  welcher  dadurch,  dass  er  seinen 
Anker  anzieht,  diejenige  Batterie  schliesst,  welche  ihren  Strom  in  den 
zweiten  Theil  der  Linie  senden  soll;  die  Translatoren  werden  daher  einer- 
seits Aehnlichkeit  mit  den  Tastern  haben,  durch  welche  mit  der  Hand 
Ströme  in  die  Leitung  gesendet  werden;  andererseits  aber  unterscheiden 
sie  sich  von  dem  Relais  nur  insofern  wesentlich,  als  das  Relais  den  Strom 
einer  Localbatterie  durch  den  Schreibapparat,  der  Translalot  ^.Vi^.x  ^^w 
Strom  einer  Liohnhattcric  in  die  Leitung  nach  eAnct  aT\AoTC*.w  ^\.ä.\\c>xv  ^oxv^^v  . 

Zmihthrifl  f.  Malhcmatik  u.  Physik,    VI,   P,.  *n 


386  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  clektr.  Telegraphie. 

Die  Erfindung  der  Translatoren  wird  von  Mehreren  als  ein  ihnen  ^- 
htihrendes  Verdienst  in  Ansprach  genommen  und  dürfte  in  der  That  von 
Mehreren  selbststüudig  gemacht  worden  sein.  So  wurde  die  TranslatioD 
in  Deutschland  von  Fardely  schon  J844  bei  seinen  Typendracktclcgrapben 
auf  der  Taunnsbahn  angewendet,  oder  doch  mindestens  die  Idee  dazu  an- 
geregt (vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  östorreicliischen  Teiegraphenvereins, 
1854,  S.  298  bis  300).  Die  Amerikaner  schreiben  die  Erfindung  der  Trans* 
latorcn  Ezra  Cornoll  aus  New- York  zu,  der  1846  auf  der  Linie  Ncw-York  — 
Buffalo  einen  Translator  angewendet  und  connector  genannt  haben  soll 
(vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegraphenvereins ,  18M, 
S.  UK>),  wogegen  Shaffner  {telegraph  manual^  S.  405)  den  angewendeten  Ap- 
parat als  Cornell  smüchy  Coraeirs  Huthe,  bezeichnet  Bald  nach  Cornell 
gab  Oberst  John  J.  Speed  einen  Translator  an  und  zwar  fiir  ein  Telegra- 
phircn  mit  Ruhestrom ,  wobei  die  Zeichen  durch  Unterbrechung  der  Linien- 
strömo  gegeben  werden.  Darauf  wurde  ein  Vorschlag  zur  Translation 
durch  den  nach  Preusseu  berufenen  Amerikaner  Robinson  gemacht  und  im 
Juli  1849  auf  der  Station  Minden  am  Morse  wirklich  ausgeführt.  Für  die 
damals  in  Oesterreich  benutzten  Bain'schen  Apparate  erdachte  der  jetzige 
k.  k.  Tclegrapheninspector  Engelbert  Matzenauer  im  Jahre  1847  Trans- 
latoren ,  welche  auch  1850  auf  der  Linie  Neuhäusel  —  Pressburg  aufgestellt 
wurden  (vergl.  Zeitschrift  des  österreichischen  Ingenieurvereins,  1851, 
No.  4,  S.  28  und  daraus  im  Polytechnischen  Centralblatte,  1851,  S.  717). 
Nach  Shaffner  (lelegraph  manuul^  S.  41 J)  hatte  Morse  den  Gedanken,  sich 
der  Translation  zu  bedienen ,  schon  1830  und  1837  gefasst. 

Bereits  im  ersten  Jahrgange  dieser  Zeitschrift  8.  97  ff.  wurde  die 
Translation  ausführlich  besprochen  und  gezeigt,  wie  schon  in  der  von 
Halske  angegebenen  Weise  mit  einem  einzigen  gewöhnlichen  Relais  eine 
Translation  möglich  wäre,  dass  jedoch  besser  zwei  sogenannte  Trans- 
lations-  oder  Doppelcontact- Relais  als  Translatoren  benutzt  wür- 
den, und  dass  es  noch  vorzüglicher  und  deshalb  wohl  durchweg  üblich  sei, 
nach  Steinheirs  Vorschlage  die  Schreibapparate  zur  Translation  zu  ver- 
wenden, weil  bei  diesen  der  Schreibhebel  einen  sichereren  und  besseren 
Schluss  der  neuen  Liuienbatterie  bewirkt,  da  er  sich  fester  auf  den  Ar- 
beitscontact  auflegt.  Der  Hebel  des  Schreibapparates  erhült  dann  die  in 
Fig.  17  Taf.  V  skizzirte  Gestalt:  bei  a  ist  der  Schreibstift  angebracht,  m 
ist  die  Drohachse  des  Schrcibhebels;  für  gewöhnlich  liegt  der  Schreibhebel 
mit  dem  Ansatz  mn  an  der  mit  o  verbundenen  Stellschraube  s  an,  diese 
bildet  also  den  Ruhecontact;  wird  der  Anker  des  Schreibhebels  von  seinem 
Elektromagnete  angezogen,  so  legt  sich  der  Hebel  mit  (fem  Ende  h  auf  die 
Stellsehraube  s^  (den  Arbeitscontact)  auf;  s^  ist  durch  r  mit  dem  einen  Pole 
der  Batterie  verbunden,  welche  die  ankommenden  Zeichen  weiter  geben 
soU,  die  Drehachse  aber  beständig  durch  /  mit  der  Linie,  in  welche  diese 
Zeichen  weiter  gegeben  werden  soWen*,  ^taeWmt  «\^o  wx^  ^^x^ ersten  Theile 


Von  Dr.  Ed.  Zetzscue.  387 


ler  Linie  ein  Zeichen  auf  dem  Relais  der  Translationsstation ,  so  schliesst 
1er  Relaishebel  die  Localbatteric ,  der  Anker  des  Schreibhebcis  wird  an- 
gesogen, b  \pgi  sich  auf  «1  und  die  Linienbatterie  giobt  über  «i,  b  nnd  tn 
las  Zeichen  in  den  zweiten  Thoil  der  Linie  weiter.  In  der  Regel  sind 
lan  die  Translationsstationen  zugleich  Wechselstationen  nnd  deshalb  soll 
in  dem  Nachfolgenden  das  Schema  einer  solchen  Translations-  und  Woch- 
lelstation  erläutert  werden.  Bei  drei  einmündenden  Linien  ist  zwar  die 
Binschaltung  und  der  Wechsel  am  einfachsten,  wenn  zur  Translation  stets 
lieselben  zwei  Schreibapparate  benutzt  werden  und  stets  derselbe  dritte  ^ 
r&r  die  einzelne,  getrennte  Linie;  damit  aber  die  gegebene  Skizze  auch 
auf  eine  Station  mit  beliebig  vielen  Linien  ausgedehnt  werden  kann ,  möge 
vorausgesetzt  werden,  dass  alle  Schreibapparato  zur  Translation  geeignet 
leien,  und  es  soll  die  Einschaltung  so  gewählt^  werden,  dass  derselbe 
Sehreibapparat  und  derselbe  Taster  stets  für  dieselbe  Linie  in  Gebrauch 
kommt,  mag  diese  Linie  in  Translation  oder  in  getrennter  Stationslage 
Bein.  In  Fig.  18  Taf.  V  sind  Z| ,  Z,  und  Z,  die  drei  einmündenden  Linien, 
«reiche  zunächst  an  die  Klommen  a, ,  a,  und  a,  der  drei  Taster  T, ,  7",  nnd 
r,  geführt  sind;  die  mit  dem  einen  Polo  der  Linienbatterie  B  verbundenen 
Klemmen  ti,  5,  und  s^  führen  zu  den  Arbeitscontacten  der  Taster,  die 
Klemmen  a, ,  o,  und  a,  zu  den  Achsen  der  Taster,  deren  Hebel  gewöhnlich 
taf  dem  vorderen  Contact  aufliegen  und  so  a,,  a,  und  a,  mit  den  Klemmen 
fti,  6,  nnd  6,  leitend  verbinden ;  beim  Niederdrücken  des  Tasterhebels  wird 
die  leitende  Verbindung  zwischen  a  und  b  dieses  Tasters  unterbrochen, 
dagegen  s  mit  a  leitend  verbunden.  Von  6,,  b^  und  6,  fuhren  Dräthe  nach 
den  Lamellen  Aj,  A,  und  A,  des  Linienwechsels  W;  die  Lamellen  ;ri,  x,  und 
V,  find  zunächst  mit  den  Klemmen  fj ,  e^  und  e,  der  Relais  /^, ,  i?,  und  E^ 
aod  durch  die  Rollen  der  Elcktromagnete  mit  den  Klemmen  fi ,  ff  und  /", 
und  endlich  über  g  mit  der  Erdplatte  E  verbunden.  Von  den  Lamellen  t,, 
r,  and  Zg  des  Wechsels  führen  Dräthe  nach  den  Klemmen  /j ,  /,  und  /,  der 
Bchreibapparate  5, ,  S^  und  S,  und  von  da  nach  den  Achsen  m, ,  m,  und  m, 
ler  Schreibhebel;  diese  Achsen  stehen  entweder  in  der  Ruhelage  der 
Sehreibhebel  durch  n, ,  n^  und  ;?,  über  o, ,  o,  nnd  o,  mit  den  Lamellen  />,,  p. 
Hg  in  Verbindung,  oder  sie  stehen,  wenn  der  Schreibhebel  angezogen  ist 
[in  Fig.  17  also  b  auf  5,  liegt) ,  über  r, ,  r,  und  r,  und  q  mit  dem  Pole  der 
Linienbattorie  B  in  Verbindung,  welcher  mit  ^, ,  s^  und  5,  verbunden  ist, 
rihrend  der  andere  Pol  mit  der  Erde  in  Verbindung  gesetzt  ist.  Ausser- 
lem  ist  die  gemeinschaftliche  Localbatterie  ^,  so  eingeschaltet,  dass,  wenn 
ein  Anker  der  Relais  /?, ,  /?,  oder  B^  angezogen  wird ,  der  Localstrom  über 
K,,  «,  oder  t/,  nach  r, ,  r,  oder  v,  durch  die  Rollen  der  Schreibapparate  5,, 
S^  oder  5,  und  über  ;r, ,  w^  und  w^  nach  der  Batterie  B^  zurück  geht,  dass 
also  der  Schrcibhebel  des  entsprechenden  Schreibapparates  angezogen 
wird.  Endlich  ist  die  Lamelle  t  des  Wechsels  noch  mit  der  Erdleitung  R 
verbunden.     Der  Weg  nun,  welchen  ein  \u  A\o  »o  <ä\w^^ä<^«\\.^\ä '^^^>Awe^ 


^Qk^  liciträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  clektr.  Telegraphic. 

:iucL  u-gcud  einer  Linie  eintretender  Strom  nehmen  mnss,  hängt  lediglich 
wu  der  Art  der  Stöpsclung  im  Wechsel  TV  ab;  werden  diejenigen  Kren- 
4uug^tellen  der  Lamellen  des  Wechsels,  an  i^elchen  ein  ^töpsel  einge- 
steckt ist,  in  der  Figur  durch  einen  schwarzen  Punkt  bezeichnet,  so  treten 
zunächst  bei  einer  Stöpselung  nach  Fig.  18  bis  22  folgende  Stromlftufe  auf: 

Werden  nach  Angabe  der  Fig.  18  die  drei  Lamellen  A( ,  h^  und  h^  durch 
eingesteckte  Stöpsel  mit  den  Lamellen  d*i,  o*,  und  «r,  verbunden,  so  ist  jede 
Linie  von  der  anderen  vollständig  getrennt.  Der  Sti'om  aus  irgend  einer 
Linie,  z.  B.  Z, ,  geht  zunächst  durch  den  zugehörigen  Taster  7\  von  Hf 
nach  ^1,  dann  über  /t,  und  Xi  nach  Cj,  (/,,  ^„  durch  das  zugehörige  Relaitf  ^i 
und  über  g  auf  dem  nächsten  Wege  zur  Erde  E^  ohne  Zweigtftröme  über 
A>  ^B)  ^B'  ^Bf  ^9  ^B»  ^2  ui^d  a,  in  die  Linie  Z,,  oder  über  /*,,  e^j  ef,,  r,,  a*,, 
A,,  b^  und  a,  in  die  Linie  Z,  zu  senden,  weil  die  Zweigströmo  in  diesen 
Linien  einen  fast  unendlich  grossen  Widerstand  zu  überwinden  hätten  im 
Vergleich  mit  dem  kürzesten  Wege  von  g  nach  E  zur  Erde;  während  der 
Liuionstrom  das  Relais  /?,  durchläuft,  schliesst  der  Hebel  dieses  Relais  die 
gemciuschaftliche  Localbatterie  Pj ,  deren  Strom  durch  die  Rollen  des 
Schreibapparntes  5|  geht  und  durch  den  Scbreibhebel  einen  Punkt  oder 
Strich  in  den  Pnpierstreifon  gräbt,  je  nachdem  der  Linienstrom  kürzere 
oder  längere  Zeit  dauert.  Würde  aber  der  Taster  J,  niedergedrückt,  so 
wäre  die  gemeinschaftliche  Linienbatterie  B  geschlossen  und  deren  Strom 
geht  über  ^,  und  a,  in  die  Linie  Z,  nach  der  Station  am  Ende  der  Linie  Z, 
durch  die  dortigen  Apparate  zur  Erde  und  über  E  zum  anderen  Balterie- 
pol  zurück.  Ebenso  verhält  es  sich  mit  den  Linien  Z,  und  Z,,  auch  diese 
sind  jede  von  den  beiden  anderen  völlig  getrennt. 

Werden  dagegen  die  Stöpsel  nach  Anleitung  der  Fig.  19  gesteckt  und 
dadurch  die  Lamelle  Ä,  mit  x, ,  Ä,  mit  ?,,  /f,  mit  r,,  sowie />,  mit  a-^  und />t 
mit  5*3  verbunden ,  so  ist  zwar  an  der  Einschaltung  der  Linie  Z,  nichts  ge- 
ändert und  es  bleibt  daher  diese  Station  von  den  anderen  beiden  getrennt 
und  der  Stromlauf  ist  bei  ihr  noch  genau  so,  wie  er  eben  beschrieben 
wurde;  Z,  und  Z,  dagegen  sind  zur  Translation  mit  einander  verbunden. 
Jeder  Strom  aus  Z,  geht  durch  den  Taster  T,  von  «,  nach  6,  und  Ä, ,  von 
da  aber  nach  p^  über  A*,  und  /,  zur  Achse  m^  dos  Schreibapparates  5j,  und 
da  dessen  Schreibhebel  nicht  angezogen  ist,  über  Wj,  o,  nach  /w,  und  a*,, 
darauf  nach  r, ,  f/,,  r,  durch  das  Relais  B^  und  von  /*,  über  ^  zur  Erde  £\ 
der  Ankor  des  Relais  /?,  ^i^'^  dabei  natürlich  angezogen,  die  Localbatterie 
/?,  geschlossen  und  diese  sendet  ihren  Strom  durch  m,,  r,,  yr,  durch  die 
Rollen  des  Schreibapparates  5,,  so  dass  dessen  Anker  ebenfalls  angezogen 
und  je  nach  der  Dauer  des  Liuienstronies  aus  Z,  ein  längeres  oder  kür- 
zeres Zeichen  in  den  Papierstreifen  eingegraben  wird;  während  aber  der 
Anker  des  Schreibapparates  angezogen  ist,  ist  noch  ein  anderer  Strom- 
kreis geschlossen ,  denn  es  geht  von  dem  einen  Polo  der  Linicnbattcrio  P 
'^ui  Strom  über  ^,  z,  (da  Wj  durch  den  aw^^ic^^^w^w  kwk^v  vait  r^  oder  in 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  389 

ig.  17  /  und  m  durch  b  mit  Si  nnd  r  verbunden  ist)  zur  Achse  m, ,  Über  /, 
id  kf  nach  z^'  ^s«  ^s  u°<^  ^s  i^i  ^i^  Linie  Z,,  am  Ende  dieser  Linie  zur 
rde  und  über  E  zum  anderen  Pole  der  Linionbatterie  B  zurück.  Es  wird 
90  jedes  aus  X,  kommende  Zeichen  unmittelbar  nach  Z,  weiter  gegeben, 
id  umgekehii  jedes  aus  Z,  kommende  Zeichen  unmittelbar  nach  Z,.  Der 
rem  aus  Z,  geht  nämlich  über  a^  und  6,  nach  A,,  von  da  über  A:,,  /,,  »/f„ 
9  Oft  Pt*  ^S9  ^S9  ^8)  ^s  durch  das  lielais  /^,  und  über  /*,  und  ^  zur  Erde  £*; 
r  Anker  des  Relais  i?,  wird  angezogen ,  der  Kreis  der  Localbatterie  P| 
xlnrch  geschlossen  und  ^ß  geht  deren  Strom  über  t/, ,  t»,  und  tv^  durch  den 
ihreibapparat  S, ,  auf  welchem  der  Schreibstift  das  Zeichen  in  den  Papier- 
reifen  eindrückt;  zugleich  wird  auch  die  Linienbatterie  B  geschlos- 
D  und  deren  Strom  geht  über  g  nach  r, ,  '»s  >  ^  t  ^s  i  ^ »  ^i  ^^^  ^i  ^^  ^^® 
nie  Z, ,  schliesslich  in  die  Erde  und  kommt  über  E  zum  anderen  Pole 
ir  Batterie  B  zurück.  Auf  der  in  Fig.  18  skizzirten  Translationsstation 
icheinen  also  jetzt  die  Zeichen  aus  Z,  auf  dem  Schreibapparate  S,,  die 
sieben  ans  Z,  und  5,;  es  ist  aber  nicht  unbedingt  nöthig,  dass  die  Zei- 
en  auf  5,  und  5,  wirklich  mit  aufgenommen  werden ,  man  wird  vielmehr 
e  Papierstreifen  der  Schreibapparate  5,  nnd  5,  nur  laufen  lassen ,  wenn 
in  die  bei  Translation  durchgehenden  Depeschen  in  der  Translations- 
ttion  mit  aufnehmen  will.  Die  Translationsstation  kann  jederzeit  selbst 
rechend  in  die  Correspondenz  eintreten,  denn  sie  kann  mittelst  des 
isters  7*2  oder  des  Schreibhebels  des  Schreibapparates  5,  nach  Z,  und  mit 
m  Taster  T^  oder  dem  Hebel  des  Schreibapparates  5,  nach  Z,  sprechen. 

Die  Stöpselung  nach  Fig.  20  lässt  Z,  von  Zi  und  Z,  getrennt,  verbindet 
er  Z|  und  Z,  durch  Translation;  eine  Stöpselung  nach  Fig.  21  dagegen 
wt  Z,  getrennt  und  verbindet  L^  und  Z,  zur  Translation.  Die  Stromläufe 
diesen  beiden  Fällen  sind  ganz  ähnlich  wie  bei  der  Translation  zwischen 
und  Lg  und  lassen  sich  nach  der  obigen  Beschreibung  dieser  Translation 
cht  auffinden. 

Die  Stöpselung  nach  Fig.  22  endlich  schaltet  alle  Apparate  auf  sämmt- 
hen  drei  Linien  aus:  denn  zu  welcher  Linie  auch  der  Strom  herein- 
mmt ,  er  gelaugt  immer  durch  h^ ,  A,  oder  //,  nach  z,  und  geht  von  da  über 
)fort  zur  Erde  E,  ohne  irgend  welchen  Apparat  der  Translationsstation 
durchlaufen.  Eine  solche  Einschaltung  würde  also  unter  Anderem  die 
»parate  der  Translationsstation  gegen  die  zerstörenden  Einflüsse  von 
itzschlägen  sicher  stellen;  natürlich  ist  während  dieser  Stöpselung  kei- 
rlei  tclcgraphische  Correspondenz  möglich.  Zöge  man  in  Fig.  22  den 
Spsel  heraus,  welcher  die  Lamelle  2,  mit  /  verbindet,  so  wären  zwar 
ch  alle  Apparate  der  Translationsstation  ausgeschaltet,  aber  es  könnten 
\  Stationen  auf  den  Linien  Li ,  Z,  und  Z,  noch  gegenseitig  mit  einander 
rrespondireu,  da  jeder  Strom  aus  irgend  einer  Linie  sofort  unmittelbar 
die  beiden  anderen  weiter  gehen  würde. 

Die  in  Fig.  18  gezeichnete  Einschaltung  gebtatl^l  ^\\\!A\^Vl  ^^«^^of^^ 


Aur  V.«o<^-hichtü  der  Fortschritto  in  der  elektr.  Telegrapbie. 

.:t  ^vlii  oiiiiacho«^  Zwcigsprocben;  beim  Zweigsprechen  wird  der 
^u^-.u,  Holclicr  auf  eiuor  Linie  in  eine  Telographen»tation  eintritt,  tod 
lUo«.'!  ^i:iciou  aus  KU  gleicher  Zeit  in  zwei  oder  mehrere  Linien  weiter  ge- 
waacc«  outwoder  mit  oder  ohne  Translation.  Stöpselt  man  z.  B.  in  der 
b'i^.  iS  augogobenen  Weise  und  denkt  sich  dabei  die  Verbindung  zwischen 
/',  uiut  y  unterbrochen,  dafür  aber  /\  unmittelbar  mit  x^  verbunden,  so  e^ 
»chviut  jedes  Zeichen  aus  der  Linie  Z,  auf  dem  Relais  Bi  und  dem  Schreib- 
apparaio  ^i,  denn  der  Strom  aus  Zj  geht  über  a, ,  6,  und  A|  nach  Xf,  C|,  (f„ 
c^i  und  /i,  von  da  aber  nach  or,  und  über  A,,  b^  und  a,  nach  Z,,  sowie  über 
A,,  /ij  und  a,  nach  Z,  weiter.  Ebenso  geht  jeder  Strom  aus  Z,  zugleich  in 
die  Linien  Zf  und  Z,  und  jeder  Strom  aus  Z,  zugleich  in  die  Linien  Z,  und 
Zt  weiter;  die  Zeichen  erscheinen  dabei  für  die  Durchgangsstation  stets 
auf /?(  und  S,.  Die  Stromstärke  der  in  den  einzelnen  Linien  weiter  gehen- 
den Zweigströme  ist  nach  dem  Ohm'schen  Gesetze  zu  beurtheilen. 

Flg.  24  zeigt  eine  Stöpselung  zum  Zweigsprechen  aus  Z,  nach  Z,  und 
Z3  mit  Translation;  die  Einschaltung  und  Verbindung  der  Apparate  unter 
einander  ist  dabei  genau  so ,  wie  in  Fig.  18.  Jeder  Strom  aus  Z,  geht  über 
fli ,  ft, ,  Ä, ,  Ar, ,  /, ,  IM, ,  n, ,  0, ,  p, »  ^1 1  ^1 »  ^1 1  ^1 »  ft  «"<i  9  n*ch  der  Erde  E\ 
dabei  schlicsst  das  Kolais  i7|  den  Strom  der  Localbatterie  ^,  durch  den 
Schreibapparat  5|  und  letzterer  sendet  einen  Strom  der  Linienbatterie  B 
über  f/y  r^,  m^j  liy  k\ ,  Tj  und  von  da  getlieilt  über  A, ,  ^,  und  a,  nach  Z,  und 
über  /<, ,  63  und  »,  nach  Z,.  Diese  Einschaltung  leidet  indessen  an  einem 
kleinen  Uebelstande ;  es  kann  nämlich  nach  der  entgegengesetzten  Seite 
hin  zwar  L^  mit  Zj  und  Z,  mit  Z|  unter  Translation  sprechen,  dabei  hört 
aber  Z,  nicht  mit,  was  Z,  nach  Z,  spricht,  und  Z3  hört  wiederum  nicht, 
was  Z,  nach  Li  spricht.  Es  kann  in  Folge  dessen  möglicher  Weise  eine 
Störung  der  Correspondcnz  durch  unzoitiges  Zwischensprechen  eintreten; 
indessen  kann  bei  gutem  Stande  der  Linien  dieses  Zweigsprechen  ohne  Be- 
denken anj^cwcndot  werden,  wenn  z.  B.  eine  oder  mehrere  lange  De- 
peschen von  Zf  nach  Z,  und  Z,  zugleich  zu  befördern  sind.  Wollte  man 
eine  Störung  durch  Zwischensprccben  unmöglich  machen,  so  müsste,  so 
lange  Z,  spricht,  der  Stöpsel,  welcher  h^  mit  2|  verbindet,  herausgezogen 
und  so  eingesteckt  worden,  dass  er  /<,  mit  2,  verbindet,  und  so  lange  Z, 
spricht,  müsste  /r,  nicht  mit  £|,  sondern  mit  r,  durch  Stöpselung  verbunden 
werden ;  sollte  aber  dieses  Umstöpseln  mit  der  Hand  erfolgen ,  so  wäre  es 
ziemlich  unpraktisch,  sollte  es  dagegen  unter  Vermittcluug  besonderer 
Apparate,  etwa  bei  Einhaltung  einer  bestimmten  Stromrichtung,  von  den 
eh'ktrischen  Strömen  selbst  besorgt  werden,  so  ginge  die  kaum  entbehr- 
liche Einfachheit  der  Einschaltung  verloren.  Es  ist  zwar  auch  noch  eine 
andere  Einschaltung  möglich,  durch  welche  man  die  Linien  zum  Zweig- 
sprechen unter  Translation  so  verbinden  kann ,  dass  jedes  Zeichen  aus 
irgend  einer  Linie  in  allen  anderen  sichtbar  wird  (vergl.  Zeitschrift  dos 
d(iUtöch-Ö6tcvi'(iichiin:hcn  Telegraphenvereins,  1857,  S.  1);  allein  diese  Ein- 


Von  Dr.  Ed.  Zbtzsche.  391 

Schaltung  ist  ebenfalls  sehr  verwickelt  und  erfordert  so  viele  Apparate, 
dmsa  sie  schwerlich  sich  mit  wesentlichem  Vortheil  wird  anwenden  lassen, 
besonders  weil  ja  das  Zweigsprechen  der  Natur  der  Sache  nach  überhaupt 
▼erbältnissmässig  wenig  Anwendung  finden  kann. 

4.     Schleifen. 

Nicht  selten  kommt  es  vor,  dass  in  eine  bereits  bestehende  Telegra- 
phenleitung ein  seitwärts  liegender  Ort  noch  als  Station  mit  aufgenommen 
'werden  soll;  es  bleibt  dann  nichts  übrig,  als  an  irgend  einer  Stelle  die 
Hauptleitung  zu  zerschneiden ,  von  jedem  ihrer  Enden  eine  Leitung  nach 
der  seitwärts  gelegenen  Station  (wir  wollen  sie  kurz  Schleifenstation 
nennen)  zu  führen  und  diese  letzteren,  eine  Schleifenlinie  bildenden 
Leitungen  durch  die  Apparate  der  Schleifenstation  hindurch  zu  verbinden. 
So  wurde  z.  B.  in  die  bereits  bestehende,  der  Eisenbahn  entlang  laufende 
Linie  Dresden  —  Leipzig  Grossenhain  als  Station  aufgenommen,  durch  eine 
von  Priestewitz  nach  Grossenhain  geführte  Schleife.  Auch  bei  Neubauten 
sind  nicht  selten  Schleifen  anzulegen.  Wäre  an  der  Stelle ,  wo  die  Schleife 
von  der  Hauptleitung  abgezweigt  wird,  eine  Telegraphenstation,  so  würde 
diese  mit  einem  Wechsel  versehen  und  man  wird  meist  gar  nicht  eine 
Schleife,  sondern  nur  eine  einfache  Leitung  von  der  Wechsclstation  nach 
dem  seitwärts  gelegenen  Orte  führen.  Die  Anlegung  einer  Schleife  lässt 
also  annehmen,  dass  an  der  Stelle  des  Abzweigens  keine  Station  liegt;  will 
man  daher,  dass  die  Correspondenz  in  der  Hauptleitung  nicht  den  Umweg 
durch  die  Schleifenstation  machen  soll,  und  will  man  sie  zugleich  von 
allen  auf  der  Schleife  etwa  vorkommenden  Störungen  und  Unterbrechun- 
gen unabhängig  machen,  so  mnss  man  an  der  Stelle  des  Abzweigens  der 
Schleife  Apparate  aufstellen,  welche  selbstthätig  entweder  die  Schleife 
in  die  Hauptlinie  einschalten,  oder  sie  ausschalten,  je  nachdem  die 
Sehleifenstation  an  der  Correspondenz  Theil  nehmen  soll  oder  nicht.  Eine 
Apparatverbindung  für  diesen  Zweck  hat  zuerst  A.  Bernstein  in  der  Zeit- 
schrift des  deutsch- österreichischen  Telegraphenvereins,  1H57,  S.  25  ff.  vor- 
geschlagen; das  Wesentliche  derselben  wird  durch  eine  kurze  Erklärung 
der  Skizze  in  Fig.  25  deutlich  werden. 

Auf  der  Stelle,  an  welcher  die  Schleife  abgezweigt  ist,  sind  drei 
Relais  B^  i?, ,  /?,  aufgestellt,  von  denen  das  mittlere  Ri  ein  ganz  gewöhn- 
liches ist,  während  die  Hebel  der  beiden  anderen  R  und  /?,  permanente 
Magnete  sind  und  zur  Erhaltung  ihrer  Polarität  noch  je  einen  anderen 
Magnet  E  und  E2  neben  sich  stehen  haben;  die  Pole  liegen  in  den  He- 
beln nun  so  und  die  Einschaltung  der  Relais  selbst  ist  so  gewählt,  dass, 
wenn  ein  positiver  Ötrom  aus  dem  Ende  L  der  Hauptleitung  oder  ein  nega- 
tiver aus  dem  Ende  Z,  der  Hauptleitung  kommt,  der  um  a  drehbare  Hebel 
des  Relais  R  sich  an  die  Stellschraube  ^,  der  um  a^  drehbare  Hebel  des 
Relais  Bt  dagegen  an  ^4  anlegt;  kommt  dagegen  ein  negativer  Strom  aus 


392  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

der  Leitung  X  oder  ein  positiver  aus  der  Leitung  Z, ,  so  legt  sich  deriHebel 
von  B  an  die  Stellschraube  «| ,  der  Hebel  des  Relais  B^  aber  an  die  Stell- 
schraube 53;  für  gewöhulich  ziehen  die  Federn  f  und  /*,  den  Hebel  yon  R 
an  j,  und  den  Hebel  von  T?,  au  «5;  man  könnte  demnach  auch  sagen:  das 
Kelais  B  spricht  nur  auf  positive ,  das  Kclais  B^  nur  auf  negative  Ströme 
an ,  welche  aus  der  Leitung  L  kommen.  Das  Relais  i?,  endlich  hat  einen 
um  »I  drehbaren,  nicht  maguetiscben  Anker,  welcher  für  gewöhnlich  durch 
die  Wirkung  der  Feder  fi  an  der  Stellschraube  5,  anliegt,  sich  aber  an  die 
Schraube  s^  anlegt,  so  lange  der  Strom  der  Batterie  B  durch  die  Boller, 
des  Relais  /?i  geht.  Die  Schleifenlinien  /  und  /,  sind  durch  die  Rollen  r, 
eiues  Relais  /?,  der  Schleifenstatiou  S  verbunden,  und  ausserdem  muss  auf 
der  Station  S  noch  ein  anderes,  für  die  eigentliche  Correspondenx  bestimm- 
te.s  Relais  vorhanden  sein,  da  /?,  für  die  Aufnahme  von  Depeschen  auf  der 
Schleifenstation  nicht  zu  gebrauchen  ist.  Der  um  a,  drehbare  Hebel  des 
Relai.s  /?,  iöt  ebenfalls  permanent  magnetisch  und  das  Relais  B^  so  einge- 
schaltet, dass  der  Hebel  in  Folge  seiner  vom  Magnet  E^  erhalteneu  Polari- 
tät nur  von  negativen,  aus  der  Leitung  L  kommenden  und  durch  die  RoUea 
7*3  hindurchgehenden  Strömen  an  die  Stellschraube  s^  herangezogen  wird, 
während  er  für  gewöhnlich  durch  die  Spannfeder  /*]  an  die  Stellschraube  s^ 
gezogen  wird  und  daran  um  so  fester  liegen  bleibt,  wenn  positive  Ströme 
aus  L  kommend  die  Leitung  durchlaufen.  Die  Stationen  in  der  Haupt- 
leitung endlich  müssen  ausser  den  sonst  nöthigen  Apparaten  noch  mit 
eiuem  Stromwender  versehen  sein,  durch  welchen  sie  in  Stand  ge&etzt 
worden,  den  Strom  in  einer  bestimmten  Richtung  in  die  Leitung  zu  senden; 
denn  es  ist  nöthig,  dass  der  positive  Strom  in  der  Hauptleitung  in  der 
Richtung  von  L  nach  Zj  gehe,  wenn  die  Schleife  in  die  Hauptleitung  ein- 
geschaltet sein,  also  die  Schleifenstation  an  der  Correspondenz  Theil  neh- 
men soll;  dagegen  muss  der  positive  Strom  in  der  Hauptleitung  in  der 
Richtung  von  Z,  nach  Z,  also  der  negative  in  der  Richtung  von  L  nach  Z| 
gehen,  wenn  die  Schleife  ausgeschaltet  sein  soll.  Kommt  nämlich  ein  po- 
sitiver Strom  aus  L  nach  der  Stelle,  wo  die  Schleife  von  der  Hauptleitung 
abgezweigt  ist,  so  durchläuft  er  zunächst  die  Rollen  r  des  Relais/?,  gelangt 
über  b  nach  /*, ,  vom  Hebel  des  Relais  /?,  nach  der  Stellschraube  5j,  über  c 
durch  die  Rollen  r,  des  Relais  /?,  nach  /,  nach  der  Schleifenstation  5  und 
daselbst  durch  die  Rollen  r,  des  Relais  und  endlich  durch  /^  nach  Zj  weiter; 
an  der  Abzwciguugsstelle  spricht  zwar  das  Relais  B  an,  das  Relais  B^  da- 
gegen nicht  und  deshalb  bleibt  der  Stromkreis  der  Batterie  B  offen,  so 
dass  also  auch  das  Relais  7?,  nicht  anspricht;  ebenso  spricht  auch  in  der 
Schleifenstation  S  das  Relais  Ä,  nicht  an.  Jede  Con*cspondenz  mit  posi- 
tivem Strome  in  der  Richtung  von  Z  nach  Z,  durchläuft  also  auch  die 
Schleife  und  kann  auf  der  Schlirifenstation  5  aufgenommen  werden.  Kommt 
dagegen  ein  negativer  Strom  aus  Z,  so  durchläuft  er  wieder  die  Rollen  r 
des  jetzt  nicht  ansprechenden  Relais,   dessen  Hobel   also   au   der   Stell- 


Von  Dr.  Ed.  Zetzschb.  393 

schraube  f,  liegen  bleibt,  über  h^  f^^a^^  s^c  geht  dann  der  negative  Strom 
durch  die  Rollen  r,  de^  Relais  /?,  und  durch  /  nach  S,  daselbst  durch  die 
Rollen  r,  nnd  darauf  durch  /,  nach  Z,;,  dabei  sprechen  die  beiden  Relais  R^ 
nnd  R^  an  and  in  Folge  dessen  treten  jetzt  noch  einige  Nebenwirkungen 
auf;  lunächst  schliesst  der  Hebel  des  Relais  R^ ,  indem  er  sich  an  die  Stell- 
schraube «5  anlegt,  den  Kreis  der  Batterie  B^  deren  Strom  nun  über  /*,  a,  ^,, 
iy  e  durch  die  Rollen  r^  des  Relais  R^  über  e  nach  a„  «5,  g  durch  die  Rollen 
r,  des  Relais  Rj  nach  der  Batterie  B  zurückgeht;   dadurch  legt  sich  der 
Hebel  des  Beiais  R^  an  die  Stellschraube  jr,,  so  dass  der  negative  Strom 
aas  L  nun  durch  r  über  b  y  ft ,  a^ ,  s^  und  h  direct  nach  Z|  geht ,   ohne  die 
8chleife  zu  durchlaufen ;  die  Batterie  muss  nun  so  eingeschaltet  sein ,  dass 
ihrnegativer  Strom  r,  in  der  Richtung  von  c  nach  e  durchläuft,   also   den 
Hebel  des  Relais  R^  auf  der  Stellschraube  s^  festhält ,  auch  wenn  der  nega- 
tire  Strom  aus  L  nach  L^   nicht  mehr  durch  die  Rollen  r,  hindurchgeht; 
eine  andere  Nebenwirkung  tritt  gleichzeitig  in  der  Schleifenstation  S  ein, 
wo  der  Hebel  des  Relais  R^  sich  an  die  Stellschraube  ^7  angelegt  und  so 
die  Batterie  Bi  geschlossen  hat,  deren  Strom  nun  über  k^f^yO^  nach  «,, 
durch  die  aus  wenigen  Windungen  bestehenden  Rollen  r«*)  des  Relais  R^ 
und  über  m  zur  Batterie  zurückgeht   und  den  Hebel  des  Relais  in  seiner 
Lage  an  8^  erhält.     So  lange  demnach  jetzt  in  der  Hauptleitung  mit  nega- 
tiven Strömen  in  Richtung  von  L  nach  Z,  oder  mit  positiven  in  Richtung 
von  X]  nach  L  telegraphirt  wird,  bleibt  die  Schleife   vollständig   ausge- 
schaltet,  nnd  auf  der  Schlcifenstation  giebt  der  an  ^fliegende  Hebel  des 
Itelais  R^  das  Zeichen,  dass  auf  der  Linie  LL^  mit  Ausschaltung  der  Schleife 
correspondirt  wird.    Soll  endlich  die  Schleife  wieder  eingeschaltet  werden, 
80  geschieht  es  einfach  dadurch,   dass  man  einen  positiven  Strom  in  der 
Riehtang  ZZ,  durch  die  Leitung  sendet;  dieser  legt  nämlich  den  Hebel  des 
Relais  R  an  die  Stellschraube  5,  unterbricht  dadurch  den  Strom  der  Bat- 
terie By  worauf  die  Feder  /*,  den  Hebel  dos  J?elais  R^  wieder  an  die  Stell- 
•ehranbe  9%  heranzieht  und  auch  der  Hebel  des  Relais  entweder  durch  die 
Feder  /*«  oder  die  Wirkung  des  noch  andauernden  positiven  Stromes  sich 
aa  #4  anlegt;   so  ist  also  dem  positiven  Strome  der  Weg  durch  die  Schleife 
geöffnet  und  auf  der  Schleifenstation  muss  der  Strom  durch  die  Rollen  r„ 
wodurch  der  Hebel  bei  r,  an  s^  herangezogen  wird. 

Gegen  diese  an  sich  sehr  sinnreiche  Apparatzusammenstellung  wurde 
der  begründete  Einwand  erhoben ,  dass  zu  viele  Apparate  zur  blosen  Aus- 
oder Einschaltung  nötliig  seien ,  dass  eine  besondere  Batterie  erforderlich 
sei  und  dass  Überhaupt  die  Zuverlässigkeit  von  mehreren  Regulirungen 
abhinge,  ja  durch  einen  schmutzigen  Gontact  die  Leitung  gänzlich  unter- 
brochen werden  könne.     Wenn  es  blos  darauf  ankäme ,  die  Zahl  der  Ap- 


*)   Die  Rollen  r^  und  /'s  können  über  einen  genioinschaftlichcn  Kern  gewickelt 
icin;  in  Fig.  25  wurden  sie  nur  der  Deutlichkeit  wegen  getrennt  ge:&eichnet. 


394  Beiträge  zur  Geschichte  der  FortBchritto  in  der  elektr.  Telegraphie. 

parate  und  den  durch  sie  in  die  Leitung  gebrachten  Widerstand  sa  ver- 
mindem ,  so  dürfte  man  nur  das  Relais  B^  weglassen  und  nach  Anleitang 
der  Skizze  Fig.  20  einschalten ,  d.  h.  5,  unmittelbar  mit  /  verbinden  und  den 
ans  den  Bollen  r,  austretenden  Drath  nach  der  Stellschraube  s  führen; 
dann  spricht  das  Beiais  R  auf  positive  Ströme  nicht  an,  diese  gehen  daher 
ans  L  durch  r  über  n,  und  5,  nach  /,  l^  und  Z|,  auf  einen  negativen  Strom 
aber  spricht  das  Beiais  R  an,  schliesst  durch  r, ,  s  und  a  den  Kreis  der  Bat- 
terie B,  deren  Strom  der  Hebel  des  I^elais  /?i  an  s^  anlegt  und  so  die 
Schleifenliiiie  ausschaltet,  bis  wieder  ein  positiver  Strom  in  Richtung  ?oa 
L  nach  Zf  die  Linie  durchläuft^  wobei  sich  der  Hebel  des  Relais  B  a,n$i 
anlegt,  die  Batterie  B  öffnet  und  die  Schleife  wieder  einschaltet.  Noch 
mehr :  man  kann  sogar  die  Batterie  B  und  das  Beiais  B^  entbehren  and 
eine  Unterbrechung  der  Linie  durch  einen  unreinen  Contact  unmöglich 
-machen,  wenn  man  die  in  Fig.  27  angedeutete,  von  dem  Telegraphen- 
inspector  Frischen  in  Hannover  in  der  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichi- 
schen Telegraphen  Vereins,  1858,  S.  10  angegebene  Einschaltung  wfthlt,  wo- 
bei das  Beiais  B  wieder  nur  auf  negative  Ströme  ansprechen  darf;  die  po 
sitiven  Ströme  gehen  dann  aus  L  durch  die  Bollen  r  des  Beiais  B  über  n 
nach  l  und  schliesslich  aus  /,  nach  Zf ;  die  negativen  Ströme  dagegen  schal- 
ten die  Schleife  ans,  indem  sie  den  Hebel  des  Beiais  B  an  die  Stellschraube 
Si  anlegen,  und  nehmen  dann  ihren  Weg  aus  Z  durch  r  Über  n,  a  und  i| 
nach  Z,.  Der  nächstfolgende  positive  Strom  legt  den  Belaishebel  wieder 
an  5  und  schaltet  die  Schleife  wieder  ein.  Auch  wenn  der  Belaishebel  ani| 
liegt,  bleibt  indessen  die  Schleife  eingeschaltet,  und  es  geht  ein  Zweig- 
strom von  n  durch  /  und  /fnach  Z, ;  dass  jedoch  dieser  Zweigstrom  auf  der 
Sshleifenstation  Zeichen  hervorbringen  könnte,  wie  Frischen  meint,  ist 
gewiss  nur  bei  sehr  empfindlichen  Galvanometern  und  kurzen  Schleifen 
möglich ;  wohl  aber  kann  die  ausgeschaltete  Schleifenstation  die  Correspon- 
denz  in  der  Hauptleitung  stören ,  denn  selbst  ohne  Anwendung  einer  Erd- 
leitung ist  der  Kreis  der  Linionbatterie  der  Schleifenstation  geschlossen, 
nämlich  über  /,  n,  a,  Si  und  /,;  es  kann  daher  die  Schleifenstation  selbst  die 
Schleife  ein  -  oder  ausschalten,  was  ebensowohl  ein  Vorzug,  als  ein  Nach- 
theil der  von  Frischen  angegebenen  Einschaltung  gegenüber  den  beiden 
vorher  beschriebenen  Einschaltungen  genannt  werden  kann.  Alle  drei 
Einschaltungen  leiden  aber  an  dem  Uebelstande ,  dass  sie  nicht  unbedingt 
die  Hauptleitung  gegen  die  Nachtheile  der  Störungen  auf  der  Schleifenlinio 
schützen ,  sondern  nur  in  dem  Falle ,  dass  bei  einer  auf  der  Schleifenlinie 
eintretenden  Unterbrechung  die  Schleife  bereits  ausgeschaltet  war,  oder 
dass  bei  der  Unterbrechung  das  gegen  Z  liegende  Endo  der  zerrissenen 
Schleifenlinio  zufällig  mit  der  P^rde  in  Verbindung  kommt;  denn  sonst 
kann  von  der  Hauptliuio  aus  eine  Ausschaltung  der  Schleife  nicht  mehr  be- 
werkstelligt werden.  Will  man  auch  diesen  Uebelstand  beseitigen,  so 
wähle  man  die  Einschaltung  nach  Fig.  28 :    Das  Beiais  B  mit  permanent 


f 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  395 

magnetischem  Hebel  spricht  ebenfalls  auf  positive  und  negative  Ströme 
•0,  aber  die  Achse  a  seines  Plebels  ist  einerseits  mit  dem  einen  Ende  der 
Ualtiplicationsrollen  r,  andererseits  mit  der  Contactschranbe  ^i  verbunden, 
iwischen  der  Achse  und  der  Contactschranbe  ist  durch  einen  Bheostaten 
IT  ein  entsprechender  Widerstand  eingeschaltet;  ausserdem  steht  die  Con* 
Uctschraube  Si  mit  den  beiden  Leitungen  Z,  und  /| ,  die  Contactschranbe  s 
mit  der  Leitung  /  in  Verbindung.  Jeder  aus  L  kommende  positive  Strom 
geht  durch  die  Rollen  r  und  legt  den  Relaishebel  an  «  an ,  daher  hat  der 
Strom  einen  Weg  von  a  über  s  und  /  nach  der  Schleifenstation  und  dann 
durch  /f  über  b  nach  Z|  und  zugleich  einen  anderen  Weg  von  a  durch  den 
Bheostat  W  über  Si  und  b  nach  Z, ;  der  Widerstand  des  Rheostates  ist  dem- 
nach so  au  wählen ,  dass  der  durch  die  Schleife  //|  gehende  Theilstrom  in 
der  Schleifenstation  deutliche  Zeichen  giebt.  Der  erste  negative  Strom 
legt  den  Relaishebel  an  Si  und  schaltet  so  die  Schleife  vollständig  aus,  wo- 
gegen L  und  Z|  über  a ,  ^,  und  b  kurz  verbunden  sind ;  der  nächstfolgende 
poätive  Strom  führt  den  Hebel  wieder  nach  5  und  schaltet  dadurch  die 
Schleife  ein.  Weder  bei  ausgeschalteter ,  noch  bei  eingeschalteter  Schleife 
übt  der  Rheostat  einen  nachtheiligen  Einfluss  auf  den  Strom  in  der  Haupt- 
linie aus;  wenn  dagegen  eine  Unterbrechung  in  der  Schleife  bei  irgend 
einer  Stellung  des  Relaishebels  eintritt,  so  bleibt  sicher  dem  Strome  in  der 
Ilaiiptlinie  noch  der  Weg  von  Z  durch  r  nach  a ,  durch  IV  nach  ^, ,  b  und 
Z|  übrig  und  jedenfalls  kann  so  noch  der  Relaishebel  an  die  Contact- 
schranbe Si  herangezogen  werden,  behufs  der  Herstellung  einer  kurzen 
Verbindung  von  Z  mit  Zp  Obwohl  die  Schleifenstation  bei  ausgeschalteter 
Schleife  die  Correspondenz  in  der  Hauptliuie  ohne  Anwendung  einer  Erd- 
leitung nicht  zu  stören ,  noch  etwas  an  der  Einschaltung  der  Schleife  zu  ' 
ändern  vermag,  bleibt  ihr  doch  durch  Anlegung  einer  Erdleitung  die  Mög- 
lichkeit, für  den  Fall  des  Bedarfs  eine  Notiz  nach  Z  und  Z,  zu  geben; 
denn  dann  würde  ihr  Strom  aus  /|  sich  in  b  nach  Zj  und  über  5|  und  a  auch 
nach  Z  verzweigen. 

5.     Die  Blitzableiter. 

Da  die  Telegraphenleitungen  sich  viele  Meilen  weit  als  ununter- 
brochene Leiter  über  die  Oberfläche  der  Erde  hin  erstrecken  und  im  freien 
Felde  ihre  Umgebung  hoch  überragen,  so  sind  sie  verschiedenen  Ein- 
wirkungen von  Seite  der  atmosphärischen  Elektricität  ausgesetzt  Es 
können  leicht  die  Dratho  und  Leitungsstangen  geradezu  vom  Blitze  getroffen 
werden  und  Theile  von  diesen  Blitzschlägen  auf  grosse  Entfernungen  hin 
an  den  Dräthen  fortlaufen ,  bis  sie  endlich  einen  günstigen  Uebergang  zur 
Erde  finden ;  es  können  ferner  durch  die  über  die  Leitung  dahinziehenden 
elektrischen  Wolken  und  bei  jedem  in  der  Nähe  der  Leitung  niederfahren- 
den Blitze,  selbst  wenn  er  die  Leitung  nicht  unmittelbar  trifft,  gewaltige 
Inductionsströme  in  der  Leitung  erregt  werden ,  ja  es  können  sich  f^o^ox  v^ 


396  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  TelegrapUe. 

der  Atmosphäre  vorhandene,  vielleicht  durch  Wittemngsverhältnisse  er- 
zengte elektrische  Gegensätze,  auch  wenn  sie  örtlich  weit  von  einander 
entfernt  sind,  durch  die  Leitungsdrätho  ausgleichen.  Die  Folgen  dieser 
Einwirkungen  sind  theils  Störungen  im  Betrieb  des  Telegraphen ,  theils  ge- 
waltsame Zerstörungen  der  Leitungen  und  Apparate.  Sofern  nämlich  blos 
schwache  Ströme  atmosphärischer  Elektricität  in  der  Leitung  fortgehen 
und  durch  Telegraphenapparate  ihren  Weg  nehmen ,  werden  dieselben  in 
den  Apparaten  genau  dieselben  Wirkungen  hervorbringen,  wie  die  galva- 
nischen Telegraphirströme :  die  Anker  der  Elektromagncte  werden  ange- 
zogen, Galvanometernadeln  werden  abgelenkt  und  dergleichen  mehr,  je 
nach  der  Beschaffenheit  der  Apparate ;  auch  kann  man  diese  Ströme  selbst 
fühlen ,  wenn  man  ihnen  durch  entsprechendes  Berühren  der  Leitung  einen 
Weg  durch  den  Körper  öffnet.  Sind  dagegen  die  durch  die  atmosphärische 
Elektricität  in  der  Leitung  erregten  Ströme  kräftiger,  so  richten  sie  nicht 
selten  bedeutende  Zerstörungen  an:  sie  schmelzen  Dräthe  in  den  Statio- 
nen, verbrennen  und  zertrümmern  die  isolirende  Umhüllung  und  Be- 
deckung der  Dräthe,  vernichten  den  Magnetismus  constanter  Magnete^ 
kehren  auch  wohl  deren  Polarität  ganz  um ,  zerschmettern  die  Isolatoren, 
auf  welchen  der  Drath  an  den  Tragsäulen  liegt,  zersplittern  die  Säalen 
auch  selbst  und  werfen  sie  um ,  wobei  nach  Befinden  der  Leitungsdrath 
zerreisst,  —  ja  wiederholt  wurden  sogar  die  am  Apparate  arbeitenden  Be- 
amten oder  die  mit  der  Linie  beschäftigten  Arbeiter  und  Aufseher  vertatst 
und  gelähmt.  Ein  langes  Register  solcher  Verheerungen  findet  sich  im 
elcktromagnetiscTien  Telegraph  von  Schellen,  2.  Auflage,  S.  210  bis  218, 
andere  Belege  sind  in  den  verschiedenen  Jahrgängen  der  Zeitschrift  des 
deutsch  -  österreichischen  Telegraphenvercins  zerstreut;  mitunter  wurden 
bis  20  Tragsäulen  hinter  einander  ganz  oder  theilweise  zersplittert*),  ja 
in  einzelnen  Fällen  zeigten  selbst  60  bis  70  Säulen  Spuren  davon,  dass 
Anthcile  des  Blitzes  an  ihnen  zur  Erde  niedergegangen  waren,  in  der  Lei- 
tung aber  lief  der  Blitz  nicht  selten  10,  ja  30  bis  40  Meilen  weit  fort. 

Natürlich  ist  es  eine  nicht  unwichtige  Aufgabe  der  Telegraphie,  der- 
artigen Beschädigungen  möglichst  vorzubeugen,  und  zu  diesem  Zwecke 
stellt  man  an  einzelnen  Punkten  Blitzableiter  auf.  Durch  Blitzableiter 
kann  man  aber  bis  jetzt  nur  die  zerstörenden  Wirkungen  verhüten,  die 
störenden  dagegen  bleiben  unbeseitigt;  die  Apparate  und  die  an  ihnen  ar- 
])eitendcn  Beamten  werden  zwar  durch  die  Blitzableiter  der  Gefahr  der 
Verletzung  entrückt,  dass  aber  bei  Gewittern  die  atmosphärische  Elektri- 
cität in  das  Telegraphiren  mit  dreinspricht,  dass  sie  auf  den  Druck- 
apparaten  unbeabsichtigte   Punkte    und  Striche  druckt,    die   Zeiger   der 


*)  Die  ausgesplittcrton  »StvUon  laufen  {^ewülinlich  in  einer  Spirallinie  um  die 
Stangen  herum;  ist  dies  eine  Folge  der  titructurvcrhältnisse  der  Stangen,  oder  wühlt 
dvr  Blitz  aich  selbst  diesen  Wog  und  warum  ? 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  397 

Zeigerapparate  fortrücken  lüsst  und  bei  Nadeltelographen  die  Nadeln  ab- 
lenkt ,  ohne  Httcksicht  auf  den  Willen  des  Telegraphisten ,  dies  Iftsst  sich 
nicht  verhüten. 

Wie  verschiedenartig  anch  die  Blitzableiter  für  Telegraphen  in  ihren 
einselnen  Theilen  gestaltet  sind ,  in  Ansehung  des  Grundes  ihrer  Wirk- 
samkeit zerfallen  sie  nur  in  zwei  grosse  Gruppen.  Bei  der  einen  Classe 
von  Blitzableitern  ist  nämlich  Vorkehrung  getroffen ,  dass  jeder  kräftigere 
Strom ,  durch  welchen  die  Apparate  zerstört  werden  könnten ,  sich  selbst 
den  Weg  nach  den  Apparaten  abbricht;  es  steht  indessen  bei  diesen  Blitz- 
ableitern SU  befürchten,  dass  gelegentlich  doch  etwa  bereits  vor  dem  Ab- 
brechen des  Weges  nach  den  Apparaten  ein  so  kräftiger  Strom  in  die  Ap- 
parate gelangt,  dass  die  Apparate  dadurch  Schaden  leiden.  Schon  im 
Jahre  1846  wurden  zwei  von  einander  verschiedene  Blitzableiter  dieser 
Art  vorgeschlagen :  in  Frankreich  von  Breguet  und  in  Amerika  von  James 
D.  Reid  in  Philadelphia.  Die  Wirksamkeit  der  Blitzableiter  der  anderen 
Classe  stützt  sich  anf  den  bekannten  Erfahrungssatz  über  das  Verhalten 
der  Elektricitäten  verschiedenen  Ursprungs,  nämlich  auf  die  Thatsache, 
dass  die  Reibungselektricität,  die  Inductionselektricität  und  die  atmosphä- 
rische Elektricität  verhältnissmässig  grosse  isolirende  Zwischenräume  zwi- 
schen zwei  Leitern  überspringen  kann ,  während  die  galvanische  Elektrici- 
tät selbst  sehr  kleine  Zwischenräume  nicht  ücerspringt.  Diese  Verschie- 
denheit der  erwähnten  Elektricitäten  macht  es  möglich ,  dass  man  die  Luft- 
elektricität  von  den  telegraphischen  Apparaten  abhalten  kann ,  indem  man 
ihr  einen  kürzeren  und  beäseren  Weg  zur  Erde  öffnet,  während  die  galva- 
nische Elektricität,  ohne  Sprünge,  ruhig  und  ungestört  ihren  Weg  durch 
die  Apparate  nehmen  muss.  Man  braucht  dazu  blos  der  Luftleitung ,  be- 
vor sie  zu  den  Apparaten  geführt  wird ,  eine  andere  möglichst  kurze  Lei- 
tung von  entsprechend  grossem  Querschnitte  gegenüber  zu  stellen, 
welche  einerseits  ohne  Unterbrechung  bis  zur  Erde  reicht  (daher  Erd- 
leitung genannt),  andererseits  aber  die  Luftleitung  nicht  unmittelbar  be- 
rührt, sondern  in  einer  möglichst  geringen  Entfernung  von  derselben  endet; 
diese  geringe  Entfernung  kann  die  galvanische  Elektricität  nicht  über- 
springen, sondern  sie  muss  durch  die  Apparate  gehen;  die  Luftelektricität 
dagegen  wird  zum  grössten  Theil  den  kleinen  Zwischenraum  überspringen 
und  auf  dem  kürzesten  Wege  zur  Erde  abfliessen.  Auch  der  Gedanke,  auf 
diese  Weise  die  Telographenapparate  gegen  die  zerstörenden  Einwirkun- 
gen der  atmosphäriäsheu  Elektricität  zu  schützen,  wurde  bereits  im  Jahre 
1846  in  zwei  Ländern  gefasst  und  zur  Ausführung  gebracht:  in  Deutschland 
zuerst  von  Steinheil  und  in  England  in  etwas  anderer  Weise  von  Highton 
in  London.  Steinbeil,  lligliton,  Breguet  und  Reid  haben  also  in  dem- 
selben Jahre,  scheinbar  ganz  unabhängig  von  einander,  die  ersten  Blitz- 
ableiter für  Telegraphen  angegeben;  jeder  von  einem  anderen  Gesichts- 
punkte ausgehend.     Gegenwärtig  sind  in  Europa  allgemein  Blitzableitet 


398  Beitrüge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  olektr.  Telcgrapbie. 

der  zweiten  Classe  in  Gebranch ;  an  einigen  sehr  verbreiteten  dagegen  ist 
zugleich  daftir  Sorge  getragen,  dass  ein  nach  den  Apparaten  gehender 
Blitzstrahl  sich  selbst  den  Weg  unterbreche. 

Breguet  schlug  vor,  die  eigentliche  Telegraphenleitnng  nur  bis  anf 
eine  Eutfernung  von  15  bis  18  Fuss  an  die  Station  heranzuführen,  von  da 
ab  aber  einen  ganz  feinen  Drath  zur  Verbindung  der  Leitung  mit  den 
Stationsapparaten  zu  benutzen,  in  der  Voraussetzung,  dass  jeder  atmosphä- 
rische Strom,  welcher  seinen  Weg  durch  diesen  dünnen  Drath  nach  den 
Apparaten  nehmen  wolle,  den  dünnen  Drath  bis  zum  Abschmelzen  er- 
hitzen und  sich  so  den  Weg  zu  den  Apparaten  selbst  unterbrechen  werde 
(vergl.  Schellen,  der  elektromagnetische  Telegraph,  S.  223).  Anf  diese 
Weise  allein  würden  aber  die  Apparate  wohl  kaum  sicher  genug  gegen  die 
zerstörenden  Einwirkungen  der  atmosphärischen  Elektricit&t  geschfitst 
werden,  und  überdies  würde  ein  häufiges  Ersetzen  des  langen  dünnen 
Drathes  unbequem  und  nicht  zu  billig  sein;  wohl  aber  wird  eine  ähnliche 
Einrichtung ,  welchem  einem  Blitzableiter  der  zweiten  Classe  als  Zugabe 
beigefügt  ist,  dessen  Wirksamkeit  erhöhen. 

Keid  benutzte  nicht  die  Wärmeentwickelung,  sondern  die  elektromag- 
netische Wirkung  des  Stromes  zur  Unterbrechung  des  Weges   nach  den 
Apparaten  und  wählte  dazu  folgende  Anordnung :    Die  in  die  Station  ein- 
tretende Luftleitung  L  (Flg.  20  Taf.  V)  wird  zunächst  zu  dem  einen  Ende 
der  Multiplicationsrollen  eines  Elektromagnetes  M  geführt;  diese  Rollen 
enthalten  aber  nur  IG  Windungen  eines  starken  mit  Seide  übersponnenen 
Drathes;  das  andere  Ende  der  Rollen  steht  mit  der  Achse  a  eines  messin- 
genen Hebels  6c  in  leitender  Verbindung,   dessen  vorderes  Ende  b  mit  der 
Stellschraube  s  durch  die  Spannfeder  f  auf  einen  Metallständer  e  aufge* 
drückt  wird,   welcher  durch  den  Drath  A  mit  den  telegraphischen  Appa- 
raten in  leitender  Verbindung  steht;  am  anderen  Ende  c  des  Hebels  fr c  be- 
findet sich  eine  zweite  Stellschraube,  welche  sich  auf  den  durch  den  Drath 
K  mit  der  Erde  verbundenen  Mctallständer  g  auflegt,   so  oft  und  so  lange 
der  Elektromagnet  E  seinen  Anker  d  anzieht.     Die  Spannfeder  f  ist  nun 
so  stark  gespannt,  dass  in  Folge  des  durch  eiuen  galvanischen  Telegraphir- 
strom   erregten   Elektromagnetismus   der  Elektromagnet  M  seinen  Anker 
nicht   anziehen  kann;   daher  nehmen  die  Tclegraphirströme  aus  L  ihren 
Weg  durch  i}/  über  a^h^  s^  e  und  A  nach  den  tclegraphischen  Apparaten. 
Geht  dagegen  ein  starker  Strom  atmosphärischer  Elektricität  durch  den 
Elektomagnet  /W,   so  zieht  derselbe  seinen  Anker  an,   die  Stellschraube* 
verläset  dabei  ihren  Ständer  e  und  der  Weg  nach  den  Apparaten  ist  da- 
durch unterbrochen ,   dafür  aber  der  Luftelektricität  von  a  aus  über  c  und 
die  jetzt  auf  ihrem  Ständer  g  aufliegende  Stellschraube  s^  ein  kurzer  Weg 
durch  den  entsprechend  dicken  Drath  E  nach  der  Erde  eröffnet.     Sobald 
die  Luftelektricität  nach  der  Erde  abgeflossen  ist,  zieht  die  Feder /*  den 
Ilebol  bc  mit  der  Stellschraube  s  v?\eüet  aw^  \\it^u  SULuder  e  auf  und  stellt 


Von  Dr.  £d.  Zetzsche.  399 

80  den  Weg  nach  den  Apparaten  für  die  Telegraphirströme  wieder  her. 
Dieser  sinnreiche  Blitzableiter,  für  dessen  Erfindung  Reid  von  dem  Franklin 
Insiihtie  in  Philadelphia  mit  der  silbernen  Medaille  belohnt  wnrde ,  soll  sich 
(nach  Shaffner,  ielegraph  manual^  8.  567  und  508)  bei  vielen  Gelegenheiten 
nnter  heftigen  Gewittern  gut  bewährt  haben,  obwohl  man  fürchten  könnte, 
dass  bei  der  grossen  Geschwindigkeit  des  elektrischen  Stromes  die  Luft- 
elektricitXt  sn  den  Apparaten  gelangen  könnte,  bevor  noch  der  Hebel  he 
ans  der  einen  Lage  in  die  andere  übergegangen  wäre;  indessen  darf  wohl 
anch  nicht  übersehen  werden ,  dass  die  Lnftelektricität  selbst  dann ,  wenn 
die  Stellschranbe  s  auf  ihrem  Ständer  e  aufliegt,  den  kurzen  Weg  durch  E 
sor  Erde  wählen  kann ,  weil  sie  dazu  nur  den  kleinen  Zwischenraum  zwi- 
schen der  Stellschraube  s^  und  dem  gegenüberliegenden  Ständer  g  zu  über- 
springen braucht. 

Highton^s  Blitzableiter  ist  höchst  einfach:  der  Leitungsdrath  wird 
auf  eine  Länge  von  6  bis  8  Zoll  mit  Seide  oder  lockerem  Papier  umwickelt 
und  diese  Hülle  mit  einer  Anzahl  von  Metalldräthen  umgeben,  welche  mit 
der  Erde  in  Verbindung  stehen;  ein  jeder  Apparat  einer  Station  soll  auf 
jeder  Seite  mit  einer  solchen  schützenden  Vorrichtung  versehen  werden; 
am  einfachsten  und  billigsten  wird  die  mit  Löschpapier  umwickelte  Stelle 
des  Leitungsdrathes  durch  eine  kleine,  mit  einer  Ziunplatte  ausgelegte 
hBlserne  Büchse  hindurch  geführt,  in  dieser  mifr  feinem  Eisendrath  um- 
geben and  die  Zinnplatte  mit  der  Erdff  verbunden.  Die  gute  Wirkung  sol- 
cher Blitzableiter  (Shaffner,  ielegraph  manual,  S.  566)  dürfte  auf  die  grosse 
Anzahl  kleiner  Uebergangspnnkte  vom  Leitungsdrathe  zu  den  umgebenden 
Ableitnngsdräthen  zu  schreiben  sein.  Eine  diesem  Blitzableiter  nahe  ver- 
wandter Blitzableiter  zum  Herableiten  des  Blitzes  an  den  Telegraphen** 
länlen  wurde  1855  von  Matzcnauer  vorgeschlagen. 

SteinheiPs  Blitzableiter  bestand  aus  zwei  Kupferplatten  von  sechs  Zoll 
Durchmesser;  diese  Platten  standen  auf  dem  Dache  des  Hauses,  gegen  die 
Feuchtigkeit  der  Luft  geschützt,  mit  den  breiten  Flächen  ganz  nahe  an 
sinander,  waren  aber  durch  ein  dünnes  Blatt  Seidenzeng  von  einander  iso- 
lirt;  von  jeder  Platte  führte  ein  Drath  nach  den  Apparaten  der  Station 
ind  in  der  Mitte  war  jede  Platte  mit  dem  einen  Ende  des  über  dem  Hause 
Inrchschnittenen  Leitungsdrathes  verbunden.  Der  die  Leitung  durch- 
laufende galvanische  Strom  musste  also  die  Apparate  durchlaufen ,  da  das 
Seidenzeug  ihm  den  Ucbertritt  von  einer  Platte  zur  anderen  verwehrte ; 
lie  Lnftelektricität  dagegen  lief  mit  Ueberspringung  des  kleinen  Zwischen* 
rauDies  zwischen  den  Platten  in  der  Leitung  weiter,  ohne  in  die  Apparate 
i^inautreten ;  ein  Wog  zur  Erde  war  freilich  der  Lnftelektricität  auch  nicht 
[^boten.  William  Fardcly  vereinfachte  1847  diesen  Blitzableiter  dadurch, 
las«  er  mit  Weglassung  der  Platten  die  beiden  Enden  des  Leitungsdrathes 
anter  einem  kleinen  Dächelchen  auf  der  Tragsäule  einfach  einander  gegen- 
Iber  stehen  Viesa,  ao  nahe  an  einander,  dass  die  li\xt\Ä\^V\.xvANÄX \«v^5öX 


400  Beiträge  zur  Geschichte  der  Portschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 

überspringen  konnte;  von  den  Drathendon  aber  führten  zwei  vrenigstons 
zwanzig  Fnss  lange  feine  Dräthe  nach  den  Stationsapparaten,  damit  so 
die  Apparate  amsomehr  geschützt  seien.  Auch  eröffnete  Fardelj  dem 
Blitz  einen  kurzen  Weg  zur  £rde  (vergl.  Polytechnisches  Ccntralblatt, 
1840,  S.  1106),  indem  er  dem  Leitangsdrathe  eine  Erdleitung  so  nahe  gegen- 
über stellte,  dass  der  Blitz  auf  die  Erdleitung  überspringen  konnto;  die 
Erdleitung  wurde  zum  Theil  Ähnlich  wie  ein  gewöhnlicher  Blitzableiter 
mit  einer  Auffangestange  versehen.  Endlich  fügte  Fardely  noch  eine  Vor- 
richtung hinzu,  durch  welche  die  Apparate  bei  Gewittern  ganz  aus  der 
Leitung  ausgeschaltet  werden  konnten.  Im  Jahre  1840  erst  wurde  vom 
Professor  Meissner  in  Braunschweig  der  Blitzableiter  von  Steinheil  in 
Blitzplatten  umgewandelt;  die  Blitzplatten  können  im  Stationszimmer 
selbst  aufgestellt  werden  und  bestehen  für  Endstationen  aus  zwei  Platten, 
von  denen  aber  nur  die  eine  mit  der  Luftleitung ,  die  andere  der  ersteren 
nahe  gegenüber  stehende  mit  der  Erde  verbunden  ist.  Realschuldirector 
Krüger  in  Fraustadt  schlug  die  Benutzung  von  Leydener  Flaschen  anstatt 
der  Platten  vor. 

Nach  dem  Steinheirschen  Princip  sind  eine  sehr  grosse  Anzahl  ver- 
schiedener Blitzableiter  für  Telegraph onapparate  construirt  worden ,  und 
eine  bunte  Mannigfaltigkeit  herrscht  in  dieser  grossen  Ornppe,  in  welcher 
charakteristische  Versclriedenheiten  theils  in  der  Form  der  Theile,  zwi- 
schen welchen  der  Funke  überspring,  theils  in  dem  Stoffe,  durch  welchen 
derselbe  überspringt,  theils  endlich  bezüglich  des  Ortes,  an  welchem  der 
Blitzableiter  aufgestellt  wird,  hervortreten. 

Rücksichtlich  der  Form  der  Theile,  zwischen  welchen  der  Blitz 
überspringt,  lassen  sich  unterscheiden: 

1.  Die  Blitz  platten.  Eine  in  Sachsen  vielfach  verwendete  zweck- 
mässige Construction  der  Blitzplatten  für  einfache  Mittelstationen  besteht 
aus  drei  über  einander  liegenden,  durch  zwischenliegende  dünne  Kaut- 
schiikstreifen  von  einander  isolirten  gusseisernen  Platten;  die  mittelster^/ 
(Fig.  30  Taf.  V)  ist  durch  den  Drath  E  mit  der  Erde,  die  unterste  ah  mit 
der  einen  Luftleitung  L,  die  oberste  efmit  der  anderen  Luftleitung  Z,  ver- 
bunden; durch  die  DrSthe  g  und  h  stehen  die  Apparate  A  mit  den  Platten 
ef  und  «6  in  Verbindung;  der  galvanische  Strom  geht  von  L  durch  ab  und 
h  nach  A  und  dann  durch  g  und  ef  nach  Z,  weiter;  die  Luftelektricität 
springt  von  ah  oder  r/*  auf  die  Platte  cd  über  und  fliesst  durch  E  zur  Erde 
ab,  und  damit  dies  recht  leicht  geschehen  könne,  sind  die  Platten  an  den 
einander  zugewandten  Flächen  kreisförmig  gerieft  und  greifen  auch  durch 
einander  hindurch.  Für  Stationen  mit  mehreren  Linien  sind  in  den  Nieder- 
landen die  Blitzplatten  so  construirt,  dass  die  Leitungen  mit  starken 
Messingstreifcn  verbunden  sind ,  über  welche  ein  Blatt  glattes  Papier  und 
darauf  eine  schwere,  mit  der  Erde  verbundene  Ziukplatte  gelegt  wird 
(vvrgl  Zeitschvift  des  deutsch-Ö8teTic\d\,  Te\^^TÄ.^\\v^\v^^\v^A\vÄ,  1858^  S.  187). 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  401 

2.  Spitzenblitzableiter.  Schon  Professor  Meissner  wendete  an- 
statt der  Platten  zwei  sich  nahe  gegenüberstehende  Spitzen  an ,  welche  er 
(Ibrigena  genau  so  einschaltete  wie  die  Platten ;  trotzdem  dass  die  Elektri- 
citJlt  von  Spitzen  leichter  überfliosst,  zeigten  sich  im  Sommer  1840  die 
Spitzen  nicht  so  wirksam ,  als  die  Platten  (vergl.  Schellen ,  elektromagne- 
tischer Telegraph ,  S.  227).  Später  construirte  Nottebohm  für  die  preussi- 
schen  Leitungen  einen  Spitzenableiter,  bei  welchem  ein  Doppelkegel  in 
der  Mitte  zwischen  zwei  Spitzen  stand,  welche  einerseits  mit  den  beiden 
Leitungen ,  andererseits  mit  den  Apparaten  verbunden  waren ,  während  der 
Doppelkegel  mit  der  Erde  in  Verbindung  stand.  Breguet  wählte  als  mitt- 
leren^ mit  der  Erde  verbundenen  Theil  eine  breitere,  sägenartig  gezackte 
Platte  und  stellte  derselben  zwei  ebenfalls  sägenartig  gezahnte  Platten 
gegenüber,  welche  einerseits  mit  den  Luftleitungen,  andererseits  mit  den 
Apparaten  verbunden  wurden.  Ein  ähnlicher  Blitzableiter  wurde  bei  den 
französischen  Eisenbahntelegraphen  angewendet,  aber  zugleich  dafür  Sorge 
getragen,  dass  der  nach  den  Apparaten  gehende  Strom  atmosphärischer 
ülektricität  beim  Durchgange  durch  einen  feinen  Drath  diesen  schmelze 
und  sich  so  den  Weg  nach  den  Apparaten  selbst  abbreche ;  Shaffner  be- 
schreibt in  seinem  Telegraph  manual,  S.  570  bis  583  drei  verschiedene  Arten 
dieser  Blitzableiter,  von  denen  zwei  so  eingerichtet  sind,  dass  man  die 
Luftleitung  entweder  nnmittelbar  unter  Ausschaltung  des  Blitzableiters, 
oder  mittelbar  durch  den  Blitzableiter  mit  den  Apparaten  verbinden,  dass 
man  sie  aber  auch  unmittelbar  mit  der  Erdleitung  verbinden  kann;  auf 
Stationen ,  welche  mit  einem  Linienwechsel  versehen  sind ,  ist  die  letztere 
Einrichtung  überflüssig,  da  durch  den  Wechsel  selbst  schon,  wie  früher  ge- 
zeigt wurde,  jede  Linie  mit  der  Erdleitung  unmittelbar  verbunden  werden 
kann.  Die  in  ncnester  Zeit  in  Frankreich  angewendeten  Spitzenableiter 
bestehen  aus  zwei  Metallplatten,  von  denen  die  eine  mit  der  Erde,  die  an- 
dere einerseits  mit  der  Luftleitung,  andererseits  mit  den  Apparaten  in  lei- 
tender Verbindung  steht;  aus  jeder  dieser  beiden  Platten  stehen  zwei 
Spitzen  heraus,  deren  äusserste  Punkte  nur  ganz  wenig  von  der  anderen 
Platte  abstehen ,  wie  es  Fig.  31  anschaulich  macht.  In  England  construirte 
Charles  V.  Walker  schon  vor  1849  einen  Spitzenableiter  so,  dass  er  die 
Erdleitung  (vergl.  Shaffner,  telegraph  mantial,  S.  583)  mit  einer  kupfernen 
Röhre  verbindet,  welcher  an  jedem  Ende  eine  Scheibe  gegenübersteht, 
ans  welcher  gegen  die  Röhre  gerichtete  Spitzen  hervorstehen;  die  eine 
Scheibe  war  mit  der  Luftleitung,  die  andere  mit  den  Apparaten  verbunden, 
von  der  einen  Endlich  ging  ein  in  der  Achse  der  Röhre  liegender  Metall- 
stab aus ,  an  welchen  sich  ein  feiner  Metalldrath ,  in  einigen  Windungen 
anfeiner  hölzernen  Spule  nahe  an  der  inneren  Röhrenfiäche  gelegen,  an- 
schloss  und  bis  zur  zweiten  Scheibe  führte;  auf  dem  Metallstabe  endlich 
standen  ebenfalls  mehrere  Spitzen  heraus  und  endeten  knapp  vor  der  inne- 
ren Fläche  der  Kupferröhre.      Obwohl  dieser  QV\ti&\A^\\AT  ^\vt^  %«>:gl^ 

Z^ilMchrift  f.  mUMuutik  u.  Physik.  VI,  tt.  *]Ü^ 


402  Beiträge  zur  Geschichte  der  Fortschritte  in  der  elektr.  Telegraphie. 


vielen  Spitzen  ein  leichtes  Ueberspringen  an  vielen  Stellen  ingleich  er- 
möglicht und  im  Nothfalle  noch  dnrch  Schmelsung  des  feinen  Metalldrathes 
die  Apparate  zu  schützen  verspricht ,  leidet  er  doch  an  dem  grossen  Uebel- 
Stande ,  von  welchem  auch  die  Blitzableiter  nicht  ganz  frei  sind ,  nämlich, 
dass  er  sich  nicht  bequem  überwachen  lässt ,  weil  man  bei  den  eingeschla- 
genen Theilen  nicht  erkennen  kann ,  ob  die  Spitzen  in  gehöriger  Nähe  an 
der  Röhre  stehen.  Prof.  Dr.  Luigi  Magrini  änderte  daher  diesen  Abieiter- 
so  um ,  dass  aus  einer  mit  der  Luftleitung  und  den  Apparaten  verbundenea 
hohlen  Röhre  zwei  Reihen  von  Spitzen  vorstehen,  denen  zwei  mit  der  Erde 
verbundene  Metallplatten  mit  ihrer  inneren  vergoldeten  Fläche  gegenüber- 
gestellt sind;  diese  Platten  bilden  die  obere  und  untere  Wand  des  Oehäa- 
ses  für  den  Blitzableiter,  während  die  beiden  Seitenwände  von  Olas  sind, 
so  dass  man  jederzeit  den  Abstand  der  Spitzen  von  den  Platten  beobachten 
kann  (vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegrapheuvereins, 
1854,  S.  248  ff.).  Diese  Blitzableiter  dürften  aber  zu  zusammengesetzt  und 
kostspielig  sein,  da  schon  ein  weit  einfacherer,  in  Oesterreich  allgemein 
in  Gebrauch  befindlicher  Spitzenableiter,  bei  Anwendung  der  nöthigen 
Sorgfalt  und  Aufmerksamkeit  von  Seite  der  Beamten,  ganz  vortreffliche 
Dienste  leistet.  Es  enthält  dieser,  auch  in  der  Zeitschrift  des  deutsch- 
österreichischen  Telegräphenvereins ,  1854 ,  S.  252  beschriebene  und  in  der 
halben  natürlichen  Grösse  abgebildete  Blitzableiter  auf  einem  Bretchen 
unter  einem  ganz  einfachen  Glaskästchen  für  jede  in  die  Station  einmün- 
dende Leitung  drei  Messingständer  a,  b  und  c  (Fig.  32);  die  Leitung  L  wird 
nach  dem  mittleren  Ständer  6  geführt,  welcher  mit  dem  hinteren  Ständer  a 
durch  einen  sehr  dünnen,  gewundenen  Messingdrath  und  von  da  dnrch 
den  dickeren  Kupfcrdrath  A  mit  den  Telegraphonapparaten  verbunden  ist, 
während  von  dem  vorderen  Ständer  c  ein  dicker  Drath  E  nach  der  Erde 
führt;  in  die  beiden  Ständer  b  und  c  sind  stellbar  zwei  einander  zugewandte 
metallene  Kegel  eingelegt,  deren  vorderste  Spitzen  von  Platin  sind.  Je 
näher  die  Spitzen  einander  gestellt  werden,  desto  leichter  kann  die  Luft- 
elektricität  vom  Ständer  b  auf  den  Ständer  c  übergehen  und  dnrch  den 
Drath  E  zur  Erde  abfiiesson ,  während  die  galvanischen  Telegraphenströme 
ihren  Weg  durch  den  feinen  und  schlechter  leitenden  Messingdrath  nach 
den  Apparaten  nehmen  müssen;  will  ein  stärkerer  Strom  der  Luftelektrici- 
tät  nach  den  Apparaten  gehen,  so  wird  sich  der  dünne  Drath  bis  zum 
Schmelzen  erhitzen.  Oft  habe  ich  es  erlebt,  dass  bei  diesen  wirksamen 
Blitzableitern  die  Platinf^pitzen  durch  einen  Blitzschlag  bis  zur  Grösse 
einer  grossen  Stecknadelkuppe  zusammengeschmolzen  wufden,  ohne  dass 
die  Apparate  verletzt  wurden;  eine  gute  Erdleitung  von  entsprechendem 
Querschnitte  ist  natürlich  auch  hier  unerlässlich.  Diese  Blitzableiter  waren 
eine  Zeitlang  auch  in  Preussen  gebräuchlich ,  es  wurden  aber  dort  später 
anstatt  der  Spitzen  kreisförmige  Schneiden  (vergl.  Zeitschrift  des 
deutsch '  üBtcrreieh.  TclcgrapUenveTems ,  IftW,  S,  4«)   eingesetzt,   welche 


Von  Dr.  Ed.  Zbtzsche.  403 

nicht  80  oft  ZQ  ernenern  sind  als  die  dafür  billigeren  Spitzen.  Auch  in 
Schweden  bedient  man  sich  der  Spitzenableiter. 

8.  In  Amerika  sind  zwar  die  von  Charles  T.  Smith  angegebenen 
kupfernen  Blitzplatten  mit  zwei  zwischen  gelegten  Papierstreifen  im  allge- 
meinsten Gebrauche,  doch  wurden  auch  Bürstenblitzableiter  ange- 
wendet, bei  denen  einer  mit  der  Erdleitung  verbundenen  Kupferplatte  eine 
Drathbttrste  gegenüberstand ,  welche  aus  dünnen ,  aus  einem  4  Zoll  langen 
und  2  Zoll  breiten  Loderstreifen  hervorstehenden  und  durch  eine  zweite 
Kapferplatte  mit  der  Luftleitung  in  Verbindung  stehenden  Dräthcn  bestand. 

Als  Stoff,  in  welchem  der  Funke  überspringt,  wurde  ge- 
wählt: 

1.  Der  luftleere  oder  doch  luftverdünnte  Raum  nach  einem 
Vorschlage  von  Barthelemy  Bianchi;  der  Leitungsdrath  ist  mit  einer  Metall- 
kagel  verbunden,  welche  in  einer  grösseren,  aus  zwei  Ilalbkugeln  be- 
stehenden gläsernen  Hohlkugel  eingeschlossen  ist;  die  Halbkugcln  sind 
durch  einen  mit  der  Erde  verbundenen  kupfernen  King  verbunden,  aus 
welchem  Spitzen  nach  der  Metallkugel  hcrausragen;  aus  der  gläsernen 
Hohlkugel  wird  die  Luft  ausgepumpt.  Femer  hat  Siemens  in  Berlin  auch 
Blitsplatten  construirt,  bei  denen  der  Funke  im  luftverdünnten  Räume 
ftberspringt 

2.  Die  atmosphärische  Luft  bei  den  meisten  der  bereits  erwähn- 
ten Blitzableiter;  vergl.  Comptcs  rendus  XXXVIII,  No.  20,  S.  877. 

3.  Papierstreifen  bei  den  Blitzableitern  von  Highton,  Wenkebach 
und  den  amerikanischen  Blitzplatten. 

4.  Seidenzeug  bei  dem  Blitzableiter  von  Steinheil,  von  Highton 
in  der  früher  beschriebenen  Weise,  oder  auch  so,  dass  der  mit  Seide  um- 
wickelte Leitungsdrath  durch  einen  mit  der  Erde  verbundenen,  mitFeil- 
spänen  gefüllten  hohlen  Cylinder  geführt  wurde  (nach  einem  Patente  vom 
7.  Februar  1850;  vergl.  Repertory  of  Patent  Inventions,  1850,  S.  143);  ferner 
bei  dem  noch  näher  zu  beschreibenden  Stangenableiter  von  Matzenauer. 

5.  Kohle,  von  C.  Turner  in  Chcraw  auf  den  Linien  in  Louth- Caro- 
lina angewendet;  die  Kohle  befindet  sich  in  kleinen,  mit  der  Erde  leitend 
verbnndenen  Metallcylindern  und  in  der  Achse  des  Cylinders  ist  der  Lei- 
tungsdrath durch  die  Kohle  hindurchgeftihrt. 

6.  Alkohol.  Pouget - Maisonneuve  schlug  einen  Alkohol  von  40  Vo- 
lumenprocent  vor  (vergl.  Zeitschrift  des  deutsch  -  österreichischen  Telegra- 
phcnvereins,  1850,  S.  232,  aus  Becquerel,  traitd  (felertricite  etc.),  Massen 
wählte  OOprocentigen  Alkohol,  in  welchen  die  Spitzen  zweier  Scheiben 
eintauchen,  von  denen  eine  mit  der  Erde,  die  andere  mit  der  Leitung  ver- 
bunden ist;  zwar  isolirt  der  Alkohol  für  galvanische  Ströme  und  wird  von 
der  Luftelektricität  durchsprungen ,  doch  dürfte  er  zu  stark  verdunsten  und 
zu  gefllhrlich  sein ,  weil  er  durch  den  Blitz  leicht  entzündet  werden  kann. 

Der  Ort,  an  welchem  der  Blitzableiter  aufgOBteWl  V\t<\^\%X.*. 


404  Beiträge  zur  Oeschichte  der  FortBchrittc  in  der  elektr.  Tclegraphic. 

i.  gewöhnlich  das  Apparatzimmer  der  Telegraphenstation,  weil 
vorzugsweise  die  in  diesem  befindlichen  Beamten  und  Apparate  geschützt 
werden  sollen ;  so  waren  fast  alle  bisher  genannten  Blitzableiter  dazu  be- 
stimmt, in  der  Station  selbst  aufgestellt  zu  werden. 

2.    Wo  man  jedoch   auch  den  Leitungsdrath  und  die  ihn  tragenden 
Säulen  gegen  die  Zerstörung  oder  Beschädigung  durch  die  atmosphärische 
Elektricität  schützen  will  und  wo  man  verhüten  will,  dass  Blitzströme  auP 
langfB  Strecken  in  der  Leitung  fortlaufen ,  niuss  man  Blitzableiter  auf  den 
Tragsäulen  selbst  anbringen.    Im  Jahre  1854  waren  die  auf  der  prenssi- 
sehen  Ostbahn  zum  Schutz  der  in  den  Wärterhäusern  aufgestellten  tolegra- 
phischen   Glockenwerke   angewandten   Blitzableiter  auf   den   Spulen    be- 
festigt; diese  Blitzableiter  bestanden  aus  Messingplntten ,  welche  am  Um- 
fange mit  Platiuschneiden  verschen  waren,  haben  sich  aber  als  unzurei- 
chend erwiesen.  Der  k.  k.  österreichische  Telegrapheninspector  Matzenauer 
schlug  1848  vor,   über  die  Leitungen  vor  dem  Eintritt  in  die  Station,   als<» 
auf  den  Tragstangen,  querüber  im  Zickzack  einen  mit  der  Erde  verbunde- 
nen Drath  zu  legen  und  ihn  auf  den  Leitungsdräthen  durch  seidene  Schlei- 
fen so  zu  befestigen ,  dass  er  durch  die  Seide  zugleich  gegen  die  Leitungs- 
dräthe  zwar  isolirt  wäre,  die  Luftelektricität  aber  doch  durch  die  Seide 
hindurch  schlagen  und  zur  Erde  gelangen  könnte.     1840  wurden  auf  der 
Linie  Wien-Lundenburg  zuerst  Blitzableiter  angewendet,  welche  jetzt  auf 
sehr  vielen  Linien  in  Gebrauch  sind  und  gute  Dienste  leisten :  Ein  Drath- 
seil  oder  Blechstreifen  läuft  an  der  Säule  herab  bis  zur  Erde ,   oben  aber 
endet  er  gabelförmig  in  zwei  eiserne  Spitzen,   und  diesen  stehen  zwei  an- 
dere Spitzen. einer  mit  der  Leitung  verbundenen  eisernen  Gabel  gegenüber; 
die  Luftelektricität  springt  leicht  an  den  Spitzen  über  und  fliesst  zur  Erde 
ab,  die  galvanische  dagegen  vermag  es  nicht.     1850  machte  Matzenaner 
wieder  einen  anderen  Vorschlag,  nämlich  die  Leitung  auf  eine  gusseiserne 
Glocke  an  der  Säule  aufzulegen,   einen  in  die  Glocke  eingesteckten  eiser- 
nen Kern  aber  leitend  mit  der  Erde  zu  verbinden ,  gegen  die  Glocke  aber 
ihn  durch  zwei   auf  ihn  gesteckte  Elfenbeinscheibchen ,   auf  welchen  die 
Glocke  ruhen  sollte,  zu  isoliren.  —  Wenn  man  nun  Blitzableiter  auf  den 
Tragstangen  anbringt,  so  ist  es  doch  keineswegs  nöthig,  alle  Stangen  da- 
mit zu  versehen ,   sondern  man  wird  zwischen  je  zwei  Stangen  mit  Blitz- 
ableitern stets  eine  Anzahl  ohne  Blitzableiter  stehen  lassen,  wie  viel?  das 
lässt  sich  nicht  allgemein  bestimmen,  sondern  hängt  von  der  meteorologi- 
schen Beschaffenheit  des  Ortes  und  der  Güte  der  Blitzableiter  ab. 

Zum  Schlnss  noch  die  Beschreibung  des  ganz  eigenthümlichen  Blitz- 
ableiters, welchen  sich  George  Edward  Döring  am  27.  Juni  1851  in  England 
patentiren  Hess.  Zwei  mit  gleichnamiger  Elektricität  geladene  Körper 
stossen  sich  bekanntlich  ab,  während  zwei  mit  entgegengesetzter  Elektrici- 
tät geladene  Körper  sich  anziehen.  Dering  lässt  nun  von  einem  mit  der 
Laftleitnng  leitend  verbundenen  MetaWalWck^  ivw  Dvüthon  möglichst  leiclit 


Von  Dr.  Ed.  Zetzsche.  405 

beweglich  zwei  Metallkngeln  herabhängen  und  stellt  zur  Seite  sehr  nahe 
neben  die  Kngeln  zwei  mit  der  Erde  verbundene  Metallplatten,  an  welche 
die  Kugeln  anschlagen ,  sobald  sie  pendelnd  aaseinander  gehen.  Das  Ganze 
ist  zum  Schatz  gegen  Beschädigung  von  aussen  mit  einem  Glascjlinder 
umschlossen.  Während  galvanische  Ströme  in  der  Leitung  circuliren,  blei- 
ben die  Kugeln  aneinander  liegen  und  die  Ströme  können  nur  nach  den 
Apparaten  gelangen ;  erhalten  die  Kugeln  dagegen  eine  starke  Ladung 
Loftelektricität ,  so  stossen  sie  sich  ab,  werden  zugleich  von  entgegenge- 
setzt elektrisch  gewordenen  seitlichen  Platten  angezogen,  legen  sich  an 
diese  Platten  an  und  eröffnen  so  der  Luftelektricität  einen  kurzen  Weg 
nach  der  Erde;  nach  dem  Abfliessen  der  Luftelektricität  aber  fallen  die 
Kugeln  wieder  zusammen  und  dann  ist  die  Leitung  vdeder  gegen  die  Erde 
iBolirt. 


Kleinere  Mittheilungen. 


XXXIV.    Heber  einige  bestimmte  Integrale.  —  Setzt  man 

0 
seist 

00    00 


OD 


0   0 

und  bierana  wird  durch  Einftihrnng  zweier  neuen  Variabelen  r  und  o», 
welche  mit  den  vorigen  durch  die  Gleichungen  iiarco,  9c=r(l  —  o) 
verbunden  sind, 

00  1 

pt^Jre^zr  drj     ^^^,^      '^^^^^ 
0  0 

Eine  ganz  ähnliche  Behandlung  gestattet  das  Integral 


406  Kleinere  MittheiluDgen. 

man  erhält  nämlich 

0  0 

Die  Addition  von  P*  und  jp*  liefert  weiter 

00  1 


0  0 

-  A—  rfr   A       r«  r(l-«>)       | 


0  0 

oder  nach  Ansfühmng  der  anf  o»  bezüglichen  Integration 


/>.  +  ö.=/e-«r'ܱl!)rf, 


/r. 

r 

0 

Dieses  Besnltat  lässt  sich  noch  anders  darstellen ,  wenn  man  die  bekannte 
Formel 

1  2    Pcos  zu  ^ 

r  nj  r^'\'Xir 

0 

anwendet;  es  wird  nämlich 

00      00 

P«+Ö«  =  l  r  nJLt!^  cos  zu  dr  du 
nJ  J     r*  +  jr 
0    0 

und  durch  Integration  in  Beziehung  auf  r 


0 

Die  Werthe  der  mit  P  und  Q  bezeichneten  Integrale  lassen  sich  be- 
kanntlich durch  den  Integralsinus  und  Integralcosinus  ausdrücken,  nämlicb 

00  00  00 

_         rsinzu  ,  Am  v  ^  Ccos  v  , 

P=^  I  —- — du  =  co8z  I  dv  —  stnz  I  dVy 

J  1  +  w  J     V  J      V 

0  z  z 

00  00  00 

^         Ccos  zu  ^                   Csin  V  ^     ,              Pcos  v  ,    , 
Q=  I ' du  =z  stnz  I dv  +  cos z  1  dv , 

t/l+M  J       V  J        V 

0  z  z  ■ 

und  wenn  man  diese   in  die  vorigen  Gleichungen  subatituirt,   so  gelangt 
man  zw  der  Formel 


Kleinere  Mittheilungen.  407 


CO 


.-j'.^e-.'är^,fJip.co...ä... 

0  0     • 

welche  das  Seitenstück  zu  der  Formel  cos^  z  +  sin*  z  =  1  darstellt. 

(Aus  einem  Briefe  von  Dr.  Enneper.) 


XXXY.    Veber  die  Lambert'iehe  Beihe.  —  Wie  man  weiss,  ist  es 
Doch  nicht  gelungen ,  die  Ton  Lambert  aufgestellte  Reihe 
X  01^  a^  x^ 


=  ar  +  2  a:»  +  2  a:*  +  3  j::*  +  2  a:*  +  4  X*  +  . . . 
zu  summiren  und  mittelst  der  Differentialquotienten  von  S  die  Anzahl  der 
Theiler  einer  gegebenen  Zahl  analytisch  zu  bestimmen ;  man  kennt  nur  die 
von  Claus  en  herrührende  Transformation  (Cr  eile 's  Journal,  Bd.  III, 
Seite  95) 

c_i  +  ^^  .  1  +  ^^  .  i  +  gg*^  . 


\—x  1— a?*      ^  \—a^ 

welche  zwar  bei  kleinen  a:  sehr  Tortheilhaft  ist,  aber  bei  solchen  ar ,  die 
wenig  TOn  der  Einheit  differiren,  keinen  Nutzen  gewährt.  Unter  diesen 
Umständen  wird  es  vielleicht  von  Interesse  sein ,  wenn  ich  z^ige,  dass  sich 
die  Lambert'sche  Reihe  durch  ein  bestimmtes  Integral  summiren  und  in  die 
folgende  Reihe  umsetzen  lässt 

0,6772157  —  //  (^ 

144    Vary       86400  L  Vi«?/ J       7620480  L   \a?/J        '"' 
wonach  gerade  in  dem  vorhin  erwähnten  ungünstigen  Falle  die  numerische 
Berechnung  von  £>  sehr  rasch  geschehen  kann. 

Bezeichnet  man  die  Bemoulli'schen  Zahlen  ^)  ^t  7^9  etc.  der  Reihe 
nach  mit  B^^  j9,,  B^  etc.  und  macht  bei  positiven  10  Gebrauch  von  der 
Reibenentwickelung 

^^nl_^  =  «""'*"  +  ^■"**"'  +  ^■"•*"  + 

80  gelangt  man  leicht  zu  folgenden  drei  Integralformeln 


408  Kleinere  Mitiheilungen. 


■<^>»>^^^^^^^^'>^%^s^SO^i>w>^>^»^^»<»^^»^^^i^^i»»^^»^^»t»^<»^»^ 


1) 


/*»»*-'  da 
J  «»«•_!  ' 


B%k—\ 


4*     • 
Ö 

OD 


0 

0 
deren  letzte  auch  durch  Differentiation  in  Beziehung  auf  a  leicht  zu  verfi 
ficiren  ist     Aus  No.  2)  ergiebt  sich 

1  1  X    i  ^  C  sinam     , 

0 
Hierin  nehmen  wir  derBeihe  nacha=s£,  2S,3S...2n£,  addiren  alle  ent 
stehenden  Gleichungen  und  erhalten  unter  Anwendung   einer  bekannte: 
Summenformel 


ei-^l      e^^—l      e»{— 1  e^^i—l 

OD 

=  —  n  +  /-2«S"ZrT  \^^^^^^  +  (1  —  cos  2h  ^a)  cot ^  in  \  dm, 
0 
Ferner  ist  nach  Formel  3)  für  «  =  2n| 

OD 

/(2n)_  /(l  — e-^"{)  — /g        2    /*!  —cos2nia}d(o 

S    """*■  6  6J~^*««  — 1      CO 

0 
mithin  durch  Addition  beider  Gleichungen 


56_l      e*^— 1      c»^  — 1                «'»6—1 
■ -*-   ■  .  a0> 


I 


/*sin2n  {q> 


OD 


0 


Kleinere  MittheilaDgen.  409 


-u-u-uuri-n-rirLru~iriri~i-"~-*"~''~-'*—~~'~'*'~'*^  ---»»«■---■«  m^^^^^m.^^»^»^^^^^^^  ^^^^^-  — 


Setat  man  snr  Abkürzung 

nnd  bestimmt  den  Wertb  des  ersten*  Integrales  mittelst  der  Formel  2) ,  so 
h&t  man  folgende  Gleichung 

.  -'/(r.-»-H.)'-ii^... 

0 
Bei  onendlich  wachsenden  n  wird  Xtm  Ct^  gleich  der  Constante  des  Inte- 
^irallogarithmas ,  die  wir  C  nennen  wollen ,  daher 

0 
Der  angedeutete  Qrenzenübergang  lässt  sich  auf  verschiedene  Wei- 
ft^xi  ausführen ,  unter  Anderem  dadurch ,  dass  man  das  Integral 

OD 

n\  ,  ^   r(  ^         1      ^1^    \1  —  cos2n|«, 

0 
^^   eine  halbconvergepte  Reihe  verwandelt.    Hierzu  dienen  folgende  Be- 
^achtungen. 

Wenn  die  Function  F{x)  nebst    ihren  Differentialquotienten  F'  {x\ 
'^'•(a:)...F<'»+^>(a;)  endlich  und  stetig  bleibt,  während  x  bis  aufa:+Ä 
^^wftchsty  so  gilt  bekanntlich  die  Qleichung 
hr{x)  =  /IF{x)  —  \h/IF'{x) 

worin  Jx^^h  und  ^  ein  nijcht  näher  bestimmter  positiver  echter  Bruch  ist; 
der  letzte  Summand  bildet  den  Rest  der  Reihe  und  ist  hier  in  der  allge- 
meinen, von  Malmst^n  angegebenen  Form  dargestellt  (Zeitschr.  f.  Math, 
u.  Phyg.  Jahrg.  I,  S.  205).  Für  ar=:0,Ä  =  tt,  ii=Af+l  wird  die  vorige 
Gleichung  zur  folgenden 


410  Kleinere  Mittheilungeii. 


•^«^^^^MiMM^^t^>^<i^^^^^^M^^^^t^^ 


u  r  (0)  ==  J?  (u)  —  f  (0)  —  4  {F'  («)  —  F'  (0)] 

und  daraus  erhftlt  man  mittelst  der  Specialisimng  J*  (u)  =  m  tf 

•"■*■    1.2... (2Ä:)    ''"1.2.. .(2^  +  2)   4inti  * 
Für  t<  =  |cD  Usst  sich  diese  Gleichung  zur  Transformation  von  No.  7)  an- 
wenden, und  man  kommt  dabei  auf  einzelne  Integrale  von  der  Form 


V e***-l ^•^ 


0 

deren  Werthe  sich  aus  den  Gleichungen  2}  und  3)  finden.   Setzt  man  nim- 
lich  zur  Abkürzung 

80  führt  die  (2  m  —  1)  malige  Differentiation  der  Gleichung 


»/iii^=i+«.) 


zu  der  Formel 

00 


/co^"''"*  cos  ZtÜ 

0 
mithin 

CO 

/»'"■"Ul  —  cos2näm)  Bin,    1 

0 
Nach  diesen  Erörteruogen  erhält  man 

und  zwar  ist  der  mit  Rik—i  bezeichnete  Best 

0 


Kleinere  Mittheilungeiu  411 

m  diesen  in  Grenzen  einznschliesaen,   bemerken  wir  znnächst,  dftss  die 
anction 

,  .        1  —  cos2nu 

q>  (w)  = : 

smu 

Igende  Eigenschaften  besitzt 

9  (0)  =  9  (»)  =  ip  (2 jf)  =  g>  (3»)  . . .  ^=  0, 
9  (fi)  ==  9  (jf — u)  =  —  (p{n  +  u)s=z  —  (p  (2n — u)  s=  +  9  (2»  +  tf )  . . . 
so  die  nämliche  Periodicitftt  wie  sin  u  darbietet     Man  braucht  deshalb 
ir  innerhalb  des  ersten  Quadranten  den  Verlauf  Ton  g>  (u)  zu  betrachten 
id  dann  ist  leicht  zu  sehen,  dass  die  Differenz  \it8mu — u  immer  positiv 
eibt/ folglich 

1      ^»        1      /N  ^»1  —  cos2nu 

-:—  <—  und  ip{u) <-- : 

stnu     2u  ^^  ^       2  u 

t;  daher  gilt  für  alle  positive  u  die  Ungleichung 

nl  —  cos2nu    ^      ,v    ^    .   nl  —  cbs2nu 
2  u  ^^\  J^  ^  2  u 

Sendet  man  dies  auf  die  Gleichung  9)  an  und  beachtet,  dass  cos^^m  die 

frenzen  —  i  und  -1- 1  nicht  überschreitet ,  so  erhellt  augenblicklich ,  dass 

^2A  einen  positiven  oder  negativen  Bruchtheil  von 

2  1,2...(2Ä  +  2)'    J.  ^2»«D_i  ® 

Umseht.    In  Folge  aller  dieser  Bemerkaogen  IXsst  sich  die  Oleichong  6) 
tteh  die  nachstehende  ersetzen 

'  «e  — 1      c*«  — 1      «»6—1  e^'i—l 

-ftl[f=-A-i)]-rlifi[?+^H-- 

obei  ^  einen  nicht  näher  bestimmten  positiven  oder  negativen  echten 
ruch  bedeutet. 

Die  hier  vorkommenden  Differentialquotienten  von  f  (z)  können  mit- 
ist einer  von  Malmst^n  (Grunert's  Archiv,  Bd.  VI,  8.  45)  gegebenen 
onnel  entwickelt  werden ,  welche  lautet 


«^^^^^^^^^^l^^^>^^^l^^^^^^»^^^^^»^^^»^^>^^^^^^N^^lrf^^^^^^^^^^^^^^^^>^»^^^%»^l^M^^^^M^^^^»M^^»^^<^^M%»^^»»MMWMMWW»W» 


41 S  Kleinere  Mitttieilangen. 


=^^  + 


^ 1    <»«    .     ,    <»«+i 


V_l  '  (c— 1)»  '  («•_i)»^-"^(e»_i)-+i  ' 
fl,=  0>-l).l»--(i>-l).  (/»-!)-  + (i>-l),  (p-S)"-(/»-l),0»-8)-+..i 
sogleich  ersieht  man,  das8/<'">(z)  bei  unendlich  wachsenden  2  gegen  die 
NaU  conyetgiit.    Demnach  ergiebt  sich  aus  No.  10)  für  n  =s  oo 

««  — 1        C»6— 1        «»«—1 

^g-/{ , ,    (g.)*6      w*r 

I       "'"*       1.2.«        1.2.3.4.4        '" 

(J»*-l)»l»*-^  _  ,         (Ä,»+,)« |»+t  _ 

1.2. ..(2*). 2*       *     'l.2...(2*  +  2)(2*  +  2J' 


oder,  wenn  ^  =  x  gesetst  wird, 


")  .■^+r^+Ä+ 


C- 


M-f^<i)-r^4Ki)J- 


/(i) 

••        1...(2A).2ÄL  \«/J  *     *l...(2*+2)(2*+2)L\«/J       ' 

wobei  die  vorkommenden  Constanten  folgende  Werthe  haben 

(7=0,5772156049..., 

1.2.2  144' 

1...4.4  80400' 

l...e.6  7  620480' 

1.2. ..8. 8  290304000' 

1^..10.10        6322821120' 
U.  s.  w. 

Obschon  die  nach  Potenzen  von  /( —  )  fortschreitende  Keihe  nur  hall)- 

convergent  ist,  so  bietet  sie  doch  ein  vorzügliches  Mittel  xnr  Snmmirnog 

der  Lambert'schen  Reihe,  falls  M— )  weniger  als  die  Einheit,  mithin  ' 

mehr  als  —  =  0,36788  beträgt.     Für  die  noch  nicht  sehr  vortheilhafte  An- 


Kleinere  Hittheiliingen.  413 


thme  ap=s0,4  möge  die  vollständige  Rechnang,  welche  mein  College, 
[ere  Professor  Fort,  auszufahren  und  durch  die  Clausen^sche  Formel  zu 
lotroliren  die  Güte  hatte ,  hier  Platz  finden.  Schreibt  man  statt  No.  12) 
iafaeh 

O  ^—^  -A0  T*  y  ^—  ^j  ^"^  J[^  — ^  A^   •""   •  •  •  ) 

I  bt  für  or  =  0,4 

^1  =  0,0063631301 
Ä^  =  0,0000089040 
J",  =  0,0000000848 
2:4  =  0,0000000019 
•  X^  y=  0,0000000001 

0,0063721209 


S=       0,9689841590 
agegen  giebt  die  Clausen'sche  Formel,  welche  durch 

S=Y,+ ¥,+  ¥,+  ¥,+  ... 
irgestellt  werden  möge, 

Fl  »0,9333333333 
r,==  0,0353023810 
F,  =  0,0002979928 
l\  =  0,0000004521 
Fj  =  0,0000000001 
S  =  0,9089841593. 
Ist  X  >  0,9,  80  hat  man  bereits  auf  sieben  Decimalen  genau 


0,9162907319 

-  0,0874215717 

0,7253502799 
0,25 

Ao  +  i  = 

0,9753562799 
0,0063721209 

5  = 


(i) 


+i-,i.'(i). 


Ihrend  man  in  demselben  Falle  wenigstens  13  Glieder  der  Clansen'schen 
Kihe  berechnen  müsste,  um  die  nümliche  Genauigkeit  zu  erreichen. 

Angesichts  der  Formel  U)   liegt  der  Gedanke  nahe,   dass  es  kürzer 
in  würde,  in  der  bekannten  Suromenformel 

/•(o)  +  /•(!)  +  /-(ZI)  +  . .  .+/-(r^i)  ■ 

=  \jf{.x)dx-\\f{ql)-f{(S)] 

+  r^|[r(?i)-/-(o)]-j-^-|^^[r(?i)-r(o)]  +  ... 

^  Substitution 


414  Kleinere  Hittheilungen. 


vorzunehmen  and  nachher  q  ins  Unendliche  wachsen  zn  lassen.  Man  g^e- 
langt  allerdings  zu  derselben  Reihe ,  aber  man  stösst  auch  bei  der  Unter- 
suchung des  Restes  auf  eine  Schwierigkeit.  Man  kennt  nämlich  nur  zwei 
Hauptformen  des  Restes  i?;  die  erste  ist  allgemein  und  lautet 

^       ^       1.2. ..(2^-17  2)^     ' 
worin  M  den  absolut  grössten  Werth  bezeichnet,  welchen  fi^'^'^^>  (x)  «wi- 
schen X  =:0  und  d:  =  g  I  erreicht.     Begreiflicher  Weise  lässt  sich  hiervon 
bei  unendlich  wachsenden  q  kein  Gebrauch  machen.     Die  andere  Form 
des  Restes  ist 

und  gilt  unter  der  Bedingung,  dass  /*<**> (x)  innerhalb  des  Intervalles  «=0 
bis  x  =  q^  sein  Vorzeichen  nicht  ändert.  Auch  diese  Form  des  Bestes 
gewährt  keinen  Nutzen,  weil  die  Function 

2a:  ,  2a:  ;  2x  . 


{2ny  +  x*   '    (4«)«  +  ar«   '    (67c)«  +  a:*  ^  *  '  * 
der  obigen  Bedingung  nicht  genügt.     Man  findet  nämlich 


X 


r„  =  /(2w7ij)«  +  ar«,    lang&^  =  - , 

Atm 

und  hieraus  ist  leicht  zu  ersehen ,  dass  der  Zeichenwcchsel  von  /*^'*^  (^) 
ungefähr  ebenso  vor  sich  geht,  wie  bei  sin  (2A:  +  1)  Op  Nach  der  Malmsten'- 
schen  Formel  hat  man  z.  B. 

/./rf^)__L_  +       ^^      +      ^        .        ^       +  _?i__ü 

/     W  —  ^_  1  -r  (^_i)t  t-  (^_i)»  ^  {e'  —  iy  ^  (e*— 1)*       ^ 

und  bei  numerischer  Berechnung  für  x  =  n  =r=.  1,9459  und  für  x  =  /570Ö 
=  8,6498 

f^^  (1,9459)  =  +  0,00400;  f^^  (8,6498)  =  —  0,00032. 
Unter  diesen  Umständen  musste  zu  einem  anderen  Verfahren  gegriffen 
werden,   und  zwar  dürfte  sich  dieses  in  allen  den  Fällen  empfehlen,  wo 
f{x)  als  Werth  eines  bestimmten  Integrales  von  der  Form 

ß 

f(^x)  =  l'tlt  (cö)  sin  xmda} 
a 
dargestellt  werden  kann ,  vorausgesetzt ,  dass  die  Gleichungen 


Kleinere  Mittheilnngen.  415 

ß 

/•(■■)  (a?)  =  / M«  ^  (m)  sin{^mn+x cd)  rf», 


ß 


Jf{x)  dx  =J^  (w)  ? ^^-^  rf« 


0 

Nichtig  siod  und  dass  t^  (o>)  zwischen  0=»  und  o>=|3  sein  Vorzeichen 
nicht  wechselt.  Schlömilch. 


ZXXVL    Veber  die  graphiiehe  Bestimmang  der  Kegeliohnitte  nach 
SAtsan  von  Paioal  und  Briaaohon.    Von  Dr.  Wilh.  Fiedleb. 

Die  Constmction  eines  beliebigen  sechsten  Peripheriepnnktes  eines 
Kegelschnittes  ans  ftinf  gegebenen  Punkten  nach  dem  Satze  von  Pascal 
und    die  Constrnction  einer  beliebigen  sechsten  Tangente  eines  Kegel- 
schnittes aus  fünf  gegebenen  Tangenten  nach  dem  Satze  von  Brianchon 
sind   beide  so  leicht  ersichtlich  und  yon  dem  in  graphischen  Operationen 
Qefibten  so  leicht  bequem  zu  gestalten,  dass  an  diesem  Orte  nicht  wohl 
von  ihnen  selbst  die  Rede  sein  kann ;  denn  es  ist  doch  wohl  eine  Ausnahme 
von  der  Regel,  wenn  in  Einern  ganz  kürzlich  erschienenen,  für  eine  höhere 
Unterrichtsanstalt  bestimmten  Lehrbuche  der  analytischen  Geometrie  die 
Meinung  ausgesprochen  wird,   diese  Bestimmung  sei  analytisch  wie  con- 
strnctiv  schwierig  und  complicirt.     £s  wäre  schlimm  für  den  darstellenden 
Geometer,  wenn  dem  so  w&re  ! 

Aber  es  ist  für  die  graphische  Darstellung  von  besonderem  Werth ,  zu 
den  Punkten  der  Curve  die  Tangenten  oder  zu  den  Tangenten  die  Be- 
rtthmn^spunkte  bestimmen  zu  können.  Allerdings  erlaubt  der  Satz  von 
Pascal ,  aus  ftinf  Periplieriepunkten  die  Tangente  eines  derselben  und  der 
Satz  von  Brianchon ,  aus  fünf  Tangenten  den  Berührungspunkt  einer  der- 
selben zu  construiren,. indem  man  die  Tangente  als  die  gerade  Verbindungs- 
linie zweier  zusammenfallender  Punkte  und  den  Berührungspunkt  als  den 
Durchschnitt  zweier  zusammenfallender  Tangenten  der  Curve  betrachtet. 
Aber  es  giebt  eine  bisher  unbeachtete  Form  beider  Sätze ,  welche  gestattet, 
zu  einer  Gruppe  von  sechs  Punkten  eines  Kegelschnittes  die 
sechs  Tangenten  und  zu  einer  Gruppe  von  sechs  Tangenten 
eines  solchen  die  sechs  Berührungspunkte  in  einer  ein  zigen 
Constrnction  zu  bestimmen.  Dieser  Form  und  Constmction  ist  die 
gegenwärtige  kurze  Mittheilung  gewidmet. 

Man  darf  die  drei  Paare  gegenüber  liegender  Seiten  des  umschriebe- 
nen Secksecks  als  drei  dem  Kegelschnitt  umschriebene  Linien  zweiter  Ord- 
nung und  ebenso  die  drei  Paare  gegenüber  liegender  Ecken  des  einge; 
schriebenen  Sechsecks  als  drei  dem  Kegelschnitt  eingeschriebene  Oerter 


416  Kleinere  Mittheilangen. 

sweiter  Classe  betrachten ;  bekanntlich  gelten  die  Sätze  von  Brianchon  und 
Pascal  anch  in  der  so  gewonnenen  allgemeinen  Gestalt.  Diese  Sfttse  selbst 
lassen  sich  alsdann  aussprechen,  wie  folgt,  und  gewinnen  Znsfttse,  deren 
Oiltigkeit  aus  demselben  Beweisverfahren  erhellt  und  die  anch ,  wie  die 
Yoranstehende  Abhandlung  zeigt,  für  Oberflächen  zweiten  Grades  ihre 
Richtigkeit  behalten. 

1.  Der  Satz  von  Brianchon«  Wenn  drei  Paare  von  geraden  Li- 
nien einem  and  demselben  Kegelschnitt  umschrieben  sind, 
so  schneiden  sich  die  Diagonalen  der  aus  je  zweien  dieser 
Paare  entstehenden  Vierseite  vier  Mal  zu  dreien  in  einem 
Punkte  und  die  Berührungssehnen  der  drei  umschriebeneo 
Linienpaare  durchschneiden  sich  in  den  Durchschnittsponk- 
ten  der  Diagonalen  und  der  Gegenseitenpaare  des  so  ent* 
standenen  Vierecks. 

In  Fig.  33  Tafel  V  erscheint  der  Satz  in  seiner  Bedeutung  nnd  An- 
wendung. ABCDEF  ist  das  umschriebene  Sechseck,  die  Verbindungs- 
linien seiner  Gegenecken  schneiden  sich  in  einem  und  demselben  Punkte  /*. 
Die  drei  aus  den  Paaren  seiner  Gegenseiten  entstehenden  Vierecke  sind 
respective  Aa  Dd,  BbEe^  Cc  Ff.  In  P.Q^  R,  S  hat  man  die  vier  Punkte, 
in  denen  sich  die  Diagonalen  dieser  Vierecke  zu  je  drei  begegnen.  End- 
lich sind  X,  M,  N  die  Durchsclinittspuukte  der  Gegenseiten  und  Diagonalen 
des  Vierecks  PQRS  und  die  Durchschnittspunkte  der  geraden  Linien  LM^ 
MN^  NL  mit  den  entsprechenden  Seiten  dos  Sechsecks,  nämlich  l,ty  m,«* 
tiy  n\  die  Berührungspunkte  dieser  letzteren  mit  dem  Kegelschnitt.  Ist 
also  ein  Kegelschnitt  durch  seine  Tangenten  bestimmt,  so  kann  man  dnrch 
eine  und  dieselbe  in  dem  ausgesprochenen  Satze  enthaltene  Constrnction 
für  jede  Gruppe  von  sechs  derselben  die  Berührungspunkte  finden. 

2.  Der  Satz  von  Pascal.  Wenn  drei  Paare  von  Punkten  einem 
und  demselben  Kegelschnitt  eingeschrieben  sind,  so  liegen 
dieDurchschnittspunkte  der  Gegenseiten  der  aus  je  zweien 
dieser  Punktenpaare  entstehenden  Vierecke  vier  Mal  zu  j® 
dreien  in  einer  geraden  Linie  und  die  Tangentenpaare,  wel- 
che den  drei  eingeschriebenen  Punktenpaaren  entsprechen, 
durchschneiden  sich  in  den  Durchschnittspunkten  der  GO' 
gonseitenpaare  und  Diagonalen  des  so  entstandenen  Vier- 
sei t  s. 

Diesem  Satze  entspricht  Fig.  31  Tafel  V.  In  derselben  bezeichnen 
alle  Buchstaben  gerade  Linien,  wie  in  der  vorigen  Punkte;  es  sind  A,  ^' 
C,  D,  E,  F  die  Seiten  des  dem  Kegelschnitt  eingeschriebenen  Sechsecks* 
die  Dnrchschnittspunkte  seiner  Gegenseiten  liegen  in  derselben  geraden 
Linie  P.  Die  drei  aus  den  Paaren  seiner  Gegenseiten  entstehenden  Vier- 
seiten sind  Aa  I)(L  Hb  Kc^  Co  F/\  in  /*,  (>,  Ä,  iV  hat  mau  die  vier  geraden 
Linien  j  in  denen  die  Gegeusciten  diet&Qv  Vierseite  sich  schneiden.    Endlich 


Kleinere  Mittheilangen.  417 

sind  Z,  M,  N  die  Diagonalen  des  von  ihnen  gebildeten  Vierseits  and  daher 
Iff,  m,m\  «,n',  die  geraden  Verbindungslinien  der  Ecken  des  Dreiseits 
LMN  mit  den  eingeschriebenen  Punktenpaaren  die  Tangenten  des  Kegel- 
schnitts in  diesen  letzteren.  Auf  diese  Weise  bestimmen  sich  zu  jeder 
Gruppe  von  sechs  Peripheriepunkten  eines  Kegelschnitts  die  entsprechen- 
den Tangenten  desselben  durch  eine  einzige  Construction. 

Von  Mr.  Burnside  in  Dublin  ist  kürzlich  folgender  Satz  gefunden 
and  von  Rev.  6.  Salmon  mir  mitgetheilt  worden:  Der  Durchmesser 
des  Kreises,  welcher  dem  aus  zwei  Tangenten  einer  Ellipse 
und  ihrer  Berührungssehne  gebildeton  Dreieck  umschrieben 
isty  ist  dieyierte  Proportionale  zadenden  beiden  Tangenten 
parallelen  Halbdurchmessern  und  zu  dem.8enkrechten  Ab- 
stand der  Berührunjgssehne  vom  Centram. 

Man  kann  za  dem  Beweis  dieses  Satzes  auf  mehrere  einfache,  mehr 
oder  minder  direete  Arten  gelangen.  Er  wird  im  Folgenden  an  den  für 
alle  Canren  ebenso,  wie  für  Kegelschnitte  giltigen  Satz  geknüpft:  Wenn 
in  die  Oleichung  eines  Kegelschnitts  die  Coordinaten  eines  Punktes  sab- 
stitairt  werden,  so  ist  das  Kesultat  der  Substitution  dem  Rechteck  propor- 
tional, welches  die  Segmente  einer  durch  den  Punkt  in  gegebener  Rich- 
tung gezogenen  Sehne  bestimmen.  (Siehe  „Analytische  Geometrie  der 
Kegelschnitte",  Art.  280.) 

Bezeichne  man  durch  b\  h"  jene  den  gegebened  Tangenten  parallelen 
Ilalbdurchmesser ,  durch  p  den  senkrechten  Abstand  der  Berührungssehne 
Yom  Centrum  des  Kegelschnittes  und  durch  d  den  fraglichen  Kreisdurch- 
messer, so  wird  behauptet,  dass 

d:b'  s=i  h"  :  p 
ist. 

Durch  S  werde  das  Resultat  der  Substitution  dor  Coordinaten  des 
Durchschnittspunktes  der  Tangenten  in  die  Gleichung  des  Kegelschnitts 
bezeichnet,  das  Resultat  dor  Substitution  dor  Mittelpunktscoordinaten  in 
dieselbe  Gleichung  sei  =  1 ,  wie  es  bei  der  auf  die  Achsen  bezogenen  Glei- 
chung der  Fall  ist;  sind  dann  i^i'  die  Längen  der  Tangenten  von  ihrem 
Durchschnittspunkt  bis  zum  Berührungspunkt,  so  hat  man 

somit  i  .  i'  =  h' .  6"  .  5>. 

Aber  auch  die  vom  Durchschnittspunkt  der  Tangenten  auf  die  Berüh- 
rungssehne gefällte  "Senkrechte  steht  zu  dem  senkrechten  Abstände  p  der 
Berühruugssehne  vom  Contrum  in  dem  Vcrhältniss 

=  5:1. 
and  man  findet  daher  den  Durchmesser  jenes  Kreises 

d^^^  =  — 
"pS         p    ' 

ZeiUchrin  f.  .Mallicmalik  u.  Physik.  VI,  G.  2Q 


418  Kleinere  Hittimliiiigeii. 

Ffir  den  Kreis  hat  man  stets 

P 
Beaeichnet  man  die  senkreehten  Abstände  der  beiden  Tangenten  vona 
Centmm  dnreh  p\  p\  so  findet  man 

JpF* 


XXXVn.  Veber  die  fleidiseitiig-kTpeiMiselieB  Boimitte  der  Flip 
eheA  iweiften  Qvadsi« 

Bei  den  elliptischen  Schnitten  der  Flftchen  iweiten  Grades  pflegt  maa 
den  speciellen  Fall  der  Kreisschnitte  genauer  in  betrachten;  dem  analog 
sollte  man  auch  die  gleichseitig-hyperbolisehen  Schnitte  nicht  mit  Ttflligem 
Stillschweigen  ttbergehen,  wie  es  In  allen  bekannteren  Lehrbttehem  ge- 
schieht. Dass  eine  solche  Untersnchnng  manches  BemeriLenswerdie  dar- 
bietet,  mag  das  Folgende  neigen. 

L    Das  einfache  Hyperboloid,  der  elliptisehe  Kegel  nnd  das  getkeilti 
Hyperboloid  können  durch  die  gemeinscbalUiche  Gleichung  ~ 

^        v*        2* 

aasgedrttekt  werden,  wobei  den  genannten  drei  Fftllen  die  Werthe  «s»  +  I| 
c  =  0,  <  sa  —  1  entsprechen ;  setat  man  xnr  Abkflranng 


7  =  '"'  jf 


80  wird  bequemer  , 

2)  m««  +  iiy«  — «»=eA 

Diese  Fläche  werde  von  einer  Ebene  geschnitten,  deren  HorisontsI* 
spur  durch  einen  beliebigen  Punkt  gh  der  «y- Ebene  geben  und  mit  der 
or- Achse  den  Winkel  ^  einscbliessen  möge.  Den  Punkt  pA  nehmen  wir 
zum  Anfangspunkte,  die  geinannte  Horizontalspur  eur  Abscissenachse  eines 
neuen,  in  der  Schnittebene  liegenden  rechtwinkligen  Coordinatensystems 
X  y\  und  bezeichnen  mit  O  den  Neigungswinkel  der  Ebene  x  y  gegen  die 
Ebene  xy.  Aus  der  Gleichung  2)  erhalten  wir  sofort  die  Gleichung  des 
Schnittes  durch  Substitution  der  folgenden  Werthe  (s.  d.  Verf.  Anal.  Geom. 
des  Raumes ,  S.  100,  No.  8) 

IX=:^X   C08^  —  y   sin  t^  COS  &  +  ^, 
yz=x'  sin  ^  +  y  cos^  cos  ^  +  h, 

die  entstehende  Gleichung  ist  von  der  Form 

4)  Ax*+  By*+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0y 

und  zwar  Laben  A^  B,C  etc.  die  Werthe 


Kleinere  Mittbeilnogen. 


419 


nl''-,^T'SAl''^|i1-*I^S*V"i*V«i 


A  =  m  cos*  ^f  -\-  H  sin*  ^  ^ 

B  =  {m  sin*  ^i  +  n  cn5*i|j)  coj*d  —  sin^  & , 

Damit  dio  Gleichung  4)   eme   gleieliseitige  Hyperbel  bedeatß,   miisg 
«f-  ^  =  Q  »eiiif  dies  giebt  xu  Folge  der  Werthe  von  A  und  B 

m  +  n 


Kr, 


tung*  &  = 


ep,  wenn  smr  Abkürzung 


k 

Meist  wlrd^ 
5) 


1  — Hl       (a* — r')6" 


l  — n 


m^n        {n*  +  J^«)  c» 


tow/  ^  == 


^|llni  dies  nocb,  anders  auszuU  rucken  ,  bezeichnen  wir  die  Gleichung  der 
t&üitiebene  mit 

OHACh 


t)  lan(f  0  ^=  X*  +  f*",      «"OJP*  -^  : 


^Vi|j  = 


tg  durcb  SuhBtitntion  dieser  Werthe  erhalten  wir  &us  No*  5) 

I^Bedinguug  dafür,  dass  die  Ebene  6)  mit  dwr  Fläche  2)  einen  gl(?ich* 
itig-byperboliscben  Schnitt  bildet.  In  der  GleiehuDg^  8)  fehlt  ^i  mitbin 
ird  der  Charakter  des  Schnittes  durch  parallele  Verschiebung  der  schnei- 
mden  Ebene  nicht  geändert;  eben  deshalb  kann  man  sich  auf  die  Be- 
acbtnng  solcher  Schnitte  beachrituken,  welche  durch  den  Coordinaten-» 
ifang  gehen. 

Die  rerechiedenen  möglichen  Lagen  der  Ebene 

9)  kx  +  {ly+z^^ 

erden  anachaiilich,  wenn  man  k  all  verändertlcheu  Parameter  ansichtp 
e  Angehörigen  jtt  nach  No.  H)  bestimmt  «tid  die  Einhüllend^  aller  der 
heuen  aufsucht,  welche  durch  die  stetigen  Aenderniigeu  von  k  und  ^  ent- 
eben*     Man  erhält  zunächst  als  Differentialf^uotienten  von  No*  9)  und  B) 


+'->=»• '•'•^^'»="■ 


ad  darch  Elimination  von  ^— - 

c  k 

Umimrt  man  noch  k  und  ^  aus  9),  10)  und  8),  so  gelangt  man  %n  der  Glei- 

huag 


p^^  +  qif* 


P9  = 


a%* 


420  Kleinere  Mittheilongen. 

oder 

X*  y*  2* 

^^)  flt  (6«  —  c«^)  ■*"  b'  («•  —  c«)  ~c«  (a«  +  6«)  =  ^- 

Im  Allgemeinen  entspricht  dieser  Gleichung  eine  Kegelflftche,  dereis. 
Lage  von  der  Rangordnung  der  Grössen  a,  &,  c  abhängt.  Ist  nftmlich  c  die 
kleinste  Halbachse,  so  fällt  die  Kegelachse  mit  der  z- Achse  zusammen^ 
und  die  Formel  5)  oder 

^^.  ^ {a'  +  b')c'  

^  ft*  (a« — c*)  cos*  p+a*  (6*  —  c*)  W/j*  t^ 

liefert  für  alle  t^  reelle  d,  d.  h.  die  Schnittebenen  umhüllen  den  Kegel- 
vollständig.  Wenn  zweitens  c  zwischen  a  und  b  liegt  und  zwar  so,  dasis 
a>c'^b  ist,  so  fällt  die  Kegelachse  in  die  y- Achse,  und  der  Winkel  ^^ 
bleibt  nur  so  lange  reell,  als 

genommen  wird;   die  Umhüllung  ist  dann  eine  theilweis^.     Für  Ä>r>c^ 

fällt  die  Kegelachse  in  die  x  -  Achse ,   zur  Realität  von  O  gehört  die  Be 

dingung 

80  dass  auch  hier  nur  eine  theilweise  Umhüllung  stattfindet.  Ist  endlich  ^:== 
die  grösste  Halbachse ,  so  werden  gleichseitig  -  hyperbolische  Schnitte  un  — 
möglich. 

II.     Aohnlich  gestaltet  sich  die  Sache  für  das  hyperbolische  Parabo  — 
loid ,  dessen  Gleichung 

12)  t-_?L  =  22 

a         b 

sein  möge.     Durch  Substitution  der  unter  No.  3)  angegebenen  Werthe  ei 

hält  man  eine  Gleichung  von  derselben  Form,  wie  No.  4),  und  zwar  i^'t 
darin 

co^  ^       sin* ' 


^    '    «       /sin*  fb       cos*^\       . 


a  b 

die  Bedingung  A  +  B  z=o  führt  hier  zu 

a  —  b  lang*  i/; 
Bezeichnet  a  den  Winkel,  welchen  die  geradlinige  Horizontalspur  der*  ^j 
Paraboloides  mit  der.  a:- Achse  einschliesst,  so  ist  bekanntlich 

tang^  «  =  — , 
a 

mithin  lässt  sich  die  vorige  Gleichung  ersetzen  durch 

-.ox  •«  iang*a  —  tanq^th 

13)       ros^^  =  — —  7— :i --—-  —  ^ong  (a  +  i/;)  fang  («  —  tb), 

1  —  iang^  a  lang»  '^  if  \     *    r/       y  \         yj 


Kleinero  Mittheilungen.  421 


Die  Gleichung  d^r  Sclmittebene  sei  dieselbe,  wie  io  No.  6);  man 
hmt  dann 

mbstitoirt  man  diese  Werthe  in  No.  13)  und  benutzt  die  Abkürzungen 

_  1 a 

^^'  V  —  tan^a       a  —  b' 

fang*  a  b 

^       1  —  tang^u       a  —  6' 
so  erhält  man  die  Bedingungsgleichung 

14)  g^«— /?;i«  =  l. 

Das  Fehlen  von  q  beweist  wieder,  dass  die  Schnittebene  parallel  zu 
sich  selbst  yerschoben  werden  darf;  wir  lassen  sie  deshalb  durch  den  Co- 
ordinatenanfang  gehen.  Die  Einhüllende  aller  der  Schnittebenen ,  welche 
den  stetigen  Aenderungen  von  X  und  jn  entsprechen ,  bestimmt  sich  gans 
wie  früher,  und  zwar  findet  man  als  Gleichung  der  umhüllten  Fläche 

P!^  —  qx*=:pqz* 
oder 

'  ab        a  —  6 

Diese  Gleichung  charakterisirt  wiederum  einen  elliptischen  Kegel, 
dessen  Lage  von  der  Rangordnung  der  Parameter  a  und  b  abhängt;  die 
Kegelachse  fällt  nämlich  mit  der  y- Achse  oder  mit  der  x- Achse  zusam- 
tuen,  je  nachdem  a^b  oder  a  <6  ist.  Femer  zeigt  die  Formel  13) ,  dass 
a  +  ^nnd  'a — ^  immer  in  demselben  Quadranten  enthalten  sein  müssen^ 
dass  also  die  Umhüllung  nur  eine  theilweise  ist. 

III.  Die  Zusammenfassung  dieser  Ergebnisse  führt  zu  folgendem 
Satse:  Alle  Ebenen,  welche  durch  einen  festen  Punkt  gehen 
und  eine  Fläche  zweiten  Grades  in  gleichseitigen  Hyperbeln 
sehneiden,  berühren  zugleich  einen  elliptischen  Kegel,  des- 
sen Scheitel  jener  feste  Punkt  ist  und  dessen  Achse  parallel 
xar  kleinsten  Halbachse  oder  zum  kleineren  Parameter  der 
Fläche  liegt. 

In  dieser  Fassung  kann  der  Satz  auch  leicht  direct  bewiesen  werden, 
wenn  man  ihm  bei  elementaren  Vorträgen  über  die  Flächen  zweiten  Gra>- 
des  einen  Platz  gewähren  will.  Schlömilcu. 


XXXVnL  Einfache  H&hemngsformel  sur  Berechnung  der  einem 
gegebenen  ICanometentande  entspreehenden  Windmange  eines  Gebläses. 
Vom  Bergrath  Prof.  Dr.  Julius  Wbisbach. 

Die  neue  Formel  znr  Berechnung  der  Ausfiussmengc  der  Luft  unter 
einer  gegebenen  Pressung,  welche  ich  im  ersten  Bande  mevYv^T  l^^^tÄfö^&x- 


422  Kleinere  Mlttheilungen. 


UDd  Maschinenmechanik  $•  431  (dritte  Auflage)  entwickelt  and  bei  der  B^^ 
rechnung  meiner  Yersucbe  über  die  Ansströmnngsgeschwindigkeit  der  coh^h 
primirten  Luft  (s.  den  Civilingenieur,  Bd.  5)  zum  Grunde  gelegt  habe ,  ui^^ 
nacb  welcher  aucb  die  Windtabellen  von  Herrn  Neuschild  (s.  Berg-  nr — -^ 
hüttenmännische  Zeitung,  1850,  No.  4)  und  die  von  Herrn  v.  Han^^ 
(s.  Bittinger's  Erfahrungen  .im  berg-  und  hüttenmännischen  Maschinec:^ 
Bau  -  und  Auf bereitungwesen ,  1858)  berechnet  worden  sind,  lässt  sich  dur«^ 
eine  ganz  einfache  Näherungsformel  ersetzen,  welche  bei  den  mässig^^ 
Windpressungen  der  gewöhnlichen  Gebläse  vollkommen  genügende  Gc—  < 
uauigkeit  gewährt.  Im  neuesten  Hefte  des  dritten  Bandes  meiner  Ini^r  e 
uieur  -  und  Maschinen mechanik  ($•  425)  habe  ich  nachgewiesen ,  daas  sL  m:l 
die  auf  den  äusseren  Luftdruck  reducirte  Wind  -  oder  AusflnssmeDge 
nähernd 


Q  =  (\—0,O2Sj^liFj/2i7h 


setzen  läs»t',  wenn  man 

unter  b  den  Barometerstand  der  äusseren  Luft, 
„     h  den  Manometerstand, 
„     f  das  Verhältniss  der  Dichtigkeit  der  Manometerflttssigkeit  zu  der 

der  ungepressten  äusseren  Luft, 
„     g  das  Beschleunigungsmaass  der  Schwere, 
„    F  den  Inhalt  der  Düsen-  oder  Ansflussmündnng ,  und 
„     fi  den  Ausflusscoefficienten,   oder  das  Verhältniss  der  effectiven 
Ausflussmenge   zum  theoretischen  Windquantum  versteht.     Nun  ist  aber 
sogar  bei  den  Gebläsen  für  £isenhohöfen   mit  Coaksfeuerung  meistens  h 
noch  nicht  ^  b ,  folglich  lässt  sich ,  ohne  einen  Fehler  von  noch  nicht  1  Pro- 
cent befürchten  zu  müssen ,  also  für  die  Anwendung  in  der  Praxis  völlig 
ausreichend , 

setzen. 

Dieser  Ausdruck  stimmt  zwar  der  Form  nach  ganz  mit  der  alten  For- 
mel überein ,  welche  schon  Schmidt  den  Berechnungen  seiner  Versuche 
zum  Grunde  gelegt  hat,  und  welche  auch  Gerstner,  D^Aubuisson  und 
andere  ältere  Schriftsteller,  sowie  auch  später  Poncet  et  als  richtig  oder 
genügend  angenommen  haben  (s.  die  allgemeine  Maschinenencyclopädie^ 
Bd.  1,  Artikel  „Ausfluss",  und  Poncelet's  ßlole  sur  les  experiences  de  M.  Pec- 
qiieur  etc) ,  weicht  aber  in  der  Bedeutung  insofern  von  jener  ab ,  als  der- 
selbe hier  in  Q  die  unter  dem  äusseren ,  in  der  alten  Bedeutung  aber  das 
unter  dem  inneren  Luftdruck  gemessene  Wind-  oder  Ausströmungs- 
quantum angiebt,  und  daher  auch  unter  «  das  Verhältniss  der  Dichtigkeit 
der  Manometerflüssigkeit  zu  der  gepressten  inneren  Luft  bedeutet. 

Ein  Cubikmeter  atmosphärische  Luft  wiegt  bei  Null  Grad  Wärme  und 
unter  dem  Drucke  einer  Atmosphäre:  1,3  Kilogramm;  bei  einer  Tempera- 
tur  von  tGrad  C.  aber  nur 


Kleinere  Mittheilnngen.  433 


'      —  '  Kilogramm, 


1  +  ÄT       1+ 0,00367  r 
und  bei  einer  Pressung  von  6  Meter  Qnecksilbersänle  : 

1,3        h 1,716 

1  +  6t'0,76 ~  1  +  0,00367  r ' 

Die  Dichtigkeit  des  Quecksilbers  ist  13,6  Mal  so  gross,  als  die  des 

Wassers,  nnd  da  nun  1  Cubikmeter  Wasser  1000  Kilogramm  wiegt,  so  folgt 

in  der  ersten  Bedeutung 

.  — inm    nfl.  1,71  fr  _ 7960 (1  +  0,00367 f) 
«-1000. 13,6.  j-j-^_ , 

und  dagegen  in  der  zweiten,  nach  der  älteren  Formel 

h  +Ä 
Es  ist  daher  nach  der  neuen  Bestimmung  das  unter  dem  Ueberdrucke 
h  in  die  freie  Luft  strömende  Windquantum : 

ß  =  ^  Fyig  .  7950  (1  +  0,00367 1)  j 

=  89,2  iiFj/^g  (1  +  0,00367  t)  j , 

oder,  wenn  man  2g  =  2. 9,81  =  19,6^  Meter  einsetst, 

Ö  =  395  ikFj/{l  +  0,00367t)  -  Cubikmeter, 

und  dagegen  nach  der  alten  Bestimmung,  das  unter  demselben  Ueber- 
drucke ausströmende  Luftqnantum 


Ö,  =  395 1»  1^1/(1  +  0,00367  r)  - 


oder  dasselbe  vom  inneren  Drucke  b+k  auf  den  äusseren  Druck  b  reducirt : 


0  =  ^-j^  ft  =  395  fii?' Z/(1  +  0,00367  r) 


b  +  h    h^ 

b    '  b' 


d.  i.  7/  — —  oder  annähernd  ( 1  +  rr)  Mal  so  gross,  als  nach  der  neue- 
ren Bestimmung. 

Giebt  man  F  in  Quadratfuss ,  so  hat  man  nach  der  neuen  Ermittelung 

ß  =  1258  (iFl/{l  +  0,00367t)  - 
und  nach  der  alten  Annahme: 


P,  =  1258^^^(1 +  0,00367t)^. 


daher 


424  Kleinere  Mittheilungen. 


ß  =  1258  fii^  7/(1  +  0,00.367  t)  ~~~.  -  Cabikfasa. 

Nach  EinfahruDg  des  mittleren  Werthes  fA  =:=  0,02  geht  die  neue  Foac 
mel  in  folgende  über: 

ß  =  363  F  7/  (1  +  0,00367  t)  —  Cubikmeter 

=  1157  Fj/{1  +  0,00367 1)  —  Cubikftiss, 
oder ,  wenn  man  eine  mittlere  Temperatur  r  =  10  Grad  voranssetzt : 
0  =  dß9Fl/  —  Cubikmeter 

=  1179  Fj/j  Cubikfuss. 

Bei  Anwendung  auf  die  erhitzte  Gebläseluft  von  der  Temperatur  x^ 
hat  man  natürlich  

ß  =  363  FT/{\  +  0,00367  t,)  --  Cubikmeter 

zu  setzen  und  daher  die  durch  die  letzte  Formel  gefundenen  Werthe  noch 
durch 

r     1 +0,00367  T  >     r       •     '  « 

zu  multipliciren,  z.  B.  für  Tj  =  200  Grad,  durch  0,08  . 1,317  =  1,29. 

Um  dieses  Quantum  der  erhitzten  Luft  auf  die  mittlere  Temperatur  i 
zu  reduciren,  muss  man  den  obigen  Ausdruck  für  Q  überdies  noch  dur'ch 
1  +  0,00367  X  _        1,0367 
1  +  0,00367  Ti  ~  1  +  0,00367  Tj  ' 
also  im  Ganzen  durch 


^/l+ 0,00367  T  _  -j/       1,( 
y  1  +  0,00367  tx~  y  1+0,1 


,0307  1,018 


S00367Ti       ^1+ 0,00367  Tj' 

z.  B.  für  T|  =  200  Grad,  durch 

1,018        1,018 

:  =  T^.  =  0,773 


^1,734       1»317 
multipliciren.  ' 

Drückt  man  den  Querschnitt  F  der  Ausflussmündung  in  Quadratzoll 
aus,  so  giebt  folgende  Formel 

0  =  S,2Fj/j 

die  Ausflussmenge  pro  Secunde  in  preussischen  Cubikfuss,   als  für  einen 
Mündungsquerschnitt  von  1  Quadratzoll: 

1 )  ö  =  8,2  7/  ^  Cubikfuss. 


Kleinere  Mittheilungen. 


425 


Hiernach  ist  2.  B.  fttr 


^=0,01 

0,02 

0,05 

0,10 

0,15 

0,20 

0,25 

0  =  0,82 

1,16 

1,83 

2,59 

3,18 

3,67 

4,10 

A=0,30 

0,35 

0,40 

0,45 

0,50 

0,55 

0,60 

0  =  4,49 

4,85 

5,19 

5,50 

5,80 

6,08 

6,35 

Cubikfhss. 

Die  ältere  Annahme  giebt  die  Ausflnssmenge  pro  Secande  für  eine 
senmündung  von  1  QuadratzoU  Inhalt: 


2) 


■»•»/Tl. 


ler  die  auf  das  Mariottesche  Gesetz  gegründete  Formel  für  dieses  Wind- 
intnm  ist 


3) 


Q  =r  8,2  j/ug  nat  \^) , 


l  endlich  der  auf  die,  nach  dem  Po isso naschen  Gesetze  erfolgende 
kfihlang  der  Luft  beim  Ausströmen  Rücksicht  nehmende  Ausdruck  hat 
Form: 

Um  die  nach  diesen  vier  Formeln  berechneten  Windmengen  übersicht- 
i  mit  einander  zu  vergleichen,    kann  man   das  PressuDgsverhftItniss 

— =3  0;  setzen  und  x  als  Abscisse,  sowie  die  Wurzelgrüsse ,  deren  8,2- 

iies  die  Windmenge  giebt ,  als  die  zugehörige  Ordinate  einer  Cnrvo  an- 
en,  für  welche  man  hiernach  folgende  vier  Gleichungen  erh&lt: 

l)  y  =  /^iri, 

2)  y  =  yx(x—i), 

3) 
4) 


y^^j/lognaix, 


y  =  /iOa.o,8  (3.0,3  _i). 

Nach  diesen  Vier  Formeln  sind  die  Wertho  in  der  folgenden  Tabelle, 
che  eine  Reihe  von  Abscissenwerthen  innerhalb  der  Grenzen  dP  =  1,00 

1,60  enthält,  berechnet  worden. 

Man  ersieht  aus  dieser  Tabelle ,  dass  alle  vier  Formeln  bei  sehr  klei- 

Presaungen  nahe  dieselbe  Windmenge  geben ,  dass  aber  mit  den  Pres- 
gen  auch  die  Abweichungen  zwischen  den  nach  diesen  verschiedenen 
mein  berechneten  Werthen  der  Windmenge  wachsen,  dass  ferner  die 
I  hydraulische  Formel  2)  die  grössten ,  die  logarithmische  Formel  3)  die 
intten  und  die  beiden  neueren  Formeln  1)  und  4)  mltÜAt^  Y[«t\k^  i^\. 


426 


Kleinere  Hittheilangen. 


i^>S^S#%*N*W>^W%^^\^S 


das  Windqnantam  liefern.  Aucb  fällt  in  die  Angen,  dass  bei  höheren 
Pressungen  die  dnrch  die  alte  hjtlraalische  Formel  2)  erhaltenen  Wettbe 
von  den  übrigen  am  meisten  abweichen,  nnd  dass  dagegen  die  einfache 
neue  Formel  1)  nur  wenig  grössere  Werthe  angiebt,  als  die  neue,  auf  das 
Pois8on*8cbe  Wärmegesetz  gegründete  Formel,  a.  B.  bei  dem  Pressnogs- 

verhältniss   — r —  =  1,50  oder  dem  Ueberdruck  =  --  =  0,5  =  1  des  Inase- 

0  0 

ren  Druckes,  giebt  bei  einem  gewissen  Mündungsquerschnitt 

die  alte  hydraulische  Formel  2)  die  Windmenge  •     .  iß  =  0,8000, 

die  logarithmische  Formel  3)   •     • Q  =  0,6908, 

die  einfache  neue  Formel  l) jß  =  0,7071, 

und  die  neue ,  aus  der  Theorie  der  Wärme  gefolgerte 

Formel  4) 0  =  0,eW8, 

wogegen  bei  dem  Pressnngsverhältuisse  -^=  1,05  oder  dem  Ueberdracke 

0,05  =  ^  des  äusseren  Luftdruckes , 

nach  Formel  2)  Q  =  0,2291, 

„        3)0  =  0,2209, 

„        l)Ö=s  0,2236,  und 

„        4)0  =  0,2231 
folgt,  also  die  Verschiedenheit  zwischen  diesen  Formelwerthen  noch  eine 
sehr  kleine  ist. 

Tabelle  zur  Vergleichung  der  nach  vier  verschiedenen 
Formeln  berechneten  Windmengen. 


Formel- 
nummer. 

X  = 

1,00 

1,01 

1,02 

1,05 

1,10 

1,15 

1,20 

1,25 

1. 

2. 
3. 

4. 

y  — 
y= 
y= 

0 
0 
0 
0 

0,1000 
0,1005 
0,0998 
0,1000 

0,1414 
0,1428 
0,1407 
0,1413 

0,2236 
0,2291 
0,2209 
0,2233 

0,3162 
0,3317 
0,3087 
0,3154 

0,3873 
0,4153 
0,3738 
0,3858 

0,4472 
0,4899 
0,4270 
0,4449 

0,5000 
0,5590 
0,4724 
0,4968 

Die  Werthe  von  x  drücken  das  Verhältniss  der  inneren  zur  äusseren 
Pressung  aus,  und  die  Werthe  von  y  geben,  mit  8,2  multiplicirt ,  die  ent- 
sprochende Windmenge  pro  Secunde,  bei  dem  Mündungsquorschnitt  von 
1  Quadratzoll  an. 


Xxxix.  lieber  die  Fortführung  materieller  Theilchen  doreh  itrö- 
mende  Elektrioität,  von  0.  ttuincke.    (Pogg.  Ann.,  Bd.  113,  S.  513.) 

Reu  SS  in  Moskau  hat  zuerst  im  Jahre  1807  die  Fortführung  von  Flüs- 
sigkeiten durch  den  galvanischen  Strom  in  dem  Falle  nachgewiesen,  wo 
derselbe  durch  eine  Flüssigkeit  ging,  die  an  einer  Stelle  durch  eine  poröse 
Scheidewand  unterbrochen  war.  Die  Erscheinungen  dieser  sogenannten 
jj  olektriacben  Endosmose  ^^  sind  später  ausser  von  einigen  fransöaiscben 


Kleinere  Mittheilungeo.  427 


und  englischen  Physikern  besonders  von  Wiedemann  stndirt  worden, 
welcher  nach  einer  längeren  Arbeit  über  den  Gegenstand  in  dem  Schlüsse 
kam  y  dass  dem  galvanischen  Strome  als  solchem  seine  fortführende  Wir- 
Icang  ankäme.  Dieser  Schlnss  ist  jedoch  von  mehreren  Seiten,  von  Graham, 
^.  Qnintns-Icilins,  Breda  nnd  Logemann  angegriffen  worden,  wobei 
flieh  die  letiteren  darauf  stützen,  dass  es  ihnen  nicht  gelungen  ist,  ohne 
^Diaphragma  eine  Ueberführun^g  zu  erhalten.  In  der  neuesten  Zeit  endlich 
liat  Matte ucci  die  Erscheinung  für  gar  keine  elektrische,  sondern  für 
eine  secundäre  Erscheinung  erklärt. 

Quincke  beschreibt  nun  in  der  Anfangs  citirten  Abhandlung  Versuche, 
die  sich  mit  diesem  Gegenstand  beschäftigen,  sowie  eine  Reihe  von  Ver- 
aaehen,  die  das  Studium  der  Ueberführung  materieller,  in  Flüssigkeiten 
anapendirter  Theilchen  zum  Zweck  haben,  welche  ebenfalls  Reuss  im 
Jahre  1807  zuerst  beobachtet  hat  und  über  welche  später  Faradaj,Hei- 
flenhain,Jürgensen  Mittheilungen  gemacht  haben. 

Die  elektrischen  Ströme,  die  Quincke  anwendete,  waren  bei  besser 
leitenden  Flüssigkeiten  starke  hydroelektrische  Ströme^  oder  Inductions- 
8tr5me ,  bei  welchen  wegen  Einschaltung  einer  Luftschicht  nur  der  Oeff- 
nungsstrom  circulirte  oder  bei  den  mindest  leitenden  Flüssigkeiten  Ent- 
ladnngsströme  Leydner  Flaschen. 

Die  Apparate,  deren  sich  Quincke  bediente^  waren  der  Hauptsache 
nach  U förmige  Röhren,  in  welchen  an  zwei  von  einander  entfernten  Stel- 
len Platindräthe  eingeschmolzen  waren ,  die  bei  den  mit  Flüssigkeiten  ge- 
füllten Röhren  als  Elektroden  dienten.  Es  gelang  Quincke,  an  diesen 
Apparaten ,  die  nur  ausnahmsweise  zu  speciellen  Zwecken  mit  Diaphrag- 
men versehen  waren,  zu  zeigen ,  dass  auch  ohne  Diaphragmen  eine  Fort- 
führung materieller  Theilchen  durch  den  Strom  erfolgt.  Der  Sinn,  in 
welchem  die  materiellen  Theilchen  fortgeführt  werden,  hängt  nicht  nur 
von  der  Natur  der  Flüssigkeit ,  sondern  auch  von  der  Substanz  der  Wand 
der  Röhre  ab,  in  welcher  sich  die  Flüssigkeit  bewegt;  in  gleicher  Weise 
inflniren  diese  auf  die  Grösse  der  Fortführung.  Destillirtes  Wasser  wurde 
fai  Qmncke*s  Glasröhren  im  Sinne  des  positiveren  Stromes  übergeführt; 
waren  die  Glasröhren  inwendig  mit  einer  dünnen  Schellackschicht  über- 
sogen, so  war  die  Fortführung  grösser;  waren  sie  mit  einer  dünnen  Silber- 
schicht überkleidet,  so  war  dieselbe  kleiner. 

Bei  Anwendung  starker  Elektricitätsquellen  beträgt  das  Steigen  der 
Flüssigkeit  im  U  förmigen  Rohre  immer  nur  einige  Millimeter.  Messende 
Beobachtungen  sind  bei  diesen  Erscheinungen  immer  nur  schwer  auszu- 
führen, weil  es  schwer  ist,  den  Röhren  immer  die  gleichlB  Oberflächenbe- 
schaffenheit zu  geben  und  weil  das  Glas  namentlich  durch  das  destillirte 
Wasser  angegriffen  wurde;  die  Grösse  der  Fortführung  nimmt  aber  sofort 
ab,  sobald  die  Leitungsfähigkeit  des  Wassers  durch  Aufnahme  von  Sal- 
zen steigt.     Demohngeachtet  aber  sprechen  sich  in  den  Beobachtungen 


428  Kleinere  Mittlieilangen. 

Qaincke's,  bei  denen  der  Einfluss  der  Fehlerquellen  auf  ein  Minimnin  re- 
dncirt  ist,  einige  Zahlengesetze  ans.  So  fand  er  z.  B.  bei  der  Anwendug 
des  Entladungsstromes  der  Lejdener  Flasche  die  Steighöhe  des  destillir- 
ten  Wassers  der  Flektricitätsmenge  in  der  Flasche  proportional,  etc.  etc. 

Der  Sinn,  in  welchem  in  Flüssigkeiten  suspondirte  Theilchen  rom 
Strome  fortgeführt  werden ,  ist  nur  bei  sehr  starken  Strömen  ein  bestimm 
ter ,  er  hängt  auch  mit  von  der  Natur  der  Flüssigkeit  und  Köhrenwand  ab. 
Im  Wasser  yertheilt  werden  folgende  Körper  im  Sinne  dos  negativen  Stro- 
mes fortgeführt:  Platin,  Gold,  Kupfer,  Eisen,  Graphit,  Quarz,  Feldspath, 
Brannstein,  Asbest,  Schmirgel,  gebrannter  Tbon,  Porzellanerde,  Sauer- 
stoff, Wasserstoff,  Schwefel,  Schellack,  Seide,  Baumwolle,  Stärke,  Ljco* 
podijim,  Carmin,  Papier,  Federkiel,  Elfenbein,  Terpentinöl,  Schwefel- 
kohlenstoff, Kohlensäure,  Elajl-,  atmosphärische  Luft;  in  Terpentinöl  be- 
wegen sich  jedoch  im  Sinne  des  positiven  Stromes :  Platin ,  Gold ,  Kupfer, 
Eisen ;  Quarz,  Feldspath,  Braunstein,  gebrannter  Thon,  Alkohol,  Sauer- 
stoff, Wasserstoff,  Schellack,  Seide,  Baumwolle,  Stärke^  Lycopodinm, 
Carmin,  Wasser,  Kohlensäure,  atmosphärische  Luft. 

Am  Schlüsse  seiner  Abhandlung  giebt  Quincke  eine  sehr  sinnige  Er- 
klärung der  erwähnten  Erscheinungen ,  auf  die  wir  hier  nicht  näher  ein- 
gehen. Das  Hauptmomont  seiner  Erklärung  besteht  in  der  Berücksich- 
tigung des  Einflusses,  den  die  bei  dem  Contact  von  Röhrenwand,  Flüssig- 
keit und  suspendirten  Körpern  entwickelte  Contactelektricität  in  Gegenwart 
des  Stromes  haben  kann. 


XL.  lieber  Spectralbeobachtungen.  Von  Alb.  Mousson.  (Pogg.  Ann., 
Bd.  112,  S.  428).  — In  der  gedachtenAbhandlung  findet  man  die  mathematische 
Theorie,  sowie  die  Beschreibung  eines  einfachen  Instrumentes,  bestimmt, 
Spectralvcrsuche  anzustellen.  Das  Spectroskop  von  Mousson  besteht  in 
der  Hauptsache  aus  einer  geschwärzten  Köhre,  einer  genau  gearbeiteten 
verstellbaren  Kitze  und  aus  einem  kleinen  sorgfaltig  gearbeiteten  Glas- 
prisma. Die  Beobachtung  der  Spectren  geschieht  direct  durch  das  Auge, 
wobei  der  Lichtverlust  vermieden  wird ,  den  die  Anwendung  von  Gläsern 
unvermeidlich  nach  sich  zieht.  Das  eine  Resultat  der  spectralnnalytischen 
Untersuchungen  von  Kirchhoff  und  Bunsen ,  nämlich  die  Opacität  der  gel- 
ben Natrontiamme  für  Licht  ihrer  eigenen  Farbe,  lUsst  sich  auf  eine  sehr 
einfache  Weise,  ohne  alle  optische  Instrumente,  beobachten.  Die  Vor- 
schrift zu  dem  Verfahren  rübrt  von  William  Crookes  und  wird  in  Pogg. 
Ann.,  Bd.  112,  S.  344  nach  PhiL  Mag.  Ser,  IV,  Vol.  -YA7,  p.  55  mitgetheilt 
Man  benutzt  die  Gasflamme  eines  gewöhnlichen  Drathgitterluftbrenucrs, 
welcher  ganz  aufgedreht  und  dann  eine  Flamme  von  l'  Hoiie  und  3''  Breite 
giebt.  Davor  stdllt  man  eine  augezündete  Talgkerze.  Beide  Flammen 
werden  dadurch  gelb  gefärbt,  dass  man  in  ihrer  Nähe  ein  Stück  Natrium 
auf  feuchtem  Fliesspapier  verbrennen  lä^t.  Betrachtet  man  nun  die  Flamme 


Kleinere  Mittheilnngen«  429 

der  Talgkerze  so,  dass  die  Oasflamme  den  Hintergrand  bildet,  so  sieht 
man ,  dass  der  Hnsserste  Saum  der  Talgflamme  letztere  wie  ein  schwarzer 
Rahmen  einfasst.  Crookes  erklärt  dies  dadurch ,  dass  der  Süssere ,  für  ge- 
wöhnlich durchsichtige  Saum  der  Talgflamme  die  Natriumverbindung  im 
dampfförmigen  Zustande  enthält  und  dass  dieser  Theil  die  Strahlen  der 
eigenen  Farbe  viel  stärker  absorbirt,  als  der  mittlere  Theil,  der. die 
Natrinmverbindung  im  starren  Zustande  enthält. 


XLL  Dai  Oaainm.  —  Die  Mittheilnng  unter  der  Ueberschrift:  „Keues 
Metall'  (S.  344)  möge  durch  folgenden  Bericht  eine  nähere  Erläuterung 
erhalten  (chemische  Analyse  durch  Spectralbeobachtungen  von  6.  Kirch- 
hoff und  R.  Bunsen,  Pogg.  Ann.,  Bd.  113,  S.  337).«  Entfernt  man  in  der 
Mntterlauge  des  Dürkheimor  Mineralwassers  nach  bekannten  Methoden 
Kalk,  Strontian,  Magnesia  und  Lithion  durch  kohlensaures  Ammoniak,  so 
erhält  man  eine  Muttorlauge,  welche  in  einen  Spectralapparat  (s.  S.  79  d.  J.) 
gebracht 4  ausser  den  bekannten  Linien  des  Kaliums,  Natriums,  Lithiums 
noch  zwei  einander  sehr  nahe  liegende  blaue  Linien  zeigt ,  von  denen  die 
eine  fast  mit  der  mit  Sr^  bezeichneten  Strontianlinie  zusammenfällt.  Die 
Ursache  dieser  Erscheinung  ist  das  Vorhandensein  des  bereits  S.  220  d.  J. 
erwähnten  Metalls,  dem  die  Entdecker  den  Namen  Cäsium  gegeben  haben 
{caetius,  bei  den  Alten  vom  Blau  des  heiteren  Himmels  gebraucht,  auch 
Ton  den  Augen :  graublau).  Die  Cäsiumverbindungen  kommen  immer  nur 
in  geringer  Menge  in  der  Natur  vor,  am  reichlichsten  sind  sie  noch  im 
Dflrkheimer  Soolwasser  enthalten,  wovon  jedoch  44,200  Kilogramm  nur 
7,272  Gramm  Chlorcäsium  lieferten. 

Behandelt  man  sächsischen  Lepidolith  nach  einer  der  bekannten  Me- 
thoden, durch  welche  die  Alkalien  von  den  übrigen  Bestandtheilen  ge- 
trennt, für  sich  in  Lösung  erhalten  werden,  und  fällt  man  eine  solche  Lö- 
anng  dnrch  Platinchlorid,  so  erhält  man  einen  Niederschlag,  der  aus 
IDoppelverbindungen  von  Chlorplatin  und  Chloralkalien  besteht.  Kocht 
man  diesen  Niederschlag  wiederholt  mit  Wasser  aus,  so  bleibt  ein  schwer 
löslicherer  Theil  zurück,  der,  spectralanalytisch  geprüft,  neue  Linien  zeigt, 
Ton  denen  sich  zwei  rotho  auszeichnen,  welche  noch  jenseits  der  Frauen- 
liofer*schen  Linie  A,  also  im  äussersten  Roth  des  Sonnenspectrums  liegen. 
Diese  Erscheinung  wird  dadurch  veranlasst,  dass  in  djem  Niederschlag  die 
Chlorverbindung  eines  neuen  Alkalimetalls  enthalten  ist,  für  welches  die 
Verfasser  den  Namen  Rubidium  vorschlagen  {rubidus,  dunkelroth).  Der 
Lepidolith  von  Rozena  bei  Hradisko  in  Mähren  enthält  nach  der  Angabe 
der  Verfasser  nur  0,24  Procent  Rubidinmoxyd. 

Die  Darstellung  der  Präparate  von  Cäsium  und  Rubidium  aus  dem 
Dürkheimcr  Soolwasser  und  aus  dem  Lepidolith  ist  ungemein  umstäudlich, 
man  benutzt  dabei  die  verschiedene  (löslichkeit  der  Doppelverbindungen 
von  Chlorplatin  mit  Chlorkalium,   Chlorrabidium  und  Chlorcäsium,   von 


430  Elleinere  Mittheilnngen. 

denen  das  erste  Doppelsais  das  löslichste,  das  sweite  minder  Idslieh  und 
das  dritte  schwer  löslich  im  Wasser  ist,  sowie  anch  das  Verhalten  des 
kohlensauren  Cäsiumoxjdes  and  des  kohlensauren  Kubidinmozjdes  sn  Al- 
kohol, worin  ersteres  Salz  löslich,  letzteres  unlöslich  ist. 

Geschmolzenes  Chlorcäsium  sowohl,  als  Chlorrubidium  und  auch  Chlor- 
kalium werden  durch  den  elektrischen  Strom  so  zersetzt,  dass  am  negad- 
ven  Pole  das  Metall  erscheint,  aber  sofort  yerbrennt  oder  sich  unter  Bil- 
dung eines  Snbchlorides  in  der  Flüssigkeit  auflöst. 

Bei  Anwendung  der  Lösungen  der  Chloride  können  die  Amalgame 
leicht  erhalten  werden,  sobald  der  negative  Pol  mit  Quecksilber  umgeben 
wird.  Mit  Chlorkalium  als  Erregerflüssigkeit  zusammengestellt,  verhllt 
sich  Cäsiumamalgam  positiv  gegen  Rubidium-  und  Kaliumamalgam,  wel- 
ches letztere  von  den  drei  Amalgamen  die  elektromagnetivste  ist.  Die 
Aequivalente  der  besprochenen  Metalle  sind :  Cs  sa  123,35,  Rb  =  85,36. 

Die  schwefelsauren  Salze  beider  Metalle  liefern,  mit  Barytwasser  er- 
hitzt, in  Lösung  Cäsiumoxjdhjdrat  und  Bubidiumoxydhydrat  {CsO^  HO 
und  726  0,  HO)y  welche  sich  ebenso  ätzend  zeigen,  als  Kalihjdrat,  und 
wie  dieses  das  Wasser  beim  Glühen  festhalten. 

Die  kohlensauren  Salze  beider  Metalle  reagiren  sehr  stark  alkalisch 
und  sind  im  wasserfreien  Znstande  ungemein  zerfliesslich.  In  einer  At- 
mosphäre von  Kohlensäure  gehen  die  einfach  kohlensauren  Salze  leicht  in 
die  dem  Kalisalz  (A'O,  ifO,  200^)  analog  zusammengesetzten  doppelt 
kohlensauren  Salze  über. 

Die  salpetersauren  Salze  krjstallisiren ,  wie  der  Kalisalpeter,  ohne 
Krystallwasser ,  sie  enthalten  wie  dieser  Decrepitationsw asser ,  schmelzen 
leicht  und  geben  in  höherer  Temperatur  Sauerstoff  aus. 

Die  Chloride  beider  Metalle  krjstallisiren,  wie  Chlomatrium  in 
wasserfreien  Würfeln. 

Die  Verbindungen  von  Cäsium  und  Rubidium  verhalten  sich ,  wie  man 
sieht,  ähnlich  wie  die  Kaliumverbindungen,  denen  sie  auch  isomorph  sind. 
Die  Reactioncn  der  drei  Alkalien  sind  übrigens  so  ähnlich ,  dass  sie  nur 
durch  Spectralbeobachtnngen  von  einander  unterschieden  werden  können. 

XLIL    lieber  ein  reproduoirbares  Stromwiderstandsmaais.  —  Das 

Webor'sche  absolute  Stromwiderstandsmaass  eignet  sich  bekanutlich  nicht 
zur  allgemeinen  Einführung,  weil  boi  soiner  Anwendung  sehr  vollkommene 
Instrumente,  besonders  geeignete  Locale  und  grosse  experimentelle  Ge- 
schicklichkeit erfordert  wird  und  weil  es  so  klein  ist,  dass  die  Widerstände 
gewöhnlicher  Art  nur  durch  enorme  Zahlen  ausgedrückt  werden  können. 
Da  nun  die  Copien  des  Jacobi'schen  Widerstandsetaions  keine  Ueberein- 
stimmung  zeigten,  wahrscheinlich  indem  eine  kleine  Abweichung  in  der 
Zusammensetzung  eine  grosse  Abweichung  im  Widerstand  hervorbringt*), 

*)  Siehe  anch:  Uebcr  die  elektrische  Lcitungsfahigkeit  des  reinen  Kupfers  nnd 
deren  Verininderang  durch  Metalloide  nnf  Metalle,  von  A.  Matthics^en  und  M. 
Holzmann  (Pogg,  Ann.,  Bd.  HO,  8.  Tit.) 


Kleinere  Mittbeilungen.  431 


#^P^^^PV^f^*^P^^^^^^^h^i^^^'S^h^taAi 


10  maebte  Siemens  (Pogg.  Ann.,  Bd.  110,  8.  1)  den  Vorscblag,  Wider- 
itndsmaaMe  dnrcb  Fflllang  im  Handel  Yorkommender  Glasröhren  mit  ge- 
reinigtem Qnecksilber  herinstellen.  Man  sollte  sich  ein  Stück  Röhre  ana- 
raehen,  bei  welchem  der  Querschnitt  regelmässig  kegelförmig  ist,  die  Di- 
mensionen der  Röhre  bestimmen  und  hieraus  den  Widerstand  berechnen, 
wobei  als  Einheit  des  Widerstandes  der  Widerstand  eines  Quecksilber- 
prismas  von  1°*  Länge  und  iD"''"  Querschnitt  bei  0*  C.  angenommen  wer- 
den sollte.  Der  Grund  zu  diesem  Vorschlage  war,  dass  nach  den  Ver- 
sncben  von  Siemens  und  Esselbach  der  Widerstand  des  reinen  Queck- 
silbers weniger,  als  derjenige  von  anderen  Metallen,  von  der  Temperatur 
abhängig  ist     Denn  es  ist  z.  B.  die  Leitungsfähigkeit: 

des  Quecksilbers  [jT^-qqö^^  (^»^^h  Siemens), 

5  1554 
des  Bleies  ^  .  ^  ^^3^^  ^  (»ach  Arendtsen), 

,      ^.  8,3401  ,       ,    *        ,        X 

-      ''*'  ^"«°''  1  + 0,00413  <  + 0,00000527  <«  ^"^'^  Arendtsen), 

de.  geglühten  Messing«  t  +  o.OOl  66^/- 8,00000203  <«  ('""'"  Arendtsen). 

Es  lässt  sich  nicht  verkennen ,  dass  der  Vorschlag  von  Siemens  Man- 
^les  für  sich  hat,  z.  B.  dass  jeder  Physiker  sich  mit  leichter  Mühe  sein 
Quecksilber  selbst  reinigen  und  sich  aus  den  Glasröhren  des  Handels  sein 
^n^iderstandsmaass  herstellen  kann.  Gegen  den  Vorschlag  von  Siemens 
^at  sich  nun  Matthiessen  (Pogg.  Ann.,  Bd.  112,  S.  353)  ausgesproclien, 
^^räbrend  Schröder  van  der  Kolk  in  Maestricht,  der  sich  ebenfalls  mit 
^^iderstandsbestimmungen  beschäftigte ,  der  Anwendung  des  Quecksilbers 
^ni  Widerstandsmessungen  nicht  abgeneigt  ist  (Pogg.  Ann.,  Bd.  110,  S.  452). 
3f  atthiessen  macht  gegen  Siemens*  Vorschlag  den  Einwand,  dass  das  Queck- 
silber, in  welches  bei  den  Versuchen  Kupferdräthe  oder  -Platten  eintau- 
chen, von  diesen  verunreinigt  werden  möchte,  so  dass  der  Widerstand  des 
^^v^cl^BÜbers  eine  merkliche  Aendernng  erleiden  könnte.  Die  grosso  Aen- 
^emng  des  Widerstandes  anerkennend ,  welche  bei  den  bekannten  Metallen 
"^od  Legimngen  mit  geringer  Aenderung  der  Zusammensetzung  eintritt, 
«teilt  sich  Matthiessen  die  Aufgabe ,  eine  Legirung  aufzufinden : 

1)  deren  Leitungsfähigkeit  sich  mit  einer  geringen  Aenderung  des 
Mischungsverhältnisses  oder  mit  Üner  geringen  Verunreinigung  nur 
wenig  ändert,  so  dass  man  sie  auch  aus  käuflichen  Metallen  her- 
stellen kann,  ohne  dass  ihre  Leitungsfähigkeit  anders  ausfällt,  als 
bei  der  Herstellung  aus  reinen  Metallen; 

2)  deren  LeitungsHihigkeit  durch  das  Weichmachen  (starkes  Erhitzen 
und  allmäliges  Abkühlen)  nicht  verändert  wird; 

3)  deren  Leitungsfähigkeit  sich  bei  geringen  Temperaturänderungen 
nur  wenig  ändert; 

4)  die  sich  durch  Aussetzen  an  die  Luft  nicht  ändert. 

Die  Legirung,  die  diesen  Anforderungen  noch  am  besten  entspricht, 
ist,  wie  Matthiessen  vorläufig  aus  den  P/itV.  Trans,  f.  1860  ersehen  hat,  eine 
Legirung  von  2  Gewichtstheilen  Gold  und  1  Gewichtstheil  Silber.  Mat- 
thiessen prüfte  nun  8  Dräthe  von  der  genannten  Legirung,  die  von  ver- 
schiedenen Chemikern  hergestellt  worden  waren,  und  fand,  dass  der 
grösste  Unterschied  in  den  Leitungsfähigkeiten  uui  um  l^^  Vt^^^'oX  ^^tsl 


432  Kleinere  Mittheilangen. 

Mittelwerthe  abwich.  In  Beiag  auf  die  Aenderang  der  Leitnngsfähigkeit 
mit  der  Temperatur  faud  er,  dass  die  Leitungsfähigkeiten  der  meisten 
Metalle  durch  die  Formel  h  =  x+yi  -i-zt*  ausgedrückt  werde,  wobeie 
die  Leitungsfähigkeit  bei  0°  C.  und  y  und  z  Constante  sind,  während  Ariidt- 
sen  und  Siemens  ein  anderes  Gesetz  aufstellten.  Nach  den  Versuchen  von 
Matthiessen  sind  die  Leitungsfähigkeiten  yon  drei  seiner  Dr&the  von  ver- 
schiedenen Herstellungen : 

h  =  15,059  —  0,01077  t  +  0,00000722  t«, 
k  =  15,052  —  0,01074  t  +  0,00000714  /', 
k  =  15,152  —  0,01008  /  +  0,00000774  /«, 
wobei  die  Leitungsfähigkeit  eines  hart  gezogenen  Silberdrathea  beiO^C. 
gleich  100  gesetzt  ist.     Ein  Urthcil  über  die  Anwendbarkeit  von  Metallen 
zu  Widerstandsmessungen  gewinnt  man  noch  aus  einer  von  Matthiessen  zu- 
sammengestellten Tabelle,    worin  die  Differenzen   der  Leitungsföhigkeit 
zwischen  0^  und  100^  C.  in  Procenten  der  LeitungsfÜhigkeit  von  O^C.  an- 
gegeben sind  und  die  hier  mitgetheilt  ^ird : 

Silber  28,5  Proc.  (weich), 

Kupfer  29,0  Proc.  (weich), 

Gold  28,0  Proc.  (weich), 

Quecksilber  8,7  Proc.  (nach  Siemens), 

die  Gold-  and  Quecksilberlegirnng  j  J'^  1]"^^  ^^^^^^ 

Matthiessen  macht  nun,  gestützt  auf  seine  Versuche  und  Betrachtun- 
gen, den  Vorschlag,  die  Leitungsfähigkeit  eines  Drathes  seiner  Gold-  und 
Silberlegirung  von  1™  Länge  und  1"»™  Dicke  bei  0°C.  100  zu  setzen  und 
dieses  Widerstandsmaass  zur  Vergleichung  der  Widerstände  von  Schlies- 
sungsbögen   zu  benutzen;   hat  dann  ein  Physiker  einmal   dieses  Wider- 
standsmaass mit  dem  Wober^schen  absoluten  Maasse  verglichen ,  so  kann 
man  alle  nach  Matthiessen^s  Maass  gemessenen  Widerstände  in  absolutem 
Maasse  ausdrücken.    Da  man  sich  nun  bei  der  Annahme  von  Matthiessen  s 
Maass  wahrscheinlich  der  weichen  Legirung  bedienen  würde,   indem  die 
harte  Legirung  erst  nach  mehrmaligem  Erwärmen  bis  100®  C.  einen  sich 
gleichbleibenden   Widerstand   zeigt,    so   würde  die    Gold  -  Silberlegirung 
nach  obiger  Tabelle  in  Bezug   auf  die  Aenderung  der  Leitungsfähigkeit 
mit  der  Temperatur  mit  Quecksilber  ganz  gleichwerthig  sein.     Die  Legi' 
rung  von  Matthiessen  erfüllt  nun  die  Anforderung  2  gar  nicht,  so  dass  das 
Quecksilber  seines  gleiclimässigen  Verhaltens  wegen  wohl  den  Vorzug  ver- 
dient.  Der  Verunreinigung  des  Quecksilbers  bei  den  Versuchen  kann  m^J^ 
durch  Anwendung  von  Platindrath  statt  Kupferdrath  vorbeugen,     ücbn- 
gens  macht  Siemens  in  einem  neueren  Aufsatze  (Pogg.  Ann.,  Bd.  113,  S.  ^^1) 
aufmerksam,  dass  die  Differenz  von  1,6  Procent  in  den  Leitungsfahigkeit^^ 
der  Gold  -  Silberlegirung  viel  zu  gross  für  gute  Widerstandsmessappar»^® 
ist,  deren  Kesultatc  bis  auf  0,0001  übereinstimmen,   während  seine  Wide*" 
Staudsröhren,  mit  besonders  sorgfältig  von  Dr.  Quincke  gereinigtem  QuccK' 
sillier  gefüllt,   genau  dieselbe  Leitungsfähigkeit  zeigten,   als  die  mit  J^"J 
seinigeu   gefüllten,    welches  von   ihm   selbst  nur   mit  Schwefelsäure   f ' 
etwas  Salpetersäure  gereinigt  worden  war.  Dr.  Kahi-.- 


DtUi-k  von  P..  G.  TcuVjtvov  vu  Drc'.sdcn, 


Literaturzeitung 


der 


Schrift  flir  Mathematik  und  Physik 


herausgegeben 
anter  der  verantwortlichen  Redaction 


Dr.  O.  Schlömilch,  Dr.  E.  Kahl 

und 

Dr.  M.  Cantor. 


Sechster  Jahrgang. 


LEIPZIG, 

Verlag  von  B.  G.  Teubner. 
1861. 


Inhalt« 


Philosophie  xmd  Oesehiohte  der  MathematilL.  ^^^^ 

M. ,  Les  trois  tiwres  de  PorUme»  ttEucHde 3 

jtTHOLOifABi ,  Dr. ,  Zehn  Vorlesungen  über  Philosophie  der  Mathematik    .     .  7 

TBADHOBB,  Prof.  Dr. ,  Beiträge  zur  Geschichte  der  griechischen  Mathematik  41 

tLBOBür ,  J. ,  ProUgomenes  phUosophiques  de  la  giomitrie  et  Solution  de»  posiiäata  42 

ArithmetilL'und  Analysis. 

vsnvAU,  Dr.,  Darstellang  der  reellen  Wurzeln  algebraischer  Gleichungen 

durch  Determinanten  der  Coefficienten • 9 

lOHiB,  Dr.,  Grundzüge  des  auf  menschliche  Sterblichkeit  gegründeten  Ver- 
sicherungswesens          .....  36 

tt«,  Prof.  Dr.,  Lehrbuch  der  algebraischen  Analysis 04 

CKBB,A.,  Lehrbuch  der  Algebra 69 

LLBXKAMP ,  Dir. ,  Die  Elemente  der  Mathematik 69 

niAir ,  Dr. ,  Lehrbuch  der  Mathematik.     3.  ThL 70 

mioBB ,  D. ,  Leitfaden  der  allgemeinen  Arithmetik  und  Algebra 71 

BBBXBOBH ,  Prof.  Dr. ,  Lehrbuch  der  Arithmetik  mit  Einschluss  der  Algebra 

und  niederen  Analjsis 71 

iFUt8,Dr.,  Lehrbuch  der  Arithmetik 71 

—         —    Grundzüge  der  Algebra 72 

rrsTBiB ,  Prof.  Dr. ,  Lehrbuch  der  Elementarmathematik 72 

11  Ton  Dr.  BiBBBHS  db  Haan 77 

BB,  Prof.  Dr. ,  Handbuch  der  Kugelfunctionen ..114 

Geometrie  und  Trigonometrie. 

ODOBUS ,  Abhandlung  über  die  isoperimetrischen  Figuren.    Deutsch  bear- 
beitet von  Prof.  NoKK 1 

s,  G. ,  Legons  »ur  let  coordonnii  curtnHgne»  et  leurs  diverses  appHcaiions     .     .  17 
■OB,  G. ,.  Analytische  Geometrie  der  Kegelschnitte,  deutsch  bearbeitet  von 

Dr.  FiBDLBB 44 

•B,Dr. ,  Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrie 61 

LBBKAXP ,  Dir. ,  Die  Elemente  der  Mathematik 69 

T8TBIB ,  Prof.  Dr. ,  Lehrbuch  der  Elementarmathematik 72 

EtTKA ,  Prof. ,  Studien  über  die  Methoden  und  über  die  BenutBung  hypso- 
metrischer Arbeiten 81 

IBCHB ,  Dr. ,  Die  Elemente  der  ebenen  Trigonometrie 90 

Nachträgliche  Bemerkung  hierzu ^^^i 

«tTBDT,  Prof.  Dr. ,  Das  Prismatoid 91 

Nachträgliche  Bemerkung  hierzu 111 

miDBB,  Prof,  Dr. ,  Anfangsgründe  der  beschreibenden  Geometrie,  der  ana- 
lytischen Geometrie  etc ^"X 


IV  Inhalt. 

Mechanik« 

ScHBLLBACH ,  Prof . ,  Ncne  Elemente  der  Mechanik     .     .     . 
BoBTius ,  Civilingen. ,  Die  Ericson'sche  calorische  Maschine 


FhjrBik. 

Gayabbbt,  Prof.,  Lehrhuch  der  Elektrioität.  Deutsch  bearbeitet  von  Dr. 
ABBia>T 

PiSKO ,  Prof. ,  Die  Fluorescenz  des  Lichtes •     . 

MÜLLBB,  Prof.  Dr. ,  Mathematischer  Supplementband  zum  Grundriss  der  Phy- 
sik und  Meteorologie 

8pillbb,  Prof.,  Neue  Theorie  der  Elektricität  und  des  Magnetismus    .     .     .    .    1 

SuBic,  Prof.,  Lehrbuch  der  Physik 1 


Bibliographie 8.13,38,49,79,94,1 

Mathematisches  Abhandlungsregister :  JanHar  bis  Juni  1860 

Juli  bis  December  1800 1 


Literaturzeitung. 


Kecensionen. 

I»  Abhaadlimg  Aber  die  isoperimetritehtn  Kgnreii,  deatseh  bear- 
beitet Yon  Dr.  NoKK.    Beilage  su  dem  Freibnrger  Ljceamspro- 
gramme  von  1800. 
Es  ist  nicbt  das  erste  Mal,  dass  der  gelehrte  Herr  Verfasser  sich  in 
Osgenstinden  versucht,  welche  ftir  die  Mathematiker  noch  mehr  Interesse 
htben  als  fttr  seine  philologischen  Fachgenossen.    Schon  1854  gab  er  als 
Beilage  des  Freibnrger  Ljceumsprogrammes  eine  üebersetzong  der  Schrift 
dei  Aristarch  von  Samos  über  die  Grössen  and  Entfernungen  der  Sonne 
md  des  Mondes ,  und  kündigte  in  derselben  eine  neue  kritische  Ausgabe 
j«ner  bedeutenden  Abhandlung  an,  welche  indessen  unseres  Wissens  bbher 
lueht  erschienen  ist   Diesmal  bereicherte  er  die  mathematbche  Literatur 
intk  die  erste  deutsche  Bearbeitung  einer  Schrift,  welche  freilich  nicht 
YsUstftndig  als  solche  erhalten  ist,  sondern  nur  in  Auszügen  theils  bei  T  h  e  o  n 
▼Oft  Alezandrien,  dem  Erklärer  des  Ptolemäus  aus  dem  vierten  Jahrhun- 
dert,  theils  bei  Pappus  gefunden  wird.   Herr  Nokk  ging  indessen  von 
dem  gewiss  richtigen  Principe  aus,  dass  Auszüge,  welche  bei  fast  gleich- 
zeitigen Autoren,  die  also  wohl  Nichts  von  einander  entnahmen,  in  fast 
gleiehen  Ausdrücken  sich  finden,  dem  Originale  sehr  nahe  kommen  müssen, 
^Qid  dass  daher  aus  den  gegebenen  Quellen  eine  Bestitution  wohl  thunlich 
BeL  Das  Resultat  hat  auch  diese  Voraussetzung  vollständig  gerechtfertigt, 
Indern  ein  Studium  der  kleinen  Schrift  uns  hinreichend  überzeugt,  so  etwa 
■Wsse  in  der  That  die  Abhandlung  des  Zenodorus  gelautet  haben. 

Eine  durch  den  geistreichen  Inhalt  der  übertragenen  Abhandlung  nicht 
■Uiwiehtige  historische  Frage  ist  die  nach  dem  Zeitalter  des  Zenodorus, 
^elehe  der  Herr  Verfasser  gleichfalls  einer  Untersuchung  unterwirft.  Wir 
kdmien  ihm  nur  beistimmen,  wenn  er  ans  der  wörtlich  identischen  Erwäh- 
^nng  des  Archimedes  sowie  des  Euklides  in  einigen  Lehrsätzen,  welche 
l>ei  Theon  und  Pappus  zugleich  vorkommen,  den  Schluss  zieht,  dass 
iiese  Worte  auch  im  Originale  sich  fanden,  und  dass  somit  Zenodorus 
i^deoCaUa  später  als  Archimedes,  also  später  als  250  v.  Cbx.^  ^V^VA.V'ciki^'Ck. 

UttralaiM/Ura^  tL  ZeiUebr.  f.  Math,  n,  Phyi.  VI.  I.  \ 


Literaturzeitung. 

müsse.  Damit  falle  die  Behauptung  Heilbronner's,  welche  Montuelii 
Klügel,  Bossut  und  Andere  nachschrieben,  als  sei  Zenodoras  ein  u- 
mittelbarer  Schüler  des  Oenopides  gewesen,  der  um  560  y.  Chr.  lebie. 
Nur  glauben  wir  nicht  nöthig  zu  haben,  bei  diesem  negativen  BesaUatie 
stehen  zu  bleiben,  sondern  möchten  den  Zenodorus  präciser  als  emn 
Zeitgenossen  des  Ptolemäus  in  den  Anfang  des  zweiten  Jthr* 
•  hunderts  n.  Chr.  versetzen:  (Vgl.  Comp/to  r^mto,  L.  I,  630,  22.  Oct  1800. 

Wir  stützen  diese  Vermuthung  auf  dieselben  Worte  des  Proclns 
Diadochus  in  seinem  Commentare  zum  ersten  Buche  des  Euklid,  welche 
auch  von  früheren  Historikern  zur  Bestimmung  des  Zeitalters  benutzt  wor- 
den, und  welche  nach  dem  Citate  des  Herrn  Nokk  im  Originale  so  heuseB; 
Oi  6h  mgl  Ssvodotov  xov  itQogi^xovTa  (liv  xy  Oivojildov  dtctöoxj  xwf  ^u^- 
tmv  dl  "AvÖQCDvog  dioQliovtm  xo  ^«o^fMir  xov  nQoßXiiiiaxog  sc.  r.  iL  {Prodm 
Comment.  in  EucUd,  p.  23).  Der  griechische  Text  stand  nna  nur  in  dieiem 
Citate  zu  Oebote,  die  lateinische  Uebersetzung  desFranciBcua  Baro|eiui 
Paiavii  1560,  p.  47)  lässt  indessen  auf  eine  andere  Lesart  schliessen,  welche  nni 
den  Vorzug  zu  verdienen  scheint.  Dort  heisst  es  nämlich:  Sedaiores  !€%%' 
doiiy  qui  OenopitHs  qtädem  doclnnae  fuü  famiUarii^  Andromt  vero  dUdpiAtl^ 
iheorema  a  problemaie  disimguebani  e,  c.  /.,  während  die  kurze  Inhalttaaseige 
welche  am  Rande  abgedruckt  ist,  angibt:  Quo  differat  Iheorema  a  prMam^ 
juxta  Zenodori  opinionem. 

Das  Erste ,  was  in  die  Augen  fällt,  ist  die  dreifache  Schreibart  des  Na- 
mens. Auch  Herr  Nokk  bemerkt,  dass  Fabricius  {Bibl.  Gr.  Um.  IVj  p.  B4) 
den  Mathematiker,  dessen  hier  gedacht  wird,  nicht  Sivoötnog^  sonders 
ZijvoSozog  nenne,  fügt  aber  hinzu,  dass  keinenfalls  von  einem  Zipd^M^o? 
die  Rede  sei.  Bei  den  dem  Sinne  nach  identischen  Namen  Zfivoioxog  und 
Zn]v66(OQog  scheint  aber  ein  solches  strenges  Auseinanderhalten  kaum  thoD- 
lich,  vielmehr  dürften  wir  es  nur  mit  verschiedenen  Orthographien  desselben 
Namens  zu  thun  haben,  ähnlich  wie  auch  Jioöaaqog  und  dioSoxog  wechseln^ 
ähnlich  wie  der  berühmteste  deutsche  Mathematiker  des  sechzehnten  Jahr- 
hunderts bald  Sti fei, «bald  Stiefel,  bald  Stieffei  geschrieben  ward.  Fflr 
diese  Vermuthung  ist  auch  gerade  das  Nebeneinanderstehen  beider  Na- 
men bei  Barocius  wohl  massgebend. 

Eine  wichtigere  Aenderung  ist  noch,  dass  Barocius  offenbar  xov  fui- 
^rjTov  übersetzt ,  welche  Lesart  auch  dem  Gegensatze  fihv  —  dl  eher  ent- 
spricht. Damach  hätte  Zenodorus  zwar  der  Schule  des  Oenopides 
angehört  (wie  heute  noch  ein  Maler  z.  B.  Nachfolger  der  venetianischen 
Schule  genannt  werden  könnte,  wenn  er  diese  Meister  vorzüglich  stadirt 
hätte),  wäre  aber  zunächst  ein  Zögling  des  Andren  gewesen,  auf  dessen 
Zeitbestimmung  es  somit  allein  ankäme.  So  merkwürdig  es  ist,  dass  bisher 
Niemand  diesen  Gesichtspunkt  hervorhob ,  können  wir  doch  nicht  nnterlai- 
sen,  auf  ihn  aufmerksam  zu  machen,  wenn  auch  nur  in  der  Erwartung,  eine 
DiscuBsion  desselben  zu  vetanlassen.  Was  nun  jenen  Mathematiker  Andren 


Literatarzeitung. 


^"^"V^,^^       ^**  -«sicher ,  von  Catanea  auf  Sicilien  gebürtig,  zvl  Anfang 
^-^^^^^'^^^artg  und  war  unter  Anderem  auch  eine  Zeit  lang  Leb- 
^^k^aiaers  M.  Aniomnut  Philosophus  (vergl.  Zedier,  Uni- 
»      S.  208).     Von  einem  andern  Matbematiker  dieses  Na- 
^xrgends  Erwäbnnng  finden.    Wäre  dieser  also  der  bei 
o  müsste  in  der  Tbat  Zenodorus  jener  Zeit  angehört 
~^bigen  als  wahrscbeinlicb  anfäbrten.  Cantob. 


''•aclide  retablis  ponr  la  premi^re  fois  d'apris 

ie  Pappus  et  conform^ment  au  sentiment 

*ie  des  ^noncös  de  ces  propositions  par 

Her.    1860. 

'^  bekannt,  dass  die  sogenannte  Frage 

iie  mathematischen  Historiker  im 

0  \a  wohl  hinzusetzen ,  entzweite. 

.ersucht,  eine  gedrängte  Darstellung 

^uergehenden  Ansichten  zu  geben ,  und  als 

.ucspunkt  hervorgehoben,  welcher  —  allgemeiner 

-  nicht  bloss  die  euclidischen  Porismen,  sondern  alle  Sätze 

^^>      ^^»  welche  diesen  Namen  verdienen.  Referent  verliess  zu  die- 

V         «         die  geometrische  Betrachtungsweise  und   sprach  sich  dahin 

^  •^  Wesentliche  des  Theorems,  Eigenschaften  einer  gegebenen 

^^^^      ^^ulegen  \  das  Problem  hingegen  leite  Werthe  der  Function  bei 

^JSf^^^^  Argumente  ab)  endlich  das  Porisma,  zwischen  beiden  stehend, 

\^h  '^  ^^A  Eigenschaften  einer  Function  auf  die  Art  derselben  schliessen. 

■J^^|j00Bl  Vortrage  über  diesen  Oegenstand  im  Heidelberger  naturhistorisch- 

Vg^l^^*^en  Vereine  vom  21.  November  18d6  suchten  wir  dieses  nament- 

TTa  Im  ftrztliehen  Mitgliedern  durch  den  Vergleich  zu  erläutern,  das  Theo- 

^0  gebe  den  pathologischen  Verlauf  eines  Krankheitsprozesses  an,  als 

Pl^blem  müsse  die  Therapie  eines  bestimmten  Falles  angesehen  werden, 

^Friima  sei  die  Diagnose,  welche  mit  beiden  früheren  Betrachtungswei- 

PiB  in  mancher  Beziehung  übereinstimmend  zwischen  beiden  in  der  Mitte 


Unter  einigen  französischen  Mathematikern,  Herrn  Breton  (deChamp) 

nagVincent  dauerte  inzwischen  die  Discussion  noch  fort  und  wurde  mit 

^jlilffMehaftliehkeit  in  dem  Journal  de  Malhimatiques  und  in  der  Science  ge- 

f^tt^  wälirend  sie  sich,  man  weiss  kaum  um  was?  drehte.   Endlich  ist  die 

gl^^H^nge  durch  das  Erscheinen  des  uns  vorliegenden  Werkes  abgeschlos- 

ig0   indem  die  nachträglichen  Bemerkungen  des  Herrn  Breton  in  den 

Q^^iaUBB  renduf  wohl  nur  die   letzten  unbedeutenden  Wellen   darstellen, 

irdflh^  1^*^  jedem  Sturme  zurückbleiben.    Herr  Chasles  hit  ^<^  ^^>^ 


Literaturaeitnng. 


Bücher  Porismen  des  Eaclid  wieder  hergestellt,  wie  er  es  schon  seit  INS 
versprochen  hatte,  nnd  ist  somit  ohne  allen  Zweifel  als  erster  ▼olbtiadiger 
Löser  der  schwierigen  Anfgabe  anzuerkennen. 

Wir  wollen  einen  möglich  kurz  gefasste  üebersicht  seiner  fintsife- 
rung  geben  und  dazu  von  jener  Definition  der  Porismen  ausgehen ,  welche 
Papp  US  als  die  der  Neueren  bezeichnet  In  unserer  oben  erwähnten  Ab- 
handlung (welche  wir  als  dem  Leser  zur  Vergleiehung  einielner  Stellen 
vorliegend  voraussetzen)  wurde  sie  folgendennassen  übersetzt :  Ein  Porumt 
ist  das,  was  zur  Hjpothese  eines  Ortstheorems  fehlt.  Es  wird  somit  ndthig 
sein,  zunächst  das  Ortstheorem  selbst  zu  erklären,  worüber  freilich  kein 
Zweifel  möglich  ist.  Das  Ortsiheorem  ist  nämlich  ein  Satz,  welcher  dse 
Eigenschaft  ausspricht,  die  allen  Punkten  einer  vollständig  bestimmten  ^• 
raden  oder  krummen  Linie  zukommt;  wie  z.  B.  der  Satz:  „Werden  inf 
dem  Durchmesser  AB  eines  Kreises  zwei  Punkte  (7,i>  so  genommen,  diu 

•-—  =  -^-=r ,  so  verhalten  sich  die  Entfernungen  irgend  eines  Punktee  ■ 

der  Kreisperipherie  von  jenen  Punkten  beständig  wie  CA  :  2>^." 

Die  Hypothese  besteht  hier  erstens  darih,  dass  beide  Punkte  C^J>  nl 

einem  Kreisdurchmesser  liegen,  und  zweitens  darin,  dass  77^  =  -=-^.  Ans 

i/Jf  HD 

dem  Ortstheoreme  wird  nun  ein  Porisma,  wenn  die  Hypothese 
weniger  genau  wird,  wenn  z.  B.  die  Lage  des  einen  Punktes  2^ nicht 
als  bekannt  vorausgesetzt  wird.  Es  ist  einleuchtend,  dass  auch  die  Folge- 
rung alsdann  nicht  unverändert  bleiben  kann,  dass  abo  z.  B.  hier  die  Grosse 

CA 
dos  Constanten  Verhältnisses  —  nicht  angegeben  werden  kann ,  so  Isnge 

Mß  JL 

wir  L  nicht  kennen,  und  so  wird  das  jenem  Ortstheorem  entsprechende 
Porisma  folgendermassen  lauten :  „Ist  ein  Punkt  C  und  ein  Kreis  gegeben, 
so  lässt  sich  immer  ein  zweiter  Punkt  />  und  eine  Verhältnisszahl  X  finden, 
so  dass  die  Entfernungen  irgend  eines  Punktes  m  der  Kreisperipherie  von 
C  und  D  sich  wie  1  :  X  verhalten.*' 

Es  ist  dabei  Etwas  zu  finden,  was  gleichzeitig  als  Folge 
der  Hypothese  angekündigt  wird,  nämlich  hier  die  Lage  dei 
Punktes  B  und  die  Grösse  der  Verhältnisszahl  A.  Das  ist  aber  nach  der 
Definition,  welche  Pappus  als  die  ältere  nennt,  gerade  das  Wesen  de« 
PorisDias.  E(pceaav  noguSfia  elvai  xo  n^iEivofisvov  sig  TtOQiCfiov  avrov  xov 
TiQOzEivofiivov  wo  wir  nogiOfiov  früher  allzugewissenhaft  nur  durch  „Porismi- 
rung**  umschrieben,  statt  es  durch  „Auffindung**  zu  übersetzen. 

Mit  dieser  Auffassung  stimmen  auch  jene  Porismen  überein,  welche 
allein  in  vollbtändigem  Wortlaute  bei  Pappus  aufbewahrt  sind,  und  welche 
Robert  Simson  zuerst  der  modernen  Wissenscha^  zugänglich  machte 
und  so  der  Vorgänger  von  Chasles,  freilich  in  viel  geringerem  Masstsbe 
wurde,   als  dieser  Gelehrte  in  seiner  ihn  so  rühmlich  kennzeichnenden 


Literatarzeitang.  5 


a^^^S^V«^«A««A^«^^>^^kM^i^^<^i^i^v«> 


etcheidenlieit  za  verstehen  gibt.  Eines  davon  ist  das  folgende  Porisma : 
Jehni'iden  die  4  Linien  eines  vollständigen  Vierseits  sich  in  6  Punkten, 
m  denen  8  in  einer  Geraden  liegenden  gegeben  sind,  and  sind  von  den  3 
Mgen  Punkten  2  der  Bedingung  unterworfen ,  je  auf  einer  gegebenen 
«raden  zu  bleiben,  so  wird  auch  der  letzte  Punkt  eine  Gerade  zum  geome- 
kohen  Orte  haben,  welche  aus  den  gegebenen  Dingen  näher  bestimmt 
«den  kann/^ 

Man  sieht  augenblicklich  1)  dass  es  sich  hier  um  einen  geometrischen 
Irt  handelt;  2)  dass  in  der  Hypothese  die  Lage  der  von  2  Punkten  beschrie. 
eaen  Geraden  nicht  näher  ausgedrückt  ist,  dass  also  an  der  Hypothese 
itvas  fehlt;  3)  dass  demgemäss  auch  in  der  Folgerung  keine  vollständige 
leitimmtheit  existirt;  4)  dass  aber  die  Folgerung  zu  einer  bestimmten  er~ 
fazt  werden  kann,  indem  man  die  Lage  der  dritten  Geraden  von  den 
^benen  Dingen  abhängig  macht,  sie  als  eine  darzustellende  Function 
inelben  betrachtet 

So  ist  es  auch  zu  verstehen,  wenn  von  dem  Porisma  behauptet  wird, 
•  sei  eine  Gattung  von  Sätzen ,  welche  sich  zwischen  Lehrsätzen  und  Auf- 
;iben  etwa  in  der  Mitte  halte,  so  dass  der  Ai^sdmck  derselben  in  die  Form 
'<A Lehrsätzen  und  von  Aufgaben  gebracht  werden  könne.  Einen  Lehr- 
itz  haben  wir  allerdings  vor  uns,  aber  einen  solchen,  der 
I  seinem  Ausspruche  selbst  wieder  eine  Aufgabe  ein- 
ehliesst. 

Wenn  darnach  bisher  sämmtliche  beiPappus  erhaltenen  Erklärungen 
ad  Bemerkungen  gleichmässig  Anwendung  fanden ,  wenn  femer  die  soge- 
nmften  Neueren  des  Pappus  nichts  Weiteres  hinzubrachten ,  sondern  mit 
m  enelidischen  Porismen  sich  begnügend  deren  Definition  nach  einem 
febennmstande  verändert  haben  sollen,  so  kann  darin  nur  der  Sinn  liegen, 
las  ursprünglich  das  Porisma  noch  allgemeinere  Bedeutung  hatte  als  in 
m  angeführten  Beispielen,  dass  es  nur  nothwendig  ist,  die  Art  des  Neben  - 
matandea  zu  kennen,  um  die  Verallgemeinerung  selbs^  wieder  herzustellen. 
iese  Schlüsse,  so  einfach  wie  die  Aufstellung  des  Eies  des  Columbus,  hat 
kaalea  zuerst  gezogen«  Er  hat  den  Nebenumstand  darin  erkannt,  dass 
an  nicht  gerade  ein  Ortstheorem  besitzen  müsse ,  welches  durch  Verände- 
ng  der  Hypothese  den  neuen  Satz  liefert,  bei  welchem  noch  etwas  gefun- 
m  werden  soll,  sondern  dass  ganz  allgemein 

«in  Porisma  jeder  unvollständige  Satz  ist,  welcher  Zu- 
aammenhänge  zwischen  nach  bestimmten  Gesetzen  ver- 
Inderliehen  Dingen  so  ausspricht,  dass  eine  nähere  Erör- 
terung und  Auffindung  sich  noch  daran  knüpfen  lässt 

Ein  Beispiel  eines  solchen  Porismas,  welches  nicht  von  einem  Orts- 
Mjpreme  ausgeht,  wäre  es,  wenn  wir  sagen:  „Der  Winkel,  unter  welchem 
is^Jkm  Mittelpunkte  eines  Kreises  das  zwischen  zwei  gegebenen  Berüh- 
BgiBnlen  liegende  Stück  einer  dritten  BerührungslxniQ  (^«^YkscL  V\&^^  vix. 


6  Literatarzeitang. 


constant'^    Dabei  bleibt  nämlich  nocb  als  Aufgabe,  die  Gh^see  diesei  eon* 
stanten  Winkels  zn  bestimmen. 

Oder  um  ein  Beispiel  aas  einem  anderen  Theile  der  Mathematik  n 
wählen,  wenn  wir  sagen :  „Jede  reelle  ganse  algebraische  Funktion  irgend 
eines  nten  Grades  lässt  sich  in  einfachste  reelle  Faktoren  niedrigeren  GradM 
serfällen",  so  ist  das  ein  Porisma,  da  wir  daran  noch  die  weitere  Betrach- 
tung zu  knilpfen  haben ,  von  welchem  Grade  jene  Faktoren  sein  werden. 

Endlich  ist  auch ,  wir  müssen  heute ,  wie  bereits  vor  4  Jahren,  wieder* 
holen,  die  ärztliche  Diagnose  ein  Porisma,  indem  sie  den  gegenwärtigeil 
Zustand  des  Kranken  erhärtend  mit  Berttcksichtigung  der  von  IndiTiduiiB 
zu  Individuum  veränderlichen  Natur  zugleich  das  Problem  der  weiteren 
Entwickelung  des  Processes  in  sich  schliesst. 

Die  Frage,  wie  es  wohl  gekommen  sein  mag,  dass  statt  der  allgemei- 
nen Definition  später  die  zweite  speciellere  substituirt  wurde ,  lag  zu  ntbe, 
als  dass  Chasles  sich  dieselbe  nicht  gestellt  hätte,  und  er  beantwortet  lie 
vollkommen  genügend  dahin ,  dass  wahrscheinlich  ein  oder  der  andere  Mi- 
thematiker  eine  Auswahl  von  Porismen,  sei  es  als  Lehrmaterial,  sei  es  m 
ein  Buch ,  vereinigt  habe ,  dass  dazu  die  Porismen  gewählt  wurden ,  welche 
die  damalige  höhere  Mathematik  bildeten ,  also  für  die  Lehre  von  den  geo- 
metrischen Oertem  nützlich  waren,  und  dass  man  in  dieser  Weise  mit  einer 
specielleren  Definition  auskam,  welche  bald  die  allgemeinere,  eigentüeh 
richtige ,  ganz  verdrängte. 

Von  Porismen  aus  nicht  geometrischen  Kapiteln  konnte  ohnedies  bei 
der  durchweg  geometrischen  Behandlungsweise  der  griechischen  Mathematik, 
welche  kaum  bei  der  Zahlentheorie  sich  verleugnete ,  wie  Beferent  schon 
mehrfach  zu  zeigen  Gelegenheit  nahm,  nur  wenig  die  Rede  sein.  Die  ein- 
zigen Ausnahmen  gehören  in  der  That  der  zuletzt  erwähnten  Disciplin  an 
und  finden  sich  bei  Diophant.  Die  Betrachtung  derselben  lässt  unmittelbv 
das  erkennen,  was  als  Kriterium  eines  Porismas  angegeben  wurde:  Ef 
wird  Etwas  beweise]^ ,  was  selbst  als  Ausgangspunkt  einer  von  selbst  sieh 
daran  knüpfenden  Frage  dient. 

Darin  liegt  es  auch,  dass  Pro  eins  mit  vollem  Rechte  sagen  konnte: 
„Man  nennt  es  ein  Porisma,  wenn  Etwas  zwar  gesucht  wird,  aber  um  von 
der  Erfindung  Gebrauch  zu  machen  und  nicht  von  der  Entstehung  oder  ein- 
fachen Anschauung". 

Darin  femer  liegt  die  Aehnlichkeit  zwischen  den  bisher  als  Porismen 
bezeichneten  Sätzen  und  den  sogenannten  Zusätzen ,  Corollarien.  Auch  sie 
knüpfen  sich  ohne  Weiteres  an  das  gerade  Bewiesene  an,  ohne  eine  bloss 
verschiedene  Ausspruchsweise  desselben  zu  sein.  Sie  wurden  desshalb  auch 
unter  dem  gleichen  Namen  als  Porismen  bezeichnet. 

Es  erübrigt  nur  noch  Weniges  um  die  Ansichten  von  Chasle^in 
Kürze  mitgetheilt  zu  haben.  Dahin  gehört  das  Verhältniss  der  Porismen 
zu  den  Sätzen,  welche  als  Data,  besonders  als  die  Data  des  Enelid  be- 


Literaturzeitung. 


'nd,  eb  Verhältniss,  welches  der  Verfasser  schon  in  der  Geschichte 

«".trie  also  seit  1834  angedeutet  hatte ,  aher  doch  wohl  in  etwas  zu 

Weise  ^  so  dass  es  dem  Keferenten  bisher  unverständlich  blieb, 

der  Abhandlung  Bd.  II  dieser  Zeitschrift  auch  nur  mit  einem 

^geführt   werden  konnte.     Dieser  Zusammenhang  besteht 

'es  in  einer  Identität  der  Form,  während  der  Inhalt 

unterscheidet,  dass  bei  dfen  Porismen  die  Bedingung 

hen  Grösse  hinzutritt,  welche  bei  den  Daten  fehlt. 

*i  Letzteren  der  Satz,:    „Wenn  zwei  Grössen  a,  b  in 

"^  ^  stehen,  so  steht  die  Summe  der  beiden  zu  jeder 

gebenem  Verhältnisse.'* 

.sächlichen  Ansichten,  welche  Chaslcs  über  Poris- 

aces  in  der  Einleitung  seines  Werkes   auseinandersetzt. 

.i,neit  der  Auffassung,  die  Klarheit,  mit  welcher  jede  der  frü- 

aunkeln  Stellen  jetzt  hervortritt,  würden  wohl  an  sich  genügen,  sei- 

-tfn  Definitionen  zur  Stütze  zu  dienen,   so  dass  es  ein  zu  diesem  Zwecke 

Tollständig  überflüssiger  Beweis  ist,  den  er  durch  wirkliche  Ecstitution  der 

drei  Bücher  Porismen  von  seinem  Standpunkte  aus  noch  hinzufügte. 

Das  Verdienst  dieses  zweiten  und  eigentlichen  Haupttheiles  des  Wer- 
kM  ist  ein  in  sich  selbst  hinlänglich  begründetes.  Es  wäre  eine  eben  so 
ichwienge  als  undankbare  Aufgabe,  auch  nur  den  hauptsächlichen  Inhalt, 
darin  der  Chasles^schen  Restitution  enthaltenen  Sätze  in  kurzer  Skizze 
wiedergeben  zu  wollen.  Dieser  Keichthum  an  geometrischer  Eleganz  will 
Tollitgndig  und  wiederholt  genossen  sein,  wenn  man  alles  Vergnügen  und 
allen  Natien  aus  dem  Werke  schöpfen  will ,  die  es  gewähren  kann.  Wir 
dürfen  daher  ftiglich  unsere  Anzeige  hier  abbrechen  und  deren  Schluss 
noch  in  die  Worte  zusammenfassen,  dass  wir  es  hier  mit  einem  Meister- 
werke SU  thun  haben ,  würdig  des  Verfassers  des  Apercu  hisiorigue ,  würdig 
ngleich  des  Verfassers  der  Geomelrie  superieure.  Cantor. 


Br«  Fr.  Barfholomaeiy  Zehn  Vorlesungen  über  Philosophie  der  Kathe- 
Jena.   Verlag  von  Friedrich  Luden,  1800. 

Was  der  Verfasser  unter  diesem  Titel  dem  grösseren  Publikum  darbie- 
tet, sind  wesentlich  Gelegenheitsreden ,  welche  er  in  der  mathematischen 
Gesellschaft  in  Jena  beim  jedesmaligen  Abschlüsse  eines  Vereinssemesters, 
oder  sonst  bei  Festlichkeiten  zu  halten  hatte.  Es  ist  gewiss  nur  zu  loben, 
deas  er  als  Stoff  dieser  der  Zeit  nach  ziemlich  weit  auseinanderliegenden 
Vortrige  solche  Gegenstände  wählte ,  welche  ebensowohl  als  ein  Ganzes  be- 
traehtet  werden  können,  als  sie  jeder  für  sich  der  getrennten  Behandlung 
Adlig  nnd  anch  f&r  solche  Zuhörer,  die  nicht  strenge  Fachmathematiker 
waren,  sngänglich  nnd  sogar  interessant  waren.  Das  Gelegenheitliche  lässt 
sieh  dämm  anch  in  der  Anordnung  des  Stoffes  kaum  bemerken  ^  welche  in 


8  Literaturaeitang. 


conseqnenter  Reihenfolge  saerst  die  Quellen  der  mathematiBehen  BegrU 
von  Herbar  fächern  Standpunkte  ans  nnterflucht,  nnd  dieselben  in  d< 
Natorbetrachtung,  m  der  Selbstbeobachtung,  in  der  Metaphysik,  in  di 
Logik  findet. 

So  trennen  sich  von  selbst  vier  Haupttheile  ab:  die  philosopUsd 
Begründang  der  Mathematik  aus  der  Natnrbetrachtnng,  ans  der  Selbstbeol 
achtnng,  die  Mathematik  des  Seins  nnd  die  Mathematik  der  Denkform.  Ni 
der  erste  Theil  wird  weitläufiger  behandelt,  indem  der  Verfasser  die  Durd 
führung  der  späteren  Kapitel  sich  noch  vorzubehalten  scheint.  Beferent  i 
mit  der  Herleitung  mathematischer  Begriffe  aus  der  Erfahrung,  also  ans  d 
Naturbetrachtung,  zu  sehr  einverstanden,  als  dass  er  den  Entwickelungt 
des  Verfassers  nicht  mit  Interesse  gefolgt  wäre.  Trotzdem  gestattet  ui 
der  Zweck  dieser  Zeitschrift  nicht,  uns  hier  auf  eine  ausführlichere  Duste 
lung  einzulassen.  Es  ist  keine  Frage ,  dass  der  Gegenstand  fttr  den  Phil* 
sophen  überaus  wichtig  ist.  Wir  möchten  ihm  namentlich  die  vielfache  P* 
lemik  gegen  Hegel  zur  prüfenden  Würdigung  empfehlen.  Es  ist  nie 
minder  sicher,  dass  der  Mathematiker  das  vorliegende  Werkchen  mit  ein 
gewissen  Spannung  verfolgen  wird.  Aber  auf  die  mathematischen  Lehnn 
thoden  dürften  dessen  Besultate  doch  nur  von  geringerem  Einflüsse  sei 
Das  ist  gerade  das  Eigenthümliche  an  unserer  Wissenschaft,  dass  von  d< 
verschiedensten  Principien  aus  dasselbe  Ziel  erreicht  werden  kann,  wei 
man  nur  consequent  zu  Werke  geht. 

Manches  auch  mathematisch  Neue  und  Ansprechende  wird  übrigei 
der  Leser  doch  an  den  verschiedensten  Stellen  des  Büchleins  finden.  Ref 
rent  will  dabei  besonders  auf  die  vier  letzten  Vorlesungen  aufmerksam  m 
eben,  welche  mit  einigen  der  ersten  Zahlen,  besonders  mit  der  Eins,  Zwc 
Drei,  Vier,  Sieben  und  Zwölf  sich  beschäftigen  und  historisch  interessant 
uns  fast  durchgehend  neue  Zusammenstellungen  und  Hypothesen  bringe 
Unter  den  „Anmerkungen''  folgt  alsdann  noch  eine  ausführliche  Deutui 
der  apocalyptischen  Zahl  G66 ,  welche  dem  Scharfsinne  des  Verfassers  al 
Ehre  macht. 

Es  bleibt  noch  übrig  der  Form  zu  gedenken,  in  welcher  die  Vorlesung« 
vor  uns  hintreten.  In  dieser  dringt  nicht  sehr  zum  Vortheile  des  Werkehe: 
das  Gelegenheitliche  zu  stark  durch.  Wir  glauben,  dem  Verfasser  den  Ka 
geben  zu  müssen ,  bei  Veröffentlichung  der  Fortsetzung  seiner  Forschung« 
jene  Schlusssätze,  welche  den  Gang  der  Betrachtungen  nur  jedesmal  unte 
brechen,  lieber  wegzulassen.  Gesprochen  mögen  jene  Abschweifungen  a 
Ende  des  eigentlichen  Vortrags  von  erheiternder  Wirkung  und  vielleic 
auch  am  Orte  sein.  Gedruckt  machen  sie  sicherlich  keinen  angenehm< 
Eindruck  auf  Jeden ,  den  nicht  persönliche  Erinnerung  zum  dankbaren  L 
ser  macht.  Sie  stören  vielmehr  nur  die  Gesammtwirkung,  welche  der  ems 
Theil  der  Vorträge  hervorzubringen  entschieden  geeignet  ist      Cantor. 


Literatnneitang. 


Sanldhnif  d«r  rotUtii  Wnrsela  algebraiaeher  CUtidiiuig«]!  duroh  S»- 

tonniBantMi  der  CoaffioieataL    Von  Ed.  Fübrstemaü,  Oymnasial- 

lehrer  sa  Harburg.     Marburg ,  Elwert*8che  Universilfttabachhand- 

lung.    18(K). 

In  d^  Yorliegenden  Abbandlang  (35  8.)  giebt  der  Verfasser  eine  neue 

Methode  der  Auflösung  von  solchen  algebraischen  Oleichungen,  deren  Wur- 

leln  sftmmüich  reell  sind.  Diese  Methode  ist  in  mehrem  Besiehungen  merk- 

w1irdi|(  und  verdient  die  Aufmerksamkeit  der  Algebristen,  weshalb  einekurae 

Besdureibung  derselben  den  Lesern  dieser  Zeitschrift  nicht  unwillkommen 

sein  dürfte. 

1 .  Es  sei  f{x)  s=a^+  a^x+  0^0?  +  ..  eine  ganie  algebraische  Func- 
tion von  X  vom  nten  Grade.     Das  System  der  Gleichungen 

/X«)  =  0,  xfix)=0,  a^f{x)^0. .  .,  af''f{x)  =  0 
iit  in  Beaug  auf  die  Ghrössen  x,  af^  cf..,  af^^^^  linear.     Man  kann  also 
ji  —  1  dieser  Grössen,  welche  auf  einander  folgen,  z,  B. 

aas  dem  System 

0  =  0,+  atx  +  a^+  ..  +  a^af, 

0  =  a^  +  a^sf  +  . .  +  fl,-!«"  +  ö,«**^, 

■  ••  •••  .y.  ••• 

elimfaiiren.    Zu  diesem  Zwecke  wird  die  Determinante  piva  Grades  des 
Syttems  a^^      a^^j,  a^^   .     . 

m 
«k-t»       «»-11     «*  •         • 


gebildet,  natflrlich  unter  der  Voraussetzung,  dass  das  Element  a,  verschwin- 
det, wenn  r  ausserhalb  der  Grensen  0  und  n  fUIt.  Dann  multiplicirt  man 
die  obigen  Gleichungen  der  Reihe  nach  mit  den  Coefficienten ,  welche  in 
der  Determinante  su  den  Elementen  der  ersten  Colonne  gehören ,  und  die 
durch  ff  1,1 ,  at.i9  •  •  9  S.<  bezeichnet  werden,  und  findet  durch  Addition 
I)  0=9>fc(a:)  +6|a*^+5,a*'»^*  +  ..  +6^«**^*. 

Hierin  ist  ip^^  (x)  eine  ganze  rationale  Function  von  x  vom  Arten  Grade, 
ulmlich 

9*(«)  =  («0  +  «1«?  +  «t«*  +••+«*«*)  ff,,, 

+  (fl^  +  Ä,a:*+  .  .  +  0^,05*)«,., 
+  {a^  +  .  .  +  «»-««>,,, 
^"  •  *  •        •  •  • 

Die  Function  %tix)  entsteht  aus  der  obigen  Determinante  jEvten  Grades, 
bdem  an  die  Stelle  der  Elemente  a^^^  o^, ,  . .  in  der  ersten  Colonne  die  Ele- 
iwnte 

o,  +  .  .  +  «fc«,   «0«  +  .  .  +  «*-!«*!  «•«•+  •  •+fl»-t«*,  •  • 
geseiat  werden.    Also  hat  man 


10 


Literatanseitcuig. 


n)      9b(x)  = 


09  +  aix+  ä^  + 


«0  >  «M-1 1  *»+t '  • 

+ 

öi5*iH-i>^*+t-  • 

0,    flfc,       flj^t.  . 

«Ol«*»       «M-«*  • 

0,   a^t.Oh     •  • 

■       •     '  •      •  • 

0,  Äfc_,,flfc     .. 

a:  +  ..+ 


«k-1  »  «»  »       «M4  • 

«k-i>  «k-n  «*      • 


«». 


2.    Yergteht  man  nnter  0^1^1.1,  n?»^^,  . .,  ««^  Wurzeln  der  Gleichung 
f(x)  =0,  80  hat  man  nach  (I)  das  System 

0  =  g^(a:jk^|)+  biXÜ:!^+  b^xjfr^'+  .  .  +  b^xClS" 


von  n  —  k  +  l  Oleichongen,  welche  in  Bemg  auf  die  Grössen  fri,  6t, ..  b^^ 
linear  sind.    Die  Besnitante  dieses  lineare^  Systems  ist 


0  = 


05*''    * 


*'M-1 


oder  nach  Division  der  Zeilen 


X, 


0  = 


1, 


^(O 


1, 


oder  nach  Multiplication  der  ersten  Colonne 


ni)     0  = 


9*W, 


1, 


a?, 


«'M-l; 


*^H-« 


p 


©' 


9^»(^Ji 


worin  die  partiellen  Determinanten  c^^  C|^|,  .  .  .  c^  von  p  unabhängig  sind. 

3.  Diese  Gleichung  reducirt  sich  auf  g>n  (x)  =  0,  wenn  p  ins  Unend- 
liche wächst,  unter  der  Voraussetzung,  dass  die  Gleichung  /'(a;)=0  lauter 
reelle  TTarzeln  hat,  und  dass  unter  diesen  Wurzeln  x,^i ,  • . ,  or,  die  absolut 


Literatorzeitung. 


11 


grduton  find.  Die  Übrigen  Wnneln  xT],  x^  •  .,  x^  der  61eicbiiiig^(«)esso 
und  die  Wuneln  der  Gleichung  g>k(x)  =  0. 

Insbeaondere  giebt  g>i  {x)  s=s  0  die  absolut  kleinste  Worselopi  der  Olei- 
chnng  f(x)  =  0,  g>f(x)  =  0  die  2  absolut  kleinsten  Wuneln  Xi,  x^  derselben 
ffleidrang,  9b  (^}  =^*fi  die  3  absolut  kleinsten  Wurzeln  a?i,  Xf,  x,  derselben 
Oleiehung,  u.  s.  f.    Also  bat  man 

IV)  —  «,=      «Oföt.flf--       •       «l»«ll«f 


überhaupt 
(~l)*«n«i,-.a^= 


0,   a„  ö,  , 

«•»  «4>  «»< 
0,    fl„fl4 


«t.  «i»Ö4 

•     •     • 

«1»  «•i«4 


«^»«»»       «M-1 


sur  Berechnung  der  Wurseln  Xt,  x^,  ... 

Diess  sind  die  bedeutsamen  Resultate ,  su  welchen  Herr  Fflrstenau, 
wenn  auch  nicht  auf  dem  hier  angezeigten  etwas  directeren  Wege ,  gelangt 
ist  Herr  Fttrstenau  hat  die  Fälle  absolut  gleicher  Wurzeln  nicht  unbe- 
achtet gelassen,  er  hat  die  successive  Berechnung  von  i^k.i>  ''^».tY  -^».ti  •  • 
angegeben,  und  nach  seiner  Methode  die  Wurzeln  einer  numerischen  Glei- 
chung 4ten  Grades  wirklich  ausgerechnet.'  Die  mitgetheilten  Zahlen  geben 
lu  erkennen ,  was  Herrn  Fttrstenau  entgangen  zu  sein  scheint,  dass  je  zwei 
aufeinander  folgende  unter  den  Werthen 


^»jp-i  ^k,p 


^k,p 


K 


^•^t 


den  gesuchten  Grenzwerth  einschliessen.  Durch  den  Beweis  dieser 
wichtigen  Eigenschaft  wird  Herr  Fttrstenau  seine  Methode  auch  in  prae- 
tischer  Hinsicht  gegen  etwaige  Unterschfttzung  sicherstellen.  Die  bedeu- 
tendste Ergänzung  des  durch  die  neue  Methode  Geleisteten  wttrde  aber  in 
einer  glttcklichen  Discussion  der  Gleichung  (III)  fttr  den  Fall  complezer 
Wurzeln  bestehn. 

Zum  Schluss  kann  ich  nicht  unerwähnt  lassen,  dass  in  Herrn  Fttrste- 
nau*s  Arbeit  zum  erstenmale,  wenn  ich  nicht  irre,  Determinanten  von  un- 
endlichem Grade  in  Anwendung  gekommen  sind.  Dr.  B.  Baltzeb. 


1 2  Literatnrzeitang. 


Lehrbuch  der  Elektridt&t  Von  I.  Gavarbet  ,  Professor  an  der  medicini- 
sehen  Facnltftt  su  Paris,  deutsch  bearbeitet  von  Dr.  Büdolf 
Arendt,  Leipaig,  F.  A.  Brockhaas  1859  3  1  heile  =  4  Lieferun- 
gen k  1  Thaler. 
Das  genannte  Werk  ist  eine  üebersetznng,  die  der  Herr  üebersetier 
mit  eigenen  den  Text  unmittelbar  einverleibten  Anmerkungen  versehen  hat, 
sodass  das  im  Ganzen  986  Seiten  sählendö  Werk  ohne  die  Anmerkungen 
ungefähr  65  Seiten  weniger  einnehmen  würde;  desgleichen  hat  der  Herr 
üebersetser  es  mit  itlr  deutsche  Verhältnisse  passenden  Citaten  versehen. 
Der  behandelte  Stoff  umfasst  das  Gebiet  der  Beibungselektricität ,  des  Mag- 
netismus und  der  elektrischen  Ströme  und  ist  von  den  Herrn  Verfasser  in 
die  4  Abtheilungen  gebracht  werden ,  die  auch  der  Uebersetzer  beibehalten 
hat:  1)  statische  Elektricitftt ,  2)  Magnetismus,  3)  dynamische  Elektricität, 
4)  atmosphärische  Elektricität.  Hinsichtlich  der  weiteren  Eintheilnng  müs- 
sen wir,  um  nicht  zu  lang  zu  werden,  auf  das  Werk  selbst  verweisen,  k5n* 
nen  aber  versichern,  dass  es  eine  gute  didactische  Eintheilnng  ist;  was  die 
Beichhaltigkeit  des  behandelten  Materiales  anbelangt ,  so  lässt  das  Werk 
nichts  zu  wünschen  übrig,  indem  überall  das  Historische  genügend  berück- 
sichtigt ist  und  z.  B.  der  Herr  uebersetzer  auch  den  neuesten  Forschun- 
gen gedacht  hat.  Was  die  Behandlui\g  des  reichlich  dargebotenen  Stof- 
fes anbetrifft,  so  ist  durchgängig  der  Weg  der  Herleitnng  des  Gesetzes  aus 
dem  Experiment  gewählt,  die  Versuche  sind  durch  nette  in  den  Text  ein- 
gedruckte Holzschnitte  (im  ganzen  Werke  456)  erläutert,  von  Mathematik 
ist  daher  wenig  Gebrauch  gemacht,  so  dass  man  beim  Lesen  des  Werkes 
mit  den  Elementen  dieser  Wissenschaft  auskommt.  Die  Ausstattung  des 
Buches  ist  vorzüglich,  Druck  Papier  und  Holzschnitte  lassen  nichts  wün- 
schen übrig.  Sollen  wir  einen  Tadel  aussprechen ,  so  betrifft  er  die  Ein- 
theilnng der  Elektrisirmaschinen  in  solche ,  die  nur  eine  Art  von  Elektrici- 
tät liefern  können  (Scheibenmaschinen)  und  in  solche,  die  gleichzeitig  beide 
Arten  der  Elektricität  liefern  können  (Cylindermaschinen).  Wir  zweifeln 
nicht,  dass  diese  Eintheilnng  nur  davon  herrührt,  dass  man  in  Frankreich 
das  Reibzeug  der  Scheibenmaschinen  nicht  zu  isoliren  pflegt,  endlich  hätte 
wohl  mehr  auf  die  Theorie  der  Elektrisirmaschinen  und  des  Elektrophors  ein- 
gegangen werden  können ,  von  erstem  die  Minderentwickelung  der  negati- 
ven Elektricität,  von  letztern  die  Ursache  der  Tenacität  erklärt  werden 
können.  Ungeachtet  dieser  Ausstellungen,  die  nur  Einzelnes  beti-effen,  ist 
das  Buch  im  Ganzen  ein  sehr  gutes  Buch  und  wir  können  dasselbe  allen 
denen  empfehlen,  die  sich  ohne  Aufwand  bedeutender  mathematischer 
Kenntnisse  gründlich  mit  den  Erscheinungen  der  Elektricität  und  des  Mag- 
tismus  bekannt  machen  wollen.  Dr.  Kahl. 


Literatorseitung.  J3 


Bibliographie. 

Vom  1.  October  bis  1.  December  1800. 


Periodiiehe  Schriften. 

Berichte  Aber  die  Verhandlangen  der  K.  S.  Gesellschaft  der 

Wissenschaften  zn  Leipzig.  Jahrg.  1860, 1  n.  II.  Leipzig,  Hirzel. 

Vi  Thlr. 
Abhandlungen  derK.Akademie  der  Wissenschaften  znBerlin. 

Ans  dem  Jahre  1859.  Mathemat  Abhandinngen  2  Thhr. 

Physikal.  Abhandinngen  8  Thhr. 
Bitinngsberichte  der  K.  Bayr.  Akademie  der  Wissenschaften 

in  München.   1800;  1—3  Heft    München,  Franz.  k  1^  Ngr. 

Abhandinngen  der  K.  Bajr.  Akademie  der  Wissenschaften  zn 

München.  8.  Bd.  3.  Abth.  Ebendas.  2  Thhr. 

Fortschritte  der  Physik  im  J.  1868.   Dargestellt  v.  d.  physikalischen 

Oesellsch.  zn  Berlin.   14«  Jahrg.  redig.  ▼.  0.  Hagen.   2.  Abth.   Berlin, 

Beimer.  2  Thh:. 

KuPFrsB,  A.  T.  Annales  de  fobservaioire physique  centrale  de  Eus- 

tie.   Annie  1857.  Leipzig,  Voss.  7  Thlr. 

KuPPFUty  A.  T.  Correspondance  mStSorologique.  Annde  1858.  Leipzig, 

Voss.  5  Thlr. 

Beine  Mathematik. 

Babtholomaei,  f.  Philosophie  der  Mathematik.  1.  Abth.  enth. 
zehn  Vorlesungen.   Jena,  Luden.  1  Thlr. 

MniAN,P.  Die  Mathematiker  BernonllL  Basel,  SchweighAnser  hi 
Comm.  18  Ngr. 

Stbrh,  M.  A.  Lehrbuch  der  algebraischen  Analysis.  Leipzig, 
C.  F.  Winter.  2  Thlr. 

SoHBiBMEB,  W.  Ueber  unendliche  Beihen  und  deren  Conver- 
genz.    Oratulationsschrift.   Leipzig,  Hirzel.  24  Ngr. 

ZsHFUsa,  G.  Die  Grundzüge  der  Algebra.   Oppenheim a. Bh.,  Kern. 

22  Ngr. 

DoE&K,  H.  0.  Lehrbuch  der  Mathematik.  I.  Bd.,  1.  Tbl.  Arithme- 
tik u.  Algebra.  2.  Aufl.   Berlin,  Weidmännische  Bucbh.  18  Ngr. 

Obossmamn,  H.  Lehrbuch  der  Mathematik.  1.  Theil,  Arithmetik. 
Berlin,  Enslin.  V3  Thlr. 

Matkr,  G.  Leitfaden  zum  Unterrichte  in  der  Elementarma- 
ti k.    4  Aufl.   München,  Lindauer.  27  Ngr. 

SoHULENBURO,  A.  Y.  Die  Auflösung  der  Gleichungen  fünften 
Grades.   Halle ,  Schmidt.  12  Ngr. 


14  Literatorseitang. 


BoROHABDT,  C.  W.  üober  eine  Interpolationsformel  für  eine 
Art  symmetrischer  Functionen.  (Akad.)  Berlin ,  Dttmmler  in 
Comm.  8  Ngr. 

Franke,  T.  Die  Elemente  der  ebenen  Geometrie.  3.  Aufl.  Han- 
nover ,  Helwing.  V4  Thlr. 

Wittstein , Th.  Das  Prismatoid.  Eine  Erweiterung  der  elementaren 
Stereometrie.    Hannover,  Hahn.  ^/s  Thlr. 

Oallenkamp,  W.  Die  Elemente  der  Mathematik.  2.  Anfl.  8.  TheU. 
Iserlohn,  Bädeker.  Vs  Thlt 

Staüdt,  K.  y.  Beiträge  znr  Geometrie  derLage.  S.Heft.  Ntlm- 
berg,  Bauer  &  Raspe.  27  Ngr. 

Salmon,  G.  Analytische  Geometrie  der  Kegelschnitte  mit 
besonderer  Berttcksichtigung  neuerer  Methoden.  Unter 
Mitwirkung  des  Verf.  deutsch  bearb.  von  W.  Fiedler.  Leipzig,  Teub- 
ner.  4  Thlr. 

JouBERT.  Sur  ia  ihSorie  des  fonetiöns  ellipiiques  et  son  applica- 
tion  ä  la  thiorie  des  nombres,   Paris.  20  Ngr. 

Angewandte  Mathematik. 

Lbrot,  C.  f.  A.  Die  Stereometrie,  enth.  die  Anwendungen 
der  darstellenden  Geometrie  auf  Sebattenlehre,  Linear- 
p  ersp e cti  ve  etc.  Aus  dem  Fansös.  von  E.  KIauffmann.  2.  Ausg. 
1.  Lief.     Stuttgart,  Becher.  V4  Thlr. 

BÜHLMANN,  M.  Grundzttge  der  Mechanik  im  Allgemeinen  und 
der  Geostatik  im  Besonderen.  3.  Aufl.  Leipzig,  Amoldische 
Buchh.  2  Thlr. 

Prediger,  C  lieber  die  Genauigkeit  barametrischer  Höhen- 
messungen.    Clausthal,  Grosse.  12  Ngr. 

Schenk,  J.  Anleitung  zur  Berechnung  der  Sonnen-  und  Mond- 
finsternisse, sowie  aller  von  der  Parallaxe  abhängigen 
Rechnungen.     Olmütz,   Neugebauer.  1  Thlr. 

DE  Saint-Robert.  'Eiudes  sur  la  irajecioire  que  d^crivent  les pro- 
jeciiles  ohlongs,     Puris.  iVs  Thlr. 

DuBOis ,    E.    B.     Cours    de    navigation    ei  d^ Hydrographie,     Paris, 

3V3  Thlr. 

BuLARD.  Notice  8UV  VSclipse  totale  du  soleil  du  18.  juillet  1860. 
Paris,  12Vj  Ngr. 

Physik. 

MoussoN,  A.    Die  Physik  auf  Grundlage  der  Erfahrung.    2.  Ab- 

thoilnng:  Physik  des  Aethers.     Zürich,  Schulthess.  28  Ngr. 

Höh, Th.     Elemente  der  physikalischen  Mechanik  für  Gymna- 

•    n  a  8  i  e  n.     Leipzig,  0.  Wigand.  24  Ngr. 


Literaturseitang.  15 


Born,  F.   PbjBikalisches  Bepertorium,  oder  die  wichtigsten 

Sätse  der  elementaren  Physik.   Braunschweig, Vieweg.  Vj*^^*^* 

KoFFBy  K.    Anfangsgründe  der  Physik.    7.  Aufl.    Essen,  Bädeker. 

lV«Thlr. 

Bekttneb«  H.  A.  Leitfaden  für  den  Unterricht  in  der  Physik. 
15.  Anfl.    Breslau,  Max  &  Comp.  Ve  '^^r- 

ILkHH,  F.  Naturlehre  in  einer  Beihe  physikalischer  Indivi- 
duen.    5.  Heft     Frauenfeld ,  Huber.  8  Ngr. 

QuiXTüa  loiLius,  O.  y.  Experimental-Physik.  Ein  Leitfaden  bei 
VortrXgen.     2.  Aufl.    Hannover,  Schmorl  &  v.  Seefeld.  3  Thlr. 

SuBio,  S.  Lehrbuch  der  Physik  ftir  Obergymnasien  und  Oberreal- 
schulen.   Pestb,  Heckenast  2  Thhr. 

Bbsold,  W.  V.  Zur  Theorie  des  Condensators.  Inaug.-Dissert. 
Göttingen,  Vandenhoeck  &  Buprecht  in  Comm»  Vs  Thlr. 

Katahi,L.  Materie,  Aether  und  lebendige  Kraft  Physikalische 
Betrachtungen.  Berlin ,  Bosselmann.  Vs  Thlr. 

KuTiRB,  A.  T.  Becherches  experimeniales  sur  Välasiicit^  des 
mitaux  faiies  ä  Vobservaioire  physique  central  de  Bussie. 
Leipsig,  Voss.  6  Thhr. 

Sü  MoNCBL.  "Etudes  des  lots  des  couranis  ilectriques  au  poini  de 
vue  des  applicaiions  Slectriques*    Paris ,  ffacheUe.  4  Frcg. 


BoriohtifVBf. 

Zufolge  eines  Yersehens  habe  ich  in  meiner  Besprechung  der  Elemente 
derlCathematik  yoa  Dr.  Baltsbb  (Jahrg.  1860,  4.  Heft)  die  Beiheuentwicke- 
kmgen  fOr  ly  und  Aretan  s  als  fehlend  bezeichnet;  dies  ist  dahin  sa  berichtigen, 
dsis  nicht  die  Beihen  für  ly  und  Aretan  x,  sondern  yielmehr  die  Beihen  für  tan  x, 
9iem,  teeXf  esc  x  und  Aresin  x  fehlen.  Die  Folgerang,  dass  des  Verf.  Werk  für 
eine  algebraische  Analysis  sa  wenig  and  für  „Elemente  der  Mathematik'*  ca  Tiel 
eathüt,  bleibt  dabei  ungestört  Soblöxiloh. 


Literaturzeitung. 


Recensionen. 

IiafQis  rar  les  ooordonnte  onrvilignet  et  lern  divenet  applioations.    Par 
O.  Lam^.    (Paris,  Mallet-Bachelier,  1859.) 

Das  Yorstehend  genannte  Werk  scheint  zwar  schon  durch  den  Namen 
»eines  Verfassers  die  Gew&hr  in  sich  zu  tragen ,  dass  es  allgemein  beachtet 
wird;  dennoch  hat  diese  Anzeige  wesentlich  den  Zweck ,  auf  die  Bedeut- 
Simkeit  seines  Inhalts  in  weiteren  Kreisen  aufmerksam  zu  machen ;  viel- 
kicht,  dass  diess  bei  den  Hindernissen,  die  der  Verbreitung  fremdländi- 
scher gelehrter  Werke  noch  immer  entgegenstehen,  doch  nicht  ganz  über- 
fllssig  ist. 

Man  weiss  es ,  dass  der  gelehrte  Autor  mehr  als  Andere  zur  Bearbei- 
tniig  des  bezeichneten  Gegenstandes  berufen  war,  und  man  wird  es  ihm 
Dank  wissen,  dass  er  sich  der  Mühe  derselben  unterzogen  hat.  Knüpft  sich 
doeh  der  Begriff  der  krummlinigen  Coordinaten  durch  das  ausgezeichnetste 
Beispiel  Ton  der  Anwendung  derselben,  durch  die  elliptischen  Coordinaten, 
Tor  Allem  an  seinen  Namen. 

Das  System  der  elliptischen  Coordinaten  in  der  Ebene  bezieht  be- 
kanntlich jeden  Punkt  der  Ebene  auf  zwei  feste  Punkte  derselben ,  indem 
es  ihn  als  den  Durchschnittspunkt  einer  Ellipse  und  einer  Hyperbel  be- 
tiaebtety  welche  beide  jene  Punkte  zu  ihren  Brennpunkten  haben.  Die 
Halbaxen  beider  Curven  dienen  als  Coordinaten  des  Punktes.  Je  zwei 
zaiammengehörige  Curven  des  Systems  sind  in  ihrem  Schnittpunkte  rccht- 
whnklich  auf  einander.  Herr  Kummer  hat  im  XXXV.  Bande  von  Crelle's 
Jonmal  bewiesen ,  dass  confocale  algebraische  Curven  sich  ganz  allgemein 
orthogonal  durchschneiden,  wenn  man  die  PI ücke rasche  Brennpunktsdefl- 
nitton  voraussetzt.  Man  hat  damit  ein  System  rechtwinkliger  Coordinaten, 
in  welchem  die  zu  den  Axen  parallelen  Coordinaten  des  Cartesischen 
Systems  durch  Curven  2.  Grades  und  die  in  den  Axen  gebildeten  Ab- 
schnitte dnrch  die  Halbaxen  derselben  als  durch  ihre  Parameter  ersetzt 
werden. 

ZciUcbrin  r.  Matheinalik  u.  Physik.  VI.  2.  2 


1 8  Literaturzeitung. 


Man  weiss  auch,  dass  das  System  der  elliptischen  Coordinaten  seine 
allgemeine  Gestalt  und  seine  grössere  Bedeutsamkeit  erst  im  Baume  em- 
pfängt. Drei  confocale  Familien  von  Oberflftcben  sweiten  Ghrades  ezistlren, 
durch  jeden  Punkt  des  Raumes  geht  eine  Flltohe  Ton  jeder  Familie  und 
diese  drei  Flächen  sind  in  ihm  zu  einander  orihogonal,  d.  h.  die  Taagentiml- 
ebene  einer  jeden  enthält  die  Normalen  der  beiden  andern.  Die  drei  Ober- 
flächenfamilien  sind  dreiaxige  Ellipsoide,  einfache  und  doppelte  Hyper- 
boloide. 

Ein  einfacher  specieller  Fall  dieses  Systems  ist  das  der  geographiaehen 
Ortsbestimmung  analoge  System  auf  der  KugeloberflSehe ;  die  Kugelflächa 
vertritt  das  dreiaxige  EUipsoid,  die  Meridianebene  das  einfache  und  der 
Breitenkegel  das  doppelte  Hyperboloid;  auch  hier  sind  in  jedem  Punkte 
des  Baumes  die  drei  Coordinaten-Flächen  orthogonal. 

Die  nähere  geometrische  Definition  des  allgemeinen  ellipsoidbehen 
Systems  ist  im  Folgenden  enthalten :  Auf  drei  rechtwinkligen  Azen  Oac^  %,  Ar 
werden  die  Längen  OF  =  0F'=  /,  Of=Of^s:szkl,  0/=  0/' c=  4:7 reepee- 
tivo  aufgetragen  und  die  sechs  Punkte  F^  F\  /*,  f\  S^  $'  als  die  Brennpunkte 
des  Systems  bezeichnet.  Dabei  gilt  die  doppelte  Belation  Ap'bsI — lr*<L 
In  Folge  dessen  können  Fy  F[  als  die  Scheitel  und  f^f'.9^A  die  Braanpunkta 
einer  Ellipse  dienen,  deren  kleine  Axe  alsdann  dtirch  SS  beseiehnet  wM. 
M.Lame  nennt  sie  die  Focal- Ellipse.  Desgleichen  siud /; /^  die  Sdftsi- 
tel  und  F,  F'  die  Brennpunkte  einer  Hyperbel|  welche  der  dsz  Ebene  ange* 
hört  and  deren  imaginäre  Halbaxe  gleichfalls  durch  OS'=^Of  ausgedrttdct 
wird.  M.  Lamö  nennt  sie  die  Hyperbole  ombüicak^  die  Hyperbel  derNa- 
bol-  oder  Kroispunkte;  denn  sie  bezeichnet  allerdings  auf  sämmtli- 
chen  EUipsoidou  die  vier  Kreispunkte,  welche  jedes  derselben  besitzt. 

Von  jeder  der  drei  Oberflächen-Familien  ist  die  erste  Fläche  ebouo  wie 
die  letzte  eben.  Die  Familie  der  zweifachen  Hyperboloide  beginnt 
mit  der  Ebene  der  yz,  und  diese  gehört  in  ihrer  ganxen  Ausdehnung  suihr« 
Sie  durchläuft  mit  immer  wachsendem  Parameter  alle  dieser  Flächen&miilie 
möglichen  Formeu,  um  in  der  Ebene  der  zx  zu  endigen;  jene  Ebene  j^« 
verdoppelt  sich  im  Bewegungssinne  der  orAxe  und  beide  Mäntel  krümmen 
sich  in  cntgegeugesetztem  Sinne ,  beide  schneller  in  der  Bichtung  der  jf) 
als  in  der  der  ;: ;  beide  durchlaufen  den  ganzen  Baum  und  endigen  mit  der 
zweifachen  hyperbolischen  Platte  iu  der  Ebene  der^zo:,  deren  Grenze  die 
Hyperbel  der  Kreispunkte  bildet. 

Mit  der  einfachen  hyperbolischen  Platte,  welche  den  Best  der  rxEbene 
bildet,  beginnt  die  Familie  der  einfachen  Hyperboloide.  Die  Platte 
trennt  sich  im  Sinne  der  ^,  um  ein  Hyperboloid  mit  einem  Mantel  zu  bilden, 
welches  sich  mehr  und  mehr  öffnet  und  krttmmt.  Die  Scheitel  seiner  Kehl* 
ellipse  rücken  von  f\f'  gegen  F^  F'  und  von  0  gegen  /,  f'\  in  dem  Augen- 
blicke, wo  sie  die  Grcnzlage  erreicht  haben,  so  dass  die  Kehlellipse  sich 
m\i  clor  Focal-Kllipse  dockt,   ist  der  bewegliche  Mantel,   nachdem  er  den 


Literaturzeitung.  1 9 


'w»^^»»^^^*»*»^^^y<^^^»v^^^»»^»N^s^»^^«*»«'»^«»«»ww»*»*^^^M^^Mw^^ 


l^nien  Raum  durchlaufen  hat,  am  Ende  seiner  Formenwandelung  angekom- 
cnen.  Der  Asymptotenkegel,  nachdem  er  aus  der  Ebene  der  y;r  heryorge- 
gaagen  sieb  immer  weiter  geöffnet  bat,  verwandelt  sieb  nun  durch  Deckung 
Behner  beiden  entgegengesetzten  Mäntel  zur  Ebene  der  xy,  und  das  einfache 
Hyperboloid  bedeckt ,  ebenfalls  durch  Zusammenfallen  seiner  entsprechend 
entgegengesetzten,  durch  die  Kehl -Ellipse  getrennten  Mantelhälften,  den 
»sserbalb  der  Focal-Ellipse  gelegenen  unbegrenzten  Theil  der  Ebene  xy, 

DieFocal-Ellipse  dagegen  umschliesst  die  elliptische  Platte,  welche  das 
erste  derdreiazigen  Ellipsoide  darstellt,  die  die  dritte  Flächen-Fami- 
lie bilden.  Um  den  Punkt  0  herum  trennt  sich  dieselbe  im  Sinne  der  z  Aze 
in  zwei  Mäntel,  welche  zusammen  ein  sehr  abgeplattetes  Ellipsoid  um- 
seUiessen;  indem  sich  diesd  stets  yergrössert  und  aufbläht,  durchläuft  es  den 
ginzen  Raum  und  endigt  mit  der  Kugel  Ton  unendlichem  Radius  als  dem 
letzten  Oliede  seiner  Familie. 

Indem  man  sich  vergegenwärtigt,  dass  die  Hauptschnitte  der  Ober- 
flächen von  allen  drei  Familien,  während  der  ganzen  Formenwandelung 
stets  die  nämlichen  Brennpunkte  haben,  vervollständigt  man  das  Bild  des 
ganzen  Systems. 

Wenn  x^y^z  die  rechtwinkligen  Coordinaten  eines  beliebigen  Punktes 
smd,  80  stellen  die  Gleichungen 

\Af^  B*       Ct*~    ' 
jfl_il_Ü_/. 

m  Verbindung  mit  den  Relationen 

jf  +  B*  ==l^,J^  +(*=l,C  ~-B*=k'* 
2)  j  A,*  —  B^  =  i^,A,'  +  C,»=  1 ,  B,*  +  C,*  =  k'*    . 
I  A,*  —  B*=zl^,  A*  -  6',»  =  l,Bt*-(V  ==  *'» 
die  drei  OberflXchon-Familien  dar.     Jene  bestimmen  ihre  Gattung,  diese 
ngen ,  dass  sie  confocal  nnd  in  Folge  dessen  orthogonal  sind.    Die  Focal- 
Ellipse  wird  durch  die  Gleichungen 


,t 


^  =  0,0:«  +  ^,=  /« 


und  die  Hyperbel  der  Kreispunkte  durch  die  anderen 

repräsentirt. 

Man  sieht  daraus  auch,  dass  das  ellipsoidale  System  nicht  ein  durch 
die  Grösse  /  einfach  bestimmtes  ist,  sondern  dass  es  fUr  dieselbe  Länge  / 
ebenso  viel  verschiedene  ellipsoidische  Systeme  geben  muss,  als  gebrochene 
Werthe  zwischen  Null  und  Eins  enthalten  sind;  denn  alle  solche  können 

2* 


20  Literaturzeitung. 


dem  Verhältniss  der  Breuupunkts- Distanzen  Of  und  0-^  oder  der  Grösse  A^- 
beigelegt  werden. 

Wenn  k  den  Grenzwertli  Null  hat,  sodass   die  Focaldistans   Of  vcr— 
schwindet,  so  reducirt  sich  die  Hyperbel  der  Kreispunkte  auf  die  Axe  dex- 
z  und  die  Focal-£llipse  auf  einen  Kreis;  die  Familie  der  dreiaxigen  Ellip— 
sode  ist  eine  Familie  von  Umdrehnngs-Ellipsoiden  geworden,  für  welche  die- 
Uauptaxe  mit  der  kleinen  Axe  der  Meridian-Ellipse  zusammenfUlt;    die 
Familie  der  einfachen  Hyperboloide  zu  einer  Familie  der  einfachen  Um> 
drehungs-Hyperboloide  und  die  der  zweifachen  Hyperboloide  zu  der  der* 
Meridian-Ebenen  durch   die  Axe  der  z,    M.  Lamd  nennt  diess  besondere 
System  nach  der  für  dasselbe  charakteristischen  Familie  der  abgeplatteten 
Kotations-EUipsoide  das  System   der  planet  arischen  Ellipsoide. 
Wenn  man  andererseits  dem  k  den  Grenzwerth  Eins  belegt,  sodass  dieFocal* 
distanzenO/undOi^gleich  gross  werden,  so  erhält  man  ein  besonderes  ellipsoi- 
disches  System,  in  welchem  Umdrehungs-EUipsoide,  derenHauptaxe  die  grosse 
Axe   der  Meridian-Ellipse  ist,  zweifache  Umdrehungs-Hyperboloide  und 
Meridian-Ebenen  die  drei  Flächen- Familien   repräsentiren ;    und  welches 
zur  Focal-Ellipse   die  zwischen  den  Punkten  F^  F'  gelegene  Strecke  der 
X  Axe  hat,  während  die  Hyperbel  der  Kreispunkte  sich  auf  die  zwei  jen- 
seits dieser  Strecke  über  F  und  F'  hinaus  gelegenen  Theile  der  x  Axe  re- 
ducirt.    Man  kann  dieses  System  als  das  der  eiförmigen  Ellipsoide 
bezeichnen. 

Lässt  man  dagegen  den  Wertli  k  unverändert  und  denkt  dafür  die 
Länge  /  veränderlich,  so  entspringt  auch  daraus  eine  Vielheit  ellipsoidischcr 
Systeme,  bei  der  einen  Augenblick  zu  verweilen  nützlich  ist  Für  solche 
Systeme  bilden  die  Asymptoten  Kegel  der  confocalen  einfachen  und  zwei- 
fachen Hyperboloide  zwei  orthogonale  Familien  von  Kegelflächen  zweiten 
Grades,  welche  für  alleWerthe  von  /  dieselben  bleiben;  diese  berühren  so- 
mit alle  demselben  Werthe  von  k  entsprechenden  Hyperboloide  der  mög- 
lichen cllipßoidischcn  Systeme  im  Unendlichen;  für  /  =  0  treten  diese  Ke- 
gel selbst  au  Stelle  der  beiden  Familien  von  Hyperboloiden  und  die  Fami- 
lie der  Ellipsoide  wird  durch  eine  Familie  concentrischer  Kugeln  ersetzt. 
Sonach  werden  nun  alle  demselben  Werth  von  k  entsprechenden  ellipsoidi- 
schen  Systeme  von  diesem,  welches  dem  Grenzwerth  /:=0  entspricht,  im  ün- 
endliclicu  berührt. 

Liisst  man  aber  endlich  zu  dem  Werthe  /=  0  die  Grcnzwerthe  k=<\ 
oder  A-=  l  treten,  so  erhält  man  als  den  Systemen» der  plauetarischen  und 
eiförmigen  Ellipsoide  für  den  Werth  /=()  entsprechend  das  gewöhnliclie 
System  der  sphärischen  Coordinaten ,  welches  aus  den  Meridianebenen,  den 
concentrischen  Kugeln  und  den  Breiteukegeln  besteht  imd  in  welchem  dieso 
''[etztereii  den  einfachen  oder  doppelten  Hyperboloiden  entsprechen,  je 
nachdem  man  sie  der  Klasse  der  planetarischen  oder  der  der  eiförmigen  el- 
]i;>.soidjschen  Systeme  beizählen  will. 


Lit(?raturzeitnnp.  21 


Weil  bei  der  Formenwandlung  innerhalb  jeder  Flächenfamilie  von  den 
'Iiedem  derselben  der  ganze  unbegrenzte  Raum  durchlaufen  wird ,  so  ent- 
iTicht  jedem  Punkte  desselben  je  eine  Fläche  aus  jeder  Familie  von  einem 
irch  seine  Constanten  k  und  /  bestimmten  System.  Die  Parameter  dieser 
rei  Flächen  sind  die  Coordinaten  des  Punktes,  in  welchem  jene  sich  ortho- 
>nal  schneiden. 

Das  System  der  ellipsoidischen  Coordinaten  bezeichnet  offenbar  eine 
»ne  Stufe  in  dem  Entwickelungsgange  der  Coordinaten-Systeme.  Man 
U  nacheinander  die  Allgemeinheit  der  Coordinaten-Bestimmung  yer- 
rössert,  indem  man  das  Feld,  auf  welchem  sie  vollzogen  wird,  das  Ele- 
ent,  auf  welches  sie  sich  bezieht  und  durch  dessen  stetige  Reibung  die 
nem  Felde  angehörige  geometrische  Form  erzeugt  wird,  und  die  Bestim- 
lung  dieses  Elements  in  verschiedener  Weise  variirte.  Von  dem  ebenen 
elde  ging  man  einerseits  auf  das  lineare ,  andrerseits  auf  das  sphärische 
od  räumliche  flber;  als  Element  hat  man  nacheinander  den  Punkt,  die  ge- 
ide  Linie,  den  Kreis  betrachtet,  und  in  der  Bestimmungsweise  des  Elements 
it  man  von  den  Coordinaten  des  Cartesius  zu  mancherlei  anderen  Methoden 
ksbesondere  von  linearen  Coordinaten  zu  Verhältniss- Coordinaten  fortgo- 
ihritten;  Abschnitte  von  geraden  Linien  oder  Verhältnisse  solcher  Ab- 
shnitte  haben  immer  die  letzten  Bestimmungsmittel  gebildet.  Doch  müs- 
m  wir  wohl  hinzufügen ,  dass  wir  auch  die  Benutzung  der  Winkel  un- 
sr  dieser  Bezeichnung  mit  verstehen ,  weil  wir  sie  lediglich  als  den  Ans- 
ruck  geradliniger  im  eigentlichsten  Sinne  des  Wortes  unzugänglicher 
trecken  betrachten ,  nämlich  der  in  der  unendlich  entfernten  geraden  Linie 
slegenen. 

Das  ellipsoidische  System  ist  nicht  neu  seinem  Elemente  nach,  es  ist 
in  System  der  Punkt-Coordinaten,  auch  nicht  dem  Felde  nach,  denn  es 
ust  sich  dem  ebenen  und  sphärischen  Felde  sehr  wohl  an  ,  und  ist  eigent- 
ch  in  seiner  vollen  Ausbildung  ein  System  des  räumlichen  Feldes;  seine 
igenthümlichkeit  liegt  ganz  innerhalb  der  Coordinatcnbestjmmung.  Diese 
last  sich  als  eine  Coordinatenbcstimmnng  des  zweiten  Orades  von  den  tibri- 
3D,  als  solchen  des  ersten  Grades  unterscheiden,  ja  sie  repräscntirt  ge- 
idesu  die  allgemeine  Coordinaten-Bestimmung  des  zweiten  Grades  selbst. 
icht  wie  bei  der  Cartesischen  Methode  bestimmt  sich  der  Punkt  als  der 
urchschnitt  dreier  Ebenen,  sondern  als  der  dreier  Oberflächen  zweiter 
rdnung;  nicht  wie  dort  also  sind  es  unveränderliche  Flächen,  sondern 
irftnderliche ,  die  beim  stetigen  Uebergang  von  einem  Punkt  zum  andern 
Ibst  in  einem  stetigen  Fluss  der  Formen  begriffen  sind,  in  einem  Fluss  je* 
>ch ,  den  ein  einfaches  Gesetz  beherrscht.  Dieses  Gesetz  ist  das  der  Con- 
calität  und  in  Folge  davon  das  der  Orthogonalität ;  das  letztere  erscheint 
mit  ans  dem  CartesischenSystem  der  räumlichen  Coordinaten  herüberbe- 
ilten  und  übertragen  auf  Coordinatenflächen  zweiten  Grades. 

Aber  das  ellipsoidische  System  ist  doch  um  eu\  ^<i\fe\j\^^  ^wä^-^^^- 


V2  Litoraturzeitiing. 


rang,  su  der  allgemeinen  Theorie  der  krammlinigen  Coordina- 
ten.  Das  allgemeine  Problem,  welches  dieselbe  in  sich  schliessti  ist  das  Fol- 
gende: Die  dorch  die  G-leichnngen 

gegebenen  Oberflächen  schneiden  sich  unter  rechten  Winkeln,  wenn  die 
Funktionen  /)  bestimmten  Gesetzen  unterworfen  sind;  es  bandelt  sicli 
darum ,  dieselben  aufsustellen  und  geometrisch  lu  interpretiren. 

Die  allgemeine  Auflösung  dieses  Problems  ist  der  Gegenstand  der  er- 
sten Vorlesungen  des  Werks  von  M.  Lam^;  in  der  sechsten  und  siebenten 
beginnt  und  in  der  achten  endet  sodann  die  besondere  Untersuchung  des 
ellipsoidischen  Systems ,  ein  vollstündig  ausgeführtes  Beispiel  cur  allgemei- 
nen Methode.. 

Die  allgemeine  Theorie  beginnt  mit  der  Ableitung  der  Belationen, 
welche  sich  aus  der  Voraussetsung  der  Orthogonalität  ergeben. 

Die  Tangential-Ebene-  der  Oberfläche  ^<  hat  die  Gleichung 

und  die  Normale  derselben  macht,  unter  der  Voraussetzung 

mit  den  Axen  der  x^  y^  z  Winkel,  deren  Cosinus  durch  die  Ausdrücke 

ht    du  ' 
bestimmt  sind.   Weil  nun  die  Normalen  der  drei  in  dem  gedachten  Puikte 
zusammenstossenden  Orthogonal- Flächen  ein  System  von  drei  auf  einander 
rechtwinkligen  Geraden  bilden,  so  müssen  die  cosmus  ihrer  Winkel  ge^n 
das  Originalsystem  die  Relation 

4)  s^la=o,...3 

du  du 
erfEillen ;  so  wie  ferner  die  daraus  abgeleiteten  Relationen 

=)         4  (^)'=  ■■■•'■ 

Diese  Formeln  geben  uns  zugleich  Anlass,  die  Bezeichnnngsweise  des  Ver- 
fassers zu  erwähnen,  in  welcher  unseres  Dafürhaltens  nicht  der  kleinste 
Werthanspruch  des  Buches  beruht. 

Es  bezeichnet  nämlich  u  oder  v  eine  bestimmte  der  drei  Coordinaten 

Xf  1/f  Z',  ü  dagegen  eine  der  laufenden  Coordinaten  Ä,  I\  Z;  q^  oder  p^  bc- 

zeicbnet  eine   der  drei  FtmclioTveiv  9^  (^y^  ^y^'p^^  vwar  beide  yerschiedene 


Literaturzeitung.  23 


Fmetionen,  wenn  sie  neben  einander  Torkommen.  Die  Zeichen  Sund  £ 
bedeuten  eine  Summe  gleichartiger  Grössen  und  iwar  vor  einem  Ausdrucke 
mit  u  die  Summe  der  drei  gleichgebildeten  Ausdrücke  mit  o?,  y,  z  an  Stelle 
von  ti,  vor  einem  Ausdrucke  mit  den  Indices  <  und  i  die  Summe  der  durch 
successive  Vertauschung  der  Indices  0,  ],  2  hervorgehenden  gleichen  Aus- 
drfieke  u.  s.  w.  Alle  diese  Festsetiungen  dienen  dem  Zwecke  der  Abkttr- 
lang  und  zugleich  dem  höheren  Gesetze ,  welches  alle  Algebra  beherrscht, 
Gleichartiges  unter  demselben  Zeichen  zusammenzufassen. 

Damach  ist  die  Formel  1)  entwickelt: 

imd  die  neun  Cosinus  der  Winkel,  welche  in  3)  reprftsentirt  sind,  sind  des 

Nftheren 
l   dg    l    dg     Idgl    dpi     1    dQj     i    dg^  ^    1    dg^     1    dg^     1    dg^ 
h  Ix'  Uly'  h  Tz'  äT  "5^'  ä7  ly'  T^  1^'  Jtlx'T^  1y'  Tt  ~dz' 
Desgleichen  wird  die  Bedeutung  der  h  durch  die  Formel  2)  in  ent-  ' 

wickeltet  G^talt 

v=(^)'-H(tyH-(fey 

gegeben. 

M.  Lama  nennt  diese  drei  Grössen  A,  /^i,  ^  die  Differential- 
Parameter  der  ersten  Ordnung  der  Function  ^,;  er  leitet  für 
dieaelben  aofort  die  Relation 

ab,  in  welcher  ds^  das  Element  der  Normale  der  Oberfläche  p<  bezeichnet, 
und  wornach  sie  die  Grenze  des  Verhältnisses  vom  Wachsthuro 
des  Parameters  gt  beim  Uebergange  zur  unendlich  nahe  be- 
nachbarten Oberfläche  zu  dem  entsprechenden  Wachsthum 
der  Normale  oder  zur  Dicke  der  durchlaufenen  Schicht 
ausdrücken« 

Aus  der  auf  die  Projectionen  des  Elementes  der  Normale  bezüglichen 

Belation 

du         1    dg,  . 

ergibt  sich  dadurch  die  Gruppe 

du  1    dg^ 

l^t^Jf  du' 


2 1  LiteratuEZftitung. 


welche  von  mancberlei  Gebrauch  ist.    Sie  liefert  s.  B.  ohne  Weiterei  auf 

Grund  der  bekannten  Identität 

,du  .du 

a a  — - 

rf^  _       dQf 

^9i  ^9i 

dQi 
die  in  der  Theorie  der  Funetionem  --^  fundamentale  Relation 

du 


Ä«  du  Ä «  du 


0, 


dQj  dQt 

und  weiterhin  die  ebenso  wichtige  andere 

du  du 

dQi  ^     dQi 

Diesen  Differential -Parametern  der  ersten  Ordnung  treten  sofort  die 
Differential-Parameter  der  zweiten  Ordnung  lur  Seite,  die  Sum- 
men der  zweiten  Differential  -  Quotienten  der  Function  ^^  nach  x,  y,  2, 
welche  durch 

^9i   ,    ^Qi    ,    ^Qi 
da^'^  dy^  ^  dz^ 

repräsentirt  sind;  beide  besitzen  die  auszeichnende  Eigenschaft,  für 
jeden  Wechsel  rechtwinkliger  und  geradliniger  Coordina- 
ten  dieselben  Formen  zu  behalten  und  für  jeden  Punkt  die- 
selben numerischen  Werthe  zu  reproduciren.  M.  Lam^  fftbrt 
fdr  beide  unter  Anwendung  des  Buchstaben  F  für  die  Function  die  Bezeich- 
nungen ^,F,  jd^F  ein. 

Er  zeigt  zunächst  in  der  zweiten  Vorlesung,  dass  sie,  auf  krummlinige 
Coordinatcn  bezogen,  denselben  Charakter,  die  nämliche  Unabhängigkeit 
besitzen.  Er  knüpft  die  Definition  der  -^,(>,  an  die  der  h^  durch  die 
Formeln 

^   ^  rf—  d  — 

AQ  —  ÄÄjÄ,  -^— ,  J^Qi  =  M,Ä,  — --,  z/,^,    -.  h  hji^  -j-^  y 

die  mittelst  der  Substitution 

hhji^'=  (0 
in  eine  zusammcngefasst  werden  : 

4 


und  die  andere  J^F=^  a>  27 


CO  d^^ 


dQi 

Wenn  die  Familien  der  Orthogonalfiäclien  die  Systeme  dreier  Ebenen  wie 
w  der  Methode  des  Cartesius  darstellen,  so  sind  die  Differential- Parameter 


Literaturzoitung.  25 

der  ersten  Ordnung  alle  der  Einheit  gleich  nnd  diese  Definitionen  führen 
in  der  oben  erwähnten  zurück ,  indem  sie  ihr  die  Form 

geben. 

Die  dritte  Vorlesung  führt  in  das  Studium  der  Krümmungen  der  Ortho- 
gonal-FIftchen  ein;  sie  stellt  in  den  Vordergrund  das  Theorem  von  Dupin, 
nach  welchem  in  jedem  Orthogonal-System  die  Oberflächen 
iweier  Familien  auf  einer  Oberfläche  der  dritten  Familie 
alle  Krttmmungslinien  verzeichnen.  Die  Bestimmung  der  entspre- 
chenden Krümmungshalbmesser  folgt  und  liefert  einen  merkwürdigen  Aus- 
druck ftir  die  Summe  beider  Hauptkrümmungen  derselben  Oberfläche  oder 
für  die  Orösse,  welche  Gauss  als  die  sphärische  Krümmung  bezeich- 
net hat. 

Der  allgemeine  Ausdruck  der  sechs  Krümmungen  der  drei  durch  den 
betrachteten  Punkt  gehenden  conjugirten  Oberflächen  wird  in  der  Form 

1    _h,dhj 

gegeben ,  so  dass  die  einzelnen  Werthe  sind 

^  _h_dh,   1 ^dh^.   L  —  ^^L    -b  1^. 

r^~  h  dQ^  ri~  h^dq^' 

Dazu  stellen  wir  die  Belation    ——  =  — ^ 

ds^        dQt 

aus  dem  Früheren. 

In  den  gewählten  Bezeichnungen  ist  der  Index  t  der  der  Oberfläche,  der 
Accenty  der  des  Bogens,  unds,  s^^  s^  bezeichnen  die  Bögen,  welche  aus 
dem  Durchschnitt  der  Flächen  ^i,  ^2;  ^1,^;  ^,  ^1  respective  hervorgehen. 
Die  Unterscheidungen  von  Krümmungen,  die  nach  dem  Bogen  und 
von  Krümmungen,  die  nach  der  Oberfläche  conjugirt  sind, 
erklärt  sich  darnach  von  selbst;  die  Paare  von  Krümmungen,  für  die  keines 

von  beiden  gilt,  wie  z.  B.  — ,  -t/ werden  als  reciproke  bezeichnet.  M.Lam^ 

r^  r  ^ 

fügt  dem  noch  drei  ans  derselben  allgemeinen  Formel  entspringende  Aus- 
drücke bei ,  die  auch  Krümmungen  bezeichnen  und  aus  der  Voraussetzung 
gleicher  Indices  und  Accente  hervorgehen ;  nämlich 
1  _dh    1  _dh^*2.       ib 

Weil  sie  bei  einer  Aenderung  des  Parameters  ihreuAusdruck  ändem,werden  sie 
alsparametrischeKrümmungen  von  den  übrigen  unterschieden.  Dieser 
Reichihum  vonBenennungen  und  die  scharf ellnterscheidung  der  Vorzeichen  der 
Krümmungen  geben  dieFüglichkeit  zum  präcisen  Ausdruck  allgemeiner  voidttCL 


Literaturzeitung. 


analytischen  Ergebnissen  enthaltenen  Gesetze,  s.  B.  für  den  oben  erwähnten 
Ausdruck  der  sphfirischen  Krümmung:  DasVerhältniss  der  beidenDif- 
ferential Parameter  der  Function  ist  gleich  demüeberschuss 
der  parametrischen  über  die  sph&rische  Krümmung  in  jedem 
Punkte  der  durch  sie  reprftsentirten  Oberflächen.  Dieparame- 
trische  und  sphärische  Krümmung  sind  gleich,  wenn  der  Dif- 
ferential-Parameter der  sweitenOrdnung  gleichNull  istii.8.w. 
In  der  vierten  Vorlesung  bilden  femer  die  Krümmungen  der  Durch- 
schnitts-Curven  der  conjugirten  Oberflächen  den  Gegenstand  der  Untersu- 
chung; mit  der  Erörterung  ihrer  geometrischen  Darstellbarkeit  und  der  Be- 
gründung Ton  Ausdrücken,  wie  Composante,  Projection  einer  Krümmung 
oder  Resultante  mehrerer  Krümmungen  beginnend,  giebt  M.  Lam^  sodann 
durch  eine  schöne  geometrische  Erörterung  den  Beweis,  dass  die  neun 
Krümmungen  der  Oberflächen,  welche  den  Gegenstand  der 
vorigen  Vorlesung  bilden,  als  die  Projectionen  von  drei 
durch  denAusdruck  ^i^< 

gegebenen  resultirenden  Krümmungen  auf  die  Normalen  dcr 
Oberflächen  angesehen  werden  dürfen,  und  dass  die  Cosinus  der 
von  ihren  Bichtungen  mit  den  u  eingeschlossenen  Winkel  durch  die  Aus- 
drücke 

hi       du 
AK     dQi 
bestimmt  sind. 

Von  der  eigenthümlichen  Krümmung  p  des  Bogens  s  wird  alsdann  be- 
wiesen, dass  ihr  Quadrat  mit  der  Summe  der  Quadrate  der  bei- 
den in  diesem  Bogen  conjugirten  Krümmungen  der  Ortho- 
gonal-Flachen äquivalent  i s t  und  darnach  geometrisch  die  Berechti- 
gung des  Ausdrucks  dargethan,  nach  welchem  die  eigenthümliche  Krüm- 
mung des  Bogens  s  die  Resultante  der  in  diesem  Bogen  congugirten  Krüm- 
mungen der  Orthogonal-Flachen  ist.  Die  Bestimmung  der  Centra  der  resul- 
tirenden Krümmung,  die  Ableitung  der  gegenseitigen  Beziehungen  zwischen 
denselben  und  die  Bestimmung  der  Krümmungen  der  Oberflächen  aus  ihnen 
bilden  die  ferneren  Zielpunkte  der  Vorlesung. 

Der  Beschluss  der  allgemeinen  Theorie  der  Orthogonal- Systeme  wird 
in  der  fünften  Vorlesung  gemacht.  Die  Functionen  hi  müssen  nämlich  sechfl 
partielle  Differentialgleichungen  bewähren ,   zu  denen  man  gelangt ,  indem 

man  die  Bedingungen  der  Integrabilität  der  Cosinus  ( —  ^J    der  Winkel 

ausdrückt ,  welche  die  feste  Achse  der  u  mit  den  Normalen  der  conjugirten 

Orthogonalflächen  bildet 4  mit  der  Bezeichnung  -^  =  Bi  sind  dieselben  in 

der  enten  Gruppe 


LiteratQrzeitung.  -  27 


dQjdQ^  ~  Hi  dQi    dQ^         H^  dQu  cf^/ 
und  in  der  zweiten 

jl  äEj        .±dH, 
Bj  dg,  EjdQj    .    ±dE^  dE,^^ 

dQi  dgj  jy»*  dQi,    d^» 

enthalten,  in  denen  t,  j,  k  stets  die  Gruppe  der  drei  Indices  0  (wird  nicht 
gesehrieben),  1,  2  yollständig  vertreten. 

Mit  Hofe  der  früher  eingeführten  Begriffe  lassen  sich  nnn  diese  Diffe- 
rentialgleichungen,  nachdem  man  sie  durch  die  Bogen-Elemente  ds^xmä 
die  sechs  EjTÜmmungshalbmesser  r^^^'  ausgedrückt  hat,  geometrisch  interpre- 
tiren  und  werden  als  einfache  Gesetze  erkannt,  welche  die  Krümmungen 
der  Orthogonal-Flftchen  und  ihre  Veränderungen  regieren.  So  liefert  die 
zweite  Gruppe  derselben  die  neue  Reihe 

7p^  +  w  +  W  -  "dir  +  "d^  . 

und  damit  das  Gesetz:  Das  Product  beider  Krümmungen  dersel- 
ben Oberfläche  vermehrt  um  die  Summe  der  Quadrate  der 
ihnen  im  Bogen  conjugirten  Krümmungen  ist  der  Summe  der 
Variationen  dieser  letztern  Krümmungen  nach  ihren  reci- 
proken  Bogen  gleich. 

Die  erste  Gruppe  liefert  ebenso  das  Gesetz:  Die  Variation  einer 
Krümmung  nach  dem  zu  ihrer  Ebene  normalen  Bogen  ist 
gleich  dem  Product  der  ihr  im  Bogen  conjugirtenKrümmung 
in  ihren  Ueberschuss  über  die  ihr  der  Fläche  nach  con- 
jngirte  Krümmung,  d..i. 


J^         1    /l    _     1\ 


Eine  Gruppe  abgeleiteter  Gesetze  schliesst  sich  daran  an  und  den 
SchluBs  der  Vorlesung  macht  die  Begründung  derjenigen  partiellen  Diffe- 
rential-Gleichungen, welche  die  geradlinigen  Coordinaten  ti,  als  Functionen 
der  krummlinigen  ^<  betrachtet,  erfüllen  müssen. 

Die  folgenden  drei  Vorlesungen  enthalten  sodann ,  wie  wir  schon  ge- 
sagt haben,  als  ein  vollständig  durchgeftihrtes  Beispiel  von  der  Anwendung 
der  allgemeinen  Theorie  die  Untersuchung  des  ellipsoidischen  Sy- 
stems. Sie  besteht  natürlich  wesentlich  in  der  Integration  der  vorher  er- 
wähnten partiellen  Differential- Gleichungen  und  hat  die  Aufgabe,  zu  zeigen, 
wie  bestimmten  Zwecken  gegenüber  die  Entwicklung  des  geeignetsten  Or- 
thogonalsjstems  aus  den  allgemeinen  Gesetzen,  welchen  alle  solche  Systeme 
unterworfen  sind,  geschehen  kann,  nachdem  in  den  vorigen  Entwickelungen 
immer  nur  an  den  bekannten  Beispielen  orthogonaler  Syttemft^  di^tOL  «^^^brc- 


28  Literaturzeitung. 

sehen  Systeme  und  gewissen  cylindriscben  und  conisclien  Systemen,  die  Be- 
währung der  gefundenen  allgemeinen  Gesetze  a  posteriori  hatte  nachgewie- 
sen werden  können.  Sie  bildet  durch  Klarheit  und  Präcision  der  Entwicke- 
lung  die  glänzendste  Parthie  des  Werks  und  ist  auch  #  dadurch  von  beson- 
derem Werthe,  dass  sie  die  Methode  darlegt,  durch  welche  M.  Lam^  selbst 
zu  den  elliptischen  Coordinaten  geführt  worden  ist,  dass  man  also  darin  den 
schöpferishen  Gedankengang  eines  ausgezeichneten  mathematischen  Den- 
kers im  Einzelnen  verfolgen  kann.  Es  ist  jedoch  unmöglich,  auszugsweit^e 
davon  eine  Anschauung  zu  geben;  wir  wünschen,  dass  recht  Viele  durch 
die  vorhergehenden  Andeutungen  zu  dem  Studium  des  Werkes  selbst  sich 
mögen  anregen  lassen. 

Wir  können  dabei  eine  Anmerkung  nicht  unterdrücken,  die  nur  schein- 
bar von  dem  Gegenstande  dieser  Anzeige  abführt  M.  Lam^  hat  in  seinen 
^jLe^ons  sur  les  foncHons  inverses  des  iranscendentes  et  les  surfaces  isaihermes^^ 
(Paris  1857)  das  System  der  elliptischen  Coordinaten  synthetisch  einge- 
geführt.  {Lefons  VIII,  IX.)  Die  Orthogonal-Flächen  des  elliptischen  Sy- 
stems erscheinen  dort  als  Isotherm- Flächen  und  die  Grössen  A,  B,  C,  Ai,  5„ 
u.  s.  w.  als  die  invorsen  Functionen ,  welche  die  vorhergehenden  Vorlesun- 
gen einführten.  Die  Variabein  dieser  letzteren  bilden  ein  neues  Coordina- 
ten-System,  welches  dem  weitem  Fortschritt  der  dort  geführten  Untersuchung 
sehr  förderlich  ist.  Die  Vergleichung  jenes  Werkes  mit  dem  gegenwärtigen 
ist  im  höchsten  Grade  lehrreich. 

Die  Theorie  der  Wärme  bildet  dort  den  Ausgangspunkt  der  Unter- 
suchung.    Die  Gleichung  J^  F  =  Oj 

in  welcher  die  Grösse  ^t^  ^^^  ^^  ^^^  Früheren  betrachtete  Differential- 
Parameter  der  zweiten  Ordnung  von  F  ist,  erscheint  hier  als  die  Bedingung 
des  Gleichgewichtes  der  Temperatur ;  wenn  alsdann  b  ein  bestimmter  Werth 
der  Function  F  ist,  F  =  f  (x^  y,  z)  =  f, 

so  repräsentirt  diese  Gleichung  eine  Isotherm- Fläche,  d.  i.  den  Ort 
aller  der  Punkte  des  betrachteten  Baumes,  die  dieselbe  Temperatur  e  haben. 
Der  Parameter  e  bestimmt  eine  besondere  Oberfläche  der  durch  die  obige 
allgemeine  Gleichung  dargestellten  Familie  von  Isotherm -Flächen  und 
M.  Lam^  nennt  ihn  den  thermometrischen  Parameter  derselben.  Da  fär 
die  analytische  Theorie  der  Wärme  die  Betrachtung  von  Isotherm-Flachen 
von  fundamentaler  Wichtigkeit  ist,  so  hat  die  Aufsuchung  des  Kennzeichens 
der  Isothermie  —  denn  nicht  alle  Flächen  sind  im  Allgemeinen  Isotherm- 
Flachen  ,  sondern  sie  werden  es  nur  unter  besonderen,  von  ihren  geometri- 
schen Parametern  erfüllten  Bedingungen  —  besondere  Bedeutung.  Die 
Aufsuchung  dieser  Bedingungen  liefert  das  merkwürdige  Ergebniss,  dass 
den  speciellen  Fällen  der  Oberfläche  zweiten  Grades  die 
sämmtlichen  elementaren  Tr an scendenten  des  Integral -Cal- 
culs  als  s  olche  Bedingungen  entspringen  ;  nämlich  beispielsweise 
wie  folgt:  Kreis -Cylinder  x*  +  1/  =  k*  odet  Umdrehungs-Paraboloide 


LiteraturzeituDg.  29 

y«  +  2«  =  2Xx  +  k^ 
lind  isotherm,  wenn  X  =:  ae^, 

(logarithmiSche  Transcendento) ;  elliptische  and  hyperbolische  Cy linder 


-i.        ^        —  1 

wenn 

<•»  -  f~* 

und  somit 

l/A«      c»— c. 

2 

ist  (st>tu5  nnd  cosinus,  sowie  hyperbolische  ^i'/im^  und  cosinus).  In  solcher 
Weise  entsprechen  den  hyperbolischen  Cylindern  und  den  planetarischen 
Ellipsoiden  die  trigonometrischen  und  den  Umdrehnngs-Hyperboloiden  und 
den  eiförmigen  Elipsoiden  die  Exponential-Fnnetionen  als  Bedingungen 
der  Isothermie. 

Wenn  man  aber  dieselben  Bedingungen  für  die  allgemeinen  Oberflächen 
des  swoiten  Grades 

A«  ^  A«-^  ^  ;i*— c"* 

aufsucht,  so  erhält  man  die  elliptischen  Functionen  und  erkennt,  dass 
dieselben  angesehen  werden  können  als  die  geometrischen 
Parameter  der  allgemeinen  Oberflächen  zweiten  Grades,  in- 
slofern  dieselben  Isothormf  lachen  sind.  Das  Studium  dieser  Func- 
tionen, ihre  Theorie  von  diesem  mathematisch-physikalischen  Gesichtspunkte 
ans,  bildet  den  Inhalt  jenes  Werkes;  dieBntdeckungenvonEuler,  Abel  und 
Jaco  b  i  ergeben  sich  im  lichtvollsten  und  überraschendsten  Zusammenhange. 

Und  diese  mathematisch-physikalischen  Gesichtspunkte  sind  auch  dem 
gegenwärtigen  und  bis  jetzt  neuesten  Werke  des  Verfa:jsers  —  hoffentlich 
vervollständigt  er  seine  Publicationen  rocht  bald  durch  die  „analytische 
Theorie  der  Wärme*^  —  nicht  fremd;  im  Gegentheil  sie  beherrschen  es  und 
wir  würden  unsere  Pflicht  als  Referent  nur  halb  erfüllen,  wenn  wir  nicht 
die  umfassenden  Gesichtspunkte  und  die  Einzelausfdhrungen  desselben, 
lo  weit  es  in  aller  Kürze  möglich  ist,  darlegen  wollten. 

Denn  die  Theorie  der  krummlinigen  Coordinaten  ist  nicht  nur  aus  der 
mathematischen  Physik  hervorgegangen,  sondern  sie  hat  auch  in  derselben 
ihr  eigentliches  Gebiet,  findet  dort  ihre  bedeutendsten  Anwendungen. 

Und  das  gegenwärtige  Werk  muss  gewiss,  so  bedeutend  es  auch  in 
rein  mathematischer  Beziehung  ist,  noch  höher  gestellt  werden,  als  eine 
Studie  zur  mathematischen  Physik  betrachtet;  als  solche  ist  es  von 
seltenem  W^erthe  und  dem  Studium  aller  derer  dringend  zu  empfehlen,  die 
sich  für  den  Fortschritt  derselben  gründlich  interessiren. 

M.  Lamd  beginnt  sein  Werk  mit  dem  Begrifi*e  der  Punkt- Function , 
den  er  auf  jede  Grösse  anwendet,  flie  in  jedem  PuixklCi  i\o*  W^^ätX.^\v  ^\^x 


:^0  Literaturzeitang. 


unbegrenzten  Raumes  einen  besonderen  und  bestimmten  Werth  hat;  eine 
solche  variirt  stetig  von  einem  Punkte  zum  andern  und  ist  in  jedem  Coordi- 
naten-Sjstem  ausdrückbar.  * 

Wenn  man  alle  diejenigen  Punkte  des  Raumes  denkt,  ia 
welchem  dieselbe  den  nämlichen  numerischen  Werth  be- 
sitzt, so  erhältman  eineFläche,  und  die  allgemeine  Voraus- 
setzung der  Constanz  liefert  eine  Familie  solcher  Flächen, 
die  den  Wirkungsraum  der  Punkt- Function  erfüllt. 

In  einer  im  Gleichgewichte  befindlichen  Flüssigkeit  entspricht  jedem 
Punkte  ein  Druck  normal  zu  allen  den  Flächen-Elementen,  denen  angehö- 
rig dieser  Punkt  angesehen  werden  kann  und  für  alle  von  derselben  Inten- 
sität; dieser  Druck  ist  die  Punkt-Function  der  Hydrostatik,  ein  bestimmter 
Werth  kommt  ihr  für  alle  Punkte  einer  bestimmten  Oberfläche  zu,  in  wel- 
cher jeder  Punkt  die  Eigenschaft  besitzt ,  dass  die  Richtung  der  Resultante 
aller  äusseren  Kräfte  mit  seiner  Normale  zusammenfällt,  und  ihre  Constans 
im  Allgemeinen  liefert  eine  Familie  solcher  Oberflächen ,  welche  den  gan- 
zen von  der  Flüssigkeit  eingenommenen  Raum  erfüllen.     Es  ist  die  Fami- 
lie der  Niveau-Flächen. 

Wenn  man  nach  dem  Gesetz  der  allgemeinen  Schwere  für  einen 
Punkt  des  Raumes  die  Summe  bildet,  deren  Glieder  die  Quotienten  sind 
aus  den  Massen  aller  übrigen  Punkte  des  Raumes  durch  ihre  respecti- 
ven  Entfernungen  von  ihm ,  so  erhält  man  diejenige  Punkt  -  Function, 
welche  als  die  Potential -Function  in  der  Gravitations-Theorie  bezeichnet 
wird,  und  deren  partielle  Differentiale  die  Composanten  der  Attraction  lie- 
fern. Sie  hat  für  alle  Punkte  einer  gewissen  Oberfläche,  die  zugleich  überall 
zur  Resultante  der  Attraction  normal  ist,  denselben  Werth  und  ihre  Con- 
stanz im  Allgemeinen  bezeichnet  die  Familie  dieser  Oberflächen,  gleichfalls 
Niveau-Flächen  genannt,  die  den  Raum  erfüllen. 

In  dem  Gleichgewichtszustand  der  Wärme  ist  die  Temperatur  die  Punkt- 
Function  und  ihre  Constanz  deflnirt  die  Familie  der  Isotherm -Flächen. 

Wenn  man  endlich  zu  den  drei  Veränderlichen,  welche  die  Coordinaten 
repräsentiren,  die  Zeit  als  eine  vierte  hinzufügt,  so  entspricht  jedem  andern 
Zeitpunkt  eine  neue  Familie  jener  Flächen  und  die  Gleichung  zwischen  ihnen 
ist  der  Ausdruck  des  Bewegungszustandes,  dnrch  welchen  die  Fa- 
milien des  pächsten  Augenblicks  aus  denen  des  gegenwärtigen  hervorgehen. 

Man  sieht,  j enem  Gebiete  der  Punkt-Function  mit  drei  Ve r- 
iinderlichen  fällt  die  Statik  in  allen  Gebieten  der  mathemati- 
schen Physik  anheim;  das  Hinzutreten  der  Zeit  als  einer  vier- 
ten Veränderlichen  beherrscht  die  Dynamik  der  nämlichen 
Erscheinungs- Gebiete;  sie  wird  die  Auflösungen  der  Probleme  der 
himmlischen  Mechanik  vervollständigen,  sie  nmfasst  die  Hydrodynamik,  die 
Theorie  der  tönenden  und  leuchtenden  Wollen,  die  der  Erwärmung  und  Ab- 
käblung  der  Körper. 


Literaturzeitung.  31 


Wenn  nun  —  um  den  analytischen  Vorgang  kurz  zu  zeichnen  —  in 
einem  dieser  verschiedenen  Zweige  der  mathematischenPby- 
sik  eine  Untersuchung  zu  führen  ist,  so  best  eben  die  Data  des 
Problems  einerseits  in  einer  Oruppe  von  partiellen  Differen- 
tial-Gleichungen der  zweiten  Ordnung,  welche  die  beherr- 
schenden physikalischen  Gesetze  reprAsentiren,  anderer- 
seits in  gewissen  Differential  -  Gleichungen  der  ersten  Ord- 
nung, welche  dieselben  Functionen  für  die  an  der  Oberfläche 
des  betrachteten  Körpers  gelegenen  Punkte  zu  erfüllen  ha- 
ben. Man  macht  die  dadurch  geforderte  Integration  mög- 
lieh, indem  man  ein  Coordinatensystem  wühlt,  in  welchem  die 
Punkte  der  Oberfläche  durch  dieConstanz  einer  der  Co ordi- 
naten  repräsentirt  werden;  so  beim  reetangulären Prisma  mit  Hilfe 
der  rechtwinkligen  Cartesibchen,  beim  geraden  Cylinder  mit  Hilfe  der  Polar- 
Coordinaten;  so  entsprang  der  Behandlung  von  Fragen  über  die  Kugel  das 
System  der  sphärischen  und  derjenigen  von  solchen  über  das  EUipsoid  das 
der  allipsoidischen  Ooordinaten. 

So  hat  insbesondere  die  Untersuchung  des  Wärmezustandes  im  drei- 
axigen  EUipsoid  M.  Lam^  auf  die  ellipsoidischen  Coordinaten  geführt. 
Die  drei  Flächenfamilien  desselben  sind  nicht  nur  confocal  und  orthogonal, 
sondern  auch  isotherm,  so  dass  sich  auf  sie  der  Begriff  der  thermometrischen 
Parameter  überträgt. 

Aber  am  vollständigsten  wird  doch  gerade  der  allgemeine 
Begriff  des  krummflächigon  Orthogonal-Systems  gefordert 
durch  die  mathematische  Theorie  der  Elastieität,  weil  die 
Gesetze,  die  das  innere  Gleichgewicht  eines  festen  Körpers 
regieren,  selbst  auf  die  Betrachtung  dreier  Familien  von  Or- 
thogonalflächen hinführen.  Im  Zustande  des  elastischen  Gleichgewich- 
tes entsprechen  nämlich  jedem  Punkte  des  festen  Körpers  drei  und  nur  drei 
n  einander  rechtwinkliche,  ebene  Elemente,  aufweiche  die  elastischen  Kräfte 
normal  wirken;  sie  verändern  ihre  Lage  von  einem  zum  andern  Punkte  ste- 
tig und  bilden  so  die  drei  Familien  von  Orthogonal  flächen,  welche 
H.  Lam^  unter  dem  Namen  eines  isostatischen  Systems  zusammen- 
gefasst  hat.  In  der  nahe  liegenden  Bemerkung,  dass  die  Parameter  der 
drei  dem  nämlichen  Punkte  entsprechenden  Orthogonal  -  Flächen  des 
Systems  eben  diesem  Punkte  charakteristisch  angehören  und  deshalb  als 
seine  Coordinaten  angesehen  werden  können,  liegt  der  Ursprung  zur  Idee 
der  allgemeinen  krummlinigen  Coordinaten.  Eben  weil  hier  —  wir  be- 
merken es  beiläufig  —  die  Anwendung  der  krummlinigen  Coordinaten  der 
Orthogonal-Systeme  so  ganz  die  eigentliche  Natur  der  Sache  ausdrückt,  be- 
gegnet die  Auflösung  des  allgemeinen  Problems  über  das  elastische  Gleich- 
gewicht des  rectangniäron  Prisma's  so  unüberwindlichen  Schwierigkeiten. 

So  ist  denn  das  ^tinze,  Werk  von  n\a\,\i^\\\Ä\.\%^\L-'^\i'^ vC^ii.^- 


32  Litcraturzeitung. 

lischen  Gesichtspunkten  beherrscht.  Und  so  ist  es  natürlich,  dass 
man  für  jene  in  der  allgemeinen  Theorie  der  krummlinigen  Orthogonal- 
Systeme  so  bedeutsam  hervortretenden  Functionen,  die  ab  Dififerential-Pa- 
rameter  der  ersten  und  zweiten  Ordnung  erschienen  und  welche  die  constan« 
ten  vom  Coordinatensystem  unabhängigen  Relationen  der  Elrümmungen  des 
Orthogonalsystems  beherrschen,  auch  nach  ihrer  physikalischen  oder  so  zu 
sagen  natürlichen  Definition  sucht.    Wir  stellen  sie  zusammen. 

Der  erste  Differential-Parameter  der  Potential-Function  in  der  Theorie 
der  Gravitation  ist  die  Resultante  der  auf  die  Einheit  der  Masse  ausgeüb- 
ten Attractionen,  und  in  der  Hydrostatik  ist  der  erste  Differential-Parame- 
ter des  Drucks  dem  Producte  der  Resultante  der  äusseren  Kräfte  in  die 
Dichtigkeit  gleich.  Man  kann  daher  den  Differential- Parameter 
der  ersten  Ordnung  einer  solchen  Punkt-Function  wohl  ah 
die  Kraft  bezeichnen. 

Der  Begriff  des  Differential-Parameters  der  zweiten  Ordnung  entspriogt 
am  directesten  aus  der  analytischen  Theorie  der  Wärme;  wenn  man  die 
Wärmebewegung,  d.  i.  die  Wärmezunahme  und  den  Wärmeverlust,  innerhalb 
eines  rechtwinkligen  Elementar-Parallelepipedea  von  den  Seiten 

während  der  Zeit  di  und  bei  der  Temperatur  F  ausdrückt,  so  findet  man 

di  dQi        ' 

wo  k  die  von  der  Dichtigkeit,  der  specifischen  Wärme  und  dem  Leitungs- 
vermögen des  Körpers  abhängende  Constante  ist,  für  die  allgemeine  Glei- 
chung. Dieselbe  zeigt,  dass  das  Wachsthum  der  Temperatur  in  jedem 
Punkt  mit  dem  zweiten  Differential  -  Parameter  derselben  übereinstimmt. 
In  der  Unabhängigkeit  dieses  Wachsthums  vom  Coordinaten- System  erblicken 
wir  den  physikalischen  Ausdruck  von  der  gleichen  Unabhängigkeit  des 
Differential-Parameters  der  zweiten  Ordnung.  Man  kann  deni- 
gemäss  diesen  letzteren  etwa  als  das  Wachsthum  oder  als  die  calo- 
rische  Acceleration  bezeichnen.  Man  sieht,  wie  direct  sich  als  die 
Definitionder  Isotherm  -  Flächen  die  Bedingung 

J^F  —  O 
orgiebt. 

Die  nämliche  Gleichung 

^,  F=() 

ist  die  allgemeine  Gleichung  in  der  Theorie  des  Potentials.  In  der 
tiUgemeinen  Theorie  der  Elasticität  fester  homogener  Kör- 
per bewähren  die  Projectionen  der  molekularen  Lagenveränderung  und  die 
Ooinposanten  der  elastischon  Kräfte  im  Gleichgowichtszuslande  dio  allge- 
mrino  Gleichung  A^  .  /1^F=^^^ 


Literaturzeitung.  33 

die  enbische  Ausdehnang  6  wird  durcli  das  Gesetz 
im  Zustande  des  Gleichgewichts  und  durch  das  andere 

im  Schwingungszustande  regiert. 

In  so  ausgezeichneter  Weise  zeigen  sich  die  physikalischen  Phänomene 
Ton  dem  zweiten  Differentialparameter  der  Punktfunctionen  abhängig ,  die  in 
ihnen  auftreten,  wie  um  diesen  als  eine  natürliche  Derivirte  vor  allen 
andern  zu  bezeichnen. 

Und  diesen  überall  schon  in  den  Grundgedanken  ruhenden  mathema- 
tisch-physikalischen Gehalt  ergänzen  noch  die  Anwendungen  der  allge- 
meinen Theorie ,  welche  drei  Fünftel  des  Buches  umfassen.  (Lebens  IX — 
XX.)  Sie  sind  der  Dynamik  und  Theorie  des  Potentials  (Le^.  IX,  X)  der 
Theorie  der  Isotherm-Systeme  (Le<j.  XI — XIII)  und  der  allgemeinen  Theo- 
rie der  Elasticität  (Le^.  XV — XX)  gewidmet.  Die  XIV. Vorlesung  ist  über- 
diess  der  Transformation  der  Orthogonal-Systeme  durch  reciproke  Badien- 
▼ectoren  gewidmet 

Von  der  grössten  Bedeutung  sind  hier  die  Anwendungen  auf  die  Elasti- 
citftts*Theorie  fester  homogener  Mittel.  Man  kennt,  wie  wir  hoffen,  in 
Deutschland  ziemlich  allgemein  das  schöne  Werk  unseres  Autors  ,^Lecons 
tur  la  thiorie  tnathematique  de  Celasticite  des  corps  solides.  Paris  1852.^^  Am 
Schlüsse  der  allgemeinen  Theorie,  vor  dem  Uebergang  zu  der  ausführlichen 
Anwendung  der  Elasticitäts-Theorie  auf  die  Erklärung  der  Erscheinungen 
der  doppelten  Brechung,  verweist  dort  der  Verfasser  aufsein  M^moiretiber 
die  isostatischen  Oberflächen  in  Liouville^s  Journal,  als  in  wel- 
chem er  die  Gleichungen  der  Elasticität  in  krummlinige  Coordinaten  trans- 
formirt  habe.  Hier  findet  man  diese  Untersuchung  wieder  aufgenommen  und 
veitergeführt.  Man  findet  aber  insbesondere  die  vollständige  Integration  der 
allgemeinen  Gleichungen  der  Elasticität  für  den  Fall  einer  homogenen  sphä- 
rischen Enveloppe  von  constanter  Elasticität ,  deren  Mäntel  bekannten  von 
einem  Punkt  zum  andern  veränderlichen  Druck  -  oder  Zugkräften  unterwor- 
fen sind.  Diese  schöne  Untersuchung  ist  auch  in  Form  einer  eigenen  Schrift 
erBchienen. 

Eine  besondere  Erwähnung  gönnen  wir  endlich  noch  einigen  Bestand- 
theilen  des  Inhalts  der  Vorlesungen  IX  und  X,  die  der  Dynamik  gewidmet 
Bind.  Die  allgemeinen  Gleichungen  der  Bewegung  eines  materiellen  Punk- 
tes sind  hier  in  die  krummlinigen  Coordinaten  übertragen  und  manche 
schöne  Anwendung  ist  davon  gemacht ;  insbesondere  führt  die  Betrachtung 
der  Bewegung  unter  dem  Einflüsse  von  Attractionskräften ,  wo  der  Parame- 
ter ein  Potential  ist,  zu  ausgezeichnet  einfachen  Formeln.  Die  Interpre- 
tation dieser  Fntwickelung  lehrt,  dass  das  Wachsthum  d(*r  lebendl- 
genKraft  gleich   der  durch    das  Wac\iBl\i\xm  ii^vi  ^^N.^i^xi'Ov^^ 

Zeiltebn'/t  f,  MMlhfiuaiik  u.  /'iiysik.     VI.  2.  ^ 


34  Literaturzeitiin^. 

multiplicirteu  angezogenen  Masse  ist ;  für  die Masseneioheit  giebi 
demnach  der  Parameter  der  Niveaafiächen  oder  das  Potential  durch  sein 
Wachsthom  die  Arbeit  der  Attraction  und  rechtfertigt  so  seinen  Namen. 
Und  wenn  man  die  Geschwindigkeit  in  Funktion  der  Coordinaten  aus- 

drückt,   so  gilt  für   die   lebendige   Kraft  ^-^ —  die  Gleichung 

die  nämliche  Gleichung,  welche  für  einen  festen  homogenen 
Körper  das  Gesetz  der  Temperatur  im  Zustande  des  thermi- 
schen Gleichgewichts  giebt;  gewiss  eine  schöne  Erinnerung  an  die 
Grundgedanken  der  mechanischen  Wärmetheorie! 

Indem  sodann  M.  Lame  den  Gedanken  verfolgt,  dass  die  Parameter 
der  den  Niveau-Flächen  conjugirten  Systeme  von  Orthogonal-Flachen  ihrer- 
seits andere  Eigenschaften  der  Bewegung  ausdrücken  mögen,  und  denselben 
speciell  auf  den  Fall  einer  anziehenden  geraden  Linie  oder  des  cylindri- 
sehen  Potentiars  anwendet,  gelangt  er  zu  weiteren  interessanten  Ergebnissen. 

Sie  sind  in  den  Gleichungen 

yl  yl 

dq=zd.'^  undrf^i=  V^de=  —da 
2  H 

enthalten,  in  welcher  letzteren  dB  den  Contingenzwinkel  derTrajeotorie  des 
Punktes  bedeutet,  während  R  der  Krümmungshalbmesser  und  da  das  Bogen- 
Element  derselben  ist.  Die  erstere  ze  gt,  wie  dasWachsthumdes  cy- 
lindrischeu  Potentials  q  die  Arbeit  der  Attraction  oder  ge- 
nauer gesprochen  der  tangentialen  Composaute  derselben 
liefert.  Man  muss  die  zweite  als  Deünition  einer  andern  Arbeit  betrachten, 
die  bisher  noch  unbeachtet  geblieben  ist;  der  Parameter 

,,.  =  f^äo=fv^äB 

des  coujugirten  Systems  der  orthogonalen  Cyliuder  liefert 
durch  sein  Wachsthum  den  Ausdruck  der  von  der  Normal- 
Composanto  der  Attraction  geleisteten  Arbeit. 

Wenn  eine  Kraft  einen  materiellen  Punkt  eine  krummlinige  Bahn 
durchlaufen  lässt,  so  besteht  ihre  Arbeit  in  der  Besiegung  des  Widerstandes, 
welchen  derselbe  den  Veränderungen  seiner  Bewegung  entgegensetzt,  oder 
wie   mau  kurz   sagt,  in    der  Ueberwindung  der  Trägheit      Ihre   tangeu- 

d  V 
tialo  Composaute  |x  —  überwindet  den  Widerstand  gegen  die  Veränderung 

der  Geschwindigkeit,  die  normale  Composaute  dagegen  den  Widerstand 
gegen  die  Veränderung  der  Richtung;  jene  Composaute  der  Trägheit  wirkt 
in  dem  der  Richtung  der  Geschwindigkeit  entgegengesetzten  Sinn,  diese  in 
der  Richtung  des  Krümmungs-Radius  in  dem  vom  Centrum  hinwegführeu- 
den  SiüDC,  So  ist  es  zu  verstehen,  wenn  M.  Duhamel  sagt,  dass  die 
Orntrifugalkraft  dio  Normal- Covn\io&«t\i\.vi  Öl^y 'Yi«i^^\\.\>il, 


Litcraturzeitung.  ^  35 


i<»«>»»*»o<»<»^i»» 


Für  die  veränderlicho  geradlinige  Bewegung  ftilircn  dies«  Befrachtun- 
gen auf  die  Definition  der  Masse ,  nach  welcher  dieselbe  der  Widerstands- 
coefficient  des  materiellen  Punktes  ist.  Für  die  krummlinige  Bewegung 
fordert  die  Weiterführung  derselben  Betrachtungen  eben  die  Einführung 
jener  neuen  Arbeit  der  Normal- Composante  der  TrÄgheit,  welche  wir  defi- 
ohrten. 

Wir  hielten  diese  Erweiterung  des  Begriffs  der  Arbeit  für  wichtig  ge- 
nug, nm  ihr  eine  besondere  Erwähnung  zu  widmen. 

Aber  wir  durften  auch  nur  für  etwas  wirklich  Wichtiges  die  Lftnge  die- 
ser Anzeige  noch  vermehren ;  doch  mag  sie  sich  selbst  entschuldigen ;  *wo 
so  viel  Neues  und  Eigcnthümliches  ist,  kann  die  einfache  Aufzählung  dos 
Inhalts  nicht  genügen,  der  Referent  wird  immer  den  Versuch  machen  müs- 
sen, von  dem  Eigenthümlichen  eine  Idee  zu  geben  und  den  herrschenden 
Gedankenkreis  zu  erläutern. 

Man  wird  es  billigen ,  wenn  überall  in  dem  Vorhergehenden  die  Auf- 
gabe des  Referenten  allein  berücksichtigt  worden  ist;  gegenüber  einem 
Forscher  von  der  Bedeutung  GeorgeLamö's  halten  wir  das  Referiren  für 
passender  als  das  Rccensiren.  Wenn  wir  einen  Wunsch  aussprechen  möch- 
ten, dem  das  Werk  innerhalb  seiner  Sphäre  nicht  genügt,  so  ist  es  der  um 
hSnfigere  Anführung  der  Arbeiten  Anderer,  die  auf  demselben  weiten  Ge- 
biete Bedeutendes  geleistet  haben ;  der  Kundige  wird  solcher  an  nicht  we- 
nigen Stellen  gedenken.  Doch  wollen  wir  auch  darüber  mit  dem  Autor 
nicht  rechten.  Wir  wollen  hier  nur  noch  hinzufügen,  daf>s  die  Schrift: 
,,Die  Potentialfunction  und  das  Potential.  Ein  Beitrag  zur  mathematischen 
Physik  von  Dr.  R.  Clausius.  Leipzig  1859."  eine  vortreffliche  Einftih- 
mng  in  das  Studium  des  Lam^'schen  Werkes  ist. 

Mit  zwei  literarischen  Bemerkungen ,  deren  eine  sich  den  Anwendun- 
gen auf  die  Mechanik  anschliesst,  während  die  andere  zu  der  rein  geo- 
metrischen Bedeutsamkeit  des  ellipsoidischen  Coordinatenf;ystoms  zurück- 
fllhrt,  schliessen  wir  endlich  diese  Anzeige. 

Im  XXI.  Bande  des  „Journal  de  l'dcole  impMdle  polylechnigue*'  (Paris 
1868)  hat  M.  J.  N.  Haton  de  la  Goupillifere  in  zwei  Abhandlungen: 
,,Sur  une  Iheorie  nottvelle  de  la  giomSlrie  des  masses^*'  (p.  35 — 96)  sehr  schöne  An- 
wendungen der  Grundgedanken  des  ellipsoidischen  Systems  auf  die  Unter- 
snchnng  der  in  der  Theorie  der  Trägheitsaxcn  sich  darbietenden  Integrale 
£  mxy  gemacht;  wir  empfehlen  sie  zur  Beachtung. 

In  einer  der  ,,Faculte  des  Sciences^^  von  Paris  am  7.  Aug.  1854  vorgeleg- 
ten These  hat  M.  C.  A.  Valson  die  ellipsoidischen  Coordinaten  auf  die 
Theorie  des  Ellipsoids  und  der  auf  demselben  verzeichneten  Figuren  an- 
gewendet und  mittelst  dieser  Methode  reiche  Entdeckungen  über  die  Focal- 
Eigenschaften  der  Oberflächen  zweiter  Ordnang  gemacht,  welche  besonderes 
Interesse  durch  die  Vergleichung  mit  der  im  56.  Bande  von  Crelle's  Jour* 
nal  veröffentlichten,  der  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Berlin  im  April 
1868  vorgelegten,  Abhandlung:  „Ueber  die  Focalpunkte  der  Oberflächen 
zweiten  Grades'*  von  Heil  ermann  gewinnen. 

Endlich  hat  derselbe  französische  Autor  in  dem  eben  vollendeten 
XIX.  Bande  der  ^.Nmwelles  Annaks  de  Malh^maiiques  par  Terqtiem  ei  Gernno*' 
(p.  298)  die  Anwendung  seiner  Methode  auf  die  Oberflächen  zweiten  Ghra- 
des,  welche  keinen  JMlittelpunkt  haben,  mitgetheilt *).  Fiedler. 

♦)  8o  eben  wurde  von  Mallet-BAchelier  das  »scheinen  von:  „Lepons  mr  la 
ikiorie  tmaifftique  de  la  chaleur ,  par  G,  Lamä.^*^  angekündigt. 


7»* 


36  Litoratiirzeitung. 


Omndiüge  dei  anf  menschUohe  Sterblichkeit  gegrondeten  VerudiemiigB — 
weeens,  von  Dr.  Pu.  Fischer,   Lehrer   der  höheren  MathematÜK. 
an  der  höheren  Gewerbschule  zu  Darmstadt.  —  Erste  Abtheilung  ^ 
Bestimmung  der  Sterblichkeitsverhältnisse.  —  Oppen--* 
heim,  Ernst  Kern.     1860. 
Wiewohl  die  Ermittelung  der  Gesetze   der  menschlien  Sterblichkeit., 
namentlich  wegen  des   hohen  Aufschwunges,  welchen  in  der  neuem  Zei^ 
das  hierauf  gestützte  Versicherungswesen  genommen  hat,  von  der  grösstect 
Bedeutung  geworden  ist,    muss  man   doch. zugeben,    dass   die  Kenntni&s 
dieser  Gesetze  noch  ziemlich  im  Argen  liegt,  wenn  auch  ein  Ueberfluas 
von  sogenannten  Sterblichkeitstabellen  vorhanden  ist.     Die   grösste  Zahi 
dieser  Tabellen  ist  nämlich  völlig  unbrauchbar ,   einestheils  in  Folge  dei 
Umstandes ,  dass  sie  aus  einem  höchst  unvollkommenen  Beobachtungsmate- 
rial  abgeleitet  sind ,  mehr  aber  noch  dadurch ,  dass  von  Vielen  dieses  Ma- 
terial auf  eine  ganz  ungerechtfertigte  Weise  benutzt  worden  ist,  und  da« 
nur  Wenige  verstanden  haben ,  auch  hier  diejenigen  Methoden  zur  Anwen- 
dung zu  bringen,  welche  in  den  verschiedenen  Zweigen  der  angewandten 
Mathematik  benutzt  werden,  um  aus  mangelhaften  Beobachtungen  wenig- 
stens die  wahrscheinlicherweise  wichtigsten  Resultate  abzuleiten.   Dem  vo^ 
liegenden  Buche  gebührt  das  Verdienst,  dasjenige,  was  in  der  neuem  Zeit, 
namentlich  seit  Moser*)  zur  Beleuchtung  der  Mängel  älterer  und  neuerer 
Sterblichkeitstafcln  und  zur  Aufstellung  richtiger  Grundprincipien  gesche- 
hen ist,  und  was  bis  jetzt  an  verschiedenen  Stellen  zerstreut  lag.  geaam- 
melt  und  durch  die  Besultate  eigener  werthvoUer  Untersuchungen  des  Ver- 
fassers vermehrt,  zu  enthalten. 

Das  Buch ,  welches  die  erste  Abtheilung  eines  grösseren  Werkes  über 
das  auf  die  menschliche  Sterblichkeit  gegründeten  Versicherungswesens 
bilden  soll,  zerfällt  in  fiinf  Kapitel,  deren  erstes  sich  mit  den  Sterblich- 
keitsverhältni8.sen  im  Allgemeinen  beschäftigt  und  die  Begriffe  der  Wahr- 
scheinlichkeit a  posteriori  überhaupt,  sowie  der  Sterbens-  und  Lebenswahr- 
scheinlichkeit insbesondere  erläutert.  Aus  diesen  Begriffen  wird  die  zweck- 
mässigste  Einrichtung  der  Sterblichkeitstabellen  abgeleitet.  —  Von  beson- 
derer Wichtigkeit  ist  das  zweite  Kapitel,  mit  der  Ueberschrift :  „Die 
Entstehung  der  ersten  Sterblichkeitstabellen  und  deren  Folgen^*,  welches 
die  Mängel  der  grösseren  Anzahl  früherer  Sterblichkeitsbestimmungen  blos- 
legt.  Nach  einer  kurzen  historischen  Einleitung  über  die  hierher  gehörigen 
Bestimmungen  des  römischen  Rechtes  und  einige  spätere  Versuche,  wendet 
sich  dasselbe  zu  der  ersten  eigentlichen  Berechnung  von  Sterblichkeits- 
verhältnissen, welche  im  Jahre  1692  veröffentlicht  wurde  und  dem  berühm- 
ten englischen  Astronomen  Halley  ihre  Entstehung  verdankt,  sowie  n 
der  hiervon  abgeleiteten  sogenannten  „Halley^schen  Methode"  der  Berech- 
nung von  Mortalitätstafeln.  Der  Verfasser  ermittelt  hierbei  sowohl  auf 
theoretischem  als  practischem  Wege  die  Grösse  der  Fehler,  welche  bei  die- 
ser Methode  daraus  entspringen ,  dass  sie  unter  Voraussetzung  einer  constaot 
bleibenden  Bevölkerung  aus  blossen  Todteulisten  ohne  Rücksicht  auf  die 
Anzahl  der  Lebenden,  aus  denen  die  Todten  hervorgegangen  sind,  Sterb- 
lichkeitstahellen construirt.  Von  Interesse  ist  der  Nachweiss ,  dass ,  wo  ge- 
nügendes Material  vorliegt,  um  die  aus  der  Halley^schen  Methode  abgelei- 
teten falschen  Zahlen  durch  gleichzeitige  Bücksichtnahme  auf  die  Bevöl- 
kerungslisten zu  corrigiren ,  die  bedontonden  Differenzen  zum  grossen  Theil 

*)  In  Beinern  1839  erschienen  Werke:  ,,Die  Gesetze  der  Lehenndauer.*' 


LitiTaturzoitunp:.  'M 


Terschwinden,  welche  sich  zwischen  diesen  Zahlen  und  den  Wahrnehmungen 
geaehlotaener  Gesellschaften  ergeben ,  bei  denen  nicht  allein  die  Gestorbe- 
nen, sondern  auch  die  Lebenden  gezählt  wurden.  Der  von  Süssmilch  er- 
fundene Begriff  der  „ausgesuchten**  und  „ausgesuchtesten"  Gesellschaften, 
welche  nach  andern  Gesetzen  als  das  übrige  gemeine  'Volk  absterben  sol- 
len, erhält  hierdurch  seine  verdiente  Abfertigung.  —  Das  dritte  Kapitel 
handelt  von  der  weiteren  Entwickelung  der  Theorie  der  Sterblichkeitsver- 
hältnisse  und  unterwirft  zunächst  die  Zulässigkeit  einiger  angeblichen  Ver- 
bessemngsversnche  der  Halley*schen  Methode  einer  gründlichen  mathema- 
tischen Untersuchung.  Hieran  schliesst  sich  die  Betrachtung  der  wirklichen 
Fortschritte,  welche  in  der  neueren  Zeit  durch  die  Bemühungen  von  Tell- 
kampf,  Heym  n.A.  in  der  Theorie  bei  Ermittelung  der  eigentlichen  Ster- 
benswahrscheinlichkeiten gemacht  worden  sind.  —  Das  vierte  Kapitel  ent- 
hält eine  strenge  Kritik  einer  grossen  Anzahl  der  vorhandenen  Sterblich- 
keitstabellen ,  sowohl  mit  Rücksicht  auf  die  Art  ihrer  Entstehung ,  als  den 
daraus  abzuleitenden  Grad  ihrer  Zuverlässigkeit.  Wie  wenig  Vertrauen  die 
grössere  Zahl  dieser  Tafeln  verdient ,  kann  unter  Anderem  aus  dem  über- 
raschenden Resultate  abgeleitet  werden ,  dass  in  den  hier  besprochenen  Ta- 
bellen die  wahrscheinliche  Lebensdauer  der  Neugeborenen  zwischen  den 
Grenzen  von  1  Jahr  und  63  Jahren  schwankt.  —  Im  letzten  Kapitel  handelt 
der  Verfasser  von  der  Construction  richtiger  Sterblichkeitstabellen  und  giebt 
hierbei  diejenigen  Methoden  an,  welche  von  ihm  selbst  bei  Berechnung 
solcher  Tafeln  benutzt  worden  sind.  Neu  sind  die  auf  das  Gewicht  der 
einzelnen  Beobachtungszahlen  bezüglichen' Resultate,  sowie  die  dem  Ver- 
fasser eigenthümliche  Ausgleichungsmethode  ftir  Werthe  der  Sterbenswahr- 
scheinlichkeiten,  welche  aus  verschiedenen  Altersjahren  stammen,  und  die 
Untersuchung  über  die  Correctionen,  welche  bei  geschlossenen  Gesellschaf- 
ten an  den  Sterbenswahrscheinlichkeiten  wegen  der  aus  anderen  Ursachen 
als  Tod  innerhalb  eines  Jahres  Ausscheidenden ,  sowie  wegen  der  Eintre- 
tenden anzubringen  sind,  wenn  die  Zeit  dieses  Aus-  und  Eintrittes  nicht 
näher  angegeben  ist  Kann  man  auch,  namentlich  was  die  vom  Verfasser 
benutze  Ausgleichungsmethode  betrifft,  rücksichtlich  der  Grundlage  der- 
selben, vielleicht  anderer  Ansicht  sein,  so  vordient  doch  die  Klarheit  und 
die  mathematische  Strenge  volle  Anerkennung,  mit  welcher  derselbe  die 
Conseqnenzen  der  von  ihm  aufgestellten  Principien  verfolgt,  und  von  wel- 
cher er  bereits  in  mehreren  früheren  Werken  aus  dem  Gebiete  der  reinen 
und  angewandten  Mathematik  vollgültige  Proben  abgelegt  hat*). 

Den  Schluss  des  Buches  bilden  zwei  vollständig  durchgeführte  Rech- 
nungsbeispiele, nämlich  die  Berechnung  zweier  Sterblichkeitstabellen,  der 
einen  für  das  männliche  Geschlecht,  vom  25sten  bis  zum  85sten  Lebens- 
jahre reichend,  der  andere  für  das  weibliche  Geschlecht,  vom  18ten  bis 
zum  86sten  Lebensjahre.  Dieselben  stützen  sich  auf  die  Erfahrungen, 
welche  in  der  königlich  preussischcn  allgemeinen  Wittwenverpflegungs- 
anstatt  zu  Berlin  während  der  Jahre  1776  bis  1852  gemacht  worden  sind. 


*)  Wir  erinnern  an  des  Verfasfierfl  „Lehrbuch  der  höheren  Geodäaie'S  sowie  an 
•sine  Bearbeitung  mehrerer  Theile  den  Francoeur^ichen  Lehrcurses  der  reinen  Ma- 
thematik, von  denen  namentlich  die  heiden  snletzt  erschienenen: 
Lehrbnch  der  alfrehraischen  Geometrie  u.  s.  w.,  nnd 
Lehrbuch  der  analytischen  Geometrie  in  der  Ebene 
lieh  durch  selbstständige  Behandliinf^  und  Anordnung  den  Stoffes  und  vielfache  Auf- 
nahne  neuerer  Methoden  dem  Original  gegenüber  auszeichnen. 


38  Literaturzeitung. 


Referent  kann  hierbei  die  Bemerkung  nicLt  verhehlen,  dass  er  fßr  sweck- 
mllssiger  gehalten  hätte,  den  Anfang  der  Tabelle  fUr  das  männliche  Ge- 
schlecht um  ein  Jahr  zu  verschieben.  In  Folge  des  Umstandes  nämlich, 
dass  flir  das  256te  Lebensjahr  nur  die  geringe  Zahl  von  5  beobachteten 
Todten  vorliegt,  hat  die  Sterbenswahrscheinlichkoit  für  dieser  Alter  haupt- 
sächlich durch  Ausgleichung  mit  Benutzung. der  Nachbarjahre  abgeleitet 
werden  müssen.  Dass  dadurch  die  unmittelbar  beobachtete  Wahrschein- 
lichkeit von  0,0033  durch  Ausgleichung  bis  auf  0,0062  erhöht  worden  ist, 
könnte  gegen  die  Zulässigkeit  der  verwendeten  Methode  leicht  beträcht- 
liche Zweifel  hervorrufen. 

Man  wird  aus  der  vorstehenden  Inhaltsangabe  ersehen,  dass  das  be- 
sprochene Buch  nicht  allein  die  Aufmerksamkeit  derjenigen  verdient, 
welche  zu  der  Theorie  und  Praxis  des  auf  die  menschliche  Sterblichkeit 
gegründeten  Vorsicherungswesens  in  näherer  Beziehung  stehen,  sondern 
dass  es  auch  mancherlei  vom  mathematischen  Standpunkte  aus  Interessan- 
tes enthält.  Bedauerlich  ist  nur ,  dass  an  mehreren  Stellen ,  namentlich  dej 
letzten  Kapitels ,  die  Resultate  der  mathematischen  Entwickelungen  durch 
Druckfehler  nicht  unbeträchtlich  entstellt  worden  sind. 

Zum  Schlüsse  stimmt  der  Referent  mit  dem  Verfasser  in  dem  Wunsche 
überein ,  dass  die  Directionen  und  Vorstände  der  Versicherungsgesellschaf- 
ten, in  deren  Intere.sse  hauptsächlich  die  Fortbildung  der  Theorie  der 
Sterblichkeitsverhältnisse  liegt,  durch  geeignete  Veröffentlichung  des  in 
ihren  Archiven  enthaltenen  Beobachtungsmateriales  mehr,  als  es  bis  jetzt 
von  vielen  derselben  gesehen  ist,  beweisen  mögen,  dass  ihnen  darange- 
legen ist,  ihre  Institute  auf  tüchtige  Grundlagen  zu  basiren.  Der  Verfasser 
stellt  eine  zweite  Abtheilung  seines  Buches  in  Aussicht,  welche  sich  mit 
der  Theorie  und  Praxis  des  Versicherungswesens  bei^chäftigen  soll.  In  der- 
selben vorspricht  er,  diejenigen  Vorsicherungsinstitute,  welche  bis  dahin 
den  Verpflichtungen  nicht  nachgekommen  sind,  welche  ihnen  im  allgemei- 
nen Interesse  obliegen,  einer  ebenso  strengen  Kritik  zu  unterwerfen ,  als  es 
in  der  vorliegenden  Abthoilung  mit  den  mangelhaften  Methoden  dor  Sterb- 
lichkeitsberechnung und  den  unbrauchbaren  Tabellen  selbst  geschehen  ist. 

O.  Fort. 


Bibliographie 

vom  1.  Docbr.  1860  bis  15.  Februar  1861. 


Periodische  Schriften. 

Kegistor  für  die  Monatsbericlito  dor  K.  Pr.  Akademie  dor 
Wissonsch  zu  Berlin  von  1836  — 1858.  Berlin,  Dümmler  in 
Comm.  2  Thlr. 

Annalen  der  Physik  und  Chemie,  herausgog.  v.  J.  C.  Poggen- 
DORFF.    Jahrg.  1861.  No.  1.   Leipzig,  Barth.  pr.  cplt.  9Vs  T^^r. 

Astronomisches  Jahrbuch  f.  1863.  Herausgeg.  v.  J.F.  Enckf.  unter 
Mitwirkung  von  Wolpers.    Berlin,  Dümmler.  3  Thlr. 

Annalen  dor  k.  k.  Sternwarte  in  Wien.  Herausgog.  voii  K.  v. 
LiTTROW.  3.  Folge,9.  JahTg.\BS9.Wion^  Wallishauscr  in  Comm.  sVsThlr. 


Literaturzeitung.  39 


Lamojit,  J.,   Annalen  der  K.  Sternwarte  bei  Miluchen.    12.  Bd. 

München,  Franz  in  Couim.  1%  Thlr. 

Puhlicalions  de  V observaloire   VAlhenes,     Tom.   L     (Beiträge  zur 

physikal.  Geogr.  Griechenlands  v.  J.  F.  J.  Schmidt.  3  Uefte.)   Athen, 

Willberg.  4  Thlr. 

TuQUBM.     Bulletin  de  bibliographie^  d^hisloire  et  de  biographic 

malhemaliques.     Tojm   V.     Paris.  20  Ngr. 

Seine  Wathematit, 

OiFFBORNy  F.  Leitfaden  der  elementaren  Mathematik.  1.  Abtb. 
AUgem.  Arithm.  u.  Algebra.    Braunschweig,  Schalbuchhandl«  24  Ngr. 

Thomas,  K.  Das  System  der  absoluten  Primzahlen.  Nebst 
nothgedrungener  Abwehr.    Leipzig,  Wagner.  Vs  Thlr. 

Stampf£R,  8.  Logarithmisoh-trigonometrische  Tafeln.  6.  Aufl. 
Wien,  Gerold's  Sohn.  %  TWr. 

Lukas,  F.  Logarithmen  der  Zahlen  und  der  trigonometri- 
schen Functionen  und  Antilogarithmen.  Wien,  Helf.  I  Thlr. 

MOllbe,  J.  H.  T.,  Vierstellige  Logarithmen  der  natttrlicheu 
Zahlen  und  Winkelfunctionen  nebst  den  Additions-  und 
Subtractionslogarithmen.    2.  Aufl.     Halle,   Waisenhansbuchh. 

Vs  Thlr. 

Spit2£K,  S.  Studien  über  die  Integration  linearer  Differen- 
tialgleichungen.   I.Fortsetzung.    Wien,  Gerold's  Sohn.   Vs'^blr. 

Matb,  A.  Grundlegung  der  Theorie  des  Variationscalcüls. 
Würaburg,  Kellner.  24  Ngr. 

DoBRK,  G.  Lehrbuch  der  Mathematik.  2.  Bd.  1.  Thl.  Planimetrie 
u.  ebene  Trigonometrie.  2.  Aufl.  Berlin,  Weidmann'sche  Buchh.  21  Ngr. 

SoHBÖDEB,  F.  H.  Elemente  der  Planimetrie  und  Stereometrie. 
Hannover,  Hahn'sche  Hofbuchh.  Vs  Thhr. 

EscBEB,  H.  Die  mathematischen  Verhältnisse  der  Kreislinie. 
Zürich,  Meyer  &  Zeller.  4  Ngr. 

Kapvf,  f.  G.  Kreis  und  Ellipse  nach  der  Theorie  der  Schiefe, 
geometrbch,  algebraisch  und  trigonometrisch  dargestellt.  Leipzig, 
C.  F.  Winter'sche  Verlagshandl.  18  Ngr. 

Apollonius  von  Perga,  Sieben  Bücher  Kegelschnitte  nebst 
dem  durch  Halley  wiederhergestellten  achten  Buche. 
Deutsch  von  H.  Balsam.    Berlin,  G.  Eeimer.  3V3  '^'^r. 

Cabmot.  Reflexions  sur  la  melaphysique  du  calcul  infinitesimal, 
4.  ed.     Paris,  1V3  Thlr. 

Db  Fbetcinet.  De  Vanalyse  infinitesimale;  etude  sur  la  meta- 
physique  du  haut  calcul.    Paris.  2  Thlr. 

Angewandte  Hathematik. 

Zillmeb,  A.  Die  mathematischen  Rechnungen  bei  Lebens-  u. 
Bentenversicherungon.     Berlin,  Nicolai^sche  Verlh.         2  Thlr. 

SuBio,  S.  Abhandlung  über  die  Zusammensetzung  fortschrei- 
tender und  drehender  Bewegungen  und  ihre  Anwendung- 
sur  Erklärung  der  Aberration  des  Lichtes,  des  Foucault- 
Pendelversuchs  etc.     Pest,  Heckenast  in  Comm.  V2  Thlr. 

Dbohbr,  Handbuch  der  rationellen  Mechanik.  4.  Bd.  Mechanik 
flüssiger  Systeuie.    Au«j6bnrg,  Rio.ge.t.  VKWx« 


OT,  0.  F.  A.  Die  Stereotomie  enth.  Anwendan^«».. 
den  Oeometrie  etc.    Ans  dem  Frazös.  v.  F.  Kauvfmahh.     3.  a^^ 
2.-6.  Lief.   Stuttgart,  Becher's  Verl.  k  V4  Thlr. 

BOH,  L.     Geschichte  und  System    der  Breitengradmeisan- 
gen.     Inaug.-Dissert.     Freising,  Datterer.  ^/^Thlr^ 

tlas  des  nördlichen  gestirnten  Himmels  f.  d.  Anfkng  d.J.  1856 
entworfen  aof  d.  K.  Sternwarte  in  Bonn.  6.  Lief.  Bonn«  Marcos.    9  Thlr. 
tOMKBB,   O.    Die    totale  Sonnenfinsterniss  am   18.  Juli  186D; 
beobachtet  za  Castellon  de  la  Plana.     Hamburg,  Berthes  -  Besser  i 
Mauke.  Vs  l'Ur- 

Babb..  Caleul  de$  Selip$e$  de  soleil  par  la  methoäe  49$  pr9 
jeciions.     Paris,  9D  Ngr. 

FhyiÜL 

PiSKO,  F.  J.  Lehrbuch  der  Physik  für  Obargymnaslen.  BrfiBD, 
Winiker.  9  Thlr.  8  Kgr. 

Bncyclopädie  der  Physik,  bearb.  von  Bbiz,  Dbohbb»  y.  FsjursflCH 
etc.  heransgeg.  v.  Karsten.  8.  Lief.  Leipiig,  Voss.  &V|  TUr. 

MOllbr  -  Pouillet'6  Lehrbuch  der  Physik  und  Meteorologie. 
3.  Bd.  Kosmische  Physfik  von  J.  Müluuu  %  Aufl.  Brannaehweig, 
Vieweg.  4  Thlr. 

ScBMiD,  E.  £.  Lehrbuch  der  Meteorologie.  ICt  Adas  ia  Qii» 
folio.   Leipzig!  Voss.  18  Tkk. 

WiBDBMANN,  O.  Die  Lehre  vom  Oalvaniamus  und  Elektro- 
magnetismus nebst  ihren  Anwendungen.  1.  Bd.  Oatraalamis. 
Braunschweig,  Vieweg.  8  Tbk.  38  Hgr. 

SoHELLEH,  H.  Der  elektromagnetische  Telegraph.*  8^  AA 
Ebendas.  STUr.  Bllgr. 

RoBiDA,  B.  Grnndzüge  einer  naturgemissen  Atomittik  nk 
den  daraus  abgeleiteten  SchwingungsgleidbungeB.  I.  Heft.  BJage»- 
fart,  Leon.  6  Ngr. 

Kirchhoff,  O.  und  R.  Bünsem.  Chemische  Analyse  dvreh 
Spectralbetr  achtun  gen.  Mit  Wandtafel  in  Farbendruck.  Leipiig, 
Scbrag's  Verl.  1%  Thlr. 

PiSKO,  F.  J.   Die  Fluorescens  des  Lichtes.    Wien,  Oerold's  Sobo. 

14  Ngr. 

Parkinson,  S.     A  Trealise  on  Optici.     lAmdon.  4V§  TUr. 

Potter,  R.  Physical  Opiics.  2  Vol.  {The  corpuscular  Theory  of  JUgkl^ 
discutted  maihematically.)    London.  k  S  Thlr. 

WiLKES,  C,  Theory  of  ihe  Winds.    2.  edü.    London.       2  Thlr.  12  Ngr. 

Julien,  F.  Couranis  et  revoluiions  de  V atmosphere  ei  de  la  mir, 
contenant  une  iheorie  nouvelle  sur  les  ddluges  periodiquit» 
Paris.  1V2  Thlr. 

NicKLES,  J.  Les  electjro  -  aimants  et  Vadherence  magnetique, 
Paris.  1V3  Thlr. 


Literaturzeitung. 


Recensionen. 
IMtrige  snr  Oeiobiohte  der  grieohiiolien  Mathematik  von  Professor  Dr. 

L.  F.  OFTRRDIJBrGEB.     Ulm  1860. 

Der  Verfasser  dieser  kleinen  Broschäre  hat  schon  1844  im  5.  Bande 
des  6ranert*schen  Archivs  eine  Abhandlung  verö£fentlicht ,  welche  er  selbst 
•Is  Vorarbeit  des  gegenwärtig  Erschieoenen  bezeichnet.  In  der  That  bil- 
det der  fast  wortgetreue  Abdruck  dieser  Abhandlung :  ,,Ueber  die  Auffindung 
mathematischer  Wahrheiten  bei  den  Oriechen'S  die  erste  Hälfte  der  vor- 
liegenden Schrift.  In  derselben  wird  behauptet,  was  den  meisten  Mathe- 
matikern längst  unzweifelhaft  war,  dass  die  Griechen  gewisse  Methoden 
inr  AafBndung  von  Sätzen  besessen  haben  müssen,  welche  verschieden 
waren  von  den  Methoden  der  Beweisführung»  Als  solche  Hilfsmittel  der 
Erfindung  werden  genannt : 

1.  die  Anwendung  der  Arithmetik  auf  die  Geometrie, 

2.  die  Anwendung  der  Geometrie  auf  die  Arithmetik, 

3.  die  mechanischen  Hilfsmittel  (insbesondere  das  Zeichnen), 

4.  die  angewandte  Mathematik  (z.  B.  Statik), 

5.  die  Analogie, 

6.  die  Induction. 

Von  diesen  Erfiudnngsmethoden  sind  dann  einige  Beispiele  aus  grie- 
chischen und  späteren  Autoren  angeführt.  Die  zweite  Hälfte  der  Broschüre, 
welche  neu  erscheint,  behandelt  in  4  Paragraphen :  die  problematische  Ana- 
lysis,  die  Auffindung  der  Analysis,  Data  und  Orte,  endlich  die  geometri- 
schen Aufgaben  des  ApoUonins.  Wesentlich  Neues  wird  der  Leser  wohl 
nicht  darin  entdecken.  Ganz  angenehm  ist  in  den  beiden  letzten  Paragra- 
phen die  Znsammenstellung  der  verschiedenen  Ausgaben  der  darin  bespro- 
chenen Werke.  Verwirrend  hingegen  muss  es  auf  den  historischen  Laien 
wirken,  wenn  das  Wort  Datum  bald  in  der  euclidischen,  bald  in  der  nicht- 
euclidischen  Bedeutung  gebraucht  wird  (z.  B.  S.  12  und  8) ,  ohne  dass  auf 
diesen  Doppelsinn  aufmerksam  gemacht  wird.  Endlich  scheint  Herr  Ofter- 
dinger  das  Werk  von  Chasles  über  die  Porismen  als  eine  neue  Ausgabe 
des  griechischen  Textes  des  Pappus  zu  betrachten ,  uiid  ^«t«^Y\^\.  >rcc&  \^>^- 

LilerMlargt/:.  «/.  ZeilHclu .  I.  Math.  u.  I'liy-».  VI,  U.  "**       \  ' 


4  2  Literaturzeitang. 

halb  eine  ganz  neue  Untersucbung  über  dieses  Werk ,  welche  bei  einer  an- 
deren Gelegenheit  gegeben  worden  soll.  Der  Herr  Verfasser  wird  sich 
inzwischen  wohl  überzengt  haben ,  dass  er  7ch  damit  wohl  überflüssige  Ar- 
beit machen  würde.  Cantob. 


Prolegomenes  philosophiques  de.  la  geometrie  ei  Solution  det 
postulats  par  J.  Delböedf.    Hige  1800. 

Es  ist  keiner  Frage  unterworfen ,  dass  das  uns  zur  Beurtheilnng  vor- 
liegende Werk  ein  in  vielfacher  Beziehung  interessantes  genannt  werden 
muss.  Sowohl  was  den  eigentlichen  Inhalt  betrifft ,  als  auch  durch  die  fes- 
selnde Sprache  hält  es  den  Leser  in  fortwährender  eifrigster  Spannung  und 
reizt  zu  wiederholtem  Ueberdenken  der  wichtigsten  Capital  aus  der  Philo- 
sophie der  Mathematik.  Wenn  wir  damit  gleich  von  vornherein  unsere 
ganz  besondere  Anerkennung  des  Geleisteten  aussprechen,  so  müssen  wir 
freilich  hinzusetzen ,  dass  bei  alledem  der  Verfasser  uns  die  Aufgabe ,  die 
er  sich  stellte,  nicht  vollständig  zur  Lösung  gebracht  zu  haben  scheint, 
wozu  die  Grösse  jener  Aufgabe  am  meisten  beigetragen  haben  mag.  Der 
Verfasser  wollte  einen  doppelten  Zweck  damit  erreichen.  Er  wollte  die 
philosophische  Verwandtschaft  der  Mathematik  mit  den  übrigen  Wimn- 
Schäften  nachweisen ,  er  wollte  ferner  noch  eine  strenge ,  wahrhaft  evidente 
Grundlage  für  die  Geometrie  finden,  welche  die  gewöhnlichen  Postulate 
nicht  voraussetzte.  Also  wieder  einer  von  den  neuen,  neuesten,  aller- 
neuesten  Beiträgen,  Versuchen,  Grundzügen  u.  s.  w.  der  wahren  Theorie 
der  Parallellinien V  Eigentlich  ja!  Aber  ein  solcher  Beitrag ,  der  jedenfalls 
unter  den  übrigen  eine  weit  hervorragende  Stellung  einnimmt,  und  beson- 
ders in  der  allgemeinen  Einleitung,  sowie  in  dem  kritischen,  mehr  nega- 
tiven Theile  des  Vortrefflichen  viel  ontlWllt.  ^ 

Wir  wollen  aus  der  Einleitung  nur  jene  Stelle  hervorheben,  an  wel- 
cher der  Verfasser  einerseits  gegon  den  Apriorismus  der  Idealisten,  ande- 
rerseits gegen  den  Empirismus  der  Sensnalisten  ankämpft,  wo  er  zeigt,  wie 
die  eine  dieser  Lohren  zum  Mysticismus,  die  andere  zum  Skepticisrous 
führt.  Mit  Schärfe  zeigt  er  in  beiden  Richtungen  Widersprüche;  allein 
was  setzt  er  an  die  Stelle?  Eine  Theorie,  welche  dem  Empirismus  des 
Mi  11  zu  nahe  steht,  um  nicht  der  Vermuthung  Raum  zu  geben,  dass  am 
Ende  doch  die  Erfahrung  das  Wesentliche,  und  die  Ableitung  der  Wahr- 
heit aus  der  Erfahrung  nur  ein  Nebensächliches  sei ,  über  welches  allein 
noch  ein  philosophischer  Streit  möglich  ist.  Wir  können  daher  auch  nach 
Durchlesung  dieses  Buches  noch  Verehrer  des  MilFschen  Ilauptwerkes 
bleiben  und  uns  darüber  freuen,  dass,  wie  wir  vernehmen,  eine  neue  und 
zwar  vollständige  Ausgabe  der  deutschen  Uebersetzung  in  Bälde  zu  erwar- 
ten steht.  Der  Haupteinwurf ,  welchen  Herr  Delboeuf  gegen  Mill  vorbringt, 
zfi/gt  selbst  das  Richtige   unserer  'Äc\\«k.\r^\.\iTv^  ^sA^^t   den  geometrischen 


Literaturzoitung.  43 


Werth  der  Erfahrnng.  Wenn  Mill  angiebt ,  die  Geometrie  liefere  adäquate 
Definitionen  und  sei  evident,  so  fragt  Herr  Delboeuf  nach  der  Begründung 
dieaer  Angabe,  und  ob  es  noch  andere  Wissenschaften  gebe,  in  welchen 
«dXquate  Definitionen  möglich  sind.  Die  philosophische  Berechtigung  die- 
ser Frage  ist  unleugbar ,  snmal  wenn  das  Yerhältniss  der  Mathematik  an- 
deren Wissenschaften  gegenüber  untersucht  werden  soll,  aber  für  die  Geo- 
metrie selbst  genügt  die  empirisch  feststehende  Thatsache  der  Evidens, 
welche  von  Herrn  Delboef  so  wenig  wie  von  einem  Anderen  angezweifelt 
wird. 

Wir  haben  schon  oben  bemerkt,  dass  der  Geometer  aus  dem  kritischen 
Theile  des  vorliegenden  Buches  viel  lernen  könne.  Wir  erinnern  an  die 
vortreffliche  Untersuchung  der  Begriffe:  Analysis  und  Synthesis,  an  die 
Ableitung  der  Vorschriften  in  Besug  auf  die  innere  .Gestaltung  eines  Lehr- 
gnnges  der  Geometrie,  Vorschriften,  welche  swar  überaus  einfach  sind, 
aber  nichtsdestoweniger  nur  su  häufig  ausser  Acht  gelassen  werden,  wie 
I.  B.  dass  eine  gnte  Definition  in  der  Geometrie  genetisch  sein  müsse,  dass 
die  Beweise  möglich  kurz  sein  sollen ,  und  insbesondere  keiner  Hilfslinien 
sich  bedienen  sollen,  welche  die  Natur  des  Satzes  nicht  schon  mit  sich 
bringt  n.  s.  w.  Wir  erinnern  namentlich  an  die  mathematische  Prüfung 
der  verschiedenen  Beweisverfahren  für  den  Satz  von  der  Winkelsumme 
dea  Dreiecks.  Jeder  Mathematiker  wird  in  diesem  Capitel  ein  schätzbares 
Material  gesammelt  finden ,  wie  es  sonst  nur  selten  existirt. 

Untere  Pflicht  als  Becensent  nöthigt  uns  jetzt  auch  einige  Bemer- 
kungen über  den  positiven  Theil  des  Werkes  ab.  Der  Verfasser  erinnert 
selbst  daran,  dass  eine  wesentliche  Grundlage  für  ihn  eine  Schrift  des 
Dr.  Ueberweg  gewesen  sei,  welche  zuerst  1851  im  pädagogischen  Archive 
Bd.  XVII  erschien,  jetzt  in  französischem,  vom  Autor  gebilligter  Ueber- 
setinng  dem  vorliegenden  Werke  angefügt  ist.  Indem  wir  unsere  Freude 
über  diese  Offenheit  aussprechen,  welchC'  für  den  wahren  Freund  der 
Wiasenschaft  charakteristisch  ist,  können  wir  Herrn  Delboeuf  gern  zu^^obcn, 
dass  er  über  die  Schrift,  welche  ihm  zur  Anregung  diente,  weit  hinausge- 
gangen ist.  Allein  auch  er  hat  uns  von  der  vollständigen  Richtigkeit  sei- 
ner Deductionen  nicht  überzeugen  können.  Es  liegt  gewiss  viel  Wahres 
in  dem  Begriffe  der  Homogenoität  des  Raumes ,  der  bei  beiden  Schriftstel- 
lern den  eigentlichen  Ausgangspunkt  bildet,  allein  durchaus  klar  ist  er 
uns  in  dem  Sinne,  wie  er  benutzt  wird,  auch  nach  wiederholtem  Lesen 
noch  nicht  geworden.  Möglich,  dass  die  Schuld  an  uns  liegt,  indessen 
scheint  Herr  Delboeuf  selbst  von  der  Furcht  nicht  frei  geblieben  zu  sein,  es 
möge  Manchem  so  gehen.  Sagt  er  doch  (S.  22»  in  der  Anmerkung) :  Toui 
eet  modes  de  demonstraiion  soni  fort  simpfes;  mais  ü  faui  £Hre  bien  penetre  du 
principe  de  fhomogeneiie  pour  en  concevoir  la  puissance  et  fappUcation.  Diese 
Durchdrnngenhnit  zu  erreichen ,  waren  wir  aber  bisher  nicht  im  Stande. 

Im  Einzelnen  möchten  wir  uns  noch  ciuigo  N»«in\\^Ä  kQA%\A>\>xii^^\L  ^x- 


44  Litoraturzeitnng. 


lauben.  Der  Winkel  wird  (S.  233)  definirt:  La  figure  formee  par  detix  droiitt, 
qni  parleni  (tun  mime  poifH,  se  nomme  angle.  Aber  kann  man  einen  Winkel 
eine  Figur  nennen  V  Wir  glanben  nicht.  Herr  Delboenf  erinnert  wieder- 
bolentlich  daran,  dass  man  nnerwicsenermaassen  annehme,  zwei  Linien,  die 
sich  begegnen,  schneiden  einander.  Er  versncht  (S.  235)  einen  Beweis  da- 
von zu  geben.  Daza  nimmt  er  ah,  AB  and  CD  seien  gerade  Linien,  welche 
den  Pnnkt  £  gemein  haben,  so  dass  L  AEB^=CED  =:^l&ffy  dann  mOsseo 
anch  die  L  AEC=  BEB  sein  und  einander  gegenüberliegen.  Das  Erstere 
geben  wir  voUstHndig  zu,  woher  aber  weiss  man  das  Letztere,  wenn  ta 
nicht  erfahrungsmKssig  bekannt  sein  soll?  Und  dergleichen  Fälle  kommen 
noch  mehr  vor,  wo  Herr  Delboenf  von  einer  Evidenz  spricht,  der  wir  Ijei- 
nen  anderen  Grund,  als  den  der  Erfahrung  unterlegen  können.  So  auf 
derselben  S.  235,  wo  c;^  heisst:  Quelle  que  sott  la  direcHon  prise  pour  norme, 
la  valeur  de  Unngle  teste  la  m^me.  Celle  proposilion  est  evidente  par  eile  mime. 
Zur  Begründung  unseres  Einwurfes  bemerken  wir,  dass  der  angefiibrte 
Satz  in  gewöhnlicher  Ausdrncksweise  heissen  würde:  L  ABC — ABD 
=sJ[)BCy  wie  auch  die  AB  gelegen  sein  mag.  Am  klarsten  wird  in  diesen 
positivcti  Theile  Herr  Delboeuf ,  wo  er  selbst  empirisch  zu  Wege  geht.  So 
S.  235,  wo  er  die  symmetrischen  Figuren  durch  Umdrehung,  wie  bei  einem 
Haudschnh  erzeugt.  Und  so  müssen  wir  zum  Schlüsse  wiederholen:  du 
Buch  des  Herrn  Delboeuf  verdient  von  jedem  Geometer  gelesen  zu  werden, 
vom  Empirismus  werden  aber  nur  Wenige  dadurch  bekehrt  werden,  eher 
dürften  Idealisten  dadurch  zu  der  entgegengesetzten  Schule  hinüberge- 
zogen werden.  Cantor. 


Analytisehe  Gteometrie  der  Kegelsohnitte,  mit  besonderer  Berückbichtigung 

der  neueren  Methoden,  von  Grorge  Salmon.    Unter  Mitwirkung 

des   Verfassers  deutsch   bearbeitet  von   Dr.   Wilhelm  Fiedler. 

Leipzig,  Druck  und  Verlag  von  B.  G.  Teubner.    1800.    40  Bogen. 

gr.  8. 

Das  englische  Original,  von  dessen  dritter,  im  Jahre  1855  veröffeift- 

lichten  Auflage  das  vorliegende  Werk  eine  sehr  freie  Bearbeitung  liefert  — 

die  erste  Auflage  erschien  1848  —  führt  den  vollständigen  Titel :  A  Treatise 

on  Co  nie  Sections:    containing   an  accowU  nf  some  of  the  most  important 

modern  algehraic  and  geomelric  mclhods.   By  the  Ret,  George  Salmon^  A,  M.. 

Fellow  and  Tutor,  Trinity  College^  Dublin, 

Dasselbe  enthält  mehr,  als  sein  Titel  verspricht;  es  um.schltesst  in 
seinem  Haupttheile  eine  fast  vollständige  Darlegung  des  gegenwärtigen 
Standes  der  auf  die  Kegolsclinitte  bezüglichen  geometrischen  Lehren,  mit 
Zugrundelegung  der  wichtigsten  algebraischen  und  geometrischen  Metho- 
den, durch  welche  namentlich  in  der  neueren  Zeit  diese  Theorie  eine  wc- 
sentlicbe   Förderung  erlangt  bat.     Yixn  ^\ivV\\.^.ii4^it   kb^cbnitt  giebt  die 


Liioratuizoitmi;:.  43 


"ft 


Grandlehren  der  Cartesischen  Coordinaten  -  Geometrie ,  leitet  aber  in  Kur  • 
sem  darch  Anfnahrae  des  erweiterten  Coordinaten  -  Begriffes  und  nament- 
lich durch  Einftthrnng  der  Trilinear-  Coordinaten  und  der  dadurch  bediug- 
ten  homogenen  Gleichongsformen  zu  den  umfassenderen  Gesichtspunkten 
hin ,  durch  welche  die  neuere  analjrtische  Geometrie  weit  über  die  Lehren 
de«  Cartesins  hinausgeführt  worden  ist.  Die  ausgezeichnete  Methodik ,  mit 
welcher  der  Verfasser  hierbei  von  den  einfacheren  Grundlagen  zu  höheren 
AnscbauQugen  fortschreitet,  macht  das  Buch,  abgesehen  von  seinem  ur- 
sprünglichen Zwecke,  besonders  auch  geeignet,  xur  Einführung  in  die 
gegenwftrtige  wissenschaftliche  Stellung  der  analytischen  Geometrie  zu 
dienen. 

Der  deutsche  Bearbeiter  hat  den  letzteren  Gesichtspunkt  in  den  Vor- 
dergrund treten  lassen  und  hiervon  eine  Erweiterung  des  Salmon 'sehen 
Werkes  abgeleitet,  rücksichtlich  deren  er  sich,  wie  die  Vorrede  besagt, 
mit  dem  Verfasser  selbst  in  Einvernehmen  setzte.  Durch  Einschaltung 
einer  grossen  Menge  einzelner  Zusätze,  sowie  einiger  grösseren  Abschnitte 
ist  das  Werk  um  nahe  die  Hälfte  des  ursprünglichen  Volumens  angewach- 
sen, und  es  ist  in  seiner  neuen  Form  wohl  geeiguet,  dem  Zwecke  zu  ent- 
sprechen ,  welchen  der  Bearbeiter  dabei  im  Auge  gehabt  hat.  Das  Mate- 
rial au  den  Erweiterungen  bt  zum  Theil  anderen  Schriften  desselben  Ver- 
fassers entlehnt,  namentlich  dem  vorzüglichen  Werke:  A  TreaUse  on  the 
higher  plane  Curvety  zum  Theil  sind  andere  englische  Quellen  benutzt.  Die 
Arbeiten  deutscher  Mathematiker,  namentlich  unserer  Möbius,  Plücker, 
Steiner  und  Anderer  sind  übrigens  durchaus  nicht  unbeachtet  geblieben; 
einzelne  Partien  verrathen  eine  selbstständige  Auffassung  von  Seiten  des 
Bearbeiters. 

Der  Stoff  des  vorliegenden  W^erkes  ist  in  der  deutschen  Ausgabe  in 
die  folgenden  Abschnitte  vertheilt :  Cap.  I.  Der  Punkt.  Cap.  II.  Die  ge- 
rade Linie.  Cap.  III.  Aufgaben  über  die  gerade  Linie.  Cap.  IV.  An- 
wendung einer  abgekürzten  Bezeichnung  für  die  Gleichung  der  geraden 
Linie*  Cap.  V.  Gleichungen  von  höheren- Graden,  welche  gerade  Linien 
darstellen,  Cap.  VI.  Ableitung  der  Haupteigensehaften  aller  Curven  zwei- 
ten Grades  ans  der  allgemeinen  Gleichung.  Cap.  VII.  Der  Kreis.  Cap. 
VIIL  Lehrsätze  und  Aufgaben  über  den  Kreis;  Anwendung  einer  abge- 
kürzten Bezeichnung  auf  seine  Gleichung.  Cap.  IX.  Eigenschaften  eines 
Systems  von  zwei  oder  mehreren  Kreisen.  Cap.  X.  Die  allgemeine  Glei- 
chung des  zweiten  Grades  als  Central  -  Gleichung.  Ellipse  und  Hyperbel. 
Cap.  XI.  Die  Parabel.  Cap.  XII.  Vermischte  Aufgaben  und  Lehrsätze 
Über  die  Kegelschnitte.  Cap.  XIII.  Die  Methode  des  Unendlich  -  Kleinen, 
die  Quadratur  und  Bectification  der  Kegelschnitte.  Cap.  XIV.  Die  Me- 
thoden der  abgekürzten  Bezeichnung,  die  trimetrischen  Coordinaten- 
Sy Sterne  und  das  Princip  der  Dualität  in  ihrer  Anwendung  auf  die  Kegel- 
schnitte.    Cap.  XV.  Die  allgemeine  homogene  Gleichung  zweiten  Grades 


46  LitonitiiciMntaAg» 

QDd^die  Algebra  der  linearett  Tr«nift>rttili(meii^   Oi^*'X^ 
Methodeir.    1)  Die  Methode  der  rtetproken  PdareB.  *t)  Die  berkeniedhta 
and  anliarmomflcheti  Bigemekeften  der'KegdiUiiritte.  S)  Di^MeCtoie  der 
Projeetiimeii  vnd^ivgeometrieehenVerwaiidtteiieflMdetirtrtefe 

Znifttse:  — Q««H»^N««li-^«>**    '         v  ■' ''    '        *  "'''  "    '        '"    *"•  ■■■ 

D«a  L,  n.  und  V.  Cepkel  enthatten  die  H wplfegtee  4NUi  ier Tktorie 
des  Ptnikfees  «nd  der  geraden  Linien  itn  Syitente  dei^  OarleilMhM'PMallei* 
Coordinaten  and  dem  der  Polar-Coeirdinaten)  in  gleiehem  IliiBAriq(e>glelN 
da«  VI.,  Vn.,  X.  Qüd  XL  Capitel  die  Theerie  der  KegebelmUMv^INe 
Capitel  in,  Ylfl  nnd.XQ  gewähren  »efehhiJtige  Aa<igaben-|h^ 
aar  Erläuterang  dieser  Theorien  und  aar  ünterstfttanng  des  wehereai-'SCi-' 
diuma;dereelbetf*  .  Mit  Aashahme  einer  nMft  äfilM^rMtlllteiwilr'lleiige^kld- 
nerer  ZasttÜe  and  Abilndeningett  besdnrMikinl' = diese  ^adilrHlleaMi^^ 
Tbeile  des  deütsehen-  Werkes  ^sieh  groiseirthrtls  aaf  isHüft'  IMle  fVAte- 
Mtanng  der^eotspreeheadeH  Partien  des  OrigiMls.  ItMe  eitt8f|(i6  weaMÜMe 
Abtademng  besteht  in  der  geindert»»  Ot^Uhiig  dea^roni  Xr«iee  kllsdrtiK 
den  Capitels  Vllrwelehes  im  Originale  sis^ Mater  Tbefl  d«»  to^'UefM^ 
tang  der  Kegelsehnitte  voraaagefaendaiXi  Bfadtoitong  seiüen*  Pleta  "«^  4h 
Disenssion  der  allgenieineaOIeiehang  aiMlM  Grades4ttdet,'vMifM^ 
dem  Standpunkte  der  deatsefa» BearTieilittg^dieiatoDfie des Krsibei  to 
ersten  spedellen  Fall  der  ü&tersaefaiing  einer  LMe  aweitefrOndee'UMel 
and  deshalb  der  Ableitoag  der  Haapteigensehäftett  aller  sbleher-LMii 
nachfolgten  masste.  Der  Kreis  ist  hierbei  als  diejenige  Cnrre  aweiten  Om- 
des  anfgefasst,  deren  conjagirte  Dorehmesser- Paare  sieh  reebtwink^ 
durchschneiden. 

Der  tibrige  Inhalt  des  Baches,  welcher  in  der  vorliegenden- Form  laeh 
als  die  Hftlfte  des  Oanten  ansmaelitv  ist  b«eonders  der  Einfihtang  in  die- 
jenigen algebraischen  and  geometrischen  Methoden  gewidmet,  dnreh  weldN 
die  neueren  wesentlicheigi  Fortschritte  der  analTtischen  Oeometriebedh^ 
worden  sind.  Diese  Theile,  welche  nach  dem  Plane  der  dentsehen  Be- 
arbeitang  die  wichtigeren  sind,  haben  deshalb  auch  die  grössere  Meng« 
von  Znslitzen  in  sich  anfgenommen.  Bei  der  reichen  Menge  des  darin  ent- 
haltenen Stoffes  mnss  sich  Referent  auf  wenige,  die  Hauptsachen  berflli- 
rende  Andeutungen  beschränken. 

In  dem  zur  Theorie  der  geraden  Linie  gehörenden  Capitel  IV  ent- 
wickelt das  Original  insbesondere  den  Gedanken,  dass  die  Gleichung  der 
geraden  Linie  in  Cartesischen  Coordinaten  in  eine  homogene  Gleicbang 
ersten  Grades  zwischen  drei  linearen  Functionen  der  beiden  Verlind erliohen 
umgeformt  werden  kann  ,•  woraus  sich  in  einfacher  Weise  der  Begriff  dei 
trilinearen  Punkt -Coordinaten,  d.  i.  der  Bestimmung  eines  Punktes  dureli 
das  Verhältniss  seiner  Abstände  von  den  drei  Seiten  eines  Fundamental 
Dreieckes,  ableitet.  Die  deutsche  Bearbeitung  scUliesst  hieran  den  Begrii 
der  dreipunktigen  Linien  -  Coordinaten ,  in  denen  die  gerade  Linie  als  da 


Litcratiirzeitunii:.  47 


'Ö 


JBlemtot  geometrischer  Formen  auftritt  und  durch  das  Verhältniss  ihrer 
Abstände  von  den  drei  Eckpunkten  des  Fund  amental -DreiecHes  fixirt  wird. 
Das  für  die  neuere  Geometrie  so  wichtige  Princip  der  reciproken  Dualität, 
welehes  im  englischen  Originale  nur  im  Capitel  der  geometrbchen  Metho- 
den bei  den  reciproken  Polaren  Verwendung  findet,  erlangt  hierdurch  seine 
elementare  Begründung.  Zugleich  ergeben  sich  hieraus  wesentliche  Er- 
weiterungen des  Capitels  XIV,  in  welchem  die  beiden  trimetrischen 
Coordinaten  -  Systeme  ^r  Untersuchung  der  Kegelschnitte  verwendet 
werden. 

Das  von  der  Methode  des  Unendlich  -  Kleinen  handelnde  Capitel  XIII 
ist  zur  Hälfte  im  Original  in  dem  von  den  geometrischen  Methoden  han- 
delnden Schlussabschnitte  enthalten.  Die  Bestimmung  der  Tangenten, 
die  Quadratur  der  Parabel  und  Ellipse  und  die  Theorie  der  Krümmungs- 
halbmesser wird  hier  aus  einfachen  geometrischen  Betrachtungen  abge- 
leitet. Die  in  der  deutschen  Bearbeitung  sich  hieran  lehnende  Verwendung 
der  Differential  -  und  Integralrechnung  zu  denselben  und  verwandten  Auf- 
gaben steht  zwar  in  loserem  Zusammenhange  mit  dem  -übrigen  Inhalte  des 
Buches,  findet  aber  in  dem  Bestreben  des  Bearbeiters,  die  Theorie  der 
Kegelschnitte  zu  einem  möglichst  umfassenden  Ganzen  abzurunden,  ge- 
nügende Bechtfertigung ;  umsomehr,  als  auch  das  Original  an  anderer  Stelle 
von  den  Methoden  der  höheren  Analjsis  Gebrauch  macht. 

Die  wesentlichsten  Umformungen  haben  die  beiden  Schlusscapitel  er- 
langt. In  Capitel  XV  sind  einige  Abschnitte  der  neueren  Algebra  aufge- 
nommen, deren  vollständige  Kenntniss  bei  den  Studirenden  der  Mathema- 
tik, für  welche  das  Buch  hauptsächlich  bestimmt  ist,  nicht  allgemein  vor- 
ausgesetzt werden  konnte ,  nämlich  die  Grundzüge  der  Theorie  der  linea- 
ren Substitutionen  und  die  zu  ihrer  Begründung  nothwendige  Theorie  der 
Determinanten.  Der  an  mehreren  Stellen  des  Originals  betonte  Grundge- 
danke ,  dass  alle  wesentlichen  Eigenschaften  einer  geometrischen  Form  aus 
solchen  Verbindungen  der  in  der  Gleichung  dieser  Form  vorhandenen 
Coefficienten  abgeleitet  werden  müssen ,  welche  unabhängig  von  der  Ver- 
änderung des  zu  Grunde  gelegten  Coordinaten-Sjstems  bleiben,  ist  mit  die- 
sen Hilfsmitteln  in  der  Bearbeitung  weiter  verfolgt,  als  es  im  Originale 
möglich  war.  Auch  treten  hiermit  solche  gegenseitige  Beziehungen  zwi- 
schen Curven  in  den  Vordergrund,  welche  durch  die  Wahl  der  Coordinaten- 
Achsen  nicht  gestört  werden.  Endlich  erhält  durch  die  Aufnahme  dieser 
algebraischen  Theile  das  von  den  geometrischen  Methoden  handelnde  Ca- 
pitel ,  welches  im  Originale  nur  in  loser  Verbindung  zu  dem  übrigen  Inhalte 
des  Buches  steht,  einen  organischen  Zusammenhang  mit  dem  analytisch - 
geometrischen  Theile  des  Werkes.  Grössere  Zusätze  in  Capitel  XVI,  wel- 
che sich  an  das  Vorhergehende  naturgemäss  anschliessen ,  begründen  die- 
sen Zusammenhang.  Wichtig  ist  namentlich  für  die  projectivischen  Eigen- 
schaften der  Kegelschnitte  die  an  ein  Capitel  des  oben  erwähnten  „Trealin 


52  Literaturzoitung. 


21 .  .Vo/e  sur  la  diüeloppetnent  en  s6rien  de^  coardonnicn  d*tme  planete,    Bourgtt    Comyt. 

rend.  /..  3IÜ. 

22.  Sur  ia  deieniunation  iMoiique  du  voefficient  de  röquaiion  siculmre  de  la  lune.    Dt 

Pontecoulant      Campt  rend.  Z,  734. 

23.  Uobcr  die  Uestalt  d-^n  Mondes.     Gussew.     ßuH.  Acad,  Pctcrsh.  ^,  27«. 

24.  Alldeutungen  über  astronomisch^  Beobachtungen  bei  totalen  SonnenfinsternidKu. 

Littrow.     (Jrun.  Archiv  XXXIV,  475. 
25-  Ueber  Berichtigung  de^  Aeqnatorinls.     Steinheil.     Astr.  Nachr.  LH,  l'ii). 
Vergl.  Geschichte  der  Mathematik  80,  00,  08,  09,  107. 

Attnetion. 

26.  Oh  ihe  mialytical  theory  of  (he  altraclhn  of  soHd»  btnoided  by  9Hrfaees  of  a  dttts  in- 

cluding  the  eiiipsoid.     Donkin.     PkU.  Mag.  XIX,  397. 

27.  Ueber  ein  Attractionsproblem.     Joachimsthal.     Grelle  LVIU,  135. 


Beftimnita  Intagrala. 
28.  De  integralibta  quibusdtnn  de/hiUU.     Lind  man.     Gmn.  Archiv  XXXIV,  17. 
•20.  Ueber  einige  von  ihren  Bearbeitern  für  neu  gehaltene  bestimmte  Integrale.  Lind- 
mau.     Gmn.  Archiv  XXXIV,  118. 

30.  Ueber  eine  ZurückfUhrnng  bestimmter  Integrale  zwi.^chen  den  Grenzen  0  unil  • 

anf    andere    iwischen    denselben    Grenxeu.      Zekfass.      Grün.    Archiv 
XXXIV,  486. 

31.  StiT  ttne  faute  dans  les  Exercises  de  MaMmatiques  ptir  Camchy,     Seconde  ammie  IR17 

p    141  sqq.     Cltiussen.     ßiät  Arad  Peiersb   /,  145. 
Vergl.  Discontinuirliche.  Functionen ,  Elliptische  Functionen,  Functionen  07. 
Gammafunctioncn ,  Productenfolge. 

Binomialooeflleieiitea. 
Vergl.  Reihen  180. 

Brennlinien. 
3*2.  On  a  geomelriad  mcthod  of  conslritcling  canstie  by  reflection.     Pull  er,    Qtuirt  Jour». 
Math,  JII,  312. 

33.  On  the  cvnicul  refraction  of  a  straighl  Ihie.     Gl i/ ton.     Quart.  Journ,  Math.  IIL  300. 

c. 

Combinatorik. 

34.  Coefticienten  und  independonte  Formeln  zur  Berechnung  der  combinatorischen 

Productc.     Wasmnnd.     Grün.  Archiv  XXXIV,  440. 

35.  Ueber  die  Entwickolung  von  co*  (0+  ö,  + . .  +  O«  .  i) ,  *i;i  (0+  O,  + . .  +  d»-|) 

und  über  einen  damit  verwandten  Satz  aus  der  Theorie  der  Zahlen.   U  n  f  er- 
din gor.     (irun  Archiv  XXXIV,  72. 
Vergl.  Functionen  68. 

Cubator. 
30.  Sur  ttn  certain  volume  de  rotation.     Franfoise.     N.  tmn,  math.  XIX,  II.  —  De  la 
Briere,  ibid.  52.  —  De  Charodon.  ibid.  52,  188.  —  Drouard.  ibid.  54.  — 
Hazan.  ibid.  158.  —  Puech.  ibid   160. 
37.  Cubatur  des  Fusspunktenkörpers  eines  Ellipsoides.     Magoner.     Grün.  Archiv 
XXXIV,  450. 
Vergl.  Figurirto  Zahlen. 


Determinanten. 
38.  Sur  \m  tfteorime  de  M.  Sylvester  relatif  ä  Ut  irntis forma tion  du  produit  de  ditermtnanit 

du  meine  ordre.     De  Sperling.     Journ.  MaihHn.  A'XF,  121. 
30.    Faleur  ilun  determinant.     Brioschi  et  Cr  emon  a.     y.  ann.  math.  XlX,  Ibi^ 

40.  l^aleur  d'un  dcterminant.     Da  ehr.     X.  ann.  jmäh.  XIX.  \'0. 

41.  Vtdetrr  symbolique  d*nn  dHerntinant.     S.  mm.  math.  XIX,  181. 

Vergl,  Functionen  71 ,  QeschicVvle  d^t  M^lVvomaUk  07  ^  Homogene  Function«>ii, 
Träghciismomeixi  203. 


Bibliographie 

vom  15.  Februar  bis  15.  April  1861. 


Periodische  Sohriften. 

-Archiv  der  Mathematik  und   Physik,  von  A.  Orunekt.    30.  Tbl. 

Greifswald ,  Koch.  pro  compl.  3  Thlr. 

Aittheilungen  der  naturforschenden  Oesellschaft  in  Bern.     Aus  dem 

Jahre  1860.     Bern,  Huber  &  Comp,  in  Comm.  1  Thlr. 

^nnuario  mariliimo  per   Vanno  1861,    compilafo   dal  Lloyd  austriaco. 

11  Annala.     Triest,  Direction  des  Österreich.  Lloyd.        1  Thlr.  2  Ngr. 

Annnles  de  Vobservaioire  imperiale  de  Paris,  publiees  par  U.  le 

Vebrier.     Tome  13.     Paris,  Mattet- Bachelier. 

Beine  Hathematik. 

DoBHK,  H.  6.  Lehrbuch  der  Mathematik  für  Gymnasien  und 
Realschulen.  2.  Aufl.  1.  Bd. :  Arithmetik,  2.  Bd.:  Algebra.  Berlin, 
Weidmännische  Buchhandlung.  18  Ngr, 

B0TMA.NN,  J.  R.  Lehrbuch  der  Mathematik  für  Gymnasien  etc. 
3.  Tbl.:  Arithmetik.  Cöln  und  Neuss,  Schwann*sche  Verlagsband- 
lung.  %  Thlr. 

SCHLING,  J.  T.  Geometrische  Constructionsaufgaben.  Kiel, 
Schröder  &  Comp,  in  Comm.  1%  Thlr. 

Fliedner,  C.  Lehrbuch  der  ebenen  Geometrie  nebst  Aufgaben- 
sammlung.    Marburg,  Elwert'sche  Univers.-Buchhandl.      %  Thlr. 

Becker,  F.W.  Lehrbuch  der  Elementargeometrie.  2.  Tbl.  2.  Abth.: 
Darstellende  Geometrie.     Oppenheim  a.  R.,  Kern.  %  Thlr. 

Berrhan,  W.  Die  Anwendung  der  Geometrie  auf  Arith  metik 
und  Algebra.     Halle,  Schmidt.  24  Ngr. 

Zetz8Che,K.E.  Die  Elemente  der  ebenen  Trigonometrie.  Alten- 
burg, Pierer.  16  Ngr. 

Angewandte  Mathematik. 
Heusbi,  J.    Lehrbuch   der   Geodäsie.     1,  Hälfte.     Leipzig,  Brock- 

liaus.  1%  Thlr. 

Schmidt,  G.  Die  Gesetze  und  Kräfte  der  relativen  Bewegung 

in  der  Ebene.     Wien,  Braumüller.     10  N\gt. 


54  Literatarseitnng. 

W. 

ügnriit«  ZfthlML 

63.  Sttr  la  limUe  vera  taqueüe  iend  le  rapport  du  vide  au  plein  dim8  une  pUe  de  bBnleU, 

toraque  le  nombre  de»  boulet»  augmente  indifinunent»     Fleury,     N.  tmn.  malh, 
XIX,  9. 

7o«eaTütfiehtr  PtttdtlTvrtneh. 

64.  Ueber  die  Bichtung^ändening  der  Verticale    Bacaloglo.  Zeitschr. Math. Phji. 

V,  59. 

Vnnetienalgleioliiiiig. 

65.  An  optical  iheorem,     TaiU    Quart.  Joum,  MM.  III^'S^, 

Fnnctioiieii. 

66.  Fondamenli  di  una  teorica  generale  ddle  funzioni  di  una  variabile.    R  iema  n  n.    Jtwad 

mat  //,,3:i7. 

67.  Sur  le  d^eloppement  des  fimctions  ä  une  eeute  variable,    Tchebych ef,    BuU.  Aead. 

Peiersb.  /,  193. 

68.  Sur  le  nombre  de  valeurs  que  peui  acquirir  une  fimction.    Mathieu,    Jowm.  Math^m. 

XXV,  9.  (Vergl.  Bd.  V,  No.  ö8.J 

69.  Wiederholang,  Interpolation  oad  Inrenion  einer  Fonetion  unter  gemeingdiafV 

lieber  Form.     Hoppe.     ZeiUcbr.  Matb.  Phya.  Y,  136. 

70.  Ueber  ein  gewisses  matbematiiches  Princip.     Zehfuss.    Zeitschr.  Matb«  Phj^ 

V,  2111. 

71.  On  eome  nymmetric  funclions  of  the  root»  of  algebraic  eqiuUionM,  M,  Robert*.  Qturt 

Joum.  Math.  IV,  57. 

72.  l  .  2  .  8  .  . .  n  >  (K«)".     8 ob  1  ö m i  1  c  h.    ZeiUcbr.  Math.  Phjs.  V,  228. 

73.  Neuer  Vorscblag  zur  Anfsucbung  des  Lnftwiderstandsgesetzes.  Brenner.  Gran. 

Arcbiv  XXXIV,  274. 
Vergl.  Sturm *8  Functionen. 

«»• 
Oaounaftinotlon. 

74.  Sur  la  formule  de  Stirling,     Ossian  Bannet,     Campt,  rend.  L,  862. 

Oeodäsie. 

75.  Sur  rinfluence  des  altraclions  locates  dans  les  Operations  gdod^siques  et  particHliiremtni 

dans  Cure  Seandinavo-Hitsse,     De  Schubert.     Astr.  Nacbr.  LI  1 ,  32 1 , 

76.  Der  DistHuzmesser  des  Genie -Oberlieutenants  Biagio  de  Benedictis  in  Neapel 

Zetasche.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  225. 
77*  Allgemeine  Bestimmung  der  Länge  von  Nonien  an  Maassstäben.  M  a  tzk a.  Gran. 
Archiv  XXXIV,  334. 

Oeodititeht  Unit. 

78.  Sur  une  forme  de  Piqualion  de  la  ligne  geodesique.  elHpsotdale  et  de  »es  usages  povr 
/  trouver  les  proptietes  commune»  aux  tiynes  eUipsötdales  et  ä  des  courbes  planet 

correspondanles,     Aoust.     Compt,  retuL  L,  4S4, 

Ooometrid  (detoriptiTO). 

79.  Eine  Ebene  zu  legen,  welche  die  in  einem  gegebenen  Kegel  zweiten  Grades  einer 

gegebenen  Geraden  parallel  gezogene  Gerade  halbirt.     Bacaloglo.     Zeit- 
schr.  Math.  Phys.  V,  59. 

80.  Sw  une  qucstion  de  g^omelrie  descriptive.     Gros.     N.  ann.  math.  XIX,  29. 

Oeometrie  (btthoro;. 

81.  lieber  die  Erzeugung  geometrischer  Cnrven.  Haortenberger.  Grelle  L  VIII,  54. 

82.  Sin-  quelques  proprietvs  des  lignes  yauthes  de  troisieme  ordre  et  vlasse.     Cremona, 

Crclle  LVIII,  i:^8 

83.  Theoremes  de  gcomctrie  segmentinre      Hermes.     N.  rmn,  matk.  XIX,  26, 

84.  Ilomographie,     Poudra.     N.  tmn   math    XIX,  108. 

85.  Application  de  la  transfm'mation  par  ruyotis  vecteurs  riciproqucs  d  l'etude  de  la  surface 

cnvchppe  d'uuc  sphcj'e  tttngente  a  trois  spheres  donn^es,     Mannheim.     N  tarn, 
mnlh.  X/X,  67. 
86    Proposilions  segmvntaires  Sior  la  parabole  l'/typerhole  vquilatere  et  propri^ti  du  cerde 
principal  de  feliipse,     Lcscatc.     N.  auu.  toüiK.  XI X.^ ^JlI^. 


Mathematisches  Abhandlungsregister. 


iseo. 

Erste  Hälfte:  1.  Januar  bis  «30.  Juni. 


Atrodjiuunik. 

1.  Zar  Theorie  der  Gase.    Jochmann.    Zeitsehr.  Math.  Phys.  Y,  24,  00. 

2.  lUuBtrationg  ofthe  dynamical  theory  of  gases,     Maxwell.     PlUl,  Mag.  XIX,  19.  — 

Claudius  ibid.  484. 
Vergl.  Functionen  73. 

Aaaljtiselie  Geometrie  der  Zbene. 

3.  TrantformaitOH  des  proprUtis  des  flgures,   Faure.   N.  ann.  math.  XIX,  180.  [Vcrgl. 

Bd.  V,  No.  2ÖÜ.J 

4.  Mimoiresur  les  polaires  inclinies,  Dewulf,  N.  ann.  math.  XIX,  175.  (Vergl.  Bd.  V, 

No.  252.] 

5.  Oft  a  suijeci  connected  io  tangential  coordhuUes.  Taft,  Quart,  Joum.  Math.  III,  305. 
0.  Zur  Theorie  paralleler  Carven.    Cantor.    Zeitsehr.  Math.  Phjrs.  V,  210. 

7.  Ueber  Fasspunktlinien.  W etaig.  Zeitsehr.  Math.  Phjrs.  V,  1,81.  [Vergl.  Bd.  IV, 

319.]       • 

8.  Le  Heu  des  pieds  des  perpendicuiaires  abaissies  du  centre  d'une  drcotifirence  sttr  les 

tangentes  ä  lo  diveloppanle  de  cette  ctrconfirence  est  une  Spirale  d'Archimide. 

Laquiere,     N.  ann.  math.  XIX,  180. 
■9.  Swr  les  couröes  dplusiew^s  points  d^arret.    Ltiurent.     N.  ann.  math.  XIX,  210. 
\0.  Cowbe  logocyclique.     fiooth,     N.  ann.  math,  XIX,  2H. 
IL  0»  a  geometricat  theorem  of  Mr,  Steiner.    Ferrers,    Quart,  Joum.  Math.  IV,  02. 

12.  So"  une  cowbe  du  troisieme  ordre,     Mention.     Bull.  Acad.  Petersb.  I,  233. 

13.  JJeu  giomitrique.     Lenglier.     N.  ann,  math.  X/X,  123. 

Vergl.  Brennlinien  32,  Doppeltangenten,  Ellipse,  Epicjrcloiden,  Hyperbel,  Ke- 
gebchnitte ,  Mechanik  163. 

Analjüsehe  Oeometrie  des  Baumes. 

14.  Veber  krummlinige  Coordiuaten.    B  ti  k  1  e  n.     Grün.  Archiv  XXXIV,  20,  308. 

15.  Memoire  sur  Pemploi  d'un  nouneau  Systeme  de  variables  dann  Citnde  des  propriitis  des 

surfaces  cowrbes      Ossian  Bonnet.     Joum.  Mathim.  XX V,  153. 

16.  Ueber  die  Wendunjfsberührebenen  der  Raumcurvcn.  Bisch  off.  Grelle  LVIII,  170. 

17.  Einige  neue  SHtze  über  l^usspnnktflttchen.     Bacaloglo.     Zeitsohr.  Math.  Phys. 

V,  67. 

18.  Eiementarer  Beweis   des  Völler*8chen  Satzes  und  Ucb ertragung  desselben  auf 

räumliche   Verhältnisse.     Matthiesse n.     Zeitsehr.   Math.   Phys.  V,  146. 
[Vergl.  Bd.  IV,  366.] 

19.  Vote  sui*  quelques  cottrbes  ä  double  courbure,     Aelt.     N.  ann,  math,  XIX,  100. 

Vergl.  Geodätische  Linien,  Isotherme  Linien,  Krystaliographie  148. 

Astrenomie. 

20.  Sur  le  döoeloppement  en  sMes  des  coordonnies  d'une  planete  et  de  la  fonction  pertürba- 

trice.  Puiseux.  Compt.  rend.  L,  111,  151,  365,  490.  —  Joum.  Math6m.  XXV, 
65,  105. 


52  Literaturxcitang. 

21.  Note  Jfttr  le  divefoppemeni  en  MMeM  de»  eoarfhimie$  d*me pfimüe,  Bomrgei    (hmpi, 

.     rend,  L,  319. 

22.  Sur  ta  deierminaiUm  iMotigue  du  caef/Mtni  de  Viqwakm  e^tu/Mire  de  Im  Itme,     De 

Ponticoulant      Compi  rend.  L^  734. 

23.  Uober  die  GesUlt  den  Monden.    GusBe  w.     Bvil.  Aeml.  Petent,  l\  27«t. 

24.  Andeutungen  über  astronomisch^  BeobAchtungen  bei  totalen  Sonnenfinsternissen. 

L  i  1 1  r  o  w.     Gran.  Archir  XXXIV,  475. 

25.  lieber  Berichtignng  des  Aeqnatorinls.    Steinbeil.     Astr.  Nachr.  LH,  120. 

Yergl.  Geschichte  der  Mathematik  89,  90,  96,  09,  107. 

Attnsaon. 

26.  Oh  the  tmalffHeal  tkeory  «/  M^  attraethn  of  $oHA  bmmded  ii^  wtir^lteee  o/«  dtmi  im- 

cUiding  the  elHpioid.     Donkin.     PhU.  Maa.  XIX,  897. 

27.  lieber  ein  Attractionsproblem.    Joachims tnal.    Grelle  LVIII ,  135. 


^btefzde.-,, 

te.  De  inteffraUhtiM  qmbtisdam  de/btiti».    Lind  man.    Örnn.  Afdiiv  XXXIY,  17. 
•20.  Ueber  einige  ron  ihren  Bearbeitern  für  neu  gehaltene  bestimmte  Integrale.  Li  lad- 

mau.    Grim.  Archir  XXXIV,  i  18. 
30.  Ueber  eine  Znrückfttfamng  bestimmter  Integrale  swischen  den  Orenson  0  und  m 
auf    andere    iwisdieA   denselben   Qreaaan..     Zakf^ss.'    iQnmi  Uüsshhr 
XXXIV,. 486,  ■      -  .\    : 

81.  Sur  une  faute  dans  tee  Exercieet  de  Mathimatiguee  parGmue^    SemmdMimmie  1827 
p   141  sqq.     ClttuMseu.     BuU.  Atad  Petereh  /«  145.  i.   i  .      /v 

Vergl.  Diseontinairlicho.Panctioneni  £iliptisp|^,.^^ctioiien,  Fnuctioncn  07. 
Gammafonctionen ,  Prodnotenfolge. 


Vergl.  Beihen  189. 

32.  On  a  geomelriad  method  of  eon»^*ueiing  eaustie  by  reßedkn.    Pull  er,  Hmri,JmenL. 

Math.  III,  312. 

33.  Oh  the  conical  refraction  ofa  etraight  Ime,     CK f ton,    Quart,  journ.' Math,  ttl,  300. 

ۥ 

ComMaatorik. 

34.  Coefdcienten  und  independente  Formeln  zur  Berechnung  'der  eomblnaterfsehea 

Prodncte.     Wasmnnd.    Grün.  Archiv  XXXIV,  440. 

35.  Ueber  die  Entwickelnug  von  co*(a+ej  +  ..  +  d«  .  i),  ffK(e+d.4*..-fO«-.i> 

und  über  einen  damit  verwandte A  Sats  ans  der.Theoriedet  Zahlen.  Unf  er- 
/  d  i  n  g  e  r.     ürun  Archiv  XXXIV,  72. 

Vergl.  Functionen  68.  ' 

Cnbatmr. 

36.  Sur  un  certain  volume  de  roiation.     Franpoise,     N,  tmn.  math,  XIX,  II.  —  />c  /« 

Bri^re,  ibid.  52.  —  De  Charodon.  ibid.  52,  188.  —  Drouard.  ibid.  54.  — 
/fazan.  ibid,  158.  —  Puech.  ibid   160. 

37.  Cubatur  dos  Fasspunktenkörpers  eines  Ellipsoides.     Magen  er.    Gmn.  Archiv 

XXXIV,  450. 
Vergl.  Figurirte  Zahlen. 

D. 

Determinanten. 

38.  Sui'  un  theori'ine  de  M.  Sylvester  relatif  ä  In  trwisformaiion  du  produit  de  ditermmoHts 

du  meine  ordre.     De  Sperling.     Journ.  MalhHn.  XXV,  121. 
30.    Valeur  d'itn  döterminant,     Brioschi  ei  Cremona.     N.  mm.  math,  XlX,  151. 

40.  l^nleim  d'un  dctenninant.     Bachr.     y.  ann.  vuUh.  XIX,  170. 

41.  Vuleirr  symholique  d*nn  diternmumt.     N.  ann.  math.  XIX,  181. 

Vergl.  Functionen  71 ,  Geschichte  der  Mathematik  97 ,  Homogene  Functionen, 
TrUgbeitsmomciii  203. 


Literataraeilang.  57 

140.  Ueber  eine  nene  Eigenschlkft  der  Steincr*8chon  Oegenpunktc  des  Pascarschen 

Sechsecks.    Grossmann.     Grelle  LVIII,  174. 
Yergl.  Analgetische  Geometrie  der  Ebene  12,  Ellipse,  Geometrie  (höhere)  8ü, 
Hyperbel,  Kreis,  Oberflächen  zweiten  Grades  171',  172,  Sphlb'ik  194,  105, 
Verwandtschaft  209. 

Xottenbiftoht. 

141.  Ueber  Zfthler  und  Nenner  der  Näherangswerthe  von  Kettenbrüchen.  Christof- 

f  el.     Grelle  LVm ,  90.  [Vergl.  Bd.  V,  No.  373.] 
Vergl.  Functionen  67. 

Krdi. 

142.  Sur  Fenoeloppe  du  cei-cie  cv'consait  il  im  Mangle  variable.     Bellaviiis    N,  arm. 

wuUh.  XIX,  115. 

143.  Fropriilis  d'un  point  de  la  circonfirence  d*im  cercle et  d'un pomt  du  diamktre,  Kess- 

ler.    N.  ann,  maih.  XJX,  162. 

144.  Die  gemeinsehaftliche  Tangente  sweier  Kreise  en  suchen.    Stamm  er.     Gmn. 

ArehiT  XXXIV,  484. 

Xrflmi&iiiigikreis. 

145.  Thioremt  sur  les  courbwres  des  liynes.     Bo  eklen,     N.  ann.  math,  XIX,  136. 

146.  Sur  la  courbure  des  surfaces.     Ostrogradski,    Bull.  Acad.  Petersb.  I,  345. 

147.  On  the  curvature  ofa  plane  curve  at  a  double  point,  and  on  t?ie  atrvature  ofsurfaces. 

Cayley.     Quart.  Jotmi.  Math.  III,  322. 
Vergl.  Oberflächen  zweiten  Grades  171. 

Xrystallographia. 

148.  Die  allgemeinsten  Gesetze  der  Kristallographie,  gegründet  anf  eine  von  nenen 

Gesichtspunkten  ausgehende  Theorie  der  geraden  Linie  im  Baume  und  der 
Ebene  für  beliebige  schief-  oder  rechtwinklige  Goordinatensysteme.  Grü- 
ne r  t.    Grün.  Archiv  XXXIV  ,121. 

149.  Crystallograpidc  noHces.     IV.  H.  Miller.     PHl.  Mag.  XIX,  325. 

Logarithäen. 

150.  Logarithmes  des  40  premisrs  nombres  de  BernouUi.  Thoman.  Compi.  rend.  L,  905. 

151 .  Fehler  in  Schrön^s  siebenstelligen  Logarithmentafeln.  Grün.  Archiv  XXXIV,  368. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  10,  Geschichte  der  Mathematik  94. 

M. 
XazisMi  ii»^  IGüiiBa. 

152.  Aufgaben  über  Maxima  und  Minima.     Strehlke.     Grün.  Archiv  XXXIV,  115. 

153.  Sur  un  maanmwn  aritfunologique.     Derbys.     N,  ann.  nuUh.  XIX,  117. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  19,  Geschichte  der  Mathematik  92. 

Kaehanik. 

154.  Sur  la  proposiiion  relative  au  transport  des  couples.  Tessan.  Compt  rend.  L,l\l.  — 

Duhamel,  ibid.  740. 

155.  Sur  la  rotation  des  rorps  pesunts.     Tournaire.     Compt.  rend  L,  470. 

150.  Observatkms  sur  las  formules  de  Lagrange  relatives  tat  mouvement  du  boulet  dans  VJn- 
terieur  du  canon.     Piobert.     Compt.  rend.  L,  255,  3»i5. 

157.  Uel^er  die  Festigkeit  einer  am  Rande  aufgelötheten  kreisförmigen  Platte.  Zeh- 

fuss.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  14. 

158.  SsBT  la  loi  des  petites  oscillatiotis  du  pendute  simple  dans  un  ndlieu  resistant.     Resal. 

N.  ann.  math.  XIX,  165. 
159    A  theory  ofmolecular  ftnrces.     Challis.  ^Phil.  Mag.  XIX,  S^. 
100.  Sur  la  loi  de  dilatation  de  corps.     Tessan.     Compt.  rend.  L,  20. 

161.  Notes  on  rigid  dynamics.    JStesser.     Quart.  Joum.  Math,  If^,  65. 

162.  Note  sur  la  double  rtfraction.     D' Esioequois.     Compt.  rend.  L,  9Q2. 

163.  Die  logarithmische  Linie  als  Gnrve  dor  rückwirkenden  Festigkeit  nachgewiesen 

im  Anlauf  des  Pfeilers,  der  Säule  und  des  Pyramidalkörpcrs   mit  quadra- 
tischem Querschnitt.     Stokar.     Gmn.  Archiv  XXXI V,  4 'U. 
Vergl.  Aerodynamik,  Attraction,  Elattidtät,  Elektrodynamik,  Foiicanlt'scher 
Pendelversuch,  Geschichte  der  Mathematik  100,  Hydrodynamik,  Oberliächuu 
165,  160,  Trägheitjimoment. 
VüBrMturUg:  d.  Zcit^chr.  f.  Malh.  u.  Phys.  VI,  3.  ^ 


58  Literatarseitung. 


Ob«rflleh0a. 

164.  Zar  Theorie  der  algebraiscben  Flächen.     C 1  e  b  8  c  h.     Grelle  LVIII ,  03. 

165.  The  equilibrium  ofa  flexible  but  inextensibie  and  melastic  mrface,    Besani,  Quart. 

Joum.  Math.  IV,  18. 

166.  The  egidlibrium  ofa  bent  lamma.     Besaut,     Qvart.  Joum,  Math.  IF,  12. 

Vergl.  Attraction  26,  Differentialgleichangen ,  Krttmmungskreis  146. 

Oberfliehea  tweitor  Ordnimg. 

167.  Risvmi  tPune  thioiie  des  surfaces  du  seamd  ordre  homofocales,     Chasles.    Compt, 

reiid.  L,  1055,  1110. 

168.  Swr  la  thiorie  des  pfans  diamätraux  dans  les  surfaces  du  second ordre,    Abel  Trau- 

son,    N.  ann.  math.  XIX,  182. 

169.  Surfaces  de  r  Evolution  du  second  degri.     ff  ottsei,    Joum.  Mathhn,  XXV,  129. 
17(k  Ueber  einige  merkwürdige  Besiehnngen,  in  denen  die  Flächen  «weiter  Ordnung 

zu  einander  stehen.     Schönherr.     Zeitdchr.  Math.  Phys.  V,  153. 

171.  Cercles  osculateurs  et  surfaces  osculatrices  duHS  les  Hgnes  et  surfaces  du  deuxüme 

ordre,     Ducoroy.     N.  ann.  math.  XIX,  118. 

172.  Bemerkungen  über  Curven  und  Flächen  zweiten  Grades.   Heil  ermann.   Zeit- 

sehr.  Math.  Phys.  V,  69. 

173.  De  la  surface  du  second  ordre  circonsaite  a  un  titrakdre.    Crimona.   N.  ann.  math. 

XIX,  149. 
Vcrgl.  Analytische  Geometrie  des  Baumes  14,  Cubatur  37,  Parabaloid. 

OperatlontealeftL 
11 4.  Onthelawsof  Operation  and thesystematizationofmathematics.  Ellis.  Ph.Mag.  X/X,221. 

175.  091  a  deoelopment  in  the calcutus  of  Operations.  S.  Roberts.  Quart,  Joum,  Math. IV, A4. 

1 76.  Note  on  a  theorem  in  the  calculus  of  Operations.  S,  Roberts,  Quart.  Joum.  Math,  ///,  810. 

177.  On  a  theorem  in  the  calculus  of  Operations.    Wal  ton     Quart.  Journ.  Math.  ///,  314. 

Verjfl.  Diiferentlalquotient  46. 

P. 

Paraboloid. 

178.  Des  coordomiies  pm*aboliqnes  et  de  leur  appliration  d  la  geom^trie  des  paraboloidet. 

Valson      Compt,  rend.  L,  680. 

•  Perspective. 

179.  Deux  figures  itant  en  perspective,  si  leurs  pJans  toument  (tutour  de  leur  commune  inter- 

section,  il  faut ,  pottr  que  ces  figures  restent  en  perspective  que  Voeil  chtmge  de  Po- 
sition', les  perpendiculaires  abaissces  chaque  fuis  du  point  le  vue  sur  ces  plant 
restent  dttns  im  rtipport  conxtant.  Carinouet  Laquihre,  y,  arm.  math,  XIX,  97. 

Planimetrie. 
180..  Probleme  de  geom^trie  du  compas.     Delisle      N.  ann.  math  XIX,  ^5. 
181.  Ueber  einige  interessante  Punkte  des  Dreiecks.  Nagel.  Grün.  Archiv  XXXIV,  359. 
Ib2.   Theoreme  sur  tvois  droites  passant  par  vn  meme point,    Kessler  et  Lemoine.    A'. 
•     ann.  math.  XIX,  91. 

183.  Ueber  Gouzy's  Methode  zur  Bestimmung  der  mittleren  Proportionallinie.    Gran. 

Archiv  XXXIV,  364. 

184.  Geometrische  Aufgaben  durch  Berechnung  gelöst.  Heller.  Grün.  Archiv  XXXIV,  6. 

Vergl.  Trisection  des  Winkels  206. 

Potential. 
Vcrgl.  Attraction,  Elektrodynamik  54,  55. 
Prodnkteafolge. 

185.  Sw  Civabtalion  approch^e  du  produit  1  . 2 . 3 . . .  x  lorsque  x  est  un  tres  grand  nombre 

et  sur  la  formale  de  Stirling.     J.  A.  Serret.     Compt'.  rend,  L,  662. 
Vergl.  Zahlentheorie  221,  222. 

Quadratur. 
Vergl.  Geschiebte  der  Mathematik  95,  8phärik  193,  Stereometrie,  Verwandt- 
schsLi'i  210. 


LiteraturzeituDg.  59 

QuAdratUoh*  Bette. 


Yergl.  Zahlentheorie  219. 


186.  Ueber  unendliche  Reihen  mit  verschwindenden  Gliedern  aber  nicht  verschwin- 

dender Reihensumme.     S  e hl  5  m  i  1  c  h.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  132. 

187.  Summation  iwcier  unendlicher  Reihen  auf  elementarem  Wege.    Bode.     Grna. 

Archiv  XXXIV,  397. 
J88.  Sur  la  sMe  dupiobieme  de  Fusa.    Mention.   Bull,  Acad.  Fetersb.  I,  507.  [Vergl. 
Bd.  V,  No   4(il.] 

189.  Theoreme  sttr  le  binume  de  Newton  pour  texpoeant  entier  et  poaitif.     Gare  et,    N» 

ann.  math.  XIX,  32. 

190.  On  S9me  nitmerical  expansiom.     Cayley,    Quart,  Jovm,  Math,  111,  366. 

*^^*    1.2.3...n'''273...(n+l)"*"3.4...(n  +  2|'''*"*~(n— l)l.2...(n  — D* 
Keeeler  et  Lemoine,     N,  ann.  math.  XIX,  34.  [Vergl.  Bd.  V,  Ko.  445.] 
Vergl.  Astronomie  20,  21,  Functionen  07,  Prodnctenfolge,  Zahlentheorie  213. 

Bphirlk. 

192.  Formttlee  de  trigonomitrie  sphhnque.     Bretschneider.    N.  ann.  math.  XIX,  22. 

193.  Die  Flttche  des  sphärischen  Vierecks.     König.     Grün.  Archiv  XXXIV,  12,  355. 

194 .  RHwni  d'une  thiode  des  coniques  sphenques  homofocales.  Chasle  a.  Compt.  rend.  L,  623. 

195.  FropriMa  dea  coniquea  aphiriquea  homofocalea.  Vannaon.  N.  ann,  math.  XIX,  197. 

Vergl.  Astronomie  23. 

Stereometrie. 

196.  Neue  Sätie  fiber  das  rechtwinkligeParallelepiped.  Mann.  Grün.  Archiv XXXIV,  11 6. 

197.  Lehrsatz  über  den  Flächeninhalt  eines  geraden  Cylindermantels,  welcher  von  einem 

anderen  senkrecht  geschnitten  wird.   L  o  m  m  e  1.   Grün.  Archiv  XXXIV,  28(5. 
Vergl.  Cubatur  36,  Figurirte  Zahlen,  Geschichte  der  Mathematik  93,  Tetrae- 
drometrie.  ' 

Stnrm'a  TmiefeioiMiL 

198.  IHfenaaioH  ofthe  Sturmian  conatanta  for  cubic  and  qyartic  eqtiatüma.  Cayley.  Quart. 

Jomm.  Matth.  IV,  7. 

T. 

Tabellen. 

199.  Tablea  pour  fitciHter  te  caleul  dea  kauteura  correapondantea»    Rad  an.    Astr.  Nachr. 

LH,  161. 
Vergl.  Logarithmen. 

Tetraedrometrie. 

200.  Beiträge  lur  Tetraedrometrie.    J  u  n  g  h  a  n.     Gmn.  Archiv  XXXIV,  369. 

201.  Diiferentialformeln  der  Tetraedrometrie.    J.  H.  T.  Müller.     ZeiUchr.  Math. 

Phys.  V,  49. 

202.  Tkifn'kme  de  M.  de  Slaudt  aur  le  titraedre.     Gentil.     N.  ann.  math.  XIX,  218. 

[Vergl.  Bd.  V,  No.  450.] 

TriglieitsmomeBt 

203.  On  the  demonatration  of  a  theorem  relattng  to  the  momenta  ofinertia  of  a  aoUd  body, 

Cayley,     Quart  Joum.  Math.  IV,  25. 

204.  Bestimmung  der  Trägheitsmomente,  namentlich  für  schiefe  Prismem  und  Pyra- 

miden.    Zetzsche.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  164. 

Trigonometrie. 

205.  Ueber  einige  bei  trigonometrischen  Messungen  vorkommende  Aufgaben.  Winck- 

]  e  r.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  139. 
VergL  Reihen  188,  Tetraedrometrie. 

Triseetion  des  Winkels. 

206.  Einiges  über  Triseetion  des  Winkels.     Walter.     Grün.  Archiv  XXXIV,  295. 

207.  On  a  new  inatrument  for  the  mechanical  triaection  of  an  angle  and  on  the  muitiaection 

of  an  angle.     Ta  t  e.     Phil.  Mag,  XIX,  261. 


60  Literaturzeitnng. 

V. 
Yariatioiureeliniuig. 
208.  NouoeUe  demonstrtition  d^un  theoreme  fomdamental  du  cnlcul  den  variatum»,    Linde- 
loef.     Compt,  read,  L,  85. 

Yerwandtichaft. 
200.  Einige  Eigenschaften  der  Kegelschnitte.  Wetiig.  Zeitschr.  Math.  Phjs.  V,G3. 

210.  CouBtructiou  fläche ngleichor  Figuren.     Fiedler.    Zeitschr.  Math.  Phjs.  V,  56. 

2. 
Zahlentheorie. 

211.  Sur  le  nombre  des  solutüms  entiere»  d*une  iquation  inditerminie  du  preader  degti» 

Sylvester.     Compt,  rend,  L,  3Ö7. 
2\2.  Sur  lafbncti<mY,{x).     Syloester,     Compt.  rend,  L,  1^2, 

213.  Sur  certaines  sHies  qui  se  prösentent  duns  la  theorie  des  nombres.     Sylvetter. 

Compt,  rend.  L,  6d0. 

214.  Swr  quelques  formu/es  ginh^ales  qui  peuvent  etre  utiles  dans  la  tftiorie  des  nombrei. 

Liouville,    Journ.  Mathim,  XXF,  I. 

215.  Note  d  Coccasion  d'un  thtordme  de  M.  Kronecker,     Liouville,    Journ,  Mathim. 

XXK  127. 
21(5.  Sur  le  nombre  de  nombres  premiers  d'wte  ekuse  diterminie  compris  entre  deux  limitet 

flnies  domiit'S,     Polignac     Compt.  rend.  L,  575. 
211,  Noteon  complex  inteyers.     Lanavicensis.     Quw*t.  Journ.  Math.  IV,  ^. 
218.  lieber  das  arithnietisch- geometrische  Mittel.    Borchard  t    Grelle  LVIII,  127. 
210.  Sur  la  tMarie  des  rMdus  quadratiques.     Sylvester.     Compt.  rend.  Ls  489. 

220.  Tafeln  der  Zerfalhiiig  aller  rrimzahlen  innerhalb  des  ersten  Tausend  in  ihre  toi 

eilften  und  aus  dreizehnten  Wurzeln  der  Einheit  gebildeten  prim&ren  com- 
plexen  Primfactoren.    B  e  u s  ch  1  e.     Ber.  Berl.  Acad.  iH60,  100. 

221.  Leproduet  de  cinq  ou  de  six  nombres  entiers  eons^cutift  ne  peui  Hre  un  earri.    6i- 

rono.     N.  ann.  math.  38.  —  Lebesgue.   ibid.  112,  1.^5. 

222.  Sur  quelques  produits  dont  le  faeteurs  sont  en  progression  arithmitique.     Guibert. 

N.  anti.  math.  XIX,  213. 

223.  Ueber  Zablen,  die  sich  in  die  Summe  zweier  Quadrate  zerlegen  lassen.  Unf er- 

dinger.    Grün.  Archiv  XXXIV,  IMVS. 

224.  Theorhne  conrenumt  la  fonction  numiHque  relative  au  nombre  des  repr^sentatiom»  d'us 

entier  saus  la  forme  dune  somme  de  trois  carres.     Liouville,     Jotum.  Mathem. 
XXV,  141. 

225.  Nombre  des  repr^sentalions  du  double  d'un  entier  impair  sous  la  forme  d'tme  somme  de 

douze  carres.     Liouville.     Journ.  Malh4m.  XXV,  143. 
22«.  Äifr/«/brw(?x*4-y*  +  3<z*  +  t«).     Liouville.     Journ.  Mathim.  XXV,  147. 

227.  Theoreme  concernant  les  nomltres  premiers  de  la  foume  2 4  k  -f  1 1.  Liouville    Journ. 

Mathen.  XXV,  i;JÜ. 

228.  Sur  le  double  d'un  nombre  Premier  Apk'^l.   Liouville.    Journ.  Mathem,  XX V^  119. 
220.   Theoreme  conceiviant  le  double  d*un  nombre  premier  contenu  dans  Cune  ou  tautre  det 

deux  formes  Unfaires  1 6k 4-7.  l Gk  +  li.   Liouville.  Journ.  Math.  XXV,  lOL 
Vergl.  Combinatorik  35,  Elliptische  Functionen  60,  Maxima  und  Minima  153. 

230.  Beurtheilung  der  bisjetzt  üblichen  Auflösungen  der  Aufgaben  über  Verlegnng 

der  Zahlungstermine,  mittleren  Zahlungstermine  und  Geschäftsrechnunges. 
Schlechter.     Zeitschr.  Math.  Phy.s.  V,  2 1 5. 

231.  Ueber  mittlere  Zahlungstermine  mit  einfachen  Zinsen.     Schlechter.    Grün. 

Archiv  XXXIV,  291. 


Literaturzeitung. 


Recensionen, 

Lohrbudh  der  ebenen  Trigonometrie  zum  Gebrauche  an  höheren  Lehr- 
anstalten und  beim  Selbststudium.  Von  Dr.  Carl  Spitz  ,  Lehrer 
am  Pol jtechnicnm  in  Karlsruhe.  Leipzig  und  Heidelberg ,  C.  F. 
Winter'sche  Verlagshandlung.  1850.  8.  S.  83. 
Da«  vorliegende  Lehrbuch  schliesst  sich  den  Lehrbtichern  der  ebenen 
Geometrie  und  Stereometrie  desselben  Verfassers  an  und  ist  wie  diese  zum 
Schalgebrauche,  insbesondere  auch  deswegen  zu  empfehlen,  weil  es  eine 
grössere  Anzahl  recht  gut  gewAhlter  Uebungsaufgaben  enthält.  Die  Resul- 
tate und  Andeutungen  zur  Auflösung  dieser  Aufgaben  sind  in  einem  An- 
hange zum  Lehrbuche  besonders  abgedruckt.  Was  nun  das  Buch  selbst 
betriffit,  so  unterscheidet  es  sich  nicht  wesentlich  von  schon  vorhandenen 
Schalbachern  über  denselben  Gegenstand,  und  hat  z.  6.  mit  dem  bekann- 
ten Lehrbuch  der  ebenen  Trigonometrie  von  Wiegand  eine  nicht  zu  ver- 
kennende Familienähnlichkeit.  Wir  würden  aus  diesem  Grunde  uns  mit 
Besprechung  des  vorliegenden  Buches  kurz  fassen  können ,  wenn  sich  uns 
beim  Durchlesen  desselben  nicht  eine  Bemerkung  aufdrängte,  welche  die 
Behandlung  betrifft,  die  der  Goniometrie  noch  sehr  häufig  zu  Theil  wird. 
Die  Goniometrie  fängt  meistens  mit  der  Bemerkung  an,  dass  in  einem  recht- 
winkligen Dreiecke  die  Winkel  schon  durch  die  Quotienten  zweier  Seiten 
bestimmt  sind.  Dieser  Gedanke,  so  nahe  er  liegt,  eignet  sich  aber  in  die- 
ser Fassang  weniger  zu  einem  Princip ,  als  er  zunächst  nur  auf  Functionen 
spitzer  Winkel  führt.  Zu  einem  weit  fruchtbareren  Gedanken,  durch  wel- 
chen die  Lehre  von  den  Winkelfunctionen  nicht  nur  an  Kürze  und  Klar- 
heit gewinnt,  sondern  durch  welchen  gleich  vom  Anfang  an  die  grösste 
Allgemeinheit  in  die  Betrachtung  eingeführt  ist,  gelangt  man  aber  auf  fol- 
gende Weise.  Die  Einsicht,  dass  die- Beziehungen  zwischen  den  Seiten 
and  Winkeln  eines  Dreiecks  nicht  einfacher  Natur  sind,  sobald  man  die 
Winkel  durch  Kreisbögen  bestimmt,  führt  zu  der  Frage,  ob  Winkel  nicht 
noch  eine  andere  Bestimmung  zulassen.  Nun  ist  aber  die  Richtung  von 
einem  Punkte  0  zu  einem  anderen  Punkte  P  uicUt  bloÄ  d\xx<:\v  d^xi'^Y^^ 

LJUraturztg.  ./.  Zcilucbr.  f,  M«(h.  u.  Phy».  VI,  4.  ^ 


62  Literaturzeitung. 

oder  die  Drehungsgrösse  tp  bestimmt,  welchen  0  P  mit  einer  anderen  festen 
Richtung  OX  macht,  sondern  offenbar  auch  durch  die  Angabe  der  recht- 
winkligen Coordinaten  x  und  y  des  Punktes  P  in  Bezug  auf  ein  Coordinaten- 
System,  dessen  Abscissenachse  0 X  ist.  Da  aber  die  Richtung  von  0  nach 
P  von  der  Länge  OP=r  unabhängig  ist,  so  genügt  zur  Bestimmung  der 
Richtung  von  OP  schon  die  Kenntniss  je  zweier  der  drei  Verhältnisse 

— ,    -^    und    -^. 
r       r  X 

Verbindet  man.  hiermit  —  die  Lagenbestimmung  eines  Punktes  P  darch 
seine  Coordinaten  x  und  y  als  bekannt  vorausgesetzt,  —  die  Betrachtang, 
dass  der  Winkel  als  Drehungsgrösse  vieldeutig  ist  und  die  Drehung  in 
zweifachem  Sinne  genommen  werden  kann,  so  gewinnt  dadurch  die  Theo- 
rie der  Verhältnisse 

«      y     y 

und  ihrer  umgekehrten  Werthe 


r'r'» 


^'   y  '    y 

eine  Orundlage  von  der  grössten  Allgemeinheit.  Stellt  man  ausserdem 
die  genannten  Functionen  durch  die  ihnen  proportionalen  goniometrischen 
Linien  dar,  was  für  alle  Fälle  in  einer  einzigen  Figur  geschehen  kann,  so 
bleibt  für  die  Anschaulichkeit  der  Werth  -  und  Zeichenänderung  der  gonio- 
metrischen Functionen  beliebiger  Winkel  nichts  zu  wünschen  übrig. 

Die  reciproken  Werthe  des  Cosinus  und  Sinus,  d.  h.  die  Secante*und 
Cosecante  bei  Seite  zu  lassen ,  wie  es  der  Herr  Verfasser  des  vorliegenden 
Buches  gothan  hat,  halten  wir  nicht  für  gerathen,  da  sie  bei  Transforma- 
tionen oft  grossen  Nutzen  gewähren  und  die  Gruppe  von  Gleichungen 
cos  fp  sec  (p  =  ^,         sin  tp*  +  cos  «jp*  =  1, 
sin  (p  cosec  <p  =  1,       sec  9*  —  iang  (p*  =  1, 
Urng  q>  cotang  gp  =  1,  cosec  q>*  —  cotangtp^  =  1, 
sich  dem  Gedächtnisse  leicht  einprägen. 

Was  die  weitere  Entwickelung  der  Lehre  von  den  Winkelfonctionen 
betrifft ,  so  ist  es  zunächst  gleichgiltig ,  welche  Formel  man  zu  Grunde  legt, 
sobald  nur  die  allgemeine  Giltigkeit  derselben  sich  leicht  darthun  lässt. 
Verwerflich,  weil  unelegant  und  ermüdend,  bleibt  immer  die  Nachweisung 
der  allgemeinen  Giltigkeit  einer  Formel  durch  Einzelbeweise.  Zudem  giebt 
es  Beweise  der  allgemeinen  Giltigkeit  der  goniometrischen  Grundformeln, 
denen  man  wahrhaftig  den  elementaren  Charakter  nicht  absprechen  kann. 
Sind  z.  B.  OP,  und  0 P^  zwei  Riclitungen  und  die  Winkel  derselben,  in 
ihrer  Allgemeinheit  aufgefasst ,  mit  der  festen  Richtung  0  X,  9,  und  <p, ,  so 
ist  <p, — 9>2  immer  einer  der  Winkel,  den  OP^  mit  OP,  einschliesst  oder  um 
den  sich  OPt  drehen  muss,  um  mit  OP^  zusammenzufallen.  Bezeichnet 
man  nan  die  Längen  von  0  P^^  OP^  wü^  P\P%  "ccäX.  r^^r^uud  <f,  die  recht- 


Ijiteraturzeitung.  63 

winkligen  Coordinaten  von  P,  und  P^  in  Bezog  auf  OZ  als  Abscissenachse 
mit  Xf ,  jfi  und  ^t»  ^t)  ^^  ^^^  ^^^n  für  d*  die  zwei  Ausdrücke 

^'•  =  (^1— ^«)'  +  (yi-yt)' 

und 

d*  —  r,«  +  2r,  r,  co«  (cp,  — (p,) , 
die  weiter  nichts  sind,  als  bekannte  Sätze  der  Planimetrie,  nur  unter  an- 
derer Form.     Setzt  man  diese  Ausdrücke  einander  gleich  und  vorbindet 
damit  die  Beziehungen 

so  findet  man 

r,  r,  cos  (g),  —9,)  =  a:,  ar,  +  y,  y, 
und  hieraus 

cos  (9i  —  9t)  =  -— •  —  +  — •  — ' 

welche  Gleichung  unmittelbar  zu  der  Formel 

coi  {<p^  —  9)|)  :=  cos  <P|  cos  q>f  +  sin  fpi  sin  f^ 
führt.  Drückt  man  den  Inhalt  des  Dreiecks  OP^P^  einmal  durch  die  recht- 
winkligen, das  andere  Mal  durch  die  Polarcoordinaten  der  Punkte  P,  und 
Pi  aus,  so  gelangt  man  mit  gleicher  Leichtigkeit  zu  der  Formel 

sin  (gpj  —  9,)  =  sin  ^,  cos  q>^  —  cos  9,  sin  gp,. 
Noch  mehr  als  die  beiden  genannten  Formeln  dürfte  sich  die  Formel  für 
oo#g)i  +  costp^  als  Grundformel  empfehlen ,  da  sie  ausser  der  Definition  des 
Cosinus  nur  die  Kenntniss  einiger  einfachen  Sätze  über  die  Lage  von  Punk* 
ten  in  einer  Geraden  oder  im  Umfange  eines  Kreises  voraussetzt,  Sätze, 
deren  Erwähnung  nicht  umgangen  werden  kann ,  wenn  die  geometrische 
Bedeutung  der  positiven  und  negativen  Grössen  in  helles  Licht  gesetzt 
werden  soll.  Die  Goniometrie  ist  schliesslich  nichts  weiter,  als  die  Theorie 
des  algebraischen  Ausdrucks  einer  oder  mehrerer  Richtungen,  und  mau 
sollte  sich  daran  gewöhnen ,  sie  unter  diesem  Gesichtspunkte  aufzufassen. 

In  dem  S.  von  der  Umformung  unlogarithmischer  Ausdrücke  in  loga- 
rithmische wäre  folgende  Bemerkung,  die  auch  sonst  ihren  Nutzen  hat,  am 
Platze  gewesen.  Bei  den  genannten  Umformungen  kommt  es  in  letzter 
Instanz  darauf  hinaus,  ein  zweigliedriges  Aggregat  x+y  in  ein  Product 
sa  verwandeln.  Von  zwei  beliebigen  Grössen  x  und  y  lässt  sich  aber  die 
eine  proportional  einem  Cosinus,  die  andere  proportional  einem  Sinus 
setzen,  oder  man  hat  immer  die  beiden  Gleichungen 

X'-^  r  cos  (p ,    y=ir  sinq>^ 
welche  r  und  tp  unzweideutig  bestimmen.     Hierdurch  ist  ein  allgemeines 
Verfahren  angedeutet ,  Hilfswinkel  in  die  Rechnung  einzuführen. 

Was  den  zweiten  Abschnitt  des  vorliegenden  Buches,  der  die  ebene 
Trigonometrie  behandelt,  betrifft,  so  finden  wir  hier  an  der  Stelle  eines 
einfachen  Gedankenganges  eine  Zersplitterung  in«  eine  Menge  einzelner 
Sätze.     Fasst  man  die  Aufgabe  der  Trigonometrie   erst  all^em^ltiföt  >\xl^ 


64  Literatorzeitung, 

sucht  zunächst  nur  Beziehungen  zwischen  Winkeln  und  Seiten  eines  Drei- 
ecks auf,  so  findet  man  diese  offenbar  am  leichtesten ,  wenn  man  von  der 

Relation 

ö     b    c 

sin  A       sin  B       sin  C 
ausgeht  und  unter  Anwendung  der  arithmetischen  Sfttze : 

ö  4" «'  4"  ä"  +  • . . 
>+6'  +  r +  ...' 

ö  a  +fl   a   +  . .. 
6  a  +  6'  a  +  6"  o"  +  . . . ' 


a 

a 

a 

T^ 

j'- 

Y '' 

a 

a 

fl" 

~b~ 

T'^" 

'V 

a 

«' 

ff 

a 

J~ 

J'~ 

Y         '' 

^lationen 

daraus  ableitet 

~b'~b ^/^  bt  +  f/^  +  b^t^,.. 

Geht  man  dann  zur  speciellen  Aufgabe 
der  Trigonometrie  tlber ,  so  erscheint  hier  als  erste  Forderung  die  Zusam- 
menstellung von  Gleichungen  zwischen  je  vier  Stücken.  Auf  diese  Zn* 
samraeustellung  können  dann  die  einzelnen  Aufgaben  folgen  und  die  zweck- 
massigsten  Formeln  zur  Berechnung  der  gesuchten  Stücke  gegeben  wer- 
den.   Unter  den  trigonometrischen  Formeln  hätten  die  beiden 

csin^{A^B)  =  {a  —b)  cos  \  C 

c  crs  \{A-^  B)  s=:=:  {a+  b)  sin  JC 
wohl  nicht  fehlen  sollen,  auf  welche  Mo  11  weide  zuerst  mit  Recht  auf- 
merksam gemacht  hat.  Auch  bei  der  Berechnung  der  drei  Winkel  aus  den 
drei  Seiten  hätten  sonst  schon  bekannte  Formeln  gegeben  werden  können. 
Bezeiclmet  man  nämlich  den  halben  Umfang  des  Dreiecks  mit  s  und  setzt 
{s-a){s-^b){s-^c)  _  , 
s  ~^  ' 

so  erhält  man 

tang\A^^^     ,tang\B^     ^     .   iang\C  —  ~^— 
s-^—n.  s^—o  S'-'^c 

und  für  den  Inhalt 

Jz=sq. 

Wir  schliessen  die  Besprechung  des  vorliegenden  Lehrbuches  der 
ebenen  Trigonometrie  mit  der  Bemerkung,  dass  wir  es  zur  ersten  Ein- 
führung in  die  Wissenschaft  im  Ganzen  für  zweckmässig  und  nützlich  hal- 
ten. Die  Ausstattung  des  Buches  ist  recht  nett;  nur  sind  uns  leider  in  den 
Resultaten  eine  nicht  geringe  Anzahl  Druckfehler  aufgestossen ,  was  bei 
der  Benutzung  derselben  zur  Vorsicht  mahnen  mag. 

Dresden.  Dr.  Rudolf  IIofpmann. 


Lehrbuch  der  algebraiflchen  Analysis.    Von  M.  A.  Steen.    Leipzig  und 
Heidelberg,  Winter'sche  Verlagshandlung.    1800. 
Der  Charakter  des  vorliegenden  Werkes  lässt  sich  mit  den  zwei  Wer- 


Literaturzeitung.  65 

ten  bezeichnen :  Thibaul  redivivus.  In  der  That  fUngt  die  Ueberoinstimmung 
des  Verfassers  mit  seinem  Vorgänger  bereits  auf  Seite  5  an ,  wo  die  Rech- 
nung mit  Ausdrücken  von  der  Form 

a  +  ba:  +  ca^+dx*+  . . . 
als  das  (Geschäft  der  algebraischen  Analysis  bezeichnet  wird.  Bei  Thibaut 
Hess  sich  das  allenfalls  hören  und  es  findet  sich  auch  in  dessen  Allgeroeiner 
Arithmetik  nichts  weiter;  wie  aber  der  Verfasser  periodische  Reihen,  un- 
endliche Producte  und  Kettenbrüche  (Cap.  10,  11  und  12)  mit  seiner  Defini- 
tion vereinigen  will ,  ist  nicht  wohl  einzusehen.  Referent  zweifelt  über- 
haupt an  der  ganzen  wissenschaftlichen  Berechtigung  der  sogenannten  alge- 
braischen Analysis*)  und  glaubt  darin  auch  den  Grund  zu  sehen,  warum 
eine  stichhaltige  Definition  dieses  Theiles  der  Mathematik  ihre  Schwierig- 
keiten hat;  findet  man  es  aber  hier  wie  in  anderen  Gebieten  des  Wissens 
nicht  unpassend,  eine  Parzelle  auszusondern  und  diese  mit  besonderem 
Fleisse  zu  cultiviren,  so  darf  man  wohl  sagen,  „die  algebraische  Analjsis 
ist  die  elementare  Theorie  der  sogenannten  einfachen  Functionen"  (^r*, 
0*,  logx^  cos X,  sin  x^  etc.,  aresin  x^  arctangx^  etc.).  Diese  Definition  hat 
auch  noch  den  Vortheil,  dass  sie  nicht  die  zufälligen  Mittel  der  Bearbei- 
tung oder  die  Form,  in  welcher  das  Resultat  erscheint  (wie  z.  B.  a  +  bx 
4*cj^  +  etc.),  sondern  ein  ganz  bestimmtes  Object  als  Eintheiluugsgrund 
benutzt. 

Bei  dem  Rechnen  mit  der  Form  a  +  bx  +  ca^-^r  etc.  ist  dem  Verfasser 
die  Schwierigkeit  nicht  entgangen ,  welche  aus  der  etwaigen  Divergenz  der 
Reihe  entspringt;  über  diesen  Knoten  kommt  der  Verfasser  auf  eine  selt- 
same Weise  hinweg,  wozu  vielleicht  Referent  die  unschuldige  Veranlassung 
gegeben  hat.  Vor  längerer  Zeit,  als  es  noch  Leute  gab,  welche  die  ana- 
lytische Summe  (erzeugende  Function)  einer  Reihe  von  deren  arithmeti- 
scher Summe  unterscheiden  wollten ,  machte  Referent  (in  Grunert's  Archiv) 
den  gewiss  plausiblen  Vorschlag,  jene  esoterische  und  exoterische  Bedeu- 
tung der  Reihen  durch  verschiedene  Zeichen  aus  einander  zu  halten ;  der 
Verfasser  scheint  sich  dies  gemerkt  zu  haben,  denn  er  sagt  auf  Seite  20: 
Wenn  aus  den  Reihen 


*)  Dor  V(*rf.  erklärt  es  (Vorrede  VI)  für  praktinch  bedenklich,  unmittelbar 
auf  die  Arilhmetik  die  Ditferentialrechnimg  folgen  in  lassen;  dagegen  ist  Referent 
durch  violjiihrigc  Erfahrung  zu  dem  Ergebnisse  gekommen,  dass  jene  Aufeinander- 
folge gar  keine  Schwicrigrkeitcn  hat,  wenn  die  Schüler  etwas  analytische  Geometrie 
▼erstehen.     Hält  man  die  Beweise  der  Formeln 

—\  --<Äi«a:»"— 1,    — J — ^=  a*  ia,  etc. 
dx  dx 

frei  Ton  den  gewöhnlichen  aber  überflüssigen  R  ^ibenentwickelungcn  (vergl.  des  Re- 
ferenten „Compcndinm  der  höheren  Analysis^',  zweite,  völlig  nmgearbeitete  Auf- 
lage, wovon  die  1.  Lieferung  erschienen  ist),  so  gewinnen  die  Anfangsgründe  der 
Differentialrechnuug  sogar  noch  den  Vorzug,  viel  einfacher  und  verständlicher  zu  sein, 
ab  die  immer  etwas  peniblen  Betrachtungen  der  a\ge;bTav«c\i«a  Ks\i\^%v&. 


66  Literaturzeitong. 


^^^•^^^^«^«^^w^<'>'^<VV</W 


^o  +  *i^  +  *t^  +  •  •  • 
die  ncac  Reihe 

{oo  +  bo)  +  {a,+b,)x  +  {a,+b;)x'  +  . . . 
gebildet  wird,    so  soll  letztere    die    der  Addition   entsprecliende 
Somme  sein,  oder  symbolisch  ausgedrückt: 

£arx''  +£brx'':!l;:£{ar+br)af{ 
„das  Zeichen  ^  soll  das  Zeichen  des  Entsprechens  heissen."  Ib 
diesen  wenigen  Worten  steckt  eine  doppelte  Unklarheit.  Zwischen  drei 
unendlichen  Operationen  irgend  eine  Beziehung  —  mag  sie  nnn  durch 
=s  oder  <  oder  ^  etc.  bezeichnet  sein  —  aufstellen ,  hat  so  lange  gar  kei- 
nen vernünftigen  Sinn,  als  nicht  nachgewiesen  ist,  dass  bei  jenen  Opera- 
tionen eine  angebbare  und  darum  mit  anderen  vergleichbare  Orösse  her- 
auskommt; wer  z.  B.  hinschreibt:  tm(30+cos  co=^  lang  OP,  wird  achwer- 
lich  um  diese  Weisheit  beneidet  werden ,  muss  sich  aber  auch  gefallen  las- 
sen, dass  ein  Anderer  das  Zeichen  =  durch  ^  ersetzt  und  gleichfalls  Becht 
SU  haben  behauptet.  Eben  deswegen  lässt  sich  schon  einer  Gleichung 
von  der  Form 

£arX^  +  £brixf^=^£{ar  +  fer)  ^ 
gar  keine  fassbare  Bedeutung  unterlegen ,  wenn  nicht  beide  Reihen  con- 
vergiren;  noch  viel  unklarer  aber  wird  die  Sache,  wenn  der  Verfasser  statt 
des  Gleichheitszeichens  ein  neues  Zeichen  einführt,  ohne  eine  Defini- 
tion desselben  zu  geben.  Oder  meint  der  Verfasser  wirklich,  in  dem 
blossen  „Entsprechen"  liege  etwas  bestimmtes?  Man  braucht  doch  nur  an 
die  geometrischen  Verwandtschaften  zu  denken ,  um  sich  zu  erinnern,  dass 
z.  B.  einer  Geraden  sowohl  ein  Punkt,  als  eine  Gerade  und  überhaupt 
alles  Mögliche,  ja  sogar  Unmögliches  (Imaginäres)  entsprechen  kann.  — 
Später  freilich  hört  diese  Unbestimmtheit  wieder  auf,  denn  der  Verfasser 
ist  da,  wo  es  auf  sichere  Kesultate  ankommt,  klng  genug,  nur  convergi- 
rende  Reihen  zu  benutzen  und  :|:  in  =  zu  verwandeln.  Nahe  liegt  da  die 
Frage:  cui  bono?  wozu  überhaupt  die  curiose  Theorie  des  Entsprechens, 
wenn  sie  nicht  wieder  gebraucht  wird  und  wenn  sich  der  Verfasser  nicht 
getraut,  mit  ihr  allein  etwas  Ordentliches  anfangen  zu  können? 
Nachdem  in  Cap.  V  das  Resultat 

(1  +  jr)«"  4:  Z  ••©  a:'- 
gewonnen  worden  ist,  wobei  der  Verfasser  ganz  wie  Thibaut  rechnet  und 
bezeichnet,  folgt  die  Lehre  von  der  Convergenz  der  Reihen  (Cap.  VI)  jeden- 
falls nur,  um  =  statt  ^  setzen  zu  dürfen,  und  daran  schliessen  sich  iu 
Cap.  VII  die  Reihen  für  Exponentialgrösson  und  Logarithmen.  Zu  einiger 
Ueberraschung  unbefangener  Leser  kommt  jetzt  die  Bemerkung ,  dass  auch 
Reihen  von  der  Form 


Literaturzeitung.  ()7 

betrachtet  werden  müssen,  und,  nachdem  das  Nöthige  hierüber  gesagt  wor- 
den ist,  definirt  der  Verfasser  e«+«'^''-^  als  Summe  der  Reihe 

^  1  "*"         1.2  "*•••• 

und  bleibt  seinem  Vorbilde  Thibant  auch  darin  getreu ,  dass  er  cos  x  und 
sin  X  nur  im  analytischen  Sinne ,  nämlich  als  Summen  der  bekannten  Rei- 
hen nimmt.  Dieser  bekannte  Gedankengang  enthält  zwar  keine  Unrichtig- 
keit, leidet  aber  an  einigen  auffallenden  methodischen  Fehlern  und  Un- 
bequemlichkeiten ,  die  vielleicht  genauer  ans  einander  gesetzt  zu  werden 
verdienen. 

Wenn  erstens  der  Gedanke ,  complexe  Variabele  in  die  vorher  dage- 
wesenen Reihen  einzuführen ,  mehr  als  ein  scurriler  £infall ,  wenn  er  ein 
Princip  sein  soll,  warum  fängt  man  denn  nicht  gleich  bei  der  Binomialreihe 
an  und  nennt  den  rollen  Theil  von 

1  +  \  («+.>)  +  ^^^^  (^ +..)» + . . . 

etwa  den  binomischen  Cosinus  und  den  Factor  von  t  den  binomischen  Sinus? 
Gleich wol  hütet  sich  Jeder  vor  solcher  Consequenz  und  zwar  aus  dem  ein- 
fachen Grunde,  weil  sie  auf  complicirte  Functionen  zweier  Variabelen 
führt.  Damit  wird  das  Princip  von  Hause  aus  verletzt ,  man  folgt  ihm  nur, 
soweit  es  bequem  ist.  —  Der  zweite  methodische  Fehler  besteht  darin, 
dass  man  ganz  unnützer  Weise  die  Theorie  des  Imaginären  von  der  Theorie 
der  unendlichen  Reihen  abhängig  macht.  Die  Quelle  des  Imaginären  liegt 
in  der  Algebra,  ebendaher  kommt  auch  die  Potenz,  und  so  ist  es  doch  nicht 
mehr  als  naturgemäss,  die  Frage  nach  der  Bedeutung  von  (u  -(-  f>)^  mittelst 
der  niederen  Mathematik  zu  beantworten,  wenn  dies  irgend  geschehen 
kann.  Zu  welchen  Monstrositäten  jener  Thibaut^sche  Weg  führt,  sieht 
man  am  deutlichsten  bei  dem  einfachen  Theoreme ,  dass  immer 

1)  a;  +  fy  =  r  (co5d+ I  «>i^) 

gesetzt  werden  darf.  Hier  ist  geometrisch  die  Sache  unmittelbar  einleuch- 
tend ,  der  Analytiker  aber  braucht  hierzu  l)  die  Lehre  von  der  Convergeuz 
der  Reihen,  2)  den  binomischen  Satz,  3)  die  Exponentialreihe ,  4)  die  Zer- 
fNllung  derselben  bei  complexen  Exponenten ,  5)  den  Nachweis ,  dass  der 
analytische  Cosinus  und  Sinus  identisch  sind  mit  dem  trigonometrischen 
Cosinus  und  Sinus.  Wenn  dies  keine  Umwege  sind,  so  giebt  es  keine. 
Viel  einfacher  wird  die  ganze  Theorie,  wenn  man  von  der  Gleichung  l) 
aoBgeht  und  cos  und  sin  im  goniometrischen  Sinne  nimmt.  Man  erhält  zu- 
nächst » 

r  {cos^  + 1  sin %).  r  {cosd^'^  i  sind'')  =  rr  [cos (d+  »')  +  i  sin  {&+  a')] 
and   durch  mehrmalige  Anwendung  dieser  Formel   gelangt  man  zu  dem 
Moivre'schen  Satz  und  überhaupt  zur  Bedeutung  der  Potenz 

{x  +  iy)  ^  =  [r  {cos 0  +  i  sind)]  9  . 


6S  Litoraturzeitung. 


Die  Definition  der  Exponeutialgrösse  mit  complexen  Exponenten  bietet  für 
den  ersten  Anblick  eine  kloine  Schwierigkeit,  welche  Keferent  seit  langer 
Zeit  überwunden  hat,  indem  er  zeigte,  wie  die  identische  Gleichung 

a  —  b 

vollkommen  ausreicht,  um  zu  beweisen,  dass  ( 1  H j     gleichzeitig  mit 

m  wächst ,  aber  kleiner  als  4  bleibt  und  sich  daher  einer  bestimmten  end- 
lichen Grenze  nähert,  welche  e  genannt  wird.  Daran  knüpft  sich  leicht 
die  allgemeinere  Gleichung 

der  zu  Folge  die  Exponeutialgrösse  als  Grenz werth  einer  gewissen  Potenz 
angesehen  werden  kann.  Da  nach  dem  Vorigen  die  Bedeutung  der  Potenz 
für  jede  complexe  Basis  gesichert  ist  und  m  als  ganze  und  positive  Zahl 
genommen  werden  kann,  so  lässt  sich  auch  e^^^*"  genau  definiren,  indem 
man  sagt,  es  sei 

Die  Ausführung  des  angedeuteten  Grenzenüberganges  liefert  die  Gleichung 

e«+'«'  =  ^•'  {cos  V  +  i  sin  v) , 
und  von  hier  an  bleibt  der  Gedankengang  der  gewöhnliche.  Durch  diese 
Darstellung  gewinnt  die  Theorie  des  Imaginären  eine  solche  Unabhängig- 
keit ,  dass  sie  an  jeder  beliebigen  Stelle  der  algebraischen  Analysis  einge- 
schaltet; ja  sogar  gleich  zu  Anfang  vorgenommen  weiden  kann.  Ferner 
erspart  man  sich  die  lan^eilige  Untersuchung  über  die  Periodicität  des 
analytischen  Cosinus  und  Sinus,  den  umständlichen  Beweis,  dass  es  eine 
Zahl  {\n)  giebt,  deren  analytischer  Sinus  =  1  ist;  endlich  fällt  der  Nach- 
weis der  I(!K;ntität  des  analytischen  und  des  goniometrischen  Sinus  ganz 
von  selber  weg. 

Der  Verfasser  beschliesst  sein  Werk  mit  zwölf  Noten,  welche  gerade 
ein  Drittheil  des  Ganzen  ausmachen  und  manche  hübsche  Entwickelung 
enthalten  namentlich  in  Beziehung  auf  Reihen ,  Kettenbrüche  und  Zahlen- 
theorie; diese  Anhänge  sind  überhaupt  das  Beste  am  Buche. 

Damit  man  übrigens  dem  Referenten  nicht  nachsage,  dass  Tadeln 
leichter  sei ,  als  Bessermachen ,  so  erlaubt  sich  derselbe  hiermit  auf  sein 
Handbuch  der  algebraischen  Analysis  zu  verweisen,  dessen  dritte 
verbesserte  und  vermehrte  Auflage  in  wenigen  Wochen  die  Presse  ver- 
lassen wird.  ScuLÖMiLCu. 


Literatnrzeitung.  69 


^-^'^^^^^^•^^^»^'^^'^'•^^•^•^^^^^•^ 


Lehrbücher  der  Arithmetik  und  Algebra. 

Lehrlmdh  der  Algebra  für  Ober -Gymnasien  and  Ober -Realschulen.   Von 
August  Decker,  Lehrer  der  Mathematik  und  Physik  am  k.  k. 
Ober -Gymnasium  in  Troppau.     Troppau  1859,   Otto  Schüler's 
Bachhandlang.   8.    218  S. 
Das  Yorlicgonde  Lehrbuch,  dessen  Inhalt  die  allgemeine  Arithmetik 
und  die  Grundlehren  der  Algebra  bilden ,  ist  den  Bedürfnissen  des  mathe- 
matischen Unterrichts  in  den  höheren  Klassen  der  Gymnasien  und  Real- 
schulen'  angepasat.  In  acht  Abschnitten  handelt  es  von  den  arithmetischen 
Operationen,  von  den  Brüchen  (in cl.  Kettenbrüchen),  von  den  Potenz-  und 
Warxelgrössen,  von  den  VerhHltnissen  und  Proportionen,  von  den  Loga- 
rithmen ,  von  den  Gleichungen  (Gleichungen  des  ersten  und  aeweiten  Gra- 
des, unbestimmte  Gleichungen  des  ersten  Grades),  von  den  Progressionen, 
von  der  Combinationslehre  oder  Syntaktik.   Die  einzelnen  Lehren  sind  mit 
ziemlicher  Ausführlichkeit   vorgetragen    und   durch   Beispiele   erläutert. 
Das  Buch  ist  mit  anerkennungswerthem  Fleisse  geschrieben  und  bekundet 
überall  ein  Streben  nach  wissenschaftlicher  Strenge,  so  dass  es  in  den  Krei* 
sen,  für  welcdie  es  bestimmt  ist,  gewiss  mit  Nutzen  von  Lehrern  und  Schü- 
lern gebraucht  werden  kann.     Die  äussere  Ausstattung  verdient  ganz  be- 
sonders auch  gelobt  zu  werden. 

Die  Blemanta  dar  Kaiheiiuitik.    Ein  Leitfaden  für  den  mathematischen 
Unterricht  an  höheren  Lehranstalten.    Von  Wilh.  Gallenkamp, 
Director  der  Realschule  in  Mühlheim  an  der  Ruhr.     Zweite  ver- 
besserte und  vermehrte  Auflage.    1.  Theil.    Der  Arithmetik  und 
Algebra  erste  Abtheilung  und  die  Planimetrie.  Mit  einer  Figuren- 
tafeL    Iserlohn,  Verlag  von  Julius  Bädecker.    1860.    8.    148  S. 
Ein  durch  gedrängte  Kürze  und  klare  und  übersichtliche  Darstellung 
sehr  empfehlenswerthes  Buch.     Es  enthält  auf  72  Seiten  die  erste  Abthei- 
Inng  der  Arithmetik  und  Algebra,  nämlich   die  Grundrechnungsarten  in 
ganzen  Zahlen,  die  Grundrechnungsarten  in  Brüchen,  die  Grundrechnungs- 
arten in  algebraischen  Zahlen ,  die  Lehre  von  den  Potenzen  (mit  ganzen 
und  gebrochenen ,  positiven  und  negativen  Exponenten) ,  Anwendung  der 
Potenzlehre  auf  Zahlensysteme  mit  beliebiger  Grundzahl ,  die  Gleichungen 
des  ersten  Grades  mit  einer  Unbekannten.     Der  zweite  Theil  des  Buches 
enthält  auf  70  Seiten  die  Planimetrie,  und  es  handeln  die  sechs  Capitel 
von  der  geraden  Linie  und  der  Lage  gerader  Linien  gegen  einander ,  vom 
Dreieck,  vom  Viereck  und  dem  Vieleck,  von  der  Grössenvergleichung  der 
geradlinigen  geschlossenen  Figuren,  von  der  Formverglcichung  gerad- 
liniger Figuren,  vom  Kreise  (Aehnlichkeit,  Polarität  und  Poteuzialität  der 
Kreise,  Kroisberühiuugen).     In   einem  Punkte  können  wir  ufis  mit  dem 
Verfasser  nicht  ganz  einverstanden  erklären  und  dve\^v:t  W\.\\&\.  ^v^  bk\^- 


70  Literaturzeitung. 

stellang  zu  allgemeiuen  Definitionen  am  Anfange  der  einzelnen  Lehren  der 
Arithmetik.     Jedenfalls  wird  dadurch  die  Einsicht  in  die  Bedeutung  der 
einzelnen  Bechnungsoperationen  nicht  gefördert      Wenn  der  Verftsser 
z.  B.  zu  Anfang  der  Potenslehre  die  Erklärung  aufstellt ,  eine  Potenz  ist 
eine  Zahl ,  welche  so  durch  Multiplication  ans  einer  gegebenen  Zahl ,  der 
Grundgrösse,   entsteht,    wie  eine   andere  gegebene  Zahl,  der  Exponent, 
durch  Addition  aus  1  entstanden  ist,  so  wird  durch  eine  solche  oder  ähn- 
liche Erklärungen  nicht  nur  die  Grundbedeutung  der  Potenz  als  eines  Pro- 
ductes  gleicher  Factoren  yerdunkelt,  sondern  es  wird  auch  die  symbolische 
Bedeutung  der  Potenzen  mit  negativen  und  gebrochenen  Ex*ponenten  da- 
durch nicht  in  das  rechte  Licht  gestellt  und  die  Erklärung  bekommt  einen 
Anschein  von  Willkür,  den  sie  doch  nicht  haben  soll.    Ebenso  will  es  uns 
in  der  Geometrie  nicht  recht  gefallen ,  den  Winkel  zweier  Geraden  gleich 
anfänglich  als  Drehungsgrösse  aufzufassen;  wissenschaftlicher  ist  es  jeden- 
falls,  den  Winkel   zu  definiren  als  das  Stflck  der  unbegrenzteq  Ebene, 
welches  zwischen  zwei  von  einem  Punkt  ausgehenden  Geraden  liegt    Die 
Vergleichung  der  Winkel  rücksichtlich  ihrer  Grösse  wird  dadurch  gewiss 
nicht  erschwert,  sobald  man  einmal  erklärt  hat,  was  man  unter  zwei  glei- 
chen Winkeln  versteht.     Sehen  wir  von  diesen  Einwürfen  ab,   so  bleibt 
dem  Verfasser  das  Verdienst  einer  gewandten  Darstellung,  die  ein  nicht 
geringer  Vorzug  des  sehr  hübsch  ausgestatteten  Buches  ist. 

Lehrbuch  der  Mathematik  für  Gymnasien  und  höhere  Lehranstalten.  Von 
Dr.   Johann   Robert  Boyman,   Oberlehrer  am  Gymnasium  zu 
Coblonz.      Dritter    Theil:     Arithmetik.      Cöln    und    Neuss, 
L.  Schwann'sche  Verlagshandlung.    1861.    8.    224  S. 
Das  vorliegende  Buch  nimmt  besonders  Bücksicht  auf  Heis^  Samm- 
lung von  Beispielen  und  Aufgaben   aus  der  allgemeinen  Arithmetik  und 
Algebra  und  kann  derselben  als  Commentar  dienen.   Nur  die  Gleichungen, 
welche  den   dritten  Grad   überschreiten,  sowie  die  transccndenten  Glei- 
chungen sind  unberücksichtigt  geblieben.  In  dem  Streben ,  von  vornherein 
alle  Sätze  und  Formeln  durch  Beweise  zu  stützen  und  folgerichtig  zu  be- 
gründen ,   ist  der  Verfasser  jedenfalls  über  das  Erlaubte  hinausgegangen, 
indem  er  von  Formeln  Beweise  giebt,  in  denen  eine  Erklärung  enthalten 
ist.     Es  nimmt  sich  in  der  That  komisch  aus ,  für  die  Formeln ,  wie 

(a  —  6)-^^  =  ö,  a  —  a  =  0,  -—.6  =  «,  a®=-l,  a— 1»  =  -— etc. 

0  ar 

Beweiso  zu  finden.     Dass  man  in  den  Lehrbüchern,  die  auf  Erweckung 

und  Belebung  eines  wissenschaftlichen  Sinnes  gerichtet  sind,  immer  noch 

den  Begriff  der  Null  und  den  des  Unendlichkleinen  zusammenwirft   und 

dadurch  unvermeidliche  Widersprüche  hervorruft,  ist  gewiss  im  Interesse 

Her  Wissenschaft  zu  beklagen.    Sonst  enthält  das  Buch  bei  einer  sauberen 

Außüiattung  (Druckfehler  abgctecW^iO)  m«ji^\\«s  Gute  und  wird  denen, 


Literaturzeitung.  7 1 

:fae  bei  ihrem  Unterrichte  die  Sammlang  von  Heia  an  Grunde  logen, 
erfain  von  Natzen  sein  können. 

Enden  der  allgemeinen  Arithmetik  und  Algebra  für  Gymnasien,  höhere 
Bürger-  and  Gewerbeschalen,  besonders  aach  als  Commentar  zu 
der  Sammlang  von  Beispielen  aas  der  allgemeinen  Arithmetik 
nnd  Algebra,  heraasgegeben  von  £.  Heis,  za  gebraachen,  einfach 
and  leicht  fasslich  dargestellt  von  David  Giffborn  ,  Lehrer  der 
Mathematik  am  Obergymnasiam  za  Braanschweig.  Brannschweig, 
Verlag  der  Schalbachhandlung.    1861.    8.   220  S. 
Dieser  Leitfaden ,  dessen  Titel  seine  Bestimmung  hinlänglich  bekun- 
behandelt  die  Lehren  der  allgemeinen  Arithmetik  und  Algebra  in  der 
Ldmmlichen  Weise.     Kettenbrüche,   die  Combinationslehre ,  die  Glei- 
Igen  des  dritten  und  höherer  Grade  sind  nicht  berücksichtigt.    Dem 
be  sind  Tabellen  zur  Vergleichung  verichiedener  Maass-  und  Gewichts- 
eiten beigefügt.   Die  Ausstattung  des  Buches  ist  recht  gut 

rbncdi  der  Arithmetik  mit  Einicliluia  der  Algebra  und  der  niederen 
Analyiii.    Zum  Gebrauch  bei  den  Vortrügen  an  der  vereinigton 
Artillerie-  und  Ingenieurschule  und  zum  Selbstunterrichte  be- 
arbeitet von  Dr.  K.  H.  M.  Aschenborn  ,  Professor  am  Berliner 
Cadettenhause ,  Lehrer  und  Mitglied  der  Studiencommission  der 
vereinigten  Artillerie-  und  Ingenieurschule.    Berlin  1850,  Verlag 
der  königl.  geheimen  Ober-Hofbuchdruckerei  (K.  Decker).  8.  458 S. 
Ist  das  vorliegende  Lehrbuch  zunächst  zum  Gebrauch  bei  den  Vor- 
:en  an  der  königlichen  vereinigten  Artillerie  -  und  Ingenieurschule  be- 
imt  und  dieser  Zweck  für  Umfang,  Inhalt  und  Methode  massgebentl 
esen,  so  wird  dieses  Buch  doch  auch  für  andere  Fachschulen,  in  denen 
mathematische  Unterricht  ein  wesentliches  Moment  bildet,  mit  grossem 
sen  gebraucht  werden  können.    Klarheit  der  Darstellung,  Strenge  der 
reisführung,  hinreichend  viele  und  passend  gewählte  Uebungsbeispiele, 
shhaltigkeit  des  Inhalts  und  glückliche  Auswahl  aus  dem  reichen  Ma- 
lle der  allgemeinen  Arithmetik  und  der  niederen  Analysis  machen  das 
h  zu  einer  erfreulichen  Erscheinung  auf  dem  so  überreich  angebauten 
»iete  der  mathematischen  Schulliteratur.  Obgleich  dieses  Buch  zunächst 
eine  Fachschule  geschrieben  und  daher  die  Anwendung  der  Mathematik 
EUgsweiso  mit  berücksichtigt  worden  ist,  so  enthält  dasselbe  doch  auch 
iche  Hinweisnngen  auf  Theile  der  höheren  Analysis ,  so  dass  es  auch 
hen  Lesern  empfohlen  werden  kann,  die  sich  dem  Studium  der  Mathe- 
ik  speciell  widmen  wollen. 

rbneh  der  Arithmetik.   Verfasst  von  Dr.  Georq  Zeufuss.   Oppenheim 
am  Rhein,  Verlag  und  Eigenthum  von  EtHÄl  Kqx\i.  \%äA,  ^,  \^^'^* 


72  Literaturzeitang. 

Die  OmncMge  der  Algebra.  Zum  Oebraache  bei  Vorlesongen ,  für  höhere 
Lehranstalten  nnd  zum  Selbststadinm  dargestellt  von  Dr.  Georg 
Zehfuss.  Oppenheim  a.  Rh.  nnd  Darmstadt,  Verlag  nnd  Eigen- 
thum  von  Ernst  Korn.  18G0.  8.  200  8. 
Beide  Bücher  zeichnen  sich  durch  theilweise  neue  Behandlung  des 
Stoffes,  durch  grösste  wissenschaftliche  Strenge ,  durch  Kürze  nnd  Reich- 
haltigkeit vor  anderen  Schriften  über  denselben  Gegenstand  vortheilhaft 
aus.  Wir  machen  nur  aufmerksam  auf  die  Untersuchung  der  Multiplication 
und  Division  der  gebrochenen  Zahlen,  auf  die  Lehre  von  den  positiven 
und  negativen  Grössen  und  die  Lehre  von  den  Potenzen  mit  negativen  und 
gebrochenen  Exponenten ,  auf  die  Rechnung  mit  imaginären  Grössen ,  auf 
die  Behandlung  der  Gleichungen  des  ersten  Grades.  Wie  in  dem  Lehrbuch 
der  Arithmetik  die  für  das  Studium  der  Zahlentheorie  so  wichtige  Lehre 
von  der  Congrnenz,  so  weit  sie  in  das  Gebiet  der  Elemente  gehört,  so  ist 
in  der  Algebra  die  für  die  gesainmte  höhere  Analysis  so  wichtige  Detenni- 
nantenlchre,  das  Nöthigste  über  die  höheren  Gleichungen  und  die  unbe- 
stimmte Analjsis  (höhere  Congruenzen,  unbestimmte  Gleichungen  des  zwei- 
ten Grades)  aufgenommen.  Das  Lehrbach  der  Arithmetik  enthfilt  übrigetw 
auch  die  praktischen  Rechnungsarten  (Reductionsrechnungen,  Zinsrechnun- 
gen, kaufmännische  Rechnungen).  Beide  Bücher  des  Verfassers  sind  so 
anregend  geschrieben,  dass  wir  nur  wünschen  können,  es  mögen  dieselben 
in  recht  viele  Hände  gelangen ;  der  Nutzen  für  den  Leser  wird  nicht  aus- 
bleiben. 

Lehrbnch  der  Elementar -Mathematik  von  Dr.  Theodor  Wittstein,  Pro- 
fessor und  Lehrer  an  der  königl.  Cadctteuanstalt,  der  königl.  Mi- 
litärakademie  und  der  städtischen  Handelsschule  zu  Hannover. 
I.Band:  Arithmetik  und  Planimetrie.  Hannover,  Hahn'sche  Hof- 
buchhandlung.   1856.    8.    398  S. 
Ein  Buch,  was  nur  die  wichtigsten  Lehren  der  Arithmetik  und  Plani- 
metrie enthält,  diese  aber  bis  in  die  kleinsten  Einzelnheiten  ausgearbeitet 
dem  Schüler  vorlegt.     Der  Verfasser  hat  Schulen  im  Auge  gehabt,   bei 
denen  die  Mathematik  hauptsächlich  nur  als  Bildungsmittel  des  Verstandes 
betrachtet  wird  und  für  solche  wird  es  gewiss  in  Bezug  auf  die  Auswabl 
und  Behandlung  des  Stoffes  als  zweckmässig  befunden  werden. 

Dr.  Rudolf  Hoffmann. 


Heue  Elemente  der  Mechanik.  Von  K.  H.  Schellbach,  Professor  am 
Friedrich -Wilhelms- Gymnasium  und  au  der  Kriegsakademie  zu 
Berlin.  Dargestellt  und  bearbeitet  von  G.  Arendt,  ordentlicher 
Lehrer  am  Französischen  Gymnasium  zu  Berlin.  Berlin,  Reimer. 
IHOO. 


Litoraturzcitung.  73 

Ueber  die  Entstehung  des  vorliegenden  Buches  theilt  Herr  Professor 
Schellbaoh  in  der  Vorrede,  durch  welche  er  dasselbe  einleitet,  mit,  dass 
es  aus  den  Lehrstunden  hervorgegangen  sei ,  welche  er  seit  einer  Iftngeren 
Reihe  von  Jahren  unter  Thoilnahme  einiger  jüngeren  Lehrer  der  Mathe- 
matik und  Physik  in  der  ersten  Classe  des  Friedrich- Wilhelms- Gymnasiums 
zu  Berlin  gehalten  hat.  Der  Zweck  dieses  Unterrichts  war  hauptsAchlich, 
die  Vorstellungen ,  welche  sich  die  Schüler  bereits  über  mechanische  Vor- 
gänge gebildet  hatten,  zu  grösserer  Klarheit  zu  entwickeln,  die  Auffassung 
dieser  Processe  auf  möglichst  einfache  Grundbegriffe  zurück  zuführen  und 
letztere  durch  vielfache  Uebung  gehörig  zu  befestigen.  Das  aus  diesen 
Lebrstundon  hervorgegangene  Lehrbuch  hat  daher  weniger  den  ersten  An- 
fänger, als  vielmehr  solche  Leser  im  Auge,  welche  ihre  mechanischen 
Kenntnisse  durch  zweckdienliche  mathematische  Uebungen  fester  begrün- 
den wollen.  In  der  Art  seiner  Entstehung,  sowie  in  der  mathematischen 
Behandlung  des  Stoffes  zeigt  das  Buch  mehrfache  Verwandtschaft  mit  den 
im  fünften  Jahrgange  der  Literaturzeitung  S.  66  besprochenen  „mathema- 
tischen Lehrstunden''  desselben  Verfassers,  denen  es  auch  in  Beziehung 
auf  die  reiche  Fülle  des  behandelten  Materials  würdig  zur  Seite  tritt.  Für 
die  Leser  dieser  Blätter,  denen  das  neue  Werk  noch  nicht  zu  Gesicht  ge- 
kommen sein  sollte ,  wird  es  daher  jedenfalls  von  Interesse  sein ,  mit  sei- 
nem Inhalte  näher  bekannt  gemacht  zu  werden. 

Nach  Feststellung  der  Begriffe:  Atom,  Trägheit,  gleichförmige  Be- 
wegung und  gegenseitige  Anziehung  der  Atome  und  Atomgruppen  (Mole- 
cüle)  wendet  sich  das  erste,  von  der  geradlinigen  Bewegung  handelnde 
Capitel  zunächst  zu  der  gleichförmig  beschleunigten  Bewegung,  welche 
hier  als  eine  Bewegung  des  Atoms  auftritt,  das  von  einem  anderen  an- 
gesogen wird ,  während  die  gegenseitige  Entfernung  beider  Atome  unver- 
ändert bleibt.  Die  entwickelten  Gesetze  werden  auf  den  freien  Fall  und 
den  verticalen  Wurf  der  Körper  angewendet,  woran  sich  ein  Excurs  über 
da«  Newton'scho  Gravitationsgesetz  und  die  Einwirkung  der  Himmels- 
körper auf  die  Fallerscheinungeu  an  der  Erdoberfläche  schliesst.  Die  Be- 
wegung von  Atomsystemen,  welche  über  eine  gerade  Linie  vertheilt  in  un- 
veränderlichen Entfernungen  gehalten  werden,  während  sie  einer  in  der 
Kicbtung  dieser  Geraden  wirkenden  Anziehung  ausgesetzt  sind ,  führt  zu 
dem  Begriffe  der  Spannung  zwischen  den  einzelnen  Atomgruppen;  an  die 
Bewegung  freier  Atomgruppen  auf  derselben  Geraden  reihen  sich  zum 
Schlüsse  des  Cnpitels  die  Gesetze  des  Stosses. 

Das  zweite  Capitel  führt  die  Ueberschrift:  Das  Parallelogramm  der 
Kräfte ,  die  schiefe  Ebene ,  parabolische  Bewegung.  Von  dem  Bewegungs- 
parallelogramm  ausgehend  behandelt  hier  der  Verfasser  die  Bewegung  auf 
der  schiefen  Ebene,  sowohl  unter  alleiniger  Wirkung  der  Schwerkraft,  als 
mit  Rücksichtnahme  auf  die  Reibung ,  sowie  die  Bewegung  fest  verbunde- 
ner Atomgruppen  auf  zwei  zusammengestellten  schiefen  Eh«\iftYi.   k«^  ^^ 


74  Literatarzeitang. 


Untersacbnng  der  Warflinio  sind  mehrfache  interessante  mathematische 
Aufgaben  geknüpft,  z.  B.  Über  die  Umhüllende  der  bei  gegebenem  Aos- 
gangspunkte  and  gegebener  Anfangsgeschwindigkeit  in  derselben  Vertical- 
ebene  möglicher  Wurflinien. 

Die  im  dritten  Capitel  enthaltene  Theorie  der  Schwungkraft  wird 
durch  die  Untersuchung  derjenigen  discontinuirlich  wirkenden  Kraft  ein- 
geleitet, durch  welche  ein  materieller  Punkt  genöthigt  wird,  den  Umfang 
eines  einem  Kreise  eingeschriebenen  regelmässigen  Polygons  zu  durch* 
laufen.  Das  hieraus  gewonnene  Gesetz  der  Schwungkraft  findet  seine  Er* 
läuterung  in  vielfachen  Uebungsbeispielen  aus  dem  Gebiete  der  Astronomie 
und  Physik ,  z.  B.  in  der  Berechnung  dfir  Massen  und  der  Dichtigkeit  der 
Himmelskörper,  in  der  Begründung  des  dritten  Kepler'schen  Gesetzes  bei 
Voraussetzung  einer  kreisförmigen  Planetenbahn,  in  der  Untersuchung  der 
Zusammensetzung  von  Schwerkraft  und  Centrifugalkraft  an  der  Erdober- 
fläche ,  in  der  Theorie  des  conischen  Kreispendels  u.  s.  f. 

Das  vierte  Capitel  enthält  die  Theorie  der  Attraction  von  festen  Atom- 
systemen in  einer  Vollständigkeit,  wie  der  Attractionscalcül  unter  Voraus- 
setzung elementarer  mathematischer  Hilfsmittel  nur  in  wenigen  Lehr- 
büchern durchgeführt  sein  dürfte.  Vorausgeschickt  sind  einige  Betrach- 
tungen über  die  Construction  der  Körper,  in  denen  sich  der  Verfasser  xa 
der  bekannten  atomistischen  Naturansicht  bekennt,  ohne  jedoch  in  seinen 
Rechnungen,  welche  streng  genommen  einen  continuirlich  mit  Materie  er- 
füllten Kaum  voraussetzen ,  von  dieser  Ansicht  weiteren  Gebrauch  zu  ma- 
chen. Untersucht  werden  die  Anziehung  einer  homogenen  Kreisfläche  auf 
ein  in  ihrer  Achse  gelegenes  Atom,  sowie  einer  Kugelschicht  und  einer 
homogenen  Kugel,  sowohl  auf  einen  äusseren,  als  einen  inneren  Punkt, 
nicht;  allein  unter  Voraussetzung  des  Newton'scheu  Attraction sgesetzes, 
sondern  auch  eines  solchen,  wo  die  Anziehung  irgend  einer  Potenz  der 
Entfernung  proportional  ist.  Mit  Beschränkung  auf  das  Newton'sche  Ge- 
setz behandelt  der  Verfasser  die  Attraction  einer  homogenen  materiellen 
Geraden ,  die  Wirkung  eines  linearen  Magneten  auf  ein  in  ausserordent- 
licher Entfernung  befindliches  einfach  magnetisches  Element  und  einige 
leichteren  Fälle  der  Attraction  zwischen  zwei  Atomsystemen. 

Im  fünften  Capitel  wird  die  Bewegung  eines  Atoms  unter  der  Wir- 
kung einer  der  Entfernung  proportionalen  Centralkraft  aus  der  Parallel- 
projection  einer  gleichförmigen  Bewegung  im  Kreise  abgeleitet  und  durch 
die  folgenden  Beispiele  erläutert;  Bewegungen  der  in  ihrem  Gleichgewichte 
gestörten  Atome  elastischer  Flüssigkeiten  (Fundamente  der  Undulations- 
theorie),  Bewegungen  eines  Körpers  in  einem  diametral  durch  die  ganze 
Erde  gegrabenen  Schachte  (unter  Voraussetzung  eines  homogenen  Erd- 
körpers), Lougitudinalschwiugungen  einer  Spiralfeder. 

Für  die  Bewegung  eines  Atoms  unter  dem  Einflüsse  einer  Centralkraft 
im  Verein  mit  anderen  Kräften,  -weVcW  ^ew  Qso^^^Tv%v^wd  des  sechsten  Ca- 


Literatnrzeitung.  7^ 

pitels  bildet,  stellt  der  Verfasser  nnr  die  ersten  Grundlagen  fest,  ohne 
jedoch ,  da  dieselben  streng  genommen  anf  eine  Differentialgleichung  zwei- 
ter Ordnung  hinauslaufen ,  die  Aufgabe  in  ihrer  allgemeinen  Form  weiter- 
snf&hren.  Die  gewonnenen  Resultate  werden  daher  nur  in  awei  Beispielen 
weiter  verfolgt,  in  der  Theorie  des  Pendels  und  der  Lehre  von  der  Be- 
wegung eines  Atoms  auf  einer  rotirenden  Geraden.  An  die  Theorie  des 
Pandels  reihen  sich  die  Anwendung  desselben  zur  Bestimmung  der  Erd- 
schwere, zu  Höhenmessungen,  zur  Bestimmung  der  mittleren  Dichtigkeit 
der  Erde ,  sowie  eine  elementare  Erläuterung  des  Foucault*schen  Pendel- 
▼erauchs. 

Der  Itfhalt  des  siebenten  Capitels  ist  den  Kepler^schen  Gesetzen  ge- 
widmet, wobei  unter  Anderem  die  im  dritten  Capitel  dem  dritten  Kepler*- 
sehen  Gesetze  ^auferlegte  Beschränkung  auf  eine  kreisf5rmige  Bahn  wieder 
aufgehoben  wird.  Eine  Anwendung  des  ersten  Kepler'schen  Gesetzes  bil- 
det die  Untersuchung  der  Abweichung  frei  fallender  Körper  von  der  Ver- 
ticalen. 

Das  Schlusscapitel  handelt  von  der  Bewegung  eines  Systems ,  das  aus 
zwei  mit  einander  fest  verbundenen  Atomgruppen  besteht.  Das  Gesetz 
der  aas  fortschreitender  Bewegung  des  Schwerpunktes  und  Rotation  um 
eine  durch  den  Schwerpunkt  gehende  Achse  zusammengesetzten  Bewegung 
wird  hier  für  den  einfachen  Fall  entwickelt,  wo  sie  von  zwei  Impulsen 
herrührt,  welche  im  Anfange  der  Bewegung  den  beiden  Atomgruppen  in 
beliebiger  Richtung  ertheilt  wurden. 

Was  die  mathematische  Behandlung  des  Stoffes  betrifft,  so  ist  die- 
selbe, wie  es  bei  einem  Werke,  welches  den  Namen  des  Herrn  Professor 
Sehellbach  an  der  Spitze  trägt,  nicht  anders  erwartet  werden  konnte,  eine 
durchgängig  strenge  und  correcte.  Der  Umfang  des  mathematischen  Wis- 
sens, welchen  der  Gebrauch  des  Buches  voraussetzt,  beschränkt  sich  auf 
die  Elementarmathematik  mit  Einschluss  der  Anfangsgründe  der  analyti- 
schen Geometrie  der  Ebene ,  sowie  des  allgemeinen  Binomialtheoroms  und 
der  hieraus  abgeleiteten  Reihenentwickelung  für  die  Exponentialgrösse. 
Welche  seltene  Virtuosität  Herr  Prof.  Schellbach  besitzt,  mit  so  wenigen 
Hilfsmitteln  Aufgaben  zu  behandeln,- welche  ausserhalb  des  Gebietes  der 
Elementarmathematik  zu  liegen  scheinen,  ist  bereits  bei  Besprechung  der 
mathematischen  Lehrstunden  rühmend  erwähnt  worden;  das  vorliegende 
Buch  liefert  hierfür  fast  auf  allen  Seiten  sprechende  Beweise.  Es  kann 
daher  dasselbe  nicht  allein  den  Studirenden  der  Mathematik  bestens  em- 
pfohlen werden ,  für  welche  es  gleichzeitig  durch  die  Eigenthümlichkeit 
seiner  Methoden  eine  gute  Einleitung  in  das  Studium  der  höheren  Mathe- 
matik bildet;  auch  der  Lehrer  wird  es  im  Interesse  des  Unterrichts  nicht 
unbefriedigt  aus  der  Hand  legen.  O.  Fort. 


76  Litcraturzoitnng. 

Die  Ericflion*floh6  calorische  Kaflohine.    Von  H.  Boerics ,  Civilingcnieur. 
2.  Auflage.     Hamburg,  O.  Meissner. 

Die  so  rasche  Folge  einer  zweiten  Anflage  der  genannten  Schrifb. 
deutet  auf  ein  Interesse  für  dieselbe  hin,  welches  eine  kurze  Beurtheilung- 
den  Lesern  der  Zeitschrift  gegenüber  rechtfertigen  dürfte. 

Die  theoretischen  Untersuchungen  des  Verfassers  sollen  klarere  Ein- 
sicht in  die  Wirkungsweise  der  motorischen  Wärme  in  ihrer  Vereinigung- 
mit  atmosphärischer  Luft  und  hierdurch  Handhaben  liefern,  welche  das 
Streben  nach  Ausbildung  und  Vervollkommnung  der  calorischen  Maschinen 
verwenden  können.     Sie  sollen  femer  nähere  Aufschlüsse  über  die  Wir- 
kungsweise der  Ericsson^schen  Maschine  und  dadurch  Rechnungsunter- 
lagen  geben ,  mit  denen  der  Nachweis  über  den  industriellen  Werth  dieser 
Maschine  geführt  werden  könne.     Die  ersten  dieser  Untersuchungen  sind 
bereits  von  Redtenbacher  in  dessen  „Die  calorische  Maschine,  Mann- 
heim 1853*S  an  welche  Schrift  der  Verfasser  sich  anlehnt,  ungleich  umfas- 
sender und  einsichtsvoller  durchgeführt,  die  zweiten  nur  höchst  lückenhaft 
und  unzureichend  angestellt  worden. 

Eine  industrielle  Werthbestimnmng  pflegt  durch  Vergleich  mit  der 
Dampfmaschine  in  Bezug  auf  Leistung,  Betriebsaufwand  und  Anlage- 
kosten vorgenommen  zu  werden.  Die  beiden  ersten  Punkte  fertigt  man 
in  der  Regel  mit  Berechnung  des  pro  Zeiteinheit  und  Leistungseinheit  ver- 
brauchten Brennmaterialquantums  ab.  Dieses  Brennmaterialquantum  ist 
von  dem  Wärmeerzeugungs  - ,  Wärmeübertragungs-  und  Wärmenutzungs- 
apparatü  der  Maschine  abhängig.  Bei  Betrachtung  der  Ericsson'scben 
Maschine  findet  sich,  dass  gerade  die  beiden  ersten  sehr  stiefmütterlich 
bedacht  sind,  also  den  Brennmaterialverbrauch  vorwiegend  beeinflussen 
werden.  Der  Verfasser  betrachtet  trotzdem  nur  den  dritten  und  setzt  für 
die  ersten  ohne  Weiteres  willkürlich  abgeschätzte  Wirkungsgrade  in  seine 
Rechnung;  ja  er  behandelt  sogar  auch  den  letzten  nur  höchst  unvollstän- 
dig; er  bestimmt  blos  die  sogenannte  theoretische  Leistung  desselben, 
während  an  der  beredeten  Maschine  gerade  die  Reibungswiderstände  in  dem 
allerdings  höchst  ingenieusen,  aber  gleichwohl  sehr  complicirten  Hebel- 
mechanismus, die  Wärmeverluste  an  der  bedeutenden  Abkühlungsfläcbe 
des  Cylinders  und  die  Luftverluste  an  dem  in  dieser  Beziehung  unzweck- 
mässig construirten  Steuerkolben  den  Totaleffect  auffällig  deprimiren.  In- 
dem er  für  diese  Effectverluste ,  wie  für  die  Wirkungsgrade  des  Feuer- 
raumes und  der  Heizfläche  Werthe  einsetzt,  die  mit  sanguinischer  Vorliebe 
für  die  calorische  Maschine  gewählt  sind,  gelangt  er  zu  Resultaten,  die 
die  ökonomische  Vortrefllichkeit  dieser  Maschine  ausser  Zweifel  zu  setzen 
scheinen.  Er  findet,  dass  eine  einpferdige  Ericsson -Maschine  mit  einem 
Coaksquantum  von  4  bis  5  Pfund  pro  Stunde  ausreicht,  während  eine 
Dampfmaschine  deren  10  erfahrungsmässig  nöthig  hat. 

In  der  Tiiat  hat  sich  durcVi  ^cssww^  m'vl  D^^wamometcr  und  Waage 


Literaturzeitung.  77 

ergeben  (Diogler's  poljtechn.  Journal  CLIX,  Hefte),  dass  die  Ericsson- 
Masehine  fQr  oben  gedachte  Leistung  und  Zeit  30  Pfund  Holz-  oder 
15  Pfund  Steinkohle  oder  Coaks  beansprucht ,  ausserdem  aber  noch  Unter- 
haltungskosten erfordert,  welche  eine  Dampfmaschine  selbst  unter  den 
,  ungünstigsten  Umständen  nicht  nöthig  macht. 

Nach  diesen  Erörterungen  kann  die  theoretische  Untersuchung  des 
Verfassers  nur  als  ein  Rechenexempel  erscheinen ,  welches  eine  massige 
Illustration  für  ein  paar  Theoreme  der  ThermodTuamik  yorführt. 

Dresden.  Dr.  Weiss. 


JHb  nuoreioemE  des  Lichtes.  Vorgetragen  von  F.  J.  Pisko.  Wien,  Verlag 
von  Carl  Ocrold's  Sohn.  1861. 
Dieses  kleine  Scbriftchen  enthält  eine  recht  yollständige  Zusammen- 
stallnng  alles  dessen ,  was  über  die  Fluorescenz  bekannt  ist ,  und  empfiehlt 
iich  gans  besonders  zum  Studium  aller  hierher  gehörigen  Erscheinungen. 
Die  ersten  63  Seiten  füllen  die  Orundversuche  mit  Sonnenlicht,  künst- 
lichem Licht,  sowie  mit  einfachem  Licht,  und  die  Untersuchung  mittels  far- 
biger Zwischenmittel ,  desgleichen  eine  geschichtliche  Rückschau  über  den 
Gegenstand  aus.  Seite  63 — 03  beschreibt  der  Verfasser  die  wissenschaft- 
lichen Untersuchungsmethoden  und  ihre  Ergebnisse,  Seite  03 — 100  die  ver- 
schiedenen Erklärungsmethoden  der  Fluorescenz  und  Seite  101 — 107  die 
Anwendung  der  Fluorescenz  auf  Prüfung  der  Durchlässigkeit  der  Körper 
für  ultraviolette  Strahlen ,  auf  Photographie  und  Mikroskopie  etc.  Der 
klare  und  deutliche  Vortrag,  der  durch  in  den  Text  aufgenommene  Holz- 
schnitte unterstützt  wird,  die  Vollständigkeit  des  Berichtes  über  die  ex- 
perimentellen Untersuchungsmethoden,  sowie  der  am  Schlüsse  angefügte 
literarische  Nachweis  empfehlen  das  Schriftchen  sehr  für  das  Studium  der 
Fluorescenzerscheinungen.  Dr.  Kahl. 


Notiz. 


Als  ich  ehedem  mit  der  Bearbeitung  meiner  Tafeln  bestimmter  Inte- 
grale beschäftigt  w^r,  habe  ich  an  das  mathematische  Publicnm  die  Bitte 
gerichtet,  mir  zur  Erreichung  möglichst  grosser  Vollständigkeit  die  hier 
und  da  erschienenen  Monographieen  über  diese  Functionen  zusenden  zu 
wollen;  einige  Journale  haben  diese  Aufforderung  damals  aufgenommen. 
Vor  der  Herausgabe  der  Tafeln  ist  mir  nichts  zugekommen.  Denjenigen 
aber ,  die  mir  später  ihre^  werthvoUen  Abhandlungen  zusendeten ,  statte 
ich  hier  nochmals  meinen  verbindlichsten  Dank  ab,  sowie  auch  denen,  die 

LiUraturxliT'  d*  Zeilschr.  f.  Math.  a.  Phys.  VI,  4.  "^ 


78  Literaturzeitnng. 

» 

mir  die  Recensionen  der  genannten  Arbeit  zukommen  zu  lassen  die  Gfite 
hatten.  Da  ich  nnn  darch  den  meine  Erwartungen  übertreffenden  Absatz 
der  „  Tahles  dinld^ales  de'finies  {publie  par  rJcadSmie  Royal  des  sciences, 
Amsterdam) ^^,  wodurch  die  Auflage  fast  erschöpft  worden  ist,  zu  einer 
neuen,  gänzlich  umgearbeiteten  Ausgabe  schreiten  muss,  wozu  von  der 
ersten  Auflage  noch  einiges  Material  vorhanden  ist,  so  rufe  ich  noch  ein- 
mal die  freundliche  Hilfe  der  Sachverständigen  zu  doppeltem  Zwecke  an 
und  bitte  dieselben 

1)  um  die  betreffenden  Abhandlungen,  insoweit  sie  in  den„7Vi6/ff  etc.^' 
S.  21  und  22  nicht  citirt  und  also  nicht  benutzt  worden  sind; 

2)  um  die  erschienenen  Recensionen,  insofern  die  Herren  Referenten 
sie  mir  zu  übersenden  noch  nicht  die  Ottte  hatten. 

Das  grosse  Interesse ,  welches  meinem  unternehmen  zu  Theil  gewor- 
den, und  die  —  ich  darf  wohl  sagen  —  überaus  günstige  Aufnahme  von 
Seiten  der  Akademien  und  der  wissenschaftlichen  Journale  ermutbigen 
mich  sowohl  zu  diesem  Schritte,  als  auch  zu  der  nicht  geringen  Mühe 
einer  Umarbeitung  des  genannten  Werkes. 

Deventer  (Niederlande). 

Dr.  BiERENS  DE  Haan. 


Bibliographie 

vom  15.  April  bis  15.  Juni  1861. 


Parioditcbe  Soliriften. 

onatsberichte  der  königl.  preuss.  Akademie  der  WiBsen- 
scbaften.    Jahrg.  1861.    1.  Heft.    Berlin,  Dttmmler  in  Comm. 

pro  coinpl.  2  Thlr. 

itsungsberichte  der  IcönigL  bayerischen  Akademie  der 
Wissenschaften.  Jahrgang  1861.  1.  Heft.  München,  Franz  in 
Comm.  16  Kgr. 

REiL,  K.,  Jahrbücher  der  k.  k.  Reichsanstalt  für  Meteorologie 
und  Erdmagnetismus.  7.  Bd.  Jahrg.  1855.  Wien,  Gerold's  Sohn 
in  Comm.  8  Thlr. 

relle's  Journal,  fortgesetzt  von  C.  W.  Borchajidt.  59.  Bd.  1.  Heft. 
Berlin ,  O.  Reimer.  pro  compl.  4  Thlr. 

RKMiKEB,  C,  Nautisches  Jahrbuch,  oder  yollständige  Ephemeriden 
und  Tafeln  fUr  das  Jahr  1863.     Berlin ,  O.  Reimer.  %  Thlr. 

—  Annuaire  nauiique,  ou  ipkemerides  et  tahles  compUtes  pour  Tan  1863. 
Ebendaselbst.  %  Thlr. 

ihliotheca  historico  -naturalis^  physico  chemica  et  tnathema- 
tica.  Ed.  A.  v.  Zuchold.  10.  Jahrg.  2.  Hälfte.  Juli — December 
1860.     Oöttingen,  Vandenhoeck  &  Ruprecht.  8  Ngr. 

Beine  MathematilL 

JKIMB,  E.,  Handbuch  der  Kugelfunctionen.     Berlin,  6.  Reimer. 

1%  Thlr. 

■I88EL,  E.,  Lehrbuch  der  Arithmetik  und  Algebra  für  höhere 
Lehranstalten.     Berlin,  Springer.  1%  Thlr. 

OBBK,  H.  6.,  Lehrbuch  der  Mathematik  für  Gymnasien  und 
Realschulen.  2.  Bd. ,  2.  Tbl.  enth. :  Stereometrie ,  sphärische  Tri- 
gonometrie und  analytische  Geometrie.  Berlin,  Weidmännische  Buch- 
handlung. 24  Kgr. 

JLL,  C.  J.  D. ,  Matheseos  fundamenta  nova  analytica.  Pars  I. 
Oreifswald ,  Akademische  Buchhandlung  in  Comm.  2%  Thlr. 


80  Literaturzeitung. 

Angewandte  Mafhematik. 

HoLTZMANN,  C,  Lehrbuch  der  theoretischen  Mechanik.  Stutt- 
gart, Metzler.  2  Thlr.  6  Ngr. 

Bruhns,  C,  Die  astronomische  Strahlenbrechnng  in  ihrer 
historischen  Entwickelnng  dargestellt.  Leipzig,  Voigt  & 
Günther.  1%  Thlr. 

Mädlek,  J.  H.,  Die  Fixsternwelt.  2.  Auflage  des  Werkes  über  die 
Fixsterne  im  Allgemeinen  und  die  Doppelsterne  insbesondere.  Berlin, 
Heymann.  %  Thlr. 

ÄJjLity  M.,  De  meihodis  variis  periurbaiiones  specialei  compu- 
tandu     Diss.  inaug.     Kiel,  Akadem.  Bnchh.  in  Comm.  8  Ngr. 

HoEK,  M.,  R^cherches  astronomiques  de  Vohservatoire  d^  Utrechts 
Haag,  Nijhoff.  1%  Thbr- 

Stubm,  Cour 8  de  MScanigue  de  Vecole  polytechnique;  publiS  pwn 
E.  Pbouhet.  Tome  L  Parts,  Mattet -Bachelier.  Les  deux  voJumes  J2 /rc*. 

Phyiik. 

RiESS,P.,  Ueber  elektrische  Ringfiguren.  (Akad.)  Berlin,  Dumm- 
1er  in  Comm.  12  Ngr. 

Spiller,  Ph.,  Neue  Theorie  der  Elektricität  und  des  Magnetis- 
mus in  ihren  Beziehungen  auf  Schall,  Licht  und  Wärme. 
3.  Aufl.     Berlin,  Mittler  &  Sohn.  %  Thlr. 

Kepertorium  der  Meteorologie,  herausgegeben  yon  der  kaberl. 
geographischen  Gesellschaft  zu  Petersburg;  redigirt  von  Kämtz. 
2.  Bd.     1.  Heft.     Dorpat  und  Leipzig,  Köhler.         pro  compl.  7  Thlr. 


Literaturzeitung. 


Recensionen. 

Btuditii  über  die  Methoden  und  die  Benntsnng  hypiometriseher  Arbeiten, 
nachgewiesen  an  den  Niveanverhältnissen  der  Umgebung  von 
Prag.  Ein  neuer  Beitrag  zur  Geodäsie  und  zur  Urographie  von 
Cabl  KoaiSTKA,  Professor  der  Gepd&sie  am  polytechnischen 
Institute  zn  Prag  etc.  Mit  zwei  Niveaukarten  und  mehreren 
Holzschnitten.     Gotha,  Justns  Perthes,  1858. 

Der  Nutzen,  den  hTpsometrische  Bestimmungen  im  Allgemeinen  ge- 
wfthren ,  ist  so  vielseitig ,  dass  nicht  allein  eine  Vermehrung  und  Verein- 
fachung der  Hilfsmittel  zur  Ausführung  solcher  Messungen  höchst  wün- 
•ehenswerth  erscheint,  sondern  auch  alle  Diejenigen,  welche  derartige 
Messungen  unternehmen ,  sich  den  Dank  des  wissenschaftlichen  Publicums 
in  hohem  Grade  erwerben. 

Durch  die  Erfindung  des  Barometers  wurde  ein  sehr  einfaches  Mittel 
entdeckt,  Höhen  ohne  grossen  Zeit-  und  Kostenaufwand  zu  bestimmen, 
und  die  meisten  Höhenmessungen. datiren  von  dem  Zeitpunkte  an,  in  wel- 
chem die  Vervollkommnung  des  Barometers  so  weit  vorgeschritten  war, 
dass  dasselbe  mit  mehr  Zuverlässigkeit,  als  ursprünglich,  zu  derartigen 
Bestimmung^ A  verwendet  werden  konnte. 

Das  im  Jahre  1829  in  Gehler's  physikalischem  Wörterbuche  (5.  Bd., 
8.  330  u.  f.)  aufgestellte  Verzeichniss  der  Meereshöhen  von  verschiedenen 
Punkten  der  alten  und  neuen  Welt  weist  4550  solcher  Bestimmungen  nach, 
von  denen  nur  verhältnissmässig  sehr  wenige  auf  trigonometrischem  Wege, 
die  meisten  mittelst  des  Barometers  ausgeführt  sind. 

Insbesondere  ist  es  A.  v.  Humboldt,  welcher  zu  Anfang  des  gegen- 
wllrtigen  Jahrhunderts  durch  seine  ausnehmend  zahlreichen  barometri- 
sehen  Beobachtungen  in  Amerika  die  regste  Thätigkeit  auf  diesem  Gebiete 
hervorrief. 

Hinsichtlich  der  Genauigkeit  bleibt  aber  die  barometrische  Methode 
wesentlich  hinter  der  trigonometrischen  zurück,  weshalb  man  auch  in 
neuerer  Zeit  die  erstere  nur  da  anwendet ,  "wo  man  o\iii^>a^^w>\ÄtA.^Ti.Tj»x- 

Ut^Mtnntg,  d.  ZcitBcbr.  f.  Math.  a.  Phyi.  VI,  5.  ^ 


82  Litcraturzeitung. 

nnd  Kostenaufwand  die  letztere  nicht  benutzen  kann  und  wo  es.  Zwecken 
gilt,  welche  durch  die  Ungenauigkeit  der  Methode  nicht  beeinträchtigt 
werden. 

Die  barometrischen  Bestimmungen  sind  aber  auch  in  den  letzten  De- 
cennien  hauptsächlich  in  solchen  Ländern  in  den  Hintergrund  gedrängt 
worden,  in  welchen  bei  Gelegenheit  der  trigonometrischen  Landesvermes- 
sungen trigonometrische  Höhenbestimmungen  mit  ausgeführt  werden  konn- 
ten, an  welche  sich  nun  weitere  hypsometrische  Arbeiten  entweder  eben- 
falls auf  trigonometrischem  Wege  oder  durch  Nivelliren  im  engeren  Sinne 
leicht  anschliessen  lassen. 

Der  Verfasser  des  oben  annoncirten,  schätzenswerthen  ^  sehr  reichlich 
mit  literarischen  Citaten  versehenen  Werkes,  welcher  sich  bereits  seit 
dem  Jahre  1850  alljährlich  mit  Höhenmessungen  in  den  österreichischen 
Alpen,  auf  dem  böhmisch  -  mährischen  Hochplateau,  in  den  Sudeten  and 
dem  westlichen  Ausläufer  der  Karpathen  beschäftigte ,  hat  im  Auftrage  der 
naturwissenschaftlichen  Section  des  böhmischen  Landesmnseums  in  der 
Umgegend  von  Prag  1042  Höhenbestimmungen  zum  Theil  durch  das  Baro- 
meter ,  zum  Theil  durch  Nivelliren ,  hauptsächlich  aber  auf  trigonometri- 
schem Wege  in  der  verhältnissmässig  kurzen  Zeit  von  80  Tagen ,  mit  wenig 
Kostenaufwand  und  mit  einer  für  ihren  Zweck  vollkommen  ausreichenden 
Genauigkeit  ausgeführt,  deren  Resultate  er  .in  obigem  Werke  dem  wissen- 
schaftlichen Publicum  übergiebt. 

Hierbei  hat  derselbe  zugleich  Gelegenheit  genommen,  seine  gesam- 
melten reichen,  praktischen  Erfahrungen  über  Höhenbestimmungen  zn- 
saminonznstcllen ,  „um  dadurch  —  wie  derselbe  in  der  Einleitung  sagt  — 
jenen  Geodäten  und  Naturforschern,  welche  derartige  Messungen  in  einem 
grösseren  Gebiete  in  möglichst  grosser  Zahl  ohne  viele  Kosten  nnd  doch 
mit  hinlänglicher  Genauigkeit  ausführen  wollen,  manche  unuöthige,  zeit- 
raubende and  kostspielige  Arbeit  zu  ersparen." 

Sodann  hat  aber  auch  derselbe  an  einem  bestimmten  Beispiele  die  Be- 
ziehungen nachzuweisen  gesucht,  in  welchen  derartige  Messungen  mit 
wichtigen  Fragen  der  Orographie,  Geologie,  Pfianzengeographie  und  der 
gesammten  Landescultur  stehen. 

Keferent  glaubt  seinem  Beifalle ,  welchen  er  diesem  ausgezeichneten 
Werke  zu  Theil  werden  lässt,  am  besten  dadurch  Ausdruck  zu  geben,  in- 
dem er  in  Folgendem  auf  den  Inhalt  desselben  etwas  näher  eingeht. 

Das  ganze  Material  ist  in  zwei  Hauptabschnitte  gesondert.  In  dem 
ersten  werden  die  geodätischen  Operationen  und  die  Berechnungsmethoden 
beschrieben  und  die  Messungsresultate  zusammengestellt,  im  zweiten  ist 
alsdann  gezeigt,  wie  sich  solche  Messungsresultate  zur  Construction  von 
Niveaukarten  benutzen  lassen  und  wie  diese  Karten  zur  Beantwortung  von 
Fragen  der  Orographie,  Hydrographie,  Geologie  u.  s.  w.  zu  verwenden 
sind.  — 


Literaturzeitung.  83 

Nachdem  der  Verfasser  im  $.  1  eine  kurze  Geschichte  der  früheren 
Messungen,  insbesondere  in  der  Gegend  von  Prag^  und  der  Bemühungen, 
die  Seehöhe  der  Prager  Sternwarte  zu  bestimmen,  gegeben,  berührt  er  im 
S.  2  die  von  ihm  hauptsächlich  angewendeten  und  oben  schon  berührton 
drei  Methoden  der  Höhenbestimmung  und  geht  in  den  folgenden  Paragra- 
phen zunächst  auf  die  trigonometrische  Höhenmessung  näher  ein.  Im  $.  3 
behandelt  er  die  Messung  der  Höhenwinkel,  zeigt  die  Benutzung  der 
Schraube  nach  Hogreve  und  Stampfer  für  kleine  Winkel,  beschreibt  das 
hierbei  nicht  ohne  grossen  Vortheil  angewendete,  bis  dahin  aber  noch  nir- 
gends erwähnte,  von  Starke  in  Wien  mit  Höhenkreis  und  Mikrometer- 
schraube  construirte  Nivellirinstruroent  und  untersucht  den  nicht  unbe- 
deutenden Genauigkeitsgrad  desselben. 

Der  S'  4  zeigt  die  Bestimmung  der  zur  trigonometrischen  Höhen- 
messung nöthigen  Distanz  nach  irgend  einer  vorhandenen  guten  topogra- 
phischen Specialkarte,  handelt  von  den  bei  diesen  Bestimmungen  auf- 
tretenden Fehler()uellen  und  dem  Einflüsse  derselben  auf  die  Höhenbe- 
stimmungen, geht  dann  auf  die  Unterlagen  näher  ein,  welche  der  Verfasser 
fäi  seine  Distansbestimmungen  in  der  Umgegend  von  Prag  benutzt  hat, 
wodurch  derselbe  zu  dem  Schlüsse  geführt  wird ,  dass  die  durch  die  Un- 
sicherheit der  Distanzen  entstandenen  Fehler  in  seinen  Hühenbestimmun- 
gen  wohl  nie  mehr  als  0,4  Klaftern  betragen  und  dass  mit  Hinzurechnung 
de»  Fehlers  in  dem  Höhenwinkel  die  Fehlergrenze  in  den  Höhenbestim- 
mangen  0,5  Klaftern  oder  3  Wiener  Fuss  wohl  überschreiten  dürfte. 

Mit  Bedauern  hat  aber  Referent  eine  Mittheilung  der  Erfahrungen  des 
Herrn  Verfassers  in  Bezug  auf  die  von  ihm  im  $.  3  angezogene  Methode 
des  trigonometrischen  Nivellirens.  des  Prof.  Stampfer  in  Wien  vermisst ,  da 
dieselbe  doch  in  neuerer  Zeit  sehr  häufig  und  zwar  im  gebirgigen  Terrain 
mit  grossem  Vortheil  in  Anwendung  gebracht  wird. 

Der  $•  5  enthält  die  Berechnungsmethoden  und  zwar  aus  correspon- 
direnden  und  aus  einfachen  Höhenwinkeln,  selbstverständlich  unter  Be- 
rUeksichtigung  des  Einflusses  der  Refraction  und  der  Krümmung  der  Erde. 
Insbesondere  geht  derselbe  auf  den  Einfluss  der  terrestrischen  Refraction 
näher  ein,  erwähnt  die  hauptsächlichsten  Resultate,  welche  Sab  1er  durch 
seine  höchst  scharfsinnigen  Untersuchungen  bei  Gelegenheit  des  Nivelle- 
ments zwischen  dem  Schwarzen  und  dem  Caspischen  Meere  festgestellt 
hat,  führt  die  eigenen  Erfahrungen  des  Verfassers  in  dieser  Beziehung  an, 
daraus  den  zweckmässigsten  Zeitpunkt  für  das  Vorherrschen  der  norma- 
len Refraction  im  mittlem  Böhmen  und  Mähren  ableitend. 

Hierauf  entwickelt  der  Verfasser  die  Formel  zur  Berechnung  des 
Höhenunterschiedes  ans  dem  einfachen  Höhenwinkel  rv  und  gelangt  zu  der 
für  seine  Bestimmungen  angewendeten  abgekürzten  Formel 


683 
B==:D  lang  w  +  — s  £J^  für  Metermaaaa 
—  10" 


^* 


84  Literaturzeitung. 

oder 

H=iD  lang  w  +  —^  D^  für  Wiener  Klaftern, 

welche  133  Klaftern  nicht  überschreitende  Höhenunterschiede  H  für  hori- 
zontale Entfernungen  D ,  die  kleiner  als  24050  Klaftern  sind ,  bis  auf  zwei 
Decimalen  sicher  geben.  Am  Schlüsse  dieses  Paragraphen  werden  noch 
die  Formeln  aufgeführt,  welche  die  berühmtesten  Oeometer  für  die  trigo- 
nometrischen Höhenbestimmungen  gegeben  haben. 

Nachdem  der  Verfasser  im  $.  6  die  Wahl  der  Stand  -  und  Fixpunkte 
für  seine  trigonometrischen  Messungen  im  Allgemeinen  besprochen  und  die 
Ortsbeschreibung  der  letzteren  gegeben ,  macht  er  im  $.  7  znnflchst  einige 
Mittheilungen  über  die  Genauigkeit  der  Seehöhen  der  Triangulirungs- 
punkte  der  österreichischen  Landesvermessung,  sucht  dann  Gewichtszahlen 
für  die  Genauigkeit  seiner  Messungen  auf,  wobei  er  insbesondere  nach 
Sabler  den  Grad  der  Unruhe  des  Bildes  im  Femrohre  während  der  Be- 
obachtung des  Höhenwinkels  mit  berücksichtigt  und  stallt  endlich  unter 
Benutzung  dieser  Gewichtszahlen  die  Formeln  auf,  nach  welchen  seine 
Berechnung  der  wahrscheinlichsten  Werthe  für  die  definitiven  Seehöhen 
der  Standpunkte  etc.  erfolgte,  deren  Resultate  nicht  nur,  sondern  auch  die 
Beobachtungsgrössen ,  aus  denen  sie  hervorgegangen  sind,  in  übersicht- 
licher Weise  in  den  $%>  B  und  9  tabellarisch  zusammengestellt  sind. 

$.  10  handelt  von  der  nivellirenden  Methode  und  ihrer  Genauigkeit  mit 
besonderer  Rücksicht  auf  das  in  der  Stadt  Prag  ausgeführte  Detailnivelle- 
ment und  bespricht  die  Genauigkeit  der  gewöhnlichen  Eisenbahnnivelle- 
ments etc.,  sowie  die  Vorsicht,  mit  welcher  solche  zur  Bestimmung  von 
Seehöhen  verschiedener  Landestheile  anzjawenden  sind ,  in  sehr  treffender 
Weise. 

§.  11  zeigt  die  Art  und  Weise  des  Anschlusses  des  Nivellements  der 
Stadt  Prag  an  trigonometrisch  bestimmte  Höhenpunkte  zum  Behuf  der  Be- 
stimmung der  Seehöhen  der  nivellirten  Punkte ,  sowie  der  Berechnung  des 
durchschnittlichen  Fehlers  der  angegebenen  Seehöhen  der  Triangulirungs- 
punkte ,  worauf  dann  im  $.  12  die  Resultate  dieses  Nivellements  und  im  $.  13 
die  einiger  in  der  nächsten  Umgebung  von  Prag  ausgeführten  Nivellements 
folgen,  welche  letztere  wiederum  zur  Prüfung  der  Genauigkeit  der  ausge- 
führten trigonometrischen  Höhenbestimmungen  benutzt  werden. 

In  dem  die  barometrische  Methode  und  ihre  Genauigkeit 
behandelnden  S.  14  bespricht  der  Herr  Verfasser  die  Fälle,  in  welchen 
barometrische  Messungen  überhaupt  „ brauch bare^^  d.  h.  solche  Höhen- 
unterschiede liefern,  „deren  Unsicherheiten  sich  innerhalb  solcher  Grenzen 
bewegen,  dass  der  Werth  der  letzteren  noch  keinen  Einüuss  auf  die 
Schlüsse  übt,  zu  deren  Zweck  man  die  Messung  unternommen  hat,**  und 
geht  nach  einigen  Bemerkungen  über  die  Veränderung  der  Barometer  nach 
KreiVs  Erfahrungen  zu  der  Art  uuA'WeKs^  fe^\\i^t'Ä^^%%.\«i^\«i^  Berechnung 


Literaturzeitung.  85 

über,  welche  letsere  er  noch  nach  den  von  Oaass  im  Jahre  1818  bekannt 
gemachten  Tafeln  ausführt.  Da  die  gewichtigen  Bedenken ,  welche  Ohm, 
Zech  und  Peters  gegen  die  Correction  wegen  der  Veränderang  der  Schwer- 
kraft mit  Veränderang  der  Meereshöhe  erhoben  haben ,  nach  einer  grösse- 
ren Arbeit  Frisiani's  noch  nicht  als  abgethau  zu  betrachten  sind ,  überdiess 
aber  auch  die  Correction  einen  nur  sehr  geringen  Einfluss  auf  den  berech- 
neten Höhenunterschied  ausübt.  Aus  dem  letzteren  Grunde  berücksichtigt 
der  Verfasser  auch  die  von  Bessel  eingeführte  Correction  der  Höhenformel 
wegen  der  Luftfeuchtigkeit  nicht,  was  umsomehr  gerechtfertigt  erscheint, 
als  ohnediess  durch  die  neueren  Untersuchungen  Lamont*s  diese  Correction 
einer  wesentlichen  Veränderung  unterworfen  werden  dürfte.  Gewiss  nicht 
mit  Unrecht  legt  der  Verfasser  auf  eine  möglichst  schnelle  und  möglichst 
einfache  Berechnungsmethode  einen  grossen  Accent  und  zieht  dieselben 
selbstyerständlich  mit  Rücksicht  auf  den  zu  erzielenden  Zweck  den  weit- 
läufigen Berechnungen  problematischer  Correctionen  so  lange  vor,  als  die 
überwiegende  Hauptnrsache  der  Unsicherheit  der  Barometermessungen, 
nämlich  die  nicht  horizontale  Lage  der  Luftschichten^  Yon  gleicher  Dichtig- 
keit und  —  wie  noch  hinzuzufügen  sein  dürfte  —  das  Gesetz  der  Ab- 
nahme der  Lufttemperatur  mit  der  zunehmenden  Höhe  nicht  zu  erkennen 
und  zu  berechnen  ist. 

Nachdem  er  in  diesem  Paragraph  noch  die  Bestimmung  der  Seehöhe 
des  Prager  Sternwarte  -  Barometers  über  dem  Adriatischen  Meere  be- 
sprochen, führt  er  im  $.  15  seine  in  den  Jahren  1855  und  1856,  sowie  die 
früher  von  einigen  anderen  Herren  ausgeführten  Barometermossungeu  der 
Umgebung  von  Prag  auf  und  schliesst  den  ersten  Abschnitt  mit  der  Ver- 
gleichung  einiger  Seehöhen ,  welche  sowohl  trigonometrisch ,  als  barome- 
trisch bestimmt  worden  sind,  und  mit  daraus  folgenden  beachtcnswerthen 
Bemerkungen  über  den  Znsammenhang  des  Fehlers  der  barometrischen 
Messung  und  der  horizontalen  Entfernung. 

Mit  der  Ueberschrift :  „die  orographischen  Resultate"  beginnt  der 
zweite  Abschnitt,  welcher,  wie  schon  bemerkt  wurde,  die  Verarbeitung 
der  im  ersten  Abschnitte  aufgestellten  Messungsresultate  zeigt. 

Derselbe  wird  im  $.  16  durch  Aufstellung  der  Art  und  Weise  einge- 
leitet, nach  der  die  hypsometrischen  Messungen  dem  Hauptzwecke  der- 
selben, der  möglichsten  Erkenntniss  der  Unebenheiten  des  Terrains,  dienst- 
bar zu  machen  sind,  herorhebend,  dass  dies  am  Übersichtlichsten  durch 
graphische  Darstellung  der  Resultate  in  einer  Niveau-  oder  hypsome- 
trischen Karte  erfolgen  kann. 

Nach  einer  kurzen  Erwähnung  der  verschiedenen  Versuche,  die 
Terraindarstellung  durch  künstliche  Reliefe  zu  bewirken,  gicbt  der  Herr 
Verfasser  im  S»  17  einige  geschichtliche  Notizen  der  einzelnen  Darstellungs- 
niethoden der  Höhenverhältnisse,  welche  sich  hauptsächlich  nach  zwei 
Methoden  sondern  lassen :  der  all  -  franzöaiacVi^ii  o<i^t  \X«X\^iÄ>w\i»tL  —  '•»r^ 


86  Literatarzeitnng. 

hier  und  da  die  Triersche  Methode  genannt  —  und  der  deutschen  oder 
Lehmann^schcn. 

Nacb  diesen  beiden  Methoden ,  hauptsächlich  aber  nach  der  letzteren, 
welche  später  auch  von  den  Franzosen  theil weise  angenommen  wurde, 
sind  sämmtliche  in  den  letzten  50  bis  60  Jahren  namentlich  in  Europa  vor- 
genommenen officiellen  und  privaten  Terrainaufnahmen  ausgeführt  und 
doch  sind  alle  die  auf  diese  Weise  entstandenen  Blätter,  so  .werthvoll  für 
die  Bodenplastik  sie  auch  sind,  zu  einer  deutlichen  und  zugleich  auch  über- 
sichtlichen Erkenntniss  der  Höhenverhältnisse  wenig  oder  gar  nicht  ge- 
eignet ,  weil  in  denselben  die  sogenannten  äquidistanten  Horizontalen,  auch 
Niveau  -  oder  Schichtenlinien  genannt ,  wie  dieselben  von  der  Trierschen 
Methode  eigentlich  gefordert  werden,  nicht  mit  eingezeichnet,  sondern 
meist  bei  den  Originalaufnahmen  nur  in  idealer  Weise  zur  Herstellung  der 
Bergschraffur  benutzt  wurden. 

Erst  in  den  letzten  Decennien  hat  das  praktische  Bedürfniss  des  Tech- 
nikers bei  Projectirung  von  Eisenhahn-,  Strassen-  und  Canalanlagen  Ver- 
anlassung zur  weiteren  Ausbildung  der  Terrain darstellung  nach  der  TrieF- 
schen  Idee  geführt,  nämlich  zu  der  Herstellung  der  sogenannten  Nivean- 
karten.  Werden  nämlich  die  Niveaulinien,  d.h.  die  Curven,  in 
welchen  die  Oberfläche  des  natürlichen  Bodens  von  Horizontalflächen,  die 
in  gleichweiten  (äqnidistanten)  Abständen  als  durch  die  feste  Masse  der 
Erdoberfläche  gelegt  gedacht  sind,  geschnitten  werden,  auf  geometrischem 
Wege  mit  möglichster  Genauigkeit  ermittelt  und  ihre  Horizontalprojectio- 
nen  in  die  betretende  Karte  eingetragen,  so  gewähren  dieselben  nicht 
allein  ein  vollständiges  Bild  des  Terrains,  sondern  auch  einen  vollkommen 
bestimmten  Begriff  von  der  Gestalt  desselben ,  ein  graphisches  Kelief ,  wel- 
ches in  der  vollständigsten  Weise  alle  Hühenverhältnisse  repräsentirt. 

Der  Nutzen,  den  solche  Niveaukarten,  insbesondere  für  Tracirungen 
von  Eisenbahn-,  Strassen-  und  Canalanlagen  gewähren,  ist  in  mehrfacher 
Beziehung  ausserordentlich ;  denn  nicht  nur  werden  die  nöthigen  Vorunter- 
suchungen in  viel  kürzerer  Zeit  bewirkt,  sondern  es  lässt  sich  auch  mit 
Hilfe  derselben  dem  Terrain  ein  Project  abgewinnen,  welches  als  das  tech- 
nisch vollkommenste ,  mithin  als  das  allein  richtige  sich  darstellt. 

Leider  sind  wir  aber  noch  keineswegs  im  Besitz  vieler  derartiger  Kar- 
ten von  entsprechender  Genauigkeit.  Die  genauere  Darstellung  datirt 
erst  seit  der  Zeit,  wo  dieselben  zu  den  erwähnten  technischen  Zwecken 
gebraucht  wurden,  so  dass  man  genöthigt  war,  da,  wo  sich  das  Bedürfniss 
herausstellte,  derartige  Aufnahmen  zu  bewirken,  was  namentlich  zunächst 
in  Baiern  erfolgte. 

Immer  werden  aber  solche  genaue  Darstellungen  nur  localer  Natur 

sein  können  und  da,   wie  der  Verfasser  sagt,-   es  nicht  wahrscheinlich  ist, 

(lass    die  Europäischen  Staaten  eine  halbhundertjährige,  bereits  sehr  weit 

vorgerückte  Arbeit  wieder  vou  vorn  \ie^\T\vve\\\«ba^^\v  Ni^\\^\i\ÄLd  da^  selbst 


Literaturzeitung.  87 


wenn  dies  der  Fall  wäre,  die  ungoheaern  Kosten  eines  Detailnivellements 
in  keinem  Verhältniss  stehen  würden  zu  den  kleinen  Landestheilen ,  bei 
denen  Yoranssiclitlich  oder  möglicher  Weise  dasselbe  künftighin  zu  tech- 
nischen oder  anderen  Zwecken  benutzt  werden  könnte,  so  liegt  die  Frage 
nahe,  ob  man  nicht,  bei  dem  grossen  Bedürfnisse  einer  Übersichtlichen 
graphischen  Darstellung  der  allgemeinen  Niveanverhftltnisse ,  die  bereits 
Torhandenen  guten  Terrainaufnahmen  in  Verbindung  mit  einer  zweck- 
mässig vertheilten  grösseren  Anzahl  von  Höhenmessungen  für  eine  solche 
Darstellung  nutzbar  machen  und  daraus  jene  Niveaukarten  construircn 
könnte,  welche  vorhin  als  besonders  geeignet  bezeichnet  wurden,  die 
Höhenverhältnisse  eines  Gebiets  besonders  zu  veranschaulichen.** 

Indem  der  Verfasser  diese  Frage  bejaht,  zeigt  er  im  S.  18  seine  an* 
gewendete  Methode  der  Construction  von  Niveaulinien  auf  einer  als  Grund- 
lage dienenden,  nach  der  Lehmann'schen  Manier  ausgeführten  Karte,  Be- 
zug nehmend  auf  die  in  den  Text  gedruckten  Figuren  sowohl ,  als  auf  die 
dem  Werke  beigegebenen  beiden  in  Farbendruck  ausgeführten  Niveau- 
karten von  Prag  und  Umgegend ,  deren  correcte  Ausführung  dem  Verfasser 
sowohl,  als  dem  Verleger  zum  grössten  Kuhme  gereicht. 

Am  Schlüsse  des  genannten  Paragraphen  berührt  er  noch  das  zur 
grösseren  Uebersichtlichkeit  der  Höhenverhältnisse  nothwendige  Colorit 
der  verschiedenen  Schichtungen  und  bezeichnet  es  als  wünschenswerth, 
g;erade  jetzt,  wo  man  den  Schichtenkarten  eine  grössere  Aufmerksamkeit 
schenkt,  eine  Einigung  hierüber  und  insbesondere  über  die  verschiedenen 
Töne  für  tiefer  und  höher  gelegene  Schichten  zu  erzielen. 

Mit  den  entwickelten  Gründen,  der  tiefsten  Schicht  das  grösste  Licht 
nnd  den  höheren  Kegionen  dunklere  Farbenschattirungeu  zu  geben ,  kann 
man  sich  nur  ganz  einverstanden  erklären  und  es  hat  dieses  Princip  be- 
reits anderweit  praktische  Anwendung  gefunden,  indem  dasselbe  nicht 
allein  Director  Dr.  Vogel  in  der  Farbenwahl  seiner  Wachstuchwandkarten 
und  in  seinem  Schulatlas ,  sondern  auch  in  neuerer  Zeit  Dr.  Henry  Lange 
bei  seiner  Höhenschichtenkarte  von  Sachsen*)  in  Anwendung  brachte. 

Der  ^•.  10  zeigt  die  Art  und  Weise  der  Benutzung  derartiger  Niveau- 
karten zur  Beantwortung  von  Fragen,  die  sich  auf  die  verticale  Gliederung 
des  Bodens  beziehen ,  welche  sich  entweder  unmittelbar  aus  der  Karte  er- 
gebt oder  mittelbar  unter  Zuhilfenahme  bekannter  Gesetze  der  Metoorolo- 
§;ie,  Geologie,  Pilanzengeographie  etc.  ermöglicht  wird.  Namentlich  macht 
der  Verfasser  in  Bezug  auf  die  beigegebenen  Niveaukarten  und  zwar  hin- 
Bichtlich  der  Ausdehnung  und  Begrenzung  der  einzelnen  Schichten  über 
den  Flächeninhalt  derselben,  über  die  grössten  Höhen  und  Tiefen,  über 
das  Volumen   des  über  die  tiefste  im  Gebiete  vorkommende  Schichte  er- 


*)  Henry  Lange's  Atlft»  von  Sachsen.,  Ein  goo^raphiscli  -  pliysikaHHcli  -  statiHÜ- 
iches  Gemälde  dos  Königreich»  Sachsen.  In  12  Karten  mit  erläutcrudeiu  'Cvis^Vä, 
Leipzig,  y.  A.  Brockbaas,  1800. 


88  LiterataneitaDg. 

bobenen  Bodens ,  über  die  mittlere  Erbebang  des  Bodens,  über  die  mittlere 
Temperatur  eines  Orts,  sowie  über  die  Bonität  des  Bodens  und  die  Vege- 
tation desselben  höchst  interessante  und  beachte nswerthe  Bemerkungen, 
wodurch  er  darthut,  dass  er  der  Verarbeitung  des  so  reiflich  gebotenen 
Stoffes  nach  allen  Richtungen  hin  vollständig  jUeister  ist. 

Nicht  minder  beachtenswerth  sind  die  Bemerkungen  des  S-  20  über  die 
allgemeinen  Neigungs Verhältnisse  des  Bodens,  namentlich  über  die  mitt- 
lere Neigung  einzelner  Terrainabschnitte,  über  diejenige  der  Thäler  und' 
über  die  Tiefenlinien  derselben.  Nur  kann  Referent  sich  mit  dem  Seite  06 
aufgeführten  Verfahren  der  Bestimmung  der  mittleren  Neigung  jeder  ein- 
zelnen Schicht  nicht  ganz  einverstanden  erklären. 

Da  nämlich  der  mittlere  Neigungswinkel  einer  Schicht  als  das  arith- 
metische Mittel  aus  den  sämmtlichen  in  derselben  vorkommenden  anend- 
lich vielen  Neigungswinkeln  zu  betrachten  ist,  so  kommt  man  dieser  De- 
finition jedenfalls  sehr  nahe,  wenn  man  sich  die  Horizontalprojecüon  dieser 
Schicht  im  Allgemeinen  durch  den  Ausschnitt  eines  Kreisringes  ersetzt 
denkt,  welcher  mit  der  Schicht  sowohl  hinsichtlich  des  horizontalen  Flä- 
cheninhalts, als  hinsichtlich  der  mittleren  horizontalen  Länge  überein- 
stimmt. Die  als  Quotient  aus  Flächeninhalt  und  mittlerer  Länge  hervor- 
gehende Breite  des  Kingstücks  ist  als  Projection  der  zwischen  den  beiden 
kreisförmigen  Schichtenlinien  gezogenen  Neigungslinie  zu  betrachten  und 
es  kann  mit  Hilfe  derselben  und  der  Schichthöhe  der  dazu  gehörende  Nei- 
gungswinkel ,  d.  i.  die  gesuchte  mittlere  Neigung  berechnet  werden.  Der 
Herr  Verfasser  weicht  von  dieser  Bestimmungsweise  insofern  ab,  als  er 
sich  die  Ilorizontalprojectiou  der  Schicht  nicht  durch  den  Ausschnitt  eines 
Kreisringes,  sondern  durch  einen  vollen  Kreisring  ersetzt  denkt  und  — 
worin  der  wesentliche  Unterschied  besteht  —  zur  Bestimmung  von  dessen 
Breite  ausser  seinem  Flächeninhalte  nicht  die  mittlere  Länge  desselben, 
sondern  den  Flächeninhalt  des  inneren  Kreises  wählt,  welchen  er  mit  dem 
Inhalte  der  von  der  die  betreffende  Schicht  begrenzenden  inneren  Horizon- 
talen eiuschliessenden  Fläche  annimmt.  Hierdurch  wird  aber  die  Grösse 
des  mittleren  Neigungswinkels  von  der  Zufälligkeit  des  letztgenannten 
Flächeninhalts  abhängig  gemacht,  dessen  Unzulässigkeit  hierbei  umsomehr 
in  di&  Augen  springt,  wenn  man  es  mit  Schichten  zu  thun  hat,  die  auf  der 
betreffenden  Karte  nicht  in  sich  zurückkehren,  sondern  nur  theilweise  auf 
dem  dargestellten  Terrain  sich  befinden.  Der  Inhalt  der  von  der  inneren 
Horizontalen  begrenzten  Fläche  kann  dann  nur  bis  zur  Sectionslinie  ge- 
nommen werden  und  ist  grösser  oder  kleiner,  je  nachdem  diese  Sections- 
linie entfernter  oder  näher  der  inneren  Schichtenlinie  Hegt.  Durch  diese 
Zufälligkeiten  kann  es  nothwendig  kommen,  dass  für  zwei  Schichten,  deren 
mittlere  Neigungswinkel  gleich  sind,  ganz  verschiedene  Werthe  derselben 
^^efunden  werden,  was  nicht  der  Fall  ist,  wenn  ausser  den  Flächeninhalten 
demelboM  die  mittleren  Län'550ii  to\1  u\  \^<Ält?LQ\\\.  ^^-lq^-^u  werden. 


Litoraturzeitung.  89 

Endlich  deatet  der  Herr  Verfasser  im  S.  21  seine  Ansichten  über  Anf- 
stellnng  einer  neuen  nnd  swar  einer  nach  geometrischen  Grundsätzen  be- 
handelten Terminologie  des  Terrains  an ,  welche  verdienen ,  dass  sie  wei- 
ter Berflcksichtigong  finden.  Hiernach  kommen  zunächst  die  Terrain - 
elemente  in  Betracht,  welches  Flächenelemente  sind,  deren  Natur  durch 
die  KrUmmung  zweier  unmittelbar  über  einander  befindlicher  Schichten- 
linien bestimmt  wird.  Jede  dieser  Bchichteulinien  kann  entweder  gerade, 
eonvex  oder  concav  sein  und  es  würden  hiernach,  je  nachdem  entweder 
zwei  gerade,  oder  zwei  convexe,  oder  zwei  concave,  oder  eine  convexe 
und  eine  concave  Schichtenlinie  das  Element  begrenzen ,  ebene  und  wind- 
schiefe, convexe,  concave  oder  endlich  convex-concave  Terrainelemente 
geben. 

Die  Vereinigung  mehrerer  Flächen-  oder  Terrainelemente  zu  einer 
Figur,  welche  sich  als  solche  unterscheidbar  von  dem  Angrenzenden  ab- 
h^bti  nennt  der  Verfasser  ein  Terrainglied  und  hängen  mehrere  solcher 
Glieder  so  mit  einander  zusammen ,  dass  sie  alle  von  einem  gemeinschaft- 
liehen Punkte  oder  von  einer  gemeinschaftlichen  Linie  auszugehen  schei- 
nen, 80  entsteht  ein  weit  höherer  Grad  der  Zusammensetzung,  welcher  mit 
dem  Namen  Terraingebiet  zu  bezeichnen  sein  möchte. 

„Eine  Terminologie  —  fährt  der  Verfasser  fort  —  nach  ähnlichen 
Grundsätzen  entworfen,  würde  keiner -praktischen  Anwendung  oder  Be- 
nützung im  Wege  sein ,  wenn  sie  auch  nicht  für  einen  besonderen  Zweck 
geschaffen  wurde.  Sie  würde  weder  Geologen  bei  der  Aufsuchung  der 
Uebereinstimmung  des  inneren  Schichtenbanes  mit  der  äusseren  Oberfläche, 
noch  dem  Militär  bei  der  Auffindung  von  Angriffspunkten  und  Vertheidi- 
gangslinien.,  noch  dem-Civilingenieur  bei  Entwerf ung  seiner  Projecte  fttr 
Commnnication  und  Bodenmelioration  hinderlich  sein,  sondern  im  Gegen- 
tbaila  die  Arbeiten  derselben  mächtig  unterstützen.  Hinderlich  sein  würde 
sie  Mos  hohlen  Speculationen  und  Hypothesen ,  denen  die  nackte  Wahr- 
heit der  natürlichen  Beschaffenheit  der  Oberfläche  des  Bodens  einen 
fortwährenden  stillen,  aber  entschiedenen  Widerspruch  entgegenstellen 
würde.'* 

Der  Leser  wird  aus  dem  Mitgetheilten  ersehen ,  dass  sich  auf  diesem 
Felde  wohl  selten  noch  die  Wissenschaft  so  eng  mit  der  Praxis  verbunden 
hat,  dass  sich  gewiss  beide  Theile  völlig  befriedigt  fühlen  dürfen.  Kefe- 
rent  steht  nicht  im  geringsten  an ,  dem  Verfasser  für  die  glückliche  Durch- 
fähmng  seiner  so  manches  Neue  enthaltenden  Arbeit  in  dieser  nur  noch 
wenig  verfolgten  Kichtung,  sowie  dem  Herrn  Verleger  für  die  vorzügliche 
Ausstattung  des  Werkes  und  insbesondere  auch  der  beiden  beigegebenen 
Karten ,  seinen  Dank  und  seine  wahrhafte  Hochachtung  darzubringen. 

A.  Nacel. 


M  LfteffatBTBRfiac. 

Dte  ZiMMBtB  Icr  cbiMB  TrigaBiBilK».  BeaibeHet  Ton  I>r.  Eouabd 
ZrrzACBK,  Lebrer  sa  der  köoi^  Geverbesehole  sa  Chemniti« 
Alt«Abar^.  Veria^slMchliMdln^  H.  A.  Pierar.  -1861.  8.  108  S. 
Wenn  die  Elemente  der  Goniometrie  «od  Trigmiometrie  der  Einfacb- 
keit  und  sehnrfen  üngrenzm^  des  Gegeastnades  we^n  Torzngsweise  eine 
kamppe  vnd  elegante  Darsteilimg  -gestanea  aad  eine  solche  oft  schon  g^ 
faadea  haben,  so  muM  es  nmsomehr  befremden ,  wenn  man  an  einem  neuen 
Bache  Aber  Trigonometrie  gerade  diese  Eigenschaften  nicht  entdecken 
kaaa.  Der  Verfasser  des  Torliegendea  Werkes  hat,  was  Weitschweifigkeit 
nnd  SchwerfUligkeit  anlangt,  das  Möglichste  geleistet.  Er  beginnt  die 
Goniometrie  mit  dem  Sinnsrersas.  Demselben  sind  fftnf  Seiten  gewidmet. 
Es  folgen  dann  anf  drei  Seiten  die  Erklimng  des  Cosinns ,  Betrachtnngen 
fiber  seine  Grösse  nnd  sein  Vorzeichen ,  sowie  Aber  die  Wiederkehr  der- 
selben absolaten  Werthe  desselben.  Anf  gleiche  Weise  ist  aof  den  vier 
folgenden  Seiten  der  Sinns  behandelt.  Um  an  erklären ,  was  ein  Sinns  ist, 
braneht  der  Verfasser  allein  zwei  Seiten,  nnd  damit  der  Leser  ja  nicht  su 
schnell  zn  den  fibrigen  Functionen  gelange,  ist  die  Darstellnng  durch  einen 
Paragraphen  unterbrochen,  in  welchem  Sitze,  wie  die  folgenden,  demon* 
strirt  werden :  „Der  Sinns  eines  Peripheriewinkels  ist  die  Hälfte  der  sn 
ihm  gehörigen  Sehne  in  einem  Kreise  Tom  Halbmesser  1 ;  jede  Sehne  ir- 
gend ein'?»  Krttine.n  ist  das  Product  aus  dem  Durchmesser  des  Kreises  und 
df^m  Hinn»  f\p.n  üher  ihr  stehenden  Peripheriewinkels;  der  Sinns  und  der 
(^oh'mnn  wnchnon  nnd  nehmen  darchaus  nicht  etwa  proportional  mit  dem 
Winkel  A^f,  ti'  M.  w.  Nach  dieser  Abschweifung  erfahrt  man  auf  den  fol- 
fi;f,w\i'.u  '/fhn  Halten,  was  der  Cosinusversus,  die  Secante,  die  Cosecante, 
die  Tang'^ntc  nnd  die  Cotangente  sind.  In  dem  Bisherigen  sind  zwar  die 
Functionen  gelegentlich  an  einem  Kreise  vom  Halbmesser  1  geometrisch 
dargestellt  worden,  aber  nicht  genng  damit  werden  auf  S.  35  die  trigono- 
metriechen  Linien  als  etwas  Neues  aufgeführt;  bei  ihrer  Darstellung  näm* 
lieh  mnss  der  Halbmesser  des  Kreises  gleich  r  sein!  Anf  S.  37  erfahrt  der 
Schüler  endlich,  dass  die  trigonometrischen  Functionen  Verhältnisse  zwi- 
schen den  Seiten  des  rechtwinkligen  Dreiecks  sind ,  und  damit  er  sogleich 
eine  Frucht  dieser  neuen  Erkenntniss  brechen  kann,  ist  an  dieser  Stelle 
die  Berechnung  der  Seiten  des  rechtwinkligen  Dreiecks  eingeschaltet.  Wie 
hier  die  (Joniometrie  durch  ein  Stück  Trigonometrie  unterbrochen  ist,  so 
befindet  Hich  auch  in  dem  Anhange  der  Goniometrie  eine  Herleitung  der 
Fundamentalsiitze  für  die  Dreiecksberechnung,  wohin  sie  doch  offenbar 
nicht  gehört.  Den  zweiten  Abschnitt  des  Buches  bildet  die  eigentliche 
Trigonometrie.  Wir  vermissen  hier  unter  Anderem  die  Mollweide'schen 
Gleichungen 

c  sifi  l  i^-i  —  n)  =  (fl  —  6)  cos  l  C 
c  cos  \  {A—  B)  =  (a  +  b)  sin  ^  C, 
die  bei  der  ao  hüufig  vorkommenOLCii  kxx^^^^^'v^  ^>3ä  -l^^x^väv^vjl  a^  b  und 


Literainrzeitang. .  91 

lern  eingeschlossenen  Winkel  C  die  ttbrigen  Stücke  J^  B,  c  ftn  berechnen 
lind,  füglich  nicht  entbehrt  werden  können.  Dem  Buche  sind  drei  Tafeln 
beigegeben ,  die  oft  mit  Nutzen  zu  gebrauchen  sind ,  nämlich  eine  Tafel 
für  die  Länge  eines  Bogens  vom  Halbmesser  1 ,  eine  Tafel  der  trigonome- 
trischen Functionen  von  10  zu  10  Minuten  und  eine  Tafel  der  Quadrate  der 
Zahlen  von  1  bis  009*  Der  Druck  der  Formeln ,  namentlich  die  Anordnung 
ierselben,  lässt,  was  Uebersichtlichkeit  anlangt,  manches  zu  wünschen 
übrig ;  sonst  ist  die  Ausstattung  des  Buches  recht  leidlich. 

Dr.  R(TDOLF  Hoffmann. 


Dm  Plitmatoid.  Eine  Erweiterung  der  elementaren  Stereometrie  von 
Theodor  Wittstein  ,  Dr.  phil.  und  Professor.  Hannover,  Hahn*- 
sche  Hofbuchhandlung.  1860.  4.  24  S. 
Wie  das  Prisma  und  die  Pyramide  der  Stereometrie  dem  Paral- 
lelogramm und  dem  Dreieck  der  Planimetrie  entspricht,  so  ist  das 
Prismatoid  das  Analogen  des  Trapezes.  Das  Prismatoid  nun •  ist 
ein  Polyeder,  welches  von  zwei  parallelen  Polygonen,  die  ausserdem  voll- 
kommen unabhängig  von  einander  sind,  als  Grundflächen,  und  im  All- 
gemeinen von  Dreiecken  als  Seitenflächen  begrenzt  wird,  welche  mit 
je  einer  Grundfläche  eine  Seite  und  mit  der  anderen  einen  Eckpunkt  ge- 
mein haben.  Der  Koppe 'sehe  Obelisk  ist  hiernach  ein  besonderer  Fall 
des  Prismatoids.  Versteht  man  unter  der  mittleren  Dnrchschnitts- 
fläche  des  Prismatoids  die  Fläche  der  Figur,  welche  ein  in  halber  Höhe 
parallel  den  beiden  Grundflächen  gelegter  ebener  Schnitt  hervorbringt,  so 
wird  in  vorliegender* Abhandlung  folgender  Lehrsatz  bewiesen:  „Jedes 
Prismatoid  ist  der  Summe  dreier  Pyramiden  gleich ,  von  denen  eine  das 
arithmetische  Mittel  der  beiden  Grundflächen  und  jede  der  beiden  anderen 
die  mittlere  Durchschnittsfläche  des  Prismatoids  zur  Grundfläche  hat  uiid 
deren  Höhe  gleich  der  Höhe  des  Prismatoids  ist."  Oder:  Wenn  man  mit 
Gf  g  die  beiden  Grundflächen,  mit  B  die  mittlere  Durchschnittsfläche  und 
mit  h  die  Höhe  des  Prismatoids  bezeichnet,  so  findet  man  allgemein  den 
Inhalt  /  desselben  durch  die  Formel 

oder  wenn  man  das  arithmetische  Mittel  der  beiden  Grundflächen,  -^ 

mit  M  bezeichnet 

Was  die  Folgerungen  betrifft,  die  der  Verfasser  aus  diesem  Satie 
sieht  9  so  mUssen  wir  auf  die  Abhandlung  seVbat  NQtiifäV&^ti.    ^v^Xi^'vv^^i^ 


92  Literatnneitniig. 

sich  nicht  nur  auf  die  Inhaltsbestimmungen  speeieller  Formen  des  Prima- 
toids,  sondern  auch  auf  die  Inhalte  von  Körpern,  die  Ton  Regel  fliehen 
begrenzt  sind,  auf  die  Inhalte  Ton  beliebigen  Polyedern  mid  auf  die 
angenäherte  Inhaltsbestimmung  von  körperlichen  Bäumen,  welche  von 
einer  beliebigen  krummen  Oberfläche  begrenzt  werden.  Man  findet 
bei  dieser  Gelegenheit  die  Giltigkeit  der  für  planimetrische  Inhaltsbe- 
stimmungen unter  dem  Namen  der  Simpson*  sehen  Formel  bekannten 
Begel  auch  für  räumliche  Figuren  nachgewiesen.  Es  ist  wohl  kaum  nöthig, 
zu  bemerken ,  dass  die  Abhandlung  des  bekannten  Herrn  Verfassers  von 
Seiten  der  Geometer  alle  Beachtung  verdient  und  diese  neue  Erweiterimg 
der  elementaren  Stereometrie  nur  mit  Freuden  begrüsst  werden  kann.  Die 
äussere  Ausstattung  der  Schrift  ist  vortrefflich. 

Dr.  BUDOI^  HOFFXJINH. 


(Verspätet.) 
Hafhematischer  Snpplementband  inm  Ornndriü  der  Physik  und  Meteo- 
rologie.   Von  Dr.  Jon.  Müller  ,  Professor  der  Physik  und  Tech- 
nologie an  der  Universität  £u  Freiburg  im  Breisgau.     Mit  179  in 
den  Text  eingedruckten  Holzschnitten.  Nebst  besonders  gedruck- 
ten Auflösungen.     Braunschweig,  Druck  und  Verlag  von  Frie- 
drich Vieweg  und  Sohn,  1800. 
Dem   Studirenden    der    technischen   Wissenschaften,   der   sich   nach 
einem  vorbereitenden  Cursus  in  der  Experimentalphysik  die  Aufgabe  stellt, 
tiefer  in  das  Gebiet  der  Physik  einzudringen,  ist  jedenfalls,  wenn  er  auch 
in  den  mathematischen  Wissenschaften  gehörig  vorlfereitet  ist,  eine  Samm- 
lung von  Aufgaben  erwünscht,  die  überhaupt  zu  den  lösbaren  und  häufiger 
vorkommenden  gehören   und   bei  denen   er  Zugleich  die  experimentellen 
Grundlagen  mitgetheilt  erhält,   auf  welchen  die  Auflösung  basirt.     Das 
vorliegende  Werkchen  ist  als  eine  mathematische  Ergänzung  des  bekann- 
ten „Grundrisses  der  Physik  und  Meteorologie"  von  demselben  Verfasser 
zu  betrachten,   es  gicbt,  ohne  sich  tief  in  die  Uerleitung  einzulassen,  die 
bekannteren  mathematisch -physikalischen  Gesetze  an,  wobei  jedem  Ge- 
setze einige  Kechnungsaufgaben  beigefügt  sind,  deren  Auflösungen  in  den 
besonders  abgedruckten  Auflösungen,   die  den  zweiten  Theil  des  Werkes 
bilden,  zu  finden  sind.     Es  sind  nicht  nur  alle  Capitel  der  Physik,  unter 
Anderem  auch  die  Achromasie  und  die  mechanische  Wärmetheorie  gehörig 
berücksichtigt  worden,   sondern   auch,   was  besonders   lobend   anerkannt 
werden  muss,    die  Ausgleichung  der  Beobachtungsfehler  am  Schlüsse  kurz 
und  deutlich,  von  vielen  Beispielen  begleitet,  aufgenommen  worden.     Die 
Zahl  der  Aufgaben,  deren  Auflösungen  besonders  abgedruckt  sind,  beträgt 
gegen  400 f  so  dass  Demjenigen^  Ciw  ^«Ä^xi^*V^\i\>XT\^  V\\Ä^\R.VÄnde  Ge- 


Literatarzeiiung.  ^  93 

beit  gegeben  ist,  sich  darch  Beispiele  Kenntniss  der  physikalischen 
tse  Bu  erwerben.  Seiner  Einrichtung  nach  empfiehlt  sich  das  vor- 
ade  Werkchen ,  aus  der  geschäftigen  Feder  eines  rühmlichst  bekann- 
i^erfassers  hervorgegangen,  ganz  besonders  zum  Selbststudium  der 
ik,  nachdem  vorher  eine  tüchtige  Grundlage  in  der  Experimental- 
k  gelegt  worden  ist.  Die  äussere  Ausstattung  ist,  wie  ähnliche  im 
Ige  von  Friedrich  Vieweg  und  Sohn  erschienene  Werke ,  elegant  und 
nichts  zu  wünschen  übrig. 

Dr.  Kahl. 


Bibliographie 

vom  15.  Juni  bis  15.  August  1861. 


Periodische  Scliriften. 

s 

Abhandlangen  der  mathematisch-physikalischen  Classeder 
königl.  sächs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften.  5.  Band. 
Leipzig ,  Hirzel  in  Comm.  8  Thlr. 

Berichte  über  die  Verhandlungen  der  königl.  sächs.  Gesell- 
schaft der  Wissenschaften  zu  Leipzig.  Mathem.-phys.  Classe.  * 
Jahrg.  1860,  Heft  3.     Leipzig,  Hirzel  in  Comm.  14  Thlr. 

Sitzungsberichte  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissenschaften 
in  Wien.  Mathem.-naturw.  Classe.  Jahrg.  1861,  No.  1 — 3.  Gerold's 
Sohn  in  Comm.  pro  compl.  16  Thlr. 

Abhandlungen  der  königl.  Gesellschaft  der  Wissenschaften 
zu  Göttingen.  9.  Band.  Von  dem  Jahre  1860.  Dieterich'sche 
Buchh.  9%  Thlr. 

Verhandlungen  der  kaiserl.  Leopoldinisch  -  Carolinischen 
deutschen  Akademie  der  Naturforscher.  28.  Band.  Jena, 
Frommann.  12  Thlr. 

Schriften,  neueste,  der  naturforschenden  Gesellschaft  in  Danzig.  6.  Bd., 
Heft  2  und  3.     Anhuth  in  Comm.  1%  Thlr. 

Melanges  physiques  ei  chimiques  iirees  du  buUeiin  physico-ma- 
them.  de  V academie  de  Peiersbourg,  Tome  iF,  livr.betQ.  Leipzig, 
Voss  in  Comm.  28  Ngr. 

Beine  Mathematik. 

Hoffmann,  L.,  Mathematisches  Wörter  buch.  16.  Lieferung.  Berlin, 
Bosselmann.  %  Thlr. 

LüBSEN,  H.  B.,  Ausführliches  Lehrbuch  der  Arithmetik  und 
Algebra.    5.  Auflage.   Hamburg,  Meissner.  1%  Thlr. 

Rauch,  C. ,  Planimetrie  und  Constructionslehre.  Hannover, 
Rümpler.  1%  Thlr. 

Kkrz,  f..  Die  allgemeine  Umkehrung  der  Reihen,  nebst  An- 
wendung derselben  auf  die  vollständige  Lösung  numerischer  Gleichun- 
gen.   2.  Abth.    Darmstadt,  3 OTi^\i^\XÄ.  1  Thlr. 


Literatnrzeitnng.  95 

FiscHBR,  H.,  V.  Pniseax's  Untersuchungen  fiber  die  algebrai- 
schen Functionen  dargestellt.   Halle,  Sehmidt's  Verlagsbachh. 

1  Thlr. 

Angewandte  Mathematik. 

Steinbb,  C.  f.  C,  Geometrische  Construotionslehre  und  Li- 
near-Perspectivo  für  Künstler  nnd  Gewerke.  2.  Auflage.  Be- 
arbeitet von  W.  Hertel.   2  Theile.   Leipzig,  Deckmann.      2%  Thlr. 

WsTZEL,  E.,  Wandkarte  für  den  Unterricht  in  der  mathemati- 
schenGeographie.  '0  Blatt.   Berlin ,  Reimer.  3%  Thlr. 

Baeybr,  J.  J.,  Ueber  die  Grösscund  Figur  der  Erde.  Eine  Denk- 
schrift zur  Begründung  einer  mittel  •  europäischen  Oradmessung  nebst 
einer  Uebersichtskarte.    Berlin ,  Beimer.  %  Thlr. 

FiL8,  A.  W.,  Barometer-Höhen-Messungen  Ton  dem  Herzogthum 
Sachsen -Meiningen,  ausgef.  in  den  Jahren  1855 — 50.  Meiningen, 
Brückner  &  Renner.  24  Ngr. 

Pbtbrs,  C.  A.  f.,  Ueber  die  Bestimmung  des  Längenunter- 
schiedes zwischen  Altena  und  Schwerin,  ausgef.  im  Jahre 
1858  durch  galvanische  Signale.    Hamburg,  Perthes  -  Besser  &  Mauke. 

2%  Thlr. 

Drechsler,  Dr.  Ad.,  Astronomische  Vorträge  über  Stellung,  Be- 
schaffenheit und  Bewegung  der  Gestirne,  gehalten  zu  Dresden.  2.  Auf- 
lage.  Dresden ,  Kunze.  %  Thlr. 

MIdlbr,  J.  H.v.,  Ueber  totale  Sonnenfinsternisse,  mit  besonderer 
Berücksichtigung  der  Finsterniss  vom  18.  Juli  1860.  Jena,  Frommann. 

4%  Thlr. 

OuiCHARD,  W.  F.,  Die  Grundgesetze  der  Dynamik.  Leipzig,  Holze. 

%  Thlr. 

Schmidt,  G.,  Theorie  der  Dampfmaschinen.  Freiberg,  Engelhardt. 

1%  Thlr. 

Saxbt,  S.  M.,  The  projection  and  calculation  of  ihe  sphere^  for 
young  sea  officers ;  heing  a  complete  initiation  inio  nautical  asironomy.  Lon- 
doHj  Longman,  5  sh. 

Physik. 

OniF,  C,  Physikalische  Generalkarte.  L  Vertheilung  der  Luft- 
strömungen, der  Hydrometeore.  Hydrographie  der  Erde.  II.  Iso- 
thermen der  Erde.  Verbreitung  der  Vulcane,  der  wichtigsten  Bäume 
und  Strauchgewächse,  der  wichtigsten  Culturgewächse.  Weimar,  Lan- 
des-Industrie-Comptoir.  %  Thlr. 

Reixann,  E.  J.,  Das  Luftmeer.  Eine  physikalische  Darstellung  für 
gebildete  Laien.  Mit  einem  Vorworte  von  E.  A.  Bossmässler.  2.  Auf- 
lage.  Breslau,  Leuckart.  X^'Wj^x. 


96  Literatarzeitung. 


Valentin,  G.,  Die  Untersuchung  der  Pflansen-  und  der  Thier- 
gewebe  in  polarisirtem  Lichte.  Leipzig,  Engelmann.  2%  Thir. 

Kbsbelmeteb,  P.  A.,  lieber  den  Ursprung  der  Meteorsteine.  Ver- 
such eines  Quellenverzeichnisses  zar  Literatur  über  Meteoriten  von 
0.  Buchner.     Frankfurt  a.  M.,  Brönner.  3%  Thh. 

Abbe,  E.,  Erfahrungsm&ssige  Begründung  des  Satzes  Ton  dei 
Aequivalenz  zwischen  Wärme  und  mechanissher  Arbeit 
Inaugural-Dissertation.  Göttingen,  Vanderhoek  &  Bupprecht's  Verlag. 

8Ngr. 

DovE,  H.  W.,  Das  Gesetz  der  Stürme  in  seiner  Beziehung  zn 
den  allg'emeinen  Bewegungen  der  Atmosphäre.  2.  Auflage. 
Berlin,  Beimer.  1  Thlr. 

Pbestel,  M.  A.  f.,  Die  thermische  Windrose  für  Nord-Weat- 
Deutschland.     Jena,  Frommann.  1%  Thlr. 

Matthiessen,  L.,  Beiträge  zur  Kenntniss  der  Anordnung  und 
Bindung  der  Elektricität  auf  isolirten  Leitern.  Eine  ex- 
perimentelle Untersuchung.  Jever,  Druck  und  Verlag  von  L.  Mett- 
cker  &  Söhne. 

Hankel,  W.  G.,  Elektrische  Untersuchungen.  5.  Abhandl.:  Maass- 
bestimmnngen  der  elektromotorischen  Kräfte.  1.  Theil.  Leipzig, 
Hirzel.  16  Ngr. 

ZixMEBMANN,  W.  F.  A.,  Magnotismus  und  Mesmerismus,  oder  phy- 
sische und  geistige  Kräfte  der  Natur.  4.  und  5.  Lieferung.  Berlio, 
Thiele.  %  Thlr. 

Drion,  Gh.,  et  E.  Fernet,  Tratte  de  physique  elämentairej  suivi 
de  prohlemes,    Paris,  Masson  ^  fils.  1  Thlr.  26  Ngr. 

PiSclet,  E.,  Traue  de  la  chaleur  considiree  dans  ses  applicaiions,  3.  gäns- 
lich umgearbeitete  Auflage.  3.  Bd.  (Schlussband.)  Ebend.  3  Thlr.  6  Ngr. 

Leymerie,  A.;  Elements  de  mineralogie  et  de  gSologie.    Ebendas. 

1  Thlr.  24  Ngr. 


Literaturzeitungt 


Recensionen. 

Anfimgigrlliide  der  batohreibenden  Geometrie,  der  analytiflohen  Oeometrie, 
der  Kegelsehnitte  nnd  der  ein&ohen  Beilieii.  Von  Dr.  Ed.  Eas- 
BENDER,  ProfeMor  am  königl.  preaaBiechen  Gymnasium  zu  Thom. 
Essen,  Bädeker.    1860. 
Die  Torliegende  Schrift  soll  dem  Unterrichte  anf  Bealschulen  zur 
Grundlage  dienen  and  eine  Ergänzung  zu  Prof.  Koppe's  mathematischen 
Lelirbttchem  bilden,  da  letztere  seit  dem  Erscheinen  der  preussischen 
Unterrichtsordnung  für  Reabchulen  (d.  d.  6.  October  1850)  nicht  mehr  aus- 
reichen.    Diesem  Zwecke  gemäss  wird  man  begreiflicher  Weise  an  die 
kleine  Schrift  von  209  Seiten  nicht  den  Anspruch   der  Vollständigkeit 
machen,  wohl  aber  kann  man  verlangen,  dass  das  Gegebene  mit  richtigem 
pädagogischen  Takte  ausgewählt  und  begrenzt,  und  dass  die  Darstellung 
wissenschaftlich  genau  sei.     Wie  wenig  der  Verfasser  selbst  diesen  be- 
scheidenen Forderungen  genügt  hat,  wird  das  Folgende  zeigen. 

In  der  descriptiven  Geometrie  beschränkt  sich  der  Verfasser  auf  die 
geradlmigen  Gebilde;  er  hört  gerade  da  auf,  wo  die  Sache  interessant  und 
f&r  die  Praxis  wichtig  zu  werden  anfangt.  So  wenig  man  den  Realschulen 
inmuthen  wird,  die  descriptivo  Darstellung  von  complicirten  krammen 
Flächen  nnd  deren  Durchschnitten  vorzunehmen,  so  gewiss  ist  dagegen  die 
Forderung  berechtigt,  dass  die  Schüler  wenigstens  die  in  der  Stereometrie 
abgehandelten  drei  krummen  Flächen  und  deren  Durchschnitte  mit  Ebenen 
zu  construiren  verstehen  müssen.  Nur  unter  dieser  Minimalbedingung  er- 
scheint die  descriptive  Geometrie  als  das ,  was  sie  sein  soll ,  nämlich  als 
Schwester  der  Stereometrie;  im  vorliegenden  Buche  spielt  sie  nur  die 
untergeordnete  Rolle  einer  HalbschwesteiAoder  eines  Aschenbrödels.  Es 
scheint  dem  Verfasser  ganz  entgangen  zu  sein ,  welchen  sonderbaren  Ein- 
druck es  machen  muss,  wenn  einer  seiner  Schüler  beim  Eintritt  in  eine 
polytechnische  Schule  sagt :  „ich  habe  bei  Herrn  Professor  Fasbender  de- 
scriptive Geometrie  und  Kegelschnitte  gehabt,  aber  die  Fundamentalauf- 
gabe der  Kegelschnittslehre  (nämlich  aus  dem  charakteristischen  Dreieck 
des  Kegels  und  der  gegebenen  Lage  der  scbuexd^xv^Si^TvYAi^xÄ  ^^xw^^^>5C^ 

LUeniurzig.  ,1.  ZcHscht .  f.  Mtlh.  a.  I»hys.  V\,  6.  *^ 


98  Literaturzoitung. 


zu  construiren)  kann  ich  nicht  lösen."  -  Freilich  wird  dieser  Fall  selten 
vorkommen ,  weil  der  Verfasser  nicht  Reallehrcr ,  sondern  Gymnasiallehrer 
ist,  aber  ebendeswegen  hatte  er  es  unterlassen  sollen,  für  llealschnlen 
überhaupt  und  speciell  über  descriptivc  Geometrie  zu  schreiben.  Sowie 
sich  selbst  der  gelehrte  Patholog  hüten  wird,  ein  Lehrbuch  der  operativen 
Chirurgie  herauszugeben ,  so  sollte  auch  der  Mathematiker  nur  dann  ein 
Schulbuch  über  dfescriptive  Geometrie  schreiben,  wenn  er  als  guter  Zeich- 
ner völlig  mit  ihr  vertraut  ist  und  darin  Unterricht  ertheilt  hat.  Ganz  be- 
sonders aber  in  Beziehung  auf  die  Realschulen  begeht  man,  den  Erfahrnn- 
gen  des  Verfassers  zu  Folge,  einen  grossen  Fehler,  wenn  man  meint,  es 
Hesse  sich  da  die  descriptive  Geometrie  im  Sinne  von  Monge,  Ha- 
chette,  Gugler  etc.  so  ohne  Weiteres  tractiren.  Dieser  pädagogische 
Missgriff  ist  ein  so  verbreiteter,  dass  er  einer  genaueren  Auseinander- 
setzung bedarf.  Jedermann  wird  zugeben,  dass  die  Vorstellungen  von 
begrenzten  Geraden ,  begrenzten  Ebenen  etc.  anschaulicher  und  für  einen 
jugendlichen  Verstand  fasslichcr  sind,  als  die  Vorstellungen  von  unbe- 
grenzten Geraden,  unbegrenzten  Ebenen  etc.;  in  der  That  müssen  die  letz- 
teren Vorstellungen  erst  durch  Abstraction,  nämlich  durch  Negation  der 
Grenzen  erworben  werden.  Was  für  die  Vorstellung  dieser  verschiedenen 
Gebilde  gilt,  bleibt  auch  richtig  für  deren  graphische  Darstellung  (die 
ohne  jene  doch  nichts  werth  wäre),  und  wer  demnach  die  alte  gute  Regel, 
vom  Leichten  zum  Schweren  fortzuschreiten,  festhalten  will,  der  muss 
seinen  Unterricht  in  der  darstellenden  Geometrie  mit  der  Zeichnung  be- 
grenzter Gebilde  anfangen.  Hierdurch  entstehen  zwei  Curse  des  geome- 
trischen Zeichnens;  der  erste,  den  man  kurzweg  Projectionslehre 
nennen  kann,  hat  die  Aufgabe,  „joden  begrenzten  Körper  in  jeder  belie- 
bigen Lage  graphisch  darzustellen;**  der  zweite  Cursus  beschäftigt  sich 
mit  der  Darstellung  unbegrenzter  Gebilde  und  ist  die  descriptive  Geome- 
trie in  dem  oben  angeführten  Sinne.  Ob  sich  diese  Eintheilung  wissen- 
schaftlich rechtfertigen  lässt,  ist  vielleicht  fraglich;  ohne  Zweifel  aber  ist 
sie  pädagogiscli  zweckmässig,  endlich  ist  sie  auch  praktisch,  denn  im 
Leben  handelt  es  sich  immer  um  begrenzte  Körper,  oiud  in  der  That  wtisste 
Referent  weder  in  der  Baukunst,  noch  in  der  Maschinenlehre  einen  Fall, 
bei  welchem  man  nicht  mit  einer  guten  Projectionslehre  auskäme.  Ge- 
legentlich sei  hier  bemerkt,  dass  der  verdienstvolle  C.  T.  Anger  durch  sein 
kleines  Schriftchen:  „Elemente  der  Projectionslehre,  Danzig  1858**  bereits 
eine  sehr  nette ,  wenn  auch  für  ftealscbulen  nicht  hinreichende  Darstellung 
der  Projectionslehre  gegeben  hat;  eine  weitere  Ausarbeitung  der  vier 
ersten  Abschnitte  dieses  Werkchens  (mit  Hinzufügung  der  Schnitt©  von 
Körpern  und  etwa  der  einfacheren  Schattenconstructionen)  würde  für  die 
Zwecke  der  Realschule  recht  gut  passen,  während  des  Verfassers  dürftiger 
Aaszug  aus  der  descriptiven  Geometrie  zu  gar  nichts  zu  gebrauchen  ist. 
Der  zweite  Abschnitt  fühtl  AcTiT\V^\\  ,, Kti^^Na^^Oc^^  Q^^^Tc^<^ttie  ** ,  der 


Litcraturzeitung.  99 

dritte  ist  tibersclirioben :  „Die  Kegelschnitte**;  hiernach  sollte  man  denken, 
dass  der  dritte  Abschnitt  ebenso  wesentlich  vom  zweiten  verschieden  sei, 
wie  dieser  vom  ersten  („beschreibende  Geometrie**),  dies  ist  aber  keines- 
wegs der  Fall ,  denn  die  Kegelschnitte  werden  fast  durchgängig  rein  ana- 
lytisch behandelt:  Warum  der  Kreis  zu  Abschnitt  II,  die  Ellipse  dagegen 
zu  Abschnitt  III  gehört,  hat  Referent  nicht  ergründen  können;  es  kommt 
allerdings  anf  solche  Kleinigkeiten  nicht  viel  an,  bei  Schulbüchern  aber 
soll  man  selbst  in  den  Eintheilungen  genau  sein ,  um  die  Logik  nicht  zu 
verderben.  Von  den  Abschnitten  II  und  III  lässt  sich  im  Ganzen  sagen, 
dass  zwar  viel  and  richtig  gerechnet  wird ,  jedoch  mit  wenig  Geschick  and 
Eleganz.  Die  Gleichungen  der  Geraden  im  Kaume  z.  £.  schreibt  der 
Verfasser 

and  denkt  sich  dabei  die  Ebene  xy  horizontal  liegend.  Hiergegen  ist 
zweierlei  zu  erinnern.  Die  Coefficienten  a  and  c  bestimmen  die  Kichtang 
der  Geraden  and  sind  absolute  Zahlen ;  dagegen  bedeuten  b  und  d  Längen- 
sahlen,  n&mlich  die  Coordinaten  der  Horizontalspur  der  Geraden.  So  ver- 
schiedenartige Grössen  pflegt  Jeder,  der  auf  zweckmässige  Bezeichnang 
hftlt,  verschiedenartig  zu  bezeichnen,  und  daher  hätte  der  Verfasser  besser 
gethan ,  der  französischen  Schreibweise 

iP==:^2+ö,    y==:  Bz  +  b 

%n  folgen,  wodurch  auch  die  Formeln  für  den  Durchschnitt  von  Gerade 
und  Ebene,  Neigungswinkel  etc.  eine  symmetrische,  leicht  zu  merkende 
Gestalt  bekommen  haben  würden«  Die  zweite  Erinnerung  ist  wieder  pä- 
dagogischer Natur.  Wenn  ein  guter  Lehrer  erst  descriptive  und  nachher 
analytische  Geometrie  vorzutragen  hat,  so  wird  er  gewiss  nicht  versäumen, 
die  oft  vorhandene  Concordanz  beider  Betrachtungsweisen  hervorzuheben; 
dass  die  analytische  Geometrie  bei  vielen  Aufgaben  dieselben  Grössen  be- 
rechnet, welche  die  beschreibende  Geometrie  constrnirt,  und  dass  sich 
beide  Wissenschaften  gegenseitig  wesentliche  Dienste  leisten  können,  das 
ist  gerade  für  den  Unterricht  eine  sehr  fruchtbare  Wahrheit.  Um  sie  zu 
erkennen ,  muss  man  natürlicher  Weise  eine  gleichförmige  Anschauung  be- 
nutzen, und  eben  deswegen  ist  es  ein  didactischer  Missgriff,  wenn  der 
Verfasser  in  der  descriptiven  Geometrie  die  Gerade  durch  Horizontal  -  und 
Verticalprojection  bestimmt,  während  er  sie  in  der  analytischen  Geometrie 
auf  die  beiden  Verticalebenen  projicirt. 

Der  letzte  Abschnitt,  welcher  „die  einfachen  Reihen**  behandelt,  ent- 
hält so  viele  Fehler,  dass  Referent  nur  einige  der  gröbsten  rügen  kann. 
Auf  S.  103  wird  die  Allgemeingültigkeit  der  Relation 

{m)k  +  {m)k^i  («),  +  (w)it_2  {n\  +  ...=z(m  +  n)k 
aus  dem  Umstände  geschlossen,  dass  diese  Gleichung  für  alle  ganzen  po- 
sitiven m  und  n  richtig  bleibt;    wenn  dagegen  Jemand   hebLWcV^\Ä\R. ^  ^^Ä 
Summe  jener  Reihe  Bei  nicht  (»i  +  n)it,  souActu 


100  Literaiarzeitung. 

(m  +  w)jfe  (l  —  sin  w  «  ») 
oder  eine  ähnliche  Function,  die  bei  ganzen  positiven  mnnd  n  mit  {m  +  n)k 
zusammenfällt,  so  möchte  es  dem  Verfasser  schwer  werden,  sein  Käsonne- 
ment  aufrecht  zu  erbalten.  Allerdings  lässt  sich  dieses  Räsonnement  durch 
eine  strenge  Schlussweise  ersetzen,  aber  dann  muss  vorher  bewiesen  sein, 
dass  zwei  ganze  rationale  Functionen  gleiehhohen  Grades  identisch  sind, 
wenn  die  Anzahl  der  Werthe ,  worin  sie  übereinstimmen ,  mehr  beträgt 
als  der  Grad  der  Functionen.  —  In  $.  108  wird  a^  mittelst  der  Methode  der 
unbestimmten  Coefficienten  in  eine  Reihe  verwandelt;  kürzer  nnd  strenger 
wäre  die  Anwendung  des  Satzes 


^••«10  +  ^)")='^ 


gewesen.  Derselbe  Tadel  trifft  die  Entwickelungen  der  logarithmischen 
Reihe  in  S.  109  und  der  Reihen  für  cos  x  and  sin  x  in  §.  201.  Der  nächste 
Paragraph  enthält  wieder  zwei  Unrichtigkeiten.  Erst  wird  die  Exponen- 
tialreihe,  deren  Giltigkeit  nur  für  reelle  ar  nachgewiesen  war ,  anf  imagi- 
näre X  ausgedehnt,  ohne  dass  von  c^*  irgend  eine  Definition  gegeben 
würde,  und  dann  benutzt  der  Verfasser  auch  die  Formel  g"  .  «"  ==  e"+''  für 
imaginäre  u  und  v ,  obschon  deren  algebraischer  Beweis  sich  immer  nur 
auf  reelle  u  und  v  bezieht.  Ebenso  geht  es  in  §.  203,  wo  plötzlich  die  loga- 
rithmischen Reihen  mit  imaginären  Variabelen  genommen  werden.  —  Der 
Verfasser  gesteht  zwar  auf  Seite  1  der  Vorrede,  dass  man  vielleicht  eine 
streng  wissenschaftliche  Darstellung  im  letzton  Abschnitte  vermissen  werde, 
aber  dies  ist  keine  Entschuldigung,  da  es  nicht  an  Methoden  fehlt,  um  die 
wenigen  Reihen,  welche  der  Verfasser  entwickeln  wollte,  vollkommen  ge- 
nau zu  erhalten.  Dagegen  macht  der  ganze  letzte  Abschnitt  den  Eindruck, 
als  sei  er  aus  einem  alten  Hefte  mühselig  genug  zusammengestoppelt. 
Nach  diesen  Erörterungen  würde  es  Referent  nur  bedauern,  wenn  irgend 
eine  Realschule  das  vorliegende  Werk  einführen  wollte. 

SCHLÖMILCH. 


Nene  Theorie  der  Elektricit&t  und  dei  Magnetiimni  in  iliren  Besiehnn- 
gen  anf  Schall,  Lieht  nnd  Wärme.  Von  Ph.  Spiller.  Berlin  18C1. 
Das  vorstehend  genannte,   der  Redaction  dieser  Zeitschrift   zur  Be- 
sprechung übersendete  Werkchen  ist  von  seinem  Verfasser  selbst  als  eine 
dritte,  erweiterte  Auflage  des  1855  unter  dem  Titel:   „Gemeinschaftliche 
Principien  für  die  Erscheinungen  des  Schalles,  des  Lichtes,  der  Wärme, 
des  Magnetismus  und  der  Elektricität**    und  1858  unter  dem  Titel:    „Das 
Phantom   der  Imponderabilien  in  der  Physik"   erschienenen  Schriftchens 
bezeichnet  worden.     Das  letztere  wurde  bereits  im  vierten  Jahrgange  die- 
ser Zeitschrift  (1859)  und  zwar  Seite  89  ff.  der  zugehörigen  Literaturzeitung 
^ausführlich   besprochen.     Mit  dem  ^eä\iö.ftT\.^Ti  TvV.^ 'we^^^\\.  %\Ool \^^tUrlich 


J  ^itoraturzeituDg.  101 


auch  der  Standpunkt,  von  welchem  das  SchrifItcheD  zn  betrachten  ist;  für 
die  Beleuchtang  der  dritten  Auflage  drängt  sich  daher  gewiss  vor  Allem 
die  Frage  in  den  Vordergrund:  Ist  die  Erweiterung  eine  solche,  dass  das 
Ganze  jetzt  füglich  mit  dem  Namen  einer  Theorie  der  Elektricität 
and  des  Magnetismus  belegt  werden  kann?  Um  die  Antwort  auf  diese 
Frage  zu  finden ,  habe  ich  den  Inhalt  der  neuen  Auflage  mit  dem  Inhalte 
des  y,Phantoms"  gewissenhaft  verglichen  und  gebe  im  Folgenden  zunächst 
einen  kurzen ,  theilweise  in  der  früheren  Besprechung  des  „Phantoms"  ge- 
wissermaassen  seine  Ergänzung  findenden  Ueberblick  über  den  Inhalt ,  um 
dabei  alle  wesentlichen  Erweiterungen  hervorzuheben  und  besonders  zu 
beleuchten. 

Seite  1—0  zeigen  sich  in  unverändertem  Wortlaute;  Zweck  des  Schrift- 
chenf  ist:  das  Wesen  des  Magnetismus  und  der  Elektricität  zu 
ergründen;  der  Weg  dazu  aber  ist  die  Forschung  nach  gemein- 
Bohaft liehen  Principien,  damit  dadurch  der  Zusammenhang  der  unter 
■ich  verbundenen  Thatsachen  klar  hervortrete. 

Auf  Seite  0 — 11  folgen  die  Zweifel  an  der  Materialität  der 
Wärme,  des  Magnetismus  und  der  Elektricität.  Zu  den  in  der 
früheren  Auflage  schon  enthaltenen  wurden  noch  zwei  hinzugefügt:  es 
wird  hingewiesen  auf  das  Auftreten  von  Wärme ,  wenn  Eis  an  Eis  gerieben 
wird,  und  auf  die  gewaltige  Kraft,  mft  welcher  sich  die  Körper  bekanntlich 
beim  Erkalten  zusammenziehen ,  wovon  die  Ursache  „absolut  unmöglich" 
in  einem  imponderabeln  Stoffe  liegen  könne ,  „und  gewiss  am  allerwenig- 
sten, wenn  seine  Menge  abnimmt."  Wenn  man  auch  die  letzte  Behaup- 
tung nicht  ohne  Weiteres  gelten  zu  lassen  geneigt  ist,  so  muss  man  doch 
jedenfalls  zugeben,  dass  die  Zweifel  an  der  Materialität  der  Imponderabi- 
lien ganz  gerechtfertigt  sind  (vergl.  auch  Jahrgang  III  dieser  Zeitschrift 
S.  366  —  308).  Auf  Licht  und  Wärme  ist  die  Undulationstheorie  bis  jetzt 
im  weitesten  Umfange  angewendet  worden ,  und  die  dadurch  erzielten  Er- 
folge sind  so  überraschend,  dass  man  unbedenklich  die  stoffliche  Auffas- 
sung verlassen  und  Licht  und  Wärme  als  blose  Bewegungszustände  be- 
zeichnen kann  ja  muss,  nachdem  beim  Licht  und  bei  der  gestrahlten 
Wärme  selbst  Aufschlüsse  über  die  Art  der  schwingenden  Be- 
wegung erlangt  worden  sind  und  sich  selbst  bei  der  geleiteten  Wärme 
die  Folgerungen  der  „mechanischen  Theorie"  im  schönsten  Einklänge  mit 
der  Wirklichkeit  gezeigt  haben.  Es  bleiben  daher  eigentlich  nur  zwei 
Imponderabilien  übrig,  nämlich  Magnetismus  und  Elektricität  Von  den 
Zweifeln  aber ,  welche  Herr  Spiller  in  Bezug  auf  diese  beiden  aufführt, 
lassen  sich  mehrere  ganz  leicht  selbst  dann  beseitigen,  wenn  man  die 
positive  und  negative  Elektricität  als  zwei  imponderabele  Materien  be- 
trachtet, dabei  aber  festhält,  dass  diese  Materien  durch  Reiben  etc.  nicht 
erzeugt,  sond<^rn  blos  von  einander  geschieden  werden;  die  That- 
sachen, auf  welche  sich  diese  Zweifel  stiltiQü,  iiipt^^Vx««!  «X%^  NsÄ«kW«^^ 


1 02  LitcraturzoituDg. 

gegon  die  dualistische  Theorie  nnd  wären  daher  in  der  neaen  Auflage 
besser  ganz  unberücksichtigt  geblieben.  Ganz  zweckmässig  hätte  der  da- 
durch gewonnene  Raum  zu  einer  scharfen  und  klaren  Fassung  und  Be- 
gründung des  Satzes  auf  Seite  0  verwendet  werden  können :  „Wenn  nun 
Bewegung  am  Ruhenden  den  Zustand  ändert,  ohne  eine  fortschreitende 
Bewegung  am  Ganzen*)  zu  erzeugen,  so  kann  er  nur  ein  Bewegungs- 
zustand der  Molekel  sein,  den  wir  freilich  wegen  der  geringen  Elonga- 
tion  und  der  kurzen  Dauer  jeder  Phase  sinnlich  nicht  wahrnehmen  können; 
es  ist  keine  Vernichtung,  sondern  eine  Umwandlung  der  Bewegungsart/* 
So  viel  Wahres  von  Gewicht  nämlich  in  diesem  Satze  zu  liegen  scheint, 
so  unbestimmt  ist  gleichwohl,  was  eigentlich  darin  liegt  oder  liegen  soll, 
was  damit  gesagt  sein  soll.  Das  Wort  „Zustand**  im  Vordersatze  hat  doch 
offenbar  eine  weit  allgemeinere,  umfassendere  Bedeutung,  als  das  Wort 
„BewegungRzustand**  im  Nachsatze;  eine  Aenderung  des  Zustandes  kann 
auch  eine  Aenderung  des  Glanzes,  der  Durchsichtigkeit,  der  Farbe,  der 
Strnctur,  namentlich  der  Dichte,  Härte,  Elasticität  und  Festigkeit  sein; 
letztere  ändern  sich  oft  durch  Bewegung  einzelner  Theilchen  (?  Molekel) 
des  Körpers,  z.  6.  Glanz  und  Dichte  beim  Poliren,  oder  beim  Ritzen  der 
Oberfläche  u.  s.  w.;  demnach  wären  Glanz,  Dichte  etc.  ebenfalls  Be- 
wegungszustände  der  Molekel?  denn  das  Ganze  hat  ja  keine  fortschrei- 
tende Bewegung  erhalten?  Wie  aber,«  wenn  das  Ganze  eine  drehende  Be- 
wegung erhält?  Trotzdem  kann  es  im  Vordersatze  nicht  gut  „Bewegungs- 
zustand'* heissen;  denn  dadurch  verlöre  der  ganze  (überdies  nur  einseitige) 
Satz  jeden  Gehalt  und  alle  Beweiskraft  dafür,  dass  die  Ursache  der  elek- 
trischen und  magnetischen  Erscheinungen  in  Molekularbewegungcn  zu  su- 
chen ist,  weil  der  Nachweis  fehlt,  dass  der  elektrische  und  magnetische 
„Zustand"  ein  „Bewegungszustand"  ist. 

Eine  längere  Erweiterung  enthalten  Seite  11  — 10,  nämlich:  einige 
p]  lement  ar  begriff  e  über  Bewegungsarten  und  die  sie  bewir- 
kenden Kräfte.  An  den  Inhalt  dieser  Seiten  ist  ein  strenger  Älaass- 
stab  zu  legen,  sofern  es  hier  nicht  galt,  etwas  Neues  zu  schaffen,  sondern 
Bekanntes  klar  und  bestimmt  wiederzugeben.  Von  diesem  Gesichtspunkte 
erscheint  aber  die  betreffende  neu  hinzugekommene  Stelle  zum  Theil  ziem- 
lich unvollkommen.  Vor  Allem  sollten  und  dürfen  in  einer  Schrift,  in 
welcher  „für  die  ganze  Physik  mit  allen  ihren  Erscheinungen  eine  rein  dy- 
namische Grundlage"  gesucht  wird ,  die  Erklärungen  und  Eintheilungen 
nicht  so  ungenügend  sein,  wie  hier  z.  B.  auf  Seite  11  die  Eintheilung  der 
Bewegung  der  Art  nach  in: 

„l)  fortschreitende,  bei  welcher  alle  Punkte  ihren  Ort  verlasseu 
„und  entweder  in  offenen   oder  geschlossenen  Bahnen   sich  be- 


*)  Die  Worte  ,,ara  Ganzou"  {e\i\viv\\\i  öi<ix  x>N\i\\.^\\  kwS\«.^<i. 


Litcraturzeitung.  103 

„wegen,  ohne  auf  demselben  Wege  zarückzukehren  (geradlinige, 

„krnmmlinige,  circalirende  Bewegung); 
,,2)  r  Otiten  de  um   eine  durch  den  Körper  gehende  gerade  Linie, 

„von  welcher  alle  seine  Punkte  in  derselben  Entfernung  bleiben; 
„3)  oscillirende,   wobei  er   in  abwechselndem  Hin-   und  Rück- 

„ gange  innerhalb  gewisser  Qrenzen  stets  dieselbe  Bahn  zurück- 

„legt." 
Ein  Zusammenwerfen  ferner  der  gleichförmigen  und  der  periodischen 
Bewegung,  eine  Verwechselung  von  „Geschwindigkeit"  mit  „Bewegung", 
von  „reflectiren"  mit  „brechen"  (S.  34),  von  „Beharrungszustand"  mit 
„Beharrungsvermögen"  (S.43)  und  dergleichen  zeugt  nicht  eben  von  starkem 
Vertrautsein  mit  der  Dynamik.  An  ähnlichen  Schwächen  leiden  noch 
mehrere  Stellen  dieses  Abschnittes,  namentlich  auf  Seite  15;  ebenso  auf 
Seite  37  und  30. 

Hierauf  folgen  auf  Seite  16 — 39  die  Beweise  für  die  innige  Ver- 
wandtschaft zwischen  Schall,  Wärme,  Licht,  Elektricität  und  Magne- 
tismus. Für  diese  Verwandtschaft  werden  einige  Belege  mehr  aufgeführt, 
als  in  der  zweiten  Auflage.  Die  Verwandtschaft  lässt  sich  nicht  hinweg- 
leugnen,  sie  ist  in  vielen  Stücken  augenscheinlich  vorhanden*);  eine  deut- 
lich ausgeprägte  Aehnlichkeit  in  allen  Stücken  dagegen,  oder  eine  voll- 
kommene Uebereinstimmung  lässt  sich  bis  jetzt  weder  nachweisen, 
noch  auch  erwarten.  Aus  der  vorhandenen  Verwandtschaft  zwischen 
Schall,  Wärme,  Licht,  Elektricität  und  Magnetismus  lässt  sich  vermuthen, 
„dass  in  ihnen  allen  etwas  Gemeinsames  esistirt;"  für  diese  Vor- 
inuthung  spricht  ferner  der  Umstand,  dass  sie  alle  gleiche  oder  doch  ähn- 
liche Entstehungsursachen  haben ,  dass  sie  sich  förmlich  in  einander  ver- 
wandeln lassen;  daher  müssen  denn  auch  Elektricität  und  Magnetismus, 
wie  Schall,  Licht  und  Wärme,  Molecularbewegungs- Erscheinungen  sein, 
und  zwar  sind  sie  einfache  oder  zusammengesetzte  oscillatori- 
schc  Erscheinungen;   ihre  äusseren  Unterschiede  aber  sind  nur  [?] 


*)  Verfehlt  jedoch  i^choint  es  mir,  wenn  man  die  durchsichtigen  Körper  mit 
den  Leitern  der  Elektricität  znsammcnstellt ;  ich  möchte  vielmehr  jetzt  noch  wie 
früher  (vergl.  S.  H72  Jahrg.  III  und  8.  132 'Jahrg.  IV  dieser  Zeitsehr.)  and  besonders, 
nachdem  ich  gesehen,  dass  anch  von  Anderen  die  Influenserscheioungen  ebenfalls  als 
^Strahlung  bezeichnet  worden  (vergl.  u.  A.  Poggendorf«  Annaleo  Bd.  84,  S.  273; 
auch  Fortwehritte  der  Physik  im  Jahre  1840,  Berlin  1853,  S.  14),  auch  ffir  die  Elektri- 
cität den  Unterschied  zwischen  Leitung  und  Strahlnng  festhalten,  welchen  Herr  Spiller 
'  (S.  34)  für  diese  Krscheinungen  bei  der  Wärme  aufstellt,  nämlich:  Strahlung  :=  Fort- 
ptliinzung  der  Wellenbewegung  im  Acther,  Leitung  .=:  Fortpflanzung  derselben  in  der 
Materie.  Dann  sind  aber  die  elektrischen  Leiter  mit  den  undurchsichtigen  Körpern 
ziiHammenzuhulten ;  bekanntlich  sind  nun  aber  auch  in  der  That  die  undurchsichtigen, 
die  Elektricität  dagegen  frnt  leitenden  Metalle  zwar  gute  Wärmeleiter,  dagegen  nicht 
f^enchickt.  die  gestrahlte  Wärme  in  sich  fortzupflanzen.  Dann  braucht  man  auch  nicht 
in  den  schlechten  Leitern  „stehende**,  in  den  guten  „fortschreitende**  Bewegungen 
vorauszusetzen.  Ebenso  irtt  die  Phosphorcsceuz  wohl  besser  mit  der  elektrQatatU<:.VA^ 
Ladung  auf  gleiche  Stufe  zu  stellen. 


1 04  Literatnrzeitntig. 

durch  die  Natur  der  Körper  bedingt,  welche  die  Uebertragung  veriDitteln 
(S.  37) ,  und  zwar  sind  (nach  Seite  26  und  34) : 

die  Töne  Schwingungen  der  kleinsten  Massentheilchen  eines  Kör- 
pers; 

Licht  ohne  Wärme  Aetherschwingungen ; 

Licht  mit  Wärme  vereinte  Schwingnngen  des  Aethers  und  der 
Yon  ihm  durchdrungenen  Körper  (?  Körpertheilchen) ; 

Wärme  ohne  Licht  Schwingungen  der  Molekel  irdischer  Körper 
mit  einer  für  Licht  noch  unzureichenden  Schwingungszahl  des 
durchdringenden  Aethers/' 
„Wird  also  Licht  durch  dunkle  Körper  absorbirt  und  in  Wärme  yer- 
wandelt,  so  will  dies  nichts  weiter  sagen,  als  dass  ohne  Aenderung 
des  Bewegungsmomentes  die  äusserst  raschen  Schwingungen  des 
Aethers  verwandelt  werden  in  langsamere  der  irdischen  massenreichen 
Körper/'  nl^a  es  keinen  Körper  giebt,  welcher  fähig  wäre,  die  Wärme 
abzuschliessen ,  so  muss  alles  Materielle  als  solches  entweder  unmittelbar 
zu  Wärmeschwingungen  angeregt  werden  können,  oder  alles  Materielle 
wird,  weil  es  von  dem  raumerfüllenden  Aether  durchdrungen  ist,  in 
seine  Bewegungen  hineingezogen.  Die  Lichtschwingungen  sprechen  für 
die  zweite  Alternative  [wie  so?],  woraus  sich  auch,  weil  die  Aetherschwin- 
gungen in  den  Körpern  einen  Widerstand  finden,  der  sein  [wessen?]  an 
sich  geringes  Bewegungsmoment  fort  und  fort  summirt  [weshalb?],  der  be- 
deutende mechanische  £rfo]g  der  Wärmeschwingungen  in  den  irdischen 
Körpern  erklären  lässt.  Die  blosen  Aetherschwingungen  an  sich  können 
ein  solches  mechanisches  Moment  nicht  haben."  Aber  doch  war  das  Be- 
wegungsmomeut  nicht  geändert  worden,  und  doch  dehnen  sich  die  von 
Wärme  strahlen  getroffenen  Körper  ebenso  gut  und  ebenso  kräftig  aus, 
als  die  durch  Leitung  erwärmten;  da  nun  bei  der  Strahlung  die  Bewegung 
eben  nur  im  Aether  fortgepflanzt  wird,  so  muss  doch  das  Bewegungs- 
moment schon  vollständig  in  den  Aetherschwingungen  enthalten  gewesen 
sein.  Besonders  hervorzuheben  wäre  an  dieser  Stelle  noch  gewesen ,  dass 
sich  auch  umgekehrt  Wärme  in  Licht  umsetzen  kann ,  denn  glühende  Kör- 
per ,  z.  B.  auch  glühender  Kohlenstoff  in  den  Flammen,  leuchten,  und  zwar 
wird  das  Eisen  früher  roth-  als  weiss  glühend,  auch  folgen  die  Anlauf- 
farben beim  Stahl  mit  zunehmender  Hitze  nahezu  auf  einander,  wie  die 
farbigen  Lichtstrahlen  bezüglich  ihrer  Schwingungszahlen.  Dass  überhaupt 
Aetherschwingungen  die  materiellen  Körpertheilchen  beeinflussen,  zur  Be-, 
wegung  hinreissen  können,  zeigt  ausser  der  chemischen  Wirkung  der 
Lichtstrahlen  auch  die  Phosphorescenz  gewisser  Stoffe  nach  dem  Aufhören 
der  von  aussen  kommenden  Beleuchtung;  dass  umgekehrt  die  Körpertheil- 
chen auch  von  Einfluss  auf  die  Schwingungen  des  Aethers  sind ,  beweist 
unter  Anderem  die  Fluorescenz  oder  das  unsichtbare  Licht  von  Stokes. 
So  kann   auch   gestrahlte  Wärme,  \u  e\w^m  ^\>.\.«tL \k^\\.^T  ^\\^^Uxi^^  in 


LiteratnrzeitnDg.  1 05 

diesem  weiter  geleitet  worden,  aber  es  ist  zu  betonen,  das«  die  Wärme 
zwar  im  Aether  und  auch  in  materiellen  Körpern  fortgepflanzt  werden 
kann,  dass  aber  die  irdische  Materie  nicht  jedes  Mal  bei  der  Fortpflan« 
snng  betheiligt  sein  mtiss. 

Vergebens  sucht  man  neben  den  obigen  Unterschieden  zwischen  Schall, 
Licht  nnd  Wärme  eine  Andeutung  über  Elektricität  und  Magnetismus;  es 
sind  weder  an  den  angezogenen  Stellen,  noch  sonst  wo  die  Erklärungen 
aller  fünf  hierher  gehörigen  Bewegungsformen  scharf  nnd  bündig  zusam- 
men gestellt  nnd  daraus  die  Unterschiede  zwischen  Schall ,  Wärme ,  Licht 
und  Elektricität  bestimmt  und  klar  hervorgehoben ,  ja  es  findet  sich  sogar 
nirgends  eine  erschöpfende  und  ausführliche  Erklärung  der  Wärmeschwin- 
gungen oder  der  elektrischen  und  magnetischen  Schwingungen.  Bei  die^ 
sem  schon  früher  (S.  93  der  Literaturzeitung  des  Jahrg.  IV  dieser  Zeitschr.) 
gerügten  Uebelstande  bleibt  wiederum  nichts  übrig,  als  den  Versuch  zu 
machen,  aus  den  an  verschiedenen  Stellen  zerstreuten  Andeutungen  die 
nöthigen  Erklärungen  zusammenzustellen  oder  die  früher  gegebenen  unter 
Benutzung  der  in  der  neuen  Auflage  angebrachten  Verbesserungen  umzu- 
gestalten. 

1.     Die  Wärme  (8.  39-51). 

Herr  Spiller  erklärt  sich  (mit  Gründen ,  die  ich  nicht  stichhaltig  nen- 
nen kann)  zunächst  wiederum  gegen  die  bekannte,  namentlich  auch  von 
Clausius  und  Bedtenbacher  festgehaltene  Ansicht,  dass  die  Atome  der 
Körper  von  Aethertheilchen  eingehüllt  sein,  welche  allein  oder  mit  den 
Körpertheilchen  zugleich  in  rotirenden  oder  radialen  Schwingungen  be- 
griffen sind  und  nimmt  an,  „dass  die  Wärme  aus  Schwingungen 
der  irdischen  Körper  besteht,  wobei  die  Gleichgewichts- 
punkte der  Molekel  selbst  nach  jenseits  und  diesseits  der 
Gleichgewichtslage  in  allen  beliebigen  Ebenen  schwingen. 
Dass  sich  die  Atome  nicht  um,  sondern  mit  ihren  Gleichgewichtspunkten 
fortschreitend  [?]  bewegen  müssen ,  ist  schon  aus  dem  bedeutenden  mecha- 
nischen Aequivälente  klar  [wie  so  ?].  Da  bei  der  geleiteten  Wärme  nicht 
Wärme-Interferenz -Erscheinungen  entstehen,  so  ist  dies  ebenfalls  ein  Zei- 
chen, dass  die  Leitung  der  Wärme  durch  die  Bewegung  der  Körpertheile 
selbst  in  der  Art  stattfindet,  dass  nicht  Verdichtungs  -  und  Verdünnungs- 
wellen entstehen,  sondern  dass  nur  nach  der  Wärmequelle  hin  die  Ge- 
schwindigkeit und  Amplitude  der  schwingenden  Theile  nach  und  nach  bis 
zu  einer  gewissen  Grenze  wächst.** 

Abermals  wisrden  unter  Anderem  die  Erscheinungen  am  Termophon 
als  directer  Beweis  dafür  geltend  gemacht;  zwei  neue  Beweise  sind  in  der 
neuen  Auflage  hinzugefügt:  „ein  recht  reiner  Wassertropfen  auf  einem 
erwärmten  Platinblecho  gestaltet  sich  bei  det  B\\m&Y\\»;^u  ^l^^L^^^^^»:s^^^'^s«^* 


106  Literaturzeitung. 

formig,  bildet  eine  Wärme figur'*  und  „ein  Tropfen  auf  einer  Metall- 
schiene zieht  sich  you  einer  erwärmten  Stelle  nach  einer  weniger  war- 
men**; auch  diese  Beweise  sind,  wie  die  anderen,  wenigstens  durchaus 
nicht  entscheidend,  denn  ebenso  leicht  lassen  sich  die  angeführten  Er- 
scheinungen aus  der  stossenden  Bückwirkung  der  an  den  heissesten  Stellen 
reichlicher  verdampfenden  und  kräftig  expandirenden  Flüssigkeitstheile 
erklären.  Die  somit  in  ihrer  Begründung  misslungene  Erklärung  der 
Wärmeschwingungen  ist  femer  wenigstens  insofern  unbestimmt  und  unge- 
nügend, als  über  die  Art  der  offenbar  einfachen  Schwingungen  [Quer- 
oder Längsschwingungen?]  und  über  die  Gestalt  der  SchwingungsbahneD 
nichts  gesagt  ist.  Dass  unter  den  Gleichgewichtspunkten  der  Molekel  die 
Schwerpunkte  derselben  zu  verstehen  sind,  zeigen  mehrere,  in  der 
neuen  Auflage  veränderte  Stellen,  z.  B.  S.  41,  57,  72,  83.  Dadurch  ist  aber 
doch  auch  der  Unterschied  zwischen  Wärmeschwinguugen  und  tönenden 
Schwingungen  aufgehoben,  beide  sind  anscheinend  gleichbedeutend.  Wenn 
nun  endlich  die  Wärmeschwinguugen  blos  Schwingungen  der  materiellen 
Molekel  sind,  wie  kann  dann  (S.  43)  der  „kosmische  Aether  bei  der  Wärme- 
strahlung das  Fortpflanzungsmittel'*  für  die  Wärmeschwingungen  sein? 

In  dem  nun  folgenden  Versuche ,  die  vorstehenden  Annahmen  zur  Er- 
klärung der  Wärmeerscheinungen  zu  verwenden,  herrscht  zum  Theil  die 
alte  Unklarheit,. ^ehlt  es  selbst  nicht  au  Widersprüchen.  Mit  der  Tem- 
peratur soll  die  Amplitude  der  Wärmeschwingungen  wachsen,  d.  h.  „den 
Körper  ausdehnen",  und  doch  fehlt  der  Nachweis,  dass  die  Grösse  der 
Amplitude  der  Schwingungen  der  Th eilchen  mit  dem  Volumen  des  gan- 
zen Körpers  etwas  zu  schaffen  hat.  Und  daneben  soll,  wenn  zugeführte 
Wärme  nicht  im  Stande  ist,  die  Schwingungsweise,  also  die  Ausdeh- 
nung zu  ändern,  ihr  Einfluss  die  Schwinguugszahl  oder  Temp eratur, 
d.  i.  die  lebendige  Kraft  der  Molekel  betreflPen,  und  bei  plötzlicher  Zu- 
sammendrückung soll  mit  der  Raumverminderung  die  Amplitude  sich  ver- 
mindern ,  das  Bewegungsmoment  jedes  Molekels  durch  das  der  näher  ge- 
rückten Nachbarn  unterstützt,  daher  die  Schwingungszahl  vermehrt  und  so 
Wärme  frei  werden.  Die  Wirkungen  der  zugeführten  Wärme  sind  be- 
kanntlich Temperaturerhöhung  und  Veränderungen  in  der  inneren  Anord- 
nung der  Theilchen  (Clausius:  innere  Arbeit)  und  Ausdehnung  (Clausius: 
äussere  Arbeit);  das  zugefübrtc  Schwingungsmoment  vertheilt  sich  also 
in  zwei  Posten,  und  Herr  Spiller  hätte  hier  in  Zahlen  zeigen  sollen,  wie 
viel  von  dem  zugeführten  Schwingungsmomente  in  dem  oder  jenem  Falle 
zu  der  einen  und  zu  der  anderen  Wirkung  verwendet  wird.  Die  Erklärung 
der  gebundenen  Wärme  und  der  WUrmecapacität  fallt  zusammen ; 
„dass  die  Wärmecapacität  verschiedener  Körper  verschieden  ist,  aber  die 
Atome  der  verschiedenen  [? aller]  einfachen  Stoffe  dieselbe  Capacität  be- 
sitzen^\  hätte  nicht  als  Thatsache  hingestellt,  sondern  als  Folgerung  abge- 
lehet  werden  äolleu.  —  Was  aTi4eivivilW\\&  ^\^  \i^\x\i\\i'L\x>5,^VLömuienen  Er- 


Literaturzeitung.  107 

klärnugen  für  Verdampfung,  Destillation  und  Sublimation  anlangt;  so  sind 
dieselben  ziemlich  gezwungen  *) ,  ja  kaum  begreiflich. 

2.     Der  elektrische  Strom  (S.  51— 57). 

Auch  in  diesem  Abschnitte  ist  keine  wesentliche  Verbesserung  zu  er- 
kennen ,  doch  lassen  einige  kleine  Abänderungen  die  Ansicht  Herrn  Spil- 
ler*8  deutlicher  hervortreten.  Die  „ zusammengesetzten'*  Schwingun- 
gen des  elektrischen  Stromes  unterscheiden  sich  you  den  einfachen 
Wftrmeschwingungen  lediglich  dadurch,  dass  bei  letzteren  die  ,,Atom- 
gruppen  der  Molekel**  nur  mit  ihren  Schwer-  oder  Oleichgewichts* 
punkteu ,  im  letzteren  Falle  aber  nur  u  m  diese  Punkte  schwingen ,  und 
zwar  liegen  diese  Punkte  in  diesem  Falle  ausserhalb,  d.  h.  theils  dies- 
seits, theils  jenseits  der  natürlichen  Gleichgewichtslage.  Wenn 
nun  aber  die  Oleichgewichtspunkte  in  dieser  einmal  angenommenen  Lage 
verharren  (was  man  annehmen  möchte ,  da  unter  Anderem  auf  Seite  62  eine 
einzelne  Schwingung  ausserhalb  der  Gleichgewichtslage  als  ein  momen- 
taner Strom  bezeichnet  wird),  so  sind  offenbar  keine  zusammengesetzten, 
sondern  nur  einfache  Schwingungen,  nämlich  die  als  Nebenschwingun- 
gen bezeichneten  Schwingungen  um  die  Gleichgewichtspunkte  vorhanden. 
Will  man  dagegen  (nach  S.  64,  aber  gegen  S.  72,  57  und  83)  noch  die  Zu- 
rttcklegung  einer  „einseitigen  (^)  Oscillation  der  Hauptschwin- 
gung ^S  d.  h.  die  Bewegung  des  Gleichgew iclitspunktes  aus  der  natürlichen 
Gleichgewichtblage  in  eine  andere  (Spannungs-)  Lage  als  zum  Wesen 
des  elektrischen  Stromes  gehörig  und  nothwendig  ansehen,  so  hat  man 
zwar  zusammengesetzte  Schwingungen,  allein  die  Annahme  von  Molekülen, 
welche  wiederum  aus  Gruppen  in  der  angegebenen  Weise  um  die  Schwer- 
punkte der  Gruppe  schwingender  Atome  bestehen,  bleibt  immerhin  gekün- 
stelt und  deshalb  die  Sache  selbst  verdächtig ,  wenn  auch  nicht  geradezu 
unmöglich.  Was  bedeuten  denn  ferner  die  Nebenschwingungen  um  den 
Gleiohgewichtspunkt,  nachdem  dieser  in  der  Spannungslage  fixi^t  ist? 
Wie  ist  jene  Fixirung  der  Hauptschwingung  überhaupt  möglich,  da  doch 
jeder  Körper  stets  eine  gewisse  Temperatur  hat,  stets  bis  zu  irgend  einem 
Grade  erwärmt  ist.  Wenn  endlich  (S.  73  uhd  79)  der  dauernde  elek- 
trische Strom  als  eine  ununterbrochene  Ladung  und  Entladung  bezeich- 
net wird,  „indem  alle  Molekel  gleichzeitig  dieselbe  Elongation  in  der 
Hauptscbwingung  und  dieselbe  Amplitude  in  der  Nebenschwingung  haben**, 
80  gellt  aus  der  auf  Seite  52  gegebenen  Erklärung  von  Ladung  und  Ent- 
ladung hervor,  dass  im  elektrischen  Strome  nur  die  Nebenschwingungen, 
also  nur  einfache  Schwingungen  vorhanden  sind. 

Bemerkt  sei  hier  noch ,  dass  das  telegraphische  Gegensprechen  nicht 


*)   Natürlicher  nimmt  sieb  die  von  Claasins  gegebene ,  vcrwandto  Erklilraa^^  d&T 
Verdampf ttsg  aus.    Vergl.  Poggendorff^s  Annaleu ,  bd.  \QK^  ^  ^ .  '^V. 


1 08  Literatarzeitung. 


als  Beweis  für  die  Richtigkeit  der  Vibrationstheorie  hätte  aufgeführt  wer- 
den sollen;  wer  die  Einrichtang  der  dabei  verwendeten  Apparate  kennt, 
weiss,  dass  sich  das  Gegensprpcben  auch  nach  der  dualistischen  Theorie 
ohne  Schwierigkeit  erklären  lässt,  selbst  wenn  man  in  dem  Leitungsdrathe 
gar  keinen  Strom  voraussetzt.  Ferner  kann  ich,  so  lange  ich  nicht  durch 
einen  entscheidenden  Versuch  dazu  genöthigt  werde ,  nicht  glauben ,  dass 
„ein  submarines  Telegraphentau  in  einer  bedeutenden  Tiefe  in  Folge  der 
Gompression  durch  den  Wasserdruck  seine  Dienste  versagen 
muss^* ;  auch  widerspricht  diese  Behauptung  der  Erfahrung ,  dass  die  Tem- 
peraturabnahme  bei  festen  Leitern  den  Leitungs widerstand  vermindert. 
„Die  Elektricität  im  Grossen  zum  Betriebe  von  Maschinen  anzuwenden*^ 
ist  aber  nicht  unmöglich,  sondern  unpraktisch. 

3.     Der  Magnetismus  (S.  57—66) 

ist  wieder  als  vorübergehend  (Elektro-  oder  Thermo  -  Magnetismus) 
oder  dauernd  (gewöhnlicher  Magnetismus)  fixirte  Schwingung  er- 
klärt, wobei  nach  Seite  78  das  „Diesseits  und  das  Jenseits  der  Gleichge- 
wichtslage entgegengesetzte  Magnetismen ''  giebt.  „Die  Intensität  des 
Magnetismus  beruht  auf  der  Weite  der  Elongation** ;  natürlich  ist  hier  die 
Rede  von  der  Eiongation  der  nach  Vollendung  der  zum  Magnetismus  nö- 
thigen  Vierteloscillation^'  fixirten  Hauptschwingung;  denn  Nebenschwin- 
gungen kennen  nach  Seite  82  nicht  vorhanden  sein ,  und  es  würde  sich  ja 
sonst  auch  der  Magnetismus  als  „einseitiger  Ausschlag  oder  Spannungs- 
lage",  als  „einseitig  fixirte  Schwingung"  nicht  von  der  Elektricität  unter- 
scheiden, u.  s.  f.  u.  s.  f.,  wie  früher.  Ebenso  wenig  befriedigt  der  längere 
Zusatz  auf  S.  65;  es  wird  hier  das  Gesetz,  dass  sich  parallele  Ströme  an- 
ziehen, entgegengesetzte  abstossen,  zwar  erwähnt,  aber  nicht  aus  den  auf- 
gestellten Erklärungen  hergeleitet  und  entwickelt,  und  nun  wird 
weiter  daraus  geschlossen,  dass  ,, darin  das  Bestreben  der  Materie  liege, 
unter  allen  Umständen  Einheit  zu  bewahren  oder  zu  erlangen;  denn  bei 
gleichgerichteten  Strömen  (Anziehung)  haben  die  Molekel  der  beiden  ein- 
ander anziehenden  Körper  bereits  eine  gleiche  Lagerung,  und  bei  ent- 
gegengesetzten Strömen  (Abslossung)  wollen  sie  eine  gleiche  erlangen**. 
Warum  stossen  sich  denn  da  gleichnamige  Elektricitäten  oder  gleichnamige 
Magnotpole  abV 

4.     Spannuugselektricität  (S.  66  — 7i). 

Bei  der  Spannungselektricität  ist  der  Zustand  „vollkommender- 
selbe,  wie  beim  Magnetismus'*.  Die  mancherlei  kleinen  Unterschiede 
zwischen  Magnetismus  und  Spannungselektricität,  z.  B.  die  auf  Seite  68 
und  77  erwähnten,  sind  ja  nicht  wesentlich,  sind  ganz  untergeordnet.  „Der 
Nordpol,  d.  b.  der  nach  Norden  gerichtete  Pol  eines  Magnetes  verhält  sich 
wie  positive  y  der  Südpol  wie  negativa  ^\cs\LVt\^\\Ä\.>''    \i^\vftt  ^^^ehen  auch 


Literatnrzeitiing.  109 

elektrische  Spannangserscheinungen  leichter  in  der  Wärme  vor,  weil  da 
die  Massentheilchen  wegen  ihrer  doppelseitigen  Schwingun- 
gen mit  zunehmen  der  [?]£longation  schon  gelockert  sind  und 
nun  durch  einseitige  [?]  Reibung  leicht  die  einseitig  fixirte 
Lage  annehmen.  Und  bereits  elektrisches  Glas  oder  Siegellack  wird 
bei  der  Erwärmung  unelektrisch,  weil  die  [erst  jetzt?]  eintretenden 
Wärmeschwingungen  die  fixirte  Spannungslage  nicht  dul- 
den, indem  sie  vollständige  Oscillationen  erzwingen.  Da  Wärme  vor- 
handenen Magnetismus  auch  schwächt,  so  ist  dies  ein  neuer  Beweis  dafür, 
dass  Spannungselektricität  und  Magnetismus  wesentlich  dasselbe  sind*^ 
Bei  einer  solchen  Beweisführung  lassen  sich  mit  Leichtigkeit  noch  ganz 
andere  Dinge  beweisen  I 

5.     Erklärung  aller  übrigen  Thatsachen  aus  den  entwickel- 
ten Ansichten  (S.  72 — 90). 

Diese  Partie  ist  am  reichhaltigsten  erweitert  worden ,  freilich  sind  die 
Zusätze  meist  keine  Verbesserungen.  Als  Beleg  dafür  nur  zwei  Beispiele ; 
Seite  72:  „Bei  dem  Schalle,  dem  Lichte  und  der  strahlenden  Wärme  sind 
die  Schwingungen  fortschreitende,  daher  ist  in  dem  fortpflanzenden 
Medium  ein  Widerstand  vorhanden ,  es  entstehen  Maxima  und  Minima  der 
Verdichtung  und  die  Fortpflanzung  ist  eine  allmälige;  bei  dem  Mag- 
netismus und  der  Elektricität  sind  stehende  Schwingungen  der  Molekel 
um  ihre  Schwerpunkte  ohne  fortschreitende  Verdichtung  und 
Verdünnung,  daher  ist  der  Widerstand  unendlich  klein  und  dis  Schwin- 
gungen müssen  sich  in  einem  Körper,  welcher  ein  ununterbrochenes  Oanze 
bildet,  fast  momentan  fortpflanzen^^  Seite  76:  „An  dem  positiven  Pole, 
an  welchem  sich  der  negative  Sauerstoff  b  i  l  d  e  t  (mit  viel  Leuchtkraft  und 
wenig  Wärme),  erscheint  zuerst  dunkle  Wärme  mit  ihren  weiten  Oscilla- 
tionen ;  an  dem  negativen  Pole ,  an  welchem  sich  der  positive  Wasserstoff 
erzeugt  (mit  wenig  Leuchtkraft  und  viel  Wärme),  erscheint  zuerst  Lfcht, 
unabhängig  von  Verbrennung  *^  Aehnlich  steht  es  um  die  anderen  Zu- 
sätze ,  namentlich  um  den  „kühnen  Schluss  auf  die  Rotation  der  Himmels- 
körper** (S.  81)  und  um  die  Erklärung  der  chemischen  Vorgänge ,  für 
welche  der  „im  gewöhnlichen  Zustande  indifferente  [I]  Sauerstoff**  als 
Beispiel  gewählt  wird.  Aber  auch  das  Alte  enthält  noch  manche  unbe- 
gründete und  willkürliche  Behauptung,  z.  B.  Seite  88:  „Während  die 
Wärraeschwingungen  die  ganze  Masse  eines  Körpers  bis  in  sein  Inneres 
ergreifen,  da  die  Molekel  mit  ihren  Gleichgewichtspunkten  schwingen  und 
dadurch  die  Ausdehnung  des  Körpers  bewirken ,  können  die  elektrischen 
und  magnetischen  Erscheinungen  nur  an  der  Oberfläche  des  Körpers  zur 
Wahrnehmung  und  Wirkung  gelangen,  weil  die  Schwingungen  nur  um  die 
Gleichgewichtspunkte  geschehen ,  also  eine  Ausdehnung  des  Körpers  nicht 
bewirken  können.** 


110  Literatnrzeitung. 


Der  gegebene  üoberblick  zeigt,  dass  die  in  Rede  stehende  Schrift  in 
zwei  Theile  zerfällt:  im  ersten  Theile  (S.  8 — 39)  wird  auf  die  Noth wendig- 
keit hingewiesen,  die  dualistischo  Ansicht  von  der  Materialität  der  Würme, 
des  Magnetismus  und  der  Elektricität  zu  verlassen  und  dieselben  ebenso 
wie  Licht  und  Schall  als  Molekularbewegungen  zu  betrachten ;  im  zweiten 
Theile  (S.  39 — 91)  werden  Voraussetzungen  über  die  Form  und  Art  dieser 
Molekularbewegungcn  gemacht,  wird  eine  Theorie  der  Elektricitit 
und  des  Magnetismus  gegeben  und  versucht,  aas  dieser  die  elektri- 
schen und  magnetischen  Erscheinungen  zu  erklären.  Wenn  auch  im  In- 
halte des  ersten  Theiles  in  formeller  und  materieller  Hinsicht  Manches  aus- 
zusetzen war,  so  ist  doch  nicht  nur  die  stellenweise  Mangelhaftigkeit  der 
dualistischen  Theorie  kaum  hinwegzuleugnen ,  sondern  es  ist  auch  höchst 
wahrscheinlich,  dass  auch  Wärme,  Elektricität  und  Magnetismus  nur  Be- 
wegungszustände  sind,  dass  dieselbe  Theorie ,  welche  sich  beim  Lichte 
und  bei  der  Wärme  so  brauchbar  erwiesen  hat,  sich  mit  gleichem  Erfolge 
auch  auf  die  Elektricität  und  den  Magnetismus  wird  anwenden  lassen.  Im 
zweiten  Theile  dagegen: 

a.  fehlen  klare  und  bestimmte  Erklärungen  der  als  Wärme ,  Elektri- 
cität und  Magnetismus  zu  betrachtenden  Schwingungen; 

h.  sind  mehrere  von  den  als  Beweis  für  die  Richtigkeit  der  gegebenen 
Hypothesen  über  die  Art  jener  Schwingungen  aufgeführten  Erscheinungen 
nicht  richtig  aufgofasst,  oder  ganz  willkürlich  gedeutet,  oder  doch  wenig- 
stens nicht  entscheidend; 

c,  sind  mehrfach  Widersprü<^he  vorhanden,  welche  die  an  sich  schon 
verwickelte  Hypothese  noch  verdächtiger  machen.  So  wird  namentlich 
auch  dem  Aetbcr  eine  sonderbare  Rolle  zugetheilt;  man  hat  zwar  ,, nicht 
nothwendig,  seine  Zuiiucht  zu  ätherischen  Wärmesphären  zu  nehmen" 
(S.  39),  vielmehr  sollen  Wärme,  Elektricität  und  Magnetismus  nur  Schwin- 
gungen der  Körpertheilchon  sein;  dennoch  wird  „der  universelle  und  des- 
halb eigcnschaftslose,  unverkennbare.  Alles  durchdringende  und  daher  un- 
wägbare oder  schwerelose  Aether,  von  dessen  Dasein  vorzüglich  die  Ko- 
meten und  die  Erscheinungen  des  Lichtes  ein  absolut  sicheres  Zeugniss 
geben"  (S.  2),  dessen  „unendlich  zarte,  im  indifferenten  Gleichgewichte 
befindliche  und  kugelförmige  Atome  absolut  elastisch  sind  und  einander 
abstossen"  (S.  18),  als  Fortpflauzungsmittel  für  jene  Schwingungen  zuge- 
lassen (S.  34),  ja  er  ist  als  solches  gar  nicht  zu  entbehren,  und  zwar  nicht 
blos  beim  Liclito ,  sondern  wegen  der  Drehung  der  rdarisationsebcne  auch 
bei  Elektricität  und  Magnetismus  (S.  G5) ,  bei  denen  er  „  die  W^irkung  auf 
die  Ferne  vermittelt"; 

d,  ist  die  Erklärung  der  Erscheinungen  aus  den  aufgestellten  Ansich- 
ten in  vielen  Fällen  gezwungen  und  gesucht,  zum  Theil  sogar  ganz  und 

gnr  uuzüliisüig ,    weil    völlig   wW\küi\\vi\v ^   \xw\^vi\5;tV!A\sL^l  cider  unnatürlich; 


Literaturzeitung.  111 

überdies  fehlt  noch  so  manche  Erklärung  gänzlich ,  z«  B.  die  der  elektri- 
schen and  magnetischen  Inflnenz. 

Daher  kann  der  in  der  vorliegenden  dritten  Auflage  erweiterte  Ver- 
such nach  meinem  Erachten  noch  nicht  als  gelungen  bezeichnet  werden, 
er  kann  noch  ebenso  wenig  wie  in  der  zweiten  Auflage  auf  allgemeine  An- 
nahme Ansprach  machen,  er  ist  noch  keine  vollkommene,  abgeschlossene 
oder  fertige  Theorie.  Das  scheint  Herr  Spiller  auch  selbst  gefühlt  zu 
haben,  da  er  in  den  Schlusszeilen  äussert,  dass  diese  Betrachtungen  einer 
schärferen,  mathematisch  -  analytischen  Untersuchuüg  fähig  seien,  dass 
ihm  aber  zu  dem  weiteren  Ausbau  die  nöthigo  Zeit  gefehlt  habe.  Ich  kann 
nur  meine  bereits  früher  ausgesprochene  Ansicht  wiederholen:  wir  sind 
eben  kaum  mit  der  Vorfrage  fertig,  die  eigentliche  Arbeit,  die  Hauptunter- 
SQchung  über  die  Natur  der  Schwingungen  beginnt  erst.  Aus  diesem 
Gründe  und  nicht  wegen  der  vermeintlichen  „Stützung  auf  unleugbare 
Thatsachen*'  ist  auch  eine  directe  „Widerlegung^*  nicht  gut  möglich.  Wenn 
aber  im  Vorstehenden  so  viele  Einwände  gegen  die  von  Herrn  Spiller  vor- 
getragene Hypothese  erhoben  wurden ,  so  möge  daraus  nicht  gefolgert  wer- 
den, dass  ich  dadurch  zugleich  die  dualistische  Theorie  gegen  diesen  neuen 
Angriff  habe  in  Schutz  nehmen  und  vertheidigen  wollen;  vielmehr  hoffe 
ich  durch  den  Hinweis  auf  die  noch  vorhandenen  Mängel  und  Schwierig- 
keiten einen  Anlass  zur  Beseitigung  derselben  gegeben  zu  haben,  und  auch 
ich  würde  mich  herzlich  freuen ,  wenn  es  Herrn  Spiller  gelänge ,  in  einer 
vierten  Auflage,  bei  einer  noch  zweckmässigeren  Anordnung  des  Stoffes, 
eine  Theorie  des  Magnetismus  und  der  Elektricität  aufzustellen,  gegen 
welche  gar  nichts  einzuwenden,  an  der  gar  nichts  auszusetzen  wäre. 

Chemnitz,  im  Juli  1861.  Dr.  Zetzsche. 


Die  Elemente  der  Trigonometrie.   Von  Dr.  Zetzsche.   Altenburg  1861. 

Zur  Vermeidung  etwaiger  Missdeutungen  sehe  ich  mich  zu  der  Er- 
klärung genöthigt,  dass  die  von  Herrn  Dr.  Ho  ff  mann  verfasste  und  auf 
Seite  90  der  vorigen  Literaturzeitung  abgedruckte  Kecension  der  obigen 
Schrift  während  meiner  Abwesenheit  ohne  mein  Vorwissen  aufgenommen 
worden  ist  und  dass  ich  mit  deren  Inhalte  nicht  einverstanden  bin. 

ScnLÖMILOil. 

Das  Priimatoid.   Von  Professor  Dr.  Wittstein.   Hannover  1860. 

Es  scheint  nicht  allgemein  bekannt  zu  sein ,  dass  Alles ,  was  in  der 
vorliegenden  Abhandlung  steht,  längst  mehrfach  publicirt  und  in  elemen- 
taren Compendien  zu  finden  ist;  ein  Hinweis  auf  die  früheren  Autoren 
möchte  daher  wohl  angemessen  sein. 

Die  in  Rede  stehenden  Eigenschaften  sind  vor  langer  Zeit  von  Herrn 
Director  August  in  einer  Programmabhandlung ^  wenn  icK  \i\c.\\l  w^ ^ ^\ä- 


1 1 2  Literaturaeitun  g . 

mentar  bewiesen  und  in  dessen  Lehrbuch  der  Mathematik  für  den 
höheren  Schalnnterricht,  dritter  Cursus,  Stereometrie,  in  einem  be- 
sonderen Abschnitte  „^OQ  ^^^  Trapezoidalkörpern  oder  Körperstampfen" 
ausführlich  entwickelt  worden.  Die  Formel  für  den  Inhalt  des  Trapesoidal- 
körpers  findet  man  dort  auch  zur  Inhaltsbestimmung  der  Kugel  und  des 
Paraboloidos  angewendet.  Von  einer  Bereicherung  der  Elementargeome- 
trie durch  die  Abhandlung  des  Herrn  Prof.  Wittstein  kann  daher  nicht 
füglich  die  Bede  sein.  Ausserdem  möge  man  noch  Tergleichen  die  Ab- 
handlungen von  Steioer  in  Crel^e's  Journal,  Bd.  XXIU,  8.  275  and  von 
Brix,  ibidem  Bd.  XXV,  S.  129. 

(Briefliche  Mittheilung  von  Dr.  Jochmann  in  Berlin.) 


Lehrbaoh  der  Pliyiik  für  die  unteren  Klassen  der  Gymnasien  and  Real- 
schulen. Von  S.  SuBic,  Doctor  der  Philosophie,  Magister  der 
freien  Künste  und  Professor  der  Phjsik.  Mit  Vorbehalt  des 
Uebersetzungsrechtes.  Pest  1861 ,  Verlag  von  Gustav  Heckenast 
Die  Vorrede  beginnt  mit  folgenden,  die  Erwartung  spannenden  Wor- 
ten: „Entsprechend  dem  Bedürfniss  der  studirenden  Jugend,  welches  im 
Beginne  des  Studiums  der  Physik  die  möglichste  Einfachheit,  Klarheit 
tmd  verstandesgemässe  Darlegung  der  Sätze  der  Experimentalphysik  for- 
dert, übergebe  ich  hiermit  eine  auf  Experiment  und  Erfahrung  gegründete 
Lehre  der  wichtigsten  Sätze  der  Physik  den  Schülern  der  Untergymnasien 
und  Unterrealschulen ,  sowie  sie  sich  seit  mehreren  Jahren  selbst  dort  er- 
probt, wo  die  Schüler  mit  den  grössten  Sprachschwierigkeiten  zu  kämpfen 
hatten."  Der  Verfasser  spricht  ferner  in  der  Vorrede  die  sehr  richtige 
Ansicht  aus,  dass  ihm  diejenige  Methode  am  zweckmässigsten  erscheine, 
welche  der  Jugend  zuerst  die  Gegenstände  und  Ereignisse  vorführt  und 
sie  im  Angesichte  derselben  leitet,  darüber  nachzudenken.  Ingleichen 
empfiehlt  er,  die  Jugend  frühzeitig  zum  eignen  Experimentiren  anzuregen. 
Nach  der  Durchlesung  der  Vorrede,  welche  noch  viele  andere  nützliche 
Gedanken  cuthält,  ging  ich  an  diejenige  des  Werkes  selbst  und  berichte 
hier  über  den  Eindruck,  den  diese  auf  mich  gemacht  hat.  Die  Menge  des 
Stoffes  wird  zunächst  durch  den  Zweck  des  Buches  bestimmt  und  kann 
man  nach  diesem  ein  Eingehen  in. die  Polarisation,  Interferenz,  Beugung, 
Doppelbrechung  des  Ltclites  nicht  erwarten ,  dass  aber  unter  den  behandel- 
ten Tbatsachcn  die  Geschwindigkeit  des  Lichtes  mit  keiner  Silbe  erwähnt 
worden  ist,  muss  als  ein  Mangel  des  Buches  erscheinen  und  in  lebhaftes 
Erstaunen  setzen,  umsomehr,  als  über  die  Beobachtungen  der  Verfinste- 
rung der  Jupiterstrabanten  so  leicht  zu  referiren  ist  und  hieran  leicht  ge- 
zeigt werden  kann,  dass  das  Licht  zu  seiner  Bewegung  Zeit  braucht.  Der 
Herr  VerfasKcr  setzt,  wie  man  z.  B.  an  der  Abhandlung  über  die  Schraube 
bemerkt,  die  Kenutniss  der  Steteom^lxl^ voraus ^  man  muss  sich  aber  nur 


Litoraturzeitunp.  1 1 3 

wandern ,  dass  er  diese  Wissenschaft  so  schlecht  bei  seinen  Demonstratio- 
nen benntst;  so  z.  B.  ist  bei  den  Spiegeln  und  Linsen  der  Weg  der  Licht- 
strahlen an  einem   Durchschnitte   des  Apparates  erläutert,   ohne  nur  zu 
sagen,   dass  es  ein  Durchschnitt  ist,   mit  dem  man  es  zu  thun  hat;   der 
Durchschnitt  wird  ohne  Weiteres  Spiegel  oder  Linse  genannt.     Der  Herr 
Verfasser  hätte  dem  Schüler  nicht  zumuthen  sollen ,  dergleichen  Lücken 
in  der  Deduction  zu  ergänzen ;  wo  bei  der  Beschreibung ,  wie  man  sieht, 
eine  gewisse  mathematische  Vorbildung  vorausgesetzt  wird,  sollte  sich  der 
Lehrer  vor  seinen  Schülern  keine  dergleichen  Blossen  geben ;  setzt  er  aber 
die  stereometrischen  Begriffe  nicht  voraus ,  so  sollte  er  dieselben  im  Texte 
nachholen  ofcr  ganz  auf  ein  solches  Werk  verzichten ,   denn  mit  den  un- 
klaren Vorstellungen  und  Begriffen   des  gewöhnlichen  Lebens  lässt  sich 
doch  einmal  in  der  Wissenschaft  nicht  arbeiten.     Was  nun  den  Ausdruck 
der  physikalischen  Gesetzmässigkeiten  durch  die  Sprache  anbelangt,  so 
hat  der  Verfasser  gerade  hier  sehr  häufig  den  groben  Fehler  begangen, 
nicht  deutlich  zu  sein,  ja  den  Sinn  des  Gesetzes  sogar  gänzlich  durch  seine 
Ansdrucksweise  zu   entstellen.     Als   Beleg  hierzu  diene    folgender  Aus- 
spruch (S.  130):    „Bleibt  die  Temperatur  der  Luft  ungeändert,   so  ist  ihre 
Expansivkraft  desto  grösser ,  je  mehr  sie  zusammengedrückt  wird.    Dieser 
unter  dem  Namen  des  Mariotte'schen  Gesetzes  bekannte  Satz*'  etc.     Na- 
mentlich der  mechanische  Theil  leidet  an  Undeutlichkeiten,  indem  daselbst 
bei  allen  Sätzen ,  die  sich  auf  die  Einwirkung  auf  einen  Punkt  beziehen, 
ohne  Weiteres  von  der  Einwirkung  auf  einen  Körper  gesprochen  wird, 
während  doch  ein  Punkt  gemeint  ist.  Ebenso  macht  es  auf  den  Leser  einen 
widerwärtigen  Eindruck  und  gewährt  dem  Schüler  keine  wissenschaftliche 
Anregung,  dass  sie  überall  schlechte  und  undeutliche  Definitionen  finden, 
mit  denen  sich  nicht  arbeiten  lässt;  z.  B.  S.  184:   „Die  Senkung  oder  Nei- 
gung unter  den  Horizont  heisst  Inclination  *\  wobei   man  nicht  erfährt, 
welche  Linie  sich  zum  Horizont  neigt  und  dass  die  magnetische  Achse  der 
Nadel  sich  im  magnetischen  Meridian  befinden  muss;   ferner  S.  236:  „Be- 
findet sich  die  Sonne  hinter  einer  dunkeln  Wolke,  welche  einen  Riss  hat, 
80  sehen  wir  das  Licht  der  Sonne  strahlenartig  hervortreten.     Eine  solche 
Lichtlinie  wollen  wir  Libhtstrahl  nennen  *';   desgleichen  S.  176:  „Die  zwei 
Punkta^der  stärksten  Kraft  eines  Magnetes  nennt  man  Magnetpole  oder 
kurz  Pole!'*  Auch  die  wenigen  Beispiele  sind,  wie  die  Definitionen,  nicht 
frei  von  Undeutlichkeit  und  Unrichtigkeit;   so  findet  sich  Seite  \)6  folgende 
Stelle:  „Bewegt  eine  Kraft  einen  Körper,  so  arbeitet  sie.     Die  auf  eine 
Secnnde  entfallende  Arbeit  einer  Kraft  nennt  man  Arbeitskraft  1.   das 
Maass  momentaner  Kräfte.  Ein  Stoss ,  welcher  einem  Körper  von  40  Pfund 
die  Geschwindigkeit  von  5  Fuss  giebt,   hat  eine  Arbeitskraft  von  40X5 
Fusspfund.    Man  bekommt  also  die  Arbeitskraft  eines  gleichförmig  beweg- 
ton Körpers,  wenn  man  sein  Gewicht  mit  seiner  Geschwindigkeit  multipli- 
cirt^^    Ich  konnte  mich  bei  Durchlesnng  des  Buches  des  Gedaiikft\i&  ^V&V^ 

Liteialurgtg'.  iL  ZvUschr.  f.  Math.  a.  Phyf».  V\,  6.  \^ 


1 1 4  Literatarzeitung. 


erwehren,  dass  der  Verfasser  Über  viele  wissenschaftliche  Gegenstände 
selbst  gftnzlich  im  Unklaren  sei ,  wofür  schon  die  oben  angeführte  Stelle 
über  das  Mariotte'sche  Gesetz  Zeiigniss  ablegt.  Hierher  gehört  auch  noch 
die  Stelle  (S.  129) :  „Stabiles  Schwimmen.  Damit  ein  schwimmender  Kör- 
per vor  dem  Umschnappen  sicher  sei,  mnss  sein  Schwerpunkt  tiefer  lie- 
gen ,  als  der  Schwerpunkt  der  verdrängten  Flüssigkeit."  £s  ist  allerdings 
richtig,  dass  der  Körper  dann  allemal  stabil  schwimmt,  allein  er  kann  auch 
stabil  schwimmen,  wenn  sein  Schwerpunkt  über  dem  der  verdrängten 
Flüssigkeit  liegt ,  freilich  lässt  sich  aber  die  Bedingung ,  unter  welcher  dies 
geschieht,  nicht  elementar  ausdrücken.  Wie  nun  die  Auswahl  der  physi- 
kalischen Gesetze  eine  mangelhafte  ist  und  wie  diese  selbslibft  unrichtige 
oft  undeutlich  ausgesprochen  sind,  so  ist  auch  die  Lehrmethode,  wodurch 
doch  der  Zusammenhang  unter  den  Erscheinungen  und  Gesetzen  gezeigt 
werden  soll ,  fast  überall  mangelhaft.  Ein  komisches  Beispiel  der  Demon- 
stration des  Herrn  Verfassers  liefert  unter  Anderem  Seite  20:  „Aus  der 
Figur  13  wird  ersichtlich,  dass  horizontal  liegende,  am  Ende,  in  der  Mitte 
oder  in  ihrer  ganzen  Länge  belastete  Körper  mit  ihrer  relativen  Festigkeit 
wirken. ^^  Bisweilen,  ist  die  Herleitung  ganz  weggelassen  und  der  Herr 
Verfasser  hilft  sich  mit  einem  „die  Erfahrung  zeigt,  dass"  etc.,  oder  wie 
Seite  238 ,  wo  ohne  vorhergegangene  Definition  von  Beleuchtungskraft  ge- 
sagt wird:  „Das  Gesetz  für  die  Abnahme  der  Beleuchtungskraft  in  die 
Ferne  heisst:  die  Beleuchtuugskraft  Tiimmt  mit  der  Entfernung  im  qnn- 
dratischen  Verhältnisse  ab."  —  Das  Vorhergehende  zeigt,  dass  der  Herr 
Verfasser  den  Zweck  seines  Buches  durch  seine  mangelhafte  Darstellung 
gänzlich  verfehlt  hat;  am  ganzen  Buche  ist  nichts,  als  Papier  und  Druck 
gut;  auch  Wahl  und  Entwurf  der  zahlreichen  Holzschnitte,  sowie  deren 
Ausführung  ist  niisslungen  zu  nennen.  Wir  sprechen  noch  am  Schlüsse 
unser  Bedauern  gegen  die  Verlagshandlung  aus,  dass  dieselbe  eine  litera- 
rische Arbeit  unterstützt  hat,  die  so  wenig  „Klarheit  und  verstandesge- 
mässe  Darlegung  der  Sätze  der  Experimentalphysik"  zeigt,  dass  sie  nicht 
zum  physikalischen  Unterrichte  empfohlen  werden  kann. 

Dr.  Kahl. 

Handbuch  der  Kugelfunctionen.  Von  Dr.  E.  Heine,  ordentlicher  P^essor 

an    der    Universität    Halle.       Berlin,    Druck    und    Verlag    von 

G.  Reimer. 

Die  wichtige  Rolle ,   welche  die  Kugelfunctionen  in  der  Theorie  der 

Anziehung  und  in  der  Wärmelehre  spielen,    hat   bekanntlich    eine  sehr 

grosse  Anzahl  von  Arbeiten   über  jene   Functionen   hervorgerufen,    wie 

schon  die  Namen  Legendre,   Laplace,  Ivory,   Gauss,   Dirichlet,   Jacobi, 

Bonnet,    Borchardt,  Neumann,   Christoffel,   Bertram,  Liouvillc,  Hansen, 

Scheibner  etc.  hinreichend  beweisen.     Je   schwieriger  hierdurch  ein  nur 

ejnigerm&asaen  vollötändigev  UeberXiWcVL  ^^vio^deu  ist,   um   so  freudiger 


Literaturzeitung.  1 1 5 


wird  man  das  Erscheinen  einer  Arbeit  begrüssen ,  tiber  deren  Zweck  sich 
das  Vorwort  in  folgenden  Worten  ausspricht :  „Sie  soll  den  Anfanger  in 
die  Theorie  der  Kugelfunctionen ,  welche  gegenwärtig  durch  wichtige 
Werke  über  Physik  und  Astronomie  ein  Interesse  auch  für  weitere  Kreise 
.erhalten  hat,  einführen  und  ihm  als  Lehrbuch  dienen.  Andererseits  soll 
sie  Demjenigen,  welcher  die  Elemente  bereits  kennt,  eine  systematische 
Darstellung  der  hierher  gehörigen  Untersuchungen  bis  auf  die  neueste  Zeit 
liefern ,  ihm  eine  Sammlung  der  Formeln  geben ,  welche  bei  dem  jetzigen 
Stande  der  Lehre  als  die  wesentlichsten  angesehen  werden  müssen,  und 
^<ihm  die  Quellen  bezeichnen,  aus  denen  geschöpft  wurde.*'  Nach  genauer 
•Ansicht  des  Werkes  kann  Beferent  bezeugen,  dass  dieser  Doppelzweck 
vollständig  erreicht  worden  ist,  und  dass  die  Klarheit  der  Darstellung  so- 
wie die  Reichhaltigkeit  des  Oegebenen  eine  gleich^rühmliche  Anerkennung 
verdienen.  Der  Verfasser  liefert  übrigens  noch  mehr,  als  die  Vorrede  sagt, 
und  zwar  in  doppelter  Beziehung.  Man  findet  nämlich  ausser  den  Arbeiten 
Anderer  nicht  wenige  dem  Verfasser  .eigenthümliche  Untersuchungen ,  fer- 
ner beschränkt  sich  das  Werk  keineswegs  auf  die  Theorie  der  Kugel- 
fanctionen,  sondern  enthält  auch  Anwendungen  derselben  namentlich 
anf  die  mechaiiischen  Quadraturen  (u.  A.  nach  der  Gauss'schen  Methode) 
und  anf  die  Berechnung  der  Potentiale  von  Kugeln  oder  Ellipsoiden. 

•  SCHLÖMILCH. 


\^* 


Bibliographie 

vom  15.  August  bis  15.  October  1861. 


Periodische  Schriften. 

Mathematische  Abhandlangen  der  königl.  Akademie  der  Wissen- 
schaften zn  Berlin.    Ans  dem  Jahre  1860.   Berlin,  Dümmler  in  Gomm. 

^8Ngr. 

Physikalische  Abhandlungen  der  königl.  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  Berlin.    Aus  depi  Jahre  1860.    Ebend.  2  Thlr.  22  Ngr. 

Sitzungsberichte  der  königl.  bayerischen  Akademie  der  Wissenschaf- 
ten. 1861.  4.  Heft.  München,  Franz  in  Comm.  16  Ngr. 

Aroelakdeb,  f.  W.  A.,  Astronomische  Beobachtungen  auf  der 
königl.  Universitäts» Sternwarte  zu  Bonn.  4.  Bd.:  Bonner  Sternver- 
zeichniss.   2.  Scction.    Bonn,  Marcus.  5  Thlr. 

Beine  Mathematik. 

Serenüs  V.  Antissa,  lieber  den  Schnitt  des  Kegels.  Aus  dem  Grie- 
chischen von  E.  Nizze.    Stralsund ,  Hingst.  %  Thlr. 

Friedlein,  G.  ,  Ger  bert,  die  Geometrie  des  Boethius  und  die 
indischen  Ziffern.  Ein  Vers,  in  der  Geschichte  der  Arithmetik. 
Erlangen ,  Bläsiug.  12  Ngr. 

Ascher,  H. ,  Briot  und  Bouqnet's  Theorie  der  doppelt-perio- 
dischen, insbesondere  elliptischen  Functionen,  mit  Be- 
nutzung dahin  einschlagender  Arbeiten  deutscher  Mathematiker.  1.  und 
2.  Lief.    Halle,  Schmidt's  Verlagsbuchh.  k  %  Thlr. 

Grelle,  F.,  Analytische  Geometrie  der  Ebene.  Hannover,  Brecke. 

2  Thlr. 

Grunert,  J.  A.,  Directe  Bestimmung  der  Durchschnittspunkte 
der  Bahnen  zweier,  in  Kegelschnitten  sich  um  die  Sonne 
bewegenden  Weltkör.per.   Wien,  Gerold's  Sohn  in  Comm.  18 Ngr. 

Angewandte  Mathematik. 

Adrian Y,  J.,  Die  Markscheidekunde  nebst  den  für  den  Markscheider 
wichtigsten  Lehren  der  Feldmesskunde.  2.  Aufl.  Wien ,  Braumüller's 
VerL-CoDto.  1  Thlr. 


J^itcraturzeitoDg.  117 


PoQL,  J.  and  J.  ScHABUS,  Tafeln  zur  barometrischen  Höhen- 
messung. Wien,  Helf.  %,  Thlr. 
Onderka,  V.,  Mathematische  Geographie.  Wien,  BraumüUer's 
Verl.. Conto.  1%  Thlr. 
Struve,  0.,  Tabulae  quaniiiatum  Besselianarum,  quibus  apparentes 
Stellarum  positiones  in  medias  converiuniur ,  adtäbitis  numeris  comtantibus 
Pidcovensibus  pro  a.  1840  ad  1864  compulaiae,    PetropolL   Leipzig,  Voss. 

28  Ngr. 
Atlas  des  gestirnten  Himmels,  f.  d  Anf.  des  Jahres  1855  entworfen 
auf  der  königl.  Sternwarte  zu  Bonn.    7.  Lief.    Bonn,  Marcus.   3  Thlr. 
Hartwiq,  E.  W.,  lieber  die  Berechnung  der  Auf-  und  Unter- 
gänge der  Sterne.    Nebst  einigen  Hilfstafeln.    Schwerin,  Hilde- 
braud.  12%  Ngr. 

Neumann,  C,  Lösung  des  allgemeinen  Problems  über  den  sta- 
tionären Temperaturzustand  einer  homogenen  Kugel 
■ohne  Hilfe  von  Reih enont Wickelungen,  nebst  einigen  Sätzen 
zur  Theorie  der  Anziehung.  Halle ,  Schmidt's  Verlagshandl.  6  Ngr. 
Hanckel,  H. ,  Zur  allgemeinen  Theorie  der  Bewegung  der 
Flüssigkeiten.    Gekrönte  Preisschrift.    Oöttingen.    Leipzig,  Abel. 

%  Thlr. 
Schmidt,  Q.,  Theorie  der  Dampfmaschinen.  Freiberg,  Engelhardt. 

1%  Thlr. 

Taschenbuch  des  Ingenieurs.  Herausgegeben  von  dem  Verein  „die 

Hütte".  4.  Aufl.  1.  Hälfte.   Berlin,  Ernst  &  Korn,  pro  compl.  l%Thlr. 

Karsten,  H.,  Lehrbuch  der  Kristallographie.     Leipzig,  Voss. 

2  Thlr. 
Pliyiik. 

Encyclopädie  der  Physik,  bearb.  von  Brix,  Dechgr  etc.  Herausgeg, 
von  Karsten.   10.  Lief.    Leipzig ,  Voss.  2%  Thlr. 

MoLT,  Th.,  Wandkarten  zur  physikalischen  Erdbeschreibung. 
2.  Aufl.    Stuttgart,  Nitzschke's  Verlag.  1  Thlr.  6  Ngr. 

HEUSsi,  J.,  Die  Experimentalphysik.  1.  Curs.:  Kenntniss  der  Phä- 
nomene.  8.  Aufl.    Berlin ,  Duncker  &  Humblot.  ^k  Thlr. 

Robida,  C,  Erklärung  derLufterscheinnngen  aus  den  Grund- 
zügen einer  naturgemässen  Atomistik.  .2.  Heft.  Klagenfurt, 
Leon  in  Comm.  9  N^r. 

Meyerstein,  M.,  Das  Spectrometer.  Ein  neues  Instrument  zur  Be- 
stimmung der  Brechnngs  und  Zerstreuungsverhältnisse  verschiedener 
Medien,  sowie  zum  Gebrauche  bei  allen  goniometrischen. Messungen. 
Göttingen ,  Deuerlich'sche  Buchh.  8  Ngr. 

Keotenbacher,  f..  Die  anfänglichen  und  gegenwärtigen  Er- 
wärmungszustände  der  Weltkörper.   Mannheim,  Bassermann. 


118  Literaturzettung. 

Saalschütz,  L.,  De  non  periodica  mutaiionc  caloris  terrae,  DisserL 

inaug.    Königsberg,  Schubert  &  Seidel.  3  Ngr. 

Bezold,  W.  V.,  U.eber  die  physikalische  Beden  tu  ng  der  Poten- 

tialfunction  in  der  Elcktricitatslehre.  München,  liter.-artist. 

Anstalt  in  Comin.  8  Ngr. 

,  WiEDEMANN,  G.,  Die  Lehre  vom  Galvanismus  und  Elektromag- 

;  notisnius.   2.  Bd.  And.  n.  dr.  Th.;  Die  Wirkungen  des  galvanisclien 

"';.  Stromes  in  die  Ferne.    1.  Abth.    Braunschweig,  Vieweg.         2%  Thlr. 

;  M*Leod,   W.,    Physical  atlas  of  GreaJ  Britain,     London,   Longman. 

\  1  Sh.  (S  d- 

j  Capelli,  G.  ,    Osservazioni  meieorologiche  eseguite  nella   R,  specoia 

ustronomica  di  Müano  negli  anni  1858  -1850.    Miiano,  20  frcs. 


Mathematisches  Abhandlungsregister. 


1860. 

Zweite  Hälfte:  1.  Juli  bis  31.  December. 

A. 

Ab«rseh«  Fnnetioii. 

232.  Sur  VinUgration  de  diffirentieUes  irrationelles.   Tvhebichef.    Compl.  rend.  LI,  4Q.  \_ 

AbMTfttiOlL« 

233.  Ueber  die  Aberration  des  Lichtes.    H  o  e  k.     Astr.  Nachr.  LIV,  145. 

AMTOdynamik. 

234.  Kin  Beitrag  anr  Mechanik  der  Gase.   Schmidt.  Wien.  Akad.  Ber.  XXXIX,  41. 

235.  lllustratiuns  of  the  dynamical  theory  of  gases.     Maxwell.     Phil,  Mag.  A'X,  21.  ' 

(Vergl.  No.  2.] 
23ft.  On  the  velocitg  ofsound.     Enrnshaw.     Phil.  Mag.  XX,  37,  186. 

237.  Uebcr  die  Aendcrung  des  Tones  und  der  Farbe  durch  Bewegung.  Mach.  Wien. 

Akad.  Her.  XXXXI,  543.  j 

AnalTtUeh»  Oaometrl«  dar  Ebeaa.  I 

238.  DaH   umgekehrte   Problem   der* Brennlinien.     Strauch.     Wien.   Akad.   Ber.  I 

XXXVIII,  8öl. 

239.  Das  Problem  des  Pappua  und  die  Gesetze  der  Doppolschnittsverhältnisse  bei 

Curven  höherer  Ordnung  und  Classen.     Fiedler.     Zeitschr.  Math.  Phys. 
V,  377. 
,  Vcrgl.  Ellipse,  Gleichungen  325,  Kegelschnitte,  Kreis,  Krümmungshalbmesser. 

Analytiseha  Oaomatria  das  Baumas.  j 

240.  Merkwürdige  Erweiterung  der  Formeln  der  ebenen  Trigonometrie  auf  ein  8y-  | 

stcm  von  drei  sich  nicht  schneidenden  Geraden  im  Räume.      Grüne rt.  '\ 

Grün.  Archiv  XXXV,  1.  | 

241.  Theorie  gönirale  des  sy Sternes  de  rayuns  rectilignes.     Kummer.     N.  amt.  matk, 

XIX,  362.     [Vergl.  Bd.  V,  No.  200.] 

242.  Des  coordorm^  ciarvilignes  se  coupant  sous  im  an  angle  quelconque,     Aoust,     Grelle 

LVIII,  352. 

243.  Des  aiordonnis  pmutholiques  et  de  letar  appKcation  ä  la  g^om^trie  des  paraboloides, 

Falson.     N.  ann.  math   XIX,  20.H. 

244.  Ueber  die  Umhüllnngslinien  der  PolÜnien  einer  Curve  und  deren  inverse  Linie . 

Hoppe.     Grelle  LVIII,  374. 

245.  Sto*  les  surfaces  polaires  d*un  point  d^une  siirfaces  algibnque  prises  par  rapport  A 

cette  sitrface,    Dewnlf.     N  ann.  math,  XIX,  ^^\, 

246.  On  the  cubic  centres  of  a  line  with  respeci  to  titree  lines  and  a  line.     Caytey.    Phil. 

Mag.  XX,  418.  * 

247.  Eine  Notiz  über  W^endclinien.     Bacaloglo.     Grün.  Archiv  XXXV,  40. 

248.  Ueber  Fusspunktcnrven  und  Fuaspunktflächen.     Bacaloglo.     Grün.  Archiv 

XXXV,  41.  ,    ,     .  i 

249.  Sur  une  aUfique  gauche.     Cremona.     N.  ann.  malh.  X/X,  356» 


1 20  Literaturzeitung. 


250.  Sur  quelques  relations  giomitriques  entre  Vhilice  et  la  vyctoide.    Dunesme,    Compt, 

rend.  LI,  890. 
Verg).  Loxodrorae,  Oberflächen,  Oberflüchen  zweiter  Ordnang,  Paraboloid, 
Sphärik ,  Wellenfläche. 

Arithin^tiioh«  Baili«. 
Vorgl.  Progression. 

Aitronomi«. 

251.  Memoire  sur  le  motwement  des  noeuds  de  ta  lune,  Lespiault,  Compt.  rend.  LI,  727. 

252.  Calcul  des  deux  inegalitis  iunaires  ä  longues  piriodes  decouvertes  par  M.  Hansen  et 

dues  ä  Vaction  perturbatnce  de  Ventts,  Delaunay.  Compt  rend,  LI,  (505.  735, 
783.  —  Le  Verrier.  ibid.  7f»3,  740.  19»,  ^  Ponliconlant.    ibid.  958. 

253.  Note  sur  les  inigaliies  lunttires  d  longues  piriodes  dues  d  Paction  perttarbatrice  de 

yenus.     Delaunay.     As tr.  Nachr.  LI V;  273. 

254.  Sur  la  dctermination  du  coefßcieni  de  l'equtdion  siculaire  de  la  lune.  Pontecoulant. 

Compt  rend.  LI,  134.  —  Delaunay.    ibid.  154.     [Vergl.  No.  22.] 

255.  Ueber  die  Genauigkeit  der  Beobachtungen  der  Bectascensionen  bei  Anwendoog 

ohronojrraphischer  Apparate.     Pape.     Astr.  Nachr.  LIV,  177. 

256.  Neue  Methode,    die  Biegang  eines  Kreisfernrohres  za  ermitteln.      Kays  er. 

Astr.  Nachr.  LIV,  227. 

257.  Quelques  mots  sio*  les  queues  des  cotnetes.   Br  edichin.   Astr.  Nachr.  LIV,  280. 

Vergl.  Aberration,  Kefraction. 

AttraotioiL 

258.  Bemerkung  za  einer  Stelle  der  JÜicanique  Celeste.    Murmann.    Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  438. 

259.  Ueber  die  Anziehung  einer  mit  Masse  belegten  abwickelbaren  Fache  auf  einen 

materiellen  Punkt.     M'e  h  1  e  r.     Grelle  LVIII ,  240. 
200.  On  a  theorem  relating  to  the  attrttction  of  the  ellipse.     Dahlander.     Phil.  Mag. 
XX,  125. 
Vergl.  Potential. 

B. 

B6nioiilli*8che  Zahl«iL 

261.  Einige  Beiträge  zur  Theorie  der  Bcrnoulli'schen  Zahlen  und  der  Secanten- Coef- 

licienten.     G.  F.  Meyer.     Grün.  Archiv  XXXV,  449. 

262.  Von  einigen  Summen  und  Differcuzenformeln  und  den  Bernonlli^sclicn  Zahlen. 

Bauer.     Crelle  LVIII,  292. 

Bestimmte  Integrale. 
26.*^.  Sw  le  Cftlcul  inver.se  des  integrales  definies.     Hauche.     Compt.  rend.  LI,  120. 

264.  lieber  den  Integralsiuus  und  Integraluosluus.     Schlömilch.     Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  294. 

265.  Ueber  das  bestimmte  Integral   / dx.    Schlömilch.    Zeitschr.  Mathem. 

Phys.  V,  286.  " 

M    f 

260.  Ueber  das  bestimmte  Integral    /       {a^  bx^p  x^—^  dx.    Bacaloglo.    Grün. 

Archiv  XXXV,  70.  ^ 

207.  Ititef/rulta  qnaedam  definita.    Lind  man.    Grün.  Archiv  XXXV,  475. 

Vergl.  AbelVsche  Function,  Elliptische  Functionen,  Näherungswerth,  Zahleu- 
theorie  409. 

Breimlinien. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  der  Ebene  238. 

c. 

Cartographie. 
20S.  Siir  les  cffrfes  göographiques,     Tis  so  t.     Compt  rend.  LI,  ^A. 
'Jon   /Je/iniiion  des  müdes  de  representaliun  de  ourtes  geographiques.     Tissot.     N.  tmn. 
math.  XIX,  457. 


Literaturseitang.  121 

270.  Traci  des  carte»  gioffrapfäqun.     Tehebichef,     N.  ami.  maih,  XIX,   BuUetm  de 

biöl.  49. 

Combinatorik, 

271.  Sur  une  sMe  ordotmie  d^eipt^is  des  nombre  de  combinaUons  aoec  et  mom  ripitUUnu 

De  Virieu.     N,  ann.  math,  XJX,  307. 
212,  Sur  vne  eirie  combinaloire.   DeVerieu.   N,  ann.  math,  XIX,  ^9S, 

Cubitch«  7oniiML 
273.  Oh  m  relatUm  between  tmo  temary  cubic  formt.  Cayley,   PhU,  Mag.  XX,  512. 


Pttermlnaiitim. 

274.  MultiplictUion  des  diterminants,   SouiUart,   N.  ann.  math.  XIX,  Z20. 

Vergl.  Näherungswerth  361. 

DetormiiiAntaii  in  g«oiii«trU  ohmr  Anwendung. 

275.  Eqtuttion  des  rapports  ankarmoniques  correspandant  aux  racines  d^une  equation  du 

qfuitrieme  degri,   Puinvain.    N.  ann.  math.  XIX,  407. 
27(5.  lieber  die  Wendetangenten  der  Cunren  dritter  Ordnang.     Clebsch,    Grelle 
LVIII,  229. 

277.  lieber  eine  Classe  von  Eliminatioluiprobleineii  und  über  einige  Punkte  der  Theo- 

rie der  Polaren.    Clebsch.    Grelle  LVIII ,  273. 

278.  Die  Beziehung  zwischen  den  Halbmessern  von  vier  sich  gegenseitig  berühren- 

den Kreisen,  sowie  von  fünf  derartigen  Kugeln.     G.  W.  Baur.    Zeitschr. 
Math.  Phjs.  V,  3tt5.     N.  ann.  math.  XIX,  440. 
Vergl.  Oberflächen  zweiter  Ordnung  3ö6. 

Differentlalgleiehungen. 

279.  Zur  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen.   Weiler.    Grün.  Archiv 

XXXV,  440. 

280.  Die  Integration  der  linearen  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung.    Schlö- 

milch      Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  323. 

281.  lieber  totale  und  partielle  Differentialgleichungen.  Natani.  Grelle  LVIII,  301. 

282.  Integration  einiger  partiellen  Differentialgleichungen.    8teen.    Zeitschr.  Math. 

Phys.  V,  427.     [Vergl.  No.  O.J 

283.  lieber  die  partielle  Differentialgleichung 


S[-^6p)l=&höi)T 


Hoppe.     Grelle  LVIII,  369.    [Vergl.  No.  44.] 

284.  lUustrations  of  symmetricalintegration.     Carmichael.     PhU.  Mag,  XX,  348. 

DÜforonienreehnnsg. 
Vergl.  Bernouirrsche  Zahlen  262,  Combinatorik  271. 

B. 

Sasüeitlt. 

285.  Mimoire  sur  la  thiorie  de  tilasticiti  des  cotps  homogenes  ä  Hasticiti  constante. 

Lorenz.   Grelle  LVIII,  329. 

nektrodynamik. 

286.  Die  Fundamente  der  Elektrodynamik.  Kahl.  Zeitschr  Math.  Phys.  V,  253,305. 


Vergl.  Determinanten  in  geometrischer  Anwendung  277,  homogene  Functionen. 

EUipst. 

287.  lieber  die  grössten  Dreiecke ,  die  sich  über  eine  gegebene  Gerade  einer  Ellipse 

oder  Hyperbel  einschreiben  lassen.     8.  Spitzer.    Zeitschr.  Math.  Phys. 
V,  304. 

288.  Thäorcmes  relatifs  attx  normales  d'une  eilipse,   Prat.   N.  ann,  math.  XIX,  2db. 

Vergl.  Attraction  260. 


1 22  Literaturzeitang. 

EUiptlMlie  FuMtioiiML 

289.  Entwurf  einer  neuen  Theorie  der  elliptischen  Integrale.  Weiler.  Grnn.  Archiv 

XXXV,  408. 

290.  Ueber  ModulargleichoDgen  der  elliptischen  Functionen.    Schröter.      Grelle 

LVm,378. 

F. 
Fouoaidt^selLer  PmdelTartneh. 

29 1 .  Nouoel  examen  de  la  question  relaiiife  aux  osciUations  (oumanteg  du  pendide  d  (ihre 

Suspension  en  ayant  igard  ä  Vinßueuce  de  la  rotation  de  la  terre.     Poncelet. 
\  Campt,  rend,  LI,  467,  5J 1. 

r '         Vergl.  Kräfteparallelogramm. 

Fnnotionen. 

292.  Beiträge  zur  Theorie  derjenigen  Functionen,  welche  die  Verallgemeinerung  der 

hyperbolischen  und  cyclischen  Cosinus  und  Sinus  darstellen.     Hellwig. 
Grün.  Archiv  XXXV,  180. 

293.  Entwicklung  einer  Function  der  vierten  Rechnungsstufe  in  eine  Seihe     Fang- 

ger.     Gnin.  Archiv  XXXV,  21. 

294.  Solution  de  questions  de  ttUgehre  Bertrand,     Mathieu.    N.  am.  math.  XIX,  37 J. 

Vergl.  AbePsche  Functionen,  Elliptische  Functionen,  Potential. 

FustpimktliiüeB. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  248. 

Geodäsie. 

295.  Untersuchungen  über  die  Pothenot'sche  Aufgabe,  falls  solche  auf  den  Raum  aus- 

gedehnt wird.     Plath.     Grün.  Archiv  XXXV,  241. 
200.  Ueber  einige  geodätische  Formeln,     v.  Andrä.     Astr.  Nachr.  LIII,  369. 
297.  Die  Zahlenformel  für  den  mittleren  Krünimungtihalbmesser  des  Erdsphäroids. 

Andres.     Grün.  Archiv  XXXV,  72. 
208.   Methode  des  azimuts  correspojidant'i.     liadnu.     A.str.  Nachr.  LIII,  145. 
290.  Sur  un  nioi/en  de  trouver  In  longitude  saus  chronomHrc.     Radau.     Astr.  Xachr. 

LIV,  345.     • 

Gkeometrie  (desoriptive). 

300.  Sur  les  seconds  points  d'intersecdons  des  nornudes  d'ime  cone  de  r^vohuion  passant 

pnr  wie  premiere  section  conique.     Kessler.     N,  ann.  math.  XIX,  430. 
Vergl.  Krystallographie  340. 

Geometrie  ChÖhere). 

301.  Propri^lcs  relatives  au  depUicement  fini  quetamquc  dans  Cespace  d'une  figure  de  forme 

invariable,     Chasles.     Compl.  rend.  LI ^  855,  905. 
Vergl.  Kegelschnitte  342. 

Geometrische  Beihe. 
Vergl.  Progression. 

Geschichte  der  Mathematik. 

302.  Question    des    povismes,     Ilveton    {de    Champ).      Compl.   rend.    LI ^    H)34.   — 

Chasles.    ibid.  1043- 

303.  Sur  Caf/c  de  Zeuodure,     Cantor.     Compl.  rend.  LI ,  030. 

304.  Epitaphe  de  Diophante.     N.  ann.  math.  XIX.    ßuUeÜJi  de  bibl.  71. 

305.  Les  mathematiciens  des  liomains.      Jl' eidler,      A'.  ann.  math.  XIX.     Bulletin  de 

bibl.  85. 
300.  Jobst  Bin-gi  et  les  logarithmes.    Matzka.    N.  ann.  math.  XIX.    Bulletin  de  bibl.  62. 

[Vergl.  No.  94.] 
307.  Nouvelles  remarques  sur  VinterprHation  d'im.  passage  de  Descartes,    Valnt.    Compl. 

rend.  LI.  1031.     [Vergl.  No.  03.] 
308.   Oenealoqie  de  Viele.     Filleau  de  la  Touche.     N.  ann.  math.  XIX.    ßtdletin  de 
bibl.  73. 


Literatorzeitnng.  1 23 

309.  Ueber  die  Definitionen  des  Leibnits.     Trendelenbar g^.    Berl.  Akad.  Ber. 

1860,  374.  —  N.  ann.  math.  XIX,   BuUetin  de  bibl,  87. 

310.  Jacques  Charles  le yeomktre.    Bienuym6.  N.  ann.  math.  XIX,  Bulletin  de  bibl.  90, 

311.  Ueber  den  Namen  Theodolit.     Hunaens.     Grün.  Archiv.  XXXV,  240. 

312.  Sur  une  tmcienne  ddtermination  du  ndmbre  absohi  des  vibrations  du  diapnson,    GovL 

Compt.  rend  LI,  450. 

313.  Sur  le  Premier  exemplaire  de  V Mition  stMotype  des  iables  de  logaritkmes  deLalande, 

Fo urnerat.     JS.  ann.  math.  XIX,    Bulletin  de  bibl.  83. 

314.  üsage  du  Souwan-pim  des  Chinois.    b^Escayrac  de  Laulure.    Compt,  rend,  LI^ 

88.  -^Poncelet.   ibid.  109. 

315.  Ueber  Sonnentinsternisse.     Encke.     Berl.  Akad.  Ber.  1860,  505. 

310.  Ueber  die  Sonnenfinsterniss  Yom  18.  Juli  1800.    Bremiker.    Berl.  Akad.  Ber. 
1860,  603. 

317.  Beiträge   zur  Geschichte   der  Fortschritte  in   der  elektrischen   Telegraphie. 

Z etz s che.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  395.     [Vorgl.  No.  lOS.] 

Oloiohimgen. 

318.  Sketch  ofa  theory  of  transcendental  roots,     Co  ekle.     PhU.  Mag,  XX,  145,  309. 

319.  Exercises  sur  les  equations  ftumöriques.     Bellavitis      N,  ann.  nutth,  XIX,  343. 

320.  Notes  sur  la  transformation  de  Tschimhausen.     Cayley.     Crelle  LVIII,  259,  263. 
^l{.  Ona  Problem  of  double  pattilions,     Cayley.     PhU,  Mag,  XX,  '^1. 

322.  Sw  wie  iqmUion  de degri  quelconquemais  d* Wie certaine  forme.  De  Virien,  N.  ann. 

math,  XIX,  389. 

_Ä>    _£\ 

323.  ViquaHon  xe     2  V  'x/  z=zh  a  deux  meines  igales  si  ip  ^  90^  a  =  sin  ^  et 

b  =  tang  y  .  eco«^  ou  b  =  cotang  -^  ,  e— co**^.     Gressier,    N.  ann,  math, 

XIX,  230. 

324.  On  a  System  ofalgebraic  equations.     Cayley,     Phii,  Mag,  XX,  341. 

325.  Sw  la  risohUion  numHique  de  deux  iquations  du  second  degri,     Abel  Transon. 

S.  arm.  math.  XIX,  414. 
3i6.  Ueber  die  merkwürdigen  Eigenschaften  von  drei  simultanen  Gleichungen.    Un- 
ferdinger,     Grün.  Archiv  XXXV,  32. 
Vergl.  Determinanten  in  geomßtrischer  Anwendung  275,  277. 


Homogene  Fnnotionea. 

327.  Ueber  eine  symbolische  Darstellungswcise  algebraischer  Formen  und  über  die 

davon  zu  machende  Anwendung  auf  Probleme  der  Elimination.     Clebsch. 
Berl.  Akad.  Ber.  1800,  536. 

Hydrodynamik. 

328.  Untersuchungen  über  ein  Problem  der  Hydrodynamik.    Lejeune-Diricblet. 

Crelle  LVIII,  181.  —  Dedekind.  ibid.  217. 

329.  Ueber  ein  ncn^s  Gesetz  der   lebendigen  Kräfte  in  bewegten  Flüssigkeiten. 

Stefan.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXVII,  420. 

330.  Ueber  Reibung  tropfbarer  Flüssigkeiten.     Helmholtz  und  v.  Piotrowski. 

WieiJ.  Akad.  Ber.  XXXX,  007. 

331.  Oh  a  new  species  of  figurcs  of  equilibrium  for  revolving  fltäds ,  the  particles  ofnhich 

attract  one  anoüier  according  to  Se»vtons  theory.     B ahlander,     Phil.   May. 
XX,  119. 

332.  On  the  form  asswned  by  a  fluid  shell  revolving  freely  nilhin  a  hollow  aphennd,     D ah- 

lander.    PhU.  Mag.  XX,  420 
333    On  the  form  ofsatelHtes  renolobtg  at  small  distances  from  their  primär ies,    Vaughan, 
Phil.  Mag,  XX,  409. 

HyperbeL 
Vergl.  Ellipse  287,  Sphärik. 

I. 

Twagiitff»f. 
331.  Nowfellc  thiorie  des  fonctions  de  variables  imaginaires.     Marie.     Jvum,  Math^m. 
XXV,  393,  457.     [Vergl.  No.  129.] 


124  Literatnrzeitung. 

335.  Ueber  die  geometrische  Darstellung  der  Werthe  einer  Potenz  mit  complexer 

Basis  und  complexem  Exponenten.  Dur  ige.  Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  345. 

Interpolatioii. 

336.  Sur  /tf  förmule*  (Tinterpolaiwn  de  Lagrange  et  de  Newton.     Abel  Transon. 

N.  ann.  math,  XIX,  248.     [Vergl.  Bd.  V,  No.  112.] 
Vergl.  Methode  der  kleinsten  Quadrate. 

Irratioiialgrössen. 

337.  Ueber  das  Rationalmachen  der  Nenner  der  Brüche.    Zehfuss.    Gmn.  Archiv 

XXXV,  117.     [Vergl.  No.  l:iO.] 
838.  Die  Lösung  der  Fermat*schen  Aufgabe :  Wegschaffung  der  Wunclgrossen  ans 

alg.*braischen  Ausdrücken,  in  welchen  solche  als  Summanden  vorkommen. 

Lehmann:   Auszug  aus  einer  Abhandlung  von  A.  r.  d.  Schulenburg. 

Grün.  Archiv  XXXV,  207. 
339.  EtaiU  donni  a^  -f-^a,4-  K^+  • .  •  4-  Ks  =  ^>  ehangeaut  dans  ce  polynome  n'  signet 

et  disignant  te  noineau  polynome  par  Q,  combien  PQ  renferme  -t-  ü  de  qutm- 

titiB  irrntionelles.     Kessler,    N,  ann,  math,  XIX,  436. 
Vergl.  NKherungswerth. 


Kegelschnitte. 

340.  Sur  le  triangle  cof^ugui  ä  une  eonique.     Salmon.     N.  ann.  math,  XIX,  345. 

341.  Lieu  des  poles  des  cordes,  qiä  dans  les  courbes  du  second  degri  Joignent  les  pieds  des 

normales  ä  ces  courbes  menies  d'un point  de  la  diveloppie»  Desboves.   N.  ann. 
math,  XIX,  25H. 

342.  Lieu  d'un  point  tel  que  les  quatre  tangentes  men^es  de  ce  point  d  deux  coniques  for 

ment  un  faisceau  harmonique.     De  Jonquieres. 
Vergl.  Ellipse,  Geometrie  (descriptivc) ,   Gleichungen  325,   Kreis,   Parabel, 
Sphärik  392. 

Xettenbrüeho. 

3 13.  Znaammeiihang  unter  den  Cocfricienteu  zweier  gleichen  Kettenbrüche  von  ver- 

schiedener Form.     Heilermann.     Zeitschr.  Math.  Pliys.  V,  3Ö2. 
Vergl.  Abersche  Function. 

Kräfteparallelogramm. 

314.  Ueber  den  Satz  vom  Parallelogramm   der  Kräfte.     Schlömilch.     Zeitschr. 

Math.  Phys.  V,  435. 

Kreis. 

345.  Ueber  die  Aufgabe ,  einen  Kreis  zu  beschreiben ,  welcher  drei  gegebene  Kreise 

berührt.     Kerz.     Grün.  Archiv  XXXV,  121. 

KreistheUung. 

346.  Stir  les  diviseiirs  de  certaines  formes  de  nombres  qm  resultent  de  la  thcorie  de  la  divt- 

sion  du  cercle,     Kummer,     Jörnen.  Mathcm,  XX ^,  309. 

Krümmungshalbmesser. 

347.  Trouver  Vöquation  de  la  courbe  teile  ^  que  ses  rnyons  de  courhure  soient  tms  d'un  point 

doiifie  S0U8  wi  angle  donne.     Lecocq      N  ann.  math.  XIX,  285. 

Krystallographie. 

348.  Ueber  das  Gesetz  der  rationalen  Verhältnisse  der  Tangenton  tautozonalcr  Kry- 

stallkanten.     v.  Lang.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXXI,  525. 

349.  Ueber  die   dirccte  Constniction   der  schiofachrtigon  Krystallgestaltcn   aus  den 

Kanlenwinkeln.     N  i  e  m  t  s  c  h  i  k.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXXI ,  535. 

I«. 

Loxodrome. 
350.  Ueber  Loxodromcn  auf  Umdrehungsöächen.     Junge.     Zeitschr.  Math.  Phys. 
V,  296. 


Literaturzeitang.  125 


351.  Beiträge  zar  Lehre  YOn  Maximani  und  Minimum.    Brenner.     Grün.  Archiv 

XXXV,  157. 
Zb2,  Sofuiio  prolfiefn/ttis  geomeirtci,     L  in  dm  an,     Gmn.  Archiv  XXXV,  481. 

353.  Sur  le  point  d'une  tangtnle  ä  la  courbe  y "» =:  F  (x)  oia  satisfmt  ä  ia  condiiioti  de  ren- 

Ym 
dre  un  nutximum  ou  un  minimwn.     Kessler,     N.  ann.  math.  XIX,  433. 

J?  {X) 

VergL  Ellipse  287,  Parabel. 

Mechanik. 

354.  Bemerkungen  über  Lagrauge*s  analytische  Mechanik.     Bley.     Grün.  Archiv 

XXXV,  275. 

355.  Memoire  sut'  la  rolalion  d'un  corps  solide  autour  de  sott  centre  de  ffraoiiä.     Lafon, 

Compt  rend,  LI,  724. 

356.  Mouvetnent  du  pefidule,     Fink.     N.  ann.  math,  XI X^  449. 

357.  Mechanische  Aufgabe.     Kahl.     Zeitschr.  Math.  Phys.  V,  298. 

358.  On  ihe pressure  of  earlh  on  revetmenl  walls,     Sylvester,     Phil,  Mag.  XX,  489. 
259.  Memoire  sitr  le  spiral  rigltmt  des  ckronomktres  et  des  monti^es,    Phillips.     Joum. 

Math6m.  XXV,  313. 
Vergl.  Aerodynamik,  Astronomie,  Attraction,  Elasticität,  Elektrodynamik, 
FoncaulVscher  Pendelversuch,  Hydrodynamik,  Kräfteparallelogramm,  Plani- 
metrie 373,  Wärmetheorie. 

Xethode  d«r  klaiiutaa  Quadrate. 
300.  Uober  Interpolation  nach  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate.    Borchardt. 
Grelle  L VIII,  270. 

Hähenmgswerth. 
361.  On  Poncelet's  approximate  linear  valuation  of  surd /brms,    Sylvester,     Phil,  Mag. 

XX,  203,  307,  525. 
302.  On  approximation  to  the  Integrals  of  irrational  functions  by  means  of  rational  Substitut 
tions.     Merrifield,     Phil,  Mag.  XX,  440. 

O. 

Oberfliehen. 

363.  Ueber  Prof.  A.  Müllor^s  DiscuMsionsmethode  der  algebraischen  Flächen  höherer 

Ordnungen.     P  e  t  z  v  a  1.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXXI ,  735. 

364.  Untersuchungen  über  einige  Arten  von  Flächen.    Boeklen.     Grün.  Archiv 

XXXV,  93. 
Vergl.  Attraction  259,  Hydrodynamik  331,  332,  333,  Loxodrome,  WellenflUche. 

OberflAehen  iw«it«r  Ordnung. 

365.  Sur  les  Ugnes  de courbure  des  surfaces  du second ordre    Aoust.  Compt.  rend.  LI,  640. 

366.  Propra tis  des  tetr andres  conjvgu^s  dans  tes  surf aces  du  second  degri.     Puinvin. 

N.  mm.  math.  XIX,  290. 

367.  Ueber  die  geodätischen  Linien  auf  dem  Ellipsoid.     Boeklen.    Gran.  Archiv 

XXXV,  lOf. 

368.  Etant  donnis  deux  ellipsoides  A  e/  B ,  trouver  le  Heu  des  sommets  des  tHedres  dont 

les  faces  sont  tangentes  ä  A  et  paralleles  a  trois  plans  diamitraux  co^juguis  de  B. 
Lemoine.     N.  ann.  malh.  XIX,  349. 

369.  Risumi  d'une  thiorie  des  coniques  spheriques  homofocates  et  des  surfaces  du  second 

ordre  homofocedes.     Chasles,     Jouni.  MathHn.  XXV,  425.     [Vergl.  No.  167 
und  No    194.] 
Vergl.  Parabaloid. 

P. 

Ftfab«L 

370.  Ueber  die  grössten  Polygone,  die  sich  über  eine  gegebene  Gerade  einer  Parabel 

einschreiben  lassen.    8.  8  p  i  1 1  e  r.    Zelt&cbx .  ä^Wx.  ^Vj« .^  ^^K^ « 


12  6  Literataraeitung. 

»  Pantboloid. 

371.  Ueber  homofocale  Paraboloide.    Boeklen.     Gnin.  Archiv  XXXV,  81. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Ilaiimes  243. 

Planimetrie. 

372.  Verwandlung  eines  Dreiecks  in  ein  gleichseitiges  Dreieck  von  gleichem  Flächen- 

inhalt durch  Rechnung.  Nagel.  Grün.  Archiv  XXXV,  118.   [Vergl.  No.  184.) 

373.  Theoreme  sitr  le  triangle  circonscrit  d  wi  cercle,     Barcourt.     N.  ann,  math,  XIX, 

437.  —  Lehesgue.   ibid.  438. 

374.  Sur  deiix  polygones  drconscriptibles    d  des  cercles.     Siecchi  et  P.oitrasson. 

N.  ann.  mäh.  XIX,  420. 

375.  Thiorkmes  sur  les  cercles  yui  touchent  fes  cotis  d'im  triangle,    Nagel,   N,  ann.  fRoth, 

XIX,  354.  —  HouseL   ibid.  438. 

Polare. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raames  244,  245,  Determinanten  in'geome^ 
trischer  Anwendung  277. 

PotentiaL 

376.  Das  Potential  eines  homogenen  rechtwinkligen  Parallelepipedoms.     Rot  big. 

Grelle  LVIII ,  249. 

Prodnktanfolgo. 

377.  Thiorhne  d'inigalUi  sur  un  prodtdt  contimu  Schlömilch,   N.  ann,  math.  XIX,  280. 

—  Prouhet.   ibid.  281. 

Progression . 

378.  Bedeutung  und  Gültigkeit  der  allgemeinen  Formeln  für  /  und  8  der  arithmeti- 

schen und  der  geometrischen  Progression  für  den  Fall,  dass  das  n  dieser 
Formeln  eine  gebrochene  Zahl  ist.     Holmes.     Grün.  Archiv  XXXV,  l.^fW 

379.  Note  s»r  la  difference  de  deux  piässances  consecutives .     Tronsens.     N.  ann.  matk. 

XIX,  310. 

Quadratische  Formeo. 
38').    Die    trinären    Zahlformeii    und    Zalilwerthe.     Simerka.     Wien.    Akad.    Her. 
xxxvni,  .SOO. 

381.  Sur  le  nombrc  des  chsses  diffirentes  de  formes  qundratiques  n  delermininds  ftegutifs. 

Krön  eck  er.     Journ.  Mathcm.  XXl\  289.      (Vergl.  Bd.  V,  Xo.  434.] 
3S>.  Sur  la  forute  x* 4- > *  +  2  (z* H- 1*).      L io tiville.     Journ.  Mathem.  XXV.  2t)0. 
:W  J .  Stir  la  forme  x'  +  y *  +  4  ( z*  + 1* j .     L i o  u  vill e.     Journ.  Matkdm.  X XF,  305 . 

R. 

Bechenmaschine . 
38  4 .   Arithmogt  aphe  polychrome.    Dubois.    Compt .  rend.  LI,  293 . 

Befraotion. 
385.  Ueber  atmosphärische  Strahlenbrechung.  Kummer.  Berl.  Akad.  Ber.  IHttO,  40.V 

Beihen. 
3S(5.  Einige  allgemeine  Sätze  zur  Theorie  der  Reihen.     Win  ekler.     Wien    Akad. 
Her.  XXXXI,  (575. 

387.  Ueber  die  DiÖerentiation  unendlicher  Potenzreihen.     Schlömilch.     Zeitschr. 

Math.  rhys.  V,  202. 

388.  Sommc  de  la  scrie  S  -^-    '  V    ^ •  :rzT:: TT",      ßesge.      Journ.    Mathem. 

1  .  2  .  3  .  .  .  n  2"  (2  n  -f  l ) 

XXr,  307. 

380.  Siimniiriinij:  «ler  unendliche  n  Reihe  .Sx  =  27  — i : .    am  Ende. 

(iriin.  Archiv  XXXV,  220. 
390.    Egnliles  cutrc  des  sommes  qui  dipendent  de  la  fonction  numa-iquc  E(x),     LiouvilU. 
Journ.  Mathem.  XX F,  287,  455. 
Vergl,  (^ombinatorik,  Progrc8aiOTi,Tö.^'Wa  TSL^vhe.^  Zahlenthcorie  409. 


Literaturzeitung.  1 27 


Sphlrik. 
391'  Einiges  über  sph&rische  Canren.     Bacaloglo.    Gnin.  Archiv  XXXV,  57. 
392.  Sio'  les  coniques  sphkriques,  Cremona.  N.antt,  math,  XIX,  269.  [Vcrgl.  No.  194.] 
803.  Sitr  thyperbole  nphhique.     Dupain.     N.  arm.  math.  XIX,  315. 

394.  Ueber  die  Fläche  dos  sphürischon  Vierecks.    Strehlke.    Grün.  Archiv  XXXV, 

104,  447.     [Vergl.  No.  193.] 

395.  Sur  les  polygones  r^guliers  sphSrtques,     Faure,     N,  arm,  math.  XIX,  421. 

Stertfometrl«. 
390.  Sur  la  ciaMsificaiion  des  pofyedres.     PK  Breton.     Compt.  rend.  LI,  722. 

T. 

Tabellen. 

397.  Tafeln  der  aus  I7ten,  19ten,  238tcn  und  29sten  Einheitswurzeln  gebildeten  com- 

plexen   Primfactoren   aller  Primzahlen  im   ersten  Tausend.    Beuschle. 
Bcrl.  Akad.  Ber.  1^00,  714.  —  Kummer,   ibid.  734. 

398.  Fehler  in  Schrön^s  siebenstelligen  Logarithmentafeln,   Ausgabe  1860.     Grün. 

Archiv  XXXV,  120. 
Vcrgl.  Geschichte  der  Mathematik  313. 

Taylor'sehe  Beihe. 

399.  IdeiitUi  de  deux  expressions  du  reste  de  la  sirie  de  Taylor.    Jurgensen.    N.  ann, 

math,  XIX,  308.  —  Roche,   ibid,  31 1. 

TrigonemeMe. 

400.  Rectteil  de  formules  relatives  aux  fonctums  circulaires  et  logaHthmigues,   N.  mm.  math, 

XIX,  401. 

401.  Formuie  pour  raire  {Tun  triangle.     Wiart.     N.  ann.  math.  XIX,  283. 

402.  Transformation  trigonomitrique.     Forestier.     N.  imn.  nmth.  XIX,  \i%. 

Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  240. 

V. 

Variationtrechnimg. 

403.  Ueber  die  Methode ,  die  grösstcn  und  kleinsten  Werthe  unbestimmter  Integral- 

formeln zu  finden.     Löffler.     Wien.  Akad.  Ber.  XXXIV,  227. 

404.  Beitrag  zum  Probleme   der  Brachysto chrono.     Löffler.     Wien.  Akad.   Ber. 

XXXXI,  53. 
Vergl.  Näherung» werth  361. 


Wirmetheorie.  * 

405.  On  the  relation  betweefi  the  radiating  and  absorbing  powers  of  di/fereut  bodies  for  light 
andheat,   Kirchhoff,    Phil,  Mag.  XX,  1. 

Wahrsoheinliohkeitsreohiiang. 
106.  Note  sttr  le  probihne  de  taiguille  et  lejeu  du  Joint  couvert,     E.  Barbier.     Journ. 
Malhim.  XXr,  273. 

Wellenfliche. 
^07.   Ueber  eine  optische  Eigenschaft  von  unendlich  dünnen  gradlinigen  Strahlen- 
bändeln.   Kummer.    Berl.  Akad.  Ber.  IbOO,  469.    [Vergl.  Bd.  V,  No.  260.] 

Wendelinie. 
Vergl.  Analytische  Geometrie  des  Raumes  247. 

X. 
Zahlenreehnen. 
408.  Directe  wissenschaftliche  Begründung  des  üblichen  Verfahrens  bei  der  Division 
und  Wurzelausziehung  in  dekadischen  Zahlen.  Niegemann.  Grün.  Archiv 
XXXV,  201. 


Zaldentheorie. 

409.  Ueber  die  Anmhl  der  Primzftblen  unter  emer  belipbig-en  GrBnzct 

Zeit-^cbr.  Matb.  Pbm  V,  233.     [Vi  rgrl,  Bd,  V,  No.  481.] 
410*   Jfoie  Aar  tea  rfmgrueticeün      Lt  Sc^gtie,     Compt.  tatä  LJ  t  IK 

411.  Noic  au  .viijui  (Fime  t/tt^veme  de  M.  Krtjneckt^:    Lionttilte,   Jfßurn,  Muthim.  XXS^^^ 

'HM.     [Yetgl  No.  2i:j.]  9 

412.  Einfarbe  Sietünde»  die  R^^ntc  der  Ziibl  0       bei  dcr'TiivUioö  dnreh  dii>  Prlni'' 

j^Ab]ti)i  KEi  finden.     N  i  (^  geiti  Ann,     Qrun,  Arcbiv  XXXV,  L  l^. 

413.  Sht  la  fUefjm^maition  de  4  a*  mt  dt/f^ence  de  dcux  carrin  tniietM.    KtnMltr.  N.  Ä«»i 

mfi(h.  J:/A\434. 

414.  Siir  It  pi'odm't  de  d^ux  nömhrex  premia^»  Ttm  de  In  forme  8  k4-3  <*f  tavire  de  i/i  /onwr 

8b 4-5.      Lionvilte.     Jtmn,  Mfähi-m,  XX P%  30:t/ 
415*   Theorema  ametrnmit  fv  Mpfe  d'im  nomhre  pr emier  de  la  furme  8ft  +  3.      I^ioupillt, 

Jmtnu  Malhem.  XX  F,  415, 
416*   Tfieori'me  cimceiTtfmt  f es  nornbres  Premiers  de  la  fvrme  %ft'}'$.     Lifmvttte.     Journ. 

417-  Snr  !c^  nombres prenüer»  de  hi  forwte  ! 6 k 4* 7*  LiouviNe.  J&Jüm.  Maih4m^  XX ?'.  30! * 
416<  Nöiipeau  tA/vrr»fe  etmeet^tmt  ies  nüntthret  prtmiers  de  fa  formte  24  k  -4-  1 1-  Lio  hp  t /ff- 

4 10.  Thiorvmt  cu  nrejjtmti  les  nmn  h  re^  premtera  de  Ift  /brme  24  k  -!■  1 9*  ■  2*  f  d  w  e  ^  H  tf »  J£»tmi, 

Math^pu  XX  y,  31 K 

420.  Th^t/reme  tnneei'ntmt  hf  twmbres  premierg  dtf  ia  farrntf  4f ►  /*  +  7*    Liüttvill e.    Jfrmm. 

MtdhtUH.  xxr,  m^i 

421.  Th^reme  ettneernattt  les  nümhres  premierA  de  Vune  ou  de  Va^dre  des^  deux  formet 

40^  +11,  40^-4-  lt>.     L io u v Ute.     Jwwt»,  Mathim.  XXF,  :iS7, 
422 ^  TMor^me  roneet^iini  Ics  jtümbres  premers  de  la  faime  40^  +  23.    Liottvitit^    Jo^m* 
MaihäR.  XX  K  3?JL 
Vergl.  Cubücbe  Fornaeu,  Quadrat  isclie  Formen,  Reiben  31^0- 

423*  Ueber  YerlEgunff  der  Zalilungstermiuc.     Oetiloger.    Zeit^cbr.  Blallt,  Ph^«, 

V,  433.     [Ver^l.  No.  23i>.) 
424,  Amtiäi^ft.     Cuenoud*     N.  ann.  tnaifu  XfX,  33Ö. 


I 
I 


k 


!i 


I 


Druck  von  B.  G.  Teubner  in  Dresden. 


nr.  I. 


128  Literataneitang« 

hhltnÜHWrie. 
400.  Uebor  die  Aniahl  der  Primsahlen  unter  einer  beliebigen  Orenie.     Scheibner. 
ZeitBchr.  Math.  Phyi.  V,  233.     [Verpl.  Bd,  V,  No.  481.1 

410.  Note  Star  ies  ctmgruenceM,     Le  Be»gue.     Compt,  rend,  LI,  9. 

411.  Note  au  si^jet  ittme  ihiorkme  de  M,  Knmedcer.   Liouville,  Jovm,  Maihim.  XXP', 

207.     [Vergl.  No.  215]  ^9 

412.  Einfache  Methode,  die  Rente  der  Zahl  0      bei  der'Divigion  dnrch  die  Prim- 

xahlen  za  finden.    Niegemann.    Gmn.  Archiv  XXXV,  110. 
418.  Swr  la  d^composiiioH  de4%*  m  diffirence  de  deux  carris  eniiers.   Kessler,  N.  am. 

maih.  XIX,  434. 
414.  Sur  le  prodmt  de  deux  nomhre»  premiers  tun  de  la  forme  8  k+3  cff  Fautre  de  la  forme 

8h-|.5.     Liouville.     Jowm.  Maihim,  XXV,  Wä." 
416.  TMorhne  eoncematU  le  triple  d'un  nombre  premier  de  la  forme  8fi4-3.     Liouville. 

Joum.  Malhtm.  XXV,  475. 

416.  Theoreme  concemant  les  nombres  premier»  de  la  forme  8 ^ + ft.    Liouville.    Joum, 

Maihim.  XXF,  300. 

417.  Sur  le$  nombre»  premierg  de  la  forme  \^\i'^l.  Liouville.  Joum.  Mathim,  XX  J^,  301. 

418.  Nouveauihiorimeiwteernant  leemombre»  premier»  de  la  forme  ^A'k'^ii.  Liouville, 

Joum.  Maihim,  XXV,  309. 

419.  Thior^me  concemant  le»  nombre»  premier»  de  la  forme  24k  4- 19.  'Lionville»  Joum. 

MaihSm.  XXF,  311. 

420.  Thioreme  concemant  le»  nombre»  premier»  de  la  forme  4<)fi4-7.    Liouville.    Joum. 

Maihim.  XXF,  389. 

421.  Thioreme  concemant  le»  nombre»  premier»  de  tune  ou  de  Tauire  de»  deux  forme» 

40^4-11,  40fi-hl9.     Liouville.    Joum.  Maihim.  XXK  387. 

422.  Thioreme  concemant  le»  nombre»  premier»  de  la  forme  4<>/t»-f  23.  Liouville.  Joum. 

Maihim.  XXF,  391. 
Vergl.  Cubif  clie  Formen,  QnadratiBclie  Formen,  Reihen  3lK). 

Zinneduiimg. 

423.  Ueber  Verlegnng  der  Zahlungstermine.     Oettinger.    Zeitschr.  Math.  Phvs. 

V,  433.     [Vergl.  No.  TM).] 

424.  Annuiti».     Cuenoud.     N.  ann.  maih.  XIX,  3:UJ. 


Druck.  \ou  B.G.TeuVjueT  xiv  V>x<i%v\c\\. 


Zeilschrift  f«! 


1 

i 

i 
i 


/ 


<■ 


STÜ,<AGfc  ARtA 


2:45 


1 


STANFORD  UNIVERSJTY  LIBRARIES 

STANFORD  AUXILIARY  LIBRARY 

STANFORD,  CALIFORNIA  94305^6004 

(650)  723-9201 

salcirc@sulmQiLstanFord.edu 

All  book$  ore  subject  \o  recalL 

PATE  DUE